Автор: Лысенко Ф.Ф. Ковалёва Л.И. УваровскийА.П. Кулабухов С.Ю. Ангельев В.Д. Дерезин С.В.
Теги: математика задачи по математике егэ егэ по математике
ISBN: 978-5-902806-81-3
Год: 2008
Текст
; готовимся
Т ЕГЭ
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко
МАТЕМАТИКА
ЕГЭ-2009
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ
ЧАСТЬ II (В4-В8, С1-С2)
Готовимся к ЕГЭ
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко
ТЕМАТИЧЕСКИЕ
ТЕСТЫ
МАТЕМАТИКА
ЕГЭ-2009
ЧАСТЬ II (В4-В8, С1-С2)
10-11 КЛАССЫ
Учебно-методическое пособие
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЛЕГИОН»
Ростов-на-Дону
2008
ББК22.1
Т32
Рецензенты: Л. Л. Иванова — заслуженный учитель России,
Л. С. Ольховая — учитель высшей категории.
Авторский коллектив: Лысенко Ф. Ф., Ковалёва Л. И., УваровскийА. П.,
Кулабухов С. Ю., Ангельев В. Д., Дерезин С. В., Коннова Е, Г,,
Авилов Н. И., Агафонова И. М., Асташкина И. С., Бубличенко О. А.,
Опрышко Г. Г., Войта Е, А.
Т 32 Тематические тесты. Математика. ЕГЭ-2009. Часть II.
10—11 классы /Под редакцией Ф. Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Ле-
гион, 2008.160 с. (Серия «Готовимся к ЕГЭ»)
Пособие состоит из тестов по отдельным темам, которые сгруппиро-
ваны в соответствии с текущим планом ЕГЭ. Они полностью охватывают
часть II тестов, кроме текстовых задач и задач по геометрии, то есть зада-
ния В4—В8 и Cl— С2. По каждой теме предлагается один или более ком-
плектов тестов. В каждом комплекте по 10 тестов, в. каждом тесте по 8
заданий.
Цель настоящей книги — отработать часть II тестов ЕГЭ. Она необхо-
дима в первую очередь выпускникам, рассчитывающим получить на ЕГЭ
оценку 4 или 5, а также учащимся 10 классов, которые могут закрепить
пройденные темы под углом зрения ЕГЭ. Предлагаемое пособие может
быть полезно всем выпускникам, готовящимся к ЕГЭ по математике, а
также педагогам, осуществляющим подготовку учащихся к ЕГЭ.
ББК22.1
ISBN 978-5-902806-81-3
© Издательство «Легион», 2008.
Оглавление
От авторов............................................... 11
§ 1. В4. Тождественные преобразования логарифмических
выражений......................................... 12
Вариант №1........................................... 12
Вариант №2........................................... 12
Вариант №3........................................... 13
Вариант №4........................................... 13
Вариант №5........................................... 14
Вариант №6........................................... 14
Вариант №7........................................... 15
Вариант №8........................................... 15
Вариант №9........................................... 16
Вариант №10.......................................... 16
§ 2. В4. Тождественные преобразования выражений, со-
держащих степень....................................... 17
Вариант №1........................................... 17
Вариант №2........................................... 17
Вариант №3........................................... 18
Вариант №4........................................... 19
Вариант №5........................................... 19
Вариант №6.......................................... 20
Вариант №7........................................... 21
Вариант №8........................................... 21
Вариант №9........................................... 22
Вариант №10.......................................... 22
§ 3. В4. Тождественные преобразования иррациональных
выражений.............................................. 23
2 Зак №461
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вариант №1........................................... 23
Вариант №2........................................... 24
Вариант №3........................................... 24
Вариант №4........................................... 25
Вариант №5........................................... 25
Вариант №6........................................... 26
Вариант №7........................................... 27
Вариант №8........................................... 27
Вариант №9........................................... 28
Вариант №10.......................................... 29
§ 4. В4. Системы уравнений............................. 30
Вариант №1........................................... 30
Вариант №2........................................... 30
Вариант №3........................................... 31
Вариант №4........................................... 32
Вариант №5........................................... 33
Вариант №6........................................... 33
Вариант №7........................................... 34
Вариант №8........................................... 35
Вариант №9........................................... 36
Вариант №10.......................................... 37
§ 5. В5. Геометрический смысл производной.............. 37
Вариант №1........................................... 37
Вариант №2........................................... 39
Вариант №3........................................... 41
Вариант №4........................................... 42
Вариант №5........................................... 44
Вариант №6........................................... 46
Вариант №7........................................... 48
Вариант №8........................................... 50
Вариант №9........................................... 51
Вариант №10.......................................... 53
§ 6. В6. Неравенства................................... 54
Вариант №1........................................... 54
Вариант №2........................................... 54
Вариант №3........................................... 55
Вариант №4........................................... 56
Вариант №5........................................... 56
Вариант №6......................................... 57
2*
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Вариант №7........................................... 58
Вариант №8........................................... 59
Вариант №9........................................... 59
Вариант №10.......................................... 60
§7. В7. Иррациональные уравнения...................... 61
Вариант №1........................................... 61
Вариант №2........................................... 61
Вариант №3........................................... 62
Вариант №4........................................... 62
Вариант №5........................................... 63
Вариант №6........................................... 63
Вариант №7........................................... 64
Вариант №8........................................... 64
Вариант №9........................................... 65
Вариант №10.......................................... 65
§ 8. В7. Тригонометрические уравнения.................. 66
Вариант №1........................................... 66
Вариант №2........................................... 66
Вариант №3........................................... 67
Вариант №4........................................... 68
Вариант №5........................................... 68
Вариант №6........................................... 69
Вариант №7........................................... 69
Вариант №8........................................... 70
Вариант №9........................................... 70
Вариант №10.......................................... 71
§ 9. В7. Логарифмические уравнения..................... 72
Вариант №1........................................... 72
Вариант №2........................................... 72
Вариант №3........................................... 73
Вариант №4........................................... 73
Вариант №5........................................... 73
Вариант №6........................................... 74
Вариант №7........................................... 74
Вариант №8........................................... 75
Вариант №9........................................... 75
Вариант №10.......................................... 76
§10. В7. Показательные уравнения...................... 76
Вариант №1........................................... 76
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вариант №2........................................... 77
Вариант №3........................................... 77
Вариант №4........................................... 78
Вариант №5......................................... 78
Вариант №6........................................... 79
Вариант №7........................................... 79
Вариант№8........................................... 80
Вариант №9........................................... 80
Вариант №10.......................................... 81
§ 11. В8. Периодичность, четность и нечетность функций.. 81
Вариант №1........................................... 81
Вариант №2........................................... 83
Вариант №3........................................... 84
Вариант №4........................................... 85
Вариант №5........................................... 86
Вариант №6........................................... 88
Вариант №7........................................... 89
Вариант №8.......................................... 90
Вариант №9........................................... 91
Вариант №10.......................................... 92
§ 12. С1. Нули сложной функции. Ограниченность функции.. 93
Вариант №1........................................... 93
Вариант №2........................................... 94
Вариант №3........................................... 94
Вариант №4........................................... 95
Вариант №5........................................... 95
Вариант №6........................................... 96
Вариант №7........................................... 96
Вариант №8........................................... 96
Вариант №9........................................... 97
Вариант №10........................................ 97
§ 13. С1. Область определения, множество значений, мо-
нотонность функций..................................... 98
Вариант №1........................................... 98
Вариант №2........................................... 98
Вариант №3........................................... 99
Вариант №4........................................... 99
Вариант №5...........................................100
Вариант №6...........................................100
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Вариант №7..........................................101
Вариант №8..........................................102
Вариант №9..........................................102
Вариант №10.........................................103
§ 14. С1. Экстремумы функции. Наибольшее и наимень-
' шее значения функции................................104
Вариант №1..........................................104
Вариант №2..........................................104
Вариант №3..........................................105
Вариант №4..........................................105
Вариант №5..........................................106
Вариант №6..........................................106
Вариант №7..........................................107
Вариант №8..........................................107
Вариант №9..........................................108
Вариант №10.........................................108
§ 15. С2. Различные приемы при решении логарифмиче-
ских уравнений........................................109
Вариант №1..........................................109
Вариант №2........................................ 109
Вариант №3...........................................ПО
Вариант №4...........................................НО
Вариант №5..........................................111
Вариант №6..........................................111
Вариант №7..........................................112
Вариант №8..........................................112
Вариант №9..........................................112
Вариант №10.........................................113
§ 16. С2. Различные приемы при решении тригонометри-
ческих уравнений.......................................113
Вариант №1...........................................ИЗ
Вариант №2..........................................114
Вариант №3..........................................114
Вариант №4..........................................115
Вариант №5..........................................115
Вариант №6..........................................116
Вариант №7........................................ 116
Вариант №8..........................................117
Вариант №9......................................... 117
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вариант №10...........................................118
§ 17. С2. Различные приемы при решении иррациональ-
ных уравнений...........................................118
Вариант №1...........................................118
Вариант №2...........................................119
Вариант №3...........................................119
Вариант №4......................................... 120
Вариант №5...........................................120
Вариант №6...........................................121
Вариант №7...........................................121
Вариант №8...........................................121
Вариант №9...........................................122
Вариант №10..........................................122
§ 18. С2. Уравнения, содержащие переменную под знаком
модуля.................................................123
Вариант №1...........................................123
Вариант №2...........................................123
Вариант №3...........................................124
Вариант №4...........................................124
Вариант №5...........................................125
Вариант №6...........................................125
Вариант №7...........................................126
Вариант №8...........................................126
Вариант №9...........................................127
Вариант №10..........................................127
§19. С2. Различные приемы при решении показательных
уравнений..............................................128
Вариант №1...........................................128
Вариант №2...........................................128
Вариант №3...........................................128
Вариант №4...........................................129
Вариант №5...........................................129
Вариант №6...........................................130
Вариант №7...........................................130
Вариант №8...........................................131
Вариант №9...........................................131
Вариант №10..........................................132
§ 20. С2. Различные приемы при решении комбинирован-
ных уравнений..........................................132
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
Вариант №1...........................................132
Вариант №2...........................................133
Вариант №3...........................................133
Вариант №4...........................................133
Вариант №5...........................................134
Вариант №6...........................................134
Вариант №7...........................................135
Вариант №8...........................................135
Вариант №9.......................................... 135
Вариант №10..........................................136
Ответы ...................................................137
§ 1. В4. Тождественные преобразования логарифмических
выражений...............................................137
§ 2. В4. Тождественные преобразования выражений, со-
держащих степень........................................138
§ 3. В4. Тождественные преобразования иррациональных
выражений..........................................138
§ 4. В4. Системы уравнений..............................139
§ 5. В5. Геометрический смысл производной...............139
§ 6. В6. Неравенства....................................140
§ 7. В7. Иррациональные уравнения.......................140
§ 8. В7. Тригонометрические уравнения...................141
§ 9. В7. Логарифмические уравнения......................141
§ 10. В7. Показательные уравнения.......................142
§ 11. В8. Периодичность, четность и нечетность функций..142
§ 12. С1. Нули сложной функции. Ограниченность функции..143
§ 13. С1. Область определения, множество значений, мо-
нотонность функций.......................................144
§ 14. С1. Экстремумы функции. Наибольшее и наимень-
шее значения функции.....................................146
§ 15. С2. Различные приемы при решении логарифмиче-
ских уравнений...........................................147
§ 16. С2. Различные приемы при решении тригонометри-
ческих уравнений.........................................148
§ 17. С2. Различные приемы при решении иррациональ-
ных уравнений............................................152
§ 18. С2. Уравнения, содержащие переменную под знаком
модуля...................................................153
10 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 19. С2. Различные приемы при решении показательных
уравнений............................................154
§ 20. С2. Различные приемы при решении комбинирован-
ных уравнений........................................155
От авторов
Предлагаемое учащимся 10-х классов и выпускникам школ, а так-
же их преподавателям пособие «Математика. ЕГЭ-2009. Тематические
тесты. Часть II» состоит из вариантов тестовых заданий по отдельным
темам, сгруппированным в соответствии с текущим планом ЕГЭ. Книга
является частью учебно-методического комплекса «Математика. ЕГЭ-
2009» и во многом логическим продолжением уже известной читателю
книги "Математика. ЕГЭ-2009. Тематические тесты. Часть 1 (А1— А10,
В1-ВЗ)».
Немного о структуре книги. Пособие охватывает задания повышенно-
го уровня: В4—В8 и Cl—С2. По каждой теме предлагается один и более
комплектов тестов, а в каждый комплект включено 10 вариантов. В свою
очередь, каждый вариант содержит 8 заданий. И, таким образом, каж-
дая тема представлена заданиями в количестве от 80 до 320. Большин-
ство комплектов таковы, что тесты в них равноценны по сложности. Од-
нако внутри комплектов сложность тестов слегка возрастает от первого к
последнему. Цель этого пособия — поэтапная отработка учащимися ча-
сти II при подготовке к ЕГЭ. Безусловно, она рассчитана в первую очередь
на тех выпускников, которые планируют получить по результатам ЕГЭ по
математике не менее «четверки», а лучше — пять баллов. Также она пред-
назначена десятиклассникам, закрепляющим пройденные темы под углом
зрения ЕГЭ. Конечно, мы рекомендуем начинать систематическую подго-
товку к единому экзамену по математике с отработки части 1 — базового
Уровня.
Однако не стоит считать, что наша книга адресована исключитель-
но сильным учащимся. Отработка части II — это дополнительный шанс
укрепить свои позиции на ЕГЭ всем выпускникам, это возможность бо-
лее глубокого усвоения курса и тематических блоков, включенных в ЕГЭ,
и, как следствие, возможность получить более высокий балл.
12
В4. Тождественные преобразования логарифмических выражений
§ 1. В4. Тождественные преобразования
логарифмических выражений.
Вариант №1
1. Вычислите: 7Iog^ 2+l°8v7 3-i°Sv710.
2. Найдите значение выражения: log? 7 4- ft?3/ -
log8 6 log42 6
3. Вычислите х, если log5 х — logyj(cos 4- 51о8ав 4.
4. Найдите значение функции f(x) = х2+1°**2 26 + е1п3 при х = \/3.
5. Найдите значение выражения при х = 14°:
log2 (1 + tg2х) 4- log2 (1 4- ctg2 x) 4- 2 log2(sin2x).
6. Упростите выражение и вычислите его значение при a = 7; Ь = 3:
2(*°Sa b+l°go 9):(31og„ 2-log„ 86)
7. Найдите значение выражения In , если loge2 a = 2; log^ 6 = 4.
о n /T»1o8is(27-10V5) , /^logjfll+ev^)
8. Вычислите: yl3 4-v5
Вариант №2
1. Вычислите: З108^4-108*^2-108^5.
т т и 1 2 о loge 3 logo 3
2. Найдите значение выражения: logo 3 + •:———г.
log5 2 log6 2
3. Найдите значение х, если log4 х = 41о8«4 27 — log3 (у/3 ctg J.
4. Найдите значение функции f(x) = a^-iog^C2*2) 4- 21ог»27 при
х = у/2.
5. Найдите значение выражения
3 log3 (3 4- tg2 х) — log3 (3 — ctg2 х) 4- 2 log3 cos2 Зх при х =
тг
3‘
6. Найдите значение выражения
5(1о8ь+1(<»-2)~21oga-2(b+l)):(21°gb(a-1)-logb(a+3)) ПрИ о = 5. b = 2.
7. Найдите значение выражения log4 если log2 a — 3; log2 6 = 2.
8. Вычислите:
В4. Тождественные преобразования логарифмических выражений 13
Вариант №3
1. Найдите значение выражения: 252 logs 2+1 + 1g 25 — 21g 0,5.
2. Вычислите: log7 (б\/2 + 11) + 21og7 (3 - \/2) + log^
3. Найдите значение выражения 1g , если logi a = —1;
\ О / з
iog7| = i;iog0,7c=
4. Найдите /(2), если f(x) = e,n®2 — 5xlog3 27® + log£ яУ14®2-5.
5. Найдите х, если log2 х = log12144tg ? + 111об'/гт (со®2Й+м"2 й).
6. Вычислите: ^og3 Г • - log510.
log3 5 log2 5
7. Найдите значение выражения: logtg д 27е08 з + logctg % 98,п ё.
logj 0^5
8. Вычислите: 1001-lg2+ 3log»25 — 49 4 .
Вариант №4
1. Вычислите: (log6 9 + log6 4 + 2,7log2-T 3) *°65 7.
п и . log, 216 log, 24
2. Найдите значение выражения: ,63 ----, 63 .
logg 3 log72 3
3. Вычислите х, если logi5 х = logi (1 — cos ^) + logi (1 + cos J
2 V 6/ 2 * 6.
4.
Найдите значение функции при х = если
О
/(ж) = я3+1оез® _ I3logi3 З"2
5. Упростите выражение: 131оё>/гз4 4- log2 — — log 1 (2 — \/3
/ 10g27 10g27 \ 3 1Og“6 2
6. Упростите выражение I a 1оез « . Ь 1о£з * j и вычислите его
значение при a = 4,3; b = 7.
4^3
7. Найдите значение выражения log^a если log^s b3 = 2;
7Г
14
В4. Тождественные преобразования логарифмических выражений
8. Упростите выражение и вычислите его значение при х = —0,81:
21об4 (®—2>/х+Т+2) _|_ ^log25 (х+2\/х+1+2).
Вариант №5
1. Вычислите: log2 у/3 + i log2 .
JL
2. Вычислите log4 0,1+ log2-^.
3. Вычислите: log4 5 • log5 6 • loge 7 • log7 8.
. D log2 6 + log2 6 • log2 3-2 logo 3
log26 + 21og23
/ log2 5 1 \ 1°Й27 5
5. Вычислите: I 21обб2 — 5l°s*2 4- 8log2 3 j
6. Вычислите: (log3 2 4- log2 3 4- 2)(log3 2 — log6 2) log2 3 - log3 2.
7. Найдите значение выражения loga — 4- logb если loga 6 = 4.
a b
8. Найдите значение выражения logab 4- , если loga b = i
0 CL £
Вариант №6
1. Вычислите: (log13 52 - log13 4 + 7,81о8т-8 5)1О8в 5.
2. Найдите значение выражения: \°^3^- — ^3
log53 log153
3. Вычислите х, если logj_ х = log 2v^ ^2sin^) +
4. Найдите значение функции при х = ± если
25
f{x) = х6~^х - 7i°gT5-ie
5. Упростите выражение: 3los 3 + log5 ** - log i
25 75
6. Упростите выражение и вычислите при a = 0,5; Ь = 0,2:
/ logB Ь logfl а \ 3 ’°8аЬ 3
I aiogj* . ft l°g2 а 1
5
7. Найдите значение выражения: log*.» если log„3 a — log%« b = 1.
В4. Тождественные преобразования логарифмических выражений 15
8. Найдите значение выражения
51og2s (х+Ь/^+Ъ) + 41og16 (а:-4л/г=5+2) при х _ Зд
Вариант №7
1. Вычислите: (log14 7 4- log14 2 4- 3,5log3-s 6)logT 3.
2. Найдите значение выражения:
log4 3 log12 3
3. Вычислите значение х, если
logia х = log 1 (cos £ - sin £) 4- log i (cos 4- sin ^).
2 v О О/ 2'0 О/
4. Найдите значение функции /(х) = x5+loga х — 15log18 2 4 при х =
ла
5. Упростите выражение: lllog^ 2 4- log3 5 И-2\/б — fog 1 (\/3 — \/2).
9 \/з
6. Упростите и вычислите при m = 7, п = 0,2:
(log4 n log4 п \ 2 l°gmn 3
пг i°gan .n^og2n J
— ), если
7Г /
logff2 у/a = log^ b = 1.
8. Найдите значение выражения 3log9(x+2v/®~2_1)+7,og*®(x-2v/®~2-1) при
х = 2,01.
Вариант №8
1. Вычислите: (log48 6 4- log^ 8 4- 10 j 11 .
о u - log296 log23
2. Найдите значение выражения:
log12 2 log^ 2
3. Вычислите x, если log5 x = 5,ogs 2+logo,310 4- 0,4 • 5log2S 4.
1 1
4. Найдите значение функции f(x) — log2 3 4- 2!s® • 4!s® — log2 384 при
x = 8.
5. Вычислите: lgtgl° • Igtg2° • lgtg3° • ... • lgtg88° • lgtg89°.
6. Вычислите значение выражения &log<* “ — а10®* ь° при a = 2; b = 3.
c?
7. Найдите значение logc 3 4, если logc2 a = logcs 6 = 1.
Qi * 0
16 В4. Тождественные преобразования логарифмических выражений
8. Найдите значение выражения 41о&> (6~ >/^-5)+3б1о®в (з+г v®-5) ПрИХ _ 7
Вариант №9
1. Вычислите: (1g 2 + 3log»7 + 1g 5)1062 3.
<* u - log5250 log5 50
2. Найдите значение выражения: „---„.
log25 log105
3. Найдите значение х, если log3 х — 2log< 9 — 0,5 loga 16 + 5 log216 6.
1
4. Найдите значение функции f(x) = 21og3 7 + 21о8м® — log3147 при
i = 4.
5. Вычислите значение выражения
log7n2 • logn2 + lgn + lg5
log2(n - 4) + log716 P
6. Упростите выражение и вычислите его при а = 0,5; 6 = 3:
/ logs 25 \ 1о8аЬ (2а+ЗЬ)3
I а logs 125 • б10®2* 3 I
7. Найдите значение выражения (2a2 + b — 4)'s^5a ь\ если loga 3 = 2;
log2 6 = 3.
8. Найдите значение выражения 2logl« (®+2-2v,®+i)3 _ giogg (x+w^+i+s)
при x = 0,2.
Вариант № 10
1. Вычислите: (log12 3 4- log12 4 + 7logT 4)Ios® n.
2. Найдите значение выражения: _ М& Т
log28 2 log224 2
3. Вычислите x, если log7 x = 40,5 log4 9-0,5 log2 5 + 0,2 • 3log®4.
4. Найдите значение функции f(x) = log5 2 + 3*8® 2^ - log5 250 при
x = 6.
5. Вычислите значение выражения при х = 30:
log2 х loga х + logs s' loga Д + logs s ' bgs x
log2 2; • log3 x • lng5 ж
В4. Тождественные преобразования выражений, содержащих степень 17
6. Упростите выражение и вычислите его при a = 2; Ъ = 0,01:
/ logioo о logiqo Ь\ 21°gab(q-bb)
IЬ • a j
5 i
7. Найдите значение выражения loge2 -2g , если loge3 b = loge3 - = 1.
8. Найдите значение выражения 51о«25(«-2>/®~1) ПрИ
х = 2,1.
§ 2. В4. Тождественные преобразования
выражений, содержащих степень.
Вариант Ks 1
1. Вычислите: 8з — 250 • 25~В 4- (213)°.
2. Найдите значение выражения при х =
3. Упростите выражение и вычислите его при a = 2: a + a +a .
а-з + 1±^
a
. , Л я 46 — 31 1
4. Найдите значение выражения при о = —9: =— + тч—-т—- + -—
6 — 4 о — Зо — 4 о + 1
5.
Упростите выражение
ba2 + Ь3
a4 — b4
и вычислите его значение,
если a 4- b = 2.
Л и « ж2 + 2у2 4- 2х 4- ху2 । 2 о
6. Найдите значение выражения-----------------, если х 4- у = 3.
ох 4-10
7. Найдите наименьший корень уравнения х5 4- = 8.
2 *7
8. Найдите произведение корней уравнения х = 0.
Вариант К°2
< з _2
1. Вычислите: 42 -18-27 з — 32°.
2. Найдите значение выражения - , если х = \/2 — 1.
18
В4. Тождественные преобразования выражений, содержащих степень
3. Упростите выражение —^=2—j— и вычислите его значение при a = 3.
л 2 с 4-11 3
4. Упростите выражение------- 4- ~--т 4------ и вычислите его
с 4“ 1 6“ Зс 4 с 4
значение при с = 4,5.
2 2 2.4
~ х х у 4- у
5. Упростите выражение + g4 __ ^4 и вычислите его значение,
если — = %.
У 3
х2 4- Зи — Зх — ух
6. Найдите значение выражения---------------, если х = у 4- 5.
7. Найдите наибольший корень уравнения х3 = 4* - 3.
х3 — 2х2 — Зх
8. Найдите корень уравнения-----2—----- = 0 или произведение его
х — Зх
корней, если их несколько.
Вариант №3
2 о
1. Вычислите: 0,001”з + (-3)"2 • 27з - .
\32/ Vo/
2. Найдите значение выражения:
/ /1 \ —4 \ 2
17-(-3)-3+( (±) +3°)-9"1₽ + 1253.
V V Z / J
3. Упростите выражение и вычислите его значение при a — 81:
а2 4- а4 д2 + д4
4. Найдите значение /(1000), если
,. . Л + 1 S3 - 9 М + з) (дб +1)
/(*) = “Г--------т----1---- Л---------------
хб -3 хз -яб 4-1 х з
5. Найдите значение выражения при х = 7:
о 1 г- г- / з
х2 — х2 . ху/х 4- ух 4- х _ ( хз \
3 14- у/х \ 2 /
о(4-г/3)2 _ о19-8>/3
6. Вычислите: -------------------1- 8^ : 23г/5.
22
В4. Тождественные преобразования выражений, содержащих степень 19
7. Вычислите: (4^) •
8. Найдите значение выражения при а = 8: \/a15 : a5v^ -—.
Вариант №4
2~2 + 5°
1. Вычислите: -------------------------7^ + 4,75.
(0,5)-2 - 5 • (-2)(-2) + (
2. Выполните указанную подстановку и вычислите:
329_________________ если ^ + 1
(х + 1)(х - 2)(® + 3)(х - 4)’ 2 '
3. Упростите выражение и вычислите при п — 7,3:
4 _ /2п + 2\2. ( п + 9 . 2п \
1 —п КЗ — n) \п2 + 2п + 1 1— п2/
4. Найдите значение выражения при m = — i; n = 4:
4тп2 + n2\
4m2 — n2 J *
/ 2________6n________4_\ . (
\2m — n 4m2 —n2 2m + n/ \
(a2
+6 +
6. Найдите значение выражения g если 2 = _ 1
x + 2ох у x 2
7. Найдите наибольший корень уравнения
(х2 — 5х + 3) (х2 — 5ж — 5) — 9 = 0.
о и м о 5я2 На;+ 12
о. Найдите сумму корней уравнения -- =---h—-.
х — 3 х — 3
Вариант №5
1. Вычислите: 273 - 320 • 16" 2 + (252)0.
_____________________________2 ^_2
2. Найдите значение выражения -^г : (а2 + Ь2), если а = 2 — у/3;
Q , т а2 + 2 а —а 2 1 — а 2
о. Упростите выражение: —%------j-----+ “Г ZT*
а2 а2 — а 2 а2 + а 2
20
В4. Тождественные преобразования выражений, содержащих степень
4. Найдите значение выражения при a = 5:
(1 1 \
а2 1 а2 - 1 \
“1—:-----т----I * va-
а2 — 1 а2 4-1/
_ о a — Ь (З6)°3
5. Вычислите значение выражения при а =
Ь = 3.
6. Упростите выражение
ние при а = 15.
( а<* 5а°* \
\а0₽ + 5 + а-25У
а \ вычислите его значе-
3 13
_ тт . а2 а2Ь4-Ь2
7. Найдите значение выражения-т—i--—, если
в-аЫ а~ь
у/о> 4“ у/Ъ — 2,3.
а-2 4- а-4 4- а“6
8. Упростите выражение —+ 4- ав— и вычислите его значение при
а"4 = 7.
Вариант №6
з
1. Вычислите: _д
(50)3 • 4 — 27-1з +3-6-81-9"1 + (|) 3
2. Выполните указанную подстановку и вычислите
__________981_________ если а; = ~ 1
(i —2)(х + 3)(х —7)(i + 8)’ 2 ’
3. Упростите выражение и вычислите его значение при тп = —11:
ZM^l.p- + -J- + 2)-n.
2m2 — 4 \m + l 1 — m /
4. Найдите значение выражения при а = —1,4; Ь = 3,5:
( 45_________862 \ 2а6
' (а — 2Ь)2 ’
5. Упростите выражение: +12 + : •
с и . i3 + 3x2y у J
6. Найдите значение выражения -j-—j, если
у д: лу X о
7, Найдите наибольший корень уравнения (х2 — х 4- 8) (ж2 — х—4) = 160.
2Ь ~ а а2 — 4аЬ 4-
В4. Тождественные преобразования выражений, содержащих степень 21
8. Найдите сумму корней уравнения
х2 _ 20 — 3?
