Рудин У. Функциональный анализ
Предисловие к русскому переводу
Предисловие
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Свойства отделимости
Линейные отображения
Конечномерные пространства
Метризация
Ограниченность и непрерывность
Полунормы и локальная выпуклость
Факторпространства
Примеры
Упражнения
Глава 2. Полнота
Теорема Банаха — Штейнгауза
Теорема об открытом отображении
Теорема о замкнутом графике
Билинейные отображения
Упражнения
Глава 3. Выпуклость
Слабые топологии
Компактные выпуклые множества
Интегрирование векторных функций
Голоморфные функции
Упражнения
Глава 4. Двойственность в банаховых пространствах
Сопряженные операторы
Компактные операторы
Упражнения
Глава 5. Некоторые приложения
Замкнутые подпространства в пространствах LP
Область значений векторной меры
Обобщенная теорема Стоуна — Вейерштрасса
Две интерполяционные теоремы
Одна теорема о неподвижной точке
Мера Хаара на компактных группах
Недополняемые подпространства
Упражнения
ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Пространства пробных функций
Операции над распределениями
Локализация
Носители распределений
Распределения как производные
Свертки
Упражнения
Глава 7. Преобразование Фурье
Медленно растущие распределения
Теоремы Пэли — Винера
Лемма Соболева
Упражнения
Глава 8. Приложения к дифференциальным уравнениям
Эллиптические уравнения
Упражнения
Глава 9. Тауберовы теоремы
Теорема о простых числах
Уравнение восстановления
Упражнения
ЧАСТЬ 3. БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
Комплексные гомоморфизмы
Основные свойства спектров
Функциональное исчисление
Дифференцирования
Группа обратимых элементов
Упражнения
Глава 11. Коммутативные банаховы алгебры
Преобразование Гельфанда
Инволюции
Приложения к некоммутативным алгебрам
Положительные функционалы
Упражнения
Глава 12. Ограниченные операторы в гильбертовом пространстве . .
Ограниченные операторы
Теорема о перестановочности
Разложения единицы
Спектральная теорема
Собственные значения нормальных операторов
Положительные операторы и квадратные корни
Группа обратимых операторов
Характеризация B*-алгебр
Упражнения
Глава 13. Неограниченные операторы
Графики и симметрические операторы
Преобразование Кэли
Разложения единицы
Спектральная теорема
Полугруппы операторов
Упражнения
Приложение А. Компактность и непрерывность
Приложение В. Примечания и комментарии
Список литературы
Список обозначений
Именной указатель
Указатель терминов
ОГЛАВЛЕНИЕ
Текст
                    У. I' У Л И Η
Функциональный
анализ


FUNCTIONAL ANALYSIS Walter Rudin Professor of Mathematics University of Wisconsin McGRAW-HILL BOOK COMPANY New York St. Louis San Francisco Dusseldorf Johannesburg Kuala Lumpur London Mexico Montreal New Delhi Panama Rio de Janeiro Singapore Sydney Toronto 1973
У. РУД И Η Функциональный анализ Перевод с английского В. Я· Лина Под редакцией Е. А. Горина ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1975
УДК 517.43:519.55 Книга принадлежит перу видного американского математика, известного не только многочисленными научными исследованиями, но и прекрасно написанными учебниками. Многие его статьи и книги переведены на русский язык. Новый учебник У. Рудина отличается продуманным подбором материала, мастерским изложением, разбором нетривиальных примеров приложений функционального анализа в других областях математики. В книге три основные части: общая теория; распределения и преобразования Фурье; банаховы алгебры и спектральная теория. Наряду с классическими результатами отражены и многие новые факты функционального анализа. Книга доступна студентам средних курсов математических специальностей университетов и пединститутов. Она, несомненно, окажется полезной всем изучающим или преподающим функциональный анализ. Редакция литературы по математическим наукам 20203-013 „ "041 fQH-75 — ® перевод на Русский язык, «Мир», 1975
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ Имя автора этой книги, американского математика Уолтера Рудина хорошо известно советскому читателю: две из его книг, в том числе учебник математического анализа, переведены на русский язык и получили заслуженное признание. Мы не сомневаемся, что и данный курс функционального анализа должен понравиться всем изучающим или преподающим анализ. По подбору материала и по уровню требований, предъявляемых к читателю, эта книга занимает особое положение — промежуточное между краткими сравнительно элементарными руководствами и фундаментальными сочинениями (один только внешний вид которых внушает современным студентам суеверный ужас), В принципе ее легко одолеет любой студент 3-го курса физико-математической специальности. Большое число хорошо подобранных упражнений разной степени сложности позволяют контролировать понимание при самостоятельном изучении предмета. Сколько-нибудь сложные задачи снабжаются указаниями, порой настолько развернутыми, что читатель сможет без особого напряжения восстановить детали. Вместе с тем активный студент сумеет использовать книгу не только с целью сдать очередной экзамен, но и в качестве доступного источника представлений о «следующем уровне» функционального анализа. Конечно, такие вещи, как теорема Хана— Банаха, преобразование Фурье, обобщенные функции или понятие спектра линейного оператора, стали обязательными для студентов-математиков. Однако идеи общей линейной топологии, основные понятия теории банаховых алгебр, достаточно развернутые формы спектральной теоремы пока не входят в обязательные программы. Прочтя (или просто перелистав) книгу, можно получить приблизительное представление о состоянии некоторых классических ветвей функционального анализа. При этом ее выгодно отличает хорошее чувство меры: хотя автор является активно работающим специалистом по функциональному анализу, его учебник не перегружен результатами, представляющими интерес только для узкого круга знатоков. Вместе с тем автор не ограничивается только стандартными приложениями общих теорем функционального анализа, но приводит и такие, которые могут показаться неожиданными. Скажем, во второй части, начинающейся с обобщенных функций,
6 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ читатель на финише получает асимптотический закон распределения простых чисел. Книга написана аккуратно, но живо и без излишнего педантизма. При переводе мы старались по возможности сохранить стиль автора. Небольшие погрешности оригинала (в основном опечатки) исправлены без специальных оговорок. На большую часть из них нам любезно указал сам автор, за что мы ему весьма признательны. В наших подстрочных примечаниях чаще всего даются чуть более развернутые пояснения, иногда варианты доказательств или дополнительные примеры (разумеется, всю ответственность за эти примечания несем мы, а не автор). Основной список литературы немного расширен (добавления помечены звездочкой). В соответствии с замыслом автора этот список остается весьма скромным. Наши добавления объясняются исключительно соображениями удобства для русского читателя и главным образом связаны с обилием ссылок в оригинале на один из еще не переведенных на русский язык учебников У. Рудина. Библиографические указания (на журнальные статьи) и исторические справки собраны автором в одном из приложений в конце книги. Мы согласны с автором в том, что они не полны, и поэтому вслед за ним рекомендуем читателю не пренебрегать другими источниками библиографической и исторической информации. В указателе терминов наряду с русскими в ряде случаев сохранены английские наименования, что сделано отчасти с целью облегчить страдания наших коллег—переводчиков и составителей словарей. Е. А. Горин В. Я. Лин
ПРЕДИСЛОВИЕ Функциональный анализ изучает некоторые тополого-алгебраи- ческие структуры, а также методы, с помощью которых сведения об этих структурах могут применяться к аналитическим задачам. Хороший вводный учебник функционального анализа должен содержать изложение аксиоматики (т. е. общей теории топологических векторных пространств), достаточно глубокую трактовку хотя бы некоторых разделов предмета и несколько интересных приложений к другим областям математики. Я надеюсь, что данная книга удовлетворяет этим требованиям. Предмет в целом невероятно обширен и продолжает быстро расти. (Библиография в первом томе книги [13] занимает 96 страниц и доведена только до 1957 г.) Поэтому, чтобы написать книгу умеренного объема, необходимо было выбрать лишь некоторые области и проигнорировать другие. Я хорошо сознаю, что почти любой специалист, взглянув на оглавление, обнаружит отсутствие некоторых своих (и моих) излюбленных тем; но это представляется неизбежным. В мои намерения не входило написать энциклопедический трактат. Я хотел написать книгу» открывающую путь к дальнейшим исследованиям. По этой причине были опущены многие из наиболее изысканных разделов общей теории топологических векторных пространств. Например, не рассматриваются равномерные пространства, сходимость Мура—Смита, сети и фильтры. Понятие полноты вводится лишь для метрических пространств. Не упоминаются ни борнологические, ни бочечные пространства. Двойственность, конечно, присутствует, но не в максимальной общности. Интегрирование векторных функций рассматривается только как инструмент; при этом внимание сосредоточено на интегрировании непрерывных функций со значениями в пространстве Фреше. Тем не менее материал первой части вполне достаточен почти для всех приложений к конкретным задачам. А на это и должен быть сделан упор в подобном курсе; ведь тесное взаимодействие между абстрактным и конкретным представляет собой не только наиболее полезную, но и наиболее пленительную сторону предмета. Вот некоторые другие особенности изложения отобранного материала. Довольно большая часть общей теории развита без предположения локальной выпуклости. Основные свойства компактных операторов устанавливаются с помощью теории двойствен-
8 ПРЕДИСЛОВИЕ ности для банаховых пространств. В главе 5 указано несколько способов применения теоремы Крейна—Мильмана о существовании крайних точек. Теория распределений и преобразования Фурье разработана достаточно подробно и применяется (в двух очень коротких главах) к двум задачам об уравнениях с частными производными и к доказательству тауберовой теоремы Винера, а также используется при обсуждении двух приложений этой теоремы. Спектральная теорема выводится из теории банаховых алгебр (а именно, из принадлежащего Гельфанду и Най- марку описания коммутативных 5*-алгебр); это, может быть, не кратчайший, но легкий путь. Функциональное исчисление в банаховых алгебрах изложено довольно подробно; так же обстоит дело с инволюциями и положительными функционалами. Включены некоторые сравнительно новые результаты о банаховых алгебрах, еще не нашедшие места в других руководствах. Я предполагаю, что читатель хорошо знаком с теорией меры и интеграла Лебега (включая полноту пространств Lp), с основными свойствами голоморфных функций (такими, как теорема Коши в общей форме и теорема Рунге) и с некоторыми элементарными топологическими понятиями, сопутствующими обычно этим двум аналитическим теориям. Некоторые другие топологические факты кратко изложены в приложении А. Не требуется почти никакой алгебраической подготовки, кроме знания того, что такое гомоморфизм. Исторические указания и ссылки собраны в приложении В. Некоторые из них относятся к первоисточникам, другие—к более новым книгам, статьям и обзорам, в которых можно найти дальнейшую библиографию. Имеется, конечно, много результатов, источники которых не указаны. Отсутствие ссылки ни в коем случае не означает претензию на авторство с моей стороны. Большинство приложений сосредоточено в главах 5, 8 и 9. Некоторые приводятся в главе 11, а также более чем в 250 упражнениях; многие из упражнений снабжены указаниями. Схема зависимости глав изображена на следующей диаграмме: 10—11 — 12—13 1—2-3—4—5 Q \б-7/8 \9 Эта книга возникла из курса, который я вел в Висконсин- ском университете. Я имел много плодотворных бесед на различные затронутые в ней темы с некоторыми из моих коллег, особенно с Патриком Ахерном, Полем Рабиновичем, Дэниелом Шие и Робертом Тернером. С удовольствием благодарю их всех. Уолтер Рудин
Часть первая Общая теория Глава 1 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Введение 1.1. Многие из задач, которыми занимаются аналитики, касаются не отдельных объектов типа функций, мер или операторов, а скорее обширных классов таких объектов. Большинство интересных классов, возникающих таким образом, оказываются векторными пространствами над полем комплексных или вещественных чисел. Поскольку во всякой аналитической задаче некоторую роль (явно или неявно.) играет предельный переход, неудивительно, что эти векторные пространства можно наделить метрикой или по крайней мере топологией, естественно связанной с объектами, составляющими пространство. Простейший и наиболее важный способ сделать это состоит во введении некоторой нормы. Получающаяся при этом структура (точное определение дано ниже) называется нормированным векторным пространством, или нормированным линейным пространством, или просто нормированным пространством. На протяжении всей этой книги термин векторное пространство означает векторное пространство над полем С комплексных чисел или над полем R вещественных чисел. Ради полноты в п. 1.4 приводится подробное определение. 1.2. Нормированные пространства. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому χ £ Χ сопоставлено неотрицательное вещественное число ||х||, называемое нормой х, так что выполнены следующие условия: (a) ||* + #ΙΚ||*|| + ||#|| Для всех χ и у из Х\ (b) |\ах|| = \а|·||χ|| для любого χζ,Χ и любого скаляра а; (c) У х \\ > О, если хфО. Нормой называют также функцию, сопоставляющую вектору χ число ||х||. Каждое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое пространство, в котором расстояние d (x, у) между χ и у равно \\х—у\\. Расстояние d обладает следующими свойствами: (i) 0^d(xf у) < оо для всех χ и у\
10 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (п) d(x, у)=0 тогда и только тогда, когда х = у; (Hi) d(x, y)=d(y> χ) для всех х и у\ (iv) d(x, z)^.d(x> y)+d(yt ζ) для всех х, у и ζ. В любом метрическом пространстве открытым шаром радиуса г с центром в точке χ называется множество Br(x) = \y: d(x,y)<r\. В частности, если X — нормированное пространство, множества В1(0) = {х: ||*||<1} и £((» = <*: ||*||<1} являются соответственно открытым единичным шаром и замкну- тым единичным шаром пространства X. Объявляя подмножество метрического пространства открытым в том и только в том случае, если оно является объединением (быть может, пустым) открытых шаров, получаем топологию (см. п. 1.5). Совсем легко проверить, что операции векторного пространства (сложение векторов и умножение их на скаляры) непрерывны в этой топологии, если метрика построена по норме указанным выше способом. Банахово пространство — это нормированное пространство, полное относительно метрики, определяемой его нормой; полнота означает, что всякая последовательность Коши должна быть сходящейся. 1.3. Многие из наиболее известных функциональных пространств являются банаховыми пространствами. Упомянем лишь некоторые типы таких пространств: пространства непрерывных функций на компактных пространствах; хорошо известные //-пространства, встречающиеся в теории интегрирования; гильбертовы пространства—ближайшие родственники евклидовых пространств; некоторые пространства дифференцируемых функций; пространства непрерывных линейных отображений одного банахова пространства в другое; банаховы алгебры. Все они еще встретятся нам в дальнейшем. Однако имеется также много пространств, которые не укладываются в эти рамки. Вот некоторые примеры: (a) С (Ω)—пространство всех непрерывных комплексных функций на некотором открытом подмножестве Ω евклидова пространства R"; (b) Я (Ω) — пространство всех функций, голоморфных в некотором открытом подмножестве Ω комплексной плоскости; (c) С°° — пространство всех бесконечно дифференцируемых комплексных функций на R", равных 0 вне некоторого фиксированного компактного множества К с непустой внутренностью; (d) пространства пробных функций, используемые в теории распределений, а также пространства распределений.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Ц Эти пространства обладают естественными топологиями, которые, как мы увидим в дальнейшем, не могут быть индуцированы нормами. Как и нормированные пространства, они служат примерами топологических векторных пространств—понятие, пропитывающее весь функциональный анализ. После этой попытки краткого изложения мотивов мы приведем здесь подробные определения, сопровождаемые предварительным «рекламным просмотром» (в п. 1.9) некоторых результатов этой главы. 1.4. Векторные пространства. Буквами R и С мы всегда будем обозначать соответственно поле вещественных и поле комплексных чисел. Пусть Φ обозначает либо R, либо С. Скаляр—это элемент поля скаляров Ф. Векторное пространство над полем Φ представляет собой множество X (его элементы называются векторами), в котором определены две операции—умножение на скаляры и сложение,— обладающие следующими общеизвестными алгебраическими свойствами: (a) каждой паре векторов χ и у сопоставлен вектор х+у$ причем х + У = У + х и x + (y + z) = (x + y) + z) X содержит единственный вектор 0 (нулевой вектор), такой, что х-\-0=х для всех χζ.Χ\ для каждого χζΧ существует единственный вектор —х, такой, что х + (—#) = 0; (b) каждой паре (а, х), где а£Ф и х£Х, сопоставлен вектор ах, причем 1х=х, афх)=(а$)х и выполняются два дистрибутивных закона а(х+у)=ах + ау, (а + $) х=ах + $х. Символ 0 будет, конечно, употребляться и для обозначения нулевого элемента поля скаляров. Если Ф = Я, то X называется вещественным векторным пространством, а если Ф = С,—комплексным. Если в некотором утверждении о векторных пространствах поле скаляров явно не указано, то подразумевается, что это утверждение относится к обоим случаям. Если X—векторное пространство, АаХ, ВаХ, χζΧ и λζφ, то будут употребляться следующие обозначения: jc-f- А = {х + а: α ζ А), х—А = {х—а: а£А\, A + B = {a + b\ a£A, b£B), λΑ = {λα: α ζ Α).
12 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ В частности, через —А обозначается множество всех векторов, противоположных к векторам из Л. Предостережение: может случиться, что 2АФ А + А (упр. 1). Множество YaX называется подпространством пространства X, если Υ само является векторным пространством (разумеется, относительно тех же самых операций). Легко проверить, что это происходит тогда и только тогда, когда ΟζΥ и αΥ + $ΥαΥ для всех скаляров α и β. Множество СаХ называется выпуклым, если tC + (l — t)CaC (0<^<1). Иными словами, требуется, чтобы С содержало tx-\-(l—t)y, если хес, уес и ο<^<ι. Множество ВаХ называется уравновешенным, если аВаВ для любого αζΦ, удовлетворяющего условию |а|^1. Векторное пространство X имеет размерность η (dimX = n), если оно обладает базисом {и1У ..., ип\. Последнее означает, что каждый вектор χζΧ допускает единственное представление в виде х=а1и1 + . .. +апип (α, ζ Φ). Если dimX = n для некоторого п, то пространство X называется конечномерным. Если Х = {0}, то (по определению) dimX = 0. Пример. Если Х = С (одномерное векторное пространство над полем С), то уравновешенными являются лишь следующие множества: С, пустое множество 0, одноточечное множество {0} и любой круг (открытый или замкнутый) с центром в точке 0. Если же X = R2 (двумерное векторное пространство над полем R), то уравновешенных множеств значительно больше1); например, таковым является всякий прямолинейный отрезок, середина которого находится в точке (0, 0). Дело в том, что, несмотря на общеизвестную и очевидную возможность отождествления С и R2, они представляют собой совершенно различные векторные пространства. 1.5. Топологические пространства. Топологическим пространством называется множество S, в котором выделено некоторое семейство τ подмножеств (именуемых открытыми множествами), обладающее следующими свойствами: S открыто, 0 открыто, пересечение любых двух открытых множеств открыто и объединение любой совокупности открытых множеств открыто. Такое х) Это высказывание имеет следующий точный смысл: множество уравновешенных подмножеств в С имеет мощность континуума с, а множество уравновешенных подмножеств в R2 имеет мощность 2е.— Прим. перев.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 13 семейство τ называется топологией в S. Если требуется явно указать, что S рассматривается как топологическое пространство с топологией τ, то вместо S будем писать (S, τ). Приведем список некоторых стандартных терминов, употребляемых в описанной выше ситуации. Множество EaS называется замкнутым, если его дополнение открыто. Замыкание Ε множества Ε — это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Е. Внутренностью Е° множества Ε называется объединение всех открытых множеств, содержащихся в Е. Окрестность точки pgS—это любое открытое множество, содержащее эту точку. Пространство (S, τ) называется хаусдорфовым пространством, а τ—хаусдорфовой топологией, если для каждой пары различных точек в S существуют непересекающиеся окрестности. Множество /C<zS компактно, если каждое его покрытие открытыми множествами содержит конечное подпокрытие. Семейство τ'<ζτ называется базой топологии τ, если каждый элемент из τ (т. е. каждое открытое множество) является объединением некоторых элементов из τ'. Совокупность γ окрестностей точки ρ ζ S называется локальной базой в точке р, если любая окрестность этой точки содержит некоторую окрестность, принадлежащую γ. Если EaS и σ—совокупность всех пересечений Ef]V, где У ζ τ, то, как легко проверить, σ является топологией в Е\ мы называем ее топологией, наследуемой Ε из S (или индуцированной топологией). Если топология τ порождается метрикой d (см. п. 1.2), то мы говорим, что d и τ совместимы. Последовательность \хп\ в хаусдорфовом пространстве X сходится к точке х£Х ( или \'\тхп = х\, если любая окрест- V П-+СО ) ность точки χ содержит все точки хп, за исключением, быть может, конечного их числа. 1.6. Топологические векторные пространства. Предположим, что τ—такая топология в векторном пространстве X, что (a) каждая точка в X является замкнутым множеством; (b) операции векторного пространства непрерывны относительно τ. При этих условиях τ называется векторной топологией в X, а X называется топологическим векторным пространством. Вот более аккуратная формулировка условия (а): для любого χζΧ множество {х\, состоящее из единственного элемента ху является замкнутым. Во многих руководствах условие (а) не включается в определение топологического векторного пространства. Но так как оно выполняется почти во всех приложениях и так как боль-
14 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ шинство интересных теорем содержат это условие в качестве одного из предположений, то представляется целесообразным включить его в число аксиом. [Теорема 1.12 показывает, что если выполняются (а) и (Ь), то топология τ хаусдорфова.] Непрерывность сложения по определению означает, что отображение , ч (*. У) —*Х + У декартова произведения ХхХ в X непрерывно: если х££Х для i = l, 2 и V—окрестность точки хг + х2У то должны существовать такие окрестности V{ точек xh что ν, + ν,αν. Аналогично условие непрерывности умножения на скаляры означает, что отображение . ч г (а, х)—-+ах произведения ФхХ в X непрерывно: если χζΧ, а—скаляр и V—окрестность вектора ах, то для некоторого г > 0 и некоторой окрестности W точки χ выполняется включение fiWczV всякий раз, когда |β—α|</\ Подмножество Ε топологического векторного пространства называется ограниченным, если для каждой окрестности нуля V в X найдется такое число s > О, что EatV при всех t > s. 1.7. Инвариантность. Пусть X—топологическое векторное пространство. Сопоставим каждому вектору αζΧ оператор сдвига Та, а каждому скаляру λφΟ—оператор умножения Λ1λ, определив их формулами Та(х)=а + х, Μλ(χ)=λχ (χζΧ). Следующее простое предложение весьма важно: Предложение. Отображения Та и Μλ являются гомеоморфизмами X на X. Доказательство. Из аксиом векторного пространства следует, что Та и Λίλ—взаимно однозначные отображения X на X и что обратными к ним служат соответственно отображения Т_а и Μ1/λ. Из условий непрерывности операций векторного пространства вытекает, что эти четыре отображения непрерывны. Следовательно, каждое из них является гомеоморфизмом (т. е. непрерывным отображением, обратное к которому тоже непрерывно). Щ Одно из следствий этого предложения состоит в том, что всякая векторная топология τ инвариантна относительно сдвигов (или, для краткости, просто инвариантна): множество ЕаХ открыто тогда и только тогда, когда все его сдвиги а + Е являются открытыми множествами. Таким образом, τ полностью определяется любой локальной базой.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 15 Если речь идет о векторном пространстве, то термин локальная база всегда будет означать локальную базу в точке 0. Таким образом, локальная база топологического векторного пространства X—это такое семейство 93 окрестностей нуля, что любая окрестность нуля содержит некоторую окрестность, принадлежащую 93. Открытыми множествами в X являются те и только те множества, которые представляются в виде объединений сдвигов окрестностей из S3. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x + z, y + z) = d(x, у) для всех х, у, ζ из X. 1.8. Типы топологических векторных пространств. В следующих определениях X всегда обозначает топологическое векторное пространство с топологией τ: (a) X локально выпукло, если существует локальная база 93, состоящая из выпуклых окрестностей. (b) X локально ограничено, если существует ограниченная окрестность нуля. (c) X локально компактно, если существует окрестность нуля, замыкание которой компактно. (d) X метризуемо, если топология τ совместима с некоторой метрикой. (e) X является F-пространством, если его топология τ порождается некоторой полной инвариантной метрикой d (ср. п. 1.25). (f) X называется пространством Фреше, если оно является локально выпуклым /^-пространством. (g) X называется нормируемым, если в нем существует такая норма, что индуцированная ею метрика совместима с топологией τ. (h) Нормированные пространства и банаховы пространства уже были определены (п. 1.2). (i) X обладает свойством Гейне — Бореля, если каждое замкнутое ограниченное подмножество в X компактно. Терминология, которой мы придерживаемся в определениях (е) и (f), не является общепринятой: в некоторых руководствах требование локальной -выпуклости не включается в определение пространства Фреше, тогда как в других термин «F-пространство» употребляется для обозначения пространств, которые мы назвали пространствами Фреше. 1.9. Вот перечень некоторых связей между введенными выше свойствами топологического векторного пространства X.
16 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (a) Если X локально ограничено, то оно обладает счетной локальной базой (часть (с) теоремы 1.15). (b) X метризуемо тогда и только тогда, когда оно обладает счетной локальной базой (теорема 1.24). (c) X нормируемо тогда и только тогда, когда оно локально выпукло и локально ограничено (теорема 1.39). (d) X конечномерно тогда и только тогда, когда оно локально компактно (теоремы 1.21 и 1.22). (e) Если локально ограниченное пространство X обладает свойством Гейне—Бореля, то оно конечномерно (теорема 1.23). Пространства Η (Ω) и С£, упоминавшиеся в п. 1.3, являются бесконечномерными пространствами Фреше, обладающими свойством Гейне — Бореля (п. 1.45, 1.46). Поэтому они не являются локально ограниченными и, следовательно, не нормируемы; это показывает также, что обращение утверждения (а) ложно. С другой стороны, существуют локально ограниченные ^-прост- ранства, которые не являются локально выпуклыми (п. 1.47). Свойства отделимости 1.10. Теорема. Предположим, что К и С—подмножества топологического векторного пространства X, причем К компактно, С замкнуто и I(f\C = 0. Тогда существует такая окрестность нуля V, что (K + V)n(C + V) = 0. Отметим, что K + V является объединением сдвигов x + V окрестности V(x£K), и, значит, K + V—открытое множество, содержащее /С. Таким образом, из теоремы следует существование непересекающихся открытых множеств, содержащих соответственно К и С. Доказательство. Мы начнем с доказательства следующего утверждения, которое будет полезно и в других случаях: Для всякой окрестности нуля W в X найдется такая окрестность нуля U, которая симметрична (в том смысле, что U = — U) и удовлетворяет условию U + UaW. Чтобы убедиться в этом, заметим, что из равенства 0 + 0 = 0 и непрерывности сложения следует существование таких окрестностей нуля Vlt V21 что V1 + V2aW. Полагая £/=^η^η(-^)η(-Κ2), получаем окрестность нуля ί/, обладающую нужными свойствами. Применяя доказанное утверждение к U вместо W, получим новую симметричную окрестность нуля {У, для которой U + U + U + UaW. Ясно, что этот процесс можно продолжить.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 17 Если /С = 0, то K + V = 0 и утверждение теоремы тривиально. Предположим поэтому, что К¥=0> и рассмотрим некоторую точку χ ζ К. Так как замкнутое множество С не содержит χ и так как топология в X инвариантна относительно сдвигов, то из доказанного выше утверждения следует существование такой симметричной окрестности нуля Vx, что x + Vx + Vx + Vx не пересекается с С; при этом из симметричности Vx следует, что (1) (x + Vx + Vx)D(C + Vx) = 0. Поскольку К компактно, в нем найдется такое конечное множество точек хг, ..., хп, что Ka{x1 + Vx)\i...\i(xn + VXny Положим V = VΧχ Π ... Π Vx . Тогда K + Vd U [xt + VXt+V)c: U (Xi + Vxl + VXi), а в силу (1) ни одно из множеств Xi + Vx. + Vx. не пересекается с C + V. ■ Так как множество C + V открыто, то верно даже, что замыкание множества K + V не пересекается с C-\-V\ в частности, замыкание K + V не пересекается с С. Значительный интерес представляет следующий частный случай этого утверждения, получающийся при /С = {0}. 1.11. Теорема. Если 93—локальная база топологического векторного пространства X, то каждая из входящих в нее окрестностей нуля содержит замыкание некоторой другой окрестности нуля из S3. До сих пор мы не пользовались предположением, что каждая точка пространства X является замкнутым множеством. Теперь мы воспользуемся этим и применим теорему 1.10 к паре различных точек вместо К и С. В результате получим, что эти точки имеют непересекающиеся окрестности. Иными словами, выполняется аксиома отделимости Хаусдорфа: 1.12. Теорема. Каждое топологическое векторное пространство является хаусдорфовым. Теперь мы установим некоторые простые свойства операций замыкания и взятия внутренности в топологическом векторном пространстве. По поводу обозначений Ε и Е° см. п. 1.5. Отметим, что точка ρ принадлежит Ε тогда и только тогда, когда всякая ее окрестность пересекается с Е. 1.13. Теорема. Пусть X—топологическое векторное пространство.
18 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (a) Если ЛсХ, то А = η (A +V), где V пробегает все окрестности нуля. _ _ (b) Если АаХ и ВаХ, то А+ВаА + В. __ (c) Если Υ — подпространство пространства Х> то Υ тоже подпространство. (d) Если С—выпуклое подмножество в X, то С и С° тоже выпуклы. (e) Если В—уравновешенное подмножество в X, то В тоже уравновешено; если при этом Οζβ°, то В° уравновешено. (f) Если Ε—ограниченное подмножество в X, то Ё тоже ограничено. Доказательство, (а) χζΆ тогда и только тогда, когда (x + V) Π ΑΦ 0 для любой окрестности нуля У, а это возможно лишь в том случае, когда χ ζ Α—V для любой окрестности нуля V. Так как —V является окрестностью нуля тогда и только тогда, когда V—окрестность нуля, то утверждение доказано. (b) Пусть αζΑ, b£B и W—окрестность точки а-\-Ь. Существуют такие окрестности W1 и W2 точек а и Ь соответственно, что W1-\-W2cW. Так как α ζ. А и b£By то найдутся точки χζ Af]W1 и у£Вп W2. Тогда вектор х + у принадлежит пересечению (А + В) Π W, так что оно непусто. Следовательно, а + Ь ζ A -f 5# (c) Пусть а и β—скаляры. В силу предложения из п. 1.7 при а Ф О имеем αΥ = αΥ\ при а = 0 эти два множества также, очевидно, равны. Поэтому из (Ь) следует, что α7 + β7 = (^ + β7^άΓ+β7(ζΚ; для получения последнего включения мы воспользовались тем, что Υ по условию является подпространством. Доказательства выпуклости замыкания выпуклого множества и уравновешенности замыкания уравновешенного множества так похожи на доказательство (с), что при доказательстве (d) и (е) мы их опустим. (d) Так как С°аС и С выпукло, то tC° + (l — t)C°aC при 0 < f < 1. Оба слагаемых в левой части являются открытыми множествами, поэтому их сумма тоже открыта. Поскольку всякое открытое подмножество множества С содержится в С°, отсюда следует выпуклость С°. (e) Если 0<|а|<1, то аВ° = (аВ)°у поскольку отображение χ—*ах является гомеоморфизмом. Следовательно, αβ°<ζαβ<ζβ, ибо В уравновешено. Но аВ° открыто, так что аВ°аВ0. Если В° содержит 0, то аВ°аВ° и при а = 0.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 19 (f) Пусть V—окрестность нуля. По теореме 1.11 найдется такая окрестность нуля W, что WczV. Так как Ε ограничено, то EcitW для всех достаточно больших положительных t. Для таких t имеем EatWatV. Щ 1.14. Теорема. В топологическом векторном пространстве X (a) каждая окрестность нуля содержит уравновешенную окрестность нуля; (b) каждая выпуклая окрестность нуля содержит уравновешенную выпуклую окрестность нуля. Доказательство, (а) Пусть U—окрестность нуля в X. Так как умножение на скаляры непрерывно, то найдутся такое δ >0 и такая окрестность нуля V в X, что aVaU при |а| < б. Пусть W—объединение всех таких множеств aV. Тогда W — уравновешенная окрестность нуля и WcU. (b) Пусть U—выпуклая окрестность нуля в X. Положим Л= flat/, где а пробегает все скаляры, по модулю равные 1. Выберем окрестность W как в доказательстве (а). Поскольку W уравновешена, a'1W = W при |α| = 1; следовательно, WcaU. Поэтому Wc:Ay откуда следует, что внутренность А° множества А является окрестностью нуля. Ясно, что A°aU. Будучи пересечением выпуклых множеств, А выпукло; следовательно, А° тоже выпукло. Чтобы доказать, что А° является искомой окрестностью, мы должны показать, что А° уравновешено; для этого достаточно установить, что А уравновешено. Выберем г и β так, что 0 ^ г ^ 1, |β| = 1. Тогда г$А= П Γβαί/ = П raU. |α|=1 |α|=1 Так как aU — выпуклое множество, содержащее 0, то raUaaU. Таким образом, г$АсА. Щ Теорему 1.14 можно сформулировать в терминах свойств локальной базы. Будем говорить, что локальная база 33 уравновешена, если ее элементы являются уравновешенными множествами; аналогично назовем локальную базу выпуклой, если она состоит из выпуклых множеств. Следствие, (а) Каждое топологическое векторное пространство обладает уравновешенной локальной базой. (Ь) Каждое локально выпуклое пространство обладает уравновешенной выпуклой локальной базой. Напомним также, что для каждой из этих локальных баз справедлива теорема 1.11. 1.15. Теорема. Пусть V—окрестность нуля в топологическом векторном пространстве X.
20 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (a) Если 0 < гг < г2 < ... и тп —> оо при η —> оо, то х= и гиу. /г=1 (b) Каждое компактное подмножество К пространства X ограничено. (c) Если окрестность V ограничена и δ2 > δ2 > ..., δ„ —► 0 при η—юо, то семейство \6nV: /i = lf 2, ...} является локальной базой пространства X. Доказательство, (а) Фиксируем точку х£Х. Так как отображение α—>ах поля скаляров в X непрерывно, то множество всех тех а, для которых αχ ς У, открыто; оно содержит 0 и потому содержит 1/гп для всех достаточно больших п. Таким образом, (l/rn)x£V, или x£rnV, при больших п. (b) Пусть W—такая уравновешенная окрестность нуля, что WaV. Согласно (а), /С с U nW. /г=1 Поскольку К компактно, найдутся такие целые nL <... <ns, что Kc^WUtitWv... [)nsW=nsW (последнее равенство справедливо ввиду уравновешенности W). Отсюда следует, что KatWatV при t>ns. (c) Пусть U—окрестность нуля в X. Если окрестность V ограничена, то найдется такое s > 0, что VctU при всех t > s. Таким образом, если /г настолько велико, что s6„<l, то Vcz(l/6„) ί/. Поэтому U фактически содержит все множества б„У, кроме, быть может, конечного числа. Щ Линейные отображения 1.16. Определения. Если X и Υ—множества, запись /: Х->7 будет означать, что / является отображением X в Υ. Если АсХ и 5 с У, то образ f (А) множества А и обратный образ, или прообраз, f"1(B) множества В определяются условиями f(A) = {f(x): χζΑ\, Γ*(Β) = {χ: f{x)ZB\. Предположим теперь, что X и Υ—векторные пространства над одним и тем же полем скаляров. Отображение Λ: X—»Υ называется линейным, если Λ (αχ + β у) = αΛχ + βΛ#
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 21 для всех χ и у из X и всех скаляров α и β. Заметим, что если отображение Λ линейно, то вместо А(х) часто пишут Ах. Линейное отображение пространства X в его поле скаляров называется линейным функционалом. Например, операторы умножения Μχ из п. 1.7 линейны, а операторы сдвига Та таковыми не являются, за исключением случая а = 0. Приведем некоторые свойства линейных отображений Λ: Χ—>Υ\ доказательства настолько просты, что мы их опускаем; предполагается, что АаХ и ΒαΥ. (a) Л0 = 0. (b) Если А — подпространство (или выпуклое множество, или уравновешенное множество), то же самое верно и для А (А). (c) Если В — подпространство (или выпуклое множество, или уравновешенное множество), то же самое верно и для Л"1 (β). (d) В частности, множество Λ-ΐ({0}) = {χ€Χ: Лх = 0}=оГ(Л) является подпространством пространства X и называется нулевым пространством, или ядром, отображения Л. Обратимся теперь к свойствам непрерывности линейных отображений. 1.17. Теорема. Пусть X и Υ—топологические векторные пространства. Если линейное отображение А: X—*Υ непрерывно в точке О, то оно непрерывно. В действительности А даже равно- мерно непрерывно в следующем смысле: для каждой окрестности нуля W в Υ найдется такая окрестность нуля V в X, что из у—χξΛί следует Ay—Ax£W. Доказательство. Если окрестность If7 выбрана, то непрерывность Л в точке 0 показывает, что AVczW для некоторой окрестности нуля V. Если теперь у—χ ζ V, то из линейности Л следует, что Ау—Ах = А(у—χ) £ W. Таким образом, Л отображает окрестность x + V точки χ в окрестность Ax+W точки Лл:, а это означает, что Л непрерывно в точке х. Щ 1.18. Теорема. Пусть А—линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что Лх^О для некоторого х£Х. Тогда следующие четыре свойства эквивалентны: (a) Л непрерывен', (b) ядро оЛГ(Л) замкнуто; (c) ядро сЛГ(Л) не плотно в X; (d) функционал А ограничен в некоторой окрестности нуля V.
22 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Доказательство. Так как оЛГ(Л) = Л~1 ({0}), а {0}—замкнутое подмножество поля скаляров Ф, то (а) влечет за собой (Ь). По предположению, ο!ΐ(Α)ΦΧ, так что из (Ь) следует (с). Допустим, что выполнено (с), т. е. что дополнение к оЛГ(Л) имеет непустую внутренность. По теореме 1.14 (1) (x + V)[]o!f(A) = 0 для некоторого χζΧ и некоторой уравновешенной окрестности нуля V. При этом AV—уравновешенное подмножество поля скаляров Ф, так что либо AV ограничено, и тогда справедливо (d), либо ЛУ = Ф. В последнем случае найдется такой вектор y£Vf что Ау = — Ах, откуда x + y£olf(A)t а это противоречит (1). Поэтому (с) влечет за собой (d). Наконец, если выполнено (d), то |Λχ|<Λί для всех x£V и некоторого Μ < оо. Если г > 0 и W = (г/М) V, то | Ах | < г для всех x£W. Поэтому Л непрерывен в точке 0. По теореме 1.17 отсюда следует (а). Щ Конечномерные пространства 1.19. Среди банаховых пространств простейшими являются R" и С"—стандартные ^-мерные векторные пространства соответственно над R и С, нормированные при помощи обычной евклидовой метрики; если, скажем, * = (*i, ...,2«) (2/6С) — вектор в С", то \\г\\ = (\*1\ш+..-+\г«\шУ/ш. В С" можно ввести и другие нормы, например ||*|| = |*ιΙ+· --+ΚΙ или IHI = max(|z/l: 1<*<л). Если ft> 1, то этим нормам отвечают, конечно, другие метрики в С"; легко, однако, проверить, что они индуцируют в Сп одну и ту же топологию. В действительности можно утверждать большее. Если X—топологическое векторное пространство над С и dim Х = п, то каждый базис в X индуцирует изоморфизм между X и С". В теореме 1.21 будет установлено, что этот изоморфизм обязательно является гомеоморфизмом. Иными словами, это означает, что естественная топология в Сп является единственной векторной топологией, возможной в комплексном п-мерном топологическом векторном пространстве. Мы увидим также, что конечномерные подпространства всегда замкнуты. Все сказанное выше остается справедливым при замене комплексных скаляров вещественными.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 23 Мы начнем с леммы, которая далее будет перекрыта теоремами 1.21 и 1.22. 1.20. Лемма. Пусть Υ — подпространство топологического векторного пространства X, локально компактное в индуцированной из X топологии. ТогдаУ—замкнутое подпространство вХ. Доказательство. Существует такое компактное множество К с Υ, внутренность которого (относительно Υ) содержит 0. Поэтому найдется такая окрестность нуля ί/ в X, что Uf)Yc:K. Выберем симметричную окрестность нуля V в X, для которой V-\-VaU. Мы утверждаем, что для любого χζΧ множество Q=Yn(x+V) компактно (быть может, пусто). Чтобы убедиться в этом, фиксируем точку у0£ Q. Для любого yeQ У-Уо = (У—х) + (х—Уо) eV+VaU. Кроме того, у—y0£Y, ибо Υ — подпространство. Поэтому y—y0GUriYcK, откуда следует, что Q содержится в компактном множестве у0 + К. В то же время Q является замкнутым подмножеством в Υt поскольку x + V замкнуто в X, a Y наследует свою топологию из X. Таким образом, Q является замкнутым подмножеством компактного множества и потому компактно. Фиксируем теперь χζΥ. Пусть 35—совокупность всех таких открытых подмножеств W пространства X, для которых ΟζΨ и W<zV\ сопоставим каждому W£ffi множество Ew = Yl)(x + W). Поскольку WaV, каждое из множеств Ew компактно. Так как χζ,Υ, то все они непусты. Пересечение конечного числа множеств из S3 тоже принадлежит 33\ отсюда следует, что \EW\ W ζ 9Β\ является центрированной системой компактных множеств (т. е. такой системой, любая конечная подсистема которой имеет непустое пересечение). Поэтому существует ζ £ Π Ew. Эта точка ζ принадлежит Υ. С другой стороны, ζζχ + W для любого И? ζ 38. Поэтому z = x (теорема 1.12). Следовательно, x£Y. Мы доказали, что Y = Yy т. е. Υ замкнуто. Щ 1.21. Теорема. Пусть X—комплексное топологическое векторное пространство, Υ—его подпространство, η — целое положительное число и a\mY = n. Тогда (а) каждый изоморфизм пространства Сп на Υ является гомеоморфизмом;
24 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (b) Υ замкнуто. Конечно, термин «гомеоморфизм» относится, с одной стороны, к евклидовой топологии пространства Сп и, с другой стороны, к топологии подпространства У', которую оно наследует от X. Так как Сп локально компактно, то лемма 1.20 показывает, что (Ь) следует из (а). Данное ниже доказательство пригодно также для получения аналогичной теоремы в вещественном случае. Доказательство. Пусть Рп обозначает утверждение теоремы. Докажем сначала справедливость Рг. Пусть Л: С—>Υ — изоморфизм (т. е. взаимно однозначное линейное отображение С на Υ). Положим и=А\. Тогда Аа = аи, и из непрерывности операций векторного пространства в Υ следует, что Л непрерывно. Заметим, что Л"1—линейный функционал на Υ с ядром {0}, которое является замкнутым множеством. По теореме 1.18 этот функционал непрерывен. Справедливость Рг доказана. Предположим далее, что я>1 и что справедливость Рп-г уже установлена. Пусть Л: Сп—>Υ — изоморфизм. Пусть \ег, ...,еп\— стандартный базис в С\ т. е. k-я координата вектора ek равна 1, а остальные его координаты равны 0. Положим uk = Aek для k = l, ...у п. Тогда Л К, .. .,ая)=а1и1+ ... +anunt и из непрерывности операций векторного пространства в Υ снова следует непрерывность Л. Поскольку Л—изоморфизм, \иг, . .., ип\—базис в пространстве Υ. Следовательно, существуют такие линейные функционалы γχ, ..., уп на Υ, что каждый вектор χ ζ Υ единственным способом представим в виде * = Vi(*)"i+ ···+?»(*) И»· Ядро функционала у{ является подпространством в Υ размерности η — 1; в силу предположения о справедливости Рп-г оно замкнуто в Υ. Следовательно, по теореме 1.18 функционал γ,- непрерывен. Поскольку A-* = (Tl(*)f ..·,%(*)) (х£П отсюда вытекает непрерывность Л"1. Поэтому справедливо Рп. Щ 1.22. Теорема. Каждое локально компактное топологическое векторное пространство X конечномерно. Доказательство. Пусть V—окрестность нуля с компактным замыканием в X. По теореме 1.15 она ограничена, и множества 2~nV (n = l, 2, 3, ...) образуют локальную базу в X.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 25 Из компактности V следует существование таких xlt ..., хт в X, что V<z(Xl+±v) U... U (*«+-5-V). Пусть Υ—векторное подпространство в X, натянутое на векторы х19 ..., хт. Тогда dim Yίξ/л. По теореме 1.21 подпространство Υ замкнуто в X. Так как УсУ+уУ и λΥ = Υ для любого скаляра λφΟ, то откуда VaY + \Vc:Y + Y + \v = Y + \v. Продолжая действовать таким же образом, мы увидим, что Vc: П (Y + 2-nV). Поскольку \2~пV)—локальная база, из утверждения (а) теоремы 1.13 следует, что VaY. Но Υ = Υ. Таким образом, Va Y, откуда kVaY для k=l9 2, 3, ... . Поэтому, согласно утверждению (а) теоремы 1.15, Y = X; следовательно, dimX^m.^ 1.23. Теорема. Если X — локально ограниченное топологическое векторное пространство, обладающее свойством Гейне—Бореля, то оно конечномерно. Доказательство. По предположению в X существует ограниченная окрестность нуля V. Утверждение (f) теоремы 1.13 показывает, что V также ограничено. По свойству Гейне — Бореля V компактно. Это означает, что пространство X локально компактно и потому, согласно теореме 1.22, конечномерно. Метризация Напомним, что топология τ в множестве X называется метри- зуемой, если в X существует метрика d, совместимая с τ. В этом случае шары радиусов 1/п с центром в точке χ образуют локальную базу в этой точке. Это дает необходимое условие метризуемости, которое для топологических векторных пространств оказывается также и достаточным. 1.24. Теорема. Если X — топологическое векторное пространство со счетной локальной базой, то в нем существует такая метрика df что
26 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (a) d совместима с топологией пространства X; (b) открытые шары с центром в точке О уравновешены, (c) d инвариантна, т. е. d(x-\-z, y-\-z)=d(x, у) для всех х, у, ζζΧ. Если пространство X еще и локально выпукло, то метрику d можно выбрать так, чтобы, кроме условий (а), (Ь), (с), она удовлетворяла еще условию (d) все открытые шары выпуклы. Доказательство. По теореме 1.14 пространство X обладает такой уравновешенной локальной базой \Vn\, что (1) vn+1+vn+1<=vn (« = 1,2,з,...); если X локально выпукло, эта локальная база может быть выбрана так, чтобы каждое из множеств Vn также было выпуклым. Пусть D—множество всех рациональных чисел г, представи- мых в виде (2) г=£са(г)2-", где «двоичный разряд» сп (г) равен 0 или 1, причем допускается лишь конечное число «разрядов», отличных от О1). Таким образом, каждое r£D удовлетворяет неравенствам 0^г< 1. Положим А(г)=Х при г>1, а для r£D положим (3) A(r)=c1(r)V1 + c2(r)V2 + c3(r)V3+... . Заметим, что каждая из этих сумм в действительности конечна. Положим (4) f(x) = inf {г: х£А(г)\ (х£Х) и (5) d(x,y)=f(x-y) (χξΧ, у ζ Χ). Доказательство того, что d обладает нужными свойствами, основывается на включении (6) A(r) + A(s)c:A(r + s) (r^D, s£D). Прежде чем доказывать его, продемонстрируем, как из него выводится справедливость теоремы. Поскольку каждое из множеств A (s) содержит 0, из (6) следует, что (7) А (г) с: A(r) + A(t—r)a A(t) при r<t. г) Иными словами, D состоит из всех двоично-рациональных чисел г, удовлетворяющих неравенствам О^г < 1; каждое такое число г допускает единственную запись в виде конечной двоичной дроби, и коэффициенты сп (г) в представлении (2) с^ть последовательные двоичные знаки этой дроби, стоящие после запятой.— Прим. перев.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 27 Таким образом, семейство множеств {А (г)\ линейно упорядочено относительно теоретико-множественного включения. Мы утверждаем, что (8) f(x+y)<f(x) + f(y) (*€*, У£Х). При доказательстве (8) мы можем, конечно, считать, что правая часть < 1. Фиксируем ε > 0. В D найдутся такие г и s, что f(x)<r, f(y)<s, r + s<f(x) + f(y) + e. Таким образом, x£A(r), y£A(s) и из (6) следует, что x + y£A(r + s). Отсюда получаем (8), поскольку f(x + y)<r + s<f(x) + f(y) + E, а ε произвольно. Так как каждое из множеств А (г) уравновешено, то f (х) = = /(—*). Ясно, что /(0) = 0. Если хфО, то х^Уп = А (2"") для некоторого пу так что f (х) ^2~п > 0. Эти свойства функции f показывают, что формула (5) определяет инвариантную относительно сдвигов метрику d на X. Открытые шары с центрами в точке 0 являются открытыми множествами: (9) β6(0) = {*: /(*)<«}= U Л (г). Если б<2~л, то B6(0)ciVn. Поэтому \В6(0)\ является локальной базой топологии пространства X. Это доказывает справедливость (а). Так как все А (г) уравновешены, то такими же являются и все Bq(0). Если каждая из окрестностей Vn выпукла, то все А (г) выпуклы, и из (7) следует выпуклость всех шаров Бб(0), а потому и всех их сдвигов. Доказательство формулы (6) проведем по индукции. Пусть PN обозначает следующее утверждение: если г + s < 1 и cn(r)=cn(s) = 0 для всех η > Ν, то (Ю) A(r) + A(s)c:A(r + s). Утверждение Рг проверяется непосредственно. Предположим, что ΡΝ-τ справедливо для некоторого W > 1. Пусть r£D, s£D, r + s<l и cn(r) = cn(s) = 0 при η> Ν\ определим г' и s' условиями (11) r = r' + cN(r)2-»f s = s'+cN(s)2-». Тогда (12) A(r) = A(r') + cN(r)VN, A(s) = A(s') + cN(s)VNi и A (r') + A (s')cz A (r'+s') в силу /V-i· Следовательно, (13) A(r) + A(s)aA(r'+s') + cN(r)VN + cN(s)VN.
