XXX-^ХХХ!
хр 'Hi'ер
К.Захари а<.
Илишшйхгый
< ХХР-н н
УрШИТ0Т1ИЯ.
ОРЯр^ЯХгрШ И
;х...рЛ' и р-р- ХРл)
ШхШЯ

MATHEMATISCHE LEHRBttCHER UN₽ MONOGRAPHlEN
HERAUSGEGEBEN VON DEB
AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN DER DDR
ZENTRALINSTITUT FUR MATHEMATJK UNI? MEGHANIK
II. ABTEILUNG
MATHEMATISCHE MONOGRAPHlEN
BAND 38
NICHTLINEARE OPERATORGLEICHUNGEN
UND
OPERATORDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
VON
HERBERT GAJEWSKI • KONRAD GROGER
KLAUS ZACHARIAS
AKADEMJE-VERLAG BERLIN
1974
X. ГАЕВСКИЙ, к. ГРЁГЕР, К.ЗАХАРИАС
НЕЛИНЕЙНЫЕ
ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И
ОПЕРАТОРНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
В.Г. ЗАДОРОЖНЕГО и А.И. ПЕРОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
В.И. СОБОЛЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА
1978
УДК 517.944+519.55
Теория монотонных операторов — быстро развивающаяся
ветвь нелинейного функционального анализа, которая находит
широкое применение при исследовании и приближенном решении
краевых задач для дифференциальных уравнений с частными про-
изводными.
В книге излагается связь между краевыми задачами и зада-
чами с краевыми и начальными условиями для нелинейных диф-
ференциальных уравнений с частными производными, с одной
стороны, и операторными и операторными дифференциальными
уравнениями с монотонными операторами — с другой; проводится
тщательное исследование таких уравнений и указываются алго-
ритмы приближенного отыскания решений.
Книга доступна студентам старших курсов физико-матема-
тических специальностей и полезна всем, интересующимся мето-
дами исследования и приложениями нелинейного функционального
анализа.
Редакция литературы по математическим наукам
Г 20203-003 а	© by Akademie-Verlag, Berlin, 1974
Q41 (01J-78		ф Перевод на русский язык, «Мир», 1978
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая читателю книга является переводом одного
из томов серии «Учебники и монографии по математике», изда-
ваемой Академией наук ГДР, и посвящена важному и бурно
развивающемуся разделу нелинейного функционального ана-
лиза — теории монотонных операторов и ее приложениям. Вме-
сте с монографией М. М. Вайнберга «Вариационный метод и ме-
тод монотонных операторов» («Наука», 1974) она может послу-
жить хорошим введением в предмет и подготовить читателя к
изучению журнальной литературы.
Принадлежность книги к указанной выше серии определила
характер изложения. В ней приводятся (в большинстве случаев
без доказательств) все необходимые сведения из общего функ-
ционального анализа и обстоятельно обсуждаются функцио-
нально-аналитические формулировки краевых задач для диффе-
ренциальных уравнений с частными производными. При изло-
жении основного материала все утверждения снабжаются
подробными доказательствами и дается достаточное число при-
меров, иллюстрирующих общие понятия и теоремы. К достоин-
ствам книги следует отнести явное указание методов, при по-
мощи которых могут быть получены приближенные решения
рассматриваемых краевых задач, и выяснение условий сходи-
мости этих методов.
Отметим своеобразие стиля изложения, при котором замеча-
ния к теоремам вклиниваются между формулировками и доказа-
тельствами и сюда же вставляются необходимые леммы вместе
с их доказательствами.
Для русского издания авторы прислали ряд исправлений и
уточнений. Мы приносим им за это искреннюю благодарность.
В. И. Соболев
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
После опубликования немецкого издания появилось много
новых работ по теории монотонных операторов и ее примене-
ниям. Мы хотели бы в особенности отметить монографии Бре-
зиса [5], Барбу [1], Дюво и Лионса [1]. Некоторые из обсуждае-
мых в книге вопросов в свете новых результатов можно было
бы изложить короче. Однако мы отказались от соответствующих
изменений, чтобы не задерживать выход в свет русского изда-
ния. К тому же, на наш взгляд, книга в данном ее виде и сего-
дня отвечает своему основному назначению — быть введением в
теорию монотонных операторов и ее применения. Мы ограни-
чились тем, что устранили обнаруженные нами неточности и опе-
чатки и пополнили список литературы.
Нас радует появление русского перевода нашей книги, и мы
надеемся, что она будет полезна ее читателям в Советском
Союзе.
Берлин, октябрь 1976
X. Гаевский К. Грёгер	К. Захариас
ПРЕДИСЛОВИЕ
При надлежащей интерпретации понятия производной мно-
гие важные классы краевых задач и задач с краевыми и началь-
ными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений
с частными производными можно трактовать как операторные
уравнения или операторные дифференциальные уравнения в
рефлексивных банаховых пространствах и изучать при помощи
теории монотонных операторов.
Теория монотонных операторов в рефлексивных банаховых
пространствах является сегодня одной из важнейших областей
нелинейного функционального анализа. Ее истоки лежат в так
называемых вариационных методах, и приблизительно с 1960 г.
она быстро и плодотворно развивается в тесном взаимодействии
с теорией выпуклых функций и теорией нелинейных дифферен-
циальных уравнений с частными производными.
В настоящей книге, носящей учебный характер, дается из-
ложение основных фактов теории монотонных операторов и эта
теория систематически применяется к исследованию нелинейных
дифференциальных уравнений с частными производными. В пер-
вой главе собраны вспомогательные сведения из классического
функционального анализа. Во второй главе объясняется связь
между краевыми задачами для эллиптических дифференциаль-
ных уравнений и операторными уравнениями в рефлексивных
банаховых пространствах. В гл. III представлены важнейшие
понятия, методы и результаты теории операторных уравнений с
монотонными операторами в рефлексивных банаховых прост-
ранствах. В гл. IV вводятся пространства функций со значе-
ниями в банаховых пространствах и показывается, в каком
смысле задачу с краевыми и начальными условиями для диффе-
ренциальных уравнений с частными производными можно пони-
мать как задачу с начальными условиями для операторных диф-
ференциальных уравнений в рефлексивных банаховых простран-
ствах. В гл. V—VII исследуются различные классы задач Коши
для операторных дифференциальных уравнений.
Теории монотонных операторов и ее приложениям посвя-
щены также вышедшие в последние годы монографии Лионса
[1] и Вайнберга [3]. В то время как в этих монографиях рассма-
триваются преимущественно вопросы существования, в данной
8
Предисловий
книге особое внимание уделяется доказательству сходимости
приближенных методов. Однако ввиду ограниченного объема
книги мы не смогли остановиться на целом ряде проблем, свя-
занных с численной реализацией приближенных методов. Ука-
жем лишь, что проблемы такого рода уже рассматривались
Михлиным [3] в связи с вариационными методами. В качестве
примера назовем проблему выбора подходящей полной системы
функций при численной реализации метода Галёркина.
Для ориентации в начале каждой главы дается краткое из-
ложение ее содержания. В основном тексте почти не делается
ссылок на литературу. Литературные указания и некоторые ис-
торические сведения можно найти в замечаниях, которыми за-
канчиваются все главы, за исключением первой. Приведенный в
конце книги список литературы никоим образом не претендует
на полноту. Насколько это было возможно, мы ссылались на
работы обзорного характера.
Для понимания книги достаточно знать основы функцио-
нального анализа. Ради удобства читателя все вспомогатель-
ные сведения из функционального анализа включены в текст.
Книга задумана в первую очередь как рабочее введение в
теорию монотонных операторов и руководство по приложениям
этой теории к нелинейным дифференциальным уравнениям с
частными производными. Кроме того, она может служить осно-
вой курса лекций по нелинейному функциональному анализу.
Берлин, апрель 1974
X. Гаевский К. Грёгер К. Захариас
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ понятия
И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
В этой главе собраны основные понятия и вспомогательные
сведения, которые нам понадобятся далее при исследовании
дифференциальных уравнений средствами функционального ана-
лиза. Доказательства большинства формулируемых здесь пред-
ложений о банаховых и гильбертовых пространствах можно
найти в любом стандартном руководстве по функциональному
анализу (Люстерник и Соболев [1], Иосида [1], Канторович и
Акилов [1], Смирнов [1]). Обстоятельное изложение вводимых в
данной главе понятий топологии и теории локально выпуклых
пространств имеется, например, в книгах Иосиды [1], Данфорда
и Шварца [1], Канторовича и Акилова [1]. Те результаты о бана-
ховых и гильбертовых пространствах, которые в указанных кни-
гах не рассматриваются или лишь кратко затрагиваются, приве-
дены с доказательствами.
§ 1.	ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 1.1. Семейство т подмножеств множества X на-
зывается топологией в X, если оно удовлетворяет следующим
условиям:
а)	Пустое множество и все множество X принадлежат т.
Ь)	Объединение произвольного числа множеств из т принад-
лежит т.
с)	Пересечение любого конечного числа множеств из т при-
надлежит т.
Пара {X, т}, состоящая из множества X и топологии т в нем,
называется топологическим пространством. Когда это не приво-
дит к недоразумениям, мы будем топологическое пространство
{X, т} обозначать, как и лежащее в его основе множество, че-
рез X. Элементы топологического пространства именуют точ-
ками. Множества из т называют открытыми множествами топо-
логического пространства {X, т}. Дополнения к открытым мно-
жествам называют замкнутыми множествами. Пересечение всех
замкнутых множеств, содержащих некоторое множество МсХ,
называется замыканием этого множества, а объединение всех
10
Гл. I. Вспомогательные сведения из функционального анализа
открытых множеств, содержащихся в М, — его внутренностью.
Замыкание и внутренность множества М обозначаются соответ-
ственно через М и int М. Множество XI \ int М называют гра-
ницей множества М.
Определение 1.2. Множество U' топологического пространства
X называется окрестностью точки х е X, если оно содержит от-
крытое множество V, такое, что х е V.
Определение 1.3. Семейство 0 подмножеств в X называется
базисом топологического пространства X, если любое открытое
множество этого пространства является объединением мно-
жеств из 0.
Лемма 1.1. Семейство 0 подмножеств множества X является
базисом некоторой топологии в X точно тогда, когда
а)	для любых U, УерихеирУ существует W е 0, та-
кое, что х е W с U Г1 V;
b)	X является объединением всех множеств из 0.
Определение 1.4. Множество М в топологическом простран-
стве X называется (всюду) плотным, если М — X. Топологиче-
ское пространство X сепарабельно, если в нем существует счет-
ное плотное множество.
Определение 1.5. Отображение А топологического простран-
ства X в топологическое пространство У называется непрерыв-
ным в точке х0 е X, если для любой окрестности V точки у0 =
= Ах0 существует такая окрестность U точки х0, что из х (= U
следует Ах е V. Говорят, что отображение А е (X —► У) !) не-
прерывно, если оно непрерывно в каждой точке х е X.
Определение 1.6. Топологическое пространство X называется
хаусдорфовым (или отделимым), если у любых двух различных
точек х и у пространства X имеются непересекающиеся окрест-
ности.
Определение 1.7. Говорят, что последовательность {хп} то-
чек топологического пространства X сходится в X к х е X, если
для любой окрестности U точки х существует натуральное чис-
ло N(U), такое, что при п > N(U) все хп принадлежат U. Если
последовательность {хп} сходится к х, то х называется ее преде-
лом.
Замечание 1.1. В хаусдорфовом пространстве всякая после-
довательность {хп} имеет не более одного предела.
*) Для произвольных множеств М и W мы обозначаем через (M-+N)
совокупность всех определенных на М отображений со значениями в N.
§ 2. Метрические пространства
11
Определение 1.8. Множество М топологического простран-
ства М называется компактным, если оно замкнуто и каждая
последовательность его точек содержит хотя бы одну сходящую-
ся подпоследовательность1)-
§ 2.	МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 2.1. Функция d, ставящая в соответствие ка-
ждой паре [х, у} элементов множества X неотрицательное веще-
ственное число, называется расстоянием (или метрикой) в X,
если она при любых х, у, z е X удовлетворяет следующим усло-
виям:
a)	d(x, у) = О точно тогда, когда х = у,
b)	d(x, у) = d(y,x)\
с)	d(x,z) ^2d(x,y) -{-d(y,z) (неравенство треугольника).
Пара {X, d}, состоящая из множества X и метрики d в нем, на-
зывается метрическим пространством. Когда это не приводит к
недоразумениям, мы будем метрическое пространство {X, d} обо-
значать, как и лежащее в его основе множество, через X.
Определение 2.2. Для произвольной точки х0 метрического
пространства X множество (х|хе X, d(x,x0) <. R} называется
открытым шаром радиуса R с центром в точке х0, а множество
{х\х е X, d(x,x0)	7?}—замкнутым шаром радиуса R с цент-
ром В Xq.
Замечание 2.1. Открытые шары метрического пространства
X можно принять в качестве базиса некоторой топологии в X.
Всюду далее мы будем рассматривать метрические простран-
ства как топологические именно в этом смысле. (Введением та-
кой топологии оправдывается использование прилагательных
«открытый» и «замкнутый» в определении 2.2.) Всякое метриче-
ское пространство хаусдорфово.
Замечание 2.2. Последовательность {хп} точек метрического
пространства X сходится к точке хе X в смысле топологии это-
го пространства точно тогда, когда lim d(xn, х) = 0. Вместо
П->СХ>
lim d (хп, х) = 0 обычно пишут хп —> х в X. Отображение А
П->оо
метрического пространства X в метрическое пространство Y
9 Обычно такие множества называют секвенциально компактными, од-
нако для метрических пространств, которые в основном рассматриваются
в данной книге, эти понятия совпадают. — Прим, ред.
12
Гл. I. Вспомогательные сведения из функционального анализа
непрерывно в точке х @ X в том и только том случае, если
хп -* х в X влечет Ахп -*Ах в Y.
Определение 2.3. Последовательность {хп} точек метриче-
ского пространства X называется фундаментальной (или после-
довательностью Коши), если она удовлетворяет условию
lim d(xn, xm) = 0. Метрическое пространство X полно, если
п, т+оо
каждая фундаментальная последовательность в нем сходится
(к элементу из X).
Определение 2.4. Отображение А метрического пространства
X в себя называется сжимающим отображением (или, короче,
сжатием), если существует такое число q < 1, что для любых
х,у^Х выполняется неравенство d(Ax, Ay) С qd(x, у). При
этом число q называется постоянной сжатия для отображе-
ния А.
Теорема 2.1 (принцип неподвижной точки Банаха). В полном
метрическом пространстве X всякое сжимающее отображение А
имеет точно одну неподвижную точку х, т. е. такую точку х^Х,
что Ах = х. При этом для любого элемента хо из X последова-
тельность {хп}, определенная соотношениями xn+i = Ахп, п — Q,
1.....сходится к неподвижной точке х и имеет место оценка
ап
d (хп, х) < d (хо, Ахо).
§ 3.	ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 3.1. Говорят, что на множестве X задана (ве-
щественная) линейная структура 1, если для любых двух эле-
ментов х, у е X определена их сумма х 4- у s X, а также опре-
делено произведение tx е X любого элемента х е X на любое
вещественное число t, причем удовлетворяются следующие ус-
ловия:
а)	х 4- у = у + х-,
Ъ)	(х + у) + г — х + (у + z);
с)	в X существует элемент 0 со свойством х 4- 0 = х Vx s
еХ;
d)	для каждого х е X существует элемент —х е X со свой-
ством х -f- (—х) = 0;
е)	1-х = х, s(tx) — (st)x‘,
О (s + t)x = sx 4- tx, t(x 4- y) = tx 4- ty.
Здесь x,y,z — произвольные элементы из X и s, t — произволь-
ные вещественные числа.
$ 3. Линейные пространства
13
Пара {X, X}, состоящая из множества X и заданной на нем
(вещественной) линейной структуры X, называется (веществен-
ным) линейным (или векторным) пространством. Когда это не
приводит к недоразумениям, мы будем линейное пространство
{X, X} обозначать, как и лежащее в его основе множество, че-
рез X.
Замечание 3.1. Линейные пространства можно определить
над произвольным полем, в частности также над полем комп-
лексных чисел. Поскольку мы будем использовать в дальней-
шем только вещественные пространства, то в предыдущем
определении мы ограничились этим случаем.
Определение 3.2. Подмножество F линейного пространства X
называется его подпространством, если для любых веществен-
ных чисел s, t из включений х,у F следует включение sx +
+ ty е F, т. е. если F представляет собой линейное пространство
относительно определенных в X операций. Пересечение всех под-
пространств линейного пространства X, содержащих данное мно-
жество М cz X, называется линейной оболочкой этого множества.
Замечание 3.2. Линейная оболочка множества М czX являет-
ся подпространством в X; она состоит из линейных комбинаций
п
элементов множества М, т. е. из элементов вида £ /гхг,
/ = 1
Xi е М, i = 1, ..., п. Здесь R} обозначает пространство ве-
щественных чисел.
Определение 3.3. Элементы х\, ..., хп линейного простран-
ства называются линейно независимыми, если из соотношения
п
У, tiXi = 0 следует, что Л = ... = tn = 0. В противном случае
£—1
Xi, ..., хп называются линейно зависимыми. Линейное про-
странство X называют п-мерным, если в нем есть п линейно не-
зависимых элементов, а любые п + 1 элементов линейно зави-
симы. Если в X имеется сколь угодно большое число линейно
независимых элементов, то говорят, что пространство X беско-
нечномерно.
Определение 3.4. Отображение А линейного пространства X
в линейное пространство У называется линейным отображением
или линейным оператором *), если для любых х, у е X и любых
вещественных чисел s, t имеет место равенство A (sx + ty) =
= sAx + tAy.
Определение 3.5. Отображения линейного пространства X в
пространство вещественных чисел называют функционалами.
4) Здесь и в дальнейшем мы используем термин «оператор» как синоним
термина «отображение».
14
Гл. I. Вспомогательные сведения из функционального анализа
В случае когда такое отображение линейно, говорят о линейном
функционале.
Определение 3.6. Подмножество М линейного пространства
X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками
х и у этому множеству принадлежит и соединяющий их отрезок,
т. е. множество {tx + (1 — /)р|/ е [0,1]}.
§ 4.	ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 4.1. Под полунормой на линейном пространстве
X понимается всякий функционал р, который удовлетворяет сле-
дующим условиям:
а)	Р(х + у) < р(х) +р(у)‘,
b)	P(tx) = |/|р(х).
Линейное пространство, являющееся одновременно и топологи-
ческим, называется локально выпуклым пространством, если су-
ществует такое семейство р полунорм на X, что
а)	если р(х) =0 для каждого р е р,, то х = 0;
Ь)	совокупность (выпуклых) множеств вида {х|х е X, р,(х—
— х0) < 8< для i= 1, .... «} образует базис топологии в X
(здесь х0 — произвольная точка из X, р\, ..., рп — любая конеч-
ная система полунорм из р, и si, ..., 8П— любая конечная си-
стема положительных вещественных чисел).
Замечание 4.1. Локально выпуклые пространства хаусдор-
фовы.
Замечание 4.2. Пусть X — линейное пространство и р. — ка-
кое угодно семейство полунорм на нем. Тогда множества вида
{x|/?i(x — x0)<8i, Хо е X, p(S|i, «= 1, .... л} в силу лем-
мы 1.1 образуют базис некоторой топологии в X, т. е. семейство
р, индуцирует топологию на X. Если из того, что р (х) = 0 для
каждого р е ц, следует, что х = 0, то X, наделенное топологией,
индуцируемой р., будет локально выпуклым пространством.
Замечание 4.3. Последовательность {хп} точек локально вы-
пуклого пространства X сходится к хе / в том и только том
случае, если для каждой полунормы р е р выполняется соотно-
шение Нт р (хп — х) = 0. Полунормы peg являются непрерыв-
П->0О
ными функционалами на X.
Определение 4.2. Последовательность {х„} точек локально
выпуклого пространства X называется фундаментальной (или
последовательностью Коши), если для любой окрестности U
§ 4. Локально выпуклые пространства
15
нуля существует натуральное число N(U), такое, что при
п, m>N(U) имеет место включение хп — xmEU. Локально
выпуклое пространство X называется полным ’), если в нем ка-
ждая фундаментальная последовательность сходится (к эле-
менту из X).
Замечание 4.4. На множестве всех непрерывных линейных
отображений локально выпуклого пространства X в локально
выпуклое пространство У, которое мы в дальнейшем всегда бу-
дем обозначать через 3? (X, У), можно естественным образом
определить линейную структуру при помощи соотношений
(4 + B)x = Ac + Bx VxsX,
(/А)х=-/(Ах) VxgeX, V/s/?1.
Здесь А и В — любые элементы из ^(Х, У). Линейное простран-
ство 3>(Х, У) можно превратить в локально выпуклое простран-
ство, используя семейство полунорм рх,д(А) = q(Ax) (где х —
произвольный элемент из X, q — произвольная непрерывная
полунорма на У). Соответствующую топологию мы будем назы-
вать простой топологией в 3?(Х, У), а сходимость относительно
простой топологии — поточечной сходимостью. Пространство
Э? (X, У) может быть топологизировано также различными дру-
гими способами.
Определение 4.3. Пусть X — локально выпуклое простран-
ство, Пространство X* = 2? (X, R1) линейных непрерывных
функционалов на X называется сопряженным к X.
Замечание 4.5. Значение линейного функционала f е X* в
точке х е X мы часто вместо f (х) будем записывать в виде {f,
х). Функцию (•, •), определенную на X* X X, называют скаляр-
ным произведением между X* и X.
Теорема 4.1 (теорема Хана — Банаха). Пусть X — линейное
пространство, р — некоторая полунорма на X и Y — некоторое
подпространство в X. Пусть, далее, f — линейный функционал
на У, такой, что
lf(x)Kp(x) ¥хе=У.
Тогда существует линейный функционал fi на X, который удо-
влетворяет следующим условиям:
a)	fi(x) =f(x) Vx^Y (т. е. fi является продолже-
нием f);
b)	lfi(x)Kp(x) VxeX.
*) Точнее, секвенциально полным. — Прим, ред.
16
Гл. I. Вспомогательные сведения из функционального анализа
Замечание 4.6. Пусть X — локально выпуклое пространство.
Из теоремы 4.1 следует, что для каждого х е X, х =/= 0, сущест-
вует элемент f е X*, такой, что f (х)	0.
Замечание 4.7. Каждое локально выпуклое пространство X
можно наделить новой локально выпуклой топологией, исполь-
зуя полунормы Pf(x) — |f(x)|, f е X*. Соответствующая топо-
логия называется слабой (или ослабленной) топологией в X, a
соответствующая сходимость — слабой сходимостью в X. После-
довательность {хп} слабо сходится в X к х е X в том и только
том случае, если lim f(xn) = f(x) для каждого f е X*. При этом
П->ОО
об элементе х говорят как о слабом пределе последовательности
{Хп} В X.
Множества М локально выпуклого пространства X, замкну-
тые в смысле слабой топологии, кратко называют слабо замкну-
тыми. Будут использоваться соответственно и термины «слабо
открытый», «слабо полный», «слабо компактный».
Определение 4.4. Пусть локально выпуклое пространство X
содержится в локально выпуклом пространстве У. Отображение
I е (X -> У), определяемое равенством
Ix — x Vx е X,
называется оператором вложения или, короче, вложением X в
У. Говорят, что X непрерывно вложено в У, если оператор I не-
прерывен.
§ 5.	БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Определение 5.1. Под нормой ||<|| на линейном пространстве
X понимается всякий функционал, который удовлетворяет сле-
дующим условиям:
а)	||х|| = 0 точно тогда, когда х = 0;
b)	||Zx|| = ldllx|| VxeX,
с)	Их + t/Ц М + 1Ы1 Для любых х, у е X (неравенство
треугольника).
Пара {X, || • ||}, состоящая из линейного пространства X и нормы
|| • || на нем, называется нормированным пространством. Когда
это не приводит к недоразумениям, мы будем нормированное
пространство {X, II • ||} обозначать, как и лежащее в его основе
линейное пространство, через X.
Если линейное пространство X наделено некоторой нормой,
то мы часто будем обозначать ее (чтобы отличать от норм в
других пространствах) через || • ||д.
§ 5. Банаховы пространства	17
Замечание 5.1. В нормированном пространстве можно ввести
расстояние при помощи равенства d(x, у) == II х—i/||. Имея это
в виду, мы будем рассматривать всякое нормированное про-
странство как метрическое (а тем самым и как топологическое).
Последовательность {хп} точек нормированного пространства X
сходится в смысле топологии этого пространства к точке х е X
точно тогда, когда lim || хп — х || = 0.
П->оо
Замечание 5.2. Пусть X — нормированное пространство. Нор-
ма на X является, очевидно, и полунормой (см. определение 4.1)
и потому индуцирует, согласно замечанию 4.2, некоторую топо-
логию на X. Последняя совпадает с топологией, индуцированной
метрикой. В этом смысле X одновременно является и локально
выпуклым пространством. При этом понятия фундаментальной
последовательности и полноты в смысле метрического простран-
ства согласуются с соответствующими понятиями в смысле ло-
кально выпуклого пространства.
Определение 5.2. Две нормы ||-||i и II • ||3, определенные на
линейном пространстве X, называются эквивалентными, если
существуют такие числа mi и пг2, что
HxlliCmJIxlh, ||x||2Cm2||x||i Vxe=X.
Замечание 5.3. На конечномерном линейном пространстве все
нормы эквивалентны.
Замечание 5.4. Эквивалентные нормы на линейном простран-
стве X порождают одинаковые топологии.
Определение 5.3. Подмножество М нормированного про-
странства X называется полным в X, если его линейная оболочка
плотна в X.
Определение 5.4. Линейное отображение А нормированного
пространства X в нормированное пространство У называется
ограниченным, если существует такая постоянная К, что для
всех х е X выполняется условие ||Дх||у /С||х||у.
Теорема 5.1. Линейное отображение А нормированного про-
странства X в нормированное пространство Y точно тогда не-
прерывно, когда оно ограничено.
Замечание 5.5. Если X и У — нормированные пространства,
то на локально выпуклом пространстве 3?(Х, У) можно ввести
норму с помощью равенства
IIЛ ||= sup ||Дх||г,	Ле=<?(Х,У).
18
Гл. I. Вспомогательные сведения из функционального анализа
В дальнейшем в случае нормированных пространств X и У под
3?(Х, У) мы будем иметь в виду пространство, нормированное
именно таким способом.
Определение 5.5. Полное нормированное пространство назы-
вается банаховым пространством.
Замечание 5.6. Сопряженное X* = Z (X, R1) к нормирован-
ному пространству X является банаховым пространством.
Теорема 5.2 (теорема Хана — Банаха). Каждый линейный не-
прерывный функционал f, определенный на подпространстве F
нормированного пространства X, можно продолжить без измене-
ния нормы на все пространство X, т. е. существует такой функ-
ционал Л еХ‘, что IlfiH = ||f|| и fi(x) = f(x) для всех х е F.
Следствие. Для любого замкнутого подпространства F нор-
мированного пространства X и любого х & F найдется элемент
f е X* с такими свойствами:
a)	f(y) = O Vt/<=F;
b)	f(x)¥=O.
Замечание 5.7. Теорема 5.2— частный случай теоремы 4.1.
Замечание 5.8. Для нормы llfllx* линейного функционала
f <= X* имеет место равенство (см. замечания 5.5 и 4.5)
|| f ||х* = sup (f, х).
I X Их—1
Из теоремы Хана — Банаха можно вывести, что
||х||х= sup <f, х>.
I f Ilx*-1
Для любых х е X и f е X* имеет место неравенство
<f, Х>< Ilf Их* Их Их.
Теорема 5.3 (теорема Банаха — Штейнгауза). Пусть X — ба-
нахово пространство, У — нормированное пространство и {Ап} —
последовательность операторов из S{X, У). Если для каждого
х е X последовательность {IIЛпх||} ограничена, то ограничена и
последовательность {1|А„||}.
Замечание 5.9. Для каждого элемента х нормированного про-
странства X существует единственный элемент х** е X** =
= (X*) *, обладающий свойством
<х**, х*) = (х*, х) Vx*e=X*.
При этом II х Их = II х** Их**. Таким образом, пространство X мож-
но рассматривать как подпространство банахова пространства
X**. В дальнейшем мы так и будем делать.
§ 5. БайаховЬ! пространства
19
Определение 5.6. Банахово пространство X называется реф-
лексивным, если X = %*♦.
Теорема 5.4. Пространство X*, сопряженное к банахову про-
странству X, является рефлексивным одновременно с простран-
ством X.
Лемма 5.1. Для любого оператора А е Z (X, У) существует
точно один оператор Д* eS’fy*, X*), такой, что для любых
х е X и у* е У* выполняется соотношение
</, Ах) = {АГ у*, х).
Определение 5.7. Оператор А* е S’(У*, А'*), соответствую-
щий по лемме 5.1 оператору А^2>(Х, У), называется сопря-
женным к А. Если пространство X рефлексивно и оператор А е
е2’(Х,Р) обладает свойством А* — А, то говорят, что этот
оператор самосопряжен.
Замечание 5.10. Обычную сходимость в нормированном про-
странстве X, т. е. сходимость в смысле топологии, определяемой
нормой, мы часто для отличия от слабой сходимости (см. заме-
чание 4.7) будем называть сильной сходимостью в X. Всякая по-
следовательность {хп}, сильно сходящаяся в X к элементу х,
сходится также и слабо к х в X. Обратное, вообще говоря, не-
верно. В конечномерном случае сильная и слабая сходимости
совпадают. Для обозначения сильной сходимости последователь-
ности {хп} к х мы используем запись хп —► х, а для обозначения
слабой сходимости {хп} к х — запись хп-^ х.
Теорема 5.5. Последовательность {хп} элементов нормирован-
ного пространства X слабо сходится кхеХ точно тогда, когда
последовательность {||хп||} ограничена и lim f (х„) = f (х) для
П->оо
всех f из некоторого плотного в X* множества функционалов.
Лемма 5.2. Если {хп} — слабо сходящаяся к х последователь-
ность в нормированном пространстве X и {fn} — сильно сходя-
щаяся к f последовательность в сопряженном пространстве X*,
то
Ит (f„, x„) = (f, х).
П->00
Теорема 5.6. Пусть М — выпуклое замкнутое подмножество
банахова пространства X. Тогда для каждой точки х ф М су-
ществует функционал f е X*, такой, что
(f, х) > sup (f, у).
у&М
20
Гл. t. Вспомогательные сведения из функционального анализа
Теорема 5.7. Если М — выпуклое замкнутое подмножество ба-
нахова пространства X и {хп} — слабо сходящаяся последова-
тельность точек из М, то ее предел х тоже принадлежит М.
Лемма 5.3. Если последовательность {хп} в банаховом про-
странстве X слабо сходится к х, то
IIх||< Нт8Цх„||.
П->сю
Теорема 5.8. Рефлексивные банаховы пространства слабо
полны.
Теорема 5.9. В рефлексивном банаховом пространстве ка-
ждый замкнутый шар слабо компактен. Следовательно, каждая
ограниченная последовательность имеет слабо сходящуюся под-
последовательность.
Теорема 5.10. Если замкнутый шар К рефлексивного банахова
пространства X содержится в объединении некоторой системы
слабо открытых множеств, то он содержится в объединении ко-
нечного числа множеств этой системы.
Следствие. Пусть Ф — некоторая система слабо замкнутых
подмножеств замкнутого шара в рефлексивном банаховом про-
странстве. Если для любой конечной подсистемы Т с Ф имеет
место соотношение П С/ =#= 0, то П U 0-
и sТ	и е Ф
Лемма 5.4. Если все слабо сходящиеся подпоследовательно-
сти ограниченной последовательности {хп} в рефлексивном бана-
ховом пространстве сходятся к одному и тому же элементу х,
то х является слабым пределом этой последовательности.
Доказательство. Предположим, что утверждение леммы не-
верно. Тогда найдутся f е X*, е > 0 и подпоследовательность
{хлД, /= 1, 2.... последовательности {хп}> такие, что для / =
= 1,2,... выполняются неравенства
|<f,xn/)-<f,x>|>8.	(5.1)
По теореме 5.9 последовательность {хП/} обладает слабо сходя-
щейся подпоследовательностью, пределом которой по предполо-
жению является элемент х. Но это противоречит неравенствам
(5.1). Лемма доказана.
Определение 5.8. Отображение А замкнутого подмножества
М банахова пространства X в банахово пространство Y назы-
вается деминепрерывным, если из того, что хп —► х в X, хп е М,
следует, что Ахп -*• Ах в У.
§ б. Банаховы пространства
21
Определение 5.9. Банахово пространство X называется стро-
го выпуклым, если из ||х||	1, ||i/|| С 1 и х Ф у следует ||х+
+ z/|| < 2. Пространство X называется равномерно выпуклым,
если для любого в>0 существует 6(e) >0 такое, что из
ЬН С 1, 111/11 < 1 и ||х —#|| > е следует ||х + г/|| < 2(1 — 6(e)).
Теорема 5.11. Каждое равномерно выпуклое банахово про-
странство рефлексивно.
Теорема 5.12. Если X —равномерно выпуклое банахово про-
странство, то из хп-*- х в X и ||х„|| -* ||х|| следует,хп —♦ х..
Доказательство. Без ограничения общности можно считать
||х|| = 1 и ||хп|| ф 0. Положим уп = хп/ ||хп||; тогда ||f/nll = 1
и уп-*~х. Далее, в силу равномерной выпуклости X
2(l-6(||f/„-x||))>||z/„ + x||>(f, г/„ + х>;
здесь б— некоторая неубывающая функция, причем 6(£) > 0
для £ > 0, и f е X*, ||f|| = 1. Отсюда при п —► оо получаем
lim 2(1 -б(||У„-х||))> sup 2(f, х) = 2||х|| = 2.
1П-1
Это возможно только при условии, что уп —► х. Следовательно,
и хп = ||*п111/п х. Теорема доказана.
Лемма 5.5. Если сопряженное X* к банахову пространству X
является строго выпуклым, то для каждого х е X существует
точно один элемент Jx е X*, обладающий свойством
{Jx, х) = ||х|^ = || Jx 111..	(5.2)
Доказательство. Для х е X формула
f (Zx) = 11| х Hl,	tG=RX,
определяет на одномерном пространстве, порожденном элемен-
том х, линейный функционал f с. нормой ||х||л. По теореме Ха-
на — Банаха существует продолжение Jx е X* функционала f,
имеющее ту же самую норму. Для этого продолжения Jx соотно-
шение (5.2), очевидно, выполняется.
Если для двух элементов fi, f2 е X*
= IIх||1 = ||f, ||1.,	Z=l, 2,
TO
II fl + f2 Их. IIX Ilx > {fl + f2, x) = II f! Hl. + II f2 Hl. = 2II f 1 Hx. IIX ||x.
Вследствие строгой выпуклости пространства X* это возможно
только при fi = f2. Следовательно, Jx определяется формулой
(5.2) однозначно. Тем самым лемма полностью доказана.
52 Гл. I. Вспомогательные сведения из функционального анализа
Определение 5.10. Пусть X — банахово пространство, сопря-
женное X* к которому строго выпукло. Преобразование J е
е(Х->Х*), характеризуемое соотношением (5.2), называется
дуализующим отображением *) для пространства X.
Лемма 5.6. Для рефлексивного банахова пространства X со
строго выпуклым сопряженным X* дуализующее отображение
деминепрерывно.
Доказательство. Пусть хп —> х в X. Тогда, в силу (5.2),
l|/^nllx* = ll^nllx->IWIx- По теореме 5.9 последовательность
{/хп} содержит подпоследовательность {Jxnj}, слабо сходящую-
ся в X* к некоторому f е X*. Тогда для любого у еХ
if, У}=ЦхП}, у) < Дгп j xnj ||х || у ||х = || х ||х || у ||х,
откуда следует, что llfllx» sC Ikllx- С другой стороны,
<f, х)= Ит (lxnj, хЯ/)=Пт||л:П/||^ = ||х|^.
Следовательно,
x> = IWI2x = llfll^
Это значит, что f = Jx. Деминепрерывность J вытекает теперь
из леммы 5.4, примененной к последовательности {/хп}. Лемма
доказана.
Замечание 5.11. Пусть X и У — банаховы пространства. Их
декартово произведение X X У, являющееся линейным простран-
ством с естественным образом определенными операциями, мо-
жно превратить в банахово пространство, если ввести на X X Y
норму
II{х, !/}llxxy = llxllx + llf/lly
Соответственно можно наделить структурой банахова простран-
ства декартово произведение любого конечного числа банахо-
вых пространств.
Отметим, что имеются и другие простые способы нормиро-
вать декартовы произведения банаховых пространств.
Замечание 5.12. Если банаховы пространства X и У непре-
рывно вложены в локально выпуклое пространство V, то их пе-
ресечение X П У можно превратить в банахово пространство,
введя норму
11*ИхПу = 11х|1х + 11х||у.	(5.3)
1) В оригинале Dualitatsabbildung. М. М. Вайнберг [3] употребляет тер-
мин «дуальное отображение». — Прим. ред.
§ 5. Банаховы пространства
23
Замечание 5.13. Если банаховы пространства X и У непре-
рывно вложены в локально выпуклое пространство V, то множе-
ство {х + у\х^Х, у^У}, которое мы будем обозначать через
X + У, можно превратить в банахово пространство, введя на нем
норму
II2 Их+г ~ inf max (|| х ||х, || у ||F).	(5.4)
XG X
y^Y
х+у=г
Это замечание в отличие от двух предыдущих нуждается в
подробном обосновании.
Если || z ||х+У = 0, то согласно (5.4) для любого натураль-
ного числа и найдутся такие элементы хп X, уп У, что
2 == %П ”Ь Упг II %П Их < ~ » II Уп II/ <	•
Последовательность {хп} сходится в X и тем самым в V к 0. Со-
ответствующее утверждение верно и для последовательности
{t/n}. Следовательно, хп + уп—>0 в V, откуда вытекает, что
г = 0. Остальные свойства нормы || • Их+у проверяются без
труда.
Докажем теперь полноту X У относительно введенной нор-
мы. Пусть {zn} — фундаментальная последовательность в X + У.
Она содержит подпоследовательность fe = 0, 1, обла-
дающую свойством
||Zns z«fc-iL+r<2 для ^ = 1» 2..........
На основании определения нормы (5.4) существует разложение
где ukf=X,
Положим
Тогда
2«й“Ч-. =ы* + °*’ k = 1’ 2’ • • •’
ll«ftllx<21’fe, о4еУ, || Oftlly < 21—*- Далее,
Zn, = «o + oo, «О.е-У, ПоеУ.
k	k
*4=2 «ь г/4=Е»р
/=0	/=0
Znk = Xk + yk-
Последовательность {хл} сходится в X в силу построения, и ана-
логично последовательность сходится в У. Пределы этих по-
следовательностей обозначим соответственно через х и у и по-
ложим z — х + у. Тогда
|2 - % |х+г < max (II * - xk Ь J У “ Уь ||г)-
24 Гл. I. Вспомогательные сведения из функционального анализа
Отсюда следует, что последовательность {zrtfe} сходится в X + I
+ У к г. Из оценки	i
U-zn ||x+r< ||z -	+1|гПк - г„|л+г	|
и того факта, что {zn} — фундаментальная последовательность, |
вытекает, что lim || z — zn ||Л+Г = 0.	*
П-»оо	*
Замечание 5.14. Пусть для двух банаховых пространств X и
У выполняются условия
X <= У, X плотно в У,
IIX ||г < YII х Их	VxeX, у = const.
Тогда каждый элемент f е У*, рассматриваемый только на X,
определяет некоторый непрерывный линейный функционал на X,
т. е. некоторый элемент fx е X*. Соответствие f —► fх является
взаимно однозначным, поскольку f однозначно определяется
своими значениями на X. Следовательно, У* можно отождест-
вить с некоторым подпространством в X*. Будем считать, что это
отождествление проведено. Тогда
<f, *><ИЛМ*11г<т11ЛН*11х Vx<=X,
т. е. || f Их* YII f Иг*- Из (5.5) вытекает, что
Г с Г, || f Их» < YII f 11г‘ Vfey*.	(5.6)
Покажем, что если X рефлексивно, то У* плотно в X*. Если для
хеХ
(f, х> = 0 V/еУ*.
то х = 0. В силу рефлексивности X это означает, что линейный
функционал на X*, который обращается в нуль на У*, является
нулевым. По следствию из теоремы Хана — Банаха 5.2 это воз-
можно лишь в том случае, когда замыкание множества У* в X*
совпадает со всем пространством X*.
Замечание 5.15. Пусть X и У — два банаховых пространства,
непрерывно вложенных в локально выпуклое пространство V, и
пусть их пересечение X П У, наделенное нормой (5.3), плотно
как в X, так и в У. На основании предыдущего замечания про-
странства X* и У* можно рассматривать как подпространства в
(X П У) *. Поэтому можно построить X* + У*> и
X* + У* с (X П У)*.	(5.7)
При заданных предположениях можно также образовать X 4- У.
Пространство X И У, очевидно, плотно и в X + У. Следователь-	!
др, кдк X, так и У плотны в X -|- У. В силу предыдущего заме-	j
$ 5. Банаховы пространства	2S
чания (А + У)* можно рассматривать как подпространство в X*
и в У* и тем самым как подпространство в X* П У*, т. е.
(Х + У)*<=ГЛУ*.	(5.8)
Теорема 5.13. Пусть X и У — банаховы пространства, непре-
рывно вложенные в локально выпуклое пространство V. Пусть,
далее, X Л У, наделенное нормой (5.3), плотно в X и в Y. Тогда
Х*4-У* = (ХЛУ)*
и
(х+у)*=г лу
как в смысле равенства множеств, так и в смысле равенства
норм.
Доказательство. Рассмотрим подпространство Z в X X У, за-
данное формулой
Z = {{x, х)|хе=ХЛУ}.
Для заданного f е (X Л У)* положим
и ({*, *}) = f (х) Vx е X Л У.
Тогда и будет линейным функционалом на Z с нормой ||u||z.=
= ||f ||(ХПУ)» (см. определение нормы на X X У в замечании 5.11).
По теореме Хана — Банаха функционал и имеет продолжение v
на пространство X X У, такое, что
IIv И(х+п»e IIи Их* = И f H(xn D**
Положим
g (х) = v ({х, 0}) Vx г X
и
Л(^) = »({0, у}) Vy^Y.
Тогда, очевидно, g е X*, h е У* и
шах (|| g lljj,, || h Uy»)	|| v Ujjf=s II f ll(x q yj«.
По построению
f(x)“g(x) + /i(x) УхеХЛУ,
T. e. f = g + h e X* + У’; поэтому
II f Hx*+r* шах (|| g lljj», || h ||p) || f
26 Гл. 1. Вспомогательные сведения из функционального анализа
С другой стороны,
II f И(х л г)» ~~~ sup f (х)
‘ 11 ' I X 1х+|| х Цу-1
sup inf (||g||x.||x||x + ||ft||z.||x|U<
llxlx+ll*llr-lgsX*V	x х/
g+h-t
< inf^ max (II g ||x., II h ||r«) = || f Ilx<.+y..
ft 2 Y*
g+h“f
Вместе c (5.7) эти соотношения доказывают первую часть тео-
ремы.
Пусть теперь f е X* П У*. Если х + у = х( + th для х, х1 <= X
и у, yi^Y, то х — xj = у\ — у е XПY и, следовательно,
f(x-x1) = f(y1-z/),	(5.9)
откуда
f(x) + f(^) = f(x1) + f(r/I).	(5.10)
Продолжим f до функционала на Х-j-Y, полагая для г = х + у
f(z) = f(x) + f(«/).
Соотношение (5.10) показывает, что так определенное значение
не зависит от представления г в виде z — x + у- Так как
f (г) < inf (|| f ||х. || х Их 4-1| f ||у* || у ||г) < (|| f Их* + II f IHII г ||х+г,
X G X
y^Y
x+y=*z
то fe(X-j-y)* и Ilf ll(x+rj*<llf llx*nr*- C Учетом (5-8) этим дока-
зано совпадение (X + У)* и X* П У* как множеств. Чтобы дока-
зать равенство норм, достаточно установить неравенство
Ilfllx*nr*^HfИ(х+г)*- Ддя произвольного в>0 найдется хеХ,
такое, что
Ilf llx»<fW + 8, ||х||х=1.
Соответственно найдется у е У, такое, что
II f Hr* <f (!/) + «,	I|t/llr=l.
Имеем
II / Hx*nr* = II / Их* + И f Hr* < f (х +!/) + 2в <
II f И(х+У)* И + У Их+у +
< II f П(Х+Г)* max (II х Их, IIУ Ну) + 28 =
«11Цх+п. + 28.
Ввиду произвольности 8 отсюда следует искомая оценка для
нормы. Теорема доказана.
§ 6. Гильбертовы пространства	27
§ 6.	ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Определение 6.1. Функция (-,•), которая каждым двум эле-
ментам х и у линейного пространства Н ставит в соответствие
вещественное число (х,у), называется скалярным произведе-
нием на Н, если она удовлетворяет следующим условиям:
а)	(х,у) = (z/,x);
Ь)	(х + У,г) = (х, z) 4- (у, г);
с)	(tx,y) = t(x, у) V/e/?1;
d)	(х, х) > 0 при х Ф 0.
Здесь х, у, z — произвольные элементы из Н.
Пара {Н, (•, •)}, состоящая из линейного пространства Н и
скалярного произведения (•, •) на нем, называется предгиль-
бертовым пространством. Когда это не приводит к недоразуме-
ниям, мы будем предгильбертово пространство {Н, (•,•)} обо-
значать, как и лежащее в его основе линейное пространство, че-
рез Н.
Замечание 6.1. В предгильбертовом пространстве можно вве-
сти норму по формуле || х || = ^(х, х). Мы будем всегда рассма-
тривать предгильбертово пространство как нормированное имен-
но в этом смысле.
Определение 6.2. Полное предгильбертово пространство на-
зывается гильбертовым пространством.
Замечание 6.2. Всякое гильбертово пространство является
равномерно выпуклым банаховым пространством. Имеет место
равенство
II х + УII2 = 2 (|| х ||2 +1| у II2) -1| х - у II2.
Лемма 6.1 (неравенство Шварца). Для любых элементов х,у
гильбертова пространства
1(х, у) I <11x1111 у ||.
Теорема 6.1 (теорема представления Рисса). Для каждого
гильбертова пространства Н существует точно одно взаимно од-
нозначное линейное отображение R пространства Н* на Н, об-
ладающее следующими свойствами:
a)	(/?f,x) = (f,x) V/еЯ*;
b)	II Ин=11 Пн*.
Замечание 6.3. Этот оператор R е (Я*-* Н) называется рис-
совским оператором для пространства Н. На Я* можно ввести
скалярное произведение, положив (f, g) = (Rf, Rg). Сопряжен-
28
Гл. I. Вспомогательные сведения из функционального анализа
ное к гильбертову пространству при этом также становится
гильбертовым пространством. Теорема представления Рисса по-
зволяет отождествлять пространства Я* и Н (отождествляются
линейный функционал f е Я* и элемент Rf е Я). Этой возмож-
ностью мы будем в дальнейшем часто пользоваться.
Лемма 6.2. Пусть J е (Я—* Я*) —дуализующее отображе-
ние для гильбертова пространства Я, определенное равенством
{Jx, х) = IIх||я = II Jx ||я.	Vx е Н
(см. лемму 5.5). Тогда для любых х,у >=Н
{Jx, */> = (х, у).
Здесь (-, •) обозначает скалярное произведение между Н* и Н,
а (•, •) — скалярное произведение на Н.
Доказательство. При фиксированном х е Н рассмотрим (х,
у) как функционал от у. Этот функционал линеен и согласно
лемме 6.1 ограничен, а значит, и непрерывен. Таким образом,
для каждого х существует элемент f е И*, обладающий свой-
ством
<f, У) — (х, у) Уу<=Н.	(6.1)
Используя (6.1) при у = х, получаем
IIHItf.lklltfXf. *>=(*,
С другой стороны,
<Л у}=(х, гОСИхИнИИя-
Следовательно,
if, х) = ||х|Ря = ||/|^.
Отсюда в силу строгой выпуклости гильбертова пространства
Н* вытекает по лемме 5.5 равенство f = Jx. Тем самым наша
лемма доказана.
Замечание 6.4. Из леммы 6.2 вытекает, что дуализующее ото-
бражение для гильбертова пространства Н является линейным.
Как показывает сравнение теоремы 6.1 и леммы 6.2, очевидно,
/ =
Определение 6.3. Два элемента х и у гильбертова простран-
ства Н называются ортогональными, если (х, у) = 0. Два под-
пространства Fi и F2 в Н называются ортогональными, если ка-
ждый элемент из F\ ортогонален к каждому элементу из Fa-
Совокупность всех элементов из Н, ортогональных к данному
подпространству F, называется его ортогональным дополне*
нием и обозначается через F1,
§ 6. Гильбертовы пространства
29
Лемма 6.3. Пусть Р— замкнутое подпространство гильбер-
това пространства Н. Тогда его ортогональное дополнение Fx
также является замкнутым подпространством в Н и каждый
элемент хеЯ допускает единственное разложение вида х ==
= г/ + гс!/еЯиге F1.
Определение 6.4. Если х = у + z — представление элемента
х е Н в виде суммы элементов у е F и г е Гх, то у называется
ортогональной проекцией элемента х на подпространство F.
Отображение Рр е (Я-* Я), которое каждому элементу хеЯ
ставит в соответствие его ортогональную проекцию на подпро-
странство F, называют проектором (или проекционным операто-
ром, или оператором проектирования) Н на F.
Замечание 6.5. Проектор Рр гильбертова пространства Н на
замкнутое подпространство F линеен и непрерывен. Кроме того,
он идемпотентен и симметричен, т. е. P^f-Pf и (Ррх, у) = (х,
PFy) для любых х,у ^Н.
Определение 6.5. Линейное отображение А гильбертова про-
странства Н в его сопряженное Н* называется положительно
определенным, если для некоторой постоянной с > 0 выполняет-
ся соотношение
{Ах, х) с || х II2 Vx е Н.
В заключение этого параграфа рассмотрим одну ситуацию,
которая неоднократно будет нам встречаться ниже при изучении
операторных и операторных дифференциальных уравнений.
Пусть заданы рефлексивное банахово пространство {V, || • 11}
и гильбертово пространство {Н, (•, •)} с нормой | • |, и пусть для
этих пространств выполняются условия
Vc=H,
IxKyIIxII
V плотно в Н,
Vx е V, у = const.
(6.2)
Согласно замечанию 5.14, при этих предположениях сопряжен-
ное к Н пространство Н* можно рассматривать как подпро-
странство сопряженного к V пространства V*. Так как V реф-
лексивно, то Н* плотно в V*, и
IlfIKYlfl. VfeZT,
где || • IL — норма в V* и | • |, — норма в Я*.
Будем считать далее, что пространства Я* и Я ото*
ждествлены в соответствии с теоремой представления Рисса.
Тогда
V с Я с: V
30 Гл. I. Вспомогательные сведения из функционального анализа
причем пространство Н непрерывно вложено в пространство V*
и плотно в нем.
При отождествлении Я с Я* и Я* с некоторым подпростран-
ством в V* элемент у^Н отождествляется с элементом fy е V*,
для которого имеет место равенство
{У, = х) VxgeV,
где (•, •) — скалярное произведение между V* и V. Поскольку
мы отождествляем у и fy, то не возникнет недоразумений, если
при условиях (6.2) скалярное произведение (•, •) между V* и V
мы будем обозначать, как и скалярное произведение на Я, че-
рез (•, •).
Типичный и важный для приложений пример описанной си-
туации доставляют пространства V = H"(G) и Я — L2(G), ко-
торые вводятся в следующей главе.
ГЛАВА И
ФУНКЦИОНАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
В этой главе дается функционально-аналитическая форму-
лировка краевых задач для эллиптических дифференциальных
уравнений.
В § 1 мы вводим пространства функций, которые исполь-
зуются при функционально-аналитической трактовке эллиптиче-
ских дифференциальных уравнений, и указываем нужные нам
свойства этих пространств.
В § 2 подробно описывается связь между эллиптическими
краевыми задачами и операторными уравнениями в рефлексив-
ных банаховых пространствах.
§ 1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РАССМОТРЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
В этом параграфе собран вспомогательный материал из тео-
рии меры и интеграла, а также теории функциональных про-
странств, который понадобится нам при изучении краевых задач.
На доказательствах мы, за единственным исключением, не
останавливаемся. Предполагаются известными понятия и тео-
ремы элементарной топологии «-мерного эвклидова простран-
ства Рп и теории вещественных функций многих переменных.
В первом пункте определяются пространства непрерывно
дифференцируемых функций. Во втором пункте мы напоминаем
некоторые основные понятия и теоремы из теории интеграла Ле-
бега, а в третьем приводим нужные нам результаты из теории
пространств Lp. Четвертый пункт посвящен некоторым понятиям
и теоремам теории распределений (обобщенных функций). На-
конец, в пятом пункте собран ряд результатов из теории про-
странств Соболева.
Сведущему читателю достаточно ознакомиться с вводимыми
в этом параграфе обозначениями. Доказательства приводимых
утверждений можно найти, например, в литературе, указанной
в замечаниях к этой главе.
№ Гл. 11. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
1.	ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
ФУНКЦИИ
Пусть Rn есть n-мерное эвклидово пространство (рассматри-
ваемое с обычной топологией). Точки пространства Rn мы обо-
значаем через х — {xi...хп}. Пусть G — открытое множество
в Rn. Для т раз непрерывно дифференцируемой (вещественной)
функции и на G мы через Da и обозначаем, как обычно, част-
ную производную
д'а
дх“'...дх“»
порядка | ос | = ai + ап, где а = (ои.......ап) —мульти-
индекс из неотрицательных целых чисел.
Определение 1.1. Через Cm(G) обозначается множество функ-
ций и, определенных на замыкании G открытого множества G и
обладающих следующими свойствами:
а)	функция и является т раз непрерывно дифференцируе-
мой на G;
Ь)	каждую частную производную Dau порядка |ос]	т мо-
жно продолжить до непрерывной функции на G.
Замечание 1.1. При т = 0 мы получаем множество непре-
рывных функций на G. Его обозначают обычно просто через
С((7).
Лемма 1.1. Пусть замыкание G открытого множества G с Rn
компактно. Тогда Ст (G) является банаховым пространством от-
носительно нормы
£ sup|d“«(x)|.	(1.1)
с (0) laKmjsfi
Замечание 1.2. Напомним, что множество в Rn компактно
точно тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Сходимость по-
следовательности {Uk} с Cm(G) (k = 1,2, ...) по норме (1.1), оче-
видно, означает равномерную сходимость всех производных по-
рядка ^тна компакте G.
Будем считать, что линейная структура в Cm(G) (как и во
всех определяемых далее функциональных пространствах) за-
дана естественным образом.
Определение 1.2. Носителем определенной и непрерывной на
открытом множестве G с Rn функции и называется множество
supp и = {х | и (х)	0} П G.
§ 1. Функциональные пространства
33
Определение 1.3. а) Через С™ (G) будем обозначать множе-
ство всех определенных и т раз непрерывно дифференцируемых
на открытом множестве G с Rn функций с компактными (в G)
носителями.
Ь) Через Со“ (G) будем обозначать множество бесконечно
дифференцируемых на открытом множестве и с. Rn функций с
компактными (в G) носителями.
Замечание 1.3. Можно показать, что С“ (G) содержит не
только тривиальный элемент и = 0. Пусть К с: G — компактное
множество и Gj — такое открытое множество, что G, с G и
К. cz G\ с. G. Тогда можно указать функцию и е С" (G), обла-
дающую следующими свойствами: 0^ы(х) для xeG,
и(х) = 1 для х е К и и(х) = 0 для х ф Gi.
2.	ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Прежде всего напомним некоторые понятия из теории меры
Лебега в эвклидовом пространстве Rn.
Мерой n-мерного замкнутого интервала
/ = {x|ai<x/<&i,	.....nJ
называется число
mes (/)==]*[ (&,-«,)•
Так как всякое открытое множество О с /?п можно представить
в виде не более чем счетного объединения замкнутых интерва-
лов 1У, v = 1, 2, ..., без общих внутренних точей!
o=U /v,
V=1
то естественным образом определяется мера открытого множе-
ства:
оо
тез (О) = У, mes (/v).
v-1
Можно показать, что определенная таким образом мера (воз-
можно, равная +<») не зависит от способа представления мно-
жества О в виде объединения замкнутых интервалов без общих
внутренних точек.
Внешняя мера произвольного множества G с: Rn определяет-
ся как	___
mes(G)= inf mes (О),
О => Q
2 X. Гаевский и др.
34 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
причем нижняя грань берется по всем открытым множествам О,
содержащим G. Множество G с. Rn называется измеримым,
если	__
inf mes(O\G) = 0;
o=o
в этом случае полагают
mes (G) = mes (G).
Особую роль играют измеримые множества с мерой, равной
нулю (множества меры нуль). Заметим, что каждое подмноже-
ство множества меры нуль является множеством меры нуль и
объединение счетного числа множеств меры нуль является мно-
жеством меры нуль.
Принято говорить, что некоторое условие выполняется по-
чти всюду на множестве G czRn (или для почти всех его то-
чек), если множество точек, где это условие не выполняется,
имеет нулевую меру.
Лемма 1.2. Мера Лебега вполне аддитивна (или счетно ад-
дитивна) . Это означает, что
mes Qj С4) = Д mes (G*)
для любой последовательности {G/J попарно непересекающихся
измеримых множеств Gft с: Rn.
Определение 1.4. Вещественная функция и, определенная на
измеримом множестве G a: Rn, называется измеримой, если для
каждого вещественного числа а измеримо множество
Е = {х е G | и (х) > а).
Из обширной теории измеримых функций мы приведем здесь
лишь следующие результаты:
Лемма 1.3. Пусть на измеримом множестве G с: Rn опреде-
лена последовательность {«4 измеримых функций. Если для не-
которой функции и на G имеет место соотношение
lim ик (х) = и (х) при почти всех х е G,
Л->оо
то и является измеримой функцией.
Лемма 1.4. Любая непрерывная на открытом или замкнутом
множестве G с: Rn функция измерима.
Лемма 1.5. Пусть {yi.....Уп}~^Е(у\, .... ут) — непрерыв-
ная функция на /п-мерном эвклидовом пространстве Rm. Если
§ 1. Функциональные пространства
35
функции	х = {xh .... хп), 1=1....т, измеримы
на G с /?п, то функция
x->F(gi(x)....gm(x))
также измерима на G.
Изложим некоторые понятия и результаты теории интегри-
руемых (или, как еще говорят, суммируемы#) по Лебегу функ-
ций. Всюду ниже мы предполагаем, что OaRn — измеримое
множество.
Определение 1.5. Функция и, определенная на Q с: /?п, назы-
вается простой, если она на некотором конечном числе попарно
непересекающихся измеримых множеств Gk (k=l, ..., К) с
mes (Ok) < оо принимает постоянные значения сь, а на множе-
К
стве О \ У*, Gk равна нулю. Интегралом от простой функции и
k~l
по множеству О называется число
к
/(«>=£ ckmes(Gk).
k-i
При этом пишут
/(«)= ^u(x)dx.
о
Определение 1.6. Функция и, определенная почти всюду на О,
называется интегрируемой (по Лебегу) по множеству (или на
множестве) О, если существует последовательность {и,} простых
функций, которая почти всюду на О сходится кии для которой
последовательность (l(Uj)} сходится. В этом случае
I (и) =«= lim I (Uf)
/->оо
называют интегралом (Лебега) от функции и по G и пишут
/(u)= ^u(x)dx.
о
Замечание 1.4. Можно показать, что значение 1(и) не зави-
сит от выбора фигурирующей в определении последовательно-
сти {и,}.
Определение 1.7. Две функции и\, U2, определенные на G, на-
зываются эквивалентными, если Ui(x) = og(x) для почти всех
хе G.
2»
Зв Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
Лемма 1.6. Если функция «1 интегрируема по G, то интегри-
руема по G и любая ей эквивалентная функция и2 и
щ (х) dx — U2 (х) dx.
а	а
Лемма 1.7. Пусть BcG — измеримое множество. Тогда ка-
ждая функция и, интегрируемая по G, интегрируема и по В и
и (х) dx = Св (х) и (х) dx,
в	а
где Св — характеристическая (индикаторная) функция множе-
ства В, т. е.
( 1 при хе В,
С в (*)	| о ПрИ X^G\B.
Приведем еще два результата о последовательностях инте-
грируемых функций.
Лемма 1.8 (Фату). Пусть {«&} — последовательность неотри-
цательных интегрируемых на G функций, таких, что
lim uk(x)dx < оо.
fe-»OO Q
Тогда функция х-> lim uk(x) интегрируема по G, причем
fe->oo
( Hm uk (х) dx	lim ( uk (х) dx.
Q fe->0O	&~>0O
Теорема 1.1 (Лебег). Пусть {«&} — последовательность инте-
грируемых функций на О, почти всюду на G сходящаяся к функ-
ции и. Если существует интегрируемая на G функция v, такая,
что почти всюду на G
I иь (х) 1 < v (х),	к-1, 2...
то функция и также интегрируема на G и
\ и (х) dx = lim \ uk (х) dx.
a	k+°° о
3.	ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Всюду ниже G — некоторое измеримое множество в Rn. Мы
не будем различать функции, эквивалентные между собой на G
в смысле определения 1.7. Поэтому, когда мы в настоящем пунк-
5 1. Функциональные пространства	37
те говорим о функциях, под ними, строго говоря, нужно пони-
мать классы эквивалентных друг другу функций.
Определение 1.8. Через Lp(G), 1 «С р < со, обозначается
множество всех измеримых функций ие (G —► У?1), для которых
| и (х) |р dx < оо.
о
Лемма 1.9. Множество Lp(G) является банаховым простран-
ством относительно нормы
<L2>
Пространство L2(G) (при р — 2) представляет собой гильбер-
тово пространство со скалярным произведением
(и, о) = и (х) v (х) dx.
а
Определение 1.9. Через L? (G), 1 р < оо, обозначается
множество всех вектор-функций и= {щ.........щ} с m1gLp(G)
г).
Лемма 1.10. Множество L? (G) есть банахово пространство
относительно нормы
z z Г	sp/2 к 1/р
dx) •
Пространство L* (G) (при р = 2) является гильбертовым про-
странством со скалярным произведением
Г
(«, ©) = J у, «i (х) Vi (х) dx.
a i-i
Определение 1.10. Измеримая функция ne(G—►7?1) назы-
вается существенно ограниченной на G, если она эквивалентна
некоторой ограниченной функции, т. е. если существует такая
постоянная М, что
|ы(х) |< М при почти всех хеО.
Нижнюю грань всех допустимых постоянных М обозначают че-
рез1) vrai max | и (х) |. Множество всех (классов, эквивалентных
х <= G
*) Vrai — истинный (франц.).— Прим. ред.
38 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
Друг другу) измеримых существенно ограниченных функций обо-
значается через L°°(G).
Лемма 1.11. Множество L°°(O) есть банахово пространство
относительно нормы
11“ 11=0 vraimaxl и(х) |.
Приведем несколько важных неравенств, которыми мы бу-
дем неоднократно пользоваться.
Для 1 < р < оо число q, удовлетворяющее равенству
-Ь + -1- = 1, называется сопряженным к (или с) р показателем.
Показателем, сопряженным к р= 1, соответственно к р=оо, по
определению считается q = оо, соответственно <7=1.
Лемма 1.12 (неравенство Гёльдера). Если р, <7 —сопряжен-
ные показатели, l^p^oo, и ® Lp(G), v е Li(G), то uv е
s L* (G) и
J и (х) V (х) dx < II и ||tр (0) II v Ц
а

Лемма 1.13 (неравенство Минковского). Для любых и, v в
a Lp(G), 1 р оо, справедливо неравенство
|| и 4- о ||дР II и ||д₽ (О) "4* IIу II// (О)-
Замечание 1.5. Очевидно, это неравенство есть не что иное,
как неравенство треугольника в банаховом пространстве Lp(G).
Лемма 1.14 (неравенства Кларксона). Пусть и, v^Lp(G).
Тогда если р и q — сопряженные показатели, то при 1 < р 2
и при 2 р < оо
+ IIv IIl₽ (О))-
Лемма 1.15. При 1 < р < оо банаховы пространства Lp(G)
и Lr (G) равномерно выпуклы и, значит (см. теорему 5.11 гл. I),
рефлексивны.
Лемма 1.16. При 1 < р < оо банаховы пространства L₽(G)
сепарабельны.
Лемма 1.17. Пусть f <= (Lp(G))* —линейный функционал из
сопряженного пространства к банахову пространству L₽(G),
§ 1. Функциональные пространства
39
1 р < оо. Тогда существует точно один элемент oeL’(G)
(где q — сопряженный с р показатель), такой, что
(/, м> = J u (х) v (х) dx Vи е Lp (G),
причем
II f И(Д₽ (О))* = И V lit’ (О)*
Замечание 1.6. В силу неравенства Гёльдера каждый элемент
i’eL’(G) порождает некоторый непрерывный линейный функ-
ционал на L?(G). Поэтому если отождествить линейные функ-
ционалы f е (Lp(G))*, 1 р < оо, с однозначно соответствую-
щими им согласно лемме 1.17 «порождающими» элементами
oeL«(G), то можно сказать, что сопряженным к банахову
пространству Lp(G) служит банахово пространство L«(G).
При р — 2 мы получаем в точности теорему Рисса о представ-
лении линейных функционалов (теорема 6.1 гл. I) для случая
гильбертова пространства L2(G).
В силу леммы 1.17 слабая сходимость последовательности
{ип} с: Lp(G), 1 р < оо, к элементу и е Lp(G) означает, что
lim \ ы„ (х) v (х) dx = \ и (х) v (х) dx Vo е L9 (G).
я-»°°3	5
Заметим еще, что пространства Lp(G) при 1 р < оо являются
слабо полными. (В случае 1 < р < оо это утверждение следует
из леммы 1.15 и теоремы 5.8 гл. I.)
Лемма 1.18. Из каждой сходящейся в Lp(G) (1 р оо)
последовательности {«„} можно выбрать подпоследовательность
{«nfe}, сходящуюся почти всюду на G.
Лемма 1.19. Пусть 1 р < оо и последовательность {ип} cz
a: Lp(G) такова, что
в LP(G)
«„ (х)->о(х) для почти всех xeG.
Тогда и = V.
Доказательство, а) Прежде всего покажем, что функция v
почти всюду конечна. Вследствие слабой сходимости последова-
тельности {«п} существует (см. лемму 5.3 гл. I) постоянная М,
такая,что
И«Лр10)<А1	(п=1, 2, ...).
40 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
Согласно лемме 1.3 функция и измерима на G. Из леммы Фату
следует, что
( lim | ип (х) |р dx — ( lim 1 ип (х) |₽ dx < lim ( | и„ (х) |р dx < Мр,
g П~>°°	Q Ц->ОО	n-+<*> Q
поэтому oeLp(G). Но всякая интегрируемая функция почти
всюду конечна.
Ь) Изменяя, если надо, функции ип на множестве меры нуль,
можно считать, что последовательность {ип(х)} сходится при ка-
ждом х е G. Положим
Ek = {x\x^G, sup |ип(х)|>й},	£=1,2,....
Очевидно, Ек измеримо. Имеем
П^* = {х|хеО, lim |ип(х)| = + оо).
k	П->оо
Так же, как и в п. а), можно показать, что
mes (Q = 0,
откуда, ввиду включений Ек=>Ек+1, £ = 1, 2.....вытекает, что
lim mes (Ек) = 0.
/г-»оо
Пусть х е G \ Ек. Тогда для любого w^L4 (G)
I «п (х) w (х) К k | w (х) |, и > £.
В силу слабой сходимости последовательности {«„} получаем
по теореме Лебега
lim ( un(x)w(x)dx=t ( u(x)w(x)dx = ( v(x)w(x)dx.
о\вк	а\вк	в\Ек
Следовательно, и(х) = о(х) для почти всех х&0\Ек. Так
как mes(Ek) —>0 при k—► оо, то окончательно заключаем, что
и(х) = п(х) для почти всех х е G. Лемма доказана.
Лемма 1.20. Пусть GcJ?“ открыто и 1 р < оо. Тогда под-
множестве C“(G)' пространства Lp(G) всюду плотно.
4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ)
Всюду в этом пункте G — некоторое открытое множество в
Rn. Мы определяем распределения (обобщенные функции) как
элементы сопряженного пространства к локально выпуклому
пространству, получающемуся из множества С” (G) путем вве-
§ 1. Функциональные пространства
41
дения топологии с помощью подходящей системы полунорм.
Значение распределений для теории дифференциальных уравне-
ний в частных производных состоит прежде всего в том, что в
пространстве распределений операция дифференцирования яв-
ляется непрерывным оператором (понятие производной естест-
венным образом обобщается на случай распределений). При
введении топологии на множестве Со (G) мы следуем методу
Гординга — Лионса; другой метод задания этой топологии вос-
ходит к Л. Шварцу.
Определение 1.11. Пусть р = {ра}— некоторое семейство
функций, определенных и непрерывных на множестве G. Семей-
ство {supp ра} их носителей называется локально конечным в G,
если каждое компактное множество в G имеет непустые пере-
сечения лишь с конечным числом множеств семейства.
Определение 1.12. Введем на множестве Со° (G) систему по-
лунорм
Рр (ф) = Е sup I ра (X)	(х) I, <р <= Со~ (G).	(1.3)
а хеО
При этом р = {ра} пробегает все семейства непрерывных функ-
ций на G с локально конечными семействами носителей.
Замечание 1.7. Суммирование в (1.3) при каждом фиксиро-
ванном <р е Со (G) распространяется вследствие локальной ко-
нечности семейства {supp ра} только на конечное число мульти-
индексов а.
Лемма 1.21. Будучи наделено системой полунорм (1.3),
Со (G) становится локально выпуклым пространством; мы ис-
пользуем для него общепринятое обозначение 3)(G).
Укажем, что означает сходимость последовательности {ф*}
в пространстве 55(G); при этом можно ограничиться случаем
сходимости к нулю.
Лемма 1.22. Последовательность {<fh}cz3)(G) сходится к
нулю точно тогда, когда в G существует компактное множество
К, такое, что
a)	supp фй а: К для k — 1, 2, ... ;
b)	последовательность {£>афЛ} равномерно сходится в К к
нулю для каждого мультииндекса а = (аь ..., ап).
Определение 1.13. Распределениями (обобщенными функция-
ми) на открытом множестве G cz Р.п называются элементы со-
пряженного к 0(G) пространства 0*(G). Для ms55*(G) и
Ф s 55(G) мы пишем
«(ф) = («, Ф>-
42 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
Замечание 1.8. Пространство Й5*(О) можно превратить в ло-
кально выпуклое пространство, наделив его простой топологией
(см. замечание 4.4 гл. I). Напомним, что окрестности U распре-
деления u^£)*(G) в простой топологии задаются в виде
1/(ф, в; и) = {и <=£Z>‘(G) || u(<pz) —	i=\.......tn},
где <p = {фх...фщ} и е = {ei, ..., em) — произвольные (конеч-
ные) системы элементов из S)(G) и положительных чисел соот-
ветственно. Сходимость последовательности распределений {«4
к распределению и в S)*(G) означает поточечную сходимость,
т. е. то, что
lim ы*(ф) = «(ф) для каждого фе2)(б).
&->оо
Приведем эквивалентные характеризации распределений, с
которыми несколько удобнее работать, чем с определением 1.13.
Лемма 1.23. Линейный функционал и на множестве Со (G)
является распределением на G точно тогда, когда он удовлетво-
ряет одному из следующих (равносильных) условий:
а)	для всякого компактного множества К с G существуют
положительная постоянная С и целое число k, такие, что
1«(Ф)1<С У зир|Р°ф(х)|
| аk хеО
для каждой функции фбС“(С) с зиррфсК;
Ь)	для всякой последовательности {ф„} с: (G), сходящейся
к нулю в описанном в лемме 1.22 смысле,
и(ф„)->0.
Замечание 1.9. Укажем несколько примеров распределений,
а) Пусть х г G. Распределение
Мф) = ф(х), ФеЖ,
называется 8-функцией (или 6-распределением) Дирака.
Ь) Пусть и —локально интегрируемая на G функция; это
означает, что
| и (х) | dx < оо
к
для каждого компактного множества К cz G. Функция и опреде-
ляет распределение
Мф)==$«(*)ф(*)<^ сре®(б).	(1.4)
о
§ 1. Функциональные пространства
43
Локально интегрируемые функции и и о, которым отвечает одно
и то же распределение (т. е. fu(<p)= Мф) V<peS>(G)), экви-
валентны в смысле определения 1.7. Обратно, эквивалентные ло-
кально интегрируемые функции определяют по формуле (1.4)
одинаковые распределения. Если эквивалентные функции рас-
сматривать как не различающиеся между собой, то можно ото-
ждествить каждую локально интегрируемую функцию « с отве-
чающей ей обобщенной функцией ful). В частности, если
обобщенная функция является непрерывной функцией, то эта
непрерывная функция определена однозначно, так как почти
всюду равные непрерывные на О функции равны всюду.
Другой важный класс распределений образуют функции, с
которыми мы познакомимся ниже при рассмотрении пространств
Соболева.
Определение 1.14. Пусть Da — дифференциальный оператор
... дх^п
где а= (ai......an), |а| = ai + ... + an. Производная Dau
распределения и на G задается формулой
(Dau) (<р) = (-1)|а| и (О“<р),	ф<=0(О).
Лемма 1.24. Отображение u-*~Dau является непрерывным
отображением пространства £>*(G) (наделенного простой топо-
логией) в себя.
Замечание 1.10. Пусть и — т раз непрерывно дифференци-
руемая функция на G. Тогда производные порядков от а
в смысле обычного дифференциального исчисления и в смысле
теории распределений совпадают между собой. Это утвержде-
ние сразу следует из правила интегрирования по частям, со-
гласно которому мы для каждого мультииндекса ас |а| т и
всякой функции <р s 10(G) имеем
( {раи (х)) ф (х) dx = (— 1)' °1 ( и (х) 2>“ф (х) dx.
б. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
Здесь мы сформулируем только простейшие свойства этого
важного класса функциональных пространств. При этом мы не
стараемся приводить для каждого случая наиболее тонкие ре-
зультаты. В частности, мы совсем не будем использовать
*) Отсюда и термин «обобщенная функция». — Прим. ред.
44 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
производные дробного порядка и некоторые уточнения теорем
Соболева, связанные с гёльдеровской непрерывностью.
Везде в этом пункте G <= Rn — это некоторая область, т. е.
открытое и связное множество.
Определение 1.15. Через Wk‘p(G) (1^р<оо, k 0) обо-
значается множество всех распределений u^3)*(G), являю-
щихся вместе со всеми своими производными D°« порядка
|а| функциями из Lp(G). Эти множества Wh- p(G) назы-
ваются пространствами Соболева (или соболевскими простран-
ствами) .
Лемма 1.25. При 1 р < оо соболевское пространство
TP-p(G) представляет собой банахово пространство относитель-
но нормы
n«uP(G)=(V £ iD““i2Y/2^Y/₽- d-б)
\О \|a| <4	/	/
При 1 р <_ оо пространства Wk'p(G) сепарабельны; при 1 <
< р <_ оо они к тому же равномерно выпуклы и, следовательно,
рефлексивны. В частном случае р = 2 соболевское пространство
Wk'2(G), которое мы в дальнейшем будем обозначать через
Hk(G), является гильбертовы^ пространством со скалярным
произведением
(и, о)я*(О)= £ (D“«, Dav)= £ \jDauDnvdx. (1.6)
JalCfe G
Определение 1.16. Через Wo’p(G) обозначается замыкание
множества Со (G) в Wk,p(G) относительно нормы (1.5). Соот-
ветственно Но (G) обозначает замыкание множества Со (G) в
гильбертовом пространстве Hk(G) относительно нормы, поро-
жденной скалярным произведением (1.6).
Лемма 1.26 (неравенство Фридрихса). Если G — ограничен-
ная область в /?”, то для каждого мультииндекса 0 с 0	101
k и для каждого и е Wk’Р (G)
( |Detz(x)|₽dx<C $ | £>“ы(л:)Гdx,
О	|al=ft О
где С — постоянная, зависящая только от области G, а также
от 0, р и k.
Следствие. Пусть G — ограниченная область. Тогда формула
§ L Функциональные пространства
45
определяет в Wo'p(G) норму, эквивалентную норме (1.5). Со-
ответственно при р 2 норма, определяемая в Но (G) скаляр-
ным произведением
0>я*(0)= (Dau, Dav),
Н0(а>	|а|-Л
эквивалентна норме, задаваемой скалярным произведением (1.6).
Значение пространств Соболева состоит прежде всего в том,
что элементы этих пространств при надлежащих соотношениях
между индексами k, р и размерностью пространства п обладают
некоторыми свойствами регулярности и их можно «вкладывать»
различными способами в другие функциональные пространства.
Ниже мы приводим некоторые важнейшие теоремы вложения
Соболева для случая, когда G— ограниченная область с доста-
точно гладкой границей.
Определение 1.17 (Кальдерон). Граница Г области GczRn
называется регулярной, если существуют такое конечное откры-
тое покрытие {GJ этой границы, такое конечное множество от-
крытых (конечных) конусов Kj и такое е > 0, что
а)	для каждой точки из Г шар радиуса е с центром в этой
точке целиком лежит в некотором множестве из покрытия {U{};
b)	для каждой точки из Uf П G конус с вершиной в этой
точке, получаемый параллельным переносом некоторого конуса
Kj, целиком лежит в G.
Лемма 1.27. Ограниченная область G имеет регулярную гра-
ницу Г тогда и только тогда, когда существуют константы R > О
и L > 0, такие, что для каждой точки х0 Г можно указать та-
кую ее окрестность U (х0), получающуюся при помощи движения
(т. е. при помощи параллельного переноса и вращения) из мно-
жества
Щ = {»..........».} | л/»!+	+Й-. < я, | </. | < 2LR},
что выполняются следующие условия:
а)	точка у = {0,..., 0} е Uo переходит в хо',
Ь)	пересечению U(х0) П Г соответствует поверхность
Уп = f ......Уп-i)» ^/y2i+ ••• +У2п-1 <
где функция f липшиц-непрерывна, т. е. ______________
I f (yi..Уп-1) - f (Si...Уп-д К д/Ё \У1~У( I2;
46 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
с)	пересечению U (хо) П G соответствует множество
{уеио1д/^+	<R>. f(У  ....Уп-г)<Уп<2LR}'
Замечание 1.11. Ограниченные выпуклые области G про-
странства Rn имеют регулярные границы.
Для ограниченной области с регулярной границей можно
естественным образом определить (п—1)-мерную лебегову по-
верхностную меру On-ь а именно можно в качестве значения
этой меры для части гиперповерхности U(xo) Л Г взять интеграл
оп-1 (U (х0) П Г) = J V1 +1 grad f |2 dyi ... dz/„_b
к.
................9»-i)|7s!+	+Й-1<4 (В силу лип-
шиц-непрерывности f градиент gradf =	су-
ществует почти всюду относительно меры Лебега в Rn~l.) Далее
очевидным образом определяются измеримые подмножества
границы Г и измеримые и интегрируемые относительно построен-
ной (п—1)-мерной поверхностной меры функции. Можно по-
казать, что эта поверхностная мера не зависит от выбора коор-
динатной системы, используемой для представления границы Г.
Область с регулярной границей для почти всех точек хеГ
(относительно (я— 1)-мерной поверхностной меры) обладает
однозначно определенным (внешним) нормальным вектором,
т. е. таким вектором v = {vb..., vn} с | v | = -a/'v? + ... + v2 = 1,
что
(v,	для у-*х\ х,у^Г.
(Здесь (•, •) обозначает обычное скалярное произведение в /?п.)
В случае ограниченной области G с регулярной границей для
каждой вектор-функции {«ь...,«п} с и<еС*(б) справедлива
формула Гаусса *)
Л	**
1 Г
*) Называемая также формулой Гаусса — Остроградского, а еще чаще —
формулой Стокса. — Прим. ред.
§ 1. Функциональные пространства
47
По аналогии с банаховыми пространствами Lp(G) мы обо-
значаем через £р(Г), 1 р < оо, множество всех (классов, эк-
вивалентных между собой относительно (п — 1)-мерной поверх-
ностной меры) функций mg (Г-*•/?’), для которых
J |«(x)|pdo„_i <4-оо.
г
Множество Ь₽(Г) является банаховым пространством относи-
тельно нормы
Теорема 1.2 (теорема вложения Соболева). Пусть G — огра-
ниченная область с регулярной границей и 1 р < оо. Тогда
Wk'p (G) <=Wh r (G)
для 0 ^ / < ft и каждого г, удовлетворяющего условию ± —
h ~ /1
----— < 1; кроме того,
OHr/.r(0)<C||U||r*,P(0) V«elFft>p(G),	(1.7)
где постоянная С зависит от G, j, k, р и г. Если —-< 0, то
Wk’p(G)<=C'(Q)
и
II и Цс/(?) С С || и ||и. р (0)	Vu е Wk'р (G).	(1.8)
Лемма 1.28 (Реллих, Кондрашов). Пусть G — ограниченная
область с регулярной границей, 1 р < оо, k 1. Тогда шар
K1 = {«eU7ft’p(G)|||U||rft,p<0)<l}
компактен в Wk~x,p (Q).
Замечание 1.12. Если рассматривать вместо IFft’°(G),
TFfe-1,p(G) пространства Wk,p(G), Wk~l,p(G), то в лемме 1.28
регулярность границы области G можно не требовать.
Лемма 1.29 (Кальдерон). Пусть G — ограниченная область
с регулярной границей и Go — открытое множество, такое, что
G с: Go. Тогда существует линейный ограниченный оператор F
48 Гл. П. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
(оператор продолжения1)), удовлетворяющий условиям
a)	Fs(Wk-p(G)->Wl'p(G0))’,
b)	(Fu) (х) = и (х)	Vx е G.
