Автор: Смолянов О.Г. Богачев В.И. Соболев В.И.
Теги: топология геометрия физика дифференциальное исчисление высшая математика
ISBN: 978-5-93972-941-3
Год: 2012
Текст
В. И. Богачев
О. Г. Смолянов
В. И. Соболев
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Москва ♦ Ижевск
2012
ББК 22.152 + 22.151
УДК 515.1 + 513
Б 733
Интернет-магазин · физика
π · математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru технологии
Богачев В. И., Смолянов О. Г., Соболев В. И.
Топологические векторные пространства и их приложения. —
М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012. —
584 с.
Книга дает подробное изложение основ теории топологических
векторных пространств, обзор важнейших результатов более
тонкого характера, которые уже не относятся к основам, но знание
которых полезно для приложений, и, наконец, некоторые из таких
приложений, связанные с дифференциальным исчислением в
бесконечномерных пространствах и теорией меры. Имеется много задач
и упражнений с указаниями. Приведена обширная библиография.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников физико-
математических специальностей.
Библ. 523
ISBN 978-5-93972-941-3 ББК 22.152 + 22.151
© В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, В. И. Соболев, 2012
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Обозначения 6
Предисловие 7
Глава 1. Введение в теорию топологических
векторных пространств 9.
1.1. Линейные пространства и топология 9
1.2. Основные определения 22
1.3. Примеры 31
1.4. Выпуклые множества 47
1.5. Конечномерные и нормируемые пространства 56
1.6. Метризуемость 64
1.7. Полнота и пополнение 69
1.8. Компактные и предкомпактные множества 81
1.9. Линейные операторы 89
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 95
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 107
1.12. Дополнения и задачи 120
Равномерные пространства (120). Выпуклые компакты (123).
Теоремы о неподвижных точках (125). Пространства
последовательностей (128). Сопряженные к банаховым
пространствам (129). Свойства сепарабельности (131).
Непрерывные селекции и продолжения (133). Задачи (134).
Глава 2. Методы построения топологических
векторных пространств 141
2.1. Проективные топологии 141
2.2. Примеры проективных пределов 145
2.3. Индуктивные топологии 153
2.4. Примеры индуктивных пределов 158
2.5. Конструкция Гротендика 168
4
2.6. Строгие индуктивные пределы 175
2.7. Индуктивные пределы с компактными вложениями 178
2.8. Тензорные произведения 182
2.9. Ядерные пространства 184
2.10. Дополнения и задачи 191
Свойства пространств РиР' (191). Абсолютно
суммирующие операторы (196). Локальная полнота (199).
Задачи (201).
3. Двойственность 207
Поляры 207
Топологии, согласующиеся с двойственностью 214
Сопряженные операторы 219
Слабая компактность 222
Бочечные пространства 230
Борнологические пространства 237
Сильная топология и рефлексивность 245
Критерии полноты 254
Теорема о замкнутом графике 263
Компактные операторы 272
Альтернатива Фредгольма 280
Дополнения и задачи 285
Бэровские пространства (285). Теорема о борелевском
графике (288). Ограничивающие множества (289). Теорема
Джеймса (290).Топологические свойства локально выпуклых
пространств (292). Свойства Эберлейна-Шмульяна (296).
Базисы Шаудера (297). Минимальные пространства
и степени прямой (299). Задачи (303).
Глава 4. Дифференциальное исчисление 323
4.1. Дифференцируемость по системе множеств 325
4.2. Примеры 334
4.3. Дифференцируемость и непрерывность 341
4.4. Дифференцируемость и непрерывность
по подпространству 347
4.5. Производная композиции 350
4.6. Теорема о среднем 364
4.7. Формула Тейлора 366
4.8. Частные производные 371
4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила 372
4.10. Дополнения и задачи 386
Теорема об обратной функции (386). Многочлены (387).
Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально
Глава
3.1.
3.2.
3.3.
' 3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
Оглавление
5
выпуклых пространствах (390). Предельный переход под
знаком производной (395). Полнота пространств гладких
отображений (398). Дифференцируемость через
псевдотопологии (405). Гладкие функции на банаховых
пространствах (406). Задачи (407).
Глава 5. Меры на линейных пространствах 411
5.1. Цилиндрические множества 411
5.2. Меры на топологических пространствах 414
5.3. Преобразования и сходимость мер 425
5.4. Цилиндрические меры 432
5.5. Преобразование Фурье 441
5.6. Ковариационные операторы и средние мер 446
5.7. Гауссовские меры 457
5.8. Квазимеры 468
5.9. Достаточные топологии 472
5.10. Топологии Сазонова и Гросса-Сазонова 475
5.11. Условия счетной аддитивности 483
5.12. Дополнения и задачи 492
Свертка (492). Законы 0-1 (496). Выпуклые меры (499).
Центральная предельная теорема (502). Безгранично
делимые и устойчивые меры (504). Банаховы носители
мер (513). Бесконечномерные винеровские процессы (516).
Прохоровские локально выпуклые пространства (517).
Измеримые линейные и полилинейные функции (523).
Связь различных σ-алгебр (532). Радонизующие
операторы (534). Измеримые нормы (535). Задачи (536).
Комментарии 543
Литература 551
Предметный указатель
577
Обозначения
Символы упорядочены по первой букве названия согласно латинскому
алфавиту, за исключением символов, начинающихся с математических знаков.
Л°, 208
Л, 19
А, 48
А*, 414
Д®£, 416
absconvA, 12
absconv V, 47
Я(Х), 416
£(]Rn), 411, 416
B{E,G), 91
C[a,6], 125, 131
Ο,(Χ), 130, 417
C5(t/,C?), 347
convA, 12
convV, 47
со, 83, 130
£>(]Rn), 42, 164
P'QR71), 43
£>n, £>mQRn), 164, 166
£7', E\ 11, 46
£в, 168
Εβ, 247
£σ, 247
Ят, 247
Ε'β, 247
££, 247
Ε'τ, 247
<?QRn), 42
£'(]Rn), 43
£i®£2, 183
E^eE2, 184
Ei®nE2, 183
/U, 93
/(n)(s), 330
indn^n, 175
inda^a, 154
KerA, 11
/C(£,G), 272
L°(M), £°(μ), 39
L1^), 130
Ζ,2(μ), 130
27(μ), 130
L°°(/x), 130
Ζ7(μ,Χ), 415
C(E,G), 91
C(E,G), 91
CA(P,Q), 325
/2, 130
P, 130
Γ°, 130
lim£a, 148
lim^a, 162
рл, 50
]R°°, 32
HT, 10
Ran A, 11
<SQRn), 41
«S'QR71), 43
Γ*, 219
x0y, 183
£(£',£), 246
£*0,423
Λ0(μ), 523
μ+, μ", 414
μ*, 414
μ о/"1, 425
/χ®ι/, 426
μ * ι/, 493
ν < μ, 415
ί/ _L μ, 415
ί/ ~ μ, 415
σ(Λ), 275
σ(^), 416
a(E,G), 44
r(£,G), 216
21σ, 411
IN, 414
0α£7α, 160
φατα, 160
вь/(*о), 334
Предисловие
Цель этой книги — компактное изложение основ теории
топологических векторных пространств, обзор важнейших результа- ·
тов более тонкого характера, которые уже нельзя отнести к
основам, но знание которых полезно для приложений, и, наконец,
некоторые из таких приложений, связанные с
дифференциальным исчислением в бесконечномерных пространствах и теорией
меры. Последнее отличает нашу книгу от целого ряда известных
руководств по топологическим векторным пространствам.
Другим существенным отличием этой книги от классических
трактатов типа [27] является отказ от полной замкнутости изложения
(за исключением самых основ), благодаря чему стало возможным
проинформировать читателя без доказательств (но со ссылками
на другие работы) о весьма многих достижениях; часть из них
замаскирована под видом задач (со ссылками), такие задачи не
следует путать с упражнениями, выделенными значком °.
Поэтому в смысле объема представленной информации наша книга не
покрывается никакой другой по этому предмету (правда, и нельзя
сказать, что она покрывает всякую другую).
В главе 1 излагаются основы теории, к которым мы
относим большой список конкретных примеров, некоторые общие
понятия (выпуклое множество, полунорма, линейное
отображение) и ряд фактов, важнейшим из которых является теорема
Хана-Банаха о продолжении функционала в разных ее
вариантах. Основной материал главы 2 связан с обсуждением
проективных и индуктивных пределов (включая строгие индуктивные
пределы и индуктивные пределы с компактными вложениями,
мало освещенные в учебной литературе), а также одной
конструкции Гротендика построения банаховых пространств, вложенных
8
Предисловие
в локально выпуклые. Глава 3 излагает классический
материал, относящийся к так называемой двойственности, т. е. к
привлечению различных локально выпуклых топологий на данном
пространстве, дающих один и тот же запас непрерывных
линейных функционалов. Центральными здесь являются теоремы
Макки-Аренса о топологиях, согласующихся с двойственностью,
результаты о слабой компактности, включая теоремы Эберлейна-
Шмульяна и Крейна-Шмульяна, а также некоторые понятия
и факты, связанные с полнотой локально выпуклых пространств.
Глава 4 посвящена основам теории дифференцирования в
локально выпуклых пространствах. В ней изложена общая схема
дифференцируемое™ по системе множеств, детально рассмотрены
важные для приложений случаи дифференцируемости по
системам ограниченных и компактных множеств. В главе 5 изложены
основы теории меры на локально выпуклых пространствах. Здесь
обсуждаются продолжения мер, преобразование Фурье и условия
счетной аддитивности в его терминах, ковариационные
операторы, некоторые важные классы мер (гауссовские, устойчивые,
выпуклые).
Во всех главах есть много дополнительных разделов
(набранных более мелким шрифтом), где представлена информация
более специального характера в связи с основными темами главы,
а также приведено много задач (к более трудным даны
указания). Завершают книгу историко-библиографический
комментарий, список литературы с указанием страниц, на которых
цитируются включенные в него работы, и предметный указатель. К этой
книге можно приступить, владея лишь основами анализа и
линейной алгебры в объема программы первого курса, но для
основательного ее изучения все же лучше ознакомиться с учебным
курсом функционального анализа (по любому учебнику,
включая наш [21] или [79]).
Мы благодарим Т.О. Банаха, Е.Д. Косова, А.С. Трегубова
и Е.В. Юрову за полезные замечания по тексту.
Работа над этой книгой началась четверть века назад по
инициативе Владимира Ивановича Соболева (1913-1995), автора
ряда широко известных учебников по функциональному анализу
(включая одно из первых отечественных пособий, изданное еще
в 1951 году), а ее завершение — дань памяти замечательному
ученому и педагогу.
Глава 1
Введение в теорию топологических
векторных пространств
В этой главе изложены основные понятия и примеры, связан:
ные с топологическими векторными пространствами.
1.1. Линейные пространства и топология
Топологическое векторное пространство — линейное (или
векторное) пространство, снабженное топологией, которая
определенным образом согласована с линейной структурой. Поэтому мы
начнем с того, что отдельно напомним основные нужные
понятия, относящиеся к линейным пространствам и топологическим
пространствам. Пусть К — некоторое поле (далее во всех
основных результатах речь идет о поле IR вещественных чисел или,
реже, о поле С комплексных чисел; поэтому читатель, не знакомый
с общим понятием алгебраического поля, вполне может
обходиться без него и дальше). Множество Ε называется линейным (или
векторным) пространством над полем К, если элементы Ε
(называемые векторами) можно складывать и умножать на элементы
из К, т. е. определены отображения
ExE^E, {u,v)\-+u + v, КхЕ^Е, (\,υ) ^ \υ,
причем выполнены следующие условия:
(i) и + ν = ν + и для всех и, ν Ε Ε,
(ii) имеется единственный элемент О Ε Ε (нулевой элемент),
для которого ν + 0 = ν для всех ν Ε Ε,
(iii) для каждого ν Ε Ε имеется единственный элемент — г>,
для которого ν + {—ν) = О,
(iv) Х(и + ν) = Хи + λι>, Χ(μυ) = (Χμ)ν и Ον = АО = 0 для всех
и, ν Ε Ε, λ, μ Ε К.
до
Глава 1. Введение в теорию
Далее явное упоминание о поле К часто будет опускаться,
а его элементы будут называться скалярами, а в случае К С С —
просто числами. Об общих полях см. Курош [85].
1.1.1. Пример. Пусть К = JR и Τ — непустое множество.
Пусть Жт — множество всех вещественных функций на Т,
причем линейные операции заданы поточечно:
(/ + 9№ := f{t) + g(t), (λ/)(ί) := λ/(ί).
Тогда IRT — линейное пространство; его называют произведением
Τ экземпляров вещественной прямой или степенью прямой.
Всюду далее, если не оговорено противное, предполагается,
что К является недискретным нормированным полем. Норма на
поле К — такое отображение К —> [0, +оо) (его значение на
элементе χ Ε К обозначается через \х\), что выполнены условия:
\х\ > О для χ Ε К \ {0} (невырожденность), |0| = 0, \ху\ = \х\ \у\
(мультипликативность) и |ж + у| ^ |ж| + |у| (неравенство
треугольника) для всяких х,у Ε К. Поле с заданной на нем нормой
называется нормированным полем. Например, поле С комплексных
чисел становится нормированным, если \а\ есть обычный модуль
числа a G С. Поле недискретно, если в нем есть к φ 0 с \к\ φ 1.
Полунормой на векторном пространстве Ε называется всякая
функция ρ: Ε —> [0, оо), обладающая следующими свойствами:
(1) р(кх) = \к\р(х) УкеК.хеЕ;
(2) ρ(χι +х2) ^ р{х\) + р{х2) Vxi е Е, х2 е Е.
Полунорма ρ называется нормой, если р(х) > 0 при χ φ 0.
Нормы ри q называют эквивалентными, если для некоторых
чисел ci, С2 > 0 и всех χ верно неравенство с\р{х) < q(x) < С2р(х).
Набор векторов из одного линейного пространства
называется линейно независимым, если равенство λχ^ι + · · · + \ηνη = 0,
где νι — векторы данного набора и λ^ — скаляры, возможно лишь
при Xi = 0 для всех г = 1,..., п; иначе набор линейно зависим.
Линейно независимый набор векторов называется
алгебраическим базисом (базисом Гамеля) пространства X, если всякий
вектор из X является конечной линейной комбинацией векторов να.
В нулевом пространстве базисом считается нуль. Ниже доказано
существование базиса Гамеля в любом линейном пространстве;
при этом разные базисы Гамеля равномощны. Мощность базиса
Гамеля называют размерностью пространства.
Пусть Ε и F — векторные пространства над одним и тем
же полем. Отображение А: Е —> F называется линейным (или
1.1. Линейные пространства и топология
11
линейным оператором), если справедливо равенство
А(Хи + μν) = ХА(и) + μΑ(ν)
для всех векторов и, ν Ε Ε и всех скаляров λ, μ.
Линейное отображение со значениями в поле скаляров
называется линейным функционалом.
Множество Ker A := А~г(0) называют ядром линейного
отображения А, а множество Ran Л := А(Е) называется образом А.
Для каждого векторного пространства Ε символ Е*
обозначает векторное пространство всех линейных функций на Е] оно
называется алгебраическим сопряженным к Е. Алгебраически
сопряженное не следует путать с рассматриваемым далее
топологическим сопряженным, состоящим из непрерывных линейных
функций. Основное значение для теории и приложений имеют
топологические сопряженные, но алгебраически сопряженное
полезно для некоторых примеров и конструкций.
Факторпространство Е/Е\ векторного пространства Ε по его
подпространству Е\ определяется так: элементы Е/Е\ — классы
эквивалентности множества Е, причем χ ~ ζ <^=> χ — ζ G E\.
Таким образом, если Ζ Ε Ε/Ει, то существует (не
единственный) ζ Ε Ε такой, что Ζ = ζ + Εχ. Линейные операции в Е/Е\
определяются так: пусть X = а; + £ι, Ζ = г + £ι, λ G К;
тогда X + Ζ = (χ + ζ) + Ει, XX = Χχ + Ε\. Размерность
пространства Ε/Εχ называется коразмерностью подпространства Ει
в пространстве Ε. Гиперподпространством векторного
пространства Ε называется всякое его подпространство G, для которого
ftimE/G = 1, т.е. существует такой ненулевой вектор ν, что
всякий вектор из Ε является линейной комбинацией ν и некоторого
вектора из G. В этом случае говорят, что коразмерность G в Ε
равняется единице.
Подмножество Г векторного пространства Ε называется
гиперплоскостью, если в Ε существуют такое
гиперподпространство G и такой элемент а, что а + G = Г (при этом а Е Г). Иначе
говоря, подмножество Г векторного пространства Ε называется
гиперплоскостью в точности тогда, когда для некоторого
(следовательно, и для каждого) элемента Ъ Ε Г множество Г — Ъ
представляет собой гиперподпространство (гиперподпространство —
гиперплоскость, проходящая через нуль).
Подмножество А векторного пространства Ε называется
аффинным подпространством или линейным многообразием, если
оно непусто и для всех а, Ь Ε А и каждого t e К справедливо
12
Глава 1. Введение в теорию
включение ta + (1 — t)b Ε А. Множество {ta + (1 — t)b: t G K}
есть (при а ф Ъ) прямая, проходящая через а и Ъ. Иначе говоря,
множество А — аффинное подпространство, если оно имеет вид
α+Ь, для некоторого векторного подпространства L и некоторого
(а тогда и для каждого) элемента a Ε А.
Линейная оболочка А есть наименьшее линейное
подпространство, содержащее А.
1.1.2. Определение. Множество V в вещественном или
комплексном векторном пространстве называется выпуклым,
если tu + (1 — t)v Ε V для всех г/, ν Ε V и t Ε [0,1].
Иначе говоря, множество выпукло, если вместе со всякими
двумя своими точками оно содержит соединяющий их отрезок.
Отрезок [а, Ь] с концами а и b определяется равенством
[а,Ь] := {χ: χ = ta + (1 -t)b,t e [0,1]}.
Положим также
(а,Ь):=[а,Ь)\{а,Ь}, [а,Ь) :=[а,Ь]\{Ь}, (а,Ь]:=[а,Ь]\{а).
Выпуклой оболочкой непустого множества А в вещественном
или комплексном векторном пространстве Ε называется
пересечение conv А всех выпуклых множеств, содержащих А.
Тем самым выпуклая оболочка множества А есть наименьшее
выпуклое множество, содержащее А. Нетрудно проверить, что
она состоит из всевозможных сумм вида t\a\ + · · · + tnani где
а{ е A, U ^ 0, *ι + ··· + ίη = 1.
1.1.3. Определение. Множество Μ называется
закругленным или уравновешенным, если Хх G Μ при всех χ G Μ и |λ| < 1.
Выпуклое закругленное множество называется таксисе
абсолютно выпуклым.
Закругленная и выпуклая закругленная (или абсолютно
выпуклая) оболочки множества А в линейном пространстве есть
соответственно наименьшее закругленное и наименьшее выпуклое
закругленное множества abs conv Л, содержащие А.
1.1.4. Определение. Если А и В — множества в линейном
пространстве Е, то говорят, что А поглощает В (или что
множество В поглощается множеством А), если существует
такое число г > 0, что кВ С А при \к\ < г, к G К.
Множество в Ε называется поглощающим, если оно
поглощает каждое одноточечное (и тогда каждое конечное)
множество в Е.
1.1. Линейные пространства и топология
13
Простым примером множества, которое не поглощает себя,
является К \ {0}; всякое уравновешенное множество себя
поглощает (берем г = 1). Если нормированное поле К дискретно, то
свойство поглощать, хотя формально и сохраняет смысл,
становится бессодержательным, так как тогда {0} поглощает каждое
множество с г = 1.
Для непустых множеств А и В в векторном пространстве
и скаляра λ положим
А + В := {а + Ъ: ае А.Ъ е В}. ХА:={\а: а е А};
А-{- В — алгебраическая (векторная) сумма множеств. Далее,
А-В = А-{-(-В) = {а-Ъ: а eA.be В}.
Ниже используются два теоретико-множественных понятия:
отношение эквивалентности и отношение частичного порядка.
Пусть выделено некоторое множество И пар элементов из
множества X. т.е. подмножество К С 1x1. Говорят, что 1Ζ
задает на множестве X отношение эквивалентности, и пишут
χ ~ у при (х. у) е 7£, если выполнены следующие условия:
(i) χ ~ χ для всех χ е X.
(и) если χ ~ у. то у ~ х.
(Hi) если χ ~ у и у ~ ζ. то χ ~ ζ.
Читатель без труда убедится на простых примерах, что эти
три условия независимы.
Отношение эквивалентности разбивает X на
непересекающиеся классы эквивалентности, состоящие из попарно
эквивалентных элементов. Например, если χ ~ у только при χ = у. то
каждый класс состоит ровно из одного элемента; если, наоборот, все
элементы эквивалентны, то получится лишь один класс
эквивалентности. Еще пример: пусть χ ~ у для х. у е К1, если х — у е Q.
Тогда классы эквивалентности счетны. Часто бывает полезно
выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности.
Оказывается, что для осуществления этого на первый взгляд
совершенно невинного желания нужна специальная аксиома.
Аксиома выбора. Если дана совокупность непустых
попарно непересекающихся множеств, то существует множество,
содержащее ровно по одному элементу из каждого из этих
множеств.
Использование этой аксиомы существенно для многих
вопросов функционального анализа, а без этой аксиомы хотя бы для
14
Глава 1. Введение в теорию
счетных совокупностей мало что останется от непрерывной
математики вообще. Тем не менее полезно помнить, что это
действительно аксиома, не вытекающая из основных положений так
называемой наивной теории множеств.
Говорят, что на множестве X задано отношение частичного
порядка или частичный порядок, если выделена некоторая
совокупность V пар (х, у) Ε ХхХ, для которых пишут χ ^ у, причем
(i) χ ^ х, (и) если χ ^ у и у ^ ζ, то χ ^ ζ. Если χ ^ у, то пишут
также у ^ х. Отметим, что мы не включаем равенство х = у
при х^уиу^жв отличие от ряда других учебников (впрочем,
к этому случаю можно перейти, отождествив такие элементы, что
соответствует переносу данного частичного порядка на классы
эквивалентности). Нашему определению удовлетворяет
отношение / ^ g почти всюду для измеримых функций на отрезке.
При этом не требуется, чтобы все элементы были попарно
сравнимы. Например, на К2 можно ввести такой частичный
порядок: χ = {χι,χ2) < У = (УъУ2), если χι < уг и х2 < У2·
Если же все элементы X оказались попарно сравнимы, то X
называется линейно упорядоченным.
Например, прямая с обычным порядком линейно
упорядочена, а указанный выше покоординатный порядок на плоскости не
является линейным. Однако на плоскости можно ввести
естественный линейный порядок: так называемый
лексикографический порядок, при котором χ ^ у, если либо х\ <у\, либо х\ = у\
И Х2 < У2·
В частично упорядоченном множестве некоторые части
могут оказаться линейно упорядоченными. Такие части называют
цепями. Например, вещественная прямая как часть плоскости
с покоординатным порядком является цепью.
Если X — частично упорядоченное множество и Μ С X,
то элемент μ Ε X называется мажорантой множества М,
если га ^ μ для всех га Ε М. Если т — такая мажоранта М, что
га < га для всякой другой мажоранты га множества М, то га
называется точной верхней гранью М. Элемент га Ε X называется
максимальным, если нет такого элемента га/ Ε X, что га ^ ml'.
При этом не требуется, чтобы все элементы X были меньше га.
Например, если χ ^ у лишь при χ = у, то каждый элемент
максимален. Аналогично определяются миноранта, точная нижняя
грань и минимальный (или наименьший) элемент.
Линейно упорядоченное множество X называется вполне
упорядоченным, если всякая непустая часть X имеет минимальный
элемент.
1.1. Линейные пространства и топология
15
Например, множество натуральных чисел с естественным
порядком вполне упорядочено, а множества рациональных и
вещественных чисел — нет.
Аксиоме выбора равносильно следующее утверждение (если
его принять в качестве аксиомы, то теоремой станет аксиома
выбора); доказательство см. в Колмогоров, Фомин [79], Курош [85].
Теорема Цермело. Всякое непустое множество можно
вполне упорядочить.
Приведем еще одно следствие аксиомы выбора (которое также
оказывается ей эквивалентным).
Лемма Цорна (или Куратовского—Цорна). Если всякая
цепь в частично упорядоченном множестве X имеет
мажоранту, то в X есть максимальный элемент.
Напомним, что максимальный элемент не обязан быть
единственным. Приведем пример использования леммы Цорна.
1.1.5. Предложение. Всякое вещественное или
комплексное линейное пространство обладает алгебраическим базисом.
При этом всякие два таких базиса равномощны. Кроме того,
алгебраический базис линейного подпространства можно
дополнить до алгебраического базиса всего пространства.
Доказательство. Считаем, что наше пространство X
содержит ненулевые векторы. Тогда в X имеются системы
алгебраически независимых векторов. Обозначим совокупность всех
таких систем через Λ и введем на Λ следующее отношение
подчиненности: λχ ^ λ2, если λχ С λ2· Ясно, что получено
отношение частичного порядка. Нам надо установить, что в множестве Λ
есть максимальный элемент, т. е. система λ алгебраически
независимых векторов, не являющаяся собственным подмножеством
никакой другой системы независимых векторов. Такая
максимальная система будет базисом, поскольку существование вектора г>,
не представимого в виде линейной комбинации векторов из λ,
означало бы, что система λ U ν тоже независима вопреки
максимальности λ. Существование максимального элемента следует из
леммы Цорна, для применения которой необходимо проверить,
что всякая цепь Ло в Л имеет мажоранту. Иначе говоря, имея
такое множество Ло независимых наборов векторов, что всякие два
набора из них сравнимы (т. е. хотя бы один из двух содержится
в другом), надо найти независимую систему векторов,
содержащую все системы из Ло- В качестве таковой следует взять просто
16
Глава 1. Введение в теорию
объединение Λχ всех систем из Ло- Тот факт, что полученная
система независима, ясен из следующего. Если векторы г>1,... ,г>п
входят в Λχ, то существуют такие системы λχ,...,λη Ε Ло, что
Vi Ε Х{ при г = 1,..., п. Поскольку системы λ^ попарно сравнимы,
среди них есть наибольшая λ^0. Тогда все νι входят в λ^0 и потому
линейно независимы.
Небольшая модификация этого рассуждения позволяет
дополнять алгебраические базисы подпространства до базиса всего
пространства: достаточно брать в качестве элементов Л
независимые системы, содержащие фиксированный базис из данного
подпространства. Кстати, эти рассуждения верны для любого поля.
Наконец, утверждение о равномощности алгебраических
базисов пространства X в случае конечномерного пространства
известно из линейной алгебры. Если же X бесконечномерно и 71
и 72 — два его алгебраических базиса, то мощность 72 не выше
мощности 7ι · В самом деяе^ каждому элементу ν Ε 72 сопоставим
конечное множество элементов S С 7ь через которые он линейно
выражается. Такое конечное множество S сопоставлено не более
чем конечному числу элементов из 72 (не превосходящему
мощности 5, ибо через к векторов нельзя линейно выразить более к
линейно независимых векторов). Значит, мощность 72 не выше
мощности множества конечных подмножеств 7ь которое равно-
мощно 7ι (см· Брудно [24, с. 112]). Итак, мощность 72 не выше
мощности 7ι, причем верно и противоположное неравенство. D
С помощью этого результата линейное отображение Т,
заданное на линейном подпространстве Eq векторного пространства Ε
и принимающее значения в векторном пространстве F, можно
продолжить до линейного отображения всего Ε в F.
Достаточно алгебраический базис в Eq дополнить до базиса всего Е,
положить Τ нулем на дополнительных элементах базиса и затем
доопределить по линейности на всех векторах.
Перейдем теперь к необходимым топологическим понятиям.
Более подробные сведения см. в Александров [7], Александрян,
Мирзаханян [8], Архангельский, Пономарев [10], Богачев, Смо-
лянов [21], Келли [73], Эдварде [185], Энгелькинг [186].
Топологией на множестве X называется семейство τ
подмножеств этого множества, обладающее следующими свойствами:
(i) X,0Gr;
(ii) если Vi, ^2 £ τ, το V\ Π V<i G r;
(iii) объединение всякого набора множеств из τ входит в г.
1.1. Линейные пространства и топология
17
Топологическое пространство есть пара (X, т), где X —
множество, называемое множеством элементов топологического
пространства, τ — топология на X. При этом элементы г называются
открытыми подмножествами топологического пространства X.
Подмножество топологического пространства называется
замкнутым, если его дополнение открыто. Топологию в X можно
задать также введением класса Τ всех замкнутых множеств,
который должен удовлетворять следующим условиям:
(i)X,0e^;
(и) если Fu F2 е Τ, то Fx U F2 G T\
(iii) пересечение всякого набора множеств из Τ входит в Т.
Важный подкласс класса топологических пространств
образуют метрические пространства. Хотя небольшое знакомство
с ними мы предполагаем, но напомним, что метрическое
пространство (М, d) есть множество М, для которого задана
функция d: МхМ —> [0,+оо), называемая метрикой и
удовлетворяющая следующим условиям:
(i) d(a, b) = d(b, a), причем d(a, b) = 0 лишь при a = Ь,
(ii) d(a,c) < d(a, b) + d(b, с) (неравенство треугольника).
Линейное пространство с нормой || · || (нормированное
пространство) является метрическим с метрикой d(x,y) = ||ж — у||.
Пусть α Ε Μ и г > 0. Множество
К(а,г) := {х в М: d(x,a)<r}
называется открытым шаром с центром в α и радиусом г.
Если открытыми в Μ объявить пустое множество и всевозможные
объединения открытых шаров (с произвольными центрами и
радиусами), то получится топологическое пространство (несложная
проверка оставляется в качестве упражнения). При этом
открытый шар будет и открытым множеством (что легко проверить
с помощью неравенства треугольника). Замкнутым шаром с
центром в α и радиусом г называется множество
К (а, г) := {х е М: d(x,a)^r}
Топологическое пространство называется метризуемым, если его
топология получается указанным образом из какой-либо метрики
на нем. Разные метрики могут порождать одну и ту же
топологию. Например, обычная метрика на прямой порождает ту же
топологию, что и ограниченная метрика d(x,y) = min(l, \x — у\).
Ниже встретятся многочисленные примеры неметризуемых
пространств, поэтому мы не будем приводить искусственные
примеры такого рода. Дискретная топология на X есть τ = 2Х.
18
Глава 1. Введение в теорию
Понятие полного метрического пространства считаем
известным (оно напоминается в § 1.7).
Псевдометрикой на множестве Μ называется всякая
функция ρ: МхМ —> [0, оо) со следующими свойствами:
(1) в(х,х) = 0;
(2) g(x,y) = g(y,x)\
(3) g(x,y) < Q(x,z) + Q(z,y).
Если неравенство треугольника (3) записать в виде
(З7) g(x,y) < Q(x,z) + g(y,z),
то условия (2) и (3) вместе будут равносильны паре условий (2)
и (З7), но (2) будет следовать из (1) и (З7) с помощью замены в (З7)
буквы ζ на букву х.
Псевдометрика ρ на множестве Μ порождает топологию на
этом множестве совершенно также, как и метрика: множество
V С Μ называется открытым в топологии, порожденной
псевдометрикой £, если для всякого χ Ε V есть такое ε > 0, что
выполнено включение {ζ: ρ(ζ,χ) < ε} С V. Кроме того, псевдометрика
порождает метрику на множестве классов эквивалентности, если
положить χ ~ у при d(x, у) = 0.
Всякое подмножество Хо топологического пространства X
само оказывается топологическим пространством, если открытыми
в Хо объявить множества вида С/ПХо, где U открыто в X.
Разумеется, такие множества не обязаны быть открытыми в X (если
само Хо не было открыто в X). Указанная топология на Хо
называется индуцированной.
Открытой окрестностью точки χ называют всякое
открытое множество, содержащее х. Иногда полезно привлекать более
широкое понятие окрестности точки (необязательно открытой!)
как множества, содержащего некоторую открытую окрестность
данной точки.
Базой топологии называют любой набор открытых множеств
с тем свойством, что всевозможные объединения элементов этого
набора дают уже все непустые открытые множества.
Базой топологии в точке χ или фундаментальной системой
окрестностей точки χ называют любой набор открытых
окрестностей точки χ с тем свойством, что всякая окрестность χ
содержит какой-то элемент этого набора. Иногда по аналогии с
окрестностями используют базы необязательно открытых окрестностей.
Предбазой окрестностей точки топологического пространства
называют семейство окрестностей этой точки, конечные
пересечения элементов которого образуют базу ее окрестностей.
1.1. Линейные пространства и топология
19
Точку χ в топологическом пространстве X называют
предельной точкой множества А С X, если во всякой ее окрестности есть
точки из А, отличные от х. Если же всякая окрестность χ
пересекается с А, то χ называют точкой прикосновения А. Замыкание А
множества А (пересечение всех замкнутых множеств,
содержащих А) есть множество всех его точек прикосновения. Точки А,
не являющиеся предельными, называют изолированными.
Если X = А, то А называют всюду плотным в X. Если в X
есть не более чем счетное всюду плотное множество, то X
называют сепарабельным.
Если дан набор непустых топологических пространств Xt, где
t Ε Τ, то произведение Пгет ^t наделяется тихоновской
топологией произведения, в которой открытыми объявляются
всевозможные объединения множеств вида Пгет^> гДе кажД°е Ut
открыто в Xt, но лишь для конечного числа индексов t множество
Ut отлично от Xt. См. задачу 2.10.26 о ящичной топологии.
Отображение /: X —> Υ топологических пространств
называется непрерывным, если для каждого открытого множества V
в пространстве Υ множество f~l(V) открыто в X.
Непрерывность в отдельной точке хо Ε X определяется так: для всякого
открытого множества V, содержащего точку /(жо)? существует
такое открытое множество U, содержащее хо, что f(U) С V.
Непрерывность / равносильна непрерывности в каждой
точке. В самом деле, если / непрерывно и V Э f(xo) открыто, то
U = f~l(V) открыто, хо G U и f(U) С V. Обратно, пусть /
непрерывно в каждой точке χ и V С Υ открыто. Для каждой точки
χ Ε U := f~l{V) найдется такое открытое множество Ux Э х, что
f(Ux) С V. Тогда множество W := \^}хец Ux открыто. Так как
/(V) С V и U С W, то W = U.
Если X и Υ — топологические пространства, то отображение
F: X —> Υ называется гомеоморфизмом, если оно взаимно
однозначно, F(X) = Υ и оба отображения F и F~l непрерывны;
тогда ΧπΥ называют гомеоморфными.
Введем свойства отделимости. Топологическое пространство
(Χ, τ) называют колмогоровским или То-пространством, если для
всяких двух разных его точек найдется открытое множество,
содержащее ровно одну из них; (X, т) называют Т\-пространством,
если для всяких двух разных точек а,Ъ из X есть такие
множества А, В Ε т, что аеА\ВиЬеВ\А; (X, т) называют
хаусдорфовым или отделимым (или Т2-пространством), если для
20
Глава 1. Введение в теорию
всяких двух разных точек а,Ь G X есть такие открытые
множества А, В G т, что А П В = 0, a Ε А, Ъ Ε -В; регулярным
(или Тз-пространством) называют ΤΊ-пространство, каждая
точка которого обладает базой замкнутых окрестностей. В
отделимом пространстве точка замкнута. Вполне регулярным называют
пространство со следующим свойством: для всяких замкнутого
множества F С X и точки χ £ F есть такая непрерывная
функция д: X —> [0,1], что д(х) = 0 и д = 1 на F. Тихоновским
(или Tsi-пространством) называют отделимое вполне
регулярное пространство. Если псевдометрика не является метрикой, то
порождаемая ею топология неотделима. Мы увидим ниже, что
топологические векторные пространства вполне регулярны.
Покрытием множества называется любой набор множеств,
объединение которых его содержит.
1.1.6. Определение. Подмножество топологического
пространства X называется компактным или компактом, если
из всякого его покрытия открытыми множествами можно
извлечь конечное подпокрытие. Если это верно для всего X, то X
называется компактом или компактным пространством.
Топологическое пространство называется локально
компактным, если каждая его точка обладает фундаментальной системой
окрестностей, состоящей из компактных множеств.
Подмножество топологического пространства называется
относительно компактным, если его замыкание компактно. Это
равносильно тому, что данное подмножество лежит в компакте.
Топологическое пространство называется связным, если его
нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся
непустых открытых множеств, или, что то же самое, если его
нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся
непустых замкнутых множеств.
Полезными инструментами для работы с топологическими
пространствами являются понятия направленности и фильтра.
Для удобства читателя мы коротко расскажем об этих понятиях,
которые иногда используются ниже.
1.1.7. Определение. Частично упорядоченное
множество Τ называется направленным, если для всяких двух
элементов t,s Ε Τ найдется такой элемент τ еТ, что t < τ и s < т.
Направленностью в данном множестве X называется
семейство {xt}teT его элементов, индексируемое каким-либо
направленным множеством Т.
1.1. Линейные пространства и топология
21
Например, направленными множествами являются плоскость
с лексикографическим порядком и множество окрестностей
данной точки в топологическом пространстве, частично
упорядоченное по обратному включению. Множество всех непустых
открытых подмножеств прямой, частично упорядоченное по обратному
включению, не является направленным (два дизъюнктных
открытых множества не имеют общей мажоранты).
1.1.8. Определение. Направленность {xt}ter в
топологическом пространстве X сходится к точке х, если для всякой
окрестности U точки χ найдется такой индекс τ е Т, что
xt G С/ при t ^ т.
Отметим, что при этом множество таких ί G Τ, что xt 0 U',
может быть бесконечным. Поэтому даже для счетных множеств
Τ сходимость направленностей не сводится к сходимости
последовательностей. Например, если на IN ввести порядок, при котором
все нечетные числа меньше 2, а на четных и нечетных числах
отдельно сохраняется обычный порядок, то мы получим
направленное счетное множество; направленность {жп}, для которой хп = О
при четных η и хп = 1 при нечетных п, сходится к нулю. Можно
привести пример сходящейся счетной направленности в
топологическом пространстве, из которой нельзя извлечь сходящуюся
подпоследовательность (задача 1.12.26).
Если Ъ — точка прикосновения множества А, то найдется
направленность {at} элементов А, сходящаяся к Ъ. В самом деле,
пусть Τ — совокупность всех окрестностей Ь, частично
упорядоченная по обратному включению. В каждой такой окрестности t
по условию есть точка at G А. Полученная направленность
сходится к Ь, ибо для всякой фиксированной окрестности г G Τ мы
имеем at G t С т при t ^ т.
1.1.9. Определение. Фильтром в множестве X
называется всякое непустое множество Φ непустых подмножеств X,
удовлетворяющее следующим условиям:
(i) если А,В G Ф, то АПВ еФ,
(и) если ВеФиВсС,тоСеФ.
Базисом (базой) фильтра β множестве X называется всякое
такое непустое множество В непустых подмножеств в X, что
выполнено условие: для всяких В\,Въ G В найдется В% G В, для
которого Вз С В\ Π Β<ι.
Фильтр Φ мажорируется фильтром Ф, если ФсФ.
Базис фильтра — цельный термин (фильтра может и не быть).
22
Глава 1. Введение в теорию
Среди всех фильтров, содержащих данный базис фильтра #,
существует (единственный) минимальный фильтр Ф#, который
называется фильтром, порожденным базисом фильтра В. При
этом В называется базисом фильтра Ф#. Минимальным
фильтром является пересечение всех фильтров, содержащих В (такие
существуют, например, класс всех множеств, содержащих хотя
бы одно множество из В). Если τ — топология на множестве X
и χ G X, то множество всех (необязательно открытых)
окрестностей точки χ является фильтром в X, называемым фильтром
окрестностей этой точки относительно τ и обозначаемым
символом Ф£. Таким образом, фундаментальная система окрестностей
нуля есть базис фильтра всех окрестностей нуля.
1.1.10. Определение. Фильтр в X называется сходящимся
к точке χ в топологии τ, если он мажорирует фильтр
окрестностей этой точки.
Максимальные элементы системы всех фильтров на
множестве X, частично упорядоченной отношением мажорирования по
включению, называются ультрафильтрами на X. Из аксиомы
выбора несложно вывести, что каждый фильтр на X
мажорируется некоторым ультрафильтром на X. Фильтр Φ на X является
ультрафильтром, в точности тогда, когда из того, что АиВ = X
и А £ Ф, вытекает, что В Ε Φ. В качестве простейшего
примера применения фильтров приведем следующие утверждения,
проверку которых оставим в качестве упражнения.
1.1.11. Предложение. Отображение f топологических
пространств непрерывно в точке χ в точности тогда, когда
для каждого сходящегося к χ фильтра Φ порожденный базисом
фильтра /(Ф) фильтр сходится к f(x).
Отметим, что образ фильтра может не быть фильтром, но
всегда является базисом фильтра.
1.1.12. Предложение. Подмножество топологического
пространства является компактным тогда и только тогда,
когда всякий содержащий его ультрафильтр сходится к
некоторому элементу этого подмножества.
1.2. Основные определения
Здесь приведены основные определения, связанные с
топологическими векторными пространствами, и доказаны некоторые
простейшие факты, а примеры будут рассмотрены в следующем
1.2. Основные определения
23
параграфе. Хотя поле К у нас обычно IR или С (реже
недискретное нормированное), дадим общее определение.
1.2.1. Определение. Топологическим векторным
пространством над топологическим полем К называется
векторное пространство Ε над К, наделенное топологией,
относительно которой непрерывны следующие два отображения, где
ЕхЕ иКхЕ наделены произведениями соответствующих
топологий: 1) (х\,Х2) ·—> х\ +Х2, ЕхЕ —> Ε (сложение векторов),
2) (к,х) ·—> кх, КхЕ —> Ε (умножение векторов на скаляры).
Такая топология на Ε называется согласующейся со
структурой векторного пространства. Топологическое векторное
пространство Ε с топологией τ обозначают символом (Ε,τ).
Заметим, что в определении топологического поля требуются эти же
условия с К вместо Ε и непрерывность k \—> k~l вне нуля.
Два топологических векторных пространства над одним и
тем же полем называются изоморфными, если существует такое
непрерывное линейное взаимно однозначное отображение одного
из них на другое, что обратное отображение также непрерывно.
Размерностью топологического векторного пространства (Ε, τ)
называется размерность векторного пространства Е.
Из непрерывности отображения 1) вытекает, что топология
всякого топологического векторного пространства (£?, т)
инвариантна относительно сдвигов (т. е. что для каждого a Ε Ε
отображение χ ι—> χ + а представляет собой гомеоморфизм Ε на себя);
поэтому топология топологического векторного пространства
может быть восстановлена, если известна какая-нибудь
фундаментальная система окрестностей нуля.
Если U — база окрестностей нуля и a Ε Е, то совокупность
множеств вида а + V, где V Ε W, образует базу окрестностей
точки а. Таким образом, для задания топологии
топологического векторного пространства достаточно задать какую-либо базу
окрестностей нуля; именно так обычно и делается в
большинстве применений теории топологических векторных пространств.
Однако далеко не каждая система подмножеств векторного
пространства может служить базой окрестностей нуля топологии,
согласующейся со структурой векторного пространства;
достаточные для этого условия содержатся в предложении 1.2.7.
Прежде чем переходить к этому предложению, полезно
привести утверждение, согласно которому среди фундаментальных
систем окрестностей нуля в топологическом векторном
пространстве всегда есть системы с особенно хорошими свойствами.
24
Глава 1. Введение в теорию
1.2.2. Предложение, (а) Всякая базаЫ окрестностей нуля
топологического векторного пространства обладает
следующими свойствами:
(1) для всякого VΕ U существует такое множество WeU,
что W + W С V;
(2) каждое V Ε U — поглощающее множество.
(б) Во всяком топологическом векторном пространстве
существует база Uq окрестностей нуля, обладающая таксисе
следующими свойствами:
(3) каждое V Ε Uo — закругленное замкнутое множество;
(4) если V Ε Uo, то kV Ε Uq для всякого k eK, к фО.
Доказательство. Пусть U — база окрестностей нуля
топологического векторного пространства Е. Из того, что
отображение {х\,Х2) ·—► Χι + χ<ι, Ε χ Ε —> Ε непрерывно в точке (0,0)
в силу аксиомы 1, следует, что U обладает свойством (1). Далее,
по аксиоме 2 для всякого а £ Ε отображение к ·—> ка, К —> Ε
непрерывно в точке 0 Ε К; поэтому если V — окрестность нуля
в Ε и χ Ε Е, то существует такое ε > 0, что кх Ε V при |/с| < ε,
так что произвольная окрестность нуля V в Ε — поглощающее
множество. Это значит, что U обладает свойством (2). Тем самым
часть (а) предложения доказана.
Для доказательства части (б) достаточно показать, что
множество Uq всех замкнутых закругленных окрестностей нуля в Ε
есть база окрестностей нуля в Е, ибо свойства (3) и (4) легко
проверить. В самом деле, из определения множества Uo ясно, что оно
обладает свойством (3). Из того, что в силу аксиомы 2 при
каждом фиксированном ненулевом fcGK отображение χ ·—> кх
является линейным гомеоморфизмом Ε на Е, следует, что если V —
окрестность нуля в Е, то и kV (к Ε К, к φ 0) — окрестность нуля,
причем если множество V замкнуто и закруглено, то и kV таково
же, так что Uo обладает и свойством (4). Для проверки того, что
Uo — база окрестностей нуля в Е, покажем, что каждая
окрестность нуля в Ε содержит замкнутую закругленную окрестность
нуля. Пусть W — произвольная окрестность нуля в Е. В силу
непрерывности в нуле отображения {х\,Х2) |—> χι — #2, ЕхЕ —> Е,
вытекающей из аксиом 1 и 2, есть такая окрестность нуля W\,
что W\ — W\ С W. Покажем, что W\ С W. Для этого
проверим, что если χ <£ W, то χ <£ W\. Множество χ + W\
представляет собой окрестность точки ж, не пересекающуюся с W\ (если
ζ Ε WiC\(x + Wi), то ζ = х + у, у Ε W\ и χ = z-y Ε W\-W\ С W,
1.2. Основные определения
25
в то время как χ £ W). Существование такой окрестности и
означает, что χ fi W\. Далее, в силу непрерывности отображения
(/с, χ) ι—> кх, К χ Ε —> Ев точке (0,0) существуют ε > 0 и
окрестность нуля И^2 в Ε такие, что если \к\ < ε и χ Ε И^2, то
кх Ε Wi; поэтому множество Ws = Uifcke^^2 является
закругленной окрестностью нуля в Е, содержащейся в W\ (то, что Ws —
окрестность нуля, вытекает из того, что ввиду недискретности К
существует к φ 0, для которого \к\ < ε). Замыкание
закругленного множества — закругленное множество (если \к\ ^ 1 и G —
закругленное множество, то kG С G, значит, kG С kG С G
(если к φ 0, то kG = kG); поэтому Ws — замкнутая закругленная
окрестность нуля, причем Ws С W\ С W. D
1.2.3. Замечание, (i) При доказательстве фактически
установлено, что множество замыканий всевозможных множеств из
некоторой базы окрестностей нуля топологического векторного
пространства снова является базой окрестностей нуля (в
действительности это верно для произвольной топологической группы).
(ii) Было также доказано, что всякая окрестность нуля в
топологическом векторном пространстве — поглощающее множество;
этот факт постоянно будет использоваться в дальнейшем.
(Hi) Предложение 1.2.2 остается справедливым, если в его
формулировке в части (б) слово «замкнутое» заменить словом
«открытое»: иначе говоря, во всяком топологическом векторном
пространстве существует база U окрестностей нуля,
обладающая свойствами (1) и (4) и следующим свойством (З7): каждое
V Ε U — закругленное поглощающее открытое множество.
Доказательство в основном совпадает с доказательством
предложения 1.2.2, но несколько проще. Как и выше, проверяется, что в Ε
существует база из открытых закругленных множеств.
Существование такой базы вытекает из того, что для каждой окрестности
нуля W С Ε существуют ε > 0 и открытая окрестность нуля
W\ такие, что если к Ε К, \к\ < ε и χ Ε W\, то кх Ε W;
поэтому множество W2 = Uifcke^^i — содержащаяся в W открытая
закругленная окрестность нуля.
1.2.4. Следствие. Каждая точка топологического
векторного пространства обладает базой окрестностей, состоящей из
замкнутых множеств (т. е. всякое топологическое векторное
пространство является регулярным топологическим
пространством, как, впрочем, и произвольная топологическая группа).'
26
Глава 1. Введение в теорию
Доказательство. Действительно, если U — база замкнутых
окрестностей нуля, то a + U — база замкнутых окрестностей
точки а для всякого a. D
1.2.5. Следствие. Топологическое векторное пространство
является Т^-пространством (и тем самым хаусдорфовым)
тогда и только тогда, когда оно является Т^-пространством.
Доказательство. В силу предыдущего следствия и в
соответствии с определением Тз-пространства следует показать, что
в данном пространстве Ε выполняется аксиома Т\. Пусть даны
&ъ а2 G Е\ так как аксиома То по предположению выполнена,
то для одной из этих точек — пусть это будет αϊ — существует
окрестность нуля W такая, что αϊ + W $ а^ но тогда a2 — W $ αϊ,
ибо в противном случае для некоторого ζ eW имеем α<ι = z + a\,
т.е. α2 G αϊ + W. Таким образом, a2~W — окрестность точки а2,
не содержащая αχ. Π
На самом деле верно большее: отделимое топологическое
векторное пространство вполне регулярно, что будет установлено
в §1.6.
