В. М. АЛЕКСАНДРОВ
Е. В. КОВАЛЕНКО
ЗАДАЧИ
МЕХАНИКИ
СПЛОШНЫХ СРЕД
СО СМЕШАННЫМИ
ГРАНИЧНЫМИ
УСЛОВИЯМИ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986

ББК 22.25
А46
УДК 539.3
Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплош-
сплошных сред со смешанными граничными условиями.— М.: Наука. Гл. ред
физ.-мат. лит., 1986.— 336 с.
Дается систематическое наложение как классических результатов в об-
области плоских смешанных задач, так и новейших достижений теория. Осо-
Особое внимание уделено эффективным аналитическим методам решеппя сме-
смешанных задач н их математическому обоснованию. Рассмотрены смешан-
смешанные задачи: теории упругости — задачи контактного взаимодействия, кон-
концентрации напряжений вблизи трещин и тонких включений (подкрепле-
(подкреплений); гидродинамики — задачи теории крыла, глиссирования и удара,
струйных и кавитационных течений. Приведенные в книге методы найдут
также применение в термодинамике, акустике и других областях матема-
математической физики.
Для специалистов в области механики сплошных сред и математиче-
математической физики, инженеров, а также студентов и аспирантов механико-мате-
механико-математических п физических факультетов университетов.
Табл. 4. Ил. 31. Библиогр. 151 пазв.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук М. Д. Мпртыпенко,
кандидат физико-математических наук Б. И. Сметании
Убедительная просьба
На соёмъ члтйющинъ и рассматриваю
щинь ннлги, эстампы фняграфш и т д,
1 ) ПН KcEKtfXTs ГЮДрИС ^^ОН~Ьр РЭСК]
ван!Й и отлгЬтйчъ не д*пать;
2) при перелисгывамж страиицъ
д
3) пере
у
4) при
тографэй и
не испортить,
кури;
5) перед~ь Е1ачяломъ рааслягриЁагйв и
чтенет руин гщйтйльнО мыть; гтотными
7) ОСгожну иги переглгтъ книги пе-
*е употребляв при &толъ особою предаете-
1703040000—141 -0
053@2)-86
Издательство «Наука».
Главна.! редакция
Физико-математической литературы,
19Ь0

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время линейные задачи со смешанными гранич-
граничными условиями благодаря важности их практических приложе-
приложений и специфике методов их решения выделились в самостоя-
самостоятельный раздел механики сплошных сред. Этому способствовало
и то обстоятельство, что конкретные задачи, с которыми прихо-
приходится сталкиваться в теории упругости, гидромеханике, термоди-
термодинамике, акустике и других областях математической физики, при
надлежащей их постановке в основном оказываются смешанны-
смешанными. Смешанные задачи в теории упругости возникают при рас-
расчете различных деталей машин и элементов конструкций, находя-
находящихся во взаимодействии, при расчете фундаментов и оснований
сооружений; это все так называемые контактные задачи. Сме-
Смешанными задачами также являются многие задачи концентрации
напряжений в окрестности всевозможных трещин, инородных
включений, подкрепляющих стрингеров и накладок, задачи из-
изгиба лластин и оболочек при сложных условиях их опирания.
Немало смешанных задач и в гидромеханике. Это в боль-
большинстве своем линеаризованные задачи теории крыла и глисси-
глиссирования, теории суперкавитации и струйных течений, теории
капки корабля и удара тел о поверхность жидкости, фильтрации,
теории взрыва, ряд задач гидроупругости.
В настоящее время как в нашей стране, так и за рубежом
нет книг по смешанным задачам, в которых материал был бы
изложен с достаточной полнотой и в достаточно доступной фор-
форме для широкого круга читателей, несмотря на сложность исполь-
используемого математического аппарата. Предлагаемая монография
удовлетворяет этим требованиям и написана на основе курса
лекций «Смешанные задачи механики сплошных сред», читав-
читавшегося одним из авторов в течение ряда лет в Ростовском, а за-
затем в Московском университетах. На формирование этого курса
лекций значительное влияние оказали Н. X. Арутюнян,
И. И. Ворович и Л. А. Галин.
Постановки, методы и результаты решения конкретных за-
задач со смешанными граничными условиями, изложенные в мо-
монографии, могут быть использованы в системе спецкурсов, до-
дополняющих основной университетский курс механики сплошных
сред. Монография также может быть рекомендована как пособие
1*

4	предисловие
для студентов, аспирантов и инженеров-исследователей, специа-
специализирующихся в области механики сплошных сред, математиче-
математической физики и прикладной математики.
В книге рассматриваются лишь плоские задачи механики
сплошных сред со смешанными граничными условиями. Однако
многие результаты, изложенные в ней, применимы и при реше-
решении ряда пространственных смешанных задач, таких, например,
как смешанные задачи для цилиндрических и конических обла-
областей. Эти вопросы в книге не затронуты, они могли бы составить
содержание отдельной монографии.
В книге в едином стиле изложены как старые, классические
результаты в области смешанных задач, так и все основные
новейшие достижения. Особое внимание в ней уделено изложе-
изложению и математическому обоснованию эффективных методов ре-
решения неклассических смешанных задач механики сплошных
сред. При этом авторы в основном опирались на собственные
исследования. Вспомогательный материал и результаты работ
других авторов привлекались лишь по мере необходимости для
большей полноты и наглядности. Для демонстрации методов вы-
выбирались по возможности несложные задачи, чтобы технические
детали не затуманивали существа дела.
Большую помощь при подготовке рукописи оказали
И. Ф. Александрова, Н. Ф. Бурмистрюк, С. А. Гришин, П. Г. Ива-
ночкин. Ряд своих неопубликованных результатов авторам лю-
любезно предоставили Л. М. Филиппова (§ 1 гл. 4) и В. Б. Зелен-
Зеленцов (§ 2 (п, 2) гл. 5). Улучшению всего изложенного материала
способствовали замечания, сделанные М. Д. Мартыненко и
Б. И. Сметаниным, взявшими на себя труд прочитать рукопись
книги. Всем перечисленным лицам авторы сердечно благодарны.

ГЛАВА 1
ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Общий план решения задач механики
сплошных сред со смешанными граничными условиями.
Основные типы смешанных задач
Главной особенностью задач со смешанными граничными ус-
условиями является то обстоятельство, что, прежде чем присту-
приступать к их решению, необходимо предварительно научиться ре-
решать соответствующие несмешанные задачи. Рассмотрим это бо-
более подробно на примере класси-
классической задачи математической
физики [1] об определении гармо-
гармонической функции ф(Р) в трех-
трехмерной односвязной области V
(PsV) по ее значениям или зна-
значениям ее нормальной производ-
производной на границе области S.
Если на всей границе S (вклю-
(включая бесконечно удаленные точки
для неограниченной области V)
задана ф((?) (QeS), то такая за-
задача, как известно, называется
задачей Дирихле. Если же на всей
границе S задана производная	Рис. 1.1
dq>(Q)/dn, то имеем задачу Неймана. Наконец, если (рис. 1.1)
ф (<?) = /(<?) (Q^sj,	(l.i)
A.2)
дп
то приходим к задаче со смешанными граничными условиями.
Введем в рассмотрение неизвестные функции
?еЦ	A.3)
Qe-SJ	A.4)
дп
q(Q)
и исследуем одну из вспомогательных задач: а) задачу Дприхле

6	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
с условиями A.1), A.3) или б) задачу Неймана с условия-
условиями A.2), A.4).
Допустим, что найдено решение первой вспомогательной за-
задачи в виде
Ф (Р) = A*f + Atp.	A.5)
Отсюда, дифференцируя и устремляя Р к границе S, найдем
ЩЯ1 - AJ + А2р.	A.6)
Здесь А; п Aj (i = l, 2) — аддитивные и однородные операто-
операторы1). Если теперь принять во внимание, что на Sz значение
dq(Q)/dn известно, то на основании A.6) получим операторное
уравнение для определения неизвестной функции р:
A2p = g(Q)-Alf (QeSt).	A.7)
Предположим, что удалось построить точное или приближенное
решение операторного уравнения A.7), тогда по формуле A.5)'
находится решение смешанной задачи A.1), A.2).
Точно так же, если найдено решение второй вспомогательной
задачи A.2), A.4)
A.8)'
то, устремляя Р к границе S и вспоминая, что значение ф(Р)
на Si известно, получим на основании A.8) операторное уравне-
уравнение для определения неизвестной функции q:
Biq = f(Q)-Bzg (QeS,).	A.9)'
После решения операторного уравнения A.9) решение смешан-
смешанной задачи A.1), A.2) найдем по формуле A.8).
Таким образом, основные этапы решения смешанной задачи
таковы: а) построение решения некоторой вспомогательной (не-
(несмешанной) задачи; б) сведение смешанной задачи к оператор-
операторному уравнению; в) построение решения операторного уравнения.
Последняя процедура дает возможность как бы доопределить
граничные условия на S (найти (p(Q) на «S2 или d(p(Q)/dn на St)
и тем самым на заключительной стадии решения смешанной за-
задачи найти искомую величину (функцию ц>(Р)) внутри области
V по предварительно построенному решению вспомогательной
задачи.
Возможность реализации изложенной схемы ограничена, ибо
решения операторных уравнений A.7), A.9) для трехмерного
варианта смешанной задачи только в исключительных случаях
!) Операторы Ai могут быть выписаны явно с помощью функции
Грина.

§ 1. ОБЩИЙ ПЛАН РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ	7
могут быть получены в замкнутом виде. Приближенные методы
решения таких операторных уравнений в общем случае еще сла-
слабо развиты.
Чтобы лучше охарактеризовать математические трудпости,
возникающие на пути решения уравнений A.7), A.9), заметим,
что даже в таком классическом случае, когда область V есть
полупространство и g(Q) = 0, а операторное уравнение A.9)
принимает достаточно простой вид [2]
я
Ш1^Р = 2л/@ (Qe-SJ,	A.10)
исследование смешанной задачи далеко от завершения. Замкну-
Замкнутое решение интегрального уравнения A.10), за исключением
его осесимметричного и одномерного (плоского) вариантов, най-
найдено лишь в случае эллиптической1) области Si и полиномиаль-
полиномиальной правой части [2—5]. Построение приближенного решения
интегрального уравнения A.10) для достаточно общего вида об-
области Si представляет собой серьезную вычислительную задачу.
В двумерных случаях (плоском и осесимметричном) положе-
положение с решением операторных уравнений A.7), A.9) обстоит
значительно лучше. В плоских смешанных задачах для гармони-
гармонической функции в случае области V с достаточно гладким кон-
контуром решение с помощью метода конформных отображений мо-
может быть представлено в замкнутом виде. Осесимметрпчные
смешанные задачи для гармонической функции могут быть, как
правило, эффективно решены с помощью сочетания аналитиче-
аналитических и численных методов.
До сих пор речь шла о смешанных задачах для уравнения
Лапласа. Смешанные задачи механики сплошных сред могут быть
исследованы по изложенному выше плану. Вместе с тем мате-
математические трудности здесь еще больше увеличиваются, посколь-
поскольку смешанные задачи механики сплошных сред в большинстве
своем являются «бигармоническими» и «тригармоническими».
Т/величивается также и разнообразие возможных постановок сме-
смешанных задач.
Опишем схематично основные типы смешанных задач меха-
пики сплошных сред и дадим их классификацию по степени ма-
математической сложности на примере смешанных задач теории
упругости.
Пусть на гладкой поверхности S упругого тела, занимающего
односвязную область V (рис. 1.1), задана ортогональная система
коярдинат (s, t, n). Здесь s и I — оси, лежащие в касательной
!) Известны также [6] замкнутые решения в случаях гиперболической
и параболической области S\ при /((?) = const.

8	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
к поверхности S плоскости в некоторой точке Q, п — внешняя
нормаль к поверхности тела в точке Q. Вектор полного напря-
напряжения в точке Q можно теперь представить в виде
р„ = а„п0 + Tnss0 + tnito,	A.11)
а вектор полного перемещения точки Q — в виде
u = wn0 + us0 + vta.	A.12)"
Здесь n0, s0 и t0 — единичные векторы, а„ — нормальное напряже-
напряжение, т„, и Tni — касательные напряжения.
Смешанные задачи теории упругости можно разделить на
три типа:
а)	на всей поверхности S заданы какие-либо два напряжения
или два перемещения, третье напряжение (перемещение) и со-
соответствующее ему перемещение (напряжение) заданы на двух
взаимно дополняющих друг друга частях Si и Sz поверхности S,
например,
r.. = Pi(Q), rnt = p3(Q) (Q^S),
A13)
б)	на всей поверхности S задано какое-либо напряжение или
перемещение, два других напряжения (перемещения) и соответ-
соответствующие им перемещения (напряжения) заданы соответствен-
соответственно на Si и «S2, например,
SJ,	A.14)'
v = ft(Q) (Qest);
в) на Si задан вектор полного напряжения, а на Sz — вектор
полного перемещения (полный раздел граничных условий)
(Q^Si),
A.15)'
*st).
Рассмотрим более подробно задачи типа в). Согласно изло-
изложенной выше схеме решения смешанных задач необходимо сна-
сначала изучить вспомогательную несмешанную задачу. В качестве
такой задачи возьмем следующую: на всей поверхности тела S
задан вектор полного напряжения
A.16)'
Предположим, что мы сумели найти решение этой задачи
теории упругости, т. е. определили поля перемещений и напря-
напряжений внутри данного тела. Тогда мы также будем знать пере-
перемещения точек поверхности тела S. Именно, нам будет известен

§ 1. ОБЩИЙ ПЛАН РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
матричвый оператор
(Q^S),	A.17)
или, в проекциях на оси (s, I, n),
AZi(Pi) + Azz(pz) + Az3(p3) = u(Q),	A.18)
В силу линейности уравнений теории упругости все операторы
Aij будут аддитивными и однородными. Заметим также, что опе-
операторы по возможности должны быть представлевы в аналити-
аналитической форме.
Введем в рассмотрение разрывные фувкции
Ръ на iSj, Bj JO на Sj,
О на $2,	[Pk на о2
и заметим, что
Xj \ I, п. _, i ? ft /	IJ \ I ft / '	IJ \ t ft /	\	f
Далее обозначим
/1 / ~ \ ^ / I 	 ^4 ^ ^ / n \ Л i л " ^ i 	 A ^ (т\ \	i \ *У W
xxx*, \yj)\ } — ~^~^ii \l lt)i ^~^i3 \Jrh } — "^ij \1 ft)'	V */
Удовлетворяя теперь первой серии гравичвых условий A.15),
найдем, что
Л<1) Ir, \ 	 Д(\) {„ \	/I, 	 \ О Ч\	(А 0О\
ij \I k) — ij \4k)	У"* — ^ 1 1 }'	\	/
Удовлетворяя далее с помощью соотношевий A.18) второй се-
серии граничвых условий A.15), получим следующую систему трех
операторных уравнений отвосительно веизвестных функций ph
на Sz:
2) + a[V (р,) = и (Q) - 4V (?х) -
4V (р2) + 41' (р3) = /2 (<?) - 4V(gx) -
4V (Р2) + 4^ (ря) = /з (<?) - 4V Ы -
A.23)
Итак, смешанная задача типа в) сведена к решению системы
операторных уравнений A.23). Решив эту систему и определив
тем самым р* на S2l придем к вспомогательной задаче A.16).
Действительно, вектор полного напряжения будет известен нам
уже на всей поверхности S. Но по предположению, сделанному
выше, несмешанную задачу A.16) для данного тела мы решать
умеем. Следовательно, зная функции рк на «S2, мы сможем опре-

Ю	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
делить поля перемещений и напряжений внутри тела и тем
самым довести решение смешанной задачи типа в) до конца.
Возьмем теперь в качестве вспомогательной задачи другую.
Пусть на поверхности тела S задан вектор полного перемещения
v = g3(Q).	A.24)
Предположим, что мы сумели найти решение этой задачи тео-
теории упругости. Тогда нам будет известен матричный оператор
A.25)
т. е. мы будем знать напряжения на поверхности тела S. Как и
выше, операторы Вц будут аддитивными и однородными.
По аналогии с A.21) введем в рассмотрение операторы
и В\у. Теперь, удовлетворяя граничным условиям A.15) сме-
смешанной задачи с помощью решения A.25) вспомогательной за-
задачи A.24), получим следующую систему трех операторных
уравнений относительно неизвестных функций gk на St:
В® (ёг) + MV Ы + МУ Ы = Яг (Q) ~ #n (/х) - В™ (/,) - B$(fs),
+ MV (g2) + ^ (g3) = q2 (Q) - Bg (fl} - Б® (ft) - B<? (/3),
+ B% (g2) + Bg (g3) = qa (Q) - Bfl (Д) - B$ (/.) - Мз» (/3)
A.26)
Решив эту систему, мы придем к вспомогательной задаче
A.24). Действительно, нам уже будет известен вектор полного
перемещения на всей поверхности S, и мы сможем довести реше-
решение смешанной задачи типа в) до конца, определив поля пере-
мещепий и напряжений внутри тела.
Для смешанных задач теории упругости типа а) и б) изло-
изложенная выше схема упрощается.
Именно, для задачи типа а) вида A.13) система A.23), как
нетрудно установить, принимает форму
(Q e st),
U (Q) = 4V (Рг) + 4V (Яг) + А2г (ря) + А23 (рз),	A.27)
IAQ) = 4f(Pi) + 4V (gx)+ Aa(p2) + 4з(р3)
Первое соотношение A.27) представляет собой операторное
уравнение для определения pi на S2. После его решения окон-

§ 1, ОБЩИЙ ПЛАН РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ	11
чательное исследование смешанной задачи типа а) сводится
к вспомогательной, задаче A.16). Второе и третье соотношения
A.27) дают возможность найти выражения u = fz(Q) и v = f3(Q)
на всей поверхности тела S,
Точно так же можно убедиться, что система A.26) в случае
задачи типа а) сводится к одному операторному уравнению
MV (gt) = qx (Q) - В$ (h) - Вп Ш - В13 (g3) (Q e= SJ. A.28)
Таким образом, смешанные задачи типа а) являются наибо-
наиболее простыми в математическом отношении (сводятся к решению
одного функционального уравнения), а задачи типа в)—наибо-
в)—наиболее сложными (сводятся к решению системы трех функциональ-
функциональных уравпений).
Промежуточными между задачами а) и в) в смысле мате-
математических трудностей являются задачи типа б). Действительно,
для задачи типа б) вида A.14) система A.23), как нетрудно
заметить, принимает форму
к (Q) = Ai (Рг) + 4У (ga) + 4!' (Pa) + 4V (&) + 41' (p») (Q e s),
4У (p2) + 4V (p3) = /2 (Q) - a21 (Pl) - 4V (ga) - 4V (g8), A-29)
2) + 4V (p3) = /»(<?) - Л1 (Pi) - 4У (&) - 4V (g8) (<? e sa).
Второе и третье соотношения A.29) представляют собой си-
систему двух операторных уравнений для определения pz и р3
на iS2. После их решения окончательное исследование смешанной
задачи типа б) сводится к вспомогательной задаче A.16). Первое
соотношение A.29) дает выражение w = fi(Q) на S.
Точно так же система A.26) в случае задачи типа б) сво-
сводится к системе двух операторных уравнений
(g3) = q2 (Q) - В21 (8i) - В$ (Q - Д<§> (/8),
3) = q3 (Q) - B3i (gi) - #8V (/2) - MV (/3) (Q e sx)-
A.30)
При исследовании плоских и осесимметричных задач теории
упругости по изложенной схеме надо учесть, что векторы и и
р„ имеют лишь две проекции, и поэтому здесь могут быть по-
поставлены лишь смешанные задачи типа а) и б).
При исследовании смешанных задач антиплоской деформации
и осесимметричной деформации кручения, т. е. задач «гармони-
«гармонического» типа, возможны лишь задачи типа а).

12	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
§ 2. Основные системы уравнений теории упругости,
ньютоновской жидкости и идеальной жидкости
1. Основные уравнения трехмерной теории упругоетн для
изотропного тела [7]. Уравнения Ламе:
(l-2v)Au + grad9 = 6u, © = divu.	B.1)
Здесь и — вектор полного перемещения, зависящий от радиуса-
вектора г и времени t, v — коэффициент Пуассона, 6 = pG~f(l —
— 2v), p — плотность материала тела, G — модуль сдвига, точка
означает частную производную по времени. В уравнениях дви-
движения B.1) и далее массовые силы не учитываются.
Заметим, что для декартовой прямоугольной системы
координат
,.	du dv dw	, , df . , df . df ,
div u = z—h—h 3—» grad / = r- i + ^ j + т- *,
dx dy dz °	dx	dy * dz '-
4 a*- . d* a3	B-2)
где и, v, w — проекции вектора полного перемещения на
оси х, у, г.
Уравнения закона Гука:
2G Г,.	.Эй , [dw dv\]	r (ди , dv
2G \/4 \ dv , (ди , dwW	Г (ди , дш
2G Г..	. dw	(du dv \"|		 л (dv dw \
Здесь ох, oy, Gz (нормальные напряжения) и хху, rxz, ryz (каса-
(касательные напряжения) — компоненты тензора напряжений в де-
декартовой прямоугольной системе координат.
2. Уравнения плоского деформированного состояния изотроп-
изотропного упругого тела. Уравнения Ламе:
A — 2v) Аи + — = Ьи, A — 2v) At? + х- = bv, w = 0, B.4)
dx	dy
а д2 . <fi r\ du dv
и = и(х, y,t), v = v(x,y,t)t

§ 2. ОСНОВНЫЕ РАЗРЕШАЮЩИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	13
Уравнения закона Гуна:
2G Г,. ,ди	ди
3. Уравнения антиплоской деформации изотропного упругого
тела. Уравнения Ламе:
Aw= —riv, и = v = 0, w = w (х, у, t) с%=Л/ —• B.6)
е|	' 9
Здесь, таким образом, уравнение для w совпадает с волновым
уравнением [1].
Уравнения закона Гука:
а	¦ „dw	„ dw	,n ~\
ах = ау = oz= хху = U, ткг = Сг —, xez = Cr щ. (I. i)
Соотношения пп. 2, 3, очевидно, применимы для бесконечно длин-
длинных цилиндрических тел ').
4. Трехмерные уравнения вязкой сжимаемой жидкости2).
Уравнения Навье — Стокса [8]:
v2	1	v
v + grady + fiXv = — — gradp+ у gradft + vAv,
p + vgradp + pO = 0, р = Ф(р), Q = rotv, O = divv.
В уравнениях B.8) v—вектор скорости, р — плотность жидко-
жидкости, р — давление, v = цр, ц — коэффициент вязкости, Ф(р) —
заданная функция.
В декартовой системе координат
Ч?-%) ¦ + (?-?)«+ (&-?)*• <2-9>
где vx, vv и vz — проекции вектора скорости на оси х, у, ъ.
Уравнения закона Ньютона:
^f Тх2=1гE + ^), B.10)
dvz
J) Вопроса о применимости соотношений п. 2 к цилиндрическим те-
лам'конечной длины здесь не касаемся.
2) Здесь рассматривается модель ньютоновской жидкости с одним ко-
коэффициентом вязкости.

14	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Для случая несжимаемой жидкости (р = const) уравнения
B.8) и B.10) значительно упрощаются.
5. Уравнения плоского течения вязкой жидкости для малых
возмущений плоскопараллельного потока. Будем искать решение
уравнений B.8) в виде
vx = V + u, vy = v, vz = 0, p = p* + p0, р = р* + р0, B.11)
где vx = V, р% и р^. = ф (р%) — параметры плоскопараллельного
потока, направленного по оси х; и, v, р0 и р0 — малые возмуще-
возмущения этого потока, являющиеся функциями от х, у, t и исчезаю-
исчезающие на бесконечности. Подставляя B.11) в B.8) и пренебрегая
квадратами возмущений по сравнению со значениями соответ-
соответствующих величин основного потока, получим
Ро = Роф' (/>*), v0 = ш + vj.
Уравнения B.10) примут вид
2 „ „ ди 2 а „ dv
ах = — р —5" \>№о + 2[х ^—, 0у = — р	о- рто + ^!-1 я~'
„ f ди dv \		 rv
Для случая несжимаемой жидкости (р = const) уравнения
B.12) и B.13) значительно упрощаются.
6. Уравнения антиплоского течения вязкой жидкости. Пусть
в декартовой системе координат течение жидкости таково, что
va = Vv = 0, vt = vt(x, y,t), p = p(x,y,t). B.14)
Тогда из уравнений B.8) будем иметь
vz = v Avz, -г- = -г- ^0, р = 0.	(АЛЬ)
Таким образом, для баротропных жидкостей будет р = const, p —
= const, а из первого уравнения B.15), которое по структуре
совпадает с уравнением теплопроводности [1], найдется компо-
компонента vz.
Уравнения B.10) примут вид
ди,	ди,
их — Оу — Ог — —р, Тху — V, Xxz — fl-j-, Xyz—\i-j-, (Z.IO;

, § 2. ОСНОВНЫЕ РАЗРЕШАЮЩИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ	15
7. Уравнения идеальной жидкости. В уравнениях B.8) и
B.10) надо положить v = ц = 0. Если еще предположить, что
течение потенциально, т. е.
v = gradq>,	B.17)
то й = 0, и из первого уравнения B.8) можно получить так
называемый интеграл Коши
Ф + -|- (gradФ)* + Р = F(*), Р = ^г Р = Ф(Р), B-18)
где F (t)—произвольная функция времени. Второе уравнение
B.8) принимает вид
р +grad ф • grad р +рАср = 0.	B.19)
Как видно, для случая несжимаемой жидкости (р = const) ф
должна быть гармонической функцией.
8. Уравнения идеальной жидкости для малых возмущений
плоскопараллельного потока. Будем искать решение уравнений
B.18), B.19) в виде
Ф = Ух + ф0, р = р* + р01 р = р* + р0, р* = Ф (р*),. B.20)
где vx = V, р, н р, — параметры плоскопараллельного потока,
направленного по оси ж; ф0, ра и р'о — малые возмущения этого
потока, не распространяющиеся на бесконечность. Подставляя
B.20) в B.18), B.19) и пренебрегая квадратами возмущений по
сравнению со значениями соответствующих величин основного
потока, получим
с = УШ. = [Ф' (р,)Г'\ B.21)
;	B.22)
с* \	дх	дх I
здесь с — скорость звука в жидкости. Заметим, что при V = 0
уравнение B.22) принимает форму волнового уравнения; для
установившегося режима (ф0 = 0) при М = Ус~1-<1 уравнение
B.22) переходит в уравнение Лапласа, если вместо х ввести пе-
переменную \ = ху 1 — М2; при ф0 = 0 и М>1 уравнение B.22)
будет иметь вид
^ + ^_^Ф=0.	B.23)
ду1- д? дХ1 '	к '
если вместо х ввести переменную ? = ху М2 — 1.

16	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
§ 3. Некоторые сведения из функционального анализа
Приведем некоторые основные факты из функционального
анализа, необходимые в дальнейшем. Более подробно о них см.,
например, в [9—13].
1. Линейное пространство В называется банаховым, если
1)	каждому элементу /еВ поставлено в соответствие число
11/11, называемое нормой /, удовлетворяющее условиям:
а)	11/11 > 0, причем 11/11 = 0 тогда и только тогда, когда f=0;
б)	11й/Н = |a|il/H, где а — любое действительное число;
в)	имеет место неравенство треугольника
\\f + g\\^\\f\\ + \\g\\t geB;	C.1)'
2)	В — полное пространство.
Чтобы пояснить это свойство, введем следующие определения.
Последовательность элементов {/„} е В сходится сильно к эле-
элементу / (/„ =*¦/), если lira||/ — fn\\= 0. Последовательность {/„}
п-»оо
называется фундаментальной, если для любого е > 0 существует
такое число N, что
ll/»-/JKe (n,m>N)
для любых /„ и /т. Пространство В полно, если каждая фунда-
фундаментальная последовательность {/„} имеет	предел /еВ. Таким
образом, для полной системы выполняется	критерий сходимости
Коши.
Последовательность элементов {е{} е В	(i = l, 2, ...) назы-
называется базисом банахова пространства В,	если любой элемент
/еВ однозначно представим в виде
Однозначность, очевидно, равносильна условию, что только для
нуль-элемента все ?,• равны нулю.
Банахово пространство называется гильбертовым Н, если лю-
любой паре элементов /, g поставлено в соответствие некоторое
число (/, g) — скалярное произведение, удовлетворяющее следу-
следующим условиям:
г) (f,g) = (g,f);
Д)	U + g,h) = (f,h) + (g,h) (AeB);
е)	(a/, g) = a(f, g);
ж)	(/; /)^0, причем (/, /) = 0 тогда и только тогда, когда
/-0.
При этом 11/И2 = (/, /) и, кроме того, для любых двух элемен-
элементов /, geH справедливо неравенство Коши — Буняковского
К/, *) К И/"-11*11.	C.2)
Заметим, что из C.2) следует неравенство C.1).

§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	17
2. Примеры банаховых и гильбертовых пространств. 1) Про-
Пространство т1 состоящее из всех ограниченных бесконечных чис-
числовых последовательностей, с нормой
l/lL=sup|/i| (/ = {/,}, 1 = 1,2,...)	C.3)
i
является банаховым.
2)	Пространство 1Р (р > 1) бесконечных числовых последова-
оо
тельностей / = {/„}, для которых сходится ряд 2 I h |P< после
3=1
введения нормы
)	C-4)
становится банаховым пространством.
Если положить в C.4) р = 2 и ввести скалярное произведение
оо
(/, g)h = S fjgj,	C.5)
j=i
то банахово пространство 1г превращается в пространство Гиль-
Гильберта.
3)	Аналогом пространства 1Р среди функциональных про-
пространств является пространство Lp(a, b) (p^l), состоящее из
всех функций, абсолютно суммируемых со степенью р на отрез-
отрезке [а, 6], с нормой
/ Ь	\ 1/р
^	;	C.6)
L(a, b) = Ll(a, b)—пространство абсолютно суммируемых при
х е [д. Ь] функций. Здесь и далее интеграл будем понимать
в смысле Лебега [11].
Пространство Ьг(а, Ъ) гильбертово, причем
ь
U,g)L2 = )f-gdx.	C.7)
а
4)	Пространство Lp 2 (a, b) — пространство функций, абсо-
абсолютно суммируемых на отрезке [а, 6] со степенью р>1 и весом
[(b — x)(x — a)Yil2, с нормой
(з.8>
есть также пространство Банаха.
2 В. м. Александров, Е. В. Коваленко

18	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Пространство L2* (а, Ъ) гильбертово, причем
ь
x) (x — a)
C-9)
Сходимость в Lp{a, b) и Lp*(a,b) является сходимостью
в среднем с показателем р (во втором случае еще с указанным
весом).
5) Еще один пример банахова пространства представляет
множество М (а, Ь) всех ограниченных при х^[а, Ъ] функций
f(x) с нормой
||/|м= sup \f{x)\.	C.10)
Ь
Сходимость в М (а, Ь) есть равномерная сходимость.
6) Пространство V (а, Ь)—банахово пространство функций,
имеющих ограниченное изменение при х е [а, Ъ], с нормой
\\f\\v = \f(a)\ +(/(/),	C.11)
;¦=!
\f(Xj)-f(Xi-1)\,
где т — произвольное разбиение отрезка [а, 6] (а = х0 <xt < ...
7)	Пространство Ch(a, b) функций, имеющих непрерывные
производные порядка к при х е [а, Ъ], с нормой
II7 :lcft — 2j max ! 7 W |	(о. 1Z)
является банаховым пространством; С (a, b) = Ca(a, b)—про-
b)—пространство непрерывных при х е [а, Ь] функций.
Сходимость в Ch(a, b) означает равномерную сходимость как
последовательности самих функций, так и последовательностей
их производных у-го порядка (у = 1, 2, ..., к).
8)	Банахово пространство Н%(а,Ь) функций, к-е производ-
производные которых удовлетворяют условию Гельдера с показателем
О < а =?^ 1 при х s [а, Ъ], т. е.
1/ \Xi) — / \Х2) I *г iW I J>i — Х%\ ,	\О.1О)
%и %2 е [а, 6], Л^ — положительная постоянная.
Норма f(x)^H%(a, Ъ) определяется с помощью формулы
Шн«= i max I/a) (ж) I + supJ	jT^Ty^'. C-14).
причем ж, а?!, а;2 е [я, Ь], к > 0.

§ 3. СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	19
Имеют место следующие вложения введенных пространств
друг в друга '):
lp am, Ipd lq (p < q),
Н%+1 (a, b) cz Ck+1(a, b)czHl (a, b) с Ch (a, 6),
H\ {a, b)czV (a, b) cz M (a, b) cz Lp'* (a, b) cz Lp (a, b), (ЗЛ5)
Lv'* (a, b) cz L\'> (a, b), Lp (a, b) cz Lq (a, b) (p > q);
кроме того, если f (x)^ L(a, b), то f(x)^C(a, b). Отметим так-
также, что с пространствами lp и Lp(a, b) тесно связаны неравен-
неравенства Гельдера
1ы
b
j f-gdx
C.16)
3. Пусть В—пространство Банаха. Если каждому элементу
/еВ поставлено в соответствие некоторое вещественное (комп-
(комплексное) число J(/), то говорят, что на В определен функцио-
функционал J.
Функционал J называется линейным, если при любых ju
/jeBe для любых чисел a, P справедливо соотношение
Говорят, что линейный функционал ограничен на В, если су-
существует такое неотрицательное число Ж, что для всех /е В
|J(/) К ЛГИ/11.	C.17)
Наименьшее из чисел М, удовлетворяющее неравенству C.17),
называется нормой функционала J и обозначается Ш.
Теорема 1.1 (Рисе). Для всякого линейного и ограничен-
ограниченного в пространстве Гильберта функционала J(/) существует
единственный элемент g в этом пространстве такой, что
J (/) = (/, g), Ш = ИД	C.18)
Последовательность {/„} элементов пространства Банаха В
называется слабо сходящейся к элементу / (/».-*¦/), если для
любого линейного и ограниченного функционала J в В имеет ме-
место предельное соотношение
lim J (/„)-J(/).
!) Все указанные вложевия справедливы, если а и Ъ имеют конечные
значения. Отметим, что из В^ cz Вг следует | f\\B ^ т \\ / \\в ,- где т — по-
постоянная, не зависящая от / е В\.
2*

20	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Множество тсВ называется сильно (слабо) компактным,
если из всякого бесконечного подмножества множества m можно
выделить сильно (слабо) сходящуюся последовательность.
4. Пусть Bj и В2 — два банаховых пространства. Предполо-
Предположим, что определено правило, согласно которому каждому эле-
элементу /eBi ставится в соответствие элемент g s B2. Тогда гово-
говорят, что из Bj в В2 действует оператор А:
A/ = g.	C.19)
Оператор А, удовлетворяющий условию аддитивности и одно-
однородности
А (аД + рД) = аАД + рАД (Д, /,еВ,)
(а, р— числа), называется линейным.
Будем называть оператор А непрерывным на элементе / е Bl5
если существует такая последовательность элементов {/„} s B1}
что имеет место сильная сходимость А/„ =>¦ А/.
Оператор- А называется непрерывным на множестве m a Bit
если он непрерывен в каждой точке этого множества.
Оператор А ограничен, если существует такая постоянная М,
что для всякого /еВ,
IIA/II sS Mil/II.	C.20J
Наименьшее из чисел М, удовлетворяющее неравенству C.20),
называется нормой оператора А и обозначается ПАН. Любой огра-
ограниченный оператор непрерывен, и наоборот.
Оператор А называется обратимым, если для любого g s B2
уравнение C.19) имеет единственное решение. Оператор А, об-
обратный линейному оператору А, также линеен.
Оператор А называется положительно определенным, если су-
существует такая постоянная т, что для всякого / е Bi
НА/Н > т\\/II (m>0).	C.21)'
Теорема 1.2. Если линейный оператор А, действующий из
Bt в В2, является положительно определенным, то существует
обратный ограниченный оператор А, и наоборот.
Оператор А называется оператором сближения (сжатия), ес-
если ПАН < 1.
Теорема 1.3 (Банах). Если оператор А, действующий из
В в В, является оператором сжатия, а I — тождественный опера-
оператор в пространстве В, то оператор I — А обратим, т. е. уравнение
f = Af+g (geB)	C.22)'
имеет единственное решение /* s В. При этом /* может быть

§ 3. СВЕДЕНИЯ 113 ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	21
получено как предел последовательности {/„}, где
/п+1 = А/„ + ?, fo = g (ra = 0, 1, ...)»
иgiid-иг)	C-23)
Пусть в гильбертовом пространстве Н действует линейный
ограниченный оператор А. Оператор А* называется сопряженным
оператору А, если для любых /, geH выполняется равенство
и при этом IIAll = IIА*II. Оператор А, действующий из Н в Н, на-
называется самосопряженным, если А = А*.
Линейный оператор А, определенный на Bi и принимающий
значения в В2, называется вполне непрерывным, если он перево-
переводит ограниченное в Bt множество в сильно компактное множе-
множество пространства В2.
Вполне непрерывный оператор слабо сходящуюся последова-
последовательность {/„} е Bi (fn -*¦ /) преобразует в сильно сходящуюся
последовательность (A/JeBj (A/n=>-A/), следовательно, он
безусловно непрерывен.
Вполне непрерывный оператор А, действующий из простран-
пространства В с базисом в В, может быть с любой заданной точностью
аппроксимирован конечномерным оператором А„, переводящим
элементы пространства В в множество п элементов того же про-
пространства. Именно, для любого е > 0 может быть найден конеч-
конечномерный оператор А„ такой, что НА — А„Н < е.
Рассмотрим в пространстве В уравнение
A/-X/ = g (g^B),	C.24J
где А — линейный ограниченный оператор, действующий из В
в В, Я — комплексное число.
Число Я называется собственным значением оператора А,
если однородное уравнение C.24) имеет непулевые решения
(собственные функции). Совокупность всех собственных значе-
значений называется спектром оператора А.
Комплексное число Я называется регулярной точкой или ре-
регулярным числом оператора А,, если
а)	уравнение C.24) однозначно разрешимо, т. е. существует
ограниченный обратный (резольвентный) оператор (А —Я1)
(I — единичный оператор);
б)	имеет место" условие корректной разрешимости, т. е. непре-
непрерывной зависимости решения от правой части
ll.	C.251
Теорема 1.4 (Фредгольм). Пусть А — вполне непрерывный
оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда

22	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
1)	уравнение C.24) имеет не более счетного множества соб-
собственных значений конечной кратности, причем IAJ ^ 1Х»1 ^ ...
...=з= |Я,„| 5г... и Шпй,„ = 0 (п-*°°), |Я4| <11АН;
2)	каждому собственному значению соответствует конечно©
число линейно независимых собственных элементов;	_
3)	если К—собственное значение оператора А, то Я — соб-
собственное значение сопряженного оператора А*;
4)	если А — собственное значение, то уравнение C.24) раз-
разрешимо тогда и только тогда, когда элемент g ортогонален всем
собственным элементам оператора А*, соответствующим собствен-
собственному числу Я.
Если оператор А к тому же самосопряженный, то
5)	спектр оператора А расположен на отрезке [—ПАИ, ПАН]
действительной оси, причем IXil=HAII; собственные функции,
соответствующие различным собственным значениям, орто-
ортогональны.
Теорема 1.5 (Гильберт — Шмидт). Для любого вполне
непрерывного самосопряженного оператора А в гильбертовом про-
пространстве Н существует ортонормированная система {/„} соб-
собственных функций, отвечающих собственным значениям {Х„)
(Хп?=0), такая, что всякий элемент /еН записывается един-
единственным образом в виде
где /* — линейная комбинация решений уравнения А/ = 0; при
этом
А/ = 2М*Л-	C-27)
i
Если уравнение А/ = 0 имеет единственное решение / = 0, то
совокупность собственных элементов оператора А образует базис
в гильбертовом пространстве Н.
§ 4. Некоторые сведения из теории
интегрального преобразования Фурье
Здесь будут приведены без доказательств некоторые свойства
интегрального преобразования Фурье, которые нам понадобятся
ниже при постановке исследуемых в книге смешанных задач.
Применепие преобразования Фурье или других интегральных
преобразований к решению уравнений в частных производных,
при помощи которых описываются физико-механические свойства
сплошных сред, позволяет понижать порядок этих уравнений.
Подробные сведения по теории преобразования Фурье читатель
может найти, например, в монографиях [14—19].

§ 4. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ	23
Система элементов {/„} (га = 1, 2, ..., N) гильбертова про-
пространства II называется ортонормировашюй, когда
Un,fm)n = bnm (П,т = 1,2, ...,N),
где 6nm — символ Кронекера. Далее будем предполагать, что си-
система {/„} состоит из счетного множества элементов, т. е. N = °°.
Если {/„} — ортонормированная в Н система и / — произволь-
произвольный элемент из Н, то числа
ап = (/. /«)н
называются коэффициентами Фурье элемента / в системе {/„),
а ряд
п=1
называется рядом Фурье элемента / в системе {/„}.
Ортонормированная система {/„} называется замкнутой (пол-
(полной), если для любого элемента /еН имеет место формула замк-
замкнутости (равенство Парсеваля)
n=l
D.2)
Формула D.2) означает, что частные суммы ряда Фурье D.1)
элемента / сходятся к нему по норме Н, и, следовательно, в D.1)
можно поставить знак равенства. Поскольку к тому же для каж-
каждого )еН коэффициенты а„ определяются однозначно, то систе-
система {./„} при условии D.2) является базисом гильбертова про-
пространства Н.
Известно [10, 11], что в пространстве L2(—a, а) ортонормиро-
ортонормированная система функций
составляет базис. Поэтому всякая функция f(x)^Lz(—a, а) пред-
ставима сходящимся к ней по норме L2 тригонометрическим ря-
рядом Фурье
= Y+ 2d K.cos—+ 6nsin-— ,.	D.3)
a
—a

24	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
причем имеет место равенство Парсеваля
«=i
Переход от f(x) к системе коэффициентов {ап, Ь„) вида D.4)
называется преобразованием Фурье (в конечных пределах)
функции f(x). Формула D.3) представляет собой обратное пре-
преобразование.
Подставляя D.4) в D.3) и устремляя формально параметр а
к бесконечности, получим известное представление интеграла
Фурье
cos a (?-
— ее — оо
которое можно также записать в комплексной форме
±
D.6)
— оо —оо
Обобщение формул D,3) — D.5) на случай интеграла Фурьй
D.6) приводит к следующим результатам.
Теорема 1.6 (Планшерель). Пусть j(z)e L2(—°°, °°). Тогда
существует функция F(a)et2(-°°, °°) такая, что
lim
Кроме того, имеет место обратное соотношение
оо	о	2
lim j F(a)- J f(l)eialdl da = 0
a~*°° — oo	—a
и равенство Парсеваля
OO	00
г	г
— оо	— оо
Справедлива и более общая
Теорема 1.7. Пусть /(ж)е ?р(-°о, оо) A<р<2)\ Тогда
функция F(a), определяемая интегралом
оо
(«)= J
принадлежит классу Lq{—°°, °°) (q = p(p~ I)). Кроме того,

§ 4, СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ	25
имеет место обратное соотношение
оо
lim f
a-*oo v
— oo
-±j F(a)e~iaxda
dz = 0
и неравенство
Из теорем 1.6 и 1.7 вытекает, что тождество D.6) можно
представить в виде двух равенств:
оо
Переход от f(z) к F(a) называется преобразованием Фурье
(в бесконечных пределах), а переход от F(a) к f(z) — обратным
преобразованием Фурье. Функция f(z) называется оригиналом,
а F(a)—образом или трансформантой Фурье функции f(z).
Очевидно, что в силу симметрии формул D.7) функцию F(a)
можно считать оригиналом, а f(z) — ее трансформантой. Поэтому
теоремы 1.6, 1.7 и все приводимые ниже факты для f(z) с соот-
соответствующими видоизменениями будут справедливы также для
F(a), и наоборот.
Приведем некоторые результаты из теории преобразования
Фурье D.7) в пространстве Ц—°°, °°).
Напомним [И], что если для функций f(z) и g(z), принад-
принадлежащих L(—oo, °°), выполняется равенство
оо
У У — «Г lit — j \f(z)-g(z)\dz =
то их значения на (—°°, °°) будут совпадать почти всюду (функ-
(функции f(z) и g(z) могут отличаться друг от друга лишь на мно-
множестве точек ге(-«1, оо) меры нуль). Если f(z)<^L{—oo) оо)?
то f(z) не обязательно стремится к нулю при \z\ -*-°°. Однако,
если /(^jeLf-oo, оо)П С (с, d) (—°° < с, d<oo)? то f(z) стре-
стремится к нулю при Ы -+¦ оо не слабее, чем Ы~\ В более общем
случае, когда f(z)<^Lp(—o°, °°)ПС(с, d), f(z) = o(\z\~l/p) при
\х\ ¦+»').
') Здесь для установления соотношения порядка между функциями
У (г) и | а: | —i/i> при |х|->оо использована О-символика, которая будет и
далее неоднократно применяться. Пишут, что f(x) = o[g(x)] при х-+х0,
если lim [f(x)/g (x)] — 0; пишут, что f(x) eO[f(i)] при х->-х0 если
0< lim [f(x)/g(x)]<oo.

26	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Теорема 1.8. Если f(x)<^L(—°°, °°), то интеграл, опреде-
определяемый второй формулой D.7), существует и равномерно схо-
сходится при всех lal ^ М < °°; Функция F(a) непрерывна по а и
стремится к нулю при lal -»¦ °°.
Теорема 1.9. Если /(ж)е^(-°°, °°)ПУ(—°°, °°), то имеет
место соотношение
4 [/ (х + 0) + / (х - 0)] = lim U (х),
где функция F(a) определяется второй формулой D.7).
Если, помимо сказанного, j(x)<^C(c, d) (—°°<c, d<°°), то
справедлива первая формула D.7), причем
\f(x)-U(x)\-+0 (a-+«>)	D.9)
равномерно по х в любом интервале, внутреннем к (с, d).
Теорема 1.10. Пусть f(x)<=L(—°°, °°) и функция fa(x)
определяется по формулам D.7), D.8)- Тогда функция
ъ
}* (х) = lim {[U {х) da	D.10)
Ь	° d
о
принадлежит L(—°°, °°) и почти всюду совпадает с f(x).
Если, помимо сказанного, j(x)^C(c, d) (—o°<c, d<°°), то
ъ
¦О (б^оо)	D.11)
равномерно по ж в любом интервале, внутреннем к (с, d).
Как следствие, из теорем 1.8, 1.9 и 1.10 вытекает, что /(#)'= 0
почти всюду, если F(a) = 0, и наоборот.
Теорема 1.11. Пусть xhf(x)et(-°°, °°) (А; = 0, 1, ..., и);
тогда трансформанта Фурье функции xnf(x) равна i~"F(n>(a), где
F(a) определяется второй формулой D.7). Функция F{n)(a)
стремится к нулю при lal -»¦ °°, и имеет место асимптотическая
формула
F(a)~liTrFW@) = o(an) (a-0).	D.12)
ft=o
Пусть /'"(iJeLf-oo, oo) (A; = 0, 1, ..., п); тогда трансфор-
трансформанта Фурье функции fM(x) равна (—ia)nF(a), где F(a) опре-
определяется второй формулой D.7). Функция anF(a) непрерывна,

§ 4. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ	27
и имеет место асимптотическая формула
F(a) = o(\a\-n) (Ы->оо).	. D.13)!
Теорема 1.12. Если функция f(x, у) такова, что /уП) (х, у) —
частная производная п-то порядка по у ^ [а, Ь] непрерывна, и,
кроме того, при любом фиксированном у функции 1У (х, у)
(& = 0, 1, ..., п) принадлежат классу L(—°°, °°), то трансфор-
трансформанта Фурье функции /у0 (х, у) равна F^ (а, у), где F(a, yt
определяется второй формулой D.7). Функция FJ1 (а, у) не-
непрерывна по а, у и стремится к нулю при lai -»¦ °° равномер-
равномерно по у.
Теорема 1.13. Если функция/(ж) имеет вид
м
2	\ @<m<l),	D.14)
где /m(i)eL(-<», o°)nF(—°°, °°), то ее трансформанта F(a),
определяемая второй формулой D.7), непрерывна по а и стре-
стремится к нулю при 1а1 -*-°° не слабее, чем lal"" (ц = sup(nm)).
Изложим теперь некоторые факты из теории преобразования
Фурье D.7) в комплексной области. Допустим, что а — комп-
комплексное число (а = о + гт) .
Теорема 1.14. Пусть f(x)—функция вещественного пере-
переменного х такая, что \f(x) I «? М4 ехр(т_ж) при х ->¦ +°° и \f(x) I ^
=?Ж2ехр(т+ж) при х ->¦ — °°, причем т-<т+; пусть, кроме того,
существует т0 (т_<то<т+) такое, что к функции /(я)ехр(-хах)
можно применить преобразование Фурье для вещественного пе-
переменного в виде D.7). Тогда второй интеграл в D.7) опреде-
определяет аналитическую функцию F(a), регулярную в полосе т-<
< т < т+, —°° < о < °°, и
ifJ(a)e-iaxdar	D.15)
где Г — любая бесконечная кривая, лежащая в указанной выше
полосе плоскости комплексного переменного а.
Как следствие, из теоремы 1.14 вытекает, что преобразование
Фурье от функции
/(*) = *(*) (*ИС. <*]), f(x) = O (хФ[с, d]), g(z) = L(c, d),
определяет аналитическую функцию F(a), регулярную на всей
комплексной плоскости а. Такие функции называются целыми.
Теорема 1.15. Пусть функция F(a) регулярна в полосе
т_ < т < т+, —°° < о < °° и пусть \F(a) I -»¦ 0 равномерно при
\а\ -*¦ оо в полосе т_ + е^т<т+ — е, где 0 < 2е < т+ — т_. Тогда
для функции f(x), определенной интегралом D.15), где бесконеч-

28	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ная кривая Г лежит в полосе т_<т<т+, — °° < о < °°, а х ве-
вещественно, имеет место второе соотношение D.7). Кроме того,
\{{х)\ <ехр(т_ + б)ж при i->+» и |/(ж)| <ехр(т+-6)ж при
х -*¦ —°°, где б — сколь угодно малое положительное число.
Наряду с интегральным преобразованием Фурье далее будет
также использоваться интегральное преобразование Мелли-
на [20-22]
оо
Je~1dp,	D.16)
где а = о + ix — некоторое комплексное число, принадлежащее
полосе Oi<a < о2, —°° < т < °°.
Теорема 1.16. Достаточным условием существования пре-
преобразования Меллина D.16) является сходимость интегралов
Jp°a~1|/(p)|dp.
Если к тому же f{r)<^V(a, b) при любых 0 < а, Ь<°о, то име^т
место формула обращения
^(а)г~айа @<г<оо), D.17)
где Г — любая бесконечная кривая, лежащая в полосе о4 < о < ст2,
— оо < Т < °° ПЛОСКОСТИ а.
Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием
Фурье (достаточно произвести в D.7) замену переменного х =
= In r). Поэтому многие результаты, относящиеся к преобразова-
преобразованию Меллина, могут быть получены из приведенных результа-
результатов для преобразования Фурье.
В гл. 5 будет использоваться тесно связанное с преобразова-
преобразованием Фурье интегральное преобразование Лапласа — Карсо-
на [20, 22]
D.18)
где р = х + is — некоторое комплексное число, принадлежащее
полуплоскости т>т0, -oo<s<oo. Формула D.18), очевидно,
получается из второй формулы D.7), если считать, что /(ж)=0
при х<0, и положить ia = —p, F(a) = / (p)p~l.
Теорема 1.17. Достаточным условием существования пре-
преобразования Лапласа — Карсона D.18) является сходимость

§ 5. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
29
интеграла
Если к тому же /(ж)е V(a, b) при любых 0 < а, Ь < °°, то имеет
место формула обращения
Ц^	<оо), D.19)
где L — любая бесконечная кривая, простирающаяся вдоль всей
МВИМОЙ ОСИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ Т > То, —°° < S <°°.
§ 5. Постановка динамической смешанной задачи
об антиплоской деформации упругого слоя
и сведение ее к интегральному уравнению
Пусть к поверхности y = h упругого слоя (рис. 1.2) жестко
присоединена бесконечно длинная недеформируемая полоса ши-
ширины 2а, ось полосы параллельна оси z. Нижняя грань у = О
упругого слоя жестко закреплена.
Приложим на каждой единице длины полосы касательное
сдвигающее усилие1) интенсивности ТЦ) = Те~ш, параллельное
оси z. Здесь t—время, ©—
частота. Под действием это-
этого усилия полоса начнет
смещаться вдоль оси z на
величину ч(О=Че~"". вызы-
вызывая тем самым антиплоскую
деформацию слоя. Вне по-
полосы будем считать поверх-
поверхность у = h слоя ненагру-
женной. Чтобы получить
единственное, физически кор-	Рис 1.2
ректное решение краевой
задачи об установившихся гармонических колебаниях слоя,
введем в правую часть дифференциального уравнения B.6),
описывающего антиплоскую деформацию (деформацию чистого
сдвига), малый диссипативный член etv. В окончательном ре-
решении задачи мы будем устремлять е к нулю. Такая процедура
в силу принципа предельного поглощения [1] автоматически
обеспечит выполнимость при Ы -*¦ °° условий излучения Зоммер-
-1) На самом деле мы предполагаем, что T(t) = Г cos со* = Г Re е~ы1.
Поэтому от окончательного решения нужно будет взять лишь реальную
часть, так как разрешающие уравнения задачи имеют действительные ко-
коэффициенты.

30	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
фельда, физический смысл которых состоит в отсутствии волн,
приходящих к источнику колебаний из бесконечности (подробнее
об этом см. §i 1 гл. 5).
При сделанных предположениях граничные условия задачи
будут иметь вид
w (х, h, t) = уе~т (|х|<о), w'y(x,h,t) = 0 (\x\>a),:
w(x,0,t) = 0 (|a:|<oo), w(±oo,y,t) = 0 (O^y^h)
где функция w(x, у, t) удовлетворяет уравнению
Дш = c^2w + ът.	E.2)
К соотношениям E.1) и E.2) нужно еще добавить уравне-
уравнение движения недеформируемой полосы
а
my(t) = T(t)- J T(S, t)dl,	E.3)
—а
где т — масса единицы ее длины, r(x, t)—касательные напря-
напряжения между полосой и слоем в области нх контакта (\х\^а,
y = h, Ы <«).
В ходе решения задачи требуется найти контактные каса-\
тельные напряжения т{х, t), связь между сдвигающим усилием
ТA) и смещением полосы t(t), резонансные частоты ий, а также
поля напряжений и перемещений в слое.
Будем искать функции w(x, у, t) и т(х, t) в следующей
форме:
w = w*(x, y)e~ia\ x{x, t) = r*(x)e-iat.	E.4)!
Тогда формулы E.1) — E.3) примут вид (звездочки здесь и да-
далее опускаем)
w(x,h)=y (\x\^a), w'y(x,h) = 0 (\x\>a)f
w(a«0) = 0 (|ж|<оо), w(±oo,y) = 0 @<<Л)
Aw + k\w = 0, к\ = c^V + кое,,	E.6)
а
— тусо2 = Т — \ т (S) dl.	E.7)
—а
Функции w(x, у) и х{х) в общем случае даже при е=0, как
будет показано в гл. 5, являются комплексными из-за диссипа-
диссипации энергии в слое на бесконечности. Это в свою очередь приво-
приводит к тому, что if в общем случае является комплексной величи-
величиной и может быть представлена в виде
t = ТоЛ	E.8I

§ 5. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ	31
Здесь ф — угол сдвига по фазе между сдвигающим усилием T(t)
и величиной смещения полосы 4(t). Угол ср также должен быть
определен в процессе решения задачи. Для дальнейшего еще за-
заметим, что функции т(х) и w(x, у) в силу B.7) связаны
соотношением
Gw'y (х, h) = т (х) (|а:|<а).	E.9)
В соответствии с общим планом решения смешанных задач,
изложенным в § 1, для сведения задачи E.5) — E.7) к инте-
интегральному уравнению необходимо сначала решить соответствую-
соответствующую вспомогательную задачу. В качестве таковой рассмотрим
следующую:
Gw'y{x, h) = r(z), t(x) = i(x) (I x К а), т (х) = 0 (|ж|>а),.
E.10)
w(x, 0) = 0 (Ы<°°),
где функция w(z, у) удовлетворяет уравнению E.6).
Граничные условия вспомогательной задачи E.10), как легр;»
заметить, являются смешанными. Поэтому, прежде чем перейти
к решению этой задачи, полезно произвести еще одну классифи-
классификацию сметанных задач теории упругости.
Пусть поверхность 5 упругого тела состоит из ряда граней.
Если хотя бы на одной из граней граничные условия являются
смешанными, то задача называется собственно смешанной. Если
же ни на одной из граней эти условия не являются смешанными,
отличаясь, однако, между собой на различных гранях, то задача
называется несобственно смешанной [23].
Несобственно смешанные задачи в ряде случаев допускают
простое и эффективное решение при использовании тех или иных
интегральных преобразований, тогда как собственно смешанные-
задачи, как правило, приводятся к решению интегральных
уравнений.
Задача E.5), как нетрудно заключить, является собственно
смешанной, а вспомогательная задача E.10) — несобственно сме-
смешанной. Поэтому задача E.10) может быть эффективно решена,,
как будет показано ниже, с помощью интегрального преобразо-
преобразования Фурье.
Предположим, что при любом фиксированном х (—о° < с sj
<x-^d<°°) функции w(x, у), w'x{x,y), w'u(z,y), w"x{x,y)
и iv'y(x, у)непрерывны по у при O^y^h— б (8>0). Кроме
того, пусть эти же функции при любом фиксированном у @ ^
<^s?/i —6) принадлежат классу L(—°o, °°) по переменной х.
Тогда также w(x, y)^L(~оо) оо)П С,(с, d), или w(x, y)<=L(—°°,
оо)ПУ(—°°, оо)П С (с, d), по переменной х при фиксированном-

32	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
г/«=[0, h — 8]. Относительно функции т(х) предположим, что она
удовлетворяет условиям теоремы 1.13.
Придадим уравнению E.6) и первому граничному условию
E.10) более общий вид, именно
ею
J
</г-8), E.11)
lim J | Gw'v (g, y) - г (g) | dg = 0.	E.12)
В силу сделанных предположений относительно функций w(x,y)
и %{х) из E.11) и E.12) следует, что уравнение E.6) и пер-
первое условие E.10) будут иметь место при почти всех х^
е(—оо) оо). Второе условие E.10) будет иметь место при всех
х^(—оо, оо), поскольку функция w(х, у) непрерывна по х. Третье
условие E.10) будет выполнено автоматически, ибо из допуще-
допущения w(x, y)^L(—оо, оо)П С(с, d) по переменной х следует, что
w(x, У) — о(\х\-1) при Ы -»- оо равномерно по у^[0, h — 8].
Введем теперь в рассмотрение преобразование Фурье функ-
функции w(x, у) по переменной х (в силу теорем 1.8 и 1.12 оно, Оче-
Очевидно, существует и непрерывно по у):
ОО
И^ (а, у) = J и; (|, I/) ег 6d|.	E,13)
— ОО
Обратное соотношение имеет вид
оо
w(x,y) = ± j W (а, у) e~iaxda,	E.14)
—оо
причем интеграл в E.14) по теореме 1.9 в смысле D.9) равно-
равномерно сходится к функции w(x, у) по х и у в области с ^ х ^ d,
0^ y^h — b. Далее, основываясь на теоремах 1.8, 1.11 и 1.12,
можно утверждать, что справедливы равенства
00	ОО
j w'v (g, у) eialdl = W'v (а, у), j w'y (|, у) eialdl - W"y (cc, y)f
¦-¦ОО	— 00
EЛ5)
причем их правые части непрерывны по z/.

§ 5. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ	33
Сложим два последних соотношения E.15) с соотношением
E.13), умноженным на к\. Будем иметь
оо
W'y (се, у) - (се2 - к\) W (се, щ = J [Aw (g, у) + k\w (g, у)] eia4l,
— оо
E.16)
оо
| W'y (се, у) - («2 _ kt) W (се, у) | < J | Aw (g, у) + Л1юF, у) | dg.
На основании E.11) и E.16) получим для определения транс-
трансформанты W(a, у) следующее обыкновенное дифференциальное
уравнение:
W'y - (а2 - к\) W = 0.	E.17)
Его общее решение имеет вид
Ща, у) = С, (а) sh $y + С2 (а) ch $y,	E.18)
где Р = у а2 — к\, причем при извлечении корня выбирается та-
такая ветвь, что р = |а| при |а| -*¦ °°.
Чтобы найти функции d(a) и С2(а), необходимо получить
аналог условия E.12) и второго условия E.10) для функции
W(a, у). С этой целью введем в рассмотрение преобразование
Фурье функции т (х):
оо
Т{а)= [ т(|)Л|,	E.19)
— оо
которое существует в силу теоремы 1.8, и обратное преобразова-
преобразование от которого сходится к функции х{х) по теореме 1.10 в смы-
смысле D.10).
С учетом первой формулы E.15) и формулы E.19) имеем
оо
| GW'V (a, у) - Т (ее) | < J | Gw'v (|, у) - т (|) | dg. E.20)
— оо
Отсюда на основании E.12) найдем
lim [GW'V (се, у) - Т (се)] = 0.	E.21)
Удовлетворяя второму условию E.10), на основании E.13) по-
получим
ТУ (се, 0)=0.	E.22)
Подставляя далее E.18) в E.21) и E.22), получим относи-
относительно Ci(a) и Сг{а) систему двух алгебраических уравнений.
3 В. М. Александров, Е. В. Коваленко	I grj КЛИОТЯЧГ *

34	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Решив пх, найдем
CiW = wUk> C,(a)-0.	E.23)
Теперь по формулам E.14) и E.18) получим окончательно
решение задачи
W I
Итак, решение вспомогательной задачи получено. Необходимо
только убедиться в выполнении сделанных ранее предположений
относительно функции w (x, у).
Заметим, что в силу теорем 1.13 и 1.14 функция Г (а) являет-
является целой в комплексной плоскости а и на вещественной оси при
lal -*¦ °° стремится к нулю не слабее, чем |а|~1+й @<ц,<1).
При ImA^^O подынтегральное выражение в E.24) в комп-
комплексной плоскости а является аналитической и регулярной функ-
функцией, когда Цш^/г! < л/2, и па вещественной оси при led -*¦ °°
стремится к нулю не слабее, чем 1сс1~2+цехр[—(h — у) Re [}].
Отсюда следует, что интеграл E.24) можно любое число р^з
дифференцировать по параметрам х е [с, d] и у е [0, h — 6},
и он по-прежнему будет сходиться равномерно. Кроме того, из
теоремы 1.15 вытекает, что функция w(x, у), определяемая инте-
интегралом E.24), при любом фиксированном у е [0, h — 6] и Ы -»-
-»- оо исчезает как ехр — (у— б) | х \ .
Итак, можно заключить, что все ранее сделанные допущения
относительно свойств функции w(z, у) выполнены.
Касательные напряжения1) в слое найдем теперь по форму-
формулам B.7) и E.24). Будем иметь
оо
E.25)
оо
— 00
Как и выше, при х е [с, d] и у е [0, h — б] интегралы E.25)
можно любое число раз дифференцировать по х и у, и они при
этом будут сходиться равномерно. Кроме того, ири фиксирован-
фиксированном у е [0, h— б] и Ы -*¦ оо интегралы E.25) стремятся к пулю
') Здесь имеются в виду амплитуды касательных напряжений, т. е.

§ 5. ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ	35
как ехр—l-s—б1|ж|. При у = h интеграл E.24) сходится по
х равномерно, об интегралах E.25) этого сказать нельзя. Послед-
Последнее естественно связано с тем, что по допущению функция х(х)
имеет структуру D.14).
Дальше мы будем часто использовать при изучении тех или
иных смешанных задач (вернее, соответствующих им вспомога-
вспомогательных задач) интегральное преобразование Фурье, а также
другие интегральные преобразования. Однако применять их бу-
будем уже чисто формально, без обоснования, имея в виду, что при
желании такое обоснование, аналогичное изложенному выше,
всегда может быть проведено.
Подставим теперь в E.24) выражение Т(а), определяемое
формулой E.19). Вспомнив, что х(х) = 0 при Ы > й, и положив
в E.24) у = h, будем иметь
оо	а
w ^ h) = ш 1 -Т"da IT (|) в*х(е~*)«- E-26>
ш 1 Т
— оо	—о.
Изменив порядок интегрирования1) в E.26), получим
а
w ^ *>=йП т ® * (т")dlt {5-27)
оо
к	J ^
оо
(t) = у J ^-ewdu% s = р/г,, и = ah.	E.28)
Вернемся к рассмотрению собственно смешанной задачи
E.5) — E.7). Заметим, что в процессе построения решения E.24),
E.25) вспомогательной задачи уже удовлетворены второе, третье
и четвертое граничные условия E.5) смешанной задачи для
уравнения E.6). Удовлетворяя первому граничному условию
E.5) с помощью соотношения E.26), получим следующее инте-
интегральное уравнение относительно неизвестной функции %(х),
характеризующей закон распределения касательных напряжений
в области контакта:
E.29)
•) Изменение порядка интегрирования в E.26) может быть строго обо-
обосновано с позиций теории двумерных интегралов Лебега,
3*

зе
ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
В частном случае © = 0 (статический вариант задачи)" ядро
E.28) интегрального уравнения E.29) принимает простой вид
I
thu
osutdu= — In
f
thf
E.30)
и само интегральное уравнение можно переписать в форме
)ln
th
я A - х)
Ah
| ж |
о). E.31)
При этом связь E.7) между сдвигающим усилием Т и смещени-
смещением полосы ^ принимает вид
а
Т= Jxg)dg.	E.32)
—а
После решения интегрального уравнения E.29) (или E.31))
перемещение и напряжения в слое могут быть найдены с по-
помощью формулы E.19) и формул E.24), E.25).
§ 6. Постановка и сведение к интегральным уравнениям
смешанных задач об антиплоском течении
в слое вязкой жидкости и об ударе тела
о слой идеальной жидкости
1. Пусть в слое вязкой жидкости толщины 2/г совершает ко-
колебательное движение вдоль оси z по гармоническому закону с
частотой со бесконечно длинная жесткая полоса ширины 2а и ну-
тсевой толщины (лезвие). Полоса
расположена параллельно плоско-
плоскостям слоя и равноудалена от этих
плоскостей (рис. 1.3). Плоскости
у = ±h будем считать жесткими
и предполагать, что жидкость пол-
полностью заполняет объем \у\ < h,
(х, z)e(_oo, оо). На гранях у =
= ±h и гранях полосы у = ±0,
Ы < а будем ставить условие
полного прилипания частиц
жидкости к соответствующим поверхностям. В силу этого части-
частицы жидкости, находящиеся в контакте с поверхностями полосы,
будут иметь скорость V(t)= У„е-!М'.
Пусть для числа Рейпольдса выполняется соотношение
Рис. 1.3
F.1)

§ 6. ПОСТАНОВКА ДРУГИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ	37
где ReKp — значение этого параметра, при котором ламинарное
течение переходит в турбулентное. Тогда для решения задачи
можно использовать, уравнения антиплоского течения B.14) —
B.16).
В силу симметрии всей картины течения относительно пло-
плоскости zOx можем рассмотреть лишь верхнюю половину слоя
жидкости. С учетом этого граничные условия задачи будут иметь
вид
v,(x, h, 0 = 0 (Ы < °°),
v,(x,O,t) = -V(t) (\x\<a),
-»,(*,0,q-V'''(;;0'l)°0 (\x\>a),	F.2)
vt(±°°,y,t)=O @<y^h).
Третье условие F.2) вытекает из четности функции vz по у в си-
силу упомянутой выше симметрии. Определив иг из краевой задачи
B.15), F.2), найдем затем касательные напряжения, возникаю-
возникающие в слое вязкой жидкости при движении полосы, по форму-
формулам B.16).
Будем искать функцию vz(x, у, t) в следующей форме:
vt(x, у, t) = v(x, у)е-ш.	F.3)'
Тогда формулы B.15), F.2) примут вид
Av + ibv = O, Ъ = (uv-\	F.4)'
v(x,h)=0 (Ы<°°), v(x,O)=-Vo (\x\<a), F.5);
v'v(x,0) = 0 (|ж|>в), v(±oo,y) = 0 @<у<А).
Задача F.4), F.5), как легко заметить, является собственно
смешанной. Для сведения ее к интегральному уравнению рас-
рассмотрим несобственно смешанную — вспомогательную задачу
с граничными условиями
v(xxh) = 0 (И<оо), цщ(х, 0) — х(х) = 0 (|ж|<оо),
v(±°°,y)=0 @<y<h).	F.6J.
Здесь, как и в § 5, т(ж)=т(ж) при \х\ < а, %(х) = 0 при \х\ >а
(х(х)е-ш = xyz(x, 0, t) при Ы < а).
Будем искать решение задачи F.4), F.6) в виде
(aly)e-iaxda.	F.7)
Подставив F.7) в уравнение F.4), выполнив все дифференци-
дифференциальные операции под знаком интеграла и приравняв затем подын-
подынтегральное выражение нулю, получим относительно функции

38	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
V(a, у) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
V'y(a, y)-.(a*-ib)V(a, y) = 0.	F.8)
Его общее решение имеет вид
У(а, y) = C,(a)shpy + C2(a)chpy, p = }'a2 - ib. F.9)
Заметим, что третье граничное условие F.6) при отыскании
решения в форме F.7) автоматически удовлетворено. Это следу-
следует, как уже отмечалось в § 5, из свойств интегралов Фурье. Что-
Чтобы удовлетворить первым двум условиям F.6), представим х(х)
в форме интеграла Фурье
T{a)e-iaxda.	F.10)
Обратное представление дается формулой E.19). Подставляя
в первые два граничных условия F.6) функции v(x, у) и %{х)
в форме F.7) и F.10) и приравнивая после выполнения необхо-
необходимых операций подынтегральные выражения нулю, получим
7(а, А) = 0, iiV'y (a, 0) - Т (а) = 0.	F.11)
Из F.11) и F.9) легко пайдем
2(a)=-C1(a)thp/i.	F.12)
Теперь па основании формул F.7), F.9) и F.12) окончательное
решение вспомогательной задачи можно представить в виде
Подставим в F.13) выражение Т(а), определяемое формулой
E.19), и положим у = 0. Тогда после изменения порядка инте-
интегрирования получим
где ядро k(t) имеет вид E.28)
Вернемся к рассматриваемой собственно смешанной задаче
F.4), F.5). Видим, что в процессе решения вспомогательной
задачи первое, третье и четвертое граничные условия уже удов-
удовлетворены. Удовлетворяя второму граничному условию F.5) с
помощью соотношения F.14), получим следующее интегральное
уравнение относительно неизвестной функции %{х), характери-
характеризующей закон изменения по ширине полосы контактных каса-

§ 6. ПОСТАНОВКА ДРУГИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
тельпых напряжении:
F.15)
После решения этого интегрального уравнения может быть
найдено касательное усилие T(t)= T-Oe~iat, которое нужно при-
приложить на каждой единице длины полосы, чтобы обеспечить ее
движение в слое вязкой жидкости со скоростью V(t):
-t<ot
F.16)
здесь <р — угол сдвига по фазе между V(t) и T(t), который воз-
возникает из-за диссипации энергии в массе жидкости. Скорость vx
и касательные напряжения в самом слое жидкости могут быть
найдены по формулам F.13), F.3) и B.16) с учетом форму-
формулы F.10).
В частном случае ш = 0 (стационарное течение) ядро E.28)
интегрального уравнения F.15) принимает вид E.30), а само
интегральное уравнение можно представить в форме
а
-1
th
Я (I - X)
F.17)
Касательное усилие Т становится не зависящим от времени и
определяется формулой F.16) при со = 0 и <р = 0.
. 2. Рассмотрим теперь плоскую задачу об ударе- абсолютно
твердой пластинки ширины 2а о поверхность идеальной несжи-
несжимаемой жидкости конечной глубины (рис. 1.4). Допустим, что
до удара давление в жидкости
равнялось атмосферному давле-
давлению р0, жидкость была непо-
неподвижной и занимала слой меж-
между плоскостями у = 0 (жест-
(жесткое дно) и у = h (свободная
поверхность), плоскость пла-
пластинки в момент удара совпа-
совпадала со свободной поверхно-
поверхностью. Исследуем случай цент-
центрального удара, т. е. будем считать, что скорости всех точек пла-
пластинки равны V. Допустим также, что после удара течение жид-
жидкости потенциально.
Для решения задачи используем формулы B.18) и B.19)
при р = const. При этом, пренебрегая еще в B.18) вторым
Рис. 1.4

40	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
слагаемым в левой части, будем иметь
|2 + LZ3> = 0, Аф = 0;	F,18)
здесь учтено, что F(t) = рор~\ ибо ф = 0 и р = р0 при t = 0.
Введем в рассмотрение импульсивное давление [24]
t	t
р* = lim J (p — po)dt = limj pdt.	F.19)
Тогда первое соотношение F.18) примет форму
^ = _рф)	F.20)
а второе не изменится, однако функцию <р теперь нужно считать
не зависящей от времени.
Граничные условия задачи при сделанных предположениях
будут, очевидно, иметь вид
L = 0 (\x\<oo)x
Р* {х,Ь) = — рф (x,h) =¦- 0 (|ж|>а),
р% исчезает при Ы -*¦ °°. Требуется определить закон измене-
изменения импульсивного давления Р*(х, h) = х (х) при \х\ < а (в об-
области контакта пластинки с поверхностью слоя жидкости).
С целью сведения поставленной задачи к соответствующему
интегральному уравнению рассмотрим вспомогательную краевую
задачу для уравнения Лапласа F.18) с граничными условиями
ц>(х, h) =	Ы
' jf' 0) = 0 (Ы<оо), ф(+оо,м) = 0 /п^-,.^-ь\
причем т(а;)=т(а;) (|ж1<а)", т(ж)=0 ()
Будем искать решение F.18), F.22) в форме интеграла
Фурье
оо
1 Ф(а.»)е~1овс^а,	F-23)
удовлетворяя тем самым сразу последнему граничному условию
F.22). В результате подстановки F.23) в уравнение для <р
F.18) придем к обыкновенному дифференциальному уравнению
относительно трансформанты Ф(а, у), общее решение которого
имеет вид
ф(а, y)=Ci(a)shay + C2(a)chay.	F.24)

§ 6, ПОСТАНОВКА ДРУГИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ	41
С помощью F.24), удовлетворяя первым двум краевым	услови-
краевым	условиям F.22), найдем
Сх («)¦=<>, CtW-.—SjSL.,	F.25)
где х(х) и Т(а) связаны между собой при помощи формул
E.19) и F.10). Подставляя теперь выражения F.25) в соотно-
соотношения F.23) и F.24), получим
Нетрудно заметить, что соотношение F.26) удовлетворяет
всем краевым условиям F.21) основной задачи, кроме второго.
Подставим в F.26) выражение Г (а) вида E.19) и продифферен-
продифференцируем по у. Полагая затем у = h и приравнивая полученное
выражение —V при \х\ < а, придем к следующему интеграль-
интегральному уравнению относительно неизвестного под пластинкой им-
импульсивного давления х(х):
а	оо
Jath о* cos a (I — x)da= — npV (|ж|<а). F.27)
-а	о
Интегрируя обе части F.27) по а; и учитывая четность постав-
поставленной задачи, придадим уравнению F.27) следующий вид:
(|ж|<в) F.28)
или, принимая во внимание значение интеграла E.30), перепи-
перепишем F.28) в форме
^|	(^ ) (U|<a). F.29)
Для замыкания постановки задачи к интегральному уравне-
уравнению F.29) следует добавить соотношения
a
Т = J т (х) dx, t(±a) = 0.	F.30)
—a
Первое из условий F.30) есть выражение для определения пол-
полного ударного импульса Т, действующего на пластинку, и слу-
служит для установления связи между Г и У. Второе условие F.30)
означает ограниченность импульсивного давления т(х) на краях
площадки контакта и служит для определения неизвестной по-
постоянной С, входящей в правую часть уравнения F.291.

