/
Автор: Горшков А.Г. Тарлаковский Д.В. Медведский А.Л. Рабинский Л.Н.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация колебания тел колебания тел с распределенными массой и упругостью возбуждение колебаний механика физика динамика учебное пособие физика твердого тела механика сплошных сред
ISBN: 5-9221-0338-5
Год: 2004
Текст
УДК 539.3:534.1
ББК 22.25
Г 70
Горшков А. Г., Медведский А. Л., Рабинский Л. Н.,
Тарлаковский Д. В. Волны в сплошных средах: Учеб. пособ.:
Для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 472 с. - ISBN 5-9221-0338-5.
Излагаются основы динамики сплошных сред. Дан единый взгляд на
эту область науки, который должен помочь обучающемуся в его работе
над сложными вопросами. При рассмотрении конкретных задач основное
внимание уделяется моделям механики деформируемого твердого тела. Весь
материал сопровождается примерами решения конкретных задач с соответ-
соответствующими иллюстрациями.
Определяются фундаментальные понятия, дается классификация дина-
динамических процессов. Рассматриваются одномерные плоские, сферические
и цилиндрические волны, а также одномерные динамические процессы в
стержнях и тонких пластинах. Даны решения начальных задач для про-
пространства и плоскости, стационарных и нестационарных двумерных задач
для полуограниченных областей. Для облегчения чтения приведены различ-
различные модели сплошных сред, а также сведения об обобщенных функциях и
их интегральных преобразованиях.
Для студентов, специализирующихся в области механики сплошных
сред, а также для аспирантов соответствующего профиля.
ISBN 5-9221-0338-5 © физматлит, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Список основных обозначений 8
Глава 1. Основные понятия 11
1.1. Классификация динамических процессов 11
1.2. Нестационарные процессы 14
1.3. Стационарные процессы 18
1.4. Фундаментальные решения 23
1.5. Метод разделения переменных 30
Глава 2. Плоские волны 39
2.1. Типы плоских волн 39
2.2. Распространение возмущений в неограниченной упругой среде. . 42
2.3. Плоские волны в упругом полупространстве. Распространение
граничных возмущений 46
2.4. Распространение объемных и начальных возмущений в полубес-
полубесконечной упругой среде 51
2.5. Граничные возмущения в упругом плоском слое 56
2.6. Распространение объемных и начальных возмущений в плоском
слое 63
2.7. Граничные температурные возмущения в полуплоскости 70
2.8. Распространение возмущений в бесконечной вязкоупругой среде 77
2.9. Граничные возмущения в вязкоупругой среде 83
Глава 3. Сферические волны 90
3.1. Структура сферических волн 90
3.2. Распространение сферических возмущений в неограниченной
упругой среде 93
3.3. Распространение граничных возмущений от сферической поло-
полости 98
3.4. Объемные и начальные возмущения в пространстве со сфериче-
сферической полостью 104
3.5. Распространение граничных возмущений в толстостенной сфере 111
3.6. Толстостенная сфера под действием массовых сил и начальных
возмущений 124
Оглавление
Глава 4. Цилиндрические волны 133
4.1. Типы цилиндрических волн 133
4.2. Распространение цилиндрических возмущений в неограниченной
упругой среде 138
4.3. Распространение граничных возмущений от цилиндрической по-
полости 144
4.4. Объемные и начальные возмущения в пространстве с цилиндри-
цилиндрической полостью 149
4.5. Нестационарные волны в толстостенном цилиндре 155
4.6. Распространение граничных возмущений в толстостенном цилин-
цилиндре 164
Глава 5. Волны в стержнях и пластинах 168
5.1. Продольные и крутильные волны в стержнях 168
5.2. Изгибные волны в стержнях. Распространение начальных возму-
возмущений в бесконечном стержне 176
5.3. Поперечные колебания балки конечных размеров 180
5.4. Распространение граничных возмущений в балках 195
5.5. Осесимметричные колебания бесконечной пластины 202
5.6. Осесимметричные колебания круглых пластин 212
5.7. Граничные возмущения в круглых пластинах 224
Глава 6. Волны в неограниченном пространстве и плоско-
плоскости 230
6.1. Скорости распространения упругих волн 230
6.2. Распространение объемных и начальных возмущений в упругом
пространстве 232
6.3. Нестационарные возмущения в упругой плоскости 243
Глава 7. Двумерные волны в полупространстве и плоском
слое 251
7.1. Волны Рзлея 251
7.2. Прогрессивные волны в плоском слое 257
7.3. Полуплоскость под действием движущейся с постоянной скоро-
скоростью поверхностной силы 263
7.4. Нестационарные граничные возмущения в упругой полуплоско-
полуплоскости 274
7.5. Осесимметричные граничные возмущения в упругом полупро-
полупространстве 286
7.6. Нестационарные граничные возмущения в акустическом полу-
полупространстве 298
7.7. Осесимметричные граничные возмущения от сферической поло-
полости 314
Оглавление
7.8. Плоская задача о распространении граничных возмущений от
цилиндрической полости 324
Приложение А. Модели сплошных сред и деформируемых
тел 336
АЛ. Анизотропная термовязкоупругая среда 336
А.2. Изотропная термовязкоупругая среда 342
А.З. Жидкость 349
А.4. Уравнения движения сплошных сред в некоторых системах ко-
координат 354
А.5. Уравнения движения упругих оболочек 370
А.6. Уравнения движения цилиндрических и сферических оболочек . 376
А.7. Уравнения движения тонких упругих пластин 393
А.8. Уравнения движения пластин в прямоугольных декартовых и
полярных координатах 395
А.9. Уравнения движения упругих стержней 400
Приложение Б. Сведения об обобщенных функциях 407
Б.1. Основные пространства 407
Б.2. Определение и свойства обобщенных функций 410
Б.З. Обобщенные функции, зависящие от параметра. Дельта-совокуп-
Дельта-совокупности функций 417
Б.4. Дифференцирование обобщенных функций 419
Б.5. Прямое произведение и свертка 422
Б.6. Первообразная и интеграл от обобщенной функции 425
Б.7. Аналитические представления функций 427
Приложение В. Интегральные преобразования обобщен-
обобщенных функций 430
8.1. Преобразование Фурье обобщенных функций 430
8.2. Преобразование Лапласа обобщенных функций 437
8.3. Другие интегральные преобразования. Преобразование Ханкеля 442
8.4. Обращение совместного преобразования Фурье-Лапласа 448
8.5. Обращение преобразования Ханкеля с помощью преобразования
Фурье 450
Приложение Г. Скорость движения поверхности в задан-
заданном направлении 457
Список литературы 459
Именной указатель 462
Предметный указатель 463
Предисловие
Динамика сплошных сред является наиболее сложным разделом ме-
механики. Актуальность ее изучения связана с тем, что, как известно, все
природные явления являются нестационарными. Часто используемые
понятия статических и стационарных процессов являются не более чем
приближением (как правило, оправданным) реальных явлений. Во мно-
многих же случаях учет динамических свойств среды просто необходим
как качественно, так и количественно.
В настоящее время этот раздел механики под теми или иными назва-
названиями включается в учебные планы соответствующих специальностей
как технических, так и классических университетов. При этом число
учебников по этому вопросу невелико. Как правило, в них включают-
включаются задачи динамики, в основном, связанные с научными интересами
авторов. Высоко оценивая имеющуюся литературу, авторы настоящей
книги попытались, не углубляясь в очень сложные и специфические
вопросы, дать единый взгляд на линейную динамику сплошной среды,
который должен помочь обучающемуся в дальнейшей работе над более
сложными вопросами. Изложение ведется от простого к сложному
с использованием современного, но доступного для студентов техниче-
технических вузов, математического аппарата. При рассмотрении конкретных
задач основное внимание уделяется моделям механики деформируе-
деформируемого твердого тела. Учебник написан на основе многолетнего опыта
преподавания дисциплины «Волновые процессы в сплошных средах» в
Московском авиационном институте студентам, обучающимся по спе-
специальности «Динамика и прочность машин».
В книгу включены основы этого раздела механики. Первая гла-
глава — вводная. В ней определяются фундаментальные понятия, дается
классификация динамических процессов; при этом волновые явления
понимаются в обобщенном смысле. Основное внимание в дальнейшем
изложении уделяется волнам с конечной скоростью распространения
фронта. Однако допускаются и процессы с бесконечной скоростью
распространения возмущений, как правило, обусловленные моделями,
описываемыми уравнениями параболического типа. В эту же главу
включен систематически используемый далее материал, связанный
с фундаментальными решениями и методом разделения переменных.
Он имеет, в основном, справочный характер. При этом, как правило,
даются ссылки на соответствующую математическую литературу.
В главах 2-4 рассматриваются одномерные плоские, сферические
и цилиндрические волновые процессы. Последовательно рассматрива-
рассматриваются вопросы о структуре волн, соответствующие начальные задачи
для неограниченных сред, а также граничные задачи для полуограни-
полуограниченных и ограниченных тел.
Предисловие
Пятая глава также посвящена одномерным динамическим процес-
процессам, но применительно к имеющим свою специфику моделям стержней,
балок и тонких пластин.
В шестой главе исследуются общие закономерности распростране-
распространения волн в упругой однородной изотропной среде, а также даны реше-
решения соответствующих начальных задач для пространства и плоскости.
Наиболее сложные вопросы, связанные с двумерными волнами в по-
полупространстве и плоском слое, вынесены в седьмую главу. Первая
ее часть посвящена классическим стационарным задачам, в том чис-
числе, волнам Рзлея. В наиболее объемной второй части седьмой главы
даются решения нестационарных задач о распространении граничных
возмущений в полупространстве (включая задачу Лзмба), а также
в пространстве со сферической или круговой цилиндрической поло-
полостью.
Наличие довольно обширного приложения связано, во-первых,
с тем, что авторы полагали необходимым для облегчения усвоения
читателями основного материала иметь под рукой используемые
в книге модели сплошных сред: анизотропная термовязкоупругая
среда, жидкость, тонкие оболочки и пластины, стержни. При
этом даются как общие соотношения с использованием тензорного
исчисления, так и их частные случаи для прямоугольной декартовой,
сферической и цилиндрической (полярной) систем координат. Во-
вторых, в приложение включены сведения о применяемом мате-
математическом аппарате: обобщенных функциях и их интегральных
преобразованиях.
Весь материал сопровождается примерами конкретных задач, ре-
решения которых получены с помощью системы компьютерной алгебры
Maple 8.
Приведенная библиография не претендует на полноту, а лишь при-
призвана помочь читателю при изучении основного материала.
Авторы выражают благодарность старшему преподавателю
О. В. Егоровой и кандидату физико-математических наук, доценту
СИ. Жаворонку за огромную и кропотливую работу по подготовке
рукописи.
Список основных обозначений
Латинский алфавит
Вгэы — компоненты тензора вязких постоянных,
bij — компоненты тензора кривизны тонкой оболочки,
С(ж), S(x) — интегралы Френеля,
(jijkl — компоненты тензора упругих постоянных,
С% (х) — полиномы Гегенбаузра,
cs — постоянная Стефана-Больцмана,
Ci, C2 — скорости распространения продольных и поперечных волн
в упругой среде,
ср — скорость волн растяжения-сжатия в стержне,
cR — скорость волны Релея в упругой среде,
сТ — коэффициент теплоемкости в начальном (недеформированном)
состоянии,
D — цилиндрическая жесткость оболочки и пластины,
Dp = dPiXldP2X2 о^х~' Р = Pi + Р2 + • • • + Рп — оператор диффе-
дифференцирования,
Dv (x) — функция параболического цилиндра,
erf х — интеграл вероятностей,
erfc х = 1 — erf ж — дополнительный интеграл вероятностей,
Е — модуль упругости (модуль Юнга),
Е(у) — кинетическая энергия оболочки, пластины и стержня,
Е'(гтг), К(гп) — полные эллиптические интегралы первого и второго
рода,
F — площадь поперечного сечения стержня,
F1 — компоненты вектора массовых сил F,
fL(s) = [f(r)]L — изображение (трансформанта) по Лапласу функции
f(r),
fF(q) = [f{x)]F — изображение (трансформанта) по Фурье функции
fHu (я) = [f(r)]Hu — изображение (трансформанта) по Ханкелю поряд-
порядка v функции /(г),
/+(ж) = H(x)f(x) — обобщенная функция, порожденная f(x) с носи-
носителем х ^ 0.
/(г) * g"(r) — свертка функций /(г) и g"(r),
[/(*)] . — скачок значения производной порядка к функции f(x) в точ-
точке Xj,
f(z) — аналитическое представление обобщенной функции /(ж),
Список основных обозначений 9
G — модуль сдвига,
(?т(ж, г) — температурная функция влияния,
G*(x, t; ?, т) — фундаментальное решение (объемная функция влия-
влияния),
G^x, t; ?, г) — поверхностная функция влияния,
gij — ковариантные компоненты метрического тензора криволинейной
системы координат,
H(t) — функция Хевисайда,
H(G) — характеристическая функция области G,
h — толщина оболочки,
/к — геометрическая характеристика, характеризующая свойства по-
поперечного сечения при кручении,
Iz — момент инерции поперечного сечения стержня,
/(u, w) — функционал Лагранжа оболочки, пластины и стержня,
Iv{z), Kv(z) — модифицированные функции Бесселя порядка v перво-
первого и второго рода,
J (ж-7) — якобиан отображения х = х(жг),
Jv{x), Nv(x) — функции Бесселя и Неймана порядка гг,
К — коэффициент объемного расширения,
К1 — пространство обобщенных функции бесконечного порядка,
кт — коэффициент теплоотдачи,
(/С0) — пространство мер,
(К171)' — пространство обобщенных функций конечного порядка,
^2(G; р) — пространство функций, интегрируемых в G с квадратом
и весом р,
M(i), R(t) — ядра ползучести и релаксации изотропной среды,
Mz — изгибающий момент в поперечном сечении стержня,
МК — крутящий момент в стержне,
М*-7 — компоненты тензора изгибающих моментов,
mz — внешний погонный изгибающий момент в стержне,
тк — внешний погонный крутящий момент в стержне,
Рп (х) — полиномы Лежандра степени гг,
р — давление в жидкости,
Q(t), S(t) — «технические» ядра ползучести и релаксации,
Q1 — компоненты вектора перерезывающей силы в оболочке,
q1 — компоненты вектора теплового потока q,
Rn — действительное арифметическое пространство размерности гг,
Rg A — ранг матрицы А,
S' — пространство обобщенных функций медленного роста,
Si B), si (z) — интегральные синусы,
s — удельная энтропия,
sign (x) — сигнатура ж,
supp (p — носитель функции (р,
Тгэ — компоненты тензора тангенциальных усилий,
10 Список основных обозначений
и — продольное перемещение поперечного сечения стержня,
ui (i = 1, 2, 3) — компоненты вектора перемещений и,
иг (г = 1,2) — компоненты вектора тангенциального перемещения в обо-
оболочке,
w — нормальное перемещение оболочки,
||Х|| — норма функции X,
{Хп} , {Rn} — система собственных функций оператора,
Греческий алфавит
Вг° — компоненты тензора температурной податливости,
Г**kl — компоненты тензора релаксации (ядра релаксации),
Л — коэффициент температурного расширения,
Л*-7 — компоненты тензора коэффициентов температурного расшире-
расширения,
Uijki и Kijki — компоненты тензоров податливости и ползучести (ядра
ползучести),
S (#i, #2, хз) — дельта-функция Дирака,
Sij — компоненты тензора деформаций,
г]г^ — компоненты тензора теплопроводности,
О — коэффициент относительного изменения объема,
$ — изменение температуры среды,
д1 — компоненты вектора углов отклонения нормального к деформи-
деформированной срединной поверхности вектора в тонкой оболочке,
kz — изменение кривизны оси стержня,
кх — крутка (деформация при кручении) стержня,
щ^ — тензор изменения кривизны,
Л и /i — упругие постоянные Ламе,
Xij — компоненты тензора поворота,
Ат — коэффициент теплопроводности,
{^п} — спектр оператора,
v — коэффициент Пуассона,
Vij — компоненты тензора скоростей деформаций,
р — плотность сплошной среды,
o%i — компоненты тензора напряжений,
тг — время релаксации теплового потока,
г*-7 — компоненты тензора вязких напряжений,
Фх, Фг — скалярный и векторный потенциалы вектора массовых сил F,
(р и у — скалярный и векторный потенциалы вектора перемещения и,
Хг — компоненты вектора углов отклонения ортогонального к средин-
срединной поверхности материального волокна в тонкой оболочке,
Хх — угол поворота поперечного сечения вокруг оси стержня,
Хгч ^z — углы поворота поперечного сечения и нормального волокна
стержня,
иоп — собственная частота.
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Эта глава носит вводный характер. В ней определяются основные
понятия теории динамических и, в том числе, волновых процессов,
дается их классификация, и приводятся сведения об основных исполь-
используемых в книге математических методах.
1.1. Классификация динамических процессов
Основной целью динамики сплошной среды является изучение про-
процесса движения (просто движения) материального тела G (матери-
(материальной среды, занимающей геометрическую область G) — изменения
во времени t состояния тела [19], т.е. характеристик среды. В качестве
материи может рассматриваться сплошная деформируемая среда, поля
различной природы (например, электрические, магнитные) и т. д.
Для изучения движения материальных тел используется их матема-
математическое описание, т.е. математические модели. Далее ограничимся
рассмотрением только деформируемых твердых тел, их приближенных
одномерных и двумерных моделей (стержней, оболочек и пластин),
а также жидкости. Соответствующие математические модели, которые
строятся на основе гипотез в соответствующих дисциплинах (в механи-
механике сплошной среды [15, 19, 20, 24, 35], теориях упругости и термовяз-
коупругости [14, 21-23, 27, 29, 30, 33, 34, 39], теории течения жидкости
[25, 26, 28], теории оболочек и пластин [16-18, 31, 32, 37], сопротивлении
материалов [7, 36, 38, 40, 41]) приведены в приложении А, где в основ-
основном представлены линейные модели.
В общем виде соответствующие начально-краевые задачи можно
записать следующим образом:
A(u) = f, M(xj)eG, t^t0;
B(u)|eG = g, t^t0; A.1.1)
C(u)|t=t0=h, M(Xi)eG.
Здесь под геометрической областью G в зависимости от модели
или конкретной задачи понимается одно-, двух- или трехмерное мно-
множество; М — геометрическая точка; 8G — граница области G; ж-7 —
в общем случае криволинейные координаты (их число определяется
размерностью множества G); А, В и С — операторы модели, гра-
граничных и начальных условий (вид задающих их области определе-
определения и значений пространств определяются конкретными моделями);
12 Основные понятия [Гл. 1
и = (г^1, . . ., UkY — вектор-столбец определяющих параметров моде-
модели среды [19] (его составляющие ui = ui(M,t) — скалярные поля,
либо компоненты векторных или тензорных полей, совокупность ко-
которых однозначно и инвариантно относительно системы координат
и конкретной задачи определяет состояние среды); f = (Д, . . . , Д)т
и g = (g1!,. . . ,g"g)T векторы-столбцы объемных и граничных, a h =
= (hi, . . ., hp), где hj = (hij,. . . , hkj)T — матрица начальных возму-
возмущений, определяемых внешним воздействием на среду; to — начальный
момент времени.
Если область G содержит бесконечно удаленные точки, то к гра-
граничным условиям добавляются условия на бесконечности, одним из
вариантов которых является требование ограниченности решения:
щ = ОA), г^оо, A.1.2)
где г — длина радиуса-вектора.
Другой вариант условий на бесконечности указан в A.3.6) и A.3.7).
Далее будем полагать, что операторы А, В и С — линейные отно-
относительно искомого вектора и и имеют следующий матричный вид (он
соответствует всем рассматриваемым линейным моделям):
А(и) = Atu - Ажи, At = (atij)kxk , Ах = (axij)kxk ,
к
B(u) = ВЖ11, Вх = {bij)qxk, 2q = ^Яи qi = max^, - 1 ^
t=i j=1>k }
ще Cij = dJ~1/dtJ~1 (j < Pi),Cij = 0 (j > Pi),Pi = ^j,P p,
3 = 1,к i=l,к
atij — однородные линейные интегродифференциальные операторы
по времени ?, содерл<ащие производные максимальных порядков pij\
axij — однородные линейные дифференциальные операторы по про-
пространственным переменным ж-7 порядков <^-; 2q — порядок системы
уравнений по пространственным переменным; b{j — однородные ли-
линейные дифференциальные операторы порядков гщ ^ Pij по времени
и rxij < 2q по пространственным переменным х3.
Среди всех возможных движений тел выделяют специальный тип.
Движение тела G называется колебательным (или просто колебани-
колебаниями) на конечном временном интервале [ti,^] (на полубесконечном
интервале t^-t\\ t\ ^ to), если на этом интервале все точки М G G
совершают колебания. Под колебаниями точки М на интервале [t\, ?2]
(t ^ t\) понимают такой закон изменения во времени (траекторию
движения) хотя бы одного определяющего параметра Ui = Ui(M, t), для
которого существует функция г^* = щ*(М, t), имеющая с траекторией
более двух (счетное множество) точек пересечения на интервале [t\, ?2]
1.1]
Классификация динамических процессов
13
(t ^ ?i), т.е. уравнение г^(М, t) = г^*(М, t) имеет более двух (счетное
множество) корней (рис. 1.1.1). Как правило, Ui*(M,t) = и^(М) и со-
соответствует положению равновесия тела. Если в области G существуют
Рис. 1.1.1
точки, совершающие колебания с разными законами движения, то та-
такое движение называется волновым процессом (волнами).
Как правило, используются две классификации процессов движе-
движения материальных тел. Первая из них проводится по числу учиты-
учитываемых пространственных переменных (размерности области G). Она
изображена на рис. 1.1.2.
Процессы движения сплошной среды
Трехмерные процессы
u = uix1, х2, х3, t)
Двумерные процессы
и = и(ж1, ж2, t)
Одномерные процессы
и = и(ж1, t)
Рис. 1.1.2
Одно- и двумерные процессы — идеализация реальных трехмерных
процессов. Математически условия их существования связаны с видом
операторов, их правыми частями и типом области G в A.1.1). Пусть
криволинейная система координат ж-7 задана регулярным отображени-
отображением [19]:
х = х(ж'"): fl-> G (UCR3), A.1.4)
где х = Xi&i — радиус-вектор в прямоугольной декартовой системе
координат с базисом ei, e2, ез-
Для существования двумерных процессов необходи-
необходимо, чтобы
а) п = п12 х /3, (ж1, х2) в п12 С Я2, х3 в h С Я;
б) дп12 -> dG;
B)f = f (ж1, ж2,*) иЬ = Ь(ж1,ж2);
г) A[u(x\x\t)}_ =f{x\x\t), B[u(x\x\t)} =g(x\x\t),
С[и(ж1,ж2,*)] =Ь(ж1,ж2,*).
14 Основные понятия [Гл. 1
Для существования одномерных процессов необходи-
необходимо, чтобы
а) п = h х 1723, х1 е h С Я, (ж2, ж3) G п2з С Я2;
б) /: -> dG;
Вторая классификация связана с учетом или не учетом зависимости
решения от времени (с рассмотрением полной начально-краевой задачи
A.1.1) или ее части; рис. 1.1.3).
Процессы движения сплошной среды
Нестационарные процессы
A(u)=f, B(u)|eo = g, C(u)|t=t0 = h
Стационарные процессы
A(u) = f, B(u)|9G = g
Рис. 1.1.3
В последующих двух параграфах подробно рассматриваются эле-
элементы второй классификации.
Укажем также два частных случая стационарных процессов, ко-
которые не являются предметом рассмотрения в данной книге. Если А
и В являются операторами только по пространственным переменным
(вварианте A.1.3) А(и) = — Ажии bij —дифференциальныеоператоры
только по пространственным переменным), то такой стационарный
процесс называется квазистатическим. Если дополнительно объем-
объемные f и граничные g возмущения не зависят от времени, то имеет место
статическая задача.
1.2. Нестационарные процессы
Этим процессам (синонимы: переходные, неустановившиеся про-
процессы) соответствует полная начально-краевая задача A.1.1) с началь-
начальными условиями (см. рис. 1.1.3).
В связи с названием правых частей соотношений A.1.1) для нестаци-
нестационарного процесса движения также используется наименование «про-
«процесс распространения возмущений». В зависимости от вида правых
частей операторов в A.1.1) используются названия нестационарных
процессов (начально-краевых задач), указанные на рис. 1.2.1.
Подчеркнем, что используемое в литературе название свободные
колебания есть синоним процесса распространения начальных возму-
возмущений.
Очевидно, что в силу линейности задачи общий случай нестаци-
нестационарного процесса может быть построен как суперпозиция всех трех
указанных в классификации на рис. 1.2.1 процессов.
1.2]
Нестационарные процессы
15
Кроме того, полностью неоднородную задачу (соответственно и за-
задачу о распространении граничных возмущений) всегда можно свести
Нестационарные процессы
Распространение
объемных
возмущений
A(u) = f ф 0,
B(u)|eG=0,
C(u)|t=t0=0
Распространение
граничных
возмущений
А(и) = 0,
B(u)|aG=g/0,
C(u)|t=t0=0
Распространение начальных
возмущений
(свободные колебания)
А(и) = 0,
B(u)|aG =0,
Рис. 1.2.1
к задаче с однородными граничными условиями (к совокупности задач
о распространении объемных и начальных возмущений). С этой це-
целью искомый вектор определяющих параметров представляется в виде
суммы
u = w + u*, A.2.1)
где и* удовлетворяет равенству
B(u*)\dG=Si t^t
Тогда w есть решение следующей задачи:
A (w) = f*, M(xj) EG,
B(w)|eG = 0, t^t
t0;
A.2.2)
A.2.3)
C(w)|t=to=h,, M(xi)eG,
где f* = f - A(u*) и h* = h- C(u#)|t=t().
Вектор и* наиболее просто подбирается в случае одномерных про-
процессов (см. рис. 1.1.2), для которых оператор граничных условий имеет
указанный в A.1.3) вид и в него входят производные только по про-
пространственным координатам, а область G является конечным интер-
интервалом (#o,#i). При этом граничные условия в A.1.1) с учетом A.1.3)
задаются так (ж1 = х)\
х=х0
gm = (glm, • • • , gqrnY i™. = 0, 1),
A.2.4)
где bmij — однородные линейные дифференциальные операторы по-
порядков rmij < 2q по пространственной переменной х.
Соответственно вектор и* должен удовлетворять равенствам
х=х = gb
A.2.5)
16 Основные понятия [Гл. 1
Его можно разыскивать в виде многочлена
u* = J2 dix ' d* = (di'» d2h---, dikT > A.2.6)
подставляя который в A.2.5), получаем систему линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений относительно коэффициентов с1ц:
gl
oo
п
<5-2q-l
Bmxxl\ . A.2.7)
Отметим, что эта система может иметь не единственное решение.
Для задач произвольной размерности с операторами вида A.1.3),
где bij — дифференциальные операторы только по пространствен-
пространственным переменным, естественным является другой подход, в котором и*
удовлетворяет соответствующей квазистатической задаче с нулевыми
объемными возмущениями:
Ажи* =0, Bxii*|aG=g. A.2.8)
Ее решение может быть представлено в виде линейной комбинации
статических решений и/*(М):
я
u* = 5>,u,*, A.2.9)
1=1
где и/* — решения статических задач
Ажи/* = 0, Вжи/*|ас = е/. A.2.10)
Здесь ?/ — столбец, в котором все элементы нулевые за исключени-
исключением /-го, равного единице.
Свойства нестационарного волнового процесса (решения нестацио-
нестационарной задачи) целиком определяются оператором модели А. В одном
случае, связанном, как правило, с гиперболическим видом этого опе-
оператора, при ограниченных носителях возмущений f и/или h, либо их
отсутствии и отличном от нуля граничном условии может существовать
поверхность
П(«) : F(xj,t) = 0, A.2.11)
движущаяся со скоростью vn в направлении нормали к ней (см. при-
приложение Г). При этом с одной (внешней) стороны этой поверхности
сохраняется невозмущенное состояние среды (состояние, имевшее ме-
место в начальный момент времени), а с другой (внутренней) — имеет
место отличное от него (возмущенное) состояние. Такая поверхность
называется волновым фронтом (волновой поверхностью), vn — скоро-
скоростью его движения, а соответствующий процесс — нестационарным
1.2] Нестационарные процессы 17
волновым процессом или нестационарной волной (используется также
упоминавшиеся ранее в другом смысле наименования волновой процесс
или волна).
Как правило, на фронте волны U{t) имеются разрывы определя-
определяющих параметров или их производных. По степени гладкости опре-
определяющих параметров на U{t) различают следующие типы волновых
фронтов. В зависимости от среды и выбора определяющих параметров
задается число т Е N. Если производные порядка т — 1 непрерывны
на П(?), а хотя бы одна производная порядка т терпит на этой поверх-
поверхности разрыв, то это — фронт слабого разрыва. Если имеется разрыв
хотя бы одной производной порядка т — 1, то U{t) называется фронтом
сильного разрыва. Если же при условиях сильного разрыва некоторая
линейная комбинация производных порядка т — 1 непрерывна на П(?),
то это — фронт правильного сильного разрыва. Например, если ui —
координаты вектора перемещений, то т = 2, т. е. фронту слабого (силь-
(сильного) разрыва соответствуют разрывы хотя бы одной второй (первой)
производной от Ui на U{t).
Возможность наличия волновых фронтов вида A.2.11) определя-
определяется существованием так называемых «функционально-инвариантных
решений» (Фг(х) — произвольные функции):
ui=$i[Fl{x\t)] {1 = 1,...,р^к) A.2.12)
однородного операторного уравнения
Аи = О. A.2.13)
При этом поверхности
П|(«): F,(x'\t)=0 A.2.14)
являются характеристическими поверхностями и одновременно волно-
волновыми фронтами со скоростями vn/. Они в общем случае определяется
не единственным образом, и их вид зависит не только от модели среды,
но и от выбранной системы координат. Например, могут существовать
плоские (см. гл. 2), сферические и цилиндрические (см. главы 3, 4)
волновые фронты {волны).
Для однородных (свойства среды не зависят от точки области) ли-
линейных моделей часто вопрос о существовании решений вида A.2.12)
может быть решен следующим образом. Если существуют скалярные
или векторные функции {потенциалы) (fj, которые связаны с U{ диф-
дифференциальными операторами D{\
ui = Di{<p1,...,<pm) A.2.15)
18
Основные понятия
[Гл. 1
и удовлетворяют уравнениям (А — оператор Лапласа г))
A.2.16)
то, как следует из свойств волновых уравнений, решения вида A.2.12)
в нечетно мерных пространствах существуют [53].
В другом случае нестационарных волновых процессов, связанном,
как правило, с параболическим видом оператора А, любые возмущения
распространяются по всей области G мгновенно, т. е. в любой момент
времени в любой точке тела состояние среды является возмущенным.
При этом говорят, что возмущения распространяются с бесконечной
скоростью. Например, такой процесс, как известно, описывает уравне-
уравнение теплопроводности
^ = с2 Аи. A.2.17)
В этом варианте иногда вводят понятие квазифронта — поверх-
поверхности A.2.11), на которой градиент хотя бы одного из определяющих
параметров достаточно велик.
1.3. Стационарные процессы
Этим процессам (синоним — установившиеся процессы) соответ-
соответствует, как указано на рис. 1.1.3, краевая задача (задача A.1.1) без
начальных условий). Следует отметить, что все природные явления
являются нестационарными. Стационарные процессы есть либо их иде-
идеализация — приближенное решение при t —> oo (с этим связано наличие
в названии синонима «установившиеся»), либо некоторые вспомога-
вспомогательные решения, с помощью которых конструируется решение неста-
нестационарных задач (см. п. Б этого параграфа).
Классификация стационарных процессов вместе с указанием на
соответствующие задачи приведена на рис. 1.3.1.
Вынужденные
гармонические
колебания —
задача A.3.4)
Собственные
колебания —
задача A.3.8)
Автомодельные
движения —
задача A.3.13)
Прогрессивные
волны —
задачи A.3.19)
или A.3.20)
Рис. 1.3.1
^Лаплас (Laplace P.S., 1749-1827) — французский астроном, математик,
физик.
1.3] Стационарные процессы 19
Заметим, что для стационарных процессов также возможен переход
к задаче с однородными граничными условиями с помощью процедуры,
аналогичной той, которая указана в § 1.2 (см. A.2.1)—A.2.7)).
А. Вынужденные гармонические колебания (гармо-
(гармонические волны). К ним относят решения (г — мнимая единица)
и(х\ х2, x3,t) = Щх1, х2, xs)eiut A.3.1)
задачи A.1.1) без начальных условий и при возмущениях вида
f(ж1, х2, ж3, t) = ^{хх,х2, x3)eiMt,
g(x\x2,x\ t) = ©.(a1, x2, xs)e^. (L3'2)
Величины и^ж1,^2,^3) и uj называются амплитудой и частотой
колебаний (волны, процесса). Физически комплексное решение A.3.1)
следует понимать как два процесса: его действительная часть изменя-
изменяется во времени по закону cos cut, мнимая — по закону sin cut.
В силу линейности операторов А и В
A (Ueiujt) = eiwt AWU, В (Ueiujt) = eiwtBwU, A.3.3)
и из A.1.1) получаем, что амплитуда есть решение следующей краевой
задачи с параметром uj
Aw(U)=f0, MEG; Bw(U)|aG=g0. A.3.4)
При наличии в теле бесконечно удаленной точки условие ограничен-
ограниченности решения A.1.2) должно быть заменено условием излучения Зо-
ммерфельда г), которое является условием существования единствен-
единственного решения соответствующего A.2.16) уравнения Гельмгольца 2)
АФ1 + к2Ф1=ё1, &2 = ^-, &>0, A.3.5)
сз
где Ф^ и gj — амплитуды функций (pj и gj/с2.
Это условие имеет вид (г — длина радиуса-вектора, г — мнимая
единица) [53]:
— пространственная и одномерная задача
г ->• оо; A.3.6)
/ \ I /
— плоская задача
/-^), г ^оо. A.3.7)
1) Зоммерфельд (Sommerfeld A., 1868-1951) — немецкий физик и матема-
математик, иностранный почетный член АН СССР.
2) Гелъмголъц (Helmholtz G.L.F., 1821-1894) — немецкий ученый.
20 Основные понятия [Гл. 1
Кроме указанного выше смысла гармонических колебаний как уста-
установившегося процесса, решение A.3.1) может рассматриваться как
комплексное преобразование Фурье г) решения нестационарной задачи
(см. приложение В).
Б. Собственные колебания. Если возмущения при гармо-
гармонических колебаниях отсутствуют, то из A.3.4) получаем задачу на
собственные значения (собственным значением является частота ио)
AW(U) = O, MeG; Вш(Щдо = 0. A.3.8)
При некоторых условиях (подробно см. § 1.5) на операторы Аш и Bw
для ограниченных областей G решением этой задачи является счетный
набор собственных значений {собственных частот; говорят также, что
задача имеет дискретный спектр)
Ы A-3.9)
и соответствующая ему система собственных функций (собственных
форм, мод)
{Un(x\x2,x3)}. A.3.10)
Решения такой стационарной задачи вида
un=Un(a;1,a!2,x3)e<w»' A.3.11)
называют собственными (свободными) волнами.
Они имеют двоякое значение. С одной стороны, при определенных
условиях решение нестационарной задачи может разыскиваться в виде
обобщенного ряда Фурье (см. § 1.5). Отметим, что для неограниченной
области G спектр собственных частот может быть непрерывным. При
этом ряд заменяется соответствующим интегралом Фурье.
С другой же стороны, при рассмотрении вынужденных гармониче-
гармонических колебаний знание спектра A.3.9) позволяет по совпадению часто-
частоты вынужденных колебаний uj с одной из собственных частот судить
о наличии резонанса — явления значительного увеличения (или обра-
обращения в бесконечность) амплитуды.
В. Автомодельные движения. В некоторых случаях опе-
операторов возможно уменьшение числа аргументов искомых функций за
счет введения новых пространственно-временных переменных:
u = u (у1) , у* = у' (х\ х2, x\t) (г = 1, . . ., N < 4). A.3.12)
Частным случаем таких процессов являются автомодельные дви-
движения, для которых
У* = ?, A-3.13)
где число а называется показателем автомодельности.
Фурье (Fourier J. В. J., 1768-1830) — французский математик и физик.
1.3] Стационарные процессы 21
Г. Прогрессивные волны. Под ними понимаются распро-
распространяющиеся вдоль прямой (в качестве таковой здесь для определен-
определенности выбрана ось Ох прямоугольной декартовой системы координат)
волны, т.е. решения
и(х, xj,t) = \{xj)e-iq{x-ct) (q > О, с> 0) A.3.14)
задачи A.1.1) без начальных условий и при возмущениях вида
f(x,xj,t) = h(xj)e-iq{x-ct\ g(x,xj,t) = gi(aj'>-i9({B-ct) A.3.15)
или при отсутствии таковых.
Здесь и далее в зависимости от размерности исходной задачи j = 2
либо j = 2, 3.
Решения A.3.14) имеют смысл для областей G, имеющих бесконеч-
бесконечный размер вдоль оси Ох (бесконечный цилиндр, в общем, переменного
сечения — волновод, полупространство, плоский бесконечный слой)
G = RxD, xeR, M(xj)eD(x). A.3.16)
Входящие в A.3.14) величины имеют следующие названия: \(х^) —
амплитуда (мода) волны, q — волновое число, ио = qc — фазовая ча-
частота, —q(x — ci) — фаза волны. Число L = 2n/q называется длиной
(периодом) волны. Кроме того, поскольку точка, в которой фаза сохра-
сохраняет постоянное значение,
-q(x - ct) = const, A.3.17)
перемещается со скоростью с, то эта величина называется фазовой
скоростью.
Так же, как и при гармонических колебаниях, комплексное решение
A.3.14) следует понимать как два процесса: его действительная часть
изменяется по закону косинуса, мнимая — по закону синуса.
В силу линейности операторов А и В (см. также A.3.3))
А \\е-1^х-сЩ = е'^-^Аа CV,
A.3.18)
В [i(t)] Mt)
и из A.1.1) получаем, что амплитуда есть решение следующей краевой
задачи с параметрами q и с:
A,,c(V)=fi, (x2,x3)eD(x); B,>c(V)|eB=gi. A.3.19)
Если возмущения отсутствуют, то из A.3.19) для прогрессивных
волн получаем задачу на собственные значения (собственным значени-
значением является фазовая скорость с):
A,,C(V)=O, MeD(x); Bg,c(V)|aD=0. A.3.20)
Задача в общем случае неявным образом определяет зависимость
с = c(q) A.3.21)
22 Основные понятия [Гл. 1
и соответствующую систему собственных функций (мод)
Vq(xj). A.3.22)
Среды (волны) называются дисперсными в том случае, если функ-
функция c(q) ф const, и без дисперсными в противном случае.
В теории стационарных волн используется также введенное Сток-
сом г) и Рзлеем 2) понятие групповой скорости cg, которая определя-
определяется как скорость точки х = ж*, в которой фаза волны стационарна, т. е.
^-[-q(x#-ct)]=0, A.3.23)
откуда следует
cg = ^ = c + qc'(q). A.3.24)
Из последнего равенства вытекает, что групповая и фазовые скоро-
скорости совпадают только для бездисперсных сред.
Важность знания групповой скорости подтверждается следующи-
следующими качественными рассуждениями. Рассмотрим группу волн вида
A.3.14) с близкими фазовыми частотами. Если в некоторой точке их
фазы совпадают или близки, то в ней амплитуды отдельных волн
складываются по модулю. Наименьшее различие фаз будет иметь место
при условии A.3.23). Поэтому определяемая формулой A.3.24) группо-
групповая скорость есть скорость распространения максимума возмущения,
образованного группой волн.
Понятие прогрессивных волн широко используется при рассмотре-
рассмотрении волн, распространяющихся по поверхности полупространства или
плоского слоя, в том числе, в сейсмологии и океанологии.
Оказывается, что прогрессивные волны аналогично гармоническим
имеют непосредственную связь с преобразованием Фурье (см. прило-
приложение В). Только здесь преобразование должно проводиться по коор-
координате х. Действительно, пусть
и(ж, х\ t) = v(x - ct, xj) A.3.25)
— решение задачи A.1.1) без начальных условий и с правыми частями
вида A.3.25). Оно является частным случаем автомодельных решений
(см. п. В этого параграфа).
Применим к A.3.25) преобразование Фурье по х (q — параметр
преобразования). В результате получаем
[u(x,xj,t)]F =vF(xj,q)eiqct. A.3.26)
В соответствии со свойствами преобразования Фурье функции
vF(q,xi) удовлетворяет задаче A.3.19) (или A.3.20)). Следовательно,
1) Стоке (Stokes G. G., 1819-1903) — английский физик и математик.
2) Рзлей (Rayleich J. W. S., 1842-1919) — английский физик, один из осно-
основоположников теории колебаний.
1.4 ] Фундаментальные решения 23
с учетом A.3.14) находим, что при q > О
т. е. амплитуда прогрессивной волны — изображение Фурье функции
v(#, ж-7) в A.3.25) при q > 0. При этом A.3.14) — подынтегральное выра-
выражение с точностью до постоянного множителя в интеграле обращения
преобразования Фурье.
1.4. Фундаментальные решения
Решения неоднородных начально-краевых или краевых задач зави-
зависят от правых частей операторов. Поэтому при заданных операторах
желательно иметь некие специальные функции, с помощью которых
могут быть найдены решения неоднородных задач с произвольными
правыми частями.
Фундаментальными решениями (функциями влияния, функци-
функциями Грина г)) задачи о распространении объемных возмущений
(см. рис. 1.2.1) называются векторы G*(x, t; ?, г), удовлетворяющие
следующим задачам (г = 1,. . . , к):
A(G') =fi, хЕ G, t^ t0;
B(G%G = 0, t^toi A.4.1)
где x = X{ei, ? = ^e^ — радиусы-векторы в прямоугольной декартовой
системе координат с базисом ei, ег, ез; Xi и ^ — их координаты;
^о ^ Т ^ ^5 все компоненты вектора f^ равны нулю за исключением
г-й, которая совпадает с дельта-функцией Дирака 2) ^(х — ?, t — т)
(см. приложение Б).
Здесь и далее везде по повторяющимся латинским индексам прово-
проводится суммирование в пределах от 1 до 3.
Как следует из линейности задачи, знание фундаментальных реше-
решений позволяет представить решение задачи о распространении объем-
объемных возмущений f = (/i, . . . , fk) в интегральном виде:
A.4.2)
to G i=1
Пусть оператор А в A.4.1) инвариантен относительно сдвига по
пространственной координате Xj, т.е. для любых Xj и ? из области
1) Грин (Green G., 1793-1841) — английский математик и физик.
2) Дирак (Dirac P.A.M., 1902-1984) —английский физик.
24 Основные понятия [Гл. 1
изменения переменной Xj разность Xj — ? также лежит в этой области
и справедливо равенство (для определенности полагаем Xj = X3)
А[и(х1,х2,х3 -?,*)] = f (Ж1,ж2,ж3 -?,*). A.4.3)
Если этим же свойством обладает и оператор В в A.4.1), то фун-
фундаментальные решения зависят от разности аргументов по этой ко-
координате G*(x, t; ?, г) = G* (xi, #2, xs — ?51; ?1, ?2? т) и в повторном
интеграле, соответствующем тройному интегралу в A.4.2), интеграл
по ?з переходит в свертку по х%. При этом G* (#i, #2? #з? ^5 ?ъ ?25 т) —
решение задачи A.4.1), в которой вместо правой части ?(х — ?, t — т)
рассматривается 5 (х\ — ?1, X2 — ?2, жз51 — т).
Отметим, что для того чтобы дифференциальные операторы Ах
и Вж в A.1.3) были инвариантны относительно сдвига, необходимо
и достаточно, чтобы они имели постоянные коэффициенты, и область
изменения соответствующей координаты совпадала со всей числовой
прямой R или допускала периодическое продолжение решения на R.
Если to = 0 и операторы А и С в A.4.1) инвариантны относительно
сдвига по времени (в этом случае требование t — т ^ 0 является излиш-
излишним, так как все рассматриваемые функции по времени имеют носитель
в виде положительной действительной полуоси), то фундаментальные
решения зависят от разности аргументов по времени G*(x, t; ?, r) =
= G*(x, t — г; ?), и интеграл по времени в A.4.2) переходит в свертку
(она обозначена звездочкой):
A.4.4)
G i=1
При этом G*(x, ?; ?) — решение задачи A.4.1), в которой вместо
правой части ?(х — ?, t — т) рассматривается ?(х — ?, t).
Отметим, что если оператор At в A.1.3) — дифференциальный, то
для его инвариантности относительно сдвига, необходимо и достаточно,
чтобы он имел постоянные коэффициенты. Очевидно, что этим же
свойством обладает оператор С, а также оператор свертки по времени.
Таким образом, для всех рассматриваемых ниже линейных моделей
(см. приложение А), включая вязкоупругую среду, справедлива фор-
формула A.4.4).
Решение задачи о распространении начальных возмущений
(см. рис. 1.2.1) может быть построено с помощью тех же объемных
функций влияния G*(x, t; ?, г). Для этого продолжаем нулем функцию
u(x, t) на полуось t < t0 (H(t) — функция Хевисайда г):
A-4.5)
Хевисайд (Heaviside О., 1850-1925) — английский физик и математик.
1.4 ] Фундаментальные решения 25
и рассматриваем соответствующую ей регулярную обобщенную функ-
функцию (см. приложение Б).
Тогда в случае оператора С вида A.1.3) правые части начальных
условий
ди 1 , ч и и , , ч A 4б)
t=t0 *x n ' dtp-
t=t0
являются разрывами первого рода функции u(x, t) и ее производных
по t до порядка р — 1 в точке t = to. Следовательно, согласно формуле
(Б.4.2), производная в обычном смысле дти/д?т связана с обобщенной
производной дши/д?т следующим образом (т = 1, . . . ,р — 1):
j(xN(m-j)(t-t0), A-4.7)
где 5^\t) — производная порядка j от дельта-функции Дирака
(см. приложение Б).
Соответствующие значения А?и и А?и оператора At связаны меж-
между собой так:
Atu = Atu- [Atu], A4 8)
[Atu] = J2 di(x)^-«(t - t0), d,(x) = (^(x),.. ., ^(x))T ,
i=i
где [Atu] — разрывная часть значения оператора А?, полученная толь-
только с учетом суммы в A.4.7).
Подставляя A.4.8) в первое уравнение для задачи о распростране-
распространении начальных возмущений, где имеются ввиду производные в обыч-
обычном смысле, и учитывая A.1.3), приходим к задаче о распространении
объемных возмущений вида
f(x,t) = [Atu]. A.4.9)
Применяя теперь формулу A.4.2) и используя свойства дельта-
функции, получаем следующее представление решения задачи о рас-
распространении начальных возмущений:
t0 G i=
26 Основные понятия [Гл. 1
Если выполнены условия представления решения в виде свертки
A.4.4), то формула A.4.10) приобретает вид (to = 0)
A.4.11)
Наиболее распространенному виду оператора
/ Pi 0 ... 0
А,=м?, М= ° ^ ;;; ° A.4.12)
V о о ... Рк )
соответствуют столбцы dj с элементами (по повторяющимся греческим
индексам здесь и далее суммирования нет)
daj=pahaj. A.4.13)
Приведем два частных случая формулы A.4.11) для операторов
A.4.12):
— при р = 1
u(x, t) = JJJ ? G*(x, t- Qpiha® d$,; A.4.14)
G l=1
— при р = 2
u(x,t) = jjJEGW; §)Р*Л<Х(§) d5 + JJJ Z) G*(Af, *; %)Pih
G i=1 G i=1
A.4.15)
Здесь и далее точками над буквой обозначены производные по вре-
времени.
Рассмотрим теперь криволинейную систему координат ж-7, задавае-
задаваемую регулярным отображением A.1.4). Выполняя в тройном интеграле
в A.4.2) замену переменных, приходим к аналогичному A.4.2) пред-
представлению решения в криволинейной системе координат:
^TG^,*; ^,T)fi(^,T)dedede, A-4.16)
i=1
to n
ан г) отображения A.1.4).
]) Якоби (Jacoby К. G. J., 1804-1851) — немецкий математик, иностранный
член-корреспондент и иностранный почетный член Петербургской АН.
1.4 ] Фундаментальные решения 27
При этом векторы G* (ж-7, ?; ?•?, г) есть решения задач A.4.1), в ко-
которых все физические координаты вектора f^ равны нулю за исключе-
исключением г-й, которая совпадает с функцией S(x^ — ^ ,t — r). Если по какой-
либо криволинейной координате выполнены условия инвариантности
относительно сдвига, то остаются справедливыми сделанные выше вы-
выводы относительно свертки по этой координате.
Функции влияния также могут быть введены и для задачи о рас-
распространении граничных возмущений (см. рис. 1.2.1). Поверхност-
Поверхностными фундаментальными решениями (поверхностными функциями
влияния, поверхностными функциями Грина) называются векторы
G[j(x, ?; ^, г), являющиеся решением следующих задач о распростра-
распространении граничных возмущений (г = 1, ... .к):
A(G*n)=O, xeG, t^to\
B(Gn)|eG=&» *>*o; A.4.17)
где ? G 9G, to ^ т ^ t и все компоненты вектора g^ равны нулю за
исключением г-й компоненты, которая совпадает с сосредоточенной на
поверхности 8G дельта-функцией SdG(x — Z^t — т) (см. приложение Б).
С использованием этих функций решение задачи о распростране-
распространении граничных возмущений g = (gi, . . . , gk) аналогично A.4.2) можно
представить в интегральном виде
Г Г Г *
u(M, t) = \dr \ \J2 Gb(x, t\ 5, r)^ (^, r) dS. A.4.18)
При выполнении указанных выше условий интеграл по времени в
A.4.18) переходит в свертку. Если выполняются указанные условия по
пространственной координате Xj и эта координата является парамет-
параметром в параметризации поверхности 9G, то соответствующая состав-
составляющая повторного интеграла, к которому сводится поверхностный
интеграл в A.4.18), также переходит в свертку.
Для операторов А и В специального вида можно получить фор-
формулы, выражающие поверхностные функции влияния через объемные.
Для этого используются теоремы взаимности типа формулы Бетти г)
[29] для линейной теории упругости или введение аналогично A.4.5)
регулярной обобщенной функции
ЦЪ A.4.19)
где H(G) — характеристическая функция области G.
]) Бетти (Betti E., 1823-1892), итальянский математик.
28 Основные понятия [Гл. 1
Однако, как правило, связь объемных и поверхностных функций
влияния оказывается достаточно сложной, и решение задачи о распро-
распространении граничных возмущений строится отдельно.
В другом подходе к решению задачи о распространении гранич-
граничных возмущений с помощью объемных функций влияния применяется
процедура A.2.1)—A.2.3) перехода к однородным граничным условиям.
Пусть при f = 0 и h = 0 известен вектор и*, удовлетворяющий соотно-
соотношению A.2.2). Тогда w есть решение задачи A.2.3) при f* = —А (и*)
и h* = — С (u*)|t=t , которая в соответствии с A.1.3), A.4.8) и A.4.9)
эквивалентна задаче о распространении объемных возмущений:
f = -A (u*) + [Atu#] = -Atи* + Ажи* + [Atu#] = -Atu* + Ажи*,
A.4.20)
где и* — регулярная обобщенная функция, построенная по правилу
A.4.5).
Используя теперь A.4.2) (или A.4.4)) и A.2.1), получаем следующее
интегральное представление решения задачи о распространении гра-
граничных возмущений:
u(x, t) = u*(x, t) +
dr [[[^G*(x,*; 5,г)[А^и#Й,г)-А«и#Й,г)]^ A.4.21)
ИЛИ
to G i=1
u(x, t) = u*(x, t) + j j j Y, G'(x> *; 5) * [A«m ft, t) - Atiu* ft, t)] dg,
G i=1
A.4.22)
где Axi и Ац — i-e строки матриц Ах и At.
Для оператора At вида A.4.12)
AtaS,ft,t) = Pa^^, A.4.23)
и справедлива формула A.4.22), которая с учетом свойств свертки
(см. приложение Б) преобразуется так
u(x, t) = u*(x, t) +
.Жги* ft, t) — Pi~
G
A.4.24)
Для некоторых видов оператора Аж интегралы от слагаемых
Ga(x, t; ?, г)Ажаи* ft, г) могут быть преобразованы с помощью
1.4 ] Фундаментальные решения 29
формулы Остроградского г) —Гаусса2) [19]. Наиболее простой вид
представления A.4.21), A.4.22) и A.4.24) приобретают в том случае,
когда АЖ11* = 0. Это, например, имеет место, когда вектор и* является
решением квази стати ческой задачи A.2.8) или многочленом по про-
пространственным координатам, степень которого меньше минимального
порядка производных в операторе Аж.
Естественно, успех применения равенств A.4.21), A.4.22) и A.4.24)
целиком зависит от возможности построения вектора и*. Наиболее
просто этот вопрос решается для одномерных задач (см. A.2.4)-A.2.7)).
Для одно- и двумерных процессов (см. §1.1) могут быть построены
формулы, аналогичные A.4.2) и A.4.18). Прежде всего, отметим, что
из инвариантности операторов А и В в A.4.1) относительно сдвига по
координате ж3 (по координатам или ж2 и ж3) вытекает существование
двумерных (одномерных) процессов. Действительно, например, в слу-
случае инвариантности по координате ж3, полагая в A.4.3) ж3 — ? = const,
получаем
А [и (ж1, ж2, const, t)] = f (ж1, ж2, const, t) . A.4.25)
Считая, что указанная инвариантность имеет место, для задач
меньшей размерности из формулы A.4.16) получаем
— двумерные задачи (и = и(ж1,ж2,^), П = 17i2 х /з, (ж1, ж2) Е
в п12 С Я2, ж3 е h С Я; в задаче A.4.1) для Gj (ж1, ж2,*; ?\?2,т)
используется правая часть ^(ж1 - ?х, ж2 - ?2, t — т)):
to n12i-1 A.4.26)
h
— одномерные задачи (и = и(ж1,^), п = /i x 172з5 х1 е h С Я,
(ж2, ж3) е п2з С R2] в задаче A.4.1) для G^ (ж1, t; ^х,т) используется
правая часть ^(ж1 — ?*, t — г)):
t k
и(ж\ж2,*) = J dr J ? G{ (ж1,*; ?\т) U (?\т) d?\
*о hi=1 A.4.27)
Gi (ж1, t- ?\ г) = [[ G* (ж1, ж2, ж3, t- ?\ г) ^ж2^ж3.
1) Остроградский М.В. A801-1861/62) — русский математик, механик.
2) Гаусс (Gauss C.F., 1777-1855) — немецкий математик.
30 Основные понятия [Гл. 1
Если имеет место равенство Г^з = I2 x h (х2 G /2 С Я), то функции
влияния для одномерной и двумерной задач связаны между собой так:
G{ (х\ t- ?\ г) = J Gj {х\х2, t- ?\ г) dx2. A.4.28)
/2
Совершенно аналогичным образом определяются фундаменталь-
фундаментальные решения для задач о вынужденных гармонических колебаниях
и о прогрессивных волнах (см. § 1.3). Естественно, в этих случаях они
зависят только от пространственных координат и удовлетворяют соот-
соответствующим краевым задачам. При этом в формулах A.4.2), A.4.18)
и A.4.16), A.4.26) и A.4.27) интегрирование проводится только по про-
пространственным координатам.
1.5. Метод разделения переменных
При рассмотрении задач для конкретных моделей в книге основное
внимание уделяется аналитическим методам решения с использовани-
использованием интегральных преобразований, основы теории которых представ-
представлены в приложении В, а также полного или неполного разделения
переменных (метода Фурье).
В этом параграфе изложим основы метода разделения переменных.
Напомним его схему [44] применительно к полностью неоднородной
нестационарной задаче A.1.1) (см. также рис. 1.1.3). При этом будем
полагать, что операторы в A.1.1) имеют вид A.1.3), и для простоты
ограничимся вариантом одного определяющего параметра (к = 1):
Ах = Лх = ах1и
f = /, В = Вх = (Ьп, Ь21,..., bqlf , A.5.1)
C(u) = Cltuu h = (ftn,.. ., ftip), h, = hXj.
В случае неоднородных граничных условий сначала применяем
процедуру перехода к однородным граничным условиям (см. A.2.1)-
A.2.3)): искомую функцию представляем в виде суммы
и = w + ?/*, A.5.2)
где и* удовлетворяет равенству
B(ti.)lflG=g. t^t0. A.5.3)
Тогда го есть решение следующей задачи:
A(w) = f., M(xj)eG, t^t0;
B(«0|eG = O, t^t0; A.5.4)
cWlf=f0=h,, M(xi)eG.
где /» = / - A (u») и h« = h - С (u*)|t=tQ.
1.5] Метод разделения переменных 31
Полагаем дополнительно, что в оператор В входят производные
только по пространственным координатам, a At и Лх имеют обеспечи-
обеспечивающий разделение переменных следующий вид:
At = pi(z\ ж2, x3)Lt, Лх = p2(t)Lx, A.5.5)
где Lt и Lx — однородные линейные дифференциальные операторы
соответственно по времени и пространственным координатам с завися-
зависящими только от этих координат коэффициентами.
Тогда частное решение однородного уравнения Л (w) = 0 можно
представить в виде произведения
м(ж\ ж2, ж3, t) = Х(ж\ ж2, x3)T(t). A.5.6)
В результате приходим к равенству
М*) _ МП - _А (и 7)
где Л — константа разделения.
Подстановка представления A.5.6) в граничные условия в
A.5.4) с учетом A.5.7) приводит к краевой задаче на собственные
значения:
-LX(X) = \PlX, (ж1, ж2, х3) е G;
A.5.8)
B(X)\dG = O.
Алгоритм ее решения состоит в следующем. Записывается общий
интеграл уравнения (если он известен), который, кроме простран-
пространственных переменных ж1, ж2, ж3, зависит от произвольных функций
Ci(x1, ж2, ж3), . . . , C2q(x1, ж2, х3) и параметра Л. Подстановка этого
интеграла в граничные условия в A.5.8) приводит к системе уравне-
уравнений относительно граничных значений функций Ci, . . . , C<iq- Условие
существования нетривиального решения этой системы дает характе-
характеристическое уравнение, корнями которого являются собственные зна-
значения (собственные числа) Л. Множество собственных значений назы-
называется спектром задачи A.5.8). После подстановки чисел Л из спектра
в общий интеграл уравнения получаем соответствующее множество
собственных функций (собственных форм, мод). В нем для каждого Л
учитывается максимальное число отвечающих ему линейно независи-
независимых собственных функций. Это число называется кратностью Л.
Отметим, что собственные функции определяются с точностью до
постоянного множителя.
Наиболее простой и в тоже время часто встречающийся случай
задачи на собственные значения — ее одномерный вариант: X = Х(х),
х G (жо, Ж1) (интервал (жо, Ж1) может быть как конечным, так и полу-
полубесконечным). При этом однородные граничные условия в A.5.8) имеют
соответствующий A.2.4) вид
Во*Х|ж=жо=О, В1хХ\х=Х1=О, A.5.9)
32
Основные понятия
[Гл. 1
уравнение в A.5.8) является обыкновенным дифференциальным, и его
общее решение есть линейная комбинация функций Yi, . . . , Y<iq-> входя-
входящих в фундаментальную систему решений:
- А),
A.5.10)
где Ci, . . . , Ciq — произвольные постоянные. Подстановка A.5.10) в
A.5.9) приводит к системе линейных алгебраических уравнений отно-
относительно произвольных постоянных (см. также A.2.7))
\
D(A)
= О, D(A) =
,D
u
D
02
A.5.11)
Условие существования нетривиального решения системы A.5.11)
detD(A) = 0 A.5.12)
и есть характеристическое уравнение для одномерного варианта задачи
на собственные значения.
При некоторых условиях (для частных случаев они будут указаны
ниже) на операторы Ах, В и ограниченности области G эта задача
определяет счетное множество собственных значений (задача имеет
дискретный спектр)
{А„} A.5.13)
и соответствующую ему систему собственных функций
{Хп(х\х2,х*)}9
A.5.14)
которая, напомним, строится с учетом максимального числа линейно
независимых собственных функций, отвечающих каждому Лп.
Будем считать, что система A.5.14) является полной и ортого-
ортогональной в некотором пространстве 5R(G) со скалярным произведением
(X, Y). Это пространство определяется видом оператора Lx и функции
Р1(ж1,ж2,ж3) в A.5.8). Тогда решение задачи A.5.4) разыскивается
в виде ряда
x\x2,x3). A.5.15)
Аналогичными рядами представляются правая часть уравнения
и начальные условия в A.5.4):
1.5] Метод разделения переменных 33
р] 2_, „ х ,х ,х , * ^.„
A.5.16)
_ (/>) _ (h.,Xw)
II Y II2 ' ~~ II Y II2 '
||An|| HAn||
где ||X|| = y/(X, X) — норма функции Х.
Подстановка рядов A.5.15) и A.5.16) в уравнение и начальные усло-
условия в задаче A.5.4) с учетом соответствующего равенства в A.5.7)
приводит к совокупности независимых начальных задач относительно
функций Tn(t):
At{Tn) + Xnp2{t)Tn = /n, t^ t0; С (Tn)\t=tQ = hn. A.5.17)
Их решение может быть найдено любым известным методом, в том
числе и с помощью преобразования Лапласа по времени (см. приложе-
приложение В).
Таким образом, искомая функция в соответствии с A.5.2) и A.5.15)
определяется так
и = и, + ? Tn{t)Xn{x\ х2, Xs). A.5.18)
п
Рассмотрим два наиболее распространенных частных случая опе-
операторов Лх и At в A.5.5): р2 = 1 и Lt = dp/dtp, где р = 1 или р = 2. При
этом задачи A.5.17) принимают следующий вид (см. также A.4.12) и
A.4.6)):
— при р = 1
Tn + \nTn = fn, t^t0, Tn\t=tQ = h0; A.5.19)
— при р = 2
fn + \nTn = /n, t^t0; Tn\ =ho,fn =Ai. A.5.20)
t=t0
Фундаментальные системы решений однородных (fn = 0) уравне-
уравнений в A.5.19) и A.5.20) соответственно имеют вид
e~Xnt; A.5.21)
е-гл/=л^ ety/=X^ ^ A.5.22)
где под квадратным корнем понимается одна из его ветвей.
Отсюда следует, что при указанных ограничениях эквивалентным
способом построения задачи на собственные значения A.5.8) является
подстановка в однородное (/* = 0) уравнение и граничное условие в
A.5.4) вместо A.5.6) следующих произведений:
— при р = 1
м(ж\ ж2, ж3, t) = X(xx, ж2, x3)e~Xnt; A.5.23)
2 А. Г. Горшков и др.
34 Основные понятия [Гл. 1
— при р = 2
ю(ж\ ж2, ж3, t) = Х(ж\ ж2, ж3)е?л/^ . A.5.24)
Если при р = 2 собственные значения неотрицательные (Лп ^ 0), то
уравнение A.5.20) принимает вид
Тп + ш2пТп = /„, шп = ,/К ¦ A-5.25)
Поскольку функция exp (iujnt) — частное решение однородного
уравнения A.5.25), то при и* = 0 в этом случае каждый член ряда
A.5.18)
Тп(*)Хп(ж\ ж2, ж3) = Хп(ж\ ж2, x3)eiuJnt A.5.26)
— частное решение однородного уравнения в A.5.4). Сравнивая его с
A.3.11), приходим к выводу, что произведения A.5.26) — собственные
волны, соответствующие однородной задаче A.5.4) без учета началь-
начальных условий, awn- собственная частота.
Приведем теперь свойства некоторых задач на собственные значе-
значения A.5.8) применительно к рассматриваемым ниже математическим
моделям (см. приложение А).
Во многих случаях Lx в A.5.5) является оператором второго поряд-
порядка (q = 1) и имеет вид
LX(X) = \ {div [ф\ х2, х3) grad X] - Х(х\ х2, xs)X} ,
рз(х ,х~,х )
A.5.27)
а соответствующее граничное условие в A.5.8) записывается так:
В (Х)\аа = [а(х\ х\ х3)Х + Ц{х\ х\ х3)^] ^ = 0, A.5.28)
где п — вектор внешней нормали к поверхности 8G.
Уравнение в A.5.8) с учетом A.5.27) преобразуется следующим
образом:
- div [х(ж\ ж2, ж3) grad X] + х(ж\ ж2, х3)Х = Ар(ж\ ж2, х3)Х,
(ж1, ж2, ж3) EG, (L5
где
р(ж\ ж2, ж3) = pi (ж1, ж2, ж3)р3(ж1, ж2, ж3), A.5.30)
Это уравнение совместно с A.5.28) называется задачей Штурма г) -
Лиувилля 2) [44, 42].
1) Штурм (Sturm J. S. F., 1803-1855) — французский математик, иностран-
иностранный член-корреспондент Петербургской АН.
2) Лиувилль (Liouville J., 1809-1882) — французский математик, иностран-
иностранный член-корреспондент Петербургской АН.
1.5] Метод разделения переменных 35
Пусть выполняются условия (G = G U dG — замыкание области G):
_ A.5.31)
^,Р>0, х>0, (ж1, ж2, ж3) g G; а2+/32^0.
Тогда для задачи A.5.28), A.5.29) справедливы следующие свойст-
свойства собственных значений и функций, обеспечивающие возможность
применения указанной схемы решения начально-краевой задачи мето-
методом Фурье:
1. Множество собственных значений A.5.13) действительное, непу-
непустое и не имеет конечных предельных точек.
2. Для каждого собственного значения существуют действительные
собственные функции, принадлежащие области определения Dl опе-
оператора Lx, т.е. множеству таких функций ^(ж1, ж2, ж3), что
XeC2{G)C\C\G), LX(X) e C2(G; p), B(X)|eG=0, A.5.32)
Здесь C2(G; р) — пространство интегрируемых с квадратом и весом р
функций. Скалярное произведение в нем определяется так:
A.5.33)
3. Собственные функции, отвечающие различным собственным зна-
значениям, ортогональны в смысле скалярного произведения A.5.33).
4. Кратность каждого собственного значения не более двух. Систему
собственных функций можно выбрать так, чтобы она была ортогональ-
ортогональной (в случае необходимости используется процесс ортогонализации).
5. Если множество собственных функций A.5.14) счетное, то
а) {теорема Стеклова х)) любая функция w(x1, ж2, ж3) Е Dl рас-
раскладывается в абсолютно сходящийся в /^(G; p) ряд по системе соб-
собственных функций:
w = J2wnXn(x1,x2,x3), Wn = ^A- A.5.34)
б) система собственных функций полна в /^(G; p), т. е. любая функ-
функция ^(ж1, ж2, ж3) G C2(G; p) раскладывается в сходящийся ряд типа
A.5.34).
6. При дополнительном условии
а/3>0, (ж1, ж2, ж3) EG A.5.35)
множество собственных значений — счетное, любое собственное зна-
значение — неотрицательно, и все они могут быть расположены в виде
]) Стеклов В. А. A863/64-1926) — русский математик, академик Петер-
Петербургской АН и АН СССР.
2*
36 Основные понятия [Гл. 1
возрастающей неограниченной последовательности
О < Ai < А2 < . .., lim An = оо. A.5.36)
n—>-oo
Для того чтобы Ао = 0 было собственным значением, необходимо
и достаточно, чтобы % = 0 и а = 0. При этом оно является простым,
т. е. имеет кратность, равную единице.
Отметим один — далее часто используемый в одномерных процессах
(см. § 1.1) — частный случай задачи A.5.28), A.5.29) при G = (жо, #i),
а именно:
— [к{х)Х'\ + х(х)Х = Хр(х)Х, х е (xo,xi);
A.5.37)
=0, {оцХ
= о,
для которого выполняются вытекающие из A.5.31) условия
^^!}), XlpeC(Kn]) (а,/8еД);
к,р>0, x>0, xe[xo,xj]; A.5.38)
При этом остаются справедливыми указанные выше свойства 1, 2,
5 и 6. Свойство 3 заменяются следующим.
3*. Каждое собственное значение простое и система собственных
функций является ортогональной.
А в свойстве 6 условие A.5.35) следует читать так:
ао/3о < 0, ах/91 > 0. A.5.39)
При этом для выполнения приведенных свойств задачи на соб-
собственные значения условия A.5.31) и A.5.35) (или A.5.38) и A.5.39))
являются достаточными.
Для операторов Lx в A.5.5) более высокого порядка условия, обес-
обеспечивающие аналогичные задаче Штурма-Лиувилля свойства задач на
собственные значения, приведены, например, в [49].
Отметим также, что вес р скалярного произведения A.5.33) часто
может быть определен без использования соответствующих теорем по
известным свойствам функций, входящих в фундаментальную систему
решений однородного уравнения или системы уравнений типа A.5.8).
Счетность множества собственных значений во многих случаях также
непосредственно следует из определяющего их уравнения.
Ортогональность собственных функций и не отрицательность соб-
собственных значений для используемых в книге математических моделей
(см. приложение А) может быть доказана с помощью соответствующих
данной модели энергетических теорем. Покажем это на примере линей-
линейно упругой среды.
1.5] Метод разделения переменных 37
Движение неоднородной упругой анизотропной среды при отсут-
отсутствии массовых сил (F1 = 0) и изменения температуры ($ = 0) описы-
описывается, например, уравнениями (А.1.39):
рч1 = Vj {CijklVkut) , A.5.40)
где р — плотность, Сг^ы — тензор упругих постоянных, щ и иг — ко-
вариантная и контравариантная компоненты вектора перемещения и,
Vj — оператор ковариантного дифференцирования.
Подставляя сюда, согласно A.5.24), произведение
щ = Ut(x\x2,x3)etV^, A.5.41)
получаем уравнение относительно компонент (//(ж1, ж2, ж3) вектора-
функции U:
V, (CijklVkUt) + p\W = 0. A.5.42)
Оно вместе с однородными граничными условиями, соответствую-
соответствующими (А.1.21) или (А.1.22)-(А.1.24), образует задачу на собственные
значения Л с отвечающими им собственными векторами-функциями U.
Потребуем только, чтобы граничные условия A.5.8) удовлетворяли
равенству (оно выполняется, в том числе для всех упомянутых выше
условий)
(P,U) =-A;2(U,U), A.5.43)
oG
где Р — вектор напряжений на границе области G, (P, U) — скалярное
произведение векторов в R3.
Отметим, что уравнения A.5.42) можно рассматривать как уравне-
уравнения статической теории упругости при векторе массовых сил F с ком-
компонентами F1 = \иг.
Пусть Л и Л — различные собственные значения этой задачи, a U
и U — соответствующие им собственные векторы-функции, которые
считаем двумя состояниями упругой среды, отвечающими массовым
силам F = AU и F = AU. Тогда по теореме взаимности Бетти [29] имеем
P,U)d5, A.5.44)
G dG G dG
что приводит к равенству
A[[[p(U,U)dx = A[[[p(U,U)dx. A.5.45)
Так как А ф А и (U, U) = (U, U), то это равенство возможно только
в том случае, если
"""p(U,U)dx = 0. A.5.46)
38 Основные понятия [Гл. 1
Следовательно, собственные функции, отвечающие различным соб-
собственным значениям, ортогональны в пространстве /^(G; р) со ска-
скалярным произведением векторов-функций и и v (оно обозначено спе-
специальными скобками для отличия от произведения в R3)
<u,v)=jjjp(u,v)dx. A.5.47)
G
Отметим, что здесь, как и для всех указанных в приложении А мо-
моделей, весом является плотность среды р.
Для доказательства не отрицательности спектра задачи используем
формулу Клапейрона *) [29] для состояния, соответствующего U и F =
= AU при условии A.5.43)
Af + АР = 2W, AF = JJJ p (F, U) dx, ЛР = JJ (P, U) dS, A.5.48)
G dG
где W — потенциальная энергия упругого тела G для указанного со-
состояния. Учитывая, что
Ар = A JJJ p (U, U) dx = Л (U, U) = A ||U||2 , АР = -к2 JJ (U, U) dS,
G dG
A.5.49)
из A.5.48) находим
2W -Ар ( ,
х= „тт„2 • A.5.50)
Поскольку Wq ^0 и Ар ^ 0, то из этого равенства следует веще-
вещественность и не отрицательность спектра: Ао ^ 0. Причем А = 0 только
при к = 0 и W = 0, что соответствует движению тела как абсолютно
жесткого.
Условия, обеспечивающие аналогичные свойства задачи на соб-
собственные значения A.5.8) для случая обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных операторов Lx и В произвольных конечных порядков, соответ-
соответствующих, в том числе, одномерным задачам об изгибных колебаниях
пластин и балок (см. § А.7-А.9), изложены, например, в [49, 56].
]) Клапейрон (Clapeyron В. Р. Е., 1799-1864) — французский физик и инже-
инженер, в 1820-1830 гг. работал в России.
Глава 2
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
Изучение волновых процессов начнем с простейших одномерных
задач (см. рис. 1.1.2) в прямоугольной декартовой системе координат
ОХ1Х2Х3 с ортами е1,е2,ез для однородных изотропных несвязанных
термоупругих сред с бесконечной скоростью распространения тепла
или упругих (см. §2.1-2.7) и вязкоупругих сред (см. §2.8, 2.9). Если
u = u(#i,?), то такой одномерный процесс будем называть плоским
движением в направлении е^. В том случае, когда такое движение
является волновым процессом (см. гл. 1), будем говорить о плоских
волнах, распространяющихся в направлении е^.
2.1. Типы плоских волн
Для описания движения однородной изотропной несвязанной тер-
термоупругой среды (см. § А.1) будем использовать уравнения в переме-
перемещениях (А.4.11) при М = 0, полагая, что изменение температуры $
задано. Введем безразмерные параметры (они обозначены штрихом):
/ _ Xi f _ Щ _ C*t „/ _ $
* с\ дх\' *J A + 2/x
i 5 9 5
1 - v pcj
_ C* /„__-] o\ n — ^L — 71 -
fm — \Tii — L,?), Tj — —
Cm C2 71
Здесь ui, (Jij, Fi и Fi — Add/dxi — компоненты вектора перемеще-
перемещения, тензора напряжений, вектора массовых сил и вектора фиктивных
массовых сил; сш — скорости распространения продольных и попе-
поперечных волн в упругой среде; A, /i, v, р и Л — параметры Ламе г),
коэффициент Пуассона 2), плотность и коэффициент температурного
расширения среды; То — температура среды в начальном состоянии;
с* — параметр, имеющий размерность скорости; L — характерный ли-
1) Ламе (Lame G., 1795-1870) — французский математик и инженер.
2) Пуассон (Poisson S.D., 1781-1840) — французский математик и механик.
40 Плоские волны [Гл. 2
нейный размер. Выражение параметра к через коэффициент Пуассона
получено с помощью формул (А.2.3).
Тогда уравнения движения приобретают следующий вид (запятой
обозначена частная производная по соответствующей пространствен-
пространственной переменной, а точками — производная по времени г):
+ 7l (Ua,/9/9 + ^a,77) + 72 ^a (<*, /3,7 = 1, % 3). B.1.2)
Здесь и далее штрихи в обозначении безразмерных величин опущены.
При этом физические соотношения (А.4.10) запишутся так:
Г B.1.3)
(а,/3,7 = 1,2,3).
Изучим характер волнового движения упругой среды с плоскими
волнами, распространяющимися вдоль оси Ох\. В этом случае соот-
соотношения B.1.2) и B.1.3) принимают вид (иа ^7 = 0, Fa = Fa(#i,r);
о = 1,2,3; /3,7 = 2,3)
7i«i= «i,u + ^i, llua = uatll+rfFa (a = 2,3); B.1.4)
Л О — Г» и2Л U3Л
<У\\ = ^1,1 - ^^, СГ22 = СГЗЗ = СГ23 = U, СГ12 = —2~, СГ13 = —2~.
B.1.5)
Исследуем структуру решений уравнений B.1.4) при отсутствии
массовых сил (Fa = 0)
7?Ui = 1Х1Д1, 72^a = ^a,ll (« = 2,3). B.1.6)
Отметим, что уравнения в системе B.1.6) независимы. Каждое из
них является одномерным волновым уравнением и совпадает с из-
известным уравнением колебания струны [53]. Рассмотрим два важных
частных случая системы уравнений B.1.6), приводящие к двум типам
волн в упругой среде.
А. Плоская продольная волна. Пусть u<i = щ = 0. Тогда
в системе B.1.6) остается одно нетривиальное уравнение
7?ui = 1*1,11, B.1.7)
общее решение которого имеет вид
Ul(xu г) = F(t + 71Я1) + G(t - 7i*i), B.1.8)
где F(?), б?(?) — произвольные функции класса C2(R).
Дадим физическую интерпретацию решения B.1.8). Два семейства
прямых (Ci, Съ — произвольные константы)
(рг(хг,т) = т + 7i^i = Си (р2(хит) = т - цхг = С2, B.1.9)
2.1 ] Типы плоских волн 41
на фазовой плоскости Ох\т являются характеристиками уравнения
B.1.7) [53]. Как следует из свойств характеристик, значение решения
этого уравнения на характеристиках равно константам:
Ь = Di= const (г = 1,2). B.1.10)
Рассмотрим второе слагаемое решения B.1.8):
i, г) = G(t -
Функцию и\(х\,т) назовем возмущением в точке х\ в момент време-
времени т. Рассмотрим также точку хо ф х\. Предположим, что из этой
точки в положительном направлении оси х\ в момент времени г = 0
начинает двигаться наблюдатель со скоростью, равной 1/7ь В момент
времени т\ он окажется в точке Х\ = Xq + T1/71. Возмущение, которое
наблюдатель будет видеть в точке #i, в момент времени т\ определяет-
определяется так: и\{х\, т\) = G(t\ — 7i#i) — G(—7i#o)- Таким образом, в любой
момент времени наблюдатель будет видеть в точке, где он находится,
одну и ту же величину возмущения, равную б?(—7i#o)- Следовательно,
начальный профиль ui(xi, 0) = G(—71^0) движется со скоростью I/71
в положительном направлении оси х\, не изменяя своей формы.
В виду этого решение и\ = G(r — 71 #i) называют прямой бегущей
волной. При этом в соответствии с данным в гл. 1 определением харак-
характеристика у?2(#ъ т) = т — 7i#1 — const является фронтом этой волны.
Аналогичное истолкование может быть дано и решению и\ =
= F(t-\- 7i#i)j соответствующему первому слагаемому в B.1.8). Оно
называется обратной бегущей волной. При этом профиль возмущения
движется, как жесткая система, в отрицательном направлении оси Ох\
также со скоростью 1/7ъ а характеристика y?i(#i,r) = г + 71Ж1 —
= const — фронт этой волны.
Таким образом, в случае неограниченной упругой среды общее ре-
решение уравнения B.1.8) есть суперпозиция прямой и обратной бегущих
волн.
При данном виде деформации упругой среды коэффициент объем-
объемного расширения в отличен от нуля, а компоненты Л^- тензора поворота
тождественно равны нулю (см. (А.4.9) и (А.4.4)):
в = щ^ = и1А = ?ц ф 0, Xij = - (uij - Ujj) = 0. B.1.11)
Поэтому, как следует из B.1.5) и B.1.11), отличными от нуля явля-
являются только нормальные напряжения на площадках, перпендикуляр-
перпендикулярных оси Oxi'.Gn = Ui^i ф 0. Такая волна является волной растяжения-
сжатия (см. § А.2). В иностранной литературе такие волны также на-
называются Р- волнами.
Б. Плоская поперечная вол н а. Пусть и\ = 0. Тогда систе-
система B.1.6) сводится к двум независимым волновым уравнениям
ua = uatll (a = 2,3). B.1.12)
42 Плоские волны [Гл. 2
Решение каждого из них имеет вид, аналогичный B.1.8):
иа(хит) = Fa{r + 72Ж1) + Ga{r - 72Ж1). B.1.13)
Как следует из B.1.13), частицы среды движутся со скоростью
1/72 в плоскости, перпендикулярной оси Ох\. При этом коэффициент
относительного изменения объема равен нулю:
б = мм = u2|2 + м3|3 = 0, B.1.14)
а компоненты тензора поворота отличны от нуля:
Aia = ~\ иаА = ^ [Са{т - 72«i) - К(т + 72*i)] {ol = 2,3),
А2з = 2 (^2,3 - ^з,2) = 0.
При этом, согласно B.1.5), отличны от нуля только касательные на-
напряжения на площадках, перпендикулярных оси Ох\\ &\$ = ир^/г]2 ф
ф 0 (/3 = 2,3).
Из этих свойств решения следует, что последний тип волн соот-
соответствует волнам формоизменения (сдвига, см. § А.2). В иностранной
литературе такие волны также называются S-волнами.
Необходимо отметить, что структура решения волнового уравнения
вида B.1.8) сохраняется только для однородных уравнений B.1.6).
В случае наличия массовых сил (гравитационные, температурные
поля) решения уравнений B.1.4) будут содержать частные решения
неоднородного уравнения, вид которых определится правой частью
B.1.4).
Решения уравнений B.1.8) и B.1.13) содержат две произволь-
произвольные функции, которые определяются начально-краевыми условиями.
Исследуем основные начально-краевые задачи для системы уравне-
уравнений B.1.4).
2.2. Распространение возмущений
в неограниченной упругой среде
В рамках одномерной постановки рассмотрим следующую задачу
Коши х) для упругой однородной изотропной среды, занимающей все
пространство R3 G3 = 72, Щ = 1? Ш = Щ = rj2):
llua = uaA1 + rjaFa {a = 1, 2, 3), B.2.1)
Ua\r=0 = ^a(ai), Ua\T=0 = ^a(^l). B.2.2)
Отсюда следует, что в неограниченной упругой среде волны расшире-
расширения-сжатия и сдвига, возникающие от начальных возмущений, распро-
]) Коши (Cauchy O.L., 1789-1857) — французский математик.
2.2] Распространение возмущений в неограниченной упругой среде 43
страняются независимо друг от друга. Поэтому достаточно построить
решение следующей задачи Коши (х = х\, и = иа, 7 — 7а5 F = rjaFa):
B.2.3)
u\T=0 = (f(x), й\Т=ъ = <ф(х). B.2.4)
Соответствующая ненулевая компонента тензора напряжения опре-
определяется так:
a = <Tla=*±L- 61аЛ#, B.2.5)
где Sij — символ Кронекера г). Согласно A.4.4) и A.4.15) решение
задачи B.2.3), B.2.4) может быть представлено в виде
и(х, т) = G(x, т) ** F(x, т) + 72 \G(x, т) * (р(х) + G(x, т) * ^(ж)| ,
B.2.6)
где б?(ж, г) = и — функция влияния, которая удовлетворяет следующей
задаче:
72G = G,xx +S(x)S(t), B.2.7)
G\T=0 = 0, G|r=0 = 0. B.2.8)
Применяем к B.2.7), B.2.8) преобразование Фурье по координате х
и преобразование Лапласа по времени г (см. приложение В). Тогда
с учетом свойств этих преобразований и с использованием табл. В.2.1
приходим к алгебраическому уравнению относительно изображения
GFL(q,s):
f2s2GFL(q, s) = -q2GFL(q, s) + 1, B.2.9)
где q и s — параметры преобразований Фурье и Лапласа; индексами
«F» и «L» обозначены соответствующие трансформанты.
Решая это уравнение, получаем
FL Л
GFL(Q,s)=
а Л а ()
7 s- + q-
Оригинал этой функции находим последовательным обращением
преобразований Фурье и Лапласа с использованием соответственно
таблиц В.1.2 и В.2.1:
GL(x,s) = ^-e-^x\- B.2.11)
G(x,t) = ±H(t-j\x\), B.2.12)
где Н(т) — функция Хевисайда.
]) Кронекер (Kronecker L., 1823-1891) — немецкий математик.
44 Плоские волны [Гл. 2
Входящая в формулу B.2.6) производная от функции влияния име-
имеет вид (см. приложение Б)
С(т,х) = ±5(т-ф\). B.2.13)
Далее, учитывая носители функции С(ж,т) и ее производной, пред-
представляем свертки в B.2.6) в виде повторных и определенных интегра-
интегралов:
G(x,T)**F(x,T) = ±\dt | H[T-t-<y\x-t\]F(t,t)dt =
О -оо
г x + (T-t)h
^\ J , B.2.14)
+ OO
+oo ж+г/7
J-f ( /7- /"у \ rp /- 1 П Г
x~Th B.2.16)
Подставляя эти результаты в B.2.6), получаем известное решение
^ r) = ^(Ж + т/7) + ^(Ж-т/7) +
ж+г/7
+ 2
^1 \ F{?,t)d?, B.2.17)
ж-г/7 0 я;_(т_4)/7
которое в математической физике носит название формулы Д'Алам-
бера г) [53]. Эту формулу при F(x,t) = 0 можно получить и прямым
методом, основываясь на общем решении B.1.8). Такой подход к ре-
решению начально-краевых задач в литературе носит название метода
бегущих волн.
Таким образом, соотношение B.2.17) позволяет определить поле
перемещений в бесконечной упругой среде с заданными одномерными
начальными возмущениями, а затем по формуле B.2.5) найти напря-
напряжение.
]) Д'Аламбер (D'Alembert J.L., 1717-1783) — французский математик, ме-
механик.
2.2] Распространение возмущений в неограниченной упругой среде 45
Пример 2.2.1. Найти перемещение и напряжение в упругой среде
при 7 = Vex — 1 под действием начального возмущения и\Т=0 = (р(х) =
= е
Решение. С помощью формулы B.2.17) при ф = F = 0 опреде-
определяем перемещение
Подставляя его в B.2.5), находим напряжение
а(х, т) = |Н = -2 [(я + г)е-(^J + (я -
Соответствующая пространственно-временная картина распро-
распространения начальных возмущений показана на рисунках 2.2.1 и 2.2.2.
Рис. 2.2.2
На первом из них отчетливо видно наличие двух волновых фронтов,
распространяющихся с единичной скоростью в положительном и отри-
отрицательном направлениях оси х.
Пример 2.2.2. Найти напряженно-деформированное состояние
упругой среды при 7 = rja — 1 под действием начального распределения
скоростей й\т=0 = ф(х) = е~х .
Решение. Перемещение находим по формуле B.2.17) при (р = F =
= 0:
х-\-т х-\-т
и(т,х) = - Ф(?) d? = - е~^ d^ = [erf (x + г) — erf (х — г)],
2 J 2 J 2
х—т х—т
где erf х — интеграл вероятностей [54].
Для вычисления напряжения воспользуемся теоремой о дифферен-
дифференцировании интеграла по параметру [50]:
ди
х+т
I) ( пг* _|_ т ) ( пг* _|_ т ) q/j ( nr* т ] ( пг* *
= \ Щх + т) - ф(х ~т)] = \ [е-^2 - е-(—J] .
46
Плоские волны
[Гл.2
Рис. 2.2.3
Рис. 2.2.4
Соответствующая пространственно-временная картина распро-
распространения начальных возмущений представлена на рисунках 2.2.3
и 2.2.4.
2.3. Плоские волны в упругом полупространстве.
Распространение граничных возмущений
С точки зрения проведения оценочных расчетов важным классом
являются задачи изучения волнового процесса вблизи одной границы.
Причем влияние граничного режима на второй границе не имеет суще-
существенного значения либо из-за малых промежутков времени, либо из-
за вырождения второй границы. В прямоугольной декартовой системе
координат таким объектом является полупространство.
Рассмотрим задачу о распространении равномерно распределенных
по плоскости х\ = 0 граничных возмущений (см. гл. 1) в полупростран-
полупространстве х\ ^ 0, занятом упругой однородной изотропной средой. Урав-
Уравнения движения B.2.1) и начальные условия B.2.2) в данном случае
являются однородными
12айа = иаЛ1 (а = 1,2,3); B.3.1)
иа\т=о=О, ua\T=0 = 0. B.3.2)
Наиболее часто встречающиеся граничные условия имеют следую-
следующий вид (см. приложение А; х\ = х):
— кинематические условия (первая краевая задача)
щ\х=0 = иОг(т) (г = 1,2,3); B.3.3)
— динамические условия (вторая краевая задача)
°u\x=o=Poj{t) (j = 1,2,3); B.3.4)
— смешанные условия
Ui\x=o = uoi{r),(Tlj\x=o=poj(T) (г,.; = 1,2,3; г Ф j); B.3.5)
2.3] Плоские волны в упругом полупространстве 47
1
— обобщенные условия (aki ? Щ &, I = О,1;
(аоощ
B.3.6)
(alouj-\-a11(Tlj)\x=o = qlj(r) (ij = 1,2,3; i^j).
Согласно физическим соотношениям B.1.5), где следует положить
$ = 0, напряжения полностью определяются производными от переме-
перемещений. Следовательно, при соответствующем выборе параметров a&
и /3k все четыре указанных выше вида граничных условий можно
записать в одном общем виде
(аощ + РоЩ,х)\ 0 = qoi(r),
B.3.7)
(<x1uj+l31ujtX)\x=0 = qlj(T) (г,.; = 1,2,3; г Ф j),
1 1
где а*, /3fc G Я; к = 0,1; ? а\ф 0, ? /3^ 0.
Например, параметры «о — 1? а1 — 05 /Зо — 05 /3i = 7j и Функ-
Функции ^ог(г) — u0i{T), QijiT) — Poj(r) соответствует смешанным услови-
условиям B.3.5).
Из уравнений B.3.1) вытекает, что компоненты вектора перемеще-
перемещений могут быть найдены независимо друг от друга, если они не связаны
через граничные условия. Такая связь отсутствует, так как в каждое
из условий B.3.7) входит только одна компонента. Поэтому условия
расщепления на независимые задачи о распространении волн расшире-
расширения-сжатия и формоизменения выполнены. Следовательно, достаточно
построить решение обобщенной начально-краевой задачи относительно
одной компоненты и = U{ вектора перемещения (из трех условий в
B.3.7) остается только одно; 7 = 7»)
72й = и,жж, B.3.8)
u|r=0=0, й|т=о=О, B.3.9)
(ст + /3иж)|ж=о = </(т), B.3.10)
и(х, г) = 0A), х -+ +оо. B.3.11)
Последнее условие связано с неограниченностью области, занимае-
занимаемой упругой средой (см. гл. 1).
Как следует из A.4.25), соответствующие задаче B.3.8)—B.3.11) пе-
перемещения и напряжения могут быть записаны в виде
и(х, т) = Gu{x, т) * </(т), а(х, т) = СПа(^, г) * q{r). B.3.12)
Здесь Gn{%, т) = и и (?па(ж5 т) = а — поверхностные функции вли-
влияния. Причем функция Gu(x^r) есть решение задачи B.3.8)—B.3.11)
48 Плоские волны [Гл. 2
при специальной правой части граничных условий B.3.10):
Я(т) = 5(т), B.3.13)
а Сп(т(ж,т) определяется следующим из B.2.5) соотношением:
ЯпЛя,т) = —СП|Я(ж,т). B.3.14)
Vex
Для решения задачи B.3.8)—B.3.11) при условии B.3.13) использу-
используем преобразование Лапласа по времени. В пространстве изображений
получаем краевую задачу (все обозначения стандартные, см. приложе-
приложение В)
Gb,xx-72*2Gb=0, B.3.15)
(аСЙ+)9СЙ|Х)|х=0 = 1, B.3.16)
С? = 0A), х -+ +оо. B.3.17)
Общее решение уравнения B.3.15) имеет вид
Gfj(*, з) = СгЩе-т* + С2(з)еТх, B.3.18)
где С\ и С2 — постоянные интегрирования.
Из B.3.17) следует, что Сч = 0. Другая постоянная определяется из
граничного условия B.3.16):
L B.3.19)
Тогда изображение G^(x^s) и его производная G{jx(x,s) прини-
принимают вид
Gb(x, a) = e-^'R^(a), G^x(x, s) = -e-^sjR^s). B.3.20)
Соответствующие оригиналы функций G^{(x, s) и G^ x(x, s) нахо-
находим с использованием свойств преобразования Лапласа:
Gn{x, т) = Д0(т)Я(т - jx), Gn>x(x, т) = -
B.3.21)
где
Яо(т) =
г -1
f а-г6(т) при /3 = 0,
^(r) при а = 0,
= <
B.3.22)
при а ф 0, /3 ф О
с =
2.3]
Плоские волны в упругом полупространстве
49
При этом соотношения B.3.12) приобретают вид
и(х,т) = Н(т —
q(r — t —
B.3.23)
q(r — t —/yx)Ro(t) dt.
J
Интересным с точки зрения практического использования соотно-
соотношений B.3.23) является нахождение предельных значений параметров
напряженно-деформированного состояния при т —> ос, что соответ-
соответствует решению статической задачи теории упругости. Вычисление
указанного предела проще выполнить в пространстве изображений по
Лапласу с использованием свойств последнего:
lim и(х,т) = lim \suL(x,s)] = lim \qL(s)e~^sxsRi;(s)] =
т->-оо s->-0 L J s^-0 L J
B.3.24)
r]a lim а(х,т) = lim \suLx(x, s)] =
t—>-oo s—>0 '
= - lim
= -7
Окончательный вид соотношений B.3.24) зависит от параметров
граничных условий а, /3 и предельных свойств изображения qL(s).
Как следует из B.3.23), решение рассмотренной задачи представ-
представляется в виде волны, распространяющейся в положительном направ-
направлении оси х. Поскольку вторая гра-
граница слоя отсутствует, то отражен-
отраженной волны нет, и волновая картина
в упругом полупространстве носит
достаточно прозрачный характер.
В качестве иллюстрации рассмот-
рассмотрим следующую задачу.
Пример 2.3.1 (динамическое
возбуждение полупространства).
Найти напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное состояние упругой полуплоско-
полуплоскости G = 1, rja — 1) под действием
нормального давления р(т) = е~т
(рис. 2.3.1). Массовые силы отсут-
отсутствуют, начальные условия однородные.
Рис. 2.3.1
50 Плоские волны [Гл. 2
Решение. Этой задаче, согласно B.1.5), соответствует граничное
условие
°(*,т)\х=0 =
= -р(т), B.3.25)
х=0
что эквивалентно следующим параметрам граничных условий B.3.10):
о = 0, /3 = 1, д(т) = -р(т) = -е~т. B.3.26)
При этом в соответствии с B.3.22) Rq(t) = —Н(т). Следовательно,
согласно B.3.23), перемещения определятся так:
т — х
и(х,т) = Н[т -х) \ q(r-t-x)R0(t)dt =
= Н(т - х) [ е-(г-*-ж)Я(?) dt = [l - е-(г-ж)| Н(т - х). B.3.27)
о
В данной задаче напряжения можно найти без использования соот-
соотношений B.3.23). Для этого, учитывая, что Rq(s) = 1/s, из B.3.21) и
B.2.5) с использованием свойств преобразования Лапласа получаем
uLx{x, a) = -qL{s)e-^sxsjR^{s) = -pL{s)e-sxs- = -
s
*(х,т)= [uLx{x,s)]L~l =-[pL(s)e-sx }L~l = B.3.28)
= -р(т - х)Н(т -х) = -е-{т-х)Н(т - x).