28 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Если cN(r) = cN(s)=0, то r = r', s = s' и (13) превращается в (10). Если См(г) = 0 и cN(s) = l, то правая часть (13) равна A(r'+s')+VN = A(r' + s' + 2-») = A(r + s), так что (10) опять справедливо. Случай cN(r) — l, cN(s) = 0 разбирается тем же способом. Если cN(r) =cN(s) = 1, то правая часть (13) равна A(rf + sf) + VN+VNc:A(rf + s') + VN^ = = А (r'+s') + A (2~N+1) с: A (r' + s'+2-N+1) = A(r + s) (последнее включение основано на Ρχ-χ). Таким образом, ΡΝ-1 влечет за собой ΡΝ. Следовательно, (6) верно, и доказательство закончено. | 1.25. Последовательности Коши. (а) Пусть d — метрика на множестве X. Последовательность {хп} в X называется последовательностью Коши, если для каждого ε > 0 найдется такое натуральное Ν, что d(xm, х„) < ε всякий раз, когда т > N и /г > N. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X. (b) Пусть τ—топология топологического векторного пространства X. Понятие последовательности Коши в этой ситуации можно ввести, не обращаясь к какой бы то ни было метрике. Действительно, фиксируем некоторую локальную базу 33 топологии τ и назовем последовательность {хп\ в X последовательностью Коши, если для каждой окрестности нуля V ζ 33 найдется такое Ν, что хп—xm£V при n>N и m>N. Ясно, что любая другая локальная база топологии τ приводит к тому же самому классу последовательностей Коши. (c) Предположим теперь, что X—топологическое векторное пространство, топология τ которого совместима с инвариантной метрикой ά. Будем временно пользоваться выражениями «d-после- довательность Коши» и «τ-последовательность Коши» для последовательностей, определенных соответственно в (а) и (Ь). Поскольку d(xn, xm)=d(xn—xm, 0) и d-шары с центрами в начале образуют локальную базу топологии τ, мы приходим к такому заключению: Последовательность {хп} в X является d-последовательностью Коши тогда и только тогда, когда она является ^последовательностью Коши. Итак, любые две инвариантные метрики на X, совместимые с топологией τ, определяют один и тот же запас последовательностей Коши. Ясно также, что таким метрикам соответствует один и тот же класс сходящихся последовательностей (а именно
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 29 класс всех τ-сходящихся последовательностей). Эти замечания устанавливают справедливость следующей теоремы. 1.26. Теорема. Если d± и d2—инвариантные метрики на векторном пространстве X, индуцирующие в X одну и ту же топологию, то (a) dx и d2 определяют один и тот же запас последовательностей Коши; (b) метрика d± полна тогда и только тогда, когда полна метрика d2. Отметим, что условие инвариантности существенно (упр. 12). Следующая теорема является аналогом леммы 1.20, но условие локальной компактности заменено в ней условием полноты. Отметим также сходство доказательств этих двух результатов. 1.27. Теорема. Предположим, что Υ — подпространство топологического векторного пространства X и что Υ является F-npo- странством в топологии, наследуемой им от X. Тогда Υ замкнуто в X. Доказательство. Выберем инвариантную метрику d на подпространстве Υ, совместимую с его топологией. Положим B1/n={yeY:d(y,0)<±}, и пусть Un—такая окрестность нуля в X, что Υ f]Un = B1/n; выберем такие симметричные окрестности нуля Vn в X, что vn+vn<=un. Допустим, что χζ,Υ, и положим En = Yn(x + Vn) (/i = lf 2, 3, ...). Если у1^.Еп и у2£Еп, то уг—у2 лежит как в Υ, так и в Vn + Vna Un, а потому и в В1/п. Следовательно, диаметры множеств Еп стремятся к 0. Поскольку каждое из них непусто, a Y полно, отсюда следует, что F-замыкания множеств Еп имеют ровно одну общую точку у0. Пусть W—окрестность нуля в X; положим Fn = Yn(x + WnVn). Предыдущее рассуждение показывает, что У-замыкания этих множеств Fn имеют единственную общую точку yw. Но Fn с Еп, поэтому yw = yr Так как Fn ax + W, то отсюда следует, что у0 принадлежит Х-замыканию множества x + W для любой окрестности нуля W. Поэтому у0=х. Таким образом, χζΥ. Это показывает, что Υ = Υ. Щ Иногда нам будут полезны следующие простые факты:
30 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 1.28. Теорема, (а) Если d—инвариантная относительно сдвигов метрика на векторном пространстве X, то для любого χζΧ и любого натурального η d(nx, 0)^nd(xy 0). (b) Если {хп}—сходящаяся к 0 последовательность точек мет- ризуемого топологического векторного пространства X, то существуют такие положительные скаляры уп, что уп —► оо и упхп —► 0. Доказательство. Утверждение (а) вытекает из неравенства η d(nx, 0)< 2 d(&*> (k—l)x) = nd(x, 0). k = 1 Чтобы доказать (b), введем в X инвариантную метрику d, совместимую с топологией1). Так как d(xnt 0)—>0, то найдется такая возрастающая последовательность положительных целых чисел nky что d(xn, 0) < k~2 при n^nk. Положим γ„=1 при η <пг и уп = k при nkk^n < nk+1. Если η удовлетворяет последним неравенствам, то d(ynxnl0)=d(kxny 0)<Ы(х„, ОХ*"1. Следовательно, упхп—>0 при η—юо. Щ Ограниченность и непрерывность 1.29. Ограниченные множества. Понятие ограниченного подмножества топологического векторного пространства X было введено в п. 1.6 и с тех пор уже несколько раз встречалось в тексте. Если X метризуемо, то возможно недоразумение, поскольку для подмножеств метрических пространств имеется другое хорошо известное определение ограниченности: Пусть d — метрика на множестве X; подмножество Ε с X называется d-ограниченным, если существует такое число Μ < оо, что d(x, у)^М для всех χ и у из Е. Если d—совместимая с топологией метрика в топологическом векторном пространстве X, то понятия ограниченности и d-orpa- ниченности могут не совпадать, даже если метрика d инвариантна. Например, если d—метрика, построенная в теореме 1.24, то само пространство X является d-ограниченным множеством, однако, как мы вскоре увидим, X не может быть ограниченным, за исключением случая, когда Х = {0}. Если X—нормированное пространство и d — метрика, индуцированная нормой, то понятия ограниченности и d-ограниченности совпадают; но если вместо d взять d1 = d/(l +d) (это инвариантная метрика, индуцирующая х) Существование такой метрики следует из теоремы 1.24.— Прим. перев.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 31 ту же самую топологию), то ^-ограниченность не эквивалентна ограниченности при ХФ{0\. Когда речь пойдет об ограниченных подмножествах топологического векторного пространства, ограниченность всегда будет пониматься в смысле определения п. 1.6: множество Ε ограничено, если для любой окрестности нуля V включение Ε с: tV выполняется для всех достаточно больших положительных /. Мы уже видели (теорема 1.15), что компактные множества ограничены. Чтобы указать другой тип примеров, докажем, что последовательность Коши ограничена (следовательно, сходящаяся последовательность ограничена). Действительно, пусть {хп} — последовательность Коши в X, а V и W—такие уравновешенные окрестности нуля, что V + VaW. Тогда (см. п. 1.25 (Ь)) существует такое N, что xn£xN+V лля всех n^N. Выберем такое s > 1, что χΝ ζ sV. Тогда хп б sV+V с: sV + sV <z sW {η > Ν). Следовательно, если t достаточно велико, то хп ζ tW для всех Напомним, что замыкание ограниченного множества тоже ограничено (теорема 1.13). С другой стороны, если хфО и Е — {пх\п — \, 2,...}, то Ε не ограничено; действительно, существует окрестность нуля V, не содержащая точки х\ при этом пх не лежит в nV, откуда следует, что Ε не содержится ни в одном из множеств nV. Следовательно, никакое подпространство пространства X, кроме {0}, не может быть ограниченным. Следующая теорема характеризует ограниченные множества на языке последовательностей. 1.30. Теорема. Следующие два свойства подмножества Ε топологического векторного пространства эквивалентны: (a) Е ограничено; (b) если {хп}—любая последовательность точек из Е, а \ап\ — такая последовательность скаляров, что ап—>0 при η—^оо, то апхп—^0 при η—^оо. Доказательство. Допустим, что Ε ограничено. Пусть V—уравновешенная окрестность нуля в X. Тогда Ε с tV для некоторого t > 0. Если ап—>0, то найдется такое N, что \ап 11 < 1 при п> N. Пусть хп ζ £; так как t~xE <ζ V, а окрестность V уравновешена, то αηχηζΫ для всех η>Ν. Таким образом, апхп—^0. Если же Ε не ограничено, то найдутся такая окрестность нуля V и такая последовательность скаляров гп—*оо, что ни одно из множеств rnV не содержит Е. Выберем такие точки
32 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ хп£Е, что xn^rnV. Тогда ни одна из точек г^Хп не принадлежит V, так что последовательность {г^Хп} не сходится к 0. Щ 1.31. Ограниченные линейные отображения. Пусть X и Υ — топологические векторные пространства, а Л: X—>Υ — линейное отображение. Тогда Л называется ограниченным, если оно переводит ограниченные множества в ограниченные множества, т. е. если Л(Е) является ограниченным подмножеством пространства Υ для любого ограниченного множества Ε с X. Это определение не согласуется с обычным определением ограниченной функции как функции, область значений которой является ограниченным множеством. Никакая линейная функция (кроме тождественного 0) не может быть ограниченной в последнем смысле. Поэтому в дальнейшем, если речь пойдет об ограниченности линейных отображений (или преобразований), всегда будет подразумеваться приведенное выше определение этого свойства в терминах образов ограниченных множеств. 1.32. Теорема. Пусть X и Υ—топологические векторные пространства, а Л: X—>Υ—линейное отображение. Рассмотрим следующие свойства, которыми может обладать (или не обладать) отображение Л: (a) Л непрерывно; (b) Л ограничено; (c) если хп—>0, то множество {Ахп\ п = 1, 2, ...} ограничено; (а) если хп—>0, то Ахп—>0. Справедливы импликации (а) =>(Ь) =>-(с). Если пространство X метризуемо, то выполняются также импликации (c)=^(d) =^(a), так что в этом случае все четыре свойства эквивалентны. В упражнении 13 приведен пример, показывающий, что в общем случае из (Ь) не следует (а). Доказательство. Допустим, что выполняется (а). Пусть Ε—ограниченное подмножество в X, a W—окрестность нуля в Υ. Так как Л непрерывно (и Л0 = 0), то в X найдется такая окрестность нуля У, что A(V)aW. Поскольку Ε ограничено, Ε <z tV для всех достаточно больших t, так что A(E)aA(tV) = tA(V)c:tW. Это показывает, что А(Е)—ограниченное множество в Y. Таким образом, (а)=>(Ь). Так как сходящиеся последовательности ограничены, то (Ь)^-(с). Предположим теперь, что X метризуемо и что Л обладает свойством (с). Пусть хп—>0. По теореме 1.28 найдется такая последовательность положительных скаляров уп —>· оо, что упхп —> 0. Тогда \А(упхп)}—ограниченное множество в Y, и из теоремы
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 33 1.30 следует, что Ахп = Чп1А.(упхп)-+Ъ при п—>оо. Наконец, предположим, что (а) неверно. Тогда в Υ найдется такая окрестность нуля W> что A"1 (W) не содержит никакой окрестности нуля в X. Поэтому если X имеет счетную локальную базу, то в X найдется такая последовательность {хп\, что хп—*0> но Ax„^W. Таким образом, (d) не выполняется. Полунормы и локальная выпуклость 1.33. Определения. Полунормой на векторном пространстве X называется такая вещественная функция ρ на X, что (a) р(х + у)^р(х) + р(у)\ (b) р(ах) = \а\р(х) для всех χ и у из X я всех скаляров а. Свойство (а) называется полу аддитивностью. В теореме 1.34 будет показано, что если полунорма ρ удовлетворяет условию (c) р(х)ф0 при хфО, то она является нормой. Семейство 3* полунорм на X называется разделяющим, если для каждого хфО найдется хотя бы одна полунорма ρ ζ^, для которой ρ (χ) Φ 0. Далее, рассмотрим выпуклое множество ЛсХ, которое является поглощающим в том смысле, что любая точка χ ζ Χ принадлежит ίΑ для некоторого t = t(x) > 0. [Например, из утверждения (а) теоремы 1.15 следует, что каждая окрестность нуля в топологическом векторном пространстве является поглощающим множеством. Любое поглощающее множество, очевидно, содержит 0.] Функционал Минковского μΑ множества А определяется формулой μΑ (х) = inf {t > 0: Г1* ζ Л} (χζΧ). Заметим, что μ^(^)<°° Для всех *€Х, поскольку А предполагается поглощающим. Оказывается, что полунормы на X—это в точности функционалы Минковского всевозможных уравновешенных выпуклых поглощающих множеств. Полунормы тесно связаны с понятием локальной выпуклости. А именно, в локально выпуклом пространстве существует разделяющее семейство непрерывных полунорм. Обратно, с помощью любого разделяющего семейства полунорм Э* на векторном пространстве X можно определить в X такую локально выпуклую топологию, относительно которой все полунормы ρ £ 9* непрерывны. Этот метод часто используется для введения топологии. Подробности содержатся в теоремах 1.36 и 1.37. 2 №871
34 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 1.34. Теорема. Пусть ρ— полунорма на векторном пространстве X. Тогда (а)р(0)=0; (Ь) \р(х)-р(у)\<^р(х-у). (с)р(*)>0; (d) {χ: ρ(χ)=0\ является подпространством в Х\ (e) множество В = {х: р(л;)<1} является выпуклым, уравновешенным и поглощающим, причем ρ = μΒ- Доказательство. Утверждение (а) получается из условия ρ (ах) = \а\р (х) при α = 0. Из полуаддитивности ρ следует неравенство ρ {χ) =ρ (х—у + у)^р(х—у) + р (у), так что ρ (χ)—ρ (у) ^.р (χ—у)\ справедливо такое же неравенство с переменой ролей χ и у. Так как ρ (χ—у)=р(у—х), то отсюда следует (Ь). Из (Ь) при у = 0 вытекает (с). Если р(х)=р(у)=0 и α, β—скаляры, то в силу (с) 0^р(ах + $у)<^\а\р(х) + \$\р(у)=0, откуда получаем (d). Что касается (е), то ясно, что В уравновешено. Если χ ζ В, уеВ и 0<*<1, то P(tx + (l-t)y)^tp(x) + (l-t)p(y)<l. Поэтому В выпукло. Если χζΧ и s > ρ (χ), то ρ (s"1x)=s"1p (x) < 1. Это показывает, что В является поглощающим и что μβ(*)^δ. Поэтому μβ<Ξρ. Но если 0 <*^р (χ), то р(/"1х)^1, так что t"1x не принадлежит В. Отсюда следует, что ρ(χ)^μΒ(χ)- Ш 1.35. Теорема. Предположим, что А—выпуклое поглощающее множество в векторном пространстве X. Тогда (a) μA(x + У)^μΛ(x) + μA(У)\ (b) μ^ (tx) = ίμΛ (χ) при t > 0; (c) если А уравновешено, то μΛ является полунормой; (d) если В = {х: μΑ (χ) < 1} и С = {х: μΑ (χ) < 1}, то ВаАаС Доказательство. Сопоставим каждому χ ζ Χ множество HA(x) = {t>0: ί-^ζΑ}. Допустим, что t£HA(x) и s> t. Тогда, поскольку 0 ζ А и А выпукло, s£HA(x)> Поэтому НА(х) представляет собой полупрямую с левым концом в точке μΑ(χ)> Пусть μ^ (χ) < s, μΑ (у) < t и и =s +1. Тогда s'lx ζ А и t~xye А, а так как А выпукло, то точка u-i(x + y)=fy(s-ix) + ^)(t-iy)
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 35 лежит в Л. Поэтому μ^(* + ί/)^Ξ"· Отсюда следует (а). Свойство (Ь) очевидно, а (с) тривиально следует из (а) и (Ь). Если μ^(*)<1, то 1£НА(х), так что χ ζ А. Ясно, что если х£Ау то μ^(*)^1· Поэтому В с А с С. Отсюда следует, что для любого χ £ X выполняются включения Нв (х) с НА {х) cz tf c (х)у откуда ν>€{χΧνΆ(χ)<ν>Β(χ)- С целью доказать, что в действительности здесь имеют место равенства, допустим, что μ€(χ) <s <t. Тогда s'^^C, и потому μΑ (s-1x) <! 1, так что μ^(ί-1χ)<7-<1. Следовательно, ^х^Б, откуда μβ(/_1χ)^1 и μβ(#)<^. | 1.36. Теорема. Пусть 33—выпуклая уравновешенная локальная база в топологическом векторном пространстве X. Сопоставим каждой окрестности V £33 ее функционал Минковского μν. Тогда {μν: V ζ. 33)—разделяющее семейство непрерывных полунорм на X. Доказательство. Поскольку V—выпуклое уравновешенное поглощающее множество, μ^ является полунормой. Если х£Х и х^=0, то х(£У для некоторой окрестности V £33\ ясно, что тогда μν(χ)^\. Таким образом, {μν\—разделяющее семейство. Если χ £ У, то, поскольку У открыто, ίχξΛί для некоторого t>l. Следовательно, μν(χ)<1 при χ ζ V. Если г > 0, то из теоремы 1.34 следует, что Ι μν (*)—μν (у) I < μ^ (χ—у) <r при χ—y£rV. Поэтому все μ^ непрерывны. ■ 1.37. Теорема. Пусть 3*—разделяющее семейство полунорм на векторном пространстве X. Сопоставим каждой полунорме ρζ.3* и каждому целому положительному числу η множество V(p,n) = {x: />(*)<4)· Пусть 33—совокупность всех конечных пересечений множеств V(p, η). Тогда 33—выпуклая уравновешенная локальная база то- пологий τ в X, превращающей X в локально выпуклое пространство, причем (a) все полунормы р£3> непрерывны относительно τ; (b) множество ЕаХ ограничено тогда и только тогда, когда каждая полунорма ρ ζ 5* ограничена на Е. Доказательство. Объявим множество АаХ открытым в том и только в том случае, когда оно является объединением 2*
36 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (быть может, пустым) сдвигов некоторых множеств из 33. Ясно, что таким способом мы получаем инвариантную относительно сдвигов топологию τ на X; каждое множество из 33 выпукло и уравновешено, и 33 является локальной базой топологии τ. Пусть χ ζ X и хф 0. Тогда ρ (χ) > 0 для некоторой полунормы ρ ζ 3*. Если пр (х) > 1, то x(fcV(p, п), так что 0 не принадлежит окрестности χ—V (ρ, η) точки χ, и потому χ не лежит в замыкании множества {0}. Таким образом, {0} — замкнутое множество, а так как топология τ инвариантна относительно сдвигов, то любая точка в X является замкнутым множеством. Теперь мы покажем, что сложение и умножение на скаляры непрерывны. Пусть U—окрестность нуля в X; тогда (1) U=>V(pl9n1)(]...i\V(pMtnm) для некоторых рг, ..., рт £ 9* и некоторых целых положительных п1У ..., пт. Положим (2) V = V(pt, 2nJ{]...nV(pM,2nm). Так как каждая полунорма полуаддитивна, то V + VaU. Этим доказана непрерывность сложения. Пусть теперь а—скаляр, χ £ X, a U и V—рассмотренные выше окрестности нуля. Тогда χ ζ si/для некоторого s > 0. Положим t = s/(l + |a|s). Если y£x + tV и |β—a|<l/s, то вектор $у—ах = β (у—χ) + (β—α) χ принадлежит множеству \P\tV + \^—a\sVcV + VcU (здесь мы воспользовались уравновешенностью V и легко проверяемым неравенством |β|/^1). Это показывает, что умножение на скаляры непрерывно. Таким образом, (Χ, τ)—локально выпуклое пространство. Непосредственно из определения V (р, п) следует, что каждая полунорма ρ ζ Зъ непрерывна в нуле; в силу утверждения (Ь) теоремы 1.34 такая полунорма непрерывна на всем X. Наконец, предположим, что множество ЕаХ ограничено. Фиксируем некоторую полунорму ρξ.3*. Так как У (ρ, 1) является окрестностью нуля, то EckV(p, 1) для некоторого конечного положительного k. Но тогда p(x)<k для всех χζ,Ε. Таким образом, каждая полунорма ρ £3* ограничена на Е. Допустим теперь, что Ε удовлетворяет последнему условию. Пусть U—окрестность нуля, и пусть V (ph п{) выбраны так, что выполняется условие (1). Существуют такие числа ΛίΖ·<οο, что pt < Μι на Ε (1^/^m). Отсюда следует, что Ecnll, если n>Miti£ при l^i^m. Поэтому множество Ε ограничено. Щ
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 37 1.38. Замечания, (а) При доказательстве теоремы 1.37 действительно необходимо было рассматривать конечные пересечения множеств V(p, n). Дело в том, что семейство 930 всех множеств V (/?, п) может не быть локальной базой ни для какой топологии в X (это семейство 93Q обычно называют предбазой построенной топологии τ). Чтобы привести такой пример, возьмем в X = R2 семейство 9*, состоящее из двух полунорм рг, р2, определенных условиями pi(x) = \Xi\ (здесь (х1У х2)=х ζ R2). Упражнение 8 развивает это замечание. (b) Теоремы 1.36 и 1.37 приводят к следующей естественной задаче. Если 93—выпуклая уравновешенная локальная база топологии τ локально выпуклого пространства X, то, согласно теореме 1.36, 93 порождает разделяющее семейство 9Ъ непрерывных полунорм на X. В свою очередь это семейство 9Ъ способом, описанным в теореме 1.37, индуцирует в X топологию τν Верно ли, что τ = τ1? Ответ на этот вопрос оказывается утвердительным. Чтобы убедиться в этом, заметим, что в силу τ-непрерывности полунорм ρ ζ 9Ъ все множества V(p, n), определенные в теореме 1.37, принадлежат τ. Следовательно, тхст. Если же W £93 и ρ = μ^, то W = {x: μψ(χ)<\} = ν(Ρ> Ι); таким образом, W g τχ для любого W ζ 93. Отсюда следует, что тстг (c) Если 9* = {р{'. i = 1, 2, 3, ...}—счетное разделяющее семейство полунорм на X, то теорема 1.37 показывает, что 9* индуцирует топологию τ со счетной локальной базой. По теореме 1.24 топология τ метризуема. В данной ситуации инвариантная относительно сдвигов метрика, совместимая с τ, может быть определена прямо по полунормам {ρ,·}. Положим Легко проверить, что d является метрикой в X. Чтобы доказать совместимость d с τ, мы покажем, что шары (2) Br = {x: d(x, 0)<r} (г>0) образуют локальную базу для τ. Поскольку каждая полунорма pt непрерывна (теорема 1.37), а ряд (1) равномерно сходится на ХхХ, функция d непрерывна на ХхХ; следовательно, каждый шар Вг является открытым множеством. Если W—окрестность нуля, то W содержит пересечение подходящим образом выбранных множеств (3) V(pt, *,) = {*: Р,(х)<±} (К''<*)·
38 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Если χ ζ Βη то W тШ<г С-1.2.3,...). Если г достаточно мало, то неравенства (4) вынуждают величины рг (х), ..., pk (x) быть столь малыми, что Вг содержится в каждом из множеств (3); следовательно, BraW при достаточно малых г. Это показывает, что d совместима с τ. Формула (1) обладает значительными преимуществами по сравнению с более сложной конструкцией, описанной в доказательстве теоремы 1.24. Правда, она пригодна лишь для локально выпуклых пространств и даже для них имеет один недостаток: шары, определяемые метрикой (1), не обязательно выпуклы. Соответствующий пример приведен в упр. 18. 1.39. Теорема. Топологическое векторное пространство X нормируемо тогда и только тогдау когда в нем существует выпуклая ограниченная окрестность нуля. Доказательство. Если пространство X нормируемо и ||-|| — норма, совместимая с его топологией, то открытый единичный шар {х: ||л;|| < 1} является выпуклой ограниченной окрестностью нуля. Для доказательства обратного утверждения предположим, что V—выпуклая ограниченная окрестность нуля в X. По теореме 1.14 она содержит выпуклую уравновешенную окрестность нуля U; разумеется, окрестность U также ограничена. Положим (1) ||*|| = μ(*) (*€*), где μ—функционал Минковского для U. По утверждению (с) теоремы 1.15 множества rU (г > 0) образуют локальную базу топологии пространства X. Если хфО, то x^rU для некоторого г > 0; следовательно, \\х\\^г. Поэтому из теоремы 1.35 следует, что (1) определяет норму в X. Из определения функционала Минковского и того факта, что U открыто, вытекает, что (2) \х: \\x\\<r\ = rU для любого г > 0. Поэтому топология, индуцированная построенной нормой, совпадаете исходной топологией в Х.Щ Факторпространства 1.40. Определения. Пусть N— подпространство векторного пространства X. Для каждого χζΧ обозначим через п(х) класс смежности пространства X по Ν, содержащий х\ иными словами, η(χ)=χ + Ν.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39 Классы смежности являются элементами векторного пространства X/N, называемого факторпространством пространства X по подпространству N\ сложение и умножение на скаляры в X/N определяются формулами (1) п(х)-\- π (у) ==п(х + у), απ(χ) = π(αχ). [Отметим, что теперь απ(χ) — Ν, если а = 0. Это отличается от обычных обозначений, введенных в п. 1.4.] Поскольку N является векторным пространством, операции (1) определены корректно. Это означает, что если π(χ) = π(χ') (т.е. х'—χζΝ) и п(у)= = п (у'), то (2) π (*)-f η (у) = π (χ') + π (у'), απ(χ') = απ(χ). Нулем в Χ/Ν служит π(0) = Ν. В силу (1) π является линейным отображением X на Χ/Ν', ядро (нулевое пространство) я совпадает с Ν\ отображение π часто называют факторотобра- жением (или каноническим отображением) X на Χ/Ν. Допустим теперь, что τ—векторная топология в X и что N—замкнутое подпространство пространства X. Обозначим через %Ν совокупность всех таких множеств ΕαΧ/Ν, для которых п~1(Е)£т. Оказывается, что τΝ является топологией в Χ/Ν; она называется фактор топологией. Некоторые свойства фактор- топологии перечислены в следующей теореме. Напомним, что отображение называется открытым, если образы открытых множеств являются открытыми множествами. 1.41. Теорема. Пусть N—замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Пусть τ—топология пространства Χ, α τΝ—определенное выше семейство подмножеств факторпространства Χ/Ν. (a) τΝ является векторной топологией в Χ/Ν\ факторотобра- жение π: Χ—*Χ/Ν линейно, непрерывно и открыто. (b) Если ΖΒ—локальная база для τ, то совокупность всех множеств π (У), где V£33, является локальной базой для xN. (c) Каждое из следующих свойств пространства X наследуется пространством Χ/Ν: локальная выпуклость, локальная ограниченность, метризуемость, нормируемость. (d) Если X является F-пространством, или пространством Φ рейхе, или банаховым пространством, то тем же свойством обладает Χ/Ν. Доказательство. Так как π"1 (Α Г) В) =π~1 (Α) Г) я""1 (В) и π-ΐ(υ£λ)=υπ-ΐ(£λ), то χΝ—топология. Множество FaX/N является Тдг замкнутым тогда и только тогда, когда τ-замкнуто множество π"1 (F). В част-
40 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ности, каждая точка пространства X/N есть замкнутое множество, поскольку n'1(n(x)) = N +х, a N предполагается замкнутым. Непрерывность π следует непосредственно из определения τΝ. Далее, допустим, что У ζ τ. Так как n-1(n(V)) = N + V и Af+ygx, то u(V)£tn. Значит, отображение π открыто. Пусть W—окрестность нуля в Χ/Ν; тогда найдется такая окрестность нуля V в X, что V + Van-^W). При этом n(V) + n(V)c:W. Так как π открыто, то π(V) является окрестностью нуля в Χ/Ν. Поэтому сложение в Χ/Ν непрерывно. Непрерывность умножения на скаляры в Χ/Ν доказывается таким же способом. Справедливость (а) установлена. Ясно, что из (а) следует (Ь). С помощью теорем 1.32, 1.24 и 1.39 совсем легко убедиться, что из (Ь) вытекает (с). Предположим, далее, что d—инвариантная метрика в X, совместимая с τ. Определим ρ по формуле ρ(π(χ), n(y)) = mi{d(x—yy ζ): z£N)\ ρ можно интерпретировать как расстояние от χ—у до N. Мы опускаем проверку того, что функция ρ корректно определена на Χ/Ν и является инвариантной метрикой. В частности, если X—нормированное пространство и метрика d в X порождена нормой, то формула ||«W|| = inf{||*-z||: ζζΝ} корректно определяет в Χ/Ν такую норму, что индуцированная ею метрика в Χ/Ν совпадает с введенной выше метрикой р; эта норма в Χ/Ν обычно называется факторнормой. В общем случае π({χζΧ: d(x, 0)<r}) = {ueX/N: р (и, 0)< г}, откуда в силу (Ь) следует, что метрика ρ совместима с топологией χΝ. Поэтому для доказательства справедливости (d) достаточно показать, что если метрика d полна, то метрика ρ тоже полна. Пусть \ип\—последовательность Коши в Χ/Ν относительно метрики р. В ней найдется такая подпоследовательность {ип.)у что ρ (и , ип1+1) < 2""'". Действуя по индукции, можно так выбрать элементы Χ/ζΧ, что п(х() = ип. и d(xh #/+1)<2~/. Если метрика d полна, то последовательность Коши {*,·} сходится к не-
ГЛ. I ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 41 которой точке х£Х. Из непрерывности π следует, что ип.—>π(χ) при /—>оо. Но если последовательность Коши содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама она тоже сходится. Следовательно, метрика ρ полна.Щ 1.42. Теорема. Предположим, что N и F—подпространства топологического векторного пространства Ху причем N замкнуто, a F конечномерно. Тогда подпространство N + F замкнуто. Доказательство. Пусть π—факторотображение X на пространство Χ/Ν, снабженное фактортопологией. Тогда n(F)— конечномерное подпространство в X/N\ так как X/N —топологическое векторное пространство, то из теоремы 1.2] следует, что n(F) замкнуто в X/N. Поскольку N + F = n~1 (n(F))y а π непрерывно, мы заключаем, что N + F замкнуто. [Ср. с упр. 20.] Щ 1.43. Полунормы и факторпространства. Предположим, что ρ — полунорма в векторном пространстве X, и пусть N = {x: p(x) = 0\. Тогда N—подпространство в X (теорема 1.34). Пусть π—факторотображение X на Χ/Ν; положим р(п(х)) = р(х). Если п(х) = п(у)у то р(х—#) = 0; поскольку \р(х)—р(у)\<р(*—у)> отсюда следует, что ρ (π (χ))=ρ(π (у)). Таким образом, функция ρ корректно определена на Χ/Ν; легко проверить, что она является нормой в X/N. Вот хорошо известный пример. Фиксируем некоторое г, 1^г<оо; пусть U—пространство всех измеримых по Лебегу функций на [0, 1], для которых /1 \ 1/г P(f) = llfllr = [Jlf(ON<J <°o. Тем самым мы определили на U полунорму, которая не является нормой, ибо ||/||г = 0 всякий раз, когда / = 0 почти всюду. Пусть N — множество всех таких «нулевых функций». Тогда Lr/N—банахово пространство; именно оно обычно и обозначается ΖΛ Норма в «исправленном» U получается переходом от ρ к р. Примеры 1.44. Пространства C(Q). Если Ω—непустое открытое множество в некотором евклидовом пространстве, то Ω является объединением счетного числа компактных множеств Кп¥=0у к°-
42 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ торые могут быть выбраны так, чтобы Кп содержалось во внутренности Кп+1 (я= 1, 2, 3, ...). Векторное пространство С(Ω) состоит из всех комплексных непрерывных функций на Ω; топология в нем задается разделяющим семейством полунорм (1) P»(/)=sup{|/(*)|: χζΚη\ в соответствии с теоремой 1.37. Так как Ρι^ρ2^···» т0 мно" жества (2) Vn = {f£C(Q): Р„(П<т} ("=1-2,···) образуют выпуклую локальную базу этой топологии. Согласно замечанию (с) п. 1.38, топология пространства С (Ω) совместима с метрикой (3) d(f е)-_У2-пР"У-& Если {/,·}— последовательность Коши относительно этой метрики, то pn(fi—fj)—*0 при i, j—>оо для любого п, так что последовательность {//} равномерно сходится на каждом Кп к некоторой функции /ζΟ(Ω). Простые вычисления показывают, что d(fyfi)—*0. Таким образом, d—полная метрика. Мы доказали, что С (Ω) является пространством Фреше. Согласно утверждению (Ь) теоремы 1.37, множество EaC(Q) ограничено тогда и только тогда, когда существуют такие числа Мп < оо, что pn(f)^Mn для всех f£E и всех я, или, в более явной форме, (4) \f(x)\<Mn> если f£E и х£Кп. Так как в каждом множестве Vn найдется функция /, для которой значение рп+1 (f) сколь угодно велико, то все эти множества не ограничены. Таким образом, пространство С (Ω) не является локально ограниченным и потому ненормируемо. 1.45. Пространства #(Ω). Пусть теперь Ω—непустое открытое подмножество комплексной плоскости; определим пространство 0(Ω), как в п. 1.44, и пусть #(Ω) — подпространство в С (Ω), состоящее из всех функций, голоморфных в Ω. Предел последовательности голоморфных функций, равномерно сходящейся на компактных множествах, является голоморфной функцией; поэтому #(Ω)—замкнутое подпространство в C(Q). Следовательно, Η (Ω) является пространством Фреше. Мы покажем сейчас, что #(Ω) обладает свойством Гейне — Бореля. В силу теоремы 1.23 отсюда будет следовать, что #(Ω) не является локально ограниченным и потому ненормируемо. Пусть Ε — замкнутое ограниченное подмножество в Η (Ω). Тогда Ε удовлетворяет условию вида (4) из п. 1.44. Поэтому из
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 43 классической теоремы Монтеля о нормальных семействах голоморфных функций (см., например, [44, стр. 201]) следует, что каждая последовательность {fi}ciE содержит подпоследовательность, равномерно сходящуюся на компактных подмножествах множества Ω (и потому в топологии пространства Η (Ω)) к некоторой функции f£H(Q). Так как Ε замкнуто, то f£E. Это показывает, что Ε компактно. 1.46. Пространства С00 (Ω) и @)к. Мы начнем этот пункт с того, что введем несколько терминов, которыми будем пользоваться также при изложении теории распределений. Если речь идет о функциях η переменных, то термин мульти- индекс всегда будет означать упорядоченную я-строку (1) « = («!, ..-,«») неотрицательных целых чисел а,·. С каждым мультииндексом а связан дифференциальный оператор <*> »■-(£)*·· ■(£)-· порядком которого называется неотрицательное целое число (3) !«! = «!+...+«„. Если |а| = 0, то £>а/ = /. Будем говорить, что комплексная функция /, определенная на некотором непустом открытом множестве Ωαΐξ", принадлежит пространству С00 (Ω), если Daf ζ С (Ω) для любого мультииндекса ос. Носителем комплексной функции / (на любом топологическом пространстве) называется замыкание множества {χ: ϊ(χ)φ0\. Если К—компактное множество в R", то через £йк обозначается пространство всех функций /ζΟ (R"), носители которых содержатся в К (буква ЗУ постоянно употребляется для обозначения этих пространств с тех пор, как Шварц опубликовал свою работу о распределениях). Если ΛΓ<=Ω, то £йк можно отождествить с соответствующим подпространством пространства C°°(Q). Теперь мы определим в пространстве С™ (Ω) топологию, которая превратит его в пространство Фреше, обладающее свойством Гейне—Бореля, причем для каждого компакта К α Ω подпространство §ΰκ окажется замкнутым в Ο(Ω). С этой целью выберем такие компактные множества /Q (i= 1, 2, ...), что Κι содержится во внутренности Ki+1 и Ω= и /С/. Определим полунормы ρΝ на С00 (Ω), W= 1,2,3, ..., полагая (4) pN(f)=max{\D«f(x)\: x£KNy |a|<tf}. Они определяют в С00 (Ω) метризуемую локально выпуклую топологию (см. теорему 1.37 и замечание (с) п. 1.38). Для каждого
44 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ χζΩ функционал /—>f(x) непрерывен в этой топологии. Так как S)K является пересечением ядер тех из указанных функционалов, для которых χ лежит в дополнении к множеству К, то <2)к замкнуто в пространстве С°° (Ω). Локальная база задается множествами (5) y„ = {/€C»(Q): р„ф<Ц (N = 1,2,3,...). Если {/,·}—последовательность Коши в С00 (Ω) (см. п.1.25), а N фиксировано, то ft—fj£VN при достаточно больших i и /. Таким образом, |£>°7Ζ·—D*fj| < l/N на Kn, если |α|<#, a i и / достаточно велики. Отсюда следует, что при любом фиксированном α последовательность {Dafi) равномерно сходится на компактных подмножествах множества Ω к некоторой функции ga. В частности, fi(x)—>g0(x). Очевидно, что δοέ£°°(Ω), причем ga = Dccg0 и fi—>g0 в топологии пространства С00 (Ω). Таким образом, С00 (Ω) является пространством Фреше. То же самое верно для каждого из его замкнутых подпространств ёй^. Рассмотрим теперь замкнутое ограниченное множество ЕаС™(0). По теореме 1.37 ограниченность Ε эквивалентна существованию таких чисел Μν < оо, что pN (ϊ)^Μν для всех / ζ Ε при # = 1,2, ... .Из неравенств | Daf j ^ Мм, справедливых на Kn при |а|^#, вытекает, что для любого β с |β|^Λ/"— 1 семейство функций {D$f: f£E\ равностепенно непрерывно на Κν-ι· Поэтому с помощью теоремы Асколи (доказанной в приложении А) и канторовского диагонального процесса получаем, что каждая последовательность функций из Ε содержит такую подпоследовательность {/,·}, что для любого мультииндекса β последовательность {D$fi\ равномерно сходится на компактных подмножествах множества Ω. Следовательно, {/,·} сходится в топологии пространства 6*°°(Ω). Это означает, что Ε компактно. Таким образом, С°° (Ω) обладает свойством Гейне—Бореля. Из теоремы 1.23 следует, что С°° (Ω) не является локально ограниченным и потому ненормируемо. То же самое заключение справедливо для @>к при условии, что К имеет непустую внутренность (в противном случае *£>/<: = {0}). Последнее утверждение вытекает из следующего предложения: Если В1 и В2—концентрические замкнутые шары β R", причем В± лежит внутри 52, то существует такая функция φ £ С00 (Rw), что φ (χ) = 1 для всех χζΒ1 и φ (χ) = 0 для всех х, лежащих вне В2. Чтобы указать такую функцию φ, мы для каждой пары чисел а, Ь (0 < а < Ь < οοϊ построим функцию g^C^ (R1), для которой g(x)=0 при х<а и g(x) = \ при х > b, и положим (6) <р(х19 ..., Xn) = l-g(xl+...+X2n)
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 45 (предполагается, что общий центр шаров Βλ и В2 лежит в начале). Описанная ниже конструкция функции g имеет то преимущество, что с ее помощью при подходящем выборе последовательности {δ,·} можно строить функции, обладающие другими полезными свойствами. Пусть 0 < а < b < оо. Выберем такие положительные числа δ0, δι, δ2, ..., что y^Pi = b—α, и положим (7) тп--=, " (/1 = 1,2,3,...). υ1···υη Пусть /0—такая непрерывная монотонная функция, что f0(x) = 0 при χ < а и /0 (х) = 1 при χ > α + δ0; положим (8) /»W = r J /»-ι(0# (« = 1,2,3, ...)· Дифференцируя этот интеграл и применяя индукцию, легко получаем, что/„ имеет η непрерывных производных и что \D"f„\^mn. Если η > г, то (9) 07» (*) = ££ Φ7»-ι)(*-0Λ, " О откуда снова с помощью индукции по η получаем, что (10) |Л7я|<тг (*>г>. Применяя теорему о среднем значении, из (9) и (10) легко вывести оценку (И) |Л7в-Л7в-1|<тг+1вв (я>г + 2). Так как 2^« < °°» то ПРИ любом фиксированном г последовательность {Drfn\ равномерно сходится на всей оси при η—»оо. Поэтому последовательность \fn\ сходится к функции g, для которой | Drg | < тг при г = 1, 2, 3, ..., причем g(x)=0 для * < а и g (*) = 1 Для х> Ь. 1.47. Пространства Z/ при 0<р< 1. Фиксируем некоторое ρ из указанной области. Элементами пространства LP служат такие измеримые по Лебегу функции / на [0, 1], для которых ι (1) A(/) = S|/(0M<oo; о при этом, как обычно, функции, совпадающие почти всюду, отождествляются. Так как 0<р< 1, то при а^О и Ь^О выполняется неравенство (2) (а + Ь)р^.аР + ЬР.
46 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Поэтому (3) Δ(/+£)<Δ(/) + Δ(£), так что формула (4) d(f,g)=A(f-g) определяет инвариантную метрику в LP\ Полнота этой метрики доказывается точно так же, как в хорошо известном случае р^ 1. Шары (5) Br = {f^L": Δ (/)</·} образуют локальную базу топологии в ΖΛ Так как В1 = г'1,рВг для всех г > О, то Вг—ограниченное множество. Таким образом, Lp—локально ограниченное F-пространство. Мы утверждаем, что в LP нет выпуклых открытых множеств, отличных от 0 и LP'. Действительно, предположим, что V—непустое выпуклое открытое множество в LP. He ограничивая общности, можем считать, что 0 ζ У. Тогда Уз5г для некоторого г > 0. Фиксируем f £LP. Так как ρ < 1, то найдется такое положительное целое п, что nP~1A{f) < г. В силу непрерывности неопределенного интеграла от \f\P существуют такие точки 0 = *„<*!< ... <xre = l, что xi (6) J \f(i)\Pdt=n-1A(f) (1<ι</ι); положим gi(t) = nf (t), если χί-1< t^xh и gi(t)=0 в противном случае. Тогда gi£Vt поскольку из (6) следует, что (7) Δ (gi) = nP-i Δ (/)< г (1 < i < η), а V z> ΒΓ Так как V выпукло и (8) / =4 (ft+.-.+*«). то f£V. Поэтому V = LP. Отсутствие нетривиальных выпуклых открытых множеств приводит к такому любопытному следствию. Пусть Л: LP—*Y—непрерывное линейное отображение Lp в некоторое локально выпуклое пространство Y. Пусть 33—выпуклая локальная база в Υ. Если W ζ 3S, то множество Л"1 (W) выпукло, открыто и непусто. Поэтому Л"1 (W) = LP. Следовательно, A(Lp)aW для любой окрестности нуля W£ffi. Отсюда мы заключаем, что Л/ = 0 для всех f£Lp. Таким образом, если 0<р< 1, то для любого локально выпуклого пространства Υ отображение, тождественно равное 0,
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 47 является единственным непрерывным линейным отображением LP в Y. В частности, О—единственный непрерывный линейный функционал на таком пространстве ΖΛ В этом состоит одно из существенных отличий случая 0 < ρ < 1 от хорошо известного случая р^1. Упражнения 1. Пусть X — векторное пространство. Все множества, фигурирующие в этом упражнении, считаются его подмножествами. Вывести из аксиом, приведенных в п. 1.4, следующие утверждения (некоторыми из них мы уже молчаливо пользовались в тексте): (a) Если χζΧ и у£Х, то существует единственный вектор ζζΧ, для которого x-\-z = y. (b) Если α—скаляр, а х£Х, то 0* = 0=:а0. (c) 2АсА-\-А; при этом может статься, что 2А Φ Α-\-Α. (d) Множество А выпукло тогда и только тогда, когда (s + /) A =sA-\-tA для всех положительных скаляров s и /. (e) Объединение и пересечение любого семейства уравновешенных множеств являются уравновешенными множествами. (f) Пересечение любого семейства выпуклых множеств выпукло. (g) Объединение линейно упорядоченного относительно включения семейства выпуклых множеств является выпуклым множеством. (h) Если А и В выпуклы, то А -\-В выпукло, (i) Если А и В уравновешены, то А + В уравновешено, (j) Показать, что утверждения: (f), (g) и (h) остаются справедливыми, если заменить выпуклые множества подпространствами. 2. Выпуклой оболочкой множества А в векторном пространстве X называется множество всех выпуклых комбинаций элементов из Л, т. е. множество всех сумм hxi~\r · · · -\г^пх?г> где ΧίζΑ, //^5 О, Σ/£·=1, а п произвольно. Доказать, что выпуклая оболочка А является выпуклым множеством и совпадает с пересечением всех выпуклых множеств, содержащих А. 3. Пусть X—топологическое векторное пространство. Все множества, фигурирующие в этом упражнении, считаются его подмножествами. Доказать следующие утверждения: (a) Выпуклая оболочка любого открытого множества является открытым множеством. (b) Если X локально выпукло, то выпуклая оболочка любого ограниченного множества ограничена (без предположения локальной выпуклости это, вообще говоря, неверно; см. п. 1.47). (c) Если А и В ограничены, то А -{-В ограничено. (d) Если А и В компактны, то А-{-В компактно. (e) Если А компактно, а В замкнуто, то А -\-В замкнуто. (f) Сумма двух замкнутых множеств может не быть замкнутым множеством (поэтому включение в утверждении (Ь) теоремы 1.13 может оказаться строгим). 4. Пусть β = {(Ζχ, z2)£C2: | ζλ \ <; \ ζ21 }. Показать, что множество В уравновешено, но его внутренность не является уравновешенным множеством (ср. с утверждением (е) теоремы 1.13).
48 ЧАСТЬ 1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 5. Изменится ли объем понятия «ограниченное множество», если в его определении, приведенном в п. 1.6, требовать только, чтобы для любой окрестности нуля V существовало хотя бы одно такое t > 0, что Ε a tV? 6. Доказать, что множество в топологическом векторном пространстве ограничено тогда и только тогда, когда всякое счетное подмножество этого множества ограничено. 7. Пусть X— векторное пространство всех комплексных функций на единичном отрезке [0, 1], наделенное топологией при помощи семейства полунорм P*(/) = |/WI (0<*<1). Эта топология называется топологией поточечной сходимости. Показать, что эта терминология оправдана. Показать, что в X существует такая последовательность {/«}, что (а) {/„} сходится к 0 при η—>оо, но (Ь) для любой сходящейся к оо последовательности скаляров {γ„} последовательность \ynfn) не сходится к 0. [Воспользоваться тем, что множество всех сходящихся к 0 последовательностей комплексных чисел равномощно множеству всех точек отрезка [0, 1].] Это показывает, что в утверждении (Ь) теоремы 1.28 условие метризуемости не может быть опущено. 8. (а) Пусть $*—разделяющее семейство полунорм на векторном пространстве X. Обозначим через @ минимальное семейство полунорм на X, содержащее 3* и замкнутое относительно взятия максимума^тюследнее означает, что если Ριζ®, р2£Й и Р = тах(р1, Рг)> то р€$)· Показать, что применение конструкции, описанной в теореме 1.37, к семействам $* и @ приводит к одной и той же топологии. Главное отличие @ от jp состоит в том, что (Л непосредственно приводит к локальной базе, а не к предбазе (см. замечание (а) п. 1.38). (Ь) Пусть β— разделяющее семейство полунорм на X, замкнутое относительно взятия максимума. Показать, что линейный функционал Λ на X непрерывен тогда и только тогда, когда существуют такая полунорма ρζ@ и такая постоянная Μ < оо, что \Ах\^Мр(х) для всех χζΧ. 9. Предположим, что (a) X и Υ— топологические векторные пространства; (b) Λ: X—>Υ— линейное отображение; (c) N— замкнутое подпространство в Х\ (d) π: Χ—► Χ/Ν—факторотображение; (e) Λ* = 0 для всех χζΝ. Доказать, что существует единственное отображение f: Χ/Ν—>Υ, для которого Λ = /οπ, т. е. \x = f(n(x)) для всех х£Х. Доказать, что это отображение / линейно и что непрерывность Λ равносильна непрерывности /. Кроме того, Λ открыто тогда и только тогда, когда, / открыто. 10. Пусть X и Υ — топологические векторные пространства, причем dim Υ < оо, и пусть Λ: X —^ Υ—такое линейное отображение, что Λ (Χ) = Υ. (a) Доказать, что отображение Λ открыто. (b) Доказать, что если ядро отображения Λ замкнуто, то Λ непрерывно. 11. Если N— подпространство векторного пространства X, то коразмерностью N в X называется размерность факторпространства Χ/Ν. Пусть 0 < ρ < 1; доказать, что в пространстве LP любое подпространство конечной коразмерности всюду плотно (см. п. 1.47). 12. Пусть dx (χ, у) = | χ— у | и d2 (χ, у) = | φ (χ) —φ (у) |, где φ (χ) = х/(\ +\х\). Доказать, что d1 и d2— метрики в R, индуцирующие одну и ту же топологию, хотя d-i является полной, a d2 нет.
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 49 13. Пусть С — векторное пространство всех комплексных непрерывных функций на [0, 1]. Положим d(f,g)=[ |»*>-*Ц| dx. l + \f(*)-g(x). о Пусть (С, σ) обозначает пространство С с топологией σ, индуцированной этой метрикой, а (С, τ)—то же пространство С, но с топологией τ, индуцированной семейством полунорм p*W = |/(*)I (0<*<i) в соответствии с теоремой 1.37. (a) Доказать, что всякое τ-ограниченное множество в С является также σ-ограниченным; следовательно, тождественное отображение id: (С, τ) —> (С, σ) переводит ограниченные множества в ограниченные. (b) Доказать, что тем не менее отображение id: (С, τ) —► (С, σ) разрывно, хотя (по теореме Лебега об ограниченной сходимости) оно секвенциально непрерывно. Следовательно, пространство (С, τ) не метризуемо (см. приложение А6 или теорему 1.32). Показать также непосредственно, что в (С, τ) не существует счетной локальной базы. (c) Доказать, что каждый непрерывный линейный функционал на пространстве (С, τ) представим в виде t=\ при подходящем выборе точек хъ ..., хп из [0, 1] и скаляров c/gC. (d) Доказать, что (С, σ) не содержит выпуклых открытых множеств, отличных от 0 и С. (e) Доказать, что отображение id: (С, σ)—► (С, τ) разрывно. 14. Положим К = [0, 1] и определим @)к так же, как в п. 1.46. Показать, что следующие три семейства полунорм определяют в S)^ одну и ту же топологию (ниже D—-d/dx и /г = 0, 1, 2, ...): (a) ||D»/IL=sup{|D»/(*)|: -оо < * < оо}; ι (Ь) ||D«/Ili = $!£"/(*)И*; о 1 Λ 1/2 /1 Ч 1/2 {z)\\Dnf\\2 = \\\D«f{x)\*dx\ . 15. Доказать, что пространство С (Ω) (п. 1.44) не обладает свойством Гейне — Бореля. 16. Доказать, что топология пространства С (Ω) не зависит от того, как именно выбраны участвующие в ее определении множества /С„, если только они удовлетворяют условиям, указанным в п. 1.44. Сделать то же самое для пространства С°° (Ω) (п. 1.46). 17. В ситуации п. 1.46 доказать, что для каждого мультииндекса α отображение /—^Daf пространства С°° (Ω) в себя (а также пространства *2)# в себя) непрерывно. 18. Полунормы P«(/) = sup{|/(*)|:—n<*<n}
50 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ индуцируют метрику η = ι в пространстве С (R) (ср. п. 1.44 и замечание (с) п. 1.38). Пусть /(*) = тах(0, 1-|*|), £(*) = 100/(х-2), U = f+g. Показать, что 1 ЪО 1 ^0 d(/.o)=T. d(g,o)=$L, dih,0)=J+^. Отсюда следует, что шары радиуса 1/2 не являются выпуклыми множествами, хотя метрика d совместима с обычной локально выпуклой топологией пространства С (R). Существует ли какое-нибудь положительное г < 1, для которого шары радиуса г выпуклы? 19. Пусть Μ — всюду плотное подпространство топологического векторного пространства X, и пусть У—некоторое .Р-пространство, а Л: Μ—► У—непрерывное (относительно топологии, наследуемой Μ из X) линейное отображение. Доказать, что Л обладает (единственным) непрерывным линейным продолжением Л: X—>*У. Наводящее соображение. Пусть Vn—такие уравновешенные окрестности нуля в X, что У„ + У«С V„-iHd(0,A*) < 2-п при χ ζ Μ f) Vn. Покажите, что если χ ζ Χ и χη ς (x+Vn) Π Λί, το {Λ#„} —последовательность Коши; пусть Ах — ее предел. Покажите, что этим корректно определяется непрерывное линейное отображение Л пространства X в Уt причем Лл:=Лл; при χ ζ Μ. 20. Для каждого вещественного числа t и каждого целого /г положим en(t) = el'nt и определим функции fn = e-n + n*n (n=l, 2, 3, ...). Будем рассматривать эти функции как элементы пространства L2 (— я, я). Пусть Х± — наименьшее замкнутое подпространство в L2, содержащее функции е0, е1} е2, ..., а Х2 — наименьшее замкнутое подпространство в L2, содержащее flt /2» /з» ··· · Показать, что Хг-\-Х2 всюду плотно в L2, но не замкнуто. Например, вектор 00 Х= 2 п~1е-п /г=1 принадлежит L2, но не принадлежит Х\ + Х2 (ср. с теоремой 1.42). 21. Пусть V—окрестность нуля в топологическом векторном пространстве X. Доказать, что существует такая вещественная непрерывная на X функция /, что /(0) = 0 и f(x) = \, если χ не принадлежит V. (Таким образом, X является вполне регулярным топологическим пространством.) Пусть Vn — такие уравновешенные окрестности нуля, что V1-\-V1aV и Vn+i-\-Vn+iC:Vn. Постройте функцию / так же, как в доказательстве теоремы 1.24. Покажите, что / непрерывна в нуле и что \f(*)-f(y)\<f(x-y). 22. Для каждой комплексной функции /, определенной на компактном интервале / = [0, l]cR, положим %(f) = sup{\f(x)-f(y)\: |*-y|<6, *€Л У 6/}·
ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 51 Если 0 < а<;1, то соответствующее липшицево пространство Lip а состоит, по определению, из всех функций /, для которых величина ΙΙ/ΙΙ = Ι/(0)|+8ΐιρ{δ-«ωβ(/):β>0} конечна. Положим Πρα= // ζ Lip α: lim δ"""αωβ (/) = θ\ . Доказать, что Lip α является банаховым пространством и что lip а —его замкнутое подпространство. 23. Пусть X — векторное пространство всех непрерывных функций на- открытом интервале (0, 1). Для / ζ X и г > 0 обозначим через V (/, г) множество всех g ζ X, для которых \g (χ) — / (χ) | < г при всех л: ζ (0, 1). Пусть τ—топология в X, порожденная всеми такими множествами V (/, г). Показать, что сложение τ-непрерывно, а умножение на скаляры таковым не является. 24. Пусть U — окрестность нуля в топологическом векторном пространстве, и пусть W и А—множества, построенные по U в доказательстве теоремы 1.14. Показать, что W может не быть выпуклым и что если V не выпукло, то А может не быть уравновешенным.
Глава 2 ПОЛНОТА Справедливость многих важных теорем анализа зависит от полноты пространств, в которых развивается действие. Именно этим объясняются недостаточность рациональных чисел и интеграла Римана (если говорить лишь о наиболее известных примерах) и тот успех, который достигается при замене их вещественными числами и интегралом Лебега. Основным инструментом в этой области служит теорема Бэра о полных метрических пространствах (часто называемая теоремой о категории). Чтобы подчеркнуть роль, которую играет понятие категории, мы доказываем некоторые теоремы этой главы (например, теоремы 2.7 и 2.11) в чуть большей общности, чем это обычно бывает нужно. После того как это сделано, приводятся также более простые варианты (легче запоминающиеся и достаточные для большинства приложений). Бэровская категория 2.1. Определение. Пусть S—топологическое пространство. Множество Ε d S называется нигде не плотным, если его замыкание Ё имеет пустую внутренность. Множества первой категории в S—это множества, являющиеся счетными объединениями нигде не плотных множеств. Каждое подмножество в S, которое не является множеством первой категории, называется множеством второй категории. Эта терминология (принадлежащая Бэру), по общему признанию, довольно невыразительна и не вызывает полезных ассоциаций. Вместо нее в некоторых руководствах употребляются термины худое (тощее) и нехудое (нетощее) множество. Однако «категорные доводы» настолько укрепились в математической литературе и столь широко известны, что, по-видимому, бессмысленно настаивать на изменении. Вот некоторые очевидные свойства категории, которыми мы будем свободно пользоваться в дальнейшем:
ГЛ. 2. ПОЛНОТА 63 (a) если В—множество первой категории в S и А с Б, то А тоже множество первой категории; (b) каждое счетное объединение множеств первой категории является множеством первой категории; (c) каждое замкнутое множество Ε <= S с пустой внутренностью является множеством первой категории в S; (d) если h—гомеоморфизм пространства S на себя, то для любого Ε с: S множества Ε и h (E) имеют одну и ту же категорию в S. 2.2. Теорема Бэра. Пусть S—либо (a) полное метрическое пространство, либо (b) локально компактное хаусдорфово пространство; тогда пересечение любого счетного семейства открытых всюду плотных подмножеств пространства S всюду плотно в S. Этот результат часто называют теоремой о категории по следующей причине. Если {£;,}—счетное семейство нигде неплотных подмножеств пространства S, a Vt—дополнение к Еь то каждое из множеств V( открыто и всюду плотно; теорема Бэра показывает, что Г\У{Ф0. Следовательно, S=£ 1)Е{. Таким образом, полные метрические пространства и локально компактные хаусдорфовы пространства являются множествами второй категории в себе. Доказательство. Предположим, что У2, V2, V3f. ..— открытые всюду плотные подмножества в S. Пусть В0—произвольное непустое открытое множество в S. Если п>1 и уже выбрано некоторое непустое открытое множество Вп_и то (поскольку Vn всюду плотно) можно так выбрать непустое открытое множество Вп1 что BncVnriBn-v В случае (а) в качестве Вп можно взять некоторый шар радиуса < 1//г, а в случае (Ь) этот выбор можно сделать так, что Вп компактно. Положим К= Г) Вп. л=1 В случае (а) центры вложенных шаров Вп образуют последовательность Коши, сходящуюся к некоторой точке из /С, так что К непусто. В случае (Ь) множество К непусто по соображениям компактности. По построению К с: В0 и К с: Vn при любом п. Следовательно, В0 пересекается с [)Vn. Щ
54 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Теорема Банаха — Штейнгауза 2.3. Равностепенная непрерывность. Пусть X и Υ—топологические векторные пространства, а Г — некоторое семейство линейных отображений X в Υ. Мы говорим, что семейство Г равностепенно непрерывно, если для любой окрестности нуля W в Υ найдется такая окрестность нуля V в X, что A(V) aW для всех Л ζ Г. Если Г содержит лишь одно отображение Л, то равностепенная непрерывность, разумеется, равносильна непрерывности Л (теорема 1.17). Мы уже видели (теорема 1.32), что непрерывные линейные отображения ограничены. Равностепенно непрерывные семейства обладают этим свойством ограниченности в равномерном смысле (теорема 2.4). По этой причине теорему Банаха — Штейнгауза 2.5 часто называют принципом равномерной ограни- ценности. 2.4. Теорема. Пусть X и Υ—топологические векторные про- странства, Г—равностепенно непрерывное семейство линейных отображений Χ β Υ, α Ε—ограниченное подмножество в X. Тогда в Υ существует такое ограниченное подмножество F, что А (Е) с: F для любого Л € Г. Доказательство. Пусть/7—объединение всех множеств А(Е) по всем Л ζ Г, и пусть W—окрестность нуля в Υ. Так как семейство Г равностепенно непрерывно, то существует такая окрестность нуля У в X, что A(V) aW для всех Л 6 Г. Поскольку Ε ограничено, Ε с tV для всех достаточно больших положительных t. Для таких t А (Е) с Л («О = /Л(К) с tW, так что F d tW. Следовательно, F ограничено. Ц 2.5. Теорема Банаха — Штейнгауза. Пусть X и Υ—топологические векторные пространства, Г—некоторое семейство непрерывных линейных отображений Χ β Υ, а В—множество всех таких точек χζΧ, орбиты которых Г(х) = {Ах: Л€Г} ограничены в Υ. Если В—множество второй категории в X, то В = Х и семейство Г равностепенно непрерывно. Доказательство. Выберем в Υ такие уравновешенные окрестности нуля U kW, что U + U с W, и положим я= η Λ-1 (£7). Л €Г Если χζΒ, то T(x)anU для некоторого п, так что χζηΕ.
ГЛ. 2. ПОЛНОТА 55 Следовательно, В с: (J пЕ. /2=1 По крайней мере одно из множеств пЕ является множеством второй категории в X, поскольку по предположению таковым является В. Так как отображение χ—*пх определяет гомеоморфизм пространства X на себя, то само Ε тоже является множеством второй категории в X. Но £ замкнуто, ибо каждое из отображений Λ непрерывно; поэтому в Ε существует внутренняя точка х0. Множество х0—Ε содержит некоторую окрестность нуля V, причем _ Λ (V) с Λχ0—Λ (Ε) с Ό—V <z W для всякого Л g Г. Это показывает, что Г равностепенно непрерывно. По теореме 2.4 семейство Г равномерно ограничено; в частности, каждое из множеств Г{х) ограничено в Y. Следовательно, Б = Х. Щ Во многих приложениях условие, что В является множеством второй категории, проверяется с помощью теоремы Бэра. Например, все ^-пространства являются множествами второй категории (в себе). Это приводит к такому следствию теоремы Банаха—Штейнгауза: 2.6. Теорема. Если Г—семейство непрерывных линейных отображений F-пространства X в топологическое векторное пространство Υ и при каждом х£Х множество Т(х) = {Ах:АеГ\ ограничено в Y> mo семейство Г равностепенно непрерывно. Короче говоря, поточечная ограниченность влечет за собой равномерную ограниченность (теорема 2.4). Отметим следующий частный случай теоремы 2.6. Пусть X— банахово, a Y—нормированное пространства; предположим, что (1) sup II Л* || < оо для всякого х£Х. лег Тогда теорема утверждает, что существует такое Μ < оо, для которого (2) ||Λχ||<Λί, если ||*||<1 и ΛζΓ. Следовательно, (3) ||Λ*||<Λί||χ|| для всех χζΧ и всех Л ζ Г. В следующей теореме устанавливается непрерывность предела последовательности непрерывных линейных отображений.
56 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 2.7. Теорема. Пусть X и Υ—топологические векторные пространства, а {Ап\—последовательность непрерывных линейных отображений Χ β Υ. (a) Пусть С—множество всех тех х£Х, для которых \Апх\ является последовательностью Коши в Υ. Если С—множество второй категории в X, то С = Х. (b) Пусть L—множество всех тех χζ,Χ, для которых суще- ствует предел Ах = lim Апх. η -> оо Если L—множество второй категории в Χ, α Υ есть F-пространство, то L=^X и отображение Л: X—>Y непрерывно. Доказательство, (а) Так как всякая последовательность Коши ограничена (п. 1.29), то теорема Банаха—Штейн- гауза показывает, что семейство {Л„} равностепенно непрерывно. Легко проверить, что С — подпространство в X. Следовательно, С всюду плотно. [В противном случае С было бы собственным подпространством пространства X; но собственные подпространства не имеют внутренних точек, поэтому С было бы множеством первой категории.] Фиксируем χ ζ X, и пусть W—окрестность нуля в Υ. Поскольку семейство {Л„} равностепенно непрерывно, в X найдется такая симметричная окрестность нуля V, что Ап (V) с W при всех п. Так как С всюду плотно, то существует точка х' £СГ) (x + V). Пусть тип столь велики, что Anx'-Amx'eW; тождество (Ап—Ая)х = Ап(х—х') + (Ап—Ая)х'+Ая(х'—х) показывает, что Апх—Атх ζ W + W + W. Поэтому {Апх\—последовательность Коши в Υ\ стало быть, х£С. (Ь) Из полноты Υ следует, что L = C. Поэтому, согласно (а), L = X. Пусть W и V обозначают то же, что и в доказательстве утверждения (а); тогда Ап (V) с W для всех п, откуда следует, что Л (V) с W. Таким образом, Л непрерывно. Щ Условия части (Ь) теоремы 2.7 можно различными способами варьировать. Вот легко запоминающийся вариант: 2.8. Теорема. Пусть {Ап\—последовательность непрерывных линейных отображений F-пространства X в топологическое векторное пространство Y. Если для каждого χζΧ существует
ГЛ. 2. ПОЛНОТА 57 предел Ах = Hm Anx9 то отображение А непрерывно. Доказательство. Из теоремы 2.6 следует равностепенная непрерывность семейства {Л„}. Поэтому если W—окрестность нуля в Υ, то в X найдется такая окрестность нуля У, что An(V)aW для всех п. Отсюда следует, что A(V)aW; поэтому отображение Л непрерывно (и, очевидно, линейно). Щ В следующем варианте теоремы Банаха—Штейнгауза кате- горные соображения используются не для полных метрических пространств, а для компактного множества. При этом существенную роль играет также условие выпуклости (см. упр. 8). 2.9. Теорема. Пусть X и Υ—топологические векторные пространства, К—компактное выпуклое подмножество в X, а Г — такое семейство непрерывных линейных отображений Χ β Υ, что для каждого χζΚ орбита Г(х) = {Ах:АеТ\ является ограниченным множеством в Υ. Тогда существует такое ограниченное множество В с Υ, что А (К) cz В для всех Л ζ Г. Доказательство. Пусть В—объединение множеств Г (х) по всем χζ,Κ, и пусть W и U—такие уравновешенные окрестности нуля в Υ, что U + U с: W. Положим (1) £= П Л-1^). ЛеГ Если χ ζ К, то Y(x)anU для некоторого п, так что χ ζ ηΕ. Следовательно, (2) К= U (КПпЕ). /г=1 Поскольку Ε замкнуто, теорема Бэра показывает, что хотя бы для одного η множество К Π ηΕ имеет непустую внутренность (относительно /С). Фиксируем такое η и выберем внутреннюю точку х0 множества КГ\пЕ\ в пространстве X существует такая окрестность нуля V, что (3) K()(x0 + V)c=KnnEc:nE. Так как К компактно, то найдется такое ρ > 1, что (4) KcXo + pV.
58 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Если теперь χ—любая точка множества К, а (5) ζ = (1-ρ-ΐ)χ0 + ρ-ΐχ1 то ζ ζ К, поскольку К выпукло. Кроме того, в силу (4) (6) ζ—x0 = p-i(x—x0)£V. Следовательно, учитывая (3), получаем, что ζζηΕ. Так как А(пЕ)а nil для каждого ΛζΓ, a x = pz — (ρ—1)х0, то ΑχζρηΠ — (ρ — 1) nVci рп (Ζ7 + 77)<ζ pnW. Таким образом, BapnW, откуда следует, что В ограничено. Щ Теорема об открытом отображении 2.10. Открытые отображения. Пусть /—отображение топологического пространства S в топологическое пространство Т. Мы говорим, что отображение f открыто в точке ρ ζ S, если множество f(V) содержит окрестность точки f (р) всякий раз, когда V является окрестностью точки р. Отображение / называется открытым, если для всякого открытого множества UaSero образ f(U) является открытым множеством в Т. Ясно, что отображение / открыто тогда и только тогда, когда оно открыто в каждой точке p£S. В силу инвариантности векторных топологий относительно сдвигов отсюда следует, что линейное отображение одного топологического векторного пространства в другое является открытым тогда и только тогда, когда оно открыто в точке 0. Отметим также, что взаимно однозначное непрерывное отображение / пространства S на пространство Τ является гомеоморфизмом в том и только в том случае, когда оно открыто. 2.11. Теорема об открытом отображении. Пусть X есть F-пространство, Υ—топологическое векторное пространство, а Л: X —>■ Υ—такое непрерывное линейное отображение, что его образ А(Х) является множеством второй категории в Υ. Тогда (i) Л(Х) = У; (И) отображение А открыто', (Hi) Y является F-пространством. Доказательство. Заметим сначала, что из (и) следует (i), так как в Υ нет открытых подпространств, отличных от F. Чтобы доказать (и), фиксируем в X произвольную окрестность нуля V. Мы должны показать, что множество Л (V) содержит некоторую окрестность нуля в пространстве Υ.
ГЛ. 2. ПОЛНОТА 59 Пусть d—инвариантная метрика в X, совместимая с топологией. Положим (1) Vn = \x: d(*f0)<2-»r} (/i = 0,l,2f...). где г > 0 выбрано столь малым, что V0cV. Мы покажем, что (2) лЩсЛ(У) и что в Υ найдется такая окрестность нуля W', что (3) WdAAVi). Так как V1z>V2—У2, то из утверждения (Ь) теоремы 1.13 следует, что (4) лЖУзЛ(У2)-Л(К2) =>АЩ-ХШ. Поэтому существование удовлетворяющей (3) окрестности нуля W будет доказано, если мы сумеем показать, что множество A(V2) имеет непустую внутренность. Но (5) А(Х)= U kA(V2)9 поскольку V2—окрестность нуля. Следовательно, по крайней мере одно из множеств kly (V2) является множеством второй категории в Y. Так как отображение y-^-ky является гомеоморфизмом пространства Υ на себя, то множество A(V2) имеет вторую категорию в У; поэтому его замыкание имеет непустую внутренность. Чтобы доказать включение (2), фиксируем произвольную точку ί/ι6Λ(^). Допустим, что для некоторого п^\ точка yn£A(Vn) уже выбрана, и укажем, как тогда выбирается точка yn+1k €Л(К„+1). Доказанное выше относительно Vx справедливо и для У„+1, так что A(Vn+1) содержит окрестность нуля. Поэтому (6) (Уп-А(Уп+1))Г)А(Уп)Ф0. Это означает, что существует такая точка хп ζ Vn, что (7) Axn£yn-A(Vn+1). Положим уп+1 = уп—Ахп, Тогда уп+1 6 Л (Vn+1), и конструкция продолжается. Так как d(xn, 0) < 2~пг для всех п^ 1, то суммы хг-\-. . - + хп образуют последовательность Коши, которая (в силу полноты X) сходится к некоторой точке χζΧ, причем d(x, 0) < л Поэтому χ ζ V. Так как т т (8) Σ л*„= Σ (Уп—Уп+Л'^Уг—у* _ .. . .. . . _ 7т + 1 :1 П=\ и так как (в силу непрерывности Л) Ут+1—*0 при т—>оо, мы заключаем, что у1 = Αχ £ Λ (V). Отсюда следует справедливость включения (2), и утверждение (и) доказано.