1.2.6. Следствие. Чтобы топологическое векторное
пространство было отделимым, необходимо и достаточно, чтобы
пересечение всех его окрестностей нуля содержало ровно один
элемент — нулевой элемент этого пространства.
Доказательство. Достаточность вытекает из предыдущего
следствия; необходимость очевидна. D
1.2.7. Предложение. Пусть В — базис фильтра в
векторном пространстве Е, состоящий из закругленных множеств
и обладающий свойствами {аналогичными свойствам 1, 2, 4 из
предложения 1.2.2):
(I)7 для всякого V G В есть такое W G В, что W + W CV;
(2)' каждое V G В — поглощающее множество;
(4/ если V G #, то kV G В для всякого k eK, к φ 0.
Тогда в Ε существует единственная топология,
согласующаяся со структурой векторного пространства, для которой В
является базой окрестностей нуля (необязательно замкнутых
или открытых).
Доказательство. Пусть τ — семейство подмножеств Е,
определяемое так: V G τ в точности тогда, когда для всякого a GV
существует такое множество W из #, что а + W С V. Тогда
1.2. Основные определения
27
г — топология в Е. Действительно, включения 0 G г и Ε G г
и замкнутость г относительно образования произвольных
объединений непосредственно вытекают из определения т. Покажем,
что τ замкнуто относительно образования конечных пересечений.
Пусть Vi, V2 G τ; надо показать, что Vi Π V2 G г. Пусть α G V\ Π V2·
Значит, существуют такие множества Wi, И^2 £ #, что a+W; с V;,
г = 1,2. Тогда a + (Wi Π И^) С V\ Π V<2. Следовательно, если
W3 С Wi Π И^2, Ws G β (такое W3 существует, поскольку β —
базис фильтра), то а + W3 С Vi П V2.
Покажем, что топология г согласуется со структурой
векторного пространства в Е. Сначала покажем, что В — база
окрестностей нуля топологии т. По определению топологии т, если V —
открытая окрестность нуля в т, то существует множество W G В
такое, что W С V\ поэтому достаточно показать, что каждое
множество, являющееся элементом β, представляет собой
окрестность нуля в топологии т. Итак, пусть W G В. Обозначим через
W0 множество, определяемое так: χ G W° в том и только том слу-'
чае, если существует такое множество W\ G #, что χ + W\ С W.
Так как нулевой элемент пространства Ε содержится в каждом из
множеств системы В (в силу их закругленности), то О G W0 С W.
Покажем теперь, что W0 открыто в топологии т; это и будет
означать, что W — окрестность нуля в этой топологии.
Достаточно для каждого a G W0 найти такое W2 G #, что а + W2 С W0.
Пусть a G W0. Тогда по определению W0 существует такое
множество W\ G β, что а + W\ G W; в силу свойства (1) существует
такое W2 G В, что W2 + W2 С W\, т.е. (a + W2) + W2 С W. Это
и значит, что а + W2 С W0.
Далее, так как ввиду самого ее определения топология τ
инвариантна относительно сдвигов, то для каждого a G Ε
совокупность множеств вида а+V, где V G Л?, образует базу окрестностей
точки а. Поэтому для доказательства непрерывности в τ
операции сложения (т.е. выполнения аксиомы 1 определения 1.2.1)
достаточно показать, что если а = х\ + х2, W G Л?, то существует
такое множество W\ G β, что
(χι + Wi) + (я?2 + Wi) С a + W.
В силу аксиомы 1 существует такое Wi, что Wi + Wi С W; для
этого W\ выполняется и нужное соотношение.
Перейдем к доказательству непрерывности операции
умножения (т.е. выполнения аксиомы 2 из определения 1.2.1). Пусть
даны а е Е, к еК и W е В. Требуется доказать существование
28
Глава 1. Введение в теорию
таких W\ G В и ε > О, что если а\ G α + W\ и \к\ — к\ < ε, то
к\а\ G ка + W. Так как операция сложения, как только что
доказано, непрерывна, то существует такое множество W2 £ β, что
И^2 + И^2 + W2 С W. Поскольку справедливо равенство
к\а\ — ка = (к\ — к)а + (к\ — к) (αχ — а) + Α; (αϊ — α),
то требуемыми свойствами будут обладать множество W\ и число
ε > 0, для которых из включения αϊ G α + V^i и неравенства
\к\ — к\ < ε будет следовать, что
(кг - к)а G W2l (h - к)(αχ - а) е W2, к(аг - а) е W2.
Поскольку множество W2 G В — закругленное, то из соотношений
\к\ — к\ < 1, αϊ — α G W2 следует, что (к\ — k)(ai — α) G W2\ так как
множество W2 поглощающее, то существует ε\ G (0,1) такое, что
(к\ — к)а G W2 при \к\ — к\ < ε\. Наконец, если к = 0, то можно
взять W\ = W2\ если же к φ 0, то найдем окрестность W\ G В
такую, что W\ С W2 Π k~lW2. Таким образом, в обоих случаях
W\ G #, в то же время из включения αϊ — α G W\ вытекает, что
к (αϊ — α) G W2. Поэтому можно положить ε = ε\.
Проверим единственность упомянутой топологии. Пусть t —
еще одна топология в Е, согласующаяся со структурой
векторного пространства, для которой В служит базой окрестностей нуля.
Тогда все множества вида χ + W, где χ G Ε и W G #, образуют
базу обеих топологий, откуда t = т. D
1.2.8. Замечание. Из предпоследнего абзаца этого
доказательства вытекает, что требование (4)' доказанного предложения
можно заменить следующим более слабым требованием: для
всякого s G К \ {0} и всякого V G В существует такое множество
V\ G β, что Vi С sV. Однако для случая, когда Q С К С С, это
последнее требование является следствием аксиомы 1 и
закругленности множеств, являющихся элементами В. Действительно,
из аксиомы 1 вытекает, что каковы бы ни были натуральное
число η и множество W G Л?, существует V G В такое, что
2nV С V + V + · · · + V С W,
N ν '
2праз
т.е. что У С 2~nW. Значит, если заданы ε > 0 и W е В, а
число η G IN таково, что 2_η < ε, то существует такое V £ В, что
У С 2~nW С εΗ^ (последнее включение вытекает из
закругленности множества W). Таким образом, если К С С, то для
справедливости заключения предложения выше достаточно потребовать,
1.2. Основные определения
29
чтобы В было базисом фильтра в Е, обладающим свойствами (1)
и (2) и состоящим из закругленных множеств.
1.2.9. Следствие. Пусть Ε — векторное пространство над
полем К, τ — инвариантная относительно сдвигов топология
в Е, обладающая базисом В окрестностей нуля, состоящим из
закругленных множеств и имеющим свойства (1)'; (2)'; (4)' из
предложения 1.2.7 (а в случае, когда К С С, — только свойства
(1) и (2)). Тогда г согласуется со структурой векторного
пространства в Е.
Доказательство. В силу предложения 1.2.7 и
предыдущего замечания в данном случае в Ε существует согласующаяся со
структурой векторного пространства топология τχ, для которой
В является базой окрестностей нуля. Так как т\ инвариантна
относительно сдвигов, то τ = τχ. D
Среди топологических векторных пространств над полями
вещественных и комплексных чисел наиболее важный для
приложений класс образуют локально выпуклые пространства,
определение которых сейчас будет приведено.
Отметим, что замыкание А выпуклого подмножества А в
топологическом векторном пространстве выпукло, ибо в силу
непрерывности операций векторного пространства мы имеем
ТА + (1 - t)A с ТА + (l-t)A с tA + (l -t)A с А.
Далее, выпуклая оболочка convW открытого множества W —
снова открытое множество: это следует из того, что conv W —
объединение всевозможных множеств вида ΣΊς=ι akW, где η Ε IN,
ak ^ 0? ]Cfc=i ak — 1? каждое из которых открыто в силу
непрерывности операций сложения и умножения на скаляр.
Кроме того, внутренность А выпуклого подмножества А в
топологическом векторном пространстве Ε выпукла.
Действительно, если а, Ъ Ε А, то А — окрестность точек а и Ь, а множество
tA + (1 — t)A — содержащаяся в А открытая окрестность точки
ta+ (1 — t)b для каждого t Ε [0,1] (см. также предложение 1.4.2).
1.2.10. Определение. Локально выпуклым топологическим
векторным пространством называется топологическое
векторное пространство над полем вещественных или комплексных
чисел, обладающее базой окрестностей нуля, состоящей из
выпуклых множеств.
30
Глава 1. Введение в теорию
Вместо слов «локально выпуклое топологическое векторное
пространство» обычно употребляются слова локально выпуклое
пространство или аббревиатура ЛВП. Топология τ в векторном
пространстве Ε (над IR или С) называется локально выпуклой,
если пространство (Е, т) является локально выпуклым. Часто
в определение локально выпуклого пространства включают
требование его хаусдорфовости, но мы не делаем этого, хотя в
большинстве результатов речь идет об отделимых пространствах.
1.2.11. Предложение. Пусть К = IR или К = С.
(i) Во всяком локально выпуклом пространстве Ε над К
существует база окрестностей нуля, состоящая из замкнутых
закругленных выпуклых поглощающих множеств и
инвариантная относительно умножений на ненулевые числа из К.
(и) Если г — топология в векторном пространстве Ε
над К, инвариантная относительно сдвигов и обладающая
базой окрестностей нуля, состоящей из закругленных выпуклых
поглощающих множеств и содержащей вместе с каждым
множеством V множество 2~lV', то Ε — локально выпуклое
пространство.
(Hi) Если В — базис фильтра в векторном пространстве
над К, состоящий из закругленных выпуклых поглощающих
множеств и содержащий вместе с каждым множеством V
множество 2~lV', то в Ε существует, причем только одна,
топология, превращающая Ε в локально выпуклое пространство, для
которой В является базой окрестностей нуля.
Доказательство. Если В — некоторая база окрестностей
нуля в Е, состоящая из выпуклых множеств, то каждое из
множеств Wy = V n(—V), где V Ε В, — выпуклая закругленная
окрестность нуля в Ε в случае К = К; в случае же К = С
выпуклой закругленной окрестностью Wy С V (для V Ε В) будет
Wy = Пы=1 ZV (эт0 действительно окрестность, так как
существуют такая окрестность U и такое ε > 0, что kU С V при
\к\ < ε, откуда eU С Wy). В обоих этих случаях совокупность
всех множеств Wy образует базу окрестностей нуля в Е\ в силу
замечания 1.2.3 это же верно и для совокупности В их замыканий,
которые к тому же снова выпуклы и закруглены. Поэтому
семейство всех множеств вида kV, где V Ε В, к Ε К, к φ 0, образует
базу окрестностей нуля в Е, существование которой утверждается
в первой части доказываемого предложения (как уже отмечалось,
каждая окрестность нуля является поглощающим множеством).
1.3. Примеры
31
Оставшиеся две части предложения вытекают из
предложения 1.2.7 и следствия 1.2.9. Достаточно проверить, что для
множеств #, о которых говорится в этих частях, выполняется
свойство (1) из предложения 1.2.7. Пусть V е В. Тогда 2~lV G В.
В силу выпуклости V имеем 2~lV + 2~lV = V. D
1.2.12. Замечание. Аналогично можно доказать, что во
всяком локально выпуклом пространстве есть база окрестностей
нуля, состоящая из открытых закругленных выпуклых
поглощающих множеств и инвариантная относительно умножения на
ненулевые числа из К. Сделаем это. Пусть int A — внутренность А.
Если V — выпуклая окрестность нуля и W —
содержащаяся в V открытая окрестность нуля, то ее выпуклая оболочка
conv W открыта и содержится в V в силу выпуклости V. Так как
W С conv W, то conv W — открытая выпуклая окрестность нуля,
содержащаяся в У, а множество Wq = conv W Π (— conv W) в
вещественном случае и множество W$ = int Пы=1 conv (zW) в
комплексном случае — открытая выпуклая закругленная окрестность
нуля (заметим, что существуют такие ε > 0 и открытая
окрестность нуля И7!, что из к Ε С, \к\ ^ ε следует kW\ С W; отсюда
eW\ С Wo), причем и Wq С V. Поэтому множество Uq всех таких
окрестностей нуля образует базу окрестностей нуля; то же верно,
и для семейства всех множеств вида fcV, где к Ε К, к Φ О, V Ε Uq.
1.3. Примеры
Здесь собрана обширная коллекция модельных примеров.
1.3.1. Пример. Всякое алгебраическое поле К есть
одномерное векторное пространство над К относительно имеющихся в К
операций сложения и умножения; это одномерное над К
векторное пространство обозначают через К1. Если при этом К —
топологическое поле относительно топологии г, то К1 — одномерное
топологическое векторное пространство над К относительно той
же топологии; его обозначают тем же символом К1 или К.
1.3.2. Пример. Пусть К — произвольное топологическое
поле, Τ — непустое множество и Кт — векторное пространство
над К, представляющее собой произведение Τ экземпляров К,
наделенное топологией произведения; тем самым Кт есть
множество всех функций χ: Т-^Кс топологией поточечной
сходимости, база которой состоит из множеств
UXoju...,tny = {х: x(U) - Xo(U) е V, г = 1,..., п},
32
Глава 1. Введение в теорию
где t{ Ε Τ, У — окрестность нуля в К. Тогда Кт — топологическое
векторное пространство. Более общим образом, произведение
любого множества топологических векторных пространств над
полем К снова является топологическим векторным пространством
над К относительно произведения топологий сомножителей.
При Τ = IN получим IR°° — пространство всех вещественных
последовательностей с топологией покоординатной сходимости;
ее можно задать метрикой d(x,y) = Σ™=ι 2_n min(|xn — yn|, 1),
где χ = (xn), у = (yn).
1.3.3. Пример. Если топология топологического поля К
дискретна, то всякое векторное пространство Ε над К, наделенное
топологией, согласующейся со структурой его аддитивной
группы (это означает, что непрерывно отображение (х\,Х2) |—> χι~χ2·>
Ε χ Ε —> Ε) и инвариантной относительно операции умножения
на ненулевые элементы из К, является топологическим
векторным пространством над К (в частности, этим условиям
удовлетворяет дискретная топология на Е). Топологические векторные
пространства над полями, обладающими дискретной топологией,
называются топологическими векторными группами.
Далее считаем, что поле К недискретно. В большинстве
примеров К = IR или К = С.
1.3.4. Пример. Пусть Ε — векторное пространство над
недискретным нормированным полем К, V — некоторое множество
полунорм на Е. Открытым шаром радиуса г > 0 с центром
в нуле относительно полунормы ρ на, Ε называется множество
{х е Е: р(х) < г}. Множество пересечений всевозможных
конечных семейств открытых шаров положительных радиусов
относительно полунорм, принадлежащих множеству Р, образуют базу
окрестностей нуля некоторой топологии τ-p в Е,
согласующейся со структурой векторного пространства; говорят, что эта
топология задается (или определяется) семейством полунорм V.
Таким образом, само множество открытых шаров всевозможных
положительных радиусов (по всевозможным полунормам)
образует предбазу окрестностей нуля топологии τ-ρ. Отметим, что все
полунормы из V непрерывны в этой топологии. Если К = IR
или К = С, то топология т-р локально выпукла, так как
множества {х: р(х) < г} выпуклы; в §1.4 показано, что топология
всякого локально выпуклого пространства (над IR или С)
задается некоторым набором полунорм. Топологическое векторное
пространство называется нормируемым, если его топология может
1.3. Примеры
33
быть задана одной нормой. Банаховым называют нормированное
пространство, полное с метрикой, порожденной нормой (понятие
полноты напоминается в § 1.7). Критерий нормируемости
топологического векторного пространства над IR или над С
(принадлежащий А.Н. Колмогорову) будет приведен в § 1.5.
1.3.5. Пример. Пусть η Ε IN. Топология в Кп определяется
нормой, задаваемой равенством ||(χχ,... ,жп)|| = ma-χ^ι,...,η \xi\-,
где символ | · | обозначает норму в К. Мы могли бы здесь взять
Y^Ji—i \х%\ или (Σ!Γ=ι 1жг|2) ? но далее нам понадобится тот факт,
что множество значений нормы maxi=iv..,n \xi\ совпадает с
множеством значений нормы к \—> \к\. В §1.5 будет доказано, что
если поле К полно, то всякое n-мерное отделимое
топологическое векторное пространство над К изоморфно пространству Кп
(при η = 1 это верно и без предположения о полноте К), причем
если поле К локально компактно, то отделимое топологическое
векторное пространство над К конечномерно в точности тогда,
когда оно обладает предкомпактной окрестностью нуля.
Сказанное в первой части последней фразы означает, что в п-мерном
вещественном или комплексном топологическом векторном
пространстве существует ровно одна отделимая топология,
согласующаяся со структурой векторного пространства; эта топология
далее будет называться стандартной.
1.3.6. Пример. Пусть Q — поле рациональных чисел (с его
обычной топологией, задаваемой нормой, равной модулю числа),
а — иррациональное вещественное число. Лежащее в IR
множество {aqi+q2 '· Qi-, 42 £ Q} с топологией, индуцированной обычной
топологией прямой, представляет собой двумерное
топологическое векторное пространство над Q, неизоморфное
топологическому векторному пространству Q2 (задача 1.12.25).
1.3.7. Определение. Псевдонормой на векторном
пространстве Ε называют функцию ρ: Ε —> [0, оо) с свойствами
(1) р(0) = 0, (2) р(-х)=р(х), (3) р(хг +х2) < ρ(χι)+ρ(χ2)..
Псевдонорма называется невырожденной, еслир(х) = 0 лишь
при χ = 0.
Отметим, что наше определение отличается от
приведенного в книге Шефера [174], где требуются еще невырожденность
и оценка р(Хх) < р(х) при |λ| ^ 1. Впрочем, для заданий
векторных топологий это отличие несущественно (см. конец
доказательства теоремы 1.6.1).
34
Глава 1. Введение в теорию
Итак, полунорма есть псевдонорма q, обладающая
следующим свойством, более ограничительным, чем (2) и (1) вместе:
(2') q(ax) = \a\q(x) VaGK.
В отличие от нормы, полунорма может принимать нулевые
значения на ненулевых элементах пространства. Например,
тождественно равная нулю функция является полунормой.
Если ρ — псевдонорма на векторном пространстве Е, то
равенство д(х\,Х2) = р(х\ —Х2) определяет псевдометрику,
инвариантную относительно сдвигов; такая псевдометрика, в свою
очередь, определяет топологию на Е, согласующуюся со структурой
аддитивной группы пространства Е\ псевдометрика ρ является
метрикой в точности тогда, когда р{х) = 0 лишь при χ = 0.
Если Ε — топологическое векторное пространство, топология
τ которого метризуема, то на Ε существует псевдонорма,
порождающая эту топологию только что описанным способом (это
будет доказано в § 1.6). Критерий метризуемости
топологического векторного пространства также будет приведен в § 1.6.
Отметим еще, что если р — произвольная псевдонорма на
векторном пространстве Е, то порожденная ею топология не
обязана быть согласованной со структурой векторного пространства
(приведите пример); чтобы она все же согласовывалась со
структурой векторного пространства, достаточно (и очевидным
образом необходимо), чтобы псевдонорма обладала дополнительно
следующими свойствами:
(4) если хп Ε Е, t Ε К, р(хп) —> 0, то p(txn) —> 0;
(5) если χ Ε Е, tn Ε К, tn —> 0, то p(tnx) —> 0;
(6) если хп е Е, tn е К, tn —> 0, р(хп) —> 0, то p(tnxn) —> 0.
Свойство (6), как можно показать, вытекает из свойств (4)
и (5); доказательство мы оставляем читателю; выполнение этих
свойств равносильно непрерывности операции умножения на
скаляр в векторном пространстве, наделенном топологией,
порожденной псевдонормой р.
1.3.8. Определение. Квазинормой называется
псевдонорма, обладающая свойствами (4) и (5) (следовательно, также
и свойством (6)). Таким образом, псевдонорма р, задающая
топологию метризуемого топологического векторного
пространства, автоматически оказывается квазинормой (обладающей
свойством р(х) φ 0 при χ φ 0).
1.3.9. Пример. Пусть Ε — векторное пространство и V —
некоторое семейство квазинорм на Е. Открытым шаром радиуса
1.3. Примеры
35
г > 0 с центром в нуле по квазинорме ρ Ε V называется
множество {х £ Е: р(х) < г}; множество всевозможных открытых
шаров всевозможных положительных радиусов по всевозможным
квазинормам, принадлежащим множеству V, образует предбазу
окрестностей нуля некоторой топологии в Е, согласующейся со
структурой векторного пространства; эта топология называется
топологией, порожденной семейством V квазинорм. В § 1.6 будет
показано, что топология всякого топологического векторного
пространства может быть задана некоторым семейством квазинорм.
Отметим, что все квазинормы семейства, задающего топологию,
непрерывны в этой топологии.
1.3.10. Пример. Пусть (Ε,τ) — топологическое векторное
пространство, Е\ С Ε — векторное подпространство, т\ —
топология, индуцированная в Е\ топологией т. Топология т\
согласуется со структурой векторного пространства.
Топологическое векторное пространство {Ε\,τ{) называется топологическим
векторным подпространством топологического векторного
пространства Е. Если U — база (или предбаза) окрестностей нуля
в (Е,г), то множество {V Π Ει: V Ε U} образует базу
(соответственно предбазу) окрестностей нуля в пространстве (Ει,τι).
Если (Е, т) отделимо (или метризуемо, или локально выпукло), то и
(Ει,τι) таково же. Если топология τ задается некоторым
множеством полунорм (или псевдонорм), то топология τι определяется
их сужениями на Ει.
Полезно следующее достаточное условие замкнутости Ει как
подмножества в топологическом векторном пространстве Е.
1.3.11. Лемма. Пусть векторное подпространство F
отделимого топологического векторного пространства Ε полно
относительно некоторой метрики, задающей топологию
этого подпространства. Тогда F замкнуто в Е.
Доказательство. Совсем коротко обобщение этой леммы
доказывается с помощью понятия фильтра Коши (см.
предложение 1.7.8); здесь же приведем непосредственное обоснование —
оно потребуется в первом доказательстве теоремы 1.5.1.
Покажем, что каждая точка у замыкания F подпространства F в Ε на
самом деле принадлежит F. Пусть {Vj : j Ε IN} — база
окрестностей нуля в метрической топологии подпространства F. Для
каждого j Ε IN пусть Wj и W· — такие окрестности нуля в Е,
что Vj = Wj Π F и W'j - Wj С Wj, причем W'j+l С Wj. Тогда для
36
Глава 1. Введение в теорию
всякого j Ε ΙΝ очевидным образом имеют место соотношения
((y + W<)riF)-((y + W<) nF)cWjnF = Vj.
Поэтому произвольно выбранные точки Xj Ε (у + W·) Π F
образуют фундаментальную последовательность в F, сходящуюся
к некоторой точке χ Ε F ввиду полноты F. Остается проверить,
что эта же последовательность сходится и к у.
Пусть U — окрестность нуля в Е\ выберем сначала такую
окрестность нуля Ur в Е, что Ur + Ur С С/, а затем такой номер
к = k(U), что 14 С !7' Π F и, значит, Vfc С U'. Наконец, выберем
в непустом множестве (у + U') Π ((у + W£) Π F) элемент г. Тогда
при каждом j ^ к справедливы соотношения
xj - ζ € ((y + Wj)nF) - {(y + W^HF) С (Wj -Wi)r\F С
CiWi-WijnFcVkCU'.
Следовательно,
Xj = у + (xj - у) = у + (xj - ζ) + {ζ - у) Ε у + С/7 + U' С у + С/,
так что при каждом j ^ &(^0 имеем #j £ У + £Л и сходимость {xj}
к у доказана. В силу отделимости Ε получаем у = χ Ε F. D
В случае локально выпуклых пространств индуцированная
в подпространстве топология обладает следующим свойством.
1.3.12. Лемма. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, Е\ — его векторное подпространство с индуцированной
топологией uU — абсолютно выпуклая окрестность нуля в Е\.
Тогда в Ε найдется такая абсолютно выпуклая окрестность
нуля V, что V Π Ει = U.
Если xq Ε Ε\Εχ, то V можно взять так, что xq £ V.
Доказательство. По определению индуцированной
топологии есть абсолютно выпуклая окрестность нуля W С Е, для
которой W Π Е\ С U. Пусть V — абсолютно выпуклая оболочка
WUU. Тогда U С V Π Е\. Если ν Ε V Π Ει, το υ = tw + su, где
w Ε W, и Ε U, \t\ + \s\ < 1. При этом tw = v — su Ε E\. Если t = 0,
то сразу получаем, что ν = su Ε С/, ибо U абсолютно выпукло.
Если же t φ 0, то w Ε £α, откуда w e EiPiW С U и потому ν Ε U.
Итак, V Π Ελ С £Λ_τ. е. У Π Ει = С/.
Если xq E Ε\Ει, то берем W так, что (xq + W) Π Ε\ = 0.
Тогда жо ^ V\ так как иначе, как и выше, х$ = tw + su, откуда
Xq — tW Ε Ε\ И Xq — tw E Xq + W, ЧТО невОЗМОЖНО. D
1.3. Примеры
37
1.3.13. Пример. Пусть (£7, т) и Ει — те же, что и в
примере 1.3.10, и Ε /Ει — факторпространство векторного
пространства Ε по его подпространству Ει. Топология Т2 в Ε /Ει,
называемая фактортопологией, определяется так: множество V С Ε /Ει
открыто в Т2 в точности тогда, когда его прообраз относительно
канонического отображения Ε —> Ε/Ει открыт в т. При этом
каноническое отображение Ε —> Ε /Ει оказывается открытым, т. е.
переводит всякое открытое множество в открытое.
Топологическое векторное пространство (Е/Е\,Т2) называется
топологическим векторным факторпространством пространства (Ε,τ).
Доказательство. Проверим, что если U — база
окрестностей нуля в (£?, г), то множество образов ее элементов
относительно канонического отображения Ε —> Ε /Ει образует базу
окрестностей нуля в пространстве (Е/Е\,Т2) (для предбаз это, вообще
говоря, не так). Сначала покажем, что каноническое
отображение /: £7 —> Ε /Ει открыто, т.е. переводит открытые множества
в открытые. Пусть V С Ε и V открыто в т. Тогда открыто в
топологии τ и множество
V + Ει = (J (V + а)
αβΕι
как объединение открытых множеств (получающихся из
открытого множества V с помощью операции сдвига). Мы имеем
равенство f~1(f(V)) = V + £а, так что множество f(V) открыто
по определению топологии Т2.
Если теперь U — база окрестностей нуля в Е, то, во-первых,
в силу только что доказанного все множества f(V) являются
окрестностями нуля; во-вторых, если W — произвольная
окрестность нуля в (Ε/Ει,Τ2), то W = /(/_1(W)), причем f~l{W) —
окрестность нуля в (£?, т) (так как в силу определения
топологии Т2 отображение / непрерывно); поэтому в U существует
множество V такое, что V С /_1(W); значит, /(V) С W. Из того,
что f(U)— база окрестностей нуля фактортопологии, вытекает,
что фактортопология согласуется со структурой векторного
пространства в Ε/Ει. D
Факторпространство не всегда отделимо.
1.3.14. Лемма. Для того чтобы топологическое векторное
пространство {Е/Е\,Т2) было отделимым, необходимо и
достаточно, чтобы подпространство Ει было замкнутым в (Ε,τ).
38
Глава 1. Введение в теорию
Доказательство. Одноточечные подмножества любого
отделимого топологического пространства замкнуты. Поэтому
наше предположение об отделимости (Ε/Ει,τϊ) влечет замкнутость
нуля. Значит, замкнут'и его прообраз Ει = /_1(0) относительно
канонического отображения /, так как последнее непрерывно.
Предположим теперь, что Е\ замкнуто в (£?, г), и покажем,
что топологическое векторное факторпространство (Е/Е\,Т2)
отделимо (даже если само Ε не отделимо). Достаточно показать,
что Ε/Ει — То-пространство, а для этого, в силу
инвариантности топологии относительно сдвигов, достаточно показать, что
всякий ненулевой элемент а в Ε /Ει обладает окрестностью, не
содержащей нуля. Пусть а е Ε /Ει, α φ 0 и Ъ е f~l(a). Тогда Ъ £ Е\.
В силу замкнутости Ει существует такая открытая окрестность
V точки Ь, что V Π Ει = 0. Поэтому f(V) — открытая
окрестность точки а = /(b), не содержащая нуля пространства Ε /Ει.
То, что 0 ф. /(V), вытекает из равенства
Г1 (f(V)) П /-х(0) = (V + Ει) П Ег = 0,
являющегося следствием равенства VdEi = 0. Открытость
множества f(V) в (Ε/Ει,Τ2) вытекает из открытости V. D
Если Ε — произвольное (вообще говоря, неотделимое)
топологическое векторное пространство, то замыкание Eq = {0}
одноточечного множества {0} представляет собой векторное
подпространство в Е\ (отделимое) топологическое векторное
факторпространство Е/Ео называется отделимым топологическим
векторным пространством, ассоциированным с Е. Конечно,
если само Ε отделимо, то ассоциированное с ним отделимое
топологическое векторное пространство ему изоморфно.
Факторпространство произвольного локально выпуклого
пространства Ε по его произвольному векторному подпространству
Ει локально выпукло; это следует из того, что каноническое
отображение /:£?—> Ε /Ει переводит базу выпуклых окрестностей
нуля (в Е) в базу выпуклых же окрестностей нуля (в Ε /Ει).
Отметим также, что если пространство Ε метризуемо, а
подпространство Ει замкнуто, то Ε /Ει также метризуемо (это
вытекает из приводимого ниже критерия метризуемости отделимого
топологического векторного пространства — наличия в нем
счетной базы окрестностей нуля). Если же Ε нормируемо, то таково
и факторпространство.
1.3. Примеры
39
1.3.15. Пример. Если топологическое векторное
пространство Ε является прямой алгебраической суммой своих векторных
подпространств Ει и Ε<ι, т. е. Е\ Γ\Ε<ι = 0 и Ει + £?2 — Е, то можно
рассмотреть естественные алгебраические проекции pi: Ε —> Ει,
Ρ2'. Ε -+ Ε2] подпространства Ει и £?2 называются
алгебраическими дополнениями друг друга. Если проекции pi и р2
непрерывны, то Ει и £?2 называются топологическими дополнениями
друг друга. В § 3.9 мы увидим, что в ряде важных случаев
алгебраические дополнения автоматически оказываются
топологическими; например, так обстоит дело в случае замкнутых
подпространств полных метризуемых топологических векторных
пространств. В общем случае проекции могут быть разрывны.
Например, так будет, если Ει — ядро разрывной линейной
функции и Е2 — алгебраически дополняющее одномерное
подпространство. Имеются также примеры замкнутых
алгебраически дополнительных подпространств Ει и Е^ в неполных
нормированных пространствах, дающих разрывные проекции.
1.3.16. Пример. Пусть £° = £°(λ) — векторное
пространство всех измеримых по Лебегу вещественных функций, всюду
определенных на [0,1], λ — мера Лебега на этом отрезке и
Vn = {feC°: λ(ί€[0,1]: |/(ί)| > 1/η) < 1/η}, η G IN.
Семейство U = {Vn} — база окрестностей нуля некоторой
(неотделимой) топологии τ в Τ, согласующейся со структурой
векторного пространства. Пусть L0 — отделимое топологическое
векторное пространство, ассоциированное с (£°,т). Оно метризуемо,
но не локально выпукло (задача 1.12.28). Его можно
отождествить — как векторное пространство — с пространством классов
λ-эквивалентных λ-измеримых вещественных функций на [0,1];
сходимость последовательностей в (£°,т) и в L0 есть сходимость
по мере (индивидуальных функций или классов эквивалентности
измеримых функций). Для общей ограниченной
неотрицательной меры μ на измеримом пространстве (Ω, В) аналогично задаем
С0 (μ) и Ζ/°(μ). Сходимость по мере можно задать метрикой
d(f,g)= / mm(\f(uj) - g(u)\,l) μ(άω).
В следующих примерах К = IR или К = С.
1.3.17. Пример. Пусть η — натуральное число и /С(КП) —
векторное пространство всех непрерывных финитных функций
40
Глава 1. Введение в теорию
/: Кп —> К (функция на Кп называется финитной, если она
обращается в нуль вне некоторого ограниченного множества); иное
обозначение: Co(IRn). Обозначим через Тп множество всех
непрерывных функций /: IRn —> (0, +оо) (конечно, Тп — не векторное
пространство и Тп Π /C(IRn) = 0). Для / Ε Тп обозначим через
Vf множество, определенное так:
Vf = {(pe)C(Mn): \φ(χ)\ < f{x) Vz G Жп}.
Совокупность всех множеств такого вида образует базу
окрестностей нуля для некоторой отделимой локально выпуклой
топологии tjc в /С(КП); далее везде предполагается, если не оговорено
противное, что /С(КП) наделено этой топологией. Опишем также
одно семейство норм, задающее только что определенную
топологию. Для каждой функции / G Тп обозначим через pf норму
на /С(КП), задаваемую равенством ρ/(φ) = тахж \/(χ)φ(χ)\, и
положим VJC = {pf: f е Тп\.
Семейство норм Vic задает введенную топологию tjc-
Пространство (/С(Кп),гд:) неметризуемо. Последовательность {φι}
элементов пространства /С(КП) сходится к нулю в том и
только том случае, если выполнены два условия:
(i) max^iRn \ψι(χ)\ -> 0,
(ii) существует ограниченное множество В в Кп, вне которого
обращаются в нуль одновременно все функции φι.
В самом деле, если Х{ Ε Шп, \х{\ —> оо, d —> оо, то найдется
/ Ε Тп с f(xi) = C{. На /С(КП) не существует метрики,
относительно которой сходимость последовательностей совпадает со
сходимостью последовательностей в топологии tjc (это
утверждение, составляющее предмет задачи 1.12.29, сильнее, чем
утверждение о неметризуемости /С(КП)).
1.3.18. Пример. Пусть Ε — некоторое векторное
пространство над К, Vo — множество всех полунорм на Е, V\ —
множество всех квазинорм на Е. Топология в Е, определяемая
семейством полунорм Vo, является сильнейшей среди всех локально
выпуклых топологий в Ε (она называется сильнейшей локально
выпуклой топологией в Е); топология в Е, определяемая
семейством квазинорм V\, — самая сильная среди всех топологий в Е,
согласующихся со структурой векторного пространства. Можно
доказать (задача 1.12.31), что если алгебраическая размерность
пространства Ε над К не более чем счетна, то эти две топологии
совпадают; в противном случае они различны.
1.3. Примеры
41
Отметим, что в сильнейшей локально выпуклой топологии
непрерывны все полунормы на Е, значит, и все линейные
функции и вообще все линейные отображения в любые локально
выпуклые пространства.
Поучительно выявить более узкие классы полунорм,
задающие сильнейшую локально выпуклую топологию. Например, взяв
базис Гамеля {еа} в Ε и положительную функцию φ на
множестве индексов а, можно ввести полунормы вида
Ρψ(χ) = Σφ(α)\χ*\ι где χ = Σχ<*β<*·
а а
Набор полунорм такого вида по-прежнему задает сильнейшую
локально выпуклую топологию, ибо для всякой полунормы ρ
верна оценка р(х) < Σα \ха\р(еа) < Ρφ(χ), где φ(ά) = р(еа) + 1.
1.3.19. Пример. Пусть Σ — пространство быстро
убывающих последовательностей, т. е. вещественных
последовательностей χ = (хп) с конечными нормами
Рк(х) — supnfc|xn|, к Ε IN.
η
Эта же топология задается евклидовыми нормами q^, где
оо
<1к{х? = Y^nik\xn\2.
n=l
1.3.20. Пример. Пусть <S(Hn) — пространство всех
бесконечно дифференцируемых К-значных функций φ (К = IR или С),
определенных на Шп и удовлетворяющих следующему условию
(далее мы полагаем t = (ti,...,tn)):
Prfc(v) = max(l + |£Г)Н¥>(А:)(*)11 < °° Для всех к,г e¥S,
1/2
где \t\ = (ELi Ы2) , ||^(0)(i)ll = maxieIRn |^)|,
¥><fe>(i)||=max<
aV(*)
at*1... dtfr
rZ\ ~\~ ' ' ' ~т~ rZn — ™м "'i ^ ^
Каждая из функций pkr представляет собой норму на <S(IRn);
обозначим через Vs множество всех таких норм и через rs —
задаваемую этим множеством норм топологию в <S(IRn).
42
Глава 1. Введение в теорию
Топологию в S можно задать также евклидовыми нормами.
Например, при η = 1 можно взять евклидовы нормы qrk, где
/+оо
(l+t2Y^{k){t)\2dt.
-оо
Всюду далее предполагается, если не оговорено противное,
что пространство <S(IRn) наделено топологией т^. При этом
пространство <S(IRn) оказывается полным метризуемым локально
выпуклым пространством (проверьте полноту); такие пространства
называются пространствами Фреше. Пространство <S(IRn)
играет важную роль в теории распределений (обобщенных функций).
Интересно отметить, что на <S(IRn) не существует нормы,
превращающей его в банахово пространство, в топологии которого
каждая функция Ф^: φ ι—> φ(ί), t Ε IRn, непрерывна. Так как
в топологии τ$ все такие функции непрерывны, то отсюда
следует ненормируемость топологии rs (впрочем, ненормируемость τ$
немедленно вытекает из приводимого далее критерия
Колмогорова нормируемости топологического векторного пространства).
При применениях пространства <S(IRn) в задачах анализа обычно
требуется непрерывность отображений Φί? поэтому отсутствие на
<S(IRn) банаховой нормы, относительно которой они непрерывны,
является одним из примеров, показывающих недостаточность
теории банаховых пространств для нужд анализа.
1.3.21. Пример. Пусть D(IRn) — пространство всех
финитных бесконечно дифференцируемых функций φ: IRn —> К. Для
каждой пары функций /, г Ε Тп = {д Ε C(\Rn): g > 0}
обозначим через qf^r норму на D(IRn), определяемую так:
9/,r(¥>) = max||/(t)^H0])(t)||>
где [а] — целая часть числа а (обозначение ||<£>^(^)Н введено в
предыдущем примере). Далее считаем, что Т>(Жп) наделено
топологией то, заданной набором норм Vd — {Qf,r: f->r £ ^Vi}· Тогда
D(IRn) — неметризуемое локально выпуклое пространство
(задача 1.12.30). При η = 1 эту топологию задает набор полунорм
оо
iW,{r*}(¥>) = Σ аь ΐί1^ , lv(rfc)(*)l> <*k e M,rfc g ми {о}.
к=—оо
1.3.22. Пример. Пусть £(КП) — пространство всех
бесконечно дифференцируемых функций на Кп, принимающих значения
1.3. Примеры
43
в К, и для каждого η Ε IN, полунорма рт на £(КП) определена
равенством
Ρπι(φ) = max{||^(fc)(i)||: к = О,1,... ,m; ||t|| < m}.
Далее, если не оговорено противное, предполагается, что
пространство £ (Ж71) наделено топологией Т£, задаваемой множеством
полунорм Ve — {Рт: т £ IN}. Тогда £(ЖП) — полное метризуе-
мое локально выпуклое пространство (проверьте). Отметим, что
топология Т£ не может быть задана с помощью норм; более того,
на £(КП) не существует ни одной непрерывной нормы (на самом
деле эти два утверждения равносильны).
В дальнейшем, когда речь будет идти о свойствах пространств
/С(1ЕГ), <S(IRn), £>(ЕГ), £(НП), не зависящих от размерности η
пространства Кп, символы типа D(IRn), <S(IRn) часто будут
заменяться символами Р, 5 и т. д. Как правило, рассматриваемые
свойства этих пространств не будут зависеть от того,
вещественны они или комплексны; именно поэтому в предыдущих примерах
пространства комплексных функций (над полем С) и
вещественных функций (над полем К) были обозначены одинаковыми
символами. Далее при обсуждении свойств пространств /С, S и т. д.
мы вообще не будем упоминать о поле скаляров, если
обсуждаемые свойства от него не будут зависеть. В противном случае
будут использоваться выражения типа «комплексное
пространство <S», «вещественное пространство S». Аналогично мы будем
поступать с топологическими сопряженными этих пространств
D7(IRn), <S7(IRn) и т. д. Эти пространства линейных функционалов
играют важную роль в приложениях и называются
«пространствами обобщенных функций» (сами Р, 5 и т. д. нередко
именуются «пространствами пробных функций»). Терминология
объясняется тем, что многие обычные функции задают обобщенные
посредством интегрирования. Например, всякая локально
интегрируемая функция / на Кп задает элемент V, действие
которого на φ Ε V есть интеграл от φ/ по Кп. Если / оценивается
многочленом, то / задает и обобщенную функцию из S'.
Подробнее это обсуждается в Богачев, Смолянов [21, гл. 8, 9].
1.3.23. Пример. Этот пример может рассматриваться как
введение в теорию двойственности. Пусть Ε — произвольное
векторное пространство над К, G — некоторое векторное
пространство К-линейных функционалов на Е, т. е. К-линейных
отображений из Ε в К. Тогда на Ε существует топология т, обладающая
следующими свойствами:
44
Глава 1. Введение в теорию
(а) она согласуется со структурой векторного пространства;
(б) всякий функционал д, являющийся элементом G,
непрерывен как отображение (£?, т) в К;
(в) всякий К-линейный непрерывный функционал на (Е,т)
является элементом G.
Более того, среди всех топологий в Е, обладающих свойством
(б), существует самая слабая, причем она автоматически
обладает и свойствами (а), (в); эта топология, называемая слабой
топологией в Е, задаваемой элементами G, и будет сейчас
определена. Сходимость в ней называется слабой сходимостью.
Для каждого g Ε G обозначим через р9 полунорму на Е,
определяемую формулой
Pgiv) = \д(<р)\-
Мы докажем, что топология в Е, задаваемая семейством
полунорм Vg — {Pg: g £ G} — требуемая. Эту топологию будем
обозначать символом a{E,G). Ясно, что a(E,G) обладает
свойством (а).
Если g Ε G, то \д(<р)\ < ε при ρ9(φ) < ε; это означает, что
функционал g непрерывен в нуле; так как он линеен, отсюда
следует его непрерывность в каждой точке, так что τ — σ(Ε, G)
обладает свойством (б). Пусть теперь / — произвольный
непрерывный К-линейный функционал на (£?, σ{Ε, G)); надо доказать,
что / Ε G.
В силу непрерывности / в нуле пространства (E,a{E,G))
существуют такие элементы д\,..., дп пространства G, что если
\дг(а)\ < ε,..., \дп(а)\ < ε, то |/(α)| < 1. Отсюда следует, что
η
Ker/D f] Кетдк(ср). (1.3.1)
fc=l
Действительно, если это не так и существует такой элемент a Ε Е,
что f(a) ф 0, но д\{а) = · · · = #п(&) — 0, то, пользуясь
недискретностью поля К, выберем его элемент к со свойством \к\ > 1; тогда
|/(fea//(a))| = |fe| >1, хотя
\gj{ka/f(a))\ = \kgj(a)/f(a)\ = 0 < ε, j = 1,2,... ,η.
Однако из включения (1.3.1) следует (это будет доказано в
следующем предложении, называемом иногда леммой о трех
гомоморфизмах), что / — линейная комбинация функционалов ду, так
как G — векторное пространство, то это значит, что /GG.
1.3. Примеры
45
1.3.24. Лемма. Пусть Е\, Е2, Е% — векторные
пространства, fi2: Ει —> Е2 и /хз: Е\ -+ Е% — линейные отображения,
причем Ker/хз D Ker fi2. Тогда существует такое линейное
отображение /2з- Е2 —> #з, что Лз = /23°/ΐ2·
Доказательство. Отображение /23 определяется сначала
на подпространстве fn(Ei) в Е2 равенством /23(я) = /^(Л^1^));
корректность определения и линейность /23 вытекают из
линейности отображений /12, /13 и включения Кег/13 D Ker/i2· Затем
отображение /23 произвольным образом с сохранением
линейности продолжаем на все пространство Е2 (что легко сделать с
помощью базиса Гамеля, см. §1.1). Это продолжение и является
нужным нам отображением. D
Чтобы теперь установить соотношение
η
достаточно положить Ει = Ε, Ε% = К, Е2 = Кп, /хз = / и
определить отображение fi2 так: fi2(x) = (gi(x), · · · ,^η(^))· В
силу леммы о трех гомоморфизмах существует такой К-линейный
функционал /23: ^п —> К, чт0 / — /23°/ΐ2· Всякий линейный
функционал на Кп задается набором (fci,..., kn) из η элементов
поля К, так что f2z{h\,...,hn) = Y^=\kjhj. Поэтому получаем
f(x) = Σ]=ι kjgj{x), т.е. f = £?=1 kjgj.
Таким образом, топология a(E,G) обладает и свойством (в).
Покажем теперь, что σ(Ε, G) — самая слабая из топологий со
свойством (б). Если τ — произвольная топология с таким
свойством, то множества вида
{х е Е: \gk(x-xk)\ < ek, k = 1,2,..., η}, η e IN, xk e Ε, gk e G,
являются в ней открытыми; так как эти множества образуют базу
топологии σ(2£, G), то топология a(E,G) мажорируется
топологией τ (если S и Τ — системы множеств и S С Т, то говорят, что
система Τ мажорирует систему S и что S мажорируется
системой Т).
Здесь уместно ввести сопряженное к топологическому
векторному пространству. Точнее говоря, мы введем даже два
сопряженных — алгебраическое и топологическое, причем особо важно
последнее.
46
Глава 1. Введение в теорию
1.3.25. Определение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство над полем К. Пространство всех
непрерывных линейных функций на Ε со значениями в К называется
сопряженным (или топологически сопряженным) к Ε
пространством и обозначается символом Е'.
Подчеркнем, что Е' обычно бывает гораздо уже
алгебраического сопряженного к Е, состоящего из всех линейных функций
и обозначаемого в этой книге через Е*. Отметим, что во
многих книгах (включая нашу [21]) обозначения противоположны;
мы решили придерживаться здесь обозначений, все же более
традиционных для литературы по топологическим векторным
пространствам. Может случиться, что Е' = {0}, но на локально
выпуклых пространствах, как мы увидим из теоремы Хана-Банаха,
сопряженные разделяют точки пространства Е.
Если Ε — локально выпуклое пространство и G = Е\ то
топология a(E,G) называется слабой или ослабленной
топологией в Е; отметим, что (E,a(E,G)) = Ε'. Описанная ситуация
может считаться симметричной относительно Ε и G. А именно:
каждый элемент χ Ε Ε можно отождествить с некоторым
линейным функционалом Fx на пространстве G, определяемым так:
Рх{я) = д{х)-> х € Е, g e G. При этом все Ε отождествляется
с некоторым векторным пространством линейных функционалов
на G. Если Ε — локально выпуклое пространство, то слабой
топологией (или же *-слабой) в Е' называется топология σ(Ε',Ε).
1.3.26. Пример. Это — обобщение (хотя в действительности
только формальное) предыдущего примера. Говорят, что
векторные пространства Ε и G приведены в двойственность (или что
они образуют дуальную пару), если задана билинейная функция
Ъ: ExG —> К (или «билинейная форма»; про нее говорят, что
она приводит пространства Ε и G в двойственность),
обладающая следующими свойствами:
(1) если χ Ε Ε, χ φ 0, то имеется g Ε G с b(x,g) φ 0;
(2) если g Ε G, g φ 0, то имеется χ Ε Ε с b(x,g) φ 0.
Пусть, в частности, как и в предыдущем примере, Ε —
векторное пространство, G — некоторое векторное пространство
линейных функционалов на Е, причем если χ Ε Ε, χ φ 0, то имеется
g Ε G с g(x) φ 0, т. е., как говорят, множество G различает
точки (или разделяет точки) из Е. Билинейная форма Ъ на ExG,
определяемая равенством Ъ(х,д) = д{х), обладает свойствами (1)
1.4. Выпуклые множества
47
и (2) и, значит, приводит пространства Ε и G в двойственность
(эту билинейную форму называют канонической).
На самом деле общий случай двух векторных пространств
в двойственности совпадает с только что описанным частным.
А именно: пусть Ε и G — два векторных пространства в
двойственности, задаваемой билинейной формой Ъ. Тогда всякий
вектор χ Ε Ε определяет линейный функционал g ·—> b(x,g) на G,
а всякий элемент g Ε G задает линейный функционал χ ι—> b(x,g)
на Ε. Тем самым оказываются определенными линейные
отображения Ε —> G*, χ ι—► [g ι—► b(x,g)] и G —> Ε*, g ι-> [ж ι-> Ь(ж,5)]·
Непосредственно проверяется (с помощью свойств (1) и (2)
отображения Ь), что оба они линейны и инъективны, т.е.