Соотношения B.3.24) позволяют получить соответствующие стати-
статическому решению предельные значения перемещения и напряжения:
lim и(х,т) = lim \qL(s)sR^(s)} = lim
т->-оо s^-0 L J s->-0
= lim qL(s) = lim \e~T}L = lim --*— = 1,
B.3.29)
lim <t(x,t) = - lim \qL(s)s2Rn (s)} = - lim \qL(s)s] =
= _ lim -^ = 0.
s^-o s + 1
Пространственно-временные картины распределения перемещения
и(х,т) и напряжения сг(ж,т) представлены на рисунках 2.3.2 и 2.3.3,
на которых отчетливо проел сживается стремление решения с течением
времени к статическому.
2.4] Распространение объемных возмущений в полубесконечной среде 51
Рис. 2.3.2
Рис. 2.3.3
2.4. Распространение объемных и начальных
возмущений в полубесконечной упругой среде
Здесь в постановке § 2.3 рассмотрим задачу о распространении объ-
объемных и начальных возмущений в упругой полуплоскости. Соответ-
Соответствующая начально-краевая задача образуется уравнениями движения
упругой среды B.2.1), начальными условиями B.2.2) и однородными
граничными условиями B.3.10). При этом в силу независимости ком-
компонент вектора перемещения (см. § 2.3), достаточно построить решение
следующей задачи:
72ii = иА1 + F, B.4.1)
и\Т=0 =
, и\т=о = гр
*,*)Uo = °>
, т) = 0A),
+оо.
B.4.2)
B.4.3)
B.4.4)
При этом напряжение в среде определяются равенством B.2.5).
В соответствии с A.4.4), A.4.15) и A.4.27) перемещения и напряже-
напряжения в этом случае могут быть представлены следующим образом:
i(x,t)= \G{x,t;
¦72| J G(x,t;
о
G(x, т;
d?\; B.4.5)
<т{х,т)=
+ Г I J Ga(x, т; ?)<р(?) d? + j Ga(x, r; ?)ф(?) d? \. B.4.6)
о о
52 Плоские волны [Гл. 2
Здесь С(ж,т; ?) и Са(ж,т; ?) — объемные функции влияния. Первая
из них есть решение задачи
12G = G,xx + S(tN(x-O, B-4.7)
С|т=0 = 0, С?|^=о = 0, B.4.8)
(aG + /3G,x)\x=0=0, B.4.9)
G = 0A), х ->• +oo, B.4.10)
а вторая — вытекающим из B.2.5) соотношением
G<r(x,T;?) = ±GlX(x,T;?). B.4.11)
Применяя к B.4.7)-B.4.10) преобразование Лапласа по времени г
(см. приложение В, в том числе, табл. В.2.1), в пространстве изображе-
изображений получаем следующую краевую задачу относительно GL(x, s; ?):
G% - 72s2GL = -S(x - ?), B.4.12)
(aGL+/3GLx)\x=0 = 0, GL(x,s; 0 = 0A), x -> +oo. B.4.13)
Общее решение уравнения B.4.12) имеет вид
GL(x, s; О = С!(з)е^х + C2(s)e-^x + G^(x, s; ?). B.4.14)
Здесь Ci(s) и 62E) — постоянные интегрирования, G*(#,s; ^) —
частное решение неоднородного уравнения, которое определяем с по-
помощью метода вариации произвольных постоянных, полагая
G^(x, в; О = D1(x)e'18X + D2(x)e->sx. B.4.15)
Производные от функций D\(x) и D^(x) удовлетворяют системе
линейных алгебраических уравнений
D'^e'*™ + D'2(x)e-iax =0,
B.4.16)
D'^ei™ - D'2(x)e-^x = -— S(x - 0,
решение которой имеет вид
^ ^^xS(x-0. B-4.17)
Сами функции Di(x) и D2(x) находим, вычисляя первообразные
правых частей этих равенств (см. приложение А):
2.4] Распространение объемных возмущений в полубесконечной среде 53
Di(x) = -±- \5(х - Ое-т" dx = -±-е-т*Н{х - ?),
B.4.18)
Подставляя теперь B.4.18) в B.4.15), получаем
G.Ob, в; О = -^ sh [7й(Ж - О] ЯОв - €)¦ B-4-^)
Тогда общее решение B.4.14) и его производная записываются так
GL(x, s; О = Ci(e)e^ + C2(s)e^sx - ^ sh [7.(Ж - О] Н(х - О,
B.4.20)
G^x, в; О = 7. [Gi(e)e^ - C2(s)e-^x} - ch [7,(Ж - О] Я(* - О-
B.4.21)
Подстановка этих функций в граничные условия B.4.9) приводит к си-
системе линейных алгебраических уравнений относительно C\{s) и C^s):
(а + /97*)Gi(e) + (а - /37в)С2(в) = 0,
1 , B.4.22)
откуда находим
^ ^^±|^-^. B.4.23)
Тогда из B.4.20), B.4.21) и B.4.11) получаем следующие формулы
для изображений функций влияния:
GL(x,s- 0 =
(Х-'] ~ ^Ws e~1S{X+i) - 2sh ^X - «1 Н^Х -V)'i
B.4.24)
- 0] H(x - 0 )¦
J
B.4.25)
Оригиналы этих функций достаточно просто определяются с помо-
помощью свойств преобразования Лапласа и табл. В.2.1. Однако удобнее
это делать для каждого конкретного случая граничных условий на
поверхности х = 0.
Пример 2.4.1. Определить напряженно-деформированное состоя-
состояние упругого полупространства, находящегося под действием массовой
силы F(x,t) = е~хН(т). Граница полупространства неподвижна, на-
начальные условия однородные. В расчетах положить 7 = rja = 1.
54
Плоские волны
[Гл.2
Решение. В этом случае формулы B.4.5) имеют вид
г оо
и(х, т) = J dt J G(x, т-t- ?)F{?, t) d?, B.4.26)
о о
r oo
, t) = J dt J Gff (ж, т - t;
о о
B.4.27)
Условиям задачи соответствуют коэффициенты а = 1 и /3 = 0, что,
как следует из B.4.24) и B.4.25), приводит к изображениям функций
влияния
GL(x, s; Q = ±. |е7.(*-«) _ е-7-(*+«) _ 2sh [<уа(х -
B.4.28)
5(ж) + е-^<ж+« - 2ch [1S{x - i)] H(x -
B.4.29)
оригиналы которых имеют следующий вид:
-Н(х - О {Я [т + 7(з - О] - Я [т - 7(з - О]}), B-4.30)
(8 [г
-Н(х - ?) {5 [т +
8[т-
• B.4.31)
Подставляя эти функции в B.4.26) и B.4.27) и учитывая их носите-
носители, а также условие задачи, находим перемещения и напряжения:
и(х, г) = A - e"r sh х) Н(т - х) + е~х[Н(х -т)сЪт- Н(т)], B.4.32)
<7(ж, г) = -е~т ch хН(т -х)- е"ж[сЬ тН(х - т) - Н(т)\. B.4.33)
Рис. 2.4.1
Рис. 2.4.2
2.4] Распространение объемных возмущений в полубесконечной среде 55
Распределения перемещений и напряжений по координате и вре-
времени представлены на рисунках 2.4.1 и 2.4.2. На рис. 2.4.3 показана
зависимость напряжений от про-
пространственной координаты в раз-
различные моменты времени.
Пример 2.4.2. Определить
напряженно-деформированное со-
состояние упругого полупростран-
полупространства, у которого в начальный мо-
момент времени перемещения равны r>oJ 2 4 6 8\ 10/12 ч4 \6 18 20
(р(х) = хе ж/3, а скорости равны _о,4- ут = 5 уТ=\0 Vt = 15
нулю. Граница полупространства
неподвижна, массовые силы отсут- рис 243
ствуют. В расчетах положить 7 —
= Г}а=1.
Решение. В этом варианте формулы B.4.5) и B.4.6) имеют вид
оо
и(х,т) = [ С(ж,т; 0^@ d€> B.4.34)
о
оо
сг(ж,т) = \ Са(ж,т; 0^@ df- B.4.35)
о
Производные по времени от функций влияния находим, дифферен-
дифференцируя B.4.30) и B.4.31):
-Н(х - О {д [т + ф -Z)]-6[t- -г(х - О]}), B-4.36)
, т;?) = ^- (S1 [t + ф - i)] + 8'[т- j(x + 0] -
-Н(х - О {6' [т + ф - ?)] + д'[т- ф - 0]}> • B.4.37)
Подставляя эти функции в B.4.34) и B.4.35) и учитывая их носите-
носители, а также условие задачи, находим перемещения и напряжения
и(х, т) = \{
+ [{х - т)+е-(х~т^3 - (т - х)+е-(т~х^3}}, B.4.38)
56
и
0,8 .
0,4 .
0,0
-0,4 .
20
1
т
10 \~
о s"
Рис. 2.4.
Плоские
. 1—
10
X
4
__——•-
"^1520
волны
0,6
0,4
0,2
0,0
а
20\Ц
15 Ч3
т 5
И
q4o
Рис.
[Гл. 2
4
^^ ,5 20
X
2.4.5
т) +
B.4.39) Рис. 2.4.6
На рисунках 2.4.4 и 2.4.5 представлены распределения перемещений
и напряжений по координате и времени, а на рис. 2.4.6 — зависимости
напряжений от ж в различные моменты времени.
2.5. Граничные возмущения в упругом
плоском слое
Для оценки влияния второй границы вместо полупространства
в рамках одномерной задачи рассмотрим распространение возмущений
в плоском слое конечной толщины L, заполненном упругой однородной
изотропной средой. Задачу будем решать в безразмерной постанов-
постановке B.1.1), выбирая в качестве характерного линейного размера тол-
толщину слоя L. Прямоугольную декартову систему координат выберем
таким образом, чтобы ось Ох (х = Xi) была направлена перпендику-
перпендикулярно граничным (лицевым) плоскостям х = 0 и х = 1.
Сначала рассмотрим задачу о распространении граничных возму-
возмущений (см. гл. 1) от лицевых поверхностей слоя. Уравнения движения
и начальные условия для слоя, также как и для полупространства
имеют вид B.2.1) и B.2.2), напряжения определяются соотношения-
соотношениями B.1.6), а возможные граничные условия на лицевых плоскостях
задаются соотношениями B.3.3)—B.3.6). Остаются также справедливы-
справедливыми проведенные в § 2.3 рассуждения относительно независимости на-
начально-краевых задач для каждой из компонент вектора перемещения
и возможности использования граничных условий общего вида B.3.7).
2.5] Граничные возмущения в упругом плоском слое 57
Следовательно, для решения поставленной задачи достаточно иссле-
исследовать следующую начально-краевую задачу (ср. с B.3.8)—B.3.11),
)
1=0 l=0 72fi = *,**; B-5-1)
и\т=0 = 0, й\т=0=0; B.5.2)
(аои + /30^,ж)|ж=0 = Яо(т), {а\и + Piu^x)\x=1 = qi(r). B.5.3)
Эта задача может быть решена с помощью интегрального представ-
представления A.4.24), для применения которого необходимо знать объемную
функцию влияния (она построена в следующем параграфе). Однако
здесь удобнее использовать прямой путь, приводящий к точному реше-
решению. К задаче B.5.1)-B.5.3) применяем интегральное преобразование
Лапласа по времени г (все обозначения стандартные)
и% - 7V«L = 0; B.5.4)
(b?)| b (L?)|x=1 = «hb(e). B-5.5)
Общее решение уравнения B.5.4) имеет вид B.3.18). Удовлетво-
Удовлетворяя граничным условиям B.5.5), получаем систему линейных алгеб-
алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования C\{s)
и C2{s):
В = (M*)JX2 » bu(s) = аФ)^ ЬФ) = e{-1)j^sa2j(s), B.5.6)
Решая эту систему, получаем
с / ч _ ^
e7San(s)a22(s) - e7Sai2(s)a2i(s)
B.5.7)
^ / \ _ Qi (s)au(s) - q0 (s)a2i(s)e 1S
e' an(s)Q22(s)-e ai2(s)a2i(s)
Подставляя эти постоянные в B.3.18), после некоторых преобразо-
преобразований приходим к следующему результату:
<1) L L ^1) J B.5.8)
J,
58 Плоские волны [Гл. 2
д, v _ ai2(a)fl2i(a)
a11(s)a22(s)'
Так как lim R(s) = 1, то существует некоторое такое so, что в по-
s—>-оо
луплоскости Res > Reso выполняется неравенство |e~27S#(s) < 1.
Поэтому множитель перед фигурной скобкой в B.5.8) раскладывается
в равномерно сходящийся в этой полуплоскости ряд
1 1
a-27ns
Roon(s) = a22(s)Rn(s), Roin(s) = -a12(s)Rn(s),
Rion(s) = -a2i(s)Rn(s), R^ln(s) = оц(в)йп(в),
д Ы -
"l J~an
Используя это разложение, формулу B.5.9) запишем так
1 1 оо
uL(x, в) = Е Е Е «»Я?„(«)е-*«»(х), B-5.10)
j=0 г=0 п=0
где
B.5.11)
fcoin(^) = 7Bгг + 1 + ж), /сцп(ж) = 7Bгг + 1 - х).
Оригиналы каждого из членов ряда B.5.10) находим с использова-
использованием свойств преобразования Лапласа:
1 1 оо
«(я, г) = Е Е Е <Н [т - %«(*)] Н [т ~ *««(«)] * Ду„(т). B.5.12)
Для конечного момента времени г из-за носителя функций Хеви-
сайда ряд B.5.12) имеет конечное число ненулевых членов:
1 1 Nij(x,r)
и(х> T) = J2J2 J2 ЧЛТ - kijn(x)} H[r- kijn(x)} * Rijn(r).
B.5.13)
Здесь верхний предел суммирования Nij(x,r) определяется нера-
неравенством г — kijn(x) ^ 0 и при различных значениях индексов i и j
вычисляется следующим образом:
2.5] Граничные возмущения в упругом плоском слое 59
B.5.14)
где [ ¦ ] — целая часть числа.
Из сравнения соотношений B.5.13) и A.4.25) приходим к выводу,
что
1 Nijix.r)
GUj(x, t) = J2 J2 Rtjn \-T - kijn(x)} H[t- kijn(x)\
— поверхностные функция влияния для задачи B.5.1)-B.5.3), соответ-
соответствующие плоскостям х = 0 и х = 1 при j = 0 и j = 1.
При записи сверток в виде интегралов формула B.5.13) приобретает
следующий вид:
1 1 Nij(x,T)
Ф^) = ЕЕ Е H[r-kijn{x)} х
j=0 г=0 п=0
T~kijn(x)
х J qj[r-t- kijn(x)} Rijn(t) dt. B.5.15)
о
Для определения напряжений по формулам B.2.5) необходимо най-
найти производную и^х(х, г). Это удобнее сделать в пространстве изобра-
изображений по Лапласу. Дифференцируя B.5.10) по ж, получаем
uLx(x, a) = 7 Е Е (-l)i+1 E <7»Я?„(*)*е-*«»(х). B.5.16)
Тогда аналогично B.5.15) с использованием свойств преобразования
Лапласа находим
1 1 Nij(x,T)
иЛг)=7ЕЕ Е Н [т - kijn(x)} х
T~kijn(x)
х J 9i [r - t - kijn(x)} Rijn(t) dt, B.5.17)
о
где производная понимается в обобщенном смысле (см. приложение Б).
Для вычислений по формулам B.5.15) и B.5.17) необходимо знать
оригиналы функций дробно-рациональных функций R^n(s). При /Зо =
= Pi = 0, как следует из B.5.6), B.5.8), B.5.9) и B.5.11), имеют место
равенства
60 Плоские волны [Гл. 2
au(s) = ai2{s) = <2(ь 0,21 (s) = «22E) = ai,
, kOn() bn() ,
Оригиналы функций R^n(s) в этом случае пропорциональны дель-
дельта-функции Дирака (см. табл. В.2.1)
Яоо«(т) = -Я1Оп(т) = — ё(т), Д11п(т) = -Яо1„(т) = — 8(т).
OLQ Oil
B.5.19)
При fik ф 0 функции R^-n(s) имеют в точке Sk = otk/ G0fc) (no
индексу к суммирования нет) полюс порядка п + 1. Поскольку эта
дробь правильная, то в этом случае оригинал достаточно просто вы-
вычисляется с помощью теоремы о вычетах [51]. Однако, так как особые
точки существенно зависят от параметров граничных условий с^5 /3{
(г = 0,1), то имеем смысл находить оригиналы функций Rjjn(s) в каж-
каждой конкретной задаче.
Пример 2.5.1 (кинематическое возбуждение одной стороны
слоя). Определить перемещение и напряжение в упругом слое
единичной толщины, одна из границ которого неподвижно закреплена,
а нормальные перемещения другой стороны равны w(t). В начальный
момент слой находится в покое, массовые силы и изменение
температуры отсутствуют, 7 = Va — 1-
Решение. Условию примера соответствует граничные условия
Следовательно, в B.5.3) необходимо положить
<*о = 1, А, = 0, </о(т)=О, ai = l, /3i=0, <ц(т) = w(t),
B.5.21)
что в силу B.5.19) приводит к равенствам
т) = Дц„(т) = 6(т), Яо1„(т) = Rion(r) = -5(т). B.5.22)
Используя свойства дельта-функции, из B.5.15) находим перемеще-
перемещение
u(x,t) = J2(-1)W E w[T-kiln(x)]H[r-kiln(x)]. B.5.23)
г=0 п=0
Аналогично из B.2.5) при $ = 0 и B.5.17) получаем напряжение:
1 Nu(x,t)
°(х, г) = ? ? w[t- кц(х)] Н[т- кц(х)]. B.5.24)
г=0 п=0
Здесь учтено, что w@) = 0.
2.5]
Граничные возмущения в упругом плоском слое
61
На рисунках 2.5.1 и 2.5.2 представлены пространственно-временные
картины распространения кинематического краевого возмущения при
0,2
граничном условии w(t) = — A — е г)/3. На графиках четко просле-
прослеживается суперпозиция прямой и обратной (отраженной от закреплен-
закрепленного края) волн.
Пример 2.5.2 (динамическое возбуждение одной из границ слоя).
Исследовать напряженно-деформированное состояние упругого слоя
на лицевых поверхностях которого заданы следующие граничные усло-
условия:
и\х=0 = 0, <т
х=1
B.5.25)
Массовые силы и изменение температуры отсутствуют, *у = rja = 1.
Построить пространственно-временную зпюру распределения пере-
перемещений и(х, т) и напряжений сг(ж, г) при р(т) = PqH(t), ро = 0,1.
Решение. Граничные условия B.5.25) соответствуют следующим
параметрам начально-краевой задачи B.5.1)-B.5.3):
qo(r)=O,
ai=0,
B.5.26)
При этом в формулы B.5.15) и B.5.17) войдут только функции
Roin{T) и Riin{T)- Коэффициенты aij(s) и изображения функций
^oin(rM ^iin(r) B соответствии с B.5.6) и B.5.11) имеют вид
= -a2i(s) = s,
= a12(s) = 1,
Hlln(S) - -H01
Отсюда с использованием табл. В.2.1 получаем
т) = -До1„(т) = (-1)"Я(г),
B.5.27)
B.5.28)
62
Плоские волны
[Гл.2
что, согласно B.5.15), приводит к равенству
1 Nn(x,r) T-kiln{x)
u(x,r) = J2 ? (-l)n+iH[r-kiln(x)\ \ p[r-t-kiln(
п г» J
x)]dt.
г=0 п=0
B.5.29)
При р(т) = роН(т) эта формула преобразуется так (см. приложе-
приложение Б)
г=0 п=0
[ Н[т -t- kiln(x)]dt =
г=0 п=0
. B.5.30)
Для нахождения напряжения сг(ж,г) вычисляем производные
функций в B.5.28):
Яп«(т) = -Дош(г) = (-1)п^(г). B.5.31)
Тогда из B.2.5) при $ = 0 и B.5.17) с учетом свойств дельта-функции
получаем
1 ЛЫ*,т)
^(z5 г) = ? ? (-1)п+> [г - *и„(ж)] Я [г - *а„(ж)]. B.5.32)
При р(т) = PqH(t) формула для напряжения приобретает вид
{-l)n+iH[r-kiln{x)\.
B.5.33)
г=0 п=0
На рисунках 2.5.3 и 2.5.4 представлены пространственно-временные
картины распространения динамических возбуждений в упругом слое.
Рис. 2.5.3
Рис. 2.5.4
2.6] Распространение объемных возмущений в плоском слое 63
Как и в случае кинематического возбуждения, на графиках четко про-
прослеживается волновой характер процесса, связанный с суперпозицией
отраженных от краев слоя упругих волн.
2.6. Распространение объемных и начальных
возмущений в плоском слое
Построим решение задачи о распространении объемных и началь-
начальных возмущений в упругом слое (см. гл. 1). Все приведенные в § 2.3
рассуждения о расщеплении исходной задачи на подзадачи для каждой
компоненты вектора перемещений остаются справедливыми. Поэтому
рассмотрим следующую обобщенную начально-краевую задачу для
слоя:
<у2й = и,хх + F- B.6.1)
u\T=o = (f(x), й\Т=о = ф(х); B.6.2)
(аои + 0ои,х)\х=о = 0, (ащ + 0miX)\x=1 = 0. B.6.3)
Согласно A.4.4), A.4.15) и A.4.27) ее решение может быть построено
с помощью объемной функции влияния б?(ж,т; ?):
1 1 1
б?(ж, т; 0^@ d€ + [ G(xi r; f МО d€ » B.6.4)
о о -
где G(x, r; ?) — решение следующей задачи:
72G = С,жж + J(r)<У(ж - 0; B.6.5)
G|r=0=0, б|т=о=О; B.6.6)
(a0G + /3ОС,Ж)|Ж=О = 0, (aiG + /31С,ж)|ж=1 = 0. B.6.7)
Напрял<ения в соответствии с B.2.5) определяются следующим об-
образом:
1
J ' '
о
Р 1 1
'"О 0
64 Плоские волны [Гл. 2
Здесь бга(ж, т; ?) — функция влияния для напряжений, вычисляе-
вычисляемая по формуле B.4.11).
Для решения задачи B.б.5)-B.б.7) используем метод разделения
переменных Фурье (см. гл. 1). Искомую функцию представляем в виде
G(x,t;?) = X{x)T(t), B.6.9)
и, подставляя B.6.9) в соответствующее B.6.5) однородное уравнение,
разделяем переменные
у" т"
^ = v = -Л- B-6Л°)
В итоге получаем следующую задачу Штурма-Лиувилля для опре-
определения собственных функций:
X" + \2Х = 0; B.6.11)
(а0Х + 0оХ')\х=о = 0» (<*i* + Pi*')\x=i = °- B-6-12)
Уравнение B.6.11) соответствует следующим параметрам задачи
A.5.37):
ф) = р(х) = 1, Х(х) = 0. B.6.13)
При этом условия A.5.35), обеспечивающие свойства 1-5 задачи на
собственные значения, выполнены. Определим совокупность собствен-
собственных частот An ^ 0.
Решение уравнения B.6.11) при А > 0 имеет вид
Х(х) = С\ cos fix + C2 sin fix, B.6.14)
где ii = \/A .
Подставляя B.6.14) в граничные условия B.6.12), получаем систе-
систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных С\
и С2:
АС = 0, Ст = {Си С2), А = (ао-Jх2 ,
ац = ао? «12 = 00Ц, CL21 =OL1 COS fJL- 01 fJL Б1П fJL, B.6.15)
«22 = Oil Sin /i + 0ifJL COS /i.
В силу однородности системы B.6.15) для существования ее нетри-
нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы определитель мат-
матрицы системы равнялся нулю
det A = ao(ai sin /i + /3i/icos/i) — /i/3o(«i cos/i — /3i/isin /i) = 0.
B.6.16)
Сначала рассмотрим такой вариант граничных условий, что
+ (/З0/З1) ф 0. В этом случае уравнение B.6.16) приводится
2.6] Распространение объемных возмущений в плоском слое 65
к виду
[Pl3) B.6.17)
Правая часть уравнения B.6.17) является рациональной относи-
относительно ji функцией. Она стремится к нулю при ji —>• ±оо, а при /3o/3i ф О
и ? = — ol§ol\I (/З0/З1) ^ 0 имеет вертикальные асимптоты fi = ±д/С-
В силу периодичности тангенса это уравнение имеет счетное множество
корней fin. Кроме того, поскольку упомянутая рациональная функция
является нечетной, то корни уравнения обладают следующим свойст-
свойством:
/i_n = -/in, neN. B.6.18)
При ai/3o = «0/З1 имеет место частный случай уравнения B.6.17):
sin/i = 0. B.6.19)
Его корни имеют вид
11п = -кп (п = ±1,±2,...) B.6.20)
и, очевидно, также удовлетворяют равенству B.6.18).
Если (aoai) + (/З0/З1) = 0, то B.6.16) сводится к уравнению
cos/i = 0, B.6.21)
корнями которого являются числа
/*„ = тг (n - i) (neZ), B.6.22)
обладающие следующим свойством:
Mi-n = -Mn, n G TV. B.6.23)
Собственные функции (формы) для всех указанных вариантов на-
находим из первого уравнения в B.6.15). С точностью до постоянного
множителя они имеют вид
Хп(х) = aosin/inX - PoUnCos/inX. B.6.24)
Так как эти функции нечетные по /in, то в дальнейшем можно
ограничиться лишь случаем fin > 0.
При Л = 0 общее решение уравнения B.6.11) определяется так
Х(х) = d + C2x. B.6.25)
еет вид
B.6.26)
Система уравнений для определения постоянных С\ и Сч имеет вид
B.6.15), где
Определитель этой матрицы задается равенством
|A| = ao(ai+/3i)-ai/3o. B.6.27)
3 А. Г. Горшков и др.
66 Плоские волны [Гл. 2
Очевидно, существуют такие параметры граничных условий, при
которых определитель B.6.27) равен нулю, т. е. Л = 0 является собствен-
собственным значением. Таковыми, например, являются параметры ql$ = ol\ =
= 0, /Зо = /3i ф 0, соответствующие слою со свободными поверхностями.
В силу условия на параметры граничных условий в B.3.7) Rg^4 ^ 1,
и кратность (см. § 1.5) собственного значения Л = 0 не может быть
больше единицы. Соответствующая собственная функция с точностью
до постоянного множителя имеет вид
Хо{х)=/3о-аох. B.6.28)
Если собственные функции и собственные значения задачи
Штурма-Лиувилля B.6.17), B.6.24) найдены, то, согласно A.5.15),
A.5.16), решение задачи B.6.5)-B.6.7) и правую часть уравнения
B.6.5) представляем в виде рядов Фурье по системе собственных
функций:
G(x, т; ?) = ? Gn(r; t)Xn(x); B.6.29)
П
S(t)S(x - О = 6(т) ? ап(?)Хп(х). B.6.30)
П
При этом коэффициенты разложений Gn(r; ?) и ап(?) в соответ-
соответствии с A.5.33), A.5.16) и B.6.13) имеют вид
С" = ТЙ^' (G,Xn)=\G(x,rit)Xn(x)dx,
llAn|| ?
1
\\Xn\\2=jXl(x)dx, B.6.31)
0
{5(%Х) ^ff
lln|| Нп|| Нгг||
Подставляя B.6.31) в уравнение B.6.5) и учитывая B.6.11), полу-
получаем следующее уравнение:
nGn + 72Gn) Хп(х) = 6(т) ? ап@Хп(х), B.6.32)
которое в силу полноты (см. гл. 1) системы собственных функций
в Li ([0,1]; 1) эквивалентно бесконечной системе независимых обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений:
12Gn + ix2nGn=an{iM{r). B.6.33)
Подстановка ряда B.6.29) в B.6.6) приводит к однородным началь-
начальным условиям для каждого из уравнений B.6.33):
Gn\T=0=Gn =0. B.6.34)
т=0
2.6] Распространение объемных возмущений в плоском слое 67
Одним из способов решения начальной задачи B.6.33), B.6.34) яв-
является использование преобразования Лапласа по времени г (см. при-
приложение В). Учитывая свойства этого преобразования, получаем урав-
уравнение относительно изображения перемещения G^(s; ?):
7VG?(s; О + fxlGfa; ?) = «„(?), B.6.35)
решение которого имеет вид
Qn(«;fl= Л(_Р2- B.6.36)
Оригинал функции Gn(r; ?), а также ее производной по времени
&п(т; ?) находим, например, с помощью таблиц В.2.1 и В.2.2:
Go(r; 0 =
Gn(r; ?) = ^Н) я(г) sin a;nr, a;n = ^ (n G TV), B.6.38)
7A^n 7
где a;n — собственная частота (см. гл. 1).
При использовании формулы B.6.4) в случае ненулевых начальных
условий необходима производная по времени от функции влияния. Как
следует из B.6.29), B.6.37) и B.6.38), производная есть сумма ряда
G{x, т; О = ? ё„(т; ?)Хп{х) B.6.39)
П
со следующими коэффициентами:
Go(r; О = ао(?)Н(т); B.6.40)
Gn{r\ i) = ^ф-Н{т)cosujnr (n?N). B.6.41)
T
Функцию влияния для напряжений находим по формуле B.4.11) с ис-
использованием B.6.29) и B.6.24)
Go{x, т; ?) = ? Gn(r; ?)Х„п(х), B.6.42)
П
где
Хап(х) = —Х'п(х). B.6.43)
Производная по времени от этой функции определяется так
Ga{x, т; О = ? Gn(r; t)Xan(x), B.6.44)
П
Приведем наиболее часто встречающиеся сочетания граничных
условий в рассматриваемой здесь одномерной задаче для плоского
упругого слоя, соответствующие им уравнения для собственных значе-
значений, а также систему собственных чисел и форм.
68 Плоские волны [Гл. 2
A. Первая краевая задача (поверхности слоя неподвиж-
неподвижны): ао = а\ = 1, /Зо = Pi = 0. В этом случае, как следует из B.6.27),
все собственные значения положительны, определяются решениями
уравнения B.6.19) и, согласно B.6.20), имеют вид
/in = 7m (neN). B.6.45)
Система собственных функций, как вытекает из B.6.24), задается
равенством:
Хп(х) = sin finx. B.6.46)
Норма этих функций с учетом B.6.45) определяется так
(см. B.6.31)):
1
^1 B.6.47)
Б. Вторая краевая задача (поверхности слоя свободны
от нагрузки). Этому варианту соответствуют следующие параметры
граничных условий: ао = ai = 0, /Зо = /3i = 1- При этом, как следует
из B.6.27), |А| = 0, и, следовательно, Л = 0 является собственным
значением задачи. В качестве соответствующей собственной функции
в соответствии с B.6.28) можно взять
Х0(х) = 1. B.6.48)
Ненулевые собственные значения совпадают с собственными значе-
значениями первой краевой задачей (см. B.6.45)). Отвечающие им собствен-
собственные формы, как следует из B.6.24), можно выбрать такими
Хп(х) = cos/inz, neN. B.6.49)
Объединяя B.6.48) и B.6.49), получаем
Хп(х) = cos fj,nx (п е No). B.6.50)
Нормы этих функций с учетом B.6.45) имеют вид
1 1
||Х0||2 = J cte = I, ||Xn||2 = J cos2 цпх dx=1- (n e N). B.6.51)
о о
B. Третья краевая задача (вариант: поверхность х = 0
неподвижная, а поверхность х = 1 — свободна). В этом случае ао =
= /3i = 1, ai = /Зо = 0. Как следует из B.6.21) | А| ф 0 и, следовательно,
Л = 0 не является собственным значением.
Положительные собственные значения задачи определяются урав-
уравнением B.6.21) и имеют вид B.6.22). Соответствующая система соб-
собственных функций совпадает с системой B.6.46) для первой краевой
задачи, а квадрат нормы — с B.6.47).
Для других типов граничных условий система собственных частот
и форм может быть построена в каждом конкретном случае.
2.6] Распространение объемных возмущений в плоском слое 69
Рассмотрим пример на использование полученных соотношений.
Пример 2.6.1. Найти напряженно-деформированное состояние
упругого слоя единичной толщины с закрепленными лицевыми поверх-
поверхностями при отсутствии массовых сил и действии температурного поля
$(ж,т) = (l + х2/i) re~TH(r). В начальный момент времени возму-
возмущения отсутствуют, 7i = 1, Л = 1.
Решение. В этом варианте фиктивные массовые силы, действу-
действующие на слой, согласно B.1.1), имеют вид
F± = -Л^ = -хте~тН{т), F2 = FS = 0. B.6.52)
Cf X
В соответствии с условием примера начальные и граничные условия
однородные (см. B.2.2) и B.3.3); а = 1,2,3):
иа\т=0 = 0, па|г=0 = 0; B.6.53)
«а|х=0=0,«а|х=1=0. B.6.54)
Следовательно, отличны от нуля только перемещение и = и\ и на-
напряжение а = аи (см. § 2.2 и 2.3), которые определяются равенствами
B.6.4) и B.6.8) при
F = FU ^р = ф = О, rja = l. B.6.55)
Граничные условия B.6.54) соответствуют первой краевой задаче.
Поэтому система собственных частот и форм определяются соотноше-
соотношениями B.6.45)-B.6.47). Вычисляя предварительно по соответствующей
формуле в B.6.31) коэффициент
?^Sn?, B.6.56)
из B.6.29) и B.6.38) находим функцию влияния для перемещений (и)п =
= fjbn = тггг)
G(x, г; О = 2Я(т) J2 ?HL^ sin № sin finx. B.6.57)
n=l ^п
Подставляя B.6.57) в формулу B.6.4) при условиях B.6.55), полу-
получаем
г 1
и(х, т) = - [ [ G(x, ^, г - t^te'1 d?dt =
о о
= —2Н(т) ^2 — sm №пх te T sin Mn(r — i) dt \ ? sin jin^ d? =
n=l 0 0
oo
= -2Я(т) J2 bn(T) sin Mn^, B.6.58)
n=l
70
Плоские волны
[Гл.2
где
(-1)"
- 2/in cos fjbnr + A - /4) sin fin
Функцию влияния для напряжений строить не будем, поскольку
в данном случае напряжение удобнее найти непосредственно с исполь-
использованием равенства B.2.5), подстановка в которое B.6.58) приводит
к следующему результату:
Г
сг(ж,т) = uiX - 1? = - 2
L
) cos /лпх
1 + — I те г
#(т).
B.6.59)
Как следует из B.6.58), при температурном возбуждении упругого
слоя данного вида возникают незатухающие колебания перемещения.
Распределение напряжений носит более сложный характер. Соответ-
Соответствующие пространственно-временные картины представлены на ри-
рисунках 2.6.1 и 2.6.2.
Рис. 2.6.1
Рис. 2.6.2
2.7. Граничные температурные возмущения
в полуплоскости
В рамках несвязанной термоупругости с бесконечной скоростью
распространения тепла рассмотрим задачу об определении напряжен-
напряженно-деформированного состояния однородного изотропного полупро-
полупространства х\ = х > 0, на границе х = 0 которого задано изменение
температуры ^о(^) и отсутствуют напряжения. Массовые силы, теп-
тепловые источники, а также возмущения в начальный момент времени
в полупространстве отсутствуют.
Введем такую же прямоугольную декартову систему координат, как
и в § 2.3 и 2.4. В этом случае в механической части начально-краевой
задачи для полупространства необходимо положить Fa = —/
2.7] Граничные температурные возмущения в полуплоскости 71
и добавить к ней уравнение теплопроводности (А.2.35) (тг =0, q = 0,
сТ и Лт — коэффициенты теплоемкости и теплопроводности среды):
а также начальные
tf|t=0 = 0 B.7.2)
и граничные условия (г — длина радиуса-вектора)
0|х=о=1?о(*); <> = OA), r^+oo. B.7.3)
Поскольку граничные условия B.7.3) на плоскости х = 0 не зависят
от координат х<± и жз, то решение задачи B.7.1)-B.7.3) есть функция
только координаты х и времени: в = 6(x,t). Следовательно, F\ =
= —Адд/дх = Fi(x, ?), F2 = Fs = 0, и, как показано в § 2.3, отличными
от нуля будут только по одной компоненте вектора перемещения и\=и
и тензора напряжений сгц = а.
Положим в B.1.1) с* = с\ и введем дополнительно следующие без-
безразмерные параметры:
а = и—. , v0=To.
Далее, как и ранее, штрихи в обозначении безразмерных величин
опускаем.
Переходим теперь в B.7.1)-B.7.3) к безразмерным параметрам,
учитывая (см. B.2.5), где а = 1), что
<т = и,х-Л0, B.7.5)
и добавляя соотношения B.4.1), B.4.2), B.4.4) при F = — Л$5Ж, (р = ф =
= 0 и B.3.10) при а = 0, /3 = 1, q = A $|r=0- В результате приходим
к следующей плоской одномерной начально-краевой задаче (задаче для
полуплоскости):
а2д = д,хх, B.7.6)
и = и — А'д B.7.7)
<=0=0, й|т=0=0, B.7.9)
^|ж=0 = i?o(r), B.7.10)
1?(ж, г) = 0A), х -+ +оо, B.7.11)
(uiX - Ati)\x=0 = 0, и(х, т) = 0A), х -> +оо. B.7.12)
Ее решение можно построить с использованием результатов § 2.3
и 2.4. Для этого достаточно найти решение $(ж, г) независимой задачи
72 Плоские волны [Гл. 2
теплопроводности B.6.7), B.7.8), B.7.10), B.7.11). Однако во избежание
вычисления дополнительных сверток удобнее непосредственно строить
решение всей задачи B.6.7)-B.7.11).
В соответствии с формулой A.4.25) напряженно-деформированное
состояние термоупругой полуплоскости при произвольном поверхност-
поверхностном возбуждении #о(г) определяются так:
и(х, т) = GT(x, т) * 0о(т), а(х, т) = GT*(x, т) * t?o(т). B.7.13)
Здесь Gt(x,t) и Gt<t(x,t) — поверхностные функции влияния
(см. гл. 1). В соответствии с видом нагружения их также называют
температурными функциями влияния. Первая из них есть пере-
перемещение и, определяемое задачей B.7.б)-B.7.9), B.7.11), B.7.12)
и граничным условием
* Uo = S(t). B.7.14)
Функция Gj(r(x, т), согласно B.7.5), находится следующим образом:
= GT,x ~ Л0. B.7.15)
Для построения функций влияния используем преобразование Ла-
Лапласа по времени тис использованием табл. В.2.1 приходим к следу-
следующей задаче (все обозначения стандартные):
Кхх ~ а2гд = °5 B.7.16)
Gt,xx-s2G^=A$lx, B.7.17)
#L\X=O = h $L{x, s) = 0A), x -> +oo, B.7.18)
(С?|Я-Л0%=О = О, G#(*,*) = OA), x^+oo. B.7.19)
На первом этапе решаем температурную задачу B.7.16), B.7.18).
Общее решение уравнения B.7.16) имеет вид
tiL{x,s) = C1{s)e-ax^~s +C2{s)eax^~s, B.7.20)
где С\ и C<i — постоянные интегрирования, под л/s понимается та ветвь,
для которой Rey^s > 0.
Из граничных условий B.7.18) получаем, что C2(s) = 0, a Ci(s) = 1.
Следовательно,
dL{x,s) = e-ax^. B.7.21)
Подставляя это равенство в B.7.17) и B.7.19), приходим к следую-
следующей задаче относительно С^.(ж, s):
B.7.22)
B.7.23)
2.7] Граничные температурные возмущения в полуплоскости 73
Решение однородного уравнения, соответствующего B.7.22), имеет вид
G!j.0(x, «) = I>i(«)e-" + D2{s)exs, B.7.24)
где D\ и D<i — постоянные интегрирования.
Частное решение неоднородного уравнения B.7.22) представляем
так:
С?т*(я,*) = Ле~ах^, Л = const. B.7.25)
Подставляя B.7.25) в уравнение B.7.22), находим
А = Аа
^{s-a2)'
Следовательно, общее решение уравнения B.7.22) записывается
следующим образом:
= Di(e)e-*e + D2{s)exs + ^ ,Аа 2Ч е~ах^. B.7.26)
л/s [s — а)
Из условия ограниченности решения на бесконечности в B.7.23)
следует, что ^(s) = 0- Для удовлетворения граничным условиям при
х = 0 предварительно с использованием B.7.5) вычисляем изображение
напряжения:
С^(ж, з) = G^X- Ае~ах^ = -D^se- ^^
s — а
B.7.27)
Подставляя это выражение в соответствующее равенство в B.7.23),
находим
s - а
Тогда изображения функций влияния B.7.26) и B.7.27) окончатель-
окончательно принимают вид
Л / P~axVs \
G!f.(x, s) = -^ а—^ ~ e~sx
8-а- \ Vs )
Оригиналы первой из этих функций находим с помощью свойств
преобразования Лапласа и таблиц В.2.1, В.2.2:
GT(x, т) = Аеа2тН(т) * \-±=. ехр (~^) Н{т) - ё(х - тI =
-^ J-L ехр[а2(г - t) - ?Щ dt - ехр [а2(т - х)] Н(т -
B.7.29)
74 Плоские волны [Гл. 2
где учтены равенства
-1
-а-, ч »-« / B730)
ехр (-^Р\ Н(т),
аж / а2х2\ „, ч
ехр ( —^— 1 Н(т).
Выполняя в интеграле, входящем в B.7.29), замену переменной
интегрирования t = z2, с использованием таблиц [54] получаем
I 7г ехр [fl2(r "t] ~ Щ dt =2еа2т Iехр ("°2" Щ dz =
= 2e°2^{e°2»erf[a(z + ?)]+e-«2*eTf[a(z-^)]}\^ =
. B.7.31)
Здесь использованы следующие свойства интегралов вероятностей
erf х и erfc x [59]:
lim erf x = 1, erf (-ж) = - erf ж, erfc x = 1 - erf x. B.7.32)
ж—>+оо
Подставляя B.7.31) в B.7.29), приходим к следующему выражению
для функции влияния Gt(x,t):
i, s B.7.33)
Gr(x,т) = Aea^-*)[Я(т) - Н(т - х)],
«2(^) erfc [a (jF + ^
2.7] Граничные температурные возмущения в полуплоскости 75
Проводя аналогичные выкладки, из B.7.28) находим вторую функцию
влияния
GT(T(x,t) =
aV
= А \6(т - х) + <геа (т х)Н(т - х) —- ехр ( ) #(т)-
. B.7.34)
В интеграле, входящем в B.7.34), выполняем замену переменной
интегрирования t = z~2 и используем табличные интегралы [54]:
/11 \ ~гОО
О _А
e а ж erf а ( )\\ г =
LV2 zj\) -)=
V^ Г a2x г \ (Хл/т , 1 \\ _а2ж Г (
= -— <еах erfc a — \- —= 1-е erfc а
2 v
B.7.35)
В результате получаем
GT*(x, т) = Gar(x, т) + Gaal(x, т) + [Gas2(^, г) + GasS(x, г)] Я(г),
Г) — \ n p ^ ' rf (т" ф i it i ( ф t" i — А Д i т° т* i
Лот / я2т2\
-2(ж'т) = "г^^ ехР -^гг- ' B-7-36)
G/ ч Ла2 Г аЗСг+ж) г Г (Ху/т , 1
1 I L V l
Как правило, при проведении расчетов в конкретных задачах
по соотношениям B.7.13) свертки приходится вычислять численно.
Для этого необходимо знать особенности функций влияния б?т-(ж,г)
и СТа(ж,г). В формулах B.7.33) и B.7.36) слагаемые Gr(x,r)
и Саг(ж,г) являются ограниченными функциями, Gasi{x^r)
пропорциональна дельта-функции Дирака с носителем на прямой
г = ж, а функции Gs(x,t), Gas2(^,r) и Gasz(x,r) при х > 0 имеют
76
Плоские волны
[Гл.2
точку разрыва г = 0. При этом справедливы равенства (в первых двух
пределах использованы свойства интегралов вероятностей B.7.32),
а в третьем — правило Лопиталя г)):
lim G8(x,r) =0, lim
>+0 т>+
?,т)=Ла2еаЛ
B.7.37)
lim
lim
Лаж
lim -
2->- + ОО .
3/2
= 0.
Пример 2.7.1 (задача Даниловской 2)). Найти перемещение тер-
термоупругого полупространства при воздействии на его свободную по-
поверхность х = 0 внезапно приложенной температуры $о(т) = Н(т).
В расчетах принять Л = а = 1.
Решение. Из B.7.13) и B.7.33) при указанном в условии примера
законе изменения температуры на границе получаем
и(х, т) = [Gr(x, т) + G.(x, т)Я(т)] * Н(т) =
Г Г Г
= [ еь~х[1 - H(t - х)} dt + [ G8(x, t) dt = 1 - e~x + [ G8(x, t) dt.
0 0 0
B.7.38)
Последний интеграл находим численно с помощью известных квад-
квадратурных формул [59].
На рис. 2.7.1 представлена пространственно-временная зависимость
перемещения упругого полупространства и(х,т). Характерной ее осо-
особенностью является наличие прямой волны с фронтом х = т. Присут-
Присутствие этой волны приводит к тому, что находящиеся на фронте точки
смещаются в положительном направлении. В тоже время граница по-
полупространства перемещается в обратном направлении. Это иллюстри-
0,6
0,4 -
0,0 -
-0,4 -
-0,8 -
-1,2-
3
.! :; :: " ¦" ¦¦ .. ¦¦ :¦?>
о о
Рис. 2.7.1
0,4-
0,2-
-0,2-
-0,4-
-0,6-
-0,8-
и
т = 0,5
/у
/
и =1,5 ^^т = 2'°
^^
13 2,0 23 х
Рис. 2.7.2
]) Лопитпаль (L'Hopital G.F. А, 1661-1704) — французский математик.
) Даниловская В. И. Температурные напряжения в упругом полупростран-
полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагревания границы // ПММ,
1950. Т. 14, №3. - С. 316-318.
2.8] Возмущения в бесконечной вязкоупругой среде 77
рует и рис. 2.7.2, на котором представлено распределение перемещений
в упругой среде в характерные моменты времени. Аналогичный расчет
напряжений показывает, что на фронте волны функция сг(ж,т) имеет
разрыв первого рода (см. B.7.36) и B.7.37)).
Таким образом, наличие температурного поля в упругой среде при-
приводит к более сложной картине напряженно-деформированного состо-
состояния, чем в случае механических нагрузок.
2.8. Распространение возмущений в бесконечной
вязкоупругой среде
Для оценки влияния вязкости на волновой процесс в рамках поста-
постановки задачи § 2.2 рассмотрим распространение одномерных возмуще-
возмущений в направлении оси Ох\ в бесконечном вязкоупругом пространстве
при отсутствии температурного поля.
Дополнительно к B.1.1) введем следующие безразмерные пара-
параметры:
9 S' = ^-9 Ха=ч1еаМ' (а = 1,2,3),
7з = 72, ?i = ?, е2 = €3 = 1.
Здесь М и S — ядро релаксации (см. (А.2.1)) и его технический аналог
(см. (А.2.12)). Далее, как и ранее, штрихи в обозначениях безразмерных
величин опускаем. Тогда в соответствии с (А.4.11) уравнения B.2.1)
необходимо заменить следующими уравнениями движения ($ = 0):
llua = иаА1 - х* * mQ|ii + r]aFa (а = 1, 2, 3). B.8.2)
Начальные условия сохраняют вид B.2.2), а вместо физических соот-
соотношений B.1.6) в соответствии с (А.4.10) имеем равенства
<У\\ = ^1,1 - XI * ^1,Ь СГ22 = СГЗЗ = СГ23 = 0,
u2,i - Х2 * u2,i u3,i-X2*u3,i
°2 = 2 ? °3 — 2 •
B.8.3)
Безразмерные ядра Ми S, согласно (А.2.17), связаны между со-
собой так:
A + 1к)М + Ь^ М * S = | A - h2)S. B.8.4)
Так же, как и для упругой среды, движение, соответствующее и2 =
= щ = 0, является волной расширения-сжатия в смысле выполнения
равенств B.1.12), а при и\ = 0 в вязкоупругой среде имеют место две
волны сдвига (см. B.1.15) и B.1.16)). Кроме того, из B.8.2), B.2.2) и
B.8.3) следует, что в неограниченной вязкоупругой среде волны рас-
расширения-сжатия и сдвига распространяются независимо друг от дру-
78 Плоские волны [Гл. 2
га. Поэтому достаточно построить решение следующей задачи Коши
(х = хъ и = иа, а = сг1а, 7 = 7а, X = Ха, ? = ?<*, f = Farja):
"у2й = и^хх - х * и,хх + F, B.8.5)
и\т=0 = (р(х), й\т=о = ф(х). B.8.6)
Согласно A.4.4) и A.4.15) ее решение может быть представлено
в виде
и(х, т) = G(x, г) ** F(x, г) + 72 \G(x, г) * (р(х) + б?(ж, г) * ф(х)],
B.8.7)
а(х, т) = Ga(x, т) ** F(x, т) + 72 [<3*(х, т) * ф) + Ga(x, т) * ф(х)\.
B.8.8)
Здесь С(ж,т) — функция влияния для перемещений. Она удовле-
удовлетворяет следующей начальной задаче:
12G = G,xx - х * G,xx + S(t)S(x), B.8.9)
G|r=0 = 0, G|r=0 = 0. B.8.10)
Функция G(t{x,t) есть функция влияния для напряжений, она опре-
определяется следующим из B.8.3) выражением (см. также B.2.5)):
G«(x,t) = -i- [GtX(x,r) - х * G,x(x,t)] . B.8.11)
Vex
Для построения решения задачи B.8.9), B.8.10) применяем к ней
интегральные преобразования Фурье по пространственной координате
и Лапласа по времени. С использованием свойств этих преобразований
(см. приложение В) находим (все обозначения стандартные, Re у^ > 0)
GFL{q, а) = - к^8} -—, k(s) = Д B.8.12)
Применяя теперь указанные преобразования к B.8.11), получаем
изображение функции влияния для напряжения:
r]k (s) V q +j
(s) Va q +j s к (s)
Обращение преобразований проводим последовательно. Сначала с по-
помощью табл. В.1.2 определяем оригиналы функций влияния по Фурье:
GL{x, s) = У& е-т1*1*(') B.8.14)
G^(x,8) ^e-"\x\k^. B.8.15)
Для обращения преобразования Лапласа, прежде всего, вычис-
вычисляем оригинал функции ехр [—syk(s)}, где у = 7 \х\. С этой целью
2.8] Возмущения в бесконечной вязкоупругой среде 79
предварительно, используя B.8.4) и B.8.1), получаем связь функции
XL(S) с изображением SL(s) ядра S(r):
b0SL(s) и 3g О ~
7
С учетом этого выражения представляем функцию k(s) в B.8.12) таким
образом:
V^^sL() b2 = bl_bo. B.8Л7)
\Л + b2SL(s)
Для функции SL(s) точка s = 00 является нулем, что вытекает
из условий (А.2.15), которым должно удовлетворять ядро релаксации
5(т), и из свойств преобразования Лапласа:
lim SL(s)= lim s^-^ = lim \s(r)dr = 0. B.8.18)
s->-oo
0
Следовательно, функция &(s) раскладывается в равномерно схо-
сходящийся в некоторой полуплоскости Res ^ Resi ряд (используются
степенные ряды для функций A + zI'2 и A + z)~1'2)
V / — "^ 1V / "^ 2\ /? "/1\ / — / тп *-' \ / 5
т=1
fc2(,) = [^(S)]m*+l5:am+m,+1^(S)]m,
т=° B.8.19)
_ (-1)т \Bm-l)\\ _ Bт-3)!! т_х _ Bт - 3)!! _
k
где m* выбрано как минимальное из натуральных чисел, обеспечива-
обеспечивающее выполнение условия
lim sk2(s) =0, B.8.20)
s->-oo
что эквивалентно регулярности функции ехр [—s \x\k2(s)] при любом
действительном х в некоторой правой полуплоскости Res > Res2- От-
Отметим также, что
lim fci(s) = 0. B.8.21)
80 Плоские волны [Гл. 2
Далее будем полагать, что техническое ядро релаксации имеет вид
(А.2.16), что при введении дополнительных безразмерных параметров
(Л, а и /3 — физические характеристики материала)
А' = А (^У , /3' = ^ B.8.22)
приводит к следующему виду этого ядра:
S(t) = -^ е~Рт {1<а< 0). B.8.23)
Изображение этой функции находим с использованием табл. В.2.1
и свойств преобразования Лапласа:
где Г(г) — гамма-функция [54]. В этом случае
ill*. — Г Г "а — L / J ? I Z.o.ZO J
где [х] — целая часть числа х.
Записывая ехр [—syk(s)] в виде произведения
e-syk(s) _ e-(s+C)yk(s)eyCk(s) B.8.26)
и принимая во внимание B.8.19), каждый сомножитель в B.8.26) пред-
представляем так:
e-(s+C)yk(s) _ e-(s+C)y e-(e+/9)!/fci(e) e-(s+C)yk2(s) _ g-(
X
j=0 J' { rn=0
B.8.27)
pyk\S) ^ рРУ рК у L'"i V° J i n~A\°)\ ^ pH
Тогда окончательно получаем
esyk{s) = esVfL{yj g+ph
j=0 3'
rn=l
B.8.28)
OO / \
/2 B/5 s) = e e " = 2_^ агпг —
m=0 S
00 1 / _ дгпа+1 oo 4m\ °° 1 / °° 4m\A;
= ^ 7[ I a(ma+l)-l ^ ^^ J ^ j^j I ^ /^ s«"^ I 5
j=0J' \S m=0 ' k=0 ' ^ m=l '
2.8] Возмущения в бесконечной вязкоупругой среде 81
где коэффициенты ст(у) определяются правилами действия над сте-
степенными рядами.
Оригинал /2B/5 г) функции f^iv^s) находится достаточно просто
обращением каждого члена ряда с помощью табл. В.2.1. При про-
проведении конкретных вычислений сумма ряда заменяется частичной
суммой, число членов в которой определяется требуемой точностью вы-
вычислений. Определение оригинала функции fi(y, s) представляет са-
самостоятельную проблему, которую необходимо решать в соответствии
с конкретным значением показателя а. Оригинал /(?/,т) функции
fL(y, s) в общем случае может быть вычислен как свертка по времени
функций /1B/, г) и /2B/, т). В некоторых частных случаях удобнее
предварительно умножить ряд для /2LB/5s) на fi(y,s), а затем уже
производить почленное обращение.
Используя свойства преобразования Лапласа, окончательно ориги-
оригинал функции ехр [—syk(s)] запишем так:
) ф
- у), B.8.29)
что фактически решает задачу об определении функции влияния
G(T(x,r) по ее изображению B.8.15).
Оригинал функции GL(x,s) в B.8.14) находится аналогично с по-
помощью разложения:
= е-V(l/, s + /3)9gL(y9 s) = /fty, s)g^(y9 s),
B.8.30)
s) = k(s - /3)е-УЫ-П ехр {/9у[М* " 0) + k2{s - /3)]} =
OO
3=0
зЛ
m=0
' -УА™«-
^e(me+l)
d
ы
-]
m(»)
OO
m=(
\i 00 !
/ fc=0
m=l
где коэффициенты dm(y) определяются правилами действия над сте-
степенными рядами.
Пример 2.8.1. Найти функции влияния в одномерной задаче для
бесконечной вязкоупругой среды при а = 1/2. В расчетах принять: 7 =
= 1, г)а = 1, к = 0,333, А = 0,03, /3 = 0,05.
Решение. В этом случае Г(а) = л/тг [54], у = \х\, тпа =2и функ-
функции fi(x, s), /2L(#, s) и ^|"(ж, s) в B.8.28) и B.8.30) имеют следующий
вид:
82 Плоские волны [Гл. 2
/iL(^, *) = /?(*, *)/?(*, s) = B(x)e~^a^/^, B.8.31)
2^ m/2 ' <^2 1Ж5 5J - 2^ т/2 '
т=0 s m=0 s
Учитывая эти равенства, изображения функций влияния GL(x,s)
и С^(ж, s) в B.8.14) и B.8.15) представляем в виде рядов
1 оо
GL(x, a) = - B(x)e-*W ? dm{x)^+2{x, a + /3), B.8.32)
т=0
т=0
где
,nL (rf, Q\ — —a*\x\y/~s — л /оо ол\
Используя свойства преобразования Лапласа, из B.8.32) и B.8.33)
находим оригиналы функций влияния:
ш0
B.8.35)
оо
Щ В(х)Н(т - \х\)е-^-^ J2 Ст(Фт (х, г - \х\).
7П = 0
B.8.36)
Входящие в эти формулы оригиналы функций (р!^(х, s) определяем
по табл. В.2.2:
Vm{x,r) = ^= exp {-*f\ Dl.m (<±P) , B.8.37)
V21m V 8т / V 2 )
где Dv{x) — функция параболического цилиндра [54].
В частности, при m = 0,1, 2, 3 имеем (см. также табл. В.2.2)
г1/2 / а2х2\ (а \х\\ г ' ~2~2
-±= ехр —^— Do -^=t = + ехр
2.9]
Граничные возмущения в вязкоупругой среде
83
/
= ^- exp (-
Н(т) =erfc(^ Jtf(r),
B.8.38)
2т1
-^^J -а*|a:|erfc (v^Jя(т)-
exp
Отметим такл<е, что функции (рт(х,т) удовлетворяют рекуррент-
рекуррентному уравнению
^т+2(ж, г) = J (pm(x, т) dr {m e No). B.8.39)
о
На рис. 2.8.1 представлен пространственно-временной график
функции влияния С(ж,т) для вязкоупругой среды. Расчеты пока-
показывают, что достаточно ограничится одним членом ряда B.8.35).
На рис. 2.8.2 приведен построенный по формуле B.2.12) аналогичный
1,0
Рис. 2.8.1
Рис. 2.8.2
график для упругой среды. Сравнение этих результатов показывает
существенное их качественное различие, заключающееся, прежде
всего, в отсутствии и наличии разрывов на фронтах волн г = \х\.
2.9. Граничные возмущения в вязкоупругой среде
Сначала в рамках использованных в § 2.8 и 2.3 постановок задач
рассмотрим полупространство х\ ^ 0, занятое однородной изотропной
вязкоупругой средой. Его плоские движения определяются уравнени-
уравнениями B.8.2), а напряжения вычисляются по формулам B.8.3). Анало-
Аналогичные проведенным в начале § 2.3 рассуждения показывают, что все
возможные типы граничных условий на границе Х\ = 0 могут быть
записаны в одном общем виде B.3.7), где /Зо и /3i — операторы следу-
84 Плоские волны [Гл. 2
ющего вида:
0о = 0оо A - Хг*), 0i = 0ю A - Xj*) • B.9.1)
Здесь /Зоо и 0ю ~~ числовые коэффициенты, а звездочка, как и ранее,
обозначает свертку по времени.
Следовательно, так же, как и для упругой среды, достаточно по-
построить решение одной начально-краевой задачи относительно одной
компоненты и = Ui вектора перемещения (х = х\, 7 — 7а 5 F — 7а ^а5
Х = Ха;ср.сB.3.8)-B.3.11)):
<y2u = u,xx-x*u,xx + F, B.9.2)
= (р(х), u\T=0 = ip(x), B.9.3)
о + /Зо и,х\х=0 = qo(r), B.9.4)
и(х, г) = 0A), х -+ +оо. B.9.5)
Далее ограничимся задачей о распространении граничных возму-
возмущений, т.е. положим
F = 0, y> = 0, ^ = 0. B.9.6)
Применяя к B.9.2)-B.9.5) преобразование Лапласа по времени
с учетом B.9.6) и использованием свойств этого преобразования
(см. приложение В), получаем краевую задачу относительно изоб-
изображения перемещения (все обозначения стандартные; величина k(s)
определена в B.8.12))
uLxx-k2{s)j2s2uL =0, B.9.7)
uL(x,s) = 0A), ж-^+оо. B.9.9)
Общее решение уравнения B.9.7) имеет вид
uL = d(s)e-7sfc(s)a; + C2{s)e^sk<<s)x B.9.10)
где Сi и С2 — постоянные интегрирования.
Из условия B.9.9) следует, что C<i = 0. Другая постоянная находится
из граничного условия B.9.8)
с = *(.)#(.)
. B
aok(s) — S7P00
Следовательно, изображение перемещения определяется так:
". B.9.12)
2.9] Граничные возмущения в вязкоупругой среде 85
Используя соотношения B.8.3), находим изображение напряжения
B.9.13)
Отметим, что Gu(x^r) и Gua(x^r) являются поверхностными
функциями влияния (см. гл. 1). В пространстве оригиналов соотно-
соотношения B.9.12) и B.9.13) имеют вид B.3.12). Однако они практически
не используются, так как обращение преобразования Лапласа удобнее
проводить непосредственно для формул B.9.12) и B.9.13). Кроме то-
того, поскольку изображения перемещений и напряжений существенно
зависят от вида граничного условия, то проще вычислять оригиналы
для каждой конкретной задачи с использованием выражений B.8.19),
B.8.28)-B.8.30).
Пример 2.9.1 Найти напряженно-деформированное состояние
в вязкоупругой полуплоскости под действием приложенного на ее
границе давления р(т) = Н(т). В расчетах принять 7 — 1; Va — 15
к = 0,333; а = 1/2; Л = 0,03; /3 = 0,05.
Решение. В этом случае граничное условие B.9.4) имеет вид
сг|ж=0 = — Я(т), что соответствует а^ = 0, /Зоо = 1 и <7о"E) = —1/s.
Изображения перемещений и напряжений B.9.12) и B.9.13) в этом
случае аналогично B.8.32) и B.8.33) могут быть представлены в виде
рядов
L/ \i / \ — sx оо
^ S S m=0
B.9.14)
S m=0
B.9.15)
Входящие сюда функции определены в B.8.31) и B.8.34).
Используя свойства преобразования Лапласа и учитывая выраже-
выражения B.8.37) и B.8.38), из B.9.14) и B.9.15) получаем оригиналы пере-
перемещений и напряжений:
оо т~х
и(х, г) = Н(т - х)В(х) ? dm(x) J (г - t - x)e-^tiPrn+2{x, t) dt,
B.9.16)
oo T~x
J2 c
m=0
(x)
J
Результаты расчетов по формулам B.9.16) в виде пространствен-
пространственно-временных графиков перемещений и напряжений представлены на
рис. 2.9.1 и 2.9.2. Так же, как и в примере 2.8.1, при вычислениях
использованы только первые члены рядов. Для сравнения на рисунках
Плоские волны
[Гл.2
2.9.3 и 2.9.4 приведены соответствующие графики для упругой среды,
полученные с помощью алгоритма, приведенного в § 2.3.
Рис. 2.9.1
10
Рис. 2.9.2
Рис. 2.9.3
Перейдем теперь к задаче о распространении граничных возмуще-
возмущений в вязкоупругом слое конечной толщины @ ^ х ^ 1, см. также § 2.5).
Соответствующая начально-краевая задача определяется соответству-
соответствующими B.9.2) и B.9.3) однородными уравнениями и начальными усло-
условиями, граничным условием B.9.4) и условием на второй границе
uiX\x=1 = qx(r),
B.9.17)
где/31 =/Зю A - X*)-
Применяя к этой задаче преобразование Лапласа по времени с уче-
учетом B.9.6), приходим к краевой задаче, включающей в себя соотноше-
соотношения B.9.7), B.9.8) и изображение равенства B.9.17):
— Ufxlx=l
kJ(s)
B.9.18)
Подставляя общее решение B.9.10) в B.9.8) и B.9.18), получаем
систему линейных алгебраических уравнений относительно С\ и C<i->
решение которой имеет вид:
2.9] Граничные возмущения в вязкоупругой среде 87
С1 = Ш [Qo{*)Bi№kla) ~ Qt(s)B0(s)] ,
B.9.19)
С2 = -^ [k^ ]
где
Di(s) = aik(s) — s7/3i(b Bi(s) = aik(s) + sjPio (i = 0,1).
Тогда, учитывая дополнительно B.8.3), получаем следующие фор-
формулы для изображений перемещений и напряжений:
1
uL(x s) = ^GL(x s)a^(s)' B 9 21)
i=0
1
rrL(r q\ — X~* CL (v a\nL( a\ (9 Q 99^
Здесь
A(s) L
B.9.23)
, s) = -
— изображения поверхностных функций Gui{x,r) и Guai{x^T)-
Для обращения выражений B.9.21) и B.9.22) аналогично § 2.5 пред-
предварительно следует использовать разложения в ряды по экспонентам
(ср. с B.5.9)):
Здесь учтено, что lim й(з) = 1 и что существует такое so, при
»-юо
котором в полуплоскости Re s > Re sq справедливо неравенство
)
Плоские волны [Гл. 2
Далее оригиналы функций B.9.21) и B.9.22) удобнее вычислять
для каждой конкретной задачи с использованием выражений B.8.19)
и B.8.28)-B.8.30).
Пример 2.9.2. Найти напряженно-деформированное состояние
вязкоупругого слоя единичной толщины, одна из границ (х = 0) кото-
которого неподвижна, другая (х = 1) находится под действием давления
р(т) = Н(т). В расчетах принять 7 = 1; Va = 1,^ = 0,333; а = 1/2; Л =
= 0,03; /3 = 0,05.
Решение. В этом случае граничные условия B.9.4) и B.9.17) со-
соответственно имеют вид ^|ж=0 = 0 и сг|ж=1 = —Я(г), что соответствует
а0 = 1, /Зоо = 0, qo(s) =0, а\ = 0, /Зю = 1, q\{s) = —1/s,
B.9.26)
Во = Do = k(s), Вх = -Dx = s.
Тогда функции R(s) и Rn(s) в B.9.25) приобретают вид
Я(в) = -1, Rn(s) = ^r^- B.9.27)
Учитывая равенства B.9.26), B.9.27) и подставляя B.9.25) в B.9.21)
и B.9.22), находим изображения перемещения и напряжения:
) 1о Bп
п=0
1 °°
- Y"
Sn=0
oo
, B.9.28)
где Uq(x, s) и сг^ж, s) — определенные равенствами B.9.14) и B.9.15)
изображения перемещения и напряжения для полупространства.
Окончательно получаем
и(х, т) = J2 (^Г [М2п + 1 + ж, г) - ^0Bгг + 1 - ж, г)],
п=0 B.9.29)
оо
ст(ж, г) = J2 (~1)П koBn + 1 + ж, г) - сгоBгг + 1 - ж, г)],
п=0
где функции щ(х,т) и сго(ж,г) — перемещение и напряжение, задан-
заданные равенствами B.9.16).
2.9]
Граничные возмущения в вязкоупругой среде
89
На рисунках 2.9.5 и 2.9.6 представлены построенные с помощью
B.9.29) пространственно-временные графики перемещений и напряже-
«Ы0
Рис. 2.9.5
Рис. 2.9.6
ний для вязкоупругого слоя конечной толщины. Расчеты показывают,
что достаточно ограничиться первыми тремя членами рядов B.9.29).
Глава 3
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Здесь на примере изотермических или адиабатических процессов
в однородных изотропных упругих средах рассмотрим второй наиболее
распространенный тип одномерных задач (см. рис. 1.1.2) в сферической
системе координат г,/3,а (см. (А.4.41)) с ортами ег, е^, еа и цен-
центром О. Если u = u(r, ?), то такой процесс будем называть сферическим
движением, а в случае волнового процесса (см. гл. 1) — сферическими
волнами.
3.1. Структура сферических волн
В предположении о зависимости искомых функций только от од-
одной пространственной координаты — радиуса — уравнения движения
в перемещениях в соответствии с (А.4.48), (А.4.53), (А.4.55) имеют вид
(# = О, М = 0)
д иа
C.1.1)
где
д2 , 2 д
Отсюда следует, что для обеспечения независимости искомых функ-
функций от угла /3 необходимо положить
ир=иа=0, F^ = Fa=0, Fr = F(r,t). C.1.3)
Далее в дополнение к B.1.1), где следует положить {г, j} =
= {г, /3, а}, будем использовать следующие безразмерные параметры:
77' ^-Т'
3.1 ] Структура сферических волн 91
где ip и Ф\ — скалярные потенциалы вектора перемещений (А.2.24)
и массовых сил (А.2.27).
Во всех дальнейших выкладках, как и ранее, штрихи в обозначении
безразмерных параметров опустим.
При этом уравнения движения C.1.1) сводятся к одному уравне-
уравнению относительно ненулевой компоненты вектора перемещения и = иг
(точки обозначают дифференцирование по безразмерному времени г):
2и
72й = Д«зг -=f + F. C.1.5)
Г
А компоненты напряженно-деформированного состояния среды
в соответствии с (А.4.52)-(А.4.54) определяются так (запятой обозна-
обозначена производная по координате г):
- - —и — — —Пй—+2и-
,Г5 рр OLOL ^5 ГР Га POL ,Г ^
C.1.6)
Goto. — &вв — KU г + A + К)— — KCFrr + A — х)A + 2х) —,
Г Г
. 2>2Г _ п
СГГГ = и^г -\ U, СГГ/3 = СГга = (Т/За = U.
Поскольку напрял<ения сгаа — линейная комбинация агг и гл, то
далее везде достаточно определять только эти две последние величины.
Для изучения структуры сферических волн вместо уравнения
C.1.5) удобнее использовать уравнения движения упругой среды
в потенциалах (А.2.28) и (А.4.56). Причем в соответствии с C.1.3)
и (А.4.57) достаточно положить, что векторный потенциал \|f = 0.
Тогда уравнения (А.4.56) удовлетворяются тождественно, радиальное
перемещение определяется равенством
и = у>|Г, C.1.8)
а скалярный потенциал удовлетворяет уравнению
72</3 = Дзг^ + Фь C.1.9)
Рассмотрим случай отсутствия массовых сил: F = <I>i = 0. При этом
условии в уравнении C.1.9) делаем замену переменных:
C.1.10)
ф,)
В результате приходим к уравнению B.1.7) для плоских волн
72Х = Х,гг- C.1.11)
Тогда, подставляя B.1.8) при 71 — !•> ui — X в C.1.10), получаем
общее решение однородного уравнения C.1.9):
р(г, т) = I [F(t + 7г) + G(t - 7г)], C.1.12)
где F(?), G(?) — произвольные функции класса C2(R).
Сферические волны [Гл. 3
Таким образом, потенциал перемещений есть суперпозиция двух
сферических волн: прямой (расходящейся)
y1{r,T)=l-G{T-1r), C.1.13)
и обратной (сходящейся)
т) = ^(т + 7г), C.1.14)
распространяющихся соответственно в направлениях ег и —ег со ско-
скоростью 1/7 (ср. с плоскими волнами, § 1.1).
Наличие в названии волн прилагательного «сферические» вызвано
не столько использованной системой координат, сколько тем фактом,
что характеристики уравнения C.1.9) (фронты волн) г ± 7r = const
являются сферами.
Подставляя C.1.12) в C.1.8), находим, что перемещение также яв-
является суперпозицией расходящейся и\(г, т) и сходящейся ^(г, г) сфе-
сферических волн:
и(г, т) = ixi(г, г) + гх2(г, г), C.1.15)
где
иг(г, т) = -1- [7G'(r - 7г) + I G(r - 7r)] , C.1.16)
и2(г, т) = i [7F'(r + 7r) - i F(r + 7r)] . C.1.17)
Сферические волны являются волнами растяжения-сжатия (сфе-
(сферическими Р-волнами), так как в соответствии с C.1.6), C.1.15) и
(А.4.49), C.1.3)
0^0, \Cа = Кг = КC = 0. C.1.18)
Центр О сферической системы координат называется центром (ис-
(источником) сферической волны. Отметим, что в отличие от плоских
волн, сферические волны убывают обратно пропорционально расстоя-
расстоянию г от своего источника.
Покажем, что плоская продольная волна (см. § 1.1) является пре-
предельным случаем сферической волны. Для этого положим, что центр
сферических волн расположен на оси Ох прямоугольной декартовой
системы координат Oxyz в точке О\(—d,0,0), где d > 0. При этом в
C.1.16) и C.1.17) следует считать, что
г = у/(х + dJ + y2 + z2 . C.1.19)
Будем также считать, что в начальный момент времени фронты
волн проходят через точку О. Для расходящейся волны это соответ-
соответствует сдвигу времени на величину (—7d). Соответствующая волна
перемещений C.1.16) имеет вид
М1(г, г) = -- Ug'(t + 7d - 7r) + i G(t + -id - 7r)l . C.1.20)
r V r \
3.2] Сферические возмущения в неограниченной упругой среде 93
Кроме того, полагаем, что функция G(?) имеет вид G(?) = dG(?).
Вычисляя предел
,. /, ч ,. 2xd + х2 + у2 + z-
hm [а — г) = — hm = —ж,
^+ d->-+oo d + Г
получаем, что при удалении центра расходящейся сферической волны
в бесконечность она переходит в плоскую прямую волну (см. второе
слагаемое в B.1.8))
lim иг(г,т) = -<уб'(т-<ух). C.1.21)
Для сходящейся волны следует положить сдвиг времени равным jd.
Такая волна перемещений C.1.17) определяется так:
и2(г, т) = i [7F'(r - <yd + 7r) - i F(t - <yd + 7r)| . C.1.22)
При этом имеет место равенство
,. / ,ч ,. x + y + z + 2xd
hm (r — d) = hm = ж,
^>+oo d->-+oo Г + d
Считая, что F(?) = dF(^), получаем, что при удалении центра схо-
сходящейся сферической волны в бесконечность она переходит в плоскую
обратную волну (см. первое слагаемое в B.1.8))
lim u2{r,T)=jF'{T + jx). C.1.23)
3.2. Распространение сферических возмущений
в неограниченной упругой среде
Под сферическими возмущениями будем понимать объемные силы
указанного в C.1.3) вида и зависящие только от радиуса начальные
условия.
Соответствующая безразмерная задача Коши для уравнения C.1.5)
имеет вид
72ii = u^rr + -u,r- \u + F(r, r), C.2.1)
Г г
<=о = 4>{г), «|т=0 = Ф(г)- C-2.2)
В соответствии с A.4.4), A.4.15) и A.4.27) ее решение имеет инте-
интегральное представление:
оо
u(r,r)=\G(r,r; ?)*F(?,T)d? +
О
[ОО ОО -I
J G(r, r; ?)<p(?) d? + | G(r, r; ?)ф(?) d? , C.2.3)
о о ^
Сферические волны [Гл. 3
где G(r, т; ?) = и — функция влияния, которая удовлетворяет следу-
следующей задаче:
72G = G,rr + * G,r - 1 G + 6(тN(г - О, C.2.4)
Соответствующее представление для напряжений имеет вид
1
arr(r, т) = J Ga(r, г; О * F(?, т) ^ +
о
1 |
J l C.2.6)
где Gcr(r, r; ^) — функция влияния для напряжений, которая, согласно
C.1.7), определяется так
GCT(r,r; S) = G,r + ^G. C.2.7)
Введение новой функции
Z(r,r; 0 = G(r,r; Ov^ C-2.8)
приводит C.2.4) и C.2.5) к следующим соотношениям:
72Z = Z rr + i Z r - -^ Z = V?S{T)S(r - 0, C.2.9)
Z|t=o = 0,z|t=o=0. C.2.10)
К задаче C.2.9), C.2.10) применяем интегральное преобразование
Лапласа по времени т (s — параметр, значком «L» обозначена транс-
трансформанта Лапласа) и преобразование Ханкеля х) порядка v = 3/2 по
координате г (q — параметр, значком «Я» обозначена трансформанта
Ханкеля; см. приложение В):
Изображение правой части уравнения C.2.9) найдено с помощью
табл. В.3.1.
Решение алгебраического уравнения C.2.11) определяется так:
C.2.12)
]) Ханкель (Hankel G., 1839-1873) — немецкий математик.
3.2]
Сферические возмущения в неограниченной упругой среде
95
Оригинал этой функции находим с помощью последовательного
обращения преобразований. Сначала вычисляем оригинал по Лапласу
(см. табл. В.2.2)
C.2.13)
Обращение преобразования Ханкеля проводим с использованием
табл. В.3.2:
C.2.14)
где Р\{х) = х — многочлен Лежандра г) первой степени [54].
На рис. 3.2.1 представлена про-
пространственно-временная зависи-
зависимость функции влияния при 7 = 15
? = 1. На графике четко просле-
прослеживается волновой характер ре-
решения и явление отражения схо-
сходящейся волны при г = 1 от цен-
центра системы координат. Послед-
Последняя является в некотором смысле
граничной точкой для рассматри-
рассматриваемой области изменения коорди-
координаты г.
Соответствующую функцию влияния для напряжений находим,
подставляя C.2.14) в C.2.7):
Рис. 3.2.1
+г
— гM (г — \г — ,
C.2.15)
Для использования формул C.2.3) и C.2.6) при ненулевых началь-
начальных условиях, кроме C.2.14) и C.2.15), необходимо иметь производную
]) Лежандр (Legendre A.M., 1752-1833) — французский математик.
Сферические волны [Гл. 3
от функций влияния по времени:
^ + ^ " r2] (S(r-\r-t\)-6(T-r- О) -
2т (Я (г - \г - ?\) -Н(т-г- О)}; C.2.16)
г; ^ = -^ { 7A" к) [н {т ~|г" ^ " я(г "г ~ 0] +
+2 [хг2 - A - к) [е - 4)+ 7sign (r" °]6{т ~
7
г"
7- ' -"
C.2.17)
Рассмотрим пример на использование полученных зависимостей.
Пример 3.2.1. Полагая, что в начальный момент времени име-
имеет место невозмущенное состояние, определить перемещение и(г, т)
в упругой среде под действием массовых сил F(r, г) = гте~г~т. В рас-
расчетах принять, что материал среды — гранит: ^ = 1, х = 0,143.
Решение. Из C.2.3) при ср = ф = 0 находим интегральное пред-
представление перемещений:
ОО ТОО
и(г, т) = [ G(r, г; ?) * F(?, r) d? = f f б?(г, т - t\ ?)?ге~^~1 d? dt,
о оо
C.2.18)
Пределы интегрирования в C.2.18) расставляем с учетом носителя
функции G(r,r; ?) в C.2.14):
1 Г 3 1
и(г, т) = -^ Н(т -г) У Ц{г, т) + Н(г - r)J{r, т) , C.2.19)
4r I ,tl I
где
г r+r-t
/i(r,r) = J te'1 di
т-г г-т+t
C.2.20)
T — r r-\-r — t
h{r,r) = J te^di
о о
3.2] Сферические возмущения в неограниченной упругой среде 97
т—г т—t—r
h(r,r) = - J te~f (
о
г+т-t
«(
J(r, г) = [ te-* dt [ [г2 + ?2 - (т - tf] te'Z d?.
О r-r+t
Вычисляя интегралы C.2.20), окончательно получаем
г, т) = -\ \ег~т X: ак(г)тк + e~r~T ^ ck(r)rk] Н{т - г)
где
T J2 ck(r)rk - er~r j: bk(r)Tk] H(r - r)l, C.2.21)
ao(r) = -^ [2r5 - 6r4 + 12r3 - 24r2 - 30A - r)}_ ,
fll(r) = ^ [2r4 - 5r3 + 9r2 + 15A - r)}_ ,
a2(r) = -i [r3-2r2- 3A -r)],
a3(r) = — [2r2 + 3A - r)] , a4(r) = ^- A - r),
60(r) = -^ [2r3 + 8r2 + 15A + r)]_ ,
*iW = I [2^2 + 5A + r)}_ , 62(r) = -i A + r),
C2(r) = -i [r3 + 2r2 + 3(l
10 r
15
20
Рис. 3.2.2
На рис. 3.2.2 представлена вычисленная по формуле C.2.21) про-
пространственно-временная зависимость перемещения и(г,т).
4 А. Г. Горшков и др.
Сферические волны [Гл. 3
3.3. Распространение граничных возмущений
от сферической полости
Исследуем распространение сферических волн в занятой однород-
однородной изотропной упругой средой полуограниченной области в виде про-
пространства со сферической полостью радиуса R. При этом в безразмер-
безразмерных параметрах B.1.1) и C.1.4) положим L = R.
В этом параграфе рассмотрим задачу о распространении граничных
возмущений (см. гл. 1), которые для обеспечения сферической симмет-
симметрии должны быть равномерно распределены по поверхности полости.
Уравнения движения C.2.1) и начальные условия C.2.2) в данном
случае являются однородными:
еу еу
J2U = Utrr + - U>r + -^ U, C.3.1)
«lr=0=0»«lr=0=°- C-3-2)
Граничные условия на поверхности полости аналогично B.3.10)
записываем в обобщенном виде (различные варианты условий опреде-
определяются значениями постоянных а и /3)
(ам + /9м|Г)|г=1 = д(т). C.3.3)
На бесконечности ставится условие ограниченности решения
(см. гл. 1)
гх(г,т) = 0A), г-^оо. C.3.4)
Как следует из A.4.25), соответствующие задаче C.3.1)-C.3.4) пе-
перемещения и напряжения могут быть записаны в виде
и(г, т)=\ б?п(г, т - t)q(t) dt, crrr(r, r) = J Gu*{r, т - t)q(t) dt,
о о
C.3.5)
Здесь Gn(r,r) = и и Gn<r(riT) — arr — поверхностные функции
влияния. Причем Gu(r,T) определяется уравнениями C.3.1), услови-
условиями C.3.2), C.3.4) и граничным условием на поверхности полости со
специальной правой частью в виде дельта-функции Дирака
\r=1 = S(T), C.3.6)
а (?п<т(^т) — следующим из C.1.7) соответствующим соотношением
GnAr,T) = Gn,r + ^Gn. C.3.7)
Для построения функций влияния применяем к задаче C.3.1),
C.3.2), C.3.4), C.3.6) преобразование Лапласа по времени г (все обо-
обозначения стандартные):
\ (s2 ~V)Gh= 0, C.3.8)
3.3] Распространение граничных возмущений от сферической полости 99
b^r)\r=1 = h C.3.9)
G?(r,s) = 0A), г-^оо. C.3.10)
Общее решение уравнения C.3.8) имеет вид [53]:
Gh(r, ») = -j; [Ci{s)KV2{irs) + C2(s)I3/2(irs)} , C.3.11)
где Ci(s) и 62E) — постоянные интегрирования, /^(z) и Kv{z) —
модифицированные функции Бесселя г) порядка v первого и второго
рода соответственно.
Учитывая асимптотические представления модифицированных
функций Бесселя (I^(z) неограниченна, a Kv(z) ограничена на
бесконечности),
Ж J C.3.12)
v{), и{)
V27TZ
из условия C.3.10) получаем, что С<± = 0 и
Gh(r,s) = ^K3/2(irs). C.3.13)
Дополнительно вычисляем производную от этой функции:
GhAr, s) = -^ [2K3/2(irs) + АГ1/2Gгв)] • C.3.14)
Г
Здесь использована рекуррентная формула [53]
K'u(z) = ~Kl/(z)-Kv-1(z). C.3.15)
Учитывая C.3.13) и C.3.14), из граничного условия C.3.9) опреде-
определяем постоянную С\ и находим изображение перемещения
^ - PzK1/2(z).
C.3.16)
Изображение функции Gnff(r,r) находим с помощью форму-
формулы C.3.7)
пь (гг^\_ 2A - >c)Ks/2(jrs) + jrsK1/2(jrs) foo-^
г ' N(js)
Для вычисления оригиналов этих функций воспользуемся связью
модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса с злементар-
]) Бессель (Bessel F. W., 1784-1840) — немецкий математик и астроном.
4*
100 Сферические волны [Гл. 3
ными функциями [53] (п = 0,1, 2, . . .):
n+1/2
(-z) - e-zRnO(z)]_ C.3.18)
n-k, Ank= {п^Цк @<*<n),
4 , — о (к <г П &^гИ
^п/г — и ^л v. и, гь ^ ft).
В частности, при п = 0 и п = 1 для функции второго рода имеем
~*(* + 1). C.3.19)
Тогда, подставляя C.3.19) в C.3.16) и C.3.17), после несложных
преобразований получаем следующие выражения для изображений
функций влияния:
C.3.20)
где
; a, /3) = /3^2 + B/3 - а)(г + 1), C_3_
P2(«) = Qi(z; 2x, 1) = z2 + 2A - x)(« + 1).
Оригиналы функций влияния находим из C.3.20) с использованием
свойств преобразования Лапласа:
Gu(r,т) = -\ Ru [г,т-ф- 1)] Н[т- 7(г - 1)], C.3.22)
Г
СпЛг, t) = \rv [г, т - 7(г - 1)] Н[т- 7(г - 1)], C.3.23)
Функции Ru(r, s) и R%(r, s) являются дробно-рациональными. По-
Поэтому их оригиналы Ru(r,r) и Ra(r,r) находятся достаточно просто
с помощью теории вычетов [51]. Необходимо только отметить, что дробь
Ru (r5 s) ПРИ /3^0 является правильной, а /3 = 0 — неправильной (степе-
(степени числителя и знаменателя совпадают). Дробь Д^(г, s) неправильная,
3.3] Распространение граничных возмущений от сферической полости 101
причем при /3 ф 0 степень ее числителя равна степени знаменателя,
а при /3 = 0 первая больше второй на единицу. В случаях неправильных
дробей перед применением теории вычетов необходимо провести про-
процедуру выделения целых частей, которые в пространстве оригиналов
соответствуют слагаемым, пропорциональным дельта-функции Дира-
Дирака S(t) и, быть может, ее производной 5f(r) (см. табл. В.1). Конкретный
вид оригиналов Ru(r,r) и Ra{r^r) существенным образом зависит от
параметров граничных условий а и /3. Поэтому обращение соотноше-
соотношений C.3.20) удобнее проводить в каждой конкретной задаче.
Рассмотрим пример использования соотношений C.3.22) и C.3.23).
Пример 3.3.1. Найти радиальные перемещения и напряжения
в упругой среде со сферической полостью радиуса г = 1, на поверх-
поверхности которой задано радиальное напряжение: crrr\r=1 = q(r). Мас-
Массовые силы отсутствуют, начальные условия однородные. Построить
пространственно-временные зависимости перемещений и напряжений
при q(r) = -ро#(т), р0 = 1, 7 = 1; к = 0Д43.
Решение. Заданным условиям на поверхности полости отвечают
параметры а = 2х, /3 = 1 (см. C.1.7) и C.3.3)), многочлен
Q2(z; a,/3) = P2(z) C.3.24)
в C.3.21) и следующие дробно-рациональные функции R^(r,s)
иЯ?г(г,*)вC.3.21):
Я?(г,*) = ^M, C.3.25)
C.3.26)
Так как для всех известных сред Л, /i > 0, то, согласно B.1.1), 0 <
< к < 1. Следовательно, нули многочлена /^(z) являются комплексно-
сопряженными и соответственно простыми:
Р2(?12) = 0, 2ij2 = -a±icj, а = 1-к, uj = \/l - к1. C.3.27)
Для вычисления оригиналов функций Я^(г, s) и R^(r, s) использу-
используем формулы обращения преобразования Лапласа (см. приложение В)
и вычисления вычетов в простом полюсе (теорему разложения, [51]),
а также табл. В.1:
^±^, C.3.28)
, т) = гЧ{т) + 4A - я)A - г) Re %^ е^. C.3.29)
Учитывая, что P^iz) — 2(z — >с-\-1), а также значения нулей C.3.27),
после несложных преобразований находим
Ru(r,r) = е~ат (гсовит+^—^втит) , C.3.30)
102 Сферические волны [Гл. 3
Ra(r, т) = Ras(r, т) + Да0(г, г),
R*s(r,T) =г25(т), C.3.31)
Яао(^5 т) = ~ [го; cos ujt + A + г к) sin ujt] .
Функции влияния Gn(^5r) и Сп(т(г,т) определяются соотноше-
соотношениями C.3.22) и C.3.23). Для вычисления радиальных перемещений
и напряжений при заданной поверхностной нагрузке q(r) = —р0Н(т)
используем равенства C.3.5):
г, г) = -р0 Gu(r, t)dt= Щ Ru(r, t-r + l)H(t -r + l)dt =
J r J
о о
Po
r2
r-1
т
f Ru(r,t-r + l)dt, C.3.32)
= -^ 1 + ^2 J R*o(r,
L r
о L r_1
C.3.33)
Вычисляя интегралы в C.3.32) и C.3.33), окончательно получаем
и(г,т) = Р°_ Я(т - г
I /1 - x2Br-l) , , 14 , , ,-
X Sin UJ(T — Г + 1) — COS UJ(T — Г + 1
C.3.34)
_L#(r-r + l)x
х ^г2A + х) + A - r){e-a(r-r+1)[o;(l - г) sina;(r - г + 1)-
-A + r)(l + x) cosa;(r - г + 1)]| + A + г)A + х)^. C.3.35)
3.3] Распространение граничных возмущений от сферической полости 103
На рисунках 3.3.1 и 3.3.2 представлены пространственно-временные
распределения функций и(г,т) и сггг(г, т). Зависимости указанных
3,0 0,0
Рис. 3.3.1
12 3 4 5 6 7т
Рис. 3.3.2
функций от времени г при г = 1, г = 2, г = 3 изображены на ри-
рисунках 3.3.3 и 3.3.4. Как следует из соотношений C.3.34) и C.3.35)
перемещения затухают при г —> оо как г~2, а напряжения — как г.
При этом на графиках отчетливо прослеживается волновой характер
распространения возмущений. Фронтом волны в данном случае явля-
является сфера переменного радиуса г = т + 1.
г=\
Рис. 3.3.3
12 3 4 5 6 7 8
Рис. 3.3.4
Для проверки результатов в данном примере найдем статические
значения перемещения ист(г) и напряжения сгст(г) как пределы соот-
соответственно и(г,т) и сггг(г, г) при стремящемся к бесконечности вре-
времени. Удобнее это сделать с помощью теорем о предельных переходах
для преобразования Лапласа [51].
Сначала, учитывая, что qL(s) = —Po/s (см. табл. В.2.1) и исполь-
используя свойства преобразования Лапласа (см. приложение В), из C.3.5),
C.3.20) и C.3.25) записываем изображения перемещения и напряже-
ePa(*)'
sP2(s)'
C.3.36)
104 Сферические волны [Гл. 3
Отсюда, принимая во внимание формулы для многочленов в
C.3.21), получаем
ист(г) =
= lim u(r, т) = lim suL(r, s) = ^ lim , ' e~s^r~1^ = —^-^ ,
т—>-оо s—>-0 r s—>-0 r2(s) 2r"(l — >zr)
^ст(^) = lim сггг(г^т) = lim sa^r(r^s) = C.3.37)
t—>-oo
r3 s^o P2(e) r3 '
Например, при р0 = 1 на поверхности полости г = 1 для напряжений
имеем сгстA) = — 1, что полностью совпадает с граничным условием
(ср. также с рис. 3.3.4). Для перемещений при к = 0,143 получаем
^стA) = 0,583, что соответствует горизонтальной асимптоте для гра-
графика ггA, г) на рис. 3.3.3.
Упражнение 3.3.1. Построить поверхностные функции влияния
для упругой среды со сферической полостью, на поверхности которой
задано радиальное перемещение.
3.4. Объемные и начальные возмущения
в пространстве со сферической полостью
С использованием обозначений предыдущего параграфа исследу-
исследуем процесс распространения сферических волн в находящемся в поле
массовых сил F(r,r) пространстве со сферической полостью радиу-
радиуса R при ненулевых начальных условиях. Соответствующая начально-
краевая задача образуется уравнениями движения C.1.1), начальными
условиями C.1.2), однородными граничными условиями на поверхно-
поверхности полости C.3.3) и условиями на бесконечности C.3.4):
7 и — ujrr ^и^г ^и , { • • )
и\ _п = <?"(г), й\ _п = ^(г), C.4.2)
аи + putr)\r=1 = 0, C.4.3)
и(г, т) = 0A), г ^ оо. C.4.4)
Как следует из A.4.4), A.4.15) и A.4.27) соответствующие задаче
C.4.1)—C.4.4) перемещения и напряжения могут быть записаны в виде
ОО
г
и(г,т) = G(r,T; ?)*^Л??Г)^? +
1
[ОО ОО -[
1 1
3.4] Объемные возмущения в пространстве со сферической полостью 105
р ОО
2
, r; 0^@ ^ • C.4.5)
Здесь G(r, т; ?) = гл и Ga(r, т; ?) = агг — объемные функции влияния.
Причем G(r,r; ?) определяется условиями C.4.3), C.4.4), уравнением
C.4.1) с правой частью в виде дельта-функции Дирака и однородными
начальными условиями C.4.2):
72G = G гг + - G г - \ G + д(т)д(г - 0, C.4.6)
Г г
G\T=0 = О, G =0, C.4.7)
a Ga(r, r; ^) — соотношением в C.2.7).
Для построения функций влияния аналогично § 2.3 применяем к за-
задаче C.4.3), C.4.4), C.4.6), C.4.7) преобразование Лапласа по времени г
(все обозначения стандартные):
\)L = S(r - 0, C-4.8)
|r1=0, C.4.9)
GL(r,s) = O(l), r->oo. C.4.10)
Общее решение уравнения C.4.8) имеет вид [53] (см. также C.3.11)):
GL(r, s;O = ^r [Ci(e)tf3/2G") + C2(s)/3/2G")] + G,L(r, s; 0-
C.4.11)
Здесь G^(r, s; ^) — частное решение неоднородного уравнения. Для
его нахождения используем метод вариации произвольных постоян-
постоянных. Полагая
G^(r, s;O = ^r [Di(r)K3/2(irs) + D2(r)/3/2G")] , C.4.12)
находим, что производные функций D\(r) и D2(r) удовлетворяют сле-
следующей системе линейных алгебраических уравнений (? = )
106
Сферические волны
[Гл. 3
Вычисляя ее определитель (W [А'^
системы функций /<,(СК Kv(C) [59])
= С — вронскиан г)
д =
/3/2(С)
3/2
СГ3/2(С)
= -L, C-4.14)
и используя правило Крамера 2), получаем решение этой системы:
D[(r) = -S(r - Ог3/2/з/2G^), ОД = 6(r - 0r3
C.4.15)
Интегрируя C.4.15), находим функции D\(r) и D2(r) (см. прило-
приложение Б; в правых частях каждого из равенств указана только одна
первообразная):
Ог(г) = - j S(r - Z)r3>2h/2(irs) dr = -e'2h,2{lis)H{r - ?),
C.4.16)
D2(r) = \S(r- Or3/2K3/2(irs) dr = е/2Кз/2Ы8)Н(г - 0-
Подставляя теперь C.4.16) в C.4.12), получаем частное решение
,3/2
Н(г - ?). C.4.17)
Окончательно из C.4.11) и C.4.16) находим
GL(r, а; О = -^ { [die) - е/21з/2Ыв)Н(г - о] K3/2Grs)+
+ [C2(s) + е/2К3/2Ы8)Н(г - О] 13/2Ыз)} . C.4.18)
Учитывая свойства C.3.12) модифицированных функций Бесселя,
из условия C.4.4) получаем (в C.4.18) г > ?, так как г —> ос)
C2(s) = -
C.4.19)
1) Вронский (Wronski U., 1776-1853) — польский математик.
