ЗАДАЧИ
ПО МАТЕМАТИКЕ
УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 7
ББК 22.1
315
УДК 51
Коллектив авторов
ВАВИЛОВ В. В., МЕЛЬНИКОВ И. И., ОЛЕХНИК С. Н.,
ПАСИЧЕНКО П. И.
Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное
пособие. Вавилов В. В., Мельников И. И., Олех-
ник С. Н.,Пасиченко П. И.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1987.— 240 с.
Содержит справочные сведения по методам решения уравне-
ний и неравенств с одним неизвестным: содержащих знак абсо-
лютной величины, иррациональным, показательным и логарифми-
ческим. Содержит задачи, предлагаемые на вступительных экзаме-
нах. Методы иллюстрируются примерами.
Тесно примыкает к справочному пособию авторов «Задачи по
математике. Алгебра» (объявлено в темплане 87 № 49 под назва-
нием «Задачи по математике для подготовительных отделений»).
Для самостоятельного повторения курса алгебры, для слуша-
телей подготовительных отделений вузов, а также для поступаю-
щих в вузы.
Ил. 12.
Рецензент
доктор физико-математических наук М. К. Потапов
1702070000—188
053(02)-87
КБ-42-9-87
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1987
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................ 4
Глава 1. Эквивалентные уравнения и неравенства ...	5
§ 1.	Равносильные	уравнения........................ 5
§ 2.	Равносильные	неравенства..................... 21
Глава 2. Уравнения	с одним неизвестным............. 34
§ 1.	Уравнения, содержащие знак абсолютной величины 34
§ 2.	Иррациональные уравнения..................... 49
§ 3.	Показательные уравнения...................... 80
§ 4.	Логарифмические уравнения.................... 96
Глава 3. Неравенства с одним неизвестным............. 128
§ 1.	Неравенства, содержащие знак абсолютной величины 128
§ 2.	Иррациональные неравенства.................. 144
§ 3.	Показательные неравенства..................... 161
§ 4.	Логарифмические неравенства................. 180
Ответы ................................................ 213
Дополнение. Некоторые задачи, предлагавшиеся на
письменных вступительных экзаменах по математике в
МГУ им. М. В. Ломоносова.........................	233
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой справочное пособие, со-
держащее систематическое изложение методов решения уравнений
и неравенств с одним неизвестным: иррациональных, логарифми-
ческих и показательных уравнений и неравенств, а также уравне-
ний и неравенств, содержащих знак абсолютной величины.
Теоретическую основу составляют понятия равносильного пе-
рехода и эквивалентности двух уравнений или неравенств.
В начале каждого параграфа приводятся краткие теоретиче-
ские сведения, затем на решениях типовых задач разбираются
различные методы решения уравнений или неравенств. Далее рас-
сматриваются методы решения уравнений или неравенств, завися-
щих от параметра. В конце параграфа имеются задания и упраж-
нения на отработку приведенных методов решения.
Для более полного усвоения материала в книге даны задачи
различной трудности.
Книга тесно примыкает к пособию авторов «Задачи по мате-
матике. Алгебра», в котором изложены методы решения рацио-
нальных уравнений, неравенств и систем.
ГЛАВА 1
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Равносильные уравнения
Два уравнения
fi(x)=gi(x) и f2(x)=g2(x)	(1)
называются равносильными (эквивалентными), если совпадают мно-
жества всех их решений или оба они не имеют решений.
Из определения равносильности уравнений следует, что вместо
того, чтобы решать данное уравнение, можно решать уравнение,
ему равносильное.
Понятие равносильности обладает свойством транзитивности,
т. е. если уравнение f (х) = g (х) равносильно уравнению а (х) =
= Р (х) и уравнение а (х) = |3 (х) равносильно уравнению т (х) —•
= р(х), то уравнение f(x)=g(x) равносильно уравнению т (х)--
= Р (X)-
Замена уравнения ему равносильным уравнением или замена
уравнения ему равносильной совокупностью уравнений (неравенств,
систем) называется равносильным переходом.-
Пример 1. а) Уравнение х — 1 равносильно уравнению
У' х—1, так как число 1 является корнем каждого уравнения, а
других корней ни одно из этих уравнений не имеет;
б) уравнения х (х— 1) = 0 и х (х—1) (х—2) = 0 не являются
равносильными, так как число 2 является корнем одного уравне-
ния и не является корнем другого уравнения.
В определении равносильности двух уравнений’ ничего не го-
ворится об ОДЗ этих уравнений. Так, приведенный выше при-
мер показывает, что эквивалентные уравнения могут иметь раз-
личные области допустимых значений: в п. а) уравнение х—1
имеет в качестве ОДЗ множество всех действительных чисел, в то
время как уравнение V х = 1 — множество неотрицательных дейст-
вительных чисел. Пример б) показывает, что, хотя ОДЗ уравне-
ний (множество всех действительных чисел) совпадают, но уравне-
ния могут и не быть равносильными.
При решении уравнений вместо понятия равносильности урав-
нений часто пользуются понятием равносильности уравнений на
множестве: два уравнения называются равносильными на множе-
стве А, если совпадают множества всех их корней, принадлежа-
щих множеству А, или они оба не имеют решений на этом мно-
жестве.
Уравнения могут не быть равносильными, но быть равносиль-
ными на некотором множестве. Примером могут служить уравне-
6 гл. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
НИЯ
х= 1 и |Х | = 1,
которые равносильны на множестве положительных чисел, но не
являются равносильными.
Говорят, что уравнение равносильно данной совокупности
уравнений (неравенств, систем) на множестве А, если множество
всех корней уравнения, принадлежащих А, совпадает с множест-
вом всех решений совокупности уравнений (неравенств, систем),
принадлежащих множеству А.
Пример 2. Являются ли уравнение
(х2-|-х4-1) (Зх+4) (-7x4-2) (2х— Кб) (—12х-16) = 0
и совокупность уравнений
Зх-|-4 = 0, —7х4-2 = 0, 2х—Кб = 0, — 12х— 16 = 0
равносильными на множестве всех действительных чисел?
Решение. Поскольку
X2 + х +1 = (х + 1 /2)2 + 3/4,
то при любом х справедливо неравенство х24-х+1>0. Таким
образом, данное уравнение равносильно уравнению
(3x4-4) (—7x4-2) (2х— Кб) (—12х—16) =0.
Любой корень этого уравнения обращает в нуль хотя бы один из
входящих в него многочленов, т. е. является корнем хотя бы
одного из уравнений данной совокупности. Наоборот, любой ко-
рень совокупности удовлетворяет данному уравнению. Поэтому
уравнение и совокупность уравнений равносильны.
Пример 3. Являются ли уравнение
3 log3 | —х | = log3x^
и совокупность уравнений
х-(-1=0, х—1=0, х = 0
равносильными на ОДЗ данного уравнения?
Решение. Областью допустимых значений данного уравне-
ния является множество /?\{0}. На этом множестве данная сово-
купность имеет два корня: xt =—1 и х2=1. Оба эти числа, и
только они, являются корнями уравнения. Поэтому данное урав-
нение и совокупность уравнений равносильны на ОДЗ уравнения.
Если для данной пары уравнений (1) любой корень первого
уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравне-
ние называется следствием первого уравнения, при этом пишут
fi (х) =- gt (х) => fz (х) =g2 (х).
Если заменить уравнение его следствием, то множество решений
второго уравнения будет содержать все корни исходного уравне-
ния и помимо них может содержать еще некоторые числа, назы-
ваемые посторонними корнями исходного уравнения. Поэтому,
если в процессе решения от уравнения перешли к его следствию,
§ 1. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	7
то в конце решения необходимо еще провести исследование кор-
ней (например, сделать проверку) и отобрать те из них, которые
являются решениями исходного уравнения.
Так, например,
К*577! = К*577! => х2 — 1 = х4 - 1.
Решив второе уравнение, найдем xi —— 1, х2 = 0, х3=1, однако
число 0 не является корнем первого уравнения.
Этот пример показывает, что посторонний (для первого урав-
нения) корень х2 = 0 появился вследствие того, что ОДЗ второго
уравнения стала шире ОДЗ первого уравнения. Однако расшире-
ние ОДЗ уравнения при переходе к его следствию происходит не
всегда (см. пример 16)).
Процесс решения уравнения как правило состоит в последо-
вательной замене уравнения более простым уравнением или в за-
мене его совокупностью уравнений (неравенств, систем). Делая
некоторые преобразования в одной или в обеих частях уравнения,
получаем новое уравнение, которым заменяем исходное уравнение.
Покажем на примерах, что одни и те же преобразования урав-
нения могут приводить к уравнению, как равносильному, так и
неравносильному данному.
Пример 4. Уравнение
после приведения подобных членов в левой его части заменяется
уравнением
7 — 2х= 11 — 4х,
ему не равносильным. Действительно, число 2 является единст-
венным корнем уравнения 7 — 2х = 11 — 4х и не является корнем
исходного уравнения.
Пример 5. Уравнение
к	к
5 + 2х + -Ц-----—-r;==26 —X
1	1 х—2 х—2
после приведения подобных членов заменяется уравнением
5 -j- 2х — 26 —- х,
ему равносильным. Действительно, число 7 является единствен-
ным корнем как уравнения 5 + 2х = 26—х, так и исходного урав-
нения.
Пример 6. Уравнение
х— 1
после сокращения левой его части на общий множитель х—1 за-
меняется уравнением х-|-1=2, не равносильным исходному. Дей-
ствительно, число 1 является единственным корнем следствия, но
не является корнем исходного уравнения.
8 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Пример 7. Уравнение
х2 — 1	с
X— 1
после сокращения левой части на общий множитель х—1, заме-
няется уравнением х+1 =5, равносильным исходному. Действи-
тельно, число 4 является единственным корнем как уравнения
х+1 =5, так и исходного уравнения.
Пример 8. Уравнение
х— 1 — 6—2х
после возведения обеих частей в квадрат заменяется уравнением
(х— I)2 — (6 — 2х)2, ему не равносильным. Действительно, единствен-
ный корень исходного уравнения — число 7/3 — является решением
уравнения (х—1)2 = (6—2х)2, но корень этого уравнения —
число 5 — не является решением исходного уравнения.
Пример 9. Уравнение
Kx + I =
после возведения обеих частей в квадрат заменяется уравнением
х+ 1 =2 — х,
равносильным исходному. Действительно, число г/2 является един-
ственным корнем как уравнения х-|-1=2—х, так и исходного
уравнения.
Утверждения о равносильности уравнений.
1.	Уравнения f(x) — g (х) и f(x) — g(x)-0 равносильны.
2.	Уравнения f(x) — g(x) и f (х) + а = g (х) + а равносильны
для любого числа а.
3.	Уравнения f(x) = g(x) и af(x) — ag(x) равносильны для
любого числа а 0.
4.	Уравнения а^х}~ aS(x} (а > 0, а Ф 1) и f (x) = g(x) равно-
сильны.
5.	Пусть функции у = f (х) и y — g(x) неотрицательны на не-
котором множестве А. Тогда на этом множестве уравнения f (х)=
— g (х) и fn(x) — gn(x) (n£N) равносильны.
6.	Пусть функции у — f (х) и y — g(x) положительны на неко-
тором множестве А. Тогда на этом множестве А уравнения
loga f (х) = logag (х) (а > 0, а Ф 1) и f (x)—g (х) равносильны.
В частности, если b > 0, то уравнения ah = b и h (х) = loga b
равносильны.
7.	Пусть функция g = <p(x) определена и не обращается
в нуль ни в одной точке множества Л, содержащемся в ОДЗ
уравнения f(x) = g(x). Тогда на множестве А уравнения f (х) =
— g (х) и f (х) ср (х) — g (х) <р (х) равносильны. Множество А может
совпадать с ОДЗ уравнения f (x) — g (х).
Утверждения о следствии.
1°. Уравнение f2n(x) = g2n(x) (ngN) является следствием
уравнения f (x) = g (х).
2°. Уравнение f(x) — g(x) является следствием уравнения
f (*) = loga g W (a>0,	1).
3°. Уравнение f (x) = g (x) <p (x) является следствием уравне-
ния / (x)/<p (x) = g(x).
§ 1. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
9
4°. Уравнение f(x)—g(x) является следствием уравнения
f (x)4-h (х) — g(x)-j-h (х).
5°. Совокупность уравнений
- f (х)=0,
_ £(*) = 0
является следствием уравнения f (х) g (х) — 0.
Пример 10. Являются ли уравнения
*+7 +	— = 8—х 4- --*0 > и х4~7 = 8—х
‘ 2х— 1	2х— 1	1
равносильными?
Решение. Второе уравнение получено из первого уравне-
ния прибавлением к обеим его частям одного и того же выраже-
ния	’ котоРое не определено при х= 1/2. Это означает,
что число 1/2 не может быть корнем первого уравнения, но может
быть корнем второго. Легко проверить, что число 1/2 является
корнем второго уравнения.
Итак, корень второго уравнения х = 1 /2 не является корнем
первого уравнения. Следовательно, данные уравнения не являются
равносильными?
Пример 11. Являются ли уравнения
х^-Ш + 30 = 1 И х2-15* + 50 = °
равносильными?
Решение. Решим первое уравнение. Освобождаясь от зна-
менателя, т. е. умножая обе части исходного уравнения на выра-
жение х2—13x4-30, получаем уравнение
2х—20 = х2—- 13x4-30.
Множество всех корней этого уравнения состоит из двух чисел:
Xi = 10 и х2 —5. В результате проведенного преобразования могли
появиться посторонние корни; поэтому необходимо сделать про-
верку. Она показывает, что число х1 = 10 не является корнем
исходного уравнения, а число х2 = 5 является его корнем, т. е.
первое уравнение имеет единственный корень х = 5.
Уравнение х2—15x4-50 = 0 имеет два решения: Xi = 5 и
х2=10. Сравнивая множество корней данных уравнений, полу-
чаем: второе уравнение является следствием первого.
Пример 12. Являются ли уравнения
Vx24-x—5 = Ух— 1 и х24-х—5 = х—1
равносильными?
Решение. Множество всех корней второго уравнения
состоит из двух чисел: Xf = 2 и х2 = —2. Проверка показывает,
что число •—2 не принадлежит ОДЗ первого уравнения и поэтому
не может быть его корнем; следовательно, эти уравнения не
равносильны.
10 гл. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Второе уравнение примера 12 получено из первого возведе-
нием в квадрат, поэтому второе уравнение есть следствие пер-
вого. При этом данные уравнения равносильны на ОДЗ первого
уравнения.
Пример 13. Являются ли уравнения
2 ]/гх+5 = х+2 и 4 (х-|-5) = (х-(-2)2
равносильными?
Решение. Множество всех корней второго уравнения со-
стоит из двух чисел: 4 и —4. Однако число —4 не является
корнем первого уравнения; поэтому данные уравнения не являются
равносильными. При этом число —4 удовлетворяет условию
х^—5, т. е. входит в ОДЗ первого уравнения; следовательно,
эти уравнения не являются равносильными на ОДЗ первого урав-
нения. Они равносильны, например, на множестве х^—2, так
как на этом множестве число 4 является единственным корнем
как первого, так и второго уравнения. -
Пример 14. Являются ли уравнения
1g (х2— 4) = lg(4x — 7) и х2—4 = 4х—7
равносильными?
Решение. Множество всех корней второго уравнения со-
стоит из чисел Xi = 3 и х2 = 1. Однако число 1 не является кор-
нем первого уравнения, и поэтому данные уравнения не являются
равносильными.
Этот пример показывает, что переход от уравнения logaf(x) =
— log« g (х) (где а > 0, а # 1) к уравнению f(x) — g(x), вообще
говоря, не приводит к равносильному уравнению, а приводит
только к его следствию; поэтому при потенцировании уравнения
необходимо сделать проверку.
Уравнение loga f (х) — log^ g (х) равносильно на своей ОДЗ
уравнению f (x)—g (х). Поэтому уравнения 1g (х2 — 4) = 1g (4х—7)
и х2 —4х = 4х—7 равносильны на ОДЗ первого уравнения, со-
стоящей из всех х > 2.
Пример 15. Даны два уравнения:
fi(x) У 3(х)	fx(x) fi(x)+f3(x)
ft(x)	f*(x) f3(x)+ft(xY
а)	При каком условии второе уравнение есть следствие пер-
вого?
б)	При каком условии первое уравнение есть следствие вто-
рого?
х в) При каком условии эти уравнения равносильны?
Решение, а) Пусть х0 — корень первого уравнения, т. е.
справедливо числовое равенство
fi (*о) _ fs (х0) ,
/г(х0)	/4(х0) ’
отсюда получаем равенство
fi (*o) ft (х0) = f2 (хр) f3 (х0).
§ 1. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	11
Прибавим к обеим частям этого равенства число fi fa) f2 (х0)«
Получим
fi fa) (/г fa) +/4 fa)) — fz fa) (fi (хо) + fs fa)).
Поскольку /2 fa) £ то при f2 fa) + f (х0) Ф 0 имеет место
равенство
f 1 fa)	f 1 fa) ~Ь / з fa)
/2 fa) f 2 fa) + /4 fa)
Это равенство означает, что число х0 является корнем второго
уравнения. Поэтому, если ни один из корней первого уравнения
не является корнем уравнения f2 (х) 4- (х) = 0, то второе урав-
нение является следствием первого уравнения.
б) Пусть Xq — корень второго уравнения, т. е. справедливо
числовое равенство
fi fa) fi fa) ~Ь/з fa)
f 2 fa) f 2 fa) + /4 fa)
Тогда имеем равенство
fi fa) (/2 fa)+ /4 fa)) — /2 fa) (fi fa) + /s fa)),
или
fifa) h(xQ)=f2 fa) fs fa).
Поэтому при f4 fa) 0 (напомним, что f2 fa) Ф 0) имеем
Zi fa) __ /з fa)
/2 fa) /4 fa)
Это означает, что число х0 является корнем первого уравнения.
Таким образом, если ни один из корней второго уравнения
не является корнем уравнения fb(x)—§> то первое уравнение яв-
ляется следствием второго уравнения.
в) Объединяя результаты, полученные в п. п. а) и б), полу-
чаем: данные уравнения эквивалентны, если любой корень пер-
вого уравнения не является корнем уравнения f2 (х) -|- /4 (х) = 0
и любой корень второго уравнения не является корнем уравнения
h(x) = 0.
Пример 16. Даны два уравнения:
f(x)=g(x) и tgf (x) = tgg(x).
а)	Могут ли быть потеряны корни в результате перехода
от первого уравнения ко второму?
б)	Могут ли появиться посторонние корни при этом переходе?
Решение. Покажем, что при переходе от первого уравне-
ния ко второму возможны yi потеря корней, и приобретение по-
стороннего корня.
а)	Пусть f (х) = arcsin х, g (х) — 2 arcsin.. Так как число 1
У 2
является корнем уравнения
arcsin х — 2 arcsin -у —,	(2)
12 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
но не является корнем уравнения
tg (arcsin х) = tg (2 arcsin Y
X	r * /
(3)
то при переходе от уравнения (2) к уравнению (3) произошла
потеря корня х=1.
б)	Пусть f(x) = x, g(x) = 2x. Так как число л является кор-
нем уравнения tgx = tg2x, но не является корнем уравнения
х = 2х, то при переходе от уравнения х —2х к уравнению tg х =
= tg 2х был приобретен корень X —л.
Обращаем внимание на часто встречающуюся ошибку при
решении уравнений, состоящую в том, что формально используют-
ся формулы, без учета условий их применимости, и в результате
происходит сужение или расширение области допустимых значе-
ний исходного уравнения и тем самым возможна потеря корней
или появление посторонних.
Так, например, при переходе от уравнения
У 2х2—х—6 =3	(4)
к уравнению
Ух^2У2х+3 = 3	(5)
теряется корень —5/2. Потеря корня происходит в результате
неправильного применения формулы У ab — У | а | У | (ab 0).
Формула У(2x4-3) (х—2) = У2x4-3 Ух—2 верпа только при
х^2, т. е. при замене уравнения (4) уравнением (5) теряются
корни из области х<:—3/2. Поэтому нельзя считать, что уравне-
ние решено, когда найдено единственное решение — число 3 —
уравнения У х—2 у 2х+3 = 3.
Пример 17. Являются ли уравнения
tg 2х—ctgx=O и —Х----------°
s	1— tg^ х tgx
равносильными?
Решение. Множество всех решений первого уравнения со-
стоит из трех серий решений
хт =	/ngZ,
Л ।	Z** *7
——\-nti,	rtgz,
из которых серия решений х^. = л/24-л^ (&gZ) не является реше-
нием второго уравнения (не входит в его ОДЗ). Поэтому данные
уравнения не являются равносильными. Они не равносильны на
ОДЗ первого уравнения, но равносильны на ОДЗ второго урав-
нения, множеством всех решений которого являются последние
две серии решений первого уравнения.
§ I. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	13
Пример 18. Решить уравнение
log2x2 = 2.	(6)
Решение.
Первый способ. ОДЗ уравнения есть любое х 0. При-
меняя формулу log2 х2 = 2 log2 х (х > 0), получаем уравнение
21og2x —2, откуда находим х = 2.
Проделанное преобразование позволило решить уравнение (6)
только на части его ОДЗ, а именно для положительных х, где
справедлива формула log2 х2 = 2 log2 х. На множестве х< 0 урав-
нение не решалось; поэтому нельзя считать найденный корень
единственным решением уравнения (6).
Решим уравнение на множестве х < 0. Поскольку х < 0
ФФ (— х) > 0 и
logs х2 = logs (— х)2 = 2 logs (— х),
то для х < 0 получим уравнение
2 log2 (— х) = 2 log2 (— х) = 1,
откуда находим х — —2. Этот корень удовлетворяет условию х< 0.
На каждом из двух множеств ОДЗ делались равносильные
преобразования, поэтому уравнение (6) имеет два корня хг = 2 и
х2 — 2.
Второй способ. Учитывая справедливость равенства
log х2 — 2 log | х | при любом х 0, имеем
(6)	4=>21ogs|x] = 2£> log2|x| = l Ф»|х| = 2Ф>
Третий способ. У равнение log2 f (х) = log2 g (х) равно-
сильно системе
( /(х) >0,
I f(x) = g(x).
Кроме того, 2 = log24.
Поэтому
Гу —2
х = —2.
Таким образом, решением исходного уравнения являются
Xi —2 и х2 =—2.
Пример 19. Решить уравнение
/7+ТТ = х— L	(7)
Решение.
Первый способ. ОДЗ уравнения (7) задается условием
х^—11. Учитывая, что
f (X) = g (X) => f2 (х) = g2 (X),
имеем
(7)	=>x+ll=x2-2x + l Ф>х2—Зх—10 = 0<=>
«Э(х—5)(х4-2)=0ф£
14 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Таким образом, решения исходного уравнения содержатся сре-
ди чисел %i = 5 и х2 =—2.
Прежде чем сделать проверку, обратим внимание читателя
на часто встречающуюся ошибку. Переходя от данного уравнения
к его следствию, находят корни. Затем проверяют, входят ли
найденные корни в ОДЗ исходного уравнения. Те корни, которые
не входят в ОДЗ, отбрасывают, а остальные (входящие в ОДЗ
исходного уравнения) выписывают в ответ. В этом и состоит
ошибка. Нельзя ограничиться проверкой принадлежности найден-
ных корней ОДЗ уравнения. Необходимо проверять, удовлетворяют
ли корни следствия, входящие в ОДЗ исходного уравнения, самому
исходному уравнению. Это подтверждается данным примером.
Действительно, оба корня совокупности удовлетворяют ОДЗ,
но число 5 удовлетворяет уравнению (7), а число —2 не удов-
летворяет ему. Итак уравнение (7) имеет единственный корень
х = 5.	___
Второй способ. Уравнение рга(х) = ₽(х) равносильно
системе
Р(х)^О,
а (х) = р2 (х),
так как |32 (х)	0, и равенство а (х) = (З2 (х) накладывает на а (х)
условие неотрицательности.
Решая равносильным переходом уравнения типа (7), можно
не находить ОДЗ этого уравнения, но обязательно накладывать
условие неотрицательности функции |3 (х).
Учитывая это, для данного примера имеем
х—1^=0,
х-Н1=х2—2х+1	\х2-Зх-10 = 0^
( 1,
1 Г х = — 2,ф>х = 5.
Цх=5
Итак, х = 5 — единственное решение уравнения (7).
Пример 20. Решить уравнение
рлх2(х—1) = | х|.	(8)
Решение.
Первый способ. ОДЗ уравнения (8) задается условием
х2 (х—1)	0, т. е. есть х = 0 и х^ 1. Разобьем ОДЗ на две
части: х —0 и х^э 1.
Если х = 0, то уравнение (8) превращается в верное числовое
равенство. Таким образом, число 0—решение уравнения (8).
Если х^1, то |х|=х и Vх2(х — 1) = х/х—1; поэтому
уравнение (8) принимает вид xj/'x—1=х. В этих условиях ле-
вую и правую части последнего уравнения можно разделить на х.
Тогда имеем уравнение f^x—1 = 1, которое равносильно урав-
нению х = 2.
Объединяя найденные решения уравнения (8), на обеих час-
тях его ОДЗ получим хх = 0 и х2 = 2 —решения уравнения (8).
(7) Ы
§ 1. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
15
Второй способ. Уравнение У а (х) = Р (х) равносильно
системе
Р (х) О,
а (х) = р2 (x)s
По определению модуль числа есть величина неотрицательная,
следовательно,
[х — О
x=2t
Третий способ. Поскольку
f (х) = g (х) => Р (х) = g2 (х),
имеем
Г х — О
(8)	z>x2 (х—1) = х2 ФФ х2(х—-2) = 0
При решении уравнения использовался переход к следствию,
поэтому надо делать проверку. Подставляя х = 0 и х = 2 в исход-
ное уравнение, получаем верные числовые равенства; следова-
тельно, х = 0 и х = 2— корни уравнения (8)*
Пример 21. Решить уравнение
Ух^-2 (х2—4х+ 3) = 0.	(9)
Р е ш е н и е^
Первый способ. Уравнение р2(х) = 0 есть следствие
уравнения р(х) = 0; поэтому
(9)	г>(х—2) (х2—4х+3)2 = 0^(х—2) (х—З)2 (х —1)3 = 0
Г х— 1,

х = 2,
х = 3.
Поскольку уравнение (9) решалось переходом к следствию,
то необходимо сделать проверку. Проверкой устанавливаем, что
число 2 и число 3 является решением уравнения (9), а число 1
не является его корнем.
Второй способ. Учитывая, что совокупность уравнений
является следствием уравнения f(x)g(x) = Ot имеем
(9)=>
/х-2 = 0, о
х^—4х+3 = 0^
х = 2,
(х—3) (х—1) = 0
' х = 2,
х= 1,
х = 3.
Делая проверку, устанавливаем, что Xf = 2 и х2 = 3 — корни
уравнения (9).
Третий способ. Находим ОДЗ уравнения (9). Она за-
дается условием х^2. Учитывая, что уравнение / (х) g (х)=0
16 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
(0R3(f (x)g(x)),
равносильно системе •! Г f (х) = 0, имеем
I L g(x)=0,
( х^а 2,
(9)	ФФ | Г -/7=2 = 0	&
V I х2 — 4х-|-3 = 0
х = 2,
х — 3
х = 2,
х — 3.
Следовательно, множество всех решений уравнения (9) состоит
из чисел 2 и 3.
ЗАДАНИЕ 1
1.	Найти область допустимых значений уравнения:
1)	Кх—1 lg(9-2x)=0;	2)	= х2_|_5х+6 •
2.	Являются ли уравнения равносильными:
1)	7х— 1 = 2х+ 1 и (7х— 1) V2х2+ 11 = (2х+ 1) /'2х2-(-11;
2)	(5х—1)2 = (Зх-{-5)2 и 5х—1=3х—|-5?
3.	Привести пример, когда уравнения вида
/(х) = 0 и f(x)g(x) = 0
1)	равносильны;
2)	первое уравнение является следствием второго;
3)	второе уравнение является следствием первого.
4.	Являются ли равносильными уравнения:
1)/(х) = 0 и //^ = 0;
2)	КfW Vg(*) = 0 и Кf(x)g(x) = 0;
3)f(x) = 0 и p/f(x) = O?
5.	Какое из двух уравнений есть следствие другого:
0 f (к) g (х) = a, f (х) = a/g (х);
2) f(x) = O, /(х) 10/«> = 0;
3) / (х) = 0, sin f (х) = 0?
ЗАДАНИЕ 2
1.	Найти область допустимых значений уравнения:
1) /7=9-/Т0=7=1;
g. ___1_______4 _____х2 + 10х	4х2 + 21
х3—х2 + х—1 х-|-1	X4 — 1	у
2.	Являются ли равносильными уравнения:
о око 2х—3 5 —2х
1	) 2х—3 = 5 — 2х и -т-=-----г-;
7	х—1	х—1
2)ух+6 = Зх-4 и (ух+б) (х2Нт7) = (Зх—4) (х2+7)?
3.	Какое из уравнений
Г’77Т=НтТ или /1W/4 W=/2 W/s(x)
§ 1. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
17
есть следствие другого? При каком условии эти уравнения равно-
сильны?
4.	Являются ли равносильными уравнения:
l)f(x) = l и logo f (х) = 0;
2)	f (х) = g(x) и logaf (x) = logeg(x);
3)fW=gW и loga (f(x)~g(x)+l) = 0?
5.	Какое из двух уравнений является следствием другого:
1)	f (х) = 1,- fa(x) = i;
2)	/(х)=0, f (х) 108 <« =0;
3)	f(x) = «/4, tgf (х) = 1?
ЗАДАНИЕ 3
1.	Какое из двух уравнений является следствием другого:
у2	А
1)-Ц=-\ и х2 3 = 4;
х—2 х—2
2)	х2--^+—+Зх = 0 и х2+Зх = 0;
3)	Кх+3 Кх^4 = V30 и К(х + 3)(х-4) = Узб;
4)	К3 sin х cos х — cos2 х и j/"3tgx=l;
5)	|х2-4| = х + 2 и 4 — х2 = х-|-2?
2.	Равносильны ли два уравнения:
1)	К(х + 2)2-КТб и x+2=j/~T0;
2)	К*2 — 2 = Ух2 2х — 4 и х2 — 2 = х2 + 2х—4;
3)	Ч+2)з(2^02=-0 и log *+2(2х- 1) = 0?
3.	Равносильны ли уравнение и совокупность уравнений:
7 х—2	3(х — 4) 1 3(х—4)	'	*
2) |х—3| = (х —З)2 и х--0, х=2;
3) log2 (9 — 2х) = 3 — х и х = 0, х = 3?
ЗАДАНИЕ 4
1.	Какое из двух уравнений является следствием другого:
1)	(х + 2)(х+1)2 = 3(х+1)2 и х+2 = 3;
2)	х2 — 7х = 8 и К4—х2 (х2—7х) = 8 К4—х2;
3)	х2 =16 и х2 1g (х—5) = 16 1g (х—5);
4)	Ух2 — 5х— 6 = 4 и х2 — 5х—6=16;
5)	log2 (х+2) + log2 (x-j-3) = 1 и log2 ((x-j-2) (х-|-3)) = 1?
2.	Равносильны ли два уравнения:
I)	^/(7+^ = 2 и |х+1| = 2;
2) log4 (х—1)2 = 0 и 21og4 (х—1) = 0;
3) logo,5 (х— 1) (x-f-3) = 0 и logo,5 ( — Х-J- 1) +
+ logo,5 ( — X — 3) = 0?
3. Равносильны ли уравнение и совокупность уравнений:
2) Кх+1=х—1 и х-[-1 = (х—-1)2, х = 0, х = 3;
3) УЗ log2 (—х) = log2 Ух2 и х= —8, х= — 1?
18 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Упражнения
1.	Равносильны ли два уравнения:
1)	х2 = х3 и х — 1;	2) У"х=1 и х2= 1;
3)	х 4-2 = 0 и (х24-1) (х+2) = 0;
4)	и )<F=1;
5)	х? + 2х+1=0 и х-|-1 = 0;
6)	/х/'х+Т = К’2 и y'x(x-t-l) = y~2;
Y_______9
7> ?=Ь+6-‘ » (»-2) = ^-5,+ 6);
8)	и л-*•
9)	4x4-1	11 ”"х и 4*+1 = 11 — х;
10)	(2x4-1) К2х2-|-5 = (Зх— 1) К2х24-5 и 2х-Н=Зх—1;
И) (Зх—2) У 1—х=(6—х) У1—х и Зх—2 = 6—х;
12)	(х2 — 1) (х4-2) = 0 и (х2—1) = 0;
13)	(х2 —4) (х—2) = 0 и (х2 — 4) = 0;
14)	х—1=5 — 2х и (х—1)? = (5 — 2х)2;
15)	|х—3| = | 1 — х| и (х—3)? = (1 — х)2;
16)	Ух—2 (х24-3) = 4х Ух—2 и х24-3=4х;
17)	3log3* = x2 и х2 = х;
18)	log2х(х+1) = 1 и Iog2x4-log2(x4-l) = l;
19)	logx2 (х—4)2=1 и logx (х—4) = 0;
20)	log2 х2 = 1 и 21og2x=l;	21) log2x3 = 0 и 31og2x = 0;
22)	х —2 = 0 и (х—2)21о^<1/8~х);
23)	х2-|- log2 х= 14~ log2 х и х2 = 1;
24)	log2 (х2 — 6) = log2(4x—9) и х2—6 = 4х—9;
25)	sinx = cosx и sin2x=cos2x;
26)	| sin х | = | cos х | и sin2 x = cos2 x?
2.	Равносильны ли два уравнения на множестве целых чисел:
п 2х — 3 5—2х	о о ' о
1)	 —----- и 2х-—3 = Ь —2х:
7 х—1 х—1
2)____(3 —х) (х—1) = (х4-2) (х—1) и 3—х = х + 2;
у2____1
3)	——1=-2 и х—1 = —2;
7 х4-1
у2__Q
4)	^==64-2х и х — 3 = 64-2х?
X —р о
3.	Равносильны ли следующие уравнения на множестве ра-
циональных чисел:
у2 А.	у2 __ 9	z-<—
l)i----=4 и х+2 = 4;	3)——Д-К2=1их=1;
х-2	х— К 2
у2__1
2) —р = 5 и х-}-1=5;	4) х3 = 9х2/х и х^ = 9х?
§ 1. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	19
4.	Равносильны ли следующие уравнения на множестве дей-
ствительных чисел:
1)	2х — 54-1—=4 —х4----— и 2х—5=4 —х;
7	1 х —4	1 %—4
2)	х+^ + р^ х=18 — х+)/" х и х+12=18 — х;
3)	и 2х—5 = 0;
7 х2 4-4
.. Х2+5х + 6 л о , е . ZJ л
4)	—	— = 0 и х24-5х4-6=0;
X “]— о
5)	log2(x2— x)=-i-l°g24 и х2 — х = 2;
6)	log2 (х2 4-2x4-3) = 1 и х2 4- 2x4- 3 = 2;
7)	log2 (х+ К 3) (х- К 3) = 0 и
log2 (*+ У 3) + logs (х— У 3) = 0;	_
8)	1og2(x2 —3) = 0 и log2| х+У~ 3| + log2|x— У 3| = 0?
5.	Какое из двух уравнений является следствием другого:
и 3(х-2)-(4-х)=-18;
2> 7Ет=?Е| и (*-3) (х+3) = (х+1) (х—1);
3)^l=“f и (х+2)(х-2) = (х-1)(х-2);
4)	4t-=jEt и (x-1)2=x(x-2);
5)	log3x2 = 2 и 21og3( — х) = 2;
6)	log2 х3 = 3 и 3 log2 х = 3;
7)’log3x1 = 4 и 41og3x = 4;
8)	Vх—2 К2х4-3 = 3 и К2х2—х—6=3;
9)	х2 —х—1 = 1 и log2 (х2 — х—l) = log2l;
10)	log2 (х24-2x4-2) = log2 1 и х24-2х4-2= 1;
11)3 log2 (— х) = log2 х2 и — х3 = х2;
12)	У(х— I)2 (х — 3) = х— 1 и | х —1 | Ух—3 = х — 1;
13)	/\4-2 = х4-1 и х4-2 = (х4-1)2;
14)	1/ Хj-l- (х3 —4х) = 0 и х3 —4х=0;
г X 4- 2?
15)	x4-log2 x4-log2— = 1 их3—1=0;
16)	log2 (x24-3x4-2) = log2 (x-h 1) и x24-3x4-2 = x4-l;
17)	log2(x(x4-9))4-log2—=0 и 2 log21 x4-9 | — 0;
18)-^EE. = 0 и tg2x = 0;
7 cos 2x
19) У cos 2x=l и |cosx| = l; 20) ysm2x= 1 и sinx = l;
on	sin 2x л
21)---------—=0 и sin2x=0?
7 cos 3x cos 5x
20 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
6. Доказать, что
1) Уа (х) КР (х) = т (х) ФИ Р 0,
( У а (х) р (х) = т (х);
( а (х) «С 0,
2) У — а(х) У-$(х) = т(х) Ф> < Р (х)<0,
[ У а (х) р (х) = т (х);
оч У а (х)	, ч J Р (х) > О,
.. У — а (х)	. ч
К—Р(х)
Р (х) < 0,
5) log2 а (х) +1 og2 Р (х) = m (х) фф <! Р (х) > 0,
V log2 (а(х) Р (х)) — т (х);
7) log2 а (х) — log2 Р (х) — т (х)
6) log2( — a(x)) + Iog2 ( —P(x)) = m(x) Ф»
( а (х) < О,
ФИ р (х) < О,
\ log2 (а (х) Р (х)) = т (х)
г а (х) > О,
Р (х) > О,
1 а (х)	/ \.
11о^Ш=т<х>:.
/ а (х) < О,
Р (х) < О,
8)	logz (—а (х)) —loga (—Р (х)) — т (х)	.
9)	2 log2 а (х) = т (х)	ч
f	\ /	К / v-r । iOg2 а2 до _ т до.
10)	2 log2 (— а (х)) = т (х)	.
7	v п v 7 I log2 a2 (x) = m (x);
m —J a(x) = /n(x)P(x),
H) pw" ()<Ф lP(x)#o.
7. Доказать, что
ГI а (х) 5s О,
1) /а (х) Р (х) = т (х) Ф>
i Р(х)2э0,
( Vа(х) у^(х) = т (х);
I а (х) < О,
<Р(х)<0,	_____
.1 /-а(х) /~Р(х) = т(х);
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
21
=т (х)
У а (х)/КР (х) = т (х),
3) log2 (а (х) Р (х)) = т (х)Ф>
~ ( а (х) > 0, .
{ Р (х) > О,
Vlog2a(x) + log2P(x) = m(x),
( а (х) < О,
{ Р (х) < О,
I _ V l°g2 (—а (х)) + log2 (— р (х)) = т (х);
а (х) > О,
Р (X) > О,
log2 а (х) — log2 р (х) — т (х),
а (х) < О,
Р (х) < О,
LI >oga (— а (х)) — log2 (— Р (х)) = т (х);
4) log2^^=m(x)
Р W
5) а (х) "У Р (х) =• т (х)4=>
Г [ а (х) О,
] Р(х)> О,
( У а2 (х) р (х) = т (х),
f а^О,
1 Р^О,__________
_ I — У а? (х) Р (х) = т (х);
6) У а (х)/Р (х) = т (х)Ф>
/ а (х) 3s О,
4 Р (х) > О.
{у а, (х)/Р2 (х) = /п(х),
( а (х) О,
] Р(х)<г_________
\ — У а (х)/р2 (х) = т (х).
§ 2. Равносильные неравенства
Два неравенства
fl (X) < gi (х) и f2 (х) < g2 (х)	(1)
называются равносильными (эквивалентными), если, совпадают мно-
жества всех их решений. При этом пишут
fl (х) < gl (х) ti (X) < g2 (X).
Если оба неравенства не имеют решений, то по определению
они также считаются равносильными.
22 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
2
Пример 1. а) неравенства х2 > 1 и 1-]-----> 0 равносиль-
ны, так как множества решений каждого из этих неравенств есть
X > 1 И X < — 1.
б) неравенства х—1 > 0 и х(х—1) > 0 не являются равно-
сильными, так как значение х — —2 является решением второго
неравенства, но не является решением первого.
Равносильные неравенства могут иметь различные области
допустимых значений (например, неравенство х > 1 равносильно
неравенству К" х > 1), однако ОДЗ неравенства х > 1 является
множество всех действительных чисел, а ОДЗ неравенства
]/" х > 1—множество неотрицательных чисел.
Из определения равносильных неравенств следует, что вместо
данного неравенства можно решать неравенство, ему равносильное.
Два неравенства называются равносильными на множестве Л,
если совпадают множества их решений, принадлежащие этому
множеству А.
Два неравенства могут быть неравносильными, но могут быть
равносильными на некотором множестве. Примером могут служить
неравенства х2 > 1 и х > 1, которые равносильны на множестве
положительных чисел, но не являются равносильными на мно-
жестве всех действительных чисел.
Если для данной пары неравенств (1) любое решение первого
неравенства является решением второго неравенства, то второе
неравенство называется следствием первого неравенства, при этом
пишут
h (*) < gi (*) => h W < (х).
Если заменить неравенство его следствием, то множество ре-
шений второго неравенства будет содержать множество решений
исходного неравенства и помимо него может содержать некоторые
числа, называемые посторонними решениями исходного неравенства.
Поэтому, если в процессе решения от неравенства переходят к его
следствию, то в конце решения необходимо провести исследова-
ние, позволяющее из полученного множества чисел отобрать те
из них, которые являются решениями исходного неравенства.
» Так, например,	____
X2 < X 4~ 1 —> X < ]/"х-|- 1.
Множество решений неравенства х2 < х-|-1 состоит из всех
1 — Кб 1 + Кб
чисел промежутка—~— < х < —, однако множество реше-
ний неравенства х<]/"х+1 состоит из всех чисел промежутка
I 1 + Кб\
I ’ 2 /
Этот пример, в частности, показывает, что посторонние реше-
ния (для исходного неравенства) могут возникнуть даже тогда,
когда происходит сужение (а не расширение) области допустимых
значений исходного неравенства.
Чаще всего посторонние решения при замене одного неравен-
ства другим происходят за счет расширения ОДЗ исходного не-
равенства.
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
23
Утверждения о равносильности неравенств:
1.	Неравенства f (х) < g (х) и g (х) > f (х) равносильны.
2.	Неравенства f (х) < g (х) и f(x) — g(x) < 0 равносильны.
3.	Неравенства f (х) < g (х) и f (х) + ф W < g (*) + ф (*) рав-
носильны, если функция ф (х) определена на ОДЗ неравенства
f (х) < g(x).
В частности, неравенства f (х) < g (х) и f (х) + а < g (х) + а
равносильны для любого числа а.
4.	Если функция Ф (х) положительна при всех значениях х
из ОДЗ неравенства / (х) < g (х), то неравенство f (х) < g (х)
и неравенство ф (х) f (х) < ф (х) g (х) равносильны. Если функция
ф(х) отрицательная при всех значениях х из ОДЗ неравенства
f (х) < g(x), то неравенство f (х) < g (х) равносильно неравенству
<р (х) f (х) > ф (X) g (х).
В частности, если а—положительное число, то
f (х) < g (х) af (х) < ag (х),
а если а—отрицательное число, то
f W < g (х) af (х) > ag (х)4
5.
f (х)
Неравенства —>0 и f (х) g (х) > 0 равносильны.
g \х)
6. Неравенства <*> > aS <*> и f (х) > g (х) равносильны для
любого фиксированного числа а из промежутка (1; +00)-
7.	Неравенства а^х>>а£<х} и f (х) < g (х) равносильны для
любого фиксированного числа а из промежутка (0; 1).
8.	Пусть функции f (х) и g (х) неотрицательны на множестве
А. Тогда на этом множестве неравенства
f (х) > g (X) и (f (x))n > (g (х))«	(n£N)
равносильны.	____
9.	Неравенства 2п+|/7(х)< 2n+j/g(x) (ngN) и f (х) <
< g (х) равносильны.
10.	Неравенства f2n (х) < g2n (х) и | f (х) | < | g (х) | рав-
носильны.
11.	Пусть а — фиксированное число из промежутка (1; ~]-оо)
и функции f (х) и g (х) положительны на некотором множестве А.
Тогда на этом множестве равносильны неравенства
f (х) > g (X) и loge f (х) > loga g (X).
12.	Пусть а—фиксированное число из промежутка (0; 1)
и функции y = f(x) и У — g (х) положительны на некотором мно-
жестве А. Тогда на этом множестве равносильны неравенства
f W > g (*) и loga f (x) < loga g (x).
Утверждения о том, когда одно неравенство
является следствием другого.
1°. Неравенство f (х) < g (х) является следствием неравенства
/(х) + ф(х) <£(х) + ф(х).
2°. Неравенство f (х) < g (х) является следствием неравенства
2у/ f (х) < g (х) (n£N).
24 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
3°. Пусть а—фиксированное число из промежутка (1; + оо).
Тогда неравенство f (х) < g (х) является следствием неравенства
logafto < 10gag(x).
4 . Пусть а—фиксированное число из промежутка (0; 1). Тогда,
неравенство f (х) > g (х) является следствием неравенства 1 oga f (х) <
< log0g(x).
5°. Неравенство f (х) > 0 является следствием неравенства
гДе Ф (х) принимает только неотрицательные значения.
Пусть дано т неравенств Л (х) > g± (х); ...; fm (х) > gm (х),
и пусть множество Q — пересечение ОДЗ всех этих неравенств.
Если находят все числа a (czgQ), которые являются решением
каждого из этих неравенств, то говорят, что дана система т не-
равенств
fi (х) > gi (х),
f т (х) > gm (х)*
Множество Q называют областью допустимых значений (ОДЗ)
этой системы. Число а из ОДЗ системы неравенств называется
решением этой системы. Решить систему неравенств — это значит
найти множество всех ее решений. Если это множество окажется
пустым, то говорят, что система неравенств не имеет решений.
Пусть дано k систем неравенств:
fk W > ёь (*)>
.................... (2)
Ч W > Sfe (*)•
| fi (x) > gi (x),
I /ii (xj > Si(x),
Если нужно найти все числа а, каждое из которых является ре-
шением хотя бы одной из этих систем, то говорят, что дана сово-
купность k систем неравенств. Число а называется решением этой
совокупности, если оно является решением хотя бы одной системы
неравенств из совокупности (2). Решить совокупность систем не-
равенств (2) — это значит найти множество всех ее решений. Если
каждая из систем совокупности (2) состоит только из одного нера-
венства, то говорят, что дана совокупность k неравенств.
Говорят, что неравенство f (х) > g (х) равносильно на множе-
стве А совокупности систем неравенств (2), если множество реше-
ний (принадлежащих этому множеству) неравенства f (х) > g (х)
совпадает с множеством решений (принадлежащих этой области)
совокупности систем неравенств (2).
Пример 2. Являются ли неравенства
х 3—> — х 2 — ——। и х -J- 3 > — х -J- 2
равносильными?
Решение. Второе неравенство получено из первого нера-
венства прибавлением к обеим его частям одного и того же выра-
1
жения --г
X— 1
которое не определено при х=1. Это означает, что
число х=1 не может быть решением первого неравенства. Однако
х=1 является решением второго неравенства. Итак, существует'
решение второго неравенства, которое не является решением
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
25
первого неравенства. Следовательно, данные неравенства не являют-
ся равносильными. Второе неравенство является следствием первого
неравенства, так как любое решение первого неравенства является
решением второго.
Пример 3. Являются ли неравенства
у______________о
* -g < * 2 и 2х2—11x4-15 > О
х2 — 5х-|-6
равносильными?
Решение. ОДЗ первого неравенства есть множество
R\{2; 3}. На этом множестве неравенство
равносильно первому и имеет решения (— оо; 2), (5/2; 3) и (3; + оо).
Уравнение 2х2— 11x4-15 = 0 имеет два корня: хх = 3 и х2 = 5/2.
Следовательно, множество решений неравенства 2х2—11x4- 15 > 0
состоит из двух промежутков: (—оо; 5/2) и (3; 4-оо).
Таким образом, данные неравенства не являются равносиль-
ными и, более того, ни одно из них не является следствием другого.
Разобранный пример показывает, что при решении неравенства
нельзя обе его части умножать на знаменатель без выяснения
знака принимаемых им значений. Так в примере 3 имеем
х—З „	(х—3) —2 (х2—5хН-6)
х2—5х-|-6^	х2—5х+6
х—3—2х2+10х—12	п —2х2+11х—15	- _
-----х—5х+б-------< 0 & х2 —5x4-6"' < °
Однако, умножив обе части последнего неравенства на выражение
х2—5х-|-6, мы получим неравенство 2х2—11x4-15 > 0, не равно-
сильное исходному.
Пример 4. Являются ли неравенства
Vх—1 < )^*2 — х и х—1 <2—х
равносильными?
Решение. Область допустимых значений первого неравен-
ства определяется системой
х— 1 ^0,
2 —х^ 0
и, значит, состоит из всех чисел отрезка [1; 2].
Решением второго из данных неравенства являются все числа
из промежутка (— оо; 3/2).
Таким образом, данные неравенства не являются равносиль-
ными, так как, например, число х = —5 является решением вто-
рого неравенства, но не входит в ОДЗ первого неравенства.
26 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Второе неравенство является следствием первого (см. утвер-
ждение 2°). Подчеркнем, что данные неравенства равносильны на
ОДЗ первого неравенства.
Пример 5. Являются ли равносильными неравенства
lg (х2-4) > 1g (4х—7) и х2 —4 > 4х—7?
Решение. Поскольку
х2 —4 > 4а._7 & j) (х—3) > 0,
то множество решений второго из данных неравенств состоит из
всех чисел промежутков (—оо; 1) и (3; + оо). Однако, например,
число х — 0 из промежутка (—оо; 1) не является решением нера-
венства 1g (х2—4) > 1g (4х—7), так как оно не входит в его ОДЗ,
и поэтому данные неравенства не являются равносильными. Вто-
рое неравенство примера 5 является следствием первого неравен-
ства.
Пр и м е р 6. Доказать, что
f(x)>0, J f (х) > О,
g(x) > 0	| f (x)+g(x) > 0.
Привести пример, когда эти системы не являются равносильными.
Решение. Пусть число х0 является решением первой си-
стемы; тогда справедливы числовые неравенства f (х0) > 0 и g(x0) > 0,
и, значит, f (x0)+g (х0) > 0. Таким образом, вторая система яв-
ляется следствием первой системы.
Положим f(x)=x2 и g(x) — x. Докажем, что системы
х2 > 0,	( х2 > 0,
х > 0 И \ х2-]-х > 0
не являются равносильными. Действительно,
х2 > 0,	( х2 > 0,	J х / 0,
х2-|-х> 0	( х(х+1) > 0	\ х(х+1) > 0.
Следовательно, множество решений второй системы состоит из
двух промежутков: (—оо; —1) и (0; + оо).
Пример 7. Доказать, что
KFw <=> I f WI > I g (x) |.
Решение. Пусть число x0 является решением первого нера-
венства; тогда справедливо числовое неравенство УР(Хо)^
Так как Кf2 (х0) = | f (х0) | и Kg2 (*о) = I g (*о) |, то
If (Xo)jSHg(xo)|.
Обратно, если х0 —решение неравенства | f (х0) |	| g (х0) |, то
по свойствам числовых неравенств имеем
If (Хо) |2S=lg(x0) |2, т. е. f2(x0)Sag2(x0),
из которого получаем 2 (х0)	Vg2 (х0) •
Таким образом, данные неравенства являются равносильными.
§ 2* РАВНОСИЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
27
ЗАДАНИЕ 1
Равносильны ли следующие неравенства:
1)	2х—3--^-=- < х—4---и 2х—3 < х—4;
'	х—5	х—5
2)	х+3~7Тр7 < 2“ГР7 И х+3<2;
3)у(2ж—1)<-|-(х+2) и 2х— 1 < х-4-2;
4)	111(1—х) < ^(4х—3) и 1— х < 4х—3;
__к	_к
5)	-22(х-х«-1)(х+4) <_^(х-х2-1)(Зх+1) и х+4 <
< Зх *4“ 1;
6)	(18-|-х—2х2) (4x4-8) < (18 + х—х2) (1—х) и 4X-J-8 <1— х;
7)	Зх—1 < (х4-3) и (Зх—I)2 < (х4-3)2;
2	/	2	\ 2
8)	— < 0 и ( —-------------) < 0;
Кх+1	\ К х+ 1 /
9)	х3 < — 1 и х < — 1;
10)	х2 < 1 и х < 1;
п)^Д<-5
—3 4- 5 (х 4) q.
х-|-4	*
12)	< О и (х+5) (х-1) < 0;
х—3
5~=~
и (х—3) (5 —х) < 0;
" *+3<0i
'5>4ш<0" -8<0;
1в> Ж?Т7+Т <	" («+!)
О	О
17) л--9 <	и 4х2 —4х < 9 —х2;
7 9—х2 4х2—4х
18) Ух+зУх—3< 1/2 и 2У(х + 3)(х—3) < 1?
ЗАДАНИЕ 2
Равносильны ли следующие неравенства:
»'‘-,+гтп>‘' тЛт и
2)*+’+jT5>8+tts  *+1>8;
3)-^(х+1) >^(2х+1) и х+1 >2x4-1;
28 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
4) ^(2х-3) > =^(3x4-1) и 2х—3 > 2 (Зх+1);
5)—3 (х—5 —х2) (х—1) >—3 (х—5 —х2) (х—2) и х—1>
> х—2;
6) (х-|-7— х2) (Зх + 4) > (х + 7—х2) (1 — х) и Зх4-4.> 1— х;
7) х—4 > 2х—3 и (х—4)2 > (2х—З)2;
8) —-L=-> О и Л—LY>0;
Ух \У х )
9) х3 > 1 и х > 1;	10) х2 > 1 и х > 1;
11)_2 >3 и g-3 (х~4). > 0;
' х—4	х—4
х__2
12)	ъ-> 0 и (х—2) (3-х) > 0;
13)^±1>0 и (х4-1)(х-3) > 0;
X — о
у. О	у_Q
">5W>0 и х —2 > 0;
о	9
16)	т-я—ПТЙ > 1----ГТ и х2~~х+1 > х24-4х4-10;
zx24-4x4-10	х2— х4-1
17)	> 2 1 .  и х2 — 4х > х2 — 4;
z х2— 4	х2— 4х
18)	/Т^З >1/2 и 2 К(х-4) (х-3) > 1?
ЗАДАНИЕ 3
Равносильны ли следующие неравенства:
1) х23гх и х^1;	2) х4^х2 и х2^1;
3) 1/х<1 и 1<х;	4) Г1—х<х и 1—х<х2;
5)	/ (1—х) К(х4-2) S& 9/4 и У (1—х) (х4-2)^9/4;
6)	У(х-Ь 1) (х—2)^х и У x-j-1 Ух—2^х;
7)	log2x2<2 и log2x<l;
8)	log2^+l°g2 (х(х4-1))<2 и log2 (х4-1)2<2;
9)	log2 ((х-|-2) (х—5)) <3 и log2 (х—2)4-log2 (х—5)<3;
10)	log2-^~Hogs1 И x^l;
11)	Ух+2^— 1 и х4-2^0; 12) ГЗх— 1 <3 и Зх—1<9;
13)	К2х^7^1 и х^4;
14)	Г—Зх—5<2 и — Зх— 5<4;
15)	У;4:4<3 и ^=4<9;
’ Г 2х—5	2х—5
16)	К4x^3Sa У21—2х и 4х—3>;21— 2х?
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
29
ЗАДАНИЕ 4
Равносильны ли следующие неравенства:
1)	и х<;1;	2)	и х2<:1;
3)~^1 и	4) У1—х^х и 1— х^х%;
5)	У(1— х) (х + 2) < 9/4 и УТ^х Ух + 2	9/4;
6)	У(х — 1) (x-f-2) ^2 и У(х—1) Ух+2 > 2;
7)	log2 х2 1 и 2 log2 | х |	1;
8)	io?i/2^7-^+logi/2 &(х — 1))>3 и log1/2(x— 1)!>3;
9)	log2/6 (х + 5)(х—2)3 2 и log2/6 (x+5) + log2/6 (х—2)>2;
10)	1°g2/^+l°g2/6^<1 и *<•;
11)	/Т+2<—7 И х+2<49;
12)	/'Зх—2^4 5 * и Зх—23 16;
13)	-^^±1 з2 и 1/ £±1^2;
Кх-1	' х-1
15) У~3—x2<j/"4—х2 и 3 — х2<4—х2;
16) У"х^Т У"х^13 1 и хз2?
ЗАДАНИЕ 5
Являются ли равносильными неравенство и система:
1)	|х|(х + 4)/Г^>2 и {**4°’>2;
2)	]/~х2— 25 < х+1 и | х2^25 <’(х+1)2;
з)	к?=Тб(х2-80)</^гпб и /
I хл — ои	1;
4) .«+!> 0 , / * + 3>°.
у%Н-4	I х + 4 > 0;
_____ / у2________1^0
5) j/\2—1/x^sO и < л ’
' r	I V *s. (>♦
в)£^=±б
'	х—2
х2—163=0;
7) Vх—1 V3—хз—1
(х-2)(х+3)2
8)---FP5)----<0 “
30 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
/25-,(,+<) и
К х2 — 1 (х—2)2
*2— 1	о /	<
7 х—1	( х # 1;
11) }л6+ х—х2 > 2х— 1 и
12) (х—2)2 К 16—х2/х > 0
( 25-х2 > 0,
{ х2—1 > О,
( х # 2;
3,
( 6 + х—х2^0,
«[ 2х—1^0,
(6 + х-х2) > (2х-1)2;
f 16 —х2 > О,
и <[ х & 2,
V х> О?
ЗАДАНИЕ 6
Являются ли равносильными неравенство и система:
1)	х+ У х—1 > У х—1 И | о-
2)	У X2— 16 ^Х И / Х2^01’к~~_ 2
’	| х2—16 ЭгХ2;
3)	и j ^Z^O;
4)£±1>0 и / (х-|-4) (х—3) ^0,
4)х-3^° и \ х#3;
5)	(4-х)2(х+2)>(4-х)2 и [ ^24>1;
6)	(х+7)2(х+3)>2(х+7)2 и <j ^3^’2.
7)	К(х-5)2(х+1) >0 и	0;
-------  г-—	( X 7^ О,
8)Гх+3/Гх^1 и |
9) у^т (х+5)/к^л >i и { *“5 >
10) (х2+1) (Ух +4) > х (Ух +4) и |	> %?
ЗАДАНИЕ 7
Доказать, что неравенство и совокупность’систем равносильны:
1) У а (х) =с В (х) и
“ ( а (х) = 0,
( Р(Х)^:О,
/ а (х) > 0,
4 р(х)>0,
_Д а(х)<^2(х);
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
31
2)	У' а (х)	р (х)
3)	/'а(х)>р(х)
4)	У а (х) < Р (х)
~ ( а (х) 5s О,
) р(х)<0,
С а (х) > О,
! р (х) > О,
LI а(х)>р2(х);
i ~j а (х) О,
I Р (х) < О,
( а (х) > О,
( Р(х) = О,
( а (х) > О,
I Р (х) > О,
1_1 а(х)>Р2(х);
!“ ( Р (х) > О,
I а (х) = О,
(а (х) О,
Р (х) > О,
а (х) < Р2 (х),
ЗАДАНИЕ 8
Доказать, что неравенство и совокупность систем равносильны:
О 1о§а(х)Р WS&iogawPW
2)	,og<z(x)PW > loSa(x)P(x)
3)	1о§а (х) 3 W < 1о§а (х) Р W
4)	1 (х) ₽ <Х> < 1о2а(х)Р(х)
~ J О < а (х) < 1,
I 0<Р(х)<р(х),
J а (х) > 1,
L_l Р (х) 5s р (х) > О;
~ ( 0 < а (х) < 1,
( 0 < р (х) < р (х),
J а (х) > 1,
1_ I Р (х) > р (х) > 0;
~ ( 0 < а (х) < 1,
\ Р W Р W > О,
f а (х) > 1,
1_1 0<Р(х)<р(х);
Г ( 0 < а (х) < 1,
I Р (X) > р (X) > О,
( а (х) > 1,
и I о < Р (х) < р (х).