60 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Пусть N—ядро отображения Л; теорема 1.41 показывает, что XjN является F-пространством. Поэтому утверждение (Hi) будет доказано, коль скоро мы построим изоморфизм / пространства X/N на пространство Y, который является также гомеоморфизмом. Это можно сделать, полагая (9) f(x + N)=Ax (χξΧ). Очевидно, что f является изоморфизмом и что Ax = f(n (x)), где π—факторотображение, описанное в п. 1.40. Если V—открытое множество в Υ, то множество (10) f-i(V) = n(A-HV)) открыто, поскольку Л непрерывно, а π открыто. Поэтому отображение / непрерывно. Если Ε—открытое множество в Χ/Ν, то множество (И) f(E)=A(n-*(E)) открыто, так как π непрерывно, а Л открыто. Следовательно, / является гомеоморфизмом. Щ 2.12. Следствия, (а) Если А—непрерывное линейное отображение F-пространства X на F-пространство Υ, то А открыто. (b) Если А удовлетворяет условиям утверждения (а) и взаимно однозначно, то обратное отображение Л""1: Υ—>Х непрерывно. (c) Если Л: X—>Υ—непрерывное линейное взаимно однозначное отображение банахова пространства X на банахово пространство Υ у то существуют такие положительные вещественные числа а и Ь, что в||*||<||Л*||<й||*|| для всех χζΧ. (d) Если т^с: τ2—такие векторные топологии в векторном пространстве X, что (X, xj и (Χ, τ2) оба являются F-пространствами, то τ1 = τ2. Доказательство. Утверждение (а) следует из теоремы 2.11 и теоремы Бэра, согласно которой У является множеством второй категории в себе. Утверждение (Ь) является непосредственным следствием (а), а (с) вытекает из (Ь). Два неравенства, приведенные в утверждении (с), выражают непрерывность Л"1 и Л. Утверждение (d) получается применением (Ь) к тождественному отображению (Χ, τ2) на (X, тг). Щ Теорема о замкнутом графике 2.13. График. Графиком отображения f множества X в множество У называется множество всех точек (х, f (x)) в декартовом произведении XxF* Если X и Υ—топологические пространства и ΧχΥ
ГЛ. 2. ПОЛНОТА 61 снабжено обычной топологией произведения (т. е. наименьшей топологией, содержащей все множества вида UxV, где U и V — открытые множества в X и Υ соответственно), а отображение f: X—»У непрерывно, то естественно ожидать, что график отображения f замкнут в XxY (предложение 2.14). Для линейных отображений одного F-пространства в другое это тривиальное необходимое условие непрерывности оказывается также и достаточным. Этот важный факт устанавливается в теореме 2.15. 2.14. Предложение. Если X — топологическое пространство, Υ—хаусдорфово пространство, a f: X—>Y—непрерывное отображение, то его график G замкнут. Доказательство. Пусть Ω—дополнение к G в XxF; фиксируем произвольную точку (х0, у0) £Ω.. Ясно, что у0Ф f (xQ)u Поэтому точки у0 и f(x0) имеют в Υ непересекающиеся окрестности V и W. Так как f непрерывно, то существует такая окрестность U точки х0, что f(U)c: W. Таким образом, окрестность UxV точки (х0, у0) содержится в Ω. Это показывает, что Ω открыто. Щ Примечание. В этом предложении нельзя опустить условие хаусдорфовости пространства Υ. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим произвольное топологическое пространство X, и пусть /: X—>Х—тождественное отображение. Его графиком служит диагональ D = {(x, x): xgXjcXxX. Утверждение «D замкнуто в ХхХ» представляет собой просто другую формулировку аксиомы отделимости Хаусдорфа. 2.15. Теорема о замкнутом графике. Предположим, что (a) X и Υ являются F-пространствами, (b) отображение Λ: Χ—>Υ линейно, (c) его график G = {(x, Ах): х£Х\ замкнут в XxY. Тогда отображение А непрерывно. Доказательство. Произведение XxY становится векторным пространством, если ввести в нем покомпонентные операции сложения и умножения на скаляры: α (*!, У г) + β (*2, У2) = (ахг + β*2, <*Уг + β#.) · Пусть dx и dY—полные инвариантные метрики в X и У соответственно, индуцирующие топологии этих пространств. Положим d((*i, ft), (*., 0.)) = <*χ(*ι, xj+dyfa, y2); тогда d—инвариантная метрика в XxY, совместимая с топологией произведения и превращающая его в ^-пространство (про-
62 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ стую, но скучную проверку этого утверждения мы оставляем читателю в качестве упражнения). Поскольку отображение Л линейно, его график G является подпространством в ХхУ. Замкнутые подмножества полных метрических пространств сами являются полными метрическими пространствами. Поэтому G оказывается ^-пространством. Определим отображения пг\ G —>Хип2: ΧχΥ-^Υ, полагая пг(ху Ах) = х, п2(х, у)=у. Тогда п1—непрерывное линейное взаимно однозначное отображение F-пространства G на F-пространство Х. Из теоремы об открытом отображении следует, что обратное отображение яг1: X — G непрерывно. Но Λ = π2οπ^1, а отображение π2 непрерывно. Поэтому отображение Л непрерывно. Щ Замечание. Проверка решающего условия (с) доказанной теоремы (т. е. замкнутости графика G отображения Л) в приложениях часто заменяется проверкой следующего условия: (с') если {хп}—такая последовательность в X, что существуют пределы х= \\т хп и у== lim Лхп, П -> 00 П -> 00 то у = Ах. Докажем, что из (с') следует (с). Пусть (х, у)—произвольная предельная точка множества G. Так как пространство XxYuer- ризуемо, то (х, у)= lim (xn, Ахп) П -> 00 для некоторой последовательности {хп\. Из определения топологии произведения следует, что хп—► хиЛл^—*у. Поэтому в силу (с') получаем y = Axt так что (х, у) ζ G; следовательно, G замкнуто. Точно так же легко доказать, что из (с) следует (с'). Билинейные отображения 2.16. Определения. Предположим, что Х> Υ и Ζ—векторные пространства и что В—отображение пространства ΧχΥ в Ζ. Сопоставим каждому х£Х и каждому y$Y отображения Вх\ Y-+Z и ВУ\ X-+Z, определенные формулами Вх{у)=В(х,у) = В"(х). Отображение В называется билинейным, если для всякого χ и всякого у отображения Вх и Ву линейны.
ГЛ. 2. ПОЛНОТА 63 Если Χ, Υ и Ζ—топологические векторные пространства, а для каждого х£Х и каждого y£Y отображения Вх и Ву непрерывны, то отображение В называется раздельно непрерывным. Если отображение В непрерывно (относительно топологии произведения в XxY), то очевидно, что оно раздельно непрерывно. В некоторых случаях с помощью теоремы Банаха—Штейнгауза можно доказать справедливость обратного утверждения. 2.17. Теорема. Пусть X есть F-пространство, α Υ и Ζ—топологические векторные пространства, и пусть В: XxY—*Ζ — билинейное раздельно непрерывное отображение. Тогда (1) В(хп,уп)-+В(х0,у0) в Z, если хп—>х0 в X и уп—>у0 в Y. Если пространство Υ метризуемо, то отсюда следует, что отображение В непрерывно. Доказательство. Пусть U nW —такие окрестности нуля в Z, что U + Uci W. Положим Ьп(х)=В(х,уп) (χξΧ, /1 = 1,2,3, . . .). Так как В непрерывно при фиксированном χ как функция от у, то ПтЬп(х)=В(х,у0) (х£Х). П -> 00 Поэтому для любого х£Х множество \Ьп(х)\ ограничено в Ζ. Поскольку каждое Ьп является непрерывным линейным отображением ^-пространства X в Ζ, из теоремы 2.6 следует, что семейство \Ьп\ равностепенно непрерывно. Следовательно, в X найдется такая окрестность нуля V, что bn(V)aU {n = 1,2,3, ...). Заметим, что В{хп, Уп)—В(х0, Уо)=Ьп(хп—х0) + В(х01 уп—Уо)· Если η достаточно велико, то (i) хп ζ x0 + V, так что Ъп (хп—х0) £ U, и (И) В(х0, yn—y0)£U, поскольку В непрерывно по у и В(х0, 0)=0. Поэтому В(хп, уп)—В(х0, y0)£U + Uc:W для всех достаточно больших п, откуда следует (1). Если пространство Υ метризуемо, то ХхУ тоже метризуемо, и непрерывность В следует из (1). (См. приложение А6.) Упражнения 1. Пусть X — бесконечномерное топологическое векторное пространство, представимое в виде объединения счетного числа своих конечномерных подпространств. Доказать, что X является множеством первой категории в себе.
64 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Доказать, что по этой причине никакое бесконечномерное ^-пространство не может иметь счетного базиса Гамеля. [Подмножество β векторного пространства X называется базисом Гамеля, если оно является максимальным линейно независимым подмножеством в X. Иначе говоря, β есть базис Гамеля, если каждый вектор χ £ Χ допускает единственное представление в виде конечной линейной комбинации векторов из β.] 2. Множества первой и второй категории являются соответственно «малыми» и «большими» в топологическом смысле. Множество, «малое» в этом смысле, может оказаться «большим» в смысле теории меры даже в том случае, когда мера тесно связана с топологией. Чтобы убедиться в этом, постройте на единичном отрезке множество первой категории, лебегова мера которого равна 1. 3. Пусть К=[—1, 1]; определим &>%> как в п. 1.46 (с заменой R" на R). Пусть {/„}—такая последовательность интегрируемых по Лебегу функций на /С, что предел ι Λφ= lim [ fn(t)y(t)dt 1 существует для каждой функции φ ζ ^Dk- Показать, что Λ является непрерывным линейным функционалом на <2)#. Показать, что существуют такое положительное целое ρ и такое число М<оо, что ι J ΜΟφ(0<"|<Λί||Ζ>*ρ||β (1) для всех η и всех φ ζ &>κ· В качестве примера рассмотреть последовательность {/„}, где fn(t) = n2 на [0, \/п] и fn(t) = О вне [0, 1/л], и показать, что (1) справедливо при некотором Μ < оо и р=\. Построить пример, где (1) выполняется при некотором Μ < оо и ρ — 2t но не выполняется при р = 1 ни для какого Μ < оо. 4. Пусть L1 и L2 — обычные лебеговы пространства на единичном интервале. Доказать следующими тремя способами, что L2 является множеством первой категории в L1: (a) показать, что множество If: \ |/|2<1αζ> замкнуто в L1, но имеет пустую внутренность; (b) пусть gn(t) = n на [0, п~3] и gn(t) = 0 вне [Ο, η~3]; показать, что S*»- .0 для любой функции / ζ L2, но не для любой функции / ζ L1; (с) заметить, что естественное вложение L2 в L1 непрерывно, но не является отображением L2 на все L1. Сделать то же самое для LP и L4 при Кр <q. 5. Доказать утверждения, аналогичные сформулированным в упр. 4, для пространств 1р, где IP — банахово пространство всех комплексных функций χ на множестве {0, 1, 2,...}, для которых норма 1/Р конечна (р^ 1). ( оо W \\*\\р={ Σ \χ(η)\η
ГЛ. 2. ПОЛНОТА 65 6. Определим коэффициенты Фурье f (п) функции f£L2(T) (Τ—единичная окружность), полагая π нп)=ш Ι μ«*θ)*-*,θ<« -π для всех η g Ζ (Ζ — аддитивная группа всех целых чисел). Пусть Доказать, что множество {/ ζ L2(T): lim Λ„/ существует} является всюду плотным подпространством в L2 (Т) и имеет в L2 (Т) первую категорию. 7. Пусть С (Т) — множество всех непрерывных комплексных функций на единичной окружности 7\ Пусть {γ„} (η ζ Ζ) — такая последовательность комплексных чисел, что для любой функции / ζ С (Т) существует такая функция Λ/ ζ С (Τ), коэффициенты Фурье которой связаны с коэффициентами Фурье функции f соотношениями (Λ/Γ (n) = ynJ(n) (η ζ Ζ) (обозначения те же, что в упр. 6). Доказать, что последовательность {уп\ тогда и только тогда обладает этим мультипликаторным свойством, когда на Τ существует такая комплексная борелевская мера μ, что ?»=$«-йвФ(в) (»€Ζ). Наводящее соображение. Множество С (Т) с обычной sup-нормой является банаховым пространством. Примените теорему о замкнутом графике. Затем рассмотрите функционал / —(A/)(l)=fj Уп!(п) — 00 и примените к нему теорему Рисса о представлении ([27, теорема 6.19] или [13, т. I, стр. 288, теорема 3]). [Ряд ^ynf(n) может расходиться; пользуйтесь им лишь для тригонометрических полиномов.] 8. Определим функционалы Ат на I2 (см. упр. 5) формулами т Лтх= 2 п*х(п) (т=1, 2, 3, ...). п— 1 Определим элементы хп ζ /2, полагая хп(п) — \/п и xn(i) = Q при i φ п. Пусть множество К d I2 состоит из элементов 0, хъ х2, х3, Доказать, что К компактно. Вычислить Атхп. Показать, что для любого χ ζ К множество {Л^а:} ограничено, но множество \Атхт} не ограничено. Поэтому в формулировке теоремы 2.9 условие выпуклости К не может быть опущено. Выберем такие сп > О, что 2С» = * и 2Агс«=00' и положим х = ^спхп. Показать, что χ принадлежит замкнутой выпуклой оболочке множества К (которая, по определению, представляет собой замыкание выпуклой оболочки) и что множество {Атх\ не ограничено. Показать, что выпуклая оболочка множества К не замкнута. 3 № 871
66 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 9. Пусть Χ, Υ и Ζ—банаховы пространства, и пусть ΒιΧχΥ—>Ζ — непрерывное билинейное отображение. Доказать, что существует такое Μ < оо, что \\В(х, у)||<М||х||Цу1| (* € *, »€П· Существенно ли здесь условие полноты? 10. Доказать, что билинейное отображение, непрерывное в точке (0, 0), непрерывно. 11. Определим отображение В: R2XR—>-R2, полагая В (xlf x2] у) = = (Xiy> Х2У) ((χι> Хъ) € R2> У ζ. R)· Показать, что В — непрерывное билинейное отображение R2xR на R2 и что В не является открытым в точке (1, 1; 0). Найти все точки, в которых отображение В открьгго. 12. Пусть X — нормированное пространство всех вещественных полиномов от одной переменной с нормой 1Ш1 = $1/(0|Л, о 1 и пусть В (/, g)=\ f(t)g(t)dt\ показать, что В — билинейный функционал о на ХхХ, который раздельно непрерывен, но не непрерывен. 13. Пусть X—топологическое векторное пространство, являющееся множеством второй категории в себе, и пусть К — замкнутое выпуклое поглощающее подмножество в X. Доказать, что К содержит окрестность нуля. Наводящее соображение. Покажите сначала, что множество Н = К Π (—К) является поглощающим. По категорным соображениям Я имеет непустую внутренность. Затем воспользуйтесь соотношениями 2Н = Н + Н = Н—Н, Покажите, что без предположения выпуклости К утверждение неверно, даже если X = R2. Покажите, что утверждение неверно, если X есть пространство L2, наделенное топологией с помощью /Лнормы (как в упр. 4). 14. (а) Пусть X и Υ—топологические векторные пространства, {Л„} — равностепенно непрерывная последовательность линейных отображений X в У, а С — множество всех тех χ ζ X, для которых \Апх\ является последовательностью Коши в Υ. Доказать, что С — замкнутое подпространство в X. (Ь) Предположим, в дополнение к условиям п. (а), что Υ является ^-пространством и что последовательность {Апх} сходится для всех χ из некоторого всюду плотного в X подмножества. Доказать, что тогда предел Ах= Iim Anx существует для всякого χ ζ Χ и что отображение Л непрерывно.
Глава 3 выпуклость В этой главе изучается главным образом (хотя и не исключительно) наиболее важный класс топологических векторных пространств, а именно локально выпуклые пространства. Основными фактами как в теоретическом плане, так и с точки зрения приложений являются: (а) теорема Хана — Банаха (гарантирующая запас непрерывных линейных функционалов, достаточный для построения весьма продвинутой теории двойственности), (Ь) теорема Банаха—Алаоглу о компактности в сопряженном пространстве и (с) теорема Крейна—Мильмана о крайних точках. Приложения к различным задачам анализа отложены до главы 5. Теоремы Хана — Банаха Множественное число в заглавии употреблено по той причине, что название «теорема Хана — Банаха» обычно относится к нескольким тесно связанным между собой результатам. Среди них—теоремы 3.2 и 3.3 о продолжении с сохранением мажоранты (в которых топология не участвует), теорема 3.4 о разделении выпуклых множеств и теорема 3.6 о непрерывном продолжении. Другая теорема о разделении (из которой следует теорема 3.4) приводится в упр. 3. 3.1. Определения. Сопряженным пространством для топологического векторного пространства X называется векторное пространство X*, состоящее из всех непрерывных линейных функционалов на X. Заметим, что сложение и умножение на скаляры в X* определяются формулами (Λΐ + Λ2) χ = Ахх + А2х, (αΛ) χ = α. Αχ. Ясно, что эти операции действительно превращают X* в векторное пространство. з*
68 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Нам придется пользоваться тем очевидным фактом, что каждое комплексное векторное пространство является также вещественным векторным пространством. Для удобства мы будем употреблять следующую (временную) терминологию: аддитивный функционал Л на комплексном векторном пространстве X называется вещественно линейным (комплексно линейным), если К(ах) = аАх для любого χζΧ и любого вещественного (соответственно комплексного) скаляра а. Наше постоянно действующее соглашение, по которому всякое утверждение, не содержащее явного упоминания поля скаляров, относится как к комплексному, так и к вещественному случаю, не затрагивается введением этой временной терминологии и по-прежнему остается в силе. Вещественная часть и комплексно линейного функционала / на X является вещественно линейным функционалом и (1) f(x) = u(x) — iu(ix) (χ € X), поскольку z = Re£—i Re (iz) для всякого ζ £ С. Обратно, если и\Х—>R—вещественно линейный функционал на комплексном векторном пространстве X, то простые вычисления показывают, что функционал /, определенный формулой (1), является комплексно линейным. Предположим теперь, что X—комплексное топологическое векторное пространство. Из перечисленных выше фактов следует, что комплексно линейный функционал на X принадлежит X* тогда и только тогда, когда его вещественная часть непрерывна, и что каждый непрерывный вещественно линейный функционал и:Х—*R является вещественной частью единственного функционала f£X*. 3.2. Теорема. Предположим, что (a) М является подпространством вещественного векторного пространства Х\ (b) функция р:Х—>К удовлетворяет условиям Р(х + У)<р(х) + р(у) и p(tx) = tp(x) для всех х£Х, у£Х и t^0\ (c) функционал f:M—*R линеен и f(x)^p(x) на М. Тогда существует такой линейный функционал А:Х—^R, что Ax = f(x) (χξΜ) и —ρ (—χ) < Αχ < ρ (χ) (χ ζ Χ). Доказательство. Если Μ Φ Χ, то выберем такой вектор хг£Х, что хх^М9 и положим M1^{x + tx1: χζΛί, /€R}.
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 69 Ясно, что Мг является подпространством в X. Так как f{x)+f(y)=f(x + y)<p(x + yXP(x—Xi)+P(Xi + y), то (1) Ι(χ)-ρ(Χ-Χι)<ρψ + Χι)-ϊψ) (χ, у ζ Μ). Пусть а—точная верхняя грань левой части неравенства (1) по всем χζΜ. Тогда (2) / (х) — а < ρ (х—хг) (χ € Λί) и (3) f(y)+<*<P(y+Xi) (У$М). Определим функционал f1 на Ми полагая (4) f1(x + tx1) = f(x) + ta (χ ζ Μ, i€R). Тогда /х—линейный функционал на Мг и fx = f на Λί. Считая, что t > О, заменим χ на t~xx в неравенстве (2) и у на ί_1ί/ в неравенстве (3). Умножая полученные таким способом неравенства на t и учитывая (4), заключаем, что f1^:p на Мг. Вторую часть доказательства можно провести одним из методов трансфинитной индукции, выбранным по вкусу; можно воспользоваться либо теоремой Цермело (всякое множество можно вполне упорядочить), либо леммой Цорна, либо теоремой Хаус- дорфа о существовании максимальных линейно упорядоченных подмножеств. Мы предпочитаем последний способ. Пусть 9Ъ—множество всех упорядоченных пар (ΛΡ, /'), где ΛΓ — подпространство пространства X, содержащее М, a f—такой линейный функционал на ΛΓ, что f =f на Μ и f ^p на Λί'. Введем в 9* частичное упорядочение, считая, что (Λί', /') ^ (ΛΓ, /"), если ΛΡ с М" и f =f" на Μ'. По теореме Хаусдорфа, в 5* существует максимальное линейно упорядоченное подмножество Ω. Пусть Φ—множество всех таких подпространств ΛΓ пространства X, что (ΛΓ, /')ζΩ для некоторого линейного функционала /' на ΛΓ. Тогда Φ линейно упорядочено относительно теоретико-множественного включения; следовательно, объединение Μ всех подпространств, принадлежащих Ф, само является подпространством пространства X. Если χ ζ Λί, то χ g ΛΡ для некоторого Λί' ζ Φ; положим Λχ = /'(*), где f — функционал, составляющий вместе с Λί' пару (ΛΡ, f) ζ Ω. Теперь легко проверить, что функционал Λ корректно определен на Λί, линеен, совпадает с / на Λί и удовлетворяет на Μ неравенству А^р. Если бы Λί оказалось собственным подпространством в X, то конструкция, указанная в первой части доказательства, позволила бы продолжить Л на большее подпрост-
70 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ранство (с сохранением всех нужных свойств), а это противоречило бы максимальности Ω. Поэтому М = Х. Наконец, из неравенства Л<р следует, что —р(— х)^—Л( — х) = Ах для всех х£Х, и доказательство окончено. Щ 3.3. Теорема. Пусть Μ—подпространство векторного пространства Χ, ρ—полунорма на X, a f—такой линейный функционал на Му что \f(*)\<p(x) (*€Л1). Тогда на X существует такой линейный функционал Л, что Ax = f (x) при χζΜ и \Ах\^.р(х) при х£Х. Доказательство. В вещественном случае утверждение этой теоремы содержится в теореме 3.2, поскольку р(—х) = р(х) для любой полунормы р. В комплексном случае положим u = Ref. По теореме 3.2 на X существует такой вещественно линейный функционал U, что U = и на Μ и (/</? на X. Пусть Л—комплексно линейный функционал на X, вещественная часть которого совпадает с U. По соображениям, изложенным в п. 3.1, Л = / на М. Наконец, для всякого χ ζ X существует такое ос ζ С, что [а| = 1 и аЛх = | Ах |. Поэтому | Л* | = Л (ах) = U (αχ) ^ ρ (αχ) = р(х). Щ Следствие. Если X —нормированное пространство и х0 ζ Χ, то существует такой линейный функционал Α ζ Χ*, что Лх0 = ||х011 и 1Л*К||х|| для всех х£Х. Доказательство. Еслил;0 = 0, возьмем Л = 0. Если же х0ф0, то применим теорему 3.3 в ситуации, когда р(х) = ||д:||, Μ—одномерное подпространство, порожденное вектором х0, а функционал / на Μ определяется условием / (ах0) = а\\х0\\. Щ 3.4. Теорема. Пусть А и В—непустые выпуклые не пересекающиеся подмножества топологического векторного пространства X.
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 71 (a) Если А открыто, то существуют такой функционал A G X* и такое вещественное число γ, что ReAx<v<ReAi/ для всех χζ,Α и всех у ζ В. (b) Если А компактно, В замкнуто, а X локально выпукло, то существуют такой функционал Α ζ X* и такие вещественные числа у1 и γ2, что ReAx<7!<Y2 < ReAt/ для всех χζ,Α и всех у ζ В. Заметим, что теорема сформулирована без указания поля скаляров; разумеется, в вещественном случае ReA = A. Доказательство. Достаточно доказать теорему в случае вещественного поля скаляров. Действительно, если рассматривается поле С, а в вещественном случае теорема уже доказана, то на X существует непрерывный вещественно линейный функционал А19 дающий нужное разделение; как отмечалось в п. 3.1, единственный комплексно линейный функционал А на X, вещественная часть которого совпадает с Аг, непрерывен, так что он обладает всеми нужными свойствами. Поэтому будем считать, что поле скаляров вещественно. (а) Фиксируем а0 £ А и Ь0£В. Пусть xQ = b0 — а0\ положим С = А — В + х0. Тогда С—выпуклая окрестность нуля в X; пусть ρ—ее функционал Минковского. По теореме 1.35, ρ удовлетворяет условиям (Ь) теоремы 3.2. Так как А(]В = 0у то х0^С и потому ρ (х0) > 1. Положим f (tx0) = t на подпространстве Μ пространства X, порожденном вектором х0. Если t > 0, то / (tx0) = t ^ tp (x0)=p (tx0); если же t < 0, то / (ίχ0) < 0 ^ ρ (tx0). Таким образом, / <! ρ на М. По теореме 3.2, / продолжается до линейного функционала А на X, удовлетворяющего условию А^р. В частности, А^1 на С, и потому А^—1 на —С, так что |А|^1 в окрестности нуля Cfl(—С). По теореме 1.18, функционал А непрерывен на X. Если теперь α ζ А и Ъ ζ 5, то Аа—Ab+l=A(a—b + x0)^p(a—b + x0) < 1, поскольку Л*0 = 1, а—Ь + х0£С, а С открыто. Таким образом, Аа < АЬ. Отсюда следует, что А(Л)иА(В) — непересекающиеся выпуклые подмножества в R, причем Л(Л) целиком лежит слева от Л (β). Кроме того, А (А) открыто, поскольку А открыто, а всякий ненулевой линейный функционал на X является открытым отображением. Следовательно, Л(Л) — ограниченный справа отк-
72 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ рытый интервал. Чтобы закончить доказательство утверждения (а), достаточно в качестве γ взять правый конец интервала Л (Л). (Ь) По теореме 1.10, в X существует такая выпуклая окрестность нуля У, что (A+V)(]B = 0. Применяя утверждение (а) к множествам A-\~V и В, получаем, что существует такой функционал ΛζΧ*, что A(A+V) и Λ (В) являются непересекающимися выпуклыми подмножествами вещественной оси, причем A(A+V) открыто и целиком лежит слева от Λ (β). Отсюда следует справедливость утверждения (Ь), поскольку Λ (Л)—компактное подмножество множества A(A+V). Щ Следствие. Если X—локально выпуклое пространство, то X* разделяет точки в X. Доказательство. Если х±^Х, х2£Х и хгФх2, то применим утверждение (Ь) теоремы 3.4 к множествам Л = {л:1} и 3.5. Теорема. Пусть Μ — подпространство локально выпуклого пространства X и х0 £ Χ. Если х0 не принадлежит замыканию М> то существует такой функционал Л ζ X*, что Ах0 = 1, но Ах = 0 для всех χζΜ. Доказательство. Применяя утверждение (Ь) теоремы 3.4 к множествам А = {х0\ и В = М, найдем такой функционал Л ζ Χ*, что Ах0^А(М). Следовательно, А(М) является собственным подпространством поля скаляров, так что А(М) = \0\ иАх0Ф0. Деля Л на Ах0, получаем искомый функционал. Ц Замечание. На этой теореме основан стандартный подход к некоторым задачам аппроксимации: чтобы доказать, что точка χ0ζΧ принадлежит замыканию некоторого подпространства УИ, достаточно (если X локально выпукло) показать, что Лх0 = 0для всякого непрерывного линейного функционала Λ на X, равного 0 на М. 3.6. Теорема. Если f — непрерывный линейный функционал на подпространстве Μ локально выпуклого пространства X, то существует такой функционал ΛζΧ*, что A = f на М. Замечание. Для нормированных пространств это непосредственное следствие теоремы 3.3. В общем случае этот результат также можно получить с помощью теоремы 3.3, если воспользоваться тем, что непрерывность линейного функционала на локально выпуклом пространстве равносильна тому, что он мажорируется некоторой непрерывной полунормой (см. теоремы 1.36 и 1.37, замечание 1.38 (Ь) и упр. 8 гл. 1). Приведенное ниже доказательство показывает, что теорема 3.6 зависит лишь от свойства отделимости, установленного в теореме 3.5.
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 73 Доказательство. Не теряя общности, можем считать, что / не есть тождественный 0 на М. Положим Μ0 = {χζΜ: f(x) = 0\ и выберем такую точку χ0ζΜ, что f(x0) = l. Так как функционал / непрерывен, то х0 не принадлежит М-замыканию подпространства М0\ поскольку топология в Μ индуцирована топологией пространства X, а х0£М, отсюда следует, что х0 не принадлежит также Х-замыканию подпространства М0. Итак, теорема 3.5 гарантирует существование такого функционала ΛζΧ*, что Л*0 = 1 и Л = 0 на М0. Если χζΜ, то х—f(x)x0 ζ Λί0, ибо /(*0) = 1. Поэтому Ax—f (χ) =Ax—f (χ) Ax0=A(x—f (χ) χ0) = 0. Таким образом, Л = / на Μ. Щ Приведем в заключение еще одно полезное следствие теоремы о разделении выпуклых множеств. 3.7. Теорема. Пусть В—выпуклое уравновешенное замкнутое множество в локально выпуклом пространстве X, и пусть х0 ζ Χ, но х0Ф В. Тогда существует такой функционал Α ζ Χ*, что | Ля | ^1 для всех х£В> но Ах0 > 1. Доказательство. Применим утверждение (Ь) теоремы 3.4 к множествам А = {х0\ и Ви заметим, что если Л'—функционал, существование которого установлено в упомянутой теореме, то множество Л' (В) выпукло и уравновешено. Поэтому искомый функционал ΛζΧ* можно получить, умножая Л'на подходящий скаляр. Щ Слабые топологии 3.8. Предварительные сведения из топологии. В этом пункте мы хотим объяснить и проиллюстрировать некоторые явления, возникающие в ситуации, когда одно и то же множество снабжено несколькими топологиями. Пусть %г и τ2—две топологии в множестве X; предположим, что TjCTa, т. е. всякое ^-открытое множество является также т2-открытым. В этом случае мы говорим, что топология τλ слабее топологии τ2 или что τ2 сильнее τν [Отметим, что (в соответствии со смыслом знака включения с) выражения «слабее» и «сильнее» не исключают равенства.] В описанной ситуации тождественное отображение X непрерывно, если его рассматривать как отображение (Χ, τ2) в (X, tx), и открыто, если его рассматривать как отображение (Χ, τχ) в (Χ, τ2).
74 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ В качестве первого примера мы покажем, что топология компактного хаусдорфова пространства обладает определенной жесткостью, а именно ее нельзя ослабить с сохранением аксиомы отделимости Хаусдорфа и нельзя усилить, не теряя компактности. (а) Если τλ—хаусдорфова, α τ2—компактная топология в X и. τ1ατ2> то τ1 = τ2. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим произвольное т3-замк- нутое множество FaX. Так как X по условию т2-компактно, то таково же F. Поскольку ^стр, отсюда следует ^-компактность F (всякое т1-открытое покрытие множества F является также т2-открытым покрытием). Отсюда следует τ^-замкнутость F, ибо топология τχ хаусдорфова. В качестве другого примера рассмотрим фактортопологию Tw в фактор пространстве X//V, определенную в п. 1.40, и фак- торотображение π: Χ-+Χ/Ν. По самому своему определению τΝ является сильнейшей из топологий вХ/N, относительно которых отображение π непрерывно, и слабейшей из топологий, относительно которых π открыто. Иными словами, если τ' и τ"—такие^ топологии в Χ/Ν, что π непрерывно относительно τ' и открыто- относительно τ", то τ'ατΝατ". Предположим теперь, что X—множество, a W — некоторое непустое семейство отображений /: X-+Yf, где каждое из Υ f является топологическим пространством. [Во многих важных случаях Yf одно и то же для всех /€<F.] Пусть τ—семейство всех объединений всевозможных конечных пересечений множеств вида f~x(y), где /£<F, а V—открытое множество в Υf. Тогда τ—топология в X, причем она является слабейшей из топологий в X, относительно которых все отображения /£<F непрерывны: если τ'— любая другая топология, обладающая последним свойством, то τ с τ'. Эта топология τ называется слабой mono- логией в X, индуцированной семейством <F, или, более сжато, IF-топологией в X. Несомненно, наиболее известным примером этой ситуации служит обычный способ введения топологии в декартовом произведении X семейства топологических пространств {Ха}· Если ^а (χ) обозначает α-координату точки х£Х, то πα отображает X на Ха и топология произведения τ в X есть, по определению, описанная выше {яа}-топология, т. е. слабейшая топология, относительно которой все отображения πα непрерывны. Предположим теперь, что каждое Ха является компактным хаусдорфовым пространством. Тогда (по теореме Тихонова) топология τ компактна, и из предложения (а) следует, что ее нельзя усилить, не пожертвовав теоремой Тихонова.
ГЛ. 3 ВЫПУКЛОСТЬ 75 В последнем утверждении мы молчаливо воспользовались частным случаем следующего предложения: (Ь) Если W—семейство отображений f: X-*Yf, где Χ—множество , а каждое Υf—хаусдорфово пространство, и если ¥ разделяет точки в X, то W-топология в X является хаусдорфовой. Действительно, если ρ и q — различные точки в X, то / (p)¥=f (q) для некоторого / ζ W\ в пространстве Υf существуют непересекающиеся окрестности точек/(р) и f(q)\ прообразы этих окрестностей при отображении f открыты в X (по определению) и не пересекаются. В качестве приложения изложенных выше идей докажем следующую метризационную теорему: (с) Пусть X — компактное топологическое пространство. Если некоторая последовательность вещественных непрерывных функций \fn) разделяет точки в X, то пространство X метризуемо. Пусть τ—исходная топология в X. Не ограничивая общности, можно считать, что |/„|^1 для всех п\ пусть τα—топология в X, индуцированная метрикой d(p,q) = %2-a\f«(p)-fn(4)\· Это действительно метрика, поскольку {/„} разделяет точки. Из τ-непрерывности функций /„ и равномерной сходимости ряда, определяющего d, на ХхХ следует τ-непрерывность d на ХхХ. Поэтому шары Br(p) = \qeX: d(p,q)<r\ являются τ-открытыми множествами в X. Таким образом, ταατ. Так как топология τα индуцирована метрикой, то она хаусдор- фова, и из (а) следует теперь, что τά = τ. Следующая лемма находит применения при изучении векторных топологий. В частном случае п=1 она уже потребовалась нам в конце доказательства теоремы 3.6 (и была там доказана). 3.9. Лемма. Пусть Аг, ..., Ап и А—линейные функционалы на векторном пространстве X, и пусть Ν = {χ: Агх= ...=Апх = 0\. Тогда следующие три утверждения эквивалентны: (a) существуют такие скаляры а1У ..., α„, что Л = а1Л1+...+аяЛя; (b) существует такое γ<οο, что |ΛχΚγ max |Л,*| (*€^); (c) Лх = 0 для всех χζΝ>
76 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Доказательство. Ясно, что из (а) следует (Ь) и из (Ь) следует (с). Предположим, что выполняется (с). Пусть Φ — поле скаляров. Определим отображение π: Х->ФИ, полагая п(х) = (А1х, ..., Апх). Если π(χ)=π(χ'), то из (с) следует, что Лх = Лх'. Поэтому на Фп существует такая скалярная функция F, что Λ = 77οπ. Ясно, что F—линейный функционал на Ф". Поэтому найдутся такие α,ζΦ, что F(ul9 ..., un)=a1u1 + ...+antin. Таким образом, η Ax = F(n(x))=F (ΛχΧ, ..., Αηχ) = 2 «Α*, ί = 1 что совпадает с (а). | 3.10. Теорема. Пусть X—векторное пространство, а X'— некоторое разделяющее точки в X векторное пространство линейных функционалов на X. Тогда X'-топология %' превращает X в локально выпуклое пространство, сопряженное к которому сов- падает с X'. Сформулируем предположения относительно X' более явно: X' замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры, и если хг и х2—различные точки пространства X, то АхгФАх2 для некоторого ΛζΧ'. Доказательство. Поскольку пространства R и С хаусдор- фовы, предложение (Ь) п. 3.8 показывает, что топология τ' хаус- дорфова. Из линейности входящих в X' функционалов следует, что топология τ/ инвариантна относительно сдвигов. Пусть Alf ..., Λ„£Χ' и Г;>0 (Ι^ί^Λ); тогда множество (1) V = {х: |AtX| < rt при 1<ι<λ} выпукло и уравновешено, причем V£t'. В действительности совокупность всех множеств V вида (1) является локальной базой топологии τ'. Таким образом, τ' — локально выпуклая топология в X. Если V определено формулой (1), то 1/Jf + 1/Jf = V, откуда следует непрерывность сложения. Пусть χ ζ X, и пусть а—скаляр. Тогда x£sV для некоторого s > 0. Если |β—ocj<r и у—x£rVy то вектор $у—ах = (β—α) у + а (у—х) принадлежит V, когда г столь мало, что r(s + r) + \a\r< 1. Поэтому умножение на скаляры непрерывно.
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 77 Итак, мы доказали, что τ'—локально выпуклая векторная топология. Каждый функционал ΛζΧ' непрерывен относительно τ'. Обратно, если некоторый линейный функционал Λ на X непрерывен относительно топологии τ', то |Лх|<1 для всех χ из некоторого множества V вида (1). Поэтому для функционалов Л и Лх, ...,Л„ справедливо утверждение (Ь) леммы 3.9; следовательно, для них выполняется также утверждение (а), т. е. Λ = 2αΑ· Так как Λ,ζΧ', а X' — векторное пространство, то лех'.и Примечание. Первую часть изложенного доказательства можно было провести на основе теоремы 1.37, используя в качестве разделяющего семейства полунорм множество всех полунорм вида Ра(х) = \Ах\ (ΑζΧ'). 3.11. Слабая топология в топологическом векторном пространстве. Пусть X—такое топологическое векторное пространство (с топологией τ), что его сопряженное пространство X* разделяет точки в X. [Мы знаем, что так обстоит дело для каждого локально выпуклого пространства X. Этим свойством обладают также некоторые другие пространства; см. упр. 5.] Х*-топология в пространстве X называется слабой топологией в X и обозначается tw. Символом Xw мы будем обозначать пространство X, снабженное этой слабой топологией tw. Из теоремы 3.10 следует, что Xw является локально выпуклым пространством и что его сопряженное пространство совпадает с X*. Так как tw—слабейшая из топологий в X, относительно которых все функционалы Л£Х* непрерывны, а топология τ обладает последним свойством, то т^ст. В рассматриваемой ситуации топологию τ мы часто будем называть подлинной, или исходной1), топологией в X. Такие не нуждающиеся в объяснении выражения, как «подлинная окрестность», «слабая окрестность», «подлинное замыкание», «слабое замыкание», «подлинная ограниченность», «слабая ограниченность» и т. д., будут употребляться для того, чтобы ясно было, какая при этом подразумевается топология2). х) В оригинале original topology.— Прим. перев. 2) Если X — пространство Фреше (в частности, если пространство X банахово), исходную (подлинную) топологию в X обычно называют сильной топологией. В этом случае вместо слов «подлинный» и «подлинно» будут употребляться соответственно термины «сильный» и «сильно». Для общих локально выпуклых пространств термину «сильная топология» придается особый технический смысл (см. [18, стр. 256—268], а также [17, стр. 104]). Поэтому при изложении общих вопросов, по-видимому, разумно пользоваться введенной здесь терминологией.
78 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Пусть, например, \хп\— последовательность в X. Высказывание «хп—>0 в исходной топологии» означает, что каждая подлинная окрестность нуля содержит все хп с достаточно большими номерами п. Высказывание же «хп—>0 слабо» означает, что всякая слабая окрестность нуля содержит все хп с достаточно большими номерами п. Так как каждая слабая окрестность нуля содержит окрестность вида (1) V = {x\ |Л^|<г£- при 1<1<л[, где Л/ £ X* и г ι > 0, то легко видеть, что хп —► 0 слабо тогда и только тогда, когда Ахп—>0 для любого ΛζΧ*. Поэтому всякая подлинно сходящаяся последовательность сходится также и слабо. [Обратное обычно не верно; см. упр. 5 и 6.] Аналогично множество ЕаХ слабо ограничено (т.е. является ограниченным множеством в Xw) тогда и только тогда, когда всякая окрестность V вида (1) содержит tE для некоторого / = t (V) > 0,. Это возможно в том и только в том случае, когда для любого Л£Х* существует такое число γ(Λ)<οο, что |Λ#|<γ(Λ) при всех х£Е. Иными словами, множество ЕаХ слабо ограничено тогда и только тогда, когда каждый функционал А 6 X* является ограниченной функцией на Е. Пусть V — снова множество вида (1); положим N = \х\ А±х = ... = Апх = 0}. Поскольку отображение χ—>(Агх, ..., Апх) пространства X в О имеет своим ядром подпространство Ν, мы видим, что dimX ^ft + dim N. Так как NaV, то это приводит к следующему выводу: Если пространство X бесконечномерно, то всякая слабая окрестность нуля в нем содержит бесконечномерное подпространство; поэтому для бесконечномерного X пространство Xw не может быть локально ограниченным. Во многих случаях отсюда следует, что слабая топология строго слабее исходной. Разумеется, эти две топологии могут совпадать: например, из теоремы 3.10 следует, что (XW)W = XW. Теперь мы подходим к более интересному результату. 3.12. Теорема. Пусть Ε—выпуклое подмножество локально выпуклого пространства X. Тогда слабое замыкание Ew множества Ε совпадает с его подлинным замыканием Е. Доказательство. Поскольку множество Ew слабо замкнуто, оно подлинно замкнуто, так что EczEw. Чтобы получить противоположное включение, выберем такую точку #0£Х, что х0^Е. Как показывает утверждение (Ь) теоремы 3.4, существуют
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 79 такой функционал ΛζΧ* и такое y6R, что для всех χ ζ Ε ReAx0 < γ < Re Ax. Поэтому множество \x: ReA#<Y} является слабой окрестностью точки х0> _не пересекающейся с Е. Таким образом, х0 не принадлежит Ew. Это доказывает включение EwaE. Щ Следствие. Пусть X — локально выпуклое пространство. (a) Подпространство в X подлинно замкнуто тогда и только тогда, когда оно слабо замкнуто. (b) Выпуклое подмножество пространства X подлинно всюду плотно тогда и только тогда, когда оно слабо всюду плотно. Доказательства очевидны. Вот другое заслуживающее внимания следствие теоремы 3.12: 3.13. Теорема. Пусть X—метризуемое локально выпуклое пространство. Если {хп\ — последовательность в X, слабо сходящаяся к некоторому χ £ X, то в X найдется такая последовательность \у{\, что (a) каждый вектор yt является выпуклой комбинацией конечного числа векторов хп\ (b) Уг—>х в исходной топологии. Сформулируем свойство (а) последовательности \у(\ в более явном виде: существуют такие неотрицательные числа а£п, что и для каждого i все ain, за исключением конечного числа, равны 0. Доказательство. Пусть Η—выпуклая оболочка множества всех членов последовательности \хп\, и пусть К—слабое замыкание Я. Тогда χ £ К- По теореме 3.12, вектор χ принадлежит также подлинному замыканию множества Н. Поскольку исходная топология в X предполагается метризуемой, отсюда вытекает, что в Η существует последовательность {г/,·}, сходящаяся к χ в исходной топологии. Щ Чтобы получить более ощутимое представление о содержании этой теоремы, полезно рассмотреть следующий пример. Пусть К—компактное хаусдорфово пространство (замкнутый единичный интервал вещественной оси — уже достаточно интересный случай). Пусть f я fn (n = l9 2, 3, .. .)—такие непрерывные комплексные функции на /С, что /„ (х) —► / (х) при п—»оо для всякого χ ζ К, причем | /„ (х) |< 1 для всех η и всех χ ζ Κ- Из теоремы 3.13 следует, что существует последовательность выпуклых комбинаций функций /„, равномерно сходящаяся к /♦
80 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Чтобы убедиться в этом, рассмотрим банахово пространство С (К) всех комплексных непрерывных функций на К с максимумом модуля функции в качестве нормы. Сильная сходимость в С (К) совпадает с равномерной сходимостью на К· Если μ — произвольная комплексная борелевская мера на /С, то из теоремы Лебега об ограниченной сходимости следует, что С [ηάμ—^f/ίίμ. По теореме Рисса, сопряженное к С (К) пространство может быть отождествлено с пространством всех регулярных комплексных борелевских мер на К\ поэтому /„—>f слабо в С (К)· Это позволяет применить теорему 3.13. После этого краткого отступления мы возвращаемся теперь к основной линии изложения. 3.14. Слабая* топология в сопряженном пространстве. Пусть X— топологическое векторное пространство, а X*— сопряженное к нему пространство. Следующие ниже определения имеют смысл независимо от того, разделяет X* точки в X или нет. Заметим (это весьма важно для дальнейшего), что каждый вектор х£Х индуцирует линейный функционал fx на X*, определяемый формулой fxA = Ax, причем семейство {fx: χ ζ X} разделяет точки в X*. Линейность каждого из функционалов fx очевидна; если fxA = fxA' для всех χζΧ, то Λχ = Λ'λ; для всех #6Х, так что Λ = Λ' по самому определению равенства между функциями. Таким образом, возникает ситуация, описанная в теореме 3.10, с заменой X на X* и X' на X. Х-топология в X* называется слабой* топологией в пространстве X*. Из теоремы 3.10 следует, что она является локально выпуклой векторной топологией в X* и что каждый слабо* непрерывный линейный функционал на X* имеет вид А—>Ах для некоторого л; ζ X. Слабая* топология обладает весьма важным свойством, связанным с компактностью, к которому мы сейчас перейдем. Некоторые патологические свойства слабой и слабой* топологий описаны в упр. 9 и 10. Компактные выпуклые множества 3.15. Теорема Банаха — Алаоглу. Если V—окрестность нуля в топологическом векторном пространстве X, то множество К = {А£Х*\ |Л*|<1 для всех χ6V) слабо* компактно.
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 81 Примечание. Иногда К называют полярой множества V. Множество К выпукло и уравновешено, потому что этими свойствами обладает единичный круг в С (и интервал [—1, 1] в R). В определении множества К имеется некоторая избыточность, поскольку каждый линейный функционал на X, ограниченный на V, непрерывен и потому принадлежит X*. Доказательство. Так как окрестности нуля являются поглощающими множествами, то для всякого χζ,Χ найдется такое число γ(χ)<οο, что x£y(x)V. Поэтому (1) |Λ*|<γ(χ) (χζΧ, ΑζΚ). Пусть Dx—множество всех скаляров а, удовлетворяющих неравенству |α|^γ(χ), и пусть τ—топология произведения в декартовом произведении Ρ всех множеств Dx (по одному экземпляру для каждого х£Х). Так как каждое из множеств Dx компактно, то по теореме Тихонова Ρ компактно. Элементами Ρ являются все функции f на X (не только линейные), удовлетворяющие условию (2) I/(*)I<Y(*) (*€*)· Таким образом, KaX*f)P. Поэтому в К имеются две топологии: одна индуцирована слабой* топологией в X* (именно к ней относится утверждение теоремы); другая индуцирована топологией τ произведения в Р. Мы покажем, что (a) эти две топологии в К совпадают, (b) К является замкнутым подмножеством в Р. Так как Ρ компактно, из (Ь) следует τ-компактность /С, а тогда (а) влечет за собой слабую* компактность К. Фиксируем некоторую точку Λ0£/(". Выберем произвольно Xi£X (l^i^n) и δ>0 и положим (3) Г1 = {ЛеХ*: |Л*,—Ал |< б при 1<ί</ι[, (4) W2 = {feP: |/(χ.)_ΛΛ|<δ при 1<ί</ι}. Пусть η, Χι и δ пробегают все допустимые для них по смыслу значения. Возникающие при этом множества вида (3) образуют локальную базу слабой* топологии пространства X* в точке Л0, а множества вида (4) образуют локальную базу топологии τ пространства Ρ в той же точке. Так как Кс:Х*Г\Р, то WlnK = W2()K, откуда следует (а). Далее, допустим, что f0 принадлежит τ-замыканию К. Выберем произвольно χζΧ, г/ζΧ, скаляры α, β и ε > 0. Множество всех /€Л для которых |/ — /0|<ε в точках х, у и ах + $у, является τ-окрестностью точки /0; поэтому К содержит хотя бы
82 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ одну такую точку /. Так как все элементы К являются линейными функционалами, то + β(/-/ο)(0). откуда |/0 (aX + fiy)-af0 W-P/0 (у) |< (1 + |α| + |β |) ε. Поскольку ε произвольно, отсюда следует, что функция /0 линейна. Наконец, если χ ζ V и ε ]> 0, то аналогичное рассуждение показывает, что в К найдется функция /, для которой \f(x) — — /о (*) I < ε· Так как | / (х) | ^ 1 по определению множества К, то отсюда следует, что |/0(*)|<|1, и мы заключаем, что f0(zK. Это доказывает утверждение (Ь), а вместе с ним и теорему. Щ Если X сепарабельно (т. е. содержит счетное всюду плотное подмножество), то утверждение теоремы Банаха — Алаоглу можно усилить, объединяя ее со следующим результатом. 3.16. Теорема. Если X—сепарабельное топологическое векторное пространство, а К—слабо* компактное подмножество в X*, то К метризуемо в слабой* топологии. Предостережение: не следует думать, что само пространство X* метризуемо в слабой* топологии; например, это не верно, если X — бесконечномерное банахово пространство (см. упр. 15). Доказательство. Пусть {хп\—счетное всюду плотное множество в X. Для каждого ΑζΧ* положим fn(A)=Axn. По определению слабой* топологии все /„ являются слабо* непрерывными функциями на X*. Если fn (Λ) =fn (Λ') для всех п, то Λ#„ = Λ'#Λ для всех η, откуда следует, чтоЛ = Л', ибо Л и Л' непрерывны на X и совпадают на всюду плотном подмножестве. Таким образом, \fn\— счетное семейство непрерывных функций, разделяющее точки в Х% и метризуемость К следует из предложения (с) п. 3.8. Щ 3.17. Теорема. Если V—окрестность нуля в сепарабельном топологическом векторном пространстве X, а {Ап) — такая последовательность в сопряженном пространстве X*, что |Л„х|<1 (χζν, /ι=1, 2, 3, ...), то найдутся такая подпоследовательность \Ап.\ а {Ап\ и такой функционал А а X*, что для всех χζΧ Лл; = lim A„.x. п1
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 83 Иными словами, поляра окрестности нуля сепарабельного топологического векторного пространства секвенциально компактна в слабой* топологии. Доказательство получается объединением теорем 3. 15 и 3. 16.Ц В следующем применении теоремы Банаха—Алаоглу привлекаются также теорема Хана — Банаха и (неявно) категорные соображения. 3. 18. Теорема, В локально выпуклом пространстве X всякое слабо ограниченное множество подлинно ограничено, и обратно. Как показывает часть (d) упр. 5, условие локальной выпуклости X существенно для справедливости этой теоремы. Доказательство. Так как всякая слабая окрестность нуля в X является также подлинной окрестностью нуля, то из определения ограниченности с очевидностью следует, что каждое подлинно ограниченное множество в X слабо ограничено. Обратное утверждение составляет нетривиальную часть теоремы. Пусть Ε—слабо ограниченное множество в X, и пусть U — подлинная окрестность нуля. Так как пространство X локально выпукло, то в нем существует такая выпуклая уравновешенная подлинная окрестность нуля У, что VcU. Пусть К — поляра окрестности I/, т.е. (1) /<· = {ΛζΧ*: |Λλ?|<1 для всех x£V\. Мы утверждаем, что (2) V = \x£X: |Λχ|<1 для всех ΑζΙ<\. Ясно, что V содержится в множестве, стоящем в правой части соотношения (2); так как последнее множество подлинно замкнуто, то V также в нем содержится. Допустим, что х0£Х и x0^V. Тогда, как показывает теорема 3. 7 (с F вместо β), Λλ:0 > 1 для некоторого Λ ζ/С, откуда следует (2). Так как Ε слабо ограничено, то для всякого Л£Х* найдется такое γ (Л) < оо, что для всех χ ζ Ε (3) Ι Λ* |< γ (Λ). Поскольку К выпукло и слабо* компактно (теорема 3.15), а функции Л—►Ля слабо* непрерывны, условие (3) позволяет применить теорему 2.9 (с X* вместо X и полем скаляров вместо Υ) к семейству линейных функционалов TE=\fx: fx(A) = = Аху Л£Х*, х£Е\. В результате получаем, что существует постоянная γ<οο, для которой (4) |Λ*|<γ (χζΕ, ΑζΚ).
84 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Из (2) и (4) следует, что y~1x£Vc:U для всех χζ,Ε. Так как окрестность V уравновешена, то (5) EatVcztU (t>y). Таким образом, Ε подлинно ограничено. Ц Следствие. Если X—нормированное пространство, ЕаХ и для всех ΛζΧ* (6) sup,|A*|<oo, хеЕ то существует такое γ< оо, что для всех χ g E (7) II* IK υ· Доказательство. Нормированное пространство локально выпукло; условие (6) означает, что множество Ε слабо ограничено, а (7) означает, что оно подлинно ограничено. Щ При доказательстве теоремы Крейна—Мильмана будет полезен следующий аналог утверждения (Ь) теоремы 3.4. 3.19. Теорема. Пусть X—такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет точки в X, и пусть А и В — непересекающиеся непустые компактные выпуклые подмножества в X. Тогда существует такой функционал ΛζΧ*, что sup Re Λα: < inf Re Ay. xeA ytB Отметим, что часть условий этой теоремы слабее, чем соответствующие условия теоремы 3.4 (ибо из локальной выпуклости X следует, что X* разделяет точки в X); чтобы компенсировать это, мы предполагаем зато, что оба множества А и В компактны. Доказательство. Пусть Xw обозначает пространство X со слабой топологией. Очевидно, что множества А к В компактны в пространстве Xw. Они также и замкнуты в Xw (поскольку пространство Xw хаусдорфово). Так как Xw локально выпукло (см. п. 3.11), мы можем на основании части (Ь) теоремы 3.4 (с заменой X на Xw) утверждать, что существует функционал Λ £ (Хю)*, удовлетворяющий условию (1). Но в п. 3.11 (в качестве следствия теоремы 3.10) мы установили, что (XJ* = X*. ■ 3.20. Крайние точки. Пусть К—подмножество векторного пространства X. Непустое множество SczK называется крайним множеством множества /С, если ни одна точка из S не является внутренней точкой прямолинейного интервала, концы которого принадлежат К, но не принадлежат S. В аналитической форме
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 85 последнее условие выглядит так: если χ ζ. К, Уζ. К, 0< ^ < 1 и tx + (l-t)y£S, то x£S и y£S. Точка х0 ζ К называется крайней точкой множества /С, если одноточечное множество \х0\ является крайним множеством для К. Напомним, что выпуклой оболочкой множества ЕаХ называется наименьшее выпуклое множество в X, содержащее Е9 а замкнутой выпуклой оболочкой множества Ε называется замыкание его выпуклой оболочки. В настоящее время не известно, верно ли, что каждое компактное выпуклое подмножество любого топологического векторного пространства имеет хотя бы одну крайнюю точку. Теоремы 3.21 и 3.22 показывают, что для широкого класса пространств запас крайних точек у таких множеств весьма обилен. 3.21. Теорема Крейна — Мильмана. Пусть X—такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет точки в X. Тогда всякое компактное выпуклое подмножество /СсХ совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества своих крайних точек. Доказательство. Пусть 9Ъ—семейство всех компактных крайних подмножеств множества К. Так как К£9*, то 9*ф0. Мы воспользуемся следующими двумя свойствами 9Ъ\ (a) если пересечение S всех множеств из некоторого непустого подсемейства семейства 9* непусто, то S^9^\ (b) если Sg^, ΛζΧ*, μ — максимум ReA на S и SA = {x£S: ReA*=^}, mo SA£9>. Утверждение (а) очевидно. Чтобы доказать (Ь), предположим, что χζΚ, у£К, 0< t < 1 и tx + (l — t)y = z^SA. Так как z^S и S£9>, то x£S и y£S. Поэтому Re Ах < μ и ReAr/^μ. Поскольку Re Аз = μ, а функционал А линеен, мы заключаем, что ReAx = μ = ReAy, откуда x£SA и y£SA. Фиксируем некоторое множество S £ 9s и обозначим через 9*' совокупность всех подмножеств множества S, принадлежащих 9*. Так как Sg^5', то 9Ъ' непусто. Частично упорядочим 9*' с помощью теоретико-множественного включения. Пусть Ω — максимальное линейно упорядоченное подсемейство в?', и пусть Μ — пересечение всех множеств, входящих в Ω. Так как Ω — центрированная система компактных множеств, то ΜΦ0. В силу (а) Λί £5*'. Из максимальности Ω следует, что никакое собственное подмножество множества Μ не входит в 9>. Поэтому в силу (Ь) всякий функционал ΛζΧ* постоянен на М. Так как X* разделяет точки в X, то Μ состоит из единственной точки, которая, очевидно, является крайней точкой множества /С.
86 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Итак, мы доказали, что каждое компактное крайнее подмножество S множества К содержит крайнюю точку множества /С. [Заметим, что до сих пор мы не пользовались выпуклостью /(.] Из доказанного следует, что если Η — выпуклая оболочка множества всех крайних точек К, то для любого S ζ S* множество Η Π S непусто. Так как К компактно и выпукло, то НаК- Поэтому Ή компактно. Предположим (с целью получить противоречие), что некоторая точка х0£К не принадлежит Н. По теореме 3.19 найдется такой функционал Л£Х*, что Re Ля < ReA#0 для всех χζΗ. Ясно, что Η не пересекается с множеством Кл> определенным при помощи конструкции, описанной в утверждении (Ь). Но, согласно (Ь), К а € Р, и мы получаем противоречие. Щ Замечание. Выпуклость множества К использовалась лишь при доказательстве компактности Н, Если пространство X предполагается локально выпуклым, то компактность Η не нужна, поскольку в этом случае вместо теоремы 3.19 можно воспользоваться утверждением (Ь) теоремы 3.4. Приведенное выше рассуждение показывает, что в рассматриваемой ситуации К с Я. Таким образом, мы получаем следующий вариант теоремы Крейна—Мильмана. 3.22. Теорема. Если X—локально выпуклое пространство, а Е—множество всех крайних точек компакта КаХ, то К содержится в замкнутой выпуклоц оболочке множества Е. Эквивалентная формулировка: замкнутые выпуклые оболочки множеств К и Ε совпадают. Предыдущее замечание приводит к следующему вопросу: что можно сказать о выпуклой оболочке Η компактного множества КаХ? Даже в гильбертовом пространстве X множество Η может не быть замкнутым. Возможны ситуации, в которых Η не компактно (см. упр. 20 и 22), однако в пространствах Фреше такая патология не встречается (теорема 3.25). Доказательство последнего утверждения основано на том, что подмножество полного метрического пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено (см. приложение А4). Напомним, что подмножество Ε метрического пространства X называется вполне ограниченным, если для любого е > 0 оно содержится в объединении конечного числа открытых шаров радиуса е. В ситуации, когда X—любое топологическое векторное пространство (не обязательно метризуемое), также можно ввести весьма близкое понятие вполне ограниченного подмножества.
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 87 3.23. Определение. Подмножество Ε топологического векторного пространства X называется вполне ограниченным, если для любой окрестности нуля V в X найдется такое конечное множество FaX, что EczF + V. Если d—инвариантная метрика в метризуемом топологическом векторном пространстве X, совместимая с его топологией τ, то класс всех d-вполне ограниченных множеств совпадает с классом всех τ-вполне ограниченных множеств. [Это доказывается с помощью соображений, аналогичных изложенным в п. 1.25.] 3.24. Теорема. Пусть X—локально выпуклое пространство, а Н—выпуклая оболочка вполне ограниченного множества ЕаХ. Тогда множество Η вполне ограничено. Доказательство. Пусть U—окрестность нуля в X. Тогда в X найдутся такая выпуклая окрестность нуля V, что V + Vczt/, и такое конечное множество Ег, что Ec:E1-j~V. Пусть Нг — выпуклая оболочка множества Ег. Пусть е19 ..., ет — все точки множества Е1У и пусть S—симплекс в Rm, состоящий из всех таких t = (tlt ..., tm)t для кото· рых t^O и 2^·= 1 > тогДа V» ■ ..,*«) —ΣΆ представляет собой непрерывное отображение компактного множества S на Нг. Поэтому множество Нг компактно. Если χ £ Я, то χ = агхг + . . . + апхп9 где х{ £ Ε, α^ 0 и 2^/ = 1 · Так как EaE^ + V, то для каждого xt найдется такая точка У;£Е19 что xt—y^V. Представим χ в виде суммы Х = х'+хГ, где χ' = 2α/#ί и *" = 2αί(*ι—У()· ^3 выпуклости V следует, что x"£V. Ясно, что x'^Hi- Поэтому HczH. + V. Так как Нг компактно, то найдется такое конечное множество FaX, что H1dF + V. Таким образом, HaF + V + VcF + U. Поскольку окрестность V произвольна, отсюда следует, что множество Η вполне ограничено. Щ 3.25. Теорема. Пусть Η—выпуклая оболочка компактного подмножества К топологического векторного пространства X. (a) Если X — пространство Фреше, то множество Η ком- пактно. (b) Если X = Rnf то множество Η компактно.
88 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Доказательство, (а) По теореме 3.24 множество Η вполне ограничено. Так как пространство Фреше является полным метрическим пространством, то замыкание Η множества Η компактно1). (Ь) Пусть S—симплекс в R"+1, состоящий из всех точек t = (tly . .., tn+1), для которых t^O и 2^ = 1. Из доказанной ниже леммы следует, что χ ζ Η тогда и только тогда, когда л+1 Χ == 2δ 4х ί для некоторого t£S к некоторых χ ι ζ К (1^л^я+1). Иными словами, Η совпадает с образом множества SxKX-..ΧΚ (К входит в это произведение п-\-\ раз) при непрерывном отображении п+\ (t, хг, ..., хп+1) ► 2j hxl· Поэтому Η компактно. Щ Лемма. Если χ принадлежит выпуклой оболочке множества £cR", то χ принадлежит выпуклой оболочке некоторого подмножества множества Е, состоящего не более чем из п+1 точек. Доказательство. Достаточно показать, что если г > η и # = 2^·*/—выпуклая комбинация г + 1 векторов #,·ζ£, то в действительности вектор χ может быть представлен в виде выпуклой комбинации г из этих векторов. Не ограничивая общности, можно считать, что tt > 0 при l^i'^r-fl· Так как г > п, то г векторов х{—xr+1 (l^i^r) линейно зависимы. Отсюда следует, что существуют такие вещественные числа ah не все равные 0, что г+1 г+1 2 a>iX>i = 0 и 2 ai — О· i=l i=\ Выберем такой номер /л, что | α(/ίι | ^ | ajtm | при 1^л<> + 1, г) Здесь (кроме упоминавшейся выше теоремы А4) мы неявно воспользовались еще тем, что замыкание вполне ограниченного подмножества метрического (или топологического векторного) пространства вполне ограничено. Для метрических пространств это следует из того, что любой замкнутый шар содержится в открытом шаре вдвое большего радиуса с центром в той же точке. Для топологических векторных пространств можно воспользоваться теоремой 1.11 и утверждением (е) упр. 3 гл. 1.— Прим. перев.