42	ГЛ. 1, ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
§ 7. Основные типы одномерных интегральных уравнений
смешанных задач
Как показано в §§ 5, 6, совершенно различные по своей фпзп-
ко-мехапической основе смешанные задачи свелись к изучению
похожих по структуре интегральных уравнений E.29), F.15)
и F.29). Эти уравнения в безразмерных величинах можно запи-
записать в едином виде
Ф [с,) к i—j—jag — щ (x) \\x\^.i)f	{'•'¦)
—x
^-eiutdu.	G.2)
Здесь введены следующие обозначения и переменные:
6' = 1, Х' = ±, % = ±., ф(?') = UM, f(x>) = *M. G.3)
Штрихи у \' и х' в формуле G.1) и далее опускаем. Для зада-
задачи, поставленной в § 5, в формулах G.1) — G.3) нужно принять
s = Yu^ — kI, K2 = k2h, x* = G, g(x) = y;	G.4)
'для первой задачи, поставленной в § 6,
s = У и1 — шх к = ЪЬ?, т* = \iVoa~1t g (ж) = а; G.5)
для второй задачи
s = u, x* = pVa, g(x) = a-1(j- + C^	G.6)
Как отмечено в §§ 5, 6, в частных случаях, когда в G.4)
Y.1 = 0, а в G.5) к = 0, все три задачи приводятся к интеграль-
интегральному уравнению G.1) с одним и тем же ядром (см. E.31),
F.17), F.29))
ft (t) = f
G-7)
Уравнение G.1), G.7) играет важную роль в теории плоских
смешанных задач.
Функцию sths, стоящую под интегралом в G.2), будем на-
называть символом ядра интегрального уравнения G.1). Если рас-
рассматривать и в G.2) как комплексную переменную % = и + iv,
то нетрудно убедиться, что символ ядра является регулярной
аналитической функцией в полосе \и\ < °°, \v\ < с. Причем для

§ 7. ОСНОВНЫЕ ТИНЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	43
задачи, поставленной в § 5,
с = у 4 (^ - с22ш2А2) + 4 У"D - cWh*J + «AM*; G.8)
для задач, поставленных в § 6, соответственно
Л4	я
-^'. с = г	G-9)
я2
С учетом сказанного выражение для ядра k(t) можно предста-
представить в более общей форме
\^^dt,	G.10)
где Г — любая бесконечная кривая, лежащая в полосе регуляр-
регулярности символа ядра. Представление G.10) при решении урав-
уравнения G.1) в ряде случаев оказывается более удобным, не-
нежели G.2).
Уравнение G.1), G.10) относится к важному типу так на-
называемых интегральных уравнений типа свертки (см., например,
[25]). Характерной особенностью таких уравнений является за-
зависимость их ядер от разности переменных, т. е. от | — х. Инте-
Интегральные уравнения с разностными ядрами достаточно хорошо
изучены в математической физике (см. список литературы
в [25]).
Далее, при изучении различных смешанных задач неодно-
неоднократно будут возникать интегральные уравнения вида G.1)
с ядрами
^юЛс,	G.Н)
где Г — любая бесконечная кривая, лежащая в той полосе ре-
регулярности символа ядра К(?,), которая содержит в себе вещест-
вещественную ось или же для которой вещественная ось является
одной из границ.
Структура решения интегрального уравнения G.1), G.11) и
его свойства, как будет показано в последующих главах, опреде-
определяется главным образом поведением символа ядра на веществен-
вещественной оси. В основном далее будут рассматриваться следующие
случаи:
символ ядра является на вещественной оси непрерывной
функцией, причем
а) ВД-Ы-1 (Ы-*°°), К{и)~А (и-+0); G.12)

44	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
символ ядра является на вещественной оси непрерывной
функцией, кроме точки и = 0, причем
b)	К(и)~\и\-1 (Ы + °°), К{и)~В\и\~1 (и-^ОУ,
G.13)
c)	К{и)~\и\-1 (Ы-*«>), К(и)~Си-г (и-»-0);
символ ядра является на вещественной оси непрерывной
функцией, кроме конечной системы точек и — uh, где K(Z,) имеет
простые или двукратные полюса, точки ветвления типа квадрат-
квадратного корня, причем
d)	К{и)~\и\~1 (Ы-°°).	G.Ш
Здесь А, В, С — отличные от нуля постоянные.
В рамки указанных случаев укладывается большинство встре-
встречающихся плоских линейных смешанных задач механики сплош-
сплошных сред. Интегральные уравнения задач, поставленных в § 6,
как нетрудно убедиться, принадлежат случаю а). Интегральное
уравнение задачи из § 5 принадлежит случаю а) при е Ф 0 или
при е = 0 и саш/г < л/2. Это же уравнение при е = 0 и с2о)/г =
= л/2 принадлежит случаю с), а при е = 0 и c2(oh > л/2 — слу-
случаю d).
В приведенную выше классификацию не входит большая
группа смешанных задач о взаимодействии тонкостенных упру-
упругих и вязко-упругих элементов со сплошными средами. Эти за-
задачи обладают рядом специфических особенностей. Читателей,
интересующихся указанными задачами, отправляем к мондтра-
фиям [6, 26-43].
В заключение заметим, что в ряде случаев вместо интеграль-
интегрального уравнения G.1), G.11), когда контур Г совпадает с дейст-
действительной осью, удобно рассматривать эквивалентное ему пар-
парное интегральное уравнение
оо
J К (и) Ф (u)e-iux/kdu = 2л/ (х) (| х | < 1),
G-15)
J Ф(и)е~{их/Ыи = 0 (|ж|>1);
— оо
здесь Ф(и)—трансформанта Фурье разрывной функции
(ф(х) (Ы ^ 1), О (Ы > 1)}, определяемая соотношением
ф(и)= ) q>(l)elUi/hdt	G.16)
После решения уравнения G.15) функция ц>(х) может быть
найдена с помощью обратного преобразования Фурье.

§ 8. ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ	45
§ 8. Об однозначной разрешимости интегральных уравнений
смешанных задач
Изучим этот вопрос на примере интегрального уравнения
G.1), G.11) в предположении, что символ ядра К (и) является
непрерывной функцией па вещественной оси, а также вещест-
вещественной и четной; кроме того, пусть К(и) >0 при \и\ < °°. За-
Заметим, что теперь интегрирование в G.11) можно осуществлять
по вещественной оси.
Обозначим интегральный оператор, стоящий в левой части
G.1), через А. Тогда интегральное уравнение G.1) запишется
в виде
гН).	(8.1)"
Умножая (8.1) почленно на ц>(х) и интегрируя в пределах от
— 1 до 1, получим эквивалентное (8.1) функциональное урав-
уравнение
1
(8-2)
(Аф, ф) = J J ф (х) ф ф к ^) dx d
Подставляя во вторую формулу (8.2) выражение k(t) вида G.11)
и изменяя затем порядок интегрирования, с учетом представле-
представления G.16) найдем
(Аф, Ф)=-| j К(и)\Ф(и)\Чи.	(8.3)
— оо
Рассмотрим сначала случай, когда функция К (и) на оси
\и\ ^ оо достигает своего минимального значения т > 0 и мак-
максимального значения М < °°. Конкретные смешанные задачи та-
такого типа изучены в [26] (§§ 5, 6 гл. I). Покажем, что интеграль-
интегральное уравнение G.1), G.11) с таким символом ядра однозначно
разрешимо в классе L2(—1, 1), если f(x)^L2(—1, 1).
Пусть (p(i)ei2(-1, 1); тогда по теореме 1.6 также Ф(и) е
е Ьг(—°°, °°) и
1Ёя;	(8.4)
кроме того, в силу представления (8.3) и равенства (8.4) имеет
место двухсторонняя оценка
пМ | ф (ж)||?я > (Аф, ф) > пт || ф (х) |!2,	(8.5)
Из (8.5) следует, что оператор А в рассматриваемом случае
ограничен и положительно определен в L2(—1, 1), т. е. отобра-

46	ГЛ. 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
жает L2(—1, 1) на Ьг{—1, 1) взаимно однозначно. Тогда из тео-
теоремы 1.2 вытекает существование обратного ограниченного опе-
оператора, т. е. однозначная разрешимость в Lz(—1, 1) уравнения
G.1), G.11) с указанным символом. При этом также имеет место
соотношение корректности
b(x)hi<mr1lf(x)lLif	(8-6)
которое получается на основании (8.2), (8.5) путем следующей
оценки:
пт | Ф |||2 < (АФ, Ф) < я || ПК • IIФ IV	(8-7)
Рассмотрим теперь случай G.12). Пусть ц>(х) ^ LP(—1, 1)
A <р < 2),; тогда также ц>(х) е Ь{—1, 1). Далее, из теорем 1.7
и 1.8 вытекает, что существует преобразование Фурье функции
ф(ж) вида G.16) и функция Ф{и)*=Ьч{-°°, °°) (д = р(р — I));
кроме того, Ф(и) непрерывна и поэтому исчезает на бесконеч-
бесконечности как \и\~*, где е > q~l.
Подставляя в левую часть уравнения G.1) выражение G.11)
и пржнимая во внимание G.16), будем иметь
оо
Аф = 4г j К (и) Ф (и) e~iux/Kdu.	(8.8)
— оо
Покажем теперь, что оператор А действует из LP(—1,1) в
С{—R, R) (R< °°) непрерывно. Действительно, имеет место не-
неравенство
1/9 / °°	\1/9
. (8.9)
Здесь учтено, что первый интеграл в правой части сходится при
р>1 в силу свойств G.12) символа ядра К(и), и принято во
внжмание неравенство из теоремы 1.7. Заметим еще, что функции
Аф жсчезают при \х\ -> °°. Это следует из теоремы 1.8, если при-
пять в расчет, что под интегралом Фурье (8.8) стоит функция
К(и)Ф(и) et(-oo, оо).
Далее воспользуемся некоторыми результатами работ [44,45].
Введем в рассмотрение на функциях ц>(х)^ЬР(—1, 1) скалярное
"произведение
(ф, \|)) = (Аф, г|)) =
11	оо
- \ \<p(t)y(x)k(^-)dxdl^± f K{u)$>(uL{u)du. (8.10)
J л)	\	J	v
-1 -1	-co

§ 8. ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ	47
При этом нужно проверить выполнимость условий г) — ж) (см.
начало § 3), что, очевидно, имеет место. Далее введем норму
1|ф|| = (ф, ф) и заметим, что будут справедливы неравенство тре-
треугольника C.1) и неравенство Коши — Буняковского C.2). Про-
Произведем замыкание пространства Lv{—1, 1) по введенной норме,
т. е. присоединим к элементам Lv{—1, 1) все элементы, являю-
являющиеся пределами всех фундаментальных последовательностей из
элементов LP(—1, 1), сходящихся по указанной норме. В резуль-
результате этого получим гильбертово пространство Н(—1, 1) со ска-
скалярным произведением (8.10) и нормой
1 1
¦¦г
|ф||н=
—1 -1	-оо
(8.11)
Пространство Н(—1, 1) шире, чем Lv{—1, 1), что вытекает из
неравенства
11н = ¦§• J к («) 1ф (») \Чи<т[ J 1ф («) \"du) [ J [K(u))rdu
Цр. (8.12)
Здесь учтено, что г = q(g — 2)~' (следовательно, 1<г<°°) и
интеграл в правой части (8.12) от [i?(u)]r сходится; кроме того,
принято во внимание неравенство из теоремы 1.7.
На основании (8.11) перепишем функциональное уравнение
(8.2) в виде
1
-(l)w(l)dl.	(8.13)
-1
Назовем обобщенным решением исходного интегрального урав-
уравнения G.1), G.11), G.12) всякую функцию cp(z) е Щ—1, 1),
которая обращает в тождество интегральное равенство (8.13).
Докажем теперь, что правая часть в (8.13) при определенных
условиях, налагаемых на функцию f(x), является скалярпым
произведением в пространстве Н(—1, 1). По теореме 1.1 для это-
этого нужно показать, что опа является линейным ограниченным
функционалом в Н(—1, 1), т. е. нужно показать, что имеет ме-
место перавепство
1 / (?) Ф Ш d?, ^ Ms || ф |н-	(8.14)
-1

48	ГЛ- 1. ПОСТАНОВКА МОДЕЛЬНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Для доказательства (8.14) введем в рассмотрение преобразо-
преобразование Фурье разрывной функции if(x) (Ы«?1), 0 (|ж|>1)):
Jl6/4	(8-15)
Если допустить, что функция f(x) имеет структуру типа
(8.16)
то F(u) вида (8.15) будет в соответствии с теоремами 1.11 и 1.13
иметь следующую асимптотику при \и\ -*¦ °°:
Jr (и)— о[\и\* }•	(o.l/)
С помощью формул G.16) и (8.15) преобразуем левую часть
выражения (8.14) следующим образом:
1	оо	оо
F)ФF)сй = -|- j F(u)<Z(u)du=± j -Щ,/Г^)Ф(и)^.
(8.18)
Далее, из (8.18) с помощью неравенства Гельдера следует
(8.14), причем постоянная М3 имеет вид
На основании (8.17) и известного поведения функции К (и) при
Iм-1 -*¦ оо убедимся, что интеграл в (8.19) сходится.
В силу справедливости неравенства (8.14) и на основании
теоремн 1.1 можем утверждать, что правую часть функциональ-
функционального уравнения (8.13) можно единственным образом представить
в виде
1
я J / (I) Ф F) dt = (Ф, Фо)н (ф0 е= Н).	(8.20)
—1
Подставляя (8.20) в (8.13), убедимся, что существует единст-
единственный элемент ф,еН, обращающий (8.13) в тождество и явля-
являющийся, таким образом, обобщенным решением интегрального
уравнения G.1), G.11), G.12).
Можно показать, используя формулы (8.15), C.14), что для
постоянной Йь вида (8.19) имеет место оценка
/IU («=1-ц),	(8.21)

§ 8. ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ	49
где Я™ (—'1,1)— пространство функций, удовлетворяющих при
Ы =S 1 условию Гельдера с показателем а. Подставляя далее
(8.14), (8.21) в функциональное уравнение (8.13) и полагая за-
затем ф = фо, получим следующее соотпошение корректности:
|Фо1н<^8|/1ня-	(8-22)
В заключение заметим, что если существует обычное решение
интегрального уравнения G.1), G.11), G.12), т. е. q>0(x) e
eL,(-1, 1), то оно, очевидно (см. (8.12)), одновременно явля-
является и обобщенным решением. В гл. 2 будут сформулированы
условия, которые необходимо наложить на функцию f(x) (более
сильные, чем (8.16)), чтобы решение принадлежало простран-
ствуМ-1, 1) (!</>< 2).
В, М. Александров, Е. В. Коваленко

ГЛАВА 2
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ОСНОВНОГО ТИПА
§ 1. Свойства ядра интегрального уравнения
G.1), G.11) гл. 1 для случая очень больших X.
Интегральное уравнение первого рода
с логарифмическим разностным ядром
Обратим внимание, что в случае очень больших % ядро G.7)
гл. 1 интегрального уравнения G.1) гл. 1 может быть прибли-
приближенно представлено в виде
= —In 1 Е—х\ + d, d = In—- A.1)
4A,
поскольку	th x « x при x -*¦ 0. Таким образом, интегральное
уравнение	G.1), G.7) гл. 1 при очень больших % запишется
в форме
1	—
Случай 'к = °° не может быть рассмотрен1), ибо второе слагаемое
в правой части A.1) обращается в бесконечность. Следователь-
Следовательно, в задаче § 5 гл. 1 при х2 = 0, а также в задачах § 6 гл. 1
(для первой задачи при я = 0) невозможен предельный переход
к полупространству (или пространству). Заметим, что это общий
дефект плоских задач. Известно [1], например, что в плоских за-
задачах теории упругости, если область V, занимаемая телом,
включает в себя бесконечно удаленную точку, то при (х, у) -> °°
перемещения логарифмически стремятся к бесконечности. Это
') Вернее (см. § 2), в случае Я, = оо при заданном значении величины
1
No = J Ф (Е) dl
может быть найдена функция <${х), но не может быть установлена связь
между No и /@).

§ 1. УРАВНЕНИЕ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ	51
противоречие физическому смыслу является следствием идеали-
идеализации пространственных задач — изучения их как плоских.
Покажем теперь, что во всех случаях а), Ь) и с), указанных
в § 7 гл. 1, при очень больших % ядро G.11) гл. 1 может быть
приближенно представлено в виде A.1).
Допустим, что функция К(%) в формуле G.11) гл. 1 являет-
является четной, вещественной на вещественной оси и регулярной в по-
полосе \и\ < °°, \v\ < с, исключая точку t, = 0 для случаев Ь) и с).
Совместим для случая а) контур Г в формуле G.11) гл. 1 с ве-
вещественной осью; тогда
k(t)= \ К (и) cos utdu.	A.3)
о
Для случая Ь) рассмотрим вспомогательный интеграл
1е|«г. A.4)
В A.4) контур интегрирования можно совместить с веществен-
вещественной осью; тогда
оо
ke(t)= \—, '") cos ut du.	A.5)
Преобразуем A.5) следующим образом:
оо	оо
kR (t) = \ L (u) (cos ut — е~и) du + \ L{u)e " du. A.6)
j У и2 + e2	i У и2 + e2
Оценим последний интеграл в A.6) при е -*¦ 0. Принимая во вни-
внимание, что функция L(n) ограничена на вещественной оси, имеем
оо
Г
du
= ОAпе). A.7)
Здесь Mi = const, Н0(х)—функция Струве, a N0(x)—функция
Неймана. С учетом A.7) при е -*¦ 0 выражение A.6) представим
в виде
оо
kB(t)= j^- (cos ut—'e~u)du + О (In e).	A.8)

52	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
На основании A.8) для случая Ь) получим
k(t)=t\jK (и) (cos ut — е~и) du + d#r	A.9)
о
где d%— бесконечная постоянная. Заметим, что если в A.4) в ка-
качестве контура Г взять прямую, параллельную вещественной оси
(\и\ < °о, v = б, 1е| < |б| < с), то, спускаясь на вещественную
ось и устремляя е к нулю, вновь придем к выражениям A.8)
и A.9).
Для случая с) рассмотрим вспомогательный интеграл
)t |е|«г. A.10)
Если в A.10) контур интегрирования совместить с вещественной
осью, то
fce(i)= -P^L cos и* d».	A.11)
Ju +e2
Преобразуем A.11) следующим образом:
ос	оо
7 ,.. С мы) ( . -и2\, , Гм(и)е-и2 , ,, .„.
ке (t) = \ —	'-5 (.cos ut — е ) du + \ —-^	— du. A.12)
О	О
Оцепим последний интеграл в A.12) при е -*- 0. Принимая во вни-
внимание, что на вещественной оси функция М{и) ограничена при
¦и. «S т < оо и возрастает на бесконечности как и, имеем
1	оо
-,,2,_	^---и2с1и ^
Г М(и)е-и2 ,	м [e-\lu	. Сие-'
J и2 + е2	~^ 2 J и% + е2	3 J u2 4
и -\- г *
о	о
- М3 у е8 Ei (- е2) = О (е). A.13)
Здесь Мг и М3 — постоянные, erf x — интеграл вероятности,
Ei(z)—интегральная показательная функция. С учетом A.13)
при е ->¦ 0 выражение A.12) представим в виде
оо
ke(t)= f ^ф- (cos ut-e-u*)du + О (б),	A.14)

§ 1. УРАВНЕНИЕ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ	53
На основании A,14) для случая с) получим
оо
к (t) = ]" К (и) (cos ut — е~и2) du + d*,	A.15)
о
где d%— бесконечная постоянная. Выражение A.15) будем на-
называть первым вариантом представления ядра G.11) гл. 1 для
случая с).
Возьмем теперь в A.10) в качестве контура интегрирования Г
прямую, параллельную вещественной оси (Ы<°°, у = б, |е|<
<|6|<с). Пусть для определенности б > 0. Тогда в полосе
\и\ < оо, 0 =S v =S б подынтегральное выражение в A.10) будет
иметь полюс в точке t, = ie. Спускаясь на вещественную ось и ис-
используя теорию вычетов [2], получим следующее выражение для
интеграла A.10):
ke(t)= \ ?{u\ cosutdu-^-M(ie)e~8t.	A.16)
0
Далее, как и выше, при е -*- 0 найдем
оо
ke(t) = \—Ур-{cos ut — е~и ) du + ^M@) t + О (е). A.17)
U
о
На основании A.17) для случая с) будем иметь
оо
к (t) = \К (и) (cos ut — е~и2) du + у Ct + d*f A.18)
о
С = lira u2K (и),
Выражение A.18) будем называть вторым вариантом представле-
представления ядра G.11) гл. 1 для случая с). Заметим, что если контур Г
в A.10) есть прямая, лежащая ниже вещественной оси (б<0),
то, подобно изложенному, вновь получим представление A-18),
но со знаком минус перед членом (n/2)Ct.
Помимо предположенного ранее относительно свойств символа
K(t,) ядра G.11) гл. 1 допустим теперь, что во всех случаях
а), Ь) и с) для него имеют место формулы
A-19).
С ¦
и

54	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Далее, нам также понадобятся следующие интегралы:
A.20)
,-u2 _ g-U4 du_ = J_ p.
о
здесь С — постоянная Эйлера.
Умножим первый интеграл A.20) на 1, второй на —Cj, затем
сложим их и вычтем полученное равенство из соотношений A.3),
A.9), A.15) и A.18). Тогда соответственно для случаев а),-Ь)
и с) будем иметь
k(t) + \n\t\+±-ct\t\ = R0 + l{t),	A.21)
k(t) + \n\t\ + -^c1\t\ = Ri + l(t) + d#,	A.22)
к (t) + In111 + ~cx 111 = R2 + l(t) + -%-Ct sgn6 + d* (sgnO = 0),;
A.23)
где функция l(t) дается интегралом
00 г	i
Z (t) = j" [L («) - 1 - A| (cos u^ - 1) ^-,;	(l.24)
о
а постоянные Ri (? = 0,1, 2) имеют вид
= P L(»)-l + .-" rf	д ' = P [1-L (»)](.-"-!)
0 J	U	'	! J	И	'
Заметим, что в процессе преобразования выражения для i?2 пс-
пользован третий интеграл A.20).
Формулы A.21) —A.23) можно записать единообразно:
k(t)=—\n\t\ +n\t\ +rl + l(t)+l/inCtsgn& (го, г, = const),
A.26)
а относительно функции l(t) имеет место следующая
Лемма 2.1. Функция l(t) такова, что ее первая производная
при \t\ ^R (R < <х>) удовлетворяет условию Гельдера с показа-
показателем а = 1 — е (е > 0).

§ 1. УРАВНЕНИЕ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ-	55
Иными словами, в лемме утверждаетея, что l(t)GHl~e(—R,R).
Для доказательства продифференцируем функцию l(t). Будем
иметь
(и) — 1 — -^ sin и* cfo.	A.27)
Интеграл в A.24), а также интеграл в A.27) сходятся в силу пер-
первого соотношения A.19), а также с учетом того, что при и -*¦ О
функция L(u) для всех рассматриваемых случаев возрастает не
сильнее, чем и*1.
Оценим теперь разность
оо
] L (и) — 1	-\ (sin utt — sin ut2)du
<2 j L (it)-1-^ sin bit du. A.28)
0
Здесь U, t2d[—R, R], b=(tl — t2)/2. Далее, используя неравен-
неравенство A.19), получим
o
1/6
Г
oc	.	/ 1/6	оо	>
. Г I sin Ъи | , I ^ o I, Г du	С du I
+ l —;—;—с du /^ Zp \o —i— + —-—— \ =
1/6	I	l о	1/6	I
(- qblnqb + qb
Отсюда видно, что
U'(*i) —ПМКЛМ*! —*21'-в (е>0, M4 = const)". A.30)
Следствие 2.1. Поскольку Z@)=0, то
l{t)~f- (*-*0).	A.31)
Действительно, из A.30) при ti = t и ?2 ^ 0 имеем
U'@l^M4'U|'-e,	A.32)
а из A.32)' легко следует A.31).
Таким образом, на основании формул A.26), A.31) можем
заключить, что для всех случаев а), Ь) и с) при очень больших %
ядро G.11) гл. 1 ведет себя следующим образом:
k(t) = —In \% — x\ +d.	A.33);

56
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Исследование интегрального уравнения A.2) имеет общее значе-
значение и будет произведено в последующих параграфах.
Если обе части интегрального уравнения A.2) продифферен-
продифференцировать по х, то мы придем к известному в математической фи-
физике сингулярному интегральному уравнению 1-го рода с ядром
Коши
A.34)
Как мы увидим дальше, общее решение уравнения A.34) содер-
содержит одну произвольную постоянную. Поэтому, построив решение
уравнения A.34), можно затем так распорядиться этой постоян-
постоянной, чтобы решение уравнения A-34) удовлетворяло урав-
уравнению A.2).
В заключение заметим, что свойства ядра интегрального Урав-
Уравнения G.1), G.11) гл. 1 при очень больших % для случая d) бу-
будут рассмотрены в гл. 5.
§ 2. Некоторые сведения о сингулярных интегралах.
Формулы Сохоцкого. Решение интегрального уравнения A.2)
в форме, содержащей сингулярные интегралы
Пусть в плоскости комплексного переменного z = x + iy задан
некоторый гладкий') замкнутый контур L (рис. 2.1). Область, ле-
лежащую внутри контура, будем обозначать через D+, а дополни-
дополнительную к D+ + L область, содержа-
содержащую бесконечно удаленную точку,
соответственно через D~.
Интеграл по контуру L вида
п~
'(*)= -^т\~:
рис. 2.1
B.1)
называется интегралом Коши, если
стоящая под интегралом функция
f(z) является регулярной в D+ или
D~. При этом для J(z) имеют место
известные формулы Коши [3]. Именно, если функция f(z) явля-
является регулярной в D+ и непрерывной в D+ + L, то
J(z) = f(z) (refl+), J(z) = O (ZSD-);	B.2)
если f(z) является регулярной в D~ и непрерывна в D~ + L, то
) (ZEfl-),	B.3)
') Под гладким контуром будем понимать «простую (т. е. без точек
самопересечения) замкнутую или незамкнутую линию с непрерывно ме-
меняющейся касательной и не имеющую точек возврата (заострения)» [3].

§ 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ A.2)	57
Формулы Коши B.2), B.3) восстанавливают значения регу-
регулярной функции в области по известным ее значениям на границе
области.
Пусть теперь /(т) в B.1) является лишь непрерывной функ-
функцией от т е L. Тогда интеграл B.1) называется интегралом типа
Коши, а функция /(т)—его плотностью. Поскольку при любом
z Ф L производная от интеграла / существует и ограничена, то
интеграл типа Коши представляет собой регулярную функцию во
всей плоскости z, за исключением точек, принадлежащих L, а в
бесконечно удаленной точке он обращается в нуль') как Ы~'.
При z = t^L интеграл B.1) называется сингулярным интегралом
с ядром Коши (т — ?)-'. Такой интеграл, вообще говоря, расхо-
расходится. Однако при некоторых условиях, налагаемых на функцию
/(т), может быть найдено его главное значение по Коши [3].
Вспоминая, что главное значение можно найти, вычислив неопре-
неопределенный интеграл и подставив затем пределы интегрирования,
получим, например,
ъ
С лг	h X
—?L_ = in!n?. (Х(==[а,Ь]).	B.4)
J х — х	х — a v i > V	v/
а
Заметим, что такое же выражение будет иметь сингулярный инте-
интеграл, вычисленный по любому другому контуру L, соединяющему
в плоскости комплексного переменного z точки а и Ъ. Действи-
Действительно, в [3] показано, что
I
%—t	t—a
h
¦если ветвь логарифмической функции In z выбрана в соответствии
с условием 1п(—1) = я?. Если контур L замкнут, т. е. а = Ь, то
получим из B.5)
"«	•	/л. 	 Т \	/С\ П\
:—- = m \t s= L).	\А-&)
Любопытно, что для этого же интеграла в соответствии с форму-
формулами Коши B.2) и B.3) будем иметь
Bш (ze
Рассмотрим теперь сингулярный интеграл типа B.1) (z=fe
: L) и преобразуем его с помощью интегралов B.5) и B.6)
') Все сказанное справедливо и для разомкнутого контура L, а также
когда функция /(т) имеет степенные интегрируемые особенности.

58	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
следующим образом: в случае незамкнутого контура
в случае замкнутого контура
<2-9>
Допустим теперь, что функция f(t) на контуре L удовлетворяет
условию Гельдера с показателем 0<а< 1; тогда, как видно из
B.8) и B.9), соответствующие сингулярные интегралы J(t) схо-
сходятся в смысле главного значения по Коши. Это следует из оценки
dx
{М = const). B.10)
Положим теперь f(x) = g(x) A — х2)~'1г и рассмотрим сингуляр-
сингулярный интеграл
Щ«1	 (И<1).	B.11)
)
Покажем, что при g(x) = 1 интеграл B.11) равен пулю. Действи-
Действительно, произведем в B.11) замену переменной
s2);	B.12)
тогда после несложных преобразований получим
1
Г
J
_„
= 0. B.13V
Интеграл B.13) является ключевым для вычисления целой серии
сингулярных интегралов вида B.11). Так, например, используя
тождество
^-1, B.14)
с учетом B.12), B.13) и интеграла
...

S 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ A.2)	59
найдем
1
j?! /l-xa(x-x) 1лжРп(а;) (те = 2п + 2),
Bk — 1)!!
P (x) =
ft=O
Кроме того, обратим внимание па то, что в силу формулы B.13)
решение однородного сингулярного интегрального уравнения
A.34) имеет вид
1 -
B-17)
где iV0 — произвольная постоянная. Определим эту постоянную та-
таким образом, чтобы B.17) являлось решением уравнения A.2)
при f(x)=f. Подставим для этого B.17) в A.2) и положим затем
в левой части х = 0. Здесь использовано то обстоятельство, что
решение уравнения A.34), будучи подставленным в уравнение
A.2), даст нам вместо / (после вычисления интеграла в левой ча-
части) величину / + /0, где /0 — постоянная. Итак, будем иметь
я/.	B,18)
[-ln|5|+d]	Ц_=я/.
_!	К	1 |
Используя интегралы
ШЦ	[*Ц-Я,	B.19)
из B.18J найдем
No = л/Aп 2 + d)-1.	B.20)
Приведем здесь еще значение одного сингулярного интеграла,
который получается с помощью B.16) и будет в дальнейшем
использоваться,
,	( — пх (пг = 0),
11Л т2
К1~х 7- ' nQn(x) (m = 2n + l),	B.21)
-1	I иа#„ (ж) (т = 2п + 2),
п
V B/с —1)!! 2п-
/7| _;	х
ft=0
Вернемся вновь к рассмотрению иптеграла типа Конш B.1)
по замкнутому контуру L (рис. 2.1). Пусть плотность его f(t)

60	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
удовлетворяет условию Гельдера при всех t s L с показателем
0 < а < 1. Тогда, как отмечалось ранее, при z = t s L интеграл
J(t) существует в смысле главного значения по Коши. Пусть те-
теперь J+(t)— предельное значение интеграла B.1), когда z-+t^L
по любому пути изнутри, a J-(t) — соответствующее предельное
значение, когда z ->- t s Z, по любому пути извне контура L. Уста-
Установим связь между величинами J(t), J+(t) и J-(t). Для этого нам
понадобится следующая [3]
Лемма 2.2. Если f(t) в B.1) удовлетворяет условию Гель-
Гельдера L, то функция
J"^	<2-22>
ведет себя при переходе через точку z= t ^ L как функция не-
непрерывная, т. е. она имеет определенное предельное значение при
стремлении z к t с любой стороны контура L по любому пути,
именно (см. B.10))
lim Ф (z) = gin f /(V1(° dT = * <*>•	B'23>
На основании леммы имеем
*+(*) = *-(*) = *(*),	B-24J
а, с другой стороны, с учетом формул B.6) и B.7)
ф+(*) = /+(*)-/(*). *_(*) = /-(*), ^ (*) = /(*)-у/(*)•
B,25)
Из B.24) и B.25) найдем
!±	J(t). B.26)
Соотношения B.26) называются формулами Сохоцкого. Заметим
[1, 3], что они справедливы также для незамкнутого контура L,\
если функция f(t) удовлетворяет на L (всюду, за исключением
концов) условию Гельдера. При этом J+(t) и J-{t) понимаются
как предельные значения интеграла типа Коши B.1) при подходе
к контуру L слева или справа по любому пути (к любой его точ-
точке, не совпадающей с концами). Из формул B.26) следует, чт&
J+(t)+J-(t) = 2J(t), J+(t)-J-(t) = f(t).	B.27)
Приступим теперь к решению сингулярного интегрального
уравнения A.34) и предположим, что /(i)efl?(—1, 1) '@<сс^
<1), а ф(ж)_=ю(а:)A —ж8)-1'1, причем со (х) е= Яор (- 1, 1) @<
<Р^сс). Как будет показано в последующем параграфе, та-
такое предположение обосновано. Введем в рассмотрение функцию

()
Коши
§ 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ A.2)	61
комплексного переменного z, заданную интегралом типа
-1
Выше было отмечено, что в рамках предположений относительно
ф(т) интеграл B.28) как функция z является регулярным во всей
плоскости z, за исключением точек липии интегрирования, т. е. то-
точек Ы ^ 1. В бесконечно удаленной точ-
ке функция Ф(г) обращается в нуль
как \z\~l.
Проведем в плоскости комплексного
переменного z ло оси х разрез, соединяю- -/
щий точки ж = ±1 (рис. 2.2). Обозначим
предельное значение функции Ф(г) при	pHCi 2.2
стремлении точки z к границе верхнего
берега разреза через Ф+ (х) и соответственно к границе
нижнего берега разреза — через Ф-(х). Пользуясь соотношениями
типа B.27), приведем сингулярное интегральное уравнение A.34)
к эквивалентному ему функциональному уравнению вида
O+(x)+O-(x)=—if'(x) (Ы<1).	B.29)'
Таким образом, дело сведено к определению регулярной во всей
плоскости z с разрезом (рис. 2.2) функции, предельные значения
которой на берегах разреза связаны линейным соотношени-
соотношением B.29).
Такая задача является частным случаем более общей задачи
линейного сопряжения [1, 3] (или задачи Римана — Гильберта):
найти регулярную в плоскости z функцию Ф(г) с линией скач-
скачков L, граничные (предельные) значения1) слева (сверху) и
справа (снизу) которой удовлетворяют условию
O+(t)=G(t)O-(t)+g(t) (t^L)	B.30);
(кроме концов), где G(t) и g{t)—заданные функции, причем
G(t)?=O всюду на L. Функция G(t) называется коэффициентом
задачи линейного сопряжения, a g{t)— ее свободным членом.
В рассматриваемом нами случае B.29) имеем G(x)=—1, g(x) =
= —if(x), L— отрезок [—1, 1].
Для решения функционального уравнения B.29) введем в рас-
рассмотрение новую аналитическую функцию
W(z)=1z2 — 1Ф(г).	B.31)
Заметим, что на плоскости с разрезом, соединяющим точки ж = ±1
(рис. 2.2), она будет регулярной [1, 3], если выбрать такую ветвь
') Изнутри и извне, если коптур L — замкнутый.

62	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
функции F (z) = Yza — 1, чтобы F+(ж) = Y^2 — 1, а F.-'(a;J=»
= -Тж2 - 1.
Умножив теперь обе части уравнения B.29) на Уж2 — 1 и вос-
воспользовавшись соотношением B.31), получим для определения
\F (z) следующее функциональное уравнение:
ЧГ+.(х) - ?- (ж) = —if (х) 1хг - 1.	B.32)
Принимая теперь во внимание вторую формулу B.27), запишем
одно из решений B.32) в виде
? (z) = - ?-
x— г
—l
Таким образом, частное решение уравнения B.29) получим
в форме
*	| Щ1Ш. dx.	B.33)
Найдем решение однородного уравнения B.32)
?(f) (ж) - ?(_0) (х) = 0.	B.34)
Соотношение B.34) показывает, что функция \F@)(z), регулярная
на всей плоскости комплексного переменного z, принимает одина-
одинаковые значения на верхнем и нижнем берегах разреза. Кроме того,
как следует из B.31) и асимптотики Ф(г) при \z\ -»- °°, ^'"'(z)'
стремится к постоянной при Izl ->¦ °°. А тогда по теореме Лиувил-
пя [1—3] 4r(O)(z) = const, откуда
Ф(о) (z) =	^		B.35)
2 У 1 2
(сравните с B.17)). Замечая теперь, что Ф(г) = Ф@ (z)'+ Ф@)'(гУ,
и находя предельные значения
Г
_ x2 /' (x)
из второй формулы B.27) будем иметь

§ 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ A.2)	63-
Формула B.36) представляет собой общее решение интеграль-
интегрального уравнения A.34). Это решение определено с точностью до
произвольной постоянной Na. Как и выше, этой постоянной распо-
распорядимся так, чтобы выражение B.36) удовлетворяло и интеграль-
интегральному уравнению A.2). Для этого умножим скалярно обе части
A.2) на фо(ж) вида B.17), где No дается формулой B.20). Пере-
Переставив затем интегралы в левой части полученного соотношения
(перестановка возможна, ибо функция ф(ж) абсолютно суммиру-
суммируема) и вспомнив, что фо(ж) есть решение уравнения A.2) для
/ = 1, без труда получим для общего случая f(x) выражение
B.37)
-1
Здесь использовано значение интеграла B.11) при g(x)= const.
Формулы B.36), B.37) дают общее решение уравнения A.2).
Найдем еще выражение для следующей иптегральной характе-
характеристики-решения ф(ж):
1
N1 = J
их.	B.38)
Подставляя B.36), B.37) в B.38) и интегрируя, получим
Л^ = J /' (x) VT^x* dx.	B.39)
Отметим, что при вычислении Ni B.39) был использован сингу-
сингулярный интеграл B.21).
Можно показать, что решение уравнения A.34) в форме B.36)
имеет место, даже если f (х)—обобщенная функция, например,
дельта-функция Дирака
оо
6 (х) = — \ cos ax da.	B.40)
Основное свойство дельта-функции определяется соотношением
0	(х<а, х>Ь),
1/Ag{x_0) + g{x + 0)] {a<x<b)i
где g(x)— произвольная функция класса V(a, b).

64	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 3. Структура и свойства решения
интегрального уравнения A.2).
Ограниченные решения. Взаимосвязь
между «четными» и «нечетными» решениями
Чтобы исследовать структуру и дифференциальные свойства
решения B.36) интегрального уравнения A.2) в зависимости от
дифференциальных свойств функции f(x), воспользуемся следу-
следующей леммой.
Лемма 2.3. Пусть / (х) е= Я™ (а, Ь) @<а< 1), т. е.
I ^(п) (т\	 -fin) (?^ I <" ][/[I т 	 ? а	( Л/ — ос\т\я\\ •	(*^ i ^
тогда имеет место неравенство
C.2)
для любых х и | е [а, Ь].
Доказательство леммы имеется в [4].
Теорема 2.1. Если /(ж) е= Я?+1(—1, 1) @<а=^1)\ то
функция ф(ж)', определяемая формулой B.36)', имеет структуру
q)(x)= в)(х) (I — x2)~i/2	C 3)
где o(i)eC.(-l, 1).
Для доказательства достаточно показать, что сингулярный ин-
интеграл
C.4)
входящий в B.36) как функция х, принадлежит классу Сп(—1,1)'.
Представим интеграл C.4), используя формулу B.21), в виде
C 5)
Равенство C.5)' теперь формально продифференцируем п раз
по ж. При этом получим
X VT^W dl-к [xf (x)](n). C.6)
По условию теоремы второе слагаемое в C.6) принадлежит
С(—1,1}.. Покажем, что интеграл в C.6) также принадлежит

§ 3. СТРУКТУРА И СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ A.2)	65
С(— 1, 1); тем самым будет обоснована законность дифференци-
дифференцирования под знаком интеграла в C.5). Непрерывность по х ин-
интеграла в C.6) следует из его равномерной сходимости при всех
же[—1,1]. Для доказательства равномерной сходимости, как из-
известно, необходимо показать, что модуль соответствующего инте-
интеграла по [х— 8i, ж + е2] стремится к нулю при всех Ы=^1, когда
8i->¦ 0 и е2 ->¦ 0. Это легко установить на основании оценки C.2).
Заметим, что при а = 0 доказанная теорема в общем случае
несправедлива. Действительно, рассмотрим конкретный пример.
Пусть
/(«)"= n. + ^ld;	C.7)
тогда функция /' (х) = ц2 sgn x не удовлетворяет условию Гель-
дера. С учетом сингулярного интеграла
f
J
-1
по формуле B.36) найдем
\	_
зх У 1 — х
C.9)
Как видим, функция со (ж) (см. C.3)) здесь уже имеет логариф-
логарифмическую особенность при х = 0.
Рассмотрим еще один любопытный пример. Пусть
/(а:)=|11 + |1,а:AпЫ-1).	(ЗЛО)"
Тогда f (x) = \i;,\n\x\, и с учетом сингулярного интеграла
1
Г
J
2 + л Yi — x'1 (%- sgnx- arcsinx)
\ь	J
^ = пхЫ2 + л Yi x (% sgnx- arcsinx)
5 х	\ь	J
C.11)
по формуле B.36) найдем
Ф (х) =	f	(ЛГ + яц2х In 2) — щ \\ sgn х — arcsin x ). C.12)
Функция со (х) здесь имеет разрыв первого рода при х = 0.
Сопоставляя приведенные два примера, наблюдаем интерсный
факт: ухудшение свойств функции /' (х) не обязательно влечет
за собой ухудшение свойств решения сингулярного интегрального
уравнения A.34). В указанных примерах особенности у функций
Г (х) и со (ж) при х = 0 поменялись местами.
Без доказательства заметим, что теорема 2.1 сохраняет силу,
если в окрестности точек ж = ±1
/(n+1)(z)~(l-r!)-e @<9<70.	C.13)
5 В. М. Александров, Е. В. Коваленко

66	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Получим еще один более тонкий результат относительно диф-
дифференциальных свойств функции со (х). Для этого нам понадо-
понадобится следующая
Лемма 2.4. Если Ф(()е^(Ц (п>0, 0<сс<1), где
L — гладкий замкнутый контур в плоскости комплексного пере-
переменного z, то функция Ф(г), определяемая сингулярным инте-
интегралом
при z = t^L, принадлежит Hi(L), причем *{ = а, если а<1 п
¦у = 1 — е, где е — сколь угодно малое положительное число, если
06— 1.
Доказательство леммы по существу имеется в монографиях
[1, 3].
Теперь докажем теорему.
Теорема 2.2. Если /(ж) е=Я?(—1, 1) @ < а < 1), то функ-
функция ф(ж), определямая формулой B.36), имеет структуру C.3),
где со (х) е Щ (— 1, 1), причем ¦у = ее, если а < 1, и ч = 1 — е,
если а = 1.
Для доказательства достаточно показать, что сингулярный ин-
интеграл C.4) принадлежит классу Щ(—1,1). Пусть /' (х) есть
четная функция. Перепишем C.4), используя B.21), следующим
образом:
^F [/' E) - /' A)] е Я« (- 1, 1),	C.16)
ибо умножение на "|/1 — |2 лишь увеличивает степень гладкости
и скорость стремления к нулю выражения /'(!)— /'A) пРи под-
подходе к точкам | = ±1.
Рассмотрим вспомогательный интеграл
=j?^|L (jet),	C.17)
Здесь L'— отрезок вещественной оси ItI^S I, L" — его замыкание,
причем такое, что контур L — гладкий (рис. 2.3).

§ 3. СТРУКТУРА И СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ A.2)
67
Заметим, что
Тогда на основании леммы 2.4 будем иметь
I*(t)<=Hl(L).
C.18)
C.19)
Вспоминая теперь, что I*(t) совпадает с 1(х) на отрезке L', убе-
убедимся в справедливости теоремы для четного случая f'(x).
Пусть f'(x) —нечетная функция. Тогда перепишем C.4), ис-
используя B.21), следующим образом:
I(x) =
ty C.20)
Повторяя далее приведенные выше рассуждения, убедимся в спра-
справедливости теоремы и в этом слу-
случае ').
По схеме доказательства вид-
видно, что теорема 2.2 сохраняет си-
силу, если в окрестности точек х =
= ±1 функция /' (ж) ведет себя
как C.13). В общем случае при
а = 0 теорема несправедлива.
Изучим ограниченные в точках
х = ±1 решения интегрального
уравнения A.2). Пусть по край-
крайней мере	/ (ж) е= Я? (— 1, 1)
@<сс<1). Тогда по теореме 2.1
х
Рис. 2.3
со
(х) - 1 [*Г, - j Г ®fj
С (- 1, 1). C.21)
Следовательно, значения со A) и со(—1) существуют и конечны.
Предположим далее, что соA) = 0. Это приводит к соотношению
C.22)
-1
а формула B.36) принимает вид
Ф (zj =	у т—г— I I' j	в* g	OS-
IX ' 1 ~г х j	l 5 g x
') В § 9 гл. 4 будет доказана более общая теорема, из которой, в част-
частности, будет следовать, что если/ (х) е Я"+1(— 1, 1), то а(х) еЯ^(-1, 1).
5*

68	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Теорема 2.3. Если f(x) e= #»+i(- 1, 1) @<а<1) и
/ (х) е Н%+1 A — е, 1) (е > 0, 72 < $ < 1), а также выполнено
соотношение C.22), то функция ц>(х), определяемая формулой
C.23), имеет следующую структуру:
Ф(*)= /пргМ*).	C.24)
где mi(a;)'e=Cn(—1, 1)'.
Теорема 2.4. Если /(ж) е= Я?(- 1, 1) @<а<1) п
/(i)efff(l-8, 1) (е >0, 72<[*«5 1), a также выполнено
соотношение C.22), то функция ф(ж), определяемая формулой
C.23)', имеет структуру C.24), где <»! (ж) е Яо(—1,: 1), причем
T = inf(a, р-72).
Указанные теоремы доказываются аналогично теоремам 2.1
и 2.2. Отметим также, что формулы типа C.22) — C.24) и теоре-
теоремы, аналогичные теоремам 2.3 и 2.4, могут быть установлены
и для случая со(—1) = 0, где со (ж) имеет вид C.21).
Предположим теперь, что одновременно соA )= 0 и со(—1) = 0.
Это на основании C.21) приводит к соотношениям
C.25>
а формула B.36) принимает вид
1
C.26)
Теорема 2.5. Если f (х) е= Я"+1(- 1, 1) @<а< 1) и
/ (х) е= Hl+1 (Г) (V2 < Р^ 1, Г — система отрезков [—1, — 1 +
+ 81) [1 — 8i 1]) 8->0)) а также выполнены соотношения C.25),
то функция ф(ж), определяемая формулой C.26), имеет следу-
следующую структуру:
Ф(г)' = У1-ЛK(г),	C.27)
где с»2(.г)е=Сп(— 1, 1).
Теорема 2.6. Если f(x) е= Я?(— 1, 1) @<а<1) и
/ (ж) <= Я? (Г) (У2 < р^ 1, Г — система отрезков [—1, —1 + е],
[1 — е, 1], е>0), а также выполнены соотношения C.25), то
функция ф(ж), определяемая формулой C.26), имеет структуру
C.27), где со2 (ж) <= Я? (— 1, 1), причем ч = Ы(а, ji — 72)\
Указанные теоремы доказываются аналогично теоремам 2.1
и 2.2.	,
ft	./^
Заметим, что в случае, когда f(x) е Я? (— 1, 1) {72 < р < 1),
как показывают теоремы 2.5, 2.6, требование ограниченности ре-

§ 3. СТРУКТУРА И СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ A.2)	69
шения ф(ж) интегрального уравнения A.2) в точках ж = ±1,
по сути дела, оказалось требованием обращения его в этих точ-
точках в нуль. Ограниченные же решения (не нулевые) интеграль-
интегрального уравнения в точках ж = ±1 существуют. Например, если
[	C.28);
то функция ф(ж), как нетрудно убедиться, равна ц2. Однако
функция /(ж) в форме C.28) такова, что ее первая производная
имеет логарифмическую особенность в точках ж = ±1, следова-
следовательно, f(x) в форме C.28) уже не принадлежит классу
#i(—1,1) G2<Р^1). Таким образом, при fJ = 72 теоремы
2.5, 2.6 несправедливы.
Рассмотрим еще вопрос о взаимосвязи «четных» и «нечетных»
решений. Заметим, что в зависимости от того, является ли функ-
функция f(x) четной (f+(x)) или нечетной (/_(ж)), решение ф(ж)'
интегрального уравнения A.2) или A.34) соответственно четно
(ф+(ж)) или нечетно (ф_(ж)). В этом нетрудно убедиться, если
представить ядра уравнений A.2) и A.34) в виде
C.29)
Е2-*2"
Зная какое-либо «четное» решение интегрального уравнения
A.34), можно легко построить некоторое соответствующее «не-
«нечетное» решение по следующему правилу: если
f+(x)=xf-(x),	C.30)"
то имеют место формулы
Ф± (х) Vl-ж2 = со± (х), со+(ж)-сй+ @)= жсо_ (х),
1	F.61)
No - ясо+ @) = Nit Nt = J Ф_ (I) I d%.
—i
Эти факты следуют из того, что на основании второй формулы
C.29) уравнение A.34) для «четного» и «нечетного» вариантов
может быть соответственно представлено в виде
1
Ji
C.32)
Р_ (I) _.	Я ,' / .
-X2
В § 7 этой главы будет указана другая связь между «четны-
«четными» и «нечетными» решениями интегрального уравнения A-2J.

70	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 4. Интегральные уравнения Абеля. Решение
интегрального уравнения A.2) в форме, не содержащей
сингулярных интегралов
Заметим, что в настоящее время известны две формы реше-
решения сингулярного интегрального уравнения A.34). Первая, при-
приведенная в § 2 настоящей главы и содержащая сингулярные
интегралы, известна давно и стала уже классической. Вторая
форма решения уравнения A.34), не содержащая сингулярных
интегралов, впервые получена Н. А. Ростовцевым в [5]. В рабо-
работе [6] дано решение более общего интегрального уравнения, ядро
которого связано с некоторой гипергеометрической функцией. Эта
работа, по сути дела, обобщает идею Н. А. Ростовцева, поэтому
здесь кратко остановимся на ее основных результатах.
Пусть дано интегральное уравнение первого рода
1
о
причем ядро его &(?, х) представимо в форме
где F(a, $; y; ж) — гипергеометрическая функция, а параметры
р и q удовлетворяют неравенству 0 < 2р < q < 2р + 2.
При частных значениях параметров р, q из D.2) получаются
известные ядра Гильберта — Рисса, Карлемана и Герца
g=3),	D.3)
1, q = p+l)x D.4)
ft (&,*) =-^In
K(x)—полный эллиптический интеграл первого рода. Уравне-
Уравнение D.1) с ядром D.4) встречается в контактной задаче нели-
нелинейной теории ползучести [7], а интегральное уравнение D.1),
D.5) возникает, например, при изучении осесимметричной зада-
задачи о вдавливании кругового в плане штампа в упругое полупро-
полупространство [4].
Ключом для решения уравнения D.1), D.2) является пред-
представление гипергеометрической функции в виде интеграла [8]
(_Е_ Р + 1. д . 4jV \
{ 2 ' 2 ' 2' (? + **)*)
Г (р) Г (д/2 - р)	J

§ i. ДРУГАЯ ФОРМА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ A.2)	71
Теорема 2.7. Решение уравнения D.1), D.2J при
/ (х) е Н\ (— 1, 1) дается формулами
f—*r	D.7)
t
_ 2Г (p) sin л (p — q/2) f-ър J_ Г f (I) lq-1dl
Для доказательства рассмотрим вначале интегральное уравне-
уравнение Вольтерра первого рода типа Абеля:
и построим формулу его обращения. Заменим в D.8J х на f,
умножим обе части его на 2t(x* — ?2)а~'<Й и проинтегрируем
полученное выражение по t в пределах от а до х. Будем иметь
*2~*2)Я"Хл* D>9)
Изменим в левой части соотношения D.9)' порядок интегри-
интегрирования, используя формулу Дирихле. Принимая далее в расчет
значение интеграла
V dt	л
J («A	«I-а sin ла.'
о
получим искомую формулу обращения
X
g (х) = 2	I — —-—,	D.10)
о
которая справедлива, например, если / (х) е Н1 (—1,; 1) [3].
Аналогично, имеют место следующие формулы обращения:
a
— Оsin як d Г If (I) dl
Z —IT" dx J (t> _ x«)l-a«

72
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Воспользуемся теперь формулой D.6) и перепишем инте-
интегральное уравнение D.1) с ядром D.2) в форме
х	I
,,,	2ГI
Изменяя в последнем выражении порядок интегрирования, на-
находим, что
(х) -
2Г(9/2)
Г (д/2
_ р) J (Х2 _ ^l+p-q/2 J (g« _ t«)l+p
(	^
Применяя к D.12)' формулы обращения D.8), D.10), получим
1	t
jp-1 Г S'(S)^S r(p)r(g/2-p)sinn(g/2-p) d Г|^Щй|_
J (|2 _ ta\i+p-g/a.	Г(д/2)	dt J (f2_E2\g/2-p-
Отсюда при помощи формул обращения D.11) мы придем к со-
соотношениям D.8), D.10).
Рассмотрим теперь в качестве примера решение уравнения
D.1) с ядром C.29). Изучим вначале нечетный вариант инте-
интегрального уравнения A.2)
J<P-G)h
D-13)
Решение его найдем согласно D.8), D.10), положив р = 1, д = 3,
т v '	Л dx J уЛ^ _ г2 dt J i/-
0
D.14)
у^ г	/ 2_
DC	0 »	ё
Взяв в D.14) внутренний интеграл по частям, окончательно
запишем
Для получения общего решения интегрального уравнения
(четный вариант A.2))
— In ||2 — ж2
D.16)

§ 5. СВЕДЕНИЕ К ПАРНОМУ ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ	73
можно воспользоваться дифференциальной зависимостью C.30),
C.31) между четным и нечетным решениями уравнения A.2).
Заметим, что поскольку решение уравнения D.16) при /+(а;) = /
имеет нетривиальное решение, дающееся формулой B.17), то
решение уравнения D.16) представимо в виде
о, ы ро	2з а Г tat С /+(S)d?_ ...-
причем в силу соотношения B.37)
1
/Т^Р Г1^,	D.18)
Ометим, что решение D.15) для нечетного варианта правой
части интегрального уравнения D.1) полностью совпадает с ре-
решением E.30), полученным в § 5 другим методом; в то же вре-
время четные решения несколько отличаются друг от друга. Под-
Подбирая в D.17) и E.29) постоянные Ра и Рг соответствующим
образом (согласно B.37)), можно добиться полного совпадения
четных решений D.17) и E.29).
§ 5. Сведение интегрального уравнения A.2)
к парному интегральному уравнению.
Метод преобразующих операторов
в парных интегральных уравнениях
Решение интегрального уравнения A.2), не содержащее син-
сингулярных интегралов и аналогичное решению Н. А. Ростовцева,
может быть получено также на пути сведения интегрального
уравнения A.2) к парному интегральному уравнению типа
G.15) гл. 1.
С помощью первого интеграла A.20) придадим A.2) форму
1	°о	1
J
J	J М]
— 1	—00	—1
E.1)
Введем теперь трансформанту Фурье функции ф(ж):
1	1
ф(а)= jq>(&)eie5d&, Ф@)= Jq>(?)d5.	E.2)
-1	-1
Обратное преобразование имеет вид

74	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
С учетом E.2), E.3) перепишем E.1) следующим образом:
оо
Система соотношений E.4) является парным интегральным урав-
уравнением относительно трансформанты Ф(ос) и полностью эквива-
эквивалентна интегральному уравнению E.1) или A.2).
Продифференцируем первое соотношение E.4) один раз по ж,
а второе соотношение оставим без изменения. Будем иметь
оо
_г f sgnaO(a)e~iaxda = 2nf (х) (|ж|<1),
E.5)
Система соотношений E.5), как нетрудно убедиться, является
парным интегральным уравнением, эквивалентным сингулярному
интегральному уравнению A.34).
Далее рассмотрим два случая. Четный случай: f(x), ф(ж),
а следовательно, и Ф(а)—четные функции. При этом парное
интегральное уравнение E.5) и соотношение E.8) примут вид
\ Ф (a) sin ax da = —nf (x) (),
о	E.6)
ОО
J Ф (a) cos ax da = 0 (х>1),
о
( Q
Нечетный случай: f(x), ф(ж) и Ф(а) — нечетные функции. При
втом с учетом обозначения TF(a)=—?Ф(ос) парное интеграль-
интегральное уравнение E.5) и соотношение E.3) запишутся в форме
00
J ? (a) cos ax da = я/' (х) @<ж<1),;
E.8)
(a) sin ax da = 0 (ж > 1),

§ 5. СВЕДЕНИЕ К ПАРНОМУ ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ	75
Итак, мы должны найти решение двух парных интегральных
уравнений E.6) и E.8).
Далее мы будем использовать следующие интегральные пред-
представления функций Бесселя:
t	оо
С cos ах dx ~	С sin ax dx n
J уТ*гг - т'. и>. j Т7Т? - т '. И). E10)
*
* sin
t
Кроме того, нам также понадобятся разрывные интегралы Со-
нина
I sin axJ1 (at) da =
и	{x^>iyt
I—i- ~ i~ ^-1\
E.11)
0	(x>t),
sin ax/0 (at) da= | 1	(x ^ .\
о	[ У x2 — t2
Для решения парных интегральных уравнений E.6} и E.8J
применим метод преобразующих операторов. Суть его состоит в
следующем. Пусть имеется некоторое парное интегральное урав-
уравнение относительно неизвестной функции Ф(а):
1	E-12)
§Q>(a)L(a)v(ax)da = b(x) (
Пусть также известно интегральное преобразование
со
? (а) М (а) / (at) da, ЧГ (а) = j г|> (т) N (т) J (at) dr. E.13)

76	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Если мы найдем также интегральные операторы, что
t	t
j A (х, t) К (а) ц (ах) dx = P (a) I (at), j A (x, t) a (x) dx = a* (t),
о	о
E.14)
оо	оо
J В (х, t) L (a) v (ах) dx = Р (a) I (at), j В (х, t) Ъ (х) dx = b* (t),
t	t
то, воздействуя ими соответственно на первое и второе соотно-
соотношения парного интегрального уравнения E.12), получим новое
парное интегральное уравнение вида
1	E-15)
j Ф (а) Р (a) I (at) da = b* (t) A< t < oo).
о
Теперь введем в рассмотрение функцию
Ч(а) = Ф(а)Р(а)М~1(а);	E.16)
тогда в силу E.15) и первой формулы E.13) имеем
$(t) = a*(t) @<t^l), $(t) = b*(t) A<к«),	E.17)
а используя вторую формулу E.13) и затем E.16), найдем ре-
решение парного интегрального уравнения E.12) в форме
ф и=
оо
J
о	1
Перейдем теперь к парному интегральному уравнению E.6).
Для построения его решения воздействуем на первое и второе
соотношения E.6) соответственно интегральными операторами
t	оо
Г ••xdx , Г -rxdx ¦	E.19)
Совершив затем перестановку интегралов и воспользовавшись
третьим и четвертым интегральными представлениями E.10),
придем к следующему парному интегральному уравнению:
оо	t
0	°	Х	E 20)
ОО
j" Ф (а) /х (at) da = 0	(t > 1)

§ 5. СВЕДЕНИЕ К ПАРНОМУ ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ	77
Введем в рассмотрение функцию Ф*(а) = а~'Ф(а) и функцию
Ф*@, связанную с Ф*(а) интегральным преобразованием Хан-
келя [9]:
о*	1
ф* (t) = J ф* («) aj1 (at) da, Ф* (а) = j Ф* (*) г/} (at) d*. E.21)
о	о
Здесь верхний предел, равный единице, во второй формуле
E.21) следует из второго соотношения E.20).
Из E.20) с учетом первой формулы E.21) найдем
t
ф* @ =
2 Г xf (х
) ix
E.22)
0	(t > 1).
Теперь по второй формуле E.21) определим Ф(а):
Ф (а) = а j" ф* (t) tJ± (at) dt.	E.23)
о
Наконец, по формуле E.7) найдем у(х) при 0<ж<1:
ос	1
Ф (х) = — la cos ax da I ф* (t) tJ\ (at) dt =
= — l ф* (/) t dt \ ajx (at) cos ax da =
о	о
= _L _± ф* (f) f dt \ Jx (at) sin ax da.	E.24)
о	о
Используя первый разрывный интеграл Сонина E.11), оконча-
окончательно получим
f Щ^],	E.25)
а согласно E.22) будем иметь
Посмотрим теперь, имеет ли однородное парное интегральное
уравнение E.6) какое-либо решение, Возьмем Ф0(а) в виде
Фо(а) = Р1/о(а) (Р4 = const)".	E.27)'

78	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
С помощью второго и третьего интегралов Сонина легко убедить-
убедиться, что E.27) как раз и является решением однородного парного
интегрального уравнения E.6). При этом по формуле E.7) при
О < х ^ 1 найдем
оо
Фо (*) = -~ ) Jo («) cos ах da = 	 Jl	 .	E.28)
п Jo	л У 1-х2
Здесь мы опять использовали второй интеграл E.11).
Итак, общее решение интегрального уравнения E.1) для слу-
случая четной функции f(x) на основании E.26) и E.28) может
быть представлено в форме
причем Pi = Nt. Действительно,
i
а, как мы уже знаем, величина iV0 определяется через f(x) по
формуле B.37).
Рассмотрим теперь парное интегральное уравнение E.8). Для
построения его решения воздействуем на первое и второе соот-
соотношения E.8) соответственно интегральными операторами
t
С ...ах Г ...ах
о
Совершив затем перестановку интегралов и воспользовавшись
первым и вторым интегральными представлениями E.10), при-
придем к следующему парному интегральному уравнению:
<х>	t
(t < 1),
J ? (а) /0 {at) da = 0	(*>!)•
о
Введем в рассмотрение функцию TF*(a)=»aTF(aj и функцию
¦ф*(?), связанную с TF*(a) интегральным преобразованием Хан-
келя:
оо	1
г|)* (t) = J ?* (a) a/0 (at) da, ?* (a) = j г|>* (t) t/0 (at) dt.