Упражнения
1. Являются ли равносильными неравенства:
1) х+ У"х > х —2 и х > —2;
2) х+УТ^х>	и х > —3;
3)^2^ >1 и х2-1>х2-х+1;
32 ГЛ. 1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
4) х—х2<:2 и (х—х2) (х4~4х24-5)<2 (х4-4х2-|-5);
„ £±1^;
'	х-{-2	х + 2
6) Vх2—14 (х2 4-х —2)	0 и х24~х—2^0;
7) х3 —8 < 0 и х < 2;
8)т~г^° И («4-4) (х-1)^0;
9)|/'x4-I/j/'x>l и У х+ 1 > Кх ;
10) У"(х+\)!х > 1 и Ух+1 > Ух;
11|-, + 7Т2>1+4-2 " ‘‘>1;
12M. + _Lj>„_±5 и
13)	Ух (х+2)/Ух > 1 и х±2 > 1;
14)Ух-{-2(х—4)/Ух-}-2>2 и х—4 > 2;
15)	(2—х)2(х4-1) > 3(2 —х)2 и х+1>3;
16)	(1 —х)2(х4-7) > 2(1—х)2 и х+7 > 2;
17)	(3-x)2xSs5(3-x)2 и х^эб;
18)	К(х—4)2(х4-1) >0 и х+1 > 0;
19)	К(«4-2)2 (х—3) > 0 и х—3 > 0;
20)	/(«—7)2 (х+3)^0 и х4-3^0;
21)	К(«4-8)2(«—2)^0 и х-2^0;
22)	(х4-1)2 < х2 и |х4-1 |<|х|;
23)	У(х+2)2 < У^ и |х4-2|<|х|;
24)	(х24-1) (К«+3) > х(Ух 4-3) и х24-1>х;
25)	(х2-х4-4)(К«4-2)<(К«4-2) и х2—х-]-4<1;
26)	Эх-2 > (х4-2)-2 и 3 (х4-2)2 > х2?
2. Являются ли равносильными неравенство и совокупность
систем:
1)	lg I («~4)| > 2 и
2)	log2 | Зх—141 < 1 и
3)	| log3 (х—4) | < 1 и
х—4 > О,
lg(x-4) > 2,
х—4 < О,
1g (4-х) >2;
Г( Зх— 14 > О,
( log2(3x—14) < 1,
( Зх— 14 < О,
1_( logs (14—Зх)< 1;
Г) logs (х—4)^0,
\ logs (х—4) < 1,
( logs(x—4)<0,
[_( — logs(«—4) < 1;
§ 2. РАВНОСИЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
33
4) I log2 х I 5 и
5) | 4 —log2 х ( > 2 и
6) logx 7^ > logje 2
л — о
log2 X	О,
log2 х	5,
log2 х<0,
— log2x^5;
г( 4 —log2x^0,
| 4 — log2x>2,
j 4 —log2x^0,
Li log2x —4>2;
ГГ 0 < x < 1,
0 < —< 2,
x—3
( x > 1,
j 3x-f-5 ~
X—3
V ( 0 < x < 1,
7)
8)
9)
4x4-5	.	1
|%6=Т?'^7 и
4x4-5
6—5x
x ’
( x > 1,
4x + 5^1>0;
1_Д 6 —5x x
logj^+g (x2 — 4x4-3)	logx+3 1 И
rj о <х4-з < i,
( x2 — 4x4-3^1,
j x -J- 3	1,
0 < x2—4x4~3«C1;
(2+-^) < togx**2 и
~ ( 0 < x2 < 1,
\ 24-x > x2,
J X2 > 1,
Д x2 > x4-2 > 0?
ГЛАВА 2
УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
§ 1. Уравнения, содержащие знак
абсолютной величины
По определению
| а 1 = а, если а О,
| а | = — а, если а < 0.
При решении уравнения, содержащего знак абсолютной величины
(знак модуля), как правило, следует разбить ОДЗ уравнения на
множества, на каждом из которых выражения, стоящие под зна-
ком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве урав-
нение записать без знака модуля и решить на этом множестве.
Объединение множеств решений, найденных на всех частях ОДЗ
уравнения, составляет множество всех решений уравнения.
Простейшими уравнениями с модулями являются уравнения
вида
f (1*1) =£(*),	(1)
где f (х) и g(x)— некоторые функции.
Для того чтобы решить уравнение (1), нужно найти сначала
все решения уравнения f (х) = g (х), принадлежащие множеству
х^О, затем решить уравнение f (—x) — g(x) на множестве х < 0;
объединение множеств найденных решений составляет множество
всех решений уравнения (1). Другими словами, уравнений (1) рав-
носильно совокупности систем
f /(*)=£(*).	Г
( x^s 0,	I	х < 0.
Пример 1. Решить уравнение
х2 — 5 ] х | + 6 = 0.
Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности
систем
( х2 —5х+6 = 0,	( х2 + 5х4-6 = 0,
| х^О,	I х < 0.
Уравнение х2— 5х+6 = 0 имеет два решения: Xi = 2, х2 = 3,
каждое из которых неотрицательно; поэтому числа 2 и 3. являются
решением первой системы совокупности. Уравнение х2-|-5х+6 = 0
имеет решения х3 = —2 и х4 = —3, которые являются решениями
второй системы совокупности, так как х3 < 0 и х4 < 0.
Следовательно, множество всех решений данного уравнения
состоит из четырех чисел: —2? 2, —3, 3.
§ 1. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
Заметим, что данное уравнение можно решить, используя
метод замены неизвестного. Положим / = |х|. Тогда данное урав-
нение можно записать следующим образом: /2 — 5/4-6 = О (по-
скольку х2 = | х2 | = | х|2). Решением этого уравнения являются
два положительных числа: 2 и 3; поэтому исходное уравнение
равносильно совокупности двух уравнений: | х| = 2, | х | = 3, ре-
шая которую получим решение исходного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
| х| = х24-х—2.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
х = х24-х—2,	( — х = х24-х — 2,
х^О,	I х < 0.
Уравнение х = х24-*—2 имеет корни хх =—У 2 и х2=уг2,
из которых решением первой системы является число У2.
Уравнение —х = х2>-\-х—2 имеет два корня: х3 =—1 — У3 и
х4 =—1 + ]/~3. Так как -1-/3 <0 и —-14-1^3 > 0, то ре-
шением второй системы совокупности является число ( — 1 — Уз)-
Таким образом, данное уравнение имеет два корня: У 2,
(-1-Кз).
Приведем два способа замены уравнения
I/(х) |=gr (х)	(2)
совокупностью систем.
Первый способ. Уравнение (2) равносильно совокупности
систем:
f (x)=g (х), Г — f (x)=^g (X),
/(х)Э»0,	1 f (х) < 0.
Второй способ. Уравнение (2) равносильно совокупности
систем:
f f(x) = g(x),	f —f(x)=g(x),
I g(x)SsO,	I g(x)5s=0.
Если в уравнении (2) функция f (х) имеет более простой вид,
чем g(x), то целесообразно уравнение (2) заменять первой сово-
купностью систем, а если более простой вид имеет функция g (х),
то уравнение (2) целесообразно заменять второй совокупностью
систем.
В частности, уравнение вида
|f(x)| = &, &CR,
при b < 0 решений не имеет;
при Ь = 0 равносильно уравнению f(x) = O;
при b > 0 равносильно совокупности уравнений
2*
36 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 3. Найти все корни уравнения
2 |	5 | = х—1,
удовлетворяющие неравенству х < V2 .
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
систем
( 2(х2 + 2х—5) = х—1,	( —2(х2-|-2х—5) = х—1,
[ х—1^0,	( х—1^0,
которая на множестве (—оо; ]/*2) равносильна совокупности
J 2(х2-|-2х—5) = х—1,	J 2 (х2 + 2х—5) =—(х—1),
t 1<х < У2,	I 1<х < К2.
Решим первую систему. Корнями уравнения 2х24~4х—10 =
= х— 1 являются числа 3/2 и (—3), каждое из которых не при-
надлежит промежутку [1; и поэтому первая система реше-
ний не имеет.
Решим вторую систему. Уравнение 2х? + 4х—10 = —х+1
—5+К113	—5—КПЗ
имеет корни Xj=------------ и х2 =------.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию 1
<х<К2.	____
Из неравенства К113/4—5/4 > 1 имеем следующую цепочку
числовых неравенств: К113/4 > 9/4 0 К 113 > 90 113 > 81.
Последнее числовое неравенство верно, и поэтому верно и
исходное неравенство.	_
Из неравенства V113/4 — 5/4]/*2_имеем К 113>4К2+5Ф>
О 1135s32+40 К2"+25 056^40 К2"О7э=5 У"2 0 49^50.
Последнее неравенство ложно, и поэтому исходное неравенство
КПЗ-5 .	,/-5
также является ложным; следовательно, —----- меньше V 2.
Таким образом, выполняется условие 1 < —И?—< ]/*2 , и
/ИЗ-5
поэтому число ---4-----решение второй системы.
-5-КПЗ
Число---------- отрицательно, и, следовательно, оно не
принадлежит промежутку [1; j/~2) и решением системы не яв-
ляется. Таким образом, вторая система совокупности имеет един-
К113-5
ственныи корень ------- .
Итак, совокупность двух систем, а следовательно, и исходное
j/"T13 —5
уравнение имеют единственный корень—число --.
Пример 4. Решить уравнение
х2—бКх+7
х2+бКх+7
§ 1.. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
37
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
уравнений
Х2-6 /х-4-7
х2 + 6Гх+7~ ’
х2 _ 6 / х _|_ 7
х? + бК*+7 “
"	-12/7
х2 + б/?+7
2х2+14
I. х2 + б/7+7
= 0,
/7=оф>х=о.
= 0
Итак, единственным решением исходного уравнения является
число 0.
Пример 5. Решить уравнение
I х2—10% + 21 I х2—10x4-21
I х2—12х+32 | ~х2—12х+32 *
Решение. Данное уравнение имеет вид | f (х) | =—f (х), где
j^2___ |	_J_ 21
f(x) = -z—г-5 J--хх-. Такое уравнение равносильно совокупности
Х“ — 12Х 02.
систем

f(x) = f(x),
f (x) < 0.
Первая система этой совокупности равносильна уравнению f (х) =
= 0, а вторая система — неравенству f (х) <0; поэтому совокуп-
ность этих систем равносильна совокупности уравнения f (х) = О
и неравенства f (х) < 0, т. е. неравенству / (х)	0.
О	оо	О	©о
Рис. 2.1
Таким образом, исходное уравнение равносильно неравенству
х2— 10х+ 21
х*-12х + 32^ ’
т. е. неравенству
(х-3) (х-7)
(х— 4) (х—8)
Решая его, например, методом интервалов (рис. 2.1), находим
решение исходного уравнения —объединение промежутков [3; 4)
и [7; 8).
Уравнение вида
ft(l/WI)=g(x),	(3)
38
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
где h, f, g—некоторые функции, равносильно совокупности систем
Г h(f (x)) = g(x), I h(—f(x)) = g(x),
I	\ f (x) < 0.
Пример 6* Решить уравнение
1 —2x
3 — |x—
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
двух систем:
( х—1^0,	( х—1 < 0,
I 1 —2х  .	!	1—2х  
V 3—(х—l)^1, V 3+(х—1)“ь
1__2х
Решая уравнение ^-= 1, находим Xi =—3—его единст-
венный корень. Но он не удовлетворяет условию х—1^0; по-
этому первая система совокупности решений не имеет.
1—2х
Решая уравнение -у—=1, находим х2 =—1/3 —его единст-
хЬ —[— х
венный корень. Он удовлетворяет условию х—1 < 0, и поэтому
число —1/3 является решением второй системы совокупности.
Итак, единственным решением исходного уравнения является
число —1/3.
При решении уравнения, в котором под знаком модуля нахо-
дится выражение, также содержащее модуль, следует сначала ос-
вободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравне-
ниях раскрыть оставшиеся модули.
Пример 7. Решить уравнение
| х—1 4—х 11—2х = 4.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
двух систем:,
I 4—х^О,	( 4 —х < 0,
\ |х—(4 — х) | — 2х = 4,	| |х-|-(4— х) | — 2х = 4,
т. е. совокупности систем
/	J х>4>	лп
\ |2х—4|—2х=4,	\ —2х=0.	w
Вторая система совокупности (4) решений не имеет.
Первая система совокупности (4) равносильна совокупности
двух следующих систем:
( х<;4,	i х^4,
< 2х—4^0,	Z 2х—4 < 0,
I (2х—4) —2х = 4,	I —(2х—4) —2х = 4,
т. е. совокупности
(	х<4,	г х=С4,
<	х>; 2, J х < 2,	(5)
I —4=4,	I — 4х=0.
§ 1. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
Единственным решением совокупности (5), а следовательно, и ис-
ходного уравнения является число 0.
Рассмотрим уравнение вида
|ZiW| + lf2(x)| + |f3(x)|+...+|f„(x)| = ^(x),	(6)
где fi(x), fn (х), g (х) — некоторые функции. Если это урав-
нение решать последовательным раскрытием знаков модулей, то
после раскрытия одного знака модуля получается совокупность
двух систем, после раскрытия второго знака модуля — совокуп-
ность четырех систем и т. д. Этот метод очень громоздкий. Та-
кие уравнения проще решать методом интервалов. Для этого на-
ходят сначала все точки, в которых хотя бы одна из функций
fi (х), f2(x), ..., f п (х) меняет знак. Эти точки делят область до-
пустимых значений уравнения (6) на промежутки, на каждом из
которых все функции fi (х), f2(x), ..., fn(x) сохраняют знак.
Затем, используя определение абсолютной величины, переходят
О
________________I F +
6 Зх-8)	—	|	— Jefi
"	+ (Зх-2)	— /г/з	+
Рис. 2.2
от уравнения (6) к совокупности систем, не содержащих знаков
модуля.
Пример 8. Решить уравнение
|3х—8| — | Зх—2 | = 6.	(7)
Решение. Методом интервалов (рис. 2.2) находим интер-
валы знакопостоянства выражений Зх—8 и Зх—2: х < 2/3, 2/3 <
< х < 8/3, х > 8/3.
Таким образом, уравнение (7) равносильно совокупности трех
систем:
( х<2/3,	J 2/3 <х <8/3,
\ —(Зх-8) + (Зх—2) = 6,	\ — (Зх—8) —(Зх —2) = 6,
( х > 8/3,
( (Зх—8) — (Зх—2) = 6,
т. е. совокупности систем
i х<2/3,	J 2/3<х<8/3,
[ 6 = 6,	( —6х = —4,
х > 8/3,
—6 = 6.
Решением первой системы являются все числа из промежутка
(—оо; 2/3]. Вторая и третья системы решений не имеют.
Итак, множеством всех решений исходного уравнения явля-
ется промежуток (—оо; 2/3],
40 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 9. Решить уравнение
|х| + |7~х| + 2|х-2| = 4.	(8)
Решение. Методом интервалов находим (рис. 2.3) интер-
валы знакопостоянства выражений х, 7 —х их—2: х < 0, 0<
< х < 2, 2 < х < 7, х> 7.
Рис. 2.3
Таким образом,
“ I х<0,
I -(х) + (7-х)-2(х-2) = 4,
I 0<х<2,
I (х) + (7-х)-2(х-2) = 4,
I 2<х<7,	<8)
I. (х) + (7-х)+2(х-2)=4,
I х > 7,
i_ | (х)-(7-х)+2(х-2) = 4.
Первая система совокупности равносильна системе
I х<0,
I х = 7/4
и, следовательно, решений не имеет.
Вторая система совокупности равносильна системе
J 0<х<2,
\ х = 7/2
и, следовательно, решений не имеет.
Третья система совокупности равносильна системе
I 2 < х^ 7,
| х — 1 /2
и, следовательно, решений не имеет.
Четвертая система совокупности равносильна системе
( х > 7,
\ х = 15/4
и, следовательно, решений не имеет.
Итак, совокупность (8'), а значит, и исходное уравнение ре-
шений не имеют.
§ 1. УРАВНЕНИЯ» СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
41
Замечание. Решения уравнений вида
|х—а\ — с,	(9)
|х—а| + |х—Ь\ — с,	(10)
| х—а | — | х — b | = с	(11)
(при заданных числах а, Ь, с > 0) допускают простую геометри-
ческую интерпретацию.
Решить уравнение (9) — значит найти все точки на числовой
оси Ох, которые отстоят от точки с координатой а на расстояние
с. Таких точек две: точка с координатой и точка с коор-
динатой (а — с).
Решить уравнение
|х-1 | + |х-3| = 6
— значит найти все такие точки на числовой оси Ох, для каждой
из которых сумма расстояний от нее до точек с координатами 1
и 3 равна 6. Ясно, что ни одна из точек отрезка [1; 3] не удов-
летворяет этому условию, так как сумма указанных расстояний
для любой из них равна 2 (т. е. не равна 6). Вне этого отрезка
существует только две искомые точки: точка с координатой 5 и
точка с координатой (—1).
Аналогично интерпретируется решение уравнения вида (11).
Так, например, для того, чтобы решить уравнение
|х—1|—— |х—3| = 2,
нужно на числовой прямой Ох найти все такие точки, для каж-
дой из которых разность расстояния от нее до точки с коорди-
натой (1) и расстояния от нее до точки с координатой (3) равна
2. Так как длина отрезка [1; 3] равна 2, то ясно, что любая точка
с координатой х^З удовлетворяет, а любая точка с координатой
х < 3 не удовлетворяет ему. Таким образом, решением исходного
уравнения является множество всех чисел из промежутка [3; +оо).
Пример 10. Найти все значения а, при которых уравнение
а3 + а2]а + х| + |а2*+1 1 = 1
(12)
имеет не менее четырех различных решений, являющихся целыми
числами.
Решение. Уравнение (12) можно записать в виде
| а2х +1 | +1 а3 + а*х I = а^х + 1 — (а3 + а*х)'
Из свойств абсолютной величины следует, что равенство
| А | + | В | — А — В, справедливо тогда и только тогда, когда
и В^О. Следовательно, уравнение (12) равносильно систе-
ме неравенств
а2х+1^0,
а3 + а2х<0.	u ’
Значение а — 0 удовлетворяет условию задачи, так как в этом
случае система (13), а следовательно, и уравнение (12) имеют ре-
шением все x£R,
42
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ с ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пусть а 0. Тогда система неравенств
стеме
х^ —аг*,
х^—а.
(13) равносильна си-
(И)
Таким образом, необходимо найти все такие значения а, при ко-
торых система (14) имеет не менее четырех различных решений,
о°,Ч О______
—i...........
Рис. 2.4
являющихся целыми числами. Сравним числа —а и —1/а2. Най-
дем их разность:
-1	,	^„-1 ,	__ (6z-l)(^2 + a+i)
а2 1 а2 ф а* ~ а*
Так как а2-|-а-|-1 > 0 при любом а, то а2 + «+1 на знак разно-
сти сравниваемых чисел не влияет. Согласно методу интервалов
(рис. 2.4), имеем
если а < 1, а ф 0, то —< —а\
если а — 1,	то	—а~2 = —а ——1;
если а > 1,	то	—а~2 > —а.
Следовательно:
а)	если а > 1, то система (14) решений не имеет; поэтому и
исходная задача решений не имеет;
б)	если а = 1, то (14) ФФ х ——1, т. е. имеется единственное
решение, и условия задачи не выполнены;
в)	если 0 < а < 1, то —1 < —а < 0. Поэтому отрезок	-а-?;
—а] будет содержать не менее четырех целых чисел, если спра-
ведливо неравенство —а~2«С—4. Решим систему
Г 0 < а < 1,	.
4	1 1-4а?^0^ \ (1/2-а)(1/2+а)^=0
Итак, если 0 <	1/2, то данное уравнение имеет не менее че-
тырех различных решений, являющимися целыми числами.
г)	если —1 < а < 0, то 0 < —а <1, и отрезок [—а~2; —а]
будет содержать по крайней мере четыре целых числа, если спра-
ведливо неравенство ——3. Решим систему
( -1 < а < 0	( -1 < а < 0	( -1 < а < 0
\ —а-2<——1<—За»	\ За?—1<0
[ — 1 < а < 0,	/ — 1 < а < 0,
I 3(а— l//3)(a+ 1//3)<0^ ( а + /з732==0^
§ 1. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
43
Итак, если — 3 /3 «С а < 0, то уравнение имеет не менее четы-
рех целых решений;
д)	если а ——1, то отрезку [—1; 1] принадлежат только три
целых числа, т. е. условия задачи не выполнены;
е)	если а < —1, то —1 < —я~2 < 0; и для того, чтобы от-
резку [—а~2; —а] принадлежало не менее четырех целых чисел,
необходимо выполнение неравенства —а^З, т. е. неравенства
—3	. Итак, при	—3 данное уравнение имеет не менее че-
тырех целых решений.
Объединяя все результаты, получаем множество искомых зна-
чений числа а — промежуток (—оо;—3] и отрезок [—У'З/З; 1/2].
Пример 11. Найти все решения системы уравнений
| х+1/у | + | 10/3—х+у\= lO/3+y+l/y,
х*+у* = 82/9,	u >
удовлетворяющие условиям х > 0 и у < 0а
Решение. Пусть пара чисел (х0, у$) удовлетворяет усло-
виям задачи, т. е. х0 > 0, yQ < 0 и (х0, yQ) является решением
системы (15).
Обозначим а==х0 +l/z/0, b— 10/3—х0+#(ь тогда первое урав-
нение можно записать в виде [а| + | b\~a-\-b. Из свойств абсо-
лютной величины следует, что это равенство справедливо тогда
и только тогда, когда и Z?^0. Это означает, что справед-
ливы неравенства
хо + 1/#о	0, 10/3—хо + Уо	0а
Из этих неравенств следует, что
10/3+ 1/г/о+^/о	0.
Поскольку yQ < 0, то это неравенство можно переписать в виде
yl+'-ho + KO-	(16)
о
Далее, так как
0 < х0	10/3 + у$.,
то Хо (1О/3 + г/о)2, и, следовательно,
Хо+yl	(10/3+yQ)*+yl»
Поскольку xl + уо = 82 /9, то
82/9<^ + (lO/3 + f/o)2,’
т. е.
00+-^0+12=0.	(17)
О
Сравнивая неравенства (16) и (17), приходим к выводуг что
yl + -у Уо + 1 = 0,
откуда находим хД1* = —3, х/о2) =—1/3*
44
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Но тогда из условий х% + уо = 82/9 и х0 > О получаем Хо1} =
= 1/3 и хо2) = 3.
Итак, каждая пара чисел (х0, г/о)> удовлетворяющая условию
задачи, находится среди пар (1/3; —3) и (3; —1/3). Проверкой
убеждаемся, что они удовлетворяют всем условиям задачи. Эти
пары чисел и есть множество всех решений данной системы.
При решении примера 11 было использовано следующее ут-
верждение:
Равенство | а | + | b | = а + b имеет место тогда и только
тогда, когда и Ь^О, т. е.
|а| + |&| = а + 6^> |
Это утверждение является частным случаем следующего утверж-
дения:
Равенство | а + 6| = |а| + | Ь | имеет место тогда и только
тогда, когда ab^O, т. е.
| а b | = | а | | b | ФФ ab 0.
Пример 12. Решить уравнение
|-ст|+|,|-тг=тт-	(18)
Решение. Поскольку
X2   X-f-X2 —X   х-|-х (х— 1)   X
X—1 X—1	X— 1	X—1 ‘
X2 |х2| _ | X2 I
I X— 1 |	| X— 1 I ’ I X— 1 I’
то уравнение (18) можно переписать в виде
|т^т|+1«1=Нт+4
Используя утверждение 2, получаем равносильное неравенство
(19)
Решениями этого неравенства, а значит, и исходного уравнения
являются число 0 и все числа из промежутка (1; 4-оо).
Пример 13. Решить систему уравнений
f !*+«/—4 ] = 5,
11 х—31 + | У— 11 = 5.
Решение. Данная система равносильна системе
(|х+г/—4 1=5,
J I*—3|+|у—11 = 5,
[|X+Z/_4|==|X_3| + |{/_1|>
§ 1. УРАВНЕНИЯ» СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
45
которая (так как х-\-у—4 = (х — 3) + (z/— 1)) по утверждению 2
равносильна смешанной системе
(| х+у—4 1 = 5,
| I х—-31 + |«/—11 =5,
Ux-3)(y-l)>o.
Последняя система равносильна следующей совокупности систем:
|х+(/—4| = 5,
|3 -х | + | у-11=5,
X-З^гО,
\х+у—4| = 5,
R-3| + |{/-1|=5,
х—3<0,
. у—КО.
Первая система этой совокупности равносильна системе
х-\-у— 4 = 5,
(X__3) + G/-1)=5
х—3^0,
. У-1 >0,
х+# = 9,
х^З,
У^ L
все решения которой можно записать в виде (/; 9—/), где t —
любое число из отрезка [3; 8].
Вторая система совокупности равносильна системе
1,
х<3,
У^ 1,
множество решений которой состоит из числовых пар (а\ —1—а),
где а—любое число из отрезка [—2; 3].
Таким образом, решениями системы (19) являются все возмож-
ные числовые пары
(t\ Q—t), где /€Е[3; 8];
(а; — 1 — а), где —2; 3].
Г е о м е т р и ч е с к а я и н т е р п р е т а ц и я системы (19).
Если на плоскости задана прямоугольная система координат XOY,
то (рис. 2.5):
46
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ с ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
а)	множество всех точек прямой у = —х + 9 (т. е. точек
(/; 9 — /), где Zg(—оо; +оо)) и множество всех точек прямой
у = — х—1 (т. е. точек (а; —1 — а), где «0—оо; + оо)) есть
множество всех решений первого уравнения системы (19);
б)	множество всех точек квадрата ABCD, включая его вер-
шины А (3; 6), В (8; 1), С (3; —4) и D (—2; 1) (т. е. точек
(/; 9 — /), где /03; 8]—точки стороны АВ; точек (а; а —7), где
а03; 8] — точки стороны ВС; точек (а;—1 — а),гдеа0—2; 3]—г
точки стороны CD; точек (|3; Р + 3), где £0—2; 3]-—точки сто-
роны DA), есть множество всех решений второго уравнения си-
стемы (19);
в)	множество всех точек стороны АВ квадрата ABCD, лежа-
щей на прямой у =— х+9, а также множество всех точек сто-
роны CD, лежащей на прямой у = —х—1 (т. е. точек (/; 9 — /),
где /03; 8], и точек (а; —1 — а), где а£[—2; 3]), есть мно-
жество всех решений системы (19).
ЗАДАНИЕ 1
Решить уравнение:
1) |х—1 | = 3; 2) | х | = —Зх —5;
3) х2 + Зх+| х + 3|=0; 4) | х— 11 + | х—31 = 2;
5) |х-1 | + ]х-2| + |х-3| = 2.
ЗАДАНИЕ 2
Решить уравнение:
1)	]х—7]=2;
2)	(х2—5х+6)2 —5]х2 —5х+б| + 6 = 0;
3)	|х2 —4х + 3|= — (4+2 У~3) х;
4)	[х-1 | + |х—3|=3;
5)	| х2—4х+31 + | х2—5х+61 = L
ЗАДАНИЕ 3
1.	Решить уравнение:
1)	|3х—5| = |5—2х|;	2) 2х2-51 х] + 3 = 0;
3)	+	4) х2—6х+|х—41 + 8 = 0.
2.	Найти все корни уравнения
|х2 + х—1 | = 2х— 1,
удовлетворяющие неравенству х < У' 3/3.
3.	Найти все значения а, при которых система уравнений
( 2х+2 (а— 1) у —а — 4,
( 2 | х 1 ] — ау-$-2
имеет единственное решение. Найти это решение.
§ 1. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
47
ЗАДАНИЕ 4
1.	Решить уравнение:
1)	| х—21 = 313—х|;	2) х2 —41 х| + 3 = 0;
3)	(х2—2 | х |) (2 | х |—2) —9 4^1"^  = 0;
4)	(1+]х|)4 = 2 (1+х4).
2.	Найти наименьшее целое значение х, удовлетворяющее
уравнению
|х— 314-2 | х+11=4.
3.	Найти все значения а, при которых система уравнений
{ах+(а— 1) у=2-|-4а,
3| х| + 2у = а—5
имеет единственное решение. Найти это решение.
У пражнения
1. Решить уравнение:
1) |х+2|=2(3—х);	2) |3х—2| + х=11;
3) 1*1 — I*—2] = 2;	4) 4—5х = |5х—4 |;
5) |2х—3|=3—2х;	6) |5х2—3| = 2;	7) |9—х2|=5;
8) (х—1)2+| х—11-2 = 0;	9) |7х—12|—|7х—11| = 1;
10)	4 )/Т+1 = |2х—1 П-3;
11)	12х—Зх2----------' hl 4—х|=3х| 4—х[ —
у х—1 у х—1
12)	|х2—9| + |х—2| = 5;	13) ||х-1| + 2| = 1;
14)	|х|+х2 = 0;	15) |х|—2|х+1|+3|х+2| = 0;
16)	|4х—1 | = (3х— I)-1;	17) (х-|-1)2 + |х+11—2 = 0;
18)	(х+2)2 = 2|х+2| + 3;	15х—131—16—5х| = 7;
20)	х34~4 | х—3|—7x-f-H=o;
21)	х2 — 4|х+1 |4-5хЧ-3 = 0;
22)	х2 —4х+|х—3 | + 3 = 0;
23)	|х-3| + |х+2|-|х-4|=3;
«) |,+ н_2 =1«+'1;	25) |>+3|_| =|«+3|.
2.	Решить систему:
1)	J 2м + о = 7;	2) (3«—о=1,
||и—о|=2;	(|и—2о| = 2;
3)jy+x—1=0,	4) fix—1|+у = 0,
11у|-х— 1=0;	\2*—У=1>
5)	J |х|+2|у| = 3,	6) f|x-l| + ly-2| = l,
\5у+7х = 2;	\у = 3—| х— 11;
48
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ с ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
7)	( £/—21 х|4-3 = 0, 8) (\Ху-Ц = 8-у*,
—3 = 0;	\ху — 2-\-х2',
9)	f г/2 —| xf/|+2 = 0,	10) Г |х+3| + |х-2|=5,
| 8 — х2 = (х4-2//)2;	\ 818— 135х< 137х2.
3.	Найти все решения системы уравнений
( IУ+1/* 1 + 113/64-л;-УI = 13/64-х4-1/х,
( х2 4-г/2 = 97/36,
удовлетворяющие условию х < 0, у > 0.
4.	Найти все решения системы уравнений
I х+ l/r/14-l Ю/З-х4-^| = Ю/34-Г/+ 1Д/,
х2 4-г/2 = 82/9,
удовлетворяющие условию х > 0, у > 0.
5. Для каждого значения а найти все х, удовлетворяющие
условию:
1) I-4-31 —а | х—1 | =4;	2) |х—214-<21 х4-3 | =5;
3) а | хН-3 14-2 | х4-41 = 2;	4) 3 | х—2 | —а | 2х + 3 | = 21/2.
6.	Найти все решения уравнения
14-*4Ч х2 —х—3 | = 0,
удовлетворяющие неравенству х4-р/' 14/3 > 0.
7.	Найти все значения а, при которых уравнение имеет един-
ственный корень:
1)	| 1 — ах\ = 14-(1— 2а) х4-ах2;
2)	|(а4~1)х—2| = (14~а)х2 — 2ах4~2.
8.	Найти все значения а, при которых существует только ’
одно значение х, удовлетворяющее системе уравнений:
1)	( | х2 —5x4-4 |—9х2 —5x4-44-10х | х| =0,
I х2 —2 (а— 1) х+а (а—2) = 0;
2)	Пх2 —7х4-6|4-х24-5х4-6—12|х| = 0,
( х2 —2 (а —2) х-\-а (а — 4) =0.
9.	Найти все значения ау при которых уравнение:
1)	х—а —21 2 | х | — а2 ];	2) х—а/2 = 4 | 4 [ х| —а2 |;
3)	х —а/3 = 9| 9| х| —а2|;	4) х—а/2 — 2 | 2 | х| — а2 |
имеет три различных корня. Найти эти корни.
10.	Найти все значения а, при которых уравнение имеет ров-
но два различных корня:
1) х| х4-2а|4-1— а = 0;	2) х2-|-4х — 2 | х—а |4-2 — а~ 0.
11.	Найти все значения а, при которых система уравнений
/ //(ах4-1)4-13х—а(14-£/)=0,
| х—xz/4-|24-z/|=0
имеет решение.
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
49
§ 2.	Иррациональные уравнения
В этом параграфе рассматриваются уравнения, содержащие
неизвестное под знаком корня (радикала). Отметим, что
1.	Все корни четной степени, входящие в .уравнение, явля-
ются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выра-
жение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное
выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если под-
коренное выражение положительно, то и значение корня поло-
жительно.
2.	Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, опре-
делены при любом действительном значении подкоренного выра-
жения. При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение
отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно
нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно.
л	2П2П+1/~
3.	Функции у= у х и у —	у я являются возрастающими
на своей области существования.
Используя эти свойства, в некоторых случаях можно устано-
вить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразо-
ваниям.
Пример 1. Доказать, что уравнение не имеет решений:
а) Ух + 2 = — 2;	б) /2х + 3+	+ З = 0;
в) '/Ч —х—К*—6 = 2; г) У—1—х= Ух—5;
д) 5fx-3f~+y=4; е) Ух^З-^х+9=У^2-
ж) К *+ K^+9 = 2; з) Ух+ 1/х=|^—х—1.
Решение, а) Арифметический корень не может быть отри-
цательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.
б)	Левая часть исходного уравнения определена при —3/2.
При каждом таком х величина У2x^-3 неотрицательна, а вели-
чина |/~х4-3 положительна. Следовательно, их сумма всегда боль-
ше нуля. Поэтому уравнение решений не имеет.
в)	Выражение У~4 — х определено при х^4, а выражение
Ух—6 определено при х^б. Следовательно, не существует та-
кого х, при котором оба эти выражения имеют смысл. Поэтому
уравнение решений не имеет.
г)	Выражение У—1—х определено при х<:— 1, и оно не-
отрицательно. При таких х верно неравенство х—5 < 0; поэтому
выражение [Ух—5 отрицательно. Левая часть уравнения неотри-
цательна, а правая —отрицательна; поэтому уравнение решений
не имеет.
д)	При х < 0 не имеет смысла выражение 5j/" х, при х > 0—
выражение 3 У — х, а при х = 0 — выражение 17/х; следовательно,
левая часть уравнения не имеет смысла ни при каком значении х.
Поэтому уравнение не имеет решений.
е)	ОДЗ уравнения определяется системой
। х—3^0,
J х4-9^0,
I х —2 0,
из которой находим: х^З.
50
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
При любом х справедливо неравенство х—3 < х-[-9; поэтому
при х^2 3 верно неравенство У х—3 < УхЦ-9> т. е. выражение
]/"х—3 — У х-\-9 отрицательно. В то же время на ОДЗ исход-
ного уравнения выражение У х~2 положительно. Поэтому урав-
нение не имеет решений.
ж)	Решая систему неравенств
х^= 0?
х+9^0,
находим ОДЗ уравнения: х^О/
На ОДЗ уравнения имеем У x-j-9^3 и рг"х^0, т. е. его
левая часть не меньше 3, а правая меньше 3/ Поэтому уравнение
не имеет решений.
з)	Решая систему
( —х^О,
X 5^ О,;
находим ОДЗ уравнения: х < 0.
При х < 0 верно неравенство (J<—х—1/J<—х)2^0, т. е.
неравенство х+ 1/х^—2, следовательно, и неравенство р/х-}-1/х<;
V 2.	____ •
В то же время при х < 0 выражение ]/"— х положительно;
поэтому справедливо неравенство У—х—1 >—1г
Таким образом, на ОДЗ уравнения его левая часть меньше (—1)
(так как	а правая часть больше (—1). Следова-
тельно, уравнение не имеет решений.
Напомним, что уравнение
f2n W=g2n(x), n^N,
является, вообще говоря, следствием уравнения
f (x)=g(x).
Поэтому, если над иррациональным уравнением проводится пре-
образование, заключающееся в возведении обеих его частей в чет-
ную степень, то каждый из найденных корней полученного урав-
нения должен быть проверен: является ли он решением исходного
уравнения или нет.
Проверка осуществляется непосредственной подстановкой
в исходное уравнение каждого из корней полученного уравнения.
Если подставляемое число превращает исходное уравнение в верное
числовое равенство, то число удовлетворяет исходному уравнению,
т. е. является его корнем; в противном случае говорят, что это
число является его посторонним корнем.
Пример 2. Решить уравнение:
а)	К1 + Зх=1— х-	б) К1 + Зх = х— 1.
Решение, а) Возведя обе части уравнения в квадрат,
получим 14-Зх=1—2х+*2, т. е. уравнение
х2 — 5х = 0,
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
51
являющееся следствием исходного уравнения. Находим корни этого
уравнения: хх = 0 и х2 — 5.
Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.
Пусть х — 0; тогда исходное уравнение превращается в верное
числовое равенство. Поэтому хх = 0—корень исходного уравнения.
Пусть х = 5; тогда в левой части исходного уравнения имеем
У1 -|- 3-5 = 4, а в правой его части 1—5 = —4. Поскольку 4£—4,
то х2 —5 не является корнем исходного уравнения.
Итак, хг = 0 — единственный корень исходного уравнения.
б)	Возводя обе части уравнения в квадрат, получим
1Н-Зх = х2 —2х+1,
т. е. уравнение
х2 — 5х — О,
являющееся следствием исходного уравнения.
Находим корни этого уравнения: хх 0 и х2== 5. Подстановкой
каждого из этих корней в исходное уравнение устанавливаем, что
корень Xi = 0 посторонний, а корень х2 = 5 удовлетворяет ему.
Итак, число х2 = 5 — единственный корень исходного уравнения.
Отметим, что следствием уравнений а) и б) является одно и
то же уравнение х2— 5х = 0, имеющее два корня: хх = 0 и х2 = 5.
Корень *1 = 0 есть корень уравнения а), но посторонний для
уравнения б); корень х2 = 5 есть корень уравнения б), но явля-
ется посторонним для уравнения а).
Пример 3. Решить уравнение
У1 + Зх = х -J-1.
Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, получим
1 -|-Зх = х24-2х+1,
т. е. уравнение
х2—х = 0,
являющееся следствием исходного уравнения.
Найдем его корни: хх = 0 и х2=1. Подставляя каждый из
найденных корней в исходное уравнение, убеждаемся, что оба
они являются его корнями.
Это уравнение служит примером того, что возведение в квад-
рат исходного уравнения не всегда приводит к появлению посто-
ронних корней.
Пример 4. Решить уравнение
3 /'х+З—/'х=2 = 7.
Решение. Уединим один из корней в левой части:
Зу/"х+З^Ух^2 + 7.
Возводя в квадрат обе части полученного уравнения, имеем
9 (х+3) = х—2+ 14 VJZ^ + 49.
52	ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Приводя подобные члены и уединяя радикал в правую часть,
получим уравнение
4х-10 = 7]/’х^2.
Возводя обе части полученного уравнения в квадрат, имеем
16х2 — 80х + 100 = 49 (х—2),
т. е. уравнение
16х2—129x4-198 = 0,
являющееся следствием исходного уравнения. Находим корни этого
уравнения: хх = 6, x2 = 2yg.
Подставим каждый из этих корней в исходное уравнение.
При х = 6 получим верное числовое равенство. Следовательно,
xL = 6 есть корень исходного уравнения.
При x = 2jg левая часть исходного уравнения равна 6-^-, а
его правая часть равна 7. Поскольку 6^7=7, то число х2 = 2^
не удовлетворяет исходному уравнению, т. е. является для него
посторонним корнем.
Итак, *1 = 6 — единственный корень исходного уравнения.
Пример 5. Решить уравнение
К 11x4-3— УУ^х- К9х + 74- j/"x=2 = 0.
Решение. Уединим по два радикала в каждой части так,
чтобы после возведения в квадрат получить наиболее простое
уравнение:
У 11x4-3 — У1^~х = У$х + 7— У~х-—2<
Проведем цепочку преобразований:
11x4-3 — 2 У(11x4-3) (2 —х)4-2 —х=
= !'х-|-7 — 2 У(9х-|-7)(х—2)-|-х—2,
У 64-19х—Их2 = У 9х2—Их—14,
6-1- 19х— 11ха = 9х2— 11х— 14,
20х2—ЗОх —20 = 0,
2х2 —Зх —2 = 0.
Последнее уравнение является следствием исходного и имеет
корни Xi = 2 и х2 =—0,5.
При х = 2 исходное уравнение превращается в верное Число-
вое равенство. Поэтому Xi = 2 является его корнем.
При х ——0,5 в левой части исходного уравнения имеем вы-
ражение 0,5 —2, которое лишено смысла; поэтому число
х2 =—0,5 не удовлетворяет исходному уравнению.
Итак, х2 = 2 —единственный корень исходного уравнения.
Пример 6, Решить уравнение
j//Z2x— 1 + }/ х — 1 = 1.
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	53
Решение. Возводя обе части уравнения в куб, получим
Зх—2 + 3 У(2х—1)(х—l)(j/2х—1 + j/х—1) = 1.
По условию выражение у 2х—1+у х—1 равно единице. Под-
ставляя в полученное уравнение вместо этого выражения единицу,
получим уравнение
Зх—2+3 У(2х—1) (х—1)= 1,	(1)
являющееся следствием исходного уравнения, поскольку уравне-
ние (1) может иметь корень, который не обязательно удовлетво-
ряет соотношению:
1 = 2х—1 х—1.
Возводим уравнение (1) в куб:
(2х— 1) (х— 1) = (1 —х)3.
Последнее уравнение имеет корни хх = 0 и х2=1.
Проверка показывает, что хх = 0—посторонний корень исход-
ного уравнения, ах2=1 удовлетворяет ему.
Итак, х2 = I—единственный корень исходного уравнения.
Уравнения вида
Уf (х) + Уg(х).= ф (х),
где f (х), g(x), ф (х) — некоторые функции, решают, как правило,
следующим образом. Возводят обе части уравнения в куб и полу-
чают уравнение
f (х)+g (х) +3 У} (х) g (х) ( У !(х} + У§ (х)) = ф8 (Х),
В этом уравнении заменяют выражение у^ f (x)-f- у' g(x), являю-
щееся левой частью исходного уравнения, на ф (х), являющееся
его правой частью. В результате получают уравнение
f(x)+g(x) + 3y f (х) g(x) ф (х)== ф3 (х),
которое (поскольку оно решается при условии У?(х) + У g(x)=
= ф (х)) является следствием исходного уравнения. После уеди-
нения радикала и возведения полученного уравнения в куб на-
ходят его корни, а затем непосредственной подстановкой в исход-
ное уравнение каждого из найденных чисел отбирают те, которые
являются корнями исходного уравнения.
Пример 7. Решить уравнение
У2х2+5х—2—|/'2х2-|- 5х—9=П
Решение. Первый способ. Непосредственной провер-
кой убеждаемся, что справедливо соотношение
(У 2х2+5х-2)2 - (У 2х2 + 5х~9)2 = 7.
54 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Левую часть этого равенства разлагаем на множители:
(У 2х2+5х—2 — Г'2х2 +5х—9)х
х(У 2х2+5х—2+ У 2х2+5х-9) = 7.
Заменяя разность единицей, получим уравнение
У2х2 4-5х—2 + У2х2+5х—9 = 7.
Сложив левые и правые части полученного и исходного уравне-
ний, имеем уравнение
К2^+5х-2 = 4,
которое является следствием исходного уравнения и имеет корни
Xi = 2, х2 =—9/2.
Непосредственная подстановка этих чисел в исходное уравне-
ние показывает, что они оба являются его решениями.
Второй способ. Обозначим 2х2+5х—2=/. Тогда исходное
уравнение примет вид / = ]/'/—7+1. Возведя обе части полу-
ченного уравнения в квадрат и приведя подобные члены, полу-
чим уравнение t— 7 — 3, являющееся следствием предыдущего^
Из него находим /=16.
Возвращаясь к неизвестному х, получим уравнение
2х2 + 5х—2== 16,
являющееся следствием исходного. Проверкой убеждаемся, что его
корни Xi = 2 и х2 = —9/2 являются корнями исходного уравнения.
Пример 8. Решить уравнение
1	1	35
ут^з?. ~~12’
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат и при-
ведя подобные члены, получим уравнение
1 I 2........._ ,f35V_n
х2(1— х у [ — х* \, 12 /	* 1
являющееся следствием исходного.
Г7	1
Положим -------7---.. - ; тогда
х К1 — *2
Это уравнение имеет два корня: да = 25/12, да =—49/12,
Таким образом, следствием исходного уравнения является
совокупность систем
1 .	1	35
1	1	25
х /Т~^—12’
1 .	1	35
/Т=Т2 ~12’
1 1 49
х yiZTrf 12 '
(2)
§ 2, ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
55
Решим первую систему совокупности. Согласно теореме Виета,
1/х и i/V' 1—х2 являются корнями квадратного уравнения
2 35 . 25 л
г '12г + 12—°’
решая его, находим его корни: 5/3 и 5/4. Следовательно, первая
система совокупности равносильна совокупности систем:
f _1__£	£
| х 3 ’	х 4 ’
1	1	5	1 _ 5
(	~ 4 ’ t /Г^З ~ 3 '
Решение этой совокупности состоит из двух чисел: Xf — 3/5 и
х2 = 4/5.
Решим вторую систему совокупности. Корни квадратного урав-
2 35	49 п 7 (5-/73) „ 7 (5 + /73)
нения 2 —12г~Т2:==0 раВНЫ -------24----~	' " 24---
Согласно теореме Виета, вторая система совокупности (2) равно-
сильна совокупности систем:
f 7(5+/73)	Г 1 7(5— /73)
|	1	7 (5 - /73)	]	1	7(5+/73)
( /Е^х5	24	’	( /Е^Ес5 24
D	1	7(5—/73)
Выражение —,.......—	положительно, а число —i-----------
F	/1 - ха	24
отрицательно, поэтому первая система этой совокупности не
имеет решений.
Решением второй системы этой совокупности есть число
— (5+/73)/14.
Таким образом, множество всех корней исходного уравнения
содержится в множестве {—(5 + ]/~73)/14, 3/5, 4/5}. Непосредст-
венная подстановка показывает, что три числа: — (5 + ]^73)/14,
3/5, 4/5 — составляют множество всех решений исходного урав-
нения.
При возведении обеих частей иррационального уравнения
в степень, позволяющую избавиться от радикалов, появление по-
сторонних корней исходного уравнения происходит, как правило,
по следующим причинам:
а)	За счет возможного расширения ОДЗ исходного уравнения
(т. е. ОДЗ полученного уравнения шире ОДЗ исходного урав-
нения);
б)	за счет возведения в четную степень его левой и правой
частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них
положительная, а другая отрицательная.
Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения
его следствием (с последующей проверкой корней) можно про-
водить таким образом;
56 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
1.	Найти ОДЗ исходного уравнения.
2.	Перейти от уравнения к его следствию.
3.	Найти корни полученного уравнения.
4.	Проверить, являются ли найденные корни корнями исход-
ного уравнения.
Проверка состоит в следующем:
а)	проверяется принадлежность каждого найденного корня
ОДЗ исходного уравнения. Те корни, которые не принадлежат
ОДЗ, являются посторонними для исходного уравнения;
б)	для каждого корня, входящего в ОДЗ исходного ' уравне-
ния, проверяется, имеют ли одинаковые знаки левая и правая
части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения
исходного уравнения и возводимых в четную степень. Те корни,
для которых части какого-либо’ возводимого в четную степень
уравнения имеют разные знаки, являются посторонними для исход-
ного уравнения;
в)	только те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного
уравнения и для которых обе части каждого из уравнений, воз-
никающих в процессе решения исходного уравнения и возводи-
мых в четную степень, имеют одинаковые знаки, проверяются не-
посредственной подстановкой в исходное уравнение.
Такой метод решения с указанным способом проверки позво-
ляет избежать громоздких вычислений в случае непосредственной
подстановки каждого из найденных корней последнего уравнения
в исходное.
Пример 9. Решить уравнение
У (х—1)2(х—4) = I х— 1 I У 16-х2.	(3)
Решение. Решая систему неравенств
( (х—1)2(х—4)^0,
1 16 —х2^0,
находим ОДЗ уравнения: %i=l, х2 = 4. Проверкой устанавли-
ваем, что каждое из них является корнем уравнения (3).
Итак, множество всех корней уравнения (3) состоит из двух
чисел: хх=1 и х2 = 4.
Пример 10. Решить уравнение
х 4-4=0.
Решение. ОДЗ уравнения: х^—16. Уединив радикал,
получим уравнение )/*х4- 16 = х—4. Возведя обе части этого урав-
нения в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение
х2— 9х = 0, корни которого: хх = 0 и х2=?9. Каждый из этих кор-
ней принадлежит ОДЗ исходного уравнения.
Для корня Х] = 0 части возводимого в квадрат уравнения
j/'x-]-16 — x — 4 имеют разные знаки; поэтому %1 = 0—посторон-
ний корень исходного уравнения.
Подстановкой убеждаемся, что х = 9 является единственным
корнем исходного уравнения.
Пример 11. Решить уравнение
У х2+3х—4 = У 2x4-2.
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	57
Решение. Решая систему неравенств
J х2 + 3х —4^0,
I 2х4~2^0,
находилМ ОДЗ уравнения: х^ 1.
Возведя в квадрат обе части исходного уравнения, получим
уравнение
х24~3х—4 = 2% 4-2,
являющееся его следствием. Корни этого уравнения: Xi = 2 и
Х2 — —3.
Корень х2 ——3 не принадлежит ОДЗ исходного уравнения и
поэтому является для него посторонним.
Подставляя число 2 в исходное уравнение, получаем верное
равенство; следовательно, х=2 является его единственным корнем.
Пример 12. Решить уравнение
Fr2x+5+Kx=:T= 8-
Решение. ОДЗ уравнения:	1. Возведя обе части урав-
нения в квадрат и проведя преобразования, получим уравнение
2 /2х2+Зх-5 = 60—Зх.
После возведения в квадрат обеих частей этого уравнения полу-
чим уравнение
4 (2х2 + Зх—5) = (60 — Зх)2,
являющееся следствием исходного уравнения. Корни этого урав-
нения: Xi—10 и х2 = 362.
Число х2 = 362 является посторонним корнем исходного урав-
нения, так как для него возводимое в квадрат уравнение
2 V2х2 + 3х—5 = 60—Зх имеет правую и левую части разных
знаков.
Число Xi= 10 принадлежит ОДЗ исходного уравнения и удов-
летворяет ему; поэтому оно-—его единственный корень.
Пример 13. Решить уравнение
2 }^Т^х* = х—2.
Решение. Решая неравенство 1 —х2^0, находим ОДЗ
уравнения: —1<:х<:1.
Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные
члены, получим уравнение
5х2 —4х = 0,
являющееся следствием исходного. Корни этого уравнения: х^ = 0
и х2 = 4/5.
Оба эти корня принадлежат ОДЗ исходного уравнения. Но
при каждом из них правая часть, возводимого в квадрат уравне-
ния 2 {/"1— х2 = х—2 есть величина отрицательная, а левая —
положительная. Поэтому оба эти корня являются посторонними
для исходного уравнения.
Итак, исходное уравнение решений не имеет*
58 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 14. Решить уравнение
К4х+9—К lU+l-K7x+4 = 0.
Решение. Решая систему неравенств
( 4х + 9^0,
1 11х+1^0,
[ 7x4-4^ О,
находим ОДЗ уравнения: х^—1/11.
В этом уравнении можно уединить любой из трех радикалов.
Целесообразно уединить радикал У'11%4-1, так как полученное
после возведения в квадрат и упрощений уравнение будет более
простым, чем после уединения любого другого радикала.
Построим цепочку уравнений, являющихся следствием исход-
ного:
]К47+9-)<77+4 = }/' 11x4-1,
4x4-9—2 V(4x4-9) (7x4-4) 4-7x4-4 = 11х-|-1>
V 28ха 4-79x4-36=6,
28х2 4- 79x4- 36 = 36,
28х24-79х = 0.
23
Корни последнего уравнения: Xi = 0 и х2 =—2^,
23
Корень х2 =—2— не принадлежит ОДЗ исходного уравнения
и поэтому не является его решением.
Корень хх = 0 принадлежит ОДЗ исходного уравнения и, под-
ставляя его в исходное уравнение, получаем верное числовое
равенство; поэтому хх = 0—корень исходного уравнения.
Итак, хх = 0—единственный корень исходного уравнения.
Пример 15. Решить уравнение
Ух+7 /3x^2 = 3	Ух+2.
Решение. Решая систему неравенств
' х4~7^0,
Зх—2>0,
X-----------------------1^:0,
l X 4“ 2	0,
находим ОДЗ уравнения: х^ 1. Возведя обе части уравнения
в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение
Зх2 —5х—2 = 0,
являющееся следствием исходного. Корни этого уравнения есть
хх = ——1/3 и х2 = 2.
Корень Х1 = —1/3 не принадлежит ОДЗ исходного уравнения.
Корень х2 = 2 принадлежит ОДЗ исходного уравнения и при
подстановке превращает его в верное числовое равенство.
Итак, Хх = 2 —единственный корень исходного уравнения.
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
59
Уравнение f (х) = g (х) а (х) является следствием уравнения
а (х)
W-
Если область определения функции (р (х) не уже ОДЗ уравне-
ния f (x)=g(x), то уравнение
f (х)<р(х) = £(х)ф(х)
является следствием уравнения
f (x) = g(x)<
Поэтому, если в процессе решения уравнения проводятся пре-
образования, состоящие в избавлении уравнения от знаменателя
или в умножении уравнения на выражение, ОДЗ которого не уже
ОДЗ данного уравнения, то возможно расширение ОДЗ исходного
уравнения и, следовательно, возможно появление посторонних
корней. В этом случае также необходима проверка как составная
часть решения уравнения.
Пример 16. Решить уравнение
Зх~~2 =К(2х-1)з.
/2х—1
Решение. Решая неравенство 2х— 1 > 0, находим ОДЗ
уравнения: х > 1/2.	_____
Умножив обе части исходного уравнения на 2х— 1 и упро-
стив его, получим уравнение
4х2 —7х+3 = 0,
являющееся следствием исходного. Его корни: xi=l и х2 = 3/4.
Оба корня принадлежат ОДЗ исходного уравнения. Подстанов-
кой убеждаемся, что оба эти корня являются корнями и исход-
ного уравнения.
Пример 17. Решить уравнение
2	. 1 __	4
2—f/'x	2 х—х
Решение. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
f	х^О,
<	2 —
2]Лх—х^О,
т. е. х > 0, х # 4.
Умножая обе части исходного уравнения на выражение
2 (2 j/"x—х), получим уравнение
(5)
являющееся следствием исходного уравнения (уравнение (5) имеет
более широкую ОДЗ: х^О).
60
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решая уравнение (5), находим два его корня: Xi = 16 и х2—4.
Число х2 —4 не принадлежит ОДЗ уравнения (4) и поэтому
является посторонним его корнем. Подстановка числа Хх=16
в уравнение (4) показывает, что оно является единственным его
корнем.
Пример 18. Решить уравнение
х=(/ТТ^+1) (/10+^-4).	(6)
Решение. ОДЗ уравнения (6): х^ —1. Умножая обе части
уравнения (6) на выражение ]/" 1+х—1, получим уравнение
х (V'T+x —	+3)=0,
являющееся следствием уравнения (6). Это уравнение имеет два
корня: Хх = 0 и х2 ——1 (заметим, что расширения ОДЗ не про-
изошло). Оба найденных корня принадлежат ОДЗ уравнения (6);
тем не менее проверка показывает, что Xi = 0 —посторонний ко-
рень уравнения (6), а х2 ——1 удовлетворяет ему.
Таким образом, уравнение (6) имеет единственный корень
х ——1.
Пример 19. Решить уравнение
Решение. Решая неравенство 2 — х3 0, находим ОДЗ ис-
ходного уравнения: х^ р/2 .
Правая часть исходного уравнения при любом х из ОДЗ яв-
ляется неотрицательным числом, поэтому х2— 2^0, т. е. |х|^
Из неравенств х^ |Z2 и|х|^‘/'2 следует, что все корни
исходного уравнения могут быть только среди чисел
Возведя обе части исходного уравнения в шестую степень,
получим его следствие: (х2 —2)2 = (2-—х3)3, т. е. уравнение
х9 — 6х6 х4 + 12х3—4х2 — 4 = 0,
которое преобразуем и запишем следующим образом:
х4 (х5 +1) — 6хб + 12х3—4 (1 + х2) = 0.
Таким образом, следствием исходного уравнения является
система:
J х4 (х5 +1) — 6х6 + 12Х3 — 4 (14-х2) = 0,
I х<— У2.
Эта система не имеет решений, так как при х^— У 2 все сла-
гаемые в левой части уравнения этой системы отрицательны.
Итак, уравнение, данное в условии задачи, решений не имеет.
Пример 20. Решить уравнение
УТ+х+УТ^х 2
У ‘2+х^У2^х^ х ’
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
61
Решение. Решив систему неравенств
z 2 х О,
2 —х^О,
х^О,
J<2 + x— У2—х^О,
найдем ОДЗ уравнения — промежутки —2^х<0 и 0 < х<:2.
Умножая исходное уравнение на выражение х(У2+х—
— У 2— х), получим уравнение
х (У 2+1 + У 2^1) = 2 (У 2 + х— К2^х),
являющееся следствием исходного. Перенося все члены этого
уравнения в левую часть и группируя слагаемые, получаем урав-
нение
У 2^1 (х+2) — У х + 2 (2 — х) = 0.
На ОДЗ исходного уравнения имеем:
2+х= К (2+хУ?= У 2+1 У 2+1
и
2—х= У(2—х)2 — J<2^x У2^1;
поэтому уравнение
j/"2^x V~2+x (У 2+х— У2^х) = 0
является следствием исходного. Оно имеет корни: хг ~—2, х2 =
= 0, х3 = 2.
Корень х2 = 0 не принадлежит ОДЗ исходного уравнения.
Непосредственной подстановкой каждого из чисел xt=—2
и х3 = 2 в исходное уравнение, убеждаемся, что множество всех
его решений состоит из двух чисел: (—2) и 2.
Это уравнение можно решить другим способом. Найдем ОДЗ
уравнения: —2«Сх< 0, 0< х«с2. Домножая числитель и зна-
менатель левой части исходного уравнения на выражение
У2+х+ У2 — х, получим
2 + х + 2 У2 + х У2^х + 2—х_2
2 + х—2 + х	х *
т. е. уравнение
2 + У2 + х У2^1	2
х	х
Умножив обе его части на х, получим уравнение
2+ УГ^1 У 2^1 —2,
являющееся следствием исходного уравнения^
Корни этого уравнения: Xj = —2 и х2 = 2. Подстановкой каж-
дого из корней в исходное уравнение устанавливаем^ что они
удовлетворяют ему.
62 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Формулы, применяемые при решении ирраци-
ональных уравнений. Пусть f и g—некоторые функции,
Тогда:
1-	2$/Т2y/g=2yjg, g^o-
2	2yj-py- = 2/y^, f 0, g > 0.
3.	inW=2vz^> £^°-
4-	2y/TTg=2y\f\l2i/\g\, fg^o, g*Q-
5.	2у/75=2р/Т7Г2^Г7Г. fg'szO-
Применяя любую из этих формул формально (без учета ука-
занных ограничений), следует иметь в виду, что ОДЗ левой и
правой частей каждой из них могут быть различными. Например,
выражение Vf У g определено при и g'^O, а выражение
У fg--как при /^0, g^O, так и при f^O, g *СО.
Для каждой из формул 1—5 (без учета указанных ограни-
чений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой. От-
сюда следует, что преобразования уравнения с формальным исполь-
зованием формул 1—5 «слева — направо» (как они написаны)
приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом
случае могут появиться посторонние корни исходного уравнения;
поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения
является проверка.
Преобразования уравнений с формальным использованием
формул 1 — 5 «справа—налево» недопустимы, так как возможно
сужение ОДЗ исходного уравнения, а следсвательно, и' потеря
корней. Так, например, если заменить уравнение У(х—2) (2х-|-3) =
— 3 (ОДЗ: х^—3/2, % ^2) уравнением Ух—2 У^2х4-3 = 3
(ОДЗ: х^2), то будет сужена ОДЗ исходного уравнения и по-
терян корень х=—5/2.