х — 4 х — 4’
Вариант №7
1. Вычислите:----—---------s----------i------------гт-
12 • (7°) 4-16“4 - (0,01)“2 - 16 • 2”5 • 64 з
2. Выполните указанную подстановку и вычислите
-----777---------—-----77, если X —
(х - 1)(х 4- 2)(я — 3)(z 4- 4) 2
3. Упростите и вычислите при m = —13 выражение:
________к__й-5.
3 — тпг \т — 1 т4-1 /
4. Найдите значение выражения при a = 0,1; Ь = —2:
( За__________6а2 \ . ab
\2а 4- b Ь2 4- 4ab 4- 4а2/ * (2а 4- Ь)2
- w (х* л . (х 2у\2
5. Упростите выражение: -7—44—7 : I-----------й .
\у* х/ 'У х '
Х^ — 22C2t/2 1
6. Найдите значение выражения 2'~2----3”»если ~ о*
X У У X 2
7. Найдите наименьший корень уравнения
(х2 + х + 1) (х2 + х + 2) — 12 = 0.
8. Найдите сумму корней уравнения _• =
Вариант №8
2. Найдите значение выражен. (j; _ 2)(д _
если х4 = 4.
3. Вычислите значение выражения при т = 2,45; п = 2,55:
(А+А-— ):(Л-4)+—
п2 тп/ \т^ тг/ п + т
22 В 4. Тождественные преобразования выражений, содержащих степень
4. Найдите значение выражения при a = 0,7; b = 0,3:
а2 +Ь2 а-Ь л 11
—У----р ----j—j-------2а 2 Ъ2.
а2 — b2 a — a2b2 4- Ь
5. Упростите выражение: ---------г + —--------г + ----
(а-Ь)(а-с) (b-c)(b-a) (c — a)(c — b)
6. Найдите наибольшее значение отношения если = 2.
х Зх2 + 2у2
7. Найдите наибольший корень уравнения (5х—х2 —4) (х2 —5х+10) =8.
8. Найдите сумму корней уравнения (х — 4)(х — 3)(х + 1)(х + 2) = 24.
Вариант №9
. г. 20
I. Вычислите:----з-----------------------5----.
25"5 + 9 • (7°) - 125-1 + 27 • 9~2 . З2
5
2. Вычислите ——тт, если х = л/б - 2.
\х — 2)(х 4- 1)(х 4- 3)(х 4- 6)
3. Упростите выражение и вычислите его при а = 3; b = 5,5:
а2Ь2 . , X _ _2\ 2Д
а2 — Ь2 ха2 Ь2 аЬ/ а + Ъ'
4. Найдите значение выражения при а = 11 и при а = 4:
г I
( Q~~ 9 . 4-3 А 2 _
\a4-3x/a + 9 ‘ v^3-27/
с w хз +2tyxy + 4yl ( 3ГЛ
5. Упростите выражение: --------2 — .
(V^-8ytyx) : ^у \ V У/
д тт . х о X4 - Зх2у2 + 8у4
6. Найдите значение выражения, если — = 2: —-----з—•
у чсХ у 4" х
7. Найдите произведение всех корней уравнения
(х2 + 2х + 2)(х2 + 2х + 3) = 12.
8. Найдите сумму всех корней уравнения: (х-3)(х-2)(х+1)(х+2) = 21.
Вариант Кг 10
1. Вычислите:
____________________36______________
(80)9 4 - 27-1з + З-8 • 81 • 9~2 +
В4. Тождественные преобразования иррациональных выражений
23
2. Выполните указанную подстановку и вычислите
12 ч/З- 5
----77-----77----г;-----г, еСЛИ X = ..
(х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) 2
3. Упростите и вычислите при тп — 5,1; п — 0,178 выражение:
/ _1___IX . . J____2\ _ 2п
Кт2 п2/ \т2 п2 тп/ п — m
4. Найдите значение выражения при a = 1,1; b = 0,9:
„11 а2 -55 a-b
2а2б2 —j------у ---у—у----.
0,2+b2 a + a2b2+b
5. Упростите выражение: f X . а — Ь
\a + b a-b or —г J a + b
6. Найдите наибольшее значение отношения —, если
У
х2-2ху + йу2 = 1,5.
аг + зг
7. Найдите наименьший корень уравнения
(х2 - Зх + 3) (х2 - Зх + 5) = 3.
8. Найдите сумму корней уравнения (х + 1)(х - 2)(х + 3)(х — 4) = 24.
§ 3. В4. Тождественные преобразования
иррациональных выражений.
Вариант №1
I. Найдите значение выражения х 4- х/я2 — 6я Ч- 9, если х = 2,007.
2. Найдите значение выражения \/(5 — Зя)4 - |3я 4- 4|, если 2 х 3.
3. Упростите выражение (2^/ж — З)6 4- \/25 4- 4я 4- 20^/5 и вычислите
его значение при х = 0,97.
Л V а°’5
Упростите выражение ——- 4- -тек—г и вычислите его значение при
ya — I a ’ 4-1
а = 2.
5. График функции у — ®
(1 - хч/2)6
?—2===г~~Т5‘ пересекается с графиком функ-
нииу = у(х) в точке <7(ч/3; /(ч/З)). Найдите значение/(ч/З).
24
В4. Тождественные преобразования иррациональных выражений
6.
7.
Найдите значение выражения «/х если —-— = —3.
1/ 1) *с 1
Упростите выражение: ( + 1) : - .
\1 — Л / л/О 4“ 1
8. Упростите выражение --------------К~7т' + и найдите
1 4- V о 1 4- оу о 2
его значение при a = 0,25; b = 16.
Вариант №2
1. Найдите значение выражения Зх + \/4ж2 4-4ж4-1, если х = -0,6.
2. Упростите выражение \/2х 4-1 4- я2 4- - 2</1 4-я 4-2 и вычислите
его значение при х = —0,91. ______
3. Найдите значение выражения ^/(3 — ж)6 4- |я — 6|, если 4 х 5.
4. Упростите выражение : и вычислите его
значение при 6 = 3.
5. График функции у = пеРесекается с графиком функ-
ции у = f(x) в точке Л(\/5; /(\/5)). Найдите значение /(\/5).
х2 — Юж 4-25 1
6. Найдите значение выражения * / —-—, если--------- = 3.
у (х-4)2 ж-4
- v А с 4- \/с\ 2
7. Упростите выражение: II-----I : —р
о ,7 ( 2^ж 6 ^4- у/у\/х + у\/х
8. Упростите выражение у—-/= — j--------------------и вы-
числите его значение при х = 8; у = 0,25.
Вариант №3
1. Найдите значение выражения у/х2 4- Юж 4-25 4- у/х2, если х е [—3; 0].
2. Найдите значение выражения ^(ж2 — 1)8 — |8 — ж2|, если ж = 4,28.
3. Упростите выражение (х у/х у/х) 2 и вычислите его значение при
ж = 2.
4. Вычислите значение выражения ecJIH = —5.
I/ 1 2ж 4” x 2x 4~ 3
В4. Тождественные преобразования иррациональных выражений 25
5. Упростите выражение: : + 2J *
6. Найдите /(0,103), если /(х) = \/4х +1 - 4у/х 4- 5/4^4-9 4- 12\/х.
7. Упростите выражение ^±2 : + "Р" « = 1Л-
8. Вычислите:
Лч + 2^.
о — о
Вариант №4
1. Найдите значение выражения
2,3 < х < 2,5.
а/(х - - ^(®-2,8)4, если
у \ 5/
2. Вычислите |3® — 8| + (9ж2 + 6х + 1)6, если —0,2 < х < 2,6.
3. Упростите выражение у/х + 2у/х — 1+у/х — 2у[х — 1 и вычислите его
значение при х = 1,0001.
з
4. Упростите выражение a 4- а^-~ — (2^а)2 и вычислите его
у а — 3 у/a — 3
значение при х = 2,35.
5. График функции у =
пересекается с графиком
функции у = f(x) в точке М (у/2; /(\/2)). Найти f(y/2).
6. Найдите значение выражения____________
1 - У(а:-1)4-(® + 4)2 гу/(х — I)6 (х + 4)8, если х2 + Зх = 6.
7. Упростите выражение:
8. Упростите выражение (х — 16j/) : ( 4- ) 4- §Jy и вычислите
\ VX уУ/
его значение, если х = 2,25; у = 1,21.
Вариант №5
!• Найдите значение выражения >/х2 — 2х + 1 + у/х2 — 4х + 4, если
х = bg2 3.
2. Найдите значение выражения (х2 “ 6ж 4- 9)2 4- (х2 4- 6х 4- 9)2,
если х == sin а.
26
В4. Тождественные преобразования иррациональных выражений
3. Упростите выражение и вычислите его значение при х = ^3:
у/х2 4- 2ж 4-1 + 2yj\x2 — 4ж 4- 4)2 4- yl(ж2 — 2ж 4- 1)3.
4. Упростите выражение ^/(2^/ж — 5)'‘ - З)3 и вычислите его
значение при х = 2.
5. Упростите выражение и вычислите при х = 3 его значение:
у/х — 4у/х 4-4 4- ^/ж ~ 10-у/ж 4- 25
2^5-7
/ 1 1 \ \/х
6. Упростите выражение: [ -7=-—- 4- ——- ) : —*—.
\у/х — 1 у/х 4-1/ 1 — х
I х2__6х I 9 4
7. Найдите значение выражения u —если 7+1 = 3’3'
8. Найдите значение выражения ; (% | при
Vx~Vy \v^y уУ/
х = 0,2; у = 20.
Вариант №6
1. Найдите значение выражения + + 3,8)6, если
-3,7 х < -3,75.
2. Вычислите |5z — 8| + ^/(^i^+Wi + l)3, если —0,1 < х < 1,5.
3. Упростите и вычислите при х — 1,21 значение выражения
\/х + 2\/х — 1 + у/х — 2^/х — 1.
4. Упростите и вычислите при х = 2,13 значение выражения
а: — 4 . у/х + 2 1
х + 2у/х + 4 ' Х2 -8 (4\/Ё)-1 ’
4/(xV5-tf° х х
5. График функции у = —Y .... пересекается с графиком функ-
у (хх/вб —12)7
ции у = f(x) в точке М(^/3; Найдите /(\/3).
6. Найдите значение выражения____________
12 4- г\/(х 4- 2)6 • (ж - 5)4 5 • 1^/(ж4- 2)4 • (ж - 5)6, если ж2 - Зж = 5.
-т v fa\/a + by/b гт\
7„ Упростите выражение: ( — Vab\ • I .
В4. Тождественные преобразования иррациональных выражений
27
8. Упростите выражение и вычислите его значение при a = 0,12; b — 10:
х/д 4~ . I f y/a + x/b\
2by/a ) \ 2ay/b J
a
Вариант №7
1. Найдите значение выражения у (ж~ + \/(х~ 3,9)6, если
3,5 х 3,8.
2. Вычислите |2х — 7| + (4г2 + 4г + 1)4, если —0,3 < х < 2,7.
3. Упростите выражение у/х + 4у/х — 4+ у/х — 4/х — 4 и вычислите его
значение при х = 4,01.
4. Упростите выражение —ж * + Д-i и вычислите
Х"1"уХ"1"1 х * — 1 (у/х)
его значение при х = 1,15.
t/(xy/3-2)S
5. График функции у = -Л — —— пересекается с графиком функции
^/(zV48-8)5
у = f(x) в точке А(у/2\ /(х/2)). Найдите /(\/2).
6. Найдите значение выражения________
3 - у/(х - 2)6(х 4- З)2 • ^/(я + 3)6(х-2)2, если х2 4- х = 7.
7. Упростите выражение: ^у/а —
8. Упростите выражение (—-----------) • -—и вычислите его
\Ь 4- y/ab b — y/ab) ayb
значение при a = 8; b = 1,1.
Вариант №8
1. Найдите значение выражения ^/(5,7 — х)8 + у — ж) ,если
5,5 С х 5,6.
2. Вычислите |я 2| + ^(ж2 — 4х 4- 4)3, если |ж| < 1.
3. Вычислите значение выражения при х = 4,81:
а/х4-5 — Qy/x — 44- \/я4-5 4-6х/ж —4.
28
В4. Тождественные преобразования иррациональных выражений
4. Вычислите значение выражения при х = 0,36:
--------. f ‘x/l 4- ж — \/1 — хЛ
г------__1 \ 1 4- х 4- л/1 -х2 ) ’
у/1 + х
ху/20 — 12
5. График функции у = , пересекается с графиком функции
у (ху/Ь- б)2
у = f(x) в точке A(v7; /(л/7)). Найдите /(л/7).
6. Найдите значение выражения 1 + у/(х- 7)4(я + 2)4, если
х2 - 5i = 13.
J(----") +4+v4““ + 1
у \ х / у X* X
7. Вычислите значение выражения J------——1------------
X “i J.
если 3 < х < 4,9.
л/4а26 4- лАаб2 , д-
8. Упростите выражение: —/==--/ • (у о — у/а).
yaPb — yab3
Вариант №9
/ / yf \ 4
1. Найдите значение выражения у yr — — 1,5)2, если
1,6 < х < 1,7.
2. Вычислите |2,6 — ®| — у/(х — 2,9)3, если 2,7 < х < 3.
3. Вычислите значение выражения при х = 10,3:
у/х — 4 \Лг — 4 — у/х — 3 — 2у/х — 4.
4. Вычислите значение выражения при х = 0,44:
(v^r^+1),
yl(y/Qx-rf
5. График функции у — ---у, ------......пересекается с графиком
s ( 14л/3\5
\ зх )
функции у = /(х) в точке ^(2\/2; /(2\/2)). Найдите значение /(2\/2).
6. Найдите значение выражения___
^/(х 4- 1)5(х — 5)4 • у/(х 4- 1)3(х — 5)4, если х2 — 4х = 4.
В4. Системы уравнений
29
7. Упростите выражение
его значение, если 0 < х < 1.
х2 —1\2
----) +4-
® /
х +1
и вычислите
8. Упростите выражение: (^L _
Вариант №10
1. Найдите значение выражения 1\1(х — 2^) + ^(х — 2,8)10, если
у \ 5/
2,3 х 2,6.
2. Вычислите значение выражения 1х — 3,5| + (9 + 6х + х2)2, если
2,8 < х < 3,2.
3. Упростите выражение и вычислите его значение при х = 3,09:
\/4х —11 — 4у/х~^§ 4- \/4ж — 11 4- 4\/а; — 3.
4. Упростите выражение и вычислите его значение при х = 0,27:
х/1 — Ж2 — 1 ( 1 — 37______, л/1 4- ж \
х \д/1 — я2 4-£ — 1 -/14-х — \/1 — ж /
5. График функции у =
пересекается с графиком функ-
ции у = f(x) в точке А(\/3; /(>/3)). Найдите
6. Найдите значение выражения___________
2 - ^/(ж — 1)2(ж4-4)4 • у/(х 4- 4)2(х — I)4, если х2 4- Зх = 3.
/х \ 2 I
(£=А\ +4 + 1/1 + 4 + 4
_ V \ 2х J У х2 х
>• Упростите выражение —------------—1-----------и вычислите
х — 2
его значение, если — 7 < х < —2,5.
8. Упростите выражение: .’ (v^+ ^)-
a^/a - aVo 4- by/a - Ьу/Ъ
30
В4. Системы уравнений
§ 4. В4. Системы уравнений.
Вариант №1
1. Найдите значение выражения xq + 5х/о» если (ж0; 2/о) — решение систе-
« Г х - у = 1,
мы уравнении j 2У *2у = 18
2. Найдите значение выражения 2а?о + 2/о»если (ж0; 2/о) — решение систе-
в f 51 = 0,24
мы уравнении 2Х_4 = 23|/’+1
3. Найдите значение выражения 2жо — уп, если (z0; 2/о) — решение систе-
- Г logyC^ + у) = l°g7
мы уравнении < 7
4. Найдите значение выражения х0+уо, если (хо; уо) — решение системы
• f 11W = 121,
уравнении |lna; = ln(y + 1)
5. Найдите наибольшее значение выражения если (хо; уо) — решение
Xq
[ 7*2 * * _ 7V-® = о
системы уравнений < . , ’
( lg(z + 4) = Igy.
6. Найдите значение выражения xq • уо, если (хо; уо) — решение системы
о f 2x/z + log73/ = 5,
уравнении^ з^_21о7б7г/ = 4
7. Найдите значение выражения xq—если (х0; Уо) — решение системы
-----= 1,
еу
Vy~x = L
8. Найдите значение выражения yQ—xq, если (жо; уо) — решение системы
в ( у/2х -у = у,
УРавнении|21об2г/ = 1об2(а: + 1).
Вариант №2
1. Найдите значение выражения zq + 2у0, если (х0; уо) — решение си-
. Г З2'®! = 81,
стемы уравнений |lga; = lg(’j/_1)
2. Найдите значение выражения уо—хо, если (гео; уо) — решение системы
. ( х + 2у = 1,
уравнении 5*+1 = 125
В4. Системы уравненйй
31
3. Найдите значение выражения 2жо 4- З3/0, если (хо; з/о) — решение си-
стемы уравнений [ 2"1+4" =6, 1 2 • 4V — 3 • 2-х = 2.
4. Найдите значение выражения xq 4- З3/0, если (гад З/о) — решение си~
стемы уравнений [ 7Ж+2 _ п 1 7З1Л ~ lj __ 7^+1.
5. Найдите значение выражения 2я0 — ад если (ж0; Уо) — решение си-
„ f logo х + log3 у = 1,
стемы уравнении < ~2х — 1
6. Найдите значение выражения яо+ад если (гад з/о)— решение системы
( 2^+у = 22ж~1
Уравнений |iog5(2;c + 3)Liog5(2_,).
7. Найдите значение выражения 2г/о — Згад если (ж0; Уо) — решение си-
„ Г \/2 4 ж = \/1 — у>
стемы уравнении < ^2 _ _ у _ q
8. Найдите значение выражения xq 4- 2з/о, если (гад у$)— решение си-
u Г 2v^e 4- 2 = х 4- з/,
стемы уравнении । 2ж — з/ — 2
Вариант №3
1. Найдите значение выражения xq 4- 2з/о, если (:ад У о) — решение систе-
о f logo х 4- logo у = 3,
мы уравнении < , 2 >
[ log32/-log2z = 1.
2. Найдите значение выражения если Сад з/о) — решение системы
Xq
уравнений (lg£%+"~1) = 21gI'
[ у 4- 2х = 7.
3. Найдите значение выражения 2х0 — уо, если (ж0; Уо) — решение систе-
f о2х _ о2+у о
МЫ уравнений < ’
( х ~ У — о.
4. Найдите значение выражения xq 4-3/0» если (гад Уо) — решение системы
( к2л+4 __ 9З1/+6
Уравнений < Л ’
( х — у — 0.
5. Найдите xq — уо, если (:ад Уо) — решение системы уравнений
I \/^4- з/ — 2,
I х
V 6з . 2з = 144.
32
В4. Системы уравнении
6. Найдите наименьшее значение выражения жо • з/о, если (жо; З/о) — Ре~
„ f 2 log3 х 4- у2 = 9,
шение системы уравнении < — log х — —6
7. Найдите значение выражения х%—уо, если (жо; уо) — решение системы
м f |ж| = 5,
УРавнении| vfe^ = 6.
8. Найдите значение выражения если (я?о; 2/о) — решение системы
Xq
u ( tgx + cosy = 0, rn ,
уравнении 5 _ * _ 3 и x0, y0 e [0; %].
I Z Lg Ж LUo у — О
Вариант №4
1. Найдите значение выражения жо — 2^о, если (жо;?/о)— решение си-
„ ( х — у = 5,
стемы уравнении < 2®+ 2* = 66
2. Найдите значение выражения Зжо — 2т/0,
„ f 271 —9v = 0,
системы уравнении < gliC #
о
3. Найдите значение выражения ^(жо + уо),
лл
„ ( х - у = 8,
системы уравнении | (2х _ у) = 2
4. Найдите значение выражения 4хо — 2уо,
. Г 3х • 2“ = 576,
системы уравнении < (у— х)~ 2
5. Найдите значение выражения — — уо, если (хо; Уо) — решение си-
Ж()
. Г ех2+2 _ ее = о,
стемыуравнении < , . - .
( ln(x3 + jz) = lnx.
6. Найдите значение выражения 4®о — 7j/o, если (xq; jzo) — решение
« ( 3 • ^х — Зу = log3(27x),
системы уравнении |
7. Найдите значение выражения жо — 8уо» если (^о; Уо) — решение си-
если
если
если
(а?о;уо) — решение
(яо;Уо) — решение
(ж0; 2/о) — решение
стемы уравнений
3‘
8. Найдите значение выражения Зж0 + уо, если (жо; уо) — решение си-
В4. Системы уравнений
33
„ Г х — sin у =1, _ / тг тг\
стемыуравнении | 2х _ = ’, если у0 € -).
Вариант №5
1. Найдите значение выражения xq — 4j/0, если (хо; уо) — решение си-
стемы уравнении < 3I _’12
2. Найдите значение выражения 2хо + уо, если (х0; уо) — решение си-
f 4Ж = О 252у
стемы уравнений < 5а._4 J 55у4!3
3. Найдите значение выражения xq • уо, если (хо; Уо) — решение системы
цпавнений / 1о&(2а: “ ») = 1о8з 7>
уравнении^ 2а. + у==1
4. Найдите значение выражения х^-уо, если (хо; уо) — решение системы
„ f 1п(х + 3) = In 2/,
уравнении 13^
5. Найдите наибольшее значение выражения если (хо; уо) — решение
Хо
. ( 5х2 - 5х+у-1 = О,
системы уравнении < , , , «. ’
[ 1пх — 1п(т/ — 1).
6. Найдите значение выражения если (хо; уо)—решение систе-
ме + Уо
« Г logfi У “ = —3,
[ 21og6s/ +Vx = 4.
7. Найдите наибольшее значение выражения Зхо — уо, если (хо; уо) —
( 4*2+3 = t
решение системы уравнений < 4У ’
( + 2/ = 3.
8. Найдите наименьшее значение выражения хо + уо, если (хо; уо) —
Г 2х = 4*
решение системы уравнений < — —5
Вариант №6
I* Найдите значение выражения 5жо — 22/о» если (хо;?/о)— решение
х 4- 2у = 3,
системы уравнений < 52у юг
= 15 • 125.
3х
3 Зак №461
34
В4. Системы уравнений
2. Найдите значение выражения 2?/о + 5ж0, если (жо;2/о) — решение
„ Г 492^ - 7х = О,
системы уравнении < 343Х _ 7 ^2у
3. Найдите значение выражения 2zq — j/о» если (zo; 2/о) — решение си-
стемы уравнений < | х + у = 8, [ log3 (2х + Зу) -• 3.
9
-(хо + Уо), если (х0;у0) — решение
4. Найдите значение выражения
системы уравнений < [ 2х’ = 16, ( log4(6x - 2у)‘ = log4 х.
5. Найдите значение выражения — + уо, если (хо',уо)— решение си-
Xq
стемы уравнений < f е2х3+4 _ е12 = 0> ( 1п(3х2 + у) = Ini.
6. Найдите значение выражения если (zo;j/o)— решение системы
Зг/о
уравнений < ( З^г + Зу = log39x, ( 2^х + 3у — log3 х — 1.
7. Найдите значение выражения 3zo - 2уо, если (zo;3/o)— решение
Г у/2х + у = 3,
системы уравнений 4
8. Найдите значение выражения + уд, если (xq; ?/о) — решение си-
7Г
о f у — sinz = l, Гл I z- D
стемы уравнении < * . ’ при этом яо € [0; Уо € л.
I &у — S1H X — о,
Вариант №7
1. Найдите значение выражения Згго + Уо, если (х0- уо) — решение систе-
' х + у = 2,
мы уравнений < 7» _
3х “
2. Найдите значение выражения хо — Зуо, если (ад Уо) — решение систе-
. Г 27» — 3х = О,
мы уравнении < 81» = 3. з=с
3*
35
В4. Системы уравнений
3. Найдите значение выражения 2жо — 4уо, если (жо; уп) — решение си-
яеМЫ>'1,М"е""Й{ьЬ('зГ+’1,) = 5.
О
4. Найдите значение выражения ^(жо + Уо)» если (жо; уп) — решение си-
f З®2 = 81
стемы уравнений < . ’ л ч
I bg3(5z + 4y) = log3s.
9
5. Найдите значение выражения — +уо, если (жо;^о) — решение системы
Xq
. Г е®2-1 — е3 = О,
УРаВНеНИИ|1п(х3-^) = 1пх.
6. Найдите значение выражения 2®о + Уо, если (хо! Уо) — решение систе-
. Г 2 ^2х + у = log2 4х,
мы уравнении |loVx + ^^_ = 3
7. Найдите значение выражения хо—уо, если (хо; уо) — решение системы
уравнений <
8. Найдите значение выражения xq+уо, если (жо; Уо) — решение системы
- ( 2/ + COSX = 2, , _ Г 7Г тг1
уравнении | ^ + содх = причем х0 е -J.
Вариант №8
1. Найдите 2хо + Зуо, если (хо; уо) — решение системы уравнений
' х — у = 5,
< пх
^7 = 96.
к о*
2. Найдите значение выражения 5Х« — 4^о» если (ж0; уо) — решение си-
{КХ2 4- 71/ = fin
а ’
5х -7У = -38.
3. Найдите значение выражения 2Жо+уо, если (жо; Уо) — решение системы
4. Найдите значение выражения xq • уо, если (жо; уо) — решение системы
Уравнений ( f ‘х, = 4х’. .
I lo&ttxj/) = log4 у - log4 х.
4 Зак №461
36 В4. Системы уравнений
5. Найдите значение выражения уо — 2хо, если (хо; уо) — решение систе-
Г 5* - у = 20,
мы уравнении < _ %
6. Найдите значение выражения 5(х/о — #о), если (х0; уо) — решение си-
стемы равнений I log°-3(a: + 2) + log°-3 2 = 1о8о>з(г/ + 4)1
стемы уравнении | + = Q
7. Найдите значение выражения уо — Зхо, если (хо; Уо) — решение систе-
. ( Jy — х + 2 — 3 = 0,
мы уравнении | V_
8. Найдите значение выражения хо—уо, если (хо; Уо) — решение системы
„ f X- cosy = 2, Гп 1
уравнении | сод _ 1() ихо,у0е[0;4
Вариант №9
1. Найдите значение выражения хо 4- 2г/о, если (хо; з/о) — решение си-
u ( 2х - у = 1,
стемы уравнении < 72а. =’42
2. Найдите значение выражения хо—З/о, если (хо; уъ) — решение системы
„ f х — 2у = 1,
уравнении | зх ^2у =’3б
3. Найдите значение выражения 2(хо 4- З/о)» если (хо; уо) — решение си-
u Г 22х - Зу = 1,
стемы уравнении < 4* Зу _ 7
4. Найдите значение выражения 2хо — Зуо, если (хо; уо) — решение си-
„ Г 5* - 22у = 21,
стемы уравнении < ga. _ 41/+1 = д
5. Найдите значение выражения 4хо — уо, если (хо; з/о) — решение си-
v f log2(x4-22/) = 2,
стемы уравнении < за=
6. Найдите значение выражения хо4-з/о» если (хо; уо) — решение системы
уравнении |log3(x + y) = 1
7. Найдите значение выражения 2j/o ~ Зхо, если (хо; уо) — решение си-
„ Г 2у - y/Зу - 2х = 2,
стемы уравнении < х — i
8. Найдите значение выражения 2хо ~ уе, если (хо; з/о) — решение си-
v f 2у — х = 1,
стемы уравнении < — i
4*
В5. Геометрический смысл производной
37
Вариант №10
1. Найдите значение выражения —Зхо 4- Уо, если (хо; уо) — решение си-
[ х + у = 1,
стемы уравнений < g = 45. 1 5х
2. Найдите значение выражения xQ 4- 2У% если (х0; уо) — решение систе-
{3® _ 2^2 = 20
Зх + 2У2=34.’
3. Найдите значение выражения Зх° 4- 3Vo, если (яо; Уо) — решение си-
стемы уравнений Г 10 • Зу - 3 • З1 = 2, 1 2 • 3х + Зу+1 = 18.
4. Найдите значение выражения 3(хо — Уо), если (^о; Уо) — решение си-
стемы уравнений < ' х3 • у = 2 - у4, logy X + logy у = logy -. 1 У
5. Найдите значение выражения 2?/0 — Зхо, если (хо;уо) — решение си-
стемы уравнений < х + 3» = 10, log3 х + 2 = у.