§ 6. СПЕКТРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ A.2)	79
Действуя дальше по вышеизложенной схеме, после ряда вы-
выкладок по формуле E.9) найдем решение интегрального урав-
уравнения E.1) для случая нечетной функции f(x) в форме
(
dx
E.30)
Относительно структуры и дифференциальных свойств реше-
решений E.29), E.30) интегрального уравнения A.2) может быть
доказана [10]
Теорема 2.8. Если f(x)^H\(— 1, 1), то ц>(х) имеет струк-
структуру C.3), где со(х)е#01/2(-1, 1).
§ 6. Спектральное соотношение
для интегрального оператора уравнения A.2).
Решение интегрального уравнения A.2) в форме ряда
по полиномам Чебышева
Как известно [11], полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода да-
даются формулами
Тп (х) = cos (n arccos x), Tn (cos 6) = cos nQ,
тт 1„\ __ sin (п arccos x) ' / m зшгаб	F.1)
U п—Л \Х)	:—;	'	;—, U 77—1 (CU& и) ^ —:—рг-,
1 v ' sm(arccosх) ' п lx ' sm6 '
а взаимосвязь между полиномами Чебышева имеет вид
T'n(x)=nUn-1(x).	F.2)
Однако между ними существует и не вытекающая из F.2) ин-
интегральная взаимосвязь, которая дается соотношением [11]
o	(n = o) d'K1)- F'3)
В справедливости F.3) можно убедиться простой проверкой с
помощью формулы B.16).
Отметим также, что полиномы Тп(х) взаимно ортогональны.
Именно, имеет место равенство
|0 (гпфп),
J
dx	|
Тп (х) Тт (х) у—-g = я/2 (да = n ^ 0),	F.4)
п (т = п = 0).
Полиномы второго рода Un(x) также взаимно ортогональны:
0 (тфп).
\m_n)	F-5)

80
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Оба соотношения ортогональности легко вытекают из известной
ортогональности тригонометрических функций.
Проинтегрируем соотношение F.3) по х. С учетом F.2) бу-
будем иметь
In 1 Е — а; 1 dE =
\Тп(х) + Сп
(п = 0)
A*1
F.6)
Определим постоянные С„, входящие в F.6). Рассмотрим сна-
сначала случай п = 0. В этом случае правая часть равенства F.6)
не зависит от х, следовательно, левая часть тоже не должна за-
зависеть от х, и можно положить х = 0. При этом будем иметь
(с учетом того, что Т0(х)= 1)
Сравнивая равенство F.7) с формулой B.19), находим
Со = п In 2.
F.8)
Для определения постоянных Сп при п 5= 1 умножим обе части
равенства F.6) на A—x2)~l/idx и проинтегрируем по х от —1
до 1. Будем иметь
,. (в.9)
Изменив в левой части F.9) порядок интегрирования и приняв
затем во внимание, что внутренний интеграл в силу F.8) равен
я In 2, получим
1
—1	ъ
( }
Однако на основании F.4) интеграл в левой части F.10) равен
нулю, поэтому С„ = 0 при п>1. Таким образом, выражение F.6)
окончательно принимает следующий вид:
F.11)
1п2Г0(а;) (п = 0)

§ 6. СПЕКТРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ A.2)	81
Формула F.11)" является спектральным соотношением для
интегрального оператора
Она показывает, что полиномы Чебышева являются собственны-
собственными функциями этого интегрального оператора, а п~1 при п 3* 1
и In 2 при п = О — его собственными числами.
Известно [12], что система полиномов Чебышева является
замкнутой в классе функций Ь?2 (— 1, 1). Замкнутость системы^
как было указано в § 4 гл. 1, означает, что для любой функции
ю (х) е Lj2 (— 1, 1) возможно единственное представление
<о(*) = 2 <ОпТп(х) {1ш1 ./, = Н|,2).	F.13)
Перейдем к построению решения интегрального уравнения
A.2) и будем искать его в виде C.3). Относительно функции
а(х) предположим, что она принадлежит классу L.2!(—1,1),
и, следовательно, ее можно представить в форме ряда F.13).
Пусть в A.2) правая часть f(x) такова, что /' {х) е L2'2(—1, 1).
Тогда тем более для f(x) возможно представление
И=0
[F.14)
Подставляя C.3), F.13) и F.14) в уравнение A.2) и используя
спектральное соотношение F.11), найдем
ю„ = fnan (аи1 = In 2 + d, an = п > l),	F.15)
где, как видно, n(do = No (см. формулу B.37)).
Теорема 2.9 [13]. Если /' (х)е Ь2/г(— 1, 1), то существует
единственное решение интегрального уравнения A.2) такое, что
ф(ж) имеет вид C.3), a (?>(z)&L{f\—1, 1). Кроме того, имеет
место следующее соотношение корректности:
1|2	--„2/1 /И dX 1 i Л/Г II -С /~\1|2:
II«(*) I*./. < «о ( J ~7^Щ I + АЛ II /' {x) fL4. (Мг = const), F.16)
2	\—1 V 1 X /
которое также можно представить в виде
F.17)
6 в. М. Александров, Е. В. Коваленко

$2	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Для доказательства теоремы продифференцируем вначале обе
части равенства F.14) по х. С учетом соотношения F.15) и
формул
п
T2n{x) = in^ ZVi(«),
j=1 г	„	!	F-18)
Т'2п+1 (х) = Bп + 1) I Го (х) + 22 ^2j (ж)
долучим
оо	оо
i't\ — *S Ч^лт' < \— т г \*S 4-
J \ )	^^J ft ¦*• П \"^) 	 *- 0 Ук) ^^J ^27i-f-l ~1~
n=0 n	п=0
оо	оо	оо	j оо |
+ 2 J Г«-1 (ж) 2. «>2п + 2 2 ^2j (ж) 2. «2п+1. F.19)
С другой стороны, для функции /'(#), принадлежащей классу
Х»2 (— I» 1)> имеет место разложение
f tx\ — V /у /-р\ ({/'j e Z )	F.20)
Сравнивая F.19) и F.20), установим, что
_ / !, v _ .' ,' _ v ¦ /
"*1 — /о	/2/25 Ш2Л+1 — /2« /2П^21 "*2п — ]2п—1 /2И+1-
Теперь можем записать
оо	оо
S2	2,2 . (f'	1; /\2 , V Г/V	^'	^2 I
^ ю„ = ао/о + (,/0 — L/2f2) + 2, [(/2п — /2»+2; +
ОО
+ (/in-i - /гп+iJ] < «о/о + Мх 2?»2- F.21)
Здесь для оценки использовано неравенство Конга — Буняковско-
го. Соотношение F.21) можно также представить в виде
или в силу эквивалентности норм {см. F.13)) в виде F.16).
При помощи неравенства Гельдера C.16) гл. 1 нетрудно уста-
вовить
_ )Ц
2-р

§ 7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. МЕТОД КРЕЙНА
83
1/D)
F.22)
И »Lv,, II /' И
(М3, М4 = const)
и тем самым убедиться в справедливости F.17).
Следствие 2.2. Из F.17) вытекает существование един-
единственного решения ф(х) интегрального уравнения A.2) в классе
?4/з-о(—1, 1) при /'(ж)е=?4+о(—1, 1).
При использовании результата F.17) следует еще иметь в
виду, что если f(i)eL1+0(-l, 1), то }(х) е= Щ (— 1, 1)
(О < а < 3/4). В этом можно убедиться с помощью неравенства
Гельдера C.16) гл. 1
to
[i'Mdt
Afв | ж —
1/D+0)
3/D-0)
|3/D+0)
(Л/, = const; ж, g е [— 1, 1]).
§ 7. Некоторые общие результаты относительно решения
интегрального уравнения G.1) гл. 1. Метод Крейна
В предыдущих параграфах были изложены различные подхо-
подходы к точному решению интегрального уравнения G.1) гл. 1 в
случае очень больших X, когда ядро G.11) гл. 1 этого уравнения
можно было приближенно представить в форме A.1). В общем
случае (варианты а), Ь) и с) в § 7 гл. 1), как следует из
представления A.26) и леммы 2.1, ядро G.11) гл. 1 можно
записать в виде
k{t)=-ln\t\ + F0{t)+d0,	G.1)
где d0 —конечная или бесконечная постоянная, Ft@) = 0 и,
кроме того, функция Ft(t) удовлетворяет при любом Ы<й
(R < оо) условию Липшица (условию Гельдера с показателем
а = 1).
Для дальнейшего важно заметить, что если регулярная часть
F0(t) ядра k(t) приближена каким-то образом выражением1)
N
n=l
') Здесь использована возможность аппроксимации точного интеграль-
интегрального оператора конечномерный (см. § 3 гл. 1). Если в A.26) С = 0, то в
G.2) должно быть Сп(у) = Dn(y).
6»

84	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
то говорят, что функция Fo (t) является вырожденной и реше-
решение интегрального уравнения G.1) гл. 1 с ядром G.1), G.2)
может быть получено в замкнутом виде. Действительно, подстав-
подставляя G.1), G.2) в уравнение G.1) гл. 1, будем иметь
G-3)
где d = d0 + In Я и введено обозначение
1
<pF)?n(i)d&. .G.4)
-i
Пусть теперь <ро(х) есть решение уравнения G.3) при Ьп = О,
а фй(я) (k<:N) есть решение уравнения G.3) при f(x) = O и
Ъп = 0 (пФ к). Такие решения, как это следует из изложенного
в предыдущих параграфах, могут быть точно построены. Тогда
решение уравнения G.3) можно представить в форме
JV
6=0
Внося G.5) в G.4), получим систему N алгебраических урав-
уравнений для определения постоянных Ък:
N
Ьп = 2 акпЪк + С„ (П = 1, . . ., N),
1	1	¦ G.6)
, (|) Dn Ш d%, сп = - -М ф0 (|) Dn f-|N
Очевидно, таким же образом может быть построено замкнутое
решение интегрального уравнения G.1) гл. 1, если его ядро
G.11) гл. 1 представлено в виде
Щ-J G.7)
и известен способ нахождения точного решения уравнения
1
f q>(l)kJ1^-?-)dl = nf(x) (|ж|<1).	G.8)
J	\ Л J
Отметим другое важное для дальнейшего обстоятельство.
Если каким-то образом построено (точное или приближенное) ре-
решение фе(я) интегрального уравнения G.1) гл. 1 для правой

§ 7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. МЕТОД КРЕЙНА	85
части вида
f(x) = e-<"	G.9)
при любом е, то это открывает возможность для конструирова-
конструирования решений уравнения G.1) гл. 1 в случае более сложных по
структуре функций /(я). Действительно, если функция
/ (х) е Я™ (— 1, 1) @ < а < 1) и представима рядом Фурье
/(*) = . 2 fne~inx,	G.10)
то решение уравнения G.1) гл. 1, очевидно, имеет форму
ф(*)= 2 /пфЛ*).	G.И)
Г!= —оо
Продифференцируем обе части уравнения G.1) гл. 1 с пра-
правой частью G.9) и решением ц>е(х) к раз по е. Будем иметь
1
^ [Фв ®] к (^) dl = н (- ix?e-«*.	G.12)
-1
Устремим, далее, в G.12) е к нулю; в итоге получим
J;
(*) = Hm 7TE1Ф" (*)]. G-13)
Вспомним теперь, что любая функция /(ж)е/7?(—1,1)
@ < а ^ 1) может быть с любой степенью точности аппроксими-
аппроксимирована полиномом [12]
/(*)«2 7**А-	G-14)
fe=0
Тогда согласно G.13) приближенное решение уравнения G.1)
гл. 1 в случае правой части G.14) представимо в виде
Ф(*)« 2 ik?4k{x)-	G-15)
ft=o
Отметим наконец, что достаточно, как доказал М. Г. Крейн
[14], знать (точное или приближенное) решение ц>о(х) инте-
интегрального уравнения G.1) гл. 1 для правой части G.9) при
е = 0 (т. е. при f(x)^l), чтобы иметь возможность построить
его решение для произвольной правой части f(x) в квадратурах.
Покажем это сначала для интегрального уравнения 2-го рода
ь
—J 71 (f, s)$(s)ds = g(t) (a<f<b), G.16)

86	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
симметричное ядро которого T(t, s) квадратично суммируемо в
квадрате a^t, s=ub; g(t)e=Lz(a, Ъ). Пусть также ц не являет-
является точкой спектра ядра. В этом случае уравнение G.16)' имеет
единственное в Ьг(а, Ь) решение, которое можно представить
в форме
[
G.17)
функция R(t, s) называется резольвентой ядра T(t, s). Допустим
еще, что однозначно разрешимо при данном ц и любом а ^ т «S Ъ
интегральное уравнение
х
lip(t)-\T(t,s)p(s)ds = g(t) (а<*<т); G.18)
тогда его решение имеет вид
§Rx (t,' s) g (s) ds , Rx (t, s) = R (t, s). G.
19)
Из теории интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода из-
известно, что
т
Ц#т (*, s) — J T (t, r) Rx (r, s) dr = T(t, s) (a < t, s < x), G,20)
причем Rx (t, s) — симметричная, квадратично суммируемая в
области а < t, s^x функция.
Теорема 2.10 [14]. Для резольвенты R(t, s) имеет место
представление
ь
Rt (t, s)-$Rr (t, r)]Rr (r, s) dr (s."< t),
G.21)
R(tts) =
Rs (t, s) - j Rr (t, r)[Rr (r, S) dr (t < s).
Для доказательства продифференцируем равенство G.20J
по т:
dRx (*, S)
-T(tt x)Rx(rt s) -
= o. G.22)
Полагая затем s = x в равенстве G.20), умножая его на Дт(т, sj

§ 7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. МЕТОД КРЕЙНА	87
и вычитая полученный результат из G.22), найдем
X
- I Т (*' Г) [дН%дх ^ - R* (Г' Т) R* (T> S>] dr = °- G-23)
a
Поскольку уравнение G.18) по предположению имеет единствен-
единственное решение, то из G.23) следует
8Il^A = Rx{t,x)Rx(x,s).	G.24)
Проинтегрируем теперь соотношение G.24) по т в пределах от
t до Ь, а затем в пределах от s до Ъ. В результате придем
к G.21).
Формулу G.21) можно записать более компактно, если вве-
ввести в рассмотрение разрывные функции
V+(t,s)={os{t'S) ((^<1<Ь)!
(Rt{t,s) (a<s<?<6),	( '
- ( г s) — | о	(а^ t < s< Ь).
Именно, будем иметь
ь
R (t, s) = V+ (t, s) + F_ (t, s) + $V+ (t, r) F_ (r, s) dr. G.26)
a
При этом заметим, что функция V-(t, s) связана с вольтерров-
ским оператором G.19) при x = t, а V+(t, s)—с вольтерровским
оператором вида
ь
ds.	G.27)
Обозначим, далее, фредгольмовские операторы, стоящие в левой
части G.16) и в правой части G.17), а также упомянутые выше
вольтерровские операторы, следующим образом:
А = ц1-Т, А-^ц-^И-К),
G.28)
B+ = I + V+, B_ = ti-1(I + V_);
здесь I — единичный оператор. Теперь соотношение G.26) мож-
можно представить так:
R = V+ + V_ + V+XV_.	G.29)

88	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Наконец, подставляя G.29) во вторую формулу G.28), найдем
A-1 = n-'(I + V+)(I + V_).	G.30)
Из G.30) вытекает
Следствие 2.3 [14]. Решение интегрального уравнения
Фредгольма 2-го рода G.16)" дается формулами
ь	Г	*	1
г|) (t)=p (t)+J Rs (t, s) p (s) ds,: p (t) =1 L (t) + J Rt (t, s) g (s) ds ,
G.31)
Справедливость G.31) может быть показана непосредственно
путем подстановки их в уравнение G.16) и ряда преобразований
с учетом G.20) и G.24).
Пусть теперь известно (точное или приближенное) решение
p(t, т) интегрального уравнения G.18) при g{t) = \. Тогда со-
согласно G.19) имеем
p(t, т)=1 l + J/Ч*, s)ds .
L	а	А
G.32)
Продифференцируем равенство G.32) по т и преобразуем ре-
результат с учетом формулы G.24)". Будем иметь
9p(t,T) =
дт,
yRxfox) 1 + j/?T(T,s)dsL	G.33)
La	J
или, в согласии с G.32),
др(^х) =Rx(t,T)p(x,x) (a<f<x<b).	G.34)
Введем, далее, в рассмотрение функцию
т
M(x)=*$p(t,x)dt.	G.35)
a
Тогда, привлекая G.34)', имеем
М' (т) = р (х, т) 1 + j Rx (t, т) dt I	G,36)
Наконец, принимая во внимание G.32)", найдем
М'(т)"=цр2(т, т)>0.	G.37)"
Теорема 2.11 [14]. Пусть М'(х)?=0; тогда для любой функ-
функции g(i)e=C(a, b) единственное решение ty(t)*=C(a, Ъ) уравне-

§ 7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. МЕТОД КРЕЙНА	89
ния G.16) может быть получено по формуле
G>38)
Для доказательства обозначим
a
После интегрирования по частям во втором слагаемом формулы
G.38) с учетом G.39) будем иметь
ь
ф (t) = ? (i) p (i, t) + J ? (т) pi (*, т) dr.	G.40)
t
Далее, используя G.34) и обозначая Чг@/?(^> 0 через @
придем к первой формуле G.31). Теперь в соответствии с G.39)
и G.37) запишем
Наконец, выполняя дифференцирование в G.41), используя снова
G.34) и принимая во внимание симметричность функции
Rx(t, s) относительно ее аргументов, придем ко второй формуле
G.31). Теорема доказана.
Обратим теперь внимание на то обстоятельство, что величи-
величина [i не входит в формулу G.38), поэтому следует ожидать, что
при определенных дополнительных условиях относительно ядра
T(t, s) и правой части g(t) теорема 2.11 верна и при A-+0 в
G.16), т. е. для интегрального уравнения первого рода
ь
G.42)
В этом случае функция р [t, т) (я < т < Ъ) должна естественно
определяться [14] как решение в классе L(a, т) уравнения
т
— §T(t,s)p(81T)ds=i (a<f<x),	G.43)
a
а функция М(х) —равенством G.35).

90	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Чтобы применить формулу G.38) к интегральному уравне-
уравнению G.1) гл. 1, A.3), введем новые переменные и обозначения
G.44)
и перепишем его для четного случая (четные f(x) и
в виде
ь
Т+ (t, s) = k(s — t) + k(s + t).
Теперь, если р+ (t, т) есть решение уравнения
т
J р+ {s, т) Т+ (t, s)ds=l @ < t < т)	G.46)
о
и функция
т
\+(t,x)dt	G.47)
при т > 0 обладает отличной от нуля и непрерывно дифферен-
дифференцируемой производной, то общее решение для четного случая
при /(г)еСг(-1, 1) в соответствии с G.38) будет
J
Ь	г-	т
- G>48)
В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение A.2J,
являющееся частным случаем уравнения G.1) гл. 1, A.3). В слу-
случае A.2) имеем
и тогда по формуле G.48) найдем
(х) ix(i)(\n2 + d)-1 + y'(l) 1 Г ц' (т) + т^" (т)
I)'
G.50)

§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ к»	91
В заключение этого параграфа отметим, что, зная общее ре-
решение G.48) интегрального уравнения G.1) гл. 1, A.3) для
четного случая, нетрудно построить его общее решение и для
нечетного случая (нечетные f(x) и (р(х)). Действительно, имеет
место
Теорема 2.12 [4]. Если /_(а;)'е=С,(—1, 1) и ф+(ж) есть
решение интегрального уравнения G.1) гл. 1, A.3) для случая
i-(t)dt + cx	G.51)
о
обращающееся в нуль при х = ±1, то
Ф_(*) = Ф'+(*)	G.52)
есть решение указанного уравнения, соответствующее f-(x).
В справедливости теоремы нетрудно убедиться, если постоян-
постоянную с определить из условий ф+(±1) = 0 (см. условия (8.11) в
следующем параграфе) и принять во внимание соотношение
G-53)
В качестве примера вновь рассмотрим интегральное уравне-
уравнение A.2} и получим его общее решение для нечетного случая.
Пусть в соответствии с теоремой 2.12 в формулах G.50) функ-
функция f+{x) имеет вид G.51). Полагая в G.50)
цA)Aп2 + й)-' + ц'A) = 0,	G.54)
определим постоянную с и получим решение для четного слу-
случая, удовлетворяющее условию <р+(±1) = 0. Затем по формуле
G.52) найдем
1	Т
/ ч * d Г v (т) + xv' (т) , , ч 2 С If- (?) ,? „ ,a
Ф_ (х) =	-г- \ \- — dx% v (т) = — I r	а\. G.55)
Решения G.50) и G.52) аналогичны решениям D.15), D.17)
и E.29), E.30).
§ 8. Асимптотический метод «больших h>
1. Наложим более жесткие, чем A.19), ограничения на функ-
функцию L(u). Именно, будем предполагать, что L(u)>0 и
т
L(и) - 11<е~ки2 &V% @ < и < оо; Анк > 0). (8.1)
г=0
Тогда справедлива [4]

92	ГЛ.. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Лемма 2.5. При всех значениях Ul<°°
k(t) = -\n\t\ + l0 (t),	(8.2)
причем функция lo(t) непрерывна со всеми производными при
U|s?/?<«> и представима при \t\<% абсолютно сходящимся
рядом
dnt2n, do=Ro, dn=^
(8.4)
(л =1,2,...).
Соотношения (8.2) и (8.3) следуют из A.21)", A.24) и
A.25), если учесть, что с? = 0. Далее, раскладывая в (8.3)
cosut в ряд, придем к (8.4). Для оценки \dn\ (га 5*1)' восполь-
воспользуемся неравенством (8.1). Получим выражение
г=0
откуда следует абсолютная сходимость ряда (8.4) при М<>с.
Также нетрудно с помощью неравенства (8.1) убедиться, что
любая производная lo(t) есть непрерывная функция.
Внесем теперь (8.2) в G.1) гл. 1. Будем иметь
—i	-1
(8.5)
Следует отметить, что в § 8 гл. 1 при К(и)>0 установлена
разрешимость интегрального уравнения G.1) гл. 1, A.3), а сле-
следовательно, и интегрального уравнения (8.5) в классе Н обоб-
обобщенных решений, если f(x) <= #"(— 1, 1) @<a«Sl). Допу-
Допустим теперь, что f(x) <= #"(— 1,1) @<а<1). Тогда указан-
указанные интегральные уравнения будут тем более разрешимы в Н.
Оценим интеграл
(М = const). (8.6)

§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ I»	93
При получении оценки (8.6) использованы неравенство Коши —
Буняковского в Н и формула (8.1). В силу (8.6) правая часть
уравнения (8.5) принадлежит пространству Я™ (—1,1)
@<а=$1). Тогда в согласии с теоремой 2.2 имеют место фор-
формулы обращения B.36), B.37)
' <8-7>
причем (р(х) V^ — x2 = (л(х)^Щ(—1,1), где 1у = а (<*<*)
и т = 1 — е (а = 1,' е>0), т. е. если /(i)sfl?(-M)
@<a=$l), то интегральное уравнение G.1) гл. 1, A.3) (а сле-
следовательно, и (8.5)) однозначно разрешимо в Lp(—l, 1)<=Н
A<р<2) и его решение ц>(х) представимо в виде C.3). Это
означает, что интегральный оператор А, стоящий в левой части
(8.1) гл. 1, имеет в Ьр(— 1, 1) A<р<2) ограниченный об-
обратный оператор А такой, что ф = лА/ и выполняются сле-
следующие соотношения корректности:
(8-9)
где Gi (Л.) и 92(Л)—ограниченные при любом фиксированном X
постоянные. Следовательно, справедлива
Теорема 2.13. Пусть f(x) е= Я?(— 1,1) @<а^1)'.
Тогда интегральное уравнение (8.5) (или (8.7), (8.8)) однознач-
однозначно разрешимо в Ьр(—1, 1) A<р<2) при Х^@, оо) и его
решение ц>(х) представимо в форме C.3), где и(г)еЯ^(—1, 1)
(Y = a, a<l; f = l — e, a = l, e>0). При этом имеют место
соотношения корректности (8.9).
Следствие 2.4. Если f(x) е= Я? (— 1, 1) @ < a< I), f(x) s
^— е, 1) (е>0, V2<^<1) и выполнено условие
-1	-1	-1
(8.10)
равносильное условию юA) = 0, то решение ц>(х) интегрального

84	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
уравнения (8.5) при А,«=@, <») имеет вид C.24), причем
Следствие 2.5. Если ' /(я)е= Я?(— 1,1) @<а<1),
/(.г)е=Я?(Г) G2<Р<1, Г —система отрезков [—1, — 1 + е],
[1 — е, 1], е > 0) и выполнены условия
1	11
(8.11)
равносильные условиям ю(±1) = 0, то решение <р(х} интеграль-
интегрального уравнения (8.5) .при А,«=((), °°) имеет вид C.27), где
<о2 (х) е Щ (— 1,1), причем у = inf (а, р — V2).
Следствия 2.4, 2.5 вытекают из теорем 2.13, 2.4, 2.6.
Помимо теоремы 2.13, с учетом леммы 2.5 и теоремы 2.1
сформулируем без доказательства следующую, более общую
теорему.
Теорема 2.14. Если /(z)<= Я?+1(—1,1) @<а<1)', то
при Я^@, °°) существует единственное решение интегрального
уравнения (8.5) ц>(х)^Ьр(—1, 1) A<р<2), представимое в
форме C.3), причем (о(х)^Сп(—1, 1).
На основании теоремы 2.14 могут быть сформулированы след-
следствия, аналогичные следствиям 2.4 и 2.5.
Если f{x) ё Я™(— 1,1) @<as?l), то в (соответствии с
теоремой 2.13 решение интегрального уравнения (8.7) в классе
Lp(—1, 1) A<р<2) нужно искать в виде C.3), где
<а(х) е Я?(— 1,1) сг С(— 1, 1). На основании сказанного пред-
представим уравнение (8.7) в форме
(О IX) = i
1
Всо= J а F) *¦(?,*,*.)?& (8.12)
(8.13)
причем (Оо(^) дается правой частью формулы C.21), а возмож-
возможность перестановки порядка интегрирования в третьем слагае-
слагаемом в правой части (8.7) следует из условия <р(х)^L,(—l, 1)
A < р < 2), леммы 2.5 и леммы, приведенной на с. 60 моно-
монографии [3].

§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ X»
95
Лемма 2.6. Оператор В, определяемый формулами (8.12)'г
(8.13), является вполне непрерывным оператором из С(—1, 1)
вС(-1, 1).
Для доказательства исследуем сингулярный интеграл
F*(%, х, X), подобно тому, как исследовался при доказательстве
теоремы 2.1 интеграл C.4). С учетом указанных в лемме 2.5
свойств функции /0 @ убедимся, что интеграл F*(%, х, К) есть
непрерывная со всеми производными функция по совокупности
переменных |, х е [—1, 1] при любом 0 < % < °°.
Дальнейшее доказательство не вызывает затруднений (см.,.
например, [12]).
Теорема 2.15. Пусть /(г)еЯ?(-1,1) @<се^1)'к
справедливо неравенство
¦к > KZ = D2 (-
1 = max\l'0(t)\,
2D2) \
= max|
, oo).
(8.14)
Тогда решение интегрального уравнения (8.12) в классе С(—1, 1)
существует и единственно (с точностью до постоянной Л^о), мо-
может быть найдено методом последовательных приближений,
а также имеет место оценка C.23) гл. 1.
Для доказательства воспользуемся принципом «неподвижной
точки» Банаха. Оценим норму Вм в С(—1, 1). Имеем
1
= -—-max*
(8.15)
Для оценки модуля функции F*(|, x, К) вида (8.13)' вос-
воспользуемся теоремой Лагранжа о среднем значении и интегра-
интегралом B.21). Получим
f* а
J il [^ -
<
(8.16)
Подставляя (8.16) в (8.15), окончательно найдем
UBMllC(_lf „ ^ «©По,-., i,[Z?2 BЯ2) -1 + Д'Я]. (8.17);
Из неравенства (8.17) видно, что при выполнении (8.14) опе-
оператор В есть оператор сжатия в С(—1, 1), что и доказывает
теорему.

96	ГЛ. 2, АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Получим теперь асимптотическое при больших К решение ин-
интегрального уравнения (8.5). Именно, в соответствии с теоре-
теоремами 2.13—2.15 и леммами 2.5, 2.6 при X>sup(^0O, 2/к) будем
искать функцию (о (х) в (8.12) в виде следующего ряда:
со
(л(х)= 2 (йп(хI-*п.	(8.18)
п=0
Внося выражение (8.18) и разложение (8.4) в уравнение (8.12),
(8.13) и приравнивая члены правой и левой частей при одина-
одинаковых степенях Х~2, получим систему рекуррентных соотношений
для определения функций (о„ (х):
i (x) = - —M -г—f- dl coo (*) (* - I) r	 ,
я- Jx *-* Jx	Kl-<2	(8.19)
i
J
- 6L
~lu
+ dx (t - l) щ (t)] A - t2)~ludt и т. д.
Используя интегралы B.21), определим последовательно из со-
соотношений (8.19) функции (о„(ж) («=0, 1, ...) и представим
асимптотическое при больших X решение интегрального уравне-
уравнения (8.5) в согласии с формулами C.3), (8.18) с точностью
до членов порядка К~6 в форме
+ 242 - 2х + 3g) - 2d9^]] d6 + О С—/ V (8.20)
Для постоянной iV0 в соответствии с C.3), (8.8), (8.20) по-
получим следующее асимптотическое представление:
± } /Г=р /' F) 6 (di + ^ + 2^) dS + О (Х-) j. (8.21)

§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ Ъ>	97
Интегрируя (8.20), найдем еще по формуле B.38)' интег-
интегральную характеристику N* решения интегрального уравнения
(8.5)
+ь + ±
+ О (?Г6). (8.22)
Строгий анализ показывает, что ряд (8.18) при X > 2/к яв-
является асимптотическим (равномерно по х) [15]; при К >
> sup(^„, 2/к) ряд (8.18) равномерно сходится по х.
Практически формулы (8.20) —(8.22) можно использовать
при X > 4/к. Из (8.20) могут быть найдены асимптотические
при больших К решения интегрального уравнения (8.5), огра-
ограниченные в точках х = ±1 (см. следствия 2.4, 2.5).
2. Допустим теперь, что для функции L(u) имеет место раз-
разложение
N
L (и) = 1 + 2 с2пи-2п + О (u-*N~2) (и-*- оо). (8.23)
С помощью интегралов A.20) и им подобных можно убедиться,
что асимптотика ядра k(t) при малых t будет иметь вид
к (t) = In 111 Jx («) + Z2 (*),	(8.24)
I* (*) = 2 dHt2i + О {t2N+2) (/ = 1, 2),	(8.25)
1=0
где несколько первых коэффициентов d^ даются формулами
== - \c2 + i f [W2 - ^Z, («) + c2 A - e~u)\ и-Чщ	(8.26)
я j [-' (' + Э) - M '">+ «¦A -e""']
Покажем, что при больших значениях параметра К может
быть построено эффективное асимптотическое решение уравне-
уравнения G.1) гл. 1 с ядром (8.24), (8.25), если соответствующим
образом модернизировать [16] метод, изложенный в п. 1.
Заметим прежде всего, что в силу (8.24) — (8.26)
lt>(t) = ln\t\[i + ll{t)] + h(t).	(8.27);
7 в, М. Александров, Е, В. Коваленко

98	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Как следует из (8.27)', ll (t) ~ In 111 при t -*¦ 0; тем не менее
можно показать, что сохраняет силу теорема 2.13 и лемма 2.6.
Кроме того, может быть доказана теорема, аналогичная тео-
теореме 2.15.
Решение интегрального уравнения (8.7) при lo(t) вида (8.27)
будем искать в форме C.3), где
а> (х) = S 2 «2«j (х) Я~2П lnj X + О (riY~21пЛ7+1Х). (8.28)
Подставляя ф(ж) C.3), (8.28) в правую и левую части урав-
уравнения (8.7) и приравнивая выражения при одинаковых степе-
степенях К~2 и In Я, получим следующие соотношения для последова-
последовательного определения (a2n<j(x):
«20
«40

(х) = -^ J у_~
i .	i
(X) = -± j gj"/^ J [«20 (*) B^21 +
1
1 — r
i -
4 j j"/ ^ J K (*) Bd + d + 2d In | * -
J
—six*—6)—2dllM (t) {tD 4da> («) (* m
«42 (x) = ^r J ^f dl J (o21 («) (t - I) -jJL= и т. д. (8.29)
-i	-i	V i — t
Затем можно определить величину No из соотношений C.3),
(8.8) и (8.27)-(8.29).

§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ К»	99
Используя интегралы B.21)' и
1
/\	Р т™ In I т — а; | ,	.. 1О
Мтг (х) = — \ 	 '	dx, \i0 (х) = Л In 2,
^х У1 — т2
- Я ^	2и -
_ „	2ra
1=0
Г
л In
[
1+2^J|I$|| С = 0,1,...), (8.30,
для важного частного случая /(ж) = / получим следующее асимп-
асимптотическое при больших Я решение:
<р (х) = -j^== [l + [d,i + 4 dxl - dxl In
+ (Et + ?2 In 2Я) A — 2x2) X + (?8 + ?4 In
+ 0(й,-в1п»й,I (8.31)
iV0 = я/ [j20 + In 2X + (d21 + dxx — dxx In 2A,) l~2 + (Еъ + Eeln2l—
- 0,25dJi In2 2%) X + О (Х~в In3 й.)]~\ (8.32)
Ex = — ^ d2idi \ — -?dl\ + 3d22 + x dlir E* = T d™ ~ 3dl2«
* ,72 , 1 j . 25 , p 	 ^^2 ^^
8 u 2 22 T 12' 4 ~* T2" 11L 2 12':
в 2 21 11 ¦" ^ 11 ^. 12'
Если ряды (8.25) равномерно сходятся при |f| < р, то изло-
изложенная схема будет иметь смысл по крайней мере для всех
К > 2р~'. Формулы (8.31), (8.32) практически можно использо-
использовать при К > 4р~'.
3. Наконец, рассмотрим случай, когда для функции L(u)
справедливо разложение (сравните с первой формулой A.19))
2.V
L(u) = l+ 2 сф~п + О(и~™-1) (и-+ оо). (8.33)
7*

100
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Тогда при помощи интегралов A.20)' и им подобных будем иметь
= ln\t\ll(t)+ \t\h(t)+h(t),	(8.34);
h
2 dH tu + О 02iY+2), d10 = - 1, d20 = r0, dso = rx. (8.35)
i=0
Пусть радиусы сходимости рядов (8.35) равны р. Тогда все
дальнейшие рассуждения, основанные на формулах (8.34), (8.35),
будут по крайней мере иметь смысл при X > 2р~'.
Заметим, что в согласии с (8.34), (8.35)
U(t)] + \t\h(t)+h(t).	(8.36)
Как следует из (8.36), ll(t)~8(t) при t -*¦ 0 (б (t) — дельта-
функция Дирака); тем не менее можно показать, что сохраняет
силу теорема 2.13 при f = ini(a, (p — l)/p) и лемма 2.6; может
быть доказана теорема, аналогичная теореме 2.15.
Асимптотическое решение для больших % интегрального урав-
уравнения (8.7) при Zo@ вида (8.36) будем, как и выше, искать
в форме C.3), где [17]
2iV [я/2]
(о (х) = 2 2 fflnj НЪ~п bjX + Oik-™1Л). (8.37)
Для последовательного определения функций <onj(x) получается
бесконечная система соотношений типа (8.29):
СО00(Ж) =
"»<»—3»№
" -1 х -1
, sgn(? — g) &>го (i) + 3<i21 (* — gJ sgn (?— S)woo
dt
VT

§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ К»	101
+ d20sgn (t -?)©„ (*)] лГ^— и т. д. (8.38)
У 1 — г
Ограничимся, далее, рассмотрением частного случая f(x) =
= f = const. Вычисляя последовательно квадратуры в соотноше-
соотношениях (8.38) и используя интегралы B.21), (8.30), найдем
w00 (х) = Non~l, w10 (х) = An~4i0N0Sl (x),
«го (х) = n~lNa {[^ii A,5 — In 2) + d31] (I — 2ж2) +
A.5-ln2) + d31)]54(a;) +
). (8.39)
Здесь введены обозначения
S1(x) =
2lD
=0,1508,
(ч IЛ	**i 9\ i А / / /А	9\ ^W	*"J ' ~
/у» \ .	— 	л I *\ 	. V -у* А \ I *\ /* ft ж /ш ^_^ 'У* ** 1 7	л	л	Л
(x) = j + (I — 2x*) + x A — ж2) lnj^j,
-1	О
- 2 (l-2a?) v2j (ж) + -^ - v2j_2
2jl
2ж In 4-r4-	(8-40)

102	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Таким образом, для случая f(x) = f получено асимптотиче-
асимптотическое решение вида C.3), (8.37) с точностью до членов О(К~1).
Ряды, входящие в соотношения (8.40), могут быть затабулиро-
ваны по х. Как показали расчеты с погрешностью, не превосхо-
превосходящей 0,7%, функция S2(x) при всех х<=[—1, 1] может быть
заменена следующим выражением:
S2(x)s± @,4356 + 0,1321ж2 + 0,2494жIn [A - х)/A + х)]) A -«*)\
(8.41)'
Следует отметить, что, аппроксимируя таким образом функцию
Sz(x), мы не меняем характера ее структуры, ибо, как нетрудно
видеть, функция S2(x) имеет вид {ft(x)+f2(x)ln[(l — х)/
/A + х)])A-х2), где fi(x) = fl(-x) и /2(ж)=-/2(—х) —непре-
—непрерывные при ie[-l, 1] функции. Используя формулу (8.41),
получим для S5(x) следующее приближенное выражение:
S5 (x) sl 0,3547 - 0,8463 • Юх2 + 0,3442ж4 +
+ x(l- х2Iп[A -х)/A + ж)]@,1180 + 0,03305а:2)-
- о;4156A - x2yin2 [A - x)/(i + x)] + 0,30265,(х). (8.42)'
Наконец, используя соотношения C.3), (8.8) и (8.39)—(8.42)',
получим для величины No в случае f(x)=f формулу
No = я/ [dso + 0,8106d20 X-i + (dn + d31 - 0,03287 d\0) A,-* +
+ (l,442d21 — 0,2762dudM — 0,1807d31d20 — 0,02450d230) ^~3 +
+ ln 21 A — dnk-* + 0,1801dud20^) + О (К-* In2 2h)]-\ (8.43)
4. Приведенные в пп. 1—3 асимптотические решения имеют
ограниченный диапазон применимости по X; эти ограничения в
основном диктуются радиусом сходимости степенных рядов, вхо-
входящих в формулы (8.4), (8.24) и (8.25), (8.34) и (8.35).
Естественно возникает мысль переразложить найденные ре-
решения в степенные ряды по новому малому параметру т, свя-
связанному с X зависимостью
Х= -Ц^1 A + ахт2 + а2т* + ... + а(г{) (i < оо), (8.44)
где а,- — пока произвольные постоянные. Например, формула
(8.20) примет вид
Ф (х) = ф0 (х) + ф, (х, а„ а2, ..., а{) т2 +
+ ф2(ж, аи az, ..., аг)т4+...+ цц(х, аи а2, . . ., a{)x2i. (8.45)'
Если теперь в (8.45) постоянные а{ найти так, чтобы
Ы*. а„ а2, ..., ai)\^M<oO (k = 1, 2, ..., *)', (8.46);
и если при этом окажется, что функция от т, стоящая в скобках

§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ	ЮЗ
в выражении (8.44), будет положительной и монотонно убыва-
убывающей при т е [0, 1], то зависимость между К е @, °°] и те
е@, 1) будет взаимно однозначной и формула (8.45) при уве-
увеличении i будет давать все более точные результаты в окрестно-
окрестности т = 1. Возвращаясь в (8.45) к X, убедимся, что формула
(8.45) будет представлять приближенное решение той или иной
задачи при е; < X < °°, где близость е; к нулю зависит от коли-
количества удержанных в (8.45) слагаемых.
§ 9. Интегральные уравнения типа свертки
на бесконечном и полубесконечном интервалах.
Метод Винера — Хопфа
1. Рассмотрим интегральное уравнение
ty{l)k&-x)dl = ng{x) (-оо<ж<оо).	(9.1)
Вид и свойства ядра k(t) даются формулами A.3), (8.2).
Как известно [18], интегральные уравнения типа (9.1) легко
решаются применением теоремы о свертках для интегрального
преобразования Фурье. Именно, умножим обе части (9.1) на
Bn)~ieiaxdx и проинтегрируем от — °° до +°°. Получим
оо	оо	оо
-А_ j eiaxdx J г|> (?) к (I - х) dl = 4 \ g (x) eiaxdx. (9.2)
Сделаем в формуле (9.2) замену переменного x = s + %, введем
обозначение
G(a)= j g (ж) eiaxd;r
— оо
и поменяем порядок интегрирования. В результате запишем
оо	оо
-A- J г|> F) eialdt j Л (s) eiasdS = 4 G (a).	(9.3)
— oo	— oo
Учитывая теперь представление A.3) ядра k(t) и формулу
обращения преобразования Фурье D.7) гл. 1, из (9.3) найдем
оо
? (a) K(a) = G '(а), ? (а) = J -ф (?) eia»d|,
— оо
откуда согласно D.7) гл. 1 будем иметь

104	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Допустим теперь, что в плоскости комплексного переменного
a = o+ix функция К(а) является, кроме всего прочего, еще
и мероморфной функцией (отношением двух целых функций
экспоненциального типа равного порядка), имеющей лишь про-
простые нули и полюсы. Для задач типа а) функция К (а) также
является четной и действительной на действительной оси, /Ц0) =
= А, К(а)~ \а\~1 на правильной системе [2] контуров Сп при
п -*¦ оо. Еще допустим, что нули zn и полюсы ?п функции К(а),
лежащие в верхней полуплоскости, таковы, что Imzn~Imgn~n
при п -*¦ оо. Тогда в соответствии с формулами п. 71 [2] для
мероморфной функции К~1(а) получим следующее равномерно
сходящееся при всех 0 =?i о ^ R < °° разложение:
2 2
_ * 2 v
А	^
К (а) А
Теперь при помощи (9.5) и с учетом интеграла B.40) получим
для резольвенты m(t) равномерно и абсолютно сходящееся при
0 < е ^ \t\ < оо разложение
оо
" ie~6jl".	(9.6)
3=1
На основании (9.6) и соотношения B.41) можно заключить,
что решение (9.4) интегрального уравнения (9.1) будет иметь
место, если функция g(x) представима интегралом Фурье и при
\х\ -»- оо возрастает не сильнее, чем ехр [Ы (Re 6i — е)] (е>0).
Пусть, например, g(x)=eivx, причем |Imv|<Re6!. Из (9.4)'
имеем в согласии с B.40), B.41)
оо
Отсюда, как частный случай, легко получить решения для
g(z)=z":
k)
=0 А
п=о
и для g{x)= x2h+i:
h-n Bk+ 1I
Bn + l)l

§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ	105
причем постоянные D, являются коэффициентами следующего
ряда:
со
Л ^^ (Я„ = 1),	(9.10)
который, очевидно, равномерно сходится при |а| =?J IzJ.
2. Рассмотрим- теперь интегральное уравнение Винера
Хопфа
<oo).	(9.11)
о
Его часто записывают в форме, сходной с (9.1)',
J г|)+ A) k{l-x)dl = ng+ (x) + яе_ (х) (— оо < х< оо), (9.12)
— со
г|з+ (х) = 0,5 A + sgn х) г|з (х), g+ (х) = 0,5 A + sgn x) g (x),
1 Г
е.(х) =0,5A -sgn х)е(х),- е (х) = ± J
г|)
(9.13)
В результате решения уравнения (9.12) должны быть найдены
как функция г|з+ (х), так и е_(ж).
С теорией и методами решения интегральных уравнений ти-
типа (9.11)—(9.13) в общем случае можно познакомиться по мо-
монографиям [18, 19]. Здесь мы изложим эту теорию на примере
одного важного частного случая, именно, когда g(x)= eivx, ядро
k(t) в (9.11) представимо в форме A.3), а символ ядра имеет
вид
Я(а) = сгЧпа.	(9.14)
Приведем сначала две леммы, являющиеся по существу след-
следствиями теорем 1.14 и 1.13 соответственно.
Лемма 2.7. Если функция переменной a = о + h опреде-
определена интегралом
причем \f(x) I < Mi ехр(т-ж) при х -*¦ °°, то она регулярна в
верхней полуплоскости т>т_. Аналогично, если функция пере-
переменной a = о + гт определена интегралом
о
F_ (a) = j / (х) elaxda

106	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
и \f(x)\ < М2ехр(т+ж) при х -*¦ — °°, то она регулярна в нижней
полуплоскости т < т+.
Л е м м а 2.8. Если f (x) ~ x~Vl (ж-)-+0), то F+(a)~a"VrI
при |al -*¦ оо в полуплоскости т > Т-. Аналогично, если Цх)~
~ х (хг-^>— 0), то F- (a) ~ a 2 при |а| -*¦ °° в полупло-
скости т < т+.
Умножим теперь обе части интегрального уравнения (9.12) —
(9.14) на Bn)~ieiaxdx и проинтегрируем в пределах от — °° до
°°. Будем иметь
ОО	ОО
± J е*Чх^&)к{1- x)dl = i-
d* +
-оо	о	0	—оо
(9.15)
Совершим в левой части равенства (9.15) замену переменного
х — \ = у,йх = йуж введем обозначения
e_ (x) eiaxdx = Е- (а), 2 J г|> (?) е{л4\ = W+ (a). (9.16)
— оо	0
Тогда соотношение (9.15) можно переписать в форме
tf(a)Y+(a)=^ + ?_(a).	(9.17)
Установим область, в которой справедливо выражение (9.17).
1)	Первый член в правой части равенства (9.17) регулярен
при т > —Im v.
2)	Функция (9.14) К(а)= a~i th a регулярна в полосе
llmal <я/2.
3)	Допустим, что ij3(|) интегрируема на любом конечном ин-
интервале и, кроме того,
v3<oo,^oo),	(9.18)
^(l) = O(fVi)	@<v4< 1,6-^0).	(9.19)
Тогда согласно леммам 2.7 и 2.8 найдем, что функция Чг+(а)
регулярна при т > я/2 — v3 и
4f^(a) = aV4 (|a|->«>).	(9.20)
4) Рассмотрим второй член в правой части (9.17). Соотно-
Соотношения (9.13), (9.14) в совокупности с E.30) гл. 1 и леммой 2.7
позволяют дать для функции е (х) следующую оценку:
l {x^~- оо).	(9.21)

§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ	107
В силу (9.18), (9.19) несобственный интеграл (9.21) сходится.
На основании (9.21) заключаем, что Е-(а) регулярна в области
т < я/2.
Резюмируя 1)—4), приходим к выводу, что соотношение
(9.17) при сделанных относительно функции i|)(|) предположе-
предположениях (9.18), (9.19) выполняется в полосе т- < т < т+, где
т+ = я/2, т- = inf (-Im v, -я/2, я/2 - v3). (9.22)
Основными моментами решения уравнения (9.17) являются
факторизация функции К (а) в полосе (9.22), т. е. представле-
представление ее в виде произведения
K(a) = K-fyx)K+(a),	(9.23)
где К+(а) регулярна при т>т_, а К-(а) —при т < т+, и раз-
разложение некоторой функции на сумму двух
/(а) = /+ (а) + /-(«),	(9.24)
регулярных соответственно в полуплоскостях т > т- и т < т+.
Теорема 2.16 [19]. Пусть /(а)—аналитическая функция
а = о + it, регулярная в полосе т_ < т < т+ и такая, что
| /(о + it) |<M4|o| 5, v5 > 0 при |а| -*¦ °°, причем это нера-
неравенство выполняется равномерно для всех т в полосе т- + е =^
< т < т+ — е (е>0). Тогда справедливо соотношение (9.24),
причем
co~i-i<
/@
(9.25)
— oo+jb
Теорема 2.17 [19]. Если \пК(а,) удовлетворяет условиям
теоремы 2.16 и К(а)^>- 1 при о -*¦ ±°° в полосе т- < т < т+,
то существует представление (9.23), где К+(а) и К-(а) явля-
являются регулярными, ограниченными и не имеющими нулей при
т > т_ и т < т+ соответственно. При этом
b
-oo + ib

108	ГЛ. 2- АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Проведем факторизацию функции К(а) вида (9.14). Для это-
этого представим ее в форме [11]
tha = Г @,5 — 1п-ла) Г @,5 -f г'лГМ	,д ^\
д ^
«	лГ (l — Ы^а) Г. A + Ы~ха)
Известно [2], что гамма-функция Г (а) является функцией, ре-
регулярной во всей комплексной плоскости а = о + гт, кроме то-
точек а = — п (п = 0, 1, 2, ...), где она имеет простые полюсы.
Отсюда с учетом (9.27) в полосе |т| < я/2 имеем
Г @,5 - Ы-1а) к , . 1 riOf + lag.) ,q
Подставляя теперь (9;23) в (9.17), приходим к уравнению
К+ (а) К- (a) W+ (a) = --
Так как К~(а) отлична от нуля в полосе (9.22), то можно раз-
разделить обе части последнего уравнения на К~(а). В результате
получим
К+ (a) W+ (а) = ^±~а KZ1 (а) + -§=|? (т_ < т < т+). (9.29)
Воспользуемся теперь теоремой 2.16 и разложим первое сла-
слагаемое в (9.29) на сумму двух функций вида (9.24). Будем
иметь
/+(«) = ТТ^^1^ f.(a) = 7^[KZ1(a)-K+1(v)]. (9.30)
Внося равенство (9.24) в (9.29), запишем
К+ (a) W+ (а) - /+ (а) = /_ (а) + ?_ (a) KZ1 (а) (т_ < т < т+).
(9.31)
Функция в правой части уравнения (9.31) регулярна в ниж-
нижней полуплоскости т < т+, а функция в левой части (9.31) ре-
регулярна в верхней полуплоскости т > т_. Обе полуплоскости пе-
перекрываются в полосе т- < т < т+. Отсюда в силу обобщенной
теоремы Лиувилля [2, 3]
Q (а) = К, (a) W+ (а) - /+ (а) = /_ (а) + ?_ (a) KZ1 (а) (9.32)
при всех а, где Q(a)—целая функция, в частном случае —
полином. Чтобы определить степень этого полинома, необходимо
8нать поведение всех функций, входящих в (9.32), при |а| -*¦ °°.
Из (9.28) видно, что при а -*¦ °°
К+(а)=К-(а]=О(а-1П).	(9.33}

§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ	109
Соотношения (9.30) дают
f+(a)=O(a-1), /-(а)=О(а-1/2), (а--)', (9.34);
а для функции Е-(а) с учетом леммы 2.8 справедлива оценка
Е-(а)=О(ъг1) (а-»-°о),	(9.35);
поскольку Е- (а) — преобразование Фурье от ограниченной в
нуле функции.
Теперь на основаниии (9.20), (9.33)' —(9.35)" заключаем, что
Q(а) =0 во всей комплексной плоскости. Таким образом, из
(9.32) найдем
w (\ I±^L 2^1Г(l — гя~ха)
- - л+ \а.) л+ (V) г @,5 — in,~Lu) (a + v)
откуда при помощи обратного преобразования Фурье получим
oo+ic
м	Г*
2я J
= 	 '	 f ГA-гя ха)е iaxda (C>T_). (9.36)
2 /jcAT+ (v) J. Г@,5 —гяа)(а +v)
Интеграл (9.36) легко может быть вычислен методами теории
вычетов, а именно
X
A, V2 + in'1*; V2-, 1 - е-яя) (Im v> я/2);
(9.37)
F(a, P; ^; x) —гипергеометрическая функция [11]. Отсюда ви-
видим, что предположения (9.18) и (9.19) обоснованы.
Полагая в (9.37) v = 0, найдем
^{х) = {\-е-пх)-ъ (х>0).	(9.38);
3. Как было указано выше, ключевым моментом метода Ви-
Винера — Хопфа является факторизация (9.23) функции К(а).
Однако, если в общем случае ядра k(t) использовать интеграль-
интегральную формулу (9.26) из теоремы 2.17, то практическое нахожде-
нахождение численных решений часто оказывается весьма затруднитель-
затруднительным. Поэтому на практике пользуются методом приближенной
.факторизации Койтера [19].
Идея этого метода состоит в следующем. Функция К(а) за-
заменяется приближенно равной ей функцией К* (а) (см. § 3
гл. 3; численные значения этих функций на некоторой прямой

ЦО	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
х = с, —оо<а<°°, где т- < с < т+ приближенно равны), кото-
которая легко факторизуется. Важно отметить, что нет необходимо-
необходимости в том, чтобы функции К (а,) и К* (а) вели себя одинаковым
образом в комплексной плоскости а = а + i% вне линии т = с,
—сю < о < сю.
Рассмотрим поучительный в этом смысле пример Койтера
[19], который сравнивал решения задач, где приходилось фак-
торизовать две следующие функции:
К (а) = аТ1 th а, К* (а) = A + а*)~1/\	(9.39)
Факторизация первой функции (9.39) имеет вид (9.28), а вто-
второй в полосе |т| < 1, —°° < о < °° — вид
К*+ (а) = (а + i)"V% К- (а) = (a- i)~4\
Функции ^(а) и К* (а) приближенно равны в узкой полосе,
содержащей вещественную ось. При а -*¦ 0 обе стремятся к еди-
единице, а при а -*¦ °° имеют порядок |а|~4. Сравнение численных
значений показывает, что на вещественной оси отличие между
ними составляет не более 9%. Однако их поведение вне веще-
вещественной оси совершенно различно. Функция К (а) имеет бе-
бесконечное число полюсов и нулей, ъ то время как функция
К% (а) их не имеет, но имеет две точки ветвления: а = ±i.
Найдем решение исходного уравнения (9.11) с символом яд-
ядра К% (а) и правой частью g(x) = 1. Будем иметь
X
[t2dt. (9.40)
у пх	]/ л
Сравнивая формулы (9.38) и (9.40), находим, что ty(x) и
1|х,. (х) при х -*¦ 0 стремятся к (nx)~i/2, а при х -*¦ °° стремятся
к единице. Различие между их численными значениями при лю-
любом х не превосходит 3%.
Аналогично, функции е(х)= 2n~1arcsin(eII:c/2), e% (х) =
= 1 — erf ( у— #) (# < 0) при х -*¦ —0 асимптотически равны
1 - 2i^xn-ilz, но при х^-°° e(x)~2n-lenx/z, e* (х) —
~ (— пх)~1/'ех. В интервале —0,5 < х < 0 численные значения
е(х) и е% (х) расходятся не более чем на 5%, но при х -*¦ — °°
расхождение быстро увеличивается (хотя е(х) и е% (х) малы
по величине).
Таким образом, из сказанного можно сделать вывод, что если
К (а) и К* (а) приближенно равны, то окончательные решения
будут также приближенно равны. Более строгое доказательство
этого утверждения приведено в § 3 гл. 3.
4. В заключение приведем решения интегрального уравнения
(9.11) с правой частью g(x)=e"x, полученные методом Вине-
Винера — Хопфа для некоторых случаев символа ядра К (а).

§ 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ
Пусть, например,
где hi к h2 — вещественные положительные постоянные. Тогда,
если v ?= thu ihi, то
{x>0)t (9'42)
е (х) = eivx [1 - er
Уh1 — iv
К+ (а) = ]/"а + ih1 (а + ihi)~1.
Допустим теперь, что К(а) — указанная ранее мероморфная
функция. С одной стороны, она может быть представлена в ви-
виде бесконечного произведения [2]
(yn = -iZnh (9-43)
которое равномерно по а сходится в области Пе, где П8 есть
вся плоскость а с исключенными е-окрестностями полюсов ?„.
С другой стороны, К (а) можно представить в виде суммы глав-
главных частей [2]
со	со
К^ = ^^1 <*2 + 7ж' l«ZK{-a) = A = ^?1:ur (9.44)
Разложение (9.44) равномерно по а сходится к К(а) в области
Пе. Подставляя (9.44) в A.3) и вычисляя интегралы, получим
для ядра k(t) уравнения (9.11) выражение
со
k(t)= 2 Ьте Ут.	(9.45)
Ряд (9.45) равномерно сходится при всех 0< е < М < °°.
Для описанного символа ядра К (а) при условии, что v Ф zn,
t,n, .имеем

112
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
е(х) =
(х < 0), (9.46)
Можно показать, что функция ¦ф
особенность x~'h, а функция е(ж
себя как У—ж. При ж 5= е > 0 и
номерно по х сходятся [201.
ж) вида (9.46) при х-*-0 имеет
вида (9.46) при х-*-— 0 ведет
<0 ряды Дирихле (9.46) рав-
рав§ 10. Асимптотический метод «малых Я»
1. Принимая во внимание теорему 2.11, ограничимся сначала
рассмотрением случая /(#)— 1.
Лемма 2.9. Если функция co(y)eL(O, °°)П^р@, 2/%)
A < р < 2, 0<А,<°°) есть решение интегрального уравнения
A0.1)
2Д
то решение интегрального уравнения G.1) гл. 1, A.3) при
/(#)= 1 в классе Lp(—l, I) (l</><2) находится по формуле
^ (|*|<1). (Ю.2)
Для доказательства рассмотрим систему трех интегральных
уравнений [10, 16]
со
J Ji
= ji (-оо<ж<оо), A0.3)
A0.4)
A0.5)
Сложением A0.3) — A0.5) легко убедиться, что если известно
решение этой системы, то решение уравнения G.1) гл. 1, A.3)

§ 10. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «МАЛЫХ X»	ИЗ
имеет вид
). A0.6)
Осталось еще учесть, что уравнение A0.3) имеет решение (см.
(9.7) при v = 0)
° (т) = h	<10-7>
а уравнения A0.4) и A0.5) очевидными заменами переменных
приводятся к A0.1).
Допустим далее, что ядро k(t) дается формулами A.3),
(9.43). Тогда справедлива
Теорема 2.18. Если решение интегрального уравнения
A0.1) существует в L@, °°), то оно имеет вид
co(y)=Q(y)r1/2,	(Ю.8)
где Q (у) — по крайней мере непрерывная при 0 «S у < °° функ-
функция, убывающая на бесконечности как ехр(—у ReSj).
Для доказательства преобразуем функцию
8 @<y<oo)I A0.9)
стоящую в правой части уравнения A0.1). Именно, подставляя
в A0.9) выражение (9.45) функции k(t), получим для р(у)
следующее представление:
i. ^
р(у)= 2лъ™-е - Ът==чJ г^ + ж\е ds- A0Л0)
т=1	2/ХL	J
Используя теорему о среднем в интегральном исчислении, найдем
. (io.ii)
Отсюда с учетом последней формулы (9.44) будем иметь
C	).	A0.12)
Обратим теперь интегральный оператор, стоящий в левой
части уравнения A0.1), или, иными словами, решим интеграль-
уравнение
оо
j со (s) к (s - у) ds = яр (у) @<у<оо).	A0.13)
о
8 В. М. Александров, Е. В. Коваленко

114	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Используя первую формулу (9.46) при v = ?„, получим
7П=1
A0Л4>
bm
Согласно сказанному в конце предыдущего параграфа ряды
A0.14), определяющие функции tym(y), равномерно сходятся при
I ^ s > 0, а в окрестности у — 0 функции tym(y) ведут себя как
у"'1'. Относительно т функции tym(y) имеют порядок тг'1', ибо
K+{t,m)~ m~''. Поэтому и согласно A0.12) ряды A0.14), опре-
определяющие числа В„, также сходятся; относительно п, как можно
показать, числа Вп имеют порядок n~'h In п. Из сказанного вы-
вытекает, что ряды A0.14), определяющие функцию со (у) равно-
равномерно по у>е>0, сходятся; при у = 0 функция со (у) имеет
особенность вида у~4', при у -*- °° функция со (у) исчезает как
ехр (—у Re б4). Теорема доказана.
Следствие 2.6. Функция со (у), являющаяся решением ин-
интегрального уравнения A0.1) в L@, °°), принадлежит Lp@, 2A)'
A<р<2, 0<%<°°).
Соотношение, определяемое первой формулой A0.14), пред-
представляет собой, очевидно, интегральное уравнение 2-го рода от-
относительно функции а (у), эквивалентное в L@, °°) интеграль-
интегральному уравнению 1-го рода A0.1). Указанное выражение с по-
помощью A0.8) и A0.10) представим в виде
J
СО
o (У) = 2 *>тХт (У), Ът = Ъ
s> У) =
С учетом теоремы 2.18 можно заключить, что интегральный
-оператор
со
А§= J b(s)k(s, y)ds	A0.16)
2Д

§ 10. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «МАЛЫХ
115
является линейным в пространстве М@, °°) ограниченных при
у е [0, оо] функций (см. § 3 гл. 1).
Теорема 2.19. Найдется такое %0, что при К < А,о решение
интегрального уравнения A0.15) в классе Д/@, °°) существует,
единственно, может быть получено последовательными прибли-
приближениями и имеет место оценка C.23) гл. 1.
Для доказательства воспользуемся принципом «неподвижной
точки» Банаха. Оценим норму АО в М@, °°). Имеем
1 Aft |м(о,оо) < || ft Цм(о,оо) sup j \k(s,y)\ds =
т=1
J Л/7
ds
л,»), (Ю.17)
где для В, вычисляя интеграл в A0.17), получим выражение-
| Ът 1 5ЦР 1 *т (У)
\ + Ут)
. A0.18)
Величина В вида A0.18) ограничена и при %-*-0 убывает
как у%е у . Действительно, при малых К
- erf
6l/" [2я FХ
l. A0.19)
Здесь использовано асимптотическое разложение erf x при боль-
больших значениях аргумента [11]. Далее, вспоминая, что "§т(у)~
~ m~h при т -*¦ °°, заключаем, что члены ряда A0.18) имеют
порядок т~ъ/2 при т -*¦ °° равномерно по у, т. е. ряд сходится
при всех у е [0, °°].
Из сказанного следует существование такого %0, что при
К <К0 будет В < 1. Но тогда оператор А есть оператор сжатия
в М@, °°), что и доказывает теорему.
2. Итак, решение интегрального уравнения G.1) гл. 1 с яд-
ядром A.3) в классе Ьр(—1, 1) A</><2) при малых % может
быть эффективно построено. Изучим структуру указанного ре-
решения [16].
Теорема 2.20. Решение интегрального уравнения G.1)'
гл. 1, A.3) при % < Ко и /(#)= 1 имеет вид
»
оо
1 vi[ /1
п=0
-
- т)- <10-2°)
8*

116	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
причем а>п(у) последовательно определяются из уравнений
оо	оо
|со„ (s) k(s-y)ds = e26lA J «„_! (s)k[y + s-1) ds A0.21)
2Д
(n = 0, 1, ...; 0 < у < оо), со_! (у) == e
2Д
При у -*¦ 0 функции соп(у) (га = 0, 1, ...) имеют особенность
вида y~i/z; при у ->- °° убывают как ехр(—64у)', при Я ->- 0 и фик-
фиксированном у ведут себя как А,. Ряд A0.20), умноженный на
У! — х2, равномерно сходится поге [—1, 1].
Для доказательства проследим по этапам процесс решения
интегрального уравнения A0.1) методом последовательных при-
приближений. Нулевое приближение coo(s), очевидно, нужно искать
из уравнения
j(	j)	A0.22)
ибо при малых Я первое слагаемое правой части A0.1) прене-
пренебрежимо мало по сравнению со вторым. В этом легко убедиться,
воспользовавшись (9.45) и A0.14). Первое приближение со^ (у)
должно быть определено из уравнения
оо	оо
J со* (s) к (s — у) ds = J |^oo(s) + ^jj к[у + s— jjds @<y<oo).
0	2Д
A0.23)
Нетрудно прийти к выводу, что coj (у) имеет вид щ (у) =*
= ю0 (у) + щ (у) е ' г , где coi(y) в силу A0.22) и A0.23) удов-
удовлетворяет уравнению A0.21) при п = 1. Аналогичным образом,
разыскивая второе приближение со2 (у) в форме со2 (у) = щ (у) +
+ со2 (у) е х , убедимся, что со2(у) удовлетворяет уравнению
A0.21) при п = 2 и т. д.
Остальные положения теоремы следуют из формул A0.2),
A0.9), A0.14), а также из полученных выше результатов и до-
доказанных теорем.
Итак, построение полной асимптотики решения рассматри-
рассматриваемого нами интегрального уравнения при малых К сведено
к последовательному решению интегральных уравнений Вине-
Винера— Хопфа A0.21) с однотипными правыми частями. Практиче-
Практически, как показывают примеры решения конкретных задач (см.
§ 10 гл. 3 и § 1 гл. 5), в формуле A0.20) оказывается доста-
достаточным удержать лишь член при п = 0, пренебрегая всеми

§ 10. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «МАЛЫХ U	117
остальными. При этом мы получим главный (нулевой) член
асимптотики решения при малых X, который удобно представить
в виде [4]
Здесь функция %(у) = <ао(у) + (АХ)~1 находится из интегрально-
интегрального уравнения Винера — Хопфа
-y)ds = nl.-1 @<y<oo),	A0.25)
в чем нетрудно убедиться, если к интегральному уравнению
A0.22) для соо(у) прибавить тождество
2Д
которое следует из того факта, что if> (x) = (АХ) ~1 есть решение
уравнения (9.1) при g(x)= X~\
Заметим, что иногда удобно в качестве главного члена асимп-
асимптотики решения интегрального уравнения G.1) гл. 1, A.3) при
малых X и f(x)= 1 использовать выражение [4]
Ф* (х) = АХ% (Ц-5) 1 (Цг )'	A0.26)
ибо разница между A0.24) и A0.26) имеет при малых X поря-
порядок ехр(—26iA). Действительно,
Ф* (х) - Ф (х) = АХ [х A±-я) - il fx f1-^) ~ ж] =
A0.27)
в силу свойств функции соо(у), указанных в теореме 2.20.
3. Когда в правой части интегрального уравнения G.1) гл. 1,
A.3) стоит произвольная четная функция f(x) из класса
Сг(—1, 1), главный член асимптотики его решения при малых
X может быть получен с помощью формулы G.48). В случае,
когда f(x) — произвольная нечетная функция из класса 6\(—1, 1),
для построения указанного решения следует воспользоваться
теоремой 2.12. Кроме того, нетрудно показать, что если / (х) е
е#™(—1, 1) @<а=^1), то главный член асимптотики ре-
решения при малых X может быть представлен в виде, аналогич-
аналогичном A0.24), а именно
(^){) (|х|<1), (Ю.28)

118	ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
где функции %-(у), Х+(у) и v(y) определяются из интеграль-
интегральных уравнений
A0.29)
оо
J v (s) к (s — у) ds = ^ /0 (у) (— оо < у< оо).
Здесь предполагается, что ^(j/)efi?@, Л), /o(j)s^(-^ Л)
(Д-<оо), а при у ^-°° функции /т(у) и при у->-±оо функ-
функция /о (у) возрастают не быстрее, чем степенным образом. Так-
Также имеет место равенство
() /(*) (|x|<i). ао.зо)
Уравнения A0.29) решаются методами, изложенными в § 9.
Очевидно, что функции f-(y), f+(y), My) могут быть выбра-
выбраны неоднозначным образом. Однако получаемые при этом при-
приближенные решения A0.28) будут при малых X асимптотически
эквивалентны. Если функция f(x) —четная, то это обстоятель-
обстоятельство целесообразно учесть так:
f-(y) = U(y), Му)=М-у);	(Ю.31)
если же функция f(x) — нечетная, то — так:
f-(y)=-U(y), Ш—М-у)-	(Ю.32)
Например, для функций f(x) = jx^ch $x + fx2 и / (х) = ц3 sh $x +
+ соответственно выберем
Z	A0.33)
/_ (у) = -f+ (у) = -Ъе-№-»г и {у) = _ ^
Во многих случаях можно положить
f~(y) = f(xy-i), n(y) = f(i-xy), ш=пьу). (Ю.34);
Тогда главный член асимптотики решения при малых X, по-
помимо аддитивной формы A0.28), может быть также представлен
в мультипликативной форме, аналогичной A0.26), т. е.

§ 10. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «МАЛЫХ Ъ>	119
4. Изложим еще один способ [4] построения главного члена
асимптотики решения уравнения G.1) гл. 1, A.3) при малых X.
Пусть / (х)\е= Hi (— 1,1) @ < а ^ 1) и, кроме того, f(x) —
четная и строго монотонная при 0 < |ж| ^1 функция. Если f(x)
не строго монотонна, то всегда ее можно представить в виде
суммы двух строго монотонных функций ft (x) и /2 (х), а затем
искать решение исходного интегрального уравнения в виде сум-
суммы двух решений для функций fi(x) и fi{x).
Перейдем в уравнении G.1) гл. 1 к новым переменным:
* = [/(i)-/(S)][V'(i)]-\ y = V(i)-H*)]W(i)]-1. (Ю.36)
Обратные замены асимптотически при малых X единственным
образом представимы в виде
\l\ = l-Xs + O(X2), \х\ = 1-Ху + О(Хг). A0.37I
С учетом A0.37) будем иметь
= (я/Щ A) - Xyf A)] @ < у <уА),	-(Ю-38)
Если вспомнить, что на бесконечности ядро k(t) экспоненци-
экспоненциально убывает согласно (9.45), и устремить в левой части A0.38)
параметр % к нулю, то определение главного члена асимптотики
решения уравнения G.1) гл. 1, A.3) при малых X сведется к
решению интегрального уравнения Винера — Хопфа:
o). A0.39)
Представляя функцию ty(y) в виде
Ф(у)=а.-7AI>+(у)-/'A>1>-(у)\	A0.40);
где ty+{y) и г|)-(у) удовлетворяют интегральному уравнению
A0.39) с правыми частями я и пу соответственно, и возвраща-
возвращаясь в A0.40) к старым переменным согласно A0.36), получим
выражение для главного члена асимптотики при малых X:
В заключение отметим, что после построения полной асимп-
асимптотики A0.20) решения при малых X интегрального уравнения
G.1) гл. 1, A.3) или ее главного члена в той или иной форме
(A0.28), A0.35) и A0.41)) без труда можно определить и ин-
интегральные характеристики решения No и N.i.

ГЛАВА 3
МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ
СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ОСНОВНОГО ТИПА
К СИСТЕМАМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Метод ортогональных многочленов
в случае больших значений к
В этом параграфе изучим вопрос о сведении при больших %
интегрального уравнения (8.5) гл. 2 к решению бесконечной
системы линейных алгебраических уравнений [1—3]. С учетом
теоремы 2.12 рассмотрим лишь четный случай.
Будем предполагать, что выполнены условия теоремы 2.13,
причем У2 < ос «3 1 и, следовательно, У2 < f < 1. Представим
функцию lo(t) вида (8.3) гл. 2 в форме двойного ряда по поли-
полиномам Чебышева первого рода. С учетом четности функции lo(t)
по t этот ряд будет иметь вид
оо оо
* J =22 Iе* W Тп (х) Тг} (&) + га A) T2l+1 (х) T2j+1 (I)].
i=0 3=0
A.1)
Функции f(x) и (д(х), входящие в формулы (8.5), C.3)
гл. 2, также разложим в ряды F.13), F.14) гл. 2 по четным
полиномам Чебышева. В силу указанных в лемме 2.5 и теореме
2.13 (при а>72) свойств функций lo(t), f(x) и со (а;) ряды
A.1), F.13) и F.14) гл. 2 сходятся равномерно к lo(t) по со-
совокупности переменных х, ?е[—1, 1] при любых значениях
параметра А,е@, оо); K f(x) и со (а:)' при всех ie[-l, 1] [4].
Покажем это, например, для функции со (х). Представим коэф-
коэффициенты co2fc в F.13) гл. 2 в форме
co2fc
я
О п
= — со (cos ф) cos2ftq>d(p {к = 0, 1, ...),

§ i. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ	121
или, после интегрирования по частям,
я
о	/г
= ^ ] ю' (cos ф) [cos B& — 1) ф — cos Bk + 1) ф] d(f,
о
Замечая, что в соответствии с теоремой 2.13 функция со'(а;) мо-
может иметь вид
где ty(x) и г|5*(ф) есть функции ограниченного изменения (см.
§ 3 гл. 1), на основании теоремы 1.13 найдем
Тогда бесконечный ряд 21 ю2ь | сходится и, следовательно, ряд
F.13) гл. 2 сходится равномерно при всех х е [—1, 1].
Воспользовавшись известным свойством ортогональности по-
полиномов Чебышева F.4) гл. 2, получим для коэффициентов
сц(%) ряда A.1) выражения
c-j щ =
Выражения для коэффициентов г«(А,) в дальнейшем не понадо-
понадобятся. Подставляя теперь в A.2) функцию h(t) вида (8.3) гл. 2
я используя интеграл [5]
(нж)	.
^ A)г/(ц)
Г Г . (ж) cos
^! Kl-
найдем другую формулу для Сц(%):
hL(u)-i]Jl(ulX)+e-»
(л) = J	du,
о
о
A.3)
где Jj(x)—функции Бесселя.
Для получения бесконечной алгебраической" системы подста-
вига в интегральное уравнение (8.5) гл. 2 функции ц>(х), f(x),
h(t) в виде C.3), F.13), F.14) гл. 2, A.1) и вычислим ин-
интегралы по формулам F.4), F.11) гл. 2. В итоге придем к со-
соотношению, в левой и правой частях которого стоят ряды по

122	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
четным полиномам Чебышева первого рода. Приравнивая коэф-
коэффициенты обеих частей при многочленах одинакового номера,
будем иметь
л ^г,	[соп In 2% (i = 0),
Перепишем систему A.4) в более удобном для дальнейших
исследований виде
оо
соо (In 2К + с00) = /0 — у 2d w2Jcoh	A<5)
ОС
-г _ V1 „ -у. I h	(i — А О	\
•Ч — Zj U/\]Jj] ~Т ui \v — -1! ^i • • •/!
i=1 _x	A.6)
хг = co2i Bi) , a^ = — jCij, bi = f2i — coocio.
Заметим, что в силу соотношений F.4) гл. 2
No = j ф (х) dx = ясоо.	A.7)
—1
По предположению ф(х)е//,(—1, 1) A<р<2), следователь-
следовательно, Icool < °°. Решив бесконечную систему A.6), найдем затем
величину соо из уравнения A-5), связав ее со значением No
посредством формулы A.7).
Лемма 3.1. Для коэффициентов atj бесконечной системы
A.6) имеют место оценки
1 ai} 1 < 4/ max 110 (t) | (| * | < 2Д; i, ) > 1),	A.8)
laiil<"TTT	Г Fj = const; />2, j>l),	A.9)
X (/ — 1)
б„
la"l^ B0! B/)! 'Ш 2^^"-^	31	 \Ч1^-ч- \---Ч
При А, -»¦ 0; i, j > 1
а*;~0 (i^/), а.ч~1.	A.12)
Для доказательства леммы представим коэффициенты при г,
/5=2 в ином виде. Именно, используя формулу A.2) и интег-

§ i. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ	123
рируя по частям, получим
я я
_	1 С С ,F) /cos\|?— cosq>\ Г sinBt + 2) ф	2sin2t9
ij~ 16nViJJ ° I *	J[Bt + l)Bt + 2)~ 4?2—1
oo
sinBt —2) ф I Г sin B/ + 2) if	2 sin 2/ip
][	4/2-l
Отсюда не представляет труда получить оценку A.10). Оценка
A.9) получается аналогичным образом. Оценка A.8) очевидна.
Для доказательства оценки A.11) достаточно воспользоваться
формулой (8.1) гл. 2 и учесть, что
Наконец, для вывода оценки A.12) произведем под интегралом
во второй формуле A.3) замену переменной, положив и = ак.
Учитывая затем, что L(u)-*-0 при и-*-0, и возвращаясь к ста-
старой переменной и, будем при Х-*- 0 иметь
Вычисляя интеграл [5] в A.13), придем к A.12).
Теорема 3.1. Бесконечная система A.6) квазивполне ре-
регулярна при К > 0. Если существует ее ограниченное решение,
то последовательность {xt} принадлежит Zt. При К -*¦ 0 опреде-
определитель системы стремится к нулю.
Как известно [6], бесконечная система является квазивполне
регулярной, если
1I	?К;К°о (« = 1,2	ЛГ);
2) S|eyl<l-8<1 (i = iV + l, N + 2, ...); A.14)
i
) ibtl^Mt (M1 = const; i = iV+l, iV + 2, ...).
Система вполне регулярна, если N = 0.
Справедливость условий A.14) легко вытекает из оценок
A.8)—A.10) при К > 0. Здесь также следует учесть, что для
коэффициентов bt вида A.6) может быть получена при К > О
оце"нка
Ш<б,(Р-1/,)-1 (б3 = const, i>l).	A.15)'
Она выводится подобно аналогичным оценкам для со2ь и a(j.

124	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Пусть найдено ограниченное решение системы A.6)
Ы<64 F4 = const);	A.16)
тогда имеем
оо
| Xi | ^ М2 S \аи\ + I bi | (М2 = const),
3=1
или,, на основании оценок A.10), A.15),
Ы ,^65(г2-1/2)-1 F5 = const, i>2).
Отсюда следует, -что {хг) е 1и
Из оценок A.12) следует, что при А,->-0 определитель систе-
системы A.6) стремится к нулю.
На основании доказанной теоремы можно заключить, что су-
существование и единственность решения бесконечной системы
A.6) при А,>0 сводится к существованию решения конечной си-
системы первых N уравнений. При очень малых значениях пара-
параметра % матрица системы A.6) становится плохо обусловленной.
При условии A.16) ряд в A.5) абсолютно сходится.
Теорема 3.2. При А,>А,0 бесконечная система A.6) вполне
регулярна.
Для доказательства оценим величины
оо
Ci=I1\ai}\ (г = 1,2, ...).
3=1
На основании оценки A.11) для коэффициентов ai} имеем
т оо
^71 A- ^"i (9j i On Л- 7 	 1) I 1 \2i+2n
°i < 2 2 ^Т 2	B,г - lil	[Ш)	¦	AЛ7>
Методом математической индукции можно доказать, что
°° BВ+гI„2п (г-1I у ( г ^2J< Br-2)II	g
где [(г— 1O2] — целая часть числа (г— 1)/2. С учетом A.18J
оценка A.17) примет вид
Отсюда видно, что все С{ < °°, если только q < 1, %>Bк)~~1.