2) Крамер (Cramer G., 1704-1752) — швейцарский математик.
3.4] Объемные возмущения в пространстве со сферической полостью 107
и
GL(r, s; О = -L-
е/2 - Н(г - ?)]} • C.4.20)
Для определения C\(s) с использованием C.3.15) и формулы [53]
v(z) + Iv-1(z), C.4.21)
Z
вычисляем производную
[2/3/2Grs) - jrsI1/2(jrs)} [I - H(r -
C.4.22)
и из граничного условия C.4.3) с учетом C.4.20), C.4.21) и неравенства
? > 1 получаем (функция N(z) определена соответствующим равен-
равенством в C.3.16))
i7^) ¦ C-4.23)
Подставляя это равенство в C.4.20), находим
>3/2
%f^ / }, C.4.24)
где
/?„(«, у) = Kv{x)Iv{y) - Iv{x)Kv{y),
C.4.25)
?7|/(ж,у) = /С|/(ж)/|/_1(у) + /|/(ж)/С|/_1(у).
Изображение функции Ga(r,r; ^) находим с помощью формул
C.1.7) аналогично C.3.17):
G?(r,s; 0 =
108 Сферические волны [Гл. 3
[2A - *г)?7з/2Gгв, 7e) - 7i/2G«, 7™)] } ^(^^ +
C-4-26)
+ [2A - x)D3/2Grs, its) + jrsE3/2{jrs, 7^)] Я(г - ?) У
С помощью C.3.19), а также следующих из C.3.18) формул для
функции Бесселя первого рода
I1/2(z) = -J= (е* + в"*) , /3/2(s) = -=L= [ez{z - 1) + e"*(s + 1I
v2-kz V2ttz3
C.4.27)
функции C.4.24) и C.4.26) представляются в виде суммы рациональ-
рациональных функций, умноженных на экспоненты. Последующее обращение
преобразования Лапласа проводится с помощью вычетов. Однако эту
операцию удобнее проводить для каждого конкретного случая гранич-
граничных условий на поверхности сферической полости г = 1.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся виды граничных усло-
условий. При этом ограничимся нахождением функции влияния G(r, т; ?).
Пример 3.4.1 (сферическая полость с жесткой вставкой). Эта
задача соответствует граничному условию
и\г=1 = 0, C.4.28)
т. е. параметрам а = 1 и /3 = 0. При этом формула C.4.24) с учетом
следующего из C.3.16) равенства N(z) = K3/2(z) принимает вид
GL(r,s; 0 =
= ^ [в3/2Gг*, is) Кк'*^ + Ва/2Ыа, irs)H(r - g)] - C.4.29)
Подставляя сюда представления C.3.19) и C.4.27), после некоторых
преобразований находим следующее представление для изображения
функции влияния:
1 3
GL(r a- t\ — V^ RL(r я- t\p~rik(ri?,)s (ЧАЧО\
у/ , О, ц J — о—оГ / ^'k V 5 5 >/ 5 ^O.^t.OU^
где
/ti I / , Ъ, С) —
r, s; 0 = Д- Ыз + l)Gre - 1)Я(^ - г), C.4.31)
s
r, s;Z) = \ Ыз - l)Gre + 1)Я(г - О;
S
^ О = 7(f + r - 2M m(r, 0 = 7(^ - 0, *7з(г, О = 7(^ - О-
C.4.32)
3.4] Объемные возмущения в пространстве со сферической полостью 109
Особыми точками функции R^ является полюс s = 0 порядка 3,
а функции R± — также и простой полюс s = —1/7- Поэтому вычисление
оригиналов можно провести с помощью теории вычетов [51] (к = 1, 2, 3;
Sik — символ Кронекера)
]
" s=o
, в; 0 f в - -) eST] . C.4.33)
V 7/ J
+ Slk lim
^-1/
Использование этих формул приводит к следующим результатам:
- у + 7B - г -
+ 2A - г -
, г; О = [-у -
Дз(г, т; О = [-у -
- г)т + ^г72] Я(^ - г)Я(т), C.4.34)
- г)Я(т).
Тогда, используя свойства преобразования Лапласа (см. прилол<е-
ние В) окончательно получаем
[т - %(г, О] • C-4.35)
1
На рис. 3.4.1 представлена про-
пространственно-временная зависимость
функции влияния G(r, т; ?) = и, 7 —
= 1, ? = 2, рассчитанная по формуле
C.4.35). Здесь четко прослеживается
волновой характер распространения
возмущений. Отметим, что в момент
времени г = 1 возмущение достигает
поверхности полости г = 1, волна от-
отражается от границы области, и далее
в среде присутствуют только расходящиеся волны.
Пример 3.4.2 (сферическая полость со свободной поверхностью).
Эта задача соответствует граничному условию
о 1
Рис. 3.4.1
C.4.36)
110 Сферические волны [Гл. 3
т. е. параметрам а = 1к и /3 = 1. При этом формула C.4.24) принимает
вид
>3/2 (
GL(r,s; 0 = ^| [-2A-
, C.4.37)
где в соответствии с C.3.16) N(z) = - [2A - k)Ks/2{z) + zK1/2{z)}.
С помощью представления C.3.19) и C.4.27) формула C.4.37) при-
приводится к выражению C.4.30), в котором R2(r, s; ?) и R^(r,s; ?)
определяются соответствующими формулами в C.4.31), а функцию
(r, s; ?) необходимо заменить следующей дробью:
где
к) + l]z2 + 2[A - ус){г + ^ - 1)]^ + 2A - ус\
а многочлен Рг(^) определяется равенством C.3.21).
Особые точки функции R\ — полюс s = 0 порядка 3 и в соответствии
с C.3.27) простые полюсы si^ = 21,2/7? гДе ^1,2 = — & ± го;, а = 1 — х,
а; = д/1 — х2 . Следовательно, оригинал этой функции определяется
так (см. также C.4.33) и C.3.28))
4§|^^. C.4.39)
Достаточно громоздкие преобразования приводят эту функцию
к виду
Ях(г, г; О = //(г + ? - 1) cos — - ^ [а(? - l)r + x] sin -
\t 7 и 7
+ у + 7« + г " 2)г + 72[г(^ - 2) + 2A - 0]^ Н(т). C.4.40)
Таким образом, в этой задаче функция влияния G(r, г; ?) = и
определяется равенством C.4.35), где #2(r, г; ?) и Яз(г, г; ^) задаются
формулами в C.4.34), a Ri(r, г; ?) — равенством C.4.40). Соответству-
Соответствующая пространственно-временная зависимость, построенная при 7 —
= 1 и ? = 2, представлена на рис. 3.4.2. Характер волнового процесса
качественно совпадает с результатами предыдущего примера. Однако
за счет свободной поверхности полости в момент отражения от нее
волны (г = 1) перемещение увеличивается вдвое.
3.5] Распространение граничных возмущений в толстостенной сфере 111
Задача, в которой на поверхности
полости задана линейная комбина-
комбинация перемещения и напряжения (а ф
ф 0 и /3 ф 0), решается аналогичным
образом. При этом в пространстве
изображений по Лапласу в решении
также будут присутствовать три экс-
экспоненты с показателями [—r)k{r, ?)] Рис. 3.4.2
(см. C.4.32)), которые дают соответ-
соответствующие запаздывания аргумента г в оригиналах. Следовательно,
пространственно-временная картина распространения возмущений ка-
качественно остается такой же, как и в рассмотренных примерах.
3.5. Распространение граничных возмущений
в толстостенной сфере
Рассмотрим теперь задачу о распространении сферических волн
в упругой толстостенной сфере с внешним и внутренним радиусами Rq
и Ri соответственно. В безразмерных параметрах B.1.1) и C.1.4) по-
положим L = Rq. При этом внешняя и внутренняя поверхности задаются
уравнениями
г = 1, г = гх = ^-. C.5.1)
Но
Здесь ограничимся исследованием процесса распространения гра-
граничных возмущений. Эта задача аналогично §2.3 может быть сфор-
сформулирована в перемещениях, и ее решение может быть построено
с помощью применения преобразования Лапласа по времени. Кроме
того, можно использовать интегральное представление A.4.17з) (со-
(соответствующая объемная функция влияния построена в следующем
параграфе). Однако изложим другой способ, основанный на постановке
задачи относительно потенциала (р(г, т) и использовании общего реше-
решения C.1.12) в виде комбинации сходящихся и расходящихся сфериче-
сферических волн. Соответствующая начально-краевая задача в соответствии
с C.1.9), C.3.3) и C.1.8) имеет вид
су
72Ф = <Р,гг + -<Р,г, C.5.2)
г
Ит=о=°, ^|т=0 = 0, C.5.3)
(аои + ?о«,г)|г=1 = 9о(т), C.5.4)
,8iu,r)|r=r]=<h(T). C.5.5)
Перемещение и связано с потенциалом формулой C.1.8). Парамет-
Параметры OLi и /3i определяют все возможные варианты граничных условий.
Отметим также, что однородные начальные условия C.5.3) являются
112
Сферические волны
[Гл. 3
достаточными для выполнения соответствующих условий C.3.2) по
перемещениям.
При записи общего решения задачи C.5.2)-C.5.5) используем сле-
следующее ее свойство: сходящаяся (расходящаяся) сферическая волна
при взаимодействии с границей упругого тела порождает отраженную
расходящуюся (сходящуюся) сферическую волну, распространяющую-
распространяющуюся с той же скоростью. В результате с учетом C.1.12) получаем
k=0
+fik [т - Tfc - 7 (г - ri)] Я [т -
35у
25у
5у
tga = i
-/13
-/и
У10
где /ojfeO") и
функции, а
-7(r-n)]}, C.5.6)
fik(r) — произвольные
= 1-гг.
C.5.7)
1
Рис. 3.5.1
Соответствующая фазовая карти-
картина распространения волн в упругой
сфере представлена на рис. 3.5.1, где
сплошные наклонные линии соответ-
соответствуют расходящимся, а штриховые —
сходящимся волнам.
Равный бесконечности верхний
предел суммирования в формуле
C.5.4) присутствует условно, так как в силу свойств функции
Хевисайда в заданный момент времени г в C.5.4) остается конечная
сумма.
Из C.1.12) следует, что уравнение C.5.2) удовлетворяется тожде-
тождественно. Начальные условия C.5.3) будут выполняться, если потребо-
потребовать, чтобы функции fik(x) удовлетворяли следующим равенствам:
/о/ь(О) = /о/ь(О) = /ifc@) = Л/ь(О) = 0.
C.5.8)
Применяя к C.5.6) с учетом C.5.8) преобразование Лапласа по
времени г (все обозначения стандартные, см. приложение В), получаем
k=0
fik('>-
,-Tk»
C.5.9)
Отсюда с использованием C.1.8) находим изображение перемеще-
перемещения и его производную:
1 °°
uL(r, s) = <pLr(r, а) = -Д- ?
k=0
~TkS, C.5.10)
3.5] Распространение граничных возмущений в толстостенной сфере 113
"^. C.5.11)
Здесь использованы многочлены P\{z) (см. C.3.21)) и
Pr2{z) = Q2(z; 0,1) = z2 + 2(z + 1). C.5.12)
Подставляя C.5.10) и C.5.11) в граничные условия C.5.4) и C.5.5),
приходим к уравнениям относительно /^(s) и /^(s):
А;=0
оо
А;=0
A;=0
oo
31)/^(в)е-т*в =r?9lL(e). C.5.14)
Во второй сумме в C.5.13) и в первой сумме в C.5.14) сделаем
замену индекса суммирования т = k + 1 (к = т — 1, га = 1 при /с = 0).
В результате, возвращаясь к старому обозначению индекса и выделяя
в остальных суммах слагаемые с индексом к = 0, приводим равенства
C.5.13) и C.5.14) к следующему виду:
оо
? [Q2(-7«5 <*o,f3o
k=i
C.5.15)
Далее приравниваем нулю коэффициенты при экспонентах с одина-
одинаковыми показателями для каждой из функций /Д (s) (j = 0,1) и полу-
получаем систему рекуррентных соотношений (разностных уравнений [МЗ];
к в N):
foLk(s) = Я0(б)/1%_1(б), /&(*) = tfxW/oVito C.5.16)
114 Сферические волны [Гл. 3
и начальные условия к ним
, fto{s) = Ul{8), C.5.17)
где
s; Qq,/3q) и ( \ _ <Эг(
г, / ч _
)
C.5.18)
Система C.5.16) сводится к одному разностному уравнению второго
порядка (к > 2):
/0Lfc(S) = Я(8)/0%_2(8), Я(в) = Я0(в)Я1(в), C.5.19)
начальные условия для которого вытекают из C.5.17) и первого равен-
равенства в C.5.16) при к = 1:
/0L0(S) = U0(a), /0L1(S) = F0(S)[/1(S). C.5.20)
Решение однородного уравнения C.5.19) разыскиваем в виде f^k =
= Afc, где Л удовлетворяет характеристическому уравнению Л2 —
— H(s) = 0, корни которого Ai52 = ±y/H(s). Следовательно, общее
решение уравнения C.5.19) имеет вид
= [Ci(s) + (-lfC2(s)} Нк'\в), C.5.21)
где С\ и С2 — произвольные постоянные.
Подставляя C.5.21) в начальные условия C.5.20), получаем систему
линейных алгебраических уравнений относительно С\ и C<i'.
C1(8) + C2(8) = U0(s), C^s) - C2(s) = Н°(*}Щ*)9 C.5.22)
решение которой определяется так
C.5.23)
Учитывая эти равенства, из C.5.21) приходим к окончательному
виду решения начальной задачи C.5.19), C.5.20) (т G No):
Uo(s)Hm(s) при к = 2т,
J J C.5.24)
U1(s)H0(s)Hm(s) при к = 2т + 1.
3.5] Распространение граничных возмущений в толстостенной сфере 115
Теперь из второго уравнения в C.5.16) можем найти
( U1(s)Hrn(s) при к = 2т,
fik(*) = { ТТ( ' \„ш( ч , 9 ^ C.5.25)
^ Uo{s)H1{s)Hrn{s) при & = 2т + 1.
Подставляя C.5.24) и C.5.25) в C.5.10), с учетом C.5.18) получаем
изображение перемещения
uL(r, s) = qU*)GUr, s) + qt(s)G^(r, s). C.5.26)
Здесь (?no(r5 s) и ^m(r5 s) ~~ изображения поверхностных функций
влияния (см. гл. 1) для перемещения, которые имеют вид
C.5.27)
3 оо Г
Si(r>e) = %E
г ко
к=о
где (гтг, п = 0,1)
C.5.28)
Подстановка C.5.10) и C.5.11) в соответствующую формулу в C.1.7)
при учете C.5.24) и C.5.25) приводит к аналогичному C.5.26) равенству
для напряжений
^Р(г, а) = д^(з)С^0(г, а) + q^{s)G^1{r, a). C.5.29)
Здесь Gnao(r' s) и ^nai(r' s) ~ изображения поверхностных функ-
функций влияния для напряжения, которые определяются так (многочлен
P2(z) указан в C.3.21)):
1 °° г 1
пЬ / \ _ J_ v^ iL / ч -7(l-r)s , »L / \ -7(r-r!+E)s \p-r2ks
Г k=0l J
C.5.30)
3 оо У
116 Сферические волны [Гл. 3
где
C.5.31)
Очевидно, в пространстве оригиналов представления C.5.26) и C.5.29)
записываются следующим образом:
u(r, г) = 9о(г) * Gn0(r, г) + Я1(т) * Gm(r, r), C.5.32)
сггг(г, г) = ^о(т) * Gu<ro{r, т) + gi(r) * Gu*i(r, r). C.5.33)
При этом из C.5.27) и C.5.30) получаем следующий вид оригиналов
функций влияния:
I оо
GUo(r, т) = -з J2 {^оо^ tr' т-чA-г)- т2к\ Н[т - 7A - г) - т2к] +
Г А;=0
+goik [г, г - 7 (г - ri) - t2a;+i] Я [г - 7 (г - гг) - r2k+i]} ,
C.5.34)
Gm(r,r) =
[r - 7 (Г - n) - T2k\ +
+gwk [r, r - 7A - r) - t2a;+i] Я [r - 7A - r) - t2a;+i]} ;
{^OOA; [Г, Г - 7A - Г) - Г2А;] Я [r - 7A - г) - Г2А;] +
+h01k [r, r - 7 (r - n) - t2a;+i] Я [r - 7 (r - n) - r2A;+i]} , /35354
,T -<y(r- n) - Г2Д;] Я [r - 7 (Г - n) - T2k\ +
[Г, Г - 7A - r) - T2A; + l] Я [r - 7A - r) -
3.5] Распространение граничных возмущений в толстостенной сфере 117
В соответствии с теоремой разложения (см. [51]) задача об обра-
обращении преобразования Лапласа для функций g^nk{r^s) и ^mnfe(r's)
сводится к вычислению вычетов в полюсах Sj порядка р функции
H(s) и в других особых точках функций g^n0(r, s) и h^n0(r,s).
Эта операция для последнего типа точек проводится обычным обра-
образом. Необходимо только отметить, что в случае неправильных дробей
?"mno(r5 s) и ^mno(r5 s) в них необходимо предварительно выделить це-
целую часть. Без этой процедуры иногда можно обойтись, если находить
не функции влияния, а непосредственно перемещения и напряжения
с использованием формул C.5.26) и C.5.29). При этом g!^n0(r, s) и
/i^n0(r,s) в C.5.28) и C.5.31) следует заменить соответственно функ-
функциями g^n0(r, s)q^(s) и h^n0(r, s)q^(s) (см. далее замечание 3.5.1).
Основная трудность заключается в вычислении вычетов в упомяну-
упомянутых выше полюсах Sj, порядки которых больше единицы. Поскольку в
этом смысле функции g!^nk(r, s) и h!^ink(r, s) могут отличаться только
порядком рь полюса, то для них будем использовать единое обозначе-
обозначение fk(s). Применяя формулу Лейбница г) [50], находим (С% - число
сочетаний из р по q; p = рк)
-°з
р-1
q=0
C.5.36)
Для определения последовательности производных dpkl(sj) заме-
заметим, что первые равенства в C.5.28) и C.5.31) эквивалентны уравнению
fk(s) = H(s)fk_1(s). C.5.37)
Его аналогом является полученное также с помощью формулы
Лейбница и с учетом равенства Pk-i = Рк — 1 рекуррентное соотноше-
соотношение:
dki{sj) = J2 Pi{sj)dk-i,i-i{sj) = {pi(sj)} * {dk-^Sj)} . C.5.38)
г=0
^Лейбниц (Leibniz G.W., 1646-1716) — немецкий математик, физик и
философ.
118 Сферические волны [Гл. 3
Здесь
Л(*л-) = ^Я@(вД R(a) = (а - aj) H (а), H(s) = ^\,
г. 4\s)
C.5.39)
где многочлены P(s), Q(s), Po(s) и Qo(s) определяются соответству-
соответствующими равенствами в C.5.28), C.5.31), C.5.18) и C.5.19), a Sj — нуль
функции Qo (s) порядка р0 (если Qo (sj) ф 0, то р0 = 0). В указанных
соотношениях р$ = 1 или ро — 0-
Для замыкания алгоритма достаточно указать способ вычисле-
вычисления последовательностей pi (sj) и doi(sj). Применяя к равенству
Ro(s) [Qo(s)/ (s — Sj)P0] = Pq (s) формулу Лейбница, получаем
Переходя в этом равенстве к пределу при s —> Sj, получаем следу-
следующую рекуррентную формулу (г G N):
C.5.41)
где
Г I @ n('+Po)
C.5.42)
Формулы для pi (sj) вытекают из последних двух равенств, в кото-
которых в соответствии с C.5.39) следует положить doi(sj) = p(sj), Pq(s) =
= P(s),Qo(s) = Q(s)uPo = l(ieN):
po {Sj) = Wry pi j Ш) hj ]
C.5.43)
где
, 0 (Sj) = I [^] ^ = I Q^ (Sj) .
C.5.44)
Замечание З.5.1. Если внешние нагрузки заданы и все особые точ-
точки их изображений q^s) и q± (s) являются полюсами, то имеет смысл
3.5] Распространение граничных возмущений в толстостенной сфере 119
сразу находить перемещение и напряжение, минуя этап определения
функций влияния.
Для этого равенства C.5.26) и C.5.29) с использованием C.5.27) и
C.5.30) записываем в виде
uL(r,s) = \
гк=о
-T™s; C.5.45)
Д-
k=0
-r2^. C.5.46)
Здесь gmnk(ri s) и ^mnk(r^s) пропорциональны соответствующим
функциям g^nk(s) и h^nk(s) в C.5.28) и C.5.31):
?оп*(г» 5) = <lo(s)gLk(ri s)> eink(s) = Qi(s)gink(ri s)>
C.5.47)
Оригиналы перемещения и напряжения имеют вид, аналогичный
C.5.34) и C.5.35).
Далее будем считать, что каждая из функций <7о"E) и gf (s) имеет
единственный полюс (в противном случае можно использовать прин-
принцип суперпозиции):
При изложении алгоритма вычисления вычетов, соответствующих
?mnk(r'> s) и ^nfe(r' s)' так же' как и Ранее5 будем использовать единые
обозначения: fk(s) для этих функций, s* и р* для полюсов so*, S;u
и их порядков ро*5 Pi*5 а также <f(s) Для числителей qo(s) и 5i(s) в
C.5.47). Вычеты в точках Sj и s* по-прежнему находятся по формулам
C.5.36)-C.5.43) со следующими корректировками:
Po(s) -+ Po(s) = q(s)Po(s), Qo(s) -+ Q0(s) = (s - s*f* Q0(s).
C.5.49)
Если s* совпадает с одним из полюсов Sj, то этот алгоритм остается
в силе. Лишь увеличивается порядок соответствующего полюса. В про-
120 Сферические волны [Гл. 3
тивном случае, поскольку Q(s*) ф 0, то в равенствах C.5.43) и C.5.44)
необходимо провести следующие замены (р = р*):
C-5.50)
Пример 3.5.1 (динамическое обжатие толстостенной сферы
с жесткой вставкой и шара). Найти напряженно-деформированное
состояние упругой толстостенной сферы с неподвижной внутренней
поверхностью и движущейся по закону q(r) = —- т2е~ТН(т) внешней
поверхностью. С помощью соответствующего предельного перехода
определить перемещения и напряжения в шаре. Расчеты провести для
шара, положив г^о = —1, 7 = 1? к — 0,143.
Решение. Задача для толстостенной сферы соответствует гра-
граничным условиям
u|r=i = <Kr), u\r=ri = 0, C.5.51)
т.е. следующим параметрам и правым частям в C.5.4) и C.5.5):
«о = «i = l, /30=13!= 0, qo(T) = q(T), <ц(т) = 0. C.5.52)
Поскольку изображение внешней нагрузки (см. табл. В.2.1)
QL(s) = t^tzs C-5.53)
Vs ~г 1)
имеет единственную особую точку sq = — 1 (полюс порядка р0 =3),
то, согласно C.5.52) и замечанию 3.5.1, представляем изображения
перемещений и напряжений в виде G = 1)
uL(r, *) = 4 ? [ ]
C.5.54)
k=0
r k=o
C.5.55)
где в соответствии с C.5.47)
gLk(r,s) = qL(s)gknk(r,s), h^nk(r,s) = qL(s)h^nk(r,s). C.5.56)
Явные формулы для последних функций получаем из C.5.28) и
C.5.31) с учетом конкретных значений C.5.52) параметров граничных
условий:
3.5] Распространение граничных возмущений в толстостенной сфере 121
s) =
^n0(r, s),
+ 2A — >zr)(l —
>s) =
C.5.58)
Оригиналы перемещения и напряжения в соответствии со свойства-
свойствами преобразования Лапласа (см. §В.2, а также C.5.34) и C.5.35)) имеют
вид
N0(r,r)
gOlk (Г, Г - Г + П -
(Г, Г - 1 + Г - Т2к) Я (Г - 1 + Г - Т2к) +
J C.5.59)
- Г + П -
СГ(Г, Г) = -з X /iOOA; (Г, Г - 1 + Г - Г2А;) Я (г - 1 + Г - Г2А;) +
Г L А; = 0
(Г, Г - Г + П - T2A;+l) Я (г - Г + Г1 - T2A;+l)
. C.5.60)
Здесь
N0(r,r)= [
Т-1+r
т-Г + П-6
C.5.61)
где [•] — целая часть числа.
Для шара, полагая г\ = 0 и S = 1, из C.5.57)-C.5.61), получаем
J. S
C.5.62)
^000 (
1 — rs
1 + rs
Zl ( \ _ uk(s\hL (r s) ]il
^010 (riS) =U0
+ 2A -k)(\ -rs)
C.5.63)
122 Сферические волны [Гл. 3
+ ? goifc(r,r-r-2fc-l)ff(r-r-2fc-l) ; C.5.64)
А:=0 I
,т) = 4| Е Лоо*(г,т + г-2Л-1)Я(т + г-2А:-1) +
" Л0и(г,т-г-2А;-1)Я(т-г-2А;-1I, C.5.65)
где
N0(r, т) = [Г~^ + Г], Мг(г, т) = [Т~^-1]. C.5.66)
В данном частном случае с помощью таблиц [55] и свойств преобра-
преобразования Лапласа могут быть записаны явные формулы для оригиналов
функций gonk(s) и TiQnk{s). Например,
gooo(r) = ^^ {[2A + г)т2 + A - г)Bт + 1)]е"г - A - г)ет) .
C.5.67)
Однако при к ^ 1 эти формулы достаточно громоздки. Поэтому
удобнее применять изложенный выше общий алгоритм.
Как следует из C.5.62) и C.5.63), особыми точками функций gQnk(s)
и h<Qnk(s) являются следующие полюсы: so = — 1 порядка р0 = 3 и si =
= 1 порядка pi = к + 1. Поскольку числитель дроби H(s) равен (s + 1),
то на самом деле точка sq = — 1 является полюсом порядка р0 = 3 — к
только при к ^ 2. При к ^ 3 в этой точке функции gQnk{s) и h>Qnk{s)
аналитические. Однако учет этого факта усложняет алгоритм вычис-
вычисления оригиналов.
В соответствии с теоремой разложения [51] оригиналы функций
gonk(s) и ^Onk(s) определяются следующим образом:
1
gonk(r) = Н(т) ? rez g^nk(s)es\
j=0S SJ
C.5.68)
honkir) = Н(т) ? rez hQnk(s)eST.
j=os~si
Вычеты в этих равенствах находятся по формулам C.5.36)—
C.5.44) с учетом C.5.49) и C.5.50). Конкретный вид этих равенств
3.5] Распространение граничных возмущений в толстостенной сфере 123
продемонстрируем на примере функций #оод;E)- При этом в соответ-
соответствии с C.5.62), C.5.39) и C.5.49)
P(s) = 1 + s, Q{s) = 1-8,
C.5.69)
P0(s) = иоA - re), Qo(s) = (s + 1KA - 5),
и для каждого из полюсов получаем
- при s = -1 (<2(-1) ^ 0, см. C.5.50))
-1) = -"or, Соо(-1)=2,
Coi(-l) = -1, €о*(-1) = Со*(-1) = 0 (»> 2), C.5.70)
doo(-l) = ? A + г), do«(-l) = ^г A - г) (г > 1);
^ ' 2*
C.5.71)
г=0
при s = l (Q(l) =0, pfc=fc + l
Coo(l) = -8, Coi(l) = -12,
СозA) = -1, СогA)=О
Cr),
C.5.72)
= 2,3),
i 3
= 2, 6A) = 1, 6A) =0 (t^2),
Co(l) = -1, C<(l)=0 (Ol),
-2, /91A) = -1, лA) = 0 (*>2), C.5.73)
124
Сферические волны
[Гл. 3
Окончательно, подставляя C.5.36) в C.5.68) и учитывая C.5.69)—
C.5.73), получаем
gook(r, т) = Н(т) \е~г fl ^M-« ("I) + ^ Е ^М-* AI •
L q=0 q' q=0 q' J
C.5.74)
При к = 0 эта формула дает равенство C.5.67).
На рис. 3.5.2 представлена пространственно-временная зависимость
перемещения и(г, т) в упругом шаре (г\ =0, 6 = 1). Пространственно-
временная зависимость нормального напряжения сггг(г, г) изображена
Рис. 3.5.3
на рис. 3.5.3. На обоих графиках четко проел сживается волновой ха-
характер распространения возмущений в упругом шаре.
3.6. Толстостенная сфера под действием массовых
сил и начальных возмущений
В дополнение к предыдущему параграфу рассмотрим задачу
о распространении объемных и начальных сферических возмущений
(см. § 2.6) в упругой толстостенной сфере. Соответствующая начально-
краевая задача относительно радиального перемещения образуется
уравнением C.2.1), начальными C.2.2) и граничными условиями C.5.4)
и C.5.5):
9 9
<у2й = и гг + - и г —^и + F(r, г),
Г ' г
и\т=0 =
(аои
)' й\т=0 =Ф(
0и,г)\г=1 =0,
C.6.1)
C.6.2)
C.6.3)
C.6.4)
3.6] Толстостенная сфера под действием массовых сил 125
Согласно A.4.4), A.4.15) и A.4.27) решение этой задачи может быть
представлено следующим образом (см. также C.2.3)):
1
и(г,т) = \ б?(г,г; О
1
2 [
1
r; 0^@ d? + J G(r, r; 0^@ ^ | • C.6.5)
Здесь G(r, r; ?) —функция влияния для перемещений, которая есть
решение задачи
72G = G,rr + ^ G,r - \ G + *(т)*(г - 0, (З.б.б)
G|r=0 = 0, G =0, C.6.7)
т=0
)|r=1 = 0, C.6.8)
|r=ri=0. C.6.9)
Соответствующее представление для напряжений имеет вид
1
<тгг(г, т) = | Gff (г, т; 0 * F(?, т) ^ +
1 1
4/2 ' [ G*(r,r- 0^@^+ f Ga(r,r; 0^@ df I > C.6.10)
где Ga(r,r; ^) — функция влияния для напряжений, которая опреде-
определяется формулой C.2.7).
Операторы в уравнении (З.б.б) удовлетворяют условиям A.5.5) при
Рх = 1, р2 = 1. C.6.11)
Поэтому решение задачи C.б.б)-C.б.9) проведем методом Фурье
(см. гл. 1). Для этого, полагая
С(г,т; 0 = Д(г)ГМ C-6.12)
и разделяя переменные в соответствующем (З.б.б) однородном уравне-
уравнении, приходим к равенству (Л — константа разделения, см. A.5.7))
R
126 Сферические волны [Гл. 3
Отсюда и из граничных условий C.6.8) и C.6.9) получаем следую-
следующую задачу на собственные значения:
R" + lRf + (Л " 4) Я = О, C.6.14)
=1=O, C.6.15)
r=ri =0. C.6.16)
Уравнение C.6.14) приводится к указанному в A.5.37) виду (см. так-
также A.5.27))
-(r2R')' + 2R = Аг2Я, n(r) = p(r) = r2, x(r) = 2. C.6.17)
При этом условия A.5.35), обеспечивающие свойства 1—5 задачи на
собственные значения, выполняются. Найдем совокупность собствен-
собственных значений, учитывая, что А ^ 0 (см. гл. 1).
При Л > 0 общее решение уравнения C.6.14) есть линейная ком-
комбинация цилиндрических функций первого и второго рода (функций
Бесселя и Неймана г)) полуцелого индекса Jrn+i/2{lJLr) и ^т+1/2(мг)
при т = 1 [54]:
R(r) = -^ [CiW3/2(l + C2Js/2^r)} , C.6.18)
где ji = \/А .
Отметим, что функции Бесселя полуцелого индекса являются эле-
элементарными. Например, при т = 0 и т = 1 имеют место равенства
I 2 / 2
/ = у—3 (smz - zcosz), Nzf2{z) = -y^-3 (cosz + zsinz).
Подставляя теперь C.6.18) в граничные условия C.6.15) и C.6.16),
получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно
постоянных С\ и C<i'.
АС = 0, C = (Ci,G2)T, A = (ao-JX2, C.6.20)
где
Л) Нейман {Neumann F.E., 1798-1895) — немецкий математик.
3.6] Толстостенная сфера под действием массовых сил 127
аи = (а0 -
«12 = (а0 - 2/30) /M М/(м)
C.6.21)
«21 = (airi - 2/3iOV3/2(Mr1) + /i/3ir17V1/2(/ir1),
«22 = («1^1 - 2/3i) J3/2(^i) + V/3ir1J1/2(lJ>r1).
При выводе формул для элементов матрицы А учтены следующие
соотношения для цилиндрических функций индекса ^:
./?(*) = ./„_i(s) - ^ Л(г), Nl(z) = Nv-X{z) - V- Nv{z). C.6.22)
Условием существования нетривиального решения системы уравне-
уравнений C.6.20) является равенство нулю определителя ее матрицы, кото-
которое с учетом формул C.6.19) приводит к уравнению
^, C.6.23)
где
рг(г) = b10z + 6ц, p2(z) = b2oz2 + 6212; + 622,
Ью = («0/З1 - ai/3o) r? - 2/3o/3i^, 620 = PoPirl
622 = («0 - 2/30) (ai^i - 2/3i), 6ц = ?622,
&2i = /3i («о - 2/30) r\ + /30 (airi - 2/3i) + (a0 - 2/30) (airi - 2/3i) ri.
Правая часть уравнения C.6.23) является нечетной функцией. Как
рациональная дробь, она определена при любых ц ^ 0, быть может, за
исключением нулей знаменателя, в которых она имеет вертикальные
асимптоты. В силу периодичности тангенса уравнение C.6.23) имеет
два счетных множества корней: fin > 0 и /i_n = — /in, n Е N. Соответ-
Соответствующие собственные функции находим, например, из первого урав-
уравнения системы C.6.20) и равенства C.6.18) с учетом формул C.6.19):
Rn(r) = -2 {(snor + snl) sin[/in(l - г)] + (cnOr + cni) cos[/in(l - r)]} ,
C.6.25)
где
C.6.26)
Отметим, что, так как функции Rn нечетные по /in, то далее можно
рассматривать только fin > 0.
При Л = 0 общее решение уравнения C.6.14) имеет вид
С2\. C.6.27)
128 Сферические волны [Гл. 3
Система уравнений для определения постоянных С\ и C<i имеет вид
C.6.20), где
«11 = «0 + /30, «12 = <*0- 2/3О,
C.6.28)
«21 = r\ (airi + /3i), a22 = airi - 2ft,
что соответствует следующему определителю матрицы системы урав-
уравнений:
|А| = (а0 + /Зо) (airi - 2/3i) - г? (а0 - 2/30) («in + ft). C.6.29)
Очевидно, существуют такие параметры граничных условий, при
которых определитель равняется нулю, т. е. Л = 0 является собствен-
собственным значением. Так же как и для плоских волн (см. § 2.6), в силу усло-
условия на параметры граничных условий в B.3.7) Rg A ^ 1, и кратность
(см. § 1.5) собственного значения Л = 0 не может быть больше единицы.
Ему, как следует из первого уравнения системы C.6.20) и равенства
C.6.27), отвечает собственная функция
До(г) = а0 (г - Д-) + /Зо Bг + Д-) . C.6.30)
Однако для всех основных граничных условий Л = 0 не является
собственным значением, поскольку для данного типа колебаний дви-
движение тела как абсолютно жесткого невозможно (см. § 1.5).
Рассмотрим три частных случая граничных условий.
А. Первая краевая задача (внутренняя и внешняя поверх-
поверхности сферы неподвижны): ао = а\ = 1, /Зо = ft = 0. В этом случае
выполнены условия A.5.35). И, следовательно, все собственные значе-
значения положительные и, как следует из C.6.23) и C.6.24), определяются
уравнением
—^—. C.6.31)
ГЦ- + 1
Соответствующие собственные функции задаются вытекающим из
C.6.25) равенством
Д«(г) = ^ {A + М sin [/in(l - г)] - /in(l - r)cos[/in(l - г)]} .
C.6.32)
В частном случае сплошного шара (г\ = 0, S = 1) с неподвижной
внешней поверхностью уравнение C.6.31) упрощается:
tg/i = /i, C.6.33)
а собственные функции C.6.32) с учетом равенства C.6.33) удобнее
записать так (постоянный множитель отброшен):
Rn(r) = -2 (finr cos finr — sin finr) . C.6.34)
r
3.6] Толстостенная сфера под действием массовых сил 129
В качестве проверки выполнения граничного условия Rn@) = 0 най-
найдем предел Rn(r) при г —> 0. С учетом асимптотических представлений
тригонометрических функций из C.6.34) получаем
^ + о (И)] } lim ? [-J „» г» + о
(г*)] = 0.
C.6.35)
Б. Вторая краевая задача (внутренняя и внешняя поверх-
поверхности сферы свободные). Согласно C.1.7) этому варианту соответству-
соответствуют следующие параметры граничных условий: а$ = 2х, /Зо = 1, а\Г\ =
= 2щ /Зг = 1.
Все собственные значения положительны и определяются уравнени-
уравнением C.6.23) со следующими коэффициентами многочленов в его правой
части:
ho = (), o h
C.6.36)
b22 = 4A - яJ, bn =Sb22, b21 = -2A - к) (S2 + 2xri) ,
а собственные функции имеют вид C.6.25), где следует положить
(o.o.o7J
cni = 2A - ^)/in, 5n0 = -fincnl.
В. Третья краевая задача (вари ант: внутренняя поверх-
поверхность сферы неподвижна, внешняя — свободна). В этом случае ао = 2х,
/Зо = 1, он = 1, /3i = 0, и определитель в C.6.29) имеет вид
|А| = 1 + 2х + 2A - х)г? > 0. C.6.38)
Следовательно, все собственные значения положительны и опреде-
определяются, как следует из C.6.23) и C.6.24), уравнением
+ 2EA — >zr) /о л on\
v - C.6.39
-— 2 -,
[1 - 2A - н)п\ fJL~ - 2A - к)
а собственные функции — равенствами C.6.25) и C.6.37).
В частном случае сплошного шара со свободной внешней поверхно-
поверхностью уравнение C.6.39) приобретает вид
2A) C-6.40)
fJL~ ~ 2A - к)
а собственные функции совпадают с C.6.34).
В соответствии со свойствами задачи Штурма—Лиувилля решение
задачи C.6.6)-C.6.9) и правую часть уравнения C.6.6) представляем
5 А. Г. Горшков и др.
130 Сферические волны [Гл. 3
в виде рядов A.5.15) и A.5.16):
G(r, т; О = Е °п(т; ?)Дп(г); C.6.41)
П
8(тM(г - О = S(t) ? a«(№(r), C.6.42)
П
где, согласно A.5.33), A.5.16) и C.6.11), C.6.17),
1
Gn = Щ^гф, (G, Д„) = [ r2G(r, т; ?) Д« W dr,
\\п„\\ J
\\Rnf= ^r2R2n(r)dr, C-6.43)
„ m_ (Д(г-О,Дп) _
|| ||
Подставляя эти разложения в C.6.6), с учетом C.6.14) приходим
к равенству
) C.6.44)
которое в силу полноты (см. гл. 1) системы собственных функций
в /^2([^15 l]j ^2) эквивалентно уравнениям
72С„ + /*^Gn = о„@«(т). C.6.45)
Подстановка же ряда C.6.41) в C.6.7) приводит к нулевым началь-
начальным условиям:
Gn\T=0 = Gn =0. C.6.46)
т=0
Решение задачи Коши C.6.45), C.6.46) получено ранее (см. B.6.37)
и B.6.38)):
G0(r; O = ao(?h + , C-6.47)
C.6.48)
7wn 7
где a;n — собственная частота (см. гл. 1).
Функцию влияния для напряжений определяем с помощью равен-
равенства C.2.7)
G*(r, г; О = Е Gn(^ Z)R*n(r), C.6.49)
3.6] Толстостенная сфера под действием массовых сил 131
где
Д<гп(г) = Д/п(г) + ^Дп(г). C.6.50)
Рассмотрим пример использования соотношений C.6.5), C.6.10),
C.6.47) и C.6.49).
Пример 3.6.1. Определить напряженно-деформированное состоя-
состояние упругого шара под действием массовых сил F(r, т) = гте~ТН(т),
полагая, что его граница свободна от нагрузки и начальные условия
однородные. В расчетах принять 7 = 1их= 0,143 (гранит).
Решение. Найдем сначала функции влияния C.6.47) и C.6.49).
Для этой задачи собственные функции определяются равенством
C.6.34). Им, как следует из C.6.50), соответствуют функции
R*n{r) = -3 [/4r2sin/inr + 2/inr(l - x)cos/inr] . C.6.51)
Собственные значения есть корни трансцендентного уравнения
C.6.40), решение которого может быть найдено одним из численных
методов. При указанных в условиях параметрах пять первых собствен-
собственных значений таковы:
^i = 2,313, 1X2 = 5,991, /i3 = 9,238,
(о.о.52)
/i4 = 12,429, /i5 = 15,598.
Осталось определить норму собственных функций. Из C.6.43) и
C.6.34) имеем
1
2 Г 1 2
H^nWII = т [^пГ cos /лпг - sin fj,nr] dr =
J г
о
= j [fjin sin 2/in + 2 cos 2/in + 2(/4 - 1)] . C.6.53)
Теперь с использованием C.6.5) при (р = ф = 0 и C.6.41), C.6.48)
можно найти перемещения под действием заданных массовых сил
(шп = /in):
о о
= Н(т) ^2 —2 Яп(т)Яп(гI C.6.54)
где
1
?п = [ Rn(€)€3d? = \ [C + /in) sin /in - 3/in cos fin] . C.6.55)
132
Сферические волны
[Гл. 3
9„(т) = J *е~* sin [р„(т - i)] ctt = Ц-j {а*„ [t (l + p*) + 2] e~T +
0 ^ '
+ A - Mn) sin MnT - 2/in cos /inr }. C.6.56)
Соответственно для напряжения из C.6.49) получаем
r, т) = Н(т)
J2 ,Г: „а
п=1 Цп \\itn\\
C.6.57)
На рисунках 3.6.1 и 3.6.2 представлены пространственно-временные
зависимости перемещения и(г,т) и напрял<ения сггг(г, г) в упругом
0,8
Рис. 3.6.1
Рис. 3.6.2
шаре. Как следует из рис. 3.6.1, максимальные перемещения имеют
точки, лежащие на внешней поверхности шара г = 1. В то же время,
радиальные напряжения достигают максимальных значений в центре
шара г = 0.
Глава 4
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Аналогично главам 2 и 3 рассмотрим в этой главе еще один тип
одномерных задач (см. рис. 1.1.2) в цилиндрической системе коорди-
координат г, a, z (см. (А.4.19)) с ортами er,ea,ez и центром О для изотер-
изотермических или адиабатических процессов в однородных изотропных
упругих средах. Параллельно с цилиндрической будем использовать
прямоугольную декартову систему координат Oxyz (х = Х\, у = х2,
z = жз) с ортами ei, е2, ез-
Если u = u(r, i), то такой процесс будем называть цилиндрическим
движением, а в случае волнового процесса (см. введение) — цилиндри-
цилиндрическими волнами.
4.1. Типы цилиндрических волн
Будем использовать здесь безразмерные параметры C.1.4) и B.1.1),
где {i,j} = {г, a, z} u x% = z. Во всех дальнейших выкладках, как
и ранее, штрихи в обозначении безразмерных величин опускаем.
В предположении о зависимости искомых функций и внешних на-
нагрузок только от одной пространственной координаты — радиуса —
в соответствии с (А.4.30)-(А.4.33) и (А.4.26) безразмерные соотношения
Коши, физический закон и уравнения движения в перемещениях ($ =
= О, М = 0) имеют следующий вид:
_ _ иг _ 1 / иа\
?гг — Ur,ri ?аа — -> ^га — о I ua,r ~ J ->
1 " DЛ)
<7rr=Ur,r + -Ur, (Taa=XUr,r + —, <7„ = X (Ur,r + — J ,
1 - DЛ-2)
1L<x \ л. УС ~
- Fr, D.1.3)
«a = A2rua - Ц- + Fa, D.1.4)
Г
Г
D.1.5)
134 Цилиндрические волны [Гл. 4
где я2 1 я
Уравнения D.1.3)-D.1.5) являются гиперболическими. Кроме того,
аналогично плоским волнам (см. § 2.1) и, в отличие от сферических
волн (см. § 3.1), они независимы. Их можно записать в виде одного
уравнения
2
<у2й = A2ru- ^u + F (га = 0,1), D.1.7)
г
где п = 0 соответствует D.1.5), а п = 1 — D.1.3) и D.1.4).
Иногда вместо уравнений D.1.3)-D.1.5) удобнее использовать урав-
уравнения движения относительно скалярного потенциала (р и ненулевых
компонентов фа, фг векторного потенциала перемещений, безразмер-
безразмерная форма которых в соответствии с (А.2.49), (А.4.34) и указанной
выше одномерностью процесса такова
? Ф15 D.1.8)
+Ф2а; D.1.9)
+ Ф2г, D.1.10)
где Ф1, Ф2а и $2z — потенциалы поля внешних сил. При этом переме-
перемещения связаны с потенциалами вытекающими из (А.4.35) формулами
ur = ^, ua = ^, Uz = ^ + ^. D.1.11)
or or or г
Уравнения D.1.8)—D.1.10) также независимы, и их можно записать
одним уравнением
2
^ф = Аф - ^- Ф + ф5 D.1.12)
г
где т = 0 соответствует D.1.8) и D.1.10), а т = 1 — D.1.9).
Изучение структуры цилиндрических волн удобнее проводить, ис-
используя уравнение D.1.12) при отсутствии массовых сил (F = 0, Ф =
= 0). Аналогично плоскому случаю получаем следующие типы волн
(коэффициент объемного расширения 0 и тензор поворота \j опреде-
определяются соотношениями D.1.1) и (А.4.27); равенства для напряжений
и перемещений следуют из D.1.2) и D.1.11)).
А. Цилиндрическая волна расширения-сжатия {ци-
{цилиндрическая Р-волна; соответствует уравнениям D.1.3) и D.1.8)):
и = иг ф 0, ф = (р ф 0, иа = uz = фа = фг = 0,
и = ф г, ага = arz = 0, а = агг = и г + - и,
г
г
, 1 - ж
= ко -\ — и
( , 1 - м\
, azz = к\а -\ —1 и.
4.1 ] Типы цилиндрических волн 135
Б. Угловая цилиндрическая волна формоизмене-
формоизменения (угловая цилиндрическая S-волна; соответствует уравнениям
D.1.4) и D.1.9))
и = иа ф О, ф = фг ф О, ur = uz = (f = фа = О,
(9 = 0, Х^фО, 7 = 72, n = m = l, м = ^|Г, D.1.14)
-п 1 - W . и\
0>г = &otot = ^^ = СГГ2 = 0, СГ = (Тга = —— ^r + -J .
В. Осевая цилиндрическая волна формоизменения
(осевая цилиндрическая S-волна, соответствует уравнениям D.1.5) и
D.1.10))
U = Uz ф 0, ф = фа ф 0, Ur = Ua = (f = фг = 0,
(9 = 0, Atj^O, 7 = 72, n = m = 0, и = фг + ^, D.1.15)
г
-л * -"
^гг = СГаа = Я>а = СГ22 = U, СГ = (Jrz = U^r.
Поскольку для каждого типа волн независимым является только
одно напряжение сг, то далее в этой главе во всех случаях будет опре-
определяться только оно.
Для построения общего решения однородного уравнения D.1.12)
применяем к нему преобразование Лапласа по времени (все обозначе-
обозначения стандартные). В результате получаем
72*У (г, в) = А2гфь(г, s)-^- фь(г, в). D.1.16)
Г
Общее решение этого уравнения имеет вид [54, 59]
i>L(r, a) = FL{s)Im{1rs) + GL{s)Km{1rs), D.1.17)
где Im(z) и Km(z) — модифицированные функции Бесселя порядка т,
FL(s) и GL(s) — произвольные функции.
Используя интегральные представления функций Бесселя
D.1.18)
решение D.1.17) представляем так
фь(г, a) = Vf(r, a) + ф%(г, а), D.1.19)
136 Цилиндрические волны [Гл. 4
где
-1
ОО
1
тп т
Оригиналы слагаемых в D.1.19) имеют вид (см. приложение В):
1
, г) = rm | A - еГ~1/2 Рх{т + 7г0 <Ц; D.1.21)
-1
f (т - 7^) ^. D.1.22)
l
Выполняя в первом интеграле замену переменной интегрирования
С = т + 7г?, D.1.23)
получаем
22?m1/2 D.1.24)
Замена
( = г - 7г? D.1.25)
в D.1.22) дает следующий результат:
,г) = Щ^р- Т [72г2 - (г - cJ]m-1/2 G^OdC D.1.26)
7 г о
Функция т/?2(г, г) определяет прямую {расходящуюся) цилиндриче-
цилиндрическую волну, a ^i(r, г) — совокупность расходящейся и обратной {схо-
{сходящейся) цилиндрической волн, распространяющихся соответственно
в направлении ег со скоростью I/7 (ср. с плоскими и сферическими
волнами, см. § 2.1 и 3.1).
Укажем один из вариантов физической интерпретации равенств
D.1.24) и D.1.26). Для этого рассмотрим плоские продольные волны
с параллельным оси Oz фронтом, распространяющиеся со скоростью
1/7 вдоль оси ОХ с направляющим вектором 1 = ei cos $ + е2 sin $. Их
скалярный потенциал в соответствии B.1.8) и (А.4.13) имеет вид
<рх(Х, т) = F(t + 1Х) + G(t - 1X). D.1.27)
4.1 ] Типы цилиндрических волн 137
Координата X определяются так
X = г cos (а-Я). D.1.28)
Построим суперпозицию потенциалов (рх по углу $ Е (—тг,тг]:
,т)= | <px(X,r)dd. D.1.29)
— 7Г
Подстановка D.1.27) в D.1.29) приводит к следующему результату:
7Г
г, т) = {F [т + jr cos (а — #)] + G [г — 7^ cos (а —
— 7Г
7Г
= [ [F (г + jr cos i?) + G (r - 7^ cos <&)] dd =
При выводе этих формул учтена периодичность подынтеграль-
подынтегральных функций и выполнена замена переменной интегрирования ? =
= cos 'в с применением использованного при доказательстве утвержде-
утверждения В.3.1 равенства (В.3.12).
В последних двух интегралах проводим замены переменных инте-
интегрирования D.1.23) и D.1.25) соответственно. В результате получаем
V72^2 ~(r- СJ
г-7г
D.1.31)
Сравнение этой формулы с D.1.24), показывает, что при m = О
функция ^i(r, r) определяет цилиндрическую волну растяжения-сжа-
растяжения-сжатия, являющуюся суперпозицией указанных выше плоских волн.
Другое интегральное представление цилиндрических волн может
быть получено с помощью сферических волн с центрами на оси Oz
в точках z = ?. Их потенциалы в соответствии с C.1.12) определяются
так:
Л" ^)]+G [т ~7гз(^" ^)]}' DЛ-32)
где гз(^ — ?) — расстояние от центра сферической волны до ее центра,
а г — радиус цилиндрической систем координат.
138 Цилиндрические волны [Гл. 4
Найдем суперпозицию потенциалов ср^ по всевозможным координа-
координатам центров сферических волн (? Е R):
, т)= | ^(г, T;z-Z)dZ = 2J П(г, т; ?) d?. D.1.33)
Здесь введена новая переменная интегрирования ?i = 2 — ? и учтена
четность подынтегральной функции.
Подставляя в D.1.33) (р% из D.1.32), приходим к следующему инте-
интегральному представлению:
D-1.34)
Выполняя в первом из этих интегралов замену переменной инте-
интегрирования ( = т + 7л/г2 + ^2 ' а во ВТОРОМ — С — т — 7л/г2
окончательно получаем
<Ps(r,r)= \ / F«W - \ / G«™ . D.1.35)
J V(r -Cf- 72r2 J V(^ - CJ - 72^2
т+7г —oo
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что эта функция
является решением однородного уравнения D.1.12) при m = 0.
4.2. Распространение цилиндрических возмущений
в неограниченной упругой среде
Под цилиндрическими возмущениями будем понимать объемные
силы указанного в предыдущем параграфе вида, а также начальные
условия, зависящие только от радиуса (сравнить с определенными
в § 3.2 сферическими возмущениями). Соответствующая безразмерная
начальная задача для уравнения D.1.7) имеет вид
1 2
72ii = u^rr + -u,r-r^wu + F(r, т) (п = 0,1); D.2.1)
г
о = ?>(г), й\т=о=ф(г). D.2.2)
Интегральные представления перемещений и напряжений, согласно
A.4.4), A.4.15) и A.4.27), совпадают с соответствующими равенствами
4.2] Цилиндрические возмущения в неограниченной среде 139
C.2.3) и C.2.6):
и(г,т)= jG(r,r;
о
D-2.4)
Здесь G(r, т; ?) и Ga(r, т; ?) — функции влияния для перемещений
и напряжений. Первая из них есть решение задачи (п = 0,1)
72G = G,rr + I G,r - ? G + 5(тM(г - О; D-2.5)
G|T=0 = 0, G =0. D.2.6)
А вторая функция как напряжение а определяется по одной из
соответствующих формул в D.1.13)—D.1.15).
Для решения задачи D.2.5), D.2.6) используем преобразование Хан-
келя порядка п по пространственной координате и преобразование
Лапласа по времени (см. § В.2 и В.З). Используя свойства этих преобра-
преобразований и табл. В.3.1, получаем уравнение относительно изображения
перемещения функции влияния (все обозначения стандартные)
7VG""L = -q2GH"L(q, s) + tJnfa), D-2.7)
Jn(z) — функция Бесселя порядка п.
Его решение имеет вид
GH"L(q,s- 0=
la4 ()
q +7 s
Оригинал этой функции находим с помощью последовательного
обращения преобразований. Сначала с помощью табл. В.2.2 находим
оригинал по Лапласу
GHn(q,r; 0 = ШШ- sin ^Н(т). D.2.9)
qi 7
Далее обращаем преобразование Ханкеля. Используя табл. В.3.2,
получаем следующие выражения:
140 Цилиндрические волны [Гл. 4
при п = 0
G^ т; О = ^у 1\ к (™-) Iя (™-) - н (™+)] +
+ -jL= К (-3- J Я (ш+)|; D.2.10)
при п = 1
G(r.т; О = ^yf {[2?(ш")~к(т")][я(т")~н(т+)] +
. D.2.11)
Здесь
тг/2 тг/2
Х(ш) = [ ^ Е(т)= \ л/l-msin2* d* D.2.12)
J у 1 — msin2 t J
о о
— полные эллиптические интегралы первого и второго рода [59], т — их
параметр (вместо него в качестве аргумента часто используется модуль
к = л/т), а величины т_ и т+ имеют вид
. D.2.13)
Для построения функции влияния для напряжений и для исполь-
использования равенств D.2.3) и D.2.4) необходимо знание производных от
функций D.2.10) и D.2.11). При их вычислении применяем формулы
дифференцирования эллиптических интегралов по параметру [54]
dK 1 Г 1 „, v .,, Л
-— = — — Е(т) - К(т) ,
dm 2т 1пы v J v Jl '
D.2.14)
где mi — дополнительный параметр (вместо него часто используется
дополнительный модуль к' = у/га7). В результате получаем
С>Р(г,т; 0 =
D.2.15)
4.2] Цилиндрические возмущения в неограниченной среде 141
1
G =
( Л1
К - г + - + ntG\(r, т; ?), D.2.16)
V 7/J
G.r = —
27GгГ
G^ " г)+/2У
т
— г
7
- г + I)] 4- g
- г- I) -
, г; О - A Gi(r, r;
D.2.17)
где при п = О
/772- V ТП-
- + 772+ ,-,/ ч , 3772- — 2
^ (m} +
D.2.18)
i
-> I x
772 +
х [Я(тп_)-Я(т+)]4-
772
3/2
а при п = 1
7Г7 V r t ^ГП- I ГП +
X
1 Г72- + 772 +
772- 27724
D.2.19)
142 Цилиндрические волны [Гл. 4
G2(r,r; 0 =
= W- ^ —2- -Е(т-) Н — К(т-)\ х
х[Я(га_)-Я(га+)]
1 [l+m.+mi „ / 1 \ , 3-2га_ г// 1 \1 [7
Е\ + о К \ Я
J 2 VJ
В формулах D.2.15)-D.2.19) использованы следующие обозначения
(см. D.2.13)):
i- = 1 — тп- = — т+,
дт- дт+ 1 (г2 2
= т_ = т+ =
2
D-2-20)
и следующие разложения эллиптических интегралов [54]:
D.2.21)
Е[т) = | (l - i га) + О (т2) , га ->> 0;
4 1 / 4 \ /о
/цга) = In Н— I In — 1 1 rai + О (mi In rai) ,
уrai 4 V yrai /
Е(т) = 1 + - I In — - 1 rai + О (га^ In r?2i) , mi —> 0.
2 у л/тп\ 2 у v 7
Отметим, что, как следует из D.2.10), D.2.11), D.2.15)-D.2.19) и
D.2.13), фронты волн перемещений и напряжений определяются так:
т = 7|г-?|, т = 7(г + 0- D.2.23)
Пример 4.2.1. Исследовать особенности функции влияния для пе-
перемещений для цилиндрической волны растяжения-сжатия на фронтах
и построить пространственно-временные графики этих функций при
7 = 1; к = 0,429 и ? = 0,3.
Решение. В соответствии с D.1.13) функция влияния для переме-
перемещений определяется равенством D.2.11), а аналогичная функция для
напряжений — равенством
Ga = G,r + ^ G, D.2.24)
где производная G?r задается формулами D.2.15) и D.2.19).
4.2]
Цилиндрические возмущения в неограниченной среде
143
Следовательно, Ga на фронтах г = ±7{г — ?) имеет особенности
в виде дельта-функции Дирака, а остальные ее особенности на этих
фронтах связаны с функцией
„ = w— G + nrGi. D.2.25)
Из D.2.11), D.2.19) и D.2.20) вытекает, что при г < 7 \r ~ ?| имеет
место неравенство т_ < —0, и
G = 0, Ga = 0,
D.2.26)
Для выяснения поведения функций G и Ga в других полуокрест-
полуокрестностях волновых фронтов используем разложения D.2.21) и D.2.22).
В результате получаем:
при г -л 7 |г - ?| + 0 (га_ -)¦ +0)
D.2.27)
при т ->• 7(г + О ± 0 (т+ —>• ±0, т_ ->• 1 ± 0)
G= ^-J^ Q ln|ro+| + 2-ln4) +O(ro+ln|ro+|),
0(т+1п|т+|), D.2.28)
где
D.2.29)
На рисунках 4.2.1 и 4.2.2 представлены пространственно-временные
зависимости для б?(г, г; ?) и регулярной составляющей Ga функции
0,0- 0,1 °'2 г
0,3
0,4
Рис. 4.2.1
Рис. 4.2.2
144 Цилиндрические волны [Гл. 4
б?о-(г, г; ?) при указанных в условии значениях параметров и возму-
возмущении, приложенном в точке ? = 0,3. На втором рисунке носитель син-
сингулярной составляющей функции Ga в виде дельта-функции условно
изображен светлой прямой.
Упражнение 4.2.1. Исследовать особенности функций влияния
для угловой цилиндрической волны формоизменения на фронтах и по-
построить пространственно-временные графики этих функций при 7 — 1;
к = 0,429 и ? = 0,3.
Упражнение 4.2.2. Исследовать особенности функций влияния
для осевой цилиндрической волны формоизменения на фронтах и по-
построить пространственно-временные графики этих функций при 7 — 1;
к = 0,429 и ? = 0,3.
4.3. Распространение граничных возмущений
от цилиндрической полости
Во всех остальных параграфах этой главы ограничимся исследо-
исследованием цилиндрических волн расширения-сжатия D.1.13), которые
кратко будем именовать просто цилиндрическими волнами. Сначала
рассмотрим процесс распространения в однородной изотропной упру-
упругой среде равномерно распределенных по поверхности цилиндрической
полости радиуса R граничных возмущений (сравнить с § 2.3 и 3.3). При
этом в безразмерных параметрах B.1.1) и C.1.4) полагаем L = R.
В этом случае необходимо использовать однородное уравнение дви-
движения D.2.1) при п = 1
72г2 = и^гг + -и^г 2 и D.3.1)
Г г
и нулевые начальные условия D.2.2)
u|r=0=0, й|т=0=0. D.3.2)
На бесконечности возмущения отсутствуют
гх(г,т) = 0A), г-^оо. D.3.3)
Граничные условия на поверхности полости г = 1 аналогично
B.3.10) и C.3.3) записываем в обобщенном виде
(аи + /Зи>г)\г=1=Я(т), а2+/32фО. D.3.4)
Согласно A.4.25) соответствующие задаче D.3.1)-D.3.4) перемеще-
перемещения и напряжения могут быть представлены свертками
м(г, г) = Gn(r, г), <т(г, г) = Gna(r, r) * q{r). D.3.5)
Здесь Gu(r^r) = и — поверхностная функция влияния для пере-
перемещений, которая является решением задачи F(т) — дельта-функция
Дирака)
7 Gu = Gn,rr H— Gn,r 2 Gn; D.3.6)
4.3] Граничные возмущения от цилиндрической полости 145
Gn|T=o=O, Gu =0; D.3.7)
т=0
+/3Gntr)r=1 = S(T); D.3.8)
Gn(r,T) = O(l), r^oc, D.3.9)
а Сп<т(г,т) = а — поверхностная функция влияния для напряжения,
определяемая в соответствии с D.1.13) так:
GW = Gn,r + -Gn. D.3.10)
Г
Для определения функции влияния Gu к задаче D.3.б)-D.3.9) с ис-
использованием табл. В.2.1 применяем преобразование Лапласа по вре-
времени г (все обозначения стандартные):
^rr = 0; D.3.11)
1 = l; D.3.12)
-^oo. D.3.13)
Общее решение уравнения D.3.11) имеет вид (см. D.1.17))
G^{r, s) = Gi(e)ATiGre) + C2(s)h(jrs), D.3.14)
где Ci(s) и C2(s) — постоянные интегрирования, a Iv(z) и Ku(z) — мо-
модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка и.
Как следует из асимптотики C.3.12) этих функций и условия
D.3.13), необходимо положить C^s) = 0. Определяя теперь C\(s) из
граничного условия D.3.12) с использованием рекуррентной формулы
C.3.15), получаем
Подстановка этого равенства в D.3.10) приводит к следующему
вырал<ению для второй функции влияния:
CL , )_ 1 (l-H)K1(jrs)+7rsK0(jrs) Г4 3 16)
В отличие от аналогичных задач для плоских и сферических
волн здесь получить точное аналитическое выражение для оригиналов
функций D.3.15) и D.3.16) затруднительно. Поэтому, принимая во вни-
внимание связь изображений в окрестности бесконечно удаленной точки
и оригиналов в окрестности нуля [51], найдем формулы для функций
влияния в начальные моменты времени. С этой целью используем
146 Цилиндрические волны [Гл. 4
асимптотические разложения функций Бесселя второго рода порядка
п е No [54]:
I Ш / 1 \
y?^ + 0(-^), *->oo, D.3.17)
где
_
B„-2А-1)!!
D.3.18)
В последней формуле по определению полагается (—1)!! = 1.
В частности для используемых в этой задаче функций Бесселя
порядков п = 0 и п = 1 имеем
«00 = «10 = 1, «11 = -, «Ofc = (-1) 3fc, , ПРИ *
D.3.19)
Подстановка D.3.17) в D.3.15) и D.3.16) приводит к асимптотиче-
асимптотическим разложениям для функций влияния. Поскольку они, а соответ-
соответственно и разложения оригиналов, различны при /3 = 0 и /3 ф 0, то
эти два случая рассмотрим отдельно. Далее везде остаточный член
асимптотических формул условно опускаем.
При /3 = 0 без ограничения общности можно положить а = 1. В ре-
результате получаем
_ 1 7(г_1)д ™ ск(г)
(л <*<?
Сй>, s) = -^ е-^-Ч' Е ^й- D.3.21)
Здесь коэффициенты сумм определяются следующими рекуррент-
рекуррентными соотношениями:
с0(г) = 1, Ci(r) = - \1 - -) аи,
/ 2\ k-i D-3-22)
Ск(г) = - ( 1 jf ) а1к - J2 ai,k-ici(r) (к > 2);
do(r) = 1, dk(r) = % - Е «1,*-/* W (* > !)» D-3-23)
где
4.3]
Граничные возмущения от цилиндрической полости
147
bo = 1, bk= aok + A - x)alik-i (к > 1).
D.3.24)
Оригиналы функций D.3.20) и D.3.21) находим с помощью
табл. В.2.2 и свойств преобразования Лапласа:
t=r-7(r-l)
D.3.25)
+
+
+
t=r-7(r-l)
D.3.26)
Отметим, что, как вытекает из D.3.22), при к ^ 1 скA) = 0. Следо-
Следовательно, СпA} т) = ?(т), что соответствует граничным условиям для
этого случая.
При /3^0 находим
Gh(r, *) = -А= e-i{r-1)s J: ^Йхг; D.3.27)
_
_7(г_1)в
D.3.28)
Коэффициенты сумм в D.3.27) и D.3.28) задаются рекуррентными
соотношениями:
i=o
D.3.29)
do = L dk{r) = 1 fe - J2 hk-idi(r)} (к > 1), D.3.30)
где
/г0 = /3,
D.3.31)
а Ьк определяются равенствами D.3.24).
Оригиналы функций влияния находим аналогично D.3.25) и
D.3.26):
D.3.32)
t=r-7(r-l)
t=r-7(r-l)
D.3.33)
148
Цилиндрические волны
[Гл.4
Пример 4.3.1. Исследовать напряженно-деформированное состо-
состояние упругой среды с цилиндрической полостью, на поверхности ко-
которой действует давление Н(т). В расчетах принять: j = 1 и ж =
= 0,143.
Решение. В соответствии с D.1.13) граничные условия D.3.4)
в этом случае имеют вид
то есть
/3 = 1, q(r) = -H(r).
D.3.34)
D.3.35)
Следовательно, функции влияния определяются равенствами
D.3.32) и D.3.33) при 7 = 1 и /3 = 1:
D.3.36)
t=r-r+l
GW(r, т) = ^= \i(t)
При этом в соответствии с D.3.24) и D.3.29)-D.3.31)
hk =bk (k^ 0)
со = 1, ck(r) =
do(r) = l,
k-1
bk-lCl(r) (k > 1);
/=0
= -6, Л - -l) -
(k > 2).
t=r-r+l
D.3.37)
D.3.38)
D.3.39)
D.3.40)
Отсюда следует, что при к ^ 1 dfc(l) = 0. Следовательно, (?пA5 т) =
= S(r), что соответствует граничным условиям D.3.8) для рассматри-
рассматриваемой задачи.
Подставляя теперь с учетом D.3.35) функции D.3.36) и D.3.37)
в свертки D.3.5), находим требуемые перемещение и напряжение:
«(г, г) = -Gn(r, г) * H(t) = ^
(т-г
D.3.41)
fe=i
4.4] Объемные возмущения в пространстве с цилиндрической полостью!49
-I,
1)* ]. D.3.42)
На рисунках 4.3.1 и 4.3.2 представлены пространственно-временные
зависимости радиальных перемещений и напряжений вычисленные по
Рис. 4.3.2
формулам D.3.41) и D.3.42) при m = 3. На рассматриваемом временном
интервале это число членов асимптотических разложений достаточно,
поскольку добавление еще одного слагаемого приводит к незначитель-
незначительным изменениям результатов.
Упражнение 4.3.1. Построить поверхностные функции влияния
для упругой среды с цилиндрической полостью, на поверхности кото-
которой задано радиальное перемещение.
4.4. Объемные и начальные возмущения
в пространстве с цилиндрической полостью
Теперь аналогично § 2.4 и 3.4 перейдем к исследованию процесса
распространения цилиндрических волн расширения-сжатия в однород-
однородном упругом изотропном пространстве, инициированных объемными
и начальными возмущениями. Соответствующая начально-краевая за-
задача образовывается неоднородными уравнением движения D.2.1) при
п = 1 и начальными условиями D.2.2), условием на бесконечности
D.3.3), а также однородным граничным условием D.3.4) на поверхно-
поверхности полости:
D.4.1)
D.4.2)
D.4.3)
-и г ^
г ' г
и(г, т) = 0A), г —> оо;
/3«,Р)|р=1=0,
D.4.4)
150 Цилиндрические волны [Гл.4
В соответствии с A.4.4), A.4.15) и A.4.27) соответствующие задаче
D.4.1)-D.4.4) перемещения и напряжения могут быть записаны так:
(г,т)= JG(r,r;
1
Г
[ G(r, г; ?М0 d? + I G(r, r; ?Щ?) d? ; D.4.5)
1 1
а(г,т)=
1
[
\САг,т; ?MZ)dt+\G,{r,T; ?)V>@ d? . D.4.6)
Здесь G(r, т; ?) = и и Ga(r, т; ?) = сг — объемные функции влия-
влияния соответственно для перемещений и напряжений. Первая из них —
решение задачи
72G = Grr + -Gr-\G + S(r)S(r - 0; D.4.7)
Г ' г
G\T=0=0, g|^=o=O; D.4.8)
в(г,т) = ОA), r^oo; D.4.9)
(aG + PG>r)\r=1=0, D.4.10)
а вторая определяется Go-{r,T; ?) аналогичным D.3.10) соотношением
^ ¦ * " D.4.11)
Г
К задаче D.4.7)-D.4.10) применяем преобразование Лапласа по
времени г (см. приложение В, в том числе, табл. В.2.1). В результате
получаем
GLrr + \ GLr - A- + 72^2) GL = -д(г - О; D.4.12)
GL(r,s) = 0A), г-юо; D.4.13)
(aGL+/3G,r)|r=1=0. D.4.14)
Общее решение уравнения D.4.12) имеет вид (см. также D.3.14))
GL(r, s; ?) = C1(s)K1(jrs) + C2(s)h(jrs) + G^{r, s; ?). D.4.15)
4.4] Объемные возмущения в пространстве с цилиндрической полостъю1Ы
Здесь C\{s) и 62E) — постоянные интегрирования, a G* — частное
решение неоднородного уравнения, которое определяем с помощью
метода вариации произвольных постоянных (см. § 2.4 и 3.4):
GLAr, a; Z) = ZH{r - Z) [hb^K^rs) - /1Gг«)^1G^)] • D.4.16)
Подставляя это равенство в D.4.15), находим
GL(r, s; Z) = [Ci(e) + ?H(r - Z)h(-r?')] K^ra) +
+ [C2(s) - ZH{r - Z)K!bZs)\ hiirs). D.4.17)
Учитывая поведение модифицированных функций Бесселя на бес-
бесконечности (см. C.3.12)), с помощью условия D.4.13) определяем по-
постоянную 62E):
Сг(а) = ZKi.bZ*)- D-4-18)
Следовательно,
GL(r, a; Z) = [Ci(s) + ?H(r - ZVifrZs)] КгЫа) +
+ ^!G^)/iGrs)[l - H(r - Z)]. D.4.19)
Для определения C\{s) с использованием формул дифференцирова-
дифференцирования модифицированных функций Бесселя C.3.15) и C.4.21) вычисляем
производную последней функции:
GLr(r,s; Z) =
= ~{[Ci(s) + ZH{r - 0/iG^)l [Kibra) + чгаК^га)] +
+ ZKiilts) [libra) - jrslobrs)} [1 - H(r - 0]} • D.4.20)
Подстановка D.4.19) и D.4.21) в граничные условия D.4.14) приво-
приводит к алгебраическому уравнению относительно Ci(s), решение кото-
которого имеет вид
где
N(z) = {/3- а)Кг(г) + p^sK0{z). D.4.22)
Тогда подставляя D.4.21) в D.4.19), D.4.20) и учитывая D.4.11),
получаем следующие формулы для изображений функций влияния:
GL(r, «; f) = d [(a - /3)D!Grs, 7s) + p^sE^rs, 7s)]
D.4.23)
152 Цилиндрические волны [Гл. 4
, 7e)] +
H(r - ?) Y D.4.24)
Здесь Dv{x,y) и Еи(х,у) — функции, определяемые формула-
формулами C.4.25)
Для оригиналов функций D.4.23) и D.4.24) аналогично предыдуще-
предыдущему параграфу могут быть построены асимптотические представления,
справедливые в начальные моменты времени. При этом кроме формул
D.3.17)-D.3.19), должны быть использованы асимптотические разло-
разложения функции Бесселя первого рода порядка п Е No [54]:
D.4.25)
где коэффициенты ank определяются формулами D.3.18) и D.3.19).
Оригиналы функций влияния удобнее находить для каждого кон-
конкретного вида граничных условий. Рассмотрим основные из них, огра-
ограничиваясь определением только функции влияния для перемещений.
Пример 4.4.1 (цилиндрическая полость с жесткой вставкой).
Эта задача соответствует следующему граничному условию:
«|г=1 = 0, D.4.26)
т. е. в D.4.4) необходимо положить а = 1 и /3 = 0.
Тогда формула D.4.23) с учетом равенства N(z) = —K\(z) прини-
принимает вид
]
D.4.27)
Используя асимптотические представления D.3.17) и D.4.25), из
C.4.25) сначала находим (здесь и далее знак равенства понимается
в том же смысле, что и в предыдущем параграфе)
J/i^s) - h{'yrs)K1(>y?s) =
D.4.28)
где
Д(г, О = Z) (-1)<а1>йГ/7<- D.4.29)
4.4] Объемные возмущения в пространстве с цилиндрической полостъю1ЪЗ
Подставляя теперь D.4.28) и D.3.20) в D.4.27), получаем следующее
представление изображения функции влияния:
GL(r, a; О =
R${r, в;
Здесь
D.4.30)
D.4.31)
k=i
функции r]j(r^) задаются равенствами C.4.32), а коэффициенты
8jk{r,0 определяются следующими соотношениями (формулы для
с*(Осм.вD.3.22)):
= Д (г,
D.4.32)
/=0
Оригинал функции влияния D.4.30) находим с использованием
свойств преобразования Лапласа и табл. В.2.2:
где
fe=i
У*!"
D.4.33)
D.4.34)
На рис. 4.4.1 представлена рассчитанная по формулам D.4.32)-
D.4.34) при т = 3 пространственно-временная зависимость для функ-
функции влияния G(r, г; ?) при 7 = 1? ^ = 2, на которой отчетливо просле-
прослеживается волновой характер распространения возмущений. В момент
времени г = 1 возмущение достигает поверхности цилиндрической по-
полости г = 1, волна отражается от границы области, и далее в среде
присутствуют только расходящиеся волны.
О 1,0
Рис. 4.4.1
154 Цилиндрические волны [Гл. 4
Пример 4.4.2 (цилиндрическая полость со свободной поверхно-
поверхностью). Эта задача соответствует граничному условию
arr|r=1=0, D.4.35)
т.е. параметрам а = хи/3 = 1в D.4.14). При этом формула D.4.23)
принимает вид
GL(r, a) = ч{ ^|^f
-?>1Gгв,7€в)Я(г-€)}, D-4.36)
где
N(z) = A - к)Кх{х) + ^sK0(z). D.4.37)
Предварительно аналогично D.4.28) с использованием C.4.25) на-
находим асимптотическое разложение функции ^)
D.4.38)
где
e.(r,O = E(-l)'^^?- D-4.39)
Подставляя теперь D.4.38), D.4.28) и D.3.17) в D.4.36), получаем,
что асимптотическое представление изображения функции влияния
определяется формулами D.4.30) и D.4.31), в которых коэффициен-
коэффициенты ^зА;(^5О определяются соответствующими равенствами в D.4.32),
a gik(r, О и g2k(r, О имеют вид
к
gik(r,?) = J2Pi(r)hk-t@i
D.4.40)
/=0
Здесь
Ро(^) = ео(г, 1) = 1, рЛ(г) = еЛ(г, 1) - A - х)Д(г, 1), /с > 1,
D.4.41)
а функции /г&(?) задаются рекуррентными соотношениями
D.4.42)
МО = 1, Л*(О = "ж ~ Е [A "
4.5]
Нестационарные волны в толстостенном цилиндре
155
Оригинал функции влияния в этом случае так же, как и в преды-
предыдущем примере определяется равен-
равенствами D.4.33) и D.4.34). Соответ-
Соответствующие результаты расчетов при
7 = 1 и ? = 2 представлены на
рис. 4.4.2. Характер волнового про-
процесса качественно совпадает с ре-
результатами предыдущего примера.
Однако за счет свободной поверхно-
поверхности полости в момент отражения от
нее волны (г = 1) перемещение уве-
увеличивается.
Задача, в которой на поверхности
полости задана линейная комбина-
комбинация перемещения и напряжения, решается аналогичным образом.
Рис. 4.4.2
4.5. Нестационарные волны в толстостенном
цилиндре
Сначала рассмотрим задачу о распространении объемных и на-
начальных возмущений в упругом толстостенном цилиндре с внешним
и внутренним радиусами Rq и Ri соответственно. Полагая в безраз-
безразмерных параметрах B.1.1) и C.1.4) L = #о, получаем, что внешняя
и внутренняя поверхности цилиндра задаются уравнениями C.5.1).
Соответствующая начально-краевая задача относительно радиаль-
радиального перемещения образуется уравнением D.4.1), начальными услови-
условиями D.4.2) и аналогичными D.4.4) граничными условиями (см. также
B.6.3), C.6.3) и C.6.4)):
72ii = u^rr
-и r wU + F;
7* ' v
D.5.1)
D.5.2)
D.5.3)
D.5.4)
где a^ + p| Ф 0 (j = 0,1).
Согласно A.4.4), A.4.16) и A.4.20) решение этой задачи может быть
представлено следующим образом (сравнить с C.6.5)):
=о = (Р(Г)> й\т=о = Ф(Г)'1
(аои + Poujr)\r=1 =0,
¦Piu,r)\r=r =0,
и(г,т)=
r\
G(r,r-
Г]
. D.5.5)
156 Цилиндрические волны [Гл. 4
Здесь 6г(г, т; ?) —функция влияния для перемещений, которая есть
решение задачи:
72G = G,rr + - G,r - -1 G + 6(тN(г - ?); D.5.6)
Г г
G\T=0=0, GJT=o=O; D.5.7)
)|r=1=0, D.5.8)
|p=Pi=0. D.5.9)
Интегральное представление напряжений имеет вид
1
<т(г,т)= JGCT(r,r; О
Г]
г 1
2
1
т; ?)Ш) ^ , D.5.10)
J
г,
где Ga(r,r; ?) — функция влияния для напряжений, которая опреде-
определяется формулой D.4.11).
Операторы в уравнении D.5.7) удовлетворяют условиям A.5.5) при
р\ = 1 и р2 = 1- Следовательно, решение задачи D.5.б)-D.5.9) анало-
аналогично § 2.6 и 3.6 можно построить методом Фурье. Полагая
G(r,T;i) = R(r)T(T) D.5.11)
и разделяя переменные в соответствующем D.5.6) однородном уравне-
уравнении, приходим к равенству (Л — константа разделения)
К" +">"/-' - ** ~А. D.5Л2,
А.
Отсюда и из граничных условий D.5.8) и D.5.9) получаем задачу на
собственные значения:
R" + - R1 + (Л - \) R = 0; D.5.13)
Г \ г '
=1=0, D.5.14)
^=0. D.5.15)
Уравнение D.5.13) приводится к указанному в A.5.37) виду при
к(г) = р(г) = г, х{г) — 1/г5 и условия, обеспечивающие свойства 1-5
задачи на собственные значения, выполняются.
Найдем совокупность собственных значений, учитывая, что Л ^ 0.
4.5] Нестационарные волны в толстостенном цилиндре 157
При Л > 0 общее решение уравнения D.5.13) есть линейная комби-
комбинация цилиндрических функций первого и второго рода [54]:
R(r) = CMiir) + С2 Л(/хг), D.5.16)
где II = л/А .
Постоянные С\ и C<i — решения полученной с помощью граничных
условий D.5.14) и D.5.15) системы линейных алгебраических уравне-
уравнений:
АС = О, С = {Си С2)Т , А = (ао-Jх2 , D.5.17)
где
«и = (<*о - /3o)Ni(a0 + uPoNobi),
«12 = («о - /30) Ji(/i) + /i/30 Jo(m),
D.5.18)
«22 =
Здесь использованы формулы C.6.22) дифференцирования цилин-
цилиндрических функций.
Условие существования нетривиального решения системы D.5.17)
приводит к уравнению
= [(а0 - A,)WiM +
- [(«o -
=0, D.5.19)
положительные корни которого обозначаем, как обычно, через /in.
Соответствующие собственные функции находим с помощью первого
или второго уравнения системы D.5.17)
Rn(r) = Ji(Mnf) - D(|inOV!(|inr), D.5.20)
где
^ (а0 -/30)Ji(fi)
D.5.21)
Квадрат нормы, согласно A.5.33), имеет вид [58]
1
\\Rn(r)\\2=\r[Rn(r)]2dr =
Г2 Г,2 2 2 "
158
Цилиндрические волны
[Гл.4
D2(/in) U02(/inr) - — Noinn
L A^nr
. D.5.22)
п
При Л = 0 общее решение уравнения D.5.13) имеет вид
D.5.23)
Постоянные С\ и С<± определяются системой уравнений D.5.17) с ко-
коэффициентами
= г
и определителем
/30, «12 = а0 - /30,
+ /3i), a22 = airi - /3i
- т\ (а0 -
D.5.24)
D.5.25)
В этом случае так же, как для плоских и сферических волн,
Rg А ^ 1, и кратность собственного значения Л = 0 не может быть
больше единицы. Как следует из первого уравнения системы D.5.17)
и равенств D.5.24), ему отвечает собственная функция
D.5.26)
Однако аналогично сферическим волнам (см. § 3.6) для всех основ-
основных граничных условий Л = 0 не является собственным значением,
так как для рассматриваемых волн не возможно движение тела как
абсолютно жесткого (см. § 1.5).
Рассмотрим три частных случая граничных условий.
А. Первая краевая задача (внутренняя и внешняя поверх-
поверхности цилиндра неподвижны: а^ = а\ = 1, /Зо = Pi = 0). Поскольку
условия A.5.35) выполняются, то все собственные значения положи-
положительные и в соответствии с D.5.18) и D.5.19) определяются уравнением
)Ji(|i) = 0.
D.5.27)
Собственные функции задаются равенством D.5.20), в котором сле-
следует положить п G N и
D.5.28)
4.5]
Нестационарные волны в толстостенном цилиндре
159
Равенство D.5.22) в этом случае существенно упрощается. Исполь-
Используя рекуррентные формулы для функций Бесселя [59]
Jv+2(z) = 2^-^ Jv+i(z) - Ju(z), Nv+2(z) = 2^-^ Nv+1{z) - Nu(z),
D.5.29)
вронскиан
W = Ju+1{z)Nu{z) - Ju{z)Nu+1{z) =
а также D.5.28), получаем
|Я„(г)||2 = Дг
D.5.30)
D.5.31)
В табл. 4.5.1 указаны шесть первых положительных корней уравне-
уравнения D.5.27) при п = 0,5.
Таблица 4.5.1
п
1
6,393
2
12,624
3
18,888
4
25,162
5
31,443
6
37,718
На рис. 4.5.1 приведены первые три собственные формы.
Для перехода к частному случаю сплошного цилиндра (г\ =
= 0) с неподвижной внешней поверхностью используем следующие
отношения эквивалентности для
цилиндрических функций [54]:
zn 2
^—v N0(z) - - In z,
^1^ D.5.32)
?^>0 (neN).
Выполняя предельный переход
при Г! ->• 0, из D.5.26), D.5.20) и
D.5.27) получаем
0,2-
0,0
-0,2-
-0,4-
0,9 1,0
Рис. 4.5.1
Rn(r) = Ji(fJ>nr) (гае ЛО;
II2 _ 2 _ ! г2/
D.5.33)
D.5.34)
D.5.35)
В последней формуле использовано вытекающее из D.5.30) и
D.5.33) равенство
JV() 2 D-5.36)
160
Цилиндрические волны
[Гл.4
В табл. 4.5.2 приведены шесть первых положительных корней урав-
уравнения D.5.33).
Таблица 4.5.2
п
1
3,832
2
7,016
3
10,173
4
13,324
5
16,471
6
19,616
п=\
-0,2-
Рис. 4.5.2
На рис. 4.5.2 приведены со-
соответствующие первые три соб-
собственные формы.
Б. Вторая краевая за-
задача (внутренняя и внешняя по-
поверхности цилиндра свободные).
В соответствии с D.1.13) этому
варианту соответствуют следую-
следующие параметры граничных усло-
условий: а0 = х,ро = 1, OL-ir-i = к, /3i =
= 1.
Все собственные значения по-
положительные и определяются ре-
решениями уравнения D.5.19) при указанных параметрах граничных
условий, а собственные функции и их норма задаются равенствами
D.5.20)-D.5.22).
В табл. 4.5.3 указаны шесть первых пол ожи тельных корней уравне-
уравнения при г\ = 0,5, к = 0,429.
Таблица 4.5.3
п
1
1,265
2
6,430
3
12,639
4
18,888
5
25,168
6
31,442
1,0-
0,8-
0,6-
0,4-
0,2-
0,0
-0,2-
-0,4-
-0,6-
п=\
0,6 0,7
Рис. 4.5.3
На рис. 4.5.3 приведены первые
три собственные формы.
В. Третья краевая за-
задача (вариант: внутренняя
поверхность цилиндра неподвиж-
неподвижная, внешняя — свободна). В этом
случае а0 = к, /30 = 1, ol\ = 1,
/3i=0.
Все собственные значения по-
положительные и определяются ре-
решениями вытекающего из D.5.19)
уравнения
= 0. D.5.37)
4.5]
Нестационарные волны в толстостенном цилиндре
161
Соответствующие собственные функции задаются равенством D.5.20),
в котором следует положить
~ О -
D.5.38)
Квадрат их нормы определяется формулой D.5.22).
В табл. 4.5.4 указаны шесть первых положительных корней уравне-
уравнения D.5.37) при п = 0,5, к = 0,429.
Таблица 4.5.4
п
1
3,266
(Ml
9,485
3
15,746
4
22,018
5
28,282
6
34,575
На рис. 4.5.4 приведены первые
три собственные формы.
В частном случае сплошного
цилиндра (г\ = 0) со свободной
внешней поверхностью применение
асимптотических формул D.5.32)
к D.5.37) приводит к следующему
уравнению для определения соб-
собственных чисел:
fiJo(fi) — A — >c)Ji(fi) = 0.
D.5.39)
При этом, как следует из D.5.38), D(fi) = 0 и собственные функции
задаются равенствами D.5.34). Их норма в соответствии с D.5.22) и
D.5.39) имеет вид
0,8-
0,6-
0,4-
0,2-
0,0-
-0,2-
-0,4-
Rn
/
\
^^п= 1
0,6 0Л 0,8 /0,9 1,0
\4w = 2^//4—
Рис. 4.5.4
D.5.40)
В табл. 4.5.5 приведены шесть первых положительных корней урав-
уравнения D.5.39).
Табл и ца 4.5.5
п
1
2,126
(Ml
5,414
3
8,586
4
11,743
5
14,864
6
18,039
Соответствующие первые три собственные формы приведены на
рис. 4.5.5.
6 А. Г. Горшков и др.
162
Цилиндрические волны
[Гл.4
0,6-
0,4-
0,2
0,0
-0,2-
0,2 0,4\ 0,6 \0;8
Рис. 4.5.5
Решение задачи D.5.6)-D.5.9)
и правую часть уравнения D.5.6)
представляем виде рядов A.5.15)
и A.5.16)
D.5.41)
D.5.42)
где, согласно A.5.33) и A.5.16),
D.5.43)
Подставляя эти разложения в D.5.6), с учетом D.5.13) получаем
аналогичное C.6.44) равенство, которое в силу полноты (см. гл. 1) си-
системы собственных функций в ?2(^151; О эквивалентно уравнениям
C.6.45) с однородными начальными условиями C.6.46). В результате
приходим к формулам C.6.47) и C.6.48) для Gn(r; ?).
Функция влияния для напряжения совпадает с C.6.49):
где, согласно D.2.24),
D.5.44)
D.5.45)
Пример 4.5.1. Определить напряженно-деформированное со-
состояние упругого цилиндра под действием массовых сил F(r,r) =
= гте~тЯ(г), полагая, что его граница неподвижна и начальные
условия однородные. В расчетах принять 7 = 1их= 0,429 (сталь).
Решение. Перемещения и напряжения в этом случае определяют-
определяются равенствами D.5.5) и D.5.10) при (р = ф = 0:
г 1
0 0
т 1
D.5.46)
о о
4.5]
Нестационарные волны в толстостенном цилиндре
163
где в соответствии с формулами D.5.41), D.5.46) и результатами п. В
этого параграфа
оо оо
G(r,r; ?) = ? Сп(т; 0^„(г), GCT(r,r; ?) = ? Gn(r; ?)Д™(»0-
п=1 п=1
D.5.47)
Коэффициенты этих рядов указаны в D.5.32), собственные числа
определяются уравнением D.5.33) (см. табл. 4.5.2), собственные функ-
функции Rn(r) и их норма приведены в D.5.34) и D.5.35), a Ran(r) B со-
соответствии с D.5.45) имеют вид (здесь использована формула для
производных C.6.22))
Ran(r) = J0(finr) + ( я - —
D.5.48)
Подставляя теперь D.5.47) в D.5.46) и учитывая формулы D.5.43)
и C.6.48), получаем (иоп = jin)
D.5.49)
где qn(r) совпадает с найденной в C.6.56) функцией, а коэффици-
коэффициенты Ьп находятся непосредственным интегрированием [58] с учетом
D.5.33):
1
D.5.50)
На рисунках 4.5.6 и 4.5.7 представлены пространственно-временные
зависимости перемещения и(г,т) и напряжения сг(г, г) в упругом ци-
0,8
Рис. 4.5.7
линдре. Как следует из рис. 4.5.6, максимальные перемещения имеют
точки, лежащие на внешней поверхности цилиндра г = 1. В то же время
радиальные напряжения достигают максимальных значений в центре
цилиндра г = 0.
164 Цилиндрические волны [Гл. 4
4.6. Распространение граничных возмущений
в толстостенном цилиндре
С использованием обозначений предыдущего параграфа рассмот-
рассмотрим теперь задачу о распространении граничных возмущений в толсто-
толстостенном цилиндре. В этом случае радиальное перемещение удовлетво-
удовлетворяет однородным уравнению движения и начальным условиям, а также
неоднородным граничным условиям, соответствующим D.5.1)—D.5.4):
<y2U = U^rr + -U^r 2 и'ч D.6.1)
и\т=0 = 0, й\т=0 = 0; D.6.2)
(аои + /Зогх,г)|г=1 = 9о(т), D.6.3)
(aiu + /3iu,r)|r=ri =gi(r). D.6.4)
Для решения этой задачи будем использовать интегральное пред-
представление A.4.24) с ядром в виде построенной в предыдущем параграфе
объемной функцией влияния. С этой целью сначала с использованием
процедуры, указанной в § 1.2, сведем D.6.1)-D.6.4) к задаче с однород-
однородными граничными условиями, представляя искомую функцию в виде
суммы
и(г, т) = v(r, т) + w(r, r). D.6.5)
Здесь го (г, г) удовлетворяет условиям D.6.3) и D.6.4), а г>(г, г) есть
решение следующей задачи:
- v,r - \ v + F(r, r); D.6.6)
(r), ъ\т=о = ф(г); D.6.7)
)\r=1=O, D.6.8)
lr=ri =0, D.6.9)
где
F(r, т) = w,rr + - w,r nW — 72ti),
r r D.6.10)
(p(r) = - w\T=0 , ф(г) = - w\T=0 .
Функцию w в данном случае удобнее выбрать как решение соответ-
соответствующей квазистатической задачи (см. A.2.8))
w,rr + -w,r-\w = 0; D.6.11)
Г ' г
r=1 = qo(T), D.6.12)
=ri=qi(T). D.6.13)
4.6] Граничные возмущения в толстостенном цилиндре 165
Общее решение уравнения D.6.11) имеет вид D.5.23), т.е.
С
, D.6.14)
г
где С\ и С2 — постоянные интегрирования.
Подставляя его в D.6.12) и D.6.13) получаем неоднородную систему
линейных алгебраических уравнений
АС = Q, С = (Си С2)Т , Q = (9o(r), qi(r)Y , А = (ао-Jх2 ,
D.6.15)
в которой элементы матрицы А определяются равенствами D.5.24).
Решение этой системы с учетом формулы D.5.25) для ее определи-
определителя имеет вид
С2 = -rl^A qo{r) + ^о + Л Qi{T)j D.6.16)
D = |А| = (а0 + /30) (airi - ft) - r^ (a0 - /Зо) («iri + ft).
Следовательно,
/о (г) = ^- Г - Т{
,
1/1 v ) D Dr
Используя теперь представление A.4.24) и учитывая, что в данном
случае в силу D.6.11)
А^и* = Axiw = w^rr + -w,r 2 w = °' D.6.18)
r r
окончательно получаем
u(r,r)=J2 \qk(r)fk(r)-72 f G(r,r; 0м/ь(г)Л@^1, D-6.19)
где G — определенная в § 4.5 функция влияния для перемещения.
Непосредственным дифференцированием ряда D.5.41) с учетом
C.6.47) и C.6.48) находим ядро свертки в D.6.19)
G(r, г; О = Е 6п(т; О Дп(г), D.6.20)
п
где
D-6-21)
(n e N).
166 Цилиндрические волны [Гл. 4
Формулу для напряжения получаем, применяя соответствующее
равенство из D.1.13) к D.6.19):
^ 9 Г "
сг(г, г) = 7 \Як\т)(?к\г) — 7 Ga{r,T\ ?) * qk\T)fk\?) d?\ 1 D.6.22)
где
<?k (г) = Л (r) + ^ /fc (r) D.6.23)
— напряжение, соответствующее статическому перемещению и =
— Л (r)? a ЯДР° свертки в соответствии с D.5.44) имеет вид
ёа(г,т; О = ?<?п(т; ОД™(г). D.6.24)
п
Рассмотрим пример на использование полученных соотношений.
Пример 4.6.1 (динамическое расширение сплошного цилиндра).
Найти напряженно-деформированное состояние сплошного упругого
цилиндра с движущейся по закону q{r) внешней поверхностью. Расче-
Расчеты провести при 7 = 1, х = 0,429 и q(r) = т\е~т/2.
Решение. В этом случае необходимо положить (см. п. А § 4.5)
г\ =0, а0 = ах = 1, /30 = /3i = 0, qo(r) = q(r), qi{r) = 0.
D.6.25)
Функции /о(г) и сго(г) находим из D.6.17) и D.6.23) с помощью
D.6.16) и предельного перехода при /3i —> 0:
/о (г) = г, а0 (г) = 1 + х. D.6.26)
Тогда перемещения и напряжения в соответствии с D.6.19) и D.6.22)
определяются так:
1
и(г, г) = rq(r) - 72 [ ?G(r, г; ?) * g(r) d?; D.6.27)
о
1
, г) = A + )() 2
1
- 72 J €^(г, г; О * 9(т) ^. D.6.28)
Подставляя сюда D.6.20) и D.6.24), с учетом D.6.21) и D.5.43)
получаем следующие ряды (п G N, см. п. А § 4.5):
? D.6.29)
D.6.30)
D.6.31)
Здесь
ст(г,
(т) =
«(г,т) =
т) = A + х
--д(т)-ип1
rq(T) -
/(г) sin
n=l
оо
5] bngn(r)Ran
n=l
/inr*^(r), a;^
(г).