Пример 21. Решить уравнение
Г^Т=(х+5)	•
Решение. Используя формулы 4 и 5, получим уравнение
/й^тт-(х+5)—J=A=o,
\	Г |х—1| /
являющееся следствием исходного. Решение этого уравнения сво-
дится к решению совокупности уравнений
ГП+ТГ=о. /iT^TT—^=ТГ=°-
у |х—11
Из первого уравнения этой совокупности находим xi = —1.
Из второго следует, что [х—1 | = х-|-5, откуда находим х2 =—2.
Таким образом, корнями данного уравнения могут быть толь-
ко числа (—1) и (—2). Проверка показывает, что оба найденных
корня удовлетворяют данному уравнению.
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	63
Пример 22. Решить уравнение
]/~2^х_2—х
]/~2+х 2+х‘
Решение. Решая систему неравенств
/ 2 —х^О,
( х+2> О,
найдем ОДЗ данного уравнения—промежуток —2 < х<:2.
]/" 2_______________х	2___х
Положив t =	, получим	; поэтому данное
уравнение можем записать в виде
Корнями этого уравнения являются /1 = 0 и /а=1. Следовательно,
совокупность уравнений
/24-х	’	j/~2-^-x	*
т. е. совокупность
/2^х=0,	+
является следствием данного уравнения* Решая эту совокупность,
находим ее корни: xt = 2 и х2 = 0.
Оба корня принадлежат промежутку —2 < х*с2; подстанов-
кой чисел 0 и 2 в исходное уравнение убеждаемся, что они яв-
ляются его корнями.
Итак, множество всех решений исходного уравнения состоит
из двух чисел: хг = 2 и х2 — 0.
Некоторые преобразования приводят к тому, что ОДЗ полу-
ченного уравнения не содержит некоторой части ОДЗ исходного
уравнения и в то же время имеет часть, не содержащуюся в ОДЗ
исходного уравнения. Делая такие преобразования, можно полу-
чить уравнение, среди корней которого нет некоторых корней ис-
ходного уравнения и в то же время среди корней полученного
уравнения содержатся посторонние его корни.
Например, если рассматривать уравнение
/24-х— /2—х х	U
«	а с
как пропорцию и, используя свойство пропорции -у=—=>
а—Ь с—d
=> —...= тгт—, заменить его уравнением
и —4— CL	CL ~т~ С
/2—х _2—х
/24^ “24-х’
64
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
то из двух корней Хх = 2 и х2 = 0 уравнения (8) (см. пример 22)
корень %i = 0 является посторонним для уравнения (7) (см. при-
мер 20), а корень х3 =—2 уравнения (7) не содержится среди
корней уравнения (8).
Чтобы избежать потери корней и появления посторонних
корней, целесообразно решать уравнение методом равносильного
перехода, т. е. решать уравнение только на его ОДЗ, заменяя
уравнение равносильным. Если желаемое преобразование уравне-
ния или его членов на всей ОДЗ сделать нельзя, то надо раз-
бить ОДЗ уравнения на части и на каждой из этих частей решить
уравнение. Затем, объединяя множества решений уравнения на
всех частях ОДЗ уравнения, получим множество всех решений
уравнения.
Например, решим уравнение (7) методом равносильного пере-
хода (рассматривая уравнение (7) как пропорцию и переходя к
уравнению (8), являющемуся его производной пропорцией).
ОДЗ уравнения (7) есть множество всех х из двух промежут-
ков: —2^х<0 и 0<х<:2. Непосредственной подстановкой
Х1===—2 и х2 = 2, принадлежащих ОДЗ уравнения (7), убеждаемся,
что эти числа являются его корнями. На оставшейся части ОДЗ,
т. е. на интервалах —2 <х<0и0<х<2, уравнение (7) рав-
носильно уравнению (8).
Решения х3 = 0 и х4 = 2 уравнения (8) не принадлежат ни
одному из интервалов —2 < х < О и 0 < х < 2; поэтому на рас-
сматриваемой части ОДЗ уравнение (7) решений не имеет. Таким
образом, множество всех решений уравнения (7) состоит из двух
чисел: х4 =—2 и х2 — 2.
Пример 23. Решить уравнение
(х_3)(х+1) + 3(х-3) 1/ £±1-28 = 0.	(9)
г	X — О
х-4~ 1
Решен и е. Решая неравенство ^-2^ находим ОДЗ урав-
нения (9): х^С—1 и х > 3.
На ОДЗ уравнения имеем:
3(х—3) 1/ i-i-i =3 у (х+ 1) (х—3) при х>3
F X — О
и	_____
3(х —3)	^723 =—3K(x+i)(x-3) при х*С—1;
поэтому уравнение (9) равносильно совокупности систем
J х<:—1,
I (х—3) (х+1) —з V(х+D (х — 3) —28 = 0,
I х > 3,
1 (х—3) (х+ 1)4-3 V(х—3) (х+ 1) — 28 = 0.
Обозначим / = К^ — З) (х4-1). Поскольку
28 = (J —7) (t -1-4)
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
65
И
/24-3/ — 28 = (/-]-7) (/ — 4),
то полученная совокупность систем равносильна совокупности
Г J х<—1,
1 (К(х-З) (х+ 1) —7) (/(х~3) (х+1) + 4) =0,
( х > 3,
I. 1 (К(х-3) (Х+ 1) 4-7) (К(х-3) (х+1)-4)=0.
На ОДЗ исходного уравнения У (х—3) (х+1)4-7 > 0 и
К(я—-3) (х4-1) + 4 > 0; поэтому из последней совокупности си-
стем следует, что
Г
(9)Ф*
L
( х<—1,
I V(х-3)(х-М) = 7,
( х > 3,
I К(х-3)(х4-1) = 4
X 1,
(х-3)(х4-1) = 49,
х > 3,
(х— 3) (х 4-1) = 16
Г ( х<;—1,
( х?—2х—52 = 0,
> J х> 3,
| х2 — 2х-~19 = 0»
Уравнение х2 — -2х—-52 = 0 имеет два корня: xf= 1 + V53 и
х2 = 1 — ]/"53, из которых только х2 удовлетворяет условию х
«С—1. Уравнение xJ2~2x—19 = 0 имеет также два корня: х3 =
= 14-2 V5 и х4 = 1’ >— 2 У 5 , из которых только х3 удовлетво-
ряет условию х > 3.
Итак, множество 'всех решений уравнения (9) состоит из двух
чисел: 1 — К53 и 14-^Кб.
Приведем другое решение уравнения (9).
ОДЗ уравнения (9) ’ задается совокупностью двух неравенств:
х<:—-1 и х > 3. Обозначим у={х—3)	; тогда уЪ =»
= (х—-3) (х-(-1), и уравнение (9) можно записать в виде
#2-|-3#—-28 = 0.
Поскольку #24-3#—28 = (#4-7) (#—4), то полученное уравне-
ние имеет два корня: #$ =—7 и #2 = 4. Следовательно, уравне-
ние (9) равносильно совокупности двух уравнений:

/х4-1
неотрицательно; на ОДЗ уравнения имеем:
X — <5
х—3 > о при х > 3 и х—3 < 0 при х«С—1. Поэтому уравне-
ние (9) на его ОДЗ равносильно совокупности двух систем:
( х«С— 1,	( х > 3,
| х2 —2х—52 = 0,	( х2—2х-—19 = 0.
3 Задачи по математике. Уравнения и неравенства
66 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ с ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решая полученную совокупность систем, находим множество
всех корней уравнения (9) — числа 1 — У 53 и 14-2 Уб.
Пример 24. Решить уравнение
f/x+l— |/х— l=6/x2 — 1.	(10)
Решение. Решая неравенство х2—1^0, находим ОДЗ
уравнения (10) — промежутки —оо < х«С— 1 и 1^х<+оо. Не-
посредственной подстановкой каждого из чисел хт =—1 и х2=1
в уравнение (10) убеждаемся, что они не являются его корнями.
На оставшейся части ОДЗ уравнения имеем у/х2—1 >0; при
этом:
если х<—1, то j*/x+1 =—|/(*+1)2 и р/х— 1 =
= _
если х > 1, то j/x+1 = |/(х+1)? и	х—1 =
= «/(7=1)*	______
Следовательно, на этой части ОДЗ, разделив на. ®/х2—1
обе части уравнения (10), имеем равносильную ему , совокупность
двух систем:
выражение
( х < —1,	( х > 1,	/
(И)
И 1 < X < + оо
обозначив t =
1
Учитывая, что	/
Для каждого х из промежутков — оо < х < -/—1
У* Х4“ 1
xTZTT положительно; поэтому,
—j- , получим, что t > 0 и 1/	=
z>0-	~ J t>0’	Кб—1
—/4-1Д=1^\	1=о^г-------2
Z—1/’/=1^)
ytr-f i
“	2
имеем: совокупность систем (11)
равносильна совокупности систем
{х < —1,
-|/х+Т_ /5—1
V х—1	2
т. е. совокупности
f X < —1,
 х+1 ( /5—1 у
х—1 — \	2	/’
/5+1
2
' х > 1,
х+1 ( /б- +1 У
х— 1” \	2	)'
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	67
/ /§•_ 1 Y о .	/ /5+1 V
Находим, что !-----J =9 — 4 у 5 и I ---~— I ~
= 94-4 /Г.
При с # 1 имеем:
х 4-1
х_|_ 1 — сх—с	14-с = х (с— 1)
Отсюда получаем, что числа
Xi = 1 4- --^=г--= 1 4---14-----------1—7^г—
(9—4/5)—1	8 — 4/5	4—2/5
4 + 2/5 _	44-2/5 _-/5
"г 16—20 “Г	— 4	~	2
_. ,______2______,	2	,	1
*2	Д9+4/5)— 1	‘8 + 4/б"	“’-2/5'+4
__.j_2/5-4_	2/5"-4_ /5
“	20—16	4	— 2
являются корнями соответствующих уравнений систем последней
совокупности. Таким образом, уравнение (10) равносильно сово-
купности систем
х < —1,	( х > 1,
х=—/5/2,	1 ж=/5/2;
следовательно, множество всех~_решений уравнения (10) состоит
из двух чисел: — /5/2 и /5/2.
Уравнение вида
«gN,
равносильно системе
Г gW^O,
I /W=g272 W»
Пример 25. Решить уравнение
4 — 6х —х2 = х+4.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
х4-4^ 0,
4 _ 6х—х2 = (х+4)2г
т. е. системе
Х^:---4,
х2 + 7х + 6 = 0<
3*
68
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решая уравнение х2-]-7х-]-6 = О, найдем два его корня:
хх= —1 и х2 = — 6. Условию х — 4 удовлетворяет только Xf = —1.
Следовательно, единственным корнем исходного уравнения является
число (—1).
Пример 26. Решить уравнение
У х+5+К2х+8 = 7.
(12)
Решение. Решая систему неравенств
J х4~5^0,
2х+8^0,
находим ОДЗ уравнения (12): х^ —4. Имеем:
(12)	___________ <65
I х+5+2/\+5}<2х+8+2х+8 = 49
J х^—4,
I 2 У (х+5) (2х+8) = 3 (12—х)
/ х<=^12 '	J 4<х»С12,
1 Л/ 1 RWO I оч п/ю ..1x8-288x4-1136 = 0.
V 4 (х+5) (2х+8) = 9 (12 —х)2	v
Решая уравнение х2—288х+1136 = 0, находим его корни: Xf = 284
и х2 = 4. Условию — 4«Сх<Д2 удовлетворяет только х2 = 4. Сле-
довательно, х = 4— единственный корень уравнения (12).
Пример 27. Решить уравнение
/57+7 - /27+3 = /з7++	(13)
Решение. Решая систему неравенств
5x-|-7Ss: О,
2x4-3 За О,
3x4-4 3& О,
находим ОДЗ уравнения: х5з—4/3. Имеем:
1 Х^:—4/3,
(13)	<	_____ _.
( /5х+7=/2х+3+'/Зх + 4
J х^—4/3,
I 5x4-7 = 2x4-34-2 К(2x4-3) (3x4-4)+ 3x4-4^
J х^~-4/3,
у (2х+3)(3х+4) = о.
Отсюда находим, что Xf = — 4/3—единственный корень уравне-
ния (13).
Смешанную систему, состоящую из уравнения и неравенств,
рационально решать следующим образом: не решая систему нера-
венств, решить уравнение этой системы, а затем исследовать, ка-
кие из корней удовлетворяют всем условиям системы, а какие не
удовлетворяют*
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
69
Пример 28. Решить уравнение
К2х2 —1 + Кх2—Зх—2=К2х2+2х+3 + Ух2—х+2. (14)
Решение. Перепишем уравнение (14) таким образом, чтобы
после возведения в квадрат обеих его частей получить равносиль-
ное уравнение, более простое, чем в остальных случаях:
V 2х2 —1 — у х2—х+2 = У 2х2 + 2х+3— V х2—Зх—2.
Учитывая, что левая и правая части последнего уравнения должны
быть одновременно либо неотрицательными, либо неположительны-
ми, и возводя обе его части в квадрат, получим равносильную ему
систему, состоящую из уравнения и совокупности двух систем
неравенств:
' 2х2 — 1 —2 У2х2 — 1	х2-х+2 + х2-х+2 =
= 2х2+2х + 3 —2 У2х2+2х+'3 Vх2 —Зх—2 + х2—Зх—2,
< г( 2х2—1 х2 —х-|-2 ^0,
( 2х2 + 2х-|-3^:Х2 —Зх—2^0,
( х2—х-{-2^2х2—1 ^0,
L| х2 —Зх—2^2х2 + 2х+3^0,
которая после упрощений принимает вид
рг2х2 — 1 V х2—х-2=К 2x*4-2x+3/F^x-2,
Г( х2+х—3^0,
1 х24-5х4-5^0,
х2 —Зх—2^*0,
X2 X — 3	0,
2х2 —1^0,
х2 + 5х + 5 «С 0.
Эта система равносильна совокупности двух систем:
- ( (2х2—1)(х2 — х+2) = (2х^+2х+3)(х2—Зх—2),
J 2х2—1>0,
< х24-х—3^0,
I х2+5х4-5^0,
( х2 —Зх—2^0,
)(2х2—1) (х2 — х+2)==(2х2 + 2х + 3) (х2-3х—2),
х2 + х—3^0,
2х2—1^0,
х2 5х 5	0,
_ ( х2 — Зх—2^0.
(15)
(16)
Имеем:
(2х2— 1) (х2—х+2) = (2х2+2х+3) (х2-3х—2)
Ф» xs+5x2+7x+2 = 0
«(,+2)	0.
70
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Корни Xi — — 2, х2 =---—— и xs —------------ уравне-
ния системы (15) не удовлетворяют ей, так как хх =— 2 не удов-
j/"5____________________________________з
летворяет условию х2 + х—3^0, х2 — ——~---- не удовлетворяет
0 2	-К 5-3
условию 2х2—1^0, х3 =—--------- не удовлетворяет условию
х2 + 5х + 5^0. Поэтому система (15) не имеет решений.
_ з-нО -з-Кб
Корни х2=---------- и х3 =--------- уравнения системы
,1Й.	.	Кб-3
(16) не удовлетворяют ей, так как х2 =---- не УДовлетворя-
________з
ет условию 2х2—1^0, х3=—~---------не удовлетворяет условию
х2+х—3«С0, а корень Х! = — 2 удовлетворяет всем условиям
системы (16).
Итак, совокупность систем (15) и (16), а следовательно, и урав-
нение (14) имеют единственный корень Xi = —2,
Пример 29. Решить уравнение
Кх+3—4]<х=Т + Кх+8—6	= 1.	(17)
Ре ше н и е. Обозначив ]/гх—-1=/, имеем /^0 и x = /a-|-L
Произведя замену неизвестного в уравнении (17), получим
Г /^0,
)	/2—6Z-f-9= 1
V(if—2)2+ /(;-"3)2= 1	1 |/_2| + |/ —3|=1
Ф^2</^3.
Итак, уравнение (17) равносильно неравенствам
2^]/^х—1«СЗФ^4^х—1 «С 9	5 «С х «С10.
Таким образом, исходное уравнение (17) имеет бесконечно
много корней, а именно все числа х из отрезка [5, 10].
Решение некоторых иррациональных уравнений сводится к ре-
шению однородных уравнений или алгебраических систем.
Пример 30. Решить уравнение
(х +1)2+2 У(х —1)2 = 3 У(18)
Решение. ОДЗ уравнения (18)—множество всех действи-
тельных чисел. Заметим,, что если положить w—у х+Ь о =
= у/х—-1, то уравнение (18) примет вид
1г2 + 2у2 — 3мц —0*	(19)
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	71
Левая часть этого уравнения является однородной функцией сте-
пени 2.
Число х=1не является корнем уравнения (18); следовательно,
если х Ф 1, то v ф 0. Разделив (19) на ц2 и положив ш = по-
лучим уравнение ш2— Зда-|-2 = 0, откуда ^=1 и —2.
Таким образом, уравнение (18) на оставшейся части его ОДЗ
(т. е. при х — 1) равносильно совокупности
^х+1 _ ,
х—1	’
Х+1
Первое уравнение этой совокупности корней не имеет, второе
имеет единственное решение х = 9/7, принадлежащее ОДЗ урав-
нения (18). Следовательно, уравнение (18) имеет единственный
корень х = 9/7.
Пример 31. Решить уравнение
у/ 8+х+>/8—х=1.	(20)
Решение. ОДЗ уравнения — множество всех действительных
чисел. Положим и = 84-х, и== 8—х. Поскольку и34-У3==16,
то для и и v получим симметрическую систему уравнений
{«4-ц= 1,
решая которую найдем:
Г «i=y(l + l/‘2i), ( u2=4(i-K2i).
у| ^yo+vsi).
Таким образом, уравнение (20) равносильно совокупности двух
уравнений:
Решая эту совокупность, найдем множество всех решений урав-
нения (20) —числа 3 У 21 и ( — 3)^21).
Уравнение вида
У a—	+	b+f(x) = g(x)
введением переменных
a—f(x),	b-\-f (х)
сводится к решению системы алгебраических уравнений
I « + » = ^(х),
( ип -\-vn ==-а-\-Ь.
72
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 32. Решить уравнение
(21)
Решение. Положив У х=и и 2/3—]/" x = vt
1 — х2=1 — и1 и (2/3 — ]/”х)4 = у4. Для и и v получим:
( u4+v4=l,	( 2 (ад)2 —^ад—0,
I “+«’=2/3	| « + о = 2/3.
Эта система равносильна совокупности двух систем:
/	8+ /194	(	8— /194
. т-	, I ад й ,
V u-\~v = 2/3,	\ « + 0 = 2/3.
Первая система совокупности (22) не имеет решений,
. 2	. 8+/194
дискриминант квадратного уравнения а3—«+-----------
рицателен.
Вторая система совокупности (22) имеет два решения: •
имеем
(22)
так как
О от-
«1
1 . ¥/97/2—3
3+	3
1	¥/97/2—3
«2 =
( 01 - 3	3	’
Поскольку «=]/" х, то «^=0;
равносильно уравнению
v2 =
1	¥/97/2—3
3 г 3.......' (23>
1 , К/97/2—3
3+	3
так как и2 < 0, то уравнение (21)
— единственный
откуда получаем jq =
корень уравнения (21).
Пример 33. Решить систему
/ /5х(х+2) +	(х+2) = 2 /2 (х+у) (х+2),	(24)
I ху—9.
Решение. Заменим систему (24) системой
(/5КГ/|7+2Т + /5Т7Г /¥+21=_________ ______
<	=2/2|х+у|/|х + 2|, (25)
G#=9,
являющейся следствием системы (24). Система (25) равносильна
совокупности двух систем:
рх+21 = 0, (/ЩТ+1/'5Ы = 2Г2|7+Л'(	(26)
1x0=9, I ху=9.
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	73
Первая система совокупности (26) равносильна системе
f х — — 2,
I у^-9/2,
Вторая система совокупности (26) равносильна системе
/ 5|х|+5|у|+10Г|ТП7Т = 8|*+»|.	(27)
I xj/ = 9.	v 1
Из условия ху~9 следует, что х и у одного знака; поэтому
справедливы равенства
1*1\у\ = \ху\—ху=9, I х+у I = I х| + | у |,
Следовательно, система (27) равносильна системе
( 1*1 + 1^1=10,
1 1*11^1 = 9,	(28)
V ху > 0.
Уравнение а2— 10а+9 — 0 имеет корни ах=1 и «2 — 9. Со-
гласно теореме Виета, система (28) равносильна совокупности двух
систем:
/ | х |— 1,	/ [ х| = 9,
J |у| = 9, I |^1=1,
V ху > 0,	\ ху > 0,
которая равносильна совокупности четырех систем?
(х =—1, Jx=l, jx = 9, (х~ — 9,
({/==— 9, \у=9, \у—1, \у=—Ь
Таким образом, множество всех решений системы (24) содер-
жится среди множества упорядоченных пар
{(-1; — 9); (-9; -1); (—2; -9/2); (1; 9); (9; 1)},
соответствующих буквенному набору (х; у). Подстановкой каждой
из этих пар в систему (24) убеждаемся, что пара (—1; —9) не
удовлетворяет этой системе, а остальные пары ей удовлетворяют.
Итак, множество всех решений системы (24) состоит из четы-
рех упорядоченных пар: ( — 9; — 1); (—2; —9/2); (1; 9); (9; 1),
соответствующих буквенному набору (х; у).
Пример 34. При каждом значении а решить уравнение
К«+ У'а+х —х,	(29)
Решение. Уравнение (29) равносильно системе
{«+)/' a-j-x — x2,
х^ 0,
которая в свою очередь равносильна системе
(а-\-х— (х2— а)2»
х2 —а^О,	(30)
х^ 0*
74
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Уравнение системы (30) является уравнением четвертой сте-
пени относительно х и второй степени относительно а. Переписав
его в виде
а2—(2х2+1) а+(х4—х) = 0,
разложим левую часть на множители. Дискриминант квадратного
трёхчлена относительно а равен
(2х2+1)2—4 (х4 —х) = 4х2 + 4х+1 = (2х+1)2,
и, следовательно,
а2 — (2х2+1) аЧ~х4—х—
(2х2+1) + (2х+1)	(2x2 + D-(2x+1)
Таким образом, уравнение (29) равносильно совокупности двух
смешанных систем:
х2+х+1 = а,	f х2—х—а — 0,
х2—а^О,	х2—
х^=0,	( х^О,
т. е. совокупности систем
Первая система этой совокупности решений не имеет. Вторая си-
стема совокупности равносильна системе
1 +	1-K1 + 4S)
Э: 0,
>=—1/4,
которая равносильна совокупности систем:
—1/4 <; а «С 0,
Г	(а>о,
*--------- ,  +
1 + Г14-4а	I*	2
I L	2
Таким образом, для уравнения (29) получаем:
при а <*—1/4 корней нет;
при а~—1/4 и a>Q существует единственный корень
1 + К1+4а .
х-------g	,
при *—1/4 < а<;0 существует два корня; Xf
_ \ + VT+4a
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	75
Пример 35. Найти такие значения а, Ь, с, при которых
уравнение
У х+аУ x-\-b + V х — с	(31)
имеет бесконечно много решений.
Решение. Перенесем К х в правую часть и возведем обе
части полученного уравнения в квадрат. После приведения подоб-
ных членов получим уравнение
(a~f-2c) У х = с2 — Ь,
являющееся следствием уравнения (31).
При а-)-2с = 0 и с2—b = 0t и только в этом случае, последнее
уравнение имеет бесконечно много решений (все неотрицательные
числа).
Подставив а — — 2с и Ь — с2 в исходное уравнение, получим
' У Х — 2с У Х-}-С2=€—У х}
или
У (У х— с)2 ~С—У х,
т. е. уравнение
\У х— с\= с—~У х.	(32)
При с < 0 это уравнение корней не имеет, а при с = 0 имеет един-
ственное решение: Xi = 0.
Пусть с > 0. Рассмотрим такие значения неизвестного х, ко-
торые удовлетворяют неравенству 0<:х«Сс2. Тогда У х<с, а
поэтому | У х—с]=с—У х. Следовательно, уравнение (32) рав-
носильно системе
J с > 0,
( OsCxsCc2.
Итак, уравнение (31) имеет бесконечно много решений тогда
и только тогда, когда а = —2с, Ь~с2 и с > 0, и его решениями
являются все числа из отрезка [0; с2].
ЗАДАНИЕ 1
1.	Доказать, что уравнение не имеет действительных корней:
1)	К4х+7+1/*3—4х+х2 + 2 = 0;
2)	2 /х3 —4х2 + 1 + /х2(х+1)3 = — 5;
3)	V17 + 5 V4х2—16 +х2 У7-^х=^3;
4)	1/Т^6+КЗ=х = 4х—Зх2+1;
5)	Vх2 —49 (х + 4) = 0;
6)	/100—х2 + х2—7х = Л - ;
V х—10
7)	(х+1) (5-х) (]ЛГ=1+2) = 4,
76	ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
2.	Решить уравнение, вводя новое переменное ( = Уа(х):
1)	х—Ух—6 = 0;	2) V8—х = 2—х;
3) x+Vx^l—3 = 0;	4) х2—х+9+/х2—х+9=12;
5) х2—4х = 3/х2 — 4x4-20— 10;
6) /х--/=г=1;	7)2Л-1-5=—=.
Ух	V х—I
ЗАДАНИЕ 2
1, Доказать, что уравнение не имеет действительных корней:
1)	/3+ log2 (х - 4х2) + Ksin (/х + 2) +1 = 0;
2)	Кб4-}/'х24-17х34-х 4-)< 1 —tg(x24-4)=—3;
3)	]/274-5]/х’ + /х8—4х2—7 = 3;
4)	/+=2х—х+/Т=5 = х2 —7;
5)	/(х + 1)(3—х) /7=76/—9—х = 0;
6)	/х2—16 + /х2 + 4=	;
/ (х+11)(х4-4)
7)	(х+2) (х—11) (/—5—х4-8 + /х) = 1.	___
2. Решить уравнение, вводя новое переменное i — Уа (х):
1) 7Vx— 2х-|-15 = 0;	2) Зх— 10 /7+7 4-6 = 0;
3)	х2-2 = 5/7=7-6;
4)	х24-2Кх2—3x4-11=3x4-4;
5)	44-3/7+2 = 2х-1; 6) /7=7 —6//Т=7 = 1;
7) 10 Vхг.-х— 1 +3//х2—х- 1 = 13.
ЗАДАНИЕ 3
Решить уравнение:
1) /7х+1 =2 /7+4; 2) (х2— 1) /27=7=0;
3) /12=7 = х; 4) /6—4х—х2 = х4-4;
5) /х+5—/7=3=2; 6) /х+3 + /зТ=2 = 7;
7) /27+6—/7+7 = 2; 8) /Т+5-/х=1;
9) /7+16—/х+3 = -/4х—23;
10) /Нх+З— /2=х = /'9х+7— /7=2.
ЗАДАНИЕ 4
Решить уравнение:
1) /5х—1 —/Зх+19 = 0;	2) (х2 —4)/7+7=0;
3) /7=7=х—1; 4) /4+2х—х2 = х—2;
5) /зТ+Т-/Т+4=1; 6) 2/7=7+/7+3 = 2;
$ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
7) /х+2+/3==х = 3;	8) /Sr=4—/7+5= 1;
9) /7+5+/7 = /47+9;
10) /б7П+/47)1=/57+/27+3.
ЗАДАНИЕ 5
Решить уравнение:
1) /бТП+х—1;	2)
/ х* 1 2 3 * 5-7х-8
3) /11х—2+3/7 = 6;	4) /7+5+/5=1 = 4;
5) j/s+Zx+pT =2; 6) V47—3 = Л*~1- 
/Зх-5
7)	+	8)GS=U2=i
V х—9	v х+2 V Зх—2
9) /8=Тх— /9+5х— /4=7бх + /5+7=0,
ЗАДАНИЕ 6
Решить уравнение:
1) /5ТП=1 — х; 2) 2/зТ+2—/57=2;
3) ^2Z-^ ^.±121 = O; 4) /з7П + /Тб=Зх=5;
/ 7x4-8—X?
5) У25+/7+3 = 3; 6) _ДЗ=Кз7+Т|
У х—1
7) Д*7± 4- гз г^=4;
У 6—х
8)	....в-....
/Зх4-Ю /(х+2) (3x4-Ю) Кх+2
9) /бх+Т— /57=1 — /х+6+/2Т+3 = 0.
ЗАДАНИЕ 7
1. Решить уравнение:
1) /4х2+9х+5—/2х?4-х—1 = /7=Т;
2) /х—2 + /2х=5 +/х+2+3/2х=1 = 7 /Г 1
3) /х2—3х+7 = 3х+(х—3)?—22;
/ х+2а—/х—2а х_
/7+^+ /х==2а “2“ ’
5) х	-/х27=а2 = 0.
78
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
2. Решить систему уравнений:
1)	/ Vrx+2Vy=^9t 2) f Ух — Vy = 2]<л#,
I x—4i/ = 9;	( x-\-y — 12;
3) f Y* +f/7=4,
I xy = 27.
ЗАДАНИЕ 8
L Решить уравнение:
К2Т+х+/'2Г=х _21 .
/2Г+х— /'2Ь=Т	* ’
2)	у45—Ух-н + К2х?+х-}Л = 1;
3)	У 12—12/х24-}Сй—12/х2=х2;
4)	1^5a-j-x-j~y5a—х= \2а/У 5a-f-x;
5)	рр±£ЗЕг-=г5-;
у а-\-х—у а—х
6)	+ УЛ^-Ь& + (^+г>)/'х + а'__./-77;
Ух-{-Ь + Ух+а
2.	Решить систему уравнений:
< V х+у V вх 2 ’
I ху — х—у = 9;
( х-[-у~20.
Упражнения
1.	Решить уравнение:
3)	(х-1)К*«-х-2=0; ^ '^±^-*2-=0;
7)	Ух+2 = У2х—5; £^Ух+7—х+3 = 0;
fm\/2xs+8x+7—2 = х;	12) У2Х5+8Х+1 —х = 3;
/2х2—7х+5= 1;
Q4J/+ У 2х2—14х+13 = 5}
15) х?+11 + Кх?4-11 = 42;
§ 2, ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	, 79
J6)>+13—2 уX2-I-13 = 35;
47pfc2—2/х2 —24 = 39;	18) х2+2/41 —х2 = 26;
V36х+ 1261 = 18х2— 17х;
Ж^(х+2) V 16x4-33 = (х +2) (8х—15);
W (4х+3) / 16x4-17 = (4х+3) (8x4-5);
722)г (х-f-1) V 16x4-17= (х+1) (8х—23);
.23) /7+3—/27=7-/37=2 = 0:
24р /7+7— /57=5— /7=2=0;
/27=4— /7=3— / Зх—11 = 0;
26)J/T+2— /7=7— /27=3=0;
28) |х4-/1—х2|=/2 (2х2— 1).
2. Решить уравнение:
1) /б=7=х;<^2р4-/2х+7 = х—3;
3) /7=1 = а— 1; ^Ф)2/7=2+/7=7=1}
5) ' /=—= х—6; 6) /7=7 /7+4=6;
/2х-7
7)/1—х/х=х; 8) /х—1/2х+6=х+3;
Ж)3/7+3—/7=2 = 7;	10) /773+6=5?
= х
12) (х—3) /х2—5х4-4=2х—6;
(j^)(x+2) /х2—х— 20=6x4-12:
14) (х—1)/х2—х—6=6х—6;
15)	/7+/7=5 =/10=7;
16)	2/7+/5=7=/7+21;
17)	2 /7=7— /7+2— /5х—10 = 0;
3 /27+1—4 /7— /34х— 135 = 0;
/87+7+/37=5=/77+4+/27=2;
^20) )- I_-!--1	—2;
^-J/x+Z 1+х? х-/ 1 +х2
21) ^^-Н5 = 2 l/x+i-,	22) ух^. — 2х— 3 = х+1;
23) j/7+j/x2+7=3;	24) |/8х+4—^/8х—4= 2;
^2^ 1^76+/ х +у^76 — /х —8;
26) 2 ;
}	2-х	/2=7
80
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
28)
а—ЬУ х a~b
3. Решить систему уравнений:
1) ( х3—Уу=1,	2) (Ух2 + 4ху—Зу2 = х+1,
I 5х«+2у—8х3КГ=2; U—j<=1;
3) ( Vх+у-1 = 1,	4) ( /х+30+1=2,
( Ух—у+2 = 2у—2;	( У2х—у+2 — 7у—6;
5) ( х—у+У х2—4yi = 2,	6) f х-^-у—У4у2—х? — 4,
\ х3 У х2.—4yi = 0;	Д J/9 У 4у?—х% — 0;
7)	f Ух+Уу=5, 8) (	п/Т+2~
I x+f/=13;	? У у+2 f У 2х-1	’
( х-\-у~ 12;
9)	f 10 У ху+Зх— Зу — 58,
I X—^ = 6;
10)	( Ух^+у^+Ух2^ 5+У7 ,
j ух2+у2—У^^ -“5-/7 ’
( x?+2z/3= 118.
§ 3. Показательные уравнения
Решение показательных уравнений основано на свойстве сте-
пеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным
от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны
их показатели. Используя это свойство, уравнение
а* = Ь,
где а > 0, а 1, b > 0, следует решать так:
ах — Ь <=> ах — aloga ь х — loga b.
Многие показательные уравнения решаются методом приведе-
ния обеих частей уравнения к одному основанию.
Пример 1. Решить уравнение
4#__g2#-3e
Решение. Поскольку
__	82x“"3= (23)2л,“-3 = 26л;~а,
то
2?^ == 2б*-»	2х = 6х—9	х = 9/4,
Пример 2, Решить уравнение
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	81
Решение, Поскольку
(0,4)*-1== (2/5)*-1,
(6,25)6x~! = (25/4)6*~б = (5/2)1?х-хо _ (2/5)х<>-12*,
то
(2/5)*-*== (2/5)10-1?* х— 1 = 10— 12х 4Ф х= 11/13.
При решении простейших показательных уравнений исполь-
зуется преобразование, состоящее в вынесении общего множителя
за скобки.
Пример 3. Решить уравнение
52х+ж_ з.52х-1 = 55ог
Решение. Вынося в левой части уравнения выражение
52я-1 за скобки, получаем
52а;-1 (5?_3) = 550 4Ф 5?*-* = 5? О 2х—1=2 4^ х=3/2,
Пример 4. Решить уравнение
У& 5»/2 = 225.
Решение. Поскольку У 3х 5*/2 = З*'2 5*72 —15*72, то исход-
ное уравнение равносильно уравнению 15х/2= 15?, т, е. x — 4t
Уравнение вида
1, а > 0, о 1,
равносильно уравнению f(x) = O.
Пример 5. Решить уравнение
|QX2 + X-2__ J,
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению х2 +
4-х—2 = 0. Следовательно, данное уравнение имеет два корня:
Х£~. —2, х2= 1.
Пример 6. Решить уравнение
/5~J(3x2-7,2X+3,8_9|/-3)==0>	(!)
Решение. Область допустимых значений уравнения (1) оп-
ределяется условием 5— х^0, т. е. х«с5. При таких значениях х
уравнение (I) равносильно совокупности уравнений
Tr5^x = 0, 3^2~7,2x+3,9==9 угз f
Из первого уравнения находим хх = 5.
Для решения второго уравнения преобразуем его правую
часть: 9 Y3 = 32 3Х/2 = 32>6. Таким образом, второе уравнение со-
вокупности равносильно уравнению
я2 —7,2x4-3,9 = 2,5,
т. е.
х2 —7,2x4- 1,4 = 0.
Отсюда находим х2= 1/5, х8 = 7,
82
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Области допустимых значений уравнения принадлежит только
число 1/5. Следовательно, решениями уравнения (1) являются
числа 5 и 1/5.
Пример 7. Решить уравнение
32х-153*4-2 __ (9/5) 52* З3*.	(2)
Решение. В данном уравнении имеется два различных ос-
нования степеней. Разделив обе части уравнения (2) на положи-
тельную величину (9/5) 52х 33л;, получаем уравнение
32ЛГ-1 53*4-2
(9/5)52* З3*
= 1 Ф>5*+3.3-*-3 = 1.
Последнее уравнение равносильно уравнению
(5/3)*+3= (5/3)°;
отсюда х + 3 = 0, т. е. х = — 3.
Пример 8. Решить уравнение
4*________________з* -1 /2 — 3*4-1 /?__2^х ~11
Решение. Сгруппируем члены, содержащие степени с осно-
ванием 4 и с основанием 3:
4*-|- (1/2) 4х==з*4-1/2 4-з*-!^
Вынесем общие множители за скобки:
4х (1 + 1/2) = 3^“1/2(1 4-3).
Разделим это уравнение на выражение в его правой части, полу-
чим (4/3)*“3/2 = 1. Отсюда находим х—3/2 = 0; следовательно,
х=3/2— единственный корень исходного уравнения.
Уравнение вида
f (ах)~0
при помощи замены переменной t — ax сводится к решению рав-
носильной ему совокупности простейших показательных уравнений:
ax~ti, ax~t2, ...» ax — tki
где /i, /2, •••, /ft —все корни уравнения f (/) = 0. Так, например,
уравнение
Ла2^4-В^4-С = 0,
где Л, В, С —некоторые числа, а > 0, а $£ 1, сводится к решению
равносильной ему совокупности уравнений ax = t^ ах — 12, где Zf,
/2 — корни уравнения Л/2 + #/+С = 0.
Пример 9. Решить уравнение
52* —2-5^—15 = 0.
Решение. Пусть i — 5x. Тогда /2—2/—15 = 0. Отсюда на-
ходим /х = 5, /2 =— 3. Таким образом, данное уравнение равно-
сильно совокупности уравнений
5х = 5, 5* = — 3,
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
83
Второе уравнение этой совокупности корней не имеет, так как
— 3 < 0, а 5* > О при любом х, а из первого уравнения находим,
что х=1 единственный корень исходного уравнения.
Уравнение вида
дА-«=&,	(3)
где а > О, а 1, b > О, может быть решено при помощи лога-
рифмирования обеих частей (это возможно, так как обе части
уравнения положительны). Логарифмируя, получаем уравнение
f (х) = logfl b,
равносильное уравнению(З).
Пример 10. Решить уравнение
52Х-Х — 73-Х.
Решение. Обе части уравнения положительны; поэтому
можно прологарифмировать его по основанию 5. Получим уравнение
2х— 1 — (3 х) log5 7?
равносильное исходному.
Таким образом,
* (2 + logs 7)= 1 + 3 log5 7,
1+3 logs7
т. е. х^ -^-т--.—~=~ .
2 + log5 7
Пример 11. Решить уравнение
1/з*/ з
V 5 Vs; “ Кб ‘
Решение. Обе части данного уравнения положительны.
Прологарифмировав обе части этого уравнения по основанию 5,
получим уравнение
(4)
Зх—4	1
4	2 ’
2
т. е. уравнение
х (log8 3-1) - log5 3 + 1 - у+у logs 3 =	х—1 —1,
равносильное уравнению (4). Отсюда находим 1,/
4 logs 3—7_ —4+\log5 3
х 4
т е х- 2^1о&3-4)
г-е-х- 4 log8 3-7 ‘
Пример 12. Решить уравнение
82/х —2<3*+3>/* + 12 = О,
Решение. Поскольку
2 <зх+3)/я == 23+з/я = g. 23/* == 8 • (23)*/х = 8. gvxf
(5)
84 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
то уравнение (5) равносильно уравнению
82/x_8.8i/x + 12 = 0.
Положим &lx~t\ тогда уравнение (5) равносильно совокуп-
ности уравнений
81Z* = 6, 81/* = 2,
где числа 6 и 2 — корни квадратного уравнения
/2—8/+-12 = 0.
Из этой совокупности находим два корня уравнения (5):
Xi = 3 log6 2, х2 = 3.
Решение показательных уравнений, в которых имеется три
степени с различными основаниями, являющихся последовательными
членами геометрической прогрессии, причем эти основания воз-
водятся в одну и ту же зависящую от х степень, сводится к ре-
шению квадратных уравнений. Такие уравнения имеют вид
+ $Ь?<Х> + ус&х%— 0,	(6)
где а Ф 0, Р, у—действительные числа, f (х) — некоторая функция,
а основания а, b и с удовлетворяют условию Ь2 = ас.
Уравнения такого типа сводятся к решению совокупности по-
казательных уравнений
(alb)f<x^ti, (a/b)^x> = t2i
где /1, /2— корни квадратного уравнения at2 + р/ + у = 0.
Пример 13. Решить уравнение
3.16* + 37-36* = 26-81*.	(7)
Решение. В этом уравнении числа 16, 36, 81 образуют три
последовательных члена геометрической прогрессии (со знаменате-
лем 9/4).
Для решения исходного уравнения разделим обе его части
на 81*. Получаем
3 • (4/9)2* + 37 • (4/9)* — 26 = 0.	(8)
Пусть / = (4/9)*; тогда уравнение (8) принимает вид
З/2+ 37/ —26 = 0,
откуда /1 = 2/3 и /2 =—13.
Таким образом, уравнение (7) равносильно совокупности двух
показательных уравнений:
(4/9)* = 2/3, (4/9)* = —13.
Второе уравнение этой совокупности решений не имеет*
Из уравнения (4/9)* = 2/3, т. е. уравнения
(2/3)2* = 2/3,
находим единственный корень исходного уравнения: Xf = 1/2.
Пример 14. Решить уравнение
4.15х2+ах~б==з.5^24-вх-^	(9)
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	85
Решение. Используя свойства степени, представим данное
уравнение в виде
2
з
4	Ч
. 9*2+з№4_|__1.15х2+зя-4__25x2+3*“\
15	5
(Ю)
Разделим обе части уравнения (10) на 15*2+3*-4 и введем
обозначение у~ (3/5)*2~3*~4. Получим уравнение
у/3 + 4/15 = 3/(5^),
которое имеет единственный положительный корень yi-1*
Таким образом, уравнение (9) равносильно уравнению
(3/5)*2+3*~4- 1,
т. е.
х2 + 3х—4-0,
откуда следует, что множество всех решений уравнения состоит
из двух чисел: —4 и 1.
Пример 15. Решить уравнение
27*+ 12*-2*8*	(11)
Решение. Это уравнение близко по виду к уравнению (6):
показатель степени у оснований один и тот же, однако основания
27, 12 и 8 трех последовательных членов геометрической прогрес-
сии не образуют.
Последовательными (но четырьмя) членами геометрической
прогрессии являются числа 27, 18, 12 и 8. Поэтому можно счи-
тать, что член, содержащий 18*, входит в данное уравнение с
нулевым коэффициентом.
Делим все члены уравнения (11) на 8* и получаем
(3/2)3* + (3/2)* = 2.
Пусть / — (3/2)*; тогда имеем уравнение /3 + /—2 — 0. Поскольку
/3 + / —2 — (/— 1) (/2 + t + 2), то это уравнение имеет единствен-
ный корень /$—1. Таким образом, исходное уравнение равно-
сильно уравнению
(3/2)*-1,
единственный корень которого х —0,
Уравнение вида
а,а/(*) + р .&/(*) + £ = 0,	(12)
где а, р, с—действительные числа, а основания а и b являются
взаимно обратными положительными числами (т. е. ab— 1), можно
решать следующим образом.
Ввести переменную / — «/<*) и, используя равенство ab~ 1,
перейти от уравнения (12) к уравнению
а/2 + с/ + Р- 0.	(12')
Тогда уравнение (12) будет равносильно совокупности двух пока-
зательных уравнений:
afw = tit
86
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
где Zf, /2 —корни уравнения (12'). Если уравнение (12') решений
не имеет, то и уравнение (12) также не имеет решений.
Пример 16. Решить уравнение
5.23*-3—3«25~3х + 7 = 0.	(13)
Решение. Используя свойства степени, перепишем данное
уравнение в виде
{•28*-^+7=0.
Это уравнение является уравнением вида (12).
Пусть /==23л;; тогда имеем	£--“~+7 = 0, т. е. 5/2-}-56/ —
— 768 = 0. Отсюда находим ti~— 96/5, Z2 —8.
Таким образом, уравнение (13) равносильно уравнению
23* = 8,	,
откуда х=1.
Пример 17. Решить уравнение
Х2-2Х + 1 _|_ (2—	— 101	(14)
10(2-}<3)
Решение. Поскольку 2 — У3 =--------, то, умножив
2 +• р 3
обе части уравнения на 2—У 3, приведем его к виду (12):
(2 +	-------Г-------=-ттг 	(15)
\ -г К о/ ^(2+|Лз)хг-2х	10 •	'* >
Положим t = (2 + Уз )х2-2х- Тогда уравнение (15) принимает
вид
/+ 1//= 101/10,
корни этого уравнения есть /j— 10, /2=1/10.
Таким образом, уравнение (14) равносильно совокупности по-
казательных уравнений
(2.+ УЗ = Ю, (2 + Уз)*2-** = 1/10.	(16)
Первое уравнение этой совокупности равносильно уравнению
х2 — 2x=log2+1/y 10,
откуда xi = 1 + У1 + log2+y~ 10, х2 = 1 — J^l+log2 + Гз 10-
Второе уравнение совокупности (16) равносильно уравнению
х2-—2х + log2 + /3‘ 10 = 0,
которое корней не имеет, так как его дискриминант 1 —
меньше нуля.
Таким образом, решениями уравнения (15) являются числа
Хх и х2.
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	87
Решение некоторых показательных уравнений сводится к ре-
шению алгебраических однородных уравнений (см. § 3 гл. 4).
Пример 18. Решить уравнение
32Х2-6Х + 3 _j_ §х2-зх + х==;22*2“бл: + 3;	(17)
Решение. Уравнение (17) равносильно уравнению
27.32(x2-sa;)	6*З*2”3* 2*2-3a;^_8.22U2-3x)^о,	(18)
решение которого сводится к решению однородного уравнения
27f2	W-0,
где f (х) = 3х2-**, g (х) = 2*2-3*.
Поскольку 2х2~*х > 0, то уравнение (18) можно разделить на
22(х2-зл;)< т0Гда получим уравнение
27 (3/2)2<*2-3*) + 6 (3/2)*2-3* — 8 = 0,
равносильное уравнению (17).
Пусть / = (3/2)*2”3*; тогда из уравнения 27/2 + 6/—8 = 0
находим ti — — 2/3, /2 = 4/9.
Таким образом, уравнение (17) равносильно уравнению
(3/2)*2-3* = (3/2)~2,
т. е*
х2-Зх + 2 = 0.
Отсюда находим Xi=l,. х2=^2— корни уравнения (17).
Пример 19. Решить уравнение
6*/9 —13^/6 4-6 */Т=0.	(19)
Решение. Область допустимых значений данного уравнения
состоит из всех натуральных чисел, больших 1.
Уравнение (19) является однородным; разделив обе части
уравнения на ^/4 и положив /=*/з/2, получим уравнение
6/2—13/+ 6 = 0,
корни которого it—3/2, /2 = 2/3.
Таким образом, уравнение (19) равносильно совокупности
уравнений
|/3/2 = 3/2, £/3/2 = (3/2) -1,
которые решений не имеют. Следовательно, и уравнение (19)
корней также не имеет.
Замечание. В некоторых пособиях и руководствах областью
определения, например, функции у— ^/2 принято считать мно-
жество всех положительных чисел (а иногда и всех х таких, что
х ф 0).
Однако, придерживаясь точного определения корня, следует
считать, что функция у—*^2 определена только при натураль-
ных х^2.
88 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Поэтому функции у = 21/х и ^=^/2 нельзя считать тожде-
ственными: они имеют разные области определения.
Пример 20. Решить уравнение
(20)
Решение. Заметим, что 32 + 52 = 34. Поэтому уравнение (20)
имеет решение Xi — 3. Докажем, что других решений нет.
Действительно, каждая из функций ^=3Л;~1 и у~5х как
показательная функция с основанием, большим 1, является воз-
растающей; поэтому их сумма—тоже возрастающая функция.
Значит, при х < 3 левая часть уравнения меньше 34, а при х > 3
больше 34.
Пример 21. Решить уравнение
1~рЗх/2 —2^.	(21)
Решение. Разделив обе части уравнения на 2х, получим
уравнение
(1/2)* + (/3/2)х = 1,	(22)
равносильное уравнению (21). Уравнение (22) можно записать в
виде
(sm-g-J +lcos'6“)
Сравнивая это уравнение с основным тригонометрическим тожде-
ством, заключаем, что число xi = 2 является корнем уравнения (21).
Других корней нет, так как в левой части уравнения (22) стоит
сумма двух убывающих показательных функций у^(\/2)х и
i/=(/3/2)x?-
Некоторые показательные уравнения содержат выражения вида
/ (х)^хК
По определению считаем, что
f (x)£W=10^tef(*);
поэтому функция f (х)^^> имеет смысл лишь тогда, когда опреде-
лены обе функции: f (х) и g (х) и f (х) > 0.
Пример 22. Решить уравнение
З^Зх/а+п^Зб,	(24)
Решение. Имеем:
Зх^зх/сх+^^зг^з Зх-2.23х/<х+1)--2== 1 <=>
3x-2.2<x-2)/(x+i) = 1	(3«2V<x+i>)*-8 = 1.
Таким образом, уравнение (24) равносильно уравнению
10(x-2)lg(3-21/(l+*))==1}
откуда
(х—2)lg(3.2V«+») = 0.
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	89
Итак, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
х—2 = 0, 1g (3.2i/^+i)) = 0,
решая которую находим два корня уравнения (24): Xj = 2, х2—
— l-lg32.
Пример 23. Решить уравнение
3 /^5	_
xv ^{VxY,	(25)
Решение, Область допустимых значений данного уравнения
определяется условием х > 0. При положительных х уравнение (25)
равносильно уравнению
10Х2/3- ^х_ iQ(*lgx)/2 ,
т. е. уравнению
(х2/3 — х/2) 1g х = 0.
Отсюда следует, что при х>0 уравнение (25) равносильно со-
вокупности уравнений
lgx = 0, х2/з = х/2,
решая которую находим два корня уравнения (25): xi = 8, х2 = 1.
Пример 24. Решить систему
( (3/2)*“^ —(2/3)*“^= 65/36,
I ху~—х~\~у — 118.
Решение. Обозначая (3/2)х~у = t, первое уравнение дан-
ной системы можно записать в виде
1 _65
t ““36°
Это уравнение равносильно уравнению
36/2 —65/—36 _
36/	’
т. е. уравнению
36 (/-—9/4) (/+4/9)
36/
Поскольку / > 0, то последнее уравнение имеет единственный ко-
рень-число 9/4.
Итак, первое уравнение системы „ равносильно уравнению
(3/2)*““^= (3/2)2, т. е. уравнению х—у~2. Поэтому исходная си-
стема равносильна системе
J х—z/ = 2,
I х#=120,
решением которой являются две упорядоченные пары чисел:
(12; 10) и (—10; —12).
90 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 25. Решить систему
( j/X2 + 7* + 12__ 1,
] х+у = 6,
{ У>0.
Решение. Первое уравнение при условии у > 0 равносильно
совокупности уравнений
z/= 1, х2 + 7х+12 = 0,
т. е. совокупности уравнений
у~\, х ——3, х ——4.
Поэтому данная система равносильна совокупности трех систем:
( у =\,	( У>°’	( У>°’
1 t к 1 х= — 3>	) х=—4,
I х + у— ,	Х-\~у = 6,	[ x^_y=;Q)
т. е. совокупности
(	x = 5,	J	х — —3,	f	х — —4,
I	У=1,	1	У —9,	I	£/=10.
Итак, множество всех решений данной системы состоит из трех
упорядоченных пар: (5; 1), (—3; 9), (—4; 10).
Пример 26. Найти все значения а, при которых уравне-
ние
4* — а2х — а + 3 = 0	(26)
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Сделаем замену 2* = / > 0; тогда исходное урав-
нение примет вид
t2 — at—а + 3 — 0.
Для того чтобы уравнение (26) имело хотя бы одно решение, не-
обходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен t2— at — а + 3
имел хотя бы один положительный корень, и, следовательно,
дискриминант этого квадратного трехчлена должен быть неотрица-
тельным.
Поскольку
D — a2 — 4(3 — а)—а2-\-4а —12 = (а—2) (а + 6),
то условие D^Q выполняется при а^>2 и —6.
Корни tt и Z2 квадратного уравнения t2 —at — а + 3 = 0 удов-
летворяют системе уравнений
f tit2==^—а,
I ti~l~ t2 — а.
При а^—6 имеем /1/2 >0, а /1 + /2 < 0; поэтому оба корня
/1, /2 отрицательны, и, следовательно, исходное уравнение реше-
ний не имеет.
При а^2 имеем /1 + /2 > 0; следовательно, хотя бы один из
корней tf или /2 больше нуля.
Итак, при а^2 данное уравнение имеет хотя бы одно
решение.
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	91
ЗАДАНИЕ 1
Решить уравнение:
1) 510g» 2x_2log2 32.	2) |/128 = 42л:;
3) (1/642)~ж = V1/8; 4) 2logs* = 31 + log’6;
5) п°ёл 4Х == 23 + log2 3; 6) (3/2)4*+1 = 81 “log2 3;
7)	41ogs(2 Vlx) _ jQQi + igsin (л/e).
8)	ylog, (18 v“)_g2 logs 2+4 logsi 2.
9)	lllogll(28x, = 2-10o'3'lg 8-2 lg2;
10)	10lg(x2-4, = 361-lo®« 3+25_Iog« «;
'г)(Н(4>й'
is; У1412v™Kr>'=i_4i/w.
,	v-^-^1
15) 5*8*/(*+1) = 100;	16) 10 v 6ж-1= 1000 ]^10;
17) ж*3-6*+«=1; 18) 2л2-«ж-2.,6=16 VI;
19) 51 + log»cos*=2,5.
ЗАДАНИЕ 2
Решить уравнение:
3-^2.6;	2)
1)
3)
5)
7)
7logr’ 2 ^510^0,75, 4) З1о£з(вх)=_21~1°£2 7;
1 1 logtl (7OX) = JQ1 + 2 1g 7. 0) /Г^.уХ+1===22~б logs 3;
1 + 1g ( COS ~
81о^х=10	3
=	410g2 3 + 3 l0g35
8) 13,Og13 (15х ) — 4 2	.
9) 4*2-1/4 = 1001/4~lg ’//®;
Ю)
А .5-х2+1— io4- ^(г(л/4)_|_250’5 log«10;
КЯ’ЧгА
11) 2х-5л’ = 0,1 (10х-1)5;
15) 2Ух+1 = 1бУ\о,25)*-х/*->
14) (15*2 + *-2)U-4)~ 1;
92
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
16) 2*~1*5*“1= —0,001 • 102а;+5;
17) 182x2“2x3x+:L = 3JC“-1;
/ 9 \logi/-;cos*
19) / 2 \ V 2	=i.
X
18) 3*-8*+1 =36;
ЗАДАНИЕ 3
1. Решить уравнение!
1) 2*-. 15*= 200; 2) 15-2*+1+ 15-22~*= 135;
3) 4*®+а_9-2*2+2+8 = 0;	4) 8*4- 18* = 2.27*;
5)	3.4*+-i- • 9*+2 = 6-4*+1—1-. 9Х+Х;
о	Z
6)	132* —6-13*4-5 = 0;	________
7)	(у)а~*+3*-« = 99+
8)	(Кб + 2 К б)*+(Иб—2 / б)* = 10.
2. Решить систему уравнений:
1) / (х+у)1/х==9,	2) ( 5*8^ = 512 000,
1 (х-\~у) 2* = 18;	| х+{/ = 7;
3) ( гх = х,
< гу ==--У,
, х.
ЗАДАНИЕ 4
1. Решить уравнение!
1) 23* = 5121/8*; 2) 10*4-10*-1 = 0,11;
3)	5*-4_5*-5 = 2.5*-«+2.3*-4;
/ 5 V+1 / 9 \х2+2,г-11	/ 5 V
4)	(у) (25)	==к‘з7 ’’
5)	4-22ж—6* == 18-32лг;
6)	За*+]=3*+24-/’ 1 —б.З*^-32(*+1);
7)	8.41/*4.8.4-i/*_54.2i^—54.2~1/л; =—101J
8) (К24-К з)*4-(/2-К 3)* = 2*.
2. Решить систему уравнений:
1)
3)
( х*+»—уХ-у, 2)
( x2f/=l;
' Xz = ySl3\
у^х3'3,
. 2= У х+У у.
У х+у = 2,
(х -!-{/)• 3* = 279 9361
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
93
ЗАДАНИЕ 5
1. Решить уравнение:
1) 71Чл:| = 49;	2) 32u+6)/u~7)= 0,25-128(x+17)/u'"3);
3) 2V*+2 —2v~*+1 = i2+2v~-1;
4) 3**-**-M = 81 V 3; 5) (4)*"1	;
6)	gx_2*+1/2==2*+7>/2_32*~J;
7)	5*4-5X + l_|_5x + 2;=3x_|_3X + i_|_3JC + 2;
8)	4*-9-2*H-8 = 0.
2.	Решить систему уравнений:
1)	j 4ж/»—3.4<8»"*№ = 16,	2) (	=
\ V~x— Vr2^=V12 — V 8;	1 У"324 = 2х2;
3) ( 7.3*+1— 2-Зг'+г+1-ж = 9,
2.3x+1+3y+z~x = 27,
, lg (•*+{/+*)—31£х=1%(уг) + 1£2<
ЗАДАНИЕ 6
J. Решить уравнение:
1)	ю*_5л;-12л;-2 — 950;
2)	3*-2+ (0,(3))1-*—(0,(1))<3 -л:)/2 = 99;
3)	j/'зл-М—7	162;
/ 1 xlogaVjf+i—~ logs (л:8, — 1)____
4)	4)	= У2(х-1);
2.
1)
3)
5)	У х1г1/х=10;	6) 4х—з*-1/2 = з*+1/2_22x-i.
7) 2х-}-2х~1-\-2х~2 = 7х-\-7х~1-[-7х~?;
8) (0,1)8*~8-л2= 100.
Решить систему уравнений:
' юз-1g <*-«) = 250,	2)1 642ж + 642^= 12;
'	I 64^ =4 У 2;
2	у х—у
< ^г+^==га,
10s~lg(x*“^=-250<
Упражнения
1.	Решить уравнение:
2М*+1’8+9* = 6*+1>
3)	31og2 (s,n я+созх)_4log2 (sin я+cos*) —о»
94
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
4)	42*-?—3-4*-2—1=0;
5)	3.4*4-3-4*+14-4*+2 = 62; 6) 3*—8-3*/24-15 = 0;
7)	5*2~w = 25*; 8) 52*—4.5*—5 = 0;
9)	52+cos2*—26.5cos2*-|-5=0;
10)	8*—4* = 2*;	11) (уг7)<*2-ж + 8)/2 = 7 р^7;
12)	62*—8-6*4-12=0;	13) 2*+2—22-* —15 = 0;
14)	log7 (81 |/з*2-3*) =0;	15) j/272*-1 = /
16)	22*+1+2»+2= 16;	17) З4 1/’*—4»За V *4-3=0;
18)	4*4-2*+* = 80;	19). 9* 4-4*=2,5-6*;	___
20)	4*-14-4*4-4*+* = 84; 21) 4г*-~24-16= 10-2Ул~21
22)	logg (4x2-i-l)+2/3 = log8 (2*2+2-7);
23)	log3 (4Х-1—9) —logs 5 = log3 (2*~44-3) + log3 2;
24)	6-(0,75)2-2*-*2—(0,75)*2t-2x-2=.-=25logl«8—3;
25)	3*2+4* = 1/25;	?6) 5*2~?* = 128;
'^27) 2,/1о&2 з „gVlog» 4*~°,75
28)" (f 7),0&' <9*> = (K 9)1/,ogs 2;
29)	5V (iog3X+log8 9) loge 3 __ 3V loga 1> 8 .