являются изоморфизмами на образ. Поэтому пространство Ε можно
отождествить с его образом при первом из этих изоморфизмов,
т.е. с некоторым пространством линейных функционалов на G,
а пространство G — с его образом при втором из этих
изоморфизмов, т. е. с некоторым пространством линейных
функционалов на Е. Именно так мы и будем поступать (даже не
оговаривая это специально) в дальнейшем при рассмотрении пар
пространств в двойственности. В частности, элементы Ε мы часто
будем в этом случае называть (линейными) функционалами на G,
а элементы G — (линейными) функционалами на Е. Тем самым
с помощью конструкции предыдущего примера оказывается
возможным определить две «слабые топологии, задаваемые
двойственностью между Ε и G», — топологию σ(Ε, G) на Ε и
топологию a(G, Ε) на G.
Еще одно замечание об обозначениях. В дальнейшем
билинейную форму, приводящую пространства Ε и G в двойственность,
мы обычно обозначаем символом (·, ·); в частности, даже в случае,
когда, скажем, векторное пространство G с самого начала
задано как пространство линейных функционалов на Е, мы нередко
вместо символа д(х), где д Ε G, ж Ε Е, будем использовать символ
(д,х) (или (х,д)).
1.4. Выпуклые множества
В этом параграфе предполагается, что полем скаляров
является К. Замкнутая выпуклая оболочка множества А в
топологическом векторном пространстве определяется как пересечение
всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих А.
Обозначение: conv А. Аналогично определяется замкнутая абсолютно
выпуклая оболочка abs conv А множества А.
48
Глава 1. Введение в теорию
1.4.1. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, V С Ε — выпуклое множество, V и V —
внутренность и замыкание V. Тогда, каковы бы ни были точки
a eV и b EV, в V содержится множество
[а,Ъ) :={ία+(1-ί)6: ί G (0,1]}.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда Ъ е V;
будем при этом считать, что 6 = 0 (чтобы этого добиться,
достаточно заменить V на V — Ь; так как операция сдвига —
гомеоморфизм, то она переводит внутренность множества во
внутренность, замыкание — в замыкание и т.д.). Пусть χ G [α,0),
т.е. χ = λα, λ G (0,1]. Множество V — открытая окрестность
точки α, лежащая в V. Тогда множество XV является открытой
окрестностью точки х, причем XV С V в силу выпуклости V.
Рассмотрим теперь общий случай. При этом, в отличие от
предыдущего, будем считать, что выполняется равенство χ = 0
(а не Ъ = 0), где χ — какая-то точка из интервала
(а, Ь) := {ta + (1 - ί)6: ί G (0,1)};
если χ = а, то доказывать нечего, так как a G V по
предположению. Таким образом, Ъ = ζ/α, где ν < 0. Множество vV
есть окрестность точки Ь, причем, поскольку 6 G 7,
существует ζ G V Π {yV), т.е. z/u G V. Следовательно, из соотношения
χ = 0 е [ζ/ν, ζ) в силу уже доказанного вытекает, что χ eV. D
1.4.2. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство и V С Ε выпукло. Тогда множества V и V
таксисе выпуклы. Если V φ 0, то V = V и V = V.
Доказательство. Выпуклость V и справедливость
равенства V = V (в предположении непустоты V) являются
непосредственными следствиями предыдущего предложения. Выпуклость
V вытекает из непрерывности для каждого t G [0,1] отображения
Ф*: ЕхЕ —> Е, (ж, ζ) ι—> tx + (l — t)z. Действительно, в силу
непрерывности Ф^ имеем ФДУхУ) = Ф^(УхУ) С V\ справедливость
этих включений и означает выпуклость V.
Проверим, что V = V. Так как V С У, то достаточно
проверить, что справедливо и противоположное включение. Пусть
1.4. Выпуклые множества
49
α G У и δ G ί^(/ 0). Будем считать, что Ъ = 0 (как уже
говорилось, это не ограничивает общности). Тогда в силу непрерывности
отображения φ: t ι—> ta из равенства φ(1) = а и открытости V
вытекает существование такого ε > 0, что имеют место
соотношения φ(1 + ε) = (1 + ε)α G F С ϊ7.
Таким образом, α G [0, (1 + ε)α), О G У и (1 + ε)α G У; поэтому
в силу предыдущего предложения a eV. D
1.4.3. Замечание, (i) Для ссылок отметим следующий
очевидный факт: если Ε — векторное пространство, V и W — его
выпуклые подмножества, α, β G К, то множество а У + PW
также выпукло и (а + /3) V С аУ + /3V, а если αβ > 0, то включение
превращается в равенство (а + β)ν = aV + βΎ.
(ii) Непустота V существенна для справедливости
доказанного предложения. Пусть, например, Ε — топологическое
векторное пространство, на котором существует разрывный линейный
функционал (таким свойством обладают, в частности все
бесконечномерные нормированные пространства и даже все
бесконечномерные метризуемые пространства, см. пример 1.9.10). Тогда
ядро V этого функционала — всюду плотное векторное
подпространство (тем самым — выпуклое множество) с пустой
внутренностью, так что V = Е, V = Ε j^V = 0.
Обсудим связи между выпуклыми множествами и
сублинейными функциями. Пусть Ε — векторное пространство над полем
вещественных чисел. Функция (функционал) ρ: Ε —> И1 U{+oo}
называется сублинейной или однородно-выпуклой, если она
обладает следующими свойствами:
(1) р{х + у) <р(х)+р(у),
(2) р(0) = 0, р{\х) = λρ(χ), λ > 0.
Если ρ не принимает значения +оо, то последнее равенство
справедливо и при λ = 0.
Сублинейная функция выпукла. Напомним, что выпуклой
называется такая функция / на выпуклом множестве V в линейном
пространстве, что
f(Xu + (1 - Χ)υ) < Xf(u) + (1 - λ№), Vu, υ G У, λ G [0,1].
Вогнутой называют такую функцию #, что — д выпукла.
Отметим, что всякий линейный функционал / на Ε
сублинеен; при этом функционал |/|, где \f\(x) = \f(x)\-> х G Е, также
50
Глава 1. Введение в теорию
сублинеен; всякая полунорма на векторном пространстве
представляет собой сублинейный функционал.
Наша ближайшая цель — описать связь между
неотрицательными сублинейными функционалами и выпуклыми
подмножествами в Е, содержащими нуль.
1.4.4. Определение. Пусть Ε — векторное пространство
и А С Е. Функционалом Минковского или калибровочной
функцией множества А называется функция ρ α'· Ε —> IR+ U {+оо};
определяемая равенством
рА(х) = inf{A > 0: χ е ХА},
где ра(х) — +оо, если таких X нет.
1.4.5. Определение. Подмножество топологического
векторного пространства называется ограниченным, если оно
поглощается каждой окрестностью нуля.
Следует иметь в виду, что, даже если топология
топологического векторного пространства задана метрикой,
ограниченность в смысле предыдущего определения не сводится к
ограниченности относительно метрики. Например, стандартная
топология прямой задается ограниченной метрикой. С другой стороны,
ограниченное в топологическом векторном пространстве
множество не обязано быть ограниченным относительно метрики,
задающей топологию (см. задачу 1.12.35).
1.4.6. Предложение. Множество В в топологическом
векторном пространстве Ε ограничено в точности тогда, когда
для всякой последовательности {ап} С В и всякой сходящейся
к нулю последовательности скаляров {tn} последовательность
{tn^n} сходится к нулю в Е.
Доказательство. Если В ограничено, ап е В, скаляры tn
стремятся к нулю, V — окрестность нуля в Ε и λ > 0 таково, что
tB С V при \t\ < λ, то tnan Ε V для η настолько больших, что
\tn\ < X. Значит, tnan —> 0 в Е.
Обратно, пусть выполнены условия сформулированного
критерия ограниченности для множества В. Если В не
ограничено, то найдется такая окрестность нуля 7с£, что для
каждого η Ε IN существует tn Ε К с тем свойством, что \tn\ < 1/п,
(tnB) \ V φ 0. Значит, существуют ап Ε В с tnan Ε (tnB \ V).
Ясно, что tnan -/* 0, хотя tn —> 0. Π
Исследуем связь между функцией ρ а и множеством А.
1.4. Выпуклые множества
51
1.4.7. Предложение, (i) Если χ Ε Ε и существует такое
λ Ε (0, оо), что χ Ε ХА, то ра{х) < оо. Поэтому если А —
поглощающее множество, то ра(х) < оо для всякого χ Ε Ε. Если
множество А выпукло и функция ρ а конечна, то А —
поглощающее множество.
^(ii) Если χ φ 0 и множество Ах = Α Π {ζ Ε Ε: ζ = λχ, λ ^ 0}
ограничено в стандартной топологии одномерного
подпространства, порожденного элементом х, то ра{х) > 0. В частности,
если А ограничено в какой-либо отделимой топологии
пространства Е, согласующейся со структурой векторного
пространства, то ра{х) > 0 для всех χ Ε Ε, χ φ 0.
(Hi) Если О 0, то ра{сх) = срд(ж); если 0 е А и ра(х) < оо,
то ра(сх) = сра{х) для всех с ^ 0.
(iv) Если множество А выпукло, то
Ра{х\ +Х2) ^Ра{х\) +Ра(х2) Vzi, X2 Ε Е.
(ν) Если А закруглено, то ра(сх) = \с\ра{х) для всех с Ε Ж.
Доказательство. Все утверждения очевидны, кроме (iv),
при обосновании которого можно считать, что pa(xi) и Ра(#2)
конечны, так как иначе доказывать нечего. Пусть а\ > ρα(χι)·>
&2 > РА (#2); тогда существуют такие числа о!{ Ε (рл(#г)>аг)' чт0
χι + χ2 £ &i^4 + а^А С (а7х + а2)^· Это значит? чт0
Pa(xi + ^2) < α'ι + α2 < αϊ + α2.
Так как α^ могут быть сделаны сколь угодно близкими к ρα{χϊ),
τορΑ(χι +Χ2) ^Ρα(χι)+ρα(χ2)· □
1.4.8. Предложение, (i) .Бели 0 Ε А г/ А выпукло, то имеет
место включение {х Ε А: ра{х) < 1} С А.
(и) Имеет место включение Ас {х: Ра{х) ^ 1}·
(Ш) .Бели пересечение множества А со всяким одномерным
подпространством пространства Ε замкнуто (в стандартной
топологии этого одномерного пространства), причем А
выпуклое и поглощающее, то А = {х: ра{х) ^ 1}·
(iv) Если А выпукло, 0 Ε А и пересечение с А каждого
одномерного подпространства Ε открыто (в стандартной
топологии одномерного пространства), то {х Ε Е: ра(х) < 1} = А.
(ν) Пусть ρ — неотрицательная сублинейная функция на Е:
Тогда множества А\ = {х: р{х) < 1} и А2 = {х: р(х) < 1}
52
Глава 1. Введение в теорию
выпуклы и содержат нуль, причем ΡΑλ(χ) — РА2(Х) — р(х) для
всех χ G Е.
(vi) В предположениях (у), если функция ρ всюду конечна, то
Αι открыто, а А2 замкнуто в сильнейшей локально выпуклой
топологии пространства Ε (см. пример 1.3.18).
Доказательство, (i) Если ра(х) < 1, то существует такое
λ G (0,1), что χ G АА, т. е. χ/λ G А. Так как О G А и А выпукло,
то λχ/λ + (1 — λ)0 = χ G А. Утверждение (ii) очевидно.
Для обоснования утверждения (iii) достаточно показать, что
{х: ра(х) — 1} С Д ибо при данных условиях на А мы имеем
{х: рА{х) < 1} С А С {х: рА{х) < 1}·
Пусть ра (х) = 1, т. е. для всякого натурального η существует
такое число λη ^ 1, что х/Хп G А и λη — 1 < 1/п. Это значит,
что хп = х/Хп —> χ в одномерном пространстве, порожденном
элементом ж, причем жп G Α Π {λχ: χ G IR} для каждого η, а
последнее множество по предположению замкнуто.
(iv) Так как множество в левой части этого равенства по
доказанному выше содержится в множестве в правой части, то
достаточно показать, что если χ G А, то ра(х) < 1- Итак, пусть χ G А;
требуется доказать, что ра(х) < 1· Если χ = 0, то это верно.
Пусть ж/ОиМ- порожденное χ одномерное подпространство
в Е. Тогда Μ Π А открыто в М. Из включения χ G А,
справедливого по предположению, вытекает, что х/Х G А для некоторого
λ G (0,1); это и значит, что ра(х) < 1·
(ν) Ясно, что О G Αι С А2. Если г = tai + (1 — *)ж2, Где
Ж1,ж2 £ Αι, t G [0,1], то
p(z) = p(txi + (1 - ί)ζ2) < tp{x{) + (1 - <)р(ж2) < ί + (1 - ί) = 1,
так что ζ £ Αι] аналогично проверяется выпуклость А2.
Докажем равенство рах{х) — р(х)- Пусть pAi(xo) — <^ р(#о) — /?·
Рассмотрим два случая: а < β и β < а. В первом случае
существует такое ε > 0, что а + ε < β. Тогда, с одной стороны,
ΡΑι(χο/(α + ε)) = α/(α + ε) < 1, так что χ0/(α + ε) G А\\ с другой-
стороны, ρ(#ο/(α+ε)) = β/(α+ε) > 1, так что χο/(α+ε) £ Αχ. Во
втором случае (а > β) существует δ > 0 такое, что β+δ < α; тогда
ρ(χ0/(β + 5)) < 1, так что χ0/(β + 6)еАг,и ρΑι (χ0/(β + δ)) > 1,
т.е. χο/(β + δ) <£ Αι вопреки предыдущему включению.
Аналогично доказывается и равенство р(х) = ра2{х)·
1.4. Выпуклые множества
53
Утверждение (vi) следует из того, что всякая конечная
сублинейная функция на векторном пространстве непрерывна в этой
топологии. Докажем это. Пусть д — сублинейная функция на Е.
Тогда функция /: жи max{|g(:r)|, \g(—х)\} представляет собой,
как это непосредственно проверяется, полунорму на Е, так что
множество {х: f(x) ^ 1} оказывается выпуклым, поглощающим
и закругленным, т. е. окрестностью нуля в сильнейшей локально
выпуклой топологии на Е. Это значит, что полунорма /
непрерывна. В силу неравенства \д{х\) — д{х2)\ ^ /(#1—#2) непрерывна
и сублинейная функция д. D
1.4.9. Теорема. Топология всякого локально выпуклого
пространства над полем IR или С может быть задана некоторым
семейством полунорм.
Доказательство. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство и В — база его окрестностей нуля, состоящая из выпуклых
закругленных множеств (такая база окрестностей нуля
существует в силу предложения 1.2.11). Для каждого множества У,
являющегося элементом базы β, обозначим через ру его функционал
Минковского и через τ — топологию, задаваемую семейством
полунорм {pv'· V Ε В}. Топология τ совпадает с исходной
топологией пространства Е. Действительно, с одной стороны, каждое из
множеств вида {х е Е: ру(х) < ε} = eV, где ε е (0,оо), V е В,
является окрестностью нуля в исходной топологии; эти
множества образуют предбазу (см. пример 1.3.9), являющуюся в
данном случае базой окрестностей нуля в г. С другой стороны, если
W — произвольная окрестность нуля в исходной топологии и Vo —
такое множество, являющееся элементом базы #, что Vo С W, то
мы имеем {х: pv0(x) < 1} = Vo С W. D
1.4.10. Замечание, (i) Даже в том случае, когда локально
выпуклое пространство отделимо, его топология не всегда
может быть задана набором норм. Действительно, всякая норма
из такого набора непрерывна в задаваемой этим набором
топологии, а между тем существуют отделимые локально выпуклые
пространства, на которых нет непрерывных норм. Например,
таковы любая бесконечная степень вещественной прямой с обычной
топологией произведения и пространство £(IRn) (пример 1.3.22).
Нормируемость обсуждается в § 1.5.
(ii) Легко видеть, что отделимость локально выпуклого
пространства равносильна следующему свойству: для всякого χ φ Ο
существует такая непрерывная полунорма р, что р(х) φ 0.
54
Глава 1. Введение в теорию
(Ш) Локально выпуклая топология, заданная набором
полунорм Q, сильнее локально выпуклой топологии, заданной
набором Р, в точности тогда, когда для для всякой полунормы ρ Ε V
найдутся полунормы gi,..., qn Ε Q и число С > 0, для которых
р{х) ^ C[q\(x) + · - · + qn(x)] ПРИ всех х.
В самом деяе^ при выполнении этого условия топология,
порожденная Q, мажорирует топологию, порожденную V. С другой
стороны, если всякая окрестность нуля во второй топологии
содержит окрестность нуля из первой, то множество {х: р(х) < 1}
должно содержать множество вида {х: qi{x) < г,г = 1,...,тг}
для некоторых <?ι,..., qn e Q и г > 0; тогда ρ < r~l(qi H hqn),
ибо иначе ввиду однородности обеих частей найдется элемент ж,
для которого q\{x) Η + qn(x) < ?·> н° р(х) > 1-
Следовательно, два набора полунорм V и Q на данном
пространстве задают одну и ту же локально выпуклую топологию
в точности тогда, когда в дополнение к указанному условию
выполняется и симметричное условие: для всякой полунормы q Ε Q
найдутся полунормы pi,... ,р^ Ε V и число Μ > 0, для которых
верно неравенство q{x) < М\р\(х) -\ + Рк(х)]·
В локально выпуклых пространствах имеется следующее
простое описание ограниченности.
1.4.11. Предложение. Чтобы подмножество В
локально выпуклого пространства Ε было ограниченным,
необходимо, чтобы на В была ограничена всякая непрерывная
полунорма на Е, и достаточно, чтобы на В была ограничена всякая
полунорма из какой-нибудь системы полунорм, задающей
топологию Е.
Доказательство. Если ρ — непрерывная полунорма на Е,
то множество Vp = {χ Ε Ε: р(х) < 1} представляет собой
окрестность нуля в Ε и потому для достаточно больших по модулю
скаляров t справедливо включение t~lB С У, если В ограничено; но
это значит, что р(х) < 1, если χ Ε t~lB, т.е. что ρ(ζ) < |ί|, если
ζ £ В. Таким образом, ограниченность на В всякой непрерывной
' полунормы доказана. Пусть теперь V — некоторая система
полунорм на Е, задающая топологию. Пусть ар = supxeBp(x) < оо
для каждой полунормы ρ Ε V', таким образом, если \t\ > αρ, то
В С tVp. Так как множества Vp образуют предбазу окрестностей
нуля, то и каждая окрестность нуля в Ε будет поглощать В, т. е.
множество В оказывается ограниченным. Иное обоснование
легко извлечь из предложения 1.4.6. D
1.4. Выпуклые множества
55
1.4.12. Предложение. Замыкание и закругленная оболочка
всякого ограниченного подмножества топологического
векторного пространства представляют собой ограниченные
подмножества. Выпуклая оболочка всякого ограниченного
подмножества локально выпуклого пространства таксисе является
ограниченным множеством.
Доказательство. Наше рассуждение основано на том, что
всякое топологическое векторное пространство обладает базой
окрестностей нуля, состоящей из закругленных замкнутых
множеств, а всякое локально выпуклое пространство — базой
окрестностей нуля, состоящей из выпуклых множеств. Поэтому для
проверки того, что некоторое множество является ограниченным,
достаточно в случае произвольного топологического векторного
пространства проверить, что оно поглощается всякой
закругленной замкнутой окрестностью нуля, а в случае локально
выпуклого пространства — что оно поглощается всякой выпуклой
окрестностью нуля.
Итак, пусть В — ограниченное подмножество
топологического векторного пространства Е, В — его замыкание, ТВ — его
закругленная оболочка и conv В — его выпуклая оболочка. Если
V — замкнутая закругленная окрестность нуля в£и для
некоторого числа t справедливо включение В С tV, то справедливы и
включения В С tV, ТВ С tV (так как, скажем, В — пересечение
всех замкнутых множеств, содержащих множество B,&tV — одно
из таких множеств). Если Ε — локально выпуклое пространство
и V — выпуклая окрестность нуля в Е, причем снова В С tV', то
conv В С tV, ибо conv В — пересечение всех выпуклых множеств,
содержащих B^W — одно из них. D
Выпуклая оболочка ограниченного множества
топологического векторного пространства, не являющаяся локально выпуклым,
не всегда ограничена (пример: шар в пространстве из
примера 1.3.16 или в пространствах L1/2 и Z1/2, описанных перед
следствием 1.11.14).
Отметим, что из этого предложения немедленно следует, что
закругленная замкнутая оболочка ограниченного подмножества
топологического векторного пространства также ограничена; то
же верно и для абсолютно выпуклой замкнутой оболочки
ограниченного подмножества локально выпуклого пространства.
Сложнее положение с сохранением компактности при таких операциях,
что обсуждается в § 1.8.
56
Глава 1. Введение в теорию
1.5. Конечномерные и нормируемые пространства
В этом параграфе приведены критерии принадлежности
топологического векторного пространства к перечисленным в
заглавии классам пространств; кроме того, доказано, что для
каждого натурального η с точностью до изоморфизма существует
ровно одно отделимое топологическое векторное пространство
размерности η над К, если К — полное нормированное поле.
Семейство подмножеств произвольного множества
называется центрированным, если оно непусто и пересечение всякого
конечного набора его элементов также непусто.
1.5.1. Теорема. Всякое отделимое топологическое
векторное пространство конечной размерности η над полным
недискретным нормированным полем Ж, изоморфно пространству Кп
(произведению η экземпляров поля К, рассматриваемого как
одномерное топологическое векторное пространство над К).
Доказательство. Мы приведем три доказательства.
Первое будет проходить в общей ситуации; остальные — в случае
локально компактного поля К. Так как всякие два векторных
пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем
изоморфны как векторные пространства, достаточно доказать,
что произвольная отделимая топология τ в пространстве Кп,
превращающая его в топологическое векторное пространство,
совпадает с топологией произведения, которую мы обозначим через то·
Для этого мы покажем, что непрерывны в точке (0,..., 0) (а
потому и всюду) тождественные отображения /f: (Кп,то) —> (Кп,т)
и fg: (Кп,т) —> (Кп,то). Проверим, что непрерывность
отображения /γ вытекает из определения топологии произведения и
аксиом топологического векторного пространства. В самом деле,
пусть W — окрестность нуля в г и W\ — такая окрестность нуля
в т, что W\ + · · · + W\ С W (η слагаемых).
Обозначим символом ej элемент (0,..., 0,1,0,... 0) Ε Кп
(единица поля К на j-м месте). Пусть ау — такие положительные
числа, что kjej Ε W\ при \kj\ < otj (их существование вытекает из
того, что всякая окрестность нуля в топологическом векторном
пространстве — поглощающее множество). При ε > 0 положим
V£ = {х еКп: \\х\\ < ε}, где ||ж|| = maxj=iv..jn \xj\ — норма,
введенная в примере 1.3.5, так что V£ — окрестность нуля в (Кп,то).
Пусть еще а = min{ai,..., ап}. Тогда при χ = (х\,..., хп) Ε Va
(а это значит, что \xj\ < otj для каждого j G {1,2,...,η}) имеем
1.5. Конечномерные и нормируемые пространства
57
х Ε W\ + · · · + W\ С W. Таким образом, непрерывность
отображения fi в точке (0,..., 0) доказана.
Докажем теперь непрерывность отображения /^ в той же
точке. Так как множества {V£: ε > 0} образуют базу окрестностей
нуля в го, достаточно показать, что для каждого ε > 0 в τ
существует такая окрестность нуля W', что W С Ve. Доказательство
проведем по индукции. Сначала предположим, что η = 1. Пусть
ε > 0, к Ε Ve (т.е. \к\ < ε), к φ 0; такой элемент к
существует в силу недискретности поля К. Из отделимости пространства
(К1, г) вытекает существование в нем закругленной окрестности
нуля W, не содержащей элемента к. Для нее справедливо
включение W С Ve. Действительно, если бы это было не так, нашелся бы
элемент к\ Ε W\V£. Тогда |Α;χ| ^ ε, \к/к\\ < 1; в силу
закругленности W должно было бы выполняться включение к = ^-к\ Ε W,
которое на самом деле не выполнено. Таким образом, для η = 1
теорема полностью доказана (причем без использования полноты
поля К).
Докажем теперь, что если она справедлива для некоторого
η Ε IN, то она будет справедлива и для η + 1. Достаточно
показать, что (при этом предположении) отображение f£+1
непрерывно. Заметим, что каждое из пространств (Кп, то) полно в силу
полноты поля К; полнота произведения полных топологических
векторных пространств доказана ниже в предложении 1.7.10,
однако в рассматриваемом сейчас случае речь идет о произведении
полных метрических (нормированных) пространств, а полнота
такого произведения — стандартный факт элементарного
функционального анализа. Поэтому полно и каждое n-мерное
топологическое векторное подпространство пространства (Кп+1,т), ибо
в силу индуктивного предположения оно изоморфно
пространству (Кп,то). В силу леммы 1.3.11 отсюда следует, что в (Кп+1,т)
замкнуто всякое n-мерное векторное подпространство.
Для ε > 0 и j Ε {1,2,... ,η + 1} обозначим через Ve
множество {(/ci,... ,/cn+i) Ε Kn+1: \kj\ < ε}. Так как множества
Ve образуют предбазу окрестностей нуля в (Кп+1,то), для
доказательства непрерывности отображения f%+1 (в точке (0,... ,0),
значит, и всюду) достаточно показать, что, каковы бы ни были
ε > 0 и j Ε {1,2, ...,η + 1}, существует такая окрестность нуля W
в топологии т, что W С V£. Из недискретности поля К вытекает
существование такого к Ε К, к φ 0, что kej Ε Ve (т.е. \к\ < ε).
58
Глава 1. Введение в теорию
В силу замкнутости в τ подпространства
Gj = {(ku...,kn+1)eKn+1: \kj\ = 0}
в τ существует такая закругленная окрестность нуля Wo, что
(kej + Wo) Π Gj = 0. Следовательно,
kej £ Gj + W0. (1.5.1)
Выведем отсюда, что Wo и представляет собой окрестность
нуля в г, содержащуюся в Vi. Доказывается это с помощью
рассуждения, аналогичного использованному выше при
доказательстве включения W С Ve. Пусть а = (&ι,..., кп+\) Ε Wo, a $lV£.
Ввиду закругленности Wo имеем ka/kj Ε Wo (так как \k/kj\ < 1
в силу того, что \к\ < ε, \kj\ ^ ε); но это противоречит (1.5.1), ибо
ka/kj Ε kej + Gj. Первое доказательство теоремы закончено.
Остальные два доказательства отличаются от приведенного
только своими нетривиальными частями, состоящими в
проверке непрерывности отображения f%. Однако эти доказательства
применимы лишь в случае, когда топологическое поле К
локально компактно. Из локальной компактности поля К вытекает
локальная компактность пространства (Кп,то), следствием чего
является компактность в топологии т$ каждого замкнутого шара
W£ = {х £ К.п: \\х\\ ^ ε}, которая и будет использоваться в
дальнейшем. Одно из этих доказательств — его мы приведем
первым — основано на понятии фильтра, благодаря чему оно
применимо не только к топологическим векторным пространствам, но
и к псевдотопологическим векторным пространствам
(определение псевдотопологического пространства можно найти в § 4.10(vi)
или в книге Смолянов [146]).
Итак, предположим, что отображение /% не является
непрерывным (в силу его линейности это равносильно тому, что /^ не
является непрерывным в нуле), и приведем это предположение
к противоречию. Так как /% разрывно в нуле, то в Кп
существует фильтр Ф, сходящийся в топологии τ к нулю, но не сходящийся
в топологии то. Последнее, в свою очередь, означает, что
существует такое εο > 0, что для всякого φ Ε Φ справедливо
соотношение
φΠ(Κη\νεο)ϊ0, (1.5.2)
где Ve := {χ е Кп: \\х\\ < ε}, ε > 0.
Рассмотрим теперь два случая. Сначала предположим, что
существует такое с > εο, что для всех φ Ε Φ выполняется
условие (Wc \ V£o) Π φ Φ 0. Тогда множество {(Wc \ V£o) Π φ: φ Ε Φ}
1.5. Конечномерные и нормируемые пространства 59
является базисом фильтра в Кп; если Φχ — (некоторый)
ультрафильтр, мажорирующий фильтр Фс, порожденный этим базисом,
то Φχ мажорирует и фильтр Ф. Кроме того, поскольку множество
WC\V£0 компактно в (Кп,то), то ультрафильтр Φ χ сходится в
топологии го к некоторому элементу а множества Wc \ V£0. Так как
по доказанному ранее отображение /f непрерывно, то
ультрафильтр Φχ сходится к α и в топологии т. Это противоречит
отделимости т, поскольку Φχ должен сходиться в топологии τ к нулю,
ибо Φχ мажорирует фильтр Ф, сходящийся к нулю. Полученное
противоречие означает, что для каждого О е$ существует φ Ε Φ
такое, что (Wc \ V£o) Π φ = 0 (и справедливо (1.2.2)). В
частности, для всякого с > 0 и всякого φ Ε Φ справедливо соотношение
(Kn\Wc)n<£> ф 0 (проверьте это); другими словами, все элементы
фильтра неограничены по норме.
Далее для η > 0 полагаем W^ = {k G К: \к\ < η}. Покажем,
что если η > 0, φ Ε Φ и вещественное с$ > во > 0 таково, что
существует элемент поля ко Ε К со свойством \ко\ = cq (такое cq
существует в силу недискретности нормированного поля К), то
(Wt-cp)n(WCo\Veo)^0.
Действительно, в силу неограниченности множества φ имеется
хо Ε φ такой, что \\хо\\ ^ 0)/τ?ο > 0, где 0 < 770 ^ η, и найдется
элемент поля kv Ε К, для которого \kv\ =770? причем существует
еще такой элемент к' Ε К, что
\к'\ = \\kv · х0\\ = г/о||жо|| ^ с0 = \\к0\\ > 0.
Поэтому
1*0Vtf| = (Ы/М) · N = (Ы/Н)г/о < 1 · η = η,
откуда k0kv/k' € W?j, (кок^/к^хо G W^j ■ ψ и
\\{k0kv/k')x0\\ = со · (l/|fc'|) · И Vo|| = со.
Значит, совокупность множеств
{(Wi-<p)n(Ws0\Veo): r/GlR, т/>0,^еФ}
образует базис фильтра в Кп, который в силу непрерывности
операции умножения также сходится в топологии τ к нулю.
Порожденный этим базисом фильтр обладает всеми теми свойствами
фильтра Ф, которые использовались в предыдущей части
доказательства. Как было показано, из них вытекает неотделимость
60
Глава 1. Введение в теорию
топологии т. Второе доказательство непрерывности
отображения /^, а тем самым и теоремы, для случая локально компактного
поля завершено.
Третье доказательство непрерывности отображения /^,
которое сейчас будет приведено, в идейном отношении очень близко
ко второму, однако не использует понятия фильтра. Мы проведем
его для случая К = С или К = К, хотя несложно его
адаптировать и к общему случаю локально компактного поля (сделайте
это в качестве упражнения). Снова предположим, что
отображение /% разрывно. Это значит, что существует ε > 0 такое, что
множество W£ не содержит никакой окрестности нуля в
топологии т. В частности, какова бы ни была замкнутая закругленная
окрестность нуля V в этой топологии, мы имеем V (£ W£. Из
этого следует, что V пересекается с множеством S£ = W£ \ V£.
Действительно, S£ есть сфера в К71 относительно нормы || · ||. Так
как существует такой элемент a Ε У, что а ^ We, то ||а|| = а > ε.
Из закругленности V и включения a Ε V получаем εα/α G У, но
||εα/α|| = ε, т. е. εα/α G S£ и VPiS£ φ 0. Множество W£ компактно
в го в силу локальной компактности поля К. Поэтому компактно
в го и множество S£. Так как отображение /f непрерывно (что
было доказано ранее), то множество S£ компактно и в
топологии г. С другой стороны, пересечение любых двух окрестностей
нуля — снова окрестность нуля. Значит, множества вида V Π 5ε,
где V — замкнутая закругленная окрестность нуля в г, образуют
центрированное семейство замкнутых подмножеств
компактного в топологии τ множества S£. Поэтому пересечение всех этих
множеств непусто; пусть а — один из его элементов. Тогда а
принадлежит каждой окрестности нуля в топологии г, что
противоречит ее отделимости. Третье доказательство теоремы также
завершено. D
1.5.2. Следствие. Всякое конечномерное подпространство
отделимого топологического векторного пространства над
полным полем замкнуто.
Доказательство. В этом случае Кп полно. D
1.5.3. Следствие. Пусть F — замкнутое векторное
подпространство конечной коразмерности в отделимом
топологическом векторном пространстве Е. Тогда всякое алгебраическое
дополнение G подпространства F в Ε является таксисе и
топологическим дополнением {см. пример 1.3.15).
1.5. Конечномерные и нормируемые пространства 61
Доказательство. Факторпространство E/F отделимо и
конечномерно, причем естественная проекция π: Ε —> E/F
непрерывна. Ее сужение π\ο на G — алгебраический, а по
доказанной теореме и топологический изоморфизм G и E/F. Проекция
рс'- Ε —> G имеет вид рс = (π|<3)_1οπ и потому непрерывна. D
1.5.4. Определение. Подмножество А топологического
векторного пространства Ε называется предкомпактным,
если для всякой окрестности нуля V в Ε можно найти такое
конечное множество {αϊ,..., ап} в Е, что А С Ufc=i(afc + V).
Множество {αχ,..., ап} называют конечной У-сетью (ε-сетью,
если V — шар радиуса ε в метрическом пространстве).
Нетрудно заметить, что всякий компакт в топологическом векторном
пространстве предкомпактен. Отметим (этот факт сейчас не
понадобится и поэтому будет доказан в § 1.8 после обсуждения
пополнений топологических векторных пространств), что
подмножество топологического векторного пространства предкомпактно
в точности тогда, когда его замыкание в пополнении этого
топологического векторного пространства компактно. Предкомпактные
множества называют также вполне ограниченными.
1.5.5. Лемма. Всякое предкомпактное подмножество
топологического векторного пространства ограничено.
Доказательство. Пусть А — предкомпактное
подмножество топологического векторного пространства Ε и V —
окрестность нуля в Е\ требуется доказать, что существует такое ν > О,
что А С tV при \t\ > v. Пусть W — такая закругленная
окрестность нуля, что W + W С У, и αχ,..., ап — элементы Е, для
которых справедливо включение А С Ufc=i(afc + W). Далее, пусть
ν > 1 таково, что {αχ,..., ап} С tW при \t\ > v. Тогда для таких
чисел t имеем
η
А С (J К + W) С tW + W С tW + tW = t(W + W) С tV,
fc=l
что показывает ограниченность A. D
1.5.6. Теорема. Чтобы отделимое топологическое
векторное пространство Ε над полем К = IR или К = С было
конечномерным, необходимо, чтобы оно обладало компактной
окрестностью нуля, и достаточно, чтобы оно обладало предкомпактной
окрестностью нуля.
62
Глава 1. Введение в теорию
Доказательство. Необходимость ясна из теоремы 1.5.1,
так как отделимое топологическое векторное пространство (над
недискретным полным нормированным полем К) конечной
размерности η изоморфно — как топологическое векторное
пространство — пространству Кп, причем если S — компактная
окрестность нуля в К, то произведение η экземпляров
компактного множества S — компактная окрестность нуля в Кп.
Докажем достаточность (приводимое доказательство
принадлежит Глисону). Пусть V — предкомпактная окрестность нуля
в Ε и αχ,..., ап Ε Ε — такие элементы, что
V^ U{ak+2V)' (1·5·3)
fc=l
Мы покажем, что линейная оболочка множества А = {αχ,..., ап}
совпадает со всем пространством, т. е. что всякий элемент из Ε
является линейной комбинацией элементов множества А. Итак,
пусть Ъ Ε Ε и t G IR\0 таково, что tb Ε V. В силу (1.5.3)
существует такой элемент a/Cl Ε А, что tb — а/С1 Ε V/2. Если для
некоторого натурального г уже доказано, что существуют такие
а**,...,afcr Ε А, для которых tb~Y^rj=1 21_·?α^. Ε 2~rV (для г = 1,
как только что было отмечено, это верно), то, ввиду
вытекающего из (1.5.3) соотношения 2~rV С \Jk=i(2~rak + ^~r~lV),
существует такой элемент а^г+1 Ε Д что tb — Y^j=i 21~·7'α^. Ε 2_r_1 V.
Так как предкомпактное множество V ограничено, то отсюда
следует, что ряд Y^jLi ^l~^akj сходится к tb. Действительно, пусть
W — произвольная окрестность нуля в Ε и число го > 0
таково, что 2~rV С W при г > tq. Тогда для г > г о
справедливо включение tb — ΥΖ=\ 21_·7α^. Ε 2~rV С W. В то же
время Y^j-i 21~·7'α&. = Y27=i uiai Для кажД°г0 натурального г, где
^г = Σ/сеВгг 2l~fc> Бгг = {j: fcj = i, j < г}. Поэтому
существуют такие числа г/г £ К, г = 1,... ,тг, что v\ —> ^ при г —> оо
для всякого г Ε {1,..., п} (каждое число v\ является суммой
ряда, элементы которого образуют подпоследовательность
последовательности 2~п). Из аксиом топологического векторного
пространства вытекает, что ΥΖ=χ 21~·7'α^. —> Σ™=ι щеп при г —> оо.
В отделимом топологическом векторном пространстве
последовательность может сходиться только к одному пределу, поэтому
получаем tb = Y27=i viai· ^
1.5. Конечномерные и нормируемые пространства 63
А.Н. Колмогоров [362] открыл следующий важный факт.
1.5.7. Теорема. Чтобы вещественное или комплексное
топологическое векторное пространство было нормируемым,
необходимо и достаточно, чтобы оно было отделимым и обладало
выпуклой ограниченной окрестностью нуля.
Доказательство. Если ρ — норма на топологическом
векторном пространстве Е, порождающая топологию, то (по
определению топологии, порождаемой нормой) совокупность множеств
{х Ε Ε: ρ(χ) < ε}, каждое из которых выпукло, образует
базу окрестностей нуля в Е; так как каждая из них получается из
всякой другой путем умножения на скаляр, то каждая из них
является ограниченным множеством в Е.
Отделимость топологии Ε вытекает из того, что норма
обращается в нуль только на нулевом элементе пространства Е\
действительно, если χ Ε Ε, ρ(χ) φ 0, то χ ^ {ζ: ρ(ζ) < р(х)}.
Таким образом, необходимость условий теоремы доказана.
Докажем достаточность. Пусть V — выпуклая ограниченная
окрестность нуля в Е. В силу предложения 1.2.2 существует
закругленная окрестность нуля Wo С V. Ее выпуклая оболочка
W представляет собой выпуклую закругленную окрестность
нуля; она содержится в V и потому ограничена. Функционал Мин-
ковского pw множества W и является нормой на Е,
порождающей исходную топологию. То, что pw — норма, вытекает из
свойств W: pw{%) конечно для всякого xg£, ибо W
поглощающее; выпуклость W дает полуаддитивность р\у] закругленность
влечет равенство p(tx) = |ί|ρ(#) при всех t Ε К и χ Ε Ε; из
ограниченности W следует положительность pw на ненулевых
элементах. То, что эта норма порождает исходную топологию, следует
из того, что топология, порождаемая нормой pw, обладает базой
окрестностей нуля, состоящей из всевозможных множеств вида
{х Ε Е: pw(x) < ε}, ε G (0,оо). Действительно, с одной
стороны, каждое из этих множеств является окрестностью нуля в
исходной топологии (это следует из справедливости для каждого ε
включения eW/2 С {χ Ε Ε: pw{x) < ε}; с другой стороны,
произвольная окрестность нуля Vb в исходной топологии содержит
одно из этих множеств, поскольку в силу ограниченности
множества W мы имеем включения {х Ε E: pw{x) < δ} С SW С Vo
для достаточно малого числа δ > 0. D
Выпуклость окрестности нуля важна: ненормируемое
пространство I1'2 (см. с. 117) имеет ограниченные шары.
64
Глава 1. Введение в теорию
1.6. Метризуемость
Здесь мы выясним условия метризуемости топологического
векторного пространства, но предварительно будет установлена
связь с метриками любой векторной топологии.
1.6.1. Теорема. Топология всякого топологического
векторного пространства может быть задана некоторым семейством
квазинорм.
Доказательство. Покажем сначала, что если (Ε,τ) —
топологическое векторное пространство и В = {Vn} —
последовательность его закругленных окрестностей нуля, для которой
K+1 + K+iCK VnG IN, (1.6.1)
то на векторном пространстве Ε существует такая квазинорма д,
что верны включения
[х е Е: q{x) < ^} С Vn С {х G E: q(x) < -^}. (1.6.2)
Обозначим через k(TN) множество конечных подмножеств IN и
через Qi — множество двоично-рациональных чисел из [0,1), т.е.
числа г G Qi имеют вид г = ]С&еФ(г) 2_/% гДе Ф(г) £ k(TN); если
г = 0, то Φ (г) = 0. Определим отображение W множества Qi
в множество подмножеств пространства Ε следующим образом:
W(r) = Ση(ΞΦ(Γ) Vn (в частности, для г = 2"п имеем W(r) = Vn;
W(0) = {0}). Таким образом, если 0 φ τ G Qi, то W(r) —
закругленная окрестность нуля в Е.
Для χ G Ε положим q{x) := inf{r G Qi: χ G W(r)},
если χ G \JrW(r), q(x) = 1, если χ £ UrW(r). Покажем, что q —
квазинорма на Е. Проверим сначала, что q — псевдонорма.
Непосредственно из определения q вытекает, что q(0) = 0 и q(x) G [0,1]
для всех χ G Е] из закругленности множеств W(r) вытекает, что
q(x) = q{—x) для всех χ G Ε. Покажем теперь, что
q{x\ + Х2) ^ ч{х\) + 9(^2) Vxi, X2 G Е. (1.6.3)
Если g(xi) + q{x2) ^ 1, то неравенство (1.6.3) выполняется, так
как всегда q(z) < 1. Пусть q(x\) + q{x2) < 1· Для доказательства
неравенства (1.6.3) в этом случае мы покажем, что
q(xi + х2) < q(xi) + ^(аъ) + 2ε Υε > 0. (1.6.4)
1.6. Метризуемость
65
Итак, пусть ε > О, причем q(xi)+q(x2)+2£ < 1. Тогда существуют
такие ri, Г2 G Qi, что гг· < q(xi) + ε, £; G W(ri), г = 1,2 (без
ограничения общности можно считать, что Г2 ^ Γι, значит, Г2 < 1/2).
Для доказательства (1.6.4) достаточно проверить включение
χι +#2 £ W{r\ + г2),
так как тогда q{x\ +X2) ^ Γι +Γ2 < q{x\) + #(#2) + 2ε, а для этого,
в свою очередь, достаточно доказать справедливость включения
W(n + г2) Э W(n) + W(r2). (1.6.5)
Отметим, что непосредственно из определения W (а также из
соотношений (1.6.1)) вытекает справедливость (1.6.5) для
случаев, когда Г2 = 0 и г\ — г2] в свою очередь, из (1.6.5) вытекает
монотонность W(·), т.е. W{r\) С W(r\ + Г2) при г* G Qi.
Перейдем теперь к общему случаю. Положим г = т\ + Г2,
г* = г^ г = 1,2 и построим по индукции конечную
последовательность некоторой длины so G IN, элементами которой
являются пары (rf,r2) чисел из множества Qi, такую, что для каждого
s G {1,..., so} верны соотношения
r{ + rs2=r, (1.6.6)
W{r{) + W{rs2) D W{rx) + W(r2), (1.6.7)
причем r2° = 0 и, значит, τ{° = г (при этом значение индекса so
последнего члена этой последовательности определяется на
последнем шаге построения, а то, что он существует, доказывается
после описания индуктивного процесса).
Построение такой последовательности и означает
доказательство включения (1.6.5), так как при s = sq включение (1.6.7) с ним
совпадает. Предположим, что j G IN, j^ 2 и для всех s G IN,
где s < j, пары чисел (г|,г|) из Qi, для которых справедливы
соотношения (1.6.6) и (1.6.7), построены. Определим т\ и г2
соотношениями
φ(4) = (ф(гГх) и ф^-1)) \ {ф^-1) η ф^-1)),
Ф(^) = (Ф(гГ1)ПФ(^2-1))-1 =
= {η€ΐΝ: η+ΐ€Φ(Γ{_1)ηΦ(^_1)}.
Покажем, что и для s = j соотношения (1.6.6), (1.6.7) верны.
Равенство (1.6.6) вытекает из справедливости аналогичного
равенства для s = j — 1 и определения множеств Ф(г?). Отметим,
66
Глава 1. Введение в теорию
что если s Ε Qi, s < 1/2, то Ф(з) — 1 = Φ(2s); в рассматрива-
7 — 1 7 — 1
емом случае отсюда и из соотношения гг + г2 = г < 1
вытекает, что г2 = 2s·7-1, где число s·7-1 определяется равенством
ф(^_1) = Ф(г{~1)ПФ(г32~1) (так что s·7-1 < 1/2). Справедливость
включения (1.6.7) вытекает из следующей цепочки соотношений:
W(n) + W(r2) С W(rj_1) + W{rjfl) =
= J2 W(2"n)+ Σ W{2~n) =
η€Φ(τ^_1) п€Ф(г^-1)
Σ W(2~n) + J2 W(2~n)+
пеФ^-1)^^-1) пеФ^-^пФ^-1)
+ Σ W{2~n) + J2 W{2~n) с
пеФ^'-^пФ^-1) пеФ^-1)^^'-1)
С Σ ^(2"П)+ Σ W(2-n) = W(r{) + W(4),
п£Ф(г{) п£Ф(г32)
где последнее включение вытекает из (1.6.1). Если множество
Ф(т*2) непусто, т. е. г2 Φ 0, то Ф(г2~ ) также непусто и
максимальное значение элементов числового множества Ф(г2) строго
меньше максимального значения элементов множества Ф(г2~ );
поэтому найдется такое j Ε IN, что Ф(г2) =.0 (значит, Ф(г2 ) = 0 для
всех целых к ^ 0); мы полагаем so равным наименьшему из
таких чисел j; на этом построение требуемой последовательности
заканчиваем. Таким образом, доказательство того, что q —
псевдонорма, завершено.
Проверим, что для q выполняются включения (1.6.2). Второе
из них вытекает из определения q\ первое — из определения q
и включения (1.6.1). Действительно, если q{x) < 2_n_1, то
существует г G Qi такое, что χ Ε W(r) и г < 2~п. Это означает, что
все числа из множества Φ (г) больше, чем п, откуда на основании
соотношения (1.6.1) следует, что
х е W(r) = Σ w(2~k) С Vn.
кеФ(г)
1.6. Метризуемость
67
Докажем теперь, что псевдонорма q является и квазинормой.
Справедливость свойства (5) из определения квазинормы
(пример 1.3.6) вытекает из того, что все множества W(r) (г φ 0)
поглощающие, а выполнение свойства (6) — из того, что все они
закругленные. Далее, покажем, что q имеет свойство (4) из
примера 1.3.6. Пусть t Ε IR и {хп} С Ε — такая последовательность,
что q(xn) —> 0; требуется доказать, что q(txn) —> 0, а для этого
достаточно проверить, что для всякого фиксированного j Ε IN
неравенство q(txn) < 2~3 выполняется для достаточно больших
η Ε IN. При этом ввиду закругленности используемых при
определении q множеств W(r) мы можем считать, что t > 0.
Обозначим через щ (произвольное) целое число, большее £, и пусть
j Ε IN, jo = j + щ. Тогда в силу (1.6.1) имеем
Vjo + V^ + '-' + V^cVj,
если число слагаемых слева равно 2nt. Пусть io Ε IN таково, что
при г > ίο справедливо неравенство q(xi) < 2-·70-1. Тогда для
таких г в силу (1.6.2) имеем Х{ G V}0, откуда
txi = —ntXi е —ntVjo С —2ntVjo С —Vj С К·,
щ щ щ щ J
так что q(tX{) < 2~3. Итак, q — квазинорма; заметим, что
выполнение свойства (6) вытекает, как отмечалось, из выполнения
свойств (4) и (5), однако для построенной функции q это свойство
очень просто проверяется непосредственно, что и было сделано.
Продолжим доказательство теоремы. Пусть U —
произвольная база закругленных окрестностей нуля в Е. Для V G U
обозначим через By последовательность {V^} элементов W, обладающую
свойством (1.6.1), для которой V\ = V, и через qy —
построенную по этой последовательности, как только что было описано,
квазинорму q на Е. Тогда в силу (1.6.2) множество квазинорм
{qy: V G U} задает исходную топологию. В заключение
отметим, что построенные квазинормы обладают тем свойством, что
q(Xx) ^ \X\q(x) при |λ| < 1. D
1.6.2. Замечание. Доказанная теорема утверждает, что на
пространстве Ε существует такое семейство V квазинорм, что
всевозможные шары с центром в нуле, соответствующие
квазинормам из V, образуют предбазу окрестностей нуля в Е. В
действительности же было показано, что все такие шары образуют
даже базу окрестностей нуля в Е.
68
Глава 1. Введение в теорию
1.6.3. Теорема. Если топологическое векторное
пространство Ε обладает счетной базой окрестностей нуля, то
существует квазинорма на Е, порождающая его топологию.