4.6]
Граничные возмущения в толстостенном цилиндре
167
числа /лп — корни уравнения D.5.33), собственные формы Rn(r) и их
норма задаются равенствами D.5.34) и D.5.35), функции Ran{r) —
формулой D.5.48), а коэффициенты Ьп совпадают с D.5.50).
Подстановка в D.6.31) заданной в условии нагрузки приводит к сле-
следующему результату:
gn(r) = -'
~ ^ Н(т)
sin
- t)} dt =
3^ - 1) sin /inr - /in (fi2n - 3) cos /inr] \ . D.6.32)
На рисунках 4.6.1 и 4.6.2 представлены пространственно-временные
зависимости для перемещения и(г,т) и напряжения сг(г, г) в упругом
цилиндре при заданной поверхностной кинематической нагрузке.
0,0
0 0,0
Рис. 4.6.1
Рис. 4.6.2
Глава 5
ВОЛНЫ В СТЕРЖНЯХ И ПЛАСТИНАХ
Волновые процессы в тонкостенных элементах конструкций (обо-
(оболочках, пластинах и стержнях, см. § А.5-А.9) в отличие от упругих
сред, как правило, имеют свои особенности. С целью их демонстра-
демонстрации в этой главе рассматриваются простейшие задачи этого класса —
одномерные (см. §1.1) волновые процессы в стержнях и пластинах
(см. § А.7—А.9). Основное внимание уделяется методике построения
аналитических решений. Как будет видно из дальнейшего изложения,
для некоторых видов волн (см. § 5.1) в этих моделях математическая
постановка задачи, а, следовательно, и методы их решения идентичны
рассмотренным в гл. 2. В остальных же случаях проявляется специфи-
специфика этих задач, связанная с другим типом дифференциальных уравне-
уравнений, описывающих такие процессы.
Для стержней будем использовать прямоугольную декартову систе-
систему координат Oxyz. При этом ось стержня совпадает с Ож, и в каждом
поперечном сечении D система координат Сух (С = D П Ох) является
главной центральной. Если стержень ограничен или полуограничен,
то будем считать, что точка О совпадает с его левым концом. Выбор
системы координат для пластин будет указан в каждом конкретном
случае.
5.1. Продольные и крутильные волны в стержнях
Среди всех возможных видов динамических процессов в стержнях
(см. § А.9) наиболее простыми для исследования являются продольные
волны (волны растяжения-сжатия) и крутильные волны, под кото-
которыми понимаются волновые процессы, соответствующие растяжению-
сжатию и кручению (см. §А.9). При этом ограничимся однородными
стержнями постоянного поперечного сечения. Для описания этих про-
процессов в дополнение к B.1.1) введем следующие безразмерные вели-
величины:
Р ~ pFcY ~ рсУ ~ EF'
E-1.1)
mKL2 Т Л/г MKL
m=——, x=xxL, M = ——.
Здесь F и /к — площадь и геометрическая характеристика при
кручении поперечного сечения; р и тк — внешние погонные продольная
нагрузка и крутящий момент; N и Мк — продольное усилие и крутя-
крутящий момент; а — напряжение в поперечном сечении при растяжении-
5.1 ] Продольные и крутильные волны в стержнях 169
сжатии; кх — крутка; ср = у/Е/р и с 2 = у/ ц/ р — скорости распростра-
распространения продольных и крутильных волн; Е, ji и р — модули упругости
и плотность материала стержня. При этом в соотношениях B.1.1) для
ограниченного стержня линейный размер L совпадает с его длиной,
а с* = ср или с* = С2 соответственно для продольных или крутильных
колебаний.
Далее, как обычно, штрихи в обозначении безразмерных величин
опускаем.
В переменных E.1.1) уравнение (А.9.10) и дополнительные соотно-
соотношения (А.9.3)- (А.9.5), описывающие продольные колебания стержня,
приобретают вид
и = и^хх +р; E.1.2)
N = а = ? = uiX, E.1.3)
где и и ? — продольные перемещение и деформация стержня, точками
обозначена производная по безразмерному времени.
Аналогичные равенства для крутильных колебаний следуют из
(А.9.19), (А.9.13) и (А.9.14):
Х = Х,хх+т; E.1.4)
М = к = Х,х, E.1.5)
где х — Хх — угол поворота поперечного сечения вокруг оси стержня.
Сравнение уравнений E.1.2) и E.1.4) с B.2.3) показывает, что при
7 = 1 с точностью до обозначений они совпадают. Кроме того, из (А.9.6)
и (А.9.15) следует, что начальные условия для обоих типов колебаний
имеют вид B.2.4):
u\T=o = (P(x)i й\т=о = ф(х) E.1.6)
или
Х|т=о = ?>(*)> *|т=о=^(*)- E.1.7)
А из E.1.3), (А.9.7), (А.9.8) и E.1.5), (А.9.16), (А.9.17) получаем,
что граничные условия на концах ограниченного стержня х = Xq = 0
и х = Х\ = 1 могут быть записаны в обобщенном виде B.5.3):
(аои + 0outX) \х=0 = <7о(т), (аги + 0iutX) \x=1 = qi(r). E.1.8)
\х=0 = <7о(т), (аги + 0iutX) \x=1
или
РоХ,х) \х=0 = <7о(т), (а1Х + fiix,x) \х=1 = Qi(r). E.1.9)
\х=0 = <7о(т), (а1Х + fiix,x) \х=1
Так же, как и для плоских волн, в частном случае значений пара-
параметров ak = 1 и /3k — 0 на конце стержня х = Xk имеем кинематические
условия (А.9.7) или (А.9.16), а при ak = 0 и /3k — 1 — динамические
условия (А.9.8) или (А.9.17).
Таким образом, для задач о продольных и крутильных колебаниях
стержней остаются справедливыми все приведенные в § 2.1-2.6 мето-
методы решения и результаты с некоторыми изменениями терминологии,
170 Волны в стержнях и пластинах [ Гл. 5
а также, естественно, с другим их механическим содержанием. А имен-
именно, этим параграфам соответствуют типы продольных и крутильных
волн, распространение возмущений в неограниченном стержне, гранич-
граничные, объемные и начальные возмущения в полубесконечном стержне,
граничные, объемные и начальные возмущения в стержне конечной
длины.
Приведем примеры решения конкретных задач.
Пример 5.1.1 (свободные колебания стержня конечной длины).
Исследовать колебания однородного стержня, левое сечение которого
закреплено, а правое свободно. В начальный момент времени стер-
стержень растянут приложенной к его правому концу продольной силой S,
а затем без начальной скорости предоставлен самому себе. Построить
пространственно-временные картины распределения кинематических
и внутренних силовых факторов при S = 0,1.
Решение. Из статической задачи о растяжении стержня про-
продольной силой S находим, что до начала движения в стержне имеют
место продольные перемещения и = Sx, что соответствует начальным
условиям:
«1т=о = Sx> й1т=о = 0- E-1-Ю)
Следовательно, это — задача о продольных колебаниях стержня
с однородными граничными условиями:
«|х=0=0, Щх=1=а\х=1=их\х=1=0. E.1.11)
Таким образом, речь идет о распространении начальных возмуще-
возмущений в ограниченном стержне (его свободных колебаниях, см. рис. 1.2.1),
т. е. о задаче с однородными уравнением и граничными условия-
условиями и неоднородными начальными условиями E.1.6). Согласно B.6.4)
и B.6.8), где следует положить 7 = 1 и $ = 0, ее решение имеет вид
1 1
и(х,т) = С(ж,т; ОуКО ^? + С(ж,г; ?)^@^?? E.1.12)
J J
о о
N(x, т) = j Ga(x, r; ?M0 d? + J Ga(x, r; ?)V>@ d?, E.1.13)
Функции влияния С(ж,г; ?), Са(ж,г; ?) и их производные в об-
общем случае граничных условий определяются соотношениями B.6.16),
B.6.24), B.6.28), B.6.29), B.6.31) и B.6.37)-B.6.44). Поскольку в рас-
рассматриваемой задаче граничные условия E.1.11) соответствует указан-
указанному в § 2.6 варианту третьей краевой задаче для упругого слоя, то,
согласно B.6.22), B.6.46) и B.6.47), эти функции имеют вид (дополни-
(дополнительно полагаем rja = 1)
5.1
Продольные и крутильные волны в стержнях
171
n=l
n=l
E.1.14)
2
u(t; 0 = — Я(г) sin /inr sin /in
Сап(т; О = 2#(т) sin /inr sin /in
n=l
(ж,г; 0 =
E.1.15)
n=l
Gn(r; 0 = 2H(t) cos/inTsin/in^
Gan(r; 0 = 2//пЯ(г) cos /inr sin /in^, /in = тг (n - 1/2).
Учитывая, что в соответствии с E.1.10) ^(ж) = 5ж и ф(х) = О,
подставляем E.1.15) в E.1.12) и E.1.13). Вычисляя интегралы, находим
перемещение и продольное усилие в стержне:
и(х, т) = 2S
) cos №п
n=l
(ж, г) = 2S
E.1.16)
E.1.17)
На рисунках 5.1.1 и 5.1.2 представлена рассчитанная по этим фор-
формулам с удержанием 50 членов рядов при заданном в условии примера
1 0
1 О
Рис. 5.1.1
Рис. 5.1.2
значении силы S пространственно-временная картина распростране-
распространения начальных возмущений в стержне.
Пример 5.1.2 (вынужденные колебания стержня конечной дли-
длины). Исследовать колебания покоящегося в начальный момент времени
172 Волны в стержнях и пластинах [ Гл. 5
однородного стержня конечной длины с закрепленными концами при
действии на него внезапно приложенной в сечении х = 1/2 продольной
силы S. Построить пространственно-временные картины распределе-
распределения кинематических и внутренних силовых факторов при S = 1.
Решение. В силу условий примера в стержне имеют место про-
продольные колебания при однородных граничных и начальных условиях:
и\х=0 = О, «|я=1 = 0; E.1.18)
и\Т=0 = 0, «|т=0 = 0 E.1.19)
и продольной нагрузке вида
(±)(t). E.1.20)
Следовательно, это задача о распространении погонных (объем-
(объемных) возмущений в ограниченном стержне (вынужденных колебаниях,
см. рис. 1.2.1). Поэтому согласно B.6.4) и B.6.8), где следует положить
7 = 1 и $ = 0, решение имеет вид
1
и(х, т) = J
E.1.21)
Так как граничные условия E.1.16) соответствует указанной в § 2.6
первой краевой задаче для упругого слоя, то аналогично предыдуще-
предыдущему примеру ядра интегральных представлений E.1.21) определяются
равенствами E.1.14), где в соответствии с B.6.45) следует положить
/in = 7m (neN). E.1.22)
Подставляя погонную нагрузку E.1.20) и функцию С(ж,т; ?) в со-
соответствующее равенство в E.1.21) и учитывая равенство E.1.22),
а также свойства дельта-функции, находим перемещение
г 1 г
LJL \ JU • У ) — I I Kjt \ JU • w • У — I/) LJ \ w • I/ ) \JL w \JL I/ — kD I KSJf I JU • — • У — I/ I \JL I/ —
0 0 0
n=l
^jsin/in(r-
0
= 2S J2 2 (! - cos M2n+iT) sin ti2n+ix. E.1.23)
n=0 ^2n+l
5.1 ] Продольные и крутильные волны в стержнях 173
Нормальное усилие удобнее найти не по второй формуле в
E.1.21), а непосредственным дифференцированием перемещения по х
(см. E.1.3))
N(x, т) = и х = 25 V -—— A - cos tJ,2n+iT) cos /i2n+i^. E.1.24)
Так как sin (/i2n+i/2) = ( — 1)п, то наибольшее перемещение будет
испытывать сечение стержня, к которому приложена сила 5:
\,т) =2S
n=0 M2n+1
Максимальное отклонение этого сечения имеет место при
cos/i2n+ir — ~1? т-е- ПРИ т = 1 (этот момент времени соответствует
приходу в точку ж = 1/2 волн, отраженных от закрепленных концов
стержня):
_ = . A, 1) = « ? jgL- = « | ^ = f. E.1.26)
Здесь учтено, что [54]
Для сравнения найдем соответствующее статическое перемещение
стержня ист(х). Оно в соответствии с E.1.2), где инерционные члены
полагаются равными нулю, E.1.18) и E.1.20) удовлетворяет следующей
краевой задаче:
*4т = SS (ж - -J , ^ст|ж=0 = Uct\x = 1 = 0.
Ее решение и максимальное значение статического перемещения
имеют вид
Uct(x) = ~\х ~ BХ ~ 1)# \Х J] W ^ ()
Следовательно, максимальное перемещение при внезапном прило-
приложении нагрузки в два раза больше соответствующей статической вели-
величины.
На рисунках 5.1.3 и 5.1.4 представлены пространственно-временные
картины распределения перемещения и(х,т) и нормального усилия
TV (ж, г), возникающих в стержне при внезапном приложении продоль-
продольной силы 5 = 1. При суммировании в формулах E.1.23) и E.1.24) удер-
удерживалось 50 членов ряда. На рис. 5.1.3 отчетливо видно, что в момент
времени г = 1 перемещение середины стержня достигает определенно-
определенного равенством E.1.26) значения итах = 5/2 = 0,5.
174
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
Рис. 5.1.3
Рис. 5.1.4
Пример 5.1.3 (граничные возмущения в стержне конечной дли-
длины). Определить поле перемещений и внутренние силовые факторы
в стержне, левое сечение которого движется вдоль оси по закону т+,
а правое свободно. В начальный момент времени стержень находится
в покое.
Решение. В этом случае имеют место продольные колебания
стержня при отсутствии погонной нагрузки, однородных начальных
и неоднородных граничных E.1.8) условиях. Решение соответствующей
задачи получено в § 2.5 и имеет вид B.5.15) и B.5.17) при 7 — 1:
1 1 Nij(x,T)
„.(„ Т\ _ V^ V^ V^ tr г _ jl / \1 у
(лi Ju, / j — > > > 11 \ I '"iiTi\'*j) \
j=0 i=0 n=0
T~kijn(x)
x j Qj[r-t- kijn(x)} Rijn(t) dt; E.1.27)
о
1 1 Nij{x,T)
n(x,t) = j:y: e H[T-kijn(x)]x
j=0i=0 n=0
T-kijn(x)
x J qj[r-t- kijn(x)} Rijn(t) dt, E.1.28)
0
где kijn(x) и Rijn(r) определяются по формулам B.5.11), a Nij(x, r) —
соотношением B.5.14).
Для заданного стержня имеем краевые условия
N\x=l= u,x\x=1=0,
E.1.29)
которые соответствуют следующим параметрам и правым частям ра-
равенств E.1.8):
Яо(т) = т+, q\ (г) = 0. E.1.31)
5.1 ] Продольные и крутильные волны в стержнях 175
Учитывая E.1.30), из B.5.6), B.5.9) и B.5.11) в пространстве пре-
преобразований Лапласа получаем
= 1, a12(s) = 1,
Отсюда с использованием табл. В.2.1 находим
Яоо„(т) = Я1Оп(т) = (-1)"<5(т). E.1.32)
Подставляя теперь E.1.31) и E.1.32) в E.1.27) и E.1.28), вычисляем
перемещение и нормальное усилие:
1 Ni0(x,r)
Ф, г) = Е Е (-1)п# [г - kiOn(x)] х
г=0 п=0
q i=0 n=0
E.1.33)
(x, г) = E г°Е Г (-1/+1+пЯ [г - kiOn(x)] x
[r-t-kiOn(x)]+S(t)dt =
о
1 Ni0(x,r)
— \ л \ л ( 1 ^tItW Г_ ]*.-. (rp\\ Н(т Jc -n ( t*W —
— 2_^ 2^i v ) дт Ai«OnWJ+n \T ЬгОпК-ь)) —
1 Ni0(x,r)
= У^ У^ (~1) H [t — /b^on(^)] • E.1.34)
i=0 n=0
На рисунках 5.1.5 и 5.1.6 представлены пространственно-временные
картина распространения волнового процесса в упругом стержне с по-
подвижной опорой. Как следует из рис. 5.1.5, на движение стержня как
абсолютно твердого тела по закону иа^с^в(т) = т+ накладывается поле
упругих перемещений. Причем в моменты времени г = 1, 3, 5 ... к сво-
свободному краю стержня х = 1 приходит отраженная волна от подвижной
опоры х = 0, которая существенно меняет временную зависимость пе-
перемещения иA,т): в указанных точках имеются изломы. Необходимо
отметить, что картина распространения возмущений, представленная
на рисунках качественно остается справедливой и при других законах
движения левого конца стержня.
176
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
N
0,4
х 0,0 0
Рис. 5.1.5
Все приведенные примеры с соответствующими терминологически-
терминологическими изменениями могут быть применены также и к крутильным коле-
колебаниям.
5.2. Изгибные волны в стержнях. Распространение
начальных возмущений в бесконечном стержне
В следующих трех параграфах рассмотрим волны в стержнях,
принципиально отличающиеся от исследованных в § 5.1 волновых про-
процессов, а именно, изгибные колебания. Из двух указанных в § А.9
математических моделей поперечных колебаний ограничимся балкой
Бернулли г). Последнее связано с тем, что в настоящее время практи-
практически отсутствуют аналитические решения для балки Тимошенко 2).
Используя введенную в начале главы систему координат, будем
рассматривать изгиб балки в плоскости Оху. И в дополнение к B.1.1)
введем следующие безразмерные величины:
7 = —, Р =
EIZ
EIZ
E.2.1)
Здесь Iz и iz — момент и радиус инерции поперечного сечения
относительно оси Cz\ p — внешняя погонная поперечная нагрузка; Qy
и Mz — перерезывающая сила и изгибающий момент; kz — изменение
кривизны стержня; ср — определенная в § 5.1 скорость распростране-
распространения продольных волн; Е — модуль Юнга 3) материала стержня. При
этом в соотношениях B.1.1) с* = ср.
Далее везде штрихи в обозначении безразмерных величин, как
обычно, опускаем и без ограничения общности полагаем, что внешний
погонный изгибающий момент равен нулю: mz = 0.
В переменных E.2.1) физические и кинематические соотношения
(А.9.31) и (А.9.32), а также связь (А.9.33) перерезывающей силы с из-
1) Бернулли (Bernoulli J., 1654-1705) — швейцарский математик и механик.
2) Тимошенко СП. A878-1972) — ученый в области теоретической и при-
прикладной механики.
3) Юнг (Young Т., 1773-1829) - английский ученый.
5.2] Начальные возмущения в бесконечном стержне 177
гибающим моментом приобретают вид
M = x = fi,x = w,xx, ti = wiX, Q = -MiX, E.2.2)
где w = щ и $ = dz — прогиб и угол поворота поперечного сечения
балки относительно оси Cz.
В этом параграфе остановимся на вопросе о распространении на-
начальных возмущений в бесконечной балке. Эта модельная задач да-
дает общее представление о характере соответствующего динамического
процесса.
Для бесконечной балки в качестве характерного размера удобно
выбрать радиус инерции сечения: L = iz. Тогда из (А.9.36) получаем
безразмерный вид уравнения движения балки Бернулли:
^ , xeR. E.2.3)
гд ^ + д, xeR.
ох
Это уравнение вместе с начальными условиями (см. (А.9.34))
™\T=0 = (P(X)i ™\t=0=^(X) E-2-4)
образуют начальную задачу Коши.
Введем функцию влияния для перемещения Gw(x,t) = ги(ж,т),
как функцию, удовлетворяющую задаче E.2.3), E.2.4) при следующих
возмущениях (см. § 1.4):
q(x, г) = 6(хN(т), (р(х) = ф(х) = 0. E.2.5)
С ее использованием прогиб и внутренние силовые факторы, со-
соответствующие задаче E.2.3), E.2.4), определяются так (см. A.4.4)
и A.4.15)):
w(x,t) = Gw(x,t) **р(ж,г) + Gw(x,t) * (р(х) + Gw(x,t) * ф(х);
E.2.6)
M(ж, г) = б?м(ж, г) ** р(х, г) + GM(x, г) * (р(х) + б?м(ж, г) * г/>(х),
E.2.7)
Q(x, т) = Gq(x, т) ** р(х, т) + Gq(x, т) * (р(х) + Gq(x, т) * ф(х),
где Gm(x,t) и Gq(x,t) — функции влияния для момента и перере-
перерезывающей силы, которые, как следует из E.2.2), имеют вид
l. E.2.8)
Для определения функции б?го(ж,г) применяем к задаче E.2.3),
E.2.4) с учетом E.2.5) преобразования Фурье по пространственной
координате х и Лапласа по времени г (все обозначения стандартные,
см. § В.1 и В.2). В результате получаем
GLwF{q,s) = ^-^ E.2.9)
s + q
178 Волны в стержнях и пластинах [ Гл. 5
Оригинал этой функции находим последовательным обращением
преобразований. В начале с помощью табл. В.2.2 приходим к следую-
следующему изображению Фурье:
GZ(q, г) = ( -* ) = -1 sin (q2r) . E.2.10)
\s +q J q
Далее, используя табл. 2.1.2, окончательно получаем оригинал
функции влияния:
Gw(x,t) = rl/2gw(e), E 2 11)
где
S(x) = [ sin ^- dt, C(x) = [ cos ^ dt, E.2.12)
о о
— интегралы Френеля г) [57].
Непосредственным дифференцированием выражения E.2.11) по
пространственной координате с использованием E.2.8) находим функ-
функции влияния для момента и перерезывающей силы
GM(x,T)=T-1/2gM(e), gM(?) = -irsm(?-j); E.2.13)
x,T) = T+1gQ(e), gQ(s) = -^|sin (e + j) . E.2.14)
Затем, вычисляя производную по времени от E.2.11), E.2.13) и
E.2.14), получаем
/ i( ) E.2.15)
GM(x,r)=r-3/2fM(e),
E.2.16)
]) Френель (Fresnel A.J., 1788-1827) — французский физик.
5.2]
Начальные возмущения в бесконечном стержне
179
Характерной особенностью полученных функций влияния и их про-
производных по времени является, то, что их амплитуды изменяются
пропорционально соответствующей степени та, как функции е они
остаются неизменными. Например, амплитуда прогиба растет пропор-
пропорционально л/т . Причем при х = 0 имеет место равенство
1
E.2.18)
На рисунке 5.2.1 представлена пространственно-временная зависи-
зависимость функции влияния для прогиба Gw(x, r), которая показывает, что
она является быстро убывающей
при ? —>• оо осциллирующей функ-
функцией.
Рисунки 5.2.2 и 5.2.3 дают
представление о временной и про-
пространственной зависимости проги-
прогиба Gw(x,t) в характерных точках
стержня.
Для решения задачи E.2.3),
E.2.4) при произвольных возмуще-
возмущениях д(ж,т), (р(х) и ф(х) необхо-
необходимо провести интегрирование по
формулам E.2.6) и E.2.7). Наиболее просто это делается в случае
финитности возмущений, так как пределы в интегралах при этом будут
конечными.
-5 -10
Рис. 5.2.1
Рис. 5.2.2
Рис. 5.2.3
Пример 5.2.1. Определить прогиб и изгибающий момент в беско-
бесконечной балке Бернулли при отсутствии погонной нагрузки и следую-
следующих начальных возмущениях:
wL_n =
180
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
Решение. Для определения прогиба используем соотношение
E.2.6) с учетом носителя функции (р(х) и формулы E.2.15):
w(x,t)=
sin
-2
4т
, 7Г
+ -
4
Последний интеграл является неберущимся, поэтому его вычисле-
вычисление производится численно. На рис. 5.2.4 представлена соответствую-
соответствующая пространственно-временная зависимость прогиба балки w(x,r).
Изгибающий момент находим по первой формуле в E.2.7)
М(х,т) = J G
-2
где функция Gm(x,t) определяется равенством E.2.16).
-Ю
Рис. 5.2.4
Рис. 5.2.5
На рис. 5.2.5 представлена пространственно-временная зависимость
изгибающего момента М(х,т). Необходимо отметить, что в силу
неограниченности стержня глобальные экстремумы изгибающего мо-
момента соответствует начальному моменту времени г = 0.
5.3. Поперечные колебания балки конечных
размеров
Для конечной балки в качестве характерного размера L в B.2.1)
и E.2.1) удобнее выбрать ее длину. Тогда вместо E.2.3) из (А.9.36)
получаем следующую безразмерную форму уравнения движения:
7 w = —
дх4
E.3.1)
Связь внутренних силовых факторов с кинематическими пара-
параметрами и начальные условия сохраняют соответственно вид E.2.2)
и E.2.4).
5.3] Поперечные колебания балки конечных размеров 181
В этом параграфе остановимся на задаче о распространении в од-
нопролетной балке поперечных погонных и начальных возмущений.
Под однопролетной понимаем такую балку, у которой опоры могут
быть только на ее концах. Соответствующие граничные условия, об-
образующие вместе с E.3.1) и E.2.4) начально-краевую задачу, запишем
в обобщенном виде
М«01х=о=° (i = 1'2)' M*")|x=1=0 0'=3,4), E.3.2)
где Lj(w) — линейные обыкновенные дифференциальные операторы
с постоянными коэффициентами:
д w
>
—г?
дх
Р / аю «11 «12 «13 ] _ р [ «зо «3i «32 «зз | _ 2
S у «20 «21 «22 «23 у \ «40 «41 «42 «43 /
Граничные условия E.3.2) включают в себя основные кинематиче-
кинематические и динамические (силовые) условия (А.9.25) и (А.9.26). Например,
заделке левого конца балки
Ч=о=О. w,x\x=o = 0 E.3.4)
отвечают операторы Li(w) и L2(w) с коэффициентами аю = «21 — 1?
«11 = «12 = «13 = 0 И «20 = «22 = «23 = 0.
Согласно A.4.4), A.4.15) и A.4.27) решение задачи E.3.1), E.3.2),
E.2.4) аналогично E.2.6) и E.2.7) может быть представлено в виде
(см. также § 2.4, 3.4 и 4.4)
1
w(x,t) = |С™(ж,т; О*:
о
2 I
¦7
о
М(ж, г) = J GM(x, г; О * р(?, г)
182 Волны в стержнях и пластинах [Гл. 5
• E-3.
Здесь Gw{x,t\ ?) — функция влияния для перемещения, удовле-
удовлетворяющая задаче:
72Gw=-^+S(t)S(x-Z); E-3.7)
Gw(x,t)\t=o=O, Gw(x,t) =0; E.3.8)
Lj{Gw)\x=o=O (j = 1,2), Ь№„)\х=0=0 (j=3,4), E.3.9)
а б?л/(ж,г; ?) и Gq(x,t; ?) — функции влияния для момента и пере-
перерезывающей силы, которые определяются соотношениями E.2.8).
Для построения решения задачи E.3.7)-E.3.9) используем метод
разделения переменных (см. § 1.5). Представляя искомую функцию
в виде
Gw(x, г; О = Х(х)Т(т), E.3.10)
получаем задачу на собственные значения (Л — константа разделения)
Xw - XX = 0; E.3.11)
o=° (i = 3,4). E.3.12)
Эта задача при выполнении некоторых условий для операторов Lj
(см. § 1.5 и [49, 56]) имеет счетный неотрицательный спектр {Лп}
и соответствующую ему полную ортогональную в L<i([0,1]; 1) систему
собственных функций {Хп(х)}. Эти же свойства могут быть доказаны
аналогично тому, как это сделано в § 1.5 для линейно упругой среды,
с помощью энергетических теорем.
Найдем решение задачи E.3.11), E.3.12). При Л > 0 общее решение
уравнения E.3.11) можно записать так:
Х(х) = С\ cos /ix + C<i sin /ix + Сз ch цх + С± sh /хж, ц = уЛ ,
E.3.13)
где Ck (к = 1, 2, 3, 4) — постоянные интегрирования.
Однако оказывается, что решение удобнее представить в виде
Х(х) = J2 CkSk(fix), E.3.14)
5.3]
Поперечные колебания балки конечных размеров
183
где {Sk{/J>x)} — нормальная фундаментальная система решений урав-
уравнения E.3.11), удовлетворяющая дополнительным условиям (см. также
табл. 5.3.1)
j = 1,2,3,4).
E.3.15)
Таблица 5.3.1
Si @) = 1
S2@)=0
53@)=0
54@) =0
5{@)=0
S'2@) = l
S'3@) =0
5J@) =0
5j'@)=0
5^'@)=0
5J'@) = 1
S4'@)=0
5J"(O) = 0
S?"(°) = 0
5J"@) = 0
S4"@) = 1
Нетрудно проверить, что условия E.3.14) выполняются для фун-
фундаментальной системы решений {Sk{/J>x)}, образованной функциями
Крылова г) (балочными функциями)
Si (ж) = - (ch х + cos x), *?2 (х) = - (sh ж + sin ж),
?>з(х) = - (chx — cos ж), S^(x) = - (shx — sin ж).
E.3.16)
Приведем ряд полезных свойств этих функций. Прежде всего, ука-
укажем формулы перехода к удвоенному аргументу:
= 2 [
S3Bx) = 4^(
S4Bx) = 2
= 2 [Sf(x) + Sf (ж)
(ж) + 53(жM4(ж)],
= 2 [5|(Ж) + 542(ж)]
(a:) + S2(x)Ss(x)}.
E.3.17)
В табл. 5.3.2 дано вытекающее из определения E.3.16) правило диф-
дифференцирования. Оно же одновременно является и таблицей первооб-
первообразных.
Таблица 5.3.2
Si(x)
S4(x)
Sa(x)
Si(x)
Sa(x)
S,(x)
S4(x)
Sa(x)
Полученные с помощью этого правила и формул E.3.17) неопре-
неопределенные интегралы от произведений функций Крылова указаны
в табл. 5.3.3.
]) Крылов А.Н. A863-1945) — русский кораблестроитель, механик и мате-
математик, академик АН СССР (академик Петербургской АН с 1916 г.).
184
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
Таблица 5.3.3
S1(x)S2(x)
S1(x)S4(x)
S2(x)S3(x)
Ss(x)S4(x)
S1(x)S3(x)
S2(x)S4(x)
S%(x) + S2(x)S4(x)
SQu(x) + S1(x)Ss(x)
S%(x) + S2(x)S4(x)
Sl(x) + S1(x)S3(x)
Sl(x)
Sl(x)
\f{x)dx
5|(aj)/2 + C
S?(x)/2 + C
S2{x)S4{x)-Sl{x)/2 + C
S1(x)S3(x)-S^(x)/2 + C
S4Bx)/8 + С = [Si (x)S4(x) + S2(x)S3(x)}/4 + С
[S2Bx)-2x]/8 + C =
= [S1(x)S2(x) + Ss(x)S4(x) - x}/4 + С
S1(x)S2(x) + C
S2(x)Ss(x) + C
S3(x)S4(x) + C
S1(x)S4(x) + C
Si (x)S2(x) - [S2Bx) - 2я]/8 + С =
= [35i (x)S2(x) - S3(x)S4(x) + x]/4 + С
S2(x)Ss(x) - S4Bx)/8 + С =
= [SS2(x)Ss(x) - S1(x)S4(x)}/4 + С
S3(x)S4(x) - [S2Bx) - 2я]/8 + С =
= [SS3(x)S4(x) - Si (x)S2(x) + x}/4 + С
Si (x)S4(x) - S4Bx)/8 + С =
= [SS1(x)S4(x) - S2(x)Ss(x)}/4 + С
Преимущества нормальной фундаментальной системы проявляют-
проявляются при рассмотрении простых типов граничных условий E.3.2), в кото-
которых все операторы Lj содержат только по одному отличному от нуля
коэффициенту otjkj Ф 05 где по j суммирования нет, к\ ф k<i и кз ф к^.
Это соответствует заданию на краях балки кинематических (w,w^x)
и/или силовых факторов (Qy,Mz). Согласно E.3.15) общее решение
E.3.14) удовлетворяет однородным краевым условиям на левом конце
балки при Cfcj+i = С&2+1 — 0 и содержит только две постоянные Са
и Ср, где {а, /3} ф {к\ + 1, /^2 + 1} . Последние определяются из гра-
граничных условий в E.3.12) на правом конце стержня (х = 1):
5.3] Поперечные колебания балки конечных размеров 185
E.3.18)
)
В силу однородности системы линейных алгебраических уравнений
E.3.16) для существования ее нетривиального решения необходимо
и достаточно, чтобы определитель ее матрицы равнялся нулю, что
приводит к уравнению относительно /in (n Е N)
S^>(Ai)Sj*4)M - Si^MS^M = 0. E.3.19)
Определяя из любого уравнения в E.3.18) соотношение между кон-
константами Са и Ср, находим собственные функции (формы) Хп(х):
Хп(х) = Sa(finx) - Dn{iin)Sp{iinx), Dn(fi) = %уУт, E.3.20)
где v = к% или v = к4.
Отметим, что ортогональность на отрезке [0, 1] с единичным весом
этой системы функций может быть проверена непосредственным инте-
интегрированием.
В общем случае граничных условий учитываем, что, как следует из
E.3.3) и E.3.14),
Lj(X) = J2 <*jk E CiS\k\iix) = Е f E OLjks\k\iix)\Ci. E.3.21)
А:=0 1 = 1 1=1 \-k=0 J
Подстановка этих равенств в E.3.12) с учетом E.3.15) приводит
к системе уравнений:
АС = О,
E.3.22)
С = (Ci, С2, С3, С4) , А = (aijLx4i
где j = 1,2, 3,4,
aij=aiij-1 (г = 1,2), a{j = E aiksf\ii) (г = 3,4). E.3.23)
Уравнение для определения jin (n G N) в этом случае имеет вид
detA = 0. E.3.24)
Собственные функции Хп(х), соответствующие fin (n G N), на-
находятся подстановкой линейно независимых нетривиальных решений
системы E.3.22) при ц = цп в формулу E.3.14).
186 Волны в стержнях и пластинах [ Гл. 5
При Л = 0 общее решение уравнения E.3.11) может быть записано
как линейная комбинация степенных функций:
4
Х0(х) = Ci + С2х + С3х2 + C4xs = Y, Cix1'1. E.3.25)
1=1
Учитывая значения операторов E.3.3) на этой функции
Lj(X0)=J:aikxiik)(x)=J:aik ? С, {[ ~ ^ , х1'^ =
к=0 к=0 l=k+l V }'
i=i к=о [l J k>-
и удовлетворяя граничным условиям E.3.12), опять приходим к систе-
системе уравнений E.3.22) относительно постоянных С к (j = 1, 2, 3, 4):
aij = (j - 1)\аи-! (i = 1,2),
J-1 a.. E.3.27)
«, = «-i)!Eo^ (i = 3'4)-
Условие существования собственного числа Ло = 0 есть равенство
E.3.24) нулю определителя матрицы этой системы уравнений, что
возможно только при определенном типе граничных условий. В силу
условия в E.3.3) на параметры граничных условий Rg A ^ 2, и крат-
кратность (см. § 1.5) собственного значения Л = 0 не может быть больше
двух, что соответствует двум степеням свободы балки как абсолютно
жесткого тела. Собственные функции находятся так же, как и в случае
ненулевого собственного значения. Однако при кратности собственного
значения, равной двум, пара функций, полученных из E.3.25), может
не быть ортогональной. Поэтому для нее необходим процесс ортогона-
лизации.
Отметим, что построение системы уравнений E.3.18) или E.3.22),
как правило, удобнее проводить непосредственно в каждой конкрет-
конкретной задаче, не используя общие формулы E.3.19), E.3.20), E.3.23)
и E.3.27).
Если собственные функции и собственные значения, соответствую-
соответствующие E.3.11) и E.3.12), найдены, то, согласно A.5.15) и A.5.16), решение
задачи E.3.7)-E.3.9) представляем в виде ряда Фурье:
Gw{x,t; i)=Y,Gn{T; Z)Xn{x). E.3.28)
П
Очевидно, коэффициенты Gn{r\ ?) этого ряда с точностью до фор-
формул для собственных частот совпадают с определенными в § 2.6 функ-
функциями. Следовательно, резюмируя результаты, приведенные в B.6.30)-
B.6.38), получаем
5.3] Поперечные колебания балки конечных размеров 187
<?о(т; ?) = ao(?)r+5 Gn(r; ?) = !? ' Н(т) sin o;nr, o;n = —,
7 ^n 7
! E.3.29)
Функции влияния для внутренних силовых факторов находим по
формулам E.2.8) с использованием E.3.28):
E.3.30)
t- ?)=?Сп(т; O*Q«(*),
n
где
XMn(x) = Х'^х), XQn(x) = -Х^{х) = -Х'Мп(х). E.3.31)
Производные по времени от построенных функций влияния опре-
определяется обычным образом:
n(x), E.3.32)
п
Gq(x,t; ^) = ^Gn(r; t)XQn(x).
П
Построим системы собственных чисел и форм для наиболее часто
встречающиеся типов краевых условий.
А. Свободно опертая балка. Этому случаю соответствуют
условия шарнирного опирания обоих концов:
w\x=0 = w
x=1 = 0, М\х=0 = w,xx\x=0 =0,
М\х=1 = w,xx\x=1 = 0.
(o.o.ooj
Поскольку fei = &з = 0 и &2 = ^4 = 2, то, согласно E.3.33) и E.3.15)
(см. также табл. 5.3.1), однородным граничным условиям на левом
конце стержня удовлетворяют функции $2 (//ж) и *^4(мжM т-е- ^ — 2,
/3 = 4, и уравнение E.3.19) сводится к равенству
fi) = 0, E.3.34)
которое с учетом E.3.17) и E.3.16) сводится к уравнению
Sl(ii) - Sl(ii) = sh ii sin ii = 0.
Так как sh /i > 0 для любых /i > 0, то оно эквивалентно уравнению
sin/i = 0, E.3.35)
188 Волны в стержнях и пластинах [ Гл. 5
которое, очевидно, имеет следующие положительные корни:
/in = 7m (neN). E.3.36)
Определяя с помощью E.3.20), где v = 0, E.3.16) и E.3.35)
находим соответствующие собственные формы:
Хп(х) = sin/inz. E.3.37)
Как вытекает из сравнения с B.6.45) и B.6.46), эти системы соб-
собственных форм и значений совпадают с соответствующими системами
для закрепленного упругого слоя (стержня) при плоских (продольных)
колебаниях последнего. И из B.6.46) находим, что здесь также
||Х„||2 = \. E.3.38)
При Л = 0 из E.3.25) получаем
Х@) = d = 0, Х"@) = С3 = 0,
E.3.39)
Эта система уравнений имеет только тривиальное решение. Следо-
Следовательно, Л = 0 не является собственным числом.
Б. Балка со свободными концами. Этому варианту от-
отвечают граничные условия
М\х=0 = w%\x=0 =0, М\х=1 = <м|я=1 =0,
E.3.40)
Q\x=o = ~w"Lx L=o = °' Q\x=i = ~w"Lx L=i = °-
согласно которым в общее решение E.3.14) входят функции Крылова
Siifix) и S2(fJix) (кг = 2, к2 = 3 и а = 1, /3 = 2, см. табл. 5.3.1 и E.3.16)).
При этом соответствующее положительным собственным значени-
значениям уравнение E.3.19) приобретает вид (к% = 2, к^ = 3)
Si'M^'M - Si"(Ai)S?M = 5|(p) - 52(МM4(м) = 0, E.3.41)
где учтено указанное в табл. 5.3.2 правило дифференцирования.
После подстановки в E.3.41) равенств E.3.16) оно переходит в сле-
следующее трансцендентное уравнение:
ch/icos/i- 1 = 0. E.3.42)
Его корни есть абсциссы точек пересечения графиков функций
sec ц и ch ц. Соответствующая качественная картина представлена на
рис. 5.3.1 (здесь графики этих функций для наглядности даны в разном
5.3]
Поперечные колебания балки конечных размеров
189
масштабе). Из свойств sec/i и ch/i вытекает, что множество корней
уравнения E.3.42) счетно, и справедливы оценки
| Dk -
2тгк
1), к G TV.
E.3.43)
Рис. 5.3.1
Более того, в приближенных вычислениях можно положить
P2*-i« JD*-l), A*2*« JD* + l), &eW. E.3.44)
Этот факт подтверждается значениями найденных численно с точ-
точностью до третьего знака после запятой шести первых ненулевых кор-
корней уравнения E.3.42), которые приведены в табл. 5.3.4.
Таблица 5.3.4
п
1
4,730
2
7,853
3
10,996
4
14,137
5
17,279
6
20,420
Учитывая, что, как следует из E.3.41)-E.3.43), E.3.20) и E.3.16)
и табл. 5.3.2,
190
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
ch/in =
1
cos fin
, sh/in = |tg/in| , cos/in > 0,
sin jin =
< 0 при n = 2k - 1,
> 0 при n = 2k,
E.3.45)
-tg'
при n = 2k — 1,
ctg ^ при n = 2k {ke N).
находим собственные формы колебаний
Хп(х) = S1(finx) - Dn(fin)
E.3.46)
Квадрат нормы этих функций определяются вычислением соответ-
соответствующих интегралов с помощью табл. 5.3.3 и последующих преобра-
преобразований с использованием E.3.16), E.3.17) и E.3.41):
1
„||2 = \х2п(х) dx = -!_ \\
ХпA) =
E.3.47)
Укажем также значения собственных форм на концах балки. Как
вытекает из E.3.41)-E.3.46) и E.3.16), имеют место равенства
Хп@) = 1,
V ; E.3.48)
{1 при п = 2к — 1,
-1 при п = 2к (к е N) .
Первые три собственные фор-
формы E.3.46) колебаний балки со сво-
свободными концами представлены на
рис. 5.3.2.
При Л = 0, подставляя E.3.25)
в граничные условия E.3.40), полу-
получаем систему уравнений:
1,0-
0,5-
0,0
-0,5-
-1,0-
71=1
Рис. 5.3.2
С3 = 0, С3 + С4 = 0,
С4 = 0.
Следовательно, общее решение E.3.25) имеет вид
E.3.49)
E.3.50)
5.3]
Поперечные колебания балки конечных размеров
191
т. е. является линейной комбинацией двух линейно независимых (соб-
(собственных) функций 1 и ж. Таким образом, Ло = 0 имеет кратность,
равную двум. При этом форма Xq(x) = 1 есть перемещение вдоль
оси Оу, a Xq(x) = х — синус угла поворота вокруг оси Oz балки
как абсолютно жесткого тела. В результате процесса ортогонализации
системы функций {1, ж} получаем
Х00(х) =
Х01(х) = х- -.
Квадраты норм этих функций имеют вид
E.3.51)
LOO =
.
E.3.52)
W
x=0
Отметим, что рассмотренная задача может интерпретироваться как
колебания балки, плавающей в жидкости с равной плотностью, и яв-
является простейшей моделью для поперечных колебаний плавающего
судна и т. д.
В. Балка с заделанными краями. Здесь к E.3.4) необхо-
необходимо добавить аналогичные условия на правом конце балки
wiX\x=1 = 0, E.3.53)
В этом случае к\ = 0, &2 = 1 и а = 3, /3 = 4 (см. табл. 5.3.1 и E.3.16)).
Соответственно в общее решение E.3.14) входят функции Крылова
Ss(fJix) и S^(nx), и уравнение E.3.19) для положительных собственных
значений, как следует из E.3.19) и табл. 5.3.2, совпадает с E.3.41):
Таким образом, собственные значения для этого варианта гранич-
граничных условий и рассмотренной в предыдущем пункте задачи о колеба-
колебаниях балки со свободными кон-
концами совпадают и есть корни
уравнения E.3.42) (см. также
табл. 5.3.4).
Соответствующие собствен-
собственные формы определяются следу-
следующим из E.3.20) равенством:
Хп(х) = Ss{fJLnx) -
-Dn(iin)S4(iinx), E.3.55)
0,8-
0,6-
0,4-
0,2-
0,0
-0,2-
-0,4-
-0,6-
0,2
п = Ъ
Рис. 5.3.3
где коэффициент Dn(fin) совпа-
совпадает с указанным в E.3.45).
Вычисление квадрата нормы этих функций показывает, что он сов-
совпадает с E.3.47).
Соответствующие первые три собственные формы представлены на
рис. 5.3.3.
192 Волны в стержнях и пластинах [Гл. 5
Предоставляем читателю, аналогично случаю А, доказать, в общем,
очевидный факт, что для балки с заделанными концами Ло = 0 не
является собственным значением.
Рассмотрим ряд примеров на использование полученных соотноше-
соотношений.
Пример 5.3.1 (свободные колебания балки). Определить прогиб
свободно опертой балки при кинематическом ударе по находящейся
в середине пролета площадке ширины 6, под которым понимается зада-
задание в начальный момент времени на указанной площадке скорости vq.
Считать, что начальная форма балки прямолинейная и vq = const.
В расчетах принять vq = 1, 7 — 50, b = 0,01.
Решение. Условия задачи соответствуют следующим правым ча-
частям уравнения E.3.1) и начальных условий E.2.4)
р(х Т\ = q
г / 1-ь\ / ы-щ E-3-56)
(f(x) = 0, tp(x) = vo \Н ( х — ) — Н ( х — ) .
Тогда, согласно E.3.5), прогиб w(x,t) определяется так:
E.3.57)
В соответствии с E.3.33) и E.3.34) функция влияния задачи Gw
совпадает с найденной в примере 2.6.1 функцией G:
Gw(x,t; 0 = G(x,t; 0 =
= 2Н(т)^2 —^-^-sin finT sin finx (fin = тгп) . E.3.58)
n=i Vn
Подставляя E.3.58) в E.3.55) и вычисляя интегралы, получаем
w(x,t) =47^o#(t) X) ^-sin^sin^sin/^zsin^. E.3.59)
n=l Vn - - 7
При малых размерах площадки (b <^С 1) sin ^—— « f^_^ и из E.3.59)
получаем приближенную формулу для прогиба:
оо 1 2
w(x, г) = S^Svo У^ —s- sin — sin /inx sin !-^—t E.3.60)
n=i »n 2 7
На рис. 5.3.4 представлена пространственно-временная зависимость
прогиба балки w(x,t). Из него следует, что балка совершает сложные
пространственно-временные колебания. При этом возбуждаются как
низкочастотные, так и высокочастотные колебания. Наиболее отчетли-
5.3]
Поперечные колебания балки конечных размеров
193
0,8
0,08-
0,06-
0,04-
0,02-
0,00"
w
f
i—¦лдД,
/x = 0,5
/
у,/ т
2 3 4 5
Рис. 5.3.5
во этот факт иллюстрируют рисунки 5.3.5 и 5.3.6, на которых пред-
представлены временные и пространственные зависимости прогиба балки
соответственно в характерных се-
сечениях и фиксированные моменты
времени.
Пример 5.3.2 (вынужденные
колебания балки). Определить про-
прогиб и изгибающий момент в балке 0,04
квадратного поперечного сечения
ширины h с заделанными краями
при внезапном приложении рав-
равномерно распределенной нагрузки
с5 г) = роН(т) и невозмущенном
0,08-
о,Об
0,02-
0,00
0,4
0,6
0,8
Рис. 5.3.6
начальном состоянии. В расчетах
принять: L/h = 10 и ро — 1-
Решение. Указанной в условии балке соответствуют геометриче-
геометрические характеристики (см. E.2.1))
. E.3.61)
С учетом однородных начальных условий ((р(х) = 0, ф(х) = 0)
и заданной погонной нагрузки прогиб балки определяется вытекающим
из E.3.5) соотношением
г 1
w(x, г) = ро J J Gw (ж, г - t- О d? dt,
о о
E.3.62)
Функция влияния Gw (ж, г; ?), согласно E.3.28) и E.3.29), имеет вид
Sin LJnT
E.3.63)
где числа /in, собственные формы и их норма задаются уравнением
E.3.42), равенствами E.3.55) и E.3.47) соответственно.
7 А. Г. Горшков и др.
194
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
Подставляя E.3.63) в E.3.62), получаем
w(x, т) = -16ро Е ~^— tg ^ Х2п.1(х) sin2 (^1 г) . E.3.64)
Учитывая, что, как следует из E.3.55), E.3.45) и E.3.16) и табл. 5.3.2,
1 1
Оп{цп)] =
E.3.65)
Изгибающий момент аналогично E.3.30) определятся дифференци-
дифференцированием ряда E.3.64)
о
М(Х, T)=
Sin2
^1 г) ,
2 У
E.3.66)
дх ^ ^„j
где (см. табл. 5.3.2)
Хмп(^) = Х?(х) = filiS^finx) - Dn(nn)S2(iinx)]. E.3.67)
Отметим, что функция Хмп(х) совпадает с задаваемой формулой
E.3.46) собственной формой Хп(х) для балки со свободными концами.
На рис. 5.3.7 представлена пространственно-временная картина из-
изменения прогиба w(x,t). Соответствующие временные и простран-
пространственные зависимости изображены на рисунках 5.3.8 и 5.3.9.
0,004
0,002
О 0,0
Рис. 5.3.7
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Рис. 5.3.8
Пространственно-временная картина изменения изгибающего мо-
момента М(х,т) представлена на рис. 5.3.10. Рисунки 5.3.11 и 5.3.12 де-
демонстрируют соответствующие временные и пространственные зави-
зависимости.
5.4]
Распространение граничных возмущений в балках
195
w
0,005-
0,004-
0,003-
0,002-
0,001-
A AAA
/
/ \
I/ \\
/ x\
0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 5.3.9
0,15
0,10
0,05
0,00
-0,05
M
A
&
JJjy
20^>
^ x
1,0
15
T
10 ^^~\^^
5 о
Рис.5.
As
.^^A С 1
^^^^04 °'6
0 °'2 ' x
3.10
-0,05-
-0,05-
1,0
Рис. 5.3.11
Рис. 5.3.12
При вычислениях в формулах E.3.64) и E.3.66) удерживалось 10
членов рядов Фурье.
5.4. Распространение граничных возмущений
в балках
Рассмотрим особенности задач о распространении граничных воз-
возмущений (см. гл. 1) в балке Вернул л и конечных размеров. Соответству-
Соответствующие однородные уравнения и начальные условия вытекают из E.3.1)
и E.2.4)
d4w
w
T=0
r=0 = °-
E.4.1)
E.4.2)
Неоднородные граничные условия запишем в обобщенном виде с ис-
использование операторов в E.3.2):
LjH\x=Xi=Qj{T) (j = l,2,3,4; г = 0,1; х0 = 0, х, = 1). E.4.3)
В силу линейности задачи E.4.1)—E.4.3) ее решение можно предста-
представить в виде
4
w(x,t) = J2 wk(x,r), E.4.4)
7*
196 Волны в стержнях и пластинах [ Гл. 5
где функции wk(x,r) удовлетворяют уравнению E.4.1), начальным
условиям E.4.2) и граничным условиям Fkj — символ Кронекера)
Lj(wk)\x=Xi=SkjQj(T) (j,fc = l, 2, 3,4; г = 0,1). E.4.5)
Используя процедуру A.2.11)—A.2.13) перехода к однородным гра-
граничным условиям, представляем искомую функцию в виде суммы
wk(x, г) = ик(х, т) + wk*(x, r), E.4.6)
где wk* удовлетворяет граничным условиям E.4.5), а ик есть решение
следующей задачи:
-v2?/i — \ г), (т tV E 4 7)
uk\T=Q = <pk(x), uk\T=0 = ipk(x); E.4.8)
LAuk)\ =0 (j = 1, 2, 3,4; г = 0,1). E.4.9)
J V Л / I X^XA ^*' 7 7 7 7 7/ \ /
Здесь
P - 7 Wfc* dx4 » E.4.10)
<^(ж) = - го;
Функцию wk* разыскиваем в виде многочлена A.2.16) по перемен-
переменной х (по индексу к суммирования нет):
з
wk*(x, т) = qk(r)fk(x), fk(x) = J2 dkix1. E.4.11)
/=o
Его коэффициенты есть решение системы линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений (см. A.2.17))
= bfc, A = (aijLx4,
E.4.12)
, hk = (bku bk2, bk3, bk4)T , bkj = 5kj,
где элементы матрицы А определяются равенствами E.3.27).
Используя теперь формулы E.4.4) и A.4.24), с учетом того, что
в данном случае
Аж<и, = -^*1=о, E.4.13)
ОХ
окончательно получаем
\
k=i L o
где Gw — определенная в § 5.3 функция влияния для перемещения.
5.4] Распространение граничных возмущений в балках 197
Ядро свертки в E.4.14) находим непосредственным дифференциро-
дифференцированием соотношений E.3.28) с учетом E.3.29):
Gw{x,т; О = ?3„(т; Z)Xn{x), E.4.15)
П
где
E.4.16)
sin o;nr] (n G TV),
а Хп(ж) — собственные формы колебаний балки с граничными услови-
условиями E.4.9).
Выражения для внутренних силовых факторов получаем из E.2.2),
E.4.14)-E.4.1б) с учетом E.3.30) и E.3.31):
М(х,т) =
ох
= ? [29*М (dk2 + Sdkax) - 72 f GM(x, t;
L Jo
E.4.17)
Q(x, r) = -^ = J2 \-6Qk(T)dk3 + 72 [ GQ(x, т; О * qk(T)fk(O <%] ,
E.4.18)
где
E.4.19)
Рассмотрим пример на использование полученных соотношений.
Пример 5.4.1. Определить прогиб и изгибающий момент в кон-
консольной балке при внезапном приложении на ее свободном крае изги-
изгибающего момента Н(т). В расчетах положить 7 = 20\/3.
Решение. Граничные условия для такой балки имеют вид
E.4.20)
М\х=1 = w"xx\x=1 = Н(т), Q\x=1 = - w%x,x
= 0.
x=l
Среди них только одно является неоднородным. Соответственно
в сумме E.4.4) лишь одно слагаемое ненулевое. В его обозначении далее
в этом примере индекс опускаем.
198
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
Найдем соответствующие собственные значения и формы, полагая,
естественно, граничные условия E.4.20) полностью однородными. В об-
общее решение E.3.14) входят функции Крылова Ss(l^x) и S^(jix) (k\ = 0,
&2 = 1 и а = 3, /3 = 4, см. табл. 5.3.1 и E.3.16)). При этом отвечающее
положительным собственным значениям уравнение E.3.19) приобрета-
приобретает вид (&з = 2, &4 = 3)
м) = 0, E.4.21)
где учтено указанное в табл. 5.3.2 правило дифференцирования.
После подстановки в E.4.21) равенств E.3.16) оно переходит в сле-
следующее трансцендентное уравнение:
ch/icos/i + 1 = 0. E.4.22)
Его корни есть абсциссы точек пересечения графиков функций sec /i
и (—ch/i). Анализ, аналогичный тому, который был проведен в §5.3
для балки со свободными концами, показывает, что множество корней
уравнения E.4.22) счетно, и справедливы оценки:
|Dfc-3) < fl2k-l <7TBfc-l),
7гB& - 1) < /i2A; < - Dfc - 1), к в N.
В приближенных вычислениях можно положить
n-Dfc-l), к в N.
E.4.23)
E.4.24)
Шесть первых ненулевых корней уравнения E.4.22), найденные
численно с точностью до третьего знака после запятой, приведены
в табл. 5.4.1.
Таблица 5.4.1
п
1
1,875
2
4,694
3
7,855
4
10,996
5
14,137
6
17,279
Учитывая, что, как следует из E.4.22) и E.4.23), E.3.20) и E.3.16)
и табл. 5.3.2,
h , sh/in = |tg/in|, cos/in<0,
COS fJLfx
Г > 0 при п = 2к-1,
sin ап = < . п о/
^п 1 < 0 при п = 2к,
E.4.25)
ctg
при n = 2k — 1,
при п = 2к (к е N) .
5.4]
Распространение граничных возмущений в балках
199
получаем собственные формы колебаний
Хп(х) = S3(finx) - Dn(fj,n)S4(finx). E.4.26)
Квадрат нормы этих функций находится аналогично E.3.47):
1
l{x)dx = -±- [\ [353(а*пM4(аО - SMS2(»n)} + ^~-
= \- E.4.27)
Как вытекает из E.4.21)-E.4.2б) и E.3.16), для значений собствен-
собственных форм на концах балки имеют место равенства
ХпA) =
Х„@)=0,
при
при
E.4.28)
п = Ik — 1,
п = 2к (к в N) .
На рис. 5.4.1 представлены первые три формы колебаний консоль-
консольной балки.
Предоставляем читателю ана-
аналогично случаю А § 5.3 доказать,
что для консольной балки Ло = 0 не
является собственным значением.
Частное решение задачи ищем
в виде многочлена E.4.11)
wJx,t) =
= H(r)(do
1,0-
0,5-
0,0
-0,5-
-1,0-
Рис. 5.4.1
d2x2 + d3x3).
E.4.29)
Его коэффициенты d\ — решение системы уравнений E.4.12), кон-
конкретный вид которой получается после подстановки E.4.29) в гранич-
граничные условия E.4.20):
d0 = 0, di = 0, 2d2 = 1, d3 = 0. E.4.30)
Следовательно, частное решение имеет вид
».(v) = yHW E-4-31)
Далее учитывая E.4.15)-E.4.1б), E.4.27) и полагая в соответствии
с E.4.11) и E.4.31) q(r) = Н(т) и f(x) = ж2/2, вычисляем входящий в
200 Волны в стержнях и пластинах [Гл. 5
E.4.14) интеграл
1
72 \UW(X,T; ?;)*li{T)J{?;)d?; = - V [0{Т) - ti {T)Un Sin
n=i
jGw(x,r;
3
Н(т) °° Г } 1
* Н(т)ЬпХп(х) = —}-!- V 1 - uon sinuon(r - t) dt\ bnXn(x) =
n=l L о J
, E.4.32)
где
l li
bn = 2 f an@/@ d? = —i-j [ Xn@€2 ^ = 4 f Xn@^2 ^- E.4.33)
о ||Хп|1 о о
Последний интеграл вычисляем, подставляя в него E.4.26), дважды
интегрируя по частям и используя табл. 5.3.2. В результате, дополни-
дополнительно принимая во внимание E.4.34), получаем
, _ 2 sh /лп cos /Лп + ch /лп sin /лп _
j/n Ch fJLn + COS fJLn
2 f ^§ 9 ПРИ ^i = 2fc — 1,
"^- при n = 2fc (fee TV). E-4-34)
Подставляя E.4.31) и E.4.32) в E.4.6), окончательно получаем фор-
формулу для прогиба балки:
E.4.35)
Изгибающий момент находим с помощью формулы в E.2.2), непо-
непосредственно дифференцируя E.4.35) и используя табл. 5.3.2:
М(х, т) = w,xx = Н(т) 1-? ЬпХмп(х) cos ипт , E.4.36)
L n=i J
где
ХМп(х) = Х'^х) = vl [S^x) - Dn(vn)S2(Vnx)}. E.4.37)
Приведенные ниже результаты расчетов получены с учетом ше-
шести членов рядов Фурье. На рис. 5.4.2 представлена пространственно-
временная зависимость прогиба w(x,r) балки. Рисунки 5.4.3 и 5.4.4
иллюстрируют временную и пространственную зависимости прогиба
в некоторых точках и в фиксированные моменты времени.
Пространственно-временная зависимость изгибающего момента
М(х,т) представлена на рис. 5.4.5. Необходимо отметить, что она
имеет сильно осциллирующий характер, чем объясняется малый
5.4]
Распространение граничных возмущений в балках
201
20 40 60 80
Рис. 5.4.3
100 120
временной интервал г Е [0, 3], на котором построен график. Такое
поведение графика связано с разрывным характером зпюры моментов
при г = 0 и соответствующей плохой сходимостью ряда в окрестности
разрыва.
0,2 0,4 0,6
Рис. 5.4.4
1,0
Рисунки 5.4.6 и 5.4.7 показывают временную и пространственную
зависимости изгибающего момента.
1,0-
0,5-
0,0-
-0,5-
-1,0
М х=1,0
л Г'
1 \
у \У \/ /
л!
Д\ х = 0,5
2,0^ 2?5 3,0
\ т
, = о\ Д
\п
1,0
0,8-
0,6
0,4-
0,2-
0,0
-0,2-
-0,4-
-0,6
М
А
Я \
/ V——
/Ч2
/ \
/
у^У^!/!
т = 2 / / /
/ т = 1 / /
/ / ^ = q/
\ >^ 7\ / / \ Jx
\ 0,4Х-0,6 0,8/ 1,0
>—/
Рис. 5.4.6
Рис. 5.4.7
Статический аналог рассмотренной задачи (см. E.4.31)) соответ-
соответствует чистому изгибу балки. При данном виде деформации в любом
поперечном сечении балки перерезывающая сила рана нулю, а изги-
изгибающий момент совпадает с внешним моментом М. В случае динами-
202 Волны в стержнях и пластинах [Гл. 5
ческой задачи, как следует из приведенных рисунков, это перестает
быть справедливым, и балка совершает незатухающие колебания около
равновесного состояния, соответствующего статическому решению.
5.5. Осесимметричные колебания бесконечной
пластины
Далее рассмотрим одномерные изгибные волны в тонких упругих
пластинах. Как следует из § А.7-А.9, одномерные волновые процессы
в пластинах в прямоугольной декартовой системе координат Ох\Хч%
(z = Ж3; z = 0 — уравнение срединной плоскости) и поперечные колеба-
колебания балок описываются одними и теми же начально-краевыми задача-
задачами. Поэтому имеет смысл рассматривать только симметричные отно-
относительно оси Oz (осесимметричные) колебания пластин, т.е. движения
с кинематическими параметрами и внутренними силовыми факторами,
зависящими только от времени и радиуса полярной системы координат
г, а (см. А.8.12). При этом из двух указанных в § А.7 математических
моделей ограничимся пластиной Кирхгофа г), выбор которой продик-
продиктован соображениями, изложенными в § 5.2.
В дополнение к B.1.1), где следует положить {г, j} = {г, а}, и C.1.4)
введем следующие безразмерные величины:
2LVS , pLs ._, Mi:jL щ QiL2 , T
D ' *¦» ч
E.5.1)
Здесь h и D — толщина и цилиндрическая жесткость пластины,
р — внешняя нормальная нагрузка, Qi и М^ — перерезывающие силы
и моменты, щ^ — изменения кривизны срединной плоскости пластины.
При этом в соотношениях B.1.1) с* = с\.
Далее, как обычно, штрихи в обозначениях безразмерных величин
опускаем.
В переменных E.5.1) кинематические и физические соотношения
(см. (А.8.15), (А.8.16), (А.8.21)), а также связи (А.8.22) перезывающих
сил с изгибающими моментами с учетом осесимметричного характера
процесса имеют вид
кгг = $ г = -w гг, кгос = 0, каос = - = '-,
r r E.5.2)
# w
М = Мгг = Кгг + ККаа. = $ г + к~ — ~w rr — к^~ч
д E.5.3)
Мга = 0, Маа = наа + якгг = нМ + A - х2) -;
]) Кирхгоф (Kirchhoff G., 1824-1887) — немецкий физик.
5.5] О сесимметричные колебания бесконечной пластины 203
Q = Qr = Mr + - (М - -^^д) =-1пггг-^^ + Щ-, Qa=0,
' г V г J ' г г
E.5.4)
где го = г^з, $ и $а — прогиб и углы поворота нормального к срединной
плоскости волокна пластины.
Поскольку момент Маа есть линейная комбинация М и $, то напря-
напряженно-деформированное состояние пластины полностью определяется
двумя кинематическими го, д и двумя силовыми М, Q параметрами.
В этом параграфе остановимся на исследовании распространения
начальных возмущений в бесконечной пластине. Для нее в качестве
линейного размера удобно взять величину L = /г/Bд/3). Тогда, как
вытекает из (А.7.16), уравнение движения имеет вид
E.5.5)
, ^.,.„ - д1?' г дг'
Оно вместе с начальными условиями
го|г_0 = (р (г), го|г_0 = ф (г) E.5.6)
образует начальную задачу.
Определим функцию влияния для перемещения Gw(r, t) как реше-
решение задачи
Gw = -A2GW + S (ал, x2) Sir); E.5.7)
= 0, E.5.8)
а также с помощью соотношений E.5.2)-E.5.4) функции влияния
G${r, т) и Gm(^: t), Gq{v, t) для угла поворота и внутренних силовых
факторов
dGw ^ч dGtf % ~ д Gw % dGw
дг ' "м ~ дг 1 г"*~ дг2 г дг '
E.5.9)
Зависимость функций влияния от радиуса г обеспечивается свойст-
свойством центральной симметрии (см. § Б.2) дельта-функции ?(#i,#2).
С помощью этих функций прогиб в задаче о нестационарном изгибе
бесконечной пластины можно представить так (см. A.4.1) и A.4.15)):
w(r,r) = Gw(r,r) * * *р(г,т) + Gw(r,r) ** (p(r) + Gw(r,r) ** ф(г),
E.5.10)
где свертки проводятся по двум декартовым координатам х\ и
204 Волны в стержнях и пластинах [Гл. 5
Формулу E.5.10) с помощью утверждения В.3.1 удобнее записать
так:
w(r, т) = J pGwa(r, т; р) * р(р, г) dp + J pGwa(r, т; р)р(р) dp +
о о
оо
+ J pGwa(r, r; p)^(p) dp, E.5.11)
где
G,
1
a(r, т; р) = 2 [ J__ Gw (V^2 + р2 - 2грг , г) dz. E.5.12)
J v 1 — z2 ^ '
-1
Очевидно, формулы, аналогичные E.5.10) и E.5.11), могут быть
записаны и для угла поворота, изгибающего момента и перерезываю-
перерезывающей силы. При этом функции G$a(r, r; p), GMa(r, r; р) и GQa(r, r; р)
определяются равенствами E.5.12) или E.5.9) с соответствующими
заменами индексов.
Отметим, что с помощью указанных функций влияния может быть
найдено решения двумерной задачи для бесконечной пластины с нор-
нормальной нагрузкой р (#i, #2, т) и начальными условиями
w\T=0 = (f (a:i, х2), ^|г=о = Ф (жь х2) • E.5.13)
Например, для прогиба в такой задаче имеет место равенство
w(xu ж2, г) = Gw(r, т) ** *р (a?i, ж2, г) +
+ Gw(r, г) ** (р(х1,х2) + 6?«,(г, г) ** tp(x1,x2). E.5.14)
Для углов поворота $i, изгибающих моментов Мц и перерезываю-
перерезывающих сил Qi (г, j = 1,2) в прямоугольной декартовой системе координат
интегральные представления являются более сложными, поскольку
требуют применения формул их связи с соответствующими компонен-
компонентами в полярной системе координат.
Для определения функций влияния применяем к задаче E.5.7),
E.5.8) интегральные преобразования Лапласа по времени г и Ханкеля
нулевого порядка по радиусу г (см. § В.2, В.З). Тогда, учитывая, что
согласно свойствам преобразования Ханкеля,
{A2Gwf = -q2 (AGwf = q4G»(q, r), E.5.15)
а также используя таблицы В.2.1 и В.3.1, приходим к алгебраическому
уравнению относительно изображения функции влияния для переме-
перемещения
5.5]
Осесимметричные колебания бесконечной пластины
205
откуда получаем
27г(*2 + д4)'
E.5.16)
Оригинал этой функции находим, последовательно обращая преоб-
преобразования Лапласа и Ханкеля с помощью соответственно таблиц В.2.2
и В.3.2
гг/ \
sin<72r; E.5.17)
si (е), е = —
Здесь
E.5.18)
= J^di, E.5.19)
где si (z) и Si (z) — интегральные синусы.
На рис. 5.5.1 представлена про-
пространственно-временная зависи-
зависимость функции влияния для пере-
перемещения Gw(r, r). Из него следует, °'12
что эта функция является осцили-
рующей. На рисунках 5.5.2 и 5.5.3
приведены временная и простран-
пространственная зависимости Gw(r, т) в ха-
характерных точках и фиксированные
моменты времени.
Подставляя E.5.18) в E.5.9), на-
находим остальные функции влияния
Н(т) . „ Н(т) (
= —-^ sin e, GM = -т^-*- cos e
2тгг 4тгт V
1-й
—
GQ = -^b
E.5.20)
Sin ?.
Дифференцируя в обобщенном смысле E.5.18) и E.5.20) по г, по-
получаем входящие в E.5.10) производные
Gw(r,r) =
sine, G#(r,r) = -^^
Н(т)
1 +^
E.5.21)
4тгт
(-
sin е Н— cos ?
206
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
Рис. 5.5.2
Рис. 5.5.3
Как следует из E.5.18), E.5.20) и E.5.12) интегралы, определяю-
определяющие функции Gwa(r,r; р), G#a(r,r; р), GMa(r,r; p) и GQa(r,r; p)
являются неберущимися и, более того, не выражаются ни через одну
известную специальную функцию. Они могут быть найдены численно
с использованием квадратурных формул, либо представлены в виде
рядов, получающихся в результате разложения алгебраических состав-
составляющих подынтегральных функций в степенные ряды по z.
Наиболее просто эти функции вычисляются при г = 0 или р = 0.
Например, как следует из E.5.12), имеют место равенства:
Gwa{r, г; 0) = 2nGw(r, г), Gwa@, г; р) = 2ttGw(p, г). E.5.22)
В некоторых случаях возмущений число повторных интегралов
в представлении решения можно сократить за счет перемены порядка
интегрирования.
Пример 5.5.1. Определить прогиб бесконечной пластины при от-
отсутствии внешней нагрузки и следующих начальных возмущениях:
Решение. В соответствии с условием примера формула E.5.11)
принимает вид
1
w{r, т) = J Gwa{r, r; p)pdp. E.5.23)
о
Отсюда с учетом E.5.12) получаем двойной интеграл
w(r,r) = 2\ pdp
dz =
о -1
= 2
Gw
dpdz. E.5.24)
5.5]
Осесимметричные колебания бесконечной пластины
207
Отсюда при г = 0 с учетом E.5.18) и использованием таблиц [58]
получаем (см. также E.5.22))
= [2тsin2 — - \ si (-Ml Н(т) =ttGwA,t) + 2r+sin2 —. E.5.25)
L 8т 4 \4r/J y v ' / -г 8т v y
При г/Ов интеграле E.5.24) выполняем замену переменных
f = r2 + p2 -2rpz, z = z. E.5.26)
Обратное отобрал<ение
p = rz± yji - г2 A -
2; = 2;
E.5.27)
является двузначным. Знак плюс выбирается при р > rz, а минус — при
р ^ rz. Соответственно область интегрирования в E.5.24) разбивается
на два множества: D = D+ U D-. Все эти области при г < 1 и г ^ 1
изображены на рис. 5.5.4 а и б. Границы прообразов П+ и П- областей
Z)_|_ и D— с помощью E.5.26) определяются следующим образом:
Рис. 5.5.4
208
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
1 о : ? = г ; р =
г + 1 - ?
2г '
E.5.28)
2; = -1 <Н> 2 = -1; 2 = 1 <Н> 2 = 1.
Области П_|_, 17_ и их разбиения на подмножества для различ-
различных диапазонов изменения радиуса г представлены на рис. 5.5.5 а, б, в
и 5.5.6 а, б. Здесь учтено, что при г ^ 1/2 имеет место неравенство
27
1
0
1
\
п
(г-if
уууу/
V//A
а-П+ @<г<ф
б- Q+0Ur
г+1
5.5]
Осесимметричные колебания бесконечной пластины
209
г2 ^ (г — IJ, а при г ^ 1/2 — неравенство г2 ^ (г — IJ, а также то,
что парабола Г2 касается прямой Г\ в точке ? = г2 — 1, z = 1/г.
2г
1
J_
г
:Q7
г2-1
- Q_ (r>\)
Рис. 5.5.6
Вычисляя теперь модуль якобиана отображения E.5.27)
1
дР
! - г2 A - ,
интеграл E.5.24) представляем в виде суммы
E.5.29)
- г2 A - z1
z1)
1 -
- 7^
¦Gw{y/l,r)d?dz. E.5.30)
Перед переходом к повторным интегралам в E.5.30) находим сле-
следующие первообразные (? ^0):
dz
= arcsin z.
E.5.31)
rzdz
'\ -,
1 .
= — arcsin
1 .
= — arcsin
2r2
Здесь во втором интеграле сделана замена переменной интегриро-
интегриро2
вания ? = z2.
210
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
Учитывая теперь вид областей П+, ?7_ (см. рисунки 5.5.5 и 5.5.6),
а также четность и нечетность подынтегральных функций в E.5.31),
из E.5.30) получаем следующее представление прогиба:
при 0 < г < 1/2
w(r, г) = wo(r, т) =
Г2 A - Z2
- г2 О -
2
k=0
E.5.32)
при 1/2 ^ г
6
w{
- r2 A -
r2 A
при r ^ 1
r, т) = wo(r, т)
, т) =
= «»о(г,т); E.5.33)
5.5] Осесимметричные колебания бесконечной пластины 211
- г2 A - z2) п ( Г7 w^ ,
-,j
(r+lJ
r2
Gw\y ?, if) Ik\Z)\z (?) ^ • E.5.34)
(r-lJ
где
, wok(r,r) =
г, r) = AwOo(r, t)
Таким образом, при любом г > 0 прогиб определяется следующей
формулой:
w(r, г) = wo(r, т) + Н(г - 1)Агуо(г, г). E.5.36)
Определенные интегралы, соответствующие Ji(?) и J2(?)? являются
неберущимися и не выражаются ни через одну известную специаль-
специальную функцию. Они могут быть найдены численно с использованием
квадратурных формул. При этом в соответствии со свойствами подын-
подынтегральных функций (см. рис. 5.5.1—5.5.3) рекомендуется использовать
квадратуры Гаусса высокого порядка [59].
Покажем, что составляющие прогиба woo(r,T) и Дгиоо(^т) вы-
выражаются через функцию Gw и элементарные функции. Для этого
с учетом формулы E.5.18) и таблиц [58] вычисляем первообразную
212
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
(см. также E.5.25))
,t) - ^cos^. E.5.37)
Тогда из E.5.35) получаем
woo(r,т) = J [3(г - lJGw(r - 1, г) + (г + lfGw(r + 1, г)] +
L . 2
2s,n
_sln
_sln_,
— т+ sin
8т
8т
. E.5.38)
Из E.5.36), E.5.32), E.5.34), E.5.38) и E.5.25) вытекает, что для
прогиба имеет место непрерывность справа в центре пластины:
lim w(r,r)= lim wOo(r, т) = w@, т),
г—>-+0 г—>-+0
E.5.39)
а также непрерывность на границе носителя внешнего возмущения, так
как
lim Дгио(г,т) =0. E.5.40)
-од L
о о
Рис. 5.5.7
На рис. 5.5.7 представлена временная зависимость прогиба беско-
бесконечной пластины от времени в точках, находящихся на различном
удалении от центра.
5.6. Осесимметричные колебания круглых пластин
В последующих двух параграфах исследуем колебания ограничен-
ограниченных круглых пластин. При этом так же, как и в предыдущем пара-
параграфе, будем использовать прямоугольную декартову Ox\x<iz и по-
полярную г, а системы координат и ограничимся рассмотрением осесим-
5.6] Осесимметричные колебания круглых пластин 213
метричных движений. Для круглой пластины в качестве характерного
размера L в B.2.1) и E.5.1) выбираем радиус R, ограничивающей
ее окружности. Тогда вместо E.5.5) из (А.7.16) получаем следующую
безразмерную форму уравнения движения:
2d2W л2 , д 10/04 д1 , 1 8 (пал\
7 —5- = -Дги+р, Д=- —(г—)= —о +-¦?-¦ E.6.1)
' дт г дг V дг) дг г дг v y
Связи внутренних силовых факторов и кинематических параметров
по-прежнему определяются соотношениями E.5.3), E.5.4). Сохраняют
свой вид и начальные условия E.5.6).
В данном параграфе рассмотрим задачу о распространении началь-
начальных и поверхностных возмущений в круглых пластинах. Однородные
граничные условия на окружности г = 1 аналогично E.3.2) записываем
в обобщенном виде
М«01г=1=° О' = 1'2). E-6-2)
где Lj (w) линейные обыкновенные дифференциальные операторы с по-
постоянными коэффициентами
akj eR, Rg ^ a2Q ^ ^ ^ ) - 2.
E.6.3)
Как и в случае с балкой, операторы Lj(w) включают в себя все
указанные в § А.7 основные кинематические и динамические (силовые)
граничные условия. Например, шарнирному опиранию пластины
w\r=1 = 0, М\г=1 = - (w^rr + - <шЛ = 0 E.6.4)
соответствуют операторы L\(w) и Li{w) с коэффициентами
<^10 = OL22 = 15 ^21 = ^5 ^11 — ^12 = <^13 — <^20 = <^23 = 0- E.6.5)
Дополнительно ставим условия ограниченности прогиба и измене-
изменений кривизны, которые являются условием неразрывности срединной
плоскости и с учетом E.5.2) эквивалентны равенствам
и; = 0A), ю|Г = 0(г), г-^0. E.6.6)
Решение задачи E.6.1), E.6.2), E.6.6), E.5.6) в соответствии с
A.4.4), A.4.15) и A.4.27) можно представить в интегральном виде
±
w(r, т) = J Gw(r, т; 0 * р(?, т)
214 Волны в стержнях и пластинах [Гл. 5
E.6.7)
Здесь Gw(r,r; ?) — функция влияния для прогиба. Она является
решением следующей задачи:
7 2~ — -^ Сад + ^(т)о(г - ?); E.6.8)
G«; (г, г) |т=0 = О, Gw (г, г) = 0; E.6.9)
Lj(Gw)\r=1=O (j = l, 2); E.6.10)
дг
.*
= 0A) (& = 0,1,2,3), r-^0. E.6.11)
Угол поворота $, момент М и перерезывающая сила Q так-
также определяются формулой E.6.7), в которой Gw необходимо заме-
заменить соответствующими функциями влияния G$(r,r\ ?), Gm(t,t\ О
и Gq(v,t\ ?). Последние вычисляются с помощью равенств E.5.9).
Для нахождения Gw используем метод Фурье (см. § 1.5), согласно
которому представляем искомую функцию в виде произведения
Gw(r,T;S) = R{r)T{T). E.6.12)
Подставляя E.6.12) в соответствующее E.6.8) однородное уравне-
уравнение и разделяя переменные, получаем задачу на собственные значения
(Л — константа разделения)
Д(г)
Д2Д-
= 0A), R'
Лй = 0;
0 (j =
(г) = О(
1,2);
г), г^О.
E.6.13)
E.6.14)
E.6.15)
Эта задача при выполнении некоторых условий для операторов Lj
(см. § 1.5 и [49, 56]) имеет счетный неотрицательный спектр {Лп}
и соответствующую ему полную ортогональную в Li([0,1]; г) систему
собственных функций {Rn(r)}. Эти же свойства могут быть доказаны
аналогично тому, как это сделано в § 1.5 для линейно упругой среды,
с помощью энергетических теорем.
Рассмотрим случай Л > 0. Решение уравнения E.6.13) разыскиваем
в виде собственных функций оператора Лапласа
AR = (R. E.6.16)
Подставляя E.6.16) в E.6.13), получаем характеристическое урав-
уравнение
V E.6.17)
5.6] Осесимметричные колебания круглых пластин 215
Определяя его корни (^2 — ^М2? приходим к эквивалентной E.6.13)
совокупности уравнений:
ДЯ + //2Я = 0, AR-fi2R = 0. E.6.18)
Ее построение стало возможно в силу коммутативности операторов,
стоящих в левых частях E.6.18), и справедливости равенств:
(Д2 - /) R = (Д + м2) (Д - м2) R = (Д - м2) (Д + м2) R. E.6.19)
Процесс, согласно которому объединение систем фундаментальных
решений уравнений E.6.18) приводит к фундаментальной системе ре-
решений уравнения E.6.13), называется методом факторизации [1]. Об-
Общее решение уравнения E.6.13) имеет вид
R(r) = СгМцг) + DMur) + C2/0(/ir) + D2K0(nr), E.6.20)
где Jo(z) и Nq(z) —функции Бесселя и Неймана, Io(z) и Kq(z) —моди-
—модифицированные функции Бесселя [54], a Ci, C2, Z)i, D2 — произвольные
постоянные.
Поскольку функции No(fir) и Ko(fir) неограниченны при г —> 0, то,
как следует из E.6.15), в E.6.20) необходимо положить D\ = D<i = 0:
R(r) = dMur) + C2/0(/ir). E.6.21)
авляя теперь E.6.21) в граничные условия E.6.14), приходим
линейных алгебраических уравнений относительно С\ и C<i'.
АС=0, С = (СьС2)т, А = (ауJх2, E.6.22)
где
ail = Li[Jo{lxr)\\r=v а„ = !,< [/„(/«•)] |р=1. E.6.23)
Необходимым и достаточным условием существования нетривиаль-
нетривиального решения этой системы является равенство нулю определителя ее
матрицы
|А| = {L, [J0(/ir)] L2 [70(/ir)] - Li [70(/ir)] L2 [M»r)]}\r=1 = 0.
E.6.24)
Это трансцендентное уравнение определяет счетное множество
неотрицательных корней цп (п G N). Соответствующие собственные
формы Rn(r) находим, например, из первого уравнения E.6.22):
)-Dn(Mn)/o(Mnr), Dw(Mn)=t1^w}j- E.6.25)
При Л = 0 общее решение уравнения E.6.13) находим его последо-
последовательным интегрированием:
R0(r) = Сг + C2r2 + С3 In r + G4r2 In r. E.6.26)
В силу условий E.6.15) в нем необходимо положить Сз = Сд — 0:
= d + C2r2. E.6.27)
216 Волны в стержнях и пластинах [Гл. 5
Учитывая значения операторов E.6.3) на этой функции (см. также
E.3.26)),
Lj (До) = ajod + (aj0r2 + 2anr + 2aj2) C2 E.6.28)
и удовлетворяя граничным условиям E.6.14), приходим опять к систе-
системе уравнений E.6.22) относительно С\ и Сч-> где
а>п = «го5 di2 = &io + 2ац + 2cti2 (i = 1,2). E.6.29)
Условие существования собственного числа Ло = 0 есть равенство
нулю определителя матрицы этой системы уравнений E.6.22):
«10 «11 +«12 =() E>б>30)
«20 «21 + «22 J
что возможно только при определенном типе граничных условий. При-
Причем кратность этого собственного значения равна двум только в том
случае, если
ai0=0, «ii + «*2 = 0 (г = 1,2). E.6.31)
Такой вариант граничных условий возможен, например, при ац =
= 1,а2з = 1, «ю = «12 = «13 = «20 = «21 = «22 = 0. Однако для ос-
основных физически возможных граничных условий кратность нулевого
собственного значения не больше единицы.
При кратности собственного значения, равной единице, собствен-
собственные функции находятся так же, как и в случае ненулевого собственного
значения. Если же кратность равна двум, то необходим процесс ортого-
нализации (см. § 1.5) системы функций {l,r2}, в результате которого
получаем
Я00(г) = 1, R02(r) = r2 -\. E.6.32)
Нормы этих функций определяются так:
1 Х 2
|До1||2 =\г (г2 ~\) dr = ±. E.6.33)
о о
После определения собственных форм Rn(r) и собственных значе-
значений цп искомую функцию влияния, согласно A.5.15) и A.5.16), пред-
представляем в виде ряда Фурье:
Gw(r,r; ^) = J2Gn(r; Z)Rn(r), E.6.34)
п
где коэффициенты ряда Gn(r; ?) с точностью до обозначений соб-
собственных функций и формулы для собственных частот определяются
полученными в § 2.6 соотношениями:
5.6] Осесимметричные колебания круглых пластин 217
2
G0(t; 0 = ао(?)т+, Gu(t; ?) = Ц^- Н{т) sin ш„т, ш„ = ^,
1
Опт* \0.) — о — о" /01/ с ) -*Хт71 » / CLi — 7г~«
11 /? 11 П/-?П '"\/ 11 /? 11
° "E.6.35)
\\Rn\\2=\rR2n(r)dr (neN).
Функции влияния G$(r, r; ?), Gm^i г; ^) и Gq(t, r; ?) находим по
формулам E.5.9) с использованием E.6.34):
GM(r, r; 0 = Z) G^(r' О ДмпИ, E.6.36)
n
где
Я*п(г) = -Д'п(г), J
p'V ^ в' ^ E-6-37)
Производная по времени от функций влияния определяется обыч-
обычным образом:
Е G( ОД() G(г, т; О = Е 6«(Т
Gq(r, т; О = Е 6«(т: €)Д<Зп(г), E.6.38)
Рассмотрим наиболее распространенные граничные условия для
круглой пластины.
А. Пластина с защемленными краями. В этом случае
граничные условия E.6.10) имеют вид
^|1=0' E-6-39)
что соответствует следующим коэффициентам в операторах E.6.3):
«10 = «21 = 1, «11 = «12 = «13 = «20 = «22 = «23 = 0. E.6.40)
218
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
Соответственно уравнение E.6.24) с учетом формул C.4.21) и
C.6.22) для производных функций Бесселя записывается так:
Jo(/i)/i(/i) + Ji(/i)/o(/i) = 0. E.6.41)
Его корни цп находятся численно. Определенные с точностью до
трех знаков после запятой значения первых шести неотрицательных
корней приведены в табл. 5.6.1.
Таблица 5.6.1
п
1
3,196
2
6,306
3
9,440
4
12,577
5
15,715
6
18,857
Формы для ненулевых собственных значений, согласно равенствам
E.6.25), E.6.39) и E.6.40), задаются следующим равенством:
E.6.42)
Первые четыре из них представлены на рис. 5.6.1.
п=\
п = 4
Рис. 5.6.1
Квадрат нормы собственных форм E.6.42) находим с помощью
таблиц [58] и с использованием уравнения E.6.41):
E.6.43)
Подстановка коэффициентов E.6.40) в E.6.30) показывает, что Л =
= 0 для данной пластины не является собственным значением.
Б. Шарнирно опертая по краю пластина. Этому ва-
варианту соответствуют граничные условия E.6.4) и операторы L\
5.6]
Осесимметричные колебания круглых пластин
219
и hi с коэффициентами E.6.5). Соответственно уравнение E.6.24) с ис-
использованием формул C.4.21) и C.6.22) принимает вид
|
E.6.44)
Необходимо отметить, что в отличие от защемленной пластины при
шарнирном опирании из-за наличия в уравнении параметра к собствен-
собственные частоты зависят от материала.
Найденные численно с точностью до трех знаков после запятой
значения первых шести неотрицательных корней уравнения E.6.52)
для стальной пластины {я = 0,429) приведены в табл. 5.6.2.
Таблица 5.6.2
п
1
2,231
2
5,455
3
8,614
4
11,767
5
14,912
6
18,055
Соответствующие собственные формы совпадают с E.6.42). Первые
четыре из них представлены на рис. 5.6.2.
Квадрат нормы собственных форм опять вычисляем с помощью
таблиц [58] и с использованием уравнения E.6.44):
|| Rnf = JlitA J2/in [МЦ - -?=-] - 1 - Л E.6.45)
Предоставляем читателю показать, что и для шарнирно опертой
пластины Л = 0 не является собственным значением.
В. Пластина со свободным краем. Для такой пластины
граничные условия E.6.10) заключаются в равенстве нулю момента
и перерезывающей силы (см. E.5.3) и E.5.4)):
дг
= 0,
г=1
^ ^ дг
E.6.46)
= 0,
г=1
дг г дг г'
что соответствует следующим коэффициентам в операторах E.6.3):
ап - к, а12 - «21 - , E.6.47)
«22 — «23 — —1? «10 — «13 — «20 — 0.
Уравнение E.6.24) с учетом формул C.4.21) и C.6.22) переходит
в равенство
|
E.6.48)
Корни этого уравнения так же, как и в случае шарнирно опертой
по контуру пластины, зависят от ее материала. Первые шесть неотри-
неотрицательных корней jin для стальной пластины приведены в табл. 5.6.3.
220
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
п=\
п = 4
Рис. 5.6.2
Необходимо отметить, что они близки к соответствующим величинам
для защемленной пластины (ср. с табл. 5.6.1).
Таблица 5.6.3
п
1
3,046
2
6,223
3
9,382
4
12,532
5
15,689
6
18,823
Собственные формы определяются из второго уравнения в E.6.22)
и имеют вид
) - Dn(/in)/o(/inr), Dn{iin) = угЦ- E.6.49)
Первые четыре из них представлены на рис. 5.6.3.
п=\
Рис. 5.6.3
5.6] Осесимметричные колебания круглых пластин 221
Для квадрата нормы собственной формы с использованием таб-
таблиц [58] и уравнения E.6.49) получаем следующее выражение:
II о ||2 _ т2/ ч Г, о1 -
\\пп\\ — JoK^n) 1 ^
Подстановка коэффициентов E.6.47) в E.6.30) показывает, что для
пластины со свободным краем Л = 0 является собственным значени-
значением. Из E.6.47) и E.6.29) находим коэффициенты системы уравнений
E.6.22): ац = a2i = а22 = 0, ai2 = 2A + к). Следовательно, С2 = 0,
и в соответствии с E.6.27) собственную форму можно взять в виде
R(r) = 1. E.6.51)
Очевидно, она соответствует поступательному движению вдоль оси Oz
пластины как абсолютно твердого тела.
Рассмотрим ряд примеров на использование полученных соотноше-
соотношений.
Пример 5.6.1 {свободные колебания пластины). Определить про-
прогиб защемленной круглой пластины при ударе по площадке радиуса
г = Ь со скоростью vq. Начальная форма пластины плоская. В расчетах
принять: v0 = 1, h/R = 0,01; к = 0,429; b = 0,5 и b = 0,1.
Решение. Эта задача соответствует следующим правым частям
уравнения E.6.1) и начальных условий E.5.6):
р(г,т)=0, <р(г) = 0, ф{г) = ЩН{Ь-г). E.6.52)
Тогда, согласно E.6.7), прогиб определяется так
1 Ъ
w(r,r)=72\Gw(r,T- ?m?)d?=l2w\Gw{r,T- ?)d?. E.6.53)
о о
Собственные формы Rn(r) и квадрат их нормы для данной задачи
имеют вид E.6.42) и E.6.45), а соответствующие первые шесть кор-
корней цп указаны в табл. 5.6.2. Тогда для функции влияния из E.6.34)
и E.6.35) получаем выражение
Gw{r, г; О = Щ± ? **»Ю Rn(r)sinшпт. E.6.54)
7 п=1 ип ||Яп||
Подставляя ряд E.6.54) в E.6.53), находим прогиб
w(r, г) = щЬН{т) ? qnB;l{rl sin o;nr, E.6.55)
n = 1 ^n ||ЯП||
где коэффициенты qn имеют вид [58]:
ъ ъ
\l
E.6.56)
222
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
На рисунках 5.6.4—5.6.6 представлены пространственно-временная,
временные и пространственные зависимости прогиба w(r,r) при b =
0,8
30-
20-
10-
0
20 40 60
Рис. 5.6.5
80
100
= 0,5. При суммировании ряда E.6.55) удерживалось шесть его первых
членов.
зо-
25"
20-
15-
ю-
5-
0-
w
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис. 5.6.6
Аналогичные результаты расчетов при b = 0,1 изображены на ри-
рисунках 5.6.7—5.6.9. Сравнение их с рисунками 5.6.4—5.6.6 демонстрирует
существенную зависимость прогиба от размера носителя начальных
возмущений.
0,2
Рис. 5.6.8
Рис. 5.6.9
5.6]
Осесимметричные колебания круглых пластин
223
Пример 5.6.2 (вынужденные колебания пластины). Определить
прогиб и изгибающий момент для шарнирно опертой круглой пласти-
пластины при внезапном приложении внешнего давления р(г,т) = PqH(t).
Начальные условия однородные. В расчетах принять: материал пла-
пластины — сталь (к = 0,429), h/R = 0,01; ро = 1-
Решение. При заданных однородных начальных условиях
((р(г) = 0, ф(г) = 0) и поверхностной нагрузке прогиб пластины
определяется вытекающим из E.6.7) соотношением
г 1
w(r, г) = р0 J J Gw (r, т -t\
о о
dt.
E.6.57)
При этом функция влияния Gw(r,r; ?) определяется равенством
E.6.54), в котором собственные формы и их норма задаются соотноше-
соотношениями E.6.42) и E.6.43). Соответствующие первые шесть собственных
корней /лп приведены в табл. 5.6.1.
Подставляя E.6.54) в E.6.57) и вычисляя двойной интеграл, нахо-
находим прогиб
w(r,r) =роН(т)
q:*n{rl A-со8шпт),
||Я||
E.6.58)
п=1
где коэффициенты qn определяются формулой E.6.56) при 6 = 1, ко-
которая с учетом уравнения E.6.44) преобразуется так:
= 2
E.6.59)
Изгибающий момент находим с помощью соотношений E.5.3) непо-
непосредственным дифференцированием ряда E.3.53):
М(г,т)=РоЯ(т)
E.6.60)
где в соответствии с E.6.37), E.6.42) и уравнением E.6.44)
800
0,00
Рис. 5.6.10
200 400 600
Рис. 5.6.11
800
224
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
1 -
E.6.61)
На рисунках 5.6.10-5.6.12 представлены пространственно-времен-
пространственно-временная, временные и пространственные зависимости для прогиба w(x,r).
Аналогичные картины изменения момента М(х,т) представлены
на рисунках 5.6.13-5.6.15. Во всех вычислениях в формулах E.6.58) и
E.6.60) удерживалось 6 членов рядов.
0,10-
0,08-
0,06-
0,04-
0,02-
0,00
т=100
0,2 0,4 0,6
Рис. 5.6.12
0,8 1,0
м
800
0,4-
0,3-
0,2-
0,1-
0,0-
М
J
/
V
л
^ = 0,б\\
V
200 40Ь
л
А
А
т
600 800
0,3-
0,2-
0,1-
0,0-
м
—^^
—<
г о,4
= 100
\
= 200
= 400
0,6
\
0,8
-^к г
1,0
Рис. 5.6.14
Рис. 5.6.15
5.7. Граничные возмущения в круглых пластинах
В дополнение к предыдущему параграфу здесь рассмотрим задачу
о распространении граничных возмущений в круглой пластине конеч-
конечных размеров. В этом случае прогиб удовлетворяет однородным урав-
уравнению движения и начальным условиям (см. E.6.1) и E.5.6)).
'У w = —A w\ E.7.1)
E.7.2)
а также дополнительным соотношениям E.6.6).