§ 1. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ	125
Найдем теперь условие, при котором Ci+1<^C* (г^1). На
основании A.19) имеем
Dii {q) = (l-V)»Bl+l)J+2) < L	A>20)
Заметим, что при любых фиксированных g < 1 и / > 1 числа
Aj(g) монотонно убывают с ростом i; при / = 0 числа Dt0(q) =
= 4g2(l-g2).
Таким образом, неравенство A.20) будет выполнено при всех
i и у, если
Din(q) = 3-УC + п) D + п) A - д2)-2 < 1.
Отсюда найдем наибольшее д4 и соответствующее ему А,4.
Выясним теперь, когда Сх < 1. На основании A.19) имеем
т
V 4,._J2?+i)!j_<1#
^—о
Отсюда найдем наибольшее д2 и соответствующее ему А,2.
Из всего сказанного вытекает, что система A.6) вполне регу-
регулярна при А,> %0 = sup [Bx)~\ %i, А,2], что и требовалось дока-
доказать.
Из теоремы 3.2 следует, что бесконечная система A.6) прет
% > %0 имеет единственное ограниченное решение в h, которое мо-
может быть получено методом последовательных приближений или
методом редукции. Именно, урежем двойной ряд A.1) для функ-
функции lo(t) следующим образом:
г+3<п
hn (t) =22 с» (к) Тп (х) Т2д A)+ ...	A.21)
j=0 j = 0
Многоточием заменены слагаемые, содержащие полиномы Чебы-
шева с нечетными индексами. Соответствующая A.6) урезанная
система будет, как легко проверить, иметь вид
П—%	I	0	\
^4=2 aiix3 + bi [i = 1,2, . . .,п; 2 • • • = OJr
xJt	\i = n + l,n + C).	^22>
Соотношение A.5) также несколько меняет свою форму:
п
п2А,+соо) = /о—^- 7, co2jCOj.	(l.Zo)
3=1
Описанное необычное урезание бесконечной системы A.6)
приводит к вопросу о сходимости метода редукции. Ответ на него
дает следующая

126	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Лемма 3.2. Пусть дана последовательность вполне регуляр-
регулярных бесконечных систем
со
xt = 2 в&Ч- + bi"\	(!-24)
а также вполне регулярная бесконечная система
xt = 2 пах,- + bt.	A.25)
Пусть, далее, lim ay>= ay, limb^n)=bt (re-voo). Тогда, если xf
есть решение системы A.24), а xt — системы A.25), то Птах™'—
= хг (га-*- оо).
Приведенная лемма является частным случаем теоремы III
(гл.1, §2, [6]).
Из леммы 3.2 следует, что изложенный выше метод редукции
будет сходиться, т. е. решение х™ урезанной системы A.22) бу-
будет при п -*¦ оо стремиться к решению системы A.6), если ^>^о-
При ^о > А, > 0 метод редукции, очевидно, будет также сходиться,
если конечная система
N
Xi = 2 агзхз + bi (i = 1» 2, ..., N)
3=1
разрешима.
Практическое решение системы линейных алгебраических
уравнений A.22) при любом п производится достаточно просто
благодаря тому, что ее коэффициенты образуют почти треуголь-
треугольную матрицу. После определения величин аДи из A.22) найдем
<в0 из условия A.23), а затем приближенное решение интеграль-
интегрального уравнения (8.5) гл. 2 по формулам C.3), F.13) гл. 2.
Как показывают конкретные расчеты, хорошая сходимость из-
изложенного метода наблюдается при К 5* 1/2.
§ 2. Метод сведения интегрального уравнения G.1) гл. 1
к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
с сингулярной матрицей коэффициентов.
Регуляризация матрицы при малых значениях к
1. Здесь для интегрального уравнения G.1) гл. 1, A.3), (9.43)
гл. 2 изложим метод сведения к бесконечной алгебраической си-
системе [1, 7], который, в отличие от метода § 1, приспособленного
для больших К, будет эффективен при малых значениях парамет-
параметра К. Изучим случай, когда f(x)=l, имея в виду возможность
применения результатов § 7 гл. 2.
В соответствии с леммой 2.9 рассмотрим вместо уравнения
G.1) гл. 1, A.3) гл. 2 интегральное уравнение A0.1) гл. 2 и бу-

§ 2. МЕТОД СВЕДЕНИЯ К СИНГУЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ	127
дем искать его решение в форме (сравните с формулой A0.14)
гл. 2)
оо
п=Х
Чтобы получить систему уравнений для определения коэффици-
коэффициентов Вп{%) в разложении B.1), приведем сначала ряд вспомо-
вспомогательных результатов.
Прежде всего заметим, что из первой формулы (9.44) гл. 2
следует важное для дальнейшего тождество, если положить
а = ?6„. Именно, запишем
э
" 4^ = 0-	B-2)
Рассмотрим теперь интегральное уравненже (9.11) гл. 2 с ядром
A.3), (9.44), (9.45) гл. 2 и правой частью g(x) = eivx. Как было
показано в § 9, решение его имеет вид
Ц(х)=К~1(ч)еш + %ВУе-6пХ.	B.3)
71=1
Подставляя указанное выражение для g(x), а также B.3) и
(9.45) гл. 2 в уравнение (9.11) гл. 2, вычисляя интегралы и за-
мечая, что совокупность экспонент \е ) представляет собой
полную систему функций [8], получим относительно коэффици-
коэффициентов В\Р разложения B.3) следующую систему уравнений:
+ ТГЩ^ = ° <—!.*....). B.4,
Система B.4) представляет собой линейную бесконечную алгеб-
алгебраическую систему уравнений 1-го рода с сингулярной матрицей
коэффициентов атп = {^т — б,,), ибо, как уже отмечалось,.
Re ft. ~ Re 6n ~ n при п -*¦ °°. Решение B.4) в соответствии с пер-
первой формулой (9.46) гл. 2 представим© в форме
. [К+ (v) K'+ (- i6n) (v - ibn)Yx.	B.5)
Замечая, что
К'1 (iym) = 0, lim -?^2- = [К'1 (iyn)]\	B.6)
и полагая в B.4) v = ifh, будем иметь
[г1(^)](в»» = (' (А,/»-1,2,...), B-7)
—, т

428	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
где 8кт — символ Кронекера. Обозначая далее
{ty^]'}-1^,	B.8)
получим бесконечную алгебраическую систему
,m = l,2,...),	B.9)
решение KOTopoii в соответствии с формулами B.5) и B.8) име-
имеет вид
Спк = {[К (iyh)]' K+ (iyh) К'+ (- ibn) (yk - 8п)}-\ B.10)
Вернемся к интегральному уравнению A0.1) гл. 2. Подставим
в него функции со (г/) и k(t) в форме B.1) и (9.45) гл. 2. Вычис-
Вычисляя затем интегралы, придем к следующей бесконечной алгебраи-
алгебраической системе относительно коэффициентов Вп(к) разложения
В процессе вывода системы B.11), как, впрочем, и системы B.4),
существенно использовано тождество B.2).
2. Для символа ядра (9.14) гл. 2 согласно (9.27)' гл. 2 имеем
ёп = яге, ^п = я (ге — 72). Принимая во внимание, что
[?-!(„)]'= (shacha-a)sh-2a,	B.12)
по третьей формуле (9.44) гл. 2 найдем bn = (n — i/2)~i. Далее, на
основании равенств B.12), (9.28) гл. 2 и
lim if (х) [Г (х)]'1 = (- 1)" ге!,
зс->—и
B.13)
где ty(z)—пси-функция [5], в соответствии с B.10) получим
Cnh = BА-1)!! Bге-1) М[BА-1) BA-2n-l) BA-2)!! Bге-2)!!]-'.
B.14)
Решение системы B.11) при малых X для символа ядра (9.14)
гл. 2 можно построить следующим образом. Пренебрегая в B.11)'
второй суммой, нулевое приближение для Вп(%) найдем из си-
системы
n=l

§ 2. МЕТОД СВЕДЕНИЯ К СИНГУЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ	129
которая совпадает с B.4) при v = 0. Первое приближение для
Вп(Х) будем искать из системы, получаемой из B.11), если во
второй сумме удержать только первый член,
Разыскивая неизвестные В^ (h) в виде
В? (I) = Я<°> + В$е-*я'\ Я<°> = В^	B.17)
и пренебрегая членами порядка е~4яА, получим на основании
B.15) и B.16) относительно величин В^ систему
+ \ = о.	B.18)
V + Я	V
Второе приближение для Вп(К) будем искать из системы, которая
следует из B.11), если во второй сумме удержать два первых
слагаемых,
Разыскивая неизвестные В^ (k) в виде
В^ (X) = Я?» + Я^'е-2^ + 512)е-4яД	B.20)
и пренебрегая членами порядка е~"яА и выше, получим на осно-
основании B.15), B.18) и B.19) относительно величин В^ систему
Продолжая этот процесс, найдем, что
Bn(X)=^Blpe-2ni/\	B.22)
i=o
причем неизвестные В^' находятся из систем уравнений вида
2 ^^ + Ь1» = 0.	B-23)
где.Ьот = Ym\ а Ь;т при i^= 1 определяются следующим образом:
В. М. Александров, Е. Б. Коваленко

J30	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Решения же систем B.23) с помощью матрицы коэффициентов
B.14) можно представить в форме
Вп1) = I! Cnhbih.	B.25)
3. Для общего случая символа ядра (9.43) гл. 2 решение си-
системы B.11) при малых X может быть произведено следующим
образом. Обозначим
Тогда согласно B.23) и B.25)
Вп (X) = 2 СпФк (Ц,	B.27)
k=i
где коэффициенты Cnk даются формулой B.10). С помощью легко
доказываемого тождества
К+ (iyh) [К-1 (iyh)Y = [K+1 (- iyh)Y	B.28)
коэффициентам Cnh можно придать более простую форму
-бп)].	B.29)
Внося далее в B.27) выражения B.26) и B.29), получим вместо
сингулярной системы 1-го рода B.11) эквивалентную ей беско-
бесконечную алгебраическую систему 2-го рода
Вп (X) = В^ + 2 Dsn (X) Bs (X),
в^ = ак'+ (- гК) 2 [л:^ (- iyh)]
' yh {Ук - бпу
1
К+ ( 8п) [К ( iyk)y {yk + Ss) {Yh - 6n) •
Заметим теперь, что для интегрального уравнения (9.11) гл. 2
с ядром A.3) гл. 2 и символом ядра К~1{а) в случае правой час-
части g{x) = eivx может быть получена бесконечная алгебраическая
система
аналогичная B.4). Решение системы B.31) имеет вид
(- tyh)Y (ц - ^Г1, B.32)

§ 3. ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ ЯДРА УРАВНЕНИЯ	131
аналогичный B.5). Подставляя B.32) в B.31) и полагая ц рав-
равным нулю или — ?6S, получим тождества
2°° 	1	_
^[^(-^I'YHVft-en)	п
B.33)
* ^ (- iyk)]' (У и + 8.) (Vft - бп) i (Ss+Sn)'
Теперь видно, что выражениям В^ и D,n(%) в системе B.30)'
можно придать более простую форму
Л t B34)
Можно показать, что бесконечная алгебраическая система
B.30), B.34) является вполне регулярной при % < Ко (см. тео-
теорему 2.19) и квазивполне регулярной при всех ^<=@, °°). Для
приближенного решения бесконечной системы B.30) целесообраз-
целесообразно использовать метод последовательных приближений. Тогда в
нулевом приближении Вп (К) = В?\ что после подстановки в
B.1) дает, очевидно, главный член асимптотики решения интег-
интегрального уравнения A0.1) гл. 2 при малых X.
§ 3. Об аппроксимациях ядра
интегрального уравнения G.1) гл. 1.
Структура и свойства решения интегрального уравнения
при любых значениях К. Устойчивость решения
Здесь дадим некоторое обоснование приближенных методов,
изложенных в §§ 7—10 гл. 2 и в §§ 1, 2.
1. Заметим, что при фиксированном значении параметра К пе-
переменная t =(% — х)/Х в ядре k(t) интегрального уравнения
G.1) гл. 1, A.3) гл. 2 изменяется в пределах от —21% до 21%. От-
Отсюда следует, что если при построении приближенного решения
уравнения G.1) гл. 1 для достаточно больших % (пусть ^•!И<^<
<С оо) возникает необходимость в аппроксимировании ядра k(t),
то оно должно быть хорошо аппроксимировано на конечном ин-
интервале изменения t, именно | t \ e [0, 2/%*]. Если же мы зада-
зададимся целью получить приближенное решение уравнения G.1)'
гл. 1 при достаточно малых % (пусть 0 < % < %%) или для любых
%, то нужно хорошо аппроксимировать ядро k(t) уже при всех
1*1 е [0, »).
Исходя из сказанного, в случае больших % целесообразно тре-
требовать, чтобы имела место оценка
\k(t) - M*IH«(_2/U,2/U) <s @ <«<1, п>1)г C.1)
9*

132	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
где &*(?)—аппроксимирующее ядро, е — достаточно малое по-
положительное число. Из требования C.1) с учетом свойств k(t)
вытекает, что к.% (?) должно иметь вид (см. A.26) гл. 2)
M*) = -ln|f|+ro'|f| + Z»(f),	C.2)
причем функция I* (t) в силу леммы 2.1 по крайней мере при-
принадлежит классу //" (—2/Х#, 2/L,.). Подставляя в C.1) выраже-
выражения A.26) гл. 2 и C.2), получим следующее условие:
||T@-^(i)ilH«(_2/V2/v<s @<а<1, п>1), C.3)'
где l{t) = rl + l(t), a l(t) дается формулой A.24) гл. 2.
Примерами аппроксимаций, удовлетворяющих условию C.3)
при определенных п и Х% (величина г выбирается в зависимости
от желаемой точности), могут служить: 1) отрезок ряда (8.35)
гл. 2; 2) отрезок ряда A.1); 3) интерполяционный полином для
l(t) и т. д. Именно такие аппроксимации по существу использо-
использованы нами выше при построении решений уравнения G.1) гл. 1
для больших X.
Для случая малых X (или для любых X е @, °°)) нужно тре~
бовать выполнения условия C.1) при любом ^>0. При этом
следует иметь в виду, что k(t)~ exp[— (и — е) UI] при UI -*¦ °°
(б>0), если К(а) регулярна в полосе |Real<x (см. теоре-
теорему 1.15 и формулу (9.45) гл. 2). Поэтому по крайней мере k#(t)
и k*(t) должны не возрастать при UI -*¦ °°.
Выполнение условия C.1) при п = 1 обеспечивает получение
приближенного решения, качественно соответствующего точному
(см. теорему 2.13). Покажем, что выполнение условия C.1) обес-
обеспечивает также в определенном смысле и количественную бли-
близость приближенного и точного решений. Вначале обратим внима-
внимание на следующее обстоятельство: из анализа приближенных
решений, описанных в §§ 8, 10 гл. 2, можно заключить, что ве-
величины 04(^) и 02(^) в соотношениях корректности (8.9) гл. 2
монотонно возрастают при уменьшении X и ведут себя как Я
при X -*¦ 0.
Будем называть уравнение
1
i
C.4)
возмущенным по отношению к основному уравнению G.1) гл. 1,
A.3) гл. 2, если выполнены следующие соотношения:
-/* ИII н«(_Ь1)<е, IU(f)-

§ 3. ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ ЯДРА УРАВНЕНИЯ
133
Будем дальше предполагать f (х) е Я? (— 1, 1); тогда из C.5)
с неизбежностью вытекает, что и /* (х) е #?(—1, 1), и, как уже
отмечалось, из второго соотношения C.5) следует, что /* (t) e
()
Теорема 3.3. Для любого фиксированного ^<=@, °°) най-
найдется такое в*, что при е <е^. решение возмущенного уравнения
в Lp(—1, 1) A < р < 2) существует и единственно.
Для доказательства заметим, что из существования и единст-
единственности решения основного уравнения в Lp{—1, 1) (см. теоре-
теорему 2.13) следует существование при всех К е@, °°) аддитивного
обратного оператора В, действующего из Нг в LPj т. е.
фИ = в/.	C.6)
На основании первой формулы (8.9) гл. 2 имеем ||В/||?,р(_1> ,)ь^
^ ^1II / II a i оигуда следз^ет, что обратный оператор ограни-
JSj_(—1,1)
чен и, следовательно, линеен.
Представим интегральное уравнение C.4) в виде
J
—1
I Я
(Ы
?	 х , 1 &
C-7)
Если допустить, что ср^ (D g= ?р (—1, 1) A<р<2), то второе
слагаемое в правой части C.7) принадлежит Н[(— 1, 1).С учетом
сказанного обратим оператор, стоящий в левой части уравнения
C.7); получим следующее уравнение второго рода:
I
*
Ч V)] 4
<
C-8)
эквивалентное в ?Р(—1, 1) уравнению C.7).
Оценим в Lp норму оператора, стоящего в правой части C.8):
В
ё —
-I,
C.9)

134	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Можно показать, что
1
C.10)
С учетом C.10) оценка C.9) примет вид
-1
\ (Л.) е
||ф*1
При любом фиксированном Я, > 0 выбором значения 8 можно
добиться того, чтобы
откуда в силу принципа Банаха «неподвижной точки» следует
утверждение теоремы.
Теорема 3.4. При 8 <е* имеет место оценка
\\q,(x) - щ(х)\\Ьр^гв^)[1 + j\\qjh(l + ± + ф-^. C.11)
Для доказательства вычтем уравнение C.4) из уравнения
G.1) гл. 1, A.26) гл. 2. Будем иметь
= я [/(я)-
Используя теперь первое неравенство (8.9) гл. 2, получим

g 3, OB АППРОКСИМАЦИЯХ ЯДРА УРАВНЕНИЯ	135
Отсюда уже не представляет труда с учетом C.5)" и C.10Y прий-
прийти к C.11).
Из доказанного следует, что при любом фиксированном % > О
за счет уменьшения г погрешность между точным и приближен-
приближенным решениями в Lp может быть сделана сколь угодно малой.
При уменьшении К для сохранения заданной точности прибли-
приближенного решения точность аппроксимирования ядра нужно уве-
увеличивать. Заметим, что для возмущенного уравнения имеет место
теорема, аналогичная теореме 2.13. Именно, можно показать, что
если решение уравнения C,4) существует в Lp(—1, 1), а это бу-
будет при г<1ъ%, то оно имеет вид
Ф* И = со* (х) A - х*)-ч\ со* (х) е= Щ (- 1, 1).
Теперь па основании C.11) и второй оценки (8.9) гл. 2 можно
заключить, что при е <; е* имеет место соотношение
|. C.12)
Рассмотрим случай, когда аппроксимирующее ядро имеет вид
оо
kt{t) = §?±P-cosutdu,	C.13)
о
где и~1Ь% (и) — четная, действительная на действительной оси
функция. Возникает вопрос, как должна ?* (и) аппроксимиро-
аппроксимировать функцию L(u), чтобы выполнялось соотношение C.1). На
него отвечает следующая
Лемма 3.3. Если при всех \и\ < °°
| L (и) — L* (и) | < ц! | и | e~vM	C.14)
и \it мало, то справедливо соотношение C.1) при любых К и п =ё!
Если при всех Ы е [0, °°)
| L (и) — L* (и) | < ц2 j и \s (и2 + W)~bU	C.15)
и (lx2 мало, то справедливо соотношение C.1) при любых К и
п = 1.
Доказательство леммы вытекает из формул A.19), A.24),
A.26), (8.1) — (8,3) гл. 2, а также из леммы 2.1 и следствия 2.1.
Заметим, что при малых Л, помимо условия C.1), целесообраз-
целесообразно также требовать, чтобы аппроксимирующее ядро к% (t) обес-
обеспечивало точное определение вырожденной части решения v (x)
(см. (9.1) гл. 2 или третье уравнение A0.29) гл. 2), а также экс-
поне'нциальный характер затухания «погранслоевой» части реше-
решения co(s) (см. первые два уравнения A0.29) гл. 2). Не останавли-
останавливаясь на подробностях, приведем без доказательства две теоремы,
дающие ответы на эти вопросы.

136	ГЛ, 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Теорема 3.5. Пусть функция ?/?*(?) аналитична в ком-
комплексной плоскости и регулярна в полосе |и1 < °°, Ы ^ с. Если
к тому же
(k = 0, 1	N),
а правая часть уравнения (9.1) гл. 2 имеет вид
g(x) = %gjj (n<2iV + l),
3=0
либо Lt (- Vft) = L (- vfc) (Л = 0, 1, ..., N) и
N> |Imvfc|<inf(c, ReSJ),
то решение уравнения (9.1) гл. 2 с ядром k(t) полностью совпа-
совпадает с решением уравнения (9.1) гл. 2 с ядром к% (t).
Теорема 3.6. Пусть функция ?* (V)/t
1)	апалитична в комплексной плоскости t, = и + iv;
2)	регулярна в полосе \v\ < с;
3)	в полосе \v\ ^ с — 8i равномерно стремится к нулю при
Ы -*¦ оо;
4)	в полосе |у| < с* не имеет нулей.
Тогда при у -> о° решение (если оно существует) интеграль-
интегрального уравнения
оо	оо
(s) kt (s-y)ds= \ (a (s) + v(ls— 1)] k
2/X
убывает не слабее, чем ехр [— (и* — 82)г/], где x* = inf(c, с*),
Ei, е2 — положительные, сколь угодно малые числа, a v(x) — ре-
решение интегрального уравнения (9.1) гл. 2 с ядром &* (t) и пра-
правыми частями, описанными в теореме 3.5.
2. Рассмотрим теперь некоторые примеры приближений вида
C.13). Допустим вначале, что для функции L(u) справедлива
оценка (8.1) гл. 2. Тогда в силу условия G.12) гл. 1 функцию
L(u) можно представить в виде (при этом выполнено соотноше-
соотношение C.14))
L (и) = th Аи + пг (и), L^ (и) = th Аи,	C.17)
Подставляя C,17) в A.3) гл. 2 и используя интеграл E.30) гл. 1,

§ 3, ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ ЯДРА УРАВНЕНИЯ
137
получим следующее представление для ядра [9]:
&(*) = -:
th =
= — In th
Г «1 И
™<i(t) = —	cosutdu.
L44
C.18)
На основании (8.1) гл. 2, а также регулярности функции (?)
в полосе Ы < оо, \v\ ^c и теорем 1.14, 1.15 убедимся, что m.t (i)
как функция комплексного переменного w = t + гт регулярна в
полосе |т| < inf (и, 2А), \t\ < °°. Кроме того,
(Ifl
= inf[e,n/B4
Таким образом, в согласии с изложенным выше первое слагаемое
в выражении для k(t) C.18) полностью отражает все основные
свойства ядра интегрального уравнения G.1) гл. 1, A.3) гл. 2
при всех t <s [0, оо). Второе же слагаемое rrii(t) является сколь
угодно гладкой функцией при ?е [0, °°), экспоненциально убыва-
убывает при |?| —*- оо и играет роль малой добавки. Отсюда следует, что
если точно обратить интегральный оператор
1
>=- J Ф A) In
-i
th
я A-х)
C.19)
то, по сути дела, будет как качественно, так и количественно точ-
точно выявлено поведение решения уравнения G.1) гл. 1, A.3) гл. 2
при всех значениях параметра Ле@, °°). На этой основе может
быть развит приближенный метод решения указанного интеграль-
интегрального уравнения, одинаково эффективный при всех значениях
ХЩО, со) (см. § 8).
Пусть теперь функция L(u) удовлетворяет условиям G.12)
гл. 1, а при и -*¦ °° имеет место формула (8.23) гл. 2. Тогда Ь(и)
представима в вице
L(u) =
«а (м), i* (u) =
C.20)
Легко видеть, что при этом будет выполнено равенство C,16)
при & = 0 и соотношение C.15). Подставляя C,20) в A.3) гл. 2
с учетом интеграла [5]
ОО

138	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
где Kj(at)— функция Макдональда, будем иметь
к(t) = Ко (t/A) + m,(t), k* (t) = Ko (t/A),
и)	C.21)
cos ut du.
о
Относительно функции m2(t) C.21) можно утверждать, что
она экспоненциально убывает при \t\ -*• °°, а в окрестности нуля
ведет себя как ?21пЫ, т. е. m2(t) е Я?(— оо, оо) (а=1 — 8).
Этот факт следует из формулы C.15), если принять во внимание
значение интеграла [5]
C.22)
|
(а > 0, 0 ^ п < V2 + Re v).
Таким образом, по-прежнему первое слагаемое в представле-
представлении C.21) отражает все основные свойства ядра k(t), а второе
играет второстепенную роль. Поэтому, чтобы построить решение
интегрального уравнения G.1) гл. 1 с ядром C.21), эффективное
при всех значениях параметра Ае@, °°), нужно точно обратить
интегральный оператор с ядром K0(tA~l) (см. § 8).
Пусть теперь [1] аппроксимирующая функция Ь# (и) и~1 име-
имеет вид (9.41) гл. 2.
Здесь мы уже имеем, в отличие от C.17) и C.20), две варьи-
варьируемые постоянные ft, и h2. Соответствующим их выбором можно
добиться большей точности приближения. Если, например, эти
постоянные выбрать таким образом, чтобы hi=Ahz и значение
sup 11 — L [и) L^ х (и) I при всех 0 ^ и < °° было наименьшим, то
будет выполнено условие C.16) при /с = 0 и условие C.15). Если
в качестве второго условия для выбора постоянных использовать
B/ii) * — h^2 = Dl, то по-прежнему будет выполнено условие
C.15) и условие C.16) при к = 0, 1.
Более точные аппроксимации, удовлетворяющие нужным тре-
требованиям, могут быть получены умножением правой части (9.41)
гл. 2, а также функций Ь^(и)и~г вида C.17) и C.20), на выра-
выражение [1] Pi(u )/Р2(и2), где Pi(u2) и Р2(и2)— полиномы одинако-
одинаковой степени. Приближенное решение оказывается более простым,
если потребовать, чтобы полиномы Pi(u2) и Р%{и2) имели лишь
чисто мнимые пули. Увеличивая степени таких полиномов, можно
добиться сколь угодно высокой и равномерной по uef-», °°)
точности аппроксимации, если для нулей полиномов zn справедли-
справедливо соотношение zn = О(п) при п -*¦ °°.
Наконец, пусть Ь{и) удовлетворяет условиям G.12) гл. 1 и
при и -*¦ оо условию (8.33) гл. 2. Тогда можно аппроксимировать
L(u)u~l выражением (9.41) гл. 2, а затем отношение L{u)jL^{u)

§ 4. ДРУГОЙ МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ	139
аппроксимировать функцией вида exp[c,|.i(w)], где ц(и)—опять
функция, аналогичная (9.41) гл. 2. Нетрудно убедиться, что скон-
сконструированная таким образом аппроксимация
1 Н _ ^ + h\
будет удовлетворять всем необходимым требованиям. В функцио-
функциональном уравнении вида (9.17) гл. 2 символ L(u)u~l легко фак-
торизуется. Для этого, очевидно, достаточно с учетом теоре-
теоремы 2.16 представить \х(и)= \х+(и)-\г \\-{и).
§ 4. Метод ортогональных многочленов,
эффективный при малых значениях к
В этом параграфе на основе аппроксимации ядра интегрально-
интегрального уравнения G.1) гл. 1 k(t) вида C.20) построим приближенное
решение, эффективное при малых значениях параметра К [10].
Как было показано выше (см. лемму 2.11), решение интег-
интегрального уравнения G.1) гл. 1, A.3) гл. 2 при f(x)^l и доста-
достаточно малых значениях параметра К имеет структуру A0.2) гл. 2,
причем «погранслойная» часть решения со (г/) определяется со-
согласно A0.1) гл. 2. Подставляя C.20) в A0.1) гл. 2, производя
в полученном соотношении замену переменных и вводя обозначе-
обозначения по формулам у' = yA~l, s' = sA~l, 2{A%)~1 = b, k{t) =
= к'(tA~l), со(г/)= со'(г/') (штрихи далее опустим), придем к сле-
следующему интегральному уравнению относительно со (у):
оо	оо
J со (s) Ko (s — у) ds = — ] со (s) m2 (s — y)ds +
@<г/<оо). D.1)
Будем искать решение уравнения D.1) в виде
со(г/)=соо(г/)+со1(г/),	D.2)
где со0(г/) и со4(г/) соответственно определяются из интегральных
уравнений
@<г/<оо), D.3)
J <»! (s) Ko (s — y)ds = — j [co0 (s) + % (s)] m2 (s — г/) ds +
о	о
оо	оо
+ i. 6 j m2 (s + г/) ds + J [co0 (s + b) + щ (s + b)] k(s + y) ds D.4)

140	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Решение уравнения D.3) может быть получено методом Ви-
Випера—Хопфа, изложенным в § 9 гл. 2, и имеет вид
oi0(y) = 0,5b[evi(b) + (ny)-l/2e-y - 1].	D.5)
Для решения интегрального уравнения D.4) нам в дальней-
дальнейшем понадобится спектральное соотношение [3]
^ L-lh Bs) Ko (s -y)ds = ± е-«Ь-^Bу),	D.6)
Тп = У2ЛтB?г)!![B?г-1)!!]-\
Здесь L% (х) — полиномы Лагерра [5], составляющие полную ор-
ортогональную на отрезке [0, °°) с весом е~хха систему функций.
Условие ортогональности для них может быть записано в фор-
форме [5]
1 с/-»). <">
Разложим G)o(s) в ряд по полиномам Лагерра:
D.8)
n=o
и с учетом D.7) представим коэффициенты Л„ в виде
Уп [(- 1)" /2 - а™], а^ = V2ftt y^F (- n, 1; V2; 2).
Здесь F(a, P; у; х)—гипергеометрическая функция [5]; постоян-
постоянные с40) могут быть найдены из следующей рекуррентной фор-
формулы:
fl<°> + аЯЪ = -Bп- 1)!! [{2п + 2)!!] (п = 0, 1, .. .; ^0) =l).
Разложим теперь в ряды по полиномам Лагерра функции
тгE — у), mz(s + у), K0(s + у). Будем иметь
(s ± у) = ? YnbJ (s) e-yL-^ By),	D.9)
n=O
o (s + г/) = л f] cn (s) e-^*/2 Bг/),	D.10)
n=0
-У
(s) = m2 (s±y)'-r L~ " By) dy,	D.11)
d	V У

§ 4. ДРУГОЙ МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ	141
Функции cn(s) (п = 0, 1, ...) имеют вид
О	' '
Вычисляя интеграл [5] в D.12), получим
сп(8) = ИГкBп-1)\Ю-2п-1(Щ (п = О, 1, ...)', D.13);
где Dn (x) — функции параболического цилиндра [5]. Функцию
() будем искать в форме
Й1 (s) = \ Ъ ±1 2 A^Ln4' Bs)t	^ D.14)
аналогичной D.8).
Внося соотношения D.8) — D.11) и D.14) в уравнение D.4)
и используя формулу D.6), получим для определения А^ следу-
следующую бесконечную систему:
А™ = - В' + 2 D0) + 4Х)) (- BJn + Bt + Cin). D.15)
3=0
Здесь введены обозначения
оо	оо
В» = ¦- j" Ьп (s) ds, В' = ^ j б" (s) ^J Lf'/' Bs) ds,
Sn
oo
= e-byn f 4t=- LtU t2 (s + fc)]ds 0'. » = 0, 1, .. .)•
о
Постоянные fi^ и 5 ^ с помощью интегралов [5]
e-s*saLan (s) ds = Г(а+яУп)+(?~1)" (Re а > - 1, Re J/ > 0),;
о
A.20) и B.40) гл. 2 представим в следующем удобном для вычис-
вычислений виде:
оо
2(— lK+"v Гп^М)
R- = J	!—12 у ; cos [2 (п- т) ^] du
1 *уг {Yi + u2
(¦ф = arctg и; /, п = 0, 1, ...)'.

142	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Постоянные Cjn с учетом D.13) могут быть вычислены при
помощи интегрирования по частям и использования формулы [5]
Приведем выражения, определяющие эти постоянные, для неко-
некоторых значений j и п:
С00 = 1ъ[К0{Ъ) + К1{Ъ)]-2{^-
С01 = 4С10 + 2^ГУЛ	D.18)
Здесь Kv(b)— функции Макдональда [5]. Постоянные Bfn с уче-
учетом D.11) могут быть преобразованы к виду
+ (-l)"V2Vn 1n(uA-*)
В* =	й	J (ТГЖ 5t*« (Ц) ^'
о ^
) DЛ9)
[
= e"b Re {e-«-+V.)* j JL^L L;4. [2 (
Для вычисления функций х>п(ц) в D.19) воспользуемся ин-
интегралом [5]
r±b[(V	(Rej/>0, \avgb\<K).
о
Тогда, например,
2 Г г	D20)
erfc(a;)= 1 — erf (x) = —-j=- \ e~l"dt.
Перейдем теперь к вопросу о решении бесконечной алгебраи-
алгебраической системы D.15). Как показывают решения конкретных за-

§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ	143
дач, при К1 с достаточной для практики точностью в правой
части системы D.15) можно пренебречь слагаемыми, содержащи-
содержащими неизвестные коэффициенты ^j1'. После этого сумму в правой
части на основании соотношений D.5), D.8), D.17) — D.20) мож-
можно представить в форме интеграла. Расчеты также показывают,
что при К2 при решении системы D.15) можно пренебречь в
правой части слагаемыми, содержащими Bjn.
После решения системы D.15) функция (р(х) найдется со-
согласно формулам A0.2) гл. 2, D.2), D.5) и D.14). При этом для
интегральной характеристики решения Ne B.37) гл. 2 может
быть получено выражение
ь
п-=0	0	V * /
iV* = B6 + 1) erf (/Ь) - Ь + 2 УЬ/Ке~ь.
В заключение обратим внимание на следующее. Если ядро ис-
исходного интегрального уравнения представимо в форме C.18), то
вместо спектрального соотношения D.6) можно использовать со-
соотношение [3]
оо
-J-
D.22)
В остальном же схема построения приближенного решения при
малых X не изменяется.
§ 5. Замкнутое решение интегрального уравнения G.1),
G.7) гл. 1 в форме, содержащей сингулярные интегралы.
Случай двух участков интегрирования и периодическая задача.
Двухсторонняя оценка
для интегральной характеристики решения
1. Построим замкнутое решение интегрального уравнения
G.1), G.7) гл. 1. Как мы видели выше, к такому интегральному
уравнению сводятся модельные задачи гл. 1, и, кроме того, оно
возникает в качестве главного приближения для смешанных за-
задач типа а) при любых значениях параметра К е @, <») (см.
C.18)).
Продифференцируем уравнение G.1), G.7) гл. 1 по х. Полу-
Получим

44	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
В сингулярном интегральном уравнении E.1) произведем заме-
замену переменных и введем обозначения по формулам
т = —-—г	-, t = ——г	—, Ь = е ,
Ъ — а	Ь—а	E.2)
а = е-*'\ ${т) = <р(Ъ)е-пШХ), g (t) = f {х) е'**'1*».
Будем иметь
1
(UK1)-	E-3)
Таким образом, решение интегрального уравнения G.1), G.7)
гл. 1 эквивалентно решению сингулярного интегрального уравне-
уравнения с ядром Кошм, рассмотренного в § 2 гл. 2. Именно, если
g (t) e #"(— 1, 1) @<а^1), а это будет в том случае, если
f(x)^Hf(—1,1), то согласно теореме 2.2 решение интегрального
уравнения E.3) имеет вид
E.4)
причем t|)(i)eL,(-l, 1)" A<р<2).
Возвращаясь в E.4) к старым переменным и обозначениям
E.2), получим решение сингулярного интегрального уравнения
E.1) в форме
Г FI/2
E.5)
причем ф(а;)еЬр(—1, 1) A<р<2).
Теперь необходимо постоянную Р* выбрать таким образом,
чтобы выражение E.5) было одновременно решением интеграль-
интегрального уравнения G.1), G.7) гл. 1. Именно, будем иметь
, E,6)
-1
ШA-еI-_=
(й) к	>\ у2 [ch (я/Я) - ch (л|/Я)]
где ?(а) и i?(a)—полные эллиптические интегралы. Внося E.6)
в E.5), для интегральной характеристики решения Л^о получим

§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
следующее выражение'):
No=
/ F)
V2[ch(nA)—
145
E.7)
При выводе формул E.6), E.7) были использованы интегралы
F.21), F.22) и соотношения [5]
а
f
1/2 (ch а - ch x)
= *tt/2 Я'
(A) Я' (A) + ?' (А) Я (А) —
Полагая, например, в формулах E.5)—E.7) f(x)^ f = const,
запишем решение уравнения G.1), G.7) гл. 1 в виде
E.8)
(а) /2 [ch (я/Л) — ch
0 = fK'(a)[K(a)]-\
2. Заметим, что задача, рассмотренная в § 5 гл. 1 и сводящая-
сводящаяся при х2 = 0 к интегральному уравнению G.1), G.7) гл. 1, мо-
может быть значительно обобщена [11].
Пусть упругое цилиндрическое тело бесконечной длины заклю-
заключено в недеформируемую обойму, как показано на рис. 3.1. Меж-
Между поверхностями обоймы и
тела осуществлено жесткое
сцепление. На плоской гра-
грани тела находится недефор-
мируемая бесконечная поло-
полоса (штамп). Между поверх-
поверхностями тела и полосы так-
также осуществлено жесткое
сцепление. Ширина плоской
грани тела L = Ь + а, шири-
шири+
Рис. 3.1
на полосы l = d + с. Попе-
Поперечное сечение цилиндриче-
цилиндрического тела представляет со-
собой односвязную область Я. Контур криволинейной границы об-
области О, есть S.
Пусть на каждой единице длины к полосе приложено сдвигаю-
сдвигающее касательное усилие Т, направленное по оси z. Под действи-
действием этих усилий полоса сместится вдоль оси z на величину у, вы-
вызвав тем самым в цилиндрическом теле деформацию чистого одви-
') По поводу определения интегральной характеристики решения
см. § 6 настоящей главы.
Ю В. М. Александров, Е. В. Коваленко

146	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
га. Таким образом, нужно найти гармоническую в Q функцию
,w{x, у) при граничных условиях
w = 0 ((х, у) е= S),
w = y (г/ = 0, -c<a;<d),	E.9)
w'y = G~\z = О (г/ = 0, -а<а;<-с, d<x<b)f
а также определить закон распределения контактных касательных
напряжений гуг = т(;г) при у ^Ъ по области контакта — с < х < d,
т. е. нужно найти Gw^ при у = О и а; е [—с, d].
Для решения задачи введем в рассмотрение комплексные пе-
переменные z = x+ iy, t, = и + iv п допустим, что функция % = F(z)
осуществляет конформное отображение области Q в плоскости
комплексного переменного z на полосу единичной толщины в пло-
плоскости комплексного переменного ?, причем прямая у = 0, —а =?!
< х < Ь переходит в прямую v = 0, —°о < и < оо так, что точкам
х = — а и ? = fe соответствуют точки и = — оо и и = °°, а точкам
а; = — с и ж = й — точки и = —а и и = а. Кроме того, кривая
S переходит в прямую v = ~ 1, — оо<ц<оо. На основании тео-
теоремы Римана [12] такое конформное отображение существует и
единственно, если величина а заранее не задана.
Рассмотрим краевую задачу Дсо = 0 E.9)," которая получается
для функции w в полосе на плоскости комплексного переменного
%. Учитывая, что
dw
v=o
dw
~dv~
v=o
¦F'(x)r	E.10)
и предполагая, что F'(x) = 0 при х^[—а, Ь] лишь на множестве
меры пуль, приходим к необходимости решения следующей за-
задачи:
/	2	2 \
Aw = О |А =—5"-|	? , ю = О (г; = — 1, — оо < и < оо),
\ ди ау /
E.11)
ю = у (у = 0, | и\ ^ а), гув = 0 (г; = 0, |u|>a),
которую можно трактовать как задачу о чистом сдвиге жестким
штампом упругого слоя единичной толщины, защемленного по ос-
основанию (сравните E.11) с формулами § 5 гл. 1). Решение по-
последней задачи дается соотношениями E.8), которые запишем в
следующей форме:
Т* (W) = 2К{е-па)-\/2(скл<х-СЬли)'
Т* = GyK' (е~ла) [К (е'ла)]~\	( " }

§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
147
Теперь решение исходной задачи может быть найдено соглас-
согласно E.10) по формулам
d	a
x(x) = t*[F(x)]F'(x), T= \%{x)dx = 1т;*{и)йи=Т*.
—с	—а
E.13)
Рассмотрим два конкретных варианта задачи о чистом сдвиге
штампом упругого цилиндрического тела (рис. 3.2). Функции,
осуществляющие конформное отображение указанных на рис. 3.2
У
©
с d
х
Рис. 3.2
областей Q на полосу единичной толщины в плоскости комплекс-
комплексного переменного ?, имеют соответственно вид:
1) ? = 4- In z?=\ 2) ?= Т ln ТТГТ ¦	E-14)
Из формул E.14) получим:
F' (x) = ($х)-\
F' (x) = 2ар-х (а2 - х*)~\
1 , ,/"Т	1 ,
а = -т1п1/ —,	а = -5- In
Используя E.15), в согласии с E.12), E.13) запишем:
для первого варианта (клин)
E.15)
т(*) = -
2|
Г = GyK' [(c/df/(m] [К [{cld)Kim)\)-\
для второго варианта (усеченный круг)
т /дд =	nGyaX (с)
Р (а2 - а:2) К [1~х (с)] 1^[Х (с) - X (х)][1, (с) - 1-\х)}
10*

448
ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Отметим, что для обоих рассматриваемых случаев на краях
линии контакта штампа с поверхностью тела касательные напря-
напряжения %{х) имеют характерную особенность вида 1/Уа;.
3. Рассмотрим теперь задачу о чистом сдвиге упругого слоя
двумя одинаковыми штампами и периодической системой одина-
одинаковых штампов (рис. 3.3). Нетрудно убедиться, что первая
Рис. 3.3
задача для симметричного случая (когда усилия, приложенные
к штампам, направлены в одну сторону) приводится к инте-
интегральному уравнению
ь
iln
th
я A-х)
th-
E.16)
а для несимметричного случая — к интегральному уравнению
E.17)
здесь ц>+(х) и ц>-(х)—отнесенные к G (модулю сдвига) контакт-
контактные касательные напряжения; функции f+(x) и f-(x) равны для
данной задачи перемещению f = const, однако для общности бу-
будем считать их произвольными из класса Нг (а,Ь) @<а<1).
Для исследования уравнений E.16) и E.17) сначала изучим
случай, когда Л = УЬ2 — a2/Bh)> 1. При этом уравнения E.16)
и E.17) упрощаются и принимают вид
J
cp+ (?)[-
П/+ (x)f D = 2
dl = я/_ {х) (а < х < Ь).
E.18)

§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ	149
В первом уравнении E.18) произведем замену переменных и вве-
введем обозначения по формулам
2|2_a2_ft2	2a;2_a2_62	ф+(*)Кб2-а»
т= 		, f = 		; of>(f) =	—	,
Ъ — а	Ъ — а	^х
тогда оно примет вид A.2) гл. 2. Последнее уравнение было под-
подробно рассмотрено в §§ 2—6 гл. 2.
Чтобы построить решение второго уравнения E.18), продиф-
продифференцируем его по х. Будем иметь
).	E.19)
Уравнение E.19) напоминает интегральное уравнение A.34) гл. 2,
изученное в §§ 2, 3 гл. 2, поэтому нетрудно записать решение
E.19) в форме
<Р- И =
2	Г
=- Ру -
E.20)
Подставляя E.20) во второе уравнение E.18), получим [13]
E.21)
Вернемся к интегральным уравнениям E.16) и E.17) и в пер-
первом из них сделаем замену переменных и введем обозначения
согласно формулам
T] = chr|, y = chrx, r = nBh)~1,
с = ch га, d = chrb, ф+A1) = (гзЬг|)"ф+A), fl(y) = f+(x);
E.22)
во втором — согласно формулам
y = shrx, c=shra, d = shrb,
Ф- (it) = (r ch r|)-x Ф_ (I), ft (у) = /_ (Ж).	( '2 }

150	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
В результате уравнения E.16) и E.17) примут вид
- j
ф±
I In
[E.24)
Уравнения E.24) совпадают со вторым уравнением E.18), по-
поэтому к ним применимы формулы E.20), E.21). Возвращаясь
в этих формулах к старым переменным и обозначениям, получим
решения интегральных уравнений E.16) и E.17).
Перейдем к рассмотрению периодической задачи [14]. Можно
показать, что для симметричного случая (когда касательные уси-
усилия, приложенные к штампам, направлены в одну сторону) зада-
задача приводится к интегральному уравнению
1
- J
Ф(|) In
—i
2 sin
-i
U,
th
— 1	пк
cos
), (о.2о)
У 1
а для несимметричного случая (рис. 3.3, б) — к интегральному
уравнению
I In
_
J.
= я/- |Ф(Е)
т*
E.26)
*
а
h=l
2l
При ц->оо уравнения E.25) и E.26) упрощаются и прини-
принимают вид (для общности будем считать, что / = /(а:))
- |ф©
In tg
я" E - *)
E.27)
Первое интегральное уравнение E.27) для четного случая (/(#) —

§ 5. ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ	151
четная) после замены перемепных и введения обозначений
запишется в форме
2
— J ф* (!]) In 11] - у | dii = я/* (г/) (с< г/ < 2).
Последнее после симметризации интервала интегрирования совпа-
совпадает с A.2) гл. 2. Далее убедимся, что первое интегральное урав-
уравнение E.27) для нечетного случая (/(ж)—нечетная) после за-
замены переменных и введения обозначений
9 также второе интегральное уравнение E.27) для четного и не-
нечетного случаев после соответствующих замен переменных и вве-
введения обозначений типа E.22) и E.23) совпадут по форме с
уравнением E.24).
4. Как было указано в § 3, при справедливости оценки (8.1)
гл. 2 ядро для задач группы а) может быть представлено в форме
C.18). Тогда интегральное уравнение G.1) гл. 1, A.3) гл. 2 за-
запишется в виде
E.28)
Для конкретных задач функция ^(i) такова, что
max mi(t)= т^@) = яг > О, min mi(t) — mi(t*) = m* < 0,
nii^-^O (f-> oo),	E.29)'
причем постоянные тп и тп* малы по сравнению с единицей.
На основании формулы E.7) для интегрального уравнения
E.28) будем иметь
1 г	г	т
E.30)

152	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Допустим теперь, что <$(х)~> О при всех Ы < 1. Это неравенство
обычно выполняется для физически реальных случаев конкрет-
конкретных задач. Тогда из E.30) может быть легко получена следующая
двухсторонняя оценка для величины No, справедливая при всех
Яе @, оо):
2а1/» [К (а) + (m/я) К' (а)] "~ ^ 2а ^ [К (а) + (га/я) К' (а)]
1
_J "l/2(chb-chb|)
Для случая f(x)= / = const из E.31) имеем
/g/ (")	<iV0<	tELM	1 E.32)
К (а) + (га/я) К' (а),	° ЛГ (a) + (га/я) ЙГ' (a)
При использовании оценок E.31) п E.32) следует иметь в виду,
что 1) если 0<2/X<t*, то m = miB/'k); 2) если t* ^ 2Д < °°,
то »г = »г*.
В заключение отметим, что если регулярную часть ядра m^t)
в интегральном уравнении E.28) аппроксимировать вырожден-
вырожденным выражением вида
m1(t)= 2 М*) Л» (*)?*(?)
k=0
равномерно по К, то, как отмечалось в § 7 гл. 2, решение урав-
уравнения E.28) может быть найдено в замкнутом виде, поскольку
точное обращение интегрального оператора, стоящего в левой
его части, известно. Важно заметить, что такое приближенное ре-
решение будет пригодно при всех Яе@, °°) (подробнее см. § 8).
§ 6. Замкнутое решение интегрального уравнения G.1),
G.7) гл. 1 в форме, не содержащей
сингулярных интегралов
Получим решение интегрального уравнения G.1), G.7) гл. 1
в форме, не содержащей сингулярных интегралов [1]. Для этого,
подобно тому, как зто делалось в § 7 гл. 1, запишем G.1), G.7)
гл. 1 в виде эквивалентного ему парного интегрального уравнения
G.15), G.16) гл. 1
2) ф (a) e-i«*da =, 2rt/ (я) (\x |< 1),
lo°	F.1)
f Ф (a) e~iaxda = 0	(M>1),

§ 6. ДРУГАЯ ФОРМА ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ	153
1
ф (а) = J Ф (х) eiaxdx,
F-2)
Заметим, что парное уравнение F.1) может быть разбито на чет-
четный и нечетный варианты, соответствующие разложению функ-
функций f(x), ц>(х) и Ф(а) на четные (с «+») и нечетные (с «—»)
слагаемые. Для четного варианта формулы F.1), F.2) прини-
принимают вид
оо
j Ф+ (a) th (Ясс) а" * cos ax da = nf+ (х) (х ^ 1),
0	F.3)
оо
j Ф+ (а) cos ax da = О	(х > 1),
о
г
Ф+ (а) = 2 \ <р+ (х) cos axdx,
5	F.4)
i Г	|Ф+ \х)
-J Ф+(а)со8ад;сга=|0
о
Будем дальше предполагать, что функция f+(x) имеет непре-
непрерывную первую производную. Тогда, продифференцировав обе час-
части первого уравнения F.3) и введя обозначения
F.5J
получим
J V (Р) th (яр) sin рг/ dp = - -ng' (у) (у < Ь),
"°	F.6)
оо
Отметим, что парное интегральное уравнение F.6), очевидно, эк-
эквивалентно сингулярному иптегральному уравнению E.1), кото-
которое получается дифференцированием по х обеих частей уравне-
уравнения G.1), G.7) гл. 1 с правой частью nf+(x).
Получим решение парного интегрального уравнения F.6) при
помощи обобщенного преобразования Мелера — Фока. Предвари-
Предварительно приведем перечень необходимых для дальнейшего формул.

154	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
а) Интегральные представления присоединенных функций
конуса [5]:
		*
P_v,+iP (ch t) = у - j,^—^ J	ch	F.7)
o (cht—chyf
> 0, Re fi< 1/2),
г (— ц -Нр + V2) cos я (u — гр)
б) Интегральные представления присоединенных функций ко-
конуса при li = — 1. Полагая в F.7) и F.8) постоянную |i = — 1,
получим ')
t
PZ\h+i?1 (ch *) = l^ljcos Pj/ (ch i - ch yf'dy,	F.9)
О
l,,,+W (ch 0 = 2Xlu^XP Jsin ^(ch У - ch 0Va ^- F.10)
Используя теперь соотношение [5]
i>Z?/2+ip (ch t) = Гг(~ ^tp+VJg) />-1/-+lP (ch °
перепишем формулу F.10) в виде
f-chi)v^j/. F.11)
На базе формул F.9) и F.11) получим другие интегральные
представления для PZi/2+i^ (ch t), которые и будут нами исполь-
') Формула F.8) непосредственно определяет функцию Р_^1+^ (ch t)
в полосе |Reji|<72- При Re \i <—]/г интеграл в F.8) есть преобразова-
преобразование Фурье быстро растущей функции. Это преобразование есть аналити-
аналитическая функция [х в полосе [Re [j,| <'/а и может быть продолжено в
полуплоскость Rep,<—'/г- В дальнейшем под интегралом F.10) понима-
понимается именно такое продолжение. Его можно осуществить методами, пред-
предложенными в монографии [15]. Аналогичный смысл можно придать ин-
интегралам F.11) и F.13).

§ 6. ДРУГАЯ ФОРМА ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ	155
зоваться дальше:
в)	Обобщенное интегральное преобразование Мелера—¦
Фока [16]:
оо
Ф (t) = j р th яр Ф (Р) PZ?h+ifi (ch t)d$ @< t < оо),.
0	F.14)
оо
Ф (р) = (- 1)" J Ф (i) Pn-Vi+l?, (ch i) sh tdt (P > 0).
0
г)	Разрывные интегралы Мелера [17]:
f [2 (ch f - ch у)ГЧг @<y<t),
j	(815>
fo
j [2(chy_cht)rv.
F.16)
д) Интегралы:
T
j /ch т - ch t Л = 4 /2 ch -J [tf (th -j) - Я (th y)j. F.19)
Здесь K(t) и E(t)— полные эллиптические интегралы первого и
второго рода. Интеграл F.17) подстановкой th [(т + t)/A\ = хг
приводится к следующему:
ь
/= ('	lnxdx	(а>Ъ>0).

156	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Значения последнего интеграла, а также интегралов F.18) и
F.19) взяты из [18].
е) Формулы дифференцирования полных эллиптических ин-
интегралов [5]:
dK(k) _ Е(к) К (к) dE(k) _ Е(к) — К (к)	, „л
~~dk	k(l-k*)~ A' ~dk~	к	' ^^1
Умножим теперь первое из соотношений F.6) на
sh y(ch t— ch y)~i/2dy и проинтегрируем по у от 0 до t; второе
соотношение F.6) умножим на shy(chy — ch t)~l/2dy и проин-
проинтегрируем по у от t до оо. Совершив затем перестановку интегра-
интегралов в полученных выражениях и воспользовавшись формулами
F.12), F.13), получим следующее парное уравнение:
J W (Р) th яр • PPI^-HP (ch t) dp = t* (*) (* < Ъ),
0	F.21)
J V (Р) th яр • Р^/н-ш (ch t) ^ = 0	(t> b),
Применяя к F,21) обобщенное интегральное преобразование Ме-
лера — Фока F,14) при /г=1, найдем частное решение неодно-
неоднородного парного интегрального уравнения F.6) в виде
ь
W (Р) = - [ />lVi+ip (ch t) ^ (t) sh t dt.	F.22)
0
Проверим, имеет ли однородное уравнение F,6) какое-либо ре-
решение. Полагая g'(y) — O и используя интегралы F.15), F.16),
без труда убедимся, что
Y ф) = Р*Р-г/г+я (ch Ъ) (Р* = const)	F.23)
дает решение однородного парного интегрального уравнения
F.6).
Общее решение уравнения F,6) можно теперь представить
в виде
^ (Р) = \Р* ~ t* (b)"sh Ъ] Р_./2+гр (ch Ъ) +
ь
+ j [% (t) sh t]' Р-.д+гр (ch «) d«. F.24)
0
Здесь учтено соотношение [5]

§ 6. ДРУГАЯ ФОРМА ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ	157
Возвращаясь в F.24) к старым переменным по формулам F.5)
и учитывая еще соотношения t = xb, ty% (t) = г[)+ (т), будем иметь
Ф+ (а) = [/>.„ - г? A) sh Ъ] P-v.+ia/ь (ch Ь) +
i
+ j [г|>+ (т) shxb]'P-i/t+ia/b (chrb)dT, F,25)
о
¦Ф+ (т) = —1—г I		dx.
т+ v '	sh xb J т/ch т& — ch xb
о v
Заметим, что Ф+(сс) вида F.25) удовлетворяет первому соотно-
соотношению парного интегрального уравнения F,3) лишь с точностью
до постоянной, а второму—полностью,
Найдем теперь по второй формуле F,4) функцию ф+(ж). Под-
Подставляя в F.4) Ф+(сс) вида F.25) и используя интеграл F.15),
будем иметь
., \P*-y*+d)shb]b ь Г \y
го , (х) = -—	! -\	 •
+	я 1/2 (ch Ь - ch xb) ^ J /2
(ch xb — ch xb)
F.26)
Функция ф+(ж) в форме F,26) удовлетворяет интегральному
уравнению G,1), G.7) гл. 1 с правой частью nf+(x) с точностью
до постоянной. Чтобы функции Ф+(а) и Ф+(^) являлись точны-
точными решениями интегральных уравнений F.3) и G.1), G.7) гл. 1,
выберем соответствующим образом оставшуюся до сих пор про-
произвольной постоянную Р%. Используя интеграл F,18) и форму-
формулу F.26), получим следующее соотношение;
1
No = 2 J Ф+ (х) dx = I />„ eh1К (th -|) -
(
- | Jd; (г) ch (I) [E (th?) -K (thf )]*. F.27)
0
Здесь учтено первое равенство F.20).
Рассмотрим теперь частный случай /+(ж)^/ = const. Легко
видеть, что тогда г|>+ (т) == 0и формулы F.26), F.27) принима-
принимают вид
n . v	Р*Ъ	N 2Р„К [th (Ь/2)]	,„ „ov
Ф+ (х) ==		¦, iVn =	, —.	(Ь.^о)
T+V ' я 1/2 (ch Ь - ch xb)	°	ясЬ(Ь/2)	vu ^
Подставляя Ф+ (x) в форме F.28) в левую часть интегрального
уравнения G.1), G.7) гл. 1 и учитывая, что интеграл, стоящий
слева, есть некоторая постоянная при любом х^[—1, 1],.

158	ГЛ. 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
в частности при ж = —1, будем иметь
_ ?s5 Г ln th [& A + т)/4] d% = я/	F 29)
п J Л/г (ch 6 — ch xb)
—1
Вычисляя интеграл в F.29) при помощи F.17), найдем постоян-
постоянную Р% для частного случая /+(ж) = / и перепишем формулы
F.28) в форме
о /. 	/bch(b/2)
ф-)_ (Ж) = —г—..	¦		,.
К [ V 1 — th2 F/2) J /2 (ch 6 - ch xb)	,g ^
No = 2fK [th F/2)] {К [ /l.- th2 (b/2)]}.
Далее представляет интерес следующая [19]
Теорема 3.7. Пусть <ро(ж) = бфб(ж) +афа(ж)е?р(—15 1)
A<р<2) есть решение интегрального уравнения G.1) гл. 1,
A.3) гл. 2 для случая /0(ж) = б + аж и пусть для некоторой дру-
другой функции f (х)^. Н\{—1, 1) @<[5<1) также существует
решение уравнения G.1) гл. 1, A.3) гл. 2, принадлежащее
Lp(—1, 1); тогда интегральные характеристики No и N, этого ре-
решения могут быть найдены по формулам
No = J фб (х) / (х) dx, N1 = J фа (х) f (x) dx. F.31)
—i	—i
Для доказательства умножим обе части уравнения G.1) гл. 1,
A.3) гл. 2 на фо(ж)йж и проинтегрируем по х от —1 до 1. Будем
иметь
11	1
j ф (|) dl j ф0 (х) k (^jp j dx = я j / (ж) [бфб (ж) + аФа (ж)] dx.
-1	-1	-1
Учитывая, что фо(ж) — решение уравнения G.1) гл. 1, найдем
1	1
Я J ф (Е) (б + at) dl = П j / (Ж) [бфб (Ж) + ССфа (ж)] dx.
Отсюда в силу произвольности б и а вытекают формулы F.31).
Теперь при помощи первой формулы F.30) и первой форму-
формулы F.31) найдем No в общем случае функции /+(ж):
ЛГ„- , У*^ Г М«>'«	(в.з2)
ЛГ [ /l - th2 (Ь/2)] J V2 (ch 6 - ch xb)
Сравнивая формулы F.27) и F.32), получим выражение для
постоянной Р* в общем случае функции /+ (ж). Таким образом,
формулы F.25) — F.27), F.32) дают замкнутое решение инте-

§ 6. ДРУГАЯ ФОРМА ЗАМКНУТОГО РЕШЕНИЯ	159'
трального уравнения G.1), G.7) гл. 1 для четного варианта за-
задачи в форме, не содержащей сингулярных интегралов.
Перейдем к определению соответствующего решения интег-
интегрального уравнения G.1), G.7) гл. 1 для нечетного варианта
f(x) = f-(x). Для этого воспользуемся дифференциальной зависи-
зависимостью между четными и нечетными решениями (см. теоре-
теорему 2.12). Найдем сначала обращающееся в нуль при ж = ±1 ре-
решение для четного варианта интегрального уравнения G.1)?
G.7) гл. 1. На основании формулы F.26) будем иметь
F.33)
— ch xb)
Решение F.33) имеет место при выполнении условия
Р* — Ц>*+ A) sh Ъ = 0,	F.34)
которое накладывает ограничение на функцию /+ (х).
Возьмем теперь
•Л.
/+ (х) = j /_ (x) dx + M
и используем условие F.34) для определения постоянной М.
Учитывая далее, что ср_ (х) = ф+ (х), найдем решение для нечет-
нечетного варианта в виде
Ъ d С t* (т) sh %ъ d%
~ IF d J
я dxj T/2(chxb — chxz)'
х	х	F.35)
*	[ty* (x)shx&]'	-yj d С shxbf_(x) dx
V- W ~	shtb	sh xb dx J "l/ch x6 — ch xb'
о
Для интегральной характеристики N, получим при помощи F.35)
и F.18) выражение
1	1
Nx = 2 I xw- (x) dx =	г|)_ (т) sh I -s-1 л I th -5-1 dx. F.36)
0	0
Можно получить и другую формулу для Nt. Положим в фор-
формулах F.35) f-(x) = ax. Используя F.19) и F.20), найдем
,	-^—	F.37)
dxj ychx6 — ch хж
X

160	ГЛ. 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Теперь по второй формуле F.31) имеем
1
N1= J <p°_(x)f(x)dx.	F.38)
—i
В заключение отметим, что в замкнутом виде может быть
также решено следующее парное интегральное уравнение:
[ ЁЦ^.flil)ф (а) е-*ахda = 2я/(х) (| х|< 1),
Г " ^(а)	F-39)
где Pt(x) и Р2(х) — полиномы степени п. Оно эквивалентно ин-
интегральному уравнению G.1) гл. 1, A.3) гл. 2 с символом ядра
К(и) = 1Ъ.иР1(и2/к2)[иРг(иг/Х2)]~1. Метод решения основан на
представлении первого соотношения F.39) в виде линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
F.40)
ж на возможности точного решения этого дифференциального
уравнения, а также парного интегрального уравнения F.1). Та-
Таким путем может быть построено приближенное решение задачи
типа а), эффективное при всех К^@, °°). Подробнее этот подход
будет развит в § 2 гл. 4 и § 2 гл. 5.
§ 7. Об одном методе получения спектральных соотношений
для интегральных операторов
Изложим достаточно общий метод вывода спектральных соот-
соотношений для интегральных операторов, основанный на теории
потенциала [20, 21]. Продемонстрируем его на конкретном при-
примере.
В § 3 было показано, что функция Макдональда K0(t) может
хорошо аппроксимировать главную часть ядра в задачах типа а) .•
В связи с этим рассмотрим интегральное уравнение
G.1)
\ Г I

§ 7, МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ	161
Введем потенциал а(х, у) плотности ср(ж)', распределенный
по отрезку [—1, 1]:
—1
В работе [22] показано, что функция а(х, у) удовлетворяет урав-
уравнению
ЁЛ + !Л	— = 0	G.3)
всюду в плоскости хОу, кроме разреза по отрезку [—1, 1], и
<а(х, у)-* 0 (ж2+г/2-°°)'.	G.4I
Кроме того, функция ю (х, у) непрерывна во всей плоскости,
включая и отрезок [—1, 1], а ее производная по у претерпевает
разрыв непрерывности при переходе с одной стороны разреза на
другую, а именно
G.5)
Если на разрезе поставить граничное условие
1),	G.6I
то интегральное уравнение G.1) эквивалентно внешней краевой
задаче Дирихле G.3) — G.6). Для построения ее решения перей-
перейдем к эллиптическим координатам х = cos ц ch |, у = sin ц sh |.
В этом случае
W + ^-^{Ch2l-COS2y])(* = °'	G.7)
м@, ri)' = /(cosri)', ю(°о, ii) = 0,
а вместо формул G.5) получим
Выражение G.8) справедливо для всех значений ц.
Предполагая, что функция f(x) такова, что может быть раз-
разложена на промежутке —1 ^х^1 в равномерно сходящийся ряд
по периодическим функциям Матье типа косинуса [23]:
ОС
/(co8Ti)=2/ncen(T)r-g) (g = тД	G-9)
п=о
будем искать решение G.7) в виде
©(&, ii) = c/
11 В, м, Александров, Е, В, Коваленко

162	ГЛ, 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Придем к необходимости изучения уравнений Матье (а = const)
V" + (а + 2q cos 2ц) 7 = 0, U" -(a + 2q ch 2%) U = 0,
G,11)
0
Следуя далее общей теории этих уравнений [23], выпишем общее
решение G.10) поставленной краевой задачи G.7), удовлетворя-
удовлетворяющее второму условию G.11), в форме
оо
юF, Т1)= 2C«Fek«(E, -3)се„(ть -q),	G.12)
п=о
где Fekn(|, —q)— разложение второго линейно независимого ре-
решения дифференциального уравнения G.11) для U{%) в ряд по
функциям Макдональда Kv(%) [23].
Используя теперь первое граничное условие G.11), а также
представление G.9), получим выражение для произвольных по-
постоянных Сп в G.12):
Cn = fn[Fekn(O, -q)]~l.	G,13)
Теперь с учетом G.8), G.13) найдем
2 / 1^1 [] I j cen (Л, ~ ?)¦ G-14)
п=0
Поскольку любая гармоника в G.14) удовлетворяет G.5), то,
подставляя ее в интегральное уравнение G.1), в согласии с G.9)
придем к следующему спектральному соотношению, полученному
в неявном виде в [22]:
1
Г cen (arccos l, — q) n _ х\	я Fekn @, - q)
"i—^()^
G.15)
Аналогичным образом, рассматривая логарифмический потен-
потенциал вида
«(*! ») = ~ U J Ф F) In VW^WTfdl - No In /^T71
G,16)
являющийся в плоскости с разрезом \х\ < 1, у = 0 решением кра-
краевой задачи
Дю = 0, а(х1у)-*~0 (ж2 + г/2->• оо),
Ь^-^фМ (IxKi).	"^

§ 7, МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ
163
убедимся, что решение интегрального уравнения A.2) гл. 2 экви-
эквивалентно решению уравнения G.17) при граничном условии
a(x,0) = f(x) + ^ln\x\ (И<1).	G.18)
Далее, на этом пути придем к спектральному соотношению')
F.11) гл. 2. Для нечетных значений п его можно записать в виде
. G.19)
Производя в G.19) замену переменных по формулам
1 sh г l	sh г *	2|j,—
Придем к другому спектральному соотношению
Г
J
G.20)
(а) /721v
(а) G.21)
Рассматривая потенциал G.16) на двух симметричных участ-
участках [— b, —a], [a, b] для случая нечетной функции f(x), можно
получить следующее спектральное соотношение [21, 24]:
= созсб(т),, X = cosa{t)
(arcsin
=
G.22)
здесь F(x, y)—эллиптический интеграл первого рода, К(с) —
полный эллиптический интеграл первого рода. Полагая в G.22)'
b = er, а = е-г, т = егЕ, t = erx, г = я/Bц)>0, G.23)'
') Соотношение F,11) гл. 2 может быть также получено из G.15) пре-
предельным переходом при ц -»- оо.
И*

164	ГЛ. 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
придем к другому спектральному соотношению (сравните с
¦G.21))
Можно показать, что Х(—х) = — Х(х), Поэтому, например, четная
функция f(x) должна быть разложена в ряд
/(*)=
k=0
G,25)
Спектральные соотношения G.21) и G.24) имеют важное зна-
значение, поскольку в § 3 было показано, что функция — In lth(.ni/4) I
может хорошо аппроксимировать главную часть ядра в задачах
типа а).
§ 8. Метод ортогональных функций, эффективный
при всех значениях К
В §§ 8—10 гл. 2, 2, 4 были изложены методы решения задач
типа а), эффективные либо при больших, либо при малых зна-
значениях параметра К. Здесь покажем, как может быть построено
приближенное решение, эффективное при всех X [9, 25].
1. Рассмотрим интегральное уравнение G.1) гл. 1, A.3) гл.2
с символом ядра К(и) —L(u)u~\ положительным, вещественным
и непрерывным при 0<ц<°°. Пусть, кроме того, для К(и) вы-
выполняются условия G.12) гл, 1, (8,1) гл. 2, В § 3 показано, что
при сделанных относительно К (и) допущениях ядро A.3) гл. 2
можно представить в форме C.18), где тг{1)—сколь угодно глад-
гладкая функция при UI < оо и исчезающая при \t\ -> °°. Интеграль-
Интегральное уравнение G.1) гл. 1 с учетом C.18) может быть записано
в форме E.28) или же в форме
Lcp = л/(х) — Мф (|х|< 1),
th-
(8.1)
Мф =
Будем предполагать, что f(x) е Я" (— 1, 1) (V2<a<l);
тогда для уравнения (8.1) справедлива теорема 2.13. Именно, не-
несколько изменив формулировку теоремы, можно утверждать, что

§ 8. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
165
решение уравнения (8.1) при всех ^е @, оо) существует и един-
единственно в Lp(—1, 1) A</?<2). Это решение представимо в виде
/ \	со* (х) ch гх	л	/о о,
Ф(Ж)=	Г = Ж	М
Ф(Ж)= УсЬ2,-сЬ2г, ' Г
где со* A)еЯ',(-1, 1) (т = 06, а<1; т = 1 - е, а = 1, е>0),
причем имеет место соотношение корректности
|| со* || v<e* (К) 11/1 „;	(8.3)
()—ограниченная при любом Я^@, °°) постоянная.
Заметим теперь, что спектральное соотношение G.21) порож-
порождает следующее условие ортогональности '):
21/2;
(* = /),
(8.4)
где р и г имеют вид G.20). По аналогии с (8.4) введем скаляр-
скалярное произведение и норму
-i
ch
Замыкание пространства нечетных непрерывных функций в нор-
норме (8.5) образует гильбертово пространство, которое обозначим
через L2i (—1, 1). В этом пространстве совокупность {2n+i(ji);
п = 0, 1, ...) представляет собой замкнутую ортогональную си-
систему функций.
Остановимся, далее, на изучении нечетного варианта инте-
интегрального уравнения (8.1); именно, будем предполагать, что
функция f(x) — нечетная. Тогда и функция ю*(ж) в (8.2) будет
нечетной. Кроме того, очевидно, что функция а>*(х), принадле-
принадлежащая Щ(— 1, 1), тем более принадлежит L^Z (— 1, 1). Будем
искать функцию ю*(ж) в виде ряда
(8.6)
ft=o
причем в силу равенства Парсеваля
?•2*	2'
h=0
Функцию f(x) и регулярную добавку ядра
в (8.1) также
') Это условие ортогональности может быть также получено из F.4)
гл. 2 с помощью замены переменной G.20).

166	ГЛ, 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
разложим соответственно в одинарный и двойной ряды по систе-
системе функций T2n+i(a). Будем иметь
со
hZ°k*k+1 '	(8.8)
т=о п=0
Пользуясь условием ортогональности (8.4), для fh и етп(К) по-
получим выражения
1
- ch rg dl,
f
_, .	-ch2r|
(8.9)
m 8r2 f Г w1 @ Г2т+1 (р) Г2п+1 (a)
emn (л) = -5- 1 I ,		ch rt ch га: ас ах.
яа J J V(ch2r—ch2r|)(ch2r —ch2rx)
В силу указанных выше свойств функций (а*(х), f(x) и m,(t)
ряды (8,6) и (8.8) равномерно сходятся к этим функциям при
всех \х\ < 1, ||| < 1 и л >0; имеют место оценки (см. § 1)
&Н~Аг2т, /ц~йг*-2в (&->-°°).	(8.10)
Лемма 3,4. Если /(ж)еЯ"(—1,1), то решению ср(ж) из
класса Lp(—1, 1) A</?<4А) уравнения (8,1) соответствует по-
последовательность чисел а а из класса 4, удовлетворяющая беско-
бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
оо
= Гп — 2 (йтСтп (п = 0, 1, . . .),
™=0	(8.11)
\
Наоборот, любому решению {ah} из класса 1г системы (8.11) со-
соответствует решение ф(х)е?р(-1] 1) A</?<4/3) уравнения
'(8.1).
Для доказательства подставим в интегральное уравнение (8.1)
функции ф(ж), f(x) и m,(t) в виде (8,2), (8.6), (8.8). Исполь-
Используя далее спектральное соотношение G,21) и условие ортогональ-
ортогональности (8,4), придем к (8.11). Наоборот, производя обратные пре-
преобразования и учитывая неравенство (см, F,22) гл. 2)
l<P«Lp<M1«*||rV, (M = const, 1<р <*/,),	(8.12)
убедимся в справедливости второй части леммы.
Из установленной эквивалентности уравнения (8.1) и систе-
системы (8,11) следует однозначная разрешимость последней в 12 при
всех AG @, оо).