30)	710g^(5J;’~1 —jc,ogli7=0;
31)	43№+*_8 = 2-8*2+*/3;
32)	24(*+1>2= l/24-2-4*‘*+2>;
33)	4~*+1/2—7-2-* = 4; 34) 9x+I4-3*+2—18 = 0;
35)	16*+1/2 = 15-4*4-4;	36) 25-*4-5-*+l = 50;
37)	4 V зх2 - 2x +1 । 2 __ 9.2^ 3x2 ~ 2X•
38)	32x2 + 6x“9-|-4- {б^+зя-б^-з^зха + бл;-».
39)	9.4logl/2 (9in2 2x+sin2x+39/16)=z: p
40)	| x—1 |lg2*~lg*2 = | x—1 |s;
41)	1	-—л д-ач - sin2 x/(stn x+1).
V1 - x2
42)	(4 — x2) ~ cos2 xl( 1+cos = —J— •
V 4—x2’
43)	3e*-3 = 2(27*-2/3)+l;	44) 2«*4-8*+2/3—5 = 0;
45)_10i+x2_loi-x2 —99; 46) (-|'У*~(‘£’У_1с=128:
47)	641Z*—23 + 3/*4-12 = 0;
48)	91-<*~1)2—12.3-**-1|24-1 =0;
49)	4i-(x+i)2—3.22-<x+1>24-7 = 0;
50)	53*4-9.5*4-27(5-3*+5-*) = 64;
Я) 24* — 23*+1—22*4-2*+14-l=0;
52)	x*4-139x-x— 108x~2* = 32;
53} (/4-/15)’:4-(И 44-К15Г = (2/"2)*;
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
95
64) /(!)< /(!)"_
-(/(тГ-/(4ГИ
2.	Решить систему уравнений:
1) Г х+у = 6,	2) ( 27» = 9у,
1 у	( 81^/3^=243;
3)
5)
8)
Н)
13)
15)
17)
19)
20)
21)
( Зу У 64 = 36,
( 5» 1/512 = 200;
( 2х(х+г/) = 10,
I (х+^)1/* = 5;
' х? = ух,	9) '
 /=/,
к х > 0;	___
у J/‘32/x|Z(1>5)S
4) J у^х = 2,
I ух — 16;
6) J 2*3» = 24,
\ 2»3Х = 54;
ху = ух,	Ю) /
х3 = у8,	J
x > 0;	(
^=0,25, 12) J
^=1;
7) J 3*5» = 75;
\ 3^5* = 45;
x2»-1 = 5,
x^+2 = 3,
x > 0;
Xs, = 256,
2рЛ8Р = Зх;
f 2x+2y =—1,	14) j 3*+3i' = 28,
\ —20x4-3,5-2^+1= 146;	\ 3*+J, = 27;
f ХУ = УХ< 'б) ( У4х = 32г/ 8y,
J x3 == r/2,	«!	__ _________
I x > 0;	t Уз? = з1/91-у;
3х—2^=77,	18) f x2y=164-6xJ',
J/"3*-2y = 7;	| хзд4-5=^4-5у2,
I x > 0;
2ax-2»4-2x-ff—2 = 0,
22х+14-(1/2)2у-1 = 5;
xzlg 11 =lg (714-2.5»),
l + flog25 = log2(21-lP)f
ц(х-1)*4-5»/2=1б5
= *^Z y8 ,
2 1	2 1
 y log2 y=fg log2 X,
Z = V x+V y;
lg(x4-3j/4-2z)=21gx4-lg 2,
12	0,875
2Z-2y	4-X/2	’
, 23.22»-г4-5.2х“2=132.
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ с ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
96
§ 4.	Логарифмические уравнения
Решение простейшего логарифмического уравнения
logax = Z>; а > 0, а 1,	(1)
основано на следующем важном свойстве логарифмов:
логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же
положительному и отличному от единицы основанию равны тогда
и только тогда, когда равны эти числа.
Для уравнения (1) из этого свойства получаем: х — ад—един-
ственный корень.
Для уравнения вида
(*) = *;	я>0,	а^1,	(2)
получаем равносильное уравнение f (х) — а!\
Пример 1* Решить уравнение:
а)	1— Ig5=y^lgy+lgx+ylg5^ ;
б)	Iogj/з (-1/х) = 2; в) 1g (2х- 5)2 = 0.
Решение, а) Поскольку 1 — 1g 5 — 1g 10 — lg 5 = 1g 2, lg-~-=
= —lg2, то исходное уравнение равносильно уравнению
41g2—-Llg5 = lg x,
О
1	16	16
т. е. уравнению lg = 1g х. Отсюда получаем ж —
у 6	5
единственный корень данного уравнения.
б)	Исходное уравнение равносильно уравнению
(—1/х) = (1/3)а,
откуда х — —9. Число (—9) —единственный корень данного урав-
нения.
в)	Исходное уравнение равносильно уравнению
1g (2х—5)2 = lg 1,
т. е. уравнению (2х—5)2==1, которое имеет два корня: *1 = 3,
х2 = 2. Числа 2 и 3 являются множеством всех решений данного
уравнения.
К простейшим логарифмическим уравнениям относится также
уравнение вида
logx4 = B, Д>0,	(3)
которое
а)	при А 1 и В ф 0 имеет единственный корень х—
б)	при А = 1 и В = 0 имеет решением любое положительное,
отличное от единицы, число;
в)	при А — 1 и В Ф 0 корней не имеет;
г)	при А Ф 1 и В = 0 корней не имеет.
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	97
Пример 2. Решить уравнение:
a)	0,21ogx~=—0,5; б) log^j 3 = 2;	в) 1<^1о^х3 = 2;
г»	\ гт	1	1 f 1 V \	1
Решение, а) Поскольку = TjiT”! у 1 » то logx^ =
= logx , и следовательно, исходное уравнение равносильно
уравнению
I°gx ~2==~"2 ’
откуда х = (1 /2) “2 = 4. Число 4-—единственный корень исходного
уравнения.
б)	Исходное уравнение равносильно уравнению
х— 1 =31/2.
откуда х=1 + '/" 3. Число l + V"' 3—единственный корень дан-
ного уравнения.
в)	Область допустимых значений исходного уравнения опре-
деляется системой
I logs х > 0,
1 logs* 5* Е
Поэтому исходное уравнение равносильно системе
{logs х > 0,
log3x?6 1, &x=3V s.
logsx = 31/a.
Число 3V 8—единственный корень исходного уравнения.
Пример 3. Доказать, что уравнение’не имеет решений:
a)	logs (3+ V х) + logs G4-*2) = 0;
б)	log1/3(l + J<^) + log1/3(l + x) = 2;
в)	1g (4—х) — lg(x—6) = 5;
г)	lg(x— 3) — lg (x-f-9)= lg (х— 2);
Д) logi/ю(х—3) — log1/io(*+9) = togi/io(*—2)i
e)	logs (**4~6)4-logs (254-*2) = 3/2.
Решение, а) ОДЗ уравнения определяется неравенством
На ОДЗ имеем
3+J<7^3 и 1 + х2^1;
следовательно, logs (З+У* и logs (1 + #2)^0. Сумма поло-
жительного числа и неотрицательного числа не равна нулю; по-
этому исходное уравнение решений не имеет.
б)	ОДЗ уравнения состоит из всех неотрицательных х. На
ОДЗ имеем
1 + 1К х^ 1 и 1 + х^1;
поэтому log1/3 (1 + У~х)<0 и log 1/3(1 + х)<0* Сумма двуж
4 Задачи по математике. Уравнения и неравенства
98	ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
неположительных чисел не может равняться положительному
числу; поэтому исходное уравнение решений не имеет.
в)	ОДЗ уравнения определяется системой
( 4—х > О,
| х—6 > О,
которая не имеет решений. Следовательно, и исходное уравнение
решений не имеет.
г)	ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
( х-3 > О,
-I х+9 > О,
( х—2 > О,
откуда находим х > 3. На ОДЗ справедливо неравенство х—3 <
< х-|~9, а следовательно, и неравенство 1g(х-3) < 1g(х+9).
Таким образом, левая часть исходного неравенства отрицательна.
При х>3 верно неравенство х—2> 1; поэтому 1g (х—2) > 0.
Следовательно, правая часть исходного неравенства положительна.
Отрицательное число не может быть равно положительному числу;
поэтому данное уравнение решений не имеет.
д)	Рассуждаем аналогично решению примера г), учитывая,
что в данном случае основание логарифма меньше единицы. По-
лучаем: на ОДЗ левая часть неравенства положительна, а правая
отрицательна. Отсюда вытекает, что данное уравнение решений
не имеет.
е)	ОДЗ уравнения состоит из всех действительных чисел. При
каждом х имеем 5 + х4^5 и 25 + х2^25; поэтому
log, (5+х4) За 1 и log, (х2 4- 25) Зэ 2.
Складывая два последних неравенства, получаем, что левая часть
исходного неравенства не меньше 3; следовательно, уравнение не
имеет решений.
Сведение логарифмических уравнений к про-
стейшим уравнениям, неравенствам, системам.
Уравнение вида
f (log« х) = 0, а > 0, а^1
равносильно совокупности уравнений
log# % — $1) logo — ^2> ♦ • • > loga % ~
где О, /2, •	—все корни уравнения f (0 = 0.
Уравнение вида
f(IogxX) = 0,	А > 0,
равносильно совокупности уравнений
logxi4 = ?i, logxX = /2, •••> logx^ = Z„,
где О, /2, ...» tn — все корни уравнения f (0 = 0.
Пример 4. Решить уравнение:
1	4
> <4>
б)	log*10 —log'10—6 logx 10 = 0.	(5)
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	99
Решение, а) Обозначим t— 1g х и произведем замену неиз-
вестного в уравнении (4). Получим
1___.	4___о1 + <+4(5—40—3(5—4Q (1+Q_ „
5-4/ Т 144 —	(5-40(1+0
2*g-3*+l	—A—XL-o^P=1’
(<+1)(5-40	(< + 1)(5-40	[/=1/2.
Таким образом, уравнение (4) равносильно совокупности двуя
простейших уравнений:
Г IgJf=,> Г х=ю,_
L lgx=l/2** L ю.
Итак, множество всех решений уравнения (4) состоит из чисел
Kio и ю.
б)	Обозначим t = logx 10 и произведем замену неизвестного
в уравнении (5). Тогда
/3—/2—6/= 0	t (/3—/—6) = 0 4»
4Ф t (/-3) (/ + 2) = 0 4Ф
/ = 0,
/ = 3,
t = — 2.
Таким образом,
(5) &
logx 10 = 0,
logx10 = — 2,
logx 10 = 3
х=101/3 ,
х=10-'/2.
L
Итак, множество всех решений уравнения (5) состоит из чисел
/Тб/10 И j/lo.
Уравнение вида
loga f (х) = log« g (х), а > О, а ф 1,
можно заменить равносильной ему системой двумя способами.
Первый способ:
logs / (х) = 10ge g (х) & | f
Второй способ:
10ga f (x) = logfl g (X) & | J W > ®’x)(
Аналогично уравнение вида
!ogfw ^=l°ggW Д, Д>0
можно заменить равносильной ему системой двумя способами.
Первый способ:
/ g (х) > о,
!°gf (х) А = logg w А О 7 g (х) 5* 1,
V f(x)=g(x).
4*
100
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ с ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Второй способ:
I Ш>0,
l°g; (х) А = logg lx) А & < f (х) £ 1,
< f(x)*=S(x).
Заметим, что выбор способа замены определяется тем, какое
из неравенств g(x) > 0 или f (х) > 0—-решается проще.
Пример 5. Решить уравнение:
а> 1о81/5Л^= 1о«1/5ГРТ:	(6)
б)	logs (х2-4х+3) = logs (3x + 21)s	(7)
9v2__54
в)	1о§1/10" х_рз.= log1/10(x-4);	(8)
г)	log(s+x)/s 3= l°g_ i/(x+i) 3.	(9)
Решение, а) Уравнение (6) равносильно системе
( х+1>0,
< 2+х	2
( 10 “х+1*
Уравнение системы имеет два корня: х± — 3, х2=— 6. Однако
первому условию удовлетворяет только число xi==3. Таким об-
разом, уравнение (6) имеет единственный корень — число 3.
б)	Уравнение (7) равносильно системе
( Зх+21 >0,	( х>—7,
1 х2—4x+3=3x+21	1 х2—7х—18 = 0
7 х > —7, Г х = —2.
Г х = —2,	^=“9.
х~9
Следовательно, множество всех решений уравнения (7) состоит
из двух чисел: xi = -—2, х2~9.
в)	Уравнение (8) равносильно системе
( х—4 >0,	х > 4,
< 2х2 — 54 л < 2х2—54 — (х—4) (х+3) Л «Ф
( -7+у-=*-4	( -------
( х> 4,	I х > 4,
2х2—64—х2 + х+12	х24-х—42__О 4Ф
(	х+3	I х+3
I х > 4,
4Ф* (х+7)(х-6)_ „*>*-6.
( ---7+3	°
Итак, уравнение (В) имеет единственный корень—число б.
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	101
г)	Уравнение (9) равносильно смешанной системе
I 5-±^>о,
5±i ^1
“	3	**
5 + х  —1
~3	х+1 ’
Уравнение системы имеет два корня: xf==—4, х2 ==—2. Число
Xi =—4 удовлетворяет всем соотношениям системы, а для числа
5+х
х2 — —2 не выполняется условие —-g ?£ 1. Таким образом, урав-
нение (9) имеет один корень — число Х} = —4.
Уравнение вида
loggW/(*) = &
равносильно смешанной системе
( g (•*) > 0,
< §(*)
Пример 6. Решить уравнение:
a)	logje+ifx2—Зх4-1)=1;
б)	logx (2х2 —Зх—4) — 2.
Решение, а) Данное уравнение равносильно системе
/ х+1 >0,	г	х > —1,
< х+1 £ 1,	<	х # 0,	ффх==4.
I х2—Зх+1=х + 1	I	х2 — 4х=0
Следовательно, единственным корнем уравнения является число 4.
б) Исходное уравнение равносильно системе
г х > 0,	г х > 0,	( х > 0,
< *5*1,	х?£1,	x^lf
I 2х2 — Зх—4 = х2	I х2—Зх—4 = 0	I (х+1) (х—4)=0
х = 4.
Итак, единственным корнем уравнения является число 4.
Уравнение вида
logf w g W = logf (jC) h (x)
можно заменить равносильной системой двумя способами*
Первый способ:
f g (*) > О,
log/w g « = log/(^) h (x) <-> j ff
I g(x)=/l(x)'
102
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ с ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Второй способ:
bgf(x) g W = logf(x) М*) 4Ф
h (х) > 0,
f (х) > о,
f (х) # 1,
g(x) = h(x),
Уравнение вида
1QggW / W = logp(x)f w
можно заменить равносильной системой двумя способами^
Первый способ:
( f (х) > о,
loggW/(x) = logpW/ (х)<ф.
Второй способ:
logg(J1:)f (x) = logp(X)f (х)фф
8 (х) > О,
g(x) ф 1,
g(x)=p(x).
f (х) > 0,
Р (х) > 0,
Р (х) Ф 1,
g(x) = P (х).
Заметим, что выбор системы, равносильной данному уравне-
нию, определяется тем, какое из неравенств g (х) > 0 или
h(x) > 0 (р (х) >0) решается проще.
Пример 7. Решить уравнение:
а) 1о8л2 -1 (х3 + 6) = logx2_ х (4х2—х);
б) logx’ + x (х2—4) = log^-e (х2—4).
Решение, а) Данное уравнение равносильно системе
г х3 + 6 > 0,
х2—1 > 0,
х2— 1 & 1,
< х3+6 — 4х2 — х.
Уравнение этой системы х3 — 4х24-х-|-6 = 0 имеет три корня:
Xi =—1, х2 = 2, х3 = 3. Число xf — — 1 не удовлетворяет условию
х2—1 > 0. Числа х2 = 2 и х3 = 3 являются решениями этой си-
стемы, а следовательно, и исходного уравнения.
б) Уравнение равносильно системе
” х2 —4 > 0,
х3+х > О,
х3+х Ф 1,
х3+х = 4х2 —6.
Уравнение
х3—4х2+ х+6 = 0,
имеет три корня: хх =—1, х2 —2, х3 = 3. Из них только число 3
удовлетворяет всем требованиям системы. Следовательно, данное
уравнение имеет один корень — число 3.
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ УРАВНЕНИЯ
103
Уравнение вида
Чхм (iog3wfW)=0
равносильно системе
( а (х) > 0,
4 а (х) # 1,
(lo£fW W = 1’
которая в свою очередь равносильна системе
( а (х) > 0,
а (х) # 1,
< Р W > 0,
J Р (*) #= 1,
uw=p(*).
Приме р 8. Решить уравнение
1°§лга+в*+8 (’°^2х2+2х+з (х2	2х)) = 0.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
( х2 + 6х+8 > 0,
J х2+6х+8 # 1,
I loSa^+2x+3 <х3 —2х) = 1>
т. е. системе
х2+6х+8 > 0,
х2 + 6х+8	1,
< 2х2+2х + 3 > 0,
2х2 + 2%+3 Ф 1,
L 2х2+2х+3 = х2 —2х.
Решим уравнение этой системы:
2х2 + 2х + 3 = х2 —2х^х2 + 4х + 3 = 0ФФ (х+1) (%+3)=-0 4Ф
Число (—3) не удовлетворяет условию х2+6х+8 > 0. Число (—1)
удовлетворяет всем условиям системы. Следовательно, данное
уравнение имеет единственный корень х±~—1.
Уравнение вида
2n loga f (x) = loga g (x), a > 0, a#l, ngN,
равносильно системе
I f (X) > 0.
\f2n(x)^g(x)t
Пример 9. Решить уравнение:
lg2x = 2Jg (4х—15).
104 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решение* Уравнение равносильно системе
( 4х—15 > 0,	( 4х—15 > О,
\ lg 2х = 1g (4х- 15)?j 2х= (4д._ 15)2,
Рассмотрим уравнение последней системы:
2х = 16х-*— 120х+225	16х2 — 122x 4-225 = 0 4Ф
16 (*-9/2) (*-25/8) =0 Ф» [^25/8-
С учетом неравенства системы получаем: единственным реше-
нием исходного уравнения является число 9/2.
Уравнение вида
(2n4-l) logaа (х) = loga Р (х), а > 0, а # 1, zigN,
равносильно уравнению
loga a2"+1 (х) = loga Р (х),
которое в свою очередь равносильно системе
J Р (х) > 0,
( а2«+1 (х) = Р (х)*
Пример 10. Решить уравнение
1g (8 — 10х— 12х2) = 31g (2х— 1).
Решение. Уравнение равносильно уравнению
1g (8— 10х— 12x2) = 1g (2х- I)3,
которое равносильно системе
( 2х— 1 > 0,
( 8— Юх— 12х2 — (2х — I)3*
После преобразований уравнение системы принимает вид
(2х—1)(4х2 + 2х+9) = 0.
Последнее уравнение имеет единственный корень xt = 1 /2. Этот
корень не является решением системы, так как не удовлетворяет
условию 2х— 1 > 0. Следовательно, исходное уравнение решений
не имеет.
Уравнение вида
у 1обв f (*) = l°g« g (*)> а> °>	1 >
равносильно уравнению
loga f (х) = 2 loga g (*)»
которое в свою очередь равносильно системе
J g W > 0,
\f(x} = g2(x).
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
105
Пример 1L Решить уравнение
ig*=4te<A:+1)'
Решение. Уравнение равносильно уравнению
21gx=lg(x+l),
которое равносильно системе
[х>0,	SA J Х> 0> АА J * > 0>
( 1g х» = 1g (x-h 1)	( х2 = *+ 1 I xa-x-l = 0
z x > 0,	—
«{(,-i+p.) (,+д=^) -о«
Итак, единственным корнем исходного уравнения является
К 5+1
ЧИСЛО ------- *
Уравнение вида
togo f W + loge g (х) = loge т (х), а > 0, а^1,
равносильно системе
(Цх)>0,
т g W > 0,
I logo (f (я) g W) = toga m W»
которая в свою очередь равносильна системе
( f(x)> 0,
I g W > о,
U W-g
Пример 12. Решить уравнение:
a)	tog8 (х— 2) + logs х = logs 8;
б)	1g (х— 9) + 21g/2x^I = 2;
в)	у togB (х+5) + Jog6 У'х^З = у logs (2х+1).
Решение, а) Уравнение равносильно системе
i х—2 > 0,	(х>2,
•{ х > 0,	ФФ | х > 0,	&
(logs (х(х—2)) = log#8	U(x-2) = 8
«Р>2’	«х-4
w I (х — 4) (х + 2) = 0	х ~ 4 ‘
Таким образом, единственным корнем исходного уравнения явля-
ется число 4»
106 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
б)	Уравнение равносильно системе
( х—9 >0,	( х > 9,
1 2х— 1 >0,	I х > 1/2,	&
Ug(x—9) (2х— l) = lg 100	U*—9) (2х—1) = 100
{х > 9
2 (х—13) (х+7/2) = 0	ж= 13•
Следовательно, единственным корнем исходного уравнения явля-
ется число 13.
в)	Уравнение равносильно уравнению
log5 (х4-5)4-2 log, /’х—3 = log, (2x-f-1),
которое равносильно системе
/ х—3 >0,	f х > 3,
-|х-|-5>0,	<ф]х> — 5,
I log ((х+5) (х—3)) = logs (2x4-1) t (х+5) (х—3) = 2x4-1
J > 3,	( х > 3,
& (х2—16=0^ | (х—4) (x4-4)=0Ox“4-
Итак, единственным корнем исходного уравнения является число 4.
Уравнение вида
logo а (х) — logo Р (х) = loge f (х) — loga g (х), а > 0, а # 1,
равносильно уравнению
logo a (х) + logo g W = loge f (x) + logo P W>
которое равносильно системе
f a (x) > 0,
g w > °.
< f (X) > 0,
P (x) > 0,
I logo (a (*) g (*)) = loga (f W P W)>
т. e. системе
f a (x) > 0,
g (x) > 0,
< P (x) > 0,
/ (x) > 0,
( a (x) g (x) = f (x) P (x).
Пример 13. Решить уравнение
a)	log, (х—2) —log, (x-l-2) = 1 —log, (2x—7);
6)	lg(x4-3)-21g(x-2) = lg0,4;
B) log4 (x4-2) — log4 (X—2) = 2— log48;
Г) logs (x4-1) —log, (1—x) = log, (2x4-3).
Решение, а) Уравнение равносильно уравнению
log, (х—2)4- log, (2х—7) = log, 7-J- log, (x4-2),
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
107
которое равносильно системе
(х—2 > О,
2х—7 > 0,
х+2 > 0,
log? ((х—2) (2х—7)) = log? 7 (х+2)
{х > 2,
*>7/2,	ла/Х>7/2’	~
х> — 2,	>	(2х2-18х=0^
(х—2) (2х—7) = 7 (х+2)
„ / х > 7/2,
*Цх(х-9)=0 ф>х = 9-
Единственным корнем исходного уравнения является число 9.
б) Уравнение равносильно уравнению
lg(x+3) = lg-|-+21g(x-2),
которое равносильно системе
( х-2 > 0,	( х > 2,
1 lg(x+3) = lg 2(х~2)2	х+3=--^-2^
( х > 2,	( х > 2,
| 2х2 — 13х—7 = 0^ I 2(х—7) (х+ 1/2) = 0	х^7
Число 7 — единственный корень исходного уравнения.
в)	Уравнение равносильно уравнению
log4 (х+ 2) = log4 2+ log4 (х—2) ФФ log4 (х+ 2) = log4 2 (х—2),
которое равносильно системе
/ х—2 >0,	/ х > 2,
(х+2 = 2(х—2)^ (х = 6 ^х = 6*
Число 6 —единственный корень исходного уравнения*
г) Уравнение равносильно уравнению
log9 (х+1) = log» (2х+3) + logo (1 — X),
которое равносильно системе
( 1 —х > 0,
2х+3 >0,
V logo (*+1) = logs ((2х+ 3) (1 - х))
(1 —х >0,	7 1 > х,
2х+3>0,	о]х>—3/2,
х4-1 = (2х+3) (1 —х) (х2+х—1 = 0
( — 3/2 < х < 1,
/5-1V	-/5-1\	«Фх = —
---------ДО
V 5—1
Число -—я---единственный корень исходного уравнения.
108
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основа-
ниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к одному осно-
ванию. Для этого используется формула перехода к новому осно-
ванию
log ь =	, а > 0, а 1, с > 0, с 1, b > 0,
logc а
или ее частный случай
log Ь = —, а > 0, a^l, b > 0, b Ь
logft а
Пример 14. Решить уравнение:
a)	21og2x+logy_x+logi/2x=9;
б)	logy^x+31og2x+logi/2x = 2;
5
в)	logs x+log6jcy=l.
Решение, а) ОДЗ уравнения — промежуток х > 0. По-
скольку
logr -2 X = ; 10g^ = 21о§2 X,
log2 V 2
log! 12 X = - log2* = — log2 X,
bgay
то исходное уравнение равносильно уравнению
2 log2 х + 2 log2 х— log2 x = 9,
т. e. уравнению
log2 x=3 log2 x — log2 8 4=> x = 8,
Число 8 входит в ОДЗ исходного уравнения; поэтому оно
есть его единственный корень.
б) ОДЗ уравнения —множество всех положительных чисел.
Перейдем в логарифмах уравнения к основанию V" 2< Поскольку
log^x log|/-x
~-Г- ’
logv^x -log]/_x
10gi/2X =------г=------=--- ,
^-4
то исходное уравнение равносильно уравнению
2	3	10g|/-2 Х
iogy-2 х+у logy-jX-----g---= 2,
Обозначим t — \og^x; тогда последнее уравнение можно
записать в виде
^+3//2 —//2 = 2.
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
109
Оно равносильно
<з+/_2==0<Ф(/4-2)(<-1)=0 4Ф [^1^.2
Итак, данное уравнение на своей ОДЗ равносильно совокуп-
ности двух уравнений:
riogr_x=l, Г^у-2,
[logl/-2*=—2 L *=1/2.
Следовательно, множество всех решений исходного уравнения
состоит из чисел 1/2 и У 2.
в) ОДЗ уравнения—множество х > 0, х Ф 1/5.
Перейдем в логарифмах уравнения к основанию 5. Поскольку
5 log6y	J —log-6x
log5xT “Togsbx^3 14-log5л: *
то исходное уравнение равносильно уравнению
locLrl logs*-l
W+H-lOg8x Ь
Обозначив / = logs х, запишем последнее уравнение следующим
образом:
'+1+7“ь
Имеем:
<Ф<!<-п('+2)„оег;:1;;
/+1	1/=—2,
Итак, исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно сово-
купности трех уравнений:
~ logs х = О,	Г х — 1,
log5x=l, х = 5,
log5 х = —2	-х = 1 /25.
Следовательно, множество всех решений данного уравнения
состоит из трех чисел: 1, 5, 1/25.
Использование различных логарифмических формул в про-
цессе преобразования уравнения может повлечь за собой как по-
явление посторонних корней, так и потерю корней исходного
уравнения.
Так, например, преобразование потенцирования уравнения
(т. е. замена уравнения loga f (х) = loga g (х) уравнением f (х) =
= g W) может привести к расширению ОДЗ исходного уравнения
и тем самым к появлению посторонних корней. Таким образом,
уравнение f (х)~ g (х) есть следствие уравнения logfl f (x)=loge g (x).
110 гл. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 15. Решить уравнение
logi/g (х2+3х—4) = Iogi/S (2х+2).	(10)
Решение. Решив систему неравенств
( х2+3х—4 > 0,
\ 2x4-2 > О,
найдем ОДЗ уравнения (10): х> 1.
Потенцируя уравнение (10), получим уравнение
х2_|_3х—4 —2х + 2,	(11J
являющееся его следствием.
Уравнение (И) имеет два корня: Xi — 2 и х2 =— 3. Число
х3=2 входит в ОДЗ уравнения (10) и поэтому является его кор-
нем. Число х2 =—3 не входит в ОДЗ уравнения (10) и тем самым
является его посторонним корнем.
Итак, число 2 —единственный корень уравнения (10).
Формулы логарифмов. Пусть f и g — некоторые функ-
ции и а > 0, а 1. Тогда, если f > 0 и g > 0, то
1°- 10g« (fg) = 10ga f + loga g.
2°- loga ^- = logaf-logag.
3°- logaf“ —alogaf.
4°. logo₽fa=|logaf.
Применяя любую из этих формул формально (без учета нера-
венств f > 0 и g > 0), нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и
правой частей каждой из них могут быть различными. Например,
выражение logaf + logag определено при f > 0 и g > 0, а выра-
жение loga (fg) — как при f > 0, g > 0, так и при f < 0, g < 0.
Аналогично ОДЗ левой части формул 2°—4° может быть шире
ОДЗ правой части.
Таким образом преобразование уравнения с формальным ис-
пользованием формул 1°—4° «справа —налево» приводит к урав-
нению, являющемуся следствием исходного уравнения (его ОДЗ
может оказаться шире). В этом случае могут появиться посторон-
ние корни исходного уравнения; поэтому в конце решения надо
проверять принадлежность каждого корня последнего уравнения
ОДЗ исходного уравнения.
Пример 16. Решить уравнение
log4 (х+3) + log* (х — 1) = 2 — log4 8.	(12)
Решение. ОДЗ уравнения определяется системой
( х+3 > 0,
(х—* > °,
решение которой—промежуток 1 < х < + оо. Применяя формулу 1°
к левой части уравнения (12) и проводя вычисления для правой
части, получим уравнение
log4 (х+3) (х—1) = log4 2,	(13)
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	Щ
являющееся следствием уравнения (12). Потенцируя уравнение (13),
приходим к уравнению, являющемуся его следствием:
(х+3) (х—1) = 2	х2+2х—5 = 0
(х-(К 6-1)) (х-(- У"6-1)) =0,
откуда находим два корня: xi ——1 — V 6 и х2 = рг 6—1.
Проверим, входят ли полученные корни в ОДЗ уравнения (12).
Сделав это, находим, что уравнение (12) имеет единственный ко-
рень х2 — V 6— 1.	_
Заметим, что число Xj =—1 — V 6, не являясь корнем урав-
нения (12), в то же время есть корень уравнения (13), ОДЗ кото-
рого состоит из двух промежутков: х < — 3 и х > 1, т. е. шире
ОДЗ уравнения (12).
Решение уравнения (12) можно коротко записать так:
/х—1-3 >0,	/ х 2> —3,
(12)	Ф>1х—1>0,	<=> 1 х > 1,	&
I log4 (х+ 3) (х~ 1) = log4 2	Ux+3) (х-1) = 2
^\х2+2х-5 = о1(х+1+У 6)(x-(K 6-i))=o
&X=V"6—1.
Итак, число V 6 — 1 есть единственный корень уравнения (12).
Преобразование уравнения с использованием формул 1° — 4°
«слева — направо» часто приводит к уравнению, ОДЗ которого уже,
чем у исходного уравнения, и, следовательно, возможна потеря
корней исходного уравнения. Чтобы избежать потери корней, надо
использовать более общие формулы.
Логарифмические формулы более общего
вида. Пусть f и g—некоторые функции и пусть а > 0, а # 1.
Тогда, если f^O и g#0; то
1	• logo (fe) = logo | П + 10ge I g |.
2	- 10ge loga | f | — loga | g
3	. loga f2“ = 2a loga | f |. 4. loga2pp» = j-log|atlf|.
Левая и правая части формулы 1 имеют различные ограниче-
ния на / и g: левая часть имеет смысл при f и g одинакового
знака, а правая — при любых f и* g, отличных от нуля. Аналогично
ОДЗ правой части формул 2—4 может быть шире ОДЗ левой части.
Следовательно, преобразование уравнения с использованием
формул 1—4 «слева—-направо» (какони написаны) приведет к урав-
нению, являющемуся следствием исходного уравнения. Преобразо-
вание уравнения с формальным использованием формул 1—4
«справа — налево» может привести к потере корней.
Пример 17. Решить уравнение
у 10§ 1 /4. (X ч- 2)2 — 3 = 10gж/< (4—х)я — log4 (х + 6)3.	(14)
112 гл. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решение* ОДЗ уравнения определяется системой
х+2 О,
4—х > О,
х+6 > О,
решение которой есть два интервала: —6 < х < — 2, —2 < х < 4*
Переходя в уравнении (14) к основанию 1/4 и используя формулу
logi/^ (х-|-2)2 = 2 logjy4 | х+2 I, получаем уравнение
3 log1/4 | х + 21-3 = 3 log1/4 (4-х) + 3 log1/4 (х + 6)*	(15)
Заметим, что при этом ОДЗ уравнения (14) не изменилась: на
ней уравнения (14) и (15) равносильны. Уравнение (15) на ОДЗ
уравнения (14) равносильно системе
,о£1/4 (4-х)(х+6)“ ’
Г — 6<х<— 2,
[ — 2 < х < 4,
т. е. системе
( 4 | х+21 = (4—-х) (х+6),
И -6 < х< — 2,
-2 < х < 4.
Таким образом, уравнение (14) равносильно совокупности двух
систем:
—2 < х < 4,	( —6 < х < —2,
4 (х+2) = (4—х)(6+х), \ —4(х+2) = (4—х)(х+6),
т. е. совокупности систем
J —2 < х < 4, J —6 < х < —2,
\ х2+6х—16 = 0, \ х2 — 2х—32 = 0,
Первая система имеет решение Xf = 2, вторая — решение х2 =
= 1 — V33. Два этих числа составляют множество всех решений
уравнения (14).
При решении уравнений формальное использование формулы
перехода к другому основанию
может приводить к потере корней или появлению посторонних
корней, так как левая и правая ее части имеют различные обла-
сти существования.
Пример 18. Решить уравнение
1о£х/2 *2—14 logi«x ж*4-40 log4x У"х=0.
0.6)
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
113
Решение.
Первый способ. Найдем ОДЗ уравнения (16). Она за-
дается системой неравенств
х > 0; х & 1/16; х & 1/4; х £ 2.
Уравнение (16) на этой области равносильно уравнению
21о£х/2	42 1о21вх * *+20 log4* я = 0.	(17)
Легко видеть, что %i=l—корень уравнения (17), а следова-
тельно, и уравнения (16).
Пусть теперь х принадлежит ОДЗ и х / 1. При таких значе-
ниях х уравнение (17) равносильно уравнению
1	21	10
- х log* 16% log* 4%
log* у
1________21 I 10 о ЛЮ
1 - log* 2 1 + 4 log* 2'1+2 log* 2 “ U °'
Обозначив / = log*2, придем к уравнению
_J_____21_+_10L=o(
1 — t 1+4/^ 1 + 2/
Это уравнение равносильно системе
J (1 + 40(1 + 20—21 (1—0(1+20 + 10(1 — 0(1+40 = 0,
\ (1-0(1+40(1+20 * 0,
т. е. системе
( (i + 2)(t-l/2) = 0,
1 (1-0(1+40(1+2/) ^0.
Эта система имеет два решения: ti~—2 и /2= 1/2. Следова-
тельно, уравнение (16) на своей ОДЗ и при х 1 равносильно
совокупности двух уравнений:
Iogx2 = —2, log,. 2= 1/2.
Из этой совокупности находим числа х2=рг 2/2 и х3 = 4, которые
являются решениями уравнения (16).
Все переходы были равносильны; поэтому множество всех ре-
шений уравнения (16) состоит из трех чисел:
*i=l, х^—У' 2/2, х3 = 4.
Если бы при переходе от уравнения (16) к уравнению (18)
не был рассмотрен отдельно случай х = 1, то произошла бы потеря
корня х = 1.
Действительно, при х — 1 log*/2 х существует и равен 0, но
1
выражение -=----т-ты лишено смысла.
И log* (*/2)
Всякий раз, когда возникает необходимость применять фор-
мулу перехода к другому основанию, целесообразнее всего пере-
ходить к основанию, равному некоторому числу. Конкретные при-
114 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ'
меры подсказывают, к какому именно основанию. Так, например,
в уравнении (16) лучше всего было бы перейти к основанию 2.
Второй способ. ОДЗ уравнения задается системой нера-
венств:
х > 0, х 1/16, х?=1/4, х 2.
Перейдем в уравнении (16) к логарифмам по основанию 2, На
своей ОДЗ оно равносильно уравнению
2 log2 х __ 421og2x . 201og2x __ Q
log2 х 1 log2 x H~4 * log2 x4~2 ~ •
Обозначив z/=log2x, придем к уравнению
2y _ 42y , 20г/
у + 4~П/4-2	’
которое равносильно совокупности
’ # = 0,
_!_________________________£L+J2_=0.
Второе уравнение этой совокупности равносильно уравнению
г/Ч-4—21 0/—1) , Ю	-2^34-3^4-2
G/-l)G/4-4) ^у+2	(у-\)(у+Ц(у+2)
—2(^—2) ^t/+y^	</ = -1/2,
аа----------------2-£-==0 £5 \ У ' '
(У— 1) (г/ + 2)(у4-4)	j/ = 2.
Итак, уравнение (16) на своей ОДЗ равносильно совокупности
уравнений
Г log2 х = 0,	Г 1» _
log2x=—1/2, <=> I x==j/' 2/2,
log2x=2 L ^ = 4.
Найденные числа Xi=l, х2—У 2/2, x3 = 4 принадлежат ОДЗ
уравнения (16); поэтому они и составляют множество всех его
решений.
Применение основного логарифмического тождества
aiogeft=Z)i b>Qt а > о, Я#:1,
может привести к появлению посторонних корней, если не следить
за условиями его применимости.
Пример 19. Решить уравнение
х1о^<*+3>2==16.	(19)
Решение. ОДЗ данного уравнения определяется системой
неравенств х > 0; х 1. Уравнение (19) на своей ОДЗ равносильно
уравнению
(х+-3)2= 16.	(20)
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	Ц5
Уравнение (20) имеет два корня: xi — 1, х2 =—7, которые не
входят в ОДЗ уравнения (19). Следовательно, уравнение (19) не
имеет корней.
Применение основного логарифмического тождества без учета
ограничения, задаваемого системой неравенств х > 0, х ?= 1, при-
водит к уравнению (20), имеющему два корня, которые для урав-
нения (19) являются посторонними.
При решении логарифмических уравнений иногда используется
формула
flogag=giogaft а > 0,	1, f > 0, g > 0.
Пример 20. Решить уравнение
3?°^2 + 21о^* = 64.
Решение. ОДЗ уравнения: х > 0. На этом множестве
a-loge 2 __ 2logg х.
поэтому данное уравнение равносильно уравнению
3.210^6 *4-2log6 * = 64,
т. е. уравнению
21о£**=16.
Отсюда получаем log6x = 4, т. е. л = 625. Число 625 принадлежит
ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, является его един-
ственным корнем.
Иногда целесообразно логарифмировать обе части уравнения,
чтобы свести его решение к одному из простейших уравнений.
Как правило, это приходится делать для уравнений смешанного
типа, содержащих как показательную, так и логарифмическую
функцию.
Пример 21. Решить уравнение
Решение. ОДЗ уравнения: х > 0. Обе части уравнения (21)
положительны на его ОДЗ; поэтому, прологарифмировав их по
основанию 2, получим уравнение
iog2-4+4 ,о§2 х=4iog*х>
равносильное исходному.
Таким образом, все корни уравнения (21), и только они,
удовлетворяют уравнению
log2 х = 8,
т. е. 1 log2 х | =2 V 2. Отсюда находим Л£ = 2""2^й, х2 — 22^2*
Итак, множество всех решений уравнения (21) состоит из чисел
хх = 4“^ 2 и ха = 4|/ %
116 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ с ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 22. Решить систему
( logy x—logx t/== 8/3,
( ху—16.
Решение. Множество допустимых значений х и у в данной
системе определяется системой неравенств: х > 0, х Ф 1, у > О,
у Ф 1. Полагая z = logyX и учитывая, что при х и у из ОДЗ
получим уравнение
z—- l/z==8/3.
Множество всех решений этого уравнения состоит из чисел
Zf = 3 и zg±=-M/3.
Таким образом, данная система на своем множестве допусти-
мых значений равносильна совокупности двух систем:
( logy х = 3,	J logy х — — 1/3,
ху — 16,	| ху — 16.
Из равенства logyX=3 следует х = у3\ поэтому первая си-
стема этой совокупности равносильна на ОДЗ системе
( х~у3,
\ х«/=16.
Отсюда находим х = 8, у—2.
Вторая система совокупности равносильна на ОДЗ системе
( х=У1/~У,
| ху — 16.
Отсюда находим х— 1/4, # = 64.
Итак, множество всех решений исходной системы состоит из
двух упорядоченных пар: (8; 2),	; 64^.
Пример 23. Решить систему
f I log2 (*+У) | +1 log2 (х—у) | = 3,
| ху = 3.
Решение. ОДЗ системы определяется условиями
I x+y>Of
( х—у > О,
откуда получаем х > | у |. Из второго уравнения исходной системы
следует ху > 0. Поэтому вместо нее будем решать равносильную
ей систему
( х > у > 0,
j I log2 (*+//) l + l tog2(x—у) 1 = 3,	(22)
\ х# = 3,
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
117
В условиях системы (22) x-\-y = x-lf-3lx > x-|-l/x5s2; поэтому
log2(x+t/) > !• Следовательно, система (22) равносильна совокуп-
ности двух систем:
/ х > у > О,
logs (х—у) 5= О,
’ logs (X+у) + logs (X—у) = 3,
ху = 3,
г х > у > О,
logs (х—у) < О,
' log2 (х+у) — log2 (х—у) = 3,
k ху~3.
Решая эти системы, имеем соответственно
( х > у > О,
х—у^ 1,
X2 — y2==z8f
. ху = 3,
Z X > у > О,
О < х—у < 1,
' (х+0) = 8(х—у),
ху=±3.
Из системы двух уравнений
х2—у2 —8,
ху----3
найдем х2 — 9/х2 = 8, откуда х4—8х2—9 = 0, и, следовательно,
х2~9. Учитывая условие х > 0, получаем х = 3 и соответственно
0=1. Единственная пара чисел (3; 1), соответствующая набору
(х; 0), удовлетворяет всем условиям первой системы совокупности,
а следовательно, является решением системы (22).
Система
х+0 = 8(х—0),
Х0 = 3
имеет два решения: (3 У 3/7; У 7/3), (—3 У 3/7; — УТ/З), соот-
ветствующих набору (х, у). Из этих двух решений всем условиям
второй системы совокупности удовлетворяет только пара чисел
(3 У 3/7; У 7/3).
Таким образом, множество всех решений системы (22) состоит
из двух упорядоченных пар: (3; 1) и (3 У 3/7; У 7/3), соответ-
ствующих набору (х; у). Эти пары — решение исходной системы.
Пример 24. Найти все значения а, для которых уравнение
1g (ах) = 2 1g (х+1)	(23)
имеет единственный корень.
Решение. ОДЗ данного уравнения определяется системой
неравенств ах > 0 и х+1 > 0. Следовательно, уравнение (23) имеет
единственный корень тогда и только тогда, когда система
( ах = (х + 1)2,
ах > 0,	(24)
Vх+1>0
имеет единственное решение.
118 гл. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Уравнение ах=(х+1)2, т. е. уравнение
х2 + (2—а) х+1=0,
имеет решение только тогда, когда
(2 —а)2—4^0,
т. е. при и а^4. В этих условиях уравнение ах — (х-}-\)2
имеет два корня:
_а—2-}-Уа2 — 4а а—2—j/* а2 — 4а
Х1~	2	,	Х2—	2	•
При а —0 не выполнено условие ах > 0.
При а < 0 из системы
( ХХХ2=1,
( Xi + *2 — а~~ 2 < 0
следует, что оба корня отрицательны. Но в условиях системы (24)
, . а , У а2 —4а л	л
хх + 1 — --J--— ---> 0 и хга > О,
a	У а2—4 а	~	л
^г + 1=у-------2---<0 И < 0;
поэтому при а < 0 система (24), а вместе с ней и уравнение (23)
имеют единственное решение хх.
При а > 4 из системы
J ХХХ2 = 1,
1 Х1Н-х2 = а — 2 > 2
следует, что оба корня уравнения
х24-(2 —а) х+1=0
положительны, и поэтому все условия системы выполняются, т. е.
система (24), а также уравнение (23) имеют два решения.
Наконец, при а —4 система (24) имеет только одно решение
х= 1.
Итак, уравнение (23) имеет единственный корень тогда и только
тогда, когда а < 0 и а —4.
Пример 25, При каждом значении а решить уравнение
(1 +(а+2)2) log.3 (2х~х2) + (1 + (За- I)2) logll (1 -х2/2) =
= log3 (2х—xa)H-logu (1—х2/2).
Решение. При любом значении а все искомые значения
неизвестной лежат в области, задаваемой системой неравенств
( 2х—х2 > 0,
| 1 —х2/2 > 0,
т. е. в области 0 < х < У 2. Для любого х из этого интервала
выполнены неравенства
2х—х2= 1-—(1 — х)2<: 1, 1 — х2/2^1,
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	119
и, следовательно,
logs (2х—*2) < 0, logit (1 — х2/2) < 0.
При а —2 и а Ф 1/3 имеем
(1 +(а+2)2) logs (2х—х2) < logs (2х—х2)?
(I + (За—1)2) logit (1 — х2/2) < logit (1 -х2/2).
Складывая последние два неравенства и сравнивая полученный
результат с исходным уравнением, получаем, что оно может иметь
решение только для значений х, удовлетворяющих системе урав-
нений
j logs (2х—х2) = 0,
I logii (1—х2/2) = 0г
т. е. системе
J 2х—х2=1,
| l~-x2/2=L
Эта система уравнений решений не имеет. Следовательно, при
а Ф —2 и а # 1/3 данное уравнение не имеет корней.
При а = —2 исходное уравнение принимает вид
log3 (2х—х2) +50 logn (1 —*2/2) = log3 (2х— х2) + logif (1 — х2/2).
Это уравнение на множестве 0 < х < V 2 равносильно уравнению
logit (1—х2/2)=0,
не имеющему на этом множестве корней.
При а =1/3 исходное уравнение принимает вид
у logs (2х—х2) + logff (1 —х2/2) = logs (2х—х2) 4-logfi (1 —х2/2).
Это уравнение на множестве 0 < х < ]/" 2 равносильно уравнению
logs (2х—х2) = 0,
т. е. уравнению
2х—х2 = 1,
имеющему единственный корень xt=l. Этот корень принадлежит
ОДЗ исходного уравнения.
Итак, при а= 1/3 исходное уравнение имеет единственный
корень Xf = 1; при а 1/3 уравнение корней не имеет.
В заключение отметим, что при решении любых уравнений
нужно руководствоваться следующим правилом: решение каждого
уравнения необходимо проводить сознательно, не механически, не
обходить вниманием ни один переход, где возможны потери кор-
ней или появление посторонних. Преобразования, допускающие
потерю корней, лучше не использовать. Если приходится делать
преобразования, при которых могут появиться посторонние корни,
то в конце решения необходимо провести исследование (например,
сделать проверку) по отбору корней, которое в данном случае
является необходимой частью решения уравнения, а не просто
дополнительным контролем за вычислениями. Иногда в процессе
решения целесообразно разбить ОДЗ уравнения на несколько частей
120
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
и на каждой из них решить уравнение отдельно. Наиболее эф-
фективным при решении уравнений является метод равносильного
перехода.
Решение каждого уравнения должно оформляться как дока-
зательство теоремы о том, что данному уравнению удовлетворяют
те и только те числа, которые вынесены в ответ (или о том, что
уравнение решений не имеет)*
ЗАДАНИЕ 1
1.	Доказать, что уравнение не имеет решений;
1)	3 log4 (х*+2х+1) + 7 log4 (х+4) —5—log4 (4х—х2—4);
2)	log1/9 (5 4-х2 4-х) = log1/e (1 — 1 х2—4х-)-31);
3)	log)/_ (1/26-| х2-/ГЛ |) = logyn (84-1 х 14- / х);
4)	log1/8 (/х4-1//х) = log1/8 (2—(х— 3)2);
5)	]oge(134-|x4-l|4-|x-l|) = loge(13-Hx2-U);
6)	log1/5 (х—V14—x) = log1/6 (х2—7x4-logs (х—20));
7)	log.,— . _	, (3—x2—l/x2) = logv— , ,	, (5 + %2—x);
7 6V3+|^-ip	' 7	+
8)	log5/(e+x«) (134-4X2—4x) = log7+1/-(—2X-X2).
2.	Решить уравнение:
° ,ogi//rFTx2=~2/3!
U2) bg1/8log1/ax=—1;
3)	logs logs log2 (x—5) = logs 2— 1}
J4) x(l — Tg5) = lg(2*4-x4-4);
5) log, (2x2—5x4-31) —2;
M5) 41g/l/x=2-5/Igx;
^7) lgx24-91g2x=40; _8) 4lo«x(i/3)-i =0,5;
J 9) logs (x4-20).log*/ 5=1.
ЗАДАНИЕ 2
1.	Доказать, что уравнение не имеет решений:
1)	10g1/8 (х+1)4-3 10g1/3 (х—l) = log1/8 (1-х2)4-2}
2)	5 logs (24-х2) = logs (1 -(х-2)2);
3)	log1/4 (234- 17х2) = log1/4 (1 -/4-х2);
4)	log, (/ГН4-1//ГЬ2) = log, (2-| х-3х2_|);_
5)	log1/ia(4+/х-Н4-/х) = 1оЯ1/12(44-/7(Гн]^
6)	logs (Зх— /х—4) = logs (х2—5х—• /3—х);
7)	1°8i/(2+|x |) (5+x2) = log8+*8(154-/ х);
3)	l°gs/(i—।х |) (1/3—'/ х) = log2/(s+x’) (1/2—*I х4—х I),
2.	Решить уравнение:
\ \ 1) log	г—5— х=—3/4; 2) logs logs х = 1J
!	t /I/ _ u / Ч
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
121
3) log4log2Iogl/_x=l/2; 4) 2log,("2x)=log381}
5) logs (х2— llx+43) = 2;	6) 4 — 1gx=3J<igx;
7) log! *+3 = 2 log2 %2;
8) 2x(l —lg5)==lg(4^4-2x—6);
^9) log4(x+12)406^2=1.
ЗАДАНИЕ 3
Решить уравнение:
i/"9	—
1) logx*y-=-0,6;	2) logx(3—2|/" 2) = 2;
3) logjc_37 = 3;	4) lOg;e3_i92/2=l/2;
5) logs	logs 2^1
6) togi/s^2*—1 — 1°81/з (*—2) = 0;
-A) 10g*	=1; 4 logs (x2—6) = log3(3x—6);
/-9) logx+1(x2—3x4-1)= 1;
10)	1//И = (2х-1)10^(1+7Х-2Л
11)	V xlgV*=10; 12) x21s’*-1-51gA;=/’iO;
13) xv'*=]/x*‘,	14) 0,lxlg*-2=102;
15)	1g lO1^2-*-21’-1 —lgx=0; 16) Ig’Z754-5*//*-1 = 1;
•^17) log2 | я34-2х2-— 4%~4 | = 2;
18) logxa + 6x + 8 l°&2x2+ 2x+з (%2, 2x) = 0,
ЗАДАНИЕ 4
Решить уравнение:
1) logx-^— = -0,4;	2) logx2(2- /3) = 2;
3) logr+25 = 4;	4) logx«_37	=—0,5;
^5) logr, (x—1) = log6 ypj ;
^6) logs (1 — */2) —log2 V2-x/4 = 0;
7)	logs (I *+1 |-2) = —2;	8) logx (2x2-3x-4) = 2;
9)	l/j/*3x=5 = (Зх—5)1о^1/4(2 + 6ж-*2>;
10)	log2 (x2-3) = logs (3x-5);
11)	x1/4(18*+7)=10’«*+1;	12) x1 +’«*= 100;
13) (l/10)lg 20~2-1е'л+2) = 2 (x-[-6);	14) x1 "lgx = 0,01;
122
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
15) х 1О^2(Х	16) lg(36 + 2V2(x““1))2 3 4 5'2 = 3;
1-71 1-1 Х2~Х~ 1 I Л.
7) g| х2+х—2 |~°’
18) logx2_вх+8 logax2_2x_8 (х2 + 5х) = 0.
ЗАДАНИЕ 5
Решить уравнение:
ч/п lg(x+33)
° 1+Ig3 ~2,
2) lg(x-l) + lg(x+l) = 31g2 + lg(x-2);
^3) log4 (х+3) — log4 (x— 1) = 2—log4 8;
W4) 1g (x—2)—-i-1g (3x—6) = lg 2;
5) lg/HZ2i+0,51g(x-21) = l+lg2;
xj’6) lg5x-ylg(j2x-35-|-) = lg50-l;
7)	y(lgx + lg2) + lg(/’S+l) = lg6;
x/8) log2 (x—30) —ylog23—log25 —у log2 (x—48) = 0;
9)	lgy^9x—45 — Igp^3—0,25 1g (6—x—x2)=0;
10)	lgKT^2=2—31g/’T+x;
11)	lg(7x—9)2+lg(3x— 4)2 = 2;
\/12) 11g (x2- 10x+25)+2 1g (x+5)-lg (x2-25) = 1g (2x-108);
13) lg2x—lgx° = lg23 —9;
14)	(6 x)-------1____, jg, 1_______I___4_____
1	2	”31g(6-x)-l’	’ 5-41gx Г 1+lgx “ ’
16) lg(10x)-lg (0,lx) = lg x3—3;
17) 4 log4 (—x)+2 log4 x2+1 = 0;
U8) lg2x®—101g x+1=0;
19) logx5V5-l,25 = log?K5; 20) -т-Ы+1C^.9 ^0.
Jv	lUv
ЗАДАНИЕ 6
Решить уравнение:
2) lgx+lg(x+l) = lg(5-6x)-lg2;
3) 1g (Зх2 — 17x+2) —1g (x2—6x+1) = 1g 2;
4) lg5-1 =lg (x—3)-11g (3x+ 1);
5) 0,5 1g (2x-l) + lg/’^=9= 1;
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
123
6)	1g Зх—-i-lg ^8х— 15-|-) = lg30— 1;
7)	ylg (x + 3°) + lg J/T=30= 1+2 lg 2;
8)	logs (x—5) — logs 2 —	logs (3x—20) = 0;
9)	lg p/ 2-lg Уx2-4x+15= 1/3—0,(3) lg (3x2+4x+5);
10)	lgK2F=4 — lgKx+T-lg/x+5-lg2 = 0;
11)	lg(2x—3)2—lg(3x—2)2 = 2;
12)	1 lg (x2— lOx+25) + lg (x2-6x+ 3) = 2 lg (x—5) + IgK 3;
13)	lg2x—Igx4 —lg25—4;
14)	* lg2^ __,	4 Lg.	J,-	2	.___9	___13 t
' Igx— 21g2x	8	n ’	*'	7—Igx +	11 + lgx	~ 12 ’
16)	lg2(100x) + lg2(10x)— 14=Igy ;
17)	3 Igx2—lg2 (—x) = 9;
18)	lg2(20x+10) + lg/8x+4—5/2 —lg2 = 0;
191 l + ’gfr-O j_ 1 i.
' l-lg2(x-l)’r l-lg(x-l)
20) lg2x+lgx + l=1j^—r.
ЗАДАНИЕ 7
Решить уравнение:
1) xIog2*+2 = 256;	2) xIog2<3*’ = 9;
3) |/xlog3* = 243;	4) x2 Ig2*= 10x3;
5) logs x+log9 x+ log27 x = 5,5;	6) logx 4+logx2 64 = 5;
7)	3 log* 16—4 logie x = 2 logs x;
8)	logs x + logy—-x+log1/3 x = 6;
9)	logx2/22.1ogjc2=l; 10) logx (5x2)-logs2 x= 1;
11)	Иlogx v5x log5x= 1;
12)	20 log4x /"x+7 logiex x3 —3 logx/a x2 = 0;
13)	logx3+ logs x= loglz— 3+ log3j/"x+ 1/2;
!4)	- 1 =2 ^gx 3- log0 (12-x);
15)	log^ (x- 1)2 = 5+ log0,s (x- +
16)	2 log3 logs x+ log1/2 logs (2 К 2 x) —-1;
17)	p/log;2x +lo^5 + 2 = 5/2;
124
ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ с ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
18)	log2 х-logs х-log5 х =
= logs х-logs •*+ logs x- log6 x-\- logs x> logs
19)	logi_2xaz=l/4-]Wlwi;
20)	2 log3 (x—2)^4- (%—5)2 log^_2 3 =
= 21ogx-29 + (x—5)2 logs (я—2)« ;
ЗАДАНИЕ 8
Решить уравнение:
1) x10gs*-4= 1/27; *4) x,og2*=:4x;
log*2
3) Ajlo^*==23{log4*+3)’ 4) x ~ 3	1
|/100 ’
5) log2*+logsx=8; ^6) logxa 16-|-log2x64 = 3;
7) log* 2-log2X 2 = log4x 2;	8) Iog4x4-log18x4-log2x = 7:
9) logs, (3/x) + logs x = 1;
10А log7(9—x)_ 2—logs 4	..
' log, (4 4-x) log5(x+4)	*’
11)	V logxKS log3x=—1;
12)	log1/2(x— 1) — log2 (x4-1) — log1/v- (7—x)=l;
13)	log, x+ log1/x 1= log’/, 1+ log* 7-7/4;
14	>5 logx/9 x+ 1о89д *3+8 4?x*=2;
15)	log2 x • log3 x — log3 *3 + log2 x2 — 6;
16)	log3x+7 (5x+3) + log5x+3(3x+7) = 2;
17)	log4 log2 x + log2 log4 x = 2;
1Og4VT2
18)	“foO_+iog^2'log^2x==0;
19)	l.e„.-.(»--2/3)-2- log3(2t._D 
20)	(x—4)2 log4 (x— 1) — 2 log4 (x— I)2 =
= (x—4)2 logx_i 4—2 logx_i 16.
Упражнения
1. Решить уравнение:
!) 3|og9(x-7>= |0g5 125;	2) 2Iog« (-4JC) = log, 2401;
3)logx(8^) = 13/5;	4) logx(36 р/зб)=8/3;
5j 23/log2jc= 1/8;	6) 41/log2*=2;
lg x4~14~1) _з.
lg f/ x—40
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	125
ох ^(Узх+l+i) — IgX ,
’ 2—21g2 + lg0,015	1
9)	log6 (х+1) + 10йв(2х+1) = 1,
10)	logsх+Iog8 (х4-2)= lj
11)	logx2 + logsX = 2,5;
12)	log4(x2+3x-4) = log4i=|;
13)	logs V2x24-3x4-2=log4(2x);
14)	logs (x2—3) —log2 (6x—10)4-1=0;
15)	logi-x3—logi_^2= 1/2;
16)	1g x—1g ( x-~} = 1g f *+4') —Д' ( *+t') 1
Z \	2 у \	\ О J
17)	lg(x4-2)-lg5-llg(x-4);
18)	lg(20x) —0,5 lg(220x—117) = lg2;
19)	1g (x-150)+ logF _9 = 7—1g (150-x)2;
20)	lgx-lg3=ig(x+2)-lg(x2-4);
21)	1g/ x-3-0,51g(x—l)2+71/<21og’t7)=52'/1°g»8 —lg/J+2;
22)	1g (x+ 5)-1g (3x4-25) = lg(x—J5) —1g 17;
.	,—.	2-log.,-- (a/lz s)
23)	IgU+K 5) + 16 v 2
= 272-slog»2-lg(x-]/' 5);
24)	5 1g x - 1g 288 - 32 -10g”2 7 = 3 log (x/2) - 0,5 • 310®’2+log”3;
25)	1g/T=9+ logs8!^625 = 1 -log8 j/оЛ-О,5 1g (2x-1);
26)	1g(3x2+ 12x+19)- 1g(3x+4) + logss4 = 1-log1/le ^256;
27)	21g2 + lg(x-3)	_1_
' 1g (7x+ l) + lg (x-6) + lg3 “	4 ’
28)	1g (Зх - 11) + logp, - 2048 = 25 - 1g (x - 27);
lg8—lg (x—5) _ , log8 12 , logs 4 .