5.7] Граничные возмущения в круглых пластинах 225
Неоднородные граничные условия записываем с использованием
операторов E.6.3):
Mf)lP=i = «iM (i = 1, 2). E.7.3)
В силу линейности задачи E.7.1)-E.7.3), E.6.6) аналогично § 5.4 ее
решение можно представить в следующем виде:
w(r,r) = ?>*(г,т), E.7.4)
где функции wk(x,r) удовлетворяют уравнению E.7.1), начальным
и дополнительным условиям E.7.2) и E.6.6), а также граничным усло-
условиям специального вида Fkj — символ Кронекера):
) (j,k = l,2). E.7.5)
Применяя процедуру перехода к однородным граничным условиям
A.2.11)—A.2.13), представляем искомую функцию в виде суммы
wk(r, r) = uk(r, r) + wk*(r, r). E.7.6)
Здесь wk* удовлетворяет условиям E.7.5) и E.6.6), а ик есть реше-
решение следующей задачи:
72й* = -А2^ + pk(r, r); E.7.7)
ик\т=0 = 4>k(r), йк\т=0 = г1>к(г)\ E.7.8)
iiWU=0 U = 1,2); E.7.9)
uk = O(l), uktr = O(r), r^O. E.7.10)
где
Рк(х,т) = -j2wk* - A2^^*,
E.7.11)
<Рк(г) = ~ Wfc*|r=0 ' Фк(г) = - ^А;*|г=о •
Функцию wk* в данном случае удобнее выбрать как решение ква-
квазистатической задачи A.2.8) в виде (см. A.2.9))
wk*(r,T) = qk(T)fk(r), E.7.12)
где /fc(r) — решение соответствующей статической задачи (см. A.2.10))
A2/fc = 0; E.7.13)
Lj(fk)\r=1 = Sjk (j = l, 2); E.7.14)
Л = 0A), f'k = O(r), r^O. E.7.15)
Удовлетворяющее условию E.7.15) общее решение уравнения E.7.13)
находим аналогично E.6.27)
fk{r) = Clk + C2kr2. E.7.16)
8 А. Г. Горшков и др.
226 Волны в стержнях и пластинах [Гл. 5
Постоянные C\k и @2к определяются из двух граничных условий
E.7.14). В силу достаточной произвольности операторов Lj их удобнее
определять в каждой конкретной задаче.
Для каждого слагаемого в E.7.4) используем представление A.4.24)
и учитываем, что в данном случае в силу E.7.13)
Аж<и, = -A2fk = 0. E.7.17)
В результате окончательно получаем
2 Г 1 I
и 1 L
— о ~
где Gw — определенная в § 5.6 функция влияния для перемещения.
Непосредственным дифференцированием соотношений E.6.34)
с учетом E.6.35) находим ядро свертки в E.7.18)
G (г т' ?) = У^ G (r' ?)R (r) E 7 19)
п
где
(Я E.7.20)
б?п(т,?) = -^[S{t) - Н(т)и)пБти)пт] {п е N).
7
Формулы для угла поворота и внутренних силовых факторов полу-
получаем, применяя операторы E.5.3), E.5.4) к E.7.18):
-72 GM(r,r;
k = l
o
E.7.21)
где G$, Gm и Gq — определенные равенствами E.6.36) и E.6.37)
функции; $ki Mk и Qk —угол поворота и внутренние силовые факторы,
соответствующие статической задаче E.7.13)-E.7.15):
E.7.22)
Рассмотрим пример на использование полученных соотношений.
5.7] Граничные возмущения в круглых пластинах 227
Пример 5.7.1. Определить прогиб и изгибающий момент в шар-
нирно опертой круглой пластине при внезапном приложении к ее краю
изгибающего момента Н(т). В расчетах принять: 7 = 200\/3 , к = 0,429.
Решение. Граничные условия для такой пластины имеют вид
i = H(T), E.7.23)
что соответствует следующим правым частям равенств E.7.3):
9i(t)=0, Я2(т) = Н(т). E.7.24)
Поэтому в E.7.4), равно как и в представлениях E.7.18), E.7.21)
кинематических параметров и внутренних силовых факторов, остается
лишь по одному ненулевому слагаемому, и далее везде соответствую-
соответствующий им индекс опускаем.
Функция /(г), входящая в частное решение E.7.12), определяется
равенством E.7.16) и, согласно E.7.14) и E.7.23), должна удовлетво-
удовлетворять граничным условиям
= 0, /"A)+ */'(!) = -1- E-7.25)
Следовательно, она имеет вид
Соответствующая рассматриваемой пластине задача на собствен-
собственные значения решена в п. Б § 5.6.
Подставляя теперь E.7.19) с учетом E.7.20) и положительности
собственных значений, а также E.7.24) и E.7.26) в формулу E.7.18),
находим прогиб
Г 1 - г2 °° 1
[ГТ^" ? bnRn(r) cos и„т|я(т), E.7.27)
где
1 1
Ъп = \ ап@/@ « = 0,1-L * „a [ ЯпШ1 " ?2) «¦ E-7.28)
J 2A +^J ||ЯП|| J
Последний интеграл вычисляем с применением формулы E.6.42)
и таблиц [58]
A -
228
Волны в стержнях и пластинах
[Гл.5
Здесь при преобразованиях результата интегрирования использова-
использованы формулы E.6.44) и E.6.45), а также рекуррентные формулы для
функций Бесселя:
E.7.30)
Подставляя E.7.29) в E.7.28) и принимая во внимание равенство
E.6.46) для нормы собственных функций, получаем
2A -
E.7.31)
Изгибающий момент М(г,т) находим с помощью соотношений
E.7.20) и E.7.22):
E.7.32)
М(г,т) = Я(т) 1- J2 ЬпКмп(г) cos wn
L n=i
где в соответствии с E.6.27) и E.6.42)
Ямп(г) = Цп{Цп [Jaipur) + Dn(fin)I0(finr)] -
i(Mnf) + ?>n(Mn)
1 -
E.7.33)
Отметим, что первое слагаемое в квадратных скобках в E.7.32) со-
соответствует статической задаче и, естественно, совпадает с найденным
по формулам E.7.22) и E.7.26) моментом М2(г) = 1.
Приведенные ниже результаты получены с учетом шести членов
рядов Фурье в E.7.27) и E.7.32). Представленная на рис. 5.7.1 про-
0,8
0,6-
0,4-
0,2-
0,0-
W д
/Л
V 200 4С
а/ у
//г = о}
Ю 600
= 0
\
\
\
800
Рис. 5.7.1
Рис. 5.7.2
странственно-временная зависимость прогиба показывает, что пласти-
пластина совершает незатухающие колебания около статического решения
w = /(г). Рисунки 5.7.2 и 5.7.3 иллюстрируют временную и простран-
пространственные зависимости прогиба в некоторых точках и в фиксированные
моменты времени.
5.7]
Граничные возмущения в круглых пластинах
229
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис. 5.7.3
Рис. 5.7.5
Рис. 5.7.6
Аналогичные зависимости для изгибающего момента М(г,т) при-
приведены на рис. 5.7.4-5.7.6. Незначительное отличие момента от нуля
при т = 0и0^г<1не является вычислительной ошибкой, а обу-
обусловлено разрывным характером зпюры и соответствующей плохой
сходимостью ряда в окрестности разрыва (см. также пример 5.4.1).
Глава 6
ВОЛНЫ В НЕОГРАНИЧЕННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ И ПЛОСКОСТИ
Ранее в главах 2-4 рассмотрены одномерные волновые процессы
в сплошных средах. Значительно сложнее с точки зрения используе-
используемого математического аппарата обстоит дело с двух- и трехмерными
задачами о распространении волн. Наиболее простыми из них являются
задачи для неограниченных областей в виде пространства R3 и плос-
плоскости Я2, которые и будут рассмотрены в этой главе.
Здесь ограничимся только упругими однородными линейными сре-
средами. При этом будем использовать прямоугольную декартову систему
координат ОХ1Х2Х3 с ортами е1,е2,ез-
6.1. Скорости распространения упругих волн
Рассмотрим общие свойства системы уравнений движения однород-
однородной упругой анизотропной среды в перемещениях (А.4.8) при отсут-
отсутствии массовых сил
д Ui п дщ (к л л\
р = с (в1i)
где р, Cijki — плотность и упругие постоянные среды, Ui — координаты
вектора перемещения, t — время.
При некоторых ограничениях на упругие постоянные система урав-
уравнений F.1.1) относится к гиперболическому типу. Эта система до-
допускает функционально-инвариантные решения в виде плоских волн
(см. §1.1) [3]:
Щ = Si (ct - 1кхк) , F.1.2)
где fi(x) — произвольные дважды дифференцируемые функции; с —
скорость распространения плоской волны в направлении единичного
вектора 1 = ^е^ Ik^k = const — уравнение плоскости с нормальным
вектором 1.
Подстановка F.1.2) в уравнения F.1.1) приводит к однородной си-
системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
(D - рс2Е) f" = О,
F.1.3)
D = (^гт)зхЗ ' dim = Cijkmljlk, f = (/l; fli /з) ,
где Е — единичная матрица.
6.1 ] Скорости распространения упругих волн 231
Система F.1.3) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда,
когда
|D-CE|=0, ( = pc2. F.1.4)
Так как потенциальная энергия упругих деформаций
W=\ Стте^ект F.1.5)
является положительно определенной квадратичной формой [3], то
D — матрица простой структуры и имеет только неотрицательные
собственные значения
Ск = р4 (к = 1,2,3). F.1.6)
Таким образом, в каждом направлении 1 в упругой анизотропной
среде распространяются три плоские волны со своими скоростями c&.
В частном случае изотропной среды тензор упругих постоянных
определяется только двумя параметрами — постоянными Ламе Аи /i
(см. (А.2.1), где для прямоугольной декартовой системы координат
следует положить gij = 5ij, Sij — символ Кронекера):
Cijkrn = ^SijSkm + М (SikSjm + ^irn^jk) • F.1.7)
Из F.1.3) и F.1.7) находим
dim = (A + n)Ulm + H6im- F.1.8)
С учетом этого уравнение F.1.4) эквивалентно уравнению
|L-?E|=0, L = (WmKX3> ? = XT^ FЛ-9)
Как известно [43], характеристическое уравнение F.1.9) имеет вид
-?3 + Sp L?2 - Sp I/f + det L = 0, F.1.10)
где L/ = (Aim) — ассоциированная с L матрица, Aim — алгебраические
дополнения матрицы L, SpL и SpL/ — следы матриц L и L/.
С учетом вида матрицы L нетрудно показать, что
Sp L = 1\ + 1\ + 1\ = 1, Sp V = Ац + А22 + А33 = 0, det L = 0.
F.1.11)
Следовательно, F.1.9) эквивалентно уравнению с не зависящими от
направления 1 коэффициентами
-ей -1)=о, F.1.12)
которое имеет корни ^ = 1 и ^ = 0 соответственно кратностей 1 и 2.
Таким образом, из F.1.6) и F.1.9) получаем, что в однородной
изотропной среде в любом направлении распространяется две волны
со скоростями
Г/л
= /-
F.1.13)
232 Волны в неограниченном пространстве и плоскости [Гл.6
что, естественно, полностью совпадает с выводами § А.2 (см. (А.2.30)).
Отметим, что, очевидно, приведенные свойства скоростей распро-
распространения волн в упругих средах инвариантно относительно выбора
системы координат.
6.2. Распространение объемных и начальных
возмущений в упругом пространстве
Для изучения процесса распространения возмущений в упругом
однородном изотропном пространстве используем уравнения движения
(А.4.11) относительно координат Uk(xi, ж2, #з5 t) вектора перемещения
при д = 0 и R = 0 (точками обозначено дифференцирование по раз-
размерному времени t):
uk = (с\ - с\) Ь с1Аик + Fk, (хи ж2, х3) е Я3, t > 0,
V^^^ F-2Л)
где С\ и С2 — скорости распространения волн расширения-сжатия
и сдвига (см. F.1.13)), в — коэффициент объемного расширения, кото-
который в соответствии (А.4.9) имеет вид
в = ?ц+?22 +езз- F.2.2)
Деформации екш и напряжения акш определяются формулами
(А.4.6) и (А.4.10):
дик \ (а 0 о\
) F-2-3)
. F.2.4)
Для замыкания задачи к уравнениям F.2.1) добавляем начальные
условия
uk\t=o = fk{xi,x2,x3), uk\t=0 = ^k{xi,x2,x3), (xi,x2,x3) e R3.
F.2.5)
В соответствии с A.4.4), A.4.15) и с учетом того, что занимаемая
средой область совпадает с Я3, перемещения имеют интегральные
представления
ик(х!, ж2, ж3, t) = Gkm{xi, ж2, ж3, t) ** Fm(x1,x2, ж3, t) +
+ Gkm(xU Ж2, Ж3, t) * (pm(xi, Ж2, Ж3) +
+ Gkm(xi,X2, Ж3, t) * 1pm(xi,X2, Ж3), F.2.6)
где в первом слагаемом свертка вычисляется как по пространственным
координатам, так и по времени, а в остальных — только по простран-
пространственным координатам.
6.2] Объемные и начальные возмущения в упругом пространстве 233
В равенстве F.2.6) Gfcm(^i, Ж2, #з, ?) = ик — функции влияния,
которые удовлетворяют следующим задачам:
Скт = (с? - 4) ^ + c22AGkm + 6km6(tN(x1,x2, ж3),
. = ®' F.2.8)
Соответствующие деформации G?klrn и коэффициент объемного рас-
расширения вт в соответствии с F.2.3) и F.2.2) определяются так:
F'2'9)
От = G\lm + Gl2m + Gl3m = ^ + ^IHL + ^L. F.2.10)
Отметим, что Gkm(xi') Х1ч хз<> t) — компоненты симметричного тен-
тензора второго ранга — тензора Грина, G?klm(xi, #2, X3i i) — компоненты
тензора третьего ранга [29].
Соответствующие представления для напряжений имеют вид
°ki{?u ж2, ж3, t) = Gllm(xu ж2, ж3, *) ** ^т(ж1, ж2, ж3, *) +
+ б??/т(жь Ж2, Ж3, *) * Рт(ж1, Ж2, Ж3) +
+ Ск(ЖЬЖ2, Ж3, *) * ^т(ж1, Ж2, Ж3), F.2.11)
где бг^/т(ж1, ж2, жз, t) — функции влияния для напряжений, которые
являются компонентами тензора третьего ранга и, согласно F.2.4),
определяется так:
Gllm = \emSkl+2fxGllm. F.2.12)
Построим функции влияния. Для решения задачи используем трой-
тройное преобразование Фурье по пространственным координатам и пре-
преобразование Лапласа по времени (см. приложение В). Предварительно
с учетом свойств этих преобразований и таблиц В.1.1 и В.2.2 находим
(здесь и далее все обозначения стандартные)
1, ж2, хз)]ГЬ = 1, 0mL(<7b 92, Яз, s) = -iqkGkm(Qii ^2, <7з, s),
F.2.13)
где
Яз - F.2.14)
234 Волны в неограниченном пространстве и плоскости [Гл.6
Применяя теперь указанные преобразования к F.2.7) с учетом
F.2.8), а также к F.2.9) и F.2.12), получаем
s*G^ = -iqk (с\ - 4) 0FmL - q24Gtt + 5km] F.2.15)
) . F.2.16)
Умножаем теперь F.2.25) на qj и с учетом F.2.13) проводим свертку
по индексам j и к
_ -2 /2 2\ nFL
~гЯ C ~ C) U
jq2nFL _ -2 /2 2\
lS Um — ~гЯ \C1 ~ C2)
2
~ гЯ C
2Um
откуда находим
iC = ^W5 F.2.17)
s +Ciq~
где Ci — скорость распространения волн расширения-сжатия
(см. F.1.13)).
Исключая эту величину из F.2.15), получаем изображения функций
влияния для перемещений
rFL _ Ukm(Cl - cl) дкЯт _
— ~2 2~^ Q— ~^2 9TT 2 9TT ' (O.i.lOj
„^ _|_ r.A nA c> » ~ I " ' « ~ I " ' « I
Отсюда с использованием F.2.16) находим изображения функций
влияния для деформаций
qkSim + qiSkm qkqiqn
() / /
F.2.19)
Обращение преобразования Фурье в F.2.17)-F.2.19) проводим с по-
помощью табл. В.1.4:
F-2.20)
~4\ d
E ("
6.2] Объемные и начальные возмущения в упругом пространстве 235
XkSim -\-XiSkm , /"\ .-вг/сз jL V^ ( iVv
[/с с с \ i (rs \ XkXiXm j (rs \\ -sr/c\
{Xk6lm + XiSkm + XmSkl) Л2 — ~ 2 ft3 — б вГ/С' к
F.2.22)
где
fti(z) = ж + 1, /г2(ж) = ж2 + Зж + 3, /г3(ж) = ж3 + 6ж2 + 15ж + 15.
F.2.23)
Оригиналы этих функций с учетом свойств обобщенных функций
(см. приложение Б), преобразования Лапласа и таблиц В.2.1 и В.2.2
имеют вид
[> (at - г) + 1 J (ci* - г)] ; F.2.24)
-4 (**». - ^^) [^ (ci* - в - Я (с2* - г)]} ; F.2.25)
С2Г
{xk5lm + Х16кт + xm6kl - 6xk^x™"j S (Clt -
) 5' (cat - r)
Xm5kl - b^Ef^) 6 (c2t - r) -
Г
i -I / Xkulm \ XlOkrn XfoXlXyxi \ r/ / , \ ,
H I 7> 2 1 8 (C2t ~ Г) +
c2 V 2 r
3? / c- c- , c- bxkXixrn\
3 I XkOtm + Xidkm + XmOkt 2 ) X
r \ r /
x [H (at - r) - H (c2t - r)]\. F.2.26)
Функции влияния для напряжений G%lrn не выписываем, поскольку
они определяются простой подстановкой равенств F.2.24) и F.2.26)
в формулу F.2.12).
Для проверки полученного решения построим тензор Грина
б?^п(ж1, Ж2, жз) соответствующей статической задачи, под компонен-
компонентами которого понимаются перемещения пространства под действием
постоянной по времени, сосредоточенной в начале координат и сона-
правленной с вектором еш единичной силы, т.е. решения уравнения
236 Волны в неограниченном пространстве и плоскости [Гл.6
F.2.7) при отсутствии инерционных сил и внешнем воздействии
fikmfi(xi,X2, ж3). Полагая в F.2.6) Fm = 5rniH(tM(x1,x2, ж3), находим
G^m{xu ж2, х3) = Hm Gkm{xu ж2, ж3, *) * H(t). F.2.27)
г—>-оо
Далее удобнее использовать аналог этого равенства в пространстве
преобразований Лапласа:
GCbrn(x1,X2,x3) = НптisGkm(x1,x2,X3,s)- = lim G^m(xu ж2, ж3, s).
s—^и S s—^u
F.2.28)
Как следует из F.2.21), при вычислении этого предела имеют место
неопределенности, которые с учетом F.2.23) раскрываются следующим
образом:
4+o
2с?
^[44 + о(гIЦ^
F.2.29)
4
2cl
44 + o(^)l 4^- F-2-30)
2c2 2^ V ;J 22^ V ;
Подставляя теперь F.2.21) в F.2.28) и принимая во внимание пределы
F.2.29) и F.2.30), получаем
Лт(Ж1, Ж2, Жз) = 2-2^ 2— + 2 **т , F.2.31)
SiTCCr \ г с\ - с2 у
Если эту функцию умножить на плотность среды р и подставить
в нее выражения F.1.13) скоростей распространения волн через упру-
упругие постоянные Ламе, то результат полностью совпадет с известным
6.2] Объемные и начальные возмущения в упругом пространстве 237
решением статической задачи [29]. Наличие дополнительного множи-
множителя связано с тем, что здесь функции влияния построены при задании
в виде дельта-функции массовых, а не объемных сил.
Пример 6.2.1. С использованием функций влияния F.2.25) найти
перемещения в упругом пространстве под действием внешних сил вида
Fx = 6(t)d(Xl), F2 = F3 = 0 F.2.32)
и при нулевых начальных условиях.
Решение. В этом случае, как следует из формул F.2.6) и из
условия примера, перемещения определяются так:
з, t) = GkiyXi) x2j Ж3, t) ** 5{iM\X\) =
c2,x3,t)dx2dx3. F.2.33)
Я2
Соответствующие функции влияния для перемещений находим по
формуле F.2.25) при т = 1:
[Н (Clt - г) - Я (c2t - г)] J ;
F.2.34)
+%[H(c1t-r)-H(c2t-r)]\ (к = 2,3).
г У
Так как при к = 2, 3 функции Gki нечетные по координате ж&, то
соответствующие интегралы в F.2.33) равны нулю и, как и следовало
ожидать, при данном виде возмущения и2 = и3 = 0. Для перемеще-
перемещения и\ из F.2.33) и F.2.34) получаем
/ 9
Gn dx2 dx3 = — ( — J3 (x
4тг \ ci
—
- x\j3 (a?i, c2t)} -
- t {I3 (xu cit) - I3 (xu c2t) - 3x1 [h {xuc\t) - h {xu c2t)]}\
F.2.35)
238
Волны в неограниченном пространстве и плоскости
[Гл.6
где
1
Г Г 1
, t) = —r H(t — г) dx2
J J
Я1
—г 6(t — г) dx2
F.2.36)
Для вычисления интегралов в F.2.36) используем полярные коорди-
координаты ? и а: Х2 = ? cos ai хз — С sin ai гДе ? — VX2 + хз ^ ^' —7Г ^ а ^ 7Г-
При этом учитываем, что уравнение /(?) = ? — г = 0 и неравенство
/(?) ^ 0 имеют решения ? = ?о — ^2 "" Ж1 и ^ ^ ^о только при t ^
^ |xi|. Кроме того, принимаем во внимание, что по свойствам дельта-
функции Дирака (см. § Б.4)
€=€o=t. F.2.37)
Тогда для интегралов J\ и J% в F.2.36) находим
J3 (xut) = H(t- \Xl
2тг^ [ 4 6 (^ -
q,0 J Г
0
F.2.38)
(t-Ы).
Интегралы /з и /5 вычисляем с учетом носителей подынтегральных
функций и с помощью замены переменной интегрирования у = ?2:
?0
\
(xut) =
с2
«0
- \Х1\)
t\Xl\ '
F.2.39)
27Г
ч5/2
о
,3
Подставляя F.2.38) и F.2.39) в F.2.35), окончательно получаем
= — Н
хг\
F.2.40)
Убедимся в том, что полученное перемещение соответствует функ-
функции влияния С(ж, г), полученной в § 2.2 (см. формулу B.2.12)). Прежде
6.2] Объемные и начальные возмущения в упругом пространстве 239
всего, заметим, что в силу введенных равенствами B.1.1) параметров
перемещение в § 2.2 найдено при следующем безразмерном внешнем
возмущении
6(tN{x)± = S № S(x>L)± = 11- S(tM(x>), F.2.41)
Cj V с* / Cl c\L
где использовано свойство однородности дельта-функции Дирака
(см. §Б.2).
Из B.2.6) с использованием B.2.12) получаем соответствующее раз-
размерное перемещение G1 = 7)
uL = GL^L- = ^ J- Я(т - 7 \х'\) = ^-Н (Clt - \х\), F.2.42)
с\ L с\ 27 ?с\
что с точностью до обозначения х = х\ совпадает с F.2.40).
Пример 6.2.2. С использованием функций влияния F.2.25) найти
перемещения в упругом пространстве под действием внешних сил вида
Fk = 6(tN(xux2Nkm (к, т = 1,2), F3 = 0 F.2.43)
и при нулевых начальных условиях.
Решение. В этом случае, как следует из формул F.2.6) и из
условия примера, перемещения определяются так (здесь и далее в этом
примере все целочисленные индексы принимают значения 1 и 2)
ик(х1,х2, ж3, t) = Gki{x1,x2, ж3, t) *
= J 6?Лт(ж1,Ж2,Жз,*)ЙЖ3,
F.2.44)
, t) = б?з/(ж1, жг, ж3, t) *
oo
= J С?зт(ж1,ж2,жз,*)йж3.
Аналогично выражению F.2.34) из F.2.25) находим, что при т = 1,2
функции Gsm — нечетные по координате х%. Следовательно, соответ-
соответствующие интегралы в F.2.44) равны нулю и, как и следовало ожидать,
при данном виде возмущения и% = 0. Для остальных координат вектора
перемещения получаем
1 / XhX 1
Uk = ^(—^LK3(x1,X2,C1t) + —[6kmK1(x1,X2,C2t) ~
- хкхшК3(хъ ж2, c2t)] - t{5km [1/3(ж1, ж2, c-it) - 1/3(ж1, ж2, c2t)] -
- Зхкхш [?/5(ж1, ж2, c-it) - 1/5(ж1, ж2, Cjt)]}\ F.2.45)
240
Волны в неограниченном пространстве и плоскости
[Гл.6
Г 1
x2,t) = -r H(t-r)dx3.
J г
где
оо
1
—5(t-
r
— оо —оо
F.2.46)
При вычислении этих интегралов учитываем, что уравнение t — г =
= 0 и неравенство t — г ^ 0 имеют решения только при t ^ г2. Эти
решения имеют соответственно вид х3 = ±Со и |жз| ^ Со5 гДе Со —
— г\ и Г2 = \/х\ + х\ ' Кроме того, аналогично F.2.37) имеем
- г) =
= f [S (x3 + @) + 5 (x3 - Co)], rL=±Ca = t. F.2.47)
Тогда для интегралов К\ и /Сз в F.2.46) с учетом четности подын-
подынтегральной функции находим
оо оо
К1(х1,х2, t) = 2 | I J(t - г) йжз = 2Я (i - г2) ^ | i 5 (ж3 - Со) ^3 =
о о
х2, t) = 2 _ J(j - г)
F.2.48)
= 2H(t-r2)f- 4^(^з-С(
so J г ъ
о
Интегралы L% и L$ вычисляем с учетом четности и носителей
подынтегральных функций
Со
L3(x1,x2, t) = 2 I -3 H(t - r) dx3 = 2H(t- r2)
= 2H(t-r2)
L6(x1,x2, t)=2 I \ H(t - r) dx3 = 2H(t- r2)
J Г
dx3
о И + ;
dxs
= 2H(t-r2) °>№ + ±
Со
. F.2.49)
6.2] Объемные и начальные возмущения в упругом пространстве 241
Подставляя F.2.48) и F.2.49) в F.2.45), окончательно получаем
ик =
Пример 6.2.З. Найти перемещения в упругом пространстве под
действием сосредоточенной в начале координат и направленной по оси
Ох\ силы F = pf(t)H(t) при нулевых начальных условиях. Расчеты
провести в безразмерных переменных B.1.1), C.1.4), положив f(t) =
= /о = const, /? = // {с\Ь) = 1, 71 = 1; 72 = 1,871.
Решение. В этом случае координаты объемной силы имеют вид
F1=f+(t)S(x1,x2,x3), F2 = F3 = 0; f+(t) = f(t)H(t). F.2.51)
И аналогично выражению F.2.33) из F.2.6) с учетом свойств дельта-
функции Дирака получаем
,x2, х3, t) = Gki(x!, х2, х3, t) ** f+(tN(x1,x2, хз) =
= Gki(xu ж2, жз, *) * /+(*)• F.2.52)
Подставляя сюда функции влияния Gki из F.2.34), приходим к сле-
следующим равенствам:
uk(x1,x2,x3,t) = F.2.53)
где
t t
= | (t - T)H(t - r)f{r)dr = H(t) | (t - r)f{r)dr.
0 0
F.2.54)
242
Волны в неограниченном пространстве и плоскости
[Гл.6
Очевидно, определенная формулой F.2.54) функция f^2\t) есть
первообразная второго порядка функции /+(?) (см. приложение Б).
Для заданной в условиях примера функции f(t) из F.2.54) полу-
получаем
= f0H(t) ^(t-
0
F.2.55)
На рисунках 6.2.1 и 6.2.2 представлены полученные при указанных
в условиях примера величинах параметров распределения соответ-
1,5
Рис. 6.2.1
ственно безразмерных перемещений и\ и и% по координатам х<± и жз
в плоскости х\ = 0,5 при следующих моментах времени: а) г = 0,6;
б) г = 0,8; в) г = 1; г) г = 1,2; д) г = 1,4. На первом рисунке четко
прослеживается фронт волны. Из второго рисунка следует, что переме-
перемещения г^з, в основном, наблюдаются в окрестности точки x<i = х% = 0.
6.3]
Нестационарные возмущения в упругой плоскости
243
0,16
Рис. 6.2.2
6.3. Нестационарные возмущения в упругой
плоскости
Рассмотрим двумерный аналог изложенной в предыдущем парагра-
параграфе задачи, полагая
ик = uk(x1,x2,t), и3 =0.
F.3.1)
Здесь и далее в этом параграфе все целочисленные индексы прини-
принимают значения 1 и 2.
Из F.2.1)-F.2.4) в этом случае имеем
fift
uk = (c\ — cfj h c^Auk + Fk(xi,X2, *), (^1, x2) G Я2, t > 0,
дхк
А-
_\ (дит дик
~ 2 \д^ + д-
F.3.2)
F.3.3)
244 Волны в неограниченном пространстве и плоскости [Гл.6
0 = ?ii + ?22; F.3.4)
, СГ13 = СГ23 = О, СГ33 =
^^г (^11 + <722) •
F.3.5)
Для замыкания задачи к уравнениям F.3.2) добавляем начальные
условия (ср. с F.2.5))
uk\t=o = <Pk(x1,x2), ик\.=0 = фк(х1,х2), (ж1,ж2) е В2. F.3.6)
Перемещения и напряжения имеют аналогичные F.2.6) и F.2.11)
интегральные представления:
2, t) ** Fm(a?i, ж2, t) +
1,x2) + Gkm{xi, x2, t) * ^m(a:i, ж2); F.3.7)
ж2, *) ** Fm(xb ж2, *) +
Gllm(xu ж2, *) * ^т(жь ж2) + Gllm(xu ж2, *) * ^т(жь ж2). F.3.8)
Здесь Gfcm — функции, удовлетворяющие уравнению (ср. с F.2.7))
Gkm = (с? -4)^ + c22AGkm + *fc
),
F.3.9)
(ж1,ж2) G R2\ t> 0
и нулевым начальным условиям F.2.8), G^lm — функции, определяе-
определяемые равенствами F.2.12), в которых
#m - Crllm + G22m - + (bJlUJ
+ ^^^ , (b.J.lUJ
а деформации G?klm вычисляются по формулам F.2.9).
Очевидно, Gkrn(xu ж2, t), G%lm(x1,x2, t) и G%lrn(xu ж2, t) — функ-
функции влияния для перемещений, напряжений и деформаций. Они яв-
являются соответственно компонентами симметричного тензора второго
ранга (тензора Грина) и тензоров третьего ранга в двумерном про-
пространстве R2.
Функции Gkm(xii X2, t) фактически найдены в примере 6.2.2. Одна-
Однако удобнее для построения функций влияния напрямую использовать
преобразование Фурье по пространственным координатам (в данном
случае двойное) и преобразование Лапласа по времени (см. приложение
В). При этом, очевидно, для изображений справедливы результаты
F.2.17)-F.2.19), где необходимо положить q% = 0, т.е.
Gkim = Gklm(qu 92, s), Gklm = Gklm
F.3.11)
6.3] Нестационарные возмущения в упругой плоскости 245
Оригиналы по Фурье этих функций определяем с помощью
табл. В.1.3 и с учетом рекуррентных формул для модифицированных
функций Бесселя [54]
= Ku-1(z) + ^Kv(z). F.3.12)
Эти оригиналы имеют вид
^(rA F.3.13)
^[^fe)^(=)]}; №3.14)
1 Д (~1K
x \(xk5lm + xrfkm + xm5M) K2 (Т±\ - 8Xk*lrXm K3 (^т
F.3.15)
Здесь и далее в этом параграфе под г понимается следующая вели-
величина:
г = ^jx\ + х\ . F.3.16)
Для обращения преобразования Лапласа используем табл. В.2.2:
^ (Ь2 %S/2 ; F.3.17)
\ {elf r%1/2]
Gkm = "^{<W [^ (Ф2 - r2)f - c2t\
_ 1 J XkSlm + XiSkm ( 2,2 2\ ~3/2 ,
-2^\ 2^ 1С2*-Г)+ +
^ 1 .2^-3/2
-L ^ Ы1 [^HL (8cf _ 12(f + 3r) (Ct ,^
- (xkSlm + xi5km + xm6kl) Bc2t2 - г2) (ф2 - r2)+1/2] J. F.3.
19)
246 Волны в неограниченном пространстве и плоскости [Гл.6
Отметим, что правые части формулы F.3.18) и полученного в при-
примере 6.2.2 выражения F.2.50) совпадают. Функции влияния для на-
напряжений G%lm определяются подстановкой равенств F.3.17) и F.3.19)
в формулу F.2.12).
Для проверки полученного решения аналогично предыдущему па-
параграфу построим тензор Грина G^m(xi,X2) для соответствующей
статической задачи, компонентами которого являются перемещения
плоскости под действием постоянной по времени, сосредоточенной в на-
начале координат и сонаправленной с вектором еш единичной силы, т.е.
решения уравнения F.3.9) при отсутствии инерционных сил и внешнем
воздействии 5km$(xii X2)- Полагая в F.3.7) Fm = SmiH(t)S(xi,X2)-)
находим (ср. с F.2.27))
Gfm(xu х2) = Hm Gkm(xux2, t) * H{t). F.3.20)
ъ—>-oo
Здесь в отличие от предыдущего параграфа в силу сложности ря-
рядов, в которые раскладываются функции Kn(z) в окрестности точки
z = 0 [54], вместо использования аналога равенства F.2.28) проще
непосредственно вычислить предел F.3.20). Сначала с использованием
F.3.18) найдем стоящую под знаком предела свертку:
3 = 1
г ТГл сэ
\ Mlj (r, t) + M_hj (r, t)] ), F.3.21)
где
t
M_hj(r,t) = | (Cy - r%1/2 H(t -T)dT =
0
Г dr 1 Cjt +
= Н(сЛ-г) dT = — In ^ Н(сЛ-г),
F.3.22)
О
t
Г I 1 Г о о о 1 /2 о 1
= Н (cjt - г) ус)т2 - г2 dr = -\t [cp2 - r2)+ - r2M_i5j-(r, t)\ .
6.3] Нестационарные возмущения в упругой плоскости 247
Подставляя интегралы F.3.22) в F.3.21), после некоторых преобразо-
преобразований приходим к равенству
Gkm(x1,x2,t) * H(t) =
-if i \(-i)j i6^- - XkX™\ A_ <СЦ* _ 2U/2 Skrn M / J
-2l,^c.\y 4 \ 2 r2 ) г?Лсз* r )+ + 2 M-i,jlr>*JJ-
F.3.23)
Для раскрытия неопределенности в пределе F.3.20) используем сле-
следующие разложения для квадратного корня и логарифма при t —> оо:
Cjt+JcH2-^
In У-J = In
r
из которых вытекают равенства (t —> оо)
}=1П2Ь + 0^)'
F.3.25)
^ 1 w ( f\ _ 1 ] ri-^i r_u f/^
j — l 3 Cj - 1 C2 - 2
Подставляя теперь F.3.25) в F.3.23) и далее в F.3.20), получаем
А:т(жЬ Ж2) = 2-Г- 2~ + *fcm "а 2 1п " ) ¦ F.3.26)
Если аналогично пространственной задаче эту функцию умножить
на плотность среды р и подставить в F.3.26) выражения F.1.13) скоро-
скоростей распространения волн через упругие постоянные Ламе, то резуль-
результат полностью совпадет с известным решением статической задачи [29].
Наличие дополнительного множителя так же, как и в § 6.2, объясняется
тем, что здесь функции влияния построены при задании в виде дельта-
функции массовых, а не объемных сил.
Пример 6.3.1. Найти перемещения в упругой плоскости под дей-
действием сосредоточенной в начале координат и направленной по оси
Ох\ силы F = pf(t)H(t) и при нулевых начальных условиях. Расчеты
провести в безразмерных переменных B.1.1), C.1.4), положив f(t) =
= /о = const, /? = // {с\Ь) = 1, 71 = 1; 72 = 1,871.
248 Волны в неограниченном пространстве и плоскости [Гл.6
Решение. В этом случае координаты объемной силы имеют вид
F1 = f+(t)S(x1,x2), F2=0; f+(t) = f(t)H(t). F.3.27)
Соответствующие перемещения, как следует из F.3.7) и свойств
дельта-функции Дирака, определяются так
, X2, t) = Gki(x1,x2, t) ** /+(г)?(жь х2) = Gki(x1,x2, t) * +()
F.3.28)
Функции влияния Gki находим из F.3.18)
2тгг2
4
c|i2 г2) (с2*2 г%1/2
Е ^ Bc|i2 - г2) (с2*2 - г%1/2. F.3.29)
Подставляя эти равенства в F.3.28), приходим к следующим форму-
формулам для перемещений:
4 е
^f [
, а2, *) = -g| Е ^f [
^f [7
где
N.ltj
.ltj(r, t) = j (c|r2 - r%1/2 f(t -T)dT =
0
= H(Cjt-r) f /(t r) dr,
t
hAr,t)=\{cy-r^
= H(Cjt-r) j f{t-T)^c)T2-r2 dr. F.3.31)
r/c,
6.3]
Нестационарные возмущения в упругой плоскости
249
Для заданной в условиях примера функции f(t) из F.3.31) полу-
получаем, что N-ij(r,t) и Nij(r^t) совпадают с указанными в F.3.22)
функциями M_i5j(r, t) и Mij(r, t) соответственно. Поэтому для пере-
перемещений могут быть использованы свертки F.3.23):
ж2, t) =
l(#l, Ж2, t) * #(t) =
2 j
_ r2
H(Cjt-r)\,
U2(x1,X2,t) =
H(t) =
2тгг
._^
На рисунках 6.3.1 и 6.3.2 представлены полученные при указанных
в условиях примера значениях параметров распределения соответ-
Рис. 6.3.1
250
Волны в неограниченном пространстве и плоскости
[Гл.6
ственно безразмерных перемещений и\ и u<i по пространственным
координатам в различные моменты времени: а) г = 0,2; б) т =
= 0,4; в) г = 0,6; г) г = 0,8; д) г = 1. На них ясно прослеживается
наличие особенности в начале координат в окрестности г = 0 и ее
распространение на фронтах волн с\^т = г.
Рис. 6.3.2
Упражнение 6.3.1. С использованием функций влияния F.3.18)
найти перемещения в упругой плоскости под действием внешних сил
вида
F1 = 6(tN(x1), F2=0 F.3.33)
и при нулевых начальных условиях.
Указание. Использовать методику примера 6.2.1.
Глава 7
ДВУМЕРНЫЕ ВОЛНЫ
В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ И ПЛОСКОМ СЛОЕ
Исследование процесса распространения волн в ограниченных и по-
полуограниченных сплошных средах является более сложной задачей,
чем изучение этих явлений для неограниченных сред. Это видно уже
на примере рассмотренных в главах 2-4 одномерных волновых процес-
процессов. Поэтому в этой главе приведем решения только стационарных за-
задач и двумерных (плоских и осесимметричных) нестационарных задач
о распространении граничных возмущений (см. § 1.1, 1.2) в однородных
изотропных упругих и акустических средах. Остальные вопросы (трех-
(трехмерные волны, распространение начальных и объемных возмущений)
в силу своей сложности выходят за рамки учебной литературы.
7.1. Волны Рэлея
Рассмотрим процесс распространения плоской прогрессивной вол-
волны A.3.14) в направлении границы полуплоскости, занятой однородной
упругой изотропной средой. Прямоугольную декартову систему коор-
координат Oxz (х = xi, z = х%) выберем так, чтобы ось Oz была направлена
в глубь полуплоскости, а ось Ох совпадала с границей полуплоскости
z = 0.
Для описания движения среды используем уравнения в потенциа-
потенциалах (А.2.49) и (А.4.12), в которых в силу двумерности задачи следует
положить
(p = (p(x,z,t), <ф1=<ф2 = 0, ip3 = tp(x,z,t). G.1.1)
Полагая, что массовые силы отсутствуют, приходим к следующим
уравнениям относительно скалярного потенциала (р и ненулевого ком-
компонента ф векторного потенциала (точками обозначены производные
по времени t):
ф = с\А<р, ф = с22Аф, (x,z)eR\ t>0, A = |i + ?l.
G.1.2)
Перемещения и потенциалы связаны между собой так (см. (А.4.13)):
®Ч> 8Ф д<р в<ф п (Г7Л оЛ
Для деформаций, коэффициента объемного расширения и напря-
напряжений из (б.2.1)-(б.2.4) в этом случае получаем следующие формулы
252 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
(см. также (б.3.3)-(б.3.5)):
дщ 1 /ди3 , dm\ ди3 _п
G.1.4)
0 = гп + гзз; G.1.5)
(Гц = А0 + 2/i?lb сгзз = А0 +
0"i2 = ^23 = и, сг22 = оМ —г [сгц + сг3з; •
z^A -\- [I)
Считаем, что граница полуплоскости свободна от напряжений и на
бесконечности возмущения отсутствуют, что соответствует граничным
условиям
^1з|2=о=^зз|2=0 = 0; G.1.7)
<р = 0A), ф = ОA), z^+oo. G.1.8)
Решение задачи G.1.2)-G.1.8)) разыскиваем в форме прогрессивной
волны
i>(x,z,t)=V(z)E(x,t), G.1.9)
Подставляя G.1.9) в G.1.2), получаем уравнения относительно
функций Ф(г) и Ф(г):
При с ^ Cj (Cj ^ 0) решения этих уравнений не удовлетворяют гра-
граничным условиям на бесконечности G.1.8). Если же (см. неравенство в
(А.2.30)) с < С2, то /3j > 0, и требуемые решения имеют вид
G.1.11)
где С\ и С2 — произвольные постоянные.
Следовательно,
(р(х, z, t) = СгЕг(г)Е(х, t), ф(х, z, t) = C2E2(z)E(x, t). G.1.12)
Тогда из G.1.3)-G.1.б) находим
m=q [-iCiSi(s) + «2^2^2(^I Е(х, *),
G.1.13)
мз = -Я [aiCiSi(s) + iC2E2(z)} E{x, t)-
7.1 ] Волны Рэлея 253
eii = -q2[C1E1(z)+ia2C2E2(z)]E(x,t),
?13 = \ [2taiCi??i(z) - (l + aj) C2E2(z)] E(x, t), G.1.14)
езз =q2 [ajdE^z) + ia2C2E2(z)} E(x,t);
O = -q%C1El{z)E{x,t); G.1.15)
on = -Мг lUoti + 4) CiEi(z) + 2ia2C2E2(z)\ E(x,t),
<ri3 = M2 [2iaiCiEi(z) - A + a22) C2E2(z)} E(x, t), GЛЛ6)
a33 = fiq2 [A + a\) CiEi(z) + 2ia2C2E2(z)] E(x, t).
Подставляя равенства G.1.16) в граничные условия G.1.7), получа-
получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений относи-
относительно Ci и С2:
- A + af) C2 = О,
G.1.17)
) =0.
Условием существования ее нетривиального решения является ра-
равенство нулю определителя матрицы этой системы (величина ц опре-
определена в B.1.1))
а2) = A + a\f
= B - О2 - 4^1 - Ц^ ,/Г^ = 0, G.1.18)
Умножение левой части этого равенства на сопряженное выражение
= B-tf +
приводит к многочлену четвертой степени
Яю@ = ^32@, ^2@ = ^3 " Ч2 + 8B + х)? - 8A + к).
Здесь (см. B.1.1), (А.2.30) и G.1.18))
я= _^_ = 1--^. G.1.19)
Л + 2^ гJ V J
Поскольку в действительной области #о(?) > 05 то уравнение
в G.1.18) эквивалентно следующему кубическому уравнению (множи-
254 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
тель ? отброшен, так как он дает нулевой корень, что соответствует
отсутствию волны):
Р32(О = 0. G.1.20)
В силу неравенства 0 < v < 1/2 (см. (А.2.3)) для реальных сред
параметры к и г) изменяются в следующих диапазонах:
0 < х< 1, \/2<77<оо. G.1.21)
Предельный случай к = 1 (rj = ос), согласно (А.3.29), G.1.18)
и G.1.19), отвечает акустической среде. При этом знаменатель в равен-
равенстве для ? в G.1.18) обращается в нуль (с2 = 0). Поэтому параллельно
с G.1.20) будем рассматривать эквивалентное ему уравнение
РзЛС) = С3 - 4A - х)B + 2B + *)A - xfC - A - х2) {l-Hf= 0,
^WC)=^3i(C), G-1.22)
Дискриминант многочлена Рз1(С) имеет вид
-Ш"+(!)'-s
Р = |C*-2), ,= ^D5^-11), Д»(«) = " + |" + А«-А.
Так как Дз@) < 0, Аз A) > 0 и А^ (х) > 0, то существует единствен-
единственный действительный нуль к* многочлена Аз (х). При этом для D% (я)
имеем (величины х*, г^* и т^^ связаны между собой соотношениями
B.1.1) и G.1.19))
D3 (я*) = 0,
D3 (к) < 0 @ < к < к^ 0 < v < i/#, 2 < 772 < ^) ,
) > 0 (х# < х < 1, i/# < I/ < 1/2, гI <гJ < +оо) ,
{к)
х* « 0,357003, I/* « 0,263 082, ^ = 3,110435.
Таким образом, многочлены Р%\{С) и Рзг(О при 0 ^ к < к* имеют
три различных действительных корня. При к* < к < 1 один их корень
действительный, а два других — комплексно-сопряженные. Зависи-
Зависимость корней ?i, ?2 и ?з многочлена P3i{() от параметра к представлена
на рис. 7.1.1.
Укажем явный вид корней многочленов Рз1(() и Рз2(?) при неко-
некоторых частных значениях упругих постоянных среды:
при v = 0 (х = 0, г]2 =2)
. ci 3-^5 . . 3 + ^5
Cl = -2" = о ' ^2 = 1? ^3 = О '
7.1]
Волны Рэлея
255
U = 4 = 3- л/5, 6 = 2,
с2
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
-0,5
0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 7.1.1
при v = 0,25 (Л = /i, к = 1/3, г]2 = 3) — среда Коши
1
\
с2
/
-^—
\
Ч
к"
т /*
7Im ?2
Re ?2,з
- ~^
Im ^з
при I/ =
Cr 4 19
1 = ^ = ^2Г"
3/45^ -11
^ 0,273 027,
1,149 479,
t ся 4 / з/45^-11
a = -г = о 2 - \
Со О \ V ^
3/45^* -11
при v = 1/2 {я = 1, т?2 = oo) — акустическая среда
Cl = B = Сз = Ч = 0,
256 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
= 4= ?ю = !-«-»« 0,912 624,
с2 &
v = | у/у/Ж + 17 и 2,164676, « = -^ « -0,410634,
Отметим, что для действительных корней ? i, ?2 и ?з многочлена
31 (С) справедливы следующие неравенства:
0 < (i = ^ < Л @ < х < 1), Сг,з > 1 @ < х < ж.). G.1.23)
Таким образом, существует единственная фазовая скорость
G.1.24)
Общее решение системы G.1.17) представим следующим образом
(С — произвольная постоянная):
Ci = -2ia2RC, C2 = (l
Подставляя эти константы в G.1.13) и G.1.16), находим перемеще-
перемещения и напряжения:
иг = Cqa2R [-2Ег(г) + (l + a\R) E2(z)}_ E(x, *),
u G.1.25)
= Ciq ( ^) ^1+^ ВД () | ( )
= 2iCfiq2a2R \\2a21R + ^ J ^(г) - (l + а^я) E2(z)] E(x, t),
- E2(z)] E(x, t), G.1.26)
Напряженно-деформированное состояние среды определяется
неединственным образом (в формулах G.1.25) и G.1.26) присутствует
произвольный постоянный множитель С). Это связано с тем, что
исходная задача является однородной.
Комплексные решения следует понимать следующим образом: в си-
силу линейности задачи реальными являются соответственно либо дей-
действительная, либо мнимая их часть.
7.2]
Прогрессивные волны в плоском слое
257
Полученные волны называются волнами Рзлея, а соответствующая
им фазовая скорость cR — скоростью волн Рзлея. Отметим, что, как
следует из уравнения G.1.18), фазовая скорость в этом случае не зави-
зависит от волнового числа д, т. е. волны Рзлея являются бездисперсными
(см. §1.3).
Эти волны вследствие наличия экспоненциальных множителей с по-
показателями (—qajz) очень быстро затухают по глубине полуплоскости.
При этом скорость затухания определяется фазовой скоростью д, т. е.
длиной (периодом) L волны по координате х. Чем больше фазовая
скорость (меньше длина волны), тем быстрее происходит затухание.
Следовательно, волны Рзлея являются поверхностными (их ос-
основная энергия сосредоточена у границы полуплоскости). Они имеют
большое значение в сейсмологии, поскольку наблюдаются при земле-
землетрясениях вдали от эпицентра, и именно они являются причинами раз-
разрушений объектов на земной поверхности. Волны Рзлея также играют
большую роль при проведении ультразвуковых исследований, в том
числе, в дефектоскопии.
7.2. Прогрессивные волны в плоском слое
В предыдущем параграфе установлено наличие поверхностных
волн Рзлея в полуплоскости. Для оценки влияния второй границы
в аналогичной постановке рассмотрим задачу о распространении про-
прогрессивных волн в плоском упругом слое толщины 2/г. Соответствую-
Соответствующая геометрия задачи и выбранная прямоугольная декартова система
координат указаны на рис. 7.2.1 (z = dz/г — граничные плоскости).
Движение слоя описывается уравне-
уравнениями G.1.2) и соотношениями G.1.3)—
G.1.6). Положим, что границы слоя яв-
являются свободными (см. также G.1.7))
0з|г=±ь — 0з|г=±й — 0- G.2.1)
Так же, как в задаче о волнах Рз-
Рзлея, разыскиваем решение в виде G.1.9)
и приходим к уравнениям G.1.10). Вид
общих решений этих уравнений зависит
от величины фазовой скорости: с < c<i, с = c<i, с2 < с < с\, с = с\ или
с > с\. Однако для внутренних точек всех указанных трех диапазонов
их удобнее записать в одном и том же виде (С& и D^ — произвольные
постоянные)
G.2.2)
Рис. 7.2.1
Ф(г) = Сг sh {qzyfWx) + C2 ch
Ф(г) = Di sh (qz д/& ) + D2 ch
рассматривая при необходимости квадратный корень как мнимое чис-
число. Результаты для граничных точек диапазонов получаются с помо-
помощью соответствующих предельных переходов.
9 А. Г. Горшков и др.
258 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
Из G.1.9) и G.2.2) находим следующие представления потенциалов:
ф, z, t) = [Ci sh (qzy/fa) + C2 ch (qzy/fa)] E(x, t),
Г г- r-\ (?-2-3)
il>(x,z,t)= [DlSh(qz^) + D2ch(qz^)\ E(x,t).
Тогда из G.1.3)-G.1.6) получаем
D! ch (qzy/fa) + D2 sh (qzy/fa)] } E(x, t),
G.2.4)
i sh (g^V^) + D2 ch (^у^)] } E(x, t);
?11 = -92 {Ci Sh (^V^) + C2 ch
-i^/J2 [Z?i ch (^у^) + D2 sh
?13 = ~\ {2iVp~i [Ci ch (^v^) + C2 sh
+A + f32)[D1sh(qzy/02') + D2ch(qz^))\} E(x,t), G.2.5)
?зз = 92 {/Si [Ci sh (^V^) + <72ch (д«л/^)] -
-i^ [Di ch (qz y/fa) + D2 sh {qz^ff2)\ } ??(», t);
- /32) [Ci sh
>! ch (g*V&) + I>2 sh (9г^)] } ?7(ж, t),
ch (^V^") + C2 sh
+A + /32)[D1sh(qz^/p2') + D2ch(qz^/p2))\} E(x,t), G.2.6)
= q1 {A + ^2) [Ci sh {qzJJl) + C2ch
i ch (дг^) + D2 sh (^ V^)] } E(x, t).
7.2]
Прогрессивные волны в плоском слое
259
Подставляя равенства G.2.6) в граничные условия G.2.1), после пре-
преобразований получаем две независимые однородные системы линейных
алгебраических уравнений относительно С2, D\\
sh {qhy/Wx) + A + /32)?>i sh (qhy/jh) = 0,
и относительно Ci, D
ch
/32)Ci sh
+ A +
2 ch
1 sh
= 0;
= 0,
= О.
G.2.7)
G.2.8)
Как вытекает из G.2.4) и G.2.6), при С\ = D2 = 0 перемещение г/i
и напряжения сгц, сгзз — четные, а перемещение из и напряжение
сг1з — нечетные функции по координате z. Если же С2 = D% = 0, то
наоборот г^з и а^ — четные, а и\ и сгп, сгзз — нечетные функции.
Назовем эти два типа волн соответственно симметричными и анти-
антисимметричными, и в силу линейности задачи рассмотрим их отдельно.
1. Симметричные волны. Условием существования нетривиаль-
нетривиального решения системы G.2.7) является равенство нулю ее определи-
определителя, которое эквивалентно трансцендентному уравнению, записывае-
записываемому при различных значениях фазовой скорости с учетом равенства
th ix = i tg x следующим образом:
при с < с2 (? < 1)
B -
G.2.9)
при с2 < с < а A < ? <
G.2.10)
при с
B-
G.2.11)
Обозначения используемых здесь параметров указаны в G.1.18).
В силу периодичности тригонометрического тангенса уравнение
G.2.10)-G.2.12) имеет счетное множество решений
<
<... <
< • • •,
G.2.12)
260 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
которым соответствуют следующие фазовые скорости cs&:
Csk = (skC2, (sk = \Д^к • G.2.13)
Исследуем поведение этих скоростей в двух предельных случаях:
длина волны (см. § 1.3) значительно больше толщины слоя (L ^> 2/г,
qh —> 0) и длина волны намного меньше толщины слоя (L <С 2/г, qh —>
—> оо). При этом будем использовать следующие свойства элементар-
элементарных функций:
ж3 ж3
tgx ~ х ~ х + y^ thx~x~x-—, х^О; ^
th х rsj 15 х —> +оо.
Сохраняя в G.2.11) члены первого порядка малости при qh —> 0
получаем (знаки эквивалентности заменяем равенствами)
--т =B "О2- G.2.15)
V J
Отсюда для первой формы колебаний имеем, что при qh —> О
(см. неравенства G.1.21))
U ^t*= 2A + *г), с^с*= 2Cf^c\-c\, К 2A + к) < гJ.
G.2.16)
Использование разложений из G.2.14) с учетом членов третьего
порядка приводит при qh —> 0 G.2.11) к уравнению
G.2.17)
Поскольку коэффициент при старшей степени стремится к нулю,
то один из корней уравнения стремится к бесконечности. Аналогичный
анализ соотношений G.2.9) и G.2.10) приводит к тому же результату,
который соответствует только диапазону изменения ?, отвечающему
уравнению G.2.11). Так как для первой формы справедливо соотноше-
соотношение G.2.16), то этот вывод относится к высшим формам, т.е.
tak-xx), csk ^oo при qh^O (к > 2). G.2.18)
При qh —> оо, учитывая последнее отношение эквивалентности в
G.2.14), из G.2.9) получаем уравнение
B^J =1, G.2.19)
которое эквивалентно уравнению G.1.18). Следовательно, фазовая
скорость первой формы волны стремится к скорости волн Рзлея
7.2]
Прогрессивные волны в плоском слое
261
(см. G.1.24))
U -> ?д, с -> сю G.2.20)
т. е. в этом случае границы слоя z = ±/г оказывают малое влияние друг
на друга. Т. е. на плоскостях z = ±/г преимущественно имеют место
волны, близкие к волнам Рзлея.
Из соотношений G.2.9)-G.2.11) вытекает, что волны этого типа
являются дисперсными. Групповая скорость в соответствии с A.3.24)
определяется так
V
.А
-—
qh
G.2.21) 2
где i'{qh) находится как производ- ?*
ная неявно заданной уравнениями
G.2.9)-G.2.11) функции ?(qh). l
Можно показать, что групповая
скорость для первой формы имеет
такие же предельные значения, как о
и фазовая скорость, а для высших
форм при qh —> 0 она стремится
к нулю.
Графики зависимостей от qh безразмерных фазовых ?i и ?2, а также
групповых Cgi И Cg2 скоростей симметричных волн при коэффициенте
Пуассона v = 1/4 [29] приведены на рис. 7.2.2 (индексы «I» и «2»
соответствуют номеру формы).
Для определения формы колебаний полагаем в G.2.7)
G.2.22)
рис ^ 2 2
где С — произвольная постоянная.
Подставляя эти равенства в G.2.4) и G.2.6) при С\ =
дим формы волн перемещений и напряжений
Ul = iqC |-A + /3
= 0, нахо-
нахо, t),
из =
{A + /32) sh (qhy/fa) sh (qzy[W\)~
+2 sh {qhyfWx) sh {qzy[W*)\ E(x, t);
/32) sh {qhy/fa) ch {qzyflh) +
sh {qhyflil) ch {qzy/fa)} E{x, t),
- /32)
262 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
(qzy/jh)+
<ТЗЗ = q2C {A + /32J sh (qhy/fa) ch
sh
,t), G.2.24)
(s, i).
2. Антисимметричные волны. Аналогично симметричным вол-
волнам из условия существования нетривиального решения системы G.2.8)
получаем трансцендентное уравнение относительно безразмерной фа-
фазовой скорости:
при с < с2 (? < 1)
th (qhJl - i/rf
при c2 < с < ci A < ? < rj)
B-O2
th (qhyjl -
4 V^T yjl -
при с > c\ {?> гJ
VT^v*/1»2-1
G.2.25)
G.2.26)
G.2.27)
Уравнение G.2.25)-G.2.27) имеет счетное множество решений:
6*1 < Ы < • • • <?«*<•.., G.2.28)
каждому из которых соответствует следующая фазовая скорость са&:
Исследование асимптотического поведения фазовых и групповых
(см. G.2.21)) скоростей показывает, что для первой формы
?а\ -> 0, ?gal -> 0 при qh -> 0;
qh -+ ОО,
G.2.30)
а для высших форм
&*->оо, ?gsk->0 при qh^O (k^2). G.2.31)
Графики зависимостей от qh безразмерных фазовых Ci и Сг? а также
групповых (gi и ^2 скоростей антисимметричных волн при коэффици-
коэффициенте Пуассона v = 1/4 [29] приведены на рис. 7.2.3 (индексы «1» и «2»
соответствуют номеру формы).
7.3]
Полуплоскость под действием движущейся силы
263
"-—
=
2 4 6
Рис. 7.2.3
qh
Для определения форм антисимметричных колебаний достаточно
положить в G.2.8) (D — произвольная постоянная)
Сг =
/32) ch
[ ch
, G.2.32)
и далее подставить эти равенства в G.2.4) и G.2.6), учитывая, что С2 =
= 0и D1=0.
7.3. Полуплоскость под действием движущейся
с постоянной скоростью поверхностной силы
В рамках предположений § 7.1 о геометрии области и свойствах
занимающей ее среды рассмотрим еще одну практически важную ста-
стационарную задачу (см. § 1.3) о движении с постоянной скоростью v
в направлении оси Ох нормальной
к границе z = 0 полуплоскости си-
силы Р (рис. 7.3.1).
Движение упругой среды опи-
описывается соотношениями G.1.2)-
G.1.6). Граничные условия на
границе полуплоскости имеют вид
G.3.1)
Рис. 7.3.1
где 5(х) — дельта-функция Дирака.
Условия на бесконечности сформулируем позже.
Предполагая, что решение задачи есть функции от х — vt и
перейдем к новой подвижной системе координат
Х\ = X — Vt, Z\ = Z.
G.3.2)
264 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
В новых переменных уравнения G.1.2) приобретают следующий
вид:
^?3 ^з ^
G.3.3)
где Mj — числа Маха г).
Соотношения G.1.5) и G.1.6) сохраняются, в G.1.3) и G.1.4) коорди-
координата х заменяется переменной х\. Граничные условия G.3.1) переходят
в следующие:
z=0 = 0, <T33|z=0 = -PS(Xl). G.3.4)
Отметим, что в зависимости от соотношения скорости v движения
силы и скоростей распространения волн Ci,c2 (величин чисел Маха,
коэффициентов /3j) уравнения G.3.3) имеют различный тип: при v <
< с2 < С\ (Mi < М2 < 1, 0 < /32 < /3i) оба уравнения — эллиптические;
при с2 < v < c1 (Mi < 1 < М2, /32 < 0 < /3i) первое уравнение —
эллиптическое, а второе — гиперболическое; при с2 < с\ < v (I < Mi <
< М2, /32 < /3i < 0) оба уравнения — гиперболические. Указанные
диапазоны имеют следующие названия: первый из них — дозвуковой,
второй — трансзвуковой, третий — сверхзвуковой.
Для решения задачи используем преобразование Фурье по коорди-
координате х\ (все обозначения стандартные, см. приложение В). В простран-
пространстве преобразований с учетом свойств этого преобразования уравнения
G.3.3), соотношения G.1.3), G.1.4) и граничные условия G.3.4) приоб-
приобретают следующий вид:
G.3.5)
; G.3.6)
& G-3.7)
'fsl
2=0=0, a[3\z=0 = -P, G.3.8)
а в законе Гука 2) G.1.6) в обозначениях компонент тензоров необхо-
необходимо добавить индекс «F».
Далее отдельно рассмотрим все три диапазона, в которых может
находиться скорость v.
1) Max (Mach E., 1838-1916) — австрийский физик, философ.
2) Гук (Hook R., 1635-1703) — английский естествоиспытатель.
7.3 ] Полуплоскость под действием движущейся силы 265
1. Дозвуковая скорость: v < с2 (М1 < М2 < 1, 0 < /32 < /3i).
Уравнения G.3.5) в этом случае записываем так
W G-3.9)
dzi
~~ G.3.10)
Соответствующие условия на бесконечности — условия ограничен-
ограниченности A.1.2)
^ = 0A) (г_>+00); G.3.11)
^ = 0A) (г->+оо). G.3.12)
Удовлетворяющие им решения уравнений G.3.9) и G.3.10) имеют
следующий вид:
<pF(q,z) = C1E1{z), E1{z) = e-a^z; G.3.13)
F = e-a'M', G.3.14)
где С\ и C2 — произвольные постоянные.
Тогда из G.3.6), G.3.7) и G.1.6) находим
uF = -iqCiE^z) + a2 \q\ C2E2(z),
G.3.15)
uF = -Ol \q\ dE^z) - iqC2E2(z);
efi = -Я [qCxEtiz) + i \q\ a2C2E2{z)\,
sF3 = | [2t \q\ a1C1E1(z) - q (l + a\) C2E2(z)] , G.3.16)
4s = Я [qajdE^z) + i \q\ a2C2E2(z)} ;
<i = -M [q Ba? + Ml) CxEx{z) + 2» |9| а2С2Я2(;г)] ,
(jfa = W [2« |9| aiCi?7i(«) - g (l + a|) C2E2(z)] , G.3.17)
^3F3 = M [Я A + «г) Ci^iM + 2* |g| а2С2Я2(^)] .
Заметим, что при q > 0 и и = с формулы G.3.15)-G.3.17) в соответ-
соответствии с A.3.27) совпадают с равенствами в G.1.13), G.1.14), G.1.16).
Подставляя G.3.17) в граничные условия G.3.8), получаем систему
линейных алгебраических уравнений относительно констант С\ и С2:
р G.3.18)
a\)C1+2i\q\a2C2 = - —.
266
Двумерные волны в полупространстве и плоском слое
[Гл.7
Определитель матрицы этой системы равен q2R(ai,a2), т.е. при
v = с этот определитель пропорционален определителю G.1.18), а ре-
решение системы имеет вид
l)
_ PKu(l+al)
2
fiq
2iPKuai sign q
fiq
1
G.3.19)
Подставляя эти постоянные в G.3.15) и G.3.17), находим изображе-
изображение перемещений и напряжений (ср. с G.1.25) и G.1.26))
iPKu
al)E1(z)-2a1a2E2(zj\,
G.3.20)
а[г = PKU [A + а\) Bа\ + М*) Ег(г) - 4a1a2E2(z)] ,
а[3 = -2гРКиах A + а\) [Ег(г) - E2(z)} sign q, G>3>2l)
a[3 = -PKU ГA + a\f Ei(z) - 4a1a2^2(^)| •
Отсюда с использованием свойств преобразования Фурье и табл. В.1.2
приходим к окончательным формулам для перемещения и напряжения:
/ ч РКи Г/, , 2\ , Хг о , Хг 1
uAxi, z) = A + cto arctg 2aia2 arctg ,
-кц Lv 7 aiz a2^-l G 3 22)
PKttai ГСМ2_ (l + a24j / 2+ 2 2 +2ln
14- 2
2a^ + Ml) ^ + ^^2 - -
м\ (l + al) [М\ - M2) ж;
(i + .
4al
PKuOLiZ
Очевидно, при скорости движения силы, совпадающей со скоростью
волн Рзлея cR (М2 = yft^^Mi = д/Сд, см. G.1.24)), все компоненты
напряженно-деформированного состояния среды обращаются в беско-
бесконечность, т. е. решение задачи не существует (не существует решение
системы уравнений G.3.18)). Предельное значение скорости движения
силы v = с2 (М2 = 1, М1 = 1/г), а2 = 0, а± = д/A + ^)/2, Ки = 1) не
является критическим, т.е. решение задачи существует и имеет вид
7.3]
Полуплоскость под действием движущейся силы
267
ч Р
, z) = — arctg
us =
С-In
G.3.24)
тг [2а?
тг [2Ж? + A +
G.3.25)
Анализ формул G.3.22) и G.3.23) показывает, что напряжения на
бесконечности равны нулю; касательные перемещения и\ ограничены
в окрестности бесконечно удаленной точки х\ = ос, а на поверхности
полуплоскости они также ограничены, но имеют разрыв первого рода;
нормальные же перемещения и% имеют логарифмическую особенность
в начале подвижной системы координат и при х\ —ъ оо:
PKU
TTfl
- 2aia2) signal,
1 •
hm
G.3.26)
ТГ/Х
TTfl
In x\
±00).
Отметим, что наличие особенностей у перемещений, как здесь, так
и далее, не противоречит гипотезе сплошности среды, поскольку рас-
рассматривается идеализированная сосредоточенная нагрузка. В случае
распределенной нагрузки эти особенности отсутствуют.
Графики функций Uj(xi,z) = Ujfi/P и crjk(xi,z) = crjk/P при
Mi = 0,4 и М2 = 0,692 приведены на рисунках 7.3.2-7.3.6.
1 0,0
Рис. 7.3.2
Рис. 7.3.3
268
Двумерные волны в полупространстве и плоском слое
[Гл.7
2. Трансзвуковая скорость: с2 < v < с\ (М1 < 1 < М2, /32 < 0 <
< /3i). Уравнение G.3.9) вместе с условием на бесконечности G.3.11),
а также соответствующее решение G.3.13) в этом случае сохраняется.
Второе же уравнение из G.3.5) запишем следующим образом:
dz2
G.3.27)
Для него условие на бесконечности (одномерная задача) — условие
излучения A.3.6):
dz
+ iq\2ipF = о (-) (z -> +сю) .
G.3.28)
Удовлетворяющее этому условию решение уравнения G.3.27) имеет
вид
E2(z) =
G.3.29)
где Н(х) — функция Хевисайда.
Аналогично G.3.15)—G.3.17) получаем представления трансфор-
трансформант перемещений, деформаций, напряжений и систему линейных ал-
алгебраических уравнений относительно констант С\ и С2:
и[ = -
= -аг \q\
i\2qC2E2{z),
) - iqC2E2(z);
G.3.30)
7.3 ] Полуплоскость под действием движущейся силы 269
ef3 = |
- q (l - \\) C2E2(z)] , G.3.31)
<t[3
= fxq2 [- Ba2 + M2) dEx{z) + 2X2C2E2(z)\ ,
= fiq [2* \q\ aidEi(z) - q (l - A|) C2^2(^)] , G.3.32)
T3F3 = M2 [A - X22) dEi{z) - 2X2C2E2(z)\ .
2i\q\a1C1-q(l-Xl)C2=0,
P G.3.33)
Решение системы уравнений G.3.33) имеет следующий вид (много-
(многочлен Рз1(С) определен в G.1.22)):
fiq I
~ 2iPKtOL\S\guq \(л л2\2 , л - \ 1 (*? о ол\
C2 = 2 v- ~ *2) + 42aiA2Sign^ , G.3.34)
1
Подставляя эти постоянные в G.3.30) и G.3.32), находим изображе-
изображения перемещений и напряжений:
- (l — A?,) + 4miA2 sign q\ x
x [A - A2) E^z) - i2a1X2E2(z) sign q\ ,
u$ = ^^i [A - X2J + 4iaiX2 sign q] [A - X2) E^z) - 2E2(z)] ;
G.3.35)
A - A|) [A - A|f + 4ia,X2 sign q\ x
270 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
а[3 = -2iPKta1 (l - А|) [(l - Xjf + ИагХ2 sign <?] х
#1B) - E2{z)\ sign G,
G.3.36)
<rf3 = -PKt [A - A^f + 4miA2 sign g] x
Отсюда с использованием свойств преобразования Фурье и табл. В.1.2
получаем перемещения и напряжения:
+ 4c*iA2 (I - A2) In yjx\ + a\z2 -
- 2«iA2 A - \\f In \xi + \2z\ +
+ ia\\\ sign (Xl + \2z) + 2aiX2 (l - A^) С ,
+ 4aiA2 (l — A?,) arctg —-—h 2 (l — A?,) In |xi + A2^| —
- 4ai A2 sign (Xl + A2^) + A - Xl) (l - Xfj С |; G.3.37)
2) = Ptftax Ba2 + Ml) (l - A2) (l ~ *2}
2
г) = -2PKta± A - A$) ^ \ 2 '7 v2 —
7Г
Г ai2 11
^ (xi + A2^) r-2 2"^- > , G.3.38)
|_ 7Г ^ajj1 + a^ J J J
7.3 ] Полуплоскость под действием движущейся силы 271
A-
\2 A - Л|)^ z
4Л2 A -
В рассматриваемом трансзвуковом случае аргумент ? = М\ много-
многочлена Рз1(() лежит в диапазоне rj~2 < ? < 1, в котором отсутствуют
действительные корни этого многочлена (см. § 7.1). Следовательно,
в отличие от сверхзвукового случая решение задачи определено при
любых скоростях движения нагрузки из указанного диапазона.
Предельные значения скорости, соответствующие концам диапазо-
диапазона, в трансзвуковом случае также не являются критическими. При v =
= С2 (Мг = 1, Mi = I/77, Л2 = 0, а\ = д/A + х)/2, Kt = 1) перемещения
и напряжения совпадают с соответствующими значениями, определя-
определяемыми формулами G.3.24) и G.3.25) для сверхзвукового случая. При
v = Cl (М2 = 7?, Mi = 1, \\ = г]2 ~ 1, «1 = О, К'1 = (г}2 - 2L), как
следует из G.3.37) и G.3.38), имеем дело с одномерной деформацией
= ^ signal, 1*3 = 0; G.3.39)
ail = -^5(Xl), (па = 0, а33 = -P5(Xl). G.3.40)
При получении первого и третьего равенств в G.3.40) было исполь-
использовано следующее свойство дельты-совокупности функций f(x\,z)
(см. приложение Б; z —> +0):
lim f(x1,z) = 6(x1), f(xltz)= ,a'\ ¦ G.3.41)
Тот же результат можно получить, если сначала выполнить пре-
предельный переход в равенствах G.3.35) и G.3.36), а затем — обратное
преобразование Фурье.
Из G.3.37) вытекает, что перемещения имеют логарифмическую
особенность на границе полуплоскости и при х\ —> оо
Т /-1 л 2\^ л 2 л 21
— A — А2] + 4а<1 л2 sign x\ +
+
7Г/Х
(l-At)(ln|aJl| + C) +
+ 2aiA2 [тг A - Xl) - 2] sign xi); G.3.42)
272
Двумерные волны в полупространстве и плоском слое
[Гл.7
2PKt
- X\) In
PKtOLl
7Т/Л
A - X\f A - A|) In \Xl\ (Xl -+ oo).
А из G.3.38) следует, что напряжения имеют сингулярную особен-
особенность на фронте х\ + X2z = 0 волны Маха (см. рис. 7.3.1).
Граничные условия G.3.8) выполняются, поскольку справедливо
предельное равенство G.3.41). По той же причине напряжения на гра-
границе полуплоскости определяются так
, z) = PKt {8 (a? + Ai) (l - A*)
TV X1
+ [Ba? + Ml) A - X22f + 16a?A|] 6 (Xl)} . G.3.43)
Графики функций Uj(xi^z) = Ujji/P для трансзвукового случая
при М\ = 0,694 и Mi = 1,2 приведены на рисунках 7.3.7, 7.3.8.
16 Г11-.
0,8
Рис. 7.3.7
Рис. 7.3.8
3. Сверхзвуковая скорость: v > с\ A < М\ < М2, /32 < /3i <
< 0). В этом случае решение также можно построить с использованием
преобразования Фурье. При этом изображение потенциала ср должно
удовлетворять уравнению G.3.27) и условию G.3.28), в которых А2
должно быть заменено величиной
Ai = V^Fi- G.3.44)
Однако поскольку здесь оба уравнения в G.3.3) являются гипербо-
гиперболическими, удобнее использовать другой подход, основанный на функ-
функционально-инвариантных решениях Д'Аламбера (см. также B.1.8)):
1, z) =
, z) =
G.3.45)
где f(x) и g(x) — произвольные необходимое число раз дифференци-
дифференцируемые функции.
Подставляя эти представления в G.1.3), G.1.4) и G.1.6) при х = х\,
находим
7.3 ] Полуплоскость под действием движущейся силы 273
- X2g' (ая + X2z),
G.3.46)
из = Ai/' (ая + Aiz) + g' (ая + А2г);
?11 = /" (X! + Xiz) - \2g" (X! + X2Z) ,
?13 = \ [2Ai/" (ая + Xxz) - (А| - 1) g" (Xl + X2z)] , G.3.47)
?зз = X\f" {xx + XlZ) + X2g" (ая + X2z);
<tu = /i [(M| - 2A?) /" (n + Aiz) - 2X2g" {xx + X2z)} ,
<т13 = ц [2Ai/" (ц + Ai-z) - (A| - 1) g" (Xl + X2z)] , G.3.48)
^зз = M [(A| - 1) /" fa + XlZ) + 2X2g" (Xl + X2z)} .
Последние два равенства в G.3.48) совместно с граничными усло-
условиями G.3.4) приводят к системе линейных алгебраических уравнений
относительно производных f" (x\) и g" (x\)\
2Xlf"{xl)-(X\-l)g"{x1) = Q,
р
(А| - 1) /" (ая) + 2X2g" (ая) = -- S (ая).
Ее решение имеет вид (см. G.1.18))
р G.3.49)
| 1) /" () + 2X" () S ()
/" (Х1) = -™±. (Л| - 1) 6 (ая), g" (ая) = -^^ Ai«(ая),
! г 2 G-3-50)
^а = ~—^ , Д(А1, А2) = Д(гАь гА2) = (л| - 1) + 4А!А2.
Д(А,,Аа)
Интегрируя эти равенства, находим первые производные искомых
функций
f (Ж1) = -EUL (А2 - 1) Я ^^
G.3.51)
Их подстановка в G.3.46) и G.3.48) дает окончательные формулы
для перемещений и напряжений:
PKS
[- (Xl - 1) Я (ая + Xiz) + 2ХгХ2Н (ая + X2z)] ,
G.3.52)
^ Г(Л1 -1)Н (ая + А,г) + 2Я (ж, + А2гI ;
274 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
an = PKS [- (М% - 2Х\) (Х\ -1M (я?1 + Xxz) + АХХХ25 (хг + X2z)]_ ,
^13 — 2Р К8Х\ (А2 — 1J [5 \Х\ + X2z) — 5 \Х\ + X\z)\, /^ о со\
Г/ 2 \2 \ / \1
сгзз = —РК8 (А2 — 1) 5 (х\ + Aiz) + 4AiA2? (xi + X2z) .
l_\ / j
Поскольку функция ^(Ai, A2) в G.3.50) в рассматриваемом сверх-
сверхзвуковом случае строго положительна, то решение задачи определено
при любых скоростях движения нагрузки из указанного диапазона.
Для предельного значения скорости движения силы v = С\ (М2 =
= 7^, Mi = 1, А2 = г}2 — 1, Ai = 0, К~г = (гJ — 2) ) в сверхзвуковом
случае напряжения и нормальные перемещения совпадают с соответ-
соответствующими значениями, определяемыми формулами G.3.39) и G.3.40)
для трансзвуковой скорости. Отличаются только касательные переме-
перемещения
щ = jH(Xl). G.3.54)
Это связано с гиперболическим типом обоих уравнений G.3.3)
в сверхзвуковом случае.
Из G.3.52) следует, что фронтами х\ + Ai? = 0 и х\ + X2z = 0
волн Маха (см. рис. 7.3.1) полуплоскость разбивается на три области,
в каждой из которых перемещения постоянны, а на фронтах они имеют
разрывы первого рода:
при Х\ < —X2z
иг = и3 = 0; G.3.55)
при — X2z < х\ < — /
Ul = P^sy"'^ U3 = _p±^]_. G.3.56)
при Х\ > —/
Uz = -LJl±^Ml G.3.57)
Формулы G.3.53) показывают, что на указанных фронтах напряже-
напряжения имеют сингулярную особенность.
7.4. Нестационарные граничные возмущения
в упругой полуплоскости
Рассмотрим задачу о распространении нестационарных двумерных
граничных возмущений в полуплоскости, описанной в § 7.1. Далее бу-
будем использовать безразмерные параметры B.1.1) и C.1.4), допол-
дополненные безразмерной ненулевой компонентой векторного потенциала
перемещений
Ф' = ^2- G.4.1)
7.4 ] Граничные возмущения в упругой полуплоскости 275
Опуская, как и ранее, штрихи в обозначении безразмерных парамет-
параметров, из G.1.2)—G.1.6) получаем соотношения, описывающие движение
полуплоскости (х = х'ъ z = х3)
, xeR, ?>0, *>0, Д = ^ + ^;
OX OZ
G.4.2)
дф д<р , дф п ,- . „,
ди\
G.4.4)
В начальный момент времени и на бесконечности возмущения от-
отсутствуют:
Иг=0 = Ф\Т=о = V-Uo = Ф =0; G.4.5)
у? = 0A), ^ = 0A), ^^+оо. G.4.6)
Примем, что на границе z = 0 полуплоскости выполняются обоб-
обобщенные условия:
^ = ^i(x, r),
G.4.7)
(а3и3 + /33сгзз)|2=0 = Яз{х, г),
где числовые параметры удовлетворяют условиям а? + /3| ^ О-
Все латинские индексы здесь и далее принимают значения 1 и 3.
По ним же в случае необходимости проводится суммирование.
Сочетание различных значений параметров в G.4.7) обеспечивает
все возможные граничные условия (А.1.21)-(А.1.24). В том числе, при
оц = а3 = 1 и /3i = /З3 = 0 имеем первую краевую задачу (кинематиче-
(кинематическое возбуждение)
MjL=o = 0j(a,T), G.4.8)
при qli = а3 = 0 и Pi = /З3 = 1 — вторую краевую задачу (динамическое
возбуждение)
j(x,T), G.4.9)
при /3i = as = 0 и а\ = /Зз = 1 — смешанное возбуждение первого типа
ui\z=0 = gi(ж, г), сгзз|2=о = 9з(ж,т), G.4.10)
а при а\ = /Зз = 0 и /3i = «3 — 1 — смешанное возбуждение второго
типа
0 = 91 (ж, г), ^з|2=о = 9з(ж,г). G.4.11)
276 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
Введем поверхностные функции влияния:
которые как перемещения и напряжения удовлетворяют соотношениям
G.4.2)-G.4.6), а также следующим условиям на границе z = 0 полу-
полуплоскости (/ = 1,3 — номер задачи):
- /31a13)\z=0 = S(x)S(r)Slh
G.4.12)
(а3и3 + /3)L 5(N(N
Тогда перемещения и напряжения в задаче G.4.2)-G.4.7), согласно
A.4.25), имеют интегральные представления:
z,t) **од(ж,т); G.4.13)
z,T) **qi(x,r). G.4.14)
Отметим, что Gji и Г^ — компоненты тензоров соответственно
второго и третьего рангов.
Для определения функций влияния применяем к равенствам
G.4.2)-G.4.б) и G.4.12) с учетом G.4.5) интегральные преобразования
Фурье по координате х и Лапласа по времени г (все обозначения
стандартные, см. приложение В, в том числе, таблицы В.1.1 и В.2.1)
=0, z>0,
о FL
OU3
G.4.16)
G-4.17)
G.4.18)
где ветви корней выбираются таким образом, что Re у^ > 0.
7.4 ] Граничные возмущения в упругой полуплоскости 277
Удовлетворяющие условию G.4.18) решения уравнений G.4.15) име-
имеют вид
yFL{q, z, a) = CMz), i>FL(q, z, s) = C2E2(z),
G.4.20)
где С\ и C2 — постоянные интегрирования.
Подстановка G.4.20) в G.4.16) и G.4.17) приводит к следующим
равенствам для изображений перемещений и напряжений:
uFL = -%qCxEx{z) + k2(q2, s2)C2E2(z),
G.4.21)
uFL = -кг(д2, s^dE^z) - iqC2E2(z);
~ 2q2) C1E1(z) - 2iqk2(q2, s2)C2E2(z),
V2<j[3l = 2iqk1(q2, s2)C1E1{z) - (jjs2 + 2q2) C2E2(z), G.4.22)
V2<?[3L = Ы*2 + V) C1E1(z) + 2iqk2(q2, s2)C2E2(z).
Подстановка этих равенств в граничные условия G.4.19) приводит
к системе линейных алгебраических уравнений относительно С\ и Сч'-
-iqa11(q2,s2) a12(q2,s2) \( Сх \ _ 2 ( 5и
a21{q2,s2) -iqa22{q2,s2) Д С2 ) ~ * { 631
G.4.23)
где
ац(д, s) = ащ2 - 2/31k1(q, s),
a12(q, s) = a1rJk2(q, s) - /3i G^ + 2q) ,
G.4.24)
a21(q, s) = -а3г]2к^, s) + /33 (I )
«22(9, s) = ol3t]2 - 2/33k2(q, s).
Решение системы уравнений G.4.23) имеет вид
где
D(q, s) = -axas^R^q, s) - [ai/33fc2(g, s) + a3
278 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
?>!(<?, s) = -iqa22 (q2, s2) 5ц - a12 (q2, s2) 53h
D2(q, s) = —a2\ [q , s ) 5ц — iqa\\ [q , s ) ?3/,
G.4.26)
R2(q, s) = G|s + 2q) - 4qk1(q, s)k2(q, s).
Отметим, что введенная здесь функция R2(q<, s) связана с опреде-
определенной в G.1.18) функцией R(x,y) следующим образом:
G.4.27)
Учитывая теперь G.4.25), из G.4.21) и G.4.22) получаем изображе-
изображения функций влияния:
k2(q2, s2)a21(q2, s2)E2(z)\
пЛ а, { [
Lf{q ,s )
iq [a12(q2, з2)Ег(г) - k2(q2, s2)ail(q2, s2)E2(z)\ S3l} , G.4.28)
mf 2, { Ыя\ s>22(q\ s^E^z) + a21(q2, s2)E2(z)] Su+
Lf{q ,s )
+ [ki{q\ s2)a12(q2, s^E^z) - q2ail{q2, s2)E2(z)} S3l} ;
^ 2 - 2q2) a22(q2, s2)El{z) +
^.{iq[
U\q , s )
+ 2k2(q2, s2)a21(q2, s2)E2(z)]6u -
-[{x12s2-2q2)a12{q2,s2)E1{z) +
+ 2k2(q2,s2)q2au(q2,s2)E2(z)}63i},
2q2) a21(q2, s2)E2(z)] 6U +
!{q2, s2)a12(q2, s^E^z) +
(-r2s2 + 2q2)an(q2,s2)E2(z)}63l}, G.4.29)
7.4 ] Граничные возмущения в упругой полуплоскости 279
^ + 2q2) a22(q2, 82)Е^) +
+ 2k2(q2, s2)a21(q2, s2)E2(z)]Su +
+ [-{72s2+2q2)a12(q2,s2)E1(z) +
+ 2k2(q2,s2)q2au(q2,s2)E2(z)}S3l}.
Эти выражения существенно упрощаются для значений С^(ж, г) =
= Gji\z=0 и Г°ы(ж,т) = Tjki\z=0 функций влияния на границе полу-
полуплоскости:
~2\ 21
^V { [( ) 2(, s2)s2
, s )
2 G.4.30)
{/33 [72s2 + 2R1(q2, s2)] Su-
s )
, s
- [air,2fli(92, s2) + /3l722M<?2,
+2/33(l + xhls2k2(q2, s2)} Su - {alV2x72s2k2(q2, s2)-
- 2q2) {^s2 + 2q2) + 4д2кг(д2, S2)k2(q2, s2)] } 63l) ,
(q, s) = ъф-?-) { [-arf-rtfbtf, s2) +
+p3R2(q2, s2)} Su + ia.qt]2 ^R^q2, s2) + j2s2} S3l} , G.4.31)
^ {2 q2, s2) + j2s2] Su +
^ {
, s )
,S2)] S3l} .
Вычисление оригиналов функций влияния существенно зависит от
параметров в G.4.12). Поэтому эту процедуру удобнее проводить для
каждого конкретного вида этих граничных условий.
Пример 7.4.1 (плоская задача Лзмба г)). Найти нормальное пере-
перемещение uso(x, т) = us\z=0 на границе полуплоскости при действии на
нее поверхностной растягивающей сосредоточенной нормальной силы,
изменяющейся во времени по закону дельта-функции Дирака.
]) Лзмб (Lamb Я., 1849-1934) — английский механик.
280 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
Решение. В этом случае имеем вторую краевую задачу с гранич-
граничными условиями G.4.9) при q\ = 0 и q3 = 5(хM(т). И, как следует из
определения функций влияния, для искомого перемещения справедли-
справедливо равенство
т) = Со33(х,т) G.4.32)
при ai = а3 = 0 и /3i = /33 = 1.
Его изображение в соответствии с G.4.30) и G.4.26) имеет вид
R2(q ,s )
Построить оригинал этой функции последовательным обращением
интегральных преобразований не представляется возможным. Поэтому
будем использовать алгоритм совместного обращения преобразования
Фурье-Лапласа, изложенный в § В.4. Основанием для этого является,
как следует из G.4.33), однородность (см. § Б.2) степени (—1) функции
^3OL(#5 S)- Выполняя в G.4.33) замену Л = q/s, получаем
u?0L(q,s)=gL(s)h(\), /»(А) = -^;
G.4.34)
что соответствует формуле (В.4.1) при w(X) = 0. При этом, очевидно,
функция w(X) удовлетворяет условиям (В.4.2).
Учитывая, что g(r) = Н(т) и g(r) = 5(т) (см. таблицы В.2.1
и Б.4.1), из (В.4.3) находим аналитическое представления оригинала:
u30(z, т) = -—g'(r) * (p(z, r) = -— <p(z, г),
- ^ G.4.35)
z = х + iy, <p(z, r) = h [\(z, r)] —,
где, согласно уравнению (В.4.4),
(У );
G.4.36)
Re Л < 0 (у->+0), Re Л > 0 (у -> -0).
Сам оригинал определяется следующим из (Б.7.1) равенством
изо{х,т)= lim usq(z,t)- lim u30(z,t). G.4.37)
Найдем предельные значения функций, входящих в формулу для
h (Л) в G.4.34). Функция \(z,t) в G.4.36) и многочлен ^\ +2Л2(^,г)
в формуле для R2 (A2, l) в G.4.26) — однозначные функции комплекс-
комплексной переменной z, и для них справедливы следующие соотношения:
7.4]
Граничные возмущения в упругой полуплоскости
281
G.4.38)
Выделение однозначных ветвей квадратных корней &j(A2,l)
(см. G.4.15)) проводим с помощью разрезов комплексной плоскости Л
вдоль мнимой оси (рис. 7.4.1). Тогда с учетом G.4.36) и
G.4.38) пределы этих корней определяются так
при|г/ж|
±i sign xJ- G? + Xlj = ±i sign x J^ - 7?
при|г/ж| >7^.
G.4.39)
Выполняя предельные переходы в G.4.37), с учетом
G.4.38) и G.4.39) находим оригинал искомого переме-
перемещения:
при т/ \х\ < 7i
^зо = 0; G.4.40)
при 7i ^ т/ \х\ < 72
Рис. 7.4.1
,т)=и$(х,т) =—^\ lim h[X(z,r)] - lim h [\(z, r)] \ =
?7ГЪХ \y—^-|-u у—У — и I
'72
-24) +44"i
282 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
при т/ \х\ ^72
7l •
G.4.42)
Введенные в G.4.41) и G.4.42) функции связаны между собой
и определенными в § 7.1 функциями так:
#21 (ж, г) = G!ж - 2т) - 4ту г -
#22(ж, г) = G! ж - 2г) + 4т у г -
Я21(ж, т)Я22(ж, г) = G.4.43)
= G22^ - 2тL - 16т2 (г - 722z) (г - 7i2z) = 722^^з(ж, г),
Рз(ж,т) =
= г3Р32 G2«А) = 726^3 " 87|ж2г + 8B + хO22^2 - 8A + х)т3.
Формулы G.4.40)—G.4.42) окончательно приводят к следующему
результату:
изо(х,т)= J2 4ko(x,T)H(T-jk\x\), G.4.44)
fe=i
где
>V (т2
Л2) - ..C) _..(!)_ *?
Покажем, что функция G.4.44) имеет сингулярную особенность.
Действительно, как показано в § 7.1 (см. G.1.22)-G.1.24)), многочлен
^32@ при всех возможных параметрах упругой среды @ ^ к < 1)
имеет действительный корень ?i = с\/'с\ (cR — скорость волны Рзлея),
а при 0 < к ^ к* еще два действительных корня ?2,3 ? R-
Дополнительно введем безразмерную величину (далее, как обычно,
штрих в ее обозначении опускаем)
<4 = сд/с*. G.4.46)
Поскольку упомянутые выше корни удовлетворяют неравенствам
0 < 6 < 1 и 6,з > rj2, G.4.47)
то безразмерная скорость волны Рзлея лежит в диапазоне
0 < cR < I/72. G.4.48)
7.4 ] Граничные возмущения в упругой полуплоскости 283
Учитывая теперь G.4.43), получаем, что знаменатель функции
G.4.44) раскладывается на элементарные множители
Рз(х, т) = 726 (х - 4т) Р2(х, т), G.4.49)
где
Р2(х, т) = х2 - 2а2тх + /32т2,
a2 = \-Cf=2(l-x)-cf,
Г] Z Z
2 2 G.4.50)
/о2 _ А пСя ¦ о2 + ^ _ о1 +^ _ 1в*Г -1
^ ^ ^ ся гу ся
D2 (х) = 4 (а4 - /З2) .
Здесь D<i (х) — дискриминант многочлена Pi{Z"> 1)- Он удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям: D2 (х*) = 0, D<± (х) > 0 при 0 ^ х < х*
и D2 (х) < 0 при к* < к < 1.
Таким образом, функция G.4.44) имеет степенную особенность по-
порядка ( — 1) на фронтах волны Рзлея: г = ±сяж. Причем, как следует
из неравенства G.4.47), эта особенность присуща только составляющей
перемещения изо(х,т) в G.4.42).
При х* < к < 1 для многочлена Р2(ж, г) имеет место разложение
72 / V 72
Однако поскольку в силу неравенства в G.4.47) прямые г =
= ±72^/^/^2,3 лежат вне носителя функции G.4.44), то для нее
соответствующие особенности отсутствуют.
На рис. 7.4.2 а представлен пространственно-временной график ре-
решения плоской задачи Лзмба при 71 — 1 и 72 — V — 1,871. На нем
отчетливо прослеживаются фронты волны Рзлея. Рисунок 7.4.2 5 де-
демонстрирует зависимость от времени и пространственной координаты
регулярной части решения изо — {х2 ~ сяг2) ^зо- На фронтах волны
Рзлея значения этой функции конечные, а ее производная бесконечна.
Структуру этого графика разъясняют его сечения плоскостями г =
= 0,3; г = 0,9 и х = 0; х = 0,2; х = 0,6, приведенные соответственно на
рис. 7.4.2 в и 7.4.2 г.
Пример 7.4.2. Найти нормальное напряжение сг(ж,т) = (Тзз^-о
на границе полуплоскости при отсутствии касательного напряжения
и заданном сосредоточенном нормальном поверхностном перемещении,
изменяющемся по времени по закону Т+.
Решение. В этом случае имеет место смешанное возбуждение
второго типа с граничными условиями G.4.11) при
91=0 и дз = д(х)т+. G.4.51)
284
Двумерные волны в полупространстве и плоском слое
[Гл.7
и™ т
10
-10
-30
-50
МЗШт
Iff
ЦП
1,0 q
яя
imTTltw
1
щ
11A1 П1П\|\|^
т
а
тш/
шШ
ШВш /1,0
/0,6 х
7л 0,2
0,2
0,1
0,0
I
0,8
М
ж
11
¦
0,4
ml
^^^^^^^ о
0,0 -1 х
б
-0,8 -0,4
Рис. 7.4.2
Как следует из G.4.14), G.4.51), определения функций влияния
и свойства дельта-функции, для искомого напряжения справедливо
равенство
<7(х,т) = Г°333(х,т)*т+ G.4.52)
при а\ = /Зз = 0 и /3i = as = 1.
Изображение функции влияния Гз3з(ж5г) в соответствии с G.4.31)
и G.4.26) имеет вид (см. G.4.32) и G.4.33))
G.4.53)
Гиг L ( \
ззз \Я^) =
Тогда из G.4.52) и G.4.53) с учетом свойств преобразования Лапласа
(см. § В.2, табл. В.2.1) получаем
G.4.54)
Оригинал этой функции аналогично примеру 7.4.1 может быть най-
найден с помощью основанного на аналитических представлениях изоб-
изображений алгоритма совместного обращения преобразования Фурье-
Лапласа. Однако в этом случае удобнее воспользоваться приведенным
в § В.4 утверждением В.4.1 и следствиями из него. Для этого, используя
7.4]
Граничные возмущения в упругой полуплоскости
285
обозначения функций kj(q,s) в G.4.15) и R2(q,s) в G.4.26), сначала
гр г
представляем а
aFL{q,s) =
1
U 4
У1
в виде
292V
1
s2 + g2
Далее с помощью таблиц В.1.2 и В.2.2 получаем
G.4.55)
G.4.56)
Затем замечаем, что функция (j'jS2 + g2) —однородная степени
( — 1), и, применяя следствие В.4.2, находим
{* + $-г±-
= IU - з4
*\ x-
G.4.57)
Используя эти равенства, окончательно из G.4.55) получаем следу-
следующее выражение для искомого напряжения:
(х,т) = --
G.4.58)
4т2
7!>2 ¦
На рис. 7.4.3 а представлен построенный при 71 — 1 и 72 — V —
= 1,871 пространственно-временной график для нормального напряже-
напряжения в этой задаче. В силу четности функции изображена его часть при
х ^ 0. На этом рисунке для наглядности в силу их большой величины
не указаны абсолютные значения напряжения в окрестности прямой
286
Двумерные волны в полупространстве и плоском слое
[Гл.7
0,8
Рис. 7.4.3
т = х. Этой особенности соответствует светлая прямая. Регулярная
часть решения (—ж4сг(ж, г)) изображена на рис. 7.4.3 б.