Лемма 1.30. Пусть в — ограниченная область с регулярной
границей и R(G)—множество функций, являющихся сужениями
на G функций из С” (Рп). Тогда при k 0, 1 р <_ оо множе-
ство R(G) плотно в Wh'^(G).
При более сильных предположениях о границе Г области G
в некоторых случаях функциям из Wh’?(G) можно поставить
в соответствие их граничные значения на Г.
Определение 1.18. Будем говорить, что ограниченная область
G czRn принадлежит классу Ск>1 (где k — неотрицательное це-
лое число), если существуют конечное число локальных систем
координат Si, 32, ..., SM и функции Ль h2, .... hM, а также
числа а > 0, b > 0, такие, что выполнены следующие условия:
а)	функции ht (i — \,...,М) являются k раз непрерывно
дифференцируемыми на замкнутом (п—1)-мерном кубе
Qn-i™{f/ = {z/i..\yi\<a, ^==1, ...» П-1}
функциями е липшиц-непрерывными производными Л-го по-
рядка;
Ь)	для каждой точки Ре Г найдется по крайней мере один
индекс I, такой, что Р имеет в координатной системе 34 вид
Р = {У, hi (у)},	у = {yi, .... yn-i) е
с)	в локальной системе координат St (/ = 1.М)
{y,yn}^G	при yesQn„i, Ь (у) < уп < h, (у) + b}
{У, Уп) 0 #	при у a Qn-i, hi (y) — b<yn< h, (у).
Замечание 1.13. Всякая область класса *, k 5= 0, является
ограниченной областью с регулярной границей. Для k = 0
верно и обратное утверждение.
Теперь мы в состоянии определить Соболевские пространства
функций v, определенных на границе Г ограниченной об-
ласти G.
Определение 1.19. Пусть GczRn— область класса С*-1*1,
k^l. Для 1 р < оо мы обозначаем через №*-₽(Г) множе-
ство таких функций ое£₽(Г), для которых функции о{, зада-
1) Выбор для обозначения этого оператора буквы F связан с немецким
еловом Fortsetzung (продолжение). — Прим. рвд.
§ 1. Функциональные пространства
49
ваемые (в обозначениях определения 1.18) формулой
У -> Oj (у) = о (у, hi (у)),	y^Qn-1, i = 1.....М,
принадлежат IFft’p(Qn-i).
Лемма 1.31. Для области класса С*-*-1 множество 1Гл-р(Г)
при k 1, 1 р < оо является сепарабельным банаховым про-
странством относительно нормы
И V Hr*. Р (Г) = (11 Vi р (<?„-.)) •
Замечание 1.14. Эта норма на 1Гй>р(Г), очевидно, зависит от
координатного представления границы Г. Однако можно пока-
зать, что само пространство Wk' р(Г) от этого представления не
зависит.
Замечание 1.15. Для функций и из множества R(G)
(см. лемму 1.30) естественным образом определяются сужения
их производных D^u (где 0 — произвольный мультииндекс) на
границу Г; мы обозначаем такое сужение через Р₽и|г. Поэтому
для ug^(G) можно определить производную порядка I в на-
правлении внешней нормали в точке Р еГ по формуле
<1£|)
здесь, как обычно, 0 = (0ь ..., 0П)— мультииндекс, 01 =
= 01! 0г! ... 0J и v = vW2 ... vn", где v = {vb ..., v„) — еди-
ничный вектор внешней нормали в точке РеГ.
Лемма 1.32. Пусть G — область класса С*-1*1, р > 1, k 1.
Тогда для ueP(G) с нормальной производной v = dlu]dvl,
определенной по формуле (1.9), при 0 I k—1 справедлива
оценка
II О lljpft-1—I, р (Г)	II “ llj^fe, р (ф	(1 • Ю)
(С — некоторая постоянная, не зависящая от и).
Замечание 1.16. Соотношение (1.10) означает, что оператор
dl/dvl	—1), рассматриваемый как отображение из
Wk>P(G) в lFft-1-l> р (Г), непрерывен на множестве R(G), плот-
ном в IFft-p(G). Следовательно, этот оператор можно одно-
значно продолжить до некоторого линейного ограниченного опе-
ратора, определенного на всем пространстве 1FA-P(G). Соот-
ношение (1.10) останется справедливым и для этого оператора,
который мы будем обозначать тем же символом дЦду1. При I = О
мы получаем таким образом настоящее граничное значение, или
«след», функции и на Г.
50 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
Следствие. Пусть u^Wk’р (G), где G —область класса
Ск~1''. Тогда
-^-1 =0 при 0</<£-1.
dv1 Ip
В дальнейшем мы приведем два результата, являющиеся
в некотором смысле обращениями леммы 1.32 и ее следствия.
Лемма 1.33. Пусть G — ограниченная область с регулярной
границей, и е IF1- p(G) и ы|г = 0. Тогда
u(=W'0,p(G),	1<р<оо.
Лемма 1.34. Пусть G —область класса Ck‘l, u^Wk,p(G) и
Тогда
u^Wk,p(G).
Лемма 1.35. Пусть G —область класса С*’1, р>1 и
hi е Wk~l‘р (Г) (/ = 0,..., k — 1). Тогда существует и е Wk'р (G),
такое, что
^r|r=A* (/ = °. ь •••> Ь-Ъ
В этой связи отметим еще два важных неравенства. Они поз-
воляют рассматривать на пространстве W1>p(G) нормы (экви-
валентные норме (1.5)), которые иногда удобнее в прило-
жениях.
Лемма 1.36. Пусть G — ограниченная область с регулярной
границей Г, Gi — подмножество положительной меры в G
и Г1 — подмножество положительной ((«—1)-мерной) поверх-
ностной меры в Г. Тогда для ие W1-p(G) (р^ 1)
р&	р )
dx + \ и dx\ >,


с постоянными Ci = Ci(n,p, Gi, G) и Са= С2(п,р,ГьG).
Замечание 1.17. В случае р = 2 и G = Gi первое из этих не-
равенств есть не что иное, как неравенство Пуанкаре. Вторую
оценку (равно как и оценку из леммы 1.26) часто называют
неравенством Фридрихса.
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
51
В дальнейшем изложении нам понадобятся сопряженные
пространства к некоторым Соболевским пространствам.
Определение 1.20. Для k 0, 1 < р < оо мы обозначаем че-
рез W~h'^(Q) сопряженное к соболевскому пространству
Wq'p(O) +	1)- Для р = <7 = 2 полагаем
Пространства	можно рассматривать как простран-
ства специальных распределений:
Лемма 1.37. Пусть 1 < р < оо, 1..|_	1, Множество
W~k’g(G) можно отождествить с множеством
fu|«e^>*(G), sup ,	—<+°°l.
фе^(О) «ФИц^Л, р (Q)	J
При этом отождествлении норма в W~k><i(G) задается формулой
И«11г-*.?(0)= sup	(<р)—.
W	Ф е & (G) II ф IIwkt р (G)
Лемма 1.38. Каждый элемент u^W-h^(Q) можно предста-
вить в виде
«= У />*4 с vaeL’(G).
la |<*
Обратно, каждый элемент и, допускающий такое представление,
принадлежит W~k>^(G).
Замечание 1.18. Производные в лемме 1.38 следует понимать
в смысле определения 1.14. Элементы Vj для k > 0 опреде-
ляются по и неоднозначно.
§ 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Главная цель этого параграфа — дать функционально-анали-
тическую формулировку различных краевых задач для эллипти-
ческих дифференциальных уравнений, а именно сформулировать
их в виде операторных уравнений
Au = f,	и eV, feV*,
с оператором А, действующим из рефлексивного банахова про-
странства V в сопряженное пространство У*.
Параграф разделен на три пункта. В п. 1 описывается прин-
ципиальная связь между краевыми задачами для эллиптических
52 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
дифференциальных уравнений и соответствующими оператор-
ными уравнениями. В пп. 2 и 3 мы входим в подробности этой
связи для конкретных классов краевых задач. Мы начинаем
с краевых задач для уравнения второго порядка (п. 2), а затем
обсуждаем задачи более высоких порядков и задачи для систем
эллиптических уравнений (п. 3).
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ	’
Ниже G обозначает ограниченную область в Rn, граница Г
которой регулярна в смысле определения 1.17 (см. замеча-
ние 1.11). Мы рассматриваем краевую задачу
п
viec, «|г=о (2.t)
i, 1-1	1	1	'
или, более общим образом, задачу
Eu = f, u<=D(E)	(2.2)	
с дифференциальным оператором	Е, определяемым формулой	?
(Еи)(х) — £	VxeG,	1
1а|</	I
где	у
а = (ai,..., an)— мультииндекс, т. е. вектор с неотрицатель-
п
ными целочисленными компонентами, | а | = У, аг;
<-1......
. .	I
w = {De«} — это r-мерный вектор всех производных от и до I
1-го порядка включительно;
аа	— некоторая заданная функция на G X RT>
f	— некоторая заданная функция на G;
D(E) — область определения дифференциального опе-
ратора Е, т. е. некоторое подмножество так называемой есте- к
ственной области определения M(E)=C2/(G) оператора Е, I
определяемое, как правило, при помощи краевых условий. |
(В примере (2.1) D(E) = {«|« е C2(G), и\г = 0}.)
Замечание 2.1. Чтобы обеспечить выполнимость всех встре-
чающихся в (2.2) дифференцирований, потребуем, пока как это	<
принято в классической теории, чтобы функции ал были I раз	I
непрерывно дифференцируемыми на GX/?r. Правую часть f	|
соответственно предполагаем непрерывной на G. Функциональ-	I
но-аналитическая формулировка краевой задачи (2.2), которую	I
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
63
мы дадим ниже, позволит в значительной степени ослабить эти
требования.
Разрешимость классической задачи (2.2) существенно зави-
сит от гладкости границы Г и от свойств регулярности функций
аа и f, к которым, вообще говоря, предъявляются еще более вы-
сокие требования, чем указанные в замечании 2.1. Кроме того,
функции аа должны удовлетворять так называемому условию
эллиптичности и некоторым условиям на рост. При доказатель-
стве теорем существования классических решений используется
довольно сложная и специальная техника, своя для разных
частных случаев краевых задач.
Ниже мы подходящим образом расширим классические диф-
ференциальные операторы и, таким образом, перейдем от клас-
сических постановок краевых задач вида (2.2) к соответствую-
щим функционально-аналитическим постановкам. При этом ока-
зывается, что в этой расширенной постановке при естественных
предположениях относительно функций аа и f краевые задачи
допускают изучение при помощи простых средств. В частности,
можно дать эффективный метод построения приближенных ре-
шений.
Подходящая функционально-аналитическая постановка для
краевой задачи вида (2.2) — это, как показывает опыт, оператор-
ное уравнение
с оператором А, действующим из рефлексивного банахова про-
странства V в сопряженное пространство V*. Оператор А при
этом можно рассматривать (в некотором в дальнейшем уточняе-
мом смысле) как расширение дифференциального оператора Е.
Типичный оператор А представляется в виде
Л = ГЛ0Ь,
где L — непрерывный линейный оператор, действующий из V
в какое-то другое банахово пространство У; Лое(У->У*)—
возможно) нелинейный оператор; £*е(У*->-У*)— сопряжен-
ный к L оператор.
В пп. 2 и 3 мы указываем для ряда конкретных дифферен-
циальных операторов их расширения. Для лучшего понимания
последующих определений и для того, чтобы сделать более на-
глядной тесную связь между дифференциальными операторами
и их расширениями, мы уже сейчас, несколько предвосхищая
события, приведем для оператора
п
Е----£	^)(£) = {«l«sC2(G), «1г = 0},
«, /-1 1 4
54 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
однородной задачи Дирихле (2.1) реализации пространств И
и У, а также операторы L и Ло, о которых шла речь выше:
V = #o(G), y = L2n(G) = r;
L = grad, L* = — div;
( n n
у -* ( £	• • • ’ £ U J •	У = {уI..Уп}s Ln (°)-
(Операторы grad и div имеют здесь, в общем, обычный смысл,
“ л
т. е. gradu = {^-.....для uetfJ(G) и divz=£-^
/=1 1
для дифференцируемых вектор-функций zeLn(G).)
Этот пример, который позже будет должным образом уточ-
нен, уже обнаруживает два решающих момента, которые, как
мы увидим, характеризуют общую связь между дифференциаль-
ными операторами и их расширениями:
1.	Свойства «коэффициентов» аа дифференциального опера-
тора Е, представляющих, как правило, материальные характе-
ристики описываемой при помощи (2.2) физической системы
(упругость, вязкость, теплопроводность и т. п.), определяют ба-
нахово пространство У и свойства оператора Ло (линейность
или, соответственно, вид нелинейности, непрерывность, симмет-
ричность, монотонность и пр.). Последние переносятся и на опе-
ратор А.
2.	Пространство V в основном определяется областью опре-
деления D(E). (Для дифференциального оператора Е порядка
2/ пространством V, как правило, служит замыкание множества
D(f) в некотором соболевском пространстве TP-p(G). Показа-
тель р зависит от свойств роста функций ав.) После выбора про-
странств V и У оператор L получается естественным образом.
В приводимом далее определении упомянутого выше понятия
расширения оператора используются следующие обозначения,
которых мы будем придерживаться до конца параграфа:
|| • || — норма в V,
II • II» — норма в V*,
|| • Цо — норма в У,
II • Но» — норма в У*,
— скалярное произведение между пространствами Y*
и У.
Индекс 0 подчеркивает тесную связь между оператором Ло
и пространством У. Пространство V будет всегда непрерывно
и плотно вложено в некоторое гильбертово пространство Н. Это
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
55
последнее мы рассматриваем как подпространство в V* в смысле
§ 6 гл. I и поэтому обозначаем скалярное произведение между
V* и V так же, как скалярное произведение в Н, т. е. че-
рез (•,•).
Определение 2.1. Оператор А вида
A = L*AqL
называется энергетическим расширением оператора Е (с есте-
ственной областью определения М(Е), с областью определения
D(E) и с областью значений R(E)), если выполнены следую-
щие условия:
а) Ао есть деминепрерывное отображение некоторого бана-
хова пространства У в его сопряженное У*;
b)_ L есть линейное отображение некоторого рефлексивного
банахова пространства V в У, такое, что
II Lu llo = II u ||	VueV;
с) V плотно и непрерывно вложено в некоторое гильбертово
пространство Н\ далее, D(E)cz V, R(E)czH и имеет место ра-
венство
Аи =•= Ей Vu е D (Е)
(как равенство в V*);
d) {u|и €=М(Е)ПV, Aut=H} = D(E).
Следующие замечания служат пояснением и оправданием
этого определения.
Замечание 2.2. Термин «энергетическое» расширение выбран
по той причине, что выражение (A0Lft, Lftjo часто можно интер-
претировать как энергию.
Замечание 2.3. Можно было бы ввести несколько более об-
щее понятие расширения оператора, скажем, называть демине-
прерывный оператор Ае(У->У*) расширением оператора Е,
если выполняются лишь условия с) и d) определения 2.1. Мы
отказываемся от этого, поскольку, с одной стороны, представле-
ние А — L*A0L является типичным для расширений, а с другой
стороны, в гл. III мы будем его существенно использовать.
Замечание 2.4. Если, в частности, У — гильбертово простран-
ство и У = У*, то из условия Ь) следует, что L*Le(V-*V*)
есть дуализующее отображение I для пространства V.
Лемма 2.1. Пусть оператор Ae(V->V*) — энергетическое
расширение оператора Е и f <= Н — некоторый заданный эле-
мент. Элемент иеМ(Е) является решением краевой задачи
56 Гл. П. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
(2.2) точно в том случае, когда и представляет собой решение
операторного уравнения Au = f.
Доказательство. Если и является решением задачи (2.2), то
и е D(E) и, в силу условия с), А и = Ей = f.
Обратно, если Au = f, то вследствие включения также
и Аи еН. Ввиду условия d) отсюда вытекает, что и е D (Е),
а значит, в силу с), Ей = Au = f. Лемма доказана.
Уже многократно говорилось о «функционально-аналитиче-
ской формулировке» классической краевой задачи. На основа-
нии леммы 2.1 мы можем теперь уточнить смысл этих слов. Опе-
раторное уравнение Au = f мы называем функционально-анали-
тической формулировкой данной краевой задачи Еи = f, «е
eD(E), если оператор А является энергетическим расширением
оператора Е.
Замечание 2.5. Мы выбрали в качестве исходного пункта
наших рассуждений классическую краевую задачу по той при-
чине, что она хорошо знакома читателю. При таком образе дей-
ствий нам приходится, однако, мириться со следующим недо-
статком. Ради классической формулировки краевой задачи мы
не только ограничиваем себя соответствующим понятием реше-
ния, а сверх того налагаем требования на правую часть, коэф-
фициенты, границу области и граничные значения, которые
нужны лишь для того, чтобы обеспечить эквивалентность наших
двух формулировок задачи, а именно для проверки условий с)
и d) (см. лемму 2.1). Короче говоря, имеются важные краевые
задачи, которые можно непосредственно формулировать как
операторное уравнение Au = f, но которые не допускают ника-
кой осмысленной классической интерпретации. Типичным при-
мером может служить краевая задача вида (2.2), если
отказаться от указанных в замечании 2.1 предположений о
гладкости функций аа. В дальнейшем по ходу дела, приводя
функционально-аналитическую формулировку для той или иной
классической краевой задачи, мы будем указывать, как можно
ослабить предположения, принятые с учетом классической фор-
мулировки и упомянутой эквивалентности, таким образом,
чтобы условия а) и Ь) все еще выполнялись.
В рассматриваемых далее примерах в качестве банахова про-
странства У, как правило, будет рассматриваться декартово
произведение
L?(G) = LP(G)X ... XLP(G)
с нормой
, гт ..р/г к up
II у Но = (j уу dxJ > У = {У\.........Уг}>
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
57
а в качестве оператора Ло— оператор Немьщкого, т. е. оператор,
действующий по правилу
(Лог/) (х) = {й1 (х, у (х)),..., аг (х, у (х))} VxeG, У/у @ Y « L? (G).
(2.3)
Приводимая ниже лемма дает условия на вектор {ai,...,ат}, до-
статочные для деминепрерывности оператора Ло (условие а)).
Лемма 2.2. Пусть для функций (»= 1,...,г), определен-
ных на G X выполняются следующие условия:
для почти всех х е G функции g -* at (х, g) непрерывны на Rr\
для каждого ge/?r функции х->а4(х, g) измеримы;
для всех £ = {gi,..., gr} е Rr и для почти всех х е G имеет
место неравенство
|а*(х,1)1<с(«(х) + Д|£/Т’)> Р>!’
где с = const, g^Lq (G),	+ -1 = 1.
Тогда оператор Немыцкого Ло, заданный формулой (2.3), пе-
реводит ограниченные множества пространства У»=£?(О)
в ограниченные множества пространства Y* = Lq(G) и как опе-
ратор из У в У* деминепрерывен.
Доказательство. Прежде всего покажем, что Аоу е У* для
любого i/еУ. Для этого достаточно показать, что «<(•,£/(•) )е
eL’(G) для i= 1, ..., г. В силу наложенных на требований
измеримости и непрерывности, функции сц(’,у(’)) являются из-
меримыми. Далее, согласно неравенству Гёльдера,
I (х, у (х)) |’ <
Z	г	\Я /	г
<с’(|£(х)1+£^/(х)Г^ <c1(|g(x)f + /g|!//(x)|p
где Ci — константа, не зависящая от у. Следовательно, функция
|а< (•,#(•))!’ имеет интегрируемую по Лебегу мажоранту. От-
сюда вытекает, что а<(.,^(.))еL«(G) и тем самым Лог/еУ*.
Из только что доказанного неравенства получаем также
II Айу ||о, < Д’ = const для || у ||о <	= const,
т. е. Ло переводит ограниченные множества из У в ограниченные
множества из У*.
Докажем деминепрерывность оператора Л©. Пусть (t/n) с: У —
такая последовательность, что || уп — у Но -* 0. По уже доказан-
ному, множество {Ло#,,} ограничено и, значит, слабо компактно.
Поэтому, в силу леммы 5.4 гл. I, достаточно показать, что
58 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
Ло^-^До!/ Для каждой слабо сходящейся подпоследовательно-
сти последовательности {До«/п}- Пусть z — слабый предел такой
подпоследовательности	По лемме 1.18 существует под-
последовательность последовательности {уПк}, сходящаяся
к у почти всюду в G. Вследствие непрерывности функций
{х, -> at (х, 5), i=l....г, по имеем AoVj-^A^y почти
всюду в G. С другой стороны, {AoVj} как подпоследовательность
последовательности	слабо сходится к z. В силу
леммы 1.19 отсюда следует, что Aoy = z, т. е. АйуПк^-Айу в F*.
Лемма доказана.
2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Краевая задача (2.1). Осуществление своего замысла — дать
функционально-аналитическую формулировку краевых задач —
мы начнем с простейшего примера однородной краевой задачи
Дирихле (2.1) с постоянными коэффициентами ац. Мы хотим
построить энергетическое расширение для оператора
п
i,1-1	‘	'
с M(E)=C2(Q), D(E) = {м|аеЛ1(Е),и|г = 0}. Формальное
сходство структуры оператора Е и структуры оператора А =
= L*AqL подсказывает нам естественный путь. Положим
V = Ho(G); H = I?(G)-t	Y = Ln(G)-,	(2.4)
L: H->gradtt;
f rt	ft 1	(2.5)
Ao- У -* | E ацУ/...anly{ J , у = {yx........yn}.
Пространства V и Y наделяются соответственно нормами
2	!
И«И = ( $ I grad«pdxj\ где | gradu|2 = £(^-J,
И	ч
Покажем, что при этом выполняются условия а) — d).	I
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
59
а)	Согласно неравенству Шварца,
п ✓ п	\ 2
J dx<
Q / = 1 Х/=.1	/
п / п п \	п
’С У*,( X, ди У*, У2 )^х = X а?/Ч^"о»
a i-i	i-i ' i, i-i
т. е. линейный оператор Лое(У-*У*) ограничен и, следова-
тельно, непрерывен, а значит, и деминепрерывен.
Ь)	Оператор Ае(У->У), очевидно, линеен. Вследствие опре-
деления норм в V и У
II Lu Но = || ы|| VueV.
с)	Ясно, что D (Е) с V с Я и R (Е) <=.Н. Множество беско-
нечно дифференцируемых финитных функций плотно в Н =
= L2(G) (лемма 1.20). Следовательно, V также плотно в Н. На
основании неравенства Фридрихса (лемма 1.26) оператор вло-
жения V в Н непрерывен. Остается показать, что Аи = Ей для
каждого аеО(Е). Согласно определению, сопряженный к L
оператор L*е(У*-*У*) для heV и геУ’ удовлетворяет со-
отношению (L*z, ft) = (z, Lh)0- Используя формулу Стокса, на-
ходим, что для векторной функции геУ*с divzeC(G) и для
функции h е С“ (G)
(L*z, Л) = (z, Lft)o ~ § X z‘ dx = $ X zicos (v, *<) hda —
a i-i 1 г z-i
— (div z) ft dx = — J (div z) ft dx = (— div z, ft),
о	о
где v — внешняя нормаль к Г. Так как C"(G) плотно в V, то
отсюда следует, что
L*z =- div z.	(2.6)
Из этого представления оператора L*, справедливого для доста-
точно гладких векторных функций z е У*, вытекает, что для
ие=Я(Е)
Аи = Ей.
d)	В силу замечания 1.13 и следствия из замечания 1.16,
D (Е) = М (Е) П V.
вО Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
Замечание 2.6. Только что построенное энергетическое рас-
ширение А оператора Е получается, если формально написать
п
- Z	---div Ло grad
t, /-i	‘	1 z
и при этом производные понимать в смысле пространства рас-
пределений S)*(G). Эта прямая связь между Е и А имеет,
правда, место только для случая краевых условий Дирихле.
Замечание 2.7. В гл. III мы будем исследовать операторные
уравнения вида Аи =» f. При этом будет достаточно наклады-
вать дополнительные сверх условий а) и Ь) ограничения лишь
на оператор Ло. Ограничения такого рода можно выводить непо-
средственно из соответствующих свойств коэффициентов ац
оператора Е. Пусть, например, матрица коэффициентов (а^)
дифференциального оператора из (2.1) симметрична и неотри-
цательна, т. е.	;
п	'
«</ = «/< и	d/®/?1, i,/«1, ...,п.
Тогда, очевидно, оператор Ло также обладает этими свой-
ствами, т. е.
(Л0о), z)o = (Лог, w)0 и <Лоа», w)0 >0, ш, г е У.
То же самое имеет место и для оператора Л, поскольку
(Аи, v)=(L*AoLu, v)=(A0Lu, Lv)0=(A0Lv, Lu)0=(L*A0Lv,u)=(Av,u)
и
(Au, и) = (L*A0Lu, и) = (A0Lu, Lu)00 Vu, Vc g 7.
На оператор А переносится с оператора Ло и свойство линей- i
ности.
При условиях а) и Ь), а также дополнительных предположе-
ниях линейности, неотрицательности и симметричности опера-
тора Ло имеет место следующее утверждение (см. следствие 4.2
гл. III): задача решения уравнения Ли = f эквивалентна задаче
минимизации
F (и) = min F (о),
oaV
F(v) = (Av, v) — 2(f, о) Vo eV.	(2.7)
Этот факт позволяет дать «физическое» оправдание нашей I
функционально-аналитической формулировки краевой задачи. ’
Именно, заметим, что задача (2.1) часто возникает при матема-
тическом описании различных задач физики. В качестве приме-
ров назовем задачу отыскания положения равновесия натянутой
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
61
упругой мембраны под действием нагрузки, представленной
правой частью f, и задачу (стационарного) распределения тепла
в теле со (стационарными) источниками тепла, представлен-
ными функцией f. Функционал F, заданный формулой (2.7), ста-
вит в соответствие каждому возможному состоянию системы,
описываемой посредством (2.1) (прогибу мембраны, распреде-
лению температуры), отвечающее ему значение энергии. Таким
образом, решение уравнения Аи = f можно охарактеризовать
как состояние с минимальной энергией (которое поэтому и реа-
лизуется в действительности). Вообще говоря, функционал F
не принимает на D(E) своего минимального значения. Наконец,
заметим, что для механических систем функционально-аналити-
ческую формулировку Аи = f краевой задачи можно получить,
используя принцип виртуальных перемещений.
Однородные краевые задачи Дирихле. Только что проведен-
ные рассмотрения для задачи (2.1) мы распространим теперь
на случай краевой задачи Дирихле вида
п
Eu==~YJ~^Tai^х’	+ а»+>
1-1	1	(2.8)
.....“eD®>
cM(E)=C2(G) и D(E)= {и|иеМ(Е),ы|г = 0). Будем пред-
полагать, что функции сц, i= 1, ..., n-f-1, удовлетворяют для
некоторого р 2 условиям леммы 2.2. Покажем, что если по-
ложить
V = WJ’ р (G);	Н = £2 (G); Y - Lpn+l (G);
L:	“}’ Л°!	........ая+1 (х, {/)};
IIи|| = 0 (| grad и f + iF)pl2 dx^
7Ж \р/2	\ 1/р
«=( ПЛ
'О N-1
то оператор А = L*A0L будет энергетическим расширением диф-
ференциального оператора Е из (2.8).
а)	Это условие идентично последнему утверждению лем-
мы 2.2.
Ь)	Оператор Le(V-> У), очевидно, линеен. В силу определе-
ния норм в V и У, для каждого и е V имеем || Lu ||0 = II и ||.
с)	Ясно, что D (Е) с: V сг Н и R (Е) с: Н. Далее, V непрерывно
и плотно вложено в Н (см. лемму 1.20). Используя формулу
62 Гл. II. Фунвдионалыю-аналитическая формулировка краевых задач
Стокса, находим, что для uе D(£) и hе С”(G)
(Ли, Л)  (£*Ло£и, Л) = {AqLu, Lh)0 —
= S ( S а< + а«+1 ^х’ h ) dx =
о 'м	1	'
п
— at (х, w) cos (v, xt) hda +
Г 4-1
✓ n
+ H ~ Ет^*’®) + ^®ИА4*и
a '	i-1	1
= ^ £u • hdx.
a
Отсюда, ввиду плотности C" (G) в V, следует, что
Аи — Ей	Vu е D (Е).
d)	В силу замечания 1.13 и следствия из замечания 1.16
имеет место равенство D(E) = М(Е) П V.
Замечание 2.8. Как и при доказательстве условия с), мы в со-
ответствующих местах будем еще не раз молчаливо использо-
вать сформулированные в замечании 2.1 общие предположения
о гладкости функций аа. Однако условия а) и Ь), играющие ре-
шающую роль при нашем дальнейшем изучении уравнения
Au — f, остаются справедливыми, если от этих предположений
отказаться, подчинив функции аа лишь требованиям леммы 2.2.
За	мечание 2.9. Легко убедиться в том, что для непрерывно
дифференцируемых вектор-функций ге У’ имеет место пред-
ставление
/-1 1
Замечание 2.10. В частном случае at = at (х,	.....
/=1......п, а„+1 = 0 при построении энергетического расши-
рения оператора Е оказывается более целесообразным положить
I7^ri'p(G), H = L*(G), Y = Lpn(G)\
L: и-> grad и, Л: у -> {cti (х, у).ап (х, у)}-,
/	/ П \р/2	\ 1/р
||«|| = 0|gradM|/’dxJ/'’, Ну11о = (^	dx) *
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
63
(В силу неравенства Фридрихса две указанные нормы на
V — Wo р (G) эквивалентны.)
Неоднородные краевые задачи Дирихле. До сих пор мы
рассматривали только однородные краевые задачи Дирихле.
Покажем теперь, как можно неоднородные задачи Дирихле
вида
п
£«= — /, at (*» w) + art+i (х, w) = f,
i=1 1	(2.9)
( дй	дй _)	’
=	....ы|г = (Р»
сводить к соответствующим задачам (2.8). Для этого прежде
всего предположим (см., однако, замечание 2.11), что у задан-
ной на Г функции <р существует продолжение Ui&C2(G). При
помощи замены
й = «1 + «
неоднородная задача (2.9) сводится к следующей однородной
задаче Дирихле относительно и:
EtU = E(ui 4-tz) = f, «eD(£i) = {«|ueC2(G), и|г = 0).
Очевидно, что мы получим энергетическое расширение А опе-
ратора Е\, если зададим оператор Ло правилом
y-^{ai(x, wi + y), ...,an+1(x,wi + y)},	=	-^.«i}.
a V, H, Y, L выберем так же, как и в однородной задаче (2.8).
Замечание 2.11. Предположение о существовании функции
ujeMfE), удовлетворяющей условию «1|г=ф, понадобилось
для того, чтобы обеспечить выполнимость классического диффе-
ренцирования at (х, Wt 4- w) и тем самым выполнение усло-
вия с). С точки зрения функционально-аналитической формули-
ровки (см. замечание 2.5) рассматриваемой краевой задачи
достаточно, однако, потребовать существования функции е
совпадающей на Г с ф в смысле замечания 1.16.
Для этого согласно лемме 1.35 достаточно потребовать, чтобы
феИ?1. р(Г), поскольку G принадлежит классу С1-1.
Предположение о том, что G есть область класса С1- *, мы
будем использовать и далее, не оговаривая этого специально,
при проверке условия d) для последующих краевых задач вто-
рого порядка.
64 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
I
Однородные краевые задачи Неймана. Рассмотрим задачу f
Неймана
Eu = -^-^-at(x,w) = f, w = grain, u<=D(E), (2.10)
1-1	1
c M(E)==C2(G), D(E) = .[u|mg=M(E), ( udx = 0, ~ = ol,
I	a	E )
n	|
где =	(x, w) cos (v, xt) |г. Мы снова предполагаем, что i
функции at для некоторого p > 2 удовлетворяют предположе-
ниям леммы 2.2. Чтобы получить энергетическое расширение
оператора Е, фигурирующего в (2.10), полагаем
ye|«|«eFbp(G), Judx = o|, || и || = 0 | grad и |' dxj"•»	‘
H — fu\u<=L2(G), J«dx = o|, y = L„(G)j	I
I	G )	I
£: «-> grad и, у -> {a, (x, y)..an (x, y)}.	|
(Введенная норма на V в силу неравенства Пуанкаре (см. за- ‘
мечание 1.17) эквивалентна	p(G) -норме на V.) Проверим |
выполнение условий а)—d).	|
а)	Это условие имеет место в силу леммы 2.2.
Ь)	Оператор Ае(У-*У), очевидно, линеен. По определе- 4
нию норм в V и У имеем || Lu ||0 = II ы II для каждого и е V. ‘
с)	Ясно, что D (Е) az V cz Н, и так как	j
Ей dx =
о	а
Ем - ldx = - (^-do = 0,
1 /ТМ	9
то R(E)czE. Вложение V в Я, ввиду отмеченной выше эквива-
лентности только что введенной нормы и IF1-₽(G)-нормы на V,
является непрерывным. Покажем, что V плотно в Я. Мы дока-
жем даже, что множество УПСо(О) плотно в Я (это понадо-
бится нам при проверке условия d)). Итак, пусть h^H. По-
скольку Co(G) плотно в L2(G), то существует последователь-
ность {оп} cz Со (G), такая, что || vn — h ||£, -> 0. Выберем <р <= С20 (G)
§ 2. Краевые задачи как операторные уравйейия
65
таким образом, чтобы j <pdx = 1. Тогда для последовательности
а
{hn} с: V П Со (G), где hn = vn — <p vn dx, имеем
о
hdx
а
< (1 + II <Р ||Р Vmes (G) ) || vn — h ||L, -> 0.
Следовательно, УПСо(О), а значит и V, плотно в Н. Наконец,
применяя формулу Стокса, находим, что для и е D {Е) и
/ге V 0 C‘(G)
п
{Аи, h) = {L*A^Lu, Л) = <До£и, ЬК)й = ( У аг (х, w) dx =
J	ОХ •
Q /»1	1
п
= \-^hda~ $ £-^-M*,w)Adx =
г Е	а /«1	1
п
= —	а{ {х, w)hdx — Ей • h dx.
О i=l 1	G
Применяя лемму 1.30, получаем, что Аи = Ей для иеО(£),
d) Пусть «еМ(£)0 V и Л«еЯ. Как следует из только что
доказанного, для всех h s V П С1 (G)
( {Ей — Аи) h dx + (	hdc — Q.
а	г Е
В частности, для h е V П Со (G)
{Ей — Аи) hdx = 0.
а
Как было доказано в с), множество V QC§(G) плотно в Н. По-
этому
{Ей — Аи)hdx —0
а
откуда
\^-hda = 0 VAeV.
г Е
Следовательно, -^- = 0, т. е. ueD{E). (Последнее заклю-
чение получается следующим образом. В силу леммы 1.35
3 X. Гаевский и др.
66 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
(
существует продолжение h\ е Wl> ?(G) определенной на Г функ-
ди
нии^-. Пусть h2^Wl-P(O)—любая финитная функция на О,
такая, что h2dx = ( h\ dx. Тогда h = h\ — h2& V и ft|r —	I
a	о	B
а значит,
de = 5 TT~hdo = °-
i\dvEJ J dvE
Отсюда, как утверждалось, вытекает, что	— 0.)
Замечание 2.12. Предположение наложенное в лем- *
ме 2.1 на правую часть f, является обобщением классического
условия = O разрешимости задачи Неймана.
а	।
Замечание 2.13. На функции и е V заранее никаких краевых 1
условий не накладывалось. Однако при проверке условия d)
обнаружилось, что всякое решение уравнения Аи = f,
принадлежащее М(Е), автоматически удовлетворяет так назы-
ди л
ваемому естественному краевому условию = 0.
Е
Замечание 2.14. Используя метод, совершенно аналогичный '
примененному для задачи Дирихле, можно и для задачи Ней-
мана (и для обсуждаемых далее смешанных задач) рассмотреть
случай
п
Ей = — X а‘ + а«+>	I
1-1 1 . 4
Неоднородные задачи Неймана. Рассмотрим соответствую-
щую задаче (2.10) неоднородную задачу Неймана, которую за-
пишем в виде
EfU = 0, и D (Ef),
где
п	I
Е{и = Еи — f = — X	—
f=l 1
M.(Ef) — C2(G), D(Ef) = fu\uG=M(Ef), \udx=0,=	<
I	а	E )	*
Будем предполагать, что функция <р принадлежит IF1’? (Г) и не-
прерывна на Г (см. замечание 2.15). Для того чтобы наша за-
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
67
дача имела решение, очевидно, необходимо, чтобы
J Ф da 4- J f dx — О,
г о
и мы примем, что это условие выполнено. Для получения энер-
гетического расширения оператора Ef возьмем V, Н, Y и L
такие же, как и в случае однородной задачи Неймана. Несколько
по-другому нужно будет определить лишь оператор До.
Прежде всего определим на (линейном) множестве значений
оператора L^(V-*Y) линейный функционал go формулой
go (Lh) = J фЛ da + fh dx V.
г	a
Так как || h || = || Lh ||0 и ф е Д'7 (Г)	= 1), то согласно
лемме 1.32 функционал go непрерывен. Пусть ge Y* — его про-
должение на все пространство У, существующее по теореме
Хана — Банаха. Положим
До: У~* {«1 (•, У).ап(-, у)} — g.
а), Ь) Эти условия выполняются в силу принятых определе-
ний, что проверяется так же, как и в случае однородной задачи.
с) Нам нужно лишь показать, что R(E/)cr/7 и Au = Efii
для ugD(E/). Имеем
EfU dx = (Ей — f)dx = — da — f dx =
а	а	г Б	о
= — |^ф</а+ <ъЛ = 0.
\г а /
Применяя_формулу Стокса, находим, что для heD(E) и fte
еУЛСЧС)
(Ди, h) = (A0Lu, Lh)0 =
at (x, w) ----fhldx — \<phda —
* z г
•^-аг(х, w) + f)hdx
= Eu • h dx,
a
t. e. Au = EfU для «eD(Ff),
8*
68 Гл. И. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
d) Пусть и еМ(£) П V и Аи е Н. Из только что доказанного
вытекает соотношение
(EfU - Аи, h) +	— <p)ftdo = 0 VAeVnC'(G).
р Е '
Как и в случае однородной задачи, используя тот факт, что
Е^и — Аи^Н, устанавливаем, что
^(Efu —Au)hdx — 0 Vh<=H.
G
Отсюда следует, что J -------<p)ftdcF = O для каждого h^V
ди
и, значит, = <р.
j?
Замечание 2.15. Требование, чтобы функция <р принадлежала
IF1-р (Г) и была непрерывной на Г, нужно лишь в связи с клас-
сической формулировкой рассматриваемой неоднородной задачи
Неймана, а именно для того, чтобы обеспечить выполнение ус-
ловия d). При функционально-аналитической формулировке,
очевидно, достаточно потребовать, чтобы <ре£?(Г) (—+ — = 1).
Однородные смешанные задачи. Пусть граница Г области Q
допускает представление в виде
г = Г1иг2иг3, Г4ПГ/=0, 1^!, /,/=1,2,3,
причем множества измеримы относительно поверхностной
меры On—1 на Г. Далее, пусть on-i (Л П Г2) > 0 и Г1 замкнуто
в Г.
Рассмотрим смешанную краевую задачу
п
Eu = -^j-^-ai(x,w) = f, w = grad и, ueD(E), (2.11)
i-i 1
с
M(£) = C2(G),
D(E) = lu\ue=M(E}, и|г =0, (W"2« + ^r-)| =0.
(	'	я/1г,
-X =ol.
dve lr, J
Пусть задано p 2. Будем считать, что функции при этом р
удовлетворяют предположениям леммы 2.2. Для получения энер-
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
69
гетического расширения оператора Е положим
|/ = {u|u<=1F‘>p(G), и|г, = 0},
II«II = М I grad и |р dx + | и |р do\llP;
\О	Гг	/
H=L2(G), r=LS(G)XLp(r2), r*=U(G)X^(r2)(j + | = l);
т (ди	ди )
• Ы { дхГ > • • • > дхп ’	’
Ло: {У, ф} -* Ui (*, У).ап (х, У), IФ fM,
где уи обозначает сужение функции и е V на Г2. Согласно
лемме 1.32, уе(И—►Лр(Г2)). Проверим выполнение условий
a)-d).
а)	Это условие выполняется в силу леммы 2.2.
Ь)	Очевидно, оператор Lg(V-♦ У) линеен и
|| Lu ||о = I grad и |р dx + I уи |р da = || и ||р Уи е V.
о	г,
с)	Прежде всего D(E)c: V cz Н и R(E)cz И. Далее, V плотно
в Н, и в силу неравенства Фридрихса (лемма 1.36) вложение V
в Н непрерывно. Остается доказать, что Аи = Ей для «е D(£).
Применяя формулу Стокса, находим, что для и е D (Е) и
Йе УЛС'(С)
(Ли, й) = (L*AqLu, й) = (Л0£и, Ьй)0 =
= at (х, w) dx + | и |р-2 uh da =
О i=l	' Г,
= ( hda —	at (х, w) h dx + | и |р 2 uh da =
Г, Е	О i-l 1	г,
п
= —	at (х, w)hdx= Ей • й dx‘,
о /-1	1	а
следовательно, Аи — Ей для и е D (£).
d)	Пусть ueM(£)f) V и ЛаеН. Тогда и|г ==0. Восполь-
зуемся доказанным в п. с) соотношением
\(.Eu-Au)hdx+ \(\u\p-2u + -^-)hdo+ \ -^-hdo = 0
о	г,	Е' г, в
Vh<=V f]C2(G).
70 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
Как и в задаче Неймана, отсюда следует, что
$ (|«r2 и + -£-)hda + \-£-hdo = 0 Vh<=V.
г,	Е/ г, б
Вследствие произвольности выбора h получаем
т. е, ue D(E).
Неоднородные смешанные краевые задачи. Рассмотрим не-
однородную смешанную краевую задачу, соответствующую за-
даче (2.11):
п
Ей = — ^ а( (х, w) — f, w — grad й,
/-1 1
- ।	Л - ip-2 - , дй \ I	дй I
«1Г, = Ф1>	(1«Г М+д7") =Ф2, — = Фз-
>	Е J । Г>	£ 1Гз
Снова будем считать, что функции а< для некоторого заданного
р 2 удовлетворяют требованиям леммы 2.2. Предположим,
что существует функция «ieC2(G), такая, что «11г, = Фь
«11г = 0 (ср. с методом, примененным для неоднородной за-
дачи Дирихле). Пусть, далее, для i=2,3 функции ф< е F*»Р(Г<)
и непрерывны на Г<. При помощи замены й = Ui + и наша за-
дача сводится к задаче
Eiu = Е («1 + и) = f, и е D (£0,
M(E1) = C2(G),
D(^i) = |«l«sAf(£1), «1Г,
(2.12)
|р-2 I д (U1 + и) \ I _
1 и' dv Л
в / 'г,
_ д («1 4- и) |	_ 1
— ф2’	— Фз>-
в 1г. J
Для получения функционально-аналитической формулировки
поступаем так же, как и в случае однородной смешанной задачи,
с той лишь разницей, что теперь полагаем
А>: {У, ф}->{«1(- , ®i + y), •••, ап(•, ПУ) + у),
1ф|р-2ф} — g, ah = grad «].
Здесь g^Y* — продолжение на все пространство У линейного
непрерывного функционала, определенного на R(L) формулой
Lh -» ф2Л do + ф3Л do Vh е V.
г,	г,
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
71
а), Ь) Эти условия справедливы по-прежнему.
с) Очевидно, что D(£i)czV cz Н и V непрерывно и плотно
вложено в Н. Далее, R(Ei)czH. Применяя формулу Стокса, на-
ходим, что для и е D(£i) и h е V П Ci (G)
(Аи, h) = (A0Lu, Lk)0 —
п
= J w)-^-dx + lulP~2uhda — ( q^hda — ( q^hda—
a i-i	1 г,	г,	г,
п
= S ^j^-hda-	w)dx +
г,иг3 b	Q /=1 *
+ ^[ulP~2uhda— <р2Л— ^<Гз/гг/<т =
Гг	Г 2	Гз
- so“-"”)hd°+S -Ч"“°+
г,	в ' г, в '
+ j Е\и • hdx = ( EiU ♦ h dx.
a	a
Следовательно, Au = E\U для и e D(£i).	_
d) Пусть аеМ(£)П1'' и ЛиеЯ. Так как Co(G) плотно
в Н = L2(G), то прежде всего, в силу с),
(Аи — Etu)hdx = 0 VheH,
о
откуда при любом h е V
^(|„г„ + ^>_^М(,+ 5(2<^)_ф1)Л,г<г = 0.
Вследствие произвольности выбора h отсюда вытекает, что
hgD(£i).
Замечание 2.16. Данная выше функционально-аналитическая
формулировка краевой задачи (2.12) сохраняет смысл, если
требовать лишь выполнения условий: ф<е£«(Г1), i = 2, 3;
Ut^Wl'p(G), Ы1|г =<рь «!|Г2 = 0.
з. краевые задачи для уравнении
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
Уравнения высших порядков. Теперь наша цель — сформу-
лировать в виде операторных уравнений краевые задачи для
уравнений высших порядков. Ради простоты ограничимся задачей
72 Гл. П. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
Дирихле для области G класса С1<*. В обозначениях, введенных
в начале параграфа, рассмотрим краевую задачу
Еи = У (-ir’DXfoaO — A ueD(E), w = {Dau}
I а|</
С
M(E) = C2'(G), D(E) = {u\uf=M(E), D°w|r = o, |a|</-l}.
Будем считать, что функции аа при некотором р 2 удовлетво-
ряют предположениям леммы 2.2, и положим
V = Wlop(G), H = L2(G), Y — LP(G)',
L: и{Dau}, До: У (х, у)}.
Тогда, как мы сейчас покажем, выполняются условия а)—d).
а)	Это условие следует из леммы 2.2.
Ь)	Оператор L линеен. По определению норм в V и У
II Lu ||о = ( U £ (D°«)2Y/2dx\'IP = ||«||	V« е Woр (G) = V.
\Q \|al<Z /	/
с)	Очевидно, что D (E) czV a: H и R (£) с H. Вложение V
в H плотно и в силу неравенства Фридрихса непрерывно. При-
меняя формулу Стокса, находим, что для всех ueD(E)
и й е= V П С1 (6)
(Аи, h) — (L*A0Lu, h) — {A0Lu, Лй)0 —
= $ aa(x,w)Dahdx =	£ (— l)[aiDaaa(x,w)-hdx=*
Q |a|<Z	0 lal<Z
= Eu • h dx.
о
Следовательно, Au = Ей для и e D (E).
d)	В силу следствия из замечания 1.16 и леммы 1.34 имеем
О(Е) = М(Е)П V.
Скажем несколько слов о том, как быть с неоднородными
задачами Дирихле. Рассмотрим задачу
Eii = f, й s {и | и е С21 (G), Dau |г = <pa, | a |	— 1}
и предположим, что существует функция u\^C2l(G), такая, что
Dazzi| г = <pa, |a| I— 1. Тогда, так же как и в случае неодно-
родной задачи Дирихле второго порядка, наша неоднородная
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
73
задача при помощи замены й = и + щ сводится к однородной
задаче
Ехи = E(u + ux) = f, и е D(Ех) =
= {и|иеС2'(С), D“«|r = 0, |а|</- 1},
относительно и.
Краевые задачи для систем эллиптических уравнений. До
сих пор мы формулировали в виде операторных уравнений раз-
личные классические краевые задачи для эллиптических диффе-
ренциальных уравнений. Теперь на простых примерах мы пока-
жем, что соответствующим образом можно дать функционально-
аналитическую формулировку краевых задач и для систем
эллиптических дифференциальных уравнений. Рассмотрим крае-
вую задачу
п
Eu = -^^-ai(x,w) = f, и={и1( ...,uJeD(£),
'	(2.13)
( OUf 1
w = I	1, j=l, ..., m, k = \, ..., n,
с M (E) = (C2 (G))'",	D(£) = {i/|«eM(£), u|r = 0}. Предполо-
жим, что at = {an,..., atm}, i=l.n, при любых |={|jrs}e
<= #mn и x e G удовлетворяют оценке
/	m n	\
|a</0U)Kc(£(*)+ Z Z	P>2, c = const, (2.14)
И положим
v = (wk p (G))m,	H = L2m (G),	Y = Lpmn (G),
z > m n к p/2 x 1/p
UEIX) dx) *
\G \r=l s=l /	/
L: 14^ 1 -	ло: у-*{ац(х, у)}.
I k )
Проверка условий а) — d) проводится аналогично тому, как она
проводилась для однородной задачи Дирихле второго порядка.
Замечание 2.17. При т = п — 3, р — 2 в качестве простого
частного случая задачи (2.13) получаем классическую задачу
Ламэ линейной теории упругости
ц Ды + (Л + р) grad div и = f,	и е D (Е),
которая описывает равновесное состояние поверхностно нагру-
женного упругого тела, находящегося под действием объемных
сил f. Здесь X и р— так называемые постоянные Ламэ-
74 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
Замечание 2.18. Мы ограничились рассмотрением однород-
ных краевых условий Дирихле. Не представляет труда рассмот-
реть по аналогии с предыдущим пунктом и другие краевые ус-
ловия. В частности, для дифференциального оператора Ламэ
ставятся краевые условия
£(и)|г = ф,
соответствующие краевым условиям Неймана, и условия
«1Г1 = Ф1, Ь (и) |г> = Фг, «у1г, = Фз, k (и)х |Гз = Ф4,
соответствующие смешанным краевым условиям. Здесь фь фа,
фз, Ф4 — заданные функции и &(«)= {£1(Ы)>МЫ)>МИ)} — век-
тор поверхностного напряжения
з
k{ («) = S ai Icos (v, Xf),
i=l, 2, 3,
при i = j,
при i j.
Индексы v и т обозначают проекции на внешнюю нормаль, соот-
ветственно на касательную плоскость в заданной точке поверх-
ности Г.
В заключение рассмотрим следующую краевую задачу, не-
сколько отличающуюся от предыдущих:
п
Eu-= — ^-^-ai(x, w) = f — grad ф,
‘-1 ‘	(2.15)
и = {иь ..., ип} €=D(£),	=	.
М (Е) = (С2 (G))n, D (Е) = {и | и <= М (Е), и |г = 0, div и = 0),
причем функция ф подлежит определению вместе с и. Чтобы
получить функционально-аналитическую постановку задачи,
нужны некоторые приготовления.
Пространство £„(G) допускает (см. Ладыженская [1]) орто-
гональное разложение
£2n(G) = E + E-L,
где Н — пополнение множества D(E) в £п(6)-норме и Н1 =
= {и|ы = gradф.фs W'I>2(G)}. Обозначим через Р ортогональ-
ный проектор £2 (G) на Н, т. е. оператор, который ставит в со-
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения
76
ответствие элементу и е L„ (G) однозначно определенный эле-
мент Ри = Ui разложения
и = ut + и2, щ ^Н, и2^ HL.
Очевидно, каждое решение краевой задачи (2.15) является ре-
шением задачи
. РЕи = Pf, и s D (РЕ),	(2.16)
с D(P£) = D(£) и М(Р£) = М(£). Обратно, для каждого ре-
шения и задачи (2.16) существует единственная (с точностью до
аддитивной постоянной) функция tpE Wl>2(G), удовлетворяю-
щая уравнению (2.15).
Для построения энергетического расширения оператора РЕ
положим
V = {и | и <= (Ц7о’р (G))n, div и = О},	Y = Lpn (G);
/г/Г^гу\р/2 \1/р
"“'_UC£ W) ):
Л°: У-*{«</(Х,у)}.
а)	Это условие следует из леммы 2.2, поскольку для ац имеет
место оценка (2.14).
Ь)	Оператор Le(V->У), очевидно, линеен. Далее, на осно-
вании нашего определения нормы
П«11о = И«11 VweV.
с)	Ясно, что D(P£)c:V и (по определению оператора Р)
R (РЕ) cz И. Покажем, что V az Н. Пусть « е V и ft е Н\ ска-
жем h = grad ф. Тогда
п
(и, h) 2 tm = \ « grad ф dx — \ У* щ cos (v, xt) ф da — \ (div и) ф dx=0
n о	г i-i	a
и, значит, u^H.
Из определения H следует, что V плотно в Н. В силу нера-
венства Фридрихса вложение V в Н непрерывно. Наконец, для
ugD(PE) и й€= VfKC'fG))”
(Аи, Л) = (AqLu, Lh)0 = J У а( (х, w) dx =
G 4-1	1
= — У at (х, w)hdx=^Eu' hdx = (РЕи, h),
т. е. Аи — РЕи для и е D(PE) .
76 Гл. II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач
d)	Справедливы равенства М(Р£) П I/ = М(Е) Л V —
= D(E)=D(PE).
Замечание 2.19. При Еи = —&и (2.15) есть не что иное, как
стационарная задача Стокса теории вязких жидкостей.
Замечание 2.20. Рассмотрения, проведенные выше для одно-
родных краевых условий Дирихле, можно распространить и на
случай других краевых условий. Для упомянутой в замечании
2.19 задачи Стокса речь идет прежде всего о смешанных крае-
вых условиях вида
и |pt = 0, Uy |р2 = 0, k [и\ |рг = 0.
Эти условия означают, что рассматриваемая жидкость прили-
пает к части Г1 границы, а часть Г2 является так называемой
свободной поверхностью. Второе из краевых условий, заданных
на Г2, трактуется при функционально-аналитической формули-
ровке как естественное краевое условие.
ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. II
Первый параграф данной главы — это просто подборка хорошо извест-
ных определений н теорем. Имеется многочисленная учебная литература, по-
священная представленному здесь материалу; назовем (не претендуя на пол-
ноту перечня) книги Данфорда и Шварца [1], Смирнова [1], Трибеля [1],
Канторовича и Акилова [1], Иосиды [1], Эдвардса [1].
Изложение теории меры, эскизно представленной в п. 2, можно найти,
например, у Камке [1], Натансона [1], Халмоша [1] и Заанена [1]; другое
изложение дает Бурбаки [12].
Что касается теории распределений, то здесь наряду с классическим со-
чинением Л. Шварца [2] упомянем еще книгу Трева [1] !). Описанный нами
метод введения топологии в пространстве основных функций для распреде-
лений читатель найдет у Гординга и Лионса [1]; см. также Хёрмандер [1].
По поводу доказательства данных в п. 5 теорем о Соболевских простран-
ствах укажем работы Соболева [1], Морри [1], Данфорда и Шварца [1],
Кальдерона [1], Браудера [1] и Нечаса [1]. При формулировке условий на
границу области мы следовали Кальдерону [1], Морри [1] и Нечасу [1];
в соответствующих определениях регулярности границы фигурирует извест-
ное конусное условие Соболева. По вопросам, относящимся к поверхностной
мере областей с регулярной границей и теореме Стокса, можно отослать чи-
тателя к книгам Хаупта, Ауманна и Паука [1] и Федерера [1]. Приведенные
нами теоремы Соболевского типа допускают глубокие обобщения с привле-
чением понятия гёльдер-непрерывности и производных любого вещественного
порядка, а также теории интерполяции в банаховых и гильбертовых про-
странствах. По этим и связанным с ними вопросам см. помимо названных
выше работ: Лионе и Мадженес [1], Никольский [1], Бесов, Ильин и Ни-
кольский [1], Адамс, Ароншайн и Смит [1], Мадженес [1], Петре [1],
Стейн [1], а также указанную там, иногда в очень обширных списках, лите-
*) См. также первую книгу известной гельфандовской серии «Обобщен-
ные функции» (И. М. Гельфанд и Г. Е Шилов [1]) и монографии С. Л. Со-
болева [1] и В. С. Владимирова [1]. — Прим. рео.
Замечания к гл. II
77
ратуру. Заметим, в частности, что при использовании некоторого обобщен-
ного условия Гёльдера элементы из 1>(Г) могут быть охарактеризованы как
сужения функций из IF1’p(G) на границу Г; см. Гальярдо [1]. Относительно
пространств W~k>p(G) для специального случая р = 2 см. также Лакс [1].
Изложенная в § 2 функционально-аналитическая формулировка эллипти-
ческих краевых задач восходит к Вишику [1, 3]. Переход от краевых задач
вида (2.2) к операторным уравнениям Аи = f является в настоящее время
общепринятым (см. Браудер [2, 8], Кубинский [1], Качуровский [2],
Лионе [1]).
Использованная нами возможность представления оператора А для об-
щего случая в форме А = L*A0L в литературе не отмечалась. Это представ-
ление существенно использовал Биттнер [1, 2].
Термин «энергетическое расширение» оператора выбран нами для того,
чтобы подчеркнуть связь, существующую между понятием такого расширения
и так называемым энергетическим методом (см. Михлин [1, 2]). Оператор
А е(У->У*), возникающий в результате энергетического расширения квази-
линейного эллиптического дифференциального оператора, можно получить
также исходя из принципа виртуальных перемещений (см. Лангенбах [4]).
Лионе [1] называет эти операторы «операторами вариационного исчисления»
(operateurs de calcul des variations).
Каждое классическое решение краевой задачи (2.2) является решением
соответствующего операторного уравнения Аи = f. Обращение этого утвер-
ждения имеет место (см. лемму 2.1) лишь для достаточно гладких (регуляр-
ных) решений. Вопросами регулярности решений операторных уравнений мы
не занимаемся. Читателя, интересующегося исследованием условий регуляр-
ности, мы отсылаем к книгам Ладыженской и Уральцевой [1] и Морри [1],
а также к цитированной там литературе.
Операторы Немыцкого являются при предположениях леммы 2.2 непре-
рывными (см., например, Вайнберг [1], Красносельский [1]). В монографии
Вайнберга [1] содержатся среди прочего некоторые исторические замеча-
ния об операторе Немыцкого.
В пп. 2 и 3 § 2 мы на ряде примеров, по возможности наиболее простых
и важных для применений, показали, как переходят от классической поста-
новки краевой задачи к соответствующей функционально-аналитической по-
становке. Функционально-аналитические формулировки других задач в изоби-
лии можно найти у Лионса [1] (см. также приведенную там литературу).
ГЛАВА III
УРАВНЕНИЯ С МОНОТОННЫМИ
ОПЕРАТОРАМИ
(СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ)
(
В гл. II мы переформулировали некоторые важные классы
краевых задач для нелинейных эллиптических дифференциаль-
ных операторов в виде операторных уравнений Au = f. На- |
стоящая глава посвящена главным образом изучению таких
операторных уравнений, а точнее, изложению основ теории
монотонных операторов в рефлексивных банаховых простран-
ствах.
Глава содержит четыре параграфа. В § 1 вводятся основные
понятия теории монотонных операторов, которые иллюстри-
руются на примерах конкретных операторов, рассмотренных
в предыдущей главе. В § 2 речь идет о теоремах существования.
Обоснование различных приближенных методов составляет со-
держание § 3. Наконец, в § 4 исследуются некоторые свойства
монотонных потенциальных операторов и соответствующих по-
тенциалов.
В основе рассмотрений этой главы всюду лежит веществен-
ное рефлексивное сепарабельное *) банахово пространство, ко-
торое мы обозначаем через X (а не через V, как в предыдущей
главе). Подчеркнем, что здесь в отличие от предыдущей главы
и от последующих глав, посвященных операторным дифферен-
циальным уравнениям, вложение рассматриваемого банахова
пространства в подходящее гильбертово пространство не играет
никакой роли.
Через (f, и) обозначается скалярное произведение элемента
f <=Х* на элемент иеХ, а через || • II и II • II, — нормы в X и X*
соответственно. В некоторых местах мы привлекаем, как и в
гл. II, еще одно вещественное рефлексивное банахово простран-
ство У. Нормы в У и У* мы обозначаем при этом соответственно
через || • Но и || • По», a {z, w)q обозначает скалярное произведе-
ние элементов z е У* и w е У.
') Требование сепарабельности для многих доказываемых в этой главе
утверждений не является существенным; однако оно бывает выполненным в
практически интересных случаях и облегчает проведение доказательств.
§ 1. Основные понятия теории монотонных операторов
79
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
МОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Этот параграф разбит на два пункта. В первом определяются
и обсуждаются играющие основополагающую роль при иссле-
довании нелинейных операторных уравнений понятия радиаль-
ной непрерывности, монотонности, коэрцитивности и устанавли-
ваются некоторые важные свойства радиально непрерывных
и монотонных операторов. Во втором пункте мы показываем, что
при надлежащих предположениях рассмотренные в гл. II опе-
раторы являются радиально непрерывными, монотонными и ко-
эрцитивными.
1. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Определение 1.1. Оператор 4е(Х-*Х*) называется:
радиально непрерывным, если при любых фиксированных
и, v е X вещественная функция з -* (4 (и 4- so),непрерывна
на [0,1];
хеминепрерывным, если при любых фиксированных и, о,
йеХ вещественная функция з—► (4(u + sv),h) непрерывна на
[О, П;
деминепрерывным, если из ип-^и в X следует Аип->-Аи
в X»;
липшиц-непрерывным, если существует такая постоянная Л1,
что
||4а-4о||,<М||ы-О||
для любых и, v е X;
ограниченно липшиц-непрерывным, если существует возрас-
тающая функция ц на [0, оо), такая, что для любых и, иеХ
|| 4и — 4о||,<ц.(Я)11« — о II, где R — шах {|| и ||, || v ||}.
Определение 1.2. Пусть и, v— произвольные элементы изХ.
Оператор 4 е (X-> X*) называется:
монотонным, если
(Аи — Av, и — о) > 0;
строго монотонным, если
(Аи — Av, и — v} > 0 для «=/=»;
d-монотонным, если
(Аи -Av, и- 0 > (а (|| и ||) - а (|| v ||) (|| и || -1| v Ц)
для некоторой строго возрастающей функции а на [0,оо);
равномерно монотонным, если
(Аи — Av, и — о) р (|| и — v ||)
I
80	Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
для некоторой строго возрастающей функции р на [0, оо)
ср(0) = 0;
сильно монотонным (с постоянной монотонности т), если
{Аи — Av, и — о) > т|| и — v ||2, т > 0.
Замечание 1.1. Введенное понятие монотонности служит
обобщением обычного понятия монотонности. А именно, пусть <
<р -> R1)—обычная возрастающая функция. Тогда для |
любых s, t е R1	*
(<р(0 —Ф (s))(/ —s)>0.
Замечание 1.2. Очевидно, из сильной монотонности следуют
равномерная монотонность (с p(s) = ms2) и d-монотонность
(с a(s) = ms), а из равномерной монотонности следует строгая.	j
В случае строго выпуклого пространства X из d-монотонности	|
тоже вытекает строгая монотонность. Действительно,
0 = {Au — Av, u — v) =
_2<Л«-л(^), ^) + 2(л(Л + 1)-Л„,
+ 2(а(||^|)-а(||0||))(|^|-||0|)
влечет ||м|| = || (« + ц)/2|| = ||»||, откуда, в силу строгой выпукло-
сти X, и — v.
Замечание 1.3. Определения 1.1 и 1.2 можно соответствую-
щим образом обобщить на случай операторов А е (D(A)->X*),
область определения D(A) которых может быть любым подмно-
жеством пространства X. Мы отказываемся от этого, так как
в нашей книге будем очень редко рассматривать операторы,
определенные не на всем пространстве X.
Определение 1.3. Оператор Ае(Х->Х*) называется коэрци-
тивным, если существует определенная на [0, оо) вещественная
функция у с
lim y(s) = + оо,
S->oo
такая, что
{Аи, u>>Y(||u||)||u||.
В следующем замечании приведено несколько примеров коэр-
цитивных операторов.
Замечание 1.4. а) Каждый равномерно монотонный оператор
коэрцитивен относительно функции
y(s) = (s-l)p(l)-||A0||w.
§ 1. Основные понятия теории монотонных операторов
81
Действительно, пусть и е X — произвольный ненулевой элемент,
v = u/||u|| и и = [||и||]— целая часть (наибольшее целое число,
меньшее или равное) ||и||. Имеем
{Au, u) = || а || (Ли, о) =
= II и || «Л (|| и || и) — Л (по), о) + (Л (по) — ЛО, о) + (ЛО, о)) >
>|| и || ((Л (по) - ЛО, о)-||Л0|р =
- II«II ( £ М (М - л ((/ - 1) о), о) - II ЛО ||,) >
> || и || (пр (1) - II ЛО ||,) > II и II ((II и II - 1) р (1) - II ЛО II,).
Ь)	Пусть оператор Л является d-монотонным относительно
функции а с lim а (s) = + оо. Тогда, очевидно, Л коэрцитивен
$->оо
относительно функции y(s)= a(s)—а(0).
с)	Пусть J е(Х -*Х*)— дуализующее отображение для X
(см. § 5 гл. I). Тогда
(Ju — Ju, и — о) = (Ju, и) + (7о, о) — (Ju, о) — (Jo, и) >
>Н«Н2 + II v ||2-2||и ||||о|| =
= (II«II-I|o||)(ll«ll-Ilf||),
т. е. J является d-монотонным относительно функции a(s)=s,
а значит, в силу Ь), коэрцитивным.
Понятия, введенные в определениях 1.1—1.3, в дальнейшем
играют центральную роль. Введем теперь еще ряд понятий.
Со свойством монотонности тесно связано так называемое
(S)-свойство (см. Браудер [11]).
Определение 1.4. Говорят, что оператор Ле (X->.¥♦) обла-
дает (S)-свойством, если из ип—и в X и (Аип — Аи,ип — и)—» О
следует, что un->u в X.
Замечание 1.5. Очевидно, каждый равномерно монотонный
оператор обладает (S)-свойством. В равномерно выпуклых ба-
наховых пространствах (S)-свойством обладает также каждый
d-монотонный оператор. Для доказательства этого факта за-
метим, что из d-монотонности и соотношения (Лип — Ли, ип —
— и)-*0 вытекает соотношение ||unll-> ||и||. Но в равномерно
^выпуклых банаховых пространствах из l|un||->-||u|| и ип-ги сле-
дует, что ип -> и (см. теорему 5.12, гл. I).
Определение 1.5. Оператор Ле(Х->Х*) называется диффе-
ренцируемым по Гато, если существует такой оператор
82
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
А' е (X—►j?(X, X*)), что для любых и, v, h&X
lim-;-(Л (и + th) — Аи, v) = {A' (и) h, v).
*
Определение 1.6. Оператор Ле(Х->Х*) называется:
ограниченным, если образ каждого ограниченного подмноже-
ства пространства X ограничен в X*;
локально ограниченным, если для любого фиксированного
и е X существуют постоянные е > 0 и М, такие, что ||Ло||, М
при ||и — о|| в.
Замечание 1.6. Очевидно, каждый ограниченно липшиц-не-
прерывный оператор ограничен и каждый деминепрерывный опе-
ратор локально ограничен.
Теперь мы приведем некоторые простые свойства монотонных
операторов. Прежде всего справедливо
Замечание 1.7. Если Л, е (X—>Х*)—монотонные операторы
и а{ е X, ft s X* — произвольные элементы (1=1, .... га), то
оператор Ле (Х->Х*), определяемый соотношением
и-* 2 (Лг (и + af) + ft),
i-i
также монотонен. Если X, (1=1, ..., п) —вещественные бана-
ховы пространства и А{^(Х{->Х1)— монотонные операторы,
то оператор Л е (X -* X*), определенный на декартовом произ-
ведение X = Xi X ... X согласно правилу
{«1....un}-+{A;ui....Апи„),
также монотонен.
Необходимые и достаточные условия монотонности дает
Лемма 1.1. а) Оператор Л е (X -> X*) монотонен точно тогда,
когда при любых фиксированных и, о е X вещественная функ-
ция
1-> Фи, о (1) = (Л (и + 1о), о)
является возрастающей на [0,1].
Ь) Пусть оператор Ле(Х—>Х*) дифференцируем по Гато и
при любых фиксированных и, v е X функция /-* (Л'(ы + tv)v, v)
непрерывна на [0,1]. При этих условиях Л точно тогда моното-
нен, когда при любых и, v е X
(Л'(м)о, о}>0.
§ 1. Основные понятия теории монотонных операторов
83
Доказательство, а) Необходимость. Для/Ь /2е[0, 1],
tx < /2 имеем
фв, о (<г) — фв. 0 (Л) = {А (и + t2v), v) — <Л (и + txv), v) =
= С4 (“ + №) — Л (и 4- /,о), и 4- t2v — (и + Ло)» 0.
Достаточность. Для v = w — u
(Aw—Au, w — «) = фв>0(1) — фв.о(0)>0.
b) Необходимость. При 0 < s < 1 в силу интегральной
теоремы о среднем для подходящего s0 s [0» S1 имеет место
соотношение
S
0 (Л (и 4- so) — Ли, sv) = J {А' (и 4- tv) v, sv) dt =*
о
= s2 {А' (и 4- s0o) v, v).
Деля на s2 и переходя к пределу при s->-0, получаем
(Л'(и) о, о) 0.
Достаточность следует из соотношения
1
(Ли — Av, и — v) = J {А' (о 4-1 (и — о)) (и — v), и — v) dl	0.
о
Лемма доказана.
Лемма 1.2. Каждый монотонный оператор Ле (X—►%*) ло-
кально ограничен.
Доказательство. Допустим, что Л не является локально огра-
ниченным. Тогда существует последовательность {ип}, такая,
что ип->и в X и ||Лип||»->оо. Для п— 1, 2, ... положим
а«= 1 4-11 Ли„ ||,|| ип —и ||.
В силу монотонности Л, для любого v е X
J-<Ли„, о)<((Аип, ип — и)4-<Л(и4- о), v +и-ип))<
< 1 4--Ецл(и4-о)||,(||»||4-||« — МХМ.» (1-1)
где постоянная Afi зависит от и, о, но не зависит от п. Соответ-
ствующая оценка верна и для —о. Таким образом,
lim I—(Аип, о)| < оо Vo еХ,
п^-оо I «п	I
84
Гл. 1П. Уравнения с монотонными операторами
откуда по теореме Банаха — Штейнгауза (теорема 5.3 гл. I)
4" И Аи* II. < М = const,
т. е.
|| Ли„ ||. < Мап = М (1+ II Аип II. II и - u„ II).
Пусть «о выбрано так, чтобы для п ;> по выполнялось условие
Л1||и — un|| !/2. Тогда из последнего неравенства следует, что
при п По
ЦЛи„||.<2М.
Но это противоречит тому факту, что ||Лип||*-» оо. Тем самым
лемма доказана.
Следствие 1.1. Каждый линейный монотонный оператор
Ле(Х—»Х*) непрерывен.
Доказательство. Пусть ип -> и в X. Положим
для u„=/=u и оЛ = 0 для ип = и. Тогда vn-*0 в X и по лемме 1.2
II Avn II. С ЛГ = const.
Отсюда получаем
И Аип - Аи ||. = || Л («„ - и) ||. = || ип - и ||*А || Л ||. <
<Мк-В|М.
Следствие 1.2. Пусть оператор Ле(Х-*Г) монотонен и
К с. X — такое множество, что
|| и || <1 М[ и (Аи, и) М2 Vu е К.
Тогда существует постоянная М, такая, что
||Ли||.<М Vue К.
Доказательство. В силу леммы 1.2 оператор А локально огра-
ничен. В частности, условие локальной ограниченности выпол-
няется в нуле, т. е. существуют такие постоянные е и Л13, что
||Л#||» М3 при ||t/Ц е. Используя монотонность оператора Л,
для и е К получаем
II Аи||. = sup 4-<Ли, t/>< sup ^-{(Аи, и} + (Ау, у) — (Ау, и))<
<1(Л12 + М38 + М3М1) = М.
В
Лемма 1.3. Пусть Ле(Х->Х*)—монотонный оператор.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
§ 1. Основные понятия теории монотонных операторов
85
а)	оператор А радиально непрерывен;
Ь)	из {f — Av, и — v}^ О VveX, следует Аи — f;
с)	из соотношений ип-^и в X, Aun-^f в X* и lim {Аип, ип)^
П->оо
^{f, и) следует, что Au = f;
d)	оператор А деминепрерывен;
е)	если К — плотное подмножество в X, то из {f— Av,
и — v) 0 Vo е К следует Аи = f.
Доказательство. а)=>Ь). Пусть о — произвольный элемент
из X и vt = и — tv, / > 0. Имеем O^.t{f— Avt,v) или, после
деления на t, 0 {f— Avt,v). Отсюда при /-*0 получаем в
силу радиальной непрерывности оператора А неравенство
0< {f— Au,v}. Ввиду произвольности оеХ из этого неравен-
ства следует, что Аи — f.
b)	=> с). Пусть ип-*~и в X, Aun-^f в X* и lim {Аип, ип)^.
П->оо
и). Тогда для произвольного osX имеем
{f — Av, u — v) = {f, и) — {f, v) — {Av, u —
> Пт «Ли„, и„) — {f, v) — {Av, u—v}) =
n->oo
= lim «Ли„, н„> — {Aun, v) — {Av, un — о» =
П-»оо
= lim {Aun — Av, un — v)~^0.
n->oo
Отсюда на основании b) вытекает, что Аи = f.
с)	=ф d). Пусть ип —► и в X. Вследствие локальной ограничен-
ности оператора А (лемма 1.2) последовательность {||Лип||»}
ограничена. Пусть {хп} — подпоследовательность последователь-
ности {ип}, такая, что Ахп-*- f в X*. Тогда
lim (Лх„,	=	«>,
П->оо
откуда, в силу с), Аи = f и Ахп-^Аи. Отсюда обычным образом
(см. лемму 5.4 гл. I) выводится слабая сходимость последова-
тельности {Лип} к Аи.
d)	=Фе). Очевидно, что Л как деминепрерывный оператор яв-
ляется радиально непрерывным. Поскольку а) =ф> Ь), то доста-
точно показать, что из (f — Av, и — v) 0 VveK следует
{f — Av, и — v) 0 Xfv^X. Так как К плотно в X, то для
каждого v е X существует последовательность {хп}, такая, что
хп е К и хп -> v в X. Используя деминепрерывность, получаем
{f — Av, и — v)= lim {f — Axn, и — xn}^0.
n->oo
86
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
е)	=ф а). В частном случае X = X утверждение е) совпадает
с Ь). Но из Ь), как уже было доказано, следует деминепрерыв-
ность, а значит, и радиальная Непрерывность оператора А.
Лемма полностью доказана.
Следствие 1.3. Пусть Ле(Х->Х*)— радиально непрерыв-
ный монотонный оператор. Тогда при любом f&X* множество
К. решений уравнения Аи = f выпукло и слабо замкнуто.
Доказательство. Пусть иь и2^К и =	—/)и2,
t е {0,1]. Тогда для любого о е X
(f — Av, ut — v) = f(AuI — Av, щ— о) + (1— i){Au2—Avb
откуда в силу леммы 1.3
Ли, = f,
т. е. К выпукло.
Пусть {««} — последовательность элементов un е К, такая,
что Hn-" и в X. Для любого v е X имеем
(f — Av, u — v) = lim {f — Av, un—v) = lim (Au„ — Av, un—v)^0,
n-»oo	n->oo
так что в силу леммы 1.3
Ли = /,
т. е. К слабо замкнуто.
Замечание 1.8. Определением 1.1 введены три понятия: ра-
диальная непрерывность, хеминепрерывность и деминепрерыв-
ность, являющиеся ослаблением обычного понятия непрерывно-
сти. Из леммы 1.3 следует, что для монотонных операторов
Л е (Х-> X*) эти три понятия совпадают. В дальнейшем мы
отказываемся от рассмотрения хеминепрерывных операторов и
все утверждения, которые обычно формулируются для хемине-
прерывных операторов, доказываем при формально более сла-
бом предположении радиальной непрерывности.
2. ПРИМЕРЫ МОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ
В § 2 гл. II краевые задачи для эллиптических дифферен-
циальных уравнений были переформулированы в виде оператор-
ных уравнений Ли = f. При этом для оператора Л было харак-
терно представление
Л = ГЛ0Ь.	(1.2)
§ 1. Основные понятия теории монотонных операторов
87
Мы хотим т^рерь указать условия на «коэффициенты» эллипти-
ческого дифференциального оператора, которые обеспечивают
наличие у оператора А различных свойств, определенных в пре-
дыдущем пункте. Будем при этом придерживаться обозначений,
введенных в § 2 гл. II.
Свое намерение мы реализуем в два этапа. На первом этапе
(лемма 1.4) будет показано, что интересующие нас свойства
автоматически переносятся с Лое (У—► У**) на А е(Х->Х**).
На втором этапе (леммы 1.5 и 1.6) мы установим, при каких
условиях конкретные операторы Ло обладают этими свойствами.
Лемма 1.4. Пусть £е(Х-*У) — линейный оператор, такой,
что
II Ьы ||о = ||«||	V«el,
и £*е(У*->Х*) — сопряженный к L оператор. Пусть, далее,
Лое (У—* У*)—некоторый (возможно, нелинейный) оператор.
Если Ло обладает каким-нибудь из свойств, указанных в опре-
делениях 1.1—1.6, то соответствующим свойством обладает и
оператор Л = £*Л0£ е (X -> X*).
Доказательство. Это непосредственно следует из того факта,
что для всех и, v е X
II Lu lb = || «||
и
(Ли, v) = {L*A$Lu, v} — {AqLu, Lv)0,
а также из линейности L.
Перейдем ко второму из названных выше этапов.
В лемме 2.2 гл. II уже были сформулированы условия на
коэффициенты а, эллиптического дифференциального оператора,
которые обеспечивают деминепрерывность оператора
Ло е (l? (G)-> Lr (G)), р > h ~ + ^-=1, определенного формулой
(Aoy)(x) = {ai(x, у(х))..аг(х, у(х))}	(1.3)
(где G, как и прежде, — ограниченная область в /?п). Теперь мы
дадим достаточные условия для того, чтобы оператор Ло обладал
остальными свойствами, определенными в предыдущем пункте.
При этом мы ограничимся двумя наиболее важными возможно-
стями для функций а,- (см., однако, замечание 1.12):
(х, у) = Е bl}yh 1=1........г, Ьц<= L'*'(G),	(1.4)
88
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
at(x, y)<=(f(x, lyf ')|у |₽ 2yt, i=l,*.r, p> 1,
Or \'h
CnJ •	"	(1-5)
при каждом sg[0, оо) функция х->ф(х, s) измерима;
при почти всех xeG функция «~>ф(х, s) непрерывна;
| Ф (x, s) | M = const для всех s e [0, оо) и почти
всех хеG.
Замечание 1.9. Очевидно, что линейный оператор Ло> опре-
деленный формулами (1.3) и (1.4), липшиц-непрерывно отобра-
жает пространство/ = L,(G) в Y*=L2(G). Непосредственно видно
также, что функции at вида (1.5) удовлетворяют предположе-
ниям леммы 2.2 гл. II. Отсюда следует, что оператор, определен-
ный формулами (1.3) и (1.5), деминепрерывно отображает про-
странство Y — L?(G) в Y* — Lr(G).
Замечание 1.10. В случае функций at вида (1.4) задача (2.1)
(соотв. (2.2)) гл. II представляет собой общую однородную
краевую задачу Дирихле для линейных эллиптических диффе-
ренциальных уравнений второго (соотв. /-го) порядка. Как из-
вестно, к таким краевым задачам сводятся многие задачи ма-
тематической физики и механики. Укажем, например, задачи
стационарной диффузии и стационарной теплопроводности, а
также задачи механики сплошной среды (скажем, теории упру-
гости и стационарной теории вязких жидкостей). В случае
функций at вида (1.5) мы приходим к задачам, которые встре-
чаются, например, в нелинейной теории упругости и в теории
неньютоновских жидкостей. В этих теориях классические линей-
ные законы, характеризующие свойства материалов (закон Гука,
закон Ньютона для вязких жидкостей), заменяются нелиней-
ными соотношениями. Функция ф зависит при этом от свойств
материала и определяется экспериментально.
Лемма 1.5. Пусть Ао (L2 (G)L2 (G))—оператор, заданный
формулами (1.3) и (1.4). Для его монотонности достаточно,
чтобы при почти каждом xeG и при любом векторе {dit ...
... dr} <=RT выполнялось условие
Г	г
Е b^d^ d2, пг^О.
I, /=1	1 = 1
Если m > 0, то Ло является сильно монотонным.
§ 1. Основные понятия теории монотонных операторов
89
Доказательство. Для у, геУ = Lr(G) имеем
(АоУ — Aqz, y — z')0 =
Г	г
= $ У	Zi)(yt—Zj)dx^m J У(yt—ztf dx—m\\y—z|g,
0 l, /-1	G i-1
что и доказывает лемму.
При доказательстве леммы 1.5 ради упрощения записи аргу-
мент х у функций у и z опущен. Мы будем так делать и в
дальнейшем.
Лемма 1.6. Пусть До е (l? (G)-> L? (G)) — оператор, опреде-
ленный формулами (1.3) и (1.5). Имеют место следующие
утверждения (где хе G, t, s е [0, оо)):
а)	если функция t—*ф(х, t)t возрастает, т. е.
Ф (х, /) t — ф (х, s) s > 0	для t s,
то Ло монотонен;
Ь)	если функция ф удовлетворяет оценке
ф(х, t)t — ф(х, s)s^m(i — s) для t^s, m>0, (1.6)
то До является d-монотонным относительно функции a(s) =
= msP-1;
с)	если для функций ф справедлива оценка
Ф (х, 0 tn > О,
то До коэрцитивен относительно y(s) = ms?-1;
d)	если р = 2 и выполняется оценка (1.6), то До сильно мо-
нотонен;
е)	если функция ф удовлетворяет оценке
| Ф (х, t) t — ф (х, s) s | М11 — s |,
то До при р = 2 липшиц-непрерывен, причем
|| Аоу — Aqz Цо. < ЗМ || у — z ||о,
а при р 2 ограниченно липшиц-непрерывен относительно
ц (Я) = (2 + (р - 1) 2₽“2) М/?р-2;
f)	если р>2и функция У->ф(х, t) непрерывно дифферен-
цируема, причем
|-^-(х, /)/|<М для всех / s [0, оо) и почти всех xeG,
то До дифференцируем по Гато.