IgV^x-l-?—1g 2	logse3 logi0s3’
30) j^logTx5 —4 log9 pr3x= 1; 31) logs (5+6~*) = x+1;
32) logs (9—2X) = 3—x; 33) log2 (2*—3)+x = 2;
34)	log2 (9x-x+7) = 24-logs (3^"x-|- 1);
35)	lg(2x + x—13) = x — xlg5;
36)	1g (Зл+х—17) = x Ig30—x;
37)	1g (103/*—500) —3 = 1g (3— 1000(1-*ш)—21g 2;
38)	1g(0,2 У3*+2—50) — 1g(3*/2+715) +1 = 0;
39)	21g2x+(l-]/"2)lgx2 = 2K2;
40)	-J- logs2 (5x-6)3- logs (5x-6)3-logs Xе = - 6 log? 1;
o	x
126 ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ с ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
41)	2 lg (х 4-0,5)-lg (х—1) = lg (x-f-2,5) + lg 2;
42)	lg(^x+y)—Ig^x—y)==ylg(x+6)—-1-lgx;
43)	1 + lg (1 +x2-2x)- lg (1 +x2) = 2 lg (1 -x);
44)	lg (1 + 4x2—4x) —1 lg (19 + x2) = lg (1 —2x);
45)	у log9 27• log2 (3- x) — logs (4x+9) =	— 2;
46)	: 47) log»2,6 (4x) + log2^- = 8;
48)	2 log? x= log3 x-logs (V2x4-1 — 1);
49)	У Ж~2 ’Og2 V'X + 10g2 * = 3:
50)	1 1 —log1/6x|H-2 = |3—log1/ex|;
51)	| 4-|-logi/7 % | = 2+124-logi,.7 x|;
52)2108,4-^4 = 2;
2' logs V X
53)	log0,26 (x24- 2x-8)2-log0,s (104-3x-x2)= 1;
1	X
54)	logs	= logs logo у I
55)	9logl/3 (*+2>	зх+2)е
56)	2V log2 3 = 3V log9 °’ 75;
57)	logs (/x4-| /1-11) — logs (4 /1-34-4 |K 7-11);
58)	x/18 = (2/3)Iog* 121
59)	log2 (x24-7) =54-log2 x- loga Д 7^ >
60)	log(1_s^)x = -4~ logs (1 —2x2)4 ’
o I 1	1	/75x	11 \
61)	3 +logso WS)- '°g*/2 (~~t) ;
62)	j/Z41og|sX—3i/log5x—4 = 0;
63)	(loglx4-2 logo,5 (K 2/4)) (3 logsx — 1) = 2 logs x2-logs (*/2);
I, 3z— 1
2>5 10g v— v' X
64)	x 4-27	'	»’/2K	' = 10/3;
65)	492 MMx-2).7log,/'2’/12-* = 49log2 v(i-2/x>3.7«
66)	x2 logo V5x2—2x—3—x logi/o (5x2—2x—3) = x24~2x;
67)	(х-J-4) log4 (x-4-1) — (x—4) logs (x— 1) = у logs (^— 1);
68)	logJC2+ ex+ 8 log2xa+ 2X+ 3 (x2 2x) = 0,
69)	(x-3)2 logs (x-1) 4-2 log*.! V 2 =	____
= (x-3)2logx_i 24-2 logs/x—Г,
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
127
70)	2 logx_2 У 3 + (х-4)2 log3 (х-2) =	____
= (х—4)2 logx_3 34-2 logs УX—2;
71)	logi_2x(6x?-5x4-l)-logi_Sx(4x?-4x+l) = 2;
72)	log3x+7 (94- 12x4-4x2)4-log2x+3 (6x24-23x4-21) = 4;
73)	10g	(x?-4x-2)==10g1/(2-v7) (*2-4*-3);
74)	10g2 к^(х2+2х“2)=Ч+^<ж2+2х-3):
75)	log9 (x?-5x4-6) = 0>51ogI/_^4-log3|x-3].
2. Решить систему:
1) I log4x—log2# = 0,	2) (\ogv-(x—y) =2,
I x2—5i/24-4 = 0;	| log4 x—logx#=7/6;
3) / logj,x4-logxf/ = 2,5,	4) ( 21ogax—3^=15,
I xt/ = 27;	| 3vlog2x—21og2x=--3!/+1;
5) J xlog23 4-log2«/ = j/4-log2x,
1 x logs 124-logsx—y+logsy;
6) ( ^4-2 lgx=3, 7) ( log2 (x24-У2) = 5,
I y—31gx2=l;	I 2 log4 x4-log2y=4;
8)	J —0,4 logx£/_x0,4
I 1 + logx (1 — 3z//x) = logx 4;
9)	f у.х^Ух^,
| log4 г/• logy (г/—3x) = 1;
10)	f log, Xj,i (x—j/)=l,
I 2^5|х</|-1о^'|х&’|(х4-у)=1;
11)	J x—у = 2 У 3,
I (14~2 log|Xy] 2) logx4.p I ху I = 1;
12)	1 2 log!_x(— xy—2x4-f/4-2)4-log2+B (x2—2x4~l) = 6,
I logi-x (#4-5) — Iog2+B(x4-4)=L
ГЛАВА 3
НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
§ 1. Неравенства, содержащие знак
абсолютной величины
При решении неравенств, содержащих знак абсолютной вели-
чины (знак модуля), следует разбить область допустимых значений
неравенства на множества, на каждом из которых выражения,
стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком
множестве нужно решать неравенство и полученные решения
объединять в множество решений исходного неравенства.
Пример 1. Решить неравенство
| х2 — 2х | < х.	(1)
Решение. Из свойств квадратного трехчлена следует, что
х2- 2х < О при 0<х<2 и х2 —2x^=0 при х«С0 и х^2.
Разобьем всю прямую на три промежутка (— оо; 0], (0; 2), [2; 4-оо) —
и решим данное неравенство на каждом из них.
При х«С0 неравенство (1) принимает вид х2 — 2х < х, т. е.
х2 < Зх, откуда следует, что при х^О неравенство (1) не имеет
решений.
При 0 < х < 2 из (1) получаем неравенство — (х2 — 2х) < х, т. е.
неравенство х2 —х > 0, которое при указанных значениях х выпол-
няется только при 1 < х < 2. Поэтому интервал (1; 2) входит
в множество решений неравенства (1).
При х^2 имеем неравенство х2 — 2х < х, т. е. неравенство
х2 — Зх < 0, которое при указанных значениях х выполняется
только для 2 х < 3.
Объединяя решения, полученные на каждом из трех проме-
жутков, находим множество решений неравенства (1) —промежу-
ток (1; 3).
Неравенство вида
где f(x) и g (х) — некоторые функции, равносильно совокупности
двух систем
/ f (*) < g (X),	( f (— х) < g (х),
| x^O,	( x<
4 Пример 2. Решить неравенство
x2 —2|x|<3.	(2)
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности
двух систем:
( х2—2х—3 < 0,	( х^ + 2х—3<0г
\ х^О,	\ х < 0,
§ 1. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ .	129
Поскольку х2—2х—3 = (х-р1)(х—3), то множеством всех
решений неравенства х2—2х—3 < 0 является интервал —1 < х < 3;
следовательно, решением первой системы совокупности является
промежуток О «С х < 3.
Из равенства х2+2х—3 = (х-|-3)(х—1) следует, что неравен-
ство х2-}-2х—3 < 0 выполняется только при —3 < х < 1. Отсюда
заключаем, что решением второй системы совокупности является
интервал —3 < х < 0.
Объединяя полученные множества решений двух систем, полу-
чаем множество решений неравенства (2) —интервал—3 < х < 3.
Неравенство (2) можно решать при помощи замены перемен-
ной Z = | х|: сначала найти решение системы
J < 3,
\ /^0,
т. е. промежуток 0 <; / < 3, а затем решить неравенство 0	| х | < 3.
В результате получим решения неравенства (2): —3 < х < 3.
Пример 3. Решить неравенство
1 х| < —х2 + х+6,
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности
двух систем:
J х<—х24-х+6,	( —х<—х2+^+6,
| х>0,	( х < 0,
т. е. совокупности
( х2 —6 < 0,	( х2 — 2х — 6 < 0,
( х^О, | х < 0.
Решение первой системы совокупности есть промежуток
О^х < У 6.
Решением неравенства х2—2х—6 < 0 является интервал
1 — У 7 < х < l-j-У 7, и, следовательно, решением второй системы
совокупности является множество 1 — У 7 < х < 0.
Таким образом, получаем множество решений исходного нера-
венства: 1 У 7 < х < У 6.
Неравенство вида
I f W I < g
где f (х) и g (х) — некоторые функции, равносильно системе
I f W < g (х),
I -fW <g(4
Для тех x, при которых g(x)^0, эта система, а значит, и дан-
ное неравенство решений не имеют.
В частности, неравенство
1Н*)1 <«
при решений не имеет, а при а > 0 оно равносильно системе
( f (X) < а,
\ — f (х) < а.
5 Задачи по математике. Уравнения и неравенства
130
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 4. Решить неравенство
| х2— 4х | < 5,
Решение. Данное неравенство равносильно системе
х2 —4х <5,	J х2—-4х—5 < 0,
х2—4х>>—5	| х2—4х+5 > 0«
Неравенство ха—4х—5 < 0 выполняется при х из интервала
— 1 < х < 5, а неравенство х2 —4x4-5 > 0 выполняется при любом х.
Таким образом, множество решений исходного неравенства
есть интервал (—1; 5).
Пример 5. Решить неравенство
| х—6 | < х2 —5x4-9.	(3)
Решение. Данное неравенство равносильно системе
х—6 < х2—-5x4-9,	J х2 —6х-|-15 > 0,
х—6 > —- (х2—5х4~9)	I х2 —4x4- 3 > 0.
Неравенство х2 — 6х-|-15 > 0 выполняется при любом х. Поскольку
х2 — 4х-|-3 = (х— 1) (х—3), то неравенство х2 — 4x4-3 > 0 выпол-
няется при х < 1 и х > 3.
Таким образом, множество решений исходного неравенства (3)
состоит из объединения двух промежутков: (—оо; 1)U(3;4"°°)-
Неравенство вида
If (х) | > g(x),	(4)
где f (х) и g (х) — некоторые функции, равносильно совокупности
двух неравенств:
/(х) > g(x), f(x) <—g(x),
т. е. совокупности
Г f (х) > g (х),
I f (х) <— g(x).
Все те х из ОДЗ неравенства (4), для которых g (х) < 0, входят
в множество решений неравенства (4) и равносильной ему сово-
купности.
В частности, неравенство
\f(x)\>a	(5)
равносильно совокупности
Г f (X) > а,
L f (х) < — а<
Если а < 0, то неравенство вида (5) выполняется при любом
допустимом значении х данного неравенства.
Пример 6. Решить неравенство
31 х— 114-хЗ > 7<
Решение. Данное неравенство можно переписать в виде
3[х—1| > 7~-х2,
§ 1. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
131
и, следовательно, оно равносильно совокупности неравенств
Г 3(х—1)>7 —х2,	Г х2+3х--10 > О,
[ 3(х—1) < х2—7	[ х2 —Зх— 4 > 0.	( '
Поскольку х2-|-Зх— 10 = (х+5) (х—2), а х2 —Зх—4 = (х+1) (х—4),
то множество решений совокупности (6), а следовательно, и исход-
ного неравенства состоит из объединения двух промежутков:
(— »; —1)11(2; Ч-со).
Пример 7. Решить неравенство
| х2 —2х—81 > 2х.
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности
неравенств
Г х2 — 2х—8 > 2х,	Г х2 — 4х—8 > О,
[ х2 — 2х—8< — 2х	[ *2 —8 < 0.
Решением неравенства х2 —4х—8 > 0 являются все х из про-
межутков х < 2 — 2 ]/" 3 и х > 2-]-2 У" 3. Неравенство х2 — 8 < О
выполняется только для х из промежутка — 2	2 < х < 2 У 2.
Поскольку
— 2 У~2 < 2 — 2 У~3 < 2 У~2 < 2 + 2 / 3,
то решениями совокупности неравенств, а значит, и исходного
неравенства являются все числа х из объединения двух промежут-
ков: (— оо; 2 К 2)U(2.+2K 3; +»).
Пример 8. Решить неравенство
I *2—-бх+4 I
I Х2__4
Решение. Данное неравенство равносильно системе
{х2 —5х +4	1
х2 —4
х2 —5х+4	1
х2 —4	‘
Первое неравенство системы равносильно неравенству
..*-8/5	.>0
(х — 2) (х + 2)"""
Применяя метод интервалов, находим его решения —все числа из
промежутков —2 < х<:8/5 и 2 < х < + °°, т. е. множество
(-2; 8/5] и (2; +оо).
Второе неравенство системы равносильно неравенству
х(х—5/2)
(х+2)(х-2)'- ’
и, применяя снова метод интервалов, находим множество его реше-
ний, состоящее из объединения трех промежутков: (—оо; —2)(J
U[0; 2) U [5/2; +оо).
Пересечение полученных двух множеств составляет множество
решений исходного неравенства, т. е. множество [0; 8/5] (J [5/2; +оо).
5*
132
ГЛ 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 9. Решить неравенство
| х8—х|^ 1 —х.
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности
Г х3—х^1«—х, Гх3—1^0,
[ х3—х«^ —(1 —х) [х3—2x4-1 «С0.
Первое неравенство последней совокупности выполняется только
при х^ 1 (так как х3-— 1 = (х— 1) (х2-J-x-f-1), а х24-*4“ 1 >_0 при
любом х). Поскольку х3 —2х 4- 1 = (х — 1) ^%4-LztjC^^ х
Х( х—-—g------- I, то множеством решении неравенства х3— 2х +
4- 1	0 является множество — оо;
Объединяя множества решений обеих неравенств совокупно-
сти, получаем множество решений исходного неравенства:
Неравенство вида
I/(И) I <
можно решить двумя способами; оно равносильно совокупности
двух систем
f I / (*) I < g (х),	( If (— х)| < g(x),
}	( х < О,
а также равносильно системе неравенств
/(1*1) < g(x),
/(1*1) >— g(x)>
Выбор способа решения зависит от конкретного неравенства
и от сложности функций fug.
Пример 10. Решить неравенство
||х|-1|< 1—х*	(7)
Решение. Решим данное неравенство двумя способами.
Первый способ. Неравенство (7) равносильно совокупно-
сти двух систем:
|х—1| < 1— х, ( | — х—1| < 1 —х,
х^зО,	| х < 0.
Неравенство |х—11 < 1— х первой системы равносильно системе
Х-—1 < 1—-X,
X — 1 > — (1—х),
которая решений не имеет. Следовательно, не имеет решений
и первая система совокупности*
§ 1, НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ J33
Неравенство | — х—1| < 1 — х равносильно неравенству
1 х+11 < 1—х, которое в свою очередь равносильно системе
х+1 < 1—х,
х+1 >— (1-х).
Отсюда заключаем, что множество (— оо; 0) является множеством
решений второй системы совокупности и тем самым неравенства (7).
Второй способ. Неравенство (7) равносильно системе
1*1+*—2 <0,
|х|-х > 0.	1 '
Неравенство |х|—х> 0 равносильно совокупности систем
х—х > 0, J —х—х > 0,
х^О, ( х < 0,
решением которой является интервал — оо < х < 0.
Таким образом, неравенство | х |+х—2 < 0 системы (7') надо
решать только при х < 0. При таких хоно принимает вид—2 < 0;
следовательно, множеством решений неравенства (7) являются все
числа промежутка (— оо; 0).
Неравенство вида
17(1*1)1 >£(*)	(8)
можно решить двумя способами; оно равносильно совокупности
неравенств
Г /(1*1) >§(*)>
L /(1*1) <—£(*)>
а также равносильно совокупности двух систем
( I / (*) I >§(*). Г 1/(—*)1 > £(*).
( х^0,	( х < 0.
Пример 11. Решить неравенство
Решение. Область допустимых значений данного неравен-
ства состоит из всех действительных чисел. Неравенство равно-
сильно совокупности двух систем:
(L____L|>1 Hi-—1>1
] | 1 1+*К 2’ 1 Р 1-*К 2’
V х 0,	V * < 0.
Решим первую систему:
{ |1 + хр 2’	1+х^ 2’	1+х s3u’
х^0	\ х>е0	V х^0
134
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решим вторую систему. Первое ее неравенство равносильно
неравенству
Если х < 0, то 1—х > 0, следовательно, вторая система равно-
сильна системе
( 1 ±
•I 1 — х^ 2 9
( х < 0.
Решение этой системы есть промежуток —1=Сх<0. Таким
образом, множество всех решений исходного неравенства состоит
из чисел промежутка [—Г, 1].
Неравенство вида
(9)
решается при помощи разбиения области его допустимых значе-
ний на промежутки, каждый из которых является промежутком
знако постоянства как функции f (х), так и функции g (х). Затем
на каждом из этих промежутков решается неравенство без знака
абсолютной величины. Объединяя найденные решения на всех
частях ОДЗ исходного неравенства, получаем множество всех его
решений.
Также решаются и неравенства более общего вида:
“I I fi (х) Ц-а21 fa (х) |+,.. Н-а„ | f„ (х) |Ssg (х),
где ах, ..., ап — некоторые действительные числа.
Некоторые неравенства вида (9)‘ целесообразно решать, перейдя
к равносильному неравенству:
/2 (*) £2 (*)•
Например, неравенство | х— 11 > | х | равносильно неравенству
(х— I)2 > х2, т. е. х < 1/2.
Пример 12. Решить неравенство
|х— 11 + |2 —л:| > 34-х.	(10)
Решение. Точки х=1 и х —2 делят числовую ось (ОДЗ
неравенства (10)) на три промежутка: х < 1, 1<х<2, х>2.
Решим данное неравенство на каждом из этих промежутков.
Если х < 1, то х—1 < 0 и 2 —х > 0. Неравенство (10) при-
нимает вид 1—х4~2—х > 34-х, т. е. х < 0. Таким образом,
в этом случае решениями неравенства (10) являются все отрица-
тельные числа.
Если 1=Сх<;2, то х-1^0 и 2—х^0. Имеем
( 1«Сх<:2,	( 1=Сх^2,
1	х—14-2—а: > 34-х х < — 2.
Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно,
на отрезке [1; 2] неравенство (10) решений не имеет.
§ 1. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
135
Если х > 2, то х— 1 >0 и 2-%< 0. Имеем:
х > 2,	( х > 2,
11	О к Q I	I Л X > 6
х—1 + х—2>3+х	( х>6
Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ нера-
венства (10), получаем его решение — множество (—оо; 0) (J
U (6; +оо).
Пример 13. Решить неравенство
|3х2 —7х—6| < | х2 + х |.	(И)
Решение. Поскольку' Зх2—7х—6 = 3 (х-3) (х4-2/3) и
х2‘4~х=х(х-|- 1), то числовая ось (ОДЗ неравенства (11)) точками
—1, —2/3, 0, 3 разбивается на пять промежутков знакопостоян-
ства функций Зх2 —7х—6 и х2 + х.
На каждом из них решим заданное неравенство.
Если х < — 1, то Зх2—7x4-6 >0 и х2-\-х > 0, следовательно,
в этом случае имеем
Г х < — 1,	( х <— 1,
1 Зх2—7х—6 < х2 + х 2х2—8х — 6<0°
( X < — 1 ,
I 2-/7 < х < 2+/7.
Полученная система решений не имеет, так как 2 — У7 > — 1.
Если — 1=Сх=С—2/3, то Зх2 — 7х—6^*0 и х2-)-х^0. Та-
ким образом, на этом промежутке имеем систему
( — 1^х< — 2/3,	J — 1^х<—2/3,
j Зх2—7х—6 <— х2—х^ I 4х2—6х—6 < 0.
Из неравенства 4х2 —6х—6 < 0 получаем у(3—j/~33) < х <
< i (3+ /33). Так как — 1 < 1 (З — /33) < —|, то реше-
нием неравенства (11) на рассматриваемом множестве является
промежуток -4- (3 — У33) < х<—
Если —2/3 < х < 0, то х24-х < 0 и Зх2 —7х—6 < 0. Имеем
( —2/3 < х < 0,	| —2/3 < х < 0,
1 —Зх2+7х+6 <—х2—х I х2—4х—3>0.
Так как х2—4х-3 = (х-2+/7) (х-2-/7) и — 4 <2 —
о
— У1 < 0, то решением полученной системы, а значит, и неравен-
ства (11) на рассматриваемом множестве является интервал
—2/3 < х < 2— У7 .
Если 0=Сх^сЗ, то Зх2 — 7х—6^0 и х24~я^0. Имеем
систему
О^х^З,	J О^х^З,
—Зх2+7х+6 < х2 + х^ 1 2х2—Зх—3 > 0,
136
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Поскольку	2х2—Зх—3 = 2	-j- (3-j- V33)^ ^х— ~ X
X (3— У33)^ и (3+ У33) < 3, то решением полученной сис-
темы, а следовательно, и неравенства (11) на рассматриваемом
множестве является промежуток -^-(З+^ЗЗ) < х^З.
Если х > 3, то Зх2—7х—6 > 0 и х24-х > 0. Имеем:
J х > 3,	( х > 3,
1 Зх2 —7х—6 < х2+х^ 1 х2 —4х—3 < 0^
в12^Г7<,<2+Г7-в3<‘<2+К7'
Таким образом, в этом случае решением неравенства (11) явля-
ется интервал 3 < х < 2+ К7 .
Объединяя решения, найденные на всех частях ОДЗ нера-
венства (11), получаем множество его решений: промежутки
1(3-/33) <х<2-/7 , 1(з+/33)<х<2+/7.
Неравенство вида
h (.х, | f (х) |) < g (х)
равносильно совокупности двух систем:
( h(x, f (х)) < g (х), th (х, — f (х)) < g (х),
I f(x)^O,	U(x)<0.
Аналогично совершается переход к равносильным совокупно-
стям систем и для неравенств вида
Л(х, | / (х) |) > g (X), h(x, If (x)l)Ssg(x).
Пример 14. Решить неравенство
I х—3|
X2 —5х+ 6
Решение. Неравенство (12) равносильно совокупности
двух систем:
(12)
I х~3 -> ?	1	х~3 
( х2—5х + 6^ ’	(	х2—5х+6’
Для первой системы этой совокупности получаем;
х—3
(х—2)(х—3)
х—2
I 5~2х^ о <=>1 х—5/2
( х—2	1. х—2
Полученная система решений не имеет.
§ 1. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
137
Решим вторую систему совокупности. Имеем:
( х—3< 0,	( х—3 <0,	( х—3 < 0,
{ -(х~3)	О’! _zJ.>2 & I 2х^3^-п &
\ (х-2)(х-3)^	\ х-2^	( х-2
( х—3 < 0,
j х—3/2 < фф 3/2 < х < 2.
I х—2
Таким образом, решениями неравенства (12) являются все
числа х из промежутка 3/2 <: х < 2.
Пример 15. Решить систему неравенств
( | 2х—3|<3,
Решен и е. ОДЗ системы состоит из всех действительных
чисел, отличных от нуля. Первое неравенство системы равно-
сильно двойному неравенству
— 3<2х—3<ЗФФ0<2х<6 ФФ 0<х<3.
Если х > 0, то неравенство \/х < 1 равносильно неравенству
х > 1.
Таким образом, множество решений системы состоит из всех х
промежутка (1; 3].
Решить неравенство с двумя неизвестными х и у — значит
найти все упорядоченные пары чисел (х, у), при подстановке
которых в данное неравенство получается верное числовое нера-
венство.
Пример 16. Решить неравенство
- |У | + х- Kx2+j/2- 1 Sa 1.	(13)
Решение. ОДЗ неравенства (13) определяется условием
x2+z/2—1^0. Перепишем неравенство (13) в виде
l	+ K^+i/2—1.
Отсюда следует, что х —При выполнении этого условия
обе части полученного неравенства на его ОДЗ неотрицательны.
Поэтому после возведения в квадрат обеих частей неравенства (13)
на его ОДЗ получим равносильную ему систему
f —x|t/|^l/'x2+z/2—1,
I х^ | у |.
Поскольку	то левая часть первого неравенства
этой системы неположительна, а правая часть —неотрицательна.
Поэтому система удовлетворяется только в том случае, когда обе
части равны нулю, т. е. неравенство (13) равносильно системе
f x|t/| = O,
4 x2 + r/2—1=0,
Д I у |.
138 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Первое уравнение последней системы означает, что либо
х = 0, либо # = 0.
Если х —0, то из неравенства х^ | у\ находим, что # = 0.
Но пара (0; 0) не входит в ОДЗ исходного неравенства.
Если г/= 0, то из второго уравнения получаем (с учетом
х^О) х=1. Пара (1; 0) удовлетворяет неравенству (13) и явля-
ется единственным его решением.
Пример 17. При всех а решить неравенство
|х2 —5x4-4 | < а.	(14)
Решение. Поскольку J х2 —5x4-4 |	0 при любом х, то
при а<:0 неравенство (14) решений не имеет.
Пусть а > 0. Поскольку х2 — 5x4-4 = (х—1) (х—-4), то число-
вая ось (ОДЗ неравенства (14)) разбивается на три промежутка:
х < 1, 1	4, х > 4.
Решим неравенство (14) на каждом из них.
Если х < 1, то х2 —5х-|-4 > 0, ив этом случае неравенство
(14) равносильно системе
J *2-5*+4 <	(15)
I х < 1.
Дискриминант квадратного трехчленах2 —5х+ (4 — а) равен 9-|-4а
и, следовательно, больше нуля при а > 0. Поэтому из неравен-
ства х2 — 5x4-4 — а < 0 находим
(5- 7^9+45) < х < 1 (5+ /9+4Й).
При каждом положительном а верны неравенства
1 (54- У94-4а) > 4, у (5 — У94-4а) < 1. Поэтому из системы
(15) находим: каждое х интервала •— (5— У 94-4а) <х< 1 при
всех а > 0 есть решение неравенства (14).
Если 1^х^4, то неравенство (14) на этом множестве рав-
носильно неравенству
х2 —5х4-44~я > 0.	(16)
Дискриминант квадратного трехчлена х2 — 5x4-44-0 равен 9 — 4а.
Таким образом, неравенство (16) имеет место при любом действи-
тельном х, если а > 9/4, а при 0 < а «С 9/4 решением неравенства
(16) являются все х из промежутков — оо < х < -% (5— У 9 — 4а)
и у (5 4- У 9 —4а) < х < 4- оо .
Кроме того, при 0 < а 9/4 справедливы неравенства
1 < у(5-Г9^4Й)<у(5+К9=45) <4.
Отсюда заключаем, что в случае 1 х 4 при а > 9/4 решением
неравенства (14) является отрезок 1^х^4, при 0 < а«С 9/4
множество решений неравенства (14) состоит из двух промежут-
ков: 1 ^х < ~ (5— У9 —4а) и ~(54- У9 —4а) < х=С4.
2	2»
§ 1. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
1.14
При х > 4 неравенство (14) равносильно системе
х > 4,
х2 — 5x4-4—а < 0
( х > 4,
( 4 (5- К9+4Й) < х < 1 (5+ У§+4^) &
& 4 < х < — (5+ / 9+4а)-
Итак,
а)	при а^О исходное неравенство решений не имеет;
б)	при 0 < а С 9/4 имеет решение ~ (5—	94-4а) < х <
?C9-4a , 4 (5+	< х < 4 (5+ Кэ+Й) ;
в) при а > 9/4 имеет решение ~ (5— У94~4а) < х <
<4(5+/9+4а).
Полученный ответ геометрически иллюстрируется на рис. 3.1:
положение I соответствует случаю а < 0, положение II — случаю
О < а С 9/4, положение III —
случаю а > 9/4.
Пример 18. Найти все
значения а й 0, для которых
неравенство
а21 а 4* х/а214-1 14“ х | С 1 — а*
(17)
имеет не менее четырех различ-
ных решений, являющихся це-
лыми числами.
Решение. Левая часть
неравенства (17) неотрицатель-
на при любых значениях а и
х; следовательно, неравенство
ъ е. при а3 с 1.
может иметь решение только
тогда, когда его правая часть неотрицательна,
Поскольку
а2 | а4-х/а21 — | а34-* |,
то неравенство (17) равносильно неравенству
| х4- а3 14“ I *+1 | *С1 — а3*
(18)
Неравенство (18) можно решить формально, раскрывая знаки
модуля. Приведем другое решение. Для этого перепишем его
в виде
I х— (- а3) 14-1 х-(-1) | < 1 - а3.	(19)
Согласно геометрической интерпретации модуля, решить не-
равенство (19) —значит найти на координатной прямой все точки х
такие, что сумма расстояний от каждой из них до точки с коор-
140 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
динатой —а3 и до точки с координатой —1 не больше 1 —а8, т. е. не
больше длины отрезка [—1; —а3]. Указанному условию удовлетво-
ряют те и только те точки, для которых справедливо двойное нера-
венство—1<х<—а3. Таким образом, решением неравенства (17)
являются все числа из отрезка [—1;—а8]. Для того чтобы отрезок
[—1; —а3] содержал не менее четырех целых чисел, он должен содер-
жать числа —1, 0, 2, 1, т. е. должно выполняться неравенство
2 «С—а3. Из этого неравенства следует, что только при
g(— оо; —У2 ] неравенство (17) имеет не менее четырех раз-
личных решений, являющихся целыми числами.
ЗАДАНИЕ 1
Решить неравенство:
1) 0,3|х|-1<±=М;	2) (|х|-3)(|х| + 7)<0;
3) (|х|-5)(|х|-7)<0;	4) 2|х|-4,5>Л2г^И
5) (|х| — 17) (|х| + 6)^0;	6) (|х|-8) (|х|-2) > 0;
7)	х2—4х—2|х—2|+1<0;
8)	х2+6х—4|х+3|—12 > 0;
9)	х2-8х—[_1тг+18<0;
10)' х2+ 10х—-г-4—J-4-4 > 0;
1х+5| '
ЗАДАНИЕ 2
Решить неравенство:
1) |3—х|<4;	2) | Зх-5 |> 10;
3) 2|х+1 | > х+4;	4) 3|х—1 |<х+3;
5) х2—7х+12 < | х—4|;	6) х2—5х-|-9 > | х—61;
7) | х2—4х| < 5;	8) |х2—х— 6| > 4;
9) |х24-3х|^2—х2;	10) | х2—6х-|-81 < 5х—х2.
ЗАДАНИЕ 3
Решить неравенство:
1) |2х—7|<5;	2) |5 — х| > 1/2;
3) |х—2| < 2х— 10;	4) |2х—1 |>х—1;
5) х2—х—2<|5х—3|;	6) 2х2—9х+9^[х—2|;
7) | х2—х— 3| < 9;	8) | 2х2—9х+15 |	20;
9) |х2—Зх-4-2| > Зх-х2—2;	10) | х2-11 < Зх.
§ 1. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
141
ЗАДАНИЕ 4
Решить неравенство:
I)
3)
5)
7)
I *4-3 |4-х
х4-2
2x~JL. > — 1-	4)
|х-3| > b
Х2_7|х|+Ю <0.
х2—6x4- 9	’
I *2 — Зх— 1 I О
9\ 1* + 21~*
' X
х2—5x4-6
|х| + 7 -<
х2—Зх + 2
х2 + Зх+2
ЗАДАНИЕ б
Решить неравенство:
‘(-Ч+г-*3' 2>
41 г-бДб5®21
6>	7)1
3)54-т<1/2;
5) ^-ij^
X2—1
х+2
х2—5x4-4
х2~4~
ЗАДАНИЕ 6
L Решить неравенство:
1) |13-2х|^|4х—9|;	2) | x-J-31 < 34~| х[;
3) |х—2| > 2-}-х—13—х|;	4) |х|^-р^-;
5)	6) |7-2х|<|Зх-7|+|*+2|.
A “J” I л и |
2. Решить систему:
nJ|x|3*i,	/|хЧ-5х|<6,
' \|х-1|<3;	\|хЧ-1| <2.
ЗАДАНИЕ 7
1. Решить неравенство:
1) |х+1| >|х-1|;	2)2|х|<4 + |х+1|;
3) |2х+3|>|х|-4х-1;	4) -[^=’^|х+1 |;
I *	1 I
5)	6) |5-х[<|2-х| + |2х-7|.
2. Решить систему:
J|x2—4x|<5; J |хг4-5х| < 6(
> \|х+1| <3;	> \|х+1|<1.
142
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
ЗАДАНИЕ 8
1. Решить неравенство!
"-|7+Ti^2=»l'-4; 2)|«-~н>1~«;
2. Для всех а решить неравенство:
1) | х — За | — | х+а| < 2а;	2) | х-}-2а | < -г—
ЗАДАНИЕ 9
1. Решить неравенство:
4
О уг+знТ^|х+2|; 2) Iх3-11^!+х+*2;
*1^1-
2. Для всех а решить неравенство:
1) | х—а | — 2а > | х —За |;	2) | x-f-2a | + | х—а | < Зх.
Упражнения
1. Решить неравенство:
1) | х —3 | > —1; ,2) | х2 + 21х+34 | < —1;
3) |5—8х|< 11; "4)|2х+1|>5;	5) | 2х — 3|<4;
6) | 5х—4 |	6;	7) х2—5 J х|Н-6 < 0;
8) х2 —]х| —2^оТ 9) | х2 + х| < 5;
10) | х2 — 4х| >1; Н) |х2-5х|<6;
12) |—4х2 — 6х—5 |	9;	13) |х2 —2х| < х;
Ш | х2—Зх|+х—2 < 0;	15) Зх2 —| х—3 | > 9х—2;
16) х2 + 4^|Зх+2|-7х;	17) х2 — | 5х-+~8 | > 0;
18) 3|х— 1 | + х2—7 > 0;	19) ) х—61х2 — 5х~р9;
20) | х2 — х—8|<х;	21) | х2 — 3 | +2х+1	0;
22) (1 +х)2 < | 1 — х21;	23) |х2 — 2х—3| < Зх—3;
£4)
26)
27)
X2_J_4X_|_3 | >
х3— 1 |	х2+1;
25) |х2-6х + 8|<4—х;
2х—1
х+2
28)
2. Решить неравенство:
х2 —2х+1 I
х—3	I
1)
3)
4)
5)
6)
8)
2х- 1 | < | х+3 |;	2) (|х—1 |-3)(|х+2|-5) < 0;
х— 1 —х214; | х2—Зх+4 |;
х2+х-2| > 11+х/5|;
х— 11 — | х | + | 2х+31 > 2х+4;
7^2- <|+г|: 7) II —4-6IS2;
х—1 | + |х+2|-|х—3| > 4;
§ 1. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ М< 1ДУЛI.
I 1.1
9) |х+2| + |х+1| + к-4|&9;
Ю)
И)
12)
13)
14)
15)
16)
18)
х— 11—2|х—2| + 3|х—3|<4;
х—2| + |х—3J + |2x—8| < 9;
Х_11_|%+2 |+3^:| 2х—51 — | 3—х|;
х-1|-|х-2| + |х-|-1| > |х+2|+|х|-3;
х—1 I — |х—2| + |х—3|<3+|х—4| — |х—5|;
х+2|-|х+1| + |х|^5/2 + |х-1|-|х-2|;
х — 2х2 | > 2х2—х; 19) | х2-|-6х+81	х2—6х—8;
20) |х2+х—20|<х2 + х—20;	21) | х— 31 > | х2 — 3 |;
22) [ 2х2 —х— 10 | > | х2—8х—22 |;
23) | х2 — 5 | х 14-4 | ^ | 2х2 —31 х | +1
ок\ 1 2х 1 I
25) х2+х—2
(1+х)(2 + х)
Х2_|Х|_2
^3;
26) 11 х2 —Зх-Ь2 | — 1 | > х—2;
27> '*,-2+'|7.'+^|:а0;	<‘'4-
3.
1)
3)
4)
5)
6)
7)
9)
4.
Решить систему:
I	9 J |х|< —X,
|2х—1 > 3;	’ I I х+21 > 1,
( |2х + 5|^|7—4х|,
11 х] < 21 х—41 + *—2;
1 12х—41 —| Зх-|-9 | —| х—11 > —6,
\||х4-1|-|х-1||< 1;
J |2х—5 |-| 4x4-7 |>0,
|х2_3|4-1-]-2х>0;
(| 2x4-71 — | Зх+5| > 0,
I
Л 1^2|х-1|	/х2+2|х + 3|-10 < 0,
8>
f 2	. I —3 I
I | X—2| > 12х— 1 Г
VI х3—х|*Сх.
Для всех а решить неравенство:
3) |х—а]^х;
8) |х2 + а|^х;
2). | х—1 |^ах;
5) | ах |	1 +х;
7) |х2— 1
1) | 1+^К^;
4) [ х + « | ^х;
6) | х2 — 1 | ах;
9) 21 х—а | < 2ах—х2 —2;
10) ]2х4-а] >^4-|х—а|;	11) | х2-а* | > 2а2;
4а2
12) а+	13) I 1 -h11 < а-х.
144 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
§ 2. Иррациональные неравенства
Основным методом решения иррациональных неравенств яв-
ляется метод сведения исходного неравенства к равносильной си-
стеме рациональных неравенств или совокупности таких систем.
Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных нера-
венств, следует рассматривать только те значения переменной, при
которых все входящие в неравенство функции определены, т. е.
найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять
равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.
Пример 1; Решить неравенство
(х— 1) Ух-2S30.	(1)
Решение. Область допустимых значений неравенства (1)
состоит из всех х, удовлетворяющих условию х2 —х—2^0, т. е.
состоит из промежутков х<:—1 и х^2.
Подстановкой каждого из чисел xt ——1 и х2 = 2 в исходное
неравенство устанавливаем, что эти числа являются его решениями.
На оставшейся части ОДЗ, т. е. на каждом из двух проме-
жутков х < —1 и х > 2, функция у—Ух2—х—2 положительна;
значит, на этом множестве исходное неравенство равносильно не-
равенству х—1^0.
Множеством всех решений последнего неравенства, содержа-
щихся в рассматриваемой части ОДЗ уравнения, является проме-
жуток х > 2.
Объединяя решения на всех частях ОДЗ уравнения, находим,
что множество всех решений неравенства (1) состоит из точки
х =—1 и промежутка х^2.
Пример 2. Решить неравенство
Уб+х-х*	Уб+х-х*
2х+5	х+4	*	'
Решение. ОДЗ исходного неравенства определяется систе-
мой
( 6+х—х2^0,
1 2х+5 ф. 0,
( х + 4 ^0,
из которой находим: —2^х^3.
Для значений х——2 и х —3 неравенство (2) выполняется;
следовательно, эти значения являются его решениями.
Пусть —2 < х < 3. Для любого х из этого интервала х + 4 > 0,
2х+5 > 0, 6 + х—х2 > 0. Поэтому на интервале (—2; 3) исходное
неравенство равносильно неравенству
х+4 ^2х+5,
из которого находим х=С — 1. Из этих значений х интервалу
—2<х<3 принадлежат все числа промежутка —2 < х<—1.
Следовательно, решениями неравенства (2) являются все числа
из промежутка —2^х^ —1 и х = 3.
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	145
Пример 3. Решить неравенство
У(х—3)(2—х) < V4x2+ 12х+11.	(3)
Решение, ОДЗ неравенства (3) определяется системой не-
равенств
J (х—3) (2 — х)^0,
\4х2+12х+11^0,
т. es ОДЗ есть отрезок 2«CxjC3.
Обе части неравенства (3) на ОДЗ неотрицательны, и тем
самым неравенство (3) равносильно системе
( 2<х<3,
( (х—3) (2—х) < 4х2+12x4-11,
t* е. системе
( 2<х<3,
| 5х2 4-7x4-17 > 0^
Неравенство 5х24-7х-|-17 >0 выполняется при любом х.
Таким образом, решениями неравенства (3) служат все числа
отрезка 2=^х=^3.
Неравенство вида
2у//W < 2vzg W> «EN,
равносильно системе
J
\g(x)>f (х),
а неравенство вида
2п+1//(х) < 2"+р/g(x), ngN,
равносильно неравенству
f W < g (*)•
Пример 4. Решить неравенство
Ух+2 > К8^x2.	(4)
Решение. Неравенство (4) равносильно системе неравенств
J 8 Я2 0,	/f-ч
| х4-2>8~-х2.
Решениями первого неравенства этой системы являются все х,
для которых | х | 2 }^2 , т. е. все числа отрезка —2 У 2 х «С
<2 У2 .
Решениями неравенства х-^2 > 8 —х2, т. е. неравенства х24“
4-х—6 > 0, являются все числа из двух промежутков: х<—3
и х > 2.
Таким образом, решением системы (5), а следовательно, и не-
равенства (4) являются все числа из промежутка 2 < х=С2 У 2.
146 гл. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 5. Решить неравенство
з
< у_1_.
-ьl^x-f-2 V х—1
Решение. Неравенство (6) равносильно неравенству
3___________________7	6
х+1 ' х + 2 < х—Г
(6)
которое после приведения к общему знаменателю можно перепи-
сать в виде
4х2— 15х—25
(х+1) (х-Ь2)(х-1)
т. е. неравенство (6) равносильно неравенству
(х+5/4) (х-5)
(х+1) (х-|-2) (х—1)	4
(7)
Решая неравенство (7) методом интервалов, получим решения
неравенства (6) —все числа из промежутков (—оо; —2), (—5/4;
—1) и (1; 5).
Неравенство вида
f (х) < g (х), n^N,
равносильно системе
(f(x)^O,
1 g (х) > О,
\ f(x)< gin (х), .
а неравенство вида
2n+l^f (X) < g (х),
равносильно неравенству
f (х) < g2n+1 (х).
Пример 6. Решить неравенство
К*+5 < 1— х<	(8)
Решение. Неравенство (8) равносильно системе
( х+5 О,
1—х > О,
^х+5 < (1 —x)2i
Из первых двух неравенств этой системы найдем —5=^х< 1.
Решая квадратное неравенство х+5 < (1 — х)2, т. е. неравенство
х2—Зх—4 > 0, получаем х < —1, х > 4.
Таким образом, решениями неравенства (8) являются все
числа из промежутка —5^х < —1.
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	| |;
Пример 7. Решить неравенство
угХ2^.3х^_ 10 < 8 — х.	(9)
Решение. Неравенство (9) равносильно системе рациональ-
ных неравенств
( х2 — Зх— 10^0,
8 — х > 0,
х2 —Зх—10 < (8 —х)2.
Решением первого неравенства системы являются все числа из
промежутков — оо < х< — 2и5^х<-|-оо, решением второго —
все числа из промежутка х < 8, решением третьего —все числа
из промежутка —оо < х < 74/13.
Отсюда получаем решения неравенства (9) — все числа из про-
межутков (— оо; —2] и [5; 74/13).
Неравенство вида
^/(х) > g(x),	«€N,
равносильно совокупности двух систем неравенств:
g	( g (х) < О,
f(x)>giu(x), \f(x)^O.
Неравенство вида
2n+]/f(x) >g(x), n£N,
равносильно неравенству
f (х) > g8B + 1 (*)
Пример 8. Решить неравенство
—х2+ 6х—5 > 8 —2х.	(10)
Решение. Квадратный трехчлен —х2 + 6х—5 имеет корни
Xi—1 и х2 = 5; поэтому неравенство (10) равносильно совокуп-
ности двух систем
( —х2 + 6х—5 > (8 — 2х)2, ( 1«Сх*с5,
(8 —2x^0,	(8—2х < 0*
Из второй системы этой совокупности находим 4 < х^5.
Решая неравенство —x2-j-6x—5 > (8 — 2х)2, т. е. неравенство
5х2 — 38х-|-69 < 0, получаем 3 < х < 23/5. Из этих х условию
8 —2x^0 удовлетворяют только числа из промежутка 3<х<:4.
Множеством решений исходного неравенства является объеди-
нение множеств 3 < х^4 и 4 < х<:5, т. е. промежуток 3 < х<:5.
Пример 9. Решить неравенство
V 2—х-]-4х—3
(П)
148 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решение. Из условий 2 — х^ 0 и х 0 найдем ОДЗ не-
равенства (11): х < 0, 0 < х=^2.
Для х < 0 исходное неравенство равносильно неравенству
У2—х-\-4х—3«с2х, т. е. неравенству
У~ 2 — х«СЗ — 2х.
(12)
Поскольку для любого отрицательного х справедливо неравенство
У~2—х> 1, то по свойству степеней имеем
У2—х < (У2—х)2 = 2—х*
С другой стороны, для любого отрицательного х верно неравенство
2—х< (2—х) + (1—х) = 3—2х.
Следовательно, для любого отрицательного х справедливо нера-
венство (12); поэтому все х<0 являются решениями неравен-
ства (1.1).
Для любого х из промежутка 0 < х*С2 исходное неравенство
равносильно неравенству
У 2-— х+4х—3^ 2хг
т. е. неравенству
У 2—х^З—2х>
(13)
Разобьем промежуток 0 < х^2 не два множества: 0 < х<СЗ/2
и 3/2 < х 2.
На промежутке 0 < х^З/2 обе части неравенства (13) неот-
рицательны; поэтому оно равносильно неравенству
2—х^ (3—2х)2,
т. е. неравенству
4х2 —11х+7<0,
решения которого на рассматриваемом промежутке составляют
отрезок 1 *Сх<;3/2. Все х из этого отрезка являются решениями
неравенства (11).
На промежутке 3/2 < х^2 левая часть неравенства (13)
неотрицательна, а правая отрицательна. Поэтому все числа этого
промежутка являются решениями неравенства (13), а значит, и
исходного неравенства.
Следовательно, решениями неравенства (11) будут все числа
из промежутков —оо < х < 0 и 1 *Сх<;2.
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
149
Решение неравенства (11) можно записать так:
Г/ х > О,
j<2^+4x-3	П	4х—32х,
X	( X < О,
1_1 У 2—х+4х—3<:2х
х > О,
3—2х < О,
2—х^ О,
х > О,
]/” 2—х^З— 2х,
х < О,
К 2 —х<3—2х
( х > О,
{ 3—2х>0,
к 2—х^(3—2х)2,^
3—2х^ О,
2—х^О,
2—х^(3—2х)2
О < х<:2,
х > 3/2,
О < х<3/2,
4х2—11х+7<0,
х < О,
4х2—- 11x4-7^0
"3/2 < х<2,
1<х<3/2,<ф
1^х<2,
х < 0.
Подчеркнем, что такое оформление решения задачи допустимо
только при глубоком понимании смысла знаков совокупности и
систем и их правильном употреблении.
Неравенство (11) можно решить другим способом. Обозначим
t==y'2 — х; тогда	и х — 2—t*. Делая замену неизвестного
в уравнении (11), получим систему
Z^O,	/ /^0,
/ + 4(2-/2)-3	/ + 8-4/2-3-4 + 2/2^п<Ф
2-/2	,	(	2 —/2
( /^0,	( ^>0,
-2/2 + ^+1	2/2-^1_ <=>
2^72	(	t^-2
/^0,
2 (/+V2) (г-1) п
0-К 2)0+Г 2)>о
I" feO,
Р > У"2,
/>о,
t >1.
^>0,	[/ > V 2.
/<1
150
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Итак, уравнение (11) равносильно совокупности неравенств
Г0</2—х<1,	Г0<2—х<1,
I	2—х>2 **
_ Г — 2<—х<— 1, „ Г1<х<2,
*9	.. п	, л
Таким образом, множество всех решений неравенства (11) есть
множество (—оо; O)(J[1; 2].
Пример 10. Решить неравенство
К 52— х2
2 —х
(14)
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности
двух систем:
J 2—х > 0,	( 2—х < О,
I у52—X2 < 2—х, 1 у52—х2>2—х.
Решим каждую из этих систем^
Для первой системы имеем:
( — 2у13<х<2,
4=> < Гх<— 4,	ФФ
I |_х>6
I" 2 — х >0,	( х < 2,
] 52-x2S==0, ФФ 4 — 2 КП<х<2 К13, &
( 52—х2 < (2-—х)2	( х2 —2х—24 > О
— 2]/~13<х< 2,
Х<-4_ &
— 2 V 13<х<2,
х > 6
ФФ—2 КТЗ<х<—4.
Вторая система совокупности равносильна системе
( 2 —х < 0,	( 2 < х,	Л	Л-./—п
{ 52-х2^0^1 -2К13<х<2ГТЗ^ <Х< ^13,
Следовательно, решениями неравенства (14) являются все
числа из двух промежутков: —2 У13^х < —4 и 2 < х«с2 У13.
Пример 11. Решить неравенство
У~5х2+ 10х+1	7—х2—2х.	(15)
Решение. Непосредственное возведение обеих частей этого
неравенства в квадрат (при х из ОДЗ) приводит к неравенству
четвертой степени относительно х, решение которого представляет
собой технически сложную задачу. Решение можно упростить,
используя вспомогательное неизвестное.
Сделав замену y = x2-j-2x, получим относительно переменной у
неравенство

(16)
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
151
Неравенство (16) равносильно совокупности двух систем:
( 7—г/^О,	( 5/у+1^0,
I 5г/4-1^(7-^)2,	\ 7-у < 0.
Из второй системы совокупности находим у > 7. Решениями
неравенства (5г/ -|-1) (7—г/)2 первой системы, т. е. неравенства
у2— 19^ + 48	0, являются все числа из промежутка З^у^ 16,
а решениями первой системы—все числа отрезка 3 у 7.
Таким образом, неравенство (16) равносильно совокупности
неравенств
Возвращаясь к неизвестному х, получаем
х2-[-2хгг ЗФ> х24-2х—ЗЭгО
^(х+3)(х-1)^0^[^“3’
Следовательно, множеством всех решений неравенства (15)
являются все числа из двух промежутков: х^—3 и х^ 1.
Неравенство (15) можно-решить другим способом. Обозначим
/— )/’5х2 + Юх+1; тогда /^0 и х2 + 2х=(/2—1)/5. Делая замену
неизвестного в уравнении (15), получим систему
( /^0,	( /^0,
| t^7—/2+5/—ЗбЗэО
1(^ + 9) (<—4)^=0^ V—4й=°
Поэтому неравенство (15) равносильно неравенству
У 5х2+10х+1 2s4 4^ 5х2+10х—15^=04^
<Фх24-2х-3^0^(х+3)(х-1)^0<^ I
I X --О.
Итак, множеством всех решений неравенства (15) есть мно-
жество (—оо; —-]—оо).
Пример 12. Решить неравенство
/25 —х2 + Vх24-7х >3.	(17)
Решение. ОДЗ данного неравенства определяется из
системы
( 25—х2^0,
| х2 +7x^=0,
откуда О^х^б. Обе части неравенства (17) неотрицательны;
поэтому оно равносильно системе
J О^х^б,
1 25—х2+2 У 25-х2 Ух2+7х+х2+7х > 9,
152 ГЛ. з. неравенства с одним неизвестным
т. е. системе
J О х 5,
| 2 V25-х2• Vх2+7х > —16—7х.
При 0<х<5 имеем —16—1х < 0 и 2)^25—х2 р/'х2 + 7х^0;
поэтому решением последней системы, а значит и неравенства (17)
являются все числа из промежутка О^х^б.
Пример 13. Решить неравенство
Кх2—8х+15+/х2+2х—15 > V4х2—18х+18.	(18)
Решение. Поскольку
х2—8х—J-15 = (х—3) (х—5),
х2+2х—15 = (х+5) (х—3),
4х2 — 18х + 18 = 4 (х—3) (х—3/2),
то ОДЗ данного неравенства состоит из х = 3, х<;—5 и х^5.
При х —3 обе части неравенства (18) равны нулю; поэтому
число х = 3 не является решением неравенства (18). Таким обра-
зом, неравенство (18) равносильно системе
/ |х|^5,
1 Vх2—8х+15 + /х2+2х—15 > К4х2—18х+18.
Обе части в иррациональном неравенстве неотрицательны; поэтому
после возведения его в квадрат и упрощений получим систему
( |х|^5,
1 Vх2—8х+15 vх2+2х—15 > (х-3)2,
равносильную последней. Она в свою очередь равносильна системе
J |х|^5,
( /(х—3)2(х2—25) > (х—З)2,
т. е. системе
( |х|^5,
\ (х-3)2 (х2—25) > (х-3)4.
Таким образом, неравенство (18) равносильно системе
( |х|>5,
( х2—25 > (х—З)2.
Решая эту систему, найдем, что ей, а следовательно, и нера-
венству (18) удовлетворяют все числа из промежутка х > 17/3.
Пример 14. Решить неравенство
/2J7TT+ /3x^2 < ]/’4Г=3+ /5^4.	(19)
Решение. Область допустимых значений неравенства нахо-
дится из системы
2х—1^0,
Зх—2^0,
4х—3^0,
5х—4^0,
откуда х^4/54
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	153
Неравенство (19) перепишем в виде
/5x^4-	> V3x^2— /4x^3.	(19')
Поскольку
5х—4	2х— 1 <=> х	1,
Зх—2^ 4х— 3<=> х«С 1,
то ОДЗ уравнения целесообразно разбить на два множества: отре-
зок 4/5 ^х^ 1 и промежуток х> 1 — и на каждом из них решить
неравенство (19').
На отрезке 4/5<:х<; 1 справедливы неравенства V*5х—4—
— /ЪГПсО и /Зх—2— /4х — 3^0, поэтому на отрезке
4/5=Сх«С 1 неравенство (19'), а следовательно, и неравенство (19)
решений не имеет.	_____
На промежутке х > 1 справедливы неравенства ]/"5х—-4 —
— У2х—1 >0 и УЗх—2—j/*4x—3 < 0, поэтому любое х из
промежутка х > 1 является решением неравенства (19'), а следо-
вательно, и неравенства (19).
Итак, множеством всех решений неравенства (19) является
промежуток х > 1.
Пример 15. Для всех 0 решить неравенство
Yа2—х2 > х+ 1.
(20)
Решение. Неравенство (20) при условии а^О равносильно
совокупности двух систем:
{а^О,	Y	а^О,
х+1^0,	1	—а^х^а,
а2—х2 > (х+О2,	\	х+1 < 0.
Вторая система совокупности при	1 решений не имеет,
а при а> 1 имеет решение — а^х< —1. Первая система сово-
купности равносильна системе
х^— 1,
2х2+2х+1 — а2 < 0.
(21)
Решим неравенство 2х2+2х+1—а2 < 0. Дискриминант квадрат-
ного трехчлена 2х2+2х+1—а2 равен 8а2—4. По условию а^0;
поэтому дискриминант положителен только при а > 1/]/* 2. Сле-
довательно, система (21) равносильна системе
f Х^:—1,
а > ]/”2/2,
— 1-V 2а2—1	— 1 + /2а2-1
--------_	< X <	~
154 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
которая:
VI	— 1 —У 2а2—1
при —~— < а 1 имеет решение ------------------< х <
—1-|_/ 2а2—1
<	2	;
.	, _	—1 + /2а2—1
при а > 1 имеет решение — 1 *Сх < -;
Объединяя эти решения с полученными выше, получим ответ
к неравенству (20):
при	2/2 оно не имеет решений;
У~2	— 1 —к 2а2—1
при —— < а 1 оно имеет решение ---------------< х <
— 1 + К 2а2—1
<	2	;
*-1+К2«2-1
при а> 1 оно имеет решение —а^х<-----1—х-----*
Неравенство (20) допускает простую геометрическую интер-
претацию. Построим графики функций f(x)=x+l и g (х, а) ==
= V а2—х2.
Графиком функции g (х, а)
радиуса а с центром в начале
является верхняя полуокружность
координат, т. е. множество точек
(х, у), координаты которых удовлетворяют следующей системе:
х2+у2 = а2.
В зависимости от значений числа а эта полуокружность может
занимать следующие положения (рис. 3.2) относительно графика
функции f (х) — х-|-1:
1.	График функции g(x, а) (положение I) расположен ниже
прямой # = х+1, что соответствует случаю 0^а< V 2/2.
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	155
2.	График функции g(x, а) (положение^!!) касается прямой
y=x-\-lt что соответствует случаю а=~]^ 2/2.
3.	График функции g (х, а) (положение III) пересекает пря-
мую y — x~j~l в двух точках, что соответствует случаю Y 2/2 <
< а< 1.
4.	График функции g (х, а) (положение IV) пересекает пря-
мую f/ = x+l в одной точке, что соответствует случаю а> 1.
Пример 16. Для всех а решить неравенство
w
Решение. Левая часть неравенства (22) неотрицательна на
ОДЗ, поэтому а — 1 > 0, т. е. а > 1. Найдем ОДЗ данного нера-
венства. Имеем
Зх-[-Д
х— а ’
откуда получаем два промежутка: —оо < х«С—а/3; а < х < оо.
Возведя обе части неравенства (22) в квадрат, получим
< (а—I)2,
х—а 4	’
т. е,
х(2+2а — а2)+а(а2—2а+2)	0
х—а	<
Это неравенство с учетом ОДЗ и условия а > 1 равносильно сово-
купности двух систем:
(а > 1,
х<—а!3,
х(2+2а —а2)-Н (а2—2а+ 2) > О,
( а > 1,
1 х > а,
х (2+2а — а2)4~а (а2 —2а-\-2) < О,
т. е. совокупности систем
Г( а> 1,
-I х<—а/3,	(23)
V х(а2—2а—2) < а (а2 — 2а-]-2),
(а> 1,
х > а,	(24)
х(а2—2а—2) > a (a2-2a-\-2)t
Поскольку
а2-2а-2 = (а-(1 + 1/”3)) (а-(13)),
то а2—2а—2 < 0 при 1 — V 3 < а < 1 + V 3; а2—2а—2 = 0 при
01=1+]^ 3, а2= 1—-К 3 и а^т-2а—2 > 0 при а>14~уг^,
а< 1-/3.
156
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
При а— 1 4-/3 система (24) решений не имеет, а системе (23)
1-КЗ
удовлетворяют все х из промежутка —оо < х^-----------5-----*
о
При 1 < а < 1 + КЗ совокупность систем (23) и (24) равно-
сильна совокупности систем (соответственно)
1 < а < 14-/3,
х^—а/3,
a (a2 — 2а-f-2)
Х> а2—2а—2
(25)
1 < а< 14-/3,
х > а,
а (а2 —2а 4-2)
х < а2—2а—2
(26)
и справедливы неравенства
а (а2 —2а-]-2)	—а
а2 —2а—2 < 3
а (а2—2а 4-2)
а2 —2а—2
поэтому решениями системы (25) являются все х из промежутка
а(а2 —2а-{-2)	— а
———п—-7Г~ <	, а система (26) решении не имеет,
а*—za—2/	о
При а > 1 +	3 совокупность систем (23) и (24) равносильна
совокупности систем (соответственно)
а > 1 + К3,
х^—а/3,
а (a2 —2a 4-2)
Х а2 — 2а—2 1
(27)
и справедливы неравенства
> а; поэтому решениями
жутка —оо<х=с—а/3,
а (а3 —2а 4-2)
промежутка
Таким образом, для
a (а2 — 2a-f-2) —а
а2—2а—2 <х<~
( а> 1 + КЗ,
х > а,
а (а2 —2а 4-2)
Х> а2—2а—2
(28)
а(а2 —2а+2)	—а а (а2 — 2а4-2)
а2—2а—2 > ~3~ и а2—2а—2 >
системы (27) являются все х из проме-
а решениями системы (28) —все х из
< X < 4-00.
исходного неравенства (22) имеем:
при 1 < a < 14-К 3, —оо < х<
1 —/З , . ,/-г	a a(a2—2а-}-2)
—§ при а= 14-УЗ, -оосж-у-и а2_2а_2“
< х < 4- оо при а > 14- У^З, при а < 1 решений нет.
ЗАДАНИЕ 1
1. Доказать, что неравенство не имеет решений:
1) р^З —х4-Кх —5^ —10;
2) Vх24-5х-|-64-}/'х+8<—3;
3) V 14-2(х—3)24-УГ5—4х4-х2 < 3/2;
4) у 1+|ж| -/Г+Э > /дз_4х24-5х-7;
5) VУх+1+УГУх+1+2 < /2 /Гр+З;
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	157
6)	Vх2_х+1	< 2;
у х2 — х+ 1
7)	/’F+'l+J/’x4—х2+1 < 2 >/х«+1;
8)	(/1Т^+К4+72+/1 + 1 х| )х
/ 1 1.1
*Д УТ+** + УТу^^У 1 + |х|
2. Решить неравенство:
1) x/EgLo; 2)хИ<0;
У х+6	К«+6
3)	(x+l)fx+4Kx+7<0;
4)	(х+1) У(х+4)(х+7)<0;
5)	]<х2(х—3)<0; 6) |х|/х-3<0,
3. Решить систему неравенств:
о ( _____?___+____
{ 2+К4—х2 2— У 4 — х2	х
I, Ух^2
2) J Ух*—2х2+1 > 1-х,
(	25 УяУ^хР^О.