Доказательство. Пусть U = {V^} — счетная база
закругленных окрестностей нуля в Е. Положим V\ = V^1; если
множество Vn уже определено, то пусть V^+i — такой элемент W, что
Vn+i + Vn+\ С Vn и Vn+i С ΠΓ^ι1^1· Пусть q — квазинорма,
определенная по последовательности В = {Vn} так, как это было
сделано при доказательстве предыдущей теоремы. Тогда q задает
исходную топологию в пространстве Е. D
Теперь мы получаем простой критерий метризуемости.
1.6.4. Следствие. Топология топологического векторного
пространства Ε может быть задана метрикой в точности
тогда, когда Ε отделимо и обладает счетной базой окрестностей
нуля. При этом метрику можно взять инвариантной
относительно сдвигов. Если Ε локально выпукло, то его топология
задается счетным набором полунорм {рп}, а в качестве метрики
можно взять d(x, у) = Σ™=ι 2_η тт(рп(х — у), 1).
Доказательство. Необходимость данных условий
очевидна. Докажем достаточность. Если Ε имеет счетную базу
окрестностей нуля, то по теореме выше его топология задается одной
квазинормой q; это и означает, что топология Ε порождается
псевдометрикой вида ρ{χ\,Χ2) = 4{χι — χ2)\ эта псевдометрика
является метрикой, ибо Ε отделимо; ясно, что ρ инвариантна
относительно сдвигов. Если Ε локально выпукло, то его топология
задается набором полунорм (теорема 1.4.9), среди которых
можно выбрать счетную часть в силу наличия счетной базы
окрестностей нуля. Взяв такую часть {рп}, легко проверить, что d —
метрика, причем она задает ту же топологию, что и {рп}. Π
1.6.5. Теорема. Всякое топологическое векторное
пространство вполне регулярно, а всякое отделимое
топологическое векторное пространство является тихоновским.
Доказательство. Пусть F — замкнутое множество в
топологическом векторном пространстве Е, xq fi F и V — открытая
окрестность точки xq, не пересекающаяся с F. Возьмем такую
квазинорму q на Е, что {х: q(x) < 1} С V — хо (ее существование
вытекает из замечания 1.6.2). Функция f(x) = min(^(x — xq)A)
1.7. Полнота и пополнение
69
непрерывна наЕи обладает следующими свойствами: 0 < q < 1,
q(xo) = 0; q(x) = 1, если χ е F. D
1.7. Полнота и пополнение
Напомним, что последовательность {ап} в метрическом
пространстве (Μ, ρ) называется фундаментальной или
последовательностью Коши, если для каждого ε > 0 существует такое
no G IN, что @(ak,an) < ε при /с, η > по- Очевидно, что всякая
сходящаяся последовательность фундаментальна. Если Л —
подмножество (Μ, ρ) и всякая последовательность Коши в А
сходится к элементу из Л, то Л называется полным. Если это так для
А = М, то само Μ называется полным пространством.
Для произвольных топологических пространств понятие
последовательности Коши, а потому и приведенное определение
полноты, не имеет смысла; более того, может случиться, что на
одном и том же множестве Ε можно ввести две метрики ρχ и £2,
порождающие одну и ту же топологию, причем при наделении
одной из них Ε превращается в полное метрическое пространство,
а при наделении другой — в неполное. Например, если Ε = К1, то
относительно обычной метрики Q\{x,y) = \х — у\ оно полно, а
относительно метрики Q2{x,y) = arctg|x — у\ — нет, хотя топологии,
индуцируемые обеими этими метриками, совпадают.
В то же время существуют «геометрические» объекты,
близкие к топологическим пространствам, но обладающие многими
чертами, общими с метрическими пространствами, — так
называемые равномерные пространства, введенные А. Вейлем в 1938
году. Частными их случаями являются топологические группы и
топологические векторные пространства. Точнее, на
топологических группах и топологических векторных пространствах можно
ввести — но не единственным образом — равномерность,
порождающую исходную топологию (тем не менее при
дополнительном требовании инвариантности относительно сдвигов эта
равномерность оказывается единственной). Мы не будем
рассматривать произвольные равномерные пространства (о них можно
прочитать в книгах Бурбаки [28], Келли [73], Энгелькинг [186]
и очень кратко в § 1.12(i)); необходимые нам результаты о
топологических векторных пространствах, являющиеся фактически
частными случаями теорем о равномерных пространствах,
будут доказаны непосредственно (впрочем, доказательства теорем
для произвольных равномерных пространств мало отличаются от
доказательств их специализаций для топологических векторных
70
Глава 1. Введение в теорию
пространств). Далее в этом параграфе (£7,т) — топологическое
векторное пространство над полем вещественных или
комплексных чисел.
1.7.1. Определение. Последовательность {ап} С Ε
называется последовательностью Коти или фундаментальной
последовательностью, если для всякой окрестности нуля V из Ε
существует такое по Ε IN, что ап — а^ £V при n, k ^ по-
Подмножество А С Ε называется секвенциально полным,
если всякая последовательность Коти, состоящая из его
элементов, сходится к некоторому элементу из А.
Направленность {at}teT С Ε называется фундаментальной,
если для всякой окрестности нуля V из Ε существует такой
индекс to Ε Τ, что at — as G V при £, s ^ ίο·
В локально выпуклом пространстве фундаментальность
направленности {at}teT равносильна тому, что для всякой
полунормы ρ из задающего топологию набора и всякого ε > 0 есть такое
to G Τ, что p(at — as) < ε при ί, s ^ ίο-
Фильтр Φ подмножеств Е называется фильтром Коши, если
для всякой окрестности нуля V в Ε существует такое множество
F Ε Ф, что F — F Ε V (множество F, для которого выполнено
последнее включение, называется малым порядка V).
В частности, последовательность {ап} С Ε
фундаментальна, если соответствующий ей элементарный фильтр (его базисом
служат всевозможные множества Fn = {α^: к ^ η}) является
фильтром Коши. Другими примерами фильтров Коши
являются произвольные сходящиеся фильтры, в частности фильтр всех
окрестностей произвольной точки. Отметим еще, что фильтр Φ
подмножеств Ε является фильтром Коши в точности тогда, когда
фильтр Φ — Φ (так обозначен фильтр в Е, порожденный базисом
{А — В: А,В Ε Ф}) сходится к нулю. Поэтому фильтр,
мажорирующий фильтр Коши, сам является фильтром Коши.
1.7.2. Определение. Подмножество А С Ε называется
полным, если всякий фильтр Коши в Е, содержащий А в
качестве элемента, сходится к некоторому элементу из А.
Если всякий фильтр Коши в Ε сходится, то Ε называется
полным пространством.
Пространство Ε называется квазиполным, если всякое его
ограниченное подмножество содержится в полном множестве.
Полное метризуемое локально выпуклое пространство
называется пространством Фреше.
1.7. Полнота и пополнение
71
Ниже показано, что полнота А равносильна сходимости всех
фундаментальных направленностей в А. Поэтому полное
топологическое векторное пространство секвенциально полно (но не
наоборот). Далее, для подмножеств метризуемого
топологического векторного пространства Ε секвенциальная полнота и полнота
равносильны (это видно из наличия счетной базы нуля);
нетрудно проверить, что если ρ — инвариантная относительно сдвигов
метрика на Е, задающая его топологию (такая существует по
следствию 1.6.4), то полнота Ε как топологического векторного
пространства и полнота метрического пространства (Ε,ρ) —
также равносильные свойства. Легко видеть, что замкнутая часть
полного множества полна. Значит, квазиполнота Ε равносильна
полноте всех замкнутых ограниченных множеств в Е.
1.7.3. Предложение. Если Φ и Φ — фильтры в
топологическом векторном пространстве Е, причем Φ С Φ, Φ — фильтр
Коти и Φ сходится к элементу χ Ε Ε, то и Φ сходится к х.
Доказательство. Пусть V — окрестность нуля в Е;
покажем, что F С V+x для некоторого F Ε Φ (тогда V+x G Φ). Пусть
W — такая окрестность нуля в Е, что W + W С V. Так как Φ —
фильтр Коши, то существует такое F\ Ε Φ, что F\ — F\ С W, а так
как Φ сходится к ж, то найдется F<i Ε Φ такое, что i<2 С χ + W,
т. е. i<2 - χ С W. Положим F% = F\ Π i<2. Тогда F$ Ε Φ (и потому
F3 φ 0). При этом Fi - χ С Fi - F3 + F3 - χ С W + W С V, так
что можно положить F = F\. D
Отметим, что это предложение является обобщением
следующего факта: всякая фундаментальная последовательность
элементов топологического векторного пространства или
метрического пространства, содержащая сходящуюся
подпоследовательность, сама сходится к тому же пределу.
1.7.4. Следствие. Множество А в топологическом
векторном пространстве Ε полно в точности тогда, когда каждый
ультрафильтр Коши в А сходится.
Доказательство. Необходимость очевидна; с другой
стороны, если Φ — произвольный фильтр Коши в А, то ввиду
доказанного предложения его сходимость вытекает из сходимости
мажорирующего его ультрафильтра, автоматически
являющегося фильтром Коши. D
Теперь опишем введенную полноту топологических
векторных пространств в терминах направленностей.
72
Глава 1. Введение в теорию
1.7.5. Следствие. Множество А в топологическом
векторном пространстве полно в точности тогда, когда в А всякая
фундаментальная направленность сходится.
Доказательство. Пусть А полно и {xtjter —
фундаментальная направленность в А. Рассмотрим фильтр Ф, базой
которого являются всевозможные множества Ft := {xt'· t ^ s},
где s G Τ — фиксированный элемент, а также А. Из
определений ясно, что этот фильтр фундаментален. Ввиду полноты А он
сходится к некоторой точке χ G А. Пусть V — некоторая
окрестность х. Тогда по определению сходимости фильтра имеем V G Ф.
Это означает, что в V содержится какое-то из множеств Ft, что
доказывает сходимость {xt} к х.
Обратно, пусть в А всякая фундаментальная направленность
сходится. Проверим, что всякий фундаментальный ультрафильтр
Φ в Л сходится. Для этого с его помощью мы построим
фундаментальную направленность в А. Возьмем Φ в качестве
индексирующего множества, снабдив его естественным частичным
порядком по обратному включению, т.е. φ ^ φ при φ С φ. Так
как φ Π ф £ Φ для всех Ф, то получено направленное
множество. В каждом множестве φ G Φ выберем какой-нибудь
элемент χφ. Покажем, что направленность {χφ} фундаментальна.
Пусть V — окрестность нуля в Е. Ввиду фундаментальности Φ
найдется множество φ G Φ, для которого φ — φ С V. Тогда при
£, s ^ φ имеем xt G t С φ, xs E s С φ, откуда Xt — xs G V.
Значит, {χφ} фундаментальна и сходится к некоторому χ G А.
Тогда и ультрафильтр Φ сходится к х. В самом деле^ пусть W —
окрестность точки х. Надо показать, что W Π A G Ф. Если это
неверно, то A\W G Φ, как пояснялось в §1.1. Ввиду сходимости
{χφ} κ χ имеется φ\, для которого χφ G W при всех φ ^ φι, т.е.
при φ С φι. В частности, для всех ф = φι Π (A\W) мы должны
иметь Хф G W, что невозможно, ибо χψ G A\W. Π
Пусть локально выпуклое пространство Ε метризуемо и его
топология задана счетным набором полунорм {рп}. Из сказанного
выше следует, что Ε — пространство Фреше в точности тогда,
когда оно полно с метрикой с?(х, у) = Σ™=ι 2_n mm(pn(x — у), l).
1.7.6. Предложение. Пусть А — полное подмножество
локально выпуклого пространства Е. Тогда А полно в любой
локально выпуклой топологии на Е, более сильной, чем
исходная, и обладающей базой окрестностей нуля, состоящей из
множеств, замкнутых в исходной топологии.
1.7. Полнота и пополнение
73
Доказательство. Пусть то — исходная топология и τ —
более сильная топология с указанными свойствами. Если
направленность {at} С А фундаментальна в топологии т, то она
фундаментальна и потому сходится к некоторому a Ε А и в
топологии то. Покажем, что at —> α в т. Пусть V — то-замкнутая
окрестность нуля в т. По условию найдется такой индекс ίχ, что
at — asGV при всех t,s^t\. Поскольку as —> α в то и Л замкнуто
в то, то а^ — a G V при всех £ ^ ίχ, т. е. а* —> а в т. D
1.7.7. Следствие. В локально выпуклом пространстве
всякое полное в слабой топологии множество полно.
Замкнутость и полнота связаны следующим образом.
1.7.8. Предложение. Если топологическое векторное
пространство Ε отделимо и полно, то его подмножество А
замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно.
Доказательство. Действительно, если А замкнуто и Φ —
фильтр Коши в Е, причем A Ε Ф, то Φ сходится в £ в силу
полноты Е, а его предел принадлежит А ввиду замкнутости А.
С другой стороны, если А полно, а — точка прикосновения
множества А и U — фильтр окрестностей нуля в Е, то (a + U) Π А
есть базис фильтра Коши Φ в Е, содержащего в качестве элемента
множество А. Так как А полно, то этот фильтр обязан сходиться
к некоторому элементу Ъ Ε А. В то же время он сходится к а; из
отделимости Ε следует, что а = b. D
1.7.9. Предложение. Если топологическое векторное
пространство Ε отделимо и секвенциально полно, то его
подмножество секвенциально замкнуто (т. е. содержит пределы всех
сходящихся последовательностей своих точек) тогда и только
тогда, когда оно секвенциально полно.
Доказательство. Обоснование этого предложения
аналогично обоснованию предыдущего; отличие лишь в том, что
вместо фильтров следует рассматривать последовательности. D
В связи со следующим предложением, в котором речь идет
о произведениях топологических векторных пространств,
заметим, что произведение произвольного семейства топологических
векторных пространств, наделенное топологией (тихоновского)
произведения, само является топологическим векторным
пространством (подробно о произведениях топологических
векторных пространств будет говориться в гл. 2).
74
Глава 1. Введение в теорию
1.7.10. Предложение. Произведение непустого семейства
топологических векторных пространств полно в том и только
том случае, когда полно каждое из
пространств-сомножителей. В частности, всякая степень прямой IR полна.
Доказательство. Для доказательства того, что из
полноты пространств-сомножителей Еа следует полнота их
произведения Е, достаточно заметить, что если Φ — фильтр Коши в Е, то
проекция его на каждое из пространств Еа снова является
фильтром Коши и что фильтр в Ε сходится в точности тогда, когда
сходятся все фильтры, являющиеся его проекциями. С другой
стороны, если одно из пространств семейства {Еа}, скажем Еао,
неполно, то пусть Фао — фильтр Коши в нем, не имеющий
предела, и для каждого α φ αο пусть Фа — фильтр всех окрестностей
нуля в Еа. Тогда фильтр-произведение есть фильтр Коши в Е,
не имеющий предела. D
1.7.11. Пример. Всякое бесконечномерное нормированное
пространство В со слабой топологией σ(Β, Вг) неполно.
Доказательство. Мы покажем, что для каждого
линейного функционала L Ε (β7)* найдется такая направленность ха Ε -В,
что 1{ха) —► F(l) для всех I Ε В'. Тогда, взяв разрывный
функционал F на В' (существующий на всяком бесконечномерном
банаховом пространстве), мы получим фундаментальную в
топологии σ{Β,Β'), направленность в В, не имеющую предела в В.
Для нахождения {ха} достаточно проверить, что для всякого
конечного набора /ι,...,Ζη £ Вг и всякого ε > 0 найдется вектор
ζ Ε В с F(li) = k(z). Существование такого вектора ζ следует из
доказываемой в § 1.11 теоремы Хана-Банаха, применяемой к
пространству (Β',σ(Β',Β)^ с учетом того факта, что пространство
непрерывных линейных функционалов на (Β',σ(Β',Β)) есть как
раз В (см. пример 1.3.23). D
Приведем экзотический пример полного локально выпуклого
пространства.
1.7.12. Пример. Локально выпуклое пространство Ε
полно в своей сильнейшей локально выпуклой топологии (см.
пример 1.3.18).
Доказательство. Напомним, что с использованием базиса
Гамеля {еа}аел в Ε сильнейшую локально выпуклую топологию
1.7. Полнота и пополнение
75
можно задать набором полунорм вида
Ρφ(χ) = ^2(Ρ(α)\χα\, где X = Y^Xaea,
а а
со всевозможными положительными функциями φ на множестве
индексов а. Предположим, что направленность {vt}teT
Фундаментальна по каждой такой полунорме и проверим, что она
сходится. Пусть vt = Σανί,οί€α- При каждом фиксированном а мы
получаем фундаментальность направленности координат {vt,a}·
Поэтому эта направленность сходится к некоторому скаляру са.
Заметим, что лишь конечное число скаляров са отличны от нуля.
В самом деяе^ если есть бесконечная последовательность сап Φ О,
то берем функцию φ, для которой φ(αη) = ^|can|_1 и φ (а) = О
для остальных индексов. Ввиду фундаментальности {vt} по
полунорме ρφ существует такой индекс ίο? что p<p(vt — vt0) ^ 1
при всех t ^ to· Значит, Σ™=ι п|сап|_1|г^ап - vto^n\ < 1 при
t ^ to. Ненулевых чисел vt0,an конечное число, поэтому при
некотором т > 1 имеем vt0,an — 0 для всех η ^ га. Таким
образом, Y^=mn\cari\~l\vt,an\ < 1 для всех t ^ t0. В частности,
mlc<*ml_1K,<*ml ^ 1 ПРИ t^to, откуда в пределе получаем
неверную оценку т\сагп \~г \сагп | ^ 1. Итак, имеется вектор ν = Σα с<*е<*·
При этом p<p(vt — ν) —> 0 для каждой полунормы ρφ
указанного вида. Действительно, взяв to при заданном ε > 0 так, что
P<p(vt — vs) < ε при £, s ^ ίο? мы получаем p(vt — ν) < ε при
t ^ ίο· В самом деле, зафиксировав £ ^ to и выделив все
ненулевые координаты vt^a и са векторов vt к ν (соответствующее
конечное множество индексов обозначим через М), мы находим:
p{vt—v) = ΣαβΜ ψ{α)\νι,α — са\ ^ £? ибо в неравенстве с конечным
числом слагаемых ΣαβΜ φ(α)\ν^α — va,s\ < ε для s ^ to можно
перейти к пределу по s. D
1.7.13. Определение. Отображение f подмножества А
топологического векторного пространства Ε в топологическое
векторное пространство G называется равномерно
непрерывным на А, если для всякой окрестности нуля W в G существует
такая окрестность нуля V в Е, что если х\—х2 G V, х\,х2 £ А,
то f(xi) - f(x2) e W.
Из этого определения непосредственно вытекает, что
равномерно непрерывное отображение переводит фильтры Коши
пространства Е, состоящие из подмножеств Е, пересекающихся с А,
76
Глава 1. Введение в теорию
в фильтры Коши пространства G и поэтому непрерывно
(переводит сходящиеся фильтры в сходящиеся). Конечно,
непрерывность еще более ясна и без фильтров (предоставляем читателю
убедиться в это непосредственно).
Отметим, что всякое линейное отображение топологического
векторного пространства в топологическое векторное
пространство равномерно непрерывно, если оно непрерывно (в частности,
если оно переводит фильтры Коши в фильтры Коши); для
полилинейных отображений это уже не так: функция /(ж, у) = ху для
ж, у Ε IR переводит фильтры Коши в фильтры Коши (и
потому непрерывна), не являясь равномерно непрерывной. Наконец,
непрерывность отображения / части топологического векторного
пространства в топологическое векторное пространство, вообще
говоря, не влечет свойство переводить фильтры Коши в фильтры
Коши (пример: f(x) = tg(x)), но для отображения, определенного
на полном подмножестве топологического векторного
пространства, непрерывность эквивалентна свойству переводить фильтры
Коши в фильтры Коши.
1.7.14. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, Η — его всюду плотное подмножество
(необязательно являющееся векторным пространством) и f —
отображение Η в полное отделимое топологическое векторное
пространство G. Если f равномерно непрерывно на Н, то его
можно продолжить, причем единственным образом, до
непрерывного отображения F: Ε —> G. При этом F автоматически
оказывается равномерно непрерывным.
Доказательство. Единственность продолжения, если оно
существует, следует из того, что два непрерывных отображения /
и д, совпадающие на всюду плотном множестве, совпадают
всюду. В самом деяе^ если f(a) φ #(α), то ввиду отделимости G
найдутся дизъюнктные открытые множества U Э f(a) и V Э д{а).
Взяв такую окрестность W точки а, что f(W) С U и g(W) С У,
получаем, что в W нет точек, в которых / и д равны.
Докажем существование отображения F. Зафиксируем
точку х. К ней сходится некоторая направленность точек xt G Η.
В силу равномерной непрерывности отображения /
направленность точек f(xt) фундаментальна в G и потому сходится к
некоторому элементу у G G. Положим F(x) := у. Легко проверить,
что у не зависит от выбора сходящейся к χ направленности. Из
э/гого следует также равномерная непрерывность F. D
1.7. Полнота и пополнение
77
1.7.15. Замечание. Аналогично доказывается, что если А —
подмножество некоторого топологического векторного
пространства, Η — плотное в А подмножество и / — равномерно
непрерывное отображение, определенное на Η и принимающее
значения в полном подмножестве G некоторого топологического
векторного пространства, то существует единственное продолжение
его до непрерывного отображения F: А —> G; это продолжение
равномерно непрерывно.
Отметим еще, что можно определить равномерную
непрерывность и для отображений метрических пространств в
метрические, метрических — в топологические векторные и
топологических векторных — в метрические. Например,
отображение f:E—>G метрического пространства (Ε,ρι) в метрическое
пространство (G, ^) называется равномерно непрерывным,
если для всякого ε > 0 найдется такое δ > 0, что из неравенства
£ι(χι,£2) < δ вытекает неравенство ^2(7(^1)5/(^2)) < £· Для
всех этих случаев справедливы аналоги доказанного
предложения с весьма близкими доказательствами; надо только в нужных
местах включения х\ — x<i Ε У, где V — подходящая окрестность
нуля, заменить неравенствами типа д{х\,Х2) < £·
На самом деле все эти факты являются частными случаями
общего результата для отображений равномерных пространств
в равномерные (см. Бурбаки [28], Келли [73], Энгелькинг [186]).
Оставшаяся часть настоящего параграфа будет посвящена
доказательству теоремы о пополнении топологического векторного
пространства, согласно которой всякое отделимое топологическое
векторное пространство может быть вложено как всюду плотное
топологическое векторное подпространство в полное отделимое
топологическое векторное пространство, определенное с
точностью до изоморфизма.
1.7.16. Определение. Пополнением топологического
векторного пространства Ε называется полное отделимое
топологическое векторное пространство Ε со следующим свойством:
Ε является топологическим векторным подпространством
пространства Е, всюду плотным в Е.
Для метрического Ε такое пополнение не тождественно
пополнению в категории метрических пространств, когда плотное
вложение Ε —> Ε должно сохранять расстояние, ибо теперь
требуется еще его линейность, но можно модифицировать
стандартную конструкцию пополнения метрического пространства.
78
Глава 1. Введение в теорию
1.7.17. Теорема. Каждое отделимое топологическое
векторное пространство Ε обладает пополнением, причем если G\
и G<i — два его пополнения, то существует единственный
линейный гомеоморфизм G\ на Gi, оставляющий все элементы Ε
неподвижными.
Доказательство. Предположим сначала, что Ε метризуе-
мо. Пусть ρ — квазинорма на Е, задающая инвариантную
относительно сдвигов метрику ρ на Е, порождающую исходную
топологию. Согласно известной теореме из курса анализа (см.,
например, Богачев, Смолянов [21, с. 23]), существует полное
метрическое пространство G, являющееся пополнением
метрического пространства (Ε,ρ). Мы покажем, что в G можно ввести
структуру векторного пространства, согласующуюся с тополо-
тией т, определяемой его метрикой, такую, что исходное
топологическое векторное пространство Ε окажется топологическим
векторным подпространством топологического векторного
пространства (G, г); это и будет означать, что G — пополнение Е.
Операции умножения элементов G на скаляр и сложения
элементов из G определяются путем продолжения по
непрерывности операций, имеющихся в топологическом векторном
пространстве Е. Существование и единственность таких продолжений
вытекает из замечания 1.7.15. С другой стороны, метрика qq на
пополнении является продолжением по непрерывности метрики
ρ на пространстве Е. Так как функция р также обладает
продолжением по непрерывности на все G и оба эти продолжения
единственны, то все используемые далее в этом рассуждении
тождества, которые были справедливы для продолжаемых функций,
будут справедливы и для их продолжений; в частности,
продолжение рс псевдонормы р оказывается псевдонормой на G,
связанной с метрикой ρο на G равенством £с(жъ#2) — Pg(xi — χ2)·
Поэтому топология, порождаемая ρο на G, согласуется со
структурой аддитивной группы векторного пространства.
Для доказательства того, что она согласуется и со
структурой векторного пространства, оказывается достаточно проверить
непрерывность операции умножения. Пусть fc, q Ε К, ж, ζ Ε G.
Тогда (k+q)(x+z) — kx = q-z-Vq-x-Vk-z. Поэтому для доказательства
непрерывности операции умножения на скаляр достаточно
проверить, что при фиксированных к и χ отображения ζ ·—> к · г,
G —> G, q ι—> q - χ, Κ —> G, а также отображение (д, ζ) н-> q · ζ,
К χ G —> G непрерывны в нуле соответствующих пространств.
Непрерывность (даже равномерная) первого из них вытекает из
1.7. Полнота и пополнение
79
его определения как продолжения по непрерывности равномерно
непрерывного отображения умножения на фиксированный
скаляр. Докажем непрерывность двух оставшихся.
Начнем с отображения q ι—> q · ж, К —> G, где χ —
фиксированный элемент G. Пусть последовательность {хп} С Ε сходится к х,
V — замкнутая окрестность нуля в G и W — такая закругленная
окрестность нуля в Е, что W + W С V. Сходящаяся
последовательность {хп} является последовательностью Коши, поэтому
существует такой номер щ Ε IN, что xs — xr Ε W при s,r ^ го-
Так как .Б — топологическое векторное пространство, то
существует такое ε > 0, что если ί Ε К, |£| < ε, то &гГо Ε W. Поэтому
для всех t Ε К таких, что \t\ < πήη(Ι,ε) при г ^ г$ верны
соотношения txr = txro + t(xr - xro) eW + tWcW + WcVr\E.
При фиксированном t отображение χ ι—> tx, как уже отмечалось,
непрерывно, поэтому tx = t lim xr = lim (txr) С V Π Ε С V при
г—кх> г—кх>
|£| < πήη(Ι,ε). Непрерывность отображения q\-^ q- x доказана.
Для доказательства непрерывности в нуле отображения
(q,z)^q-z, KxG-^G
достаточно заметить, что если V — замкнутая окрестность нуля
в G, то существуют ε > 0 и окрестность нуля W в Ε такие, что
q · ζ Ε V Π Ε при \q\ < ε, ζ Ε W. Действительно, тогда в
силу непрерывности отображения ζ ι—> q · ζ (при фиксированном q)
при каждом g, удовлетворяющем неравенству \q\ < ε,
справедливо включение qW С V Π Ε С V, и остается заметить, что W —
замыкание множества W в G — окрестность нуля в G. Таким
образом, в предположении метризуемости Ε существование его
пополнения доказано (можно дать и другие обоснования,
используя явные конструкции пополнения метрических пространств).
Пусть теперь Ε — произвольное отделимое топологическое
векторное пространство и?- множество квазинорм, задающих
его топологию. Для каждой квазинормы ρ Ε V обозначим
через Ер векторное пространство Е, наделенное топологией,
задаваемой квазинормой р, и через Ер — топологическое векторное
факторпространство пространства Ер по его замкнутому
подпространству р_1(0); его топология задается квазинормой pi,
определяемой так: если ζ Ε Ер, то ρι(ζ) = Ίηΐ{ρ(χ): χ Ε ζ}. Этот факт,
как и то, что р\ — действительно квазинорма, проверяется
непосредственно; при этом из отделимости факторпространства Ер
вытекает, что р\ обращается в нуль только на нулевом элементе.
80
Глава 1. Введение в теорию
Поэтому топология пространства Ер метризуема. Обозначим
через Ер его пополнение и для каждого элемента χ Ε Ε обозначим
через хр его канонический образ в Ер.
Положим G = Πρζ-ρΕρ. Пространство G полно как
произведение полных топологических векторных пространств. При этом
отображение F: Ε —> G, сопоставляющее каждому вектору χ Ε Ε
элемент (хр) Ε G, представляет собой линейный гомеоморфизм Ε
на его образ в G, наделенный индуцированной из G топологией.
Это следует непосредственно из определений топологии
произведения и топологии, задаваемой семейством псевдонорм.
Отождествим Ε с его образом F(E) и будем считать, что само Ε является
подпространством пространства G. Это означает, что мы
заменяем топологическое векторное пространство Ε на изоморфное ему
топологическое векторное пространство Ει = F(E); далее мы
будем обозначать его тем же символом Е, что и исходное
пространство. Тогда для топологического векторного
подпространства Ε пространства G, являющегося замыканием в G
подпространства Е, выполнены все нужные условия, чтобы Ε было
пополнением топологического векторного пространства Е. Таким
образом, существование пополнения для произвольного
отделимого топологического векторного пространства доказано.
Докажем его единственность. Пусть Е\ и £?2 — два
пополнения топологического векторного пространства Е, и / —
тождественное отображение Ε в себя. Так как Ε всюду плотно как в Е\,
так и в ΐ?2, то равномерно непрерывные отображения I и J = I~l
можно продолжить до непрерывных отображений /: Е\ —> £?2 и
J: Ε<ι —> Е\. Мы покажем, что / (значит, и J) — изоморфизм
топологических векторных пространств. Чтобы в этом убедиться,
достаточно заметить, что Jol и IoJ — тождественные отображения
соответственно пространств £?2 и Ει на себя, ибо они непрерывны
и являются тождественными на всюду плотных множествах. D
Из доказательства нетрудно усмотреть такой факт.
1.7.18. Следствие. Всякое отделимое локально выпуклое
пространство обладает единственным с точностью до
изоморфизма пополнением, являющимся локально выпуклым
пространством.
В категории локально выпуклых пространств можно
построить пополнение путем выделения некоторого подпространства
1.8. Компактные и предкомпактные множества
81
в (Е')* (см. §3.8). В категории метризуемых топологических
векторных пространств пополнение можно построить по методу
пополнения метрических пространств (задача 1.12.69).
1.8. Компактные и предкомпактные множества
В этом параграфе приводится сводка основных результатов
о компактных и предкомпактных подмножествах топологических
векторных пространств. Некоторые дополнительные результаты
будут получены в § 1.12.
Напомним еще раз, что подмножество К топологического
векторного пространства Ε называется предкомпактным, если
оно покрывается объединением конечного числа сдвигов каждой
окрестности нуля этого пространства. Как уже отмечалось,
компакт предкомпактен. Очевидно, что предкомпактные множества
обладают следующими свойствами:
любое подмножество предкомпактного множества пред-
компактно,
гомотетия и сдвиг предкомпактного множества предком-
пактны,
объединение любого конечного числа предкомпактных
множеств в одном пространстве предкомпактно.
В лемме 1.5.5 было показано, что предкомпактное
множество ограничено.
Приведем несколько чуть менее очевидных свойств
предкомпактных множеств в топологических векторных пространствах.
1.8.1. Предложение, (i) Замыкание предкомпактного
множества предкомпактно.
(и) Образ предкомпактного множества при равномерно
непрерывном отображении со значениями в топологическом
векторном пространстве предкомпактен.
(in) Векторная сумма конечного числа предкомпактных
множеств предкомпактна.
(iv) Закругленная оболочка предкомпактного множества
предкомпактна.
Доказательство, (i) Пусть множество S предкомпактно,
S — его замыкание и U — окрестность нуля. Ввиду
непрерывности сложения имеется такая окрестность нуля У, что v\ + V2 G U
при всех г?1,г?2 G V. Найдем точки si,...,sn G 5, для которых
S С U?=i(5i + ^)· Покажем, что 5 С U?=i(5i + *0· Пусть χ G 5. По
определению существует элемент sG*S, для которого χ — s G V.
82
Глава 1. Введение в теорию
Взяв г так, что s Ε Si + V, т. е. s = si + г>, ν Ε У, получаем
соотношение χ = s + # — £ = ^ + ^ + # — sEs^ + C/.
Утверждение (ii) легко усмотреть из определений, а
утверждения (iii) и (iv) выводятся из него следующим образом. Если
А и В вполне ограничены в £", то А + В есть образ множества
Ах В в Ε χ Ε при отображении (u,v) *-^и + уизЕхЕвЕ.
Очевидно, что Ах В предкомпактно, а указанное отображение
равномерно непрерывно. Аналогично закругленная оболочка S
есть образ S χ [—1,1] при отображении (x,t) ι—> tx, которое
равномерно непрерывно на всяком множестве вида Μ χ [—1,1], где
Μ ограничено в Е. D
Отдельно рассмотрим выпуклые оболочки.
1.8.2. Предложение. Выпуклая оболочка, абсолютно
выпуклая оболочка и замкнутая абсолютно выпуклая оболочка
предкомпактного множества в локально выпуклом
пространстве предкомпактны.
Доказательство. Пусть К — предкомпактное
подмножество локально выпуклого пространства Е, conv К — его
выпуклая оболочка. Мы покажем, что для всякой открытой
абсолютно выпуклой окрестности нуля V в Ε существует такой набор
{αϊ,... ,αη} С conv if, что conv К С UILi(a* + ^0· В силу пред-
компактности множества К найдутся такие точки ci,... ,cr Eif,
что К С {Ji=\ici + ^/2)· Пусть К\ — выпуклая оболочка точек
ci,...,cr. Множество К\ компактно в порожденном элементами
ci,... ,сг конечномерном подпространстве пространства Е, а
потому и во всем Е. Поэтому найдутся элементы αχ,...,αη Ε if,
для которых Κι С U?=i(a» + v/2)· Тогда conv if С U?=i(ai + v)·
В самом деяе^ всякий элемент conv К имеет вид χ = Σ^=1 tjbj,
где bj Ε К, Σ tj — 1? ^' ^ О· ДЛЯ каждого j = 1,2,..., s выберем
индекс r(j) так, что bj — cr^ Ε V/2. Тогда
s s
V := Σ Ι0°τϋ) ΕΚΐ И V-X = ^ ЬЫз) - Ьз) Ε V/2
в силу выпуклости V. Так как из включения ν Ε К\ вытекает
существование такого элемента а\ Ε if ι, что ν — αι Ε У/2, то
х - си = d - a{ - (v - x) Ε V/2 - V/2 = V/2 + V/2 = V,
где последние два равенства справедливы в силу абсолютной
выпуклости V. Таким образом, доказано, что χ Ε υΓ=ι(α* + ^0·
1.8. Компактные и предкомпактные множества
83
Утверждения об абсолютно выпуклой оболочке и замкнутой
абсолютно выпуклой оболочке следуют из уже доказанного. D
1.8.3. Пример. Пусть С0 — пространство всех вещественных
измеримых функций на [0,1] с топологией сходимости по мере
(пример 1.3.16). Пусть {εη} — последовательность вещественных
чисел, причем еп Ε (0,1), еп —> 0, Σ™=ι εη = оо. Для каждого η
определим функцию φη е так: если Sn — У^?_^ £r(niod 1) и
Sn < 5η+ι, то φη = 10η7η, где ηη — индикатор отрезка [Sn, Sn+i];
если Sn > Sn+i, то ψη = 10ηχη, где χη — индикатор объединения
отрезков [О,
Sn+i] и [sn? 1]· Множество
{0} U {φη: η е IN} U {-φη : η G IN}
компактно, но его выпуклая замкнутая оболочка совпадает со
всем пространством Τ и, таким образом, отнюдь не компактна
и даже не ограничена. Отметим, что ассоциированное отделимое
пространство L0 метризуемо, но не локально выпукло.
1.8.4. Пример. Пусть со — банахово пространство
стремящихся к нулю последовательностей вещественных чисел со
стандартной нормой ||(хп)|| — maxn |жп|, Ε — его линейное
подпространство, состоящее из всех финитных последовательностей (т. е.
последовательностей, имеющих лишь конечное число отличных
от нуля элементов) с индуцированной нормой. Рассмотрим
векторы еп = (0,..., 0,1,0,...), где единица стоит на п-м месте,
а остальные места заняты нулями. Множество К, состоящее из
сходящейся к нулю последовательности {еп/п} и нуля,
компактно. В то же время выпуклая оболочка conv К этого множества
замкнута и совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой, но не
компактна. Рассматриваемое как подмножество со, множество К,
разумеется, также компактно, но множество conv К не является
замкнутым в cq.
1.8.5. Предложение. Подмножество топологического
векторного пространства компактно в том и только том случае,
когда оно одновременно предкомпактно и полно.
Доказательство. Понятно, что из компактности вытекает
предкомпактность. Покажем, что из компактности подмножества
А топологического векторного пространства вытекает его
полнота. Пусть Φ — фильтр Коши в Е, причем A G Φ и Φ —
ультрафильтр, мажорирующий Ф. Тогда Φ сходится (поскольку
всякий ультрафильтр, содержащий компактное множество, сходится
84
Глава 1. Введение в теорию
к точке этого множества, см. задачу 1.12.27). В силу
предложения 1.7.3 сходится и фильтр Ф.
Покажем теперь, что если подмножество А топологического
векторного пространства Ε одновременно предкомпактно и
полно, то оно компактно. Пусть Φ — ультрафильтр в Е, A Ε Ф.
В силу предкомпактности А для каждой окрестности нуля V
пространства Ε существуют такие элементы αχ,..., ап из Е, что
А С υΓ=ι(α^ + ^0· Так как * — ультрафильтр, то найдется г, для
которого di + V G Φ (иначе Е\(а{ + V) Ε Φ при всех г, откуда
А 0 Ф). Отсюда следует, что Φ — фильтр Коши. В силу
предполагаемой полноты А он сходится к элементу множества A. D
Доказанное предложение является аналогом известного
результата о подмножествах метрических пространств.
1.8.6. Следствие. Подмножество топологического
векторного пространства Ε предкомпактно в точности тогда, когда
оно относительно компактно в пополнении пространства Е.
В терминах фильтров есть такое условие.
1.8.7. Предложение. Подмножество А топологического
векторного пространства Ε предкомпактно в том и только
том случае, когда каждый содержащий его ультрафильтр в Ε
является фильтром Коши.
Доказательство. Выше мы уже видели, что всякий
содержащий предкомпактное множество ультрафильтр является
фильтром Коши. Докажем обратное. Предположим, что А не
является предкомпактным. Тогда в Ε существует такая окрестность
нуля V\ что никакое конечное семейство множеств вида a + V,
где a Ε Е, не покрывает А. Поэтому конечные пересечения
множеств А \ (а + V), где a Ε Е, образуют базис фильтра в Е.
Если Φ — некоторый ультрафильтр, мажорирующий фильтр,
порождаемый этим базисом, то по предположению он должен быть
фильтром Коши. Поэтому найдется непустое множество F Ε Φ
такое, что F — F С V. Значит, F — а С V для некоторого а Ε F,
т. е. F С а + V, так что а + V Ε Ф. Это противоречит тому, что
фильтр Φ содержит дополнения всевозможных множеств вида
а + V, где а Ε Е. D
1.8.8. Следствие. Подмножество А топологического
векторного пространства Ε предкомпактно в том и только том
случае, когда каждый содержащий его фильтр в Ε
мажорируется фильтром Коши.
1.8. Компактные и предкомпактные множества
85
Это аналог известного предложения из теории метрических
пространств, согласно которому подмножество метрического
пространства предкомпактно (вполне ограничено) в точности тогда,
когда каждая последовательность его элементов содержит
подпоследовательность Коши. Эти же утверждения можно
сформулировать на языке направленностей.
1.8.9. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство и А С Е. Множество А вполне ограничено
в точности тогда, когда из всякой направленности его
элементов можно извлечь фундаментальную поднаправленность.
Множество А компактно в точности тогда, когда из всякой
направленности его элементов можно извлечь сходящуюся в А
поднаправленность.
С учетом доказанного в § 1.7 получаем такой факт.
1.8.10. Следствие. Компакты полны. Значит, слабо
компактные множества полны.
Для компактов в топологических векторных пространствах
имеются аналоги утверждений, доказанных выше для предком-
пактных множеств.
1.8.11. Предложение, (i) Гомотетия, сдвиг и закругленная
оболочка компактного подмножества произвольного
топологического векторного пространства компактны.
(и) Объединение и векторная сумма конечного семейства
компактных подмножеств топологического векторного
пространства компактны.
(iii) Выпуклая оболочка объединения конечного семейства
выпуклых компактных подмножеств топологического векторного
пространства компактна.
(iv) Векторная сумма замкнутого и компактного
подмножеств топологического векторного пространства
представляет собой замкнутое множество.
Доказательство. Утверждения (i)-(iii) доказываются
аналогично случаю предкомпактных множеств. Докажем (iv). Пусть
А компактно, В замкнуто и направленность {wa} С А-\-В
сходится к некоторому элементу х. Так как wa = аа 4- Ьа, где аа Ε А,
Ъа Ε В, то ввиду компактности А найдется поднаправленность
{а^}, сходящаяся к элементу a Ε А. Тогда {Ьр} сходится к χ — α,
причем χ — a Ε В ввиду замкнутости В. Итак, χ Ε А + В. D
86
Глава 1. Введение в теорию
Из предложений 1.8.2 и 1.8.5, а также следствия 1.8.10
получаем такое утверждение.
1.8.12. Следствие. В локально выпуклом пространстве
замкнутая абсолютно выпуклая оболочка предкомпактного
множества компактна в точности тогда, когда она слабо
компактна.
1.8.13. Предложение. Замкнутая выпуклая оболочка
предкомпактного подмножества полного или квазиполного локально
выпуклого пространства компактна.
Доказательство. Замкнутая выпуклая оболочка
множества К есть замыкание его выпуклой оболочки. Последняя пред-
компактна для предкомпактного К. Замыкание полно, если все
пространство полно или квазиполно (в последнем случае важно
еще то, что вполне ограниченное множество ограничено). Однако
секвенциальной полноты недостаточно (задача 5.12.98). D
1.8.14. Предложение. Всякое вполне ограниченное
множество в метризуемом локально выпуклом пространстве лежит
в замкнутой выпуклой оболочке некоторой последовательности,
сходящейся к нулю.
Доказательство. В силу метризуемости топология
данного локально выпуклого пространства Ε задается
последовательностью полунорм рп (см. §1.6). Можно считать, что рп ^ рп+ъ
перейдя к суммам р\ + \-рп· Пусть К вполне ограничено в Е.
Для каждой полунормы рп есть конечная 4_п_1-сеть Кп С К,
т. е. при любом k G К есть Vk Ε Κη с pn(k — Vk) ^ 4_n_1.
Множество (J^Li Кп плотно в К. Положим S\ := 2К\. Затем при η > 1
выберем конечные множества Sn в Ε следующим образом: для
каждого ν Ε Кп найдем элемент и Ε Кп-\ с ρη-ι(ν — и) ^ 4_п
и образуем элемент χ := 2η(ν — и) Ε Ε. Множество Sn так
полученных точек χ имеет мощность не более мощности Кп.
Последовательность {жп}, полученная поочередной нумерацией
точек из 5Ί, $2, · · ·, сходится к нулю по каждой полунорме рт, так
как pn-\(2n{v - и)) < 2~п, т.е. рп-\(х) < 2~п при всех χ е Sn.
Нетрудно проверить, что каждый элемент ν Ε Кп имеет вид
ν = 2~1χι1 + · · · + 2~nXin и потому лежит в абсолютно выпуклой
оболочке последовательности {χι} = {J^=iSn. Значит, {J^=iKn
входит в замкнутую выпуклую оболочку {хп} U {—хп}. При этом
К лежит в замыкании (J^Li Кп. См. также пример 3.12.35. D
1.8. Компактные и предкомпактные множества 87
1.8.15. Предложение. Если К — компакт в
топологическом векторном пространстве Ε и V — открытое покрытие
этого множества, то существует такая окрестность нуля W
в Е, что для каждого χ Ε К множество χ + W целиком
содержится в одном из множеств семейства V.
Доказательство. Для каждого χ е К пусть Vx —
окрестность нуля в Ε такая, что χ + Vx С V для некоторого V Ε V.
Для каждого χ Ε К найдется такая открытая окрестность
нуля Wx в Е, что Wx + Wx С Vx. Семейство {χ + Wx: x Ε К}
образует открытое покрытие множества К. В силу
компактности К это покрытие содержит некоторое конечное подпокрытие
{χι + WXi: г = 1, 2,..., п}. Положим W = ПГ=1 WXi. Для всякого
χ Ε К существует такое х^ что xGXj + WXi. При этом
x + Wcx + WXiCXi + WXi + WXiCXi + VXi С V
для некоторого V Ε V. D
1.8.16. Теорема. Если К и F — непересекающиеся
компактное и замкнутое множества в топологическом векторном
пространстве Е, то существует непрерывная функция f: Ε —> IR,
обладающая следующими свойствами: если χ £ F, то f(x) = 0;
если χ е К, то f(x) = 1; 0 < /(ж) < 1 <?ая всех χ е Е.
Доказательство. Так как всякое топологическое векторное
пространство вполне регулярно (теорема 1.6.5), то для каждого
χ Ε К существует непрерывная функция fx: Ε —> К, равная 0
на F, равная 1 в точке χ и такая, что 0 ^ fx(z) ^ 1 для всех
ζ Ε Ε. Положим Vx = {ζ Ε E: fx(z) > 1/2} для каждого х Ε Ε.
Каждое множество Vx открыто, К С []хек^х- ^ силу
компактности К существует такое конечное семейство {χχ,... ,жп} С К,
что UILi ^г ^ ^· Функция / на Е, определяемая равенством
f(z) = 2min(2_1,^l=1 fXi(z)), и есть та, существование которой
требовалось доказать. D
1.8.17. Следствие. В предположениях предыдущей
теоремы существуют такие непересекающиеся открытые
множества Vf и Vkj что F с Vf, К cVk-
На самом деяе^ так как в доказательстве этой теоремы нигде
не используется то обстоятельство, что Ε — топологическое
векторное пространство, обсуждаемым свойством обладает всякое
вполне регулярное топологическое пространство.
88
Глава 1. Введение в теорию
1.8.18. Предложение. Всякое непрерывное отображение
компактного подмножества топологического векторного
пространства в топологическое векторное пространство
равномерно непрерывно.
Доказательство. Пусть К — компакт в топологическом
векторном пространстве Е, f — непрерывное отображение К в
топологическое векторное пространство G, W — окрестность нуля
в G и V — такая окрестность нуля в G, что V + V С W. Из
непрерывности / вытекает, что для каждой точки χ G К существует
такое открытое множество Vx С Е, что f(Vx) С f(x) + V.
Множества VXl где χ G К, образуют покрытие множества К. Ввиду
предложения 1.8.15 найдется такая окрестность нуля Η в Е, что для
каждого ζ G К множество ζ Λ-Η содержится в одном из множеств
ЭТОГО ПОКрЫТИЯ. ЕСЛИ Х\,Х2 eK,Xi~X2 £ Η, ТО Χι G Х2+Н С Vx
для некоторого χ G К. Поэтому f(x\) G f(Vx), f(x2) £ Vx
(последнее включение вытекает из того, что Х2 G Х2 + Η С Vx), откуда
f{xi)-f{x2)ef{Vx)-f{vx)cv-vcw. D
Введем еще ряд полезных понятий, связанных с
компактностью. Пусть Τ — топологическое пространство (необязательно
являющееся векторным) и К С Т.
1.8.19. Определение. Множество К называют счетно
компактным, если всякое его бесконечное подмножество
обладает хотя бы одной предельной точкой, лежащей в К.
Множество К называют относительно счетно
компактным, если всякое его бесконечное подмножество обладает хотя
бы одной предельной точкой в Τ (при этом может случиться,
что ни одна из этих предельных точек не входит в К).
Множество К называют секвенциально компактным,
если всякая бесконечная последовательность его элементов
содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из К.
Множество К называют относительно секвенциально
компактным, если всякая бесконечная последовательность его
элементов содержит подпоследовательность, сходящуюся в Т.
Известно, что для подмножеств метрического пространства
компактность, счетная компактность и секвенциальная
компактность равносильны и то же верно для соответствующих
относительных понятий. В общем случае (как легко проверить)
счетная компактность вытекает как из секвенциальной компактности,
так и из компактности, и никакие другие возможные импликации
между этими свойствами не имеют места (см. §3.4).
1.9. Линейные операторы
89
1.9. Линейные операторы
Здесь приведены базовые сведения о линейных операторах
в топологических векторных пространства. Начнем с критерия
непрерывности линейных и полилинейных отображений
топологических векторных пространств (над произвольным
топологическим полем К).
Пусть к G IN и Е\,... ,Еь и G — векторные пространства над
одним и тем же полем; отображение Ь: Ё\Х· · -хЕ^ —> G
называется полилинейным (к-линейным), если для всякого j G {1,..., к}
при всех фиксированных χi G Е{, где iG{l,...,/c}\{j},
отображение Ej —> G, χ ι—> b{x\,..., Xj-ι, χ, Xj+i, · · ·, #fc) линейно.