Упражнение 7.4.1. Используя методику определения функции
(?зз(ж5г) (см- пример 7.4.1), найти остальные функции влияния на
поверхности плоскости для второй краевой задачи (см. G.4.9)).
Упражнение 7.4.2. Используя методику определения функции
Гззз(ж5г) (см- пример 7.4.2), найти остальные функции влияния для
смешанного возбуждения второго типа (см. G.4.11)), а также все функ-
функции влияния для первой краевой задачи (см. G.4.8)) и для смешанного
возбуждения первого типа (см. G.4.10)) на границе полуплоскости.
7.5. Осесимметричные граничные возмущения
в упругом полупространстве
Для описания движения однородного изотропного полупростран-
полупространства, ограниченного плоскостью хз = z = 0, будем использовать ци-
цилиндрическую систему координат Oraz (см. (А.4.19)) с осью Oz, на-
направленной в глубь полупространства, а также соответствующую ей
прямоугольную декартову систему координат Oxyz (х = х±, у = Х2)-
При этом ограничимся двумерными осесимметричными задачами, по-
полагая, что компоненты напряженно-деформированного состояния за-
зависят только от двух пространственных координат г и z. Соответству-
Соответствующие безразмерные (см. B.1.1), C.1.4) и G.4.1)) соотношения, опи-
описывающие движение полупространства при отсутствии массовых сил,
вытекают из (А.2.49), (А.4.26), (А.4.30)-(А.4.32), (А.4.34) и (А.4.35):
4, д = ^
Г ОГ
G.5.1)
_
дг
Ua ~ и'
G.5.2)
7.5] Осесимметричные граничные возмущения в полупространстве 287
диг , fduz , иг\ 2 _ диг duz
arr =
[x{arr + azz)
где ф = фа — ненулевая компонента векторного потенциала переме-
перемещений, Uj и (jjk ({j, к} = {г, a, z}) — физические компоненты вектора
перемещений и тензора напряжений.
В начальный момент времени и на бесконечности возмущения от-
отсутствуют:
<р\Т=0 = ф\т=0 = ф\т=0 = ф\т=о = 0; G.5.4)
<р = 0A), ^ = 0A), z^+oc. G.5.5)
Из всех возможных граничных условий на поверхности полупро-
полупространства, которые обеспечивают осесимметричный характер движе-
движения, рассмотрим только один специальный вид (см. также G.4.7)):
G.5.6)
(a3uz + 03<rzz)\z=o = Q{r, r),
Эти обобщенные условия при соответствующих G.4.8)—G.4.11) зна-
значениях параметров приводят к первой и второй краевым задачам,
к смешанному возбуждению первого и второго типов с нулевыми зна-
значениями касательных к плоскости z = 0 составляющих напряженно-
деформированного состояния.
Аналогично § 7.4 введем поверхностные функции влияния
Gj(r,Z,T)=Uj И Г, д. (Г, 2,т) =<Tjk,
которые как перемещения и напряжения удовлетворяют соотношениям
G.5.1)-G.5.5), а также следующим условиям на границе z = 0 полупро-
полупространства ({j, к} = {г, z})\
^0 =0,
G.5.7)
{a3uz + 03<TZz)\z=o = ?(ж, у)б(т).
Зависимость функций влияния от радиуса г обеспечивается свойст-
свойством центральной симметрии (см. § Б.2) дельта-функции S(x,y).
Перемещения и напряжения в задаче G.5.1)-G.5.б), согласно
A.4.25), имеют интегральные представления ({j, к} = {г, z}):
G.5.8)
G.5.9)
288 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
Отметим, что с помощью указанных функций влияния может быть
найдено решения трехмерной задачи для полупространства с гранич-
граничными условиями
z=0 = О,
G.5.10)
(а3и3 + p3a33)\z=0 = ?(ж> 2/, г),
где Uj и сг^-д; — компоненты вектора перемещения и тензора напряжений
в прямоугольной декартовой системе координат.
Например, для нормальных перемещений и напряжений в такой
задаче имеют место равенства:
G.5.11)
a33(x,y,z,r) = Г33(лА2 + У2 ,z,t) * * * q(x, у, г). G.5.12)
Для остальных компонент напряженно-деформированного состоя-
состояния интегральные представления являются более сложными, посколь-
поскольку требуют применения формул их связи с перемещениями и напряже-
напряжениями в цилиндрической системе координат.
Найдем функции влияния Gj(r,z,r) и Fjz(r, z, г), где j = {г, z}.
Функция Ггг(г, z,t) может быть вычислена по известным функциям
Gj(r, z,t) по соответствующей формуле в G.5.3). Для решения задачи
G.5.1)-G.5.5), G.5.7) с учетом G.5.4) используем интегральные преоб-
преобразования Лапласа по времени г и Ханкеля по радиусу г (см. § В.2,
В.З). Причем к (р, uz, и crzz применяем преобразование Яо, а к ф, иг
и arz — преобразование Н\. Там, где это не вызывает разночтений,
далее в изображениях по Ханкелю индекс преобразования будем опус-
опускать.
В пространстве изображений уравнения G.5.1) с учетом нулевых
начальных условий имеют вид
^ - *? {q\ ,2) ^ = 0, ^ - k\ {q\ ,2) +*"• = 0. G.5.13)
Использованные здесь функции к\ (^, s) и &2 (q, s) определены
в G.4.15).
Изображения перемещений и искомых напряжений с учетом
свойств преобразования Ханкеля и формул G.5. 2), G.5.3) связаны
между собой так:
L. G.5.15)
Из G.5.5) и G.5.7) с использованием таблиц В.2.1 и В.3.1 получаем
граничные условия для изображений:
G.5.16)
7.5] Осесимметричные граничные возмущения в полупространстве 289
_ 2 G.5.17)
Ограниченные на бесконечности решения уравнений G.5.13) имеют
аналогичный G.4.20) вид (Ci и С2 — постоянные интегрирования)
(fHL(q, z, s) = CxEx^z), tpHL(q, z, s) = C2E2(z). G.5.18)
Подстановка G.5.18) в G.5.14) и G.5.15) приводит к следующим
равенствам для изображений перемещений и искомых напряжений:
u»L = -qCMz) + k2(q\ s2)C2E2(z),
G.5.19)
uzL = -kiiq2, s^dE^z) + qC2E2(z);
, s2)Ci#iB) - (j2s2 + 2q2) C2E2(z),
G.5.20)
2q2) CMz) - 2qk2(q2, s2)C2E2{z).
Использование этих равенств и граничных условий G.5.17) приво-
приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно С\
и С2 (функции ciij(q, s) указаны в G.4.24)):
G.5.21)
Ее решение имеет вид (функция D(q, s) определяется соответству-
соответствующим соотношением в G.4.26))
G.5.22)
27rD(q2,s2) ' A 27rD(q2,s2) '
Подставляя теперь эти постоянные в G.5.19) и G.5.20), получаем,
что изображения искомых функций влияния пропорциональны функ-
функциям, указанным в G.4.28) и G.4.29):
ГГГ , . 2 /^У Р L / \ /^i H Li / \ 1 y^Y F Li / \
G.5.23)
rz \q^z^s) - --^ 13з(95^55), zz (q,z,s) - — 333(q,z,s).
G.5.24)
Естественно абсолютно идентичные связи имеют место для изоб-
изображений значений G^(r,r) = Gj\z=0 и Г^(г, г) = rjz\z=0 (j = {r,z})
функций влияния на границе полупространства и соответствующих
функций из G.4.30) и G.4.31).
Пример 7.5.1 {пространственная задача Лзмба). Найти нормаль-
нормальное перемещение г^о^, т) = uz\z=0 на границе полупространства при
10 А. Г. Горшков и др.
290 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
действии на него поверхностной растягивающей сосредоточенной нор-
нормальной силы, изменяющейся во времени по закону дельта-функции
Дирака. Принять 71 = 1 и учесть, что при этом 72 = V-
Решение. В этом случае имеем вторую краевую задачу с гра-
граничными условиями G.5.7) при а\ = а% = 0 и /3i = /З3 = 1 и q =
= 6(х,уN(т). И, как следует из определения функций влияния, для
искомого перемещения справедливо равенство
uz0(r,T) = G°z(r,T). G.5.25)
Его изображение в соответствии с G.5.23) имеет вид
u?0L(q,s) = ±G03[L(q,s). G.5.26)
Функция G^L(q, s) определена в G.4.30). Ее конкретный вид
и соответствующий оригинал найдены в примере 7.4.1 (см. формулы
G.4.33) и G.4.44)).
Найти оригинал изображения G.5.26) последовательным обращени-
обращением преобразований Лапласа и Ханкеля сложно. Поэтому для его вычис-
вычисления используем связь пространственной и плоской задачи (см. § В.5).
Прежде всего, вспомним, что в G.5.26) имеется в виду изображение
Ханкеля Hq. Кроме того, как следует из формулы G.4.44), функция
(?зз(ж5 г) — ^зо (х5 т) является четной по х. Тогда, используя следствие
В.5.1 и формулу (В.5.12) при С = 1/Bтг), из G.5.26) и G.4.44) получаем
оо
uzo{r,r)= R
Rc(r,x)u3O(x,T) dx =
Z^ "зо
^{x,r)H{r-lk\x\)dx =
). G.5.27)
Здесь в соответствии с G.4.41) и G.4.45) при 71 — 1 и 72 — V (ri —
= т, т2= т/г))
,т) = ^^ ' J ^dx,
' ' I /О О\/О Оч.Я/2 "
G.5.28)
dx,
Р3(х2,т2)(х2-г2)
где интегралы понимаются в смысле регуляризованных значений
(см. определение обобщенных функций в § Б.2, в том числе, табл. Б.2.1).
7.5] Осесимметричные граничные возмущения в полупространстве 291
С помощью замены переменной интегрирования х2 = z представ-
представляем J\ и J<i так:
G.5.29)
Г2 л 2 / 2
т / \ -1
4т2 (г2 - z)
Учитывая представление G.4.49) многочлена Р3 (z, т2) и раскла-
раскладывая соответствующие рациональные функции на элементарные дро-
дроби, записываем эти интегралы следующим образом:
^ (г. т) = —g [akJkl (г, т) + Jk2 (г, т)], G.5.30)
2»?
где
J {z - c-R
c-RT-) (z - г-)
G.5.31)
fll=
= Г]
Интеграл J^i (г, г) представляем в виде суммы:
Jkl (r, r) =
где
- crt
dz
dz
, G.5.32)
G.5.33)
10*
292 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
Сначала вычисляем интеграл Jkz{r,T) [57]:
при г > crt
х
Jks(r,r) =
х arcsin
+ г2-24т2)* + {rl + г2) 4т2 -
— п2г2 ) (г2 — г2 т2Л
V cR)\r CRT )
G.5.34)
при г <
In
y/zh Dт2) - y/z~k
z — CrT
2 2 2
lzk Dr2)
rl
(Ml
= 0.
G.5.35)
Далее с помощью соответствующей регуляризации в точке z = г2
и таблиц [57] для интеграла Jk^r^) получаем
dz
,г)-\
2\3/2
(г-тГ'Н-
dz
- Г2)
- r2)(z - r2)
>-т2
—rk
+ Hm
2Н(тк - г)
2 ч1/2
где
= z-r2
G.5.36)
G.5.37)
7.5] Осесимметричные граничные возмущения в полупространстве 293
Покажем, что функция f{u,e) при е —Ь +0 стремится к функции,
пропорциональной дельта-функции Дирака 5 (и). Действительно, при
а < 0 имеем
и
{/к
е) du = <
0
2 f du _ . I и
у/ё J у/п
ъ ъ
2 I г du
2 г du f V и -
du\ =
. I Vb — у/Ъ — s , , /b — s
= 4 — h arctg ,
Следовательно,
b 6 oo
/(?/, e) du = \ f(u, e) du <
при b < 0,
при 0 < 6 < ?,
при b > е.
= 4 lim
• — ?
arctg а/—г^ I = 27Г>
lim /(гл, е) di/ =
a
0
4 lim
при 6 < 0,
'b-? \
+ arctg 4 / = 2тт при 6 > 0.
Отсюда вытекает, что функция f(u,e) удовлетворяет условиям кри-
критерия дельта-совокупности функций (см. § Б.З), и с учетом G.5.37) и
свойств дельта-функции получаем
lim / (uk,e) = 2тг5 (ик) = 2тг5 D - г2) = - S (— - А =
. G.5.38)
Учитывая G.5.38) в G.5.36), находим
G.5.39)
294 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
Подставляя теперь G.5.34), G.5.35) и G.5.39) в G.5.32) и принимая
во внимание, что
(г2 - г]2г2) 5{т - rjr) = О,
получаем окончательный вид интеграла Jfci(r, r):
Jki (г, т) = -тгтл/l - Я1с\ (г2 - 4т2)/2 , G.5.40)
В интеграле J&2 (г, г) в G.5.31) проводим замену переменной инте-
интегрирования и2 = (г| — z) j [z — г2):
Qik (и)
2
Jk2(r, т) = 27fe f " 2, [(bkr2 + скт1) и2 + т1 (Ък + ск)} du,
J Qik (и)
G.5.41)
где
= Р2 (г2,т2)и* + 2т2кР1к (г2,т2)и2 ()
G.5.42)
Р1к (г2,т2) = г2 - а2г2 + 72 (/32г2 - а2г2) =
Далее в G.5.41) выполняем регуляризацию в точке и = +оо:
00 ( 2
2 (г, т) = 21к\ \ и [(Ькг2 + скт2) и2 + т2 (Ьк + ск)] -
J L Qik [и)
du = J\k 2, ? ^ ; % du,
РB2) J QB)
\ f
P2(r2,r2)
= [Р2 (г2, г2) (Ьк + ск) - 2Р1к (г2, г2) Ffer2 + ckrl)} r2,
G.5.43)
При к > к*, как следует из G.4.49), многочлен Q2k (и) имеет ком-
комплексно-сопряженные корни, и его можно разложить на множители
Q2k (и2) = Р2 (г2, г2) Qok (и) Qo*(-u),
Qok (и) = и2 + dkrku + \
7.5] Осесимметричные граничные возмущения в полупространстве 295
L 72) ,
Учитывая это равенство, из G.5.43) получаем [57]
Т'~ Pl{r2,T2)dkekrsk X
ОО г/2\ /2\ 1
Г (ikGkTk — fik) U — (к dkTk (ikGkTk — (к) U + Рк dkTk ,
X ^—]~^ ^—-, ч аи =
J [ Qok(u) Qok(-u)
а , а) . =-птХк(г*,т2). G.5.44)
Здесь
'т)=
h^)[{bkr+скт) 5fc(r'т) + (т"
Qik {r, т) = (bka2 +ck)r- (bk/32 +ска2) т, G.5.45)
nQ, / \ 1
При к < к* многочлен Qik (и) имеет два отрицательных действи-
действительных корня, и вычисление интеграла Jk2 (г, г) опять приводит к ре-
результату G.5.44):
о ОО
, ч = 2 * (-1V (? uj2 + С ) Г du
, G.5.46)
где Хк определяется равенством G.5.45).
Здесь
2- 1
т2
Т Zfc — Г
/
= rkJ4ek - d\ ,
V
где ^2 и zs — корни многочлена Рз (г? 1) (см. § 7.1).
При к = к* (Z?2 = 0, а4 = /З2, ^2 = zs = о2, см. G.4.50)) многочлен
Q2k (и) имеет два равных между собой отрицательных действитель-
действительных корня. Непосредственное вычисление Jk2 (г, г) показывает, что
и в этом случае справедлив результат G.5.44). При этом, так как
Р2(г, г) = {о?т - rf , Р2 A, 72) = (а272 - if ,
296
Двумерные волны в полупространстве и плоском слое
[Гл.7
(г, г), Qi*(r, r) = - (fcfca2 + с*) (a2r - г) ,
то выражение для функции Xk(r,T) упрощается и имеет следующий
вид:
1
(а2т - г)
5/2
- 1 - (г -
ск
G.5.47)
Подставляя в G.5.27) вытекающие из формул G.5.30), G.5.40) и
G.5.44) выражения для интегралов J\ (г, г) и J<± (г, г), окончательно
получаем решение пространственной задачи Лзмба:
2
k=1
G.5.48)
Сравнение G.5.48) с решением G.4.44) плоской задачи Лзмба пока-
показывает, что они имеют различные сингулярные особенности. В послед-
последнем случае степенная особенность имеет порядок (—3/2), и носитель ее
расположен за фронтом волны Рзлея.
На рис. 7.5.1 представлен пространственно-временной график ре-
решения пространственной задачи Лзмба при 71 — 1 и 72 — V — 1,871.
На нем четко прослеживаются
особенности перемещения на со-
соответствующих фронтах волн.
Пример 7.5.2. Найти нор-
нормальное напряжение сга(г, т) =
= crzz\z=0 на границе полуплос-
полуплоскости при отсутствии касательно-
касательного напряжения и заданном сосре-
сосредоточенном поверхностном нор-
нормальном перемещении, изменяю-
изменяющемся по времени по закону т+.
Рис. 7.5.1 Принять 7i = 1 и учесть, что при
этом 72 — V-
Решение. В этом случае имеет место смешанное возбуждение
второго типа с граничными условиями G.5.7) при а\ = C% = 0, /3i =
= а3 = 1 и q = 5(х, у)т+.
Как следует из G.5.9), определения функций влияния и свойств
дельта-функции, для искомого напряжения справедливо равенство
<та(г, г) = T°zz(r, т) * т+. G.5.49)
Изображение функции влияния Г^(г, г) в соответствии с G.5.24)-
G.5.26) и G.4.31) (см. также G.4.53)) имеет вид
-400
-800
7.5] Осесимметричные граничные возмущения в полупространстве 297
; s) — WZ
333
hs) =
G.5.50)
Из G.5.49) и G.5.50) аналогично G.4.54) находим изображение ис-
искомых напряжений
G.5.51)
Оригинал сга(г, т) может быть найден с помощью алгоритма, ис-
использованного в примере 7.5.1. Однако в данном случае аналогично
примеру 7.4.2 значительно проще провести непосредственное последо-
последовательное обращение преобразований Ханкеля и Лапласа. Для этого,
учитывая вид функции R2(q-> s) (см. G.4.26)) и полагая в G.5.51) 7i — 1
нь ,
и 72 — ^5 представляем аа w? s) b виде суммы
hi I / \ hi I / \ hi T / \
оа {q,s) = (TQ1 (q,s)-\-(TQ2 C^, ^M
где
<т&Ь(д,8) = -
G.5.52)
G.5.53)
7ТГ] S
Используя табл. В.3.2, находим оригиналы по Ханкелю функций в
G.5.53)
1 \(v2-2f 4(^-2) 4 E - Т72
~ 4 Г Г28 + Г382
36 36
G.5.54)
г г
3
4 2 ^ 32^ 43^^ 54
7ГТ] \Г S Г S Г S Г S
o-rjsr
Определяя с помощью табл. В.2.2 оригиналы преобразования Ла-
Лапласа функций в G.5.54), из G.5.52) находим окончательное выражение
для искомого напряжения
298 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
аа(г, т) = а?\г, тM(т - г) + У) (т<*>(г, т)Н (т - lkr), G.5.55)
где
7Г77 Г
l
4
7ГГ7
(Зт2 - Г72г2
G.5.56)
На рис. 7.5.2 представлен пространственно-временной график для
регулярной (без слагаемого в G.5.55) с дельта-функцией) составляю-
составляющей нормального напряжения в этой
задаче. Светлой прямой условно изоб-
изображен носитель первого (сингулярно-
(сингулярного) слагаемого.
Упражнение 7.5.1. Используя
методику определения функции
G^(r,r) (см. пример 7.5.1), найти
функцию влияния G®(r, т) для второй
краевой задачи.
Упражнение 7.5.2. Используя
методику определения функции
Г^(г, т) (см. пример 7.5.2), найти функцию влияния Г°(г, т) для
смешанного возбуждения второго типа, а также все функции влияния
для первой краевой задачи и для смешанного возбуждения первого
типа на границе полупространства.
0,2 0,2
Рис. 7.5.2
7.6. Нестационарные граничные возмущения
в акустическом полупространстве
В постановке § 7.4 и 7.5 рассмотрим задачи о распространении гра-
граничных возмущений в полуплоскости и полупространстве, заполнен-
заполненных акустическими средами.
Для полуплоскости прямоугольную декартову систему координат
Oxz выбираем так же, как в § 7.1. Используем уравнение движения
относительно потенциала скоростей Ф = Ф(ж, z, t) (первое соотношение
в (А.3.28)):
^ + Цг, G.6.1)
где с — скорость распространения волн в среде.
Координаты Vj вектора скорости и давление р связаны с потенциа-
потенциалом следующими соотношениями (см. (А.3.28) и (А.4.18)):
дФ
дФ
G.6.2)
7.6 ] Граничные возмущения в акустическом полупространстве 299
V = -P% G.6.3)
где р — плотность среды.
В дополнение к безразмерным параметрам B.1.1) введем согласо-
согласованные с ними (см. (А.3.28), (А.3.32) и (А.3.33)) величины
Далее, как обычно, штрихи в обозначении безразмерных величин
опускаем. При этом соотношения G.6.1) и G.6.3) приобретают вид (точ-
(точками обозначено дифференцирование по безразмерному времени г)
р = -72ф, G.6.6)
а равенства G.6.2) сохраняются.
К соотношениям G.6.2), G.6.5), G.6.6) добавляем однородные на-
начальные условия (ср. с G.4.5)):
ф|г=0 = ф =0, G.6.7)
условия отсутствия возмущений на бесконечности (ср. с G.4.6))
Ф = ОA), *^+оо G.6.8)
и граничные условия при z = 0, которые записываем в обобщенной
форме (а§ + @1ф 0, ср. с G.4.7))
(aov3+/3op)\z=o = Q(x,T). G.6.9)
Сочетание различных значений параметров в G.6.9) обеспечивает
все возможные граничные условия (А.3.25). В том числе, при ао = 1
и /Зо = 0 имеем первую краевую задачу (кинематическое возбуждение)
vs\z=o = q(x,T), G.6.10)
а при ао = 0 и /Зо = 1 — вторую краевую задачу (динамическое возбуж-
возбуждение)
Р\х=о = я(х,т). G.6.11)
Введем поверхностные функции влияния
Hj(x,Z,T)=Vj И Л(Ж,2,Т) =р,
которые как скорости и давление удовлетворяют соотношениям G.6.2),
G.6.5), G.6.6), а также следующим условиям на границе z = 0 полу-
полуплоскости:
p0p)\x=0 = S(xM(T). G.6.12)
300 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [ Гл. 7
Тогда скорости и давление в задаче G.6.2), G.6.5), G.6.6), G.6.9),
согласно A.4.25), имеют интегральные представления (ср. с G.4.13) и
G.4.14)):
Vj(x, z, т) = Hj(x, z, т) ** q(x, r); G.6.13)
р(х, z, т) = Л(ж, z, т) ** q(x, r). G.6.14)
Для значений функций влияния на поверхности полуплоскости
принимаем аналогичные §7.4 обозначения: Я?(ж,т) = Я^(ж,0,г)
и Л°(ж,т) =Л(ж,0,т).
Для полупространства используем те же системы координат, что
и в § 7.5. При этом также ограничимся двумерными осесимметричными
задачами, полагая что скорости и давление зависят только от двух
пространственных координат г и z. Соответствующие безразмерные
(см. B.1.1), C.1.4) и G.6.4)) соотношения, описывающие движение по-
полупространства при отсутствии массовых сил, вытекают из (А.3.28),
(А.4.26) и (А.4.40):
У*=Д#, Д =? + !? + ?; G.6.15)
где Vj (j = {r, a, z}) — физические компоненты вектора скорости.
Связь давления с потенциалом, начальные условия и условия на
бесконечности сохраняют соответственно вид G.6.7), G.6.6) и G.6.8).
Положим, что на поверхности полупространства выполняются гра-
граничные условия (ср. с G.5.10)):
(aovz + Рор)\г=о = q(x, у, г), G.6.17)
которые при соответствующих G.6.10) и G.6.10) значениях параметров
приводят к первой и второй краевым задачам.
Аналогично § 7.5 введем поверхностные функции влияния
Hj(r,z,r) =Vj (j = {r,z}) и Ла(г, 2,т) =р,
которые как скорости и давление удовлетворяют соотношениям G.6.6),
G.6.8), G.6.15) и G.6.16), а также следующим условиям на границе z =
= 0 полупространства:
(aovz + /ЗД|г=0 = 6{х, уN(т). G.6.18)
Тогда, согласно A.4.25), для нормальной скорости и давления ре-
решение задачи с граничными условиями G.6.17) можно представить так
(ср. с G.5.11) и G.5.12)):
y2 ,z,t) * * * q(x,y,r); G.6.19)
p(x,y,z,r) = Aa(Vx2 + У2 ->Z->T) ***q(x,y,r). G.6.20)
7.6 ] Граничные возмущения в акустическом полупространстве 301
Для компонент v\ и г?2 вектора скорости в прямоугольной декар-
декартовой системе координат интегральные представления являются более
сложными, поскольку требуют применения формул их связи со скоро-
скоростями в цилиндрической системе координат.
Для осесимметричной задачи (q(x, у, т) = g(r, r)) имеют место ин-
интегральные представления скоростей vr, vz и давления вида G.5.8) и
G.5.9).
Далее значения функций влияния на поверхности полупростран-
полупространства обозначаем аналогично §7.5: Щ(г,т) = Hj(r, 0, т) (j = {г, z})
иЛ°(г,т)=Ла(г,0,т).
Функции влияния для акустических полуплоскости и полупро-
полупространства могут быть напрямую найдены с помощью методик, изло-
изложенных в § 7.4 и 7.5 соответственно. Однако их проще построить, вос-
воспользовавшись тем, что акустическая среда является частным случаем
упругой изотропной среды при fi = 0 (с2 = 0, см. (А.3.29)), что, согласно
B.1.1) и G.6.4), соответствует
7i = 7> 72 = оо (я = 1, г] = 72/71 = 72/7 = °°)- G.6.21)
При этом следует учесть, что, как вытекает из сравнения граничных
условий G.6.12) с G.4.12) и G.6.18) с G.5.7), а также из соотношений
(А.3.23) и (А.3.32), в пространстве преобразований Лапласа справед-
справедливы следующие формальные равенства:
а3 = sa0, /33 = -/3О. G.6.22)
Кроме того, в силу определения функций влияния имеют место
следующие равенства:
для полуплоскости (j = 1,3)
Hj(x, z, т) = Gj3(x, z, r),
G.o.2oJ
A(x, z, т) = -Гцз(ж, z, т) = -Г333(ж, z, r);
для полупространства (j = {r, z})
Hj(r, z, t) = Gjz(r, z, r), Ae(r, z, t) = -rzz3(r, z, r); G.6.24)
Изображения функций влияния достаточно найти только для полу-
полуплоскости, поскольку в силу G.6.23) и G.6.24), очевидно, имеют место
аналогичные G.5.23) и G.5.24) равенства
г \q^z^b) — о ni \q^z^b)^ nz \4)z)b) — о ^з \4izib)->
G.6.25)
A^L(q, z, s) = —— AFL(q, z, s). G.6.26)
Сначала из формул G.4.15), G.4.20), G.4.24) и G.4.25) с учетом
G.6.21) и G.6.22) получаем следующие асимптотические равенства при
302 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
= 72S + oG2); G.6.27)
G.6.28)
^E2(z)^0 (me N0), k2(q2,s2)E2(z)^0;
(Q,s) =
Ц 7| Gf) ( )
) = [-^ *(9, 5) - #,*j 722 + oG22M G.6.29)
«22(9, s) = ^ 72«з^2 + 0G!);
(q, s2) = -k (q, s2) j2s + о (j2) , R2(q, s) = j2s2 + о (j2) ,
D (q, s2) = ^ [saok (q, s2) + 0ol2s2} s^ + o G|) - G-6>30)
Выполняя теперь в формулах G.4.28) и G.4.29) предельный переход
при 72 —> оо и учитывая свойства преобразования Лапласа, а также
равенства G.6.23) и G.6.24), получаем изображения функций влияния
для акустической полуплоскости:
tjFL _ or<FL — igsE(z)
1 -8UlS
G.6.31)
jFL _ crFL _ sk(q2,S2)E(z)
AFL = f/^{z) 2 2. G.6.32)
OLQsk (q2, s2) + for s2 V J
При произвольных параметрах граничных условий G.6.9) и G.6.17)
для полуплоскости оригиналы функций влияния могут быть найдены
с помощью алгоритма совместного обращения преобразования Фурье-
Лапласа (см. § В.4 и пример 7.4.1), а для полупространства — с по-
помощью связи пространственной и плоской задачи (см. § В.5 и при-
пример 7.5.1).
Для первой и второй краевых задач (см. G.6.10) и G.6.11)) удобнее
провести последовательное обращение преобразований.
А. Первая краевая задача для полуплоскости. По-
Полагая в G.6.31) и G.6.32) а0 = 1 и /30 = 0, с учетом обозначений в G.6.27)
и G.6.28) приходим к следующим изображениям:
7.6 ] Граничные возмущения в акустическом полупространстве 303
ltFL( \ _ Щ r-z^12s2+q2
nl W; z-> s) — I 2 2 =^ e 5
H[L(q,z,s) = e-*vV*2+<?2 ^ G.6.33)
К Г Li ( \ У —
Используя табл. В.1.2, находим оригиналы этих функций по Фурье:
Н?(х, z,s) = ^- Кг (jr2s), Н?(х, z,s) = ^^ Kx (jr2s),
7ГГ2 7ГГ2
G.6.34)
, г2 = V2 2
где Kv(x) — модифицированная функция Бесселя второго рода.
Обращая теперь преобразование Лапласа (см. табл. В.2.2), оконча-
окончательно получаем
G.6.35)
7ГГ2
2
Б. Вторая краевая задача для полуплоскости. По-
Полагая в G.6.31) и G.6.32) а0 = 0 и /30 = 1, с учетом обозначений в G.6.27)
и G.6.28) приходим к следующим изображениям:
G.6.36)
Их оригиналы определяем последовательно, используя таблицы
В.1.2 и В.2.2 и соответствующие свойства преобразований:
Н?(х, г, в) =
1ГГ2
(jsr2) -
bsr2) , G.6.37)
7ГГ2
304 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [ Гл. 7
H3(x,z,t) = -^\z2{t2-.
7ГГ-2 [
^(ra-7araa);1/a|,
.-3/2 G-6-38)
В. Первая краевая задача для полупространства.
Формулы G.6.25), G.6.26) и G.6.33) приводят к следующим изображе-
изображениям функций влияния:
G.6.39)
Сначала, используя табл. В.3.2, находим оригиналы этих функций
по Ханкелю:
г [Г, Z, S) —
/ ч _
I") Z? SJ —
G.6.40)
#r(r, z, г) = —^-2 \—6(т-
Я,(г, ^, г) = ^ [1 J (г - 7гз) + 7*; (г -
Затем с использованием табл. В.2.2 и свойств преобразования Ла-
Лапласа находим оригиналы функций влияния:
G.6.41)
Г. Вторая краевая задача для полупространства.
В этом случае изображения функций влияния следуют из формул
G.6.25), G.6.26) и G.6.36):
7.6 ] Граничные возмущения в акустическом полупространстве 305
H?L(q,z,s) =
", G.6.42)
Обращение преобразования Ханкеля приводит к следующим ре-
результатам:
г rz ( 3 3
Н?(Г, Z, S) = j 1 + + -2-2"
'з G.6.43)
2тг7гз
Для вычисления оригиналов Лапласа дополнительно обращаемся
к табл. В.2.2:
Яг(г, ^, г) = -^ [« (г - 7г3) + -А- Я (г - 7г3) + 4т (г -
Я,(г, z, r) = -J-^{7^2^ (г -
2 L
б(т - 7г3) + — Я (г - 7г3I1, G.6.44)
7^з J J
Ла(г, 2, г) = —?-з [7гУ (г - 7г3) + J (г - 7г3)] .
2тгг3
Пример 7.6.1. Найти скорости и давление в акустической полу-
полуплоскости при заданной на ее поверхности равномерно распределенной
на отрезке [—6, Ь] нормальной скорости г?о, изменяющейся во времени
по закону функции Хевисайда.
Решение. В этом случае имеет место первая краевая задача с гра-
граничными условиями G.6.10) при
q(x, г) = v0H (b - \х\) Н(т). G.6.45)
Скорости и давление определяются свертками G.6.13) и G.6.14) с яд-
ядрами G.6.35), т.е.
306 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [ Гл. 7
оо
г>1(ж,2,т) =-— I -^ Н (b-\x- ?>\)V1(p2,r)d?>,
7Г J p2
— оо
9 оо
vs(x,z,r) = '— H(b-\x-^\)Vs(p2,r)d^
П -оо G.6.46)
— OO
где
tdt
G.6.47)
7Р2 У1 Р^ +
J U2 _ 2 2\3/2 *
Здесь и далее в необходимых случаях интегралы понимаются
в смысле регуляризованных значений (см. определение обобщенных
функций в § Б.2, в том числе, табл. Б.2.1).
Искомые функции представим в виде двух слагаемых, с носителями
в виде отрицательной и положительной полупрямых оси Ох:
Vj(x, 2, Г) = Vj(x, 2, Т)Н(-Х) + vUx, 2, т)Н(х),
3 Э G.6.48)
p(x,z,r) = p~(x,z,r)H(-x) +р+(ж,?,т)Я(ж).
Сначала найдем v~j(x,z,t) и р+(ж, 2, г), т. е. будем считать, что ж ^
^ 0. Для продолжения этого решения на левую полуось заметим, что
правая часть G.6.45) граничных условий является четной функцией
по х. Следовательно, и функция г?з(ж, 2, г) также обязана быть четной.
Из соотношений G.6.2) и G.6.3) вытекают следующие свойства осталь-
остальных функций: Ф(ж,2,т) и p(x,z,r) — четные, v\(x,z,t) — нечетная
по ж, т. е. для любых х ^ 0
, г, г) = ^з~(-ж, z, т), G.6.49)
7.6 ] Граничные возмущения в акустическом полупространстве 307
Для определения скорости Vj~(x, z, т), прежде всего, находим соот-
соответствующий интеграл в G.6.47)
+/2. G.6.50)
1P2
Подставляя этот результат в G.6.46), получаем
7Г
оо
, z, т)Н (Ь-\х- ?\) Н (tz - \t\) d^, G.6.51)
Построим далее неоднократно используемую вспомогательную
формулу, выражающую интеграл вида G.6.51):
оо
/ = f f(x) [Н (х - ai) - Я (х - а2)] [Я (х - d^ - Н (х - d2)] dx
— оо
G.6.52)
через первообразную F(x) функции /(ж), где
аг < а2, d1 < d2. G.6.53)
Учитывая все возможные варианты носителя ненулевой длины
подынтегральной функции, преобразовываем G.6.52) так:
/ =
= Н(а1 - di) [Я (d2 - ai) H(a2 - d2) F(x)\% + H(d2 - a2) F(x)Q] +
+ H(d1 - a1)H(a2 - di) [H(a2 - d2)F(x)\% + H(d2 - a2)F(x)Q] =
= H(d2 - ai) [F(d2)H(a2 - d2) - F{ai)H{ai - di)] +
+ H(a2- di) [F (a2) H (d2 - a2) - F (di) Я (di - ai)] . G.6.54)
При выполнении преобразований в G.6.54) использованы следую-
следующие очевидные равенства для функции Хевисайда:
Н(х - а) + Н(а -х) = 1, Н(а - х)Н(х - d) = 0, d > a,
G.6.55)
Н(х - a)H(d -x) = H(x -a)- H(d - х).
308 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [ Гл. 7
Если в какой-либо точке ai, a<i, d\ или d<i функция f(x) имеет син-
сингулярную особенность, то, согласно определению регуляризованного
значения интеграла, соответствующее значение первообразной счита-
считается равным нулю.
В частном случае симметричного относительно нуля отрезка [di, оЩ
(di = —d, d<i = d > 0) формула G.6.54) упрощается и принимает вид
I=J2(-lfF(ak)H(d-\ak\) +
+ Е ЫТ? Ш Я (dk - аг) Н (dk - a2). G.6.56)
А;=0
Если же дополнительно первообразная F(x) является нечетной
функцией, то равенство G.6.56) преобразуется следующим образом:
I=J2(-lf[F(ak)-F(d)]H(d-\ak\) +
k=0
2
+ 2F (d) Y, (-1?~гН (-d - ak). G.6.57)
Применяем формулу G.6.56) к интегралу в G.6.51) при
—а\ = Ж01 = b — ж, п2 = #02 = b + х, d = rz. G.6.58)
Вычисляя первообразную функции /i(?, 2;, г)
7Р2 7 I V 7P2
и учитывая ее четность, а также то, что (к = 1,2)
Fi(ak) = Fi [(-lfxok] = Fi(a;ofc) =
F^dk) = Fx [(-1L] = Fxfo) = 0, r2k =
из G.6.51) с использованием G.6.56) получаем
G.6.60)
7.6 ] Граничные возмущения в акустическом полупространстве 309
Аналогично G.6.50) и G.6.51) для скорости v? и давления р+ из
G.6.47) и G.6.46) находим
(Л, г) = --L- (г2 -
7 Р2
, Р (р2, г) = - (г2 - 72р2);1/2 ;
G.6.61)
VqZT
7Г7
Щт-iz) | /з(?, г, т)Я F - \х - $|) Я (tz-
p+(x,z,r) =
ОО
J /р«, ^, г)Я (b -\x-t\) H (rz -\t\)dt, G.6.62)
ri - e
Вычисляя первообразные функций /з(^, z, т) и fp(?, z, т)
= arctg
d?
G.6.63)
= arcsin — = arctg
Fp(?) = arctg
и учитывая их нечетность, а также равенства (к = 1,2)
F3(ak) = F3 [(-lfxok\ = (-lfF3(x0k) =
F3(x0k) = arctg
310 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
Fp(ak) = Fp [(-lfxok\ = (-lfFp(xok) =
= (-1)* [f sign xok - Fp(xok)\ , G.6.64)
ZT ? A
из G.6.62) с использованием G.6.57) и G.6.64), получаем
2 •
^(Ж, 2, Г) = v?(x, Z, Г) + VqH(t - <yz) J2 \ о [Sign Ж0А; ~
Л = 1 ^
х Я (rz - \xok\) - {-l)kH [tz - (-lfxo
= v0H(r - >yz)H (x01) + vt(x, 2, r),
2 G.6.65)
r) = vojH(t - jz)H (x01) + р+(ж, 2, r),
k=l
Учитывая далее, что #oi(—х) — ж02(#) и #02(—х) — ^oi(^M a также
свойства функций Fi(^oa;), ^з(жо^)? Fp{xQk) и равенства G.6.60) и
G.6.65), из G.6.49) находим
«3-(ж, ^, г) = ^0Я(г - 7*)Я (я?02) + ?з+(^5 ^ г), G.6.66)
2) +р+(-ж, 2, т).
Подставляя теперь G.6.66) в G.6.48), с использованием формул
G.6.59), G.6.60), G.6.64) и G.6.65) окончательно получаем
Vl(x, z, г) = у+(х, z, г) [Н(-х) + Н(х)] = ^j: (-l)"-1 х
Г 4- а /Т2 — Л/2-!-2
- 72rL + г In У- Н(т -
7.6] Граничные возмущения в акустическом полупространстве 311
v3(x, z, г) = v0H(t - 72:) [Я (ж02) Н(-х) + Я (aOi) H(x)] +
= vo\H(t-
7» 1 —
7Г
k=i
G.6.67)
p(x,z,r) =
= vo4\H(t -
arctg
Таким образом, касательная скорость i>i есть суперпозиция двух
цилиндрических волн с фронтами (см. A.2.11) и рис. 7.6.1):
Uk:
G.6.68)
А нормальная скорость vs и давление р являются суперпозицией
трех волн: к указанным цилиндрическим волнам добавляется плоская
волна с фронтом Uq: z = т/7.
Рис. 7.6.1
На рис. 7.6.2 представлены рассчитанные по соответствующей фор-
формуле в G.6.68) при b = 7 = vo = 1 распределения давления р по про-
пространственным координатам в различные моменты времени: а) г = 0,5;
б) т = 1; в) т = 1,5; г) т = 2; д) г = 2,5.
Отметим, что рассмотренная задача может интерпретироваться
как внедрение в акустическую полуплоскость абсолютно жесткого
прямоугольного штампа ширины 26 с недеформируемым фланцем
((, 0, г) = 0 при |ж| > Ь) (см. рис. 7.6.1).
312
Двумерные волны в полупространстве и плоском слое
[Гл.7
0,8
Пример 7.6.2. Найти давление в акустическом полупространстве
при заданной на его поверхности нормальной скорости, распределенной
по радиусу по закону / (г) и изменяющейся во времени по закону
функции Хевисайда. Использовать полученную формулу для / (г) =
= ^оехр (-г2).
Решение. В этом случае имеет место первая краевая задача с гра-
граничными условиями G.6.17) при ао = 1, /Зо = 0 и
q(x,y,T) = f(r)H(T). G.6.69)
Давление определяется сверткой G.6.20) с соответствующим ядром
из G.6.41), которая с использованием полярных координат х = г cos а,
у = г sin а, ? = pcosfl, ( = ps'iwd (p = д/?2 + С2) и свойств дельта-
функции имеет вид
7Г ОО
х [ dti \ —5(т-<ур3),
J J рз
-7Г О
-a)j dp, G.6.70)
7.6] Граничные возмущения в акустическом полупространстве 313
Рз =
Поскольку уравнение г — 7Рз — 0 имеет единственный корень р = rz
(эта величина определена в G.6.51)), то в соответствии с разложением
сложной дельта-функции (см. § Б.4))
5(r - 7p3) = -^— 5(p- tz) .
G.6.71)
Подставляя это равенство в G.6.70) и выполняя замену переме-
переменой интегрирования и = cos ($ — а), получаем требуемое интегральное
представление:
1
p(r,z,r) = ^H(r-<yz) J ,
-i
, G.6.72)
т. е. здесь имеет плоская волна с фронтом П : г = ^z.
Рис. 7.6.3
При / (г) = Vq exp (—г2) с использованием табличного интеграла
[57] получаем следующий результат:
314 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
_r22+2 du _
, г, г) = ^ Я(г - 7*) f
7Г J
7Г J
-1
1
-2tz™ dw
G.6.73)
где /о (х) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
На рис. 7.6.3 представлены рассчитанные по формуле G.6.73) при
b = 7 = ^о — 1 распределения давления р по пространственным коор-
координатам в различные моменты времени: а) г = 0,5; б) г = 1; в) г = 1,5;
г) г = 2; д) т = 2,5.
Упражнение 7.6.1. Найти скорости и давление в акустической
полуплоскости при заданном на ее поверхности равномерно распреде-
распределенном на отрезке [—6,6] давлении ро5 изменяющимся во времени по
закону функции Хевисайда.
7.7. Осесимметричные граничные возмущения
от сферической полости
Еще одним важным типом двумерных волновых процессов явля-
является распространение симметричных относительно некоторой прямой
возмущений в упругом однородном изотропном пространстве со сфе-
сферической полостью радиуса R и центром в точке О. Эти процессы
являются обобщением рассмотренных в §3.3 и 3.4 сферических волн.
Далее ограничимся исследованием только граничных возмущений.
Ось симметрии совместим с осью Оz прямоугольной декартовой
системы координат. Будем использовать сферическую систему коор-
координат г, /3, а (см. А.4.41) с ортами ег, е^, еа и центром О, а так-
также безразмерные параметры B.1.1), C.1.4) и G.4.1), полагая L = R.
Осесимметричный характер движения обеспечивается зависимостью
искомых функций только от времени, радиуса г и угла /3. Как следует
из (А.2.40), (А.4.56), (А.4.57) и (А.4.52)-(А.4.54), уравнения движения
и связи физических компонентов потенциалов, вектора перемещения
и тензора напряжений в этом случае имеют следующий вид ($ = 0,
М = 0, F = 0, фг = ф(з = 0, фа = ф):
!sin2/3'
G.7.2)
7.7] Осесимметричные возмущения от сферической полости 315
ди
1 Ж \ -l i is и, i , kj и p.
G.7.3)
G.7.4)
В начальный момент времени возмущения отсутствуют:
Ит=0 = V>IT=O = Ф\Т=о = Ф =0- G-7-5)
На бесконечности решения ограничены
<р(г,р,т) = О{1), ф(г,/3,т) = ОA), г^оо. G.7.6)
Граничные условия на поверхности г = 1 полости аналогично G.4.7)
записываем в обобщенном виде
+ /3i<jrr)|r=1 = 91 (/3, г),
G.7.7)
, г),
где числовые параметры удовлетворяют условиям а? + /3| ф 0.
Для построения решения начально-краевой задачи G.7.1)-G.7.7)
используем метод неполного разделения переменных, раскладывая ис-
искомые функции и правые части граничных условий G.7.7) в ряды по
многочленам Лежандра Рп (cos/З) и Гегенбаузра г) Сп_1 (cos/З), кото-
которые связаны между собой так [54]:
Эти многочлены образуют полные ортогональные соответственно
в ?2([0,тг]; sin/З) и ?2([0,тг]; sin3 /3) системы функций (см.A.5.32))
]) Гегенбаузр (Gegenbauer L., 1849-1903) — австрийский математик.
316 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
с нормами
7Г
f[Pn(cos/3)l2~:~
о
||Р„ (cos/3)|r = [Рп (cos/3)] sin/3d/3 = ^-^ (п е No),
G.7.9)
С^2! (cos/3) = J [С^Д (cos/3)| sin3 /3d/3 = 2(f>^)
о
Упомянутые выше ряды имеют следующий вид:
оо
у>(г, /3, г) = J2 ?>«(r, r)pn (cos /3),
г,/3,г) = -sin/З
о/о
^Л (cos/3);
n=l
t;(r,/3,r) = -sin/3 J2 Vnir^Cl'*! (cos/3);
n=l
oo
crrr(r,/3,r) = J] crrrn(r,r)Pn(cos/3),
G.7.10)
G.7.11)
о>?(г, /3, г) = — sin /3 V] сгг^п(Г5 т)Сп_1 (cos /3),
n=i G.7.12)
орр(г,Р,т)= J2 &ррп{г,т)Рп (cos/3) -
1 — ж
°° 3/2
cos/3 ^ wn(r, rJC^! (cos/3),
n=l
<таа(г,13,т)= V craan(r,r)Pn(cos/3)
-X ОО
Н cosp > vn(r, r)G__i
°° 3/2
= -sin/3 J2 Q2n(r)Cn/_1 (cos/3),
G.7.13)
где
Осесимметричные возмущения от сферической полости 317
_
V ; —
_ (-<у2/ sin /3,Pn (cos /3)) _
G.7.14)
Подставляя G.7.10)-G.7.13) в G.7.1)-G.7.7), приходим к следующей
начально-краевой задаче для коэффициентов рядов:
2-
^ =
от г от
_
G.7.15)
G.7.16)
_ дип ж г , ч 1
гп — ~~^ I [^un П\П -\- L)Vn\ ,
n|r=0 = ^n\T=0 = Фп\Т=0 =
т=0
= 0;
рп(г,т) = 0A), фп{г,т) = 0A), г-^оо;
*до« = **rr« + ^^ [A + 2x)Wn - гг(гг + 1)^п], G.7.17)
G.7.18)
G.7.19)
г). G.7.20)
Начально-краевую задачу G.7.15)-G.7.20) аналогично § 2.3 и 3.3
можно решать, непосредственно применяя к ней преобразование Ла-
Лапласа по времени. Однако в силу того, что здесь в отличие от одно-
одномерных задач имеют место две волны (см. G.1.15)), изображения будут
содержать в знаменателе две различные экспоненты (ср. с C.3.16)). Для
построения их оригиналов необходимо проводить разложения в ряды по
экспонентам (соответствующая процедура использована в § 2.5 и 3.5).
Другой подход связан с построением общих решений уравнения
типа G.1.15)
дг'
G-7.21)
318 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
Наиболее просто это можно сделать, применяя к G.7.21) преобра-
преобразование Лапласа по времени (см. также § 4.1):
flaffi'«> + \ Щ^ - Y^A + 7lV] Ф V, .) = 0. G.7.22)
Его общее решение имеет вид [53] (см. также C.3.11))
Ф?(г, «) = ^r [Cnl(s)Kn+1/2Grs) + Cn2(s)In+1/2Grs)] , G.7.23)
где Cni(s) и Cn2(s) — произвольные постоянные интегрирования (про-
(произвольные функции параметра s).
Подставляя сюда выражения C.3.18) модифицированных функций
Бесселя через элементарные функции, получаем
G.7.24)
где введены новые произвольные функции
Ff (з) = Cn*W , GLn{s) = ) [*Cnl(s) - (-l)nCn2(s)}.
(js) y27T7s (js) y27T7s
G.7.25)
Применяя теперь к G.7.24) обратное преобразование Лапласа, с уче-
учетом его свойств получаем общее решение уравнения G.7.22)
«Mr, r) = tjf ? Ank(-irr-kFn(r + 7r) +
+ ^ftAnkbrr-kGn(T-7r). G.7.26)
r k=o
Здесь первая сумма есть сходящаяся, а вторая — расходящаяся
волна. Легко проверяется, что при п = 0 и п = 1 они совпадают
(или отличаются на постоянный множитель) со сферическими волнами
C.1.14), C.1.13) и C.1.17), C.1.16) соответственно. Поэтому назовем
их обобщенными сферическими волнами. Другие способы построения
общего решения G.7.26) указаны в [5].
Перейдем теперь к решению задачи G.7.15)-G.7.20). Из условий
G.7.19) отсутствия возмущений на бесконечности следует, что должны
отсутствовать сходящиеся волны. Поэтому, используя G.7.24) и пола-
полагая 7i — 1? 72 — V') можем записать решения уравнений G.7.15) в про-
пространстве преобразований Лапласа так:
G.7.27)
7.7] Осесимметричные возмущения от сферической полости 319
где fn(s) и en(s) ~ произвольные функции.
Применение преобразования Лапласа к G.7.16), G.7.17) с учетом
G.7.27) приводит к следующим формулам для изображений коэффи-
коэффициентов рядов для перемещений и напряжений (указаны только неза-
независимые напряжения):
+ п(п + l)g^(s)Rn0(rjrs)e-^r-1^], G.7.28)
п (г, *) = -^ [Rn0(rs)ti(s)e-^* + R
n(n + \)Qn2{Ws)g^{s)e-^-M, G.7.29)
Здесь
Rn\{z) = Rn+ifl(z) — nRn0(z),
Rn3(z) = Rn+i,o(z) ~(n + i)Rno(z),
Rn2(z) = Rn+2,o(Z) ~ Bn + l)Vl,oW + П(П
Qm(z) = Rn2(z) - x[2Rnl(z) + n(n + l)Rn0(z)},
Qn2(z) = A-X) [Rnl(z) + Rn0(z)} ,
= ^ [Rn2(z) + (n + 2)(n - 1)й„о(^)] •
Причем, как следует из C.3.18) и формул дифференцирования мо-
модифицированных функций Бесселя C.3.15) и C.4.21), для многочленов
Rni(z) и Rn2(z) справедливы равенства
Rm(z) = -zn+2ez [Rn0(z)z-n-1e-z]' = ^ Bnkzn+1-k,
k=o
«+2 G 7 31)
[Rnl{z)z-n-2e-z]' = ^ Cnkzn+2~k,
A;=0
kAnjk-i, Cnk = Bnk + /сБП5д._1.
320 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
Подставляя теперь G.7.28) и G.7.29) в граничные условия G.7.20),
получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно
изображений произвольных функций fn(r) и #п(т):
G.7.32)
Qn = {Qln(S)i Q2n(S)Y > An = (flmi(s)Jx2 >
где
, G.7.33)
a>n2i(s) = a2Rn0(s) + /32Qn2(s), an22(s) = a2Rn3(r)s) + fcQ
Решение этой системы запишем так:
*"W *"W G.7.34)
L/ \ _ Qn2l(g) L / ч , Qnll(a) L / ч
?nl5J - ~ Y / ч Qln\s) -r x / ч ^2nl5J-
Здесь
n(s) = det An = -a^Dni^, 77s) + Pip2Dn2{s, rjs) -
- a1a2Dn3(s, rjs) + /3ia2?>n4(s, ^s),
Dnl(x, y) = Rni(x)Qn3 (y) - n(n + l)Qn2(x)Rno (y),
^n2(^, 2/) = Qm(^)Qn3 Ы - гг(гг + l)Qn2(^)Qn2 (у), G.7.35)
Dn3(x, у) = ЯП1(ж)Яп3 (у) - гг(гг + l)Rno{x)Rno {у),
^п4(ж, у) = Qni(^)^n3 B/) - п(п
Подставляя G.7.34) в G.7.28) и G.7.29), получаем следующие пред-
представления изображений коэффициентов рядов для перемещений и на-
напряжений Gi = 1, 72 = v):
1 2
7/L/ \ _ 1 v^ tjL / \ L ( \ -7.(r-l)s
\l SJ 2 Unjk\ri S)Qkn\S)e J
гг+2
r
G.7.36)
7.7] Осесимметричные возмущения от сферической полости 321
4 )
r ' j,k=l
L , ч _ an2i(s)Rns(yrs)
Vni2(r, a) - ^ , Vn22(r, a)
r j,k=l
Ы ' fllr) SJ — -
G.7.38)
rnl2(r,s)- ^-^ , Srn22(r,s)-
G.7.39)
b0ni2(r, s) - ^-^ , bpnm(r, s) - ^-^ .
Оригиналы этих коэффициентов есть сумма сверток по време-
времени с учетом сдвигов коэффициентов внешней нагрузки с ядрами
Unjk(r,r), Vnjk(r,r), Srnjk(r,r) и SCnjk{r,r). Как следует из G.7.36)-
G.7.39) изображения этих ядер являются рациональными функциями.
Поэтому соответствующие оригиналы находятся достаточно просто
с помощью теории вычетов [51] (см. также § 3.3). Последующее сумми-
суммирование рядов G.7.11) и G.7.12) полностью решает задачу об определе-
определении напряженно-деформированного состояния упругой среды при рас-
распространении возмущений от сферической полости. Явные расчетные
формулы удобнее получать в каждом конкретном случае параметров
граничных условий G.7.7).
Используемые при вычислении вычетов нули многочленов Xn(s)
находятся любым известным методом. При этом необходимо учиты-
учитывать, что s = 0 является нулем кратности 2. Для того чтобы убедить-
убедиться в этом, достаточно показать, что это выполняется для каждого
из многочленов Dnm(s,r]s) (т = 1, 2, 3, 4) в G.7.35). Например, для
(ris) с использованием G.7.30) и G.7.31) получаем
?>пз@,0) = -В„,„+1 (В„,„+1 - Лпп) + п(п + 1)Л2пп = 0,
11 А. Г. Горшков и др.
322 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
dDn3(s,r)s)
ds
s=0
+ 2п(п + 1) Дп0@) Д;0@) = -2Д„1@) Дпз@) + 2п(п + 1)ДпО(О) = 0.
G.7.40)
Соответствующие доказательства для остальных многочленов
Dnm(s,r]s) предоставляем читателю.
Из найденного решения с помощью предельного перехода при г] —>
—} оо (к —Ъ 1) аналогично § 7.6 может быть построено решение задачи
о распространении граничных возмущений от сферической полости
в акустическом пространстве. Но на этом останавливаться не будем.
Отметим также, что при п = 0 формулы G.7.3б)-G.7.38) дают изоб-
изображения радиальных перемещений и напряжений в соответствующей
одномерной задаче, рассмотренной в §3.3. И при qw(r) = 5(т) они
совпадают с равенствами C.3.20) для изображений функций влияния.
Пример 7.7.1. Найти перемещения и напряжения в упругой среде
со сферической полостью, на поверхности которой задано радиальное
напряжение агг \г_ 1 = д(/3, г), а касательные напряжения отсутствуют.
Массовых сил нет, начальные условия однородные. Провести расчеты
напряжений для стали G = 1; т? — 1,871) и нагрузки вида
G.7.41)
при зависимости от времени в форме треугольного импульса
/(т) = -2 [т+ - Bт - 1)+ + (т - 1)+] . G.7.42)
Решение. В этом случае в граничных условиях G.7.7) следует
положить
/3i = /32 = 1, аг = а2 = 0, Ql(/3, г) = </(/3, г), </2(/3, г) = 0.
G.7.43)
При этом многочлены a,ij(s) и Xn(s) в G.7.33) и G.3.35) имеют вид
flnii(s) = Qni(s), ani2(s) = п(п
an2i(s) = Qn2{s), an22{s) = Qnz{r)s), G.7.44)
Xn(s) = Dn2(s, T)S) = Qnl(s)Q
Перемещения и напряжения вычисляются с помощью указанного
выше алгоритма по формулам G.7.11), G.7.12), G.7.3б)-G.7.39), в ко-
которых используются равенства G.7.44). При этом учитывается G.7.43)
и вытекающее из формул для многочленов Лежандра [54] равенство
\ A + cos 2/3) = \ [Ро (cos /3) + 2Р2 (cos /3)]. G.7.45)
Поэтому
7.7] Осесимметричные возмущения от сферической полости 323
1 2
qin(r) = bnf(r), bo = -, Ь2 = -, bn=0
6 6 G.7.46)
(n = l, гг>3), q2n(r) = 0 (гг>1),
и в рядах G.7.11) и G.7.12) отличны от нуля только члены с индексами
п = 0 и п = 2.
Кроме того, для того чтобы не вычислять свертки с коэффициента-
коэффициентами внешней нагрузки, удобнее принять во внимание, что в соответствии
с табл. В.2.1 и свойствами преобразования Лапласа:
Формулы G.7.36)-G.7.38) в этой задаче имеют вид
<(г, *) = -^ (l - 2е"*/2 + е-) ? ?/?(r,
1Ъп ( _ф
[\-2e +,
rn+2
-^r, e); G.7.47)
е-)
=i G.7.48)
5rLnj (r, 8) = i 5rLnjl(r, 8), SLPnj (r, s) = i 5|njl(r, e).
Полученные с их помощью результаты расчетов напряжений на
расстоянии г = 1,514 от центра полости при значениях угла /3 = 0,
тг/4, тг/2 приведены соответственно на рис. 7.7.1а, 5, в. При /3 = 0
и тг/4 преобладающими являются радиальные напряжения агг. Соот-
Соответствующие им кривые качественно повторяют форму импульса. При
значении угла /3 = тг/2 большими по абсолютной величине становятся
другие компоненты тензора напряжений.
Упражнение 7.7.1. Найти перемещения и напряжения в упругой
среде со сферической полостью, на поверхности которой задано тан-
тангенциальное напряжение сгг/з\г=1 = ^(/3,г), а радиальное напряжение
отсутствуют. Массовых сил нет, начальные условия однородные.
Упражнение 7.7.2. Найти перемещения и напряжения в упругой
среде со сферической полостью, на поверхности которой задано ради-
радиальное перемещение и\г=1 = ^(/3,г), а тангенциальное перемещение
отсутствуют. Массовых сил нет, начальные условия однородные.
11*
324
Двумерные волны в полупространстве и плоском слое
[Гл.7
ОД
О
-ОД
V—«
/ а
ук:
7/
У 2
\
Р = тг/2
т
Рис. 7.7.1
Упражнение 7.7.3. Найти перемещения и напряжения в упругой
среде со сферической полостью, на поверхности которой задано тан-
тангенциальное перемещение v\r=1 = д(/3,т), а радиальное перемещение
отсутствуют. Массовых сил нет, начальные условия однородные.
7.8. Плоская задача о распространении граничных
возмущений от цилиндрической полости
В некотором смысле аналогичными рассмотренным в предыдущем
параграфе являются двумерные волны, инициированные равномерно
распределенными по оси граничными возмущениями на круговой ци-
цилиндрической полости радиуса R и с центром в точке О, расположенной
в упругом однородном изотропном пространстве. Эти процессы явля-
являются обобщением рассмотренных в § 4.3 цилиндрических волн.
Будем использовать цилиндрическую систему координат г, a, z
(см. А.4.19) с ортами er, ea, ez, центром О и осью О?, совпадаю-
совпадающей с осью полости. В силу указанных предположений о граничных
возмущениях искомые функции зависят только от времени, радиуса г
и угла а. Как следует из (А.2.40), (А.4.34), (А.4.35) и (А.4.30)-(А.4.32),
в безразмерных величинах B.1.1), C.1.4) и G.4.1), где L = R, уравне-
уравнения движения и связи физических компонентов потенциалов, вектора
7.8 ] Граничные возмущения от цилиндрической полости 325
перемещения и тензора напряжений в этом случае имеют следующий
вид (# = О, М = О, F = 0, фг = фа = 0, г/>х = ф)\
®Ф I ^ ®Р. (+7 С Л\
— 1 2 2 5 G.O.1J
G.8.2)
dip 1 дф 1 dip дф п (r7Q оЛ
u = ur = ^-\--^, v = иа = - -^ - -^, uz=0- G.8.3)
or г да г да or
ди х ( Bv\ ди Л ( Bv
^г г \ ^а/ дг г
( и + — 1 ,
\ да)
dv , 1 0ц *Л G.8.4)
Далее рассматриваются только независимые напряжения.
Соотношения для другого типа двумерных задач в цилиндрической
системе координат указаны в G.5.1)-G.5.3).
Аналогично предыдущему параграфу полагаем, что в начальный
момент времени возмущения отсутствуют
Иг=0 = Ф\Т=0 = Ф\т=о = Ф =0. G-8-5)
на бесконечности решения ограничены
<р(г,р,т) = О{1), ф(г,/3,т) = ОA), г^оо, G.8.6)
а граничные условия на поверхности г = 1 полости являются обобщен-
обобщенными
/31arr)\r=1 = gi(a,r), (a2v + /32(Tra)\r=1 = Я2(а,т), G.8.7)
где а* +/3*^0.
Решение начально-краевой задачи G.8.1)-G.8.7) строим с помо-
помощью метода неполного разделения переменных, раскладывая искомые
функции и правые части граничных условий G.8.7) в комплексные
ряды Фурье [50]:
оо оо
<р(г, а, т) = ? <pn(r, r)eina, ф(г, C,т)=^ Фп(г, r)eina; G.8.8)
— ОО —ОО
u(r,a,T) = f^un(r,T)eina, v(r,a, т) = ? vn(r,T)eina; G.8.9)
326 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
arr(r, a,T) = f^ arrn(r, r)einot, ara(r, a, r) = f^ aran(r, r)einot,
— oo —oo
G.8.10)
qk(a, т) = f) ^„(
(Л = 1,2),
где
Якп(т) = ± I qk(a, T)e~ina da.
G.8.11)
G.8.12)
Подставляя G.7.8)-G.8.11) в G.8.1)-G.8.7), получаем следующую
начально-краевую задачу для коэффициентов рядов:
„ = ^ + 1А-^!; G.8.13)
n = v<pn--^r; G.8.14)
(
rn Л (un + invn) ;
=0;
т=0
?n(r, r) = О A), фп(г, т) = О A), г ^ oo;
xn + /31(Trrn)\r=1 = gin (r),
G.8.16)
G.8.17)
G.8.18)
Начально-краевую задачу G.8.13)-G.8.19) аналогично § 4.3 решаем,
применяя к ней преобразование Лапласа по времени (все обозначения
стандартные; указаны только независимые коэффициенты рядов для
напряжений):
дг
G.8.19)
п = 0;
7.8 ] Граничные возмущения от цилиндрической полости 327
l ь\ G.8.21)
vn , in д L у\
G.8.22)
G.8.23)
Общие решения уравнений G.8.19) имеют вид (см. D.1.17))
4>n(r, s) = Cni(s)/
G.8.24)
ф%(г, s) = Cn2(s)Kn(l2rs) + Cn4(s)In(<y2rs).
где Cnj(s) — постоянные интегрирования.
Учитывая, что в соответствии с поведением модифицированных
функций Бесселя на бесконечности (см. C.3.12)) и условием G.8.22)
Cns(s) = Cn4(s) = 0, и подставляя G.8.24) в G.8.20) и G.8.21), приходим
к следующим изображениям коэффициентов рядов для перемещений
и напряжений:
1 2 1 2
п V ' / „ / j nj V / 3 ) TLJ V /' 7i V ' / „ / j nj V / 3 ) tij V /5
1 2
(Trrn(r, s) = 1^ ^niGirs)Crni(s), G.8.25)
где
7/L / \ _ _ L / \ _ iv- / \ _
«n2(«) = «nlW=*«^n(«),
arLnl(z) = [A - н)п{п - 1) + z2] А:п(г) + A - x)zKn+1(z),
= "(I - *) { [^(^ - 1) + \ z2] Kn{z) + zKn+1(z)}
328 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
Здесь вместо C.3.15) использовано повышающее правило диффе-
дифференцирования модифицированной функции Бесселя второго рода
K'v{z) = -zKu{z)-Ku+1{z), G.8.27)
а также рекуррентная формула
Kv+2(z) = 2^±± Kv+1(z) + Kv(z). G.8.28)
Z
Подставляя теперь G.8.25) в граничные условия G.8.23), получаем
систему линейных алгебраических уравнений относительно постоян-
постоянных Cni(s) и Cn2(s) (ср. с G.7.32))
AnCn = Qn, Сп = (Cni(e), Сп2(з)У ,
G.8.29)
Qn = (rfn(*), qkni*)) » An = (flnij(e)Jx2 ,
где
anij(s) = a1u^j(jjs)
^nj(jj)
G.8.30)
p2(Tanj('yjs)-
Решение этой системы запишем аналогично G.7.34):
J
Cnj(s) = J2 Ynjk(s)qL(s)- G.8.31)
Здесь
г ^ lnj \
^nj(ljrs)Ynjk(s)qL^),
r j,k=l
G.8.32)
Xn(s) = det An = anll(s)an22{s) - anl2{s)an2i{s).
Подставляя G.8.31) в G.8.25), получаем
j,k=l
G.8.33)
7.8 ] Граничные возмущения от цилиндрической полости 329
Оригиналы этих коэффициентов аналогично § 4.3 могут быть най-
найдены с помощью асимптотических разложений D.3.17). При этом явные
расчетные формулы удобнее получать в каждом конкретном случае па-
параметров граничных условий G.8.7). Приведем только общие для всех
вариантов асимптотические разложения при z —>• оо функций в G.8.26):
у т
q.L / ч _ _ L / ч _ -z /*_ v- aunk
anl\z) — un2\z) — zc Л/ 9r 2_^ к '
v lz k=o z
rn
-^ Q>rnk
k=0 * ~ k=0
,(z) = ize~
-v2
где коэффициенты сумм — линейные комбинации чисел ank в D.3.18):
1 — к
агп0 — ~0>ипО = 1? а<тп0 == ~A ~~ ^j^5 acm0 == ^ 5
1 — Ж
0>rnl — 1 — К + ап15 аап1 — ^ (anl + 2) ,
' ' G.8.35)
a>rnk = a>nk + A - х) [an+i,/fe-i + ro(ro - l)an,A;_2] ,
«anA; = 2^ [«nA; + 2an+!5A;_1 + 2п(п - 1)аП5А;_2] (к > 2) .
Здесь и далее так же, как и в § 4.3, остаточные члены в разложениях
опущены.
Последующее суммирование рядов G.8.9) и G.8.10) полностью ре-
решает задачу об определении напряженно-деформированного состояния
упругой среды при распространении возмущений от сферической по-
полости. При этом удобнее пользоваться действительной формой рядов,
которую приведем на примере радиального перемещения [50]:
оо
и(г, а, г) = г^о(г, г) + 2 ^ [Re^n(r, r) cosna — Im un(r, t) sin na].
G.8.36)
Отметим, что при п = 0, как следует из G.8.26), G.8.30), G.8.32)
и G.8.33),
330 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [ Гл. 7
= 0, Xo(s) = aon{S)ao22{S), G.8.37)
= 0, У011(в) = ^_, У022(в)= *^^,
~—'i) aO22(s)
G.8.38)
Соответствующие формулы в G.8.38) дают изображения радиаль-
радиальных перемещений и напряжений для одномерной задачи, рассмотрен-
рассмотренной в § 4.3. И при qio(r) = 5(т) они совпадают с равенствами D.3.15) и
D.3.16) для изображений функций влияния.
Пример 7.8.1. Найти перемещения и напряжения в упругой среде
с цилиндрической полостью, на поверхности которой задано радиаль-
радиальное напряжение crrr\r=1 = q(a,r), а касательные напряжения отсут-
отсутствуют. Массовых сил нет, начальные условия однородные. Построить
пространственно-временные зависимости для напряжений для стали
G = 1; ?7 = 1,871) и нагрузки вида
q(a,T)=g(a)H(T), G.8.39)
где
g(a) = A + cos 2a). G.8.40)
Решение. В этом случае, так же, как и в примере 7.7.1, в гранич-
граничных условиях G.7.7) следует положить
01 =02 = 1, «1 =«2=0,
G.8.41)
<?i(a, r) = q(a, r), q2(a, т) = 0.
При этом многочлены a^-(s) и Xn(s) в G.7.30) и G.3.31) имеют вид
Q>nlj(s) = (Trnjiij8)' an2j(s) = Vanj(ljS)i Э = M,
G.8.42)
Xn(s) = ^ni(
7.8 ] Граничные возмущения от цилиндрической полости 331
Формулы G.8.33) с учетом G.8.41) записываем следующим образом:
где
2 .2
2 2
ст?,„(г, s) = -j ? 5^nj(r, s), <r^an(r, s) = -j- ? 5^nj(r, s),
r j=i r j=i
/^•(r, e) = q^(s)Ynjl(s)u^ (Ъга),
G.8.43)
SLj(r, s) = qk
G.8.44)
Здесь Яп(з) — изображения коэффициентов ряда Фурье функ-
функции q(a,r). При чем для нагрузки G.8.39) следует положить
(см. табл. В.2.1)
qZ(8)=gn/8, G.8.45)
где gn — коэффициенты ряда Фурье функции g(a).
Асимптотические разлол<ения при s —} oo слагаемых в формулах
G.8.44) находим для нагрузки вида G.8.39). Сначала с использованием
G.8.34), G.8.42) и G.8.45) получаем соответствующие представления
для функций в G.8.32):
Xn(s) = !
k=0
xn(s)
~ e
Yn2l(S) -
CL2nk
Xn(s)
Коэффициенты CLxnk имеют ВИД
7i V »7а s6 fr,
к=0
arn\aano
-
k-2
arn,k-\aan\
G-8-47)
332 Двумерные волны в полупространстве и плоском слое [Гл.7
а числа cijnk определяются следующими рекуррентными соотношени-
соотношениями:
1-1 I dank х—^
, a>ink = —к 2^ aXn,k-iaini
G.8.48)
«2nO = ^-> 0>2nk = z V Q>Xn k-ta2ni
v 7i ito
Подставляя теперь G.8.34), G.8.45) и G.8.46) в G.8.44), получаем
ttL ( \ —-yi (г — l^sgnyf ^~^ Cuni^rJ
7is к=о s
TjL ( \ _ -l2{r-l)s gn ^ CUn2k(r)
где
G.8.49)
_ -71(Г-1)Д ign ^> cvwifc(r)
_
— e
_ -72(Г-1)Д gnVr ^ 4n2fc(r)
2S ^0 8
G.8.50)
Danl\' •> S) — e T~ Z^ к
/ o" m j / \
_ -72(r-l)8'g.Vr ^ rfcm2fc(r)
- 6 " "^?"^~^~
G.8.51)
7.8 ] Граничные возмущения от цилиндрической полости 333
к к
_ ^ CLiniarn,k-i
1=0 G1г)
к
,k-i
к-i '
n,k-i
r1
G.8.52)
Далее, учитывая G.8.49) и G.8.50), с помощью табл. В.2.2 и свойств
преобразования Лапласа из G.8.43) находим оригиналы коэффициен-
коэффициентов рядов Фурье
ип(г,т) =
[т / ч
v^ Сип1,к-1\Г) к
71 v^ Lfcti fc!
„ (V тЧ - ign \ — V c^hk-l(r) .k
7i>/r |_7ir ^ A;! +
A;=3
CUn2,k-s(r)
k\
G.8.53)
72
,
7172^
^rn2,fc-2(r)
t=r2(r,r)
t=T2{r,r)\
, G.8.54)
jgn
S an 'm *+
k\
где
Ti (r, r) = r - 7,- (r - 1). G.8.55)
Подстановка равенств G.8.53) и G.8.54) в ряды типа G.8.36)
(см. также G.8.9) и G.8.10)) дает окончательные выражения для
перемещений и напряжений.
При заданном распределении G.8.40) нагрузки по углу
go = 1, g2 = g-2 =2? Sn = 0 (п = ±1, |га| > 3), G.8.56)
и ряды G.8.36) с учетом G.8.38) и G.8.41) переходят в конечные суммы
и(г, а, г) = г^о(г, г) + 2г^2(г, г) cos 2a,
G.8.57)
г?(г, а, г) = —2 Im ^(r, r) sin 2а;
334
Двумерные волны в полупространстве и плоском слое
[Гл.7
(г, а,т) =
сгга(г, а, г) = —2 Im сгга2(г, г) sin 2а.
G.8.58)
Рассчитанные с помощью последних формул зависимости напря-
напряжений от г и г при значениях угла а = О, тг/4, тг/2 приведены соот-
соответственно на рис. 7.8.1 а, 5, в. На первом и последнем из них изобра-
изображены только радиальные напряжения, поскольку ага = 0 при а = О
и а = тг/2.
1,0
Рис. 7.8.1
Упражнение 7.8.1. Найти перемещения и напряжения в упругой
среде с цилиндрической полостью, на поверхности которой задано тан-
тангенциальное напряжение сгг(з\г=1 — q(a,T), a радиальное напряжение
отсутствует. Массовых сил нет, начальные условия однородные. Рас-
Рассмотреть частный случай нагрузки вида G.8.39).
7.8 ] Граничные возмущения от цилиндрической полости 335
Упражнение 7.8.2. Найти перемещения и напряжения в упругой
среде с цилиндрической полостью, на поверхности которой задано ра-
радиальное перемещение u\r=1 = q(a, т), а тангенциальное перемещение
отсутствует. Массовых сил нет, начальные условия однородные. Рас-
Рассмотреть частный случай нагрузки вида G.8.39).
Упражнение 7.8.3. Найти перемещения и напряжения в упругой
среде с цилиндрической полостью, на поверхности которой задано тан-
тангенциальное перемещение v\r=1 = д(а,т), а радиальное перемещение
отсутствует. Массовых сил нет, начальные условия однородные. Рас-
Рассмотреть частный случай нагрузки вида G.8.39).
Приложение А
МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
И ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
А.1. Анизотропная термовязкоупругая среда
Первая группа уравнений, описывающая движение термовязко-
упругой среды — «механическая» часть. В нее входят
— уравнения движения
— соотношения Коши
— физический закон наследственной термовязкоупругости
t t
i = с«*'еы - | r«w(t, т)еы(т) dr + Bw J Г« *'(*, тЩт) dr - A«0,
о о
(А.1.3)
где р — плотность среды, Сгзк\ Л*-7, Вгз и Ггзк1 — компоненты тензо-
тензоров упругих постоянных, коэффициентов температурного расширения,
коэффициентов температурной податливости и ядер релаксации, г^,
F1 и ?ij, а%3 — компоненты векторов перемещений и, массовых сил F
и тензоров деформаций и напряжений, Г и То - температуры среды
в актуальном и начальном состояниях, $ — изменение температуры
(далее для краткости эту величину будем называть просто «температу-
«температурой»), Vi — оператор ковариантного дифференцирования, t — время.
Здесь и далее, если не будет специальных оговорок, использу-
используется некоторая произвольная криволинейная система координат
ж1, ж2, ж3 с ковариантным ei, е2, ез и контравариантным е1, е2, е3
базисами.
Вторая («термодинамическая») группа уравнений включает в себя
— уравнение теплопроводности
° с а + fo Aij? + iy»^ = q, (A.1.4)
dt \ т о гз о гЧ v J
АЛ ] Анизотропная термовязкоупругая среда 337
— обобщенный закон теплопроводности
/9< = -4«V^, 1 = 1 + Тг1, (А.1.5)
где ст — коэффициент теплоемкости в начальном (недеформирован-
ном) состоянии, rfi — компоненты тензора коэффициентов теплопро-
теплопроводности, q% — компоненты вектора теплового потока q, rr — время
релаксации теплового потока, q — массовая плотность мощности источ-
источников тепловой энергии, отличной от поставляемой тепловым потоком
(просто «мощность источников тепла»).
Система уравнений (А.1.1)—(А.1.5) является замкнутой (число неиз-
неизвестных совпадает с количеством уравнений) при заданных массовых
силах F и мощности источников тепла q.
Предполагается, что соотношения (А. 1.3) обратимы
t
eij = Uijklakl + J KijM(t, r)akl(r) dr + B^-tf. (A.1.6)
о
Здесь Uijki и Kijki — компоненты тензоров податливости и ядер
ползучести. При чем имеют место равенства
Ву = UijklAkl, C^klUklmn = АЦп, АЦп = I (g^gi + gigl),
(АЛЛ)
t
CijklKklmn(t, т) - F^kl(t, r)Uklmn - | Г«*'(*. Ti)KWmn(Ti, t) dn = 0,
где glj — смешанные компоненты метрического тензора.
Если физические соотношения инвариантны относительно сдвигов
по времени, то ядра в (А.1.3) и (А. 1.6) зависят только от (t — г):
Г«*|(*,т)=Г«*|(*-т), Kijkl(t,r)=Kijkl(t-r), (A.1.8)
что приводит к модели нестареющей термовязкоупругой (просто «тер-
мовязкоупругой») среды
?ij = nijkl<rkl + Kijkl * аы + By tf, (A.1.10)
где знак «*» указывает на свертку по времени.
В дальнейшем будем рассматривать только эту модель.
Отметим, что все тензоры, задающие физические характеристики
среды, обладают следующими свойствами симметрии:
338 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
сщч = сцы = сщк = сыц; п. .ы = и.ш = u..ik = Вш.;
r«w = г;ш = Тщк = Гкщ} Куы = к.ш = K..lk = Кыц?
(А.1.11)
Из системы уравнений (А.1.1), (А.1.2) и (А.1.9) могут быть исключе-
исключены деформации и напряжения. Учитывая равенства (А.1.11), получаем
уравнения движения в перемещениях:
Х = V; (CijklVkut - Г*ы *
ОТ
+ Tijkl * Vj (Bwi?) + pF\ (A.1.12)
После применения к уравнению (А.1.4) оператора / из (А.1.4),
(А.1.5) можно исключить тепловой поток:
pv'D'iVjtf) + 9- (АЛЛЗ)
Для однородной среды (физические характеристики не зависят от
точки среды) уравнения (А.1.12) и (А.1.13) приобретают следующий
вид:
at
Отметим, что при заданных деформациях в случае тг ф 0 уравне-
уравнение (А.1.15) имеет гиперболический тип, а при тг = 0 оно является
параболическим. Эти два варианта среды называют соответственно
моделями с конечной и бесконечной скоростью распространения тепла.
Для последнего варианта имеет место частный случай соотношения
(А. 1.5) — обобщенный закон теплопроводности Фурье
ql = -77*'Vj#. (A. 1.16)
Для выделения единственного решения системы уравнений (А.1.1),
(А.1.2), (А.1.9), (А.1.13) на пространственно-временном четырехмер-
четырехмерном множестве G x {t ^ 0}, где G — пространственная область, занима-
занимаемая средой, необходимы дополнительные условия, т.е. формулировка
соответствующих начально-краевых задач. Укажем основные типы до-
дополнительных условий.
Начальные условия, как правило, задают в виде
ui\t=o = uM> vi\t=o=vM> (ж1, ж2, ж3) е G; (А.1.17)
АЛ ] Анизотропная термовязкоупругая среда 339
о, (х\х2,х3) eG, (A.1.18)
С/Г ?=0
где г?г — компоненты вектора скорости
(A.1.19)
Для среды с бесконечной скоростью распространения тепла послед-
последнее равенство в (А. 1.18) должно быть отброшено.
Граничные условия соответственно системам уравнений (А.1.1),
(А.1.2), (А.1.9) и (А.1.4), (А.1.5) разделим на два класса: механические
и термодинамические.
Для формулировки условий первого класса представим границу 8G
области G в виде трех частей, площадь пересечения которых равны
нулю:
dG = nuunaunu(T. (A.1.20)
На участках Пи и Па ставятся соответственно кинематические и ди-
динамические (силовые) условия:
Ui\Uu = Ui или Vi\Uu = Vi, t > 0; (А.1.21)
Р"|п<, =<т*изв\а=Р*в\ *>0, (А.1.22)
где v = щег — единичный вектор внешней нормали к граничной по-
поверхности, а р" — вектор напряжений.
Если U = Uie1 = О, то поверхность Пи называют неподвижной
(защемленной). При V = Vie1 = О говорят об условиях прилипания.
Если Р = Pie1 = 0, то поверхность Па называется свободной.
На участке Пи(Т ставятся смешанные условия. Они, в общем, со-
состоят в задании некоторых комбинаций вектора перемещения и (или
скорости v) и вектора напряжений р^. Корректность такой постанов-
постановки нуждается в обосновании. Однако отметим, что в частном случае
покоординатного задания и (или v) и р^, как правило, их координаты
должны быть разными.
Примером таких условий является следующие:
= ~k Hrw " vo) (*„ < 0), (A.1.23)
где (v|n — vq) — относительная скорость движения среды и поверх-
поверхности, 1^ = ри — (Juv — касательная составляющая вектора напряже-
напряжений, a av = (p",v) = G%iviVj — нормальное напряжение.
Частный случай (А.1.23) при к = 0 имеет вид
(u-v)|nuCT=f/, ((v,v)|nw=K), т„|Пшг=0, *>0. (А.1.24)
340 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Условия (А.1.23) называются контактом с трением Кулона *) (к —
коэффициент трения), а (А. 1.24) —свободным проскальзыванием. В по-
последнем случае при Uv = 0 или Vv = 0 говорят, что поверхность Т\иа
непроницаемая.
Для формулировки второго класса граничных условий (термодина-
(термодинамических условий) представляем dG аналогично (А.1.20) в виде
dG = UT UUqU UTq. (A.1.25)
На каждом из этих участков ставятся соответственно температур-
температурные, термодинамические и смешанные условия:
ЩПт =0, t > 0; (А.1.26)
(q, v)|ng = </„, t> 0; (А.1.27)
/(q,i?)lnw=0, t>0, (A.1.28)
где Э — температура внешней среды, / — некоторая заданная функция.
При qv = 0 поверхность Y\q называется теплоизолированной.
Примерами условий (А.1.28) являются
(q, у)|Пист = cs (T/100L1 . (A.1.30)
Равенство (А. 1.29) называется условием теплоотдачи (кт — коэф-
коэффициент теплоотдачи), а (А.1.30) — условиями теплоизлучения (cs —
постоянная Стефана 2) -Больцмана 3)).
Естественно какие-то из указанных в (А.1.20) и (А.1.25) частей
поверхности dG могут отсутствовать или вся поверхность dG может
совпадать с одной из этих частей.
Если область G неограниченая, то, исходя из физических сообра-
соображений, должны быть заданы условия на бесконечности. Таковыми,
например, являются ограниченность искомых решений в G (см. @.2))
^ = 0A), r-^оо, (А.1.31)
где г — длина радиуса-вектора.
Частными случаями рассмотренной термовязкоупругой среды яв-
являются следующие модели.
1. Несвязанная термовязкоупругость. Здесь полагается
d^L =0 (А.1.32)
1) Кулон (Coulomb С.Л., 1736-1806) — французский инженер и физик.
2) Стефан (Stefan J., 1835-1893) — австрийский физик.
3) Больцман (Boltzmann L., 1844-1906) — австрийский физик.
АЛ ] Анизотропная термовязкоупругая среда 341
При этом уравнения (А. 1.13) и (А. 1.15) соответственно для неоднород-
неоднородной и однородной сред становятся несвязанными с механической ча-
частью (А.1.1), (А.1.2), (А.1.9) общей системы уравнений и приобретают
вид:
dt2
^ + 1^ = -^У^^ + ,. (А.1.34)
dt2 rr dt pcT
Поэтому в этом случае сначала решается начально-краевая задача
(А.1.33) или (А.1.34), (А.1.18), (А.1.2б)-(А.1.28), а затем с использова-
использованием найденного поля температур находится решение задачи (А. 1.1),
(А.1.2), (А.1.9), (А.1.17), (А.1.21)-(А.1.23).
2. Связанная термоупругость. Здесь предполагается отсутствие
эффектов вязкости
Г« *' = 0, Куы = 0. (А.1.35)
При этом физические соотношения (А. 1.9) переходят в закон Гука-
Дюамеля ^-Неймана
aii = Cijklekl-Aij$. (A.1.36)
Его обратная форма следует из (А. 1.10)
еу = Пцы<ты - ВУ0. (А.1.37)
Начально-краевая задача в этом варианте состоит из уравнений
(А.1.1), (А.1.2), (А.1.36), (А.1.13) (или (А.1.15) для однородной среды)
и условий (А.1.17), (А.1.18), (А.1.21)-(А.1.23), (А.1.2б)-(А.1.28). Урав-
Уравнения движения в перемещениях (А.1.12) и (А.1.14) для неоднородной
и однородной среды упрощаются и имеют вид:
р^\ = CijklVjVkui - AijVjti + pF\ (A.1.39)
3. Несвязанная термоупругость. Эта модель — частный случай свя-
связанной термоупругости при выполнении равенства (А.1.32). Начально-
краевая задача здесь состоит из уравнений (А.1.1), (А.1.2), (А.1.36),
(А.1.33) (или (А.1.34)) и условий (А.1.17), (А.1.18), (А.1.21)-(А.1.23),
(А. 1.26)—(А. 1.28). При этом ее термодинамическая часть решается неза-
независимо.
Отметим, что во всех указанных выше трех случаях могут рас-
рассматриваться модели, как с конечной (тг ф 0), так и с бесконечной
скоростью распространения тепла (тг = 0).
л) Дюамель (Duhamel J.M. С, 1797-1872) — французский механик.
342 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
4. Вязкоупругостъ. Здесь предполагается, что процесс деформиро-
деформирования среды является изотермическим ($ = 0). Соответственно упро-
упрощаются физические соотношения (А.1.9) и (А.1.10)
aij = C^klekl - Tijkl * ем\ (А.1.40)
eij = Uijklakl + Kijkl * akl. (A.1.41)
Начально-краевая задача здесь состоит из уравнений (А.1.1),
(А.1.2), (А.1.40) и условий (А.1.17), (А.1.21)-(А.1.23). Соответственно
видоизменяются и уравнения движения в перемещениях, которые, как
следует из (А. 1.12) и (А. 1.14), записываются следующим образом:
pd~w = Vj (°ijklVkUi -riihl *
j
^ pF\ (A.1.43)
5. Теория упругости. Эту модель можно рассматривать как частный
случай связанной термоупругости при условии, что процесс деформи-
деформирования среды является изотермическим ($ = 0) или адиабатическим
(q = 0 и q = 0). В первом варианте соотношения (А.1.36) и (А.1.37)
переходят в закон Гука и его обратную форму
aij = с^еы; (А.1.44)
еу=Пуы<т*'. (А.1.45)
Начально-краевая задача здесь состоит из уравнений (А.1.1),
(А.1.2), (А.1.44) и условий (А.1.17), (А.1.21)-(А.1.23). Соответственно
видоизменяются и уравнения движения в перемещениях, которые, как
следует из (А.1.38) и (А.1.39), имеют вид
Р^? = V,- (CiiklVkUl) + pF1- (A.1.46)
Для адиабатических процессов все соотношения имеют такой же
вид, как и для изотермических процессов. Однако упругие постоянные
Qijkl необходимо заменить следующими величинами:
Cijki = Cijki + To AijAkim (A.1.48)
рс
А.2. Изотропная термовязкоупругая среда
Число различных физических постоянных и ядер релаксации и пол-
ползучести для термовязкоупругой среды уменьшается при наличии раз-
различного рода симметрии (симметрия относительно координатной по-
А.2] Изотропная термовязкоутругая среда 343
верхности, ортотропная и трансверсально изотропная среды, кубиче-
кубическая симметрия и др.) уменьшается. Далее ограничимся только изо-
изотропной термовязкоупругой средой. Для ее физических характеристик
имеют место равенства (см. (А.1.7)):
Cijki = \gijgki + f, g,
(А.2.1)
rijki = Rgijgki MAijkl ij Xij
Здесь А — коэффициент температурного расширения (он связан
с коэффициентом линейного расширения а = ЗА/С),
К=\+\р (A.2.2)
о
— коэффициент объемного расширения, ХТ — коэффициент теплопро-
теплопроводности, R(t) и M(t) — ядра релаксации и ползучести, Л и ц — упругие
постоянные Ламе, которые связаны с техническими постоянными моду-
модулем упругости (модулем Юнга) Е, модулем сдвига G и коэффициентом
Пуассона v следующим образом:
Используя (А.2.1) и (А.1.11), из (А.1.7) находим
fk=gij, Ъц = ^±^ец. (А.2.4)
Далее будем рассматривать только однородную термовязкоупругую
среду. Подставляя (А.2.1) и (А.2.4) в (А.1.9) и (А.1.5), получаем
aij = X0gij + 2fisij - Mgij -gijR*0-2M* sij +
где
0 = yiUl = div u (A.2.6)
— коэффициент объемного расширения.
В равенстве (А.2.5) свертка с ядром CR + 2М) характеризует вли-
влияние вязкости при деформации в виде всестороннего растяжения-сжа-
растяжения-сжатия, каковое для всех известных материалов пренебрежительно мало.
Поэтому обычно полагают
0. (А.2.7)
При этом физический закон (А.2.5) упрощается
aij = X0gij + 2fisij - Mgij + - gijM * в - 2M * eij. (A.2.8)
о
344 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Из (А.1.7) с учетом (А.1.8), (А.1.11), (А.2.1) и (А.2.7) вытекают
следующие соотношения:
ijkl = 2ц \Aiikl ~ SK giigkl) ' B*i = SK gij'
(А.2.9)
Kijkl = 2 (Aijkl - i gijgki) П, П = ^- М + 2М * П,
где П(?) — ядро ползучести.
После подстановки (А.2.4) и (А.2.9) в (А.1.10) обратные физические
соотношения принимают вид
) + 2П * ( ^ + ^ (А2Л0)
Можно показать, что ядро релаксации M(i), совпадает с соответ-
соответствующим ядром при чистом сдвиге (в прямоугольной декартовой си-
системе координат все компоненты тензора напряжений кроме on = o<i\
равны нулю, $ = 0)
сг12 = 2 (/ле12 - М* е12). (А.2.11)
Аналогично упругим постоянным также вводятся «технические»
ядра релаксации S(t) и ползучести Q(t), которые соответствуют од-
одноосному растяжению-сжатию (в прямоугольной декартовой системе
координат все компоненты тензора напряжений кроме сгп равны нулю,
0 = 0)
<у\\ = Е (еп - S * ?ц), ец = — ((Гц -Q* (Гц). (А.2.12)
Эти ядра определяются при испытаниях на растяжение стержней.
Каждое из них является резольвентой по отношении к другому в том
смысле, что они удовлетворяют интегральному уравнению Вольтер-
ра г) второго рода
S(t) - Q(t) = Q(t) * S(t). (A.2.13)
Ядра S и Q не могут произвольными функциями. Для всех извест-
известных материалов они должны удовлетворять следующим условиям:
а) в правой полуокрестности нуля ядра не ограничены
lim S(t) = оо, \imQ(t) = oc, (A.2.14)
б) особенности в нуле являются интегрируемыми и, кроме того, для
любого t ^ О
t
\s(t)dt^ I. (A.2.15)
о
]) Волыперра (Volterra V., 1860-1940) — итальянский математик и физик.
А.2] Изотропная термовязкоутругая среда 345
Одной из наиболее распространенной аппроксимацией ядра релак-
релаксации S является следующее его представление:
-^e~^ @<а<1). (А.2.16)
ъ
Здесь Л, а и /3 — физические характеристики материала. Они прота-
булированы, например, в [23].
Отметим, что имеет место аналогичная (А.2.3) связь технических
ядер с М и П. Например, для ядер релаксации она имеет вид
(ЗА + 2/х)М + рМ * S = 3/i(A + fi)S. (A.2.17)
Для термодинамической части уравнений, учитывая (А.2.1) и
(А.2.4), из (А.1.5) и (А.1.15) находим
lqi = -\Tg^Vjd, /q = -Ат grad tf, grad i? = gijV ^ег- (А.2.18)
( m) *{ ir) TA* + q' (А-2Л9)
где
Д = g^ViVj (A.2.20)
— оператор Лапласа.
Таким образом, для однородной изотропной термовязкоупругой
среды замкнутая система уравнений состоит из (А.1.1), (А.1.2), (А.2.8)
и (А.2.19).
Аналогично уравнению (А.1.14) из (А.1.1), (А.1.2), (А.2.8) выводят-
выводятся уравнения движения в перемещениях
о ... . V7-0 - М* Аиг + pF\ (A.2.21)
Векторный аналог этих уравнений имеет вид
р—2" — (^ + /-0 gra(^ ^ + /iAu - Л grad ?9 — - М * grad в —
dt о
-М* Au + pF, (A.2.22)
где
grad = gijVjeu Аи = Дгх*е». (А.2.23)
Часто бывает удобно на основании известной теоремы векторного
анализа (теорема Гельмгольца) представить поле перемещений в виде
потенциальной и соленоидальной частей
u = grad (f + rot \|/. (A.2.24)
346 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Здесь if и \р — скалярный и векторный потенциалы перемещений,
а оператор rot имеет вид (индексы г, j и к образуют четную переста-
перестановку из чисел 1, 2, 3)
, 2 Л л 1 (duj dui\ /л о огч
rotu=— Xijek, ^ = -(^-—), (А.2.25)
где Xij — компоненты кососимметричного тензора поворота.
Для однозначности потенциалов перемещений необходимо дополни-
дополнительное условие, которое, как правило, принимают таким:
div\|/ = 0. (A.2.26)
Если поле массовых сил также представить в виде потенциальной
и соленоидальной составляющей
F = grad Ф! + rot Ф2, (А.2.27)
то для выполнения равенства (А.2.22) достаточно, чтобы потенциалы
перемещений удовлетворяли следующим уравнениям (div grad = A,
divrot = 0):
|j = clAtp - ± tf - А М * А^ + Ф1; (А.2.28)
- - М * А\|/ + Ф2, (А.2.29)
dt2 z p
где величины
= /A + 2? c /Z (Cl>C2) (A.2.30)
V p \ p
имеют размерность скорости и соответственно носят название ско-
скоростей распространения волн растяжения-сжатия и формоизменения
(см. §1.1).