ЗАДАНИЕ 2
1.	Доказать, что неравенство не имеет решений:
Кб^х	4—х2
V"x=iO (Ух +2) < (х—4) (х+5) ’
2)	(J_5, Kz-F7 > <«+?	:
3)	)/4-3(J:+S)"+ У9-1 > 1+ V 16+Т(«+2)>;
4)	Ух2+4 У1У+1~Ух2 — Уз^+i <
|х+1 I —К*2+2х + 5 .
|х|+х2+8
5)	J/^+K^TS > И5+/'^П+1/’4+^;
6)	У5—х2—1/х2>К2+К«+1/1/'х;
7)	V87— /^+2-у^2^+4 > 1^88-2 У+8;
Ч /(^++77) ( л2+1 + 1_.х+х2"*"1+х+х2) <
< 2+УТ^х*.
158
ГЛ. 3..НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
2. Решить неравенство:
1) (*+3) 1/1^4^01 2) (х+3)
' °~х	У 8 — х
3) (2 + х) /(4 —х) (5 —х)^0; 4) (2+х)/4=х/5=х^0;
5) V(х-1)* (х+2)4 (х—7)3&0;
6) (х+2)2 (х—1)2/7=7^0.
3. Решить систему неравенств:
О J ух^ + Зх+2-Vх2-х+1 > 1,
I /(х-1)(х + 3) /Т=7^0;
2) ( Vх2—4х > х—3,
I /—х-6 /36-х2<0.
ЗАДАНИЕ 3
Решить неравенство:
1) /7/7 < х; 2) V9х—20 < х; 3) /х2+4х+4 < х+6;
4) /27+4 > х+3; 5) V2х2—Зх-5 < х— 1;
6) /7=27 > 4-х; 7) 1/—х~+4~ <4?
8) 3/7 — /7+3 > 1.
ЗАДАНИЕ 4
Решить неравенство:
1) /7+78 < х+6; 2) /27=1 < х;
ГЗ)) /7/14 < х+2; 4) V(х+2) (х—5) < 8—х;
/х2 + х—2 > х;(б)^/х2+3х+3 < 2х+1;
П)	^0; 8) 3 /х -/57+5 > 1.
* “Г 1
ЗАДАНИЕ 5
Решить неравенство:
1) (х—3)/х2+% —25s0;	2) (х—3)/7+4<х2—9;
_ ]<8—2х—х2 V8— 2х—х2 .
6’	х+10	<	2х+9	*
4) /х+4 > /2-/3+*; 5)	sg2x+3;
6)	—2=1 < ; 7) /7+6 > /7+1 +/27=5;
У 1 — х2 х
8) р/ 15+х—2 — х> L
§ 2. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	159
ЗАДАНИЕ 6
Решить неравенство:
1) (х—1)/х2—х—2 2э0; 2) (х + 1) У"^+Т> х*— 1;
Q. V 12-х-х2 V 12-х-х2 .
2х—7	х—5
4) |А—/H+t—/ГН > 0; 5) ^~4- <3х—2;
/бх2 — 1
6) /5ГЛ > V2х+15---;
/ 2х—1 ’
7) /х+3 > /Г=Т + /2х^Т;
ЗАДАНИЕ 7
1.
1)
Решить систему неравенств:
‘	л/~ х+5 о 2) | |<4Х__Х2 < 4 —
/х+2 > /8=Г.
4 —Зх
; /40-Зх
При всех а решить неравенство:
а /х+1 <1; 2) 4—х2 > /а^ГГ2;
2.
1)
3) х+/4—х2 < а;
ЗАДАНИЕ 8
1. Решить систему неравенств:
1) f /(х+2) (х—5) > 8—х,
\ /i-/ZT=I > /—х—3;
2) ( /2х5+5х—6 > 2-х,
1 /2хН < 2+2)..
V	2—х
2. При всех а решить неравенство:
1)	(а+1) /2=х < 1; 2)/Т^х2<х+а;
3)	х+ /х^Тх < а; 4) 2 /х+а > х+1.
Упражнения
Решить неравенство:
1) /Зх=8 < —2;	2)_J/х+2<—5; 3) /2х+Т > —8;
4)	р/х—5 < 3; 5) (х—12) /Гй <0;
г6) (х+10) /Г=4 < 0; ( 7) /(х—6)(х-12) < х—1;
160 гл. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
8)	УГЛУхЛй < х—1; 9) х У ГЛ УТ+х < 0;
10)	х/ТЛх2 <0;	11) (х—1) У16—х2<0;
612).» V(2х—5)2 > 5;	9—24х+16х2 < 8;
14)	х < УГЛ; 15)7+1 > У 2+х;
16)	2х—3 < 2 УГЛ^ . 17) /х2<х+1;
18)	х > /24—5х; (19) '/х2—Зх—18 < 4-х;
(WK(х+4) (х+3) > 6-х; (21)Ух2—5х—24 > х+2;
<+>2)S-'+4 < V— х2—8х—12; 23) х—3 < Vх2—4х;
24)	х < Vх2—х-110; (^25) х > Vх2-х—12;
26)	/4 —4х3+х6 > х—f/Г; f 27). /х — 9 f/x +18^0;
28)	|/> х-2;
«>	+ У^>^
31)	/х+1 > /х— 1;	32) /1 — х< р/б+х;
33)	> У|2-| ; 34) /(х—3) (2-х) < 3+2х;
35) (х—2) У х2+1 > х2 + 2;			
36)	У 12 + х —X2 X—11	У 12+х—х2 . 2х-9	
	У'б~1-Х—X2	у 6-|-х— х2 t	ЗЯ\ з х
о/)	2х+5	x-f-4	‘ ’	38) У 15-х
39) J__ >	; (40)\-- ^-^Д<0;
/3-х__х-2 \51_уж+2
f 4171^^1-4x2 <3; 42) Л.^=^.<2х+3;
х	/3х2-3
43)	уХ2Т4 ,t<3x+2; 44) V4— УТ^х—	> 0;
V 5х2 — 1
45)	|/г — УЗ+х— уХ+4 < 0;
J6). УЬ=1^-У!ГЙ> 1; 47) УГ=6-УТ0^=х^1;
(g:)y7=2+y^5<yr^3;
Ж//7*—13—/Зх-19 > У5х—27;
50)	У5+^-У—х-3 < 1 + У(х+5)(—х-3);
\ 51)'.У х+2У^Л+/х-2 У ГЛ > 3/2;
ух2+Зх+2-Ух2-х+1 < 1;
•5?) УЗх2+5х+7-УЗх2 + 5х+2 > 1;
54) УЭ—9/х < х—Ух—9/х;
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
161
55)
/56)
____х___	2 .
УГ^х—Ух > Ух :
У X2- 16
Ух^з
ь/х-з>
X
УТ^с+У'х
5	.
Кх^З ’
57) Ух -|-1 /х2 + Ух—1/х2 > 2/х.
§ 3. Показательные неравенства
Решение простейших показательных неравенств основано на
свойствах монотонности степени:
(	lf(x)>g(x)
I а > 1 \а > 1,
J	jf(x)<g(x)
}	0<а<	1	(0< а< 1.
Учитывая эти свойства,	многие простейшие показательные не-
равенства решаются методом приведения обеих частей неравенства
к одному основанию.
Пример 1. Решить неравенство
25* > 1253*~2.
Решение. Поскольку
25* (52)* = 52*, 1253*“2 = (53)3*-2 = 59*~б,
то данное неравенство равносильно неравенству
52* > 59*~б ФФ 2х > 9х—6 <=> х < 6/7.
Следовательно, промежуток (— оо; 6/7) есть множество всех
решений исходного неравенства.
Решение любого нестрогого показательного неравенства отли-
чается от решения соответствующего строгого неравенства только
включением в множество всех его решений корней соответствую-
щего уравнения.
П р и м е_р 2. Решить неравенство
(0,1 )<л;2-2ЛГ—2	(о, 1)2х-зе
Решен и е. Данное неравенство равносилы. > неравенству
4х2 —2х — 2^ 2х — 3 Ф» 4х2 —4х+ 1	О Ф» (2х— 1)2^0.
Таким образом, исходному неравенству удовлетворяют все действи-
тельные числа.
При решении некоторых показательных неравенств исполь-
зуется преобразование, состоящее в вынесении общего множителя
за скобки.
6 Задачи по математике. Уравнения и неравенства
162
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 3. Решить неравенство
х25* — 52+х^о.
Решение. Поскольку 52+* = 25*5*, то данное неравенство
равносильно неравенству
(х2—25) 5*<0.
Так как 5х > 0 при любом х, то полученное неравенство равно-
сильно неравенству
х2— 25 «С О (х—5) (х-]-5) «СО	—5^х^5.
Следовательно, отрезок [—5; 5] есть множество всех решений
данного неравенства.
Пример 4. Решить неравенство
”	2х+2__2Х+9___2*+4 > 5*+3=___5x+2i
Решение. Поскольку
2*+2 = 4*2*, 2*+3 = 8.2*, 2*+4=16-2*,
5*+1 = 5«5*, 5*+2 = 25«5*,
то данное неравенство равносильно неравенству
2* (4 — 8—16) > 5* (5 — 25) 4Ф 2х < 5* Ф» (2/5)* < 1 & х > 0.
Таким образом, промежуток (0; 4~оо) есть множество всех
решений данного неравенства.
Пример 5. Решить неравенство
/ 1 \*/1 \УГ
372 (4) (I) >ь
Решение. ОДЗ неравенства х^О. Приводя левую часть
неравенства к степени с основанием 3, получим
Х	=372“*“ТТ,
Таким образом данное неравенство равносильно неравенству
72 —х—j/T > 0.
Обозначим /=)/"х; имеем:
( /^0,	f /^>0,
\ /2_|_/—72 < 0	\ (Z4-9) (t—8) <	< 8-
Таким образом, данное неравенство равносильно двойному не-
равенству
(ХУ"х < 8,
откуда 0 <: х < 64.
Итак, промежуток [0; 64) есть множество всех решений дан-
ного неравенства.
372 (4)
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	|63
Пример б, Решить неравенство
Кб^х (5*2“7»2*+3»9*—25	О,	(1)
Решение* ОДЗ неравенства (1) определяется условием
6—х^О, т* е. х<6. Неравенство (1) равносильно’совокупности,
состоящей из уравнения и системы двух неравенств*:
1<6^=о, J 5*2-^+М^25КГ>0,
I X < 6*
Из уравнения j/j)—х = 0 находим х=6(
Поскольку 25 У5 = 52.51/2 = 5М, то первое неравенство си-
стемы равносильно неравенству
5№-7,2х+з,ь	52,^
которое равносильно неравенству
х2—7,2х+3,9> 2,5	х2— 7,2х + 1,4> 0	(х«=- 1 № (х-«7) О*
Следовательно, первое неравенство системы равносильно совокуп-
ности простейших неравенств
х*С 1/5, х^7*
Учитывая условие х < 6, получаем решение системы «-промежуток
—оо < х< 1/5.
Одедовательно, решениями неравенства (1) являются число
х=(Г и все числа промежутка —оо < х< 1/5*
Пр имер 7* Решить неравенство
1	9^
JL • 52x73*+2	. 72*53*,
5	7
Решение* Разделив обе части неравенства (2) на выражение
25
у • 72*53*, положительное при любом действительном х, получаем
неравенство
52Х-173Х + 2
"5272*-153*	ь
равносильное (2), ф. е* неравенство
7*+«5-*-3<1,
Последнее неравенство равносильно неравенству
(7 \*+з	/ 7 \о
ТУ	4=>х+3«<04Фх<~-3*
Итак, множество всех решений неравенства (2) есть промежу-
ток (—оо; — 3].
Пример 8. Решить неравенство
2^1 > 1=^‘	(3}
6*
164 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решение. Неравенство (3) равносильно неравенству
1—2*-1 —2*4-1
(2*—1) (1 —2*-1)
(4)
Обозначив t = 2x,
( t > О,
4	2—t/2 — t
I (/-!)(!-//2)
получим
t > о,
2-3//2
(/— 1) (2 —/)
t > О,
/ — 4/3
(*— 1) (*—2)
1 < t < 4/3,
t > 2.
Таким образом, неравенство (4) равносильно совокупности не-
равенств
4
О < х < log2 у ,
X > 1.
Г1 <2* <4/3
J 2х > 2
Следовательно, множество
/	4 \
жество 0; Iog2 — ) U U;
всех решений неравенства (4) есть мно-
4-00).
Неравенство вида
f (ах) О
при помощи замены переменной t^=ax сводится к решению си-
стемы неравенств
( i > О,
I f (О^о,
а затем к решению соответствующих простейших показательных
неравенств.
Так, например, неравенство
Aa2x + Bax + C^0t	(5)
где А & 0 и а > 0 (а Ф 1), заменой t — ax сводится к решению
системы неравенств
J t > °,
( Л/2 + В/+С<0.	W
Дискриминант D квадратного трехчлена Л/2+ Bt-\-C равен
В2— 4 АС.
1.	Если D < 0 и Л < 0, то второе неравенство системы (6)
верно при любом /, в том числе и при t > 0; поэтому неравен-
ство (5) верно при любом х.
2.	Если D < 0 и Л > 0, то второе неравенство системы (6)
решений не имеет; следовательно, и неравенство (5) не имеет ре-
шений.
3.	Если и /i,’/2 — корни квадратного трехчлена Л/2 +
+ Bl-}-С (пусть при этом /1^/2), то
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	165
а)	при А < 0 и /2^0 система (6) верна при любом t > 0;
следовательно, неравенство (5) верно при любом х;
б)	при Л<0и/1<0иг'2>0 система (6) верна при t >
следовательно, неравенство (5) равносильно неравенству
в)	при А < 0 и ti 0 система (6) равносильна совокупности
Г 0 < / «С /f,
следовательно, неравенство (5) равносильно совокупности про-
стейших неравенств
Г а* < /f,
I ах t2;
г)	при А > 0 и /2<:0 система (6), а следовательно, и нера-
венство (5) решений не имеют;
д)	при А > 0 и 0, /2 > 0 система (6) равносильна нера-
венству 0 </2; следовательно, неравенство (5) равносильно
неравенству
е)	при А > 0 и tt > 0 система (6) равносильна двойному не-
равенству	следовательно, неравенство (5) равносильно
двойному неравенству
ti < ах < /2,
которое равносильно системе
I ax^tt,
\ ax^t2.
Пример 9. Решить неравенство
4-#+о,5_7.2-*_4 < о,
Решение. Обозначив t = 2~*, получим
Р>°>	^Р>°>	^0</<4.
\ 2/2-7/-4<0^( 2 (/ + 1/2) (/ — 4) < 0
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству
2“* < 4	—х < 2 х > —2.
Итак, промежуток (—2; +00) есть множество всех решений
исходного неравенства.
Неравенство вида
af^^b,	(7)
где а > 0, а & 1, b > 0, может быть решено при помощи логариф-
мирования обеих частей (это возможно, так как обе части нера-
венства положительны).
При всех неравенство (7) справедливо для любого х из
ОДЗ неравенства.
166
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Неравенство	при &<0,й>0,	1 решений не
имеет.
Пример 10. Решить неравенство
З2*-1 < 1Р-*.
Решение. Обе части неравенства положительны при любом
значении х. Прологарифмировав обе части неравенства по основа-
нию 3, получим неравенство
2х—1 < (logs 11) (3-х),
равносильное исходному.
Таким образом,
(2 + log3 И) х < 1 + 3 log3 1L
Отсюда с учетом того, что 2+logs И > 0, находим все решения
исходного неравенства — промежуток
_ 1+3 logs И
00 <Х< 2+Ioga 11 *
Пример 11. Решить неравенство
,/"9" РУ*1	{8)
V 10 ’ ро/ > уТо
Решение. Обе части данного неравенства положительны
при любом %. Прологарифмировав его по основанию 10, получим
неравенство
,	9 I 1 ! 9 Л3 Л 3
(х lg10+ 2 g10 > ( 4 Х 2*
т. е. неравенство
(. 9	3\	1,93 I
Х Vg 10	4 / > 2 g 10	2 ’
9	3
равносильное неравенству (8). Поскольку	< 0, то
1 'р-3
Х< 2 , 9	3 ’
gT6—т
Итак, промежуток^—оо;
шений неравенства (8).
4 (1g 3-2) \
8 lg3 — 7 J
есть множество всех ре-
Решение показательных неравенств, которые имеют три
различных основания, являющиеся последовательными членами
геометрической прогрессии, причем эти основания возводятся в
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
167
одну и ту же степень, зависящую от х, сводится заменой пере-
менной к решению квадратного неравенства.
Такие показательные неравенства, в частности, имеют вид
aaf (х) 4.	(х) yof (X) о
или
(*) р/?/(*) _|_ уС/ (X)	о,
где а^О, Р, у—действительные числа, f (х)— некоторая функ-
ция, а основания а, Ь, с удовлетворяют условию Ь2 = ас<
Пример 12. Решить, неравенство
3.72х _|_ 37.140* < 26 • 202*«	(9)
Решение. Запишем неравенство в виде
3.49*+37.140* — 26.400* < 0,
В этом неравенстве числа 49, 140 и 400 образуют три последо-
вательных члена геометрической прогрессии со знаменателем 20/7,
Разделив обе его части на 400*, получим неравенство
3 (7/20)2*+37 (7/20)* — 26 < 0*
Обозначив	t —	имеем
J	/ >0,	J />0,
I	3/24-37/~26-сО^ | 3(^+13)(f —2/3)<0^
Таким образом, неравенство (9) равносильно неравенству
2
(7/20)* «С 2/3, откуда получаем х^ 1°&7/2о “у * Следовательно,
промежуток pog7/2o > +00 является множеством всех решений
неравенства (11).
Пример 13. Решить неравенство
7	(/Т)*ж+(2/2")х^2.4^.	'(10)
Решение» Разделив неравенство (10) на 4*, получим равно-
сильное ему неравенство
(V2 /2)3*+(V”2 /2)х	2.
Пусть t — (V2'/2)x; тогда	Поскольку Z34~Z—2 =
= (/—1) (/2-Н+2) и /24-/4.2 > 0 при любом /, то
/3 + /^2<=>/^h
Таким образом, исходное неравенство (10) равносильно нера-
венству
откуда х«с0.
Следовательно, промежуток (—со; 0] есть множество всех ре-
шений неравенства (10)*
168 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Неравенство вида
аа/ и)	(*> -|~ Т	О,
где а ?= О, (3, у —любые действительные числа, а основания а и b
являются положительными взаимно обратными числами (а£>=1),
можно решать при помощи замены t — afw.
Пример 14. Решить неравенство
10?*-1+6.101 “7*--5 < 0.
Решение. Используя свойства степени, перепишем данное
неравенство в виде
Обозначив t— 107*-1, получим
\ / + 6//-5<0*Ц /2^.5/+6<0^
Таким образом, данное неравенство равносильно двойному
неравенству
2 <	< 3,
откуда находим
I(l + lg2)<x<y(l + lg3).
Следовательно, отрезок [(1 + 1g 2)/7; (1 + lg3)/7] есть множе-
ство всех решений данного неравенства.
Решение некоторых показательных неравенств сводится к ре-
шению алгебраических однородных неравенств, т. е. неравенств
вида
a-df" (х) + «if" “1 (х) g (х) + ajn ~а (х) g2 (х) + ...
... +a„_t f (х) gn-i (x) + a„gn (х) > 0,
где а0> сц, «„ — некоторые числа (а0 $= 0), a fix), g(x) — не-
которые функции.
Пример 15. Решить неравенство
-**	22*2~Сх+3-]-6*2“3x+1	32%2~6*+3.	(11)
Решение. Неравенство (11) равносильно неравенству
§.22 (х2~зх)_[_6‘2*2~3* з*2~зх — 27 *32 и2-3*) 0,
которое является однородным неравенством вида
872 (х) + 6/ (х) -g (х) —27g2 (х)	0,
где f (х) — 2*2-3х, g (х) = 3*2~3*.
Поскольку 3x2“3* > 0 при любом х, то, разделив неравенство
(11) на 32(*2“3*), получим равносильное ему неравенство
8 ‘ (2/3)2 и2 -3*>+6 • (2/3) *2 -зх _ 27	0.
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
169
Квадратный трехчлен 8#2 + 6г/—27 имеет корни 3/2 и —9/4. Сле-
довательно, неравенство (11) равносильно совокупности неравенств
/ 2 \х2-зх	/ 2 \х2-зх л л
(т) •=-9'4' и) »3-'2-
Первое неравенство этой совокупности решений не имеет.
Из второго неравенства находим:
(2/3)*2~3*^3/2 & (2/3)*2 -3^ (2/3)"1 <=>
<=> х2 — Зх	—1 <=> х2 — Зх+ 1	О	—2^~~	х	~ •
Таким образом, множество всех решений неравенства (11) есть
Г 3 —/Т 3 + /б*!
отрезок --------; —~.
Пример 16. Решить неравенство
6 j/э —13 j/T j/Т+б */Т<0.	(12)
Решение. Область допустимых значений данного неравен-
ства состоит из всех натуральных чисел, больших 1.
Неравенство (12) является однородным. Разделив обе его части
на fX9 и положив t—y/2/3, получим
6—13/4-6/2 <0.
Решением этого неравенства является отрезок 2/3	3/2. Таким
образом, неравенство (12) равносильно двойному неравенству
2/3 < р^2/3 < 3/2,
отсюда находим
log 2/3 у < — < log 2/3 у,
т. е. неравенству (12) удовлетворяют все числа из ОДЗ. Итак,
решением неравенства (12) есть множество Х = {х: х^2, x£N}.
Некоторые показательные неравенства содержат выражения
вида f(x)^U). Напомним, что по определению
f (x)S^=:aS^)\oga f(x), а > 0, а # I,
т. е. функция f(x)S<x> определена тогда, когда определены обе
функции f (х), g (х) и, кроме того, f (х) > 0.
Прим е р 17, Решить неравенство
(х —2)*2-0* + 3 > 1.
(13)
170 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ^ НЕИЗВЕСТНЫМ
х2 — 6x4-8 > 0,
1g (х-2) >0,
х2 — 6x4-8 < О,
1g (х-2) < О
Решение. Область допустимых значений данного неравен-
ства определяется условием х > 2. При таких х имеем
(13) 4Ф ю(*2-«*+8> lg<*-2) > 1	(Х2_бх+8) 1g (х—2) > 0<Ф
(х—2) (х—4) > 0,
1g (х-2) >0,
(х—2) (х— 4) <0,
1g (х-2) < 0
Таким образом, множество всех решений неравенства (13) со-
стоит из объединения двух промежутков: (2; 3) (J (4; 4~оо).
Пример 18. Решить неравенство
-i-l°g|x	logs х
5 4	5х 6
(Н)
Решение. Область допустимых значений неравенства (14)
определяется условием х > 0. При таких х обе части неравенства
(14) положительны. Прологарифмировав их по основанию 5, по-
лучим неравенство
Y logs2 X 5= 1 4- у log2 X,	(15)
равносильное (14). Из (15) получаем неравенство
log5X^20,
т. е.	__
| log8x|5==2Кб.
Таким образом, неравенство (14) равносильно совокупности
llog6x^2}^5,	х^52|/&, _
[log6x^—2)^5	0 < хаС5~2><6 •
Следовательно, множество решений неравенства (14) имеет вид
(0; 5"2/Г]и[52ГГ; + <»).
Пример 19. Решить систему
( л! Х2~8Х+ 12 |~Iog. 7_________72W- 1
<	— /	,	(16)
Решение. Уравнение данной системы равносильно уравне-
нию
Х2-8Х+12 । __ 720.
Обе части его положительны; поэтому оно равносильно уравнению
|x2-8x4-i2| = (2y)log47.
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
171
Поскольку log47>0 и |х2— 8х +12 |0 при любом х, то
отсюда следует г/^0. Поэтому неравенство системы (16) следует
решать только для двух случаев:	и у > 3.
При 0^г/^3 неравенство системы (16) принимает вид
3—у—Зу — 2у2— 4у—2 — 1	О,
т. е. y2 + 4f/^ 0; отсюда находим —Учитывая условие
0<:#яСЗ, получаем г/==0.
При у > 3 неравенство системы (16) принимает вид
4г/—2— 1	0,
т. е.
—2у2 — бу—6 ^5 0;
это неравенство не имеет решений.
Подставляя значение у~0 в уравнение системы (16), получим
(16)	L-8x+12=0«H
'	(	х=2,
г/=о,	1	г/=о,
(х—2) (х—6)=0^	J	х=6,
-	\	!/=0.
Таким образом, две пары чисел (2; 0), (6; 0), и только они,
являются решениями системы (16).
Пример 20. Найти все значения а, при которых неравен-
ство
4*2 + 2 (2а +1) • 2х2 + 4а2 — 3 > 0	(17)
выполняется для любых х.
Решение. Полагая t = 2xZf неравенство (17) можно запи-
сать следующим образом:
t* + 2 (2а+1) / + 4а2—3 > 0.	(18)
Тем самым решение исходной задачи свелось к отысканию
всех значений а, при которых неравенство (18) выполняется для
любых t > 0.
Поскольку
/? + 2(2а+1Н+4а2—3 = /2 + 2/ (2а+1) + (2а+1)2 —
_(2а+1)2 + 4а2 —3 = (^ + 2а+1)2 —4(а+1),
то при а+1 < 0 (т. е. а < —1) неравенство (18) справедливо для
любого /, в том числе и для t > 0.
При а+1^0 имеем а-|-1 — (1)2; поэтому неравенство
(18) равносильно неравенству
(^ + 2а+ 1 + 2]ЛГ+Т)0 + 2а+1—2КМЛ) > 0.	(19)
При таких а справедливо неравенство —2а—1—2 j/"a-|-1
«С —2а— 1 + 2 Уа+ 1; следовательно, неравенство (19) выполня-
ется для любого t > 0, если выполняется неравенство •
—2a— l + 2/’a+T<0,
т. е. неравенство
2Va^A^2a-{-\.	(20)
172
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
При —1*Са^—1/2 неравенство (20) решений не имеет.
При а > —1/2 имеем
а >-1/2,	( а >-1/2, „
4(а+1)<4а2 + 4а + 1	\ 4а2 — 3^ 0
I а > —1/2,
I 4(а-/3/2)(а+/3/2)>б^а^^3/2’
Таким образом, только при а из множества (—оо; —1)(J
и [/3/2 ; + оо) неравенство (18) справедливо для любого t > 0.
Итак, неравенство (17) выполняется для любого х только при
всех а из множества (—оо; —1)11(1^3/2 ; +оо).
Решению неравенства (18) можно дать следующую геометри-
ческую интерпретацию. При каждом а квадратному трехчлену,
стоящему в левой части неравенства (18), на плоскости tOY со-
ответствует парабола, ветви которой направлены вверх, осью сим-
метрии служит прямая t — —2а— 1, а вершиной является точка
(—2а— 1; —4а—4).
При всех а < —1 вершина параболы, а'следовательно, и вся
парабола расположены в верхней полуплоскости. Это означает,
что квадратный трехчлен /2 + 2 (2а+1)/ + 4а2— 3 положителен
при любом /, в том числе и при / > 0.
При каждом а^ У 3/2 ось симметрии параболы расположена
левее оси OY и парабола пересекает ось OY в точке (0; 4а2 — 3);
при этом 4а2 — 3^0. Это означает, что квадратный трехчлен /2 +
+ 2 (2а +1) /4-4а2 — 3 положителен при любом t > 0.
Пример 21. При всех значениях а (а > 0, а & 1) решить
неравенство
|^ + ^+2_1 L	(21)
Решение. Обозначив t — axt неравенство (21) можно запи-
сать следующим образом:
| /2 + а2/_ 1	1,	(22)
где / > 0.
Поскольку /24-а2^— 1 =	( —а2 — V*а4 + 4)^	—X
х(—а2 + 1/"а2 4-4)^ при всех а, то неравенство (22) равносильно
совокупности двух систем (так как t > 0):
I 0< t <l(_a2 + /S^H),	[ ^^.(_а2 + |Г5Гр4),
I —/2 —a2/4-l^l,	I Z2 + a2Z—1^1.
Решим первую систему. Неравенство —Z2—a2Z+1^ 1 равносиль-
но неравенству Z24-a2Z«cO, которое при t > 0 решений не имеет;
следовательно, первая система решений не имеет.
Решим вторую систему. Неравенство Z2 + a2Z—1^1 равно-
сильно совокупности двух неравенств:
/<1(-а2-/^+8), /	(—а2+ К«Г+~8)-
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	173
Поскольку ~ (—а2 + а4 -|-8) > ~ {—а2 + Ка4 +4), то вторая
система совокупности равносильна неравенству Z^-i-x
х(—a2 4-Va4 +8). Следовательно, при а > 0, а 1 и любом х
неравенство (21) равносильно неравенству
ах у (—а2 +	•
Отсюда находим:
а)	при 0 < а < 1 неравенство (21) имеет решение
х < logo (—а2 + у а4+8) j ;
б)	при а > 1 неравенство (21) имеет решение
х^ loga ^у (—а2 +	+8) j.
ЗАДАНИЕ 1
Решить неравенство:
1) 5* > 3125; 2) 2«» < 16;	3) (1/0,125)» < 128;
у---	64
4) (1/64)» > /1/8;	5) 5V > 625;
6) 512 — 16///2» >0; 7) (4у)3 <Ж-7)/0’2 > (0,25-81/-*/2 ;
8)	(2,56)4 ГГ-1 < (125/512)ГГ~3;
9)	(3,24)2 rr“5S:(5/9)5Vr+1;
10)	44 <»+1)— ®/16»+100<0;	11) 95»>59049;
12)	47* < 16384;	13) 2У*+4 S&0,015625-4Г*+4;
14)	3» (0,(3))»“3< (1/27)»;
15)	(0,2)»+°-б/]/'5 >5(0,04)»;
16)	(1/8,(3))»-382> 0,00020736;
17)	f/(0?(6))» <
ЗАДАНИЕ 2
Решить неравенство:
1) 7» > 343; 2) 3~^=ЗКЗ’;	3) (3/2)2"2»< (8/27)»~2;
(Г* \ о у О	f-	X	/
у) <15-1-;
6) (0.04)»"1 <625«»-5;	7) 0,125-42»-3 > (0,25/^2 )“*;
8) (1/6561)»>27; 9) 73»<343;	10) 153» > 3375; 11
11)	Ss3; 12) (0,6)~0'25Г»> (421)У*-33/9-
174 ГЛ. 3» НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
13) (2,56)Г*"’^(5/8)4ГГ+1;	14) (0,1 (б))2*"8 0,25 < 324;
15)	/2 (0,5)5/(4 ГГ+,0)&:(162Г*’+2)~1;
16)	11 -0.00(5) х > 1/1331;
17)	27 > (0,(3))«~*.
ЗАДАНИЕ 3
Решить неравенство:
D flYЗ*’-^ < 0; 2) 4е’3*’"'-3*-’3’873 > ®/4 ;
3) 3*s-i?*+es,e< 271<3;	4) 5	8 & 625 у 25;
5)	< 1/8; 6) 6*8/2-“<3“^/61«-W«;
7)	(0,6)* (25/9)*8-И—(27/125)3 < 0;
8)	Кб*2-3*/’—14/^ > 0.
9)	2*-i У4* (0,125)1/х > 4 |/"у j
10)	5’/*7(*-1'Т)_25^-1^Г*’<0;
11)	2^*"+1 —16К(0,25)3“*/4>0}
12)	64.31''*"8—6<*-8)//*“8Sa0;
13)	2(2У^+3)1/^ 2У*^~161/^Х	> 0}
14)	з(зж- i)/(*-i)_27(*“3,/'(8*~ 7)< 0;
15)	И2*2+3*-1®й=(КзЗ+/128~1)*.
ВАДАНИЕ 4
Решить неравенство:
1) 2»2/4» < 8; 2) З*2-712* > (3 j/э")”1;
3) 2*2-3«+в'0<(16Уг2)-1; 4) (0,2)*3-м*+87-8<5 Уб;
5) (56VT)1/X—5,/Г“4>0; 6) 27<2*-1)/*— J<92*=T<0;
7)	2*2-3 5*2-8—0,01 (10*-1)3 < 0;
8)	у9*w-i)-s_ J/3 > 0;
9)	12*2+4/1444*—1/1728 < 0;
10)	72(*+2)''v*+2—64(0,(3))-4Sa0{
11)	(0,25)2-Гбд:+1—4.2y®*+1<0;
12)	i)/<У*х-1)_ 1000 yTo > 0;
13)	j/^/23* 2-1/Jt—K16 p/8 Эе 0;
14)	le1^8*»--	(0,5)* “ 7/3 41Z*<0;
15)	( ^/2 )*’“ W" 4 (/З + /8 »-	0.
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
175
ЗАДАНИЕ 5
Решить неравенство:
1) 5Х“3^73~Х;	2) 11*~7< 177“^;
3) 152*+4 —З3*54х-4*СО;
4^ 32 (2х+5) 52 (зх+1)_ 155x4-6 > 0;
5) 5х8х/(х+1) —ЮОгэО; 6) Зх+2—3х—72 > 0;
7)	2х—2х-4—15 < 0;	8) 2Х+2 — 5-2х~35а27 648;
9)	з2г^+заУГ-1-32Г~-2<11;
10)	3*-10_2*~е — 3*""11 — 2Х“12 > 0;
11)	93+х+32<х+1>3а738 ~ ;
12)	25х-1+26х-24-28х~3—896 < 0;
13)	52х-1+2х — 52х + 22х+2 > 0;
14)	52х — Iх—35-52*+35.7*<0;
15)	V72х+« — V49х+2—2х+8Н-2 (0,25)~1+0,8х > 0;
16)	23х+23х-1+23лг-2+23<х“1>—120 < 0;
17)	зх_|_2х-х —2Х+2—Зх-1 + 2х~3^0.
ЗАДАНИЕ 6
Решить неравенство:
1) 23x-2Ss=5x-2/3;	2) 8*~3 < 32*-«;
3) J-63x—22х33х<0;
О
4) 62х + 4__33х 2* + 8 > 0;
5) 5х 8(ж-1)/ж—500<0;	6) 2Х+3—2х—112 > 0;
7) З2х+3+32х—30 < 0;	8) 7-5х — 5х+2йа —450;
9) 2-16х—24х — 42х~2< 15;
Ю) 4х —Зх-°’3-|-22х-1—Зх+0’6 > 0;
11)	5-2ГГ— Э-2^-1 <56;
12)	54х-з_4.5«-1+854х+1 —24 505 С 0;
13)	5*-з__5х-4_ 15.5х-б_2*“3 > 0;
14)	3-4х4-|- • 9х+2—6-4х+1+4-9х+1<0;
о	А
f 1 \1-Х	/ 1 \1-Х
15ЦТ2т) “(тбэ) +'^-3+132х->0;
16) г1^-1—4«х+1+84х-1—163х_1—1280 < 0;
17) 5х+2+5х+1—5-5х-2+5-5х~3—5.5Х~«> 18 645.
ЗАДАНИЕ 7
Решить неравенство:
1) Зх+1+ 18-3~х > 29; 2) 2х —2 < 15-2<х-3>«;
3) 52х-1+5х+12а250;	4) 2х+1+4х<80;
5) Зх+«+9х+1—810 > 0;	6) 4х—9<2x+8log‘ 74og’ 5 < 0;
176
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
7)	2х_з.2°’8 (*-3)	32+log» в_jg.
8)	23*—8/23* —6(2*— 1/2*-1)< 1;
9)	9.52(*-2)_f_4.5a(*~x>—325 > 0;
Q
10)	23*4-8~*4-3-2*—154-4-3-2~* < 0;
о
11)	5log25 9 52 13 14 15*-i—j/ 125Iog26 16 5*~1^0,2;
12)	82/* — 2<3*+3>/* + 100lg ]/ 7.
____L . 81 1О£243 32.
16
13)	51+*2 —5l“*2 < (12Iog144 4 + 1°£122) (7Io 11S? 3 + log«4);
_________________________________________	2 log 2 7
14)	2*—2 (0,5)2* —(0,5)* —(log25 ']/62б) 64 3 °S’‘2’<0;
15)	27*—8 (0,(3))3* — 6-3* + 12 • 3 - * Sa 343/27;
16)	22*+1—5-6* 4-32*+Х0;
17)	2-7* —3-2* > 43/7-14*/2;
18)	3-16*-|-2-81* — 5-36* < 0.
ЗАДАНИЕ 8
Решить неравенство:
1) 52х-з__2.5*-2 > 3; 2) 9-52*“4 + 4-58“2* < 325;
3) 2«3*+1 — 5-9*-2^81;	4) 5-3* —3456/3* < 7;
5) 24* —50-4* —896 > 0;	6) 49* —6«7*4-5 < 0;
7) 5*-|-125/5*—30<0;	8) 3-(К2 )* —7-2*/4—20sa 0;
9) 2^*—5-2°>5ГГ < 24;
10) 4*—10 (log1/ie 1/4)1 -* Sa 9-10°’5 - ’е “-3 75 v;
11) (^/з)Х4-(1^/з)Х“10 >3(O,125)-°’<e’-o-(3)'<’g27;
12)	^2^-
13) 4*+^*!-2_5.2*~1 + ,/*2-а < (j.
14) 9*2-1 36-3*2-34-32“log’ 27 з|о5з 2 + loSs?3	3;
15) З*-1—15/3*~i-|-3*-2—23/3*"2<0;
16) 4-irt + 6-V* > 9-1/-*;	17) 3-4*4-2-9* —5-6* < 0;
18) 2-25* — 5-10*4-2-4*5*0.
ЗАДАНИЕ 9
Решить неравенство:
1) (0,13)*-м»—0,002197 > 0;	2) 27 — (0,(3))°-*За0;
3) зо,о1х3-о.вх-М<81 угз; ‘ 4) 5х-1/зя-б_125 < д.
5) (з-(зГГ+3)1/(2УГ))2/(ГГ-1)«з/’р/з";
6) 115|/(0,5)-*—2i/<«8-*> < 0;
7) 3‘3l/(2(1“*> С2.5Х + 9.5)) 2Х> (% —1» ^0;
§ 3. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
177
8) 1^/(17/25)9<*+2> V362*-1—216 К(25/17)-за; > 0;
/ Q \Зл;-7	/ 1 \7A-3
9)Ш	"(з)
Ю) 3*-з_|_(0,(3))2-*—(0,(1))«-«/а— 99 < 0;
П) |/(0,(1))2°-°>з*+2 l/З*3» — 21<0;
12)	34*+1+34*+2+34*+8—9620 < 0;
5 ! 1 \-i
13)	81*-7.92*+5-34*-2-8	<0;
Z/ J
14)	3*+3*+х + 3*+2—7*—7*+1—7*+2^0;
15)	27* —12*3*+48.3”*-64 (ОДЗ))3* —125/27 > 0;
16)	9i/*+6V*_4i/*^0$
ЗАДАНИЕ 10
Решить неравенство:
I)	25^/2^2’в-88/1>0;
2)	з*2-22*+1>8_0; (1)^0;
3)	3*^ *+ 0 (l/3)(2+vz *+*)/(2(1+1/ *))—27j/""3 < 0;
4)	125(л;~3)/<3*“ 7) |/~К(0,04)13х-1)/<*_ Ч— 1 5s 0;
5)	5x/(v7+2) (0)2)4/(i/~+2) —125«-4(0,4)*-2 > 0;
6)	(3 J<2)1/*i/"44*(16.3*)1/(12х> —(6 /’г*)1/!3*) saO;
7)	52*-3—1P~*<O;
8)	2*-2H-8°’<3>*->—40,5х-2_ю > 0;
9)	32х-з_9х-1_|_270’(6»	675s=0;
10)	9-16*4-64.16*-*—256.16*-2—384 > 0;
И) 2*2"1—Зхг—Зх2-1+2*3+2>0;
12)	24*+24*-1+24*-2 — 54*—54*-1—54*-2<0;
13)	8* 4-9-2* + 27.2-*+27.8“*—6859/64 < 0;
14)	92x+4_|-45.6« 4-45.6*—9-22*+2 <0;
15)	4*4-6*—9*<0;
16)	102/x4-251/*^4,25-501/\
ЗАДАНИЕ 11
1. Решить неравенство:
1) (О.г/2*-3’/**-2» > 5;	2) (l/3)l/7+2 > 3-*;
QA’-2	[ Ч \Х
5> 8-+-*?> !+ 4) :	6) (1/3)1 х+2 |/(2-|х|) >9;
о —	\ о у
7)	}<9*+3*=2>9— 3*;
7 Задачи по математике. Уравнения и неравенства
178
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
8)	х2 2^ + 9 (х+2) 2*+8х2< (х+2) 22*+9х2 2*+8х+ 16;
9)	]<2 (5х+ 24) — У’5х^7^У'5х + 7.
2. Решить систему
( j/2<3-4*—3,
| 2*+1+у—1=0.
3. Для всех значений а решить неравенство
а2_9^+1_8а.З^ > 0.
ЗАДАНИЕ 12
1* Решить неравенство:
2х+ 1
1 V‘\ f ‘ V8. ОЧ 0,2 [ 1 \* ( 1 W“ ..
MsJ >1'б) : 2) 3 Ы‘Ы >,:
3) 7Х-5Х-22==2.7Х-1-118-5х-1;	4) ^-^<2;
5) 8V 8* > 4096;	6) 2*+21 *1 Ss 2 V"2-,
7) j/r9x_з*+2 > 3*_9;	8) ж2.5«_5х+2 < Q;
9) /'13^-5<]/‘2(13^+12) —К 13*+5.
2. Решить систему
J #2S>5.4*+5/4,
\2*+2+2#+l=0.
3. Для всех значений а решить неравенство
а2_2«4^+1 —л.2^+1 > 08
У пражнения
1. Решить неравенство:
Л_2*-х > (1/16),д; Д 5*+1 < (1/25)1/х;
3) 31 Зх-4 I <92Х-2.	4) 51 4х-6|&25Зх-4;
5)_3х+87х+8<32х72х;	6) 32х+852*+8 < 35*58*;
7) 2*+4 7*+4 > 28х 78*;	8) 2x+25x+2^23x53jc;
j)_5x—Зх+i 2 (5*-1—3*~2);
Ю) 7*_2-’с~2<5.7*-1—2*-*;
П) 2*+8—5* < 7-2*-2—3-5*-1;
12)	3*+2+7* > 4-7*-*+ 34.3х-1;
13)	3*—2Х+4<3*-1—55.2*-1;
14)	б-б**1—5*+2+6.5*5=22;
15)	З-г^+^б-г^—2х+2<21;
”16)* 22х+6_Зх+9/2 ^Зх+7/2_4х+4.
)7) 4-х+!/2_7.2-х—4 < 0;	16х+1/2< 15.4*+4j
19) 9х+1+Зх+2—18 > 0;	20} 25~х—5~x+l^:50j
§ 8. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	179
21) 9*—2-3* < 3;	22) 4*—2*+*з==3;
23) 1~х—3.7*+* > 4;	24) 5*—53-*<20;
25) (1/4)*~2^2^“*+9;	J6)_ 3/2®-*<4*-4—7;
27) (1/6)*~® > 65-2*—12;	28) б2*-® < 2/51~*+15,
2.	Решить неравенство:
1)	2*+®4-6-2х-1—33 > 0;	2) (.2!°i\x*+x^ (20,25)2*-’;
Д4 (0,5)* <*+®> < (0,25)2*;	4) 22*-3—3.2*~®+1 > 0;
5)	4-4* > 7>2*4-2;	6) 32*+5<3*+2+2;
7)	52х+1_|_бх+1 > 30+ 5*30*;
8)	5*+1/2_9х^32»-2_5*-1/2;
9)	9У^+3<28.3^-1; ю) 2V7—21~у~<1;
1‘р gVх*~3л/+3 > %V"x.	12) 34x*-3x+l/2 < (1/3) ~ 4 °*2.
13) 9*41/х+5.61Д<4.9,/х;
14) 5.25,/*+3-10,/х^2.41/ж;
151	И-3*-1-31
1Ь) 4.9*_ц.зж-х—б23®»
4__7.5*
52Х+1 __ 12.5* + 4	*
17> 2^ < 10~+- -,	18) 32*/100* > 2(0,3)*+3;
191	24	1		901 2-3*+3—5*+3	..
' 1—25-*^ 5~*—6’	’ 5-3*—3-5* 4 ’
21)	7х-^/8 <71-х(У7)*2+6.
22)	3-4vT-*+3 < 10-г177"*;
23)	(2* —4) (х2—2х—3) > 0;
24)	(|/”2+1)(6*-6)/(д:+’1 <(|/"2— 1)-*;
25)	(]/”5+2)*- 1 ^(]/“5—2)<*-1)/<*+1>;
26)	8-\-2V3~x+i — 4v^~x+2v^~x+l > 5;
27)	4х+8 К^х2 > 4+(х2—2) 2*+2х2*К2—х2;
28)	4x2+3v~+1 + x3v~ < 2х23у~+2х+6.
3. Решить систему:
1)	( 2*+» = 4t/2+l,
j 2* < 2у;
2)	1 2*+1 = г/2 + 4,
\2^-1^у;
3)	( х+2У+1^ 12,
\4х+4» <32.
7*
180 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
§ 4. Логарифмические неравенства
Решение простейших логарифмических неравенств основано
на следующих свойствах монотонности логарифма:
loga f W > loga g(x),	( g (x) > 0,
{ « > b
a > 1	I f (x) > g (x);
( loga f (*) > loga 8 (X),	( f (X) > 0,
{	„ 1 0 < a < 1,
I 0<a< 1	I f(x) <g(x).
В данных переходах от простейшего логарифмического нера-
венства к равносильным системам неравенств, не содержащих зна-
ка логарифма, учтена область допустимых значений исходного
неравенства.
Решение любого нестрогого логарифмического неравенства
отличается от решения соответствующего строгого логарифмичес-
кого неравенства только включением в множество всех его реше-
ний множества корней соответствующего логарифмического урав-
нения.
Простейшие логарифмические неравенства:
1)	( logef«>0, / f(x)> 1,
| а > 1	I а > 1;
2)	( logaf(x)>0, (0<f(x)< 1,
| 0 < a < 1	| 0 < a < 1;
3)	JlogafW<0, ( 0 < f (x) < 1,
| a> 1	| a > 1;
4)	Jlog*fW<0, _ J f(x) > 1,
\0 < a < 1	\0 < a < 1.
Пример 1. Решить неравенство
х—2
10g’J=3<°‘
Решение. Поскольку основание логарифма больше едини-
цы, то данное неравенство равносильно двойному неравенству
		< 1 -	‘ Til О Со! b V о
Неравенство	л* о	х—2	л
		х—3 >	и
выполняется для < + оо* Неравенство	всех х из	промежутков —оо < х < 2 и 3 < х *-2 „ , ,	
		х—3	
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
181
равносильно неравенству
т. е. неравенству
решение которого есть х < 3.
Пересечение множеств решений каждого из неравенств систе-
мы есть промежуток — оо < х < 2, который и является множест-
вом всех решений исходного неравенства.
Пример 2. Решить неравенство
1g (х2 — 2х—3)^0.
Решение. Основание логарифма больше единицы; поэтому
данное неравенство равносильно неравенству
х2—2х—3^1 Ф»х2--2х—
» (х-(1 - V 5)) (х—(1 + /"5)) 0,
откуда следует, что интервалы — оо < х 1 — У 5 и 1 +	5
«С х < + оо составляют множество всех решений исходного нера-
венства.
Пример 3. Решить неравенство
* logi/ю (*2 + *+1) > 0.
Решение. Поскольку logj/jQ Л ==—1g Л, то данное нера-
венство равносильно неравенству
х lg (х2 + х+1) < О,
которое равносильно совокупности систем
i х > 0,	( X < О,
| lg (х2+х+1) < О, I lg(x2+x+l) > 0.	( )
Решим первую систему. Так как х2 + х+1 > 1 при х > 0, то
Ig (х2+х+1) > б при х> 0; поэтому первая система совокупнос-
ти (1) решений не имеет.
Вторая система совокупности (1) равносильна системе
JxCO, ааМ<0’	—1
| х2+%+1 > 1	\ х(х+1) > 0^ ж< •
Следовательно, промежуток — оо < х < — 1 есть множество
всех решений исходного неравенства.
I Пример 4. Решить неравенство
V	.	5— 12х . .
Oga 12^8+ OgV2 °’
Решение. Так как log1/2 х=log2х, то данное неравенст-
во равносильно неравенству
.	5—12х	.
log2i2T=8<loga*’
182
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
которое, учитывая, что основание логарифма больше единицы,
равносильно системе неравенств
,2х“8	(2)
S 5—12х	W
( 12х—8<Х‘
Неравенство
fe^>0^TZS?<0^5/I2<x<2/3i
1ZX —“О	Л —Z/O
Поскольку 12х—8 < 0 при найденных значениях х, то на интер-
вале 5/12 < х < 2/3 второе неравенство системы (2) равносильно
неравенству 5—12х^х(12х—8), откуда — 5/6<:х< 1/2. Из этих
значений х решениями исходного неравенства являются лишь те,
которые удовлетворяют двойному неравенству 5/12 < х < 2/3.
Таким образом, множеством всех решений исходного нера-
венства есть промежуток 5/12 < х^ 1/2.
Пример 5. Решить неравенство
logs(х2—2) < logs^-|-|x|—
Решение. Поскольку основание логарифмов больше едини-
цы, то данное неравенство равносильно системе неравенств
( х2—2 < — |х|— 1,
( х2—2 > О,
которую, учитывая, что х2 = | х |2, можно переписать в виде
Г |х|2— 2 < 4 |х|— 1,
[ |х|2—2 > 0.
Положив / = |х|, отсюда получаем систему (относительно t)
(t^O,	(
. /2-2>0,	0+Г2)0-^2)>0,^
2/2 —3£—-2 < 0	2^+4) (I— 2) < 0
ОО,
i — V~2 > 0,	V~2 < t < 2.
t—2 < 0
Итак, исходное неравенство равносильно неравенству
К 2 < |х| < 2,
откуда следует, что множество всех решений исходного неравенст-
ва состоит из промежутков — 2 < х < — }^12 и ]/”2 < х < 2,
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА	183
Пример 6. Решить неравенство
log „ (х2-Зх+2)^2.
stay
п	*г	. Л V 3
Решение. Так как sm	то данное неравенство рав-
о Л
носильно неравенству
1о^т/2(х2-3л+2^2,о^т/21^‘
Так как основание логарифма меньше единицы, то получен-
ное неравенство равносильно системе неравенств
(х2—Зх+2^3/4,
)х2—Зх+2 > 0.
Решая первое неравенство этой системы, найдем, что 1/2«С
<^х^5/2. Решением неравенства х2— Зх+2 > 0 являются про-
межутки — оо <х < 1 и 2<х< + оо. Пересечение полученных
множеств решений неравенств системы является множеством всех
решений исходного неравенства, т. е. промежутки 1/2 «С х< 1 и
2 < х^5/2.
Пример 73 Решить неравенство
•V	fiyogV9(x2"Tx+1)<l.
\ 3 у
Решение. Из свойства монотонности показательной функ-
ции (основание меньше единицы) следует, что данное неравенство
равносильно неравенству
1о21/э (х2—
Поскольку основание логарифма меньше единицы, то отсюда за-
ключаем, что исходное неравенство равносильно неравенству
0<х2-^х+1<1,
О
т. е. системе двух квадратных неравенств
р_^х+1 >0,
1	&
|х2—~х«С0.
1	«5
(3)
Из первого неравенства этой системы найдем, что его реше-
нием являются промежутки —оо <х< 1/3 и 3 < х < + оо. Ре-
шение второго неравенства есть промежуток 0 х^С Ю/З. Пересече-
ние множеств решений неравенств системы (3), т. е. все х из про-
межутков О^Сх < 1/ЗиЗ<х< 10/3, является решением исходного
неравенства.
184
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 8. Решить неравенство
I	.	/. х2 +*\ А
V	ogo>6 VogeT+4 ) < °‘
Решение. Поскольку основание логарифма меньше едини-
цы, то данное неравенство равносильно неравенству
. Л г- л
i0geT+4
которое, учитывая, что основание логарифма больше единицы,
равносильно неравенству
+^>6,
х+4
т. е. неравенству
Х2+Х й.	5х—24
> 0.
Поскольку х2—5х—24= (х+3) (х—8), то, решая неравенство
(*+3)(х-8К а
х+4
методом интервалов найдем, что множество всех его решений, а
значит, и исходного неравенства, есть промежутки —4<х<—3
и 8 < х < + оо.
Решение неравенства вида
f (toga *) О,
где /—некоторая функция, при помощи замены t = 1ogax сводит-
ся к решению неравенства f (/)	0 с последующим решением со-
ответствующих простейших логарифмических неравенств.
/Пример 9. Решить неравенство
lg2x“31gx+3	-
1g х—1
Решение. Положим у — 1g х, тогда данное неравенство при-
нимает вид
y-i
Это неравенство равносильно неравенству
т. е. неравенству
«/—I
Решением последнего неравенства является промежуток — оо <
< У < ь
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА	185
Отсюда заключаем, что данное неравенство равносильно нера-
венству
lg« < 1.
решение которого есть интервал 0 < х < 10*
ример 10. Решить неравенство
log4 (3* — 1) logi /4	< А,
Решение. Положим у=Зх— 1; тогда данное неравенство
принимает вид
log4ylog1/4-^<^-.	(4)
Поскольку
1О81/4 'Й==~ 10g4 '[б==~~ (,0М~ log* >6) =2“log4 V,
то неравенство (4) перепишем в виде
2 log4i/—log! ^<3/4.
Положив t — log4 у, имеем неравенство
/2—2Z+3/4^0,
решением которого являются промежутки •— оо < / «С 1 /2 и
3/2</ < + оо.
Таким образом, для нахождения значений у имеем совокуп-
ность двух простейших логарифмических неравенств
log4#^s3/2.
Решение этой совокупности есть промежутки 0<у^2 и
8<z/ < +оо.
Следовательно, исходное неравенство равносильно совокуп-
ности двух показательных неравенств
О < 3*—1<S2,
3х —1^8,
т. е. совокупности
1 < 3*^3,
3*^9.
Решением первого неравенства этой совокупности является про-
межуток 0 < решением второго —промежуток 2^х< Ц-оо.
Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех
значений х из промежутков 0 <	1 и 2<Сх< -f-oo.
Существуют различные способы оформления решения лога-
рифмического неравенства. Наиболее распространенные из них —
метод перехода к решению равносильных совокупностей неравенств
и метод разбиения ОДЗ данного неравенства на промежутки, на
которых решаются соответствующие равносильные (на рассматри-
ваемом промежутке) неравенства. По существу, эти методы реше-
ния одинаковы и различаются только способом оформления.
186
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 11. Решить неравенство
log,. (24-*) < 1.
Решение.
Первый способ. Данное неравенство равносильно нера-
венству
logx2 (2+х) < log^x2,
которое равносильно совокупности двух систем
X2 > 1,
2+х < х2,
2 + х > О,
О < х2 < 1,
х2 < 2+х.
(5)
Решением первой системы совокупности (5) являются про-
межутки — 2 < х < — 1 и 2 < х < + оо.
Решением второй системы совокупности (5) являются про-
межутки — 1<х<0и0<х<1.
Объединяя полученные множества решений систем совокуп-
ности, находим множество всех решений исходного неравенства —
все х из четырех промежутков: >-2 < х <— 1, —1 < х < О,
0<х< 1, 2 < х < + оо.
Второй способ. Область допустимых значений данного
неравенства определяется системой
f х2 > О,
I х2 1,
( 2+х>0,
откуда находим ОДЗ неравенства:
>— 2 < х < — 1,	—1 < х < 0,	0 < х < 1,	1<х< + <Ю|
а)	Рассмотрим сначала данное неравенство на множестве
(—2; —+ 00)- На этом множестве оно равносильно нера-
венству
2+х< х2,
(так как х2 > 1), решением которого на этом множестве являются
промежутки — 2 < х < — 1, 2<х< + оо.
б)	На множестве (—1; 0) (J (0; 1) данное неравенство равно-
сильно неравенству
2+х > х2.
(так как х2 < 1), решением которого на этом множестве являются
промежутки — 1<х<0и0<х<1.
Объединяя полученные решения, получим множество решений
исходного неравенства — все х из промежутков —2<х< — 1,
— 1<х<0, 0<х< 1, х > 2.
При решении логарифмических неравенств следует избегать
преобразований, которые могут привести к потере или появлению
посторонних решений, так как в противном случае обоснование
правильности ответа, как правило, есть более сложная задача, чем
решение исходного неравенства. Тем самым, по существу, един-
ственным методом решения логарифмических неравенств является
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
187
метод перехода к равносильным неравенствам (системам или сово-
купностям).
Пример 12. Решить неравенство
logs (х+2) (x+4)+Iog1/3 (х+2) < у logy-7,
Решение. Область допустимых значений неравенства со-
стоит из всех значений х, удовлетворяющих условию х > —2.
При этих значениях неизвестного
log1/s (х+2)= — logs (х+2), -J logy-7=logs7
и
logs (х+2) (х+4) = logs (х+2) + logs (х+4);
поэтому исходное неравенство можно записать в виде
logs (х+2) + logs (х+4) — logs (х+2) < logs 7
или
logs (х+4) < logs 7.
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе нера-
венств
J logs (*+4) < logs 7,
( х >— 2.
Решение первого неравенства этой системы есть промежуток
— 4 < х < 3. Из этих значений х второму неравенству удовлет-
воряют только те х, которые принадлежат интервалу —2 < х < 3.
Следовательно, множеством всех решений исходного неравенства
является интервал — 2 < х < 3.
Пример 13. Решить неравенство
l°gi/s («2—6х+18)—2 log1/s (х—4) < 0.	(6)
Решение. Область допустимых значений неравенства опре-
деляется системой
( х2—6х+18>0,
( х—4 > 0.
Из нее находим ОДЗ: промежуток 4<х< + оог Данное нера-
венство на ОДЗ равносильно неравенству
l°gi/s (х?—6х+18) < 10g1/3 (х—4)2.
Основание логарифма меньше единицы; поэтому неравенство (6)
равносильно системе
J х > 4,
Х2_6а-+18> (Х_4)2Л
Поскольку
( х > 4,	f х > 4,
\ х?—6х+18 > (х—4)?	6х+18 > х2—8x+16w
х>4’	х>4 &х>4,
\ 2х+2>0^\ х> —1^	’
188
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
то множеством всех решений исходного неравенства является про-
межуток 4 < х < + оо *
Пример 14. Решить неравенство
log» log! V1—х/4.
Решение. ОДЗ неравенства задается системой
( х > О,
1 1-А>0,
к 4
откуда находим 0 < х < 4.
Поскольку log3 К1—х/4 = у log3 (1 — х/4) = iog9!~=—, то
имеем
О < х < 4,	Г loggx—logl ^^0,
log»х^ log?	\ 0 < х < 4
X— logg	^0’ фф
1 0 < х < 4
log»-Цр-log, 5-^0,
V 0 < х < 4.
Полученная система равносильна совокупности двух систем
f 0 < х < 4,	( 0 < х < 4,
.	х(4’—х) п log» ' 4 5а 0.	,	.	х(4 — х) logo 4 <0-	(7)
1	4х _ Л l°g9	
Решая первую систему совокупности, имеем
( 0 < х < 4,
| х(4—х)
4	-'Л’4Ф
О < х < 4,
( 0 < х < 4,
х2—-4x4-4 <20,
(х—2)а < О,
Ф^х=2.
х Sa 4/5
Решая вторую систему совокупности, имеем
( 0 < х < 4,
х(4—х)
~~1
Г 0 < х < 4,
х2—4х+4^0, , х
4x^4—х
< х<4/5.
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
189
Таким образом, множеством всех решений совокупности систем (7),
а следовательно, и исходного неравенства являются х —2 и
О < х 4/5.
Неравенство вида
l°gf(X>g (х) > о
равносильно совокупности систем
j 0<f(x)<l,	( f(x)>l,
\ 0 <g(x) < 1,	\ g(x) >1,
а неравенство вида
log/u>g(x)S8 0
равносильно совокупности систем
( 0 < f (х) <1, ( f(x) > 1,
I 0 < g(x)< 1, | g(X)^:l.