Отметим, что к = 1 не исключается, так что линейное отображение
является частным случаем полилинейного.
1.9.1. Предложение. Полилинейное отображение
произведения топологических векторных пространств E\X- -хЕ^ в
топологическое векторное пространство непрерывно в точности
тогда, когда оно непрерывно в точке (0,..., 0).
Доказательство. Проведем доказательство для
билинейного отображения. Пусть {χι,χζ) G Е\хЕ2\ докажем, что Ъ
непрерывно в точке {х\,Х2), если оно непрерывно в точке (0,0). Пусть
Wq — окрестность нуля в G и W — еще одна окрестность нуля
в G такая, что W^ + IV + ^C Wo· Обозначим через V\ и V<i такие
окрестности нуля в £ι и £2, что если h\ G Vi, /12 G V2, то имеем
включение b(/ii,/i2) G W. Теперь воспользуемся равенством
Ь(гъг2)-Ь(хъх2) =b(zi-xi,X2) + b(xi,Z2-X2) + b(zi-xi,z2-X2),
справедливым в силу билинейности Ъ. Пусть /ci,/c2 G К \ {0}
таковы, что kixi G Vu k2x2 е V2, V = Vi Π (fc2Vi), У" = У2 Π (fciV^).
Если даны элементы z\ £ x\ + V, Ζ2 G £2 + V77, то
= b(/c^1(^i-Xi),/c2X2)+b(^l^b^r4^2-^2))+b(^l-^b^2-^2),
что входит в множество W + W + W С Wo, ибо ^1{ζ\ — х\) G Vi,
fcjf {z2 — Х2) G V2. Это и означает, что Ъ непрерывно в {х\,Х2)>
При к = 1 обоснование еще проще: b(x + h) = Ъ{х) + Ь(/г). D
Отображение / называют секвенциально непрерывным, если
из равенства χ = lim жп следует, что fix) = lim f(xn)-
п—кх> η—кх>
90
Глава 1. Введение в теорию
1.9.2. Предложение. Всякое секвенциально непрерывное
полилинейное отображение из конечного произведения
топологических векторных пространств со значениями в
топологическом векторном пространстве переводит ограниченные
множества в ограниченные. В частности, это верно для
секвенциально непрерывных линейных отображений {тем самым для всех
непрерывных линейных отображений).
Доказательство. Утверждение ясно из предложения 1.4.6:
если множество В ограничено в Ε = Е\ χ · · · χ Ε^ и
полилинейное отображение /: Ε —> G секвенциально непрерывно, то
для любой последовательности элементов f(bn) из f(B) и любой
последовательности чисел tn —> 0 мы имеем tnf(bn) —> 0 в
силу секвенциальной непрерывности, ибо tnf(bn) = f(\tn\1^k)signtn
и \tn\l/kbn —> 0 (в случае К; случай С аналогичен). D
1.9.3. Теорема. Пусть Ε и G — локально выпуклые
пространства с задающими топологию наборами полунорм {ра}
и {qp} соответственно. Линейное отображение Τ: Ε —> G
непрерывно в точности тогда, когда при каждом β найдутся
конечное семейство Ρβ,αη · · · ιΡβ,αη 6 наборе {ра} и число С β, для
которых
ςβ(Τχ) < Οβ\ρβ,αι(χ) + · · · +Р/?,ап(я)], х е х-
В частности, непрерывность линейного функционала I на Ε
равносильна тому, что \1\ ^ С(ра1 Η ^Рап) для некоторых С ^ 0
и а\,..., ап.
Доказательство. Из указанной оценки следует
непрерывность Τ в нуле, а тогда и во всякой другой точке. Если же Τ
непрерывно, то для каждого β множество {χ: ςβ(Τχ) < 1} содержит
некоторую окрестность нуля вида {х: Роц(х) <£, · · · >Ραη (#)<£}·
Следовательно, из условия ραι (х)-\ \-рап{х) < ε следует
неравенство qp(Tx) < 1. Значит, в качестве С β можно взять ε-1. D
Эта теорема подсказывает способы введения локально
выпуклых топологий на пространствах линейных операторов из
локально выпуклого пространства Ε в локально выпуклое
пространство G. Пусть C(E,G) — множество всех непрерывных
линейных операторов из Ε в G, B(E, G) — более широкое в общем
случае пространство ограниченных линейных отображений из Ε
в G, т. е. переводящих ограниченные множества в ограниченные,
1.9. Линейные операторы
91
С(Е, G) — подпространство в В{Е, G), состоящее из
секвенциально непрерывных линейных отображений (ограниченность
секвенциально непрерывного линейного отображения следует из
предложения 1.9.2). Конечно, включение £(E,G) С B(E,G) очевидно
из определений. В случае общих топологических векторных
пространств используются такие же понятия и обозначения.
Пусть В — некоторый класс ограниченных множеств в
пространстве Ε и Q — некоторый класс непрерывных полунорм на G.
Тогда на С{Е, G) возникают полунормы
РВЛ(Т) = sup{q(Tx): хеВ}, В е В, q e Q.
Если Q есть класс всех непрерывных полунорм на У, то
получаем топологию равномерной сходимости на классе В. Для
класса В всех конечных множеств это дает топологию поточечной
сходимости в £(E,G). Часто применяются топологии
равномерной сходимости на вполне ограниченных или компактных
множествах. Если X и Υ — нормированные пространства, В состоит
из единичного шара в X, а единственным элементом Q является
норма У, то приходим к операторной норме на £(Х, Υ). В гл. 3
будет рассмотрен важный частный случай: топологии на Е'.
1.9.4. Определение. Пусть Ε и G — топологические
векторные пространства. Множество Τ С С(Е, G) называют
равностепенно непрерывным, если для всякой окрестности нуля V
в пространстве G есть такая окрестность нуля U в Е, что
f{u) G V при всех f G Τ, и Ε U.
В частности, множество Τ С Е' равностепенно
непрерывно, если для всякого ε > 0 найдется такая окрестность нуля
U С Е, что \f(u)\ < ε для всех и G U, f Ε Τ.
Множество Τ С С(Е, G) поточечно ограничено, если для
всякого χ G Ε множество {f(x): / G Τ} ограничено в G.
1.9.5. Предложение. Пусть Ε и G локально выпуклы.
Замыкание равностепенно непрерывного множества Τ С С(Е, G)
в топологии поточечной сходимости равностепенно
непрерывно, а если G квазиполно, то это замыкание полно.
Кроме того, ограничение на Τ топологии поточечной
сходимости совпадает с ограничением топологии поточечной
сходимости на множествах с плотными линейными оболочками,
а таксисе с ограничением топологии равномерной сходимости на
вполне ограниченных множествах.
Если Ε сепарабельно, то равностепенно непрерывные
множества в Е' в топологии поточечной сходимости метризуемы.
92
Глава 1. Введение в теорию
Доказательство. Первое утверждение очевидно из
определений. Пусть Τ замкнуто и G квазиполно. Если направленность
{Fa} в Τ фундаментальна, т.е. для каждого χ Ε Ε
фундаментальна направленность {Fax}, то последняя сходится в силу
квазиполноты G, ибо она ограничена как подмножество множества
{Fx: F Ε J7}, ограниченного из-за равностепенной
непрерывности Τ. Непрерывность полученного в пределе линейного
отображения F также следует из равностепенной непрерывности Т.
Наконец, F Ε Τ, ибо Τ замкнуто.
Покажем теперь, что ограничение на Τ топологии
равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах
мажорируется ограничением топологии поточечной сходимости на
произвольном множестве А с плотной линейной оболочкой в Е. Пусть
S вполне ограничено в Ε и направленность {Fa} из Τ сходится
к F Ε Τ на каждом a Ε А. Проверим, что сходимость
равномерна на S. Можно считать, что F = 0. Зафиксируем
окрестность нуля V в G и найдем окрестность нуля U в Е, для которой
Fa(U) С V/2 при всех а. Выберем точки bi,... ,ЬП из линейной
оболочки А, для которых S С [Jl=i(U + Ьг), что возможно при
наших условиях. Возьмем од так, что Fabi Ε V/2 при а ^ од,
г = 1,..., п. Тогда Fa(S) Ε V при а ^ од, ибо для s Ε S имеем
s e bi + U при некотором г ^ п, откуда Fas Ε Fabi + Fa(U) С V.
Если в Ε есть счетное всюду плотное множество {αη}, то на Е'
задана метрика d(f,g) = Σ™=ι 2-nmin(|/(an) - #(an)|,l). Эта
метрика порождает топологию поточечной сходимости на
элементах {an}, поэтому на равностепенно непрерывных множествах
она порождает топологию поточечной сходимости. Несколько
более общий факт будет установлен в предложении 1.12.16. D
1.9.6. Предложение. Непрерывность линейного
функционала f на топологическом векторном пространстве Ε
равносильна замкнутости его ядра.
Доказательство. Если функция / непрерывна, то
множество /_1(0) замкнуто. Пусть множество G = Кег/ (являющееся
векторным подпространством в Е) замкнуто. Если G = Е, то
f(x) = 0 для всех χ Ε Е. Если G ^ Ε и а е E\G, то в силу
замкнутости G существует такая закругленная окрестность нуля V',
что (a + V) PiG = 0. Мы покажем, что функционал /наУ
ограничен; это будет означать, что / непрерывен. Положим /(a) = а.
Если множество значений функционала / на V не ограничено,
то существует элемент ζ Ε V такой, что \f(z)\ > \а\. Поэтому
1.9. Линейные операторы
93
\a/f(z)\ < 1, откуда z\ — —az/f(z) Ε V в силу
закругленности V, так что а + z\ Ε а + V. Этому включению противоречит
равенство f(a + z\) = f(a) — af(z)/f(z) = О, означающее, что
а + z\ Ε G (напомним, что (а + V) Π G = 0). D
1.9.7. Замечание. Сейчас было проведено
«непосредственное» доказательство. Его, однако, можно несколько упростить,
воспользовавшись понятием факторпространства. А именно:
если G = Кег/ — замкнутое подпространство в Е, то /
представляет собой композицию двух отображений: непрерывного
канонического отображения Ε на отделимое (в силу замкнутости G)
факторпространство E/G и некоторого линейного
функционала д на E/G, непрерывного в силу отделимости и
одномерности E/G.
Следующее предложение является усилением предыдущего.
1.9.8. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, А — его выпуклое закругленное
подмножество, f — линейный функционал на Е. Для того чтобы
сужение f на А было непрерывно в топологии, индуцированной из
пространства Е, необходимо и достаточно, чтобы множество
А П Кег / было замкнутым в А в индуцированной топологии.
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем
достаточность. Если / = 0 на А, то доказывать нечего. Пусть
существует элемент χ Ε Д для которого f(x) φ 0.
Мы докажем сначала, что, каково бы ни было ε > 0,
существует такая окрестность нуля V в Е, что |/(#)| < ε при χ Ε AC\V. Это
будет означать непрерывность /|д (сужения / на А) в нуле;
затем мы покажем, что из непрерывности функционала /|д в нуле
вытекает его непрерывность всюду. В силу закругленности А
существует такое a Ε Д что 0 < f(a) < ε. Тогда а <£ (2А)П Кег /, ибо
(2А)П Кег/ = 2(АП Кег/), причем последнее множество
замкнуто в 2А. Поэтому существует такая окрестность нуля V в Е, что
множество а + V не пересекается с (2А) Π Кег/. Отсюда следует,
что при χ Ε V Π А справедливо неравенство \f(z)\ < |/(α)|.
Действительно, в противном случае ввиду закругленности множества
VH А существует такой элемент ζ Ε ΫΠ А, что f(z) = —/(α). При
этом f(z + α) = 0, так что ζ + α Ε Кег/; в то же время, так как
множество А выпукло, ζ + α Ε (2Α) Π (α + V), что
противоречит соотношению (a + V) Π ((2А) Π Кег/) = 0. Таким образом,
непрерывность функционала /|д в нуле доказана.
94
Глава 1. Введение в теорию
Покажем, что из непрерывности /|д в нуле следует
непрерывность на А. Пусть V — такая закругленная окрестность нуля в Е,
что \f{x)\ < ε при χ е V Π А, и W — закругленная окрестность
нуля в Е, для которой W + W С V. Мы утверждаем, что если
a Ε А, х Ε (а + И^)ПЛ, то |/(ж) —/(а)| < 2ε (что и означает
непрерывность /|л в точке а). В самом деле, если ж G (а + W) Π Д то
ж - а Ε ((а + ИО - (а + W)) Π (Л - А) С У Π (2Α) = 2(2"V Π Л).
Значит, выполнена нужная оценка. D
В доказательстве можно (привлекая окрестности нуля) не
использовать то, что значения / лежат в числовом поле; так
измененное рассуждение применимо и к линейному отображению /
в любое топологическое векторное пространство. Поэтому для
непрерывности сужения такого отображения на закругленное
выпуклое подмножество достаточно непрерывности этого сужения
в нуле. Предложение 1.9.6 верно и для отображений в Жп
(задача 1.12.49).
Отметим одно интересное свойство гиперподпространств.
Напомним, что множество нигде не плотно, если в его замыкании
нет непустых открытых множеств.
1.9.9. Предложение. Всякое гиперподпространство в
топологическом векторном пространстве либо всюду плотно, либо
замкнуто и тогда нигде не плотно.
Доказательство. Пусть G — гиперподпространство в
топологическом векторном пространстве Е, причем G φ G.
Поскольку G — векторное подпространство в Ε (задача 1.12.33) и G С G,
то G = Ε (векторное подпространство данного векторного
пространства F, содержащее некоторое гиперподпространство
пространства F, но не совпадающее с ним, обязано совпадать с F).
Если же G замкнуто, то оно (как и всякое замкнутое
собственное векторное подпространство) нигде не плотно. В самом
деле, если V — непустое открытое в Ε множество, причем V С G
и a Ε V, то V\ = V — а — открытая окрестность нуля в Е,
содержащаяся в G. Поэтому Ε = U^Li η^ί С G, т.е. Ε = G. D
1.9.10. Пример. На всяком бесконечномерном метризуемом
топологическом векторном пространстве есть разрывный
линейный функционал: взяв линейно независимые векторы vn —> 0,
положим l(vn) = η и доопределим I по линейности (дополнив {νη}
до базиса Гамеля).
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 95
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма
В различных разделах математики большую роль играют
теоремы о продолжении отображений. В функциональном анализе
часто используются теоремы о продолжении линейных
функционалов, первоначально определенных на векторных
подпространствах векторных (или топологических векторных) пространств
и удовлетворяющих некоторым условиям типа непрерывности
или каким-либо неравенствам. Эти теоремы могут быть
переформулированы как теоремы о расширении векторных
подпространств, не пересекающих заданное выпуклое подмножество, до
гиперподпространств. Различные варианты таких теорем обычно
называются теоремами Хана-Банаха, причем теоремы из первой
группы — теоремами Хана-Банаха в аналитической форме, а
теоремы из второй группы — теоремами Хана-Банаха в
геометрической форме. К теоремам Хана-Банаха в геометрической форме
примыкает теорема Какутани о расширениях непересекающихся
выпуклых подмножеств векторных пространств (геометрическая
форма теоремы Хана-Банаха может быть получена в качестве
ее следствия). Обо всех этих теоремах и пойдет речь ниже. Во
многих из них топология не используется.
В большинстве руководств по функциональному анализу
обычно сначала доказывается один из вариантов аналитической
формы теоремы Хана-Банаха, после чего в качестве следствия
получают теорему Хана-Банаха в геометрической форме; иногда
поступают и наоборот. В нашем изложении мы начинаем с
теоремы Какутани как наиболее «геометрической»; затем в
качестве ее следствия мы получаем геометрическую форму теоремы
Хана-Банаха, из которой выводим теорему Хана-Банаха в
аналитической форме. Приводятся и независимые доказательства двух
последних теорем, а также вывод геометрического варианта
теоремы Хана-Банаха из аналитического (что, в частности,
устанавливает их эквивалентность). Похожий метод доказательства
теорем Хана-Банаха применен в книге Хилле, Филлипс [166].
Если А, В, С, D — некоторые множества в общем
пространстве, то будем говорить, что пара (А, В) содержится в паре (С, D),
и писать (А, В) с (С, D), если А с С и В с D.
1.10.1. Теорема. (Теорема Какутани) Пусть Ε —
векторное пространство над полем вещественных чисел uV uW —
два его непересекающихся выпуклых подмножества. Тогда
существуют такие непересекающиеся выпуклые подмножества V\
и W\ пространства Е, что V С V\, W С W\ uV\\J W\ = Ε.
96
Глава 1. Введение в теорию
Доказательство. Рассуждение состоит из двух частей:
теоретико-множественной и геометрической.
Теоретико-множественная часть — доказательство того, что в множестве V всех
пар непересекающихся выпуклых подмножеств пространства Е,
содержащих пару (V,W), частично упорядоченном при помощи
введенного перед формулировкой теоремы отношения С,
существует максимальный элемент; геометрическая часть
представляет собой доказательство того, что каждый такой элемент — пара
множеств, существование которой утверждается в теореме.
Для доказательства существования в Ε максимальных
элементов нам достаточно проверить, что для V выполнены
условия леммы Цорна: если в V дана линейно упорядоченная часть
V\ = {(Va, Wa)}aeA, то пара (У, W), где V = \JaVa,W = \Ja Wa,
является мажорантой V\.
Действительно, непосредственно из определения этой пары
вытекает, что (уа, Wa) С (V, W) для каждого a Ε Λ; таким
образом, остается проверить, что множества V и W выпуклы и не
пересекаются. Если а, Ь Ε У, то существуют индексы α, β Ε Λ
такие, что a Ε Va, Ъ Ε V^; поскольку множество V\ линейно
упорядочено, то или Va С V/з, или Vp С Va. В первом случае а, Ь Ε λίβ
и, следовательно, [а, Ь] С Vp С V] во втором случае а, Ъ Ε Va и
[а, Ь] С Va С V, так что множество У выпукло; так же
доказывается и выпуклость множества W.
Покажем, что УПИ^ = 0. Если a Ε УПИ^, то a Ε VaPiWp для
некоторых а, /3 Ε Λ. Из линейной упорядоченности множества V\
вытекает, что или (Va,Wa) С (V^W^), или (V^,W/j) С (ya,Wa).
Тогда либо a eVar\ \Υβ С V# П W^, либо a eVaC\ Wa; каждое из
этих включений противоречит тому, что λίΊ Π W7 = 0 для
каждого 7 £ Λ по определению множества Р. Таким образом, для
Ρ выполнены условия леммы Цорна. Значит, множество
максимальных элементов множества V непусто; пусть (Voo, Woo) — один
из них. По определению V множества Voo и Woo выпуклы и не
пересекаются. Поэтому для проверки того, что пара (Voo, Woo)
является искомой, достаточно проверить равенство Voo U Woo = Ε.
Покажем, что если это равенство не выполняется, то пара
(Кю? Woo) не является максимальным элементом в множестве V.
Итак, пусть χ Ε Ε и χ φ. Voo U Woo- Обозначим через V^ и W^
выпуклые оболочки множеств {х} U Voo и {х} U Woo·
Мы покажем ниже, что справедливо хотя бы одно из равенств
V^n Woo = 0, Voo Π W^ = 0. В первом случае пара (V^,, Woo)
будет принадлежать множеству V и мажорировать пару (Voo, Й^оо)?
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 97
не совпадая с ней; во втором случае то же будет верно для
пары (Voo, W£>); таким образом, в обоих случаях окажется, что пара
(Кх>, Ж») не является максимальным элементом вопреки ее
выбору. Итак, переходим к доказательству того, что V^D Woo = 0 или
VcqPiW^q = 0. Предположим, что это не так, т. е. существуют
элементы с Ε V^flWoo и d Ε VooHW^q. Так как в силу вытекающей из
последнего равенства непустоты множества Voo справедливо
равенство V£q = UzeVoofo^]' т0 существует такой элемент a Ε V^,
что с Ε [ж, а]; аналогично d Ε [ж, Ь] для некоторого Ъ Ε Woo-
Не ограничивая общности, мы можем считать, что χ = 0
(чтобы этого добиться, достаточно все рассматриваемые множества и
элементы заменить их образами при сдвиге ζ ι—> ζ — χ; при этом
образом элемента χ как раз и будет нулевой элемент).
Таким образом, с Ε [Ο,α], d G [0, Ь], так что с = λα, d = vb,
λ, ν Ε [0,1] (отметим, хотя это и не используется дальше, что
в действительности λ, z/ Ε (0,1)). Покажем, что отрезки [с, Ь] и
[с?, а] пересекаются; так как [с, Ь] С Woo, а [с?, а] С Voo (ввиду
выпуклости множеств Woo и Voo), то это означает, что пересекаются
и множества Woo и Voo вопреки включению (Voo, Woo) £ ^·
Наша цель — доказать, что существует ζ Ε [с, Ь] Π [d, α].
Включение ζ Ε [с, Ь] равносильно равенству
z = tc+(l-t)b = tXa + (1 - ί)6, t Ε [0,1],
а включение ζ Ε [d, а] равносильно равенству
ζ = rd + (1 - τ)α = rub + (1 - τ)α, τ Ε [0,1].
Таким образом, для доказательства существования элемента ζ
в [с, Ь] Π [d, а] достаточно доказать, что существуют такие числа
t,rG [0,1], что справедливо равенство
tXa + (1 - t)b = rub + (1 - т)а;
для его справедливости, в свою очередь, достаточно
одновременного выполнения равенств
tX = 1 — τ, τν — 1 — £.
Последняя система уравнений совпадает со следующей:
τ + ίλ = 1, τι/ + ί = 1;
эта последняя система разрешима, каковы бы ни были г/, λ Ε [0,1],
причем всегда существует такое ее решение (г, £), что г Ε [0,1],
£ Ε [0,1]. Действительно, если ζ/, λ Ε [0,1], то определитель 1 — ζ/λ
98
Глава 1. Введение в теорию
рассматриваемой системы обращается в нуль лишь в случае,
когда ν = X = 1, т. е. когда оба образующих ее уравнения
совпадают (в действительности, как следует из сказанного выше, этот
случай невозможен), а тогда τ = t = 1/2 — решение системы,
-удовлетворяющее условию τ G [0,1], t G [0,1]. Если же 1 — Хи Φ О,
то решение системы дают равенства τ = γΞχί;, t = γΞ^- Так
как λ, ν G [0,1], 0 < 1 - λ < 1 - Χν, 0 < 1 - ν < 1 - Χν, то
τ,ί G [0,1]. Итак, отрезки [с,Ь] и [d,а] пересекаются. Тем самым
доказательство теоремы закончено. D
1.10.2. Теорема. Пусть Ε — топологическое векторное
пространство над полем вещественных чисел, V и W — его
непустые выпуклые подмножества, причем V PiW = 0, V UW = Ε
и G = V Π W. Тогда или G = Ε, или G — гиперплоскость в Е.
Доказательство. Покажем сначала, что G — линейное
многообразие. Предположим, что а, Ъ G G, и докажем, что для
всякого t G IR справедливо равенство c(t) = ία+(1—t)b G G. Если это не
так, то для некоторого to G IR получим c(to) = t$a + (1 — to)b £ G\
для определенности будем считать, что c(to) $. V (аналогично
рассматривается случай c(to) £ W). Таким образом, c(to) —
элемент открытого множества Ε \ V, содержащегося, ввиду
равенства V U W = Е, во внутренности W множества W, т. е. имеем
c(to) G W. Заметим, что to £ [0,1], так как иначе было бы
справедливо включение c(to) G G (ввиду выпуклости G). Рассмотрим
два случая: когда to > 1 и когда to < 0. В первом из них
а = t^c(t0) - ίο χ(1 " *о)Ь, t^1 + t^1 (-(1 - to)) = 1,
так что a G [с(£о),Ь); во втором —
Ь = (1 - ίο)_1φο) - (1 -ίο)_1ίοα, (1"ίο)"1 + (1 - ίοΓ^-ίο) = 1,
так что Ъ G [c(to)jfl)· Поскольку c(to) G W и Ъ G W, то по
предложению 1.4.1 в первом случае a G W, значит, в силу равенства
V HW = 0, входящего в условие теоремы, а £ V, что
противоречит включению a G G = VPiW. Аналогично во втором случае из
того же предложения и включения c(to) G W следует, что Ъ G W
в противоречие с включением Ъ G G. Итак, доказано, что G —
линейное многообразие.
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 99
Покажем теперь, что если G Φ Ε, то G — гиперплоскость
в Е. Пусть a Ε Ε \ G и для определенности а <£ W, так что
a Ε V, ибо V U W = Е. Из последнего равенства в силу
связности топологического векторного пространства и непустоты
множеств V и W следует, что G = V Π W φ 0. Пусть Ъ Ε G. Не
ограничивая общности, мы можем считать, что Ъ = 0, так что
G — векторное подпространство. Чтобы доказать, что G —
гиперплоскость, достаточно убедиться, что для всякого ζ Ε Ε
существуют элементы cq Ε G и £ Ε IR такие, что г = с$ + ta.
Так как α Ε V\ то —α ^ У (т.е. —α Ε VT), поскольку из
включения —а Е V и включения а Е У вытекает (в силу все того
же предложения 1.4.1), что а/2 + (—а)/2 = 0 Ε У, тогда как
в действительности 0 е G С W С Ε \V. Для определенности
будем считать, что ζ Ε V (случай ζ Ε W рассматривается
аналогично). Тогда множество [—α, ζ] Π G непусто. Действительно,
[—а, г]П(?= ([—а, г] Π У) Π ([—а, г] Π W), причем множества,
стоящие в круглых скобках справа, замкнуты в [—α, ζ] и непусты, их
объединение совпадает с [—а,г], а сам отрезок [—α,ζ] — связное
множество. Пусть d Ε [—а,г] Π G. Тогда d = τζ + (1 — т)(—α)
для некоторого τ Ε [0,1]; так как —а £ V, то τ φ 0; поэтому
ζ = d/r + (1 — т)а/т, что и требовалось доказать. D
Отметим, что никаких топологических ограничений на V и W
в теореме нет.
1.10.3. Замечание. В конце доказательства этой теоремы
было показано, что если в ее предположениях υ\ Ε W, V2 Ε У, то
[vbV2]nG^0.
1.10.4. Замечание. Если Ε — векторное пространство над
полем вещественных чисел, то множество А С Ε называется
конечно открытым (Хилле, Филлипс [166, с. 25]), если его
пересечение с каждым конечномерным подпространством
открыто (в единственной отделимой топологии этого подпространства,
превращающей его в топологическое векторное пространство, т. е.
в обычной евклидовой топологии).
Множество всех конечно открытых подмножеств векторного
пространства Ε образует топологию tq в Е, называемую конечно
открытой] она является самой сильной среди всех топологий,
которые индуцируют в каждом конечномерном подпространстве
евклидову топологию.
100
Глава 1. Введение в теорию
Обозначим еще через т\ самую сильную среди всех локально
выпуклых топологий в Ε и через Т2 самую сильную среди всех
топологий в Е, согласующихся со структурой векторного
пространства. Можно показать, что если Ε обладает не более чем
счетным алгебраическим базисом, то все эти три топологии
совпадают; если же нет — то все они различны (см. задачу 1.12.31
и пример prim2.3.4). Но и в последнем случае запас открытых
выпуклых множеств одинаков во всех этих трех топологиях.
1.10.5. Определение. Точка a Ε Ε назовем с-внутренней
(или алгебраически внутренней) для множества А С Е, если
выполнено следующее условие:
\/х е Ε 3ε > 0: (а - εχ, α + εχ) С Α.
Алгебраическим ядром множества назовем множество всех его
алгебраически внутренних точек.
Назовем множество с-открытым (или алгебраически
открытым), если все его точки являются с-внутренними (т.е. оно
совпадает со своим алгебраическим ядром); иначе говоря, множество
с-открыто, если оно пересекается с каждым одномерным
линейным многообразием в Ε по множеству, открытому в этом
многообразии, наделенном стандартной евклидовой топологией.
Даже на обычной плоскости Ш2 есть с-открытые множества,
не являющиеся открытыми. Таково, например, дополнение к
множеству {(х\,Х2) G И2: Х2 = х\,х\ > 0}. Однако каждое с-от-
крытое выпуклое подмножество произвольного векторного
пространства является открытым в каждой из только что
определенных топологий го, τι, Τ2· Более того, всякая с-внутренняя точка
выпуклого подмножества векторного пространства является в то
же самое время и внутренней в локально выпуклой топологии τ\.
Если выпуклое множество имеет топологически внутренние
точки, то его топологическая внутренность совпадает с
алгебраической (задача 1.12.81).
Можно показать (сделайте это), что Г является
гиперплоскостью в £ в том и только том случае, когда существуют
(ненулевой) линейный функционал / на Ε и скаляр а, для которых
Г = {х G Е: f(x) = а}. Если гиперплоскость Г не является
векторным подпространством, т. е. если а ф 0, то последним
соотношением функционал / определяется однозначно.
Если Г — гиперплоскость в векторном пространстве Ε и / —
функционал, о котором шла речь в предыдущем абзаце, то
множества {х: f(x) ^ а} и {х: f(x) ^ а} называются замкнутыми
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 101
полупространствами, определяемыми гиперплоскостью Г, а
множества {х: f(x) < α}, {χ: f(x) > a} — открытыми
полупространствами, определяемыми ею (даже если нет топологии в Е).
Первые два полупространства в самом деле замкнуты, а
вторые два — открыты в сильнейшей локально выпуклой топологии
на Ε (в этой топологии замкнуты вообще все векторные
подпространства). Однако из того, что в локально выпуклом
пространстве Ε замкнуты все векторные подпространства, вообще говоря,
не следует, что в Ε не существует более сильной локально
выпуклой топологии.
Если Ε — ненулевое топологическое векторное пространство,
а гиперплоскость Г замкнута в Е, то определяемые ею
замкнутые полупространства замкнуты, а открытые — открыты и в
исходной топологии Е; при этом замкнутые полупространства
являются замыканиями открытых (задача 1.12.40). Напомним (см.
предложение 1.9.6), что непрерывность линейной функции /
равносильна замкнутости ее ядра, значит, замкнутости
гиперплоскости {х: f(x) = а} при каком-нибудь (а тогда и при всех) а.
Введем еще одно важное понятие.
1.10.6. Определение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, Г — замкнутая гиперплоскость в Е, А и В —
подмножества Е. Говорят, что Г разделяет множества А и В,
если А и В содержатся в различных замкнутых
полупространствах, определяемых Г. Если же А и В содержатся в
различных открытых полупространствах, определяемых V, то
говорят, что Г строго разделяет А и В.
1.10.7. Замечание, (i) Если множества А и В открыты, то
разделяющая их гиперплоскость и строго их разделяет.
(и) Из определения вытекает, что множества А и В в
топологическом векторном пространстве Ε могут быть разделены
замкнутой гиперплоскостью в том и только том случае, когда на
пространстве Ε существует такой линейный непрерывный
функционал /, что f(a) ^ f(b) для всех a Ε А, Ъ Ε В\ эти множества
могут быть строго разделены гиперплоскостью в точности тогда,
когда Да) < f(b) для всех α G А, Ъ Ε В.
(Hi) Замкнутая гиперплоскость Н, проходящая через точку
множества А, называется опорной, если А целиком лежит в одном
из двух полупространств, задаваемых Н.
Основной результат о разделении выпуклых множеств
состоит в следующем.
102
Глава 1. Введение в теорию
1.10.8. Теорема. Пусть Ε — вещественное топологическое
векторное пространство, А и В — его выпуклые подмножества,
причем множество В и внутренность А множества А
непусты и не пересекаются. Тогда существует замкнутая
гиперплоскость Г, разделяющая А и В.
Доказательство. Как мы знаем, существуют
непересекающиеся выпуклые множества V, W С Е, для которых i С V,
В CW, VUW = Ε. Положим G = VriW. Так как VriW = 0,
следовательно, V Π G = 0, то из непустоты А вытекает, что G φ Ε.
Из предыдущей теоремы следует, что G — гиперплоскость в Ε
(здесь важно, что W и V непусты). Можно считать, что G —
гиперподпространство. Пусть / — линейный функционал, ядром
которого является G. Так как V Π G = 0, то на выпуклом
множестве V функционал / сохраняет знак; будем считать для
определенности, что f(x) > 0 при χ G V (тем самым f(x) > 0 при
χ е А). Поскольку УП(? = 0и7/0, то Сне является всюду
, плотным, следовательно, замкнуто. Каждая точка χ Ε А
является предельной для точек множества (ж, а], где а е Д
содержащегося в А. Поэтому f(x) ^ 0 для всех χ Ε А. Кстати, в этом
рассуждении используется только непрерывность сужения / на
отрезок [ж, а] и не используется непрерывность / на Ε (хотя она
имеет место в силу замкнутости G); на одномерном пространстве
любой линейный функционал непрерывен. Таким образом, чтобы
показать, что G разделяет А и Б, осталось доказать, что f(x) < 0
при χ е В. Если f(b) > 0 для некоторого Ь G β, то для всякого
χ Ε А на отрезке [ж, Ь] функционал / не обращается в нуль (он
линеен и на концах отрезка принимает значения одного знака).
Это означает, что [ж, Ь] Π G = 0, вопреки замечанию 1.10.3. D
Предположение о непустоте внутренности одного из множеств
А и В существенно в этой теореме.
1.10.9. Пример. Пусть JRl·00' — топологическая прямая
сумма счетного семейства вещественных прямых, т. е. множество всех
последовательностей вида (#ι,..., хП10,0,...), наделенное
сильнейшей локально выпуклой топологией, порожденной всеми
полунормами (общие прямые суммы обсуждаются в следующей
главе). Пусть А — подмножество Шл°°\ состоящее из векторов (хп),
у которых последняя ненулевая компонента положительна. Это
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 103
множество выпукло, так как если х,у G А имеют последние
ненулевые компоненты хп > 0 и ут > 0, где η ^ га, то хпЛ-уп > 0. Если
G — гиперплоскость в Шл°°) (заметим, что всякая гиперплоскость
замкнута, ибо всякая линейная функция на Шл°°)
непрерывна ввиду нашего выбора топологии), V и W — определяемые
ею открытые полупространства, то AdV ^ 0 и AdW ^ 0. См.
также пример с неразделимыми замкнутыми выпуклыми
множествами в пространствах I1 и I2 в задаче 1.12.72.
Приведем условие строгой разделимости.
1.10.10. Теорема. Пусть F, К — выпуклые подмножества
локально выпуклого пространства Ε над полем вещественных
чисел, причем F замкнуто, а К компактно и К Π F = 0. Тогда
в Ε существует замкнутая гиперплоскость, строго
разделяющая F и К.
Доказательство. Так как F замкнуто, то для каждой
точки a G К существует такая выпуклая закругленная окрестность
нуля У, что
{a + V)n{F + V) = 0. (1.10.1)
Действительно, в силу замкнутости F существует такая
выпуклая закругленная окрестность нуля, что
{a + W)C\F = 0. (1.10.2)
Чтобы получить (1.10.1), достаточно положить V = W/2. В
самом деле^ в этом случае при ζ G (V + F) Π (α + V) существуют
z\ G V, Z2 G V, χ G F такие, что а + ζχ = ζ = Z2 + х-, т. е.
a + z\ — Z2 = x. Поскольку a + z\ — Z2 G a + W/2 — W/2 С a + W,
но это противоречит (1.10.2).
Для каждого а £ К найдем такую закругленную выпуклую
открытую окрестность нуля Wa, что (a+Wa)Pi(F+Wa) = 0.
Множества а + Wa образуют открытое покрытие компакта К. Пусть
{αϊ + Wai} — некоторое конечное подпокрытие. Для окрестности
Wf = П?=1 W^ имеем (F + Wf) Π (UIUK + W^j) = 0. Тем
самым (F + Wf) ПК = 0.
Положим W' = Wf/2. Тогда (К + W')C\(F + W') = 0;
доказательство этого совершенно аналогично доказательству
соотношения (1.10.1) для V = W'/2. Пусть G — замкнутая гиперплоскость,
разделяющая открытые выпуклые множества К + W' и F + W'.
Ввиду замечания 1.10.7(i) она строго разделяет эти множества;
тем более она строго разделяет К и F. D
104
Глава 1. Введение в теорию
1.10.11. Замечание. В силу замечания 1.10.7(i) заключение
этой теоремы равносильно существованию на Ε такого
непрерывного линейного функционала /, что f{x\) < /(#2) для всех
χι £ К, Х2 € F. В действительности из условий доказанной
теоремы вытекает более сильное заключение: в этом случае на Ε
существует такой линейный непрерывный функционал /, что
sup f(x) < inf f(x).
хек X^F
В самом деле^ пусть G и W' — те же, что и в доказательстве
теоремы, и / — непрерывный линейный функционал на Е, ядром
которого служит G и который принимает положительные
значения на открытом полупространстве, содержащем F. Положим
7 = supxG^ /(#)· Пусть а — элемент К, на котором / принимает
значение η. Найдется такой элемент Ъ Ε W', что f(b) Φ 0, ибо
замкнутая гиперплоскость нигде не плотна. Можно считать, что
f(b) > 0, заменяя в противном случае Ь на — Ъ. Поскольку G
разделяет множества К + W и F + W1\ то для всех х\ Ε К, x<i Ε F
справедливы соотношения
/(xi) < 7 < 7 + f(b) = /(о) + f(b) = f(a + b)< f(x2),
где α + b Ε К + W7, так что справедливо доказываемое нами
неравенство.
1.10.12. Теорема. (Теорема Хана-Банаха в
геометрической форме) Пусть Ε — вещественное топологическое
векторное пространство, V — его непустое открытое выпуклое
подмножество и G — замкнутое линейное многообразие в Е, не
пересекающее V. Тогда в Ε существует замкнутая
гиперплоскость, содержащая G и таксисе не пересекающая V.
Доказательство. По теореме 1.10.8 существует замкнутая
гиперплоскость i?o, разделяющая V и G. Эта гиперплоскость не
пересекает У, ибо V открыто.
Пусть g — такой непрерывный линейный функционал на Е,
что Щ = {х е Η: g(x) = α}, где a Ε Ж, и, например, g(x) > a
для всех χ е V и д(х) ^ а для всех χ Ε G. Тогда существует
такое β Ε К, что д(х) = β для всех χ Ε G. В самом деле^ если
линейная функция д непостоянна на линейном многообразии G, то
множество ее значений есть К1, что невозможно, ибо д ^ а на G.
Разумеется, β < а. Множество {х е Е: д{х) = β} представляет
собой гиперплоскость, содержащую G и не пересекающуюся с V.
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 105
Приведем еще одно — «непосредственное» — доказательство
этой теоремы. Обозначим через Vq частично упорядоченное
множество всех векторных подпространств пространства Е,
содержащих подпространство G и не пересекающих V.
Совсем просто проверяется (сделайте это), что множество Vq
удовлетворяет условиям теоремы Куратовского-Цорна; поэтому
в Vq существуют максимальные элементы; пусть Gm — один из
них. Таким образом, Gm — векторное подпространство
пространства Е, обладающее следующими свойствами:
(a) G С Gm; (б) Gm Π V = 0; (в) если L — векторное
подпространство пространства Е, содержащее Gm и не пересекающее У,
то L = Gm.
Покажем, что из того, что GfYi обладает тремя этими
свойствами, вытекает, что Gm — гиперподпространство,
существование которого утверждается в теореме.
Пусть Eq — топологическое векторное факторпространство
пространства Ε по его подпространству Gm. Тогда Gm —
гиперподпространство в точности тогда, когда Eq одномерно.
Таким образом, чтобы доказать, что Gm —
гиперподпространство, достаточно показать, что dim£?o — 1· Сейчас мы это и
сделаем. Из (б) и (в) вытекает, что Gm замкнуто. В самом деле,
замыкание Gm подпространства Gm представляет собой векторное
подпространство пространства Е, содержащее Gm и не
пересекающееся с множеством V (в силу того, что последнее открыто
и Gm его не пересекает). Поэтому Gm = Gm в силу (б). Значит,
пространство Eq отделимо. Обозначим через Vo образ V в Eq
относительно канонического отображения Φ: Ε —> Eq; Vq —
открытое выпуклое подмножество Eq, причем 0 ^ Vo, ибо V Π Gm = 0.
Предположим теперь, что dim£?o > 1, и покажем, что тогда
в Eq существует нетривиальное векторное подпространство Go,
не пересекающее Vo- Его прообраз Ф_1(Со) относительно
канонического отображения будет тогда векторным подпространством
в Е, содержащим Gm и не пересекающим V (так как Go Π Vo = 0,
то Ф_1(Со) Π Φ_1(νο) = 0, а поскольку V С Ф_1(Уо), то тем
более Ф_1(Со) Π V = 0). Поэтому в силу (в) должно выполняться
равенство Ф_1(Со) = Gm, но оно противоречит соотношениям
Ст = ф-1(0), G0#{0}.
Итак, осталось показать, что если dim£?o > 1, то в Ео
существует векторное подпространство Go положительной
размерности, не пересекающее Vo. Пусть ei, e<i — линейно независимые
элементы в Eq и £(βι,β2) — порожденное ими в Eq векторное
106
Глава 1. Введение в теорию
подпространство. Если £(βι,β2) Π Vo = 0, то можно положить
Go = £(βι,β2); предположим поэтому, что £(ei,e2)nVb = V\ Φ 0,
и покажем, что в С{е\,е2) имеется одномерное подпространство,
не пересекающее V\. Для каждого ψ Ε [0,2π) обозначим через
к (φ) множество («луч») {A(ei cos φ + β2 sin у?): λ > 0}. Поскольку
V\ выпукло и 0 ^ V\, то для каждого φ справедливо хотя бы одно
из равенств к (φ) Π V\ = 0, (—&(<£>)) Π Vi = 0.
Действительно, если это не так и λια(<ρ) Ε Vi, λ2α(<^) Ε Vi,
где α(<£>) = eicos^? + e2sin<£>, λι > 0, λ2 < 0 (равенства λ^ = 0
исключаются, так как 0 ^ Vi), то, поскольку выпуклая
комбинация -—Χια(φ) + -—А2а(<£>) элементов \\α(φ) и \2α(φ)
Αι + |Α2| Αι + |Α2|
обращается в нуль, оказывается, что 0 Ε Vi, но это неверно.
В частности, выполняется хотя бы одно из равенств &(0)nVi = 0,
(-Л(О)) Π Vi = 0. Меняя, если это необходимо, обозначения, мы
можем и будем считать, что справедливо первое из них.
Положим теперь
<^m = sup{^E [0,2тг): %>i)nVi = 0 V(^i Ε [0,^]}
и покажем, что (—к^т) U к((рт)) Π Vi = 0. Это будет означать,
что с Vi не пересекается одномерное пространство, порожденное
элементом а(у?т); этим подпространством и является множество
{0} Π fc(<pm) U (—&(<£>m)). Предположение, что к{1рш) PiVi Φ 0,
противоречит определению y?m в силу открытости Vi- В самом
деле, если Aa(<pm) Ε Vi, А > 0, то в силу непрерывности
отображения φ ι—> α(φ), [0,2π) —> С{е\,е2) существует такое ε > 0, что
Аа((^т -ε) Ε Vi.
Далее, если — Аа(<^т) Ε Vi, то ввиду открытости Vi
существует такое 5 > 0, что для всех ε Ε [0,5) справедливо включение
—Аа((^т + ε) G Vi. В то же время, согласно определению у?т,
среди таких ε существует ε7, для которого fc(y>m + ε7) Π Vi 7^ 0, т.е.
λια(<ρ™ + ε7) Ε Vi для некоторого Αχ. Из последних двух
включений с помощью выкладки, основанной на выпуклости V\ и
аналогичной приведенной выше, вытекает неверное включение 0 Ε Vi.
Итак, доказано, что в С{е\,е2) существует подпространство,
не пересекающее Vi = Vo Π £(βι,β2); его и можно принять за Go.
Таким образом, второе доказательство теоремы завершено. D
В следующем параграфе обсуждается еще один подход.
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма
107
1.11. Теорема Хана—Банаха: аналитическая форма
Изложенные выше результаты о разделении выпуклых
множеств можно представить в форме некоторых неравенств;
поэтому говорят о теореме Хана-Банаха в аналитической форме.
1.11.1. Теорема. Пусть Ε — вещественное векторное
пространство, Eq — его векторное подпространство, ρ —
сублинейная функция (см. § 1.4) на Е, принимающая конечные значения,
f — линейный функционал на Eq, причем для каждого χ Ε Eq
справедливо неравенство
f(x)^p(x). (1.11.1)
Тогда существует линейный функционал f на Е, сужение
которого на Е\ совпадает с f и который всюду на Ε удовлетворяет
неравенству f(x) < р{х). Иначе говоря, f можно продолжить
на все пространство Ε с сохранением неравенства (1.11.1).
Доказательство. Мы положим G = Ε χ К, G0 = Е0хЖ,
V = {(χ, t) Ε G: же£, p(x) < t} и обозначим через те и tq
сильнейшие локально выпуклые топологии в Ε и G соответственно.
Проверим, что V выпукло и открыто в топологии tq. Если
(ζι,ίι), (я2,*2) eV> *е[0,1], (яз,«з) = А(жь<1) + (1-А)(ж2,*2),
тор(жз) ^ λρ(χι) + (1 — Х)р{х2), ^з — λίι + (1 — λ)^2· Так как, кроме
того, р(хг) < ti, р(х2) < *2, то р(х3) < Xp(xi) + (1 - Х)р(х2) < *з,
так что (жз^з) £ V. Значит, V выпукло.
Открытость V в топологии tq вытекает из непрерывности
в этой топологии функции (x,t) ·—> t — р(х) из ЕхЖ в К,
следующей из непрерывности на (Ε,τε) сублинейной функции ρ (см.
упражнение 1.12.38). Установленные свойства множества V будут
нужны для применения теоремы 1.10.12.
Обозначим через Г график / на Е$\ Г —
гиперподпространство Go- Заметим, что из оценки f(x) ^ р(х) при χ £ Eq вытекает,
что ГПУ = Tn(VnG0) = 0. В самом деле, если (ζ,ί) e ГПУ, то
р(х) < £, ибо (ж,£) G У; с другой стороны, t = f(x), ибо (x,t) Ε Г,
так что f(x) > р(х) для некоторого χ Ε £?о? что невозможно.
В силу теоремы 1.10.12 существует гиперподпространство Гт
пространства G, содержащее Г и не пересекающееся с V
(множество Г замкнуто в топологии tq)· Покажем, что Гт есть график
линейного функционала / на Е, являющегося продолжением /
и удовлетворяющего для всех χ Ε Ε неравенству f(x) ^ р(х)·
108
Глава 1. Введение в теорию
Достаточно проверить три вещи:
(а) то, что Гт — график какой-то функции Ε —> Ж; тогда
в силу того, что Гт — векторное подпространство, эта функция
автоматически окажется линейной;
(б) равенство Гт Π G\ = Г — тогда этот функционал будет
продолжением /;
(в) выполнение требуемого неравенства для / при всех χ G Ε.
Для проверки (а) покажем, что если (#ο? ^ι) GTm, (#o? t2) GTm,
το t\ = t2. Если это не так, то р(хо) < Ati + (1 — A)t2 ПРИ некотором
λ G К. Например, при t\ > t2 это неравенство выполняется, если
λ = (р(ж0) - 2t2 + ίι)/(ίι - <2). Поэтому (a:0,Aii + (1 - \)t2)eV,
но ввиду соотношения У Π Гт = 0 это противоречит
включению (^ο,λίι + (1 — λ)^) G Гт, вытекающему, в свою очередь, из
включений (χο,ίχ) G Гт, (xo,t2) G Гт и линейности Гт.
Докажем (б). Прежде всего, Г С Гт Π Gi, так как Г С Гт
и Г С G\\ таким образом, достаточно показать, что Г С Гт Π G\.
Пусть χ G (Гт Π Gi)\r. Так как Г — гиперподпространство в Gi,
то наименьшее подпространство Τ пространства G\, содержащее
Г и ж, совпадает с G\ и потому пересекается с V (даже содержит
VflGi). Однако это противоречит тому, что TmnV = 0, Τ С Гт
(это включение вытекает из включений χ G Гт, Г С Гт).
Наконец, оценка f(x) ^ р(х) для всех χ G Ε вытекает из
равенства VГ\Тт = 0, ибо если f(xo) > р(хо), то (xo/f(xo)) G V,
что в силу включения (xo,f(xo),xo) G Гт противоречит только
что приведенному равенству. D
Если ρ — полунорма, то (1.11.1) равносильно оценке |/| ^ р,
но этот случай отдельно отмечен ниже в теореме 1.11.7.
Доказанную теорему в большинстве учебников по
функциональному анализу и называют теоремой Хана-Банаха (в полном
соответствии историческому порядку открытия обсуждаемых
результатов). Поэтому стоит привести еще ее непосредственное
доказательство (не опирающееся на геометрический вариант этой
теоремы). Обычно оно и приводится в учебных курсах.
Пусть V — частично упорядоченное множество, состоящее из
всевозможных пар (g, F), где F — линейное подпространство в Е,
содержащее Е\, д — линейный функционал на F, являющийся
продолжением функционала / и удовлетворяющий для каждого
χ G F неравенству д(х) < р(х).