6. Найдите значение выражения 3(а?о + Уо), если (хо; уо) — решение си-
стемы упявнений / log°>7 У ~ log°-7 4 = +
стемыуравнении | + у) = 3
7. Найдите значение выражения xq—уо, если (хо; Уо) — решение системы
уравнений
Г д/х - у + 3 — 2 = 0,
t у - д/У _ ^ + = -1-
8. Найдите значение выражения хо+уо. если (хо; уо) — решение системы
уравнений
{у + sinx = 6,
2y + sinx -- 12
и х0 € Го; .
L О J
§ 5. В5. Геометрический смысл производной.
Вариант №1
1- Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
У = 2х3 — х в точке xq = —2.
38 В5. Геометрический смысл производной
2. Функция у — f(x) определена на промежутке [—3; 2]. На рисунке 1
изображён график её производной. Определите наибольшую длину про-
межутка, на котором касательная к графику функции имеет отрицатель-
ный угловой коэффициент.
Рис. 1.
3. На рисунке 2 изображён график производной функции у = д(х), кото-
рая определена на отрезке [—4; 4]. Определите длину наибольшего проме-
жутка, на котором тангенс угла наклона касательной к графику функции
у = д(х) принимает положительные значения.
Рис. 2.
4. Найдите угол (в градусах), образованный положительным направле-
нием оси абсцисс и касательной к графику функции у = Зе® - 2х в точке
хо = 0.
5. На рисунке 3 изображена прямая, которая является касательной к гра-
фику функции у = h(x) в точке xq. Определите Л'(хо).
Рис. 3.
В5. Геометрический смысл производной
39
6. На рисунке 4 изображён график производной функции у = /(ж) на про-
межутке (—3; 4). Определите количество касательных к графику функции
у — f(x), угловой коэффициент которых равен 1.
7. Касательная к графику функции у — In ж 4- х параллельна прямой
у = 2х — 3. Определите абсциссу точки касания.
8. Под каким углом пересекаются касательные к графикам функций
у = созх в точке xq = и у = —л/Зсозж в точке xq = ~? Ответ
запишите в градусах.
Вариант №2
1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = х2 4- 2х в точке xq = 3.
2. Функция у = f{x) определена на промежутке [—4; 4]. На рис. 5 изоб-
ражен график её производной. Определите дайну промежутка, на котором
касательная к графику функции у = f(x) имеет положительный угловой
коэффициент.
Рис. 5.
40 В5. Геометрический смысл производной
3. Функция у — f(x) определена на отрезке [—4; 5]. На рис. 6 изображен
график её производной. Определите длину наибольшего промежутка, на
4. Найдите угол (в градусах), образованный осью абсцисс и касательной
6. На рис. 8 изображен график производной функции у = f(x) на отрезке
[—4; 4]. Определите количество касательных к графику функции у = /(х),
угловой коэффициент которых равен —2.
7. Касательная к графику функции у = -4 параллельна прямой
х*
у = —2х 4- 4. Определите абсциссу точки касания.
8. Под каким углом (в градусах) пересекаются касательные к графикам
« « Зх 4-3 п ж3 4- 3 пэ
функции у = —в точке — 2 и у — —в точке хо = —2?
х 9
В5. Теометрический смысл производной
41
Рис. 8.
Вариант №3
1. Прямая, проходящая через начало координат и точку >4(1; 3), касается
графика функции у = f(x) в точке хо = 5. Найдите /'(хо).
2. Касательная к графику функции у — Зх2 - 5х параллельна прямой
у = 7х — 2. Найдите абсциссу точки касания.
4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
У = х 1пх в точке хо = е.
5. Укажите градусную меру угла, образованного положительным направ-
лением оси абсцисс и касательной к графику функции у = х 4- sin3x в
точке х0 = —.
£
6. Функция у = д(х) определена на промежутке [—4; 4]. На рис. 10
изображен график ее производной. Определите наибольшую длину про-
межутка, на которых касательная к графику функции имеет отрицатель-
ный угловой коэффициент.
42
В5. Геометрический смысл производной
1. Укажите дайну промежутка, на котором касательная к графику функ-
ции у = f(x) образует острый угол с положительным направлением оси
Ох, если график производной этой функции, определенной на промежутке
(—2; 5), изображен на рис. 11.
8. Найдите тангенс угла между касательными к графикам функций
у = cos х и у = (2х - х2 4-1)
v 1 ~ я
чения графиков.
которые проведены в точке пересе-
Вариант №4
1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = х4 — 2ж3 4- Зх — 13 в точке xq = —1.
2. Функция y = f(x) определена на промежутке (—6; 9). На рисунке 12
изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой
касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.
3. Функция у = f(x) задана своим графиком на промежутке [—6; 12] (см.
рис. 13). Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их
несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен 0.
В5. Геометрический смысл производной
43
4. Найдите сумму тангенсов углов наклона касательной к параболе
у = 16 — х2 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.
5. Касательные к графику функции у = /(ж) в некоторых четырех точках с
абсциссами жь ж2, изображены на рисунке 14. Определите количе-
ство положительных чисел среди значений производной у == f'(x) в этих
точках.
6. На рисунке 15 изображена касательная к графику нечетной функции
У = f(x) в точке (жо; /(ж0)). Найдите значение у = /'(жо).
44
В5. Геометрический смысл производной
7. Прямая у = 3 — 2х является касательной к графику функции у = х2.
Укажите абсциссу точки касания.
8. Функция у = /(х) определена на промежутке (а;д). На рисунке 16
изображен график ее производной. Укажите количество точек максимума
функции у = f (x) — 2х на промежутке (а; 6).
Вариант №5
1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у — 4х3 4- х + 7 в точке хо — -1.
2. Функция у = f(x) определена на промежутке [—2; 3]. На рис. 17 изоб-
ражен график её производной. Определите наибольшую длину промежут-
ка, на котором касательная к графику функции имеет положительный уг-
ловой коэффициент.
3. На рис. 18 изображен график производной функции у = р(х), которая
определена на интервале (—3; 4). Определите длину наибольшего проме-
жутка, на котором тангенс угла наклона касательной к графику функции
у = д(х) принимает отрицательные значения.
4. Найдите угол (в градусах), образованный с положительным направ-
лением оси Ох и касательной к графику функции у = 2ех — Зх в точке
х0 = 0.
В5. Геометрический смысл производной
45
5. Прямая, изображенная на рис. 19, является графиком производной
6. Парабола, изображенная на рис. 20, является графиком производной
функции у = f(x). Сколько точек экстремума имеет функция у = /(ж) ?
7. К параболе у = 2х2 — 5х 4- 3 через начало координат проведены две
касательные с угловыми коэффициентами fci и Найдите произведе-
ние k1-k2.
8* Прямая, изображенная на рис. 21, является графиком производной
Функции у = /(х). Найдите угловой коэффициент касательной, прове-
янной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой ж0 = —2.
46
В5. Геометрический смысл производной
Рис. 21.
Вариант №6
L Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = ж6 — 2х5 + Зх4 + х2 4- 4х 4- 5 в точке xq = —1.
2. Функция у = fix) определена на промежутке (—4; 6]. На рис. 22
изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой
касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.
3. Функция у = fix) задана своим графиком на промежутке [—8; 4]
(рис. 23). Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их
несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен 0.
В5. Геометрический смысл производной
47
4. Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе
у = х2 — 2х — 3 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.
5. На рис. 24 изображены прямые, которые являются касательными к
графику функции у = /(ж) в точках с абсциссами жь Ж2, хз, Опре-
делите количество неотрицательных чисел среди значений производной
у = f'(x) в этих точках.
6. На рис. 25 изображена прямая, являющаяся касательной к графику
нечетной функции у = /(ж) в точке (жо; /(жо)). Найдите значение произ-
водной функции у = /(ж) в точке — xq.
Т- Касательная к графику функции /(ж) — —2ж — ~~ параллельна пря-
мой у = бж. Найдите /'(жо), где жо < 0.
8. Функция у = /(ж) определена на отрезке [—10; 9]. На рис. 26 изоб-
ражен график ее производной. Укажите число точек максимума функции
У = /(ж) + 2ж на промежутке (—10; 9).
48
В5. Геометрический смысл производной
О'
1
1
и 1 X
Рис. 26.
Вариант №7
1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = х5 4- 2ж3 4 4- х3 4-12 в точке xq = 1.
2. Функция у = /(ж) определена на промежутке (—5; 3). На рисунке 27
изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой
угловой коэффициент касательной к графику функции наименьший.
3. Функция у = /(ж) задана своим графиком на промежутке [а; Ь] (см.
рис. 28). Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их
несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен нулю.
4. Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе
у = х2 — 9 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.
В5. Геометрический смысл производной
49
5. На рисунке 29 изображены прямые, которые являются касательными
к графику функции у = f(x) в некоторых точках с абсциссами xi, ж2, хз,
Х4. Определите количество отрицательных чисел среди значений произ-
водной у = f'(x) в этих точках.
6. На рисунке 30 изображена прямая, являющаяся касательной к графику
четной функции у = /(х) в точке (ж0; /(ято)) • Найдите значение производ-
ной функции у = f(x) в точке -xQ.
Рис. 30.
7. Касательная к графику функции f (х) = х 4- - параллельна прямой
х
У = -Зх. Найдите /'(яо), где xq > 0.
Функция у = f (х) определена на промежутке (—11; 10). На рисунке 31
изображен график ее производной. Укажите число точек минимума функ-
ции у = /(#) _|_ х на этом промежутке.
50
В5. Геометрический смысл производной
Рис. 31.
Вариант №8
1. Найдите угловой коэффициент касательной к параболе
у = х2 — 7х 4-10 в точке с абсциссой xq = 4.
3. Функция задана графиком на промежутке [—5; 5] (см. рис. 33). Ука-
жите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс точек, если таких точек
несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен нулю.
4. Найдите сумму угловых коэффициентов касательных к параболе
у = х2 — 5z 4- 6 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.
В5. Геометрический смысл производной
51
5. На рисунке 34 изображена прямая, являющаяся касательной к гра-
фику нечетной функции у — f(x) в точке (хо;/(хо)). Найдите значение
производной функции у = f(x) при X — —Xq.
Рис. 34.
6. Уравнение касательной к графику функции у = х3 — Зх2 4- 2х 4~ 1 в
точке с абсциссой xq = 1 имеет вид: у = кх 4- Ь, Найдите отношение у.
к
7. Касательные, проведенные к графику функции у =
5х + 2
-—в точках с
Зя+ 4
абсциссами xi и х2, параллельны. Известно, что xi = Найдите х2.
о
8. На оси Оу взята точка А, из нее проведены две касательные к графику
функции у = х2 — 5. Эти касательные образуют между собой угол, рав-
ный 90°. Найдите ординату точки А.
Вариант №9
1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = х3 — 2х 4- 4 в точке х$ — —1.
2. Функция у = f(x) определена на промежутке [—5; 3]. На рис. 35 изоб-
ражен график её производной. Укажите наибольшую длину промежутка,
Рис. 35.
52
В 5. Геометрический смысл производной
3. Функция задана своим графиком на промежутке [—4; 4] (см. рис. 36).
Укажите количество абсцисс точек графика функции, в которых тангенс
угла наклона касательной к оси Ох равен
х/З
3 ’
4. Найдите сумму угловых коэффициентов касательных к кривой
х2 - х - 2 „ _
у =----------в точках пересечения ее с осью Ох.
5. На рис. 37 изображена прямая, которая является касательной к графи-
6. Касательная к графику функции имеет вид у = кх + Ь. Найдите зна-
чение д, если касательная проведена к кривой у = х* — 4г + 2 в точке с
абсциссой Xq = 1.
7. К графику функции у = f(x) (см. рис. 36) проведена касательная в
точке xq = 3. Определите, сколько существует касательных к графику
этой функции (кроме указанной) с тем же угловым коэффициентом.
8. К параболе у = х2—2хвточкех0 = | проведена касательная. Найдите
&
координаты точки (®i; г/i), лежащей на параболе, касательная в которой
перпендикулярна первой касательной. В ответе укажите значение выра-
жения 4(^1 +2/1).
В5. Геометрический смысл производной 53
Вариант №10
1. Найдите угловой коэффициент касательной к параболе у == х2 — 4х 4- 4
в точке хо = 3.
2. Функция у = /(х) определена на промежутке [—4; 4]. На рисунке 38
изображен график её производной. Назовите наибольшую длину проме-
жутка, на котором касательная к графику функции образует с положи-
тельным направлением оси Ох угол больше 45°.
3. Функция задана своим графиком на промежутке [-5; 5] (см. рис. 39).
Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если таких точек
4. Найдите сумму угловых коэффициентов касательных к параболе
у = х2 — 4 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.
5. На рисунке 40 изображена прямая, являющаяся касательной к графику
четной функции у = f (х) в точке (хо; /(хо)) ♦ Найдите значение производ-
ной функции у = /(х) в точке —xq.
Рис. 40.
54
В6. Неравенства.
6. Уравнение касательной имеет вид: у = кх 4- Ь. Найдите Ь, если эта
касательная проведена к графику функции у = х24-3х в точке с абсциссой
xq = 2.
7. Касательные, проведенные к графику функции у = ~~ J в точках х±
х 4- 8
и Х2, — параллельны, xi = —3. Найдите х^.
8. На оси Оу взята точка А, из неё проведены две касательные к графи-
ку функции у = 4 — 2х2. Эти касательные образуют между собой угол,
равный 90°. Найдите ординату точки А.
§ 6. В6. Неравенства.
Вариант №1
1.
Найдите произведение целочисленных решений неравенства | ^0.
х—2
2.
Найдите наименьшее целое решение неравенства
3
2х2 4- х — 6
^0.
Найдите наименьшее целое решение неравенства
Зх 4- 5
1,5Ж
>0.
4. Найдите наименьшее целое решение неравенства
5. Найдите количество целочисленных решений неравенства
х2 — 2х — 8 < q
2х + 3
6. Найдите наибольшее целое решение неравенства
(2х + 1)(х - 3)
7. Найдите наименьшее целое решение неравенства (я 4- 3) • tg2 > 0.
6
8. Найдите количество целочисленных решений неравенства
2 — sin#
Зх 4-4
< 0, удовлетворяющих условию х 4- 5 > 0.
Вариант №2
1. Найдите наибольшее отрицательное решение неравенства
£-±-5>0.
х 4-1
В6, Неравенства.
55
2. Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства
?________> Q.
Зж2 — 5х — 12 ""
3. Найдите наибольшее целое решение неравенства <
4._Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства
л
5. Найдите количество целочисленных решений неравенства
ж2 4- а - 6 < q
2 + Зх ’
6. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства
(2х - 5)(7® + 2)
7. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства
(х - 4) • ctg2 0.
8. Найдите количество целочисленных решений неравенства
1 - > о, удовлетворяющих условию (х — 2) • 2х < 0.
х 4- 8
Вариант №3
2х — 7
1. Найдите сумму целочисленных решений неравенства---—
х 4~ 4
2. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
______4_____«ч. п
15 — 1х — 2®2
3. Найдите произведение целочисленных решений неравенства
3х — о
Т—^>0.
□ — х
4. Найдите количество целочисленных решений неравенства
-^7£>0
6-21 >и‘
5. Найдите количество целочисленных решений неравенства
—+ 3 л
х2 + Зх - 10 °'
56
В6. Неравенства.
6. Найдите произведение целочисленных решений неравенства
----------< о
(2х - 4)(я - 5)
7. Найдите количество неположительных целочисленных решений нера-
венства —> 0.
. 2 7ГХ
sin ——
2
8. Найдите количество целочисленных решений неравенства
* —V— 0, удовлетворяющих условию 3х (ж + 3) > 0.
х — 4
Вариант №4
гг I Q
Найдите сумму целочисленных решений неравенства
х — 2
2. Найдите наибольшее целое решение неравенства —--------7 < 0-
£Х X
3. Найдите произведение целочисленных решений неравенства
2х — 3 < q
2х - 16 ’
4.
Найдите количество целочисленных решений неравенства
log3^
х — 4
5. Найдите количество целочисленных решений неравенства
х2 — Зх + 2 < q
3х+ 1
6. Найдите наименьшее целое решение неравенства
4
(Зх-1)(х + 2)
7. Найдите количество неотрицательных целочисленных решений нера-
венства 4—— < 0.
Sin 7ГХ
8. Найдите количество целочисленных решений неравенства
cos ^,±.,1 > о, удовлетворяющих условию х — 7 < 0.
Вариант №5
1. Найдите сумму целочисленных решений неравенства —-т-:-----0.
\Х4-4) lOggX
В6. Неравенства.
57
2. Найдите произведение целочисленных решений неравенства
5д 4 х > q
log4(x + 4)
9х — 2 • 3х — 3
3. Найдите наибольшее целое решение неравенства------------< 0.
2х + 7
4. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
log2 ж — 4 log2 х + 4 > 0
6 — X
5. Найдите количество целочисленных решений неравенства
4х - 18 • 2х + 32 <0
sin2f
6. Найдите количество целочисленных решений неравенства
8х”1 _ 22®+3 < о, удовлетворяющих условию log03(s + 1,9) < 2.
7. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
2___2х2"Ь2ж—^3
------------ту > 0.
(logi,7 к - i|)
8. Найдите количество целочисленных решений неравенства
Iog3 а;-Ь 2 Iog3 а; — 3 <
2х 4-1
Вариант №6
1. Найдите количество целочисленных решений неравенства
k + 5)logsa: < 0
X - 1 '
2. Найдите произведение целочисленных решений неравенства
- ~~ Ж — 6 < Q
bg3(x +1)
3. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
25* - 3 • 5х - 10 <0
log2z
4* Найдите сумму целочисленных решений неравенства
- 3) - 21og5(a: - 3) + 1 ^ °'
58
В6. Неравенства.
5. Найдите количество целочисленных решений неравенства
25,2 • 5х - 5 - 25х х, Q
6. Найдите количество целочисленных решений неравенства
\х-ЬЗ
- j > 0, удовлетворяющих условию log3(2a; — 1) - 1 0.
7. Найдите количество целочисленных решений неравенства
2х34-4х—10 _д
|log3x2|
8. Найдите количество целочисленных решений неравенства
log2 ж — 4
2s-31 "
Вариант №7
1. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
2ж — 5 д
(ж 4- 6) log2 х
2. Найдите произведение целочисленных решений неравенства
ж2 + ж — 20 < д
log5(s + 3)
3. Найдите наибольшее отрицательное целочисленное решение неравен-
4. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства
log|s-21og3s + l
2х - 5
5. Найдите количество целочисленных решений неравенства
9х - 28 • 3х + 27 < 0
6. Найдите количество целочисленных решений неравенства
4д2я:—3 _ уЗх-Ьб > Q, удовлеТВОрЯЮЩИХ УСЛОВИЮ log2(x — 1) < 4.
дх2—4х—5__1
7. Найдите сумму целочисленных решений неравенства < 0.
(^0,4 kl)
_ , т . . logo X — 2 logo х — 3 л
8. Найдите сумму целых решении неравенства —---------т-=---< 0.
Вб. Неравенства.
59
Вариант №8
1. Найдите сумму неотрицательных целых решений неравенства
log6(3z2-llg-H)-l
- 7 _ 49*-1
2. Найдите количество целочисленных решений неравенства
5ЙГ5 + 3>2|-11.
X2 _ 6я
3. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
4. Найдите количество целочисленных решений неравенства
1 - log3 а/х2 — 1
х2 + х-2 >0-
5. Найдите количество целочисленных решений неравенства
2 + ctg2 22
О Л
|2я + 5| - - 3| - 1
6. Найдите количество целочисленных решений неравенства cos 0,
о
удовлетворяющих условию 18 4- Зя — х2 > 0.
7. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
0,12 • 15* -75 3*+ 5Х~2 - 25
8. Найдите количество целочисленных решений неравенства
(х + 4) login (5 — х)
---------—-------- > 0, удовлетворяющих условию |х + 3| + 2я + 3 > 0.
х— 1
Вариант №9
!• Найдите сумму неотрицательных целых решений неравенства
J°g4(2x2 - Их + 10) - 2 п
' k-2l+1-8 ------<0-
2. Найдите количество целочисленных решений неравенства
94l*+2| 4
94’x+2’“2
3- Найдите сумму целочисленных решений неравенства
125 — 51^-31 Л
^2-------> 0.
Х "Я —6
60
В6. Неравенства.
4. Найдите количество целочисленных решений неравенства
х2 4- 2ж — 8 q
log 1 у/2х2 4- 3 4- 2
2
5. Найдите количество целочисленных решений неравенства
|а: + 2|-|Зх-7| + 3 >0
tg2
ё 8
6. Найдите количество целочисленных решений неравенства ctg О,
5
удовлетворяющих условию х2 — За: — 10 0.
7. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
2 • 4*+1 + 2*+1 - 8” - 16 ч. »
1 — COS —
3
8. Найдите количество целочисленных решений неравенства
г2 _ 9Т _ ] с
=-7~—0, удовлетворяющих условию Зх — 5 — lx — II > 0.
log7(x +1)
Вариант №10
1. Найдите сумму положительных целых решений неравенства
log5(2a:2-9a:-2)-l
62х - 36 ’
2. Найдите наименьшее целое решение неравенства
(75)'/’5ГЗ------2 . 2- 3.
3. Найдите сумму всех целочисленных решений неравенства
3?~2|~27 <0.
х2 4- 2х — 35
4. Найдите сумму всех целочисленных решений неравенства
х2 4- 9х 4- 8 > q
1 - log6 1ж “ 41
5. Найдите произведение целочисленных решений неравенства ,
|2х — 3| — |3х 4-6| — 2 Q
tg2^+4
о
В7. Иррациональные уравнения
61
6. Найдите количество целочисленных решений неравенства----О,
. тгж
sin ——
4
удовлетворяющих условию х2 4- х — 20 0.
7. Найдите сумму целочисленных решений неравенства
1,5 ♦ 6я - 4 • Зя+Х - 3 - 2я"1 4-12 <0
ctg2--4-3
а
8. Найдите количество целочисленных решений неравенства
(х — 3)
----А:----т---тг о, удовлетворяющих условию |2ж 4- 5| 4- Зх < 7.
(х - 1) 10g4(z 4- 4)
§ 7. В7. Иррациональные уравнения.
Вариант №1
1. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
х/15 — 2х = х.
2. Найдите произведение всех значений ж, при которых значение функции
у = \/7 4-я — 2 равно значению функции у = 7 — у/х — 2.
3. Сколько корней имеет уравнение а/(23 —ж)2 4- 9 = Зх?
4. Найдите среднее арифметическое корней уравнения
(ж 4- 2) • у/х — х2 = 0.
5. Найдите наибольший корень уравнения 2у/х — 7 tyx 4- 3 = 0.
6. Найдите наименьший корень уравнения (2я”3 — 16) у/4 — х = 0.
7. Решите уравнение \/4 — у/х2 4- 2ж 4- 1 = — 1 и определите, сколько
корней принадлежит промежутку [—6; 5).
8. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: 3 - /log i (ж 4-2) 4-11 = 0.
Вариант №2
I- Найдите корень уравнения или сумму корней, если их несколько:
— 1 = 2 — х.
2. Найдите значение х или произведение всех значений, если их несколь-
ко, при которых значение функции у = у/х+ 2 4-1 равно значению функ-
У = у/х- 1 + 2.
Сколько корней имеет уравнение ^/(18 4- ж)2 4- 2 = х?
62
В7. Иррациональные уравнения
8.
4. Найдите среднее арифметическое корней уравнения
(х — 1) Уж1 2 — Зх = 0.
5. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: Зх = 2у/х 4- 8.
6. Найдите наибольший корень уравнения 31-х • л/4 — х2 = 0.
7. Решите уравнение у 2 — Уж2 4- 4ж 4- 4 = — 1 и определите, сколько
корней принадлежит отрезку [~5; 5].
8. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
4 ~ yiog2(x2 4- Зж) 4-14 — 0.
Вариант №3
I. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: \/Зж2 — ж — 2 = х — 1. ______ ___________
2. Найдите сумму корней уравнения у^(ж4“5)2 = Зу/\х — 7)2, принадле-
жащих промежутку [—13; 13].
3. Найдите произведение корней уравнения
2х2 + 2х + 3 Ji2 + х + | = li
у лС jw
4. Найдите произведение различных корней уравнения
(6 - X2 - х) • Мт2-81 = 0.
5. Найдите наименьший корень уравнения fyx — 2 = v^llrr — Зх2 — 5.
6. Найдите значение выражения Зжо — 5, где жо — наибольший корень
уравнения Уж 4- 5 4-3 = 7— у/х — 3.
7. Решите уравнение 19 tyx 4- 2 tyx — 10 = 0 и укажите, сколько корней
принадлежит отрезку Г—10; ~|.
L л J
Укажите, сколько корней имеет уравнение У5Х+3 4 — 25 • |ж2 — 6ж| =0.
Вариант №4
Найдите наибольший корень уравнения х 4-1 = у/7х — 5.
Найдите сумму значений всех х, при которых значение функции
1.
2.
у = 2ж + 1 равно значению функции у = у/4х 4- \/72ж2 4-1.
3. Сколько корней имеет уравнение
4 14“ V 5 — х
4. Найдите корень уравнения или среднее арифметическое его корней,
если их несколько: xy/S - 2х - 7у"8 — 2х = 0.
В7. Иррациональные уравнения 63
5. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
11 §[х ___________
несколько: V? = 3.
фх + v®
6. Найдите сумму корней уравнения (х2 — 16) • л/12 4- 4х — х2 == 0.
7. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: (9 ~ х)(х — 10) — (-/9 — х)2.
8. Найдите корень уравнения или наименьший корень, если их несколько:
х + ^/зх + х + усх-з)2 = 2.
Вариант №5
1. Найдите корень уравнения у/х 4- 0,5 = у/х 4- 0,5.
2. Решите уравнение и найдите среднее арифметическое его корней:
/х4-7 = ^х 4- 3.
3. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
/ —~ — у/2х 4- 6 — (х 4- 3).
/2x4-6 v 7
3
4. Решите уравнение: у/2х - 3 4- 2 = -ц;--. В ответе укажите сумму
v 2х — 3
квадратов его корней.
5. Найдите произведение корней уравнения -/2x4-3 • \/1 ~х ~ х 4- 3.
6. Найдите модуль разности корней уравнения
(у/х - 2)2 - 3(у/х — 2) + 2 — 0.
7. Найдите сумму корней уравнения (х2 — 5х — б) • /х2 4- 5х — 6 = 0.
8. Решите уравнение: у 8 4- /х2 4- 48 = х.
Вариант №6
I- Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: /З- 2х = 2х - 1.
2* Найдите сумму значений всех х, при которых значение функции
У = у/бх 4- /8х2 4-1 равно значению функции у = Зх 4-1.
3- Сколько корней имеет уравнение --у...±.5?
2 -j- у х -j- 5 3
Найдите корень уравнения или среднее арифметическое его корней,
если их несколько: 4л/2х - 8 + ху/ЧР — 8 = 0.
64
В7. Иррациональные уравнения
I /д»
5. Найдите наименьший корень уравнения Y = 3.
\/Х — уж
6. Найдите сумму корней уравнения (ж2 — 1б)\/ж2 +4ж — 5 = 0.
7. Найдите наименьший корень уравнения: (ж 4- 6)(ж 4- 7) = (\/ж4-б)6.
8. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
5 4- х/ 2 \/х2 — 6ж 4- 9 = ж.
Вариант №7
1. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: уТ- Зж = 3 4- х.
2. Найдите сумму значений всех ж, при которых значение функции
у = \/2ж 4~ \/бж2 4-1 равно значению функции у = ж 4-1.
3. Сколько корней имеет уравнение
4. Найдите корень уравнения или среднее арифметическое его корней,
если их несколько: 5^3® — 9 4- ж>/3* — 9 — 0.
5. Найдите наименьший корень уравнения = 2.
уж — уж
6. Найдите сумму корней уравнения (ж2 — 9) • \/х2 4- Зж — 10 = 0.
7. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: (ж - 7)(ж 4-1) = (\/ж — 7)2.
8. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
3 4- у^7 — у7ж2 — 4ж 4- 4= = ж.
Вариант №8
1. Найдите сумму всех вещественных корней уравнения
ж2 — Зж 4- 7 = х/21 4- 6ж - 2ж2. ____________________
2. При каком значении ж значение функции у = у 13 log| ж 4- 71og3 ж 4-1
не больше и не меньше значения функции у = 4 log3 ж 4-1?
3. Найдите среднее арифметическое корней уравнения
/ 2ж2 /Зж4-2 __ о
у Зх + 2 + у 2та ~
4. Сколько корней имеет уравнение л/2ж2 - 1 = у/х2 — ж 4-1?
5. Найдите сумму всех значений ж, удовлетворяющих условию
- 8у<т2 4' 11 4- 33.
В7. Иррациональные уравнения
65
6. Найдите произведение корней уравнения
(Зх - 12)>/Зх2 - Юж + 3 - 0.