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 89 и положим ит Тогда с,>0, 2cz = 2*/=1> * = 2<ϊ*ι и ся = 0. ■ Интегрирование векторных функций Иногда желательно иметь возможность интегрировать функции /, определенные на некотором пространстве Q с мерой μ (вещественной или комплексной) и принимающие значения в некотором топологическом векторном пространстве X. Первая проблема состоит в том, чтобы сопоставить такой функции / вектор Q пространства X, заслуживающий называться ее интегралом, т. е. обладающий хотя бы некоторыми из тех свойств, которыми обычно обладает интеграл. Например, для любого функционала ΛζΧ* должно выполняться равенство поскольку аналогичное равенство верно для конечных сумм, а интеграл всегда является (или должен быть) пределом таких сумм в том или ином смысле. В действительности наше определение интеграла будет основано на одном этом требовании. Известны и весьма подробно изучены также многие другие подходы к интегрированию векторных функций; некоторые из них основаны на более прямом определении интеграла как предела сумм (см. упр. 23). 3.26. Определение. Пусть Q—пространство с мерой μ, Χ — такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет точки в X, а /—такая функция на Q со значениями в X, что для всякого функционала Λ ζ X* скалярная функция Λ/ интегрируема по мере μ; заметим, что функция Λ/ определяется соотношением (1) (Af)(q)=A(f(q)) (q£Q). Если существует такой вектор г/ζΧ, что (2) Λ0 = $(Λ/)ίίμ Q
90 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ для любого функционала Λ ζ Χ*, то мы полагаем (3) \fd\i = y Q и называем этот вектор интегралом функции f no мере μ. Замечание. Так как X* разделяет точки в X, то ясно, что может существовать не более чем один такой вектор у. Поэтому здесь не возникает проблемы единственности интеграла. Существование будет доказано лишь в довольно частном случае (достаточном, однако, для многих приложений), когда пространство Q компактно, а функция / непрерывна. В этом случае множество f (Q) компактно, и единственное дополнительное условие, которое мы наложим, состоит в том, что замкнутая выпуклая оболочка этого множества тоже должна быть компактной. По теореме 3.25 это дополнительное условие автоматически выполняется, если X—пространство Фреше. Напомним, что борелевской мерой на компактном (или локально компактном) хаусдорфовом пространстве Q называется мера1), определенная на σ-алгебре всех борелевских подмножеств пространства Q, т. е. на минимальной σ-алгебре, содержащей все открытые подмножества пространства Q. Вероятностной мепой называется положительная мера, полная масса которой равна 1. 3.27. Теорема. Пусть X — такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет точки в X, и пусть μ—боре- левская вероятностная мера на некотором компактном хаусдорфовом пространстве Q. Если отображение f\ Q—>Х непрерывно и если замыкание Η выпуклой оболочки Η множества f (Q) компактно в X, то интеграл в смысле определения 3.26 (1) */ = $Μμ ___Q существует. Кроме того, у£Н. Замечание. Любая положительная борелевская мера ν на Q становится вероятностной после умножения ее на подходящее число; поэтому теорема (за исключением ее последнего утверждения) верна и для таких мер v. С помощью теоремы Жордана *) В определение борелевской меры μ на Q обычно включают еще следующее условие: | μ (Ε) | < оо для любого компактного множества Ε a Q. [Для комплексных мер это всегда так по общепринятому толкованию термина «комплексная мера», однако вещественная борелевская мера (например, обычная мера Лебега в R) может в числе своих значений иметь один (и только один) из символов +оо, —оо.] Как можно судить по замечанию, следующему за формулировкой теоремы 3.27, автор молчаливо предполагает, что это условие выполняется.— Прим. перев.
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 91 о разложении ее можно обобщить на любые вещественные боре- левские меры, а также (если поле скаляров пространства X есть С) на комплексные меры. В упр. 24 приводится обобщение другого рода. Доказательство. Будем считать, что пространство X вещественно1). Мы должны доказать существование такого вектора у£Н, что (2) Лу=5(А/)ф Q для любого функционала Л£Х*. Пусть L = \A11 ..., Л„} — конечное подмножество в X*, и пусть ΕL—множество всех векторов г/ζ Я, удовлетворяющих соотношению (2) для каждого Л ζ L. Каждое из множеств EL замкнуто (в силу непрерывности функционалов Л) и потому компактно, ибо Η компактно. Если все множества EL непусты, то они образуют центрированную систему. В этом случае пересечение всех EL непусто, и каждый вектор г/, принадлежащий этому пересечению, удовлетворяет условию (2) для всех Л£Х*. Поэтому достаточно доказать, что ЕьФ0. Рассмотрим L = {At, ..., Л„} как отображение пространства X в R". Пусть K = L(f(Q)). Положим (3) т.= 5(Л//)ф (1<ί</ι). Q Мы утверждаем, что точка т = (т1, ..., тп) принадлежит выпуклой оболочке S множества К- Если t = (tl9 ..., tn) ζ R" не принадлежит S, то (учитывая теорему 3.25 и утверждение (Ь) теоремы 3.4 и пользуясь известным видом линейных функционалов на R") мы заключаем, что существуют такие вещественные числа с19 ..., сп9 для которых η η (4) 2 °iui < Σ °iU i= 1 t= 1 при всех и = {и19 ..., ип)£К. Поэтому η η (5) Σ^·Λ,·/(<?)<Σ^,· (q€Q). Так как μ — вероятностная мера, то, интегрируя обе части неравенства (5), получаем, что 2С«,/П/<2СЛ· Таким образом, 1фт. г) Комплексный случай легко сводится к вещественному с помощью соображений, изложенных в конце п. 3.1.— Прим. перев.
92 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Это показывает, что точка т действительно принадлежит выпуклой оболочке множества /С. Так как K = L(f(Q))t а отображение L линейно, отсюда следует, что m = Ly для некоторого вектора у из выпуклой оболочки Η множества /(Q). Для такого вектора у имеем (6) Л# = т, = J (Л//) άμ (1 < ί < л). Q Поэтому у ζ EL. Щ 3.28. Теорема. Пусть X—такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет точки в X, a Q—такое компактное подмножество пространства X, что его замкнутая выпуклая оболочка Η компактна. Тогда вектор у принадлежит Η в том и только в том случае, когда на Q существует такая регулярная борелевская вероятностная мера μ, что (1) y=^xd\i{x). Q Замечания. Интеграл в (1) понимается в смысле определения 3.26 с f (х) = х. Напомним, что положительная борелевская мера μ на локально компактном пространстве Q называется регулярной, если для любого борелевского множества EaQ (2) μ(£)=8ΐιρ{μ(/0: ΚαΕ} = ίηϊ {μ (G): Gz>E\, где К пробегает все компактные подмножества множества Е, a G — все открытые подмножества пространства Q, содержащие множество Е. Интеграл (1) представляет каждый вектор у ζ. Η в виде «взвешенного среднего» векторов из Q или «центра массы» некоторого распределения единичной массы на Q. Подчеркнем еще раз, что если X — пространство Фреше, то компактность Η является следствием компактности Q. Доказательство. Мы снова будем считать пространство X вещественным. Пусть" С(Q) — банахово пространство всех вещественных непрерывных функций на Q с sup-нормой. Теорема Рисса о представлении линейных функционалов позволяет отождествить сопряженное к С (Q) пространство С (Q)* с пространством всех вещественных борелевских мер на Q, представимых в виде разности двух положительных регулярных борелевских мер на Q. Имея в виду это отождествление, определим отображение (3) φ: C(Q)'->X,
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 93 полагая (4) φ(μ) = 5*<*μ(*). Q Пусть Ρ — множество всех регулярных борелевских вероятностных мер на Q. Теорема утверждает, что у(Р)=Н. Для каждого x£Q единичная мера δ^ на Q, сосредоточенная в точке х, принадлежит Р. Поскольку <ρ(δχ)—χ, мы видим, что Qccp(P). Так как отображение φ линейно, а множество Ρ выпукло, отсюда следует, что выпуклая оболочка Η множества Q тоже содержится в φ(Ρ). С другой стороны, ф(Р)с=Я, согласно теореме 3.27. Поэтому остается лишь доказать, что множество φ (Я) замкнуто в X; мы сделаем это, доказав следующие два утверждения: (i) множество Ρ слабо* компактно в С (Q)*; (ii) отображение φ: С (Q)*—*Х, определенное формулой (4), непрерывно относительно слабой* топологии в С(Q)* и слабой топологии в X. Если эти утверждения справедливы, то множество φ (Ρ) слабо компактно в X и потому слабо замкнуто; так как всякое слабо замкнутое множество в X подлинно замкнуто, то мы получаем требуемое заключение. Чтобы доказать утверждение (i), заметим, что (5) Ραίμ: Κ/ΐίίμ|< 1, если \\h\\ < ll , причем по теореме Банаха — Алаоглу большее из этих двух множеств слабо* компактно в C(Q)*. Поэтому достаточно показать, что множество Ρ слабо* замкнуто. Для всякой неотрицательной функции h£C(Q) положим (6) ΕΗ=ίμ: ξ/ΐίίμ>θΙ . Так как μ—* f Ιιάμ есть линейный функционал на С (Q)*, порождаемый элементом h£C(Q), то из определения слабой* топологии следует, что каждое из множеств Eh слабо* замкнуто. Таким же является множество (7) £ = {μ: $1ф = 1}· Так как множество Ρ совпадает1) с пересечением Ε и всех множеств Eh> то Ρ слабо* замкнуто. 1) Включение РаЕ f) / f) £/Λ тривиально; для доказательства обратного \h>o J включения следует воспользоваться тем, что рассматриваются лишь регулярные (т. е. представимые в виде разности двух регулярных положительных борелевских мер) вещественные борелевские меры.— Прим. перев.
94 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Поскольку отображение φ линейно, для доказательства утверждения (И) достаточно показать, что φ непрерывно в нуле. Каждая слабая окрестность нуля в X содержит множество вида (8) W = {y£X: \Α&\<η при 1</</ι}, где Λ/ζΧ* и г ι > 0. Ограничение функционала Л, на множество Q принадлежит C(Q). Поэтому множество (9) V=^eC(Q)*: \^Αίάμ\<Γί при 1<ί</ιΙ является слабой* окрестностью нуля в C(Q)*. Но по определению интеграла 3:26 (10) ^Λ/ίίμ=Λ/ (\χάμ (х)\=А& (μ). Из (8), (9) и (10) следует, что y(V)czW. Поэтому отображение φ непрерывно. Η Следующее простое неравенство представляет собой один из возможных вариантов последнего утверждения теоремы 3.27. 3.29. Теорема. Пусть Q—компактное хаусдорфово пространство, X—банахово пространство, f: Q—> X — непрерывное отображение и μ—положительная борелевская мера на Q. Тогда Ιί<1μ\\<1\ν\\(1μ. Q \\ Q Доказательство. Пусть y=}fdp. Согласно следствию из теоремы 3.3, существует такой функционал ΛζΧ*, что Ау = = || у || и |Лх|^||#|| для всех х£Х. В частности, 1ЛШКЦШЦ для всех q£Q. Отсюда следует, что ||у|| = Лу=5(Л/)ф<5||/||ф.И Q Q Голоморфные функции При изучении банаховых алгебр, а также в некоторых других ситуациях полезно расширить понятие голоморфности таким образом, чтобы оно стало применимо не только к комплексным, но и к векторным функциям. [Конечно, можно также расширять класс областей определения функций, переходя, например, от областей в С к областям в С" или даже в более общих пространствах; но это другое дело.] Есть по меньшей мере два очень естественных определения голоморфности, пригодных в этой общей обстановке: «слабое» и «сильное». Оказывается, что в слу-
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 95 чае, когда рассматриваются функции со значениями в пространстве Фреше, эти определения приводят к одному и тому же классу функций. 3.30. Определение. Пусть Ω—открытое множество в С, и пусть X—комплексное топологическое векторное пространство. (a) Функция /: Ω—>Х называется слабо голоморфной в Ω, если для всякого функционала ΛζΧ* функция Λ/ голоморфна в Ω в обычном смысле. (b) Функция /: Ω—* X называется сильно голоморфной в Ω, если для каждой точки г ζ Ω существует предел W — Ζ W-+Z в смысле топологии пространства X. Отметим, что отношение, фигурирующее в определении (Ь), понимается как произведение скаляра (w—г)-1 на вектор f (w) — — f (z) пространства X. Из непрерывности и линейности функционалов Λ, участвующих в определении (а), сразу следует, что всякая сильно голоморфная функция слабо голоморфна. Если X — пространство Фреше, то верно и обратное утверждение, однако это далеко не очевидно (напомним, что слабо сходящаяся последовательность может не быть сходящейся в исходной топологии). При доказательстве этого факта важную роль будут играть теорема Коши и теорема 3.18. Индекс точки ζ £ С относительно замкнутого путиг) Г, не проходящего через эту точку, будет обозначаться Indr(^); напомним, что для спрямляемого пути Г 3.31. Теорема. Пусть f: Ω—>Х—слабо голоморфная функция на открытом множестве Ωα С со значениями в комплексном пространстве Фреше X. Тогда справедливы следующие утверждениям (а) функция f сильно непрерывна на Ω; г) Путь Г в С — это непрерывное отображение у компактного отрезка [a, b] cR в С; при этом символом Г обычно обозначают как сам путь, так и образ отображения у, т. е. компакт у (fa, b\) d С. Путь Г замкнут, если у (а) = у (Ь). Индексом точки z£C\T относительно замкнутого пути Г (γ: [а, Ь]—>С) называют целое число Indr(z) =н— {arg [у ф) — z]— — arg [γ (α)—z]}, где arg [y (t) — z] —какая-нибудь непрерывная ветвь многозначной функции Arg [γ (έ) — ζ] на отрезке a<,t^b. Если путь Г спрямляем (т. е. задающая его непрерывная функция у: [а, Ь]—>С является функцией с ограниченной вариацией), то индекс Indr(z) можно вычислять по формуле, приведенной в тексте.— Прим. перев.
96 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (b) для функции f имеют место теорема Коти и формула Коши: если Г—такой замкнутый спрямляемый путь в Ω, что lndr(w)=0 для всякой точки w^Q, то (1) S/(£)«=о Г и (2) f{z) = ±r.\(l-z)-4(i)dl г для любой точки ζ£Ω\Γ, удовлетворяющей условию Indr(^) = l. Если 1\ и Г2 —такие замкнутые спрямляемые пути в Ω, что Ιγκ1Γι (w) = lndrt(w) для всякой точки w^Q, то (3) J/(0«=S/(C)«; Γι Γ2 (c) функция f сильно голоморфна в Ω. Интегралы в утверждении (Ь) понимаются в смысле определения 3.26 и теоремы 3.27. При этом под άζ понимается комплексная мера1) на компакте ГсС; можно также параметризовать Г и интегрировать по мере Лебега—Стильтьеса на компактном интервале в R. Доказательство, (а) Не ограничивая общности, предположим, что ΟζΩ и /(0)=0, и докажем сильную непрерывность функции / в точке 0. Положим (4) Ar = {zeC: |z|<r}; 2) Если Г (у: [а, Ь] -*- С) — спрямляемый путь, то мера άζ на борелевских подмножествах Ε компакта Т = у([а, Ь])сС определяется по формуле (άζ) (Е) = (ау) (γ-1 (£)), где ау—комплексная мера Лебега—Стильтьеса на ь \ау Ь]у порожденная функцией γ. Ясно, что \ f (ζ) άζ=\ f (у (/)) ay (/) для г а любой непрерывной (комплексной или векторной) функции f на Г; если функция γ непрерывно дифференцируема, то последний интеграл можно ь записать также в виде \ / (у (/)) γ' (/) at. Отметим еще, что утверждение (Ь) а сохраняет силу, если рассматривать «составные» спрямляемые замкнутые пути, т. е. любые конечные семейства Г = {Г/} спрямляемых замкнутых путей Г; (γ/: [α/, 6/]->-С). При этом под индексом точки ?£С\Г относительно такого Г понимается целое число Indr(z) = 2 ^п(* г,-(z)» а меРа ^ζ с на компакте Г=и Г/сС определяется по формуле (άζ) (Ε) = с = Σ №>/) (νΓ1 (ΕΠ Γ/)).- Прим. перге. i
ГЛ 3. ВЫПУКЛОСТЬ 97 тогда Δ2Γ<ζΩ для некоторого г > 0. Фиксируем такое г и обозначим через Г положительно ориентированную границу круга Δ2Γ. Пусть ΛζΧ*. Так как функция ζ-1Λ/ (ζ) голоморфна в Ω, то при 0< \г\ < 2г (Ъ (А/)(г)_ 1 Г (Α/) (ζ) ,, г Пусть Λί (Λ) —максимум |Λ/| на Δ2Γ. Из (5) следует, что при 0<|z|<r (6) |г^Л[/(г)]|<г-Ш(Л). Поэтому множество всех отношений (7) Er = {LT-·- 0<|z|<r} слабо ограничено в X. По теореме 3.18 это множество также сильно ограничено. Таким образом, для всякой (сильной) уравновешенной окрестности нуля V в X найдется такое положительное число t = t(r, V) < оо, что ErctV. Выберем такое число ε = ε (г, V) > 0, что ε < г и et < 1. Так как Ее с £г, а окрестность V уравновешена, то при |ζ|^ε (8) f(z)£ztV(zetVcV, так что /(Δε)<ζΙΛ Следовательно, функция / сильно непрерывна в нуле, а потому и в любой точке множества Ω. В этом суть дела, все остальное получается почти автоматически1). (b) В силу утверждения (а) и теоремы 3.27 интегралы, входящие в формулы (1) — (3), существуют. Согласно теории обычных голоморфных функций, эти формулы верны, если в них заменить / на Л/, где Л—любой функционал из X*. Следовательно, по определению 3.26 они верны и для рассматриваемой векторной функции /. (c) Снова предположим, что ΟζΩ и /(0) = 0, и докажем сильную голоморфность функции / в точке 0. Пусть г, Δ2Γ и Г означают то же, что в доказательстве утверждения (а). Положим (9) y-aJc-V(0*. г Применяя формулу Коши (2) к функции /, после несложных вычислений получаем, что при 0<|z|<2/- (Ю) iJf = y + zg(z), λ) Заметим, что при доказательстве утверждения (а) (в отличие от (Ь) и (с)) используется лишь локальная выпуклость X (позволяющая применить теорему 3.18), а метризуемость и полнота роли не играют.— Прим, перев. 4 № 871
98 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ где π (11) g(ζ) = i J Pre*8 (2re«>-г)]"1 / (2re«) d9. -π Пусть У—выпуклая уравновешенная окрестность нуля в X. Положим /<" = {/(ζ): |С| = 2г}. Тогда /С — компакт в X, так что KcitV для некоторого £ < оо. Отсюда следует, что подынтегральное выражение интеграла (11) при всех значениях θ принадлежит sV, если s = tr~2 и |z|^r. Следовательно, g(z)£sV при |z|<>. Поэтому левая часть формулы (10) при ζ—^0 сильно сходится к вектору у.Щ Следующее обобщение теоремы Лиувилля об ограниченных целых функциях доказывается без использования теоремы 3.31. Оно может быть применено при изучении спектров элементов банаховых алгебр. (См. упр. 4 гл. 10.) 3.32. Теорема. Пусть X—такое комплексное топологическое векторное пространство, что X* разделяет его точки. Предположим, что функция f: С—*Х слабо голоморфна и что /(С) является слабо ограниченным подмножеством пространства X. Тогда функция f постоянна. Доказательство. Для каждого функционала Λ ζ X* комплексная функция Λ/ является целой и ограниченной. Поэтому из теоремы Лиувилля следует, что для всех г ζ С А/(г)=А/(0). Поскольку X* разделяет точки в X, получаем отсюда, что f(z) = f(0) для всех ζ ζ С. Щ В части (d) упр. 5 описан пример слабо ограниченного, но не сильно ограниченного множества в некотором F-пространствеХ, для которого X* разделяет точки; ср. с теоремой 3.18. Упражнения 1. Назовем множество #cR" гиперплоскостью, если существуют такие вещественные числа аъ ..., ап и с, что щ Φ 0 хотя бы для одного i и что Я состоит из всех точек х=(х1у ..., хп), удовлетворяющих условию ^ajXj = с. Предположим, что Е'—выпуклое множество с непустой внутренностью в R" и что у—граничная точка Е. Доказать, что существует такая гиперплоскость Ну что у£Н и что Ε целиком, лежит по одну сторону от Я. (Сформулировать последнее условие более точно.) Наводящее соображение: предположите, что 0 — внутренняя точка множества Е, рассмотрите одномерное подпространство М, содержащее точку у, и примените теорему 3.2. 2. Пусть L2 = L2([—1, 1]) (относительно меры Лебега). Для всякого скаляра α обозначим через Еа множество всех непрерывных функций / на отрезке [—1, 1], для которых /(0)=а. Показать, что каждое множество Еа
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 99 выпукло и всюду плотно в L2. Таким образом, если α φ β, то Ε а и Εβ — непересекающиеся выпуклые множества, которые не могут быть разделены никаким непрерывным линейным функционалом Λ на L2. Указание: что такое Λ (£сср 3. Пусть X — вещественное Еекторное пространство (без топологии). Назовем точку х0£АаХ окруженной точкой выпуклого множества А> если множество А—х0 является поглощающим. (a) Пусть А и В — непересекающиеся выпуклые множества в X, и пусть Л обладает окруженной точкой. Доказать, что существует такой ненулевой линейный функционал Λ на X, что Λ (Α) Γ) Λ (В) содержит не более одной точки. (Доказательство похоже на доказательство теоремы 3.4.) (b) Показать (скажем, на примере X = R2), что при выполнении условий пункта (а) может не существовать функционала Λ, для которого множества А (А) и А (В) не пересекаются. 4. Пусть /°° — пространство всех ограниченных вещественных функций χ на множестве всех положительных целых чисел. Определим на /°° оператор сдвига τ, полагая (τχ)(η)=χ(η+1) (л=1, 2, 3, ...). Доказать, что на /°° существует такой линейный функционал Λ (называемый банаховым пределом), что (a) Λτλ: = Λλ: и (b) lim inf χ (η) <; Αχ ^ lim sup χ (η) Π -> 00 П -> 00 для всех χζΙ°°. Наводящее соображение. Положите *(!)+...+*(я) Μ = {χζΙ°°: lim Λ„* = Λ* существует}, Π -> 00 ρ (χ) = lim sup Anx Π -> 00 и примените теорему 3.2. 5. Пусть 0 < ρ < оо; обозначим через 1р пространство всех функций χ (вещественных или комплексных, в зависимости от обстоятельств), определенных на множестве всех положительных целых чисел и удовлетворяющих условию со 2 \*(п)\Р < оо. /г=1 При 1^р<оо и χζΐΡ положим || *||/? = {21х (п) \р11/р, а для χζΙ°° (см. предыдущее упражнение) положим |( л: ||оо = sup | л: (лг) J. η (a) Пусть 1^р<оо; доказать, что нормы ||·||^ и Ц-Ц,* превращают пространства 1р и /°° соответственно в банаховы пространства. Доказать, что если p-1-\-q~1=\i то (1р)* = 19 в следующем смысле: формула Ах = ^х(п)у(п) (χζίΡ, у&я) устанавливает взаимно однозначное линейное соответствие Л<-»# между пространствами (1р )* и Π . (b) Доказать, что при 1 < ρ < оо пространство 1р содержит слабо сходящиеся последовательности, не являющиеся сильно сходящимися. (c) С другой стороны, доказать, что каждая слабо сходящаяся последовательность в пространстве I1 сильно сходится, несмотря на то что слабая 4*
100 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ топология пространства I1 отлична от его сильной топологии (которая индуцируется нормой). (d) Доказать, что если 0 < ρ < 1, то пространство 1р с метрикой 00 <Цх, у)-Σ Ι*(Ό-*(ΌΙ' п=\ является локально ограниченным F-пространством и что оно не является локально выпуклым; показать, что тем не менее (IP)* разделяет точки в 1р. (Таким образом, в 1р имеется много открытых выпуклых множеств, но их не хватает для образования базы топологии пространства 1р.) Показать, что (1Р)* = 1°° в том же самом смысле, что и в утверждении (а). Показать также, что множество всех х, для которых d (χ, 0) < 1, слабо ограничено, но не ограничено в исходной топологии. (e) Пусть 0<р^1, и пусть τρ—слабая* топология, индуцированная в /°° пространством ΪΡ (см. (а) и (d)). Показать, что если 0 < ρ < r^l, то топологии %р и хг различны (верно ли, что одна из них слабее другой?), но что они индуцируют одну и ту же топологию на каждом ограниченном по норме подмножестве пространства /°°. Указание: замкнутый единичный шар ^χζΙ°°: ||*||оо<;1} пространства /* слабо* компактен. 6. Пусть fn(t) = eint (—η«^<;π), и пусть Lp = LP(—π, π) (относительно меры Лебега). Показать, что если 1 ^р < оо, то /„ -► 0 в LP слабо, но не сильно. 7. Рассмотрим в пространстве L°° ([0, 1]) две топологии: индуцированную нормой (|| / ||оо есть существенная верхняя грань | /1) и слабую* топологию, индуцированную представлением L°° как сопряженного пространства к ΖΛ Пусть С — подпространство в L°°, состоящее из всех непрерывных функций на отрезке [0, 1]. Доказать, что относительно одной из указанных топологий С всюду плотно в L°°, а относительно другой нет (ср. со следствием теоремы 3.12). Доказать аналогичное утверждение с заменой слов «всюду плотно» словом «замкнуто». 8. Пусть С — банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на отрезке [0, 1] с sup-нормой, и пусть В—замкнутый единичный шар в С. Показать, что существует такой непрерывный линейный функционал Λ на С, что А (В) является открытым подмножеством комплексной плоскости; в частности, функция |Л| не достигает на В своей верхней грани. 9. Пусть Ε с: L2 (—π, π) — множество всех функций fm,n(t) = eimt + meM, где т и η — целые числа и О^т < п. Пусть Е± — множество всех g£L2f являющихся пределами слабо сходящихся последовательностей функций из Ε (множество Ег называется слабым секвенциальным замыканием множества Е). (a) Найти все g£Elt (b) Найти все g, принадлежащие слабому замыканию Ew множества Е. (c) Показать, что 0£EW и что 0 не принадлежит Еъ хотя 0 принадлежит слабому секвенциальному замыканию множества Ег. Этот пример показывает, что слабое секвенциальное замыкание может не быть слабо секвенциально замкнутым множеством. Поэтому переход от данного множества к его слабому секвенциальному замыканию не является операцией замыкания в том смысле, в котором этот термин обычно употребляется в топологии. (См. также упр. 28.)
ГЛ. 3 ВЫПУКЛОСТЬ 101 10. Представим I1 как пространство всех вещественных функций χ на множестве S = {(m, n): m^l, η^ 1}, удовлетворяющих условию n*iii=2i*(m»n) ι<00· Пусть c0 — пространство всех таких вещественных функций у на «S, для которых у (т, /г) -»0 при т + л-»оо, с нормой || # ||то =sup | у (т, п)\. Пусть Μ — подпространство в I1, состоящее из всех функций χ ζ/1, удовлетворяющих уравнениям 00 тх(т, 1)= 2 х(т> п) (т=И, 2, 3, ...). л = 2 (a) Доказать, что /1 = (с0)*. (См. также упр. 24 гл. 4.) (b) Доказать, что подпространство Μ замкнуто относительно нормы в Д. (c) Доказать, что Μ слабо* всюду плотно в I1 (относительно слабой* топологии в Ζ1, индуцированной пространством с0; см. (а)). (d) Пусть В = {х£11: \\ χ ||х^ l) — замкнутый единичный шар в I1. Доказать, что, несмотря на (с), слабое* замыкание множества М(]В ве содержит ни одного шара. Наводящее соображение: если δ > 0 и т > 2/δ, то для всех χζΜΠΒ I,(m,i)l<l£k<4, хотя χ (m, 1) = δ для некоторого χζδΒ; таким образом, δΒ не содержится в слабом* замыкании множества М[\В\ распространите это рассуждение на шары с центрами в других точках. 11. Пусть X — бесконечномерное пространство Фреше. Доказать, что пространство X*, снабженное слабой* топологией, является множеством первой категории в себе. 12. Показать, что замкнутый (относительно нормы) единичный шар пространства с0 не является слабо компактным; напомним, что (с0)* = /1 (упр. 10). 13. Положим fN(t) = N-1 2 eint. Доказать, что Ддг ->0 слабо в L2 (—π, я). п— 1 По теореме 3.13 некоторая последовательность выпуклых комбинаций функций fw сходится к 0 по /Анорме. Найти такую последовательность. Показать, что последовательность gw= Ν-1 (/i + ... + /jy) таким свойством не обладает. 14. (а) Пусть Ω — локально компактное хаусдорфово пространство, а С (Ω)— пространство всех непрерывных комплексных функций на Ω. Для каждого компакта KdQ определим в С (Ω) полунорму р#, полагая PK(f)=sup{\f(x)\:x£K\. Снабдим С (Ω) топологией, индуцированной этим семейством полунорм. Доказать, что для всякого функционала ΛζΟ(Ω)* найдутся такой компакт ΚαΩ и такая комплексная борелевская мера μ на /С, что Λ/=$Μμ (feC (Ω)). К (b) Пусть Ω — открытое подмножество в С, а Η (Ω)—пространство всех функций, голоморфных в Ω. Построить такое счетное семейство Г мер с компактными носителями, содержащимися в Ω, что пространство Η (Ω) состоит в точности из тех функций /ζΟ(Ω), для которых \ f άμ = 0 для всех μζΓ.
102 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 15. Пусть X— такое топологическое векторное пространство, что X* разделяет его точки. Доказать, что слабая* топология в X* метризуема тогда и только тогда, когда пространство X обладает конечным или счетным базисом Гамеля (см. определение в упр. 1 гл. 2) 16. Доказать, что замкнутый единичный шар пространства L1 (относительно меры Лебега на единичном интервале) не имеет крайних точек, но что каждая точка «поверхности» единичного шара пространства LP (\<р<оо) является крайней точкой этого шара. 17. Найти все крайние точки замкнутого единичного шара в пространстве С всех непрерывных функций на единичном интервале с sup-нормой. (Ответ зависит от выбора поля скаляров.) 18. Пусть К—наименьшее выпуклое множество в R3, содержащее точки (1, 0, 1), (1,0,-1) и все точки (cos θ, sin θ, 0), где 0^θ^2π. Показать, что множество К компактно, но множество всех его крайних точек не компактно. Существует ли такой пример в R2? 19. Пусть К—компактное выпуклое подмножество в R". Доказать, что для любого χ ζ К найдется такое г<;/г+1» что χ представляется в виде выпуклой комбинации г крайних точек множества К. Наводящее соображение. Действуйте по индукции. Проведите прямую через точку χ и некоторую крайнюю точку множества К и рассмотрите концевые точки отрезка, по которому эта прямая пересекается с /С. Воспользуйтесь упражнением 1. 20. Допустим, что топологическое векторное пространство X содержит счетное подмножество E = {elt e2, е3, ...}, обладающее следующими свойствами: (a) еп —»0 при η ->оо; (b) каждый вектор χζΧ является конечной линейной комбинацией элементов множества Е: х = ^уп (х)еп\ (c) для всякого η вектор еп не принадлежит замкнутому подпространству пространства X, порожденному остальными векторами в/. Например, X может быть пространством всех комплексных полиномов f(z) = a0 + a1z + ... + anzn с нормой /π ч 1/2 \\f\\ = l $|/(e/0)W , a en(z) = n-1zn~1 (/1=1,2,3, ...)· Доказать, что каждый коэффициент γ„, участвующий в условии (Ь), является непрерывным линейным функционалом на X. Пусть Κ = Ε(]^θ); тогда К компактно. Доказать, что выпуклая оболочка Η множества К замкнута, но не компактна и что множество всех крайних точек Η совпадает с множеством всех крайних точек /С. 21. Если 0 < ρ < 1, то каждая функция /ζLp (кроме / = 0) является средним арифметическим двух функций, менее удаленных от 0, чем / (см. п. 1.47). Используя это, построить пример счетного компактного множества KaLP (с единственной предельной точкой 0), не имеющего крайних точек. 22. Показать, что если 0 < ρ <1, то в пространстве 1р существует такое компактное множество /С, выпуклая оболочка которого не ограничена. Это возможно, несмотря на тот факт, что (/?)* разделяет точки в IP ; см. упр. 5. Наводящее соображение: определите элементы χηζΙρ , полагая xn(h) = nP-1t хп(т) = 0 при т Φ η\ пусть К состоит из элементов 0, xlf x2i x3i ...; покажите, что последователь-
ГЛ. 3. ВЫПУКЛОСТЬ 103 ность yN=N~1 (*! + ...+*//) не ограничена в IP. 23. Пусть μ — борелевская вероятностная мера на компактном хаусдорфовом пространстве Q, X — пространство Фреше, а /: Q —>Х— непрерывное отображение. Разбиением пространства Q называется любое конечное семейство непустых попарно не пересекающихся борелевских подмножеств в Q, объединение которых равно Q. Доказать, что для каждой окрестности нуля V в X найдется такое разбиение {£ζ·} пространства Q, что разность Q ' при любом выборе точек s/££/ принадлежит окрестности V. (Это дает представление интеграла в виде сильного предела «римановых сумм».) Наводящее соображение. Считайте окрестность V выпуклой и уравновешенной. Пусть разбиение {£;} выбрано так, что / (s) — f(t)£V> если точки s и t принадлежат одному и тому же множеству £ζ·. Тогда, если Λ ζ X* и | Ах \ <; 1 для всех х£У, то |Λζ|<1. 24. В ситуации, описанной в теореме 3.27, рассмотрим непрерывное линейное отображение Τ пространства X в такое топологическое векторное пространство F, для которого Υ* разделяет точки. Доказать, что Γ(77)£ίμ = Η/£ίμ. Указание: ΑΤζΧ* для любого Λ ζ Υ*. 25. Пусть Ε— множество всех крайних точек компактного выпуклого подмножества К такого топологического пространства X, для которого X* разделяет точки. Доказать, что для каждой точки ί/ζ/C на компакте Q = E найдется такая регулярная борелевская вероятностная мера μ, что у=5 χάμ(χ). Q 26. Пусть Ω—область в С, X — комплексное пространство Фреше, а /: Ω -> X — голоморфная функция. (a) Сформулировать и доказать теорему о представлении функции / степенными рядами вида V(z — а)п сп, где сп£Х. (b) Распространить теорему Морера на функции со значениями в X. (c) Если последовательность комплексных голоморфных в Ω функций равномерно сходится на компактных подмножествах области Ω, то ее предел является голоморфной в Ω функцией. Обобщается ли это на голоморфные функции со значениями в X? 27. Пусть {а/} — ограниченное множество различных комплексных чисел, со /(z)= 2с«г" — такая целая функция, что сп Φ 0 при всех л, и л = 0 gi(z) = f(aiz). Доказать, что векторное пространство, порожденное функциями g/, всюду плотно в пространстве Фреше Я (С), определенном в п. 1.45.
104 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Наводящее соображение. Пусть μ—такая мера с компактным носителем, что \ g{d\K = 0 для всех i, и пусть φ(«0=5/(«κ)<ίμ(ζ) (»€С). Докажите, что ср(ш) = 0 для всех w. Выведите отсюда, что \ ζη άμ (ζ) = 0 при л=1,2,3,... . Воспользуйтесь результатами упр. 14. Опишите замкнутое подпространство пространства Я (С), порожденное функциями gi, в случае, когда некоторые из коэффициентов сп равны 0. 28. Пусть X—пространство Фреше (или, в более общем случае, метри- зуемое локально выпуклое пространство). Доказать следующие утверждения: (a) Пространство X* является объединением счетного числа слабо* компактных множеств Еп. (b) Если пространство X сепарабельно, то каждое слабо* компактное множество в X* метризуемо, слабая* топология в X* сепарабельна и некоторое счетное подмножество пространства X* разделяет точки в X. (Ср. с упр. 15.) (c) Если К—слабо компактное подмножество пространства X и л;0 ζ/C— слабая предельная точка некоторого счетного множества ΕαΚ,το существует последовательность {хп\ точек множества Е, слабо сходящаяся к точке х0. Указание: пусть Υ—наименьшее замкнутое подпространство в X, содержащее Е\ примените к Υ утверждение (Ь) и покажите, что на множестве Kf]Y слабая топология метризуема. Замечание. Суть утверждения (с) состоит в том, что оно гарантирует существование сходящейся к х0 подпоследовательности, а не подсети. Отметим, что существуют компактные хаусдорфовы пространства, в которых ни одна последовательность различных точек не является сходящейся. 29. Пусть С (К) — банахово пространство всех непрерывных комплексных функций на компактном хаусдорфовом пространстве К с sup-нормой. Для каждого ρζΚ определим функционал Ар£С(К)*, полагая Apf = f(p). Показать, что отображение р-+Ар является гомеоморфизмом компакта К в пространство С (/С)*, снабженное слабой* топологией. Поэтому утверждение (с) упр. 28 не распространяется на слабо* компактные множества.
Глава 4 ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Нормированное сопряженное к нормированному пространству Введение. Если X и Υ—топологические векторные пространства, то через 33 [Χ, Υ) будет обозначаться совокупность всех ограниченных линейных отображений (или операторов) из X в Υ. Для простоты вместо 33 (X, X) будет употребляться сокращенное обозначение 33 (X). Множество 33 (Χ, Υ) само является векторным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения ήχ на скаляры. (При этом играет роль лишь наличие структуры векторного пространства в У, а не в X.) Вообще говоря, имеется много способов, позволяющих превратить 33 (Χ, Υ) в топологическое векторное пространство. В этой главе мы будем иметь дело лишь с нормированными пространствами X и Υ. В этом случае пространство 33 {Χ, Υ) само может быть нормировано очень естественным способом. В частном случае, когда Υ есть поле скаляров, так что 33 (Χ, Υ) совпадает с сопряженным пространством X* пространства X, естественная норма в 33 (Χ, Υ) определяет в пространстве X* топологию, которая оказывается сильнее его слабой* топологии. Связь между банаховым пространством X и его нормированным сопряженным пространством X* и составляет главный предмет исследования этой главы. 4.1. Теорема. Пусть X и Υ—нормированные пространства. Сопоставим каждому оператору Л £ 33 (Χ, Υ) число (1) ||A||=sup{||A*||:*€X, |I*I|<1}, называемое его нормой. Это определение превращает 33 {Χ, Υ) в нормированное пространство. Если пространство Υ банахово^ то пространство 33 (Χ, Υ) тоже банахово. Доказательство. Так как подмножество нормированного пространства ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится в некотором шаре с центром в нуле, то ||Л||<оо для всякого Лξ.33(Χ, Υ). Если α—скаляр, то (αΛ) (х) = а-Лх, так что (2) ||αΛ||=|α|||Λ||.
106 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Неравенство треугольника в Υ показывает, что || (Αχ + Л2) χ || = || А,х + Агх ||< || Ахх || +1| Л2х || < ^(IIAJl + IIA.IDIIxIKIlAJI + IIA.II для любого χζΧ, удовлетворяющего условию ||#||^1. Поэтому <3) IIAi + A.IKIIAjl + IIA,!!. Если Λ =7^=0, то АхфЪ для некоторого χζΧ] поэтому ||Л||>0. Таким образом, 33 (Χ, Υ) — нормированное пространство. Предположим теперь, что пространство Υ полно, и пусть {Л„} — последовательность Коши в 33 (X, F). Так как (4) ||A„x-A„x||<||A„-AJ|||x||, а по предположению ||Л„—Лл||-*0, если тип стремятся к оо, то \Апх\ является последовательностью Коши в Υ для всякого χζΧ. Поэтому для любого х£Х существует предел (5) Ах= lim Апх. /г->оо Ясно, что отображение Л: X-+Y линейно. Пусть ε > 0; при достаточно больших тип правая часть неравенства (4) не превосходит ε||χ||. Отсюда следует, что для всех достаточно больших т (6) ||Λχ-Λ^||<ε|μ||. Поэтому ||Л*||<(||Ля|| +ε) ||*||, так что Λζ«33(Χ, Υ) и || Л—Лл||^8. Таким образом, Л^-^Л по норме в 33 (Χ, Υ). Это доказывает полноту пространства 33 {Χ, Υ). Щ 4.2. Двойственность. Нам будет удобно обозначать элементы пространства X*, сопряженного к X, через х* и писать (1) <х,х*> вместо х*(х). Эти обозначения хорошо согласуются с симметрией (или двойственностью), существующей между действием пространства X* на X, с одной стороны, и действием X на X*—с другой. Следующая теорема устанавливает некоторые основные свойства этой двойственности. 4.3. Теорема. Пусть В—замкнутый единичный шар в нормированном пространстве X. Полооюим для всякого х*£Х* ||x*|| = sup{|<x, χ·>|: χe B\. (a) Эта норма превращает X* в банахово пространство. (b) Пусть В*—замкнутый единичный шар в X*. Тогда ll*ll = sup{|<x, *·>|: χ* ζ Β*}
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ №7 для всякого х£Х. Следовательно, для каждого χζΧ отображение х*—► <*, х*у определяет ограниченный линейный функционал на пространстве X*, причем норма этого функционала равна ||я||. (с) Шар В* слабо* компактен. Доказательство. Если Υ—поле скаляров, то Эд{Х, У) = =Х*; поэтому утверждение (а) является следствием теоремы 4.1. Фиксируем х£Х. Следствие теоремы 3.3 показывает, что существует такой элемент у* ζ В*у что (1) <*, ί/*> = ΙΙ*ΙΙ· С другой стороны, для всякого лг* g В* (2) |<*. *·>|<||*||||*·||<||*||. Утверждение (Ь) следует из (1) и (2). Поскольку открытый / единичный шар U всюду плотен в В, из определения нормы в X* следует, что элемент χ*ζΧ* принадлежит В* тогда и только тогда, когда |<х, х*>|^1 для всех χ ζ U. Поэтому справедливость утверждения (с) непосредственно следует из теоремы 3.15. Щ Замечание. Слабая* топология в X* является, по определению, слабейшей из топологий, относительно которых непрерывны все функционалы ** —+<*, х*>. Поэтому утверждение (Ь) показывает, что топология в X*, индуцированная нормой, сильнее, чем слабая* топология; в действительности (за исключением случая dim X < оо) первая топология строго сильнее второй, поскольку предложение, установленное в конце п. 3.11, справедливо также и для слабой* топологии. В дальнейшем, если явно не оговорено противное, символ X* всегда будет обозначать нормированное сопряженное пространство пространства X (при условии, что само X—нормированное пространство) и все топологические понятия, связанные с X*, будут относиться к топологии, индуцированной нормой. (Это никоим образом не означает, что слабая* топология в X* не будет играть важной роли.) В описанной ситуации топологии пространств X и X*, индуцированные их нормами, будут называться сильными. Теперь мы дадим другое описание операторной нормы, определенной в теореме 4.1. 4.4. Теорема. Если X и Υ—нормированные пространства и Λζ39(Χ, У), то ||A|| = sup{|<Ax, tr>\: |*||<1, ИПКП·
108 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Доказательство. Применяя утверждение (Ь) теоремы 4.3 к вектору Ах пространства У, получаем, что для любого χζ,Χ ||Ax|| = sup{|<Ax, у*>\: ||ίΤ||<1}. Для завершения доказательства достаточно вспомнить, что ||A|| = sup{||A*||: ||х||<1Ш 4.5. Второе сопряженное пространство банахова пространства. Нормированное сопряженное пространство X* банахова пространства X само является банаховым пространством и в свою очередь имеет нормированное сопряженное пространство, которое обозначается X** и также является банаховым пространством. Утверждение (Ь) теоремы 4.3 показывает, что каждый вектор χζ,Χ определяет единственный элемент φ#£Χ**, удовлетворяющий соотношению (1) <х, *·> = <*·, W> (х*£Х*)> и что (2) |1ф*1Ы*|| (*€*)· Из (1) следует, что отображение φ:Χ—^Х** линейно, а в силу (2) оно является изометрией. Так как X сейчас предполагается полным, то φ (Χ) замкнуто в X**. Значит, отображение φ осуществляет изометрический изоморфизм между пространством X и замкнутым подпространством φ (Χ) пространства X**. Часто X отождествляют с φ (X) и рассматривают X как замкнутое подпространство пространства X**. Элементами подпространства φ (Χ) являются те и только те линейные функционалы на пространстве X*, которые непрерывны относительно слабой* топологии (см. п. 3.14). Так как эта топология слабее, чем сильная топология в X*, то может случиться, что φ (X)—собственное подпространство в X**. Имеется, однако, много важных пространств X (например, все пространства LP при 1 < ρ < оо), для которых φ(Χ) = Χ**; такие пространства называются рефлексивными. Некоторые свойства таких пространств приводятся в упр. 1. Следует подчеркнуть, что для рефлексивности пространства X мало того, чтобы существовал какой-нибудь изометрический изоморфизм φ пространства X на пространство X**; нужно еще, чтобы этот изоморфизм удовлетворял условию (1). 4.6. Аннуляторы. Пусть X — банахово пространство, Μ—подпространство в X, a N— подпространство в X*; ни М, ни N не предполагаются замкнутыми. Аннуляторы М-1 и λΝ подпространств Μ я N соответственно определяются следующим образом: М1 = {х*еХ*: <х, **> = 0 для всех х£М}> ±Ν = {χζΧ: <χ, х*> = 0 для всех χ*ζΝ}.
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Ю9 Таким образом, М1· состоит из всех ограниченных линейных функционалов на X, равных 0 на М, a LN есть максимальное подмножество в X, на котором все функционалы из N равны 0. Ясно, что Л!1 и ±Ν являются подпространствами в X* и X соответственно. Так как подпространство ML совпадает с пересечением ядер функционалов φ# по всем χζΜ (см. п. 4.5), то оно слабо* замкнуто в X*. Еще проще доказывается, что LN—сильно замкнутое подпространство в X. В следующей теореме описывается двойственность между этими двумя типами аннуляторов. 4.7. Теорема. Пусть Μ — подпространство банахова пространства X, а N—подпространство сопряженного пространства X*. Тогда (a) -ЦМ-1-) совпадает с сильным замыканием Μ β Χ и (b) (-LAf)1 совпадает со слабым* замыканием N в X*. В связи с утверждением (а) напомним, что сильное замыкание подпространства Μ в X совпадает, по теореме 3.12, с его слабым замыканием. Доказательство. Если χζΜ, то <х, х*> = 0 для всех f ^M-L, так что χζ^(Μΐ-). Так как подпространство -1 (М1-) сильно замкнуто, то оно содержит сильное замыкание Μ подпространства М. С другой стороны, если х(^М9 то по теореме Хана — Банаха найдется такой функционал я* ξ Μ1, что <χ, χ*>φ0, так что х(£-1-(М1). Утверждение (а) доказано. Аналогично если χ*'£Ν, то <% х*> = 0 для всех χξ^Ν, так что ^*6(1А^)1. Так как подпространство (^Ν)1- слабо* замкнуто, то оно содержит слабое* замыкание N подпространства N. Если #*(£УУ, то из теоремы Хана — Банаха (в применении к локально выпуклому пространству X* в его слабой* топологии) следует существование такого1) x£LN, что ζχ, х*>ф0. Таким образом, х*(£ (λΝ)^, и утверждение (Ь) доказано. Щ Отметим в качестве следствия, что каждое сильно замкнутое подпространство пространства X совпадает с аннулятором своего аннулятора и что то же самое верно для любого слабо* замкнутого подпространства пространства X*. 4.8. Сопряженные пространства подпространств и факторпро- странств. Если Μ—замкнутое подпространство банахова пространства X, то факторпространство Х/М также является банаховым пространством относительно факторнормы, определенной при доказательстве утверждения (d) теоремы 1.41. Сопряженные г) Напомним, что каждый слабо* непрерывный линейный функционал на X* порождается некоторым элементом χζΧ (см. п. 3.14).— Прим. перев.
по ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ пространства для Μ и Х/М могут быть описаны с помощью аннулятора М-1 подпространства М. Грубо говоря, результат состоит в том, что М* = Х*/М± и (Х/М)* = М-Ц в действительности равенства следует заменить изометрическими изоморфизмами. В следующей теореме приводится точная формулировка. 4.9. Теорема. Пусть Μ—замкнутое подпространство банахова пространства X. (a) По теореме Хана — Банаха каждый функционал т*£М* продолжается до некоторого функционала χ* ζ Χ*. Положим om* = x* + Mi-. Эта формула корректно определяет отображение σι Μ* —► Х*/М±, которое оказывается изометрическим изоморфизмом М* на X*/ML. (b) Пусть π: Χ—*Χ/Μ—факторотображение, и пусть Υ = Χ/Μ. Для каждого у* ζ Υ* положим %у* = у*п. Тогда τ является изометрическим изоморфизмом пространства Υ* на Λί-L. Доказательство, (а) Если х* и х\—два продолжения функционала т*, то х*—xl^M-L, так что х* + М± = х1 + М±. Следовательно, отображение σ определено корректно. Тривиальная проверка показывает, что оно линейно. Так как сужение каждого функционала х* g X* на подпространство Μ принадлежит 714*, то образ отображения σ совпадает со всем пространством Х*1МК Фиксируем /π*ζΛί*. Если х*£Х*—любое продолжение функционала /л*, то ясно, что ||/п*||^||д:*||. По определению фактор- нормы точная нижняя грань чисел \\х*\\ по всевозможным продолжениям х* функционала т* равна || л;* —f— УН J-1|. Следовательно, II т* || < || х* + Λί-L || = || σ/л* || < || х* ||. Но по теореме 3.3 существует такое продолжение х* функционала /л*, что || ** || = ||/я* ||. Поэтому ||σ/η*|| = || m*||, что завершает доказательство утверждения (а). (Ь) Если %ζΧ,το πχζΥ, причем пт=0 для всех т ζ Μ. Поэтому для каждого у* ζ Υ* отображение χ—>у*пх задает непрерывный линейный функционал ту* на пространстве X, равный на Λί. Таким образом, τί/^Λί-1·. Линейность отображения τ очевидна. Фиксируем функционал j^gAi1, и пусть N—его ядро. Так как Μ с Ν, то существует такой линейный функционал Λ на У', что Απ=χ*. Ядром функционала Λ служит подпространство η(Ν),
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ \Ц которое, по определению фактортопологии в Y = X/M, замкнуто в Y. По теореме 1.18 функционал Λ непрерывен, так что Λ ζ У* и τΑ = Απ=χ*. Следовательно, образ отображения τ совпадает С Λί-L. Фиксируем у ζ Υ*. Если y£Y, \\y\\= 1 и г > 1, то (по определению факторнормы в Х/М) найдется такой вектор х0 g X, что пх0 = у и || х01| < г. Поэтому \<У, У*>\ = Ι ίΤπΧο I = Ι τίΤ^ο I < II ^* || II *ο || < г || τ*/* ||, откуда следует, что 11</*11<1И*||. С другой стороны, || пх || ^|| χ || для всех χζ,Χ. Поэтому || ху*х || = || у*пх || < || у* \\ \\ пх || < || у* \\ \\ χ ||, откуда следует, что Ьу*\\<\\у*\\-Ш Сопряженные операторы Каждому оператору Τζ9Β(Χ, Υ) мы сопоставим некоторый оператор T*£S3(Y*9 X*), называемый сопряженным оператором, и посмотрим, как различные свойства Τ отражаются на поведении 74. Если пространства X и Υ конечномерны, то каждый оператор Τζ!Β(Χ, Υ) может быть представлен матрицей [Т]\ в этом случае [Т*] оказывается транспонированной к [Т] матрицей при условии, что базисы в каждой паре векторных пространств X, X* и У, Υ* выбраны согласованно. Мы не будем уделять специального внимания конечномерному случаю, однако заметим, что исторически именно линейная алгебра послужила основой (и в значительной степени прообразом) предмета, известного ныне под названием «теория операторов». Многие нетривиальные свойства сопряженных операторов связаны с полнотой пространств X и У (в частности, важную роль играет теорема об открытом отображении). По этой причине всюду в этом параграфе (за исключением теоремы 4.10, которая дает определение сопряженного оператора Т*) предполагается, что X и Υ—банаховы пространства. 4.10. Теорема. Пусть X u Y—нормированные пространства, Для каждого оператора Τ £ SB (X, Υ) существует единственный оператор Τ* ζ 33 (Υ*, Χ*), удовлетворяющий при всех χ ζ Χ и всех у* ζ Υ* условию (1) <Τχ, y*> = <x, 7V>. Кроме того, справедливо равенство (2) ЦТ1· 11 = 117-11·
112 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Доказательства. Если Τζ!Β(Χ, Υ), то для всякого у* ζ Υ* положим (3) Т*у* = у*оТ. Будучи композицией двух непрерывных линейных отображений, Г*#*£Х*. Кроме того, для всех χζΧ <Ху Т*у*> = {Т*у*) (х) = у* (Тх) = <Тху */*>, что совпадает с (1). Если yl^Y* и y*2£Y*, то <*, Т*(у: + у1)> = <Тх,у1 + у1> = <Тх, у!> + <Тх, у*2> = = <*, Т*у1> + <х, Т*у*2> = <х, T*yl + T*yl> для всех χζΧ, так что (4) T*{y\ + yl) = T*yl + T*yl. Аналогично проверяется, что Т* (ау*) =аТ*у*. Следовательно, отображение Τ*: Υ*—>X* линейно. Если y*£Y*> χ*ζ.Χ* и <Тх,у*> = <х, х*> для всех χ ζ X, то <х, х*> = <*, Т*у*> для всех χ ζ Χ, так что г* = 7,*#*. Отсюда следует, что построенный оператор Т* является единственным отображением Υ* в X*, удовлетворяющим условию (1). Наконец, sup {|| ГУН: ||ir||<l}=sup{|<xfrv>|:||;i||<lf ||Г|1<1} = =sup{|<r*,ir>|: ||*||<1, ||Г||<1} = 1|71||<оо (последнее равенство следует из теоремы 4.4), так что Г* ζ ζ53(Υ·9 X*) и || Г· ||-II ГЦ. ■ 4.11. Обозначения. Ядро (нулевое подпространство) и образ (область значений) линейного отображения Т:Х—>Υ будем обозначать через <№(Т) и Я(Т): <№(Т) = \хеХ: Тх = 0\у 3i(T) = {y£Y: Tx = y для некоторого х£Х\. Следующая теорема касается аннуляторов; обозначения см. в п. 4.6. 4.12. Теорема. Пусть X и Υ—банаховы пространства, и пусть Γζ^(Χ, У). Тогда Jf (Г*) = 91 (T)-L и off(T) = tgi (J*). Доказательство. Очевидно, что из записанных в следующих двух столбцах высказываний любые два соседних по вертикали эквивалентны: ίΤ6(ΑΓ(Τ·); *€о1ЛЛ; Г**/* = 0; Тх = 0;
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЗ <*, Т*у*> = 0 для всех х\ <Тх, у*>=0 для всех у*; <7х, у*> = О для всех х\ <х, Т*у*> = О для всех у*; у*е&(Т)±. хе±51(Т*). ■ Следствия, (а) Ядро off (Т*) оператора Т* слабо* замкнуто в У*. (b) Образ Я (Т) оператора Τ тогда и только тогда всюду плотен в Υ, когда оператор Т* инъективен1). (c) Оператор Τ инъективен тогда и только тогда, когда образ Si (Τ*) оператора Τ* слабо* всюду плотен в X*. Напомним, что аннулятор М1· любого подпространства Μ <ζ Υ слабо* замкнут в Υ*\ в частности, это верно для ЩТ)1-. Поэтому из теоремы следует справедливость (а). Что касается (Ь), то подпространство Я(Т) всюду плотно в Υ тогда и только тогда, когда 9t(T)L = {0\, или, что то же самое, когда оЛГ(Г*) = {0}. Аналогично равенство oSf(T) = \0\ равносильно тому, что ЩТ*) не аннулируется ни одним элементом χζλ, кроме х = 0; но это означает, что ЩТ*) слабо* плотно в X*. Заметим, что при доказательстве утверждений (Ь) и (с) мы молчаливо пользовались теоремой Хана — Банаха 3.5. Утверждение (Ь) имеет очень полезный аналог, позволяющий по свойствам оператора Т* судить о том, отображает ли Τ пространство X на все пространство 7, т.е. верно ли, что 9ί (Τ) = Υ. Сначала мы найдем условия на Г* гарантирующие замкнутость образа оператора Τ (теорема 4. 14), а затем получим упомянутый результат (теорема 4, 15). 4. 13. Лемма. Пусть U и V—открытые единичные шары в банаховых пространствах X и Υ соответственно. Пусть Τ ζ S3 (Χ, Υ) и с>0. (a) Если замыкание множества Τ (U) содержит cV> то и T(U)z>cV. (b) Если с||у* ||<|| TV II для всякого y*GY*9 то Τ (U)zdcV* Доказательство, (а) Не ограничивая общности, можно считать, что с = \. Тогда T(U)zdV. Поэтому для любого y£Y и любого ε>0 найдется такой вектор ябХ, что ||*|К||#|| и \\У—Тх\\<е. х) Отображение множеств /: X—у Υ называется инъективным (сюръек- тивным), если / (хг) φ f (х2) для любых двух различных элементов хъ х2£Х (соответственно, если f(X) = Y). Отображение /, одновременно инъективное и сюръективное, называется биективным. Ясно, что для линейного оператора инъективность равносильна тому, что его ядро тривиально (т. е. состоит из единственной точки 0).— Прим. перев.
114 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Фиксируем г/хбТЛ Выберем числа е„ > 0 так, чтобы 2*»<1-Ы1· Допустим, что для некоторого п^\ вектор уп уже выбран. Существует такой вектор *„ζΧ, что ||хи|К||#„|| и \\уп—Тхп\\ <гп. Положим Уп + 1=Уп ·* Хп9 С помощью этого процесса мы по индукции определяем две последовательности \хп\ и \уп\. Заметим, что ΙΙ*»+ι II < IIУп+1 II = \\Уп — Тхп\\ < е„. Поэтому Σ ΚΙΚΙΙ*ιΙΙ + Σ 8„<||^||+ Σβ„<ι. Отсюда следует (см. упр. 23), что вектор1) * = 2*« принадлежит U и что Ν Ν Тх= Игл Σ Txn = \im 2 (#»—0»+ι)=#ι. N-+co n=l 7V->oo n=\ ибо Ум+i—-+0 при Л/-^оо. Таким образом, y1 = Tx£T(U) и утверждение (а) доказано. Отметим, что приведенное выше рассуждение представляет собой приспособленный к менее общей ситуации вариант части доказательства теоремы об открытом отображении 2.11. (Ь) Обозначим через Ε замыкание множества Τ (U) и выберем какую-нибудь точку у0 ζ Υ\Ε. Так как множество Ε замкнуто, выпукло и уравновешено, то из теоремы 3.7 следует существование такого функционала #*6У*, что \<у, у*>\<К\<Уо> у*>\ для всех у£Е. Если x£U, то ΤχζΕ, так что |<*f Т*у*>\ = \<Тх% 0*>|<1· Отсюда следует, что с || у· || < TV II <1, и потому ΚΚί/ο, ί/^ΚΙΙί/οΙΙΙΙί/ΊΚ^ΜΙί/οΙΙ, или || г/01| > с. Таким образом, cVaE и (Ь) следует из (а). Щ г) Именно в этом месте доказательства используется полнота пространства X. — Прим. перед.