90
Гл. 111. Уравнения с монотонными операторами
Доказательство. Рассмотрим произвольные у = {yi, .уг},
z = {zlt ...» zr}, o = {t>1..ty}e=Lp(G).
Для сокращения записи введем обозначения
1у1=(£у1) .	т=|//|₽_1,
|z|e(S(^) >	ст=|г|р-1,	(у, z) = ^yfzt.
а)	Применяя несколько раз неравенство Шварца, находим:
{Аоу — Aqz, у — г\ —
= J (ф(х, 't)lyl₽-2(!/, У — «) — ф(х, o)|z|p-2(z, у — z))dx^>
G
> 5 (ф ।у ip-2 (IУ I2-1У и21)-ф(х> а)12 i₽~2(i УII2 н2 i2)) dx=
а
= §ф(х, т)т —ф(х, <т)<т)(| у\ — |z|)dx>0.
а
Ь)	Используя последний результат и неравенство Гёльдера,
получаем
{Aoy — Aoz, y — z^o^m (| у |р-1 — | z |р-1)(| у | — |z |) dx =
а
= m(llf/lg 4-||z||p- JOyMzI + lr/llzl"-1)^^
>m(\\y ||p + IIz||p -1|у Ig-’ IIzlb -1|у lloII z||op-‘) =
= m (|| у |g-‘ -1| z |g-‘) (|| у |b -1| z lb).
с)	При y(s) = msp-1 имеем
{Aoy, y)o= $ф(х, -v)|f/|pdx>m J |£/Г= у(||z/1|0) 11 |fo.
a	a
Так как p > 1, то lim y(s) = + 00 •
S->oo
d)	Представим функцию <p в виде ф = Ф1 + фг c <pi (s) = tn.
Очевидно, оператор 40i: У * тУ сильно монотонен. Далее, для
t s
Ф2 (х, /) I — Ф2 (х, s) s — <р (х, /) t — <p (х, s) s — т (/ — s) 0.
В силу утверждения а), отвечающий функции <р2 оператор
Лог:У“►ф2(,> |у|р-1) |у|₽-2У является монотонным. Из сильной
$ 1. Основные понятия теории монотонных операторов
91
монотонности Л01 и монотонности Лог следует сильная монотон-
ность Ло = Ло1 + Л02.
е)	Пусть Л = max {||«/||o, llzllo}• Имеем
(Aoy — Aoz, о)о= $(ф(х, т)|р|р 2 (У, v)—ф(х, <r)|z|p 2(z, v))dx =
Q
= $(фк т)|р|р-2(г/ — z, ») + (ф(х, t)|z/|p-2 —
G
— ф(х, o)|z|p-2)(z, v))dx< J (|ф(х, т)||«/|₽-2|0 —Z| +
G
+ |ф(х, '0l#lP-2|z| —ф(х, <т)| z f2| z ll) | v |dx =
= J (|ф(х, T)||f/|p-2|^-г| + |ф(х, T)|t/|p-2(|z| —1«/|) +
G
+ ф(х, t)t —<p(x, cr)cr |)| t»|dx< $ (2|ф(х, t)||«/|p-2|p —zl+
G
+1ф(x, t)t —<p(x, <r)(T|)|o|dx<2Af7?p_2||z/ —z||ol|v||o +
+ Af J|T-o||v|dx = 2M/?p-2||^-z||ol|v||o +
G
\y\
S '”2*
1*1
a
|0|dx<2M7?p-2||r/-z||ol|v|lo +
4-Af(p— 1) J|y-z|(|z/| + |z|)p-2|o|dxC
G
/	P-2\
<f2M7?p-2 + Af(p-l)0(|f/H-|z|)pdx^ p jh-zIUIvlloC
< (2M/?p-2 + M (p - 1) (|| у ||o +1| z Ho)P-2) IIУ - z lb || о lb =
= (2Л4/?р-2 + M (p - 1) 2p-2/?p’2) || у - z |b II»lb =
= H(7?)||p-z|bl|v|lo-
Отсюда непосредственно следует утверждение е).
f) При наших предположениях функция
$->Ф(з)= J ф(х, | у + sz |р ’)| у 4- sz |р 2(y + sz, v)dx
а
92
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
дифференцируема, и нетрудно проверить, что
(До (у) Z, и)о = ф' (s) ls-0 =
= $ {ф(х. *)((? — 2)1 у\р~*(у, Z)(у, о) +1 у г-2(z, и)) 4-
Q
+ (р — 1)	1 У 12(Р-2)"' (У, Z) (у, v)} dx.
Лемма полностью доказана.
Замечание 1.11. В силу утверждения Ь) и замечания 1.2
(соотв. замечания 1.5) из (1.6) следует строгая монотонность
(соотв. (S)-свойство) оператора До- (Пространства L? равно-
мерно выпуклы, см. § 1 гл. II.)
Замечание 1.12. Лемма 1.6 остается справедливой, если функ-
ции а» имеют вид
at(x, у) = ф(х, \yf~l)\y\p~2^b(l(x)yh i=l, ...,г, р>1,
где
/ г	\Ч,
II/1 =	•	btl<=L°°(G), btl = blt,
2 budidj > 6 £ di, b = const > 0,
i, /“1	/=1
только в этом случае пространство Y — L?(G) следует рассмат-
ривать не с нормой
z z г \Р/2	\1/Р
dxj *
а с эквивалентной ей нормой
z z Г	\*/р
Нр11о=( Ц 2 Ь‘/У1У/) dx) •
ч. /-1	'	'
Замечание 1.13. В силу лемм 1.4 и 1.6 приведенное в § 2.2
гл. II энергетическое расширение A e(V-» V*), V = Wo'p(G),
для оператора
Ей = — div (<р (и, | grad и |р-1) | grad и |р-2 grad и), и е D (Е),
с	_
О(Е) = {и|иеС2(С), «|г = 0}
будет деминепрерывным и d-монотонным, если функция <р удов-
летворяет условиям (1.4) и (1.6). Однако доказать, что соот>
§ 1. Основные понятия теории монотонных операторов
93
ветствующее энергетическое расширение А оператора
Еи = — div [ф(м) grad a],	ueD(£),	(1.7)
с
D (£) = {« |« е С2 (G), ы|г = 0}
при подходящих условиях на <р также является монотонным, не
удается1). Укажем поэтому другое расширение оператора Е,
задаваемого формулой (1.7).
Очевидно, что
Ей = - Аф («) Vue D (Е),	(1.8)
где
t
Ф (0 = J Ф (s) ds.
о
Функция фе (Rl-*Rl) непрерывна. Предположим, что она при
любых s, t е R1 удовлетворяет условиям
|ф(/)Кс(|/Г“‘ +1), с = const, р>2,	(1.9)
(ф(0 - ф ($)) (t - s)>m(| t Г1 -1 s Г-1) (| 11 -1 s |). (1.10)
Тогда в силу леммы 2.2 гл. II оператор
Л0е(£₽(О)->Л’(О))	(1 + 1=1),	(1.Ц)
определяемый по правилу и->-ф(«), будет деминепрерывным и,
очевидно, d-монотонным. Рассмотрим гильбертово простран-
ство Н = H~l (G) со скалярным произведением
(и, о) = w • v dx, —&w = u, w^Hq(G). (1.12)
а
(Оператор —А, будучи дуализующим отображением для Hq(G),
устанавливает изометрию между Ho(G) и Я-1 (G).) Отождествим
Н с Н*. Тогда для пространства V = LP(G) имеет место цепочка
включений VczH czV* (см. § 6 гл. I), и мы можем значение
линейного функционала f s V* на элементе ие V записывать,
как и скалярное произведение в Н, в виде (f, и). В силу (1.11)
формула
(Аи, о)=	^ф(и)ойх	V» е V (1-13)
о	о
определяет оператор A e(V —* V*), который ввиду соответствую-
щих свойств оператора Ао является деминепрерывным и
‘) Можно все-таки показать (см. Лионе [1]), что А удовлетворяет усло-
вию с) из леммы 1.3 (в связи с этим см. также следствие 2.1 ниже).
94
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
d-монотонным. В частности, для и е D (Е) имеем, согласно
(1.12) и (1.13),
(Аи, о) — i|>(«)»dx = (—Дф(и), v) у« е V.
а
Итак, справедливо как равенство в V* соотношение
Аи = — Дф (и) = Ей,
т. е. Л — расширение для Е.
§ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Основное содержание данного параграфа составляют две тео-
ремы существования. В первом пункте будет доказана так на-
зываемая основная теорема теории монотонных операторов (тео-
рема 2.1). Второй пункт посвящен теореме существования для
уравнений, в которых наряду с монотонным оператором, опре-
деленном на всем пространстве X, фигурирует — в некотором
смысле как возмущение — другой (максимальный монотонный)
оператор, область определения которого может не совпадать со
всем X.
1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ
Для доказательства основной теоремы существования для
операторных уравнений с монотонными операторами нам пона-
добится одно простое следствие из теоремы о неподвижной точке
Брауэра.
Лемма 2.1. Пусть В е(/?”->Еп)— непрерывное отображе-
ние, для некоторого R > 0 удовлетворяющее условию
(Ва, а) 0 при | а | = R.
Тогда существует такое а е Rn, что |а| R и Ва = 0.
Доказательство. Допустим, что
Ва=/=0 для всех а^ KR — {a\a^ Rn,
Тогда отображение, определяемое по правилу
п Ва
а~* R |Ва| ’
является непрерывным отображением из KR в KR. В силу тео-
ремы Брауэра о неподвижной точке существует а е KR, такое,
что
п Ва
а~ R | Ва | •
§ 2. Теоремы существования
95
Очевидно, |а| — R и (Ва, а) = — /?|Ва| < 0, в противоречие с
нашим предположением, что (Ва, а) 0 для |а| = R. Лемма
доказана.
Теорема 2.1 (Браудер, Минти). Пусть Ле(Х-»-Х*) — ра-
диально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор.
Тогда множество решений уравнения
Au — f	(2.1)
при любом f^X* непусто, слабо замкнуто и выпукло.
Доказательство. Ввиду следствия 1.3 нам надо лишь пока-
зать, что (2.1) имеет по крайней мере одно решение. Пусть
{hn} с.Х — какая-нибудь полная система линейно независимых
элементов в X, и пусть Хп — замкнутая линейная оболочка век-
торов (fti...hr}. Тогда соответствие
{«1....an}-* Z
определяет взаимно однозначное непрерывное отображение С
пространства Rn на Хп. Очевидно,
I а 11 = 11Са|| ya(=Rn 
является нормой на Rn. В силу замечания 5.3 гл. I
I а К с | a h = с || Са ||.
Определим оператор В е (Rn —► Rn) по правилу
Ва = {6ь..., bn},	= (АСа - f, h}.
Поскольку А как радиально непрерывный монотонный оператор
деминепрерывен (лемма 1.3), оператор В непрерывен. Из коэр-
цитивности А следует, что для достаточно больших Ri > О
при ||и„||>^.
Поэтому для | а | = R = Rt • с
{Ва, a) = ^ blai = {Aiin, uj — if,
>0тйг- °.
Следовательно, согласно лемме 2.1, существует такое aeRn,
что Ва = 0; значит, для ип = Са
{Аип, h} — (f, h}, i=l.......п.	(2.2)
Из оценки
(Лип. Un) || е ||
U“nll
96
Гл. lit. Уравнения с монотонными операторами
и коэрцитивности А вытекает, что ||«n|| Mi и потому
{Аип, ип) М2 для п = 1,2.......На основании следствия 1.2
заключаем, что || Аип IL М, п = 1, 2, ... . Далее, в силу (2.2)
lim <Аи„, h) = <f, Л) V/г е U Хп.
П-+ОО	п
По теореме 5.5 гл. I отсюда следует, что Аип ->~f в X*. Пусть
{и^к} — подпоследовательность последовательности {ип}, такая, что
в X. Покажем, что и является решением уравнения
(2.1). Из (2.2) получаем
Пт {Auak, ип^ = lim (f, unk)=(f, и).
Но тогда, согласно лемме 1.3 с), Аи = f. Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 2.1 легко вытекает
Следствие 2.1. Пусть А е(Х->Х*)— деминепрерывный огра-
ниченный коэрцитивный оператор, удовлетворяющий условию с)
леммы 1.3. Тогда множество решений уравнения Аи = f при
любом f е А'* непусто и слабо замкнуто.
Конкретные примеры операторов, которые удовлетворяют
предположениям следствия 2.1, но не являются монотонными,
можно найти у Лионса [1] (см. также подстрочное примечание
на стр. 93). Мы ограничимся в этой связи следующим заме-
чанием.
Замечание 2.1. Пусть Ле(Х->Х*)—коэрцитивный оператор
вида
А = В + Т
с радиально непрерывным монотонным оператором В е(Х->Х*)
и слабо непрерывным оператором Те(Х—>Х*). Тогда множе-
ство решений уравнения Аи = f при любом feX* непусто и
слабо замкнуто. Для доказательства этого утверждения доста-
точно заметить, что при указанных предположениях оператор А
удовлетворяет условию с) леммы 1.3.
Теорема 2.2. Пусть оператор Ае(Х—►X*) радиально непре-
рывен, строго монотонен и коэрцитивен. Тогда существует
Д"1е(Х*->Х), и этот обратный оператор строго монотонен,
ограничен и деминепрерывен. Если оператор А обладает, кроме
того, (S) -свойством, то оператор А~1 непрерывен.
Доказательство. Доказательство проведем в пять шагов.
1.	Оператор А-1е(Х*->Х) существует. Очевидно, доста-
точно показать, что уравнение Аи = f при любом feX* имеет
точно одно решение. Теорема 2.1 гарантирует существование
хотя бы одного решения и Пусть v— другое решение. Тогда
§ i Теоремы существования
97
(Ли — Av, и — v} = 0. Вследствие строгой монотонности А от-
сюда следует, что и = v.
2.	Оператор Л-1 строго монотонен. Пусть f,g&X*, f Ф g.
Полагая и = A~lf, v = A~lg, в силу монотонности А имеем
0 ~ g, A~lf —	= {Аи — Av, и — v) > 0.
3.	Оператор Л-1 ограничен. Пусть Ди == f и llfll» М. Тогда
(Ди, и) || и ||у(|| и ||) и, следовательно, у(II и ID II f II»- Так
как y(s) оо при s—>- оо, то отсюда вытекает, что
|| и 11 = Ид-1/Нед-
с постоянной К, зависящей только от М.
4.	Оператор Л”1 деминепрерывен. В силу леммы 1.3 доста-
точно показать, что из соотношения
(f — g, U — Д-’§)>0 yg^X*	(2.3)
следует равенство u — A~'f. Пусть (2.3) выполнено. Тогда для
любого v е X и для g = Av имеем
{f — Av, u — v) = {f — g, и — Д-1§)>0.
Ввиду радиальной непрерывности А отсюда следует по лемме
1.3, что f = Аи, т. е. u = A~lf.
5.	Допустим, что А обладает еще и (S)-свойством. Пусть
fn-*f в X*. В силу деминепрерывности А~1, для un = A~tfn и
и = Д~7 имеем
(Аип-Аи, un — u) = {fn — f, ип-и)-+0.
В силу (S)-свойства оператора А получаем |Д-7П — Д-1/В =
= || ип — и || —> 0. Теорема доказана.
Следствие 2.2. Пусть X равномерно выпукло, а X*, строго
выпукло. Тогда дуализующее отображение /• для пространства
X* непрерывно.
Доказательство. Дуализующее отображение /е(Х —►№*)
деминепрерывно (лемма 5.6 гл. I), d-монотонно, коэрцитивно
(замечание 1.4) и строго монотонно (замечание 1.2). Наконец,
согласно замечанию 1.5, оно обладает (S)-свойством. Следова-
тельно, по теореме 2.2 существует и непрерывно обратное ото-
бражение 7-1 е (Х*->-Х). Но очевидно, J~l = J*; значит, /♦ не-
прерывно.
Замечание 2.2. Если X и X* равномерно выпуклы, то J есть
гомоморфизм X на X*.
Следствие 2.3. Пусть оператор А е(Х->Х*) радиально не-
прерывен и сильно монотонен. Тогда у него существует обрат-
ный оператор Д-1е(л ->Х), который является липшиц-непре-
4 X. Гаевский и др.
98
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
рывным. Если А вдобавок липшиц-непрерывен, то А 1 сильно
монотонен.
Доказательство. Оператор А-1 е (X* —► X) существует по тео-
реме 2.2. Для любых f,g^X* и для iz = X-lf, v = A~lg имеем
II f — gILIIи — v ||>(Au — Av, и — v)>/п||и — v||2 =
= т|л_7 — Л-1г|||« —oil,
откуда
Цл"7-лЛ1<^11/-§11..
Если Л липшиц-непрерывен,
(f — g, A~'f — A~lg} = {Аи — Av, u —o)>m||u —vl^
>J^||Au-A^ = $-||f-g||2.
2. МАКСИМАЛЬНЫЕ МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В этом пункте мы докажем теорему, которая нам потре-
буется в гл. VI и VII для доказательства существования перио-
дических решений операторных дифференциальных уравнений.
Пусть А — некоторый оператор, действующий из X в X*, с
линейной областью определения D(A)cX. По аналогии с опре-
делением 1.1 назовем Ae(D(A)-*X*) радиально непрерывным,
если функция $—» (А(и + sv), v) для любых и, ueD(A) непре-
рывна на [0, 1]. Соответственно А называется монотонным, если
для любых и, v <= D(A)
(Ли — Ло, и — о) 0.
Определение 2.1. Оператор Л е (D (Л) -> X*) называется
максимальным монотонным, если он монотонен и если из
(f — Ли, и — о) > 0 Vo е D (Л)
следует
и е D (Л) и Au — f.
Замечание 2.3. Очевидно, что максимальный монотонный опе-
ратор не допускает никакого (собственного) монотонного рас-
ширения. Этим оправдывается термин «максимальный моно-
тонный».
Замечание 2.4. Согласно лемме 1.3 каждый радиально не-
прерывный монотонный оператор Ае(Х-*Х*) является макси-
мальным монотонным.
Теорема 2.3. Пусть Л е (D (Л)-► X*)— радиально непрерыв-
ный максимальный монотонный оператор с линейной областью
§ 2 Теоремы существования
99
определения D (Л) cz X и А @ (X —► X*) — радиально непрерыв-
ный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда при любом
f^X* уравнение
Au + Au = f	(2.4)
имеет решение и s D (Л). Если, кроме того, А является строго
монотонным, то уравнение (2.4) имеет точно одно решение.
Доказательству теоремы 2.3 предпошлем одну лемму.
Лемма 2.2. В условиях теоремы 2.3 пусть F— произвольное
линейное конечномерное подпространство в D(A). Тогда урав-
нение
{ЛмР + AuP-f,h) = 0 yh&F	(2.5)
имеет решение Up е F, причем ||«у|| М и ||Аир||» М с не
зависящей от F постоянной М.
Доказательство. Пусть /j-е (F—*X)— оператор вложения F
в X и Ip e(X*->F*)—сопряженный к 1р оператор. Оператор
Л(Л +А)Л> e(F->F*) является (см. лемму 1.4) радиально не-
прерывным, монотонным и, в силу неравенства
(4(Л4-А)/Лх, х) = (Лх + Ах, х> —
= (Лх — ЛО, х) 4- {Ах, х) + (ЛО, х)
> (Ах, х>—1| ЛО И,|| х ||>|| х || (v (|| х ||)-|| ЛО ||.), (2.6)
коэрцитивным. Поэтому согласно теореме 2.1 существует реше-
ние Up е F уравнения
I*p{A + A)IFuF^rpf.
Очевидно, Up удовлетворяет уравнению (2.5). Из (2.5) с учетом
(2.6) получаем
Y (II иР ID <II f IL + II ЛО И.	и {AuF, иР} <(|| f II, +1| ЛО ||.) || up ||.
По следствию 1.2 отсюда вытекает ограниченность ||uF|| и ||АиР||.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2.3. Обозначим через Ф множество
всех конечномерных подпространств F в D(A) и для каждого
Fo е Ф положим
Up, = И {{up, Aup}<^FУ^Х*\ир удовлетворяет уравнению (2.5)}.
р=>р.
По лемме 2.2 множество Up, непусто и Up, с. К. для некото-
рого не зависящего от выбора F^ шара К пространства X X X*.
Если Fi, ..., Fn е Ф — произвольные конечномерные подпро-
4’
100
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
странства в D(A), то для каждого подпространства FeO, та-
п
кого, что F зэ U Pit выполняется включение
п Up.=>Up^0.
i-i *
По следствию из теоремы 5.10 гл. I существует точка {и, w} е
которая для любого ГеФ лежит в слабом замыка-
нии множества Up. Покажем, что и является решением уравне-
ния (2.4). Пусть у е D (Л) и х е X — произвольные элементы.
Выберем FeO так, чтобы y^F. Тогда для {up, AuF{^UF
имеем
0 = {AuP + Aup — f, y — Up} =
= (Л^ + Aiip — f, y — Up) + {AuP — Ay, y — Up)^
<(Ai/ + Аир — f, y — up)^
^.(Ду + Aup — f, y — Up)Ar{Ax — Aup, x — uF).
Поскольку {и, w} лежит в слабом замыкании множества Up, то
мы можем выбрать последовательность {uit Aut} е Up таким
образом, чтобы и, и в X и Ащ-^w в X*. Заменяя в послед-
нем неравенстве {«F, Аир} на {«<, AmJ, получаем, что для произ-
вольных хеХи t/eD(A)
0 < lim ((Аг/ + Ащ — f, у — ut) + {Ах — Аи{, х — ut)) —
£->оо
= lim {{Ay — f, y — Ui) + {Ax, x — ul') + {Aul, y — x)) =
i->OO
= {Ay — f, y — u} + (Ax, x — u) + {w, y — x) =
= {Ay — f + w, у — ti) + {Ax — w,x — u).	(2.7)
Полагая в этом неравенстве х = и, находим, что
0 < {Ay — f 4- w, у —и} VyeD(A).
В силу максимальности монотонного оператора Л отсюда сле-
дует, что usD(A) и Аи = f — w. При у = и из (2.7) получаем
0 {Ах — w, х — ы)	Vx е X.
Поэтому, на основании леммы 1.3, Аи = w. Следовательно,
Аи + Аи = f.
Пусть оператор А является вдобавок строго монотонным.
Если oeD(A) — другое решение уравнения (2.4), то
0 = {Аи — Av + Ли — Av, и — v)^ {Аи — Av, и — w),
откуда и — v. Теорема доказана.
§ 3 Приближенные методы
101
Замечание 2.5. От предположений линейности множества
D(A) и радиальной непрерывности оператора Ae(D(A) ->Х*),
налагаемых в теореме 2.3, можно освободиться (см. Браудер
[10]). Однако в тех ситуациях, где нам понадобится применять
теорему, эти упрощающие доказательство предположения вы-
полняются.
§ 3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
В данном параграфе мы обосновываем различные прибли-
женные методы решения уравнений с монотонными операторами.
Параграф разбит на четыре пункта. В п. 1 доказывается сильная
сходимость метода Галёркина. Пункт 2 посвящен итерационным
методам. В п. 3 обсуждается так называемый проекционно-ите-
рационный метод, представляющий собой комбинацию метода
Галёркина и итерационного метода. В этих трех пунктах мы
рассматриваем операторы с (S)-свойством или сильно монотон-
ные операторы. В п. 4 вводится один регуляризационный метод,
позволяющий некоторые (вообще говоря) многозначно разре-
шимые задачи с (просто) монотонными операторами аппрокси-
мировать однозначно разрешимыми задачами, в которых опера-
торы обладают (S)-свойством.
1. МЕТОД ГАЛЁРКИНА
Пусть, как и при доказательстве теоремы 2.1, {hn} cz X —
какая-нибудь полная система линейно независимых элементов
в X.
Определение 3.1. Элемент ип^Х вида
п
Iе!
назовем п-м решением Галёркина (или галёркинским решением)
уравнения
Au = f	(3.1)
(относительно системы {/in}), если вектор {а"..а"|е7?"	яв-
ляется решением, вообще говоря, нелинейной системы уравнений
<Я«Л, Й/) = (Д ЙД	л.	(3.2)
Замечание 3.1. В § 2 гл. II мы провели переход от краевых
задач для нелинейных эллиптических дифференциальных урав-
нений к операторным уравнениям вида (3.1), где оператор А
обладает специальным представлением А = L*A0L. Явные кон-
структивные описания давались при этом по ходу дела для
операторов L и Ао, но не для сопряженного к L оператора L*.
102	Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
Однако для реализации метода Галёркина это не является по-
мехой, поскольку уравнения Галёркина (3.2), очевидно, можно
переписать в виде
(/,	1 1, • • ., и*
Пусть Хп — линейное подпространство в X, натянутое на
hlt .... hn, с нормой, индуцированной из X. Обозначим через
/пе (%„-*/) оператор вложения Хп в X и через Гп е(Х*->Х‘)
сопряженный к 1п оператор. Уравнения Галёркина (3.2), ввиду
равенства 1пип = ип, можно также записать как операторное
уравнение в Хп, а именно в форме
U-f,	f.-rjsx-.. (з.з)
Так как ||7nunll = ll«nll. то согласно лемме 1.4 свойства опера-
тора А переносятся на оператор Ап. Этот факт будет использо-
ван, в частности, в следующем пункте при итеративном решении
уравнения (3.3).
Теорема 3.1. Пусть Ае(Х —► %*)— радиально непрерывный
строго монотонный коэрцитивный оператор. Тогда при любом п
существует точно одно решение Галёркина ип и ип-^ и в X.
Это и является (единственным) решением уравнения Аи = f.
Доказательство. Существование единственного решения ип
системы (3.2) следует в силу теоремы 2.2 из отмеченной выше
эквивалентности системы (3.2) и уравнения (3.3). (Оператор
Ап радиально непрерывен, строго монотонен и коэрцитивен.) На
основании теоремы 2.2 уравнение (3.1) также обладает точно
одним решением. При доказательстве теоремы 2.1 уже был при-
менен метод Галёркина и было показано, что каждая слабо
сходящаяся подпоследовательность {иПк} слабо компактной по-
следовательности {ип} слабо сходится к решению уравнения
(3.1). Из единственности и обычным образом (ср. с леммой 5.4
гл. I) следует, что ип и в X. Теорема доказана.
Теорема 3.2.Пусть А^.(Х-+Х*)— радиально непрерывный
строго монотонный коэрцитивный оператор, обладающий
(S)-свойством. Тогда при каждом п существует точно одно ре-
шение Галёркина ип и ип~* и в X. Это и является (единствен-
ным) решением уравнения Аи = f.
Доказательство. Согласно теореме 3.1, ип~^и в X, поэтому
II Un II Afj. В силу (3.2),
(Аип, un} = (f, «„)<||f lUlWnlKllfll.^^^,
откуда (по следствию 1.2) ||Л«П||, Ввиду полноты системы
{пп} в X существует такая последовательность {t>n}, v„GXn, что
§ 3. Приближенные методы
103
||vn — u|| —> 0. Из (3.1) и (3.2) получаем
0 = (Aun — Au, un — vn) = {Aun — Au, un — u) + {Aun — Au, u —
так что
(Ли„ — Au, un — м)<|{Aun —Au, u — vn)|<
< (II Л«„ II, + II Ли HJH u — on |K
< (АЦ-1| Au II,) || u -vn 1X0.
На основании (S)-свойства заключаем, что ||un — u|| —*0. Тео-
рема доказана.
Приведем еще теорему об оценке погрешности метода Галёр-
кина.
Теорема 3.3. Пусть оператор А е(Х ->Х*) сильно монотонен
и липшиц-непрерывен. Тогда, в обозначениях теоремы 3.2, имеет
место оценка
\\un-u\\^-d(Xn, и), d(Xn, u) = inf ||t» —u||,
где M — постоянная Липшица, am — постоянная монотонности
для А.
Доказательство. Для любого v <= Хп
0 = {Аип — Au, un — v} = (Аип — Au, ип — и) + {Аип — Au, u — v)
и, значит,
m || ип — и ||2 < М || ип — и || || и — v ||,
т. е* ||un — u||	(A4/m)||u — о||. Отсюда следует, что
IK-«ll<-£d(xn, «)•
Теорема доказана.
2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В этом пункте X — сепарабельное гильбертово пространство
со скалярным произведением (•, •) и /е(Х-*Х*)— (линейное)
дуализующее отображение для X.
Замечание 3.2. Если У — какое-нибудь другое гильбертово
пространство и L е (X —► У) — такой линейный оператор, что
||Lx||о = И для каждого х^Х, то J допускает представление
J = L*L (см. замечание 2.4 гл. II). Например, для пространства
X = Ho(G) с нормой ||а|| = ( | gradul2*/*) 2 имеем 1 —
= —div grad = —A.
104
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
Основную роль при доказательстве сходимости рассматривае-
мых далее итерационных методов играет
Лемма 3.1. Пусть X — гильбертово пространство и В&
е(Х—>-Х)— такой оператор, что
(Вх — By, х — у) > т || х - у ||2, /п > 0, || Вх — Bt/||<M||x — г/1|
Vx, Чу<=Х.
Тогда оператор СЛе(Х—*Х), определенный формулой
Utx = x — tBx VxeX,
является сжимающим при t е (0, 2/п/Л12) и
II£7/Х —	||^ й (0II х — г/II, где k (0 = (1 — 2mt + М№)'г < 1.
Доказательство. Для любых х, у е X имеем
II Utx — U ty ||2 = || х — tBx — (у — tBy) ||2 =
= II х — у II2 — 2/ (Вх — By, х — у) + i21| Вх — By ||2 <
IIX — у II2 — 2Z/n II х — у II2 + /2Л42|| х — у II2 =
= (*(/)Их - I/II)2.
Лемма доказана.
Теорема 3.4. Пусть X — гильбертово пространство, f е X* и
А е (X X*) — такой оператор, что
Ах — Ау, х—f/»/n|| х—у Ц2, m > 0, || Ах — Ay ||,< М || х — у || (3.4)
Vx, уу^Х.
Тогда уравнение Аи — f имеет точно одно решение иеХ. При
любых t е (0, 2т/М2) и v0 е X элемент и является сильным
пределом последовательности итераций, задаваемых правилом
Jv{ = Jvi-l — t(Avi-l — f),	i==l,2......... (3.5)
Имеет место следующая оценка погрешности:
где
k = k (/) = (1 - 2mt + М2/2)7’ < 1.
Доказательство. Очевидно, задача решения уравнения Аи = f
эквивалентна задаче нахождения неподвижной точки
u — Utu, cjifi Utx — x — tBx,	Bx°*= J~l (Ax — f) Vx^X.
В силу свойств дуализующего отображения для гильбертова
пространства, свойства (3.4) оператора А переносятся на опера-
тор В. Следовательно, ввиду леммы 3.1, отображение Ut ежи-
§ 3 Приближенные методы
105
мающе. Поэтому доказываемые утверждения непосредственно
вытекают из принципа неподвижной точки Банаха (теорема 2,1
гл. I). Теорема доказана.
Замечание 3.3. Функция k принимает минимальное значение
k0 = k (t0) = (1 — (т/М)2)'1г в точке t = to = т/М2.
Замечание 3.4. В следующем параграфе (в п. 4) мы еще
вернемся к итерационному методу (3.5). Для так называемых
потенциальных операторов мы проинтерпретируем (3.5) как
градиентный метод. В этом случае удается доказать коррект-
ность метода (3.5) для рефлексивных банаховых пространств и
улучшить данную выше оценку погрешности.
Замечание 3.5. Полагая t = to и Vo = 0, получаем, что для
/ = 1, 2, ...
Ho/IKII^-ulH-llulK-j-^I^O-flL + llulK
<^11Л0-п + и«11.
В силу оценки ||u||^-^-||f — A0||„ вытекающей из неравенства
щ||и|р«Аи-АО, u) = (f —АО,	AO|LII«||,
находим:
ИоЛС^ИЛО-fib
Это означает, что итерационный метод (3.5) не выводит из шара
К. = | v | v е X, || v || < -^|| АО — f It }. Следовательно, достаточно
требовать выполнения условия (3.4) лишь для и, и е К.
При итерационном методе (3.5) нахождение решения нели-
нейной эллиптической краевой задачи сводится к нахождению
решений последовательности подобных линейных задач. Пока-
жем теперь, что аналогично задачу определения галёркинских
приближений из нелинейных уравнений (3.2) (соотв. из урав-
нения (3.3)) можно свести к последовательному решению ли-
нейных алгебраических систем уравнений.
Теорема 3.5. В условиях теоремы 3.4 уравнение Галёркина
(3.3) при каждом п имеет точно одно решение ип е Хп. При
любых t е (0, 2т/М2) и vn, 0 е Хп это ип является сильным пре-
делом в Хп последовательности {«„.J, определяемой правилом
^пРп, i ==	t(AnVnti — \ fn), 1=1,2, ...,
л=/у/п, а =/*а/, f*=rnf, { ’
п п tv п 1% П’ • 1% П1 2
106
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
и справедлива оценка погрешности
II i Un II \ — k " ^nVn* 0	\ — k 'I 0 II**
Доказательство. Нетрудно видеть, что оператор Ап ^(Хп -> X*)
удовлетворяет следующим условиям, соответствующим в нашей
теперешней ситуации условиям (3.4):
(Апх — Апу, х — у} m || х — у Ц2, || Апх — Апу ||х« <
<Л1||х — г/1| у*. VZ/e*„.
Так как Jn ® (Xn-* X*) является дуализующим отображением
для пространства Хп, то доказываемые утверждения следуют из
теоремы 3.4, примененной к случаю оператора Ап е (Хп-> X*).
Теорема доказана.
Замечание 3.6. Поскольку 1пип = ип, то (3.6) можно записать
также в виде
Qvn,it ht) = {Jvnii-i, hl) — t{Avnti-l — f, hf}, (3.7)
j — 1................n, i = 1, 2.......
Если J и А обладают представлениями
J = L*L, A = L*A0L, Ls(X->y), Ло g= (У -> Y* = Y),
то система (3.7) переходит в линейную алгебраическую систему
уравнений
СХ=&‘-*
п п п
относительно неизвестных векторов-коэффициентовaln = (aln t>...
..., а‘пп}. Здесь для j, k = 1..n
Vn, i ~ an, k^k’ = (C/fe)’ C/fe = <^/> ^k)o>
= ........................
bn, t (7-On, t—i tAoLvn, i—iLhii)o t (f, hk).
3. ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД
Пусть, как и в предыдущем пункте, X — гильбертово про-
странство.
Выше мы привели два варианта аппроксимаций для опера-
торных уравнений Au = f:
1) аппроксимация нелинейными уравнениями в конечномер-
ном пространстве Хп по методу Галёркина;
§ 3 Приближенные методы
107
2) аппроксимация линейными операторными уравнениями в
X с помощью итерационного метода (3.5).
Скомбинируем теперь обе возможности. Это даст нам проек-
ционно-итерационный метод, при котором уравнение Аи — f
аппроксимируется линейными операторными уравнениями в ко-
нечномерных пространствах. Для обоснования метода нам пона-
добится одна лемма, которую, имея в виду дальнейшие приме-
нения, мы сформулируем для случая банаховых пространств.
Лемма 3.2. Пусть Z — банахово пространство с нормой || • ||
и {Zn} — такая последовательность его замкнутых подпро-
странств, что Zncz Zn+i cz ... czZ. Пусть далее, {L/n} — после-
довательность операторов Un^(Zn-*Zn), такая, что
||17«« —С/яо||<И«-«||, 0<k < 1, V«,VoeZ„, и=1,2..........
неподвижные точки ип которых сильно сходятся в Z к некото-
рому элементу usZ. Тогда при любом еZ\ последователь-
ность
—	п=1,2.......
тоже сильно сходится к и.
Доказательство. Имеем
II »п — и»II <И »п-1 — «П1КИ о»-1 — «»-1 II + Ии»-1 — «»IK- • • <
71—1
Vo- «111+ Е kn~l ||ui+I - «ill.
При подходящем выборе щ для п^п\ выполняется неравенство
||un+i — unII<8(1 — k)/3. кроме того, ||ыг+1 —«4||<С для 1=1,
2, . . ., и При ПОДХОДЯЩИХ «2. «3
Cnikn~n' < -я-	ДЛЯ п «2,
о
fe’llvo —«111<у	ДЛЯ п>п3.
Таким образом, для n n0 = шах {пь «г, «з)
П1	п—1
iivrt-u„iK|+£ii«i+i-«fii^"<+ £ иut+l-iikn~l<
П1	n—1
c| + £ii«t+i-«<ii*n_/+Jdlf^- 2
1-1	i-n,+l
<^- + П|СЛл-л,<в.
о
108
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
Следовательно, ||оЛ — u|KI|on — «п 11 + 11 —«II-*0 при п->°о.
Лемма доказана.
Теорема 3.6. В предположениях теоремы 3.4, проекционно-
итерационная последовательность {шп}, определенная правилом
hwn = ]nwn-i — t(Anwn-i — fn), /1=1,2,...,	(3.8)
при любых a»oeXi и /е(0, 2/n/Af2) сильно сходится к решению
и уравнения Аи = f.
Доказательство. Правило (3.8) можно переписать в виде
=	,, где Uw = w — tJ~i(Aw — f„\, V®gX.
п п п-р	п	п \ п 'пр	п
Как уже было отмечено при доказательстве теоремы 3.4, опера-
торы Un е(Хп -> Хп), п=1, 2, .... являются сжимающими с
постоянной сжатия k = k(t) = (\— 2mt + t2M2)4t. Неподвижные
точки операторов Un служат, очевидно, галёркинскими прибли-
жениями ип для и. В силу теоремы 3.2, при заданных предполо-
жениях ип—*и в X. Поэтому применима лемма 3.2 (с Z = X и
Zn = Хп). Теорема доказана.
4. ОДИН АППРОКСИМАЦИОННЫЙ МЕТОД
ДЛЯ НЕОДНОЗНАЧНО РАЗРЕШИМЫХ
ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
В этом пункте мы займемся аппроксимацией монотонных
операторов операторами с (S)-свойством.
Теорема 3.7. Пусть Ле(Х->Х*) — радиально непрерывный
монотонный коэрцитивный оператор и В е(Х->Х*)— радиально
непрерывный строго монотонный ограниченный оператор. Пусть,
далее, g еХ’ — произвольный элемент и {е<} — сходящаяся к
нулю последовательность положительных вещественных чисел.
Тогда справедливы следующие утверждения. Множество
К —	Ли = /} непусто, слабо замкнуто и выпукло. Для
каждого i = 1, 2, ... уравнение
AiUi^h, A^A + eiB, Ь = ! +	(3.9)
имеет точно одно решение щ, и	в X. Этот элемент
Uo& К однозначно определяется как решение неравенства
(Buo — g, о — Uo}^0, Vv&K.	(3.10)
Если В дополнительно обладает (S)-свойством, то в X.
Доказательство. Первое утверждение идентично утверж-
дению теоремы 2.1. Для i = 1, 2, ... при заданных предположе-
ниях оператор А, радиально непрерывен, строго монотонен и
коэрцитивен. Поэтому, согласно теореме 2.2, существует точно
§ 3. Приближенные методы
1о&
одно решение уравнения (3.9). Остальные утверждения докажем
в шесть этапов.
1.	Последовательность {mJ ограничена. Действительно, из
(3.9) получаем
О = {AtUt — fit ut) = {Aut 4- ZiBut — f — zig, ut) =
= {Aut — f, ut) + ez {{But — BQ, u{) + {BQ — g, щ))
>	{Aui — f,Ui) 4- 8,- {BO — g, ut)
>	II ut || (y (|| ut ||) -1| f ||, - Zi || BO - g |L).
Так как y(s) -*4-°° при s->oo, отсюда следует, что ]|ы<]| М,
i = 1, 2, ... .
Будучи ограничена, последовательность {«<} слабо ком-
пактна. Пусть {«,•}—такая ее подпоследовательность, что
м, uo е X, и {ё,} — соответствующая подпоследовательность
последовательности {е,}.
2.	Покажем, что Ир е К. Используя монотонность оператора
А и ограниченность оператора В, находим, что для любого о е X
О < lim {AUi — Av, й{ — v) =
f->co
= lim ({f — Av, Hi — o) 4" ёг {g — Вй{, «< — »)) =
f->oo
= {f — Av, u0 — v).
В силу леммы 1.3, из последнего неравенства вытекает, что
Аи0 — f, т. е. Ир е К.
3.	Покажем, что {Ви0 — g, v — u0) О Xfv е К. Пусть
= и0 4- t(v — «о), t [0, 1]. Так как ut е К, то, ввиду (3.9),
О = (Лйг — Aut, й{ — ut) 4- ё( {Bitt — g, й{ — ut)
> zi {Bui — g,Ui — щ),
откуда
0><Вйг — g, Uf — ui) =
= {But — But, ut — ui) 4- {But — g, ut — ut)
^{But — g, ut — ut).
Переход к пределу при i -> оо дает
— g, ut — Uo) = i{But — g, v — uo).
Деля на t и переходя к пределу при /-*0, получаем в силу
радиальной непрерывности В соотношение 0 {Ви0—g, v—и0).
4.	Неравенство (3.10) имеет только одно решение и0. Дей-
ствительно, пусть v0^ К — какое-нибудь другое его решение.
Тогда
0>{Bup —g, ир—р0) и 0>(g — Во0, up — о0).
по
Гл. Ш. Уравнения с монотонными операторами
Складывая эти соотношения, находим
О > <В«о — Bv0, «о — Vo)-
Вследствие сильной монотонности В отсюда вытекает, что
«о = Оо-
S.	Покажем, что в X. Последовательность {uj слабо
компактна. Для каждой ее слабо сходящейся подпоследователь-
ности {й{} имеем Ui-^uo, и стандартное рассуждение (ср. с
леммой 5.4 гл. I) показывает, что щ «о.
6.	Пусть оператор В обладает (S)-свойством. Покажем, что
► «о в X. Имеем
О = (Аи{ — Лио + в,(Ви, — g), ut — uo)^в,{Bui — g,Ui— uo>;
поэтому
0>(Виг — g, ul — u0) = {Bui — Bu0, Ut — u^ + lfiub — g, Ui — Uo),
откуда
(But — Buq, u{ — UoX(g — Buo, щ — Ио>-*0.
На основании (S)-свойства оператора В заключаем, что
Ui Uq.
Теорема доказана.
Замечание 3.7. Если X равномерно выпукло, а X* строго вы-
пукло, то дуализующее отображение J для пространства X удов-
летворяет условиям, наложенным на В (см. лемму 5.6 гл. I и
замечания 1.4, 1.5). Таким образом, в этом частном случае
можно регуляризировать с В = /.
§ 4. МОНОТОННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Многие из результатов, изложенных в предыдущих парагра-
фах, были сначала доказаны для потенциальных операторов
(см. определение ниже) и лишь потом обобщены на случай не-
потенциальных операторов. Однако имеется ряд результатов
для потенциальных операторов, которые не имеют соответствую-
щих эквивалентов без предположения потенциальности. Именно
такие результаты являются главной темой настоящего пара-
графа.
Параграф разбит на пять пунктов. В п. 1 мы даем необхо-
димые и достаточные условия потенциальности. Примеры по-
тенциальных операторов приводятся в п. 2. В п. 3 обсуждаются
связи между выпуклыми функционалами и монотонными опера-
торами, а также существенные для нас свойства выпуклых
функционалов. Пункт 4 посвящен приближенным методам реше-
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
111
ния уравнений с потенциальными операторами. Наконец в п. 5
мы формулируем некоторые утверждения двойственности и на
их основе получаем оценки погрешности.
В этом параграфе оказывается целесообразным модифици-
ровать понятие функционала таким образом, чтобы в качестве
его значений допускалось значение +°°- Итак, до конца этого
параграфа под функционалом F мы понимаем отображение из
X В (—оо, 4-оо].
1. КРИТЕРИИ ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ
Определение 4.1. Функционал F называется
тривиальным, если F(x)= -{-оо VxeX;
конечным, если F(x)e(—оо,-|-оо) Xfx^X.
Конечный функционал называется дифференцируемым по
Гато, если существует такой оператор	что для
любых х, у е X
lim (F (х + ty) — F (х)) = <Дх, у}.
<->о 1
При этом А называют градиентом функционала F. Оператор
Ае(Х-*•%♦) называется потенциальным, если существует та-
кой конечный функционал F, что А является его градиентом.
В этом случае F называют потенциалом оператора А.
Замечание 4.1. Пусть оператор Ле(Х->Х*) радиально не-
прерывен и является градиентом функционала F. Тогда
1
F (х) = F (0) + J {Atx, х) di	Vx <= X.	(4.1)
о
Доказательство. Для произвольного х е X рассмотрим функ-
цию
/ —>ф(/) = F(/x), I €= [0, 1].
Имеем
<р' (0 = lim --(tx + sx} ~	= (Atx, х>.
S->0	s
Поэтому из радиальной непрерывности оператора А следует, что
1	1
F (х) - F (0) = ср (1) - ф (0) = J ф' (/) di = J {Atx, х) dt.
о	о
В качестве следствия из замечания 4.1 получаем
112
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
Замечание 4.2. Потенциал F потенциального оператора А
определяется однозначно' с точностью до аддитивной постоян-
ной, скажем значения в нуле.
Доказательство. Пусть Ft и F2— потенциалы оператора А
и Fi (0) — F2(0). Ясно, что градиентом функционала F = Fi — F2
является нулевой оператор. Поэтому, согласно замечанию 4.1,
F(x) = F(0) = 0 и, следовательно, Fi — F2.
Лемма 4.1. Пусть Ае(Х->-Х*)— деминепрерывный опера-
тор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
а)	оператор А потенциален;
Ь)	при любых х, у е X
1 1 1
J {Atx, х) dt — {Aty, y)dt=^{A{y + / (х — у)), х —у} dt\
ООО
с)	для любых х, у^Х и любого непрерывно дифференци-
руемого отображения и е ([0, 1]->-Х) с и(0)= у, «(1) = х спра-
ведливо равенство
I	1	1
$ {Atx, х) dt — {Aty, у} dt = {Аи (/), и' (/)) dt.
ООО
Доказательство. а)=>Ь) Для произвольных х, у&Х имеем
(см. замечание 4.1)
1	1	1
§ {Atx, х) dt — {Aty, y)dt’=F{x) — F(y)=^jiF{y-\-t{x — y))dt =
0	0	о
1
=	— у)), x — y)dt.
о
Ь)=фс). В силу деминепрерывности А существует такая
постоянная Mf что для любых t, t, se [0, 1]
|| А (и (s) + т (и (t) — и (s))) ||. < М.
Рассмотрим на [0, 1] вещественную функцию
1
t —> <р (!) = {Ахи (/), и (/)) dx.
о
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
113
Ввиду Ь) (см. также лемму 1.1 гл. IV)
IФ (У) — Ф (s) I =	и (Ф — $ {Аги и ^х =
о	о
1
(4 (и (s) + т (и (У) — и (s))), u(t) — u (s)} dr
о
<М||и(У) — «(s)||<M|У — s| max ||и'(т)||,
те [0, 1)
т. е. функция <р липшиц-непрерывна и, значит, абсолютно непре-
рывна. Следовательно,
1	1	1
{Atx, х} dt — {Aty, у) dt =* <р (1) — <р (0) = <р' (У) dt.
0	0	о
С другой стороны, из (4.2) следует на основании интегральной
теоремы о среднем, что при подходящем т0=т0(з, t) е [0, 1]
Ф'И = ПтФ(1-;|(,)=	'
= lim (А (ц (У) + т0 (и (з) - и (У))),	= {Аи (У), и' (У)).
Поэтому справедливо с).
1
с)=>а). Покажем, что функционал x-*F(x) = {Asx, x}ds
о
является потенциалом оператора А. Пусть щ (s) = х + sty. Тогда
при указанных предположениях имеем для любых У е /?*, х,
у е X и подходящего з0 €= [0, 1]
/->0	*
1
{As{xA-ty), xA~ty)ds— J (Asx,
о
x)ds 1=
= lim у {Aut (s), u't (s)) ds =
i
= lim v ( (Aut (s), ty} ds =
t J
= lim (A (x + soty), y} = (Ax, y).
t->0
114
Гл. Ш. Уравнения с монотонными операторами
Лемма доказана.
Замечание 4.3. Эквивалентность условий а) и Ь) можно без
особого труда доказать для операторов, являющихся лишь ра-
диально непрерывными.
Замечание 4.4. В добавление к лемме 4.1 отметим без дока-
зательства, что деминепрерывный оператор Ле(Х-+Р) яв-
ляется точно тогда потенциальным, когда для каждого непре-
рывно дифференцируемого отображения аб([0, 1]-*^) с
и(0)=и(1) выполняется соотношение
t
J(4u(f), и'(0>Л = 0.
о
Лемма 4.2. Пусть оператор Де(Х-*Х*) дифференцируем
по Гато и для любых элементов х, у, h е X функция
{s, t} -► {A' (h + sx + ty) х, у)
непрерывна на [0, 1] X [0. !]• Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
а)	оператор А потенциален;
Ь)	{А' (й) х, у} = {А' (Л) у, х) для всех х, у, h е X.
Доказательство. а)=>Ь). При подходящих х( е [0, /], 1=1,
2, 3, 4,
Фл. х. у (0 = F (h + tx + ty) - F (h + tx) - (F (A 4- ty) - F (ft)) =
t
= ^{Afji + tx + sty) — A(h + siy), y)dsi =
о
t t
= Ц (Д' (ft 4- Siy 4- s2x) X, y) ds2 dsi =
0 0
= t2 (Д' (ft 4- Xiy 4- x2x) X, y).
Очевидно, <pA, x, y (f) = <pA, y, x (t). Поэтому
t2 (Д' (ft 4- *\У 4- r2x) x, у) = t2 (Д' (ft 4- тчх 4- x4y) y, x).
Разделив на t2 и перейдя к пределу при / —► 0, получим
(Д'(/г)х, у) = {А'(h)y, х>.
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
115
Ь)=>а). Имеем
1	1
J (Atx, х) dt — J (Aty, у) dt =
о	о
1	1
«= (Atx, х —у) dt+ J (Aix — Aty, у) dt =
о	о
-=$<А/х, х — у) dt + J (ty + s(x — у)){х — у), y)dsdt =
о	оо
1	1 1
= (<А/х, х — y)dt+ ^{A'{ty + s(x — y))y, x — y}dtds=*
О	О в
1	1
= J {Atx, x-y)dt-\- J {А (у + s (х — у)) — Asx, x — y)ds=>
о	о
1
= J {А(у 4- s(x — у)), х — у) ds,
о
откуда в силу леммы 4.1 и следует а). Лемма доказана.
2. ПРИМЕРЫ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Лемма 4.3. Пусть X* строго выпукло. Тогда дуализующее
отображение J&(X —>Х*) является потенциальным оператором
с потенциалом F(x)= ||х||2/2.
Доказательство. При любых х, у е X
{1у, у-х»\\у\?~ ||х|||| f/IOII II2-|(||х||2-Н1г/||2) =
=у и у о2 - т	ip >||х II II у II - IIх и2 ></х« У “
Подставив сюда у — х + th, h&X, получим
t{Jx, h}^ ~ ||х + /й||2-у IIхII2 <,t{J(x + th), й>.
Используя это соотношение, радиальную непрерывность 1 и
строгую выпуклость X*, находим (см. лемму 5.6 гл. I), что
1цх + <Л||2-4-11*И2
lim ----------------= </х, Л>.
t->o	•
Лемма доказана.
116	Гл. HL Уравнения с монотонными операторами
Лемма 4.4. В предположениях леммы 1.4, если оператор До
потенциален, то потенциален и оператор А = L*AqL.
Доказательство. Пусть Fo — потенциал для Аа. Положим
F(x) = F0(Lx) >fx^X.
Тогда
lim 4-(F (х + th) ~ F to) = lim -J- (Fo (Lx + tLh) - Fo (Lx)) =
t->o 1	<->o 1
= (AqLx, Lh)0 = (Ax, h),
t. e. F является потенциалом для А. Лемма доказана.
Лемма 4.5. Пусть е (L? (G) -* Lr (G)) — оператор, опреде-
ленный формулами (1.3) и (1.4). Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
а)	Ао потенциален (с потенциалом Fo(y) = ^(Аоу, z/)0)5
b)	Ь{1(х) = Ьц(х) для почти всех xeG, Z, /=1........г.
Доказательство. В силу линейности Ло имеем A0(h) = A0 для
каждого h е Lr (G). Согласно лемме 4.2, оператор Ло точно
тогда потенциален, когда для любых у, z^Lr (G)
(Дох, у)о = {Айу, г)0.
Очевидно, это будет точно в том случае, когда для почти
всех х е G
Ьц(х) = Ьц(х), I, j=l........г.
Лемма 4.5 доказана.
Лемма 4.6. Оператор Ло е (L? (G) -> L? (G)), р > 1, i -J- — = 1 f
определенный формулами (1.3) и (1.5), является потенциальным
с потенциалом
I у (X) 1
Fo(y)= J J <р(х, sp~l)sp~l dsdx.
а о
Доказательство. Для у, z^L? (G)
1 y+t* 1
lim-J-(F0(y + tz) — F0(y)) = -^r \	\ <p(x, s'’-1)s”-1 dsdx|<_0 =
t->°	J J
r
= $ Ф (x, I у f) | у I"-2 У ytZt dx = (A^y, z)o.
о	,-i
Лемма доказана.
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
117
Замечание 4.5. Нетрудно убедиться, что указанная в заме-
чании 1.12 модификация также приводит к потенциальному
оператору.
3 МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
Определение 4.2. Функционал F называется выпуклым, если
выпукло множество *)
epi F = {{х, а} | {х, а} е X X Я1, F (х) < а},
и слабо полунепрерывным снизу, если это множество слабо
замкнуто в X X /?*•
Замечание 4.6. Для конечных функционалов можно дать сле-
дующие эквивалентные определения выпуклости и слабой полу-
непрерывности снизу: функционал F называется выпуклым, если
для любых х, у <= X и t <= [0, 1]
tF (х) + (1 - О F (у) > F (tx + (1 - /) у),
и слабо полунепрерывным снизу, если из того, что хп -» х в X,
следует, что F(x)< lim F(x„).
П->оо
Прежде чем приступить к установлению связи между моно-
тонными операторами и выпуклыми функционалами, приведем
некоторые основные свойства выпуклых, соответственно слабо
полунепрерывных снизу функционалов.
Лемма 4.7. Пусть F — выпуклый слабо полунепрерывный
снизу функционал и F(x) <-|-оо для некоторого заданного
х s I Тогда для любого вещественного числа d > 0 можно ука-
зать такое х* е X*, что
F(y)>F(x) + {x*, у — х) — d Vz/eX
Доказательство. Множество epi F выпукло и слабо замкнуто.
Очевидно, {х, F(x) — d} ф epi F. По теореме 5.6 гл. I существует
такая пара {х*, а*} е X* X что
<х‘, х) + a* (F (х) — d) > sup «х*, у) + а*а).
{у, a}<=epi F
Отсюда и из включения {х, F(x)} е epi F следует, что а*(—d) >
> 0; значит, а* < 0. Поэтому без ограничения общности мы
можем взять а* = —1. Тогда
(х‘, х> — (F (х) — d) > sup «х*. у) — а) = sup «х‘, у) - F (у)),
{у, а}sepi F	у&Х
*) Называемое надграфиком (epigraph) функционала F. У авторов для
него используется менее распространенное и к тому же занятое обозначение
det F. — Прим. ред.
118
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
т. е.
F(r/)>F(x) + « y-x)-d Vy&X.
Лемма доказана.
Замечание 4.7. Если х‘еХ* удовлетворяет соотношению
F(i/)>F(x) + « у-х) УуеХ,
то х* называют опорным функционалом для функционала F в
в точке х. Всякий выпуклый дифференцируемый по Гато функ-
ционал с градиентом А имеет в каждой точке хвгХ точно один
опорный функционал х*, причем х* «в Ах.
Лемма 4.8. Слабо полунепрерывный снизу функционал F на
каждом непустом ограниченном замкнутом выпуклом множестве
К принимает минимальное значение.
Доказательство. Пусть {уп} с= К — минимизирующая после-
довательность для функционала F на К, т. е.
limF(y„)= inf F(y) = d.
П-»оо	У^К
В силу ограниченности К. и рефлексивности X существует под-
последовательность {хп| последовательности {уп}, такая, что
хп-^х в X. Так как К замкнуто и выпукло, то х^К (см. тео-
рему 5.7 гл. I). Из слабой полунепрерывности снизу F и того,
что lim F(xn) = d, вытекает, что F(x)^.d, откуда F(x)= inf F{y).
П->оо	У^К.
Лемма доказана.
Лемма 4.9. Слабо полунепрерывный снизу функционал F,
обладающий свойством
lim F(x) = 4-oo,
принимает на каждом непустом замкнутом выпуклом множе-
стве К минимальное значение.
Доказательство. Пусть у^К — произвольный фиксирован-
ный элемент. Без ограничения общности можно считать, что
F(t/)<4-°°. Согласно предположению, существует R > 0, та-
кое, что F(x)> F(y) при ||х|| Д. В силу леммы 4.8, на вы-
пуклом множестве {х|х<=К, ||х|| С /?} функционал Р достигает
своей нижней грани в некоторой точке х0. Очевидно, в х0 дости-
гается нижняя грань F на всём К. Лемма доказана.
Между монотонными операторами и выпуклыми функциона-
лами имеются очень тесные связи, аналогичные известным из
вещественного анализа связям между монотонными и выпук-
лыми функциями. К описанию некоторых из них мы теперь и
переходим.
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
119
Лемма 4.10. Пусть конечный функционал F обладает гра-
диентом А е (X -> X*). Тогда следующие утверждения эквива-
лентны:
а)	функционал F выпукл;
Ь)	для любых х, ysX функция $->ф(з) = F(xA-sy) вы-
пукла;
с)	оператор А монотонен;
d)	F(y)^F (х) + {Ах, у — х) Ух, У у е X.
Доказательство. а)=>6). Для /е[0, 1] и sb s2e/?* имеем
/ф («О + (1 — 0 Ф («2) — Ф {tsi + (1 — t) s2) =
= tF {x + s{y) + (1 — /) F (x + s2y) — F (x + (tst + (1—0 «2) y) =
= tF (x + si y) + (1 — 0 F (x+s2y) — F (t(x+Siy) + (1 — t) (x+s2y)) > 0.
b)=>c). Функция ф обладает производной =
= {A(x A- ty), у). В силу хорошо известных свойств дифферен-
цируемых вещественных функций выпуклость ф влечет возраста-
ние ф'. Согласно лемме 1.1, этим обеспечена монотонность А.
c)=^d). Функция t—►<p(f)= F(x + t(y — x)) дифференци-
руема на [0, 1]. Производная
t -* ф' (0 = {А (х +1 {у — х)), у — х)
конечна и монотонна на [0, 1]. Поэтому по известной теореме
вещественного анализа (см. Натансон [1])
1
Ф (1) — <р (0) = J <р' (0 dt.
о
Отсюда на основании монотонности А следует, что
1
F (у) — F (х)=^{А(х + t (у — х)), y — x)dt^{Ax, у — х).
о
(1)=фа). Положим х« = /х + (1— t)y. Если выполнено d), то
для любого t е [0, 1]
F (х) > F (xt) + {Axt, х — xt),
F{y)>F(xt) + {Axt, у — xt).
Умножив первое из этих соотношений на t, второе — на (1 — /)
и сложив, получим
/F(x) + (l-0F(y)>F(x<).
Лемма доказана.
120
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
Замечание 4.8. Эквивалентность условий а) и Ь) можно без
труда доказать и без предположения о дифференцируемости по
Гато функционала F.
Следствие 4.1. Каждый конечный выпуклый дифференци-
руемый по Гато функционал F слабо полунепрерывен снизу.
Доказательство. Пусть {хп} cz X — такая последовательность,
что хп х в X. Тогда в силу d)
Р W < F (х„) + {Ах, х — хп}
и, следовательно,
F (х) < lim {F (х„) + {Ах, х — х„» = lim F (х„).
П-»оо	П-»оо
Замечание 4.9. В следствии 4.1 предположение дифференци-
руемости по Гато существенно, а именно существуют конечные
выпуклые функционалы, не являющиеся слабо полунепрерыв-
ными снизу.
Лемма 4.11. Пусть	>Х*) — потенциальный оператор
с потенциалом F. Для того чтобы элемент и^Х удовлетворял
уравнению
Au = f,	(4.3)
достаточно выполнения условия
F (и) — {f, и) = min (F (») — {f, о».
v^X
Если оператор А вдобавок монотонен, то это условие также и
необходимо.
Доказательство. Пусть
F (и) — {f, и) = min (F (о) — {f, о)).
v&X
Тогда при любом h^X
о = lim ^(« + ^)-Л»). _	= (Ли> ^ = {Аи_ f' hy
В силу произвольности h отсюда следует, что Аи = f.
Пусть оператор А вдобавок монотонен. Поскольку Аи = fy то
по лемме 4.10 для любого и е X
F(v) — (f, v)-(F(u)-{f9u)) = F(v)-F(u)-{Aut v-u)^0.
Лемма доказана.
Лемма 4.12. Каждый монотонный потенциальный оператор
Д^(Х—►%♦) деминепрерывен.
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
121
Доказательство. Пусть F— потенциал для А. На основании
леммы 1.3 достаточно показать, что из соотношения
(f — Av,u — v)^0 VceX	(4.4)
следует, что Au — f. Если в (4.4) подставить vt = и + t(у — и),
/ > 0, вместо v и воспользоваться леммой 4.10, то мы получим
<f, t(v — u)}^t{Avt, v — u)^l(F(vt + v— и) — F(vt)) =
— t(F (v + t (v — и)) — F(vt)).
Деля на t, находим, что
(f, v — u}^ lim (F (v +t (v — и)) — F (vt)) = F (o) — F («).
i->0
Отсюда по лемме 4.11 следует, что Au = f. Лемма доказана.
Следствие 4.2. Пусть Ае (Х->Х*) — монотонный потенциаль-
ный оператор. Элемент иеХ точно тогда является решением
уравнения Au = f, f е X*, когда он доставляет минимум на X
функционалу
1
(Atv, v) dt — (f, о).
о
Доказательство. По лемме 4.12 оператор А радиально не-
прерывен. Согласно замечанию 4.1 он обладает потенциалом
F (о) = j (Atv, v) dt.
Наше утверждение непосредственно вытекает поэтому из
леммы 4.11.
Как мы покажем ниже, в случае уравнений с потенциаль-
ными операторами основную теорему теории монотонных опе-
раторов (теорему 2.1) можно доказать при помощи вариацион-
ного метода, т. е. путем сведения рассматриваемого уравнения
к задаче минимизации некоторого функционала.
Теорема 4.1. Если Ае(Х->Х*)—монотонный, коэрцитив-
ный потенциальный оператор, то уравнение Au = f при любом
f е X* имеет решение.
Доказательство. По лемме 4.12 оператор А радиально не-
1
прерывен. Функционал F (х) = J (Atx, х) dt — (f, х) согласно
о
лемме 4.10 удовлетворяет предположениям следствия 4.1 и, зна-
чит, слабо полунепрерывен снизу. Далее, из монотонности и ко-
122
Гл. HI. Уравнений с монотонными операторами
эрцитивности А вытекает, что
1	1
F (х) = (Л/х, х) dt — {f, х) = J {Atx — ЛО, tx) -j- — (f — ЛО, x)
о	0
1
> $<Л/х-Л0, x)dt-{f-AO, x)>
V»
>W(4vm_|f44)
->4-00
при ||x||->oo.
Поэтому из лемм 4.9 и 4.11 следует существование решения
уравнения Аи = f. Теорема доказана.
1
Следствие 4.3. Потенциал F (х) = {Atx, х) dt всякого моно-
о
тонного коэрцитивного потенциального оператора ограничен
снизу.
Доказательство. Пусть и — решение уравнения Аи = 0.
В силу леммы 4.11
F(v)>F(m) Vvi=X.
4. ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД, МЕТОД РИТЦА,
ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД
В § 3 мы дали обоснование итерационного и проекционно-
итерационного методов решения нелинейного операторного урав-
нения Аи = f для того случая, когда А есть отображение гиль-
бертова пространства X в сопряженное пространство X* (см.тео- I
ремы 3.4 и 3.6). В этом пункте мы покажем, что указанные ме-
тоды в принципе годятся также и для решения уравнений вида |
Аи = f в банаховых пространствах, если оператор А является ’
потенциальным. Более того, для потенциальных операторов мы
улучшим оценки погрешностей, полученные в теоремах 3.4 и 3.5.	|
Теорема 4.2. Пусть X и X* строго выпуклы и /е(Х—>Х*)—	1
дуализующее отображение для X. Пусть, далее, <4е(Х->Х*)—	’
ограниченно липшиц-непрерывный строго монотонный коэрци-
тивный потенциальный оператор с (S) -свойством. Пусть, нако- |
нец, о0 е X — произвольный {начальный) элемент и а > 0 —
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
123
произвольное вещественное число. Тогда последовательность
{vj, определенная правилом
—	—	1-0,1,...,	(4.5)
tl “ min {1 ’ « + и(||М + 11л°г-а) }
сильно сходится в X к решению и уравнения Аи = f (Относи-
тельно функции ц см. определение 1.1.)
Доказательство. Существование и единственность и выте-
кают из теоремы 2.2. Оператор А — f обладает потенциалом
1
F (х) = (Atx, х) dt — (f, х) Vx е X.
о
Используя правило (4.5) и лемму 4.1 и вводя сокращение
Ш — р.(11 Vi || + || Avi — f II»), находим
i
F(vt) — F(Oi+i)« j <A(o<+i + «(»< — vt+i)) — f, vt — vt+l)ds =
i
= (Avt — f, Vi—t>/+i>+ $ <4(t»i+i+s(f/—o/+i))—Avi, vt—vw}ds=
0
1
=MZill2+ 5<4(о<+1 + «(о< — »<+i)) — Avt, Vi — Vi+i)ds^
0
1
> ti II Zi ||2 — p, || Vi — Vi+1 II2 $ (1 — s) ds =
0
ir>0.	(4-6)
Таким образом, последовательность (F(vj)} убывает. В силу
следствия 4.3 она ограничена снизу. Значит, существует число
d > —оо, такое, что F(Vi)-*d. Отсюда следует, что
F(vt) — F(oi+i)->0.
124
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
На основании (4.6) имеем
F (»о) > F (vz) = J <As»b vt) ds — (f, vt) =
0
1
= (Ast>{ — AO, svt) — (f — AO, v{)
о
i
(Aswz — ДО, sv^ -y— {f — AO, vt)
Поскольку y(s)->oo при s->oo, то существует такая постоян-
ная R < + оо, что
ll«ll, ИМ<Я /=о, 1..........
Итак, для i = 0, 1, ...
Hi = Н (II vt 11 +1| Avi - f IL) < p (J? + 2ЯИ (/?)) = c0,
/i&=min{1’ }>min{1’ ~^}==C>Q‘
Поэтому из (4.6) вытекает, что
7^4-UII2<F(va-F(vi+l)-*o, T. e. ||z{||->0.
Покажем, что v{-^u. Пусть — подпоследовательность
последовательности {oj, такая, что в X. Вследствие (4.5)
для любого № X
(f — Ах, v — х) = {Avik — Ах, vik — х) — (Jzik, vik — х) +
+ (f — Ах, v — Vt^ = Пт {Avtk — Ах, vik — х)>0«
Согласно лемме 1.3, отсюда следует, что Av = f, а значит, v = u
и Vik-*-u. Стандартное рассуждение (ср. с леммой 5.4 гл. I)
показывает, что Vi-^и. Используя правило (4.5) и тот факт,
что ||хг||->0, находим
(Av, — Аи, Vi — u) = (Аог — f, vt—и) — {Jzi, vt — u)^
< 2R || zt || -> 0 при
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
125
На основании (З)-свойства оператора А заключаем, что ог->-ц.
Теорема доказана.
Замечание 4.10. Очевидно, справедливо соотношение
Jzt = Avt — f = grad F (vt).
В соответствии с этим итерационный метод (4.5) часто назы-
вают градиентным методом, а также, поскольку —Zi указывает
направление наибольшего убывания функционала F в точке v,,
методом наискорейшего спуска.
Замечание 4.11. Легко видеть, что теорема 4.2 остается спра-
ведливой, если требование ограниченной липшиц-непрерывно-
сти А заменить формально более слабым требованием
(Ах — Ау, х-у)<ц(/?)||х-у|р,	||х||, ||^||</?.
Из доказательства теоремы 4.2 видно, что «динамическую»
длины шага it можно заменить постоянной длиной шага с. Если
оператор А липшиц-непрерывен с постоянной Липшица Af, то
можно выбрать Ц = 2/(а + М), I = 0, 1,2....
Замечание 4.12. Согласно замечаниям 1.2, и 1.4 и 1.5, каж-
дый равномерно монотонный (а в равномерно выпуклых бана-
ховых пространствах также каждый d-монотонный) ограни-
ченно липшиц-непрерывный потенциальный оператор удовле-
творяет предположениям теоремы 4.2.
Замечание 4.13. Итерационный процесс (4.5), очевидно,
можно записать также в виде
—1	• (	2	1
Vi+I = Vi- til {Avt - f), ti = min 11, а + и(ц0/ || + p0/_f||j }.
где J-1 = J*e(X*~►X)— дуализующее отображение для X*.
Этот способ записи уместно применять, когда известно явное
представление оператора /->. Например, в частном случае
X=Lp(G), р> 1,
J-1w(-) = ||ui||2-‘'|w(-)r2ai(-)	(± + ±=,1).
Замечание 4.14. Поскольку обычно явное выражение для /_|
(см. замечание 4.13) неизвестно, то при реализации процесса
(4.5) на каждом шаге приходится решать, вообще говоря, не-
линейное уравнение
Jzi = Avt — f
126
Гл. 1П. Уравнения с монотонными операторами
(где искомой величиной является zz). В важном для наших при-
менений частном случае
X = П р (G), || и || = 01 grad и |р
это означает, что нужно определять решение zz нелинейной
краевой задачи
— II II2-" div (| grad zt |p-2 grad zz) = Avt —f, zt я Wl0’ p (G).
[Очевидно, с помощью замены г,- = || zz ||р-2й, эту задачу можно
свести к задаче
— div (| grad zt |р-2 grad гг) = Avt — f,	zt& p (G).]
Покажем теперь, что для потенциальных операторов метод
Галёркина совпадает с так называемым методом Ритца. Пусть
{hi, hi,...} — какая-нибудь полная система линейно независи-
мых элементов в X и Хп — подпространство в X, натянутое на
hi....hn.
Определение 4.3. Пусть 4е(Х->Х*)— потенциальный опе-
ратор с потенциалом F. Элемент ипеХп называется n-м при-
ближенным решением Ритца для уравнения Au — f, если
F (un) — (f, «п) = min (F (о) — <f, о».	(4.7)
Лемма 4.13. Пусть А е(Х->Х*) —монотонный оператор с по-
тенциалом F. Элемент ип^Хп точно тогда служит n-м прибли-
женным решением Ритца уравнения Au = f, когда он является
n-м галёркинским решением этого уравнения.
Доказательство. Если ип е Хп — приближенное решение
Ритца, то для любого h е Хп
О - lim ~(F (ип + th)-F (ип)} - {f, h) = (Аип - f, h),
/-»о 1
так что «п представляет собой галёркинское решение.
Если ипеХп — галёркинское решение, то, в силу леммы 4.10,
для любого v е Хп
F (») — <7,	— {F (и*) — (f, ип)) (Аип — f,v — un) = О,
т. е. ип является приближенным решением Ритца. Лемма до-
казана.
Теорема 4.3. Пусть А е(Х->Х*)— строго монотонный коэр-
цитивный потенциальный оператор с (S)-свойством. Тогда при
каждом п существует единственное п-е приближенное решение
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
127
Ритца и ип~* и в X, где через и обозначено решение уравне-
ния Аи = f.
Доказательство. Ввиду лемм 4.12 и 4.13 эта теорема непо-
средственно следует из теоремы 3.2.
Теперь мы скомбинируем метод Ритца (4.7) с итерационным
методом (4.5) и таким образом получим проекционно-итера-
ционный метод.
Теорема 4.4. Пусть выполняются предположения теоремы 4.2,
и пусть а>о— произвольный (начальный) элемент и а> 0—
произвольное вещественное число. Тогда последовательность
{«>„}, определенная по правилу
™п+1 = Wn — tnZn, Jn+lZn = An+lWn — f„+1,
tn min|l, a + ndi^ii + n^wn —f|L)J’	(4.8)
7	— /• 1 j	л — l* Al f = /* f I
'n+l 'n+l n+l> n+1	J«+r»+l’	'n+1	2n+l'>
I„ — вложение Xn в X, n = 0, 1, 2....... J
сильно сходится в X к решению и уравнения Аи = f.
Доказательство. Вводя сокращение = р, (|| wn || + || Awn —
—/||„), аналогично (4.6) находим
F(wn) - F(wa+1)>~^||Z„||2>0.	(4.9)
Hn v a
Значит, последовательность (F(w„)} убывает, а на основании
следствия 4.3 она ограничена снизу. Следовательно, существует
такое число d>—00, что F(wn)-+d. Отсюда вытекает, что
F(wn)-F(wn+i)^0.	(4.10)
Как и при доказательстве теоремы 4.2, получаем
m)>n-.ii(4-v	-|f - i »оЦ).
откуда
IK ll«’rtIK/?< + «>, n=l, 2, ...,
а также
И» «I* (II 11 + II Awn - f II.) <(*(/? + 2/?p (/?)) = co,
L = min( 1,  ;2„ ) > min f 1,  7-— } = c.
n I ’ a + Un)	I a + Co )
Поэтому, из (4.9) и (4.10) следует, что II гп ||-*0.
Покажем, что wn-*~u. Пусть —подпоследовательность
последовательности {®п}, такая, чго wnjt-^w в X. Пусть, да-
128
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
лее, х е X — произвольный элемент и {xj — такая последова-
тельность элементов Xi^Xt, что хг->х в X. Имеем
(f — Ах, w — х}= lim (f — Axt, w — xt) =
i~>OQ
= lim lim (f — Axh wn. — xA —
=Я» JS, ^AWnk _ Axt' Wn* ~ Xi) ~
-Qznk, wnk-Xi}) =
= lim lim (Awn. — Axh wn. — xA > 0.
Z-»oo fe-»oo '	*	ft /
Отсюда в силу леммы 1.3 вытекает, что w = и, и, проводя
обычное рассуждение, получаем wn-^u.
Покажем, наконец, что wn—>и. Прежде всего
{Awn, wn} = {Jzn + f,wn)^R( || zn || +1| f IL) < R, < + oo,
n= 1, 2........................
и, согласно следствию 1.2,
II AwnIL<R2 < oo, n=l, 2.......
Пусть un является я-м приближением Ритца для и. На осно-
вании теоремы 4.3
{Awn — Аи, wn — u') — {Awn — Аи, wn — u„) + {Awn — Аи, ип — и} =
= (Awn — f, wn — un) + {Awn — f, ип — и} =
= (Jzn, wn — un} + {Awn — f,un — u}^
< || zn II • 2R 4- (R2 + II f IL) II Un - «II 0.
Отсюда, в силу (S)-свойства оператора А, следует, что a>n->u.
Теорема доказана.
Следствие 4.4. Пусть в дополнение к предположениям тео-
ремы 3.4 оператор А потенциален. Тогда проекционно-итера-
ционная последовательность {wn}, определенная правилом
(3.8), при любых /е(0,2/М) и	сильно сходится в X
к решению и уравнения Аи = f.
Доказательство. Сильная монотонность А влечет за собой
строгую монотонность, коэрцитивность и (S)-свойство. В силу
липшиц-непрерывности А можно в (4.8) взять tn —2/(а + Af).
Ввиду линейности дуализующего отображения J для гильбер-
това пространства, последовательности {«>„}, определенные фор-
мулами (3.8) и (4.8), совпадают между собой.
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
129
Замечание 4.15. «Динамическая» длина шага tn проекционно-
итерационного метода может быть заменена постоянной длиной
шага с (ср. с замечанием 4.11).
В качестве подготовки к доказательству уже упомянутых
уточнений теорем 3.4 и 3.5 для случая потенциальных операто-
ров приведем следующую лемму, которую можно рассматривать
как дополнение к лемме 3.1.
Лемма 4.14. Пусть X — гильбертово пространство со скаляр-
ным произведением (•, •) и В е (X -> X) — потенциальный опе-
ратор, удовлетворяющий условиям:
а)	||Вх — Bf/||<Af||x — t/Ц;
Ь)	(Вх — By, х — у)^т\\х — у\^,	т^О, ух, Уу&Х.
Тогда оператор	е(Х—>Х), определенный по правилу
Utx — х — tBx Vx s X,
при t > 0 удовлетворяет оценке
||t/zx — С/н/1|<<?(/)IIх — i/ll, </(/) = тах{1 — tm,
Доказательство. Очевидно, вместе с В потенциален и опера-
тор Ut. Пусть Ft — потенциал для Ut. Этот потенциал при лю-
бых х, и, о е X удовлетворяет соотношению
Ft (х + и + о) — Ft (х + и) — Ft (х 4- о) 4- Ft (х) =
= Ft {x+u + v)-Ft (х4-	4- Ft (х4-« 4-	- В/(х+«)-
—Ft (х4-«4- (о—и)) 4-Л (х4- и 4-	— Ft (х4-	+ Ft W"
= j{(^(x4-^4-s^)-t/<(x + s^), ^)-
О
- Н 144-' (*('++* “49-+* “4). “49 -
О
-|4-“Г+' (4*+“+ 4i+sV) -
_B(x + B + siZ±).
< ’ 4144 4 44)=4 <« “ s2+«»о-
5 X. Гаевский и др.
J
130
Гл. П1. Уравнения с монотонными операторами
Возьмем теперь два натуральных числа k и I и положим
= x +	+	Z = 0, 1...k, j = 0,\,...,l.
Тогда, очевидно,
Ft(x + u + v)-Ft(x + u)-Ft(x + v) + Ft(x) =
к I
— S S О7/ (х/. /) ~~ Ft (x/-i, /) — Ft (jQj-i) + Ft (xj-i, /-i)}.
i-l /—I
Используя для каждого слагаемого этой двойной суммы выве-
денную выше оценку, получаем
Ft(x + u + v)-Ft(x + u)-Ft(x + v) + Ft(x)^
к I
<ГЕ^(НГ+1тГ)=^(4|“Г+4«’Л!)-
i-l /-1
При v =£ 0 можно подобрать k/l, как угодно близкое
к || и 11/Ц v ||, откуда мы заключаем, что
ГДх + и + v) — Ft(x 4- и) — Ft(x + о) + Ft (х)< q (/) II и || || v ||;
при о = 0 эта оценка тривиальна. Применим эту оценку для
и = у — х и v = sz. Так как Ft является потенциалом для Ut,
то получаем
(Uty - Utx, z) = lim 1 (Ft (у + sz) - Ft (y) - Ft (x + sz) + Ft (x)) <
s-»0 5
< lim i q (t) || у — x || || sz || = q (t) || у — x || || z ||,
S->0 ®
чем лемма и доказана.
Следствие 4.5. В предположениях леммы 4.14 если т > О
и <е(0,2/М), то оператор Ut сжимающ. При т 0 и /е
<=(0,2/Л4] оператор Ut является нерастягивающим, т. е.
Ilt/iX-^i/IKIIx-z/ll Vx, VyeX.
Доказательство. Из определения функции q(t) вытекает, что
9(0 =
1 — tm
tM-1
для
для
-2
М + m	М •
Следовательно, 0<_q(t)^ 1 при /га 0 и /е(0,2/Л1]. Случай
q (t) = 1 возможен лишь при т = 0 или t = 2/М.
Точно так же, как с помощью леммы 3.1 были получены
теоремы 3.4 и 3.5, при использовании леммы 4.14 получаются
следующие две теоремы.
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
131
Теорема 4.5. Пусть в дополнение к предположениям тео-
ремы 3.4 оператор А потенциален. Тогда при любых t^(0,2/M)
и Vo последовательность {oj, определенная правилом (3.5),
сильно сходится в X к решению и уравнения Au = f и имеет
место оценка погрешности
||Р/ —«||<7^-114о0 — Л1.	<7 = <7(О = max{1 — tm, tM— 1).
Теорема 4.6. Пусть выполняются предположения теоремы 4.5.
Тогда при любых t е (0,2/М) и оп> 0 е Хп последовательность
{fn, J> определенная правилом (3.6), сильно сходится в X к ре-
шению ип уравнения Галёркина (3.3) и справедлива оценка
погрешности
llvn.i —	fll., 4' = 4'(O = max{l — tm, tM— 1}.
Замечание 4.16. Функция q принимает минимальное значение
при t = ti = 2/(М + tn), а именно значение q\ = q{tt) =
= (М —m)/(M + m). В предыдущем параграфе (см. замеча-
ние 3.3) мы обнаружили, что без предположения потенциально-
сти А наименьшая постоянная сжатия ko, получаемая при
t — to = mjM2, равна ko = k(to) = (1 — (m/M)2) Ч*. Очевидно,
qi < а точнее, q{ — ^м + т\ М + m) * B°Q6me, как легко
подсчитать, при / > 0 и Л1 > m > 0 справедливо соотношение
k(t)>q(t).
Замечание 4.17. Аналогично тому, как это было сделано
в 3.5, мы убеждаемся в том, что выполнения предположений
теоремы 4.5 достаточно требовать внутри шара К, который вы-
бирается таким образом, чтобы итерационный процесс (3.5)
(соотв. (3.6)) не выводил из К. В частности, при t = fi =
= 2/(М + m) и Оо = 0 можно взять, например,
Я = {х|хеХ, ||х|К^-||А0-f И,}.