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма
109
Порядок в V вводится так: (#i,Fi) < (52,^2) в том и только
том случае, если F\ С F<i и g<i является продолжением д\.
Непосредственно проверяется, что для V выполнены условия
теоремы Куратовского-Цорна. Поэтому в V существуют
максимальные элементы; обозначим через (до,^о) один из них и покажем,
что Fo = Ε. Это и будет означать, что областью определения
функционала до является все Е, т. е. что до и является тем
продолжением функционала /, существование которого требовалось
доказать.
Если Fo Φ Ε, то пусть хо Ε F, хо <£ Fo. Обозначим через F\
подпространство в F, порожденное хо и Fo, и покажем, что
вопреки максимальности (go,Fo) существует такое продолжение д\
функционала до на i*\, что (#i,Fi) Ε V. Если ζ Ε Fi, то
существуют (однозначно определяемые) а Е Fq и а Е К, для которых
ζ = а + сххо-
Далее, если д\ — тот функционал на i*\, существование
которого мы хотим доказать, то
9\{?) = 5о(а) + <*gi(x0) ^ р(а + ах0), (1.11.2)
ибо до(х) = 9ι{χ) на Fo и а Е Fo. С другой стороны, если
можно выбрать д\{хо) таким образом, чтобы последнее неравенство
было справедливо при всех α и а, то функционал, определяемый
посредством (1.11.2), будет требуемым.
Покажем, что такой выбор д\{хо) действительно возможен.
Для этого рассмотрим (1.11.2) отдельно для а > 0 и а < 0 (при
а = 0 это неравенство выполняется при любом выборе gi(xo), так
как (go,Fo) Ε V). Если а > 0, то (1.11.2) равносильно неравенству
51 (яо) <р(- + xoj -5o(-J;
если а < 0, то оно преобразуется так:
5о(—) -5i(zo) <р(~ жо)>
что равносильно неравенству
Таким образом, число 5ι(^ο) должно быть выбрано так, чтобы
при αϊ, α2 Ε Fo и αϊ, α2 Ε (0, оо) выполнялись неравенства:
р(— +хо) -5о( —) > 9i(xo) > -Р\— хо) ~5о( —)·
\а2 / V«2/ V—αϊ / \αι/
по
Глава 1. Введение в теорию
Чтобы такой выбор был возможен (напомним, что хо —
фиксированный элемент Е), необходимо и достаточно, чтобы было
выполнено неравенство
mf{p(b + x0)-go(b): beF0}^sup{-p(-b-x0)-9o(b): Ь е F0}
или, что равносильно, для каждых 6χ, Ъ2 £ Fq ~ неравенство
p(h + хо) - go(h) ^ -р(-Ь2 - хо) - go(h).
Последнее неравенство справедливо, так как
go(bi)-g0(b2)^p(bi-b2)=p(bi+x0-b2-xo)^p(bi+xo)+p(-b2-xo)
ввиду сублинейности р.
1.11.2. Замечание. Условие, что функционал ρ конечен,
существенно для справедливости теоремы Хана-Банаха в
аналитической форме. Действительно, пусть Ε = К2, а функционал
р: К2 —> IR определяется так: ρ(#ι, х2) = 0, если х2 > 0 или если
Х2 = 0, но χι ^ 0; в остальных случаяхр{х\, х2) = оо (это
функционал Минковского множества {(xi,x2) G К2: p(xi,x2) < 1}).
Положим Ει = {(#1,0): χι G К} и f(xi,0) = —χχ. Тогда f(x) ^ ρ{χ)
для χ = (xi,x2) G Ει, однако на Ε не существует линейного
функционала, являющегося продолжением / и
удовлетворяющего аналогичному неравенству. Это вытекает из того, что в Ε не
существует прямой («гиперплоскости»), проходящей через точку
(—1,0) и не пересекающей множество {(χχ,χ2): р(хх,х2) < 1}·
Мы привели два доказательства теоремы Хана-Банаха в
аналитической форме: непосредственное (самое последнее) и
опирающееся на геометрическую форму этой теоремы; в свою очередь,
эта последняя была доказана также двумя способами: с помощью
теоремы Какутани и опять-таки «непосредственно». Таким
образом, фактически мы привели даже три различных
доказательства теоремы Хана-Банаха в аналитической форме. При этом
каждое из этих доказательств состояло из двух частей: теоретико-
множественной, опирающейся на теорему Куратовского-Цорна,
и элементарной, относящейся по существу к геометрии
двумерных пространств, так что в идейном отношении все эти три
различных доказательства очень близки.
Приведем теперь вывод геометрической формы теоремы
Хана-Банаха из аналитической.
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 111
Пусть V — непустое открытое выпуклое подмножество
топологического векторного пространства Ε и G — векторное
подпространство в Е, не пересекающее V. Требуется доказать, что в Ε
существует гиперподпространство F, также не пересекающее V.
Пусть a G V (а φ 0), Va = V — α, Ga = G — α, ρ —
функционал Минковского множества Va, Eq — векторное подпространство
пространства Е, порожденное Ga. В Е$ подмножество Ga
является гиперплоскостью (не содержащей нулевого элемента).
Обозначим через /о функционал на Е\, для которого Ga = f$ (l).
Тогда fo(x) < р(х) при всех χ Ε Eq. Действительно, если для
некоторого хо Ε Ео это не так, т.е. fo(xo) > ρ(χο)·> то для
вектора ζ = xo/f(xo) справедливы соотношения fo(z) = 1 > p(z), но
содержащееся здесь равенство означает, что ζ Ε Ga, а
неравенство — что ζ G V; таким образом, совокупность этих включений
противоречит равенству (G — а) П V = 0.
Пусть / — продолжение /о н& все Е, удовлетворяющее
неравенству из формулировки теоремы 1.11.1, G' = {хеЕ: f(x) = 1}.
Тогда Ga С С и С Π V = 0. Включение очевидно; равенство
доказывается так. Пусть χ G G'PiV; тогда f(x) = 1 и р[х) < 1 в силу
открытости V, что противоречит неравенству / ^ р. Теперь для
завершения доказательства достаточно положить F = С + а.
Перейдем к обсуждению теоремы Хана-Банаха для
комплексных пространств. Здесь возникают нюансы, связанные с
линейностью над IR и С.
Пусть X — комплексное топологическое векторное
пространство. Обозначим через Xr вещественное топологическое
векторное пространство, которое состоит из тех же элементов, что и X,
т. е. Xr и X как множества совпадают, но в Xr допускается
умножение лишь на вещественные числа. Поэтому если χ Ε Xr, χ φ 0,
то также ίχ Ε Xr, но в Xr элемент гх не есть произведение χ на
число г (это произведение в Xr не определено); более того,
элементы χ и гх в Xr линейно независимы.
Совокупности окрестностей нуля, следовательно, замкнутые
и открытые множества в X и Xr одни и те же. Так как в
определении выпуклости фигурируют лишь вещественные числа, то
множество, выпуклое в X, выпукло и в Xr (и наоборот). Таким
образом, если X — локально выпуклое пространство, то Xr —
также локально выпуклое пространство.
Отметим еще, что множество, уравновешенное в X, будет
уравновешенным и в Xr, однако обратное может быть неверно.
Пример: отрезок [—х,х].
112
Глава 1. Введение в теорию
Пространство Xr называют вещественным топологическим
векторным пространством, ассоциированным с комплексным
топологическим векторным пространством X (или
овеществлением X). В пространстве X мы можем рассматривать
комплексные и вещественные линейные многообразия, последние —
линейные многообразия в Xr. В частности, мы будем рассматривать
комплексные и вещественные гиперплоскости. Например, С1 есть
комплексная гиперплоскость в С2, но не вещественная.
Вещественное линейное многообразие не будет, вообще
говоря, являться комплексным линейным многообразием. Так,
например, комплексная прямая, проходящая через точки 0 и χ φ 0,
содержит точку гж, а вещественная прямая, проходящая через те же
точки, точку гх не содержит. Тем не менее между комплексными
и вещественными плоскостями существует тесная связь, частный
случай которой описывается следующей леммой.
1.11.3. Лемма. Всякая комплексная гиперплоскость Η β Χ
есть пересечение двух вещественных гиперплоскостей, причем
последние замкнуты в случае замкнутой Н.
Доказательство. Пусть / — такой линейный функционал
на X, что Η = {χ: f(x) = а + г/3}. Положим ψ{χ) = Ref(x)
и ψ (χ) = 1ш/(ж), χ Ε X. Без труда проверяется, что φ и ψ —
линейные вещественнозначные функционалы на Xr. Тогда ясно,
что Η = Hi Π #2, где Н\ = {χ: φ(χ) = а} и Н2 = {χ: ψ(χ) = β}.
Чтобы установить замкнутость Hi и Н2 при замкнутости ii, надо
показать, что непрерывность / влечет непрерывность φ и ψ. Это
также ясно, ибо если существует окрестность нуля V в X такая,
что \f(x)\ < ε для всех χ G У, то тем более \φ(χ)\ < ε и \ψ(χ)\ < ε
для всех таких х. D
1.11.4. Лемма. Для всякого вещественного линейного
функционала φ на X найдется единственный комплексный линейный
функционал f такой, что ψ{χ) = Re f(x) для всех χ Ε Χ, причем
если функционал φ непрерывен, то f таксисе непрерывен.
Доказательство. Положим f(x) = φ(χ) — ίφ(ίχ). Тогда
f(xi + Х2) = φ{χ\) + φ(χ2) ~ ίφ(ίχι) - ίφ(ίχ2) = f(x\) + /(^2)·
Далее, если λ вещественно, то ясно, что f(Xx) = А/(ж). Наконец,
f(ix) = φ(ίχ) — ιφ{—χ) = ί[φ(χ) — ιφ{ιχ)} = г/(ж),
f(a + ίβ)χ = f(ax) + ί{ιβχ) = af(x) + iftfx) = (α + ίβ)/(χ).
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 113
Предположим, что существует другой комплексный линейный
функционал /ι такой, что fi(x) = φ{χ) + ίψ(χ). Тогда
fi(ix) = φ{ιχ) + ίψ(ίχ) = ifi(x) = ί[φ(χ) + ίψ(χ)],
т.е. ф(χ) = —φ{ίχ), и единственность / доказана. Если
функционал φ непрерывен, то для всякого ε > 0 найдется закругленная
окрестность нуля V такая, что \φ(χ)\ < ε/2 при χ G V. Тогда
гх Ε V и потому |г<^(гж)| < ε/2, откуда \f(x)\ < ε. D
1.11.5. Следствие. Если Щ — вещественное
гиперподпространство в X, то множество Я = Но Π %Hq — комплексное
гиперподпространство в X, причем Я замкнуто, если Но
замкнуто.
Доказательство. Пусть φ(χ) = 0 — уравнение Я0. Если
χ Ε гЯд, то χ = гу, у Ε Щ. Поэтому ψ{ιχ) = (f{—y) = 0.
С другой стороны, если φ(ίχ) = 0, то гх = ζ Ε Щ и потому
χ = —ίζ. Следовательно, уравнение подпространства гЩ
имеет вид φ(ιχ) = 0. Если функционал / определяется равенством
f(x) = φ{χ) — ίφ{ίχ), то подпространство Η = {χ: f(x) = 0}
состоит из тех и только тех точек χ Ε X, для которых φ (χ) = 0
и φ(ιχ) = 0, т. е. Я = Я0 Π гЯ0. D
Переходим к доказательству геометрической формы теоремы
Банаха-Хана для комплексных топологических векторных
пространств. Ниже рассмотрена аналитическая форма.
1.11.6. Теорема. Пусть X — комплексное топологическое
векторное пространство, А — непустое открытое выпуклое
множество в X и Ρ — комплексная плоскость, не
пересекающая А. Тогда в X существует замкнутая комплексная
гиперплоскость Н, содержащая Ρ и не пересекающая А.
Доказательство. С помощью сдвига можно добиться,
чтобы плоскость Ρ проходила через нуль. В этом случае гР = Р.
В вещественном пространстве Хд, ассоциированном с X,
множество А по-прежнему открыто и выпукло, а Р — подпространство.
Следовательно, по теореме Хана-Банаха для вещественного
случая существует вещественная замкнутая, проходящая через нуль
гиперплоскость Яд, содержащая Ρ и не пересекающая А. По
лемме 1.11.4 пересечение Я = Но ПгНо — замкнутая гиперплоскость
в X, проходящая через нуль. Ясно, что А П Я = 0, и поскольку
Ρ = гР С гЯ0, то Ρ С Я. D
114
Глава 1. Введение в теорию
Аналитическая форма теоремы Хана-Банаха была доказана
выше только для вещественных пространств. Для комплексных
пространств справедлив немного более слабый вариант
аналитической формы теоремы Хана-Банаха, который сейчас и будет
доказан, причем без использования аналитической формы теоремы
Хана-Банаха для вещественных пространств (хотя есть и
доказательство, использующее ее, см. Богачев, Смолянов [21]). Точнее
говоря, теорема, которая сейчас будет приведена, верна и для
вещественных, и для комплексных пространств.
1.11.7. Теорема. Пусть Ε — векторное пространство над
полем вещественных или комплексных чисел, ρ — полунорма на
Е, Eq — векторное подпространство пространства Ε и f —
такой линейный функционал на Eq, что \f(x)\ ^ р(х) для всех
χ Ε £?о· Тогда на Ε существует линейный функционал f,
обладающий следующими свойствами:
f(x) = f(x) для χ е Е0, \f(x)\ < р(х) для χ е Е.
Доказательство. Наделим Ε топологией тр, порожденной
полунормой р. Будем считать, что / φ 0 (в противном случае
теорема тривиальна) и потому существует элемент a Ε Eq такой,
что f(a) = 1. Тогда Е0 = {λα: λ Ε К} + L, где L = Kerf.
Образуем множество А = а + V, где V = {хеЕ: р{х) < 1} —
выпуклое закругленное поглощающее множество; в топологии тр
множество А открыто. Если χ е Α Π Eq, то χ = а + у, у е V
и f{x) = f(a) + f(y) = l + f(y) φ 0, ибо \f(y)\ < р(у) < 1. Поэтому
Ео Π А = 0. В силу теорем 1.10.12 и 1.11.6 существует замкнутое
гиперподпространство Щ D Eq, не пересекающееся с А. Так как
а £ Я0, то Щ + {λα} = Ε.
Пусть f(x) = \ при χ = λα + г, ζ G Щ. Тогда / —
непрерывный линейный функционал на Е. Ясно, что f(x) = f(x) на Ео.
Остается доказать, что \f(x)\ < р(х) при χ G Ε.
Если χ е Ε и р(х) < 1, т.е. χ G V, то \f{x)\ < 1, ибо
если |/(ж)| ^ 1, то, взяв χ = — х//(х), в силу закругленности V
получим, что χ G V. Следовательно, α + х G А; в то же время
f(a + х) = 1 — f(x)/f(x) = 0, т. е. А П Щ φ 0, что невозможно.
Если теперь χ G Ε и \f{x)\ > р(#), то существует а > 0 такое,
что р(х) < а < |/(ж)|, откуда р(х/а) < 1, но \f(x/a)\ > 1, что по
доказанному невозможно. D
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 115
1.11.8. Следствие. Если Ε — локально выпуклое
пространство и Eq — его векторное подпространство с индуцированной
топологией, то всякий непрерывный линейный функционал f
на Eq имеет продолжение до функционала / Ε Ε'. Если Ε —
нормированное пространство, то существует такое его
продолжение fe Ef, что 11/11 = υ/11.
Доказательство. Первое утверждение следует из того, что
|/| < ρ на Eq, где ρ — некоторая непрерывная норма (см.
теорему 1.9.3); поэтому даваемый предыдущей теоремой функционал
/ на Ε — требуемый. Во втором можно считать, что ||/|| = 1 (если
/ φ 0). Взяв р(х) = \\х\\, получим \f(x)\ < р(х) при χ Ε Eq. Для
продолжения с \f(x)\ < ||ж|| имеем \\f\\ < ||/||; так как ||/|| ^ ||/||,
то H/II = ||/||. Π
1.11.9. Замечание. Следствие говорит, что функционал /
можно продолжить на все пространство Ε с сохранением нормы.
Такое продолжение функционала /, вообще говоря, не является
единственным. Отметим, однако, три случая, когда это
продолжение все же единственно (обоснование — задача 1.12.45):
(i) Ε — евклидово пространство и Eq — его произвольное
векторное подпространство;
(и) Ε = Zoo, Е0 = со (см. § 1.12(v));
(iii) E — пространство всех непрерывных линейных
операторов в гильбертовом пространстве if, наделенное обычной
операторной нормой, Eq — подпространство, состоящее из всех
компактных операторов.
1.11.10. Теорема. На топологическом векторном
пространстве Ε существует непрерывный линейный функционал,
отличный от тождественного нуля, в точности тогда, когда в Ε
есть выпуклая окрестность нуля, отличная от Е.
Доказательство. Пусть / — такой функционал. Тогда
множество V = {х: \f(x)\ < 1} — выпуклая окрестность нуля в силу
непрерывности /. Неравенство V φ Ε следует из того, что если
f(x) φ 0, то |/(Аж)| ^ 1 при достаточно большом по модулю λ,
следовательно, Хх <£ V. Обратно, пусть V — выпуклая
окрестность нуля, которую без потери общности можно считать
открытой и симметричной (перейдя к Vn(—V)), и xq £ V. На линейной
оболочке xq функционал /о(too) = t оценивается через
функционал Минковского ру множества V. Теорема Банаха-Хана дает
116
Глава 1. Введение в теорию
линейный функционал / на Ε с f(xo) = 1 и / < ру. При χ Ε V
имеем |/(ж)| ^ 1, что означает непрерывность /. D
1.11.11. Теорема. Для всякой точки а локально выпуклого
пространства Ε и всякой полунормы ρ на Ε существует
линейный функционал f такой, что
f(a)=p(a), |/(x)Kp(i) Ух € Ε.
Если полунорма ρ непрерывна, то функционал f таксисе
непрерывен.
Доказательство. На прямой Da = {λα} рассмотрим
линейный функционал φ(Χα) = \р(а). Продолжение φ с Da на все
пространство Ε по теореме Хана-Банаха приводит к
функционалу / с требуемыми свойствами. D
Подчеркнем, что эта теорема неочевидна даже для двумерной
плоскости.
1.11.12. Следствие. Пусть Ε — отделимое локально
выпуклое пространство и a Ε Е. Если для каждого непрерывного
линейного функционала f на Ε мы имеем f(a) = О, то а = 0.
Напомним (см. определение 1.3.25), что сопряженным
(топологическим сопряженным) к топологическому векторному
пространству Ε называется векторное пространство всех линейных
непрерывных функционалов на Е; оно обозначается символом Е'.
Подчеркнем, что заранее пространство Е' не предполагается
наделенным какой-либо топологией; о различных способах тополо-
гизации Е' будет сказано в гл. 3. Напомним еще, что
алгебраическим сопряженным к векторному пространству Ε называется
пространство всех линейных функционалов на Е\ оно
обозначается символом Е*.
Из следствия 1.11.12 и сказанного в примере 1.3.26 получаем
такое утверждение.
1.11.13. Следствие. Если Ε — отделимое локально
выпуклое пространство, то каноническая билинейная форма
(/,*)-/(*), Я'хЯ-К
приводит векторные пространства Ε и Е' в двойственность.
Отметим также, что для произвольного векторного
пространства Ε та же билинейная форма приводит пространства Ε и Е*
в двойственность; этот чисто алгебраический факт не связан с
теоремой Хана-Банаха и является очевидным следствием того, что
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 117
всякий линейный функционал, определенный на векторном
подпространстве векторного пространства, может быть продолжен
с сохранением линейности на все объемлющее пространство.
Отметим еще, что локальная выпуклость пространства
существенна, но не необходима для справедливости заключения
следствия 1.11.13. В частности, на топологическом векторном
пространстве £° из примера 1.3.16 вообще не существует ненулевых
непрерывных" линейных функционалов (задача 1.12.28), так что
в этом случае {С0)' = {0} и, значит, £° и (С0)' не могут быть
приведены в двойственность вообще никакой билинейной формой.
Таким же свойством обладает и топологическое векторное
пространство £р[0,1], где 0 < ρ < 1, состоящее из таких
измеримых функций / на [0,1], что функция \f\p интегрируема на [0,1];
топология на £р[0,1] задается квазинормой
||/||„:= Л/ГА.
Jo
Это пространство неотделимо, но ассоциированное с ним
отделимое также обладает сопряженным, состоящим из одного
нуля, ибо выпуклая оболочка всякого шара Ur = {/: ||/||р < г}
равна всему Lp[0,1]: если / е £р[0,1], то / = (/ι + · · · + /П)Д&,
где fj = nfI[8jiSj+1], 0 = si < s2 < ··· < sn+i = 1, интеграл
\f\p по [sj,sj+i] равен ||р||р/п'; тогда \\fj\\p = пГ^ЦрЦр и fj e Ur
при больших п. Примером не локально выпуклого
топологического векторного пространства Е, для которого Ε и Е' приводятся
канонической билинейной формой в двойственность, может
служить пространство /р, 0 < ρ < 1, состоящее из таких бесконечных
числовых последовательностей χ = {жп}, что Σ™=ι \хп\р < °о;
топология в V задается квазинормой ||ж||р := Ση^ι \χη\ρ·
1.11.14. Следствие. Пусть В — замкнутое абсолютно
выпуклое подмножество вещественного или комплексного
локально выпуклого пространства Е. Тогда для всякого а <£ В
существует такой линейный непрерывный функционал f на Е, что
выполнено неравенство \f(a)\ > sup^^ |/(#)|·
Доказательство. Если Ε вещественно, то это частный
случай замечания 1.10.11. Если же Ε комплексно, то пусть / —
вещественно линейный функционал на Е, для которого выполнено
требуемое неравенство. Тогда соответствующий ему в силу
леммы 1.11.4 комплексный функционал является искомым. D
118
Глава 1. Введение в теорию
1.11.15. Теорема. Пусть Ε — вещественное или
комплексное локально выпуклое пространство, V С Ε — выпуклое
множество. Тогда V замкнуто в ослабленной топологии а{Е,Ег)
в точности тогда, когда оно замкнуто в исходной топологии
пространства Е. Кроме того, для всякого А С Ε
ограниченность А равносильна ограниченности в σ{Ε,Ε').
Доказательство. Так как топология σ(Ε,Ε')
мажорируется исходной, то из замкнутости V в а{Е,Ег) вытекает
замкнутость в исходной топологии. Пусть теперь V замкнуто в
исходной топологии в Ε и а £ V. Возьмем такой функционал / Ε Е\
что |/(а)| > а, где а = sup{\f(x)\: x G V}. Тогда множество
{χ G Ε: \f(x)\ > a} — открытая в топологии σ{Ε,Ε')
окрестность точки а, не пересекающаяся с V. Аналогично доказывается
ограниченность А, ограниченного в σ(Ε,Ε'), ибо замкнутая
абсолютно выпуклая оболочка А также ограничена в σ(Ε,Ε'). D
Таким образом, классы всех выпуклых замкнутых множеств
в пространстве (Ε,σ{Ε,Ε*)) и в пространстве Е, наделенном
исходной топологией, совпадают (но это не означает совпадение
классов выпуклых открытых множеств). Кроме того, совпадают
классы множеств, ограниченных в исходной топологии и в
топологии σ(Ε,Ε'); последние называются слабо ограниченными.
Теорема Хана-Банаха позволяет также строить
топологические дополнения к конечномерным подпространствам локально
выпуклых пространств. Если в бесконечномерном
топологическом векторном пространстве Ε дан ненулевой вектор г?, то,
конечно, существует линейное подпространство Е$, не содержащее ν
и порождающее вместе с ν все Е. Однако возникающий при этом
оператор ρ: Ε —> Eq алгебраического проектирования на Eq
может оказаться разрывным. Например, так будет, если на Ε нет
ненулевых непрерывных линейных функций (ибо если χ = XQ+tv,
где vq Ε £?о? то функционал 1{х) := t оказывается непрерывным
в случае непрерывности ρ: χ ι—> xq).
1.11.16. Теорема. Пусть Ε — отделимое локально
выпуклое пространство и Eq — конечномерное линейное
подпространство в Е. Тогда найдется такое замкнутое линейное
подпространство Ει С Е, что Eq Π Е\ = {О}, Ε = Eq®E\ и операторы
алгебраического проектирования на Eq и Е\ непрерывны. Более
того, последнее верно для всякого замкнутого линейного
подпространства Ει, дающего Ε в прямой алгебраической сумме с Eq.
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 119
Доказательство. Пусть ei,...,еп — базис в Eq. По
доказанному выше можно найти такие функционалы /ь ..., /п £ Е',
что fi(ej) = Sij. Положим Ει = ΠΓ=ι/Γ^Ο)· Тогда Е\ замкнуто
и Ε = Etf&E\. Ясно, что операторы ро(х) = fi(x)e\-\ l· fn(x)en
и ρι(χ) = χ — ρ\(χ) непрерывны и являются проекторами на
подпространства Ео и Εχ.
Пусть теперь Е\ — какое-нибудь замкнутое линейное
подпространство в Е, алгебраически дополняющее Eq. Опять возьмем
базис ei,..., еп в Eq. Ввиду замкнутости Е\ для каждого е*
замкнуто'также подпространство Щ, являющееся суммой Ει и
линейной оболочки векторов ej с j φ %. При этом е\ ^ Щ. Значит,
найдется такой функционал U Ε Е', что 1г\щ = 0 и li{ei) = 1.
Легко видеть, что Ει = ΠΓ=ι 'гг1(0)> поэтому функционалы U
выполняют роль fi из первой части доказательства. D
В общем случае проекторы на замкнутые подпространства,
дающие в прямой сумме все пространство, могут быть
разрывными. Однако есть важные классы пространств, для которых такие
проекторы автоматически непрерывны (см. §3.9).
Приведем один результат, дополняющий предложение 1.9.8
(иное обоснование см. в Kelley, Namioka [353, п. 16.8, с. 144]).
1.11.17. Теорема. Пусть А — абсолютно выпуклое
множество в локально выпуклом пространстве Е. Сужение линейной
функции f £ Е* на А непрерывно в точности тогда, когда
существует последовательность функционалов fn Ε Ε'', равномерно
сходящаяся к f на А.
Доказательство. Неочевидна лишь необходимость
указанного условия. Перейдя к линейной оболочке А, можно считать,
что Ε совпадает с этой линейной оболочкой. Тогда функционал
Минковского ра множества А — полунорма на Е. Пусть ε > 0.
Надо найти f£ G Ε' с sup^^ \f(x) — fe(x)\ ^ ε- Достаточно уметь
делать это для ε = 1, перейдя к f/ε. Непрерывность / на А дает
абсолютно выпуклую окрестность нуля U с \f(x)\ < 1 при всех
χ Ε А П U. Поэтому
1/0*01 < pa(x)+pu(x), χ е е.
Далее, рц(х - у) + 1(у)+Ра(у) > -ри{х)+ри{у) + f{y) + ра(у),
что оценивается снизу через —ри(х)- Рассмотрим функцию
р(х) := mi\pu(x -у) Л- f(y) +рл(у)] > ~Ри{х)·
уеЕ
120
Глава 1. Введение в теорию
Ясно, что р(0) = 0. Кроме того, функция ρ сублинейна. В самом
деле^ р(\х) = Хр(х) при λ > 0, ибо в формуле для р(\х) можно
заменить у на Ау; р(х\ + Х2) ^ ρ(χι) +ρ(#2) из-за оценки
PU(X1 +Х2-У1- У2) + f(yi + У2) + Ра{У\ + У2) ^
< РиЫ - У\) + f(yi) +PA(yi) +Ρυ(Χ2 - У2) + /(У2)+Ра(У2)
при всех Х1,Х2,У1,У2- Так как ри(0) = Ра(0) = 0, то p(x) ^ р£/(ж)
и р(х) ^ /(х) +рл(ж). По теореме Хана-Банаха найдется
функционал g G Ε* с g < ρ, причем g e E\ так как ρ ^ ри- Итак,
имеем g ^ f + рл, откуда |/(ж) — #(ж)| ^ 1 при xgA □
1.12. Дополнения и задачи
(i) Равномерные пространства (120). (ii) Выпуклые
компакты (123). (iii) Теоремы о неподвижных точках (125). (iv)
Пространства последовательностей (128). (ν) Сопряженные к
банаховым пространствам (129). (vi) Свойства сепарабельности (131).
(vii) Непрерывные селекции и продолжения (133). Задачи (134).
1.12(i). Равномерные пространства
Топологические векторные пространства входят в более широкую
категорию равномерных пространств. Пространство X называют
равномерным, если задана система подмножеств X произведения ХхХ,
называемая системой окружений диагонали Δ χ = {(χ,χ): χ G X} и
удовлетворяющая следующим условиям:
(i) Δχ G U для всех U G X,
(ii) если U, V G X, то U Π V G ДГ, и если U G X, U С W С ХхХ, то
We*,
(iii) если U е Χ,το U'1 := {(г/,ж): (ж,2/) G £/} е Д>,
(iv) для всякого U Ε X найдется такое V G X, что если (ж, у) G У
и (у, z) G У при некоторых ж, у, ζ, то (ж, z) G 17.
Топологическое векторное пространство Ε наделяется следующей
равномерностью: класс X состоит из подмножеств ЕхЕ, содержащих
какое-либо множество вида {(ж,у): χ — у G {/}, где [7 — окрестность
нуля в Е. Всякое метрическое пространство (необязательно
векторное) также обладает естественной равномерностью, образованной
множествами, содержащими подмножества вида {(ж,у): d(x,y) < г}, где
г > 0 и d — метрика данного пространства.
Таким образом, новая категория пространств охватывает как
топологические векторные пространства (а также топологические группы),
так и не имеющие какой-либо алгебраической структуры метрические
пространства.
1.12. Дополнения и задачи
121
С другой стороны, всякое равномерное пространство X можно
наделить топологией, порождаемой равномерностью следующим
образом: база окрестностей (необязательно открытых) точки χ в этой
топологии состоит из множеств вида U{x) := {у: (х,у) £ U}, U Ε X. Тем
самым множество W открыто, если всякая точка w Ε W входит в W
с окрестностью такого вида. При этом не всякая топология
получается из какой-либо равномерности: известно, что топология порождается
равномерностью в точности тогда, когда пространство вполне
регулярно (см. Энгелькинг [186, гл. 8]).
Подмножество А равномерного пространства (X, X) наделяется
индуцированной равномерностью, состоящей из пересечений Ах А с
множествами из X.
На равномерные пространства переносятся некоторые
встречавшиеся нам выше понятия: фундаментальная направленность, полнота,
предкомпактность. Направленность {xt} в равномерном пространстве
(X, X) называется фундаментальной, если для всякого U Ε X
найдется такой индекс to, что (xt,xs) Ε U для всех t,s ^ to. Сходимость
направленности понимается как сходимость в порожденной топологии.
Поэтому можно ввести понятие полного равномерного пространства
аналогично тому, как это было сделано для топологических
векторных пространств (в категории равномерных пространств также
имеются пополнения). Аналогично вводится и понятие предкомпактного
или вполне ограниченного множества: так называется такое множество
А С X, что для всякого U е X найдется конечное покрытие множества
А множествами Αι,..., Ап с тем свойством, что Αι χ Αχ С U.
Посредством базисных окрестностей U(x) это можно выразить так:
найдутся такие αϊ,..., ап Ε А, что А с UlLi ^(α0·
В случае топологического векторного пространства эти понятия
совпадают с ранее введенными. Подробнее равномерности
обсуждаются в книгах Бурбаки [28], Келли [73], Эдварде [185], Энгелькинг [186].
Мы приведем лишь несколько фактов, полезных в связи с
обсуждаемыми результатами, особенно касающимися полноты и компактности.
Как и для топологических векторных пространств, компактность в
равномерном пространстве равносильна предкомпактности и полноте.
1.12.1. Лемма. Пусть (Х,Х) — равномерное пространство.
(i) Всякое множество А С X с тем свойством, что каждая его
бесконечная последовательность имеет точку прикосновения в X,
предкомпактно. В частности, это верно, если А счетно компактно.
(и) Множество А в X имеет компактное замыкание в
точности тогда, когда оно имеет полное замыкание и всякая бесконечная
последовательность из А обладает точкой прикосновения в X.
Доказательство, (i) Если А не является предкомпактным, то
найдутся окружение U Ε X и бесконечная последовательность точек
ап Ε А, для которых αη+ι ^ UlLi ^(α*)> гДе ^(α) :— {χ: iaix) € Щ-
122
Глава 1. Введение в теорию
Таким образом, (α$,αη+ι) $. U при г ^ га. По условию эта
последовательность имеет предельную точку ρ Ε X. Найдется окружение V G X
с тем свойством, что если (х,у) G V и (у, ζ) G У, то (ж, г) G U.
Найдется также элемент ат в окрестности V(p), т.е. (p,am) G У, откуда
(ат?р) € V· Тогда при га > га мы получаем αη ^ V(p), ибо включение
an G V'Cp), означающее, что (ρ, αη) G У, влечет включение (am,an) G 17,
которое неверно при га < га.
(ii) Нетрудно проверить, что компакт в топологии, порожденной
равномерностью, полон в смысле равномерного пространства. Кроме
того, компакт счетно компактен. Если же множество А имеет полное
замыкание и всякая его бесконечная последовательность обладает
предельной точкой, то А оказывается предкомпактным, что влечет пред-
компактность и его замыкания, которое ввиду полноты компактно. D
В частности, это утверждение верно для топологических
векторных пространств. Следует обратить внимание на то важное
обстоятельство, что утверждение (ii) не означает равносильность счетной
компактности и компактности (в отличие от случая метрических
пространств). Дело в том, что из счетной компактности не следует полнота
(но для полного множества равносильность есть по предложению 1.8.5).
Рассмотрим такие примеры (напомним, что секвенциальная
компактность влечет счетную компактность, но не влечет компактность,
а также не следует из компактности); при этом нас будут интересовать
множества в локально выпуклых пространствах.
1.12.2. Пример, (i) Построим некомпактное абсолютно выпуклое
замкнутое секвенциально компактное множество V в секвенциально
полном локально выпуклом пространстве.
В IR возьмем подпространство Ε функций, отличных от нуля не
более чем в счетном числе точек. Это подпространство секвенциально
полно, а искомое множество V состоит из функций χ G £7,
удовлетворяющих условию supt \x(t)\ ^ 1. Секвенциальная компактность следует
из того, что всякая последовательность функций в Ε сосредоточена на
счетном множестве, а некомпактность V ясна из того, что замыкание
V в Шш состоит из всех функций χ с supt \x(t)\ < 1.
(ii) Построим абсолютно выпуклое секвенциально компактное
множество V в локально выпуклом пространстве, имеющее не счетно
компактное замыкание.
Возьмем в качестве Ε линейное подпространство в
состоящее из всех таких функций х, что при некотором га G IN множество
{t G [га, оо): x(t) Φ 0} не более чем счетно. Пусть V — множество
функций χ G Е, отличных от нуля в не более чем счетном числе точек
и удовлетворяющих неравенству supt \x(t)\ ^ 1. Это абсолютно
выпуклое множество секвенциально компактно, но его замыкание таковым не
является, ибо содержит функции хп = i(_oo,n] (индикаторы (—оо, га]),
1.12. Дополнения и задачи
123
которые не имеют предельной точки в £7, поскольку сходятся в
пространстве Шш к функции x(t) = 1, не входящей в Е.
1.12(ii). Выпуклые компакты
1.12.3. Определение. Точка χ множества К в вещественном
линейном пространстве Ε называется крайней или экстремальной
точкой этого множества, если она не содержится ни в каком
интервале (а,Ь), целиком содержащемся в К.
Если множество К выпукло, то χ G К является крайней точкой
в точности тогда, когда из того, что χ = ta + (1 — t)b, где t G [0,1],
a,b £ К, следует, что χ = а или х = b.
Более общим образом, подмножество А выпуклого множества К
называется крайним подмножеством множества if, если из того, что
ta+(l — t)b G А для некоторого t G (0,1) и некоторых a,b G if, вытекает,
что а, Ь G А. Очевидно, что если крайнее множество состоит из одной
точки, то эта точка является крайней.
В трехмерном евклидовом пространстве вершины замкнутого куба
являются его крайними точками, а его ребра и грани — его крайними
множествами. Внутренние точки ребер и граней крайними точками не
являются. Открытый куб крайних точек не имеет.
1.12.4. Лемма. Пусть Ε — вещественное локально выпуклое
пространство, К С Ε — непустой компакт, f — непрерывный линейный
функционал на Е, а := sup{f(x): xGК}. Тогда А = {хеК: f(x) = a}
является непустым крайним подмножеством множества К.
Доказательство. Так как К компактно и функционал /
непрерывен, то существует χ Ε К такое, что f(x) = α, т. е. множество А
непусто. Пусть для некоторых a, i? G К, t G (0,1) справедливо
включение ta + (1 — t)b G А. Покажем, что тогда α, ί> G А. Если, например,
f(a) < f(b), то Да) < а и, следовательно, справедливо неравенство
f(ta + (1 - t)b) = tf(a) + (1 - t)f(b) < ta + (1 - t)a = α, что
противоречит включению ta Η- (1 — t)b G A. D
Следующий результат относится к классике выпуклого анализа.
1.12.5. Теорема. (Теорема Крейна-Мильмана) Всякий
непустой выпуклый компакт в вещественном отделимом локально
выпуклом пространстве является замкнутой выпуклой оболочкой
множества своих крайних точек.
Доказательство. Покажем сначала, что каждый непустой
компакт К в отделимом локально выпуклом пространстве Ε обладает
крайними точками. Докажем, что К содержит по крайней мере
одну крайнюю точку. Обозначим через М. множество всех непустых
замкнутых крайних подмножеств множества К, упорядоченное так: если
Д В G М, то А ^ В <^=> AD В. Так как К G М, то Μ φ 0.
124
Глава 1. Введение в теорию
Далее, если Mq С М. — некоторое линейно упорядоченное
подмножество, то множество Пле.м ^ непусто как пересечение
семейства компактных подмножеств, каждое конечное подсемейство
которого обладает непустым пересечением. Таким образом, для Л4 выполнены
условия теоремы Куратовского-Цорна (непосредственно из
определения крайнего множества следует, что пересечение любого семейства
крайних множеств является крайним множеством); поэтому в Μ
существуют максимальные элементы.
Пусть В — один из них. Таким образом, В — непустое компактное
крайнее подмножество в if, никакое собственное подмножество
которого не является крайним в К. Мы докажем сейчас, что В содержит
ровно одну точку; эта точка и будет крайней. Допустим, что α, ί> G В,
а ф Ь. Из теоремы Хана-Банаха вытекает, что существует такой
линейный непрерывный функционал / на Е, что Да) < f(b). По доказанной
выше лемме множество В\ = {χ G В: f(x) = та,хгев f(z)} является
крайним подмножеством крайнего подмножества В множества К, а
потому и крайним подмножеством самого К. В то же время а £ В\, так
что £?ι — собственное подмножество множества В. Это противоречит
максимальности В.
Пусть теперь К — выпуклый компакт в локально выпуклом
пространстве Ε и С — множество всех крайних точек множества К. Нам
нужно доказать, что conv С = К. Для этого достаточно показать, что
К С conv С (обратное включение немедленно вытекает из выпуклости
и замкнутости К и включения С С К). Пусть a G К, а £ conv С. В силу
теоремы Хана-Банаха на Ε существует такой линейный непрерывный
функционал д, что д(а) > та>х{д(х): χ G conv С}. Тогда множество
{х G К: д(х) = та,ххекд(х)} является крайним в К. В силу
доказанного выше оно содержит хотя бы одну крайнюю точку, которая в то
же время — как крайняя точка крайнего подмножества множества К —
является и крайней точкой этого последнего множества. Пусть Ъ —
одна из таких точек, тогда Ь £ conv С, так как выполнены неравенства
f(b) ^ f(a) > тах{д(х): χ G conv С}; тем более b £ С. Итак, получено
противоречие. Эта теорема неочевидна и в IRn. D
Интересен также следующий результат Д.П. Мильмана.
1.12.6. Теорема. Пусть компактное множество К в локально
выпуклом пространстве Ε таково, что его замкнутая выпуклая
оболочка С компактна {что автоматически имеет место, если Ε
квазиполно). Тогда всякая крайняя точка множества С входит в К.
Доказательство. Пусть χ — крайняя точка С и U — выпуклая
окрестность нуля. Найдутся точки χι,... ,хп в К с К С U™=i(%i + U).
Пусть Vi — замкнутая выпуклая оболочка К Π (xi + U). Множества
Vi входят в С и потому компактны. Значит, выпуклая оболочка их
объединения также компактна и потому равна С. Итак, χ = Σ™=ι λ*ν*,
1.12. Дополнения и задачи
125
где Vi Ε Vi, Xi ^ 0 и Х^=1 λ* = 1. Так как χ — крайняя точка С,то χ = Vi
при некотором г, откуда xG^ + [/Ci^ + i/. Ввиду произвольности U
и замкнутости X получаем χ е К. D
1.12.7. Пример, (i) В пространстве со замкнутый шар
положительного радиуса не имеет ни одной крайней точки. Отсюда следует,
что со не является сопряженным ни к какому банахову пространству.
Более точно: не существует банахова пространства, сопряженное к
которому можно линейно и с сохранением нормы отобразить на с$.
Действительно, если бы со можно было отождествить — как банахово
пространство — с сопряженным к некоторому банахову пространству Ε
(наделенным нормой сопряженного), то единичный шар в со по
теореме 3.1.4 был бы компактен в топологии а(со,Е) и к нему была бы
применима теорема Крейна-Мильмана.
(и) Более общим образом, бесконечномерное банахово
пространство В не является сопряженным ни к какому банахову пространству
(в смысле, уточненном в предыдущем примере), если его замкнутый
единичный шар с центром в нуле имеет лишь конечное число крайних
точек: в этом случае их замкнутая выпуклая оболочка конечномерна.
Так как единичный шар пространства С [а, Ь] непрерывных функций на
[а,Ь] с нормой maxj \x(t)\ имеет ровно две крайние точки (φ(ί) = 1 и
φ(ί) = —1), то С[а, Ь] не может быть сопряженным ни к какому
банахову пространству. Про выпуклые компакты см. также § 5.6.
1.12(iii). Теоремы о неподвижных точках
Для отображений выпуклых компактов имеются важные теоремы
о неподвижных точках (см. также задачу 1.12.85).
1.12.8. Теорема. (Теорема Шаудера-Тихонова) Если Ε —
отделимое локально выпуклое пространство, К С Ε — выпуклый
компакт и /: К —> К — непрерывное отображение, то
существует такой элемент а Е К, что f(a) = а (этот элемент называется
неподвижной точкой отображения /).
Доказательство. Пусть V — семейство всех непрерывных
полунорм на Е. Покажем, что для каждой полунормы ρ Ε V множество
Fp := {ζ G К: p(f(z) — ζ) =0} непусто. Если это сделано, то остается
заметить, что множестваFp замкнуты (ввиду непрерывности /ир),
поэтому они компактны, причем для всякого конечного набора pi,... ,рп
пересечение FPlC\· · -nFPn непусто, ибор\-\ \-рп Ε V. Значит, непусто
и пересечение всех Fp, а всякий его элемент — неподвижная точка.
Итак, фиксируем ρ Ε V. Достаточно проверить, что для всякого
ε > 0 найдется точка ζε, для которой p(f(z£) — ζε) < ε, ибо тогда
последовательность {ζι/η} имеет предельную точку ζ Ε К, для которой
126 .
Глава 1. Введение в теорию
ввиду непрерывности / и ρ мы получим p(f(z) — z) = 0. Ввиду
компактности К найдутся точки αϊ,... , αη Ε К, для которых множества
Щ := {χ: ρ(χ — α*) < ε/2} покрывают К. Для каждого г = 1,...,п
зададим функцию ψΐ на Ε так: ψϊ(χ) = ε — ερ(χ — α*) при р(х — α*) ^ ε,
ψϊ(χ) = 0 при ρ(χ — α) > ε. Легко проверить, что функции φι
непрерывны, причем в каждой точке К хотя бы одна из них отлична от
нуля. Следовательно, на К непрерывны функции а*(ж) := ψι(χ)/4!(χ),
^{χ) — Σ?=ι Ψο(χ)· Заметим, что 0 ^ α* (ж) ^ 1 и Σ™=1 аг{х) = 1 на АГ.
Отображение
η
9(χ) '=^2oii(f(x))ai
г=1
также непрерывно, причем оно переводит К в конечномерное
выпуклое множество V, порожденное точками αϊ,... , αη. По теореме Боля-
Брауэра для Нп (см. Богачев, Смолянов [21, задача 3.12.46], Данфорд,
Шварц [53, с. 506]) найдется точка у Ε V С if, для которой д(у) = у.
При этом
η
№ - у = f(y)-g(y) = Т,°чШШу) - «ib
г=1
ибо Σ™=ι Oii(f(y)) = 1. Следовательно,
η
p(f(y) -y)*Z Σαί(/(2/))ρ(/(2/) " Oi).
г=1
В последней сумме мы имеем ai(f(y)) = 0 при p(f(y) — αι) > ε.
Следовательно, p(f(y) —у) ^ ε, что и требовалось. D
1.12.9. Следствие. Пусть V — замкнутое выпуклое
подмножество полного локально выпуклого пространства, f: V —> V —
непрерывное отображение, причем f(V) имеет компактное замыкание.
Тогда существует такой элемент a eV, что Да) = a.
Доказательство. Замкнутая выпуклая оболочка /(V)
компактна ввиду полноты Е, причем она переходит в себя при отображении /.
По основной теореме в ней есть неподвижная точка. D
Следующая теорема Маркова-Какутани имеет дело с аффинными
отображениями.
1.12.10. Теорема. Пусть К — выпуклый компакт в отделимом
топологическом векторном пространстве Ε и G — некоторое
семейство попарно коммутирующих непрерывных отображений из К в К,
причем д(Хх + (1 — Х)у) = Хд(х) + (1 — Х)д(у) для всех х,у Ε К, g Ε G.
Тогда существует xq Ε К, для которого д(хо) = хо при всех д Ε G.
1.12. Дополнения и задачи
127
Доказательство. Для каждого д ε G при η ε IN зададим
отображение дп: К —> К формулой дп = п-1(/ + д + #2 + · · ·#η_1). Это
тоже непрерывное аффинное отображение. Рассмотрим множество Go
преобразований К, являющихся композицией конечного числа
отображений вида дп для всевозможных элементов д Ε G и любых η Ε IN.
Ясно, что класс Go удовлетворяет тем же условиям, что и G.
Покажем, что непусто пересечение компактов f(K), где / Ε Go- Для этого
достаточно заметить, что пересечение всякого конечного набора таких
множеств непусто, ибо если /i,...,/m Ε G0, то / = До· · -ofm E Go
и /(X) С fi(K) при всех г ^ m в силу перестановочности /$.
Возьмем любой элемент хо указанного пересечения и покажем, что он
искомый. Зафиксируем д Ε G. Для каждого η по построению найдется
такой элемент у Ε К, что хо = #п(2/) = п~г(у + #(2/) + · · · + дп~1{у))·
Поэтому 0(жо) = ™_1(#Ы + #2Ы Η Ь 9п(у)), откуда мы получаем
д(хо) - хо = ™-1 (9п(у) - у) £ ™_1(if - К). Поскольку такое включение
верно при всех п, то д(хо) = Хо в силу отделимости £7, ибо для всякой
уравновешенной окрестности нуля У и всякого компакта Q найдется
такое п, что n~1Q С У из-за ограниченности компактов. D
Какутани показал, что от перестановочности отображений можно
отказаться, если они равностепенно непрерывны. Это имеет место,
если Ε — нормированное пространство и G С С(Е) ограничено.
1.12.11. Теорема. Пусть К — выпуклый компакт в отделимом
локально выпуклом пространстве Ε и G — некоторая группа
линейных отображений из К в К, равностепенно непрерывных на К. Тогда
существует хо Ε К, для которого д(хо) = хо при всех д Ε G.
Доказательство см. в Данфорд, Шварц [53, с. 494].
Следующая теорема Какутани-Ки Фаня обобщает теорему
Шаудера-Тихонова на многозначные отображения (приводимое
доказательство дает иное, хотя и близкое, обоснование последней).
1.12.12. Теорема. Пусть К — выпуклый компакт в отделимом
локально выпуклом пространстве Ε и Φ — многозначное
отображение, сопоставляющее каждому χ Ε К непустое выпуклое компактное
множество Ф(х) С К, причем Φ полунепрерывно сверху в том
смысле, что если χ Ε К и открытое множество U содержит Ф(х), то
есть такая окрестность V точки х, что Φ (ν) С U для всех ν Ε VC\K.
Тогда существует точка хо Ε К с хо Ε Ф(яо)·
Доказательство. Мы чуть изменим обоснование теоремы Шау-
дера-Тихонова. Для фиксированных полунормы ρ Ε V и г > О
обозначим через Кр^г множество таких ζ Ε К, что ζ Ε Φ (ζ) + rV, V = {ρ < 1}.