ГЛ. 4 ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Ц5 4.14. Теорема. Если X и Υ—банаховы пространства, а Т£$}(Х, Υ), то каждое из следующих трех условий влечет за собой два других: (a) Л(Т) замкнуто в Υ\ (b) Ά(Τ*) слабо* замкнуто в X*; (c) Ά{Τ*) сильно замкнуто в X*. Замечание. Из теоремы 3.12 следует, что (а) выполняется тогда и только тогда, когда ΰί (Τ) слабо замкнуто. Однако сильно замкнутое подпространство в X* может не быть слабо* замкнутым (см. упр. 7 гл. 3). Доказательство. Очевидно, что из (Ь) следует (с). Мы докажем, что из (а) следует (Ь) и что из (с) следует (а). Предположим, что выполняется условие (а). По теореме 4.12 и утверждению (Ь) теоремы 4.7 подпространство df (T)1- совпадает со слабым* замыканием подпространства ^(Г*). Поэтому для доказательства (Ь) достаточно показать, что Jf (T)Lc:9l(T*). Фиксируем x*£qJ\P (Г)1. Формула АТх = <х, х*> (х£Х) корректно определяет линейный функционал Л на ΰί (71), так как если Тх = Тх', то х—х'£<№{Т) и потому <х—х\ х*>=0. Но мы предполагаем, что ΰί (Τ) замкнуто, а пространство Υ полно, поэтому ΰί (Τ) тоже полно и к оператору Т: Х—>Я(Т) применима теорема об открытом отображении. Следовательно, существует такое /С < оо, что для всякого у£31{Т) найдется вектор х£Х, удовлетворяющий условиям Тх = у и ||*||^/С||#||; поэтому \Ау\ = \АТх\ = \<х, **>|</C||y||||**|l· Таким образом, функционал Л непрерывен. Пусть у* £ У* — некоторое продолжение функционала Л на пространство Υ (по теореме Хана—Банаха такое продолжение существует). Тогда <Тх9 у*>=АТх = <х, х*> (*ζΧ), откуда следует, что х*=Т*у*. Так как х* был произвольным элементом из оЛГ(Т')-1-, то мы доказали, что оЛГ {Т)^аЭЦТ*). Поэтому из (а) следует (Ь). Предположим теперь, что выполняется условие (с). Пусть Ζ—замыкание £И(Т) в Υ. Определим оператор S£5?(X, Z), полагая Sx = Tx. Так как 5i(S) всюду плотно в Z, то из следствия
116 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (Ь) теоремы 4.12 вытекает, что оператор 5*: Z*—*Х* инъективен. По теореме Хана—Банаха для всякого z*£Z* существует продолжение у* £Y*\ при этом для любого х£Х <*, Т*у*> = <Тх, i/*> = <Sx, y*y = <Sxt z*> = <x, S*z*>. Поэтому S*3* = 71*i/*. Отсюда следует, что образы операторов S* и Г* совпадают. Так как мы предполагаем, что выполняется условие (с), то подпространство 31 (S*) замкнуто в X* и потому полно. Применим теорему об открытом отображении к оператору S*: z*—*a(S*), учитывая при этом, что он биективен; в результате мы заключаем, что существует постоянная с > О, для которой с || ζ* || < ||S*** || при всех 2*£Z*. В силу утверждения (Ь) леммы 4.13 отсюда следует, что отображение S: X —► Ζ открыто. В частности, S (X) = Ζ. Но 3ί(Τ) = 3ί(β) по определению S. Таким образом, 3ί(Τ)=Ζ, так что Ά(Τ) — замкнутое подпространство в Υ. Это завершает доказательство импликации (с)=>(а). Щ Следующая теорема весьма полезна в приложениях. 4.15. Теорема. Пусть X и Υ—банаховы пространства, и пусть Τζ32(Χ, Υ). Тогда следующие утверждения эквивалентны: (a) Я(Г) = У; (b) существует такая постоянная с > 0, что || Г*у* || ^ с || г/* || для всех у* ζ У*. Доказательство. Утверждение (а) равносильно тому, что подпространство Ά (Г) замкнуто и всюду плотно в Υ. Поэтому из теоремы 4.14 и следствия (Ь) теоремы 4.12 вытекает, что (а) эквивалентно следующему утверждению: (c) оператор Г* инъективен, и его образ ^(Т*) сильно замкнут в X*. Если (с) справедливо, то, применяя теорему об открытом отображении к оператору Г*: У* —► 9ί (71*), получаем (Ь). Обратно, если справедливо (Ь), то очевидно, что оператор Г* инъективен
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Ц7 и что прообраз (относительно 71*) любой последовательности Ко- ши в ^(Т*) является последовательностью Коши в У*; поэтому Э1(Т*) полно и, следовательно, замкнуто в X*. Щ Компактные операторы 4.16. Определение. Предположим, что X и Υ—банаховы пространства, и пусть U—открытый единичный шар в X. Оператор Т£33(Х, Υ) называется компактным, если замыкание множества Τ (U) в Υ компактно1). Напомним, что подмножества топологического пространства, замыкания которых компактны, называются относительно компактными. Так как Υ—полное метрическое пространство, то его подмножество относительно компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено. Таким образом, оператор Τ ζ, 93 (Χ, Υ) компактен тогда и только тогда, когда множество Τ (U) вполне ограничено. Компактность оператора Τ равносильна также тому, что всякая ограниченная последовательность \хп\ в X содержит такую подпоследовательность \хп.\, для которой \Тхп.\ сходится к некоторой точке пространства Υ. Многие из операторов, возникающих при изучении интегральных уравнений, являются компактными. Этим объясняется важность компактных операторов с точки зрения приложений. В некоторых отношениях компактные операторы настолько похожи на линейные операторы в конечномерных пространствах, насколько мы вообще вправе ожидать этого от «бесконечномерных» операторов. Как мы увидим, это сходство особенно сильно проявляется в их спектральных свойствах. 4.17. Определения, (а) Пусть X — банахово пространство. Тогда 3)(Х) (напомним, что это сокращенное обозначение для ij(X, X)) является не только банаховым пространством (см. теорему 4.1), но и алгеброй: если S£3)(X) и Т£$3(Х), то оператор ST£!B(X) определяется равенством (ST)(x)=S(T(x)) (χζΧ). Легко проверить, что выполняется неравенство l|S7-||<||S||||74|. В частности, можно определить степени оператора Τζ93(Χ)\ Т° = 1 (I—тождественное отображение пространства X, 1х = х) и тп = ТТп~1 для л=1, 2, 3, ... . г) Заметим, что линейный оператор Τ: Χ—>Υ, для которого множество Τ (U) компактно в У, обязательно ограничен. — Прим. перев.
118 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (b) Оператор Τζ9Β(Χ) называется обратимым, если существует такой оператор SgJ3(X), что ST = 1 = TS\ в этом случае оператор S называется обратным к Г и обозначается Т'1. По теореме об открытом отображении оператор Τζ$(Χ) обратим тогда и только тогда, когда qJ\P (Г) = {0} и Я(Т) = Х. (c) Спектром о(Т) оператора Τζ$)(Χ) называется множество всех таких скаляров λ, для которых оператор Τ—λ/ необратим. Таким образом, λ ζ σ (Τ) тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух следующих условий: (i) образ оператора Τ—λ/ не совпадает со всем пространством X; (и) оператор Τ—λ/ не инъективен. Если выполняется условие (И), то λ называется собственным значением оператора 7\ a JT (Τ—λ/) называется собственным подпространствомt отвечающим этому собственному значению; каждый вектор χ ζ off (Τ—λ/), кроме χ = 0, называется собственным вектором оператора Т\ такой вектор удовлетворяет уравнению Τχ=λχ. Вот некоторые очень простые факты, иллюстрирующие введенные понятия: 4.18. Теорема. Пусть X и Υ—банаховы пространства. (a) Если Τζ33(Χ, Υ) и dim ^(Г) < оо, то оператор Τ компактен. (b) Если оператор Τ £31 (Χ, Υ) компактен и его образ Э1 (Т) замкнут, то dim Ά (Τ) < оо. (c) Компактные операторы образуют замкнутое по норме подпространство в «©(Χ, Υ). (d) Если оператор Τζ33(Χ) компактен и λ^Ο, то а\тЖ{Т—%1) < оо. (e) Если dimX = oo и оператор Τζ!Β(Χ) компактен, то 06σ (Г). (f) Если Sg«S(X) и оператор Τζ33(Χ) компактен, то операторы ST и TS тоже компактны. Доказательство. Утверждение (а) очевидно. Если подпространство ΰί (Τ) замкнуто, то оно полно (поскольку У полно), так что Τ является открытым отображением X на 31(Т)\ если Τ компактен, то отсюда следует, что ΪΑ (Т) локально компактно; таким образом, утверждение (Ь) является следствием теоремы 1.22. Для доказательства утверждения (d) заметим, что сужение оператора Τ на подпространство Y = Jf(T—λΐ) является компакт-
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Ц9 ным оператором, образ которого (в силу условия λ =^=0) совпадает с Υ\ поэтому (d) следует из (Ь). Из (Ь) следует также (е), ибо если 0^σ(71), то Л(Т) = Х. Доказательство утверждения (f) тривиально. Если S и Τ — компактные операторы из X в Υ, то оператор S + T тоже компактен, поскольку сумма любых двух компактных подмножеств пространства Υ компактна. Отсюда следует, что компактные операторы образуют подпространство Σ в пространстве 93 (Χ, Υ). Для завершения доказательства утверждения (с) мы покажем теперь, что Σ замкнуто. Пусть оператор Τ ζ$3(Χ, Υ) принадлежит замыканию Σ. Пусть U—открытый единичный шар в X, и пусть г > 0. Существует такой оператор ΞζΣ, что || S—Т\\<г. Так как множество S (U) вполне ограничено, то в U найдутся такие точки хг, ..., хп9 что шары радиуса г с центрами в точках SXi покрывают S(U). Поскольку \\Sx—Тх || < г для всех χζ,υ, отсюда следует, что множество Τ (U) покрывается шарами радиуса Зг с центрами в точках Txi% Таким образом, множество Τ (U) вполне ограничено, и потому ΓζΣ. Щ Главная цель оставшейся части этой главы состоит в изучении спектра компактного оператора Τζ$3(Χ). Основные результаты содержатся в теореме 4.25. Важную роль в нашем исследовании будут играть сопряженные операторы. 4.19. Теорема. Пусть X и Υ—банаховы пространства. Оператор Τζ93(Χ, Υ) компактен тогда и только тогда, когда компактен оператор Т*. Доказательство. Допустим, что оператор Τ компактен. Пусть {у*п\— последовательность точек единичного шара пространства Υ*. Положим L(y) = <y, Уп> (У£У)· Так как \fn (y) — fn {у') |<|| у—у' ||, то семейство функций {/„f равностепенно непрерывно. Поскольку множество Τ (U) относительно компактно в Υ (здесь, как и выше, U—единичный шар пространства X), из теоремы Асколи вытекает, что последовательность {/„} содержит подпоследовательность {/«.}, равномерно сходящуюся на Τ (U). Заметим, что II Т*У\. - Т%_ || = sup | <Тх, у*п-у*п> | = sup | /„. (Tx)-fn/ (Тх) \ (верхняя грань берется по всем χζ.ϋ)\ поэтому в силу полноты пространства X* последовательность {Т*у*п} сходится. Таким образом, оператор Т* компактен. Обратное утверждение может быть доказано тем же самым методом, но, быть может, более поучительно вывести его из уже доказанного прямого утверждения.
120 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Пусть φ: X—► Χ** и ψ: Υ—>Υ** — изометрические вложения, определенные, как в п. 4.5, формулами <х, *·>=<*·, φχ> и <у> у>=<р, $у>. Тогда <У, ЦТх> = <Тх, у*> = <х, Т*у> = <Т*у, φχ> = <*/*, Т"<рх> для всех χζΧ и всех г/*€У*, так что ψ7' = Τ***φ. Если χζ,ϋ, то φ# принадлежит единичному шару U** пространства Х*\ Таким образом, Предположим теперь, что оператор Г* компактен. Тогда, согласно уже доказанному, оператор Т**\ X**—>Υ** тоже компактен. Следовательно, множество Т** (£/**) вполне ограничено, а потому вполне ограничено и его подмножество tyT(U). Так как ψ — изометрия, то множество Τ (U) тоже вполне ограничено. Таким образом, оператор Τ компактен. Щ 4.20. Определение. Пусть Μ — замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство Ν, что Х = М + М и МпЛ/ = {0}, то говорят, что подпространство Μ дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств Μ и Ν\ при этом иногда употребляют обозначение Х = М®ЛЛ В гл. 5 мы приведем примеры недополняемых подпространств. Здесь же нам понадобятся лишь следующие простые факты. 4.21. Лемма. Пусть Μ—замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. (a) Если пространство X локально выпукло и dimM<oo, то подпространство Μ дополняемо в X. (b) Если dim (Х/М) < оо, то подпространство Μ дополняемо в X. Размерность факторпространства Х/М называется коразмерностью подпространства Μ в X. Доказательство, (а) Пусть \е1У ...,еп\ — базис подпространства М. Тогда всякий вектор χ ζ Μ допускает единственное представление в виде x==a1(x)e1+.t.+an(x)ent где каждый из коэффициентов ai является непрерывным линейным функционалом на Μ (теорема 1.21) и, стало быть, по теоре-
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 121 ме Хана — Банаха может быть продолжен до некоторого непрерывного линейного функционала на всем пространстве X. Выберем для каждого а{ одно из таких продолжений х-, и пусть N — пересечение ядер всех функционалов χ* (Ι ^.ί^,η). Тогда X = M®W. (b) Пусть π: Χ—>Х/М — факторотображение, и пусть \elt ...,еге}—базис в пространстве Х/М. Выберем такие векторы xt ζ X, что пх£ = е£ (1 ^ i ^ п), и пусть N— подпространство в X, порожденное векторами х1У ...ухп. Тогда Х = М0Л/. Щ 4.22. Лемма. Пусть Μ—такое подпространство нормированного пространства X, что МфХ. Тогда для любого г> 1 найдется такой вектор х£Х, что ||х||<г и \\х—у\\^1 для всех у£М, Доказательство. Существует вектор χλ ζ Χ, находящийся на расстоянии 1 от подпространства Λί, т. е. inf{|K-i/||: У£М} = 1. Выберем такой вектор уг£М, что \\хг—*/i||<r, и положим x = Xl—у1ш Щ 4.23. Теорема. Пусть X—банахово пространство. Если опера- тор Т£Зд(Х) компактен и λ =^=0, то образ оператора Τ—XI замкнут. Доказательство. По утверждению (d) теоремы 4.18 подпространство оДГ (7"—λ/) конечномерно. Поэтому, согласно утверждению (а) леммы 4.21, пространство X является прямой суммой подпространства Jf (Τ—λ/) и некоторого замкнутого подпространства М. Определим оператор S: Μ—>Х, полагая (1) Sx = Tx—λχ (χ ζ Μ). Тогда оператор S ииъективен (на М). Кроме того, ul (S) = = 5i (Τ—λ/). Чтобы показать, что подпространство Ά (S) замкнуто, достаточно доказать существование такого г > 0, что (2) г || * || < || S* || для всех χζΜ. Действительно, если условие (2) выполняется и если {Sxn\ — последовательность Коши, то \хп\ тоже является последовательностью Коши; так как Μ — замкнутое подпространство полного пространства X, то отсюда следует полнота 3i (S). Если условие (2) не выполняется ни при каком г > 0, то в Μ существует такая последовательность \хп\, что ||*„|| = 1, Sxn—^0 и (после перехода к подходящей подпоследовательности) Тхп—*х0 для некоторого вектора χ0ζΧ (именно здесь мы воспользовались компактностью оператора Т). Отсюда следует, что hxn—+xQ% По-
122 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ этому х0 ζ Μ и Sx0 = \im(XSxn) = 0. Так как оператор S на Μ инъективен, то х0 = 0. Но ||хя|| = 1 для всех п, а х0 = lim %хп, так что || х0 || = | λ | > 0. Полученное противоречие показывает, что при некотором г > 0 условие (2) выполняется. Щ 4.24. Теорема. Пусть X—банахово пространство, оператор Τζ33{Χ) компактен, г>0 и Ε—множество всех собственных значений λ оператора Т, удовлетворяющих условию |λ| > г. Тогда (a) 31(Т—Х1)фХ для всякого λζ£, (b) множество Ε конечно (быть может, пусто). Доказательство. Сначала мы покажем, что если хотя бы одно из условий (а) или (Ь) не выполняется, то существуют такие замкнутые подпространства Мп пространства X и такие скаляры λη ζ Ε, что (1) Μ,αΜ,αΜ,α ..., ΜηφΜη+ί, (2) Т(Мп)сМп при я>1, (3) (Τ—Хп1)МпсМп_± при я>2. Затем мы покажем, что это противоречит компактности оператора Т, и тем самым доказательство будет окончено. Предположим, что утверждение (а) неверно. Тогда ΰί (Τ—λ0/) = = Х для некоторого λ0ζΕ. Положим S = T—λ0/ и возьмем в качестве Мп ядро оператора Sn (см. п. 4.17). Так как λ0—собственное значение оператора Г, то существует ненулевой вектор χ1ζ:Μν Так как 9i(S)=X, то в X найдется такая последовательность \хп\, что Sxn+1 = xn при п=1, 2, 3, ... . Тогда (4) Snxn+1=x^0, но S»+1xB+1 = S^ = 0. Следовательно, Мп является собственным замкнутым подпространством в Mn+i и условия (1) — (3) выполняются с λ„ = λ0. [Заметим, что условие (2) выполняется благодаря тому, что ST = TS.] Допустим теперь, что утверждение (Ь) неверно. Тогда множество Ε содержит последовательность {λ„} различных собственных значений оператора Т. Выберем соответствующие им собственные векторы еп и возьмем в качестве Мп (конечномерное и потому замкнутое) подпространство пространства X, порожденное векторами е19 ..., еп. Так как числа λη различны, то векторы eLt ..., еп в совокупности линейно независимы, а потому Мп_г является собственным подпространством в Мп и условие (1) выполняется. Если χζ Μη, то х = а1е1+...+апеп9
ГЛ. 4 ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 123 откуда следует, что ΤχζΜη и (Τ-ληΙ)χ = α1 (λχ-λ„) ег+... +(*„_! (λ„_χ —λ„) е^ € Λί„_ιβ Таким образом, выполняются также условия (2) и (3). Коль скоро имеются замкнутые подпространства Мп, удовлетворяющие условиям (1) — (3), то из леммы 4.22 следует, что для каждого я !> 2 найдется такой вектор уп ζ Мп, что (5) ||У„||<2 и \\уп — х\\>1 для всех ^Мя_, При 2 ^ т < η положим (6) z = Tym-(T-lnI)yn. Из (2) и (3) следует, что ζζΜ,^, а тогда в силу (5) ||Г^-Г^Н||Х^-г|| = |Хге|||^^-г||>|Хи|.>л Поэтому последовательность {Гг/^} не содержит сходящихся подпоследовательностей, хотя последовательность {уп\ ограничена. Но это противоречит компактности оператора Т. Щ 4.25. Теорема. Пусть X—банахово пространство, и пусть оператор Т£33(Х) компактен. (a) Если λ Φ 0, то четыре числа а = а\т№{Т — λ/), β = dim X/5i (Г—λ/), α* = (ϋπΊοΛΓ(71*—λ/), P* = dimXV^(71*—λ/) конечны и равны друг другу. (b) Если λφΟ и λζσ(71), mo λ является собственным значением операторов Τ и Т*. (c) Множество σ (Τ) компактно, не более чем счетно и не имеет предельных точек, кроме, быть может, точки 0. Примечание. Под размерностью векторного пространства здесь понимается неотрицательное целое число или символ оо. Буква / употребляется для обозначения тождественных операторов в обоих пространствах X и X*; таким образом, (Τ—λΙ)* = Τ*—λ/* = Г*—λ/, ибо сопряженным к тождественному оператору в X служит тождественный оператор в X*. Спектр σ (Τ) оператора Τ был определен в п. 4.17. В теореме 4.24 содержится следующий частный случай утверждения (а) теоремы 4.26: если β = 0, то а = 0. Мы воспользуемся этим ниже при доказательстве неравенства (4). Следует отметить, что спектр о (Т) любого (а не только компактного) оператора Τζ3Β(Χ) компактен (теорема 10.13); однако
124 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ для справедливости других утверждений о спектре, приведенных в (с), компактность оператора Τ существенна. Доказательство. Для упрощения записи положим S = = Τ—λΙ. Начнем с простого наблюдения, относящегося к факторпростран- ствам. Пусть М0 — замкнутое подпространство локально выпуклого пространства Y, a k—такое неотрицательное целое число, что &^dimY/M0. Тогда в Υ найдутся такие векторы уи ...,yk, что если Μj — наименьшее подпространство в Y, содержащее М0 и векторы уи .. ., г/у, то М/_1 является собственным подпространством в М{ (1 s^r ^.k). По теореме 1.42 каждое из подпространств М( замкнуто. Согласно теореме 3.5, на У существуют такие непрерывные линейные функционалы А1У . ..,ΛΛ, что А[У{=1 и Л,г/ = 0 для всех у ζ Λί/.χ. Эти функционалы линейно независимы. Поэтому мы приходим к следующему выводу: если Σ— пространство всех непрерывных линейных функционалов на Υ, аннулирующих подпространство Mot то (1) dimr/M0<dimE. Применим это к пространству Y = X и подпространству М0 = = 3l(S). По теореме 4.23 подпространство ΰί (S) замкнуто. Кроме того, по теореме 4.12, Σ = Ά (S)-L = Qj\T(S*), так что неравенство (1) принимает вид (2) β<α*. Далее, возьмем в качестве Υ пространство X* со слабой* топологией, и пусть M0 = 3l(S*). По теореме 4.14 подпространство 5i (S*) слабо* замкнуто. Так как пространство Σ состоит теперь из всех слабо* непрерывных линейных функционалов на X*, аннулирующих подпространство 5£ (S*), то оно изоморфно подпространству J-Si (S*)= Ж (S) пространства X (см. п. 3.14 и теорему 4.12); поэтому неравенство (1) принимает вид (3) β*<α. Ближайшая наша цель состоит в доказательстве неравенства (4) α<β. Заметим, что если это неравенство доказано, то справедливо также неравенство (5) α*<β*, поскольку оператор Т* компактен (теорема 4.19). Так как а < оо согласно утверждению (d) теоремы 4.18, то из неравенств (2) — (5) следует справедливость утверждения (а). Допустим, что неравенство (4) неверно, т. е. что α>β. Поскольку а < оо, из леммы 4.21 следует существование таких
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 125 замкнутых подпространств Ε и F пространства X, что dim У7 = β и (6) X=*!f(S)($E = 3l(S)($F. Каждый вектор χ ζ Χ допускает единственное представление в виде х = х1-\-х2У где ATt € оЛГ (S), χ2ζΕ. Определим линейное отображение π: X—>d\P(S), полагая πχ = χν Легко убедиться (например, с помощью теоремы о замкнутом графике) в том, что отображение π непрерывно. Так как мы предположили, что dimo)\r(S) > dim/7, то найдется такое линейное отображение φ пространства off (S) на пространство F, что ф(л;0) = 0 для некоторого х0фО. Положим (7) Фх = Тх + упх (χζΧ). Тогда Φζ$}(Χ). Так как dim5£((p) < оо, то оператор φπ компактен; поэтому оператор Φ тоже компактен (теорема 4.18). Заметим, что (8) Φ—λ/=5 + φπ. Так как х0£о№(8), то пх0 = х0, и потому φπ#0 = 0. Отсюда следует, что λ—собственное значение оператора Φ (а х0—отвечающий ему собственный вектор). Поэтому по теореме 4.24 (9) Я(Ф—М)фХ. Поскольку πχ = 0 для всякого χ ζ Еу соотношение (8) показывает, что (10) (Φ—λ/) (Ε) = S (E) =S (X) = Я (5). Если χ £ сЛГ (S), то πχ = χ, так что, учитывая (8) и определение отображения φ, получаем (11) (Φ—λ/) (o!f (S)) = φ (JT (S)) = F. Из (10) и (11) следует, что (12) Я(Ф —M)=>a,(S) + F = X9 а это противоречит (9). Таким образом, неравенство (4) справедливо, что завершает доказательство утверждения (а). Утверждение (Ь) следует из (а). Действительно, если λ не является собственным значением оператора Г, то а(Т)—0 и из (а) следует, что β(Γ)=0, τ. е. 9ί(Τ—%Ι)=Χ\ но тогда оператор Τ—λ/ биективен и потому обратим, так что λ^σ(Γ). Аналогично опровергается предположение, что λ не является собственным значением оператора Т*. Из утверждения (Ь) и теоремы 4.24 следует, что множество σ (Τ) не более чем счетно и не может иметь предельных точек, отличных от 0, а множество σ (Τ) (J {0} компактно. Если dim Χ <οο, то множество а(Т) конечно; если же dimX = oo, то Οζσ(Γ) в силу утверждения (е) теоремы 4.18. Таким образом, в любом
126 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ случае множество σ (Τ) компактно. Это показывает справедливость утверждения (с) и завершает доказательство теоремы. Щ Упражнения Во всех следующих ниже упражнениях буквы X и Υ обозначают банаховы пространства (если явно не оговорено противное). 1. Пусть φ—вложение X в X**, описанное в п. 4.5. Пусть τ—слабая топология в X, а σ—слабая* топология в X** (т. е. Х*-топология в X**), (a) Доказать, что φ—гомеоморфизм пространства (Χ, τ) на всюду плотное подпространство пространства (Χ**, σ). (b) Доказать, что образ ψ (В) замкнутого единичного шара В пространства X является σ-всюду плотным подмножеством замкнутого единичного шара пространства X**. [Воспользуйтесь теоремой Хана—Банаха 3.4.] (c) С помощью (а), (Ь) и теоремы Банаха — Алаоглу доказать, что пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда шар В слабо компактен. (d) Вывести из (с), что всякое сильно замкнутое подпространство рефлексивного пространства X рефлексивно. (e) Доказать, что если Υ — замкнутое подпространство рефлексивного пространства X, то факторпространство Χ/Υ рефлексивно. (f) Доказать, что пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда рефлексивно пространство X*. Наводящее соображение. То, что из рефлексивности X следует рефлексивность X*, можно доказать с помощью (с); для доказательства обратного утверждения примените (d) к подпространству φ (Χ) пространства X**. 2. Какие из пространств с0, Ζ1, ΙΡ, ί°° рефлексивны? Доказать, что любое конечномерное нормированное пространство рефлексивно. Доказать, что пространство С всех комплексных непрерывных функций на единичном отрезке с sup-нормой не рефлексивно. 3. Доказать, что подмножество Еа<& (Χ, Υ) равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда существует такое Μ <оо, что ||Л||^/И для всех ΑζΕ. 4. Напомним, что если поле скаляров есть С, то Х* = с$(Х, С). Поэтому Л*£с$(С, X*) для любого Л£Х*. Найти образ оператора Л*. 5. Доказать, что оператор Т£&(Х, Υ) тогда и только тогда является изометрией пространства X на пространство К, когда Т* изометрично отображает Υ* на X*. 6. Пусть σ и τ—слабые* топологии в пространствах X* и Υ* соответственно. Доказать, что S тогда и только тогда является непрерывным линейным отображением пространства (К*, τ) в пространство (Χ*, σ), когда S = T* для некоторого Т£&{Х, Y). 7. Пусть L1 — обычное пространство интегрируемых относительно меры Лебега функций на замкнутом единичном отрезке /, и пусть Т£&(Ьг, Υ), так что Τ*ζ<$(Υ*, L°°). Допустим, что 3{ (Г*) содержит все непрерывные функции на /. Что в этом случае можно сказать о 77 8. Доказать, что (ST)* = T*S*. Сформулировать условия, при которых это имеет смысл. 9. Пусть S£&(X) и Τζ&(Χ).
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 127 (a) Показать на примере, что из ST = / не следует, вообще говоря, что TS = I. (b) Считая Τ компактным, показать, что S (I — Т)=1 тогда и только тогда, когда (/ — T)S = I, и что если выполняется хотя бы одно из этих равенств, то оператор / — (/ — Т)-1 компактен. 10. Доказать, что если поле скаляров есть С или если dimX=oo, то спектр σ(Τ) любого компактного оператора Τζο%(Χ) непуст. Однако если dimX<oo, а поле скаляров есть R, то спектр оператора Τζο%(Χ) может быть пустым. 11. Показать, что в случае dimX<oo равенство α = β, доказанное в теореме 4.25, сводится к утверждению, что ранг квадратной матрицы «по строкам» совпадает с ее рангом «по столбцам». 12. Предположим, что образ 3{ (Т) оператора Τζ&(Χ, Υ) замкнут в Υ. Доказать, что dim Jf(T) = dim Х*/Я(Т% dim оЛГ(П = dim Г/^ (Г). Эти соотношения обобщают равенства α = β* и α* = β, доказанные в теореме 4.25. 13. (а) Пусть 71 €<&(*, Y)y Τηζ&(Χ, Υ) (л=1, 2, ...), причем образы всех операторов Тп конечномерны и lim ЦТ — Т„ || = 0. Доказать, что опе- /г->оо ратор Τ компактен. (Ь) Доказать, что если пространство Υ гильбертово, то справедливо обращение утверждения (а): всякий компактный оператор Τζ<$(Χ, Υ) может быть аппроксимирован (по операторной норме) операторами с конечномерными образамиг). Указание: для любого замкнутого подпространства Μ гильбертова пространства Υ существует проектор π: Υ —>■ Μ с нормой 1 (см. теоремы 5.16 и 12.4). 14. Определим в пространстве I2 оператор сдвига S и оператор умножения Λί, полагая если /г = 0, ■ 1), если л ^г 1, (Мх) (п) = (п+\)-1 х(п) для всех я^О. (&с)(п)={°;(„- Пусть T = MS. Показать, что Τ — компактный оператор, не имеющий собственных значений, и что его спектр состоит из единственной точки. Вычислить нормы || Г» || (л=1, 2, 3, ...) и предел lim || Тп \\1/п. п-+<х> 15. Пусть μ — конечная (или σ-конечная) положительная мера на пространстве Ω, а μ Χμ — порожденная ею мера-произведение на ΩχΩ, и пусть г) Довольно долго оставалось неизвестным, верно ли, что для любого сепарабельного банахова пространства X каждый компактный оператор Т£с£3(Х) аппроксимируется (по операторной норме) операторами с конечномерными образами (такие операторы иногда для краткости называют конечномерными; близкие вопросы имеются уже в книге Банаха [4, 5]). Лишь в 1972 г. М. Энфло построил рефлексивное сепарабельное банахово пространство X, для которого это неверно. Заметим (это простое следствие уже сказанного), что в этом пространстве X не существует базиса (т. е. такой последовательности {хп}> что каждый вектор х£Х однозначно представим сходящимся по норме рядом х = ^оспхп).— Прим. перев.
128 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ К ζ L2 (μ χ μ). Положим (77)(s) = J/C(«, /)/(/) φ (0 (/€^2(μ))· Ω (a) Доказать, что 7ζ($(Ζ,2(μ)) и ||Л|2<5 J|/f(», О Ι2 Φ 00 Φ (0· Ω Ω (b) Пусть α/, 6г· (1^/^/г) — элементы пространства L2 (μ); положим /Ci (s, 0 = 2αί (s)^'(0 и 0ПРеДелим оператор 7\ по функции Кг так же, как по функции К определен оператор Т. Доказать, что dim #(7Ί)^/ι. (c) Доказать, что Τ—компактный оператор в L2 (μ). Указание: воспользуйтесь упр. 13. (d) Пусть λ ζ С, λ φ 0. Доказать, что либо для каждого g£L2 (μ) уравнение Tf-lf=g имеет единственное решение /£Ζ,2(μ), либо для некоторых g это уравнение имеет в L2 (μ) бесконечное множество решений, а для других g не имеет их вовсе. [Это утверждение называется альтернативой Фредгольма.] (e) Описать сопряженный к Τ оператор. 16. Пусть ({\ — s)ty если 0<*<s, Λ (S, /) = < v \ (1—/)s, если s<*<1; определим оператор T£c$(L2(0, 1)), полагая ι (77)(s)=$/C(s, 0/(/)Λ (/ζ^2(0, 1), 0<S<1). о (a) Показать, что собственные значения оператора Τ суть (/гл)-2, я = 1, 2, 3, ..., причем для каждого из них соответствующее собственное подпространство одномерно и порождается собственной функцией sin nnx. Указание: если λ Φ 0 и функция /£L2(0, 1) удовлетворяет уравнению 77 = λ/, то она бесконечно дифференцируема на [0, 1], удовлетворяет дифференциальному уравнению λ/"4-/ = 0 и условиям /(0) = /(1) = 0; случай λ = 0 можно исследовать отдельно. (b) Показать, что указанные выше собственные функции образуют ортогональный базис в пространстве L2 (0, 1). (c) Исследовать уравнение Tf— hf = g, где g (t) = ^ сп sin nnt. (d) Показать, что оператор Τ действует также в пространстве С всех непрерывных функций на [0, 1] (с sup-нормой) и компактен в этом пространстве. Указание: если последовательность непрерывных функций {/,·} равномерно ограничена, то последовательность {77/} равностепенно непрерывна. 17. Пусть L2 = L2(0, oo) относительно меры Лебега, и пусть s (Tf) (·) = γ J f{t)dt (f£L\ 0 < s < со), о Доказать, что оператор Т ограничен в L2, но не компактен. [В действитель-
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 129 ности JIΤ || = 2; это утверждение является частным случаем неравенства Харди*).] 18. Доказать следующие утверждения: (a) Если последовательность {*„} слабо сходится в X, то последовательность {||*„||} ограничена. (b) Если Τζο%(Χ, Υ) и последовательность {хп\ слабо сходится к х£Х> то последовательность {Тхп\ слабо сходится к Тх. (c) Если оператор Т£&(Х, Υ) компактен и последовательность [хп\ слабо сходится к х£Х, то \\Тхп—Тх\\—>0. (d) Для рефлексивного пространства X справедливо и обратное утверждение: если || Г*,, ||—>0 для всякой слабо сходящейся к 0 последовательности {хп\у то оператор Τ компактен. Указание. Воспользуйтесь утверждением (с) упр. 1 и утверждением (с) упр. 28 гл. 3. (e) Если пространство X рефлексивно, то любой оператор Т£&(Х, I1) компактен; в частности, ,f/i(T) φ Ι1. Указание: воспользуйтесь упр. 5 гл. 3. (ί) Если пространство Υ рефлексивно, то любой оператор Т£&(с0, Υ) компактен. 19. Пусть Υ — замкнутое подпространство в А" и х0£Х*. Положим μ = 5ΐιρ{|<χ, х*о> |: χζΥ, ||*||<1}, 6 = inf {|| л:*—λγο Ц: x*£YL). Иными словами μ — норма сужения функционала х0 на подпространство Υ, а δ — расстояние от х0 до аннулятора подпространства Υ. Доказать, что μ = δ. Доказать также, что 6 = ||**—хЦ\ хотя бы для одного χ*ζΥ^-. 20. Обобщить определения п. 4.6 и теорему 4.9 на локально выпуклые пространства. [Конечно, из формулировки упомянутой теоремы нужно исключить утверждение об изометричности построенных изоморфизмов.] 21. Пусть В и В* —замкнутые единичные шары в пространствах X и X*. Следующее утверждение представляет собой частичное обращение теоремы Банаха — Алаоглу: если Ε — такое выпуклое подмножество в X*, что множество Ef](rB*) для любого г>0 слабо* компактно, то Ε слабо* замкнуто, [Следствие: подпространство в X* слабо* замкнуто тогда и только тогда, когда его пересечение с В* слабо* компактно.] Восстановите доказательство по следующему наброску: (i) Множество Ε сильно замкнуто. (И) Сопоставим каждому множеству F с X его поляру P(F)=^{X*: | <χ, **>|<1 для всех x^F}. Пересечение поляр Ρ (F) всех конечных множеств Fdr~1B в точности совпадает с гВ*. (iii) Теорема вытекает из следующего предложения: если, β дополнение к условиям, теоремы, Ef\B* = 0t то существует такой вектор х£Х, что Re<x, x*>^s 1 для всех χ*ζΕ. г) Неравенство Харди состоит в том, что если р> 1 и f£LP(0, oo), a s F(s)=ij/(/)d/, то F£LP(0, oo) и || F \\р< [р/(р—1)] || / \\р, причем кон- о станта р/(р — 1) является наилучшей из возможных; см. [40, стр. 289].— Прим. перев. 5 № 871
130 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ (iv) Доказательство предложения. Положим F0 = {0}. Допустим, что для некоторого k^\ уже построены такие конечные множества F0, ....F^-u что iFi а В и (1) Ρ WO- · · ПР (Fk-г) Π Ε Π kB* = 0 (заметим, что при k = l условие (1) выполняется). Положим Q = Р (Л,)П · · .(\P(Fk-u(\E(\(b+ ») В*. Если Ρ (F) Π Q Φ 0 Для любого конечного множества Fdk-1Bt то из слабой* компактности множества Q и утверждения (и) следует, что (kB*)f]Q^01 а это противоречит (1). Поэтому найдется такое конечное множество FkCZ k~1B, для которого выполняется условие (1) с заменой к на /г-j-l. Таким образом, построение может быть продолжено, и мы получаем такую бесконечную последовательность конечных множеств F^CLk-xBy что условие (1) выполняется для любого /г^1. Ясно, что 00 (2) ЯП П P(Fk) = 0. Расположим все элементы множества [}Fk в виде последовательности {хп}. Тогда \хп\\—>0. Определим оператор Т: X*—>с0, полагая Тх*={<х„, х*>}. Тогда Τ (Ε) — выпуклое подмножество в с0. В силу (2) \\Tx*\\ = sup\<xn, х*> | ^ 1 η для всех х*£Е. Поэтому найдется такая последовательность скаляров {а„}, что 2 I а« I < °° и 00 Re 2 а« <*п> х*>^2 1 для всех ^*ζ£. Для завершения доказательства достаточно положить а; = 2j (X,nxn · 22. Пусть оператор Τζ33(Χ) компактен, λ φ О и S=-T — λ/. (a) Доказать, что если J\T (Sre)=J\T (S" + 1) для некоторого неотрицательного целого л, то off (Sn) = off (Sn+k) для всех /г = 1, 2, 3, .... (b) Доказать, что равенство Jf (Sn) = off (Sn+1) обязательно выполняется для некоторого п. Указание: см. доказательство теоремы 4.24. (c) Пусть m—наименьшее из неотрицательных целых чисел л, для которых верно предыдущее равенство. Доказать, что подпространство Jf (Sm) конечномерно, x=Jf(Sm)®3i(S») и сужение оператора S на 3{ (Sm) взаимно однозначно отображает 3{ (Sm) на ,%(Sm). 23. Пусть {хп\ — такая последовательность в банаховом пространстве X, что 2 ||х„||=ЛГ < оо. /г=1 Доказать, что ряд 2*« сходится к некоторому вектору χ ζ Χ. Иными словами, доказать, что существует такой вектор χ £ Χ, что lim Ή *-(*!+...+*„) || = 0.
ГЛ. 4. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 131 Доказать также, что \\х\\^М. [Мы воспользовались этими фактами при доказательстве леммы 4.13.] 24. Пусть с—пространство всех комплексных последовательностей х=^х±, x%t х$> .·./·> для которых существует предел lim хп = *«, £ С. Положим || л; || = sup | хп |. Пусть с0 — подпространство в с, состоящее из всех тех х, для которых хоо = 0. (a) Описать явно два изометрических изоморфизма и и υ, отображающих соответственно с* на I1 и ct на I1. (b) Определим оператор S: с0—>с> полагая Sx = x. Описать оператор vS*u-1t отображающий I1 в I1. (c) Определим оператор Т: с—>с0, полагая Тх = у, У1 = Хоо, Уп + 1 = хп—Хсо для /г^1. Доказать, что этот оператор биективен. Найти \\Т\\ и || У —х II - Описать оператор uT*v~1t отображающий I1 в I1.
Глава 5 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Теорема о непрерывности Одна из самых ранних теорем функционального анализа (Хеллингер и Теплиц, 1910) утверждает, что если линейный оператор Τ в гильбертовом пространстве Я симметричен, т. е. (Тх, у) = (х, Ту) для всех χ ζ Η и г/ζ Я, то он непрерывен. Здесь, как обычно, (х, у) обозначает скалярное произведение, задающее в Я структуру гильбертова пространства (см. п. 12.1). Если последовательность \хп\ в Я такова что ||#„||—>0, то из симметричности оператора Τ следует, что Тхп—>0 слабо. [Доказательство этого утверждения опирается на известное описание непрерывных линейных функционалов на Я: каждый такой функционал Λ однозначно представим в виде Ах = (х, г/л), где 1/л€Я.] Поэтому теорема Хеллингера — Теплица вытекает из следующей теоремы. 5.1. Теорема. Пусть X и Υ суть F-пространства, причем Υ* разделяет точки в Υ, и пусть Т: X—>Υ—такой линейный оператор, что АТхп—► () для каждой последовательности хп—>0 и каждого функционала Λ ζ У*. Тогда оператор Τ непрерывен. Доказательство. Допустим, что хп —^и Тхп —► у. Если Λ ζ Υ*, то АТ(хп-х)-+0, так что Ay = \imATxn = ATx. Следовательно, у = Тх, и можно применить теорему о замкнутом графике. Щ Для банаховых пространств теорему 5.1 можно сформулировать так: если оператор Т: X—*Y линеен и из \\хп\\—>0 следует, что Тхп—*0 слабо, то в действительности из \\хп\\—*0 следует, что \\Тхп\\-+0.
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 133 Чтобы убедиться в существенности условия полноты, рассмотрим в качестве X пространство всех комплексных полиномов /, для которых / (0)=/ (1)=0, положим (/>£) = $/£, 11/Н = (/. /)1/2 0 и определим линейный оператор Т: Х-^Х формулой (Tf)(x) = if'(x). Тогда (Tf,g) = (f, Tg), но оператор Τ не является непрерывным. Замкнутые подпространства в пространствах LP Доказательство следующей теоремы Гротендика также опирается на теорему о замкнутом графике. 5.2. Теорема. Пусть μ—вероятностная мера на пространстве Ω, 0 < ρ < оо и S—такое замкнутое подпространство пространства LP (μ), что ScLQ0(μ). Тогда подпространство S конечномерно. Доказательство. Подпространство S замкнуто в LP и потому полно относительно //-топологии. Пусть / — тождественное вложение S в L00. Если {/„}—такая последовательность в S, что fn —>f в S и fn—>g в L00, то ясно, что f=g почти всюду. Следовательно, оператор / удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике, и мы заключаем, что существует такая постоянная /С<оо, что (1) ΙΙ/ΙΙ-<ΑΊΙ/||, для всех / ζ S. Здесь, как обычно, \\ί\\ρ=(\\ϊ\ράμΥ/ρ, а ||/||» — существенная верхняя грань |/|. Если ρ ^2, то ||/ Ц^^Ц/1|2· Если же 2 < ρ < оо, то, интегрируя неравенство \f\p<\\№-*\f\% и учитывая (1), получаем, что ||/ ||«, <АГр/2|| /||2. Таким образом, в любом случае существует такая постоянная Μ < оо, что (2) ΙΙ/|Ι.<Λί||/|ΐ, (fes). В оставшейся части доказательства мы будем иметь дело с индивидуальными функциями, а не с классами эквивалентности по модулю множеств меры 0. Пусть {срх, ..., φ„}—ортонормальное множество в S, рассматриваемом как подпространство в /А Пусть Q—счетное всюду плотное подмножество евклидова единичного шара В в С". Для всякого с = (си ..., сп) ζ В положим fc = 2^ίΦι· Тогда || fc ||8 < 1, так что ||/с||оо<Л1. Так как Q счетно, то найдется такое измеримое множество Ω'<ζΩ, что μ (Ω') = 1 и |/c(*)KAf для всех
134 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ c£Q и всех χζΩ'. При фиксированном χ функция с—*\fc(x)\ непрерывна на В. Поэтому \fc(x)\^:M для всех с ζ. В и всех χζΩ'. Отсюда следует, что 21 Ф/(х) I2^^2 Для всякого χ£Ω'. Интегрируя это неравенство, получаем, что п^.М2. Таким образом, dimS<Ai2. Ц Существенно, что в условиях доказанной теоремы фигурирует именно пространство L00. Чтобы проиллюстрировать это, мы построим сейчас бесконечномерное замкнутое подпространство пространства L1, содержащееся в ZA В качестве пространства с мерой мы возьмем единичную окружность с нормированной мерой Лебега. 5.3. Теорема. Пусть Ε—такое бесконечное множество целых чисел, что ни одно целое число не может быть более чем одним способом представлено в виде суммы двух чисел из Е. Обозначим через РЕ векторное пространство всех конечных сумм вида (1) f{e*)= 2 c{n)ein\ П= — 00 для которых с(п) = 0 при всех п^Е, и пусть SE—замыкание ΡЕ в L1. Тогда SE является замкнутым подпространством в ZA Примером такого множества Ε может служить множество {2*}, & = 1, 2, 3, ... . Возможны также примеры с более медленным ростом. Доказательство. Если функция / имеет вид (1), то f2(eiQ)=^c(n)2e2inQ+ 2 с(п)с(т)е^п+т^. η пфт Из арифметического условия, наложенного на Е, следует, что ПЛ4=Ш2|2 = 2|с(/г)|* + 4 2 \с(т)\>\с(п)\\ J J п т< η откуда (2) $1/|4<2(2И/гт* = 2(5|/|*)2. Неравенство Гёльдера с показателями 3 и 3/2 дает (3) $т2<($ш*)1/3($ш)2/3. Из неравенств (2) и (3) следует, что (4) Ш«<2>/«||Л1. и ||Л1.<21/»||Л|1 для всех / 6 РЕ. Поэтому всякая последовательность Коши в РЕ относительно ^-нормы является также последовательностью Коши относительно /Лнормы. Следовательно, SEc:L*. Очевидное неравенство ||/||ι^||/||4 показывает теперь, что SE замкнуто в ZA Щ
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 135 Применяя некоторые соображения, связанные с двойственностью, и используя второе из неравенств (4), можно получить один интересный результат. Напомним, что коэффициенты Фурье g(n) любой функции g"£L°° удовлетворяют условию ^\g (п)\2<оо. Следующая теорема показывает, что ничего лучшего нельзя сказать и о тех из них, номера которых принадлежат довольно разреженному множеству Е. 5.4. Теорема. Пусть Ε—такое же множество, как в теореме 5.3. Если 00 2 |а(л)|2 = Л2<оо, — 00 то существует такая функция g"£L°°, что g(n)=a(n) для всех ηζΕ. Доказательство. Если f£PE, то, согласно второму из неравенств (4), |2?(п)а(л)|<Л{2^(я)|1}^=>4||Л|1<2^Л||/||1. Поэтому линейный функционал / —► 2 / (п)а (п) непрерывен относительно ^-нормы на РЕ. По теореме Хана — Банаха этот функционал может быть продолжен (с сохранением нормы) до непрерывного линейного функционала на пространстве ΖΛ Следовательно, существует такая функция g^L™ (где ||g"||oo^21/2 Л), что 00 Я £ f (η) α (η) = ± J / (*-") g (e<9) d9 (/ ζ ΡΕ). — <χ> -π Полагая здесь f(eiQ) = eind (η ζ Ε), получаем g(n) = a(n). Щ Область значений векторной меры Мы приведем сейчас одно весьма замечательное приложение теорем Крейна—Мильмана и Банаха — Алаоглу. Пусть Ш есть σ-алгебра. Вещественная мера λ на Ш называется неатомической, если всякое множество Ε ζ Ш, для которого | λ | (Ε) > 0, содержит такое подмножество Α ζ ЭД1, что 0 < | λ | (А) < <|λ|(£). Здесь |λ| — полная вариация меры λ (см. [27] или [37]). 5.5. Теорема. Пусть μχ, ...,μ„—конечные вещественные неатомические меры на σ-алгебре Ш. Определим отображение μ: Ш—► R", полагая μ(£) = (Μ£), ...,μη(Ε)) (Е£Ш). Тогда образ этого отображения является компактным выпуклым подмножеством в R".
136 ЧАСТЬ 1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Доказательство. Сопоставим каждой вещественной измеримой ограниченной функции g вектор Ag= (Jsr^i S«r^»)eRe. Положим (Τ = |μ1| + .·· + |μη|. Если g1:=g2 почти всюду относительно σ, то Ag1=Ag2. Поэтому Л можно рассматривать как линейное отображение пространства L°° (σ) в R". Каждая из мер μζ· абсолютно непрерывна относительно б. Поэтому из теоремы Радона — Никодима (см. [27] или [37]) следует существование таких функций Λ£·ζL1 (σ), что άμ£ = h{da(1 ^i^n). Следовательно, Л является слабо* непрерывным линейным отображением пространстваL00 (а) в R" (напомним, что/,00 (σ) --=Ьг (σ)*). Пусть K = {g£L"(o): 0<g<l}. Очевидно, что множество К выпукло. Так как g ζ К тогда и только тогда, когда для всякой неотрицательной функции f^L1(o), то множество К слабо* замкнуто. Наконец, К содержится в замкнутом единичном шаре пространства Ζ,°°(σ). Поэтому теорема Банаха—Алаоглу показывает, что множество К слабо* компактно. Следовательно, его образ Λ (К) является компактным выпуклым множеством в R". Теперь мы покажем, что μ (351) =Л(/С). Если χΕ—характеристическая функция множества Ε £Ш, то χΕ£Κ и μ(Ε)=Α(χΕ). Таким образом, μ (Ш) <= А (К). Чтобы доказать обратное включение, фиксируем какую-нибудь точку ρ ζ А (К) и положим Kp = {gSK: Ag = p\. Нам достаточно показать, что множество Кр содержит некоторую характеристическую функцию χΕ, так как тогда ρ = μ(Ε). Заметим, что множество Кр выпукло; так как отображение Л непрерывно, то Кр слабо* компактно. По теореме Крейна—Миль- мана множество Кр имеет крайнюю точку. Допустим, что функция g0^Kp не является характеристической функцией никакого множества из Ш. Тогда найдутся такое множество Ε ζ Ш и такое число г > 0, что σ (Ε) > 0 и r^g0^l —г на Е. Положим Υ = %Ε·^ (а). Так как а(Е) > 0 и мера σ неатомическая, то сПтУ = оо. Поэтому в Υ найдется такой ненулевой элемент g пространства L00 (σ), что Ag = 0 и —r<g<r. Ясно, что функции g0+g и g0—g принадлежат Кр. Поэтому g0 не является крайней точкой множества Кг Таким образом, каждая крайняя точка множества Кр является характеристической функцией. Щ
ГЛ. 5 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 137 Обобщенная теорема Стоуна — Вейерштрасса Теперь мы применим теоремы Крейна—Мильмана, Хана — Банаха и Банаха—Алаоглу к задаче аппроксимации. 5.6. Определения. Пусть С (S) — известное банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве S (как обычно, с sup-нормой). Подпространство Л в С (S) является алгеброй, если fg£A для любых f и g из Л. Множество Ε с S называется множеством антисимметрии относительно алгебры AaC(S), если каждая функция /6 Л, вещественная на Е, постоянна на этом множестве (иными словами, если алгебра АЕ, состоящая из сужений / \Е всевозможных функций /ζ А на множество £, не содержит непостоянных вещественных функций). Например, если S — компактное подмножество в С и Л состоит из всех функций f£C(S)y голоморфных во внутренних точках S, то каждая связная компонента внутренности S является множеством антисимметрии относительно А. Пусть Ac:C(S)y p£St q£S\ положим p~q, если существует множество антисимметрии Ε (относительно Л), содержащее обе точки ρ и q. Легко проверить, что этим определено отношение эквивалентности в S и что классы эквивалентности замкнуты в S. Ясно также, что классы эквивалентности являются максимальными множествами антисимметрии относительно Л. 5.7. Теорема Бишопа. Пусть А — замкнутая подалгебра в C(S), содержащая все постоянные функции. Если g£C(S) и ё\е£Ае для каждого максимального множества антисимметрии £, то g£ А. Иными словами, если функция g£C(S) такова, что для всякого множества антисимметрии Ε (относительно Л) найдется функция fE£A9 совпадающая с g на Еу то существует единая функция /6 Л, совпадающая с g на каждом Ε (а именно f=g). Частным случаем теоремы Бишопа является теорема Стоуна — Вейерштрасса: Пусть А—замкнутая подалгебра в С (S), содержащая все постоянные и разделяющая точки в S. Если алгебра А симметрична (т. е. из f£A следует, что /6 Л), то A=C(S). Действительно, в этом случае вещественные функции из Л разделяют точки в S. Поэтому всякое множество антисимметрии одноточечно, тал что каждая функция g£C(S) удовлетворяет условиям теоремы Бишопа. Доказательство. Аннулятор Л1 алгебры Л состоит из всех регулярных комплексных борелевских мер μ на S, для ко-
138 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ торых \^1άμ = 0 при всех f ζ А. Положим Κ={μζΑ± ||μ||<1}, где || μ || = | μ | (S). Множество К выпукло, уравновешено и (согласно утверждению (с) теоремы 4.3) слабо* компактно. Если /С = {0}, то A-L = {0\, так что A = C(S) и доказывать нечего. Допустим поэтому, что К¥=\0}> и пусть μ—крайняя точка множества К- Ясно, что ||μ|| = 1. Пусть Ε—носитель меры μ (т. е. наименьшее из компактных множеств FaS, для которых |μ |(^) = Ι|μ II1)· Рассмотрим такую функцию /ζ Л, для которой О </(*)< 1 ПРИ всех * G £, и положим do = f άμ, άτ = (1 —/) άμ. Так как А — алгебра, то о ζ А1· и τ ζ Л1. Так как 0 < / < 1 на Е, то ||σ||>0 и ||τ||>0. Кроме того, IMl44MI==S/dH + S О-/)<*Ы = Ы(*) = !· Ε Ε Это показывает, что μ является выпуклой комбинацией мер сг^ = ст/|[ от || и τ1 = τ/||τ||. Обе эти меры принадлежат К\ но μ — крайняя точка множества /С, так что одна из этих мер, скажем аг, совпадает с μ (поскольку 1 € Л, случай μ = τ1 ничем не отличается от этого). Иными словами, /ίίμ = ||(τ||<ίμ, так что / (*) = ||<т|| Для всех2) х£Е. Поскольку А содержит постоянные, отсюда следует, что всякая функция f ζ Л, вещественная на Е, постоянна на Е. Итак, мы доказали, что если мера μ служит крайней точкой множества К, то ее носитель является множеством антисимметрии относительно А. Отсюда следует, что если функция g удовлетворяет условиям теоремы, то ^άμ = 0 для любой меры μ, являющейся крайней точкой множества К, а потому и для любой меры μ из выпуклой оболочки множества всех крайних точек К- Так как функция μ—> 5^<ίμ слабо* непрерывна на /С, то из теоремы Крей- х) Такое множество Ε существует. Действительно, пусть Г — семейство всех открытых множеств QcS, для которых |μ|(φ) = 0(Γ непусто, ибо 0ζΓ), и пусть V= [J Q. Если F—компактное подмножество в V, то F Qev покрывается конечным числом множеств ζ)ζΓ, так что |μ|(/7) = 0. Поэтому из регулярности меры μ следует, что |μ|(Υ) = 0, и остается положить E = S\V.— Прим. перев. 2) Так как функция / непрерывна, то F = {x£E: / (*) = || σ ||} является компактным подмножеством в Е\ из равенства f άμ = \\ο\\ά\ι следует, что | μ | (F) = \ μ | (Е) = || μ ||, а так как Ε—носитель меры μ, то F = E.— Прим. перев.
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 139 на—Мильмана следует, что ]gdμ = 0 для всех μ ζ /С, а потому и для всех μ £ Л-1-. Таким образом, каждый непрерывный линейный функционал на C(S), аннулирующий Л, аннулирует также и функцию g. Поэтому из теоремы Хана — Банаха следует, что g£A. Щ Приведем пример, иллюстрирующий теорему Бишопа. 5.8. Теорема. Пусть К—такое компактное множество в R"xC, что для любой точки t = (tlt ...,/„) gR" дополнение в С к множеству /tt = {z€C: (ί, г)еК\ связно. Каждой функции g£C(K) сопоставим функцию gt на Kf, полагая gt(z)=g(t, ζ). Пусть gkC{K)—такая функция, что каждая из функций gt голоморфна во всех внутренних точках множества Kt- Тогда для всякого ε > 0 найдется такой полином Ρ от переменных tl9 ... ..., tn, z, что \P(tfz)—g(t,z)\<e для всех (ί, ζ) ζ К- Доказательство. Пусть А—замыкание в С (К) множества всех полиномов1) P(t,z). Поскольку вещественные полиномы разделяют точки в R", каждое множество антисимметрии относительно алгебры А содержится в одном из множеств Kt- Поэтому в силу теоремы 5.7 достаточно показать, что для каждой точки t£Rn найдется такая функция /6 Л, что ft=gt- Фиксируем t£Rn. По теореме Мергеляна (см. [27], а также [9, стр. 71] или [21, т. 2, стр. 105]) существуют такие полиномы Ρ ι (z), что &(*)=£ Λ (*) (*€*,) ί=1 и ΙΛ·(2)Ι<2"' для всех z£Kt и всех ί>1. Далее, существует вещественный полином Q на R", для которого t является точкой пика в том смысле, что Q(t) = l, но |Q(s)| < 1, если s^t и Ks¥=0- Фиксируем произвольное ί>1. Функции φΛ, определенные на К формулой 9„ls,z) = |Q*(s)Pf(z)|, непрерывны и образуют монотонную (невозрастающую) последовательность, предел которой в каждой точке множества К меньше чем 2_/. Так как К компактно, отсюда следует существование такого номера ть что <p/n/(s, ζ) < 2~( для всех точек множе- г) Точнее говоря, сужений таких полиномов на К.— Прим. перев.
140 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ства /С. Ряд /(*,*) = Σ С'(s)/>,(*) (тх = 1) равномерно сходится на /С, так что /ζ Л. Ясно, что ft = gt- Ш Две интерполяционные теоремы В доказательстве первой из этих теорем участвует сопряженный оператор. Вторая же доставляет еще одно приложение теоремы Крейна—Мильмана. Первая теорема (принадлежащая Бишопу) снова касается C(S). Обозначения здесь те же, что и в теореме 5.7. 5.9. Теорема. Пусть Υ—замкнутое подпространство в C(S), К—компактное подмножество в S, причем \μ\(Κ) = 0 для всех μζΥ1-. Если g£C(K) и |g"|< 1, то существует такая функция fGY, что f\K = g u\f\<\ на S. Таким образом, каждая непрерывная на К функция продолжается до некоторой функции из Y. Иными словами, оператор сужения f—*f\K отображает Υ на С (/(). Прототипом этой теоремы послужил следующий ее частный случай: Пусть А — диск-алгебра, т. е. алгебра всех функций, непрерывных на замыкании единичного диска ί/cC и голоморфных в U. Возьмем в качестве S единичную окружность Т. Пусть Υ состоит из сужений на Τ всех функций из Л. По теореме о максимуме модуля подпространство Υ замкнуто в С(Т). Если К — компактное подмножество в Τ лебеговой меры 0, то, как утверждает теорема Ф. и М. Риссов (см. [27] или [12, стр. 73]), К удовлетворяет условиям теоремы 5.9. Следовательно, для каждой функции g£C (К) найдется такая функция f £ Α, что f = g на К* Доказательство. Пусть ρ: Υ—>С(К) — отображение сужения, т. е. ρΐ = ϊ\κ· Мы должны доказать, что ρ отображает открытый единичный шар пространства Υ на весь открытый единичный шар пространства С (/С). Рассмотрим сопряженный оператор ρ*: Μ(Κ)—+Υ*, где Μ (/С) = С (К)*—банахово пространство всех регулярных комплексных борелевских мер на К с нормой ||μ|| = |μ|(/Ό. Образ ρ*μ каждой меры μ ζ Μ (К) является ограниченным линейным функционалом на У; по теореме Хана — Банаха его можно продолжить с сохранением нормы на все пространство C(S). Другими словами, существует такая мера g£M(S), что ||σ|| =
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 141 ■= II ρ*μ II и ^fda = <f, ρ*μ> = <ρ/, μ> = \ΐάμ s к для всех /ζΥ. Рассмотрим меру μ как элемент пространства Μ (S) (ее носитель содержится в К)· Тогда σ—μ ζ У-L, и из условий, наложенных на /С, следует, что α(Ε) = μ(Ε) для любого борелевского множества ЕаК. Поэтому || μ || ^ ||σ||, и мы заключаем, что || μ || ^||ρ*μ ||. В силу утверждения (Ь) леммы 4.13 отсюда следует справедливость теоремы. Щ Примечание. Так как || р* || = ||р ||< 1, то справедливо также неравенство ||σ||^||μ||, так что || σ || = || μ ||. Отсюда, учитывая происхождение меры σ, легко получаем, что σ = μ (как меры на S). Таким образом, продолжение функционала ρ*μ на С (S) с сохранением нормы единственно. Вторая интерполяционная теорема относится к конечным про- изведениям Бляшке, т. е. к функциям В вида B{z)==cl[Iz^Ly ν ' t?x \-akz где |с| = 1 и |αΛ|<1 при 1<&^W. Легко видеть, что конечные произведения Бляшке—это в точности те элементы диск- алгебры, модули которых равны 1 в каждой точке единичной окружности. Данные интерполяционной задачи Пика — Неванлинны—это два конечных подмножества {z0, ..., zn\ и \w0, ..., wn\ открытого единичного диска i/cC, причем ζίΦζί при ίΦ]. Указанная задача состоит в отыскании такой голоморфной функции /: U—>{У, для которой f(zi)=wi (0<ί</ι). При некоторых данных эта задача вполне может не иметь решения. Например, если {г0, г1} = {0, 1/2} и \w0, w1} = \0, 3/2}, то из леммы Шварца следует, что решения не существует. Однако если задача разрешима, то, как показывает следующая теорема, среди ее решений должны быть «очень хорошие» функции. 5.10. Теорема. Пусть {z0, ...,z„}, \w0, ...,wn\—данныеПика — Неванлинны, Если множество Ε всех голоморфных функций f\ U—+U, для которых f (zi)=Wi при Ο^ί^,η, непусто, то оно содержит конечное произведение Бляшке. Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что z0 = wQ = 0. Мы покажем, что существует голоморфная
142 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ в U функция F, удовлетворяющая условиям (1) F (0) = 1, ReF(z)>0 для всех zg£/, (2) /7(,.) = β.= 1±^· при 1<ί<Λ и имеющая вид (3) ^(*)= Σ Д/г + Z где сЛ > 0, У(Ск = 1 и |аЛ| = 1. Если такая функция F найдена, то функция/? = (F—l)/(F-\-l) является конечным произведением Бляшке и B(zi)=wi при О^л^я. Пусть К—множество всех голоморфных в U функций Fy удовлетворяющих условиям (1). Сопоставим каждой мере μ ζ Μ (Τ) = С (Т)* функцию π (4) ?»(*)= ϊζ&άμν*). -π Эта формула устанавливает взаимно однозначное соответствие μ^Ρμ между множеством Ρ всех вероятностных регулярных борелевских мер на Г и множеством К ([27, теоремы 11.12 и 11.19]) ι). г) Ясно, что формула (4) определяет отображение φ: Ρ —► К (вещество j_ z венная часть ядра g(z, е1®) = * совпадает с ядром Пуассона в ί/и положительна). Если μχ, μ2ξΡ и φ (μχ) = φ(μ2), то, разлагая g(z, eiQ) в ряд Тейлора по г и учитывая, что мера ο = μχ — μ2 вещественна, получаем, что \ e~inQ do = 0 для всех целых п\ так как тригонометрические полиномы плотны в С (Т), то σ = 0, т. е. отображение φ инъективно. Сюръективность φ составляет содержание так называемой теоремы Герглотца и доказывается, например, так. Пусть F£K и и (z) = Re F (ζ). При 0 < ρ < 1 для всякого борелевского множества Ε α Τ положим μρ (£) = -~— \ и (peiQ) dQ. Ясно, что Ε μρ — положительная борелевская мера на Г, причем || μρ || = μρ (Τ) = и (0) = 1 (именно здесь мы воспользовались обоими условиями (1)). Пусть Qr (0 < г < 1) — слабое* замыкание множества ζ)Γ = {μρ: г < ρ < l}. Тогда {Qr}—центрированная система слабо* замкнутых подмножеств замкнутого единичного шара в С(Т)*, и из теоремы Банаха — Алаоглу следует, что существует мера μζρ) Qr. Фиксируем ζζϋ и ε > 0. Хорошо известно, 0<г<1 что при 0 < ρ < 1 π (a) F (рг) = -^- j g (г, β») и (ре'-6) Μ
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 143 Определим отображение Λ: Μ (Τ)—*Χ", полагая (5) Λμ = (77μ(21), ..., M*J)· Так как множество Ε по предположению непусто, то существует такая мера μ0 ζ Ρ, что (6) Αμ0=β = (β1, ..., β J. Множество Ρ выпукло и слабо* компактно, а отображение Λ линейно и слабо* непрерывно; поэтому Λ (Ρ) является выпуклым компактным множеством в C" = R2". Так как βζΛ(Ρ), то β является выпуклой комбинацией N ^.2п+1 крайних точек множества А(Р) (см. упр. 19 гл. 3). Если γ—крайняя точка множества Л(Р), то Л"1 (γ) — крайнее подмножество множества Р, и каждая крайняя точка множества Л"1 (γ) (существование их следует из теоремы Крейна—Мильмана) является крайней и для Р. Отсюда следует, что существуют такие крайние точки μχ, . . ., μ^ множества Ρ и такие положительные числа сг, ..., cN, что 2е* =1 и (7) Α(ε1μ1+...+οΝμΝ)=$. Каждая из мер μΛ, встречающихся в формуле (7), будучи крайней точкой множества Р> имеет носитель, состоящий из единственной точки ak g T\ поэтому Если определить теперь функцию F равенством (3), то из (7) и (8) следует, что эта функция удовлетворяет условиям (1) и (2). ■ Одна теорема о неподвижной точке Теоремы о неподвижной точке играют важную роль во многих разделах анализа и топологии. Теорема, которую мы здесь докажем, принадлежит Какутани; мы воспользуемся ею для до- (достаточно сравнить коэффициенты Тейлора левой и правой частей). Выберем такое гу что при г < ρ < 1 (Ь) \F(pz)-F(z)\<e. π Ι \ g (г, e/e>) dv (β'θ) Так как μζζ)Γ, a y=Jv£C(T)*: < ε V — слабая* окрестность нуля в С (71)*, то существует такое р, что г < ρ < 1 и μ ζμ + F, т. е (с) J g(z, еМ)ар(еЯ)—^ J g(zt еЮ)и(ре*) dQ < ε. -π —я Так как4г £ U и ε > 0 выбраны произвольно, то из (а), (Ь) и (с) следует, что φ(μ) = ? (то, что μ ζ Ρ, — очевидно).—Прим. перев.