Неравенство вида
bg/U)g(*) < 0
равносильно совокупности систем
J 0<f(x)<l,	( f(x)>l,
I g(x) > 1,	( о <g(x) < I,
а неравенство вида
равносильно совокупности систем
( 0 < f (х) < 1,	( f(x)>l,
t о < g (X)< 1-
Пример 15. Решить неравенство
i 2x+2/5	_
log-57Tbr>0-
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности
двух систем
( х > 1,	f 0 < х < 1,
1 2х-|-2/5	I 2x4-2/5
( 5(1—х) ’ V 5(1-х)
Решим первую систему. Имеем:
( X > 1,	f X > 1,	/ X > 1,
1	>1^1 2х+2/5 <5(1— х)	| 7х<23/5^
\ 5(1— X)	V
„ / Х> 1,
х< 23/35,
поэтому первая система совокупности решений не имеет,
190 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Рецлш вторую систему. Имеем:
2х-|-2/5
5 (1-х)
2х+2/5
5 (1 —х)
2х 4-2/5
ч 5(1—х)
х+1/5
1—х
2х+2/5 <5(1— х)
\
1,
х-4-1/5
1— X
7х < 23/5
х < 23/35
1, О 0 < х < 23/35.
Таким образом, решением совокупности, а следовательно, и
исходного неравенства является интервал 0 < х < 23/35.
Пример 16. Решить неравенство
log-^+12x-8l4x-5l>0'
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности
систем
— 4х2+12х—8 > 1, I 0 < — 4х2 + 12х—8 < 1,
14х—5 | > 1,	| 0 < 14х—5| < 1.
Первая система этой совокупности решений не имеет, так как
неравенство—4х2+12х—8> 1 равносильно неравенству (2х—З)2 <
< 0, которое не имеет решений.
Первое неравенство второй системы совокупности справедливо
при 1 < х < 3/2 и 3/2 < х < 2, а второе неравенство этой системы—
при 1 < х < 5/4 и 5/4 < х < 3/2. Поэтому решение второй системы,
а следовательно, и исходного неравенства есть множество всех х
из промежутков 1 < х < 5/4 и 5/4 < х < 3/2.
Неравенство вида
1о8ф (х) f <*) > logq,(x)g(x)>
где f, ф, g—некоторые функции, равносильно совокупности систем
( f(x) >'g(x),	f f (x) < g (*)>
i S W > 0>	< f(x) >0,
UW > 1.	0 < ф (x) < 1,
а неравенство вида	
10gq>WfW&	log<p(x)gW
равносильно совокупности систем	
f f(x)^g(x),	( f(x)<g{x),
{ g (x) > 0,	{ f(x) > 0,
1 4>W> 1,	V 0 < ф (x) < 1.
Неравенство вида
log<p(x)/W < log<p(x)g(*)
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
191
равносильно совокупности систем
( f(x)<g (х),	( f(x) >g (х),
] f (х) > 0,	•! g (х) > О,
V Ф (х) > 1, V 0 < ф (х) < 1,
а неравенство вида
равносильно совокупности систем
( f (xXg(x), ( f(x)^g(x),
I f (x) > 0,	•! g (x) > 0,
V Ф (x) > 1,	( 0 < ф (x) < L
R Пример 171 Решить неравенство
log|x|(K9=H-x-l)^l.
Решение. Перепишем неравенство в виде
log, х | (Т^9—х? — х— 1) log, х 11 х |.
Это неравенство равносильно совокупности систем
( Кэ—х?—х—1^1 х|,
I IХ1 > ь
т. е. совокупности
( У9—х2 — х—-1	х|,
I 1*1> 1>
]/"9—х2 — х— 1 «с| х |,
У9-~х?-х-1 > о,
О < |х| <1,
|х|^)<9-х?~-х-1,
У”9^й>1+х,	(8)
0 < |х] < 1.
Первая система совокупности
систем	_____
f У 9*-х3^2х+1,
(х> 1,
Имеем:
(8) равносильна совокупности
у 9—Х?3э 1,
х < —1.
(9)
( 1^9—x2Ss2x+l,	( 9—х2^4х24-4х+1,
I X > 1	I X > 1	_ _______________
V? % r . 1	<=? 1	О	5
1	1х>1,
—2+2 /И ,	т,
так как ----!-=—--< 1, первая система совокупности (9) не
о
имеет решений.
Решим вторую систему совокупности (9). Имеем!
х2^8,
х < — 1	__
4^—2 К 2<х< —1.
192
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Таким образом, промежуток —2/ 2^х <— 1 есть множество
всех решений совокупности (9), т. е. первой системы совокуп-
ности (8).
Вторая система совокупности (8) равносильна совокупности
систем
' 0 < х < 1,	/ — 1 < х < О,
 Vr9=x2<2x+1,	(10)
.	1+х,	> 14-х,
Решим первую систему совокупности (10)* Имеем:
( 0<х< 1,
J /9—х2< 2x4-1,
( Y9—х2 > 14-х
0 < х < 1,
9—х2^4х24-4х+1»
9—х2 > 14-2х4"^2
( 0 < х < 1,
<=> ! 5х24-4х—8^0,
V 2х24-2х—-8 < 0.
Решением неравенства 5х24-4х—8^0 являются промежутки
„	2-2 УП -24-2/ТТ	п
— оо < х«С-----=---- и -------------<х<4-°°’ Решением
5	5	__
—1 — 1/' 17
неравенства 2х24*2х—8 < 0 является промежуток--g-----<
. „ , -14-/"17
<х< g .
_24-2УгТТ , — 1 + J/T7
Поскольку --L——£----< 1 <-----к2---, то
О
' 0 < X < 1,	___
2x4-1, ф» W < х < 1,
, Y9—х* > 14-х
т. е. решением первой системы совокупности (10) является про-
— 24-2/11	.
межуток-------------<£ х < 1 *
Вторая система совокупности (10) не имеет решений, так как
' — 1<х<0, J" — 1<х<0,	( — 1 < х < О,
/9^F<1,	х2^8,	|х|^2/2,
/9^х2>14-х	l/9^j^>14-x	1/9^х2>14-х,
и последняя система решений не имеет.
__2 4-2/11
Таким образом, промежуток —--------<:х<1 есть мно-
жество всех решений совокупности (10), т. е. второй системы со-
вокупности (8).
Итак, множество всех решений совокупности (8), а следова-
тельно, и исходного неравенства состоит из промежутков
__2 /2~<х <	1	*<х < 1
Z у Z X S, — 1, —— g----^ss х 1 i
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
193
Пример 18* Решить неравенство
log* 2х < /log* (2л3).
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
log* 2 +1< / log* 2+3,	(11)
так как log* 2х=log* 2+log* х= log* 2+1 и log* (2х8) = log* 2+
+ log* х8 = log* 2+3.
Положим у = log* 2; тогда неравенство (11) запишется в виде
/7+3 SsH-l-	(12)
Решим это неравенство. Его ОДЗ есть промежуток —3<Г£ <+оо.
При у < —1 промежуток —3 у < —1 из ОДЗ входит в множество
решений неравенства (12), так как у-\-1 < 0. При у~^—1 получаем
равносильное неравенство
</+3^+2£/+1
или
у2+у—2«s0,
решение которого есть —2<:^<;1. Поэтому промежуток
—1	есть решение неравенства (12) на множестве у —1.
Таким образом, решением неравенства (12) является промежуток
~3<г/<1.
Следовательно, исходное неравенство равносильно системе не-
равенств
logx 1,
fogx 2	—3.
Область допустимых значений этой системы состоит из всех к > 0,
х 1.
Если 0 < х < 1, то log2 х < 0. Поэтому
т2-
• Ogi2X	log2x<l, ]	_1/3<^
1	~~~- з I log2x<—1/3
I log2x "
«0<х<1/|/2.
Таким образом, на множестве 0 < х < 1 решение системы (13) есть
промежуток 0 < х 1 /2.
Если х > 1, то имеем
l/log2x<l,
l/log2 — 3
10g2 xi —1/3 ,Og2 1	2-
Таким образом, на множестве х > 1 решением системы неравенств
(13) есть промежуток 2^х < +оо.
Итак, множество всех решений системы (13), а следовательно,
и исходного неравенства состоит из промежутков 0 < х^ 1/ j/ 2
и 2<х < +оо.
194 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Пример 19. Решить неравенство
-i-Iog2x иоф
^2*
(14)
Решение. Область допустимых значений неравенства состоит
из всех х > 0. На ОДЗ имеем:
следовательно, данное неравенство равносильно неравенству
-2+~iog!x	— log|x
2	2	2 S=24	2
—2+ — logl X Ээ J- log! X.
Последнее неравенство равносильно совокупности неравенств
log2 х^ 2 У 2,
log2 х<—2 У 2*.
Множество всех решений этой совокупности, а следовательно, и
неравенства (14) состоит из промежутков 0 < х«С 2~ 2^2 и 22 2
аСх < 4~оо.
Пример 20. Решить неравенство
logs (х2 —4х—11)2 —logii (х2—-4х— И)3	0
2 —5х—-Зх2	"
Решение. ОДЗ данного неравенства состоит из всех х,
удовлетворяющих системе
х2 — 4х— II > 0,
—Зх2—5х+2	0,
т. е. является объединением трех промежутков: —оо < х < —2,
—2<х<2—/15, 24-/15 < х < Ч-оо. Поскольку при таких
значениях х имеем
log5 (х2—4х— И)2 = 2 Iog5 (х2—4х—11)
logii (х2-4х -	..!9
то исходное неравенство равносильно на его ОДЗ неравенству
3 logs (х2~4х-11)
logs И /	2-5х-Зх2
(15)
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА	195
Из верного числового неравенства 11 < 53/2 следует
log5 И < 3/2 и 2 — 3/log5 11 < 0. Поэтому неравенство (15) равно-
сильно неравенству
Зх2 + 5х-2	v '
Это неравенство на ОДЗ исходного неравенства равносильно сово-
купности двух систем
I log5 (х2—4х—-11) ^0,	( log5 (х3 —4х —11) «СО,
) Зх2+5х—2 >0,	( Зх2+5х—2 < 0,
т. е. совокупности
J х2 —4х—11^1,	( х2—4х— 11=С1,
( Зх2+5х—2 >0,	\ Зх2+5х—2 < 0.	( }
Множество решений первой системы совокупности (17) состоит
из промежутков —оо < х < —2, 6«Сх < +оо, которые принадле-
жат ОДЗ исходного неравенства. Множество решений второй си-
стемы совокупности (17) есть интервал —2 < х < 1/3. Из этих
чисел в ОДЗ исходного^неравенства входят только числа из интер-
вала —2 < х < 2 — У 15.
Итак, множество всех решений исходного неравенства состоит
из трех промежутков: —оо < х < —2, 6<;х < 4~оо, —2 < х <
< 2— V15.
Пример 21. Решить неравенство
9
log, (Кх‘-4«+3) > ^.„F;i,_fa+yt+1 + 1 + •
Решение. Область допустимых значений неравенства со-
стоит из всех х, удовлетворяющих системе
f х2—4х^0,
( Х+1^:0,
т. е. состоит из промежутков —1=Сх^0 и 4*Сх<+оо(
Поскольку на этих промежутках
logl/2 Vx2—4x+/^+T+i	=
“ "’«« 7?=l+riW=b!- (Г«-*=с+	+1),
то исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству
/х2-4х+3> Vх2-4х+Кх+14-1,
т. е. неравенству
V х+1 <2.
196 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Последнее неравенство равносильно неравенству
0<х+1 < 4,
т. е. неравенству —I ^х < 3. Из этих значений х в ОДЗ исход-
ного неравенства входят только х из промежутка —1 «Сх<:0.
Итак, решение исходного неравенства есть промежуток —1
<хС0.
Пример 22. Решить неравенство
(j/‘X2_4X4-3+1) iogj-£_|__l (У8х— 2х2—6+0<0.	(18)
Решение. Область допустимых значений исходного нера-
венства состоит из всех х, удовлетворяющих системе
( х > 0,
х2—4х 4-3^0,
8х—2х2—6^0,
т. е. системе
( х > 0,
j х2—4x4-3^ 0,
V х2 — 4x4-3 «С 0.
Отсюда следует, что ОДЗ состоит из всех х, удовлетворяющих
системе
( х > 0,
| х2 —4x4-3 =0.
Поскольку квадратное уравнение х2 — 4х 4-3 = 0 имеет поло-
жительные корни Xi = 1 и х2 = 3, то ОДЗ исходного неравенства
есть х= 1 и х = 3. Решения исходного неравенства лежат в его
ОДЗ; поэтому решения находятся среди чисел 1 и 3.
Пусть х=1. Подставляя это значение в левую часть нера-
венства (18), получаем log5 -1*4-1 ——1 +1 =0, т. е. значение х= 1
является его решением.
Пусть х = 3. Тогда левая часть исходного неравенства равна
log5-|-4““j- = log6 3—1 4~~=log63—g- = logs	.
3
Поскольку 27 > 25, то 3 > 52^3, т. е. —т- > 1; следовательно,
£2/3
3
logs —т~ > 0. Поэтому значение х=3 не является решением исход-
о /
ного неравенства.
Таким образом, множество решений исходного неравенства
состоит из единственного числа х=1.
Пример 23. Решить систему
4 logi х+1 = 2 log2t/,
log2 х2 log2 у.
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
197
Решение. Область допустимых значений системы определя-
ется системой неравенств к > 0, у > 0. Второе неравенство систе-
мы на ОДЗ равносильно неравенству 2 log2 х log2 у, заменяя
в котором 2\og%y на 4 log2 х-[-1, получаем неравенство
4 log| х—4 log2 х+1 «С 0,
т. е.
(21og2x—1)2<0.
Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда
2 log2 х—1 =0, т. е. при х=рг2.
При х—У"2 из уравнения системы находим у = 2.
Проверка показывает, что пара чисел (1^2; 2) удовлетворяет
данной системе, а, значит, исходная система имеет единственное
решение (К2; 2).
Пример 24. Решить систему неравенств
I loga-* (2—У) > 0,
I log4-j, (2х—2) >0.
Решение. Если числа х, у удовлетворяют данной системе,
то они удовлетворяют и условиям 2 — х > 0, 2—х^1, 2х—2>0,
4—у > 0, 4 — у Ф 1, 2—у > 0, т. е. системе неравенств 1 < х < 2,
у < 2. На этом ОДЗ для оснований логарифмов исходной системы
имеем
0 < 2 —х < 1, 4—у > 2.
Таким образом, данная система равносильна системе
1 < х < 2,
у < 2,	( 3/2 < х < 2,
о <2—у< 1,^1 1 <У<2.
k 2х—2 > 1
Следовательно, множество всех решений исходной системы есть
множество пар (х, у), где х принадлежит интервалу (3/2; 2), а у
интервалу (1; 2).
Пример 25. При 0 < а < 1/4 решить неравенство
log^+a 2 < logx4.
(19)
Реш е н и е. Заметим, что х > 0 и х # 1.
Данное неравенство равносильно неравенству
т. e. неравенству	1	2 loga (x+a) " loga* ’ 2	1 loga* loga(*+«) > ’
откуда
2 log2 (х-]-а) —log2 х
log2xlog2 (x+a)
(20)
198
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Если 0 < х < 1, то log2 х < 0; если х > 1, то log2 х > 0. Поэтому
неравенство (20) равносильно совокупности-двух систем
0 < х < 1,
21og2 (х+а) — log2x	0	(21)
log2(*+a)
х > 1,
2 log2 (х+а) —log2 х
log2 (x+a)
(22)
Решим систему (21).
При 0 < х+а < 1 имеем 0 < х+а < 5/4, так как 0 < а < 1/4
и log2(x+a) < 0; при х+а > 1 имеем log2(x+a) > 0. Поэтому
система (21) равносильна совокупности двух систем (а > 0, х > 0):
0 < х< 1,
•I 0 < х+а < 1,
V 2 log2 (а+х) —log2 х > 0
(0 < х < 1,
х+а > 1,
2 log2 (а+х) — log2 х < 0
~ ( 0 < х < 1—а,
1 (х+а)2 > х
** i 1 — а < х < 1,
Д (х+а)2<х
0 < х< 1,
•! х < 1—а,
I logs (а+х)2 > Iog2x
/ 0 < х < 1,
«! х > 1 — а,
UI 1о^2 (а+*)2 < toga*
0 < х < 1 а,
| х2—(1 —2а) х+а2 > О
( 1 —а < х < 1,
Д х2 — (1 — 2а) х+ а2 < 0. (23*)
При всех 0 < а < 1/4 дискриминант D квадратного трехчлена
%2—(1—2а) х+ а2 положителен (D = 1 — 4а); поэтому
х2—(1—2а) х+а2=: (х—Xi.) (х—х2),
где	_____ _______________________
Х£— 1/2—а—У 1/4 — а и х2= 1/2 —а+]/*1/4 —а,
причем Xi < х2.
Числа Xi и х2 удовлетворяют системе
J хгх2 = а2,
\ Х1+х2=1 —2а,
откуда следует, что при заданных ограничениях на а числа xj и
х2 положительны. Кроме того, поскольку xi+x2=l—2а =
— 1—а—а< 1—а, то каждое из них меньше 1—а. Поэтому
система (23') решений не имеет.
Решением системы (23), а следовательно, и системы (21) (при
О < а < 1/4) являются все х из интервалов 0<х<ххих2<х< 1—а<
Решим систему (22). Неравенство
2 log2 (х+а) —log2x 0
log2 (х+а)
равносильно неравенству
2-
log2x
log2 (х+а)
(24)
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА	199
При х > 1 и 0 < а < 1/4 справедливо неравенство х < x^at
•откуда в силу возрастания функции ^ = log2x имеем log2x<
< bg2 (х+а).
Поскольку log2x > 0 и log2 (х+а) > 0, то
О <	!°g».*— < I.
< log2 (х+а)
Следовательно, неравенство (24) справедливо для всех х> 1,
О < а < 1/4.
Таким образом, множество всех решений системы (22) есть
промежуток 1 < х < +©о.
Итак, при любом а из интервала 0 < а < 1/4 множество всех
решений неравенства (19) состоит из трех промежутков:
О < х < 1/2 —а—1/4— а;
1/2—а+1^1/4— а < х < 1 — а, 1<х<4~оой
Пример 25. Найти все значения а, при которых неравенство
1 + logs (> +1) logs (ах2+4х+а)	(25)
выполняется для любого значения х.
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
logs 5 (х2+1) log5 (ах2 + 4х+ а).
Основание логарифма больше единицы; поэтому данное неравен-
ство равносильно системе
( 5 (х2+ 1)	ах2 + 4х + а,
( ах2+4%+а > 0.
Таким образом, требуется найти все значения а, при которых
системе неравенств
J (а—5) ха+4х+(а—5)<0,	_
( ах2 + 4х-|~а>0	' '
удовлетворяет любое значение х.
При а = 5 первое неравенство системы (26) принимает вид
4x^0, которое не выполняется, например, для х=1.
При а = 0 второе неравенство системы (26) принимает вид
4х > 0, которое не выполняется, например, для х==—1.
Пусть а > 5. Рассмотрим первое неравенство системы (26).
Для х = 0 оно принимает вид а—5<:0. Это означает, что при
любом а > 5 значение х=0 не является решением системы (26),
а следовательно, и исходного неравенства.
Пусть а < 0. Рассмотрим второе неравенство системы (26). Для
х=0 оно принимает вид а > 0, что противоречит неравенству
а < 0. Следовательно, при а < 0 значение х = 0 не является ре-
шением системы (26), а следовательно, и исходного неравенства.
Пусть 0 < а < 5. Квадратный трехчлен (а—5) x2-f-4x-j-(a—5)
неположителен для любого х, если его дискриминант D ==
= 16—4 (а—5) (а — 5) неположителен. Квадратный трехчлен
ах2 + 4%+а положителен для любого х, если его дискриминант
£>= 16 —4б?3 отрицателен.
200 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Таким образом, поставленная задача сводится к решению
системы
/ 0 < а < 5,
J 16—4 (а—5)2<0,
V 16 —4а2 < 0.
Поскольку
(0 < а < 5,	/ 0 < а < 5,	f 0 < а < 5,
—4 + (а—5)2^>0,	! (а—7) (а—3)	0,	-! а—3<:0,
а2 —4 >0	V (а—2) (а 4-2) >0	( а—2 > 0
<=>2 < а<3,
то исходное неравенство справедливо для всех х только при а из
промежутка 2 < а «С 3.
ЗАДАНИЕ 1
Решить неравенство:
1) log2 (2х— 1) > — 2; 2) log1/3 (5х—1)	0;
3) Iog3 (6x4-5) < 1/3; 4) log1Z11 (2x+21) <-2;
5) log1/2 (х2—5x4-6) >—1; 6) lg (х2—5x4-7) < 0;
7) log5 (5х24-6x4-1) < 0; 8) log1/2 (х2/6-х+35/24) 0;
о 1	2х—8	2—Зх
9)	'"х^2 < °* 10) 1о£о,(з) —-—1;
Н) 10g.,,i=i«-2; 12) 1оВ1/е^±А>-1;
,	7x4-1 _ о 144 1	х24-4х	.
13) oga х+2 <3;	4) og!/3 2х—3 < 1;
15)	>Og0,5 Slnn/4 <4*2- 16*+ 15) -2;
16)	log2(x2—4х—5)<4;
17)	log1/5(/xa-l--x+l)<0;
18)	log3 (2-х-/х2- 1) > 1;
ЗАДАНИЕ 2
Решить неравенство:
1) log5 (Зх-1) < 1; 2) log0 з (1 +2х) > -1;
3) log3 (2—4х) < 1; 4) log1/7 (5х+3)	-1/2;
5) log2 (х2—2х) S& 3; 6) log5 (х2— 11х+43) > 2;
7) logs (х2-4х+3) <1; 8) log1/e (х2-Зх+2) < -1;
,	2х—6	.	,.ч ,	1—2х_л
9) !°g’2х^Л > °’ 10) logs—Г“<0’
11Ч .	35—х2 1 1ОЧ 1	14-2*	1
“> 10g1/4—12) iogs-rT7< 1;
у________4	1	у
13)log1/4^3^-y; I4)log2^<-1;
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
20!
15)	log я (х2-Зх+2)^2;
sin —
з
16)	logj а (6х2—48х—54) «С 2;
17)	log1/a (1 +х-/х2-4) < 0;
18)	log8f	>-1;
19)	log3 |х—11 < 1.
ЗАДАНИЕ 3
Решить неравенство:
1) logj^+U >0; 2) (х+1) log4 (Х+4) < 0;
3) (х—3) logl/, (х+8) ^0; 4) log^~ ^<0;
5)
7)
8)
9)
И)
1 —log0,s(—х)	Vx-5
/2—6x	log^-fx—4)—1
/x^="4 (log2 (1-x)—3) < 0;
V(1/2—x) (x—4) log2	< 0;
(x-1/2) (3—x) 10)_./8-4
logs IX—1|	’	;log01S(x2—1) <U>
log6(x2-2x+7/16)	logs(3.2*-i-l)
4%2+12%-{-5
1/logs^^ <1; 14) 5l0gs <^-5x + 4,25) < 1/25;
lg7-lg (-8x-x2)
lg(x+3)
15)
17) | log1/3"(i-2)'| > 1.
16) I logs (х—4)1 < 1;
ЗАДАНИЕ 4
Решить неравенство:
logo 5 (*+1)
’) —7=4— < °; 2)	1о& <x~3) > °;
3)
5)
io8((+2)a0: *)
6) +~+5ao;
K—2—6x	logs*2
7) K4-x2(log3^+2)
logo 8 I X—21
>l4x <0; 10>
<0; 8)^£=3)>o;
3+log1/3(15-2x)
log3 0,5- 2x2	<0’
logy a (Ж—3)	]
та=5.....12> i^(9-3-)-3 <°;
X
202
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
В)
15) | 4—log2 х| > 2; 16)
17) I log2 (ха+х-4) | < 1.
. ЗХ-1
14) (1/5)	’5 2*+3 > 1;
logs (х 4-2)
log2(x—3) 4 ’
ЗАДАНИЕ 5
Решить неравенство:
1) log! (2-х) < 1/4; 2) logo,5 (2х- 1) Sa 9;
3) logo2,2 (х— 1) > 4; 4) logi(4 —х) < 1/9;
5)	log2 (х— 1) —log0,5 (х— 1) > 2;
6)	log* 5 Уб-1,25 Ss logj? Уб;
7)	logo,5x+log0,5x— 2<0;
8)	logwo x2+ lg2 x < 2; 9) lg*x-13 lg2 x+36 > 0;
10) (log|x-]-log3x—2) У25—x23s0;
11) 2 log7 x— log* 49 < 3; 12) 2 log3 x— log* 27^5;
13) 1о§!yx3-lg(100x) < 3 Igx;
14) log1/3 x > log* 3—5/2;	15) x2“2 logz*+iog2* > 1/x;
16) logs x 2	.
7 log2 x—2 log2x+6 ’
logo, (3)^—1 logo, (3) x—3 .
logo, (3) x+2	logo, (3> x+4
18) У1 +log2 (7x2+ 14x+8) < 1 + log8 (7x2+ 14x+8).
ЗАДАНИЕ 6
Решить неравенство:
1)	lg2x—Igx—2^0;
2)	log2/2 (3x+ 1) > logi/2 (3x+ 1) +6;
3)	5 logo,5 X<6 + logo2,5x; 4) lg4x—5 lg2 x-f-6 < 0;
5)	У 2 logioo x > logio У x;	____
6)	(log2 (2—x) — 8 logi/4 (2 — x) — 5) У x+5 Sa 0;
7)	log2x—log* 32 <4; 8) 2 log5x — logx 125 < 1;
9),og2X< J—*	;	10)lg2^-31gx + 3
7	log2x— 1	7 Igx—1
H)	>2;	12) l°gsx (3/x) + log2 x< 1;
13)	i—--------l-r--—i;
1—	logo,5 X	logo,5 X
14)	2xIogo’s*—x~log”’5* <'—1;
15)	l,251-10g2* —0,642 + 1Og'/"2*<0;
16)	log2 (x - x2 + 2) + 3 log»,5 (x - x2 + 2) + 2 < 0;
§ i. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
203
17)	login 12x4-31»+2 log(2x + 3)s 10 < 3;
18)	Vlog9(3x2—4x4-2)4-1 > log8 (3x2—4x4-2);
19)	log8 -«/logs (1 -Ь2*) < 1оЙ2	14-2x/ logs x.
ЗАДАНИЕ 7
Решить неравенство:
1)	log8 (13-4*) >2;
2)	logs (24ж 4- 22*) <2 log, 12;
3)	logi/v?(6*+i-36*)fe-2;
4)	logs (34*—32*+x-f-3) <2 log97;
5)	(l/2),<«‘<*,-1> > 1;
6)	(l/2)10g810gl/*(xS"4/8)< 1}
7)	(l/3),og^(x2-10x/8 + l)<l;
8)	2,251O£f2(x2“3X”10)^ (2/3)Iog<be(*2+4*+4)f
9)	iog1/2 logs (x2—4) > 0; 10) log1/2logs0;
11)	logo ,i loga ^=T<°;
12)	log0,5 log8 ^-^<0;
13)	logs(2*-l).logo,6(2*+»-2) > —2;
14)	log,(18-2*)-Iog2l^=^<-1;
15)	logs (3*- l)-log1/3 (3*+2—9) S==-3;
2* —5
16)	logs—g?— • log1/s (2*—5) < 2;
17)	logs log0i (a, logs x > 0;
18)	logs (logs (2—log, x) — 1) < 1;
19)	(2*4-3-2—*)2 l°g2*-*°&s(*+®) > 1,
ЗАДАНИЕ 8
Решить неравенство:
1) log6 (26-3*) > 2; 2) log1/3 (2*+2-4*)<-l;
3) logs (4* —5-2*4-2) < 2; 4) logi/F- (5*+l-25*)> — 2;
logs —log 1/3 JLLL.
5) 5	*+2<l; 6) (1/2) x +s > 1;
7) (1/2)Iog5 log».» <*-°>7> < 1; 8) (2/5)1о81/4(л!!+5*+8) «С5/2
9) log1/3 log, (x2—5) > 0; 10) loge>8 log,	0;
11) logo,5 logaT^j > °; 12) loS8/3 1о§1/2 (х*"-ж—6) SsO;
204
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
5 — 3*
13)	Iog4(5-3*).log2^-^^-l;
14)	Iog3 (3*—l)»log3 (3*+1—3) <6;
15)	log4 (3х — 1) • log1/4 < 3/4;
16)	logl/-(5--l).logl/-|g->2;:
17)	log1/2 logs logx_( 9 > 0;
____________________1
18)	logs logo,2 logs2 < 0;
19)	(4.3* 4.3-х)3 log.U-i)-log,(x-i)(2x+i) >
ЗАДАНИЕ 9
Решить неравенство:
1)	logs (1 — 2x)>log3(5x—2);
2)	log6 (1 —x) < log5 (x+3);	.
3)	logs (3x4-4) > log2(5—2x);
4)	log, (2 — x)< log, (3x4-6);
5)	logi/s (*+4) < logi/з (x2-(-2x—2);
6)	log1/6 (xa—x—2) > log1/6 (3—x4+2x)l
7)	logs(2xa+3) < log3(xa + 6);
8)	lg(xa-3)^lg(x+3);
9)	logo,5 (x2 4~ 1)< logo,6 (2x—5);
10)	log1/3 (8—x) > log1/3 ;
11)	logs log4 < log1/3 log1Z1 1
10g1/7 (3x- 8) - 10g1/7 (x24-4)
)	_flo=^
13)	logs Vx+7 > logs (x+ l)i___
14)	1 /log2 (x-1) < l/loga Vx+1;
15)	l/logx/2 Vx+3< l/logl/2 (x+1);
16)	log3(x2 — 2) < logs (4 |x| — 1) ;
17)	log1/3 (3—x2) < log1/3 (4 | x |-2).
ЗАДАНИЕ 10
Решить неравенство:
1)	logs (Зх+1) < logs (2—x);
2)	log, (7x—3) log, (1—2x);
3)	log1/2(3x— l)<log1/2(3—x);
4)	logo,, (x—2) > logo,, (3x—4);
5)	log1/2(x-|-5)2 > log1/2 (Зх— I)2;
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА ,	205
6)	logs (ха4-10х+24)< logs (6х+36);
7)	log1/2 (x2-3x4-4) < log1/2 (2х—2);
8)	log1/3 (3x4-4) > log1/8 (х2 + 2);
9)	logs (х4-4) < logs (*2 4- 2x—2);
10)	log, (x2—6) log, | x |;
11)	1g Vx2—3x-|-4 > 1gVx+i;
% - |	X—1— 1
12)	logs 1о8з—p-j < logo,б logo,<3)
13)
Iog4(x4~3)	.	*4~ 1 ’
g4x+2
к)	,0go.4§7^ < Iog<M (5“x);
15)	/36=T2 (logo,! (x4-1)-logo, 12=^) 3=0;
16)	log1/4 log, (VX24- 14-x) < log4 log1/7 (VX24- 1 —x);
17)	logo,, (4—x2) > logo,, (61 xI-3);
18)	log4 (x2—5) < log4 (-x-1 x | — 3 ).
\ О	J
ЗАДАНИЕ 11
Решить неравенство:
1)	logo,5X+log3X > 1;
2)	logs *+ logy- x4- log1/8 x < 6;
3)	logo.s (x 4- 0,5) 4- logo,5 x 1;
4)	l-21og1/9(x4-2) > log3(x—3);
5)	logi/s (x-2) < 1о§1/3 5— logi/3 (x+2);
6)	logo,2 (4—x)	logo,2 2—logo,2 (x— 1);
7)	log4x4-Iog2(V"x— 1) < logs logy-5;
8)	logs (x4-2)4-logs (x—2) < logs (4x4-1);
9)	log, V x— у logy- x > 2;
10)	log® «Sy log4|/ x—ylog2x;
11)	logi/8 x+21о§1/9 (x— 1) < log1/3 6;
12)	1/24-logs x— logs5x > log |/3 (x4-3);
13)	2 logs (x-2)-log8 (x-3) > 2/3;
14)	log7 x— logs 7 • logs x > log2 0,25; 
,5)	togj/s (x~ *) + 1о§1/з (x+i)-l-logy-(6—x) < 1;
16)	2 log1/2 (x—2) —log1/2 (x2—x4-2)S== 1;
17)	2 loga6 (14-х) (3-x)—1 logy- (14-x) > log1/# 1;
206 ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
18)	log2 (х— 1) — loga (*+1) + log{x+ 1)/(ж_ х) 2 > 0;
19)	2 logs logs х+ log1/3 logs (9 f/~x) > b
20)	loga (1+ log1/e л:—logs x) < 1.
ЗАДАНИЕ 12
Решить неравенство:
1) log5 V~x—21og25x>2; 2) log]/5 x+log4x > 1;
3)	log2(x—6) + log2(x—8) > 3;
4)	logn(*+27) — logn(16—2x) < lognxj
5)	logy-3 < loga (2—x) — log2 (x— 1); »
6)	logo,s (x—0,5) Ss 1 — logo,6 (x— 1);
7)	loga (*+14)+2 log4 (x+2) < 2 log0,8 — |
8)	у log2 V *—2 lo§4 *	1J 9) у Iog5	x—у logy
10)	logs V~x—2 logs x > 2;
11)	log2 (x2-3x+2) < l + log2(x—2);
12)	log1/7 (x+2) (4—x)+y logy- (4—x) > —2 log19 2;
13)	logs (*-3)+y logs 3<y logs (x2+6x+7);
14)	log1/4 (x+1)^-2 log1/le 2 + log1/4 (x2+3x+8);
15)	logs (x+2) (x+4) + logj/3 (x+2) < у logy—7j
16)	log1/2 (x+ 1) (x+3) + log2 (x+3) > —2 log4 H;
17)	log1/4x2H---—j-^log1/a2;
log^-iy
18)	21og1/2 (x— 1) < у 10§я.2_ж8 ’
19)	log1/2 (x—3) — log1/2 (x+3) — log(x + 3)/(x_3) 2 > 0;
20)	log2 (x— 1) — logo,s (x— 1) > 5 — loga (*— 0s-
ЗАДАНИЕ 13
Решить неравенство:
1) logi/x(2,5x—1)5э—2; 2) log*
3) i°g*7rrr> i; 4) iog3«-2^<i;
K. .	x2— 14x+51
3) 1°2а*-4/а5 go 0»
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА	207
6) log*-! (1 4-2x*-xe) > 0; 7) log*+2j5 2 > °?
8) loge,2Ar(x2—8x4-16) Э&0;
9) log^i.2^^^-4^!;
>0) logl/x2(x74-x?-3)4-3,5 < 0;
11)	loga*_*s (x—3/2) > 0;
12)	Ч^-юл+з! (5*- 1V20)<0;
so
13)	log| x | (6x4-27) > 2; 14) log* |x-21 < 1;
15)	l°g*2 j^—25| T ’ 16> loS-^2+i2*-81 4x—51 > 0;
18) logio&<o,5x)^a-10^+22) >0,
19) log*log,(3*-9)<l; 20) log**+2*_8-^Jj1 *1 > 0.
ЗАДАНИЕ 14
Решить неравенство:
1) logx-i (X4-1) > 2; 2) log*4^2^ 1;
3>	47^% < 0: ’>
5) log*+i (x24-x—6)2Ss4; 6) logs* (64-2x—x2) Ss 1;
7) l°g*-a(x2—8x4-15) > 0; 8) log*_3 (x2—4x4-3) < 0;
9) log*. (24-x) < 1; 10) log4*/3_4*2/9 (x-2)2 > 0;
H) log»*2 (64-2x—x2) < 1/2;
12)	log 3A. (x2—2,5x4- OSaO;
x2 + l
I 3 \
13)	log%2_ i8JC+ 9i ( 5x—Jo/^O;
90	'
1	x2—16x+65
14)	log 10 ox-7-jig---< 0;
25
I5)	loglog2* 4x2—20x+22 < °’ 16) log*2 |x—3 I <"2 ’
I7) !og|* 1 (/9=x^-x-l)> 1;
18) logx+e l°ga 7^ > °: 19) Iog« log2 (4*-12) < 1;
20) l°g-.x2-^/2+l/2 I	—31 < 0<
208
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
ЗАДАНИЕ 15
Решить неравенство:
1)
1	.	1 . 2) 2-3 1g х* 1 .
logs*—2	log3x’ ’ 44-3 1g х2 2 ’
Vgft>4 > —2; 4) (0,25)2 x0.6 log, 2o,5 log2 x .
lg X 4.
o0.25 log| X 1 T l0gs*
^-3 X
3)
5)
6)	logjc»-i (3x—1) < logx2_ix2;
7)	logx_3 (2 (x2— 10x4-24)) Ss logx_3 (x2-9);
8>10g(x-rr)S<10gx-v5-2*:
9) logx (*s + l)-logx+Ix > 2; 10) x,og‘*’+23s41+210g‘*;
11)	2(9°’26 + alo^-l)<x1Og,TX;
12)	Vx2—5x+6+x-f-KlOx—2x?—12+31og4y^3;
13)	(2 + Кx2—7x+12) (2/x— 1) <
<(V 14x—2x2—244-2) Iogx(2/x);
.	0
,t> W^-u+3) > ..e,„ v,,_4<+y;+l + ,+i:
15> '°a	WKra+3);
16)	(logo x)2 (log3 V1 — x/4)2;
17)	10gx3-10g9 у
18)	бх+Р^6x2 + x3—x4»log2x >
> (x2—x) log2 x-[-5 + 5 V64-x— xz;
19)	I /"21 x [ -1 I log2 (2-2x2)	1.
ЗАДАНИЕ 16
Решить неравенство:
n 1	>	* • 2)	X-4- < 2*
log2x-4 log2 x *	; 3 + 21gx2<4 ’
q Igx2 —2	— 1	7o,25 log^x 1 Ylog?x-
4-3 Igx4 > ~	1
.	8— 12x_ o_
5)
6)	logx-4,5^~^<logx~43 5(x—5); '
7)	logio^ (19/2—x)? > 2 log^ (x—9);
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
209
8)	(l/10)logx-s<*s-4*+8)2s 1;
9)	log* (х +1) < log1/x (2—x);
10)	ll/16+16_°’s+log^^xlog2l/r;
11)	1/”3a+'og»/TA:__ ij5<x10g3^;
12)	(Kx2-4x4-34-1) log64+l(/’8x-2x2-64-1)<0;
О X
13)	Vx2—7x4-10+9^4^2^+^ 14x—20—2x2—13;
О
14)	log5 (/2+x—x?+4) >
°gl/s V 2+x—x2+]/T^x+2+ ’
15) log1/4(Kx2-3x+2 + )<3+l) <
< logs г--"•1 16 -yr—;=7-2;
/x2—3x+2+/x2—1 + 1
16)	12%-f- 3x4 + 4x5 — 4xe log2x? >3l/*3+4x— 4x2 -f-4x3 log4x4;
17)	logx4-iog2^-^^2; 18) log1/a | x | Sa | x |— 1;
19)	(loga x+log0,28 (x+3))*-* > 1-
Упражнения
Решить неравенство:
о 1ойЙЕз! > йг: Jh 10§i/4 <2х+3> > 10g*27;
3) ,081/(х-1) °>4 > °; Д logx+0,2 2 < logx 4;
5j giog+x-i < 3iog3(x-o)_^3.
6)	logo,! (x2+x+2) > log0>1 (x+3);
7)	log, (2—x) < log1/3(x+l);
8)	log1/5 (x2- 6x+18)+2 logs (x-4) < 0;
o\ i 2x+4	„ <л\ i 2x+0,2	_
9)	logs 7^72' < 3; 10) Iog2 x+~~ < °:
11) logs^<-2;	log1/2(/T+J-x) < 2;
13)	/
14)	log „ (2x+l) Sslog „ (x2 + l);
tgT	‘gT
15Mog „ (x2-4x+3)^-3;
sin--------
6
16)	2 log3 (2x?+x— 1) > log3 4;
8 Задачи по математике. Уравнения и неравенства
210
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
1	2х—1	1
17)	1о& х_|_1 <-”2 ’
18)	logj/2 logs < 0;
19)	logs log9/18 (х?—4x4*3) <0;
20)	log4/8 (Г^+3- V х) + log4/9 у 5= 0;
,	10go,3 logs’-—
21)	(1/4)
22)	log1/3 (x2—- 6) + Iog9x2	0; 23) | log2 x |	2;
24)	log2 (9^1+7)-2 < log2 (3*-1 +1);
25)	log0., (14-x- V^=4) <0;
26)	log1988 (x2-1982x) <1; 27) log-J 14*l/*l > h
28)	log2 log8 < logi/a log1/8 =
20)	log1/8 log6 (Кx24- l-|-x) < logslog1/B (Kx24-l— x);
30)	logs |3—4x|	2j
31)	| logs x I — logsx—3 < 0;
32)	11 — logi988 x 14* | log1983x— 3 1 > 4;
1 - |x2—4x|4*3	„
33)	Ic«»-^+|x_6| ^°>
34)	lg 10^<x2+ 21> > 14-Igx;
35)	log2/2x-log1/2x2 > logj/a3—1;
36)	lg (lOx) • log2 x < 2 log2 10;
37)	log2x’ > log2/ax4*3 уiog2x-|-71og1/2-J+3;
J38) 1 -Kl-81og*/4x < 3 log1/4x;
39) Кlog2/2x4-4 log2 V~x < V~2 (4 — log16x4);
40)
41)
42)
'J 43)
l°g1/-(*-4)-1 "
4x2 4-12x4-5
logs (x2—2x-|-7/16)
X—1	„
45)
log3(9—3*)—3	’
1/logs (х2 —7x4* 12) < l/log320;
1 / log4rH < 1/1°gHx+3);
1 —log4x<. 1 .
l + log2x^ 2 ’
§ 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
211
46) log3(x+l) < 2 log, К х?+6х+9 ’
®2ilx+!^1; 48) lg(4х2+х>/18<2*)
49)	log0j26Vх+ 171og0125(х—1)< 1;
50)	21og5K х—25siogx-|-;
51)	l°gi/3* > log«3—5/2;
52)	2 logs logx 125 < 1;
@ logviS+I«b,18<-i5g!^,
54)	logs x+ logx у < (2—log3 x)-log6 x/log3x;
55)	log1/8(x— 1)—31ogx_iy > |log1/3(x—1)];
^56)) log* x— logi/2y4-9 logs< 4 logi/2x;
57)	log(x+ з)/(х-з)4 < 2 (log1/2 (x-3)-logl/_/2 fTRp
58)	У"xlog2 V~=a2;	59) (x/lO)1^ ~2 < 100;
60)	lo^ Ioga (4*-6) <1;
61)	logs yH-log1/7 x > 101 log1/7 x |;
62)	logx_2y^logu_3)/(x_5)l;	63) log3x_i2x> 1;
„.	Kx3-7/2 _ 1
64)	logfc-f).—;
у x—2	z
@)logs2.Jog2Jt 2 > log4x 2;
65)	logx= logz/10 2 > l/(log2 x—6);
67)	IoS| x+e I2,1°g2 (*2—*—2) &= 1;
68)	logx 2x< V logx 2№;
69)	log2x+4(x2—x) > 1;
70)	logs^+i (x2-4) > 1;
_	,	2x —}— 014	л
L J Og*5 (1—x) > °:
W)log9x+6(9x2+8x+8) > 2;
4> I;
r*
24 — x2 — 2x
14
> i;
010g 25-.3
212
ГЛ. 3. НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
75)	Iff) р
"logz (ха—-2х—7)*—logg (х2-2х-7)« _Л.
’	Зх2— 13х+4	<U’
__ logs* loga j/l+2* ,
’ l°ga(l+2x) *" log2x ’
78)	!°gl/log3x (4x2-20x+22) < 0;
79)	l°g-x»+o,5x+o,5 116x4-31 < 0;
80)	К14-log2 (7x2 4- 14x4-8) < 14-log8 (7x24- 14x+8)
81)	lg| 2x4-31«4-2 log(2jc+3)8 10<3;
82)	log4(5-3^).log^L^^-l;
83)	| lg|x-l |4-2|^3.
ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
§ 1
ЗАДАНИЕ 1
1. 1) {х: 1 < х < 9/2}; 2) {х: — 3 < х < —2 и х > —2}; 2. 1) да,
2) нет. 3. 1) при g(x) = f (х), f (х) =0 & f (х) g (х) = 0; 2) при g (х) =
= /l-f(x), У f (х)—2 f(x) = 0<=f(x)g(x) = 0-, 3) при g (х) =
= f (х) + 1 f (х) = 0 => f (х) g (х) = 0. 4. 1) да; 2) нет (рассмотреть:
f (х) == 1—х, g(x) — x—2); 3) да. 5. 1) первое уравнение есть
следствие второго; 2) одно уравнение следует из другого, так как
они равносильны; 3) второе уравнение есть следствие первого
(рассмотреть f (х) = arccos х).
ЗАДАНИЕ 2
1. 1) {х: 9«Сх«С 10}; 2) {х: —1 < х < 1 и х > 1}. 2. 1) да;
2) да. 3. 1) второе уравнение есть следствие первого; если на ОДЗ
второго уравнения f2(x)	(х)	0, то они равносильны. 4. 1) да;
2) нет (рассмотреть f(x) ~ 1— х2, g(x) = l —х); 3) да. 5. 1) f(x)~
== 1 => f2 (х) — 1; 2) первое уравнение есть следствие второго (рас-
смотреть f (х) = х2, g (х) — 1g (х2— 1)); 3) второе уравнение есть след-
ствие первого (рассмотреть f(x) — x).
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) второе уравнение есть следствие первого; 2) второе урав-
нение есть следствие первого; 3) второе уравнение есть следствие
первого; 4) первое уравнение есть следствие второго; 5) первое
уравнение есть следствие второго. 2. 1) нет; 2) нет; 3) нет. 3» 1) да;
2) нет. 3) да.
ЗАДАНИЕ 4
1. 1) первое уравнение есть следствие второго; 2) ни одно из
них не есть следствие другого; 3) ни одно из них не есть след-
ствие другого; 4) каждое из уравнений есть следствие другого,
так как они равносильны; 5) второе уравнение есть следствие
первого. 2. 1) да; 2) нет; 3) нет. 3. 1) да; 2) нет; 3) да.
Упражнения
1. 1) нет; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) нет; 8) нет
9) да; 10) да; 11) нет; 12) нет; 13) да; 14) нет; 15) да; 16) нет
17) нет; 18) нет; 19) нет; 20) нет; 21) да; 22) нет; 23) нет; 24) нет
25) нет; 26) да. 2. 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да. 3. 1) нет; 2) да
3) да; 4) нет. 4. 1) да; 2) да; 3) да; 4) пет; 5) да; 6) да; 7) нет
8) нет. 5. 1) 43; 2) 43; 3) ~>; 4) 43; 5) <=; 6) 43; 7) <=
214
ОТВЕТЫ
8) =ф; 9) фг; 10)	11) =>; 12)	13) =>; 14) ни одно из
них не является следствием другого; 15)	16) =£>; 17)
18)	19) 4Ф; 20) ф=; 21) =>.
§ 2
ЗАДАНИЕ 1
В примерах 2), 4), 6), 7), 10), 15), 17) и 18) неравенства не
являются равносильными, а в остальных—равносильны.
ЗАДАНИЕ 2
В примерах 2), 4), 6), 7), 10), 15), 17) и 18) неравенства не
являются равносильными, а в остальных — равносильны.
ЗАДАНИЕ 3
В примерах 5), 11), 13) неравенства равносильны, а в осталь-
ных— не являются равносильными.
ЗАДАНИЕ 4
В примерах 2), 7), 12) и 16) неравенства равносильны, а в ос-
тальных— не являются равносильными.
ЗАДАНИЕ 5
В примерах 2), 5), 6), 9) и 11) неравенство и система не яв-
ляются равносильными, а в остальных —равносильны.
ЗАДАНИЕ 6
В примерах 2), 3), 6) неравенство и система не являются рав-
носильными, а в остальных — равносильны.
Упражнения
1. В примерах 3), 4), 5), 7), 11), 14), 15), 19), 20), 22), 23)
и 25) неравенства равносильны, а в остальных —не являются рав-
носильными. 2. Во всех примерах этого номера неравенство и со-
вокупность систем равносильны.
ГЛАВА 2
§ 1
ЗАДАНИЕ 1
1) {4; —2}; 2) {—5/2}; 3) {-1; -3}; 4) 1<х<3; 5) {2}.
ЗАДАНИЕ 2
1>{5; 9}; 2) |1; 4; 1(5-/Тз); 1 (5+ /13)} J 3) {- /з};
4) {3,5; о,5}; 5) {2; 5/2; (9+ j/"17)/4}.
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) {0; 2}; 2) {—1; —3/2; 1; 3/2}; 3) {—2/3; 1/2; 2}; 4) {3; 4}.
2. |_?+р71 з.	при а€[2/3; 3-/5];
/а2— 12я-}“8	cl \ sr (о
V 6а—4	’ За—2/ при аё(3—О; 2].
ОТВЕТЫ
215
ЗАДАНИЕ 4
1. 1) {11/4; 7/2}; 2) {—3; —1; 1; 3}; 3) {—3; —1; 1; 3};
4) {—1 —/~3 —/~3+2 / 3; —1 — У З+И'з+2 /3; 1 + У"3—
— Кз + 2 /1; Ь+К’З+Кз + г /"З}. 2. {—1}. _3. (О; 1— 2/3)
при а = 7—4/ 3; (0; 1 + 2/ 3)приа = 7+4/ 3; (6; —11) при
а — 1.
Упражнения
1. 1) {4/3}; 2) {—9/2; 13/4}; 3) {х: х: х^2}; 4) {х<4/5};
5) {х: х<3/2}; 6) {—1; —1// 5; 1// 5; 1}; 7) {—2; — /14; 2;
/14}; 8) {0; 2}; 9) {х: х< 11/7}; 10) {0; 3}; 11) {х: 1 < х<4};
12)	3; 2; ~L+.K65j.; 13) 0; 14) {—1; 0}; 15) {—2}; 16) {7/12};
17) {0; —2}; 18) {—5; 1}; 19) {х: х<6/5}; 20) { Ч~К2?,
3_±р} ; 21)	; 22) {2; 3}: 23) {2; -6};
24) {-2-/5; /5}; 25) {Е1|-5 . -7- /13j. *	(3;
(5/3; 11/3); 2) (0; —1), (4/5; 7/5); 3) (0; 1); 4) (0; —1); 5) (—11/19);
23/19), (1; —1); 6) (с; 4—с), где cg[l; с+2), где с£[0;_1];
7) (2; lb (0; —3), (—6; 9);_8) (/ 2; 2 / 2), (— / 2; —2 / 2);
9) (2/ 2; —/2), (—2/ 2; / 2); 10)х = 2, —3<х<—409/137.
3. (—3/2; 2/3), (—2/3; 3/2); 4. (1/3; —3), (3; —1/3). 5. 1) {х: х > 1}
при а= 1; {х: —3<х< 1} при а =—1;	1 1} при lal < U
{1} при |а| > 1; 2) {х: х<3} при а =—1; {х: —3<:х<:2} при
а— 1, {—3} при | л| > 1; —3;	при | а| < 1; 3) {х: —4^
3} при а = 2; {х: х:>= —3} при а = —2; —3; —
при |а|<2; {—3} при | а | > 2; 4) {х: х^—3/2} при а — 3/2;
{х: —3/2*Сх=с2} при а — —3/2; {—3/2} при |а| > 3/2; ^—3/2;
при |а| < 3/2. 6. {1-/5}. 7. 1) {0; 1}; 2) {-1; 1}.
8. 1) а — —1, 1<а<3, 4<а<:6; 2) а=1, а = 2, 5^а<:6.
9. 1) {—2; 6/5; 10/3} при а = —2; {— 1/5; 0; 1/3} при а = — 1/2;
2) {—1; 15/17; 17/15} при а = ~ 2; {—1/136; 0; 1/120} при
а = —1/8; 3) {—1; 41/40; 40/41} при а = ~ 3; {— 1/3321; 0; 1/3240}
при « = — 1/27; 4) {— 1/2; 3/10; 5/6}_при	— 1; {—1/20; 0; 1/12}
при а — — 1/4. 10. 1) а=1, а = (]/ 5—1)/2; 2) а < —7/3, а > —2,
11. а < —10, а > 1/2.
§ 2
2. 1) {9}; 2) {-1}; 3) {2}; 4) {0; 1}; 5) {-1; 5}; 6) {4}; 7) {10}.
216
ОТВЕТЫ
ЗАДАНИЕ 2
2. 1) {25}; 2) {—8/9; 8}; 3) {— К11; j-/* 6; )<6; К11};
4) {И 2}; 5) {7}; 6) {16}; 7) {- 1; 5~^134 ; 2; 3±£.?34 }> .
ЗАДАНИЕ 3
8) W3,i3t; 4)	*4,: 6>(6|: 7)",Ч;
ЗАДАНИЕ 4
о . к V. Ч; 3) <3>: 4) <3>; 5) {5}; 6>	7) <-1; 2};
8) {20}; 9) {4}; 10) {1/2}.
ЗАДАНИЕ 5
1) {7}; 2) {-2}; 3) {1}; 4) {-4; 4}; 5) {-2; 2}; 6) {7}; 7) {25};
8) {2}; 9) {-1/6; -I}.
ЗАДАНИЕ 6
1) {0}; 2) {2/3}; 3) {7}; 4) {0; 5}; 5) {-1; 1}; 6) {5}; 7) {22/5; 5};
8) {62}; 9) {5/4; 3}.
ЗАДАНИЕ 7
1. 1) {-1; 5}; 2) {15}; 3) {- 3;
2’2’*
4) {2|а||а/0}; 5){а|а/0}. 2. 1) {(25; 4)}; 2) {(б+^р£;
6-Ц^-)}; 3) {(27; 1); (1; 27)}.
ЗАДАНИЕ 8
1. 1)_{—21; 21}; 2) {—37; 6}; 3) {—2; 2}; 4) {За; 4а|а>0};
5)	|а>о| ; 6) {— 6|а=0, b < 0}Щ— а | 6 = 0, a<0}(J
(J{O|a=O, 6>0}U{0|6=0, a>0}(J{0|a>0, 6>0}U{-(a-|-6)|a<0,
6<0}. 2. 1) {(—3; —3/2); (6; 3); f 12 "Ь3.^39 ; 12-3 j/'зэ') ;
(12~y^39 ; 12+3 Кзэ)} ; 2) {(16, 4); (5, 15)}.
Упражнения
1. 1) {-3; 2};_2) {-3}; 3) {-1; 2}; 4) {-4}; 5) {4}; 6) {- 1};
7) {7}; 8) {L+pl}.; 9) {1}; 10) {3}; 11) {-1}; 12) {2}; 13) {1};
14) {—2}; 15) {—5; 5}; 16) {—6; 6}; 17) {—7; 7}; 18) {—4; 4};
19) {0; 3}; 20) {—2; 3}; 21) {—3/4; 2}; 22) {—1; 4}; 23) {1}; 24) {3};
25) {4};. 26) {2}; 27) {-1//1; K6~K2l ; 28)	;
ОТВЕТЫ
217
12. 1) {2}; 2) {9}; 3) {a* — 2a + 2|a^ 1}; 4) {2};
5) {8}; 6) {5}; 7) {0; 1/2}; 8) {5}; 9) {6}; 10) {19; 84}; 11) {—3; 2};
12) {0; 5}; 13) {—7; 8}; 14) {-6; 7}; 15) {5}; 16) {4}; 17) {2};
18) {4}; 19) {3}; 20) {1}; 21) {1; 7}; 22) {—1}; 23) {— И 1};
24) {—1/2; 1/2}; 25) {2401}; 26) {0}; 27) |1; 1 + ^ б-|;
28) {1 \а* Ь}. 3. 1) {(У 4; О)}; 2) {(2; 1)}; 3) {(1/2;3/2)}; 4) {(0; 1)};
5) {(4; 2); (4/3; -2/3)}; 6) {(8; -4); (8/3; 4/3)}; 7) {(9; 4); (4; 9)};
8) {(5; 7)}; 9) {(8; 2); (-2; -8)}; 10) {(4; 3); ^4 ]/	;
-#?)}•
§ 3
ЗАДАНИЕ 1
1) {16}; 2) {7/12}; 3) {-1/8}; 4) {15}; 5) {6}; 6) {-1};
7) {5 К 2/4}; 8) {16}; 9) {0,04}; 10) {—17/6; 17/6}; 11) {0,5};
12) {3}; 13) {15/7}; 14) {0,5}; 15) {—l/lg5; 2} 16) {1/20; 5};
17) {1; 2; 3}; 18) {—1; 7}; 19) {—n/3+2n&|*€Z} (J {л/3 +
+ 2лп| ngZ}.
ЗАДАНИЕ 2
1) {0}; 2) {1}; 3) {1,5}; 4) {1/21}; 5) {7}; 6) {0,5}; 7) {j/5};
8) {—/б; / 5}; 9) {—/ 2/2; / 2/2); 10) {—1; 1}; 11)
12) {—1}; 13) {—1; 4}; 14) {—2; 1; 4}; 15) {24}; 16)
17) {—0,5}; 18) {—logs6; 2}; 19) {2л£| k£Z}.
Л;
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) {2}; 2) {—1; 2}; 3) {—1; 1}; 4) {0}; 5) {—0,5};
6) {0; logis 5}; 7) {6};_8) (-2; 2}. 2. 1) {(1; 8)}; 2) {(3; 4)};
3) {(1; 1; 1); (4; 2; / 2)}.
ЗАДАНИЕ 4
1. 1) {—1;_1}; 2) {-!}; 3) {6}; 4) {-7/2; 2}; 5) {-2};
6) {logs (6+/33)-1}; 7) {-1; -0,5; 0,5; 1}; 8) {2}.
2. 1) {(1; 1);	; 2) {(7; 121)}; 3) {(1; 1; 2);
ЗАДАНИЕ 5	__	___
1. 1) 0; 2) {10}; 3) {9}; 4) {- 1; 5}; 5) {3±К13 ; 3~р3}- ;
6) ; 8) {0; 3}’ 2> {(12; 4)}: 2) (3; 2)}:
3) {1; 1; 2); (1; 2; 1)}.
218
О.'ВЕТЫ
7\	ЗАДАНИЕ /• 4 ) 2-f£7-		3) {A	>}; 4) {3}; 5) 9 n //90'	;o,o A\V	i; 1	00}; 6) {1,5};
4	Г1 lg7-	lg2j ’				й>	A 4 ’ 6 > ’
0	Г И	3) {(5;	1; D	/7+У H'-8q ’ \	2		-1	j/ i -j • 8л 2
4(2	-Ы-У1+1 г 2	ia \l & — /	1 L s ;	; + co «			
Упражгеш
я
4)
1. 1) {3,.
{2}; 5) {0,5}
; 2
{1°£м2
idgi 5>); 3){«/2+241feCZ} J{2M»€Z};
6) (2; Ibgs 25} Г 7) {—3; 5}; 8) {Г}; $ {xk\k^Z};

7) {—3; 5}; ф {
10) log3 ЦЦк}-; 111 {Ц;2}; 12) {1; logo2}; 13) ^2}; 14) {2; 6};
{!}; 17)
ISh {0,5; 3}
2() {2}; 21)
24) {_ 14-рГз^
16
{3
") {<;
up, 22) {{-
-У 3-|-log0,752};ф) {i—2-
4°в»,?52’
M 18) {3}; 19) {-
'J logs3; yiogaB};
log
23)
.s2; logj;52};
{l + loga 13};
У 4—21ogs5;
Ч&5}; 26)
- 24-У4Т2
4) {ЗУЗ); 2^ {9;
3|) {-1}; p) |{}—2}; 3f) :
з|){1;-4};
nlp£Z!