Подстановка представления (А.2.24) в уравнение теплопроводности
(А.2.19) видоизменяет его следующим образом:
= ^Atf+ <?, (А.2.31)
Таким образом, для однородной изотропной термовязкоупругой
среды замкнутая система уравнений движения в потенциалах пере-
перемещений состоит из (А.2.28), (А.2.29), (А.2.26) и (А.2.31). Начальные
условия (А. 1.17) для нее должны быть записаны в потенциалах
д(р
dt t=° l (A.2.32)
А.2] Изотропная термовязкоутругая среда 347
где
и0 = uoie1 = grad <р0 + rot \|/0, v0 = v^e1 = grad (fw + rot\|f10,
(A.2.33)
div\|f0 = 0, div\|f10 =0.
Отметим, что, несмотря на независимость уравнений (А.2.28) и
(А.2.29), как правило, в начально-краевых задачах они связаны гра-
граничными условиями (А.1.21), (А.1.22), (А.1.23) или (А.1.24).
При использовании потенциалов перемещений (А.2.24) механиче-
механическая (А.2.28), (А.2.29) и термодинамическая (А.2.31) части полной си-
системы уравнений связаны между собой. Возможно построение полно-
полностью независимых уравнений (см. [34]). Здесь на этом останавливаться
не будем.
Далее аналогично предыдущему параграфу укажем уравнения для
частных случаев модели однородной изотропной термовязкоупругой
среды.
1. Несвязанная термовязкоу пру г ость. Здесь в соответствии с
(А.1.32) и (А.2.1)
АТов = 0, (А.2.34)
и изменяется (становится независимым) уравнение теплопроводности
(А.2.19) или (А.2.31)
= тАд+я- (А-2-35)
2. Связанная термоупругость. В этом варианте в соответствии с
(А.1.35) и (А.2.1) необходимо положить
R = 0, М ее 0. (А.2.36)
При этом физические соотношения (А.2.8) переходят в закон Гука—
Дюамеля-Неймана для однородной изотропной среды
aij = X0gij + 2fieij - Mgij (A.2.37)
и его обратную форму (см. (А.2.10))
) 4*«*- (А'2-38)
уравнения движения в перемещениях (А.2.22) переходят в уравнения
Ламе
р®-^ = (л + fj) grad в + /iAu - Л grad i? + pF, (A.2.39)
уравнения относительно потенциалов (А.2.28) и (А.2.29) — в волновые
уравнения
¦-0 + Ф1; (A.2.40)
348 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Ф2, (А.2.41)
а уравнение теплопроводности сохраняет вид (А.2.19) или (А.2.31).
3. Несвязанная термоупруг ость. Как и ранее, эта модель — частный
случай связанной термоупругости при выполнении равенства (А.2.34).
Замкнутая система уравнений состоит из (А.2.35) и (А.2.39), или соот-
соответствующих уравнений относительно потенциалов.
4. Вязкоупругость. В этом случае д = 0 (см. § А.1), и физические
соотношения (А.2.8), (А.2.10) и уравнение движения в перемещениях
(А.2.22) приобретают вид
aij = X0gij + 2fieij + \ gijM * в - 2M * eij; (A.2.42)
о
h " ^agij)+Kijkl *akl; (A'2>43)
р^ = (Л + /i) grad в + /iAu - \ М * grad в - М * Аи + pF. (A.2.44)
^^ 3
Изменяется также уравнение относительно скалярного потенциала
(А.2.28)
^| \ А м * Ду) + Фь (А.2.45)
а уравнения (А.2.29), (А.2.19) и (А.2.31) сохраняют свой вид.
5. Теория упругости. Эта модель, как указано в предыдущем па-
параграфе, — частный случай связанной термоупругости при условии,
что процесс деформирования среды является изотермическим ($ = 0)
или адиабатическим (q = 0 и q = 0). В первом варианте соотношения
(А.2.37) и (А.2.38) переходят в закон Гука
aij = X0gij +2/i^'; (A.2.46)
Начально-краевая задача здесь состоит из уравнений (А.1.1),
(А.1.2), (А.2.46) и соответствующих дополнительных условий. Соот-
Соответственно видоизменяются и уравнение Ламе (А.2.39) и уравнение
относительно скалярного потенциала (А.2.40)
р^. = (Л + ц) grad в + ц,Ли + р?; (А.2.48)
^ Ф1. (А.2.49)
Уравнение относительно векторного потенциала (А.2.41) сохраняет
свой вид.
А.З] Жидкость 349
Для адиабатических процессов все соотношения имеют такой же
вид, как и для изотермических процессов. Однако упругую постоян-
постоянную Л необходимо заменить следующей величиной:
(А.2.50)
рс
А.З. ^Жидкость
Наиболее общей нелинейной моделью жидкости является вязкая
жидкость.
Система уравнений, описывающих ее движение в эйлеровых г) ко-
координатах жг, состоит из
— уравнения движения
где
div S = div (cr^e^ejj = V^cr^e^,
^ = -^ + (v, grad v), grad v = V^e e-7;
— уравнения неразрывности
-? + p div v = 0;
— соотношений Стокса
^ij = - (ViVj + VjVi);
— физических соотношений
= г** (vM);
(А.З
(А.З
(А.З
(А.З
(А.З
(А.З
.3)
•4)
.5)
.6)
•7)
.8)
— уравнения баланса энтропии
pT^i = rijVij + pq. (A.3.9)
]) Эйлер (Euler L., 1707-1783) — математик, механик, физик и астроном,
академик Санкт-Петербургской и Берлинской АН.
350 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Здесь v = vlei — вектор скорости, S = a^e^ej — тензор напряже-
напряжений Лагранжа *), vij — компоненты тензора скоростей, р — давление,
т*-7 — компоненты тензора вязких напряжений, s — удельная энтропия.
Функции т*-7 = т*-7 (vki), Р = р(р, s) и Т = Т(р, s) удовлетворяют сле-
следующим ограничениям:
р(р,-)>0, г«|„ы=о=0, % = Р%- (A.S.10)
В общем случае функции г*-7 (vki) в (А.3.5) нелинейные. Такая жид-
жидкость называется стоксовой (неньютоновской 2)).
Граничные условия для системы уравнений (А.3.1), (А.3.3)-(А.3.9),
как правило, имеют вид (А.1.21)-(А.1.31), где используется вектор
скорости v. Начальные условия имеют вид
vi\t=o = voi, p\t=o = Ро, s|t=0 = 0, (ж1, ж2, х3) eG0= G\t=0 .
(А.3.11)
Частными случаями вязкой жидкости являются следующие мо-
модели.
1. Анизотропная вязкая (ньютоновская) жидкость. Это тоже
нелинейная модель. Здесь линеаризуются только функции в (А.3.6).
При этом физические соотношения (А.3.5) переходят в закон Навье 3) -
Стокса
(^) I , (А.3.12)
где Вгэы — компоненты тензора вязких постоянных, которые обладают
следующими свойствами симметрии:
Bijkt = Bjikt^ Bijkt = Bijtk (A.3.13)
Остальные уравнения — такие же, как и для вязкой жидкости.
2. Изотропная вязкая жидкость. Для этой модели компоненты
тензора вязких постоянных определяются только двумя величинами Л
и /i — коэффициентами вязкости
В«« = Ag* V + М (gikgjl + gUgjh) ¦ (А.3.14)
При этом закон (А.3.11) приобретает следующий вид:
aij = (-p + Adiv v)gij +2fivij. (A.3.15)
1) Лагранж (Lagrange J.L., 1736-1813) — французский математик и меха-
механик.
2) Ньютон (Newton /., 1643-1727) — английский математик, механик, аст-
астроном и физик.
3) Навье (Navier A., 1785-1836) — французский инженер и ученый.
А.З] Жидкость
В случае однородной среды (р, Л и р = const) система уравнений
(А.3.2), (А.3.3) с учетом (А.3.4) и (А.3.15) преобразовывается к виду
p~r — pF — grad p + (Л + р) grad div v + /iAv, -j- + p div v = 0.
at at
(A.3.16)
Первое из этих уравнений называется уравнением Навъе-Стокса.
Очевидно, система (А.3.4), (А.3.7)-(А.3.9), (А.3.15) и (А.З.16) замкнута.
На способах задания величины q в (А.3.9) и таких частных видах
моделей, как несжимаемая среда, совершенный газ, адиабатические
и изотермические процессы останавливаться не будем, отсылая читате-
читателя к соответствующей литературе [25, 26, 28, 35]. Отметим только, что,
как можно показать, в этом случае требование изотермичности любого
процесса эквивалентно баротропной модели жидкости, для которой
замкнутая система уравнений состоит из (А.3.16) и определяющего
соотношения:
р = р(р). (А.3.17)
В этом варианте механическая часть уравнений не связана с термо-
термодинамической.
3. Линейная вязкая жидкость. Эта модель — линейный вариант
анизотропной вязкой жидкости. Общий случай здесь рассматривать
не будем. Ограничимся только однородной изотропной баротропной
вязкой жидкостью. Линеаризация уравнений (А.З.16) и зависимости
(А.3.17) относительно основного состояния (решения) vo, ро5 Ро приво-
приводит к следующему результату:
-^ + (v0, grad v) + (v, grad v0) = 4 grad P +
ot Po
-\ ( - — grad div v0 + grad div v ) + v0 ( - — Av0 + Av ) ,
Po \ Po J \ po J
(A.3.18)
— + div (pov) + div (pv0) = 0, p = c2p, c2 = — , щ = —,
ot dp po
r P=Po r
где v, p и p — приращения вектора скорости, давления и плотности;
с — скорость звука в жидкости (ср. с величинами с\ и с<± в (А.2.28) и
(А.2.29); см. также (А.3.27)).
Если в основном состоянии среда покоится и является однородной,
т. е. vq = 0, po = const, po — const, то, как следует из (А.З. 18), движение
жидкости описывается следующими уравнениями:
— = grad p H — grad div v + щ Av,
ot po Po
(A.3.19)
-^ + podiv v = 0, p = c2p.
352 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Аналогично (А.2.24) поле скоростей v можно представить в виде
потенциальной и соленоидальной частей:
v = grad Ф +rot*, div* = 0, (A.3.20)
где ФиФ- скалярный и векторный потенциалы скоростей.
Тогда (А.3.18) является следствием следующих уравнений:
4. Идеальная жидкость является частным случаем вязкой жидко-
жидкости при условии
rij = О, (А.3.22)
которое, как следует из (А.3.15), приводит к следующим тензору напря-
напряжений и вектору напряжений на площадке с нормалью v (см. (А.1.22)):
aij = -pgij, vu = -pv, (A.3.23)
т.е. тензор напряжений в этом случае шаровой.
Замкнутая система в этом случае состоит из (А.3.4), (А.3.7), (А.3.8)
и уравнений, следующих из (А.3.9) и (А.3.16)
Второе из соотношений в (А.3.25) называется уравнением Эйлера.
В соответствии с порядком системы уравнений и видом (А.3.23)
вектора напряжений граничные условия (А.1.21) и (А.1.22) для этой
модели переходят в следующие (см. также (А.1.23)):
(v,v)|nft = Vy, p\Ua = Ру. (А.3.25)
5. Акустическая среда (акустическая жидкость). Это — линеа-
линеаризованный вариант модели идеальной жидкости. Для баротропной
среды соответствующие замкнутые системы могут быть получены при
Л = fj, = 0 из (А.3.18):
-яг + (v0, grad v) + (v, grad v0) = -4 grad p0 grad p,
dt P° P° (A.3.26)
-^- + div (pov) + div (pv0) = 0, p = c2p;
или из (А.3.19):
', ^ + p0divv = 0, p = c2p; (A.3.27)
А.З] Жидкость 353
или из (А.З.21):
|^ 2 ^ . (A.3.28)
Акустическую жидкость можно рассматривать как частный случай
однородной изотропной упругой среды при отсутствии массовых сил
(F = 0), фиксированной упругой постоянной Л и
м = 0 (с2=0). (А.3.29)
Действительно, из (А.2.46) получаем, что тензор напряжений явля-
является шаровым
aij =X0gij. (A.3.30)
Вводя обозначение
р = -\в, (А.3.31)
приходим к первому равенству в (А.3.23). Подставляя далее (А.3.31) в
(А.2.48) (здесь необходимо положить р = р0) с учетом (А.3.29) и равен-
равенства
v = ?, (A.3.32)
получаем первое уравнение в (А.3.27), где
с2 = -. (А.3.33)
Ро
Интегрируя теперь второе уравнение в (А.3.27), с учетом (А.3.32) и
(А.2.6) находим
р = -ров. (А.3.34)
Отсюда, принимая во внимание (А.3.31) и (А.3.33), приходим к третье-
третьему равенству в (А.3.27).
Аналогично из уравнений (А.2.49) и (А.2.41) следуют соотношения
(А.3.28). При выполнении условий (А.3.29) уравнение (А.2.41) перехо-
переходит в обыкновенное дифференциальное
82
= 0, (А.3.35)
и можно положить \|/ = 0. Тогда из (А.2.24) имеем
(А.З.Зб)
Дифференцируя это равенство и уравнение (А.2.49) и используя
обозначение
Ф = Ц, (А.3.37)
с учетом (А.3.29) и (А.2.30) получаем третье и первое равенство в
(А.3.28).
12 А. Г. Горшков и др.
354 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Отметим, что условие (А.3.29) эквивалентно предельному значению
коэффициента Пуассона
v = \, (A.3.38)
поскольку, как следует из (А.2.3)
/л _ 1 - 2v
А ~ 2i/
А.4. Уравнения движения сплон1ных сред
в некоторых системах координат
В предыдущих параграфах выписаны уравнения движения различ-
различных сплошных сред в произвольной криволинейной системе коорди-
координат хг.
Для решения конкретных задач необходимы соответствующие ска-
скалярные уравнения в конкретных системах координат. Здесь ограничим-
ограничимся прямоугольной декартовой, цилиндрической и сферической систе-
системами координат. Для каждой из них укажем метрический тензор, вид
основных операторов первого и второго порядка и связь компонент тен-
тензоров и векторов с физическими компонентами. Уравнения движения
приведем только для некоторых моделей сред. Для остальных сред они
без труда могут быть выписаны читателем с использованием указанных
основных операторов.
А. Прямоугольная декартова система координат
х1 = х\, х2 = #2, х3 = х% (А.4.1)
с ортонормированным базисом
еь е2, е3. (А.4.2)
Здесь метрический тензор является единичным, и операторы кова-
риантного дифференцирования совпадают с соответствующими част-
частными производными:
gii=Sii, V< = ^T' (A-4-3)
где Sij — символ Кронекера.
Ковариантные и контравариантные координаты векторов, а также
ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты тензоров
совпадают между собой и с соответствующими физическими компонен-
компонентами. Для последних будем использовать обозначения ковариантных
компонент (индексы внизу).
А.4] Уравнения движения сред в некоторых системах координат 355
Другие операторы в этой системе координат имеют вид
Я,- я2_ о2_ о2_
—еь
dxi
j. / ч ди\ du2 . диз 1 / ч duj
d.v (ще,) = — + — + —, grad (uiei) = — eiej,
ди\
— + +
rot
dxi
дхз
из
(А.4.4)
л _ ! ( диз диЛ
~ \ г э /
А(щвг) = (Ащ)е{,
Ащ = -^- + -^-
1. Однородная анизотропная упругая среда. Из (А.1.1), (А.1.2),
(А.1.44) и (А.1.47) имеем
— уравнения движения
д2щ
— соотношения Коши
_ I
?ij ~ 2
— закон Гука
уравнения движения в перемещениях
д2щ
д2щ
(А.4.5)
(А.4.6)
(А.4.7)
(А.4.8)
2. Однородная изотропная термовязкоупругая среда. Уравнения
движения и соотношения Коши сохраняют вид (А.4.5) и (А.4.6). Для
остальных уравнений из (А.2.6), (А.2.8), (А.2.21), (А.2.29), (А.2.26) и
(А.2.24) получаем
— коэффициент объемного расширения
в = ?ц +
— физический закон
(Tij = \06ij +
= ^— + ^— + -^—\ (А.4.9)
дх\ дх2 дхз
ij + \ 6i:jM * 0 - 2М * ?ij; (A.4.10)
о
12*
356 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
— уравнения движения в перемещениях
э2
(А.4.11)
— уравнения относительно векторного потенциала
(А.4.12)
— связь поля перемещений с потенциалами
дер дфз дф<2 дер дф\ дфз
хг х2 хз х2 хз хг ^АЛщ
дхз дх\ дх2
Уравнение относительно скалярного потенциала и уравнение тепло-
теплопроводности имеют вид (А.2.40) и (А.2.19) (или (А.2.31)), где оператор
Лапласа определяется соответствующим равенством в (А.4.4), а в —
формулой (А.4.9).
Уравнения для частных случаев этой среды (термоупругая, вяз-
коупругая и упругая среды) следуют из приведенных в этом пункте
соотношений при соответствующих упрощениях (см. § А.2).
3. Однородная изотропная вязкая жидкость (основное состоя-
состояние невозмущенное). Из всех соотношений (А.3.19)-(А.3.21) приведем
только скалярные формы уравнения движения (первое уравнение в
(А.3.19))
(А.4.14)
и уравнения относительно векторного потенциала (второе равенство
в (А.3.21))
^i = i/0A*i, Ф = Ф<е<. (А.4.15)
Остальные соотношения выписываются достаточно просто с учетом
формул (А.4.4) для соответствующих операторов.
4. Идеальная жидкость. Из всей замкнутой системы уравнений
(А.3.4), (А.3.7), (А.3.8), (А.3.24) и (А.3.25) укажем только скалярную
форму уравнения движения (первое соотношение в (А.3.25))
Соотношения Стокса (А.3.4) аналогичны соотношениям Коши (А.4.6).
А.4] Уравнения движения сред в некоторых системах координат 357
5. Акустическая среда (основное состояние невозмущенное). Из всех
соотношений (А.3.26)—(А.3.28) приведем только скалярные формы
уравнения движения (первое уравнение в (А.3.27))
%Г Р ()
dt р0 dxi '
и связи координат вектора скорости с потенциалом (последнее равен-
равенство в (А.3.28))
Б. Цилиндрическая система координат
х1 = г, х2 = а, х3 = z\
г > О, 0 < а < 2тг (-тг<а<тг), z G R; (А.4.19)
х1 = г cos а, #2 = г sin а, хз = z,
где Xi — прямоугольные декартовы координаты (А.4.1).
Метрический тензор цилиндрической системы координат является
диагональным {Hi — параметры Ламе, Hi ^ 0)
gll=g" = H* = l, g22 = Hl = r\
i (A.4.20)
g = "Г» g33= g =//3=l,
Г
а ортонормированный базис ег, еа, ez связан с ковариантным и кон-
травариантным базисами так:
er = ei = е1, еа = - е2 = re2, ez = e3 = е3. (А.4.21)
Физические компоненты векторов и тензоров (в их обозначениях
индексы 1,2,3 заменены соответствующими координатами г, a, z) опре-
определяются следующим образом:
1 и2 2 3
иг = и\ = и , иа = — = ru , uz = щ = и ;
г
р. _ F — р.11 _ Р1 р _ ?12 _ 12 _ ?2 _ 2
?гг _ ?\\ — ? — ?1, ?га — — ГЕ — — — Г?15
(А.4.22)
Р -Р1О-Р13_ 1_ 3 _ ?22 _ 2 22 _ 2
?rz — ^13 — ? — ?3 — ?1? ?аа — ~~г~ ~ Г ? ~ ?2?
Г
?а2 = ^ = ге" = ?1 = rel ezz = ?зз = е33 = е?.
358 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Отличные от нуля символы Кристоффеля *) второго рода имеют
вид
^22 =-г, Г?2 = 1, (А.4.23)
а ковариантные производные векторов и тензоров таковы:
ди\ _ ди-2 и-2 -_, диз
u2 ^ ди2 . ^ диз
„i 5m1 „2 дм2 , и2 „з ди3
t1
rU, V2u= + V, V2U
О2г,1 ^ ди1 г
=+rU
„ 2 ^V , 2ЙИ2 vt V7 2 0V , 9» , 2 Sit1
iVitr = —=- H -—, V2V2w = 5- + r— -—,
dr r Or да дг г да
du3
12 = ^ "
V2(r12 = ^ - r<r22 + "—, V2a22 = ^!! + ^!, (A.4.25)
aa г да. г
Использование формул (А.4.22)-(А.4.25) приводит к следующей
форме используемых в уравнениях операторов от скаляра, вектора
и симметрического тензора второго ранга:
Кристоффель {Christoffel E.B., 1820-1900) — немецкий математик.
А.4] Уравнения движения сред в некоторых системах координат 359
rot (u'ei) = 2 (Лагег + Лггеа + \rzez), \az = - ^- -^- - -^
_ 1 /диг диЛ _ 1 \д(гиа) Зи
grad (и<е<) = -^ егег + — егеа + -^- еге2
, dur , диа , duz
i. / a \ \do-rr 1 fdara \ darz]
v ' I or r \ da ) oz \
\do-ra 1 fdaaa \ daaz]
[ + {-toT + 2<7ra) + -вГ\ ea
\8arz 1 (daaz \ da
Здесь и далее оператор Лапласа от физических компонент вектора
понимается как соответствующий оператор от скалярной функции.
1. Однородная изотропная термовязкоупругая среда. Из (А. 1.1),
(А.1.2), (А.2.6), (А.2.8), (А.2.22), (А.2.29), (А.2.26) и (А.2.24) имеем
— уравнения движения
д2иг дстгг , 1 дстга
г
д Ua дсГга , 1 ОсГаа , dcFaz , 2crr
(Д Л OQ
iuz darz , 1 daaz daz
360 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
— соотношения Коши
_ диг _ 1 диа ur _ duz
or г да г dz
_ 1 (диа . 1 диг иа\
? \ or r oa r /
(A.4.30)
_ ^ (ди^ I диЛ
6az~ 2 V 8z + г аа ) ;
— коэффициент объемного расширения
.-.„ + ... + .„-1 [•?=! + &]+?, (А.4.3!)
— физический закон
4
сггг = (Л + 2/л)егг + Л (еаа + ezz) - Afi - - М * err
2
, (А.4.32)
4
Ясс* = (А + 2/х)еаа + А (егг + е22) - Л?9 - - М * еаа
4
^^ = (А + 2/i)e22 + Л (егг + еаа) - М - - М * ezz +
2
+ -М* (?rr + ?Qa
arOL = 2fiera — 2M * ?ra, сгГ2 = 2/i?r2 - 2M * er2,
сга2 = 2/ji?az -2M*eOLZ\
— уравнения движения в перемещениях
д2иг (х , Лдв , гл 1 („диа , \\ .д'д 1 ,, дв
- М *
А.4] Уравнения движения сред в некоторых системах координат 361
t г да ^ [ г \ да J\ r да
dt
— М* —
3r * да
- М * [Аиа + 1 B^ - иа)]_ + PFa, (A.4.33)
— уравнения относительно векторного потенциала
д(гфг) дф«] дф* _
^ \ dz ~ '
(А.4.34)
г[ дг ^ да \_ dz
— связь поля перемещений с потенциалами
_ д<р 1 дфг _ дфа _ 1 dip дфг _ дфг
дг г да dz a r да dz дг
(А.4.35)
7/ = ^ -и I д(нМ дфг]
d [
dz r [ дг да
Уравнение относительно скалярного потенциала и уравнение тепло-
теплопроводности имеют вид (А.2.28) и (А.2.19) (или (А.2.35)), где оператор
Лапласа определяется соответствующим равенством в (А.4.26), а в —
формулой (А.4.31).
Уравнения для частных случаев этой среды (термоупругая, вяз-
коупругая и упругая среды) следуют из приведенных в этом пункте
соотношений при соответствующих упрощениях (см. § А.2).
2. Однородная изотропная вязкая жидкость (основное состоя-
состояние невозмущенное). Из всех соотношений (А.3.19)-(А.3.21) приве-
приведем только скалярную форму уравнения движения (первое уравнение
в (А.3.19))
dt рог да г
362 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
и уравнения относительно векторного потенциала (второе равенство в
(А.3.21))
dtA
dt2 ~ 2 I a + r2 \ da WtVj ' (ЛА.67)
. 5ФО
Связь поля скоростей с потенциалами аналогична равенствам
(А.4.35). Остальные соотношения выписываются достаточно просто
с учетом формул (А.4.26)-(А.4.28) для соответствующих операторов.
3. Идеальная жидкость. Из всей замкнутой системы уравнений
(А.3.4), (А.3.7), (А.3.8), (А.3.24) и (А.3.25) приведем только скалярную
форму уравнений движения (первое соотношение в (А.3.25)):
dvr dvr va (dvr \ dvr _ i dp
?^ = Fa-±0P9 (A.4.38)
dz pr da v J
dvr
dt
1
Ро
dp
dr'
dva
dt
1
Рог
dp
da'
dvz
dt
1
Po
dp
dz
dvz dv^ v^ dv^ dv^ _ „ 1 dp
dt "h r dr ^ r da^ z dz ~ z p dz'
Соотношения Стокса (А.3.4) аналогичны соотношениям Ко-
ши (А.4.30).
4. Акустическая среда (основное состояние невозмущенное). Из всех
соотношений (А.3.2б)-(А.3.28) выпишем только скалярные формы
уравнений движения (первое уравнение в (А.3.27)):
(А.4.39)
и связи координат вектора скорости с потенциалом (последнее равен-
равенство в (А.3.28))
дФ 1 d<$> дФ fKA АгЛ
vr =—, va = - ^-, vz = ^-. (А.4.40)
dr r da dz
В. Сферическая система координат
х1 = г, х2 = /3, х3 = а,
г > 0, 0 < /3 < тг, 0 < а < 2тг (-тг < а < тг); (А.4.41)
х\ = г sin/3 cos а, х<± = г sin/3 sin а, #3
где Xi — прямоугольные декартовы координаты (А.4.1).
А.4] Уравнения движения сред в некоторых системах координат 363
Метрический тензор для этой системы координат также является
д и агон ал ьн ы м
_ 11 _ //2 _ -I _ гг2 _ 2 22 _ 1
1 Г {АЛЛ2)
г2 sin2 /3
а ортонормированный базис ег, е^, еа связан с ковариантным и кон-
травариантным базисами так:
er=ei=e1, e^ = -e2 = re2, еа = ——- е3 = e3rsin/3. (A.4.43)
Физические компоненты векторов и тензоров (в их обозначениях
индексы 1, 2, 3 заменены соответствующими координатами г, /3, а)
определяются следующим образом:
1 и2 2 ^3 3 • /о
иг = ui = и , ur = — = ги , гда = —:—- = и rsinp;
г rsinp
^ г г
1
е = —^Ц- = rsin/Зе13 = —^—- = e?rsin/3,
rsin/3 rsin/3 1
(А.4.44)
?22 2 22 2
?otoc — 2 . 2 n — E ^ Sin p — S3.
r sin /3
Отличные от нуля символы Кристоффеля второго рода имеют вид
Г22 = ~г> гзз = ~r si /35 гзз = - sin /3 cos /3,
л (А.4.45)
Г2 _ Г3 _ 1 Г3 о J
1 12 — 1 13 — ~5
Г Г
12 — 1 13 — ~5 Х 23 —
а ковариантные производные векторов и тензоров таковы:
ди\ — дич и?
ди3 и3 --, dui u2
364 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
да г
= -^ + (uir sin /3 + и2 cos /3) sin /3,
2
3^ = "аб1" V "a7rSm^ + -qTj-r cos/3-й lsm/3 1 sin/3-
o 3
2г sin /3 cos /3 — 2—— r sin2 /3,
OOL
2 du1
ctg/3+(i -ctg2 p) Asin2 ^"
ctg/3+(i ctg2 p) Asin2
si
- 2——sin/3 cos/3,
2 du3
)
А.4] Уравнения движения сред в некоторых системах координат 365
11 da
1 дг '
ту 12 0(
V 1С
12
12
rcr22
о
Q 12
da
dr
и
r
, c
13
12
Г
r '
V 1С
22
13
op
da13
dr
r
+ ¦
12
cr13
Г '
3 ^ + a12ctg/3 - a/,
OOL Г
о 23 12
V3(T23 = ^_ + ^_ + <722ctg/3 - ff33 sin/9 cos/9,
aa r
Использование формул (А.4.44)-(А.4.47) приводит к следующей
форме используемых в уравнениях операторов от скаляра, вектора
и симметрического тензора второго ранга:
grad v = ^ ег + - щ ер + —^ ^ в.,
- ( 2
~ г2 дУ
rot (иге{) = 2
1 f I
grad (u%) = ^ erer + ^ ere, + ^ erea + (A.4.49)
dur \ , 1 (дщ \ , 1 dua
Uee + [ + MJee+
1 / 1 8ur \ ,1 (дщ Л
г у sin р да. J r sin р \ да. )
1/1 0гл
~ ^^^ ~^~ + ur + ue ctg /^ I е„еп
r V sin п да
366 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
7
г2 sin/
*¦¦ <A-4-50>
1. Однородная изотропная термовязкоупругая среда. Из (А. 1.1),
(А.1.2), (А.2.6), (А.2.8), (А.2.22), (А.2.29), (А.2.26) и (А.2.24) имеем
— уравнения движения
диг дсггг ,
, (А.4.51)
д Ua д(ТГС1
А.4] Уравнения движения сред в некоторых системах координат 367
— соотношения Коши
_ ди^
1
=K^^L+t4/3ctg/3+i4r)>
i \duf3
(A.4.52)
— коэффициент объемного расширения
®ur , 1 (див , 1 ^гла , , о , о \
ezz = —— + - -^f + ^— ^— + ^ ctg/3 + 2ur ;
ar г \ д/3 sm/3 да И )
— физический закон
= (А + 2fi)srr + А {ерр + eaa) - М - - М * егг +
о
)
(А.4.53)
= (А
A (err
- - М *
2
-М* (ерр + еаа),
а), (А.4.54)
?otot = (А + 2ц)еаа + А (егг + едя) - Л# - - М * еаа +
о
СГГ/3 = 2/i?r/S - 2М * ?rj9, СГга = 2flSra - 2М * Era,
&Cос — 2/i?^a — 2М * е^а;
— уравнения движения в перемещениях
2
^ = (Л + /^ +
sin/3
sin
368 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
AcW_J_ дв__ (А.4.55)
г др Зг * др
д2иа _ Л + fi дО_
9 Ы- ~ rsin/З ^
Л д-д 1 ,,
М *
rsin
— уравнения относительно векторного потенциала
д2фг _
dt2 ~
(А.4.56)
А.4] Уравнения движения сред в некоторых системах координат 369
— связь поля перемещений с потенциалами
а rsm/З да г
Уравнение относительно скалярного потенциала и уравнение тепло-
теплопроводности имеют вид (А.2.40) и (А.2.19) (или (А.2.31)), где оператор
Лапласа определяется соответствующим равенством в (А.4.48), а 0 —
формулой (А.4.53).
Уравнения для частных случаев этой среды (термоупругая, вяз-
коупругая и упругая среды) следуют из приведенных в этом пункте
соотношений при соответствующих упрощениях (см. § А.2).
2. Однородная изотропная вязкая жидкость (основное состояние
невозмущенное). Скалярная форма уравнений движения (первое урав-
уравнение в (А.3.19)) имеет вид
dt pQr д/3
dt porsin/3 да
и уравнения относительно векторного потенциала (второе равенство в
(А.3.21)):
at*
a? . .
(А.4.59)
у~гра 2 I д т 1 ' л т л"т" т Х '
dt2 ~ С2\ а г2 sin,
Связь поля скоростей с потенциалами аналогична равенствам
(А.4.57). Остальные соотношения выписываются достаточно просто
с учетом формул (А.4.48)-(А.4.50) для соответствующих операторов.
370 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
3. Идеальная жидкость. Для этой среды укажем только скалярную
форму уравнений движения (первое соотношение в (А.3.25))
8vr dvr vp (dvr \ va ( 1 dvr
at or r \dp J r sin p \ da
dva dva v/3 dva va ( 1 dva
= Fa
pr sin /3 da
Соотношения Стокса (А.3.4) аналогичны соотношениям Коши
(А.4.52).
4. Акустическая среда (основное состояние невозмущенное). Выпи-
Выпишем только скалярные формы уравнений движения (первое уравнение
в (А.3.27))
\др dva = 1 дР (А461)
dt ро дг' dt рог d/3' dt por sin /3 da [ ' ' }
и связи координат вектора скорости с потенциалом (последнее равен-
равенство в (А.3.28))
дФ ! дФ 1 0Ф (к А апЛ
А.5. Уравнения движ:ения упругих оболочек
Будем полагать, что срединная поверхность задана параметрически
П: г = \П ?2
где г — радиус-вектор, D^ — область в двумерном пространстве Щ.
Касательное пространство R2(M) в каждой точке М^1,^2) G П
характеризуется базисом
(/1*0 / А К Г»\
Эг = ^, (А.5.2)
метрическим тензором
gij = (э»,э^-), (А.5.3)
А.5] Уравнения движения упругих оболочек 371
и тензором кривизны
&• • = ( ^4, п ) = ( ^i, n ) , (А.5.4)
где п — единичный вектор внешней нормали к срединной поверхности:
N 2
п = —, N = [si, Э2], |N| = g = det (gij) • (A.5.5)
Предполагается, что толщина оболочки постоянная
h = const, (A.5.6)
и она является тонкой, т.е.
- <^С 1, Л = min (d, Дх, Д2),
Л (А.5.7)
= - — , d= sup рп(Л,Б), ри(А,В)= inf
bi а,вей Х
ЛВ
где рп(^4, В) — расстояние по поверхности П между точками Ли В этой
поверхности; d, Щ и ki — ее диаметр, главные радиусы и кривизны.
Кроме того, будем считать, что тензор упругих постоянных мате-
материала оболочки симметричен относительно срединной поверхности:
csjki = csssi = 0 (А>5>8)
Здесь Clikl — компоненты этого тензора в системе координат
?*"? ^25 ^3 = С в трехмерном пространстве, которая вводится следующим
образом:
Далее рассмотрим две наиболее распространенные модели тонких
линейно упругих однородных оболочек. При этом ограничимся изотер-
изотермическими или адиабатическими процессами.
1. Оболочка типа Тимошенко. Система уравнений включает
— уравнения движения
(А.5.10)
ph8^ = ЬаТ'* + VjQ* + р, pl^f = V,M« - Q';
— физические соотношения
, fij = hCijklskh
Qi = hkzCi3k3ek;
372 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
— кинематические соотношения
?ij = g i^iUj + V
Здесь р — плотность материала оболочки;
/ = ?, fc2 = ^, (А.б.13)
го и р — нормальные перемещение и давление (положительное направ-
направление соответствует внешней стороне срединной поверхности); V* —
оператор ковариантного дифференцирования в касательном простран-
пространстве Д2(М);
и = и{э{, Q = Qisu ч = я{э{, х = Х%, *=д% (А.5.14)
— векторы тангенциального перемещения, перерезывающей силы, тан-
тангенциального давления и углов отклонения ортогонального к средин-
срединной поверхности до деформации материального волокна и нормального
к деформированной срединной поверхности вектора п* от вектора n, a
T^SiSj, e^sV, M^SiSj, щр1ээ (А.5.15)
— тензоры тангенциальных усилий и деформаций, изгибающих момен-
моментов и изменения кривизны.
Тангенциальные усилия, изгибающие моменты и перерезывающие
силы определяются через компоненты сг*-7 тензора напряжения в си-
системе координат ?\ ?2, ?, полученные параллельным переносом вдоль
нормали к срединной поверхности на эту поверхность,
h/2 h/2 h/2
fij = J aijdC, Mij = J (aijd(, Ql = J ai3d(. (A.5.16)
-h/2 -h/2 -h/2
Причем касательные напряжения аг3 распределены по нормали
следующим образом:
Отметим, что тензор тангенциальных усилий TlJ3i3j несимметрич-
несимметричный в отличие от тензора Т^э^э^, который является симметричным.
А.5]
Уравнения движения упругих оболочек
373
Для изотропного материала оболочки (см. (А.2.1)) физические со-
соотношения (А.5.11) преобразуются так:
i:j = h (X0gij
(A.5.18)
>c=>c\.
Система уравнений (А.5.10), (A.5.11) (или (A.5.18)), (A.5.12) име-
имеет гиперболический тип. Для постановки соответствующей начально-
краевой задачи к ней необходимо добавить начальные условия
дщ
dw
t=o
t=0
Xi
t=o
u" dt
(A.5.19)
?=0
а также и граничные. Последние, как правило, имеют одну из следую-
следующих форм:
— кинематические условия
Г — м^, ц/ 1/г |г — ц/*,
— динамические условия
rr3iu.\ — т7* М^
1 |г — 1 + , ivi i
— смешанные условия (Г = Ги U Га, / (Ги П Га) = 0)
i w\ru=w*i Xi\ru=X*ii
(A.5.20)
(A.5.21)
(A.5.22)
где Г = дП — граница срединной поверхности П; v = ^э* — единич-
единичный нормальный вектор к боковой поверхности оболочки (линейчатая
поверхность, образованная движением вдоль Г прямой с направляю-
направляющим вектором п) при ( = 0 (на кривой Г); го*, Q*, г^эг, X*i3% T*3i,
М1э{ — заданные на площадке с нормальным вектором v нормальное
перемещение, перерезывающая сила и векторы тангенциальных пере-
перемещений, угла поворота нормального волокна, тангенциальных усилий
и моментов.
В частных вариантах указанных граничных условий используется
следующая терминология:
— при Т1 = 0, Ml = 0, Q* = 0 участок границы Га — свободный
край;
— при u*i = 0, w* = 0, x*i = 0 на Ги имеет место жесткая заделка;
— при Т* = 0, Q* = 0, х*г = 0 на Г имеет место жесткая диафрагма;
— при w* = 0, Т1 = 0, Ml = 0 на Г имеет место шарнирное опирание.
374 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Приведем также вариационное уравнение для оболочки этого типа
J (SI-SE)dt = 0,
51 = JJ [(-VjT^ + b)Qj - ql) Sui + {-ЬцТ^ - VjQj - p) 6w +
n
+ q1) sXi] ds + J [(t'v,- - t;) ^+
Г
Vi - Q*) 5w + (M^i/j- - M*) 5Xi] dl, (A.5.23)
где /(u, w) — функционал Лагранжа; E(v) — кинетическая энергия
оболочки; знак 5 указывает на вариации; моменты времени t\ и t<i
произвольные, но t<i > t\ ^ 0.
Могут рассматриваться граничные условия более общего, чем при-
приведенные в (А.5.20)-(А.5.22), типа
/fc(«j,«;,x<,ry,M«,Q<)=0, * = 1,2,3,4, 5. (А.5.24)
Но при этом криволинейный интеграл в (А.5.23) должен быть равен
нулю. К таковым условиям относится, например, шарнирное опирание.
2. Оболочка Кирхгофа-Лява г). В этой модели предполагается, что
прямолинейное нормальное к срединной поверхности волокно остается
прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверх-
поверхности. Соответствующие уравнения могут быть получены из уравнений
оболочки типа Тимошенко при условии
0<=О (Xi = ^i) (А.5.25)
и при пренебрежении инерцией вращения нормального волокна
° }- = 0. (А.5.26)
dt2
Соответствующая система уравнений состоит из
— уравнений движения
(А.5.27)
]) Ляв (Love A.E. Я., 1863-1940) — английский математик и механик.
А.5] Уравнения движения упругих оболочек 375
— физических соотношений для анизотропного материала
Tij = fij + biMk\ fij = hCijklekh Mij = ICijklxkh (A.5.28)
или изотропного
fij = h (Xegij + 2/^), M^ = I [\Kgij + 2fiKij); (A.5.29)
— кинематических соотношений (формулы для Eij и di такие же,
как и в (А.5.12))
1/. Л ч 1 / * b \
щл = - (Vifij + Vjfii) -\— (b- VkUj + b VкиЛ — caw. (A.5.30)
j 2 J J ' 2 v l J j t J '
К этой системе добавляются связи перерезывающих сил с изгибаю-
изгибающими моментами
Qi = VjMij. (A.5.31)
Система уравнений (А.5.27), (А.5.28) (или (А.5.29)), (А.5.30) имеет
параболический тип. Для соответствующей начально-краевой задачи,
как правило, используются граничные условия (А.5.20), (А.5.21) или
(А.5.22), где необходимо заменить хг углом $% и следующие начальные
условия
дщ
(А.5.32)
i dw
1г~и dt t=o
Вариационное уравнение для оболочки этого типа таково:
(SI-SE)dt = O,
51 = jj [(-VjT^ + biVjMki - ql) 6щ -
и
- (bijTij + VjVjMij + p) dw}_ dS
+ [ [(Tjii/j - Tl) 6щ + (QVi - Q*) Sw + (Miji/j - Ml) Stii] dl,
Г (А.5.33)
Если рассматриваются граничные условия вида (А.5.24), криволи-
криволинейный интеграл в (А.5.33) должен быть равен нулю.
376 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
А.6. Уравнения движения цилиндрических
и сферических оболочек
Далее выпишем начально-краевые задачи для двух типов геометрии
оболочек.
А. Круговая цилиндрическая обо л оч к а. Ее срединная
поверхность задается следующим образом (см. (А.4.19)):
П: х± = Rcosa, х2 = Rsina, ж3 = z,
(А.6.1)
?г = а, ?2 = z, (а, z) G Daz С (-тг, тг] х Я,
где Xi — прямоугольные декартовы координаты (А.4.1), R — радиус
оболочки.
Эта система координат поверхности является ортогональной. Соот-
Соответствующее касательное пространство имеет следующие характери-
характеристики (см. (А.5.3)-(А.5.5), (А.5.7) и (А.5.12)):
1 12 22 (А>6-2)
g ~ я*' g ~0' g ~1;
6ц = -Я, 612 = 622 = 0, б{ = — —, Ъ\ = Ь\ = Ъ\ = 0,
1 (А.б.З)
R3 ' 5 11 5 12 22 ,
1 - - д, 2-, 1 - , 2-00. (••)
Нормальные векторы (см. (А.5.5)), ковариантный базис (их коорди-
координаты в прямоугольной декартовой системе координат) и ортонормиро-
ванный базис еа, ez определяются так:
N = R(cos a, sin а, 0), n = (cos а, sin а, 0),
эх = Д(- sin а, cos а, 0), э2 = @, 0,1), (А б 5)
1 1 2
а R 1 -> z 1
Физические компоненты векторов и тензоров (в их обозначениях
индексы «1» и «2» заменены соответствующими координатами ol,z)
определяются следующим образом:
А.6] Уравнения движения цилиндрических и сферических оболочек 377
гр _ T\\ _ rfirjill _ rril
1 OtOt — ~Г2 — Л i — 1 ^ ,
Taz = 111 = RTi2 = TiL = ДТ12) (А.6.6)
-ft -ft
^ 21 ^
Tzz = T22 = T22 = Tl.
Все символы Кристоффеля второго рода в этой системе координат
нулевые
Г& = О, (А.6.7)
и ковариантные производные векторов и тензоров совпадают с соот-
соответствующими частными производными:
Vxti* = |^, У2^ = У2^ = ^; (А.6.8)
^T = Чгш (А'6-9)
Использование формул (А.6.2)-(А.6.9) приводит к следующим соот-
соотношениям для указанных двух моделей оболочек (ограничимся только
изотропными материалами).
1. Круговая цилиндрическая оболочка типа Тимошенко. Из (А.5.10),
(А.5.12) и (А.5.18) получаем
— уравнения движения
ph= + + +q
гд2Ха _ \_ дМсс, dMaz
9 dt2 ~ R да + dz
Td2Xz _ 1 dMaz , 8MZZ
Pl +
dt2 ~ R да + 8z
378 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
— физические соотношения
ГТ1 -*" OLOL ГТ1 ГТ1 -*" OLZ ГТ1 ГТ1 ГТ1 ГТ1
OLOL ¦*¦ OLOL Pi 5 * OLZ 1 OLZ Pi 5 ¦*¦ ZOL * ZOL ¦*¦ ZZ ¦*¦ ZZ 5
К К
faa = h[{\ + 2fi)eaa + Xezz], faz =
Maa = I [(A
Mzz = I [(A + 2/i)x^ + Axaa], Qa = fihk2Oa, Qz = fihk2Oz;
— кинематические соотношения
R\8a ' /' az 2\R да ' dz J ' zz dz '
flL^V йУ Д] „ (А.6.12)
2lRda\Xz R)+ dz
Связь тангенциальных усилий, изгибающих моментов и перерезы-
перерезывающих сил с физическими компонентами тензора напряжений в си-
системе координат a, z, С? полученными параллельным переносом вдоль
нормали к срединной поверхности на эту поверхность, вытекает из
(А.5.16) и (А.б.б):
Л/2 h/2 h/2
Таа = ааа d?, faz = aaz d(, fzz = azz d?,
-h/2 -h/2 -h/2
h/2 h/2
Maa= j ((Ta*d(, Maz= j (aazd(, (A.6.13)
-h/2 -h/2
h/2 h/2 h/2
Mzz= J (crzzd(, Qa = J cra3dC, Qz = J сг^з^С-
-/i/2 -/i/2 -/i/2
Из (А.б.10)-(А.6.12) вытекают уравнения движения круговой ци-
цилиндрической оболочки в перемещениях
° (А.6.14)
W= (ua,W2,U),Xa,X^)T, P = -^-(да,дг,Р,0,0)Т.
А.6] Уравнения движения цилиндрических и сферических оболочек 379
Здесь Lij — дифференциальные операторы следующего вида (ве-
(величины ci определены равенствами (А.2.30)):
д2иа к2
dz2 Я2
Л + [I 82UZ
A/
Icl д2?
+ J - Cl
(A.6.15)
I ({ + ^) fe,
-2'-2L ч т , , 4 d2uz
dadz'
/г
2
С учетом малости толщины оболочки некоторые из операторов в
(А.6.15) могут быть заменены приближенными:
380 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
к2 \
д2иа (д2и к1
(A.6.16)
— + —
A
Вариационное уравнение (А.5.23) для круговой цилиндрической
оболочки имеет вид
[ F1 - 5Е) dt = 0,
/ ЯТ ЯТ
I и ± ос ос , г» ^ ¦*¦ zoc ,/^ч I г»
+
RQa) SXa
(А.6.17)
Г
+ (Taz"a + TZZUZ - T*z) 6UZ + (QaZ/a + Q^^ - Q#) 6W +
- (Maava + Mazvz — M*a) ^Xa + (MQ2^Q + Mzzvz — M*z) Sxz] dl,
Г Г Г Г Г ( д и д и д w \
6Е dt = -pR dt\ \\h[ ^ ^г/а H ^ ^г/2 Н =- 6w +
J } } } \ \ dt2 dt2 dt2 J
А.6] Уравнения движения цилиндрических и сферических оболочек 381
2. Круговая цилиндрическая оболочка Кирхгофа-Лява. Из (А.5.27),
(А.5.29), (А.5.30) и (А.5.31) получаем
— уравнения движения
д2иа i д
ni
Р'
d2w T(
Таа dTza
ud2uz 1 с
1 д2М
Я R2 да
1
да
,2
( 1 дМаа
1 dTzz I q
2 82Maz
R dadz
dMaz\
dz )
o2mzz
' dz2
— физические соотношения, которые имеют вид (А.6.11), где необ-
необходимо отбросить равенства для перерезывающих сил;
— кинематические соотношения (формулы для тангенциальных де-
деформаций и углов $a, $z такие же, как и в (А.6.12))
d2w
_ _ 1 Г d2w ,1/1 duz _ dua^~\ _ _d2wt
~ R dadz 2 \R da dz ) ' X2:2: ~~ dz2 '
R [dadz
— связь перерезывающих сил с изгибающими моментами
8Maz
Тангенциальные усилия и изгибающие моменты выражаются через
физические компоненты тензора напряжений с помощью соответству-
соответствующих равенств в (А.6.13).
Из (А.6.18), (А.6.19) и соответствующих равенств в (А.6.11) и
(А.6.12) вытекают уравнения движения в перемещениях:
5
01 (А.6.21)
W = (ua,uz,wY , P = -^(qa,Qz,pT •
Здесь Kij — дифференциальные операторы следующего вида (ве-
(величины Ci определены равенствами (А.2.30)):
az2 '
/eg \ d2uz
P hR2)dadz'
l2
382 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
dadz'
Г п2 / 1 Я4п,1 О Я4п,1
^33W =
Я4 да4 R2 8a2dz2 dz4
o / f c2 82w X 82w\ с2 Л , / \
/i^2 V^ ^ P dz2 ) R2 V /i^2/
С учетом малости толщины оболочки некоторые из операторов в
(А.6.22) могут быть заменены приближенными:
с2 д2ц 02и (Л + ах) ^2^
Icj f 1 d4w
_ + _ —.-j + _
o / f cj 82w X 82w\ c\
— I ^ —w w -\
/^2 V^ d2
w \s^ го.
da2 P dz2 ) R2
Вариационное уравнение (А.5.23) для оболочки этого типа приоб-
приобретает вид
Н
(SI-SE)dt = 0,
dTaQ
R
'. р dTza
дт
д2Маа (
г
1 дмаа
R да
dz
"а+Тгаиг-
, dMaz
]2MZZ
А.6] Уравнения движения цилиндрических и сферических оболочек 383
+ (Tazva + Tzzvz - Т«) Suz + {Qaiya + Qzi/Z - Q*) <to +
+ (Мааг/а + MOLZvz - М*а) ?$а + {Mazva + M^ia* - M+z) 5dz\ dl,
t2 t2 (A.6.24)
J ?? Л = -phR \dt\\ (^r- Sua + ^ *tiz + ^f *t?7) dadz.
o
az
Б. Сферическая оболочка. Ее срединная поверхность зада-
задается так (см. (А.4.41)):
П: х\ = Я sin/3 cos а, х<± = Я sin/3 sin а, жз = #cos/3,
(А.6.25)
^ = /3, ?2 = а, (/3, а) G Dpa С [0, тг] х (-тг, тг],
где Xi — прямоугольные декартовы координаты (А.4.1), R — радиус
оболочки.
Эта система координат поверхности также является ортогональной.
Соответствующее касательное пространство имеет такие характери-
характеристики (см. (А.5.3)-(А.5.5), (А.5.7) и (А.5.12)):
gll = Hi = R\ g12 = 0, g22 = Hi = R2sm2p, g = Я48т2/3,
g д ^
bn = -Д, 6i2 = 0, 622 = -Двт2/3, 6{ = б2: = -1
/г
« = «=0, 6" = -^, 6»=0, t»"-^! <**")
Cll = 1, Ci2=0, C22=sin2/3,
kx=k2 = -4, RX = R2 = R. (A.6.28)
Нормальные векторы (см. (А.5.5)), ковариантный базис (их коорди-
координаты в прямоугольной декартовой системе координат) и ортонормиро-
ванный базис е^, еа определяются так:
N = #2sin/3(cosasin/3, sin a sin /3, cos/3),
n = (cos a sin /3, sin a sin /3, cos /3),
эх = #(cos acos/3, sin acos/3, — sin/3), /д g 29)
э2 = (-sin a sin /3, cos a sin/3, 0),
384 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Физические компоненты векторов и тензоров (в их обозначениях
индексы «1» и «2» заменены соответствующими координатами /3, а)
определяются следующим образом:
= Щ = R2Tn = Tl
R
= Tfi sin/3 = ±
T2.
(A.6.30)
аР~ Я2 sin/3 ^ D1^-J1°"^- sin/3'
Таа = J2\ = R2T22 sin2 /3 = T2.
R sin /3
Ненулевые символы Кристоффеля второго рода и ковариантные
производные векторов и тензоров в этой системе координат определя-
определяются равенствами:
r22=ctg/3, Т\2 = -sin/3cos/3; (A.6.31)
^ ди\ ^ дич
т-7 ди\ Q дг
V2^i = -^ ^2 ctgp, V2W2 = -^-
8 2 Q (A.6.32)
—+ i
^ ^sin/3cos/3, V2^ = ^
V2Tn = ^ (Т12 + Т21) sin /3 cos /3,
,2° (А.6.33)
V2T12 = Щ— - Т22 sin /3 cos /3 + Т11 ctg /3,
V2T21 = ^- - Т22 sin /3 cos /3 + Т11 ctg /3,
V2T22 = Ц^ + (T12 + Т21) ctg/3.
А.6] Уравнения движения цилиндрических и сферических оболочек 385
Использование формул (А.б.2б)-(А.б.ЗЗ) приводит к следующим
соотношениям для указанных двух моделей оболочек (ограничимся,
как и ранее, только изотропными материалами).
1. Сферическая оболочка типа Тимошенко. Из (А.5.10), (А.5.12) и
(А.5.18) получаем
— уравнения движения
дГ r [W + ^0 д^Г + Ш^ctgl3) ~ Qa>
— физические соотношения
ГТ1 _ ПГ1 Мрр m _ ГТ1 _ ПП Ма/3 гр _
1 CC — 1CC ^—5 1-(За. — J-осC — J-осC ^~ ? 1 аа — ± оса.
= h [(Л + 2ц)е/313 + Аеаа], Та/3 =
Таа = h [(Л
= / [(А + 2/х)х^
Маа = / [(А + 2/i)xaa + \крр\, Q^ = /j,hk2ep, Qa =
— кинематические соотношения
1 / 1 дщ , диа
(А.б.Зб)
1 Г д ]
R [Щ
иа\ , J
) ctg p\
13 А. Г. Горшков и др.
386 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
1 д ( иа\ , / иц}\ , о w
{X-) + {*' ~ ) Ctg/3 "
l r\ '
p = Xp - Яр, Oa=Xa~ ^q,
dw \ Q 1 / 1 dw
) ^{
Связь тангенциальных усилий, изгибающих моментов и перерезы-
перерезывающих сил с физическими компонентами тензора напряжений в си-
системе координат a, z, ?, полученными параллельным переносом вдоль
нормали к срединной поверхности на эту поверхность, вытекает из
(А.5.16) и (А.б.ЗО):
h/2
?PP= \ °>
-h/2
h/2
Maa = J С
-h/2
»«•
h/2
- I
-h/2
h/2
J
-h/2
C&PP dd ^-ocp
h/2
Qp = J °p
-h/2
h/2
At Г f
«(,5 lotot = &a
-h/2
h/2
= J ((?apd(,
-h/2
h/2
r
3 dC-> Qoc — 0"<
-h/2
(A.6.37)
Уравнения движения сферической оболочки в перемещениях выте-
вытекают из (А.б.34)-(А.б.Зб) и имеют вид (А.6.14), где
W= (up,ua,w,xp,XaT , P = —^ (^59а,Р,0,0)т, (А.6.38)
а дифференциальные операторы L^ определяются следующим обра-
образом (величины С{ заданы равенствами (А.2.30)):
да2
д2иа \ + 3jjl ctg/3 диа
1 LA + j
А.6] Уравнения движения цилиндрических и сферических оболочек 387
Li
4
sin2 /3 да2
hR sin i
L 2 V hR2) si]
а , Л + 3/х
in?)
1 С?/
ctg/З ,
(A.6.39)
M - -? [2 (l + ^
= -1/
23
u,
т ( \ h т ( \ т ( \ l
L42 (ua) = у L15 (ua), L43 H = --3 2+
1 ti \ p J-
13*
388 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
hR hR
L44 (Х/з) — J~ ^Ы (ХC) 5 ^45 (Ха) — у ^15 (Ха) ?
h h
I I
t < \ h T , ч г / ч hR T , ,
^53 W = -- L35 (n;j , L54 (x^j = y- ^24 (X/Sj 5
i 1
LbbiXcc) = ^-^2б(Ха).
С учетом малости толщины оболочки некоторые из операторов в
(А.6.39) могут быть заменены приближенными:
|Л +
(Xa) =
Ы = -^ B^
да2
fl2sin/3 V Р дРда Р sin/3
{АЛМ)
А.6] Уравнения движения цилиндрических и сферических оболочек 389
2
да '
= у 1/14 (И/з) , L43 (W) = ^- ^-,
hR h
ma УХ/з) = ~—j- L44 (xp) 5 ^53 (w) = -j L35 (гу) .
Вариационное уравнение (А.5.23) для сферической оболочки этого
типа имеет вид
Н
\ FI-6E)dt = 0,
61 =
' J "")
г
,ava - Т*а) 6иа + (Qpvp + QaVot - Q*) 8w
apva - М,р) 8x0 + (Ma/3i>p + Maava - M»Q) Sxa] dl,
(A.6.41)
*i д
sin
390 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
2. Сферическая оболочка Кирхгофа-Лява. Из (А.5.27), (А.5.29),
(А.5.30) и (А.5.31) получаем
— уравнения движения
"' (А-б42)
,5%; _ _7^а_+7>^ _ J_ [ЭМда , _2_ д2Ма13 1 Э2Мс.а
Р 9t2 ~ Я Я2 [ с^2 sin/З дадр +sin2/3 Оа2
[ д2
Я2 [ с^2 sin/З дадр sin2
— физические соотношения, которые имеют вид (А.6.35), где необ-
необходимо отбросить равенства для перерезывающих сил;
— кинематические соотношения (тангенциальные деформации и уг-
углы $а, др определяются соответствующими равенствами в (А.6.36)):
д fdw
(А.6.43)
dw \
— связь перерезывающих сил с изгибающими моментами
(А.6.44)
Тангенциальные усилия и изгибающие моменты выражаются через
физические компоненты тензора напряжений с помощью соответству-
соответствующих равенств в (А.6.37).
Уравнения движения в перемещениях вытекают из (А.6.42),
(А.6.43), соответствующих равенств в (А.6.35) и (А.6.36) и имеют вид
(А.6.21), где
W= (uC,ua,w)T , P = —^{qp,qot,pY, (A.6.45)
А.6] Уравнения движения цилиндрических и сферических оболочек 391
a Kij — дифференциальные операторы следующего вида (величины С{
определены равенствами (А.2.30)):
dw
ж Ctg/3
IT \ *\д0л дР J sin"/3 да"
=2
pR2 sin /3 da'
2 84w
sin2 /3 V1
С учетом малости толщины оболочки оператор /Сзз в (А.6.46) может
быть заменен приближенным
1 Г / Г tд4 2 д4 1 д4 \
^33 W = --у < —г -с? Т^ + З^Т ТТ^Ч + -Г^г тг4 +
392 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
2ci ctg /3 Н о -
Р J да2
2 i 2ci ctg /3 Н
sin2/3 V Р J да
-^Clctg ^ + —_^j_ctg/3j -4—^«,|. (A.6.47)
Вариационное уравнение (А.5.23) для оболочки этого типа приоб-
приобретает вид
Г (SI - 5Е) dt = О,
Do
ctg/3
д/3 sin/З да
Л~~ О Я А/Т „ Я А/Т \
ctg/3+
+ ^^^ +
+Maa - М^^ - pR2 Sw \ sin /3dadf3 +
Qoc^oc ~
ч
(A.6.48)
= -pR h dt \ I f- Sua H ^- ^г/^ H ^ Sw 1 sin /3 da d/3.
А.7] Уравнения движения тонких упругих пластин 393
А.7. Уравнения движения тонких упругих пластин
Все соотношения для пластин могут быть получены из результа-
результатов § А.5, если положить, что срединная поверхность (А.5.1) является
плоскостью (см. также (А.5.9))
П: х3 = (=0, (?\?2)e?>?, (xux2)eD, (АЛЛ)
где xi, #2, хз — прямоугольные декартовы координаты, а ?*, ?2 —
криволинейные координаты на этой плоскости с базисом эх, Э2-
При этом тензор кривизны срединной поверхности является нуле-
нулевым
bij = 0. (А.7.2)
Движение пластины в плоскости не связано с изгибными деформа-
деформациями. Поэтому далее положим
Щ ЕЕ 0, Sij ЕЕ 0, Tij ЕЕ 0 (А.7.3)
и приведем уравнения изгиба для двух основных моделей (все обозна-
обозначения имеют тот же смысл, что и для оболочек, см. § А.5).
1. Пластина типа Тимошенко. Система уравнений включает
— уравнения движения
^i ^r iQi; (АЛА)
физические соотношения
Mij T/^ijkl лг ь.иЛ/^гбкбгх . ( д 17 K\
— 1 w ^к15 ^v — '"I" ^ "к 5 \¦'^. I .О J
— кинематические соотношения
Изгибающие моменты и перерезывающие силы определяются через
компоненты сг*-7 тензора напряжения формулами (А.5.16), а распреде-
распределение касательных напряжений сгг3 по нормали задается равенствами
(А.5.17).
Для изотропного материала оболочки физические соотношения
(А.7.6) имеют вид (см. (А.5.18)):
Система уравнений (А.7.4), (А.7.5) (или (А.7.7)), (А.7.6) также, как
и для оболочки типа Тимошенко, имеет гиперболический тип. Для по-
постановки соответствующей начально-краевой задачи к ней необходимо
добавить начальные (см. (А.5.19))
w\._0 = w0, -д- =wi, Xi\t-o = Xoi, -дт- =Хи- (А.7.8)
Ot t=0 Ot ?=0
394 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
и граничные условия. Последние имеют вид (А.5.20), (А.5.21), (А.5.22)
или (А.5.24), где необходимо отбросить равенства, связанные с напря-
напряженно-деформированным состоянием в плоскости пластины. При этом
Г = 8D — плоская кривая, где v = У{Ъг — единичный нормальный
вектор к ней.
Из (А.7.4), (А.7.6) и (А.7.7) вытекают уравнения движения в пере-
перемещениях для изотропной пластины этого типа
ot2 p * VJ" ' "* L" VJVK^ 1
Последние два уравнения могут быть записаны в векторной форме
^_L = ^rj^ grad divx + С2 дх _ *» ( + gmd ^ (А.7.10)
^^ р L 7 J
Вариационное уравнение для пластины этого типа имеет следую-
следующий вид:
[ F1 - 5Е) dt = О,
J J
D
+ J [(<ЭЧ - Q*) Sw + (M^i/j- - M*) SXi] dl, (A.7.11)
г
6E dt = — \ dt \ \ p [ h—2" ^^ + ^—^~ ^Хг I dx\ dx2.
j J J J V ^ ^^ /
2. Пластина Кирхгофа. Соответствующая система уравнений состо-
состоит из
— уравнения движения
_ о
= VjVkMkj +p. (A.7.12)
dt
— физических соотношений, в которые входят первые равенства из
(А.7.5) или (А.7.7)
— кинематических соотношений ($1 — см. (А.7.6))
Kij = -ViVj-w. (A.7.13)
К этой системе добавляются связи перерезывающих сил с изгибаю-
изгибающими моментами
Q* = VjMij. (A.7.14)
А.8] Пластины в прямоугольных декартовых и полярных координатах 395
Приведенная система уравнений так же, как и для оболочки
Кирхгофа—Лява, имеет параболический тип. Для соответствующей
начально-краевой задачи используются граничные условия (А.5.20),
(А.5.21), (А.5.22) или (А.5.24), где необходимо отбросить равенства,
связанные с напряженно-деформированным состоянием в плоскости
пластины, и заменить хг углом $% а также следующие начальные
условия $
w\t=0 = w0, ^| =Wl. (A.7.15)
Из (А.7.12), (А.7.13) и соответствующих физических соотношений в
(А.7.5) вытекает уравнение движения в перемещениях для изотропной
пластины Кирхгофа (уравнение Софи Жермен 1)— Лагранжа)
ph—^ = -DAAw +p, D = /(A + 2/i). (А.7.16)
Вариационное уравнение для пластины этого типа таково
(SI-SE)dt = O,
jVjMij + р) Sw dx1 dx2+
+ J [(<ЭЧ - Q*) Sw + (Miji/j - Ml) Stii] cH, (A.7.17)
г
*г *г Г Г d2w
8Е dt = —ph dt —2~ $w dxi dx2.
*1 4 D
A.8. Уравнения движения пластин
в прямоугольных декартовых и полярных
координатах
Выпишем начально-краевые задачи для однородных изотропных
пластин в двух системах координат: прямоугольной декартовой и по-
полярной.
А. Прямоугольная декартова система
х1 = хи х2 = х2 (А.8.1)
с ортонормированным базисом
еь е2. (А.8.2)
]) Жермен Софи (Germain Sophie, 1776-1831) — французский математик и
механик.
396 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
В этом случае метрический тензор является единичным, ковари-
антные и контравариантные координаты векторов, а также ковариант-
ные, контравариантные и смешанные компоненты тензоров совпадают
между собой и с соответствующими физическими компонентами (для
последних будем использовать обозначения ковариантных компонент).
Для дифференциальных операторов справедливы формулы (А.4.3) и
(А.4.4), в которых производные по жз и компоненты векторов и тензо-
тензоров с индексом «3» необходимо положить равными нулю.
1. Пластина типа Тимошенко. Из (А.7.4)-(А.7.11) имеем
— уравнения движения
(ААЗ»
дМ22
физические соотношения
Мц = / [(А + 2fjb)j€n + \к22\, М12 =
М22 = / [(А + 2/i)x22 + \хг1], (А.8.4)
2u Q2 = fihk2O2.
— кинематические соотношения
дХ1 „ i(dX2.dXi\ „ дХ2
ОХ\ 2 \ОХ\ ОХ2/ ОХ2
(А.8.5)
Скалярная форма уравнений движения в перемещениях в этом
варианте имеет вид
dt ' ph
А + Пя
2
С
dt2 p
dt p
Вариационное уравнение в этом случае таково:
(SI-SE)dt = O,
А.8] Пластины в прямоугольных декартовых и полярных координатах 397
D
6x2] dXl dx2 + I [{QlVl + Qm ~ Q.) Sw+
г
l) <SXl + (^12^1 + M22^2 - M»2) <5%2] d/,
(A.8.7)
?Л = - j dt I Jp L^ 6w + I (^- 5Xi + ^ 6x2)] dXl dx2.
H D
2. Пластина Кирхгофа. Из (А.7.12)-(А.7.17) получаем
— уравнение движения
ph^ = ^-^1L + 2 ll + "L-^IL + p. (A.8.8)
dt2 дх2 dxidx2 дх\ У
— физические соотношения, которые совпадают с первыми тремя
равенствами в (А.8.4);
— кинематические соотношения (^ — см. (А.8.5))
_ _d2w __ d2w _ _d2w (А8<Л
дх2 ' 12 дхгдх2' 22 ^ж! '
Перерезывающие силы связаны с изгибающими моментами так:
, дм12 „ _ дм12 , дм22
Уравнение движения в перемещениях имеет вид (А.7.16), куда необ-
необходимо подставить соответствующее выражение для оператора Лап-
Лапласа.
Вариационное уравнение в этом случае таково
EI-5E)dt = 0,
D
дМц , дМ12\ , (дМ12 , дМ22\ „
~г I 1^1 ~т~ I ~г I 1^2 — W*
дх\ дх2 J \ дх\ дх2 J
(А.8.11)
398 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
(Ш at = — on at —к- ow dx\ dx<±-
) J J J dt2
Б. Полярная система координат (см. также (А.4.19))
х1 = г, х2 = а; г ^ 0, 0 ^ а < 2тг (—тг < а ^ тг);
(А.8.12)
Ортонормированный базис ег, еа связан с ковариантным и контра-
вариантным базисами так (см. (А.4.21)):
ег=Э1=э\ еа = -э2 = гэ2. (А.8.13)
г
Метрический тензор, физические компоненты векторов и тензо-
тензоров, а также дифференциальные операторы определяются формулами
(А.4.20), (А.4.22)-(А.4.28), в которых необходимо положить равными
нулю компоненты векторов и тензоров с индексом «3».
1. Пластина типа Тимошенко. Из (А.7.4)-(А.7.11) имеем
— уравнения движения
9
^^2 дг г \ да
— физические соотношения
Мгг = I [(А + 2jl)Krr + \>Саа\ 5 Mm =
Маа = I [(A + 2/i)xaa + Axrr], (A.8.15)
leg >р jJLrtlxi \J *р , *?& Ot
— кинематические соотношения
(A.8.16)
Л _ v _ ?Q Л _ _ Q _ Q _ ^? _ Q _ 1 ^?
ur — А.Г ur •> uot — A,ot uOf> ur — о 5 ua — о
Скалярная форма уравнений движения в перемещениях в этом
варианте имеет вид
А.8] Пластины в прямоугольных декартовых и полярных координатах 399
Ph' (A.8.17)
ор~ — ~ ~^Z ' ^2 | "Лг ~2 \ ^-^Z7 i Xr
^^ " ~р^ Ъа^^2 ГЛа ^ 7 \^а~ ^) ~Г\Ла^г ~да~)\ '
где
[ (SI - SE) dt = О,
г 1 (дмга \ 1
" г 1"^г + Мгг ~ Маа)+ Qr I
J [(Qr^r + Qa"a ~ Q*)
t! D
2. Пластина Кирхгофа. Из (А.7.12)-(А.7.17) получаем
— уравнение двил<ения
d2w д-мгг , оа2мга , д2маа ,
7^
(А.8.18)
Вариационное уравнение в этом случае таково
+ (Mrrvr + Мгаг/а - М*а) й?9а + (Мгаг/Г + Мааг/а - М*а) Ji?a] dl,
(А.8.19)
г да J дг \
— физические соотношения, которые совпадают с первыми тремя
равенствами в (А.8.15);
400 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
— кинематические соотношения (^ — см. (А.8.16))
d2w 1 д fdw w\ I (\ d2w , д
(A.8.21)
Перерезывающие силы связаны с изгибающими моментами так:
дМгг (га
(А.8.22)
Q
Уа~ дг + rl да
Уравнение движения в перемещениях имеет вид (А.7.16), куда необ-
необходимо подставить соответствующее выражение для оператора Лапла-
Лапласа из (А.8.18).
Вариационное уравнение для этой модели имеет вид
\ (SI - SE) dt = 0,
D
, 1 {^fdMrr , 1 дМга\ Waal , \х , ,
Н— 2 1 — 1 — — +р\ 6wdx1dx2,
г V \ дг г да J дг \ )
дМгг , 1 (дМга
дмаа
(А.8.23)
Г Г о2
Е dt = —ph \ dt \ \ —^ Sw dx\ dx2.
J J J dt
A.9. Уравнения движения упругих стервеней
Будем полагать, что стержень является прямолинейным. Его ось Г
совпадает с осью Ох прямоугольной декартовой системы коорди-
координат Oxyz (х = х\, у = #2, z = жз). В каждом поперечном сечении D
система координат Cyz, где С = D П Ож, является главной централь-
центральной.
А.9] Уравнения движения упругих стержней 401
Стержень является тонким:
— <С 1, A = maxd, d = diam D = sup р(Л,Б), / = |Г| , (A.9.1)
1 r A,BedD
где d и 9Z) — диаметр и граница поперечного сечения, / — длина
стержня.
Кроме того, будем считать, что материал стержня является линейно
упругим, изотропным и однородным по поперечному сечению.
Далее приведем основные соотношения для трех простейших видов
деформации стержня.
А. Растяжение-сжатие стержня. Система уравнений,
описывающая движение при этом виде деформаций включает в себя
— уравнение движения
рд2и _ dN_ (A 9 2)
— связь продольного усилия N с нормальным напряжением а
N = aF; (A.9.3)
— физическое соотношение
а = Ее; (А.9.4)
— кинематическое соотношение
6 = Jx' (A>9>5)
Здесь F — площадь поперечного сечения, р — внешняя продольная
погонная нагрузка, и — продольное перемещение поперечного сечения,
е — продольная деформация.
Система уравнений (А.9.2)—(А.9.5) имеет гиперболический тип. Для
постановки соответствующей начально-краевой задачи к ней необходи-
необходимо добавить начальные условия
и\.=0 =
dt
t=o
= v0, М(х) е Г (А.9.6)
и граничные, которые, как правило, имеют одну из следующих форм:
— кинематические условия
— динамические условия
"\Х=Х.=Р., (А.9.8)
где ж* — координата граничного сечения, положительное направление
внешней силы Р* совпадает с направлением вектора внешней нормали
к сечению.
При и* = 0 в сечении имеется заделка, а при Р* = 0 сечение является
свободным.
402 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
Из (А.9.2)—(А.9.5) следует уравнение движения в перемещениях
которое для однородного по длине стержня преобразуется так:
^ = С2^+ Р С2 = ^, (А.9.10)
dt2 рдх2 pF р р v J
где ср — скорость волн растяжения-сжатия в стержне.
Вариационное уравнение для стержня конечной длины с граничны-
граничными сечениями х = Х\ и х = х2 (х\ < х2) в этом случае таково:
(SI-SE)dt = O,
6I
t2
SEdt = -
ti ti xi
Граничные условия могут отличаться от указанных в (А.9.7) и
(А.9.8), но при этом внеинтегральные члены вариации функционала
Лагранжа должны обращаться в нуль (см. также (А.5.24).
Б. Кручение стержня (вала). Система уравнений, описы-
описывающая движение при этом виде деформаций включает в себя
— уравнение движения
^? + "*! (А'912)
— физическое соотношение
Мк = /л1кех; (А.9.13)
— кинематическое соотношение
*. = ^- (А.9.14)
Здесь /к — характеризующая свойства поперечного сечения при кру-
кручении геометрическая характеристика, Мк — крутящий момент, тк —
внешний погонный крутящий момент, \х — угол поворота поперечного
сечения вокруг оси стержня, кх — крутка стержня (деформация при
кручении).
А.9] Уравнения движения упругих стержней 403
Система уравнений (А.9.12)—(А.9.14), так же, как и аналогичная
система при растя жен и и-сжатии, имеет гиперболический тип. К ней
добавляются начальные условия
Хх t=0 = ХхО,
dt t=0
= vx0, M(x) еГ (А.9.15)
и граничные, которые, как правило, имеют одну из следующих форм:
— кинематические условия
Хх\х=Х1с =Хх*; (А.9.16)
— динамические условия
MK\x=Xf = Мк„ (А.9.17)
где положительное направление вектора внешнего момента Мк* совпа-
совпадает с направлением вектора внешней нормали к сечению.
При Хх* — 0 в сечении имеется заделка, а при Мк* = 0 сечение
является свободным.
Из (А.9.12)—(А.9.14) следует уравнение движения относительно уг-
угла поворота
которое для однородного по длине стержня преобразуется так (вели-
(величина С2 определена в (А.2.30)):
—*^ = Л—^ + —, (А.9.19)
dt дх р1к
Вариационное уравнение для стержня конечной длины с граничны-
граничными сечениями х = х\ и х = х<± (х\ < Х2) в этом случае таково:
FI-6E)dt = 0,
+ шк) 6Хх dx - (Мк1 - Mi) SXxi + (Мк2 - М2) 6Хх2,
(А.9.20)
Xxi = Xx\x=Xi , MKi = MK\x=x. (i = 1, 2),
?2 H x2 2
^SEdt = - Jd* J plj-^bxxdx.
ti ti xi
Граничные условия могут отличаться от указанных в (А.9.16) и
(А.9.17) при ограничениях, оговоренных для случая растяжения-сжа-
растяжения-сжатия.
В. Поперечный изгиб стержня (балки). Аналогично
оболочкам и пластинам (см. § А.5 и А.7) рассмотрим две модели этого
404 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
вида деформации. При этом для определенности будем считать, что
изгиб происходит в плоскости Оху.
1. Балка типа Тимошенко. В этом варианте система уравнений
состоит из
— уравнений движения
U1d2w dQy , Т d2xz dMz , ^ , /Anoi\
— физических соотношений (коэффициент к определен в (А.5.13))
Mz = E1zkz, Qy = -fiFk2ez; (A.9.22)
— кинематических соотношений
Kz = ^~, 0z = Xz-fizi $z = —. (A.9.23)
Здесь Iz — момент инерции поперечного сечения относительно оси Сz,
Mz — изгибающий момент, mz — внешний погонный изгибающий мо-
момент, w — перемещение поперечного сечения вдоль оси Оу (прогиб),
kz — изменение кривизны оси стержня, \z и {}г — углы поворота
относительно оси Сz поперечного сечения и вектора нормали к оси
стержня.
Система уравнений (А.9.21)-(А.9.23) так же, как и для соответ-
соответствующих оболочки и пластины, имеет гиперболический тип. Для по-
постановки соответствующей начально-краевой задачи к ней необходимо
добавить начальные условия
¦ dw
Xz\t=0 = XzOi о^
*"° (А.9.24)
дх*
= Xzu м(х) ег
?=0
и граничные. Последние, как правило, имеют одну из следующих форм
(см. (А.5.20)-(А.5.22); ж* — координата граничного сечения):
— кинематические условия
w\x=x* = w*i Xz\x=x^ = Xz*\ (A.9.25)
— динамические условия
Соответствующая терминология для частных вариантов указанных
условий указана в § А.6.
Из (А.9.21)-(А.9.23) вытекают уравнения движения в перемеще-
перемещеА.9] Уравнения движения упругих стержней 405
Для однородного по длине стержня эти уравнения принимают сле-
следующий вид:
d2w /2 2 д (dw \ , р
(А.9.28)
Вариационное уравнение для стержня конечной длины с граничны-
граничными сечениями х = Х\ и х = х<± (х\ < ж2) для этой модели имеет вид:
FI-6E)dt = 0,
Ж]
- (Mz - M
+ (Mz - Mz2) 5Xz2 ~ (Qy ~ Qyi) Sw2, (A.9.29)
Xzi= Xx\x=Xi , Mzi=MK\x=x., Qzi=Qz\x=x. (i = 1,2),
«2 «2
z 1 dx.
\ vr or
2. Балка Бернулли-Эйлера. Замкнутая система уравнений включает
в себя
— уравнение движения
pF^ = -^i + 9, q=p-^- (A.9.30)
— физическое соотношение
Mz = EIzhz- (A.9.31)
— кинематические соотношения
дФ dw
Перезывающая сила связана с изгибающим моментом следующим
образом:
Qy = -^-mz, (A.9.33)
Система уравнений (А.9.30)-(А.9.32) так же, как и для соответ-
соответствующих оболочки и пластины, имеет параболический тип. Для по-
406 Модели сплошных сред и деформируемых тел [П. А
становки соответствующей начально-краевой задачи к ней необходимо
добавить начальные условия
Ч=о = wo, ^ = wu М(х) е Г (А.9.34)
и граничные. Последние, как правило, имеют вид (А.9.25) или (А.9.26).
При этом для частных вариантов, так же, как и для балки Тимошенко,
используется соответствующая терминология, указанная в § А.6.
Из (А.9.30)-(А.9.32) следует уравнение движения в перемещениях
которое для однородного по длине стержня принимают следующий вид:
где iz — радиус инерции поперечного сечения.
Вариационное уравнение для стержня конечной длины с граничны-
граничными сечениями х = х\ и х = х<± (х\ < Х2) для этой модели имеет вид:
J FI-6E)dt = 0,
51 = J (^^ - Л Sw dx - (Mz - Mzl) 5$zl -
- (Qy - Qyi) Sw! + (Mz - Mz2) 5tiz2 - (Qy - Qy2) (A>9>37)
#zi = Xx\x=Xi , Mzi = MK\x=x. , Qzi = Qz\x=x. (i = 1,2),
t2 t2 x2 2
\SEdt = -\dt\ pF^ Sw dx.
il ii xi
Отметим, что все приведенные выше соотношения могут быть при-
применены для стержневых систем с использованием условий стыковки
(условий неразрывности) их составляющих, а также приближенно для
стержней малой кривизны:
min Rr
-^— > 1. (А.9.38)
Приложение Б
СВЕДЕНИЯ ОБ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
Следуя в основном книге [48] приведем краткие сведения из теории
обобщенных функций в объеме, необходимом для изучения основного
материала учебника. При этом по ходу изложения будут приводиться
некоторые понятия математического анализа, которые могут служить
в качестве напоминания известного читателю материала либо рассмат-
рассматриваться как дополнительные сведения.
Б.1. Основные пространства
Обозначим стандартным образом через Rn п-мерное действи-
действительное векторное пространство с элементами (векторами, точка-
точками) х = (#i, . . . , хп) — упорядоченными совокупностями из п дей-
действительных чисел (xj Е R). На нем для любых двух векторов х, у =
= (yi,. . . , уп) и любого числа a Е R определены операции сложения
(вычитания) векторов х ± у = (х\ ± у\, . . ., хп ± уп) и умножения
на число ах = (ах\,. . . , ахп). Нулевым элементом является вектор
О = @,. . ., 0). Равенство двух векторов определяется следующим об-
образом: х = у, если х\ = ух, . . . , хп = уп. Как известно, это пространство
является линейным.
Оно становится евклидовым после введения на нем скалярного про-
произведения (х, у) = Xjyj. С помощью этого произведения определяются
норма (длина, модуль) вектора ||х|| = |х| = д/(х, х) и расстояние меж-
между двумя векторами (метрика пространства) р(х, у) = ||х — у||, т.е.
Rn — метрическое пространство.
Пусть {хд;} — последовательность в Rn и у Е Rn. Тогда у = lim x&,
к—>-оо
если lim р(х*.,у) = 0.
/г—>-оо
При п = 1 Rn совпадает с множеством действительных чисел R.
Далее будем рассматривать действительные или комплексные
функции (С — множество комплексных чисел)
(р: Rn -> R или (f : Rn -> С. (Б.1.1)
Множество таких функций обозначим через Ф = {(р}. При использо-
использовании обычных операций сложения функций и умножения их на число
(действительное или комплексное) Ф является линейным простран-
пространством (действительным или комплексным). Наделим это пространство
дополнительными свойствами.
Линейное пространство Ф называется линейным пространством со
сходимостью, если среди всех последовательностей {(fk} С Ф выде-
408 Сведения об обобщенных функциях [П. Б
лены сходящиеся к элементу ср G Ф последовательности (обозначение
lim (fk = (р, (р — предел последовательности {<?&}). При этом выпол-
fc-юо
няются следующие условия:
1) любая последовательность {tpk} С Ф имеет не более одного пре-
предела;
2) любая стационарная последовательность {^}} СФ является схо-
сходящейся и lim ср = ср\
3) всякая подпоследовательность {tpkm} сходящейся последова-
последовательности {tpk} С Ф ({(Pkm} С {<Pk}) также является сходящейся
И lim Vkm = ,lim 4>k\
4) для любых сходящихся последовательностей {tpk} , {^} С Ф
и любых чисел а, /3 последовательность {a(pk + РФк} также являет-
является сходящейся и lim (acpk + РФк) — ol lim (pk + /3 lim ф^
к> к> к>
к>оо к>оо к>оо
5) для любой сходящейся числовой последовательности
( lim a.k = сх) и любого элемента (р G Ф последовательность {ад;^}
также является сходящейся и lim OLk^f — <Р nm ^A;-
к—>-оо /г—>-оо
Пусть Фо С Ф и является линейным подпространством простран-
пространства Ф (Фо — линейное пространство по отношению к введенным на Ф
операциям) и Фо и Ф — пространства со сходимостью. Если любая
последовательность {(рк} С Фо, сходящаяся к ср G Фо, сходится к^ивФ,
то за Фо сохраним название подпространства (обозначение Фо С Ф).
Наделенное специальными свойствами (их уточним далее) подпро-
подпространство Фо пространства Ф функций вида (Б.1.1) будем называть
основным пространством, а функции из него — основными функция-
функциями. Если необходимо указать размерность евклидового пространства,
на котором определены основные функции, то для основного простран-
пространства используется обозначение Фо (#п)-
Напомним также следующие понятия. Пусть G С Rn и состоит
из таких точек х, что для любых х ^ G у?(х) = 0. Тогда множество
supp<? = GU dG, где dG — граница области G, называется носителем
функции (р. Если G — замкнутое ограниченное множество, то supp (f
называется компактным, а функция (р с таким носителем — финитной.
Обычно рассматриваются следующие основные пространства.
1. Основное пространство Фо = Кш\
а) любая функция ср G Кш является финитной и имеет непрерывные
производные до порядка т включительно, т. е. (р G Cm (Rn)]
6) последовательность {(pk} из К171 сходится к функции ср G К171,
если
— существует такое а > 0, что для любого к
supp (рк С U(a), U(а) = {х G Rn \ |х| < а} ;
Б.1 ] Основные пространства 409
— для любого числа р = 0,1, . . ., т последовательность {Dp(fk}
равномерно на U(a) сходится к Dptp (Dp(pk => Dp(p), где
2. Основное пространство Фо = К:
а) любая функция (р G К является финитной и имеет непрерывные
производные любого порядка (т = оо), т.е. (р е С°° (Rn)]
б) последовательность {tpk} из К сходится к функции (р € К, если
— существует такое а > 0, что для любого к supp <fk С U{a)\
— для любого числа р ? Nq = {0,1,2,...} Dp(pk =>• Z)p^.
3. Основное пространство Фо = *9:
а) для любой функции ср G S (p G G°° (Яп);
б) для любой функции у? G 5 и любых чисел гтг, р G ./Vo существует
такое действительное число Сшр, что
| ^ Omp, X — Хх Х2 . . . Хп ,
(b.l.JJ
ш = mi + ш2 + . . . + г?гп,
т. е. функции ср вместе со всеми своими производными при х —>• оо
стремятся к нулю быстрее любой степени 1/ |х|;
б) последовательность {<?>&} из S сходится к функции ср G ?, если
— существует такое не зависящее от к число Стр, что неравенство
(Б.1.3) выполняется для любой функции у?&;
-для любого т,р G NoxrnDPipk(x) ^xmD*V(x).
Введенные основные пространства являются линейными простран-
пространствами со сходимостью и связаны между собой следующим образом:
к с кш с х™-1 с ... с х° и к с 5.
Отметим также часто используемое в теории обобщенных функций
утверждение: любая функция ф G C°° (Rn) есть сумма ряда
Здесь ipn(x) G /С. Причем в любой точке х = х° ряд (Б.1.4) содержит
один или два отличных от нуля члена, т.е. он сходится на Rn.
При доказательстве (Б.1.4) используется следующее утвержде-
утверждение (разложение единицы): существует такая последовательность
{<?п(х)} G К, что
оо
? ?>„(х) = 1. (Б.1.5)
— оо
Причем в любой точке х = х° этот ряд также содержит один или
два отличных от нуля члена.
410 Сведения об обобщенных функциях [П. Б
Б.2. Определение и свойства обобщенных функций
Функционалом / (действительным или комплексным) на множестве
Ф с элементами ср называется однозначное отображение / : Ф —> R (или
/ : Ф —} С). Значение функционала на элементе ср будем записывать
так: (/, (р). Пусть Ф — линейное пространство. Тогда функционал назы-
называется линейным, если для любых элементов ^,^бФи любого числа а
выполняются равенства (/, (р + ф) = (/, (р) + (/, ф) и (/, аср) = а(/, (р).
Множество таких функционалов обозначим через Ф'. Если на нем обыч-
обычным образом ввести операции сложения (/ + g, (р) = (/, (р) + (g, (p)
и умножения на число Л (А/, ф) = А(/, (р), оно само образует линейное
пространство и называется сопряженным с Ф пространством.
Если Ф — линейное пространство со сходимостью, то предел f G
G Ф' последовательности функционалов {Д} С Ф' определяется сле-
следующим образом: / = lim Д, если для любого элемента (р G Ф
/г—>-оо
lim (Д,у?) = (/, ^). Такая сходимость в отличие от обычной (пото-
/г—>-оо
чечной) сходимости называется слабой. Функционал / G Ф' называ-
называется непрерывным, если для любой сходящейся последовательности
{<Pk} С Ф ((р = lim (pk G Ф) существует предел lim (f,(pk) = (/,у).
к—>-оо /г—>-оо
Далее всегда будем полагать, что Ф' состоит их непрерывных функцио-
функционалов на Ф. В этом случае Ф' — линейное пространство со сходимостью.
В сопряженном пространстве Ф' обычным образом через предел
последовательности частичных сумм определяются сходящиеся ряды
и их сумма
Пусть Фо — подпространство линейного пространства Ф со сходи-
сходимостью, и / G Фд. Если существует такой функционал F G Ф', что
(f,(p) = (F, (р) для любых (р С Фо, то / называется продолжаемым на
пространство Ф в функционал F, a F — продолжением функционала
/•
Переходим теперь к основному понятию. Обобщенной функцией,
определенной на основном пространстве Фо, называется линейный
непрерывный функционал / G Фо. При этом Фо — пространство обоб-
обобщенных функций.
Соответственно рассмотренным основным пространствам Кш, К
и S используются обозначения пространств обобщенных функций
(Кт), К' и Sf, а также следующие названия: функции из (Кт) —
обобщенные функции конечного порядка, функции из {К0} — меры,
функции из К1 — обобщенные функции бесконечного порядка, функции
из S' — обобщенные функции медленного роста.
Для этих пространств обобщенных функций имеют место вклю-
включения: (К0)' С (К1)' С (К2)' С ... С К' и S' С К'. Из последнего
Б.2] Определение и свойства обобщенных функций 411
включения следует, что обобщенная функция медленного роста — про-
продолжение на S обобщенной функции бесконечного порядка.
Пусть /(х) — «обычная» функция вида (Б.1.1) и (/, (р) — неко-
некоторый функционал из Фо (здесь формально используется такое же,
как и ранее обозначение функционала, однако в нем значок / указы-
указывает на обычную функцию). Тогда говорят, что обобщенная функция
(/, (р) порождается функцией /(х). Обобщенные функции, для кото-
которых существуют порождающие их функции, называются регулярными,
а остальные — сингулярными.
В пространствах (К171)' и К' регулярные обобщенные функции по-
порождаются локально интегрируемыми функциями /(х) (функциями,
определенными в Rn и абсолютно интегрируемыми на любой огра-
ограниченной области П С Rn) с помощью интегральных функционалов
для действительных и комплексных функций соответственно (черта
является знаком комплексного сопряжения)
(/> Ч>) = J /(ХМХ) dx = J /(ХМХ) dx, п = supp
(Б.2.1)
В пространстве Sf регулярные обобщенные функции порождаются
локально интегрируемыми функциями /(х) медленного роста (опре-
(определенными в Rn функциями, для которых существуют такие Л, а ^
^ 0, что |/(х)| ^ Л |х|а в некоторой окрестности бесконечно удаленной
точки) с помощью интегральных функционалов для действительных
и комплексных функций соответственно
(/,*>)= j /(xMx)dx; (f,<p)= j 7(xV(x)dx. (Б.2.2)
Rn Rn
Этим фактом и объясняется название пространства S'.
В связи с существованием регулярных функций для всех обобщен-
обобщенных функций также используется обозначение /(х), наличие в котором
переменной х является всего лишь символом и ни в коей мере не
говорит о значении обобщенной функции в точке. А для указания зна-
значения обобщенной функции на функции ср G Фо применяются интегра-
интегралы (Б.2.1) или (Б.2.2), которые для сингулярных функций необходимо
также расценивать не более как символ.
Пусть П открытое множество из Rn. Тогда обобщенная функция
равна нулю (/ = 0) на 17, если для любой у?(х) G Фо с носителем
supp ср С ft выполняется равенство (/, ф) = 0. Обобщенные функции
/(х) и g"(x) равны (/(х) = g(x)) на 17, если / — g = 0 на этом множестве.
Эти понятия позволяют совершенно аналогично обычным функци-
функциям ввести определение носителя обобщенной функции supp/. Кроме
того, будем называть обобщенную функцию сосредоточенной на мно-
412 Сведения об обобщенных функциях [П. Б
жестве П С Rn, если supp / С ft. Аналогично основным функциям
обобщенная функция называется финитной, если ее носитель — ком-
компактное множество.
Можно показать, что если / — финитная обобщенная функция
из К'', то она единственным образом продолжается на S в обобщенную
функцию F G S' следующим образом:
(F,(p) = (f,ri<p), veS, (Б.2.3)
где г]ЕКиг] = 1в окрестности supp /.
Обобщенная функция равна нулю (/(х) = 0), если она равна нулю
на Rn. Аналогично обобщенные функции /(х) и g(x) равны (/(х) =
= g"(x)), если они равны на Rn.
Отметим, что, если функции /(х), g(x) равны почти всюду на Rn
(множество точек, на которых /(х) ф g(x) имеет меру нуль) и порож-
порождают регулярные обобщенные функции, то последние равны.
Пусть /(х) G Фо и а(х) такая функция, что для любой (р(х) G Фо
произведение а(х)у?(х) G Фо- Тогда произведение а(х)/(х) задается
следующим функционалом из Фо (действительным или комплексным):
или (af,(p) = (
Если / G К\ то а(х) должна быть бесконечно дифференцируемой.
Если же / G *S", то а(х) G 6М, где под вм понимается множество
функций, удовлетворяющих следующему условию: для любого a G No
существуют такие числа Са G R и та G Л^о, что для любых х G Rn
|?>аа(х)КСаA + |х|Га. (Б.2.4)
По аналогии с известными теоремами о замене переменных в ин-
интегралах можно ввести понятие сложной обобщенной функции. Пусть
у = а(х) — регулярное необходимой степени гладкости отображение Rn
на Rn (преобразование пространства Яп), и для любой <р(х) G Фо
также (р [а (у)] |J(y)| G Фо, где J (у) якобиан отображения. Тогда
сложная обобщенная функция f [a(x)] задается следующим образом:
(/ [а(х)], р(х)) = (/(у), v [а-х(у)] | J(y)\) . (Б.2.5)
Если отображение а(х) — невырожденное линейное преобразование
и х*1 не зависят от х)
А = (akt)nxn , det А ф 0, х = (a?i,. .., жп),
то имеет место равенство
(/ (уАт + х°) , <р(у)) = ^ (/(х), v [(х - х°) (А-1)^) . (Б.2.6)
Б.2] Определение и свойства обобщенных функций 413
Из (Б.2.6) вытекают следующие частные случаи:
— преобразование сдвига (А = Е — единичная матрица, вектор х°
заменен вектором (—х0))
(/ (у - х°) , <р(у)) = (/(х), V(x + х0)) ; (Б.2.7)
— преобразование подобия (х° = 0; матрица А — диагональная, т. е.
dki = akiSkh с ненулевыми элементами на главной диагонали; Ski —
символ Кронекера)
, О.22У2, • • •, <хппуп), (р(у)) =
WiP I > > • • • > ) ) ; (Ь.2.8)
Van «22 OLnnJ J
— равномерное преобразование подобия (в (Б.2.8) ац = «22 — • • • —
= апп = а ф 0, т. е. А = аЕ — скалярная матрица)
(/ (ay) , р(у)) = ^ (/(х), V (^)) ; (Б.2.9)
— преобразование симметрии (в (Б.2.9) a = — 1)
(/(x),W-x)). (Б.2.10)
Обобщенная функция /(х) называется инвариантной относитель-
относительно преобразования а(х), если / [а(х)] = /(х). В том числе, /(х) назы-
называется
— центрально симметричной, если она инвариантна относительно
преобразования симметрии (Б.2.10) (примером таковых является дель-
дельта-функция Дирака);
— сферически симметричной, если она инвариантна относительно
любого преобразования поворота (примером таковых является /(х) =
= ?(|х|));
— периодической с периодом Т при п = 1, если она инвариантна
относительно преобразования сдвига (Б.2.7) при х° = Т (можно пока-
показать, что периодическая с любым периодом функция есть постоянная).
При п = 1 центрально симметричная функция (f(—x) = f(x)) на-
называется четной; если же преобразование симметрии дает результат
f(—x) = —/(ж), то f(x) — нечетная функция.