144 ЧАСТЬ 1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ казательства существования на любой компактной группе меры Хаара. При доказательстве теоремы Какутани привлекаются лишь самые основные свойства локально выпуклых пространств. 5.11. Теорема. Предположим, что (a) К—непустое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства X, (b) G—равностепенно непрерывная группа линейных отобра- оюений пространства X на себя, (c) Λ (К) cz К для всякого A£G. Тогда группа G имеет общую неподвижную точку в К, т. е. существует такая точка ρ ζ К, что Ар = р для всех Л£С. Условие (Ь) стоит, вероятно, сформулировать более явным образом. Равностепенная непрерывность определена в п. 2.3. Говоря, что G — группа, мы подразумеваем под этим, что каждый оператор Л£С взаимно однозначно отображает X на X, причем обратный к нему оператор Л"1 тоже принадлежит G, и что если Л^С и Λ2ζΟ, то Λ^ζό. Здесь, конечно, (Л,Л2)х = ^Л^Лз*). Условие (Ь) выполняется, например, если G есть группа линейных изометрий нормированного пространства X. Доказательство. Пусть Ω—совокупность всех таких непустых компактных выпуклых множеств Я <ζ /С, для которых Л (Я) с Я при всех Л ζ G. Упорядочим Ω по включению. Заметим, что Ω=τ^0, ибо /(ζΩ. По теореме Хаусдорфа Ω содержит максимальное линейно упорядоченное подсемейство Ω0. Пересечение Я0 всех множеств, принадлежащих Ω0, является минимальным элементом в Ω. Теорема будет доказана, если мы покажем, что Я0 содержит лишь одну точку. Чтобы сделать это, мы рассмотрим множество Я ζ Ω, содержащее по меньшей мере две точки, и докажем, что некоторое множество Я1ζΩ является собственным подмножеством в Я. Сначала мы покажем, что в пространстве X существует локальная база, состоящая из открытых выпуклых уравновешенных множеств Uу удовлетворяющих условию A(U)cU для всех лес. Пусть V — выпуклая окрестность нуля в X. Так как группа G равностепенно непрерывна, то существует такая уравновешенная окрестность нуля Vl9 что Л (VJ с V для всех Л ζ G. Пусть U — выпуклая оболочка объединения множеств Л^) по всем Л£С. Тогда множество U выпукло и уравновешено, причем U aV> поскольку V выпукло. Каждый вектор и ζ U имеет вид u=c1A1v1 + ...+cnAnOn, где С/^0, 2^'=1' Λ/gG, ϋ/ζΚχ. Если Л£С, то вектор Ли = б\ЛЛл + ... + cnAAnvn
ГЛ 5 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 145 также принадлежит U, поскольку ΛΛ, £ G. Следовательно, A(i/)c(/i). Допустим теперь, что множество Я ζ Ω содержит по крайней мере две точки. Тогда Я—НФ\0\, и потому некоторое из построенных выше множеств U не покрывает Я—Я целиком. Так как множество Я—Я компактно, то Я—Я с sU для некоторого s > 0; пусть t—точная нижняя грань всех таких чисел s; тогда f ^ 1. Положим W = tU. Тогда И? — такое выпуклое уравновешенное открытое множество, что (1) Λ (W) с W для каждого Λ ζ G, (2) Я—Я с (1 +г) U7, если г > 0, (3) (1— г) № не покрывает Н—Н, если 0 < г < 1. Свойства (1) и (2) очевидны. Так как W выпукло, то (l-r)Wc(l-r)W+±rW=(l-±}W; последнее множество не покрывает Я—Я; поэтому выполняется (3). Поскольку множество Я компактно, в нем найдутся такие точки хи ..., хп, что (4) На \J^X;+±w). Положим г = 1/(4п) и рассмотрим множество (5) Я]==ЯП П (y + (l-r)W). Ясно, что оно компактно и выпукло. Чтобы доказать, что множество Нг непусто, мы покажем, что оно содержит точку (6) *0 =4 (*!+·. ·+**)· Так как Я выпукло, то х0£Н. Фиксируем у £ Я. В силу (4) найдется такой номер jf что (7) yexj+^w. Если t^=/, l^i^n, то из свойства (2) следует, что (8) y£xt + (l + r)W. Складывая соотношение (7) с суммой по всем гф\ соотношений (8), деля результат на η и учитывая при этом, что W выпукло г) Нужно еще проверить, что множество V открыто; это легко сделать, если учесть, что каждое отображение Λ £ G является гомеоморфизмом пространства X. — Прим. перев.
146 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ и уравновешено, а г=1/4п, получаем у-*о 6 \ η '±+(n-l)(l + r)\Wc:(l-r)W. Таким образом, х0 6# + (1 — г) Ψ для любого г/ζ Я. Следовательно, χ0ζ Ην Пусть χζΗ^ и ye Η, а ΛζΟ. Так как Л"1 (Я) с_Я, то у = Ауг для некоторого у1^Н. При этом *6#1 + (1—г) ИГ, поскольку χ£Ην Поэтому из (1) следует, что Ax^Ay1 + (l-r)A(W)czy + (l-r)W9 а так как Л (Я) <= Я, то ΑχζΗ. Таким образом, Ах£Нг, так что Л(ЯХ) cz Яг для всякого Л£С. Наконец, согласно (3), существуют такие точки χ ζ Η и у ζ. Η, что χ—у не принадлежит (1—r)W. Но тогда хФНи так что я^я. ■ Мера Хаара на компактных группах 5.12. Определения. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны. Наиболее экономный способ расшифровки этого условия состоит в постулировании непрерывности отображения φ: GxG—► G, определенного равенством <р(*, у)=ху~1. Из этого условия следует, что для каждого а £ G отображения χ—>ах и χ—*ха являются гомеоморфизмами группы G на себя; то же верно и для отображения χ—► лг1. Поэтому топология в G полностью определяется любой своей локальной базой в единице е группы G. Если потребовать (что мы и сделаем, начиная с этого места), чтобы каждая точка в G была замкнутым множеством, то справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1.10, 1.11 и 1.12 (формулировки и доказательства, с точностью до изменения обозначений, остаются теми же самыми), в частности выполняется аксиома отделимости Хаусдорфа. Если /—любая функция, определенная на G, то ее левый сдвиг LJ и правый сдвиг Rsf для всякого s£G определяются формулами (LJ) (x)=f(sx), (RJ) (x)=f (xs) {χ € G). Комплексная функция f на G называется равномерно непрерывной, если для всякого ε > 0 в G найдется такая окрестность единицы V, что If(i)-/(S)|<8 для всех t£G и s£G, удовлетворяющих условию s~1t£V.
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 147 Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой] в этом случае через С (G) обозначается, как обычно, банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на G с sup-нормой. 5.13. Теорема. Пусть G—компактная группа, f£C(G), a ΗL (/)—выпуклая оболочка множества всех левых сдвигов функции f. Тогда (a) функция f равномерно непрерывна, (b) HL(f) является вполне ограниченным подмножеством пространства C(G). Другими словами, замыкание множества HL(f) в С(G) компактно (приложение А4). Доказательство. Фиксируем ε > 0. Так как функция f непрерывна, то для каждого a£G существует такая окрестность единицы Wa, что \f(t) — f (a) \ <β для всех t£aWa. Из непрерывности групповых операций следует существование такой окрестности единицы Va, что V^1 с Wа. Так как группа G компактна, то найдется такое конечное множество A d G, что G= U aVa. аеА Положим ν= η να. аеА Допустим, что х"гу^У. Выберем точку α ζ, А так, чтобы y£aVa. Тогда |/ (у) — f (а) | < ε. Кроме того, \f{x) — f(a)\<e, поскольку xGyV-*caVaVa-*<zaWa. Следовательно, |/ (х) — f (у) \ < 2ε, и утверждение (а) доказано. Так как (sx)'1 (sy) = χ'1 у для всякого s£G, то | (LJ) (x)-(Lsf) (y)\ = \f (sx)-f (sy) I < 2ε, если x~1y£V. Каждая функция g£HL(f) представима в виде конечной суммы ^csLsf, где cs^0 и 2^ = 1. Следовательно, если х'1 y£V и g(zHL(f). Это означает, что HL(f) является равностепенно непрерывным подмножеством пространства C(G). Поэтому справедливость утверждения (Ь) следует из теоремы Асколи (приложение А5). Щ 5.14. Теорема. На всякой компактной группе G существует единственная регулярная вероятностная борелевская мера т, левоинвариантная в том смысле, что (1) \fdm=[{Lsf)dm (s£G, feC(G)). G G
148 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Эта мера т также правоинвариантна, т. е. (2) J fdm = 5 (RJ)dm {s£G, f£C(G))y G G и удовлетворяет условию (3) J / (χ) dm (χ) = J f (дг i) dm (x) (f ζ С (G)). G G Такая мера т называется мерой Хаара на группе G. Доказательство. Операторы Ls удовлетворяют соотношению LsLt = Lts(s£G, t£G), поскольку (LsLtf) (x) = (Ltf) (sx) = f (tsx) = (Lisf) (x). Так как каждый из операторов Ls является изометрией пространства С(G) на себя, то {Ls: s£G\ — равностепенно непрерывная группа линейных операторов в C(G). Для каждой функции f£C(G) обозначим через К/ замыкание множества HL(f). По теореме 5.13 множество К/ компактно. Очевидно, что Ls (I(f) <z К/ для всякого s£G. Поэтому из теоремы о неподвижной точке 5.11 следует, что в множестве К/ существует такая функция φ, что ^$ф —Φ Для всех s^G. В частности, φ (s)=y (e)> так что функция φ постоянна на G. Так как К/ есть замыкание HL(f)y то эта постоянная φ может быть аппроксимирована равномерно на G функциями из HL(f). Таким образом, мы доказали, что для каждой функции / ζ С (G) существует по меньшей мере одна постоянная с, которая может быть равномерно на G аппроксимирована выпуклыми комбинациями левых сдвигов функции f. Точно так же доказывается существование постоянной с', находящейся в таком же отношении к правым сдвигам функции /. Мы утверждаем, что с — с'. Чтобы доказать это, фиксируем некоторое ε > 0. Существуют такие конечные подмножества {az·}, {b;\ группы G и такие положительные числа ah β7·, что 2α/=1, 2Ρ/=1» (4) \с-^ао(а(х)\<е (x£G) и (5) |*'-]р//(**/)|<в (*€0). Положим x = bj в неравенстве (4); умножая получившееся неравенство на β7· и суммируя по всем /, получим (6) k-2«*y/W|<> Аналогично, полагая в (5) x = ah умножая на αΖ· и суммируя по
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 149 всем ί, получим (7) K-5WW|<e· I с, / I Из (6) и (7) следует, что с = с'. Из доказанного видно, что для каждой функции f £C (G) существует единственное число Mf, которое может быть равномерно аппроксимировано выпуклыми комбинациями левых сдвигов функции /, и что то же самое число Mf является единственным числом, допускающим равномерную аппроксимацию выпуклыми комбинациями правых сдвигов функции /. Очевидно, что построенный функционал Μ на С (G) обладает следующими свойствами: (8) Λί/>0, если />0; (9) Λί1 = 1; (10) Μ (af)=aMf для любого скаляра а; (11) M(LJ)=Mf = M(Rsf) для всякого s£G. Теперь мы докажем, что (12) M(f+g) = Mf + Mg. Фиксируем ε > 0. Тогда (13) |^-^//(¥)|<ε (*€θ для некоторого конечного множества {а{\ с G и некоторых чисел αζ· > 0, таких, что ^^ееt- = 1. Положим (14) Hx)=Jlaig(aix). i Тогда h £ Kg, и потому Kh с Λ^» а так как каждое из этих множеств содержит единственную постоянную функцию, то Mh = Mg. Поэтому найдутся такое конечное множество \bj) <z G и такие числа β7· > 0, где 2JPy = ^ что (15) |Aig-2Py/zM|<8 (*£G)' откуда, учитывая (14), получаем (16) I Мц-^щЬе (afijx) I < е (χ ζ G). I *. / I Заменяя х на 6ул: в неравенстве (13), умножая результат на β7· и суммируя по всем /, получим неравенство (17) I Mf-^afiy f (afijx) I < ε (x£G). Таким образом, (18) I Mf + Mg-^afiy (f + g) {afijx) I < 2ε {χ ζ G). Ι ι". / I Поскольку 2а$у = 1, из (18) следует (12).
150 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Соотношения (8), (9), (10) и (12) показывают, что М — положительный линейный функционал на C(G). Поэтому из теоремы Рисса следует существование единственной регулярной вероятностной борелевской меры т на G, для которой (19) Mf = ]fdm (/€C(G)); G свойства (1) и (2) следуют из (11). Чтобы доказать (3), обозначим правую часть этого соотношения через M'f и заметим, что функционал М' также обладает свойствами (8) — (12); поэтому М' = М и теорема доказана1). Щ Недополняемые подпространства Свойство дополняемости подпространства топологического векторного пространства было определено в п. 4.20; лемма 4.21 доставляет некоторые примеры дополняемых подпространств. Нетрудно убедиться в том, что каждое замкнутое подпространство гильбертова пространства дополняемо (теорема 12.4). Теперь мы покажем, что некоторые хорошо известные замкнутые подпространства некоторых других банаховых пространств недополняемы. Недополняемость будет установлена с помощью одной довольно общей теоремы о компактных группах операторов, имеющих общее инвариантное подпространство; доказательство этой теоремы использует интегрирование векторных функций по мере Хаара. 2) В действительности единственность левоинвариантной меры (а вместе с ней и свойство (3)) осталась недоказанной. Доказательство можно закончить, например, следующим образом. Пусть μ — регулярная вероятностная борелевская левоинвариантная мера на G. Пусть f£C(G); легко видеть, что функция f (st) непрерывна на GxG. Применяя к ней теорему Фубини и учитывая, что μ левоинвариантна, а т, как доказано в тексте, правоинвариантна, имеем J / (0 άμ (t) = J / (st) Φ (0 = J ["J / (st) άμ (/)] dm (s) = G G G \-G J = J ["J ί(8ήάηι(8)~\άμ(ί) = ^ l^f(s)dm(s) G LG J G LG = ^f(s)dm(s). άμ(ί) = G Так как меры μ и т регулярны, а / — любая непрерывная функция на G, то отсюда следует, что μ = /η. После этого можно доказать (3), как это сделано в тексте. Другой способ доказательства единственности левоинвариантной меры (который, возможно, ближе к замыслу автора) состоит в том, что интеграл \ f άμ по такой мере можно равномерно аппроксимировать выпуклыми комбинациями левых сдвигов функции / (например, с помощью сумм Римана).— Прим. перев.
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 151 Начнем с обзора некоторых связей между дополняемыми подпространствами и проекторами. 5.15. Проекторы. Пусть X—векторное пространство. Линейное отображение Ρ: Χ—>Х называется проектором в пространстве X, если Р* = Р, т. е. если Р(Рх) = Рх для всякого χζΧ. Пусть Ρ — проектор в X с ядром off (Р) и образом 31 (Р). Следующие факты почти очевидны: (a) Я(Р) = о!Г(1 — Ρ) = {χζΧ: Рх = х\\ (b) №(Р) = Я(1 — Р)\ (c) Я(Р)По1Г(Р) = {0\ и Х = Я(Р) + ^(Р)\ (d) если А и В—такие подпространства в X, что А[)В = {0\ и Х = Л+Б, то в X существует единственный проектор Р9 для которого А = Я(Р) и В = <№(Р). Так как (I — P) Ρ = О, то Я, (Р) с Jf (Ι — Ρ). Если χ 6 оЛГ (Ι — Ρ), то λ'—Рл: = 0, так что х = Рх£31(Р). Это доказывает равенство (а); утверждение (Ь) получается применением (а) к проектору / — Р. Если х£Я(Р) ПсЛГ(Р), то л: = Ял; = 0; всякий вектор χζΧ представим в виде х = Рх + (х—Рх), причем χ—Px£o!f (P)\ этим доказано утверждение (с). Если подпространства А и В удовлетворяют условиям утверждения (d), то каждый вектор χ ζ Χ единственным способом представляется в виде х = х'+х", где хг £ А и χ"ζΒ. Положим Рх = хг. Тривиальная проверка показывает, что Ρ обладает нужными свойствами. 5.16. Теорема, (а) Если Ρ—непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то Х = Я(Я)фоГ(Я). (Ь) Обратно, если X является F-пространством и Х = ЛфВ, то проектор Ρ с образом А и ядром В непрерывен. Напомним, что мы пользуемся обозначением X = AQ)B лишь в том случае, когда А и В—замкнутые подпространства X, причем А + В = Х и АпВ = {0\. Доказательство. Так как операторы Ρ и / — Ρ непрерывны, то подпространства off (Р) и 3i(P) = off(I — Ρ) замкнуты; поэтому утверждение (а) следует из утверждения (с) п. 5.15. Чтобы доказать (Ь), достаточно проверить, что проектор Ρ удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике. Пусть хп —>х и Рхп —>у. Так как Рхп £ А, а подпространство А замкнуто, то у ζ А, и потому у = Ру. Аналогично хп — ΡχηζΒ, подпространство В замкнуто, так что χ—у ζ Β> и потому Ру = Рх.
152 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Таким образом, у = Рх. Следовательно, проектор Ρ непрерывен. Щ Следствие. Замкнутое подпространство F-пространства X тогда и только тогда дополняемо в X, когда оно является образом некоторого непрерывного в X проектора. 5.17. Группы линейных операторов. Предположим, что топологическое векторное пространство X и топологическая группа G связаны следующим образом: каждому элементу s£G сопоставлен непрерывный линейный оператор Ts\ X—>Х, причем Te = I, Tst = TsTt (seG, f€G) и отображение (s, χ)—>Tsx прямого произведения GxX в пространство X непрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X. 5.18. Теорема. Пусть Υ—дополняемое подпространство пространства Фреше X, и пусть компактная группа G непрерывно и линейно действует на пространстве X, причем Ts (Υ) с Υ для всех s£G. Тогда существует непрерывный проектор Q пространства X на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Ts. Доказательство. Для простоты будем вместо Tsx писать sx. По утверждению (Ь) теоремы 5.16 существует непрерывный проектор Ρ пространства X на подпространство Υ. Искомый проектор Q должен удовлетворять условию s~1Qs = Q для всех s£G. Идея доказательства состоит в том, чтобы получить проектор Q усреднением операторной функции s—>s~1Ps по мере Хаара dm(s) на группе G. Положим (1) Qx=\s'1Psxdm(s) (χζΧ). G Чтобы доказать, что этот интеграл (понимаемый в смысле определения 3.26) существует, достаточно в силу теоремы 3.27 показать, что функция fx: G—^Х, определенная формулой (2) fx(s)=s-iPsx {s£G), непрерывна. Фиксируем s0 £ G; пусть U—окрестность точки fx (s0) в X. Положим y = PsQx, так что (3) s^y = fx(s0). Так как отображение (s, z)—->sz предполагается непрерывным, то существуют такие окрестности Уг и W точек s0£G и у ζ Χ соот-
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 153 ветственно, что (4) s-1 (W) с U для всех s^V±. Кроме того, поскольку проектор Ρ непрерывен, найдется такая окрестность V2 точки s0, что (5) Psx ζ W для всех s ζ V2. Если s^V1f]V2y то из (2), (4) и (5) следует, что fx(s)^U. Таким образом, функция fx непрерывна. Поскольку группа G компактна, образ каждой из функций fx является компактным подмножеством пространства X. Поэтому из теоремы Банаха—Штейнгауза 2.6 следует, что семейство линейных операторов {s_1 Ps: s£G\ равностепенно непрерывно в пространстве X. Поэтому для любой выпуклой окрестности нуля иг найдется такая окрестность нуля ί/2, что s"1 Ps (U2) с 11г при всех s £ G. Так как окрестность их выпукла, то из формулы (1), определяющей оператор Q, следует, что Q (U2) <z и± (см. теорему 3.27). Поэтому оператор Q непрерывен. Линейность его очевидна. Если χ g X, то Psx g Υ. Так как по условию подпространство Υ инвариантно относительно всех операторов Ts(s£G), то отсюда следует, что s~1Psx£Y для всякого s£G. Так как Υ замкнуто, то Qx£Y. Если χζΥ, то sx£Y и Psx = sxt так что s'1Psx = x для любого s£G. Поэтому Qx = x. Эти два замечания показывают, что Q является проектором пространства X на подпространство Y. Для завершения доказательства остается убедиться в том, что (6) Qs0 = s0Q для всякого s0£G. Заметим, что s'1 Pss0 = s0(ss0)-1 Ρ (ss0). Поэтому из (1) и (2) следует, что Qs0x=\is'1 Pss0x dm (s) = \ sjx (ss0) dm (s) = G G = $ s0fx (s) dm (s) = s0 I fx (s) dm (s) = s0Qx; G G третье равенство выполняется в силу инвариантности меры т относительно сдвигов; по поводу четвертого равенства (вынесение оператора s0 за знак интеграла) см. упр. 24 гл. 3. Щ 5.19. Примеры. В качестве первого примера рассмотрим подпространство Υ = ΗΧ пространства Х = Ьг. Здесь L1—пространство всех интегрируемых функций на единичной окружности, а Н1 состоит из всех тех функций f^L1, для которых f(n) = 0 при всех η < 0. Напомним, что f (ή) обозначает п-и коэффициент
154 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Фурье функции /: π (!) f^ = i §ΪΦ)β-ίη0Μ (Л = 0, ±1, ±2, ...)· -π Заметим, что для простоты мы пишем / (Θ) вместо / (eiQ). В качестве группы G возьмем единичную окружность, т. е. мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу eis £ G оператор сдвига Ту, полагая (2) (τ,/)(θ)=/(8 + θ). Легко проверить (см. упр. 12), что так определенное действие группы G на пространстве L1 линейно и непрерывно и что (3) (Tj)^(/i)=^f(/i). Поэтому rs(H1) = H1 для любого вещественного s. Если бы подпространство Я1 было дополняемым в L1, то из теоремы 5.18 следовало бы существование такого непрерывного проектора Q пространства L1 на Я1, что (4) tsQ==Qi:s Для всех s· Посмотрим, как должен был бы выглядеть такой проектор. Положим еп (Q)=einQ. Тогда Tsen = einsent а так как оператор Q линеен, то (5) Q^en = e^Qen. Из (4) и (5) следует, что (6) (Qen)(s + Q)=e^(Qen)(Q). Пусть cn = (Qen) (0). При 6 = 0 соотношение (6) принимает вид (7) Qen = cnen (/i = 0, ±1, ±2, ...). До сих пор мы пользовались лишь условием (4); воспользуемся теперь тем, что образом оператора Q служит подпространство Я1. Так как Qe^Gtf1 для всех п, то из (7) следует, что сп = 0 при η < 0. Так как Qf = f для всех /ζЯ1, то сп = \ при η ^ 0. Таким образом, проектор Q (если он вообще существует) является «естественным», т. е. его действие сводится к замене нулем всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами, т. е.х) (8) Q^ane^ = ^,anein0. г) Равенство (8) нужно понимать в том смысле, что если функция /ζΖ,1 со оо имеет ряд Фурье 2 aneinQ, то функция Qf должна иметь ряд Фурье 2 aneinQ. -со 0 В тексте будет доказано, что линейный оператор Q: L1 ->» L1, обладающий
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 155 С целью получить противоречие рассмотрим функцию (9) /Γ(Θ)=2^|Λ|^Θ (0 < г < 1), — 00 которая представляет собой хорошо известное ядро Пуассона 1 —г2 1— 2rcose + r2' в частности, fr > 0. Поэтому π π (Ю) WfA\i=-hil \Ш\<®=-&1 /γ(Θ)^θ = ι -π —π для всех г. Однако (П) (Qfr)(6) = ;fvv"9=T=7^' о а так как ^|1—el0|"1d0 = oo, то из леммы Фату следует, что IIQ/rlli—*°° ПРИ г—*!· В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q. Следовательно, подпространство Н1 недополняемо в ΖΛ Такой же подход можно применить к пространствам Л и С, где С—пространство всех комплексных непрерывных функций на единичной окружности, а А состоит из всех тех функций / £ С, для которых J (η) = О при η < 0. Если бы подпространство А было дополняемым в С, то существовал бы непрерывный проектор Q пространства С на Л, который должен был бы удовлетворять условию (8). Если /ζ А и /|θ=0 = 0, то 2Re/£C и таким свойством, не может быть непрерывным. В действительности можно утверждать чуть больше: не существует вообще никакого линейного оператора Q'.L1 -+■ L1, удовлетворяющего условиям Q (einQ)=einQ при п^Ои Q (einQ) = 0 при η < 0. Действительно, если бы такой линейный оператор Q существовал, то, как легко проверить, он имел бы замкнутый график и потому был бы непрерывным, что невозможно. Заметим еще, что отсюда следует существование такой функции /ζΖ,1 с рядом Фурье ^aneinQt что ^ aneinQ — оо О ί KOHKpi егпд ляется рядом Фурье никакой функции из L1. Известны и конкретные примеры таких функций; так, можно показать, что V^ -. :—г- является | л|> 2 Σβύιθ η не может /2=2 быть рядом Фурье функции из L1 (доказательства этих утверждений основаны на довольно тонком анализе, тогда как существование примера такого рода получается из общих соображений, «даром»). Наконец, отметим, что теорема о недополняемости Я1 в L1 принадлежит Д. Ньюману, а ее доказательство, приведенное в тексте, предложено У. Рудином. — Прим. перев.
156 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Q (2Re/) = /; поэтому должна была бы существовать такая постоянная Μ < оо, что (12) sup | ^ (θ) | ^ Λί sup | Re / (θ) | θ θ для всех ^ζ Л, удовлетворяющих условию f |0=o = 0. Однако такой постоянной не существует, в чем можно убедиться, рассматривая конформные отображения замкнутого единичного диска на высокие узкие эллипсы. Следовательно, подпространство А недополняемо в С. Однако если 1 < ρ < оо, то существует непрерывный проектор Q пространства LP на подпространство Нру удовлетворяющий условию (8). Таким образом, при 1 < ρ < оо подпространство Нр дополняемо в LP. Это утверждение составляет содержание теоремы М. Рисса (см. [27, теорема 17.26] или [12, стр. 215]). В заключение приведем один результат, аналогичный утверждению (Ь) теоремы 5.16; мы воспользуемся им при доказательстве теоремы 11.31. 5.20. Теорема. Пусть А и В — такие замкнутые подпространства банахова пространства X, что Х = А+В. Тогда существует такая постоянная γ < оо, что каждый вектор χ g X допускает пред- ставление в виде х = а + Ь, где а £ A, b£B и ||α|| + |]&||^γ|ί*||· Условия этой теоремы отличаются от условий теоремы 5.16(b), поскольку здесь не предполагается, что А(]В = {0\. Доказательство. Пусть Υ — векторное пространство всех упорядоченных пар (a, b)(a£A, b£B) с покомпонентным сложением и умножением на скаляры и с нормой || (а, 6)|| = ||а|| + ||6||. Так как пространства А и В полны, то У является банаховым пространством. Отображение Λ: Υ—>Χ, определенное формулой Λ (α, b)=a + b, сюръективно, линейно и непрерывно, поскольку || α + b || ^ || (а, Ь) ||. По теореме об открытом отображении существует такая постоянная γ< оо, что каждый вектор χζΧ является образом при отображении Λ некоторого элемента (а, Ь) ζ У, для которого || (а, Ь) || ^ < ν II* II· ■ Упражнения 1. Пусть μχ, μ2 — меры на единичной окружности, определенные равенствами ^1 = cos0d0, <^2 = sin θ dQ. Найти множество значений векторной меры μ = (μχ, μ2). 2. Построить две функции / и g на отрезке [0, 1], обладающие таким свойством: если άμ1 = f (χ) dx и άμ2 = g (x) dxt
ГЛ. 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 157 то множество значений векторной меры μ = (μχ, μ2) есть квадрат с вершинами в точках (1, 0), (0, 1), (—1, 0) и (0, —1). 3. Предположим, что выполняются условия теоремы 5.9, и пусть ср£С (S), Φ > 0, g£C (К) и \g\ <ψ\κ· Доказать, что существует такая функция /ζ Υ, для которой / |# = g и | /1 < φ на S. Указание: примените теорему 5.9 к пространству всех функций вида //φ, где ίζΥ. 4. Доказать, что носитель каждой крайней точки множества Ρ (см. теорему 5.10) состоит из единственной точки (этим фактом мы воспользовались в конце доказательства теоремы 5.10). 5. Сформулировать и доказа.ть аналоги теорем 1.10—1.12, упоминавшиеся в п. 5.12 (не предполагая, что группа G коммутативна). 6. Пусть G— топологическая группа, а Н — максимальное связное подмножество в G, содержащее единичный элемент. Доказать, что Η является нормальным делителем группы G, т. е. такой подгруппой, что х~1Нх = Н для всех χζό. Указание: если А и В — связные подмножества группы G, то множества Л-1 и АВ тоже связны 7. Доказать, что всякая открытая подгруппа топологической группы замкнута (обратное, очевидно, неверно). 8. Пусть т—мера Хаара на компактной группе G, а V—непустое открытое множество в G. Доказать, что т (V) > 0. 9. Рассмотрим функции en = einQ как элементы пространства L2 относительно меры Лебега на единичной окружности. Пусть А — наименьшее замкнутое подпространство в L2, содержащее все функции еп с η ^ 0, а В — наименьшее замкнутое подпространство в L2, содержащее все функции е-п + пеп с /ι^Ι. Доказать следующие утверждения: (a) АПВ = {0}; (b) подпространство Х = А-\-В всюду плотно в L2, но не совпадает с L2; (c) хотя Х = Л®В, проектор пространства X на подпространство Л, имеющий своим ядром подпространство В, не непрерывен (разумеется, в X рассматривается топология, индуцированная £2-нормой; ср. с теоремой 5.16). 10. Пусть X — банахово пространство, Ρζ^(Χ), Q£3i(X), причем Ρ и Q — проекторы. (a) Показать, что сопряженный к Ρ оператор Р* является проектором в пространстве X*. (b) Показать, что если PQ = QP и Ρ φ Q, то \\Р — Q||>1. П. Пусть Ρ и Q — проекторы в векторном пространстве X. (a) Доказать, что оператор P-\-Q является проектором тогда и только тогда, когда PQ = QP = 0. Если последние условия выполняются, то o!f(P + Q) = Jf(P)riolf(Q)> &(p+Q)=3i(P)+3im m(P)nm(Q)={o}· (b) Доказать, что если PQ = QP, то оператор PQ является проектором и Qff(PQ) = <M3(P)+olf(Q)> 9l{PQ) = m(P)ViSl(Q)· (c) Какие выводы относительно утверждения (Ь) можно сделать, рассматривая матрицы (ίί)-(ί-Ι)'
158 ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 12. Доказать, что группа операторов Ту, участвующая в примере 5.19, непрерывно действует на пространстве Δ1 (в смысле определения п. 5.17). Иными словами, доказать, что если г -+ s и g -+ f в L1. 13. Используя следующий пример, показать, что условие компактности группы G существенно для справедливости теоремы 5.18. Возьмем в качестве X пространство L1 относительно меры Лебега на вещественной оси R; подпространство Υ пусть состоит из всех тех функций /ζΖΑ для которых \ / = 0; группа G = R (с обычной топологией) непрерывно (см. упр. 12) и R линейно действует на X = LX сдвигами: (%sf) (χ) = / (s + χ), τ3Υ = Υ для всех s£R и подпространство Υ дополняемо в X. Тем не менее не существует коммутирующего со всеми операторами xs проектора пространства X на подпространство Υ (даже разрывного). 14. Предположим, что Τ и S—такие непрерывные линейные операторы в топологическом векторном пространстве, что T = TST. Доказать, что образ оператора Τ замкнут (в случае S = I это сводится к утверждению (а) теоремы 5.16). 15. Пусть S—компактное хаусдорфово пространство и А — замкнутое подпространство пространства C(S). Пусть μ — крайняя точка единичного шара в A-L, a f£C(S) — такая вещественная функция что ξ£Μμ = 0 S для всех g£A. Доказать, что тогда функция / постоянна на носителе меры μ (ср. с теоремой 5.7). Показать на примере, что это утверждение становится неверным, если не предполагать вещественности функции /.
Часть вторая Распределения и преобразование Фурье Глава 6 ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Введение 6.1. Теория распределений освобождает дифференциальное исчисление от некоторых трудностей, возникающих ввиду существования недифференцируемых функций. Это достигается путем распространения дифференциального исчисления на класс объектов (называемых распределениями или обобщенными функциями), значительно более широкий, чем класс дифференцируемых функций, к которым дифференциальное исчисление по-прежнему применяется в своей первоначальной форме. Для того чтобы такое расширение оказалось полезным, необходимо выполнение ряда условий. В частности, для каждого открытого множества в R": (a) любая непрерывная функция должна быть распределением; (b) любое распределение обязано обладать частными производными, которые снова являются распределениями (каждое распределение тем самым будет «бесконечно дифференцируемым»). Для дифференцируемых функций новое понятие производной должно совпадать со старым; (c) должны сохраняться обычные формальные правила дифференциального исчисления; (d) достаточно богатый запас теорем сходимости должен обеспечивать возможность обычных для анализа предельных переходов. Мы объясним мотивы следующих далее определений, ограничившись временно случаем п — 1. Встречающиеся ниже интегралы понимаются в смысле меры Лебега. Если пределы интегрирования не указаны, то это означает, что оно распространяется на всю вещественную ось R. Комплексная функция f называется локально интегрируемой, если она измерима и j|/|<oo для любого компакта Κα R. к Основная идея состоит в том, чтобы интерпретировать / не как
160 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ обычную функцию, сопоставляющую каждому χ £ R некоторое число f(x), а как нечто такое, что сопоставляет каждой выбранной подходящим образом «пробной функции» φ число j /φ. [Такая точка зрения особенно удобна для функций, возникающих в физических рассмотрениях, ибо почти всегда величины могут быть измерены только в среднем. Не удивительно, что распределения использовались физиками задолго до того, как была построена их математическая теория.] Разумеется, выбор подходящего класса пробных функций следует уточнить. Мы будем рассматривать векторное пространство ёй = £й(Ц) всех функций 9 6C°°(R) с компактным носителем. Тогда для каждой локально интегрируемой функции / и каждой функции φ ζ ей существует интеграл ^ /φ. Кроме того, класс ей настолько обширен, что интегралы ^ /φ однозначно определяют функцию f почти всюду (п. в.). [Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что равномерное замыкание множества £й содержит каждую непрерывную функцию с компактным носителем.] Если функция f непрерывно дифференцируема, то (1) $/'φ=_$/φ' (φ ζ®). Если /6C°°(R), то (2) 5/(»φ = (-1)*5/φ<*> («p€S>f £ = 1,2, 3, ...). При интегрировании по частям здесь использована компактность носителя функции φ. Ясно, что интегралы справа в формулах (1) и (2) имеют смысл независимо от того, дифференцируема или нет функция f, и что они определяют линейный функционал на пространстве ей. Тем самым мы можем сопоставить каждой локально интегрируемой функции / ее «k-ю производную» f{k\ понимая под этим линейный функционал на ®, который на элементе φ принимает значение (—1)*^/φ(Λ). Заметим, что самой функции / при этом сопоставляется линейный функционал φ—► j/ф. Распределениями будут те линейные функционалы на £йу которые непрерывны в некоторой топологии (см. определение 6.7). Предыдущие рассмотрения наводят на мысль сопоставить каждому распределению Λ его «производную» Λ' по формуле (3) Λ'(φ)=-Λ(φ') (φ 6®). Оказывается, что при таком определении (если распространить его на случай η переменных) выполняются все перечисленные выше условия. Одно из наиболее важных достоинств получающейся в результате теории состоит в том, что она позволяет
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 161 применять технику преобразования Фурье ко многим проблемам дифференциальных уравнений в частных производных, когда классические методы перестают работать. Пространства пробных функций 6.2. Пространство ίΖ>(Ω). Рассмотрим непустое открытое множество Ω<ζ R". Для каждого компакта Κα Ω пусть <%>к—пространство Фреше, описанное в п. 1.46. Пространство ей (Ω) пробных функций является объединением всех ίΖ)^, когда К пробегает совокупность всех компактных подмножеств множества Ω. Ясно, 4Τ0^)(Ω) есть векторное пространство относительно обычного сложения комплексных функций и умножения их на скаляры. Точнее говоря, φζ^)(Ω) тогда и только тогда, когда φζΟ°°(Ω) и носитель функции φ есть компактное подмножество в Ω. Для функций φ £ iZ> (Ω) введем последовательность норм (1) ||ф||„=тах{|Яаср(х)|: *ζΩ, |α|<ΛΤ}, где Ν = 0, 1, 2, ...; определение символов Da и |α| см. в п. 1.46. Сужение этих норм на каждое из подпространств ейKa S> (Ω) порождает на £йц ту же топологию, что и полунормы ρΝ из п. 1.46. Чтобы убедиться в этом, заметим, что каждому компакту Κα Ω соответствует такой индекс Ν01 что К a KN при всех N > N0. Для таких N имеем || φ \\Ν = ρΝ(φ), если cpgiZ^. Поскольку (2) H<PlU<ll<PlU-i и Λν(φ)<Λν+1(φ), рассматриваемые топологии не меняются, если индекс N пробегает значения не от 1, а от Ν0. Поэтому на £йк обе топологии совпадают. Локальную базу (окрестностей нуля) образуют множества (3) νΝ={φζ®κ: ||φ||ΛΓ<4-} (#=1,2,3,...). Те же нормы (1) можно использовать для введения на всем S)(Q) некоторой локально выпуклой метризуемой топологии (см. теорему 1.37 и утверждение (с) п. 1.38). Однако эта топология неудобна, поскольку не является полной. Действительно, пусть, например, п=\ и Q = R. Рассмотрим такую функцию cp£iZ>(R) с носителем [0, 1], для которой φ > 0 на (0, 1), и положим *«(*) = Φ(*—!) +-^ ф(*—2) + ·.-+-^-φ(*—/я). Тогда \\рт\ есть последовательность Коши в рассматриваемой топологии пространства ®(R), но lim tym не входит в S>(R), поскольку носитель предельной функции не компактен. Теперь мы определим на £й(0) другую локально выпуклую топологию τ, в которой все последовательности Коши будут схо- 6 № 871
162 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ дящимися. Тот факт, что она не метризуема, не создает (как мы увидим ниже) больших неудобств. 6.3. Определения. Пусть Ω — непустое открытое множество в R". (a) Для каждого компакта К с: Ω через τκ обозначим топологию пространства Фреше на S)K, описанную в п. 1.46 и 6.2. (b) β есть семейство всех выпуклых уравновешенных множеств Wd έ>(Ω), для которых @>КГ) Wс: т^при любом компакте KczQ. (c) τ есть семейство всевозможных объединений множеств вида φ + Г, где φ€®(Ω) и ΐ^ζβ1). На протяжении всей этой главы символ К обозначает компактное подмножество в Ω. 6.4. Теорема, (а) τ есть топология в ®(Ω), α β—ее локальная база. (Ь) τ превращает ЗУ (Ω) в локально выпуклое топологическое векторное пространство. Доказательство. Пусть Vx ζ τ, V2 ζ τ и φ ζ Vx Π V2. Для доказательства утверждения (а), очевидно, достаточно установить, что (1) v + WczV^V, при некотором W ζ$. Согласно определению семейства τ, существуют такие срг· € ® (Ω) и №,€β, что (2) (рёФ/ + ^/с1/; (f=l,2). Выберем компакт К с таким расчетом, чтобы пространство S>K содержало функции φχ, φ2 и φ. Так как S>K{\W{ открыто в% то при подходящих бг- > О (3) <Р-Ф,€(1-6,)Г,. Ввиду выпуклости множеств №г это дает (4) φ-φ, + б^с (1-6,) Wi + 6iWi = Wh так что (5) φ + ttWtC φ,- + 1Р,с Vt (i = 1, 2). 2) Β следующих ниже теоремах 6.4 и 6.5 устанавливается, что τ есть топология на <2)(Ω), и выясняются некоторые ее свойства. Мы рекомендуем читателю уже сейчас обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Если {хт} — последовательность точек из Ω, не имеющая в Ω предельных точек, а гт > О, то множество {φ: | φ (хт) | < ет\ принадлежит семейству β, т. е. является окрестностью нуля. Этим топология τ существенно отличается от рассмотренной в п. 6.2 и от ряда других естественных топологий пространств функций (здесь уместно рассмотреть несколько примеров). В частности, именно ввиду данного свойства последовательности Коши (ограниченные множества) в топологии τ оказываются сосредоточенными на общем компакте, что в конечном счете и обеспечивает их сходимость (теорема 6.5).—Прим. ред.
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 163 Следовательно, соотношение (1) выполняется cW — ^WJ П (δ2№2), и утверждение (а) доказано. Предположим далее, что φχ и φ2—различные элементы из ЗУ (Ω), и пусть (6) Ψ = {4>^3)(Ω): ||φ||„<||φι-φ1||„}, гДе II Φ Но — норма, определенная формулой (1) из п. 6.2. Тогда W ζ β, причем φχ не содержится в φ2 + ^. Это означает, что одноточечное множество {φ^ замкнуто в топологии τ. Сложение τ-непрерывно, поскольку ввиду выпуклости каждого из множеств W ζ β имеем (7) (ψχ+γ^) + (ψ2+|^) = (Ψι + Ψ2) + ^ для любых ^1ξ:3)(Ω), ψ2ζ®(Ω). Переходя к умножению на скаляры, фиксируем некоторую константу а0 и элемент φ0€^)(Ω). Тогда (8) αφ—α0φ0 =α (φ — <ρ0) + (α—α0) φ0. Для любого W7 € β существует такое δ > 0, что 8ψ0ζ-^Ψ. Выберем с так, чтобы выполнялось соотношение 2с (|а0 | + б) = 1. Так как множество W выпукло и уравновешено, то (9) αφ—α0φ0ζ№, если |α—α01 < δ и φ — ср0£сИ^. Тем самым доказательство полностью завершено. Щ Замечание. Всюду в дальнейшем символ ЗУ (Ω) обозначает только что описанное топологическое векторное пространство (3>(Ω), τ). Все топологические понятия, касающиеся пространства 3)(Ω), относятся к топологии τ. 6.5. Теорема, (а) Выпуклое уравновешенное подмножество V пространства 3>(Ω) тогда и только тогда открыто, когда Ι^ζβ· (b) Топология %к каждого из пространств ЗУка ЗУ (Ω) совпадает с топологией, индуцированной на ЗУК топологией ЗУ (β). (c) Если Ε—ограниченное подмножество в 3>{Ω), то ЕаЗУк при некотором К с Ω и, кроме того, существуют такие числа ΜΝ<<χ>, что каждое φζ-Ε удовлетворяет неравенствам \\4\\Ν<ΜΝ (N = 0,1,2,...). (d) Пространство ЗУ (Ω) обладает свойством Гейне—Бореля. (e) Если {φ,·}—последовательность Коши в ЗУ (Ω), то \у;\с:3)к для некоторого компакта К с: Ω и, кроме того, Нт ||Фг-Ф/Н*=0 (N = 0, 1,2, ...). (f) Если φ,-—^0 в топологии пространства 3>(Ω), то существует такой компакт К с: Ω, который содержит носители всех 6*
164 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ функций φ,- иу кроме того, Daqi—>0 равномерно при i—>оо для каждого мулыпииндекса а. (g) В пространстве ей (Ω) каждая последовательность Коти сходится. Замечание. В силу утверждения (Ь) необходимые условия, заключенные в (с), (е) и (f), являются также и достаточными. Например, если Ее: @)к и || φ \\Ν^ ΜΝ < оо для каждого φ £ Ε, то Ε есть ограниченное подмножество в £йк (п. 1.46) и, согласно (Ь), £ есть ограниченное множество в ®(Ω). Доказательство. Пусть сначала У ζ τ. Выберем φ £ iZ># Π У. По теореме 6.4, y + WaV при некотором №ζβ. Следовательно, ср + (<2)„ПГ)с<^ПУ. Поскольку множество S)K(]W является открытым в §йк> мы доказали, что (1) 3)к[\У£тю если Vζτ и ΚαΩ. Утверждение (а) прямо вытекает из (1), так как очевидно, что βατ. Соотношением (1) доказана также половина утверждения (Ь). Чтобы доказать вторую половину, предположим, что Εζτκ. Мы должны доказать, что E = S)K[\V при некотором У ζ τ. Согласно определению^, каждому элементу φ ζ Ε соответствуют такое Ыи такое δ > 0, что (2) {Ф€»^ ||ψ-φ||„<δ}α£. Положим №φ = {ψ£^)(Ω): ||ψ|Ι*<δ}· Тогда №φζβ и (3) ^П(Ф + ^) = Ф + (^ПГФ)с£. Если У есть объединение таких множеств φ + ^φ, по одному для каждого φ £ £, то это множество У обладает требуемым свойством. Для доказательства утверждения (с) рассмотрим некоторое множество £с®(й), которое не содержится ни в одном из пространств ёйк. Найдутся такая последовательность функций ут ζ Ε и такая последовательность различных точек хт £ Ω, не имеющая в Ω предельных точек, что φ^ (хт) -ψ 0 (т = 1, 2, 3, .. .). Пусть W— множество всех функций φ£®(Ω), удовлетворяющих условию (4) | φ (хя) \<т-^\ <рт (хт) \ (т = 1, 2, 3, . . .). Так как каждый компакт К с Ω содержит не более чем конечное множество точек хт, то ясно, что iDK Π W ζ τκ. Таким образом, "Π7£β. Никакое кратное множества W не может содержать £, ибо ^m^mW. Это показывает, что множество £ не является ограниченным.
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 165 Из сказанного выше вытекает, что каждое ограниченное множество Ε из S) (Ω) содержится в некотором @ук. Следовательно (см. п. 1.46), (5) sup {|| φ ||^: φζ£}<οο (tf=0, 1,2, ...). Тем самым полностью доказано утверждение (с). Утверждение (d) вытекает из (с), ибо пространство @)к обладает свойством Гейне — Б орел я. Поскольку последовательности Коши ограничены (см. п. 1.29), из (с) следует, что любая последовательность Коши {φ,·} из пространства <&(&) содержится в некотором S>K. В силу (Ь) последовательность {φ,·} оказывается тогда последовательностью Коши в топологии τκ. Этим доказано (е). Утверждение (f) в точности повторяет (е). Наконец, утверждение (g) вытекает из (Ь), (е) и полноты пространств ёйк. (Напомним, что £йк является пространством Фреше.) Щ 6.6. Теорема. Пусть А—линейное отображение пространства £ΰ(Ω) в некоторое локально выпуклое пространство Υ. Тогда следующие четыре условия эквивалентны: (a) отображение А непрерывно) (b) отображение А ограничено; (c) если φ,—>0 в ®(Ω), то Λφ,—у О в Υ; (d) сужение отображения А на каждое из подпространств £йка£й(&) непрерывно. Доказательство. Импликация (а) =>(Ь) содержится в теореме 1.32. Предположим, что отображение Λ ограничено и что φ,—^0 в ίΖ>(Ω). По теореме 6.5 тогда φ,-—^0 в некотором®^ и, кроме того, сужение отображения Λ на это £ΰκ является ограниченным отображением. Теперь теорема 1.32 в применении к отображению Λ: к>к—>Υ показывает, что Λφ/—*0 в Υ. Таким образом, из условия (Ь) вытекает (с). Предположим, что выполняется условие (с). Пусть {φ,·}<=: 3>к и φζ·—>0 в £йк. Согласно утверждению (Ь) теоремы 6.5, тогда φ,·—>0 в S>{Q). Поэтому из (с) вытекает, что Αφ,—^0 в Υ при i—>оо. Следовательно, выполняется условие (d), поскольку пространство £йк метризуемо. Покажем, что условие (а) вытекает из (d). Пусть U—выпуклая уравновешенная окрестность точки 0 в Υ и V = А~1 (U). Тогда множество V также является выпуклым и уравновешенным. Согласно утверждению (а) теоремы 6.5, множество V тогда и только тогда открыто в ®(Ω), когда ёйкГ\У открыто в @)к при любом @>κα ®(Ω). Это означает, что условия (а) и (d) эквивалентны. Щ
166 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Следствие. Каждый дифференциальный оператор <£)а порождает непрерывное отображение пространства ά) (Ω) в себя. Доказательство. Так как || Da φ \\Ν^\\ φ ||w+|a| при N = 0, 1, 2, ..., то Da порождает непрерывное отображение в себя любого из подпространств £йк. Щ 6.7. Определение. Линейный функционал на пространстве £й (Ω), непрерывный относительно топологии τ (описанной в п. 6.3), называется распределением в Ω. Пространство всех распределений в Ω обозначается через &)' (Ω). Отметим, что теорема 6.6 применима к линейным функционалам на ®(Ω). Это обстоятельство приводит к следующей полезной характеристике распределений. 6.8. Теорема. Если Λ есть линейный функционал на S> (Ω), то следующие два условия эквивалентны: (a)AiS>'(Q); (b) каждому компакту К α Ω соответствуют некоторое неотрицательное целое число N и константа С< оо, такие, что для всех φ g ёйк выполняется неравенство |A<p|<C||q>|U. Доказательство. Это вытекает из эквивалентности условий (а) и (d) теоремы 6.6 в сочетании с описанием топологии на £йк при помощи полунорм || φ Ц^, приведенным в п. 6.2. Примечание. Если для функционала Λ существует Ν, обслуживающее в указанном выше смысле все компакты (быть может, с различными С), то наименьшее из таких N называется порядком распределения Λ. Если же таких N не существует, то говорят, что Λ есть распределение бесконечного порядка. 6.9. Замечание. Каждая точка χζΩ порождает линейный функционал δ^ на ей (Ω) по формуле Мф) = ф(*)· Согласно теореме 6.8, функционал δχ есть распределение порядка 0. При х = 0 (начало координат в R") функционал δ = δ0 часто называют мерой Дирака (δ-функцией Дирака) в R". Для любого компакта К с: Ω подпространство &)к совпадает с пересечением ядер функционалов δχ при х, пробегающем дополнение к /С. Поэтому каждое из подпространств ёйк замкнуто в ®(Ω). [Это вытекает также из теоремы 1.27 и утверждения (Ь) теоремы 6.5, ибо каждое ёйк полно.] Ясно, что ни одно из £ΰκ не содержит точек, внутренних относительно @> (Ω), С другой
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 167 стороны, существует счетное семейство таких компактов /Q с Ω, что S>(Q)= \J@>k., и поэтому пространство <2) (Ω) является множеством первой категории в себе. Наконец, так как последовательности Коши сходятся в @)(Ω) (теорема 6.5), то, согласно теореме Бэра, пространство S> (Ω) не метризуемо. Операции над распределениями 6.10. Обозначения. Как и выше, Ω будет обозначать некоторое непустое открытое множество в R". Если а = (а1э ..., ап) и β = (βι, ..., β„)—мультииндексы (см. п. 1.46), то (1) |α|=«ι+...+«„, (2) Da = D«! ... D«n,TwDj=±-, (3) β ^α означает, что β/^α/ при Ι^ί^π, (4) α±β = (α14=β1, ..., αΒ±β„). Если x£Rn и ί/ g R", το (5) х-У = Х1У1+.--+ХпУп> (6) \x\ = (x.xy/*=(xl+...+x*ny/*. То обстоятельство, что знак абсолютной величины имеет различный смысл в формулах (1) и (6), не должно приводить к недоразумениям. Если x£Rn и а—мультииндекс, то моном ха определяется следующим образом: (7) χα = χ«ι ... х%п. 6.11. Функции и меры в качестве распределений. Пусть / — локально интегрируемая комплексная функция в Ω. Это означает, что функция / измерима по Лебегу и j | / (х) \ ах < оо для к любого компакта /(<ζΩ. Здесь dx—мера Лебега, по которой берется интеграл. Положим (1) A,(<p) = lv(x)f(x)dx (φ ζ® (Ω)). Ω Так как (2) ΙΛ,ΜκΑΐηΥΐΙΦίΙο (φ€®^), κ το Λ/£&>' (Ω) в силу теоремы 6.8. Принято отождествлять распределение Af с функцией / и говорить, что такие распределения «являются» функциями. Аналогично если μ — комплексная борелевская мера на множестве Ω или μ — положительная мера на Ω, для которой μ (К) < оо
168 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ при любом компакте ΚαΩ, то равенство (3) Λμ(φ)=$φ£ΐμ (Φ€®(Ω)) Ω задает распределение Λμ в Ω, и это распределение обычно отождествляется с мерой μ. 6.12. Дифференцирование распределений. Если а—мультиин- декс и Αζώ' (Ω), то формула (1) (D*A)(cp) = (— 1)ΙαΐΛ(Ζ)αφ) (φζ£>(Ω)) (мотивированная рассуждениями п. 6.1) определяет некоторый линейный функционал DaA на <2)(Ω). Если (2) |Лср|<СЦср||^ для всех φ ζ ίΖ>^, то (3) |ФаЛ)(ф)|<С||Оаф||^<С||ф|и+,а|. Согласно теореме 6.8, это означает, что £αΛζ^>'(Ω). Отметим, что формула (4) DaDVA = Ζ5α+βΛ = DVDaA имеет место для любого распределения Л и всех мультииндек- сов α и β просто потому, что операторы Da и D& коммутируют, если их рассматривать на С°° (Ω). Действительно, (DaDfiA)(y) = (— 1)ΙαΐφβΛ)φαφ) = ( — 1)Ι«ι+ΐβΙΛφβ£αφ) = = (—1)1 α+β ι Λ (£«+Ρφ) = (D«+*A) (φ). 6.13. Дифференцирование функций, рассматриваемых как распределения. Производной порядка α локально интегрируемой в Ω функции / служит, по определению, распределение DaAf. Если производная Daf существует в классическом смысле и является локально интегрируемой функцией, то эта функция Daf задает распределение в смысле п. 6.11. Очевидная очередная задача—выяснить, всегда ли в данных условиях выполняется равенство (1) DaA/ = AZ)cx/. Более детально вопрос заключается в том, выполняется или нет соотношение (2) (— 1)1 a I J / (χ) (ί> φ) (χ) dx = J (Da f) (χ) φ {χ) dx Ω Ω для всех φ ζ® (Ω). Если функция / обладает непрерывными производными всех порядков до N включительно, то интегрирование по частям без затруднений приводит к соотношению (2) при |a|<!Af. Однако,
ГЛ 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 169 вообще говоря, равенство (1) может оказаться неверным. Мы приведем пример, иллюстрирующий это обстоятельство в случае /1 = 1. 6.14. Пример. Пусть Ω — отрезок вещественной оси R и / — непрерывная слева функция ограниченной вариации на Ω. Если D=d/dx, то, как известно, (Df) (х) существует п. в. и D/ζΖΑ Мы утверждаем, что (1) DAf = A[X, где μ—мера на Ω, определяемая соотношением (2) μ ([a, b]) = f(b)-f(a). Таким образом, равенство DAf = ADf выполняется тогда и только тогда, когда функция f абсолютно непрерывна. Чтобы проверить формулу (1), мы должны показать, что для любой функции φ £ S) (Ω) (Λμ)(φ) = φΛ/)(φ) = -Λ/φφ), т. е. что (3) \ φίίμ = — \ φ' (χ) f (χ) dx. Ω Ω Но формула (З) есть простое следствие теоремы Фубини, так как обе части этой формулы представляют интеграл от функции φ' (χ) по множеству (4) {(*, у): χζΩ, yeQ, х<у\ относительно произведения мер dx и άμ. При вычислении используется тот факт, что функция φ обладает компактным носителем в Ω. 6.15. Умножение на функцию. Пусть Αζ&)' (Ω) и /ζС00 (Ω). Правая часть равенства (1) (/Α)(φ)=Α(/φ) (φ 6® (Ω)) имеет смысл, потому что /φζ^)(Ω), если φ ζ® (Ω). Следовательно, равенство (1) определяет некоторый линейный функционал /Λ на &)(&). Мы увидим, что на самом деле /Λ является распределением в Ω. Подчеркнем, что с обозначениями здесь следует соблюдать осторожность: если /ζ*Ζ)(Ω), то А/ есть число, тогда как /А — распределение. Включение /Λ ζ &)' (Ω) доказывается при помощи формулы Лейбница (2) £>a(fe)= Σ Crt{D«-Vf)(D*g), β<α
170 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ справедливой для всех / и g из С00 (Ω) и всех мультииндексов а. Формула (2) устанавливается путем итерации хорошо известной формулы (3) (uo)' = u'o + uo'. Числа са$ являются целыми положительными, их точные значения легко вычисляются, но для нашей ближайшей цели безразличны. Каждому компакту /С с Ω соответствуют такие С и Ν, что |Лф|^С||ф||^ для всех φζ®^. По формуле (2), найдется такая константа С", зависящая только от /, К и Ν, что || /φ \\Ν^ С || φ ||Λ для φ ζ S>^. Поэтому (4) |(/Л) (φ) I <СС'|| φ |U (4ζ£>κ). Согласно теореме 6.8, это означает, что fA£S)' (Ω). Теперь мы хотим показать, что формула Лейбница (2) справедлива с заменой g на Λ, т. е. что (5) Da (/Λ) = Σ c*t (D«-tf) (D*A). β<α Доказательство состоит в чисто формальных выкладках. Сопоставим каждой точке и ζ R" функцию hu по формуле ha(x) = exp (и-χ). Тогда D hu = uahu. Если в формуле (2) заменить / и g на hu и hO, то мы получим тождество (6) (α+υ)α = Σ СаРи*-М* (m6Rb· oeR"). β<α В частности, и*=ф + (—и + и)]а = 2 с«р0а-р 2 ^βν (—1)» ^-νι ^β-ν^ν = β<α ν<β = Σ (-1)'νΐί,«-νων 2 (-l),p,c«fK*v Поэтому (7) 2 (-ΐ)ιβ,^^βν=/ (-1)ια1.если ν=α· ν < β < α Ι 0 в противном случае. Если применить формулу (2) к D$ (yDa-$f), а затем использовать (7), то получится тождество (8) Σ (—1)1β,^β^(φβ«-β/) = (-1)ΐ«ι/Οαφ. β<α Формула (5) в конечном счете вытекает из (8). Действительно, если φζ^)(Ω), то Da (/Λ) (φ) = (— 1)' α ι (/Λ) φαφ) = (—1)1«»Λ (/Ζ)αφ) = = Sa(-l),p,^A(DP(9D«-3/)) = = Σ ί?«βφβΛ)(φϋ«-β/) = = 2ГсаР[Фа-Р/)(^Л)](Ф). β<α
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 171 6.16. Последовательности распределений. Так как £ΰ' (Ω) есть пространство всех непрерывных линейных функционалов на &>(0)у то κ@'(Ω) применимы общие рассмотрения п. 3.14, согласно которым S)' (Ω) наделяется некоторой топологией, а именно слабой* топологией, индуцированной исходным пространством &)(&). В этой топологии ЗУ (Ω) является локально выпуклым пространством. Если {А,·}— последовательность распределений в Ω, то утверждение (1) Λ,-*Λ в fi>'(Q) относится к слабой* топологии и означает, что (2) НтЛ,ф=Аф (φ€®(Ω)). i —>■ оо В частности, если {/,·} — последовательность локально интегрируемых функций в Ω, то утверждения «/,·—*Л в £й' (Ω)» или «последовательность {/,·} сходится к Л в смысле сходимости распределений» означают, что (3) lim J φ (χ) fi (χ) dx = Λφ ί -* οο Ω для каждого φ ζ® (Ω). Следующая теорема относительно почленного дифференцирования последовательностей удивительна по своей простоте. 6.17. Теорема. Предположим, что Л/ ζ £ΰ' (Ω) при i = 1, 2, 3, и предел (комплексное число) (1) Λφ= Hm Л/<р I -> 00 существует для каждого φζ®(Ω). Тогда Λζ^)'(Ω) ί/ (2) DaA/ —* DaA β Й>' (Ω) для каждого мультииндекса а. Доказательство. Пусть К — произвольное компактное подмножество в Ω. Так как соотношение (1) выполняется при любом φζ®κ и так как ёйц является пространством Фреше, то, согласно теореме Банаха—Штейнгауза 2.8, сужение функционала Л на DK есть непрерывный функционал. По теореме 6.6 это означает, что Л—непрерывный функционал на @)(Ω), τ. е. что Λζ^'(Ω). Поэтому из соотношения (1) вытекает, что (£>αΛ)(φ) = (—1)1α1Λ(Ζ)«φ) = (— Ι)'αι limAz.(Da9)== i -> οο = lim (DaAi) φ. ■ С -> 00 6.18. Теорема. Если Л,·—*Л в ей' (Ω) и gt-^g в C°(Q), то eiKi-*gKe £>'(Ω).