7. Найдите число корней уравнения (1 — 2 cos21)« М -i2 = 0.
V
8. Решите уравнение: у/х2 - 5я + 6 = —2|х — 3|. Если уравнение имеет
несколько корней, то в ответе запишите их сумму.
Вариант №9
1. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
у/х2 Л-х — 2! = Зх — 4.
2. Найдите наименьший корень уравнения V32x — 8 = 3x+1 - 3х - 5.
3. Сколько корней имеет уравнение
4 _ л/х +
г + л/яН7! 2
4. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
(х — 2)у/х2 — 5я4-4 = 0.
5. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: у/2х2 4-1 = х2 — 1.
6. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
4- 3 — у/7 — х = 2.
7. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: у/х2 - 9 4- tyx2 — 9 ~ 2.
8. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
а/х2~2ж4-10= |2х + 1|.
' Вариант №10
1. Найдите произведение всех вещественных корней уравнения
х2 - 4х - 6 = ?2я2 - 8я 4-12.
2. При каком значении х значение функции у — ^/log2 ж 4- 5 не больше и
не меньше значения функции у = 2 log2 х — 1?
3. Найдите среднее арифметическое корней уравнения
А . 2х 4- 1 _ 5
у2® + 1 у 2х ~2
4. Сколько корней имеет уравнение у/2х2 — 5х 4-1 == \/х2 — ’2х - 1?
5. Найдите произведение всех значений х, удовлетворяющих условию
>/& + 32 = 2 у'х2 + 32 + 3. _________
6. Найдите сумму корней уравнения (6ж — 5)-/2х2 -- 5х + 2 = 0.
5 Зак № 461
66 В7. Тригонометрические уравнения
———————————————————------------------Г— — ---------------------
7. Найдите число корней уравнения (sin2 х — cos2 х)д/2 — х2 = 0.
8. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
л/8 — х — |х — 2|.
§ 8. В7. Тригонометрические уравнения.
Вариант №1
1. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения (в градусах)
sin Зх • cos 5х — cos Зх • sin 5х = 0,5.
2. Найдите количество различных значений аргумента х е [30°; 270°), при
которых /(х) — 0, если /(х) — 2 sin2 х 4- sin х — 1.
3. Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах)
\/3sinx = — cosx.
4. Найдите сумму корней уравнения (в градусах) 5/3sin2x 4- cos2x == 2,
принадлежащих промежутку (—180°; 270°).
5. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения (в градусах) cos 2х • (tg 2х + 1) =; 0.
6. Найдите количество положительных корней уравнения
i/Зтг — 2х • (tgx - \/3) = 0.
7. Сколько корней уравнения cos 2х 4- cos 6х = 0 принадлежит промежут-
ку [-180°; 180°]?
8. Пусть хо — наибольший отрицательный корень уравнения
sin2 х 4- 4sinх • cosx — 5cos2x = 0. Найдите tgxo-
Вариант №2
1. Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах)
cos Зх cos х — sin х sin Зх = 1.
2. Найдите количество корней уравнения 3 cos3 х — 4 cos х 4-1 = 0, при-
надлежащих отрезку [-180°; 270°].
3. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения (в градусах)
\/3cosx = sinx.
4. Найдите сумму (в градусах) всех корней уравнения sin 5х 4- cos 5х = 1,
принадлежащих промежутку [—90°; 150°].
5. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения (в градусах) sin
5*
В7. Тригонометрические уравнения
67
6. Найдите количество корней уравнения И) — х2
7. Сколько корней уравнения sin Зх—sin 5х == 0 принадлежит промежутку
(-90°; 180°]?
8. Пусть хо —наименьший корень уравнения
3sin2x + 5sinxcosx —2cos2x =
1, принадлежащий интервалу
Найдите tgx0.
Вариант №3
1. Найдите число корней уравнения
cosx - log5 (4 - х2) = 0.
2. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения (в градусах)
cos Зх cos 2х = sin Зх sin 2х.
3. Найдите сумму корней уравнения (в градусах) tgx(cos 7х + 5) = 0 на
промежутке [—360° ;0°).
4. Укажите число корней уравнения sin2x+3cosx+3 = 0 на промежутке
[—Зтг; тг].
5. Найдите сумму корней уравнения (в градусах):
log2 2 sin х + log2 cos x = 0, принадлежащих отрезку [0; 180].
6. Сколько корней имеет уравнение sin2x — 3sin2x — 7cos2x = 0 на
промежутке 2яг) ?
7. Найдите наименьший неотрицательный корень (в градусах) уравнения
ctg2xsinx = 0.
8. Вычислите сумму отрицательных корней уравнения
(cos3 Зх + cos Зх) х/90° 4- х = 0.
6 Зак № 461
68 В7. Тригонометрические уравнения
Вариант №4
1. Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах)
зтбж = -\/3sin3x.
2. Найдите количество различных значений аргумента х е (0;2тг), при
которых значение функции /(х) = cos3 х—2 cos2 х равно значению функ-
ции д(х) = Зсозж.
3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего корней уравнения (в гра-
дусах) sin4z + cos2:r = 0, принадлежащих промежутку (—180°; 90°).
4. Решите уравнение: 5 4- cos2 2тгх = 5 — (4ж 4-1)2. В ответе запишите
абсолютную величину наименьшего корня этого уравнения.
5. Найдите наименьший положительный корень (в градусах) уравнения
2 cos ж 4-1 ___ q
2 sin а; — у/З
6. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения (в градусах) sin 2х cos 2х = -
7. При каком х значение функции у = 3 - sin2 равно значению
функции у = у/9 4- (5х — 12)2?
8. Пусть я?о — наименьший положительный корень уравнения
sin2 х — 3 sin х cos х 4- 2 cos2 х = 0. Найдите tgxq.
Вариант №5
1. Найдите количество корней уравнения 1 — tg2 х = 0, принадлежащих
промежутку [0°; 360°].
2. Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах)
sin2 х — 2 sin х — 3 = 0.
3. Найдите сумму всех корней уравнения (в градусах), принадлежащих
промежутку [0°; 360°]: sin х cos х — sin2 х 4- sin х — cos х = 0.
4. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения (в градусах)
sin 2х = sin х.
5. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения (в градусах) sin 2х 4- cos 2х = у/2.
6. Пусть яо —наибольший отрицательный корень уравнения
sin2 х 4- 2 sin х cos х — 3 cos2 х = 0. Найдите tg xq.
7. Найдите количество корней уравнения (1 4- tgx) cosx = 0, принадле-
жащих промежутку [—360°; 360°].
бл
В7. Тригонометрические уравнения 69
.——- ............................................. ' ~
8. Найдите среднее арифметическое наименьшего положительного и наи-
большего отрицательного корней уравнения (в градусах)
. X I X , • X X 1
sin | + cos - + sin - cos - = 1.
z z z z
Вариант №6
1. Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах)
sin 6а; - sin Зх — 0.
2. Найдите количество различных значений аргумента хе (0;2тг], при
которых значение функции f(x) = cos5 х равно значению функции
д(х) = 7 cos4 х + 8 cos3 х.
3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего корней уравнения (в гра-
дусах) sin 2а; — x/2cos:e = 0, принадлежащих промежутку [-90°; 270°].
4. Решите уравнение: (\/7 — cos Зтга;) (\/7 4- cos Зтга;) = 7 4- (4а; — 2)2. В
ответе запишите наибольший по абсолютной величине корень этого урав-
нения.
5. Найдите (в градусах) наименьший положительный корень уравнения
2 cos а; — 1 _ q
2sina;4-\/3
6. Найдите (в градусах) сумму наименьшего положительного и наиболь-
шего отрицательного корней уравнения cos 4а; sin 4а; =
z
7. При каких х значение функции у = д/49 — (Зх — 6)2 равно значению
функции у = cos — 4- 7?
4
8. Пусть xq — наименьший положительный корень уравнения
9 cos2 х 4- 7 cos х sin х — 1 = 0. Найдите tgxo-
Вариант №7
1. Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах)
sin 4х — sin 2х = 0.
2- Найдите количество различных значений аргумента х е (0; 2тг), при
которых значение функции f(x) = cos3 х равно значению функции
з COs2 х — 2 cos х.
3* Найдите сумму наибольшего и наименьшего корней уравнения (в гра-
усах) sin 2а; 4- a/Jcose = 0, принадлежащих промежутку (-180°; 360°).
70
В7. Тригонометрические уравнения
4. Решите уравнение: (\/3 - 8ш2тгж) (\/3 4- 8ш2тгж) = 3 4- (2х — I)2. В
ответе запишите наименьший по абсолютной величине корень этого урав-
нения.
5. Найдите наименьший положительный корень (в градусах) уравнения
2 sin re — 1 _ q
2 cos ж — у/3
6. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения cos2 Зх = 0,5.
7. При каких х значение функции у — а/25 — (4ж — 9)2 равно значению
функции у = sin2 4- 5?
о
8. Пусть хо — наименьший положительный корень уравнения
7 cos2 х 4- 5 cos х sin х — 1 = 0. Найдите tg xq.
Вариант №8
1. Найдите наименьший корень уравнения эштгж 4- соз2тгж = 0, принад-
лежащий отрезку [0; 2].
2. Найдите количество различных значений х е (0; яг), при которых зна-
чение функции /(ж) = 4 sin4 х — 1 равно значению функции д(х) = cos 2ж.
3. Найдите сумму корней уравнения (в градусах) 3 cos х — 2 sin2 х = 0,
принадлежащих отрезку [0°; 500°].
4. Сколько корней уравнения эш2ж — 1 = 2 sin я — cos ж не принадлежат
множеству (—оо; —2тг) U [0; тг) U [2тг; 4-оо)?
5. Найдите число корней уравнения tg 5ж • cos Юге — sin Юж = sin Зх на
промежутке
6. Сколько корней имеет уравнение (sin ж — 1 — cos2 ж)\/25 — х2 = 0?
7. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения 4 cos х • cos 2х = 1.
8. Пусть жо — наименьший положительный корень уравнения
2 sin2 ж — sin 2ж — cos 2ж = 0. Найдите tg жо.
Вариант №9
1. Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах)
cos ж = —
Г_7Т. Зтг\
15’5/
&7. Логарифмические уравнения
71
2. Найдите количество различных корней уравнения sin3 х — sin х = О,
принадлежащих промежутку [0; 2тг].
3. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения (в градусах)
sin х = \/3 cos х.
4. Найдите сумму всех корней (в градусах) уравнения sin Зя 4- cos Зя = 1
на отрезке 10; 1.
L Z J
5. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения (в градусах) cos2 я — sin я 4- 1 = 0.
6. Сколько корней имеет уравнение л/1 — я2 • (sin я + cos я) = 0?
7. Найдите сумму корней (в градусах) уравнения cos я cos Зя =
-1 при-
надлежащих отрезку [0°; 180°].
8. Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах)
2 cos2 я — 4зшясо8я + 1 = 0.
Вариант №10
1. Найдите наибольший корень уравнения соз2я — cos я = 0, принадле-
жащий отрезку [—2тг; 0].
2. Найдите количество различных значений я € (0; 2тг), при которых зна-
чение функции /(я) = 12 cos4 я — 3 равно значению функции
д(х) = cos 2я.
3. Найдите сумму корней уравнения (в градусах) cos 2я 4- 9 sin я 4- 4 = 0,
принадлежащих отрезку [—360°; 180°].
4. Сколько корней уравнения sin 2я + 2 cos я = sin я + 1 не принадлежат
множеству (—оо; -тг] U (о; U +оо) ?
5* Найдите число корней уравнения зшбя 4- ctg3:r • созбя = cos Зя на
промежутке ; 2ttJ .
6- Сколько корней имеет уравнение (cos я — 1 — sin2 я)\/3 —я2 = 0?
7. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения sin я • sin Зя = 0,5.
Пусть я0 — наибольший отрицательный корень уравнения
cos 2я + 5 sin я cos я 4- 5 cos2 я = 0. Найдите ctg яо.
72 В7. Логарифмические уравнения
§ 9. В7. Логарифмические уравнения.
Вариант Кг 1
1. Найдите произведение корней уравнения 5log2B 9 = log2 (х2 + 2х).
2.
Найдите наименьший корень уравнения
3. Сколько корней имеет уравнение log*, х 4- log^ (ж 4-5) — log^ (7—х) = О?
4. Решите уравнение: logx 5 (ж —1)4-log 2 (2х — 3) = 1. Если корней боль-
’ з
ше одного, то в ответе запишите их сумму.
5. Найдите наибольший корень уравнения 2 log9 х = 2 — 3 log9 х.
6. Укажите сумму корней уравнения
log3 log2 (2х+3) + log3lg(0,l2x-1) = 1.
5 4
7. Найдите произведение корней уравнения ;=—- 4-;---------= 3.
log2 х 4- 3 log2 х
8. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
х • 1п(ж — 5) = 0.
Вариант №2
log X 4
1. Решите уравнение: log3 (ж2 4- Зж) = 7 7 . В ответе запишите корень
уравнения или сумму корней, если их несколько.
2. Решите уравнение: log2 ~ М + к^2ж = 0-
В ответ запишите наименьший корень этого уравнения.
3. Сколько корней имеет уравнение
log7fc 4-1) - log7(7 - ж) 4- log7fc + 2) = 0?
4. Решите уравнение: log 5 (ж 4- 3) 4- к^Од(2ж — 1) = 1. В ответе запишите
корень уравнения или произведение его корней, если их несколько.
5. Найдите наибольший корень уравнения 3 log8 ж 4- 5 log8 ж = 2.
6. Найдите среднее арифметическое корней уравнения
log4 log3 3*+2 + log4 log2 44“* = 2.
6 5
7. Решите уравнение ------------— ------- = 1. В ответе запишите
14- log2 ж 3 4- Jog2 ж
корень уравнения или произведение его корней, если их несколько.
8. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
5/2ж2 4- 5ж 4- 2 • ^(ж 4'1) — 0.
В?. Логарифмические уравнения 73
Вариант №3
1. Укажите наименьший корень уравнения 21og4 ж — log4 ж13 — 7.
2. Найдите корень уравнения log5 log i log9 x = 0.
2
3. Найдите сумму корней уравнения Igx + lg(4x — 1) = 1g (5ж - 2).
4. Сколько корней имеет уравнение log8 (Зж - 5) = | - log8 ж?
о
5, Укажите наименьший корень уравнения 2 log5 cos х — log02 4, принад-
лежащий промежутку [—90°;90°].
6. Найдите сумму корней уравнения 1g (ж — 9) = 1 -Igx.
7. Найдите произведение корней уравнения V5x — х2 • In (х — 1) = 0.
8. Найдите наименьший корень уравнения log3 З3®+5 + 5Iog6 (7®-5) = х2.
Вариант №4
(. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
In (5-х) = 1п-^-.
2. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: lg(x +1,4) = 1g 6 — lg5x.
„ г . 1QOg4x2-4x+i). (д- _ 25)
3. Сколько корней имеет уравнение -------—;--->------L = 0?
2 1о§5 X
4. Найдите корень уравнения или среднее арифметическое его корней, ес-
ли их несколько: log3 (3® — 3\/3) + log3 (3® + Зу^З) = log3 (6 • 3®).
5. Найдите произведение корней уравнения
52(iog2 х)а _ 26.5(iog2 *)2 + 25 = 0.
6. Укажите наименьший корень уравнения 3 log4 х — х log4 х = х — 3.
7. Решите уравнение /(х) = -I- 2), если /(х) = logi (6х — 1).
8. Найдите среднее арифметическое корней уравнения
(х2 - 49) log5 (6 - х) = 0.
Вариант №5
!• Найдите сумму корней уравнения log2 (х2 + 3) — log2 х = 2.
2. Решите уравнение: log5x - = —
X о
Найдите произведение корней уравнения
42(x-2)2 + log2|x-2| = 6.
• Решите уравнение: log2 х + log2 у/х + log2 %/х = 5,5.
74
В7. Логарифмические уравнения
5. Найдите нецелый корень уравнения 2 log5 (2я + 3) = 1 + log5 (2я 4-1,8).
6. Найдите сумму квадратов корней уравнения
log^2 X + 3 log2 X + logl X = 2.
_ т. „ . 3 log, х log, x — 2
7. Найдите наименьшим корень уравнения --——- = —г4 5------•
log2a:-l log2z
8. Найдите произведение корней уравнения 4 logx 3 — 3 log3x 3 = 1.
Вариант №6
12
1. Найдите сумму корней уравнения In------ = 1п(ж 4- 6).
х 4- 2
2. Найдите произведение корней уравнения lnf-4-ж) = In - 4- In -.
\5 / 5 х
3. Сколько корней имеет уравнение
9lQg2 ((s+4)(x+ll)) . _ 9) . (x2 _ 16) _ o?
2 — log3 x
4. Решите уравнение: log3(5x — 5) = log3 (24 • 5х) - log3 (5х 4- 5). Если
корней больше одного, то в ответе запишите их среднее арифметическое.
5. Найдите произведение целых корней уравнения
321og^ _ g2.31og|x + 81 = 0.
6. Укажите больший корень уравнения х log3 х — 2 log3 х = х — 2.
7. Решите уравнение /(ш) = + 1)» если /(ж) = log6(3x). Если
корней больше одного, то в ответе запишите их среднее арифметическое.
8. Найдите сумму корней уравнения (х 4- 2) log4(x — 3) = 0.
Вариант №7
о
1. Найдите сумму корней уравнения In----- = In (х 4- 4).
х 4- 2
2. Найдите произведение корней уравнения lg Q 4- я) = 1g | - 1g х.
w 5log6 ((*-6)(-х+8)) . _ 7)
3. Сколько корней имеет уравнение------>---------------- = О?
4. Решите уравнение: log2 (2х — 4) 4- log2 (2х 4- 4) = log2 (6 • 2х). Если
корней больше одного, то в ответе запишите их среднее арифметическое.
5. Найдите произведение корней уравнения
22(iog5 х)3 _ 15.2(iog5 *)2 - 16 = 0.
В7. Логарифмические уравнения
75
6. Укажите наименьший корень уравнения х log2 х 4- log2 х = х 4- 1.
7. Решите уравнение /(ж) = + з), если /(ж) = log5 4ж. Если корней
больше одного, то в ответе запишите их среднее арифметическое.
8. Найдите сумму корней уравнения (ж — 3) к^3(ж — 7) — 0.
Вариант №8
1. Найдите корень уравнения log^ 81 4- log3a.27 = 2, принадлежащий
отрезку [2тг; 10].
n U- - 2 1^4(ж4-1)4
2. Найдите наименьший корень уравнения ------— = —-г-—
log4^4-l) 0,5
3. Решите уравнение: In 4-2ж—ю) = ж (In яг—1). Если корней больше
одного, то в ответе запишите их сумму.
4. Найдите сумму корней уравнения 52^Iog5 х^2 4- 5^logs х)2 — 2 = 0.
5. Найдите произведение корней уравнения 3^(4ж2) — 21g2 (—2ж) = 4.
6. При каком целом ж значение функции у = 0,5 • (ж 4- 3)lg(x+3) равно 5?
7. Найдите значение Зжо, если жо — наименьший корень уравнения
/(®) = /(| + 1). где /(ж) = log3(z2 + 2).
8. Найдите сумму корней уравнения (4ж 4- 3) log3(4x 4- 5) = 0.
Вариант №9
1. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
!оё3(ж2 - 2) = к^3(4ж 4- 3).
9 и - « к^4(ж4-2) 2
Найдите наименьший корень уравнения----------- = ------—т.
2 log4 (ж 4- 2)
7log49(2z-l)/7 _ дЛ
3. Сколько корней имеет уравнение ---——j—- = 0?
4. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: ж2 log5 ж 4- 4 = 41og5 ж 4- х2.
5- Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: З2 log3х - 3Iog3® = 6.
в- Решите уравнение: (2ж 4- l)log2 (2l+1) = 16. В ответе запишите корень
Уравнения или сумму его корней, если их несколько.
76
В7. Показательные уравнения
7. Решите уравнение: f(x) = f (ж2 — 2), если /(ж) = log5(2z — 3). В
ответе запишите корень уравнения или произведение его корней, если их
несколько.
8. Решите уравнение: (ж2 - ж — 12) log0^(2 — ж) = 0. В ответе запишите
корень уравнения или сумму его корней, если их несколько.
Вариант № 10
1. Выберите корень уравнения loga.216 + log2a. 64 = 3, принадлежащий
отрезку [тг; 7].
о о - - log2(z + 3) з
2. Найдите наибольший корень уравнения —---------- = ——2.
3. Решите уравнение: 1g (2х + ж — 13) = ж — ж 1g 5. Если корней больше
одного, то в ответе запишите их произведение.
4. Найдите произведение корней уравнения
72(!og3 х)2 _ g . ?(log3 х)2 _|_ 7 _ о
5. Найдите сумму корней уравнения 21g ж2 — 1g2(-ж) = 4.
6. При каком целом ж значение функции у = (ж + 5)log7(x+5) равно 7?
7. Решите уравнение /(ж) = /(2 + 5)> если ~ Ьб2(8ж ~ 2). Если
корней больше одного, то в ответе запишите их произведение.
8. Найдите сумму корней уравнения (6ж — 5) • к^2(2ж - 2) = 0.
§ 10. В7. Показательные уравнения.
Вариант №1
I. Пусть жо — корень уравнения ^25® • (0,2)х+2 = 1. Найдите значение
выражения (0,5)Жо.
2. Решите уравнение: “ Зх~6 = 180. Если корней больше одного, то
в ответе запишите их сумму.
3. Найдите сумму корней уравнения 54х+1 + 4 • 52® = 1.
4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций
у = 27« 3® - 7х+1 пу = 5 • 7х — 3х.
/ 2\1)(®+2) . _.о
5. Найдите произведение корней уравнения (1-1 = (3,4v 2) .
07. Показательные уравнения
77
6. Найдите значение х, при котором f(x) = 0, если
f(z) = Зх+9 • 54х - 152х+6.
7, Решите уравнение: б1-х-2х2 = б2®2"1"® — 5. В ответе запишите корень
уравнения или сумму его корней, если их несколько.
8. Решите уравнение: 2 • 32х 4- 3х • 2х - 6 • 22х = 0. Если корней больше
одного, то в ответе запишите их произведение.
Вариант №2
1. Пусть хо —корень уравнения • (0,5)5—х = 1. Найдите значение
выражения (0,2)“х°.
2. Решите уравнение: 2х 2
к
+ = 28. В ответе запишите корень урав-
нения или сумму его корней, если их несколько.
3. Решите уравнение: З4®”1 4- 32х — 6 — 0. В ответе запишите корень
уравнения или сумму его корней, если их несколько.
4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций
у = 4 • 54х - 7 • 92х и у = 34х+1 - 2 • 252х.
х2+2я:-15
5. Решите уравнение: = (49\/3)°. В ответе запишите ко-’
рень уравнения или среднее арифметическое его корней, если их несколь-
ко.
6. Найдите значение х, при котором /(х) = 0, если
/(х) = 2х+1 • 34х - 9 • 62х.
7. Решите уравнение: 2 • 7х+1 4- 5 = 7“х. В ответе запишите корень
уравнения или произведение его корней, если их несколько.
8. Решите уравнение: 4 • 32х 4- 5 • 3х • 4х — 9 • 16х = 0. В ответе запишите
корень уравнения или сумму его корней, если их несколько.
Вариант №3
1. Найдите произведение корней уравнения 22х+2 4- 4 = 17 • 2х.
2. Найдите значение х, при котором выполняется равенство
75x4-5 __ 24.22х = 2®х^
3. Найдите корень уравнения 32х+8 - 1 = •
4- Найдите значение х, при котором значение функции
у = 2х+2 + 2х+1 + 25х равно значению функции у = 8 4- 6 • 2х.
78
В7. Показательные уравнения
5. Найдите сумму всех значений ж, при которых значение функции
у = 102х 4- 9 • 20х - 10 • 22х равно нулю.
6. Укажите наименьший корень уравнения 11-
(з|)Х 5 = log3 27.
7. Найдите корень уравнения х/9® — 72 = 3х-1.
8. Найдите сумму корней уравнения 2х у/х 4- 4 = 4у/х 4- 2х.
Вариант №4
1. Найдите значение выражения 23 — 13,6 • жо, где жо — наименьший ко-
рень уравнения 3 - 5х - ж - 5х = 3 - ж.
2. Найдите сумму корней уравнения 9”2х — 12 • 9-х 4- 27 = 0.
3. Найдите среднее арифметическое корней уравнения
7 • 4х — 9 • 14х 4- 2 • 49х = 0.
4. При каком ж значение функции у = $2х-5 Равно значению функции
у = з2х-5 + g?
5. Найдите значение выражения 5жо 4- 3, если жо — корень уравнения
Го \ 5®+2 / о \ 5®+3
-17-(-4) =17.
ох4-4 ф дх4-3
6. При каком ж значение функции /(ж) = - * ,2 равно 2?
7. Найдите наибольший корень уравнения 4х2+х — 15 = 42-1-®2.
8. Найдите произведение корней уравнения 10 — 23х+1 — ~У|-р
а
Вариант №5
1. Пусть жо —корень уравнения х/З* • 2х = 144. Найдите (0,3)х°.
2. Найдите сумму квадратов корней уравнения 2-4х2"1—3-2х2+14-16 = 0.
3. При каком значении аргумента ж функции у = 9 • 16х и
у = 7 - 12х 4-16 * 9х принимают одно и то же значение?
4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций
у = 22х 4- 22х+3 и у = 32х 4- 32х+1.
5. Пусть ж0 — уравнения 23х - 3 • 23х“2 4- 23х”4 = 20. Вычислите 0,4Хо.
6. При каком значении ж произведение 22х+1 • З3х+5 равно произведению
4 . д®4-1.gx+l р
В7. Показательные уравнения
79
7. Найдите отрицательное значение х, при котором f(x) = 0, если
f(x) = (з + 2ч/2)х + (3 - 2у/2)х - 6.
8. Найдите ординату общей точки графиков функций у = 23х-1 • 3х-3 и
!/ = 4х+1.
Вариант №6
1. Найдите значение выражения 11,3хо — 12, если хо —наибольший
корень уравнения х • 2* — 3 • 2* = х — 3.
2. Найдите сумму корней уравнения 5“2* — 30 • 5~* 4- 125 = 0.
3. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: 3 • 16* 4- 36* = 2 • 81*.
4. При каком х значение функции у = II*-1 — 9 равно значению функции
22 з
11*~1*
5. Найдите наибольшее значение выражения 3xq4-1, если хо —корень
уравнения З2*-1 4- З2*-2 — З2*-4 = 315.
лх кх-И
6. При каком х значение функции /(х) = Равно 1?
7. Найдите наименьший корень уравнения 7*2+* — 48 = 72~х2-х.
8. Найдите произведение корней уравнения З5*-1 — 12 = ^7^-i' •
Вариант №7
I. Найдите значение выражения 12,8;го +17, если ю — наименьший ко-
рень уравнения 3х • х — 3х = х — 1.
2. Найдите сумму корней уравнения 4-2* - 6 • 4~* 4-8 = 0.
3. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: 3 • 25* — 2 • 15* — 5 • 9* = 0.
4. При каком х значение функции у = 2*“3 4- 7 равно значению функции
У= 26”*?
5. Найдите наибольшее значение выражения 2хо + 2, если хо — корень
/ I х 2x4-1 / 1 \ 2x4-2
Уравнения 2 • - 13 • J = 13.
2*+1.5х+з
При каком х значение функции /(х) = _ х равно 1?
zuU • 9
7. Найдите наименьший корень уравнения Зх2+2х — 26 = з3-2*-*2.
8. Найдите произведение корней уравнения 52*+1 -3 = 2- 5“2*.
80
В7. Показательные уравнения
Вариант №8
1. Решите уравнение: 0,2 • 25х 4- 4 • 5х-1 = 1.
2. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
2 • (^3)® + (^З)х-3 = 21.
3. Найдите 2жо + 5, если жо — наибольший корень уравнения
3.9х - 7 - 12х 4- 42х+1 = 0.
4. Найдите сумму корней уравнения 10 • 4?-3x~x2 — 4*2+Зх-4 =
5. При каком х значение функции /(ж) =
———— не больше и не меньше
7х + 301
значения функции д(х) =
____1___>
6. При каком х значение функции /(ж) —
-Г + 23 раВ"°3?
7. Решите уравнение: у/З • 4х = Зх+1 — 3х Ч
8. Найдите корень уравнения жо, удовлетворяющий условию Зжэ 4-1 > 0:
jig . 3%/Зх2—2х_з _ з . дл/Зх-*—2х
Вариант №9
1. Решите уравнение: 4х — 3 • 2х+1 4- 8 = 0. В ответе запишите корень
уравнения или сумму корней, если их несколько.