В теоремах 4.2—4.5 мы доказали сильную сходимость раз-
личных последовательных «приближений к решению уравнения
Аи — f. Имея в виду применения в следующем пункте, покажем
в заключение этого пункта, что все эти последовательные при-
ближения являются также минимизирующими последователь-
ностями для функционала
।
F (х) = ( (Atx, х) dt — (f, х).
132
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
Лемма 4.15. Пусть А — монотонный потенциальный опера-
тор. Если и — решение уравнения Au = f и и„~+и в X, то
1
F (Цп) ~	(f, Un) ~>
о
F (и) = min F (x).
xe=X
Доказательство. В силу следствия 4.2, и доставляет минимум
функционалу F на X. На основании леммы 4.10, используя
локальную ограниченность оператора А (лемма 1.2), находим
Г(и)<Р(ип)<Г(и) + <Лил — f, ип — и)^
<F(u) + (|| Аип ||, +1| f И,) || ип - и || -> F (и).
Лемма доказана.
5. НЕКОТОРЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ
И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ
Для того чтобы доказать сходимость приближенного метода
к решению заданного операторного уравнения (с потенциальным
оператором), мы существенно использовали в предыдущем
пункте существование эквивалентной задачи минимизации. При-
влечение этой эквивалентной задачи минимизации позволяет
также получить эффективные оценки погрешности приближен-
ных решений в предположении, что можно указать нижнюю гра-
ницу для минимального значения минимизируемого функцио-
нала. В данном пункте мы получим такие границы с помощью
так называемой взаимной, или двойственной, вариационной за-
дачи. Прежде всего докажем некоторые нужные нам утвержде-
ния из теории двойственности выпуклых функционалов, восхо-
дящей к Фенхелю.
Всюду ниже F — функционал, определенный на рефлексив-
ном банаховом пространстве X и принимающий значения, со-
гласно принятой нами договоренности, в интервале (—оо, 4-оо].
Определение 4.4. Множество dom F = {х | х е X, F (х) <+°°}
называется эффективной областью определения (или просто эф-
фективной областью) функционала F
Если функционал F нетривиален^ то функционал F*, опре-
деленный на X* по правилу
F* (х*) = sup «х‘, х> - F (х)),	(4.11)
называется сопряженным к F.
Мы покажем (см. теорему 4.7), что правило (4.11) устанав-
ливает взаимно однозначное соответствие между слабо полуне-
прерывными выпуклыми функционалами, определенными на X
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
133
и X*. В качестве подготовки к этому докажем следующие
леммы.
Лемма 4.16. Справедливо неравенство
F (х) + F* (х*) > <х*, х)	Ух €= X, Ух* е X*.
Доказательство. В силу (4.11),
F (х) + F* (х‘) = F (х) + sup «х\ у) - F (у)) >
у<=Х
> F (х) + (х*, х) - F (х) = (х*. х),
чем лемма и доказана.
Лемма 4.17. Для любого функционала F сопряженный к нему
функционал F* выпукл и слабо полунепрерывен снизу.
Доказательство. 1. Выпуклость. Пусть F*(x*)^.a,
F*(y*)^b. Тогда для /<=[0,1] и x*t — tx* + (1 — /)у* имеем
F*(x;) = sup «4 x)-F(x))<
< t sup «X*. x> — F (x)) + (1 — t) sup «/, x) — F (x)) =
xeA	x&X
— tF* (x*) + (1 -t) F*(/) </a + (1 -1)b.
2. Слабая полунепрерывность снизу. Пусть
{{х*, dn}} с X* X Я’ — такая последовательность, что
=г.
Нам надо показать, что F* (х*) d. Допустим, что F* (х*) = d + в,
е > 0. Тогда существует такое х <= X, что (х*, х) — F (х) d + е/2.
Поэтому
Г (О = («’ У} ~ F ^0 > х> - F (х) =
= <х\ х> - F (х) + (х; - х’, х) 1 + (х*п - х*, х)
И
d= lim d > ikn F*(x’)>lim (d + 4 + «-x‘, xV) = d +4-
n->«	“ n->OO '	n-х» \ z	£
Мы получили противоречие. Лемма доказана.
Лемма 4.18. Пусть F — слабо полунепрерывный снизу выпук-
лый нетривиальный функционал. Тогда и функционал F* не-
тривиален.
134
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
Доказательство. Согласно предположениям леммы суще-
ствует такое хеХ, что F(x)< -f-oo. Отсюда вытекает, что
F* (х*) = sup «х*, у) — F (у)) {х*, х) — F (х) > — оо Vx* е X*.
У^х
В силу леммы 4.7, для любого d > 0 существует такое х* е X*, что
F(y) > F (х) + <х*, у - х> - d Уу^Х.
Для этого х* имеем
F(х*) = sup «х*. у) - F (у)) «х*, х) - F (х) + d < + оо.
у&Х
Лемма доказана.
Лемма 4.19. Если F — слабо полунепрерывный снизу выпук-
лый нетривиальный функционал, то
dom F** cz dom F.
Доказательство. Пусть х ф dom F. Множество domF выпукло
и замкнуто. Поэтому, согласно теореме 5.6 гл. I, существует
такое х*0 е Л*, что
(xj, х)> sup (х*, у\
у е dom F
Так как по лемме 4.18 функционал F* нетривиален, то суще-
ствует Хр такое, что F*(xJ)<oo. Следовательно, для любого
Г >0
г(х;+/х;)~sup«x;+fx;,fz>-F(f/))<r(x;)+/ sup (х*,у)
УеХ	yedomF
и потому
fw(x)>(x;+/x;, х>-г(х;+/х;)>
> (Хр х) — F* (xj) + i ((x*t х) — sup (xj, «/))-* + ОО
у e dom F
при /-*4-oo.
Отсюда вытекает, что x^domF**. Итак, dom F** c: dom F.
Лемма доказана.
Теорема 4.7 (Фенхель, Моро). Если F — нетривиальный функ-
ционал, то следующие утверждения эквивалентны:
a)	F слабо полунепрерывен снизу и выпукл;
b)	F = F**.
Доказательство. а)=>Ь). Прежде всего, на основании
леммы 4.16,
F** (х) = sup «х\ х> - F* (х*)) < sup F (х) = F (х).
х’аХ*	х»еХ*
§ 4. Монотонные потенциальные операторы
135
Остается показать, что F**(x)^F(x) для каждого хеХ. Для
х ф dom F** это соотношение, очевидно, выполняется. Итак,
пусть XEdom/7**. Допустим, что F(x)> F**(x). Тогда
(х, F**(x)} ф epiF. Следовательно, по теореме 5.6 гл. I, суще-
ствует пара {х*, а*} е X* X Z?1, такая, что
(х*, х) + a"/7** (х) > sup «х*. у) + а*а)
{у, а} г epi Р
(множество epi/7 в силу а) выпукло и замкнуто). Мы утверж-
даем, что при этом обязательно а* <. 0. Действительно, если
а* = 0, то <х‘, х) > sup (х*, у), что ввиду включения х е
________ 1/sdomF
Edom/7 (лемма 4.19) приводит к противоречию. Если же пред-
положить, что а* > 0, то
<х*, х) + а*Г** (х) > + оо,
и ввиду включения хе dom/7** мы снова приходим к противо-
речию. Без ограничения общности мы можем считать, что
а* = —1. Тогда
<х*, х) — F** (х) > sup «х‘, у}—а) = sup «х*, у) —F {у)) =
{у, ajsepi F	1/sdomF
= sup«x*, у) — F (у)) = F* (x*).
y^X
Но согласно лемме 4.16 этого быть не может. Следовательно,
должно выполняться неравенство F**(x)^F(x), и, значит,
F**(x) = F(x). b)=^a). Функционал F** как сопряженный
к F* является на основании леммы 4.17 слабо полунепрерывным
снизу и выпуклым. Теорема доказана.
Теорема 4.8. Пусть F — слабо полунепрерывный снизу вы-
пуклый конечный функционал. Если оператор А е (X -> X*) об-
ладает обратным оператором A~l е (X* —► X), то следующие
утверждения эквивалентны:
а)	Л — градиент для F-,
b)	А радиально непрерывен и для любых х,у^Х
F (х) + F* (Ах) = <Лх, х>, F (у) F (х) + (Ах, у - х);
с)	Л-1 радиально непрерывен и для любых %*, у* е X*
F (Л-1х*) + F* (х‘) = <х‘, Л-1х*>, Г (у*) F* (х*) + {у*-х*, А~1х*);
d)	Л-1 —градиент для F*.
Доказательство. а)=^»Ь). Радиальная непрерывность опера-
тора Л следует из леммы 4.12. Второе соотношение в Ь) спра-
136
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
ведливо как идентичное соотношению d) леммы 4.10. Используя
его, получаем, что для каждого хе А'
F (х) + F* (Ах) = F (х) + sup ({Ах, y)-F (у)) <
< F (х) + sup «Ах, х> - F (х)) = {Ах, х),
у&Х
а с другой стороны, по лемме 4.16
F(x) + F*(Ax)>{Ax, х).
Ь) =£> с). Для любых х, у е X
F(y)-F(x)>{Ax,y-x)
и соответственно
F (х) — F (у) > {Ау, х — у).
Складывая эти неравенства, убеждаемся в монотонности А
и одновременно в монотонности А~1. Докажем радиальную не-
прерывность А-1. Согласно лемме 1.3 для этого достаточно по-
казать, что из соотношения
(х*-у*, х — А"‘/)>0 Vi/eX*
вытекает, что А-1х* = х. Подставив в это соотношение у* = Ау,
найдем, что
<х* — Ау, х — у) > 0 Vy е X.
Так как А радиально непрерывен и монотонен, то отсюда по
лемме 1.3 следует равенство Ах = х*, а тем самым и равенство
А~1х* — х.
Первое соотношение п. с) получается, если подставить х =
= А~1х* в первое соотношение п. Ь). Для доказательства вто-
рого из соотношений п. с) положим х = А-1х*, у — А~ху* при
произвольных х*, у* е X*. Имеем
Г (у*) - F* (х*) = - F (у) + F (х) - {Ах, х) + {Ау, у) =
= — F(у) + F(х) — {Ау, х — у) + {Ау — Ах, х)^>
{Ау — Ах, х) — {у* — х*, А-|х*).
с)=>d). Меняя местами х* и у* во втором соотношении п. с),
приходим к неравенству
F* (х*) > F* (у*) + <х‘ - у*, А -1/).
Поэтому
{у* - X*, А~'х*) < F’ (у*) - F* (х*) < {у* - х‘, А-1 у*).
$ 4. Монотонные потенциальные операторы
137
Положим у* = х* + /2*, t > 0, z* е X*. Тогда
<2\	+	X-‘(x‘ + /Z)>.
При / —* О получаем отсюда на основании радиальной непре-
рывности А~1, что А~1 — градиент функционала F*.
d)=^a). Функционал F* как потенциал для Л-1 конечен и по
лемме 4.17 слабо полунепрерывен снизу и выпукл. Поэтому,
ввиду импликации a)=4d), оператор А = (А-1)-1 является гра-
диентом для F**. Но в силу теоремы 4.7, F — F**. Следова-
тельно, А — градиент для F. Теорема доказана.
Следствие 4.6. Если оператор А <= (X —♦ X*) обладает обрат-
ным оператором А-1е(Х*->Х), то следующие утверждения
эквивалентны:
а)	Я — монотонный потенциальный оператор;
Ь)	А-1 — монотонный потенциальный оператор.
Доказательство. Ввиду симметричности утверждений относи-
тельно А и А-1 достаточно показать, что a)=^b). Очевидно,
оператор А-1 монотонен вместе с А. Потенциал F оператора А
конечен и по лемме 4.10 выпукл и слабо полунепрерывен снизу.
Поэтому в силу утверждения d) теоремы 4.8 оператор А-1 яв-
ляется градиентом для F*.
Теорема 4.9. Пусть А е(Х-*Х*)—строго монотонный коэр-
цитивный потенциальный оператор. Тогда существует обратный
к А оператор А-1 е (X* -> X). Он строго монотонен и потенциа-
лен. Далее, функционал
।
F (х) = (А/х, х) dt
о
является потенциалом для А и при любых x s X, х* е X* вы-
полняются соотношения
F*(Г) = F*(0) + J (х*. А"‘/х*> dt, F* (0) = - F (А~'о), (4.12)
о
F (х) + F* (х‘) - <х*, х) > 0,	(4.13)
F (х) + F* (Ах) - (Ах, х) = 0.	(4.14)
Доказательство. В силу леммы 4.12 и теоремы 2.2, оператор
Д-1е(Х*-*Х) существует, радиально непрерывен и строго мо-
нотонен. Оператор А является градиентом слабо полунепрерыв-
ного снизу выпуклого и конечного функционала F(x) =
138
Гл. Ш. Уравнения с монотонными операторами
1
= {Atx, x)dt (см. лемму 4.12, замечание 4.1, лемму 4.10 и след-
о
ствие 4.1). Поэтому, ввиду теоремы 4.8, Я-1 представляет собой
градиент сопряженного к F функционала F*. Согласно заме-
чанию 4.1,
1
F* (х*) = р* (0) + J (х*, A~ltx*) dt.
о
Соотношение (4.13) было установлено в лемме 4.16. Равенство
(4.14) имеет место по теореме 4.8 (утверждение Ь)). Наконец,
из (4.14) следует, что F*(0)=—7*'(Л_,0). Теорема доказана.
Обратимся теперь к нашей главной цели — доказательству
одного утверждения двойственности (теорема 4.10) и основан-
ному на нем выводу оценок погрешности (теорема 4.11). Рас-
смотрим опять уравнение
Ax = f,	A = L*A0L,	ff=X*.	(4.15)
Пусть снова (ср. с леммой 1.4) L е (X -> У) — линейный опера-
тор, такой, что II Lx Цо = II х || для хеХ, £*е(У*-*Х*)— со-
пряженный к L оператор и Лое(У->У*)— (вообще говоря) не-
линейный оператор.
Лемма 4.20. Для каждого f е X* существует такое g е У*,
что
L*g = f.	(4.16)
Доказательство. Рассмотрим линейное подпространство
У, = {у\у = Lx, х е X) пространства У. Определим на Yi ли-
нейный функционал go с помощью соотношения
{go. Lx^Y' = (f, х).
(В силу условия || £х Но = II х II, это определение корректно.)
Согласно теореме Хана — Банаха, для go существует про-
должение g на У. Имеем
<L*g, х) = <g, Lx)0 = <g0, £х)У1 = (f, х) Х/х €= X,
следовательно, L*g — f. Лемма доказана.
Замечание 4.18. Во многих случаях эффективное построение
g е У* по заданному f е X* достаточно просто. Пусть, например
(см. § 2 гл. II),
X = Wop(G), р^2, Y = LP(G), F = L«(G),	1 + ^=1,
Г Ч
L = grad, L* — — div-
§ 4. Монотонные потенциальные операторы	139
Для f^L2(G)czX* при соответствующих предположениях от-
носительно области G можно положить
( х'
g = < —	(/, х2, ...» xn)dt, 0, .... О
' о
Теорема 4.10. Пусть Ао — строго монотонный коэрцитивный
потенциальный оператор. Пусть, далее, g е У* — некоторый эле-
мент, удовлетворяющий условию (4.16), и х0^Х — (на основа-
нии лемм 4.12 и 1.4 и теоремы 2.2 однозначно определенное)
решение уравнения (4.15). Тогда в обозначениях
K = {y\y = Lx,x<=X}, Г = {/|£у = 0);
Уо	Уо ^оУо"" />*
1
Ф (у) = 5 (Му> У>0dt — (g> У)о,
о
Ф(/) = -$<§ + /. Ло’1/ (g + $Г)>0 dt + J (ЛоМо’Ч Ло’*0>о dt
о	о
имеет место следующее соотношение двойственности:
Ф (i/o) = min Ф (у) = max Ф (у*) = Ф (у*0).	(4.17)
уек tfeK*	' 7
Доказательство. Применим теорему 4.9 к Ло, воспользовав-
шись при этом соотношением
<У*. У)о = <У*. Lx\ = <LV, х) = 0	У у е К, У у* е= /С*.
I
Пусть Fo (у) = J (А^у, у)0 dt и Го — сопряженный функционал,
о
На основании (4.12)
Ро (у) = $ {у, Ло"‘//)о dt - J <Ло/Ло’*О, Ло-'О>о dt = - Ф (у* - g).
о
О
Поэтому, используя (4.13), получаем
®(iO-W)=F0te)-te, 0о + г;и+/)=
= Рй(У) + P*o(g + У*) — {g 4- у*, у)0 >0 У у е К, У у* е /С*.
140
Гл. HI. Уравнения с монотонными операторами
С другой стороны, из (4.14) вытекает, что
Ф W - ч- (й) - F,(»,)-(«, ».>. + ?; (г + й)=
=W + (« + Й) - <« + Й. »0>, -
= ^0 (У») "Ь Л) (^о^о) (^0^0’ Уо)о ~ 0*
Из этих двух соотношений и следует наше утверждение. Тео-
рема .доказана.
Теорема 4.11. Пусть в дополнение к предположениям тео-
ремы 1.10 оператор Ао сильно монотонен с постоянной монотон-
ности т. Тогда, в обозначениях теоремы 4.10, имеет место оценка
погрешности	_______________
Hx-xoll = llf/- $о 11о< д/m (Ф{у} “ W’	(4Л8)
Здесь № X, у — Lx е К, у*^К* — произвольные приближения
для х0, у», у* соответственно.
Если сверх того оператор АоХ сильно монотонен с постоян-
ной монотонности т*, то справедлива также двойственная
оценка погрешности	_______________
|й-Йк<л/^'(ф(|')_’1'(,О)-	(4-19)
Доказательство. Имеем
1
Ф(у) — Ф (у0) = J {Ао(уо + /(у — z/0)), У — yo)odt — (f,x — х0) =
о
1
= $ (А> (Уо + 1(у — Уо)), У — Уо)о dt — {АоУо, у — у0)0 =
о
1
= $ <Аэ (Уо +1 (у — Уо)) — АоУо, I {у — УоУ>о -/ >
о
I
>т\\у — г/olio \tdt = -Ylly~ f/olg,
о
так что вследствие (4.17)
Vn
— (Ф(г/) — ФЫ) <

§ 4. Монотонные потенциальные операторы
141
Далее,
ЧЧЙ) - (/) - (г +/) - f; (г + й)-
- j </ -Л.- (г+й+1 (у- - й)»0 л -
о
1
- J (/- л-V’(«+»:)>.<»=
= j <t (/ - й). Л-' (g + л + ,(J- _ й)) _ Л-' (г + й)>л >
О
о
откуда в силу того же соотношения двойственности (4.17) сле-
дует оценка (4.19). Теорема доказана.
Замечание 4.19. В оценки (4.18) и (4.19) входит обратный
к Ло оператор Ло"1. В отличие от А-1 он в важных приложениях
либо бывает известен, либо сравнительно просто может быть
найден. Так, оператор А71, обратный к потенциальному опе-
ратору До, определенному формулами (1.3) и (1.4) (соотв. (1.3)
и (1.5)), получается обращением матрицы коэффициентов (Ьц)
(соотв. характеризующей материал функции <р).
Замечание 4.20. На практике во многих конкретных краевых
задачах самостоятельный интерес представляют не только реше-
ние х0 уравнения (4.15), соответственно элемент уй = Ьхй, но
также и элемент у*й — А^уа — g, а зачастую допускают физиче-
скую интерпретацию и функционалы Ф, Т, равно как и множе-
ства К, К*. Поэтому имеет смысл одновременно вычислять при-
ближения уп для уо и у*п для уд и оценивать их при помощи
(4.18) и (4.19). Для численного нахождения таких приближений
годятся методы, обсуждавшиеся в предыдущем пункте. На осно-
вании леммы 4.15, из сильной сходимости этих методов следует,
что ф(Уп) — Ч'ОО-*0 ПРИ
Замечание 4.21. Из сильной монотонности оператора А мож-
но для любого приближения хп к х0 сразу вывести оценку по-
грешности
llxn-x0||<^-||Ax„-flL,	(4.20)
но вычисление выражения ||Дхп— /II» практически приводит к
решению уравнения 1и = Ахп —f. (При этом ||Ахп— f||, — ||«||.)
>42
Гл. Ш. Уравнения с монотонными операторами
Правда, в часто встречающемся случае тройки пространств
X cz Н cz X* (см. § 6 гл. I и § 2 гл. II) можно, если Ахп —f при-
надлежит Н, огрубить оценку (4.20) следующим образом:
lk„- Хо||<^||Ахп- f Ня,
и тем самым прийти к оценке погрешности, получаемой в кон-
кретных случаях при помощи квадратур; однако из того, что
хп ->х0 в X, не следует, вообще говоря, что ||Лхп — f||H—*0.
Замечание 4.22. Пусть, в частности, Y — гильбертово про-
странство, У* = Y и Ло — тождественный оператор в Y. Очевид-
но, в этом случае уо можно охарактеризовать как решение за-
дачи минимизации
II g — Уо Но = min || g — уо Но,
у^К
а У*о — как решение задачи минимизации
|g + /0|L= min Н g + y' Но-
Это означает, что уо является проекцией элемента g на К, а
— у* — проекцией g на К*. При подстановке вместо у (соотв.
вместо у*) приближений Ритца уп (соотв. г/*) для у0 (соотв.
для у*0) оценка (4.18) сводится к известной оценке погрешности
для метода ортогональных проекций (см. Михлин [2]).
ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. III
Используемое нами понятие монотонности было введено в работах Вайн-
берга и Качуровского [1], Качуровского [1], Минти [1, 2], Сарантонелло [1]
и других авторов (см. обзорные статьи Качуровского [2] и Минти [3]).
Существенное обобщение понятия монотонности дал Брезис [1]. А именно,
Брезис называет оператор	псевдомонотонным, если выполня-
ются следующие условия:
а)	оператор А ограничен;
Ь)	из соотношений ип-^и в X и lim {Аип, ип — и)^0 следует, что
П->оо
lim {Аип, un — v)^ {Аи, u-v) Vu e X.
П->оо
В качестве примера псевдомонотонного оператора укажем сумму В + Т
радиально непрерывного монотонного ограниченного оператора В е (X -► X*)
и усиленно непрерывного оператора Т е(Х->Х*). Конкретные примеры
псевдомонотонных операторов получаются путем энергетического расширения
эллиптических дифференциальных операторов, у которых условиям монотон-
ности удовлетворяют лишь функции ай, соответствующие высшим производным
(см. Лерэ и Лионе [1], Лионе [1]). В то время как теоремы существования
для уравнений с псевдомонотонными операторами доказываются тем же ме-
тодом, что и теорема 2.1, теоремы единственности для таких уравнений в
общем случае установить не удается.
Замечания к гл. III
14$
Интересующихся дальнейшими обобщениями понятия монотонности отсы-
лаем к работе Браудера и Хесса [1]. В указанных до сих пор работах
уравнения с монотонными операторами рассматриваются в рефлексивных
пространствах. Однако имеются результаты и по Теории монотонных операто-
ров в нерефлексивных пространствах (см., например, Брезис и Браудер [!]).
В этой главе существенную роль играло дуализующее отображение
J е (X -> X*) для банахова пространства X. Дуализующие отображения были
введены Бёрлингом и Ливингстоном [1] и впервые явно использованы при
исследовании нелинейных операторных уравнений Браудером [7] !). В гл. I
мы определили отображение двойственности J для банаховых пространств X,
которые обладают строго выпуклым сопряженным X*. Его можно определить
и для произвольных банаховых пространств, правда как, вообще говоря, мно-
гозначное отображение. Впрочем, ограничение банаховыми пространствами X
со строго выпуклыми сопряженными X* не является существенным, поскольку,
как показал Асплунд [1], в каждом рефлексивном банаховом пространстве X
можно ввести эквивалентную исходной норму таким образом, чтобы X стало
строго выпуклым относительно новой нормы, а X* — строго выпуклым отно-
сительно сопряженной с ней нормы.
Лемма 1.1 установлена Качуровским [1]. Лемма 1.2 представляет собой
частный случай одного результата, полученного Рокафелларом [1]. Эквива-
лентность понятий хеминепрерывности и деминепрерывности для монотонных
операторов была доказана Като [3]. Лемма 1.3 является обобщением этого
результата. Операторы, удовлетворяющие условию с) леммы 1.3, Лионе [1]
называет операторами типа М. Каждый псевдомонотонный оператор есть опе-
ратор типа М (см. Лионе [1]).
Мы ограничились немногими, однако типичными примерами монотонных
операторов (см. леммы 1.4—1.6). Глубокие применения теории монотонных
операторов к нелинейным эллиптическим краевым задачам можно найти
у Браудера [2, 8] и Лионса [1]. Читателям, интересующимся применениями
теории монотонных операторов к нелинейным интегральным уравнениям, по-
рекомендуем работы Браудера [12], Вайнберга [3], Брезиса и Браудера [1]
и указанную там литературу.
Теорема 2.1 была доказана Браудером [2] и Минти [2]. (У этих авторов
вместо радиальной непрерывности используется формально более сильное
предположение хеминепрерывности.) Результаты, подобные теореме 2.2, мож-
но найти, например, у Качуровского [2L Максимальные монотонные опера-
торы были введены Минти [1], правда лишь для случая, когда X — гильбер-
тово пространство. Максимальные монотонные операторы в рефлексивных
банаховых пространствах впервые рассмотрел Браудер'[10], а позднее ими
занимались Брезис [2], Брезис, Крэндалл и Пэйзи [1], а также Рокафеллар
[1, 2]. Теорема 2.3 была сформулирована Браудером [10] без предположений
радиальной непрерывности Л и линейности D(A). Систематическое изложение
теории максимальных монотонных операторов имеется у Брезиса [5], Барбу
[1] и Паскали [1].
Утверждения о сходимости метода Галёркина, содержащиеся в теоремах
3.1—3.3, доказывались различными авторами. Сошлемся в этой связи на об-
зорную статью Качуровского [2] и работы Петришина [1] и Варги [1]. Ите-
рационным методам решения нелинейных операторных уравнений в гильбер-
товом пространстве были посвящены многочисленные исследования; интере-
сующихся отсылаем к обзорной статье Браудера и Петришина [1]. Там мож-
но найти и лемму 3.1, лежащую в основе теорем 3.4 и 3.5. Лемма 3.2 принад-
лежит Гаевскому [1]. Литература по проекционно-итерационному методу
приведена в обзорной статье Гаевского и Клуге [1]. Теорема 3.7 представляет
собой частный результат о регуляризации. Обстоятельное изложение различ-
ных регуляризационных методов и их применений имеется у Лионса [1, 2].
*) См. также Вайнберг [2]. — Прим ред.
144
Гл. III. Уравнения с монотонными операторами
Исследование нелинейных операторных уравнений вариационными мето-
дами восходит к Вайнбергу [11. Отметим в этой связи также работы Ланген-
баха [1, 2] и Качуровского [1]. В книге Вайнберга [2] читатель найдет мно-
гие из результатов, содержащихся в первых четырех пунктах § 4. Исключение
составляют леммы 4.3, 4.4, 4.12 и 4.14, а также теоремы 4.4—4.6, которые
в приведенной их форме являются новыми.
Теория двойственности выпуклых функционалов восходит к Фенхелю [1]
и Моро [1] (см. также книгу Эклана и Темама [1], обзорную статью Иоффе
и Тихомирова [1] и указанную там литературу). Теорема 4.7 была доказана
для конечномерного случая Фенхелем [1] и перенесена на бесконечномерный
случай Моро [1]. Теорема 4.8 — это частный случай одного общего результата
Моро [2] о субградиентах выпуклых функционалов. Теоремы 4.10 и 4.11
являются обобщениями соответствующих результатов Биттнера [1, 2]. Дока-
занные в теореме 4.11 оценки называют апостериорными оценками погрешно-
сти. Дальнейшие утверждения' об апостериорных оценках имеются у Обэна
[1] и Гаевского и Грёгера [3].
В последние годы возникла теория, которая охватывает как теорию вы-
пуклых функционалов, так и теорию монотонных операторов. В этой теории
вариационных неравенств изучаются задачи следующего вида (вариационные
неравенства): найти такое и е X, для которого бы выполнялось условие
{Au - f, v - и) + F (о) -F(u)^0 Vve=K.
Здесь К с: X — произвольное, как правило замкнутое выпуклое, подмноже-
ство банахова пространства X, f е X* — заданный элемент, Де(Х->Х*)—
монотонный или, более общим образом, псевдомонотонный оператор и F —
некоторый, как правило выпуклый, функционал. Так как применение резуль-
татов этой теории для рассматриваемых в настоящей книге операторных
уравнений никаких упрощений не приносит, мы вариационные неравенства не
рассматриваем. Читателей, которые ими заинтересуются, отошлем к работам
Лионса [1, 2], Дюво и Лионса [1], Клуге [1] и указанной там литературе.
ГЛАВА TV
ФУНКЦИОНАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ
С КРАЕВЫМИ И НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Эта глава играет ту же роль для операторных дифферен-
циальных уравнений, что гл. II — для операторных уравнений.
И состоит она тоже из двух параграфов.
В § 1 мы вводим функциональные пространства, которые ис-
пользуются в следующей главе при исследовании нестационар-
ных задач. Кроме того, в § 1 указываются важные для дальней-
шего свойства этих пространств, причем в отличие от § 1 гл. II
изложение ведется с подробными доказательствами, так как об-
суждаемые пространства в учебниках по функциональному ана-
лизу в большинстве случаев не рассматриваются.
В § 2 мы показываем, как можно формулировать задачи с
краевыми и начальными условиями для параболических диффе-
ренциальных уравнений в виде задач с начальными условиями
для операторных дифференциальных уравнений в выбранных
подходящим образом банаховых пространствах. Помимо этого,
в § 2 дается обзор типов операторных дифференциальных урав-
нений, которые будут рассмотрены в гл. V—VII.
§ 1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ИЗУЧЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
Если нужно описать некоторый нестационарный процесс, про-
текающий в пространственной области G в течение интервала
времени S, то можно работать с функциями времени и положе-
ния, т. е. с функциями и, которые ставят в соответствие каждой
паре {/,xjeSXG вещественное число или вектор u(t,x). При
таком подходе время и пространство выступают совершенно рав-
ноправно. Оказывается, однако, что значительно удобнее другой
подход к математическому описанию нестационарных процессов.
При этом другом подходе работают с функциями времени, ко-
торые каждому моменту времени t ставят в соответствие функ-
цию u(t, •) положения. (Например, каждому моменту времени
ставится в соответствие распределение температуры или распре-
деление скорости в области G.) Таким образом, рассматриваются
функции, определенные на временном интервале 3, со значе-
146
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
ниями в некотором пространстве функций положения (например,
в пространстве Hq(G) или каком-нибудь другом из введенных
в § 1 гл. II пространств).
До конца этого параграфа 3 обозначает (ограниченный или
неограниченный) интервал вещественной прямой R1. Через
{X, Ц-ll} в первых четырех пунктах этого параграфа обозна-
чается произвольное банахово пространство, а через {X*, 11-11»} —
сопряженное к нему пространство. Ниже мы используем эти обо-
значения без дополнительных пояснений.	f
Предыдущие замечания показывают, что при исследовании
зависящих от времени задач целесообразно ввести в рассмотре-
ние некоторые пространства функций из (3->Х), в частности
пространства дифференцируемых и интегрируемых функций.
1. ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ
Определение 1.1. Функция ме(3—>Х) называется диффе-
ренцируемой в точке t eS, если существует такой элемент
х е X, для которого выполняется условие
й ‘Н-
t+fteS
Этот элемент х называют производной от и в точке t и обычно
обозначают через «'(/).
Функция ие(3->Х) называется дифференцируемой, если
она дифференцируема в каждой точке интервала 3. Функцию
и' е(3 —*Х), которая каждому isS ставит в соответствие про-
изводную от и в точке t, называют производной от и.
Определение 1.2. Говорят, что функция ие(3—*Х) слабо
дифференцируема в точке t еЗ, если существует элемент х е X,
для которого выполняется условие
lim (f,	+	= 0 у/ <= X*.
t+h^S
Этот элемент х называется слабой производной от и в точке t
и также обычно обозначается через u'(t).
Функцию и е (3 -> X) называют слабо дифференцируемой,
если она слабо дифференцируема в каждой точке интервала S.
Функция и'е(3—*Х), которая каждому / еЗ ставит в соответ-
ствие слабую производную от и в точке I, называется слабой
производной от и.
Замечание 1.1. Из определений 1.1 и 1.2 следует, что произ-
водная функции ие(3->Х), если она существует, одновре-
§ 1. Функциональные пространства
147
менно является и слабой производной от и. Поэтому то, что мы
обозначаем одним и тем же символом и' как производную, так
и слабую производную функции и е (3 —► X), не должно приво-
дить к недоразумениям. Из контекста всегда будет ясно, о какой
производной идет речь.
Замечание 1.2. Исходя из определений 1.1 и 1.2, можно обыч-
ным образом по индукции ввести понятия m-кратной дифферен-
цируемости и m-кратной слабой дифференцируемости, щ-произ-
водной и m-й слабой производной функции ие(3—>Х).
Определение 1.3. Мы обозначаем через Cm(S;X) множество
всех функций из (3->Х), обладающих непрерывными произ-
водными до порядка т включительно, и через C”(S; X) —мно-
жество всех функций из (S—»Х), обладающих деминепрерыв-
ными слабыми производными до порядка т включительно.
Замечание 1.3. Согласно определению 5.2 гл. I функция
ые(3-*Х) деминепрерывна тогда и только тогда, когда для
каждого feX* непрерывна функция (f, «(•)) e(S -*/?’)•
Замечание 1.4. Множество C°(S;X)— это множество всех
непрерывных функций из (3->Х), a Cw (3; X) — множество
всех деминепрерывных функций из (3—>Х). Эти множества мы
записываем также как С(3;Х), соответственно CW(S;X).
Замечание 1.5. Если и е С£ (3, X), то
(f, ц(•)><= Cm(S) VfeX*.
Если X слабо полно, то верно и обратное. При этом
<Г, «<'>(• =	«(•)>, / = о, .... т.
Теперь докажем лемму, которую позднее будем неоднократно
использовать.
Лемма 1.1. Для иеС^(3, X) при любых s, /еЗ, s<t,
имеем sup || и' (т) || < оо и
||и(0 —u(s)IK(/ — s) sup ||w'(t)||.	(1.1)
Доказательство. Если бы верхняя грань sup || и' (т) || не
была конечной, то существовала бы последовательность {tJ
точек из [s, f], такая, что Ци'(т^) || -> оо. Ввиду компактности ин-
тервала [s, /] последовательность {тг} без ограничения общности
можно было бы считать сходящейся. Тогда в силу деминепре-
рывности и' последовательность {и'(тг)} слабо сходилась бы
148
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
в X. Но согласно теореме 5.5 гл. I, всякая слабо сходящаяся
последовательность ограничена. Итак, допущение, что верхняя
грань sup ||«'(т)|| не является конечной, приводит к противо-
речию. Для ueCt(S; X) и /еХ* вещественная функция
(/,«(•)) непрерывно дифференцируема. Поэтому
Kf, «(/)-«(s))| = |<f, «(/))-</, «(s))|<
sup |£(f, «(o))|	| = (/-s) SU£ |(f, U'(T))|<
«f — s) sup Ilf ILII«'(t)II,
3<T<r
откуда и следует оценка (1.1). Лемма доказана.
Теорема 1.1. Если интервал S компактен, то множество
0(3; X), образующее линейное пространство с естественными
линейными операциями, становится банаховым пространством
при наделении его нормой
И«11ся’(8;Х)“Д SU^II ««(О II-	(1-2)
Доказательство. По существу эта теорема доказывается точ-
но так же, как и соответствующая теорема для пространства
вещественнозначных функций. То чго для компактного 3 фор-
мула (1.2) определяет норму на СТО(3;Х), проверяется непо-
средственно. Остается доказать полноту. Пусть {ип) — произ-
вольная фундаментальная последовательность в 0(3; X). Из
полноты X и определения нормы (1.2) следует, что при любых
фиксированных jut последовательность {«*/'(0) имеет предел
о,(/)еХ. Для всякого 8 >0 существует IV (в), такое, что для
п > У(в)
< lim sup I u»' (?) — 4» (/) | < e.
fe->oo tsS
Следовательно, последовательность {«</’} равномерно сходится
к Vj. Функции Oje(S-»Х) непрерывны, что вытекает из оценки
I»,(0- u,(s)| <II(О- Ч" WI +1Ч" И - Ч"(S)I +1чл - »/«11
непрерывности и<[> и только что установленной равномерной
сходимости и<П к vf.
Покажем теперь, что = Согласно (1.1), имеем
II «„ (о - (0 - («„ (*) - («)) || < u -s ifup 11 < (т) - < (*)|-
§ 1. Функциональные пространства
149
Отсюда при п -* оо получаем
II оо (0 — »о («) — («* (0 — ик (s)) |К | i — s | sup I о, (т) — u'k (t) ||.
Поэтому при любом sgS
!T.I " -'<”|<М !™t|-———1+
I II uk(v~“k^	/ \lll^-
+ | <-/--------».(s)|J<
lim 2 sup [ о, (т) — u'k (r) || = 0.
k-*<x> x-s
Таким образом, функция v0 дифференцируема и Оо = ог Ана-
логично доказывается, что и v'j_l = vf, j — 2,...,m. Итак,
фундаментальная последовательность {ип} имеет предел о0е
ECm(S; X). Теорема доказана.
Теорема 1.2. Пусть интервал S компактен. Если в множестве
С™ (S’, X), рассматриваемом как линейное пространство с есте-
ственными линейными операциями, задать топологию при по-
мощи полунорм
pf, у (и) = sup |(f, «</>(/)> |,	/еХ*,	/ = 0.  (1.3)
t е$
то оно превращается в локально выпуклое пространство. Если
X слабо полно, то это локально выпуклое пространство полно.
(См. определения 4.1 и 4.2 гл. I, а также замечания 4.2 и 4.8
гл. I).
Доказательство. То что в случае компактного S формула
(1.3) определяет полунормы на C™(S; X), проверяется непосред-
ственно. Если Р/,о(«) = 0 для каждого f gA‘, то и = 0, поэтому
семейство полунорм (1.3) годится для задания топологии в
Си (S’, X). При этом последовательность {ип} в C”(S; X) схо-
дится в этой топологии к функции и тогда и только тогда, когда
при любом feX* последовательность функций (f, ип(')} схо-
дится в C™(S) к (f, u(«)).
Пусть теперь X слабо полно и {ип} — произвольная фунда-
ментальная последовательность в C®(S; X), т. е. такая последо-
вательность, что
lim sup | (f, «</» (/) - и</> (0) | = О
n, feS1 '	"	« /I	(1.4)
для каждого f g X‘ и / = 0, ..., tn.
Тогда последовательность j функций wfn~{ft utS ‘ ))
ISO Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
сходится в 0(5) к некоторой функции ®/бСт(5). С другой
стороны, из слабой полноты X и соотношения (1.4) вытекает,
что последовательность {un(t}} при каждом l^S слабо схо-
дится к некоторому элементу u(/)gX. Таким образом,
wf(0= lim w. (0= lim <f, M„(O> = <f, «(/)>•
П-»оо 'П	П->оо
Отсюда следует, что «е C® (S; X) и
(f, «(«(.)) = №</>= lim (f, «</>(•)),	/=1, ..., tn
Л->оо
(см. замечание 1.5). Теорема доказана.
Теорема 1.3 (аппроксимационная теорема Вейерштрасса).
Если интервал S компактен, то множество многочленов из
{т
р | р е (5 -> X), р (/) = S аЛ1, а, е X,
{-о
/ = 0, ..., tn} плотно в С (S', X).
Доказательству этой теоремы предпошлем одну лемму.
Лемма 1.2. Для любого /е#1 и любого натурального п
имеет место равенство
£(k - «О2 (О'**1-$П~к =	- 0.	(1.5)
л=о
Доказательство. Дифференцирование тождества
п
a + s)rt=S(O'*sn“* (ьв)
k=0
по I с последующим умножением на t дает
п
m(t-}-s)n-i = Yi(nk)ktksn-k.	(1.7)
4-0
Дифференцируя то же тождество (1.6) по t дважды и умножая
на t2, находим, что
п(п- 1)/2(/ + з)"-2 = £(") k(k - l)/*s»-*.	(1.8)
$ 1. Функциональные пространства
151
Для сокращения записи положим rk(f) =	— t)n k. Ис-
пользуя соотношения (1.6) —(1.8) при s= 1 — /, получаем
t (k - nt)2rk(t) = t {k (k - 1) + (1 - 2n/) k + n2*2} rk(/) =
fc-0	M
— n{n — l)/2 + (l — 2nt) nt + n2t2 = nt — t).
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1.3. Достаточно провести доказа-
тельство для S = [0, 1], так как случай любого другого компакт-
ного интервала 3 при помощи замены переменной можно свести
к этому частному случаю.
Пусть по м е С ([О,1]; X) и е > О число б > 0 выбрано таким
образом, чтобы при |s — /|<б выполнялось условие ||«($) —
— и (О II < в. Положим
^ »)=Ё (0“ (4)
k-0
(1.9)
Тогда, в силу (1.5),
k-0	k-0
- . 2||«ПС([0, H;X) ,n	n
8 *1--------‘	V-
Поэтому при достаточно больших п для многочлена рп, опреде-
ленного формулой (1.9), имеем
II Рп м Ис цо, и» X) < 2®»
что и доказывает теорему.
152
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
2. ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА
В этом пункте мы введем понятия измеримости и интегри-
руемости функций из (S—►%). Эти понятия восходят к Бохнеру
[1]. Мы приведем без доказательств те свойства интеграла Бох-
нера, которые понадобятся нам в дальнейшем. Читатель, инте-
ресующийся доказательствами, может посмотреть их, например,
в книге Иосиды (1].
Определение 1.4. Функция ие(5->Х) называется простой,
если в S имеется конечное число попарно непересекающихся из-
меримых по Лебегу подмножеств В,- (<= 1,...,я) с тез(В4)<
< оо, таких, что функция и на каждом множестве В, принимает
п
постоянное значение х{ и u(s)=0 для seS\ J В(-. Интеграл
Бохнера от простой функции определяется по формуле
п
и (s) ds = £ mes (Вг) х{.
s	г-i
В случае когда для простой функции ue(S->/) в качестве
множеств Bi можно выбрать интервалы, она называется сту-
пенчатой.
Определение 1.5. Говорят, что функция ие(5-»Х) изме-
рима по Бохнеру, если существует такая последовательность
{un} простых функций, что
ип(з)-*ц(з) Для почти всех seS. (1.10)
Если вдобавок такая последовательность удовлетворяет усло-
вию
lim ( ||u(s) — un(s)||ds = 0,	(1.11)
n^oo J
то функция и называется интегрируемой по Бохнеру. Интеграл
Бохнера от такой функции и по измеримому по Лебегу множе-
ству В cS определяется формулой
\M(s)ds=lim \ un(s) CB(s)ds,	(1.12)
в	"-*00 з
где Св — индикаторная функция множества В:
( 1	при S Е В,
Св (s) Q	при В,
§ 1. Функциональные пространства
153
В случае В = [а, Ь] вместо jtz(s)ds мы, как обычно, пишем
в
ь
^u(s)ds. При Ь<а полагаем
а
Ъ	а
J u(s) ds = — J и (s) ds.
а	b
Замечание 1.6. Из измеримости по Бохнеру функции и сле-
дует, что вещественнозначная функция ||и(«)—ип(•)|| измерима
по Лебегу на S. Поэтому условие (1.11) имеет смысл. Если оно
выполнено, то предел в (1.12) существует и не зависит от вы-
бора последовательности простых функций, обладающей свой-
ствами (1.10) и (1.11), так что определение 1.5 корректно.
Теорема 1.4. Если пространство X сепарабельно, то функция
u^(S-+X) точно тогда измерима по Бохнеру, когда для каж-
дого feX* функция (f, «(•)) e(S-> Z?1) измерима по Лебегу.
Теорема 1.5. Если для функции ae(S->X) существует по-
следовательность (un) измеримых по Бохнеру функций, такая,
что
(/„(^-’•«(О в X для почти всех t<=S,
то она также измерима по Бохнеру.
Теорема 1.6. Измерймая по Бохнеру функция ue(S—>Х)
точно тогда интегрируема по Бохнеру, когда функция ||и(»)|| е
е(5—►/?*) интегрируема по Лебегу, и в этом случае для любого
измеримого (по Лебегу) множества В czS имеет место оценка
\u(s)ds < J||u(s)||ds.	(1.13)
в	в
Теорема 1.7. Если функция u^(S-*X) интегрируема по
Бохнеру, то функция v е (S -> X), определенная по правилу
t
v(t)=^u(s)ds, to^S,
h
почти всюду на S дифференцируема, причем
о' (/) = и (/) для почти всех t е S.
Теорема 1.8. Если функция u^(S-*-X) интегрируема по
Бохнеру и множество В aS измеримо, то для любого f е X*
J (f, u(s)) ds = /f, Ju (s) ds\.	(1.14)
в	\ в /
154
Гл. IV. Функциональйо-аналотическая формулировка задач
Теорема 1.9. Пусть интервал S компактен. Тогда каждая
функция u^Cw(S;X) интегрируема по Бохнеру. Если
u^Cw(S;X) и функция ие(3 —*-Х) определена формулой
t
о(0=
то veCL(S; X) и v' = u. Если u<=C(S; X), то v^Cx(S; X}.
Теорема 1.10. Каждая функция ueC®(S; X) дифференци-
руема почти всюду на S.
Замечание 1.7. Теорем 1.9 и 1.10 в такой форме у Иосиды [1]
нет. Теорема 1.9 получается при помощи несложных рассужде-
ний из теорем 1.4 и 1.8, с учетом определения пространств
C”(S; X). При этом используется тот факт,'что множество зна-
чений всякой функции ueC«,(S;X) лежит в некотором сепа-
рабельном подпространстве пространства X. Теорема 1.10 сле-
дует из теоремы 1.7, так как функцию u^Clw(S; X) можно
представить в виде интеграла от своей производной.
3. ПРОСТРАНСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ
Изложение в этом пункте идет в большой мере параллельно
изложению в соответствующем пункте § 1 гл. II.
Определение 1.6. Две функции и, t>e(S-*X) называются
эквивалентными, если u(s) = v(s) для почти всех sgS.
Замечание 1.8. Как и в случае пространств вещественных
функций, мы часто не будем различать между собой эквива-
лентные функции, не оговаривая этого специально.
Определение 1.7. Через L?(S;X), 1 р < оо, обозначается
множество всех измеримых по Бохнеру функций ие(5-»Х),
для которых
J II “ ($) If ds < оо.
s
Теорема 1.11. Множество Lp(S-,X), 1 р < оо, образующее
линейное пространство с естественными линейными операциями,
превращается в банахово пространство при наделении его
нормой
ll«ll^(S;X)eQll“(S)irrfs),₽- (Ы5)
Доказательство. То что формула (1.15) действительно опре-
деляет норму на £p(S;X), проверяется без труда (надо восполь-
$ 1. Функциональные пространства
155
зоваться неравенством треугольника в X и неравенством Мин*
ковского). Остается лишь доказать полноту L₽(S;X).
Пусть {ип} — произвольная фундаментальная последователь-
ность в Lp(S; X), т. е.
lim (||u„(s) —	(s) ||р ds = 0.
Л, &->oo J
Выберем возрастающую последовательность {Л3}, / = 1, 2, ....
натуральных чисел, таких, что
Цип(s) --ukf (s)||₽ds <	при n^kt. (1.16)
s
В силу (1.16) для последовательности {оЛ = {«^}, /«1,2, ...»
имеем
J||o/+1(s)-v/(s)||pds<4-/.	(1.17)
S
Пусть Al/ = {s|seS, ||o/+1(s) — t>/(s)|f>2“/} и Nt~ [J Mj.
Из (1.17) следует, что
2-/ mes (Mt) < || v/+i (s) — Vf(s) ||p ds < 4-/,
s
t. e. mes(Af/)<2~z, а значит, mes(Wz) < У 2-/ — 2I-Z. Поскольку
oo
NjZD N2zz>..отсюда вытекает, что множество N = f| Nt
имеет меру нуль: mes(W) = 0.
Пусть теперь s^N. Тогда найдется i, такое, что s 0 Nh
т. е. seAf/ для всех j^i, и, следовательно,
||v/+i(s) — o/(s)||p<2~/ для />Л
Итак, для s е S \ N
lim Ц V/ (s) — Vi (s) || lim У, 2-z/p = 0.
i, /->оо	Z-»oo l=*i
В силу полноты X, для каждого s е S \ N существует элемент
u(s)sX, удовлетворяющий условию
lim || V,(s) — и(s)|| = 0.
/~>оо
Если мы еще положим m(s) = 0 для se<V, то получившаяся
функция и будет как предел измеримых функций Vj (в смысле
156
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
сходимости почти всюду) и сама измерима (см. теорему 1.5).
По лемме Фату
( || V/ (s) — и (s) ||р ds lim (|| vf (s) — v{ (s) ||₽ ds.
S	i->oo s
Так как {nJ — подпоследовательность фундаментальной после-
довательности {«„}, то правая часть последнего неравенства при
достаточно больших / может быть сделана сколь угодно малой.
Поэтому ие Lp(S; X) и
lim ( || vAs) — «(s) ||₽ ds = 0.
£
Отсюда вытекает, что
lim ( || ип (s) — и (s) ||₽ ds
П-»ОО J
<	lim ((II «„(«) — о/(s)Н4-IIО/(«) — M(s)||)pds<
n, /-*«> J
<	iim ( 2₽ (|| un (s) — uk (s) ||p +1| Vj (s) — и (s) ||p) ds = 0.
n, /->oo J	1
Следовательно, последовательность {un} сходится в L?(S;X) к
«e£p(S; X), что и доказывает теорему.
Лемма 1.3. Множество ступенчатых функций из (S—>Х)
(см. определение 1.4) плотно в L?(S;X), 1 р <_ оо.
Доказательство. Пусть задана функция «eLP(S;X). В силу
ее измеримости найдется последовательность {«„} простых функ-
ций из (S—*Х), такая, что
($)—>« (s)	Для почти всех ssS. (1.18)
Определим функции t>n е (S -> X) формулой
. ч ( un(s), если IIип (s)II <21|и(s)||,
®п(8) = ,{ л	(1.19)
(0 в противном случае.
Как легко видеть, функции о„ также просты. Из (1.18) и (1.19)
следует, что
vn (s) -*«(«) Для почти всех s G $.
Кроме того, из (1.19) вытекает, что
II v„(s) - «(s)llp <(3||«(s)||)p.
Поэтому, на основании теоремы Лебега,
lim ( || vn(s) — и(s)||р ds = 0,
n->oo J
§ 1. Функциональные пространства
157
т. е. последовательность {оп} сходится в Lp(S; X) к заданной
функции и. Итак, для доказательства леммы достаточно пока-
зать, что простые функции можно с любой точностью аппрокси-
мировать в Lp(S;X) ступенчатыми. Покажем это. Любое огра-
ниченное измеримое множество В czS можно с точностью до
множества сколь угодно малой меры аппроксимировать конеч-
ным числом попарно непересекающихся интервалов, т. е. для
всякого в > 0 существуют попарно непересекающиеся интервалы
Sf, i = 1...tn, такие, что mes
Если
«(s) =

О
для sefl,
в противном случае
т
ДЛЯ SS U Sb
£-1
в противном случае,
(1-20)
то
И«—Mlp(S; X) <11^11 е,/₽-
Следовательно, простые функции, будучи конечными суммами
функций вида (1.20), могут быть аппроксимированы в Lp(S;X)
с любой точностью ступенчатыми функциями. Лемма доказана.
Определение 1.8. Функция «е(5—*Х) называется сущест-
венно ограниченной, если она эквивалентна некоторой ограни-
ченной функции, т. е. если существует такое число М < оо, что
||w(s)|| ^М для почти всех sgS. Нижняя грань всех таких
чисел М обозначается через vrai max || u (s)||. Множество всех из-
меримых по Бохнеру существенно ограниченных функций из
(S->X) мы обозначаем через L°°(S;X).
Теорема 1.12. Множество L°°(S; X) является банаховым про-
странством относительно нормы
IIи Hl“ is- л» = vrai max И “ («) И-
' ’	seS
(1-21)
Доказательство. To что формула (1.21) определяет норму на
£°°(S;X), видно непосредственно. Нужно лишь доказать пол-
ноту.
Пусть {«„} — произвольная фундаментальная последователь-
ность в L°°(S; X), т. е.
lim vraimax||ип(s) — uk(s)|| = 0.
n, fc-»oo SSS
158
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
Тогда для каждого натурального числа i найдется такое n(i),
что при п, k п(1)
vrai max ||un (s) — ик (s) || < 7,
ssS	1
т. е.
II«»(s) — «fe(s) II < 7 для $sS \ Nnkl,
где Nnki — некоторое, вообще говоря, зависящее от и, k и i
оо
множество меры нуль. Пусть N — J МпМ. Тогда mes(A0 = 0
г-i
п, k^n (/)
И
II «„ (s) — Uk (s) II < 7 ДЛЯ S е S \ N И tl, k^sn(l).
В силу полноты X последовательность {«п(«)} для seS\W
имеет предел u(s)sX. Для S6^ положим m(s)=0. Опреде-
ленная таким образом функция ue(S —>Х) измерима как пре-
дел измеримых функций и, очевидно, также существенно огра-
ничена. Далее, для sе5 \ iV и п п(i)
IIИп(s) — и(«)||< lim (l|Mn(s)-Mft(s)H + ll«*(s) — w(s)||)<y.
fe~oo	‘
Следовательно,
lim vraimax||tin(s) — u(s)|| = 0.
n->oo seS
Итак, последовательность {un} сходится в L°°(S;X) к функции
«eL°°(S;X), чем теорема и доказана.
Лемма 1.4 (неравенство Гёльдера). Если u^Lp(S; X),
и »sL’(S; X*), 2-4-1= 1, то <»(•), u(-))c=Ll(S)n
$ <о («), u (s)> ds < || v ||L? (S. xt) || u ||tp(s. X).
s
Доказательство. Для функций «е Lp(S; X) и v е L<i(S; X*)
найдутся последовательности {ип} и {оп} простых функций со
значениями в X, соответственно в X*, которые сходятся почти
всюду на S к и, соответственно к о. Тогда простые функции
(»„(•)> «»»(•)) из (5-*R1) почти всюду будут сходиться к
(»(•), «(•)). Поэтому функция (v(«), «(•)) измерима по Ле-
бегу. Так как (o(s),«(s))< l|v(s) |1»||и(з)|| и ||«(«) || <= Lp(S),
||о(») ||* е L9(S), то утверждение леммы следует теперь из обыч-
ного неравенства Гёльдера (лемма 1.12 гл. II).
§ 1. Функциональные пространства
159
Теорема 1.13. Если {Н, (•, •)} —гильбертово пространство, то
пространство L2(S;H) со скалярным произведением
{и, v}s = J (и (s), v (s)) ds для и, v(=L2 (S; Я) (1.22)
s
тоже является гильбертовым.
Доказательство. Определение (1.22) имеет смысл в силу
леммы 1.4 и теоремы Рисса (теорема 6.1 гл. I). То что функция
(•, «)s обладает всеми свойствами скалярного произведения,
требуемыми в определении 6.1 гл. I, очевидно. Полнота про-
странства L2(S,H) уже доказана в теореме 1.11, поскольку
норма, отвечающая скалярному произведению (♦, •)» совпа-
дает с нормой, фигурирующей в этой теореме. Доказательство
закончено.
Следующая теорема показывает, что в случае рефлексивных
сепарабельных пространств X сопряженное к Lp(S;X),
1 < р < оо, пространство (L₽(S;X))* можно отождествить с
L’(S, Г), ±4-1=1.
Теорема 1.14. Если пространство X рефлексивно и сепара-
бельно и 1 < р < оо, то каждый элемент f ^(Lp(S-, X))* допу-
скает точно одно представление в виде
f («) = j (о (s), и (s)> ds для каждого u&Lp (S; X)
s
с функцией v е Lq (S; X*), 4' + "^=1- Соответствие f-+v,
ft=(Lp(S; Х))‘, линейно и Р 4
II 1 H(t/’ (S; X))* = И V Hl? (в; Х*У
Доказательство проведем в четыре шага.
1.	Пусть /о — произвольная точка интервала S. Положим для
/еЗихеХ
х,
если t0 < t и to < s < t,
«t.x («) = ) — X,
если to>t и	(1-23)
О
в остальных случаях.
Для f e(L₽(S;X))* значение линейно зависит отхеХ и
f (ut, х) < II f ll(£,P (S; X))* II Ut’ х ИдР (S; X) — II f ll(Lp (S; X))* II * II И А) I ^₽>
т. е. f(ut< х) (при фиксированных f и /) является непрерывным
линейным функционалом от х на X. Следовательно, существует
160 Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
представление
f(«i.x) = <g(0, Д g(t)^X*.	(1.24)
Очевидно, что g(to) = 0.
2.	Пусть {Si,— конечная система непустых попарно
пересекающихся подынтервалов интервала S вида S,- = [Л, /,• +
4- hi), I — 1, ..., т. Тогда для х е X имеем
II t H(tp(S; X))’ £ х	utt, x)|	e
ll»”l	ИЛ(3; X)
= HFW(s-.x>rUll(Ehl)V₽.	(1-25)
Положим Zi = (g(t{ + hi) — g(ti))/hi. Для этих г,- при любом
е > 0 найдутся в силу определения нормы линейного функцио-
нала такие элементы yt^X, что Цг/JI = 1 и (z{, у{}	||х{||ш— е.
Возьмем Х{ —1| Zi И’-’ yt. Тогда
х/»|г<|С-8||г,|Г*.	(1.26)
Определим функцию и формулой
' Xi при t^S{, i=l............................т,
«(/)=•!	г,
0 при t eR \ (J 5г.
v	i-1
т
Очевидно, u=£ (uii+hl'X{ — utl,Xf). Для этой функции имеем
II «I£p(S:x) = £ 11М₽/Ч= Zll2JI% (1-27)
и (см. (1.24), (1.26))
II f V(S; X))’ II" lk₽ (S; X) >/(")= £ <£ <fi + hi) ~ g (<i), *i> =
= 2 <Zi, Xi}hi E (II Zi IL’ - e II Zi 1Г1) hi.
i-l	i-l
Из последнего неравенства при е->0 получаем, с учетом СО'
отношения (1.27),
/ т	\1/<7
II f ll(Lp(S; X))* II Zi II* J •
Поскольку это верно для произвольной системы Интервалов
§ 1. Функциональные пространства
161
{Si, Sm}, мы заключаем, что
Чч
£(яаг + лг)-г(^))[л^ , (1.28)
где верхняя грань берется по всем конечным системам непустых
попарно непересекающихся интервалов [tiy Ц + ft<), i = 1, ..., т.
3.	Теперь покажем, что существует функция v е L? (S; X*),
для которой справедливы соотношения
t
g(t)=\v (s) ds и	|| v ||L? (s. x.) < II f ||(Lp (S. X)y.
to
Очевидно, достаточно показать это утверждение для случая
компактного интервала S. Пусть S = [fo, и Т = t\ — t0. Для
n= 1, 2, ... положим gn>i — g(t0 + 2~nTi), t = 0, 1.2", и
vAi) = -^Agn.i+l-gn,t) при 2-aTi^t-t0<2-aT(i + l).
Прежде всего заметим, что в силу (1.28)
II Нд? (S; X*) “
z2ft-l	Ч1/?
“(	<«-«.,<)Г2-г	<11 %/«„). (1.29)
ч 1=0 11	*	'
Далее покажем, что почти для каждого feS последователь-
ность {||уп(0 II*} ограничена. Пусть
—	sup||vn(01|. = оо}	(1.30)
п
И
Sr. к = {Л S, sup II on(0 II. >/<}, / = 1,2,...; к=1, 2....
п<г
Ясно, что Sr,к при фиксированном К не убывает по г и
оо оо
АГ0=^Р J Sr,K. Так как функция ип кусочно постоянна, то
Sr,к состоит из интервалов вида [2~nTi, 2-n7’(i-|-1)), п^г,
в которых НМ0Н.Ж- Если два таких интервала имеют не-
пустое пересечение, то один из них содержится в другом. По-
этому Sr,к может быть представлено как объединение попарно
непересекающихся интервалов указанного вида. Пусть для фик-
сированных г и К это будут интервалы [/<, <»• -|- Л,), i = 1, ..., tn.
Используя (1.28), получаем
m
К.4mes(Sr,к)< 21	[ht<|| f ||^(S; „у.
в X, Гаевский и др.
162
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
Так как не убывает по г, то отсюда следует, что
K’mes(|JS,.x)<llf 11^(5;Х)Г
и потому
mes (No) = mes (П |J Sf,	< inf mes ((J Sr> K) = 0.
Пусть fa'.Zz, ...} — какая-нибудь счетная полная система в
X. Ввиду (1.25), функции a.j, j = 1, 2, определенные фор-
мулой
а/(О = <вГ(О, Z/>,	/ еЗ,
абсолютно непрерывны. Поэтому для t е 3 \ Nj, где Nj — неко-
торое подмножество нулевой меры в 3, существует производная.
Пусть in, п=1, 2......... выбраны	для iES\,Vj так,
чтобы 2~nTin t — t0<Z 2гпТ(in 1). Тогда
lim z,)= lim (-~-(gn, in+i~ gn,in), z\ = ^(t). (1 31)
1->оо	n-»oo \Z 1	' V
Из (1.30) и (1.31) вытекает, что последовательность {«»(/)} Для
оо
каждого tеS\ || N 1 слабо сходится в X* к о(t)еX*. Для
/-о
СО
/е U положим v(t) — O. Согласно теореме 1.5, определен-
/-о
ная таким образом функция ое (3—*Х*) измерима по Бохнеру
и II f (0ll.< lim || оп(0Н. Для t еЗ (см. лемму 5.3 гл. I). С уче-
П-»оо
том неравенства (1.29), получаем отсюда по лемме Фату
$М0|£Л< lim $||М011’ЛCllf ll^(S; х>)‘.	(1-32)
S	п-*°° S
т. е. osl’(S; Л*). Далее, для /!, 2, ... имеем (см. (1.31))
t	t
(g (0, Z/> = а/ (0 = a'i (s) ds = ( lim (on (s), z,) ds =
= J (v (s), Zj) ds = v (s) ds, z^.
Следовательно,
g(t)=\v(s)ds.
§ I. Функциональные пространства
163
4.	Пусть и — произвольная ступенчатая функция (см. опре-
деление 1.4) из L’’(S; X), скажем
{Xt при s{ < t
О в противном случае.
Тогда (см. (1.23) и (1.24))
f («) = f ( 2 («<г, xi ~ “st,	<ё (О — g (s<)> xi> =
4 = 1	'	i-1
m pi	\ m ti
— s \ $ ° w dt’ Xi / = s $ (° (tyu(ty dt== $ (° “(ty dt’
4-1	/	/-Is,	S
Так как множество ступенчатых функций плотно в Lp(S;X)
(лемма 1.3) и так как в силу неравенства Гёльдера интеграл
J(v(/), u(t))dt непрерывно зависит от «eL₽(S; X), то
s
f(u) = $<«(/), u(t)}dt	(1.33)
s
для всех ue£p(S;X). Следовательно, линейный функционал f
обладает нужным представлением. Ввиду неравенства Гёльдера,
II f И(др (S: X))* II ° lit’ (s; X*Y	(1-34)
Из (1.32) и (1.34) вытекает утверждаемое равенство норм.
Единственность представления f в виде (1.33) с oeL«(S;X*)
следует из того, что, ввиду равенства норм f и о, нулевой функ-
ционал представим только при помощи v = 0. Линейность со-
ответствия f—* v очевидна. Теорема доказана.
Замечание 1.9. Утверждение теоремы 1.14 справедливо так-
же и при р = 1; доказательство в этом случае даже проще, чем
в случае р>1. Мы не стали доказывать этот результат, по-
скольку он нам в дальнейшем не потребуется.
Замечание 1.10. Можно показать (см., например, Эдвардс
[1]), что теорема 1.14 сохраняет силу даже тогда, когда относи-
тельно пространства X предполагается лишь, что оно рефле-
ксивно или сепарабельно.
Замечание 1.11. Из теоремы 1.14 вытекает, что если прост-
ранство X рефлексивно и сепарабельно, то пространства
Lp(S;X), 1 < р < оо, рефлексивны.
Позднее нам понадобится
6*
164
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
Лемма 1.5. Для любой функции ие LP(S',X), 1 р < оо,
функция иь, определенная формулой
f u(t + h) при t + h^S,
«л(О = [о при t + h&S,
также принадлежит LP(S: X), и
lim || uk- u||tP(s fl = 0.
ft->0
(1.35)
Доказательство. Принадлежность uh к L₽(S; X) очевидна,
и ясно, что
II uh 11др ($; X) II U Ид₽ (S; ХУ	(1 ’36)
Пусть {ип}— последовательность ступенчатых функций, сходя-
щаяся в £p(S;X) к и (см. лемму 1.3). Тогда, в силу (1.36), по-
следовательность {unh} равномерно по h сходится в L?(S;X) к
и^ т. е. для любого е>0 существует такое ЛГ(е), что при
n>N(e)
II “ У НдР (S; X) II “л «пЛ ИдР (S; X) 4“
4* II unh	ип ПдР (s; х) 4" II ип	« НдР(S; X)
II	И» ИдР (S; X) 4" 8.
Поэтому лемму достаточно доказать для ступенчатых функций.
Так как (и 4-°) л = «л 4-°л» то справедливость соотношения
(1.35) для ступенчатых функций следует из справедливости его
для функций вида
« = Свх, хеХ,
где Св — индикаторная функция ограниченного интервала В czS
(см. определения 1.4 и 1.5). Но в этом случае
lim (||uA(s) - u(s)||pds<2||x||plim | h | = 0,
Л->0 J	Л->0
о
чем наша лемма и доказана.
Следующая теорема сыграет важную роль в гл. VI при до-
казательстве сильной сходимости метода Галёркина для эволю-
ционных уравнений.
Теорема 1.15. Если пространство X равномерно выпукло, то
при 1 < р <_ оо пространство Y = Lp(S;X) также равномерно
выпукло.
Доказательству этой теоремы предпошлем одну лемму.
§ 1. Функциональные пространства
165
Лемма 1.6. Если X равномерно выпукло и 1 < р < оо, то
существует такая неубывающая функция бр, что 6Р (g) > 0 при
g > 0 и для любых х, у е X с IIх|| 4- ||z/|| > 0 выполняется не-
равенство
(1.37)
Доказательство. Достаточно показать, что для ||х|| = 1,
||«/||	1 И ||х— Z/II > 8

(1.38)
Случай произвольных х, у сводится с помощью деления на
sup (Н х ||, || у ||) и, при необходимости, перестановки х и у к на-
званному случаю.
Элементарно проверяется, что при с О
(|(1+с))₽<4(1+^),
/1 VI .	U-39)
( (1 + с) } = у (1 + ср) только для с = 1.
Допустим, что (1.38) неверно. Тогда
такие последовательности {xn}, {«/„},
1|Хп — Уп\\ > е и
найдутся такое в > 0 и
что ||хп|| = 1, ||«/п|| < 1,
lim
rt-»OO
|у(х>» + Уп)|Р
У (1-11 Ул И
В силу (1.39)' ЭТО ВОЗМОЖНО ЛИШЬ при ||уп1|—*1. Положим
zn = ynl\\yn\\. Тогда ||zn — у nil ->о и, значит, ||xn — z„||> в/2
для достаточно больших п. Далее,
||у (х„ + Zn) I > |II хп 4- уп II - у II уп - zn ||-> 1.
Но эти свойства последовательностей {хп} и {zn} противоречат
равномерной выпуклости X (см. определение 5.9 гл. I). Лемма
доказана.
Доказательство теоремы 1.15. Пусть и, v^Y — Lp(S; X),
||u||r<l, ||о|1г<1 и ||и —о||г>8. Положим
M = {/|/sS, П«(/)-»(/)||р>-у(II«(011₽ +
+и v (о г) > 4 su₽ ® и₽’ и ° ® и")} •
166
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
Множество М измеримо, и
( и и (о - v (п и* dt < 4	«(о «р+1|v (о но л < 4 •
S\M	S
Поскольку || и — v ||у > в', отсюда следует, что
$11«(0- v (/)||'Л>-у*
м
Поэтому н«—о|1Л₽(м:л)>-^- и, значит,
sup (II и ||£Р (М. Х),	II V ||ЬР (М. Х))	2(1/р)+1 ,
sup Л || и (О II" Л, (Цр(ОИрЛ
\м	м
Отсюда, используя неравенство (1.37) и определение ЛГ, по-
лучаем
$ { у (II«(О Нр + IIV (t) ||р) - (у ||« (0 + V (О ||)Р } dt >
S
> $ { у (II«(О Нр.+ II о (О Нр) - (у II « (0 + f (О ll)₽ } dt >
м
( 8 \ ||u(OII' + l|t>K)ll' / в \ е₽.
>1*4^-------------~г------dl >6- w 
м
Следовательно,
т] (е) > 0 для 8 > 0.
Это показывает, что Y равномерно выпукло. Теорема доказана.
4.	РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В этом пункте вводятся распределения со значениями в ба-
наховом пространстве X. Ниже через Xw мы обозначаем линей-
ное пространство X, рассматриваемое со слабой топологией;
Xw является локально выпуклым пространством (см. замеча-
ние 4.8 гл. I). Пусть int S обозначает внутренность интервала
S. При определении распределений мы исходим из пространства
S>(intS), которое получается при наделении соответствующей
топологией множества C“(intS) (см. лемму 1.21 гл. П). Для
§ t. Функциональные пространства
(67
упрощения записи здесь и всюду далее это пространство обозна-
чается через S>(3). При этом мы считаем, что функции из
3) (int 3) продолжены (как нуль) с int S на весь интервал S,
так что 3>(S) состоит из всех определенных на S бесконечно
дифференцируемых вещественных функций, носители которых
компактны и лежат в intS. Отметим, что некоторые авторы
используют это обозначение, понимая под S)(S) множество
всех определенных на 3 бесконечно дифференцируемых функций
с компактными носителями в 3.
Определение 1.9. Обозначим пространство 9? Хю) всех
непрерывных линейных отображений пространства 2>(S) в ло-
кально выпуклое пространство Xw через 3>*(S; X) и элементы
этого пространства назовем распределениями на 3 со значе*
ниями в X. Пространство £&*(S; X) мы рассматриваем как ло-
кально выпуклое пространство, а именно в качестве топологии
в нем берем простую топологию пространства £(3)(S), Xw)
(см. замечание 4.4 гл. I).
Замечание 1.12. Топология пространства 3>*(S;X) может
быть задана с помощью полунорм
=	“(ф)>1, Ф€=0(3), у^Х*, uf=3>*(S; X).
Последовательность {ип} точно тогда сходится в 3)*(S; X), когда
для любых ф е Ф(3) и у s X* сходится последовательность
{<!/> «п(ф))}-
Замечание 1.13. 3>*(S; Rl) = <Z>*(int 3), т. е. при Х = R1 вве-
денное здесь пространство распределений совпадает с введенным
в § 1 гл. II пространством (вещественнозначных) распределений
на intS.
Лемма 1.7. Пусть функция ие(3~*Х) локально интегри-
руема по Бохнеру, т. е. на любом компактном подынтервале К
в 3 эта функция принадлежит L1 (К; X). Тогда ей можно поста-
вить в соответствие некоторое распределение на 3 со значениями
в X по правилу	___
fu (Ф) = $ Ф («) и (s) ds,	ф е 3) (S).	(1.40)
з
Интеграл в (1.40) понимается как интеграл Бохнера. Соответ-
ствие
(1.41)
является взаимно однозначным, если, как обычно, эквивалент-
ные интегрируемые по Бохнеру функции считать равными.
Доказательство. Интеграл Бохнера в (1.40)‘ существует, по-
скольку функция и локально интегрируема, а функция ф имеет
168 Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
компактный носитель. Из леммы 1.22 гл. II следует, что fu яв-
ляется непрерывным линейным отображением 3)(S) в X, а тем
самым и в Xw.
Для доказательства взаимной однозначности соответствия
(1.41) покажем, что из fu = 0 следует, что и = 0. Итак, пусть
L (ф) = § ЧР (s) У (s) ds = О	V<pe^)(S).	(1.42)
s
Для заданных е > 0 и to, t е S, таких, что (t — /0) /2 > е, най-
дется функция <р е 3) (3) со следующими свойствами:
a)	0^<p(s)^l VseS;
b)	<p(s) = 1	для f0 + 8	“ ei
c)	qp(s) = O	для s</0 и s^t.
Для этой функции ф ввиду (1.42) имеем
II * ИМ	II
j и (s) ds = Н и (s) ds — ф (s) и (s) ds =
II t„ II II /. s	||
I/q+ 8	/II
( (1 — ф(в))и(з)ds + ( (1 — q>(s))u(s)ds
t-e	II
fo+8	t
< 5 ll«(s)llds+ $ II«(s) IIds.
6	t-e
Отсюда при e->0 получаем
t
v(0=$ll«(s)||ds = 0.
t.
Дифференцируя no t и используя теорему 1.7, находим
и (0 = v' (0 = 0 Для почти всех t^S.
Лемма доказана.
Замечание 1.14. В силу леммы 1.7 каждую локально инте-
грируемую по Бохнеру функцию и можно отождествить с отве-
чающим ей распределением fu е 3>*(S; X), а множество всех
локально интегрируемых по Бохнеру функций из (3->Х) трак-
товать как подпространство в <Z>*(S;X). По этой причине о
распределениях, которые допускают представление вида (1.40),
мы будем говорить как о функциях из (S -► X).
Определение 1.10. Для каждого распределения f е,й>*(3; X)
определим производную f'	X) по правилу
Н<Р) —НфЭ 0(3).	(1.43)
§ 1. Функциональные пространства
169
Замечание 1.15. Нетрудно видеть, что отображение f' из
f£>(S) в Xw линейно и непрерывно, т. е. оно действительно при-
надлежит <2)*(S;X), как это неявно утверждается в опреде-
лении.
Если fn-+f в 3>*(S; X), то для у^Х* и <ре3)(S)
lim (у, f'n (<р) — f' (<р)) = Нт (у, f (ф') — fn (ф')> = О,
П->оо	П->оо
следовательно,	в 3)*(S;X). Таким образом, соответ-
ствие f-*f' является непрерывным отображением 3>*(S;X) в
себя.
Лемма 1.8. Пусть фиксировано и пусть и — локально
интегрируемая по Бохнеру функция из (S-*X). Тогда опреде-
ленная формулой
t
v (/) = и (s) ds
функция v<=C(S;X), рассматриваемая как элемент из
3)*(S;X), имеет производную v'= и.
Доказательство. Для у е X* функция {у, v (•)) абсолютно
непрерывна. Используя формулу интегрирования по частям
(справедливую для абсолютно непрерывных функций), полу-
чаем, что для любых у е X* и ф — St) (S)
(К, »' (ф)> = {у, — »(ф')> = (у, — $ f (Оф' (0 м\ =
\ s	/
t
=—И ы ds(p' и w ф ®dt=
st0	s
*=(y, $ «(0 Ф (0 dt\ = ty, и (ф));
\ s	/
здесь через и(ф), »(ф), »'(ф) обозначены значения и, v, о', рас-
сматриваемых как элементы из <Z>*(S;X), на элементе
e£Z>(S). Отсюда следует, что v' — и. Лемма доказана.
Замечание 1.16. Из леммы 1.8 и теоремы 1.9 видно, в частно-
сти, что для каждой функции и^С'ш(3; X) слабая производная
совпадает с производной этой функции, рассматриваемой как
элемент из S)*(S; X).
Следующая лемма показывает, что распределение и е
eS>*(S;X) определяется своей производной однозначно с точ-
ностью до аддитивной постоянной.
170
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
Лемма 1.9. Если и' — 0 для tze£Z>*(S;X), то и —постоянная
функция из (S -> X), т. е. для некоторого х е X
u(t) — x при почти всех
Доказательство. Пусть и' = 0, т. е.
0 == и'(<р) = — а (<р') Уфе0($).	(1.44)
Как легко видеть, элемент ф s S> (S) точно тогда является про-
изводной некоторой функции (pE^(S), когда ^(s)ds = 0.
з
Если ф1 — какая-нибудь фиксированная функция из 2D (S) с
J Ф1 (s) ds = 1, а х *= 3) (S) — произвольная функция, то функция
s
Ф = Х— Jx(s)ds- ф,
S
удовлетворяет соотношению
J ф (s) ds = 0.
s
Следовательно, каждый элемент	можно представить
в виде
Х=$х(«)^*Ф1 +'<Р',	Фе®(5).	(1.45)
s
Из (1.44) и (1.45) вытекает, что
«(%) = § % (s) ds-и(ф1).
s
Если v — постоянная функция, заданная формулой.
v (t) = и (Ф1) V/gS,	'
то
V (х) = $ X («) V ($) ds = J x(s) ds • и(Ф1),
s	s
т. e. v(x) = «(x) Для каждого	и, значит, u = v. Лемма
доказана.
5. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
РАСПРЕДЕЛЕНИИ С ИНТЕГРИРУЕМЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
В этом пункте мы предполагаем, что заданы рефлексивное
сепарабельное1) банахово пространство {V, ||«||) и гильбертово
1) См. подстрочное примечание на стр. 7g.
§ 1. Функциональные пространства
171
пространство {И, (•,♦)} с нормой |«|, удовлетворяющие усло-
виям
V cz Н, V плотно в И,
|x|<Yll*ll VxeV, Y = const. (^46)
Из (1.46) следует, что V непрерывно вложено в Н. Как мы
показали в § 6 гл. I, при предположениях (1.46) пространство
Н можно отождествить с его сопряженным Я*, а Я* — с некото-
рым подпространством сопряженного к V пространства V*. Та-
ким образом, приходим к соотношению
УсгЯсУ;	(1.47)
при этом пространство Я непрерывно вложено в V* и плотно в
нем. Далее, скалярное произведение между V* и V можно
обозначать точно так же, как и скалярное произведение в Я,
через (♦, •). Мы будем использовать такую возможность. Целе-
сообразность этого выяснится позднее, когда нужно будет одно-
временно работать с несколькими скалярными произведениями.
До конца этого пункта будем считать, что заданы два ве-
щественных числа р и ро, удовлетворяющие условию 1 < р
ро < оо. Пусть числа q и q0 определены условиями
1	. 1	1,1	, -г
—+ у = —+ —=1. Теперь мы введем пространства, кото-
рое будут играть важную роль при изучении эволюционных
уравнений в гл. VI. Положим
X = L” (S; V) Л Ь₽о (S: Я).	(1.48)
Как пересечение двух банаховых пространств X само является
банаховым пространством. В соответствии с соглашением, при-
нятым нами в замечании 5.12 гл. I, норма в X имеет вид
11«11х = Н«11£₽(5: V) + ll«ll£P.(S; НГ	П-49)
В силу теоремы 5.13 гл. I и теоремы 1.14, сопряженным к X
будет пространство
X* = Lq (S; V*) + Lq* (S; Я)	(1.50)
с нормой (см. замечание 5.13 гл. I)
II f Их*= inf шах 0| f 1||^	|| /з Их,?» (з;
f,e£«(S; V*)
Н)
При этом нужно помнить, что пространства Я и Я* отождест-
влены.
Если f е X* допускает представление f = fi -f- f2, где
fi^Lq(S; V*) и f2^Lq,(S\ H), то скалярное произведение эле-
172
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
ментов f и и е X, которое мы ниже обозначаем через и),
задается соотношением
<f, «>= $ (fi(0,	+ $ (f2(/), u{t))dt = J (f (/), u(t))dt (1.52)
s	s	s
(см. теорему 1.14 о представлении линейного непрерывного
функционала на Lp(S; V)).
Замечание 1.17. Согласно теореме 5.13 гл. I и теореме 1.14,
сопряженное к X* пространство можно отождествить с
X — LP(S; V) П LP‘(S; Н). Следовательно, при заданных предпо-
ложениях пространство X рефлексивно.
Замечание 1.18. Если р — Ро, то X = Lp(S;V); при этом
норма (1.49) эквивалентна обычной норме в L?(S; V).
Замечание 1.19. Как функции из X, так и функции из X9
можно, в силу (1.48), (1.50) и (1.47), трактовать как локально
интегрируемые функции из (S -> V*) и тем самым как элементы
из V*) (см. замечание 1.14). Ниже через и' мы обозна-
чаем производную от и^Х в смысле распределений.
Лемма 1.10. Если последовательность {un} слабо сходится
к элементу и в X, соответственно в X*, то она сходится кии
в ^(3; V*).
Доказательство. Нам надо показать, что для любых х е V
и ф е 3) (3) последовательность 0 ип (s) ф (s) ds, х) сходится
к । \ u(s)q(s)ds, х J (см. замечание 1.12). Но действительно,
\s	/
если, скажем, {ип} — слабо сходящаяся последовательность в
X, то
lim ( \ un(s)<p(s)ds, х] = lim \ (хф(а), un(s))ds =
п-><х> J	J П->оо J
= lim (хф, ип) = (хф, и) =
П->оо
u(s^(s)ds, х
Аналогично можно доказать требуемую сходимость и в случае,
когда {unJ — слабо сходящаяся последовательность в X*. Лемма
доказана.
При изучении операторных дифференциальных уравнений
наряду с пространствами X и X* играет роль еще одно простран-
$ 1. Функциональные пространства
173
ство, которое мы теперь определим и которое для краткости бу-
дем обозначать просто через W. Положим
W=>{u\u<=X, u'eeX*}.
Теорема 1.16. Множество W с естественными линейными опе-
рациями и нормой
Hu|lr = H«llx + ll«'llx*,
является банаховым пространством.