С преобразованием подобия (Б.2.9) связано следующее понятие. Так
же, как и обычная функция, обобщенная функция /(х) называется од-
однородной степени (порядка) Л, если при любом а > 0 она удовлетворяет
уравнению
/(ах) = аА/(х), (Б.2.11)
которое, очевидно, эквивалентно равенству
414 Сведения об обобщенных функциях [П. Б
Свойства однородных функций.
1. Если порождающая функция — однородная степени Л, то и соот-
соответствующая регулярная обобщенная функция является таковой.
2. Произведение однородной функции степени Л на число и сумма
двух однородных функций степени Л — однородные той же степени.
3. Если существует произведение а(х)/(х) и как обобщенная функ-
функция /(х), так и а(х), являются однородными функциями соответствен-
соответственно степеней А и /i, то а(х)/(х) также однородная функция степени
Определения некоторых обобщенных функций приведены
в табл. Б.2.1, где использованы следующие обозначения (Т^5Р(х) —
многочлен Маклорена г) для функции у?(х); символ Vp обозначает
главное значение по Коихи расходящегося интеграла):
Щ. = {х е Rn\x1,x2, . . . ,хп > 0} ; г = |х|;
А;=0
jI+..fuB=*^'---e*i"
); х) =
XV . . . Xi
+OO
[-? +OO -|
^(ж) о?ж + (p(x)dx\.
К -ОО +?
Приведем такл<е часто используемые связанные с линейными пре-
преобразованиями формулы для дельта-функции Дирака
a(x)J(x - х°) = а(х°Жх - х°), «5 (ах) = -^ «5(х),
i а (Б.2.12)
х), 6 (-х) = д(х),
• •, annxn) = 1г
\a-i\a-i2 ¦ ¦ ¦ а„п\
а также свойство функции Дирака, сосредоточенной на поверхности
П : F(x) = 0, где F(x) € C°° (Rn)
F(x)«Jn(x) = 0. (Б.2.13)
a) Маклорен (Maclauren С, 1698-1746) — шотландский математик.
Б.2]
Определение и свойства обобщенных функций
415
X X
о о
Л\ V
а
I
о
II
X
О
3.
I
1
I
Л
л\
S ? g
III
I a&
с
416
Сведения об обобщенных функциях
[П. Б
IT
8
43
2
9-
А
« ><S
II
А
о
1—1
1
Л
А
1
43
1
— н
_«_ 43
'—^
—
—
5—4 е—3^
и ~~ +
11
i
н
i
"г*
4—'
5 >(?
II
9-
1—i
^_
о
й
7
1
« ,«ч
;>
и
4—у
i
1-й
л
S
^^
о о
Л\ V
н н
II
н
о
Л\
8
II
8
о
7
л
й
о о
Л\ V
11
II
8
О
Л\
_1_
II
8
о
+
о о
Л\ V
н н
о 1
II
1
н
о
V/
8
j^j
й
1
II
1
Н
о
1
Н
О
н
1Г
8
43
2
й
д
II
А
^с
о
1Г
^с
о о
Л V/
В о
11
II
о
Л\
н
н
43
2
II
о
Б.З] Обобщенные функции, зависящие от параметра. 417
Б.З. Обобщенные функции, зависящие
от параметра. Дельта-совокупности функций
В предыдущем параграфе рассмотрены последовательности обоб-
обобщенных функций {fk} С Фо- В том числе, определен предел сходящейся
последовательности. Здесь к G N и является параметром обобщенной
функции.
Более широкие возможности дает введение параметра Л из про-
пространства X, под которым будем понимать действительное векторное
пространство R171 или множество комплексных чисел С. Пусть Л —
область в X. Если для любого Л G Л определена обобщенная функция
/(х; Л) G Фо, то совокупность таких функций называется обобщенной
функцией, зависящей от параметра. Пусть Ло — предельная точка
множества Л. Аналогично последовательностям определяется предел g
обобщенной функции /(х; Л) при Л —> Ло,: #(х) = lim /(x; Л), если
A->-Ao
для любого элемента <? G Ф g"(x) = lim (/(x; X),(f) = (g(x), ф). При
А->-Ао
этом доказывается, что g1 G Ф'.
При Ло G Л функция /(х; Л) называется непрерывной в точке Л =
= Ло, если существует lim /(х; Л) = /(х; Ло). Аналогично обычным
а->-а0
функциям вводится понятие частной 9/(х; y)/dyj производной (при
Л = у = (yi, . . . , ут) G Rm) или комплексной производной d/(x; z)/dz
(при Л = z G С) по параметру. Например, во втором случае имеем
(x; z)
dz
/(х; z) - /(х; zp)
z=z0 z^z° Z~Zo
Также определяются дифференцируемые, аналитические по пара-
параметру в точке и непрерывные, дифференцируемые, аналитические в об-
области обобщенные функции. Кроме того, для обобщенных функций
можно рассматривать первообразную, определенный и несобственные
интегралы по параметру и интегралы по комплексному параметру.
Выделим специальные классы обобщенных функций, зависящих от
параметра и последовательностей обобщенных функций. Пусть при
любом Л из некоторой окрестности Ло (для любого номера к) завися-
зависящая от параметра обобщенная функция /(х; Л) G Фо (член последова-
последовательности /д;(х) G Фо) и является регулярной обобщенной функцией,
порожденной локально интегрируемой функцией /(х; Л) G Фо (Л(х) G
G Фо) и lim /(х; Л) = ?(х) ( lim Д = rf(x)). Тогда /(х; Л) называется
A—>-Aq /г—>-оо
дельта-совокупностью функций при Л —> Ло ({Д(х)} — дельтообраз-
дельтообразной последовательностью).
Такие зависящие от параметра обобщенные функции и последова-
последовательности используются, в том числе, в численных алгоритмах для
задач, в которые входят дельта-функции. При этом в качестве прибли-
приближенного решения задачи принимается то решение, в котором дельта-
14 А. Г. Горшков и др.
418
Сведения об обобщенных функциях
[П. Б
функция заменяется функцией /(х; Л*) из дельта-совокупности функ-
функций, где Л* — число из некоторой проколотой окрестности Ло (k-м
членом дельтообразной последовательности).
Имеет место следующий критерий дельта-совокупности (дельто-
образности последовательности).
Введем обозначение П = {х = (х±, . . ., хп) Е Rn\ cij < Xj < 6j},
причем ai, . . . ,an < 0. Если для локально интегрируемых функций
/(х; Л) Е Фо (последовательности локально интегрируемых функций
{/д;(х)} С Фо) существует такое не зависящее от Л из некоторой
окрестности Ло (от номера к) и П число М > 0, что
J/(x; A)
dx
<M
и, кроме того,
lim /(x; Л) dx =
(О Е U) ,
lim /fc(x)i
0 (O^fi),
1 (oefi),
то эти локально интегрируемые функции (эта последовательность)
образуют дельта-совокупность функций (является дельтообразной по-
последовательностью) .
Приведем некоторые дельтообразные последовательности и дельта-
совокупности функций (ж, у, z G R; к —> оо; е —ь +0; г = д/ж2 + у2):
{Кирхгоф); fk(x) = | е"*!»! (Яикар х));
Л (ж) =
(Дирихле 2)); /fc(a;) =
(Стилътъес 3));
& при
0 при |ж| > -;
; в) =
jL при
1,
0 при |ж| > 1;
а) Пикар (Picard Ch.-E., 1856-1941) — французский математик.
2) Дирихле (Dirichlet P.G.L., 1856-1941) — немецкий математик.
3) Стилътъес (Stieltjes T.I., 1856-1941) — нидерландский математик.
Б.4]
Дифференцирование обобщенных функций
419
2е3
2
—2 при |ж| ^ 1, \у\ ^ 1,
О при |ж| > 1, \у\ > 1;
,v, ?) =
°
(е — г) при О < г < 1,
при г
2?3
,2 + ?2Г
2тг(г2 + в2)р^
при |ж| < 1, \у\ < 1
при \х\ > 1, |t/| > 1, |г| > 1.
Б.4. Дифференцирование обобщенных функций
С использованием обозначения (Б. 1.3) производная Dp/(x) порядка
р G N от обобщенной функции /(х) G Фд (обобщенная производная)
определяется так (у?(х) G Фо, Фо — ^m (^- ^ рM К или 5):
Приведем свойства обобщенной производной, которые частично от-
отличаются от свойств производных обычных функций (таковые свойст-
свойства помечены звездочкой).
1*. Для любой обобщенной функции /(х) G К' существуют произ-
производные Dp f G К1 любого порядка р.
2. Так же, как и для обычных функций имеет место линейность
оператора дифференцирования и правило дифференцирования произ-
произведения а(х)/(х), где функция а(х) имеет производные необходимого
порядка.
3. supp Dpf С supp /.
4*. Производная от функции многих переменных (частная произ-
производная) не зависит от порядка дифференцирования.
5*. Если последовательность (ряд) сходится
lira fk = f (?/* = /),
к
14*
420 Сведения об обобщенных функциях [П. Б
то ее (его) можно почленно дифференцировать любое число раз, т. е.
для любого р G N
lim D"fk = D'f (J2 D^fk = D'f).
k
6*. Пусть /(x) — регулярная обобщенная функция, и Dp f — обоб-
обобщенная функция, порожденная соответствующей производной порож-
порождающей функции (р ^ т, если порождающая функция принадле-
принадлежит Кш (т ^ 1), и р G N, если она из К или S). Функция Dpf
в отличие от Dp f называется производной в обычном смысле. В общем
случае Dp f ф Dp f. Но между этими производными можно установить
связь.
а). Для функций одной переменной, если порождающая функция
f(x) G С всюду на R за исключением точек Xj, в которых она имеет
разрывы первого рода со скачками
то справедливо равенство
/'(*) = f'(x) + Х; [f]j S(x - Xj). (ВАЛ)
3
Если порождающая функция f(x) G Ср всюду на R за исключением
точки жо, где ее производные порядка к ^ р — 1 имеют разрывы первого
рода со скачками
= lim f{k\x)- lim
то справедливо равенство
f(p)(x) = f(p)(x) + PJ2 \f{k)] 6(p-k-V(x - x0). (Б.4.2)
A0
A;=0
б). Для функций многих переменных, если порождающая функция
/(х) G С1 (G) П С1 (G+), где G+ = Rn\G, и на границе П = 8G имеет
скачки
[/]s(x)= lim /(у)- lim /(x),
у>Х yGG+ y>x yGG
ТО
где n = (cosai, . . . ,cosan) — вектор внешней нормали к поверхно-
поверхности П, cosa^ — его направляющие косинусы.
Б.4] Дифференцирование обобщенных функций 421
Если же порождающая функция /(х) G С2 (G) П С2 (R"\G), то
.V (B.4.4)
Здесь в соответствии с определением простого слоя (см. табл. Б.2.1)
под производной от функции z/(x)?n, где ^(х) G С(П), понимается
сосредоточенная на П обобщенная функция (ее носитель есть поверх-
поверхность П), определяемая так:
Отметим, что обобщенная функция с носителем в виде поверхно-
поверхности П
- ^ Ип) = - ^т Ип) cos «i (Б-4-5)
называется двойным слоем на поверхности П с плотностью ^(х).
7. Если для порождающей функции производная Dp/(x) существу-
существует всюду на 72П, то Dpf = Dpf. И, в частности, остаются в силе все
таблицы для производных функций одного переменного.
8*. Если зависящая от параметра обобщенная функция /(х; Л)
непрерывная (дифференцируемая, аналитическая) по параметру, то
и все ее производные Dp f обладают теми же свойствами.
9*. Любая обобщенная функция /(х) G К' есть сумма ряда из
производных регулярных функций /т(х):
Причем на любом компакте П С Rn сосредоточено лишь конечное
число членов ряда.
10*. Для любой финитной обобщенной функции /(х) G К' или лю-
любой функции /(х) G S' существует такие число т G Л^о и порожденная
непрерывной функцией регулярная функция i^(x), что
Дх) = DmF(X).
В табл. Б.4.1 указаны обобщенные производные некоторых функций
одного переменного (х G R).
Приведем также две полезные формулы, связанные с производными
дельта-функции одного переменного (С? — число сочетаний из р по к):
fe=0
p!
(Б.4.6)
422
Сведения об обобщенных функциях
[П. Б
Таблица Б.4.1
Н(х)
sign ж
|Ж|Л (лея, л > -1)
1/жт (т е ЛГ, m ^ 1)
ТЛ
ж+
ж+
ж_
1п|ж|
*(*)
2*(*)
Л ж| ~ sign ж
-т/жт
Асе*
Я(я)
-Н(-х)
1/х
Кроме того, для сложной дельта-функции справедливо следующее
утверждение.
Пусть определена сложная функция ?[а(х)], где отображение
а(х) С С1 и имеет простые нули х-7, в которых его якобиан J (х-7) ф 0.
Тогда имеет место формула разложения
И
В частности, для функции одного переменного имеем
1
6[а(х)} =
«'И1
S {х — xj) .
Приведем также свойства однородных обобщенных функций
(см. § Б.2), связанные с производными.
1. Если /(х) — однородная обобщенная функция степени Л, обоб-
обобщенная производная df/dxj является однородной обобщенной функ-
функцией степени Л — 1.
2. Для того чтобы однородная обобщенная функция /(х) была одно-
однородной степени Л, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла
уравнению Эйлера
Xj^- = \f. (Б.4.7)
Б.5. Прямое произведение и свертка
Пусть обобщенные функции /(х) и g"(y) определены на основных
пространствах одного типа Фо (#п) и Фо (R171). Прямым (тензорным)
произведением /(х) х g"(y) обобщенных функций /(х) и g"(y) называ-
называется определенный на основном пространстве того же типа Фо (Яп+Ш)
Б.5] Прямое произведение и свертка 423
функционал
(/(х) х g(y), ^(х; у)) = (/(х), (*(у), у>(х; у))) ,
у>(х; У) G Фо (Дп+Ш) ,
где Rn+rn = Rn x Rm — декартово произведение Rn на Rm.
Доказывается, что определенный таким образом функционал явля-
является линейным и непрерывным. Следовательно, /(х) х g"(y) — обоб-
обобщенная функция на Фо (Дп+гп), т.е. /(х) х g(y) G Фо (Яп+т).
Для прямого произведения наряду с указанным используется обо-
обозначение /(x)g"(y), аналогичное произведению обычных функций.
Имеют место следующие свойства прямого произведения.
1. Если /(х) и g"(y) — регулярные обобщенные функции, то
и /(х) х g"(y) — регулярная обобщенная функция.
2. Носитель прямого произведения есть декартово произведение
носителей сомножителей
supp[/(x) х g(y)] =supp/(x) x suppg-(y).
3. Коммутативность: /(x) x g"(y) = g(y) x /(x).
4. Ассоциативность: /(x) x [g(y) x h(z)] = [/(x) x g(y)] x h(z).
5. Дистрибутивность: /(x) x [g(y) + ft(y)] = /(x) x g-(y) + /(x) x
x A(y).
6. Однородность: для любого числа а имеет место равенство
7. DIDl [/(x) х g(y)} = [Dg/(x)] x [D«*(y)]> где Dg и D% диффе-
ренциальные операторы по х и у вида (Б.1.2).
8. Если а(х) и 6(у) — такие функции, что для любых (р(х) G Фо (^п)
и ^(у) е <fro(Rm) произведения а(х)у?(х) G Фо (Rn) и 6(у)^(у) G
G Фо (Ят), то а(хN(у) [(р(х) х ^(у)] G Фо (Яп+т) и для обобщенных
функций /(х) и g"(y) справедливо равенство
а(х)Ь(у) [/(х) х Я(у)] = [а(х)/(х)] х [b(y)g(y)] .
9. /(х) х 1(у) = /(х), где 1(у) —обобщенная функция, порожденная
функцией 1(у) = 1 для любых у G Rm.
В частности, для единичной функции Хевисайда и дельта-функции
Дирака имеют место равенства
ж2,. . . , хп) = Н(х1)Н(х2) . . . Я(жп);
, ж2,. . . , хп) = 6(х1N(х2) . . . S(xn);
— Я(жь ж2, . . ., жп) = #(a?i) . . . Я(ж^_1)<У(ж^)Я(ж^+1) . . . Н(хп).
Пусть обобщенные функции /(х) и g"(x) определены на основном
пространстве Фо (#п)- Сверткой /(х) * g"(x) обобщенных функций /(х)
424 Сведения об обобщенных функциях [П. Б
и g"(x) называется определенный на том же основном пространстве
функционал
(/(х) * g(y), v(x)) = (/(х) х g(y), v(x + у)), V(x) G Фо (Rn).
Свертка существует не для любых функций. Достаточное условие
ее существования таково.
Если хотя бы одна из обобщенных функций /(х), g"(x) обладает
ограниченным носителем, то их свертка /(х) * g"(x) Е Фд.
Для функций одного переменного достаточным условием существо-
существования свертки также является ограниченность их носителей с одной
стороны (слева или справа, т.е. существуют такие а и 6, что f(x) = О
при х < a g(x) = 0 при х < 6, или f(x) = 0 при х > a g(x) = 0 при
х > Ь).
Свойства свертки обобщенных функций (полагается, что все сверт-
свертки существуют).
1. Носитель свертки есть подмножество замыкания объединения
носителей сомножителей
supp [/(х) * g-(x)] С supp/(x) U suppg-(x).
2. Коммутативность: /(х) * g"(x) = g"(x) * /(х).
3. Ассоциативность: /(х) * [g"(x) * /г(х)] = [/(х) * g"(x)] * /г(х).
4. Дистрибутивность:
/(х) * [g(x) + Л(х)] = /(х) * g(X) + /(х) * Л(х).
5. Однородность: для любого числа а имеет место равенство
[a/(x)]*g(x) = a[/(x)*g(x)].
6. DP [/(x) * g(x)] = [D*f(x)] * g(x) = Дх) * [?>Pg(x)], где D? -
дифференциальный оператор вида (Б.1.2).
7. Пусть последовательность обобщенных функций {/д.(х)} имеет
предел lim /д;(х) = /(х) и выполняется одно из условий:
&—>-оо
а) все функции /д;(х) сосредоточены на одном и том же ограничен-
ограниченном множестве;
б) обобщенная функция g"(x) сосредоточена на ограниченном мно-
множестве;
в) при х G R носители функций fk(x) и g(x) ограничены с одной
и той же стороны числом, не зависящим от к.
Тогда lim [Д (х) * g-(x)] = /(х) * g-(x).
/г->-оо
8. Пусть /(х) и g"(x) — регулярные обобщенные функции и су-
существует их свертка, тогда она — регулярная обобщенная функция,
и справедливы равенства:
/(x)*g(x)= J /(y)g(x-y)dy= j g(y)/(x-y)dy,
Rn Rn
Б.6] Первообразная и интеграл от обобщенной функции 425
где интегралы есть свертка в обычном смысле порождающих функций.
Приведем также несколько полезных формул, связанных с дельта-
функцией Дирака и единичной функцией Хевисайда:
<5(х)*/(х) = /(х), D*[J(x)*/(x)] =
Н{х)*х\ = —!— xl+1, xeR.
Б.6. Первообразная и интеграл от обобщенной
функции
Сначала ограничимся обобщенными функциями одного переменно-
переменного (п = 1). Первообразной порядка т ^ 1 обобщенной функции f(x) G
G К1 называется обобщенная функция f(m)(x) G К1 (другое обозначе-
обозначение f(~m\x)), удовлетворяющая равенству
[/(ш)(ж)] — fix)- (Б.6.1)
При т = 1 /A)(ж) — первообразная первого порядка (просто перво-
первообразная) обобщенной функции f(x).
Приведем некоторые свойства первообразных обобщенных функ-
функций.
1. Для любой обобщенной функции f(x) G К' существует перво-
первообразная f(m)(x) G К1 произвольного порядка т. Две различные пер-
первообразные /(ш)(х) и f(m)(x) порядка т одной и той же функции
отличаются друг от друга на слагаемое в виде многочлена Pm-i(x)
степени т — 1:
где Pm-i(x) — регулярная обобщенная функция, порожденная много-
7П-1
членом одной переменной Pm_i(x) = J^ CkXrn~1~k, C& — произволь-
произвольно
ные числа.
При т = 1 равенство (Б.6.2) переходит в следующее (С — обобщен-
обобщенная функция, порожденная константой С):
f(i)(x) = f{1)(x) + C. (Б.6.3)
Совокупность всех первообразных так же, как и для обычных функ-
функций, называется неопределенным интегралом и обозначается стандарт-
стандартным образом
f(x) dx =
426 Сведения об обобщенных функциях [П. Б
2. Так же, как и для обычных функций, имеет место линейность
операции вычисления первообразной и формула «интегрирования по
частям»
[a(x)f'(x)]{1) + [a'(x)f(x)}{1) = a(x)f(x). (Б.6.4)
где а(х) — обычная бесконечно дифференцируемая функция.
3. Если обобщенная функция / является регулярной и порождаю-
порождающая ее функция f(x) имеет на R первообразную Ф(ж), то первообраз-
первообразная обобщенной функции также регулярная и порождается функцией
Ф(ж). И, в частности, остаются в силе все таблицы неопределенных
интегралов для функций одного переменного.
4. Первообразную порядка т обобщенной функции /(ж), носитель
которой ограничен слева, можно представить в виде свертки с функ-
функцией Хевисайда
/(т) = / * Н*Н*...*Н . (Б.6.5)
т раз
5. Для любой финитной обобщенной функции f(x) Е К' или любой
функции f(x) Е Sf существует такие число т Е Nq и порожденная
непрерывной функцией регулярная функция F(x), что
f{m)(x) = F(x).
Кроме того, в общем случае функций многих переменных мож-
можно определить интеграл по всему пространству Rn (несобственный
интеграл с бесконечными пределами) от обобщенной функции /(х),
умноженной на функцию ^(х) (функции фп(х) указаны в (Б. 1.4); ф (х)
соответствует рассматриваемому основному пространству):
(x)^(x)dx = lim J2 (/(х)Ж(х)), (Б.б.б)
n N^-oo п=-м
rt M->-oo
если этот предел существует и конечен.
В случае существования интеграла он обладает всеми свойствами
обычного несобственного интеграла: линейность, замена переменных
и т.д. Если supp / = П С Rn, то в обозначении интеграла вместо Rn
указывается п.
Частный случай (Б.б.б) — интеграл по всему пространству Rn
от обобщенной функции /(х) (функции <^п(х) указаны в разложении
единицы (Б.1.3)):
f/(x)dx= lim ? (/(х),у>п(х)), (Б.6.7)
on N^oo п=-м
R M
если этот предел существует и конечен
Б.7] Аналитические представления функций 427
Б.7. Аналитические представления функций
Имеет место следующее утверждение г). Для любой обобщенной
функции одного переменного f(x) Е К' = Kf(R) существует такая ана-
аналитическая во всей комплексной плоскости z = х + гу за исключением
supp / функция f(z), что
/(*)= lim\f(x + iy)-f(x-iyj\, (Б.7.1)
где под f(x + гу) понимается регулярная обобщенная функция из К\
зависящая от параметра гу и порожденная обычной функцией f(z).
Иначе равенство (Б.7.1) читается так: для любых ср Е К
iy)-f(x-iy)\4)(x)dx.
Функция f(z) в (Б.7.1) называется аналитическим представлением
обобщенной функции f(x).
Отметим, что аналитическое представление определяется не един-
единственным образом. Например, для любой целой (аналитической во всей
конечной комплексной плоскости) функции g(z) функция f(z) + g(z)
также является аналитическим представлением /(ж), поскольку g(z)
непрерывна в любой окрестности мнимой оси.
Свойства аналитического представления [12].
1. Аналитическое представление обобщенной производной есть про-
производная того же порядка от аналитического представления самой
функции
2. Аналитическое представление первообразной обобщенной функ-
функции с точностью до постоянной есть первообразная от аналитического
представления самой функции
Укажем некоторые способы построения аналитических представ-
представлений.
1. Использование известных дельта-совокупностей функций
(см. § Б.З) и их комбинаций. Например, таким образом для дельта-
]) Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразова-
преобразования Фурье. — М.: Мир, 1968. — 276 с.
428 Сведения об обобщенных функциях [П. Б
функции доказывается справедливость равенства
Ф) = ~2^' (Б.7.2)
а также его обобщения
?* (?, z) = [?(ж~"Ч)] = —*— ®^'*\ (Б.7.3)
где Q (?, z) — аналитическая по z в некоторой полосе \у\ ^ а (а > 0)
функция, причем Q (?, О = 1.
2. Если f(x) — финитная обобщенная функция, то имеет место
равенство типа интеграла Коши (представление Коши)
.f(x)*6(z), Rez y^0. (Б.7.4)
3. Пусть f(x) — регулярная обобщенная функция из К' и f(x) =
= lim F(z), где F(z) — аналитическая в верхней (нижней) полуплос-
кости функция, она стремится к нулю при \z\ —> oo, Im z ^ 0 (Im z ^ 0).
Тогда
(F(z) при у>0, ( @
[ 0 при у < 0; у у F
при у > 0, \
при у < 0. J
(Б.7.5)
4. Для регулярной обобщенной функции f(x) из S" имеет место
обобщенное представление Коши
где Ф(^) — целая функция, не обращающаяся в нуль ни в какой ко-
конечной точке плоскости z, и такая, что для порождающей функции
0@
5. Пусть f(x) такая регулярная обобщенная функция из К\ что
для порождающей ее функции при любом у ф 0 сходится интеграл
(функция S* (?, z) определена в (Б.7.3))
оо
/(*)= } f(Z%(Z,z)dZ. (Б.7.7)
Тогда /B;) — аналитическое продолжение функции f(x) (другое
обобщенное представление Коши).
6. Если обобщенная функция / является регулярной и суще-
существует преобразование Фурье fF(q) порождающей ее функции f(x)
Б.7]
Аналитические представления функций
429
(см. § В.1), то
/(*) =
и
^ } fF{q)e-iz"dq при у > О,
— оо
ОО
(Б.7.8)
при у < 0.
В дополнение к (Б.7.2) приведем аналитические представления
некоторых функций:
2niz"
»1_ e"]n(-z)
(а > 0);
2тгг
e~inX при у > 0,
2zsin тгЛ
_ zn\n(-z) ГМ_1
~ 2тгг ' \хт)~2
z~m при у > О,
-?-т при 2/ < О,
(me TV).
Приложение В
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В.1. Преобразование Фурье обобщенных функций
Здесь ограничимся основным пространством S = S(Rn) комплекс-
нозначных функций. Для любой основной функции (р(х) Е S в обыч-
обычном смысле существует преобразование Фурье ((fF(q) — изображение
(трасформанта) Фурье, у?(х) — оригинал; q = (gi, 925 • • • -> Qn) ? Rn,
q — параметр преобразования; г — мнимая единица):
F Ы (q) = Wf (q) = VF(q) = j р(х)е«<ч.х> dx, (q, x) =
(B.1.1)
Кроме того, справедлива формула обращения преобразования Фу-
Фурье (обратное преобразование Фурье):
F-i [<pF] (х) = [<pF]F" (х) = V(x) = -^ { Vf(q)e-^.x) dq.
д»
(В.1.2)
Доказывается, что формулы (В.1.1) и (В.1.2) задают взаимно одно-
однозначные отображения F и F-1 основного пространства S на себя, т.е.
для любой функции (р(х) G S
F [F-1 [<р]] = <р, (В.1.3)
и, кроме того, эти отобрал<ения являются линейными и непрерывными.
Преобразование fF(q) обобщенной функции медленного роста
/(х) G Sf и обратное преобразование Фурье определяются как
соответствующие функционалы на S:
[]) ) <peS. (B.1.5)
Другие обозначения преобразования и обратного преобразования
Фурье такие же, как и для обычных функций: F [ср] = [ср] и F [ср] =
= [ср] соответственно.
Для преобразования Фурье обобщенных функций имеет место
утверждение, аналогичное сформулированному выше утверждению
для основных функций: формулы (В.1.4) и (В.1.5) задают взаимно
B.I ] Преобразование Фурье обобщенных функций 431
однозначные отображения F и F-1 пространства S1 на себя, т.е. для
любой функции /(х) G S1 справедливо равенство
F [F-1 [/]] = /. (В.1.6)
Таким образом, преобразование Фурье существует для любой обоб-
обобщенной функции /(х) G S'.
Свойства преобразования Фурье обобщенных функций во многом
аналогичны соответствующим свойствам для обычных функций (звез-
(звездочкой обозначены дополнительные свойства).
1. Отображения F и F линейные, т.е. для любых чисел Л, /i G С
и любых обобщенных функций fug
2. Отображения F и F непрерывные, т.е. / = lim /д. тогда
/г->-оо
и только тогда, когда fF = lim fF.
/г->-оо
3*. Если обобщенная функция / является регулярной и существу-
существует преобразование Фурье fF(q) порождающей ее функции /(х), то
преобразование Фурье fF— также регулярная обобщенная функция,
и она порождается функцией fF(q). To есть для регулярных обобщен-
обобщенных функций справедливы известные таблицы преобразований Фурье
обычных функций.
4. Для производных оригинала и изображения справедливы равен-
равенства
5. При сдвиге оригинала и изображения имеют место формулы
[/(x-xo)]F = e^x°)/F(q); /F(q + q0)
6. Для любых с G R (с ф 0)
7*. Преобразование Фурье прямого произведения есть прямое про-
произведение изображений
), x,qefl", у, рей,
в том числе,
[/ (Х1) / Ы . . . / (xn)f = fF (qi) fF (q2) ...fF Ы .
8. Если свертки оригиналов и изображений существуют, то для них
имеют место формулы
[/(х) * ?(x)]F = /F(q)gF(q); /F(q) *
432
Интегральные преобразования обобщенных функций
[П. В
9*. Пусть а(х) такая функция, что для любых у?(х) Е S произведе-
произведение а(х)(^(х) Е S и существует в обычном смысле aF(q). Тогда
10. Если зависящая от параметра обобщенная функция /(х; Л) —
непрерывная (дифференцируемая, аналитическая) по параметру, то
и ее преобразование Фурье обладает теми же свойствами.
11. Для того чтобы /(х) = g"(r), где г = |х|, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы fF (q) = gF{q), где q = |q|.
12. При п = 1 для того чтобы изображение fF(q) было четной
функцией (мнимая часть изображения была нечетной), необходимо
и достаточно, чтобы оригинал f(x) был четной (нечетной) функцией.
В табл. В. 1.1 указаны преобразования Фурье некоторых обобщен-
обобщенных функций одного переменного, а в таблицах В.1.2-В.1.4 — исполь-
используемые в основном материале книги обратные преобразования Фурье
функций одного, двух и трех переменных соответственно. В таблицах
В.1.2 и В.1.3 С = 0,577 215 664 9 ... — постоянная Эйлера. В табл. В.1.3
q = yjq\ + q2 5 r — Vr2 + z<1 •> r2 — VX1 + X2 •> а в та^л- В. 1.4 q =
и r — Vxi
Таблица В.1.1
жт (т 6 No)
И
Лг (meJV)
ж™ (то е N)
?С +
Ж-
/F(<?)
Чя)
2тг(-г)т5(т)(д)
-2/<?2
-2 (Id |,| +С)
тггт ,
(m-l)!9 Slgn?
гт+1 [т!/9т+1 +гтг(-1)т+1E(т)(дI
-l/q*-iw8'(q)
-l/q2 + iTrS'(q)
Таблица В.1.2
fF(Q)
-e~z\<i\,z >0
Я
г
Я
/(ж), г = у/х2 + z2
1 ж
— arctg —
7Г Z
1
- sign х
B.I
Преобразование Фурье обобщенных функций
433
Продолжение табл. В.1.2
/F(<7)
—-e-z\4\,z ^O
\я\
1
W\
e~z\*\,z >0
iqe~z^\,z > 0
ie~z\q\ sign g, z ^ 0
i sign 9
\q\e-z^\,z ^0
l9l
г
_ e~taq
Я
p-izq
\я\
e-izq
ie %Z4 sign q, z ^0
-2 2 , Re a > 0
g' + a1
га
2 2 , Re a ^0
g' + o1
е-г^2+а2 , Rea > 0, z > 0
e-^Vg2+a2 ; Rea > 0,2 ^0
V^2 + a2
t , Re a > 0
л/q2 + a2
f(x),r = Vx2+z2
--(lnr + C)
7Г
--(ln|x| + C)
7Г
Z
2xz
ТГИ
1 Ж
l
7ГЖ
a2-x2
тг (Ж2 + а2J
1
7ГХ2
- sign(a? + z)
--(In ж + 2| + С)
7Г
1
тг(ж + 2;)
1 e a|x|
2a
e~a\x\ s'lgnx
— Ko(ar)
-Ko(ar)
7Г
-K0(a\x\)
7Г
434 Интегральные преобразования обобщенных функций [ П. В
Продолжение табл. В.1.2
/F(9)
\/<72 + a2
V^2 + a2e-zW+a2 ,Rea > 0, 2 ^ 0
-^-sin (g22) ,2 > 0
7ГГ
a Г x2 z2 1
2 \ax2Ko(ar) + A'i(ar)
a Г ж2 - z2
2 a22K0(ar) Ki(ar)
e- —
При построении оригиналов двойного и тройного преобразований
Фурье использованы свойства модифицированных функций Бесселя
Kv(z) [54, 57, 59], а также конкретизирующее свойство 11 преобразо-
преобразования Фурье утверждение (более общий вариант указан в свойстве 5
§В.З).
Утверждение В.1.1. Пусть fF (q) = gF(q). Тогда
— при п = 2 (г2 = д/#1 + х\ )
—
— при гг = 3 (г = уж|
+ ОО
/(Ж1,ж2,ж3) = —г- [ qgF(q) sin qrdq.
2тт г J
(В.1.7)
(В.1.8)
Доказательство. При п = 2 применяем формулу обратного
преобразования (В. 1.2) и на плоскости параметров преобразования пе-
переходим к полярным координатам
(B.1.9)
= q cos a, 92 = 9 sin a (—тг < a ^ тг),
B.I
Преобразование Фурье обобщенных функций
435
/F(<71,<72)
\-qz
q
q
qmqn __oz
q
qe-*z
e-qz
iqme-**
i(im
qmqn
q2 "
qmqn
q3 "
iqiqmqn _az
я2 "
iqiqmqn _az
я3 С
1
q2 + a2
qk
2 . 2
q + a
qkqm
q2+a2
qkqiqm
q2+a2
ICNI
1
2тгг2(г + z)
1
2тгг(г + zJ
а Г
27ГГ2 [
iCb f(x
o 2 i\Xk
7Tr(i
{..
\xt6
Skn
hm -
/(ж1,ж2) (z ^ 0, Rea
1
2тгг
27ГГ3
1 fs Sxma
q 1Отп о
2тгг3 V r2
2тгг3 V г2 J
r+z)
Z
27ГГ3
Зжт2;
27ГГ5
2тгг(г + z)
XmXn (
пп \
1 Г
27г(г + г)Гтп г(г
iSmn + Жт5/П + Жп5/т
XlXfxxX-n | «5
9 1
г [г2
mn + Xm^ln + XnSim —
1 к ( л
— К0(аг2)
iaxk
Ki (ar2)
27ГГ2
2хкх
Х г22
1 Ki (ar2) -
J
1
+
г г
Т 1
+ ,)J
'(^
3
г(г +
XlXm
Г
axk2
г2
f ^/5fcm + XmSki) \аК0 (аг2) -
VkXlXm
г2
К (пггЛ 1
i\q \ar2) |
Г2
Табл и ца В
1 ^1
+ z)\
r + zj
2
A (r + zf
х„П+ 2
Kq (аг2)
CNI
_|
r jm Vй*' * )
Г2
8 \
1 К, (пт
г2)
.1.3
¦]}
-
436
Интегральные преобразования обобщенных функций [ П. В
Таблица В.1.4
fF(QU <72,<7з)
1
Я2 +а2
Як
Я2 +а2
ЯкЯт
Я2+а*
ЯкЯ1Ят
Я2+а2
1 Г
4тгг5 L
/(
гхк
4тгг3
1 Г
4тгг3 L m
Л
Лз(ж)
JBl)xa)«8)(Ree>0)
1 р-аг
, е
4тгг
i{ar)e , 1 (ж; — х +
г" J
2(ж) = ж2 +3ж + 3
хкх1Хг]
= х3 +бж2 + 15ж + 15
аг
- hs(ar)\e-ar,
что приводит к однократному интегралу
f(x1,x2) = —2 gF(q)e~l(Xiqi+X2q2^ dq\ dq2 =
z?2
+ OO
+
= -^ [ qgF(q)H2(q; xux2)dq,
4тг J
о
H2(q; хъх2)=
Для вычисления H<i используем формулу Эйлера, четность или нечет-
нечетность подынтегральных функций, замену переменных t = cos a, а так-
также табличные интегралы из [54]:
жъ Ж2) — [cos (qxi cos a) — i sin (qxi cos a)] x
— 7Г
x [cos (g#2 sin a) — i sin (g#2 sin a)] da =
7Г
= 2 [cos (g#i cos a) — г sin (qxi cos a)] cos (qx2 sin a) da =
о
l
= 2 [cos (qxit) — i sin (qxit)} cos I qx2yl — t2 ) da =
-l
l
= 4 cos (g#i?) cos I qx2\ 1 — t2 J da =27rJo(qr2). (B.I.11)
Подставляя этот результат в (В.1.10), приходим к формуле (В.1.7).
В.2] Преобразование Лапласа обобщенных функций 437
При п = 3 использование формулы обратного преобразования
(В.1.2) и переход в пространстве параметров преобразования
к сферическим координатам
q\ = qcos asin/3, q2 = qsin asin/3,
q3 = qcosp (-7г<а<тг, 0 < /3 < тг), (В.1.12)
приводит к следующему интегралу:
f(xux2) = ^
+ ОО
7-з f q2gF(q)Hs(q', xux2)dq,
О7Г J
0
mp-) хъх2) e~iq^cos^ s'm
Вычисляя теперь Н% с использованием (В.1.11) и замены перемен-
переменной интегрирования t = cos/3:
7Г
?; хъ х2) = 2тг ^ J0(qr2smC)e-iqx*cosP sin
о
l
= 2тг J Jo (qr2y/l-t2} e~iqxst dt =
-l
l
= 4тг Jo ( qr2\/l — t2) cos (qxst) dt = — sin gr,
J V / ^r
о
приходим к требуемому результату (В. 1.8).
В.2. Преобразование Лапласа обобщенных
функций
Следуя [37], введем следующие подмножества пространств обоб-
обобщенных функций f(t) одного переменного К' = K'(R) и S1 = S'(R):
K'+ = {f в /<"|supp/ С #+} С К', Sf+ = Kf+nSf CS', (В.2.1)
где Я+ = {t e R\t >0}.
438 Интегральные преобразования обобщенных функций [ П. В
Пространством оригиналов по Лапласу называется множество
К'+(а) = { / € К'+\ /(t)e-" e S'+} С К'+, (В.2.2)
где р — любое действительное число, удовлетворяющее неравенству
р > а. При этом справедливо включение
#+(<*!) С К'+(а2) при ai < а2. (В.2.3)
Каждая из функций / G /f+(a) — оригинал преобразования Лапла-
Лапласа. Для фиксированного оригинала число ctf = inf {p| f(t)e~pt G *S^}
называется показателем роста функции /.
Если / G /С+(а), то при любом р > a f(t)e~pt G 5+ С Sf и существу-
существует преобразование Фурье (см. § В.2, (—q) — параметр преобразования
Фурье)
F{q\ Р) = [f(t)e-pt] F (-q) = 2тг [f{t)e~^] F^ (q) G S'. (B.2.4)
Доказывается, что при любом р > ро (ро — произвольное число, удовле-
удовлетворяющее неравенству ро > а) обобщенная функция F(p; q) является
регулярной и порождается функцией
F(q; р) = (Дг)е-Р°<, ^)e-(p-po)te-^) , (В.2.5)
где r](t) — бесконечно дифференцируемая функция, равная единице
при t > 0 и нулю при t < to < 0 (см. (Б.2.3)).
При этом функция комплексного переменного s = р + iq
= L(s) (B.2.6)
является аналитической в полуплоскости Res = р > а.
Функция L(s) в (В.2.6) называется изображением (преобразовани-
(преобразованием; трансформантой) Лапласа функции f G K+(a), as — параметром
преобразования. Для изображения используются обозначения
L(s) = fL(s) = L[f](s) = [f}L(s). (B.2.7)
Взаимно однозначное соответствие между оригиналами и изображени-
изображениями Лапласа устанавливает следующее утверждение. Для того чтобы
/ G К'+(а), необходимо и достаточно, чтобы fL(s) G Н(а) — множеству
аналитических в Res > а функций, удовлетворяющих следующему
условию роста: для любого е > 0 и ро > а существуют такие числа
C(S')Po) ^ 0 и т(ро) ^ 0, что при а > ро
\m{po)
(В.2.8)
И при любых /3 ^ a, Re s > ро > а и целых к > [га] + 1 справедлива
формула обращения преобразования Лапласа (правая часть не зависит
В.2] Преобразование Лапласа обобщенных функций 439
от /3, а и к)
а+гоо L
а — гоо
Формула (В.2.4) совместно с (В.2.6) и равенство (В.2.9) устанавли-
устанавливают взаимно однозначные отображения
L : К+(а) -+ Н(а); (В.2.10)
L : Н(а) -+ К+(а), (В.2.11)
которые соответственно называются преобразованием и обратным пре-
преобразованием Лапласа.
Свойства преобразования Лапласа обобщенных функций во многом
аналогичны соответствующим свойствам для обычных функций (звез-
(звездочкой обозначены дополнительные свойства).
1. Отображения L и L линейные, т.е. для любых чисел Л, ji Е R
и любых обобщенных функций fug
2. Отображения L и L — непрерывные, т.е. / = lim Д тогда
/г->-оо
и только тогда, когда fL = lim ft -
3*. Если обобщенная функция / является регулярной и порождаю-
порождающая ее функция f(t) — оригинал преобразования Лапласа в обычном
смысле, то их изображения Лапласа совпадают и формула обращения
(В.2.9) приобретает классический вид
а+гоо
То есть для регулярных обобщенных функций справедливы извест-
известные таблицы преобразований Лапласа обычных функций.
4*. Для обобщенной производной оригинала справедливо равенство
5. Для производной оригинала в обычном смысле (см. § Б.4) имеет
место классическая формула
L т — 1
= smfL{s)- J2 /^(О)*™"',
3=0
где /О)@) = Дто/«)(*), /<°>(*) = f(t).
6. Для производной изображения справедливо равенство
440
Интегральные преобразования обобщенных функций
[П. В
7. При сдвиге оригинала и изображения имеют место формулы
[f(t-T)]L = e-™ fL(s), r>0;
[f(t)ext]L = fL(s-\),
8. Для любых с > 0
9. Для любых функций f,g€ К+(а) существует их свертка / * g Е
Е К+(а) и ее изображение равно произведению изображений функ-
функций / и g:
10. Изображение первообразной f(m)(t) функции f(t) имеет вид
rf mlb fL(s)
[J(m){t)\ =^--
11. Если зависящая от параметра обобщенная функция f(t; Л)
непрерывная (дифференцируемая, аналитическая) по параметру, то
и ее преобразование Лапласа обладает теми же свойствами.
В таблицах В.2.1 и В.2.2 приведены преобразования и обратные
преобразования Лапласа некоторых функций. В них использованы
справочники [55, 59] и свойства преобразования Лапласа.
Таблица В.2.1
/(*)
Цз)
H{t)
\/s
(m e N)
m\/s
m+l
Таблица В.2.2
fL(s)
i/s
n+i (n e N)
S
1
s — a
s2 + c2
/(t)(o^0,c>0)
H(t)
n
eatH(t)
H(t) sin ct
В.2]
Преобразование Лапласа обобщенных функций
441
Продолжение табл. В.2.2
fL(s)
s
s2 + c2
1 e-aV~s
-e-ay/t
S
1 e-a^
ss/2
l/2e-* (rue No)
s
Km(cs) (m e No)
Ko(cs)
Kiics)
K2(cs)
K3(cs)
sKo(cs)
s2K0(cs)
sK^cs)
52Kl(C5)
sKs(cs)
-fn Kmics) (me No)
s
^K^cs)
f(t)(a^0,c>0)
H(t) cos ct
2^ eXP( 4t)
H (t) erfc "
2лД
2t+l/2expf l) aH(t) erfc °
.+ exp -— ?»i ro I -=
л/тг-21-™ V U) \V2tJ
[m/2]
с v ' +
o.2 2
4t2-3c2i+(^-c^/2
-*+(*2-c2);3/2
B«2 + c2)(t2-c2);5/2
-c(^-c^);3/2
3ct+(«2-c2);5/2
8t4-12t2c2 + 3c4 3/2
сз I* c i +
1 fi2 2N»n-l/2
croBrn-l)!!1 J +
^(*2-e2)+2
442 Интегральные преобразования обобщенных функций [ П. В
В.З. Другие интегральные преобразования.
Преобразование Ханкеля
Приведем общую схему построения интегральных преобразований
обобщенных функций [12], обобщающую преобразование Фурье. При
этом так же, как и в § В.1, ограничимся основным пространством S =
= S(Rn) комплекснозначных функций.
Предварительно расширим понятие интеграла от обобщенной
функции (Б.6.7). Для этого введем следующие подмножества
пространств обобщенных функций (см. также § В.2):
K'(si) = {fe Kf\suppf с п} с к', S'(п) = к' (п) n S' с s",
(В.3.1)
Справедливо утверждение. Пусть /(х, у) G Sf (f^i x f^)- Тогда
S'(U2). (B.3.2)
То есть интеграл (В.3.2) есть обобщенная функция F(y) из Sf (f^)-
Это равенство называется интегральным представлением обобщенной
функции.
Пусть теперь #(q, x) — обобщенная функция из Sf (П2) с парамет-
параметром х G fli, где 17i52 — неограниченные подмножества Rn (в том числе
они могут совпадать со всем пространством Rn). Положим также, что
для любой основной функции (f(q) (#(q, x), ^(q)) G 0м (см. § Б.2).
Тогда для любой обобщенной функции /(х) G S' (fti) прямое произве-
произведение (см. § Б.5) /(x)^(q, x) G Sf A7i x J72) и имеет место интегральное
представление типа (В.3.2):
/ [/] (q) = I/]7 (q) = /7(q) = J /Wд(q,x) dx g s'^), (в.з.з)
которое называется интегральным преобразованием (просто преобра-
преобразованием) I обобщенной функции /(х) G S" (Пх) с ядром ^(q, x).
Для величин, входящих в (В.3.1), используется аналогичная пре-
преобразованию Фурье терминология: /7(q) — изображение (трасфор-
манта), /(х) — оригинал; q = (91, 925 • • • -> Qn) ^ ^n5 q ~~ параметр
преобразования.
Под обратным преобразованием 7 (обращением преобразо-
преобразования I) с ядром Т (х, q) понимается следующее интегральное
представление:
Г1 [/'] (х) = [f1]''1 (х) = /(х) = | //(q)T(x,q)dq€ 5'(fil) ,
(В.3.4)
В.З] Другие интегральные преобразования. Преобразование Ханкеля 443
где Т (х, q) — такая обобщенная функция из S' (f^i) с параметром q Е
Е f^25 что Для любой основной функции (р(х) (^(х, q), <?>(х)) Е вм.
Необходимым и достаточным условием того, что равенства (В.3.3)
и (В.3.4) определяют взаимно однозначное отображение S' (^i) на
S1 (^2), является выполнение одного из двух эквивалентных между
собой условий
J fl(q, х)Т (у, q) dq = 5 (х - у); (В.3.5)
J fl(q, х)Т (х, р) dx = 5 (q - р) . (В.З.б)
В этом случае имеет место равенство (см. также (В. 1.6))
/ [/-1 [/]] = /• (В.3.7)
Указанным здесь образом может быть дано определение преобра-
преобразования Фурье при Пг=п2 = Rn, R (q, x) = e"*(q'x) и Bтг)пТ (х, q) =
— e-*(q5x)^ которое эквивалентно классическому определению, приве-
приведенному в § В.1.
В общем случае преобразования / остаются справедливыми свойст-
свойства 1, 2, 7* и 10, сформулированные в параграфе § В.1 для преобразова-
преобразования Фурье. Другие свойства существенно зависят от конкретного вида
ядер преобразования.
В качестве первого примера применения общей схемы рассмотрим
косинус- и синус-преобразования Фурье функций одного переменного.
Этим преобразованиям соответствуют носители Qi = Q2 — R+ и про-
пространства Sf (f^i) = Sf (^2) = $+ (см. (В.2.1)) оригиналов f(x) и изоб-
изображений fc(q) и fs(q) (индексы «с» и «s» указывают соответственно
косинус- и синус-преобразования). Ядра этих преобразований являют-
являются регулярными функциями соответственно следующего вида:
2
Д(ж, q) = Дс(ж, q) = cos qx, T(q, x) = Tc(q, x) = — cos qx\
7Г
2
R(x, q) = Rs(x, q) = sin qx, T(q, x) = Ts(q, x) = — sin qx.
7Г
Таким образом, эти преобразования задаются так:
оо оо
fc(q) = f(x)cosqxdx, f(x) = — fc{q) cosqx dq\ (B.3.8)
fS(q) = \ f(x) sin qxdx, f(x) = - \ fc(q) sin qxdq. (B.3.9)
J 7Г J
444 Интегральные преобразования обобщенных функций [ П. В
Используя указанное в § В.1 свойство 12, можно установить связь
между преобразованием Фурье и косинус- и синус-преобразованиями.
Для этого продолжим функцию f(x) Е S+ на пространство Sf четным
(нечетным) образом, т.е. рассмотрим такую четную (нечетную) функ-
функцию /*(ж) Е *S", что /*(ж) = f{x) на #+. Тогда имеют место равенства
(звездочка в обозначении продолжения функции опущена)
/F(9)=2/C(g), fF(q) = 2ir(q). (В.3.10)
Еще одно часто используемое преобразование — интегральное пре-
преобразование I = Hv Ханкеля порядка и. Ему так же, как и для косинус-
и синус-преобразований, соответствуют носители С1г = Cl2 = R+ и про-
пространства Sf (f^i) = Sf (^2) — ?+ оригиналов /(г) и изображений
fHu{<l)i a также ядра преобразования в виде регулярных функций
R{r,Q) = rJu(qr) и T(q,r) = qJu(qr), где Ju(x) — функция Бесселя
порядка v. Таким образом, преобразование и обратное преобразование
Ханкеля порядка v определяются равенствами
оо оо
/""(<?) = J f{r)rJMr) dr, /(г) = J fH"{q)qJ»{qr) dq. (B.3.11)
О О
Для преобразования Ханкеля нулевого порядка обычно вместо
значка Hq используется значок Н. Поскольку для функций Бесселя
при т G N имеет место равенство J-m(x) = (—l)m Jm(#), то fH~rn(q) =
= (—l)m fHrn(q)- Поэтому нет смысла рассматривать преобразования
Ханкеля с отрицательными целыми порядками.
Кроме отмеченных выше общих свойств имеют место следующие
свойства преобразования Ханкеля (звездочками отмечены не имеющие
аналогов для обычных функций свойства).
1*. Если обобщенная функция / является регулярной и существует
преобразование Ханкеля fHu{q) порождающей ее функции /(г), то
преобразование Ханкеля — также регулярная обобщенная функция,
и она порождается функцией fHu (q). To есть для регулярных обобщен-
обобщенных функций справедливы известные таблицы преобразования Ханке-
Ханкеля обычных функций.
2. Для любых с > О
[/(cr)]"" = !/""(?).
3. при и фа
4. Для производных оригинала справедливы равенства
[/»]я" = ?[("- i)/H"+1 (я) - (" +1)/"-1 (я)] (" Ф о);
В.З] Другие интегральные преобразования. Преобразование Ханкеля 445
{I [гПг)]'}"" = \ [/я"+1(q) - fHv~'{q)\ {» Ф о);
= -q2fH4q)-
5. Если /(х) = /(г), то имеет место следующая связь преобразова-
преобразований Фурье и Ханкеля (см. свойство 11 преобразования Фурье, § В.1)
В двумерном пространстве R2 эта формула существенно упрощается
6. Оригинал произведения изображений Ханкеля нулевого порядка
может быть представлен так:
[fH(q)gH(q)} H~ =^
2тг оо
(Р) 8
+ р2 - 2rpcos a) dp
7*. Пусть f(x) G *S^, и #(ж) такая функция, что произведение
g(x)f(x) G *S^ и существует в обычном смысле изображение gH(q).
Тогда для этого произведения справедлива формула, указанная
в предыдущем свойстве.
В таблицах В.3.1 и В.3.2 приведены преобразования и обратные
преобразования Ханкеля некоторых функций. В них использованы
формулы прямого и обратного преобразований совместно с таблицами
[54, 57, 58], а также свойства преобразования Ханкеля.
Таблица В.3.1
f(r)
«(..,.,)
[H(r)-H(r-a)\, a > 0
ru[H(r)- H(r-a)], a >0
5(r-a), a>0
r»5(r- a), ji/бЯ, a > 0
0
0
Любое
Любое
Любое
- J\ (qa)
a"+1
я
aJv(qa)
446 Интегральные преобразования обобщенных функций [П. В
Таблица В.3.2
/(г), гз = Vr2 + z2 ,
ТП-\- =
а2-(г- zf
4rz
a'-jr + zJ
4rz
1
/q2 + a2
г, Re а > О
/q2 + a2
г, Re а > О
a 1
r r2
/q2 + a2
г, Re а > О
44^
г г2 г3 И
a2 5 Rea > О,
>О
Rea > О, z ^ О
Rea > О,
У гз \ гз) \
qe
Rea > 0, z ^ 0
r(l+ar3)
Rea > 0, z > 0
аг3
1 9
—«¦ sin a z, ^ > О
9
sin aq
a > 0, z > 0, n E Nq
Pn(-m-)[H(m-)-H(m+)\
sin aq
Jo(qz),
{K (m_) [Я (m_) - Я (m+)] +
a > 0, z > 0
sin ag
—\[2E(m-)
ТГл/rZ I
Jl(qz),
a> 0, z > 0
В.З] Другие интегральные преобразования. Преобразование Ханкеля 447
Свойства преобразований Ханкеля и Фурье позволяют построить
часто используемую формулу для свертки функций, зависящих только
от радиуса.
Утверждение В.3.1. Пусть существуют преобразования Ханкеля
нулевого порядка для функций f(r) и g"(r), где г = у'х\ + х\ . Тогда
для свертки этих функций по декартовым координатам a;i ИЖ2 имеют
место равенства
ОО 7Г
f(r)**g(r)= \pf(p)dp g ( yV2 + p2 - 2rp cos a ) da =
} g + pp)
= 2\pf{p)dp\ V ^—^ J-dz.
o-i
Доказательство. Используя свойство 8 преобразования Фурье,
свойства 5, б преобразования Ханкеля нулевого порядка при п = 2,
а также периодичность косинуса, получаем первое из требуемых ра-
равенств:
f(r)**g(r)=[fF(qi,q2)gF(qi,q2)}F~1 =4^[fF~i
= 2тг [fH(q)gH(q)}"~ = J pf (p) dp J g (^r2 + р2 - 2rpcos a
Далее учитываем, что интеграл от функции g^cos а) с помощью за-
замены переменной интегрирования z = cos а может быть преобразован
следующим образом:
7Г 0 7Г 1
g (cos a) da = g (cos a) da + \ g (cos a) da = 2 ' d?..
J J J J v 1 — z2
-7Г -7Г 0 -1
(B.3.12)
Применение этой формулы приводит ко второму равенству утвер-
утверждения
ОО 7Г
pf(p)dp g I д/r2 + р2 — 2rp cos a) da =
0 -7Г
ОО 1
= 2 Jp/(p)dp J ^^
0 -1
что и завершает доказательство.
448 Интегральные преобразования обобщенных функций [ П. В
В.4. Обращение совместного преобразования
Фурье—Лапласа
Если функция f(x,t) принадлежит Sf по переменной х и К+(а)
по переменной ?, то существует ее совместное преобразования Фурье-
Лапласа fFL(q,s). При этом вычисление изображения (оригинала)
может проводиться последовательным применением в любом порядке
каждого из преобразований (обратных преобразований). Как правило,
наиболее сложной является задача определения оригинала. В некото-
некоторых случаях ее можно упростить, используя аналитические представ-
представления (см. § Б.7) изображения по Лапласу и оригинала [12].
Пусть изображение преобразования Фурье-Лапласа в результате
замены q = Xs приводится к следующему виду:
где
w'(A)>0 (A>0), w(-\)=w(\), w(O) = wo^O. (B.4.2)
Тогда аналитическое представление оригинала по переменной х
определяется так (z = х + гу)\
i^^^Y (B.4.3)
где функция \(z, t) неявно задается уравнением
w(X) -wo + i\z = t. (B.4.4)
Условия (В.4.2) гарантируют существование единственной одно-
однозначной функции A(z, i). При этом для действительных s > 0 при у >
> О А изменяется от 0 до — ос, а при у < 0 — от 0 до +оо. Вследствие
этого t изменяется в обоих случаях от 0 до +оо. В частности, если w =
= 0, то А = —it/z.
Искомый оригинал f(x,t) определяется с помощью предельного
перехода (Б.7.1).
Отметим, что изображения вида (В.4.1) возникают при решении
задач, в которых отсутствуют естественные единицы длины и времени.
Обращение преобразования Фурье—Лапласа может быть также су-
существенно упрощено, если изображение является однородной функци-
функцией (см. § Б.2). Докажем соответствующие утверждения [12].
Утверждение В.4.1. Пусть fFL (q, s) — изображение Фурье-
Лапласа обобщенной функции / (х, г) (х, q G Rn). Тогда, для того
чтобы функция / (х, г) была однородной степени Ai, необходимо и до-
достаточно, чтобы изображение fFL (q, s) было однородной функцией
степени А2 = — (Ai + п + 1).
Доказательство. Пусть / (х, г) является однородной функци-
функцией степени Ai. Тогда для любого с G R (с ф 0) с использованием опреде-
В.4] Обращение совместного преобразования Фурье-Лапласа 449
ления однородной функции и свойств преобразований Фурье и Лапласа
получаем
[/ (ex, cs)\FL = [cAi / (x, a)]FL = cAi fFL (q, а),
\f(ac cs)]FL - — - fFL (^ -] - — fFL
откуда вытекает, что для любого d G R (d = 1/c ф 0)
Следовательно, изображение — однородная функция степени А2 =
В обратную сторону утверждение доказывается аналогично с ис-
использованием тех же свойств.
Следствие В.4.1. Пусть fFL(q,s) — изображение Фурье-Лапласа
функции /(ж, г) (^жЕЙ)и- однородная функция степени А. Тогда
справедливо равенство
= -- [A + X)f(i)t(x, t) + tf(x, t)] ,
X
где символом f^t обозначена первообразная функции / по перемен-
переменной t.
Доказательство. Используя утверждение В.4.1 при п = 1 и
(Б.4.7) для оригинала /(ж, г) получаем
Тогда, учитывая это равенство, формулу (Б.6.4) и свойства преоб-
преобразований, приходим к требуемому результату:
tdf(x,t)
= --{B + А)[/(Ж,*)]AL + */(Ж,*)-|
X у.
Следствие В.4.2. Если в условиях следствия В.4.1 А = —1, то
15 А. Г. Горшков и др.
450 Интегральные преобразования обобщенных функций [П. В
В. 5. Обращение преобразования Ханке ля
с помощью преобразования Фурье
Сначала приведем одно общее утверждение относительно инте-
интегрального преобразования, порожденного двумя другими [12].
Утверждение В.5.1. Пусть даны интегральные преобразова-
преобразования /i и /2
/7l(q)= |/(x)i?1(q,x)dxG5'(fi),
Ql (B.5.1)
(В.5.2)
ядра которых удовлетворяют условиям, сформулированным в § В.З.
Тогда существует порожденное преобразование, являющееся ком-
композицией первых двух, /з =
Ql (B.5.3)
/(х)= J//3(p)T3(x,p)dpe5/(fii),
где
Д3 (Р, х) = | #i(q, х)Я2 (р, q) dq, T3(x, q) = j T^x, p)T2 (q, p) dq.
п п
(В.5.4)
Доказательство. В силу условий утверждения ядро Ri (q, x)
может рассматриваться как оригинал преобразования /2, изображение
которого есть функция R% (p,x), определяемая первым равенством в
(В.5.4). При этом справедлива формула обращения
R1 (q, x) = J Я3 (р, х) Т2 (q, p) dp.
п2
Используя теперь это равенство и (В.3.5), получаем
S (х - у) = j Й! (q, x) Ti(y, q) dq =
n
= (( (Яз(р, x) T2 (q, p) dp J Ti (y, q) dq =
В.5] Обращение преобразования Ханкеля 451
= J fl3(p,x)nTi(y,q)T2(q,p)dqJdp= J R3 (p, x) T3(y, p) dp.
Следовательно, R3 (p, x) и T% (x, p) — ядра прямого и обратного
интегральных преобразований.
Далее установим ряд фактов, которые позволяют по известному
оригиналу преобразования Фурье находить пропорциональный ему
оригинал преобразования Ханкеля [6].
Утверждение В.5.2. Пусть в условиях предыдущего утверждения
даны преобразования 1\ (В.5.1) и /2:
(В.5.5)
*(У) = '"
изображения преобразований 1\ и l<i пропорциональны: //2(q) =
= С/^(ц),щеС в R,C фЪ.
Тогда соответствующие оригиналы /(х) и g(y) связаны между со-
собой преобразованием /з
П1
(В.5.6)
/(х) = g's (x) = j g(y)T3 (х, у) dy e S' (Пг),
'
где
Д3 (У, х) = С j fli(p, x)T2 (у, р) dp,
П (В.5.7)
Доказательство. Введем еще одно преобразование /о, соответ-
соответствующее пропорциональности изображений первых двух:
= с J
(в.5.8)
Композиции преобразований /qi = /0/1 и /3 = I^Ioi удовлетворя-
удовлетворяют условиям утверждения В.5.1. Пользуясь формулами (В.5.4), после-
последовательно найдем их ядра:
15*
452 Интегральные преобразования обобщенных функций [П. В
— преобразование /oi
//ш(р)=
Дх) = | /'<» (p)Toi (x, p) dp G S' (fii),
Г
Roi (p, x) = #i(q, -x)C5 (p - q) dq = CR\(p, x),
Т01(х, p) = J Ti(x, q)i * (q - p) dq =1 Ti(x, p);
n
— преобразование /з (см. (В.5.6))
#з (У, х) = J #oi(р, х)Т2 (у, р) dp =C J fli(p, x)T2 (у, р) dp,
Q П
Т3 (X, у) = J Д2 (р, у) Т01 (X, Р) dp = 1 J Д2 (р, У) Ti (X, Р) dp,
что и завершает доказательство.
Применим теперь полученные результаты для преобразований Фу-
Фурье (п = 1) и Ханкеля.
Следствие В.5.1. Пусть четная функция f(x) G *S", a g(r) G S'+.
Их изображения пропорциональны gHu(q) = CfF(q), q ^ 0, С G Я,
Тогда существует такое ядро ДС1/(г, ж), что справедливо равенство
cAr,x)f(x)dx. (B.5.9)
Доказательство. Положим в утверждении В.5.2, что 1\ — ко-
косинус-преобразование Фурье, а /2 — преобразование Ханкеля Я^, т.е.
О = пг = П2 = [0, +оо) и
2
Riiq, х) = cosqx, Ti(x, q) = — cosqx;
7Г
R2 (p,r) = rJu (pr), T2 (r, p) = pju (pr).
Учитывая связь (В.3.10) изображений преобразования Фурье для
четных функций и косинус-преобразования, из формул (В.5.6) и (В.5.7)
получаем представление (В.5.9), где
оо
ДсДг, х) = R3(r, х) = 1С \ pJy{pr) cospx dp. (B.5.10)
В.5]
Обращение преобразования Ханкеля
453
Последний интеграл понимается в смысле регуляризованного зна-
значения и может быть вычисляется так [54, 57]:
sin
+
/х
— г2 (х + л/ж2 — г2)
-r). (B.5.11)
В частности при v = 0 и v = 1 имеем
ЯСО(Г, X) = ДС(Г> *) = 2G А (Ж2 _ r2J-V2 = _2^ж (ж2 _ r2J-S/2 .
(В.5.12)
Яс1(г, ж) = 2G^ [ 2Ж Я(г - жI = 2Сг (г2 - х2)~^/2 =
= -Дс(ж,г). (В.5.13)
Следствие В.5.2. Пусть нечетная функция f(x) G 5х, a g(r) G *S^.
Их изображения пропорциональны gH"(q) = iCfF(q), q > О, С G Я,
Тогда существует такое ядро Rsv(r, ж), что справедливо равенство
g(r)=
(B.5.14)
Доказательство. Положим, что 1\ — синус-преобразование Фу-
Фурье, а /2 — преобразование Ханкеля Hv. Ядра #2 и Т^ а также носители
функций указаны в доказательстве предыдущего следствия, a R\ и Т\
имеют вид
Ri(q, x) = sin qx,
2
, q) = — sin qx.
7Г
Учитывая связь (В.3.11) изображений преобразования Фурье для
нечетных функций и синус-преобразования, из формул (В.5.6) и (В.5.7)
получаем представление (В.5.9), где
оо
Rsl, (г, х) = Rs (г, х) = 2G р Jv (pr) sin px dp =
Mpr)coSpxdx=-2C
О"
-гI. (В.5.15)
454
Интегральные преобразования обобщенных функций
[П. В
В частности при v = 0 и v = 1 получаем
Rs0(r, х) = Rs(r, х) = -2С|- (г2 - х2)~1/2 = 2Сх (г2 - х2)~т ;
вх
(В.5.16)
^ж2 — г2 ( ж + л/ж2 — г2 j
Н(х-г)
д 1
= -2 С^ - Я(г - ж) - Я(ж - г)
аж г ¦
— г*
= 2c[^S(r-x) + r (х2 - г2)+3/2] = ^ ё(г - х) - Rs(r, x).
(В.5.17)
Из следствий В.5.1 и В.5.2 вытекает следующее утверждение.
Следствие В.5.3. Пусть f(x) G *S", a g(r) = gi(r) + ig2(r), где
gi(r), g2(r) G S+. Изображения этих функций пропорциональны
gH-(q) = CfF(q), О О, С Е R, С ф 0.
Тогда существует ядро Rpu{r^ ж), такое, что справедливо равенство
g(r)= J RFv{r,x)f{x)dx. (B.5.18)
— ОО
Доказательство. Функцию / (х) представим в виде суммы чет-
четной fi(x) и нечетной f2(x) функций:
/(*) = h(x) + f2(x), h{x) = \ [/(*) + f(-x)],
Тогда по свойствам преобразования Фурье и условиям следствия
имеем
fF(q) = fiF(Q) + if[D), gFk{q) = Cf[{q) (к = 1,2).
Применяя к функциям fk(x) и gk(x) следствия В.5.1 и В.5.2, полу-
получаем
gl(r) = J Rcy(r,x)f1(x)dx, g2(r) = J Rsy(r,x)f2{x)dx.
В.5] Обращение преобразования Ханкеля 455
Тогда для функций f(x) и g(x) имеем
оо
gi(r) = \ \ [f{x) + f{-x)\ Rcv{r, x) dx+
о
оо оо
+ \ \ [/(я) - /(-*)] Rs»(r, x)dx=\ RFy{r, x)f(x) dx, (B.5.19)
о
, x) = Ncv(r, x) + iNau(r, ж),
-ж)Я(-ж)] = 1 ДС1/ (г
(В.5.20)
о
где
Ncu(r, x)=1- [ДС1/(г, х)Н(х) + Дс|/(г, -ж)Я(-ж)] = 1 ДС1/ (г, |ж|),
Nai/(r, x) = - [Rai/(r, x)H(x) + Дв1/(г, -q
_ 1
~ 2
В частности, при г/ = 0и^ = 1 получаем
7Vs0(r, ж) = 7Vs(r, x) = - sign ж#5 (г, |ж|) = -Сх (г2 - ж2)+ ;
Ncl(r, х) = \ Дс1 (г, |Ж|) = Сг (г2 - х%3/2 =
= -\Rc(\x\,r) = -Nc(x,r), (B.5.22)
Nal(r,x) = I signxRsl(r, \x\) = c\-S(r- \x\) + г (х2 -г2)~3/2| =
2 \_Х ' А
О г>/ ||\ J- • Г»/ 11\ ^ С / I I \ Л Г / \
— Л I Т \Т 1 41 О*Г1 Т* п Т Т I — П \ V Т* I /V IT* Tl
ж 2 ж
В качестве применения следствия В.5.3 рассмотрим один частный
случай.
Следствие В.5.4. Пусть f(x) G Sf, а где g(r) G S+. Изображения
этих функций пропорциональны gHu{q) = CfF(q), q ^ 0, С G Д, С ф О,
а изображение функции g"o(^) имеет вид g(fv(q) = gHv(q) exp (iqa)
{a G Д).
Тогда функции go (г) и f(x) связаны следующим образом:
оо
go(r)= [ RFl/(r,x)f(x-a)dx. (B.5.23)
456 Интегральные преобразования обобщенных функций [П. В
Доказательство. Из условия 2) имеем
g^(q) = CfoF(q), foF(q) = fF(q)exp(iqa). (B.5.24)
По свойствам преобразования Фурье оригинал функции /(f (g) име-
имеет вид /о(х) = f(x — а). Применяя следствие В.5.3 к функциям g"o(^)
и /о(ж), с учетом последнего равенства и формул (В.5.24) получаем
оо оо
Г Г
go(r) = RFl/(r,x)fo(x)dx= RFl/(r,x)f(x-a)dx.
Приложение Г
СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
В ЗАДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ
Пусть дана подвижная гладкая поверхность
и не параллельный касательной плоскости к этой поверхности вектор 1.
Рассмотрим два положения поверхности в моменты времени t
и t + At. Скорость v/ движения поверхности (Г.1) в направлении 1
определим так:
Д?->-о At /p 2)
Аг = гп (Ci, C2, * + А*) - гп (?ъ 6, *)» Лг = Л1> Л > °-
Последнее равенство указывает на то, что параметры ?i и ?2 вы-
выбираются не произвольно, а так, чтобы приращение было коллинеарно
вектору 1.
С учетом гладкости поверхности положим, что существуют произ-
производные
Тогда из формул (Г.2) и (Г.З) найдем
v/ = r'n,i?i + гхп,2б + vn = А1,
Векторы г'пд, г'п,2 и 1 могут рассматриваться как векторы ковари-
антного базиса а^-:
а! = г'пд, а2 = г'п,2, а3 = 1, (аь а2, а3) ф 0. (Г.5)
Величины (—?i), (—^2) и А являются контравариантными коорди-
координатами v3 вектора vn:
Отсюда для третьей координаты г?3 имеем
I/3 = A=(vn,a3), а3= [ад'аг1 (Г.6)
v } (ai, а2, а3)
458 Скорость движения поверхности в заданном направлении [П. Г
Подставляя (Г.б) в (Г.5) и далее в формулу (Г.4), найдем выражение
для искомой скорости V/:
= (r'n,i,r'n,2,vn) ._ (vn,N)
' (г'п,1,г'п,2,1) (N,1) ' (Г.7)
N = [r'n,i,r'n,2],
где N — нормальный вектор к поверхности П(?).
В случае неявного задания поверхности П(?) в прямоугольной де-
декартовой системе координат
U(t): f(xux2, x3,t) = 0 (Г.8)
из (Г.7), получаем следующий результат (N = grad /):
v. = 1
(grad/, 1) ' (Г9)
(grad /, vn) + / = 0, vn = (ii, x2, ±з) •
При 1 = N приходим к указанной в [35] формуле для скорости
поверхности в направлении нормали
где n = N/ |N| — единичный нормальный вектор.
Список литературы
Основная литература
1. Колебания упругих систем. Т. 1. 2-е изд., испр. и доп / Под ред. В. В. Бо-
Болотина. — М.: Машиностроение, 1999. — 504 с.
2. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. — М.: Наука,
1986.-328 с.
3. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука,
1988.-712 с.
4. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. — Л.: Судостроение,
1972.-351 с.
Дополнительная литература
5. Горшков Л. Л, Тарлаковский Д. В. Нестационарная азрогидроупругость
тел сферической формы. — М.: Наука, 1990. — 264 с.
6. Горшков А. Г, Тарлаковский Д. В. Динамические контактные задачи с по-
подвижными границами. — М.: Наука. Физматлит, 1995. — 352 с.
7. Горшков А. Г, Трошин В.Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материа-
материалов: Учебное пособие. — М.: Физматлит, 2002. — 544 с.
8. Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. —
М.: Изд-во Московск. ун-та, 1992. — 208 с.
9. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. — М.: Мир, 1970. —
872 с.
10. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. — М.: Изд-
во Московск. ун-та, 1963. — с.
11. Сагомонян А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. Учебное посо-
пособие. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1985. — 416 с.
12. Слепян Л. И., Яковлев Ю. С Интегральные преобразования в нестацио-
нестационарных задачах механики. — Л.: Судостроение, 1980. — 344 с.
13. Снеддон И. Преобразования Фурье. — М.: ИЛ, 1955. — 667 с.
Модели сред
14. Амензаде Ю.А. Теория упругости: Учебник для университетов. — М.:
Высшая школа, 1976. — 272 с.
15. Бабкин А. В., Селиванов В. В. Прикладная механика сплошных сред:
В 3 т. Т. 1. Основы механики сплошных сред / Под ред. В. В. Селивано-
Селиванова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. — 368 с.
16. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. — М.;
Л.: Гостехиздат, 1949. — 784 с.
17. Вольмир А. С Устойчивость упругих систем. — М.: Физматгиз, 1963. —
879 с.
18. Вольмир А. С Оболочки в потоке жидкости и газа (задачи азроупруго-
сти). — М.: Наука, 1976. — 416 с.
460 Список литературы
19. Горшков Л. Г., Рабинский Л. П., Тарлаковский Д. В. Основы тензорного
анализа и механика сплошной среды: Учебник для вузов. — М.: Наука,
2000.-214 с.
20. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Московск. ун-
унта, 1990. — 310 с.
21. Ильюшин А. А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовяз-
коу пру гости. — М.: Наука, 1970. — 280 с.
22. Коваленко А. Д. Термоупругость — К.: Вища школа, 1975. — 216 с.
23. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. — М.: Высшая школа, 1976. —
277 с.
24. Колтунов М.А., Кравчук А. С, Майборода В. П. Прикладная механика
деформируемого тела. — М.: Высшая школа, 1983. — 349 с.
25. Кочин П.Е., Кибель И. А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика:
В 2 т. — М.: Физматлит, 1963.
26. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973. — 847 с.
27. Ляв А. Математическая теория упругости. — М.; Л.: ОНТИ, 1935. —674 с.
28. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. — М.:
ИЛ, 1961.-588 с.
29. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.
30. Новоэюилов В. В. Теория упругости. — Л.: Судпромгиз, 1958. — 370 с.
31. Новоэюилов В. В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория
тонких оболочек. — Л.: Политехника, 1991. — 656 с.
32. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. — М.: Изд-во
Московск. ун-та, 1963. — 695 с.
33. Победря Б.Е., Гергиевский Д. В. Лекции по теории упругости. — М.:
Эдиториал УРСС, 1999. - 208 с.
34. Подстригач Я. С, Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. — К.: На-
укова думка, 1976. — 310 с.
35. Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2 т. — М.: Наука, 1983, 1984.
36. Тимошенко СП. Сопротивление материалов. В 2 т. — М.: Наука, 1965.
37. Тимошенко СП., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. — М.:
Физматгиз, 1963. — 636 с.
38. Тимошенко СП., Гере Дж. Механика материалов. — М.: Мир, 1976. —
669 с.
39. Тимошенко СП., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1975. —
576 с.
40. Тимошенко СП., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле /
Пер. с англ. Л.Г. Корнейчука; Под ред. Э.И. Григолюка. — М.: Машино-
Машиностроение, 1985. — 472 с.
41. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2000. — 592 с.
Математическая литература
42. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функ-
функции. — М.: Наука, 1974. — 432 с.
43. Вестяк А. В., Вестяк В. А., Тарлаковский Д. В. Алгебра и аналитическая
геометрия. Ч. I. — М.: Изд-во МАИ, 2002. — 460 с.
44. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука,
1981.-512 с.
Список литературы 461
45. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ни-
ними. — М.: Физматлит, 1959. — 470 с.
46. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Ла-
Лапласа и Z-преобразования. — М.: Наука, 1971. — 288 с.
47. Карташов А.Пп Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления: Учебное пособие для
вузов. — М.: Наука, 1986. — 272 с.
48. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с прило-
приложениями в технике. — М.: Мир, 1978. — 518 с.
49. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложе-
приложениями). — М.: Наука, 1968. — 504 с.
50. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 т. — М.: Высшая
школа, 1989.
51. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного
переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.
52. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983. — 616 с.
53. Тихонов А.ПП Самарский А.А. Уравнения математической физики:
Учебное пособие. — М.: Изд-во Московск. ун-та, 1999. — 798 с.
Справочная литература
54. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-матем. лит-ры, 1971. — 1108 с.
55. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчисле-
исчислению. — М.: Высшая школа, 1965. — 467 с.
56. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнени-
уравнениям. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-матем. лит-ры, 1971. — 576 с.
57. Прудников А.Пп Брычков Ю. С, Маричев О. И. Интегралы и ряды. Эле-
Элементарные функции. — М.: Физматлит, 2003. — 632 с.
58. Прудников А. П., Брычков Ю. С, Маричев О. И. Интегралы и ряды. Спе-
Специальные функции. — М.: Физматлит, 2003. — 664 с.
59. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица,
И. Стиган — М.: Наука, 1979. — 830 с.
Именной указатель
Бернулли (Bernoulli J.) 176
Бессель (Bessel F. W.) 99
Бетти (Betti E.) 27
Больцман (Boltzmann L.) 340
Вольтерра (Volterra V.) 344
Вронский (Wronski U.) 106
Гаусс (Gauss С. F.) 29
Гегенбаузр (Gegenbauer L.) 315
Гельмгольц (Helmholtz G. L. F.) 19
Грин (Green G.) 23
Гук (Hook R.) 264
Д'Аламбер (D'Alembert J.L.) 44
Даниловская В.И. 76
Дирак (DiracP.A.M) 23
Дирихле (Dirichlet P.G.L.) 418
Дюамель (Duhamel J. М. С.) 341
Жермен Софи (Germain Sophie)
395
Зоммерфельд (Sommerfeld A.) 19
Кирхгоф (KirchhofTG.) 202
Клапейрон (Clapeyron В. Р. Е.) 38
Коши (Cauchy О. L.) 42
Крамер (Cramer G.) 106
Кристоффель (Christoffel E. В.)
358
Кронекер (Kronecker L.) 43
Крылов А.Н. 183
Кулон (Coulomb С. А.) 340
Лагранж (Lagrange J.L.) 350
Ламе (Lame G.) 39
Лаплас (Laplace P. S.) 18
Лежандр (Legendre A.M.) 95
Лейбниц (Leibniz G.W.) 117
Лиувилль (Liouville J.) 34
Лопиталь (L'Hopital G.F.A.) 76
Лзмб (Lamb H.) 279
Ляв (LoveA.E.H.) 374
Маклорен (Maclauren C.) 414
Max (Mach E.) 264
Навье (Navier A.) 350
Нейман (Neumann F. E.) 126
Ньютон (Newton I.) 350
Остроградский М.В. 29
Пикар (Picard Ch.-E.) 418
Пуассон (Poisson S. D.) 39
Рзлей (Rayleich J.W.S.) 22
Стеклов В. А. 35
Стефан (Stefan J.) 340
Стильтьес (Stieltjes T.I.) 418
Стоке (Stokes G.G.) 22
Тимошенко СП. 176
Френель (Fresnel A. J.) 178
Фурье (Fourier J. B. J.) 20
Ханкель (Hankel G.) 94
Хевисайд (Heaviside O.) 24
Штурм (Sturm J.S.F.) 34
Эйлер (Euler L.) 349
Юнг (Young Т.) 176
Якоби (Jacoby K.G.J.) 26
Предметный указатель
Автомодельное движение, 21
Акустическая жидкость, 351
— среда, 351
Амплитуда волны, 19
Аналитическое представление
обобщенной функции, 434
Балка Бернулли-Эйлера, 409
— однопролетная, 186
— типа Тимошенко, 407
Вес, 38
Возбуждение кинематическое од-
одной стороны слоя, 64
Возмущение, 45
— сферическое, 99
— цилиндрическое, 143
Возмущения граничные, 11
— начальные, 11
— объемные, 11
Волна, 13
— бегущая обратная, 45
прямая, 45
— бездисперсная, 23
— дисперсная, 23
— нестационарная, 17
— плоская, 17
поперечная, 46
продольная,44
— свободная, 21
— собственная 21
— сферическая, 95
обратная, 97
прямая, 97
расходящаяся, 97
сходящаяся, 97
— цилиндрическая Р
S, 138
обратная, 140
осевая формоизменения, 138
Волна цилиндрическая прямая,
140
расходящаяся, 140
расширения-сжатия, 138
сходящаяся, 140
угловая формоизменения,
138
S, 138
-Р, 46
-5,47
Волновая поверхность, 17
Волновод, 22
Волновое число, 22
Волновой процесс, 13
— фронт, 17
Волны гармонические, 19
— крутильные, 174
— Маха, 271
— поверхностные, 256
антисимметричные, 259
симметричные, 259
— прогрессивные, 21
— продольные в стержне, 174
— растяжения-сжатия в стержне,
174
— Релея, 256
— свободные, 21
— собственные, 21
— сферические Р, 98
обобщенные, 318
— цилиндрические, 137
Вязкоупругость, 339
Главное значение интеграла по
Коши, 421
Движение колебательное, 12
— материального тела, 11
— плоское, 43
— сферическое, 95
— цилиндрическое, 137
464
Предметный указатель
Дельта-совокупность функций,
423
Динамическое возбуждение одной
из границ слоя, 65
полупространства, 54
— обжатие толстостенной сферы
с жесткой вставкой и шара,
124
— расширение толстостенного
цилиндра с жесткой вставкой,
172
Длина вектора, 412
— волны, 22
Жидкость вязкая, 348
анизотропная, 349
изотропная, 350
— однородная, 356
линейная, 351
— идеальная, 351
— неньютоновская, 349
— ньютоновская, 349
— стоксовая, 349
Задача Даниловской, 81
— Лзмба плоская, 279
пространственная, 289
— на собственные значения, 20
— с дискретным спектром, 35
— статическая,14
— Штурма-Лиувилля, 37
Изображение, 445
— Лапласа, 442
— Фурье, 437
Интеграл от обобщенной функ-
функции, 433
Источник сферической волны, 98
Квазифронт, 18
Колебания, 12
— вынужденные гармонические,
19
— свободные, 14
— собственные, 20
— точки,12
Кратность собственного значения,
34
Критерий дельта-совокупности,
423
Материальное тело, 11
Метод бегущих волн, 48
— факторизации, 217
Метрика пространства, 412
Мода, 21
— волны, 22
Модель математическая, 11
— среды однородная, 18
Модуль вектора, 412
Норма вектора, 412
Носитель обобщенной функции,
418
Нулевой элемент пространства,
412
Обжатие сферы толстостенной,
124
— шара, 124
Область определения оператора,
38
Оболочка Кирхгофа-Лява, 375
сферическая, 391
цилиндрическая круговая,
382
— типа Тимошенко, 371
сферическая, 386
цилиндрическая круговая,
377
Обращение интегрального преоб-
преобразования, 446
Оператор, инвариантный относи-
относительно сдвига, 24
— модели, 11
— условий граничных, 11
начальных, 11
Операции вычитания векторов,
412
— сложения векторов, 412
— умножения вектора на число,
412
Оригинал преобразования Лапла-
Лапласа, 441
— Фурье, 437
Предметный указатель
465
Параметр обобщенной функции,
422
— преобразования, 445
Лапласа, 442
Фурье, 437
Параметры модели определяю-
определяющие, 11
Первообразная обобщенной функ-
функции, 431
Период волны, 23
Пластина Кирхгофа, 397
— типа Тимошенко, 395
Подпространство линейное, 414
Показатель автомодельности, 21
— роста функции, 441
Полость сферическая с жесткой
вставкой,113
со свободной поверхностью,
115
— цилиндрическая с жесткой
вставкой, 158
со свободной поверхностью,
160
Последовательность дельтообраз-
дельтообразная, 423
Потенциал, 17
Предел обобщенной функции, 422
— последовательности, 413
функционалов, 415
Представление интегральное
обобщенной функции, 445
— Коши обобщенное, 435
Преобразование интегральное
обобщенной функции, 445
обратное, 446
порожденное двумя другими,
453
Лапласа, 442
Фурье, 437
— косинус, 446
— синус, 446
— обобщенной функции
медленного роста, 438
Ханкеля, 447
— Лапласа обратное, 443
Фурье, 438
— подобия, 420
равномерное, 420
— пространства, 419
Преобразование сдвига, 420
— симметрии, 420
Продолжение функционала, 416
Произведение прямое обобщен-
обобщенных функций, 428
— тензорное обобщенных функ-
функций, 428
Производная в обычном смысле,
426
— обобщенной функции, 425
Пространство векторное действи-
действительное, 412
— евклидово, 412
— линейное, 412
со сходимостью, 413
— мер, 416
— метрическое, 412
— обобщенных функций, 416
— оригиналов по Лапласу, 441
— основное, 414
— сопряженное, 415
Процесс волновой нестационар-
нестационарный, 17
— движения материального тела,
11
— квазистатический, 14
— неустановившийся, 14
— переходный, 14
— распространения возмущений,
14
— установившийся, 19
Равенство двух векторов, 412
Расстояние между двумя векто-
векторами, 412
Резонанс, 21
Свертка обобщенных функций,
430
Свойства аналитического пред-
представления обобщенных функ-
функций, 434
— обобщенной производной, 425
— однородных функций, 421
обобщенных функций, 429
— первообразных обобщенных
функций, 431
— преобразования Лапласа обоб-
обобщенных функций, 443
466
Предметный указатель
Свойства преобразования Фурье
обобщенных функций, 438
Ханкеля, 448
— прямого произведения обоб-
обобщенных функций,428
— свертки обобщенных функций,
430
— собственных значений и функ-
функций, 38
Система решений нормальная
фундаментальная, 188
Скалярное произведение векто-
векторов, 412
Скорость волн Рзлея, 256
— волны групповая, 23
— движения волнового фронта, 17
— распространения возмущений
бесконечная,18
— фазовая, 22
Слабая сходимость, 416
Слой двойной на поверхности, 427
Собственная мода, 21
— форма, 21
— функция, 34
— частота, 20
Собственное значение, 34
простое, 39
— число, 34
Состояние возмущенное, 16
— невозмущенное, 16
Спектр, 34
— дискретный, 35
Способы построения аналитиче-
аналитических представлений, 435
Среда бездисперсная, 23
— дисперсная, 23
— Коши, 254
— термовязкоупругая, 333
изотропная однородная, 354
— упругая анизотропная однород-
однородная, 354
Тензор Грина, 234
Теорема Стеклова, 38
Теория упругости, 340
Термовязкоупругость несвязан-
несвязанная, 339
Термоупругость несвязанная, 339
— связанная, 339
Трансформанта, 445
— Лапласа, 442
— Фурье, 437
Удар кинематический по балке,
196
Уравнение Эйлера, 351, 428
Условие излучения Зоммерфель-
да, 20
— существования свертки, 430
Фаза волны, 22
Формула Д'Аламбера, 48
— разложения сложной дельта-
функции, 427
единицы, 415
Фронт волновой сферический, 18
цилиндрический, 18
— плоский, 17
— сильного разрыва, 17
— правильного, 17
— слабого разрыва, 17
Фундаментальное решение, 24
поверхностное, 28
Функции балочные, 188
— Крылова, 188
— основные, 415
— равные почти всюду, 418
Функционал, 415
— линейный, 415
— непрерывный, 416
— продолжаемый, 416
Функция влияния, 24
поверхностная, 28
температурная, 76
— Грина, 24
поверхностная, 28
Функция локально интегрируе-
интегрируемая, 417
— медленного роста, 418
— обобщенная, 416
бесконечного порядка, 416
зависящая от параметра
непрерывная в точке, 422
инвариантная относительно
преобразования, 420
конечного порядка, 416
медленного роста, 416
нечетная, 421
Предметный указатель
467
Функция обобщенная однородная,
421
периодическая, 420
равная нулю, 418
регулярная, 417
сингулярная, 417
сложная, 419
сосредоточенная на множе-
множестве, 418
сферически симметричная,
420
финитная, 418
центрально симметричная,
420
четная, 421
Функция финитная, 414
Характеристическое уравнение,
34
Центр сферической волны, 98
Частота колебаний, 19
— фазовая, 22
Числа Маха, 263
Этап дозвуковой, 263
— сверхзвуковой, 263
— трасзвуковой, 263
GORSHKOV A.G., MEDVEDSKY A.L.,
RABINSKY L.N., TARLAKOVSKY D.V.
WAVES IN CONTINUUM MEDIA
Textbook for Universities
FIZMATLIT
Moscow, 2004, 472 pages
The basics for dynamics of continuums are presented. Unified approach
to this branch of science will be useful for investigation of complicated
problems. When considering particular problems, the main attention is
paid for models of mechanics of deformable bodies. Theoretical matter is
supplied by numerous examples with illustrations.
Fundamental notions are defined; the classification of dynamic pro-
processes is presented. One-dimensional plane waves, spherical waves and
cylindrical waves are studied. One-dimensional dynamic processes in rods
and thin-walled plates are investigated. Solutions for initial-value problems
are presented for the cases of a space and a plane. Solutions for stationary
and non-stationary two-dimensional problems are presented for the case
of a semi-restricted region. The textbook contains necessary matter on
various models of continuums as well as on distributions and integral
transforms.
The book is addressed to graduate students studying continuum me-
mechanics. It may be useful for post-graduate students, lectures, and institu-
institutional and industrial researchers.
Contents
Table of Contents
Introduction
List of Notation
Chapter 1. Basics
1.1. Classification of Dynamic Processes
1.2. Non-Stationary Processes
1.3. Stationary Processes
1.4. Fundamental Solutions
1.5. Method of Separation of Variables
Chapter 2. Plane Waves
2.1. Types of Plane Waves
2.2. Propagation of Disturbances in Unbounded Media
2.3. Plane Waves in Elastic Half-Space. Propagation of Boundary Distur-
Disturbances
2.4. Propagation of Volume and Initial Disturbances in a Half-Infinite
Elastic Medium
2.5. Boundary Disturbances in an Elastic Plane Lamina
2.6. Propagation of Volume and Initial Disturbances in a Plane Lamina
2.7. Boundary Temperature Disturbances in a Half-Plane
2.8. Propagation of Disturbances in an Unbounded Visco-Elastic Medium
2.9. Boundary of Disturbances in a Visco-Elastic Medium
Chapter 3. Spherical Waves
3.1. The Structure of Spherical Waves
3.2. Propagation of Spherical Disturbances in Unbounded Elastic Media
3.3. Propagation of Boundary Disturbances Generated at a Spherical
Cavity
3.4. Volume and Initial Disturbances in a Space Having a Spherical Cavity
3.5. Propagation of Boundary Disturbances in a Thick-Walled Sphere
3.6. A Thick-Walled Sphere Under the Action of Mass Forces and Initial
Disturbances
Chapter 4. Cylindrical Waves
4.1. Types of Cylindrical Waves
4.2. Propagation of Cylindrical Disturbances in an Unbounded Elastic
Medium
4.3. Boundary Disturbances Generated at a Cylindrical Cavity
4.4. Propagation of Volume and Initial Disturbances in a Plane Lamina
in a Space Having a Cylindrical Cavity
4.5. Non-Stationary Waves in a Thick-Walled Cylinder
4.6. Propagation of Boundary Disturbances in a Thick-Walled Cylinder
Chapter 5. Wave in Rods and Plates
5.1. Longitudinal and Torsional Waves in Rods
5.2. Bending Waves in Rods. Propagation of Initial Disturbances in an
Unbounded Rod
5.3. Transversal Vibrations of a Beam of Finite Dimensions
5.4. Propagation of Boundary Disturbances in Beams
5.5. Axi-Symmetric Vibrations of an Unbounded Plate
5.6. Axi-Symmetric Vibrations of Circular Plates
5.7. Boundary Disturbances in Circular Plates
Chapter 6. Waves in an Unbounded Space and Plane
6.1. Speeds of Traveling of Elastic Waves
6.2. Propagation of Volume and Initial Disturbances in an Elastic Space
6.3. Non-Stationary Disturbances in an Elastic Plane
Chapter 7. Two-Dimensional Waves in a Half-Space and Plane
Lamina
7.1. Rayleigh Waves
7.2. Automodel (Progressive) Waves in a Plane Lamina
7.3. A Half-Space Under the Action of a Surface Load Traveling at a
Constant Speed
7.4. Non-Stationary Boundary Disturbances in Elastic Half-Plane
7.5. Axi-Simmetric Boundary Disturbances in Elastic Half-Space
7.6. Non-Stationary Boundary Disturbances in an Acoustic Half-Space
7.7. Axi-Symmetric Boundary Disturbances Generated at a Spherical
Cavity
7.8. A Plane Problem on Propagation of Boundary Disturbances from a
Cylindrical Cavity
Appendix A. Models for Mediums and Deformable Bodies
A.I. Anisotropic Thermo-Visco-Elastic Medium
A.2. Isotropic Thermo-Visco-Elastic Medium
A.3. Fluid
A.4. Equations of Motion of Mediums in Some Reference Frames
A.5. Equations of Motion of Elastic Shells
A.6. Equations of Motion of Cylindrical and Spherical Shells
A.7. Equations of Motion of Thin-Walled Elastic Plates
A.8. Equations of Motion of Plates in Orthogonal Cartesian and Polar
Frames
A.9. Equations of Motion of Elastic Rods
Appendix B. Distributions
B.I. Basic Spaces
B.2. Definition and Properties of Distributions
B.3. Distributions Dependent on a Parameter. Delta-Sets of Function
8.4. Differentiation of Distributions
8.5. Direct Multiplication and Convolution
B.6. Antiderivative and Integral for Distributions
B.7. Analytical Representation of Functions
Appendix C. Integral Transforms of Distributions
C.I. The Fourier Transform of Distributions
C.2. The Laplace Transform of Distributions
C.3. Other Transforms. The Hancel Transform
C.4. Inversion of the Compound Fourier-Laplace Transform
C.5. Inversion of the Hancel transform based on the Fourier Transform
Appendix D. Determination of the Velocity of a Surface
Name Index
Subject Index
References
Учебное издание
ГОРШКОВ Анатолий Герасимович
МЕДВЕДСКИЙ Александр Леонидович
РА ВИН С КИЙ Лев Наумович
ТАРЛАКОВСКИЙ Дмитрий Валентинович
ВОЛНЫ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
Редактор Д.А. Миртова
Оригинал-макет: В.В. Худяков
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 25.05.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 29,5. Уч.-изд. л. 32,45. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАЙК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0338-5
985922 103381