4p) {2{3};
H
43)
M {
5P) {0;
54) /-
3) {(3;
4 {((
6|

39)
{i
29)
\n arcsin
; 4ф){0,1; 2;
{0}; 4ф U
1000}
441
lo®>

1
+ V l-i-71og5
; 1 —
{1/3}; 30) {125 j 0,2};
35) {1}; 36) {-1};
41) {0; — л'З};
; 1}; 46) {-
Hi)”
;42)
1/3}
-ri-}-71og52};
SI) {—1; 2/3};
ЗП {—1/3; 1};
.,	. /2
* ’•ares —-
4 1
); Кз};
logs 8};
-K 3;
4 {3;
-log3 (2— V 3)}
"3);
|L-Iogj>
jh-j-logJ
51) to
!j41g з
-lo
3]
2
"5
2)}> '
01
4) ['
i4
4. s
{(Ip; 4)}
___A
iq— yf T05
IQ
)
2
I);
2
—ig
j); (-
-1- <Ь)1
g; (ЗфУ
; 51) {h i;
; (4;
2. 1) {d3, 3;
:/i)}; 5) {(i; 4»:
9» hl; 1); (
2); fc
;6) №
2 3
2i
1|3
5 ’ деЗ-у^Б,
Ah
P) «0;
3)
У
; 11) {(— 0,5
1'4
F
)1;
к
‘j
;1)J; i8)|
{02;
2:
R {l
3};
;2)
53)
{(2;
{2}
4l)}; 7
Ж
5
Ш
2)}
CJ’
)}
12)
«2
«)}
:3; 0)}; 15) j(l
:3. _
(2; 3); ( 8
i)};
21)
7; 12;
1)
2)
I 19) { 0,5;
137 — 13 if
105
A,
50
ОТВЕТЫ
219
§ 4
ЗАДАНИЕ 1
2. 1) {—Уб; ^б}; 2) {0,12!
6) {10*; ЮМ5}; 7) {100; 10_2O/’}
5]
8)
Й {21}; 4){—
I {1/9}; 9) {5}
0; 5) {-2;
4.5};
ЗАДАНИЕ 2
2. 1) {У 7}; 2) {9}; 3) {25};
7) {2; 8}; 8) {3}; 9) {4}.
6) {5};
11) {0,4
16) {9}:
ЗАДАНИЕ 3
1) И;
7) {1-0,5; 2,5}; 8) {3}; 9»
’!; 100}; 12) {ОД; 10}; 13) {
; 17)
2) {К2-1); 3) {ЗЛ
2; 0;
{'
П; к) {3}; 5)
{О; Ю) {1; 0
; й}; 14) {0,1; 1000}:
{(1 + К17'
,25 (У 41-1-
'"’I; 15) {1 7}';
{-!}.
'/4]
7).
18)
задан:
1)
5) {0,5
Ю) {2};
15) {К
ДЕ 4
{2};
(К
-Р
26};
2) {У 3-1}; 3) {»/ 5
5+0}; б}{—1}; 7) {— ,
{10-*; 10}; 12) {О,(К; 10};
{10-*; 1
16) {19};
i—2
13/4
/2;
W; 12$’ <O,qj;
7)	ЗА) 1) {2);	1АН [867 8)	4Е 5 }; 2) {з {60; .	5 ?5}	};	3) {5} 9) 0;	; 4 io;	)	г 0	4	}; I	5) {29}; 1)	2	{	11/2; 12)	1 {	1/2}; 13};
13)	{К	0р/<	; 3000	};	1	4) {--		6		3 VI	Х1	о/ю}; 1Е	)	{	К10;		10};
16) {]< 20) {Ю 3AJ		>;[ I ин	00}; Г 10-2; 1 ;ie в	О8;	{-0,5}; 105}.		•.з;		{	9 к		0; 10}; 1	9	1	{1/ 5;		5};
	1)		2) {0,	5}	л26—4)}; 3)				0}		*)	{5}; 5) {L	1}	; с	) {3,5;		1,5};
7) {50};		Г	(7; 15};	9	)	{5£_7};	О'	*	0		и	) {17/28;	2	Зс	2}; 12)		{7};
13) {20;		900	1; 14) {(	),1		V ю};	15)	(1	0;	1	D1	>/13}. 16)	{	Г	10/106;		10};
17)	{- ЗА) 1)	Ю0( ин [ук	>}; 18) НЕ 7 1; 4}; 2	1 {	-0,4995; 1/9; 3};3)		0,1 'Ь.	)| 12	13	п	0- 24	-1)}; 19 1}; 4) {о,;	।	0 10	; 20) { 0,6 (1-		,00}. ^);
10е	,5 (1	+г	’)}; 5)	(27	};	; 6) {2}; Ь		{		|5		}; 8) {27}	(	>)	{2; К1		i/2};
Ю) {0,			"5}; 11	) !	5}; 12) {К			4;	'8;			4}; 13) {	/	3;	9}; 14)		{6};
15) 18)	{0, {1; зл,	4g Ф}; Ан	+ У1 19) {0 НЕ 8	О; 5}	3	1}; 16) 20) {7/3	Г		17 ’}•	1	{(	i,2 V 5; 0	,0	4;	К 5		25};
	г	'Зк	7}; 2) {	0,5		4};3)[	1	£	4		4	) {од КТ	);	Г	ф;5)		[64};
6)	|0,(		1; 4;	7	1		; 2		‘}		й	) {If, !	')	{	Ф; {V	1;	3 ’
Ю)		114;	3,4} ;1 1	1)	{	1/9}; К	!) {	3			3)	{7; <9);	1	д		3;	з}|;
15) 20)	К 1м	!5; £	16) {1} А 6}.	1	7)	{16};	Ш)	{	4}		К	) {-0,5	Р		•> 0,5	V	з};
220
ОТВЕТЫ
Упражнения
1. 1) {12}; 2) {-9}; 3) {2};_4) {6}; 5) {0,5}; 6) {4}; 7) {48};
8) {40}; 9) {1}; 10) {!}; 11) {У 2; 4}; 12) {-5}; 13) {2}; 14) 42};
15) {—1,25}; 16) {1}; 17) {8;_13}; 18) {0,9; 1,3}; 19) {160}; 20) {3};
21) {7}; 22) {20}; 23) {/ б}; 24) {6}; 25) {13}; 26) {— 1; 7};
27) {9}; 28) {37}; 29) {29}; 30) {3; 81}; 31) {0}; 32) {0; 3}; 33) {2};
34) {1; 2}; 35) {13}; 36) {17}; 37) {1}; 38) {10}; 39) {0,1; 10v 2};
40) {3/2; 1,44}; 41) {1,5}; 42) {2}; 43) {3}; 44) {—9}; 45) {—0,5};
46) {9,001; 1009}; 47) {1/128; 2}; 48) _{1; 4}; 49) {0,5; 4};
50) П/6; 4-<ю); 51) (0; 49]; 52) {1,8 / 5}; 53) {(/313-1)/6;
(/73-7)/2}{ 54) {9}; 55) {—1; 2}; 56) {3 У З}; 57) [0,l]U{4}.
58) {5/3; 15}; 59) {1; 7}; 60) {—0,5; 0,5}; 61) {/ 11/4}; 62) {0,2; 5«<};
63) {2; 8}; 64) {1/3; 5/3}; 65) {4}; 66) {—13/5; —2; 3}; 67) {4/3; 3};
68) {— 1}; 69) {1,5; 3; 4}; 70) {8/3; 5}; 71) {0,25}; 72) {—0,25};
73) {2+И 14+4 К 3; 2—К14+4 У 3}; 74) {—1+И11 +4|/”3;
-1-К11 + 4/1}; 75) {5/3}. 2. 1) {(1; 1), (4; 2)}; 2) {(5; 2)};
3) {(3; 2- О; 3)}; 4) {(512; 1)}; 5)	’
6) {(У 10; 4)}; 7) {(4; 4)}; 8) {(16; 4)}; 9) {(4; 16)};_10) {(0,5 (5+ /§);
0,5(5—К 5))}; 11) {(0,5(3+2/ 3); 0,5(3—2/ 3))}; 12) {(—2; 1)}.
ГЛАВА 3
§ 1
ЗАДАНИЕ 1
1) [-5; 5]; 2) (-3; 3); 3) [-7; -5]Щ5; 7]; 4) (-оо; -4Щ
Uf4; +оо);5) (-оо;-17]U[17; +«>); 6) (- оо; —8)U(—2; 2) (J
U(8, +оо); 7) [-1; 5J; 8) (-оо; - 10)Н(4; +оо); 9) [3; 4)(J
U(4; 5]; 10) (-оо; -6)U(-4; +оо); 11) (-оо; -3]; 12) [4; 5)U
(J (5; + оо).
ЗАДАНИЕ 2
1) (-1; 7); 2) (-оо; -5/ЗЦД5; + оо); 3) (-оо; -2)(J
U(2; + оо); 4) [+ 3]; 5) (2; 4); 6) (-оо£ 1)U(3; +«>); 7) (- 1; 5);
1~^-)и<-1;2)и('+'11; +»);9)(-»;-2Ди
и11/2;+„1:10)(1ца;11±р).
\ тг	ТГ /
ЗАДАНИЕ 3
1) [1; 6], 2) (-оо; 9/2)U(ll/2; +оо); 3) (8;+оо);
4) (-оо; +оо); 5) (-5; 3+2/"2); 6) (-оо; - ~^]и
(jp+p ;	7) (_3; 4); 8) (-оо; - 1/2]U[5; +оо);
9) (-оо; 1)U(2; +оо); 10) [-1 + /2; 1 + /2].
ОТВЕТЫ
221
ЗАДАНИЕ 4
1) (-5; — 2)[J(— 1; +оо); 2) (-оо; 0)U(1; +«);3) (2; 3)U
U(3; 4-оо); 4) (2; 3); 5) (-5; -2)U(2; 3)U(3; 5); 6) (3/4; 1)(J
U(l; +oo); 7) (-oo;. -2)U(-1; +«); 8) (-co; -2)(J
U(-2; — 1)U(—1; 0].
ЗАДАНИЕ 5
1) (-co; -6)U(— 7/2; 4-00); 2) (2; +00); 3) (-00; -5)U
U(-3; 3)Ц(5; 4-00); 4) [3/2; 2]; 5) (-00; 3); 6) (2; 4)U(4, 6);
7) (Mpg ; L+&); 8) [0; 8/5]U[5/2; +00).
ЗАДАНИЕ 6
1. 1) [—2; 11/3]; 2) (—oo; 0); 3) (—00; 1)(J(7; 4-00);
4) (-00; 1JU[5; +00); 5) (-00; —2/3](J[l/2; 2]; 6) (-00; -2)U
U(5/2; +00). 2. 1) (-2; - 1]Щ1, 4); 2) (-2; 1).
ЗАДАНИЕ 7
1. 1) (0; +oo); 2) [3; 5], 3)J-4/7; 4-00); 4) [-24-/6; 1)U
U(l, 4]; 5) (-00; 1 +	6) (-00; 2)Щ7/2; 4-00).
2. 1) (—1; 2); 2) (—2; 0].
ЗАДАНИЕ 8
1. 1) [_i_2/2; -3)U(1; 3]; 2) (-00; -1)11(0; 1)U
(J(l; + 00); 3) (— 1/6; 1/6). 2. 1) (— 00; 2a), если a < 0; решения
нет, если a = 0; (0, H~oo), если а > 0; 2) (2 3a; 2a) (J
(j(2a; —2]Q3a), если a<0; решений нет, если a—0; (—2}^3a; 2a)(J
U(2a; 2|Л 3a), если a>0.
ЗАДАНИЕ 9
1. 1) [-5; —4)(j(—2; -24- /З]; 2) [0; 2]; 3) (-00; -3/2) U
U(—1/4; 1/4)(J(3/2; +oo). 2. 1) (—oo; a), если a < 0; решения
нет, если a^0; 2) (—a; 4~oo), если a < 0; (a; +°°)> если 0^=0-
Упражнения
1. 1) (—oo; 4~oo); 2) решений нет; 3) (—3/4; 2); 4) (—oo; —3)(J
U(2; +oo); 5) [—1/2; 7/2]; 6) (-oo; -2/5]U[2; H-oo);
7) (-3; -2)U(2; 3); 8) (-co; -2]U[2; 4-°°); 9)	;
10)	(-oo; 2-]/"б)и(2— /3;	24-/1) U
и(24-Кб; 4-«о); 11) [-1;2]U[3;6]; 12) (-со; —2]U(i/2; +«>);
13) (1; 3); 14) (1-/3; 2-/2); 15) (-оо;
u( ^f* 19 ; 4-0°); 16) (-оо; -5-/19]и[/2-2; 4-оо);
17) (- оо; p7)u(L+.pZ; 4-00); 18) (-со; 1)U(2;+«);
19) [1; 3]; 20) [2/2; 4]; 21) (—оо; — 1-/3]и[1^У 5; + оо);
222
ОТВЕТЫ
22) (—оо; 0]; 23) (2; 5); 24) (—со; — 3)(J(— 3; — 2)(J(0; + оо);
25) [1; 3]U{4}; 26) {0}; 27) (-оо; —9/2JU(—7/6; 4-оо);
28) (-со; - 1)U(2; 3)U(3; +оо). 2. 1) (-2/3^4); 2) (—7; -2)(J
U(3; 4); 3) (-оо; 3/2]; 4) (-со; —;
|Г345~-)и(-—7|~2- ? +00) ; 5) (- оо; -3/2); 6) (-»; —5)(J
U(l; +оо); 7) [-6; -2]Щ4; 8]; 8) (—оо; -8)(J(2; +оо);
9) (-оо; -8/3](J[2; +со); 10) [1; 5], 11) (1; 11/2); 12) (-4; 0](J
U[2; 8/3]; 13) (-3; -1)Щ-1; 1)(J(1; 3); 14) [0; 6];
15) (-оо; — 5/2](J[—3/2;	- l/2](J[l/2;	3/2]U[6/2;	4-оо);
16) (-оо; -5)U(— 1; 1)U(1; +°о); 17) (-оо; 3/2], 18) (0; 1/2);
19) [—4; -2]; 20) (—оо; -5]Щ+_-|-оо); 21) (-3; O)(J(1; 2);
22) (-оо;	-4)u(-3;	; + оо);
23) [-5/3; 5/3]; 24) [2/3; 1]U(2; + оо); 25) (—L..-E1.109; —2^(J
26) (-оо; 1+К2)и(3;+оо); 27) (-оо; -2/3)(J
U[2-1/”S; 1/2)U[2 + V"5; +оо), 28) (-/"2-1/2; -1/2)U
U(—1/2; 1/2)U(l/2; (1 + К 2)/2). 3. 1) (+2; +оо); 2) (-со; —3)(J
U(-l; 0]L3) [1/3; 3)U(5; 6]; 4) (0; 1/2); 5) [-6; -1-К3](J
U[1“K5; -1/3]; 6) J—1/2; 1)Щ1;_ 2); 7) [1; 5/2];
8) (1-Г17; —2/3]U[1/2; Кб-1); 9) (8/7; KXI- 4.1) (-со; J-jj,
если — 1; Г —Д- ; —Д-] , если — 1 < а < 0; {— 1}, если
L #4-1	а—1 J
а = 0; решений нет, если 0 < а< 1;
Г —”7~Г > + 00 ) » если а < — 1» (— 00 ’> +°°)> если —1 «С а «С 0;
I CL 1	J
(-°°; тЫи|г="а;+°°)’ если °< а< 1: (-00•> bh] ’
если а > 1; 3) (— оо; + °0), если а^О; (— оо, а/2], если а > 0;
4) [—а/2; +о°), если решений нет, если а > 0; 5) {1},
если а = 0; (—оо; J^±r], если 0 < | а | <1;(- оо;	U
,,Г 1	> \  1.1.	fci—Уа2-{-4 . —а2-|~4
, если а > 1;
2	’	2
а—У а2+4. —а+К а2+4"
2
2	’
-V 1+а]и
। а|_ 1 ? +оо У если|а|>1;6)
если а < 0; {—1; 1}, если а = 0;
если а > 0; 7) (— оо; 4- °°)» если	(— оо;
и [_ УТ=Га, КТ^]_У [КТТ а; + оо), если ___________
(~оо 1 -К 2]U{0} U[К 2; +оо), если а=1;(—оо;—Kl+«]ll
U [К 1+«1 +°°)8 если а >11 8) (— оо; —
U
2
ОТВЕТЫ
223
UI —JZ2—ZZ— ; -(-оо ), если а < — 1/4; {1/2}, если а ——1/4;
(—оо; +00)» если а >1/4; 9) (а+1 — j/^a2— 1; а+1 +J^a2—-1),
если [а] > V"2't решений нет, если | а |=<2; 10) —оо, -g-^U
, если
U(^ — ; +«> j , если а<0; оо; J (j I 4~ <
а > 0; 11)__ (— оо]/" За) (J [— V" За; + оо), если
(—оо; — ]/" SaJuCj^ За; 4-°о), если а^О; 12) [6а; 2а) U (2а;—2а],
если а < 0; (—оо; 2a)[J(2a; 4~оо), если а^О; 13) решений нет,
_ < f а—1\	-	_	< [ а4"1 । \
если а<:—1, {—оо; -у- )» если —1 < а < 1; ( -..; 4“00 I»
если а > L
§ 2
ЗАДАНИЕ 1
2. 1) (—оо; — 6)U(—5; 0); 2) (—5; 0); 3) [—4; — 1]
4) (-со; —7]U[-4; -1]; 5) {0; 3}; 6) {3}. 3. 1) {2}; 2) {-5; 5}'
ЗАДАНИЕ 2
2. 1) (-3; 6]U(8; +«); 2) [-3; 6]; 3) [-2; 4]Щ5; 4-оо);
4) [-2; 4]; 5) {-2; 1}U[7; 4-«); 6) [7; 4-~). 3. 1) {1}; 2) {-6}.
ЗАДАНИЕ 3
1) (—+°°); 2> [¥; 4)и(5;4-с°); 3)(-4; 4-00);
4) [—7; 1); 5) [А ; з) ; 6) (у ; 4- оо) ; 7) (- оо; -4) (J
U[4 ; у); 8) (1; 4-«).
ЗАДАНИЕ 4
1) (3; 4-00); 2) [1/2; 1)U(1; 4- оо); 3) [-14; 2); 4) (- <х;
74/13); 5) (— оо; — 2][J(2; 4-оо); 6) (2/3; 4-оо); 7) [—2-2р 6;
—1)U[—24-2 6; 3]; 8) (4; 4-оо)<
ЗАДАНИЕ 5
1) {-2; 1}U[3; 4-00); 2) (-оо; =5] (J[3; -f-oo);3) [-4; 1](J
U {2}; 4) ( —3~|/'5 ;1];5)[=?;-11и(1;2];б)(=^;^)и
и(°;	[4 ; 3); 8) (1; 2Ь
ЗАДАНИЕ 6
1) {—1}Щ2; 4-оо); 2) [-1; 4-oo)L3) {~4}U[2; 3];
5) Г^;	и(12; 4];
*) <0,5; +»); 7) [1; 1,5); в) (2; 8).
224
ОТВЕТЫ
ЗАДАНИЕ 7
1. 1) (2/3; 9/7); 2) (2; 3]. 2. 1) — 1<х< + оо, при а^О;
—1<х< 1/а2 * при а < 0; х — 0, при а = 0; | х|С л, при0 < | а\<
< —/15/2;—а<х< — ]/7-/ГО5, _ j/7+/у=Л5<
у - 1/7—/ 4^—15 1/7+/4а2— 15	_	/15
<х< Y ----—2-----’ V —~ -2--------<х<а,при-2-<
„	1/ 7+/4аа—15	1/ 7— / 4а2—15
<|а|< 2; — у ‘2-------< х< у -----, при 2<
С|а| < 4; решений нет, при | а|^4; 3) решений нет, при —2
— 2Сх <	, при —2 < аС2; —2
/у „ | "1/"R-I /72	__
и -ZIZ2—2Z— < х<2, при 2 < а<2 у 2; —2<хС2, при а >
> 2 У 2; 4) решений нет, при а<0о>1; х=0, при а = 0; Ос
<х<а\ при 0 <	1/2; 2а—1 С*Са2, при 1/2 < а < 1; х == 1,
при а= 1.
ЗАДАНИЕ 8
1. 1) (; 6 I ; 2) (1; 2); 2. 1) — оо < х С 2, при а С— 1;
\ 1о I
2—^--р^ < хС 2 при а > — 1; 2) решений нет, при ас—1;
— а+У" 2—а2	—а — У 2—а2
----5—g----< х< 1, при 1 < х< 1; —1 <х <------------
и ZZZ^tlzlp?—— < %с 1, при 1 < а С У 2; —1 С х< 1, при а >
2
Г —
> У 2; 3) решений нет, при а СО;	—- <х<0, при 0 < а <
< у-; —оо<х<0, при -i-CaCl; —оо.<хС0и 1Ся<
< ’^ZZZY’» ПРИ 4) решений нет, при асО; —1 — 2 У а <х<
< 1 + 2 У а, приО<аС1; — а<х < 1 + 2 У а} при а > 1.
Упражнения
1)0;2)(— оо;—127]; 3) ^;+оо ) ;4) [5; 86);5) [3; 12];6)0;
7)	U[12;+oo);8)[12;+oo);9)(-1;0);10)(-1;0); 11)[—4; 1]U
U{4}; 12) (0; 5); 13) [ V ; т] = 14)	1): 15)	:
+ оо); 16) (-оо; -3) (J J +=о) I 17) (=*;+«>);
18) (3;Л ; 19) (-оо; -3JU 6; 4г ; 20)	; +оо );
4*^4	L u /	L	/
ОТВЕТЫ
21) (—оо; —3]; 22) [—6; —4+К 2); 23) (— оо; 0] (J —; +оо ) ;
24) (—оо; —10]; 25) [4; + оо); 26) (— оо;
и(^ 2; +оо); 27) [0; 81]; 28) (-оо; -2]U(0; +оо); 29) Г1;	;
30)	г); 31) [1; + оо); 32) [-1; 1]; 33) ^2;	;
34) [2; 3]; 35) 0; 36) {-3}(J[— 2; 4]L37) [-2; - 1]U{3};
38) (—1; 15); 39) (-оо;	з) ; 40) (-1; 2];
41) [—0,5; 0)(J(0; 0,5]; 42) [—1,5; — 1](J(1, 2]; 43)
u
K —9—/61 \
—°; —s—i
u kV: т]; 44) v 2 ; 4:45)
46) (16+/’17)/2; 10]; 47) [6; 8—/~7/2]Ц [8+/7/2; 16]
48) [5; + oo); 49) [19/3; 9); 50) _[— 5; 2/"/5^2-4]
51) [1; +oo); 52) (-оо; -2]П[-1;	53) (-2; -1]U
uf—--
U I 3 ’ 3
; 55) (0,5; 1);
56) (5; +«>); 57)
~2~
§ з
ЗАДАНИЕ 1
1) (5; +oo); 2) (—oo; 1); 3) (—oo; 7/3]; 4) (-oo; 1/4);
5) (0; 3]; 6) [—20; +oo); 7) (8; +oo); 8) [0; 1); 9) [1; +co);
10) (—oo; 10]; 11) [1; -boo); 12) (—oo; 1); 13) [—4; 32]; 14) (—oo;
—1]; 15) (2; +oo); 16) (—oo; 396); 17) [—3/5; + oo).
ЗАДАНИЕ 2
1) (3; +oo); 2) [8; +oo); 3) (—oo; 4]; 4) (—1; +oo);
5) (—oo; 3); 6) [11/13; +oo); 7) (6; +oo); 8) (—oo; —3/8];
9) (—oo; 1]; 10) (1; +oo); 11) [4; +oo); 12) [0; 16); 13) [1/36;
+ oo); 14) [1/2; +oo); 15) [0; 25]; 16) (—oo; 540); 17) (9; + oo).
ЗАДАНИЕ 3
1) (-6; 1); 2) (—oo; —2)(J(13; +oo); 3) [5; 12]; 4) (—oo;4](J
(J[10; +oo); 5) (5/2; 12); 6) [3; 9]; 7) (—5/2; 3); 8) (— oo; — 2/7) (J
U(l;+oo); 9) _£—1/5; 0)U(3; + oo); 10) [1/4; 1)(J[4; + co);
11) [0; 8(2+ V 3)J; 12) (8; 44]; 13) (0; 1)U(9; +oo); 14) (1;5/3](J
(J[7/3; +oo); 15) (-oo; —2] (J [5; +oo).
ЗАДАНИЕ 4
1) (-3; 1); 2) (-oo; 1/5)U(7; + oo); 3) [1; 5]; 4) (-oo; 3](J
U[13; + oo); 5) (0; 25]; 6) (0; 1/2](J[3; + oo); 7) (1; 2) 8) (—oo;
—l/2)U(3/2; +oo); 9) (1; 7); 10) (—2; 4]; 11) (—1/5; 7]; 12) (1/20;
1/5)U(5; +oo); 13) [-1/5; 0)(J[3; +oo); 14) (-oo; -3/5](J(0; 5];
15) (-oo; -1/2]U[8; + oo).
226
ОТВЕТЫ
ЗАДАНИЕ 5
1) [3; 4- оо); 2) (— оо; 7); 3) [4; + оо); 4) (4; + оо); 5) ( — 1;
1=^]и[2; + со); 6) (2; + 00); 7) (-оо;4); 8) [13; +оо);
9) [0; 1]; 10) (—оо; 13); 11) [—2; 4-оо); 12) (—оо; 10); 13) (—оо;
1); 14) (—оо; 0]; 15) (—2; +оо); 16) (—оо; 2); 17) [4; +оо).
ЗАДАНИЕ 6
1) [2/3; 4-00); 2) (3; 4-оо); 3) (—оо; 3J; 4) (4; 4-оо); 5) (—оо;
—log!]U(0; 3]; 6) (4; +«); 7) (-оо; 1/2); 8) (-оо; 2]; 9) (-со;
1]; 10) (3/2; 4-оо); 11) [0; 16]; 12) (—оо; 1); 13) (5; 4-оо);
14) (—оо; —1/2]; 15) (—оо; 3/2); 16) (—оо; 1), 17) [4; +оо).
ЗАДАНИЕ 7
1) (—оо; log32— 1)0(2; + со); 2) (—оо; 5); 3) [2; 4-оо);
4) (—оо; 3]; 5) (2; + оо); 6) (0; 3); 7) [5; + оо); 8) (—оо; 1];
9) (-оо;3)U( 3+log5-|- ; 4-со); 10) (-1; 1); 11) [0; -j-oo); 12) (-оо;
0)U(0; 31oge2)0(3; +оо); 13) (-1; 1); 14) (-оо; 1]; 15) [1;
4-оо); 16) [-1; 0]; 17) (2; 4-со); 18) (-оо; 0)00/2; 4-со).
ЗАДАНИЕ 8
1) (2; 4-00); 2) <24-Ц1^ ; з) ; 3) [4-lg35; 4]; 4) (-оо; 3];
5) (3; 4-00); 6) (0; log, 5); 7) [1; 2]; 8) [8; 4- оо); 9) [0; 36); 10ЦЗ;
4-оо)И1) (20; 4-оо); 12) [—17; — 16]; 13) (— оо;_— V 2]О
О [/2; 3/2); 14) _(- оо; -К2]0(-1; 1] U [V 2; 4-оо);
15) (-оо; 24-log3/7]; 16)(-оо; —.Л 0(0; 4-оо);
17) (0; 1); 18) (-оо; -log2>52]0[loga,62; 4-оо).
ЗАДАНИЕ 9
1) (—оо; 152); 2) [9; 4-оо); 3) [—10; 70]; 4) [5/3; 7); 5) (0; 1)0
О [25; 4-ос); 6) (32; 36)0(68; 4-со); 7) (—19/5; 1)0(3; 9];
8) (2; 4-со); 9)	: +°° ) : 10)	6)= П)(-°°:
45]; 12) (-оо; -‘82±fe^dg3 V 13) (-со; 1]0[25; 4- оо);
,4>	: >’> +»>; «!> %,^1)/г4]U
U(0; 4-со).
ЗАДАНИЕ 10
1) (8; 27); 2) [10; 12]; 3) [0; 81); 4) (— оо; 1) 0[5/3; 7/3);
-а ГО-9V Ю 6). 81g34-101g2 1	/	1g 114-3 lg5 1
5) [°’ 9)’ 6) V’ ~~2Tg~2—ig3~ j  7) (-00’	21g5+igll J ’
8) (5; 4-00); 9) [3; 4-оо); 10) (5/4; ± оо); 11) [— V 3; V 3];
12) [1/2+41(V5-ig32); +°°); 13>	2); 14>	-2):
15) (-оо; loga/3 -^-р1 ] ; 16) [-1/2; 0)0(0; 1/2].
ОТВЕТЫ
227
ЗАДАНИЕ 11
1. 1) (5/3; 2); 2) (2; +ос); 3) [1/2; 1); 4) (-оо; 0)U(1; +<*>);
5) (0; log2/s (1/3)); 6) (2; 6); 7) [2; + оо); 8) (—1; 0]; Щ2; 3];
9) [logs7; 2]. (h — 3). 3. при а < 0: (—оо; log3 (—а)); при (1=0:
решений нет; при а > 0: (—оо; —2 + log3a).
ЗАДАНИЕ 12
1. 1) (1; 4); 2) [0;_64); 3) [2; +оо); 4) (—оо; + оо); 5) (4/3;
+оо); 6) (-оо; log2 (К 2—1)]и[1/2; +оо); 7) (2; +оо); 8) (-5; 5);
9) [logjs5; 1]. 2. (0; —5/2). 3. при а < 0— (оо; log2(—а)—1);
при а = 0—решений нет; при а> 0—(—оо; log2a—2).
Упражнения
1. 1) (0; +оо); 2) (—оо; 0); 3) (—оо; 8/7]; 4) [7/5; 4-со);
5) [3; 4-00), 6) (1; 4- “); 7) (—оо; 2); 8) (— оо; 1]; 9) [3; 4~ оо);
10) (—оо; 2]; 11) (3; 4-оо); 12) (-оо; +оо); 13) (2; 4-оо); 14) (—оо; 3];
15) [logs 2;4- оо); 16) (—оо; log23]; 17) (—оо; — 3/2]; 18) (—2; 4-оо)
19) (—оо; 1]; 20) (0; 4-оо); 21) (—оо; —1]; 22) (—оо; 1);
23) [log23; 4-ос); 24) (—оо; —1); 25) (—оо; 2]; 26) (—оо;
2—2 loga3]; 27) [44~log27; 4-00); 28) (2—log,2; 4-00); 29) (—00;
24-logs3). 2. 1) (log23; 4-00); 2) [-7;2];3) (-co;-l)U(2; 4-00);
4) (-00; —1)(J(2; 4-00); 5) (-00; l)j_6) (-<»; -2]; 7) (logs6/2;
log65); 8) [3/2; 4-00);9) (-Г 7; - V 3] (J IV 3; V 7); 10) [0; 1];
11) [0; 1); U(3; 4-°o); 12) (— 00; — 1/6)U(1/12; 4-°o); 13) (—oo;0)u
U(0; 1/2]; 14) [-1; 0)U(0; 4~oo); 15) (-00; log3 1] U [logsу ;
logs j ) I 16) (log5 10g5 4] U ['Og6 2; +~); 17) (3; 4-00); 18) (-oo;
log0,33); 19)(—00; —logs6)U[—1;0);20) (log5,3-^; 1) ;21)(-oo;
4—2 0)11(44-2/"2; 4-00); 22) (2-logh; 2]; 23) (1; 2) (J
U(3; 4-00); 24) (—00; -1)U[2; 3]; 25) (—1; 2](J[3; 4-00);
26) [—1; 3); 27) (—1; / 2]; 28) [0; log|2)u(3/2; 4-00).
3. 1) {(0; 1/2)}; 2) {(2; 2)}; 3) {(4; 2)}; 4) {(-I; -3); (3; -3)};
5) {(2; 0); (3; 0)}; 6) {(1; 2); (4; 2)}; 7) |(^4-llog23; ±-
-Tloga3)}‘
§ 4
ЗАДАНИЕ 1	_
1) (5/8; 4-oo); 2) (1/5; 2/5]; 3) (—5/6;	3—б)/б]; 4) (50; 4-oo);
5) (1; 2)U(3; 4); 6) (2; 3);7) [-6/5;-l)U(-l/5; 0]; 8) [1/2; 5/2)U
U(7/2; 11/2]; 9) (4; 6); 10) [1/3; 2/3]; 11) [—16/3; —3); 12) (—1/3; 1);
13) (—00; —15]U(—1/7; -boo); 14) (—3; — l/3)U(3/2; 4- 00);
15) [1/2; 3/2) U (5/2; 7/2]; 16) [—3; — 1)(J(5; 7]; 17) (-00; — 1);
18) (-00; -1); 19) (-00; -2)U(0; 1)(J(1; 4-00).
ЗАДАНИЕ 2	_
1) (1/3; 2); 2) (-1/2; 1/2); 3) [-1/4; 1/2); 4)	5	*1 1
5) (- oo; —2]U[4; 4- co); 6) - 00; —2) UP; + co); 7) [-1; 1)U
228
ОТВЕТЫ
|J(3; 5]; 8) (-оо; -l)U(4j_+ оо); 9) (-оо; 1/2); 10) [1/3; 1/2);
11) [-7;-У35)U[5; /35); 12) (-оо, -2)U(-1/2; + оо);
13) (—00, —9]и(3; 4-ОО); 14) [—1; 0); 15) [1/2; 1)(J(2; 5/2];
16) [-3; —1)U(9; И]; 17) [2; 4-оо); 18) (-оо; -3]; 19) (-2; 1)U
U(1; 4).
ЗАДАНИЕ 3
1) (-1;O)U(1; 4-«); 2) (-3; — 1); 3) [-7; 3]; 4) [2; 3);
5) (-1/2; 0); 6) {5}(J<44- V 2; 4-«о); 7) (-7; -2); 8) [l/2;4/5]U
U{4); 9) (0; 1/2)U(2; 3); 10) (-oo;-2)U(-K2;-l)u(l;K2)u
(J(2; 4-oo); 11) (-oo; — 5/2)(J(—1/2; — l/4)U(9/4; 4-00);
12) (Ioga(2/3); 0) (J(log21 4-°o) ; 13) [3/4; 1); 14) (1;5/2-K2)U
U(5/2+j/'T; 4); 15) (-3; (-2)U(-1; 0); 16) (13/3; 7); 17) (-2;
7/3) u (5; 4-00).
ЗАДАНИЕ 4
1) (-1; 0)U(4; 4-00); 2) (3; 4)U(6; 4-«o); 3) (2; 3)(J[5;4-00);
4) (-7; -6]U[1; 4-00); 5) (-1/2; -1/3); 6) {1/2}U(1; 4-00);
7) [-9/8; — 1)U{—2; 2}; 8) (3; 4)U(5; 4-oo); 9) (-00; 0)(J(l;2)U
U(2; 3)U(4; 4- 00); 10) [-6; 7,5); 11) {4}(J(5; +00); 12) [1; 2);
13) [2; 4- 00); 14) (—00; — 3/2)U(4; 4- 00Д 15) (0; 4)U(64; 4-00);
16) (3; 4); 17) (-3; (-1-/ 19)/2)u(K 19-1)/2; 2).
ЗАДАНИЕ 5
1) [2—K’S; (6-K3)/3]L2) (1/2; 9/16)U[9/2; 4-00); 3) (1;
1,04)0(26; 4-00); 4) (4-f/2; (8-^4)/2); 5) (1; 5/4)(J
(J(3; 4-00); 6) [У 5; б]; 7) [1/2; 4]; 8) (0,01; 10); 9) (0; 10-a)(J
U(10-«; 102)U(103; 4-00); 10) (0; 1/9] ЩЗ; 5]; 11) (0; V 7/7)JJ
U(l; 49); 12) (0; V 3/3](j(l; 27]; 13) (0,1; 1); 14) (0; 1)U(K 3;
9); 15) (1; 4-00); 16) (1/64; l/4)(J(l/4; 4); 17) [/ 3; 9)(J(81; 4-00);
18) (-w; —2]U{—1}U[0; 4-oo).
ЗАДАНИЕ 6
1) (0; 10-1] (J [102; + oo); 2) _(—1/3; —7/24) (J (1; -H°);
3) (0; 1/8] [J [1/4; 4-00); 4) (10“Гз ; 10~Г2 ) (J (10Гз ; 10Гз ) ;
5) (1; 104),; 6)_ [—5; 0] U [63/32; 2); 7) (0; 1/2] (J (1; 32]; 8) (0;
1/5) U (1; 5/’5); 9) (0; 1/2] (J (2; 4]; 10) (0; 10); 11) (0,1; 1) U
U (1; 10); 12) [1/9; 1/3) (J (1; 3]; 13) (0,5; 1); 14) (0; 0,5) (J (2;
4-00); 15) (0; 0,5] (J [32; 4-00); 16) [0; 1]; 17)	—1) 0
u(	18) (-1; 1/3] U [1; 7/3); 19) (0;
0.5] U (1; 4-00).
ЗАДАНИЕ 7
1) (- oo; 1); 2) (- 00; loga /3); 3)_ (- 00; 0] U [loge_5; 1);
4) (- 00; logs 2]; 5) (-Г2 ; -1) U (И Г2); 6) (-1; -2 К5/5)U
ОТВЕТЫ
229
U (2 Кб/5; 0; 1) [0;_1/3) (J (3; 10/3]; 8) (- оо; -2) U [6; +°°);
9) (-3; - Кб ) U (Кб ; 3); 10) [2; 4-оо); 11) (1; 4-оо); 12) (3;
4] U [6; +оо); 13) (log2(5/4); log23); 14) [log214; 4] ;_15) [logs (28/27);
log,4]; 16) (log25; 3) (J (log214; 4-00); 17) (1; Vб); 18) (2"2«; 1);
19) (3; H-oo).
ЗАДАНИЕ 8
1) (-co; 0); 2) [0; log23]; 3) (-oo; -l-{-log2(5+K33));
4) (- oo; log52] U [log53; _1); 5) [0;_+oo); 6) (-1; 2); 7) (7/10; 1);
8) [-4; -iJ; 9) (-3; -V6) и (Ke;3);10) (-4; —3]u[8; +_°°);
11) (-oo; -2); 12) [ 1~1K3 ; -2) (J (з; M3^3  J
13) (—00; 0]U[l; logs 5); 14)_(logs 28-3; logs Ю); 15) (0; 1] (J
U [2; +00); 16) (log5(l + K2); log63); 17) (4; 10); 18) [-11;
—161/31); 19) (4; 4-00).
ЗАДАНИЕ 9
1) (2/5; 3/7]; 2) (-1; 1); 3) (1/5; 5/2); 4) [-1; 2)£ 5) (-3;
\_l_/3) (j (_ 14-Кз ; 2); 6) (2; 5/2); 7) (- V 3 ; Кз);
8) (-3; —2] (J [3; 4-00); 9) (5/2; 4-00); 10) (1,5; 2) (J (7; 8);
11) (2/3; 4-00); 12) (8/3; 10); 13) (—1£_2); 14) (1; 2) (J (3; 4-00);
15) (-1; 0) Ull.-H«); 16) (-2; -K2) U (K2 ; 2); 17) (- КЗ;
-1) U (i; Кз).
ЗАДАНИЕ 10
1) (-1/3; 1/4); 2) [4/9; 1/2); 3) [1; 3); 4) (2; 4-00); 5) (-oo;
-5) (J (-5; -lj_U (3; 4-oo);_6) (-4; 2]; 7) (1; 2) (J (3; 4-00);
8)	; 3---p7 ) (j (3±p7.; 4- 00 ); 9) (-4; -3) (J(2; 4-*);
10) [-3; -Кб) U (Кб; 3]; 11) (-1; 1) (J (3; 4-«>); 12) (-00;
—2); 13) (—1; 4-00); 14) (—1,5; — 1) (J (4; 5); 15) (—1;
*~p-) U ; 2) ; 16) (24/7; 4-00); 17) (-2; -1) U
U (1; 2); 18) (-3; -Кб) (J (Кб; 3).
ЗАДАНИЕ И
1) (О; 21/<log’2-1)); 2) (0; 27); 3) (0; 0,5]; 4) (3; 4-00);
5)	(2;	3); 6) (1; 2) (J (3; 4); 7) (1; 4);	8)	(2;	5); 9)	(0; 7~«);
10)	(0,	1/16]; II) [3, 4-со); 12) (0; 4-оо);	13)	(3;	4) (J	(4; 4-00);
14)	(0;	32/(Iog’ ’~,og’3)); 15) (2; 5); 16)	(2;	6];	17)	(—1; 1);
18)	(3;	4-ос); 19) [27; 4-оо); 20) (1/3; 3).
ЗАДАНИЕ 12
1) (0; 5-*); 2) (4,og’-8 °’а; 4-00); 3) (10; 4-00); 4) (3; 4,5);
5) (1; 1,1); 6) (1; 1,5]; 7) (—2; 2); 8) (0; 0,25]; 9) (0; 5~в);
10) (0; 1/81); 11) (2; 3); 12) (-2; 0); 13) (3; 10]; 14) (-1; 4-00);
230
ОТВЕТЫ
15) (—2; 3); 16) (— 1; 10]; 17) (1; 2); 18) [2; +со); 19) (3; 9);
20) (3; -j- оо).
ЗАДАНИЕ 13
1) [0,5; 1) U [2; +оо); 2) (0,5; 1); 3) ( 3~^ ; 1) U
и (1; 3+^-); 4) (2/3; 1) и (1; + »); 5) (0,58; 7+4/з];
6) (1; /2); 7) (-5/2; -2) (J (-3/2; 3/2) (J (3/2; 8/3);_8) [3; 4) (J
U (4; 5) U (5; +оо); 9) [8-/43; 2)ц£8 + /43; + <»);
10) (|/3; +оо); 11) (1,5;2); 12) [0,31;5+2 V6_); 13) (—3;— 1)(J
U (1; 9); 14) (0; 1) (J (1; 2) (J (2; + оо); 15) [/б -1; 2) (J (2; 5J;
16) (1;_5/4) U (5/4; 3/2); 17) (2,5; 6-/б) (J (10; + оо); 18) (3;
5-/3) U (7; + оо); 19) (logs 10; +«>); 20) (-1-/5; -3) U
U (/5-1; 5).
ЗАДАНИЕ 14
1) (2; 3); 2) (0,5; 1) (J [2; +_оо); 3) (4,5; + оо); 4) [3,5; + оо);
5) (0J]; 6) (1/3; 2]; 7) (4-/2 ; 3) U (4 + /2; +оо); 8) (2 +
+ /2 ; 4); 9) (-2; -1) (J (-1; 0)_Ц (0; l)U(2;+oo); 10) (1; 3/2) (J
U (3/2; 2) U (2; 3); 11) (1-/7 ; -1] (J (-1/3; 0) (J (0; 1/3) U
U [2; 1 + /7); 12) (о; -3—/-5 .) (J Г-|; 3±-р ) ; 13) [0,26;
9+4/5); 14)(0,32;8+3/7); 15)(1,5;(у! +°°)1
16) [5; -[— оо); 17) [-2/Г; -1)и [ —	; 1) ; 18) (-6;
-5) и (-3; -2); 19) (log* 13; 2]; 20) (-1; 1/8) U (1/4; 1/2).
ЗАДАНИЕ 15
1) (0; 1) Ц (9; +<»); 2) (-оо; -l^J (-f/To^; о) (J
U(O;J/IO"*) U (1; +оо);3)(- оо; -/10) (J (-1; 0) (J (0;_1)Ц
и(/10; +оо); 4) (О; 2~2 Г1! ] (J [22	; -/оо); 5) (О; 3~2 ,/'3 ] (J
и[з2ГГ; +°о); 6) (1; /2)и^-±^5 -, + оо); 7) (10-
— /43; 4) Ц (10+/43; +оо); 8) (2; /2+Q Ц [3,5; +оо);
9) (2; +оо); 10) (в; 2~^	(j log2 (2+’/"2‘); +оо);
11) (fl; 3-^,og»(1 + 1''~l] (J ГзК1о8,(1+ГТ). +оо); 12) {3};
13) {4}; 14) [—1; 0]; 15) [0; 2); 16) (0; 0,8]; 17) [1/3; 2/3);
18) (5/2; 3]; 19) {0}.
ОТВЕТЫ
231
ЗАДАНИЕ 16	_____
1) (0; 1) U (16, -(-оо); 2) (—оо; — 1) (J (-_//КГ®; о) (J
U (О; v io-3) U (1; + °°); 3) (-оо; -Ую) их-1; 0) U
и (0; 1)и(^Ю; +«о); 4) (о; 7~гГ’] и [72Г?; + «);
5) (2/3; 1) и [2; 6); 6) (5; 5,5) (J [6,5; +оо); 7) (9; 9,5) (J (9,5;
9,75);	8) [2-4-/2"; 4);	9) (0; 1) U ( 1 +	; 2^;
10)	(о; 2“^2 log2(2+/F/2)J J £2^210g2 (2+/Г/2). оо ) .
(ч/ . ,	з + Уз"	-1/ „ ,	s+VTT \
-1/ 0,5 log,----—	у 0,6 log,-------
0; 3 r	J U [З	2 J Ч-oo J-
12) {1}; 13) {2}; 14) [-1; 1]; 15) (-2; -1] Ujl}; 16) (0,5; 1,5];
17) (5/12; 1/2]; 18) [-1; 0) (J (0, 1]; 19)	4) (J (6; +00).
Упражнения
1)	(3/4; 4/3); 2) (—3/2; —23/16); 3) (2; +oo); 4) (1; -f-00);
5) (6; +00); 6) (-/5 ; -2) U (1; /5); 7) (-1;	) (J
U ( 14~ Д I 2) ; 8) (4; + oo); 9) (-00; -2) (J (58/25; 4-00);
10) (—0,1; 0,8); 11) [—9/8; —1); 12) [—1; 1,25); 13) [2; +00);
14) (—0,5; 0] (J [2, +00); 15) [—1; 1) U (3; 5]; 16) (—2; 3);
17) (0,5; 1); 18) (2; 3) (J (5; 8); 19) (2-^2; 3/4) (J (13/14^2 +
+ /2_); 20) [0; 27/16]; 21) [5; + 00); 22) [—3; — 6) (J
U (/6; 3]; 23) (0; 0,25] (J [4; +00); 24) (1; 2); 25) [2; +«,);
26) (-1; 0) (J (1982; 1983); 27) (—1/3; 0) (J (0; 1); 28) (—00; —2);
29) (12/5; -4-00); 30) (— 00; —1,5) U (3; +«>); 31) (V3/9; +00);
32) (0; 1) U (19834; +00); 33) (— 00; —2/3] (J [0,5; 2]; 34) (0; 3) (J
(J (7; +00); 35) (0; 1/6) (J (1,5; +00); 36) (0,01; 10); 37) (2; 4] U
(J [32; 64); 38) (0,75; 1); 39) (0; 0,25] (J [1; 4]; 40) {5} (J
U (4+/2 ; + 00); 41) (-00; —5/2) U (-9/4; -7/4) U (1/4; + 00);
42) [logs (9/10); 2); 43) ^4;	; 44) (-1; +00); 45) (0; 0,5) U
U [У2; -4-00); 46) (—1; 0); 47) (0; 10~100] (J (10~10; + 00);
48) [0; 0,25] (J (0,5; +00); 49) (1; 2) (J [3; +00); 50) (1; +00);
51) (0; 1)U(F3; 9); 52) (0; 0,2) U (1; 5/5); 53) (0; 2) (J
U (4; +00); 54) (0; /5/5) U (1; 3); 55) (2; 4); 56) (1/8; 1/4) (J
U (4; 8); 57) (3; 9); 58) (0; 0,25] U [4; +«>); 59) (1; 10s);
60) (log2/7; logs3]; 61) (1/49/7; 1); 62) (2; 3); 63) (2/3; 1);
64) 0; 65) (0; 0,25) U (2"V2 ; l/2> U (1; 2Г2); 66) (0; 1) (J
U(4; 8) U (16; 64); 67) (-co; -7) (J (-5; -2] (J [4; + co);
68) (0; 1] (J (2; -f-co); 69) (—1,5; —1) (J (4; + 00); 70) (5; -j-oo);
71) (0; 23/25); 72) (—4/3; —17/22); 73) (O; /2— /3 ) (J
232
ОТВЕТЫ
и (/3;/2+Кз );74) (-3; 1) U (3;4);75) (_4-/2_£-5)и
U (-3; -4+/2) U (1; 2); 76) (-оо; -2] (J (1 + 2/2; 4) (J
U (4; +оо); 77) (0; 0,5] (J (1; -f-оо); 78)	; A f3 ) U
U(y! +<»); 79) (-1/2; 1/8) U (1/4; 1); 80) (-оо; -2] U
U {-О U [0; +оо); 81)	; -1) U Г
82) (-оо; 0] U [1; log35); 83) (-оо; —9]U[1 —10~й; 1) U
и (1; 1 + 10-5] и [11; +оо).
Дополнение
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ
ПО МАТЕМАТИКЕ В МГУ им. М. В. ЛОМОНОСОВА
1. Решить уравнение:
п 5	1	4*~6 и?з ' х+1 1 (х + 1)(х+3)	Отв. Xi-0.
о\	1 Х	|_ 1	 1 * ' (2-х) (х—3) 1	2-х'	Отв. Xi = 1.
3)	1. - > | х-11 -1	Отв. х > 2.
. 4) УЗх+4(9х2+21х+10) = 0.		4		2 Отв.	х2=-^-.
, 5) У 5х+3(5х2—х—4) = 0.		з Отв. Х1 = -р-; х2=1. 5
,-6) У 35—5х=9—2х.	Отв. Xi~2.
V) КЗх-5 = 5-2х.	Отв. х1 = 2.
,8) Ух*—2х—5 = 1—х.	Отв. Xi =—У 3.
>9) х+Ух* — 2 = 0.	Отв. xi = — У2.
< 10) У(х+2) (2х-1)-3/х+6 = 4-/(х+6) (2х—1) +
+ Зргх+2.	Отв. х1==7.
«И) У х2- х+1 + /Зх2 -1 = К3х2+ 2х+1 + У^"+ 2хУТ.
Отв, Х1 = — 1.
4-х2 ► 12) (-1) 2 =8*. 2хг	Отв. Х1 = — 1; х2=^4.
”13) (-5-V =4-*>8-*. \ о ]	5 Отв. Х1 = 0; х2—у.
/ 1 \*~2 .14)5*+1 = (±)	.	Отв. xi=Y«
I 1 V+* •15) 22*+1 = J .	п	2 Отв. хх= ——. о
1fi. 2-6*-4*-15 , 5	п	,	1 + КТз Отв. Xi = log?/2 		.
234
ДОПОЛНЕНИЕ
15*+9*+6 ' 2.15^4-25^ + 3	n	, v 17—3 Отв. *i = log6/8 4	.
Р18) 2|x+1 l = (]/’2”)~2x+3i	Отв. xi——.
? 19) 51 2*+11 = (]<5)-4*+3.	n	1 Отв. Xi=-q-. о
♦20) log2 (х+4) = —2 logs	Отв. Xi = 0.
• 21) lg(9-x)=-21g;J^.	Отв. Xi = 0.
122) log2 (x—3) = 1 — log2 (x—2).	Отв. Xi = 4.
« 23) log3 (x—8) == 2 — log3 x.	Отв. Xi —9.
$24) 2x log2 x2 + 2 = 4x+4 log4 x.	1 Отв. Xi —у; x2 —2.
*25) 3x log3x+2 = log27 x3 + 6x.	n	1 Отв. xi=—; x2 = 9. о
2. Сколько корней на отрезке [0, 1] имеет уравнение:
1)	8х (2х2 —1) (8х4—8х2 +1) = 1?	Отв. Три корня.
2)	8х (1 — 2х2) (8Х4— 8х2 +1) = 1?	Отв. Четыре корня.
3.	При каждом а решить уравнение:
1)	4х — 2а(а+1)2х~1 + а3 = 0. '
Отв. xi = log2a, x2 = 21og2a при а > 0;
х3 —21og2|a| при а < 0; решений
нет при а = 0.
2)	25* + а2 (а—1) 5* —а& = 0.
Отв. Xi — 2 log51 а |, х2 = 3 log61 а | при а < 0;
x3 = 21og5a при а > 0; решений нет
при а = 0.
4.	Указать все а, при которых уравнение имеет решения и
найти эти решения:
1) log2x+loga x+log4x=l.
__2.	2 log2 а
Отв. а > 0, а 2 3 , а £ 1; Xi = 23 Iog2 а+ 2.
2) log3x+31ogax+log9x=5.
ю logs д
Отв. а > 0;	а£1\ Xi = 33 lo^a+G.
У
5. Решить неравенство:
4х—1	.
‘>5г+гэ1’
4
3)I-3+jTT>0.
Отв. (—оо; —1/3) (J [2; + оо).
Отв. (—оо; 3)U[23/2; + оо).
Отв. (—1; 1)U(1; 4-оо).
ДОПОЛНЕНИЕ
235
4)	< 0.	Оте. (—1; 1)U(— «>; —1).
5)х-1>^-.	Отв. (3; + oo).
6) 2—x <	Отв- (-i; +«)•
7	*4-1	7
>4- Отв- -1 + т
8>;4^>4-	(-3-/13;-3+КП).
9)	Отв-(-ео; +“)•
I х—* I 1
1	9	9
10) —гт+т—j---J &---7.
’ х-|-1 1 |х|—1 X—1
Отв. (-со; -1)U[-1/3; 1)0(1; +«).
in 1	।	3	1
' х—1 • Iх 1 +1“" |х|—Г
Отв. (—со; —3]0(—1; l)U(h +*>)•
12) К— 25х2+15х—2 (8х2—6x4-1)S&0.
Отв. [1/5; 1/4]О{2/5}.
13)	(Зх2—4x4-1) V25х2 —20x4-3 < 0.	Отв. [3/5; 1]0{1/5}.
14)	Зх < 14-12-3-*	Отв. (—со; log34).
15)	2х—1 < 6*2~*.	Отв. (—оо; log23).
16)	7Х~Х*/8 < 7Х-*(^/т)**4-6.
Отв. (—со; 4—2 Уг2)0(44-2)/’2 ; 4-оо).
17)	52х-х‘/3 < 52-2Л1 (У?У2+ 24.
Отв. (—оо; 3—КЮиСЗ-ЬКЗ; 4-оо).
18) 4-4* < 7-2*4-2.	Отв. (— оо; 1).
19) 3.9* < 8-3*4-3.	Отв. (—оо; 1).
1 "чГ *	“Г* lojal*	/ V------1 Г 1/—	\
20)	• х 2	s=24	. O/ne. (о; 2-2V 2 ]o[2v 2 ;4-оо).
М* logs*
21)3 4 <1.х3 . Ота. (0; 3“2 Гз]о[з2 1/3 ;+со).
О
22) logs(х4-2)4-logs(х—4)—1<0.	Отв. (4; 14-2^3].
23) Iog5((x+I)(x4-3))<1.
Отв. [—2—/6 ; —з)о(—1; —24-Кб].
24) log1/2(Kx+T-x) < 2.	Отв. [-1; 5/4).
23)	l°gi/3 (х— Ух+ 0 > — 1.	Отв. [1; 2).
26)	logs (1 — 2х)^г logs (5х—3).	Отв. (2/5; 3/7].
236
ДОПОЛНЕНИЕ
27)	log6(x(l—х)) < log5(x+3).	Отв. (—1; 1).
28)	log1/9 x+log39x < 3.	Отв. (0; 9).
29)	log5(x/5) + Iog1/25 x < 1.	Отв. (0; 625).
Отв. (—oo; —!)□(—1(T*/4; 0)(j(0; 10~*/4)U(l; + <*>).
31) Igx2—2	—1
4 4—3 Igx4 2 
Отв. (— oo; —io1/3)u(—1; 0)U(0; l)u(101/8; -J-oo).
55^=4 >еЬ-	o~.<0;4U0e;+«).
»™. <« DU» +»)
34) log2/2 (3x+ 1) > log1/2 (3x+1)4-6-
Отв. (—1/3; — 7/24) (J (1; 4-oo).
log5(3—2x)+4-log5(3-2x) < °'
Отв. (—oo; —311)U(1; 3/2).
36)	logfsjf-i) 2x > 1.	Отв. (2/3; 1).
37)	log*(3—x) > 1.	Отв. (1; 1,5).
38)	xlog1/3(l/3—x) > |x|. Отв. (—oo; — 8/3] (J [0; 1/3).
39)	| x| logjy3 (x-|-5/9)4-x>0. Отв. (—5/9; —2/9](J[0; 22/9].
,m 2 l°gl-3 | x | (42x2— 141 x |4- 1)
J logl-3|x|(*-W _	_
Отв. (—1/3; (—7—/7 )/42)и[(/197-15)/84; 0)(J
U(0; (13-KT4T)/84]u[(134-KT4l)/34; 1/3).
4П logi-4x2 (1*1 —4)2	_ 2
’ logi-4x’(10x24-5x +1/2) " •
Отв. (—1/2; (—5-Кб)/20)и((К5 —5)/20; 0) (J
U(0, (К45-5)/20)и[(КЙ-3)/10; 0,5).
6.	Пусть a > 0, b > 0. Найти решения неравенства:
в 17xzi>i_i
’ V х* х b-
Отв. (—a; 0)U ( 0;
ga j при [—я; 0) и (°; я] при а > ь.
Отв. [ — а; 0) при с < d,
—2(Pd
c2-[-d*
0 j при d.
ДОПОЛНЕНИЕ
237
7.	Решить систему уравнений:
п/ 2х+2у=—1;
' I —20x4-3,5-2^+1= 146.
j 7-2*+6^=2;
’ I 3.2*+1—5у = 93.
Отв. {(—4,5; 3)}.
Отв. {(3; —9)}.
3)	{ 6*^=312?2:	Отв.{(1; logs 2)}.
4){ 2*25^=514=7!	0^. {(1; log67)}.
.. I |х-</|-1о§1(|х|+у+1)+6 = 0,
0) | (х-у)2-6 (х—у) log2 (I х |+^+1)+5 log2 (| х | +z/+l)=0.
Отв. {(5; 2); (93/2; 33/2)}.
( |2x-H/| + log|(kl-2x+5)-20 = 0;
6) < (^+у)2—7 (2х+у) logs (| i/l —2х-|-5)—
I -81og|(|f/|-2x4-5) = 0.
Отв. {(3; 10); (—20; 36)}.
8.	Найти все пары целых чисел х, у, удовлетворяющих сис-
" / 2,-+V-12,+20,+ 65 < 0;
’ I 4x4-2# >3.	1	"
( 2х24-2#24-24х—28#4-167 <0;
2) 1	х4-2у < Я	°тв- {(~7; 7); (~6; 6)>’
9.	Найти все значения а, при каждом из которых система
имеет ровно четыре различных решения:
1) J 1 —1^1х—11=1 71УI’ Отв. а= — ~ , а= —
| 49у2-j-х2-j-4а — 2х—1.	4	32
2) / Г17+ЗТ = 1 -Г5|7Й	Отв.
' | 16а—9—6// = 25х24-//2.	!6	128
10. Найти все значения а, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение:
( х2—2ху—3#2 = 8;
I 2х2-\~4xy-\-Зу2 = а^—4а3 + 4а2—12-f-V* Ю5.
Отв. —1, а^З.
2) ( 2х2—2xj/4-10f/2 = a4—6634-962—19-|-К85;
' (	я2 + 2х#—3z/2 = 4.	Отв. asC—1, а^4.
11. Найти все значения а9 при каждом из которых для лю-
бого значения b система имеет по крайней мере одно решение
(х, у, z):
( Ьх—у — аг2 — 9\
I (b—6)x + 2by—4z = 4.
2} ( x—by + az2 = 0;
I 2bx-{-(b^-6) уг-Зг — З»
Отв. —
4	о
1	2
Отв.	а ^-х-.
Z	о
Валерий Васильевич Вавилов
Иван Иванович Мельников
Слав Николаевич Олехник
Петр Иванович Пасиченко
ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ.
Уравнения и неравенства
Редактор А. Т. Цветков, Т. В. Шароватова
Художественный редактор Г. №. Коровина
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректоры Н. Д. Храпко, И. Я. Кришталь
ИБ № 12572
Сдано в набор 06.03.87. Подписано к печати 08.10.87. Формат
84Х1081/з2- Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Пе-
чать высокая. Уело. печ. л. 12,6. Усл. кр.-от. 12,81. Уч.-изд.
л. 15,77. Тираж 350 000 (1 завод 1-200 000) экз. Заказ
№ 1510. Цена 85 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука*
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного
Знамени МПО «Первая Образцовая типография» имени
А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном ко-
митете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 1 13054 Москва, Валовая, 28