Доказательство. Выполнение свойств нормы для ||«|lw оче-
видно. Нужно лишь доказать полноту W относительно этой нор-
мы. Пусть {«„} — произвольная фундаментальная последова-
тельность в №. В силу полноты X последовательность {«„} обла-
дает пределом ие! Соответственно последовательность {«'}
имеет в X* предел оеР. По лемме 1.10 последовательность
{ип} сходится к и и в <Z>*(S; V*). Так как в <Z>*(3; V*) производ-
ная непрерывно зависит от распределения, то последователь-
ность сходится в <25* (S; V*) к производной и' от и. Следо-
вательно, и' — v е X* и и е №. Теорема доказана.
Замечание 1.20. В обозначении № не отражена зависимость
введенного пространства от 3, V, И, р и р<>. Это оправдано тем,
что указанная зависимость, вообще говоря, не играет существен-
ной роли. Лишь в одном случае (лемма 1.12) мы будем исполь-
зовать одновременно пространства № для различных интерва-
лов 3. В этом случае мы выразим зависимость от 3 при помощи
обозначения №(3).
Лемма 1.11. №cC(S; V*). В случае компактного интервала
3 вложение №вС(3; V*) непрерывно.
Доказательство. Пусть и е №. Тогда производная и' е
е (3 —> V*) локально интегрируема. Определим функцию v е
(3 -> У*) формулой
о (/) = J и' (s) ds, t0&S.	(1.63)
t.
Обозначим норму в V* через || • И,. Так как
t
||о(/) —o(s)||.<^||u/(T)||,dT при s^t,
S
то vsC(S; V*). С другой стороны, по лемме 1.8, v' = u',
а потому, согласно лемме 1.9,
и (t) = v (/) -f- z, z е V*, для почти всех (еЗ. (1.54)
174 Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
Следовательно, и также принадлежит C(S; V*). Используя не-
равенство Гёльдера и определение нормы в X* (см. (1.51)),
получаем из (1.53), с учетом компактности S,
II v (О II. < $ II«' («) II. ds < Ki || и' Их»,
S
Кг = const. (1.55)
В силу непрерывности вложения V в V* из (1.54) и (1.55) выте-
кает, что
(mes(S))1/p||г||. = А ||z|£ds]'P —1|и — v,|£₽(s. v*) <
<tf2(ll«llL₽(S: V‘) + II v ||C(S;	< K3(|| и||x 4-1|u'||^), (1.56)
где Кг и Кз — не зависящие от и постоянные. Наконец из
(1.54) —(1.56) следует, что
sup || и (/) Н. < sup || v (О II. 4-1| z ||. < КII и 11^, К = const.
ieS	feS
Лемма доказана.
Лемма 1.12. Множество C*(S; V)D V плотно в W.
Доказательство. Рассмотрим отдельно три случая.
Случай 1. S = Z?1. Положим
р(0 =
Се <!-1 при |/|<1,
О	при 1111
и pn(/)= пр (nt). Постоянную с выберем из условия J p(t)dt= 1.
По заданной функции и е W определим функции «п, п= 1,2,...,
формулой
ип (0 = 5 Pn (t — s) и (s) ds.	(1.57)
я1
Непосредственно проверяется, что функции ип принадлежат
СЧЯЧУ) И
«п (0 = $ Pn (t — s) и (s) ds = J P„ (t — s) u' (s) ds. (1.58)
Последнее равенство справедливо по определению производной
от распределения.
§ 1. Функциональные пространства
175
Построенные функции ип принадлежат Lp(Rx\ V) и сходятся
в этом пространстве к и. Это вытекает из следующих оценок:
I*+(l/n)	IP
$ р„(/ — s)(u(s) — «(/))ds|
1Рп(Л)1И«(Г + А)-«(П11^Ул<
#\-1/п	/
J IPnWd/A J \\u(t + h)^u(t)\\pdh]dt^
ю I X-l/Л	/ -1/n	J
1/n
<4(2c)p S	+ h)-u(t)Wpdtdh.
—l/Л R1
Если теперь воспользоваться леммой 1.5 и введенными там
функциями Uh, то получим
lim (|| ип (/) — и (/) ||р dt < lim (2с)р sup || uh — и \\plp (/л. v) = 0.
n->oo Jj	n->oo |Л|<1/П	' *
Соответственно можно показать, что последовательность {ип}
сходится в LP’(S; Н) к и. Следовательно,
lim || и„ — и ||х = 0.	(1.59)
П-»ОО
Перейдем теперь к доказательству сходимости производных.
Так как и' е X*, то существует разложение
и' = v + w, v<=Lq (S; V*), w <= L* (S; Я).
Аналогично (1.57), положим
vn(t)=\pn(t — s)v(s)ds,
R'
Wn (0 = 5 Pn (t — s) w (s) ds.
R1
Вейлу (1.58), on+ “’„ = “„• Так же как и выше при доказатель-
стве сходимости ип к и в £₽(/?*; V), можно показать, что
t>n—в L4(S; V*), wn-+w в L?“(S; Я).
J Ввиду определения нормы в X* (см. (1.51)), отсюда следует, что
Пт К - «' |х. < to ™х (| v, - V |£,	[», - w |t№ „,) - 0.
(1.60)
176
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
Соотношения (1.59) и (1.60) показывают, что последователь- I
ность {ип} принадлежит Cl(Rl; У)П1Г и сходится в W к и. Тем I
самым для случая S = R1 лемма доказана.	|
Случай 2. Интервал S полуограничен. Без потери общно-
сти можно считать, что S = [0, оо). Для заданной функции
и е W положим
uh (/) = и (/ + Л),	h > 0.
Тогда на основании леммы 1.5
иЛ-*и в LP(S; V) и «й->и в LP“(S; Н),
а значит,
lira || «й — «||х = 0.	I
Если
u' = v + w, v(=Lg(S', V*), w<=Lqt(S-, Н),
то, очевидно,
uh = vh + wh,
где Vh и Wh определяются аналогично иь. Согласно лемме 1.5,
vh-+v в Lg(S; V*) и wh-+w в Lg'(S', Н).
Отсюда получаем (см. 1.51))
“»L < “Д	(I - ° Ь (* Г‘)’ I w L.«„>) = »•
Проведенные рассуждения показывают, что для завершения до- f
казательства достаточно при фиксированном Л >0 аппрокси-
мировать в W функции вида иЛ (для и е W) функциями из
С1(5;У)ГПГ
Пусть задано Л > 0, и пусть <р — функция из С1 (У?1) со сле-
дующими свойствами:
а)	Ф (0 — 1	при t — h/2;
b)	ф (/) = 0	при t < — h.
Положим
( <р (/) и (/ + Л)	при t^ — h,
v (0=I q	ПрИ f _ fi
Тогда v(t)=Uh(t) при всех t 0. Из определения производной
от распределения легко вытекает, что
Г Ф'(0и(< + А) + Ф(0и'(z + Л) ПРИ — Л>
оИ“1о	при /<-Л.	|
§ 1. Функциональные пространства
177
Так как и е W = 1F(S), то, согласно лемме 1.11, v принадлежит
W(RX) (по поводу этого обозначения см. замечание 1.20). На
основании результата для случая 1 существует последователь-
ность {v„} функций из Cl(Rl; V) 0^(7?*), которая сходится в
W(Rl) к v. Если обозначить через wn сужение оп на S = [0, оо),
то wneCl(S; V)DIT(S) и
wn->uh в 1T(S),
поскольку сужение о на S равно и^. Тем самым доказательство
для случая 2 завершено.
Случай 3. Интервал S ограничен. Без потери общности
можно считать, что S = [a, Z>], a<.b. Выберем функцию
<р е С1 (S) со следующими свойствами:
a)	q>(i) = 0 в некоторой окрестности точки Ь;
Ь)	ф(/)=1 в некоторой окрестности точки а.
Для произвольной функции u^W = W(S) положим
{Ф (/) и (0 при а t «С Ъ,
0	при t > Ь,
{(1 — ф(/))«(7) при
0	при t < а.
Тогда
v е W ([а, оо)),	weU7((— оо, 6]).
Это доказывается точно так же, как в случае 2 устанавли-
вается, что VE №(#’). Согласно случаю 2, функции v и w мож-
но аппроксимировать последовательностями {оп} с: С1 ([а, оо);
V) П№([а, оо)) и (tOnJcC'ff—оо, b]; V)|"IW((—оо, &]) в про-
странствах W({а, оо)) и №((—оо,&]) соответственно. Следо-
вательно, сужения функций vn 4- wn на интервал S = [а, &], при-
надлежащие С1 (S; V), сходятся в W = 1F(S) к функции о4-а»,
суженной на S, т. е. к и. Лемма доказана.
Замечание 1.21. Можно усилить результат леммы 1.12 и до-
казать, что функции из W могут быть аппроксимированы даже
бесконечно дифференцируемыми функциями из (S -> V) с ком-
пактными носителями. Однако мы этим не будем пользоваться.
Теорема 1.17. W с. С(S-, Н). В случае компактного интервала
S это вложение W в C(S,H) непрерывно. При любых и, v^W
справедлива формула интегрирования по частям-.
t
(u(t), и(7)) — (u(s), »(s))= {(н'(т), о(т)) + (м(т), v'(r))}dx, s,t<^S.
(1.61)
178
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
Доказательство. Так как принадлежность функции из
(3-»Я) к C(S,H) является локальным свойством, то доказа-
тельство достаточно провести для случая компактного интервала
3 = [а, 6].
Прежде всего легко проверяется справедливость формулы
(1.61) для и, v е C‘(S; V); для этого надо просто вычислить
производную функции («(•), о(«))е (3—►/?*)•
Зафиксируем какую-нибудь функцию <р е С1 (3) с <р(а) = О,
ф(Ь)= 1. Для иеС!(3; V) положим
V = фИ, W = и — фЫ.
Тогда
v' = q>'u + ф«',
w' = и' — ф'и — ф«'.
Применим формулу (1.61) к о и и, а также к w и и’
t
(о (О, и (/)) = J {ф' (s) (и (s), и (з)) + 2ф (s) («'(s), «(s))J ds,
a
b
—	«(0)= J {— <p'(s)(«(s), «(«)) + 2(1 —ф(«))(«'(5), u(s))}ds.
t
Вычитая из первого соотношения второе, получаем
ь
I«(О I2 = J {<р' (s) («(s), «(«)) +
а
b
+ 2ф (s) (и' (з), и (s))} ds — 2 («'(s), и (s)) ds.
t
Следовательно, при подходящих (не зависящих от и и t) по-
стоянных Ki и К2
I и (/) |2 < (II и ||с (s. || и ||tp (S; ю +1| и' ||х. || и ||х) < К2II и Ц-,.
Здесь мы воспользовались тем, что W непрерывно вложено в
C(S; V*) (см. лемму 1.11). Итак, для иеСЦЗ; V) имеем
IIи Ис (S; Н) < К II “ Иг.	= const-	(1 -62)
Пусть теперь функция и е W произвольна и {un} — последова-
тельность функций из C!(S; V), сходящаяся в IF к и. (Согласно
лемме 1.12 такая последовательность существует.) Применяя
оценку (1.62) к ип — ик, получим
II Ис (S; H) И Wk lljp>
т. е. последовательность {ип} сходится в С(3;Я). Поскольку ее
пределом может быть только и, то и (с точностью до эквцвз-
§ 2. Задачи с краевыми и начальными условиями	179
лентности) принадлежит C(S;H). Далее, предельный переход
показывает, что оценка (1.62) справедлива для любой
функции и е W. Тем самым доказана непрерывность вложения
W в C(S; Н).
Справедливость формулы (1.61) для любых и, уста-
навливаем, аппроксимируя и и v в W функциями из С1 (S; V)
и производя предельный переход. Доказательство допустимости
предельного перехода не представляет никаких затруднений,
ввиду непрерывности вложения IF в С (S; Н). Теорема доказана.
Замечание 1.22. Из (1.61) при v = и получается соотношение
t
У (| и (t) |2 — | и (s) I2) = J («' (т), «(т)) dt
S
для ?,seS и uelF.
Этим соотношением мы позже будем часто пользоваться.
§ 2. ЗАДАЧИ С КРАЕВЫМИ И НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
КАК ОПЕРАТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Этот параграф посвящен функционально-аналитической фор-
мулировке классических задач с краевыми и начальными усло-
виями, а говоря точнее, приведению классических задач с крае-
выми и начальными условиями к виду задач с начальными
условиями для операторных дифференциальных уравнений.
В п. 1 на примере параболического дифференциального уравне-
ния устанавливается принципиальная связь между классиче-
скими задачами с краевыми и начальными условиями и зада-
чами с начальными условиями для операторных дифференциаль-
ных уравнений. В п. 2 дан обзор задач с начальными условиями
для различных типов операторных дифференциальных уравне-
ний, которые встречаются при функционально-аналитическом
формулировании задач с краевыми и начальными условиями для
конкретных классов уравнений с частными производными.
Этот параграф тесно примыкает к § 2 гл. II. Мы будем поль-
зоваться введенными там понятиями и обозначениями без до-
полнительных пояснений.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть G — ограниченная область в Rn с регулярной в смысле
определения 1.17 гл. II границей Г. Пусть, далее, S = [О, Г],
Г > 0, — какой-то интервал времени. Рассмотрим задачу с крае-
180 Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
выми и начальными условиями
п
Е 4г(а,/x))=g(z*Vzes> VxeG-
о(0, •) = «» vx) lr ~ ° V/sS (2’1)
или, более общим образом, задачу
(/, х) + (Ev) (t,x) = g(t, х)	V/ 6S, Vx е G,
«(0, -) = a, v(t, JeD(E) V/eS.	(2’2)
Здесь E — некоторый дифференциальный оператор с областью
определения D(E) (см. § 2.1 гл. II). Через Ev для определенных
на 5Хб функций v с v(t, •) eD(_E), /eS, обозначена функ-
ция, также определенная на S X G, которая получается в ре-
зультате обычного применения оператора Е (т. е. когда t счи-
тается фиксированным) к о(/, •). Наконец, g и а — заданные
функции, определенные соответственно на S X G и G.
Под классическим решением задачи (2.2) обычно понимают
непрерывную на S X G непрерывно дифференцируемую по t
функцию, удовлетворяющую условиям (2.2). Разрешимость
классической задачи (2.2) зависит от указанных в § 2.1 гл. II
свойств функций аа, фигурирующих в определении оператора Е,
а также от свойств правой части g и границы Г области G.
Кроме того, начальное значение а должно, очевидно, удовлетво-
рять условию a^D(E). Доказательство теорем существования
классического решения задачи (2.2), как правило, требует при-
менения сложной техники.
Ниже мы перейдем от классических задач вида (2.2) к соот-
ветствующим их функционально-аналитическим постановкам,
при которых упомянутые предположения относительно аа, g, Г
и а будут излишни. Для задач в функционально-аналитической
постановке в гл. VI мы сравнительно просто докажем утверж-
дения о существовании и аппроксимации решений.
Проведенный в § 2 гл. II переход от классических краевых
задач к соответствующим их функционально-аналитическим по-
становкам, т. е. к операторным уравнениям, — который ввиду
простоты теории операторных уравнений, представленной в
гл. III, оказался весьма целесообразным,— был основан на поня-
тии энергетического расширения оператора. Это понятие играет
решающую роль и при функционально-аналитическом формули-
ровании задач с краевыми и начальными условиями.
$ 2. Задачи с краевыми и начальными условиями
181
Примем следующее соглашение. Задачу Коши
Ы'(П + Л«(/) = /(/) V/eS,
u(0) = a, ue(S^V'), ы'е(5->П
c — t^S, будем называть функционально-аналити-
ческой формулировкой задачи с краевым и начальным усло-
виями (2.2), если оператор Ле(У—► У*) является энергетиче-
ским расширением оператора Е.
Замечание 2.1. Требование и' е(5-+У*) нужно понимать в
том смысле, что производная от и в смысле пространства рас-
пределений V*) представима с помощью функции из
(5->У*). В дальнейшем это требование реализуется различ-
ными способами, например в виде условия принадлежности и к
Clw (S; V*).
Ниже мы оправдаем принятое только что соглашение (лемма
2.3) и покажем, что классическая задача (2.2) с краевым и на-
чальным условиями и отвечающая ей начальная задача (2.3)
в некотором смысле эквивалентны. А сначала приведем две
леммы, которые будут использованы при доказательстве этой
эквивалентности.
Первая из этих лемм уточняет данное в начале § 1 указание
на связь между функциями v, определенными на S X G, и «аб-
страктными» функциями «g(S^-C(G)).
Лемма 2.1. Формула
ы(0 = и(/, •)	V/€=S	(2.4)
устанавливает взаимно однозначное обратимое соответствие
v—* и между функциями сеС(ЗХ^) и функциями ие
еС($;С((7)). Функция чеС($ХО) точно тогда обладает
частной производной eC(SX^), когда отвечающая ей по
формуле (2.4) функция и принадлежит С1 (S;C(G)), и в этом
случае (t, -) — и' (/) для каждого i е S.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть суще-
ствует ^eC(SXG). Тогда на основании теоремы о среднем
имеем
Пт||(И(/ + Л)-«(П)—)| _==
Л-»0 И П	llC(G)
= lim suplу(о(/ + h, х) — v(t, х)) —	(/, х)I =
xgG ।	1
= lim sup l-|^(/4-s/i,	x)| = 0.
Л->0 л I	•
162 Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач

(Здесь $ = s(х)е [0,1].) Обратно, пусть ие С (S; C(G)). Тогда
lim sup I (о (t + h, x) — v (I, x)) — u' (t) (x) I =
л->ожеа1А	I
= Пт||-ки(/ + Л) —	— «'(/)[ _=0.
Л->о11 n	Bc(O)
Тем самым лемма доказана.
При определении энергетического расширения оператора мы
требовали, чтобы пространство V было непрерывно и плотно
вложено в некоторое гильбертово пространство Н (определе-
ние 2.1, с) гл. II). Во всех примерах, приведенных в § 2.2 гл. II,
/7czL2(G).
Лемма 2.2 Если H<=L2(G) и || и ||я = || и ||£! (0) для всех
МЕЙ, ТО
(S -> Н) Q С1 (S; L2 (G)) <= С1 (S; И).
Доказательство. Пусть ие(5—►//)(] С1 (S;L2(G)). Тогда,
очевидно, « принадлежит C(S;H). Покажем, что а'ЕС(Х;Я).
Положим
ИА(/) = ±(и(/+/г)_ы(/))еЯ, I, t + h<=S.
Так как u^Cl(S; L2(G)), то
lim || «А (0 —w'(011щО) = 0-
В силу полноты Н отсюда вытекает, что и'(/)еЯ. Следова-
тельно, u'eC(S;W). Лемма доказана.
Следующая лемма указывает, в каком смысле можно счи-
тать эквивалентными классическую и функционально-аналити-
ческую формулировки задачи с краевым и начальным усло-
виями.
Лемма 2.3. Пусть А — энергетическое расширение опера-
тора Е. Пусть, далее, HaL2(Q), || и ||я = || и ||Д2 (0),	и^Н, и
g(t, •) = f(0eН при всех IeS. Функция oeC(SXG) точно
тогда представляет собой классическое решение задачи (2.2)
с краевым и начальным условиями, когда функция и, отвечаю-	’
щая v при взаимно однозначном обратимом соответствии, опи-	*
санном в лемме 2.1, удовлетворяет соотношениям u<=C'(S; C(G))
и u(t)^M(E), teS, и является решением задачи Коши (2.3).
Доказательство. Пусть v служит решением задачи (2.2) и |
и(0 = о(/, •) V1eS.
Тогда «(0) = а и u(t)^D(E)cz V, t^S, а следовательно,
ые(3->К). Согласно леммам 2.1 и 2.2 и свойству с) энерге-
§ 2. Задачи с краевыми и начальными условиями
183
тического расширения А для Е (см. § 2.1 гл. II), «'е C(S; H)cz
c(S->V*) и
и'(/) + Л«(/)=-£(/, .)4-E„(0 = -g-(f, •) + (£«)(/, .) =
-)=f(0 V/ES.
Обратно, пусть функция «eC'(S;C(G)) с и(/)еМ(Е), feS,
есть решение задачи (2.3). Ввиду леммы 2.2, u'^C(S;H) и по-
тому
Au(t) = f(t)-u'(t)<=H Vte=S.
В силу свойства d) энергетического расширения отсюда следует,
что m(0^D(E), ieS. Наконец, на основании свойства с)
и леммы 2.1
ff-a, •)+(£«)(/, .)=«'(/>+в«(п=
= и'(0 + Л«(0»/(0 = г«, -)WeS.
Лемма доказана.
В дальнейшем мы будем рассматривать задачу с краевым
и начальным условиями вида
^(t, х) +	x) = g(t, х) Vt^S-, VxeG,
о(0, •) = а, v(t, -)<=D(E(/)) Vfe=S. (2,5)
Пусть {£(/)}—семейство эллиптических дифференциальных опе-
раторов E(t) с областью определения D(E(t)), t^S. Предпо-
ложим что:
а)	у всех операторов E(t) одна и та же естественная об-
ласть определения;
Ь)	все операторы E(t) обладают энергетическими расшире-
ниями А (/) с одними и теми же (не зависящими от i) простран-
ствами V и. Н.
Тогда при помощи нашего утверждения об эквивалентности
(лемма 2.3) мы можем преобразовать задачу (2.5) к следующей
задаче Коши:
u'(t) + A(t)u(t) = f(t) Vt(=S,
и(0) = а, mg=(S->V), u't=(S-*V*),
где f(t) = g(t, •), t^S.
Следующие два примера показывают, что приведенные выше
предположения в важных случаях выполняются или же их вы-
Прлнения можно добиться без больших затруднений.
184 Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
1.	Пусть оператор E(t) из (2.5) определен для ге '
еМ(Е(()) = C2 * * * *(G), t^S, по правилу
п	I
=	Vx<=G, w = grad z, (2.6)	||
i-i 1
c D(E(/)) = {z|z e C2(G),z|r = <p(}, /eS. Предположим, что
заданные на Г функции <pt, i е S, обладают такими продолже-
ниями Ui(eC2(G)), для которых функция th на SXG, опре-
деленная формулой vi(t,x) = Uu(x), непрерывна и непрерывно
дифференцируема по I. С помощью подстановки
» = v + t»i	I
рассматриваемая задача с краевыми и начальными условиями 1
преобразуется в следующую задачу.
^r(ttx) + (El(t)v)(t,x) = g(t,x)-^-(l, х) Vte=S, Vx<=G, |
v (0, •) — а — Hi (0, •),	t
v(t, •)G=D(EI(0) = D(£1(0)) = {z|ze=C2(G), z|r=OJ, t<=S.
При этом оператор Ег (t) определяется правилом
(EAt)zHx) = (E(t)(z + ult))(x) Vx<=G, Vtt=S.
Если для каждого фиксированного IeS функции ait = а{(1, •, •)	<
при некотором р 2 удовлетворяют предположениям леммы 2.2	’
гл. II, то операторы Ei(t), t^S, обладают энергетическими
расширениями Л (/) eV = Wq P(G) и Н — L2(G) (см. § 2.2 гл. II).
2.	Для области G класса С1-1 рассмотрим семейство опера- ।
торов, определенных той же формулой (2.6), но теперь с	I
D (£(/))= b|ze С2(G), |Z|₽-2Z + -^_I =фД.
Снова предположим, что функции а,(/, •,•), ZeS, при некото-
ром р 2 удовлетворяют условиям леммы 2.2 гл. II, и пусть,
кроме того, функции <р<, t^S, принадлежат L9(G), -^- + —=1.
Тогда согласно результатам § 2.2 гл. II операторы E(t) обла- *
дают энергетическими расширениями Л(/) с V—W1>p(G)
и tf = L2(G).
2. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ 1
ДЛЯ ОПЕРАТОРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ	’
Ниже дается обзор различных типов задач с начальными
условиями для операторных дифференциальных уравнений, ко-
торые будут обсуждаться в гл. V—VII. При этом лишь очень
§ 2. Задачи с краевыми и начальными условиями
185
кратко указывается на связь этих задач с соответствующими
классическими задачами с краевыми начальными условиями.
Для оправдания этого можно привести две причины: 1) Основ-
ные моменты этой связи были достаточно подробно рассмотрены
в предыдущем пункте на примере параболических дифферен-
циальных уравнений. 2) Путь от конкретной задачи, скажем
задачи механики сплошной среды, через классическую задачу
с краевыми и начальными условиями к задаче с начальным усло-
вием для операторного дифференциального уравнения нам ка-
жется исторически сложившимся окольным путем; располагая
функционально-аналитическим аппаратом, изложенным в гл. II
и IV, искомую «абстрактную» задачу с начальным условием
можно вывести непосредственно из постановки задачи в меха-
нике. На этом прямом пути вдобавок удается избежать ненуж-
ных и неестественных требований на «коэффициенты» диффе-
ренциальных операторов, область, а также граничные и началь-
ные значения.
При обзоре типов задач мы ограничиваемся указанием тех
предположений о пространствах, операторах, функциях и эле-
ментах, которые необходимы для самой постановки задачи. Ус-
ловия, обеспечивающие существование и единственность реше-
ний, равно как условия, обеспечивающие сходимость прибли-
женных -методов, будут приведены в соответствующих теоре-
мах гл. V—VII.
Все перечисляемые ниже задачи с начальными условиями от-
носятся к интервалу времени S = [0, 7], Т > 0.
Тип I. Заданы гильбертово пространство Н, два семейства
Д = {Д(/)}, teS, и B —	t<=S, операторов из (Я—* Я*)
и функция f е (S -> Я*). Нужно найти функцию и е (S -> Я)
cu'e(S->^), которая удовлетворяет уравнению
+	= Vt<=S
и начальному условию
и (0) = а,
где а — заданный элемент из Я.
Тип II. При тех же предположениях относительно Я, А, В
и f, что и в задачах типа I, требуется найти функцию ие
e(S—>Я), которая удовлетворяет уравнению
(4(0«(0)' + B(0«(0 = f(0 V/g=S
и начальному условию
Л(0)ы(0) = &
при заданном элементе b е Я*.
186
Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
Задачи типов I и II возникают при функционально-аналити-
ческом формулировании задач с краевыми и начальными усло-
виями для псевдопараболических дифференциальных уравне-
ний, называемых также уравнениями Соболева — Галъперна.
К такого рода задачам сводятся, в частности, различные задачи
механики сплошной среды. Семейства операторов А и В возни-
кают здесь при энергетическом расширении соответствующих
семейств эллиптических операторов.
Тип III. Заданы гильбертово пространство Н и непрерывно
и плотно вложенное в Н рефлексивное банахово пространство V,
а также семейство A = {A(f)J, IsS, операторов из (V->V*)
и функция f е (S —► V*). Требуется найти функцию и <= (3 -> V)
cu'e(S-> У*), удовлетворяющую уравнению
u'(t) + A(t)u(t) = f(t) Vte=S
и начальному условию
и (0) = а,
где а е V — заданный элемент.
К задачам типа III мы пришли в предыдущем пункте, когда
давали функционально-аналитическую формулировку задач
с краевыми и начальными условиями для параболических диф-
ференциальных уравнений.
Тип IV. Заданы пространства V и Н, как в задачах типа III,
а также для семейства А = {Л (£)}, ieS, и В = {£(/)}, /еЗ,
операторов из (У->У*) и функция /е(3-♦!/*). Требуется
найти функцию ue(S-+V) с «'e(S—»V) и н"е(3->У*),
удовлетворяющую уравнению
и" (0 + А (0 «' (/) + В (0 и (0 = f (0 V/ €= S
и начальным условиям
и (0) = Оо,	и' (0) = О1
при заданных элементах ао, ai е V.
Задачи типа IV возникают при функционально-аналитиче-
ском формулировании задач с краевыми и начальными усло-
виями для нелинейных волновых уравнений.
Следует заметить, что здесь речь идет лишь об основных
типах задач, которые в последующих главах будут модифици-
роваться в различных отношениях. Так, прежде всего, вместо
семейств {А (/)}, {3(0} операторов из (V—>У*) будут рассмат-
риваться также операторы А, В из (S-> V)-+(S—* V*)) и, в ча-
стности, из (Lp(S; V)—>£«(3; V*)), р> 1, 1/р+ 1/<7 = 1. Таким
путем мы получаем более общую постановку задачи, ибо каж-
Замечания к гл. IV
W
дому семейству И(/)} операторов из	можно поставить
в соответствие оператор A e((S —► V)->(£-> V*)) по правилу
(ДЫ) (/) = A (t)u(t) VI eS,
однако не каждый оператор A e((S-> V)—► (S-> V*)) допус-
кает такое представление. К операторам, его не допускающим,
относятся, в частности, так называемые операторы Вольтерры
A e((S-> V)—►(S-* V*)), которые в дальнейшем играют важ-
ную роль. Операторы Вольтерры характеризуются тем, что зна-
чение (Аи) (t) может зависеть от значений функции и в интер-
вале [О, I], т. е. от «предыстории».
Приведем типичный пример модифицированной указанным
выше образом постановки задачи, скажем типа III. Пусть
снова V — рефлексивное банахово пространство, непрерывно
и плотно вложенное в гильбертово пространство Н, и а^Н —
заданный элемент. Пусть, далее, А — оператор Вольтерры,
Л е (Lp (S; V)-*	(S; V*)), р>1, l/p+l/q=l, и feL’(S;V*).
Тогда постановка задачи
u'A-Au = f, u(Q) — a, u^Lp(S; V)
имеет смысл. Действительно, ввиду вложения V с Н <= V*
(см. § 6 гл. I), из включения и <= Lp (S-, V*) следует включение
u^Lp(S;V*), а значит, и ие <Z>*(S; V*). Поэтому уравнение
и'4-Ли = / можно понимать как уравнение в 3)*(S-,V*). Если
«sLp(S; V) удовлетворяет этому уравнению, то «'eL«(S;V*)
и потому (см. теорему 1.17) u^C(S;H), т. е. начальное усло-
вие и(0) = а е Н имеет смысл.
ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. IV
Содержание п. 1 § 1 совершенно элементарно. Теорему о среднем значе-
нии (лемма 1.1) можно найти в более общей форме, например, у Дьёдон-
не [1].
По поводу теории интеграла Бохнера мы уже указывали в тексте на
книгу Иосиды [1]; несколько другой подход к понятию интеграла дает Бур-
баки [2]. Результаты о введенных в п. 3 § 1 пространствах интегрируемых
функций приводятся (иногда в существенно более общем виде), например, в
книгах Бурбаки [2], Эдвардса [1] и Динкуляну [1]. Это относится, в част-
ности, к теореме 1.14 о двойственности между L»>(S;X) и L’(S;X*). Дока-
зательство теоремы 1.15 о равномерной выпуклости пространств Lv(S-,X) по
сути дела совпадает с доказательством равномерной выпуклости пространств
Lf (S), данным Кёте [1].
При определении в п. 4 § 1 распределений над S со значениями в X мы
в основном следуем Л. Шварцу [1].
Пространства, введенные в п. 5 § 1, представляют собой простые частные
случаи «абстрактных» пространств Соболева. Подобные пространства исполь-
зовали, например, Лионе и Мадженес [1]. Доказательство леммы 1.12, важ-
188 Гл. IV. Функционально-аналитическая формулировка задач
ной для теоремы вложения 1.17, следует доказательству аналогичного утвер-
ждения у Лионса и Мадженеса [1, гл. 1, теор. 2.1].
Данная в § 2 функционально-аналитическая формулировка (2.3) задачи
(2.2) с краевым и начальным условиями в настоящее время является обще-
принятой (см., например, Браудер [8], Дубинский [1], Лионе [1]).
Согласно лемме 2.3, каждому классическому решению v задачи (2.2) с
краевым и начальным условиями отвечает решение и соответствующей функ-
ционально-аналитической задачи. Однако функция о, отвечающая решению и
задачи (2.3) по правилу
v (t. x)=u(t) (х) V/ <=S, Vx е G,
только тогда будет классическим решением задачи (2.2), когда она достаточ-
но регулярна по i и х. Мы в настоящей книге на этом вопросе не останавли-
ваемся. Читателя, которого он заинтересует, отошлем к монографии Лады-
женской, Солонникова и Уральцевой [1] и указанной там литературе.
Дальнейшие пояснения и замечания, касающиеся типов задач, введенных
в п. 2 § 2, приведены в заключительных замечаниях к главам, в которых об-
суждаются соответствующие задачи.
ГЛАВА V
ОБЫКНОВЕННЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе мы обстоятельно займемся первыми двумя ти-
пами зависящих от времени уравнений согласно классификации,
принятой в § 2 гл. IV. Эти уравнения тесно связаны с обыкно-
венными дифференциальными уравнениями для функций, при-
нимающих значения в банаховом пространстве, которые мы
далее будем называть обыкновенными операторными дифферен-
циальными уравнениями. Теоремы существования и единствен-
ности для таких уравнений могут быть доказаны вполне анало-
гично хорошо известным теоремам для обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, решения которых принимают значения
в /?* или Rn.
В § 1 из обширной теории обыкновенных операторных диф-
ференциальных уравнений представлены лишь некоторые нуж-
ные нам результаты, причем мы обобщаем их на случай так
называемых операторов Вольтерры. Эти рассмотрения прово-
дятся как в рамках пространств непрерывных функций, так
и в рамках пространств квадратично интегрируемых функций;
для краткости мы говорим соответственно о «С-теории»
и «£2-теории».
В § 2 обсуждаются псевдопараболические уравнения ти-
пов I и II (см. § 2.2 гл. IV). Входящие в них функции прини-
мают значения в вещественном сепарабельном гильбертовом
пространстве, а фигурирующие в них операторы отображают
рассматриваемое гильбертово пространство в сопряженное
к нему пространство. В этом случае можно несложным образом
свести псевдопараболические уравнения к обыкновенным опера-
торным дифференциальным уравнениям.
В § 3 мы привлекаем для приближенного решения псевдопа-
раболических уравнений метод Галер кина. При этом приближе-
ния выражаются через решения систем обыкновенных, вообще
говоря нелинейных, дифференциальных уравнений,
В § 4 полученные утверждения о сходимости метода Галёр-
кина используются в качестве основы для применения проек-
ционно-итерационного метода. Этот метод позволяет находить
приближенные решения «линейным» путем, а именно, в суще-
ственном, посредством квадратур и решения систем линейных
уравнений.
190 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
§ 1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
И ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С Л ИПШИЦ-НЕПРЕРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
Пусть X — вещественное банахово пространство с нормой
II • II и S = [0, 7], Т > 0—компактный интервал (времени).
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С СЕМЕЙСТВОМ ОПЕРАТОРОВ G = (G (/)}
Рассмотрим уравнение относительно функции ue(S->I)
«'(/) + G(t)u(t) = f (t), tc=S,	(1.1)
с начальным условием
и (0) — а <= X.
Здесь G = {G(f)}. t^S— некоторое семейство, вообще говоря
нелинейных, операторов G (I) е (X —► X); правая часть f — за-
данная функция из (S—*Х). Уравнения вида (1.1) при условиях,
которые будут указаны ниже в этом параграфе, мы называем
обыкновенными операторными дифференциальными уравне-
ниями.
В этой главе используются без специальных оговорок вве-
денные в гл. IV пространства (пространства непрерывных и ин-
тегрируемых функций, а также пространства распределений)
и соответствующие теоремы.
Наложим на семейство операторов G = (G(f)}, ieS, сле-
дующие условия:
При каждом хеХ функция t-+G(t)x, оп-
ределенная для /eS, принадлежит C(S; X).	(1.2)
Операторы G(f)e(X-»X) из семейства G
(равномерно относительно / е S) липщиц-
непрерывны, т. е. существует такая не за- (1.3)
висящая от t постоянная Липшица L, что
для любых х, у е X выполняется условие
Липшица
||G(0x-G(O^||<£||x-y||.
Для сокращения записи функцию f->G (/)«(/). определен-
ную на S, в дальнейшем будем обозначать через Gu.
Прежде всего приведем некоторые многократно используемые
ниже вспомогательные утверждения.
Лемма 1.1. Пусть семейство операторов G = {G(f)} удовле-
творяет условиям (1.2), (1.3) ииеС(5;Х). Тогда
Gu<=C(S; X).
§ 1. Теоремы существования и единственности
191
Доказательство. Пусть {fnJ cS — произвольная сходящаяся
последовательность, fn->fo при п—»оо. В силу условия Лип-
шица (1.3),
IIG (U«(/n)- G(/o)«(/o)ll<
< LII и (tn) - и (f0) 11 + II о (tn) и (to) - О (fo) и (fo) ||.
При tn~* to первое слагаемое в правой части стремится к нулю
ввиду непрерывности и, а второе стремится к нулю согласно
условию (1.2). Лемма доказана.
Лемма 1.2. (С,k)-нормы, определенные для ueC(S;X)
формулой
ll«llc,fe = sup{e-*'||«(f)||),	Л>0,	(1.4)
feS
эквивалентны норме
ll«llC(s; х) = 8ир||«(0||.
Доказательство. Очевидно, что для (1.4) при любом k О
выполняются все свойства нормы и
IIи Ис, ft IIм lie (s; х)^е Т Ии Ис, ft*
Лемма доказана.
(1.5)
Лемма 1.3 (Гронуолл). Пусть f — вещественная непрерывная
функция и g— вещественная неубывающая функция на S. Если
t
f(t)<g(t) + c\ f(s)ds VtGiS
о
с неотрицательной постоянной с, то
f(t)<eetg(t) Mt 6$.
В частности, если g = 0 и f 0, то f = 0.
Доказательство. Из неравенства (1.5) вытекает по индукции,
что
п .
f(t)<s(t)XJir + R'^>
k-0
где
t S1	sn
Rn+1 (0 — cn+l Ц ... J f (sn+i)^s«+i • • • dsx.
оо	о
Положим M — sup | f (f) |. Тогда
t&s
(n + i)i
VfeS.
192 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
Так как Rn+i(t)->0 при п-*оо равномерно на S, то утвержде-
ние леммы получается предельным переходом при п->оо.
Теорема 1.1. При выполнении предположений (1.2), (1.3) от-
носительно семейства операторов G задача Коши
u'(t) + G(t)u(t) = f(t), te=S,
u(Q) — a, u<=C"(S; X),
для любых f е С (S; X) и аеХ обладает точно одним реше-
нием. Устанавливаемое тем самым соответствие {а, /} —► и не-
прерывно как отображение из XXC(S;X) в Cl(S-,X).
Доказательство. Мы построим решение и, используя принцип
неподвижной точки Банаха (теорема 2.1 гл. I). Для wgC(S;X)
определим интегральный оператор U формулой
t
(Uu)(t) = a-\(G(s)u(s)-f(s))ds,	t<=S.	(1.6)
о .
Интеграл понимается как интеграл Бохнера. В силу леммы 1.1
и дифференцируемости неопределенного интеграла Бохнера
(теорема 1.9 гл. IV),
t/e(C(S; X)->C‘(S; X)).
Покажем, что U как отображение пространства C(S;X) в себя
при подходящем k^Q является сжимающим в (С, k) -норме,
определенной в лемме 1.2. Согласно (1.3), из (1.6) следует, что
для и, v е C(S;X)
t
|| (Uu) (0 - (Uv) (t) || < J || G (s) и (s) - G (s) v (s) || e~kseks ds <
о
t
< L || и (s) — v (s) || e~kseks ds
о
ekt — 1
^ЬЦи-оНс.л-^-1’
откуда
|| (Uu) (0 - (Uv) (t) || e~kt < 0 -	И« “ v Ho. * <
<|(l-e-^)||«-o||c ,k.
Беря в левой части верхнюю грань по / sS, получаем
II Uu - Uv |[с> <f(l - e~kT) || и - v ||c. *.
§ 1. Теоремы существования и единственности
193
Если выбрать теперь k L, то отображение U в соответствую-
щей (С, k) -норме будет сжатием* Следовательно, существует
элемент «еС(5;Х), являющийся неподвижной точкой для
этого отображения: и = Uu. В силу (1.6) это означает, что
t
u(t) = a—^(G (з) и (s) — f (s)) ds V/ e S.
о
Так как правая часть этого выражения имеет непрерывную про-
изводную по t, то и е С1 (S; X) и
«'(O4-G(0«(/) = f(O V/eS.
Начальное условие и(0) = а, очевидно, тоже выполняется.
Пусть теперь щ, и2—решения задач Коши
«J (0 + о (/)«<(/) = Л (О, t^s,
ut (0) = at е X, щ е С1 (S; X) U “ 1 ’ }	Ц,7)
с правыми частями fj е С (S; X). Из соответствующих инте-
гральных уравнений
t
Ui (0 = ai — J (G (s)«! (s) — h (s)) ds,
0
t
«2 (0 = a2 — J (G (s) u2 (s) — f2 (s)) ds
0
в силу условия Липшица (1.3) следует, что
II «1 (О - «2(0 II <11«1 - «2II + ТII fl - f2 ||с (s. +
t
+ ь 5 IIм! (О —«2(0 Ms.
О
Поэтому, согласно лемме Гронуолла,
II «1 «2 lie (S; X) < ( II а1 «2 II + II f 1 fi lie (Si X))*
С помощью этой оценки из дифференциальных уравнений (1.7)
получаем, снова используя липшиц-непрерывность,
II «1 - “2 Ис (Si X) < ^2 ( II «! - «2 II + II f. - f2 llC (S; X))-
Найденные две оценки можно объединить в одну:
О «1 - «2 Нс- (S; X) < * ( И «1 “ «2 II + II fl “ f2 Нс (S; X))-
Здесь К (как и К\, Кг)— постоянная, зависящая от Г и постоян-
ной Липшица L. Из этой оценки видно, что решение и непре-
рывно зависит от начального значения и от правой части диф-
7 X. Гаевский и др.
194 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
ференциального уравнения. При fi = fi и ai = аа, в частности,
получаем единственность решрния. Теорема доказана.
Замечание 1.1. Утверждения теоремы 1.1 означают, что за-
дача Коши для рассматриваемых операторных дифференциаль-
ных уравнений поставлена корректно.
Ослабляя требования, предъявляемые к области определения
решения, теорему 1.1 можно доказать при несколько более сла-
бых предположениях, например при условии липшиц-непре-
рывности семейства G лишь в некоторой окрестности начального
элемента.
Замечание 1.2. Для обыкновенных дифференциальных урав-
нений, значения решений которых лежат в конечномерном ба-
наховом пространстве X, можно доказать локальную теорему
существования (теорему Пеано) всего лишь при таком предпо-
ложении об операторах семейства G:
Отображение {/,у} -*G(t)y непрерывно и ограничено на про-
изведении [0, /о] X У (где У <= X — некоторый открытый шар, со-
держащий начальный элемент а).
Однако в бесконечномерном банаховом пространстве теорема
Пеано в общем случае неверна1).
2.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ; С-ТЕОРИЯ
Результаты предыдущего пункта можно обобщить на тот
случай, когда вместо операторов из семейства {G(f)}, ieS,
стоят операторы Вольтерры. Эти операторы в некотором
смысле учитывают «предысторию», а именно для каждого
ue(S-*X) значение (Gm) (!) в момент времени t^S зависит
от поведения и в предшествовавший период времени [0, fl. Имея
в виду последующие применения, мы определим сейчас понятие
вольтеррова оператора возможно более широко.
Определение 1.1. Пусть Xi, Хг — линейные пространства
и $ = [О, TJ. Т > 0. Отображение
G«s(D(G)->(S->X2)),	D(G)c:(S->Xi)
называется оператором Вольтерры, если из равенства m(s) =
= о(з) для почти всех sG[0,fl, (eS, следует, что (Gu)(s) =
= (Go) (s) для почти всех se[0,fl.
Прежде всего рассмотрим операторы Вольтерры, отображаю-
щие пространство C(S;X) в себя. В этом случае в определе-
«) Как показал А. Годунов [1], теорема Пеано неверна ни в каком бес-
конечномерном банаховом пространстве. — Прим. ред.
§ 1. Теоремы существования и единственности
195
нии 1.1 следует положить Xi = X2 = X и D(G) = C(S; X),
а выражение «для почти всех» можно заменить на «для всех».
Рассмотрим для оператора Вольтерры G следующее условие
(являющееся обобщением условий (1.2) и (1.3)):
оператор Ge(C(S; X)->C(S; X)) липшиц-непрерывен,
т. е. ||Gm-Go||C(S;X)<L||m-o||C(S. х), L = const.
Лемма 1.4. Если оператор Вольтерры G удовлетворяет пред-
положению (1.8), то для любых и, v^C(S\X) и любого
|| G« Gv 11g ([0> L || и	v ||с ((0 tj. ху
Доказательство. Пусть t е S. Положим
и соответственно
u(s)
и (О
o(s)
о (О
при
при
при
при
t <
0<s</,
t<s^T.
(s) = {
Очевидно, ut, vt<^C(S; X). Так как G —оператор ВоЛьтерры,
то
|| Gu Gv ||c ([0> t]. II G«t Gvt ||c (S; x)
L ||	||c (S. X) = L || и — v ||c ([Oi X},
чем лемма и доказана.
Приведем несколько примеров операторов Вольтерры, удов-
летворяющих предположению (1.8).
1.	Пусть heC(S), 0 ^h(t)^.t, для всех teS и {G(t)}—
семейство операторов из (Х->Х), удовлетворяющее условиям
(1.2) и (1.3). Если положить
(G«)(O = G(Ou(/t(f)),
то G будет липшиц-непрерывным вольтерровым оператором из
(C(S;X)->C(S;X)).
2.	Пусть оператор Вольтерры Я удовлетворяет предположе-
нию (1.8). Тогда определенный для иеС(3; X) формулой
t.
(Gu) (t) = \ g «, s) (Hu) (s) ds,	g s Ci (S X S), is S,
о
оператор G также является оператором Вольтерры, удовлетво-
ряющим (1.8).
196 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
3.	Пусть G и Н — операторы Вольтерры, удовлетворяющие
условию (1.8). Тогда их линейные комбинации (понимаемые в
естественном смысле) и их композиция G°H (результат их по-
следовательного применения) обладают теми же свойствами.
Следовательно, такие операторы образуют алгебру, в которой
роль умножения играет взятие композиции.
Теорема 1.2. Если оператор Вольтерры G удовлетворяет пред-
положению (1.8), то задача Коши
«'(O + (GM)(O = f(O Vfes
u(0) = a, u<=C'(S-,X),
при любых f^C(S-,X) и аеХ обладает точно одним реше-
нием. Определяемое тем самым соответствие {a,f]-+u непре-
рывно как отображение из X%C(S,X) в С1 (3;X).
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1.1, рас-
смотрим отображение U, задаваемое формулой
t
(Uu)(t) = a—^ ((Gu)(s) - f (s))ds, t(=S, и <=C(S; X). (1.9)
о
Поскольку f eC(S; X) и Gs(C(S; X)->C(S; X)), то очевидно,
J7e(C(S; X)->C>(S; X)).
Согласно предположению (1.8) и лемме 1.4, из (1.9) вытекает,
что для и, v е С (S; X)
t
|| (Uu) (t) - (Uv) (t) || < $ || (Си) (s) - (Go) (s) || ds <
о
t
^ ^ || Gu Go ||c(IOj ds
о
t
L ^ || u о ||c sj, ds =
о
t
= l\ sup {||u(r) — o(r)||e-4s}efods^
j 0<r<s
t
sup {e_ftr||«(r) — o(r)||)ebds.
J 0<r<«
§ 1. Теоремы существования и единственности
197
Все входящие сюда интегралы существуют, потому что для
w^C(S‘,X) функция ^-*l|t®llc([o, л; х непрерывна на S. Если
воспользоваться (С, &)-нормой, введенной в лемме 1.2, то, как
и в доказательстве теоремы 1.1. получим
II Uu - Uv ||с, к < 4 (1 ~ e-fcr) II и - v ||с, к.
Следовательно, при k L отображение U является сжимающим
на пространстве C(S;X), рассматриваемом с (С, k)-нормой.
Дальнейшие рассуждения проводятся так же, как и в случае
теоремы 1.1. Доказательство закончено.
Замечание 1.3. Очевидно, теорема 1.1—частный случай тео-
ремы 1.2, — надо лишь для иеС($;А') определить оператор G
равенством

3.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМИ
ОПЕРАТОРАМИ; Р-ТЕОРИЯ
Теорему существования, доказанную в п. 2, естественным
образом можно перенести на случай, когда операторы Воль-
терры действуют в пространствах интегрируемых (по Бохнеру)
функций.
Примем следующее предположение;
Оператор Ge(P(S; X)—>L2(S; X)) липшиц-непрерывен,
т. е. || Си — Gv ||д, ф, х) L || и “• v jq, L const.
(1.Ю)
Лемма 1.5. Если оператор Вольтерры G удовлетворяет ус-
ловию (1.10), то для любых и, weL2(S;.Y) и любого ieS
|| Qu Gv ||L, (l0> /J; x) L || и v ||t, (Io tj. XY
Доказательство. Пусть t s S. Положим
иДз)
и соответственно
v(s)
0
при
при t < s T
при
при t < s T.
198 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
Очевидно, ut, vt^L2(S', X). Так как G —вольтерров оператор,
то
|| Gu Gv И^, j [0> (j. jq || Gut Gvt ||р (S; jjj
L || vt ||p (s. = L || и v ||p ([0, t]. X),
чем лемма и доказана.
Рассмотрим теперь задачу
u' + Gu=f,	u(0) — a,	ug=L2(S;X),	(1.11)
где feL2(S;X) иаеХ. При этом производная и' понимается
в смысле распределений (см. § 1 гл. IV).
Замечание 1.4. Если «<= L2(S;X) удовлетворяет уравнению
ii' + Gu = f для Ge(L2(S;X)->L2(S;X)) и f^L2(S-,X), то
и'— f—Gu^L2(S;X). Отсюда согласно теоремам 1.6 и 1.7
гл. IV следует, что
1)	функция ue(S->X) непрерывна и почти всюду (сильно)
дифференцируема;
2)	задача (1.11) эквивалентна интегральному уравнению
t
u(t) = a — ((Gu) (s) — f (s)) ds Vt<=S;
о
3)	для почти всех feS
u'(0 + (Gu)(0 = f(f).
Эти свойства решений задачи вида (1.11) будут в дальнейшем
использоваться без особых пояснений.
Теорема 1.3. Пусть оператор Вольтерры G удовлетворяет
предположению (1.10). Тогда при любых а^Х и f е L2(S;X)
существует точно одно решение и задачи Коши (1.11). Опреде-
ляемое тем самым соответствие {a, f) -> {и, и'} непрерывно как
отображение X X £2(S; X) в C(S\ X) X L2(S; X).
Доказательство. Для usC(S;X) зададим отображение U
формулой
(Uu) (t) = a-\ ((Gu) (s) - f (s)) ds, t <= S.
о
В силу непрерывности неопределенного интеграла Бохнера от
интегрируемой функции (см. теорему 1.9 гл. IV),
. t/e(C(S; X)->C (S; X)). •
§ 1. Теоремы существования и единственности
199
Согласно лемме 1.5, для и, v^C(S', X)
|| (Uu) (0 - (Uv) (01| < J || (Gu) (s) - (Gv) (s) || ds <
0
< л/т I J II (Gu) (s) - (Cv) (s) II2 ds I = Vt II Gu - Gv ||t, (,0	<
/t	\l/t
^La/T I J||u(s)-o(s)||2dsj =>
'0	'
^L'/T I $||«(s)-o(s)||2e-2*»e2*»<fcj <
__________________________X 2kt____________ 1 \!/t
- L л/Т ||u -• v Нс. к	•
о '
Отсюда следует, что для всех isS
||(C/w)(O-(Uv)(/)||e-«<L д/J (1 -e^Ha-olIc.j.
Взяв в левой части верхнюю грань по teS и подобрав k из
условия
получим
II (/и —	— flic.*, .
где 0<Л<1. Согласно принципу неподвижной точки Банаха,
существует точно один элемент и е С (S; X), для которого
«=[/«, т. е.
t
u(t) = a— ((Gu) (s) — f (s) ds V/ Q S;
о
следовательно, и является решением задачи (1.11).
Пусть функции Ui^C(S’,X) (i = l, 2) удовлетворяют при
всех t s S соотношениям
и, (0 = Д1 — J ((Gui) (s) — fi (s)) ds,
\	(1.12)
и» (t) = a2 — J ((G«2) (s) — f2 (s)) ds
o
200 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
с fi, f2sb2(S; X). С учетом леммы 1.5, в результате неслож-
ных оценок получаем из (1.10)
II «1 (0 - «2 (0II2 < (II - 02II + II fI “ f2 ll£I (S: x>)2 4*
t
+ 2L2T J ||«1(s)-«2(s)||2ds,
0
где Кi — постоянная, зависящая от Т. Применение леммы Гро-
нуолла дает
IIО1 ““ O2llc (S; Л) ^2 ( II а1	а2114* II f 1	fi ||д,г ($. jp). (1.13)
Из (1.12) вытекает, что почти всюду на S
II < (0 — о' (О I < || f J (0 — /2 (/) || 4- II (Gu,) (I) - ( Gu2) (/) J.
Отсюда с помощью несложных оценок получаем
II“ О’ Up (S; X) *3 ( II f 1 "** f2 Ир (S. Х) 4- II «1 — «2 Ид (S; X))*
Принимая во внимание (1.13), приходим к неравенству
<К(||а, — М + llf,-Ы£,в, я).
Из этого неравенства следует последнее утверждение теоремы,
которая тем самым полностью доказана.
$ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИИ
ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Псевдопараболическими уравнениями мы называем эволю-
ционные уравнения первых двух типов, указанных в § 2 гл. IV,
в случае когда фигурирующие в них операторы удовлетворяют
некоторым предположениям, которые будут ниже уточнены.
Начиная с этого параграфа до конца главы в роли нашего
банахова пространства X будет выступать вещественное сепа-
рабельное гильбертово пространство Н. Как всегда, Н* обозна-
чает сопряженное к Н пространство. Норма и скалярное произ-
ведение в И обозначаются, как обычно, через || . II и (•»•). Зна-
чение линейного функционала 1еН* на элементе he И запи-
сывается как (/, ft), норма в Н*— как || • II».
Для получения интересующих нас теорем существования
и единственности мы сведем псевдопараболические уравнения
к обыкновенным операторным дифференциальным уравнениям,
рассмотренным в § 1.
§ 2. Теоремы для псевдопараболических уравнений	201
1. ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ; С-ТЕОРИЯ
Рассмотрим для компактного интервала времени 3 = [0,7]
дифференциальные уравнения
+	=	(2.1)
и
(Л(0«(0Г + (В«)(0-/(/)	(2.2)
с начальными условиями
и(0) = аеЯ и Л(0)и(0) = & <= Н* (2.3)
соответственно. Уравнения (2.1) и (2.2) мы называем псевдо-
параболическими уравнениями типов I и II соответственно.
Пусть (вообще говоря нелинейные) операторы из семейства
А = {А (/)}, действующие из Н в Я*, удовлетворяют следующим
условиям:
Операторы А (/) е (И -* Я*), t е 3, радиально
непрерывны.	(2.4)
При каждом х е Я определенная на S
функция t-+A(t}x принадлежит C(S; Я*).	(2.5)
Операторы Л(/)е(Я->Я*) (равномерно по
t е 3) сильно монотонны, т. е. существует
такая не зависящая от i постоянная т > 0,
что	(2.6)
(A(t)x — A(t)y, х — i/)>m||x — z/ll2
для любых х, у Н.
Пусть, далее, (вообще говоря нелинейный) оператор Воль-
терры В удовлетворяет следующему условию:
Оператор Be(C(S; Я)-*С(3; Я*)) липшиц-
непрерывен,
т. е. || Ви — Во Ид ($.	L || и — о ||с
Лемма 2.1. При предположениях (2.4) —(2.6) для каждого
(eS существует оператор Л-1 (!)е(Я*->Я), причем
а)	||Л-1 (Ox — Л-1(/)//||<-^-||х — И» Для всех х, у^Н*;
Ь)	при любом хе Я* функция t-+A~l(f)x непрерывна на S.
Доказательство. Существование обратного отображения
А~1 (/) е (Я* -> Я) и утверждение а) вытекают из следствия 2.3
202 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
гл. III. Для доказательства утверждения Ь) заметим, что, в силу
а) и свойства (2.5) операторов A(t),
A~x(t) х - A"1 (з) (х)| -1| А~х (з) А (з) Д~'(0 х-А~* (з) х| <
<-1|А(з)А-1(/)х-х1 = ^||А(з)А-1(0х-А(0А-1(0х|,->0
при з -> t. Лемма доказана.
Теорема 2.1. Пусть выполнены предположения (2.4) — (2.7).
Тогда при любых f&C(S; Н*) иа^Н задача Коши
A(t)u'(t) + (Bu)(t)~f(t) Xft&S,
u(0) = a, us С1 (Sj Я)	(2,8)
имеет точно одно решение.
Доказательство. Рассмотрим эквивалентную задаче (2.8) за-
дачу
и'(0 +(Он) (0 = 0	V/eS,
u(0) = a, usC'(S; Я),
где оператор О определен правилом
(Gu) (0 = — А-1 (/) (- (Ви) (0 + f (/)),	t е 3, и s С (S; И).
Для доказательства теоремы достаточно показать, что О удов-
летворяет предположениям теоремы 1.2. Очевидно, G вместе с В
является оператором Вольтерры. Положим oe = f(fo) —(Bu) (to).
Тогда, согласно лемме 2.1, при t, tosS
lim || (Gu) (0 - (Gu) (t0) || < -£ lim (|| (Bu) (t) - (Bu) (t0) IL +
+ II f (t) - f (to) IL) + lim I A"1 (t) Vo - A"’ (tQ) v01| = 0.
t-*io
Следовательно, G e(C(3;Я)-> C(S;H)).
Применяя лемму 2.1, получаем, что для u, osC(S; Н)
|| (Он) (0 - (Gv) (t) || < ± || (Ви) (0 - (Bv) (t) |L <
< —1| Ви — Во ||с (s.	—1| и — о ||с (s. д),
откуда
|| Gu — Go ||с (S.	— II и	о ||с (4.
Теорема доказана.
§ 2. Теоремы для псевдопараболических уравнений	203
Теорема 2.2. Пусть выполнены предположения (2.4) — (2.7).
Тогда при любых f C(S; Н*) и Ь^Н* задача Коши
(A(t)u(t)Y + (Bu)(t) = f(f) VteS,
А (0) и (0) = Ь, uf=C (S; Я), Аи е С1 (S; Я*)	(2.9)
имеет точно одно решение. (Здесь через Аи, как обычно, обо-
значена определенная на S функция t->A (t)и(/).
Доказательство. Наряду с задачей (2.9) рассмотрим задачу
v'(t) + (Gv)(t) = f(t) Vt€=S,
v (0) = b 6 Я*, os С1 (S; Я*),	{ ' U'
где оператор G определен для о е С (S; Я*) правилом
Gv = ВА-1и.
Очевидно, v представляет собой решение задачи (2.10) точно
тогда, когда м = Л-1о служит решением задачи (2.9). Поэтому
для доказательства теоремы 2.2 достаточно показать, что G
удовлетворяет предположениям теоремы 1.2. Ясно, что опера-
тор G вместе с В является оператором Вольтерры. Согласно
лемме 2.1, А~'оеС(5;Я) для oeC(S;//’) (см. лемму 1.1).
Отсюда и из (2.7) следует, что
Ge(C(S; Я‘)->С(£; Я*)).
Применяя лемму 2.1, получаем, что для v, w^C(S-,H*)
|| Gv Gw ||c (s; я») IIЛ v A w ||c (S.	—1| v w ||c (S.
чем теорема и доказана.
Замечание 2.1. Рассуждая аналогично тому, как это дела-
лось в § 1, можно доказать для псевдопараболических уравне-
ний обоих типов соответствующие утверждения о непрерывной
зависимости решений от правый частей и начальных значений.
Мы не будем на этом останавливаться.
2. ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ; £2-ТЕОРИЯ
Как и для обыкновенных операторных дифференциальных
уравнений, для псевдопараболических уравнений также можно
перенести все рассмотрения на случай, когда входящие в урав-
нений функции принадлежат пространству квадратично интегри-
руемых (по Бохнеру) функций. А именно, рассмотрим урав-
нения
Аи' + Bu = f (тип I),
(Ли)' 4- Ви = f (тип II)
204 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
с операторами Ап В, удовлетворяющими следующим условиям:
Оператор А е (L2(S; Я)-> L2(S; Я*)) обла-
дает представлением	(2.11)
(Лм) (0 = A (t) и (!) Vи €= L2 (S; Я), V/ е= S,
где Л (/) е (Я-> Я‘).
Операторы Л (/)<=(Я-+Я*), t<=S, радиально
непрерывны. Для некоторой постоянной С
и некоторой функции geL2(S)	(2.12)
IM(/)x||.<C||x|| + g(0 V/eS, Vxe/f.
Операторы Л (/) e (Я —> Я*) (равномерно по
t е S) сильно монотонны, т. е. существует
такая постоянная т > 0, не зависящая от t,
что	(2.13)
(A(t)x —A(t)y, х — уУ^т1\х — у\\2
для любых х, у <=Н.
Оператор Be(L2(S; Я)-*Ь2(5; Я*)) воль-
терров и удовлетворяет условию Липшица (2.14)
|| Ви Bv ||д,	L || и v H^, uy,
L — const.
Замечание 2.2. Требование A e (L2(S; Я)—*L2(S; Я*)) вы-
полняется, если семейство операторов {Л(/)}( при помощи ко-
торого представляется оператор Л, удовлетворяет условиям
(2.12), (2.13) (см. лемму 1.3 гл. III) и для любых х, у<= Н
функция t —► (Л (t)x,y) измерима на S.
Лемма 2.2. Пусть оператор Л удовлетворяет предположе-
ниям (2.11) — (2.13). Тогда он радиально непрерывен и строго
монотонен и у него существует обратный оператор Л-1 е
e(L2(S;Я*)->£2(5;Я)), который липшиц-непрерывен. Для Л-1
имеет место представление
(Л’1/) (0 = Л"1 (0 f (0 V/ е S, Vf е= L2 (S; Я‘),
где Л-1 (0е(Д*-*Я) — оператор, обратный к Л(/), /е5.
Доказательство. Прежде всего заметим, что пространство
В2(5;Я*) является сопряженным к £2(5;Я), причем скалярное
произведение элементов f е L2(S; Н*) и не£2(5;Я) задается
в виде (см. теорему 1.14 гл. IV)
J </(/), «(0)А-
§ 2. Теоремы Для псевдопараболических уравнений
205
В силу (2.12), для ieS, h е [0, 1] имеем
| (Л (0 (и (0 + hv (0), v (0> 1 = IIА (0 (и (0 + hv (0) ||, || v (01| <
< (С || и (0 + hv (01| + g (0) || v (01| <
</<(ll«(0ll2 + llv(0ll2 + |g(0l2)
и
lim (Л (0 (и (0 + hv (/)), v (0) = (Л (0 и (0, v (0).
Л-»0
Применяя теорему Лебега, получаем
lim ( (Л (0 (и (0 4- hv (0), v (0) dt = ( (Л (0 и (0, v (0) dt.
J
Тем самым доказана радиальная непрерывность Л. Сильная мо-
нотонность А непосредственно следует из (2.13). Существование
и липшиц-непрерывность оператора Л-1 вытекают из следствия
2.3 гл. III. То что Л-1 имеет утверждаемое в лемме представле-
ние, очевидно; существование операторов Л-1(0, гаранти-
руется только что упомянутым следствием. Лемма доказана.
Теперь сформулируем главные результаты этого пункта.
Теорема 2.3. Пусть выполнены предположения (2.11) — (2.14).
Тогда при любых f^L2(S; Н*) иа^Н задача Коши
Аи' 4- Bu — f,
и (0) = а, и е С (S; Н), и's L2 (S; Н) (2‘15)
имеет точно одно решение.
Теорема 2.4. Пусть выполнены предположения (2.11) — (2.14).
Тогда при любых f е L2(S; Я*) и Ь е И* задача Коши
(Аи)' 4- Bu = f,
(Аи) (0) = 6,	и <= £2 (S; Н),	(2.16)
Ли <= С (S; Я*),	(Ли)' €= L2 (Sj Я*)
имеет точно одно решение.
Доказательство теоремы 2.3. Рассмотрим эквивалентную за-
даче (2.15) задачу
«'4-Gu = 0,	u(0) = a, u€=L2(S; Я),
где отображение G определено для ие£2(5;Я) правилом
Ои = -Л-1(-Ви4-0.
Для доказательства нашей теоремы достаточно показать, что G
удовлетворяет предположениям теоремы 1.3. Согласно лемме
2.2, оператор Л-1 е(£2(5;Я*)—>L2(S;H)) липшиц-непрерывен
206 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
и, ввиду указанного там представления, тривиальным образом
вольтерров. Следовательно, Ge(L2(S;//)->L2(S;//)) как ком-
позиция двух липшиц-непрерывных операторов Вольтерры яв-
ляется липшиц-непрерывным оператором Вольтерры. Теорема
доказана.
Доказательство теоремы 2.4. Наряду с задачей (2.16) рас-
смотрим задачу
V' + Go = f, v(0) = &,	o<=L2(S; /Г),	(2.17)
где G = ВЛ-1 e(L2(S;77*)-*L2(S;H*)). Очевидно, что v точно
тогда служит решением задачи (2.17), когда и = Л-1о есть
решение задачи (2.16). Поскольку G как композиция липшиц-
непрерывных операторов Вольтерры удовлетворяет условиям
теоремы 1.3, наше утверждение доказано.
§ 3. МЕТОД ГАЛЕРКИНА
ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С Л ИПШИЦ-НЕПРЕРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
Используя метод Галёркина, мы получим здесь приближен-
ные решения для псевдопараболических уравнений посредством
решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений;
таким образом, мы аппроксимируем функции со значениями
в бесконечномерных пространствах функциями со значениями
в конечномерных пространствах. Выбор аппроксимирующих
функций производится в соответствии с классическим предпи-
санием метода*Галёркина (см. гл. III) — чтобы «невязка» была
ортогональна к рассматриваемому конечномерному простран-
ству.
Пусть {Й1, h2,...} — какая-нибудь полная система линейно
независимых элементов в гильбертовом пространстве Н. Обо-
значим через Нп, п=1, 2, ... линейную оболочку множества
{/ii..ftn}; Нп является (конечномерным) гильбертовым про-
странством относительно скалярного произведения, индуциро-
ванного из Н. Пусть Рп — оператор (ортогонального) проекти-
рования Н на Нп-, /п е(Яп-* Я) —оператор вложения Нп в Н-,
Р*п <= (Н*п-> Н*) и /*е (Я*-* Я*) —сопряженные к ним опера-
торы. Согласно определению,
(P*nh, g) = {h, Png) для h <= H*n, geH
и
g) = <A,/„g) = <A, g) для h^H*, gs=Hn.
§ 3. Метод Галёркина для псевдопараболических уравнений
207
Здесь мы использовали один и тот же символ {•, •) для обозна-
чения как скалярного произведения между Н* и Н, так и ска-
лярного произведения между Я* и Нп. Отметим еще, что
||/>||.<11ЛЦ Для ЙеН*.
нп
1. МЕТОД ГАЛЁРКИНА ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ; С-ТЕОРИЯ
Для того чтобы применить метод Галёркина к псевдопара-
болическим уравнениям типов I и II
W(H(B«)(W(fl,
(Л(0«(0)' + (в«)(0=/(0,
наложим на операторы из семейства {Л (/)} несколько более
сильные ограничения. А именно, мы заменим требование ра-
диальной непрерывности (предположение (2.4)) следующим
требованием:
Операторы А (1)	Н*), teS, (равно-
мерно по t е S) липшиц-непрерывны, т. е.
||А(Ох-А(ОЯ.<М||х-Н М = const,	(3.1)
для любых X, у^Н.
Остальные предположения ((2.5) и (2.6)) об операторах A(t)
и предположение (2.7) об операторе Вольтерры В остаются не-
изменными.
По операторам А(/)е(Я-*Я*), feS, построим для п = 1,
2, ... операторы А„(/) е (Я-+ Я*) по формуле
An(t)~I*nA(t), te=8.	(3.2)
Соответственно определим для оеС(5;Я) операторы Воль-
feppbi Вп (п = 1,2,...):
(Bno)(0 = /;(Bo)(0, t&S,	(3.3)
и наконец для f е С (S; Я*) — функции fn е (S -*• Я*)1
M0=»W), t^S.	(3.4)
Замечание 3.1. Из приведенных определений сразу же сле-
дует, что операторы An(t), feS, п= 1, 2, ..., удовлетворяют
тем же самым условиям по отношению к Яп и Я*, что и опера-
торы A(t) по отношению к Я и Я*. Равным образом мы видим,
что Brte(C(S; Яп)—>C(S; Я*)) для каждого п= 1, 2, ... яв-
лявтся липшйц-непрерывным оператором Вольтерры с прстоян-
208 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
ной Липшица L из предположения (2.7). В свою очередь из
условия feC(S;A/*) следует, что fп е С (S; Я*). Все эти
утверждения вытекают из свойств введенных выше операто-
ров Гп.
Уравнениями Галёркина для псевдопараболических уравне-
ний типов I и II будем называть уравнения, фигурирующие
в следующих задачах Коши (я = 1,2,...):
4,('К«) + (вА)«)
МО) —	u,eC'(S; Н,)
И
(А, (0 ип (t)Y + (в„«„) (/) = fn (/),
Л„ (0) ип (0) = bn, ип<=С (S; Я„), Апип е С (S; Я^).
Решения ип, п= 1, 2, ..., этих задач мы называем галёркин-
скими приближениями для решений псевдопараболических урав-
нений. Пусть при этом начальные элементы а„ е Н, Ь„ е Я*
выбраны так, что
0 " I- VL о (3-7)
п
при я—*оо; здесь а = ы(0)е Я и b — А (0)«(0)е Я* — началь-
ные данные исходных уравнений. Ради простоты доказательств
мы всюду дальше принимаем
а—Ра и b—ГЬ (я=1, 2, ...).
В силу полноты системы {hith2,...} в Я, требование (3.7)'при
таком выборе выполняется.
Прежде всего докажем одну лемму.
Лемма 3.1. Пусть се(5->Я) и vn, п= 1, 2, ..., — функции
на S со значениями в HnczH, определенные по правилу t—►
->vn(t) = Pnv(t). Тогда последовательность {оп} обладает сле-
дующими свойствами:
а)	если v е С (S; Я), то е С (S; Я„) и
II»»—ollcisjH)-*0 при
Ь)	если о е С1 (S; Я), то vn е С1 (S; Я„) и
||ОП —f|lC.(S;H) ПРИ «-*<»•
Доказательство. Очевидно, опеС(5;Яп). Так как система
{Ль Лг,...} полна в Я, то для каждого t «= S
ИМО — »(011 = ИЛ»«(0 — f(0ll->0 при я->оо,
§ 3. Метод Галёркина для псевдопараболических уравнений
209
Поскольку Нп с: Яп+ь из известных свойств операторов проек-
тирования в гильбертовом пространстве следует, что
II V«+1 (0 - V (О II < || vn (t) - V (0II V/ s S.
Применяя к вещественным функциям II t»n(-) — о(*)|| теорему
Дини, получаем утверждение а).
Что касается утверждения Ь), то заметим, что для ve
е С* (5; Н)
Pnv'(l) = (PnV(t))'^v'n(t), t^S.
Действительно, ввиду симметричности оператора проектирова-
ния Рп и непрерывности скалярного произведения в гильберто-
вом пространстве, для каждого t е S и каждого h^H
/>)-(»'«), Р»Л) = 77(«(0, РМ-
= Т7 <P.’J	*) “ (7F ₽.” <') Л) - «<')• *)•
Утверждение Ь) следует теперь из а), если там vn и о заменить
соответственно на о' и v'. Лемма доказана.
Лемма 3.2. Пусть	Тогда функции wn, п = 1,
2....определенные правилом
f-*t0n(O=P7>(n, t^s,
также принадлежат C(S; Н*) и
II wn — w ||с (S.	-> 0 при и —> оо.
Доказательство. Для х е Н* и у имеем
-*.*/>=<7>. рпУ) ~ <х> У>=<*> РпУ) ~ <х> У>=
= {Rx, Рпу) — {Rx, у) = {PnRx — Rx, у) < II PnRx — Rx || || у ||;
здесь через Re{Н*-*Н) обозначен оператор Рисса для Н
(см. замечание 6.3 гл. I) и через (•>•) — скалярное произведе-
ние в Н. Поэтому
IPX*-	^1 Vxe«’.
Используя эту оценку и применяя утверждение а) леммы 3.1
к функции v eC(S; Н), задаваемой правилом t-*v{t) = Rw{t),
получаем наше утверждение. Лемма доказана.
Теперь приведем основные результаты этого пункта.
Теорема 3.1. В предположениях (3.1), (2.5) — (2.7) уравнения
Галёркина (3.5) для уравнения (2.8) при каждом п = 1, 2, ...
210 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
имеют точно одно решение ип> и для этой последовательности
{ап} галёркинских приближений
И«» —«IIchsjH)-*0 ПРи п^°°,
еде и обозначает решение задачи (2.8).
Теорема 3.2. В предположениях (3.1), (2.5)—(2.7) уравнения
Галёркина (3.6) для уравнения (2.9) при каждом п = 1, 2, ...
имеют точно одно решение ип, и для этой последовательности
{««} галёркинских приближений
II “п “ Нс (3; Я) -* °»	(3-8)
_	при П-*-<Х>.
II Апип Аи Kg, н*) —> 0	(3.9)
Здесь Anv для v s С (S; И) определяется по правилу
tAn(t) v(t) = P*nAn(t) v (t), 1st.
Доказательство теоремы 3.1. В силу замечания 3.1, суще-
ствование приближений Галёркина «п е С1 (S; Нп) (п— 1,2,...)
устанавливается применением теоремы 2.1 к уравнениям Галёр-
кина (3.5).
Пусть {оп} — какая-нибудь последовательность функций
ип е С* (S; Н), для которой
IK —“Ileus;»)-*0 ПРИ «-*°°>	М°) = “п*
Согласно лемме 3.1, Ь), такая последовательность существует.
Применение к Уравнению
' A(t)u'tf) + (Bu)(t) = f(t)
оператора Гп е (Я* -> Я*) дает, ввиду (3.2) —(3.4),
Л(/)а'(0 + (вп«)(0=^(0.
Если вычесть это уравнение из уравнения Галёркина
Л,Ю<(0 + (вА)Ю-).(/)
и взять скалярное произведение с и'(/) — и'(/) &Яге (в смысле
двойственности между пространствами ЯЛ и Я*), то после не-
которых преобразований с учетом свойств операторов 1п и 7*
получим
(Аи' — Av' и' — v'\ + (Av' — Аи', и' —	+
+ (Вия — Bvn, и' — v'\ -|- (Bvn — Ви, и' — v'\ = 0
’ \ П	fp П Я/ * \ П	'Я я/
§ 3. Метод Галёркина для псевдопараболических уравнений
211
(аргумент t временно опущен). Поэтому из предположений (2.6)
и (2.7) следует, что
т J и'п (/) - < (/) I < IA (t) < (о - А (/) и' (о t +
-f- L || ип vn ||с j j0> fj. + L || vn	и ||c
и, в силу условия Липшица (3.1),
s
t
Таким образом, для функции wn = un — vn имеем (поскольку
«»(0) = оо(0) = дл)
KU«-.a
\% =
О
О
Г	okt
= \ j < (*) ||	dr < — sup {| w'n (01 e~kt}.
л	*s s
Если ввести сокращение
Ра (v,w)= sup {e~kt || v' (0 — w' (0II)	(3.11)
t e S
для v, w s C1 (S; H), то из приведенной выше цепочки оценок
вытекает, что
еЫ
II Vn Нс ([0, /]; Я) Р& Vn).	(3.12)
С учетом этой оценки получаем из (3.10)
“.) ,eS-
Беря в левой части верхнюю грань по (cS, находим, что для
km > L
Pfe («п, ®п)	^2II	U lie (S; Н)’
Далее, очень просто доказать оценку
II Пп Va Hg, ф. д)	^СзРй («п> ®я)«
Следовательно,
II ип llc‘ (S; Я) ^4 И U Ис (S; Я)»
и в силу неравенства треугольника получаем окончательно
II пп и ||д, К || vn и ||С|	(3.13)
Постоянные Ki, К2, Кз, К4, К не зависят от и и и. Из оценки
(3.13) ввиду нашего выбора последовательности {un) (см. самое
212 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
начало доказательства) следует сходимость последовательности
{ип} к решению и. Теорема доказана.	t
Доказательство теоремы 3.2. В силу замечания 3.1, существо-
вание галёркинских приближений ип со свойствами ип е ।
eC(S;ffn), Апип е С1 (S; Я*) для п=1, 2, ... вытекает из |
теоремы 2.2.
Пусть {оп} — какая-нибудь последовательность функций
t>n е C(S; Нп), для которой
Цо„ — «llc(s;H)-*° ПРИ и^-оо.
Согласно лемме 3.1, а), такая последовательность существует. <
Очевидно, что решение меС(5;//) задачи (2.9) удовлетворяет <
интегральному уравнению
t
Ь-А (t) u(t) - J ((Ви) (s) - f (s)) ds = 0 Vt e S.	|
Применив к нему оператор /* е (Я* -> Я*), получим, ввиду
(3.2)-(3.4),	(
bn - Ап (t) u(i)-\ ((Впи) (s) - fn (s)) ds = 0	Vt e S.
0
Приближения Галёркина удовлетворяют соответствующим ин-
тегральным уравнениям
t
bn — Ап (I) ип (t) - J ((Впип) (s) - fn (s)) ds —О Vt€=S.
о
Вычитание этих интегральных уравнений и скалярное умноже-
ние на un(t) — vn(t) (в смысле двойственности между Нп
и Я») дает с учетом свойств операторов [п и Гп
(Аип — Avn, ип — va) + (Avn — Au, ип — vn) =
.t	.	,t	.
= — ([(BUn — Bvn)ds, un — vn\ — M(B»„ — Bu)ds, un — vn\
\o	/	\o	/
(аргумент t временно опущен). Из монотонности и липшиц-не-
прерывности фигурирующих здесь операторов вытекает оценка
т|| ип (/) — vn (/) IK (М + LT) llvn — и ||с (S;	|
/	11
4“ II ип Нс ([О, S]; Я)	'
0
§ 3. Метод Галёркина для псевдопараболических уравнений
213
Так как правая часть является возрастающей функцией от
t е 3, отсюда следует, что
^И«»	»» НС ([0, tj; Я) ^1 II vn « lie ($; Н) "I” 5 II Vn un lie ((0, s]; H)^S‘
0
На основании леммы Гронуолла
II un vit lie (S; H) ^2II vn u He (S; НУ
Применяя неравенство треугольника, получаем
И ип и Нс (3; Я) % Н Vn	U Нс (S; Ну
(Выше Къ К2, К — постоянные, не зависящие от п и и.) В силу
нашего специального выбора последовательности {оп}, утверж-
дение (3.8) тем самым установлено.
Непрерывный линейный оператор Р*п^.(Н*п-+ Н*), очевидно,
перестановочен с оператором дифференцирования. Поэтому,
применяя к уравнению Галёркина
(4n(Oun(0)' + (B„«n)(/) = fn(0
оператор Р*, мы приходим к уравнению
Д W ('))' + Ч (ВА) Ю = Ч/. Ю,	t е s.
Если вычесть из него уравнение
(Л(/)«(0)' + (в«) (/)=/(/),
то после несложных оценок получим
II (4ft (/)«„(/))'-(Л (О «(ОПК
< IП (Впип) (/) - (Ви) (/) - p*nfn (t) + f (О L <
+1|	(<s«) (0 - f (0) - ((B«) (0 - f (0) L <
L ||	и ||c (S. h) -j- sn>
где
en = sup j PX ((Bu) (/) - f (/)) - ((Bu) (/) - f (/)) ||#.
t G= <S
Интегрируя это соотношение и учитывая, что Л(0)и(0) = & и
Лп (0) ип (0) =» ГпЬ, находим
ЙА - А“ 1с (Si »•> < I Р‘Л” - Ч + LT I и. - и w Я1 + Те,.
В силу соотношения (3.8) и леммы (3.2) отсюда следует утверж-
дение (3.9) . Теорема доказана.
214 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
2.	МЕТОД ГАЛЕРКИНА
ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ; /.’-ТЕОРИЯ
При рассмотрении £2-теории мы тоже, как и в предыдущем
пункте, наложим более сильные ограничения на семейство опе-
раторов {Л (/)}, представляющих оператор А. Мы будем требо-
вать, чтобы операторы 4(f) удовлетворяли условию Липшица
(3.1). Предположения (2.11), (2.13), (2.14) остаются в силе.
Легко видеть, что при этом выполнено и условие (2.12).
Для п = 1, 2, ... определим операторы Ап, Bne(L2(S; Я)->
->L2(S; Я*)) формулами
(4я«)(/) = 4(/)«(0, где An(t)=I*nA(t),
(Bau)(t) = Fa(Bu)(t), t<=S,	(3,14)
и для f<=L2(S; Я*) введем функции frt е (S-> Я*), положив
(3.15)
Замечание 3.2. Операторы Ап (л =1,2,...), рассматривае-
мые как отображения из (L2(S; Яп)-> L2(S; Я*)), очевидно,
удовлетворяют тем же самым предположениям, что и оператор
А е(£2(5;Я)—>L2(S; Я*)). Операторы Вольтерры Впе
e(L2(S; Я)—>A2(S; Я*)) (п=1, 2, ...) липшиц-непрерывны
с той же постоянной Липшица L, что и для В. Из условия
feL2(S; Я*) следует, что /nsL2(S; Я*). Все эти утверждения
вытекают из отмеченных в начале параграфа свойств отобра-
жения /;е(я*-*я;).
Уравнениями Галёркина для псевдопараболических уравне-
ний типа I мы называем уравнения, фигурирующие в следую-
щих задачах Коши (и = 1,2,...):
Л< + Вп«пв/Я.