§ 8. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ	167
Лемма 3.5. Для коэффициентов етп{%) вида (8.9) имеет
место следующая оценка:
п(Л) |<бп 8iJ3f±ti BDa + DMshг),
, A, = max|m
+ I)] (и>1
(8ЛЗ)
Для доказательства произведем в (8.9) замену переменных
Р = cos tp, a = cos ф. Далее, интегрируя полученное выражение
для етп(К) дважды по частям по ф и один раз по i|?, после ряда
несложных выкладок придем к (8.13).
Теорема 3.8. Оператор, стоящий в правой части (8.11),
действует из lz в U вполне непрерывно при всех К^@, °°) и яв-
является оператором сжатия при К>Ка, Постоянная Яо находится
из уравнения
4+
С учетом второй формулы (8.10) нетрудно заключить, что
последовательность {rk} e ;2. Далее, при помощи оценки (8.13)
можно показать, что
2 2cmnW<5(r)<00.	(8,15)
?п=о п=о
Из (8.15) следует, что оператор, стоящий в правой части. (8.11),
действует из 12 в 1г и является там вполне непрерывным при % G
е@, оо), т. е. может быть аппроксимирован конечномерным (ме-
(метод редукции). Из (8.15) также вытекает, что при выполнении
равенства (8,14) указанный выше оператор будет оператором
сжатия в 1г. Следовательно, при К > Хо решение бесконечной си-
системы (8.11) в пространстве 1г может быть получено с любой
степенью точности методом последовательных приближений и
'справедлива оценка C,23) гл. 1.
Заметим, что систему (8.11) можно еще представить в форме
оо
Ю* = U — 2 ®*т*тп (П = 0, 1, . . .),
m=0	(o.lb)
м* = (о„Я,„, Стп = х/г B"г + 1) етп Щ-
Обратим внимание, что в силу второй формулы (8.10) {/„) s /„
в получим для Стп оценку типа (8,13). Тогда можно убедиться,
что оператор, стоящий в правой части (8.16), действует в про-
пространстве I,. Можно доказать, что бесконечная система (8.16)
квазивполне регулярна при К > 0, Если существует ее ограничен-

168	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
ное решение, то {«„} е= 1г. Можно указать некоторое А0>0 та-
такое, что при А,>А,0бесконечная система (8.16) вполне регулярна.
Практическое использование изложенного метода показывает,
что метод редукции для системы (8.11) быстро сходится и при
Ж Ял (для системы (8.16) при А <А0) вплоть до малых значе-
значений А. Это следует из того, что в (8.1) ||Мф| а/ЦЬфЦ а->-0
при А -> О для любого ф(ж) вида (8.2), где ffl'(j)Ei|»(-l, 1)".
Редукцию системы (8.11) целесообразно производить так, как
это описано в § 1.
Для четного варианта интегрального уравнения (8.1) можно
повторить все приведенные выше результаты [21], но с исполь-
использованием спектрального соотношепия G.24).
2. Вновь рассмотрим интегральное уравнение G.1) гл. 1, A.3)
гл. 2, и пусть, в отличие от случая, рассмотренного в п. 1, для
символа ядра К(и) справедливо не условие (8.1) гл. 2, а усло-
условие (8.23) гл. 2. В § 3 показано, что в этом случае ядро A.3)
гл. 2 можно представить в форме C.21), где функция m2(t) при-
принадлежит #i(—R, R) (J3 = 1 — е, R<°°) и исчезает при \t\ -*¦
->¦ °°. Интегральное уравнение G.1) гл. 1 с учетом C.21) может
быть записано в виде (8.1), где теперь
1др= Jq>F)tfo(izL?L)d6, МФ= JT(E)m2(i^-)^. (8.17)
—1
Пусть по-прежнему /(i)e^(-1,1) G2<а<1); тогда для
уравнения (8.1), (8.17) справедлива теорема 2.13. Еще заметим,
что спектральное соотношение G.15), связанное с оператором L
вида (8.17), порождает следующее условие ортогональности
функций Матье:
се; (arccos х, — q) се; (arccos х, - q) JL— = I	**
Д
(8.18)
и совокупность {cen(arccosa;, —q); n = 0, 1, ...} представляет со-
'бой замкнутую ортогональную систему функций в гильбертовом
пространстве L2[* (—1,1).
Далее остановимся на изучении случая, когда функция f{x)
в интегральном уравнении (8.1) —четная. Тогда будет четной и
функция (?>(х) в выражении C.3) гл. 2 для ф(ж), причем в силу
теоремы 2,13 <л(х) е= Щ{— 1, 1) G2<Y<1). Будем искать
функцию (а(х) в виде ряда
со
со (х) = 2 Щ ce2ft (arccos x% —q), q = BA%)~2, (8.19)
fe=O

§ 8. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ	169
функцию f(x) и регулярную добавку ядра m2(t) в (8,1), (8.17)'
также разложим в ряды по системе {ce2n(arccos х, — q)):
со
/ (х) = 2 fh ce2ft (arccos x, —q),
(8.20)
т2 ( ~^Х ) = 2 2 е" М ce2m (arccos 1> — (?) ce2n (arccos ж, — g),
V	/	т=о п=0
где в силу (8.18) будем иметь
1 1
„ч 4 f Г /| — .г \ се (arccos |, — 5) се (arccos г, — ?)
е (К) = ^ ^ - ()
тп
(8.21)
i
/ (x) ce2h (arccos x, — q)
-1
На основании указанных выше свойств функций ю(ж), f(x) и
можно заключить, что ряды (8,19), (8.20) равномерно схо-
схоф	Ы<1, ||| 1 Х0
@	)	)
дятся к этим функциям при всех	Ы<1, ||| < 1 и
Сделаем в первом равенстве	(8.21) замену переменных по
формулам
т] = arccos |, у = arccos x	(8.22)
и подставим в него выражение C.21) для m2(t). Интегрируя по-
полученное соотношение по ц и по у, используя равенство [23]
Се2п (г,, 9) = ^И 2 <»/« B VI sh 1,) (8.23)
i=o
(в (8,23) Се2п(т], q) — модифицированные функции Матье),
представим коэффициенты етл(К) в виде
XCe2m(u, g)Ce2n(u,g)du. (8,24)
Выражение (8.24) удобно для практического вычисления emn(A,)-
•Лемма 3,6. При больших значениях m и п для коэффици-
коэффициентов етп(К) вида (8.21), (8.24) имеет место следующая оценка:
\етп(Ъ)\ <Л/4(Х)И4т2-1)]-'.	(8.25)'

170	ГЛ. 3, МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Для доказательства снова произведем в (8.21) замену пере-
переменных по формулам (8,22). Используя гог факт, что [23]
се2п (n, -q) = (-l)nIi(- 1)*424П) cos Bщ) ~ cos Bni\) (n-> oo),
i=o
получим соотношение
я я
о о
cos BmT1) cos Bre^ ЙТ1 ^ (8>26)
при достаточно больших тип. Далее, интегрируя (8.26) один
раз по частям по ц и один раз по у, придем к равенству
яя
1	ff
-о-2— \
П к тп JJ
¦¦ I COST) —COS// \ .	.	. /о \ • /о \ 7 7
тЛ 	—у	— Isinrj sn\y smBmr[) smBny) an dy.,
о о
(8,27)
Поскольку m2 (t) ~ M2 In 11 | при f -*- 0, то, как легко заметить
(см. §3), [m'2(t)-M2ln\t\]^Ht(-R, R) (Д<°о). Преоб-
Преобразуем теперь выражение (8.27) следующим образом:
я я
In
М2	Г Г
2л2'/.2тп J J
о о
я я
• г>	7 ,	1	Г Г Г " ( COS Г) — COS V ^
X sin г/ sin 2гег/ cZti dy -\	2~а	 тег 	Ч	i ~"
л К тп J J L \	Л	/
о о
' ^ . cos y sin т] sin i/ sin 2тц sin 2rei/ с?т| йг/. (8.28)
— М9 In
Второе слагаемое в (8.28) может быть оценено в силу достаточ-
достаточной гладкости подынтегральной функции при помощи интегриро-
интегрирования по частям выражением M,[VnDm2 — I)]. Оценим первое
слагаемое. Для этого произведем в нем обратную замену перемен-
переменных согласно (8.22), воспользуемся спектральным соотношением
F.11) гл. 2 и условием ортогональности F.4) гл. 2 полиномов
Чебышева первого рода. Убедимся, что оно мажорируется выра-
выражением Mi[l.2n(Am2 — 1)]"'. Тогда, как нетрудно заключить, име-
имеет место оценка (8.25), и лемма доказана.
Подставим теперь в интегральное уравнение (8.1), (8.17)
функции ф(ж), f(x) и m,(t) в виде C.3) гл. 2, (8.19), (8.20).
Используя спектральное соотношение G.15) п условие оргого-

§ 9. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ	171
вальности (8.18), придем к бесконечной алгебраической системе
оо
п = 2 атстп — In {п = 0,1, .. .),
(8.29)
Fek2?i @, - g)	Fek2m @, - g)
м	стп ¦	€ \л)
а
ап— мте _ , г ~	Г»
Fek2n @, — д)
служащей для определения {ш„}. Может быть доказана эквива-
эквивалентность интегрального уравнения (8.1), (8.17) и системы
(8.29), т. е. может быть доказана лемма, аналогичная лемме 3.4.
Отсюда будет следовать однозначная разрешимость системы
(8.29) в 1г при всех А^@, °°). Далее, учитывая, что [23]
Fek;m @, - q) [Fek2m @, - q)]'1 ~ Мьт (т -» оо),
в оценку (8.25), нетрудно показать, что при Я>0 имеет место
неравенство (8.15). Поскольку, кроме . того, ifj^k, то придем
к заключению, что оператор, стоящий в правой части (8.29), дей-
действует из Z2 в Z2 вполне непрерывно при Я^@, °°). Таким обра-
образом, этот оператор может быть аппроксимирован конечномерным,
что обосновывает возможность применимости для решения систе-
системы (8.29) метода редукции. Вычисления показывают, что метод
редукции здесь так же, как и для системы (8.16), быстро сходит-
сходится при всех Яе@, оо).
В заключение отметим, что аналогичные результаты могут
быть получены для случая, когда функция f(x)—нечетная.
§ 9. Прямые методы решения
интегрального уравнения G.1) гл. 1
Изложим два метода сведения интегрального уравнения G.1)
гл. 1, A.3) гл. 2 к решению конечных систем линейных алгебра-
алгебраических уравнений, основанные на алгоритме дискретизации
Мультоппа — Каландия [26].
1. Изучим вначале случай больших значений параметра к
[27], для чего запишем исходное интегральное уравнение в форме
(8.5) гл. 2. Пусть /(ж)е=.Н?(— 1,1) @<а<1); тогда по тео-
теореме 2.14 единственное решение интегрального уравнения (8.5)
гл.2 существует в Lp(—1, 1) A<р<2) и имеем вид C.3) гл.2,
причем и(г)еС)(-1, 1).
Представим функцию f(x) в (8.5) гл. 2 в форме f(x) = f+(x)+
+ f-(x), где «+» и «—» относятся соответственно к четному и не-
нечетному членам. В этом случае а(х) = ш, (х) + ха2(х) и
(9.1)
V 1-х"
причем в (9.1) первое слагаемое есть решение уравнения (8.5)

172	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
гл. 2 с правой частью nf+(x), а второе слагаемое — с правой
частью nf-(x).
Построим для функций (dj(x) (/= 1, 2) интерполяционные
полиномы Лагранжа по чебышевским узлам
.rn = cos0n, 8» = яBга-1)BЛГ)-' (га = 1, 2, ..., N). (9.2)'
Как показано в [26], такие полиномы имеют вид
N	Г	ЛГ-1	"I
со* (8) «-^ 2 MJ* (9«) И + 2 2 cos (m9«)cos (mQ) I
1	m=1	J (9.3)
a/ F) за ay (cos 0) (/ = 1,2).
Если положить в (9.3) N = 2i + 2 и учесть, что функции
(й}(х) — четные, то формулы (9.3) перепишутся следующим об-
образом:
г+i	г	i	
«/ F) ~ ^rrj 2 "»•>* (9") И + 2 2 cos Bm0n) cos Bm0) ,
11 "=1 ,L m=1	J (9.4)
е„ = яBд-1)[4(г + 1)]-1 (/ = 1,2; га = 1,2	i+1).
В силу указанных выше свойств функций йД-г) интерполяцион-
интерполяционные полиномы Лагранжа с узлами Чебышева (9.4) при i -*¦ °°
равномерно по х^[— 1, 1] стремятся к ю,(.г) [28].
Используя (9.1), интегральное уравнение (8.5) гл. 2 разобьем
на два уравнения, соответствующие четной (/+(#)) и нечетной
(/-(л-)) правой части:
я
Г *
— J a>!
1
la
COS 1C — COS G I
_
о
я
j* /n\ if * / , \ Гт /cos^ —cosG\ , , /cos i> + cos G\] , ,
= я/+ @)	2" J a>1 ^ [l° (	Hi	J + ° I	1	j J d^'>
0
(9.5)
я
Г * / , ч i i I cos Ф — cos GI , ,	,* ._.
— a>2 AJ3) cos ij; la -!	-S-^	i- d\J) = я/_ @) —
о
я
if *
, Г, / COS U' — COS &\	, /"COS 'ФЧ- CO^ f W 7 i	/n лч
cos ф[Zo ^	2__	J_Z0 ^	*^	JJd^, (9.6)
(О<0<я).
Используя формулы F.11) гл. 2 и (9.4), получим следующие
приближенные выражения для интегралов, стоящих в левой

§ 9. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ	173
части уравнений (9.5), (9.6):
i+l
j+ /0\ _ " V * /о \ Г jn 2% i й+ /о 0 \]
i "=1	(9-7)
+ ,q .. 	 V» cos Bm9) cos Bт'ф)	+ ,q . % 	л.
m=l
i+l
Jx @) =J^-J 2 CO* @„) COS 0 [l + 0>i @, 0n)]f
(9.8)
cos Bm+1)9 , cos Bm —1)9]
щ @, if) = ^ cos Bn,
m=i
0>~ @, Ij)) = 0.
Принимая теперь в расчет квадратурную формулу Гаусса — Эр-
мита [26]
i+l
найдем выражения для приближенных значений интегралов, сто-
стоящих в правых частях (9.5), (9.6):
•'а (9) =¦ 7+Т 2d ffli (9"^ ^
' n=l	L
(9.9)
я kn * Г / cos 9_ — cos9\ /cos9n-bcos9
J* @) "= lfl °>» (9») C0S 9» [Zo (	^	) - Zo (	X
(9.10)
В силу свойств функций d)j(x) и h(t) процесс механических
квадратур Гаусса будет при i -*¦ °° и Я > 0 сходиться к точному
значению интегралов [28].
Подставляя далее выражения (9.7), (9.9) и (9.8), (9.10) со-
соответственно в интегральные уравнения (9.5) и (9.6), а также
давая 0 значения 0т, получим системы линейных алгебраических
уравнений относительно И; @П) (/ = 1, 2) в четном и нечетном
случаях [27]:
i+l
Щ (8т) + 2 Щ (8П) ?? (I) = /* Fm) (m = 1, 2, . . ., i + 1),
n=i

ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
(X) = у^у (in 2% + at (9m, 8Я) +
cos6n Г, /fcos6n-cos6m^	f cos 6n + cos Qm
[1ЛIЛ
6mn — символ Кронекера.
После решения систем (9.11) приближенное решение уравне-
уравнения (8.5) гл. 2 находим по формулам (9.1), (9.4). При этом, как
можно показать [26], быстрота сходимости приближенного ю@)
к точному о>*@) будет определяться неравенством
(Л/= const).
Для интегральных характеристик решения iV0 и Nt с помощью
соотношений (9.1) и (9.4) получим следующие выражения:
i+l	i+l
>?(е«)- (9Л2>
При К > 72 Для нахождения практически точных решений
обычно достаточно положить i = 3—5.
2. Для сведения интегрального уравнения G.1) гл. 1, A.3)
гл. 2 или уравнения E.28) к конечной линейной алгебраической
системе при любых значениях параметра К^@, °°) можно также
применить изложенную выше схему [9].
Ограничимся рассмотрением нечетного варианта интегрального
уравнения E.28). Сделаем в последнем замену переменных
G.20) и введем обозначения по формулам
»i (Р, «з А.) = (	(Ц
)
с учетом которых перепишем	интегральное уравнение E.28) в
форме
1	1
$||^|	ji(P.a,X)^P (9.14)
Если теперь в (9.14) положить (J = cos г|), а = cos 0 и

§ 9. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ	179
2, то относительно G)(cosif) = o>*(if)) получим
интегральное уравнение
я/2	я/2
ZI Г!
lD
Z
= л/! (9> ~ J
(9.15)
/I@) = 7_(cos0), m* (\J), 0, k) = mx (cos ij),cos 0, к) (О<0<л/2),
Построим для нечетной функции и(Р) интерполяционный по-
полином Лагранжа по чебышевским узлам
t+l	i
со* (ф) = , ^У со* @П) 2l* cos B/гг — 1) 0Л cos Bт — 1) ф,
n=l	m=l
	1	/__	Л Г*	' , А\	\ '	/
0„ = л Bга - 1) [4 (г + I)] (га = 1, 2, ..., i + 1).
Подставляя теперь (9.16) в левую часть уравнения (9.15), вычис-
вычислим интеграл с помощью формулы G.19). Интеграл, стоящий в
правой части (9.15), вычислим, используя квадратурную форму-
формулу типа Гаусса — Эрмита. Подставляя, наконец, найденные вы-
выражения интегралов в уравнение (9.15) и давая 0 значения В;,
получим систему уравнений для определения о>*@„):
t+l	Г
U
(9,7)
(/ = 1,2, ..., г
После решения системы (9.17) приближенное решение урав-
уравнения E.28) находим по формуле
(9.18)
Сходимость изложенного метода с ростом числа I узлов коллока-
ции может быть обоснована; важно отметить, что при заданной
точности приближенного решения величина г не превосходит не-
некоторого значения io = 3—5 для всех к^@, °°).

176
ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
§ 10. Задача о расклинивании упругого бесконечного клина
В заключение главы приведем решение, полученное
Б. И. Сметаниным [29], конкретной задачи типа а); другие при-
примеры решения задачи типа а) содержатся в гл. 5. Кроме того,
многочисленные примеры решения задач типа а) изложенными
выше методами имеются в моно-
монографиях [1, 30, 31].
1. Пусть в упругий изотроп-
изотропный клин, ограниченный лучами
ф = ±а @s?r<°°), вдоль биссек-
биссектрисы его угла «забивается» тон-
тонкая абсолютно жестная гладкая
пластинка (рис. 3.4) постоянной
толщины 2h. Впереди пластинки
образуется щель (трещина), зани-
занимающая область {ф = 0, а =?; г ^ Ъ).
Грани клина свободны от напря-
напряжений.
Граничные условия задачи имеют вид
Рис. 3.4
= 0 (a<r<b), тГФ =
A0.1)
напряжения на бесконечности исчезают.
Требуется определить форму поверхности щели v (r) и коэф-
коэффициент интенсивности нормальных напряжений К, возникаю-
возникающих вне щели на ее продолжении (при ф = 0, г>Ъ). Очевидно,
что в силу симметрии достаточно рассмотреть область между лу-
лучами ф = 0 и ф = а @=^г<°°).
Используя решение уравнений Ламе B.4) гл. 1, записанных
в полярной системе координат, в форме интегралов Меллина
(см. [1], гл. 12) и граничные условия A0.1), рассматриваемую
задачу можно свести к определению неизвестной функции у(г)е=
^ щ{г, 0) (а^г^Ъ) из следующего интегрального уравнения:
A0.2)
к (t) = \ L {и, a) sin ut du
A0.3)
Функция L(u, а), входящая в представление A0.3), имеет вид
г, , о sh2 ua.— и2 sin2 a
L (и, а) = 2—г-к	i	:—н—•
v ' '	sh 2ua + и sin 2а

§ 10. ЗАДАЧА О РАСКЛИНИВАНИИ	177
Отметим следующие ее свойства:
A0.4)
L(u, а) = Аи + О (и3) (и-*¦ 0),
где постоянная А =.4 (а) может быть записана в форме
А - 2 (а2 - sin2 а) Bа + sin 2а) -\	A0.5)
Принимая далее в расчет асимптотическое поведение функ-
функции L(u, a) A0.4), аппроксимируем ее выражением (см. C.17))
L(u, a) = thAu,
где А имеет вид A0.5). Относительная погрешность е этой ап-
аппроксимации для различных значений угла а такова:
а'	30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180
*% >50 >50 42 18 2,5 4,5 4 2 0,5 0,05 0
С учетом указанной аппроксимации из A0.2), A0.3) найдем
к (in —1 = с^ с (с(а) = А h
Сделав во втором соотношении A0.6) замену переменных по
формулам | =рс, х = гс, получим сингулярное интегральное урав-
уравнение с ядром Коши A.34) гл. 2, формула обращения которого
имеет вид B.36) гл. 2. Применив ее и возвратившись затем к
старым переменным, будем иметь
Пт/2-1
v'{r) =	 *т	=¦ (а^г^Ъ).	A0.7)
Здесь Р — постоянная, подлежащая определению. Из A0.7),
A0.1) найдем
v(r) = h+\v'(p)dp=-h+ 2* F arcsin^rC~aC , е), A0.8)
{	пс У Ьс \	е У тс )
е = У1 — хс, х = а/Ь,
где F(a;, /с)—эллиптический интеграл первого рода.
Постоянную Р в A0.8) определим из следующего очевидного
условия:
v(b)=0.	A0.9)'
12 в. М. Александров, Е. В. Коваленко

178	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Тогда из A0.8), A0.9) после простых преобразований получим
-l{e);	A0.10I
К (к)—полный эллиптический интеграл первого рода.
Коэффициент интенсивности нормальных напряжений Кг, воз-
возникающих вне щели на ее продолжении, определяется следующи-
следующими соотношениями:
Е
Kl= lim К2л(г-Ь)стф(г,0)=- Ит ^2л (Ь - г) Е v>tr\
r-^b+O	r-»t>-0	2 A — V ) v '
A0.11)
Здесь /?, v — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала
клина. Подставляя во второе соотношение A0.11) v' (r) в форме
A0.7) и учитывая A0.10), получим
= енУШ,	0 2
4A -v2)e К (е)УЪ	V	'
Можно показать, что найденное решение A0.8), A0.12) для
всех 0 < а < л при к -*• 0 и к -*• 1 стремится к точному решению
задачи. Пусть, например, к -*• 1, а длина щели 1 = Ъ — а фикси-
ровава. В этом случае относительная длина пластинки стремится
к бесконечности, и, следовательно, влиянием граней клина на ве-
личиву Кг можно пренебречь. Данный случай соответствует за-
задаче о расклинивании плоскости полубесконечной пластинкой,
впереди которой образована щель длины I. Для этого случая из
A0.12) будем иметь
i = —	v—	— Inn -*— =	 	. A0.13)
2A- v")nl/l k^i Ki_xc (l-va)V2H]	'
Полученное значение величины Zr в форме A0.13) совпадает со
значением Ки найденным в работе [32].
При помощи численных расчетов можно показать, что найден-
найденные соотношения A0.8), A0.12), определяющие соответственно
функцию v (г) и величину Ки можно с надежностью использовать
для любых значений % при 85° ^ а <! 180°. При а = я получен-
полученное решение будет точным. Этот случай соответствует задаче о
расклинивании плоскости пластинкой длины а. С одной стороны
пластинки образована щель длины I, с другой стороны имеется
прямолинейный полубесконечный разрез.
2. Построим теперь решение поставленной задачи при малых
значениях параметра х. Следуя методу, изложенному в § 10 гл. 2,
асимптотическое решение уравнения A0.2), пригодное для ма-
малых значений у., будем искать в виде
v'(r) = Vi(r)v2(r)vo\r) (а<г<Ь),	A0.14)

§ 10. ЗАДАЧА О РАСКЛИНИВАНИИ	179
где функция vo(r) представляет собой главный член асимптотики
Vz(r) при гсг1 -*¦ °°, a Vi(r) и v2(r) находятся из следующих ин-
интегральных уравнений:
ь
ln^)dp = 0 @<г<6),
A0.15)
ln^]dp=0 (a<r<oo).
Очевидная замена переменных уравнения A0.15) сводит к од-
одному и тому же уравнению Винера — Хопфа
— y)ds = O @<г/<оо),	A0.16)
о
причем
Чтобы, получить решение, пригодное для практического ис-
использования, ограничимся простейшей аппроксимацией функции
L(u, a):
где при а = л/2 имеем
Ы = 2,549; Л, = 1,652.
Решая далее интегральное уравнение A0.16) методом Винера —
Хопфа (см. § 9 гл. 2), найдем
W(y)=-Q (e—L + V± erf Yhjj}) (Q = const). A0.18)
\yny r n	]
Определив из A0.18) и A0.17) функции Vi(r), v2(r) и vo(r),
а затем используя соотношение A0.14), получим
A0.19)
12*

t80	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВВДКЫИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Подставив v' (r) в левую часть выражения (Ю.8), найдем
arctg
-Qb\^ arctg l	)]
l У no B Lin (bjr)\
^ erf (hl In ± )'/г erf (fcl In ^ + ф= J, (r) + /I /2 (r)}
A0.20)
(ll = —h1 In x),
erf у ц — h s
(r) = ] er^ Vh-iS erf KfA — /liS ds
ln(b/r)
Постоянную Q определим из условия A0.9). Проделав необхо-
необходимые вычисления, будем иметь
Приближенные значения интегралов Jj(b) (/ = 1, 2), относитель-
относительная погрешность которых при ц = 2,5 не превосходит 0,1%, име-
имеют вид
При возрастании ц указанные равенства стремятся к точным
значениям интегралов Jj(b),
Легко убедиться, что
/а(/аб) = -|/а(Ь).	A0.22)

§ 10. ЗАДАЧА О РАСКЛИНИВАНИИ	181
А тогда, учитывая A0.21) и A0.22), из A0.20) найдем
Коэффициент интенсивности нормальных напряжений Кг опреде-
определим из соотношения A0.19) и второго выражения A0.11):
Полученные формулы A0.20) и A0.23) тем точнее, чем мень-
меньше х. Определим значение величины Ki при х < 1. Подставив
значение постоянной Q в A0.23), найдем
,. „ ,	Eh Т/я
lim Ki mx =		 v
Т/2Ьс A - va
и, следовательно, при и *?¦ 1
„	?7г Т/л
1	УЪТс A - v2) In к
Это же значение величины Kt при х ^ 1 может быть также полу-
получено из формулы A0.12).
3. Исследуем, наконец, поставленную задачу при больших
значениях параметра Я = —2Aпх)~1 = 2Л1ц~1. Сделав в уравне-
уравнении A0.2) замену переменных
yab	V ab
получим интегральное уравнение вида G.1) гл. 1 с нулевой пра-
правой частью, в котором ф(|)= рг/(р). При больших Я ядро этого
интегрального уравнения можно представить в виде
«/i+\	(Ю.24)
i=0
где для случая а = я/2
во- 0,41667; а, = -0,61111-Ю-1; а2 = 0,19759 • 10.
Указанное уравнение с учетом A0.24) может быть переписа-
переписано следующим образом:
i=0 '
-1
Решая последнее методом, изложенным в § 8 гл. 2, опуская про-
промежуточные выкладки и переходя к старым переменным и обо-
обозначениям, в согласии с равенствами A0.8), A0.9) и A0.11 X

Щ	ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
будем иметь
- (г) - | {.rccos
л? "°ul + ( + т w'°yg+l» '¦ у=)х
v	Eh У К f (К)	мп 9ах
Кг = -i/7—^i л	av	(lU.Zb>
У Anb (I — Vs)
= 1 + 0>0Я-2 + 1,125аД-4 + (О,1875йоа1 + 3,125а2)Я + О (X~s).
Устремив в соотношении A0.26) Я к бесконечности, получим:
значение величины Ки совпадающее с найденным в п. 1 в форме
A0.13).
Можно показать, что ряд в A0.24) абсолютно сходится при
Ш<2а. Следовательно, полученные в этом пункте результаты
справедливы при а~1<Я<°°. Практически соотношения A0.25),
A0.26) рационально использовать при 2а~1<Х<°°.
Как показывают численные результаты, в совокупности полу-
полученные в пп. 2,3 соотношения для определения функции г; (г) и
величины Ki дают полное решение задачи, так как обеспечивают
при любых а перекрытие всего диапазона изменения параметра
0=?Я<°°. Для 85° s? a ^ 180° при всех Я целесообразно исполь-
использовать более простое по форме решение A0.8), A0.12).
Значения величин К\ = A — v2) Vb{Eh)~1Ki и и„. = /Г1 X
X г;( УаЬ), полученные при Я = 2 и а = я/2, по формулам пп. 1,
2, 3 соответственно равны
К\ = 0,379; 0,381; 0,379;
»„ = 0,500; 0,500; 0,500.
При этом погрешность аппроксимации в методе п. 2 при всех
0 <! и < оо не превосходила 3%.

ГЛАВА 4
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ДРУГИХ ТИПОВ
§ 1. Асимптотические методы решения смешанных задач
типа Ь)
1. Изучение задач типа Ь) начнем с конкретного примера.
Именно, в рамках плоской теории упругости (плоская деформа-
деформация) рассмотрим задачу о вдавливании штампа ширины 2а силой
Р в упругую полуплоскость с учетом влияния моментных напря-
напряжений (на основе модели Cosserat [1]). Предположим, что каса-
касательные и моментные напряжения под штампом отсутствуют,
а вне штампа поверхность полуплоскости не нагружена. Соглас-
Согласно этим предположениям граничные условия задачи имеют вид
У = 0: tyx = 0, Мч/ = 0, ст„ = О (\х\>а),
v(x,0j	g(xj (\х\<а);	( " '
напряжения в полуплоскости исчезают при х2 + у2 ->- °°. Здесь
g{x)—осадка точек поверхности полуплоскости на линии контак-
контакта, определяемая формой основания штампа и величиной его
жесткого перемещения, цу — моментное напряжение.
Математически задача сводится к решению двух дифференци-
дифференциальных уравнений:
A2C/ = 0, A(F-n2AF) = 0	A.2)
с граничными условиями A.1). В A.2) U(x, у)—функция напря-
напряжений Эри, F(x, у)—вторая функция напряжений в моментной
теории упругости, n = l/6DG)~1 — постоянная, характеризующая
степень влияния моментных напряжений, Ъ — изгибно-крутиль-
ный модуль, имеющий размерность силы, G — модуль сдвига.
Вместе с A.2) должны быть выполнены следующие соотношения
связи между U и F:

184 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
где v — коэффициент Пуассона и, кроме того,
ди i	.	dv I
_ j_ (ди dv\ _ 1 ,
~ 2 \ду + дх) ~ AG (Xxv
9F
аУ
+
Применим для решения поставленной краевой задачи A.1) —
A.4) интегральное преобразование Фурье. В соответствии с об-
общим планом решения смешанных задач (§ 1 гл. 1) необходимо
сначала исследовать вспомогательную задачу A.2) — A.4) с гра-
граничными условиями
2/ = 0: tyx = 0, Цу = 0, oy = -q(x);	A.5)
напряжения в полуплоскости исчезают при хг-\- уг -*¦ °°.
Из A.2) —A.5) получим
v п
@С' } ~ *ТТГ (а) /ГТА? + 4 «1 - v, п*а> ( УТТ^Г- п \а\У
A.6)
где V(a, у), Q(a)—трансформанты Фурье соответственно функ-
функций v(x, у) и q(x). Удовлетворяя теперь с помощью формулы
A.6) краевым условиям A.1) основной задачи, заключаем, что
неизвестные контактные давления под штампом ф(ж') =
= [C — 2v)Q]~i q(x), x = x'a находятся из интегрального уравне-.
ния G.1), G.11) гл. 1, причем
Е = 6Ч f(x')=g(x)a-i, K = na-i = ar1
Штрихи здесь и далее у безразмерных переменных будем
опускать.
Нетрудно убедиться, что для символа ядра К(и) вида A.7)
имеют место асимптотические представления
2C-2v)u2 4C-2vJu4	\u6jj Ч '	Н
A.8)
(а) = C — 2v) | и Г1 [1 - 4 A — v) и2- + О (| а | и*)] (и -+ 0),

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)	185
из которых следует, что рассматриваемая задача действительно
является задачей типа Ь). Как показано в § 1 гл. 2, для ядра ин-
интегрального уравнения G.1), G.11), G.13Ь) гл. 1 справедливо
представление A.9) гл. 2, а в силу первой формулы A.8) имеют
также место соотношения (8.24) — (8.26) гл. 2. В последних, од-
однако, постоянная d2t> будет бесконечной.
По физическому смыслу рассматриваемой задачи безразмер-
безразмерный параметр Я должен быть небольшим. Отвлекаясь от этого,
тем не менее заметим, что^ри больших значениях Я асимптоти-
асимптотическое решение задачи может быть найдено по схеме, описанной
в § 8 (п. 2) гл. 2. Например, для плоского штампа будет справед-
справедлива формула (8.31), Формула (8.32) не может быть использова-
использована в силу бесконечности постоянной d2o.
2. Чтобы получить решение задачи при малых X, аппроксими-
аппроксимируем символ ядра A.7) с учетом его свойств A.8) выражением
и2 + h\	h\
При v = 0,3 здесь hi = 0,696, /i|=0,290 и погрешность аппрокси-
аппроксимации A.9) не превосходит 1,8%. Теперь вместо интегрального
уравнения G.1) гл. 1, A.9) гл. 2, A.9) рассмотрим интегральное
уравнение с возмущенным ядром типа A.5) гл. 2, а именно
A.10)
С B ?)
(t) =
С (и2 + /г?) COS ut
ke(t) = ) 1J	du.
При е^О уравнение A.10) принадлежит типу а). Поэтому
главный член асимптотики его решения при малых % может быть
представлен в форме A0.29), A0.35) гл. 2. Именно, для случая
плоского штампа получим при е -*¦ 0
где С — постоянная, обратно пропорциональная е, erfi(;r) =
= — ievi(ix), evix — интеграл вероятности. Величину силы, вдав-
вдавливающей штамп, найдем по формуле
( |) A-12)

186 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Чтобы вычислить интеграл в A.12), применим теорему о сверт-
свертках для преобразования Лапласа — Карсона [2]. Именно, заме-
заметим, что трансформанта Лапласа — Карсона от интеграла в A.12)
равна у?2(р)р~\ где ^(р)— трансформанта Лапласа — Карсона
ф	( Н	2(\
р	(р)	(р) рфр	р
функции ij)(i/). Находя оригинал выражения х?2(р)р~\ получим
-*)- (u3)
Исключая постоянную С в A.11) с помощью A.12), окончатель-
окончательно будем иметь
Нетрудно убедиться, что при Я -»¦ 0 полученное асимптотическое
решение A.14) вырождается в классическое [3]
<р (*) =
A.15)
-1/2
Здесь нужно принять во внимание, что егЩУя) ~ е*(пх)~"' при
х -*¦ °°. При Ж 1,2 погрешность приближенного решения A.14)
ве превосходит 3%.
На основании полученных результатов интересно выяснить,
при каких значениях параметра Я решение A.14) контактной за-
задачи с учетом влияния моментных напряжений наиболее отлича-
отличается в количественном отношении от классического A.15).
Таблица 4.1
к
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0
0,3183
0,3249
0,3473
0,3979
0,5305
0,3
0,2307
0,2378
0,2644
0,3342
0,5443
0,4
0,2266
0,2356
0,2693
0,3463
0,5586
0,5
0,2324
0,2423
0,2768
0,3561
0,5620
В табл. 4.1 приведены значения величины ф (х) No s подсчитан-
подсчитанные для различных Я. Как видно, наибольшее отклонение от
классического решения (Я = 0) получается при Я = 0,4. Именно,
в этом случае значения контактного давления в центре линии
контакта (х = 0) отличаются в 1,4 раза. В то же время коэффи-
коэффициент при особенности A — x2)~i/2 на краю линии контакта (х =
= ±1), полученный по моментной теории, в 3,4 раза больше со-
соответствующего классического значения.

§ 2. СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ	187
§ 2. Сведение интегрального уравнения задач типа bj
к линейной алгебраической системе
Допустим, что для символа ядра К(и) задач типа Ь) имеют
место асимптотические соотношения
К (») = щ [1 + 0 (и*)] (и-+0),	B.1)
аналогичные A.8). Представим символ ядра К(и) в форме
К(и) = \и\-1[1 + 1(и)],	B.2J
где функция 1(и) является непрерывной при ке[0, «>] и в со-
соответствии с B.1)
1(и) = 0(и-2) (в-*¦«>)¦, 1@) = В-1.	B.3)'
Далее понадобится [4]
Лемма 4,1. Пусть четная, вещественная, непрерывная на
всей действительной оси функция 1(и) обращается в нуль на бес-
жонечности. Тогда она допускает приближение в С(~<», оо) ря-
рядами из функций вида li(u) — (и% + h\)~l.
На основании леммы и представлений B.2), B.3) аппрокси-
аппроксимируем символ ядра К(и) выражением
Заметим, что аппроксимация B.4) эквивалентна аппроксимации
вида
Возможность использования такой аппроксимации уже была про-
продемонстрирована (см. A.9)) на примере контактной задачи для
полуплоскости с учетом влияния моментных напряжений. Есте-
Естественно считать, что в B,5)
(gi-gk)(hi-hk)?=0 (i?=k);	B.6);
тогда можно убедиться (см. теорему 1 в п. 71 [5]), что
Л' t ( а-—Ъ2\
где штрих означает, что в произведении в знаменателе пропущен
сомножитель при i = k.

188 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Рассмотрим теперь эквивалентное интегральному уравнению
G.1) гл. 1, A.9) гл. 2 парное интегральное уравнение G.15) гл.1
с символом ядра B.5)
B-8)
J Ф(гг)е-{ижД^ = 0 (|ж| >1),
.—оо
где Ф(и) связано с ф(я) соотношением G.16) гл. 1.
Далее ограничимся, принимая во внимание теорему 2.12, ис-
исследованием случая, когда функция f(x)—четная (четный слу-
случай задачи). При этом, дифференцируя первое соотношение B.8)
один раз по ж и вводя обозначения
и = ак, Ф(аЯ)=Ф*(а), gi = %Gu hi = XHt,	B.9)
будем иметь
J Ф* (а) ij /2 + Я2ч sin ах da = — я/' (х) (х < 1),
B.10)
] Ф* (а) cos ax da = 0 (х> 1),
о
причем функция у(х) может быть найдена по формуле
оо
ф(а;) = -1 J Ф* (a) cos az da.	B.11)
о
Заметим теперь, что первое соотношение B.10) можно перепи-
переписать в виде [6]
х) (х^1),	B.12)
где введены обозначения
оо
L = —з-, g (х) = Ф* (a) sin ax da,
ах	J
Рх (а») = Л («2 + G?), Р2 (а2) = Л («2 + Яг2).
i=l	i=l
С учетом формулы G.9) гл. 2 и сделанного там же замечания
примем, что j (x) = sinEx. Тогда, определяя из дифференциаль-

§ 2. СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ	18&
вого уравнения B.12) функцию g(x), получим
g{x)= — пр(х), р (х) = 2 sin ex + ^ Сг sh GiX. B.14}
Итак, парное интегральное уравнение B.10) на основании
формул B.13) и B.14) можно представить в форме
J Ф* (a) sin ax da = — яр (х) (х ^ 1),
1	B-15)
= 0 (х> 1).
Ранее в § 5 гл. 2 было рассмотрено парное интегральное уравне-
уравнение E.6), совпадающее по виду с B.15). Пользуясь результата-
результатами решения уравнения E.6) гл. 2, получим следующее выраже-
выражение для функции Ф*(а):
1	t
Ф* (а) = - 2а j Jx (at) dt J ^j^| + nDJ0 (a) (D = const),
о	о
B.16)
Подртавляя сюда р(х) в виде B.14) и используя интегралы [7]
t
S sin eS	„
окончательно найдем
Здесь /п(а;)= i~nJn(ix)—функции Бесселя мнимого аргумента.
Постоянные Ct в B.18) нужно теперь определить таким об-
образом, чтобы выражение B.18) удовлетворяло первому соотно-
соотношению исходного парного интегрального уравнения B.10).

190 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Подставляя B.18) в B.10) и принимая во внимание, что
B.19)
*	В?(а2-е2)
М (а) - М (е) = - 2
а также учитывая последний интеграл E.11) гл. 2, получим
соотношение
. B.20)
Здесь Ki ж Kz — известные интегралы [7]
oo
sin аж dcc =s
B.21)
sin ax da = Hi sh {HiX) K°
о	*
Kn(x)—функции Макдональда, а интеграл Ко имеет вид
fa [aJ0 (a) / (e) - e/0 (e) / (a)] .
/f0 = I —i—	i-^	j-2	s—— smaz.da. B.22)
J	a* — e
a — e
о
Для вычисления интеграла B.22) запишем его с учетом второго
соотношения B.17) следующим образом:
00	1
Ко = j a sin ax da j tJ1 (at) J1 (et) dt.	B.23)
о	о
Преобразуя второй интеграл в B.23) по частям, найдем
J0(at)J0(aE)dtl B.24)
J
Теперь с помощью третьего интеграла E.11) гл. 2 и интегра-
ла 17]
hJEy)	i	B.25)

§ 2. СВЕДЕНИЕ К АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ	191
убедимся, что
Ко = -sin ex.	B.26)
Подставляя в B.20) выражения B.21) и B.26) и приравнивая
затем в полученном соотношении члены при sh (Hix), придем к
следующей [6] системе уравнений относительно Ск;
D .„ bJ^
+ У с h °( h> l ^ {' l ° ^ ^ ' ^ ^ = 0 B 27>
Можно доказать, что при условии B.6) линейная алгебраическая
система уравнений B.27) однозначно разрешима.
После решения системы B.27) по формулам B.11), B.18)
найдем ф(ж). Именно, подставляя B.18) в B.11), с учетом вто-
второго интеграла B.17) получим
во	оо	1
Ф (х) = D \ /0 (a) cos ax da —^ . — I sin ax da \ tJx (at) J± (et)dt—
J	ik/ (8/ ax j	j
о	о
Принимая теперь во внимание первый и второй интегралы E.11)
гл. 2, окончательно будем иметь
D	1 d( f Jt(et)dt \
T
'(J1*™**) B 29)
Нетрудно убедиться, "что постоянная D связана с интегральной
характеристикой решения Na. Именно,
B.30)
Для удобства вычислений формулу B.29) можно еще записать

192 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
в форме
D
/,(е)
tJa(et)
. B.31)
Из B.31)' имеем
JV
= D
г=1
На основании результатов B.27), B.31) может быть доказана
следующая [8]
Теорема 4.1. Интегральное уравнение B.10), B.11) с до-
дополнительным условием B.30) однозначно разрешимо при любом
N<oo в классе (а(х) = ц>(х)У1 — х2^С(—1, 1), если выполнено
условие B.6) и четная функция } (х) принадлежит Я^2+6(—ls 1)
F>0). При этом имеет место соотношение корректности
J©(s)flc<TO(#)||/(s)L Vi+e.	B.32)
Hi
Доказательство теоремы основано на представлении функции
t(x) в виде ряда Фурье и использовании формулы B.31) при
е = кл (к = 0, 1, ...).
§ 3. Другие варианты задач типа Ь) и связанные
с ними методы решения
Поставим еще две задачи типа Ь), несколько отличающиеся
по свойствам символа ядра К (и) от свойств A.8) задачи, рас-
рассмотренной в § 1.
1. Пусть поверхность упругой (с постоянными G2, v2) полу-
полуплоскости (у<0) усилена по
всей границе (у = 0, Ы<°°)'
тонким упругим (с постояндыми
G,, Vi) слоем толщины h.
Рассмотрим задачу (рис. 4.1)'
о вдавливании без трения силой
Р с эксцентриситетом приложе-
приложения е в верхнюю границу такого
составного основания штампа ши-
ширины 2а, форма основания ко-
которого описывается функцией
Рис. 4.1	V = g(x\.
Р

§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)	193
Граничные условия задачи запишутся в виде: при y = h
v1 = — [8 + ax — g(x)] (|ж|<а);
прп у = О
&1 = ву> ^ху = т.х» v1 = v2, ux = и2;	C.2)
папряжения в бесконечно удаленных точках принимаются рав-
равными нулю. В C.1) функция б + ах характеризует собой жесткое
перемещение штампа под действием приложенной к нему силы
Р и момента Ре.
Будем считать, что h/a^ 0,2 и п = 01/92 = О (a/h) (8; =
= Gi(l— Vi)~\ i = l, 2); тогда усиливающее покрытие можно
моделировать накладкой [9], описываемой уравнениями
2GJiu[\= - A - Vl) Ы - та) - O.&v^ (a'x + о'г), C.3)
Vi(x,h) — Vi(x,0) = 0, ai — a2 = 0,
где хг = %1У (х, h), т2 = txy (х, 0), ах = а^ (ж, /i), ст2 = aj (x, 0),
а штрихами обозначены производные по х.
С помощью формул C.3) граничным условиям C.1), C.2)
можно теперь придать вид: при у = О
2Gthul = A — vx) %ly — v±h (оУУ,
ol = 0 (\x\>a), v2 = -[8 + ax-g(x)] (|ic|<a)
напряжения в полуплоскости при хг + у2 -»- оо исчезают.
Решение уравнений Ламе B.4) гл. 1 при 6 = 0 с граничными
условиями C.4) в полуплоскости у s? 0 будем искать в форме
интегралов Фурье
оо	оо
u{x,y) = ±-^U (а, у) e~iaxda, v (х, у) = ±- J F (a, z/) e-iaxda.
— ОС	—ОО
C.5)
Тогда относительно трансформант U и V придем к системе обык-
обыкновенных дифференциальных уравнении
A _ 2v2) U; - 2 A - v2) a2[/ - iaV'y = О,
2A- Vj) Vl — Ц- 2v2) a^F - »a^ = 0.	( ' '
С учетом затухания напряжений прп у -»- — оо из C.6) имеем
f/ = (a1 + a2iaii/)ela^, V = isgna(at-ка, + а2\а\у)еШу. C.7)
Здесь и = 3 — 4v2, a, и a2 — функции от а, подлежащие опреде-
определению из граничных условий C.4). По известным перемещениям
13 в. М. Александров, Е. В, Коваленко

194 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
C.5), C.7) в согласии с формулами B.5) гл. 1 определим в
полуплоскости напряжения
оо
°х = ~ 7Г
оо
Оу = ^ J К - 2 A - v2) а2 + аг \ а | г/] ae|a|y-iaxdai; C.8)
— О»
ОО
*. = V J f*i ~ D ~ 2v*>«. + «. I«|»] | о | e'aly-iaxda.
Далее, следуя схеме решения смешанных задач, изложенной
в гл. 1, с помощью формул C.5), C.7) и C.8) удовлетворим
граничным условиям C.4) и приведем рассматриваемую задачу
к интегральному уравнению относительно функции распределе-
распределения контактных давлений:
оо
k(t)= Г " + "?. cosutdu,	C.9)
т = п(^п — г[ц)~1, ? = 0,25C —4v2) (I — v2)~2,
Ti = 0,25A - 2v2) A - v2)-', ц = v,(l - v,)-'c
В безразмерных переменных и обозначениях
/ х *, \ л 2nh
х ~т> ъ ~и> -"V'	C10)
Ф (V) = Q (D 6Г1,, / ОО = [Ь + ах - g (x)] а
уравнение C.9) примет вид (штрихи опускаем)
^1).	C.11)
ч - /
Последнее совпадает с уравнением G.1) гл. 1, A.9) гл. 2 с сим-
символом ядра К(и) = (и + т)и~1{и + I), соответствующим случаю
Ь). Здесь, в отличие от A.8), для символа имеют место следую-

3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)
195
щие асимптотические представления:
<•-«».
К {и) = и'1 [т — (т — 1) и + (т— 1) и3 + О (и3)] (и->0),
C.12)
причем нетрудно убедиться, что т > 1.
2. Пусть в полуплоскости, занимаемой идеальной несжимае-
несжимаемой жидкостью, на глубине h движется тонкое слабоизогнутое
крыло с постоянной скоростью V (рис. 4.2). Профиль крыла в
неподвижной системе координат
(х, у), связанной с жидкостью, опи-
описывается уравнением у = g (x 4- Vt);
на свободной поверхности жидкости
давление постоянно и равно р0.
Будем использовать уравнения
B.17) —B.19) гл. 1. Тогда потен-
потенциал скоростей в полосе {1) и полу-
полуплоскости B) удовлетворяет урав-
уравнениям
Лср< = 0 (i = l,2), C.13)
причем поле скоростей можно найти по следующим формулам:
4=-^-, ^ = 5"	C.14)
Рис. 4.2
п имеет место интеграл Коши (см. B.18) гл. 1)
Пренебрегая в C.15) нелинейным членом и замечая, что в бес-
бесконечно удаленных точках полуплоскости ср* = 0 и р{ = р,, вместо
C.15) будем иметь
C.16)
C.17)
dt ^ р "" '
Далее введем в рассмотрение приращения давлений
3i = Pi — Pa.
Граничное условие на крыле имеет вид
или; если пренебречь малым членом в C.18),
C.18)
C.19)
13*

196 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Граничное условие на свободной поверхности жидкости в силу
C.16) запишется в форме
^7 = 0 (y = h).	C.20)
Введем подвижную, связанную с крылом систему коордипат
у' — у, х = х + Vt; тогда для крыла у' = 0, 1а;'I г? а. В указанной
системе координат
^ = %{x',yr) = ^{x+Vt,y),	C.21)
поэтому граничные условия C.19) и C.20) примут вид (штрихи
у ж' и у' далее опускаем)
^	C.22)
-^=0	(y=h),	C.23)
Разрежем мысленно полуплоскость на глубине у = 0 и поста-
поставим граничные условия при \х\ >а (условия сопряжения):
Последнее равенство следует пз соотношения C.16), записанно-
записанного в связанной с крылом системе координат
v^r+T = 0-	C-25)
Из C.25), кроме того, для области, занимаемой крылом, имеем
где г(х) — результирующее давление на крыло, причем
а	а
Р - J r (x) dx, Pe= \xr (x) dx,	C.27)
Р — подъемная сила, е — эксцентриситет приложения этой силы.
Разыскивая решения уравпенип C.13) в форме интегралов
Фурье
Фг (х, У) = 2^" f Фг («, У) e-iaxdat	C.28)
получим для трансформант Ф((а, у) выражения
a\y, Ф2 (а, у) = С3 (а) еы\
C.29)

§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)	197
Замечая теперь, что в силу C.22) и первого равенства C.24)
-дГ = -дГ 0/ = о,М<°о),	(з.зо)
на основании C.28), C.29) получим
Ci(a) = Cs(aj.	C.31)
Замечая, что в силу второго равенства C.24) и C.26)
да	л ~
2	r () (У 0\\<о)
— -2Г2- = -IF r
дх pV
Р — -2Г2
дх	дх p	д д2
г(х) = г(х) (|ж|<а), г(х) = 0 (|ж|>а),
на основании C.28), C.29) найдем
»о[С2(о)-С,(о)] = -(р7)-»Д(о)",	C.33)
где R(a) — трансформанта Фурье функции г(х). Удовлетворяя
с помощью C.28), C.29) условию C.23), будем иметь
O.	C.34)'
Решая систему уравнений C.31), C.33), C.34), найдем Cj(a),
С2(а) и Cs(a). Удовлетворяя, наконец, граничному условию
C.22), получим соотношение
оо
J R(а) A + e~2Wh) sgnae~iaxda = impV*g' (x) (\x 1<a).
— 00
C.35)
Принимая в расчет, что
a
R(a)= \r{l)eialdl,	C.36)
и подставляя это выражение в C.35), придем к следующему
интегральному уравнению относительно функции распределения
давления по крылу:
а
J г {I) I (Ц^) dl = 2n9V*hg' {x) (| х |< а),
C.37)
6
В безразмерных переменных и обозначениях

198 ГЛ- 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
уравнение C.37) примет вид (штрихи опускаем)"
E = jrty'(*) (М<1). C-39)
—1
Уравнение C.39) соответствует случаю Ь) с символом ядра
К(и) = и~1A + е~2и). Здесь, в отличие от A.7), для символа име-
имеют место следующие асимптотические представления:
К(и)=и-*[1 + О(е-ги)] («¦*«),
C.40)'
К(и)=и-*[2-2и + 2и2 + О(и3)] (и-*-0).
Необходимо найти решение интегрального уравнения C.39)
вида C.24) гл. 2, т. е. решение, удовлетворяющее условию
срA) = 0. Это известное условие Жуковского [10], означающее
конечность результирующего давления на задней кромке крыла.
Указанное условие служит для определения связи между подъ-
подъемной силой Р и углом атаки крыла.'
3. Получим разложения для ядра k(t) вида C.9) и ядра l(t)
вида C.37) при малых t.
Отталкиваясь от значения интеграла
•о
1
^j du = — sin (et) si (et) - cos (et) ci (et),	C.41)
где si (я)' и ci(;r)—интегральные синус и косинус [7], п устрем-
устремляя е к нулю, найдем, что
C.42)
где d* — бесконечная постоянная. Здесь были использованы из-
известные степенные разложения для sin а; и cos x, а также ря-
ды [7]
BA — k) BA — 1I '*
C.43)
равномерно сходящиеся при всех х > 0; С — постоянная Эйлера.
Заметим теперь, что ядро k(t) вида C.9) можно представить
в форме
COS Ut

§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)	199
Тогда с учетом интегралов C.41), C.42) пвлучим
= m (— In 111 + d#) + (m — 1) (sin t si t + cos t ci *). C.44)
Пользуясь здесь вновь степенными разлежениями для sin а: и
cos а:, а также формулами C.43), будем имггь (сравните с (8.34),
(8.35) гл. 2)
к (t) = In 111 ^j dut -|" I 11 Zj d2.it г -{¦ Zj d-ijt *, C.45)
где ряды в C.45) равномерно сходятся при всех UI < °° (в по-
следнем случае равномерно сходится ряд 2 d3it2'). Несколько
первых значений постоянных djt таковы:
d1§ = — 1, d20 = — я (т — 1)/2, dso = 00, dL1 = — (т — 1)/2,
dai = л(т— 1)/12, dai = (т — 1) C/4 - С/2).
Далее рассмотрим ядро
оо
М*) = I — 	cosutdu.	C.46)
»
Заметим, что —A'(t) совпадает с Z(i) вид» C.37). Преобразуем
C.46) следующим образом:
о	в
Вычисляя здесь интегралы с учетом C.42), будем иметь
C.47)
Раскладывая последнее слагаемое в степежиой ряд, получим
к (t) = - In 111 + S di*".	C.48)
i=0
Здесь ряд 2 d^2i равномерно сходится при Ul<2. Несколько
i=oo
первых значений постоянных dt таковы: dt = оо; dx = —2~3, d2=2~i.
Сравнивая C.45) с (8.34), (8.35) гл. 2, убедимся, что для
задачи, поставленной в п. 1, асимптотическое решение при боль-
больших % имеет вид (8.37), (8.38) гл. 2. В частности, для случая
вдавливания штампа с плоским основанием /(z)s/ решение
дается формулами (8.37), (8.39) —(8.42) гл. 2. Связь между
вдавливающей штамп силой и его осадкой не может быть опре-
делепа, ибо входящая в формулу (8.43) гл. 2 постоянная d30 —

200 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
= оо. При очень больших значениях X, когда в разложении C.45)
можно оставить только члены
интегральное уравнение C.11) простыми преобразованиями при-
приводится к интегро-дифференциалыгому уравнению Прандтля [11]
^|- dl - JL (m - 1) Ф (х) = «/' (х) - ?- (т - 1) No,
(-1) = 0,
-1
Исследованию уравнения Прандтля посвящены следующие два
параграфа.
Сравнивая C.48) с (8.2), (8.4)' гл. 2, убедимся, что для за-
задачи, поставленной в п. 2, асимптотическое решение при боль-
больших X дается формулами (8.20), (8.22) гл. 2. В частности, когда
в C.39) /(#) = / —уж (плоское крыло, угол атаки у), согласно
формулам (8.20), (8.22) гл. 2 будем иметь
C.49)
Удовлетворяя теперь условию фA) = 0, найдем
лг	Р
2apV*
и формуле C.49) придадим вид
3d	25d	5d\
4do	/ 1 \ 1
1Г>;' + 0Ш C'52)
Теоретически асимптотический метод больших X для задачи п. 1
дает решение, применимое при всех Х^@, °°]; практически фор-
формулы (8.37), (8.39) — (8.42) гл. 2 можно здесь использовать при

§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)	201
% > 3. Для задачи п. 2 теоретическая граница — К > 1; практи-
практическая (для формул C.50) — C.52)) — К > 2.
4. Заметим, что теоретическое ограничение X > 1 для задачи
п. 2 возникает по той причине, что у функции
комплексной переменной w = t + ix, определяющей в силу C.47)
прп т = 0 ядро интегрального уравнения C.39)', второе слагаемое
имеет полюсы w = ±2i. Разложение второго слагаемого в ряд
Лорана в окрестности w = 0 будет сходиться при |и;|<2 или
lfl = I (| — x)i~l\ < 2, т. е. при Я> 1. Если теперь, следуя идеям,
изложенным в последнем пункте § 8 гл. 2, ввести новый пара-
параметр ц, связанный с X выражением [12]
|л = У(Л74)+1-(У2), ie@, oo)^iUe@,1), C.53)
то разложение
а- (V) - У B/-1-&)!(-!)'-*+* 2i-2ft-i
как можно показать, сходится при \х < 1 равномерно по г/ s
s [—1, 1]. Подставляя теперь в интегральное уравнение C.39)
и разыскивая его решение в виде
оо
Ц>(х) — 2j 4>п \х) \а ,	C.55)
получим, как в § 8 гл. 2, систему соотношений для последова-
последовательного определения функций <р„(;г). Теоретически решение
C.55) будет применимо при всех |л < 1, т. е. при всех X > 0.
Практически диапазон (по \х и X) использования решения C.55)
будет зависеть от количества удерживаемых в C.55) слагаемых.
Обобщая изложенные здесь результаты, отметим, что для за-
задач типа Ь), в которых
O(u2)] (ич-0)',
символ ядра К (и) можно с любой степенью точности аппрокси-

202 ГЛ- 4. МЕТОДЫ РЕШ1НИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
мировать выражением
«,5в)
Тогда ядро соответствующего интегрального уравнения
I (t) = j uK (и) sin ut du
при аппроксимации C.56) будет иметь вид
Л'
Для интегрального уравнения с ядром C.57) можно также по-
построить решение вида C.55), теоретически применимое при всех
|х < 1 (X > 0), в котором ц = MX2/v2 + 1 - X/v.
5. Получим представления для ядра k(t) вида C.9) и ядра
l(t) вида C.37) при больших t. Полагая u = v/t в выражении
для k(t) и принимая во внимание второе асимптотическое пред-
представление C.12), будем иметь
оо	оо
(t) = — | К ( — cos v dv ~ \ \т — (т — 1)-т- cosi;—.
к ()	j
о	о
Возвращаясь теперь к старой перемепной и вычисляя интегралы
с учетом формул B.40) гл. 2 и C.42), найдем
к {t) — т (— In 111 + dj — (m — 1) лб (f).	C.58)
Аналогичным образом для ядра l(t) получим
t).	C.59)
Представления C.58) и C.59) могут быть использованы для
изучения случая малых X. Именно, подставляя C.58) в уравне-
уравнение C.11) и использ5гя формулу B.41) гл. 2, придем к ипте-
гральному уравнению Фредгольма 2-го рода, которое может слу-
служить для определения «проникающей» частп асимптотики ре-
решения задачи при малых }.:
q. (E) ^— In | ^-- + ^ j c?| — лЯ.иср (ж) = л/ (,г)
\ ^ \	m — \
Дифференцируя ото уравнение по х, получим шпегро-днффереи-

§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)	203
циальное уравнение Штаермана [3]
p'(x) = nf(x) (Ы<1).	C.60)
Аналогичным образом, подставляя представление C.59) в	C.39),
получим такое же уравнение для второй задачи
= -~f(x) (|;г|<1).	C.61)
Исследованию уравнения Штаермана посвящены следующие два
параграфа. Здесь лишь заметим, что при очень малых % уравне-
уравнения C.60) и C.61) вырождаются в ранее изученное сингуляр-
сингулярное интегральное уравнение A.34) гл. 2. Для первой задачи та-
такое вырождение соответствует случаю отсутствия покрытия,
а для второй задачи — случаю глиссирования крыла по поверх-
поверхности гидравлического основания бесконечной глубины1).
Схему построения полной асимптотики решения при малых А,
продемонстрируем на примере задачи п. 1 для случая плоского
штампа (f(x)^f). Дифференцируя почленно интегральное урав-
уравнение C.11) по х, будем иметь
— 1	О
C.62)
Заметим также, что вырожденное решение при очень малых К
согласно C.60), B.17) гл. 2 дается формулой
а;г)-1.	C.63)"
Введем новую неизвестную функцию
а|)(г) = Ф(г)-фо(г),	C.64)
где Фо(я) имеет вид C.63). Тогда интегральное уравнение C.62)
можно переписать следующим образом:
1	1
(ll)	J9o(g)z(l^?)d| (U|<1). C.65)
—1
"') Заметим, кстати, что плоская задача о глиссировании крыла по слою
идеальной жждкостж конечной глубины [10] сводится к интегральному
уравнению тжпа F.29) гл. 1 и решается в замкнутом виде (см. §§ 5, 6
гл. 3).

204 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Подставляя в правую часть C.65) функцию q>0(x) в форме C.63),
используя первый интеграл E.10) гл. 2 и третий интеграл E.11)
гл. 2, получии
п
Далее, учитывая, что X мало, и заменяя здесь фупкцию Бесселя
Ja(x) ее асимптотическим представлением при больших значени-
значениях аргумента [7], найдем
Лт0(т—
—sinui
C.66)
Теперь уравнение C.65) с правой частью nkJ, где / дается
асимптотическим при малых К выражением C.66), разобьем на
систему двух интегральных уравнений (сравните с A0.2)—•
A0.5) гл. 2)
—i
¦
\dl
C.67)
при условии
C.68)
Очевидной заменой переменных оба уравнения C.67) при-
приводятся к одному интегральному уравнению вида
г @<f<oo),.
2Д
C.69)
где функция g(t) C.66) при t ->¦ оо ведет себя как t~i/z. В по-
последнем нетрудно убедиться, если воспользоваться леммой 2.8.

§ 3. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА Ь)	205
При указанном поведении функции g(t) можно показать, что
решение уравнения C.69) будет убывать при ?->-<» не слабее,
чем t~i/z. При t ->- 0 решение должно возрастать как t~in. Вспо-
Вспоминая еще, что ядро l{t) ведет себя как Г в нуле и на беско-
бесконечности, можем исследовать поведение интеграла в правой час-
части C.69) при % ->- 0. Именно, нетрудно доказать, что этот _пнте-
грал при всех t>0 стремится к нулю не слабее, чем УХ\пХ.
Таким образом, решая уравнение C.69) методом последователь-
пых приближений, видим, что главная часть функции "ф(т) прп
малых X может быть найдена из уравнения
<oo). C.70)
Решение интегрального уравнения C.70) может быть получено
методом Винера — Хопфа (см. § 9 гл. 2). Затем по формулам
C.63), C.64) и C.68) построим асимптотическое при малых X
решение уравнения C.62).
6. Изложим, наконец, на примере задачи п. 1 схему построе-
пия решения, равномерно пригодного при всех значениях пара-
параметра ^е@, °°). Аппроксимируем символ ядра C.9) следующим
образом:
(и + т) [и (и + I)]« К* (и) + М (и),.	C.71)
где К% (и) имеет вид A.8), а М(и) дается выражением
Тогда для ядра l(t), определяемого формулой C.62)', получим
Z(f)«Z*(f) + m(t), ?*(f)
C.73)
m(t) = \ uM (u)sinutdu = -^ sgn t \ bhe h
i	2 ^
h
причем нетрудно убедиться, что m(t)^II0~s(—R, R) (s>0,
R < oo) и играет роль малой добавки к 1% (t).
Подставляя в продифференцированное уравнение C.11) прп-
ближенпое выражение C.73) ядра l(t)., будем иметь
1	1
C.74)

206 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Заметим, что интегральный оператор, стоящий в левой части
уравнения C.74), может быть, как показано в § 2, точно обра-
обращен. С учетом этого равномерно пригодное по X решение задачи
ц>1 (х), обладающее приемлемой точностью, может быть получено
путем решения уравнения
J Ф1 (D I* (-Ц^1) dl = nmXf (x) - J Фо (I) m
C.75)
где (ро(х)— решение уравнения C.74) с отброшенным интеграль-
интегральным членом в правой части. Более того, имеет место [8]
Теорема 4.2. Интегральное уравнение C.74) с дополни-
дополнительным условием B.30) однозначно разрешимо при любом
N<°° в классе а{х)= ф(ж)У1 — х2 ef(-1, 1), если f (х)
еЯ1/!+'(-1, 1) (е>0) при Х<Х* и Х>У, где X* и X"-
некоторые фиксированные значения X, и имеет место соотноше-
соотношение корректности
ЦЧг+е.	C.76)
Для доказательства теоремы необходимо привести уравнение
C.74), обращая стоящий в левой часта оператор, к виду
со = «о + Асо
и показать, что А является оператором сжатия в С(—1, 1) при
X < X* и X > Х°.
В заключение заметим, что с задачами типа Ь) можно, на-
например, еще познакомиться по работам [13, 14].
§ 4. Интегро-дифференциальные уравнения Прандтля
и Штаермана. Основные методы нх решения
В предыдущем параграфе при рассмотрении частных случаев
задачи Ь) возникла необходимость исследования интегро-диффе-
ренциальных уравнений Прандтля и Штаермана. Вообще, эти
уравнения играют важную роль в теории смешанных задач. На-
Например, к уравнению Прандтля приводится задача об обтекании
идеальной жидкостью тонкого крыла конечного размаха [11] или
задача о взаимодействии упругой на растяжение, но абсолютно
гибкой накладки с упругой полуплоскостью [9]. К уравнению
Штаермана приводится задача о вдавливании штампа в упругую
полуплоскость, граница которой армирована слоем винклеровских
пружин — шероховатостей [3]. В этом параграфе изучим указан-
указанные янтегро-дифференциальные уравнения для случая постоян-

§ 4. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	207
ных коэффициентов, а именно рассмотрим уравнение Прандтля
)-nf{x) (Ы<1)	D.1)
при граничных условиях
(-1) = О,
и уравнение Штаермана
при интегральном условии
D.2):
D.3)
D.4)
1. Как следует из результатов предыдущего параграфа, ин-
тегро-дифференциальное уравнение Прандтля D.1), D.2) экви-
эквивалентно интегральному уравнению вида
D.5)
С учетом зтого на основании теоремы 2.13 и замечания, сделан-
сделанного на с. 94 § 8 гл. 2, можно утверждать, что если при задан-
заданном \х решение уравнения D.5) существует, то функция ц>'(х)
имеет вид
огда
1, 1)
D.6)
). Далее, с помощью оценки
— Ф (х.2) 1 =
7 + 7
D.7)
уравнения D.1), D.2) принадлежит
убедимся, что рс-шепие ф
классу /7^-Е(-1,1).
Сведем теперь пнтегро-дифферепциалытое уравнение (i.l),
D.2) к оюшвалентноыу пнтегральпому уравнепию Фредгольл1а

208 гл- 4- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
второго рода. С этой целью воспользуемся формулой B.36) гл. 2.
решения сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши
на конечном отрезке. Будем иметь
D.8)
Обе части последнего равенства проинтегрируем по г и примем
[]
во внимание зпачение интеграла
di = _ 1 ln
2	V
D.9)
тогда получим
f	+ (?]K~1arcsma; + Q2 (|ж|<1). D.10)
Удовлетворяя граничным условиям D.2), найдем
Qt = P, Qz = 0,5P.	D.11)
Итак, уравнение D.1), D.2) равносильно следующему ин-
интегральному уравнению:
Ф (*) + ¦?
Л (Б, ,) = Ш i^+n-VHi-jZ,	D,l2)
_р	i5	1
= 7Г arcsin ж + Т + 2Н
В пространстве L2(—l, 1) D.12) представляет собой уравнение
типа C.24) гл. 1 с самосопряженным и вполне непрерывным
оператором А. Согласно теоремам 1.3 и 1.4 при условии
|ц|<2п J )k2{l,x)dldx\ =1,9	D.13)
решение уравнения D.12) можно построить либо методом после-
последовательных приближений, либо в виде сходящегося степенного
разложения по \х.

§ 4. ИНТЕГРО-ДПФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	209
Теперь изложим методику сведения пнтегро-дифференциаль-
ного уравнения D.1), D.2) к эквивалентной бесконечной систе-
системе линейных алгебраических уравнений.
Представим функцию ы(х) в D.6) в виде ряда
n=0
где Тп(х) — полипомы Чебышева первого рода F.1) гл. 2. Такое
представление возможпо в силу того, что со(.г)е#о(—1, 1); при
этом ряд D.14) сходится равномерно. На осповапии D.14)
имеем
оо
гг. (Г\ 	 "S1 П F 1т\	F 1т\	Г)~1 Ч1П ПЙ In ~~> 1\	(A \^l\
F0(x)= л — 9, 9 = arccosx,
и первое граничное условие D.2) удовлетворено. Удовлетворяя
второму граничному условию D.2), найдем
ао = п~1Р.	D.16)
Далее разложим /(ж)еЯ"(—1,1) в равномерно сходящийся
ряд по полиномам Чебышева второго рода F.1) гл. 2:
/(*)= 2 fnUn-Лх) (U|<1).	D.17)
Подставляя D.14), D.15) и D.17) в уравнение D.1) и прини-
принимая во внимание интеграл F.3) гл. 2, получим соотношение
оо	Г	оо	 оо
V* sin "9 		, fi\ 'V sin rc9	V* , sin«9' ., ,л,
n=l	L	n=l	J n=l
Умножим обе части D.18) на sin9sinm.9 и проинтегрируем в
пределах от 0 до я. В результате придем к бесконечной алгеб-
алгебраической системе относительно коэффициентов ат:
ат = -^ (лЬт — ст) а0 + У апетп \ — }т (т = 1, 2, .. .),
I.	n=l	J
Ь1 = л/2, Ьт = 0 (то > 1), сг = я2/4,
етп = 2то [(- l)m+n + l] [(то - nf - I] [(то + nf - I]
14 В. м. Александров, I. В. Коваленко

210 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Введем в рассмотрение сумму Sm = Ju\emn\ (« = 1,2,...).
На основании оценки
Sm < 2 [т-1 + та(та2 - 4)-' + та In т{тг - I)-1 +
+ то1п(та + 2)(та2-1)-'] D.20);
(та = 3,4,...),
данной в работе [15], можно показать, что бесконечная алгебра-
алгебраическая система D.19) вполне регулярна при
||*1<я/12.	D.21);
После решения системы D.19) коэффициенты при особенно-
особенностях в точках х — ±1 у функции ф' (х) могут быть найдены
соответственно по формулам
оо	оо
D1 (и.) = ,? ani D2 (и.) - 2 (- l)na«-	D.22)
П=о
Оценки D.13) и D.21) показвшают, что интегральное уравне-
уравнение Фредгольма второго рода D.12) и бесконечная алгебраиче-
алгебраическая система D.19), а следовательно и интегро-дифференциаль-
ное уравнение D.1), D.2), эффективно решаются при достаточно
малых значениях параметра ц. При больших значениях (х не-
нетрудно получить вырожденное решение уравнения D.1). Имен-
Именно, устремляя j-i к бесконечности, из D.1) имеем
Фо(а;)=ц-7(а;).	D.23)
Однако в общем случае решение D.23) пе удовлетворяет гра-
граничным условиям D.2).
Приближенное решение пнтегро-дифференциального уравне-
уравнения D.1) при больших fx > 0, удовлетворяющее граничным ус-
условиям D.2), может быть получено с помощью метода сращивае-
сращиваемых асимптотических разложений [16]; для этого введем неко-
некоторые определения. Под внешней областью будем понимать ин-
интервал —1 + kn ^ х ^ 1 — ?ifx~', на котором в качестве решения
уравнения D.1) с достаточно малой ошибкой может быть приня-
принято вырожденное решение D.23). Внутренними областями назовем
малые окрестности точек ж = ±1 с размерами li\\~l и I2\x~i
(Zi,Z2~l). Во внутренних областях должны быть построены
решения типа пограничного слоя, которые бы на границах обла-
областей ж = 1 — li\i~l и ж = — 1 + Z2u~' плавно сращивались с вырож-
вырожденным решением D.23), а в точках ж = ±1 обеспечивали бы
выполнение граничных уело writ D.2).
Покажем, как строятся решения типа пограничного слоя лля
частного случая /(aj)=-u.. Согласно D.23) для этого случая
фч(.г)=1, п paiuiOHiie Gj.1) можно переписать следующим

§ 4. ИНТЕГРО-ДПФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	211
образом:
» _ = niiip (x) (| х | <С 1),	D.24)
—г
где обозначено
th (т\ = со (-г\	 го I-г\	// ОК Ч
Очевидно, что во внешней области функцию ^(х) с достаточной
точностью можно принять равной нулю.
Растяпем теперь окрестность точки х = 1 в уравнении D.24)
путем перехода к новым переменным
и устремим затем \х к бесконечности при фиксированном t.
В итоге будем иметь следующее уравнение для определения
функции i})+ (t) типа пограничного слоя в окрестности точки
х=1:
со
)+_ % = nty+(t) @<«<oo).	D.27)
С учетом D.2), D.25), D.26) к уравнению D.27) нужно добавить
граничное условие
ф+(О) = Р-1.	D.28)
Аналогичным образом, растягивая окрестность точки х = — 1 в
D.24), получим уравнение
оо
V (г) d%
~_t = т|з.(*) @<«<оо)	D.29)
с граничным условием
ф_@)=—1.	D.30)
Срастим, далее, функции i]3+(i), ty-(t) с i]3(a;) = 0 на границах
х=1 — lt\i~l, x = — 1 + 12\х~1 внешней и внутренних областей.
Именно, положим -ф+ (Z±) = -ф— (Л2) =^ 0. Считая, что здесь h и 1г
достаточно велики, получим дополнительные граничные условия
к интегро-дифференциальным уравнениям D.27), D.29)
l}3+(oo) = ij,_(oo) = 0.	D.31)
Определив функции ty+(t) и ^-(t) из уравнений D.27), D.29)
при граничных условиях D.28), D.30) и D.31), главный член
равномерно пригодного асимптотического решения интегро-диф-
ференциального уравнения D.1), D.2) при больших значениях
параметра \х> 0 и f(x)= fx представим в виде
q(x) = $+[ii(l-x)] + q-[ii(l + x)]-l.	D.32)
4*

212 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
2. Как и уравнение Прандтля, интегро-дифференциальное
уравнение Штаермана D.3), D.4) может быть приведено к эк-
эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода.
Именно, интегрируя в левой части D.3) по частям, получим
D.33)
К уравнению D.33) нужно, конечно, добавить условие D.4)'.
После решения уравнения D.33) находим ф(я), ф(—1) и фA),
а произвольную постоянную интегрирования определяем из D.4).
Пусть /(ж)еЬ2(-1, 1); тогда согласно теоремам 1.3 и 1.4
при условии
J Jln^ii^i-^^ =1,2	D.34)
У
решение уравнения D.33) можно построить методом последова-
последовательных приближений или в виде сходящегося степенного раз-
разложения по fx~'. Когда f(x)^Lp(—1, 1) (р>1), можно показать
с помощью оценки D.7), что решение (р(х) уравнения D.33),
D.4), если оно существует при заданном \х, принадлежит классу
Щ(-1, 1),. T = inf(l/?f 1-е).
Покажем теперь, как пнтегро-дпфференцналыюе уравнение
D.3), D.4) может быть приведено к эквивалентной бесконечной
системе линейных алгебраических уравнений. Представим функ-
функцию с, (х) в виде ряда
п=о
D.35)
где Р„(х)—полиномы Лежапдра. Используя условие ортогональ-
ортогональности [7]
0	(пфг),
легко убедиться, что в силу D.4) Р = 2а0. Далее найдем [7]
D.36)
Здесь Рп (х) — присоединенные функции Лежапдра, Qn{x) —
функции Лежандра 2-го рода. Разложпм еще функцию j(x) в

§ 4. ИНТБГРО-ДИФФБРБНЦИАЛЬНЫБ УРАВНЕНИЯ	213
ряд вида
/(*) = - 2 hPi (х) A - х*)-*\	D.37)
где в силу условия ортогональности [7]
коэффициенты /„ даются формулами
f (х) V7=l? Pi (x) dx.
-1
Если /(i)'et,(-l, 1) (р>1), то ряд D.37) сходится к функ-
функции f(x) по норме Lp(—1, 1); при этом, как указано выше,
(p(x)<=Hl(— 1, 1) и ряд D.35) будет сходиться к функции ф(ж)
равномерно.
Подставляя D.36), D.37) в уравнение D.3), получим
anQn (ж)= 2j (— fn + R«n) Pi (x). D.39)
n=o	n=l
Умножим D.39) на Р\ {х) (?5*1) и проинтегрируем по а; в
пределах от —1 до 1. Далее, используя соотношение [7]
i (i + 1) [Pi+1 (x) - Р{_г (х)] = Bi + 1) УТ=^г р\ {Х) (I > 1)
и интеграл [7]
1
О <Г\ Рг. 1т\ fl-Г
V» 1^1 <1 1^1 UX —
(к - п) (к + п -t-1)
-1
(при га = Л интеграл равен нулю), найдем
(при га = г — 1, г+1 интеграл равен нулю). На основании послед-
последнего равенства и D.38) получим относительно неизвестных коэф-
коэффициентов ап разложения D.35) следующую бесконечную алгеб-
алгебраическую систему:
„п 4- 1 У"п	Bг+ !)[! +(-!)"+*]	_ .
H-"i ¦+¦ я ^ "и (г _ „ _ 1} (i _ „ +1) {i + „) (г + п + 2) 'У1
Л О

214 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Штрпхи означают, что в сумме пропущены слагаемые при п —
= i—\, i+1. Эту систему нетрудно привести к виду
—
D.40)
—
n=l
x-x = a, Bi + I)-1, gi = U Bi + I) (i > 1),
Можно убедиться, что при всех i
С 3 , / V	2n+i	3 , /
S = T + 4 2 B)B(» + l)( + 3) = T + 4
(то ¦
т—о
1
(то + 1) (то + 3) (то + 6)	10 Y v ' ^
где ty(n)—пси-функция [7]. После несложных вычислений найдем
S= 11/5. С учетом этого результата можем заключить, что беско-
бесконечная алгебраическая система D.40) вполне регулярна при
1ц1>11/Eя).	D.41)
После решения системы D.40) значения функции (р(х) в
точках х = +1 могут быть найдены соответственно по формулам
Ф A) = 2 ап, Ф (- 1) = 2 (- 1/4.	D.42)
п=о	п=о
Оценки D.34) и D.41) показывают, что интегральное урав-
уравнение Фредгольма второго рода D.33) и бесконечная алгебраи-
алгебраическая система D.40), а следовательно, и интегро-дифферешгиаль-
ное уравнение D.3), D.4) эффективно решаются при достаточно
больших значениях параметра (х. При малых значениях (х можно
получить вырожденное решение уравнения D.3), D.4). Именно,
устремляя (х к нулю, в силу формулы B.36) гл. 2 найдем

§ 4. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	215
Однако решение D.43) имеет особенности в точках ж = ±1, хотя,
как выше отмечалось, ф (х) е Hi (— 1, 1).
Приближенное решение интегро-дифференциальпого уравне-
уравнения D.3), D.4) при малых fx>0, обладающее необходимой глад-
гладкостью в точках ж = ±1, может быть получено с помощью метода
сращиваемых асимптотических разложений [16]. Во внешней об-
области Ы<1 — /и. в качестве решения уравнения D.3) может
быть принято вырожденное решение D.43), причем величину Р
следует считать произвольной. Во внутренних областях 15» Ы ;>
> 1 — /и. должны быть построены решения типа пограничного
слоя, «сшитые» с вырожденным решением D.43). Затем нужно
сконструировать такую суперпозицию внешнего решения и ре-
решений типа пограничного слоя, которая бы не имела особенно-
особенностей в точках х = ±1 и удовлетворяла бы условию D.4).
Покажем, как строятся решения типа пограничного слоя для
частого случая f{x) = fx. Согласно D.43) для этого случая
Заметим также, что функция
ф* (х) = — у Vi — х2	D.45)
тоже удовлетворяет уравнению D.3) при \х = 0, являясь частным
случаем внешнего решения. Введем теперь в рассмотрение
— Ф*(ж)]	D.46)
и перепишем уравпение D.3) следующим образом:
1
Растянем окрестность точки ж = — 1 в D.47) путем перехода
к новым переменным
т = цГ1 A + |), t = [г A + .х), ij^ (x) = i|) @ D.48)
и устремим затем fx к нулю прп фиксированном i. В итоге полу-
получим следующее уравнение для определения функции if(?) типа
пограничного слоя в окрестности точки х = — 1:
А|галогпчпым образом, растягивая окрестпость точки х=1 в
f 4.4.7), получим такое же уравпение. Чтобы решения тппа по-
: рапичпого слоя рращпвалпсь с впешнпм решением па грапп-
цах ж=±1=ь/^ внешней и внутренних областей, потребуем

216 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
выполнения соотношений
ФA - 1ц) = ц-1/2г|)@- ?V2j^~ ФоA - l\i) = (Po + ч)/УЩп. D.50)
Устремляя ix к нулю и считая, что здесь / достаточно велико,
получим условие
t|>@~OPo + t)/V2F (f-^~)f	D.51)
выделяющее единственное решение интегро-дифферепциального
уравнения D.49). Определив функцию г|)(?) из уравнения D.49)
при условии D.51), главный член равномерно пригодного асимп-
асимптотического решения интегро-дифференциального уравнения
D.3) при малых значениях параметра (х>0 и f(x)=fx пред-
представим в виде
Ф (х) = ^= [я|> (^) + ф (i±f)] - v /1=^ D.52)
Постоянную Ро затем находим из условия D.4).
§ 5. Сведение интегро-дифференциальных уравнений
Прандтля и Штаермана на полуоси к разностным уравнениям
со сдвигом. Методы решения разностных уравнений
В предыдущем параграфе при рассмотрении случая больших
\х для уравнения Прандтля была показана необходимость реше-
решения следующего интегро-дифференциального уравнения на по-
полуоси:
оо
|^Т	<оо)	E.1)
при граничных условиях
г|)@)=1, г|)(°°) = 0.	E.2)
В процессе построения асимптотического решения для уравнения
Штаермана в случае малых (х была показана необходимость ре-
решения другого интегро-дифферепциального уравнения на полуоси
оо
f±ill*F+ „*'(«) = о @<s<oo)	E.3)
J T ¦ S
о
при условии
Метод решения уравнений E.1), E.2) и E.3), E.4) заклю-
заключается в сведении их к разностному функциональному уравне-

§ 5. СВЕДЕНИЕ К РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЯМ	217
нию; последние хорошо изучены [17, 18]. Продемонстрируем')'
этот подход на примере решения интегро-дифференциального
уравнения E.3), E.4).
Будем искать решение уравнения E.3) в форме интеграла
Меллина (см. § 4 гл. 1)
, г
~pdp,	E.5)
где контур L—прямая Rep = со. Подставляя выражение E.5)'
в E.3) и принимая во внимание значение интеграла [7]
\^dx = ns~pctgnp @<Re/7<l),;	E.6)
\J v	S
О
перепишем уравнение E.3) в виде
2^1 JРУ (Р) 8~Р~^Р — ^i f Y (p) ctg nps~pdp = 0. E.7)
L	L
Положим pW(p) — u(p), аргумент р в первом интеграле E.7)
заменим на р — 1, контур L сдвинем по вещественной осп на
единицу и обозначим через Ьи Будем иметь
2HI J U (P ~ 1) S~Vdp = Wi f U
L	L
±	L
Предположим, что на L существует меллиновское обращение
функции и(р), а в полосе со — lsgRepsgto она регулярна п
стремится к нулю при llmpl -*¦ оо (эти предположения проверя-
проверяются ниже). Тогда по теореме Коши (см. [5], с. 49), не изменяя
подынтегральной функции в первом интеграле E.8), можно за-
заменить Li на L и удовлетворить соотношению E.8), решив раз-
разностное уравнение первого порядка
а(р - 1)-р-1 ctg при(р) = 0 (pezL).	E.9)
Выберем число со таким образом, чтобы в полосе Cp
s? © коэффициент уравнения E.9) (т. е. функция p~lctgnp) не
имел нулей @<со<'/2). В этом случае каноническое решение
однородного уравнения E.9) можно получить методом Барнса
[18], который при исследовании уравнений разностного типа с
мероморфным коэффициентом основывается на известном свой-
свойстве гамма-фупкции Т(р + 1) = рТ(р). Учитывая условия, нала-
налагаемые выше на функцию и(р) в полосе со — 1 s? Hep sg со,
') Интегро-дифференциальное уравнение E.1), E.2) исследовано Кой-
тером и Капандия [19, 20].