2. Найдите наименьший корень уравнения ( W)1 4- 9(v/9)3-a; = 30.
3. Найдите значение 2жо 4- 3, если жо — наименьший корень уравнения
32z+l _ 6х - 22х+1 = 0.
4. Решите уравнение: 4х 4- 41 х = 5. В ответе запишите корень уравнения
или произведение его корней, если их несколько.
5. Решите уравнение: 3х2 “х 4- 33+х-2;2 = 12. В ответе запишите корень
уравнения или сумму его корней, если их несколько.
ух 4-2 । 2
= равно 3?
7. Решите уравнение: 3 - 4х - Зх+2 = 22х. В ответе запишите корень
уравнения или произведение его корней, если их несколько.
6. При каких значениях ж значение функции /(ж)
08. Периодичность, четность и нечетность функций 81
8. Найдите количество отрицательных корней уравнения
26 • = 25^а:2_'/5х+5 + 5.
Вариант №10
1, Решите уравнение: 27 • 9х 4- 2 • 3х*1 = 1.
2. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:
(^4)х + 4(^4)1-1О = 20.
3. Найдите значение выражения 2хо + 2, если xq — наименьший корень
уравнения 2 • 4х - 3 • 10х - 5 • 25х = 0.
4. Найдите сумму корней уравнения 2х2+2х~6 — 27-2®-®2 — 3,5.
5. При каком х значение функции f(x) =
——- не больше и не мень-
12х +143
ше значения функции д(х) =
—5>
12®+2‘
6. При каком х значение функции f(x) =
равно1?
7. Найдите наименьшее значение 2а?о, если xq — корень уравнения
25х + 7х+5 = 2у/7 • 7х - 2 • 52х-1.
8. Найдите корень уравнения хо, удовлетворяющий условию
2а:о + 10 < 8: 17 • 2Vx2"8x -8 = 2- 4'/х3-8х.
§11. В8. Периодичность, четность и
нечетность функций.
Вариант №1
1. На рисунке 41 изображён график функции у = sin ах. Найдите значе-
ние а.
Рис. 41.
82 В8. Периодичность, четность и нечетность функций
2. Найдите период функции у = | cos х| (в градусах).
3. Определите наименьшее натуральное значение п, при котором функция
у = tgn Зх будет чётной.
4. Функция у = f(x) определена на всей числовой прямой и является
нечётной. На рисунке 42 изображён её график на отрезке [—4; 0]. Найдите
Л-4) + /(1).
5. Функция у = д(х) определена на всей числовой прямой и является пе-
риодической с периодом 5. На рисунке 43 изображён её график на отрезке
[-2; 3]. Найдите ^(—3) - $(2).
6. Чётная периодическая функция с периодом 8 определена на всей чис-
ловой прямой. Найдите значение выражения /(—43) • /(—21), если
/(3) = -3.
7. Чётная функция у = h(x) определена на всей числовой прямой. Для
всякого ж > 0 значения h(x) совпадают со значениями функции д(х), где
д(х) = (х — 2) • х • (х — 7). Сколько корней имеет уравнение h(x) = 0?
8. Нечётная периодическая функция с периодом 9 определена на всей
/(-22) /(0)
/(-4)
числовой прямой. Найдите
+ /(—15), если /(-3) = -11.
В8. Периодичность, четность и нечетность функций
83
Вариант №2
1. На рис. 44 изображен график функции у = cos ктгх. Найдите значение к
(к > 0).
2. Найдите период функции у — | sin ж| (в градусах).
3. Определите наименьшее натуральное значение п, при котором функция
у = sin2n“7 х является нечетной.
4. Функция у = /(х) определена на всей числовой прямой и являет-
ся чётной. На рис. 45 изображён её график на отрезке [—5; 0]. Найдите
/(-3) + /(2) + /(3).
5. Функция у = f(x) определена на всей числовой прямой и является
периодичной с периодом 3. На рис. 46 изображён её график на отрезке
[-3; 0]. Найдите /(-4) - /(2) + 3/(1).
6. Нечетная функция у = f(x) определена на всей числовой прямой и
имеет период 6. Найдите значение выражения /(—15) + /(0) + /(9), если
/(-3) = 2.
7. Нечетная функция у — f(x) определена на всей числовой прямой. Для
всякого неотрицательного значения х значение функции совпадает со зна-
чениями h(x) = (х—3)х(х+2). Сколько корней имеет уравнение д(х) = 0?
84
В8. Периодичность, четность и нечетность функций
8. Четная периодическая функция у = f(x) с периодом 7 определена на
всей числовой прямой. Найдите значение выражения
/(-3) + /(4) - /(18), если /(3) = 6.
Вариант №3
L Периодическая функция у = f(x) с периодом 8 определена для всех
действительных чисел и /(2) = 7, /(4) = 1. Найдите
/(18) • /(12) - 3/(-36).
2. Нечетная периодическая функция у = д(х) с периодом 5 определена
для всех действительных чисел, /(“2) = 3. Найдите д(2) ~ д(3).
3. Найдите значение выражения 5/(—5) +
ная функция и /(5) = 2, /(-3) = 3.
7)^ ’ еСЛИ — ЧеТ~
4. Сколько корней имеет уравнение р(х) = 0, если функция у = р(х)
нечетна, определена на отрезке [—5; 5] и при неотрицательных значениях
аргумента совпадает с функцией у = х(х — 2) (х — 8)?
5. Функция определена для всех действительных чисел и является перио-
дической с периодом 5. На рис. 47 изображен ее график на отрезке [—2; 3].
Рис. 47.
В8. Периодичность, четность и нечетность функций
85
6. На рис. 48 изображен график нечетной периодической функции
у = f(x) на промежутке [0; 4]. Период функции равен 8. Найдите значение
выражения
Л-9).
7. На рис. 49 изображен график четной функции у = д(х) на отрез-
ке [—4; 0]. Функция определена на всей числовой оси. Вычислите
/(4)+ 2/(1)-^.
9—
8. Найдите значение 7-7, если Т — период функции у = 3 sin х 4- 5.
Вариант №4
1. Найдите наименьшее положительное значение а, при котором период
функции у = sin равен 8тг.
&
2.
Найдите наименьший положительный период функции у = cos
2 7ГХ
4 ‘
3.
Найдите период функции у = cos тгх 4- ctg
5
4. Функция у = f(x) определена на всей числовой прямой и является
периодической с периодом 3. На рис. 50 изображён её график на проме-
жутке (—3; 0]. Найдите /(29).
86
В8. Периодичность, четность и нечетность функций
5. Нечетная функция определена на всей числовой прямой и является пе-
риодической с периодом 5. Найдите значение выражения
е-и /(-6) = 13.
6. Функция у = f(x)+g(x) определена на всей числовой прямой; f(x) —
нечетная, д(х) — четная. Найдите /(0), если у — 2х3 + cos
х
5
— х.
7. Нечетная функция у = f(x) определена на всей числовой прямой. Для
всякого положительного значения х значение этой функции совпадает со
значением функции д(х) = (2х — 5)(х 4- 3)(4 — ж). Найдите количество
нулей функции у = f (х).
8. Четная, периодическая функция у = f(x) с периодом 4 определена
на всей числовой прямой. Найдите угловой коэффициент касательной к
графику этой функции в точке с абсциссой х0 = —21, если /'(—3) = 3.
Вариант №5
1. На рис. 51 изображен график функции у = sin Найдите значение а.
а
Рис. 51.
2. Найдите период функции у = | tg х| (в градусах).
3. Определите наименьшее натуральное значение п, при котором функция
у = 5х sin п5ж будет четной.
В8. Периодичность, четность и нечетность функций
87
4. Периодическая функция у = д(х) с периодом 17 определена на всей
числовой прямой. Найдите значение выражения р(2008) 4- 2008, если
5(2) = 2.
5. Периодическая функция у = f(x) с периодом 2 и периодическая функ-
ция у = д(х) с периодом 3 определены на всей числовой прямой. Найдите
период функции у = f(x) + д(х).
6. Нечетная функция у = f(x) определена на всей числовой прямой. На
рис. 52 изображён её график на отрезке [1; 5]. Найдите /(—2) • /(—3).
Рис. 52.
7. Четная периодическая функция у = /(ж) определена на всей число-
вой прямой и имеет период 8. На рис. 53 изображён её график на отрезке
[-4; 0]. Найдите значение выражения /(—15) 4- 5/(—10).
Рис. 53.
8. Нечетная периодическая функция у = f(x) определена на всей чис-
ловой прямой и имеет период 7, /(2) = 5. Найдите значение выражения
/(23). /(-16).
88 В8. Периодичность, четность и нечетность функций
Вариант №6
1. Найдите неотрицательное значение а, при котором период функции
у = sin равен 12тг.
о
2. Найдите период функции 2/ = cos—~.
3. Найдите период функции у = ctg 4- созтгх.
4
4. Функция у = f(x) определена на всей числовой прямой и является пе-
риодической с периодом 5. На рис. 54 изображен ее график на промежутке
5. Нечетная функция определена на всей числовой прямой и является пе-
риодической с периодом 7. Найдите значение выражения
если /(-3) = 2.
/(5)-/(—343)
/(9)
6. Функция у = Л^) + определена на всей числовой прямой, f(x) —
нечетная, д(х) — четная. Найдите #(1), если у — cos 4- sin 4-1.
О лл
7. Нечетная функция у — /(ж) определена на всей числовой прямой. Для
всякого отрицательного значения переменной х значение этой функции
совпадает со значением функции д(х) = (х — 1)(х — 2)(ж 4- 3)(х 4- 7).
Найдите количество нулей функции у = f(x).
В8. Периодичность, четность и нечетность функций
89
8. Четная периодическая функция у = f(x) с периодом 5 определе-
на на всей числовой прямой. Найдите угловой коэффициент касатель-
ной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой xq = —8, если
y = f'(-2) = 3.
Вариант №7
1. Найдите наименьшее положительное значение а, при котором период
функции у = cos равен 4тг.
2.
Найдите период функции у = sin2^
2
3.
Найдите период функции у = tg + зштгх.
и
5. Нечетная функция определена на всей числовой прямой и является пе-
риодической с периодом 3. Найдите значение выражения
' /(8) +Л ’
6. Функция у = /(х) + д(х) определена на всей числовой прямой; /(х) —
нечетная, д(х) — четная. Найдите /(0), если у = 2х2 + sin +1.
О
7. Нечетная функция у = f(x) определена на всей числовой прямой. Для
всякого отрицательного значения переменной х значение этой функции
совпадает со значением функции д(х) = (х — 5)(х — 3)(ж 4- 4). Найди-
те количество нулей функции у = /(я).
8. Четная периодическая функция у — /(х) с периодом, равным 3, опре-
делена на всей числовой прямой. Найдите угловой коэффициент каса-
тельной к графику функции у ~ f(x) в точке с абсциссой xq = -17, если
/'(-!) = 2.
90
В8. Периодичность, четность и нечетность функций
Вариант №8
1. Найдите наименьшее положительное значение а, при котором период
функции у = tg ах равен
7Г
3’
2. Найдите наибольшее отрицательное значение а, при котором период
функции у = In cos2 ах равен тг.
3. Найдите наименьший положительный период функции
2тГД7
У = sin 7ГХ 4- cos ——.
«5
4. Нечётная функция у — f(x) определена на всей числовой прямой и яв-
5. Функция у = f{x) определена на всей числовой прямой и является пе-
риодической с периодом 5. На рисунке 57 изображен график этой функции
на промежутке [—2; 3]. Найдите значение выражения
/(15) /(7)
/(-ю) •
6. Функция у = f(x) +g(x) определена на всей числовой прямой; f(x) —
четная, р(х) — нечетная. Найдите /(5), если у = Зх3 — 4х2 4- х — 1.
7. Периодическая функция у — f(x) с периодом 5 определена на всей
числовой прямой. Её график на промежутке [0; 5) совпадает с графиком
функции у = (х — 2) (х - 3)(2х2 — 32) (Зх — 15). Сколько корней имеет
уравнение f(x) = 0 на промежутке [7; 10]?
В8. Периодичность, четность и нечетность функций
91
8. Пусть у = f(x) — четная, дифференцируемая на всей числовой оси
функция и /'(5) = 2. Найдите /'(—5).
Вариант №9
1. Найдите произведение значений п, при которых период функции
у = cos равен 12тг.
2. Найдите период функции у = cos 2-кх + sin
О
3. Найдите период функции у = cos4 —.
4
4. Четная функция определена на всей числовой прямой. На рис. 58 изоб-
5. Нечётная функция определена на всей числовой прямой и является пе-
Рис. 59.
92
В8. Периодичность, четность и нечетность функций
6. Функция у = f{x) определена на всей числовой прямой и является
периодической с периодом 5. На рис. 60 изображён её график на отрезке
Рис. 60.
7. Функция у = f(x) +р(я:) определена на всей числовой прямой; f(x) —
нечётная, р(ж) — чётная функции. Найдите если у — х34-2ж2 4-ж -1.
8. Нечётная периодическая функция у = /(ж) с периодом 6 определена
на всей числовой прямой. Её график на промежутке [0; 3] совпадает с гра-
фиком функции у = х(х 4- 1)(ж2 — 9). Сколько корней имеет уравнение
f(x) — 0 на промежутке [—7; 5]?
Вариант №10
1. Найдите наименьшее положительное значение а, при котором период
функции у = sin равен 8тг.
2. Найдите наибольшее значение а, при котором период функции
у = 5 sin2 (а2 — 10а 4- 25) ж равен —.
3. Найдите период функции у = sin 4- cos Зж (считать тг = 3).
4 ЛЛ
4. Четная функция у = f(x) определена на всей числовой прямой и явля-
ется периодической с периодом 4. На рисунке 61 изображен её график на
промежутке (0; 2]. Найдите /(—5).
Ц» I Г
I.JJ_1_U
Рис. 61.
Cl. Нули сложной функции. Ограниченность функции
93
5. Функция у — f(x) определена на всей числовой прямой, является пе-
риодической с периодом 5. На рисунке 62 изображен график этой функции
на промежутке [—2; 3). Найдите значение выражения .
Рис. 62.
6. Функция у = f{x) 4- gix) определена на всей числовой прямой; fix) —
четная, gix) — нечетная. Найдите если у = 2х2 — 2х 4-1.
7. Периодическая функция у = fix) с периодом 6 определена на всей
числовой прямой. Её график на промежутке (0; 6] совпадает с графиком
функции у = (ж — 2){х 4- 1)(9ж2 - 1б)(я — 5). Сколько корней имеет
уравнение fix) = 0 на промежутке [9; 12] ?
8. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = f(x 4- в точке х = —тг, если 1 и известно, что
у = fix) — периодическая функция с наименьшим периодом, равным тг.
§12. С1. Нули сложной функции.
Ограниченность функции.
Вариант №1
1. Найдите нули функции у = х(х2 4- 2х - 5) — е1116.
2. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
У = 1°&е+з (я2 4- х - 1) с осью Ох.
3. Решите уравнение fix) 4- gix) = 0, если fix) = л/я2 — 14,
9ix) = х/ж2 4-4ж 4-4 4- 6.
4. Найдите абсциссы общих точек графиков функций
|sin и у = —log2!(ж — 4).
5. При каких значениях х выполняется равенство
2arcsina; = тг 4- (я —;1)2?
94
Cl. Нули сложной функции. Ограниченность функции
6. Найдите все значения х, при которых cos2 — — sin2 — = 8х - х2 —17.
8 8
7. Решите неравенство: \/2х — х2 — \/х2 — х — 2.
8. Определите значения х, при которых точки графика функции
у = 0,5х лежат не ниже точек графика функции у = sin2 х 4- 1.
Вариант №2
1. Найдите нули функции у = х2(х — 2)4-12 — 11- 3Iog3 х.
2. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
у = к^2_д. (х2 4- 4х — 4) с осью Ох.
3. Решите уравнение /(х) —^(х) = 0, если /(х) = (/х)2,
д(х) = /х4 — 6х2 4- 9 — 1.
4. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у = 2х2 и
у = -/cos х.
5. Решите уравнение: log|(x — 2) 4- cos = 0.
I 6 I
6. Найдите значение х, при котором выполняется равенство
x2 + 8x + 17 + sin^ = 0.
8
7. Решите неравенство: у/бх — х2 — 8 /2 4-х —х2.
8. Определите значение х, при котором график функции у = х2 4- 4х 4- 5
лежит не выше графика функции у = cos2(2 4- х).
Вариант №3
1. Найдите нули функции у = х(х2 4- 8х 4- 7) 4- (х 4- lje11110.
2. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
у = logI_2 (х2 — 5х 4- 5) с осью Ох.
3. Решите уравнение /(х) — д(х) = 0, если /(х) = /х2 — 8х 4-16 — 2,
д(х) = 6 — /х2 — 12х 4- 36.
4. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у = —|cos уу | и
У = log?7(3x - 17).
5. При каких значениях х 2 arccos х = 2яг 4- (я 4-1)2?
6. Найдите все значения х, при которых sin cos = х2 — 2х 4-
тс тс ЛЛ
7. Решите неравенство: —/х2 4- 7х > /х2 4- 8х 4-7.
С1. Нули сложной функции. Ограниченность функции 95
---—---------------------------------------------------------------
8. Определите значения х, при которых точки графика функции
У == 2® +1 лежат не ниже точек графика функции у = 3 — cos х.
Вариант №4
I. Найдите нули функции у = у х(х2 - 4х + 4) + logf (х — 1).
2. Найдите абсциссы общих точек графика функции с осью Ох
У = у/(х- 5)2 + -^/(х — 5)(х + 3).
3. Найдите абсциссы общих точек графиков функций
у = Iog2((x - 7)2 + 8) и у = 2 - cos
4. Решите уравнение: 2 sin = (х + 2)2 + 2.
5. Сколько корней имеет уравнение sinx
+ 1?
6. Найдите нули функции у = |х + 5| — (х + 5).
7. Решите неравенство: У(х + 3)(х —2) + -\/х(х + 5)(х + 3) 0.
8. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству
2^+2^ 4-х2.
Вариант №5
1. Найдите нули функции у = х (х2 + 4х + 3) — 3loga 2.
2. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
у = loga._2 (х2 — Зх — 3) с осью Ох.
3. Решите уравнение /(х) - д(х) = 0, если /(х) = у/(5х — 13)2 — 7 и
5(х) = V36 - 60х + 25х2.
4. Найдите абсциссы общих точек графиков функций
У = ^(х2 + 10) (х - 3) и у =- у/Зх2 - 8х - 3.
5. При каких значениях х выполняется равенство
3arcsin(x - 1) = ^ + (х2 - 4х + 4)?
£
6. Найдите все х, при которых cos 2тгх = х2 — 2х 4- 2.
7. Решите неравенство: у/2 — х — \/5х — х2 — 6.
& /1 \ —1
°. Определите значения х, при которых точки графика у = j
лежат не выше точек графика функции у = cos х 4-1.
96
Cl. Нули сложной функции. Ограниченность функции
Вариант №6
I. Решите уравнение: log^rr2 4- Зх +1) 4- sin2 Зх = 0.
2. Найдите все значения х, при которых значение выражения
\/25 - х2 — (х2 — 5х)2 равно 5.
3. Найдите нули функции у = arcsinx 4- cos4ttx
-(W
4. Решите неравенство: 51 4-1 у/х2 4- 36.
5. При каких значениях х значение функции
у — |х 4- 8| 4- 4- — 8) неположительно?
6. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у — cos —и
&
у = (х - 2)2 4-1. __________
7. Найдите корни уравнения уДх~+ 5)(х - 2) 4- ^(я + 5)2 4-4 = 2.
8. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
у — |log3 (х2 — 6) — 11 4- х/^2~4- 2х — 3 с осью Ох,
Вариант №7
1. Найдите нули функции у = ^ж(ж2 4- 6 т 4- 9) 4- log|(x 4- 4).
2. Найдите абсциссы общих точек графика функции
у = у/х2 — 4х 4- 4 4- у/(х — 4)(ж — 2) с осью Ох,
3. Найдите абсциссы общих точек графиков функций
у = log2 ((х - 2)2 + 1) и у = sin - 1.
4. Решите уравнение, cos ^~-х = (ж - З)2 + 1.
и
5. Сколько корней имеет уравнение cos 5х = х2 4-1?
6. Найдиie нули функции у = у/9-6х 4- х2 - |гг|.
7. Решите неравенство: у/(х — 1)(х - 3) 4- \/2(ж — 1)(х 4- 2) 0.
8. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству 7®2 1 — х2.
Вариант №8
1. Найдите нули функции __________
у sz у/х4 4- sin лх ~ 2я3 — Зх2 — 8ж 48 4 log2 (х2 ~ 2х ~ 7).
C1. Нули сложной функции. Ограниченность функции 97
2, Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
у = агсзшж — |ж3 4- 20ж2 4- ЗЗж — 54| — с осью Ох,
&
3. Найдите абсциссы общих точек графиков функций
у — к>£з (я2 “ 16® 4" 73) и у = cos 4- cos 22
4 £
4. Решите уравнение: |2гс — 2| + ^ = 2arctgx.
5. Сколько корней имеет уравнение 2 4- 3 ,х = %х2
6. Решите неравенство: ^ж 4- 2$/ — 5 4- |3ж — 2у 4-1| < 0.
7. Решите неравенство: log2(sinx 4- 3) > sin2 ж.
8. Найдите наименьшее целое значение х, при котором график функции
у = sin лежит не ниже графика функции у = х2 — Юж 4- 26.
Вариант №9
1. Найдите нули функции у = у/х2 + За: — 4 + |ж — 1|.
2. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
у = (х — I)2 sin2 х 4- log3 (х2 4-1) с осью Ох,
3. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у = у/х2 — 2ж 4- 5 и
у = 2 — зт2(ж — 1).
4. Решите уравнение: у/х2 — 2ж 4-1 4- у/х2 — 4ж4-4 = 3.
5. Сколько корней имеет уравнение 2 cos ж = 2х2 4-1?
6. Решите неравенство: |ж2 4- 5ж — 6| 4- у/х2 4-4ж —12 0.
7. Сколько корней имеет уравнение %/ж 4- 2 = 3®?
8. Определите количество целых чисел, при которых график функции
у = х/г4-2 лежит не ниже графика функции у = |ж|.
Вариант №10
1. Найдите нули функции у = log2 (ж2 — 5ж 4- 7) 4- ^ж3 4- Зх2 — 20.
2. Найдите абсциссы общих точек графика функции
У = х2 sin2(ж2 - 9) 4- |ж3 - 4ж2 4- 9| с осью Ох.
3. Найдите абсциссы общих точек графиков функций
У = 1°б2(ж2 — 4ж 4- 8) и?/ — sin— cos
7 Зак №461
98
CI. Область определения, множество значений, монотонность функций
4. Решите уравнение: sin ^~х = х2 — 4- 5.
5. Сколько корней имеет уравнение 5хгч= cos Зх на промежутке [0; +оо)?
6. Решите неравенство: у/Зх + у 4- 1 4- у/х — Зу — 7 0.
7. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству 38in2 х < cos х.
8. Найдите наибольшее целое значение х, при котором график функции
у = cos х лежит не ниже графика функции у = х2 + 1.
§13. С1. Область определения, множество
значений, монотонность функций.
Вариант №1
1. Найдите область определения функции у — H2£2sx
х
2. Найдите все значения х, которые не принадлежат области определения
функции /(х) = 2,51ogx_5(2x - 10).
3. Найдите наименьшее натуральное значение х из области определения
функции р(х) = $Ух — 1 4- у/х 4- 1п(2 — х).
4. Найдите область определения функции у = -7=^2=.
V16 — х*
5. Найдите множество значений функции у = ^/| sin(—2х — 1)| 4- 2.
/ 1 \ л/х2-2а?+5
6. Найдите наибольшее значение функции /(х) = J
7. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
2
#(х) = (д/—arcsin4x ) .
\ V 7Г /
8. Найдите наибольшее целое значение функции у = 2log3<9“x2> — 5.
Вариант №2
1. Найдите область определения функции у = *-—.
х 4-1
2. Найдите все значения х, которые принадлежат области определения
функции у = log^+б
О — X
CL Область определения, множество значений, монотонность функций 99
-—•------------------ '
3 Найдите наибольшее целое значение х из области определения функ-
ЩИ у = \/0,81-х2 - у/m + lg(3 - X2).
т т о X х \/4 — Ж2
4, Найдите область определения функции у = у-—-—.
5. Найдите множество значений функции у = <y4cos(3x + 1) — 1.
6. Найдите наименьшее значение функции у = 2^ха+4х+13.
7. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
а;2 + 2ж 4- 2
а? 4- 4х 4- 5 ’
8. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых значений функции
у 4iog4(x3-3xa+3x-i) _ 1? если х 3 2.
Вариант №3
. т т « 1 arcsinfx — 1)
1. Найдите область определения функции у = — --4 —
2. Найдите все значения х, которые не принадлежат области определения’
функции /(х) = Siog^-Jx - 2).
3. Найдите наибольшее натуральное значение х из области определения
функции h(x) = fyx + 2 + tyx - 1 + lg(7 - х).
4. Найдите область определения функции у =
smx
5. Найдите множество значений функции у = у/\ cos(x 4-1)| — 3.
(1 \ —x2+2x-f-3
2/
7. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
¥>(х) = (J—(axcsin2x + 1/) .
(I \ log2(4—х2)
3/
Вариант №4
1« Функция у = /(х) определена на всей числовой оси и монотонно воз-
растает. При каких значениях х имеет место равенство
/(х) = /(^+4)?
8 Зак № 461
100_______CI. Область определения, множество значений, монотонность функции
2. Найдите область определения функции у = —----1- \/1 — ж2.
log2z
3. Найдите количество целых значений- ж из области определения функ^
\/9 — ж2
ВДИ У = \ •
logs (2 - х)
4. Укажите наибольшее целое число из области определения функции
logs (х -1)
5. Найдите множество значений функции у = 7COfl2 х — 7.
6. Найдите наименьшее значение функции /(х) = log5 < х2 4-
у 25
7. Найдите сумму наименьшего и наибольшего значений функции
у = — arccos (г/0,125(созж — sin ж)).
8. Сколько целых значений принимает функция f(x) — 31ogiS^n ^xo—-?
з —3
Вариант №5
1. Найдите область определения функции у = \/4 — х2 4- агссоз(ж — 2).
2. Найдите все значения ж, которые не принадлежит области определения
функции /(ж) = 5,3^х_3(ж2 - 9).
3. Найдите наибольшее натуральное ж из области определения функции
/(ж) = \/ж + 2 4- у/Гж4-5 4- lg(6 - Зж).
4. Найдите область определения функции у = ~ .
v 3 — 2ж — ж
5. Найдите множество значений функции у = ^/|соз(3ж — 2)| 4- 4.
, 1 х log 1 (23-®2+4х)
6. Найдите наибольшее значение функции/(ж) = з
7. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
---------------г---------- 6
— arccos (Зж — 2) ) .
7Г /
8. Найдите наибольшее целое значение функции у = 3log2^4-x2^ — 7.
Вариант №6
1. Решите уравнение: у/х + 3 + 1п(9 — х2) = 82.
8*
& Область определения, множество значений, монотонность функций
101
2 Найдите область определения функции у = —4- log i (Зж 4-11).
V#2 ~ 5 2
3. Укажите число целых значений ^ из области определения функции
УГ+2 1___________________
V 1п(7 — ж) ж2 — Зж —4'
4. Найдите наибольшее значение функции /(ж) = log3 \/8ж — 2ж2 4-1.
1—5 sin 2а:
5. Найдите множество значений функции /(ж) = 2 2
6. Сколько корней имеет уравнение 23ж+5 4- 7ж = 40?
7, Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
у = — агссоз(3ж — 5).
8. Найдите наименьшее значение функции у = V4 —ж2 4- log i (ж 4- 3).
5
Вариант №7
1. Функция у = /(ж) определена на всей числовой оси и монотонно убы-
вает. При каких ж имеет место равенство /(ж) = f 4- з) ?
2. Найдите область определения функции у = 4- л/1 — ж.
1пж
3. Найдите количество целых значений ж из области определения функции
__ \/4 — ж2
У~ lg(l-a0‘
4. Укажите наибольшее целое число из области определения функции
5. Найдите множество значений функции у = 38in х + 3.
6. Найдите наименьшее значение функции /(ж) = log i — ж2.
2
7. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
8. Сколько целых значений принимает функция
/W=2108j“°5V3?