Я„); (3J6)
для уравнений типа II — соответственно уравнения, фигурирую-
щие в задачах
(Aniin) 4" Впип = f П9
(4а) (0) - ь.е	s Ь’ (S; »).	(з.17)
ЛА<=С(3;И;),	(ЛА)'S L’(S;
Как и в п. 1, в качестве начальных элементов выберем
ап = Р„аеЯ„,	Ьа = ГпЬ^Н'а	(п=1,2, ...). (3.18)
§ 3. Метод Галёркина для псевдопараболических уравнений
215
Прежде чем приводить главные результаты этого пункта, до-
кажем некоторые вспомогательные утверждения.
Лемма 3.3. Пусть пе(3 —>Я), и пусть vn (л =1,2,...) —
функции, определенные на 3 по правилу /->»„(/)= Pnp(f).
а)	Если t>eL2(S; И), то y„eA2(S; Нп) и
И°п~	ПРИ
Ь)	Если oeC(S; И), v'sL2(S; Н), то vn<=C(S; На\
К-"р“ »-»»•
Доказательство, а) То что tineL2(S; //„), следует из линей-
ности и непрерывное™ операторов проектирования Рп (п=1,2,...).
В силу полноты системы {hi, hit ...} в Н, для почти всех t sS
l|on(0_о(0И-*0 ПРИ
и
IK (011 = II(О IK II «(Oil,
поэтому утверждение о сходимости следует из теоремы Лебега.
Ь)	Часть этого утверждения совпадает с утверждением а)
леммы 3.1. Так как о'е£2(3; Я), то функция v почти всюду
дифференцируема на S. Согласно рассуждениям из доказатель-
ства части Ь) леммы 3.1, в тех точках, где существует произ-
водная от v, т. е. почти всюду на 3,
< (0 = V(0-
Остальные утверждения получаются отсюда применением уже
доказанного утверждения а). Лемма доказана.
Лемма 3.4. Пусть а> е L2(S; Я*)- Тогда функции wn (п = 1,
2,...), определенные по правилу t.->wn{t) = P*rnw{t), t еЗ, так-
же принадлежат L2(S; Н*) и
II — W llt, (S; я*) -> о при п -> оо.
Доказательство. Согласно проведенным при доказательстве
леммы 3.2 вычислениям,
(где R е=(Я*—♦ Н) — оператор Рисса). Если теперь применить
утверждение а) леммы 3.3 к функции v е L2(S; Н), определен-
ной по правилу t—*v(t) = Rw(f), то и получим требуемое
утверждение. Лемма доказана.
Теперь приведем главные результаты этого пункта.
216 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
Теорема 3.3. В предположениях (2.11), (2.13), (2.14) и (3.1)
уравнения Галёркина (3.16) при каждом в«1, 2, ... имеют
точно одно решение ип. Если и — решение задачи (2.15), то
для этой последовательности галёркинских приближений {ип}
К “ "Ис (S; m + К - L(3; Я)-* 0	°°-
Теорема 3.4. В предположениях (2.11), (2.13), (2.14) и (3.1)
уравнения Галёркина (3.17) при каждом п = 1, 2, ... имеют
точно одно решение ип. Если и — решение задачи (2.16), то
для этой последовательности галёркинских приближений {ип}
II wn — и Нд, щ —► О,
II Дп^п ~ Нс (S; Н*> ”1~ И	(Ди) Ид,» ($• д») О
при п-+<х>. Здесь Дпи для v е L2(S; Н) определяется правилом
t -> Ап (/) v (/) = Р*пАп (/) v (/), t е S.
Доказательство теоремы 3.3. В силу замечания 3.2, суще-
ствование галёркинских приближений ип (л = 1,2,...) следует
из теоремы 2.3. Для последовательности {vn} функций vn, опре-
деленных для /eS формулой
vn(t) = Pnu(t), «=1,2....
имеем, согласно лемме 3.3, Ь),
K-4(S!«+K-«'U!Zn-*0 «ри
Применяя к справедливому при почти всех feS уравнению
(Au^(t) + (Bu)(t) = f(t)
оператор Z* е(Я*->Я‘), приходим, ввиду (3.14), (3.15), к урав-
нению
(Anu'Ht) + (Bnu)(t) = fn(t).
Если вычесть его из уравнения Галёркина
(Vi) Ю + (В«“.) (')=/«(').
то после скалярного умножения на
''я(0 = <(0-<(0^Яя
(в смысле двойственности пространств Нп и Нп) и неслож-
ных преобразований с учетом представления оператора Ап по*
§ 3. Метод Галёркина для псевдопараболических уравнений
217
лучим, что для s е 5
J <Л„ (0 < (0 - А„ (0 v'n (0, < (П - < (0> dt +
о
+ $(4(/)<(/)-Лй(/)«'(/), rn(f))dt +
О
+ J <(В„«П) (/) - (В„о„) (/), гп (/)> dt +
О
+ J<(Bnt>„)(Z)-(B„u)(O, г«(О>л=о.
о
Отсюда на основании свойств оператора Гп следует, что
j <Л (0 и'п (/) - Л (/) v'n (/), и'п (/) - <(/)) dt <
<$|Л(/)<(О-Л(/)«'(О[|г„(Ор/+
О
+ J || (Ви„) (0 - (Во„) (/) ILII г„ (/) II dt +
о
+ JII (/) - (В«) (/) IUI гп (/) вл.
о
В силу монотонности операторов A(t) и липшиц-непрерывности
Л = {Л(/)} и В, при помощи неравенства Шварца получаем
S
о
ч*/>
+ LQiiMO-0n(/)iMj QiirjoiMj .

218 Гл. V4 Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
откуда
j I г. т г а ПК	|£, В! „,+Н -" L ,Si J+
О
+ K2$||un(0-vn(0ll2^. (3.19)
о
Поскольку vn, u&C(S’, Н), то
II vn и 11д,г (j; д) Л/У II °п И Ид (S; Н)'	(3.20)
В силу теоремы 1.7 гл. IV и равенств vn (0) = ип (0) = ап
(см. (3.18)),
un(t)— vn(t)= \rn(x)dx,
о
так что	*
II «П (0 - О» (О II2 < Т JII гп (т) II2 dx.	(3.21)
о
Подставляя в (3.19) оценки (3.20) и (3.21) и вводя сокращение
F(S)=$||rn(0lM,
О
получаем окончательно
F (s) < К, (| V, - и Цс ffi в) +1 < - и'(S my + K,\F (О Л.
О
Применение леммы Гронуолла дает теперь
IГп Ид.2 (S; Я) (II Vn U Ис (S; Я) "HI U L2 (S; Я))’
Наконец, используя оценку (3.21) и неравенство треугольника,
получаем отсюда
I"» - “U; Я) + К - и) < *(1 “ Ы1с(з:н) +
(Выше Ki, К$, К — не зависящие от п и и постоянные.) Тео-
рема доказана.
Доказательство теоремы 3.4. В силу замечания 3.2, суще-
ствование галёркинских приближений ип для п=1, 2, ... сле-
дует из теоремы 2.4.
§ 3. Метод Галёркина для псевдопараболических уравнений
219
Для последовательности {оп} функций vn, определенных по
правилу vn(t) = Pnu(t), t&S, имеем, в силу леммы 3.3,а),
—ПРИ п-+<х>.
Решение и задачи (2.16) и галёркинские приближения ип удов-
летворяют соответственно соотношениям
t
A (t) и (0 = Ь - \ ((Ви) (т) - f (т)) dr,	(3.22)
о
t
Ап (0 ы„ (/) = Ьп - $ ((В„и„) (т) - fn (т)) dr. (3.23)
о
Применяя к (3.22) оператор /*, приходим к уравнению
t
An(t)u(t) = bn^\((Bnu)(x)^fn(r))dr.	(3.24)
о
Вычитая его из уравнения (3.23) и затем скалярно умножая
на rn(t)— un(t)— vn(t)^Hni после некоторых преобразований
находим
(Ап (0 н„ (0-Ап (0 о„ (П, Un (t)-vn (0Ж4 (0 Vn (t)—An (t) и (0, г„(0)=
/ *	\
= — ( $ ((Bn«n) (х) —	(T)) dx> Г« (0) —
\о	/
$ ((Впо„) (т) — (В„ы) (т)) dr, rn (t)\.
>0	/
Если проинтегрировать это соотношение по отрезку [0, s], s е S,
то с учетом вытекающей из свойств оператора /* монотонности
и липшиц-непрерывности встречающихся здесь операторов по-
лучим
S	X з	ч 1/2
т$1|гл(ПИ2Л</<111оя-и112.Ч5;й)( JllMOIM) +
о	\0	/

Вводя сокращение
t /
3
^(s)=$llr»(0lM,-
0
220 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
заключаем отсюда, что
F (з) < Яз II vn - и ||, (S. Я) +	$ Р (0 dt,
о
Применение леммы Гронуолла дает
II vn ||д_, ф. д) К$ || оп и Н^,
и неравенство треугольника приводит к оценке
II ип U Ид» (8; Я) К II	U Ид.* (S; НУ	(3.25)
(Выше Ki......Къ, К — постоянные, не зависящие от п и и.)
Применяя к соотношению (3.23) оператор Р‘е (Я*-*•#*), при-
ходим к уравнению
4.(0 ». (0=- (К (ва) (0 - ВД ds. i е s.
о
Если вычесть из него уравнение (3.22) и ввести для краткости
обозначения
wn(s) — P*nl*n((Bu)(s) — f(s)) и w(s) = (Bu)(s) — f(s),
то получим
11Л„(П«»(0-Л(0«(011С
- ч+S	ds+
S
+ J|t»n(s) —t»(s)|[ds<
s
' | Р’ЛЬ - ь | + V? (4 «. - «|L, (Si +1 w, - w |t, (Si ет).
В силу оценки (3.25) и леммы 3.4, отсюда следует, что
||Л„ип —Ли||С(5. ЯФ)->0 при п-*оо. (3.26)
Проводя аналогичные рассуждения, из уравнений
(Ли)' + Вы = /,
(At^n) “Ь BnUn == fn
после применения оператора Р*п с учетом его перестановочности
с оператором дифференцирования и с использованием введен-
ных выше сокращенных обозначений получим
II (^л^п) iAd) 11д» (8; я») II ип и Ид» (8; Д) 4~ II	w Ид» (8; Я*)’
(3.27)
§ 4. Проекционно-итерационный метод
221
В соотношениях (3.25) — (3.27) содержатся все утверждаемые
свойства сходимости галёркинской последовательности. Тео-
рема доказана.
§ 4. ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД
ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В предыдущем параграфе мы доказали сходимость галёр-
кинских приближений к решениям псевдопараболических урав-
нений. Если, используя базис {hi,...,hn} конечномерного под-
пространства Нп az Н, представить галёркинские приближения
в виде
п
Un (О = Cnk (О S S,
к=1
то уравнения Галёркина оказываются системой вообще говоря
нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений отно-
сительно коэффициентов cnh (k = 1,2,... , и). В настоящем па-
раграфе мы покажем, как можно получить приближенные реше-
ния для псевдопараболических уравнений при помощи одних
только линейных операций, а именно посредством квадратур,
решения линейных систем уравнений и вычисления скалярных
произведений. Для этой цели мы применим изложенный в § 3
гл. III проекционно-итерационный метод.
Пусть Rn е (Нп -* Нп) — оператор Рисса для пространства
Нп (см. замечание 6.3 гл. I), т. е. Rn = Jn\ где 1п^{Нп-> Н*п)—
(линейное) дуализующее отображение для пространства Яп;
Rn является линейным (изометрическим) изоморфизмом; для
g^H*
II RnS II = 11 £11^	(4.1)
и для g е Н*п, h s Нп
(Rng,h) = (g,h).	(4.2)
Докажем прежде всего многократно используемую ниже
лемму.
Лемма 4.1. Пусть операторы A (t) е (Н -* Н*) сильно моно-
тонны и липшиц-непрерывны в смысле предположений (2.13)
и (3.1). Тогда для п= 1, 2, ... отображения Кп(Г)^(Н„ -+Нп),
t е S, определенные формулой
Кп (t)x = х KRnAn (t) x, x s Hn,
222 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
являются при 0 < К < 2т1Мг сжимающими с не зависящими
от п постоянными сжатия
г (%) = д/Т^-2Кт + к2М3.
Доказательство. Так как An(t) = rnA(t), го из равенства
(4,1) и липшиц-непрерывности операторов Л(0 следует, что
для каждого ieS и любых х, у^Нп
|| RnAn (0 х - RnAn (t) у || -1| Ап (t) х — Ап (t) у ||я. <
<||Л(0х-Л(0г/||.<М||х-П
В силу равенства (4.2) и монотонности операторов Л(0,
(RnAn (0 х — RnAn (0 у, х — у) = (Д, (0 х — Ап (0 у, х — у) =
= (Д(0х — A(l)y, x — y^tnWx — y^.
Наше утверждение следует теперь из леммы 3.1 гл. ПГ.
1.	ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД; С-ТЕОРИЯ
Сначала рассмотрим псевдопараболические уравнения
типа I.
Положим (как и в § 3, см. (3.11)) для о, w^C'(S\H)
р4 (о, w) = sup {е~ы || v' (0 — w' (0II}.
tes
Далее, введем множество
Xe = {t»|ueC4S; Н„), v(0) = a„},
где ап = Рпа. Нетрудно видеть, что это множество замкнуто
в С1 (S; Нп) и что оно является полным метрическим простран-
ством с только что определенной функцией р& в качестве мет-
рики. Вещественным параметром k, входящим в определение pft,
мы распорядимся позднее.
Лемма 4.2. Пусть v е Хп, w е Xt. Тогда
ekt
II» — да11с((<м];Я)<11а»“аИ1 + — Р*(о, ®).	t^S.
Доказательство. Из представления
v (s) — w (s) = ап — at + J (v' (т) — w' (т)) dx
о
§ 4. Проекционно-итерационный метод
223
следует, что
Is	II
((о'(т) — w'(r))dr <
о
t
<	II ал — Ъ || + 11| v' (т) — w' (т) || e~kxekx dr <
t
<	II ап — at || + р* (о, w) J ekxdr.
о
Лемма доказана.
Теорема 4.1. Пусть выполняются предположения теоремы 3.1,
и пусть u^Cl(S\H) — решение псевдопараболического урав-
нения
A(f)u'(f) + (Bu)(f)==Ht),	u(0) —а.
(Определим последовательность {оп} функций ип^Хп, п=1,
2, ..., при помощи формулы
о» (0 = (£4»п-1) (0, is~S,	(4.3)
где «о s — произвольный начальный элемент и для v е Хь
I п,
(Unv) (0 = ап + j (o'(s) - KRaAn (/) v' (a)) ds -
- $ (Xfln (Bnv) is) - KRnfn (s)) ds, (4.4)
0
причем 0 < X < Чт/М2. Тогда
II°n — “llc1 <s; я)”*0 nPu «-*«>.
Доказательство. Из определениия (4.4) и свойств оператора
Рисса Rn сразу следует, что галёркинское приближение шп е
е С1 (S; Нп) является неподвижной точкой отображения Un на
Хп (п=1,2,...).
Пусть и, ® е Х(, / < п. Поскольку, очевидно, Unv, Unw е Хп,
то (в обозначениях леммы 4.1)
WnVY (/) - (ад' (П = Knit} v' (t) - Кп it) w' it) - X iRn iBnV) it) -
— RniBnw)it)
По лемме 4.1 отсюда следует, если еще принять во внимание
свойство (4.1) оператора Рисса Rn и определение (3.3) опера-
224 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения	s
тора Вольтерры Вп, что
II (Unv)' (0 - (UnWy (0 II < г (Л) IIV' (0 - W' (0 И+Л II (Во) (0—(Вю) (0 К,.
В силу липшиц-непрерывности вольтеррова оператора В полу-
чаем далее
II (UnvY (/) - (UnwY (0 || < г (Л) II v' (0 - W' (О II +
+ XLIIP-МС(|0><];//) (4.5)
и, согласно лемме 4.2,
II (UnvY (0 - (UnwY (0 || е~“ < г (X) IIх>' (0 - w' (0 II е~* +	р* (v, w).
Переходя к метрике р4, находим	,•
Pfe <Unv, Uaw} < (г W +	Р* (», w).
Ввиду предположения 0<Х<2т/Л12 имеем (см. лемму 4.1)
О < г (к) < 1. Если теперь выбрать
1—г(Л)*
то ц = г (Л) + будет удовлетворять условию
0<|*<1-
Полученная нами оценка
Pk(Unv, Unw)^npk(v, w), v,weXi, l^n, (4.6)
служит исходным пунктом дальнейших рассуждений. Из нее,
в частности, следует, что Un в Хп является сжимающим ото-
бражением.
В теореме 3.1 мы показали, что для последовательности га-
лёркинских приближений {ип}
П«» — “llc'isjH)-*0 ПРН «-*«>.
Так как
II °n “ и lie* (S: Я) II ип Ис' (3; Н) "Ы1 И» “ И Нс ($; #)>
то для доказательства теоремы достаточно установить, что
IIОд — «пНсчз-.я)"*0 ПРИ «-*00-
Очевидно, оп (0) = «п (0) = ап, поэтому при некоторой не зави-
сящей от п постоянной К
II Чц ||gi (£. д) ^CPft (Од, Нп)"	।
Следовательно, можно ограничиться доказательством того
факта, что	I
Рл(«», »п)->0 при п->оо.	(4.7) I
§ 4. Проекционно-итерационный метод
225
Прежде всего докажем по индукции, что
Ра(»п, «nXP’pA^O, «1) +
п—1
+ Z Pn-v-,(pPfe(«v+i, Uv) + AL||av+1 — av||).	(4.8)
V=1
Поскольку «1,	TO
Pa(ui, «1) = Pk (£Л«о, t/fUjX рр* (t>o, «1),
т. e. (4.8) справедливо при n=l. Далее,
Рл(®п+1» un+l) = Pfe(^n+lun» ^n+l^n+1)^
<pft(f/n+1frt, ^n+l«n) 4“ Pk Щп+l^Hi i/n+lU„+1)<
<HPft(«n, ^n) + Pa(^+ i^n, ^п+1Ц»+1)«
Оценим Pk(Un+iun, Un+iUn+i). Для этого заметим, что в силу (4.5)
11(1/л+1«п)'(0-(С/п+1«»+1)'(011<
< г (X) | < и - <+1 (I) I + UIи, - u.+11.(№ It m.
По лемме 4.2 после перехода к метрике pft получаем
Ра(^п+1“п> Un+lUn+l) ИРА («л+1» «п) + ^11«п+1 М-
Следовательно,
Ра(°п+1> «п+1ХиРа(“п+1, «n)4-^llan+i —а»Н + РРА(о», «»)•
Используя теперь предположение индукции (4.8), приходим
к оценке
Ра(»п+1, «п+1Хип+1Ра(«о, «1) +
+ Z P',-v(hPa(Wv+i> uv)4~XL ||Ov+i— Ovll).
v=»l
Тем самым индукция завершена.
После этих приготовлений мы можем доказать (4.7). Пусть
задано е > 0. Так как 0 < ц < 1, то существует ni = n1(e),
такое, что
НлРа(^о, ttiX-J при П>Пь
Поскольку || ап — а||—>0 и рд (ип, и} -> 0 при п—>оо, то найдется
такое п2 = п2(ъ), что
PPa(«v+i, «v) + ^b||av+1 — av||<(l — р)-|- при v>n2;
поэтому
sup {иРа (Uv+I, И?) +	II av+1 — av ||} = К < + <».
V
8 X. Гаевский и др.
226 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
Из (4.8) следует теперь, что при п^тах(пь п2)
«2-1	Л-1
рА(«„, «„)<!+/< X +d -i*)f £ и»-’-1 <
v=l	v«n2
<-|+*(л2-1)нЛ-п«.
Если выбрать по = п0(ъ), n0>max(nI, п^, такое, что
К (п2 — 1) р"»-"’ < ,
то, очевидно, при п>по
рИо», «лХе.
Теорема доказана.
Замечание 4.1. Доказательство теоремы 4.1 доставляет не-
значительную модификацию леммы 3.2 гл. III: рассматриваемая
там последовательность банаховых пространств заменяется по-
следовательностью метрических пространств.
Замечание 4.2. Приближение vn (п=1,2,...) обладает
представлением
vn(t)= £ anj(t)hj
с коэффициентами anj^Cl(S), j = 1, ..., п. Они определяются
из правила (4.3) или эквивалентных ему соотношений
(»л (0, hk) = (({/„»„_,) (0, hk), k	п.
Если расписать эти соотношения подробнее, воспользовавшись
свойствами отображений и /*, то получим
п	п-1
У,	(О (Й/, hk) = (а„ - ап-ь hk) + £ ап-1, (/) (Л/, hk) -
/-1	/-i
t
- К J (А(а)	($) + (Вц„_,) (s) - f (s), hk) ds (4.9)
о
(k = 1........n./sS).
Это линейная система относительно функций anj-, / = 1, ..., п.
Матрица из ее (не зависящих от t) коэффициентов есть не что
иное, как отвечающая базису {hi,...,hn} матрица Грама
6 = Ш, 1, k=l,...,n,
с элементами gjh = (hj,hk). В силу линейной независимости ба-
зисных элементов ..., hn матрица G положительно опреде-
§ 4. Проекционно-итерационный метод
227
лена и симметрична. Как видно из (4.9), нахождение приближе-
ния t»n по предыдущему приближению vn-i осуществляется при
помощи вычисления скалярных произведений, квадратур и ре-
шения линейных уравнений. Особенно простые соотношения
получаются в случае, когда базис (ft|,..., hn} состоит из орто-
нормированных элементов. Тогда матрица Грама G превра-
щается в единичную матрицу и формулы (4.9) выглядят в этом
случае так:
ani(О — ап-1/(0 + Rf(0,	j=l» •••> п~ 1»
олп(0 = (а», Л„)4-/?„(0;
здесь
t
/?,(/) = - A J (A (з)	(з) + (Во„_,) (з) - f (s), hf) ds
о
(/=1, ..., п).
Иногда целесообразно (см. § 3 гл. III), применив к (4.3)
дуализующее отображение /n = /*7Zne (Ял-►//*), перейти к
уравнениям вида
(Jo„(0, Aft) = (Z(C/no„-i)(0, Л*>, k = \,...,n, t(=S.
Система, соответствующая системе (4.9), в этом случае имеет
вид
#п/ (0	=	^0>п—1, ^k) +	^п-1/ (0 (*^/, ^k)
/=1 /»1
t
— х J (A. (s) v'n_t (s) +	(s) — f (s), hk) ds (k = 1.tv, t g= S).
о
Теперь займемся псевдопараболическими уравнениями
типа II.
Теорема 4.2. Пусть выполнены предположения теоремы 3.2,
и пусть u^C(S;H)— решение псевдопараболического уравнения
(А (0 и (0)' + (Ви) (/) == f (П,	А (0) и (0) = Ь е Н*.
Определим последовательность {оп} функций vn^C(S-,Hn),
п = 1, 2.....формулой
М0 = (£/Л-Ж	(4.10)
в«
228 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
где o0eC(S;Hi)—произвольный начальный элемент. Здесь
для o^C(S-, Нп)
(Unv) (t) = KRnbn + v (0 - KRnAn (0 v (0 -
- Л j (Я„ (В„о) (s) - Rnfn (s)) ds, (4.11)
причем 0 < % < 2/п/Л!2. Тогда
И»» — “llc(s..H)-*°	«Р“ п-*оо.
Доказательство. Очевидно, t/„e(C(S; //„)-> С (S; //„)) и
“п == пЧп>
т. е. галёркинские приближения ип для решения и являются не-
подвижными точками отображений Un (и = 1,2,...). Из (4.11)
в силу леммы 4.1 следует, что для о, w C(S, Нп)
II сад (0-(ад (О II <
<	II Кп (0 »(/) - Кп (0 w (011+ к (II (ад (з) - (Bnw) (s) ||я. ds <
о	“
<	г(Л)1к(0 —а>(0Н + Ц sup ||(Во)(т) — (Bo>)(T)||,ds<
J 0<T<S
t
<	г (Л.) || t> (0 — t»(0|| + %L( sup {||и(т) — а>(т)||е-4т}е*Мз<
J 0<t<s
<	Г (Л) II v (0 - w (0 II +	|| о - w ||с. k eki-
в последнем члене использована (С, k) -норма
II о Нс. к = sup {e~kt || v (f) ||}
t <= 3
в C(S, H). Переходя к (С, k) -норме, получаем
II иnv - Unw Нс. k < (г (А) + -^) || о - w Ис, к-
Если выбрать
k ">	№
R> 1-г(Л) ’
то отображения Un на C(S,Hn) будет сжатиями относительно
(С,&)-нормы с постоянной сжатия, не зависящей от п. Так как
неподвижные точки этих сжатий Un (п=1,2,...)—галёркин-
ские приближения ип — согласно теореме 3.2 сходятся в C(S;H)
§ 4. Проекционно-итерационный метод
229
к решению и и так как, очевидно, C(S; Я„)с С($:Ял+|)с:
с: ... с: С (S; Н), то по лемме 3.2 гл. III
II «я “ и Нс (3; Я) “* 0	п₽и «-*«>•
Теорема доказана.
Замечание 4.3. Рассуждения, подобные проведенным в заме-
чании 4.2, показывают, что и для псевдопараболических урав-
нений типа II нахождение приближенных решений vn по пра-
вилу (4.10), (4.11) возможно провести «линейным» путем.
2.	ПРОЕКЦИОННО-ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД; L’-ТЕОРИЯ
Для псевдопараболических уравнений типа I заменим пред-
положение (2.14) об операторе Вольтерры В следующим более
сильным предположением:
Отображение Be(L2(S; Я)->£2(5; Я*)) об-
ладает представлением
(Во)	(/) = В (/) о (/) для og=L2(S; Я), teS, (4.12)
причем операторы В(/)е(Я->Я*) (равно-
мерно по t s S) липшиц-непрерывны, т. е.
||В(/)х — B(/)i/||,<L||x — f/|| для любых х,у<=Н.
Для v, w<=C(S; Н) с v', w'^L2(S; Н) положим
dk (о, «О = 0 II v' (/) — w' (01|2 e~2kt df^12.
Далее, положим
Уп = {о | v <= С (S; Я„), о' е L2 (S; Я„), v (0) = ап},
где ап = Рпа- Легко видеть, что Уп (п=1,2,...) с указанной
выше метрикой dk является полным метрическим пространством.
Параметром k мы распорядимся позже (аналогично тому, как
в предыдущем пункте это было сделано при доказательстве
теоремы 4.1).
Лемма 4.3. Пусть v е У„, w е Уг. Тогда
0 II v (0 - w (01|2e~2kt dty <	|| ап - а, || +	dk (о, w).
Доказательство. Так как v, w^C(S\H) и v't w' L2(S\ Н),
то имеет место представление
t
v(t) — w (0 = ап — at + (v' (т) — wf (т)) dx.
о
г
230 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
Интегрируя по частям, получаем
(t
II v' (т) — w' (т) II2 dr | dt =
о	/
т
= — e~ikT J II v' (т) — w' (т) II2dr +
О
+ i $ е-2« || v' (0 - w' (t) ||2 dt < ± d2 (v, w).
s
Лемма доказана.
Теорема 4.3. Пусть выполнены предположения (2.11), (2.13),
(3.1) и (4.12), и пусть и<= (S -> Н) — решение псевдопараболи-
ческого уравнения
Au' + Bu = f,	и(0) — а
с ueC(S; Н), и' е L2(S; Н). Определим последовательность {»„}
функций vn<=Yn, п = 1, 2, ..., по правилу
vn(t) = (Unvn-i)(t), t(=S,
где Vq^Y\ —произвольный начальный элемент. Здесь для
l^n,
t
(Unv) (?) = an + J (o' («) — hRnAn («) v' (s)) ds -
0
t
- % J (RnBn (s) v (s) - Rnfn (s)) ds, (4.13)
0
причем 0 < A < 2т/Л12. Тогда
К - U Ic (S; Я) + IK - u' L (S; H) -* ° npu n -* °° •
Доказательство. Из определения (4.13) сразу видно, что
галёркинские приближения ип (см. теорему 3.3) для п — 1, 2,
§ 4. Проекционно-итерационный метод
231
являются неподвижными точками отображений Un в простран-
ствах Уп. Очевидно, при о, w е Yb I п, имеем Unv, Unw е Уп и
((ад' (0 - (ад)'«)) е~м = (Я„ (/) v' (0 - Кл (0	e~kt -
- К (RnBn (0 V (0 - RnBn (/) W (0)
для почти всех t е S. Отсюда в силу неравенства треугольника,
леммы 4.1 и предположения (4.12) следует, что
dk (Unv, Unw) < г (%) dk (t>,w) +
+ x M и в (о v (/) - в (о w (о |£ е-2« <а\,г <
\ S	/
< г (%) dk (v, w) + XL 0II v (0 - w (/) II2 e~2kt dt J1
и далее, согласно лемме 4.3,
dk (Unv, Unw) < (r (A) +	dk (v, w).	(4.14)
Поскольку 0<r(l) < 1, то при достаточно больших k можно
добиться того, чтобы величина
удовлетворяла условию OCpCl. Тогда Un будет сжатием
на Уп.
Рассуждения, подобные проведенным при доказательстве тео-
ремы 4.1, показывают, что достаточно проверить выполнение
условия
dk(vn, н„)->0 при п->оо.
Покажем по индукции, что справедлива оценка
dk (vn, ип) < \Lndk (t>0, «i) +
п—1
+ X 0*<M«v+b «v) + II Ov+1 - av ||).	(4.15)
Очевидно, это верно для п=1, так как ввиду включений
vos Yi, «1 е имеем, в соответствии с (4.14),
dk (th, «О = dk (Uivo, U,«,) <	(o0, Ui).
Аналогично находим
^fc(^n+l, «n+l)== dk (JJn+l^nt ^n+l^n+1)
dk (Un+\Vn, Un+ \Un) “1“	^n+ Лг+l)
(^n> ^n) 4"	^n+l^n+l)’
232 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
Для оценки dk(Un+\un, ^n+i^n+i) заметим, что из справедливо-
го при почти всех / е S соотношения
(^n+lWn)Z (0 — (Un+\Un+\Y (0	Кп+\ (0 ^«(0	*n+l (0 «п+1 (t) —
— Л(/?п+1Вй+1 (0un(t) — Rn+iBn+i (t)un+{(t))
вытекает, в силу неравенства треугольника и лемм 4.1, 4.3, сле-
дующая цепочка оценок:
<	г (1) dk («„+1, «„) + U 0 II «„ (0 - (О II2 е-2» dty <
<	г (Л) dk (и„+ь и„) + -^==- || ап+1 — ап || +	dk(un+u ип) =
=	««) + -j=- II an+i - ап ||.
Поэтому
dk (^n+l, ^n+l) P'dk («n+Ь ^п) + II ^п+1 «п II “Ь pdk (vn, lln).
Используя индуктивное предположение (4.15), теперь без'труда
завершаем проведение индукции.
Из (4.15) с помощью рассуждений, аналогичных проведен-
ным при доказательстве теоремы 4.1, получаем
dk(vn, ип)-+0 при п->оо.
Теорема доказана.
Теперь рассмотрим псевдопараболические уравнения типа II.
Теорема 4.4. Пусть выполнены предположения теоремы 3.4,
и пусть u^L2(S;H) — решение псевдопараболического урав-
нения
(Au)' + Bu = f, Л(0)«(0) = &«=Я*.
Определим последовательность {оп} функций vne L2(S- Нп),
и = 1, 2....по правилу
Vn(t) = (UnVn-i(t), t€=S,
где voeL2(S;Hi)—произвольный начальный элемент. Здесь
для v е L2(S; Нп)
(Unv) (0 = KRnbn + V (t) - KRnAn (О V (/) -
t
(Bnv) ($) - Rnfn (s)) ds,	(4.16)
О
§ 4. Проекционно-итерационный метод
233
причем 0 < X < 2т/Л!2. Тогда
11»п —«Ир(з:Н)-*0 при п-+оо.
Доказательство. Очевидно, галёркинские приближения удов-
летворяют условию
urt = Unun, п = 1, 2, ...;
при этом Un e(L2(S; Hn)->L2(S; Нп)). Положим для ое
eL2(S; Н)
11°Ik».* = 0 И»(0ll2e-2ft< dt^'
и назовем так определенную норму (L2, k)-нормой в L2(S;H).
Очевидно, нормы || • ||£1(s. т и || • ||£2 k эквивалентны. Покажем,
что оператор Un при подходящей (L2, k)-норме на L2(S; Нп)
является сжимающим. Пусть v, w е L2(S; Нп). Из равенства
(Unv) (/) - (ад (/) - кя (/) V (/) - кп (П w (0 -
- Л, J (/?„ (В„у) (s) — Rn (B„w) (s)) ds
о
в силу леммы 4.1 и липшиц-непрерывности оператора В вытекает
оценка
|| Unv - Unw ||£2> к С г (X) || v - w ||£2> k +
+ XL VF 0 e~2kt (j || v (s) - w (s) ||2 ds) di) .
Интегрируя по частям, находим
e~2kt f || v (s) — w (s) ||2 ds) dt = — e~2kT || v (s) — w (s) ||2 ds +
S	''O	'	s
+ -^llt’-a’lli.,*<^-l|v-a’lk,
так что
|| Unv - Unw ||£, k < (г (X) +	|| v - w ||£t> k.
Следовательно, при достаточно больших k отображения Un
(n=l, 2, ...) являются сжимающими на L2(S; Нп) с постоян-
ной сжатия, не зависящей от п. Так как их неподвижные точки
ип согласно теореме 3.4 сходятся в L2(S; Н) к решению и и
L2(S; Яп)сз L2(S; Hn+i}cz ... czL2(S;H), то утверждение тео-
ремы следует из леммы 3.2 гл. III. Доказательство закончено.
234 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
В гл. VI и VII нам понадобится еще один результат о проек-
ционно-итерационном методе для уравнений с операторами из
(L2(S; Я)—* L2(S; Я)). Предположим, что
D е= (L2(S; Я) -* L2(S; Я)) — липшиц-непрерывный оператор
Вольтерры:
|| Du Dv ll^i jj. я> L || и	° lit» (j; я)	(4.17)
и рассмотрим задачу Коши
u' + Du = f,
u(0) = a, u^C(S-H), u'f=L2(S-,H),	(4Л8)
а также соответствующие уравнения Галёркина
и' + Du = L,
п п п п	(4 19)
un(0)*=an = Рпа, unt=C(S-,Hn), u'n<=L2(S‘, Нп\
где операторы Dn е (L2(S; Я)-> L2(S; Яп)) определены формулой
(Dno)(0 = P„(Do)(/), .ие£2($;Я), t е= S,
а функции fn е (S -> Я„) для f е L2 (S; Я) — формулой
M0=W), t^s.
Теорема 4.5. В предположении (4.17) уравнение (4.18) при
любых f e£2(S; Я) иа^Н обладает точно одним решением и.
Соответствующие уравнения Галёркина (4.19) при каждом
п = 1, 2, ... обладают точно одним решением ип, и
П«» —“llcfs-.w-*0 пРи
Построим последовательность {»„} функций vn^C(S\ Нп) с v'nE
<=L2(S; Я„), п= 1, 2....по правилу
М0 = (^Л-1)(0, t^s,
где C(S-, Hi)— произвольный начальный элемент. Здесь для
Vf=C(S-,Hn)
(Unv) (0 = ап — J ((D„t>) (s) — fn (s)) ds. (4.20)
Тогда
II Vn	« lie (S; Я) + II	U Ид’(S: Я) —0 при П—rOO.
§ 4. Проекционно-итерационный метод
235
Доказательство. Существование решения и и галёркинских
приближений ип следует из теоремы 1.3. Пусть {wn} — какая-
либо последовательность функций wn^C(S; Нп), п = 1, 2...........
для которой —«11С(5;Н)-*0 при п—»оо. Согласно лемме
3.1,а), такая последовательность существует. Из соотношений
t
u(t) = a-\ ((Du) (s) - f (s)) ds,
о
t
un (0 = an — J ((Dnun) (s) — fn (s)) ds
о
после вычитания и скалярного умножения на un(t) — wn(t) е Нп
получаем, ввиду симметричности проектора Рп,
(ип (0 — wa (0, ип (0 — wn (0) + (wn (t) — и (0, ип (t) — wn (0) =
z t	X
= - ( J ((Dun) (s) — (Dwn) (s)) ds, un (0 — wn (0 I —
'0	'
z t	ч
— H ((Dwn) (s) — (Du) (s)) ds, un (0 — wn (t) 1.
Отсюда вытекает, что
/ t	\/2
II «п (0 — И'п (0II < KiII Wn - и ||C(S. Я) + Ц $ II Un (s) — wn (s) IP ds J ,
'0	'
и после несложных преобразований с использованием леммы
Гронуолла и неравенства треугольника мы приходим к оценке
II ип и Hc(S; Я)	U »С (3; НУ
(Выше Ki, К2, К — не зависящие от п и и постоянные.). В силу
сходимости последовательности {wn} отсюда следует сходимость
приближений Галёркина ип к и. Очевидно, ип — неподвижная
точка отображения Un (и = 1, 2, ...). Из вычислений, проведен-
ных в доказательстве теоремы 1.3, непосредственно видно, что
Un при подходящем выборе k является сжимающим отображе-
нием банахова пространства C(S;Hn), рассматриваемого с
(С, k) -нормой, причем постоянная сжатия не зависит от п. Так
как C(S-Нп)с C(S; Hn+l)cz ... C2C(S;H), то по лемме 3.2
гл. Ш
И»л —«Ис(3;Д)-*° ПРИ	(4.21)
236 Гл. V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения
Из (4.20) вытекает, что v'n е L2(S; Нп) при п= 1, 2, ... и
v' — — D o . + f .
п	п п—1 1 'П
Из дифференциального уравнения
и' = — Du + f
получаем
II U Vn Я)	DnVn-l llf,2эд “HI fn f Ид2(5; ну
В силу липшиц-непрерывности D имеем
II Du	Dnvn-11|£2 (S;	II Du	Dnu (]д2	4” II Dnu	Dnvn-1 ||£2
II Du —-	Dnu ||L2(S.	+ L || и — vn_1 ||Д2 (s. Я)
^ || Du	Dnu ||£2(S. я)	+ L л/Т	|| u — vn-i ||C(S. Я)
и потому
II Vn	U	IL» (S;	Я)	II f«	f Hl» (S; Я) 4** И &U	BnU ll^j	H) 4*
4“ L л/т || u vn_1 |(c Иу
Наконец, из леммы 3.3,а) и уже доказанного соотношения
(4.21) следует, что
II / Hl» (S; Я) 0 ПРИ и 00.
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. V
Теория обыкновенных операторных дифференциальных уравнений, лишь
намеченная в § 1, может быть далеко развита по аналогии с теорией диф-
ференциальных уравнений для вещественных функций. Изложения учебного
характера можно найти, например, у Бурбаки [1], Дьедонне [1] (там же
приведены примеры, показывающие, что теорема Пеано в бесконечномерном
случае, вообще говоря, неверна ’)) иу Картана [1]. Относительно ослабления
условий, касающихся зависимости операторов G(t) от /, см. Като [1]. При
использовании (С, k) -нормы в доказательстве теоремы 1.1 (и в ряде других
мест этой главы) мы следуем Белецкому [1]. Введенные в п. 2 операторы
Вольтерры можно трактовать как обобщение обычных интегральных опера-
торов Вольтерры. Такого типа операторами занимались Красносельский и
Покровский [1], Артоля [1] и Грёгер [1]; Артоля именует их операторами
локального типа. Грёгер [1] рассмотрел нелинейные операторы Вольтерры.
’ Для исследуемых в § 2 типов уравнений мы выбрали название «псевдо-
параболических», руководствуясь терминологией для соответствующих клас-
сов уравнений в частных производных. Линейные псевдопараболические урав-
нения изучали Шовальтер [1], Тинг [1], Шовальтер и Тинг [1]. Эти уравне-
ния принадлежат к так называемым уравнениям Соболева — Гальперна; см.,
например, Гальперн [1], Костюченко и Эскин [1] и указанную там литера-
1) См. подстрочное примечание на стр. 194. — Прим. ред.
Замечания к гл. V
237
туру. Уравнениями Соболева — Гальперна с некоторыми нелинейностями
занимался Шовальтер [2]. На нелинейные уравнения типа рассмотренных в
этой главе обратил внимание Лионе [1]. Такие уравнения играют роль при
описании реологических процессов; см. Тинг [1], Трусделл [1] и Лангенбах
[3]. По поводу линейных параболических и псевдопараболических уравнений
см. Тинг [2]; что касается нелинейного случая, см. Гаевский [5].
Утверждения § 3 о сходимости метода Галёркина являются обобщением
результатов Гаевского и Захариаса [1, 3, 4] на случай операторов Воль-
терры, а также на случай £2-теории. Важным приемом доказательства яв-
ляется здесь введение аппроксимирующей решение «последовательности
сравнения» {ип}. Мы всюду выбирали в качестве vn проекцию Рпи точного
решения. Другие возможности для построения последовательностей сравне-
ния, обладающих желательными свойствами, доставляет обобщенная аппро-
ксимационная теорема Вейерштрасса для пространства C(S; Н) (см. гл. IV).
Проекционно-итерационный метод (§ 4) для уравнений типа I допускает
модификацию, при которой сначала превращают рассматриваемые уравнения
в однородные. В этом случае сходимость проекционно-итерационной последо-
вательности можно установить непосредственно при помощи леммы 3.2 гл. III.
ГЛАВА VI
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть V — сепарабельное1) рефлексивное банахово про-
странство, непрерывно вложенное в гильбертово пространство
Н и плотное в нем. Если отождествить пространство Н с его
сопряженным Н*, а Н* — с подпространством сопряженного к V
пространства V* (см. § 6 гл. I), то справедливы включения
V <= Н <= V*.
Нормы в V, Н и V* мы обозначаем соответственно через ||»Ц,
|«| и || «||,. Скалярное произведение элементов /eV* и № V
мы записываем как (/, х). Если, в частности, f е Н, то (f, х)
при принятом отождествлении совпадает со скалярным произве-
дением этих элементов в Н. Поэтому скалярное произведение в
Н мы обозначаем также через (♦, •). Всюду в этой главе
S = [О, Т] — конечный интервал (времени). Указанные свойства
пространств V и Н, а также введенные выше обозначения ис-
пользуются далее без специальных оговорок.
Мы будем рассматривать уравнения вида
u' + Аи = f
с вольтерровыми операторами А, которые отображают функцио-
нальное пространство X = L?(S; V) Л Lp° (S; Н), 1 <_ р р0 <
< оо, в сопряженное к нему пространство X*. При этом и' обо-
значает производную от и е X в смысле пространства распреде-
лений 25* (S; У*). Уравнения указанного вида мы называем
эволюционными уравнениями. Связь между эволюционными
уравнениями и параболическими дифференциальными уравне-
ниями уже пояснялась в § 2 гл. IV. Мы главным образом будем
заниматься задачей Коши для эволюционных уравнений, но
коснемся и вопроса о периодических решениях таких уравнений.
В § 1 при сравнительно слабых предположениях монотонно-
сти и непрерывности оператора А устанавливаются теоремы су-
ществования и единственности решений исследуемых задач, а
также сходимость метода Галёркина. В заключение параграфа
') См. подстрочное примечание на стр. 78.
§ 1. Теоремы существования и единственности
239
мы указываем некоторые возможные случаи, когда реализуются
используемые в теоремах предположения.
В § 2 показано, как можно уточнить результаты § 1, если
наложить на оператор А более сильные ограничения, касаю-
щиеся его зависимости от времени.
В § 3, в предположении, что V — гильбертово пространство,
мы даем один метод для аппроксимации эволюционных уравне-
ний и их решений, который может служить основой для числен-
ного определения решений.
§ 1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ;
МЕТОД ГАЛЕРКИНА
Пусть заданы числа р и ро, такие, что 1 < р р0 < оо. По-
ложим X = Lp (S; V) П L* (S; Н) и || и ||х = || и ||LP (S. +1| и ||Lр, (S;
для иеХ. Тогда сопряженным к X пространством X* будет
L’(S; V*) + L”(S; Я), 1/р + 1/q = 1, 1/ро + 1/<?о = 1, с обычной
нормой для суммы банаховых пространств (см. замечание 6.13
гл. I). Далее, положимW = {и | ае X, и'&Х*} и ||и ||г= II и ||х+1| и' ||х»
для и е W. Напомним, что пространства X, X* и W уже были
введены в § 1.5 гл. IV. Там было показано, что скалярное про-
изведение (f, и) алементов f^X* и и е X задается формулой
</, «)= u(s))ds
s
и что пространство W непрерывно вложено в C(S;H).
1. ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Теорема 1.1. Пусть Ле(Х->Х*)— радиально непрерывный
монотонный коэрцитивный вольтерров оператор. Тогда задача
u' + Au = f, и(0) — а, «еХ,	(1,1)
при любых f еХ* и а^Н имеет точно одно решение и. При этом
u^WcC(S-,H} и соответствие а-*и как отображение из Н в
C(S; Н) непрерывно.
Замечание 1.1. Так как и' понимается как производная от и
в смысле пространства 3>*(S;V*), то уравнение u' + Au = f
имеет смысл в £Z>*(3; V*). Если и еХ удовлетворяет этому урав-
нению, то и' = f — Аи^Х* и потому и е W с: С(S; Н). Этим
оправдывается постановка начального условия и (0) = а е Н.
Определение 1.1. Будем обозначать через Xt пространство,
которое получается, если в определении пространства X интер-
240
Гл VI. Эволюционные уравнения
вал S заменить интервалом [0,/]; другими словами,Xf=L₽([0, /];
V)f|I₽’([O, /]; Н) с соответствующей нормой.
Для доказательства теоремы 1.1 нам нужна следующая про-
стая
Лемма 1.1. Если Л <= (X —*Х*)—монотонный коэрцитивный
вольтерров оператор, то для каждого t е S
t
Iitn ТйЛГ-	ds = + оо >	(1 -2)
t
j ((Au) (s) — (Ло) (s), и (s) — о ($)) ds 0 при и, v e X. (1.3)
о
Доказательство. Пусть
{и (s)	при 0 s t,
0	при t < $ С Т.
Так как Л—оператор Вольтерры, то (Ли) ($) = (Л«4) (s) для
почти всех $ е= [0, /]. Кроме того, || ut ||х = || и ||х<. Поэтому утверж-
дение (1.2) непосредственно следует из коэрцитивности Л. Ана-
логично утверждение (1.3) следует из монотонности Л. Лемма
доказана.
Доказательство теоремы 1.1 мы проведем ниже с помощью
метода Галёркина. Прежде чем приступить собственно к дока-
зательству теоремы, определим сначала метод Галёркина при-
менительно к задаче (1.1) и докажем некоторые леммы о реше-
ниях галёркинских уравнений.
Пусть {Ль h2, ...} — какая-либо полная в V, а тем самым и
в Н система линейно независимых элементов, и пусть Нп — ли-
нейная оболочка множества {hx....hn), наделенная скалярным
произведением, индуцированным из Н. Будем считать Нп и Нп
отождествленными. Пусть, далее, Xn — Lp°(S‘, Нп) и Х*п =
= L4>(S; Нп). Скалярное произведение элементов f е Х*п и
иеХп задается формулой (f (s), и (s)) ds. Поэтому его можно
s
обозначать также и как (f, и}. Каждому оператору Л е(Х—>Х*)
мы можем поставить в соответствие оператор Лпе(Хге—>Х*п) по
правилу
(Апи, v) = (Au, v) V» е Х„.	(1.4)
Пусть {ап}, п — 1, 2, ..., — какая-нибудь последовательность
элементов ап <= Нп, сходящияся в Н к а. Наконец, определим
§ 1. Теоремы существования и единственности
241
L е X* соотношением
• п п
(fn,v) = <f,v) Vt>e=X„.	(1.5)
Задаче (1.1) соответствуют следующие уравнения Галёркина
(n= 1, 2, ...):
< + 4«« = /п> «п(°) = а».	(Ь6)
Лемма 1.2. В условиях теоремы 1.1 задача (1.6) при каждом
п имеет точно одно решение ип е W. Последовательность {мп}
ограничена в C(S;H) и в X, и последовательность {AunJ огра-
ничена в X*.
Замечание 1.2. Если оператор 4е(Х-*Х*) задан при по-
мощи семейства операторов A(/)e(V-> V*), т. е. (Аи) (t) =
= A(t)u(t), то задача (1.6) представляет собой задачу Коши
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Су-
ществование решения следует в этом случае из известной тео-
ремы существования Каратеодори.
Для доказательства теоремы существования в общем случае
нам понадобится
Лемма 1.3. Пусть b^Hn, So = [to, Л и Съ— замкнутое под-
множество в C(S0,Hn), состоящее из тех v е C(S0; Нп), для ко-
торых v(to)=b. Пусть, далее, В — деминепрерывный оператор
Вольтерры из (Сь-+L4>(S^, Нп)), удовлетворяющий условию
IIBv lit?» (3О; Нп) < м Vvs=Cb, М = const. (1.7)
Тогда задача
t
v (0 = b — (Bv) (s) ds
h
V/eSo
имеет решение v e Съ.
Замечание 1.3. Лемма 1.3 является обобщением теоремы Ка-
ратеодори на случай дифференциальных уравнений с операто-
рами Вольтерры.
Доказательство леммы 1.3. Для каждого натурального числа
гп положим
бт = — и m = /о ^'бт, Z = О, ..., tn.
242
Гл. VI. Эволюционные уравнения
Определим функцию vm е Сь последовательно в интервалах
следующими рекурсивными формулами:
Vm(.t) = b ДЛЯ
'"«т
»т (0 =	(Л. т)~ J (Bvt,m)(s)ds
для	t=l, ...» т—1;
здесь
, ч Г Vm(s)	ДЛЯ /0<5</г,т,
О'’ т (S) ~ I от (G, т)	ДЛЯ ti, т < S < Т.
Так как В — оператор Вольтерры, из этого определения выте-
кает, что
' b	при /оС^Л.т,
Ь— $ (Bom)(s)ds при	(1’8)
Покажем, что последовательность {vm}, т = 1, 2, ..., компактна
в Сь- Для /1( t2 е So и заданного т положим
st = max (/0, ti — 6т), i = 1, 2.
Из (1.8) и (1.7) следует, что для /2^^
«г
I От (/2) — От (6) 1=1$ (В0т) ($) ds | <
/ з» \ 1/р0 / з2	\ 1/<7о
cHdsj H|(BOm)(S)f‘dSJ <
< («2 - S1)1/P’ M < (t2 - Л)1/р‘ M.
Но vm(to)=b при всех т. Поэтому из последней оценки выте-
кают как равностепенная непрерывность, так и равномерная
ограниченность функций vm и тем самым компактность последо-
вательности {ото} в Сь-
Пусть {от,}, 7=1,2.......— некоторая сходящаяся в Сь под-
последовательность последовательности {от} и v — ее предел.
Согласно (1.8),
t	t
Vmjil'l^b—^(Bvmt)(s)ds + $ (Bt»m/)(s)ds,	(1.9)
§ 1. Теоремы существования и единственности
243
если t > /ь тр а при заданном t для достаточно больших j это
условие будет выполнено. В силу (1.7)
так что второй интеграл в (1.9) при /—>оо стремится к нулю.
Для t <= So и х е Нп
w&L‘h(S0',Hn),
является линейным непрерывным функционалом на L^ISq, Нп).
Поэтому, на основании деминепрерывности В, для каждого
х s Нп
lim Q (Bvm^tsjds, = (Bv)(s)ds, x),
т. e.
t	t
lim	(s) ds — (Bo) (s) ds.
1 to	to
Следовательно, из (1.9) в пределе при /—юо получаем
v(t) = b-\(Bv)(s)ds.
h
Лемма доказана.
Доказательство леммы 1.2. Предположим сначала, что для
6 е S и для каждого п задана функция и„ е Ар,([0, / Яп) с
и'п <= Z/7* ([О, /J; Нп), такая, что
и'п (/) + (Лпи„) (/) = fn (0 при почти всех t s [О, / J,
«п(0) = ап.	' ‘ '
Из (1.10) следует, что для t е [О, Л]
t
4 (। ип (о р—। ап i2)=$ (««(*)»«»(«яds=
о
t
= $ (f (s) — и«п) (s)> и» (s)) ds-
О
244
Гл. Vi. Эволюционные уравнения
Поэтому
41 ип (/) |2 + J ((Л«п) ($) - (ЛО) (s), ип (s)) ds <
О
<y|artl2 + llf - 4°l|x.Hu„|lv (1.11)
Отсюда, в силу коэрцитивности А (см. (1.2)), получаем
(1-12)
и
11МС((<М11:Й)<*2.	(ЫЗ)
где Ki и /Сз — не зависящие от п и t{ постоянные. Согласно
следствию 1.2 гл. III, из (1.11) и (1.12) вытекает оценка
М«п||х. </<3,	(1.14)
где Кз также не зависит от п и Л.
Теперь докажем, что решение ип <= Lp°( [О, /J; Нп) задачи
(1.10) определяется однозначно. Если уравнению (1.10) удовле-
творяет также и vn е Lp°( [0, Нп), то для t е [0, / J
t
у I «п (0 — оя (012 = J («'(s) - о'п (s), ип (s) - vn (s)) ds =
о
t
= — J ((Л«п) (s) — G4frt) (s), un (s) — vn (s)) ds < 0,
0
откуда следует, что un — vn.
Перейдем к доказательству существования решения задачи
(1.6) при заданном п. Пусть Si— множество всех ^eS, для
которых задача (1.10) имеет решение, принадлежащее
Lp’([0,/J; Нп). При этом мы не исключаем тот случай, когда Si
состоит из одной точки t = 0. Очевидно, Si может иметь вид
[0, t0) или [0, /о]. Покажем, что первый случай невозможен, т. е.
что to всегда принадлежит Si. Так как для любого /ie[0, t0)
существует точно одно решение задачи (1.10), мы можем счи-
тать, что в интервале [0, /о] задана функция ип, удовлетворяю-
щая соотношениям (1.10), где вместо стоит t0, и при каждом
Ле[0, to) принадлежащая Lp‘( [0, ZJ; Нп). Из (1.12) вытекает,
что || ип ||х? поэтому ип е Lp,( [0, /0]i Нп)- Следовательно,
как и утверждалось, Г0^5ь Покажем, что предположение
to <. Т ведет к противоречию. Пусть b = ип (to) и
( ип (/) при 0 < t < to,
№ t b при Го < / < Г.
§ 1. Теоремы существования и единственности
245
Согласно лемме 1.2 гл. III, оператор Де(Х —► %*) локально ог-
раничен. Следовательно, оператор Ап, рассматриваемый как ото-
бражение из C(S;Hn) в Xn = L<?’(S; Я„), также локально огра-
ничен. Поэтому существуют такие числа г > 0 и М, что
Ип« —при Н« —a’llC(S;Hn)<r. (1-15)
Для любой функции ие Сь (см. лемму 1.3) определим функцию
и <= С (S; Нп) формулой
при 0 t ta,
при to<t^T, |о(0 —&|<г, ц 1б)
при t0 < t Т, | v (t) — b | > г.
Далее, определим оператор В ^(Cb-> Lq°(So', Нп)), S0 = [t0, Л>
формулой
(Bv)(t) = (Anu —fn)(t),	t0<t<T.	(1.17)
Соответствие o->u как отображение из Сь в C(S;Hn) непре-
рывно. Кроме того, оператор Ап, рассматриваемый как отобра-
жение из C(S;Hn) в //’(В; Нп), деминепрерывен. Поэтому В
является деминепрерывным оператором Вольтерры. Из (1.15)—
(1.17) следует, что
II Ду ll/д. ($о; II Лпи	fn ||t<7, (S.	М Vo е Сь.
Таким образом, оператор В удовлетворяет предположениям
леммы 1.3. Следовательно, задача
t
v (t) — b — (Во) (s) ds
tf)
имеет решение о е Сь. Поскольку o(fo)=6, то в достаточно
малом интервале to t to 4- 6, б > 0, выполняется нера-
венство
| о (0 — b К г.
Определенную в интервале [0, fo] функцию ип мы продолжим
теперь следующим образом:
«п (0 = о (0 при t0 < t < t0 4- б.
Тогда для t е [Zo, tQ 4- б]
(Во) (/) = (Д„ия-/„)(/)
246
Гл. VI. Эволюционные уравнения
И
t
un{f) — b — ^(Bv){s)ds =
и
t
~ Un (fo)	(Aniin fn) (s) ds =*
t,
t
== u,n (Aniin	f n) (s) ds.
о
Итак, существует принадлежащее L₽o( [0, t0 + б]; Hn) решение
задачи (1.10) с fo = fo + б. Это противоречит определению t0, и,
значит, предположение fo < Т было неверным, т. е. задача (1.10)
при t\ = T имеет решение «„ е Lp0 (S; Я„). Эта функция ип и
является решением задачи (1.6).
Ограниченность последовательности {ип} в C(S; Н) и в X
следует из (1.13) и (1.12), а ограниченность последовательности
{Awn} в X*— из (1.14). Лемма доказана.
Лемма 1.4. Последовательность {«„} галёркинских прибли-
жений, существующая согласно лемме 1.2, обладает подпосле-
довательностью {unj, J = l, 2, ..., со следующими свойствами:
а)	{ыП/} слабо сходится в X к некоторому и е X;
b)	(Г)} слабо сходится в Н к некоторому z^H\
с)	{АиП/} слабо сходится в X* к некоторому ое.Г;
d)	указанные выше пределы удовлетворяют условиям u^W,
и(0) = а, u(T) = z и
=	(1.18)
Доказательство. Существование подпоследовательности (иП/)
со свойствами а)—с) следует, в силу теоремы 5.9 гл. I, из
утверждений леммы 1.2. На основании (1.6), для (5) и
0 Ф (0 («»/ (0 4- (An/U) (0) dt, хj х= (и'П{ + АиП/, ч>х) =
= (f» Ф*) = 0 Ф(0f (0при Л/>п. (1.19)
Здесь мы воспользовались теоремой 1.8 гл. IV. Так как последо-
вательность {«nJ, согласно замечанию 1.15 гл. IV, сходится в
§ I. Теоремы существования и единственности
247
S)*(S; V*) к и', то из (1.19) при /—>оо получаем (ниже uz(<p)
обозначает значение распределения и' на элементе <p e^)(S))
(и' (<р), х) - Q <р (f) (f (0 - v (0) dt, х) Vx <= (J Нп. (1.20)
Поскольку (J Нп плотно в V, то из (1.20) следует, что
п
и' (ф) = J ф (0 (f (/) — v (0) dt.
s
Это значит, что и' можно рассматривать как элемент простран-
ства X* и что имеет место соотношение (1.18). Следовательно,
ие W. Для любого хе имеем в силу (1.18) и (1.6)
п
$ («' (/), (Т - /) х) Л = $ (f (0 - v (t), (Т - t) х) dt =
s	s
= lim 5(Г(/)-(Л«Л/)(0, (Г-0х)Л =
/-*0°
= lim ( (un. (/), (T — t) x} dt —
о
«= lim { J (иП/ (0, x) dt — (аПр Tx)} =
= § («(t), x) dt — (a, Tx) =
s
= J («' (0, (T -t) x) dt -ь (u (0) - a, Tx).
s
Так как J-^n плотно в H, отсюда следует, что ы(0) = а. Соот-
п
ветственно для х е (J Нп имеем
п
(и(Г) — а, х) = (и' (0, х) dt = lim ((/), х) dt =
s	<s
= lim (urt/ (T) — аЛ/, х) = (z — а, х).
Таким образом, u(T) — z. Лемма доказана.
248
I
Гл. VI. Эволюционные уравнения
Доказательство теоремы 1.1. Ввиду леммы 5.3 гл. I, из (1.6)
и (1.18) вытекает, что
Пт <Л«П/, «П/> - Пт (f - и'П}, и»} =
= Йт {	«»,) + 4 ( I 12 - I«»/ I2)} <
<(Г,«) + 4(|а|2-|«(ПП =
= (Л «) — («', «) = (f, “)•
Эта оценка и утверждения а) и с) леммы 1.4 показывают, что
здесь применима лемма 1.3 гл. III. Согласно этой лемме, Аи = v.
Подставляя этот результат в (1.18), получим
и' + Аи = f.
Так как, кроме того, ие W и ы(0)=а (см. лемму 1.4), то тем
самым показано, что и является решением задачи (1.1).
Если «1,	— два решения уравнения и' -\-Au = f, то
Y ( I «! (О - «2 (О I2 - I «! (0) - и2 (0) I2) =
t
= J («{ («) — «2 <S)> “1 (S) — М2 («)) ds =
о
t
= — J ((ЛмО (s) — (Ли2) (s), щ (s) — «2 (s)) ds < 0.
0
Отсюда следуют единственность решения задачи (1.1) и утверж-
даемая непрерывная зависимость решения от начальных дан-
ных. Теорема доказана.
Теорема 1.2. Пусть выполнены предположения теоремы 1.1.
Если обозначить через ип решения уравнений Галёркина (1.6)
и через и — решение задачи (1.1), то
a)	un -» ы в С (S; Н)‘,
Ь)	ип->-и в X;
с)	Аип-^Аи в X*;
t
d)	((Лил) (s) — (Ли) (s), ип (s) — и (s)) ds -> 0 V/ е S.
о
Замечание 1.4. Существуют классы операторов Ле(Х—>Х*),
для которых из свойств а)—d) следует сильная сходимость в X
последовательности {ип} к и. В частности, к таким операторам

§ 1. Теоремы существования и единственности
249
относятся операторы, обладающие (S)-свойством (см. определе-
ние 1.4 гл. III). В п. 3 мы еще вернемся к этому.
Доказательству теоремы 1.2 предпошлем одну лемму.
Лемма 1.5. Множество J С1 (S; Нп) плотно в пространстве W.
п
Доказательство. На основании леммы 1.12 гл. IV достаточно
показать, что |J C‘(S; Нп) плотно в C’(S; V). Пусть задана
п
функция и е (?’($; И). По теореме Вейерштрасса (теорема 1.3
гл. IV) для любого е > 0 найдется такой многочлен
m
/=о
что
|| и р ||с (s. < е.
Так KaK|J/fn плотно в V, то можно указать такое п, и такие
п
коэффициенты ajn е Нп, для которых
Ст	\-1
E/J *
При этом мы выберем п настолько большим, чтобы нашелся
элемент Ьп<= Нп с ||и(0) — 6П|| < е. Пусть
Рп (0 = S ajnfl'
Тогда рп е С (S; Нп) и
II и' рп ||с (S. У) || и'	Р ||с (S. уу + II р Рп Нс ($; V) <
< е 4- £ || а, - aln IIТ1 < 2в.
/=о
Положим
t
vnW) = bn+ pAsjds.
о
Тогда vn е С1 (S; Нп) и	,
II и (0 — vn (0II < II и (0) — Ьп II + П («' ($) — рп («)) ds
II о
Следовательно,
II и	lie1 (S; V) = 'I U	Vn I'c (S: V) + И U	Рп Ис (S; V) < ®
Ввиду произвольности е > 0 лемма доказана.
250
Гл. VI. Эволюционные уравнения
Доказательство теоремы 1.2. Согласно лемме 1.2, последова-
тельность {ип} ограничена в X. Из доказательства теоремы 1.1
и леммы 1.4 вытекает, что пределом слабо сходящейся в X под-
последовательности этой последовательности может быть только
однозначно определенное решение задачи (1.1). Поэтому и вся
последовательность {мп} слабо сходится в X к и (см. лемму 5.4
гл. I). Аналогично показывается, ч.то последовательность (Аип)
слабо сходится в X* к Аи.
Для доказательства того, что ип-+и в C(S;H), выберем ка-
кую-нибудь последовательность {on} с vn^Cl(S;Hn), сходя-
щуюся в W к решению «. Согласно лемме 1.5, такая последова-
тельность существует. Тогда для t е S
у (I «п (П - и» (012 -1 ип (0) - vn (0) I2) =
t
= J («п (s) — v'n (S). “» (s) - vn (s)) ds =
0
t
= $ (— (4) (s) + И«) (s) + «'(s) — v'n (s), Un (s) — vn (s)) ds=
0
t
= $ {(- (Au*) (s) + (An) (s), un (s) - «(s)) 4-
0
+ (— (Aun) (s) 4- (Au) (s), и (s) — vn (s)) 4-
4-	(«' («) — v'n (s), un (s) - vn (s))} ds <
t
<	— $ ((Aun) (s) — (Au) (s), un (s) — и (s)) ds 4-
0
+И"» - 4*1" “	+ IIй' - <LII“n - Mx <
t
<	— J ((Aun)(s) — (Au)(s), un(s) — и(s))ds + K\\u — vnЦ^,
о
К. = const.
Здесь мы опять воспользовались ограниченностью последова-
тельностей {мп} и {Аип} соответственно в X и X*. В силу непре-
рывности вложения W в C(S; Н),
lim |ы„(0) — оп(0)|< lim (|а„ —a|4-|u(0) —t)re(0)|) = 0.
П->оо	n->oo
Поэтому из указанной выше оценки следует, в силу выбора по-
следовательности {оп}, что
n^»oo N U Un	Vn	“n "c(S; Н)) = 0*
I-
§ 1. Теоремы существования и единственности
251
Кроме того, получаем
t
lim \ ((Лы„) (s) — (Аи) (s), ип (s) — и (s)) ds = 0.
П->00 J
Теорема доказана.
Замечание 1.5. Теоремы 1.1 и 1.2 остаются справедливыми,
если требование коэрцитивности оператора Ле (j-> X*) заме-
нить более слабым требованием
lim таг--------<Л«, ы> = + оо.
I“V(S; ю** и
и&Х
Это можно доказать, немного видоизменив первую часть дока-
зательства леммы 1.2.
Замечание 1.6. Если ро 2, то
X = Lp (S; V) П L* (S; Н) с L2 (S; Н) с= Lq (S; V*) + Lq* (S; Н) = X*,
причем вложения X в L2(S; Н) и L2(S; Н) в X* непрерывны. Бу-
дем в этом случае обозначать через I (непрерывное) вложение
X в X*.
Теорема 1.3. Пусть Po^2uAe (Х->Х*)— радиально непре-
рывный оператор Вольтерры. Пусть для некоторого /.^0 и
всех u,v^X
J e~2Kt((Au)(t) - (Av)(f) + k(u(t) - v (/)), u(t) - v(t))dl^O (1.21)
s
и
,itn таги-^((Лц)(О + Лц(О,«(О)Л=4-00. (1.22)
Ци||дг->ео И “Hx J
Тогда при любых f е X* и а^Н задача
u'-\-Au = f, и(0) — а, и^Х,	(1.23)
имеет точно одно решение и. При этом ue№rcC(S;H) и соот-
ветствие а—* и непрерывно как отображение из Н в C(S; Н).
Если последовательность {оп}. ап е Нп, сходится в Н к а, то
уравнения Галёркина (1.6) при каждом п имеют точно одно ре-
шение ип и для этой последовательности {un} галёркинских при-
ближений верны следующие утверждения-,
а)	ип—*и в C(S; И);
Ь)	иц-^ и в
252
Гл. VI. Эволюционные уравнения
с)	Аип-*-Аи в X*-,
i
d)	J ((Ли„) (s) — (Au) (s), un (s) — и (s)) ds-+O Vt&S.
о
Следствие. Если po 2 и A 4- V, X 0, — радиально непре-
рывный монотонный коэрцитивный оператор Вольтерры из
(Х->Х*), то справедливы все утверждения теоремы 1.3.
Для доказательства этого следствия достаточно показать, что
при указанных предположениях выполняются соотношения
(1.21) и (1.22). Эти соотношения получаются, ввиду монотон-
ности и коэрцитивности оператора А 4- X/, применением приво-
димой ниже леммы 1.6 к функциям
g (s) = ((Au) (s) — (Av) (s) + X (u (s) — v (s)), u(s) — v (s))
и
g (s) = ((Au) (s) — (Л0) (s) 4- Xu (s), и (s))
соответственно
Лемма L6. Если g e Ll (3) и
t
g (s) ds>0
о
то для X 0
t	t
e~2Ksg (s) ds e~2KT J g (s) ds 0
о	о
V/eS.
Доказательство. Интегрируя по частям, находим
t	t	s	t
C e-2\sg (s) ds = 2Xe~2Xs g (a) da de 4- e~2Kt § g (s) ds
0	0	0	0
t
e~2KT J g (s) ds 0.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1.3. При помощи замены перемен-
ных мы сведем наш случай к случаю, рассмотренному в теоре-
мах 1.1 и 1.2. Положим
uK(t) = e-Ktu(t), fb(t) = e-Mf(t)
и
(AkUk) (t) = е~м (Au) (t) 4- Xux (t).	(1.24)
Определенный таким образом оператор Вольтерры А\, очевидно,
принадлежит (X—►%♦). Ясно, кроме того, что и является реше-
§ I. Теоремы существования и единственности
253
нием задачи (1.23) точно в том случае, когда их служит реше-
нием задачи
uk + Akuk = f» ик(0) = а, ик<=Х.	(1.25)
Докажем теперь, что оператор Лх.е(Х—►%*) радиально непре-
рывен, монотонен и коэрцитивен. Радиальная непрерывность Лх
вытекает, ввиду (1.24), из радиальной непрерывности Л. Далее,
в силу (1.21),
<Лх«х — «х - ок) =
= J {е~м {Аи) (/) + Л«х (0 - е~и (Ло) (0 - Хох (0, «х (0 - оК (/)) dt =
S
= J ((Ли) (0 - (Л о) (0 + X (и (0 - v (/)), и (0 - v {t)) dt > 0,
s
т. е. Ах монотонен. Так как llwxIL Мх, то из (1.22) вытекает,
что
lim 1ЙПГ
11“а.11л^°’ 11 ьН*
> lim -jj-ij- ( е~2М {{Аи) {f) + Ки (/), и (0) Л = + оо,
|и|1х-»оо J
т. е. Лх коэрцитивен. Поэтому первая часть теоремы 1.3 следует
из теоремы 1.1.
Уравнения Галёркина для (1.25) имеют вид
икп "Ь Акпикп ~ f кп>	икп (0) = ап' Ukn s	(1.26)
где ЛЛле(Х„-> X*) и	определяются, аналогично (1.4)
и (1.5), формулами
<Лх„и, ц) = (Лхи, о), (fxn, o) = (fx> »> Vce/,.
Прямым вычислением можно показать, что функция ип е Хп
является решением задачи (1.6) точно тогда, когда u\n{t) —
= e~uun{t) служит решением задачи (1.26)i. Поэтому из леммы
1.2 и теоремы 1.2 вытекает, что уравнения Галёркина (1.6) одно-
значно разрешимы и что для функций Uxn справедливы утверж-
дения:
«ал-*«я в C{S\ Н)\
“кп^их в X;
AkUkn-^AKuK в Х*‘
t
$ {{Ак“кп) (s) 4- (А«л) (s). икп (s) - “х (s)) ds 0 V/ s S;
о
254
Гл. VI. Эволюционные уравнения
здесь через обозначено решение задачи (1.25). Следовательно,
lim ||u-u„||C(S H)<exr lim ||«x-au||C(s.H) = 0,
lim <o>, « — «„>= lim ( {e^w (t), Щ, (/) —	(/)) dt = 0
n->oo	n->oo J
для каждого w e X* и
lim {Au — Aun, t>) =
n->OO
= Hm (	(/) - (ЛхиХп) (/) — Л («л (0 - «jw (0), eMv (0) dt = 0
для каждого v e X. Далее,
t
lim ( ((Лип) (s) — {Au) (s), un (s) — и {s)) ds =
"*~o
t
=lim (e^s{{AKuKn){s)—{AKuK){s)—'k{iiKn{s)—uK{s)),uKn{s)—ul{s))ds=
t
= lim ( e*s ((Лл«х„) (s) — {Акщ) (s), u^ (s) — uK ($)) ds =
»*“ о
t	s
— 2A, J ens J ((Лхих„) (о) — (Лх«х (a),	{a) — uK (a)) da ds +
0	0
+ Vм $ ((4«ь») (s) —	(s). “In (s) — “x (*)) ds > = 0,
0	'
что и доказывает теорему.
Замечание 1.7. Простой пример, когда реализуются предпо-
ложения теоремы 1.3, уже был указан в следствии к этой тео-
реме. Эти предположения окажутся очень полезными в следую-
щей главе при изучении операторных дифференциальных урав-
нений второго порядка.
2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
В данном пункте мы также используем сокращенные обозна-
чения для пространств X, X* и W, введенные в начале § 1.
Теорема 1.4. Если Ле(Х->Х*) — радиально непрерывный
монотонный коэрцитивный оператор, то при любой функции
f еХ’ задача
u' + Au = f,	и{0) = и{Т), и^Х, (1.27)
§ 1. Теоремы существования и единственности
255
имеет. решение. Если А вдобавок строго монотонен, то задача
(1.27) имеет точно одно решение.
Замечание 1.8. Для каждой функции v -> V), для кото-
рой функции Vk, определенные формулой
vft(0 = vtf+ 671), /<=S,	6 = 0, ± 1, ±2, .
принадлежат X, положим')
(Apv)(t + kT) = (Avk)(t), t&S, 6 = 0, ±1, ±2........
Пусть, далее,
f (t + kT) = f(t),
^ + kT) = u(t), ДЛЯ ZeS и 6 = 0, ±1, ±2.................
Если и — решение задачи (1.27), то ир будет периодическим ре-
шением уравнения
и' + Ли = f„.
р । р р	I р
Здесь Up нужно понимать как производную от ир в смысле
V).
Доказательству теоремы 1.4. предпошлем одну лемму.
Лемма 1.7. Положим U7p={u|uelF, u(0)=u(T)J. Опера-
тор Ae(U7p—►X*), определенный по правилу
Au = и',	и<= Wp,
является радиально непрерывным и максимальным монотонным
как отображение из X в X*.
Доказательство. 1. Для и, v е Wp и h. eR1 имеем
А (и + hv) = Au -j- AAo.
Отсюда следует радиальная непрерывность А.
2. Для ueWp
(Ди, u')=\(u'(s), u(s))ds =l(|u(7’)|2-|u(0)|2) = 0,
s
т. e. линейный оператор А монотонен.
3. Пусть для заданных v е X и w е X*
<tw —Au, о — u)>0 VueTFp.	(1.28)
‘) Ниже индекс р — от periodisch (периодический). — Прим. ред.
256
Гл. VI. Эволюционные уравнения
Нужно показать, что v е И7р и w = v'. Прежде всего выберем и
вида и = <рх, где <p е S)(S) и х е V. Тогда и е №р и
— <р'х, v — <рх) =
= (w, v) — ( \ (q/ (s) v (з) + Ф («) w (s)) ds, x ] + (fp'x, <f>x) =
\s	/
= {w, o) + (»' (ф) — W (ф), x),
где через о'(ф) и о»(ф) обозначены соответственно значения рас-
пределений о' и а» на элементе фЕ0(Х). Эта последняя оценка
показывает, что (о'(ф)—о>(ф),х) обладает не зависящей от х
нижней границей. Это возможно только в случае v' (ф) — w (ф).
Следовательно, v' = w еГ. Поэтому из (1.28) вытекает, что
для и е Wp
O^v'-u', о-ы) = 1(|о(Т)-ц(П12-1«(0)-«(0)|2) =
= («(0), v (0) - v (Г)) + 1 (| о (Г) р - | о (0) р).
Так как «(0) может быть любым элементом из V и V плотно в
Н, то это неравенство может быть справедливым только в слу-
чае, когда o(0)=v(7’), т. е.	Тем самым показано, что
Л — максимальный монотонный оператор. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1.4. Используя оператор Л, опреде-
ленный в лемме 1.7, задачу (1.27) можно записать в виде
Л.и + Au = f,	u^Wp.	(1-29)
Предположения теоремы 1.4 об операторе А и лемма 1.7 пока-
зывают, что к задаче (1.29) применима теорема 2.3 гл. III. Из
этой теоремы и следуют доказываемые утверждения.
Замечание 1.9. Можно показать, что если в теореме 1.4 опе-
ратор А вольтерров и
(Ли — Av, и — о) А. | и (з) — v (s) I2 ds, А > 0, для и, v е X,
s
то для двух решений и\, и2 уравнения
и'4-Ли = /,	и(=Х,	(1.30)
справедлива оценка
| и, (Г) - и2 (Г) | < е~*г | и, (0) - иг (0) |,
т. е. соответствие и(0)—*и(Т), которое ставит начальному зна-
чению и(0) значение соответствующего решения уравнения
(1.30) при t = T, является сжимающим в Н. В случае когда
а — неподвижная точка этого сжатия, отвечающее начальному
§ 1. Теоремы существования и единственности
257
значению а решение и уравнения ^1.30) будет однозначно опре-
деленным решением задачи (L27). Этот факт делает возможным
вычисление решения задачи (1.27) при помощи последователь-
ного решения задач Коши.
з. Примеры
1. Пусть {4 (/).},/еЗ,— семейство радиально непрерывных
монотонных операторов из (К->К*), таких, что:
{A (t)x, у) при фиксированных х, у <^V есть
измеримая функция от /;
(A(t)x, х)^с||х||р — d, с > 0,	1 < р < оо; (1*31)
11Л(0хЦ<С(||х||р-‘+ 1),
причем постоянные с, d и С не зависят от t. Можно показать, что
функция Аи, т. : е. функция со значениями A(t)u(t), для
ие£р(3;К) измерима по Бохнеру и принадлежит L«(S; V*).
Выберем ро = р. Тогда X = LP(S-, V)(]LP>(S-, H) = LP(S; V) и
X* = L«(S; V*). Оператор А, рассматриваемый как отображение
из X в X*, удовлетворяет предположениям теорем 1.1 и 1.2.
2. Конкретные примеры семейств операторов со свойствами
(1.31) получаются, если взять V = Wq р (G) и Я = L2(G), a A(t)
определить с помощью соотношения
(4(f) и, о) =
= J Ф 0, I grad и |р-1) | grad и |р~2 grad и grad vdx, v е Wq р (G),
о
где <р — какая-либо непрерывная функция на ЗХ[0»°°)> Для
которой
а)	ф (f Л) 5 возрастает по g;
b)	0 < с ф(/,g)sg: С для бсех {f,g}eSX(0, оо).
3. Если семейство операторов А — {4 (/)}, t е 3, наряду с ус-
ловиями (1.31) удовлетворяет условию
(A(t)x-A{t)y, x-y)>C(||.x||p-,-||y||p-,)(||x||-UI|) (1.32)
для любых х, у е V и t е S,
то, как можно показать, используя неравенство Гёльдера,
(4и—-4v, и v}с (|| и ||£ду) || v ||р₽ (S. yj) (|| и	II v yj)»
т. е. оператор 4, рассматриваемый как элемент из (Lp(S; V) —*
—► L«(S; V*)), является d-монотонным (см. определение 1.2
гл. III). Если вдобавок V, а значит, согласно теореме 1.15 гл. IV,
9 X. Гаевский и др,
258
Гл. VI. Эволюционные уравнений
и L₽(S; V) равномерно выпуклы, то А обладает (S)-свойством.
Это влечет за собой сильную сходимость в X = V) метода
Галёркина для соответствующей оператору А задачи Коши вида
(1.1) (см. замечание 1.4).
Отметим, что операторы A(t), определенные в примере 2,
удовлетворяют условию (1.32), если функция <р такова, что
ф(Л £)£ —ф(<. П)П>с(£ —П) Для
(см. лемму 1.6, d), гл. III).
4.	Пусть
а)	р0>2 и ,Y = LP(S; V)f|Lp>(S; Я);
b)	В e (X —► X*) — радиально непрерывный монотонный ко-
эрцитивный оператор Вольтерры;
_с) С e(L2(S; Я)->-£2($; Я))— липшиц-непрерывный опера-
тор Вольтерры.
Тогда оператор Д=В-|-Се(Х —► X*) удовлетворяет пред-
положениям следствия из теоремы 1.3. Доказательство этого ут-
верждения тривиально.
Укажем в этой связи на примеры операторов Вольтерры, при-
веденные в § 1 гл. V.
§ 2. ТЕОРЕМЫ РЕГУЛЯРНОСТИ
Мы сохраняем введенные в предыдущем параграфе сокра-
щенные обозначения X = LP (S; V) П Гр" (S; Я) и X* = L4 (S; V*) +
+ Г°(5; Я), 1 <р<ро<«>, 1/р+1/?=1, 1/ро+1/%=1. и
снова полагаем W — {и | и <= X, и' е X*}.
В этом параграфе рассматриваются эволюционные уравне-
ния вида
и' + Аи = О,
в которых оператор А е (Х-> X*) обладает представлением
(Au)(t) = A(t)u(t) Vu<=X, Vt<=S,	(2.1)
где {Д(0}» i S, — некоторое семейство операторов из (V —►
—♦ V*). При соответствующих предположениях о зависимости
операторов Д(/) от t мы докажем некоторые теоремы регуляр-
ности, касающиеся зависимости решений от /, которые усили-
вают результаты, полученные в § 1.
§ 2. Теоремы регулярности
259
1. РЕГУЛЯРНОСТЬ ПРИ СПЕЦИАЛЬНОМ ВЫБОРЕ
НАЧАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА
Теорема 2.1. Пусть оператор A s (Х—*Х*) обладает предста-
влением (2.1), и пусть либо сам он радиально непрерывен, моно-
тонен и коэрцитивен, либо ро^2 и оператор А + V е (X -* X*)
радиально непрерывен, монотонен и коэрцитивен при некотором
X 0. Пусть, далее, для некоторой определенной на [0, оо) не-
прерывной неубывающей функции р
|(Л(/)х — Л(«)х, !/)|<|/ —s|p(|x|)(|y| + l (Л(в)х, у)|)
при любых S, / G S и х, y^V. ' ’ }
Тогда для любого а е V, такого, что Л(0)а е Н, существует
точно одно решение и задачи
и'(0 +Л (/)«(/) = 0 V/e=S,
ц(0) = а, ueCUS; Я)ПСЮ(5; V).	' '
Это решение и принадлежит C(S-, V), если каждый из операто-
ров A(t) е (V-*V*), t е 5, обладает (S) -свойством (см. опре-
деление 1.4 гл. III).