172 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Примечание. Утверждение «g, —^g в С°° (Ω)» относится к топологии пространства Фреше, описанной в п. 1.46. Доказательство. Фиксируем φζ®(Ω). На пространстве С°° (Ω) χ S)' (Ω) определим билинейный функционал 5, полагая B(g, A) = feA)(<p) = Ate<p). Функционал В раздельно непрерывен, и, согласно теореме 2.17, B(gh Ad—»B(g, Λ) при i—>oo. Поэтому (&Λ,)(φ)-*(£Λ)(φ). ■ Локализация 6.19. Локальное равенство распределений. Пусть Λ,ζS>' (Ω) (i = l,2), и пусть ω—открытое подмножество в Ω. Утверждение (1) AX = A2 в ω означает, по определению, что Λ1φ = Λ2φ для каждого φ £S>(ω). Например, если / — локально интегрируемая функция в Ω, то Л/ = 0 в ω тогда и только тогда, когда f(x) = 0 почти всюду в ω. Если μ — некоторая мера, то Λμ = 0 в ω тогда и только тогда, когда μ(£;)=0 для каждого борелевского множества few. Приведенное определение позволяет говорить о локальных свойствах распределений. С другой стороны, оно позволяет судить о распределении в целом, если известно его локальное поведение. Точное утверждение на этот счет содержится в теореме 6.21. В его доказательстве используется разбиение единицы, которое мы и построим сначала. 6.20. Теорема. Пусть Г—семейство открытых множеств в R", объединение которых содержит Ω. Тогда существует такая по- следовательность {ψΖ·}<ζ^> (Ω), что ψ/^0 и (a) носитель каждой из функций % содержится в некотором из множеств семейства Г, 00 (b) 2 Ψ/ (*) = 1 пРи любом χ ζ Ω, (c) каждому компакту 7((ζΩ соответствуют такое целое число т и такое открытое множество WzdK, что (1) Ψι(*)+·..+*.(*)=! для всех x£W. Такое семейство функций {ψζ·} называется локально конечным разбиением единицы в Ω, подчиненным открытому покрытию Г множества Ω. Отметим, что, как вытекает из свойств (Ь) и (с),
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 173 каждая точка множества Ω обладает окрестностью, которая пересекается лишь с конечным числом носителей функций ψ,·. Именно по этой причине семейство {ψ,·} называется локально конечным. Доказательство. Пусть S—счетное всюду плотное подмножество в Ω. Пусть последовательность \BLt B2t B3t .. . \ содержит каждый замкнутый шар Bh центр которого р{ принадлежит S, радиус г ι есть рациональное число и который целиком содержится в некотором из множеств семейства Г. Пусть Vt- — открытый шар с центром в pt радиуса γζ·/2. Ясно, что Ω = \jV{. Конструкция, описанная в п. 1.46, позволяет указать такие функции φ/6®(Ω), что φζ·>0, <р/ = 1 в V{ и φζ· = 0 вне Вг Положим ψ1 = φ1 и по индукции (2) Ψ/+ι = (ΐ-φ1)..·(ΐ-Φ/)φί·+ι (*>ΐ). Очевидно, что ψ/ = 0 вне В(. Это обеспечивает выполнение условия (а). Соотношение (3) Ψχ+ · · · +*/= 1 —(1—Φι)- · .(1-<Р/) тривиально при i=l. Если считать его выполненным для некоторого i, то, складывая (2) и (3), мы получаем, что оно выполняется и с заменой i на ι'+l. Поэтому (3) справедливо для всех i. Так как φζ·=1 на Vh то это означает, что (4) Ψι (*)+.-.+*« Μ = 1, если xeV^ ...uVm. Тем самым доказано (Ь). Кроме того, если К—компакт, то Kc:V1\J ... [jVm при некотором т, откуда вытекает (с). Щ 6.21. Теорема. Пусть Г—открытое покрытие открытого множества QaRn. Предположим, что каждому ω ς Γ сопоставлено распределение Λωζ®'(ω), причем (1) Λω'=Λω" β ω'Πω", если ω' flo)V 0· Тогда существует в точности одно такое распределение Αζ&>' (Ω), что (2) Λ = Λω β ω при каждом ω ζ Г. Доказательство. Пусть {ψζ·}—локально конечное разбиение единицы, подчиненное покрытию Г в смысле теоремы 6.20. Сопоставим каждому i множество ωζ· ζ Γ с таким расчетом, чтобы оно содержало носитель функции ψ,·. Если φζ^)(Ω), то φ = 2ψ/Φ· Поскольку φ имеет компактный носитель, в этой сумме только конечное множество ненулевых членов. Положим 00 (3) Λφ=2Λω/(Ψ/φ). Ясно, что Λ—линейный функционал на £Ζ)(Ω).
174 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Покажем, что функционал Λ непрерывен. Пусть фу—>0 в S>(Q). Существует компакт KciQ, содержащий носители всех функций фу. Если т выбрано в соответствии с условием (с) теоремы 6.20, то т (4) Лфу = Σ Λω. (ψ,-φ,·) (/ = 1,2,3,...)· ί=1 ι J Так как ψ/фу—>0 в ^(о)/) при /—*оо, то из (4) вытекает, что Λφ7·—>0. Поэтому Λζ^)'(Ω) в силу теоремы 6.6. Чтобы доказать (2), зафиксируем φζ®(Ω). Тогда (5) Ψ/Φ = ®(ω/ηω) (/-1,2,3,...) и Λω. (ψ,·φ)=Λω(ψ/·φ) в силу (1). Поэтому (6) Λφ = 2 Λω (ψ,φ) = Λω (2 ψ,-φ) = Λωφ, чем доказано' равенство (2). Таким образом, существование распределения Л установлено. Вместе с тем единственность тривиальна, поскольку, согласно (2) (с заменой ω на ωζ·), распределение Л обязано удовлетворять условию (3). Щ Носители распределений 6.22. Определение. Пусть Λζ®'(Ω). Если ω—открытое подмножество в Ω и если Λφ = 0 для каждого φ ζ® (ω), то мы говорим, что распределение Л исчезает в ω. Пусть W—объединение всех открытых множеств шей, в которых распределение Л исчезает. Носителем распределения Л называется дополнение к W (в Ω). 6.23. Теорема. Если W—описанное выше множество, то распределение Л исчезает в W. Доказательство. Множество W является объединением открытых множеств ω, в каждом из которых распределение Л исчезает. Пусть Г—семейство всех таких множеств ω, и пусть {ψ,·}— локально конечное разбиение единицы в W, подчиненное покрытию Г в смысле теоремы 6.20. Если φ £ S> (W), το φ = 2j Ψ/Φ· В этой сумме только конечное число ненулевых членов. Поэтому Λφ = Σ Л (·№<?) = 0, поскольку носитель каждой из функций ψ, содержится в некотором ω ζ Г. Щ Наиболее значительным из утверждений следующей ниже теоремы является утверждение (d). Его дополняет упр. 20. 6.24. Теорема. Пусть Λζ^)'(Ω) и SA — носитель распределения Л.
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 175 (a) Если носитель функции φ g ей (Ω) не пересекается с Sa, то Λφ = 0. (b) Если Sa пусто, то Λ = 0. (c) Если ψζΟ(Ω) и ψ=1 на некотором открытом множестве У, содержащем Sa, то ψΛ = Λ. (d) Если Sa является компактным подмножеством в Ω, то распределение А цмеет конечный порядок. Фактически в этом случае существуют такая константа С < оо и такое неотрицательное целое N, что |Aq>KC||q>||tf для всех φξ^)(Ω). Более того, функционал А однозначно про- должается до непрерывного линейного функционала на C°°(Q). Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) очевидны. Если ψ—функция, указанная в (с), и φζίΖ>(Ω), то носитель функции φ — ψφ не пересекается с Sa. Поэтому, согласно (а), имеем Λφ = Λ(ψφ) = (ψΛ)(φ). Если множество SA компактно, то ввиду теоремы 6.20 найдется такая ψζ^)(Ω), что выполняется (с). Фиксируем некоторую такую ψ, и пусть К—ее носитель. По теореме 6.8 существуют такая константа сг и такое Ν, что |Λφ | ^сх ||φ \\Ν для всех φ ζ £ΰκ. Из формулы Лейбница вытекает существование такой константы с21 что ||ψφ \\ν ^с2\\ Φ Ik для каждой φζ®(Ω). Поэтому для всех φ ζ S> (Ω) Ι Αφ I = Ι Λ (ψφ) Κ С, || ψφ ||л < C±C2 || φ Ц*. Так как Λφ=Λ(ψφ) для всех φ ζ® (Ω), то формула (1) Λ/ = Α(ψ/) (feC00 (Ω)) задает продолжение функционала Λ на C°°(Q). Это продолжение непрерывно. Действительно, пусть //—>0 в С°° (Ω). Тогда Dafi стремится к 0 равномерно на каждом компактном подмножестве множества Ω для любого мультииндекса а. По формуле Лейбница tyfi—*0 в ^>(Ω). Поскольку Λζ^)'(Ω), отсюда следует, что А/,· —>0. Если / 6 С00 (Ω) и К0 — произвольное компактное подмножество в Ω, то существует такая φζ*2)(Ω), что φ = / на К0. Отсюда следует, что S)(Q) плотно в С00 (Ω). Поэтому каждый функционал Λ 6 S)' (Ω) имеет не более одного непрерывного продолжения на C°°(Q). ■ Примечание. Для справедливости утверждения (а) существенно, что функция φ равна нулю не только на самом множестве Sa, но и в некоторой его окрестности.
176 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Ввиду утверждения (Ь) простейшим нетривиальным случаем является тот, в котором SA состоит из единственной точки. Множество всех таких распределений допускает полное описание. 6.25. Теорема. Пусть Λζ^)'(Ω), ρ ζ Ω, {ρ} есть носитель распределения Λ и порядок распределения Λ равен N. Тогда существуют такие константы са, что (1) А= Σ caD«8pt где δρ—функционал, действующий по формуле (2) β„(φ) = φ(ρ). Обратно у каждое распределение вида (1) имеет своим носителем множество \р\ (за исключением случая, когда са = 0 при всех а). Доказательство. Ясно, что для любого мультииндекса α носителем распределения Da6p служит множество {/?}. Этим доказано последнее утверждение теоремы. При доказательстве нетривиальной части теоремы мы можем предположить, что р = 0 (начало координат в R"). Рассмотрим некоторую функцию φζ^)(Ω), для которой (3) (Da<p)(0) = 0 при всех а с |α|<#. Наша первая цель—доказать, что Λφ = 0, если φ удовлетворяет условию (3). Пусть η > 0. Найдется такой компактный шар К с Ω с центром в точке 0, что (4) |Οαφ|<η в К, если |а|=#. Мы утверждаем, что (5) |ϋαφ(*)|<η/ι"Ηα||χ|Λ7-|«Ι (jcg/C, |a|<tf). Если \α\==Ν, то это совпадает с (4). Пусть Ι^ί^ΛΛ Предположим, что (5) доказано для всех α с | α | = /, и пусть | β | = i — 1. Градиентом функции D$y является вектор (6) grad Ο^φ = (D^y, .. ., DnD\). Из индуктивного предположения вытекает, что (7) | (gradDPq>) (χ) |< η · ι\ηΝ-* \ χ \Ν~< (χ £ Κ), и так как (Dpq>) (0)=0, то, используя теорему о среднем, мы видим, что (5) выполняется с заменой а на β. Таким образом, неравенства (5) установлены. Выберем теперь такую вспомогательную функцию i|)£*Z)(Rre) с носителем в единичном шаре В пространства R", которая
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 177 равна 1 в некоторой окрестности точки 0. Положим (8) ψ,(*)=ψ(τ) ('>ο, хеъп). Если г достаточно мало, то носитель функции ψΓ содержится в гВаК- По формуле Лейбница (9) Da (ψΓφ) (χ) = Σ ^(£>α-βΨ) (у) (D^) W Η β Μ α L Поэтому из (5) вытекает, что для достаточно малых г (Ю) ИФгфНлг^чСИфЦ* с подходящим С, которое зависит ού η и N. Так как распределение Л имеет порядок Ν, то существует такая константа С19 что |Λψ| ^Сх || ψ||^ для всех \p££DK. Так как ψΓ=1 в некоторой окрестности носителя распределения Л, то в силу неравенства (10) и утверждения (с) теоремы 6.24 мы получаем ΐΛφΙ^ΙΛίψ,φίΚ^Ιΐψ,φΙΐΛ,^η^ΙΐΨΐΙ^ Но η может быть любым положительным числом, так что Λφ = 0, если выполняется условие (3). Другими словами, распределение Л исчезает на пересечении ядер функционалов Dao0(|a|^W), так как (11) (D«60) (φ) = (-1)1 «I60 (D«q>) =(-1) Μ (D«q>) (0). Поэтому существование представления вида (1) вытекает из леммы 3.9. Щ Распределения как производные Во введении к данной главе отмечалось, что одной из целей теории распределений является такое расширение понятия функции, при котором операции дифференцирования становятся выполнимыми без всяких ограничений. Эта цель уже достигнута. Обратно, как мы теперь покажем, каждое распределение представляется (по крайней мере локально) в виде Daf, где / — непрерывная функция и a—мультииндекс. Таким образом, рассматривая всевозможные производные от всевозможных непрерывных функций, мы получим не что иное, как класс всех распределений, и в этом смысле класс распределений представляет собой наиболее экономное расширение класса функций, отвечающее поставленной цели. 6.26. Теорема. Пусть Αζ@)' (Ω) и К — компактное подмножество в Ω. Тогда существуют такая непрерывная функция f
178 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ в Ω и такой мультииндекс а, что (1) Λφ = (—1)1 а I J / (х) (D«q>) (x) dx для всех φ ζ @)κ. Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что /С с: Q, где Q—единичный куб в R", состоящий из всех таких точек χ = (χ11 ..., χη)9 для которых О^Х/^1 при ί = 1, ..., п. Из теоремы о среднем вытекает, что при каждом i = 1, ..., η (2) |ф|<тах|ф,.ф)(*)| (ψ € £><>)■ xeQ Пусть T = D1D2...Dn. Для каждой точки #6Q обозначим через Q (у) подмножество тех точек x£Q7 для которых x^yi (1 <*<я). Тогда (3) ψ(#)= J (7\|))(%)dx (ψ€®<>). Пусть Λ/"— неотрицательное целое число. Если применить неравенство (2) к последовательным производным функции ψ, то формула (3) приводит к неравенству (4) || ψ ||^< max | (Γ"ψ) (*) | < $ | (Г"+Ч|)) (χ) | dx, справедливому для всех ф€Й>^. Так как ΛζίΖ>'(Ω), то существуют такие N и С, что (5) |Acp|<C||cp|U (φ€®*). Поэтому неравенство (4) показывает, что (6) | Λφ |< С J | (Γ^ΐφ) (χ)\ dx (φ ζ S>K). К Из формулы (3) вытекает, что отображение Τ инъективно на @)q, а потому и на &)к. Следовательно, и отображение fN+i . *g)^—^^л- инъективно. Поэтому на образе Υ отображения TN+i можно определить функционал Л1Э полагая (7) Λ171^+ΐφ = Λφ (φ€®*), причем неравенство (6) показывает, что (8) lA^KCjlYWIdx (Ф6П- к Последнее позволяет при помощи теоремы Хана—Банаха расширить функционал А± до ограниченного линейного функционала на пространстве //(/С). Другими словами, существует такая
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 179 ограниченная борелевская функция g на /С, что (9) Λφ = A1TN+1q> = \ g (x) (7^+1φ) (χ) dx (φ ζ S>K). к Положим g(x)=0 вне КУ и пусть Уг Уп (10) f(y)= J ... J g(x)dxn...dx1 (i/6Rw). — 00 — СО Тогда функция / непрерывна, и я-кратное интегрирование по частям в сочетании с (9) дает (11) Λφ = (-1)" J / (χ) (Γ"+»φ) (χ) dx (φ ζ £>„). Но последняя формула совпадет с формулой (1), если положить α = (# + 2, ..., N+2) и в случае необходимости изменить знак. Щ Для распределений Λ с компактным носителем полученный выше локальный результат превращается в следующий глобальный. 6.27. Теорема. Пусть К—компакт, а V и Ω—открытые множества в R", причем К c:V с Ω. Предположим далее, что Λζέΰ' (Ω), что К есть носитель распределения Λ и что Λ имеет порядок N. Тогда существует конечное число таких непрерывных функций /β β Ω (по одной для каждого мультииндекса β с β/^Af + 2, где 1 = 1, ..., η) с носителями в V> что (1) Α = Σ% β Производные здесь, конечно, следует понимать в смысле распределений, и формула (1) означает, что (2) Αφ=2(-1)ΙΡΙ$/β(^)φΡφ)(^)Λ (φ€»(Ω)). β Ω Доказательство. Выберем такое открытое множество W с компактным замыканием W, что /(сй^ и W aV. Применим теорему 6.26 к компакту W вместо /С. Положим a = (Af+2, ... .. ., Ν -\-2). Из доказательства теоремы 6.26 вытекает существование такой непрерывной функции / на Ω, что (3) Λφ = (—1)1 α I J / (χ) (D«q>) (χ) dx [φ ζ S> (W)]. Ω Не нарушая соотношения (3), мы можем умножить функцию / на £_юбую непрерывную функцию с носителем в V, равную 1 на W.
180 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Фиксируем такую функцию φ£®(Ω) с носителем в W, что ф^=1 на некотором открытом множестве, содержащем К- Из формулы (3) следует, что тогда для всех φ ζ S> (Ω) Λφ =Λ (φφ) = ( —1)1 α I \ f · Da (φφ) = Ω = 1-1)' α| ξ/ Σ £αβΟα-βφ£>βφ. q β<α Но это совпадает с (2), если положить /β=(-1)Ι«-βΐ6αβ/.£"-βφ (β<α). ■ Наша следующая теорема описывает глобальную структуру распределений. 6.28. Теорема. Пусть Κζ@>' (Ω). Тогда существуют такие непрерывные функции ga в Ω, по одной для каждого мультиин- декса а, что (a) каждый компакт К с Ω пересекается не более чем с конечным числом носителей функций ga и (b) A = 2D"ga. а Если распределение А имеет конечный порядок, то функции ga могут быть выбраны с таким расчетом, чтобы лишь конечное число из них были ненулевыми. Доказательство. Существуют такие компактные кубы Qi и такие открытые множества V,- (/ = 1, 2, 3, ...), что Qt с Vt <= Ω, множество Ω есть объединение кубов Q/ и каждое компактное подмножество в Ω пересекается лишь с конечным числом множеств V,·. Далее, существуют такие функции φ,- ζ £D (У,·), что ср/=1 на Q{. Используем эту последовательность {φ,·} для построения разбиения единицы {ψ,·}, как это указано в теореме 6.20. Носитель функции ф; будет тогда содержаться в Vt·. Теорема 6.27 применима к каждому из распределений φΖ·Λ. Поэтому существует такое конечное семейство непрерывных фуНКЦИЙ Д, α В Vh ЧТО (1) Φ,Λ = Σ^·α. a Положим ОС (2) ga = Σ fi, α· ί = 1 Сумма справа является локально конечной в том смысле, что каждый компакт /С с Ω пересекается лишь с конечным числом носителей функций fit a. Отсюда следует, что все функции ga непрерывны в Ω, и тем самым выполняется свойство (а).
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 181 Так как φ = 2 ψ/ψ для каждого φζ^)(Ω), то мы имеем Λ = 2Ψ/Λ и» следовательно, утверждение (Ь) вытекает из формул (1) и (2). Наконец, последнее утверждение вытекает из теоремы 6.27. Ц Свертки Отправляясь от свертки двух функций, мы определим свертку распределения и пробной функции, а затем (при некоторых дополнительных условиях) свертку двух распределений. Свертки важны в приложениях преобразования Фурье к дифференциальным уравнениям. Характеристическим свойством сверток является то, что они коммутируют со сдвигами и с дифференцированиями (теоремы 6.30, 6.33, 6.37). Кроме того, дифференцирования можно рассматривать как свертки с производными меры Дирака (теорема 6.37). Удобно несколько видоизменить обозначения и использовать буквы ί/, ν, ... для обозначения не только функций, но и распределений. 6.29. Определения. В оставшейся части этой главы мы будем писать ЭиЭ' вместо <2)(Rn) и &>' (R"). Если и — некоторая функция на R" и *6R", то тхи и и суть функции, определяемые равенствами (1) (тхи)(у) = и{у—х), и(у)==и(-у) 0/eR"). Заметим, что (2) (тхй) (у)=й(у—х) = и{х—у). Если и и ν—комплексные функции на R", то их сверткой называется функция (3) (и * υ) (х) = J и (у) ν (х—у) dy пп при условии, что интеграл существует для всех (или по крайней мере для почти всех в смысле меры Лебега) χ ζ R". Интеграл понимается в смысле Лебега. В соответствии с формулой (2) имеем (4) (и * и) (х) = J и (у) (τχυ) (у) dy. Это делает естественным следующее определение: (5) (Μ*φ)(χ) = Μ(τ,φ) (α€®', Ψ € ®, *eRre), так как если и—локально интегрируемая функция, то (5) совпадает с (4). Заметим, что и#ср есть функция. Соотношение С (txu)-v = f ιι-(τ_χυ), справедливое для любых функций и и vf делает естественным определение сдвига тхи
182 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ распределения u^S)' по формуле (6) (τχιι) (φ) = и (τ.χψ) (φ ζ 3>, χ ζ R«). При этом τχΐί ζ @)' при каждом χ ζ R". Проверку непрерывности функционалов %хи мы предлагаем в качестве упражнения. 6.30. Теорема. Пусть и£3>\ φ ζ®, ψ ζ®. Тогда (a) τχ (и # φ) = (τχιι) * φ = ί/ * (τνφ) для всех #6R"; (b) и* φ ζ С* и Da (и * φ) = (Dai/) * φ = и * (Ζ)αφ) для каждого мультииндекса а; (c) и #(φ#ψ) = (и *φ) #ψ. Доказательство. Для каждого t/6R" имеем (τχ (и * φ)) (у) = (и * φ) (у—х) = и (τ^,φ), ((τ*") * Φ) (У) = (τχ") (τνφ) = « (τν-χ4>)> (и * (τ,φ)) (*/) = и (τ„ (τχφΠ = u (τ^φ), что и дает (а). Заметим, что были использованы соотношения τυτ-χ=ζτν-χ и (τ*ψΓ = τ_^φ. В дальнейшем чисто формальные выкладки типа только что проведенных будут иногда опускаться. Если применить функционал и к обеим частям тождества (1) τ,((Οβφ)Ί = (-1)'β|^β(τ,φ), то мы получим часть соотношений (Ь), а именно {и * (Da φ)) (χ) = ((Dai/) * φ) (χ). Для доказательства остальных обозначим через е единичный вектор в пространстве R" и положим (2) Цг==г-1{То-Тге) (г>о). Тогда соотношение (а) дает (3) η,·("*φ) = "*(νρ)· Если г—>0, то ηΓφ—>Dey в й>, где De обозначает дифференцирование по направлению е. Поэтому τ* (ΟΊγΨΠ ~+^ (£,φΓ в S> для каждого x£Rn, так что (4) lim (и * (ηΓφ)) (χ) = (и * (D,q>)) (χ).
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 183 Используя (3) и (4), мы получаем (5) Д,(и*ф) = и*(£е(р), и итерация формулы (5) дает (Ь). Доказательство утверждения (с) мы начнем с тождества (6) (φ#ψΓ(ί)= J ψ(β)(τ,φ)(ί)ώ. Rn Пусть Κχ и К2—носители функций φ и ψ соответственно. Положим К = К1 + К2- Тогда s —νψ (s) τ, φ есть непрерывное отображение R" в ёйКу равное 0 вне К2- Поэтому тождество (6) может быть переписано с использованием й)^-значного интеграла в виде (7) (<Р*ФГ = $Ψ(«) vpds, и теперь теорема 3.27 показывает, что (ί/* (φ * φ)) (0) = и ((φ * фП = = J ф (s) и (τ,φ) ds = J ф (—s) (и * φ) (s) ds, или (8) (κ*(φ*ψ))(0) = ((κ*φ)#ψ)(0). Чтобы из равенства (8) получить аналогичное равенство с заменой точки 0 произвольной точкой х, достаточно применить (8) к функции τ_^Ψ вместо φ и затем использовать утверждение (а). Тем самым (с) доказано. Щ 6.31. Определение. Термин аппроксимативная единица на Rn будет использоваться для обозначения последовательности функций hj вида h/(x) = j»h(jx) (/ = 1, 2, 3, ...), где h£&) (Rre), h^0n^h(x)dx=l. 6.32. Теорема. Пусть \hj\—аппроксимативная единица на R", φ ζ® и и£3>'. Тогда (a) lim <p*fty = (p в ей, / -> 00 (b) lim u*hj = u в §ΰ'. Заметим, что, согласно утверждению (Ь), каждое распределение есть предел в топологии ёЬ' некоторой последовательности бесконечно дифференцируемых функций.
184 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Доказательство. Совсем легко заметить, что f*hj—>f равномерно на компактных подмножествах, если /—непрерывная функция на R". Если в качестве функции / взять здесь Οαφ, то мы увидим, что Da(9*/iy)—>Day равномерно. Кроме того, носители всех функций (p#/iy. содержатся в некотором компакте, так как носители функций hj стягиваются к точке 0. Этим доказано утверждение (а). Далее, утверждение (а) в сочетании с утверждением (с) теоремы 6.30 дает (Ь), ибо и (φ) = (и # φ) (0) = lim {и * (hj * φ)) (0) = = lim ((и # hj) * φ) (0) = lim (и # hj) (φ). | 6.33. Теорема, (а) Если и£@)' и (1) Ιφ = ί/*φ (φ€®), то L есть непрерывное линейное отображение пространства £й в пространство С00, удовлетворяющее условию (2) vL-Lt^ (x£Rn). (b) Обратно, если L—непрерывное линейное отображение пространства S) в пространство C(R"), удовлетворяющее условию (2), то существует в точности одно такое u^S>\ что выполняется соотношение (1). Отметим, что, согласно утверждению (Ь), образ при отображении L фактически оказывается в С00. Доказательство, (а) Так как τ* (и* у) = и* (τ^φ), то соотношение (2) вытекает из соотношения (1). Для доказательства непрерывности отображения L мы должны проверить, что его сужение на каждое из подпространств @УК является непрерывным отображением в С00. Так как каждое из £ΰκ является пространством Фреше, то применима теорема о замкнутом графике. Пусть <Р/—>φ в £ΰκ и и*φ,-—>f в С00. Мы должны показать, что / = и *φ. Фиксируем точку xgR". Тогда τχφζ·—>τ^φ в S>, так что f (χ) = lim (и # φζ·) (χ) = lim и (τ^φ,·) = и (τ^φ) = (и # φ) (χ). (b) Положим и (q>) = (L<p) (0). Так как φ—*φ есть непрерывный оператор в S> и так как «значение в точке 0» есть непрерывный линейный функционал на С, то функционал и непрерывен на ей. Таким образом, и£@)'. Поскольку отображение L удовлетворяет условию (2), имеем (Lcp) (χ) = (τ.,Ιφ) (0) = (ί,τ.,φ) (0) = = и ((τ-*<Ρ)Ί = ы (τ*φ) = (ы * Φ) (*)·
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 185 Наконец, единственность функционала и очевидна, ибо если и^ЗУ и ί/#φ = 0 при каждом φ ζ®, то α(φ) = (Μ*φ)(0) = 0 при каждом φ ζ.£ΰ, т. е. и = 0. Щ 6.34. Определение. Пусть и ζ Si', причем ί/ имеет компактный носитель. По теореме 6.24 функционал и однозначно продолжается до непрерывного линейного функционала на пространстве С00. Это позволяет определить свертку функционала и с произвольной функцией φ ζ С00 по той же самой формуле, что и раньше, а именно (и * φ) (χ) = и (τχφ) (χ ζ R"). 6.35. Теорема. Предположим, что распределение и имеет компактный носитель, и пусть φ ζ С00. Тогда (a) хх (и*у) = (тхи)*у = и*(тхц)), если χ ζ R", (b) и* φ ζ С00 и Da (и * φ) = (Dai/) * φ = и* (Daq>). £ош, кроме того, ф ζ®, mo (c) ^#ψζίΖ) и (d) w * (φ * ψ) = (μ # φ) * ψ = {и # ψ) * φ. Доказательство. Доказательства утверждений (а) и (b) настолько похожи на доказательства аналогичных утверждений теоремы 6.30, что мы не будем их повторять. Для доказательства утверждения (с) обозначим через К и Я соответственно носители и и ψ. Носителем функции τ^ψ служит χ—Я. Следовательно, (и*ф)(*) = и(т*ф) = 0, если К не пересекается с χ—Я, т. е. если не выполняется включение х£К + Н. Таким образом, носитель функции ί/#ψ содержится в компактном множестве К + Н. Для доказательства утверждения (d) Еозьмем ограниченное открытое множество W, содержащее /С, и выберем такую функцию φ0 ζ S), что φ0 = φ в W + Я. Тогда (φ * ψ)~ = (φ0 * ψ)" в №, так что (1) (и*(Ф*Ф))(0) = (и*(Фо*Ф))(0). Если —sg#, то τ5φ = τ^φ0 в IF. Следовательно, ^*φ = ί/#φ0 в —Я. Это дает (2) ((Μ*Φ)*Ψ)(0) = ((Μ*φ0)*Ψ)(0). Так как носитель функции и*ψ содержится в К + Н, то (3) ((и*ф)*ф)(0) = ((и*ф)#ф0)(0).
186 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ По теореме 6.30 правые части равенств (1)—(3) совпадают· Поэтому совпадают и левые части. Тем самым доказано совпадение всех трех сверток из (d) в начале координат. Общий случай выводится из этого при помощи сдвига, как это проделано в конце доказательства теоремы 6.30. Щ 6.36. Определение. Если и^ёй', υζέΰ' и если по крайней мере одно из этих распределений имеет компактный носитель, то мы полагаем (1) Lcp = i/#(£>*(p) (φ ζ®). Заметим, что данное определение корректно. Действительно, если распределение υ имеет компактный носитель, то u#(pgiZ> и LcpgC00; если компактный носитель имеет распределение и, то снова Lcp ζ С00, так как ν # φ ζ С00. Кроме того, txL = Lxx для всех л: ζ R". Все эти утверждения вытекают из теорем 6.30 и 6.35. Функционал φ—►(L(p)(0) на самом деле является распределением. Действительно, предположим, что φ,—>0 в S). Согласно утверждению (а) теоремы 6.33, имеем о*срг·—>0 в С°°. Если к тому же υ имеет компактный носитель, то ϋ*φ,·—>0 в S), а если компактный носитель имеет распределение и, то можно воспользоваться теоремой 6.24. Итак, в любом случае (/др,·) (0)—>0. Из доказательства утверждения (Ь) теоремы 6.33 видно, что это распределение, которое мы будем обозначать через и χ ν, связано с L формулой (2) L(p = (w*^)*(p (φ ζ®). Другими словами, распределение u^v^S)' характеризуется соотношением (3) (и*υ) #φ = ί/# (ο#φ) (<φζ£ΰ). 6.37. Теорема. Пусть и£@>', v^S>' и w£&)'. (a) Если хотя бы одно из распределений и, υ имеет компактный носитель, то ukv — vku. (b) Если Su и Sv—носители распределений и uvu если хотя бы один из них компактен, то +sv. (c) Если по крайней мере два из носителей Sa, Sv, Sw компактны, то (u*v)*w = u*(v*w). (d) Если δ—мера Дирака и а—любой мультииндекс, то Dau = (Da6)*u. В частности, и=6*и. (e) Если хотя бы одно из множеств Sa, SO компактно, то Da (и * η) = (Dau) *v = u* (Dav) для любого мультииндекса а.
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 187 Примечание. Выполнение закона ассоциативности (с) существенно зависит от сделанных предположений; см. упр. 24. Доказательство, (а) Фиксируем элементы φ ζ S> и ψ ζ ей. Так как свертка функций коммутативна, то утверждение (с) теоремы 6.30 дает (и* υ) # (φ* ψ) = ί/# (υ* (φ* Ψ)) = и* ((ϋ*φ)*ψ) =Η*(ψ* (ϋ# φ)). Если компактно множество SO, то снова применим утверждение (с) теоремы 6.30; если компактно множество Sa, то применим утверждение (d) теоремы 6.35. В любом случае получаем (1) (н * и) * (<р * ψ) = (н * ψ) * (ϋ * φ). Так как (p*i|? = i|?*<p, то те же выкладки дают (2) (и * и) * (φ * ψ) = (υ * φ) * (и * ψ). Правые части равенств (1) и (2) представляют собой свертки функций (одна из которых принадлежит iZ>, а другая С00). Поэтому они совпадают. Таким образом, (3) ((и * и) * φ) * ψ = (( и * и) * φ) * ψ. Теперь, дважды применяя соображения единственности, использованные в конце доказательства теоремы 6.33, получаем u*v = v*u. (b) Если φ£®, то непосредственное вычисление дает (4) (и*и)*<р = и ((ϋ#φ)~). Согласно утверждению (а), мы можем без ограничения общности считать, что множество Sv компактно. Из доказательства утверждения (с) теоремы 6.35 видно, что носитель функции ϋ*φ содержится в Sv—S<p. Из равенства (4) ясно, что (и # ν) (φ) = 0, если Sa не пересекается с S<p—Sv, т.е. если Ξφ не пересекается cSa + Sv. (c) Из утверждения (Ь) следует, что свертки (и * ϋ) * до и н * (и * до) определены, если хотя бы два из множеств Sa, Sv, 5W компактны» Если φ ζίΖ), то непосредственно по определению 6.36 имеем (5) (н * (ϋ * до)) * φ = и * ((ϋ * до) * φ) = и * (ϋ * (до * φ)). Если Sw компактно, то (6) ((и * ϋ) * до) * φ = (и * ν) # (до * φ) ■= и * (ϋ * (до * φ)), поскольку до*φ ς® в силу утверждения (с) теоремы 6.35. Сопоставление равенств (5) и (6) дает (с) в предположении, что Sw компактно. Если Sw не компактно, то компактно Sa. Поэтому уже рассмотренный случай вместе с установленной в (а) коммутатив-
188 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ностью дает u*(v#w) = u*(w*v) = (w*v)#u = = w # (υ # и) = w # (и # υ) = (и * v) # w. (d) Если φζ^, то δ#φ=φ, поскольку (δ * φ) (χ) = δ (τ,ί) = (τχί) (0) = φ (— *) = φ (χ) (χ ζ R»). Поэтому уже доказанное утверждение (с) в сочетании с утверждением (Ь) теоремы 6.30 дает (Dau) * φ = и * Ζ5αφ = и * Da (δ * φ) = и * (Ζ5αδ) * φ. Наконец, утверждение (е) вытекает из (d), (с) и (а), ибо Da (и * и) = (Οαδ) * (и * и) = ((Οαδ) * и) * и = (Dai/) * и и ((Ζ5αδ) * и) * ι> = (и * Ζ)αδ) * υ = и * ((Da6) * и) = и * Ώαυ. Щ Упражнения 1. Пусть / — комплексная непрерывная функция на R" с компактным носителем. Доказать, что г|)Ру—► / равномерно на R", где ψ ζ ξύ и {Р/}— подходящая последовательность полиномов. 2. Показать, что метризуемая топология на @){Q), от которой мы отказались в п. 6.2, не является полной ни для какого Ω. 3. Пусть Ε — произвольное замкнутое подмножество в R". Доказать существование такой функции f ζ С°° (Rre), что /(д;) = 0 для каждого χ ζ Ε и f (χ) > 0 для всех остальных χ ζ R". 4. Пусть Λζ^)'(Ω) и Λφ^Ο, если φ£<2) (Ω) и φ^Ο. Доказать, что тогда Λ—положительная мера на Ω (конечная на всех компактных подмножествах). 5. Доказать, что числа са^ в формуле Лейбница имеют следующее явное выражение: п ι '«Ρ-Πβ,Ιία,-β,)!· 6. (а) Пусть сл = ехр{ — (т!)!}, т = 0, 1, 2, ... . Верно ли, что ряд 00 2 ст (D-φ) (О) т=0 сходится для каждого φ ζ С00 (R)? (b) Пусть Ω —открытое множество в R". Предположим, что Λ/ζ,©' (Ω) и что носители всех распределений Λ/ содержатся в некотором фиксированном компакте К С Ω. Доказать, что если последовательность {Λ/} сходится в ей' (Ω), то порядки распределений Λ/ ограничены в совокупности. Указание, воспользуйтесь теоремой Банаха — Штейнгауза. (c) Можно ли в утверждении (Ь) опустить предположение относительно носителей?
ГЛ.6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 189 7. Пусть Ω = (0, οο). Положим 00 Λφ = Σ (0«φ) Λ1Λ (φ€£)(Ω)). Доказать, что Λ — распределение бесконечного порядка в Ω. Доказать, что распределение Λ нельзя продолжить до распределения в R. Последнее означает, что не существует такого распределения Л0£<2)' (R), что Л0 = Л в Ω. 8. Описать все распределения, носителями которых служат конечные множества. 9. (а) Доказать, что множество Ε α £ΰ (Ω) тогда и только тогда ограничено, когда sup{ |Λφ|: φζ£} < оо для каждого Λζ^)'(Ω). (b) Пусть {фу}—такая последовательность элементов <2)(Ω), что числовые последовательности {Лсру} ограничены при каждом Л ζ<2)' (Ω). Доказать, что некоторая подпоследовательность последовательности {фу} сходится в топологии ξ& (Ω). (c) Пусть {Лу}—такая последовательность из S)' (Ω), что для каждого φζ®(Ω) числовая последовательность {Луф} оказывается ограниченной. Доказать, что некоторая подпоследовательность последовательности {Лу} сходится в ££>' (Ω), причем сходимость равномерна на ограниченных подмножествах <%)(Ω). Указание. По теореме Банаха — Штейнгауза сужения распределений Лу на б£)к равностепенно непрерывны. Примените теорему Асколи. 10. Пусть |//| — некоторая последовательность локально интегрируемых функций в Ω (где Ω — открытое множество в R"). Предположим, что lim \ |//(*)|d*:=0 для каждого компакта К С Ω. Доказать, что Dafi—► 0 в &)' (Q) при i—> оо для каждого мультииндекса а. 11. Пусть Ω — открытое множество в R2 и {//} — последовательность гармонических функций в Ω, сходящаяся в смысле распределений к некоторому Λζϋ3'(Ω). Точнее говоря, предположение состоит в том, что Λφ = lim С fi (χ) φ (χ) dx (ψ ζ ей (Ω)). Ω Доказать, что последовательность {/,·} сходится равномерно на каждом компакте в Ω и что Λ является гармонической функцией. Указание. Если / — гармоническая функция, то / (х) есть среднее от / по малой окружности с центром в точке χ 12. Напомним, что распределение δ (мера Дирака) определяется равенством δ(φ) = φ(0) при cpgi2)(R). Для каких /£C°°(R) верно, что/δ'= О? Ответить на тот же вопрос по отношению к /δ". Вывести отсюда, что функция /gC°° (R) может обращаться в нуль на носителе распределения Λζ|3'(Κ)> хотя /Λ Φ 0. 13. Если φζ<2) (Ω) и Λζ£ΰ' (Ω), то верно ли, что любое из утверждений φΛ = 0, Λφ = 0 вытекает из другого?
190 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 14. Пусть К—замкнутый единичный шар в R". Предположим, что носитель распределения Λ £<&' (R") содержится в /С, и пусть функция / £ С°° (Rn) равна нулю на К. Доказать, что /Л = 0. Найти другие множества К, для которых это верно (ср. с упр. 12). 15. Пусть К dV czQ, где К — компакт, а У и Ω — открытые множества в R". Предположим, что носитель некоторого распределения Λζ^)'(Ω) содержится в К. Допустим, что последовательность {φζ·} с S> (Ω) удовлетворяет условию (a) Hm [sup |(0«φ,)(*) П=0 i-*<x>[_xeV J для каждого мультииндекса α. Доказать, что тогда lim Λ(φζ·) = 0. t-> 00 16. Предыдущее утверждение становится неверным, если в условии (а) заменить V на К. Доказать это при помощи следующего примера, в котором Ω = R. Выберем такую числовую последовательность с1>с2> ... > 0, что Σ С ι < 00. ПОЛОЖИМ 00 Λφ=2 (<Р(<7')-9(°)) (Ф6®(Ю) /=1 и рассмотрим такие функции 9/£i2)(R), что cp/(*) = 0, если х^сц.1у и φζ· (*) = 1Д, если с,·^*^^. Показать, что порядок распределения Λ равен 1. Вместе с тем для некоторых компактов К множество V в условии (а) упр. 15 можно заменить на К. Доказать, что это так, если К — замкнутый единичный шар пространства Rn. Найти другие множества /С, для которых это справедливо. 17. Пусть распределение A£jg)'(R) имеет порядок N. Доказать, что имеет место представление A = eDN + 2f, где/ — непрерывная функция. Описать всевозможные такие / для Λ = δ. 18. Для распределения δ ζ,©' (R2) найти представление, гарантированное теоремой 6.27, по возможности в наиболее явной форме. 19. Пусть Λ ζ®' (Ω), φ£<2) (Ω) и (Dacp) (*) = 0 для каждого х из носителя распределения Λ и каждого мультииндекса а. Доказать, что Λφ = 0. Наводящее соображение. Проделайте это сначала для распределений с компактным носителем при помощи метода, использованного в теореме 6.25. 20. Доказать, что каждый непрерывный линейный функционал на пространстве С°° (Ω) имеет вид /—>Af, где Λ—распределение с компактным носителем в Ω. Это утверждение является обратным к утверждению (d) теоремы 6.24. 21. Пусть С°° (Т) — пространство всех непрерывных комплексных функций на единичной окружности Τ в комплексной плоскости С. Пространство С°° (Т) можно рассматривать как подпространство в С00 (R), состоящее из функций с периодом 2π. Предположим, что ряд /(*)= fj aBz» л = 0 сходится в открытом единичном диске V с: С. Доказать, что выполнение каждого из следующих трех условий на / влечет за собой выполнение двух других.
ГЛ. 6. ПРОБНЫЕ ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 191 (a) Существуют такое ρ < оо и такое γ < оо, что \ап\<У-пР (/г = 1, 2, 3, ...)· (b) Существуют такое ρ < оо и такое у < оо, что Ι/(ζ)|<γ·0-Ι«Ι)-' (*€*/)· π (c) Для каждого cpgC00^) существует lim \ / (ге'е) φ (е'е) dQ (комплекс- г-> 1 J -π ное число). 22. Показать, что для каждого и£&)' (R) и —t*"_>Dm в ^)'(R) при д;—>0. [Таким образом, как и в классической ситуации, производную распределения и можно получить в качестве предела отношения.] 23. Предположим, что {//}—такая последовательность локально интегрируемых функций в Rw, для которой lim (/,· * φ) (χ) ί->00 существует при каждом y££D(Rn) и каждом *£R". Доказать, что тогда для любого мультииндекса α последовательность {£>α(//*φ)} равномерно сходится на компактных множествах. 24. Пусть Η—функция Хевисайда на R, т. е. ГО, если х<0, Η (х) = { t \ 1, если χ > О, и пусть δ — мера Дирака. X (a) Показать, что (#*ср)(л:)= \ y(s)ds, если cp£iZ)(R). — 00 (b) Показать, что δ' *# = δ. (c) Показать, что 1 * δ' = 0. [Здесь 1 символизирует распределение, соответствующее локально интегрируемой функции со значениями 1 в каждой точке.] (d) Ассоциативность свертки нарушается на указанных трех распределениях, поскольку 1*(б'*//) = 1*б = 1, но (1 *δ')*# = 0*# = 0. 25. Имеется еще одна характеристика свертки, аналогичная теореме 6.33. Пусть L — непрерывное линейное отображение пространства ей в пространство С°°, коммутирующее с операторами Da, т. е. (а) ΖΧ>«φ = ΟαΙφ (φ ζ®). Тогда существует такое распределение и ζ£ΰ'> что £φ = Μ*φ (φζ^). Наводящее соображение. Зафиксируем φ ζ® и положим h (χ) = {τ-χ1τχγ) (0) = (Lxxy) (χ) (*g R»).
192 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Пусть De—производная по направлению (этот оператор использовался в доказательстве теоремы 6.30). Показать, что (Deh) (χ) = (DeLxxy) (χ) - (LxxDey) (x) обращается в 0, если выполняется условие (а). Таким образом, h(x)=h(0), откуда следует, что txL = Lxx. Нельзя ли ослабить предположение, что образ отображения L содержится в С°°? 26. Если /gL1((— оо, —e)(J(e, оо)) при каждом ε > 0, то определим главное значение интеграла, полагая (P.V. = Principal Value) P.V. J / (χ) dx= lim ( ^ + Π / (χ) dx, — CD \-GO 8 ' когда предел существует. Для cp£iZ>(R) пусть 00 Λφ = \ φ (я) log | χ \ dx. — 00 Показать, что 00 Λ'φ = Ρ.ν. J <р(*)£, — 00 Α*φ = -Ρ.ν. ] Φ(χ)-φ(0)^. — 00 27. Найти все распределения и£@)' (R"), которые удовлетворяют хотя бы одному из следующих двух условий: (a) ххи = и для каждого x£Rn, (b) Dau = 0 для каждого мультииндекса α, такого, что | ос | = 1.
Глава 7 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Основные свойства 7.1. Обозначения, (а) Нормированной мерой Лебега на R" называется мера тпУ определяемая равенством dmn(x) = (2n)-n/*dx. Множитель (2π)_Λ/2 упрощает формулировки теоремы обращения 7.7 и теоремы Планшереля 7.9. Обычные лебеговы пространства Lp9 или LP(R"), будут нормироваться при помощи тп: 11/11,= (J \f\*dmnyp (1<р<оо). Удобно также несколько видоизменить определение свертки двух функций на R", полагая (/ *g)(*) = l f (х—У) 8 (У) dmn (У), Rn когда интеграл существует. (b) Для каждой точки t g R" характер et есть функция вида et (х) = еп-х = ехр {i (<л+ ... +tnxn)\ (χ ζ R«). Каждый характер et удовлетворяет функциональному уравнению et(x + y) = et(x)ei(y). Таким образом, et есть гомоморфизм аддитивной группы R" в мультипликативную группу комплексных чисел, по модулю равных 1. (c) Преобразованием Фурье функции / ζ L1 (Rn) называется функция /, определяемая равенством f(0 = S fe-tdrnn (teRn). Rn Термин «преобразование Фурье» часто используется также для обозначения отображения, сопоставляющего функции / функцию / . 7 № 871
194 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Отметим, что /(') = (/**,) (0). (d) Если а—мультииндекс, то ".-«-'««-(ΚΓ-ίτέΓ·· Употребление Da вместо Da упрощает некоторые формулы. Отметим, что Daet = taeu где, как и раньше, ta = f?... tnn. Пусть Ρ—полином от η переменных с комплексными коэффициентами, скажем Тогда дифференциальные операторы Ρ (D) и Р(—D), по определению, суть P(D) = ^C«D«> P(-D)=2(-l)\«\caDa. Из определения вытекает, что P(D)et = P(i)et (t^R"). (e) Оператор сдвига тХУ как и раньше, задается равенством (*J)(y) = f(y-x) (*, y£Rn). 7.2. Теорема. Пусть f, geLx(Rn) и xgR". Тогда (a) (txfr^e.J; (b) (ejy=Tj; (c) (f*gr=fg\ (d) если λ>0 и h(x)=f(x/X), mo h(t)=Xnf(Μ). Доказательство. Из определений вытекает, что {tjr(i)=\^j)-e-t = \f-v-xe-t = [f-e-t{x)e-t = e_x{t)nt) И (ej)~ (ί) = J eje_t = J /*-«-*) = (xj) (ί). Применяя теорему Фубини, получаем (с). Чтобы доказать (d), достаточно сделать линейную замену переменных в определении /. Щ 7.3. Быстро убывающие функции. Это наименование употребляется иногда по отношению к тем функциям f£C"(Rn)9 для которых (1) sup sup (l + \x\*)N\(Daf)(x)\<oo при Af = 0, 1, 2, ... . [Напомним, что |*|2 = 2*'?·] Другими словами, требование состоит в том, что для каждого полинома Ρ и каждого мультииндекса а функция P-Daf является ограниченной
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 195 на R". Так как это верно с заменой полинома Ρ (χ) на (l+\x\2)NP(x), то отсюда вытекает, что любая из функций P-Daf содержится в L^R»). Все такие функции образуют векторное пространство, обозначаемое через <!fn. Счетный набор норм (1) задает в этом пространстве локально выпуклую топологию, как описано в теореме 1.37. Ясно, что @)(Rn)czaPn. 7.4. Теорема, (a) ofn является пространством Фреше. (b) Если Ρ—произвольный полином, g£<ifn и а—любой муль- тииндекс, то каждое из следующих трех отображений f-*Pf, f^gf, f->Daf представляет собой непрерывное линейное отображение пространства tfneofn. (c) Если f£ofn и Ρ — полином, то (P(D)fy = Pf и (Pfy~P(-D)l (d) Преобразование Фурье осуществляет непрерывное линейное отображение пространства tfn в of п. Утверждение (d) будет усилено в теореме 7.7. Доказательство, (а) Предположим, что {/,} — последовательность Коши в <Уп. Тогда при i—► оо для каждой пары муль- тииндексов α и β функции x^Dafi(x) сходятся (равномерно на R") к некоторым ограниченным функциям ga$. Ясно, что gafi(x)=xVD<*g00(x), и поэтому /,—>g00 в £fn. Таким образом, of n полно. (b) Очевидно, что если /€<#"„, то Daf^^ni и поэтому, в силу формулы Лейбница, Pf и gf также содержатся в <Уп. Непрерывность всех трех отображений есть простое следствие теоремы о замкнутом графике. (c) Если /ζο^„, то, согласно утверждению (Ь), и P(D)f принадлежит этому пространству. Кроме того, (P(D)f)*et = f*P(D)et = f*P(t)et = P(t)[f*et]. Беря значения этих функций в начале координат пространства R", мы получим первую часть утверждения (с), а именно (P(D)fy(t) = P(t)f(t). Если t = (tu ...,<„) и Г = (t1 + ?t t2, ..., tn), где гфОу то 7*
196 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Так как xJ^L1, то применима теорема Лебега, и мы получаем кп Этим доказана вторая часть утверждения (с) в частном случае Р(х)—хг, Общий случай сводится к данному путем итераций. (d) Пусть /е^„ и g(x) = (—1)1 «!*«/(*). Тогда g 6 f n. Из утверждения (с) теперь вытекает, что g = Daf и P-DaJ = = P-g — (P (D)g)~, причем эти функции являются ограниченными, поскольку Ρ (D)g£ L1 (Rre). Следовательно, f ζ &'„. Если ft —> / в <УЙ, то ft—>/ в L^R"). Поэтому f.(t)-+f(t) при всех ί 6 R". Тот факт, что отображение f—► / является непрерывным отображением пространства of'„ в с^„, вытекает теперь из теоремы о замкнутом графике. Щ 7.5. Теорема. Если /eL*(R"), то f€C0(R") и ||/1|.<||/ Ц^ Здесь C0(R")—банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на R", стремящихся к нулю на бесконечности, с sup-нормой. Доказательство. Так как \et(x)\ = \, то ясно, что (1) lf(OKII/lli (/€LS i€R"). Поскольку S>(Rn)d<^nl <Уп плотно в L^R"). Поэтому каждой функции /^/^(R") соответствует такая последовательность функций ft€<fi%, что HZ—f-llj-^O. Так как ft€<^вс:С0 (R») и так как из (1) вытекает, что ft—► / равномерно на R", то доказательство завершено. Щ Следующая лемма используется при доказательстве теоремы обращения. Она зависит от особенностей нормировки, выбранной для тп. 7.6. Лемма. Если функция φ„ на R" определена равенством (1) 9Л*) = ехр{-|И2}, (2) φ„ (0) = J yndmn. Доказательство. Ясно, что φ„€<^„. Так как функция φχ удовлетворяет дифференциальному уравнению (3) У'+ху = 0,
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 197 то, как показывает простое вычисление (или утверждение (с) теоремы 7.4), функция φχ также удовлетворяет этому дифференциальному уравнению. Следовательно, ц>1/ц)1 — константа. Но, поскольку срх (0) = 1 и 00 R -oo мы заключаем, что φι=φ1. Далее, (4) φ„Μ = φι(*ι)..·Φι(*Β) (*eR"), так что (5) ΦΒ(0 = Φι(ίι).·.φι(ίπ) (*енв). Отсюда следует, что φ„ = φ„ при всех п. Так как, по определению, φ„ (0) = ^ q>ndmn и φη=φη, мы получаем равенство (2). Щ 7.7. Теорема обращения, (а) Если g(zofn> то (1) g(x)=\gexdmn (x£Rn). (b) Преобразование Фурье является непрерывным линейным взаимно однозначным отображением пространства if n на if n с периодом 4, и обратное отображение также непрерывно. (c) Если /6Li(R"), feL^R") и (2) f0(x)= J fexdmn (x6R"), R" mo f (x) = /0 (x) для почти всех χ ζ R". Доказательство. Если fug содержатся в L1(R"), то к двойному интегралу S \f{x)g(y)e-ix'ydmn{x)dmn{y) Rn Rn применима теорема Фубини, которая приводит к тождеству (3) J fgdmn= J fgdmn. Для доказательства утверждения (а) возьмем g ζ ifn, φ £ ifn и положим /(#) = φ(χ/λ), где λ > 0. Тождество (3) в силу утверждения (d) теоремы 7.2 приводит к соотношению \ g (0 λ"φ (λ/) dmn(t) = J 9 ( f) g ДО Λη„ (ίΟ, R" R"
198 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ИЛИ (4) J g (χ)φ (ί) <im„ (ί) = J Φ (f) g ДО dm„ (у). Rn RB Если λ—*οο, то g(t/X)—*g(0) и φ(ί//λ)—+ q>(0), причем допредельные функции ограничены в совокупности. Поэтому к обоим интегралам в равенстве (4) применима теорема Лебега. В результате получается, что (5) g(0) J φΛη„=φ(0) J gdmn. Rn Rn Если в качестве φ использовать функцию φ„ из леммы 7.6, то соотношение (5) приведет к формуле обращения (1) для случая х = 0. Общий случай выводится из этого, поскольку в силу утверждения (а) теоремы 7.2 £(*)==(τ-*£)(0)= J {T-xgVdmn= J gexdmn. Rn Rn Тем самым полностью доказано утверждение (а). Для доказательства утверждения (Ь) введем временно обозначение <Dg = g. Формула обращения (1) показывает, что отображение Φ является инъективным на &п, поскольку равенство g = 0, очевидно, приводит к g = 0. Согласно той же формуле, (6) <S2g=g, где, как и раньше, g(x)=g(—#)· Поэтому (D*g = g. Отсюда вытекает, что Φ отображает tfn на все &п. Непрерывность отображения Φ уже доказана в теореме 7.4. Для доказательства непрерывности обратного отображения теперь можно либо сослаться на теорему об открытом отображении (на теорему о замкнутом графике), либо воспользоваться тем фактом, что ф_1 = Ф3. Для доказательства утверждения (с) мы вернемся к тождеству (3), где будем считать g£<>fn. Если подставить формулу обращения (1) в формулу (3) и применить теорему Фубини, то мы получим (7) S fogdmn=\fgdmn fe€^„). Rn Rn Согласно утверждению (Ь), функции g пробегают все пространство &п. Так как @)(Rn)cz<SPnf то из (7) вытекает, что (8) S(/o-/)<Pdrc» = 0 R" для каждого <p€®(R"), а потому (ввиду возможности равномерной аппроксимации, описанной в упр. 1 гл. 6) и для каждой
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 199 непрерывной функции φ с компактным носителем. Отсюда следует, что /0 — / = 0 почти всюду. Щ 7.8. Теорема. Если f£ofn и g^QfnJ то (a) f*ge&n и 0>) (fgy=f*i Доказательство. В силу утверждения (с) теоремы 7.2 имеем (f*g)~=fg1 или, если использовать обозначение из доказательства утверждения (Ь) теоремы 7.7, (1) ф(/*£)=ф/.ф£. Если заменить в формуле (1) функции f и g на / и gy то получится (2) o(f*g)=®4-®2g==fg==(fgr==®2(fg)· Применяя к обеим частям равенства (2) оператор Ф"1, мы получаем (Ь). Заметим, что /g"€<^«- Поэтому из (Ь) вытекает, что f*g"€<^«· Но это приводит к утверждению (а), так как преобразование Фурье отображает £fn на of\. Щ 7.9. Теорема Планшереля. Существует линейная изометрия Ψ пространства L2 (Rn) на L2 (R"), которая однозначно определяется условием ψ/ = f для каждого f g if n. Заметим, что равенство Ψ/=/ продолжается с of'„ на Ьг[\Ь2, поскольку ifn плотно и в L1, и в L2. Поэтому результат можно резюмировать следующим образом. Отображение Ψ определено всюду на L2, преобразование f было определено в п. 7.1 для всех /gL1; на общей области определения имеем Ψ/ = /. Таким образом, оператор Ψ служит расширением преобразования Фурье с L1 Π L2 на L2. Это расширение Ψ по-прежнему называется преобразованием Фурье (иногда—преобразованием Фурье—Планшереля) , и обозначение / используется вместо Ψ/ для всех / ζ L2 (R"). Доказательство. Если / и g принадлежат ifn, то, согласно теореме обращения, S fgdmn= lg(x)dmn(x) J J(t)e**·*dmn{t) = = S f(t)dmn(t) J g(x)e'*-'dmn(x). Последний внутренний интеграл представляет функцию, комплексно сопряженную к g(i). Тем самым мы получаем формулу Парсеваля (1) J fgdmn= J fgdmn (Лг€^„). Rn Rn
200 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ При g = f формула (1) сводится к формуле (2) Ш.Ч1?11. (/€^„). Заметим, что подпространство &'„ плотно в L2(R") (по тем же соображениям, по которым оно плотно в L1(R")). Таким образом, формула (2) показывает, что отображение /—>} представляет собой изометрию (в £2-метрике) плотного в L2 (R") подпространства <Уп на <Уп. [Тот факт, что образом служит все &п% вытекает из теоремы обращения.] Из элементарных соображений метрического характера теперь следует, что отображение f—►/ обладает однозначно определенным непрерывным расширением Ψ: L2(R")—>- —^L2(R") и что Ψ является линейной изометрией на все L2(R"). Некоторые подробности см. в упр. 13. Щ Стоит отметить, что формула Парсеваля (1) остается справедливой при произвольных / и g из L2(R"). Тот факт, что преобразование Фурье осуществляет /^-изометрию, является одним из его наиболее важных характерных свойств. Медленно растущие распределения Прежде чем давать определение медленно растущих (умеренных) распределений, мы установим следующее соотношение между пространствами &п и S>(R"). 7.10. Теорема, (а) Подпространство £D(Rn) плотно в &п% (b) Тождественное отображение подпространства S> (Rre) в tfn непрерывно. В этих утверждениях речь идет, конечно, об исходных топологиях в iZ>(R") и <Уп, описанных в п. 6.3 и 7.3. Доказательство, (а) Пусть / gc^„ и ψ£^> (R"), причем ψ = 1 на единичном шаре пространства R". Положим (1) fr(x)=f(x)^(rx) (χζΚ\ r>0). Тогда /rgS>(Rn). Если Ρ—любой полином, а α—любой мульти- индекс, то P(x)D*(f-fr)(x) = P(x) Σ Cafi(D*-fif){x)r^\D*[l-$(rx)]. Из нашего выбора функции ψ вытекает, что DP [1—ψ(/-χ)] = 0 при | χ | ^ 1/г для любого мультииндекса β. Так как / ζ £fn, то p.Da~$f gC0(R") для всех β^α. Отсюда следует, что последняя сумма стремится к нулю равномерно на R" при г—►(). Таким образом, fr—-*/ в £Рп, и утверждение (а) доказано. (Ь) Если К—произвольный компакт из R", то топология, индуцированная на ёйк пространством <£Рп, очевидно, совпадает с
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 201 исходной (описанной в п. 1.46), поскольку каждая из функций (1 + |#|2)N ограничена на /С. Поэтому тождественное вложение подпространства @)к в if n непрерывно (на самом деле оно является гомеоморфизмом), и утверждение (Ь) теперь вытекает из теоремы 6.6. Щ 7.11. Определение. Пусть i: S> (Rn)—>ifn—тождественное отображение. Если L—непрерывный линейный функционал на ifn> то положим (1) uL = Loi. Из непрерывности отображения / (теорема 7.10) вытекает, что uL£@>' (Rn). Так как подпространство S)(Rn) плотно в £Рп, то два различных функционала L не могут приводить к одному и тому же и. Таким образом, формула (1) описывает изоморфизм между векторным пространством if'n, сопряженным к if п, с одной стороны, и некоторым пространством распределений—с другой. Возникающие так распределения называются медленно растущими (или умеренными). Итак, медленно растущие распределения суть в точности те функционалы и^ёй' (R"), которые обладают непрерывным расти- рением на пространство £Рп. В свете предыдущих замечаний удобно и естественно отождествить uL с L. Медленно растущие распределения на Rn при этом оказываются в точности элементами пространства ЗР'п. Следующие примеры призваны объяснить использование здесь термина «медленно растущий», который указывает на ограничение роста на бесконечности. (См. также упр. 3.) 7.12. Примеры, (а) Каждое распределение с компактным носителем является медленно растущим. Пусть К — компактный носитель некоторого распределения и£@)' (Rn). Выберем такую функцию ty€@)(Rn), что ψ=1 на некотором открытом множестве, содержащем /С, и положим (1) и(П = "Ш) (/€0· Если /,·—>0 в if п, то для всех производных имеем Daf{—*0 равномерно на Rn. Поэтому Da (ψ/,·) —> 0 равномерно на R", так что Ψ/ί—*0 в ®(R"). Отсюда вытекает, что функционал и непрерывен на ifn. Так как ы(<р) = и(<р) для всех cp6^5(R"), то и осуществляет нужное расширение функционала и. (Ь) Пусть μ—такая положительная борелевская мера на R", что (2) J (1 + |*|2)-Μμ(χ)<οο при некотором целом положительном k. Тогда μ—медленно растущее распределение. Более точно, утверждение состоит в том, что
202 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ формула (3) А/= $/ф определяет непрерывный линейный функционал на сУ„. Чтобы установить это, предположим, что ft—►() в &'„. Тогда (4) B^supO+UI^I^WI — O. хе R" Так как \Aft\ не более чем в ε,- раз превосходит интеграл (2), то Λ//—► (). Тем самым доказана непрерывность функционала Λ. (с) Предположим, что 1<!р<оо, W > 0, и пусть g—такая измеримая функция на R", для которой (5) \ \(l + \x\>)-»g(x)\Pdmn(x) = C<oo. Тогда g—медленно растущее распределение. Как и в случае (Ь), положим (6) A/=$fed/nB. Rn Допустим сначала, что /?> 1, и обозначим через q сопряженный показатель. Тогда, согласно неравенству Гёльдера, (7) | Λ/1< Ci/p И | (1 + \х \ψ f (χ) |< dmn (χ) Γ'< ;ι/ρΠ| где Λί столь велико, что J (l+\x\*YN-M>*dmn(x) = B< оо. Rn Неравенством (7) установлена непрерывность на £Рп функционала Λ. Случай ρ =■ 1 еще проще. (d) Из (с) вытекает, что каждая функция g ζ LP (Rn) (1 ^ ρ ^οο) является медленно растущим распределением. Таким распределением является также любой полином и вообще любая измеримая функция, абсолютная величина которой оценивается полиномом, 7.13. Теорема. Если а—произвольный мультииндекс, Ρ—произвольный полином, g£ofn и и—произвольное, медленно растущее распределение, то распределения Dau, Pu и gu также являются медленно растущими.