218 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
запишем искомое решение в виде [21]
и (р) = СГ2 A + р) S (р) (С = const),	E.10)
l ^)
Заметим, что для построения решения уравнения E.9) ме-
методом Барнса следует воспользоваться формулой представления
p~lctgnp в форме бесконечного произведения [7]
2n
Опираясь далее на приведенную выше связь рх?(р) = и(р),
найдем в согласии с E.10) трансформанту Меллина Ч^р), а сле-
следовательно, и саму функцию ty(s) по формуле E.5). Здесь, одна-
однако, возникает вопрос о корректности этой формулы. Для ответа
на него, используя формулу Стирлинга [7]
\T(x + ty)\=nZ\y\'-l/2e-*W2[l+O(y-1)] (\y\ -*«»),
можно обосновать абсолютную сходимость и степенной рост бес-
бесконечного произведения S(p) вида E.10) в полосе со — 1 ^
< Reps? со. А тогда имеет место равенство №(p)l =
= 0(|Imp|8exp(—я Ilmpl) (llmpl->-<»), из которого следует,
что интеграл E.5) сходится, а также существует обращение
преобразования Меллина функции и(р). Таким образом, ограни-
ограничения, налагаемые на функцию и(р), полностью оправданы.
Установим, далее, асимптотику решения ^(s) при s -*¦ оо с
помощью алгоритма, изложенного в работе [22]. Следует отме-
отметить, что формула E.10) определяет решение и(р) разностного
уравнения E.9), регулярное в полосе со — 1 s? Rep sg со. Для
дальнейших рассуждений потребуется аналитически продолжить
функцию и(р) через прямую Rep = co. Осуществим такое про-
продолжение при помощи уравнения E.9), считая его справедливым
в полосе со s? Reps? со + 1. Будем иметь
u(p + l) = (p + l)tgnpu(p) (peL).	E.11)
Покажем, что функция и(р), определяемая выражением E.11),
имеет полюс в точке р = Ч2. Действительно, в силу E.11)
u(V2)== V2tg(n/2)u(—V2), а в точке р = —Чг функция и(р), как
видно из E.10), регулярна. Отсюда следует, что первый член
асимптотики решения ^>(s) E.5) уравнения E.3) при s -*¦ °°
определяется в силу упомянутой выше теоремы Коши значением
вычета W (р) в точке р = V2, т. е.
$(s)~Ds-l/l (s^-со),	E.12)
D = — lim (p — V2) x? (p) (D = const).

§ 5. СВЕДЕНИЕ К РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЯМ	219
Из E.12)" в соответствии с равенствами W (p) = p~lu(p), E.10J
и E.11) найдем
D = - и(- V,) lim (р + Va) tg np = С.	E.13)
р-»->/.
Удовлетворяя теперь дополнительному условию E.4), получим
согласно E.12), E.13) С = 1 и тем самым окончательно построим
решение поставленной задачи [23].
В заключение этого параграфа приведем некоторые резуль-
результаты решения неоднородных разностных уравнений со сдвигом
[21] вида
u(p-b) = F(p)u(p) + f(p) (pei).	E.14)
Здесь, как п выше, требуется определить функцию и(р), регу-
регулярную в полосе между прямыми L: Re p = со и Re р = со — Ь и
стремящуюся к нулю при llmpl -*-<».
Предположим, что коэффициент уравнения E.14) можно
разложить в произведение F{p) = Fl{p)Fi{p), где Fi(p)—элемен-
Fi(p)—элементарная функция, т. е. такая, для которой решение однородного
уравнения E.14) легко строится, а функция Fs(p) на мнимой
оси удовлетворяет, условию Гельдера, имеет индекс1), равный
нулю, не обращается в нуль и на бесконечности достаточно бы-
быстро стремится к единице. В этом случае будет справедливо, как
показано' в [24], каноническое решение, приведенное ниже.
Рассмотрим различные сочетания параметров Ъ и со. Пусть
Ъ = 0; тогда уравнение E.14) превращается в следующее:
и контур L можно провести как слева от мнимой оси, так и
справа. Если Ь<0 (Ь>0), то число со < 0 (со>0) подберем
таким, чтобы в полосе cosgRep<0 (CKRepsgco) функции
Ft(p) и Fz(p) не имели нулей. В этом случае каноническое ре-
решение однородного уравнения E.14) ио(р — b) = F(p)uo(p) (p^
^ L) запишется в форме
Х2 (р) = Y (p) F71 (р) ф < Re р < 0, 0 < Re p < Ь),
X2(p) = Y(p) @<R<& &<R<0)
[loo
-2TTTil
-it»
') Индексом непрерывной, не обращающейся в нуль комплексной функ-
функции g{t) = gi(t) +igi{t) (\t\ < oo, g(<x) =g(—oo)) называется измене-
изменение аргумента g(t) на действительной оси, выраженное в полных обо-
оборотах:
оо
№ 8 W-~ = %ul]*gm-BO=%u j dlag(t).
О свойствах индекса см., например, [17].

220 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Здесь Xi(p) — решение однородного уравнения, Х1(р—Ъ)=:
= Fi(p)Xi(p) (p^L), которое строится, например, методом
Барнса.
Общее решение неоднородного уравнения E.14) имеет вид
[21]
и (р) = и0 (р) [С + cos (пЬ^р) Z (p)],
= W(p)-g(p) (b<Rep<0, 0<Rep<b), 5 _
Z(p) = W(p) @<Rep<-b, -&<R<0)
g (t) dt	,	/ (p)

2ГГГ| Jioo sinlnd (t-p)Y 8 (P' ~ cos (яб-'р) u0 (p-b) ''
где С — произвольная постоянная, определяемая из физических
соображений.
В качестве примеров приведем некоторые канонические реше-
решения однородных уравнений, которые могут быть построены в за-
замкнутом виде [21]. Пусть F1 (р) = cctg2 ^; тогда Х1 (р) = с~р/ь X
Xcos~2-||- @<c = const); пусть Fx (p) =—ctgjb|_; тогда
Отметим еще связь между решениями разностных уравнений
со сдвигом E.14) и формулами метода Винера — Хопфа (§ 9
гл. 2). Полагая в E.15), E.16) Ь = ±°о, найдем
При этом в случае & = — °° имеем
X2(P)-Y(P)F-1(p), Z(p) = W(p)-g(P) (Re/7<0),
X2(P) = Y(P), Z(p)=W(P) (R
При b="x> здесь нужно поменять местами неравенства. В то же
время функциональное уравнение E.14) при Ь = ±оо и со -*¦ ±<х>
(Icol < |Ь|) можно рассматривать как задачу Римана B.30) гл. 2
на мнимой оси или, что в данном случае то же самое, как задачу
Випера — Хопфа. При этом по формулам типа (9.23) — (9.26)

§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)	221
гл. 2 получим решение, в точности совпадающее с предельным
решением E.17). Метод Барнса при & = ±<х>— это фактически
обобщение метода бесконечных произведений (см. конец § 9
гл. 2).
§ 6. Асимптотические методы решения смешанных задач
типа с)
Изучение задач типа с) начнем с конкретного примера сме-
смешанной задачи теории упругости о плоской деформации.
1. Пусть упругая полоса с характеристиками G и v (рис. 4.3)
растягивается на бесконеч-
бесконечности силами Pi = pk и Р2 =
= qh, где h — толщина поло- р
сы. Грань полосы у =¦ 0 шар- -*—
-а
нирно закреплена, грань у — -*—
= % при \х\>а не нагруже-	V////////////////////////////7///, х
на, а при \х\ г? а подкреплена
жестким на растяжение и	Рис. 4.3
абсолютно гибким стринге-
стрингером, к которому приложена сдвигающая сила Т. Очевидно, что
должно выполняться условие равновесия полосы
Pi^Pt + T.	F.1)
Требуется определить касательные напряжения х(х), возникаю-
возникающие в области контакта Ы sg а стрингера и полосы.
Заметим, что решение х(х) данной задачи можно представить
в виде суммы решений Xi(x) и Хг{х) двух следующих задач: сим-
симметричной
и несимметричной
Обратим еще внимание на то, что в силу абсолютной гибкости
стрингера нормальные напряжения в области контакта его с по-
полосой отсутствуют.
2. Для исследования рассматриваемой задачи будем искать
решение уравнений Ламе B.4) гл. 1 без инерционных членов в
полосе 0 s? у sg k в форме интегралов Фурье
. р	t	i С
it I X i УI ^— ^~~¦ \ \J I ОС. У) 6	uOC« 17 I Xa U) ^—	1 V (ОС, TJI 6	uOC.
Г	Г
F.4)
Здесь, в отлпчие от C.5), а—комплексное число, а контур Г —
прямая, параллельная вещественной оси. Для нахождения транс-

222 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
формант U п V вновь придем к уравнениям C.6), из которых
получим
U+ = ai ch ay + b2 ay sh ay, U~ = b, (ay)-1 sh ay + a2 ch ay, F.5)'
F+ = (bi — xa2)chai/ + a2ai/sh ai/,
V~ = (a1 — кЬ2) (ay)-1 sh ay+ b2ch ay,
где x = 3 —4v, щ и &,- (/ = 1, 2) — функции от a, подлежащие
определению из граничных условий задачи, которые будут сфор-
сформулированы ниже. Далее, по перемещениям F.4), F.5)' в согла-
согласии с формулами B.5) гл. 1 определим в полосе напряжения
ах = - |- J (Бх+ + cyrSj) ae~iaxda,
г
a, = ?
г
Tx, = IJ (T+
г
2x = (ax + 2v&2) ch ay + baa# sh ay,
2 J = (bj + 2va2) (ai/) sh ai/ + a2 ch ai/,.	6
2j" = \ax — 2 A — v) fr2] °h ОД + b2ay sh ai/,
2jT =• [bA — 2A — v) a2] (ay) sh ay + a2 ch ai/,.
Г+ = [b1 — A — 2v) a2] ch ay + a2ai/ sh ay%
T~ = [ax — A — 2v) b2] (ay)~l sh ay + Ъг ch ai/.
3. Перейдем к изучению симметричной задачи F.2)', гранич-
граничные услввия которой имеют вид
y-h: €, = 0 (\х\<°о), тзд = 0 (\х\>а), и = 0 (\х\*?а),
у = 0: v = xxy = 0 (Ы<оо)',	F.7);
Приведем граничные условия F.7) к более удобному виду, для
чего будем искать решение уравнений Ламе B.4) гл. 1 в форме
u = uo + uh v = vo + Vi, где и0 и v0 — перемещения в полосе, со-
соответствующие решению симметричной задачи при отсутствии
стрингера, а ^ i d,- возмущения, налагаемые на перемещения
точек полосы присутствием стрингера. Заметим, что функции и0
и v, могут быть легко найдены и имеют вид
vo = -BG)-1vqy.

§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА е)	223
Теперь с учетом F.7) несложно получить граничные условия
для добавочных функций Ui и vt. Именно, имеем смешанную крае-
краевую задачу
y = h: 4" = 0 (|ж|<оо), <tg>=0 Aж|>о),
u1=-BG)-1(l-v)qx(\x\<:a)l
у = 0: ^ = 4^ = 0 (|ж|<оо),
а^ = т^->0 @<1/<й, Ы->оо),
причем txV = тх(х) при г/ = й и |ж|«?а, где ti(x) — нечетная
функция.
При использовании формул F.4) — F.6) для решения задачи
F.8) контур Г можно совместить с вещественной осью, поскольку
добавочные напряжения исчезают на бесконечности. Учитывая
это и следуя схеме решения смешанных задач, изложенной в
гл. 1, приведем задачу с граничными условиями F.8) к интег-
интегральному уравнению [25]
)
F.9)
1 + ch 2м	. ,
cos ut аи.
wBw+sh2w)
о
В безразмерных переменных
х' = ха-\ l' = larl, X = ha-\ (p(x')=il(x)q-> F.10)
уравнение F.9) примет вид (штрихи опускаем)
1
Jq>F)fc(LjjL?)#=-^ (и<1).	F.И)
-1
Последнее совпадает с уравнением G.1) гл. 1, A.15) гл. 2 с сим-
символом ядра К(и) = A+ch2u)u~lBu +sh2u)~\ соответствующим
случаю с) при С = '/2.
4. Граничные условия несимметричной задачи F.3) имеют вид
l/ = h: а„ = 0 (Ы<°°), Тзд = 0 (\х\>а), и = у (\х\<а),
У = 0: v = xxy = Q (\x\<oc),
тзд-0 {0<y<h, Ы-^~),	( }
ax-*r (O^Sy^h, х^-— °°), Ох-*-0 @^у< h, х-* °°),
где f — перемещение стрингера в направлении оси х, вызванное
приложенной к нему силой Т. Заметим еще, что Тзд=т2(а;) при
У = h и Ы «Set.

224 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Согласно F.12) и теореме 1.14 функция ах может быть пред-
представлена в форме интеграла Фурье
ах = ~ j 2Я (а, у) e~iaxda,	F.13)
j
г
причем прямая Г должна лежать (в предположении экспонен-
экспоненциального убывания ах при х-*-°°) ниже вещественной оси. Учи-
Учитывая это при использовании формул F.4) — F.6), приведем -за-
-задачу с граничными условиями F.12) по обычной схеме решения
смешанных задач к интегральному уравнению
F.14)
h r«- 1 Г l + ch2g iV
KiW— 2 J ?B?+sh2?) e "^
Конкретизируем также Б*(а, у) в F.13):
. [2 ch afe — aft sh aft] ch ау + ау ch aft sh
Щ
x (а, У)=— 2л
2aft+sh2afc
Здесь Т2(а)—трансформанта Фурье функции т2(
(|ж| <а), %2(х)=0 (\х\ >а), определяемая формулой
{al
ТА<*)= I 4{l)e{ald\.	F.16)
В силу теоремы 1.14 на всей комплексной плоскости а функция
7(а) является целой функцией (можно показать, что при а-»-00
функция Т2(а) ведет себя как |ah'/2exp(a|Imal)). Далее, по
формулам F.13) и F.15) найдем
F.17)
а на основании F.16) и F.3) имеем
В безразмерных переменных F.10) и
Ф(ж')=тг(а;)8-1, f' = fa, iV. = Д(а8);-'

§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА С)	225
уравнение F.14) и условие F.18) примут вид (штрихи опускаем)
= #„. F.19)
-1
-1
Ядро F.14), пользуясь результатами § 1 гл. 2, можно предста-
представить в форме
k1(t) = k(t)-^Ct,	F.20)
где k(t) дается формулой F.9). Уравнение F.19), F.20)' совпа-
совпадает с G.1) гл. 1, A.18) гл. 2 и вновь соответствует случаю с)
при С = 72.
5. Построим асимптотические решения интегральных уравне-
уравнений F.11) и F.19) при больших значениях параметра К. Поль-
Пользуясь формулами A.23) —A.25) гл. 2, представим ядро k(t)
вида F.9) в форме (d = б = 0)
Далее, раскладывая cos ut под интегралом в выражении l(t) в
ряд по ut, придем к соотношениям (8.2) и (8.4) гл. 2, причем
d0 = R2 + d* — бесконечная постоянная, di = 0,1368, d2 =
= —0,0832, а ряд (8.4) гл. 2 (ге^=1) абсолютно сходится при
Ш<2.
В соответствии со сказанным интегральное уравнение F.11)
можно записать в форме (8.5) гл. 2, где f(x) = — х/2. Уравнение
F.19) с учетом F.20) также можно представить в форме (8.5)]
гл. 2, где f(x) = "fh(M —xNo) DЯ.). Воспользовавшись далее
формулами (8.20) и (8.22) гл. 2, получим следующие асимптоти-
асимптотические решения: для уравнения F.11)
F.22)
для уравнения F.19)'
F.23)
В. м. Александров, Е. В. Коваленко

226 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Практически формулы F.22) и F.23) можно использовать при
6. Построим асимптотическое решение интегрального уравне-
уравнения F.11) при малых значениях параметра X, развивая идеи,
изложенные в § 10 гл. 2. Для этого продифференцируем его по-
почленно по х п рассмотрим вспомогательное интегральное урав-
уравнение ')
Фа (I) r ()
„о	ос	F-24)
r(t) = jL (ц) siimidu = ^т j L(u)eiutdu,
О	— о°
где L(u) имеет вид F.21). Если будет получено решение урав-
уравнения F.24), то решение <р(х) исходного уравнения F.11) может
быть, очевидно, найдено как предел ф«(а;) при б -»- 0.
Расчленим теперь F.24) по аналогии с A0.3) — A0.5) гл. 2
на систему трех интегральных уравнений
оо
- J ¦>« D) г (Ц^) « - Т «""*"¦ (- » < К ~). @-25)
-1
со1б (i±i-) - уб (ijj г (Ц^-)<Й (- оо < ж < 1). F.27)
оо
-I
Нетрудно убедиться, что после определения из этой системы
функций Vi(t), wl6(t) и со2б@ решение уравнения F.24) может
') Здесь функцию r(t) следует понимать как предел при 8i —>-0 и 8г->-
->-0 интеграла

§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)	227
быть представлено в форме
A^)Ш (|ж|<1). F.28)
Как было показано в § 9 гл. 2, решение интегрального уравне-
уравнения F.25) легко находится с помощью теоремы о свертках для
преобразования Фурье. Именно, будем иметь
1>4(*) = -ДОF)]-'в-И|.	F.29)'
Интегральные уравнения F.26), F.27) очевидной заменой пере-
переменных приводятся к виду
(т) г (т — t) dx =
(I
_ я
оо
~1} — I [«26 (т) - v6 (AT1 — t)] r f т + t — y) dT>
J
2/Х
F.30)
ю2б (т) г (т — t) dx =
к e-56(,-i-f) _ j [Щ6 (т) _ v& (т _ ^1}] г / + ( _ |
¦их
Допустим, что при t -*¦ оо имеют место соотношения
«о,» @ - У» (* - Я,) ~ <ом @ - ^ (Л-"' - 0 ~ е-р' F.31)
(далее эти допущения будут оправданы). Кроме того, заметим,
что с учетом свойств функции L(u) вида F.21) можно убедиться
в справедливости следующих асимптотических соотношений для
ядра F.24):
F.32)
С помощью F.31) и F.32) оценим последние слагаемые в пра-
правых частях F.30). Можно показать, что эти интегралы по X
имеют порядок е~2РА, при t -*¦ 0 ведут себя как О (In i), а при
f->oo — как 0A). Ввиду малости указанных интегралов в F.30)
при малых К главные части функций col4(?) и со2б@ определим
15*

228 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
из уравнений
F.33)
(О «3 ?<<*>).
Из F.29) и F.33) видно, что при б = О
vo(t) = 0, (o°10(t) = -(o°20(t) = (o°(t),	F.34)
поэтому главный член асимптотического решения при малых К
уравнения F.11) будет в соответствии с F.28) иметь вид
Ф (х) = со° A±!) - со° (±=Х).	F.35)
Решение интегральных уравнений F.33) может быть получено
методом Винера — Хопфа, существо которого было изложено в
§ 9 гл. 2. Чтобы найти решение уравнений F.33) в удобной для
использования форме, аппроксимируем функцию L{u) следую-
следующим выражением:
Погрешность такой аппроксимации при /г, = 0,973, h2 — 1,895 не
превосходит 5%. Поскольку интепральные уравнения F.33) одно-
однотипны, то далее подробно рассмотрим лишь первое из них. По-
Положим «ia (t) = (— 1/2) exp(i6A) фе (t); тогда функция <pt(t) удов-
удовлетворяет уравнению
оо
J фе (т) г (т - t) dx = яе~м @<^<оо).	F.37)
о
Функциональное уравнение (см. § 9 гл. 2) для интегрального
уравнения F.24), F.36), F.37) будет иметь вид
ф*<">;?г&г-.-^+*-<->¦ F-38>
Допустим, что при б = 0 и и-*- 0
Ф+@) = С1Ф0, ?-@) = С2,	F.39)
причем Ci и С2 — конечные постоянные. Это означает, что

§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)	229
интегралы
оо	О
|	J	(	) F.40)
при 6 = 0 сходятся, где <p+(t) и e-(t)i — оригиналы трансформант
Фурье Ф+(^) и Е~(и). Сходимость интегралов F.40) следует из
физических соображений, а также будет вытекать из далее пост-
построенного решения. На основании F.39) из F.38) при б = 0 и
и-*-0 найдем
Ф+ @) = - кгК1г.	F.41)
При факторизации функции L(u) вида F.36) могут предста-
представиться два случая:
и Л- ih,	и — ih
L+(tt) = _+^, L_(u) = —=ф-	F.42)
и У и + ih2	у и— ih2
(здесь факторизация производится относительно прямой I, лежа-
лежащей чуть выше вещественной оси);
J+^	^	F.43)
+()J^,	(.)
V » -f ii
'	Л.
(здесь факторизация производится относительно прямой I, лежа-
лежащей чуть ниже вещественной оси). Можно показать, что предель-
предельное решение интегрального уравнения F.37) при 6-+0 в обоих
случаях F.42) и F.43) с учетом F.41) будет одним и тем же.
Поэтому ограничимся, далее, рассмотрением случая F.42); при
этом функциональное уравнение F.38) можно представить в
форме
и 4- ih. У и — 1Ь,Л	„,
Ф+ (ц) / 1 = - -;—4^7	Vr + Е- (и). F.44)
Теперь с учетом соотношения
У и — ih.	YK + i8
(„Л,(.А)=^(")+?-""' ^(ц)- v-k+¦¦«)(.-«
F.45)
из F.44) получим
Ф+ (ц) "J^L. + ?+ (ц) = - ?_ (ц) + ?* (ц) = Г (ц), F.46)
иУ u-\-ih2
где.Г(ц)—регулярная функция на всей комплексной плоскости
? = и + iv.
Как видно из асимптотического решения задачи при боль-
больших А, F.22), функция ф(ж) имеет характерную особенность

230 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
A— хг)~'ь; по-видимому, эта особенность сохранится и при малых
К (в следующем параграфе будет доказана соответствующая тео-
теорема). Тогда функция ф«(?) должна иметь особенность вида t~'h
в нуле и, следовательно, функция Ф+E) должна вести себя при
? -*¦ °° как t,-'1'. Таким образом, левая часть равенства F.46) ис-
исчезает при и -*¦ °° как и~\ и по теореме Лиувилля Г(ц) = 0. В ре-
результате из F.46) имеем
V— * (*i + *S) (» — б) (
Теперь (pt(t) можно определить по формулам
F.47)
F-48)
На основании F.47) для Ф#(р) нетрудно получить выражение
Используя далее таблицы интегрального преобразования Ла-
Лапласа — Карсона [2], найдем
/,\	Г 2 '	/7 Iе	i Л/ 1	7	1	С
Фб(О = ~ ,о , ,2 fe3 кт= + УК-Ке erf
[-h2t
ynt
F.50)
Учитывая, что h2> hl и erfx-^-l (ж-^-<»), убедимся на основа-
основании F.50) в справедливости первого допущения F.31). При
6 = 0 из F.50) будем иметь
1_1 + Yh^=Tie-hlt erf V(K - К) t j.
F.51)
Теперь нетрудно убедиться в справедливости первого допущения
F.39). Если из F.46) найти E—(u) = W—(u) а затем опреде-
определить e-(t), то можно показать, что выполняется и второе допу-
допущение F.39). Итак, главный член асимптотики решения интег-
интегрального уравнения F.11) при малых % дается формулами F.35)
и F.51).
7. Построим асимптотическое решение интегрального уравне-
уравнения F.19) при малых значениях параметра X, развивая идеи, из-

§ 6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с) 231
ложенные в § 3 (п. 5). Для этого продифференцируем его по-
почленно по а: и разобьем на следующую систему двух уравнений:
J
^Г1'	F.52,
- Я<а[г(^) + *]*
(—00
Кроме того, заметим, что
(<а)е at,,-	(о.оо)
где прямая Г, как уже отмечалось в п. 4, лежит ниже вещест-
вещественной оси, а функция Ь(и) дается формулой F.21). Очевидно
также, что решение продифференцированного уравнения F.19)
есть
x).	F.54)
Введем обозначения
{^\	{^\	F-55)
тогда после очевидных замен переменных систему интегральных
уравнений F.52) можно переписать следующим образом:
О	2Д
F.56)
21%
Допустим, что решение системы уравнений F.56) (т. е. функции
4i(t) и ф2@) ведет себя следующим образом при *-*¦<»:
*"'1*	F-57)
(далее, это допущение будет оправдано). С помощью F.32) и
F.57) нетрудно оценить интегралы, стоящие в правых частях
системы F.56). Именно, можно показать, что эти интегралы по

232 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Я имеют один и тот же порядок е~2Р/\ При t -*¦ 0 они ведут себя
как In t, а при t -*¦ °° интеграл в первом уравнении F.56) исче-
исчезает как е~*', во втором уравнении стремится к постоянной ве-
величине.
Для построения главного члена асимптотики при малых А,
пренебрежем интегралом в правой части первого уравнения F.56).
Будем иметь
оо
§	<oo).	F.58)
Решая полученное интегральное уравнение методом Винера —
Хопфа при аппроксимации F.36), найдем
Ф? (О = Dw° (t),	F.59)
где D — произвольная постоянная, а со°(?) дается формулой F.51).
Заменим теперь интеграл, стоящий в правой части второго урав-
уравнения F.56), его значением при t-+°°. Принимая во внимание
вторую формулу F.32), придадим указанному уравнению вид
оо	оо
J Ф2 (т) г2 (т - t) dx » -| j фх (т) dx,	F.60)
О	2Л
где введено обозначение
причем прямая Г здесь уже лежит выше вещественной оси. Под-
Подставляя в^правую часть интегрального уравнения F.60) вместо
функции ф1(т) ее приближенное выражение, определяемое фор-
формулой F.59), и вычисляя интеграл, при малых % будем иметь
ОО
f Фа(т)г„ (т — t)dx= —^Dbe~2hl/X(o^t<oo, b =
о	V
F.62)
Решая уравнение F.62) методом Винера — Хопфа при аппрокси-
аппроксимации F.36), найдем
ф2 (t)= Due	со \t),	(b.oo)
где со0 (f) снова дается формулой F.51). Из формул F.59), F.63)'
вытекает справедливость допущения F.57).
Итак, в силу F.54), F.59) и F.63) главный член асимпто-
асимптотики решения интегрального уравнения F.19) при малых X

§ 7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА С)	233
можно представить в форме
Ф (*) = 4»° (^) + ^Д «о (i^)].	F.64)
Используя теперь дополнительное условие F.19), выразим по-
постоянную D через No; получим
jV0 = ZA(l + be~h>s) [erf ( V^) - fee^erf F V^)] (s = 2/X).
F.65)
Вычисления показывают, что формулы F.35), F.51), F.64)
и F.65) дают достаточно точные результаты при Л^ 72.
§ 7. Другие методы решения смешанных задач типа с)
1. Рассмотрим интегральное уравнение F.11) с общей правой
частью f(x) е Я* (— 1, 1) ('/2 < а ^ 1, /(ж) — нечетная функ-
функция) и ядром типа F.9), ще символ .ЙГ(ц) обладает свойствами
К (и) = Си-2+ 0A) (ц->0),
G-1)"
Я(ц) = ц-1 + 0(е-'ш) (ц-* со, х > 0)".
Допустим также, что на комплексной плоскости t, = u+iv функ-
функция ?,гК(%) регулярна в полосе |у|^с. Тогда L(u) = uK(u) мож-
можно представить в виде
L(u) = cth(C-lu)-+n3(u),
щ(и) = 0(и) (u->0),	G.2)
причем функция п3(%) регулярна в полосе M^v (v
= inf(e, яС-0)).
Заметим теперь, что имеет место соотношение [7]
cth(C u
rcth(C
о
где d,,. — бесконечная постоянная, а интеграл понимается как
предел при е ->- 0 выражения
G.4)
ил+е*
о

234 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
В соответствии с G.2) и G.3) для ядра k(t) получим представ-
представление
^p-cosutdu, G.5)
о
а на основании теорем 1.14, 1.15 убедимся, что m3(t) как функ-
функция комплексного переменного w = t + ix регулярна в полосе
|т1 < р, и, кроме того,
m,(t) = O(e-^) (И->°°).	G.6)
Таким образом, первое слагаемое в выражении G.5) для k(t)
полностью отражает все основные свойства ядра.
Интегральное уравнение F.11) с учетом G.5) может быть
теперь записано в форме
Ьф = я/(х) — Мф (|х|< 1),
1
Ьф = - J Ф (?) In | 2 sh ПС%~Х) | dl,	G.7)
МФ=
Здесь учтено, что ф(ж), как и /(ж),—нечетная функция, и по-
зтому iV0 = 0. Заметим, что Ьф представляет собой главную (не-
(нерегулярную) часть интегрального оператора в уравнении G.7),
а Мф — малую при всех А, регулярную добавку.
2. Покажем, что решение интегрального уравнения G.7) с
отброшенным последним слагаемым, т. е. решение уравнения
Ьф = я/(я) Aя|^1),	G.8)
может быть построено в замкнутом виде. Для этого перепишем
G.8) с учетом нечетности функций ф(ж) и f(x) следующим об-
образом:
1
d\ = я/ (х) @<я<1).
1
-|ф(йIп
G.9)
Введем теперь новые переменные и обозначения по формулам
_ пС	_ th re,		 th rz
Г-Г' ^-"TFT' у-"пГ7"'	GЛ0)
г)! (у) = r"h г сЬ2гжф (ж), g(y) = f (x).

§ 7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)	235
Тогда G.9)' примет вид
1
|^|	1).	G.И)
Решая интегральное уравнение G.11), в согласии с формулой
B.36) гл. 2 найдем
GЛ2)
откуда, возвращаясь к старым переменным и обозначениям в со-
соответствии с G.10), получим
Ф<х) =	 '	' »¦' ^'u'"'"u'bd?.	G.13)
яУсЬ2г— ch2ra J	shr(z—g)	»	v
—l
Если в G.13) положить f(x) = — ж/2, как это имеет место	в ин-
интегральном уравнении F.11), то с помощью сингулярного ин-
интеграла
J V7~^dn _ = _ *У Vi^ (|j/|<1, е»<1)	G.14)
-1
и с учетом соотношений G.10) найдем
Ф(я) = --т= shrx	G.15)
V2(ch2r— ch2rx)
Поскольку член Мф в G.7) вносит относительно малый вклад
при А,е@, ооO то придем к выводу, что формула G.15) при всех
% дает приближенное решение задачи, поставленной в п. 3 § 6.
Рассматривая далее в качестве f(x) в G.13) всю правую часть
f(x)~я~'Мф интегрального уравнения G.7), приведем его к
эквивалентному интегральному уравнению второго рода
_ f
- J
shr(x-g)	d&-
G.16)
Если теперь допустить, что существует решение интегрального
уравнения G.16) <p(x)&Lp(—l, 1) A<р<2), то нетрудно убе-
убедиться в следующем:
/ (ж)-я^Мф (=#?(—1,1).	G.17)
Далее, на основании свойств сингулярных интегралов типа C.4)'
гл. 2 придем к заключению, что V [/ (х) — я-1Мф] е #J(— 1,1)

236 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
(¦у = а, когда а < 1; ^ = 1 — е, когда а = 1). Таким образом, спра-
справедлива
Теорема 4.3. Если в интегральном уравнении G.7) нечет-
нечетная функция f{x) принадлежит Я™(—1,1) G2<а^1)' и ре-
решение <р(х) этого уравнения при данном значении A,s@, oo) су-
существует в Lp(—1, 1) A <р<2), то оно имеет структуру
Ф (х) =	.т*{х)	G.18)
ch гх ych 1т — ch 2гх
где нечетная функция со* (х) принадлежит #о(—1» 1^ причем
Y = а при а < 1 и ^ = 1 — е при а = 1.
3. Заметим, что спектральное соотношение F.11) гл. 2 в част-
частном случае (для нечетных значений п) может быть записано в
виде
1Г]1 In
; m = 0,1, ...).	G.19)
Переходя в формуле G.19) к переменным х и | согласно G.10),
получим новое спектральное соотношение [26]
1
о
УсЬ2г—
In
sh г (| — х)
sh г (? + х)
I)],
G.20)
имеющее непосредственное отношение к интегральному уравне-
уравнению G.9). Действительно, если, используя условие ортогональ-
ортогональности
разложить функцию f(x) в ряд
2/),	G-22)
1=0
то для функции щ (х) в G.18) на основании G.20) нетрудно
получить выражение
оо	--
/ \	'V1 V Л —irp	/ \	fry QQ\
СО* (X) = 2л Ji^-i * 2i+l (У)'	\1 .АО)
Когда f(x) принадлежит указанному выше классу функций, сле-
следуя результатам, приведенным в § 1 гл. 3, для коэффициентов U

§ 7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)	237
можно найти оценку (см. также (8.10) гл. 3)
/;~Г'-2а (J->«>)¦,	G.24):
из которой следует, что ряды G.22) и G.23) сходятся равно-
равномерно.
По аналогии с G.21) введем скалярное произведение и норму
(сравните с (8.5) гл. 3)
U e)= f /<e)g(l)^l	||Л,2_ Г	f(Ddl
Замыкание пространства нечетных непрерывных функций в нор-
норме G.25) образует гильбертово пространство, которое обозначим
через *Ь2'2 (—1,1). В этом пространстве совокупность {Tzm+l(y);
7?г = 0, 1. ...}, где у дается выражением G.10), представляет со-
собой замкнутую ортогональную систему функций.
4. Используем [26] спектральное соотношение G.20) в схеме
метода ортогональных функций (см. § 8 гл. 3) для построения
решения интегрального уравнения G.7). Будем искать функцию
щ(х) в G.18) в виде ряда
оо
ю* (х) = 2 щТ-н+1 (У)-	G.26)
i=0
Заметим, что если щ (ж) принадлежит согласно теореме 4.3
классу Щ(— 1,1), то она тем более принадлежит *L22 (— 1,1).
Следовательно, справедливо равенство Парсеваля
оо
11Ю*11 >/2 = 1!ю*11г2> IIю*к = 2 Ю1-	G.27)
*L2	i=0
Далее разложим функцию /(ж) в ряд G.22), а регулярную добав-
добавку ядра ma(t) вида G.5) — в двойной рад
оо ос
/7?.g yl \ = /1 /} 6тп \h) 1 27714-1 (^1/ ^ 2«+1 \У) \ ' == \ Ь
mm *ил	¦	\	л у
т=0п—о
1 1
qo /г си г\2 СС	то {t) Тот,л (Т1) TOnj_t (У) d? dx
я2 J J У(сЬ2г — ch2rg) (ch2r—ch2ra) ch rg ch rx
G.28)
О равномерной сходимости ряда G.22) уже говорилось выше; ряд
G.26) также сходится равномерно в силу свойств функции ©^(ж),
указанных в теореме 4.3, причем coi — i~2T (i->°°). Ряд G.28)
в силу свойств функции m3(t) равномерно сходится при всех
Ы s?l, ||| s?l и кЩО, оо).

238 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Лемма 4.2. Если /(ж) е Я™ (—1, 1), то решению ф (х) из
класса Lp(—d, 1) A</?<V3) интегрального уравнения G.7)'
соответствует последовательность чисел at из класса lz, удовлет-
удовлетворяющая бесконечной системе линейных алгебраических урав-
уравнений (8.11) гл. 3,- где Яп определяются формулой G.20), а /„,
(On и етп(X) —коэффициенты рядов G.22), G.26) и G.28). На-
Наоборот, любому решению {©;} из класса 1г указанной алгебраиче-
алгебраической системы соответствует решение ф(ж)е?р(—1, 1) A < р <
<4/3) уравнения G.7).
Лемма 4.3. Для коэффициентов етп(Х) вида G.28) имеет
место следующая оценка:
D3 = max | m^ {t) | (|f|<oo), G.29)
Доказательство лемм 4.2 и 4.3 полностью повторяет доказа-
доказательство аналогичных лемм 3.4 и 3.5.
Теорема 4.4. Оператор, стоящий в правой части системы
(8.11) гл. 3, действует из Z2 в Z2 вполне непрерывно при всех
А,е@, оо) и является оператором сжатия при Х>Х0. Постоянная
Хо находится из уравнения
Теорема доказывается .по аналогии с теоремой 3.8 с учетом
формул G.24), G.29). Из теоремы 4.4 вытекает:
1)	при Х>Х0 решение бесконечной алгебраической системы
(8.11) гл. 3 в пространстве Z2 существует и единственно, может
быть получено с любой степенью точности методом последователь-
последовательных приближений и справедлива оценка C.23) гл. 1;
2)	с учетом леммы 4.2 можно заключить, что при л>Я,0 ре-
решение интегрального уравнения G.7) в пространстве Lp(—l, 1)
A < р < 4/3) существует и единственно;
3)	бесконечная алгебраическая система (8.11) гл. 3 может
быть аппроксимирована конечномерной, т. е. для ее решения мож-
можно использовать метод редукции; кроме того, система (8.11) гл. 3
также однозначво разрешима почти при всех X < Хо.
Заметим еще, что система (8.11) гл. 3, эквивалентная инте-
интегральному уравнению G.7), может быть еще преобразована к ви-
виду (8.16) гл. 3, удобному для изучения в классе U. Можно дока-
доказать, что в форме (8.16) гл. 3 система будет квазивполне регуляр-
регулярна при всех X и вполне регулярна при достаточно больших X.
Практическое использование изложенного метода показывает, что
метод редукции для системы (8.11) гл. 3 или (8.16) гл. 3 быстро

g 7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)	239
сходится вплоть до малых значений X. Редукцию системы целе-
целесообразно производить так, как это описано в § 1 гл. 3.
5. Покажем [26], как для построения приближенного решения
интегрального уравнения G.7) при всех А.е@, оо) может быть
применен алгоритм дискретизации Мультоппа — Каландия (см.
§ 9 гл. 3). Запишем уравнение G.7) в переменных и обозначе-
обозначениях G.10). Будем иметь
G.31)
("Л, У, А,) = т3(Ц^)	(j^)
Заметим, что интегральное уравнение G.31) только обозначения-
обозначениями отличается от уравнения (9.14) гл. 3, поэтому здесь полностью
может быть повторена схема п. 2 § 9 гл. 3.
Приведем окончательные результаты. Приближенное решение
интегрального уравнения G.7) может быть построено по формуле
,_	t+l	i
ти=....., ,2/~y ьо 2(°*(е"JcosBт-w»х
(i + l)_ch гж.УсЬ 2г — ch 2га: ^	,^
вп = л Bп - 1) [4 (i + I)] (п = 1, 2, .. ., i + 1),
где величины (о*(8„) находятся из системы линейных алгебраи-
алгебраических уравнений
G.33)
в которой введены обозначения
(o*(e) = ^(cose)sine, g*(Q) = g(cosQ),
т*я (%, 9, ^)!= ^з (cos x, cos 6, A,). G.34)
Сходимость изложенного метода дискретизации с ростом числа i
узлов коллокации наблюдается при всех X, причем при заданной,
точности приближенного решения геличина i не превосходит не-
некоторого значения i0 (г0 = 3 — 5).
6. Перейдем к рассмотрению интегрального уравнения F.19)
с общей правой частью / (ж)е #?(— 1,1) G2 < а< 1) и ядром
F.20), где k(t) имеет вид G.5), а функция ms{t) в G.5) обла-
обладает указанными в п. 1 свойствами. Дифференцируя почленно это

240 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
уравнение по х, получим
1	1
пС \ фA)-57|	^.dl, = nkf (х) + 1 ф(?) т'3(^ X\dl, (|ж|^1).
G.35)
Заметим, что в левой части интегрального уравнения G.35) стоит
главная (сингулярная) часть интегрального оператора, причем
ядро этого оператора может быть представлено в форме
где прямая Г лежит ниже вещественной оси. Второй член в пра-
правой части уравнения G.35) представляет собой малую при всех
X регулярную добавку.
Решение уравнения G.35) с отброшенным интегральным чле-
членом в правой части, т. е. решение интегрального уравнения
G-37)
может быть построено в замкнутом виде. Действительно, вводя
новые переменные и обозначения
,,2г|	 к о-	„2га	„к о-
^ = Sh2r ' У = sh2r ' t (Л) = Ф (S), ^ (У) = /' И* G-38)
приведем уравнение G.37) к виду
1
G-39)
Решение интегрального уравнения G.39) дается формулой B.36)
гл. 2. Возвращаясь в этой формуле к старым переменным и обоз-
обозначениям согласно G.38), получим
sh2r
\D_ 2г_ С e3^V2(ch2r-ch2rg)Ag) Л
[ sh2rj	e2r| _ g2«	5J.
G.40)
Произвольную постоянную D выразим теперь через величину А^,
используя дополнительное условие F.19), которое можно пред-
представить в форме
1
)•	G.41)

§ 7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА с)	241
Подставляя сюда ty(i\) в виде' B.36) гл. 2 и вычисляя интеграл,
найдем
jV0 = — /	D — -^ J erl Vl (ch 2r - ch 2rQ /' (g) d^ . G.42)
It V 1 — e L	_x	J
Если в G.40) и G.42) положить f{x) = const, как это имеет место
в интегральном уравнении F.19), то получим
Поскольку второй член в правой части G.35) вносит относитель-
относительно малый вклад при А,е@, °°), то можем заключить, что формула
G.43) при всех % дает приближенное решение задачи, поставлен-
поставленной в п. 4 § 6.
Если в качестве /(ж) в G.40), G.42) подставить всю правую
часть интегрального уравнения G.35), то получим эквивалентное
ему интегральное уравнение второго рода. Проводя далее с этим
уравнением такие же рассуждения, как в п. 2 с G.16), убедимся,
что справедлива
Теорема 4.5. Если в интегральном уравнении G.35)
/(i)GflJ(-U) (V2<a<l) и решение ср(ж) этого уравне-
уравнения при данном значении Х^@, °°) существует в Lp(—1, 1)
(i<p<2), то оно имеет структуру
&	<7-44)
где (о* (ж) е Hi(— 1,1), причем f = а при а<1 и -у = 1 — е при
а = 1.
7. Разовьем для интегрального уравнения G.35) схему метода
ортогональных функций. С помощью переменных и обозначений
G.38) представим его в виде
?2^т?(л,0,г)*1 (Ы<1),
_	G.45)
^з[А,(^-ж)] = тз(Ч,г/, г).
Выпишем, далее, следующие разложения:
~.	1
Гп-г (У), gn=^ ип-г (у) VT=f g (у) dyt
G.46)
е	~/
^, /те3 (Л, У-ir) =
В. М. Александров, В. в. Коваленко

242 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
(г) - (_ 1Гт- ^ Im- J ^± (- щ + 1)я (щ -
iX
ji = ii, G.46)
in = 2, ?„ = 1.
Здесь Pv(^) —шаровые функции [7], Un(x)—полиномы Чебы-
шева второго рода.
Решение интегрального уравнения G.45) в соответствии с
теоремой 4.5 будем искать в виде
оо
^(y) = -/=JianTn(y).	G.47)
У 1 —у ,,=0
Внося G.46), G.47) в G.45) и используя формулы F.3) и F.4)
гл. 2, придем к бесконечной системе линейных алгебраических
уравнений для определения коэффициентов а„:
оо
ап = gn + соп (г) »0 + 0,5 ^ стп (г)ат (« = 1,2,...). G.48)
К этой системе необходимо добавить еще одно уравнение, которое
получим, подставляя G.47) в дополнительное условие G.40),
дг 		"с	v . I И — е2 — •
0 2гКГ-1а—о
Подобно тому, как это было проделано в § 8 гл. 3 и п. 4, для
бесконечной системы G.48) могут быть доказаны леммы и теоре-
теоремы, обосновывающие ее разрешимость в пространствах 12 и U.
Решив бесконечную систему G.48) (например, методом редук-
редукции), найдем затем решение интегрального уравнения G.35) по
формуле
В заключение этого параграфа заметим, что поскольку инте-
интегральные уравнения G.8) с ядром G.3) (нечетный вариант) и
G.37) с ядром G.36) решаются в замкнутом виде, то в замкну-
замкнутом виде могут быть также решены: интегральное уравнение
F.11) с общей правой частью /(ж) (нечетный вариант) и ядром
оо
, . . fcth (к/С) ^з ('*")	, ,
/,- (t)=\	-J—L . .,. cos и t du.

g 8. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ УЧЕТЕ СИЛ ТРЕНИЯ	243
где Pi(u) и Рг{и) —полиномы степени п; продифференцирован-
продифференцированное интегральное уравнение F.19) с общей правой частью f(x)
и ядром
Это может быть проделано по схеме, изложенной в конце § б
гл. 3 и в § 2. Указанным путем может быть построено прибли-
приближенное решение задачи типа с), эффективное при всех значе-
значениях А,<=@, оо).
С примерами постановок и решений задач типа с) можно еще
познакомиться по работам [27—29].
§ 8. Контактные задачи при учете сил трения
Последние два параграфа этой главы посвящены рассмотре-
рассмотрению смешанных задач, которые не предусмотрены классифика-
классификацией, данной в § 7 гл. 1, по которые, однако, часто встречаются
и представляют практический интерес. Здесь исследованы плоские
коптактные задачи теории упругости
для полуплоскости и полосы, когда в
области контакта жесткого штампа
с границей упругого тела нельзя
пренебречь силами трения.
1. Приведем вначале решения не-
некоторых вспомогательных задач.
Пусть бесконечный упругий слой на-
ходится в условиях плоской деформа-	Рис. 4.4
ции и его нормальное сечение —
полоса занимает область \х\ < °°, 0<y^h (рис. 4.4)'. Нижняя
грань полосы либо шарнирно A), либо жестко B) защемлена,
а на верхнюю грань на участке \х\ < а действуют нормальное
давление q(x) и касательные усилия %{х). В соответствии со ска-
сказанным граничные условия будут иметь вид
Q
К
У:
1 -а
в,* l
av(x, h = ЧУ > у ^ " хху{х, h)= v V| ^- (8.1)
(О	(|ж|>в),	10	(М>в), '
1) v(x, 0)=xxv{x, 0) = 0, 2) v(x, 0) = u(x, 0)-0;
кроме того, напряжения на бесконечности, т. е. при Ы ->• оо? ис-
исчезают.
Используя уравнения Ламе B.4) гл. 1 без инерционных чле-
членов и применяя для решения краевой задачи B.4) гл. 1, (8.1)
интегральное преобразование Фурье по переменной х, с помощью
формул F.4)—F.6) найдем следующие выражения для транс-
16*

244 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
формант перемещений верхней границы полосы v (х, h) и и(х, h)'.
V(a,h) = -±[L11(ah)Q(a)-ieL12(ah)T(a)],
!	(8-2)
U (а, к) = ш [L2.2 (ah) Т (а) + jeL12 (ah) Q (a)].
Здесь 9 = G(l-v)-\ 8=(l-2v)[2(l-v)]-1, G и v — упругие
постоянные полосы, Q(a) и Т(а) определяются соотношениями
а	а
Q (а) = f q (I) eialdl, T (a) = j т (g) eia|dg,	(8.3)
—a	—a
a функции Ьц(и) (i, j = 1, 2) имеют вид: для случая 1)
т i ч ch 2м + 1 г . , sh 2м — 4 (х — \\~~хи
11 v ' s1i2m + 2m' 12 \ /	sh2M-]-2M	'
для случая 2)
,	2х sh 2м + i»	г / \ _ 2х (ch 2ц — 1) — 8 (х — 1)-
11 ~~ 2х ch 2и + 4ц2 + 1 + х2 ' 12 ~~ 2х ch 2ц + 4ц2 + 1 + х2
2х ch 2и + 4ц2 + 1 + х2 ' 12	2х ch 2ц + 4ц2 + 1 + х2
(8.5)
где знак «—» берется при г = 1, а знак «+» — при ? = 2, х =
= 3 - 4v.
2. Пусть теперь верхняя граница полосы на интервале Ы <а
взаимодействует с жестким штампом и в области контакта при-
присутствуют силы трения х(х). Граничные условия такой контакт-
контактной задачи будут иметь вид
oy(z,h) = 0 (\x\>a), xxll(x,h) = 0 (\x\>a),
%^(x,h) = x(x) (Ы<в), v(x, h) = -8(x) (\x\<a), (8.6)'
8(x) = 8 + ax-g(x);
кроме того, напряжения при \х\ ->¦ °° исчезают. В (8.6) величина
б определяет поступательное перемещение штампа вдоль оси у,
ах— его поворот, функция g(x) описывает форму основания
штампа.
Определив по формулам (8.2) и F.4), где контур Г можно
совместить с вещественной осью, перемещение v(x, h) и удовлет-
удовлетворяя четвертому граничному условию (8.6) (остальные гранич--
ные условия (8.6) удовлетворены в ходе решения вспомогатель-
вспомогательной задачи), получим следующее интегральное соотношение:
а
х	(8,7)
@ = ] ~^1—cosutdu, k12(t) = \ -i|—sinut du.

g 8. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ УЧЕТЕ СИЛ ТРЕНИЯ	245
Для замыкания постановки задачи нужно еще сформулировать
какое-то условие связи между функциями q(x) и х(х). Будем
считать, что эта связь дается законом Кулона с коэффициентом
трения, зависящим от координаты х, т. е.
x(x) = -k(x)q(x).	(8.8)'
Подставляя (8.8) в (8.7), получим интегральное уравнение от-
относительно функции распределения контактных давлений q (x):
(8.9)
В следующем параграфе будет показано, как могут быть п'острое-
ны асимптотические решения уравнения (8.9) для случая^ когда
к(х) = к = const.
3. Устремляя в (8.9) параметр X к бесконечности, получим
интегральное уравнение задачи о взаимодействии жесткого штам-
штампа с упругой полуплоскостью при учете сил трения:
а
J" ?(?)[-In Ц-s|
= nQ8(x) (| а; К в), (8.10)
где d* — бесконечная постоянная. Дифференцируя уравнение
(8.10) един раз по х и вводя новые переменные и обозначения
согласно формулам
Их') = к(х), f'(x') = 8'(x) (8.11)
(штрихи у х' и |' далее опускаем), будем иметь
1
(8.12)
Для изучения уравнения (8.12) при условии F.19) можно при-
применить общую теорию решения сингулярных интегральных урав-
уравнений [30, 31]. В целях простоты ограничимся, далее, рассмотре-
рассмотрением случая плоского штампа, вдавливаемого без перекоса
(as=0). Тогда б(х) = б = const и f'(x) = O.
Исследуем две следующие ситуации:
1) Штамп под действием прижимающей силы Р и сдвигаю-
сдвигающей силы Т находится в состоянии предельного равновесия либо

246 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
движется1) с постоянной скоростью вдоль границы полуплоскости.
Сила Р приложена к штампу с эксцентриситетом е так, что соз-
создается момент еР относительно начала координат О (см.
рис. 4.5, а); сила Т приложена к штампу таким образом, что не
создается момента относительно центра О. Величина е подлежит
определению в ходе решения задачи из условия
(8.13)
Коэффициент трения постоянен, т. е. fJ (х) = к = const.
2) Штамп прижимается силой Р, направленной по оси у (см.
рис. 4.5, б). Коэффициент трения зависит от х следующим об-
образом:
(ел < л/2),	(8.14)
обращаясь в нуль при л = 0 и монотонно возрастая по модулю с
ростом Ы.
Введем в рассмотрение функцию Ф(г), заданную интегралом
типа Коши B.28) гл. 2, и применим формулы Сохоцкого B.26)
Р\
\е\
"¦)
Рис. 45
гл. 2 к интегральному уравнению (8.12). После несложных пре-
преобразований придем к задаче Римана — Гильберта B.30) гл. 2
на интервале Ы < 1, где
g(X)= ;$;:;+;, *<*)=<>, «ш)
причем G(x)?=0, °° при жб[-1, 1]. Будем искать решение ука-
указанной задачи в виде
0)(z) = C(l-22)-VB> (С-const)"	(8.16)
и предположим, что f (z) — аналитическая функция, ограниченная
при z ->¦ оо. Вспоминая, что при подходе сверху и снизу к разрезу
') В случае движения все рассуждения следует проводить в подвиж-
подвижной системе координат у' = у, х' = х — Vt, связанной со штампом. Ско-
Скорость движения штампа V настолько мала, что инерционными эффекта-
эффектами можно пренебречь.

§ 8. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ УЧЕТЕ СИЛ ТРЕНИЯ	247
\х\ < 1 функция A — z2)-'1' меняет знак, и подставляя (8.16) в
B.30) гл.'2, получим
-G(x)e4-tx) (М<1).	(8.17)
Логарифмируя (8.17), имеем
ln[-G(a?)] = T+(s)-T_(s).	(8.18)
Заметим, что подобная задача линейного сопряжения уже воз-
возникала ранее (см. B.32) гл. 2). С помощью формул Сохоцкого из
(8.18) найдем
Видно, что f(z) исчезает при z->- °°.
Далее, вновь по формулам Сохоцкого определим ф (х):
ц>(х)^Ф+(х)-Ф-(х),	(8.20)
где Ф(г) дается соотношениями (8.16) и (8.19).
Применяя теперь формулы (8.15), (8.16), (8.19) и (8.20) для
исследования первой из указанных выше ситуаций (рис. 4.5, а),
получим
In [— G (х)] = In . _1Е = 2лф, jj, = — arctg гк,
ТB)=|Лп[A-2)A + 2)-Ч,	(8.21)
ф(ж) = DA- ж)-'/!+"A + х) -Ч'-» (D = const).
С помощью соотношения F.19) выразим постоянную D через No.
Будем иметь
D = л-Wo cos n\i.	(8.22)
Наконец, используя условие (8.13), найдем величину эксцентри-
эксцентриситета е:
е = -2ца.	(8.23)
Для второй ситуации (рис. 4.5, б) получим
In [-G (х) ] = 2i arctg [ер (х) ] = 21гцх,
=?
(D = const).
Снова с помощью соотношения F.19) выразим постоянную D

248 гл- 4- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
через No. Получим
D = Nol(ei\).	(8.25)
График функции 1(х) изображен на рис. 4.6.
В заключение заметим, что формулы (8.21), (8.22) при ц, = 0
0,8
0,0
ТТ-'
X
"/з
Рис. 46
и формулы (8.24), (8.25) при т] = 0 дают решение классической
контактной задачи о вдавливании штампа в упругую полуплос-
полуплоскость без трения [3].
§ 9. Контактные задачи с полным разделом граничных условий
1. Рассмотрим самый общий тип плоских смешанных задач на
примере контактной задачи теории упругости с полным разделом
граничных условий. Именно, пусть на отрезке Ы < а границы
у = h упругой полосы заданы упругие перемещения и и у, а на
остальной части этой границы \х\>а—напряжения о„ и т*„.
Нижняя граница г/ = 0 полосы либо шарнирно A), либо жестко
B) защемлена. Граничные условия такой задачи будут иметь вид
у = h: и = — y(х), v = — 8(x) (\х\<а),
о» = тху = 0 (\х\>а),	(9.1)
у = 0: 1) у = 1^ = 0, 2) у = и = 0 (Ы<~),
Ох, ву, т^-э-О (Ы -»оо).
Здесь б (х) — осадка границы полосы под штампом, определяемая
формулой (8.6), ч(х)—функция, описывающая закон перемеще-
перемещения точек границы полосы в области контакта в горизонтальном
направлении. Например, для случая не деформируемого штампа,
жестко сцепленного с границей полосы, ^ (х) = у = const. Поставим
целью определить закон распределения нормальных и танген-
тангенциальных контактных напряжений о„(ж, /&)=*—q(x), Xxy(x, h) =
= -х(х) (\х\<а).
Для решения смешанной задачи (9.1) воспользуемся форму-
формулами (8.2), (8.3), определяющими трансформанты Фурье пере-

§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ	249
мещений верхней границы полосы для вспомогательной задачи
с краевыми условиями (8.1). Удовлетворяя с помощью указанных
формул первым двум граничным условиям (9.1) (остальные удов-
удовлетворены в ходе решения вспомогательной задачи (8.1)) и вво-
вводя безразмерные переменные и обозначения
|" = !«-', x' = xa-\ % = har\ ф,(ж') = q(x)Q~\
(9.2)
<f2(z')=x(x)e-1, и(х')~8(х)аг\ /,(*')'= Т(*)"а-\
приведем рассматриваемую контактную задачу к следующей си-
системе интегральных уравнений [32, 33]:
е J Ъ © К, (-Ц^) « + J Ф2
ос	оо
й- (f) = Г -^ii!l cos ut du, ft @ = f Ll2 (Ц) sin uf du. (9.4)
о	о
Здесь функции Ьц(и) (/ = 1, 2) и Li2(u) даются формулами
(8.4) или (8.5).
Параллельно с исследованием системы (9.3), (9.4) далее бу-
будем также изучать интегральное уравнение (8.10) контактной
задачи для полосы с учетом трения вида (8.8) при к(х) = к =
= const. В безразмерных величинах (9.2) это уравнение примет
форму
= nfi(x) (|«|<1). (9-5)
2. Можно убедиться, что для ядер kt;(t) вида (9.4), (8.4), (8.5)
имеют место представления
+ ll2(t), (9.6)
гДе функции lij{t) непрерывны со всеми производными при \t\ ^
< R < оо5 а на комплексной плоскости w = t + i% являются регу-
лярйыми в круге |иИ<2. Для доказательства этих утверждений
нужно повторить с некоторыми усложнениями доказательство
леммы 2.5. Далее, однако, ослабим требования к функциям 1ц (t),
учитывая важность для теории смешанных задач исследования

250 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
системы уравнений (9.3) и уравнения (9.5) при минимальных
допущениях.
Будем считать, что функции 1ц(t) — четные, a l&{t)' — нечет-
нечетная по f и все они по крайней мере удовлетворяют условию Гель-
дера на действительной оси. Дальше на l{i(t) будут наложены
дополнительные ограничения. Функции fi(x) будем считать при-
принадлежащими классу Нт (— 1,1) (т > 1, 0 < а =^ 1).
Представим функции фДж) в уравнениях (9.3) в форме [33]
<и(ж) = Ф°(*) + ф/И-	(9-7)
Пусть ф° (х) удовлетворяют следующим пптегральным урав-
уравнениям:
(g) [- In H=^i + /n @)] dg - -И- \4>a2(l)sgn(l-x)d^nf1(x),
—i	—i
(9.8)
i	i
J ф2° (g) [- In ii=^i + l22 @)J dl + -f |Ф? (g) sgn(g-a;)dg=il/a(a;)
l
тогда поправки ф1(ж), исчезающие при X -*¦ °°, должны быть най-
найдены из уравнений
(9.9)
1 (g) [- In П^-J- + /n @)] dl - ™. ^l
-l	-l
г](х) = -± f[T?(g) + фНЕ)]IV-M-)-/«@I
i E Г Г о /t\ i i /t\l 7
±~ JlTi(g) + Ti(g)|/,
j ± 1),; (9.10).
где знак плюс относится к / = 1, а минус — к j = 2. Точно так же
представим функцию ф4(а;) в уравнении (9.5) в форме (9.7) и

§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ	251
будем считать, что ф"^) удовлетворяет следующему интеграль-
интегральному уравнению:
? F) [- ln ili?l + 'u @)] « - "Г*
-1
(9.11)
Тогда поправочная функция ф} (ж), исчезающая при А, -»¦ °°, долж»
на быть найдена из уравнения
- In ii^i + lu ()]g | j9l(S)e(S)g
(|*I<1),	(9-12)
i
/1 (*) = - 7Г J № E) + ф! EI1> l1^-) - ^ii @)] dl +
1
+ ¦?¦ J [ф" E) + Ф1 EI ^2 (-^)^- (9-13)
J
3. Интегральные уравнения (9.8) и (9.11) для функций ф* (ж),
являющихся главными членами асимптотики функций (р)(х) при
больших значениях X, можно представить в виде
= nf(x)-N0[ln%+l11@)]-iQn (|ж|<1), (9.14)
где для случая системы (9.8)
Фо (х) = Ф° (х) + щ1 (х), f (х) = fl (х) + if2 (х), No = JVJ + i№2x
= 1ф®<?, С9-15)
ь для случая уравнения (9.11)
Фо(ж) = ф01(ж), f(x) = fL(x), Na = N[, (?0=0, (9.16)
и = -Л- In ! + !f = — arctg кг.
п

252 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Дифференцируя теперь уравнение (9.14) по х, получим (сравни-
(сравните с (8.12))
Ь л tg(nji) Фо(зО= л/' (х) (\х\^.1). (9.17)
-1
Для решения сингулярного интегрального уравнения (9.17)
вновь введем в рассмотрение аналитическую функцию B.28)
гл. 2 и с помощью формул B.27) гл. 2 после несложных преоб-
преобразований придем к задаче Римана — Гильберта B.30) гл. 2 на
интервале Ы < 1, где
(9.18)
w 1 ~]i tg лц ' 6 к ' i tg лц — 1
Замечая теперь, что согласно (8.17), (8.21) функцию —G(x)
вида (9.18) можно представить в форме
ЧI1	(9л9)
перепишем функциональное уравнение B.30) гл. 2 следующим
образом:
(920)
Ф* B) = Ф (z) e~v(z).
Уравнение типа (9.20) уже рассматривалось ранее (см. B.29)
гл. 2), и для завершения решения задачи Римана — Гильберта
можно воспользоваться готовой схемой в § 2 гл. 2. В результате
решение интегрального уравнения (9.17) получим в виде
(9.21)
Х{х) = {\ + х)ъ+»{{-хУк-».
Чтобы выражение фо(^) в форме (9.21) удовлетворяло также
интегральпому уравнению (9.14), необходимо соответствующим
образом определить величину No. Применим для этого следую-
следующий искусственный прием, использованный ранее в § 2 гл. 2.
Заметим, что имеет место соотношение [32]
1
-1
Mi = -[In 2 + С + О,5г|з @,5 + ц)+ О,5г|з @,5 - ц)], (9.22)

§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ	253
где чр (х) — пси-функция Эйлера, С—постоянная Эйлера [7].
Умножим теперь обе части интегрального уравнения (9.14) на
Y~l(x) и проинтегрируем по х в пределах от —1 до 1. Переста-
Переставив затем интегралы в левой части полученного соотношения,
с учетом (9.22) будем иметь
1
Y /дл • (9.23)
-1
Отсюда для случая системы (9.8) запишем
1
ДГО		COS, ТС\1	р	/ (х) dx
1=* 1пЯ + /п@) + ^	J Y(x) '
(9.24)
мо _	cos я,ц	j Г f(x):dx
2 In Я + 122 @) + D^	J Y (x) '
а для случая уравнения (9.11) найдем
cos ^
@)+^ J
Г h (») **
J Y(x) •
Пусть к* @< kj <; оо) — корни уравнений
li = 0 (/ = 1,2);	(9.26)
тогда можно утверждать, что формулы (9.15), (9.21) и (9.24)
при сделанных относительно функций fj(x) предположениях оп-
определяют единственное в LP(—1, 1) A<^<2) решение систе-
системы интегральных уравнений (9.8), если % Ф %$, причем X s @, °°).
Точно так же формулы (9.16), (9.21) и (9.25) при сделанных
относительно функции /t (x) предположениях определяют един-
единственное в Lp(—1, 1) A<р<к^2, к = 2A + 2ц)) решение
интегрального уравнения (9.11), если %Ф%1.
4. Изучим структуру решения фо(я) интегрального уравне-
уравнения (9.14). Для этого предварительно приведем некоторые вспо-
вспомогательные соотношения. Пусть f(x) — четная функция и
/(х)еЯ*(-Р,Р) (п>0, 0<сс<1); тогда, взяв в качестве
новых переменпых хг, ?2 и воспользовавшись формулой C.2)
гл. 2, найдем
|»+П
(. ,	\
L = ~~, В+ = const J,	(9.27)

254 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
причем неравенство (9.27) выполняется при любых х и | е
е [—(}, (}]. Аналогично, в случае нечетной функции /(я) получим
(В_ = const),
(9.28)
причем неравенство (9.28) выполняется при любых х е [— (}, (}]
и 0<8<||1<р. Заметим еще, что имеет место формула [32]
± ГГХA) й
-1	(9.29)
m=o	j=0
В частности, из (9.29) вытекает B.21) гл. 2 при |.i-*-0.
Имеет место следующая
Теорема 4.6. Если f(x) сн #"+i(— 1, 1) («>0, 0<а<1),
то функция фо(я), являющаяся решением интегрального урав-
уравнения (9.14), имеет вид
уо(х) = а>о(х)Х-1(х),	(9.30)
причем ю0 (я) е Нуп (— 1, 1), где ^ = а, если сс<1, и у = I — Ь,
если а = 1.
Пусть сначала функция f(x) является нечетной. Используя
интеграл (9.29), представим выражение (9.21) для <fo(x) в виде
[1
ЛГ0-С08(Л^) j-^
-1
<РоC
0,5Фп(а;)8т2я(я, (9.31)
где Pzn+i(x) — некоторый полином степени 2«+1, Легко убе-
убедиться, что Фп(х) ^Нп(— 1, 1). Кроме того, из (9.27) следует,
что г, окрестностях точек х = ±1 функция Фп(х) ведет себя как
A + х)п+а, Остается показать, что интеграл
(932)

§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ	2ЪЪ
как функция х принадлежит #п(—1, 1). Это может быть про-
произведено по схеме доказательства теоремы 2.2 с привлечением
леммы 2.4. Заметим еще, что случай четной функции f(x) рас-
рассматривается аналогичным образом с использованием (9.28).
5. Перейдем к изучению структуры функций ср) (х), удовлет-
удовлетворяющих интегральным уравнениям (9.9), (9.10) и (9.12),
(9.13). При этом будем рассматривать два основных варианта:
A) I» (t) = с„\г\ + Gi} (t), l12 (t) = b12t ln\t\ + G12 (t),:
(-2А, 2А) @<р<1 к>0);
В) /«(*)е=яД+1(-2А, 2Д) @<р<1, i»>0).	(9.34)
Кроме того, предположим, что решения ф) (х) уравнении
(9.9), (9.10) существуют в Lq{—1, 1) (l<<jr<2), а уравнения
(9.12), (9.13)—в L,(-l, I) (Kgr<xsS2) при заданном зна-
значении % s@, °°).
Для указанных вариантов выясним свойства функций fj (x)
вида (9.10) и (9.13). С учетом (9.33) перепишем (9.10) в форме
1	1
ЯЬ) = - % \Ы&) + Ф) il)\\l-x\dl ± ^f J [ф? (g) +
-1	-1
1
- х) in n^i ±
i ai - ± J [Ф? (g) + Ф/ (g)
-i
i
- Gjj @)] dg + -^ j [Ф? (g) + ф! (g)] GJ2 (-Ц^) dg. (9.35)
На основании допущений А относительно свойств функций
Gij(t), а также с учетом свойств функций ф? (х) и ф| (а;) не пред-
представляет труда показать, что третий и четвертый интегралы в
(9.35) как функции от х принадлежат Н\ (—1, 1). Для иссле-
исследования первых двух интегралов в (9.35) продифференцируем
их по х. Будем иметь
(9.36)
Используя неравенство Гельдера C.16) гл. 1 и свойства функ-
функций ф' (х), ф) (х), можно доказать, что первый интеграл (9.36)
как функция х принадлежит Щ (— 1, 1), а второй— Нг0~ (—1, 1),
где r = iuf [(p— l)/p, (q — l)/q], б положительно и сколь угодно
мало. Следовательно, первый иптеграл в (9.35) принадлежит