JU
102
Cl. Область определения, множество значений, монотонность функций
Вариант №8
1. Найдите область определения функции у =
S1H &Х
2. Найдите количество целых значений х из области определения функции
logi (5х — х2 + 6)
9= ’г' '
3. Найдите наибольшее целое число из области определения функции
у = 4/36.^,
V te(2 - х)
4. Укажите количество целых чисел из области определения функции
— х2 — х
У =------------•
7ГЖ
cos —
2
5. Найдите множество значений функции у = arctg -Д—.
аг — 1
/25 — X2
6. Найдите наибольшее значение функции У — \ ---2“-
у 4 И- х
7. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
у = — arcsinfl — | cos 2х|) 4- 3.
7Г
8. Сколько различных целых значений принимает функция
Л \/3sina; —cose + 3-)
9 = 21ОЧ-------12575------?
Вариант №9
1. Найдите область определения функции
ч/Т+Т + 4 \/10 -х2
V = lsl°g3 2-Jx + 1 + с^х
2. Найдите значения функции f(x) = Зх2 — 231og*х + 3 в точках экстре-
мума.
log3(x+3)-Iogl
3. Найдите точки экстремума функции /(х) = 3 з
х^ _ Зх2 4” 2
4. Найдите точки минимума функции у = 2х3 4- 3---ч—;-----•
х — 1
Ci- Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 103
5, Найдите наименьшее значение функции у = у/х3 — Зх + 3 на отрез-
ке [0; 3].
6. Найдите наибольшее значений функции у = (1 4- s)log5s на отрез-
ке [1; 5].
7. Найдите среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значе-
ний функции у = у/3 cos Зх 4- sin Зх на отрезке [1; тг].
8. Найдите промежутки убывания функции у = х - 47 8 * logie(2s-x2)
Вариант Яг 10
1. Найдите область определения функции у = 4 /1п ^—7 4- —Мп -
V у/х + 1 sins
2. Найдите количество целых значений х из области определения функции
х/25^
log7(4 - х)
3. Укажите наименьшее целое число из области определения функции
1 /s2 4“ 4s 4- 4 , 1
y~]sy 3х-27 + z2- 10а;+ 24
4. Укажите количество целых чисел из области определения функции
f(x\ — ____________I___________
sm(irlog3(8a: — 12 — а:2)) ’
5. Найдите множество значений функции у = З2®-1.
/о 2
6. Укажите наименьшее целое значение функции f(x) = logi J *
7. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции
2/ = arctgQ (sinх 4- \/3cosх — 2)).
8. Сколько целых значений принимает функция
f(x) = 2log 1 jin* " coss-6?
х?2 2у 2
104 Cl. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
§ 14. С1. Экстремумы функции. Наибольшее и
наименьшее значения функции.
Вариант №1
1. Найдите стационарные точки функции S(x) = 3 • 2х — 24т • 1п 2 + е2.
2. Найдите точки минимума функции у = х3 — 2х^х — 2)2 — 11т.
3. Найдите значения функции f(x) = у/х3 4- 6т2 — 7 в точках экстремума.
4. Найдите точки экстремума функции у = /'(я), если
f(x) = 0,5т2 4- 4 In х 4- 5.
5. Найдите точки экстремумы функции h(x) = е3х — Зех 4- 2 sin2
о
6. Найдите наибольшее значение функции у = 3 sin 2х 4-1 на промежут-
ке
Г тг . 5тг1
L 12’12Г
7. Найдите среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значе-
ний функции у = Зу/х — у/х3 4- 31g 7 на отрезке [0; 4].
8. Найдите наибольшее значение функции у =
ле (0; 1).
^х2 — |х3 на интерва-
Вариант №2
1. Найдите стационарные точки функции S(x) = х
х + 2
2. Найдите точки экстремума функции у = 2log2(x ~х^ 4- 3.
16 — х4
3. Найдите точки минимума функции у = х4 4- 4я2 — 4х —2—а—
х — 4
4. Найдите значение функции f(x) в точке минимума:
/(x)=41Og4^i£+1°g0,(l+3).
5. Найдите точки максимума функции
f(x) = бх-х3.31оЕз(г+1) + (д3 + 2) ~ Ж)
х+1 х — 3
6. Найдите наименьшее целое значение функции у = sin Зя 4- соэЗж на
отрезке [0; тг].
7. Найдите наибольшее значение функции у = 3 • 2х — 23ж 4- 4 на отрез-
ке [0; 1].
6.
Cl- Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 105
—
8. Найдите среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значе-
ний функции f(x) = 1g3(я; 4-1) - 4-1) - 2 на отрезке [0; 9].
Вариант №3
1, Найдите стационарные точки функции f(x) = —7 • 3x+1 4- 7#ln3 4- тг3.
2. Найдите максимум функции у = х3 — 2х2 (\Лг — I)2 4- 4гг.
3. Найдите значения функции f(x) = Vx3 4- 9ж2 — 10 в точках экстрему-
ма.
4. Найдите экстремумы функции у = f'(x), если
f(x) = 1,5а;2 4- 6 In х 4-10.
5. Найдите экстремумы функции <р(я) = е4х — 2е2х 4- 2 cos2
Найдите наибольшее значение функции у = 2 cos Зх 4- 1 на отрез-
ке
7.
Найдите среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значе-
ний функции у = 6у/х — 2>/Ёз — In 2 на отрезке [0; 9].
/4/1
8. Найдите наименьшее значение функции у = Р/——- 4- -х4 5 на интер-
V 4 5
вале
Вариант №4
I. Найдите экстремумы функции у = х3 - 13х 4-5 4- (у/х — I)2.
2. Найдите значения функции f(x) = 2х3—х24-Зж4-1 — в точках
log2£
минимума.
3. Найдите точки максимума функции
Ля) = - — - ?ж3 1х2 4- ~~ п8х2 + 81.
’ 4 3 2^ х2 - 9
4 тт 5 2“ с°82 х
Найдите значения функции f(x) — ~х3 4- Юяг 4- --.-д— в точках
3 28Ш х
минимума.
5. Найдите экстремумы функции у — 2х3 — 4х2 — 14ж + 521°6»
6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
U~2x~ х/6х + 7 на отрезке [—1; 3].
'• Найдите множество значений функции /(я) = ху/2 - х2.
106 CL Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
8. Найдите наименьшее значение функции у = ж In х.
Вариант №5
1. Найдите стационарные точки функции h(x) = 5 • 3х — 45xln3 4- \/3-
2. Найдите значение функции у = 2а;3 — За;2(^а; - З)4 4- 21а; в точке
максимума.
3. Найдите значения функции /(а;) = х3 • ех+3 в точках экстремума.
4. Найдите точки экстремума функции у = /'(а;), если
/(x) = |х3 ——+1пЗ.
О X
5. Найдите целые точки экстремума функции
у(х) = (х — 2)3(х — З)2 + v'V.
6. Найдите наименьшее значение функции у = 2 cos 2х 4- 5 на промежутке
7. Найдите разность наибольшего и наименьшего значений функции
y = 4tyx — tyx4 4-3In2 на отрезке [0;1].
8. Найдите наибольшее значение функции у = Зх — е3х на отрезке [—1; 1].
Вариант №6
1. Найдите значение функции f(x) в точке минимума:
/(ж) = х4 - 8а;3 + 2 4- log3(x + 5) log(x+5) 3.
2. Найдите экстремумы функции у = Зх2 — 5 — 2 • 33Iog3 х.
3. Найдите наименьшее значение функции у = 1п(2х 4- 5) 4-
2
(2а;+ 5)2*
4. Найдите экстремумы функции у =
а;2 — 2а; 4- 2
х — 1
5. Найдите значение функции f(x) в точке максимума:
f(x) = 2(у/х)2 - |х3 + 5.
6. Найдите значение функции /(х) в точке максимума:
/(х) = - 6х2 - 15х.
' х3 + 8
7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 2 sin х 4- sin 2х на промежутке [0; тг].
8. Найдите наибольшее значение функции у = —§1 4- Зх — х2.
С1. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 107
Вариант №7
1, Найдите точки экстремума функции у = 2ж3 — 2х2 4- 3 — .
2. Найдите значения функции f(x) = 521og6ac 4- х3 — 4ж2 в точках мини-
мума.
3. Найдите точки минимума функции
№ - Ь1 + у -
Zu X — Q
lin^
4. Найдите значения функции у = х3 — Зя2------у- в точке максимума,
cos «к
5у/х 2
5. Найдите точки экстремума функции у = 2ж3 4- Зх2 — 12х 4—г-—.
у/х 4- 2
6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = у/2х 4- 6 — х на отрезке [—3; — 1].
7. Найдите множество значений функции у = ху/х 4- 3.
8. Найдите наименьшее значение функции у = 1пх 4- —.
х
Вариант №8
1. Найдите экстремумы функции у = (х — 3)х4г2 — 2х 4-1.
2. Найдите значения функции
f(x) — 4 °g2 V ®-з 3cc2(cos x 4-1) — 6x2 cos2 ~ в точках максимума.
a
3. Найдите точки максимума функции f(x) = х3 (1 — 4- ——
4. Найдите точки экстремума функции
бл/— (4я5 — 4ж4)
/(х) = Зх4 - 4х3 - ------ + 7.
у/1 — X
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
У — у/2(х - 2)2(8 - х) - 1 на отрезке [1; 7].
6. Найдите область значений функции f(x) = ^(2gP + 3) .
х 4“ 4х 4“ 5
7. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями фун-
кции f (х) = cos3 х — 3 cos2 х — 9 cos х +1 на отрезке .
108 Cl. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
8.
1.
2.
Найдите значение функции у = е~(х+3) |п(®+4) в точках максимума.
Вариант №9
Найдите точки экстремума функции у = (3 — ж)\/ж2 4- 6ж 4-13.
4</^ _ 2
Найдите значения функции у = ж3 - 6ж2 4- 9ж 4-в точках
у/х — 2
экстремума.
Iog Д?а+4
3. Найдите значения функции у = 2 2 2®-3 в точках минимума.
ж4 — 2ж2 4-1
4. Найдите значения функции у = 2ж3 — 3 • —р—J-----F 6 в точках
экстремума.
5. Найдите значение функции у = у/х3 — Зж 4-1 в точке максимума. Если
таких значений окажется несколько, то в ответе укажите их сумму.
6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 3sin4 ж — 10 sin3 ж 4- 6 sin2 ж 4- 7 на отрезке 0; — .
L л J
7. Найдите наибольшее значение функции у = 4 sin ж — ж2 — 4жсозж на
[7Г 7Г1
~2; 2J’
8. Найдите среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значе-
ний функции /(ж) = - ; и?.?.Т.-4-на отрезке [—4; —1].
Вариант №10
1. Найдите экстремумы функции у = (2 — х)-/г2 + х +1.
2. Найдите значения функции
1п
f(x) = е ®+2 4- Зж2 - 6ж2 cos2 х 4- Зж2 cos 2х в точках максимума.
3. Найдите точки минимума функции f(x) = ~ —0,5ж44-я3-
х — 9
4. Найдите точки экстремума функции /(ж) = —ж4 4- . х2 4- 3.
1 - Igs
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = у/2х2 4- 5ж — 7 на отрезке [4; 5].
6. Найдите наименьшее значение функции у = -ж!пж — ж In 2 среди ее
значений в точках минимума.
£2. Различные приемы при решении логарифмических уравнений 109
7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
Дя) = 2sin3х 4- 3sin2 х — 12sin5 на отрезке •
8.
Найдите значение функции у = х4 — 8ж2 +
geos3 х
в точке максимума.
3— sin3 х
§ 15. С2. Различные приемы при решении
логарифмических уравнений.
Вариант №1
1. Решите уравнение: (log3 х — З)2 =
l°gx-2 *
2. Найдите наибольший корень уравнения
log 1(1-®)
log2 ж + 2 log2 х + х + 0,2 5 =4.
3. Найдите все значения х, при которых значения функций
у = log5 (1 + -) и д = 4 + 31og5 —у— совпадают.
\ х/ х 4-1
4. Найдите произведение корней уравнения log4 х — 2 = 3 log^ 4.
5. Найдите наименьший корень уравнения log8 (х2 — 3) 4- logx 1 = 0.
6. Решите уравнение: log13 х • log2 (х — 2) — log13 х3 = 0.
7. Найдите корни уравнения log(x+3)2 (2х2 4- 5х 4- 3) = 1.
8. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
у ~ log7(l - 6 • 7®) и д = 2х 4-1.
Вариант №2
Решите уравнение: (2 — log2 х)2 =
81og4g4
bg4x2 ’
log 2 fi-x)
2. Решите уравнение: log| х — 3 log5 х + х + 0,4 5 =7.
3. Найдите все значения х, при которых значения функций
У = log2 Г2 + -')иу = 1- 2log2 „ х-~ совпадают,
х х / 3 4- 2х
Решите уравнение: log7x • log2(2x — 5) = log7x5.
5- Решите уравнение: log2(x +1) - 2 = 41ogl+14. Если уравнение имеет
более одного решения, в ответе запишите произведение его корней.
110 С2. Различные приемы при решении логарифмических уравнении
6. Решите уравнение log(l+1)2 (2х2 + 4г - 2) = 1. Если уравнение имеет
более одного решения, в ответе запишите сумму его корней.
7. Сколько точек пересечения имеют графики функций: у = у/15 — 4х и
У = log2(x - 3)?
8. Решите уравнение: log8ina. (sin 2х + 3 cos2 х + sin2 х) = 0.
Вариант №3
о 10gl+l 81
1. Решите уравнение: (log4 2х + 2) = -2——.
ЬМ3
2. Найдите наибольший корень уравнения
log 1 (26—2s)
3 log27 х — 4 log27 х + 2х + 0,5 2 = 25.
3. Найдите все значения х, при которых функции у ==
и
у = 6 + log3 -2—
X — 1
принимают равные значения.
4. Найдите произведение корней уравнения 2 log7 х 4-1 = logx 7.
5. Найдите наименьший корень уравнения log7(x2 — 8) — log^ 1 = 0.
6. Решите уравнение: log17 х • log3(2x — 3) — log17 х4 = 0.
7. Найдите корни уравнения log^g)» (2^2 - Зх — 8) = 1.
8. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
f(x) = log4(4x — 1) и д(х) = 2х - 1.
Вариант №4
1. Решите уравнение: log3 х — log3 х — 3 = (\/3 - х2)2 4- ж2.
2. Найдите наибольший корень уравнения
logi х - log2 ® - 8 = ~2У^-
у/х — о
3. Найдите все значения х, при которых выполняется равенство
31°S4 (2 + = 21og4 (2 - + 8.
* Лх 11/ \ х 4“«*
4. Найдите корень уравнения 2logsх + 3 • xlogs 2 = 8.
5. Найдите произведение корней уравнения
logi (х 4- 3) + ^/(х + 3)(х + 2) = 0.
6. Найдите наименьший корень уравнения a;Iog* х~'4 = —1°Л2а;
16 — 8 log2 х
7. Найдите сумму корней уравнения (г2 + 2х — 8) log5 (7 — х2 — 5х) = 0.
С2. Различные приемы при решении логарифмических уравнений
111
8. Найдите все значения ж, которое обращают в нуль произведение функ-
ций у = log3 (х2 + 4х + 4) и у ^r(2irx).
Вариант №5
I. Решите уравнение: log9(x 4- 8) logx+2 3 = 1.
2. Найдите наибольший корень уравнения logl 25г + log5 (-^-г2) = 8.
5 \125 /
3. Найдите все значения х, при которых значения функций
у = 41og3a.+1(a;— 3) — 4и?/ = —logx_3(3z4-1) совпадают.
4. Найдите ж, при котором 2lgx — 16 равно (—ж182).
5. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения, если
их несколько: log2 ж 4- 2 log2a. = 1.
6. Решите уравнение: ^х_1(ж2 — 6ж 4- 5)2 = 2. Найдите 2жг — жг, если
жь жг — корни этого уравнения и жх < жг.
7. Найдите произведение корней уравнения logx 3 — log9 ж 4- = 0.
8. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
у = logs(25x - 20 5х) и у = х + 1.
Вариант №6
1. Решите уравнение: (8>/х)10841 = *
2. Найдите все значения х, при которых пересекаются графики функций
У = log2(25x+3 - 1) и у = log2(5x+3 + 1) + 2.
3. Найдите сумму корней уравнения log0 5х + log* 2 0,5 = 1.
2ж
4. Найдите корни уравнения log5(—20 + 5х) = 3 — х.
5. Решите уравнение: 1 + log(x_2) 2 • log2(2x - 1) = 21og(a!_2) 3.
6. Найдите произведение корней уравнения 2logT ®2 + (x2)logT 2 = 4.
7. Найдите наименьший корень уравнения ;---—- + ;------—- = 1.
log3x-6 log3x + 2
8. Решите уравнение: 2 log9 х — 5 log9 х =
112 С2. Различные приемы при решении логарифмических уравнений
Вариант №7
1. Решите уравнение: log2 х — 101og2 х 4-16 = (</16 - ж2)2 4- х2.
2. Найдите наибольший корень уравнения log2 х — 4 log2 х 4- 4 =
у/х — 8
3. Найдите все значения х, при которых выполняется равенство
4M3’dh)~4=5M2+^)'
4. Найдите сумму корней уравнения xlg25 4- 25lgx = 10.
5. Найдите произведение корней уравнения
log|(s 7) + V(x ~ 7)(ж - 8) - 0.
6. Найдите наименьший корень уравнения xlog7 х“3 = .
49 — 49 log7 х
7. Найдите сумму корней уравнения (х2 — х — 2) log7(l — х2 — Зж) = 0.
8. Найдите все значения ж, которые обращают в нуль произведение функ-
ций у = log4(x2 — 2х 4“ 1) И у = Ctg7TX.
Вариант №8
1. Решите уравнение: log2 х — log2 х8 4- х2 — 8х = (/4 — х)4 — 23.
2. Найдите сумму корней уравнения
In (-----—-------------------= 21п
\ (3 — ж)(ж 4-1) х2 — 2х — 3/ Зх 4-1
3. Решите уравнение: 16log2х 4- xlog2 х4 — 32 = 0.
4. Найдите наименьший корень уравнения 1g2 ж4 4- 201g ж2 = 24.
5. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: 2log7 - xlogT 8 = х3 - бж2 4- Зх 4-10.
6. Найдите все значения ж, при которых значение функции
у = к^з-ДПж2 - 25ж 4-15 — ж3) равно 3.
7. Решите уравнение: log2x+1 (8ж3 - 35ж2 4- 52ж-35)-log2x_3 (2x4-1) = 3.
8. Найдите значение функции /(ж) = arcsin ~ при ж, которое обращает
4 ।
функцию у = ---——— в единицу.
logx(64x)
Вариант №9
1. Решите уравнение: log| х — 2 log3 гг4-3 = 2 — — 3|.
С2. Различные приемы при решении тригонометрических уравнений 113
----------------------------------------------------------------
2. Решите уравнение:
2logi (—тт------+ logi (7 - х----------+ 1 = 0. В ответе запи-
+ 1 « —3/ 2' «4-5/
щите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько.
3. Решите уравнение: «lg25 — 4 • 5Igx = 5.
4. Решите уравнение: logx_1(j;+ 5) = 2.
(х ~~ 412 \
5. Решите уравнение: logx3+2a.2 1—-7+- = 1.
у х + 2 /
_ ч 1 + log? %
6. Решите уравнение: xlog®-2’J = -——,
3 4“ 3 logjj х
7. Решите уравнение: logx+2(x3 + 2х2 - 1) • logx+1(x + 2) = 2.
8. Решите уравнение: (х2 — Зх) log2(x3 — 7х2 + 15х — 9) = 0. В ответе
запишите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько.
Вариант № 10
1. Решите уравнение: log| х + log3 х — 2 = (\/4 — х2)2 + х2.
2. Найдите сумму корней уравнения
10g2 ~ ТТй) +4 = 3 log2 (х - 4 + .
— 1 х + 2/ х «4-о/
3. Найдите все корни уравнения 6log« х 4- «loge х = 12.
4. Найдите наибольший корень уравнения 1g2 х3 4- lg«2 = 40.
5. Найдите корень уравнения или произведение всех его корней, если их
несколько: 5loge х + «loge 5 = х2 — 6х — 16 4- 2«loge 5.
6. Найдите все «, при которых значение функции у = 1<^2_я (2х2 — 5х+2)
равно 2.
7. Решите уравнение: logx+1 (х3 - 9« 4- 8) • log*-! (« 4-1) = 3.
8. Найдите значение функции у = 6« при «, которое обращает в нуль
функцию у = ^/logx(8x4) + logx(8x2).
§ 16. С2. Различные приемы при решении
тригонометрических уравнений.
Вариант №1
1. Решите уравнение: 28‘п® • 28i“31 = 16СО®2 х.
114
С2. Различные приемы при решении тригонометрических уравнений
2. В скольких точках произведение функций у = sin8x и у = arcsinx
равно нулю?
3. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
cos х • у/х2 — 4 = 0.
4. Найдите все х, обращающие в нуль произведение функций
( J2\ 1
У = I cos ж - I и у = logn X.
5. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
/(х) = (sin2 х — 1) • 1п(—х)2 с осью Ох.
6. Найдите корень уравнения cos х = х2 — 4тгх 4- 4тг2 4-1.
7. Решите уравнение: 1 4- tg2 х = х2 4- (V4 — х2)2.
8. Определите количество корней уравнения v/l + tg2x4-tg4x = 1 на
промежутке [—тг; тг].
Вариант №2
1. Сколько корней имеет уравнение arccos х • cos 5х = 0?
2. Решите уравнение:
2(sinx 4-1) sin2 х — (2 cos2 х — 1) sinx 4-1 — 2 cos2 х = 0.
3. Решите уравнение: 2е083 4- 2х = х2 4- 3.
4. Решите уравнение: sin х 4- cos х 4-1 = 2 sin 2х.
5. Решите уравнение: \/H“tg3x4-6tg2х = 1.
6. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
у = cos2x — sinx — cosx с осью Ох.
7. Решите уравнение: cosx = | cosx| • (|х2 4- х| — 1).
8. Найдите количество корней уравнения
(|v/3sinx — cosx| — 1) • у/1 — х2 = 0.
Вариант №3
1. Решите уравнение: ЗСО84х. 3е082х = 32cos2x
2. В скольких точках график произведения функций у = sin4x и
у = arccos х пересекает ось Ох?
3. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
sin 4х • л/1 — х2 = 0.
4. Найдите все х, при которых произведение функций у = sinx —
2
у = log12 х равно нулю.
С2. Различные приемы при решении тригонометрических уравнений
115
5. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
f(x) = (cos2 х — 1) • In |ж| с осью Ох,
6. Найдите корни уравнения 4 sin ж = 4ж2 — 4тгж 4- тг2 4- 4.
7. Решите уравнение: 1 + 3 tg2 х = ж2 4- - ж2.
8. Определите количество корней уравнения л/4 4- tg Зж 4- tg 5ж = 2 на
отрезке [0; тг].
Вариант №4
1. Найдите все корни уравнения (1 + соб4ж) зш2ж = cos2 2ж на интерва-
ле (0; тг).
2. Найдите наибольший корень уравнения z - = о.
уж(3тг — 2ж)
3 — ж
3. Найдите сумму корней уравнения cos ж • log3 --= 0.
3 4- ж
4. Найдите координаты точек пересечения графиков функций
у = зш2ж4- соэ2ж и у = log1_a;2 (1 — ж2).
5. Укажите множество всех чисел ж таких, что | cos ж| = cos ж • (ж — 5)2.
6. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций
»=1-^2т »» = 1+“з4*-
7. Найдите наибольшее ж, для которого произведение функций /(ж) и д(х)
равно функции Л(ж), где /(ж) = sin ж, д(х) = \/3 — ж2,
Л(ж) = |зтж|.
о г, о ( sinx 4- cos ж = 1,
8. Решите систему уравнении: < . ’
J [ 8ШЖ • СОБЖ = 0.
Вариант №5
8i°(l)
I. Решите уравнение: 1 4- 3ctgx = 6 •
2. При каком значении ж значения функций у = агс8т4ж и у = arccos Зж
совпадают?
3. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у — sin 5ж и
У = cos 2ж.
4. Найдите наименьший положительный корень уравнения
Ззшж 4- 8ш2ж — Зсобж = 1.
5. Найдите сумму корней уравнения (1 — 2 sin2 ж) • V9 — ж2 = 0.
116
С2. Различные приемы при решении тригонометрических уравнений
6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
sin2! - - • 5>ов5(»ь®) =
5 5
7. Определите количество корней уравнения sin х = —х2 + 2х 4- 2.
8. Решите уравнение: log2 (х2 — 4х 4- 8) = sin 4- cos тгх.
Вариант №6
1. Решите уравнение: 4 \ — cos 2х| = 3 sin х cos2 х.
\у/тг2 ~ х2 J
2. Укажите множество всех х таких, что tg4x — sin4x = 2 sin2 2х.
3. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций у = | sin я;| и
у = Зсозх.
4. Найдите все х, для которых выполняется равенство
8 cos2 х 4- sin 2х 4- 6 sin2 х = 6 • —
cosx
5. Решите уравнение: \/3sin2x 4- cos2x = (sin2x 4-
6. Укажите наименьший корень уравнения
6sin2x — 7sinxcosx 4- 3cos2x == 1-.
log4 х*
7. Найдите сумму корней уравнения
, к/ . х х\ к v/(x-7r)(67r-x)
sinx 4- 5 sin ~ - cos -) = 5 • -
\ 2 2/ у/(х - б7г)(тг - х)
8. Решите уравнение: I tgxl = cosx-—.
cosx
Вариант №7
1. Решите уравнение: 2 sin2 х 4- cos 4х = .
у/х(7Г - х)
2. Найдите сумму корней уравнения cosx • log2 (4 — х2) = 0.
3. Укажите наименьший корень уравнения sinx • у/9 — х2 = 0.
4. Пересекаются ли графики функций у = sinx 4- cosx и
у = (>/1 — ж2)2 4- х2? Если да, то укажите абсциссы этих точек пересече-
ния.
5. Укажите множество всех чисел х таких, что sinx = | sinx| • (х — 4)2.
С2. Различные приемы при решении тригонометрических уравнений 117
----•---------------------------------------------------------------
6. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций
2 cos х • sin 2х . п. г* 1
_ ----2--4- cos2x и у = 2соэж — 1.
у tgж
7. Найдите наибольшее х, для которого значение произведения функций
f(x) и д(х) равно значению функции h(x), где f(x) = | соэж|,
д(х) = \/4 — х2, h(x) = cos х.
8. Найдите все х, для которых выполняется равенство sin3 х 4- cos7 х = 1.
Вариант №8
1. Найдите все значения ж, при которых выполняется равенство
соз4ж 4- sinx.
8.
2. Решите уравнение: sin 2а; - x/3smx — \/2 cosir + = 0.
3. Найдите все корни уравнения cos ж — sm ж = —j'•
4. Решите уравнение: 2 sin (ж + ~ cosx = I вшж|.
5. При каких значениях ж значение функции у = cos2 ж совпадает со зна-
чением функции у — \/2ctg |ж| ?
6. Найдите наименьший корень уравнения cos 2ж • log i (^ — ж2) =0.
з V4 /
7. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций у = tg 2ж и
У = 21о8« 3 • log4_a.2 (4 - X2).
Решите уравнение: 6ж arcsin 2ж — ягж = 5яг — 30 arcsin 2ж.
1.
2.
3.
Вариант №9
/о 1
Решите уравнение: sin х 4- ± cos х = sin 5ж.
Решите уравнение: 4 sin3 х - 2 cos3 х — 3 sin х 4- 2 cos х = 0.
Решите уравнение:
sin2хsinх — cos2хsinx 4- cosхsin2х 4- cosх = соз2жсозж — sinx.
4. Решите уравнение: 3 sin Зж — sin fix = 3 cos Зж — 3.
5. Найдите наименьший корень уравнения
О г» • . Л logo
cos 5ж sin ж 4-sin 4ж = -— .
1 4- log3 ж
6. Решите уравнение: соэЗж • соэ2ж = 1.
118
С2. Различные приемы при решении иррациональных уравнений
7. Решите уравнение: 5 sin2 х 4- 8 cos х 4-1 = | cos х| 4- cos2 х.
8. Сколько различных корней имеет уравнение
л/25тпе — х2 • (cos х cos 7х 4- sin х sin 5х) — О?
Вариант №10
1. Найдите все значения х, при которых выполняется равенство
созЗх = cosx — sinx.
2 2
Л тт *» Ctg2x , CtgX , о V 27ПЕ — X2
2. Найдите все корни уравнения —6---1---°— 4- 3 = —>.......
ctg х ctg 2х у/ 2тгх - х2
3. При каких х высказывание
sin х 4- V^cosz = log2(27r — х)
bg72
log7(27r - x)
• loga; x истинное?