Это множество замкнуто, что легко выводится из полу непрерывности
128
Глава 1. Введение в теорию
сверху Ф. Если все Кр,г непусты, то, как и в доказательстве
теоремы Шаудера-Тихонова, будет непусто их пересечение. Из
замкнутости Ф(х) тогда получим, что искомым является любой элемент
этого пересечения. Проверим непустоту Кр,г. В силу полу непрерывности
вверху есть такая окрестность нуля W = {q < 1}, где q G Ρ, что
Ф(х0 + w) С Ф(яо) + rV/2 при w G W. Положим U = W П V. Пусть
ε > 0. Возьмем αϊ,..., ап так, что К с υΓ=ι(α* + £2_1£У). Выберем
любые yi G Ф(а$). Отображение д£(х) = Σ™=ι &г{х)Уг непрерывно и имеет
неподвижную точку χε. Пусть х$ — предельная точка {xi/m}.
Покажем, что хо G Кр,г. Будем иметь дело лишь с индексами га, для
которых Х\/т G хо + U. Среди них найдется га > А/г с Х\/ш G хо + U/A.
Если OLi(xi/m) > 0, то Х\/ш G αι + m~1U, откуда хо — ai G W и
уi G Ф(#о) + гV/2. Поэтому £i/m есть выпуклая комбинация векторов
oci{xi/rn)yu где 2/i G Ф(жо) + rV/2. Значит, х0 входит в Ф(х0) + rV. D
1.12.13. Следствие. Пусть S — еще один выпуклый компакт в Ε
и непрерывная функция f на KxS такова, что функции χ »—> f(x,y)
выпуклы, а функции у ь-> f{x,y) вогнуты, т. е. выпуклы у н-> —f(x,y).
Тогда mmma,xf(x,y) = maxmin/(x, у),
хек yes yes хек
Доказательство. Применим предыдущую теорему к
отображению Ф: (х,у) ь-> (АУ,ВХ), где Ау = {и е К: f(u,y) = minkeK f(k,y)},
Вх = {ζ G S: f(x,z) = ma,xses f(x,s)}. Из условия следует, что Ау
и Вх непусты, выпуклы и замкнуты. Проверим, что Φ полунепрерывно
сверху. Пусть χ G К и Вх лежит в открытом множестве U. Функция
g(u) = minses f(u,s) непрерывна на К. Если нет такой окрестности
V Э х, что Bv G U при ν G V, то найдется направленность ха —> х, для
которой имеются уа G S\U с f(xa,ya) = д(ха)· В силу компактности
S\U можно считать, что уа —> у G S\U, перейдя к поднаправленности.
Тогда /(ж, у) = (/(ж) вопреки тому, что у & U. Аналогично рассуждение
для Ау. Таким образом, предыдущая теорема дает точку (жо?2/о)? Для
которой /(жо»2/о) = minfc€/r/(fc,2/0) = maxsGs f(xo,s). Эта точка
искомая, ибо левая часть доказываемого равенства всегда не меньше правой
в силу неравенства /(ж, у) ^ minsGs /(ж, s) при всех χ G К, у G S, а
предыдущее соотношение дает оценки f(xo,yo) < maxsGs minfcGK /(/с, s),
/(жо, 2/о) ^ minfcGK maxsG5 /(/с, s). D
1.12(iv). Пространства последовательностей
Помимо уже встречавшихся нам пространств всех
последовательностей Н°°, быстро убывающих последовательностей Σ (пример 1.3.19)
и банаховых пространств Р, со, в теории и приложениях используются
другие локально выпуклые пространства последовательностей.
1.12. Дополнения и задачи
129
1.12.14. Пример. Важный класс пространств
последовательностей (пространств Кёте) строится следующим образом. Множество Ρ
вещественных последовательностей а = (ап) называется множеством
Кёте, если ап ^ 0, причем для каждого nGlN найдется а е Ρ с ап > О,
а для всяких двух элементов α, β Ε Ρ найдется 7GPc max(an, βη) ^ ηη
при всех п. По такому множеству Кёте строится пространство Кёте
последовательностей (вещественных или комплексных)
Λ(Ρ):={ζ = (ζη): (anX^el1 Va G Ρ}.
Естественный набор полунорм на пространстве Л(Р) состоит из
функций ра(х) = Σ™=1 \апхп\.
Например, если Ρ состоит из одной последовательности единиц, то
Л(Р) = Ζ1, а если взять все последовательности вида ап = пк, к Ε IN,
то получим пространство Σ из примера 1.3.19.
Различные классы абстрактных пространств часто удается
описать с помощью пространств Кёте и их подпространств (см. Пич [109],
Jarchow [334], Meise, Vogt [395]). Приведем один важный и
характерный пример.
Пусть С°°[0,1] — пространство всех бесконечно
дифференцируемых функций на [0,1], Со°[0,1] — его подпространство, состоящее из
функций, обращающихся в нуль со всеми производными в концах
отрезка, С^ — пространство всех бесконечно дифференцируемых
функций / на [0,2π], для которых /^(0) = f^(2n) при всех к ^ 0. Во всех
этих пространствах рассматривается топология равномерной
сходимости всех производных.
1.12.15. Теорема. Пространства S'(И1), С£, С00[0,1] wCg°[0,l]
изоморфны пространству Σ. Это же верно и для аналогичных
пространств функций η переменных.
Доказательство. Для упрощения рассмотрим лишь одномерный
случай. Изоморфизм Σ и С%% задается с помощью разложения в ряд
Фурье: f(t) = αο + Σ™=1 lan cosnt+bn sinni], j{f) = (α0, αιΜ,α2, b2,...).
Изоморфизмы с другими пространствами строятся сложнее, но тоже
с помощью подходящих базисов (см. детали в книгах Владимиров [36],
Пич [109], Jarchow [334]). Например, в пространстве ^(Н1)
используется базис из функций Эрмита. D
1.12(ν). Сопряженные к банаховым пространствам
Для большинства используемых в приложениях банаховых
пространств известен достаточно явный вид сопряженных пространств.
Здесь мы приведем ряд таких результатов; доказательства можно
найти во многих учебниках (включая [17], [21]).
130
Глава 1. Введение в теорию
Следующие пространства банаховы:
/°° — пространство ограниченных последовательностей
(вещественных или комплексных) с нормой χ = (хп) »—> supn \хп\;
со — замкнутое подпространство в /°°, состоящее из элементов, для
которых lim xn = 0;
п—»оо
/р, где 1 ^ ρ < со, — пространство последовательностей χ = (хп)
(вещественных или комплексных), для которых
1/р
:= {Σ\Χη\; <оо;
п=1
на 1Р функция χ ь-> \\х\\р является нормой;
пространство I2 даже гильбертово со скалярным произведением
оо
(ж, у) = ^ χηΊΜ\
η=1
пространство Сь(Т) ограниченных непрерывных функций на
топологическом пространстве Τ с нормой \\х\\ = supiGT |(ж(£)|;
пространство £ρ(μ), где 1^ρ<οοπμ — неотрицательная мера на
пространстве (Т, Л), состоит из классов эквивалентности (/ ~ #, если
f = д почти всюду) измеримых функций /, для которых функция |/|
интегрируема относительно μ; норма на £ρ(μ) задается формулой
|/(ί)|"μ(Λ)) Ρ;
это выражение не зависит от выбора представителя класса
эквивалентности; особым образом определяется пространство L°°(/i), состоящее
из классов эквивалентности измеримых функций, имеющих
ограниченную модификацию; при этом
||/||oo=infsup|/(i)|.
f~fter
Имеют место канонические изоморфизмы
с'0 = I1, (I1)' = l°°, (If)' = L\ ρ'1 +q-1 = l,pe [1, оо),
причем общий вид непрерывного функционала таков:
на с0: 1{х) = Σ™=ι ХпУп, (Уп) е /\
на ί1: 1{х) = Σ™=ι ХпУп, {Уп) е со,
на Ρ, ρ е [1, со): 1(х) = Σ™=ι хпУп, {Уп) е Iя, р~г + q~x = 1,
HaLP(M),p€(l,cx>):Z(aO= ί x(t)y{t) μ((ϋ), yeL<>^), р~г + ?"1 = 1,
1.12. Дополнения и задачи
131
на L1(/i) для конечной или σ-конечной меры:
l(x) = j χ(ί)ν(ί)μ(<1ί), 2/GL°°(/i),
на С(К) = Сь(К) для компакта К: 1(х) = / x(t) μ(άί), где μ —
ограниченная борелевская мера на К.
Сопряженные к /°° и L°°(/i), где μ — мера Лебега, не являются
изоморфными I1 и L1(/i) соответственно; они могут быть описаны с
помощью конечно-аддитивных мер.
1.12(vi). Свойства сепарабельности
1.12.16. Предложение. Пусть Ε и F — топологические
векторные пространства, причем F метризуемо, и Η — равностепенно
непрерывное множество в C(E,F). Если Ε сепарабельно, то
равномерная структура поточечной сходимости в Η метризуема. Если F
также сепарабельно, то и Η сепарабельно в топологии поточечной
сходимости.
Доказательство. Пусть {ап} — счетное всюду плотное
множество в Ε и d — инвариантная относительно сдвигов метрика в F,
задающая топологию. Положим
оо
do(f,9) = ^2-nmm(l,d(f(an),g(an))y f,geH.
71=1
Взяв в C(E,F) окрестность нуля U = {/: d(/(#i),0) < ε, г = 1,... , η},
где χι Ε Επε > О, найдем такой открытый шар W по метрике do
с центром в нуле, что если f,geHnf — ge W, то / — g Ε U. В самом
деле, равностепенная непрерывность Η дает такую окрестность нуля
V С £", что d(/(v),0) < ε/4 для всех ν Ε V и / Ε Н. Возьмем такое /с,
что точки χι,..., хп будут покрыты множествами αϊ + V,..., а к + V.
Наконец, положим г = 2~ке/А. Если теперь f,g Ε Η и do(f,g) < г, то
мы получаем d(f(xi),g(xi)) < ε при г ^ гг. Действительно, для каждого
г ^ η найдется точка а^ с некоторым j ^ /с, для которой Хг € % + V,
откуда с учетом равенства d(u, ν) = d(u — г>, 0) находим
d(f(xi),g(xi)) ^ d(f(xi)J(aj)) +d(f(aj),g(aj)) +d(g(aj),g(xi)) ^
^ ε/4 + 2kr + ε/4 < ε.
Ясно также, что всякий шар W по метрике do с центром в нуле
содержит окрестность нуля U указанного вида.
Второе утверждение вытекает из того, что счетная степень сепара-
бельного метрического пространства сепарабельна. D
132
Глава 1. Введение в теорию
1.12.17. Предложение. Пусть Ε — сепарабельпое локально
выпуклое пространство Ε, ρ — непрерывная полунорма на Е. Положим
U = {х: р(х) ^ 1}. Тогда существует такая последовательность
Ш С U° := {f ЕЕ': supnet/ \f(u)\ ^ 1}, что
р(х) =sup|/n(x)|, хе Ε.
η
Доказательство. В подпространстве £Ь есть всюду плотная
последовательность {хп}· Для каждого η по теореме Хана-Банаха имеем
р{%п) = sup{|/(arn)|: / G U°}. Поэтому в U° найдется такая
последовательность /nm, что р(хп) = supm \fnm(%n)\· Полученное счетное
множество занумеруем в виде единой последовательности {fn}· Ясно,
что q(x) := supn \fn(x)\ ^ ρ (χ) при χ G Ε0, причем q(xn) = p(xn) для
всех п. С другой стороны, для каждого χ G Е$ при фиксированном
ε > О найдется элемент хт с р(х — хт) < ε, откуда
р(х) < р{хт) + ε = q(xm) + ε ^ q(xm - χ) + q(x) + ε ^
^ ρ{Χτη -x)+ q{x) + ε ^ д(ж) + 2ε,
что в силу произвольности ε дает оценку ρ(χ) ^ q{x)·
Более короткое обоснование легко усмотреть из доказанного в § 3.2:
множество U° в топологии σ(Ε',Ε) — метризуемый компакт, значит,
взяв в нем счетное всюду плотное множество {/п}? получаем нужное
представление. В самом деле, ρ ^ supn \fn\. С другой стороны, если
χ G 17, то имеется / G Е' с /(ж) = р(ж) и |/| ^ р, т. е. / G 17°, что дает
подпоследовательность {т^} с р(х) = f(x) = lim fni(x)· Π
г—»оо
1.12.18. Предложение. Пусть Е — нормированное
пространство, F — сепарабельпое по норме линейное подпространство в Е'
и ξ — непрерывная по норме линейная функция на F. Тогда имеется
такая последовательность {хп} С Е, что
£(/)= lim /(*„) V/GF.
η—>οο
Доказательство. Можно считать, что ||£|| < 1. Возьмем
последовательность элементов {Д} с F единичной нормы, линейная оболочка
которой плотна в F. Затем по индукции построим такую
последовательность {хп} в единичном шаре U из Е, для которой верно равенство
£(Л) = Ит fk{xn) при каждом /с. Положим хг = 0. Если х\,..., Хп
п—»оо
уже выбраны, то x^+i G 17 подберем так, что |£(/г) — /i(^fc+i)| ^ &-1
для г = 1,..., /с + 1. Это возможно, ибо по теореме Хана-Банаха
существует элемент η G Ε", для которого Ц77Ц ^ 1 и ξ = η\ρ. При этом
η входит в замыкание образа U при каноническом вложении Ε с Е"
в топологии σ(Ε",Ε'). В противном случае нашелся бы такой элемент
g G Ε', что |#(w)| ^ 1 при всех и G U и 77(g) > 1; тогда мы бы имели
1.12. Дополнения и задачи
133
||#|| ^ 1, что дало бы Ц77Ц > 1. Значит, в окрестности η, задаваемой
неравенствами |С(Л) — v(fi)\ < ^_1? ^ — l,...,fc + 1, есть вектор из
образа U, так что соответствующий вектор из U можно взять в
качестве Xk+i· Так как линейная оболочка {Д} плотна в F, мы получаем,
что £(/) = η(/) = lim f(xn) для всех функционалов f Ε F. Π
η—>οο
1.12(νϋ). Непрерывные селекции и продолжения
Приведем несколько полезных результатов, связанных с
построением обратных к неинъективным отображениям и продолжений
непрерывных отображений. Пусть дано сюръективное отображение /: X—► Y.
Отображение д: Υ —> X называют правым обратным для
отображения /, если f(g(y)) = у для всех у G Υ. Часто бывает полезно иметь
непрерывные правые обратные для непрерывного отображения, что
тесно связано с построением однозначных ветвей многозначных
отображений (такие однозначные ветви называют селекциями).
Классическим результатом в этой области является следующая теорема Майкла
о селекции (см. Michael [396] или Repovs, Semenov [436, с. 190]).
1.12.19. Теорема. Пусть Μ — метризуемое пространство, Ρ —
полное метризуемое замкнутое подмножество локально выпуклого
пространства Ε и Φ: Μ —> 2Р — полунепрерывное снизу
отображение со значениями во множестве непустых выпуклых замкнутых
подмножеств Р, т. е. для всякого открытого множества U С Ρ
множество Ф-1 (U) := {х G Μ: Φ(χ)πυ φ 0} открыто. Тогда есть такое
непрерывное отображение f: Μ —> Ρ, что f(x) G Φ (χ) для всех х.
Как показал В.В. Филиппов [163], от замкнутости Ρ отказаться
нельзя, даже если Ρ — G^-множество в I2 (тем самым полно с некоторой
метрикой, задающей ту же топологию).
1.12.20. Следствие. Пусть Τ: Ρ —> Μ — непрерывное
аффинное отображение полного метризуемого замкнутого выпуклого
множества Ρ в локально выпуклом пространстве в метризуемое
множество Μ в локально выпуклом пространстве, причем Τ открыто,
т. е. переводит открытые множества в открытые. Тогда Τ
обладает непрерывным правым обратным.
Доказательство. Проверим, что отображение из Μ в 2Р,
переводящее χ в Ф(х) := Т~1(х), удовлетворяет условиям теоремы Майкла.
Множества Ф(х) замкнуты в Ρ из-за непрерывности Τ и выпуклы из-
за аффинности Т. Проверим, что если U С Ρ открыто, то указанное
в теореме множество Ф-1(£7) открыто в М. Для каждого χ G Ф_1(£7)
имеется и G Ф(х) Π [7, т.е. Ти = х, но T(U) открыто в Μ по условию,
значит, точка χ лежит в T(U) с некоторой окрестностью У, откуда
V С Ф_1(£7), что легко проверяется. D
134
Глава 1. Введение в теорию
1.12.21. Следствие. Пусть Хо — замкнутое линейное
подпространство пространства Фреше X и π: Χ —> Х/Хо — каноническая
проекция на факторпространство. Тогда π имеет непрерывное правое
обратное (возможно нелинейное).
1.12.22. Пример. В ситуации предыдущего следствия для
каждого компакта К с Х/Хо найдется такой компакт S С X, что π(S) = К.
В самом деле, выбрав непрерывное правое обратное φ κ π, можно
положить S = φ(Κ).
В задаче 1.12.82 предлагается получить последнее утверждение
непосредственно, причем без условия локальной выпуклости
пространств. В следствии 3.9.14 и примере 3.9.15 доказанное
распространено на общие непрерывные линейные сюръекции пространств Фреше.
Следующий важный результат — теорема Дугунджи о
продолжении [281].
1.12.23. Теорема. Пусть Ζ — замкнутое подмножество
метрического пространства Μ, Ε — локально выпуклое пространство,
f: Ζ —> Ε — непрерывное отображение. Тогда существует
непрерывное отображение f пространства Μ в выпуклую оболочку f(Z),
совпадающее с f на Ζ.
Подробное доказательство можно прочитать в Борсук [23, с. 86].
Если Ε — пространство Фреше и продолжения могут принимать
значения в замыкании выпуклой оболочки /(Ζ), то это утверждение
сразу вытекает из теоремы Майкла о селекции: достаточно положить
Ф(х) = f(x) при χ G Z, а при χ £ Ζ взять в качестве Ф(х) замкнутую
выпуклую оболочку f(Z). Простая проверка показывает, что Φ
полунепрерывно снизу.
1.12.24. Следствие. Для всякого замкнутого выпуклого
множества V в метризуемом локально выпуклом пространстве Ε
существует непрерывное отображение г: Ε —> V, тождественное на V
(такое отображение называют ретракцией, а V ретрактом).
В работе Borges [241] теорема Дугунджи распространена на
более широкий класс кружевных пространств (о нем см. §3.12(v)),
откуда следует, что всякое замкнутое выпуклое множество в кружевном
локально выпуклом пространстве является его ретрактом. Однако не
всякий выпуклый компакт в произвольном локально выпуклом
пространстве есть его ретракт (см. Сипачева [130]).
Задачи
1.12.25? Обосновать пример 1.3.6.
1.12.26.° Привести пример сходящейся направленности в
топологическом пространстве, состоящей из счетного числа элементов, из которой
нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность.
1.12. Дополнения и задачи
135
Указание: в пространстве всех функций на [0,1] с топологией
поточечной сходимости взять счетное множество функций sin(ni) и заметить, что
нулевая функция — его предельная точка, что дает сходящуюся
направленность из этих функций.
1.12.27.° Доказать, что всякий ультрафильтр, содержащий компактное
множество, сходится к точке этого множества.
1.12.28.° Доказать, что на топологическом векторном пространстве £°
из примера 1.3.16 нет ненулевых непрерывных линейных функционалов.
1.12.29° Показать, что на пространстве /C(IRn), введенном в
примере 1.3.17, нет метрики, относительно которой сходимость
последовательностей совпадает со сходимостью последовательностей в топологии τχ;.
Указание: взять ненулевой элемент φ и для каждого к £ IN
последовательность (pkj(x) = j~1(p(x/k), сходящуюся к нулю в /C(IRn); заметить, что
нельзя так выбрать jk —► оо, что ifk,jk —*· 0.
1.12.30.° Показать, что пространство V(JRn) неметризуемо, рассмотрев
функции (pjtk{x) = AT V(x/j), где φ G P(IRn), φ ф 0, и заметив, что φ^^ —> О
при к —> оо, но {ipj,kj} не сходится ни при каком выборе kj —> оо.
1.12.31. Пусть Ε — векторное пространство, Vo — множество всех
полунорм на £7, Vi — множество всех квазинорм на Е. Доказать, что если
алгебраическая размерность Ε конечна или счетна, то топологии в £7,
определяемые семейством полунорм Vo и семейством квазинорм Pi, совпадают.
1.12.32.° Доказать, что замыкание множества А в топологическом
векторном пространстве Ε совпадает с пересечением f)UeU(A+U), где Ы — базис
окрестностей нуля в Е.
1.12.33° Доказать, что замыкание линейного подпространства в
топологическом векторном пространстве является линейным подпространством.
1.12.34. Пусть Ео — линейное подпространство в вещественном
линейном пространстве Ε, ρ — полунорма на Ε и ро — полунорма на ΕΌ, причем
ро(х) ^ р(х) для всех χ £ Ео. Доказать, что на Ε найдется такая
полунорма pi, что pi\e0 = Ро и pi ^ р.
Указание: рассмотреть функционал Минковского абсолютно выпуклой
оболочки {ро ^ 1} U {pi ^ 1}.
1.12.35. (i) Пусть Μ — ограниченное множество в топологическом
векторном пространстве £7, топология которого задана инвариантной
относительно сдвигов метрикой. Доказать, что Μ ограничено относительно этой
метрики, (π) (Α.Β. Шапошников) Построить метрику d на /2, задающую ту
же топологию, что и обычная норма на /2, но обладающую тем свойством, что
единичный шар по обычной метрике неограничен относительно метрики d.
Указание: (ii) взять непрерывные функции /п : I2 —> [0, п] с носителями
в шарах радиуса 1 с центрами в Зеп и /(Зеп) = п, где {еп} — стандартный
базис, положить / = Σ™=ι fn и рассмотреть метрику d(x,y) = \\F(x) — F(y)\\,
где F: I2 —► Ζ2, F(x) = (/(χ),χι,χ2, ·. ·), x = (xn)·
1.12.36? Доказать, что в топологическом векторном пространстве
фундаментальная последовательность ограничена.
136
Глава 1. Введение в теорию
1.12.37.° Доказать, что множество в локально выпуклом пространстве
ограничено в точности тогда, когда на нем ограничена каждая непрерывная
полунорма.
1.12.38.° Покажите, что сублинейный функционал на векторном
пространстве, не принимающий бесконечных значений, непрерывен в
сильнейшей локально выпуклой топологии.
1.12.39? Доказать, что выпуклое множество в IRn замкнуто в точности
тогда, когда замкнуты его пересечения со всеми отрезками.
1.12.40? Пусть Ε — ненулевое топологическое векторное пространство,
Г — замкнутая гиперплоскость в Е. Доказать, что определяемые ею
замкнутые полупространства замкнуты, а открытые открыты, причем замкнутые
полупространства являются замыканиями открытых.
1.12.41? Пусть V — выпуклое всюду плотное множество в вещественном
топологическом векторном пространстве. Доказать, что для всякой
замкнутой гиперплоскости Η множество Η (IV плотно в Н.
1.12.42. Доказать, что в бесконечномерном метризуемом локально
выпуклом пространстве Ε есть дизъюнктные всюду плотные выпуклые
множества А и Б, для которых Аи В = Ε (если Ε сепарабельно, то это верно без
метризуемости, см. Бурбаки [27, с. 78, задача 19]).
1.12.43. Доказать, что в топологическом векторном пространстве
граница выпуклого множества с непустой внутренностью нигде не плотна.
1.12.44. Пусть V — связное замкнутое множество в отделимом
топологическом векторном пространстве, причем каждая точка χ £ V имеет такую
замкнутую окрестность W, что W Π V выпукло. Доказать, что V выпукло.
1.12.45. Обосновать сказанное в замечании 1.11.9.
1.12.46.° Доказать, что множество внутренних точек уравновешенного
множества в топологическом векторном пространстве уравновешено.
1.12.47.° Пусть X и Υ — топологические векторные пространства,
Т: X —► Υ — линейное отображение, переводящее некоторую окрестность
нуля в ограниченное множество. Доказать, что Τ непрерывно.
1.12.48? Пусть полунорма ρ на локально выпуклом пространстве
ограничена на некотором непустом открытом множестве. Доказать
непрерывность р.
1.12.49? Доказать, что линейное отображение А из топологического
векторного пространства в IRn непрерывно, если его ядро Кег А замкнуто.
1.12.50. Построить пример разрывной линейной функции на локально
выпуклом пространстве, которая слабо секвенциально непрерывна, т. е.
переводит слабо сходящиеся к нулю последовательности в сходящиеся к нулю.
Показать, что такое невозможно в банаховом пространстве со слабой
топологией.
Указание: рассмотреть ^(IR1) с топологией тч из задачи 2.10.49(ii).
1.12.51. Доказать, что локально выпуклое пространство
секвенциально полно в точности тогда, когда в нем сходятся все последовательности,
1.12. Дополнения и задачи
137
фундаментальные по каждой полунорме из некоторого набора, задающего
топологию. Это равносильно также сходимости всех последовательностей,
фундаментальных по каждой непрерывной полунорме.
1.12.52. Пусть В — непустое замкнутое выпуклое множество в
отделимом топологическом векторном пространстве £7, К С Ε — непустой компакт
и А С Ε таково, что А + К С В + К. Доказать, что А С В. В частности, если
А также непусто, замкнуто и выпукло vl A + К = В + К, то А = В.
Указание: достаточно рассмотреть случай А = {0}; тогда можно взять
к\ £ К и по индукции найти такие кп £ К и Ъп £ Ϊ?, что кп = Ьп + Α;η+ι;
заметить, что η_1(6ι + · · · + 6П) — n~1(ki — kn+i) —> 0, откуда 0 £ В ввиду
выпуклости и замкнутости В.
1.12.53. Пусть А — выпуклый компакт и В — замкнутое ограниченное
выпуклое множество в отделимом локально выпуклом пространстве.
Доказать, что выпуклая оболочка A U В замкнута.
Указание: см. Бурбаки [27, с. 159].
1.12.54. Пусть S — компакт диаметра d в нормированном
пространстве Е. Показать, что расстояние между двумя опорными гиперплоскостями
к 5 не больше d, причем существуют такие точки а, Ъ £ 5, что \\а — b\\ = d
и через них проходят опорные гиперплоскости, отстоящие друг от друга на
расстояние d.
1.12.55. Показать, что на всяком бесконечномерном нормированном
пространстве существуют нормы, задающие строго более сильную и
строго более слабую топологии соответственно.
1.12.56. Доказать, что произведение любого набора квазиполных
пространств квазиполно.
1.12.57. Пусть Eq — такое линейное подпространство топологического
векторного пространства £7, что всякая точка из Ε лежит в замыкании
некоторого ограниченного множества из Eq. Доказать, что каждое непрерывное
линейное отображение из Eq в квазиполное отделимое топологическое
векторное пространство G однозначно продолжается до непрерывного
линейного отображения из Ε в G.
1.12.58.° Пусть топология локально выпуклого пространства Ε
задана последовательностью полунорм рп, причем рп ^ ρη+ι· Показать, что эта
топология может быть задана одной полунормой в точности тогда, когда
найдется такое /с, что при некоторых Сп > 0 имеем рп ^ Спрк для всех п.
1.12.59. Пусть Ε — метризуемое локально выпуклое пространство
неуравновешенное множество в Е, поглощающее все стремящиеся к нулю
последовательности. Доказать, что S содержит окрестность нуля.
Указание: если ап —> 0, ап 0 5, то найдутся Сп —> +оо с Спап —> 0, что
ведет к противоречию, ибо S поглощает {Спап}.
1.12.60. Показать, что в локально выпуклом пространстве
последовательность {хп} фундаментальна тогда и только тогда, когда для всякой ее
подпоследовательности {хПк} последовательность векторов хПк+1 — Хпк
сходится к нулю.
138
Глава 1. Введение в теорию
1.12.61. Пусть V — выпуклое множество с непустой внутренностью
в локально выпуклом пространстве Е. Доказать, что V открыто в точности
тогда, когда для всякого ненулевого непрерывного линейного функционала
/ на Ε множество /(V) открыто.
Указание: если V открыто, то открыто /(V) для ненулевого /; если же
χ о £ V не является внутренней точкой, то взять / Ε Ε' с f(u) ^ /(хо) для
всех и из внутренности V\ показать, что /(хо) — внутренняя точка f(V).
1.12.62. (Фихтенгольц [164]) Пусть ρ и q — полунормы на линейном
пространстве £7, Е'р и E'q — подпространства в £"*, соответствующие
функционалам, непрерывным по полунормам ρ и q соответственно. Показать, что
Ер С Eg в точности тогда, когда ρ ζ. cq при некотором с > 0.
1.12.63. Пусть Ε и F — локально выпуклые пространства, множества
А С Ε и В С F абсолютно выпуклы, / — числовая билинейная функция
на ExF, причем ее сужение на, Ах В непрерывно в нуле, (i) Доказать, что
сужение f на, Ах В непрерывно, (ii) Доказать, что если А предкомпактно,
а В компактно, то сужение f на Ах В равномерно непрерывно.
1.12.64. Доказать, что компактное пространство К метризуемо в
точности тогда, когда на нем есть счетное семейство непрерывных функций /п,
разделяющих точки в следующем смысле: если χ φ у, то для некоторого η
имеем /п(х) φ /η(у). При этом в качестве метрики можно взять
d(x,y) = Σ~=ι 2-" min(|/n(x) - fn(y)\, l).
1.12.65.° Доказать, что отделимый компакт К метризуем в точности
тогда, когда пространство С (К) с обычной sup-метрикой сепарабельно.
1.12.66. Пусть X — метризуемый компакт и /: X —► Υ — непрерывное
отображение, причем Υ хаусдорфово. Доказать, что компакт f(X) также
метризуем.
Указание: пространство С(Х) сепарабельно, а С(/(Х)) вкладывается
в него изометрично посредством отображения φ ι—► ipof. Значит, С(/(X))
тоже сепарабельно, что дает метризуемость /(X).
1.12.67. Доказать, что множество А в отделимом топологическом
векторном пространстве Ε предкомпактно в точности тогда, когда каждая
бесконечная последовательность из А имеет предельную точку в пополнении Е.
1.12.68. Пусть А — локально компактное замкнутое выпуклое
множество в топологическом векторном пространстве. Доказать, что если А
ограничено, то оно компактно.
Указание: показать, что А вполне ограничено, рассуждая от
противного и взяв такую уравновешенную окрестность нуля У, что ап — а,к 0 V для
некоторой последовательности {ап} С А, затем использовать выпуклость А.
1.12.69. Пусть Ε — метризуемое топологическое векторное
пространство, d — инвариантная относительно сдвигов метрика на нем, задающая
топологию, Ε — пространство классов эквивалентности бесконечных
фундаментальных последовательностей χ = (хп) из Е, где χ ~ у, если
последовательность (χι,2/ι,Χ2,2/2, · · ·) фундаментальна. Пусть с?(х,у) := lim c?(xn,yn).
1.12. Дополнения и задачи
139
Показать, что Ε — полное метрическое топологическое векторное
пространство, служащее пополнением Е.
1.12.70.° Доказать, что всякое счетное всюду плотное множество в
бесконечномерном метризуемом топологическом векторном пространстве
содержит плотное линейно независимое подмножество.
1.12.71. Доказать, что на IR°° нет непрерывных норм.
1.12.72. В банаховом пространстве I1 рассмотрим прямую L, заданную
условиями хп = 0,п^2,а также множество
А := {х = (хп): \п3хп — п\ ^ х\ Vn ^ 2}.
Показать, что А замкнуто и выпукло, причем AnL = 0, но А и L нельзя
разделить замкнутой гиперплоскостью (заметить, что множество А — L нельзя
отделить от нуля замкнутой гиперплоскостью, поскольку это множество
всюду плотно). Аналогичное верно ив/2.
1.12.73. Рассмотрим банахово пространство I1 = (со)', наделенное
топологией σ(/χ, со), в которой замкнутый единичный шар U компактен (см. § 3.1).
Показать, что ни в какой точке и единичной сферы с бесконечным числом
ненулевых координат нет замкнутой опорной гиперплоскости к U.
1.12.74. Показать, что замкнутый единичный шар банахова
пространства со стремящихся к нулю последовательностей не имеет опорных
гиперплоскостей, параллельных замкнутой гиперплоскости /_1(0), где / задается
формулой /(χ) = Σ™=1 2~ηχη.
1.12.75. Возьмем компакт К := {(χη): Σ^=ι у/пх^, ^ 1} в Ζ2 и точку
а Е К, где ап = стпГ1, с > О, Σ™=1 (?п~ъ'2 = 1. Доказать, что а — крайняя
точка X, но через а не проходит никакая опорная гиперплоскость к К.
Указание: если эта гиперплоскость имеет вид (х,у) = 1, то уп = су/пап.
1.12.76. Пространство Μ = С[0,1]' борелевских мер на [0,1] наделим
топологией σ(Μ, С[0,1]). Пусть λ — мера Лебега, D — множество дираков-
ских мер δα, а £ [0,1], Ε — линейное подпространство М, порожденное D и X
и наделенное индуцированной топологией. Показать, что D компактно в Е,
причем λ является крайней точкой замкнутой выпуклой оболочки множества
D в Е, хотя не входит в выпуклую оболочку D.
1.12.77. Пусть еп — последовательность, имеющая 1 на месте с
номером η и нули на остальных местах. Показать, что множество К, являющееся
замкнутой выпуклой оболочкой последовательности {(п + 1)_1еп} в
банаховом пространстве /°°, компактно, но не совпадает с выпуклой оболочкой
своих крайних точек.
1.12.78. Пусть К — выпуклый компакт в вещественном локально
выпуклом пространстве. Доказать, что всякий непрерывный линейный
функционал принимает минимальное и максимальное значение на К в некоторых
крайних точках К.
1.12.79. (i) Пусть Η — замкнутая гиперплоскость в отделимом
локально выпуклом пространстве Ε и А — абсолютно выпуклое множество в Е.
Доказать, что ~А П Я = А П Я.
140
Глава 1. Введение в теорию
Привести пример выпуклого, но не абсолютно выпуклого множества А
в Ш2, для которого это неверно.
(ii) Вывести из (i), что абсолютно выпуклое множество в Ε замкнуто
в точности тогда, когда замкнуты его пересечения со всеми замкнутыми
гиперплоскостями в Е.
Указание: если h 0 Η и направленность векторов ha + Coch e А, где
ha £ Η и Сое φ 0, стремится к Ь £ Н, то векторы
αα = —ta(hai + caih) + (1 — ta)(ha + cah) £ A
тоже стремятся к Ь, если ta —► 0; заметить, что аа £ Н, если cai£a = ca(l—ία)·
1.12.80. (i) Пусть А — абсолютно выпуклое подмножество локально
выпуклого пространства £7, наделенного сильнейшей локально выпуклой
топологией. Показать, что тогда А П L = AnL для всякого линейного
подпространства L С Е. (ii) Пусть А — абсолютно выпуклое подмножество ExF, где
E,F — локально выпуклые пространства и F наделено сильнейшей локально
выпуклой топологией. Показать, что Ап(Ех {0}) = Ап(Ех {0}).
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 110].
1.12.81. Пусть V — выпуклое множество в топологическом векторном
пространстве. Доказать, что если V имеет хотя бы одну внутреннюю точку,
то его топологическая внутренность совпадает с алгебраическим ядром.
1.12.82. Пусть X — пространство Фреше, Хо — его замкнутое линейное
подпространство, π: X —> Х/Хо — каноническая проекция на факторпро-
странство. Доказать, что для каждого компакта К С Х/Хо найдется такой
компакт S С X, что π(5) = К. В задаче 3.12.149 приведено обобщение.
Указание: см. Эдварде [185, лемма 9.6.9, с. 926].
1.12.83. Пусть Ε — нормированное пространство, F — сепарабельное
и замкнутое по норме линейное подпространство в Е'. Показать, что
найдется сепарабельное замкнутое линейное подпространство Eq С Е, для которого
существует линейная изометрия j подпространства F на замкнутое линейное
подпространство в банаховом пространстве Е'0.
Указание: взять в F плотную по норме последовательность {/п} и
такие векторы ап £ Е, что ||αη|| ^ 1, |/η(αη)| = (1 — гс_1)||/п||; пусть Е0
замкнутое линейное подпространство в Е, порожденное {αη}; заметить, что
II/H = supn|/(an)| при / £ F; в качестве j(f) при / £ F взять /|я0, т.е.
j(f)(x) = Дх) при χ £ Ео, \\j(f)\\ = sup{|/(x)|: χ £ Я0, ||*|| ^ 1} = ||/||.
1.12.84. Пусть Φ — многозначное отображение топологического
пространства Τ в множество непустых подмножеств компакта К, имеющее
замкнутый график. Доказать, что Φ полунепрерывно сверху, т. е. если to £ Τ
и Φ (to) лежит в открытом множестве W, то существует такая окрестность
U Э to, что Φ(ί) С W при t £ U.
1.12.85. (Миллионщиков [94]) Пусть V — замкнутое выпуклое
множество в полном отделимом локально выпуклом пространстве £7, /ι: V —► Ε —
сжимающее отображение, т. е. для всякой полунормы ρ из задающего
топологию набора есть такое λ < 1, что p(/i(x) — /ι(у)) ^ Хр(х — у), /2: V —► Ε
непрерывно и /(V) лежит в компакте. Предположим, что / = /ι + /г
отображает V в V. Тогда найдется хо £ V с /(хо) = хо-
Глава 2
Методы построения топологических
векторных пространств
В этой главе рассматриваются проективные пределы (в
частности произведения) семейств топологических векторных
пространств, индуктивные пределы (в частности топологические
прямые суммы) семейств локально выпуклых пространств,
включая строгие индуктивные пределы и индуктивные пределы с
компактными вложениями, тензорные произведения локально
выпуклых пространств и ядерные пространства.
Всюду в этой главе символ К обозначает — если не оговорено
противное — поле комплексных или поле действительных чисел;
предполагается, что все рассматриваемые векторные и
топологические векторные пространства являются пространствами над К.
2.1. Проективные топологии
2.1.1. Определение. Пусть Ε — векторное пространство
и 21 — некоторое множество индексов. Предположим, что для
каждого a Ε 21 даны топологическое векторное пространство Еа
и линейное отображение да: Ε —> Еа. Проективной топологией
семейства пространств {Еа} относительно семейства
отображений {да} называется самая слабая среди всех топологий
в Е, относительно которых непрерывны одновременно все
отображения {да}- Проективным пределом семейства {Еа}
относительно семейства отображений {да} называется векторное
пространство Е, наделенное этой топологией.
Проверим корректность приведенного определения, т. е.
докажем, что проективная топология семейства пространств {Еа}
142
Глава 2. Методы построения
относительно семейства {да} отображений существует.
Доказательство заключается в предъявлении явного описания этой
топологии. Для каждого индекса a Ε 21 пусть Wa есть класс всех
множеств вида да~1(У), где V — открытое подмножество в Еа.
Положим W = Ua^<*· Тогда совокупность V пересечений
всевозможных конечных семейств множеств из W образует базу
топологии τ в Е, обладающей требуемыми свойствами, т.е. самой
слабой среди всех топологий t в Е, для которых все отображения
да: (E,t) —> Еа непрерывны.
Чтобы в этом убедиться, требуется проверить справедливость
следующих утверждений: (1) V — база некоторой топологии τ
в Е; (2) все отображения да: (£?, т) —> Еа непрерывны; (3)
топология τ мажорируется всякой топологией t в £?, для которой все
отображения да: (£?, £) —> £?α непрерывны.
Справедливость (1) вытекает из того, что пересечение всякого
конечного набора подмножеств из V входит в Р, так что
совокупность всех подмножеств пространства Е, каждое из которых
является объединением некоторого семейства множеств из V,
образует топологию. Ее мы и обозначим символом т. Ясно, что базой
этой топологии служит V (класс W является ее предбазой).
Если теперь a Ε 21 и V — открытое подмножество в Еа, то
9а.1(У) £ VV С Ρ С т, в силу определения W, Риг, так что
отображения да: (£?, т) —> Еа непрерывны, т. е. (2) верно.
Проверим (3). Пусть t — такая топология в £?, что для
каждого a Ε 21 отображение да: (£?, £) —> £?а непрерывно. Тогда
каждое из множеств, являющихся элементами W, открыто в £, т.е.
Wei. Поэтому τ С t в силу определения г. Проверка
корректности определения закончена.
2.1.2. Замечание. До сих пор нигде не использовалось ни
то, что для каждого a Ε 21 топология пространства Еа
согласуется со структурой векторного пространства, ни то, что все
отображения да линейны, ни то, что Ε и Еа — векторные
пространства. Таким образом, определение проективного предела
сохраняет смысл и остается корректным и без этих предположений
(т.е. в случае, когда Ε — произвольное множество, {Еа} —
произвольное семейство топологических пространств и {да} ~
произвольное семейство отображений из Ε в Еа).
2.1.3. Предложение. В предположениях определения 2.1.1
проективная топология τ согласуется со структурой
векторного пространства Е.
2.1. Проективные топологии
143
Доказательство. Справедливость этого предложения
вытекает из следствия 1.2.9. Действительно, все Е(% —
топологические векторные пространства, а все отображения да линейны.
Значит, каждое из семейств множеств Wa инвариантно
относительно сдвигов; следовательно, инвариантны относительно
сдвигов и семейства УУиР, а потому и топология т.
Далее, в силу определения топологии τ множество О всех
подмножеств пространства Е, каждое из которых является
пересечением некоторого конечного семейства множеств вида Яа1{У)ч
где V — открытая закругленная окрестность нуля в Еа,
представляет собой базу окрестностей нуля в топологии т, причем эта
база обладает свойствами (1) и (2) из предложения 1.2.2.
Поэтому в силу следствия 1.2.9 топология τ согласуется со структурой
векторного пространства. D
Термин «проективный предел» часто используется в качестве
названия более специальной конструкции (о ней будет сказано
позже); с другой стороны, проективные в нашем смысле
топологии называются также инициальными.
2.1.4. Предложение. Если в предложении 2.1.1 все
топологические векторные пространства Еа локально выпуклы, то
локально выпукла и топология т.
Доказательство. Обоснование совершенно аналогично
доказательству предложения 2.1.3; следует только слова «открытая
закругленная окрестность» заменить словами «открытая
выпуклая закругленная окрестность». D
2.1.5. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, являющееся проективным пределом
семейства {Еа: a Ε 21} топологических векторных пространств
относительно линейных отображений {ga: a Ε 21}.
Отображение f произвольного топологического пространства G в
топологическое векторное пространство Ε непрерывно в точке χ Ε G
в том и только в том случае, когда для всякого a Ε 21
отображение ga°f: G —> Еа непрерывно в этой точке.
Доказательство. Так как композиция двух непрерывных
(в соответствующих точках) отображений непрерывна,
достаточно доказать, что непрерывность отображений gaof (a Ε 21) влечет
непрерывность /. Пусть V — открытая окрестность точки f(x).
Надо показать, что существует такая окрестность W точки ж, что
144
Глава 2. Методы построения
f(W) С V. В силу определения проективной топологии
существуют индексы αϊ,..., ап Ε 21 и открытые подмножества Vi,..., Vn
пространств Εαι,..., Εατι, для которых f(x) е ΠΓ=ι 9*}(Vi) c ^·
Так как каждое отображение gai°f непрерывно, то найдутся
такие открытые окрестности W{ точки ж, что (<7ai°/)(Wi) С Vi для
каждого г Ε {1,2,... , п}. Это означает, что f(Wi) С ^/(V*) для
каждого такого г. Поэтому тем более /(fl^Wi) С д^.1^) для всех г.
Значит, если W = ПГ=1 ^i. т° f(W С ΠΓ=ι ^(^)· □
Если Ε — локально выпуклое пространство и ρ — некоторая
непрерывная полунорма на Е, то символом Ер или (Ер,р)
обозначается нормированное пространство, определяемое так:
векторное пространство Ер — это векторное факторпространство
векторного пространства Ε по его подпространству р_1(0); при этом
ρ — норма на Ер, корректно определяемая следующим образом:
если χ е Ер и χι — представитель класса ж, то р{х) = р{х\).
Отметим, что каноническое отображение др: Ε —> Ер
непрерывно как композиция двух непрерывных отображений —
тождественного отображения пространства Е, наделенного исходной
топологией, в Е, наделенное топологией, определяемой
полунормой ρ (мы обозначим это последнее символом (Е,р)), и
канонического отображения (Е,р) в Ер (это фактически то же самое
отображение др, но рассматриваемое как отображение из (Е,р)
в пространство Ер).
Общий проективный предел — весьма универсальный объект.
2.1.6. Предложение. Всякое локально выпуклое
пространство Ε представляет собой проективный предел семейства
{Ер: ρ Ε V} нормированных пространств относительно
канонических отображений {gp: p Ε V}, где V — множество всех
непрерывных полунорм на Е.
Доказательство. Это вытекает из того, что всякая
локально выпуклая топология задается множеством всех непрерывных
полунорм на том пространстве, в котором она введена. D
2.1.7. Замечание. Аналогичное предложение справедливо
и для произвольных топологических векторных пространств (т. е.
пространств, не являющихся локально выпуклыми). Чтобы его
получить, достаточно в формулировке приведенного
предложения слово «полунорма» заменить словом «квазинорма», а слово
«нормированных» — словом «метризуемых».
2.2. Примеры проективных пределов
145
2.1.8. Замечание. Для каждой полунормы ρ на Ε обозначим
через ερ банахово пространство, являющееся пополнением
нормированного пространства Ер. Из предыдущего предложения
вытекает, что всякое локально выпуклое пространство
представляет собой проективный предел семейства банаховых пространств
{Sp} относительно соответствующих канонических отображений.
Аналогичное предложение справедливо и для произвольных
топологических векторных пространств, т. е. необязательно
локально выпуклых (в этом случае роль банаховых пространств играют
полные метризуемые топологические векторные пространства).
2.1.9. Замечание. Если τ — проективная топология в
векторном пространстве Ε относительно семейства {Еа: a Ε 21}
топологических векторных пространств и линейных отображений
{da £ £(Е,Еа): & £ 21}, то для отделимости τ необходимо и
достаточно, чтобы для всякого ненулевого элемента χ Ε Ε
можно было найти a Ε 21 и окрестность нуля Va в Еа такие, что
9а{х) £ Va- В частности, если все топологические векторные
пространства Εа отделимы, то для отделимости Ε необходимо и
достаточно, чтобы для каждого ненулевого элемента χ Ε Ε
существовал такой индекс a Ε 21, что да(х) φ 0. Оба утверждения
непосредственно вытекают из определения.
2.2. Примеры проективных пределов
Рассмотрим несколько примеров проективных пределов.
2.2.1. Пример. (Верхняя грань набора топологий в
векторном пространстве.) Пусть Ε — векторное пространство, 21 —
некоторое множество индексов и для каждого a Ε 21 задана
топология та в Е, согласующаяся со структурой векторного
пространства. Тогда в Ε существует топология т, являющаяся верхней
гранью множества {та: a Ε 21} в множестве всех топологий в Е,
т.е. самая слабая среди всех тех топологий в Е, каждая из
которых мажорирует всякую из топологий та. При этом топология
г согласуется со структурой векторного пространства и, кроме
того, является локально выпуклой, если таковы все та.
Действительно, требуемым свойством обладает топология
проективного предела семейства топологических векторных
пространств {Еа: a Ε 21} относительно семейства отображений
{да: a Ε 21}, где для каждого a Ε 21 берем Еа = (Е,та),
причем да — тождественное отображение пространства Е. Сказанное
о локальной выпуклости вытекает из предложения 2.1.4.
146
Глава 2. Методы построения
2.2.2. Пример. (Подпространства, см. пример 1.3.10). Пусть
Ε — топологическое векторное пространство, Ει — его
топологическое векторное подпространство (т. е. векторное
подпространство, наделенное индуцированной топологией) и д: Ει —> Ε —
каноническое вложение. Тогда Ει — проективный предел
одноэлементного семейства топологических векторных пространств {Е}
относительно одноэлементного семейства отображений {д}.
2.2.3. Пример. (Произведение топологических векторных
пространств.) Пусть 21 — непустое множество и (Еа,та) —
топологическое векторное пространство для каждого a Ε 21. Пусть
Ε — векторное пространство, являющееся произведением
семейства векторных пространств {Еа: a Ε 21}. Таким образом,
множество элементов Ε — множество всех функций / на
множестве 21, принимающих значения в множестве (JaG2t£?a, причем
f((y) G Εα для каждого a Ε 21; структура векторного
пространства в Ε вводится с помощью соотношения
(Αι/ι + λ2/2)(α) = λι/ι(α) + Α2/2(α), АЬА2 € К, /ь/2 G Ε.
Для каждого a Ε 21 обозначим через рга отображение
проектирования Ε на Еа, определяемое так: если / Ε Е, то pra(/) = f(a).
Топология (в Е) проективного предела семейства {Еа: a Ε 21}
топологических векторных пространств относительно семейства
отображений {pra: a Ε 21} совпадает с топологией тихоновского
произведения; это вытекает из определений той и другой. Всюду
далее произведением семейства топологических векторных
пространств будет называться их произведение как векторных
пространств, наделенное топологией тихоновского произведения;
если {Ga} — то семейство топологических векторных пространств,
о котором при этом идет речь, то символ Паея @а будет
обозначать их произведение.