Теорему 2.1 мы докажем с помощью метода Галёркина.
В силу предположений теоремы мы сможем при этом восполь-
зоваться результатами § 1.
Пусть, как и раньше, {йь йг, ...} — какая-нибудь полная в
V, а следовательно, и в Н система линейно независимых элемен-
тов и Нп— линейная оболочка множества {hi, ..., йп). Нам
удобно будет считать, что а е Hi. В предположениях теоремы 2.1
уравнения Галёркина (для ап = а) можно записать следующим
образом:
(.;й+ли«,й,4,)-о, i-i............п,
Доказательству теоремы 2.1 предпошлем несколько лемм.
Прежде всего исследуем связь между свойствами оператора
Л е (X -*• X*) и свойствами соответствующих операторов Л (t) е
е (V-> V*). Имея в виду дальнейшие применения, мы здесь
предположим лишь, что А — оператор с представлением (2.1),
для которого операторы Л (/) при некоторой вещественной функ-
ции я удовлетворяют условию
|| Л (Ох — Л(з)х||,<|/ — s In (11*11» И Л (s) х Ю
для любых sj eS и хs V. ' ‘ '
Предположение (2.5) слабее предположения (2.2), фигурирую-
щего в теореме 2.1.
9*
260
Гл. VI. Эволюционный уравнения
Лемма 2.1. Если А е (X—» Х*) —монотонный оператор, удо-
влетворяющий предположениям (2.1) и (2.5), то операторы
A(t) <= (V —► V*), t е S, монотонны.
Доказательство. Пусть t е [О, Г), t + h е S, h > 0. Положим
( х при t A~h,
M(s)=) л
(,0 b противном случае,
f у при t s t + h,
o(s) = l п
(Ов противном случае,
где х и у — заданные элементы из V. Тогда
t+h
0^.{Au —Av,u — v) = J (A(s)x —A(s)y, х —y)ds =
t
t+h
=	(4 (s) x — A (t) x — A (s) у + A (t) У, x — y) ds +
t
+ h{A(i)x-A{t)y, x-«O<ft2{n(llxll, IIA(/)x||,) +
. + П (0, 11А (П у II,)} || x - у || + h (A (/) x - A (0 y, x - y).
Из этого неравенства получаем
0<(A(/)x — A(t)y, х — у)
(деля на h и производя предельный переход при h -* 0). Для
t = Т рассуждение аналогично, только надо взять h < 0. Лемма
доказана.
Лемма 2.2. Пусть оператор А е (L2(S; V) -*L2(S; V*)) об-
ладает представлением (2.1) с операторами A(t) е (V—► V*),
которые удовлетворяют предположению (2.5), и пусть
(Au — Av, и— v)^tn\\u — o||2,(s. п’ при и, v е L2(S; V).
Тогда для каждого и для любых х, y^V
(A(t)x — A(t)y, х — y)>m\\x — ylf1.
Доказательство. Если определить и и v, как и при доказа-
тельстве леммы 2.1, то, как и выше, получим
— уЦ2 = тПи — »||£,(s. V) <<Au —Ло, и — о)<
<Л2{п(Их11, 11А(0хУ,) + п(||^11, ||А(/)г/Щ|х — ^|Ц-
+ h (A (t)x — A (t) у, х — у),
откуда после деления на Л и предельного перехода при Л-*О’Н
следует наше утверждение.
§ 2. Теоремы регулярности« i
261
Лемма 2;3. Если А е^Х—>Х*) —деминепрерывный оператор,
удовлетворяющий предположениям (2.1) и (2.2), то операторы
A (t) ’е (V —* V*), i е S, также деминепрерывны.
Доказательство. Пусть хе V и {х,} — какая-нибудь последо-
вательность, сходящаяся в V к х. Положим
Тогда
v ($) = х, vt (s) = х{ Vs e S.
lim || vt — v llj = 0.
t ->oo
Далее, для заданных у at, 1 + /г e S, ft > 0, положим
(у при /<s<Z 4-ft,
Wh(S) = < л
1 0 в противном случае.
Тогда
|(X(/)xz — A(f)x, #)l =
/Ч-h
=	(A(t)Xi—Л (s)xz4-Л (s)x£—Л(в)х4-Л (s)x—A(t)x, y)ds <
t
<	$ {p(l^1)(l^(s)l + IH(s)0,(s), №A(s))])4-p(|x|)(|wA(s)|4-
s
+1 (A (s) V (s), ,auA (s)) | )}ds + I {Avt — Av, wh) | <
<	К (1 +1| Avi ||x. 4-1| Av ||x.) || wh ||x 4-11 {Avi - Av, wk} |
при некоторой не зависящей от i и ft постоянной К. Так как опе-
ратор А деминепрерывен и имеет место соотношение
II Их = llf/i|l^z₽4-.|0|ft,/p,>
то при подходящем выборе h правая часть последнего неравен-
ства будет для достаточно больших i как угодно Мала.
Для t = Т рассуждаем аналогично, используя ft < 0. Лемма
доказана., . ,	1 . .	, .
Лемма'2.4. В предположениях теоремы 2.1 решение ип галёр-
кинского уравнения (2.4) принадлежит С1 (S; Нп) и последова-
тельность {ип} ограничена в С1 (5; Н) и в С (S; К).
Доказательство. Из § Г мы уже знаем, что уравнение Галёр-
кина (2.4) имеет точно одно решение ип е W а: С (S-, Н). • Со-
гласно лемме 2j3, при заданных -предположениях операторы
A(t) е (Й-*У*) деминепрерывны. Отсюда и из предположения
(2.2) вытекает, как нетрудно видеть, что (Л (/:)х, у) при фикси-
рованном у е V непрерывно по {/, х) е S X V. Таким' образом,
262
Гл. VI. Эволюционные уравнения
система дифференциальных уравнений (2.4) удовлетворяет пред-
посылкам теоремы Пеано. Следовательно, решение ип принадле-
жит Cl(S;Hn). Ограниченность последовательности {ип} в
C(S; Н) уже была установлена (см. теоремы 1.2 и 1.3). Для до-
казательства ограниченности последовательности {«'} в С(S; Н)
рассмотрим функцию wn, определяемую формулой
wn(t) = un(i + h) — un(t), h>0.
В силу наших предположений, имеем
t
i ( I Wn W I2 - I Wn (°) I2) = J (< <S)> Wn (*)) ds =
0
t
!= — $(Л(з4-Л)«„(« +Л) — Л(«)и„($), un(s + h) — un(s))ds^
0
t
<	— J (Л (s + h) un (s) — A (s) un (s) — kwn (s), wn ($)) ds <
0
t
<	$ {Ap(l«»(s)l)(|a»n(s)l4-IH(s)un(s), w„ (s)) |)4-X | wn(s) |2} ds <
0
t
(l + |<(s)| + y|t0js)|)|wn(s)|ds,
0
где К — некоторая не зависящая от п и t постоянная. При этом
мы воспользовались леммой 2.1 для А + X/ е (X—►%*). Если
сам оператор А монотонен, то здесь и в дальнейшем следует по-
ложить X = 0. Разделим полученное неравенство на А2 и перей-
дем к пределу при h —► 0. Получим
t	t
J(1 + 2|<(s)|)|<(s)|ds<tf$ (1 + 31и'(s)|2)ds.
о	о
Применяя лемму Гронуолла, находим
|<(')|<МК(0)| +1), K0 = const. (2.6)
Для х^Нп
|«(0), х)| = |(Л(0)а, х)|<|4(0)а|.|х|.
Поэтому из (2.6) следует ограниченность последовательности
{<} в C(S; И).
§ 2. Теоремы регулярности
263
Выберем теперь произвольно teS и натуральное число п и
положим
v (s) = ип (/) Vs е S.
Тогда на основании уже доказанного
(До + Хо, v) = $ (A (s) «„ (0 - А (/) ип (0 -<(/) + Ьип (1), ип (0) ds <
S
s
с не зависящей от п и t постоянной Кь Отсюда в силу коэрци-
тивности А + V вытекает, что
II v ||х -1| «„ (/) || Т1,р +1 ип (t) | Т,1р> < К2,	К2 = const.
Следовательно, последовательность {ип} ограничена в C(S; V).
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2.1. 1. Пусть ге V* и {г,}— какая-
нибудь последовательность элементов из Н, сходящаяся в V* кг.
В силу ограниченности последовательности {ип} в С (S; V) имеем
(г, ип (0 — ит (0) КI (г — zit ип (0 — ит (/)) | +1 (гь ип (t)—um (/)) | <
<K\\z — z{\\t + \(Zi, Un(t) — (Ol-
Из сходимости последовательности {ип} в С(5;Я) следует, что
при подходящем выборе i правая часть этого неравенства для
всех достаточно больших пит будет как угодно мала незави-
симо от t. Тем самым доказана сходимость последовательности
{«nJ в CW(S; V). Ее пределом может быть только (существую-
щее по теореме 1.1, соответственно по теореме 1.3) решение и
задачи
и' + Аи — 0, и (0) = а, X.
Следовательно, «е CW(S; V).
2. Для заданного t е S мы можем из последовательности
{«'(/)} в силу ее ограниченности в Н выбрать подпоследователь-
ность {«п (0}> 1 — 1» 2..слабо сходящуюся в Я к некоторому
у^Н. Используя монотонность оператора Д(0 + X/ е (V—*
-* V*) (см. лемму 2.1), находим, что для любого х <= U Нп
п
0 С Пт (Л (0 х — А (/) иП/ (0 + % (х — «П/ (0), х — иП/ (0) =
= Jim (А (/) х + и'П{ (/) + Л (х — иП/ (/)), х — unj (/)) =
= (Л(/)х+1/4-Л(х —«(/)), х —«(/))•
264	Гл. VL Эволюционные уравнения
Отсюда согласно лёмме 1.3 гЛ. III елёдует, что
” у + lu(t) = А (0я(/) + Ku(t),
т. е.
У— —
Итак, все слабо сходящиеся в Н подпоследовательности после-
довательности {и'(/)} сходятся к одному и тому же пределу
—Л (/)«(/).'Отсюда мы1 заключаем, что и последовательность
{«'(/)} слабо сходится в Н к —
3.	Из только что доказанного и ограниченности последова-
тельности в С (S; Н) вытекает, что.
supl Л (0«(01 < 0°.	(2.7)
Пусть теперь t е S произвольно и .{/<} — какая-нибудь последо-
вательность точек из S, сходящаяся к t. Согласно (2.2), для лю-
бого х е V
l(A(t)u(tt)- A(t{)u(t{), х)|< ’
<|/-tt 1Р(1«(О1)(кИ-|(Л(/г)«(^), х)|).
Отсюда и из (2.7) следует, что Л (/) и (ti) е Н и
|Л,(О«(/аКЯь	(2.8)
где постоянная Ki не зависит от I и t, а таг ж что
lim |Л(0«(О-Л(/<)«Ю1 = 0.	(2.9)
£->оо
Ввиду (2.8) найдется подпоследовательность {Л(/)и (/^)}, j
® 1,2,.... последовательности {Лслабо сходящаяся в
И к некоторому у е Н. Для этой подпоследовательности и для
произвольного х е V имеем
О <Jim (Л (О Л — Л (0 и (tij) + % (х — и х — и =»
- . ==(Л(/)х — у + К(х — х —
Так же, как и выше; отсюда следует, что у = Л (/)«(/) и
Л(/)«(^) —Л(0«(0 в Н.	(2.10)
Наконец, из (2.9) и (2.10) получаем
XueCw(S; Н).
(2.Н)
§ 2. Теоремы регулярности , ,
265
4.	На основании предыдущих результатов, для любого х е Н
(u(t) — а, х) = lim (un(Z) — а, х) =
п->©0	'
*	, , t	, : j
= lim J(«'(s), x)ds = - j(A(s)«(s), x)ds.
В силу непрерывности подынтегрального выражения (см. (2.11)),
из этого соотношения вытекают принадлежность и к C®(3; Я) и
справедливость соотношения
tt'(0 + 4(0a(0 — 0 Vf«=S.
5.	Теперь предположим, что операторы A (I) е (V—» V*),
/ е S, обладают (S)-свойством.
Для заданного f е S и какой-либо . последовательности {/<}
точек из S, сходящейся к t, имеем
|А(0«(/г)1<К1
с некоторой не зависящей от i и t постоянной Ki (см. (2.8)). По-
этому
2/GI и (0 — u (ft} | > (А(0 и (0 — А (0 ц (/«), и (/). — «((<)) >
Поскольку ueC(S; Я),, отсюда следует, что
lim (Л (0и(/) — А (/)и(//), u(t)’-u(ti)) = 0.	(2.12)
Z->oo	'
Кроме того, u e CW(S; V). Следовательно,	'•
в V.	(2.13)
Из (2.12) и (2.13) на основании (З)-свойства оператора A(t)
получаем '	•	'	<
lim || u (tt) — u (t) || = 0,
т. e. и e C(S; V). Теорема доказана.
Замечание 2.1. В силу -теоремы 1.10 гл. IV, решение и задачи
(2.3) как функция из Clw (S; И) почти всюду в S дифференци-
руемо (в смысле сильной топологий в Н)'.
Замечание 2.2. При предположениях теоремы 2.1 утвержде-
ния о сходимости метода Галёркина, перечисленные в теореме 1.2,.
можно еще дополнить, например, утверждением
«„->« в CW(S; V).
При этом начальные значения ап галёркинских приближений
нужно, конечно, выбирать так, чтобы sup | А (0) ап | < оо,
266
Гл. VI. Эволюционные уравнения
2. РЕГУЛЯРНОСТЬ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ВЫБОРЕ
НАЧАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА
В теореме 2.1 существенно предположение А(0)аеЯ.
В этом пункте мы докажем аналогичную теорему для случая
произвольных начальных элементов а^Н, но при более силь-
ных, чем в теореме 2.1, предположениях относительно опера-
тора А.
Теорема 2.2. Пусть оператор А е (X -*• X*) обладает предста-
влением (2.1), ро 2 « оператор А -|- X/ радиально непрерывен,
монотонен и коэрцитивен при некотором X 0. Пусть далее,
А — В-А-С’,
(Ви) (f) — Вои (/) для и<^Х, t е S,
где Во е (У -> V*) — некоторый монотонный,
коэрцитивный, потенциальный оператор’,
оператор С е (X -> L2 (S; Н) переводит огра-
ниченные множества из X в ограниченные
множества из L2(S; Н)’,	(2.14)
(Си) (/) = С (/)«(/),	С(/)е(У->Я)
для u е X, t е S;
|С(0х-С(з)х|<|/-з|р(|х|)
для s, t е S, х е V,
где р — некоторая неубывающая функция.
Тогда задача
и' (/) + A(t)u(t) = O для	u(0) = a,
и е C'w ([6, TJ; Н) П Cw ([6, Г]; V) Q IF V6 е (0, Т] (2Л5)
при каждом а^Н имеет точно одно решение.
Доказательство. Мы сведем случай а^Н к случаю Л(0)ае
е Н. Это сведение оказывается возможным в силу одной апри-
орной оценки галёркинских приближений ип, которая основы-
вается на предположении (2.14).
Пусть в дальнейшем {ап}> ап е Пп, — какая-то последова-
тельность, сходящаяся в Я к а. При сделанных предположениях
решение ип задачи
(и'п(1) + Аа)ип(1),Ь,) = 0, i = l, ...,п,
«п(0) = а„
принадлежит Cl(S-,Hn). Это можно доказать так же, как и со-
ответствующее утверждение леммы 2.4.
§ 2. Теоремы регулярности
267
Пусть F — потенциал для оператора Во. Тогда (см. леммы 4.1
и 4.10 гл. Ill)
е (“» (')) - F (а„) - $ (ВЛ (S), «; (s)) ds
о
F(un(O)-F(O)<(Bo«n(n, «п(0).
Кроме того, потенциал F ограничен снизу (см. следствие 4.3
гл. III).
Подставим в уравнение (2.16) вместо hi значение tu'n(t), при-
надлежащее Нп, и проинтегрируем по интервалу S. Принимая во
внимание (2.14) и лемму 1.2, имеем
о= $ «(0 + ваип(/) 4- С(0«„(0, /«;(0) dt >
<(s))ds + т(лАю, <(/))-
S V	о
-4|С(0«.(0|1-||<(0|!}л
s
s
> H 4 К ® I2 - (А ® и*	ип (0) + (С (0 ип (t), ип (0) } dt - Кз >
S
3
здесь Кл, Кг, Кз п Kt — не зависящие от п постоянные. Из этого
неравенства при помощи леммы Фату получаем
( lim /|«;(/)|2Л< lim Ь | и'п (0|2 dt < 2К4.
S n->oo	n->oos
V W
Отсюда вытекает, что
lim 11 ufn (/) |2 < оо для почти всех t s S.
П->оо
Следовательно, при почти каждом t е (0, 7] последовательность
{[«„(/)}} обладает ограниченной подпоследовательностью.
Пусть б е (0, Т]. Согласно только что доказанному, найдутся
е (0, б] и последовательность натуральных чисел {га,-}, такие,
268
Гл VI. Эволюционные уравнения
что последовательность
{|< (Q|} ограничена-. Предположение
А (0)а е Н при доказательстве теоремы 2.1 использовалось толь-
ко в одном месте — при установления ограниченности последо-
вательности {(0) |}. Если вместо 5 рассмотреть интервал [/0,
Г], то можно, исходя из ограниченности последовательности
||«пу(^о) |}. все Дальнейшие рассуждения вести так же, как и при
доказательстве теоремы 2.1, только всюду вместо последователь-
ности {ип} работать с последовательностью {иП/}. Отсюда и сле-
дует утверждение теоремы.
Замечание 2.3. При предположениях теоремы 2.2, А (д)а(д)е
е// для каждого де (О, Т], поэтому согласно теореме 2.1, ае
е С([д, 7]; V), бе (О, 7], если операторы А (/), t е S, обладают
(S)-свойством.
Теорема 2.3. Пусть выполнены предположения теоремы. 2.2 и,
кроме того, С(0) == С{Т). Тогда решение задачи
и' Ли = 0,	и(0) = «(7), и&Х, (2.17)
принадлежит CAW(S-, Н) Г) CW(S; V). Если дополнительно операторы
A(t), t е S, обладают (S)-свойством, то и^С&(S; Н)П С (S; V).
Доказательство. Положим X, = Lp ([0, 27]; V) Г) Ер\([0, 27]; Н)
и определим оператор -41‘^(Х1-*ХП формулой
( A(t)v(t)	при 0</<7,
--	(Л,о)(/)=1а(/-7)о(0	при 7 </<27.
Пусть и — решение задачи (2.17). Положим
( и (0 при 0 < / < 7,
U1(/)==t и(/-7) при 7 </<27.
Очевидно, функция Ui является решением задачи
м, + Atut=*=0,	и1(0) = и(0), . е	(2.18)
(см. замечание 1.8). Легко видеть, что оператор Ai е (Ац->XJ)
удовлетворяет (с точностью до обозначений) предположения
теоремы 2.2. Поэтому, в частности,
их <= С*, ([7, 27]; Н) П cw ([Т, 27]; Г)
й соответственно, если операторы A(t) обладают (S) -свойством,
U1eC^([7, 27]; Я)ПС([7, 27]; V).
Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.

§ 3. Дальнейшие предложения аппроксимации
269
Замечание 2.4. Напомним, что достаточные условия разреши-
мости задачи (2.17) уже были даны в теореме 1.4.
§ 3. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ АППРОКСИМАЦИИ
Для численного решения задач вида
и' + Аи = 0,	и(0) = а, иеХ,
представляет интерес тот факт, что в случае, когда V — гиль-
бертово пространство, решения таких задач можно аппроксими-
ровать не только при помощи метода Галёркина, но и другими
способами. В данном параграфе мы рассмотрим аппроксимацию
при помощи решений соответствующих задач, как это было опи-
сано в § 1 гл. V.
Предварительно введем некоторые обозначения. Пусть J —
дуализующее отображение V на V* и I — вложение V в V*; так
как по предположению V — гильбертово пространство, то ото-
бражение / линейно. Скалярное произведение в V будет обозна-
чать через (•, •). Имеем
(х, у) = (Jx, у) ДЛЯ X, у Е V Ш
(см. лемму 6.2 гл. I). При любом е>0 отображение J8 = J +
+ е2/е (У —► У*) сильно монотонно и непрерывно и, следова-
тельно, является взаимно однозначным отображением V на V*.
Оказывается целесообразным для каждого е > 0 ввести на V
скалярное произведение
(х, у)е = (х, у) + е2 (х, у) = (Jex, у).	(3.1)
Гильбертово пространство {У, (•, -)е}, т. е. линейное простран-
ство V со скалярным произведением (•, Je, будет обозначаться
через Уе, а соответствующая норма — через | • 18. В силу непре-
рывности вложения V в Н существует постоянная у, такая, что
|х|<у||х|| УхеУ.	(3.2)
Из (3.1) и (3.2) следует, что для хеУ
|x|<|x|e<V?T?l|x|| и е||х||<|х|в.	(3.3)
Таким образом, норма IJe эквивалентна норме ||-||.
Пусть в этом параграфе X = L2(S; У), X* = L2(S; У*), ТУ =
= {и\и Е X, и' Е X*} и Xt = L2(S; Уе)-. /
11
270	Гл. VI. Эволюционные уравнения	i
По оператору Вольтерры А е (X —* X*) и в > 0 определим
оператор Вольтерры Л8е(Х8 —»Л8) формулой
(Леи)(0 = Д-,(Ли)(0.	(3.4)
В силу (3.1) это определение равносильно такому:
((Ле«) (/), х)8 = ((Ли) (/), х) Vx е V.	(3.5)
Согласно (3.5) и (3.3),
1(Ли)(/)|е<1||(Лн)(/)||„
поэтому Л8 действительно отображает L2(S; У8) в себя. (Ввиду
непрерывности Ji' измеримость по Бохнеру функции Л8« сле-
дует из измеримости по Бохнеру функции Ли.) Наряду с задачей
и' -f- Ли = 0, и (0) = а е Н, и^Х,	(3.6)
рассмотрим «аппроксимирующую» задачу
и' + Ли = 0, ие (0) = а е Vt, ut <= Хе. (3.7)
В настоящем параграфе, будут приведены условия на Л и ае, при
которых справедливо следующее:
1)	задача (3.7) однозначно разрешима;
2)	при в—>0 решения и8 сходятся в X и в C(S\H) к реше-
нию и задачи (3.6);
3)	можно дать оценку погрешности для ие — и.
Кроме того, будет указано, как можно практически определять
приближенные решения ие. Мы будем предполагать в этом пара-
графе, что оператор Л + Х7 е (X -* X*) при некотором заданном
1^0 сильно монотонен и что оператор Л е (X -* X*) липшиц-
непрерывен. Эти сильные ограничения на Л нужны главным об-
разом в связи с оценкой погрешности для и8 — и и с заданием
удобных приближенных методов. Доказательство однозначной
разрешимости задачи (3.7) и сходимости ие к и можно провести
и при более слабых предположениях.
1.	АППРОКСИМАЦИЯ БЕЗ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ РЕГУЛЯРНОСТИ
Лемма 3.1. Если А е (X -> X*) — липшиц-непрерывный опе-
ратор Вольтерры, то задача (3.7) при любом ае <= У8 имеет точ-
но одно решение и8 е C(S; Ve) со свойством н8 s Х8.
§ 3. Дальнейшие предложения аппроксимации	271
Доказательство. Используя (3.5) и (3.3), находим, что для
и, v, w е Хг
J ((А8ы) (/) - (Аео) (0, w (0)е dt = ( ((Аи) (7) - (Ао) (0, w (0) di <
S	S
< МIIи — VИхII W||Л <-J-Ни — V||%еII WПхе,
где М — постоянная Липшица для А. Следовательно,
|| Aeu — Aev ||хе < -^-И и - v ||Хе,
т.	е. А8— липшиц-непрерывный оператор из (Х8—>Х8). Поэтому
утверждение леммы следует из теоремы 1.3 гл. V.
Замечание 3.1. Если А е (X —» X*) — липшиц-непрерывный
оператор Вольтерры и оператор А 4- AJ при заданном А, >= 0
сильно монотонен, то для р = р0 — 2 выполняются предполо-
жения следствия из теоремы 1.3. Поэтому в следующей теореме
можно исходить из того, что задача (3.6) при любом а^Н
имеет точно одно решение и е W.
Теорема 3.1. Пусть А е (X -* X*) — липшиц-непрерывный опе-
ратор Вольтерры и оператор А 4- А./ при заданном А, 0 сильно
монотонен. Далее, пусть по е > 0 выбран такой элемент ае е
е Ve, что
lim|a8 — и | = 0, lime||a8|| = 0.	(3.8)
е->0	е-»0
Тогда решения и8 задач (3.7) при е —» 0 аппроксимируют реше-
ние и задачи (3.6) в C(S; Н) ив X, т. е.
Ikn ( ||и8 — и ||с (S; Я) 4-1| ие — и ||х) = 0.
Замечание 3.2. Можно показать, что условие (3.8) выпол-
няется, если положить а^ — 1ёха, т. е. если определить а8 при
помощи соотношения
(а8, х)8 = (а, х) Vx е V.
В случае когда а е V, можно для каждого е > 0 брать ае =
= а. При реализации описанной в теореме 3.1 аппроксимации
можно для произвольной последовательности {aj из V, сходя-
272
Гл. VI. Эволюционные уравнения
щейся в И к а, определить последовательность {е,} таким обра-
зом, чтобы lim ег||аг|| = 0. Тогда утверждение теоремы следует
Х-»оо
использовать именно для последовательности {в,}.
Доказательству теоремы 3.1 предпошлем одну лемму.
Лемма 3.2. При предположениях теоремы 3.1 существует та-
кое б > О, что
о	6 (11 “е llc (s’^e) + 11 “е М < °° ’
Доказательство. Обозначим через m постоянную монотонно-
сти для А + V. При заданных предположениях имеем
о
t	t
= — J ((Aeue) (a), ut (a))e ds = — J ((Aue) (a), ue (a)) ds =
0	0
t
= - $ ((Aue) (a) - (AO) (a) + (AO) (a), ut (a)) ds <
0
t
C $ { - m II ue (a) ||2 4- A | ut (a) I2 + -^ || A (0) (s) |g + ^-1| ue (s) Ц2} ds.
0
Следовательно,
t	t
I Ue (/) I2 + m JII ue (a) II2 ds C | ae |2 +	|| АО ||^, + 2X J | ut (a) |2 ds.
0	0
Из этого неравенства с помощью леммы Гронуолла получаем
t
I «В (0 If + rn J ||ue(a)||2da</<( | ае |2 + 1),	(3.10)
о
где К — постоянная, не зависящая от е и t. Выберем б > 0 так,
чтобы
sup |ае|2= sup (| ае |2 + е2||ае Ц2) < оо. (3.11)
0<е<6	0<е<6
В силу предположения (3.8) это возможно. Из (3.10) и (3.11) и
вытекает соотношение (3.9). Лемма доказана.
§ 3. Дальнейшие предложения' аппроксимации
273
Доказательство теоремы. 3.1. При заданных предположениях
для любого v е C!(S; V) имеем
|| Me(/)-«(0|2<4(|«e(0-v(0l + |v(0- «(0l)2<
< у I «е (0 - V (d I2 +	V W - « (О I2-
= $ (“e(s)—«'(s), Ue(s)—v(s))eds+4-l л8—«(0) 1|+1-1»(/)—«(/) |2=
о
= J {(-(Л«в)(«)-О'(5), «e(s)-w(s))e+((X«)(s) + u'(s), Ue(s)-O(s))}ds+
+11 а. - V (0) g 4- 41V (t)-u (012 =
= J {( — (Лие)(s) + (Au)(s),uz(s) — u(s)) +
+ ((Лие) (s) — (Ли) (s), V (s) — «($)) 4-
, 4- (u' (s) — v' (s), ue (s) — v (s)) — 82 (o'(s), ue (s) — 0 (s))J ds 4-
+ 4|ав-о(0)|24-у1»(П-и(0Р<
< j {— m || ue (s) — и (s) ||2 4- % | ue (s) — и (s) |2} ds 4-
4- II Лив - Ли ||x. II v - и ||x 4- (II и' - o' ||x. 4- в21| о' ||Л) || и,- о ||х +
4-у1«*“”(0)li + yll v -и|РС(^;Я);
Используя лемму Гронуолла, липшиц-непрерывность А и фор-
мулу (3.9), выводим отсюда, что для 0 < е < б
Н«е —«I^(S;H)4-Il“e —«1^<
< К {IIV - и ||х 4- (II и' - V' ||х. 4- 82 II о' ||х) (II о ||х 4-1)4-
4- I ае - о (0) |2 4- в21| ае - о (0) ||2 +1| о - и ||2е($. я),
где К — не зависящая от е и о постоянная. Переходя к пределу
при е —► 0, получаем
Пт (|| ие — и ||2 (S. я) 4- II ие — и ||2 ) <
С К {II v-^u ||х4- II u'-v' ||х. (|| о ||х4-1) 4-1 a-v (0) |24- II о-«|Ц (s. w}.
Согласно лемме 1.12 гл. IV, функцию и е W можно с любой точ-
ностью аппроксимировать функциями оеС*(5; V) в F, а зна-.
274
Гл. VI. Эволюционные уравнения
чит, и в C(S; И). Следовательно, надлежащим образом выбирая
о, правую часть последнего неравенства можно сделать как угод-
но малой. Так как левая часть этого неравенства не зависит от
v, отсюда вытекает, что
Игл (|| ие	и ||g (S. д) +1| Ug и ||j) — 0.
Теорема доказана.
2.	АППРОКСИМАЦИЯ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ РЕГУЛЯРНОСТИ
Теорема 3.2. Пусть А е (X —* X*) — липшиц-непрерывный
оператор Вольтерры и оператор A -f- М при некотором К 0
сильно монотонен. Пусть А обладает представлением
(Ли)(0 = Л(0«(0, Л(/)е(У-*У), V/eS. (3.12)
Далее, пусть для некоторой непрерывной неубывающей функ-
ции р
ЦЛ(/)х—Л(з)х||.<|/-s|p(|x|)(l + ||х||)
при любых s, feS и хеУ. ' ‘ '
Тогда при каждом а е V, таком, что А (0)а е Н, задача
«'(/) +Л (0 и (0 = 0	V/6S,
«(0) = а, u е С (S; У) f) С® (S; Я) П С (S; У*),
имеет точно одно решение. Для этого решения и и для решения
ие задачи (3.7) с ае = а справедливы следующие утверждения
(в предположении, что 0 < в 1):
а)	II «е ~ “ lie (3; Я) + И ыг “ Их
Ь)	II we и ||с уу М2 л/е ;
с)	|4-“'|C(S.
d)	= в CW(S-,H).
8->0
При этом значения постоянных Afi, М2 и М3 могут быть явно
указаны.
Замечание 3.3. Предположение (3.13) слабее, чем предполо-
жение (2.2), использованное в § 2. Это ослабление оказывается
возможным благодаря сделанному здесь предположению о силь-
ной монотонности оператора А. Существование решения задачи
(3.14) мы докажем при помощи рассматриваемого в этом пара-
графе аппроксимационного метода. Однако доказательство су-
§ 3. Дальнейшие предложения аппроксимации
275
ществования можно было бы провести при тех же предположе-
ниях и с помощью метода Галёркина.
Доказательству теоремы 3.2 предпошлем две леммы.
Лемма 3.3. Если А е (X -+ X*) — липшиц-непрерывный опе-
ратор Вольтерры, удовлетворяющий предположениям (3.12) и
(2.5), то для любых х, y^Vnt^S
\\A(l)x-A(t)y\\.^M\\x-yll,
где М — постоянная Липшица для А.
Доказательство. Для t, t 4- h е S, h > 0, положим
f х при t s^Z + h,
o(s)=i л
(Ов противном случае,
, .	( У При /<S<f
w(s) = < л
(Ов противном случае.
Тогда
||Л(/)х-Л(/)г/||2 =
t+h
= j J ||Л(0х —Л(а)х +Л(а)х —Л(з)у +Л(а)г/ —Л(0#||М$<
t
$ {||Л(0х-Л(а)ж + Л(а)у-Л(0»1е(1+х) +
t
+ II л (s) v ($) — Л (s) w (s) ||2 (1 + Л)} ds <
<Л2(т)(1к11, ||Л(/)х||.) + П (Ш, II A(t) у ||.))2 (1 4-1) +
+ 1+А AJ21|v -w||2 = h(Т)(||х||, || Л(/)х||.) +
+ П (IIУII, IIА (0 у ||.))2 (Л + 1) + (1 + Л) М21| х - у II2;
при Л —* 0 получаем утверждение леммы.
Лемма 3.4. При предположениях теоремы 3.2 решение и8 за-
дачи (3.7) принадлежит C^SjVe) и для некоторой не завися-
щей от е постоянной Ко справедлива оценка
!<le(s	<ЗЛ5>
Доказательство. Обозначим через М постоянную Липшица и
через m — постоянную монотонносГи для А. Как мы уже знаем
из леммы 3.1, решение «е задачи (3.7) принадлежит C(S; У8).
276
Гл. VI. Эволюционные уравнения
Включение u'eC(S; V8) следует из равенства «'= —Л8ы8 и
справедливой при всех х е Ve оценки
(Л (0 и8 (0 — Ае (s) ие (s), х)е =
= (Л (/) «е (/) — А (/) ие (s) + А (/) ug (s) — A (s) ие (s), х) <
<VM||Me(0-«e(s)|| + |/-s|p(|ug(S)|)(l+||ue(S)l|)}|x|e-4
(см. также лемму 3.3).
Перейдем к доказательству оценки (3.15). Для
tt)e(/) = «e(I 4-Л) —«е(0,	Л>0,
получаем, принимая во внимание (3.13) и (3.9) (с 6 = оо, ввиду
того что аг — а),
у (| (О £ - I “’в(°) О = $ «(«)’	(s))e ds =
О
= J (- A(s + h)ue(s + ft) + Л(а4- ft)u8 (s) - A (s + A)«e(s) +
0	*
+ A (s) ue (s), we (s)) ds < J {— m II we (s) ||2 -j- Л | we (s) |2 4-
4-	Ap (I «в (s) I) (1 4- II «e (s) II) II (s) II) ds <
< $ { ЛI №,(«) I2 4- (Лр (I «в (s) I) (1 4- II ue (s) ||))2} ds <
0
t
<$Mw8(s)|2ds4-ft%
0
где К — не зависящая от в и I постоянная. При выводе этого не-
равенства мы воспользовались леммой 2.2. Применение леммы
Гронуолла дает
laUOIKM ®e(0)li4-ft2),	(3.16)
где постоянная Ki не, зависит от е и t. Переходя в (3.16) к пре-
делу при ft -* 0, получим
|“Ж<к.(1“Ж+ О-
Для х е V имеем
(4е(0)а, х)г = (4(0)а, х)<| Д(0)а| • |х|<| Д(0)а| • |х|е
§ 3. Дальнейшие предложения аппроксимации
277
и потому
К(0)|в = |Л(0)а|е<|4(0)а|.
Следовательно,
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3.2. При заданных предположениях
мы можем воспользоваться теоремой 3.1. Поэтому мы знаем,
что задача (3.6) имеет некоторое решение и <= W. Нижеследую-
щие доказательства утверждений а)—d) показывают, что это и
является решением задачи (3.14).
Доказательство утверждения а). Используя (3.15)
и лемму 2.2, находим
t
71 ие (0 — и (0|2 = J («' (з) — и' (s),	(s) — и (s)) ds =
О
t
= — J (4e (s) Ug (s) — A (s) и (s), иь (s) — и (s)) ds =
0
t
= — $ {(4 (s) иъ (s) — 4 (s) u (s), ие (s) — и (s)) —
0
— в2(4е(з)ие(з), u8(s) —u(s))}ds<
t
<	{— tn II Ug (s) — и (s) II2 +11 Ug (s) — U (s) I2 +
0
+ 81 4g (s) Ug (s) Ig II Ug (s) — и (s) 11} ds <
<	J { —-J II M«) —Ms) II2+ M Ms) —Ms) f } ds 4-82-^-.
0	.
Применяя лемму Гронуолла, из этой оценки получаем
1М0 — М012<82Д’ь Ki — const.
Отсюда и из предыдущего, неравенства при t — T следует, что
II и6 — и ||^	в2/<2,	= const.
Поэтому, как и утверждалось,
II «е — и ||с (s. н} + II Ug — UIIх < М18,	Mi = const.
278
Гл VI. Эволюционные уравнений
Из доказательства леммы 3.2 и 3.4, а также из только что про-
веденной оценки вытекает, что постоянная Mi может быть явно
задана без предварительного знания решения и.
Доказательство утверждения Ь). Для е > О, S > О
и любого t е S имеем (см. лемму 2.2)
о = «(/) — «а (/) + 4е (0 «8 (0 — л« (О “в (0, и8 (0 — “в (0) =
= («в (0 — «а (0 + А V) и8 (0 — А (*) «а (0, «в (0 — ив(/)) +
+ (- еЧ (0 ие (П 4- 64 (0 и6 (0. «8 (0 - «6 (0) >
> — 2К0II «е - ий ||с (s. Я) + т II ие (0 — ив (0II2 —
- X || «е - «в ||2 (s. Я) - (в + б) К. || «8 (0 - «в (0II >
> - 2/Со II «8 - «в 11С(3; Я) + f II ие (t) - и6 (01|2 -
-Mue-ueIU„)---§(8+6)2.
Из этой оценки следует, что норма ||ие — ив||с(з; v> при достаточ-
но малых е и б становится как угодно малой. Тем самым прежде
всего показано, что решение и задачи (3.6) принадлежит C(S;
V). Если в последнем неравенстве перейти к пределу при б—>0,
то, используя утверждение а), получим (при 0 < 8 sC 1)
~2~ II	И Н2с (5; у) ^27<о11 «в и Нс (S; Я) “Ь ^Н «в « Нс (S; Н) ”1” 2т ®
<(2КоМ1 + М1? + -^|) в,
чем Ь) и доказано.
Доказательство утверждения с). Из оценки
|| и' (0 — и' (з) И, = || A (s) и (s) — А (/) и (01|, <
<|| A(s)и(з) - A (s)и(01|, +1| A(s)u(0-4(/)«(/) Ц<
<M||w(s)~w(OII4-|s-/|p(l«(/)l)(l+ll«(/)ll)
вытекает, что и' е C(S; V*). Для х е V и t е S имеем
|(<(0-«'(0, х)|=|(л.(0«в(/)-л(0«(0, *)1 =
== |(А(/)и8(/)-Л(/)«(/), х)-е2(Ле(0«в(0. х)|<
< (М || ие (0 - и (/) || + 81 Ае (/) «е (Г) |е) || х И.
Замечания к гл. VI
279
Следовательно (при 0 < е 1),
Тем самым с) доказано.
Доказательство утверждения d). Пусть хе Н и
(Х{} — какая-нибудь последовательность из V, сходящаяся в Н
к х. Тогда при в>0, б > 0 и / eS имеем
|( «в (0 ~и'6 (0, х)|<|(и'(0 —«e(0, х-х,)| +
+ I (“в (0 — и' (О + и' (0 — “в (0, *<) | <
< 2К01 х - xi | + Af3 (Ve + V6) II xt ||.
Правая часть этого неравенства не зависит от t. Она становится
при подходящем i и достаточно малых е и б как угодно малой.
Следовательно, в CW(S; Н) существует iirvu' и этот предел, в
е-»0
силу с), должен равняться и'. Тем самым доказано утверждение
d), а с ним и вся теорема.
Замечание ЗА. Теоремы § 3 показывают, как задачи с началь-
ными условиями для эволюционных уравнений с операторами
А е (X —► X*) можно сводить к задачам с начальными усло-
виями для уравнений с операторами	(.¥$-->Х8). Если А —
липшиц-непрерывный оператор с постоянной Липшица М, то
оператор Д8, как мы установили при доказательстве леммы 3.1,
является липшиц-непрерывным с постоянной Липшица Л4/в2. По-
этому задачу (3.7) можно решать численно при помощи проек-
ционно-итерационного метода, описанного в теореме 4.5 гл. V.
Рассмотренный в этом параграфе аппроксимационный метод
можно, таким образом, использовать в качестве основы для чис-
ленного решения задач с начальными условиями для эволюцион-
ных уравнений.
ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. VI
Нелинейные эволюционные уравнения с монотонными операторами впер-
вые были рассмотрены в работах Браудера [3, 4] и Лионса и Штраусса [1].
Результаты указанных работ Браудера приведены также в обзорной статье
Качуровского [1] (см. еще Дубинский [1] и Вайнберг [2]). Упрощенное
изложение работы Лионса и Штраусса, равно как некоторые обобщения и
другие возможные подходы к изучению эволюционных уравнений, можно
найти у Лионса [1] (см. также в этой книге соответствующие комментарии
и литературные указания). Для ряда конкретных нелинейных параболических
дифференциальных уравнений подобные результаты были уже получены Ви-
щиком [2] без явного использования монотонности.
280
Гл. VI. {Эволюционные уравнения
Данное здесь изложение теории нелинейных эволюционных уравнений
отличается от изложений других авторов тремя моментами.
1.	Доказываются теоремы сходимости для метода Галёркина, которые
позволяют рассматривать этот метод не только как вспомогательное средство
при доказательстве теорем существования, но и как возможную основу для
численного нахождения приближенных решений.
2.	Широко обсуждаются эволюционные г уравнения с операторами Воль-
терры (о понятии оператора Вольтерры см. также замечания к гл. V).
3.	Помимо метода Галёркина указывается еще один метод, который во
многих случаях пригоден для приближенного решения эволюционных урав-
нений.
Теоремы 1.1—1.3 и 2.1 в приведенной здесь форме содержатся в работе
Грёгера [2]. Доказывая теорему существования 1.1, мы в основном следуем
Лионсу и Штрауссу [1]; лишь при доказательстве существования галёркин-
ских приближений необходимы в связи с использованием операторов Воль-
терры некоторые видоизменения (лемма 1.3 как обобщение теоремы существо?
вания Каратеодори для систем обыкновенных дифференциальных уравнений).
Теорему существования 1.1 можно было бы доказать и без использования
метода Галёркина, с помощью теории максимальных монотонных операторов.
У Лионса [1,гл. 111,2.1] это сделано для случая,когда начальный элемента
является нулем; в случае произвольного начального элемента можно вос-
пользоваться, например, одной теоремой Рокафеллара [1],которая обобщает
приведенную нами теорему 2.3 гл. III. В теореме 1.2 собраны различные
утверждения о сходимости метода Галёркина. Метод Галёркина для линей-
ных уравнений был исследован Деклу [1]. Утверждения о сходимости методу
Галёркина для нелинейных параболических уравнений можно найти у Дуг-
ласа и Дюпона [1], правда при сильных предположениях регулярности ре-
шения. Существование периодических решений эволюционных уравнений
впервые доказал Браудер [5, 6] с помощью одной теоремы о неподвижной
точке для нерастягивающих отображений. При доказательстве теоремы 1.4
мы в основном следуем Лионсу [1, гл. III, 2.2].
В доказательстве утверждений регулярности из теоремы 2.1 при получе-
нии оценки для галёркинских приближений использована одна идея, которую
предложил Като [2] для оценки так называемых аппроксимаций Иосиды.
Одно аналогичное утверждение регулярности уже было сформулировано
Браудером [9]. При предположениях теоремы 2.1 утверждения о сходимости
метода Галёркина, даваемые теоремами 1.2 и 1.3, могут быть уточнены. Соот-
ветствующие результаты можно найти у Грёгера [2]. Теоремы о сильной
сходимости метода Галёркина при некоторых специальных предположениях
были ранее установлены Гаевским [3]. В доказательстве теоремы 2.2 ис-
пользована техника оценок, разработанная Брезисом [3] для аппроксимаций
Иосиды; она перенесена на случай галёркинских приближений.
Рассмотренная в § 3 аппроксимация эволюционных уравнений обыкновен-
ными дифференциальными уравнениями восходит к Гаевскому [2]. Теорема 3.1
в приведенной здесь форме является новой. Оценки погрешности, содержа-
щиеся в теореме 3.2, можно найти в несколько более подробном изложении
у Гаевского [5]. Кроме того, в этой работе изложен проекционно-итерацион-
ный метод для нахождения решений аппроксимирующих уравнений. Он осно-
ван на сильной монотонности входящего в уравнение оператора и этим от-
личается от проекционно-итерационного метода, даваемого теоремой 4.5 гл. V.
Один итерационный метод для эволюционных уравнений, не связанный со све-
дением последних к обыкновенным дифференциальным уравнениям и поэтому
лучше подходящий для численных целей, был предложен Гаевским и Грёге-
ром [2].
Замечания к гл. VI	281
При избранном нами способе изложения теории эволюционных уравнений
остался незатронутым следующей круг, проблем; .	<
1.	Эволюционные уравнения с псевдомонотонными операторами, Теоремы
существования для таких уравнений :цожно найти, например, у Лионса [1,
гл. III] и Брезиса [4].
2.	Эволюционные неравенства. Изложение проблем, относящихся к эво-
люционным неравенствам, и методов решения таких неравенств имеется в
обзорной статье Лионса [2] и в его уже много раз упоминавшейся книге [1].
Кроме того, сошлемся на работы Брезиса [4], Дюво и Лионса [1] и указан-
ную там литературу.
3.	Теория полугрупп. Изложение этой теории можно найти у Брезиса [5Г,
Барбу [1] и Иосиды [1] (см. также Крэндалл и Лиггетт [1] и Брезис и
Пэйзи (!]).
ГЛАВА VII
ОПЕРАТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Пусть V — сепарабельное ’) гильбертово пространство, не-
прерывно и плотно вложенное в некоторое другое гильбертово
пространство Н. Отождествляя Н с сопряженным к нему про-
странством Н*, а Я* — с соответствующим подпространством со-
пряженного к V пространства V* (см. § 6 гл. I), имеем
V <= Н <= V*.
Как и раньше, будем обозначать через II-[|, |<|, 11-11» нормы со-
ответственно в V, Н и V* и через (•, •) — скалярное произведе-
ние в Н, а также скалярное произведение между V* и V. В этой
главе S = [О, Г] — конечный интервал (времени). Указанные
факты о пространствах V, И и введенные здесь обозначения бу-
дут использоваться ниже без специальных пояснений.
Мы будем заниматься операторными дифференциальными
уравнениями вида
+	= f	(0.1)
с вольтерровыми операторами А и В, которые отображают функ-
циональное пространство X = .Lp(S; V), 2 р < оо, в сопря-
женное к нему пространство X*. При этом и' и и" обозначают
первую и вторую производные от и <= Lp (S; V) в смысле про-
странства распределений 3)*(S; V*). Что касается точных пред-
положений об операторах А и В, то мы различаем два случая —
см. предположения теорем 1.1 и 1.2 соответственно.
Мы будем иметь дело главным образом с задачами с на-
чальными условиями для уравнений вида (0.1). Подчеркнем еще
раз, что в таких задачах с начальными условиями речь идет об
обобщениях или расширениях классических задач с краевыми и
начальными условиями (см. § 2 гл. IV). Для одного из наших
двух случаев мы обсудим также вопрос о периодических реше-
ниях уравнений вида (0.1).
В § 1 показывается, как утверждения о существовании и
единственности решений исследуемых задач можно свести к со-
ответствующим утверждениям для эволюционных уравнений,
’) См. подстрочное примечание на стр. 78.
§ 1. Теоремы существования и единственности
283
В § 2 доказываются теоремы о сходимости метода Галёркина
для задач с начальными условиями для уравнений вида (0.1).
В § 3 указывается, как можно уточнить утверждения § 1,
если на операторы А и В наложить более сильные ограничения,
касающиеся зависимости их от времени.
В § 4 дается один метод аппроксимации операторных диффе-
ренциальных уравнений второго порядка и их решений, кото-
рый может служить основой для численного нахождения реше-
ний.
Как в результатах, так и в методах доказательства, между
операторными дифференциальными уравнениями второго поряд-
ка и рассмотренными в предыдущей главе эволюционными ура-
внениями прослеживается далеко идущая аналогия. Отметим,
однако, что в этой главе в отличие от предыдущей с самого на-
чала предполагается, что пространство V является гильберто-
вым. Это предположение связано с требованиями, предъявляе-
мыми к операторам А и В.
§ 1. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
В данном параграфе мы будем использовать следующие со-
кращенные обозначения:
X=LP(S; V), X*=Lq(S: Г), 1 + 1=1;
причем всегда предполагается, что. 2 р < оо. При этих значе-
ниях р имеет место вложение X с: X*. Это (непрерывное) вло-
жение X в X* будем обозначать через I. Скалярное произведение
между X и X* обозначается, как и в гл. VI, через (•, •).
1. ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Теорема 1.1. Пусть при некотором оператор A-^-Kl^
е (X -* X*) является радиально непрерывным монотонным ко-
эрцитивным оператором Вольтерры. Пусть, далее, В <= (Х-+
-> X*) — оператор с таким свойством:
(Ви) (0 = Вои (0 Vй <= Я, V/ «= S,
где Bq е (V -> V*) — линейный ограниченный л п
самосопряженный положительно определен- v * 7
ный оператор.
Тогда при любых Oq^V, а, е // и f е X* задача
u" + Au' + Bu = f,	(1.2)
ы(0) = Оо, u'(0) = au ue=C(S‘,V), и'^Х
имеет точно одно решение и. Для этого решения и' е W.
284 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
Замечание 1.1. Уравнение и" + Аи' 4- Ви = f понимается как
уравнение в S)*(S; V*). Если ueC(S; V) с и' еХ удовлетво-
ряет этому уравнению, то и" = f — Аи' — Ви^Х*, и, значит,
и' е W a: C(S; Н). Этим оправдывается постановка начального
условия «'(0) — а\^Н.
Доказательство теоремы 1.1. Пусть R — оператор Вольтерры,
определенный соотношением
(/?t>)(0 = ao+ v(s)ds, о е X.	(1.3)
о
Нетрудно проверить, что R является липшиц-непрерывным ото-
бражением из (Х->Х). Если а —решение задачи (1.2), то, оче-
видно, v — и' будет решением задачи
v' + (4 + BR) v = f, »(0) = аь v&X. (1.4)
Обратно, если о — решение задачи (1.4), то и = Rv— решение
задачи (1.2).
Согласно следствию из теоремы 1.3 гл. VI, задача (1.4) одно-
значно разрешима, в случае когда оператор Вольтерры А 4-
4- BR V е (X —► X*) радиально непрерывен, монотонен и ко-
зрцйтйвен. Так как оператор А 4- А/ е (Х-*Х*) по предположе-
нию радиально непрерывен, монотонен и коэрцитивен, то доста-
точно установить, что оператор BR е (X —* X*) радиально не-
прерывен и монотонен и что
Iim таг (BRv> °> > - °°-
llv|lx-*~ 11
1.	Для v е X ввиду того, что р 2 q, и ограниченности
Во имеем
II Bv Iix.=0II Во» (0 If diylq < к, QIIV (0 ir dty <
IIV (0llp^J/P llx,
где Kt и K2 — не зависящие от v постоянные. Отсюда и из лип-
шиц-непрерывности R е (X -* X) следует непрерывность опера-
тора BRg= (Х->Х*).
2.	На основании свойств операторов В и Во, для v, w е X
(BRv — BRw, v — w) = (Bo (Rv — Rw) (t), (Rv — Rw)' (/)) dt =
s
= 1 (Bo (Rv - Rw) (T), (Rv - Rw)(T))0,
т. e. оператор BR e (X —> X*) монотонен.
§ 1. Теоремы существования ц единственности
285
3.	Из (1.3) и свойств оператора Во вытекает, что
(BRv, v) = J (Во (Rv) (0, (RvY (/)) dt = '
s
= j ((Во (Rv) (Г), (Во) (Г)) - (ВоОо, «о)) >
2 (ДА», ао)-
Поэтому
Иш -й4-(ВВо, о)>0.
Uollx"*00 х
Итак, оператор BR действительно обладает нужными свой-
ствами.
Тот факт, что для решения и задачи (1.2) имеет место соот-
ношение и' е W, мы уже установили в замечании 1.1. Теорема
доказана.
Теорема 1.2. Пусть р — 2, т. е. X = L?(S; V), и при некото-
ром ц 0 пусть Л + ц/ е (X —► X*) — радиально непрерывный
сильно монотонный оператор Вольтерры. Пусть, далее, В — лип-
шиц-непрерывный оператор Вольтерры из (X —► X*). Тогда при
любых ao^V, ai е Н и f е X* задача
u" + Au' + Bu=*f,
(1.5)
и (0) = а0, и' (0) = а1г и g C (S; V), и's X
имеет точно одно решение и. Для этого решения и' е W.
Замечание 1.2. Постановка начального условия и'(0) = ai е
е Н может быть оправдана так Же, как и в случае задачи (1.2)
(см. замечание 1.1).
Доказательство теоремы 1:2. Как и при доказательстве тео-
ремы 1.1, используём оператор Be (X-+X), определенный фор-
мулой (1.3). Задача (1.5) эквивалентна задаче (1.4). Нижесле-
дующие оценки служат подготовительным этапом для проверки
того, что при заданных предположениях к решению задачи (J.4)
может быть применена теорема 1.3 гл. VI.
Пусть и, v е X и X 0. Используя лемму. 1.6 гл. VI с
g(s)=((Au)(s)—(XtO(s)+p («(s)—u(s)), u(s)—t»(s))—zn||«(s)—t>(s)||®.
286 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
получаем
t
J ((Ди) (s) — (Да) (s), и (s) — v (s)) ds
о
t
e-2Xs (т || и (s) — a (s) II2 — ц | и (s) — v (s) I2) ds,
о
где m обозначает постоянную монотонности для Д + ц/. Из (1.3)
вытекает, что при и, v е X и X
t	t
J e-2Xs || (/?u) (s) - (Rv) (s) II2 ds = J e"2Xs
о	0
3	II2
(u (a) — v (<j)) do j ds
о	I
i s
< T J e~*s J II и (о) - v (о) II2 da ds =
о 0
i	t
=-£Д e-2Xs||u(s) — V(s)II2ds — ^-e-2U (|| u(s) — a(s)II2ds <
о	0
t
< 4 e~2Ks 11 “ (s)—° (s) и2 ds-
0
Обозначим через M постоянную Липшица для В. Если скомби-
нировать последнюю оценку с результатом леммы 1.6 гл. VI для
g (s) = М21| (Ru) (s) - (Rv) (s) ||2 -1| (BRu) (s) - (BRv) (s) |g,
то получим, что при и, v е X и Л О
t
e~2Ks ((BRu) (s) — (BRv) (s), u(s) — v (s)) ds
о
t	t
$ e-2Xs|| h(s)-v(s) II2 ds—± J e-2^|l (BRu)(s)-(BRv)(s) \Pds^
0	0*
t	t
e~2Ks II«(s) - 0 (s) II2 ds -	( e~2^ II (Ru) s-(Rv) (s) Ц2
ЛЛ J	£lli J
о	0
>-(? + £) $ e-2Xs II u(s)-v (s) II2 ds.
0
§ 1. Теоремы существования и единственности
287
Отсюда мы заключаем, что для и, и еХ и А > О
t
J e~2Ks (((Л + BR) и) (s) - ((Л + BR) и) ($), и (s) - v ($)) ds
о
t
> $ e~2Ks { (т “ £) Я«(s) — V (s) II2 — I* I w (s) — V (s) I2} ds. (1.6)
0
Из (1.6) видно, что оператор А + BR, например при к = тах(р,
М2Т/тг), удовлетворяет условиям (1.21), (1.22) гл. VI. Так как
этот оператор А + BR е (X —► X*) является также радиально
непрерывным, то утверждение нашей теоремы получается при-
менением теоремы 1.3 гл. VI к задаче (1.4).
Замечание 1.3. Можно показать, что решение и задач Коши,
рассмотренных в теоремах 1.1 и 1.2, непрерывно зависит от на-
чальных значений а0 и at в следующем смысле: соответствие
{а0, aj —►{«, и'} непрерывно как отображение нзУХНвС(8;
V)XC(S,H).
2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Теорема 1.3. Пусть оператор А е (X—*Х*) радиально непре-
рывен, монотонен и коэрцитивен, а оператор В е (X —► X*) удо-
влетворяет предположению (1.1). Тогда при любом f е X* за-
дача
u" + Au' + Bu = f,
и(0) = «(Т),	u'(0) = u'(T), heC(S; V), и'еХ (1’7)
имеет решение. Если вдобавок А строго монотонен, то это реше-
ние определяется однозначно.
Замечание 1.4. В этой теореме, как было оговорено в начале
параграфа, X — L?(S-, V), 2 sg р <. оо.
Замечание 1.5. Если функция u^C(S;V) с и' еХ удовле-
творяет уравнению и" + Аи'Ви = f (в S>*(S; V*)), то и" е
е X* и поэтому w'е IT с: C(S; Я). Следовательно, условие
и'(0) = и'(Г) имеет смысл.
Доказательство теоремы 1.3. При рассмотрении задачи (1.7)
целесообразно ввести пространство
Хо = | и | и е X, и (s) ds = 01.
Оно является замкнутым подпространством в X. Используя тео-
рему Хана — Банаха, нетрудно убедиться, что сопряженное к Хо
288 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
пространство Хо можно трактовать как факторпространство
пространства X* по подпространству элементов, обращающихся
на Хо в нуль. Если w е X* обращается в нуль на Хо, то для <р е
e25(S) и хе V ввиду включения ф'хеХ0 имеем
(w' (<р), х) = — (w (<р')> х) = ~ J («> ($), ф' ($) х) ds = О,
s
т. е. w есть постоянная. (Здесь через и»'(ф) обозначено значение
распределения w' е 2)*(S; V*) на элементе <peS>(S) и через
а’(ф/) — значение weS>*(S; V*) на <p'e®(S).) Очевидно, что и
обратно, каждая постоянная функция w е X* обращается в
нуль на Хо. Итак, пространство Хо состоит из классов функций
из X*, которые отличаются друг от друга лишь на постоянную
функцию. В каждом таком классе существует точно один эле-
мент w е X* обладающий свойством J w (a) ds = 0. Следова-
а
тельно, сопряженное к Хо пространство Хо можно отождествить
с пространством
(Х*)о = |ш|о»еХ*, Jt0(s)ds = o|.
(	з	)
При этом скалярное произведение между элементами w eXJ и
и <= Хо задается формулой
(w, и) = J (а> (а), и (a)) da.
а
Пусть /0 — (непрерывное) вложение Хо в X и /J е= (X*->XJ) —
сопряженный к /0 оператор. Для и g X* и и е Хо имеем
(I*w, u) = (w, Iou) = {w, и},	(1.8)
И ЯСНО, ЧТО IqW = W ДЛЯ W е X*.
После этих предварительных замечаний дадим новую форму-
лировку задачи (1.7). Пусть 7?0 е (Хо-> X) — оператор, опреде-
ленный соотношением
t '
(Rav){t)=\v{s)ds, оеХо.	(1.9)
о
Если и е С (S; V) и и' е Хо, то Rou' == и + Ио, где Uq — некоторая
постоянная в интервале S функция. Пусть, далее, С = /* X
X (AI0 + BRg) €= (Х0->Х‘) и g — I*of е X*. Покажем, что задача
(1.7) эквивалентна задаче
v' + Co = g, ееХ0.	(1.10)
§ 1. Теоремы существования и единственности
289
1. Пусть и —решение задачи (1.7). Тогда и' еХ0 и п"еХ‘.
Имеем
и" + Си' == и" + Го (А1й + BR0) и' = Го (и" + Аи' + Ви + BU()) =
'=ro(u" + Au' + Bu) = rof==g,
т. е. v — u' является решением задачи (1.10).
2. Пусть V — решение задачи (1.10). Положим и1 = 7?0^*
Тогда u' = v и и1(0) = и1(7), а также и" = v' = g — Cv е X*
и и, (0) — и{ (Т): Далее,
и''+Си{=и"+/; (А1й 4- вв0)«;=I* (и"++вИ1)=rj,
поэтому
u"A-Au'l + Bul^f + fi
при некоторой подходящей постоянной функции ft е X*. Следо-
вательно, для и = И1 — B~lfi имеем u(Q) = u(T), и'(0) — и'(Т) и
и" + Аи' + Ви = и" + Аи[ + Ви{ — =
т. е. и служит решением задачи (1.7). (Оператор В-1 е (Х*->
—►X) существует в силу предположения (1.1).)
Только что проведенные рассуждения показывают, что суще-
ствует взаимно однозначное обратимое соответствие между ре-
шениями задачи (1.7) и решениями задачи (1.10). Теперь ре-
шим задачу (1.10) при помощи теоремы 2.3 гл. III.
Для любого v е Хо
(BRov, v) = (В0(В0о)(0, (RovY(t))dt =
s
= 1 {(Во (Rov) (Г), (Rov) (Г)) - (Во (Rov) (0), (Rov) (0))) = 0, (1.11)
ибо, согласно (1.9), (Rov) (Т) = (Rov) (0) =0. Из (1.8), (1.11)
и определения оператора С следует, что для и, v е Хо
(Cv, v) = (Av, v)
и
(Си — Cv, и — v) = (Аи — Av, и — о).
Поэтому из коэрцитивности и (строгой) монотонности А следуют
коэрцитивность и (строгая) монотонность С. Очевидно, что опе-
ратор С также радиально непрерывен. Ниже (лемма 1.1) мы до-
кажем, что определенный на IF0 = {v | v @ Хо, v' е XJ) соотно-
шением
Лv = v,, v е 170,	(1.12)
IQ X. Гаевский и др,
290 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
оператор Л является как отображение из Хо в Хо радиально
непрерывным и максимальным монотонным. Тем самым для за-
дачи (1.10) выполнены все предположения теоремы 2.3 гл. III.
Из этой теоремы вытекают разрешимость задачи (1.10) и ее
однозначная разрешимость в случае строгой монотонности С, а
отсюда следует справедливость утверждений теоремы 1.3.
Итак, для завершения доказательства этой теоремы нам ос-
талось установить следующий результат.
Лемма 1.1. Оператор Л е (IFo -* Хо), определенный форму-
лой (1.12), как отображение из Хо в Хо радиально непрерывен
и максимально монотонен.
Доказательство. 1. Для о, и> е TF0 и h е R1
Л (о + hw) = Ло + hAw,
откуда следует радиальная непрерывность Л.
2. Для и е IV'o имеем
и (Т) — и (0) = и' (s) ds = 0
s
и потому
(Ли, и) = J (и' (з), и (з)) ds = 1 (1 и (Т) |2 -1 и (0) I2) = 0,
з
т. е. линейный оператор Л монотонен.
3. Пусть для заданных о е Хо и w е Хо
(w —Ли, о —и)>=0 VusIFo.	(1.13)
Нужно показать, что v' = w и, значит, о е IF0. Прежде всего
выберем и = ф'х, где q>s£2>(S) и xs V. Тогда uelF0 и
0 (w — ф"х, о — ф'х) =
= (ю, о) — f \ (ф" (з) о (з) 4- ф' (s) w ($)) ds, х j 4- <$>"х, tp'x) —
\s	z
= {w, o) 4- (®z (<p) —• v" (ф), x);
здесь через а>'(ф) и о"(ф) обозначены соответственно значения
распределений w' и о" на элементе фб2)(5). Последняя оцен-
ка показывает, что (о»'(ф) —о"(ф),х) допускает не зависящую
от х нижнюю границу. Это возможно только в случае ш/(ф) =
= о"(ф). Следовательно, v' — w — и0 является постоянной
функцией на интервале S. Отсюда и из (1.13) вытекает, что для
каждого и е Wo
OCCo'-Ho-u', v - н>= |(| о(Т)-и(Т)|2 — | о(0) -н(0) |2) =
= (и (0), v (0) - v (Г)) +1 (| v (Г) |2 -1 v (0) I2).
s
2. Метод Галёркина
291
Так как при всяком х е V функция
«Ю = (/2-П + ^)х
принадлежит TF0, то в последнем неравенстве и(0) может быть
любым элементом из V. Поэтому это неравенство возможно
лишь при v(0) — v(T), и мы получаем для нашей постоянной
функции
J «о(ОЛ = j (у'(/) — w(0) dt = v(Г) — v (0) = 0;
s	s
это означает, что Uq = 0 и v' = w. Тем самым установлено, что
Л — максимальный монотонный оператор. Лемма доказана.
Замечание 1.6. Принятым в теоремах 1.1—1.3 предположе-
нием, что оператор А + XI коэрцитивен либо сильно монотонен,
исключается случай 4 = 0. Теоремы о разрешимости задачи
Коши и о существовании периодических решений могут быть до-
казаны и при более общих предположениях относительно А (см.
замечания к этой главе). Мы ограничились рассмотренными
здесь случаями по двум причинам. Во-первых, доказательства
оказываются при этом сравнительно простыми. Во-вторых, имен-
но эти случаи позволяют получить глубокие утверждения о схо-
димости метода Галёркина.
§ 2. МЕТОД ГАЛЕРКИНА
Как и в § 1, будем использовать Сокращенные обозначения
X = LP(S; V); X* = L’(S; V*),
1-(-1=1; Й7 = {ад|ау е х, w'e=X*}.
В данном параграфе мы снова предполагаем, что 2 р < оо.
Перейдем к определению метода Галёркина для задач вида
(1.2), соответственно (1.5). Пусть, как и в гл. VI, {Ль Л2, ...}
обозначает какую-нибудь полную в V, а следовательно, и в Н
систему линейно независимых элементов, и пусть Нп — линей-
ная оболочка множества {Ль .... Лп}, наделенная скалярным
произведением, индуцированным из Н. Пространство Нп и его
сопряженное Н*п будем считать отождественными между собой.
Пусть, далее, Хп = L?(S; Нп) и Xn = Lq(S; Нп). Скалярное про-
изведение между Хп и Хп мы можем обозначать так же, как и
скалярное произведение между X* и X, через {•,/). Каждому
10*
292 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
оператору D е (X —> X*) можно поставить в соответствие опе-
ратор Dne(Xn->Xn) по правилу
(Dnu, v) = (Du, о)	(2.1)
Этой возможностью мы воспользуемся, в частности, для опера-
торов А и В, фигурирующих в задачах (1.2) и (1.5).
Пусть {aQnJ — какая-нибудь сходящаяся в V к а0 последова-
тельность элементов аОп е Нп. Пусть, далее, {ain} — какая-ни-
будь сходящаяся в Н к ai последовательность элементов ain е
^.Нп. Пусть, наконец, fneX* определяется соотношением
<f„, 0 = <f, V> Vvex„.
Задачам (1.2) и (1.5) отвечают следующие уравнения Галёркина
(п=1,2, ...):
ИЛ + ЛпЫп + ^пип. —
п 1 п п 1 п п • п1
=	u'n<® = ain>	(2.2)
и е С (S; НЛ\ и' <= Х„.
Лемма 2.1. В предположениях теоремы 1.1 задача (2.2) при
каждом п имеет точно одно решение ип е С1 (S; Нп), обладаю-
щее тем свойством, что и" е X*. Последовательность {unJ огра-
ничена в C(S; V), последовательность {«'} ограничена в X и в
C(S\H) и последовательность {Ли'} ограничена в X*.
Доказательство. Оператор Ап удовлетворяет по отношению к
Хп тем же предположениям, которым удовлетворяет А по отно-
шению к X. Это следует из того, что
(Апи, о) = (Аи, v) для и, vs Хп.
Если через /„ обозначить (непрерывное) вложение Нп в V и че-
рез Гп — сопряженный к /п оператор, то, как нетрудно убе-
диться,.
(fy)(fl<W).
Оператор е (Яп-> линеен, ограничен, симметричен
и положительно определен. Следовательно, Вп удовлетворяет по
отношению к Хп тем же предположениям, что и В по отношению
к X. Поэтому существование и единственность решения ип ура-
внений (2.2) вытекают из теоремы 1.1. Для этого решения имеем
un е= C(S; Нп) ,ип^Хп и и" е X*, а значит, С (3; Я„).
Из уравнения Галёркина (2.2), беря соответствующее ска-
лярное произведение, получаем
t	t
J « (s) + (Лмл) <S) +	(S)> Ua <s)) ds==\(f (s)> «» (s)) dS'
O	'	Q
§ 2. Метод ГаЛёркйнй
293
Следовательно,
J ((Л<) (s) - (ЛО) (s) + 4(s)» < (*)) +
О
+ ТI < (') Г + Т («А ('). ». «) = j (/<») — ИО) («) +
+4(0, <(>))*+4К1!+4(ва.. О-
Отсюда, используя лемму Гронуолла, заключаем прежде всего,
что ограничена последовательность {и'} в С(S; Н), а раз эта ог-
раниченность уже установлена, то из коэрцитивности А +1/ и
положительной определенности Во получаем ограниченность по-
следовательностей {«'} в X и {«„J в C(S;V). Ограниченность
последовательности {Ли'} в X* вытекает из последнего соотно-
шения и ограниченности в X последовательности {и'}, ввиду
следствия 1.2 гл. III. Лемма доказана.
Теорема 2.1. Пусть выполняются предположения теоремы 1.1.
Обозначим через ип решения уравнений Галёркина (2.2) и че-
рез и — решение задачи (1.2). Тогда
а)	ип-+ и в C(S; V);
b)	и'п-^и' в C(S-, НУ,
с)	и'п-^-и' в Х-,
d)	Аи'п-^Аи' в X*',
t
е)	((Ли' (s) — (Ли') (s), и' (s) — и' (s)) ds -* О V/ е S.
о
Замечание 2.1. Существуют классы операторов Ле(Х-►
—>Х*), для которых из свойств Ь)—е) следует сильная сходи-
мость последовательности {u'J к и' в X (см. замечание 1.4
гл. VI).
Доказательство теоремы 2.1. Согласно лемме 1.5 гл. VI, су-
ществует последовательность {»'}, v'n е С1 (3; Яп), которая
сходится в W, а потому и в C(S; Я) к u'e W. Положим
t
О
294 Гл. Vtl. Операторные дифференциальные урайиенйя второго порядка
(в оправдание обозначения »п). Тогда
К(0-«(0|=
а0п - а0 + J (< («) — «'(«)) ds J <
°о»-ао| + /<|0п-“Ъ’ ^ = const,
т. e. последовательность {«„} сходится в C (S; V) к и. Далее,
4(1<(о-|«;<о>—«о)о-
= $(“»'(») — (s).“» (’) — («)) ds =
о
t
= J (- (Л<)(з) - (Bu„)(s) + (Ли'Хз) +
+ (Bu) (s) + и" (s) — v" (з), и' (s) — v'n (s)) ds =
t
= — J ((Ли') (s) — (Ли') (s) + к (u'n (s) — u' (s)), u' (s) — u' (s)) ds —
0
— 4 <B0 («« (0 — и (Y)), un (/) — и (0) + у (Bo (Ofln — Оо), Оо» — Оо) —
I
- $ ((Л<) (s) - (Ли') (з) + (Ви„) (s) - (Ви)(з), и' (з)-< (s))ds+
о
t	t
+ $ («* (s) — (s), < (s) — < (s)) ds + X J | u'n (s) — u' (s) |2 ds.
о
Отсюда на основании выбора последовательности {оп} и утвер-
ждений леммы 2.1 вытекает, что
41 < (0 - < (012 + 7 (Во (ип (0 - и (/)), ип (0 - и (0) 4-
t
+ J ((Л<) (s) — (Ли') (s) + X «(s) — и' (з)), и'п (s) — и' (s)) ds <
О
< I “и - 1! +1 (0) - °U0) г + т (В. (о.. - »«). »«, - « +
t
+ 2Х J (| и'п (з) - < (з) |2 + |< (5) - и' (з) |2) ds
при некоторой не зависящей от п и t постоянной К. Из этой
оценки, используя лемму Гронуолла, прежде всего получаем, что
§ 2. Метод Галёркина
295
а значит,
в C(S; Н).	(2.3)
Раз это свойство последовательности {и'} уже установлено, то
из последнего неравенства вытекает, что
ип-+и в C(S; V)
и
t
J ((Л“л) («) “ (Лы') <S)> Un («) “	<s>) ds “* °-
О
Здесь мы воспользовались тем, что оператор Во положительно
определен.
В силу (2.3) пределом слабо сходящихся в X подпоследова-
тельностей ограниченной в X последовательности {и'} может
быть только и'. Поэтому и последовательность {и'} слабо схо-
дится в X к и' (см. лемму 5.4 гл. I). На основании уже доказан-
ных свойств сходимости последовательности {ип}, для любых
ср е3)(S) и хе (JНп
п
lim 0 (Ли') (О Ф (0 dt, х) =
= Ит 0 (- < (0 - {Вип) (/) + f (0) Ф (0 dt, х) =
= 0(-«"(О-(в«)(О + Г(О)ф(ОЛ, х) =
= 0 (Ли') (Оф (0 dt, х^.
Поскольку последовательность {Ли'} ограничена в X*, при по-
мощи соответствующего предельного перехода можно показать,
что при каждом х е V справедливо соотношение
~ Q (К) (0 Ф (0 dt, х) = 0 (Ли') (0 ф (0 dt, х
Оно означает, что Ли' является пределом последовательности
{Ли'} в <Z>*(S; V*). Следовательно, пределом слабо сходящихся
в X* подпоследовательностей последовательности {Ли'} может
быть только Ли'. Поэтому и вся последовательность {Ли'} слабо
сходится в X* к Ли'. Теорема доказана.
Следующая лемма является подготовительной для теоремы о
сходимости метода Галёркина при предположениях теоремы 1.2.
296 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравйения Второго порядка
Лемма 2.2. В предположениях теоремы 1.2 задача (2.2) при
каждом п имеет точно одно решение ип е С1	обладаю-
щее тем свойством, что и" е X*. Последовательность {ип} огра-
ничена в C(S; V), последовательность {и'} ограничена в C(S;
Н) и X, и последовательность {Ли'} ограничена в X*.
Доказательство. Существование и единственность решения
ип задачи (2.2) следуют из теоремы 1.2, поскольку Ап и Вп удо-
влетворяют по отношению к Хп тем же предположениям, что и А
и В по отношению к X. При этом ип е C(S; Нп), и'пе Хп и и" е
е X*, а значит, еС (S; Яп).
Интегрированием по частям получаем, что для каждой функ-
ции w е W и каждого X О
t
(w' (s), w (s)) ds =
о
t
= ( 2%e-2^ • 4-1 w (s) |2 ds 4- 4- e~2Kt | w (/) |2 - 4-| w (0) |2 >
J	ЛЛ	£	ЛЛ
о
>4(*"Ш1^(012-|а>(0)12).	(2.4)
Ниже tn будет обозначать постоянную монотонность для А 4- цЛ
а М — постоянную Липшица для В. Пусть опять R е (X -> X) —
оператор, определенный формулой (1.3). Используя оценку
(2.4), уравнения Галёркина (2.2), а также формулу (1.6), нахо-
дим, что для X М2Т/пА
у | < (0 |2 -1 а1п |2) < J (и£ (з), и'п (з)) ds =
о
= $ е-2^ (f (з) - (Л<) (з) - (Ви„) (з), и' (з)) ds =
о
= J е-2и (_ (Ли;) (s) + (Л0) (s) - (вв<) (з) 4- (ВВО) (з) 4-
4-	f (s) - (ЛО) (з) - (ВВО) (з) - (Ви„) (з) 4- (ВВ<) (з), и'п (з)) ds <
<	N<(<ps4-
4- К (II f - ЛО - ВВО ||2.4- II а0 - ао„ II2),
§ 2. Метод Галёркина
69?
где К— некоторая не зависящая от п и t постоянная. В силу
леммы Гронуолла, из этого неравенства вытекает ограничен-
ность последовательности {и'} в С(3;Я). Раз эта ограничен-
ность уже известна, из той же оценки получаем ограниченность
{и'} в X. Ограниченность последовательности {«„} в C(S;X)
следует из оценки
| (О II -1 “о. + J < (S) * | < II	I + J К (») II * <
<KI+Vn<L
Докажем, наконец, ограниченность последовательности {Аи'} в
X*. В силу уравнения Галёркина (2.2),
o-« + K + B«.-f. <>-
Ч(1«7')|!-|“1»1’)+<л<, Ю+<В“.-В0,
> - 41».Л+<К. <> - М К Ik К 1л ~ II во - f Их. К L
Отсюда на основании ограниченности последовательностей {и'}
и (и„) в X вытекает, что ограничена последовательность
{(Ли' +	«„)}. Согласно следствию 1.2 гл. III, из этого фак-
та и из ограниченности последовательности {«'} в X следует
ограниченность последовательности {Ли'} в X*. Лемма доказана.
Теорема 2.2. Пусть выполнены предположения теоремы 1.2.
Обозначим через ип решения галёркинских уравнений (2.2) и
через и — решение задачи (1.5). Тогда
а)	ип-+ и в C(S-, V);
b)	<-*«' в C(S-, Н) и X;
с)	Аи'п~^ Аи' в X*.
Доказательство. Как мы уже знаем, для решения и задачи
(1.5) выполняются включения и е C(S; V) и и' е W. Как и при
доказательстве теоремы 2.1, выберем для этого решения после-
довательность {о„}, vn^C2(S-,Hn), такую, что оп—*и в C(S;
V) и й~>и'в W. Ниже мы используем те же обозначения, что
и в доказательстве леммы 2.2. С помощью (2.4), (2.2), (1.6) и
298 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
утверждений леммы 2.2 получаем, что для к М2Т/т2
| (е-ш | и'п (/) - v'n (/) |2 -1 aln - v'n (0) |2) <
< e~iU (и'п (s) — v'n (s), и'п (s) — v'n ($)) ds =
0
= J e~^ (- (Au'n) (s) - (Bun) (s) + (Au') (s) + (Bu) (s) +
t	+ u" (s) — v'n (s), u'n (s) — v'n (s)) ds =
= j e-*° (- (Au’n) (s) + (Au’) (s) - (BRu'n) (s) +
0
*	+ (BRu') (s), u'n (s) — u' (s)) ds +
_|_ j e-2Ks (_ (Л4) (s) + (Лы') (S) - (BRu'n) (8) +
0
+ (BRu') (s), u' (s) — v'n (s)) ds +
+ j e~2Ks ((BRu'n) (s) —(Bun) (s) + u" (s)—v"n (s), u’n (s)—v'n (s)) ds <
о
{ - TII«»(«) - «' 00II2 + 2H (I u'n (s) - v'n (s) |2 +
+1 v'n (s)-uf (s) I2)} ds+K(W u'-v'n ||x+nOo-Oon ll+llu"00-f"(s)«x.)>
где К — некоторая не зависящая от п и t постоянная. Из этой
оценки, применяя лемму Гронуолла, прежде всего находим, что
и'п — «я-* 0 в C(S; Н),
а значит,
и'п-*и' в C(S; Н).
Раз это свойство последовательности {и'п} уже установлено, из
последней оценки выводим, что
и'п-* и' в X.
Далее, путем интегрирования получаем
II ип (0 — и (t) || = | Ооп — Оо + j (и'п (s) — и' (s)) ds | <
II ^On — 00II + II u'n — llx>
t. e.
un-^u в C(S; V).
§ 3. Теоремы регулярности
299
При принятых предположениях оператор А 4- ц/, а с ним и опе-
ратор А являются деминепрерывными (см. лемму 1.3 гл. III).
Поэтому из того, что «п-*и в X, следует, что
Аи'п Аи' в X*.
Теорема доказана.
§ 3. ТЕОРЕМЫ РЕГУЛЯРНОСТИ
Мы сохраняем использовавшиеся в предыдущих параграфах
сокращенные обозначения X = L?(S-, V), X* = L«(S;V*) и
Ц7 = {а>|а>еХ, w' е X*}. Как и прежде, предполагается, что
2 р < оо.
В этом параграфе рассматриваются операторные дифферен-
циальные уравнения вида
и" + Аи' + Ви = О,
где операторы Ле(Х-*Х*) и Ве(Х->Х*) обладают следую-
щими представлениями:
(Ло)(1) = Л(0о(0 VoeX,
(Во) (/) = В (0 v (0	VoeX, Vfe=S.
(3.1)
(3.2)
Здесь {Л (/)}, t е S, и {В(0}, ieS, - семейства операторов из
(V—► V*). При соответствующих предположениях о зависимости
Л(/) и В(/) от t будут доказаны некоторые теоремы регулярно-
сти, касающиеся зависимости решений и от /, уточняющие ре-
зультаты § 1.
1. РЕГУЛЯРНОСТЬ ПРИ СПЕЦИАЛЬНОМ ВЫБОРЕ
НАЧАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА
Теорема 3.1. Пусть оператор А е (X—>Х*) обладает предста-
влением (3.1), оператор А + V е (Х-+Х*) при некотором К >
0 радиально непрерывен, монотонен и коэрцитивен и для не-
которой определенной на [0, со) непрерывной неубывающей
функции р
| (Л (0 х — Л (з) х, у) К11 — з | р (| х |) | у |
при любых s, t е S и х, у е V.
(3.3)
Пусть, далее, Bq е (V —*• V*) — линейный ограниченный самосо-
пряженный положительно определенный оператор. Тогда при лю-
ЗОд Гл. VI1. Операторные дифференциальные уравйения второго Порядка
бых а0, ai е V с А (0) fli + Воао е Н задача
и"(0 + Л(0«'(0 + Во«(П = 0 V/eS,
u(O) = ao, «'(0) = ab ueCUS; У)ПС^(5; Я) ‘
имеет точно одно решение.
Доказательство этой теоремы проведем с помощью метода
Галёркина. Пусть, как и в § 2, {Ль Лг, ...} — какая-нибудь пол-
ная в V, а значит и в Н, система линейно независимых элемен-
тов и Нп — линейная оболочка множества {ftj, ..., hn}. Без огра-
ничения общности можно считать, что а0 и ai принадлежат Hz.