4. Решите уравнение: \/2cos(x 4“ 4) = sinx 4-1 cosx|.
5. При каких значениях х значение функции у = \/3| tg ж| совпадает со
значением функции у = 2 sin2 х?
6. Какие числа из
промежутка ^^;2тг^
обращают в нуль функцию
2/ =
l+lvl+9cos2i+cos??
а м 1/ лл А £»
7. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций
у = cos 2х — sin 2х и у = — (<1 — х2)2 — х2.
8. Найдите наименьший корень уравнения
1 — log7 х
4 sin Зх sin х + 2 cos 2х =-.
logrf
§ 17. С2. Различные приемы при решении
иррациональных уравнений.
Вариант Nzl
1. Решите уравнение: т2 + 4rc = 3,log3(.ty/x+xy^)
С2. Различные приемы при решении иррациональных уравнений
119
2. Найдите корни уравнения
\4г2 — 9
lg(—яО
= 0.
3. Найдите нули функции у — з^х-г+з _ 25.3VX-2 _ jg
4. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
у = — $х3 - 1 и у — л/1 - 2я 4- х2.
5. При каких значениях х сумма значений функций у = log2 у/х и
у = log2 у/х — 3 равна 1?
6. Найдите наименьший корень уравнения \Лг2 4-17 — 8\/х2 -М7 = 3.
7. Найдите корни уравнения у/(х — I)2 — х = 4.
8. Найдите наименьший положительный корень уравнения
yiOtgx + 13 - 2\/3 = x/Stgz.
Вариант №2
1. Решите уравнение: х2 — 2х =
_ ~ (х2 — 2х) • у/х2 4- Зх — 4
2. Решите уравнение: А---------------------= 0.
3. Решите уравнение: 5^4®*-12+1 _ 2g. 5^-3 _|_ 5 _ q
В ответе укажите корень уравнения или произведение всех его корней, ес-
ли их несколько.
4. Решите уравнение: \/2 — х = 1 — у/х — 1.
5. Решите уравнение: х/2х4-3 4- v/i 4-1 = 3x4- 2у/2х2 4- 5х 4- 3 - 16.
6. Решите уравнение: ~~^2 = 2’
7. Решите уравнение: л/2созх 4-1 = д/З cos х.
8. Решите уравнение: ^/х2 4-х(1 — 2у/х) 4- у/4 + х — 4у/х = 5.
Вариант №3
1. Решите уравнение: 2х2 = 7*087 (4®v/®+ev'») _ зж
л/2д:2 -|- 4х
2. Найдите корни уравнения . — = 0.
3- Найдите нули функции у = 52+v<e+3 _ до.
4- Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
У = ~ fyx3 — 8 и у = у/х2 — 4ж 4-4.
120 С2. Различные приемы при решении иррациональных уравнений
5. При каких значениях х сумма значений функций у = log12 у/х —2 и
У = log12 у/х-3 равна |?
6. Найдите произведение корней уравнения
у/х2 + 39 - 1у[х2 + 39 = 2\/2.______
7. Найдите корни уравнения д/(х +1)2 + у/{х — 4)2 = 5.
8. Найдите наименьший положительный корень уравнения
х/2 sin х = д/З • tg х.
Вариант №4
1. При каких значениях х значение функции у = х2 — 7х +10 совпадает
со значением функции у = (х - 5) • \/2х — 4?
2. Найдите наименьший корень уравнения \/5х — 15 • (х2 — 9х + 8) =0.
3. Найдите произведение корней уравнения
Зч/(ж + 2)(а; + 6) + 7^-(х + 2)(х + 5) = cos
4. Найдите сумму корней уравнения 5 f/ — ?/ * =4.
у 2х 4-1 у х 4- 2
4“ \/х
5. Найдите наименьший корень уравнения —¥7= = 4.
у/х — у/х
6. Решите уравнение: у/х2 — Зх 4- х2 - Зх = 6.
7. Решите уравнение: - = 1.
cosx
8. Найдите абсциссы точек, в которых графики функций
у = -^/116 — (х 4-1)2 и у = х — 5 пересекаются.
Вариант №5
1. Решите уравнение: х2 4- 2х 4- 2у/х2 4- 2х 4- 5 = 3.
2. Найдите сумму корней уравнения (9 — х2) • у/—5х — 10 = 0.
3. Решите уравнение: Vx 4-4 — у'х 4-1 = 1.
4. Найдите сумму абсцисс точек пересечения графиков функций
у = у/х 4-1 и у = ^2x 4-1.
5. При каких значениях х сумма значений функций
у = у/2х 4- 7 — — х и у = у/х — 3 — у/Зх — 2 равна 0?
6. Решите уравнение: у/х — 2у/х — 1 = 4х — х2 — 4.
7. Определите количество корней уравнения ^(х — 4)4 = 4 — х2.
С2. Различные приемы при решении иррациональных уравнений
121
8. Найдите корни уравнения Vain2 а: = sin х + 2 cos х.
6.
7.
8.
Вариант №6
1. При каких значениях х пересекаются графики функций \/Зх2 4- х 4- 4
и у = Зх - 1?
2. Решите уравнение: Уб 4- \/х + 5* 4- Уз - у/х~+5 = 3.
3. При каких значениях х значение функции у = х2 4- 8х 4- 2у/х2 4- 8х
равно 15?
4. Найдите произведение корней уравнения 2 Ух*"—3 4. tyx2 __ 3 = 3
5. Найдите сумму корней уравнения (х2 4- Зх - 10) • \/Зх2 4- 17х — 6 = 0.
г*----7 2\/Зх 4- 2
Решите уравнение: у/Ъх 4- 4 = .
V Зх 4“ 2
Найдите нули функции у = (2х — 1)\/2х2 — 1 4-2 4- 2х2 — 5х.
Найдите сумму корней уравнения п 4- = 2.
V х 4-2 5
Вариант №7
I. При каких х значение функции у = х2—12x4-35 совпадает со значением
функции у = 4(х — 7)y/xi
2. Найдите наименьший корень уравнения \/Зх — 6 • (х2 — 8х 4- 7) =0.
3. Найдите произведение корней уравнения
2^-(х - 8)(х - 1) - 3У(х - 9)(х -Т) = sin 7ГХ.
4. Найдите сумму корней уравнения f/ х -
у х — 2 у х 4-1 2
4^x4- х/х
5. Найдите наименьший корень уравнения -тг=—= 3.
у X “ у X
6. Решите уравнение: у/х2 - 6х 4- х2 — 6х = 2.
7. Найдите наименьший положительный корень уравнения
уТ- cosx _
sinx
3- Найдите абсциссы точек, в которых графики функций
У = у/14 — у/(х — 2)2 и у = х — 4 пересекаются.
Вариант №8
!• Решите уравнение: 5л/1 — sinrc = cos х.
122
С2. Различные приемы при решении иррациональных уравнений
2. Решите уравнение: ? . д/4 — х2 = 0.
х
3. Найдите все х, для которых выполняется равенство
х2 + х = 2 4- 2(х — 1) у/2х.
4. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
/ х ~ 2 , sinirx 4 vl — cosx „
у У х + 10 х
_ / х 4-1 , sin тгх . у! — cos х
У У 2х - 5 х х
5. Решите уравнение: Vx2 — х - 12 4- Убх -- х2 — 4 4 tg = 1.
2Х 4
С гт » / 2х , 12(х + 3) 9^2
6. Найдите корни уравнения </----- + J —-----L = . 4 .
у х 4 3 у х %/х\х 4 3J
7. При каких х значение функции у = у/х2 4 16 — 8х 4 4 не больше и не
меньше значения функции у = 5у/х — 4?
8. При каких х высказывание______________
^/Зх 4 2 4 4\/Зх - 5 4 у/Ъх + 14 4 8\/Зх -И = 16 обращается в истин-
ное?
Вариант №9
1. Найдите количество корней уравнения (х2 — 5х 4 4) • у/3 — х = 0.
2. Решите уравнение: х2 4 х - 6 = ,
3. Решите уравнение: -/^ + 3 4 у/7 — х = у/2дГ4 1.
4. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
/ х -4- 2 / 4 х — 1
у = /±_Е-----|-4зШ7ГХ И у = 4/—--------F4sin7TX.
у х 4 1 у
5. Решите уравнение: -/6 — х — х2 = 4 — у/х2 4x42.
6. Решите уравнение: Vcos 2х = 1 4 2 sinx.
7. Решите уравнение: у/4х 4 17 — 3 = |х 4 2|.
8. Решите уравнение: у/х 4 3 — 4д/х — 1 4 у/х Л-— Ъу/х — 1 = 1.
Вариант №10
1. Решите уравнение: \/1 ~ cosx = sinx.
2. Найдите количество корней уравнения (Зх2 — х — 2)\/4х — 2 = 0.
С2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 123
.——— ""1
3, Найдите все х, для которых выполняется равенство
х2 — 4х — 32 = 4(ж — 8)-^.
4. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
X 4- 1 , О 7ГЖ „ _ / X 4- 4 , о 4.^ ТТЛ
» = V^3 gT“9 = y3^s + 3teT-
5. Найдите наибольший корень уравнения
Зх/--х2 4- 9х — 14 — 9 tyx2 — 5х — 14 — 1 = costtx.
/ х / х — 1 3
6. Найдите корни уравнения х / —--F < / -—£ ,
у х - 1 у х у/х(х - 1)
7. При каких х значение функции у = у/9 — 6х + х2 не больше и не мень-
ше значения функции у = 4у/х — 3 4-12?
8. При каких х высказывание
х/ж —2 4-\/2я — 5 4- х/х4-2 4-Зл/2ж —5 = 7\/2 обращается в истинное?
§ 18. С2. Уравнения, содержащие переменную под
знаком модуля.
Вариант №1
1. Найдите наибольший корень уравнения f(x) = g(x), если
/(ж) = |2я - 11, д(х) = у/(х + 5)2.
2. Найдите значения х, при которых произведение функций у = 21х' и
у = 2^—11 равно 32.
3. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у = lg(4 — 3|х|) и
y = lgx2.
4. Найдите значения х, при которых у = 6, если у = |х 4- 8| — |х|.
5. Найдите наименьший положительный корень уравнения
cos 2т — 1 = —.
|cosx|
6. Найдите нули функции f(x) = |х 4- 2|т — 1|| - 4я 4-1.
7. Найдите абсциссы точек, в которых график функции у = |х2 — 4х| — 5
пересекает ось Ох,
8- Решите уравнение: ^/|1 — 31og2 х| = 1 — 3| log2 х|.
Вариант №2
Решите уравнение: х2 4- 3|х 4-1| — 1 = 0.
124 С2, Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
2. Найдите значения х, при которых произведение функций у — и
у = з1ж+21 равно 9.
3. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
У = log2 (5 - |х|) и у = log2 (х2 - 1).
. п |х| - 2х 4-1
4. Решите уравнение: —-----j— = 1.
|3 х|
5. Найдите нули функции у = |3х - |х - 2|| - 2х - 3.
6. Пересекаются ли графики функций у = \/9 4- 4 • 2х — 41 и
у = |2Х — 4| 4- 3? Если да, то укажите абсциссы точек пересечения.
7. Решите уравнение: (2|х 4- 1| — 3|х — 2|| = х — 5.
8. Решите уравнение: ^/|1 — 3 log2 х| = |1 4- log2 х|.
Вариант №3
1. Найдите наименьший корень уравнения /(х) = g(x)t если
f(x) = |3ат - 5|, g(x) = y(5~2x)2.
2. Найдите значения х, при которых произведение функций у = з1х-11 и
у = з1х~31 равно 9.
3. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у = 1п(5|х| 4- 6) и
у = 1пх2.
4. Найдите значения х, при которых у = 3, если
у = |д! - з| |д! 4- 2| - |х - 4|.
5. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
• л । 1 2 sinx
sin 4x4-1 = т—:—=7.
|smx|
6. Найдите нули функции /(х) = 113 — х| — х 4-1| — я — 6.
7. Найдите абсциссы точек, в которых график функции
у = |х2 — х 4- 3| - х - 2 пересекает ось Ох.
8. Решите уравнение: У|1 - 21og3x| = 1 — 2| log3x|.
Вариант №4
1. Найдите наименьший корень уравнения 2lx+3l = 83х"“5.
2. Найдите произведение корней уравнения
I*2 ~ 91 • X - 4х - 12 = 0.
х —3
3. Найдите все значения х, удовлетворяющие равенству
cos х = | cos х| • (х 4- З)2.
С2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
125
4, При каких значениях х значение функции у = |2Х — 4| равно значению
функции у = (Зх - 14) (2® - 4)?
5. Найдите сумму корней уравнения | log2 х — 3| = (5 — Юж) (log 2 х — 3).
I 21 *” х
6. Решите уравнение: 1 , - 1 ,— = 3.
|1-х|
7. При каких значениях х значения функций у = |3ж — 9| и
1----т — (х — З)2 совпадают?
8. Пересекаются ли графики функций
у = у/(5® — 8)2 4- у/(1 — 5х)(5х 4- 4) и у = 8 — 5®? Если да, укажите
абсциссы точек их пересечения.
Вариант №5
1. Найдите произведение корней уравнения |3ж — 4| = ^/(ж4-2)4.
2. Найдите сумму значений х, при которых произведение функций
у = з1х~21 и у = З1®-3! равно 9.
3. Найдите произведение абсцисс общих точек графиков функций
У - log2 (х2 4- 2) и у = log2 3|ж|.
4. Найдите нули функции у — | |ж — 2| 4- 4| - 5.
5. Найдите наименьший положительный корень уравнения
sino: = д/3|созж|.
6. Решите уравнение: — 2\/ж4-3 4-4 = х.
7. Найдите сумму корней уравнения |ж2 — 8ж| — 9 = 0.
8. Найдите отношение где ху < ж2 и ху, хг — корни уравнения
х2
^°6|4®+1| 7 4- log|9a.| 7 = 0.
Вариант №6
1. Найдите сумму корней уравнения 5l3®-7! =0,2-21®+11.
2. Решите уравнение: 1соза:1 4--* * = 2 tg2 х.
cos2 х 1 — sm х
3- Найдите все х, для которых выполняется равенство
|2® - 8| 4- 2® = 4® - 8.
4. Найдите наименьший корень уравнения
г°Ез(х 4- 5)| = ((ж 4- 5)(ж 4- 2) 4-1) log3(;r 4- 5).
Решите уравнение: у/х2 4- 6ж 4- 9 4- у/х2 — Юж 4- 25 = 2х — 2.
Укажите число корней уравнения | tg ж| • V25 — ж2 = 4 tg х.
126
С2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
7. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
У = 13x^81 И2/ = 5+ 2
I х I |х|
8. Решите уравнение: |sin2 х — 5| 4- ctg2 х = 5^.
а
Вариант №7
1. Найдите наименьший корень уравнения З'5 Х1 = 92х 5.
2. Найдите произведение корней уравнения
Х4“ 1
х 4- 5х — 5 = 0.
3. Найдите все значения х, удовлетворяющие равенству
sinx = | sinx| • (х 4- 2,5)2.
4. При каких значениях х значение функции у = |ех — 1| равно значению
функции у = (4х - 7)(ех — 1)?
5. Найдите сумму корней уравнения | log3 х — 1| = (2 — 4x)(log3 х — 1).
Решите уравнение: —гг
6.
— х
7. При каких значениях х значения функций у = |2х — 4| и
2/ =
3
|х — 2|
— (х — 2)2 совпадают?
8. Пересекаются ли графики функций
у = у/(2х - 7)2 4- У(5 - 2Ж)(2® 4-1) и у = 7 - 2х? Если да, укажите
абсциссы точек их пересечения.
Вариант №8
1. При каком значении х выражение |2х — Зу — 8| 4- |4х — Зу — 7| будет
равно нулю?
2. Найдите наименьший корень уравнения -—г 4----= 3.
|х — 1| х 4- 3
3. Найдите все значения х, при которых график функции у = | cosx| пе-
ресекается с графиком функции у = sinx.
4. Решите уравнение: 2х - 3 4- |3х - 1| = |5х - 4|.
5. Решите уравнение:
\/10 — sin2x — бсозх = 4- 2^/cosx(cosx — 2) 4-1.
а
л 2|х 4-51 — |х — 11 о
6. Решите уравнение: -1-г-1—l----1 = 2.
|2 — х|
С2. Различные приемы при решении показательных уравнений 127
7, Найдите абсциссы общих точек графиков функций у = |Зх+2 — 11 и
,= |з-з-+ч.
8. Найдите корни уравнения log2 х = 4 + (2х Ч- 1) • | log2 х — 4|.
Вариант №9
I. Решите уравнение: 2|х + 2| + 3 = (х Ч- 2)* 2.
2. Решите уравнение: Ч--------— — 2.
|х| х Ч-1
3. Решите уравнение: |х2 — 9| Ч- |х — 2| — 5.
4. Решите уравнение: х Ч-1 Ч- |2х ч-1| = |3х Ч- 2|.
5. Решите уравнение: |а? —1| Ч- рг — 2| Ч- |х — 3| = х.
п И “ I®®! п
6. Решите уравнение: .,-----L. । ,---------= 0.
V 2а;2 — 4х — 1 — |х| Ч- 2
7. Найдите абсциссы общих точек пересечения графиков функций
у = |log5 х - 1| и у = (2 - 5z) log5
8. Решите уравнение: |Зх+2 — 20| —10 — 3х.
Вариант № 10
1. При каких значениях х сумма функций f — |3rr-F2/—6| ид = |я—Зг/+7|
обращается в нуль?
2. Найдите все решения уравнения |sin2 х — 2| = \/1 — cos2 х.
3.
Найдите все х, при которых график функции у =
|cos х — 11 пересека-
ется с графиком функции у = sinx —
1
2
4. Найдите все х, при которых значение функции у = 9lx 2l8inac равно
значению функции у = 3XIsin Х1.
5. Решите уравнение:________
2^^/cos2 2я + 1 + 2 (2 sin2 я — 1) — \/(7 — 6 cos 2я)2) = \/5б — 12.
6- Найдите корни уравнения_______
\/(7 — 31nj;)2 + -У(1пж + 1)(1пх — 2) = 31пх — 7.
7- Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
^=|2х+1-7|иу = 5-2х.
8- Найдите корни уравнения | log4 х - 1| = (2х + 5)(log4 х — 1).
128
С2. Различные приемы при решении показательных уравнений
§ 19. С2. Различные приемы при решении показа-
тельных уравнений.
Вариант №1
1. Найдите абсциссы общих точек графиков функций у = 0,008^ и
у = 0,2 • 0,2'/5х+к.
2. Найдите нули функции у = 0,5 • 2lx+1l - 2^~XL
3. Найдите все значения х, при которых значение функции
f(x) — 2 * 3х + 9 • 4х равно значению функции д(х) = 12х 4-18.
4. Найдите рациональные числа, которые являются корнями уравнения
|24«2-1 - б| = 3.
х—1
5. Сколько корней имеет уравнение (9х + 8) х+2 = (9х + 8)2®?
6. Найдите наименьший положительный корень уравнения
3sin®+i + 5.38inx _ 24
7. Решите уравнение: = 3i-x_;-p
8. Найдите значения х, при которых выполняется равенство
V0.0O8 - 5х = 3 - |®|.
Вариант №2
1. Решите уравнение: у/х • Зх+4 + 54 - 6 • Зж+3 — 27 у/х = 0.
2. Найдите нули функции /(х) = 2'/х2+2ж-2 — 4^+2*-2 + 2.
1 — 4х 1
3. Решите уравнение: - ——- + 1 = -—— •
5 • 22х - 16х - 6 2 - 4х
4. Решите уравнение: |з^3я;2+4а;+1 — 2| = 1. В ответе запишите корень
уравнения или сумму его корней, если их несколько.
5. Решите уравнение: V32x — 4 = 3х — 2,5.
6. Решите уравнение: 25б+х • 38+х • 43х = (384)14-х.
7. Решите уравнение: \/5 — х2Х+3 = 1.
8. Решите уравнение: 32х2 — 4 • зх2+2х+2 + 35+4® = q g ответе запишите
корень уравнения или сумму его корней, если их несколько.
Вариант №3
1. Найдите абсциссы общих точек графиков у = 0,09^ и
у = 0,027 • ОЛ^3®-11.
С2. Различные приемы при решении показательных уравнений 129
2. Найдите нули функции /(ж) = | • з'2ас4‘в1 — 3^L
3. Найдите все значения х, при которых значение функции
д(х) = 9 • 7х + 7 • 3х равно значению функции f(x) = 21х 4- 63.
4. Найдите рациональные числа, которые являются корнями уравнения
|32х2—16 _ 7| _ 2.
5. Решите уравнение: |а? — з|3®а-1о®+з _
6. Найдите наименьший положительный корень уравнения
^sinx 2^—2sinx __ jg
7. Решите уравнение: __ = 1 .
51 х — 55 5 х + 45
8. Найдите значения х, при которых выполняется равенство
0.00 - 10х = 2 - |х|.
Вариант №4
1. Решите уравнение: +1 — 11) — у/х + 1 11® — 11х+1.
2. Найдите все х9 для которых совпадают значения функций
у = 4х - 10 • 2х + 12 и у = (у/х2 - 4)2 - х2.
3. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций
у = 22х w • 53х • 74х“5 и у = 14005-х.
. „ З5х+3.4-ЗХ-1 in (х -|-1)
4. Сколько корней имеет уравнение q^-^x+s = ln^a. + 1j?
5. Найдите сумму корней уравнения (я + 3)!х~21 = 1.
6. Найдите наименьший положительный корень уравнения
527smx _ g . 5 Vein т + 5 _ Q
7. При каком значении х значение функции у — 2~Iх! равно значению
функции у = log2 (2 + я2)?
8. Найдите наибольший корень уравнения (8,3®а_6®+8) = 1.
Вариант №5
1- Найдите абсциссы общих точек графиков функций у = 2v'2x-4 и
У = 2 • 2'/х+5.
2. Найдите нули функции у = 2l4x-6l — 4l3x~4l.
3. Найдите все значения х, при которых значение функции f(x) = 3 • 4х
Равно значению функции д(х) = 5 • 6х — 2 • 9х.
9 Зак №461
130 С2. Различные приемы при решении показательных уравнений
4. Найдите целые числа, которые являются корнями уравнения
|з®2-® - б| = 3.
5. Сколько корней имеет уравнение |х — 5|®2_4x-5 = р
6. Найдите корни уравнения Зж “4а;+5 = 2 4- cos2 2тгж.
7. Решите уравнение: = *
о — Z О — 1У
8. Найдите значения х, при которых выполняется равенство
= I® - 3|.
Вариант №6
1. Решите уравнение: 3 • 81® — 9®+1 4-10 = 19 • З2® + 31О6з(1-2®) + 2х.
2. Сколько корней имеет уравнение ________
у/6 - 2х2 • (4® - 2®+3) + 2®+4 = 2 • 4® + 14 - 7V6 - 2х2?
3. Найдите все х, при которых график функции
у = 6 • 25® — 17 • 10® + 5 • 4® + у/х — log3 3^ пересекает ось Ох.
4. При каких значениях х значение выражения |х2 + 2х +1|2®+2 равно 1?
5. Решите уравнение: | вштгх — 5| = 6 + (4® — 8)2.
6. Найдите все х, при которых значения выражений 2® ~4 и
(10®-2)3 • 54-®2 равны.
7. Найдите все корни уравнения у/х°5у/*5 6 * 5®2~5®+1 = 5.
8. Решите уравнение: 4® + х • 2®+l — 2®-1 +14 • 2® + х — 7.
Вариант №7
1. Решите уравнение: 2>/х • 7® — 7®+1 = | (2>/® — 7).
2. Найдите все х, при которых значение функции
у = З2® — 12 • 3® + 30 равно значению функции у = х2 + (\/3 — х2)2.
3. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций
у = 316+® • 44+® • 53® и у = 5408-®.
24x4-2 . д—Зх—1 ।
4. Сколько корней имеет уравнение g’ggTyTl— = вву?
5. Найдите сумму корней уравнения |а; — l|l4~2 = 1.
6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
32^/lgx _ 2.-3 = 0.
9*
С2. Различные приемы при решении показательных уравнений
131
7. При каком значении х значение функции у =
zixH
равно значению
функции у — sin2 х + 1?
8. Найдите наименьший корень уравнения (7,8x2_4x+3)v^~5 = 1.
Вариант №8
1. Найдите значения х, при которых выполняется равенство
214—х . 3I8—2х . у31—4х = 12348х"*"1
2. Найдите все значения х, при которых значение функции
У = 9х 4- 541og^_3)2 — я) равно значению функции у = 12 • 3х.
3. Найдите абсциссы общих точек графиков функций
/(ж) = 2х • 3х - 18я и д(х) = 27 - Зх+1.
4. При каких значениях х, значение функции у = 9х — 2 |3Х - 3| совпадает
со значением функции у = 2 • 3х 4- 3?
✓ ч х—4
5. Решите уравнение: 27(5/16 — 3)х-4 = (
6. Найдите корни уравнения 72®2-1 — 5.7®2-2®-з _ 2. у4(®+1)
7. Решите уравнение: |ж + 5|x2+3«-io _ j
8. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
f(x) = 3х + 5х и д(х) = 23х.
Вариант №9
1. Решите уравнение: з2«2+6«-9 4. 4. 15®2+31 5 = 3.52®2+б®-9
2. Найдите все х, при которых значения функций у = 22х — 2х+2 + 8 и
У = \/2х — х2 + 15 совпадают.
3. Решите уравнение: х2 • 2'/2x+i~1 + 2х = 2'/2х+1+1 + х2 • 2Х~2.
4. Решите уравнение: (\/3 + у/2)2х~4 = (л/3 — у/2)г~х.
5. Решите уравнение: 36х — 3 • 4х — 2 • 9х + 6 = 0.
6. Сколько корней имеет уравнение 23х + 2х — 2 = , —-% ?
1 — cos х
Решите уравнение: |1 — = 1.
8. Решите уравнение: 9х = 10 • з^+® — 91+^.
10 Зак № 461
132 С2, Различные приемы при решении комбинированных уравнении
Вариант №10
1. Найдите все значения х, при которых выполняется равенство
213—х , gll—2х . g9—Зх __ 3gQ®+2
2. Найдите все х, при которых значение функции у = 4х - 6 • 2х 4-10 равно
значению функции у = (г/2~- ж2)2 + х2,
3. Найдите абсциссы общих точек графиков функций f(x) = 2х • х — 4х и
д(х) = 4-2х,
4. При каких значениях х значение функции у — 3 • 72х -I- 7 • |7Х — 5|
совпадает со значением функции у = 27 • 7х - 28?
5. Найдите корень уравнения 4(\/б - 2)х~12 = (^/^70
6. Найдите корни уравнения 52xJ-1 — 3 • 5(х+1)(х+2) = 2 • 56^х+1\
7. Решите уравнение: |х — з|3х2-юх+з _
8. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
f(x) = 2х + 5х и д(х) = 7х.
§ 20. С2. Различные приемы при решении
комбинированных уравнений.
Вариант №1
1. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения 25logc СО8Х = 1.
2. Найдите наибольший корень уравнения |z — 3|х -Зх = 1.
3. Найдите сумму корней уравнения 3 • |3Х + 2| + |4 — 5 • Зх| = 10.
4. Найдите значения х, при которых выполняется равенство f (х) = д(х),
если f (х) = cos2 х — sin2 х, д(х) — |z| +1.
5. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения Vsin2 х — sin х = 2 cos х,
6. Решите уравнение: log^ (log4 (5 • 2х — 4)) = 1.
7. Найдите нули функции f(x) = .
у 2 — х3
8. Сколько корней имеет уравнение sin • \/17 — я2 =' sin ~?
. «5 о
ю*
С2. различные приемы при решении комбинированных уравнений 133
Вариант №2
1, Решите уравнение: |1 - __ ।
2. Решите уравнение: 22х — |2х+1 — 2| — 14 — 2х.
3, Решите уравнение: соз(тг^) • cos(?rx/i — 4) = 1.
4. Решите уравнение: Зх/сс2^- 2х + 1 — 7 4- х 4- (х/~ж2 ~ 5rr — 4)2.
5. Решите уравнение:
41og,3 ($х ~ 6)3 + *8 tog2 ~ = 31°g3 (5я; - 6)3 - log3 х6.
х
6. Решите уравнение: log5(3 • 2i‘Hc - 2~х • 52x+1) = х 4- log5 13.
7. Решите уравнение: х/12 sin 4- ТЗ — 3 sin х 4- 2.
!д>2 4“ 4зт — б|_х2
-----.
V я2 - - 9
Вариант №3
1. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения 36logeflinx = 1.
2. Найдите сумму корней уравнения 4- 4|х2+4х = 1.