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 203 Доказательство. Это непосредственно вытекает из утверждения (Ь) теоремы 7.4 и определений: (£>аы) (/) = (— l)\«\u(Daf)y (Pu)(f) = u(Pf)y (gu)(f) = u(gf). ■ 7.14. Определение. Если ιιζ<ϊ?'η, то мы полагаем (1) £(Ф) = и(<р) (<р€^я). Так как φ—»φ есть непрерывное линейное отображение пространства if n в ofn (утверждение (d) теоремы 7.4) и так как функционал и непрерывен на <Уп, то \i$.£f'n. Тем самым мы сопоставили каждому медленно растущему распределению и его преобразование Фурье и, которое снова является медленно растущим распределением. Наша следующая теорема покажет, что формальные свойства преобразований Фурье быстро убывающих функций распространяются и на более общий случай медленно растущих распределений. Сначала, однако, надлежит разрешить возникающую здесь проблему согласования. Если /^L^R"), то / можно рассматривать как медленно растущее распределение, скажем uf. Поэтому появляется возможность употреблять два определения преобразования Фурье, а именно определение (с) из п. 7.1 и определение 7.14. Вопрос состоит в том, совпадают ли эти два определения, т. е. будет ли распределение (ufy соответствовать функции f. Ответ оказывается положительным, поскольку ("/) ~ (Ψ) = "/ (Φ) = S /Φ = S /ф = (uf) (Φ) для любой функции ф6с^„. Третье из этих равенств равносильно тождеству (3) из п. 7.7, а остальные суть определения. Поскольку L2 (R") с <У'п, тот же вопрос возникает и в отношении преобразования Фурье—Планшереля. Здесь снова ответ положительный, и доказательство сохраняется, так как тождество /φ = ^φ остается справедливым для любых / ζ L2 (R") и φ ζ of'„. 7.15. Теорема, (а) Преобразование Фурье является непрерывным линейным взаимно однозначным отображением периода 4 пространства of fn на <£Р'п, и обратное отображение также непрерывно. (Ь) Если u£of'n и Ρ—любой полином, то (Р (D) иУ = Рй и (Ри) * = Ρ (-D) и. Отметим, что эти утверждения аналогичны утверждениям (Ь) теоремы 7.7 и (с) теоремы 7.4. В утверждении (а) имеется в виду слабая* топология, которая порождается на £f'n пространством &'„.
204 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Заметим еще, что дифференциальные операторы Ρ (D) и Ρ (—D) определяются при помощи Da, а не Da (см. (d) в п. 7.1). Доказательство. Пусть W — некоторая окрестность точки 0 в of'п. Тогда найдутся такие функции φΐ9 ..., φΛζ^„, что (1) {и£<У'п: |и(<р,)|< 1 при l<i<fe}c:W\ Положим (2) V={uG&"n: |и(ф,)|< 1 при 1 <*<£}. Тогда V есть окрестность точки 0 в £f'n, и, поскольку (3) ί(φ) = Μ(Φ) (ф€^„, "е<П), мы видим, что ί/ζΏ^, если ί/ζ У. Тем самым доказана непрерывность отображения Ф, где Фи = и. Поскольку Φ обладает периодом 4 на £f п, соотношение (3) показывает, что Φ обладает периодом 4 и на <!?'п, т.е. что Ф*и = и для каждого ιιζ&'η. Поэтому Φ осуществляет взаимно однозначное отображение на все пространство, а так как Ф~1 = ф3, то отображение Ф"1 непрерывно. Утверждение (Ь) получается из утверждения (с) теоремы 7.4 и теоремы 7.13 при помощи соотношений (Р (D) U) ~ (φ) = (Ρ (D) и) (φ) = и(Р (-D)) φ) = = ίΐ((Ρφ)Λ) = 2(Ρφ) = (Ρ2)(φ) И (Ρ (-D) U) (φ) = и (Ρ (D) φ) = и ((Ρ (D) φΓ) = = и(Яф)^Р«0(ф) = (Л<Гф. где φ—произвольная функция из <Уп. Щ 7.16. Примеры. В п. 7.12 (d) мы отмечали, что полиномы представляют собой медленно растущие распределения. Их преобразования Фурье легко подсчитать. Начнем с полинома 1. Рассматриваемый в качестве распределения, он действует на пробную функцию φ по формуле (1) 1(φ)= J lydmn= \qdmn. Поэтому (2) 1 (φ) = 1 (φ) = \ ydmn = φ (0) = β (φ), R" где δ—мера Дирака на R". Аналогично (3) δ (φ) = δ (φ) = φ (0) = ξ фЬпя = 1 (ф)· R"
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 205 Формулы (2) и (3) означают, что (4) ί = δ и 6=1. Если использовать эти результаты и применить утверждение (Ь) теоремы 7.15 с и = б и и=1, то мы получим, что для любого полинома Ρ на R" (5) (Ρ(ϋ)δ)~=Ρ и P = P(—D)6. Формулы (4) (равно как и формулы (5)) могут быть получены одна из другой при помощи теоремы обращения, которая для медленно растущих распределений формулируется так: Если u£if'n, то (йу = и> где и определяется равенством (6) £(Ф)=и(Ф) (ф€^я). Доказательство тривиально: согласно утверждению (а) теоремы 7.7, имеем (φ)~=φ, так что (иУ (φ) = и (φ) = и ((φΠ = и (φ) = и (φ). Заметим, что δ = δ. Сопоставляя соотношения (5) с теоремой 6.25, мы получаем, что распределение тогда и только тогда является преобразованием Фурье полинома у когда носителем этого распределения служит начало координат (или пустое множество). Следующая лемма потребуется в доказательстве теоремы 7.19. Аналогичное утверждение с заменой пространства if n на @)(Rn) гораздо более очевидно и уже использовалось без всяких оговорок в доказательстве теоремы 6.30. 7.17. Лемма. Пусть до = (1, 0, ..., 0) ζ R* и φζ(^Λ. Если (1) фЕ(*) = ф(£±^ЬФМ (*6R.>e>0), то φε—дц>/дхг—+0 в топологии пространства if n при ε —+0. Доказательство. Утверждение будет установлено, если показать, что преобразование Фурье функции φε—д^/дхг стремится к 0 в if'„, т. е. что (2) Ψεφ—>0 в &п при ε—► (), где (3) ψε (У) =eXP°'8f)""1-^1 {У € R», ε > 0). Если Ρ — произвольный полином и α—любой мультииндекс, (4) Ρ - Da fly?) = 2 οαβΡ - (Da-^) · (D»fc) β<α
206 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Простое вычисление показывает, что (eyl, если |β| = 0, г\У11 если |β | = 1, ε'βΐ-ι, если |β|> 1. Поэтому левая часть в (4) стремится к 0 равномерно на R" при ε—>0. Определение топологии в if n (п. 7.3) теперь показывает, что соотношение (2) выполняется. Щ 7.18. Определение. Если u^iffn и φζ^„, то (и * φ) (χ) = и (τχφ) (x€Rn). Заметим, что определение корректно, поскольку τ^φζο^„ при каждом у£<Уп. 7.19. Теорема. Пусть φζο^„ и и—медленнорастущее распределение. Тогда (a) u*<pGC*>(Rn) и Da (и * φ) = (Dau) * φ = и * (£>αφ) Зля любого мультииндекса ос; (b) функция и*φ растет не быстрее полинома и, следовательно, является медленно растущим распределением; (c) (α#φ)~=φί/; (d) (гг # φ) # ψ = гг # (φ # ψ) Зля каждого ψ g c^„; (e) ί/ #φ = (φ^)". Доказательство. Второе равенство в утверждении (а) доказывается точно так же, как в теореме 6.30, поскольку свертка по-прежнему коммутирует со сдвигами. Кроме того, по той же причине {1) ^-τή („#φ) = „#^2ρ2ϊ) φ. Теперь лемма 7.17 позволяет утверждать, что Da (и * φ) = и * (£>αφ), если а = (1, 0, ..., 0). Итерируя этот частный случай, мы получаем (а) в полном объеме. Пусть Pn (f) для f^^n обозначает норму (1) из п. 7.3. Неравенство (2) l+\x + y\*^2(l+\x\*)(l + \y\*) (x,y£Rn) показывает, что (3) Рм (τ,/) < 2» (1 + \х \ψρΝ (f) (χ € R", / € <*%). Так как и есть непрерывный линейный функционал на пространстве ifn и так как нормы ρ ν определяют топологию этого про-
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 207 странства, то найдутся такие N и С<оо, что (4) \u(f)\<CpN{f) (/€*„); см. упр. 8 в гл. 1. Согласно (3) и (4), имеем (5) \(и*ч)(х)\ = \и(тхч)\^2»Ср»(ч)(1+\х\*)», чем и доказано утверждение (Ь). Таким образом, свертка ияср обладает преобразованием Фурье, которое содержится в <У'п. Если i|)£S>(R") и носителем этой функции служит компакт /С, то (и*ф) ~ (Ψ) = (и*ф) (Ψ) = J (и#Ф) (*) Ψ (—*) dm„ (χ) = = J и [ψ (—χ) τχφ] dm„ (x) = α Γ J ψ (—χ) τ^φίί/η„ (χ) -κ ι~κ = и ((φ*Ψ) ~) = 2 ((φ*ψ)Λ) = и (φψ), так что (6) (Μ*φ)4Ψ) = (ψ")(Ψ). В предыдущей выкладке, когда мы вынесли и за знак интеграла, мы использовали теорему 3.27 в применении к с^ге-значному интегралу. Итак, равенство (6) пока что доказано для функций ty££u(Rn). Так как подпространство S) (Rn) плотно в <SPn, то, согласно утверждению (Ь) теоремы 7.7, преобразования Фурье элементов этого пространства также образуют всюду плотное подмножество в if'„. Поэтому равенство (6) выполняется для каждой функции ψ£<^„. Следовательно, распределения (ищу и ери совпадают. Этим доказано утверждение (с). Теперь ясно, что два последних члена в выкладке, предшествующей (6), совпадают при каждом ψ£^„. Поэтому (7) ("*φ)(Ψ) = κ((Φ*ΨΠ. а это равносильно равенству (8) ((α*φ)»ψ) (0) = {и* (φ*ψ)) (0). Если в равенстве (8) заменить ψ на τ^ψ, то мы и получим утверждение (d). Наконец, согласно утверждению (с) и формуле (6) из п. 7.16, имеем (и*уУ = (ры = (<ри)>\ Этим доказано утверждение (е), ибо (фиГ=((фи)Т· ■ Теоремы Пэли — Винера Одна из классических теорем Пэли и Винера характеризует целые функции экспоненциального типа (от одного комплексного переменного), сужение которых на вещественную ось принадлежит -
208 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ к L2, как совокупность преобразований Фурье ^-функций с компактным носителем (см., например, [27, теорема 19.3] или [2, стр. 179]). Мы приведем два аналогичных результата (для функций нескольких переменных), один из которых касается С°°-функций с компактным носителем, а другой — распределений с компактным носителем. 7.20. Определения. Пусть Ω—открытое множество в С" и /—непрерывная комплексная функция в Ω. Тогда функция / называется голоморфной в Ω, если она голоморфна по каждому переменному в отдельности. Последнее означает, что если (аг, ..., ап) е Ω и gi(K) = f(a1, ...,α/-!, αζ· + λ, αι+1, ...,αη), то каждая из функций gl9 ...,gn обязана быть голоморфной в некоторой окрестности точки 0 комплексной плоскости С. Функция, голоморфная всюду в С", называется целой. Для точек из С" будет использоваться обозначение ζ = (ζχ,..., ζ„), где z/eeC Если zk = xk + iykt x=(xlt ...,*„), у = (Уц ..·,#„), то мы пишем z = x + iy. Векторы x=Rez и y = lmz называются соответственно вещественной и мнимой частью г. Под R" теперь понимается совокупность всех г ζ С", для которых 1тг = 0. Мы будем использовать также следующие обозначения (где а—мультииндекс и ££Rre): |ζ| = (Ι*ιΙ2+...+ΚΙ2)1/2> \lmz\ = (yl+...+y*Y'; Ζα = #...#., Z-t = 21t1+...+Zntn9 ez(t) = exp (iz-t). 7.21. Лемма. Если f — целая функция на С", равная 0 на R", то / = 0. Доказательство. Мы считаем случай п=\ известным. Пусть <3>к обозначает следующее свойство функции /: если по крайней мере k первых координат точки ζ вещественны, то f (г) = 0. Тогда <У>п нам дано, а <ί?0 предстоит доказать. Пусть Ι^ι^μ и <?ι выполняется. Рассмотрим вещественные аг, ...yai^1. При любых ai+lt ..., ап функция λ—►/ [аи ..., а^ъ λ, α/+1, ..., ап) является целой и по условию обращается в 0 на вещественной оси. Поэтому она равна 0 тождественно. Но это означает, что выполняется S^i-г, и лемма доказана. Щ В следующих двух теоремах используется обозначение гВ = {хеЯ»: |*|<г}.
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 209 7.22. Теорема, (а) Если носитель функции φζ£)(Κη) содержится в гВ и если (1) f(*)=l <P(t)e-b'*dmn(t) (г€С»), Rn то функция f является целой и существуют такие константы yN < оо, что (2) |f(z)|<TA,(l + |z|)-^|Im21 (z<EC*, tf = 0, 1,2, ...). (b) Обратно, если некоторая целая функция f удовлетворяет условиям (2), то найдется такая функция (p£^>(R") с носителем в гВу что будет иметь место представление (1). Доказательство, (а) Если t£rB, то \e-iz-t \==ey-t ^e\ y\\t\^er\lmz\u Поэтому подынтегральная функция в (1) принадлежит L1 (R") для каждого ζ ζ С", и, следовательно, функция / корректно определена всюду на С". Непрерывность функции / тривиальна. Применение теоремы Морера по каждому переменному в отдельности .показывает, что функция / является целой. Далее, интегрирование по частям дает z«f(z)= J (Da<p)(t)e-b-*dmn(t). Поэтому (3) Ι^ΙΙ/^ΚΙΙβαφΙΙχ^Ί™*!, откуда вытекает (2). (b) Предположим, что функция / является целой и удовлетворяет условиям (2). Положим (4) Ф(0= S f(x)e"-*dmn(x) (*€RB). Rn Заметим сначала, что, согласно (2), функция {\+\x\)N f (х) при каждом N содержится в /^(R"). Следовательно, по тем же соображениям, которые были использованы при доказательстве утверждения (с) теоремы 7.4, имеем cp6C°°(Rre). Далее, мы утверждаем, что интеграл 00 (5) J f(l + iT],z2 2„)βχρ{ί[/ια + ίη) + ί1ζ,+ ...+ί„ζ„]}ίίξ — 00 не зависит от η при любых вещественных ίχ, ..., tn и комплексных z2, ..., гп. Чтобы обнаружить это, обозначим через Г пря-
210 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ моугольный контур в (£ + /т])-плоскости, одна сторона которого расположена на вещественной оси, другая — на прямой η = ηχ, а вертикальные стороны раздвигаются в бесконечность. По теореме Коши интеграл от подынтегрального выражения в (5), взятый по Г, равен 0. Вместе с тем, согласно условиям (2), вклад в этот интеграл, возникающий при интегрировании по вертикальным отрезкам, стремится к 0. Отсюда следует, что (5) принимает одинаковые значения при η = 0 и при η = η!· Тем самым наше утверждение доказано. Такую же процедуру можно выполнить и с остальными координатами. Поэтому наряду с (4) имеет место представление (6) Φ (0 = S f(* + iy) е"-(*+'*> dmn (χ) при каждом у ζ R". Для данного t ζ R", t Φ 0, положим у = Xt/\ t\9 где λ > 0. Тогда <·# = λ|ί|, |#|=λ и I f (x+iy)*"■<*+**>|<ςyN (i + \x\)-ne(r-\t ι)λί так что (7) |φ(<)Ι<Υ^Γ-,/,)λ S (\ + \x\)-N dmn(x)% κη где Λ^ выбрано настолько большим, чтобы последний интеграл был конечным. Пусть теперь λ—> оо. Если 11 \ > г, то, согласно (7), φ (ί) = 0. Таким образом, носитель функции φ содержится в гВ. Для вещественных z формула (1) вытекает из (4) и теоремы обращения. Но, поскольку обе части равенства (1) представляют собой целые функции, они совпадают всюду на С", согласно лемме 7.21. Щ Сделаем несколько замечаний в связи со следующей затем теоремой. Пусть и — распределение в R" с компактным носителем. Его преобразование Фурье определяется соотношением и (φ) = и (φ) и является медленно растущим распределением. Вместе с тем определение f(x) = ] fe_x dmn, принятое для функций / ς L1 (R"), наводит на мысль, что и может оказаться функцией, а именно поскольку е_х ζ С°° (R") и, как показано в пункте (d) теоремы 6.24, значение α (φ) имеет смысл для каждой функции cp£C°°(Rre). Более того, e_z£C°° (Rn) для каждого ζ ζ С", и поэтому u(e_z) похоже на целую функцию, сужение которой на R" дает и. Эти
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 211 рассуждения уточняются в следующей ниже теореме. Кроме того, возникающие здесь целые функции характеризуются в ней некоторыми условиями роста. 7.23. Теорема, (а) Если носитель распределения u££u'(Rn) содержится в гВ, порядок распределения равен N и если (1) f(z) = u(e_z) (ζ e С»), то функция f является целой, ее сужение на R" совпадает с преобразованием Фурье от и и, кроме того, существует такая константа у < оо, что (2) | / (ζ) Κ γ (1 + \г \)N er'Im ζ ι (ζ ζ С"). (b) Обратно, если f — целая функция в С", удовлетворяющая условиям (2) при некоторых N и у, то существует такое распределение и££йг (R") с носителем в гВ, что выполняется соотношение (1). Примечание. Обозначение и иногда используется для указания расширения на С", задаваемого формулой (1). Таким образом, для всех z g С" полагают u(z) = u(e_z). Это расширение иногда называют преобразованием Фурье—Лапласа распределения и. Доказательство, (а) Предположим, что носитель распределения u££D'(Rn) содержится в гВ. Зафиксируем такую функцию i|)gS)(R"), что ψ=1 на (г+1)5. Тогда и = ^и, и, согласно утверждению (е) теоремы 7.19, имеем (3) и = (г|ш)" = ί/#ψ. Таким образом, и ζ С°° (R"). Пусть φξ^ таково, что φ = ψ. Тогда (ί*ψ) (χ) = (и*<р) (х) = и (τχφ) = и ((τχφ)~) = = и (е_ху) = и (ψέ?.*) = и (*?_*), откуда в силу (3) получаем (4) U(x) = u(e_x) (x£Rn). Теперь мы хотим показать, что функция f, определенная формулой (1), является целой. Выберем α ζ С", &£С" и положим (5) £(λ) =/ (α + Xb) =и (е-а-м) (λ ζ С). Непрерывность функции / ясна: если w—> г в ", то e_w—>e_z в C°°(R"), а и является непрерывным функционалом на C°°(R"). Теперь достаточно показать, что каждая из функций g, опреде-
212 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ляемых соотношением (5), является целой, и тем самым будет установлено, что функция / целая. Пусть Г—некоторый прямоугольник в С. Так как λ—>е-а-кь есть непрерывное отображение из С в С°° (R"), то С°° (Я")-знач- ный интеграл (6) F=\e-a-%bdk г определен корректно. Кроме того, «значение в точке ££R"» есть непрерывный линейный функционал на C°°(R"). Поэтому можно переставить знак этого функционала со знаком интеграла. Следовательно, F у) = ^е-а-кьУ)сИ=1е-^е-^ь-*^с1Х = 0. г г Таким образом, F = 0 и из (6) вытекает, что 0 = а (F) = $ и (е-а-и) άλ = ^(λ) dX. г г Следовательно, по теореме Морера функция g является целой. Чтобы закончить доказательство утверждения (Ь), теперь достаточно установить формулу (2). Выберем вспомогательную бесконечно дифференцируемую функцию h на вещественной оси, для которой ft(s)=l, если s< 1, и ft(s) = 0, если s > 2, и сопоставим каждой точке ζ ζ С" (ζφΟ) функцию (7) <$z{t) = e-"'<h{\t\\z\-r\z\) (fgR»). Тогда 9zgS)(R"). Так как носитель распределения и содержится в гВ и так как ft (| t \ \ г\ — г \г\)= 1, если 111< | z I"1 + ^» то, сравнивая формулы (1) и (7), мы видим, что (8) /(2) = и(Ф,). Поскольку порядок распределения и равен Ν, найдется такая константа γ0 < оо, что | и (φ) | ^ γ01| φ \\Ν для всех φ G S> (R"), где ||φ||# определено формулой (1) в п. 6.2; см. утверждение (d) теоремы 6.24. Поэтому формула (8) дает (9) Ι/(ζ)ΚυοΙΙφ,||*. На носителе функции φΖ имеем |f|^r + 2/|z|f так что (10) I e~iz,t\ = ey,t ^.e2+r {Im2i. Если теперь мы применим формулу Лейбница к произведению (7) и используем (10) и (9), то получится неравенство (2). Тем самым утверждение (а) полностью доказано. (Ь) Так как функция / удовлетворяет условию (2), то (П) I/WKyU + I*!)" (*€Rn)·
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 213 Поэтому сужение функции / на R" принадлежит к^и является преобразованием Фурье некоторого медленно растущего распределения и. Фиксируем некоторую функцию h£@)(Rn) с носителем в 5, для которой [h=ly положим he(t) =s~nh(t/e) при ε > 0, и пусть (12) ^ м*)=/(*)М*) (*еСге)> где кг—целая функция, сужение которой на R" есть преобразование Фурье функции hz. Утверждение (а) теоремы 7.22 в применении к hz позволяет сделать заключение, что функция /8 удовлетворяет условию (2) теоремы 7.22 с заменой г на r + ε. Следовательно, согласно утверждению (Ь) теоремы 7.22, имеем /ε = Ψε, где <pe£®(R"), причем носитель функции φε содержится в (г + г)В. Рассмотрим такую функцию ф ζ <Уп9 что носитель функции ф не пересекается с гВ. Тогда ψφε = 0 для всех достаточно малых ε > 0. Так как /φζί,1^") и he (χ) = h (гх)—»1, оставаясь ограниченной на R", то и (ф) = и (ф) = [ /ф dmn = lim J /εφ dmn = ε -> 0 = lim \ (рефйт„ = lim \ ψφείί/η„ = 0. ε-*0 J ε-*0 J Поэтому носитель распределения и содержится в гВ. Теперь мы видим, что ζ—>u(e_z) является целой функцией, и так как соотношение (1) выполняется при всех z£Rn (согласно выбору и), то лемма 7.21 позволяет закончить доказательство утверждения (Ь). Щ Лемма Соболева Если Ω—открытое собственное подмножество в R", то преобразование Фурье не удается определить ни для функций с областью задания Ω, ни для распределений в Ω. Вместе с тем техника преобразования Фурье порой может применяться для решения локальных задач. Теорема 7.25, известная под названием леммы Соболева, представляет собой пример такого сорта. 7.24. Определения. Говорят, что комплексная измеримая функция /, заданная на некотором открытом множестве QcR", локально принадлежит к L2 β Ω, если \\f\2 dmn < оо для каж- к дого компакта ΚαΩ. Аналогично распределение и£@>' (Ω) локально принадлежит к L2, если существует такая функция g> локально принадлежащая
214 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ к L2 на Ω, что и (φ) = j g-φdm„ для всех φ€®(Ω). Если гово- Ω рится, что функция / обладает производной в смысле распределений Daf, локально принадлежащей к L2, то подразумевается распределение Daf и имеется в виду существование такой функции g, локально принадлежащей к L2, что \gydmn = (-\)\«\\fD«ydmn Ω Ω для всех φζ®(Ω). При этом заранее ничего нельзя сказать относительно существования Daf в классическом смысле, т. е. в смысле предела отношений. С другой стороны, для каждого неотрицательного целого ρ класс С{р] (Ω) состоит из тех комплексных функций / в Ω, для которых производные Daf существуют в классическом смысле при каждом мультииндексе а, |а|^р, и являются непрерывными функциями. Символ D\ используется для обозначения дифференциального оператора (д/дх()к. 7.25. Теорема. Пусть п, р, г—целые числа, причем η > О, р>0 и (1) г>р + ±. Предположим, что функция f, заданная на некотором открытом множестве QaRn, такова, что ее производные в смысле распределений Dff локально принадлежат к L2 в Ω при l^.i^.n9 0<й</\ Тогда существует такая функция /^(^(Ω), что f0(x)=f (x) для почти всех χζΩ. Заметим, что в условии теоремы не фигурируют смешанные производные, т. е. члены вида D^J. Заключение состоит в том, что функцию / можно «исправить» на множестве меры 0 с таким расчетом, чтобы она попала в С{р] (Ω). В качестве следствия отметим еще, что /0ζΟ(Ω), если все производные в смысле распределений от / локально принадлежат к L2. Доказательство. По предположению существуют такие функции gik, локально принадлежащие к L2 на Ω, что (2) Ui^dmn = (-l)^fDiVdmn (φ 6® (Ω)) Ω Ω при 1<л^я, 0^&^/\ Пусть ω—открытое множество, замыкание которого К есть компактное подмножество в Ω. Выберем такую функцию ψζ^)(Ω),
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 215 что ψ=1 на К у и определим функцию F на R", полагая Ψ (*)/(*)» если *€Ω, FM-} 0, если χζΩ. Тогда fe^MR^n^MR")· По формуле Лейбница на множестве Ω имеем (3) щр = 2(0 ί^"4*) (^ = Σ (0 <D~*) ft*· s=0 Ч ' s = 0 ч ' На дополнении Ω0 к носителю функции ψ имеем DrtF = 0. На множестве Ω Π Ω0 эти Два распределения совпадают. Поэтому D\F, заданное вначале как распределение в R", на самом деле оказывается/,2 ^")-функцией при 1 ^л^я, поскольку функции {Drfs ty)giS принадлежат Ζ,2(Ω). [Так как D\F обладают компактным носителем, то они принадлежат также и к L^R").] Теорема Планшереля в применении к функциям F и D[F> ... ..., DrnK теперь показывает, что (4) ]\F\*dmn<oa И (5) \yr\F{y)\*dmn{y)<oo (1<ί</ι). Rn Так как (6) (1 + \у\Г<(2п + 2У(\+уГ+...+у?1г)> гДе |#| = (#ϊ + · · · +У2п)1,2> то из неравенств (4) и (5) вытекает неравенство (7) 1(1 + \у\)шг\Р(у)\ш*Пп(У)<<х>. Если J обозначает интеграл в (7), а ση есть (п—1)-мерный объем единичной сферы пространства R", то неравенство Шварца дает 00 = Jon J (1 + typ-*r tn~* dt <oo, о поскольку 2/7 — 2r + n —1< — 1. Тем самым мы доказали, что (8) Ul + \y\)p\p(y)\dma(y)<oo. R" Положим (9) Fm(x) =$F(y) e*-v dmn (y) (x € R«).
216 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Согласно утверждению (с) теоремы обращения 7.7, имеем Ρω*=Ρ п. в. на R". Кроме того, из условия (8) вытекает, что функции уа F(у) принадлежат L1, если |а|^р. Теперь, повторяя доказательство утверждения (с) теоремы 7.4, мы заключаем, что (Ю) ^<EC</»(Rre). Но наша функция / совпадает с F в ω. Поэтому [ = Ρω π. в. в ω. Если ω'—другое множество типа ω, то предыдущее рассуждение доказывает существование такой функции /ν ζ С^ (R"), которая совпадает с f п. в. в ω'. Поэтому /v=F<o в ω'Πω. Следовательно, искомую функцию /0 можно корректно определить в Ω, если в ω положить ее равной Р®.Щ Упражнения 1. Пусть Л — обратимый линейный оператор в Rw, f^L1 (R") и g (x) = f(Ax). Выразить явно g через /. Тем самым будет получено обобщение утверждения (d) теоремы 7.2. 2. Не порождается ли топология пространства gfn некоторой инвариантной метрикой, относительно которой преобразование Фурье осуществляет изометрию пространства gf n на себя? 3. Рассмотрим на вещественной оси функции f (х) = ех и g (x)=ex cos (ex). Показать, что g является медленно растущим распределением, тогда как / не является. 4. Согласно упр. 3, существуют распределения, которые не являются медленно растущими. Каждое такое распределение является непрерывным линейным функционалом на ®(Rre), не имеющим непрерывного линейного расширения на gfn. Объяснить, почему это не противоречит теореме Хана— Банаха. 5. (а) Построить последовательность в ей (R"). которая сходится к 0 в топологии Ufa и не сходится в топологии &) (R"). (Ь) Построить последовательность полиномов, которая сходится в топологии jg)' (R), но не сходится в топологии <ff'n. 6. Доказать что операции, перечисленные в теореме 7.13, суть непрерывные отображения пространства <£f'n в себя. 7. Пусть u^gf'n. Доказать, что (%хиу=е-хи и (ехиу=%хи для каждого х£Кп. 8. Пусть /gL1(R"), / т= 0, λ—комплексное число и f=λ/. Что можно сказать относительно λ? 9. Доказать утверждение (а) теоремы 7.8 непосредственно (не привлекая преобразований Фурье).
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 217 10. Преобразование Фурье комплексной борелевской меры μ на R" обычно определяется как функция μ, задаваемая равенством μ(*) =$*-"·'£ίμ(/) (*€НЯ)- Конечно, μ является медленно растущим распределением, и в таком качестве его преобразование Фурье определено в п. 7.14. Доказать, что эти два определения совпадают. Доказать, что функция μ ограничена и равномерно непрерывна. 11. Пусть Λ: £fn -» С (R") — непрерывное линейное отображение и τχΑ = Ατχ при каждом JcgR". Существует ли такое распределение и ζ (5^, что Л (φ) = ί/*φ для всех φζ(^«? 12. Если \hj-j—аппроксимативная единица в смысле определения 6.31 и #ζ<5^, то верно ли, что u*hj -> и при / -*оо в слабой* топологии пространства <Цр'п? 13. Пусть X и У—полные метрические пространства, множество Л плотно в X и /: А -» Υ— равномерно непрерывное отображение. (a) Доказать, что / обладает единственным непрерывным продолжением F: Χ ->Υ. (b) Если / — изометрия, то это верно и в отношении F. Доказать также, что F (X) замкнуто в Y, [Это использовалось в доказательстве теоремы Планшереля; см. также упр. 19 в гл. 1.] 14. Пусть F—целая функция в С", и пусть каждому ε > 0 отвечают такое целое Ν (ε) и такое γ (ε) < оо, что | F (ζ) Ι < γ (ε) (1 +1 ζ |)^<ε> eelIm *Ι (ζ ζ Ο). Доказать, что F — полином. 15. Пусть / — целая функция в С", N — положительное целое число, г^О и l/(z)|<(l + |z \)Ner\^z\ дЛя всех ζ ζ С", | / (χ) Ι < 1 для всех *ζ R". Доказать, что тогда |/(z)|<e1Im2| дЛя всех z£C". Наводящее соображение. Фиксируем z = x-\-iy£Cn. ПриХ£С и s> 0 положим gs(l) = (l-isX)-X-ie<'rW\4(x + ly). Примените к большому полукругу в верхней полуплоскости принцип максимума модуля, в результате чего должно получиться неравенство |&у(/)1<1· Положите s -» 0. 16. В пункте (Ь) теоремы 7.23 не утверждается, что распределение и имеет порядок N. Следующий пример показывает, что, вообще говоря, это и неверно. Пусть μ — вероятностная борелевская мера на R3, сосредоточенная на единичной сфере S2 и инвариантная относительно всех вращений сферы 52. Показать (используя сферические координаты), что
218 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Положим u = D^. Тогда |2(*)| = |*ii(*)|<l (*€R3). Из упр. 15 вывести, что \и(е-г)\<^уеп™*\ (г еС3), хотя и и не является распределением порядка 0. [Его порядок равен 1.J Найти явную формулу для целой функции u(e-z)> z£C3. 17. Пусть и—распределение в R" с компактным носителем /С, преобразование Фурье которого и является ограниченной на R" функцией. (a) Предполагая, что п = \ или я = 2, доказать, что г|ш = 0 для каждой функции 1|5£С°°(К"), которая обращается в 0 на /С. (b) Предположим, что п = 2 и что существует вещественный полином Ρ от двух переменных, который обращается в 0 на /С. Доказать, что Ри = 0 п что, следовательно, и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных Ρ (—D) и = 0. Например, если К — единичная окружность, то и + Аи = 0, где Δ = д2/дх* + д2/дх\ — оператор Лапласа. (c) Показать, привлекая упр. 16 и полином 1—х*—х\—х*, что утверждение (Ь), а потому и утверждение (а) перестает быть верным, если η = 2 заменить на п = 3. (d) Пусть /i = l, fgL^R), / = 0 на К и f удовлетворяет условию Липшица порядка 1/2, т.е. \f(t) — /(s)|<:C|/—s|i/2. Доказать, что тогда [ f(x)u(x)dx = 0. Наводящее соображение. При каждом η обозначим через Нг множество всех точек, лежащих вне /С, но на расстоянии, меньшем чем ε > 0, от К. Пусть {/ιε| — аппроксимативная единица типа фигурирующей в доказательстве утверждения (Ь) теоремы 7.23. Используя теорему Планшереля, докажите неравенство Ι|«*Λβ||.<||^||ββε-η/·||Λ1||, и выведите отсюда, что ll«(9)ll<ll«IUII^ill.Iiminf ίε-« \ | φ ψ dm J 1/2 для каждого cpgi2)(Rre), равного нулю на К. Это даст (а), а в несколько измененном виде — (d); утверждение (Ь) следует из (а). 18. Обязательно ли было привлекать функцию ψ при доказательстве теоремы 7.25? Нельзя ли было просто положить F(x) = f(x) на К и F(x)=0 вне Ю 19. Доказать, что в предположениях теоремы 7.25 производные Daf локально принадлежат к L2 для каждого мультииндекса а, такого, что |а| ^ г. 20. Пусть f ζ L2(R2)^-непрерывная функция с преобразованием Фурье J(y) = V + \y\)-*{\og(2+\y\)}-1 (у е R2)· Так как \y\3f(y) принадлежит L2 (R2), то, согласно теореме 7.25,
ГЛ. 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 219 / £ C(1>(R2). Более сильное заключение / ζ С(2) (R2) оказывается уже неверным, что устанавливается на основе соотношения f(h, 0) + f(—h, 0) —2/(0, 0) . — LA-ί—' ' ι *— '—ί i_LJ—L—> о© при h—>0. /ι2 Это означает, что в условии (1) теоремы 7.25 знак > нельзя заменить на ^. 21. Предположим, чго первые производные Dxu, ..., Dnu некоторого распределения и в R" являются L2 (И")-функциями. Доказать, что тогда и также есть функция и что и локально принадлежит к L2. [Показать, что слово «локально» в заключении, вообще говоря, опустить нельзя.] Указание. На самом деле и есть сумма /Афункции и некоторой целой функции. Если /г=1, то и оказывается даже непрерывной функцией. Показать, что это более сильное утверждение неверно при η = 2. Например, рассмотреть функцию ι + |*Ι2 См. упр. 11 гл. 8, где приводится аналогичный результат при более слабых предположениях. 22. Периодические распределения, или распределения на торе Ти, обладают рядами Фурье, теория которых проще, чем теория преобразований Фурье. В значительной степени это объясняется компактностью тора: каждое распределение на Тп обладает компактным носителем. В частности, понятие медленно растущего распределения теряет смысл. Доказать ряд указанных ниже утверждений. Напомним, что Tn = {(etXl, ..., е п): Xj вещественны}. Функцию φ на Тп можно отождествить с 2я-периодической по каждому переменному функцией φ на R", полагая 9(*lf ..., хп) =<р(е'*», ... , е*п)ш Через Ъп обозначается множество (аддитивная группа) /г-строк k = (klt ...,kn) целых чисел kj. Для каждого k ζ Ζη функция ek на Тп определяется равенством eh (eix\ ... , ex») = eik-x = exp {i (*Л+ · · -+*„χη)}. Через ση обозначается мера Хаара на Тп. Если φ ζ L1 (σ„), то коэффициенты Фурье этой функции суть $(*)= J e-k4>don (k^Z"). < оо Через ей (Тп) обозначается пространство всех тех функций φ на Тп, для которых φ ζ С00 (R"). Если φ £ ей (Тп), то /2(1+^^1ф(^)1Ч1/2 Ье2» ( п.ри N = 0, 1, 2, ... . Указанные нормы определяют на ей (Тп) топологию пространства Фреше, причем эта топология совпадает с топологией, задаваемой нормами max sup | (£>αφ) (х)\ {Ν = 0, 1, 2, ...). 1<х|<# xeRn
220 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Пространство &)' (Тп) состоит из линейных непрерывных функционалов на ей (Тп). Элементы этого пространства называются распределениями на Тп. Коэффициенты Фурье распределения и ζ GQ' (Тп) определяются соотношениями H(k) = u{e.k) (*gZ»). Каждому распределению и ζ &)' (Тп) соответствуют такие N и С, что \U(k)\<C{\ + \k\)N &ζΖ«). Обратно, если g—такая функция на Z", что \g (k) \ ^С (1 + | k \ )N при некоторых С и N, то g = u для подходящего и ζ <g)' (Т"). Таким образом, имеется линейное взаимно однозначное соответствие между распределениями на Тп, с одной стороны, и функциями полиномиального роста на Ζη — с другой. Если Ег с Е2 С Е3 а ... —конечные множества, объединение которых совпадает с Ζ", и если и ζ &)' (Тп), то «частичные суммы» keE. сходятся к и при /—> оо в смысле слабой* топологии пространства &)' (Тп). Свертку и *υ двух элементов и ζ ££)' (Тп) и υ ζ <Ё)' (ΓΛ) проще всего определить, беря элемент с коэффициентами Фурье и (k) υ (k). Имеют место аналоги теорем 6.30 и 6.37, причем доказательства сильно упрощаются. 23. Видоизменить доказательство теоремы 7.25, используя вместо преобразований Фурье ряды Фурье, соответствующие замене функции F подходящей периодической функцией. 24. Пусть с=(2/п)1/2. Для / = 1, 2, 3, ... определим функции gj на вещественной оси, полагая / c/t, если 1// < | /1 < /, I 0 в остальных точках. Доказать, что последовательность {gj\ равномерно ограничена и поточечно сходится при /—>оо. Отсюда следует, что если / ζ L2 (R), то последовательность f*gj сходится в £2-метрике к некоторой функции Hf£L2. Эта функция называется преобразованием Гильберта функции /; формально говоря, 00 — 00 [Этот интеграл существует в смысле главного значения для почти всех х, но доказательство не очевидно; если, однако, функция /, например, удовлетворяет условию Липшица порядка 1, то доказательство становится тривиальным.] Доказать, что iiff/iii=imii и H(Hf)=-f для всех /£L2(R). Таким образом, Η есть £2-изометрия периода 4. Верно ли, что Hf ζ £f ПУ если / ζ ^η?
Глава 8 ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Фундаментальные решения 8.1. Введение. Мы будем заниматься линейными дифференциальными уравнениями в частных производных с постоянными коэффициентами. Такое уравнение имеет вид (1) P(D)u = o, где Ρ—непостоянный полином от η переменных (с комплексными коэффициентами), Ρ (D)—соответствующий дифференциальный оператор (см. п. 7.1), υ—заданная функция или распределение, а функция (или распределение) и—решение уравнения (1). Распределение Ε ζ, ей' (R") называется фундаментальным ре- шением для оператора P(D), если оно удовлетворяет уравнению (1) с правой частью υ = δ, где δ — мера Дирака, т. е. (2) P(D)E = 6. Основной из доказанных ниже результатов (теорема 8.5, принадлежащая Мальгранжу и Эренпрайсу) состоит в том, что такое фундаментальное решение всегда существует. Предположим, что Ε удовлетворяет уравнению (2), и пусть υ имеет компактный носитель. Положим (3) u = E*v. Тогда и есть решение уравнения (1), так как (4) P(D)(E*v) = (P(D)E)*v = 6*v = v в силу теорем 6.35 и 6.37. Таким образом, существование фундаментального решения приводит к некоторой общей теореме существования для уравнения (1). Заметим еще, что общее решение уравнения (1) отличается от Ε*υ решением однородного уравнения P(D)u = 0. Далее, формула (3) позволяет извлечь дополнительную информацию относительно и. Например, если ν 6®(R"), то и ζ С00 (Rre). Конечно, может случиться, что свертка Ε*υ существует для некоторых ν, носитель которых не компактен. Поэтому возникает
222 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ задача отыскания таких Е> за поведением которых на бесконечности легко проследить. Разумеется, лучше всего было бы найти Ε с компактным носителем. Но этого никогда нельзя сделать. Действительно, в таком случае Ё является целой функцией и, согласно (2), удовлетворяет уравнению РЁ=1. Но произведение целой функции и полинома не может равняться 1, за исключением того случая, когда они являются константами. Однако иногда уравнение РЁ=\ можно использовать для нахождения Еу а именно когда 1/Р—медленно растущее распределение. В этом случае преобразование Фурье от 1/Р представляет собой фундаментальное решение, которое является медленно растущим распределением. Примеры такого сорта см. в упр. 5—9. Другой относящийся сюда вопрос—существование решений уравнения (1) с компактным носителем, когда υ обладает компактным носителем. Ответ (даваемый теоремой 8.4) отчетливо показывает, что в задачах такого сорта недостаточно изучать Ρ на R", а весьма существенно поведение Ρ на всем комплексном пространстве С". 8.2. Обозначения. Символом Тп обозначается тор, состоящий из всех точек w£Cn вида (1) w = (e*b, ..., А), где θχ, ..., θ„ вещественны; ση есть мера Хаара на Тп, т. е. мера Лебега, деленная на (2я)ге. Полиномом степени N в С" называется функция (2) Я (ζ)= Σ c{a)za (z€C»), |α| <W где α пробегает мультииндексы и с (α) ξ С. Если имеет место (2) и с(а)=й=0 хотя бы для одного а с \α\ = Ν, то говорят, что полином Ρ имеет в точности степень N. 8.3. Лемма. Пусть Ρ — полином в Сп в точности степени N. Тогда существует такая константа А < оо, зависящая только от Р, что (1) |/(*)|<Лг-"$ \(fP)(z + rw)\dan(w) для каждой целой функции f в С", каждого ζ ζ Сп и каждого г > 0. Доказательство. Предположим сначала, что F—целая функция одного комплексного переменного и что (2) Q(b)=cU(X + ad (λ е С). 1 = 1
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 223 Положим Q0(k)=cU(l+aiX). Тогда cF (0) = (FQ0) (0). Так как на единичной окружности | Q01 = | Q |, то π (3) \cF(0)\^-±§\(FQ)(e*)\dQ. -π Заданный полином Ρ может быть записан в виде Р = Р0 + 4- />!+... +ΡΝ, где слагаемое Ру есть однородный полином степени /. Определим Л, полагая (4) ±- = l\PN\dan. Τη Интеграл положителен, поскольку Ρ имеет в точности степень N (см. часть (Ь) в упр. 1). Если ζ ζ С" и w£Tn, то положим (5) F (λ) = / (г + Γλα>), Q (λ) = Ρ (г + гЩ (λ ζ С). Старший коэффициент полинома Q равен rNPN(w). Поэтому из неравенства (3) получается неравенство π (6) г" | PN (w) 11 f (ζ) |< JL J I (/P) (г + /Λ) I 4Θ. -π Если мы проинтегрируем неравенство (6) по мере σ„, то будем иметь π (7) |/ (ζ) |< Ar-».±- J Qd j" | tf/>) (г + гЛ) |da„ (a,). —π j η Но мера σ„ инвариантна относительно замен переменных w—>eiQw. Следовательно, внутренний интеграл в (7) не зависит от Θ. Это дает (1). Щ 8.4. Теорема. Пусть Ρ — полином от η переменных, υζέΰ' (R"), причем υ имеет компактный носитель. Тогда уравнение (1) P(D)u = v в том и только в том случае обладает решением с компактным носителем, когда найдется такая целая функция g в С", что (2) Pg = H. Если последнее условие выполняется, то уравнение (1) имеет единственное решение и с компактным носителем, причем носитель этого распределения и лежит в выпуклой оболочке носителя распределения υ.
224 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Доказательство. Если уравнение (1) обладает решением и с компактным носителем, то, согласно утверждению (а) теоремы 7.23, соотношение (2) выполняется при g = u. Обратно, предположим, что соотношение (2) выполнено для некоторой целой функции g. Выберем такое г > О, что носитель распределения υ содержится в шаре rB = \x£Rn: |λ:|<γ}. По лемме 8.3 из (2) вытекает, что (3) \g(*)\<A$\d(z + w)\dan(w) (zee*). Согласно утверждению (а) теоремы 7.23, существуют такие N иу9 что (4) \v(z + w)\^y(l + \z + w\)Nexp\r\lm(z + w)\\. Имеются такие константы сг и с2, что (5) l + |z + H<Cl(l + |z|) и (6) |Im(z + a;)|<c2 + |Imz| для всех ζ ζ С" и w£Tn. Из этих неравенств вытекает, что (7) |g(z)|<C(l + |z|)"exp{r|Imz[} (ζζΟ), где С—новая константа (зависящая от γ, Л, Ν, с19 с2 и г). В силу неравенства (7) и утверждения (Ь) теоремы 7.23 имеем g = u, где и— распределение с носителем в шаре гВ. Поэтому равенство (2) превращается в соотношение Pu = v, которое равносильно уравнению (1). Единственность решения и очевидна, поскольку может существовать не более одной целой функции и, удовлетворяющей уравнению Pu = v. Предыдущие рассуждения показывают, что носитель Sa распределения и содержится в каждом замкнутом шаре с центром в начале координат, который содержит носитель Sv распределения υ. Поскольку из (1) вытекает, что (8) Ρφ)(τχυ) = τχυ (*€R"), то сказанное остается справедливым по отношению к x + Sa и x-\-Sv. Следовательно, Sa содержится в пересечении всех замкнутых шаров (с любыми центрами в R"), содержащих Sv. Но это пересечение совпадает с выпуклой оболочкой множества SV9 и доказательство закончено. Щ 8.5. Теорема. Пусть Ρ — полином β Сп β точности степени N. Тогда дифференциальный оператор Ρ (D) обладает фундамен-
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 225 шальным решением Е, которое удовлетворяет условию (1) |£(ф)|<Лг-"$ dan(w) J \$(t + rw)\dmn(t) при любых i|)6S>(R") и г > 0. Здесь А — константа, фигурирующая в лемме 8.3. Основной момент в теореме—доказательство существования фундаментального решения, а не оценки (1), которая просто возникает в процессе доказательства. Доказательство. Фиксируем г > 0 и положим (2) ||ψ||= J dan(w) J \$(t + rw)\dmn(t)- Прежде чем переходить к основной части доказательства, покажем, что (3) lim || фу-1| = 0, если ψ7·—*0 в @)(Rn). /->00 Заметим, что ψ (t + w) = {ет^У (t), если t £Rn и w£Cn. Поэтому (4) ||ψ||= J don(w) J \(е_гЖ\атп. Если i|)y.—>0 в iZ>(R"), то носители всех функций ψ7· содержатся в некотором компактном множестве К. Функции erw (w£Tn) равномерно ограничены на К- Из формулы Лейбница следует, что (5) II ^ (*-,.♦,) II. < с (/с, ^ΐΜχΐΐββψ,ιμ. β <α Правая часть в (5) стремится к 0 при каждом а. Поэтому для любого данного ε > 0 существует такое /0, что (6) il(/-A)"(^r^y.)||2<e (/>/0, we Г"), где A = Dl+ ... +Д?—оператор Лапласа. Согласно теореме План- шереля, неравенство (6) равносильно неравенству (7) J \(\ + \t\*Y$j(t + rw)\*dmn(t)<*\ а это последнее вместе с неравенством Шварца и неравенством (2) показывает, что ||ψ7· || < Се для всех / > /0, где (8) С*= J (l + m2)-2Mm„(0<oo. Rn Тем самым (3) доказано. Пусть теперь φ ζ S) (Rn) и (9) ^ ^ ψ = Ρφ)φ. Тогда ψ = Ρφ, причем функции φ и ф являются целыми, так что функция φ полностью определяется функцией ψ. В частности, 8 № 871
226 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ φ (0) есть линейный функционал по ψ, определенный на образе оператора P(D). Суть доказательства состоит в установлении непрерывности этого функционала. Точнее, надо установить, что функционал ψ = Ρ(β)φ—►φ(Ο) (вначале заданный на образе оператора Ρ (D)) порождается некоторым распределением, т. е. существует такое распределение и^ЗУ (R"), что (10) и(Я(Я)ф) = <р(0) ^(Ф€»(НЯ)), поскольку тогда распределение Е — и удовлетворяет условию (Р (D) Ε) (ψ) = Ε(Ρ (-D) φ) = ц ((Ρ (-D) φ)") = = Μ(Ρ(0)φ) = φ(Ο) = φ(Ο)=β(φ), т. е. Р (D) £ = δ, как и утверждалось. Лемма 8.3 в применении к Ρφ = ψ дает (11) \чУ)\^Аг-" l\$(t + rw)\dan(*>) (t£Rn). По теореме обращения имеем φ(0)= ^ ydmn. Таким образом, из (11), (2) и (9) получаем (12) |Ф(0)|<Лг-"||Р(О)(р|| (<p€®(R«)). Пусть Υ—подпространство в @)(Rn), состоящее из функций вида P(D)cp, cpgiZ)(Rre). Согласно (12), теорема Хана — Банаха 3.3 показывает, что линейный функционал на Y, определенный равенством Ρ (D) φ—ир (0), расширяется до линейного функционала и на S)(R"), удовлетворяющего условию (10) и условию (13) |и(ф)|<Лг-"||ф|| (ψζ^"))· Последнее, согласно (3), означает, что u£@)'(Rn). Щ Эллиптические уравнения 8.6. Введение. Пусть и—дважды непрерывно дифференцируемая функция на некотором открытом множестве QczR2, удовлетворяющая уравнению Лапласа Очень хорошо известно, что тогда функция и на самом деле принадлежит С00 (Ω) хотя бы потому, что каждая вещественная гармоническая функция в Ω является (по крайней мере локально) вещественной частью некоторой голоморфной функции. Теоремы такого типа, в которых устанавливается, что каждое решение некоторого дифференциального уравнения обладает большей гладкостью, чем это ясно заранее, называются теоремами регулярности.
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 227 Мы дадим доказательство довольно общей теоремы регулярности для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. Термин «эллиптический» будет вскоре определен. Прежде всего, вероятно, интересно отметить, что уравнение ведет себя совершенно иначе, чем уравнение (1), поскольку ему удовлетворяет любая функция и вида и(х, y) = f (у), где / — произвольная дифференцируемая функция. Более того, если уравнение (2) интерпретировать как <3> 4(§)-°. то в качестве / можно взять совершенно произвольную функцию. 8.7. Определения. Пусть Ω—открытое множество в R", Λί — положительное целое число, /α ζ С00 (Ω) для каждого мультиин- декса а, такого, что |a|^Af, причем хотя бы одна из функций /а с \a\ = N не обращается в 0 тождественно. Перечисленные данные позволяют определить линейный дифференциальный оператор (1) L= Σ №> \α\<Ν который на распределение αζέΰ' (Ω) действует по правилу (2) Lu = Σ f*Dau. \oc\<N Число N называется порядком оператора L. Оператор (3) Σ № /ex I = Ν называется главной частью оператора L. Характеристическим полиномом оператора L называется функция (4) р(х,У)= Σ Ы(х)Уа (*€Ω, i/€R"). Эта функция является однородным полиномом степени N по переменным у=(у11 . ..,#„) с коэффициентами из Ο(Ω). Говорят, что оператор L эллиптический, если ρ (ху у) φ 0 при всех χζΩ и всех y£Rn, за исключением, конечно, точки у = 0. Заметим, что эллиптичность определяется в терминах главной части оператора L; члены более низкого порядка, фигурирующие в представлении (1), роли не играют. Например, характеристическим полиномом оператора Лапласа (5) Δ = —+...+—г дхг дхп
228 ЧАСТЬ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ служит р(х, у) = — (у1+...+ Уп), так что Δ — эллиптический оператор. С другой стороны, если L = d2/dx1dx2i то р(х, у) = — у1у2, и L эллиптическим не является. В формулировке основного результата, на который мы нацелены (теорема 8.12), фигурируют некоторые специальные пространства медленно растущих распределений, и мы начнем с их описания. 8.8. Пространства Соболева. Сопоставим каждому вещественному числу s положительную меру μ5 на R", полагая (1) dvs(y) = (l + \y\*)sdtnn{y). Если /ζί,2(μ^), т. е. если j |/|аф5<'оо, то / является медленно растущим распределением (пример (с) в п. 7.12). Поэтому / служит преобразованием Фурье некоторого медленно растущего распределения и. Векторное пространство всех таких распределений и обозначается через Н5. Наделенное нормой (2) 1М1,=П Ι"Μμ. \Rn пространство Н\ очевидно, изометрически изоморфно пространству Ζ,2(μ5). Эти пространства Hs называются пространствами Соболева. Размерность η не указана в обозначении, поскольку она всюду в дальнейшем будет оставаться одной и той же. По теореме Планшереля, H° = L2. Очевидно, что HscHfy если t < s. Объединение X всех пространств Hs есть, следовательно, векторное пространство. Говорят, что линейный оператор Λ: X—*Х имеет порядок t, если его сужение на каждое из Hs осуществляет непрерывное отображение этого подпространства Hs в Hs"t. Заметим, что число t здесь не обязательно целое1). В следующей теореме описаны свойства пространств Соболева, которые будут использоваться. 8.9. Теорема, (а) Каждое распределение с компактным носителем принадлежит некоторому пространству Hs. г) В данном здесь определении порядка оператора надо сделать дополнительное ударение на слове «имеет», так как по формальному смыслу этого определения, с одной стороны, существуют операторы, не имеющие порядка, а с другой — одному и тому же оператору (например, нулевому) можно, вообще говоря, соотносить различные числа в качестве порядка. Быть может, удобнее называть операторы, подчиненные указанному условию, имеющими порядок не выше t, а затем порядком оператора назвать нижнюю грань допустимых t (хотя при этом все еще остается «тонкий» вопрос о достижимости). Впрочем, читатель не должен встретить в дальнейшем затруднений, если по ходу дела продумает выражения типа «оператор имеет порядок 0».— Прим. ред. 1/2
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 229 (b) Если —оо < t < оо, то отображение и—>υ, задаваемое формулой НУ) = (1+\у\2У/2и(У) (У£Кп), является линейной изометрией пространства Hs на пространство Hs"t ί/, следовательноу есть оператор порядка t, обратный к которому имеет порядок — t, (c) Если fcgL^R"), то отображение и—>v, задаваемое равенством v — bu, есть оператор порядка 0. (d) Для каждого мультииндекса а оператор Da имеет порядок |а|. (e) Если f£ofni то u—+fu есть оператор поряд