256 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
#i(— 1, 1), а второй — #i~6(— I, J). Таким образом, для ва-
варианта А /)(а:)еЯ1(-1, 1), s = inf (r — б, [})'. Для варианта В
на основании сделанных допущений относительно ??;,(?), а так-
также свойств ф| (х) и ф} (х) легко найти, что /|(х)еЯ1+1(-1, 1).
Относительно функции f\ (x) вида (9.13) аналогичным путем
могут' быть получены такие же результаты.
Теорема 4.7. Если /(я) <=#?(— 1, 1) @<сс<1), справед-
справедливы допущения А и решение системы интегральных уравнений
(9.9), (9.10) при заданном значении Х&@, °°) существует в
Lq(—1, 1) A<<7<2) (решение интегрального уравнения (9.12)',
(9.13) существует в Lq(—1, 1) A<д<и<2)), то оно имеет
вид
V1(x)='(u1(x)X-l(x),	(9.37)'
причем со1 (а;) еЯо(-1, 1).
Теорема 4.8. Если /(i)efl?(-l, 1) @<сс<1)', справед-
справедливы допущения В и решение системы интегральных уравнений
(9.9), (9.10) при заданном значении ^е@, °°) существует в
Lq(—1, 1) (l<<jr<2) (решение интегрального уравнения (9.12),
(9.13) существует в Lq (—1, 1) A < <jr < у. <2)), то оно имеет
вид (9.37), причем со1 (я) е Н1т (— 1, 1) и/ = р при р < 1, Z =
= 1 — 6 при [} = 1.
Здесь ф1 (х) = (f\(x) + i(fl (x) для случая системы уравнений
(9.9) и ф1 (х) = (f\ (x) для случая уравнения (9.12). Доказатель-
Доказательства теорем 4.7 и 4.8 легко следуют из теоремы 4.6 и вышеука-
вышеуказанных свойств функций f) (х).
6. Рассмотрим вопрос о решении интегральных уравнений
(9.3) и (9.5). Выясним, в какой мере здесь могут быть использо-
использованы ранее изложенные методы. Нетрудно убедиться, что асимп-
асимптотический метод «больших X» возможно перенести на указан-
указанные уравнения без существенных изменений. Продемонстрируем
это на примере уравнения (9.5), (9.6).
В предположениях А на основании соотношений (9.21),
(9.25) можно представить уравнение (9.5), (9.6) в эквивалент-
эквивалентном ему виде интегрального уравнения второго рода
М -
1	-1
1
<Pi (!) l'n [^гЧ — tg (W) l\
X Фх<
sin Bлц) j ф1 (I) [l'n (l=i) - tg (лц) г;2 (-^)]dg (9.38)

§ 9. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ	257
при дополнительном условии
-1 -1
X
Допустим теперь, что для функций 1ц{1) действительны сле-
следующие разложения (сравните с (8.34), (8.35) гл. 2):
со
Ijj (t) = 2 (ajik + bjjk 111 + Cjjk In 111) t2k,
ft=o
»	(9-^0)
- 612fei In U I + c12k sgn t) t2k (Cj,-0 = 0),
равномерно сходящиеся при всех Ul<p. Тогда все результаты,
основанные на (9.40), будут справедливы по крайней мере при
всех % > 2р~'. Подставим выражения (9.40) в уравнение (9.38)
и будем искать его решение в виде
Ф1 (*) = 2! 2! <pimn (x) ъ~т ыпк	(9.41)
т=о п=о
Приравнивая коэффициенты в правой и левой частях (9.38) при
одинаковых степенях Х~1 и 1пХ, получим бесконечную систему
соотношений для последовательного определения функций
(fimn(x), которую здесь не приводим.
В контактной задаче с трением для упругой полосы, постав-
поставленной в предыдущем параграфе, в соотношениях (9.40), как
нетрудно убедиться, нужно положить b(jh = cijh = 0, причем р = 2.
Если при этом функция Д (х) — полином, то при определении
<ftmn{x) из указанных выше соотношений все квадратуры берут-
берутся в замкнутом виде с помощью формулы (9.29); кроме того,
все квадратуры также берутся в замкнутом виде с помощью
формул (9.29) и (9.42) (см. ниже), когда в соотношениях (9.40)
только biih = cm = 0. В общем случае может быть произведено
приближенное определение нескольких первых функций (fimn(x),
подобно тому, как это указано в п. 3 § 8 гл. 2. После нахожде-
нахождения пужного числа функций ц>1тп(х) (в зависимости от желае-
желаемой точности решения (9.41)) по формуле (9.39) определим
величину N]. Все сказанное здесь о методе «больших X» спра-
справедливо и для системы интегральных уравнений (9.3), (9.6)',
Подробное изложение метода «больших fo> в применении к кон-
контактным задачам со сцеплением имеется в [34].
'' В. М. Александров, Е. В. Коваленко

258 ГЛ. 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
С учетом спектрального соотношения Г. Я. Попова [32]
j [- ctg (ли) In 11 - x I + ^ sgn (I - x)] p^-'l^-'I'Xl) _^_ =
— 1
= n).MP<r'i+1/'1'i+Vt)(*), K = (n sin (ли)) (п>1), (9.42)
2?.o = л sec (ли) - 2 esc (л ц) [In 2 + -ф @,5 + \i) - if> A) ],
где ty(x)—по-прежнему пси-функция Эйлера, Р,? (х)— поли-
полиномы Якоби, для системы уравнений (9.3), (9.6) и для уравне-
уравнения (9.5), (9.6) можно также развить метод ортогональных мно-
многочленов по схеме § 1 гл. 3. Такой метод будет, очевидно, эф-
эффективен также при достаточно больших X.
7. Асимптотический метод «малых Я.» может быть также при-
применен для исследования интегральных уравнений (9.3) и (9.5).
Продемонстрируем это на примере уравнений (9.3), поскольку
приведенные ниже результаты в частном случае будут справед-
справедливы и для уравнения (9.5).
Перепишем систему интегральных уравнений (§.3) в виде
-1
(f(x) = (fl(x) + i(f2(x), k{t)=kn{t)+ieki2(t), (9.43)
i
g(x) = f (x) + -1- J Im Ф (I) M (l=i] d% M (t) = k22 (t) - fcu (t)t
Уравнение (9.43) удобно решать методом последовательных при-
приближений по схеме [33]
1
JФ„ (I)
) dl = ngn (x) (| * | < 1),	(9.44)
— 1
Асимптотическое решение интегрального уравнения (9.44) при
ыалых X может быть построено примерно так, как это описано
в § 10 гл. 2. Действительно, представим уравнение (9.44)

§ 9, КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ	259
в виде системы трех интегральных уравнений
(-1 <*<«>), (9.45)
Vn (I)fc l1^)dS = л*» (a;) (I
(9.47)
где функция gn (х) с сохранением достаточной гладкости продол-
продолжена на интервалы — <х><х<— 1, 1 < х < оо. Если ядро &(?)
таково, что
k(t)~e-m Et = const>0, IH-^oo),	(9.48)
а это как раз имеет место для поставленных здесь (п. 1) ив
§ 8 контактных задач для полосы, то необходимо gn(x) про-
продолжить так, чтобы
оо
J e~'ugn(x)dx<oo (v<x).	(9.49)
Решение интегрального уравнения (9.47) может быть най-
найдено с применением теоремы о свертках для преобразования
Фурье (см. § 9 гл. 2).
Интегральные уравнения (9.45) очевидной заменой перемен-
переменных приводятся к следующим:
оо	оо
J Ьп (У) к (у — s)dy = ngn {Is — 1) + J |^2n (у) —
]^-y-s^dy, (9.50)
оо	оо
J +2П (У) к (s -y)dy = ngn A -ls)+ j Lln (y) -
О	2Д
17*

260 гл. 4' МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
Систему интегральных уравнений (9.50) естественно при малых
% решать методом последовательных приближений по схеме
fim-^ ^ln, Ч'гпт -*¦ 'Фгг. (ТИ^-оо)',
с»
J гРто B/) А (У — s)dy = ngn (Is — 1),
о	(9.51)
2n0 (у) к (s — y)dy = ngn A — Is),
oo	°° Г
J ?1вт B/) k(y-s)dy = ngn (Ks-l)+ f ^„.„-i (//) -
0	2/AL
OO	OO
J ^2nm B/) k(s-y)dy = ngn A - to) + f [1F1),,m_1 (y) -
J	f
0	2/Л
, 0<5<oo).
При этом на каждом этапе необходимо находить решения ин-
интегральных уравнений Винера — Хопфа с одним и тем же ядром,
но с различными правыми частями.
8. Для получения практически приемлемых решений инте-
интегральных уравнений (9.51) приходится, как это уже отмечалось
в § 9 гл. 2, использовать метод приближенной факторизации
Койтера. Продемонстрируем это на примере контактной задачи
с полным разделом граничных условий для упругой полосы,
жестко защемленной по основанию (см. п. 1). В соответствии
с (9.4) и (9-43) здесь имеем
(9.52)
С помощью выражений (8.5) теперь нетрудно установить, что
L{u)u-l~ |K|-'(l + esgnu) (Ы ч-оо),
L{u)u~l -А.Л-А.и .(в->-0),	(9.53)
Л0 = 2еA-е), Л1=A-е)(Зе-1) @<е<7,).
Найдем, далее, решение интегрального уравнения Винера —

§ 9, КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ С ПОЛНЫМ РАЗДЕЛОМ	261
Хопфа
оо
§V(y)b(y-s)dy = np(s) @<5<oo).	(9.54)
о
Заметим, что это уравнение соответствует интегральным урав-
уравнениям (9.51) для функций 1F,rim(s). С учетом теоремы 2.11
ограничимся рассмотрением случая p(s)^l. Аппроксимируем
функцию L(u)u~l в (9.52) выражением [33]
L^ h1(u+ lhj>'+* (и - tfeg)V--'g _
hj Vй2 + hl exP [- 2гР	{К)}
и2 + hi
Постоянные hu h2, h3 и [} в (9.55) подберем так, чтобы поведе-
поведение аппроксимирующей функции Ь^. (и) и" совпало с поведе-
поведением в нуле и на бесконечности функции L{u)u~l, определяе-
определяемым формулами (9.53). После несложных выкладок найдем
Кг = 1 + е, ht = 2^А0АТ\ hi = 204Г1 /Т^Т2, р = ± б.
Здесь б дается формулой (9.15), знак «+» берется при ^4i>0
и знак «—» — при Ai < 0. Решая интегральное уравнение (9.54)
с ядром вида (9.52), (9.55) по схеме, приведенной в § 9 гл. 2,
получим
h ел®	Г ~h2S	I i
ib()	44 + hhj42"i? U + iP
ib(s)= —гт4
!hh2	Г (Х/2 + {'Р) Ь
(9.56)
где f(a, ж) — неполная гамма-функция [7]. Подставляя в (9.56)
s=(l + x)'k~i, убедимся, что получающаяся у функции
¦ф[A + з:)^-1] особенность в окрестности точки х = —1 соответ-
соответствует таковой в структурах (9.30) и (9.37) только при Ai > 0
и р=8. Однако из (9.53) видно, что Ai>0, если 73 < е < 72.
Это ограничение возникло только из-за простоты принятой для
функции (9.52) аппроксимации (9.55). Более точная, чем (9.55),
и не обладающая указанным дефектом аппроксимация может
быть построена умножением L% (и) и~г на Pi(u2)/P2(u2), где
Pi(uz) и Р2(и2)—полиномы одинаковой степени (см. § 3 гл. 3).
Если вместо (9-54) рассмотреть интегральное уравнение Ви-
Випера — Хопфа
np{s) @<s<oo),	(9.57)

262 ГЛ. 4, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДРУГИХ ТИПОВ
соответствующее интегральным уравнениям (9.51)' для функций
Wmmis).* то важно отметить, что в (9.52) функция L(u) уже бу-
будет иметь вид
L (и) = Ln(u) — гЬ12(и),
L(u)u-l~ Iwl-'(l-esgnw) (|в|-^оо),	(9.58);
L(u)u~l ~ А„ — AiU (ц->-0).
Приближенное решение уравнения (9.52), (9.57)', (9.58)' с по-
помощью аппроксимации (9.55) можно снова представить в виде
(9.56). Нужно только заменить Л, на —At и положить ^ = —б.
Получающаяся в результате этого функция if>[(l — ?)^г'] будет
вновь обладать в окрестности точки х = 1 нужной особенностью
при условии 73 < е < 72.

ГЛАВА 5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Антиплоская задача о колебаниях штампа
на упругом полупространстве
Заметим, что, в отличие от разрешающих уравнений статиче-
статических задач, размерность уравнений динамических задач больше
на единицу (см. § 2 гл. 1). Это обстоятельство накладывает оп-
определенную специфику на методы их решения; возникает про-
проблема понижения размерности.
Условимся при исследовании динамических задач механики
сплошных сред различать следующие основные режимы: 1) ре-
режим установившихся гармонических колебаний; 2) режим уста-
установившихся движений; 3) общий нестационарный режим. Далее,
на конкретных примерах будет показано, как подойти к пробле-
проблеме понижения размерности разрешающих уравнений динамиче-
динамических задач для каждого из перечисленных случаев.
В данном параграфе и в следующих двух будут рассмотрены
смешанные задачи теории упругости, относящиеся к первому
режиму, и будут изложены методы их решения. Возникающие
в этих задачах символы ядер интегральных уравнений относят-
относятся к случаю d) по классификации, данной в конце § 7 гл. 1.
Пусть изотропное упругое полупространство находится в ус-
условиях чистого сдвига под действием бесконечной недеформи-
руемой полосы ширины 2а, нагруженной вдоль своей образую-
образующей сдвигающей силой Te~iat, отнесенной к единице длины.
Между поверхностями полосы и полупространства предполага-
предполагается осуществленным полное сцепление. Постановку задачи свя-
свяжем с ортогональной системой координат Oxyz. Плоскость у = О
совпадает с поверхностью контакта полосы и полупространства,
которое занимает область у ^ 0. Ось z направлена вдоль образу-т
ющей полосы.
Математически эта задача формулируется в виде дифферен-
дифференциального уравнения B.6) гл. 1 и граничных условий (началь-
(начальные условия отсутствуют)
w(s, 0, *) = "fe-iM( (IxKs);, %yz{x, 0, t) = 0 (Ы>а). A.1);

264	ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Внося перемещение и>(х, у, t) = wo(x, y)e~iat в соотношения
B.6), B.7) гл. 1 и A.1), придем к следующей граничной зада-
задаче для уравнения Гельмгольца:
Aw0 + fflV2Wo = 0.	A-2)
dw
y = 0:w0 = y A я: К о), -^ = 0 (|*|>а). A.3)
Как известно [1—3], такое понижение размерности исходной
задачи B.6) гл. 1, A.1) требует формулировки дополнительных
условий на бесконечности для отбора единственного решения
краевой задачи A.2), A.3). Разумеется, эти условия должны
быть не только математическими, а иметь здравый физический
смысл. В настоящее время обычно используются следующие
четыре критерия отбора [3]:
1. Принцип излучения Зоммерфельда требует, чтобы на боль-
больших расстояниях от источника возбуждения решение задачи
B.6) гл. 1, A.1) носило волновой характер и распространение
волн происходило от источника в бесконечность. Другими слова-
словами, бесконечность не может отражать волн. Это для рассматри-
рассматриваемой задачи означает [1], что при г== 1/х1 + у1 -»- °°
y -_?__«,„ = о (^J.	A.4)
2.	Энергетический принцип излучения Мандельштама конста-
констатирует тот естественный факт, что энергия в упругой среде при
возбуждении ее в ограниченной области распространяется от
источника возбуждения в бесконечность.
3.	Принцип предельного поглощения Игнатовского состоит в
том, что в правую часть уравнения B.6) гл. 1 вводятся силы
трения еи> (е>0). Тогда уравнение Гельмгольца A.2) и гранич-
граничные условия A.3) трансформируются в следующие:
Aw* + klw* = 0 (kl = cj V + im),	A.5)
w*(x, 0) = v (I * |< a), [w*(x,y)]'y\u=0 = 0 (|*|>e), A.6)
причем амплитудные значения напряжений на бесконечности
исчезают. За решение задачи A.2), A.3) берут предел
w0 = lim w*,	A.7)
понимаемый в смысле сходимости в L2(Q) (Q — полуплоскость
г/<0, Ы<°°). Доказано [3], что если (о2с^ является регуляр-
регулярной точкой оператора А = —Д, то решение в указанном смысле
существует и единственно.
4. Принцип предельной амплитуды Тихонова — Самарского
заключается в том, что решение уравнения A.2), A.3) должно

§ 1. АНТИПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ШТАМПА	265
быть пределом при t-+°° произведения w(x, у, 1)еш, причем
w(x, у, t) удовлетворяет уравнению B.6) гл. 1 с нулевыми на-
начальными условиями и граничными условиями A.1).
В настоящее время вопрос об эквивалентности перечислен-
перечисленных принципов для любых краевых задач теории упругости еще
до конца не выяснен. Некоторые результаты по этой проблеме
содержатся в [3—5].
Заменяя исходную краевую задачу A.2), A.3) в согласии с
принципом предельного поглощения на задачу A.5), A.6) и
применяя для решения последней интегральное преобразование
Фурье по х, как и в § 5 гл. 1, придем к интегральному уравне-
уравнению первого рода с нерегулярным разностным ядром относи-
относительно неизвестного амплитудного значения касательного кон-
контактного напряжения г(х):
а
J тA)dl J у±-_ ехр (iul-~^]du = 2лСТ (I х|< а), A.8)
Заметим, что уравнение A.8) может быть получено также из
интегрального уравнения E.29) гл. 1 предельным переходом
при h -»- °°.
Подынтегральная функция в ядре уравнения A.8) имеет две
точки ветвлепия:
-u + iv),	A.9)
которые не попадают на вещественную ось при е > 0. По прин-
принципу предельного поглощения в левой части соотношения A.8)
необходимо совершить предельный переход при е -»- 0, взяв рав-
равномерный предел. Легко заметить, что после предельного пере-
перехода точки ветвления A.9) окажутся чисто вещественными:
в = ±1, причем точка ветвления, соответствующая в = —1, сме-
смещается на вещественную ось снизу, а точна ветвления, соответ-
соответствующая и = 1,— сверху. Итак, при е -»- 0 представим выраже-
выражение A.8) в форме
, (к |< а),	A.10)
) = {{? —1)~Уг.	A.11)
Контур Г в соотношении A.11) совпадает с действительной
осью. Однако, поскольку при е -»- 0 обнаруживаются веществен-
вещественные точки ветвления у символа ядра #(?), то для однознач-

66 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ности толкования интеграла A.11) деформируем контур Г так,
чтобы он обходил положительную точку ветвления снизу, а от-
отрицательную—сверху (рис. 5.1).
Имеет место следующая [3]
Теорема 5.1. Если на положительной части вещественной
оси мнимая часть функции K(Z,) знакопостоянна, то иптеграль-
/т\ ное уравнение A.10), A.11) не
v T	*zs может иметь более одного реше-
решения в Lp(—a, а) A<р<2); при
этом
%{х)=<л(х)(аг-хг)-ъ,
«в(ж)еС(-а, аI. A.12);
Переходя в A.10), A.11)' к
безразмерным переменным и обо-
обозначениям 1' = Ы~1, х' — ха~\
Рис. 5.1
Л |хя, r(x)
= / (штрихи далее опустим), а также учитывая, что
= ~tI o()~ o()I =
* A.13)
получим систему уравнении
1
т к
-1
- ф2 & к
1),
1).
A.14)
В A.13), A.14)' J0(t) и 7V0(?)— функции Бесселя первого и вто-
второго рода, ф (х) = ф, (х) + гф2 (х), / = /, + if2.
Рассмотрим вначале случай больших значений параметра Л
(случай малых частот колебаний штампа). Раскладывая функ-
функции ^@ и J0(t) в ряды при малых t [6], будем иметь
| S dlnt2n + fj dsn*a% мо = S йз
п=0	п=0	П=0
-l; du= 0,2500; dlt = -0,01562;
0,1159; d21 =-0,2790; d22 = 0,02524;
1,571; dM = -0,3927; d32 = 0,02454.
A.15)

§ 1. АНТИПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ШТАМПА	267
Радиусы сходимости степенных рядов A.15) равны бесконечно-
бесконечности, поэтому дальнейшие действия, основанные на представле-
представлениях A.15), не накладывают на величину Л никаких ограниче-
ограничений. Подставим выражения A.15) в уравнения A.14) и, обра-
обращая логарифмическую часть по формулам B.36), B.37) гл. 2,
приведем их к эквивалентной в Lp(—l, I) (l</><2) системе
интегральных уравнений второго рода
Fi{x)
Г	if Fi{x)
Nj = J Ф, (x) dx = 1Т5д J YT
-1	-1
A.16)
\n=o	n=l
J
П=0
Решения уравнений A.16) будем искать в виде (сравните
с A.12)) <р-,(х) = (Oj(x) A — я2)"''", где
N т
coj (х) = 2 ^(Хп(х) Л1ппЛ +0 (АЛ'-г 1пл'+1Л) (/ = 1, 2).
A.17)
Внося (р;(х) и A.17) в систему A.16), а также используя фор-
формулы (8.31), (8.32) гл. 2, будем иметь [7]
7
П У 1 —	V
A.18)
S-j = А} + В}х* + С)Х* + О (Л-» 1п»Л) (/ = 1, 2),
XA-* - [4 (d22 + I- dla - d12 In 2Л) - 4 dnDj A~4

268	ГЛ. 5, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
В, = 2d31A-2 + 4(d32 - ±
0i = d2l + 4 dxl - dn In 2Л, C2 = 2 (-i	)
ЛГ1 = A1/1 + Л?/2. ^ = Ai/i + Л2/2- A.19)
Лп = A22 = лС^-1, 412 = — Л21 = nGzF-1,
Dz+D^-z- i JA2 - 9 (dM + Jd12 - d12 In 2AJ -
+ (9(A-6ln3A),
- d30 - йа1Л-2 + 0,25 Bd31P1 - 9d32) Л~* + О (Л~« 1п3Л),
/¦ = /?! + d32o + 2 (ВД, + d3Orf31) Л-2 - 0,5 {,О3 [d? - 9
+-Jd12 - d121п2л] - dli] - 2D\ + d30 Bd81Z?1 - 9d32) - 2
+ <9(Л-Чп3Л),
Z>2 = d.n + dn — dn In 2A, D3 = d20 + In 2A.
Практически, как будет показано ниже, формулы A.18), A.19)
эффективны при Л> 1.
Для исследования случая малых значепий параметра Л (слу-
(случай больших частот колебаний штампа) рассмотрим интеграль-
интегральное уравнение A.8), которое в безразмерных переменных имеет
вид
1
A)g = n/ (М<1),;	A.20)
со
k*(t)= {К* (и) cos utdu, К* (и) =-j=L==. A.21)
о	' и "
Заменяя A.20), A.21) системой интегральных уравнений типа
A0.3) гл. 2 и используя методику, изложенную в §§ 9, 10 гл. 2,
в нулевом приближении получим следующее решение:
ф* (X) =
^5). "(т)—t^
Устремим в A.22) е к нулю. В результате выпишем асимптоти-
асимптотическое решение интегрального уравнения A.10), A.11) при

§ 1. АНТИПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ШТАМПА	269
ч
-l] A.23)
с точностью до членов порядка 0{А.-3^/у 1 — ж2). Заметим, что
с учетом рассеяния энергии в упругой среде при е -»- 0 должно
6 ->- 1. Этого правила будем в дальнейшем везде придерживаться.
Используя A.23), определим амплитудное значение реактив-
реактивной силы, действующей на штамп со стороны полупространства,
по формуле
JV0 = J ф (х) dx = Nt + IN2,	A.24)
= / [A — 4iA-')erf V-2iA-f + 2я-'/г(-2г/Л) V'M + 2iA-']. A.25)'
После разделения действительной и мнимой частей в форму-
формулах A.23), A.25) с учетом соотношения [6]
[{)+iS{x)]	A.26)
будем иметь [7]
ф1 (х) = Л {U [6г (х) + б2 (х)] + U [бг (х) - б2 (х) ~ 1]},:
ф2 (х) = Л {/х [- Ьг (х) + б2 (х) + 1] + /2 [Ьг (х) + б2 (ж)]},
, (,.27)
Аьг = - ^2i = 2Л-1 [Yl (Л) - v2 (Л) - 1],	A.28)
Yi(A) = 25С2Л) + (Л/2) СС2Л-1)
Ys(A) = - 2СС2Л) + (A/2)SB\-1)
где С(х) и S(x)~ интегралы Френеля [6].

270
ГЛ, 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Pi
а.
Р2
а3
Рз
A.18), A,19)
4
0,293
—0,221
0,226
—0,154
0,961
—0,688
2 | 1
0,298
-0,364
0,275
-0,242
1,065
—1,110
0,166
—0,692
0,354
—0,371
1,071
—1,907
Та
блица 5.1
A,27), A,28)
2
0,308
—0,367
0,282
—0,282
1,124
—1,172
1
0,154
—0,698
0,399
-0,399
1,111
—1,960
1/2
—0,205
—1,769
0,564
—0,564
0,951
—3,973
Получим теперь формулы для подсчета угла сдйига фаз ф
и модуля комплексной амплитуды колебаний полосы /„ =
= /ехр(?<р). Для этого перепишем уравнение движения полосы
E.3) гл. 1 в форме
mG-i(fe-iut)" = Tte-il't-N(le-l<'1 (Tt = T{aG)-1, 1тТ0 = 0).
Произведя в последнем уравнении разделение действительной и
мнимой частей, в согласии с A.19) и аналогичными формулами
A.28) получим
Tt = f,(All-mG-W) + Allft, 0 = /,4„ + (А22- mG-'uJ)/2. A.29)
Решив систему A.29) относительно /, и /2, найдем
¦ tg Ф = /.,/Г1 = А21А* [m (р^Г1 - А2г\*\~\
/о = Vfi + /2 = ^оЛа {["фа2) - ^	A30
Результаты вычисления величин (fi@) = «1/1 — P1/2, фг(О) =
Pi/i + ai/2, <Pt(l) = «t/t-P»A, ф2A) = ^/1 + а2/2 (%¦(!) =
lira <p} (x) V\ — x; j= 1, 2), Ny = as/, - р,Л, Л^2 = ps/, + a3/2,
0,5
4V
- " ...ло
- -
о	0,5	:,o
Рис. 5.2

§ 2. ДИНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
271
произведенного по асимптотическим формулам A.18), A.19) и
A.27), A.28), сведены в табл. 5.1. На рис. 5.2, 5.3 даны графи-
графики изменения модуля комплексной амплитуды колебаний штам-
штампа /(ДТ1 и Угла сдвига фаз ф = arctg^/^1) в зависимости от
безразмерной частоты Л при различных значениях безразмерной
массы т(ра-)~1. Сплошные линии соответствуют формулам для
о
f,pad
-1
\
\
. т(ра
гу,
Ч
=5
.10
-20
0,5
1,0
Рпс. 5.3
1,5
больших А, а штриховые — для малых Л. Видно, что модуль
комплексной амплитуды /o^Y1 уменьшается, а угол сдвига фаз ф
увеличивается с ростом Л и т(ра2)~1, что вполне соответствует
физическому смыслу задачи.
Вычисления показывают, что с достаточной для практики сте-
степенью точности происходит смыкание найденных приближенных
решений при больших и малых Л в диапазоне ЛеA, 2).
§ 2. Решение динамической смешанной задачи
об антиплоекой деформации упругого слоя
1. Вернемся к рассмотрению динамической контактной зада-
задачи о чистом сдвиге полосовым штампом упругого слоя, постав-
поставленной в § 5 гл. 1. Внося разложение (сравните с (9.44) гл. 2)
th s = 2s
B,1)
в равенство E,28) гл. 1, представим соотношение E,27), E.28)
гл. 1 в виде
w* (ж, h) = 1
1 _±_ J
п—1 у Уп ^2 —а
ехр (- И
B.2)

272	ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Устремим теперь в B,2) параметр е к нулю, чтобы получить ре-
решение исходной вспомогательной задачи. Будем иметь
оо	а
Gw (х, М) = 2	*	 ft (?) exp (- LLl?l Yyi-ol-mt)dl
«=X
Заметим, что уt = я/2, и предположим, что T(i)eip(-(i, a)
A<р<2). Пусть а2 < я/2; тогда при Ы->-°°, как нетрудно
видеть, решение B.3) исчезает; имеют место стоячие волны (ко-
(координаты и время отделены). Энергия на бесконечности не из-
излучается; сдвиг фаз отсутствует, поскольку в этом случае ин-
интеграл E.28) гл. 1 при е = 0 веществен; подынтегральное выра-
выражение при всех |в| < °° регулярно.
Пусть теперь а2 = я/2. Перемещение w (х, h, t), определяемое
формулой B.3), обращается в бесконечность — явление резонан-
резонанса. В подынтегральном выражении формулы E.28) гл. 1 появ-
появляется при е = 0 на действительной оси двукратный полюс
в нуле.
Резонанс — это переполнение системы энергией; после про-
прохождения резонанса, т. е. при дальнейшем увеличении частоты
а2, должна появиться в соответствии с принципами Зоммерфель-
да и Мандельштама волна, которая уносит энергию. Действи-
Действительно, пусть я/2 < а2 < Зл/2 = у2- Легко заметить, что в B,3)
появляется слагаемое, представляющее собой уходящую на беско-
бесконечность волну; оно имеет вид
Л_ехр( 1хЬГх у ol — Yx — ^°
А+ exp (— ixh~x У at — у] — iwt) (ж< —а),	B.4)
Л± =	I_ JT(
Подынтегральное выражение в E.28) гл. 1 при е = 0 теперь
уже комплексно и имеет на вещественной оси два полюса:
и = zby о2— Yx" Энергия уносится и излучается на бесконечно-
бесконечности; налицо сдвиг фаз. Далее, увеличивая частоту а2 и рассуж-
рассуждая аналогичным образом, убедимся, что при уN < а2 < fs+i в
решении B.3) появится N уходящих на бесконечность волн вида
B.4). Подынтегральное выражение в E.28) гл. 1 при е = 0 бу-

§ 2. ДИНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
273
дет иметь уже 2N полюсов и = ± yot — Yi> ± у ®1 — ?2> • • •
• • • > ±]/ CF2 — у%. Частоты а2 = "fre (ге = 1, ¦ • •, N) являются резо-
резонансными.
При а2 > V интеграл в E.28) гл. 1 для случая е = 0 нужно
понимать в смысле главного значения по Коши либо, используя
свойства интегралов Фурье,
деформировать контур ин-
интегрирования в комплексной
плоскости ? = и + iv таким
образом, как показано на
рис. 5.4. Здесь точками от-
мечены полюсы подынте-
подынтегральной функции, а стрел-
стрелками показаны направле-
направления движения полюсов с
увеличением частоты а2.
С учетом сказанного фор-
формулы E.27), E.28) гл. 1
в случае е=0 можно переписать следующим образом:
Рис. 5.4
±
-el
1 Г т, t
= -L)K @ e^dt, К @ =
B.5)
B.6)
Соответственно, рассматриваемая смешанная задача сведется к
интегральному уравнению E.29) гл. 1 с ядром вида B.6).
Для задачи, изученной в предыдущем параграфе, из B.5),
B.6) при h -»- оо с учетом A.13) можно получить
>о (х, 0) = - ±
- iJ0 (
(g) dt B.7)
Принимая теперь во внимание асимптотические формулы, спра-
справедливые при больших значениях аргумента [6],
•Ms)«К •^TF\C0
найдем из B.7) при Ы -»- °°
Vтг^тsi
sin ^ | ж |— -?-j,
B.8)
i\]dl, B.9)
18 в, М, Александров, Е, В. Коваленко

274 ГЛ. 5, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
т. е. получим убегающую на бесконечность волну с убывающей
в согласии с A.4) амплитудой. Однако явление резонанса для
данного случая ни для каких частот |х не наблюдается. Система
не переполняется энергией.
Указанный на рис. 5.4 контур интегрирования Г получился
в результате применения для решения задачи принципа предель-
предельного поглощения, однако такой же контур Г отвечает и требо-
требованиям принципов Зоммерфельда и Мандельштама. К результа-
результатам B.5), B.6), как показано в [3], приводит также й приме-
применение принципа предельной амплитуды, если, конечно, частота а2
не совпадает с резонансной. На резонансной же частоте произ-
произведение w(x, у, t)eimt при t-*- оо ведет себя как O(t'2) [3].
2. Изложим, далее, алгоритм решения интегрального уравне-
уравнения E.29) гл. 1, B.6), предварительно записав его в безразмер-
безразмерном виде G.1) гл. 1 с помощью обозначений и переменных G.3),
G.4) гл. 1. Напомним, что в случае а2 = 0 (статический вариант
задачи об антиплоской деформации упругого слоя) символ ядра
K(t,) имеет чисто мнимые нули и полюсы, ядро дается формулой
G.7) гл. 1, а решение интегрального уравнения при /(ж) —/ =
= const можно найти по формулам F.30) гл. 3. При о2 ?- 0
функция K(t,) B.6) имеет нули zn = ± ?8„ = ± iy я2гс2 — о%
и полюсы ln=±iyn =±i]Ai;2(rc — V2J — ol (n= 1, 2, ...), при-
причем, если 0 < а2 < я/2, то все они по-прежнему чисто мнимые.
С увеличением а2, соблюдая упорядоченность, нули и полюсы
начинают сходить на вещественную ось. Первыми при а2 = я/2
действительной оси достигают полюсы. Соединившись в начале
координат в двукратный полюс, они при я/2 < а2 < я растекают-
растекаются в разные стороны по вещественной оси. Затем эту же про-
процедуру с увеличением частоты повторяют нули и т. д. Если ве-
вещественной оси достигнет 2т полюсов, то па ней также окажет-
окажется 2т — 2 или 2т нулей.
Как отмечено в §§ 3, 6 гл. 3, символ ядра K(t,) можно аппрок-
аппроксимировать на действительной оси и в ее окрестности выражением
<^?^?nff ™ B,о,
Здесь при 1 < п г? т положим б„ = ±izn, "fn = ±г?„, где zn и t,n —
вещественные нули и полюсы функции К(%) вида B.6), а при
m<n^N величины бд и у„ подберем из условий наилучшей
аппроксимации символа К{%) вдоль действительной оси выра-
выражением B.10).
Прежде чем приступить к решению интегрального уравнения
1
(S)	B.11)
J

§ 2, ДИНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА	275
с ядром B.6), выясним вопрос о его разрешимости. Доказано
[3], что если вещественные строго положительные полюсы и ну-
нули функции K(t,) чередуются по мере убывания модулей, а кон-
контур Г обходит их, как показано на рис. 5.4, то теорема 5.1 со-
сохраняет свою силу.
Сделаем в B.6), B.10) замену переменного t, = Xa и введем
обозначения 6„ = 6„Я, уп = упК _ (штрихи далее опустим). По-
Получим
^bff^U^f^-W. B.12)
Ниже изложим метод решения интегрального уравнения B.11),
B.12), аналогичный данному в § 2 гл. 4 для задач типа Ь).
Именно, введем в рассмотрение дифференциальный оператор
L = dVdr2, который, будучи примененным к функции ехр(—iax),
переводит ее в — а2ехр(—iax). Учитывая это обстоятельство, ин-
интегральное уравнение B.11), B.12) запишем в форме (сравните
с F.40) гл. 3)
P,(-L)l>(*) = 2nPa(-L)/ (Ы<1),	B.13)
1	оо
Ъ(х) = j ф F) dl j" ^а.Cosa(l~x)da,	B.14)
—1	—оо
где Pi (—t) и Р2 (—L) — дифференциальные операторы по х по-
порядка 2N.
Построив общее решение дифференциального уравнения
B.13), B.14) для $(х), придем к следующему интегральному
уравнению относительно функции ф(ж):
С	°С	Г Л	1
C«ch6^ B.15)
J <p(t)diy±^cosa(l-x)da = n
-1	о	L n=1
которое эквивалентно парному интегральному уравнению типа
F.3) гл. 3:
оо
J Ф (a) cos ax da = 0
Здесь связь между ф(ж) и Ф(а) имеет вид F.2) гл. 3. Замкну-
Замкнутое решение парного интегрального уравнения B.16) получено
18*

276 ГЛ. 5, МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
в § 6 гл. 3. Это решение будет содержать неизвестные постоян-
постоянные С„ (ге=1, 2, ..., N), которые можно затем найти из усло-
условия удовлетворения исходного интегрального уравнения B,11),
B.12).
Далее понадобятся некоторые формулы из теории сфериче-
сферических и присоединенных сферических функций Г6, 81 (см. еще
§ 6 гл. 3).
а) Интегральные представления (сравните с F.7) гл. 3):
v (eh a)-Y-f ^m^7) J (ch г_
e-<v+V,)*
(o>0), Re(v + n + l)>0, Re|x<72.
б) Рекуррентные соотношения:
| [Pv+1 (z) - Pv-x (z)] = Bv + 1) Pv (z),	B.18)
b/t (z) - 0_v, (z) i>LVl (z) = - /^^i: B.19)
—i^, <?»(,)= yirri^E. B.20)
в) Интеграл от сферических функций первого рода:
Г л,
J V
, B,21)
г) Связь между эллиптическими интегралами и сферически-
сферическими функциями:
К (У 1 - th2 (а/2)) = ch (а/2) <?_,л (ch а).	B.22)
Воспользовавшись формулами F,25) гл. 3, запишем (Ъ =
/{А)
V
x\ P->/
N
J	П \***Л*П* dx\ P->/M(chbr)dr. B.23)
— ch Ъх
Для вычисления внутреннего интеграла во втором сла-
слагаемом B.23) примем во внимание первое равенство B.17) и

§ 2, ДИНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА	277
соотношение B.18). Будем иметь
/,+бп/ь(сЫп). B.24)
Внося B.24) в B.23) и используя выражения B,20) и B.21),
придадим решению Ф(а) парного интегрального уравнения
B.16) вид
Ф (а) = СР_-Л+га/ь (ch Ъ) - я sh Ъ У СП6„# - т + -п, - ± + - ,
B.25)
/^ (ch 6) Р\ (ch 6) — Pv (ch 6) Р* (ch 6)
(v — и) (v + ц + 1) б2
Найдем теперь согласно F.26) гл. 3 с учетом интеграла
B,24) функцию ф (х):
Ф (х) = — СЬ	- У С„62 — Л п/ — dr. B.26)
я 1/2 (ch 6 — ch Ьх) ~,	J 1/2 (ch 6т — ch Ьх)
Далее определим величину неизвестной постоянной С, входящей
в соотношения B.23), B,25) и B.26). Для этого вначале в
соответствии с формулой F.32) гл. 3 получим интегральную ха-
характеристику No решения уравнения B.15):
No = "	/P_v, (ch b) + 2 CnP-'/.+w (с h Ь) . B.27)
/2 L	n=i	j
Здесь были учтены первое представление B.17) и тождество
B,22).
С другой стороны, интегрируя функцию ф(ж) вида B,26),
будем иметь
1
No = 2 j ф (х) dx = CP_Vl (ch Ь) -
- V2 I CX f fe } * »eh P-Vri6,,t(ch H fc B.28)
Изменим во втором слагаемом B,28) порядок интегрирования.
Вычисляя затем получившийся при этом двукратный интеграл
с учетом первых равенств B,17), B.20) и соотношения B.21),

278 гл- 5- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
получим
N	/	R	\
No = CP-4s (ch Ъ) - я sh Ъ 2 СПЬ1Н[- -j + f, ~ 4)- B-29)
Сравнивая B.27) и B.29), найдем
.	f	,	1
я <?_1/2 (ch 6j + P_1/2 (ch 6) ^ n[ C>_V2(ch6) +
4
Последаее выражение при помощи тождества B.19) несложно
преобразовать к более компактному виду
B3о)
S (v, ц) = Pv (ch &) (?i (ch Ъ) - <?v (ch b) Pi (ch fc).
Для определения постоянных Сп удобно исходное интеграль-
интегральное уравнение B.11), B.12) записать в форме эквивалентного
ему парного уравнения типа F.1) гл. 3:
B,31)
Подставим в первое соотношение B.31) выражение для Ф(а)
B.23), B.30) и вычислим получающиеся при этом квадратуры
(см. ниже). В результате придем к системе N линейных алгеб-
алгебраических уравнений относительно величин Сп:
2A- акп) хп = 1 (к = 1, 2, ..., N),,	B.32)
в которой обозначено
хп = у- sh bQl4, (ch Ъ) Р-./,+в„/ь (ch b),
g_,/t(chb)
ffiy,+<Wb gLVl+Tft/b (ch 6) - Y^-Vz+Tfe/b (ch 6) Ply1+6n/b
F» - У\) <?-г,,+Ук1ъ

§ 2. ДИНАМИЧЕСКАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА	279
После решения системы B.32) решение исходного интегрального
уравнения B.11) может быть записано в форме B.26), B.27),
B.30).
Обратим, далее, внимание на технику вычисления отдельных
квадратур при подстановке функции Ф(а) вида B.23) в B.31).
Например, первое слагаемое из равенства B.23) при внесении
его в первое уравнение B.31) порождает интеграл
h = ) Р-ч,+ш
Г
,+ш/ь (ch Ъ)
Г	2 * '
который с учетом представления F.8) гл. 3 переходит в
/ 2& с аи с Щ^) sin aue-i**da. B зз)
1 я J -j/2 (ch Ъи — ch b) J аР2 (а2)
Для удобства вычисления внутреннего интеграла в B.33) вос-
воспользуемся теорией вычетов [9], разбив его на сумму двух ин-
интегралов
Р (а2)
¦ sin aue da =
B.34)
Замечая, что в обоих интегралах B.34) подынтегральные
функции удовлетворяют условиям леммы Жордана, и учитывая,
что и + х>0 и и — х>0, замкнем контур интегрирования в
верхнюю полуплоскость (положение контура Г указано на
рис. 5.4). В результате получим
Подставляя последнее выражение вместо внутреннего интеграла
в B.J33) и учитывая второе представление B.17), найдем
I, = 2л <?_,,, (chfc) + 2 jf У7Г71 e-v,+rn/b (ch Ъ)ch Упх\ B.35)
n=i

280 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Аналогично получим
Pi
= 2„ (i <?_.,. (ch ц +|4-
В заключение, опираясь на формулу B.26), покажем, что
под штампом возникают волны контактных напряжений, движу-
движущиеся от каждого из краев штампа к противоположному, при-
причем число волн определяется количеством вещественных нулей
символа K(t,). Действительно, допустим, что в B.26) при п =
= 1, 2, ..., т< N величины б„ являются мнимыми, т. е. на ве-
вещественной оси находится 2т нулей функции K(t,). Будем счи-
считать, что все эти нули различные, и обозначим 8„ = фп, $п > 0.
Рассмотрим, далее, случаи достаточно больших значений пара-
параметра Ъ (малые К) и заменим под интегралом в B.26) сфери-
сферическую функцию P-i/i+i$n/b(rtibr) ее асимптотическим выраже-
выражением согласно формуле [8]
.-а/2	Г / л	\
P_V2+iv(cha)~4-7=^chKv Г |-iv TA +;v)eiva-
_r(i- + iv)r(l-iv)e-iva] (a-* oo). B.36)
Учитывая еще, что v = $Jb мало, получим
l/ +ip /b(ch6T)	t
Заметим далее, что имеет место равенство [6]

§ 3. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ	281
Продолжим его аналитически в область, где Re у = 0, но Im у Ф 0.
Тогда найдем
оо
1
На основании B.38) для интеграла / вида B.37) при Ъ -*¦ °о
окончательно будем иметь представление
B.39)
Подставляя B.39) в B.26) и умножая затем результат на е~ш,
при б-*-» получим выражение
- 2 • ¦ • B.40)
П=7П
Первая сумма в B.40) как раз и дает упомянутый выше набор
волн, бегущих от левого края штампа к правому, и наоборот.
В случае кратного при ? = 0 нуля символа K(t,) (такая ситуация
будет возникать, когда безразмерная частота а2 = ягс {п =
= 1, 2, ...)) в представлении контактных напряжений B.26),
как показано в [10], две волны аннулируются, а вместо них по-
появляется полином первого порядка.
§ 3. Решение динамических смешанных задач
об антиплоском течении в слое вязкой жидкости
и об ударе тела о слой идеальной жидкости
Дадим решение задач, поставленных в § 6 гл. 1.
1. Остановимся вначале на первой задаче. Рассмотрим инте-
интегральное уравнение G.1) — G.3), G.5) гл. 1 и преобразуем его
ядро следующим образом:

k(t) =\ К (и) cos utdu, K{u)=^-^^.	C.1)
Jo	Уи2-ы
Функция К(и) в C.1) является комплекснозначной на вещест-
вещественной оси, поэтому для удобства дальнейших рассуждений

282 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
отделим в C.1) действительную и мнимую части. Будем иметь
оо
k(t) = k1(t) + ik2(t), k}(t) = §Kj(u) cos ut du (/ = 1,2), C.2)
о
v , , 1 fth V~u2-iy. th Vu2 + ix
th
У «'
После несложных выкладок из равенств C.3) получим
„	(9+ — 9- th 9+ tg 9_) th 9+ + (9_ + 9+ th 9+ tg 9_) tg 9_
ч (Э_ + Э+ th 9 , tg 9,) th 9+ - (Э+ - Э_ th Э+ tg Э_) tg Э_
2 {U) ~	(i + th2et2e)
г = Т'и2 + х2, 0± = У0,5(г±м2).
Изучим асимптотическое поведение действительной и мнимой
частей C.4) символа ядра К(и). В случае и -> 0 имеем
Л_ th "l/x/2 + Л, tg
C.5)

А± = 1 ± th Vx/2tg Ух/2, В = 1 + th2 Vxmg2 Ух/2,
а в случае и -> оо найдем
^1(в)~в-1, JfiT2(ii)~xBii3)-1.	C.6)
Нетрудно заметить, что символ Ki(u) обладает такими же свой-
свойствами по и, как символы в задачах типа а), символ К2(и) име-
имеет более сильное убывание на бесконечности. Основываясь на
результатах C.5), C.6), можно заключить, что
ft1@~-lnl*l, Mf)~74xf2lnUI (*-^0)	C.7)
и kj(t) исчезает при |t| -*• °° в силу теоремы 1.13 по крайней
мере как UI. Обратим еще внимание, что при малых х =
= co/i2pn~1 символы Kj(u) принимают вид
K1(u) = t-^ + O(K2), K2(u) = K(s^u-2u) + O(x% C.8)
Основываясь на выражениях C.2), C.7) и C.8), предста-
представим теперь при достаточно малых х ядро C.1) интегрального

§ 3. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
283
уравнения задачи в форме
k(t) = — In
th-г
oo
f
sh2u — 2u
iu ch и
C0S
C.9)
где оценка по х является равномерной по ?s[0, °°], a
ka(t)^H1~e(—R, R) (R<°°) и исчезает на бесконечности
как \t\~\
Решение интегрального уравнения G.1) гл. 1, C.9) при
х = 0, очевидно, дается формулами F.30) гл. 3, в которых в со-
согласии с G.3), G.5) гл. 1 следует положить /=1, No = T(\iV)~\
где Т—усилие, приложенное на единице длины протягиваемой
Таблица 5.2
X
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,95
\Щ
Ф
(Рад)
я=о,5; и=о,1
ф,(ж)
2,00
2,01
2,02
2,09
2,36
3,85
ф2(.х)
—0,07
—0,07
—0,07
-0,07
-0,07
—0,08
4,89
—0,030
ф,(ж)
1,04
1,06
1,09
1,19
1,47
2,62
; и=од
ф,(ж)
—0,03
—0,03
—0,03
-0,03
—0,04
-0,05
2,88
—0,025
ф,(ж)
2,01
2,02
2,03
2,09
2,37
3,87
5; и=0,5
Ф2(ж)
-0,34
—0,34
-0,34
—0,34
—0,34
—0,42
4,95
—0,15
ф,(ж)
1,05
1,06
1,10
1,19
1,48
2,64
; и=0,5
ф2(Ж)
—0,16 '
—0,16
—0,17
—0,17
—0,17
—0,25 ;
2,92
—0,13
в жидкости полосы и обеспечивающее ее движение со ско-
скоростью V. Для решения уравнения G.1) гл. 1, C.9) при х >0
и всех ^е@, оо) применим метод ортогональных многочленов,
основанный на использовании спектрального соотношения G.24)
гл. 3. Отметим, что обоснование этого метода для указанного
уравнения может быть произведено по схеме, изложенной в
§ 8 гл. 3.
Положим последовательно х = 0,1; 0,5. Действительная и
мнимая части решения уравнения G.1) гл. 1, C.9) (ср(з:) =
= (fi(x) + i(f2(x)) при X = 0,5; 1 занесены в табл. 5.2. В двух
нижних строках приведены значения величин \No\ и ср,

284 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
определяемые формулами
C.10)
(x)dx (/ = 1,2).
Из табл. 5.2 видно, что с уменьшением относительной толщи-
толщины К = ha~l слоя жидкости при постоянной ее относительной
вязкости х"' (или при постоянной толщине К с увеличением вяз-
вязкости х"') наблюдается увеличение модуля относительных зна-
значений контактных касательных напряжений <р(х) = ф,(а;)+ Щ2{х)
в одних и тех же точках области контакта, а также увеличение
модуля относительного усилия No и модуля угла, характеризу-
характеризующего сдвиг фаз между T(t) и V(t).
2. Перейдем теперь к решению второй задачи, поставленной
в § 6 гл. 1. Для этого необходимо построить ограниченное ре-
решение интегрального уравнения G.1) — G.3), G.6) гл. 1 с пра-
правой частью f+(x) = (x/2) +С. Такое решение ср+(я) может быть
записано в форме F.25), F.33) гл. 3. При этом должно выпол-
выполняться условие ограниченности F.34) гл. 3 импульсивного дав-
давления (f+(x) на краях х = ±1 пластинки и условие квазиравно-
квазиравновесия F.27) гл. 3 пластинки на слое жидкости, служащее вме-
вместе с F.34) гл. 3 для определения полного ударного импульса
No. Кроме того, должно быть удовлетворено другое условие ква-
квазиравновесия F.32) гл. 3 (эквивалентное F.34) гл. 3), с по-
помощью которого можно выразить постоянную С через No. Дей-
Действительно, имеем
Л^о«?_! (ch b)-J0	t
С- яР l(ch6) ' J°-y2) Vchb-chto"	*" ( }
При выводе первого соотношения C.11) было использовано тож-
тождество B.22) и первое представление B.17).
Для вычисления интеграла в C.11) воспользуемся асимпто-
асимптотическим равенством
х2 = 2(сЪгх-1)г~2 (е-+0).	C.12)
Внося C.12) в C.11) и снова принимая во внимание формулу
B.17) для.Ру(сЬа), получим
d2P , (chb)
—i+e/Ь
+E/b «* Ъ) ~ Р-1 «* &>] = —^?	 <6 - °>-
C.13)
? [P-l

§ 3. РЕШЕНИЕ ДРУГИХ ДИНАМИЧЕвКПХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ	285
Допустим, что параметр Ь достаточно мал. Тогда, имея в виду,
что [6]
Рч (ch Ь) = F (- v, v + 1; 1; - sh2 -g-),	C.14)
где F(a, Р; "f; z) — гипергеометрическая функция, причем
12-4е2/Ь2 ,2 Ь (l2-4e2/62)C2-4eW) 4 Ъ
ьп 2 н	^з	ьп Т ~ ' ' *'
C.15)
из C.13) будем иметь
Чтобы вычислить интеграл C.11) при больших значениях
параметра Ъ, воспользуемся асимптотическим представлением
B.36), положив в нем iv = e/b. Подставляя выражение B.36)
в C.13) и выполняя двукратное дифференцирование по е,
найдем
/0 » Ье~ъ/2 @,453-8,295&-2 - 2,618&).	C.17)
При получении C.17) использованы следующие формулы [6]:
Здесь лр(z) — пси-функция, С — постоянная Эйлера.
Построим, далее, ограниченное на краях х = ±{ решение
рассматриваемой задачи в форме F.33) гл. 3. Принимая в ра-
расчет последнюю формулу F.25) гл. 3 и представление C.12),
будем иметь
->x
Т|(^)ДГ f
Y+ У '	ле J \j ych bT _ ch bt ych Ьт _ ch Ъх
x L о v	->x v
Преобразуя C.18) с помощью равенства B.24) и устремляя
затем параметр е к нулю, найдем
1 sh Ь-хР 1 (ch Ьт)
Ф+ (х) = - Г	~ =¦ dr.	C.19)
«J V2 (chbx —сЬЫ
Решение C.19) справедливо при выполнении условия F.34)
гл. 3, которое, как уже было сказано, вместе с формулой F.27)

286 ГЛ. 5. ЛЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
гл. 3 может служить для определения ударного импульса No,
действующего на жидкость со стороны пластинки. Однако теперь
после получения формул C.18) и C.19) величину No проще
определить непосредственным интегрированием соотношения
C.18) в пределах от 0 до 1. Следуя пути, указанному в преды-
предыдущем параграфе при определении значения интеграла в B.28),
найдем
jV0 = яе-2 shЪ \Р 1 (сЪ.Ъ)Р\(сЪ.Ъ) — i>_1(ch&)i>\ gb(ch&)l,:
L ~2	~2	i	2	J
откуда, устремляя параметр е к нулю, окончательно запишем
No = JoshbP\(chb).	C.20)
2
Таким образом, решение поставленной в § 6 гл. 1 задачи об
ударе пластинки о слой идеальной жидкости конечной глубины
дается формулами C.16), C.17), C.19) и C.20). В заключение
отметим, что решение этой задачи другим методом получено в
работе [И].
§ 4. Задачи теории упругости о движущемся штампе
По классификации, данной в § 1, исследуемые ниже задачи
соответствуют «режиму установившихся движений». Ранее за-
задача такого класса уже была рассмотрена в § 3 гл. 4. Следу-
Следующие два параграфа (§§ 5,
6) также посвящены подоб-
подобным задачам.
1. Пусть в условиях пло-
плоской деформации по грани-
границе упругой полуплоскости
(р, G, v) движется вправо
с постоянной скоростью V
сосредоточенная нормальная
сила Р, причем в началь-
Рис. 5.5	ный момент времени коор-
координата точки приложения
силы равна | (рис. 5.5). Граничные условия задачи имеют вид
при х2 + у2 -*~ оо напряжения в полуплоскости исчезают; Ь(х) —
дельта-функция.
Будем разыскивать компоненты вектора перемещений
и = {и, v] в форме
д(р 5ij)	д(р д\р (i	ди dv А	ди dv
it ^= т— -|- ~х—, V ^= т.— — — I Дер ^= — ~\~ — Д\Ь —	— —
ох оу	оу ох \	оу ду'	ду дх
D.2)

§ 4. ЗАДАЧИ О ДВИЖУЩЕМСЯ ШТАМПЕ	287
Внося D.2) в уравнения Ламе B.4) гл. 1, убедимся, что функ-
функции ф и "ф являются решениями волновых уравнений
с\А<р = ф, СаА-ф = ф,	D.3)
причем Ci = 2G(l —v)[p(l —2V)]-1, c\ = Gp-1.
Известно [12], что волны, описываемые функцией ф, явля-
являются продольными или волнами растяжения-сжатия, а волны,
описываемые функцией т|),— поперечными или волнами сдвига.
Они распространяются в упругой среде от источника возмуще-
возмущения соответственно со скоростями ct и с2.
Перейдем в соотношениях D.1), D.3) к подвижной системе
коо'рдинат у' = у, х' = х — Vt (предполагается, что в момент
t = 0 подвижная и неподвижная системы координат совпадают).
Принимая во внимание то обстоятельство, что
"t	Qx	"t	дх
на основании формул D.1) —D.3), а также B.5) гл. 1 придем
к следующей краевой задаче:
дх	ду-	дх	ду	\	cj	c^ j
у = 0: A + f) dl^ + 2^- = PG -Ч (х - I),	D.5)
при хг + уг -*¦ оо вторые производные функций ф и \\> исчезают.
Здесь и далее штрихи у подвижных координат будем опускать.
Заметим также, что в процессе вывода граничных условий D.5)
были использованы соотношения
1-Т2 _ 2A-у) 1 + т2 - 2р2 _ _ 2v	.. г>
Для решения задачи D.5) при ^2 > 0 и у2 > 0 (т. е. при
V < с2) используем интегральное преобразование Фурье. Имен-
по, будем искать ф и -ф в виде
Ф («' У) e~iaxda, ф =¦ A. j Y (а, у) e-*«*<fa. D,7)

288 ГЛ. 5. МЕТОДЫ. РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Тогда соотношения D.5) запишутся в форме
Ф"у - а2р2Ф = 0, Wy - aYY = 0,
у = 0: - а2 A + у2) Ф - 2iaW'v = PG~le^,	D,8)
- а2 A + у2) ? + 2гаФ^ = 0;
при у-*- —о° функции Ф и ? исчезают.
Из D.8) найдем
AGyf, A - В) а2
ф (а у) =
V ; iGyf, A - В) а2
Далее, по формулам D.2), D.7) и D.9) определим
v {х, 0) = - Д1 ~Д [~ In 11 ~ * 1 + dJ,	D.10)
где d^ — бесконечная постоянная.
Обратим внимание, что, когда скорость движения сосредото-
сосредоточенной силы по границе полуплоскости достигает значения
V = VP (FP<c2), где VP — скорость распространения волны
Рэлея, В=1 и знаменатель в выражении D.10) обращается в
нуль. При V < VP перемещение v(x, ,0) имеет направление,
совпадающее с направлением действующей силы Р, а при
Vp < V < Ci — противоположное. При V = 0 формула D.10) при-
принимает классический вид [13]
?
D.11)
На основании D.10) легко перейти к рассмотрению задачи о
движении без трения штампа по поверхности полуплоскости
с постоянной скоростью V < Vp. Интегральное уравнение этой
задачи в подвижной системе координат, очевидно, будет иметь
вид A.2) гл. 2, а из решения B.36) гл. 2 этого уравнения,
например, будет следовать, что для штампа с плоским основа-
основанием распределение контактных напряжений такое же, как в
классическом случае (т. е. при V = 0). Для ограниченного при
х = ±1 решения, определяемого формулами C.25), C.26) гл. 2,
окажется, что полудлина линии контакта а будет больше, а кон-
контактные усилия меньше, чем в классическом случае, при про-
прочих равных условиях, ибо при V-Ф О контактная жесткость
0^ = 4Gy A - В) A - 72)-1 < 0.
2. Интегральное уравнение контактной задачи для упругой
полосы при движении без трения по ее границе штампа со ско-

§ 4. ЗАДАЧИ О ДВИЖУЩЕМСЯ ШТАМПЕ
289
ростью V <сг (рис. 5.6) также может быть получено по обыч-
обычной схеме с помощью применения интегрального преобразова-
преобразования Фурье к уравнениям D.2), D.5), а также B.5) гл. 1 и гра-
граничным условиям (в подвиж-
подвижной системе координат)
%п{х, h) = 0, су(х, h) = Q
v(x, h)=-g(x) (\х\ <a),
тта(ж, 0) = 0, v(x, 0) = 0 D.12)
! х'
Рис. 5.6
(здесь предположено, что по-
лоса шарнирно закреплена по
основанию); при \х\ -»-<» напряжения исчезают. В безразмерных
переменных
l' = la~\ х' = хаг\ k = ha~\ f(x') = g{x)ar\
\	DЛЗ)
где q (x) — контактные усилия, указанное интегральное уравне-
уравнение будет иметь вид G.1) гл. 1± A.3) гл. 2, причем
th ftu th yu
К(и) =
Bthyu) и'
D.14)
Нетрудно убедиться, что если V < VP, то знаменатель в выра-
выражении D.14) положителен и регулярен при всех и>0, а сим-
символ К (и) удовлетворяет условиям G.12) гл. 1 (задача типа а)).
При любом значении VP<V < c2 уравнение
th(Jii = Z?thlY»	D.15)
будет иметь [12] на вещественной оси Im % = 0 два симметрич-
симметрично расположенных относительно начала координат нуля. Ядро
интегрального уравнения задачи в этом случае нужно предста-
представить в виде G.11) гл. 1, D.14). Можно заключить, что при
VP < V < сг по существу получается задача типа с). Если ско-
скорость V направлена вправо (рис. 5.6), то в качестве контура Г
нужно взять прямую, расположенную чуть выше вещественной
оси, а если штамп движется влево, то в качестве Г должна
быть взята прямая, лежащая чуть ниже вещественной оси. Со-
Соответственно, слева или справа от штампа поверхность полосы,
как показывает решение, окажется волнистой (появится волна,
уходящая в Too).
3. Пусть теперь V>d> с2. Введем обозначения Р* =
= V2cT'2 — 1, yl = V2c;2 — 1 (у* > Р* > 0). Тогда уравнения
D.5) можно представить в форме (это уже будут уравнения

290 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
не эллиптического, а гиперболического типа)
о2 д ф д ф 2 52\j) б2ф
D.16)
Необходимо найти их решения при граничных условиях D.5).
Кроме того, нужно потребовать, чтобы по крайней мере в пра-
правом нижнем квадранте движение среды отсутствовало, ибо ско-
скорость движения нагрузки выше скорости распространения волн
деформации.
Решения уравнений D.16) можно представить в форме [12]
ф = f{x — М) + F(x + $*у), q = g(x — у*у) + G(x + уху),
D.17)
или, в неподвижных координатах,
Ч>= f(x-Vt-№) + F{x-Vt
ф = g (x — Vt — у*у) + G(x — Vt
D.18)
У
Из D.18) видно, что структура функции ф складывается из двух
ударных волн. Фронт первой — прямая х — Vt — f^y = const —
движется со скоростью V вправо и располагается в левом ниж-
нижнем квадранте; фронт второй — прямая х — Vt + Р*г/ = const —
также движется со скоростью V
вправо, но располагается в пра-
правом нижнем квадранте. Ясно, что
вторую волну (второе слагаемое
в выражениях D.17), D.18) для
функции ф) нужно отбросить,
ибо волна деформации не может
«забегать» вперед возмущающе-
возмущающего усилия, поскольку его движе-
движение происходит со сверхзвуко-
сверхзвуковой скоростью. Итак, все возму-
возмущенные точки сплошной среды
должны находиться в остроуголь-
образованном осью х и прямой
	?>*у _ _ л
Рис. 5.7
ном клине (рис. 5.7),
t + Vt 1
sin a = ciV~1,
Vt
D.19)
Все сказанное относится и к функции if. Здесь также есть
ударпая волна, уравнение фронта которой х — Vt — у%у = const.
Второе слагаемое в выражениях D.17), D.18) для 4" нужно
отбросить. Итак,

§ 4. ЗАДАЧИ О ДВИЖУЩЕМСЯ ШТАМПЕ	291
и условие неподвижности среды в правом нижнем квадранте
выполнено.
Интегрируя граничные условия D.5) один раз по х, получим
Здесь было учтено, что при х -»- °° движение должно отсутство-
отсутствовать. Подставляя теперь D.20) в D.21), имеем
(y* - 1) /' (*) + 2у*ё' (*) = - PG'1 П (х - I),
Решая систему D.22) относительно /' (х) и g'(x), найдем
Г() Щ*1) 4
Отсюда по формулам D.2) и D.20) для функции v при у = 0
получим выражение
^ + V	D.24)
Рассмотрим теперь на основании D.24) задачу о движении
без трения со сверхзвуковой скоростью штампа по границе упру-
упругой полуплоскости. Легко получим следующее интегральное
уравнение относительно функции распределения контактных
давлений q(x):
D.25)
Здесь г(х) — функция, характеризующая форму основания штам-
штампа. Уравнение D.25) можно также записать в следующей форме:
а
J q(l)dg = e#[6 + ax -r (х)] fls |<а).	D.26)
а
Отсюда находим
q{x) = — 0*[a — r'{x)] (Is |< а).	D.27)
19*

а
Р= \
292 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
При этом сила, которую нужно приложить к штампу, равна
+ r( — a)], D.28)
а эксцентриситет приложения силы определим по формуле
а	(а	1
Ре = j xq{x)dx=—Q* J r(x)dx-a[r(a) + r(-a)] , D.29)
—о	I—а	)
Для плоского наклонного штампа на основании D.27) — D.29)
имеем
q (х) = — 0^а, Р = — 20*аа, е = 0 (а<0). D.30)
Подставляя полученное значение для q(x) в D.26), найдем, что
б = —аа.
4. Заметим, что, распространяясь в безграничной упругой сре-
среде, поперечные волны не генерируют продольных, и наоборот. Од-
Однако в среде с границей продольные и поперечные волны взаимо-
взаимосвязаны, что, например, видно из D.22). При наличии второй гра-
границы образуются еще отраженные волны. Продемонстрируем это
на задаче о движении сосредоточенной силы Р со сверхзвуковой
1 Г
Рис. 5.8
скоростью V по границе упругой полосы толщины h, жестко за-
защемленной по основанию. В подвижной системе координат гранич-
граничные условия задачи запишутся в форме
г/ = 0: ау = -Р8{х — Ъ), хху = 0,
у = —h: u = v = 0.
Нужно еще потребовать, • чтобы по крайней мере в полунолосе
х > | движение среды отсутствовало.
На рис. 5.8 показана система прямых и отраженных ударных
волн в полосе при условии 3 Р* >у^. Видно, что пересечение
фронта продольной или поперечной волны с нижней границей
полосы порождает отраженные волны обоих типов; в свою очередь
пересечение фронта этих отраженных волн с верхней границей
вновь порождает отраженные волны обоих типов. Рассматривая

§ 4. ЗАДАЧИ О ДВИЖУЩЕМСЯ ШТАМПЕ	293
сечение полосы и передвигая его в сторону х = —°°, видим, что
количество волн постепенно нарастает до восьми. Точки А, В, С,
D, E, F и G соответственно имеют такие координаты по оси х:
На основании этого, стремясь далее к определению значений пе-
перемещений v (х, 0) лишь при х > — h ф* + у*) + |, будем искать
функции ф и -ф в виде
Ф = A,S (х - Ъу -l) + A,S (х + М + 2р*Л - Е) +
- р^у + 2М - g),
E)+	}
удовлетворяющем уравнениям D.16). Здесь S(t)=l/2(\t\—t) и
S'{t) = u(t).
Находя с учетом D.32) перемещения и и v по формулам
D.2) и удовлетворяя последним двум условиям D.31) при
х > — y*h + |, получим
А1 + А2 + у^Ва = 0, МА-А) + Я2 = 0.	D.33)
Удовлетворяя далее первым двум условиям D.31) (или, что бо-
более удобно, условиям D.21)) при х > — h (р* + у*) + |, будем
иметь
(т! - О Л + 27*ДХ = - PC, (-Й - 1) (А2 + Л) + 2Т«А = 0,
D.34)
(У2* ~ О ^ - 2р«А = 0,	(т: - 1) 53 + 2р„ (Л - Л) = О-
Решая систему уравнений D.33), D.34), определим At и В,
(? = 1, 2, 3) и затем получим по второй формуле D.2) следу-
следующее выражение для v (х, 0) при х > — h ф% -{- у%) + Ъ
v (х, 0) = Р0;1 [П (х - I) - Ш (х + 2%h -1)], D.35)
где 0* имеет вид D.24), а постоянная D равна
_ tt-l)'(P.T.-D ,	36)
Знак D определяется знаком величины
- 1 = /(а-1)(т-1) - 1,-	D.37)

294 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Нетрудно убедиться, что D ^ О, если а^1 + е, и D ^ 0, если
о«? 1 + е.
5. Перейдем, наконец, к рассмотрению задачи о движении без
трения со скоростью V> c^> cz штампа по границе упругой по-
полосы, жестко защемленной по основанию. На основании D.35)
придем к необходимости решения следующего интегрального
уравнения относительно неизвестных контактных давлений q(x):
= — 6* [б + ах — г(х)] (|ж|<а). D.38)
Дифференцируя обе части уравнения D.38) по ж и принимая
во внимание, что П'(?)=6(?) F(?)—дельта-функция), найдем
q{l)[8(x — l) — D8(x + 2^h — l)]dl =
= — 0* [а — г' (х)] (|ж|<а). D.39)
Если относительная толщина слоя достаточно велика, а именно
К = h/a > 0~ , то на основании свойств дельта-функции из
D.39) получим для q(x) выражение D.27). Если же А.<Р* ,
но А> 2@* + у*), то из D.39) будем иметь
о(х)=—0*[a — г' (х)] (а — 26*/i <ж<!а),
D.40)
q (х) — Dq(x + 2j3*/i) = — 0* [a — г' (х)] (—а^х<а— 20*/i).
Второе соотношение D.40) представляет собой линейное раз-
разностное уравнение первого порядка [14]. Напомним, что уравне-
уравнения такого типа уже ранее рассматривались в § 5 гл. 4.
Далее ограничимся рассмотрением случая плоского наклонно-
наклонного штампа (г'(ж)=0, а<0). Кроме того, заметим, что при
о = 1 постоянная D = —2, а при о -»- °° имеем D = 2; выше
также было указано, что D = 0 при о = 1 + е. Более того, можно
убедиться, что при любых е и а справедливо неравенство
|Z)|<2. Ниже ограничим диапазон изменения скорости штам-
штампа V значениями, когда 0 < D < 1.
Нетрудно убедиться, что частное решение неоднородного
разностного уравнения D.40) имеет вид
"q{x)=-BtaH-D)-\	D.41)
Также нетрудно проверить, что общее решение однородного раз-
разностного уравнения D.40) дается формулой
до (я) = _ e:icaCZrx/Bp*'l) (I - D)~\	D.42)

§ 5. ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПРОФИЛЯ В ЖИДКОСТИ	295
Таким образом, решение уравнений D.40) можно представить
в форме
q(x)=— Q*a (а —2Р*Л<ж<а),
D.43)
q(x) = - е«аA - D)'1 [l + CD-x/{2p*'l)] (-а<ж < я - 2р«Л).
Подставляя D.43) в интегральное уравнение D.38) и рассматри-
рассматривая значения а — 2$th < ж<[а, найдем
Q*a (а — х) = — 0* (б + ах), б = — аа\ . D.44)
рассматривая же значения —а<[ж<я— 2^/i, придем к соот-
соотношению
o-2P*h	a-«P*h
Ж	х+2р*/1
откуда с помощью D.42) определим
С =01+«/<20«*> A _ д)-11ц д.	D.46)
Итак, при значениях —а^ж<а — 2^/i контактное давление
имеет вид
q(x) = - Э„аA - D)~2 [1 - D + Dx+la~x){2M> In D]. D.47)
Далее несложно получить формулы для вдавливающей силы Р и
эксцентриситета приложения силы е, аналогичные D.28) и
D.29). Анализ формулы D.47) показывает, что при ограниче-
ограничениях 0 < D < 1 и Р*^ < 1 давленпе q(x) на интервале
— «^ х<^а — 2fi%h монотонно возрастает при ж-*-—о. Отно-
Отношение ц давления в точке ж = а — 2$*1г — 0 к давлению в точке
х = а — 2f>*h + 0 дается формулой
D)-2.	D.48)
Видно, что при D = 0 скачок давления в точке х = а—2^/i
отсутствует, а при D -*- 1 неограниченно возрастает.
§ 5. Задачи о движении тонкого профиля в жидкости
1. Пусть тонкий слабоизогнутый жесткий профиль обтекает-
обтекается потоком сжимаемой идеальной жидкости (рис. 5.9), причем
течение установившееся и безвихревое. На бесконечности
(ж = —°°) имеем плоскопараллельный поток, скорость которого
V и давление р*. Форма верхней границы профиля описывается
уравнением y = fi(x), а нижней — у — /2(ж). Очевидно, на про-
профиле у„в = vnR = 0, и, кроме того, по условию Жуковского верх-
верхняя и нижняя струи жидкости подходят к его задней кромке

296 ГЛ. о. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
х = а с одинаковыми скоростями, т. е. vSB = vSH (vn — скорость
частиц жидкости по нормали к профилю, vs — скорость по ка-
касательной, значки «в» и «н» означают соответственно «верх» и
«низ»).
В силу тонкости и слабой изогнутости профиля граничные
условия можно снести на ось х.
^~2__ Тогда при у = 0 будем иметь
—	vn. = vna = 0 (Ы<а),
:::	E.iy
<-а, а<х<°°); E.2)
"	~~ при х2 + у2 -*¦ °°, очевидно, vx =
Рис. 5.9	= V, vy = 0. Условия E.2)'
означают непрерывность ско-
скоростей частиц жидкости вне профиля при переходе через ось х.
Из условий E.1) следует, что на профиле
vy = vssinQ, vx = vscosQ,	E-3)
где 0 — угол между осью х и касательной к профилю в задан-
заданной точке. Поскольку же профиль тонкий и слабоизогнутый, то
cos 0 « 1, sin 0 « tg 0 = /' (х). Тогда имеем
v.*vx = V + Sn vy = (V + vx)f'(x),	E.4)
где vx — малое возмущение скорости основного потока. Оконча-
Окончательно, пренебрегая в выражении E.4) для vv произведением
Vxf'(x), придем к выводу, что граничные условия E.1) можно
заменить следующими: при у = О
Vyv. = V{1(x), vyn = Vf2(x) (| ж|<а).	E.5)
Кроме того, заметим, что в силу условия Жуковского первое
условие E.2) будет выполняться и при х = а.
Для решения задачи воспользуемся формулами B.17), B.21)
и B.22) гл. 1, которые при сделанных допущениях примут вид
Т7 , дф	бф	~	т. бф
Здесь р* — плотность жидкости при давлении р*, с — скорость
звука в жидкости, М— число Маха. Граничные условия E.2),
E.5) можно теперь переписать следующим образом: при у = О
а),
E.7)

§ 5. ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПРОФИЛЯ В ЖИДКОСТИ	297
при х2 + у2 -»- °о д(р/дх и д(р/ду исчезают (третье условие E.7)
выполняется и при х = а).
Разобьем задачу E.7) на «четную» и «нечетную» по у; для
этого будем искать функцию ф в виде
Ф = Ф+ + ф_,	E.8)'
где ф+ и ф_ — соответственно четная и нечетная по у функции.
Для «четного» случая граничные условия E.7) примут вид:
при у = О
d
-gf = O (— оо<ж< — а, а<ж<оо);
при х2 + if -»- °° д(р+/дх и дц>+/ду исчезают. Обратим внимание,
что краевая задача E.6), E.9) не является смешанной и ре-
решается просто. Для «нечетного» случая граничные условия E.7)
примут вид: при у = О
^Ь =.±УШх) + fs(x)] = Vf'(x) (\x\^a),
-^- = 0 (— оо<ж<— а, а<ж<оо);
при х2 + у2 -»- оо д(р~/дх и д(р-/ду исчезают. Краевая задача
E.6), E.10) является смешанной, поэтому на ней остановимся
подробнее.
2. Допустим сначала, что М<1. В этом случае, применяя
к уравнению E.6) и граничным условиям E.10) интегральное
преобразование Фурье1), по схеме решения смешанных задач,
описанной в § 1 гл. 1, придем к интегральному уравнению
—а
относительно величины
а (х) = — р*^ I ~з	з— = — 2pj.F ——
5 ч '	г* V дх	дх 1п=о	* дх
, E.12)
отличной от нуля при —а^х<а и характеризующей распре-
распределение подъемного усилия вдоль профиля. Для решения урав-
уравнения E.11) можно воспользоваться формулами C.22) и C.23)
гл. 2. Именно, для случая f'(x) = —а будем иметь [15]
g
') В силу нечетностп функции <р_ по у можно рассматривать лишь
нижнюю полуплоскость у < 0.

29& ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Эксцентриситет приложения подъемной силы и силу сопротив-
сопротивления движению R найдем с помощью E.13) по формулам
q(l)dl, e=-|, R = aP.	E.14)
Пусть теперь М>1. Учитывая	результаты предыдущего
параграфа, решение уравнения E.6)	в этом случае представим
в форме
5ф_	бф_
Ф_ = со (х + $у), -j- = a'{x + fc/),	-щ- = (V (ж + ру),
р = /М8-1, со' @ = Q @ [sgn (а + г) + sgn (а - *)]•
С помощью E.15) нужно удовлетворить граничным условиям
E.10), но, в отличие от Постановки задачи при М < 1, здесь
необходимо потребовать, чтобы по крайней мере во всей полу-
полуплоскости х < —а отсутствовало возмущение плоскопараллель-
плоскопараллельного потока (д(р-/дх = д(р-/ду = 0 при х<—а). Нетрудно убе-
убедиться, что выражения E.15) удовлетворяют этому последнему
условию, а также второму условию E.10). Удовлетворяя перво-
первому условию E.10), найдем
Vf'(x).	E.16)
Далее, по формуле E.12) получим
q(x)=-2p*V*(M*-l)-1f'(x) (|ж|<а).	E.17)
Для случая f (х) = —а будем из E.17) иметь [15]
q{x)~ V^=rr
.	 у1
. у
Из E.14) и E.18) видно, что при переходе от дозвукового обте-
обтекания профиля к сверхзвуковому центр приложения подъемной
силы смещается назад. Это
	 		обстоятельство известно под
	^_ названием «затягивания в пи-
^^—' *_ 	_? кирование».
— 	.	3. Перейдем к изучению
-— —	— — —	плоской задачи о движении с
Рис 510	постоянной скоростью V тон-
тонкой жесткой пластинки длины
2а в вязкой несжимаемой жидкости. В системе координат, свя-
связанной с пластинкой (рис. 5.10), задача, очевидно, эквивалентна
задаче об установившемся обтекании пластинки плоскопараллель-
плоскопараллельным потоком жидкости, набегающим со скоростью V. Пусть плот-
плотность жидкости равна р, вязкость — |Л, а давление на бесконеч-
бесконечности р* — 0. Поставим целью определить закон распределения

§ 5. ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПРОФИЛЯ В ЖИДКОСТИ	299
по пластинке контактных касательных напряжений тху = —х(х),
а также силу сопротивления движению Е.
Для решения задачи воспользуемся уравнениями B.11) —
B.13) гл. 1, которые при р = const принимают форму
ox	p дх	' дх	р dy
du dv n	(du , dv \	а	E-19)
Здесь и и v — возмущения скорости основного потока по осям
х ш у, р — давление. Учитывая симметрию задачи относительно
оси х, будем рассматривать лишь полуплоскость у < 0. Гранич-
Граничные условия задачи, очевидно, будут иметь вид: при у = 0
v = 0 (Ы<°°), u = -V (Ы*?а), т„, = 0 (Ы>а); E.20)
кроме того, и и v при хг + уг -*¦ °° исчезают.
Введем в рассмотрение функцию тока г|), связанную с и и v со-
соотношениями
А, „ = _?.
ду'	дх
E.21)
При этом убедимся, что условие несжимаемости будет тожде-
тождественно удовлетворено, а для касательного напряжения хху по-
получим выражение
rxv = ц Дяр.	E.22)
Подставляя E.21) в первые два уравнения E.19) и исключая
из них функцию р, найдем, что функция г|) должна быть опре-
определена из уравнения Осеена [16]
^ — ^1*^ = 0, Р = —.	E.23)
Граничные условия задачи E.20) примут вид: при у = 0
E.24)
кроме того, dty/dx и dty/dy исчезают при хг + у2 -*- °°.
Используя для решения краевой задачи E.23), E.24) ин-
интегральное преобразование Фурье1), по схеме решения сме-
смешанных задач (§1 гл. 1) придем к следующему интегральному
') В силу четности функции if по у можно рассматривать, например,
лишь нижнюю полуплоскость у < 0.

300 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
уравнению:
1
-1
ft @ = J^f du + J2[1- у (и)]sinutdu,	E.25)
о
. от (ах)
v /ч l/ B+ru2
-aV> Y («)=]/	2
Здесь т (ах) — функция, характеризующая распределение кон-
контактных касательных напряжений вдоль пластинки, Я — число
Рейнольдса. Отличительной особенностью ядра k(t) вида E.25)
по отношению к ядрам типа A.3) гл. 2 является наличие как
четной, так и нечетной по t части. Далее ограничимся лишь
рассмотрением случая больших Я (малых чисел Рейнольдса).
При малых Я постановка задачи должна быть иной в связи с
возможностью перехода ламинарного обтекания в турбулентное.
4. Нетрудно убедиться, что имеют место асимптотические
соотношения
_1_~!_* 2[1 — у(и)]	-„ (и->оо),
				E.2b)
—, 2 [1 — v («)]	У- (и->0).
Далее, на основании первого интеграла A.20) гл. 2 и интегра-
интегралов, получающихся из него почленным интегрированием по t,
можно показать, что для k(t) при достаточно малых t справед-
справедливо представление
ft(*) = M0b|*| + M0,
jv-i	/5 27)
h(t)= 2 dHtl + O(t") (; = 1,2).
Здесь (сравните с (8.26) гл. 2)
d	l d	d4 rf
~u)l
о
Следуя методу, изложенному в § 8 гл. 2, будем искать асим-
асимптотическое при Я->¦ оо решение интегрального уравнения E.25),

§ 6. СУПЕРКАВИТАЦИЯ ПРОФИЛЯ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
301
E.27)" в виде
) д
=-j7=T ^ 2 е»»
. E.28)
Ограничиваясь членами порядка К 2, по рекуррентной системе со-
соотношений типа (8.29) последовательно найдем функции соРо,
Юю, Юн, ©го, cu2i и соц2. В результате получим
ф (
X) =	/°	(l + | (du + d21 - du In Щ + Ц|^2 [I (du +
+ dnd2] - du In 21) + /-| dJ2 + d22 - d12 In 2A,jj + О (?Г3 In3 X)J.
E.29)
Безразмерное значение силы сопротивления найдем по формуле
= л
In 2X + ^ (dia + d22-d12 In
u Ь 2ЯJ + О (К~3 In» Я,)!. E.30)
На рис. 5.11 изображены графики величин
0р±= lim ф
— х2 N
(соответственно кривые 1, 2, 3) в зависимости от изменения
параметра 1пХ. Видно, что с увеличением скорости V движения
пластинки сила сопротивления
R монотонно возрастает.
§ 6. Суперкавитация
профиля в идеальной
жидкости
Кавитация, или образование
в жидкости паро-газовых пузы-
пузырей на поверхности быстро дви-
движущихся тел,— сложное физи-
физико-механическое явление, учет
которого весьма важен в зада-
задачах судостроения, гидротурбо-
гидротурбостроения и других областей
техники. В общем случае за-
задача кавитационного обтекания
представляет собой нелинейную краевую задачу с неизвестной
границей, решение которой составляет значительные математи-
математические трудности. Однако во многих практически важных слу-
случаях обтекаемые тела являются тонкими (крылья) и возможна
линеаризация этой краевой задачи.
1п2	21п2
Рис. 5. И
In A

302 гл- 5- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Линейная теория [17, 18] развитых кавитационных течений
тонких тел дает возможность определить основные гидродина-
гидродинамические характеристики обтекаемых тел в простой форме. Ос-
Основные допущения линейной теории следующие: 1) относитель-
относительная толщина профиля мала, профиль слабо изогнут, угол атаки
мал; 2) каверна представляет собой замкнутую выпуклую об-
		 ласть малой относительной тол-
щины и изогнутости; 3) число
кавитации (см. ниже) мало.
Рассмотрим постановку задачи
об обтекании профиля потоком
идеальной, невесомой и несжи-
несжимаемой жидкости. Течение без-
Рис. 5.12	вихревое, установившееся; ско-
скорость набегающего потока V по-
постоянна. Система координат связана с профилем, как показано
на рис. 5.12; профиль описывается уравнением y = f(x).
Так как течение безвихревое, то существует потенциал ско-
скоростей ф(ж, у)= Vx + ф0 в форме B.17) гл. 1. Поскольку жид-
жидкость идеальная, несжимаемая, то уравнение B.19) гл. 1 вы-
вырождается в уравнение Лапласа
дфо = о (а = ? + 5)'
которое справедливо всюду вне тела и каверны.
Заметим, что компоненты вектора скоростей в жидкости для
точек, соприкасающихся с профилем, согласно E.4) представи-
мы в форме
%	(^)'(*)¦	F.2)
Пренебрегая далее *во втором соотношении F.2) произведением
малых величин, запишем условие непротекания на нижней по-
поверхности профиля д(ро/ду = Vf'(x). Теперь применим интеграл
Коши B.18) гл. 1 для двух сечений: для точек, бесконечно
удаленных, где давление р* = const, и точек, лежащих на по-
поверхности каверны, для которых выполняется условие постоян-
постоянства давлений р0 = const,
2" * + у =  \»х + ь'у) + J-	(Ь-6)
Линеаризуя соотношение F.3) в согласии с равнствами F.2),
будем иметь (сравните с C.25) гл. 4)
Обычно предполагается, что число кавитации ст неотрицательно.

§ 6. СУПЕРКАВИТАЦИЯ ПРОФИЛЯ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
303
Таким образом, пришли к необходимости решепия уравнения
F.1) при следующих краевых условиях:
¦$ = Vf'(x) (У=~0,
дх
~д?
~дх~
(у= — О,
(У = + О,
I),
F.5)
ду
г/2->оо).
Здесь в первых трех соотношениях F.5) на основании предполо-
предположений 1)—3) все величины снесены на ось абсцисс; ±0 озна-
означает соответственно приближение к оси х из области положи-
положительных или отрицательных значений у; последнее условие F.5)
означает отсутствие возмущений плоскопараллельного потока на
бесконечности.
Заметим еще, что
Ох
(у=-0,
(у= + о,
F,6)
где р (х) — давление на нижней кромке профиля, у = F+ (х) —
уравнения верхней и нижней кромок каверны. Функции р(х)
@^ж^1), F+(x) (O^x^l), F-(x) (l^xsil), а также
величина I подлежат определению в ходе решения задачи.
Введем в рассмотрение вспомогательные неизвестные функции
•М-ДО
У=+0
9%
дх
у=-о
У=-0
у(х) =
q (х) =У+ (х) - f (х) @ < х < 1), q (х) = F+ (х) - FL (х)
F.7)
В силу формул F.5) и F.6) имеем
y(x) = (pV2)-1[p(x)-pQ]
F.8)
х < I).
Из F.8) видно, что Ч (х) — безразмерный скачок давления вдоль
профиля, поэтому подъемная сила может быть выражена

304 гл- 5- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
формулой
1	1
$	(^yi ^	F.9)
где СР — коэффициент подъемной силы. Функция q (х), очевид-
очевидно, связана с толщиной каверны б (ж) формулами
F.10)
Поставленная граничная задача F.1), F.5) для плоскости
с разрезом (у = 0, O^x^l) применением преобразования Фурье
по переменной х может быть сведена к системе сингулярных
интегральных уравнений относительно введенных функций
и q(x) [17]:
I	F.11)
Уравнения F.11) необходимо решить при условии конечности
энергии е-объема жидкости
f (q* + у2) dQ < с»	F.12)
в окрестности точки х = 0 или при вытекающих из F.12) ус-
условиях
ixq(x)^0, ix~4(x)+0 (x^O).	F.13)
Кроме того, нужно потребовать ограниченности функции -у (ж)
в точке х = 1, что фактически приводит к условию
Ч(ж) = 0 (ж = 1-0).	F.14)
Последнее -является естественным условием Жуковского непре-
непрерывности давления в окрестности х = 1 при переходе от профи-
профиля к каверне. Для определения длины каверны I используем ус-
условие Рябушинского замкнутости системы профиль — каверна
0.	F.15)

§ 6. СУПЕРКАВИТАЦИЯ ПРОФИЛЯ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ	305
При условии F.15), как будет показано ниже1),
*~cr2, q(x)~(l-x)~lf2 (* — Z).	F.16)
Для установления характера решения задачи в окрестности точ-
точки х=0 можно рассмотреть однородную систему F.11), считая
к тому же, что переменные % и х изменяются на @, °°). Скла-
Складывая при этом уравнения F.11), получим
<оо, <e(x) = q(z) + y(x)). F.17)
о
Решение уравнения F.17) будем искать в виде
<p(x) = Dxa-1 (D = const, 0<а<1)'.	F.18)
Подставляя F.18) в F.17) и вычисляя согласно E.6) гл. 4 ин-
интеграл, будем иметь
ctgK«+l = 0.	F.19)
Отсюда находим, что а = 3/4 и, следовательно,
„/„\_,~.—1/4 „ I „\ „—1/4 /т—».П\'	(R 9П\'
5f v«E^ ~ -С ? I V"*/ Я-	(•*• ^ U^,	@.6\J)
причем оценки F.20) не противоречат условиям F.13).
Итак, должно быть найдено решение системы уравнений
@.11) при условиях F.13) — F.15), а структура решения в ок-
окрестности точек х = I и х = 0 определяется соотношениями
F.16) и F.20). Следуя результатам монографии [17], получим
замкнутое решение задачи. Именно, перепишем второе уравне-
уравнение системы F.11) в виде
i
I	F.21)
и обратим стоящий слева интегральный оператор по формулам
типа C.22), C.23) гл. 2, удовлетворив тем самым первому усло-
условию F.13). Будем иметь
й+1 V^,\ VW^i *• «6-22>
F-23)
Здесь учтено, что ^(х)=0 при х>1, и использовано усло-
условие F.15).
') Из второй формулы F.16) следует, что при условии Рябушинского
в линейной теории суперкавитации не выполняется соотношение F.12)
в окрестности точки х = I. О других условиях замыкания каверны см. [19].

306 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Подставляя далее выражение F.22) в первое уравнение си-
системы F.11), получим следующее интегральное уравнение отно-
относительно ч(х):
Произведем в уравнении F.24) замену переменных и введем
обозначения по формулам
х=\ T=V t=\T=r^ а=Ут±-у	F25)
*T1. y(t) = y(x), g(t)-f'(x).
Придем к сингулярному интегральному уравнению с ядром
Копти
№[$?]Tb <a)- F-26)
о
Решение уравнения F.26) найдем по формуле типа C.23) гл. 2,
удовлетворив тем самым условию F.14), а также, как нетрудно
убедиться, второму условию F.13) t
A/q2JуЩе^_-==]^_-__. (е.2т,
После некоторых преобразований F.27) выражение для перепа-
перепада давлений вдоль профиля принимает вид
F.28)
Используя формулу F.22), можно также получить в переменных
F.25) для функции q(t)= q(x) следующее выражение:

§ 6. СУПЕРКАВИТАЦИЯ ПРОФИЛЯ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
307
Пусть профиль представляет из себя плоскую пластину
/'(х)=—а. Тогда в согласии с равенствами F.23), F.28), F.29)
получим
'>. F.3Q)
F.32)
F.33)
откуда выражение для коэффициента подъемной силы F.9) бу-
будет иметь вид
СР = па [уг — 1 (УГ+ УГ^Т)"]-1.	F.34)'
Нетрудно убедиться, что полученные результаты обладают свой-
свойствами F.14), F.16) и F.20).
Заметим, что для нулевого числа кавитации (ст = О, Z = °°,
а = 1) формулы F.30), F.31) й F.34) принимают вид
С,-if.,
q(x)a
-1
F-35»
<'<*<->•
Определим еще плечо Я приложения силы Р (см. рис. 5.5) по
формуле
F.36)
20*

308 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
"После несложных вычислений получим
# = 28A05я)-1« 0,776.
Определим также силу сопротивления движению профиля
Т = Pa, Ct = Сра = ^р	F.37)
Для сравнения приведем (см. E.13) и E.14)) значения Ср, Ct
и Н, получающиеся при обтекании профиля
fix)—a
без образования каверны:
СР = 2яа, С, = 2яа2, Н = 0,25.
Видно, что при суперкавитационном обтекании подъемная сила
уменьшается в четыре раза, но зато во столько же раз умень-
уменьшается сила сопротивления движению.
§ 7. Нестационарная задача об истечении
сжимаемой жидкости (газа) из емкости
Рассмотрим, наконец, задачу, которая по классификации,
данной в § 1, относится к «общему нестационарному режиму».
Пусть в емкости (сосуде) достаточно большого объема (полу-
(полуплоскость у < 0) в состоянии покоя при давлении р* находится
идеальная сжимаемая (баротропная) жидкость. В момент t = О
Ро
риг
Р*
Р
Рис. 5.13
Рис. 5.14
происходит разгерметизация сосуда, в его границе у = 0 появ-
появляется отверстие ширины 2а (рис. 5.13) и жидкость устрем-
устремляется наружу, где р<Ср%. Будем считать, что давление в се-
сечении у = 0 струи истекающей жидкости зависит только от вре-
времени t и изменяется с течением времени, как показано на
рис. 5.14. Начальный участок кривой давления p(t) (на рис. 5.14

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБ ИСТЕЧЕНИИ ГАЗА	309
заштрихован) может быть хороню аппроксимирован выра-
выражением
p(t) = p(l-yeKt), li^Pbd-y)-1 @<7<1, и>0), G.1)
где f и я — постоянные аппроксимации, которые могут быть
подобраны по экспериментальным данным.
Исследуем задачу на промежутке времени 0 ^ t ^ T таком,
когда изменение давления в сосуде р„ =—РЧ(ех' — 1) еще до-
достаточно мало, и можно считать справедливыми уравнения
B.20) — B.22) гл. 1. Заметим, что при этом безразмерное время
Т' = %Т может отнюдь не быть малой величиной. Поставим
целью определить функцию v(x, t) распределения скоростей
частиц жидкости в направлении оси у в сечении у = 0, Ы =S a
и характеристику расхода
$(t,t)dl,	G.2)
— а
где
Р* = Ф(Р*)
в соответствии с формулой B.20) гл. 1.
При сделанных предположениях задача формулируется в ви-
виде дифференциального уравнения B.22) гл. 1 при V = 0:
Аф„ = с-2ф0	G.3)
и граничных условий
М*. о, *)—*¦&
= 0 (|х|>о),
У=О
- ру(еУЛ— l) H(t) (\x\^La), G.4)
ро(х, у, t)-*0 (x2 + y2->oo).
Здесь использованы формулы B.17) и B.21) гл. 1, H(t) — функ-
функция Хевисайда (Я(*)=0 (*<0), Я(*)=1 (t>0)).
Для сведения краевой задачи G.3), G.4) к интегральному
уравнению исследуем вначале несмешанную задачу при следу-
следующих граничных условиях:
vy(x, 0, ?) = v (x)eK'H(t),
v(x)=v(x) (Ixl^o),
G.5)
1) ( V l 	 О I I Ч" I ^^ /7 l
Ро(*, J/, О"*" 0 (х2 + г/2->оо).
Применим к уравнению G.3) и условиям G.5) преобразование

310 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Лапласа — Карсона по t [20]:
оо
ФоЬ (*, У,Р) = р\ е~р'фо (ж, у, t) At (Re p = е > и),
e+ioo
е—too
В результате придем к следующей краевой задаче:
G.7)
Далее, для решения уравнения G.7) применим интегральное
преобразование Фурье по переменной х. Положим
оо
<PoL (х, У, Р) = -2^ | ФоГ(«, J/, p)e~iaxda,
G.9)
Фо F («, г/. Р) = J ф? (ж, г/,
Внося G.9) в G.7), придем к обыкновенному дифференциально-
дифференциальному уравнению относительно функции ф0^ (а, у, р):
(фо')»-(«2 + Р20 90^ = 0,	G.10)
общее решение которого имеет вид
Фо' («, У, Р) = Сх (а, р) еру + С2 (а, р) е-ру, Р = К а2 + р2^.
G.11)
Произвольные функции Су (а, />) G = 1, 2) определим из
граничных условий G.8), трансформированных по Фурье. Опу-
Опуская элементарные выкладки, получим
рС,(а, p) = i^(a)p(p —и)", С2(а, р) = 0,	G.12)"
где v"(a) —трансформанта Фурье функции v(x). Теперь в со-
согласии с выражениями G.6), G.9), G.11) и G.12) будем иметь
оо	8+ioo
Фо («. 0, *) = 737 \ vF(a)e-iaxda ^(п^^- G.13)

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБ ИСТЕЧЕНИИ ГАЗА	311
Вычислим внутренний интеграл в G.13), воспользовавшись
формулой свертки для преобразования Лапласа — Карсона [20].
Получим
8+{оо	¦	оо
где /0 (х) — функция Бесселя.
На основании асимптотических формул [6]
G-15)
(Г(a, t)—неполная гамма-функция) можно заключить, что вто-
второе слагаемое в G.14) при t-*-oo убывает как t~in. Отсюда сле-
следует, что при достаточно большом безразмерном времени
tt = yd* таком, например, когда еи'* ^= 1, вторым слагаемым в
G.14) можно пренебречь по сравнению с экспоненциально расту-
растущим первым. Допустим теперь, что в G.1) величина "f -С 1, тогда
может существовать диапазон изменения безразмерного времени
<'е(<„, Г'). В этом диапазоне на основании формул G.13) и
G.14) найдем
Возвращаясь теперь к смешанной краевой задаче G.3),
G.4), используя формулу G.16) для определения функции v(x)
при t*^f'^r' и замечая, что
получим следующее интегральное уравнение:
(|«|<a),	G.17)
где Ко (х) — функция Макдональда. В безразмерных переменных
п обозначениях
/	X	?,	I	.	С
уравнение G.17) примет форму G.1) гл. 1, причем f(x) = f,

312 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
а ядро k(t) = K0(t) будет иметь вид A.3) гл. 2 с символом
К(и) = (и2+1)-1'2	G.18)
(штрихи у безразмерных переменных далее будем опускать).
Обратим внимание, что полученное интегральное уравнение пол-
полностью совпадает с уравнением G.1) гл. 3. Интегральную харак-
характеристику G.2) — расход — при t[ <! t' <! Т' можно после ре-
решения уравнения G.17) определить по формуле
\{l)dl,	G.19)
—а
а вводя обозначение
найдем, что величина iV0 дается формулой F.19) гл. 4.
Итак, можно заключить, что если в задаче об истечении сжи-
сжимаемой жидкости из емкости расход ее возрастает с течением
времени по экспоненциальному закону, т. е. Q{t)~eKt, то при-
приращение давления р0 будет при ?'>?,„ в сечении г/ = 0, Ы=г?а
иметь асимптотику р0 (х, О, t) ~ — Р^уё* , где величина f свя-
связана с характеристикой распределения скорости v(x) в этом
сечении интегральным уравнением G.17). Справедливо и обрат-
обратное утверждение: если приращение давления в жидкости на вы-
выходе из сосуда возрастает с течением времени по экспоненциаль-
экспоненциальному закону, т. е.
po(x,0,t)	prfe" (у = 0, \х\^а),
то и расход ее при f >• t^ будет иметь асимптотику Q(t)~eKt,
причем связь величины f с величиной Q(t)e~xt может быть уста-
установлена из соотношения G.19) после решения интегрального
уравнения G.17). Анализируя этот результат, можно получить
следующий способ понижения размерности в нестационарных
динамических смешанных задачах при достаточно большом
безразмерном времени.
Если возмущения в сплошной среде возрастают с течением
времени по экспоненциальному закону, то главный член разло-
разложения решения задачи при достаточно большом времени может
быть получен без применения преобразования Лапласа — Карсо-
на по времени, если искать его в форме произведения функции
только координат на соответствующую экспоненту.
Возвращаясь к поставленной задаче о разгерметизации сосу-
сосуда, заметим, что при больших <К решение интегрального уравне-
уравнения G.1) гл. 1 с ядром вида A.3) гл. 2, G.18) в случае

§ 7. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБ ИСТЕЧЕНИИ ГАЗА	313
f(x) = f = const может быть получено по формулам (8.31), (8.32)
гл. 2, в которых следует положить
G.20)
i-, -Ф A)	С .
(С — постоянная Эйлера). Главный член асимптотики решения
задачи при малых к найдем по формуле A0.28) гл. 2, где в со-
соответствии с (9.7) гл. 2
а в согласии с (9.40) гл. 2
Таким образом, имеем
Ф W = {[ert/I±I + erf
Интегрируя функцию G.22) в пределах от —1 до 1, определим
Решение задачи, справедливое при всех ^,е@, оо)> может быть
найдено с помощью формул G.9), G.14) гл. 3 и условия орто-
ортогональности (8.18) гл. 3 функций Матье. В результате будем
иметь
( } ~ VT^T ?	Fek2n @, - q) Ce2n (arCC0S x' ~ q>
Fek2n @, -
G.24)
а для величины No получим выражение
OO
М- 2я/У LiBn)l2
Yl—О

314	ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
В табл. 5.3 для сравнения приведены числовые результаты,
полученные по формулам (8.31), (8.32) гл. 2 (первые строки),
Таблица 5.3
X
Я
1/2
1
О
0,0
2,03
1,92
1,09
1,10
1,04
0,67
0,65
0,2
2,04
1,95
1,10
1,11
1,06
0,68
0,66
0,4
2,07
2,05
1,14
1,15
1,12
0,72
0,70
fpCC)
0,6
2,16
2,29
1,24
1,24
1,26
0,80
0,80
0,8
2,46
2,93
1,52
1,52
1,65
1,02
1,05
0,95
3,92
5,42
2,70
2,66
3,10
1,89
2,01
No
7
5,00
5,23
2,99
3,00
3,01
1,97
1,96
формулам G.22), G.23) (вторые строки) и формулам G.24),
G.25) (третьи строки). Видно, что стыковка решений, получен-
полученных методами больших и малых X, происходит в районе X —¦ 1.

Дополнение
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА
Контактные задачи теории упругости при учете износа шероховатых
поверхностей взаимодействующих тел, а также ряд смешанных задач для
многослойных вязкоупругих оснований, когда относительная толщина и
относительная жесткость верхнего слоя достаточно малы, приводятся к ис-
исследованию интегрального уравнения второго рода, содержащего операторы
Фредгольма по координате и Вольтерра по времени, вида [1—4]
1	t
J ф a, t) к (^р) «*б+ J ф (*,
i
-1
t
\т (ЦТ, |i*) ЙТ Г ф (I, т) А A^) rfg = 6 (*) + Р (*)*-/ (I)
-1
(|l| < 1, 0<«<Г < 00)
при интегральных условиях
iff (x,t)dx.	(Д.2)
-l
В (Д.1) Я п ц — соответственно геометрический и физический безразмер-
безразмерные параметры, причем Я > 0, ц ^ 0.
На практике встречаются два основных варианта задач (Д.1), (Д.2):
1)	задаются функции 6@ и P(i) — находятся ф(г, О и Afy(t) (/ = 0, 1);
2)	задаются функции N3(t) —находятся (р(х, t), 6@ и Р@- Ниже для про-
простоты рассмотрим важный частный случай интегрального уравнения (Д.1)
ф + ААф + Шф+ тВАф = 6@ — /(*) (\х\ s^ 1, 0 s^ « s^ Т), (Д.З)
1
Ai|>= i|) (g) i-(g, i) dg, r(g, i) = -ln i-=-^ -fd,	(Д.4)
J	Я
t
Bi|) = f i|) (т) e~p-('~T)dT,
-1

316	ДОПОЛНЕНИЕ
в котором к, I, т — постоянные, a f(x) —четная функция, причем f(x) e
еС(-1, 1).
1. Пусть 6(?) еС@, Т) изменяется во времени по закону
6(*)=6оо+61|1(*), в«(*)-*° («-^00,6^= const).	(Д.5)
Будем искать ц>(х, t) в (Д.З) в форме [2, 4]
фA, t) =фоA, О' + Ф^1» О»	(Д-6)
где ф;(г, *) (/= О, 1) удовлетворяют соответственно однородному и неод-
неоднородному уравнениям
Ф;К О -ФИ*. 0) +АА[Ф/(Е, О -ФЛЕ, 0)] +Ш[ф,(х,т)] +
+ таВА[фУA, т)] = М*, *)	A^1 «S 1, 0<«<Г),
(Д-7)
А (я, О=в«[в(О-в(О)] G=0,1).
Здесь 6ij — символ Кронекера. При этом система (Д.7) эквивалентна исход-
исходному уравнению (Д.З), (Д.4), если ф(х, 0) находится из уравнения
0)-/(х) (М<1).	(Д.8)
Заметим, что оператор Аг|) вида (Д.4) является самосопряженным, впол-
вполне непрерывным и положительно определенным оператором [1], действую-
действующим из ?г(—1, 1) в L2(—1, 1). А тогда, согласно общей теории таких опе-
операторов (см. § 3 гл. 1), имеют место теоремы 1.4 и 1.5, причем Ях > Яг > ...
... > Я» > ... > 0, lim Яп = 0.
Ищем решения уравнений (Д.7) в виде
оо
ФУ (*, 0=2 41 № Ф2« И (/ = о, 1).	(Д -9)
п=1
где {ф2п(ж)} —система четных собственных функций оператора А. Подстав^
ляя (Д.9) в (Д.7) и приравнивая коэффициенты при собственных функциях
оператора А одинакового номера, получим
A + кК2п) [afn (t) - а«> @)] + (I + m).2n) В [а<& (т)] =
!б* @ - б* (°I @<«<Г), (Д.10)
1 = 2 ?2пФ2П И'
п=1
1
?2П= j <Ргп (*)**¦	(Д.")
-1
Решая однородное уравнение Вольтерра (Д.10), найдем
*]	(Д.12)

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА	317
причем в силу последнего соотношения последовательность {ехр(—агп*)}
является замкнутой системой в классе непрерывных функций, исчезающих
на бесконечности. Опираясь на это, разложим функцию 6*(«) в равномерно
сходящийся при t е [О, Т] ряд
б* № = 2 Ргг ех.Р (- «2iO-	(Д-13)
1=1
Подставляя (Д.13) в неоднородное уравнение (Д.10), найдем
•a w=s' (&ni+«I-"4')+ь««+w"-'- (д • i4>
Штрих у суммы означает, что в ней пропущено слагаемое с индексом п = i,
коэффициенты &„* и cni имеют вид
Таким образом, построено решепие уравнения (Д.З) в форме (Д.6),
(Д.9), (Д.12), (Д.14), (Д.15) с точностью до счетного множества постоян-
постоянных fo^@) (ra^l). Последние определим, подставив решение (Д.6) при
t = 0 в интегральное уравнение (Д.8). После очевидных преобразований с
учетом (Д.11) и равномерно сходящегося при \х\ ^ 1 ряда
ОО
/(*)= 2vp8n(*)	(д-16)
найдем
йB°2 (°) = {[«» + б* (°)] ^2„ - hn) A + АЯ,,,)-1 - а« @). (Д.17)
Далее, по первой формуле (Д.2) определим N0(t):
оо
*о<*>= S [-^w+^w]^-	(Д.18)
п=1
Из соотношений (Д.6), (Д.9), (Д.12), (Д.14), (Д.15) видно, что при t -» оо
«существует предельное решение <p(i, оо). Его можно получить более про-

318	ДОПОЛНЕНИЕ
стым путем. Именно, если в уравнении (Д.З) допустить, что <p(xr t) = О,
вычислить интегралы по t и устремить затем t к бесконечности, то
(Ы<1). (Д. 19)
Внося в (Д. 19) разложение (Д. 16) и
найдем
Заметим еще, что при ц = 0 функции 8(t) и <p(i, t) следует пр'сдста1-
вить в форме [4]
в (о = 6» +а*+ «•(*),	(Д20)
ф (i,«) = ф (г) + ф0 (х, t) + <р1 (х, «),
причем величины б и <р(х) связаны легко вытекающим из (Д-3) уравне-
уравнением
Щх) + тА[уA)] =б
решение которого имеет вид
n=l
На основании полученных результатов можно доказать теорему.
Теорема Д.1. Ряд '(Д.6), (Д.9), (Д.12), (Д.14), (Д.15) для <р(х, t) схо-
сходится в С(—1, 1) X С (О, Т) и доставляет решение интегральному уравне-
уравнению (Д.З) при заданной функции 8(t) вида (Д.5).
2. Пусть теперь Л^(*) е С@, Т) изменяется во времени по закону
t), Nm(t)-+0 (t->oo,JVoo= const). (Д22)
Будем разыскивать ф(х, «) в (Д.З) в виде [4]
Ф(х,«) = ф(«) + Ф*A,«),	(Д.23)
где в соответствии с первым соотношением (Д.2)^ положим
1
No (t) = 2$ (t), J ф, (л, t) их = 0.	(Д.24)
-l

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА	319
Тогда, опираясь на результаты предыдущего пункта, можно функцию
представить в форме (Д.5), а исходное интегральное уравнение (Д.З),
(Д.4) при условии (Д.8) разбить па эквивалентную ему систему, в кото-
которой Ф* (х, t) удовлетворяет неоднородному уравнению (Д.7), где
т A, х) = - In
ъ-*
+ do-F(l)-F(x),
F {l)=т I (~1п 1~тг + d°)dy'	(д-25)
-1
h (x, t) = [D — 2kF (x)] [ ф («) — ф @) + тА~1Вф] (D = const),
¦а. ф(<) паходится из соотношения
<1 + Щ [ф («) - ф @)] + (I + тк^Ъу) = б* @ - б, @) -
1	1
- к j [ф* g, f) - -ф* E,0)] J E) tfg - mB j Ф, (Е, т) F A) dl. (Д.26)
—1	—1
Заметим, что ядро r(§, i) вида (Д.25) симметрично и обладает тем свой-
свойством, что
1 1
r(E,*)<iE<te=O.	(Д.27)
Введем в рассмотрение пространство ?° (	it i) функций, интегрируе-
интегрируемых с квадратом и имеющих нулевое среднее значение на сегменте [—1, 1].
Нетрудно доказать, что пространство i0^—^!) является полным подпро-
подпространством ?з(—1> !)•
Теорема Д.2 [4]. Интегральный оператор Аг|) (Д.4) с ядром (Д.25)
является самосопряженным, вполне непрерывным и положительно опреде-
определенным оператором, действующим из L\ (— 1,1) в ?° (— *» *)•
Из теоремы Д.2 следует, что имеют место теоремы 1.4 и 1.5, причем
Цп > 0, jin->0 (в->- оо) и Яп<Мп < Яп+1 (ге^ 1),
хде Яп и jin — собственные числа оператора Ai|) соответственно с ядром
(Д.4) и (Д.25).
Функцию Ф* (x,t), удовлетворяющую интегральному уравнению (Д.7),
(Д.25), будем искать в виде
<р, (х, t) = ф0 (х, t) + у1 (х, t),	(Д.28)
где фо(я, t) —общее решение однородного уравнения (Д.7), (Д.25), а
<f>i(x,-t) —решение этого же неоднородного уравнения. Выбирая ниже по-
постоянную D во втором равенстве (Д.25) таким образом, чтобы h(x, t) s
(— 1, 1) при любом t s {0, T], представим функции <pj(x, t) (/ = 0, 1)

320	ДОПОЛНЕНИЕ
и h (х, t) в форме (Д.9) и
h (х, t) = к [ф (t) - ? @) + тк^Ву) ^ Кп%п (*)•
х	(Д-29)
Л2п = -2 J F(x)<p2n(x)dx,
где {<р2п(х)} (п ;> 1) —система четных собственных функций оператора А
с ядром (Д.25).
Подстановка <ро(х, t) вида (Д.9) в (Д.7), (Д.25) приводит к однородно-
однородному уравнению (Д.10), решение которого имеет вид (Д.12). Здесь только вез-
везде нужно заменить Яп на ц„. Внося далее вторые формулы (Д.9) и (Д.25)
в неоднородное уравнение (Д.7), придем к соотношению для определения
функций 4п(*):
п	@<*<Г). (Д.ЗО)
Для решения уравнения Вольтерра (Д.30) напомним, что система
{ехр(—a^nt)}, где <Хп определяются формулой (Д.13) с заменой Ягп на ц2п,
замкнута в классе непрерывных, исчезающих на бесконечности функций.
А тогда, принимая во внимание (Д.22) я первую формулу (Д.24), запишем
причем ряд в (Д.31) равномерно сходится при fg [0, Т]. Подставляя (Д.31)
в (Д.ЗО), найдем, что функции а^ (t) имеют вид (Д.14), где
Л2П
Ьпп =
Таким образом, из (Д.12), (Д.14), (Д.28), (Д.9) и (Д.32) заключаем, что
функция ф* (х, ^определена с точностью до счетного множества постоян-
постоянных о^2@) (ra^l). Внося ее выражение, а также (Д.31) в (Д.26), будем
иметь б» (t) — б, @) = A + D) [ф (t) — ф @)] + (I + mk-Щ Вф —
ОО	ОО
- у 2 Wl W + 41 М - ^п @) - aj« @)] - » 2 ^2nB (aW + ag>).
n=l	n=l
(Д.ЗЗ)

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА	32?
Вычисляя интегралы и устремляя затем в (Д.ЗЗ) (к оо, найдем б, @),а сле-
следовательно, и б, (t).
Для определения постоянных о^ @) и величины 8„ воспользуемся ус-
условием (Д.8). С этой целью дополним систему {фгп(я)} (п^ 1) собственных,
функций оператора Аг|э вида (Д.4), (Д.25) элементом фо(л) = 1/У2. Тогда
последовательность функций (ф2п(я)} (п &* 0) будет ортонормировапа и пол-
полна в L2(—1, 1)- В согласии со второй формулой (Д.29) получим
2F (х) = - |] hn%n (*). К = - V2" О/*.	(Д.34>
п=о
Разложим еще по системе {<р2п(х)} (п^ 0) функцию f(x):
/ (*) = 2/>»ф»п (*)-	(Д-35>
Ряды (Д.34) и (Д.35) равномерно сходятся при \х\ ^ 1 в силу свойств;
F(x) и /(*). На основании формул (Д.23), (Д.28) и (Д.9) найдем
ф (*, 0) =
И=0
С помощью разложений (Д.34) — (Д.36) и с учетом ортонормированности
системы функций {ф2п(я)} (ге>0) из уравнения (Д.8) получим
(Д.37,
Здесь было учтено, что {фп(«)} (га^ 1) являются собственными функциями
оператора Аг|) вида (Д.4), (Д.25) и удовлетворяют второму условию (Д.24).
Из второго соотношения (Д.37) найдем систему постоянных о^ @), а за-
затем из первого равенства (Д.37) —постоянную б<». Резюмируя вышесказан-
вышесказанное, заключаем, что при г->оо существует предельное решение (р(х, оо),.
которое можно также получить из уравнения (Д.19). Действительно, под-
подставляя в (Д.19) разложение (Д.35) и
оо
Ф (х, оо) = ^ Х?Лп (х), X» = _L Nx,
и=о	К2
21 В. М. Александров, Е. В. Коваленко

322	ДОПОЛНЕНИЕ
•получим соотношения для определения Х™п (га ^ 1) и
X» = [ (^ + т) X™h2n/y2 - 11/8я] а, A + V^r1
Заметим еще, что при ц = 0 нужно б(«) представить в форме (Д.20),
а <р(х, «) — в виде
Ф(i, f)=?W + ?(«) + ф* (г,*)•
Величины б и <p(x) связаны уравнением (Д.21), причем
1
j ^>(x)dx = Noa, 2? (t) ¦=#,(«).
Решение уравнения (Д.21) дается формулами
_—^ л2па2п, л2я-__
На основании полученных результатов можно сформулировать теорему.
Теорема Д.З. Ряд (Д.23), (Д.28), (Д.9), (Д.31), (Д.12), (Д.14), (Д.32)
(в (Д.12) нужно заменить Ягп на Цгп) для <p(i, t) сходится в С(—1, 1) X
X С@, Т) и доставляет решение интегральному уравнению (Д.З) при задан-
яой функции N0(t) вида (Д.22).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К г л а в е 1
1.	Линейные уравнения математической физики /Под ред. С. Г. Михлина.—
М.: Наука, 1964.
2.	Ш т а е р м а н И. Я. Контактная задача теории упругости.— М.; Л.: Гос-
техиздат, 1.949.
3.	Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.—
М.: Наука, 1980.
4.	Довнорович В. И. Пространственные контактные задачи теории уп-
упругости.— Минск: Изд-во БГУ, 1959.
5.	В о р о в и ч И. И., Александров Б. М., Бабешко В. А. Некласси-
Неклассические смешанные задачи теории упругости.— М.: Наука, 1974.
6.	Р в а ч е в В. Л., ' П р о ц е н к о В. С, Контактные задачи теории упру-
упругости для пеклассических областей.— Киёв; Наук, думка, 1977.
7.	Л у р ь е А. И. Теория упругости.— М.: Наука, 1970.
8.	Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.—М.: Наука, 1978.
9.	Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М.:
Наука, 1977.
10.	Функциональный анализ/Под ред. С. Г. Крейна.— М.: Наука, 1972.
11.	Колмогоров А. Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функ-
функционального анализа.— М.: Наука, 1968.
12.	Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ.—М.; Наука, 1967.
13.	Л ю с т е р н и к Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального ана-
анализа.— М.: Наука, 1965.
14.	Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.—М.; Л.: Гостех-
издат, 1948.
15.	СнеДДон И. Преобразование Фурье.— M.t ИЛ, 1955.
16.	Т р а н т е р К. Интегральные преобразования в математической физи-
физике.— М.: Гостехиздат, 1956.
17.	Б о х н е р С. Лекции об интегралах Фурье.— М.: Физыатгиз, 1962.
18.	Випер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения.—М.: Физыат-
Физыатгиз, 1963.
19.	Винер Н., П э л и Р. Преобразование Фурье в комплексной области.—
М.: Наука, 1964.
20.	Д и т к ж н В. А., П р у д н и к о в А. П. Интегральные преобразования и
операционное исчисление.— М.: Физматгиз, 1961.
21.	У ф л я н д Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упру-
упругости.— Л.: Наука, 1967.
22.	К н я з е в П. Н. Интегральные преобразования.— Минск: Вышэйш. шк.,
1969.
23.	П о п о в Г. Я., Ростовцев Н. А. Контактные (смешанные) задачи
теории упругости.— Труды III Всесоюзного съезда по теоретической и
прикладной механике. М.: Наука, 1966.
24.	С е д о в Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: На-
Наука, 1966.
25.	Г а х о в Ф. Д., Черский Ю. А. Уравнения типа свертки. М.: Наука,
1978.
21*

.324	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
26. Александров В. М., Мхитарян СМ. Контактные задачи для тел
с тонкими покрытиями и прослойками.— М.: Наука, 1983.
.27. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, раз-
разрезов, тонких включений и подкреплений.— М.; Наука, 1982.
.28. Попов Г. Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основа-
основания.— Киев; Одесса: Вища шк., 1982.
-29. Г р и г о л ю к Э. И., Т о л к а ч е в В. М. Контактные задачи теории пла-
пластин и оболочек.— М.: Машиностроение, 1980.
30.	П е л е х Б. Л., С у х о р о л ь с к ж й М. А. Контактные задачи теории уп-
упругих анизотропных оболочек.— Киев: Наук, думка, 1980.
31.	М о ее а ковск ий В. И., Гу д р а м о в ич В. С, М а к е е в Е. М. Кон-
тактпые задачи теории оболочек и стержней.— М.; Машиностроение,
1978.
32.	Ш е в л я к о в Ю. А. Матричные алгоритмы в теории упругости неодно-
неоднородных сред.— Киев; Одесса: Вища шк., 1977.
33.	Сеймов В. М. Динамические контактные задачи.— Киев: Наук, дум-
думка, 1976.
34.	Развитие теории контактных задач в СССР.— М.: Наука, 1976.
35.	Горбунов-Посадов М. И., М а л и к о в а Т. А. Расчет конструк-
конструкций на упругом основании.— М.: Стройиздат, 1973.
36.	Кубенко В. Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструк-
конструкций со средой.— Киев; Наук, думка, 1979.
37.	Метсавээр Я.А., Векслер Н. Д., Стулов А. С. Дифракция аку-
акустических импульсов на упругих телах.— М.: Наука, 1979?
38.	Ильгамов М. А., Иванов В. А., Гулин Б. В. Прочность, ус-
устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем.— М.: Нау-
Наука, 1977.
39.	В о л ь м и р А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи аэроупру-
аэроупругости.— М.; Наука, 1976.
40.	Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроуп-
гидроупругости.— М.: Наука, 1979.
41.	Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Нестационарная гидроупругость
оболочек.— Л.: Судостроение, 1974.
42.	Г р и г о л ю к Э. И., Горшков А. Г. Взаимодействие упругих конст-
конструкций с жидкостью: удар и погружение.— Л.: Судостроение, 1976.
43.	Б у й в о л В. Н. Колебания и устойчивость деформируемых систем в
жидкости.— Киев: Наук, думка, 1975.
44.	В о р о в и ч И. И., Б а б е ш к о В. А. Динамические смешанные задачи
теории упругости для неклассических областей.— М.: Наука, 1979.
45.	Пальцев Б. В. О задаче Дирихле для одного псевдодифференциально-
псевдодифференциального уравнения, встречающегося в теории случайных процессов.— Изв. АН
СССР, Математика, 1977, т. 41, № 6.
К г л а в е 2
1.	Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической
теории упругости.— М.: Наука, 1966.
2.	Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комп-
комплексного переменного.— М.: Наука, 1973.
3.	Г а х о в Ф. Д. Краевые задачи.— М.: Наука, 1977.
4.	Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Некласси-
Неклассические смешанные задачи теории упругости.— М.: Наука, 1974.
5.	Ростовцев Н. А. К решению плоской контактной задачи.— ПММ,
1953, т. 17, вып. 1.
<6. А х и е з е р Н. И., Щ е р б и н а В. А. Об обращении некоторых сингу-
сингулярных интегралов.— Записки матем. отделения физ.-матем. фак-та и
Харьковского матем. общества, 1957, т. 25, серия 4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	325
7.	Арутюнян Н. X. Плоская коптактная задача теории ползучести.—
ПММ, 1959, т. 23, вып. 5.
8.	В а т с о п Т. Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1.— М.: ИЛ, 1949.
9.	У ф л я н д Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упру-
упругости.— Л.: Наука, 1967.
10.	Александров В. М. О приближенном решении некоторых интеграль-
интегральных уравнений теории упругости и математической физики.— ПММ,
1967, т. 31, вып. 6.
11.	Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений.— М.: Физматгиз, 1963.
12.	К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П. Функциональный аиализ.— М.:
Наука, 1977.
13.	Алексан дро в В. М., Коваленко Е. В. О двух эффективных ме-
методах решения линейных смешанных задач механики сплошных сред.—
ПММ, 1977, т. 41, вып. 4.
14.	Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г. Теория вольтерровых операторов в
гильбертовом пространстве и ее приложения.— М.: Наука, 1967.
15.	Найфэ А. Методы возмущений.— М.: Мир, 1976.
16.	А л е к с а н д р о в В. М. Асимптотические методы в контактных задачах
теории упругости.— ПММ, 1968, т. 32, вып. 4.
17.	Александров В. М., Белоконь А. В. Асимптотическое реше-
решение одного класса интегральных уравнений и его применение к
контактным задачам для цилиндрических упругих тел.— ПММ, 1967,
т. 31, вып. 4.
18.	Г а х о в Ф. Д., Ч е р с к и й Ю. И. Уравнения типа свертки.— М.: Наука,
1978.
19.	Н о б л Б. Применение метода Винера — Хопфа для решения дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных.— М.: ИЛ, 1962.
20.	Л е о н т ь е в А. Ф. Ряды экспонент.— М.: Наука, 1976.
К г л а в е 3
1.	В о р о в и ч И. И., А л е к с а н д р о в В. М., Б а б е ш к о В. А. Некласси-
Неклассические смешанные задачи теории упругости.— М.: Наука, 1974.
2.	П о п о в Г. Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основа-
основания.— Киев; Одесса: Вища шк., 1982.
3.	Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, раз-
разрезов, тонких включений и подключений.— М.: Наука, 1982.
4.	Натансон И. П. Конструктивная теория функций.— М.; Л.: Гостех-
издат, 1949.
5.	Г р а д ш т е й н И. С, Р ы ж и к И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений.— М.: Физматгиз, 1963.
6.	Канторович Л. В., Крылов В. И.'Приближенные методы высшего
анализа.— М.; Л.: Физматгиз, 1962.
7.	А л е к с а н д р о в В. М. Асимптотические методы в контактных задачах
теории упругости.— ПММ, 1968, т. 32, вып. 4.
8.	Л е о н т ь е в А. Ф. Ряды экспонент.— М.: Наука, 1976.
9.	Александров В. М., Коваленко Е. В. О двух эффективных ме-
методах решения линейных смешанных задач механики сплошных сред.—
ПММ, 1977, т. 41, вып. 4.
10.	Александров В. М., С м е т а н и н Б. И. Об одном эффективном ме-
методе решения неклассических смешанных задач теории упругости.—
ПММ, 1971, т. 35, вып. 1.
11.	Александрова Г. П. Об одной, решаемой в замкнутом виде, кон-
контактной задаче теории упругости для цилиндрического тела.—Изв. АН
СССР, МТТ, 1968, № 2.
12.	Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комп-
комплексного переменного.— М.: Наука, 1973.

326	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
13.	Ал ексап дро в В. М., Кучеров В. А. Некоторые задачи о дей-
действии двух штампов на упругую полосу.— Изв. АН СССР, МТТ, 1968,
№ 4.
14.	Александров В. М., Коваленко Е. В. Периодические контактные
задачи для упругой полосы.— Изв. АН АрмССР, Механика, 1977, т. 30,
№ 4.
15.	Г а х о в Ф. Д., Ч е р с к и й Ю. И. Уравнения типа свертки.— М.: Наука,
1978.
16.	У ф л я н д Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упру-
упругости.—JL: Наука, 1967.
17.	Улит ко А. Ф. Метод собственных векторных функций в пространст-
пространственных задачах теории упругости.— Киев: Наук, думка, 1979.
18.	Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. II. Интегралы
и ряды. Элементарные функции.— М.: Наука, 1981.
19.	М о с с а к о в с к и й В. И. К вопросу об оценке перемещений в простран-
пространственных конкретных задачах.— ПММ, 1951, т. 15, вып. 5.
20.	Л у р ь е А. И. Пространственные задачи теории упругости.— М.: Гостех-
иэдат, 1955.
21.	Александров В. М., Коваленко Е. В., Мхитарян С. М. Об од-
одном методе получения спектральных соотношений для интегральных
операторов смешанных задач механики сплошных сред.— ПММ, 1932,
т. 46, вып. 6.
22.	Р в а ч е в В. Л. Давление на упругое полупространство штампа, имею-
имеющего в плане форму полосы.— ПММ, 1956, т. 20, вып. 2.
23.	М а к - Л а х л а н Н. В. Теория и приложения функций Матье.— М.;
ИЛ, 1953.
24.	М х и т а р я н С. М. О собственных функциях интегрального оператора,
порожденного логарифмическим ядром на двух интервалах, и их прило-
приложении к контактным задачам.— Изв. АН АрмССР, Механика, 1982, т. 35,
№ 6.
25.	Александров В. М., Коваленко Е. В. Метод ортогональных
функций в смешанных задачах механики сплошных сред.— Прикл. мех.,
1977, т. 13, № 12.
26.	К а л а н д и я А. И. Математические методы двумерной упругости.— М.:
Наука, 1973.
27.	А л е к с а н д р о в В. М. Осесимметричная контактная задача для упру-
упругого бесконечного цилиндра.— Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машино-
машиностроение, 1962, № 6.
28.	Г о н ч а р о в В. Л. Теория интерполирования и приближения функ-
функций.— М.: Гостехиздат, 1954.
29.	С м е т а н и и Б. И. О расклинивании упругого бесконечного клипа.—
ПММ, 1969, т. 33, вып. 5.
30.	Александров В. М., Мхитарян СМ. Контактные задачи для тел
с тонкими покрытиями и прослойками.— М.: Наука, 1983.
31.	Статические и динамические смешанные задачи теории упругости.—
Изд-во Ростовского у-та, 1983.
32.	Б а р е н б л а т т Г. И. О равновесных трещинах, образующихся при
хрупком разрушении. Прямолинейные трещины в плоских пластинках.—
ПММ, 1959, т. 23, вып. 4.
К г ла в е 4
1.	Савин Г. Н. Механика деформируемых тел. Избранные труды.—Киев;
Наук, думка, 1979.
2.	Д и т к и н В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному
исчислению.— М.: Высшая шк., 1965.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	327
3.	Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости.— М.; Л.: Гос-
техиздат, 1949.
4.	А х и е з е р Н. И. Лекции по теории аппроксимаций.— М.: Наука,
1965.
5.	Л а в р е п т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комп-
комплексного переменного.— М.: Наука, 1973.
6.	Александров В. М. О решении одного класса парных уравнений.—
ДАН СССР, 1973, т. 210, № 1.
7.	Г р а д ш т е й н И. С, Р ы ж и к И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений.— М.: Физматгиз, 1963.
8.	Айзикович СМ. Асимптотические решения контактных задач тео-
теории упругости для неоднородных по глубине сред.— ПММ, 1982, т. 46,
вып. 1.
9.	А л е к с а н д р о в В. М., М х и т а р я п СМ. Контактные задачи для тел
с тонкими покрытиями и прослойками.— М.: Наука, 1983.
10.	С е д о в Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: На-
Наука, 1980.
11.	Голубев В. В. Лекции по теории крыла.— М.; Л.: Гостехиздат,
1949.
12.	П а н ч е н к о в А. Н. Гидродинамика подводного крыла.— Киев: Наук,
думка, 1965.
13.	Александрова Г. П. Контактные задачи изгиба плит, лежащих на
упругом основании.—Изв. АН СССР, МТТ, 1973, № 1.
14.	АлександреiB В. М., Арутюнян Н. X. Взаимодействие движуще-
движущегося упругого штампа с упругой полуплоскостью через накладку, или
тонкий слой идеальной жидкости.— ПММ, 1978, т. 42, вып. 3.
15.	А р у т ю н я н Н. X., М х и т а р я н СМ. Некоторые контактные задачи
для полуплоскости с частично скрепленными упругими накладками.—
Изв. АН АрмССР, Механика, 1972, т. 25, № 2.
16.	Н а й ф э А. Методы возмущений.— М.: Мир, 1976.
17.	Г а х о в Ф. Д., Ч е р с к и й Ю. И. Уравнения типа свертки.— М.: Наука,
1978.
18.	Миро любо в А. А., С о л да т о в М. А. Линейные однородные разно-
разностные уравнения.— М.: Наука, 1981.
19.	Ко it er W. Т. On the diffusion of load from a stiffener into a sheet.—
The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1955, 8, № 2.
20.	К а л а н д и я А. И. 'О напряженном состоянии в пластинках, усиленных
ребрами жесткости.— ПММ, 1969, т. 33, вып. 3.
21.	Ну лл ер Б. М., Сп еси вц е ва А. Ф. Об одном классе задач для уп-
упругих областей, ослабленных неоднородным включением.— Изв. АН
СССР, МТТ, 1979, № 2.
22.	П о п о в Г. Я., Т и х о н е н к о Л. Я. Плоская задача о контакте полу-
бескопечной балки с упругим клином.—"ПММ, 1974, т. 38, вып. 2.
23.	А л е к с а н д р о в В. М., Коваленко Е. В. О контактном взаимодей-
взаимодействии тел с покрытиями при наличии износа.— ДАН СССР, 1984, т. 275,
№ 4.
24.	Б а н ц у р и Р. Д. Контактная задача для клина с упругим крепле-
креплением.—ДАН СССР, 1973, т. 211, № 4.
25.	А л е к с а н д р о в В. М., Соловьев А. С. Некоторые смешанные пло-
плоские задачи теории упругости и их приложения к расчету погрешностей
тепзоизмерений.— МТТ, 1970, № 1.
26.	А л е к с-а н др о в В. М., Коваленко Е. В. О двух эффективных ме-
методах решения линейных смешанных задач механики сплошных сред.—
ПММ, 1977, т. 41, вып. 4.
27.	Александров В. М. Контактные задачи для упругого клина.— МТТ,
1967, № 2.
2S. Б е л о к о п ы т о в Н. М., С м е т а н и н Б. И. Эффективный метод реше-
пия задач теории упругости для тел с плоскими концентраторами на-
напряжений.— Известия СКНЦВШ, сер. естеств. наук, 1973, № 4.

328	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
29.	Александров В. М., Д о м б р о в а Г. В., С м е т а н и н Б. И. Ана-
Аналитические методы в теории тонкого полосового крыла.— В кн.: Гидро-
Гидромеханика и теория упругости. Днепропетровск: ДГУ, вып. 26, 1980.
30.	Г а х о в Ф. Д. Краевые задачи.— М.: Наука, 1977.
31.	Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.:
Наука, 1968.
32.	Попов Г. Я. К решению плоской контактной задачи теории упругости
при наличии сил сцепления или трения.— Изв. АН АрмССР, Сер. физ.-
мат. наук, 1963, т. 16, № 2.
33.	А л е к с а н д р о в В. М. О плоских контактных задачах теории упруго-
упругости при наличии сцепления или трения.— ПММ, 1970, т. 34, вып. 2.
34.	С о л о в ь е в А. С. Об одном интегральном уравнении и его приложени-
приложениях к контактным задачам теории упругости с учетом сил трения и сцеп-
сцепления.— ПММ, 1969, т. 33, вып. 6.
К г л а ве 5
1.	К у п р а д з е В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные
уравнения.— М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
2.	Линейные уравнения математической физики/Под ред. С. Г. Михлина.—
М.: Наука, 1964.
3.	В о р о в и ч И. И., Б а б е ш к о В. А. Динамические смешанные задачи
теории упругости для неклассических областей.— М.: Наука, 1979.
4.	Э й д у с Д. М. Принцип предельного поглощения в теории упругости.—
Вестник ЛГУ, 1963, вып. 2, № 7.
5.	Эйду с Д. М. Принцип предельной амплитуды.— УМН, 1969, т. 24,
№ 3 A47).
6.	Град штейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений.— М.: Физматгиз, 1963.
7.	Александров В. М., Буряк В. Г. Динамическая смешанная зада-
задача деформации чистого Сдвига для упругого полупространства.— Прикл.
мех., 1971, т. 7, вып. 4.
8.	Г о б с о н Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций.— М.:
ИЛ, 1952.
9.	Лаврентьев М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комплекс-
комплексного переменного.— М.: Наука, 1973.
10.	Б а б е ш к о В. А. Об условиях излучения для упругого слоя.— ДАН
СССР, 1973, т. 213, № 3.
11.	Келдыш М. В. Удар пластинки о воду, имеющую конечную глубину.—
Труды ЦАГИ, 1935, вып. 152.
12.	Новацкий В. Теория упругости.— М.: Мир, 1975.
13.	Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости.—"М.; Л.: Гос-
Гостехиздат, 1949.
14.	Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные однородные раз-
разностные уравпения.— М.: Наука, 1981.
15.	Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: На-
Наука, 1966.
16.	К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В. Теоретическая гидромеха-
гидромеханика, ч. II.— М.: Физматгиз, 1963.
17.	Е ф р е м о в I. I. Лшеаризована Teopifl кавйацщного обтшания.— Киев:
Наук, думка, 1974.
18.	Иванов А. Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений.— Л.:
Судостроение, 1980.
19.	Г у ре вич М. И. Теория струй идеальной жидкости.— М.: Наука,
1979.
20.	С л е п я н Л. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в
нестационарных задачах механики.— Л.: Судостроение, 1980.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	329
К дополнению
1.	Алексан д.р о в В. М., Г а л и н Л. А., П п р и е в Н. П. Плоская кон-
контактная задача при наличии износа для упругого слоя большой толщи-
толщины.— Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 4.
2.	К о в а л е н к о Е. В., М а н ж и р о в А. В. Контактная задача для двух-
двухслойного стареющего вязкоупругого основания.— ПММ, 1982, т. 46,
вып. 4.
3.	Александров В. М., М хит ар ян С. М. Контактные задачи для тел
с тонкими покрытиями и прослойками.— М.: Наука, 1983.
4.	Александров В. М., Коваленко Е. В. Математические методы в
контактных задачах с износом.— В кн.: Нелинейные модели и задачи ме-
механики деформируемого твердого тола.— М.: Наука, 1984.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 	 3
ГЛАВА 1
Постановка модельных сметанных задач » ,		 5
§ 1. Общий план решения задач механики сплошных сред со сме-
смешанными граничными условиями. Основные типы смешан-
смешанных задач	 5
§ 2. Основные системы уравнений теории упругости, ньютонов-
ньютоновской жидкости и идеальной жидкости	12
§ 3. Некоторые сведения из функционального анализа ... 16
§ 4. Некоторые сведения из теории интегрального преобразования
Фурье	22
§ 5. Постановка динамической смешанной задачи об антиплоскон
деформации упругого слоя и сведение ее к интегральному
уравнению	29
§ 6. Постановка и сведение к интегральным уравнениям смешап-
ных задач об антиплоском течении в слое вязкой жидкости
и об ударе тела о слой идеальной жидкости	36
§ 7. Основные типы одномерных интегральных уравнений сме-
смешанных задач	42
§ 8. Об однозначной разрешимости интегральных уравнений сме-
смешанных задач	45
ГЛАВА 2
Асимптотические методы решения смешанных задач основного типа 50
§ 1. Свойства ядра интегрального уравнения G.1), G.11) гл. 1 для
случая очень больших Я. Интегральное уравнение первого ро-
рода с логарифмическим разностным ядром	50
§ 2. Некоторые сведения о сингулярных интегралах. Формулы
Сохоцкого. Решение интегрального уравнения A.2) в форме,
содержащей сингулярные интегралы	56
§ 3. Структура и свойства решения интегрального уравнения
A.2). Ограниченные решения. Взаимосвязь между «четными»
и «нечетными»- решениями	64
§ 4. Интегральные уравнения Абеля. Решение интегрального урав-
уравнения A.2) в форме, не содержащей сингулярных интегралов 70
§ 5. Сведение интегрального уравнения A.2) к парному интеграль-
интегральному уравнению. Метод преобразующих операторов в парных
интегральных уравнениях	 . 73

ОГЛАВЛЕНИЕ	331
§ 6. Спектральное соотношение для интегрального оператора урав-
уравнения A.2). Решение интегрального уравнения A.2) в фор-
форме ряда по полиномам Чебышева	79
§ 7. Некоторые общие результаты относительно решения интег-
интегрального уравнения G.1) гл. 1. Метод Крейна .... 83
§ 8. Асимптотический метод «больших Я,»	91
§ 9. Интегральные уравнения типа свертки на бесконечном и по-
полубесконечном интервалах. Метод Винера — Хопфа . . . 103
§ 10. Асимптотический метод «малых Я,»	112
ГЛАВА 3
Методы сведения смешанных задач основного типа к системам алгеб-
алгебраических уравнений	, 120
§ 1. Метод ортогональных многочленов в случае больших значе-
значений Я,	120
§ 2. Метод сведения интегрального уравнения G.1) гл. 1 к бес-
бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с син-
сингулярной матрицей коэффициентов. Регуляризация матрицы
при малых значениях Я,	126
§ 3. Об аппроксимациях ядра интегрального уравнения G.1) гл. 1.
Структура и свойства решения интегрального уравнения при
любых значениях Я,. Устойчивость решения	131
§ 4. Метод ортогональных многочленов, эффективный при ма-
малых значениях Я,	139
% 5. Замкнутое решение интегрального уравнения G.1), G.7) гл.1
в форме, содержащей сингулярные интегралы. Случай двух
участков интегрирования и периодическая задача. Двухсто-
Двухсторонняя оценка для интегральной характеристики решения 143
§ 6. Замкнутое решение интегрального уравнения G.1), G.7) гл. 1
в форме, не содержащей сингулярных интегралов . . . 152
§ 7. Об одном методе получения спектральных соотношений для
интегральных операторов	160
§ 8. Метод ортогональных функций, эффективный при всех зна-
значениях Я	164
§ 9. Прямые методы решения интегрального уравнения G.1) гл. 1 171
§ 10. Задача о расклинивании упругого бесконечного клина . . 176
ГЛАВА 4
Методы решения смешанных задач других типов ..,,,, 183
§ 1. Асимптотические методы решения смешанных задач типа Ь) 183
^ 2. Сведение интегрального уравнения задач типа Ь) к линейной
алгебраической системе	187
§ 3. Другие варианты задач типа Ь) и связанные с ними методы
решения	192

332	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Интегро-дифференциалыше уравнения Прандтля и Штаер-
мана. Основные методы их решения		206
§ 5. Сведение интегро-дифференциальных уравнений Прандтля и
Штаермана на полуоси к разностным уравнениям со сдвигом.
Методы решения разностных уравнений		216
§ 6. Асимптотические методы решения смешанных задач типа с)	221
§ 7. Другие методы решения смешанных задач типа с) ...	233
§ 8. Контактные задачи при учете сил трения		243
§ 9. Контактные задачи с полным разделом граничных условий	248
ГЛАВА 5
Методы решения динамических смешанных задач	263
§ 1. Антиплоская задача о колебаниях штампа на упругом полу-
полупространстве 	 . . 263
§ 2. Решение динамической смешанной задачи об антиплоской
деформации упругого слоя	271
§ 3. Решение динамических смешанных задач об антиплоском те-
течении в слое вязкой жидкости и об ударе тела о слой иде-
идеальной жидкости	, . 281
§ 4. Задачи теории упругости о движущемся штампе . . . 286
§ 5. Задачи о движении тонкого профиля в жидкости .... 295
§ 6. Суперкавитация профиля в идеальной жидкости .... 301
§ 7. Нестационарная задача об истечении сжимаемой жидкости
(газа) из емкости	308
Дополнение. Смешанные задачи эволюционпого типа .... 315
Список литературы	323

ALEXANDROV V. M., KOVALENKO E. V. Problems with
Mixed Boundary Conditions in Continuum Mechanics.
Moscow, Nauka, 1986.
A systematic treatment is given to the two dimensional mixed boundary
value problems. The classical results as well as the most recent developments-
are considered. Special emphasis is given to the effective analytic methods
for the solution of the mixed problems and to the mathematical justification-
of these methods. The following mixed problems are studied: in the theory
of elasticity — contact interaction, stress concentration near cracks and thin
inclusions (reinforcements); in hydrodynamics — problems in airfoil theory,
gliding and strike jet and cavitational flows. Methods introduced in the book
can also be applied in thermodynamics, acoustics and other branches of ma-
mathematical physics.
A book is intended for specialists in continuum mechanics and mathema»
tical physics, engineers as well as for students and postgraduates in mathema-
mathematics, mechanics and physics.
CONTENTS
Introduction.
Chapter 1. Formulation of the model mixed problems.
§ 1. General scheme for the solution of problems in continuum mechanics
with mixed boundary conditions. Main types of mixed problems. § 2. Main
systems of equations of elasticity, Newtonian and ideal fluids. § 3. Some
results of functional analysis. § 4. Some results of concerning the integral
Fourier transformation. § 5. Formulation of a dynamical mixed problem
describing antiplane deformation of an elastic layer, and its reduction to
an integral equation. § 6. Mixed problems describing antiplano flow in a
layer of viscous fluid and strike of a body against an ideal fluid layer.
Formulation and reduction to integral equations. § 7. Principal types of
one dimensional integral equations for mixed problems. § 8. On the uni-
unique solvability of integral equations for mixed problems.
Chapter 2. Asymptotic methods for the solution of the main mixed
problems.
§ 1. Properties of the kernel of integral equation G.1), G.7) ch. 1, for
very large X. Integral equation of first type with a logarithmic difference
kernel. § 2. Some properties of singular integrals. Sochotsky formulas. So-
Solution of integral equation A.2) by means of singular integrals. § 3.
Structure and properties of solutions of integral equation A.2). Bounded
solutions. Relation between «odd» and «even» solutions. § 4. Abel's integ-
integral equations. Solution of integral equation A.2) in a form without sin-
singular integrals. § 5. Reduction of equation A.2) to a dual integral equa-
equation. Method of transforming operators for dual integral equations. § 6.
Spectral relations for integral equations A.2). Solution of equation A.2)
through Tchebyschev polynomials. § 7. Some general results on solution
of integral equation G.1) ch. 1. Krein's Method. § 8. Asymptotic method
of «large Я». § 9. Integral equations of convolution type on infinite and
semiinfinite intervals. The Wiener — Hopf method. § 10. Asymptotic met-
method of «small Я».
Chapter 3. Methods for the reduction of principal type mixed problems of
systems of algebraic equations.
§ 1. Method of orthogonal polynomials in the case of large values of X.
§ 2. Method of the reduction of equation G.1) ch. 1 to an infinite system

334	CONTENTS
of linear algebraic equations with a singular matrix of coefficients. Mat-
Matrix regularization for small values of %. § 3. On the approximations of the
kernel of integral equation G.1) ch. 1. Structure and properties of solu-
solutions of the integral equation for arbitrary values of X. Stability of so-
solutions. § 4. Method of orthogonal polynomials, valid as small values of %.
§ 5. Exact solution of integral equation G.1), G.7) ch. 1, in a form with
singular integrals. The case of 2 intervals of integration and the periodic
problem. Upper and lower bounds for an integral characteristic of a solu-
solution. § 6. A closed solution of integral equation G.1), G.7) ch. 1, in a
form without singular integrals. § 7. A method for establishing spectral
relations of integral operators. § 8. Method of orthogonal functions, valid
for all values of Л. § 9. Direct methods for the solution of integral equa-
equation G.1) ch. 1. § 10. Problem of shim of an infinite elastic wedge.
Chapter 4. Methods for the solution of other mixed problems.
§ 1. Asymptotic methods for solution of mixed problems of type b). § 2.
-Reduction of the integral equation for the b) type problems to a linear
algebraic system. § 3. Other veraions of the b) type problems and the re-
related metnods of solution. § 4. Integro-differential equations of Prandtl
and Shtaermann. Principal methods of their solution. § 5. Reduction of
the Prandtl and Shtaermann integro-differential equations on half-axis to
difference equations with a shift. Methods for solution of difference equa-
equations. § 6. Asymptotic methods for solution of the c) type mixed prob-
problems. § 7. Other methods for solution of the c) type mixed problems. § 8.
Contact problems taking into account friction forces. § 9. Contact problems
with completely separated boundary conditions.
Chapter 5. Methods for solution of dynamical mixed problems.
§ 1. Antiplane problem of vibrations of a stamp on an elastic half-space.
§ 2. Solution of a dynamical mixed problem of antiplane elastic layer
deformation. § 3. Solution of dynamical mixed problems of antiplane flow
in a layer of viscous liquid and of a strike of a body against an ideal
liquid layer. § 4. Problems of the elasticity theory of describing a moving
stamps. § 5. Problems of thin airfoil motion in a fluid. § 6. Supercavita-
tion of an airfoil in an ideal liquid. § 7. Non-stationary problem of a
•.compressible fluid (gas) flow from a reservoir.

Виктор Михайлович Александров,
Евгений Вениаминович Коваленко
ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ
УСЛОВИЯМИ
Редакторы: А. Г. Мордвинцев, В. А. Романов
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технические редакторы В. Я. Кондакова,
Е. В. Морогова
Корректоры Г. В. Подволъская, Я. Д. Дорохова
НЕ К, 12949
Сдано в набор 12.11.85. Подписано к печати 01.08.86-.
Т-11613. Формат 60X90/16. Бумага тип. № 2. Гар-
Гарнитура обыкновенная новая. Печать высокая. Усл.
печ. л. 21. Усл. кр.-от. 21. Уч.-изд. л. 22,11. Тираж:
3700 экз. Заказ Mi 996. Цена 3 р. 60 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск, 77, Станиславского, 25j