3. Найдите корень уравнения 2 4-152х - 5х 4- 3| — |5Х 4- 4|.
4< Найдите значения х, при которых выполняется равенство f(x) — д(х),
если f(x) = cos2 х — sin2 х 4-1, д(х) = х2 4- 2.
5. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрица-
тельного корней уравнения cos х 4- Vcos2 # — 2 sin х.
6. Решите уравнение: к^ж(к^9(12 • 3х - 27)) = 1.
7. Найдите нули функции д(х) = ~—-Д==~51.
v 3 — xz
8. Сколько корней имеет уравнение costke • х/10 — я2 = cos тле?
Вариант №4
1. Найдите наименьший корень уравнения £2 4- З.г 3 — 5log® (х+2\
2. Идйдите произведение корней уравнения
3. Решите уравнение: д/Зж + 4у — 26 + у/4х — у — 3 = 0.
Найдите координаты точки пересечения графиков функций у — 3"1®1
11 У = Кшх + 1.
134 С2. Различные приемы при решении комбинированных уравнений
5. При каких значениях х значение функции у = log3 (|х| 4- 9) равно
значению функции у = 2cosx?
6. При каких значениях х разность функций у = 12 • з^вшз® и
У = 32>/SZ3^ равна 27?
7. Найдите абсциссы общих точек графиков функций
у = у/х2 — 9 — v^9 — х2 и у = cos ~х.
8. Найдите все корни уравнения 2 — у/х = 5х + 5“х.
Вариант №5
1. Найдите наименьший положительный корень уравнения
glog3(sinx) = ।
2. Найдите наибольший корень уравнения (2х — 4)х2”9 = (2х — 4)8х.
3. Найдите корни уравнения |5Х — 8| 4-12 • 5х 4- 3| == 13.
4. Найдите значения х, при которых выполняется равенство /(х) = д(х),
если /(х) = sinx 4- 1 и д(х) = |х — | 4- 2.
5. Найдите наименьший положительный корень уравнения
/cos2 х — cos х = sin 2х.
6. Сколько корней имеет уравнение logx (log9(4 * 3х — 3)) = 1?
7. Найдите нули функции /(х) = -—-L
v о — хЛ
8. Сколько корней имеет уравнение V'lO — х2 • (cos ягх — 1) = cos тгх — 1?
Вариант Кеб
L Решите уравнение: -/sinx — 1 = log2 (— 4- 2| cosx|).
\ 7Г /
2. Найдите все корни уравнения log8in х cos2 х 4- logCO8 х sin2 х = 4.
3. Найдите абсциссы общих точек графиков
у = 2 4- sin9 х и у = 3 4- (2х — тг)2.
4. Найдите сумму корней уравнения sinx(log7(4x — х2 4-12) — 1) = 0.
5. При каких значениях х сумма функций у — J _ 4- \ Х£~^ и
у х 4- о у 2х
у = з(х-5)2 равна 3? _ ?
6. Сколько корней имеет уравнение |2Х + sinx 4- 2| 4- х2 4- 5 = 2х?
7. Решите уравнение: у/х2 — 5х 4- 6 4- /3 — х = log8(x — 2).
С2. Различные приемы при решении комбинированных уравнений
135
8. Найдите все значения х, при которых верно равенство
logs 25л/ГГ®г = 2у/7х2 + 5х-1.
Вариант №7
1. Найдите наибольший корень уравнения 21О6»(3-1) = х2 — 5х — 9.
2. Найдите произведение корней уравнения
3. Решите уравнение: \у 4- Зх - 131 4- |х 4- 4у - 19| = 0.
4. Найдите наибольший корень уравнения х2 4- 2 = cos х 4-1.
5. При каких значениях х значение функции у = (х - I)2 4- 2 равно зна-
чению функции у = 2 cos(x — 1)?
6. При каких значениях х сумма функций у = 22ч/со82х и у — 3 • 2^СО82х
равна 4?
7. Найдите абсциссы общих точек графиков функций
у — \/х2 — 4 4- V^4 — х2 и у = sin тгх.
8. Найдите все корни уравнения 2х 4- 2“х = 2 cos х.
Вариант №8
1. Решите уравнение: 2х2 — 8х 4- 5 = г10^2-*)3.
2. При каких значениях х функция у = x3+log2 2х принимает значение 32?
3. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
У = l°Scoea:(3cos^ ~ 2 sinx) — 1 с осью Ох,
4. Решите уравнение: log4 2Х+2 4- log4 = log2 ‘ДО-
5. Найдите сумму целых корней уравнения
(2х3 - 21х2 4- 58ж - 24) * log2(x — 4) • log8_x х = 0.
6. Решите уравнение: х2 4- 64тг2 4-1 = cos х + 16тгх.
7. Найдите все значения х, при которых графики функций
У = 2х 4- 23х 4- |sin(a;2 — Зх)| и у = 22х+1 имеют общие точки.
8. При каких значениях х верно равенство
( W+4\/5)Х - ( \/9 - 4у/ь)Х = 4?
Вариант №9
1. Решите уравнение: -^cosx = 1 — 2 cos ж.
136 С2, Различные приемы при решении комбинированных уравнений
3. Решите уравнение: log5 |х2 -1| = log^ kl-
4. Решите уравнение: log3 2x+1 4- log3(l + 21-2х) = 2.
5. Решите уравнение: 2logaх 4- xlogaх = 32.
6. Решите уравнение:
5 4- х2 log3 (2х — х2) = 4х 4- (5 — 4х) log3 (2х — х2) 4- х2.
7. Решите уравнение: log^.-! (4 — л/9 — 6х 4- х2) =0,5.
8. Решите уравнение: 5-0. 4- |х2 - 1| = 3 4- |5х 4- 3|.
Вариант №10
1. Решите уравнение: 16logie(1-x) = х2 4- Зх — 20.
2. При каких значениях х функция у = x2+logaх принимает значение,
равное 8?
3. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции
у = log8inx(V<3smx — cosx) с осью Ох.
4. Найдите все корни уравнения 9е08 2х 4- 9cos2x = 4 на промежутке
Г 7тг. __7Г1
L 6’ 6J
5. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
у = 2007^2^9 + 2008 #9^а?и у = cos
ле 2
6. Найдите корень уравнения х2 — 5тгх 4- = sinx — 1.
7. Найдите все х, при которых график функции у = 4х 4- 4~х пересекает
график функции у = 2 cos 18х^7х
8. При каких значениях х верно равенство
( ^3 + 2v^)* ~ - 2v^)X = 2?
Ответы
§ 1. В4. Тождественные преобразования
логарифмических выражений.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0,36 0 5 18 2 0,125 5 8
2 0,16 0 32 7 4 0,2 1,5 -4
3 402 -2 -1 -5 8 -1 1 23
4 7 -2 225 0 14 2 6,5 2
5 -1 -2,5 1,5 1 5 1 0,125 -1
6 5 -1 12 0 81 5 -2,5 4
7 3 -1 13 0 2 3 3 2
8 5 10 5 3 0 23 13 55
9 27 -2 81 4 0,5 10 7 -3
10 11 6 7 7 1 2,01 1 1
138 В4. Тождественные преобразования иррациональных выражений
§ 2. В4. Тождественные преобразования
выражений, содержащих степень.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 -2 256 -1 0,5 0,6 1 -7
2 5 -1 -216 12. -2,6 2,5 1 -1
3 97 25 10 0,1 1,125 1 61 64
4 5 16 0 3,5 1 0,075 6 -0,8
5 5 0,25 0 5 0 -од 2,3 49
6 0,5 4 -4 -2 0,25 81 4 -5
7 2 4 -3 3 1 1,6 -2 1,5
8 24 -1 1 1 1 -2 3 4
9 2 -0,1 -1 —3; — 1 -1 0,375 -1 1
10 6 -16 -1 2 6 1 1 2
§ 3. В4. Тождественные преобразования
иррациональных выражений.
Яг 1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 -9 8 4 -0,25 2 0,2 0,1
2 -1,6 0,79 3 3 0,25 2 -0,5 16
3 5 7 8 0,2 1 4 1,1 -1
4 -0,2 9 2 11,35 0,25 -1 0,2 3,7
5 1 6 4 2 -1 —2 2,3 2
6 0,2 9 2 6,13 0,25 17 1 2,4
7 0,5 8 4 2,15 0,25 2 2 -2
8 0,3 4 6 -1 -2 2 1 -2
9 0,3 0,3 -1 1,2 -1 1 1 1
10 0,6 6,5 2 -1 -0,25 1 -0,5 1
139
04. Системы уравнений
§ 4. В4. Системы уравнений.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 7 3 6 3 3 28 -1 -1
2 4 —4 1 4 -1 -2 -7 6
3 20 1,5 4 -4 8 -81 14 4
4 4 0 -9 -4 11 4 10 3
5 -7 3 -6 -3 1,5 2,4 -1 12
6 -9 2,2 -17 2 -8 -1,5 3 2,5
7 0 0 -2 0 3 1 15 1
8 5 3 15 2 1 1 5 3
9 3 2 4 1 7 3 1 4
10 5 10 8 0 1 22 1 6
§ 5. В 5. Геометрический смысл производной.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 23 3 4 45 0 3 1 15
2 8 5 3 60 -1 2 1 90
3 3 2 3 2 45 5 4 2
4 -7 6 10 0 2 0,2 -1 4
5 13 2 3 135 -2 2 1 2
6 -26 -1 -3 0 3 0,4 -0,5 1
7 16 2 1 0 1 -0,25 0,5 3
8 1 3 2 0 0,25 —2 -3 -5,25
9 1 2 4 3,375 2 -1 2 -1
10 2 5 1 0 0,5 -4 -13 4,125
140
В7. Иррациональные уравнение
§ 6. В6. Неравенства.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 12 -1 -1 2 5 2 -2 3
2 -5 -2 -1 —2 6 3 3 9
3 0 -9 24 1 6 12 3 6
4 -5 3 6 2 0 -1 0 9
5 2 24 0 11 3 6 -10 3
6 0 6 2 22 2 2 6 10
7 2 0 -2 4 2 5 14 18
8 4 5 14 4 6 7 10 2
9 11 5 14 1 5 2 3 4
10 5 -2 -21 7 240 3 4 3
§ 7. В7. Иррациональные уравнения.
№ 1 2 3 4 5 6 7 • 8
1 3 18 1 0,5 81 4 2 7
2 1 2 0 1,5 4 2 2 —3
3 1 17 0 -9 3 7 1 3
4 3 2 1 3 64 8 9 0
5 0,0625 -4,5 -2,5 148 -4 7 1 4
6 1 0 1 3 0,0625 0 -6 5
7 -1 2 1 2 81 0 7 5
8 3 1 0,75 2 0 4 2 3
9 2 1 1 5 -4 6 -10 —2
10 -12 4 -0,25 0 -49 2,5 4 3
141
В7. Тригонометрические уравнения
§ 8. В7. Тригонометрические уравнения.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 -15 2 150 90 45 3 12 -5
2 90 3 -120 198 -360 4 8 -3
3 4 -18 -540 3 45 2 45 -120
4 10 3 -90° 0,25 240° 45° 2,4 1
5 4 270 360 -60 -135 -3 4 -180
6 20 3 180 0,5 60 -22,5 2 8
7 30 2 180 0,5 150 0 2,25 6
8 0,5 2 780 5 4 4 0 1
9 120 5 -120 810 -180 3 360 45
10 0 4 -180 3 7 3 0 -1
§ 9. В7. Логарифмические уравнения.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 -8 1 1 1,75 3 -2,5 1 6
2 -3 1 1 2 2 1 0,125 -0,5
3 0,5 3 1,5 1 -60 10 10 10
4 0 0,6 0 2 1 0,25 3 -1
5 4 25 -12 8 -0,5 2,25 0,25 1
6 0 0,4 1 2 4 3 3 4
7 0 0,25 0 3 1 2 6 8
8 9 -0,5 5 1 250 7 -2 -1,75
9 5 -1,75 0 10 1 1,125 2 -2
10 4 5 13 1 -100 2 10 1,5
142 В8. Периодичность, четность и нечетность функций
§10. В7. Показательные уравнения.
Яг 1 2 3 4 5 6 7 8
1 64 8 -0,5 1 -2 3 -0,5 1
2 25 5 0,5 0,25 -1 1 -1 0
3 -4 -1 -3,5 0,6 0 -2 2 3
4 23 -1,5 0,5 2,5 0 -2 1 0
5 0,0081 10 2 1 0,16 —4 -1 256
6 21,9 -3 0,5 2 10 1 -2 0,24
7 17 -1,5 1 3 -1 0 -3 0
8 0 6 5 -3 2 1 1,5 1
9 3 1,5 3 0 2 0 -0,5 1
10 -2 10 0 —2 0 0 1 -1
§11. В8. Периодичность, четность и нечетность
функций.
Яг 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0,5 180 2 4 0 9 5 11
2 0,5 180 1 -2 -3 0 3 6
3 4 -6 16 3 2 3,5 -1,5 1
4 0,5 4 10 -1 0 0 5 -3
5 2 180 1 2010 6 -1 8 -25
6 0,5 4 4 1 0 1,5 5 -3
7 2 2 6 2 0 0 3 -2
8 3 -1 6 2 1 -101 3 -2
9 -1 6 4 3 1 1 17 4
10 0,5 7 12 0 -3 -38 1 1
§ 12. Cl. Нули сложной функции. Ограниченность функции.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 -3; -1; 2 1 —5;3 5 1 4 2 0
2 1;4 -5 1- 1 + ^17 ’ 2 0 3 -4 2 -2
3 {—5;—2;—1} 4 О; 9} 6 -1 1 -7 0
4 2 5 7 -2 1 -5 -3 0
5 -1 - 72; -1 + х/2; -2 4 (-оо; 1,2] 3 2 1 2 0
6 0 0 1 0 —8 2 -5 -3
7 -3 2 2 3 1 1,5 1 0
8 4 1 8 1 0 *2 Н II II -тг 4- 2nk,k е Z А 5
9 1 0 1 0; 3 2 -6 2 4
10 2 3 2 2 1 х = 0,4; У = -2,2 2?rfc, к е Z 0
Нули сложной функции. Ограниченность функции
W
§13. Cl. Область определения, множество значений, монотонность функций.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 [-l;0)U(0;l] (—сю; 5], 6 1 "T4 1 4—' С "Т4 ьоН юН С [2;3] 1 9 25 -1
2 [-2; -1) U (-1; 2] (-6; -5)U U(—5; -4)U U(3; 5) 1 D 1 ' k|CN D z х~X D к|СЧ х—х 1 hl<N ci o' [-1; 1) 8 3 9
3 ' 5? ' С fcoip (-оо; 2] U {2,5} 6 [—5; —тг) U (—тг; 0)U (0; тг) U (тг; 5] [-3; -2] 1 16 16 2
4 7 0;1 4 3 [-6;0] -1 3 4
5 [1; 2] (—oo;3]U{4} 1 [0; 1) U (1; 1,5] [4; 5] 8 16 2
С1. Область определения, множество значений, монотонность функций
145
Cl. Область определения, множество значений, монотонность функций
00 г-Ч 1 со со ^сч"4 со’|сч ю
г* сч 7 00 о со 1
с© г-Ч 7 2,5 со г-4 1
ю со" D । 1 o' 1-< z— 8 + □ ^н7со
' 00 1 J
м* »—I ю со о г—1
со СО сч о 7 ю
сч т 4“ ц© □ 1 сч|со со 1 (т !о) ь- 00
решений нет (1; ?)и и(1; „)и и(тг; 4] zco*s D "к|сч (0; тг) U (тг; 4]
£ со 00 с» о V—<
§14.
Cl. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 7 3 5 2 0 4 31g7 1 "У12
2 1; -5 _л/з 3 0 1 16 1 -1 6 Ч2+ЛЯ
3 -1 8 7у/2 6\/2 0 3 — 1п2 —16 1 4^1
4 -12 26 27 1 1 2 -19 1;-3й [-151] -е-1
5 2 245 -27 —2; 2 3 3 3 -1
6 -429 -4 | + 1п2 Ал —2; 2 ооТьо 0 Зг/З. 0 2 ’ 2
7 2 3 -4 -3 -7 1 3; 3,5 [—2;+оо) 1
8 -1; о 3 1 -1; о Ш; -1 [-1; 9] 5 1
9 -2; -1 4 4 9 л/з ПЭ 6' тг 16-тг2 4 О
10 9. 7\/21 ’ 16 2 0 2 3\/5; 2ч/17 _2 е 18; —2 3
С1. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
§ 15. С2. Различные приемы при решении логарифмических уравнений.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 243 1 8 1 4 16 2 10 3 -1
2 64 1 5 -2 18,5 -11,25 -2 0 + 2тгт1, п Е Z 4
3 1 512 3 _х 26 7 -3 42 -4 0,5
4 1 9 8 О 41^ 5 -2 2 -9 -1; -3; 5,n€Z А
5 1 5 8 1000 2 2 3 2
6 1 16 -2 4 2 7 2 -7 9 1 3
7 1 нет решений —2 710 8 49 -4 ~ 4- ть, п Е Z л»
8 2 -1 -• 2 2’ -0,001 10 -3 4 7Г 2
9 3 1,5 10 4 1 1 + ч/2 ч/2 7
10 1 27 1 100 8 -1 3 3
§16. С2. Различные приемы при решении тригонометрических уравнений.
№ 1 2 3 , 4
1 4-Trfc, 2 5 -2 1; +2тгк, к е N 4 4
2 5 -f. тгп, —~ 4- 2тгп, n € Z 1 тг 4- 2тгп, —— 4- 2тгп,п € Z 2
3 fcez 4 1 1; (-1)"^ + ™, п = о, пси о
4 7Г, ЗТГ. 7Г . 5тг 4’ 4 ’ 12’ 12 7Г 0 1—4
5 + тгА, k € Z А 0,2 тг , 2-Trfc 6 3 ’ к е Z; тг , 2тг& 14 7 ’ к € Z 7Г 4
С2. Различные приемы при решении тригонометрических уравнений
С2. Различные приемы при решении тригонометрических уравнений 149
ос со г-Ч ГО сл ~ + 2тг&; 2тгп, к, п 6 Z см
г- -в 7 гэ« ‘М + г П 41 | о СМ
о £ см 7 ‘uuz+ -- , t , *Ш1 4- !uxg 1 £1 ем N Ц> •ле 1—4 -н ле СО -felcM 00} 1
ю ле - <й й ж + W см '•* Ж 7Г&; ± arctg 2-Ь 4-тгА;, k Е Z 1; -1; лк, к G Z, к 0 6; ^ + ^к, А к е z о
см 00 ю
150
С2. Различные приемы при решении тригонометрических уравнений
N IV 46 4^ к + kl^ 1 о тг&, к G Z 2тгп _к + 22тп z 3 ’ 6 3’ . г ZSU ‘.uuz + ‘ZSti 'uuz
со ± arctg 3 4- 2тгк, к € Z со 1 к со|сч 7ГП, —+ 7ГП, п € Z 4 ТГ. 117Г 2’ 6
еч як. тг 1 пк г с у T’i6 + T’fc€Z о (-1)п| +пп. + 2тгп; n € Z 7гп, 4- тгп; 4 — arctg 3 4- 7гп, n G Z тг. 2тг. 4тг. 5тг 3’ 3 ’ 3 ’ 3
х = 0; х = arcsin |; х = тг — arcsin | ТГ, 2тг 313 2Э« . S SI u“z+“t !шг? + jt| G V 7Г . 7ГП. 24 2’ § + nez ОО о 4“ тгА?} к G Zj 12 + n6Z 24 2
£ о 00 о о
С2. Различные приемы при решении тригонометрических уравнений
151
00 тг/с, k G Z 2тгп; 4- 2тгп, 71 € Z 152 k|co
Г" £ к|сч к|со к|ео 1 e e (N + -H kl’tf
со arctg j 0 4- 2тгп; О n € Z 1 27ГП, n € Z <N col0’ 001
ю £ + ня 1 II н со II н 3; тгп, п G Z — + тгп, n € Z 2 7Г 12 7ГП, n G Z
£ СО 00 О о
§17. С2. Различные приемы при решении иррациональных уравнений.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 -3 6 0; 1 4 -8 -1,5 arctg| □
2 нет решений 2 —4 1; 2; 10 3 -2,2; 2 2тгп, п 6 Z 7
3 4 -2 -2 0; 2 6 -25 [-1; 4] 7Г 6
4 2; 4; 5 3 -2 1 625 81 -1;4 2тгп, n G Z 9
5 -1 -5 0; 2>/2 -1 1 3 2 2 -%+2кк, fc€Z; 4 + 2тгк, к € Z
6 1,5 -1 1; -9 -4 1 со оо|ьо 2 -5; 1 13
7 7; 25 2 1 1 256 3± л/1б 7Г 2 7
8 | + 2irfc, к е z [-2; 0)и U(0; 2] 1; 2 20 4 -6; 3 5; 20 9
9 2 3 13 + 5-/7 4 1 -2; 1 7ГП, n G Z -2 [5; 10]
10 ~ 4- 2тг/с; 2тг&; к G Z 2 4; 8 1 7 -1; 2 39 15
С2. Различные приемы при решении иррациональных уравнений
§18. С2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Я2 1 2 3 4 5 6 7 8
1 6 —2;3 ±1 -1 37Г 4 0,6 -1; 5 1;
2 -1 [-4; -2] ±2 -1 _1 6 да 2 6,5 15 ад
3 0 (1; з] ±6 -6; 2 117Г 8 1 СО|ЬО 1 1; V3
4 2,25 -12 5 + ТГ71, n G Z 2 2; 5 8,6 1. 5 3’3 2; 4 l°g8 7
5 1,5 5 4 1; з тг 3 1 16 -4
6 10 ±? + о fcGZ 2 -4 [5; +оо) 4 со 7 kez 4
7 3 -5 7гп, п G Z; —3,5 0; 2 3,75 1,5; 2,5 1; з log25
8 —0,5 -1 — 4- 2тг?п; 4 ^7г 4-2тгп;7П,пЕ Z 4 [1 +0°) о i—тг + 2тгп, n G Z о -1; 15 -1 16
9 -5; 1 2 _3; 2; VS5--1 -1; Н;+о°) [2;3] -х/5 0,6; 5 i;log3|
10 1Д ЛЛ n € Z 4 + 2TTfc; k е Z; 4 — + n G Z 2 7гп, n € Z; 4 3 4- 7гп, n € Z 8 е2; е"1 2; 1 4
С2. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
сл
оо
§ 19. С2. Различные приемы при решении показательных уравнений.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8
1 4 0,5 0,5; 2 ±1 2 7Г 2 -1 -3
2 4 -3; 1 0 oil со OI 1 нет решений 3 ±2 4
3 4; 100 -7; -1 1; 2 -3; 3 2; 4 О тг 6 -2 2
4 120 х = 3 2 0 —4 90° 0 3
5 20 1; 1,4 0; 1 -1; 2 3 2 -1 3
6 _1 2 3 1 0; -2 3 2 1; 2 3 -1; 3
7 12,25 1 2 0 0 _3тг 4 0 2
8 4 1 -1,5; 2 1 7 -1 —6; -4; 2 1
9 -4; 1 1 2; 4 3 0,5 1 0; 3 0; 1; 4
10 7 4 1 -1; 2 1; 1 —log73 14 -1;4 з’2'4 1
С2. Различные приемы при решении показательных уравнений
§ 20. С2. Различные приемы при решении комбинированных уравнений.
№ 1 2 3 4
1 0; 3 4 0 0
2 0; 3 2 4 -3
3 —7Г -8 0 0
4 -1 + л/6 10 х = 2; у = 5 (0;1)
5 7Г 2 9 logs 2 7Г 2
6 7Г 2 — + 2тгп, n G Z 4 7Г 2 4 + тг
7 -2 40 (3;4) 0
8 1 2 —; 2 32’ £ + 2irk, k е z 4 -1; 1
9 iarccos i-f- 4 +2тгп, n G Z 1 - л/2; 1; 1 + л/2 2 -1; 2
10 -7 I2 ~ 4- 2тгп, n G Z __ ЗТГ . _7Г 4 ’ 4
С2. Различные приемы при решении комбинированных уравнений
156
С2. Различные приемы при решении комбинированных уравнений
GO 1О нет решений СО о 04 1 о 1 2^5 I D 7-Г 1 8 । LO г-<
-2 ± ч/7; 1 CSS 4- 1 ‘•Н/'+С- ±3 Z -I 00 г~ ‘г О ю О
со 04 т-Н 1 04 ш е £|« сч| + к! со о о 1 7Г । 7Г71 у— тт9 ! — -f- —, n е z 4 2 | 8тт г-н
ю 1,5; 1,44 1 мН 1 о к|еч LO г—1 г-Н -3; 3
£ •—< 04 СО ю СО ь- 00 а> о •—<
Готовимся к ЕГЭ
Учебное издание
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ. МАТЕМАТИКА. ЕГЭ-2009
ЧАСТЬ II (В4-В8, С1-С2)
10-11 КЛАССЫ
Учебно-методическое пособие
Художественное оформление,
разработка серии: И. Лойкова
Компьютерная верстка: Г. Джелаухова
Корректор: Н. Пимонова
Подписано в печать с оригинал-макета 03.10.2008
Формат 60x84 ’/16. Бумага типографская.
Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 9,3.
Тираж 20 000 экз. Заказ №461.
Издательство «ЛЕГИОН»
Для писем: 344002, г. Ростов-на-Дону, а/я 202
Отпечатано в соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ЗАО «Полиграфобъединение»
347900, г. Таганрог, ул. Лесная биржа, 6 В
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕГИОН
344002, г. Ростов-на-Дону, а/я 202 (для писем)
Тел.: (863) 248-99-03, 248-14-03
e-mail: legionrus@legionrus.com
www.legionrus.com
ШКОЛЬНИКАМ, АБИТУРИЕНТАМ,
УЧИТЕЛЯМ, РОДИТЕЛЯМ!
Книги для подготовки к ЕГЭ,
вступительным испытаниям, итоговой аттестации
в 9 классе и промежуточной аттестации в 4—10 классах!
Вы сможете:
J быстро систематизировать свои знания;
J подготовиться к ЕГЭ дома и с учителем;
S самостоятельно прорешать задачи и выполнить
упражнения;
J познакомиться со всеми идеями ЕДИНОГО ЭКЗАМЕНА
и, главное, учесть ошибки своих предшественников
и не допустить их!
ОПТОВИКАМ, МАГАЗИНАМ,
ПРЕДПРИНИМАТЕЛЯМ ВСЕХ РЕГИОНОВ!
J Удобные условия
J Индивидуальный подход к каждому клиенту
J Оперативная доставка
J Проверенное качество
АВТОРАМ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ПОСОБИЙ!
Приглашаем к сотрудничеству.
Рассмотрим Ваши предложения по нашей тематике
?£$ УЧИТЕЛЬ! УЧЕНИК!
W «ПЛАНЕТА ЗНАНИЙ» —ВАША!
Г4 ЗНАНИИ
ЛЕГИОН ---------
ООО «Легион» издает учебно-методическую литературу для
выпускников средних общеобразовательных учреждений, сда-
ющих государственную (итоговую) аттестацию в форме ЕГЭ и
поступающим в ссузы и вузы, сдающих вступительные испыта-
ния в форме и по материалам ЕГЭ.
Одновременно, ООО «Легион» выпускает для школьников
и учителей газету «Планета знаний».
Газета «Планета знаний» распространяется по подписке в
Ростовской области. Подписной индекс газеты «Планета зна-
ний» И-31591. Стоимость подлиски одного номера газеты —
20 рублей. Выписать газету можно с любого текущего месяца.
Содержание газеты призвано отражать актуальные пробле-
мы общего образования: модернизация содержания образова-
ния; введение профильного (предпрофильного) обучения; под-
готовка, проведение и результаты ЕГЭ...
Редакция газеты открыта читателям для обратной связи. Мы
ждём от школ, участников образовательного процесса вопросы,
предложения, интересные для нашей аудитории подписчиков
материалы.
Готовы публиковать в газете (платно) поздравления педаго-
гическим коллективам, объявления, рекламу.
Телефон для справок: (863)248-14-04
Иванова Людмила Лаврентьевна.
У&а-жлелгые уъеясссси,, ушстеля
В г. Ростове-на-Дону
литературу издательства «Легион» вы можете
приобрести здесь:
О
ул. Нагибина, 12А, тел. 230-79-29;
ул. Тельмана, 36/Семашко, 100, тел. 234-82-96,
234-07-57;
ул. Соколова, 85, тел. 291-03-53
ООО «ОБРАЗОВАНИЕ»,
ИП РУДНИЦКИЙ,
ИП КЕМЕНЧЕЖИ