Положим аоп = «о и atn = at для п 2 и ниже будем рассма-
тривать уравнения Галёркина (2.2) только при п 2. Их мож-
но теперь записать следующим образом:
(1Й(О + 4(/)и;(/) + Во«п(О, М = 0,
и„(О) = ао, «£(0)-а,.	(3‘б)
Замечание 3.1. Предположения теоремы 3.1 сильнее предпо-
ложений теоремы 1.1. Поэтому для решений ип галёркинских
уравнений (3.5) справедливы все утверждения теоремы 2.1.
Доказательству теоремы 3.1 предпошлем одну лемму.
Лемма 3.1. При предположениях теоремы 3.1 решение ип си-
стемы галёркинских уравнений (3.5) принадлежит C2(S; Нп) и
последовательность {ип} ограничена в C2(S; Н) и в C‘(S; V).
Доказательство. Из леммы 2.1 мы уже знаем, что система га-
лёркинских уравнений (3.5) имеет точно одно решение ип е
е С1 (S; Нп) с и" е Х*п и что последовательность {un} ограни-
чена в С1 (S; Я) и в C(S; V). Согласно лемме 2.3 гл. VI, при за-
данных предположениях операторы A (i) е (V-* V*) демине-
прерывны. Отсюда и из (3.3) вытекает, как нетрудно видеть, что
(A(t)x, у) при фиксированном у е V непрерывно по {/, х} е S X
X V. Кроме того, (Вох, у) при фиксированном у е V непрерывно
по х. Следовательно, система дифференциальных уравнений
(3.5) удовлетворяет предположениям теоремы существования
Пеано. Поэтому решение ип принадлежит C?(S\Hn). Для дока-
зательства ограниченности последовательности {««} в С(5;Я)
рассмотрим функцию wn, определенную формулой
wn(t) = u'n(th) — u'n(t),	Л>0.
§ 3. Теоремы регулярности
301
При принятых нами предположениях имеем
у (I ®л (0 I2 — I wn (0) I2) = J (w'n (s), Wn (s)) ds ==
*	0
e (— A {s 4- h) uh {s + h) — BoUn {s + h) +
0
+ A (s) Un (s) + BoUn (s), wn (s)) ds <
t
< J (— A (s + h)uh{s) + A(s)u'n(s) — BQ{un{s 4- h) — Un{s)) +
0	*
+	(s)>	(s)) ds < J {ftp (|(s) I) I w„ (s) 1 + XI w„ (s) |2} ds —
0
-1 (Bo {Un {t + h)_ un (/)), Un {t + h)- un (/)) +
4- у (Bo («„ (ft) — Oo), Un (Л) — OoX
t
< К J {tf 4- I Wn («) I2) ds -1 (Bo {Un {t 4- ft)-«„ (0, un {t+h)-un (0)4-
0
4- у (Bo {un (ft) — Oo), un (ft) — a0)
с не зависящей от n и t постоянной Л. Разделим это неравенство
на Л2 и перейдем к пределу при h -> 0. Получим
уI«л(012 4-	(0, «»(ОХ* $ (14- X(О I2)ds 4-
о
4-	уХ(0)Р 4- ^{Вм,а& (3.6)
Применяя лемму Гронуолла, находим
I«»(012 < *о (I Wn (0) |2 4- 1), Ко = const. (3.7)
В силу оценки Х(0Х| Л (ОХ 4- BoOol, из (3.7) следует огра-
ниченность последовательности {«^) в С(5;Я). Так как опера-
тор Во положительно определен, из (3,6) вытекает ограничен-
ность последовательности {«„} в C(S; V). Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3.1. 1. Пусть ze V* и {хД — некото-
рая последовательность из И, сходящаяся в V* к г. Ввиду огра-
302 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
ниченности последовательности {«„} в C(S; V),
I (*. «0 - «0) | < 10 - г,, «о—«'))|+К»,, <ю - СИ)I <
ск|г-г,1 + 1(2,, си-ст)!.
Из сходимости последовательности {и'п} в C(S;H) следует, что
при подходящем выборе i правая часть этого неравенства для
достаточно больших п и т будет как угодно мала независимо
от t. Тем самым доказана сходимость последовательности {uh}
в CW(S; V). Ее пределом может быть только производная и' ре-
шения задачи (1.2) (с f — О), существующего согласно тео-
реме 1.1. Следовательно, и' е CW(S; V).
2.	При заданном t е S из последовательности {uh (/)} в силу
ее ограниченности в Н можно выбрать подпоследовательность
{«пу(0}, / = 1, 2...слабо сходящуюся в Н к некоторому эле-
менту у е Н. Используя монотонность оператора А (I) + X/ е
e(V-+V*), находим (см лемму 2.1 гл. VI), что для этой по-
следовательности и для любого х е U
0< \im (А (0 х — А (/) и'П) (0 + X (х —	(/)), х — uh, (0) =
= Ит (А (0 х +	(/) + Bourt/ (/) + X (х — uht (0), х — и'П/ (0) =
= (А (0 х + у + BqU (0 + X (х — и' (/)), х — и' (0).
По лемме 1.3 гл. III отсюда вытекает, что
у = — А (/) и' (0 — Во« (0-
Следовательно, все слабо сходящиеся в Н подпоследова-
тельности последовательности {«^ (/)} сходятся к элементу
—A(t)u'(t)— Bou(t). Отсюда мы заключаем, что и вся последо-
вательность {«„(0) слабо сходится в Н к — A(t)u'(t) — Bou(t).
3.	Из только что доказанного и ограниченности последова-
тельности {«£} в C(S; Н) следует, что
sup| A(f)u'(f) + Bou(t)\ < ОО.	(3.8)
tesS
Пусть теперь t е S произвольно и — какая-нибудь сходя-
щаяся к t последовательность точек из S. В силу (3.3), при лю-
бом х е V
I (А (0 u' (tt) - A (t,) и' а Л х) |< 11 - ti | р (| и' (t<) |) | x |.
Поэтому
lim || A (0 u' {tt) - A (tt) u' (h) |L = 0.	(3.9)
<->OO
§ 3. Теоремы регулярности
303
Ввиду ограниченности последовательности {А(Ь)и'(^) +Вои(^)}
в Н (см. (3.8)) существует подпоследовательность
+ Bou (^z)}> слабо сходящаяся в Н к некоторому у Н. Ис-
пользуя соотношение (3.9) и тот факт, что и принадлежит C(S;
V), а и' принадлежит CW(S; V), находим, что при любом хе V
0< lim (4 (0 х - А (0 и' (ft/) + % (х - и' (ti}), х — и'	=
» lim (4 (0 х — A и' (ttj) — Bqu (tt)) + BqU (tt)) +
+ К (x — и' (tij)), x — u'	=
= (4 (0 x — у + BqU (t) + к (x — u' (0), x — u' (/)).
Отсюда, аналогично тбму, как это делалось выше, получаем,
ЧТО у = А (0 «' (0 + BqU (0 и
4(0)«'(0) + Ввв(0)-^4(0«'(0 + Вбй(0 в Н. (3.10)
4.	На основании предыдущих результатов для любого х е Н
имеем
(и' (0 — аь х) — lim (и'п (0 — аь х) —
.	л->оо
f	t
= lim ( («п (s), х) ds =* — ((4 (s) и' (s) + BqU (s), x) ds.
0	0
В силу непрерывности последнего подынтегрального выражения
(см. (3.10)), из этого соотношения следует, что и' принадлежит
Ct(S; Я) и
«*(0 + 4 (/)«'(/) +Во» (0 е 0 VfeS.
Теорема доказана.
Теорема 3.2. Пусть р = 2, т. е. X = L2(S; V). Предположим,
что 4е (X —*Х*) обладает представлением (3.1), а В^(Х~*
-*Х*) —представлением (3.2). Пусть, далее, оператор В лип-
шиц-непрерывен, оператор А + р/ при некотором р 0 ра-
диально непрерывен и сильно монотонен и для некоторых непре-
304 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
рывных неубывающих функций рд и рв	?-
||Л(0х-Л(5)х||.<|/-8|рЛ(|х|)(14-||х||),	Г
||B(0x-B(s)x||.<|/-s|pB(Hx||)	(3.11) }
при любых s, t е S и х s F.
Тогда при любых Oo^i V с Л (0) ai + В(О)ао^Н задача *
u"(t) + A(t)u'(t) + B(t)u(t) = O Vte=S,	I
«(О) = ао, «'(0) = а1( aeC'(S; V)nC^(S; Я) (3J2) t
имеет точно одно решение.
Доказательство теоремы 3.2 проведем, как и доказательство ;
теоремы 3.1, с помощью метода Галёркина. Уравнения Галёр- I
кина (2.2) при п 2 можно записать следующим образом:	|
i"
(u'n(t) + A(i)u'n(i) + B(t)un(t), hl) = 0, i = l, ...,ra
«„(O) = ao,	«i(0) = a,	(ЗЛЗ) I
i
(ём. рассуждения на стр. 300)	|
%
Замечание 3.2. Предположения теоремы 3.2 сильнее предпо- t
ложений теоремы 1.2. Поэтому для решений ип галёркинских 1
уравнений (3.13) справедливы все утверждения теоремы 2.2.	|
Доказательству теоремы 3.2 предпошлем одну лемму.	|
Лемма 3.2. При предположениях теоремы 3.2 решение ип си- |
стемы галёркинских уравнений (3.13) принадлежит СЦЗ^Нп) и |
последовательность {«п) ограничена в C^S;//) и в С1 (5; V). g
Доказательство. Из леммы 2.2 мы уже знаем, что система га- I
лёркинских уравнений (3.13) имеет точно одно решение ип е |
е С* (S; Нп) с и" е X* и что для последовательности {ип) |
КИс (8; V) + Kllc (S; H) + К1Х < C0I1St	(ЗЛ4> I
Включение ип е C2(S; Нп), как и в случае леммы 3.1, следует из |
теоремы существования Пеано.	I
По лемме 3.3 гл. VI, оператор B(t) е (V—► V*) при каждом |
t е S липшиц-непрерывен с той же самой постоянной Липшица я
М, что и оператор В е (X —► %♦). Поэтому для функции о>я, оп-
ределенной формулой
wa(t) = u'n(t + h) — u'a(t), h>Qt
§ 3. Теоремы регулярности
305
имеем (см. лемму 2.2 гл. VI)
4 (I Wn (0 I2 — I Wn (°) I2) = J (“>n (s). w* (s)) ds =
*	0
= j (- A(s + h)u'n(s + Л) - B(s + h)un(s + h) +
t	+ A (s) u'n (s) + В (s) «n (s), wn (s)) ds =
= (—Л(5+Й)Мп(5+Л)+Л(«4-Л)ип(5)—Л(в4-Й)«;(5)+Л(5)и;(5)—
— B(s + h)un(s + h) + B(s + h)un{s} — B(s + h)un(s) +
t	+ В (s) un (s), wn (s)) ds <
<	j {— m|| wn(s) II2 + I*| wn(s) |2 + h(pA (| u'n (s) I) (1 +1| u'n (s) ||) +
+ Рв (II un (s) ID) || wn (s) || + M || un (s + A) — un (s) || • || w„ (s) ||} ds <
<	j {И I wn (s) |2 + К (A2 + A2 II u'n (s) II2 +1| un (s + h)- un (s) II2)} ds
о
с не зависящей от n и t постоянной К. Разделим это неравенство
на А2 и перейдем к пределу при А —► 0. Получим
у (I «п(012 -1 Ип (0) I2) < $ 0* I u'k{s) I2 + К(1 + 2IIи'п($) II2)} ds <
о
< $ И14 (s) |2 ds + К (Т + 2|| и'п II2 ).
о
Используя (3.14) и лемму Гронуолла, находим
|мп(ОКАСо(|иПО) 1+1),	/<0 = const. (3.15)
Так как | «£(0) |*^| Л (0)ai + В(О)ао I, то из (3.14) и (3.15) сле-
дует ограниченность последовательности {ип} в C2(S;B).
При t г S оператор Л (/) + ц/ е (V -* V*) сильно монотонен
(см. лемму 2.2 гл. VI). Поэтому •
m || и'п (/) ||2 < (Л (0 и'п (0 + ци'п (/) - Л (/) 0, и'п (Г)) =
= (- 4' (0 - В (/) Un (t) + ци'п (0 - Л (0 0, и'п (0) =
=(-«'а0-в(0и„а) + в(00-в(00+в(0)0-В(0)0 +
+ ци'п (/) - л (п о + л (0) о - л (0) о,(/)) <
С (IIU" (0II, + МII ип (/) II + Трв (0) + IIВ (0) 0II, + Грл (0) +
+ IIА(0) 0II,)II и'п (/) || + ц I u'nit) I2<К (||и'п(D ||4- 1)
П X. Гаевский и др.
ЗОв Гл. VII. Операторный дифференциальные уравнения второго порядка
с некоторой независящей от п и t постоянной К. Из этой оценки
вытекает ограниченность последовательности {и'п} в C(Sj V),
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3.2. Основываясь на результатах
леммы 3.2 и теорем 1.2 и 2.2, включение usCi,(S; V) П С® (3; Н)
а равенство
и"(0 + Д(П«'(0 + В(0«(0-0 V/®S
можно доказать так же, как и соответствующие утверждения
теоремы 3.1 (требуется лишь незначительная модификация в
связи с учетом зависимости оператора B(t) от t). Таким обра-
зом, остается только показать, что «'eC(S; V).
На основании уже доказанного, для произвольных s, t е 3
О = (u" (t)-u" (s) + А (0 и' (О -А (0 и' (s) + А (0 и' (s) - А (з) и' (з) +
4-	В (0 и (/) - В (0 и (s) + В (0 и (s) - В (s) и (s), и' (t) - и' (s)) >
> — К | и' (t) — и' (s) 1 + m II и' (0 — и' (s) II2 — |Х I и' (0 — и' (s) I2 —
-(|^-s|p4(|«'(s)|)(l+||«'(s)ll) + Al||u(O-n(s)|| +
+ I t — 3 I pB (II и (s) ID) II u' (0 — и' (3) ||.
Из этой оценки следует, что
Um ||u'(0-«'(s)ll“0,
i->s
т. e. и' e C (S; V), что и требовалось доказать.
2. РЕГУЛЯРНОСТЬ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ВЫБОРЕ
НАЧАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА
<
В теоремах 3.1 и 3.2 решающую роль играет предположение,
что
А (0) ai + Войо э Н, соответственно А (0) at + В (0) Oq ® И-
В этом пункте мы покажем, что аналогичные теоремы справед-
ливы и в случае произвольных начальных элементов а0 <= V,
at <= Н, если для оператора А, помимо условий теоремы 3.1, со-
§ 3. Теоремы регулярности
307
ответственно 3.2, выполнено следующее условие:
Л = Я + С;
(Du) (t) — Dtfu (t) для и е X, t е S,
где Do е (V V*) — некоторый монотонный
коэрцитивный потенциальный оператор; опе-
ратор С e(X->L2(S; Н)) переводит ограни-  (3.16)
ченные множества из X в ограниченные
множества из L2(S; Я);
(Cu)(t) = С (t)u(t), C(t)<=(V-+H),
при «si, fE$.
Теорема 3.3. Пусть операторы А и В удовлетворяют предпо-
ложениям теоремы 3.1 и, кроме того, справедливо условие (3.16).
Тогда при любых a0^V, at& Н задача
u"(f) + A(t)u'(t) + Вом(О = 0,	0 < t <Т,
и(О) — ао, и'(0) = аь utsC(S-,V), (3.17)
и' <= Cw ([6, Т]; Н) П Cw ([6, TJ; V) П W	V6 е (0, л
имеет точно одно решение.
Теорему 3.3 мы докажем вместе со следующей теоремой.
Теорема 3.4. Пусть операторы А и В удовлетворяют предполо-
жениям теоремы 3.2 и, кроме того, выполнено условие (3.16).
Тогда при любых ао е V, at е Н, задача
и" (/) + А (0 и' (0 + В (/) и (0 = 0,	0 < I < Т,
u(Q)^Oq, «'(0) = аь ue=C(S-,V),	(3.18)
и'еcL([б, Л; я)flс([б, Л; Vde(o, л
имеет точно одно решение.
Доказательство теорем 3.3 и 3.4. Мы сведем теоремы 3.3 и 3.4
к теоремам 3.1 и 3.2. Это сведёние оказывается возможным в
силу одной априорной оценки для галёркинских приближений
ип, которая основана на предположении (3.16).
Для единообразия обозначений положим в случае тео-
ремы 3.3
В (t) = Во Для Г е S и рв (I) = 0 для £ 0.
При принятых предположениях галёркинские уравнения
(2.2) можно записать в виде
(иП04-Л(0«а/) + В(/)и„(0, М = 0, i=l.............
ип(О) = аоп, и'п(0) = ащ.
11*
308 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
Решение ип задачи (3.19) принадлежит (^(SjBn). Это доказы-
вается точно так же, как и соответствующее утверждение лем-
мы 3.1.
В ходе дальнейших рассуждений нам понадобится следую-
щая оценка:
t
J J (В (s) Un (s), su'n (s)) ds dt =
S 0
T-h t
= lim-r- \ \ s(B(s)un(s), u'n(s + h) — u'n (s))dsdt —
Mo * J J
T-h ✓ t+h
= lim-|- ( I ( (s — h)(B(s — h)un(s — h), u'n(s))ds —
W 5 \ h
о	/
T-h t
= lim-|- ( (s(B(s — h)ua(s — h) — B(s — h)un(s) +
Ho h J AJ
+ В (s — h) un (s) — В (s) un (s), u'n (s)) ds dt —
t
(s) un (s), u'n ($)) ds dt 4- J t (B (f) un (/), u'n (/)) dt >
so	s
T-h t
— $ 5 s	/0—Hrt(s)ll—Pfl(ll«n(s)II)) IIu'n(s)\\dsdt—
0 h
t
— J J (B (s) Un (s), u'n ($)) ds dt + J t (B (0 «„ (0, u'n (0) dt > — K.t
so	s
где К — некоторая постоянная. Здесь мы воспользовались огра-
ниченностью последовательности {«п} в C(S; V) и ограничен-
ностью последовательности {и'п} в X.
Пусть F—потенциал для Dq. Тогда (см. леммы 4.1 и 4.10
гл. III)
S
F (и'п (s)) — F (ain) = (D&n (<т), «л (ст)) da
о
и
F (и'п (s)) - F (0) < Wn (s),	(s)).
Кроме того, потенциал F ограничен снизу (см. следствие 4.3
гл. III).
§ 3. Теоремы регулярности
309
Подставим теперь в галёркинские уравнения (3.19) вместо
hi значение tu£(t), принадлежащее Нп. Интегрирование дает
О = J J («п (s) + Dow» (s) 4- С (s) и'п (s) 4- В (s) ип (s), stin (s)) ds dt
S 0
>	( s I “»(s) I2 — $ (Dou'n (o), tin (cr)) def 4-1 (DtiUn (s), tin (s)) —
S 0 I	0
- 11 c (s)«; (s) |2 — у I u'n (s) I2 4- (B (s) Un (s), < (s))} ds dt.
В силу предыдущих рассуждений и предположения об ограни-
ченности оператора С, отсюда вытекает, что
° > $ h (у I (s) I2 - FM (з)) 4- F (ain)) ds +
S м
> J J { f I u»(s) I2 - F (°) - (Do«; (s), 4 («))} ds dt - K2 >
S 0
iuJWP-hwuHs),«;(«))+
S 0
4- (C (s) u'n (s), u'n (s)) | ds dt — K3 >
pl^OOl2^/-^,
S 0
где Ki, . • •, Kt — не зависящие от n постоянные. Кроме того,
t

S б
причем постоянные Ks и Кв также не зависят от п. Из двух по-
следних неравенств при помощи леммы Фату получаем
t
J ( lim (s 14U) I2 + II4(s) II2) ds dt <
§ Q П->00
< lim ( J (s|^(s)|2 + ll«;(s)ll2)^^<2^-|-
S Q
310 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
t
Отсюда в силу монотонности интеграла \ lim (s|un(s)l2 +
Q П->ОО
+ II u'n (s) II2) ds no t следует, что
Hm (s | u’h (s) I2 + II Un (s) II2) < оо при почти всех s e S,
n->oo
Поэтому при почти каждом t е (0, Т] последовательность
{I «п (01 + II Un (/) 11} обладает ограниченной подпоследователь-
ностью.
Пусть 6 е (0, Г]. По только что доказанному, существуют та-
кое to е (0, д] и такая последовательность {пД натуральных чи-
сел, что последовательность {|	(/о) | +1| «п, (to) |} ограничена.
Отсюда, как и при доказательстве леммы 3.1, соответственно
леммы, 3.2 (см. (3.6), соответственно (3.15)), выводим, что по-
следовательность {«„J ограничена в С ([/о, Т]-, Н). Установление
ограниченности последовательности {««} в C(S\H) было един-
ственным местом в доказательствах теорем 3.1 и 3.2, где исполь-
зовалось предположение Л(0)Д1 + S(0)aos#. Если вместо ин-
тервала 3 рассмотреть интервал [/0, г], то, исходя из ограничен-
ности последовательности {«nJ в С ([г'о, 7]; Н), можно прове-
сти дальнейшие рассуждения так же, как и при доказательстве
теорем 3.1 и 3.2, только вместо последовательности {ип} надо
всюду работать с подпоследовательностью {«nJ. Таким образом
получаем утверждения теорем 3.3 и 3.4.
§ 4. дальнейшие предложения аппроксимации
С точки зрения численного решения операторных дифферен-
циальных уравнений второго порядка представляет интерес тот
факт, что их можно аппроксимировать не только при помощи
метода Галёркина, но и другими способами. В настоящем пара-
графе будет указана аппроксимация операторных дифферен-
циальных уравнений второго порядка, которая аналогична ап-
проксимации эволюционных уравнений, обсуждавшейся в § 3
гл. VI. Имея в виду получение оценок погрешности и практиче-
скую реализуемость различных приближенных методов, мы, как
и в случае эволюционных уравнений, наложим на входящие в
уравнения операторы более сильные ограничения, чем в преды-
дущих параграфах.
В этом параграфе X = L2(S;V), X* = L?(S,V*) и W =
= {ы|«еХ, и'еХ*). Напомним некоторые введенные в § 3
§ 4. Дальнейшие предложения аппроксимации	311
гл. VI обозначения, которыми мы здесь снова воспользуемся:
J — дуализующее отображение V в V*;
(•, •) — скалярное произведение в V;
jr=i+ &2J &(у-+vy,
(*, УК = (х, у) + е2 (х, у) = (Jex, у);	1 х |8 = V(x, х)8;
Ve = {V;(., • )e); Xe = L2(S;Ve).
Пусть А — оператор Вольтерры из (X X*). По Л и в > О
определим оператор Вольтерры Л8 е (Х8 -> Хе) формулой
(Л8Ы)(0 = У8-1(Л«)(^	(4.1)
Это определение эквивалентно такому:
((Леи) (0, х)8 = ((Ли) (0, х) Vx е V.	(4.2)
Из (4.2) видно, что оператор Л8 действительно отображает про-
странство Хе в себя. Соответственно определяется оператор В8.
Наряду с задачей
«" 4- Аи' + Ви = 0,
и(0) = аоеУ, u'(0) = ai^H, u^C(S;V), и'еХ '''
рассмотрим «аппроксимирующую» задачу
Ие + ЛеИ8 ВгИе = 0,
«8 (0) = «о>	“в (°)в «1*.	«в s с ($•> У в)’ «В s ХВ. (4'4
причем die е Ve будет выбрано позднее.
1. АППРОКСИМАЦИЯ БЕЗ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
ПРЕДПОЛОЖЕНИИ РЕГУЛЯРНОСТИ
Лемма 4.1. Если операторы Вольтерры Л и В из (Х-*Х*)
липшиц-непрерывны, то при любых и0> Ии е У8 задача (4.4)
имеет точно одно решение и8 е С1 (3; И8), для которого u8 s X».
Доказательство. Операторы Л8 и В8 представляют собой лип-
шиц-непрерывные вольтерровы операторы из (Х8 —>• Х8) (см. до-
казательство леммы 3.1 гл. VI). Пусть оператор 7? определен
формулой
(/?») (0 = а0 + v (s) ds, v е X.
о
Очевидно, /? как отображение из X в X, а потому и как отобра-
жение из Хе в Хе является липшиц-непрерывным.
"1Н||Цф
312 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
Если и8 — решение задачи (4.4), то ое = «е будет решением
задачи
Ve + {Ае + BeR) ve = 0,	t>e(0) = au, vesl,. (4.5)
Обратно, u8 = Rve является решением задачи (4.4), если ve —
решение задачи (4.5). Однозначная разрешимость задачи (4.5)
следует из теоремы 1.3 гл. V. Лемма доказана.
Теорема 4.1. Пусть А и В — липшиц-непрерывные операторы
Вольтерры из (X —► X*), причем оператор А + р/ е (X -*• X*)
сильно монотонен при некотором р 0. Далее, пусть для ка-
ждого 8 > 0 элемент ai8 е Vt выбран так, чтобы
lim |au —ai| = 0, lim в || а1е || = 0.	(4.6)
е->0	е-»0
Тогда
Нт (|| «е	U Нс (S; V) Ч” Н U8 « «С (3; Я) " “в “ Н%) О»
где через ив обозначено решение задачи (4.4) и через и — одно-
значно определенное {согласно теореме 1.2) решение задачи
(4.3).
Замечание 4.1. По поводу ситуаций, когда реализуется пред-
положение (4.6), см. замечание 3.2 гл. VI.
Доказательству теоремы 4.1 предпошлем одну лемму.
Лемма 4.2. В условиях теоремы 4.1 при подходящем 6 > О
sup (II Ug Не у\ Ч~ II Ug Нс zj; у \ Ч- II Ug ||^) < оо. (4.7)
Доказательство. Обозначим через М постоянную Липшица
для В и через m — постоянную монотонности для А + р/. При
X Л42Т/т2 имеем (см. (1.6)и (2.4))
у (е~ы | ив (01| -1 aIe Ц) < $ е~^ {i& (s), и'е (s))e ds =
О
t
= е-2Кз (— (Д^') (з) _ (figUg) (s), u' (s))e ds =
0
t
= J e-2Xs (- (A4) (s) + (AO) (s) - (AO) (s) - {BRul) (s) +
0	.'	I
+ {BRO) (s) - {BRO) {s), u'e (s)) ds < j
< Je-2^(_^.||«l(s)||2 + pluas)ll+4ll(4°)(s) + (B/?0)(s)llO ds' j
§ 4. Дальнейшие предложения аппроксимации
313
Выберем б > О так, чтобы
sup |aug= sup (I ale ]2 + в2|| aIe II2) < оо.
0<e<d	0<e<d
Это возможно в силу предположения (4.6). Из последней оцен-
ки, применяя лемму Гронуолла, выводим сначала, что
^UPJWI^^OO.
Отсюда, далее, заключаем, что
sup llUellx <°о-
0<е<в
Наконец, путем интегрирования получаем
II «8 (О II = | «о + j	(S) ds| < II во || + Vr II ui ||х.
Следовательно, и
sup IIWelle(S; V) < °°*
0<в<в	' ’ '
Тем самым лемма доказана.
Доказательство теоремы 4.1. При заданных предположениях
имеем для А, >: М2Т!т2 и произвольной функции
(см. (1.6) и (2.4))
4 е"2« | и', (0 - и' (t) |2 < 1 е~2М (I (0 - * (О I +1 и (О - и' (О |)2 <
<4 I (0 - v (О I2 +11 v (0 - u'(t) |2 <
< e~2Ks (ui (s) — v' (s), 4 (s) — v (s))e ds +
+ 4l «u ~ о (°) g + 41 о (0 - «' (012 =
= — j e-2AS ((A«d (s) + (Be«a) S + O'(s), ui (s) — V (S))e ds +
+41 «и - »(o) s+4> ° ® -u'^ i8 e
t
= - J e~2K° {(((A + BR) u'e) ($) - ((A + BR) u') (s), ui (s)-u' (s)) +
+ (((A + BR) и'*) (s) - ((A + BR) u') (s), u' (s) - v (s)) +
+ (o'(s) — «" (s), u’t (s) — o(s)) 4- e?(o' (s), ««(s) — v (s))} ds +
814 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
+ I «le — V (0) g + у I о (0 — (012 <
< — e-2Xs (т II «* (О — и' (s) II2 — ц | ui (s) — uf (s) |2) ds +
+ IIИ + BR) ui-(A + BR) и' ||л. || и' - v ||х +
4-1| о' — и" ||х. II ui — о ||х + е2 II v' ||х II ui — v ||х +
+ у I aIe - v (0) I2+4» ° «с <$; «)•
Используя лемму Гронуолла, липшиц-непрерывность оператора
A -f- BR е (X —► X*) и соотношение (4.7), получаем отсюда, что
при 0 < в < 6
II Ы8 и' llg (S. эд + II «В и' 1^.
< X {II и' - V ||х + (IIV' - и" ||х. 4- е21| V' ||х) (1 4- IIV Нх) 4-
4-1 а1е - V (0) |2 4- е21| а1е - о (0) II2 4- II v - и' |рс (s. эд},
где К — не зависящая от е и v постоянная. Переход к пределу
при в —» 0 дает
Пт (|| ui - и' ||2 (s. w 4- II«в - |&) <
{|| u'-v ||х4-1| v'-u" ||х. (14-11 v Цх)4-| а,-о (0) |2 4- II v-u' ||* (S; Я)}
Но функцию и' е W можно с любой точностью аппроксими-
ровать функциями v е С1 (S; V) в W, а тем самым и в C(S; Н)
(см. лемму 1.12 гл. IV). Следовательно, при подходящем выборе
v правую часть последней оценки можно сделать как угодно
малой. Так как левая часть этой оценки не зависит от и, отсюда
следует, что
lim (II ui - и' |FC (s. Д) 4- II «в - и' ||2 ) - 0.	(4.8)
Далее, в силу условия «8 (0) = и (0) — а0 из (4.8) вытекает, что
II МО-«юн
(u£(s) — и' (s)) ds
< у/т II «е —и'Ibo
(4-9)
поэтому
lim || и у) — 0»
Теорема доказана.
§ 4. Дальнейшие предложения аппроксимации
315
2. АППРОКСИМАЦИЯ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ РЕГУЛЯРНОСТИ
Теорема 4.2. Пусть выполнены предположения теоремы 3.2 и,
кроме того, оператор А е (X —► X*) является липшиц-непрврыв-
ным. Обозначим через и однозначно определенное (согласно
теореме 3.2) решение задачи (3.12) при заданных начальных ус-
ловиях aQ, at е V, таких, что А (0) at + В (0) а0 е Н. Пусть, да-
лее, ut — решение задачи (4.4) при а1е = а\. Тогда (в предпо-
ложении, что 0 < е < 1)
®) II “в	U Ис (8; V)	^1®>
b) II— и' ||с (s. 4- II и'е — и' ||х < ЛТ2в;
с) H«i-«'l|C(Str)<Af3Ve;
d) 11«;'-м"||С(5.^<Л!47Г;
е) hmu'i = u" в CW(S- Н),
е-»0
причем постоянные Му ..., М4 можно явно указать.
Доказательству теоремы 4.2 предпошлем одну лемму.
Лемма 4.3. В условиях теоремы 4.2, и£ е С (S; Ve) и
sup || «в lie ,s. v > < oo.	(4.10)
•>o V”
Доказательство. По лемме 4.1, ut&Cx(S’,V^ и u£eXe.
Включение u'l^C(S; Ve) следует из равенства Ue = — Abu'8—B8ue
и справедливой при любом х е Уе оценки
(Ле (0 4 (0 +	(0 Ue (0 — Ле (s) Ue (s) — Be (s) Ue (s), x)8 ==
«(Л (0«e(0 — Л (Z)Ue(s) + Л (/)uj (s) — Л (s)ui(s) +
+ В (0 Ue (0 — В (t) U8 (s) + В (/) Ue (s) — В (s) U8 (s), x) <
< {MA || Ui(t) - u'8 (S) || + \t - S | Рл (| U', (s) |) (1 + || Ul (в) ||) +
+ MB || Ue (/) - Ue (8) || + I t - 8 | Pb (|| U8 (s) ||)} | X I, • j ,
где через MA и Мв обозначены постоянные Липшица для опера-
торов Л и В (см. также лемму 3.3 гл. VI).
Перейдем к доказательству соотношения (4.10). Положим
,	Wt(i) = U^(t + Й) — Ue(/),	h > 0.
Постоянную монотонности для Л + обозначим, как обычно,
через т. Используя (4.7) (с S = оо, ввиду того что а1в = ai),
316 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
получаем
у (I Wg (0 g — | we (0) |2) = J (w'g(s), w, (s))8 ds =
0
t
= J (—A(s + h)ufe(s^-h)+A(s+h)ui(s)—A(s+h)ui(s)+A(s)ui(s)—
о
— В (s + h) tig (s + h) + В (s + ft) tig (s) — В (s 4- h) Ug (s) +
+ В (s) ие (s), Wg (s)) ds
<${-'"i%wr+i*|I«.(s)i!+*(Px(i«;(s)i)(i+Kwi) +
+ Pb (II «8 (s) ID) II wg (s) II + MBII «8 (s + ft) — Ue (s) II • II Wg (s) II) ds <
< J {ИIW. (s) I2 + К (ft2 + ft21 < (S) II2 + II «8 (s + Л) - «8 (s) II2)} ds,
0
где постоянная К не зависит от е и t. Деля это неравенство
на Л2 и устремляя h к нулю, находим
t
I (। < (') i: -1 о» в < $ {и I«») 1!+«(1+21»; w га	 '
о
< J Р|«е (s)|8ds + tfp Д’, = Const.
О
Применение леммы Гронуолла дает
|“.''(0|.<МК<0)|.+ >)•	=	<4.11)
При xeV имеем
(«; (0), 4---(4 (0) а, + Ве (0) а0, х)е =
= -(Л(0)0,4-5(0)00, х)<|4(0)0,4-5(0)001-1x1^
поэтому |м8 (0)|е <| 4(0)а, 4-5(О)ао|. Отсюда и йз (4.11) и сле-
дует утверждение леммы.
Доказательство теоремы 4.2. При заданных предположениях
мы можем воспользоваться результатами теоремы 4.1.
§ 4. Дальнейшие предложения аппроксимации
317
Доказательство утверждения Ь). Используя (4.10),
(1.6) и (2.4), получаем, что при
у е~2М | и' (0 — и' (0 |2 < J e-2Xs (и" (s) — и" (s), и'е (s) — uf (s)) ds =
о
= j e-2Ks (-Ae(s)u'e(з) - Bg(з)ue(3) + A(3)u' (s) +
0
+ В (s) и (s), Ut (s) — u' (s)) ds =
= J e~2Ks {(_ Д (s)	(s) _|_ A (s) U' (s) _ B (s) „e (s) +
+ В (S) U (s), «e (s) — Uf (S)) +
t	+e2 (Ae (s) ut («) + Bz (S) “e (s)» “e (S) — (S))} ds <
< j e~2Xs { — -J- К <s) - «' («) И2 + H | «в <s)— u' (*) I2 +
+ 81 Лв (s) и' (s) 4- Be (s) ue (s) k I«'(s) — и' (s) I) ds <
< J e~*s { — y |«' (з) — и' (s) J2 + ц | и' (s) — u' (s) |2 + e?K } ds,
0
где К — не зависящая от в и t постоянная. Из этой оценки с по-
мощью леммы Гронуолла находим
чем и установлена справедливость утверждения Ь). Из дока-
зательств лемм 4.2 и 4.3, а также из только что проведенной
оценки вытекает, что постоянную М2 можно явно указать без
предварительного знания решения и.
Доказательство утверждения а). Это утверждение
получается из (4.9) и Ь), если положить М\ = М2л/Т.
Доказательство утверждения с). Вследствие силь-
ной монотонности оператора А (I) + р/ е (У-> V*) (см. лем-
му 2.2. гл. VI) при в > 0 имеем
0 - (и" (0 - и" (0 4- Ле (0 < (0 - Л (0 и' (0 4-
+ Ве (0 ut (I) - В (t) и (0, и'е (0 - и' (0) =
= «(0 - и" (0 + Л (0 u't (0 - Л (0 и' (0 4- В (0 ие (0 -
-В(0«(0, Ы;(0-«'(0)-е2(Лв(0«'(04-Вв(0це(0, ы;(0-ы'(0)>
>-2/<|<-И'||С(5;Я)4-т|ЫаО-и'(0||2-н||и'е-и'|^5.Н)-
- MB\ut(t) - «(0|| . |«'(0 -«'(0|| - e^he'W - “W
"Шинину
318 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
Отсюда, используя а) и Ь), получаем "(при 0 < е < 1)
т1«:(0-«'(0Г<27<|И:-М'||С(5;Я) + ^<-М^(5;Я) +
+ ± (Мв || «е (0 - и (t) II + ею2 С
< (2КМ2 + цМ22 + (MBMi + Ю2) 8,
чем с) и доказано.
Доказательство утверждения d). При любых хе/
и е > 0, б> 0 имеем
1(<(П-«П0, *)| =
= | (Л (0 < (0 + ве (0 и, (0 - лв (П < (/) - вй (0 и6 (П, X) I =
= | И (0 “* (0 - А <0 «в ® + в (0 “8 (0 - в ® иъ	х) +
+ (—в2(ле (/)<(/) + ве(П«в(О) + б2(Л(/)«'(0 + ММ). *)|<
<	- < (S:	мс (5; ю+<в+fi) *) ||х ||-
Отсюда вытекает, что последовательность {i4f} сходится в C(S;
V*). Так как ее пределом может быть только и", то и" е C(S;
V*). Из выведенной выше оценки предельным переходом при
6-*0 получаем, с учетом предыдущих результатов, что (при
О < е < 1)
II< (о - и" (/) ||, < (млм3 + мвм, + ю уё.
Тем самым доказано d).
Доказательство утверждения е). Мы уже знаем,
что и" принадлежит CW(S; Я) (см. теорему 3.2). Пусть х^Н и
{%,} — какая-нибудь последовательность из V, сходящаяся в Н
к х. Тогда для е > 0 имеем
I«(0, X) | <| (и"(0, х-х{)| + |	(/)-«"(/), xt)| <
<2K|x-xd + M4V?||xl||.
Правая часть этого неравенства не зависит от t и при подходя-
щем выборе i становится для достаточно малых в как угодно
малой, чем и установлена справедливость утверждения е). Тео-
рема доказана.
Замечания к гл. VII
310
Замечание 4.2. Теоремы § 4 показывают, как можно сводить
задачи Коши для операторных дифференциальных уравнений
второго порядка с операторами из	к соответствующим
задачам с операторами из (Х8—►Хе) . Для решения этих прибли-
женных задач может быть использован проекционно-итерацион-
ный метод, указанный в теореме 4.5 гл. V. Действительно, за-
дача (4.4) эквивалентна, как мы видели, задаче (4.5) с липшиц-
непрерывным оператором Л» + BeR е (Х8—>Хе).
Задачу (4.4) можно записать также следующим образом:
а’* + сеа’е = °.	«^(О) = {«о. а1в}’ ™е&Х'ХХл, (4.12)
где оператор Се определен правилом
ое, Лео8 + В8«е} для we<=={ue, ое}.
Оператор Се является липшиц-непрерывным отображением про-
странства	в себя. Формулировка (4.12) нашей прибли-
женной задачи .еще раз показывает, что эта задача может быть
эффективно решена при помощи вышеупомянутого метода, за-
данного в теореме 4.6 гл. V»
ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. VII
Первые основополагающие результаты, касающиеся одного определенного
класса нелинейных уравнений второго порядка с монотонными операторами,
принадлежат Лионсу и Штрауссу [1]. Сходные результаты были получены
также Браудером [9]. Первые результаты для некоторого другого класса
уравнений второго порядка имеются у Гаевского [4]. Утверждения о суще-
ствовании периодических решений определенных уравнений второго порядка
восходят к Проди [1]. В указанных работах Лионе и Штраусс, равно как и
Проди, рассматривают уравнения вида +
с операторами A(/)e(IF-> IF*) н	V*); при этом W П V должно
быть плотно в Я. Для упрощения доказательств, чтобы иметь возможность
получить утверждения о сходимости метода Галёркина, мы ограничились
здесь частным случаем W = V. Зато в другом отношении, тем что мы рас-
сматриваем уравнения с операторами Вольтерры, мы достигаем обобщения
как упомянутых выше результатов, так и результатов Грёгера [1]. Новым
является и способ сведения уравнений второго порядка к эволюционным
уравнениям. Утверждения о сильной сходимости метода Галёркина, содержа-
щиеся в теоремах 2.1 и 2.2, в приведенной их форме также являются новыми.
Задачу, которой занимались Гринберг, Мак-Кэми и Мизел [1], можно рас-
сматривать как простой пример ситуации, когда реализуются предположения
теорем 1.2 и 2.2.
Результаты § 3 представляют собой перенесение на случай уравнений
второго порядка соответствующих результатов для эволюционных уравнений.
Теорема 3.1 «пересекается» с одним результатом Браудера [9]. Теорема 3.2
впервые доказана Гаевским [4] с помощью аппроксимационного метода, опи-
санного в § 4. При предположениях теоремы 3.2 утверждения о сходимости
метода Галёркина, приведенные в теореме 2.2, могут быть уточнены. Соответ-
ствующие формулировки имеются у Гаевского и Захариаса [2]. Некоторое
520 Гл. VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка
обобщение теоремы 3.2 получено Гаевским и Грёгером [1]. Решающая для
теорем 3.3 и 3.4 априорная оценка галёркинских приближений основана на
одной идее Брезиса [3], примененной им для оценки аппроксимаций Иосиды
для эволюционных уравнений.
Обсуждаемая в § 4 аппроксимация операторных дифференциальных урав-
нений второго порядка предложена Гаевским [4]. Она вполне аналогична
указанной в § 3 гл. VI аппроксимации эволюционных уравнений. Теорема 4.1
в приведенной ее форме нова. Теорема 4.2 представляет собой перенос оценок
погрешности, данных Гаевским [5] для эволюционных уравнений, на случай
дифференциальных уравнений второго порядка.
Относительно дальнейших результатов об операторных дифференциаль-
ных уравнениях второго порядка и других методах их исследования см. Ли-
оне [1] и Барбу [1], а по поводу линейных уравнений — Лионе и Мадже-
нес [1].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1)
Адамс, Ароншайн и Смит (R. Adams, N. Aronszajn, К. Т. Smith)
[1] Theory of Bessel potentias. II, Ann. Inst Fourier, 17 (1967), 1—135.
Артоля (M. Artola)
[1] Sur les perturbations des Equations d’evolution. Application A des
problemes de retard, Ann. E. N. S., 2 (1969), 137—253.
Асплунд (E. Asplund)
[1] Averaged norms, Israel J. Math., 5 (1967), 227—233.
Барбу (V. Barbu)
[1] Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces,
Bukarest, Leyden, 1976.
Белецкий (A. Bielecki)
[1] Une remarque sur la methode de Banach-Cacciopoli-Tikhonov, Bull.
Acad. Polon. Set, 4 (1956), 261—268.
Бесов О. В., В. П. Ильин и С. М. Никольский
[1] Интегральные представления функций и теоремы вложения, «Наука»,
М., 1975.
Бёрлинг и Ливингстон (A. Beurling, А. Е. Livingston)
[1] A theorem on duality mappings in Banach spaces, Ark. Mat., 4 (1961),
405—411.
Биттнер (L. Bittner)
[1] Abschatzungen bei Variationsmethoden mit Hilfe von Dualitatssatzen.
1, Numer. Math., 11 (1968), 129—143.
[2] Abschatzungen ... II, Numer. Math., 16 (1971), 285—303.
Бохнер (S. Bochner)
[1]	Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektor-
raumes sind, Fund. Math., 20 (1933), 262—276.
Браудер (F. E. Browder)
[1]	On the spectral theory of elliptic differential operators, Math. Ann.,
142 (1961), 22—130.
[2]	Nonlinear elliptic boundary value problems, Bull. Amer. Math. Soc.,
69 (1963), 862—874.
3]	Nonlinear equations of evolution, Ann. Math., 80 (1964), 485—523.
4]	Nonlinear initial value problems, Ann. Math., 82 (1965), 51—87.
‘5]	Fixed-point theorems for non-compact mappings in Hilbert space, Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 53 (1965), 1272—1276.
[6]	Existence of periodic solutions for nonlinear equations of evolution,
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 53 (1965), 1100—1103.
[7]	On a theorem of Beurling and Livingston, Canad. J. Math., 17 (1965),
367—372.
*) Для переводных книг в круглых скобках указан год выхода ориги-
нального издания. Звездочкой помечены работы, добавленные при переводе.
Прим. ред.
" lllllll
822
Список литературы
[8]	Problemes non lineaires, Presses de 1’Univ. de Montreal, 1966.
[9]	Nonlinear functional analysis and nonlinear partial differential equa-
tions, Differ, equat. and their applic., J. Acta Fac. rerum natur. Univ.
Comen., 1967, 45—64.
[10]	Nonlinear maximal monotone operators in Banach space, Math. Ann.,
175 (1968), 89—113.
[11]	Nonlinear eigenvalue problems and Galerkin approximations, Bull.
Amer. Math. Soc., 74 (1968), 651—656.
[12]	Nonlinear functional analysis and nonlinear integral equations of
Hammerstein and Urysohn type, Contributions to nonlinear fuctionat
analysis (ed. E. Zarantonello), New York, 1971, 425—500.
Браудер и Хесс (F. E. Browder. P. Hess)
[1]	Nonlinear mappings of monotone type in Banach spaces, J. Funct
Anal., 11 (1972), 251—294.
Браудер и Петришин (F. E. Browder, W. V. Petryshyn)
[1]	Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space,
J. Math. Anal. Appl., 20 (1967), 197—228.
Брезис (H. Brezis)
[1]	Equations et inequations non-lin£aires dans les espaces vfcctoriels en
duality Ann. Inst. Fourier, 18 (1968), 115—176.
[2]	On some degenerate nonlinear parabolic equations, Proc. Sympos. Pure
Math., 18, AMS, Providence, 1970, 28—38.
[3]	Monotonicity methods in Hilbert spaces and some applications to non-
linear partial differential equations, «Contributions to nonlinear func-
tional analysis», (ed. E. Zarantonello), New York, 1971, 101—156.
[41 Problemes unilateraux, J. Math, pures appl., 51 (1972), 1—168.
[5] Opfcrateurs maximaux monotones et semigroupes de contractions dans
les espaces de Hilbert, Amsterdam-London-New York, 1973.
Брезис и Браудер (H. Brezis, F. E. Browder)
[1] Maximal monotone operators in nonreflexive Banach spaces and non-
linear integral equations of Hammerstein type, Bull. Amer. Math. Soc.,
81 (1975), 82—88.
Брезис, Крендалл и Пэйзи (Н. Brezis, М. G. Crandall, A. Pazy)
[1] Perturbations of nonlinear maximal monotone sets in Banach spaces,
Comm. Pure Appl. Math., 23 (1970), 123—144.
Брезис и Пэйзи (H. Brezis, A. Pazy)
[1] Convergence and approximation of semigroups of nonlinear operators
in Banach spaces, J. Funct. Anal., 9 (1972), 63—74.
Бурбаки (N. Bourbaki)
[1] Функции действительного переменного, «Мир», М., 1965.
[2] Интегрирование, гл. 1—5, «Наука», М., 1967; гл. 6—8, «Наука», М.,
1970.
Вайнберг М. М.
[1] Вариационные методы исследования нелинейных операторов, Гостех-
издат, М., 1956.
♦[2] О некоторых новых принципах в теории нелинейных уравнений, УМН,
15 (1960), № 1.
[3] Вариационный метод и метод монотонных операторов, «Наука», М.,
1972.
Вайнберг М. М. и Р. И» Качуровский
[1]	К вариационной теории нелинейных операторов и уравнений, ДАН,
129 (1959), № 6, 1199—1202.	I
Варга (R. Varga)
[1]	Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном ана-
лизе, «Мир», М., 1974 (1971).
Вишик М. И.
[1]	Краевые задачи для квазилинейных сильно эллиптических систем
Список литературы
323
уравнений, имеющих дивергентную форму, ДАН, 138 (1961)', № 3,
518—521.
[2]	О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических
уравнений высших порядков, Матем. сб., 59 (доп.) (1962), 289—325.
[3]	Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных
уравнений, имеющие дивергентную форму, Тр. Моск, матем. о-ва, 12
(1963), 125—184.
Владимиров В. С.
[1]	Уравнения математической физики, сНаука», М., 1967.
Гаевский (Н. Gajewski)
[1]	Iterationsverfahren bei Folgen kontraktiver Operatoren, Mber. Dt. Ak.
Wise., 11 (1969), 818—826.
[2]	Zur Approximation nichtlinearer Evolutionsgleichungen durch abstrakte
Differentialgleichungen mit Lipschitzstetigen Operatoren, Math. Nachr.,
48 (1970), 377—385.
[3]	Zur Konvergenz des Galerkin-Verfahrens bei nichtlinearen Evolutions-
gleichungen, Math. Nachr., 49 (1971), 261—266.
[4]	uber eine Klasse nichtlinearer abstrakter Wellengleichungen im Hil-
bert-Raum, Math. Nachr., 52 (1972), 371—383.
[5]	Ober eine Approximationsmethode fur nichtlineare Evolutionsgleichun-
gen, Math. Nachr., 54 (1972), 297—307.
Гаевский и Грёгер (H. Gajewski, К. Groger)
[1]	Zur Losbarkeit einer Klasse von Differentialgleichungen zweiter Ord-
nung im Hilbert-Raum, Math. Nachr., 56 (1973), 111—124.
[2]	Ein Iterationsverfahren fur Gleichungen mit einem maximal monotoneri
Operator und einem stark monotonen Lipschitz-stetigen Operator, Math.
Nachr., 69 (1975), 307—317.
[3]	Konjugierte Operatoren und a-posteriori-FehlerabschStzungen, Math.
Nachr., 73 (1976), 315—333.
Гаевский и Захариас (H. Gajewski, К. Zacharias)
[1]	Zur starken Konvergenz des Galerkin-Verfahrens bei einer Klasse
pseudoparabolischer partieller Differentialgleichungen, Math. Nachr., 47
(1970), 365—376.
[2]	Zur Konvergenz des Galerkin-Verfahrens bei einer Klasse nichtlinearer
abstrakter Wellengleichungen, Math. Nachr., 53 (1972), 291—301.
[3]	Ober eine Klasse nichtlinearer Differentialgleichungen im Hilbert-Raum,
J. Math. Anal. Appl., 44 (1973), 71—87.
[4]	Ober eine weitere Klasse nicntlinearer Differentialgleichungen im Hil-
bert-Raum, Math. Nachr., 57 (1973), 127—140.
Гаевский и Клуге (H. Gajewski, R. Kluge)
[1] Projektions-Iterationsverfahren und nichtlineare Probleme mit mono-
tonen Operatoren, Mber. Dt. Ak. Wiss., 12 (1970), 98—115.
Гальперн C. A.
[1] Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными
производными, Тр. Моск, матем. о-ва, 9 (1960), 401—423.
Гальярдо (Е. Gagliardo)
[1]	Caratterizzazioni delle trace sulla frontiera relative ad alcune classi die
funzioni in n variabili, Rend. Sem. Mat. Padova, 27 (1957),284—304.
Гельфанд И. M. и Г. Е. Шилов
*[1] Обобщенные функции и действия над ними, 2-е изд., Физматгиз, М.,
1959.
Годунов А. Н.
*[1] Некоторые свойства дифференциальных уравнений в локально вы-
пуклых пространствах, канд. дисс., МГУ, 1973.
Гординг и Лионе (L. Garding, J. L. Lions)
[1] Functional analysis, Nuovo Cimento, 14, ser. X (1959), Supplemento,
19—66.
324
Список литературы
Грёгер (К. Groger)
[1] Zur Teorie nichtlinearer Differentialgleichungen erster und zweiter
Ordnung mit Gedachtnis in Banach-bzw. Hilbert-Raumen, Math. Nachr.,
56 (1973), 161—167.
[2] Zum Galerkin-Verfanhren fur Evolutionsgleichungen, Theory of Non-
linear operators, Proceedings of a summer-school, held in October 1972
at Neuendorf (Hiddensee), GDR, Akademie-Verlag, Berlin, 1974, 85—
104.
Гринберг, Мак-Кэми и Мизел (J. М. Greenberg, R. C. MacCa my, V. J. Mi-
zel)
[1] On the existence, uniqueness and stability of solutions of the equation
0'(ux)uxx + KuXiX = ро«и. J. Math. Meeh., 17 (1968), 707—728.
Данфорд и Шварц (N. Dunford, J. T. Schwartz)
[1] Линейные операторы, т. 1, ИЛ, М., 1962 (1958); т. 2, «Мир», М, 1966
(1963).
Деклу (J. Descloux)
[11 On the heat equation, Math. Z., 113 (1970), 376—382.
Динкуляну (N. Dinculeanu)
[1] Vector measures, Berlin, 1966.
Дубинский Ю. A.
[1] Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого
порядка, УМН, 23 (1968), № 1, 45—90.
Дуглас и Дюпон (J. Douglas, Т. Dupont)
[1] Galerkin methods for parabolic equations, SIAM J. Numer. Anal., 7
(1970), 575—626.
Дьёдонне (J. Dieudonnd)
[1] Основы современного анализа, «Мир», М., 1964 (1960).
Дюво и Лионе (G. Duvaut, J. L. Lions)
[11 Les inequations en mecanique et en physique, Paris, 1972.
Заанен (A. Zaanen)
[1] Linear analysis, Amsterdam, 1956.
Иосида (К. Yosida)
[1] Функциональный анализ, «Мир», М., 1967 (1965).
Иоффе А. Д. и В. М. Тихомиров
[1] Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи, УМН,
23 (1968), №6, 51—116.
Кальдерон (А. Р. Calderon)
[1] Lebesgue spaces of differentiable functions and distributions, Proc.
Sympos. Pure Math., 4, Providence, 1961, 33—49.
Камке (E. Kamke)
[1] Das Lebesgue-Stieltjes-Integral, Leipzig, 1956.
Канторович Л. В. и Г. П. Акилов
[1J Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физматгиз,
М., 1959.
Картан (Н. Cartan)
[1J Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы, «Мир», М.,
1971 (1967).
Като (Т. Kato)
[1] Nonlinear evolution equations in Banach spaces, Proc. Symp. Appl.
Math., 17, AMS, New York, 1965, 50—67.
[2] Nonlinear semi-groups and evolution equations, J. Math. Soc. Japan, 19
(1967), 508—520.
[3] Demicontinuity, hemicontinuity and monotonicity. II, Bull. Amer. Math.
Soc., 73 (1967), 886—889.
Качуровский P. И.
[1] О монотонных операторах и выпуклых функционалах, УМН, 15
(1960), № 4, 213—215.
Список литературы
325
[2] Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах, УМН,
23 (1968), № 2, 121—168.
Кете (G. Kothe)
[1] Topologische lineare Raume. I, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1960.
Клуге (R. Kluge)
fl] Nichtlineare Operatorungleichungen und Extremalaufgaben. Theorieund
Naherungsverfahren, Berlin, 1976.
Костюченко А. Г. и Г. И. Эскин
[1] Задачи Коши для уравнений Соболева — Гальперна, Тр. Моск, ма-
тем. о-ва, 10 (1961), 273—285.
Красносельский М. А.
[1] Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравне-
ний, Гостехиздат, М., 1956.
Красносельский М. А. и А. В. Покровский
[1] Внброустойчивость решений дифференциальных уравнений, ДАН, 195
(1970), 544—547.
Крэндалл и Лиггетт (М. G. Crandall, Т. М. Liggett)
[1] Generation of semi-groups of nonlinear transformations on general
Banach spaces, Amer. J. Math., 93 (1971), 265—298.
Ладыженская О. A.
[1] Funktionalanalytische Untersuchungen der Navier-Stokesschen Glei-
chungen, Berlin, 1965.
Ладыженская О. А., В. А. Солонников и H. H. Уральцева
[1]	Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, «Нау-
ка», М., 1967.
Ладыженская О. А. и Н. Н. Уральцева
[1]	Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, «Наука»,
М., 1964.
Лакс (Р. D. Lax)
[1]	On Cauchy’s problem for hyperbolic equations and the differentiability
of the solutions of elliptic equations, Comm. Pure Appl. Math., 8
(1955), 615—653.
Лангенбах (A. Langenbach)
[1]	О применении вариационного принципа к некоторым нелинейным ва-
риационным уравнениям, ДАН, 121 (1958), 214—217.
[2]	Variationsmethoden in der nichtlinearen Elastizitats- und Plastizitats-
theorie, Wiss. Z. Hymboldt-Univ. Berlin, Math.-Nat. R., 9 (1959/60),
145—164.
[3]	Stetig differenzierbare Trajektorien rheologischer Platten, Math.
Nachr., 49 (1971), 359—368.
[4]	Monotone Potentialoperatoren in Theorie und Anwendung, Berlin, 1975.
Лерэ и Лионе (J. Leray, J. L. Lions)
[1] Quelques resultats de Visik sur les problemes elliptiques non lineaires
par les mdthodes de Minty-Browder, Bull. Soc. Math. France, 93
(1965), 97-107.
Лионе (J. L. Lions)
[1] Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, «Мир», М.,
1972 (1969).
[2] О неравенствах в частных производных, УМН, 26 (1971), № 2, 205—
263.
Лионе и Мадженес (J. L. Lions, Е. М a genes)
[1] Неоднородные граничные задачи и их приложения, «Мир», М., 1971
(1968).
Лионе и Штраусс (J. L. Lions, W. Strauss)
[1] Some non linear evolution equations, Bull. Soc. Math. France, 93
(1965), 43—96.
326
Список литературы
Люстерник Л. А. и В. И. Соболев
[1] Элементы функционального анализа, «Наука», М., 1965.
Мадженес (Е. М a genes)
[1] Spazi di interpolazione ed equazioni a derivate parziali, Atti VII Con-
gresso U. M. I., Genova 1963, Ediz. Cremonese, Roma, 1964, 134—197.
Минти (G. J. Minty)
[1] Monotone (non linear) operators in Hilbert space, Duke Math. J., 29
(1962), 341—346.
[2] On a monotonicity method for the solution of non linear equations in
Banach spaces, Proc. Nat Acad. Sci. USA, 50 (1963), 1038—1041.
[3] On some aspects of the theory of monotone operators, в сб. «Theory
and applications of monotone operators», Proc. NATO Advanced Study
Inst. (Venice 1968), Gubbio, 1969, 67—82.
Михлин С. Г.
[1]	Проблема минимума квадратичного функционала, Гостехиздат,
М. —Л., 1952.
[2]	Вариационные методы в математической физике, «Наука», М., 1970.
[3]	Численная реализация вариационных методов, «Наука», М., 1966.
Моро (J. J. Moreau)
[1] Fonctions convexes en duality Multigraph, Seminaires de Mathemati-
ques, Faculty des Sciences, UniversitC de Montpellier, 1962.
[2] Proximity et dualitd dans un espace Hilbertien, Bull. Soc. Math. France»
93 (1965), 273—299.
Морри (С. B. Morrey, Jr.)
[1] Multiple integrals in the calculus of variations, Berlin, 1966.
Натансон И. П.
[1] Теория функций вещественной переменной, 3-е изд., «Наука», М., 1974.
Нечас (J. NeCas)
[1] Les mCthodes directes en thfeorie des Equations elliptiques, Prag, 1967.
Никольский С. M.
[1] Приближение функций многих переменных и теоремы вложения,
«Наука», М., 1969.
Обэн (J. Р. Aubin)
[1] Approximation of elliptic boundary value problems, New York, London,
1972.
Паскали (D. Pascali)
[1] Operatori neliniari, Bukafest, 1974,
Петре (J. Peetre)
[1] Espaces d’interpolation et thfcorSme de Sobolev, Ann. Inst. Fourier, 16
(1966), 279—317.
Петришин (W. V. Petry shy n)
[1] Projection methods in nonlinear numerical functional analysis, J. Math.
Meeh., 17 (1967), 353-372.
Проди (G. Prodi)
[1] Soluzioni periodiche dell’equazione delle onde con termine dissipativo
non-lineare, Rend. Sem. Mat. Padova, 35 (1965).
Рокафеллар (R. T. Rockafellar)
[1] Local boundedness of nonlinear monotone operators, Michigan Math. J.,
16 (1969), 397—407.
[2] On the maximality of sums of nonlinear monotone operators, Trans.
Amer. Math. Soc., 149 (1970), 75—68.
Сарантонелло (E. H. Zarantonello)
[1] Solving functional equations by contractive averaging, Tech. Re-
port 160, US-Army Research Center, Madison, Wisconsin, I960.
Смирнов В. И.
[1] Курс высшей математики, т. 5, Физматгиз, М., 1959.
Список литературы
327
Соболев С. Л.
[1] Применения функционального анализа к математической физике, Л.,
1950.
Стейн (Е. М. Stein)
[1] Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций,
«Мир», М., 1973 (1970).
Тинг (Т. W. Ting)
[1] Certain non-steady flows of second-order fluids, Arch. Rat. Meeh.
Anal., 14 (1963), 1—26.
[2] Parabolic and pseudo-parabolic partial differential equations, J. Math.
Soc. Japan, 21 (1969), 440—453.
Трев (F. Trdves)
[1] Topological vector spaces, distributions and kernels, New York-London,
1967.
Трибель (H. Triebel)
[1] Hohere Analysis, Berlin, 1972.
Трусделл (C. Truesdell)
[1] Second-order effects in the mechanics of materials, в сб. «Second-order
effects in elasticity, plasticity and fluid dynamics" (Ed. M. Reiner,
D. Abir), Proc. Inter. Symp. Haifa 1962, Pergamon Press, 1962.
Федерер (H. Federer)
[1] Geometric measure theory, Berlin-Heidelberg-New York, 1969.
Фенхель (W. Fenchel)
[1] On conjugate convex functions, Canad. J. Math., 1 (1949), 73—77.
Халмош (P. R. Halmos)
[1] Теория меры, ИЛ, M., 1953 (1950).
Хаупт, Ay мани и Паук (О. Haupt, G. Aumann, С. Раис)
[1] Differential- und Integralrechnung. Ill, Berlin, 1955.
Хёрмандер (L. Hormander)
[1] Линейные дифференциальные операторы с частными производными,
«Мир», М., 1965 (1963).
Шварц Л. (L. Schwartz)
[1] Distributions a valeur vectorielles. I, Ann. Inst. Fourier, 7 (1957),
1—141.
[2] Thfcorie des distributions. I. II, Paris, 1957, 1959.
Шовальтер (R. E. Showalter)
[1] Partial differential equations of Sobolev-Galpern type, Pacific J. Math.,
31 (1969), 787—794.
[2] Weak solutions of nonlinear evolution equations of Sobolev-Galpern
type, J. Diff. Eqs., 11 (1972), 252—265.
Шовальтер и Тинг (R. E. Schowalter, T. W. Ting)
[1] Pseudo-parabolic partial differential equations, SIAM J. Math. Anal.,
1 (1970).
Эдвардс (R. E. Edwards)
[1] Функциональный анализ, «Мир», M., 1969 (1965).
Эклан и Темам (I. Ekeland, R. Temam)
[1] Analyse convexe et problemes variationneles. Paris-Brussel-Montreal,
1974.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Ло 53
Л* 19
С*-1 48
Ст (G1 32
С(С) 32
C?(G) 33
C“(G) 33
C(S; X) 147
Cm(S; X) 147
CW(S; X) 147
CS (S; X) 147
Da 32
D (E) 52
S){G) 41
S)*(G) 41
0(S) 167
0*(S; X) 167
domF 132
epiF 117
Eu 52
F* 132
Hk(G) 44
tf$(G) 44
H~k(G) 51
int M 10
J 22
L 53
LP(G) 37
L°°(G) 38
£?(G) 37
£Р(Г) 46
LP(S; X) 154
L°°(S; X) 157
^(X; У) 15
M(E) 52
R 27
Rl 13
Rn 32
R(E) 55
R(G) 48
suppu 32
vraimax 37
V с H с V* 29
Wk> ” (G) 44
Wk0'p(G) 44
W~k’4G) 51
lFfe’p(r) 48
X* 15
Х + У 23
Y 80
II • lie. fe 191
II * lk«. k 233
II • llo 54
<•, ->o 54
— 19
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамс (R. Adams) 76, 321
Акилов Г. П. 9, 76, 324
Ароншайн (N. Aronszajn) 76, 321
Артоля (М. Artola) 236, 321
Асплунд (Е. Asplund) 143, 321
Ауманн (G. Aumann) 76, 327
Барбу (V. Barbu) 6, 143, 281, 320,
321
Белецкий (A. Bielecki) 236, 321
Бесов О. В. 76, 321
Бёрлинг (A. Beurling) 143, 321
Биттнер (L. Bittner) 77, 144, 32.1
Бохнер (S. Bochner) 152, 321
Браудер (F. Е. Browder) 76, 77, 81,
95, 101, 143, 188, 279, 280,319,321,
322
Брезис (Н. Brezis) 6, 142, 143, 280,
281, 320, 322
Бурбаки (N. Bourbaki) 76, 187, 236,
322
Вайнберг М. М. 5, 7, 77, 142—144,
279 322
Варга (R. Varga) 143, 322
Вишик М. И. 77, 279, 323
Владимиров В. С. 76, 323
Гаевский (Н. Gajewski) 6, 8, 143,
144, 237, 280, 319, 320, 323
Гальперн С. А. 236, 323
Гальярдо (Е. Gagliardo) 77, 323
Гельфанд И. М. 76, 323
Годунов А. Н. 194, 323
Гординг (L. Girding) 41, 76, 324
Грёгер (К. Groger) 6, 8, 144, 236,
280, 319, 320, 323, 324
Гринберг (J. М. Greenberg) 319, 324
Данфорд (N. Dunford) 9, 76, 324
Деклу (J. Descloux) 280, 324
Динкуляну (N. Dinculeanu) 187, 324
Дубинский Ю. А. 77, 188, 279, 324
Дуглас (J. Douglas) 280, 324
Дьёдонне (J. Diudonne) 187, 236, 324
Дюво (G. Duvaut) 6, 144, 281, 324
Дюпон (Т. Dupont) 280, 324
Заанен (A. Zaanen) 76, 324
Захариас (К. Zacharias) 6, 8, 237,
319, 323
Ильин В. П. 76, 321
Иоснда (К. Yosida) 9, 76, 152, 154,
187, 280, 281, 320, 324
Иоффе А. Д. 144, 324
Кальдерон (А. Р. Calderon) 45, 47,
76, 324
Камке (Е. Kamke) 76, 324
Канторович Л. В. 9, 76, 324
Картан (Н. Cartan) 236, 324
Като (Т. Kato) 143, 236, 280, 324
Качуровский Р. И. 77, 142—144, 279,
322 325
Кёте (G. Kothe) 187, 325
Клуге (R. Kluge) 143, 144, 323, 325
Кондрашов В. И. 47
Костюченко А. Г. 236, 325
Красносельский М. А. 77, 236, 325
Крэндалл (М. G. Crandall) 143, 281,
322, 325
Ладыженская О. А. 74, 77, 188, 325
Лакс (Р. D. Lax) 77, 325
Лангенбах (A. Langenbach) 77, 144,
237 325
Лерэ (J. Leray) 142, 325
Ливингстон (А. Е. Livingston) 143,
321
Лиггет (Т. М. Liggett) 281, 325
Лионе (J. L. Lions) 6, 7, 41, 76, 77,
93, 96, 142—144, 187, 188, 237,
279—281, 319, 320, 324—326
Люстерник Л. А. 9, 326
330
Именной указатель
Мадженес (Е. Magenes) 76, 187,188,
320, 325, 326
Мак-Кэми (R. С. МасСату) 319,324
Мизел (V. J. Mizel) 319, 324
Минти (G. J. Minty) 95, 142, 143,
Михлин С. Г. 8, 77, 142. 826
Моро (J. J. Moreau) 134, 144, 326
Морри (С. В. Morrey, Jr.) 76,77,826
Натансон И. П. 76, 119. 326
Нечас (J. Nedas) 76, 826
Никольский С. М. 76, 321, 326
Соболев С. Л. 76, 327
Солоиников В. А., 188, 325
Стейн (Е. М. Stein) 76, 327
Темам (R. Тешат) 7, 144, 327
Тинг (Т. W. Ting) 236, 237, 327
Тихомиров В. М. 144, 324
Трев (F. Treves) 76, 327
Трибель (Н. Triebel) 76, 327
Трусделл (С. Truesdell) 237, 327
Уральцева Н. Н. 77, 188, 325
Обэн (J. Р. Aubin) 144, 826
Федерер (Н. Federer) 76, 327
Фенхель (W. Fenchel) 132, 134, 144,
327
Паскали (D. Pascali) 143, 326
Паук (С. Раис) 76, 327
Петре (J. Peetre) 76, 326
Петришин (W. V. Petryshyn) 143,
322, 326
Покровский А. В. 236, 325
Проди (G. Prodi) 319, 326
Пэйзи (A. Pazy) 143, 281, 322
Реллнх (F. Rellich) 47
Рокафеллар (R. Т. Rockafellar) 143,
280, 326
Сарантонелло (Е. Н. Zarantonello)
142, 326
Смирнов В. И. 9, 76, 327
Смит (К. Т. Smith) 76, 321
Соболев В. И. 5, 9, 76, 326
Халмош (Р. R. Halmos) 76, 327
Хаупт (О. Haupt) 76, 327
Хесс (Р. Hess) 143, 322
Хёрмандер (L. Hormander) 76, 327
Шварц Дж. (J. Т. Schwartz) 9, 76,324
Шварц Л. (L. Schwartz) 41, 76, 187,
327
Шилов Г. Е. 76, 323
Шовальтер (R. Е. Showalter) 236,
237 327
Штраусс (W. Strauss) 279, 280, 319,
326
Эдвардс (R. Е. Edwards) 76, 163,
187, 327
Эклан (I. Ekeland) 144, 327
Эскин Г. И. 236, 325
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
апостериорные оценки погрешности
144
аппроксимационная теорема Вейер-
штрасса 150
базис топологии 10
банахово пространство 18
бесконечномерное пространство 13
вариационные неравенства 144
векторное пространство 13
вложение 1о
внешняя мера 33
внутренность 10
вполне аддитивная мера 34
выпуклое множество 14
выпуклый функционал 117
галёркинское решение 101
гильбертово пространство 27
градиент 111
градиентный метод 125
граница 10
деминепрерывность 20, 79
дифференцируемая функция 146
дифференцируемость по Гато 81, 111
дуализующее отображение 22-
естественная область определения 52
естественное краевое условие 66
замкнутое множество 9
замыкание 9
идемпотентный оператор 29
измеримая функция 34
измеримое множество 34
измеримость по Бохнеру 152
индикаторная функция 36
интеграл Бохнера 152
—	Лебега 35
интегрируемая функция 35
интегрируемость по Бохнеру 152
компактное множество 11
конечный функционал 111
коэрцитивный оператор 80
Ламэ задача 73
лемма Гронуолла 191
—	Фату 36
линейная зависимость 13
—	независимость 13
—	оболочка 13
—	структура 12
линейное пространство 13
линейный оператор 13
—	функционал 14
липшиц-непрерывность 45, 79
—	ограниченная 79
локально выпуклое пространство 14
— интегрируемая по Бохнеру функ-
ция 167
---функция 42
—	конечное семейство 41
—	ограниченный оператор 82
максимальный монотонный оператор
98
мера (в Rn) 33
—	Лебега 34
метод Галёркина 101
—	наискорейшего спуска 125
— ортогональных проекций 142
— Ритца 126
метрика 11
метрическое пространство 11
множество меры нуль 34
монотонный оператор 79
---максимальный 98
мультииндекс 43, 52
" II II |Ц
332
Предметный указатель
надграфик 117
непрерывность 10
неравенства Кларксона 38
неравенство Гёльдера, 38, 157
—	Минковского 38
—	Пуанкаре 50
—	треугольника 11
—	Фридрихса 44, 50
—	Шварца 27
нерастягивающий оператор 130
норма 16
нормированное пространство 16
носитель функции 32
область класса Ск> 1 48
обобщенная функция 41
обыкновенное операторное диффе-
ренциальное уравнение 190
ограниченный оператор 17, 82
окрестность 10
оператор 13
—	вложения 16
—	Вольтерры 187, 194
—	Немыцкого 57
—	продолжения 48
—	проектирования 29
—	типа М 143
опорный функционал 118
ортогональная проекция 29
ортогональное дополнение 28
ортогональность 28
ослабленная топология 16
отделимость 10
открытое множество 9
отображение 13
плотное множество 10
подпространство 13
полное локально выпуклое простран-
ство 15
—	метрическое пространство 12
—	подмножество нормированного
пространства 17
положительно определенное отобра-
жение 29
полунорма 14
последовательность Коши в метри-
ческом пространстве 12
-------локально выпуклом про-
странстве 14
постоянная монотонности 80
—	сжатия 12
потенциал 111
потенциальный оператор 111
поточечная сходимость 15
почти все 34
—	всюду 34
предгильбертово пространство 27
предел 10
предыстория 187, 194
приближенное решение Ритца 126
принцип неподвижной точки Банаха
12
продолжение 15
проектор 29
проекционно-итерационный метод 107
проекционный оператор 29
производная 146
— распределения 43, 168
простая топология 15
— функция 35, 152
пространства Соболева 44
псевдомонотонный оператор 142
псевдопараболические уравнения 186,
201
равномерно выпуклое банахово про-
странство 21
— монотонный оператор 79
радиальная непрерывность 79
распределение 41
— на S со значениями в X 167
расстояние 11
регулярная граница 45
рефлексивное банахово пространство
19
решение Галёркина 101
— Ритца 126
риссовский оператор 27
самосопряженный оператор 19
секвенциально компактное множе-
ство 11
— полное локально выпуклое про-
странство 15
сепарабельность 10
сжатие 12
сжимающее отображение 12
сильная сходимость 19
сильно монотонный оператор 80
симметричный оператор 29
скалярное произведение 27
---между X* и X 15
слабая дифференцируемость 146
—	компактность 16
—	полнота 16
—	производная 146
—	сходимость 16
—	топология 16
слабо замкнутое множество 16
—	открытое множество 16
— полунепрерывный снизу функцио-
нал 117
Предметный указатель
333
слабый предел 16
соболевские пространства 44
сопряженное пространство 15
сопряженный выпуклый функционал
132
—	оператор 19
—	показатель 38
строго выпуклое банахово простран-
ство 21
—	монотонный оператор 79
ступенчатая функция 152
существенно ограниченная функция
37, 157
сходимость 10
счетно-аддитивная мера 34
теорема Банаха — Штейнгауза 18
—	вложения Соболева 47
—	Каратеодори 241
—	Лебега 36
—	Пеано 194
—	представления Рисса 27
—	- Хана — Банаха 15, 18
теория вариационных неравенств 144
топологическое пространство 9
топология 9
тривиальный функционал 111
уравнения Соболева — Гальперна 186,
236, 237
формула Гаусса 46
—	Гаусса — Остроградского 46
— Стокса 46
фундаментальная последовательность
в метрическом пространстве 12
-------- локально выпуклом про-
странстве 14
функционал 13
функционально-аналитическая	фор-
мулировка задачи с краевым и на-
чальным условиями 181
--- краевой задачи 56
характеристическая функция 36
хаусдорфовость 10
хеминепрерывность 79
шар замкнутый 11
—	открытый 11
эволюционное уравнение 238
эквивалентные нормы 17
—	функции 35, 154
энергетическое расширение 55
эффективная область (определения)
132
d-монотонный оператор 79
(S)-свойство 81
6-функция (6-распределение) Дира-
ка 42
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода .............................................. б
Предисловие к русскому изданию..................................  .	6
Предисловие..........................................................7
Глава I. Основные понятия и вспомогательные сведения из функциональ-
ного анализа ......................................................... 9
§ 1.	Топологические пространства.....................................9
§ 2.	Метрические пространства.......................................11
§ 3.	Линейные пространства..........................................12
§ 4.	Локально выпуклые пространства.................................14
§ 5.	Банаховы пространства..........................................16
§ 6.	Гильбертовы пространства.......................................27
Глава II. Функционально-аналитическая формулировка краевых задач . .31
§ 1.	Функциональные пространства, используемые при рассмотрении
краевых задач...................................................31
1.	Пространства непрерывно дифференцируемых функций .... 32
2. Интеграл Лебега..........................................33
3.	Пространства интегрируемых функций......................36
4.	Распределения (обобщенные функции)......................40
5.	Пространства Соболева...................................43
§ 2. Краевые задачи как операторные уравнения в банаховых про-
странствах .................................................51
1.	Постановка задачи....................................... 52
2.	Краевые задачи для уравнений второго порядка.............58
3.	Краевые задачи для уравнений высших порядков и систем
уравнений...................................................71
Замечания к гл. II..............................................76
Глава III. Уравнения с монотонными операторами (стационарные урав-
нения) ...........................................................78
§	1.	Основные понятия теории монотонных операторов............79
1. Свойства нелинейных операторов..........................79
2. Примеры монотонных операторов...........................86
§	2.	Теоремы существования ...................................94
1. Основная теорема теории монотонных операторов...........94
2. Максимальные монотонные операторы.......................98
Оглавление
335
$ 3. Приближенные методы........................................
1.	Метод Галёркина.........................................
2.	Итерационные методы.....................................
3.	Проекционно-итерационный метод..........................
4.	Один аппроксимационный метод для неоднозначно разрешимых
операторных уравнений......................................
§ 4. Монотонные потенциальные операторы.........................
1.	Критерии потенциальности................................
2.	Примеры потенциальных операторов........................
3.	Монотонные операторы и выпуклые функционалы.............
4.	Градиентный метод, метод Ритца, проекционно-итерационный
метод......................................................
б. Некоторые утверждения двойственности и оценки погрешности
Замечания к гл. III.............................................
101
101
103
106
108
110
111
115
117
122
132
142
Глава IV. Функционально-аналитическая формулировка задач с краевыми
и начальными условиями...........................................146
§ 1.	Функциональные пространства, используемые при изучении неста-
ционарных задач...............................................145
1.	Пространства непрерывно дифференцируемых функций . . . .146
2.	Интеграл Бохнера.......................................152
3.	Пространства интегрируемых	функций.....................154
4.	Распределения..........................................166
5.	Некоторые специальные пространства распределений с интегри-
руемыми производными.......................................170
$ 2. Задачи с краевыми и начальными условиями как операторные
дифференциальные уравнения в банаховых пространствах . . .179
1. Постановка задачи.......................................179
2. Некоторые типы задач с начальными условиями для оператор-
ных дифференциальных уравнений.............................184
Замечания к гл. IV.............................................187
Глава	V. Обыкновенные операторные дифференциальные уравнения . . .189
§ 1.	Теоремы существования и единственности для уравнений с лип-
шиц-непрерывными операторами..................................190
1.	Дифференциальные уравнения с семейством операторов Q «=»
...........................................................190
2.	Дифференциальные уравнения с вольтерровыми операторами;
С-теория...................................................190
3.	Дифференциальные уравнения с вольтерровыми операторами;
/Атеория...................................................194
§ 2.	Теоремы существования и единственности решений для псевдо-
параболических уравнений .................................... 200
1.	Псевдопараболические	уравнения;	С-теория...............201
2.	Псевдопараболические	уравнения;	L’-теория..............203
§ 3.	Метод Галёркина для псевдопараболических уравнений с липшиц-
непрерывными операторами.......................................206
1.	Метод Галёркина для псевдопараболических уравнений; С-тео-
рия........................................................207
2.	Метод Галёркина для псевдопараболических уравнений; £а-тео-
рия........................................................214
§ 4.	Проекционно-итерационный метод для псевдопараболических
уравнений ................................................... 221
1.	Проекционно-итерационный	метод;	С-теория...............222
2.	Проекционно-итерационный	метод;	ТАтеория...............229
Замечания к гл. V...........;..................................236
336
Оглавление
Глава VI. Эволюционные уравнения...................................238
§	1.	Теоремы существования и	единственности; метод Галёркина . . 239
1.	Задачи с начальными условиями............................239
2.	Периодические решения....................................254
3.	Примеры..................................................257
§	2.	Теоремы регулярности.......................................258
1.	Регулярность при специальном выборе начального элемента . . 259
2.	Регулярность при произвольном выборе начального элемента 266
§ 3.	Дальнейшие предложения аппроксимации.......................269
1.	Аппроксимация без дополнительных предположений регулярно-
сти ........................................................270
2.	Аппроксимация при дополнительных предположениях регуляр-
ности	.	.	 274
Замечания к	гл.	VI.............................................279
Глава	VII. Операторные дифференциальные уравнения второго порядка 282
§ 1.	Теоремы существования и	единственности........283
1.	Задачи с начальными условиями............................283
2.	Периодические решения....................................287
§ 2.	Метод Галёркина..........................................*.291
§ 3.	Теоремы регулярности.......................................299
1.	Регулярность при специальном выборе начального элемента . . 299
2.	Регулярность при произвольном выборе начального элемента 306
§ 4.	Дальнейшие предложения аппроксимации......................310'
1.	Аппроксимация без дополнительных предположений регулярно-
сти ........................................................311
2.	Аппроксимация при дополнительных предположениях регуляр-
ности ......................................................315
Замечания к гл. VII.............................................319
Список литературы...............................................321
Обозначения.....................................................328
Именной указатель...............................................329
Предметный указатель............................................331
ИБ № 948
X. ГАЕВСКИЙ, К. ГРЕГЕР, К. ЗАХАРИАС
Нелинейные операторные уравнения
и операторные дифференциальные уравнения
Редактор В, Авербух
Художник Н. П. Фролов	Художественный редактор В. Шаповалов
Технический редактор Н. Иовлева	Корректор Т. Пашковская
Сдано в набор 10.06.77. Подписано к печати 17.03.78.
Формат 60Х9071в. Бумага типографская № 1.
Латинская гарнитура. Высокая печать.
10,50 бум. л.,21 усл. печ. л.» уч.-изд. л. 20,75.
Тираж 8000 экз. Зак. 674. Цена 1 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР>
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 198052, Ленинград, Л-52
Измайловский проспект, 29.