2.2.4. Предложение. Пусть Ε — проективный предел
семейства {Еа: a Ε 21} топологических векторных пространств
относительно семейства отображений {ga Ε С(Е, Еа): a Ε 21},
причем его топология отделима. Тогда Ε изоморфно — как
топологическое векторное пространство — некоторому
топологическому векторному подпространству произведения G
семейства топологических векторных пространств {Еа: a Ε 21}.
Доказательство. Пусть Φ — линейное отображение
пространства £bG, определяемое так: Φ (χ) (α) = ga(x) (линейность
2.2. Примеры проективных пределов
147
Φ следует из линейности всех да). Это отображение инъектив-
но, ибо в силу отделимости Ε для каждого χ Ε Ε существует
такое a Ε 21, что да(х) Φ 0. Далее, для каждого a Ε 21
композиция ргаоФ совпадает с отображением да и, следовательно,
непрерывна. В силу предложения 2.1.5 непрерывно и
отображение Ф. Для окончания доказательства осталось проверить, что
непрерывно также отображение Ф-1: Ф(£?) —> Ε (в
предположении, что векторное подпространство Φ (£7) пространства G
наделено топологией, индуцированной топологией пространства G).
Для каждого a Ε 21 композиция отображения Ф-1, переводящего
элемент д(ж) (т. е. функцию α ι—► ga(#)) пространства Φ (£7) в
элемент χ Ε £?, и отображения #а совпадает с сужением на Ф(£?)
отображения проектирования рга: д(х) \—> да(х) и потому
непрерывно в силу определения топологии произведения. Поэтому —
опять же на основании предложения 2.1.5 — отображение Ф-1
также непрерывно. Таким образом, отображение Φ представляет
собой линейный гомеоморфизм Ε на топологическое векторное
подпространство Φ(£7) пространства Πα^<*· ^
2.2.5. Следствие. Всякое отделимое локально выпуклое
пространство Ε изоморфно топологическому векторному
подпространству произведения ПРеР ^р> г^е ^ ~ множество всех
непрерывных полунорм на Е.
Этот факт вытекает из предложений 2.1.6 и 2.2.4.
2.2.6. Пример. {Слабые топологии, пример 1.3.23). Пусть
Ε — векторное пространство, G — некоторое векторное
подпространство в £?*, и для каждого g Ε G пусть Ед — экземпляр
поля К, рассматриваемого как одномерное топологическое
векторное пространство (над полем К). Тогда топология
проективного предела семейства топологических векторных пространств
{Ед: д Ε G} относительно семейства отображений {д: д Ε G} —
слабая топология в £?, задаваемая элементами множества G.
2.2.7. Пример. (Пределы обратных спектров
топологических векторных пространств.) Пусть 21 — направленное
множество. Семейство {Еа: a Ε 21} топологических векторных
пространств называют обратным спектром топологических
векторных пространств Еа, если каждой паре α,/3 Ε 21 индексов, для
которых а ^ /3, сопоставлено непрерывное линейное отображение
φαβ: Ε β —> Еа. Пределом такого обратного спектра называется
топологическое векторное подпространство произведения Па^<*>
148
Глава 2. Методы построения
обозначаемое символом ИтЕа и состоящее из таких элементов
9 € ΤίαΕ*ι чт0 5(α) = Ψαβ9(β), если α, β е 21, а < β.
Например, если Е^ С Еа при α < β и естественное вложение
Εβ —> Εα непрерывно, то р|а Еа оказывается пределом обратного
спектра пространств Еа.
Всякое топологическое векторное подпространство
произведения произвольного семейства топологических векторных
пространств представляет собой проективный предел этого
семейства относительно семейства отображений рассматриваемого
пространства в пространства-сомножители, являющихся сужениями
на него отображений проектирования произведения на эти
сомножители. Поэтому, в частности, пространство \imEa
является проективным пределом семейства топологических векторных
пространств {Еа: a Ε 21} относительно семейства отображений,
являющихся сужениями соответствующих проекций.
Отметим еще, что в силу непрерывности отображений ψαβ
топологическое векторное пространство ИтЕа представляет
собой замкнутое подпространство произведения Υ[α Εα
(проверьте это). Поскольку, кроме того, замкнутое подмножество
полного топологического векторного пространства полно, а
произведение произвольного семейства полных топологических векторных
пространств является полным топологическим векторным
пространством, то предел обратного спектра полных топологических
векторных пространств является полным топологическим
векторным пространством. Аналогичное утверждение справедливо
и для квазиполных топологических векторных пространств.
Введем еще один интересный класс пространств.
2.2.8. Пример. (Счетно нормированные пространства.)
Так называются локально выпуклые пространства, являющиеся
пределами обратных спектров банаховых пространств,
обладающих следующими свойствами: (а) множество индексов
представляет собой множество натуральных чисел с обычным порядком;
(б) все отображения ipnj (определенные для j ^ п) инъективны.
Понятие счетно нормированного пространства было введено
Гельфандом и Шиловым [46] с помощью другого определения:
в их книге топологическое векторное пространство называется
счетно нормированным, если оно локально выпукло, метризуе-
мо, полно, причем его топология может быть задана счетным
набором согласованных норм. При этом две нормы на векторном
2.2. Примеры проективных пределов
149
пространстве Ε называются согласованными, если из
фундаментальности последовательности элементов этого пространства
одновременно по обеим нормам и сходимости этой
последовательности к нулю по одной из них вытекает, что она сходится к нулю
и по другой.
В качестве примера двух несогласованных норм на
бесконечномерном банаховом пространстве X укажем исходную норму
|| · || и норму χ ι—> \\х\\ + |/(#)|, где I — разрывный линейный
функционал на X. Тогда можно найти такие векторы хп Ε X,
что ||жп|| —> 0 и 1{хп) = 1.
Мы будем называть введенное нами определение счетно
нормированного пространства определением I, а определение из
книги [46] — определением П.
Сейчас мы докажем, что эти определения равносильны.
Сначала покажем, что из выполнения условий определения I
вытекает выполнение условий определения II. Итак, пусть задан
обратный спектр {Еп: η Ε IN} банаховых пространств, для которого
выполнены условия определения I.
Для каждого j Ε IN норму в Ej обозначим символом || · \\j.
Так как все отображения ipnj : Ej —> Еп инъективны, то каждое
из пространств Еп можно отождествить — как векторное
пространство — с подпространством любого пространства Е{ (г < п)
с меньшим индексом. Таким образом, если вместо слов
«является векторным подпространством» использовать символ С С, то
будет справедлива следующая цепочка соотношений:
•••сс£псс Εη-ι ее · · · ее Еъ
При этом отображения ipjr будут совпадать с
соответствующими (тождественными) вложениями. Подчеркнем, что, вообще
говоря, пространства Ег не являются топологическими
векторными подпространствами пространств Ej с меньшими индексами j,
а всего лишь векторными подпространствами.
При принятых соглашениях пространство lim En можно
отождествить — как векторное пространство — с пересечением р|п Еп
пространств Еп. В самом деле, g Ε \imEn в точности тогда,
когда при j ^ η справедливы равенства ipnj(d(j)) = 9(п)· Так
как ipnj — вложения, эти равенства фактически означают, что
д(1) = д{2) = ··· = д(п) = ···, так что отождествление \imEn
и f]n Еп можно задать так: д Ε lim Еп <ί=> д{1) Ε f]n En.
150
Глава 2. Методы построения
Итак, показано, что как векторное пространство ИтЕп
совпадает с 0пЕп. Как было отмечено в примере 2.2.8, топология
пространства lim Еп есть топология проективного предела
семейства топологических векторных пространств {Е3-,: j е ΊΝ}
относительно семейства отображений, являющихся сужениями на
ИтЕп отображений рг^: ПпЕп —> Ej. После отождествления
lim En и f)n En отображения pr^· можно считать определенными
на f]n En\ при этом каждое из этих отображений является
вложением в соответствующее пространство; скажем, рг^· совпадает на
р|п Еп с тождественным вложением in^: р|п Еп —> Ej. Значит,
если наделить р|п Еп топологией τ проективного предела семейства
банаховых пространств {Εη: η G IN} относительно
отображений inj, то описанное выше отождествление пространств \imEn
и р|п Еп будет их отождествлением и как топологических
векторных пространств.
Из определения I следует, что определенная выше топология
проективного предела в f]n En задается семейством норм || · ||п
(точнее, сужениями этих норм на р|п Еп). Покажем, что эти
нормы согласованы. Пусть последовательность {xk} С f]nEn
фундаментальна по двум нормам || · ||7·, || · ||п и \\хк\\п —> 0. Если
η > j, то соотношение \\xk\\j —> 0 вытекает из непрерывности
вложения г/jjn: Еп —> Ej. Если же η < j, то {хк} сходится к
некоторому χ в Ej ввиду полноты Ej, что дает равенство χ = 0 из-
за непрерывности и инъективности ipnj. Таким образом,
показано, что пространство (f)nEn,r) — а тем самым и совпадающее
с ним пространство ИтЕп — является счетно нормированным
пространством в смысле определения П.
Пусть теперь, наоборот, для пространства Ε выполнены
условия определения II, и пусть {pj} — те согласованные нормы,
которые задают топологию этого пространства. Заменяя, если это
необходимо, нормы pj нормами p'j = Yj*n=iPn (которые задают
ту же самую топологию) и сохраняя прежние обозначения,
можно считать, что для всех χ Ε Ε и η справедливы соотношения
Ρη(^) ^ Ρη+ι(#); ПРИ этом согласованность норм не нарушается.
Пусть, далее, Еп — пополнение Ε по норме ρη, η Ε IN. Для
каждой пары n,j Ε IN зададим непрерывное линейное
отображение ψη^η+j : En+j —> Еп как продолжение по непрерывности
2.2. Примеры проективных пределов
151
тождественного отображения (такое продолжение существует
согласно предложению 1.7.14).
Из согласованности норм вытекает инъективность этих
отображений, т.е. из равенства ipniTl+j(x) = О, где χ Ε En+j,
вытекает, что χ = 0. В самом деле^ существует последовательность
{χι} С Е, сходящаяся в En+j к х. Эта последовательность
фундаментальна по норме Рп+7 5 причем pn(xi) —> 0, ибо грщп^(х) = 0.
В силу согласованности норм pn+j(xi) —> 0, откуда χ = 0.
Итак, семейство {Еп: η Ε IN} банаховых пространств
образует спектр относительно инъективных отображений {фп8: η ^ s}
(Ψηη — тождественные отображения Еп в Еп, которые, как
и раньше, мы считаем вложениями векторных пространств).
Как было показано выше, пространство lim En можно
отождествить с векторным пространством р|п Еп, наделенным
топологией, задаваемой семейством норм рп. Таким образом, для
доказательства того, что Ε является счетно нормированным
пространством в смысле определения I, остается проверить, что множество
р|п Еп совпадает как векторное пространство с Е.
Так как включение Ε С f]n En верно по определению (все
Еп — пополнения £?), то следует доказать справедливость
противоположного включения. Пусть χ G f]nEn. Это значит, что
для каждого η Ε IN существует последовательность {#?} С ЕП1
сходящаяся к ж в £п, т.е. по норме рп. Тогда можно выбрать
«квазидиагональную» последовательность {#!^ПЛ, которая
сходится в каждом из пространств Еп, следовательно,
фундаментальна по каждой из норм рп. Поскольку они задают топологию
в Е, то это означает, что последовательность {хЪп\}
фундаментальна в£ив силу полноты Ε сходится к некоторому элементу
ζ Ε Ε. Эта последовательность сходится к ζ и в пространстве Е\
(сходясь в Е, она сходится по каждой из норм рп). Однако {#?(ПЛ
является подпоследовательностью последовательности жj,
сходящейся к χ в Е\ и потому также сходится в этом пространстве
к х. Таким образом, χ = ζ, т.е. χ Ε Ε. Тем самым завершено
доказательство равносильности обоих определений.
2.2.9. Замечание. Отметим следующий факт,
установленный в примере 2.2.8. Пусть дана последовательность вложенных
друг в друга банаховых пространств Еп+\ С С Еп (как и
раньше, символ С С обозначает, что пространство, стоящее слева от
152
Глава 2. Методы построения
него, является векторным подпространством пространства,
стоящего справа), причем все вложения непрерывны. Такое семейство
может рассматриваться как обратный спектр этих пространств,
множеством индексов которого является множество натуральных
чисел, а роль отображений ipnj играют вложения.
Тогда предел такого обратного спектра представляет собой —
как векторное пространство — пересечение всех пространств Еп,
а его топология задается с помощью сужений на р|п Еп норм рп
банаховых пространств Еп.
2.2.10. Пример. Конечно, не всякое пространство Фреше
является счетно нормированным. Например, счетное произведение
вещественных прямых Ж°° таковым не является, ибо на нем
вообще нет ни одной непрерывной нормы (всякая окрестность нуля
этого пространства содержит некоторое бесконечномерное
векторное подпространство).
2.2.11. Пример. Более интересным является то
обстоятельство, что счетно нормированным может не быть и пространство
Фреше, топология которого задается с помощью счетного
набора норм (отметим, кстати, что, для того чтобы топология
произвольного локально выпуклого пространства — необязательно
пространства Фреше — могла быть задана некоторым семейством
норм, достаточно, чтобы на этом пространстве существовала хотя
бы одна непрерывная норма).
Пространство Фреше, о котором идет речь, определяется так.
Пусть Ε — пространство всех один раз непрерывно
дифференцируемых вещественных функций / на прямой со следующим
свойством: \f(t)\ + |/7(^)1 ~~^ 0 ПРИ И ~~^ °°· Для каждого
натурального η обозначим через рп норму на Е, определяемую равенством
pn(/) = max|/(i)| + max |/'(*)|+
teJR1 te[-n,n]
+ max{|/'(r + l/(2fc))|: r G Ζ; \r\ > n; к = 1,2,... ,n}.
Пусть τ — топология в пространстве Ε, определяемая счетным
семейством норм V = {рп: η G IN}; тогда (Ε,τ) — пространство
Фреше.
Покажем, что на этом пространстве не существует счетного
семейства согласованных норм, задающего его топологию.
Прежде всего, никакие две нормы из семейства V не являются
согласованными (проверьте!).
2.3. Индуктивные топологии
153
Предположим теперь, что на Ε существует семейство V\
согласованных норм, задающее топологию Е. Мы можем считать,
что эти нормы образуют возрастающую последовательность, так
что множество соответствующих им шаров {х Ε E: qj(x) < ε}
образует базу (а не только предбазу) окрестностей нуля.
Пусть q Ε V\. Тогда найдутся такие две различные нормы
PjnPj2 £ ^5 чт0 я(х) ^ CPji(x) ^ Cpj2(x) для каждого χ Ε Ε,
где С > 0 — некоторое число. Можно считать, что С = 1. Нормы
Pji ИР^2 5 разумеется, не являются согласованными. Можно также
найти норму q' Ε V\ и норму pj3 Ε Ρ, для которых q' < C'pj31 так
что без ущерба для общности можно считать, что
q(x) ^ Pjx(x) ^ Pj2(x) ^ Ql(x) ^ PjAx) ПРИ всех χ £ Е-
Конечно, нормы pjx и р^ также не являются согласованными.
Покажем теперь, что не согласованы и нормы q и q'. Пусть
{ап} — последовательность элементов из Е, фундаментальная по
норме pj3, следовательно, и по нормам р^ и р^2, сходящаяся к
нулю по норме pjx, но не сходящаяся к нулю по норме pj2 (значит,
и по норме Pj3). Именно существование для всяких трех норм р^1?
Pj2, pj3> таких5 чт° Pjx ^ Pj2 ^ Pj3> последовательности,
сходящейся к нулю по первой из них, фундаментальной сразу по всем трем
нормам, но не сходящейся к нулю ни по одной из двух последних
норм, и является тем свойством семейства норм Р, из которого
вытекает, что топология τ не может быть задана никаким
семейством попарно согласованных норм. Так как Pj1(an) ^ q(an), то
#(αη) —> 0. В силу неравенства q' ^ pj3 последовательность {ап}
фундаментальна по норме q'. Наконец, из неравенства pj2 ^ q'
следует, что она не может сходиться к нулю по норме q\ так как
в противном случае она сходилась бы к нулю и по норме pj2.
Отметим еще, что из соотношения \f(t)\ + |/'(£)| —> 0 при
\t\ —> оо, справедливого для каждой функции / Ε Е, вытекает,
что пространство (£?, т) сепарабельно.
2.3. Индуктивные топологии
Понятие индуктивной топологии двойственно понятию
проективной топологии, однако соответствующие при этом друг другу
результаты, относящиеся к той и другой топологиям, все же не
вполне симметричны; в чем состоит эта асимметрия, станет ясно
в дальнейшем.
154
Глава 2. Методы построения
2.3.1. Определение. Пусть Ε — векторное пространство,
21 — непустое множество индексов и для каждого a Ε 21 даны
локально выпуклое пространство Еа и линейное отображение
да: Еа —> Е. Индуктивной топологией семейства пространств
{Еа} относительно семейства отображений {да} (точнее,
индуктивной топологией в классе локально выпуклых топологии)
называется сильнейшая из всех локально выпуклых топологий
в Е, относительно которых непрерывны все отображения да.
Индуктивным пределом семейства {Еа} относительно
отображений {да] называется векторное пространство Е, наделенное
этой топологией. Обозначение: Ε = indaEa.
2.3.2. Замечание. Пусть V — множество всех таких
выпуклых закругленных поглощающих подмножеств V
пространства Е, что дй1{У) есть окрестность нуля в Еа для каждого
a Ε 21. Тогда V — база окрестностей нуля в индуктивной
топологии семейства {Еа} относительно семейства отображений {да}·
В самом деле^ согласно предложению 1.2.11, множество V есть
база окрестностей нуля некоторой локально выпуклой топологии τ
в Е, причем из определения базы V вытекает, что все
отображения да: Еа —> (Ε,τ) непрерывны. Если т\ — произвольная
локально выпуклая топология в Е, для которой все отображения
да: Еа —> (Ε,τχ) непрерывны, и Vi — база ее окрестностей нуля
из закругленных выпуклых множеств (разумеется, все они
являются поглощающими), то для каждого a Ε 21 и каждого V Ε Vi
множество дй1{У) является окрестностью нуля в Еа, в силу чего
по определению базы V имеем Vi С V, так что т\ С т.
Таким образом, если Еа — локально выпуклое пространство
с базисом абсолютно выпуклых окрестностей нуля Va, то
множество V абсолютно выпуклых оболочек всевозможных множеств
вида {Jaga(Va), где Va G Va, есть базис окрестностей нуля в Е.
(и) Если Еа — общие топологические векторные
пространства, то на Ε вводится индуктивная топология в категории
топологических векторных пространств как сильнейшая векторная
топология, для которой все да непрерывны. Такая тоже
существует. Согласно примеру 2.2.1, множество Τ всех векторных
топологий в Е, для которых все да непрерывны, непусто, причем в нем
есть слабейшая топология. Проверяется, что в Τ есть и нужная
нам сильнейшая, но можно и явно предъявить базу окрестностей
нуля (см. Jarchow [334, § 4.1]). Для упрощения считая, что Ε есть
объединение да(Еа), и взяв в каждом Еа базис Ыа закругленных
2.3. Индуктивные топологии
155
окрестностей нуля, введем в Ε базу нуля U из множеств вида
оо η
U = (J Σ (J 9a{Ua,k), Ua,k e Ua,
п=1 к=1 aG2t
где Σ обозначает векторную сумму. Для счетного набора Еп
можно брать множества U = Ukga: YlkeK 9k(Uk), где Uk E Uk
и /С — множество всех конечных подмножеств IN. Ясно, что С/
закруглено и поглощающее, причем существует V GU cV-{-V С U
(можно взять Va,k С Ua,2k Π Ua,2k-i из Wa). По следствию 1.2.9
класс W есть база окрестностей нуля векторной топологии τ<ι на Е.
Непрерывность да: Еа —> (Е,т) очевидна. Максимальность Т2
видна из того, что если все да непрерывны при наделении Ε
векторной топологией го и Wq — уравновешенная окрестность нуля
в ней, то найдем U e U с U С W, взяв Wk £ то, Wk + Wk С Wfc_i,
Ua,k С 5ra1(^/fc)· Если £?п локально выпуклы, то такова и
топология Т2, но для несчетного 21 это неверно (см. пример ниже).
Помимо индуктивных топологий в категориях локально
выпуклых пространств и топологических векторных пространств,
в пространстве Ε можно ввести еще самую сильную среди всех
вообще топологий, для каждой из которых все отображения да
непрерывны. Оказывается, что, даже если все Еа локально
выпуклы, эти три топологии могут оказаться различными.
2.3.3. Пример. Пусть Ε — вещественное векторное
пространство с алгебраическим базисом мощности континуума, Τ —
множество всех его конечномерных векторных подпространств,
каждое из которых наделено стандартной топологией, др —
каноническое вложение F в Ε для каждого F Ε Τ (таким образом,
здесь множеством индексов является само Т). Пусть т\ —
сильнейшая локально выпуклая топология в Е, для которой все др
непрерывны (т. е. локально выпуклая индуктивная топология),
Т2 — сильнейшая векторная топология, в которой все др
непрерывны, наконец, тз — сильнейшая среди всех вообще топологий
в Е, для которых непрерывны те же самые отображения.
Тогда, очевидно, тз D Т2 D т\. Мы покажем, что тз Φ Τ2 φ т\.
Для доказательства неравенства Т2 Φ т\ заметим, что
топология т\ может быть задана множеством всех полунорм в J5, а
топология Т2 — множеством всех квазинорм на Е. Пусть V — базис
Гамеля в Ε и q — квазинорма на Е, определяемая равенством
y{YleevCe *e) = {Σ/eev \/1се|) · Разумеется, множество отличных
от нуля коэффициентов в сумме Σ6β<ρ се · е конечно.
156
Глава 2. Методы построения
Мы покажем, что на Ε не существует такой полунормы р, что
{х е Е: р(х) 0}c{xG£: q(x) < 1}. В самом деле^ если ρ —
такая полунорма на Е, то для каждого a G Ε с р(а) ^ 1 должно
выполняться неравенство q(a) ^ 1. С другой стороны, для
некоторого С > 0 множество Vc = {β G V: р(е) < С} бесконечно, так
как если бы такого С > 0 не существовало, то множество V
было бы не более чем счетным, что неверно по условию. Итак, для
всякого η можно найти η различных элементов ei,... ,en G Vc-
Тогда для r\j — C~lej имеем p(n~l ]C?=1 Vj) ^ 1, в то же
время q{ji~lY^j=iT)j) = С^п. Поэтому для достаточно большого η
будет справедливо неравенство q(n~l ]C?=i Vj) > 1,
противоречащее неравенству ρ(η~1Σ™=1η^ ^ 1. Тем самым Т2 Φ τ\. Более
простое утверждение доказано.
Перейдем к доказательству неравенства тз φ Τ2· Пусть || · || —
норма на Е, определяемая равенством || Σ6β<ρ се-е\\ = maxeGp \ce\
(мы используем прежние обозначения). Для каждой
положительной функции φ на множестве VxV выберем какую-нибудь
окрестность нуля νφ в топологии гз, обладающую следующим
свойством: если ||A(ei + β2)|| ^ φ{ζ\,£2), то \{е\ + e<i) £ νφ. Такая
окрестность нуля в тз существует, ибо множество открыто в
топологии гз в точности тогда, когда его пересечение с каждым
конечномерным подпространством в Ε открыто в стандартной
топологии этого конечномерного подпространства; в качестве λίφ
МОЖНО ВЗЯТЬ Ε \Ue,6G-p{^(e + b): И^(е + Ь)И ^ ψ(β^)} ·
Чтобы доказать, что топология тз сильнее Т2, достаточно
показать, что существует функция φ: VxV —> IR+, для которой
на Ε нет такой квазинормы д, что если W = {х G Е: q(x) < 1},
то W + W С νφ. Мы докажем формально более сильное
утверждение: для некоторой функции φ: V xV-+ К+ не существует
такой окрестности нуля W в топологии тз, что W + W С Ύφ.
Для каждой окрестности нуля W в топологии тз выберем какую-
либо положительную функцию ψ\γ на Р, обладающую
следующим свойством: для всякого е G V имеет место включение
{Ае: ||Ае|| < ipw(e)} С W. Так как из включения W + W С νφ
вытекает неравенство ΐΐήη(φ\γ(^ι)τΦ\ν(^2)) ^ φ{&\·>£*!) Для всех
βι,β2 G Ρ, то достаточно найти функцию φ: 'Рх'Р—>К+, для
которой неравенство тт(гр(е),ф(Ь)) < <£>(е, Ь) не может
выполняться сразу для всех е, Ъ G V ни для какой функции ψ: Ρ —> IR+.
2.3. Индуктивные топологии
157
Функция ψ с таким свойством может быть построена так.
Пусть {ej} — некоторое счетное подмножество множества Р, S —
множество всех последовательностей положительных
вещественных чисел и Vo — некоторое подмножество V мощности
континуума. Пусть д — взаимно однозначное отображение Vo на S. Для
е Ε Vo положим <р(е, ej) — (д(е)) ., где {(#(е)) .} —
принадлежащая множеству S последовательность, являющаяся образом
элемента е при отображении д. Для прочих пар (е, b) Ε VxV
определим <р{е, Ь) произвольным образом. Тогда, какова бы ни была
положительная функция φ на Р, получим <£>(е, Ь) ^ тт(ф(е),ф(Ь))
для некоторых е, Ъ. Это вытекает из того, что множество g{Vo)
содержит все последовательности положительных чисел, в
частности последовательность чисел ay = ip(ej)/j. Ясно, что если
(д(е)) . = otj, то <p(e,ej) < тт(ф(е),ф^)) для всех достаточно
больших j (каково бы ни было ф(е)).
Хилле и Филлипс [166] ввели «конечно открытую»
топологию в векторном пространстве, в которой множество открыто в
точности тогда, когда его пересечение с каждым конечномерным
подпространством открыто в стандартной топологии этого
подпространства (см. замечание 1.10.4); таким образом, эта
топология совпадает с нашей топологией тз (как и было отмечено
выше). В [166] было сказано, что авторам неизвестно, всегда ли эта
топология согласуется со структурой векторного пространства;
отрицательный ответ был дан в Kakutani, Klee [344].
Приведенное только что доказательство несовпадения
топологий тз и Т2 является фактически доказательством того, что если
алгебраическая размерность векторного пространства не меньше
мощности континуума, то конечно открытая топология в нем не
согласуется со структурой векторного пространства.
2.3.4. Замечание. Термин «индуктивный предел» часто
используется в качестве названия более специальной конструкции
(о ней будет сказано ниже). С другой стороны, если Ε —
произвольное множество, {Еа: a Ε 21} — семейство
топологических пространств, причем для каждого a Ε 21 дано отображение
да: Еа —> Е, то в Ε существует сильнейшая среди всех
топологий, для которых все эти отображения одновременно
непрерывны; такая топология называется индуктивной топологией (в
классе всех топологий) семейства топологических пространств {Еа}
относительно семейства отображений {да}] иногда эту
топологию называют также финальной. Всюду далее, однако, термины
158
Глава 2. Методы построения
индуктивный предел и индуктивная топология используются
исключительно в смысле нашего определения.
2.3.5. Предложение. Пусть локально выпуклое
пространство Ε является индуктивным пределом некоторого семейства
{Еа: a Ε 21} локально выпуклых векторных пространств
относительно линейных отображений да: Еа —> Е. Линейное
отображение f пространства Ε в какое-либо локально выпуклое
пространство G непрерывно в точности тогда, когда для каждого
a Ε 21 отображение foga непрерывно. Тем самым
секвенциально непрерывные линейные отображения индуктивных пределов
метризуемых пространств непрерывны.
Доказательство. Как и в предложении 2.1.5, достаточно
показать, что непрерывность отображений foga влечет
непрерывность отображения /. Для этого нужно установить, что если
V — выпуклая закругленная окрестность нуля в G, то f~l{V)
есть окрестность нуля в Е. Множество f~l(V) является
выпуклым, закругленным и поглощающим ввиду линейности /.
Наконец, из непрерывности всех отображений да следует, что все
множества gal{f~l(V)) представляют собой окрестности нуля в
соответствующих пространствах. Теперь остается воспользоваться
замечанием 2.3.2. D
Это предложение не вполне симметрично предложению 2.1.5,
двойственным к которому оно является: здесь предполагается
(в отличие от предложения 2.1.5), что / линейно и что G
локально выпукло. Ни от одного из этих предположений
отказаться нельзя (то, что сейчас речь идет о непрерывности всюду, а не
в точке, несущественно, ибо для линейных отображений это
одно и то же). Отметим еще, что это предложение не переносится
на замкнутые линейные подпространства индуктивных пределов
даже для линейных функционалов (см. задачу 2.10.63).
2.4. Примеры индуктивных пределов
Рассмотрим несколько примеров индуктивных топологий.
2.4.1. Пример. (Нижняя грань множества локально
выпуклых топологий в векторном пространстве.) Пусть Ε —
векторное пространство и для каждого а из некоторого множества
индексов 21 задана локально выпуклая топология та в Е.
Тогда среди всех локально выпуклых топологий в Е,
мажорируемых топологиями семейства {та}, существует самая сильная —
2.4. Примеры индуктивных пределов
159
индуктивная топология τ семейства локально выпуклых
пространств (Е,та) относительно семейства «канонических»
отображений (Е,та) —> Ε (каждое из которых является
тождественным отображением векторного пространства Ε в себя). Если Va —
класс всех окрестностей нуля в топологии та, то р|а Va есть класс
всех окрестностей нуля в топологии τ (замечание 2.3.2).
2.4.2. Пример. (Факторпространства.) Пусть Ε —
локально выпуклое пространство и Ει — его векторное
подпространство. Тогда топология в факторпространстве Е/Е\,
превращающая его в топологическое факторпространство, есть индуктивная
топология (одноэлементного) семейства локально выпуклых
пространств {Е} относительно (одноэлементного) семейства
отображений из Ε в Ε /Ει, единственным элементом которого является
каноническое отображение Ε на Ε/Ει (см. пример 1.3.13).
2.4.3. Пример. (Топологические прямые суммы локально
выпуклых пространств.) Пусть (Ε,τ) — локально выпуклое
пространство, причем векторное пространство Ε является прямой
суммой семейства {Еа} своих векторных подпространств и
каждое из Еа наделено локально выпуклой топологией та,
индуцированной топологией т. При этом (£?, т) называется топологической
прямой суммой семейства своих топологических векторных
подпространств (£7α,τα), если топология τ является индуктивным
пределом топологических векторных пространств (Еа,та)
относительно канонических вложений Еа —> Е.
В только что описанной ситуации заранее предполагалось, что
топологическое векторное пространство (£?, т) существует;
поэтому речь шла о топологической прямой сумме семейства
топологических векторных подпространств.
Пусть теперь задано некоторое семейство {(Еа, та)} локально
выпуклых пространств, относительно которых не
предполагается заранее, что они являются подпространствами какого-нибудь
векторного пространства.
При этом топологической прямой суммой семейства {(Еа, та)}
локально выпуклых пространств называется локально выпуклое
пространство (£?, г), определяемое следующим образом.
Векторное пространство Ε — векторное подпространство произведения
Υ\α Εα семейства {Еа} векторных пространств, состоящее из всех
тех функций / Ε Па^<* (определенных на множестве
индексов 21), каждая из которых принимает ненулевые значения не
160
Глава 2. Методы построения
более чем в конечном множестве точек; τ — индуктивная
топология семейства локально выпуклых пространств {(Еа,та)}
относительно «канонических» вложений да: (Еа,та) —> Е, где
9а(х) = f £ Ε для всех a Ε 21 и χ Ε Еа, причем / определяется
соотношениями f(a) = χ, /(β) = 0, если β φ ос.
Топологическая прямая сумма семейства локально выпуклых
пространств (Еа,та) обозначается посредством (ζΒαΕα,®ατα).
Таким образом, (0α Εα, 0α та) есть топологическая прямая
сумма своих топологических векторных подпространств да(Еа).
В дальнейшем мы будем отождествлять каждое из локально
выпуклых пространств Еа с его образом да(Еа) в φα£?α,
считая, что сами Еа являются топологическими векторными
подпространствами их топологической прямой суммы.
Из сказанного вытекает, что топологическая прямая сумма
конечного семейства локально выпуклых пространств и их
произведение — одно и то же. Для бесконечных семейств
топологических векторных пространств, не являющихся локально
выпуклыми, топологические прямые суммы рассматриваются редко
(однако см. Jarchow [334, §4.3]).
2.4.4. Определение. Топологическое векторное
пространство Е, равное прямой сумме его топологических векторных
подпространств Е\,..., Еп, называется топологической прямой
суммой семейства {Е\,..., Еп} своих подпространств, если
Ε канонически изоморфно произведению Π?=ι Ej
топологических векторных пространств Ej.
Это значит, что топология Ε является сильнейшей среди всех
векторных топологий в Е, для которых все канонические
вложения Ej —> Ε непрерывны.
2.4.5. Предложение. Пусть ΕΊ, где η Ε Г, — набор
локально выпуклых пространств. Тогда сопряженное к их прямой
сумме есть произведение сопряженных, а сопряженное
произведению есть прямая сумма сопряженных, т. е.
При этом множество ограничено в φ ΕΊ в точности тогда,
когда оно лежит и ограничено в сумме конечного числа ΕΊ\
множество ограничено в Π ΕΊ в точности тогда, когда оно лежит
в произведении ограниченных множеств из сомножителей.
В частности, (TRTY — прямая сумма Τ копий прямой.
2.4. Примеры индуктивных пределов
161
Доказательство. Первое равенство для сопряженных
очевидно. Для проверки второго заметим, что если линейная
функция / на произведении ΕΊ ограничена на базисной окрестности
нуля вида С/хП70Го> где Г° к0нечн0> то / е Θ7<ξγ0 Ετ
Пусть А С φ ΕΊ ограничено. Если есть бесконечное число
индексов 7п5 для которых проекции А на ΕΊ содержат ненулевые
векторы г>п, то, взяв fn Ε Ε'Ίη так, что fn(vn) = η, получим
непрерывный линейный функционал, неограниченный на А. Последнее
утверждение предложения очевидно. D
2.4.6. Предложение. Пусть Ε — индуктивный предел
семейства {Еа: a Ε 21} локально выпуклых пространств
относительно семейства {ga Ε C(Ea,E): a Ε 21} линейных
отображений и линейная оболочка множества [jaga(Ea) совпадает с Е.
Тогда Ε изоморфно как топологическое векторное пространство
некоторому топологическому векторному факторпространству
топологической прямой суммы (0QJEa,0Qra).
Доказательство. Пусть G = (Q)aEa, 0αrQ), Φ: G -> Ε —
линейное отображение, определяемое формулой Ф(#) = ]Са#(а)>
в последней сумме число отличных от нуля членов конечно.
Сюръективность Φ вытекает из совпадения линейной оболочки
\Jaga(Ea) со всем Е. Отображение Φ непрерывно согласно
предложению 2.3.5, так как да = Φοίπια, где ima — каноническое
вложение Еа в @аЕа (определенное в примере 2.4.3, где оно
обозначалось символом да). Обозначим через Φι каноническое
отображение пространства G на G/Ker Φ и через Φ 2 линейное
взаимно однозначное отображение пространства G/Ker Φ на Е,
определяемое равенством *2°*i = Φ· Покажем, что Φ 2 и Ф^-1
непрерывны; этим и будет доказано, что Ε изоморфно (как
топологическое векторное пространство) пространству G/Ker Φ .
Непрерывность Φ2 вытекает из предложения 2.3.5 и
непрерывности Φχ и Ф; при этом роль индуктивного предела, о
котором говорится в предложении 2.3.5, играет факторпространство
G/Ker Φ (оно является индуктивным пределом семейства
пространств {Еа] относительно семейства отображений {Φχορα}).
Непрерывность Ф^"1 вытекает, снова согласно предложению 2.3.5,
из того, что Ф^" ода = Φχοΐπία, причем все отображения Φιοίπια
непрерывны (на этот раз роль индуктивного предела, о котором
говорится в предложении 2.3.5, играет само Ε). ϋ
162
Глава 2. Методы построения
В гл. 3 будет рассмотрен вопрос о двойственности между
индуктивными и проективными пределами при различных
топологиях на сопряженном.
2.4.7. Пример. {Пределы прямых спектров локально
выпуклых пространств.) Пусть 21 — направленное множество.
Прямым спектром локально выпуклых пространств с
множеством индексов 21 называется семейство {(Ea,ra): a Ε 21}
локально выпуклых пространств (с этим множеством индексов),
при условии, что каждой паре α,/3 Ε 21 индексов, такой, что
а ^ /3, сопоставлено непрерывное отображение Ара: Еа —> Ер.
Пределом такого прямого спектра называется топологическое
векторное факторпространство топологической прямой суммы
(фа Еа, фа Та) по ее векторному подпространству,
порожденному множеством G, определяемым так: /gG, если имеются такие
α, β € SI, что α^β, /(/3) = Αβα/(α) и /(7) = 0 при 7 t {α, β}.
Всякое топологическое векторное факторпространство
топологической прямой суммы произвольного семейства локально
выпуклых пространств является индуктивным пределом этого
семейства относительно семейства отображений, представляющих
собой композиции канонических вложений пространств
семейства в их сумму и канонического отображения последней на
ее факторпространство (этот факт использовался и в
доказательстве предложения 2.4.6); поэтому предел прямого спектра
локально выпуклых пространств — мы будем обозначать его
символом \imEa — является индуктивным пределом семейства
{(Еа,та): a Ε 21} локально выпуклых пространств
относительно только что описанного семейства отображений. Отметим еще,
что здесь, в отличие от случая пределов обратных спектров, уже
нельзя, вообще говоря, утверждать, что пространство Y\mEa
полно, если полны все пространства (Еа,та) (см. задачу 2.10.23).
В книге Шефера [174] то, что выше было названо пределом
прямого спектра, называется индуктивным пределом; таким
образом, смысл термина «индуктивный предел» у нас шире, чем
в [174] (где ему соответствует «индуктивная топология»).
Рассмотрим теперь один специальный — но для приложений
наиболее важный — класс прямых спектров.
2.4.8. Пример. Пусть роль множества индексов 21 играет
множество натуральных чисел IN с обычным порядком, причем
2.4. Примеры индуктивных пределов
163
все отображения Aij : Ej —> Е{ (определенные для j < г) инъ-
ективны. Благодаря последнему предположению можно считать,
что каждое локально выпуклое пространство Е{ является
векторным подпространством в Е{+п [Е{ С С Е{+п). При этом в силу
непрерывности отображений А^ топология, индуцируемая на Е{
топологией Ti+n пространства Е{+п, мажорируется исходной
топологией Т{ пространства Е{.
Итак, мы считаем, что Е\ С С Е2 С С ... СС Еп С С ... и
полагаем Ε = Ujli Ej'·» на множестве Ε естественным образом
определяется структура векторного пространства: если #ι,#2 £ Е, то
^1,^2 £ Еп для некоторого η £ IN, и \\Х\ + М^2 в Ε
определяется как соответствующая линейная комбинация в Еп\ так как
Еп С С En+j, то это определение не зависит от выбора Еп.
При перечисленных условиях векторное пространство Е,
наделенное индуктивной топологией семейства {Еп: η Ε IN}
относительно вложений Еп —> Е, «канонически изоморфно»
пространству \imEn.
Этот изоморфизм Φ: Ε —> lim£?n можно описать так. Пусть
χ е Е, т.е. χ е Еп для некоторого η Ε IN. Тогда Φ (ж) —
элемент пространства limEn (являющегося факторпространством
пространства фп£?п), являющийся образом при каноническом
отображении Ф: @пЕп —> lim£?n элемента д™ Ε 0п£?п?
определяемого следующим образом: g™{j) = 0, если j φ щ g™{ri) = χ.
Это определение не зависит от выбора п, так как если j ^ п,
то Ajn(x) = χ и потому Ф(#™) = Ф(5ж). Описанное отображение
Φ является и сюръективным: если a Ε limi?n, g Ε Ф_1(а), то
Ф(]Сп#(п)) = а (множество {η: #(η) φ 0} конечно).
Наконец, отображения Φ и Ф-1 непрерывны; доказательство
этого аналогично доказательству предложения 2.4.6.
Таким образом, пространство Е, наделенное определенной
выше индуктивной топологией, является реализацией прямого
спектра. Эта реализация будет обозначаться символом ind En или
mdnEn; при этом локально выпуклое пространство mdEn будет
называться индуктивным пределом расширяющейся
последовательности локально выпуклых пространств Еп.
Отметим, что нередко не Ε строится с помощью заранее
заданных пространств Еп, а Еп определяются как подходящие
векторные подпространства (с локально выпуклыми топологиями)
164
Глава 2. Методы построения
заранее заданного пространства Ε (без топологии),
являющегося их теоретико-множественным объединением. При этом термин
«индуктивный предел расширяющейся последовательности
локально выпуклых пространств Еп» обозначает в точности то же
самое, что и термин «индуктивный предел семейства {Еп}
локально выпуклых пространств относительно вложений Еп —> Е».
Впрочем, после введения пространства (J^Li En разница между
последней ситуацией и предыдущей исчезает. Надо иметь в
виду, что даже индуктивный предел последовательности банаховых
пространств Еп может быть неотделим (задача 2.10.24).
Индуктивный предел последовательности пространств Фреше
называют LF-пространством.
2.4.9. Пример. Пусть V — векторное пространство всех
финитных бесконечно дифференцируемых (вещественных) функций
на К1. Для каждого η Ε IN обозначим через Vn := V[—n,n] его
подпространство, состоящее из всех функций, обращающихся в
нуль вне [—п,п], наделенное топологией, задаваемой нормами
Ρί(φ) = max max\(pV'(t)\.
jG{0,l,...,i} t
Тогда £>[-1,1] CC £>[-2,2] CC · · · CC 2?[-n, n] CC · · ·, причем
Un^I-n'n] = ^> так чт0 мы оказываемся в ситуации, описанной
во второй части предыдущего примера.
При этом индуктивная топология в V семейства локально
выпуклых пространств Ί)[—η,η], η Ε IN, относительно семейства
вложений Т>[—п,п] —> V совпадает с топологией в D, введенной
в примере 1.3.21. Таким образом, V = limi)[-n,n]. Так
определенная топология в V рассматривается как стандартная; если не
оговорено противное, то предполагается (как в этой, так и в
других книгах), что V наделено именно этой топологией.
Пространство Т>[—п,п] можно естественным образом
отождествить с пространством всех определенных на [—п,п]
бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся вместе со всеми
производными в нуль в точках ±п; отождествление состоит в том,
что каждой функции из первого пространства сопоставляется ее
сужение на отрезок [—п,п], а каждой функции из второго
пространства — ее продолжение нулем с отрезка [—п, п] на IR . При
этом для второго пространства используется то же самое
обозначение Т>[—п,п] и оно наделяется топологией, задаваемой теми же
нормами p'j(<p) = max^jHiaxt \(p^{t)\; хотя тепеРь Щ—п,п] уже
2.4. Примеры индуктивных пределов
165
формально не является подпространством в Т>[—п — j, η + j], но
в итоге получается тот же самый индуктивный предел.
2.4.10. Замечание, (i) Для каждого j G {0,1,2,...} и
каждого натурального η обозначим через /С? , векторное простран-
ство всех j раз непрерывно дифференцируемых вещественных
функций на И1 (для j = 0 — просто непрерывных функций),
обращающихся в нуль вне отрезка [—п,п], наделенное топологией,
задаваемой нормой ^·, определяемой равенством
Qjiv) = max {max 1^(^)1: i = 0,1,..., j}.
t
Тогда для каждого η Ε IN семейство {/С? ι: j = 0,1,... }
образует обратный спектр относительно вложений /СГ^ , —> /С? пл,
при этом пространства lim^/0?! и Т>[—п,п] совпадают как
локально выпуклые пространства (пример 2.4.9). В то же время
для каждого j ^ 0 семейство {/С? пл · η Ε IN} образует
прямой спектр относительно вложений /С? ι —> /С? _χ п+ц· Для
каждого j ^ 0 положим /С·7 = ind /С? ηι (вместо символа /С0
мы будем использовать обычно символ /С). При этом локально
выпуклые пространства {/С7: j '^ 0} образуют обратный спектр
относительно вложений /С·7'-1"1 —> /С·7, и локально выпуклое
пространство lim/C7 можно отождествить как векторное
пространство с пространством Π^ι^7? которое совпадает как векторное
пространство с V. Однако как локально выпуклые пространства
пространство Т> со стандартной топологией и пространство lim /С7
неизоморфны. При их естественном отождествлении топология
пространства V оказывается строго сильнее топологии
пространства lim/C7. Также и никакое другое линейное отображение
одного из них на другое не является непрерывным в обе
стороны (т. е. не является изоморфизмом топологических векторных
пространств) хотя бы потому, что локально выпуклое
пространство V со стандартной топологией бочечно, а локально выпуклое
пространство lim /С7 — нет (определение бочечного пространства
приведено в § 3.5, проверка небочечности lim/C7 — задача 3.12.55).
166
Глава 2. Методы построения
Если принять во внимание определение стандартной
топологии в D, то все сказанное можно записать в виде неравенства
lim j (ind /С? }) Φ ind (lim 7- /С? л).
Таким образом, операции образования прямого и обратного
спектров не являются перестановочными.
(ii) До сих пор речь шла о пространствах финитных
функций на К1 (при этом мы для определенности говорили о
пространствах вещественных функций, хотя ничего не изменилось
бы, если бы мы рассматривали комплексные пространства,
состоящие из комплексных функций). Но совершенно аналогичные
конструкции применимы и к пространствам функций,
определенных на IRn и даже на областях IRn. Именно: пусть Ω — открытое
множество в Кп. Функцию на Ω называют финитной, если она
обращается в нуль вне некоторого содержащегося в Ω компакта
(мы рассматриваем вещественные или комплексные функции).
Пусть, далее, Κι С К2 С К% С · · · — расширяющаяся
последовательность компактных подмножеств множества Ω, причем
Um=i ^т — Ω. Если во всем, что было сказано при обсуждении
примера 2.4.9, символы [—п,п] и К1 заменить на Кт и Ω,
термин «отрезок» — термином «компакт», символы Ю и Ό —
символами Λ7'(Ω) и £>(Ω), обозначающими пространства всех j раз
дифференцируемых и всех бесконечно дифференцируемых
финитных функций на Ω соответственно, и считать, что символы
|<^)(:г)| обозначают (некоторые) нормы в пространствах,
которым принадлежат элементы φ№\χ), то все определения
сохранят смысл, а все утверждения окажутся справедливыми.
Например, Т>(Жп) — индуктивный предел пространств T>m(lRn) гладких
функций с носителем в шаре Кш = {х: \х\ < га}.
2.4.11. Пример. (Сильнейшая локально выпуклая
топология в векторном пространстве.) Пусть Ε — векторное
пространство. Тогда индуктивная топология в Ε пустого семейства
локально выпуклых пространств относительно пустого семейства
отображений — самая сильная среди всех локально выпуклых
топологий в Е] базой окрестностей нуля является, например,
множество всех выпуклых закругленных поглощающих подмножеств
пространства Е. Эта топология может быть задана множеством
всех полунорм на Е. Отметим, что сильнейшая локально
выпуклая топология в векторном пространстве уже рассматривалась
в примерах 1.3.18, 2.4.1. Интересная ситуация возникает, если
2.4. Примеры индуктивных пределов
167
взять в качестве Ε пространство Kg0 всех конечных
последовательностей, т.е. объединение всех IRn. На нем сильнейшая
локально выпуклая топология совпадает с топологией
индуктивного предела Кп (это ясно из предложения 2.3.5).
2.4.12. Пример. (Пространства ростков непрерывных,
бесконечно дифференцируемых и аналитических функций в
фиксированной точке.) Мы рассмотрим только случай аналитических
функций — остальные аналогичны.
Пусть ζ Ε С и Ει — множество всех комплексных функций,
каждая из которых определена на некоторой окрестности точки ζ
и аналитична в этой окрестности, и пусть ~ — отношение
эквивалентности в Ει, определяемое так: / ~ g в том и только в том
случае, если существует такая окрестность V точки г, что fug
определены на V и f(x) = g(χ) для всех χ Ε V.
Пусть, наконец, Ε — фактормножество множества Ει по
этому отношению эквивалентности. В Ε естественным образом
вводится структура векторного пространства; его элементы
называются ростками аналитических функций в точке ζ.
Для каждого η Ε IN возьмем пространство Еп всех
комплексных функций, непрерывных на круге Sn = {χ Ε С: \х — z\ ^ 1/п}
и аналитических внутри Sn, и наделим его топологией, заданной
нормой ρ(φ) = ΐΆ3χ{\φ(χ)\: \х — ζ\ ^ 1/^}· Пусть дп — вложение
Еп в Е, сопоставляющее каждой функции φ Ε Еп содержащий ее
росток (отметим, что в остальных трех случаях, о которых
упоминалось выше, аналогичные отображения вложениями не
являются). Аналогично определяются и вложения Еп —> Еп+1:
каждой функции из Еп сопоставляется ее сужение на 5η+ι. Таким
образом, Е1 С С Е2 С С · · · СС Еп С С · · ·, Еп С С Е, при этом
Ε = U^=i Еп- Наделение Ε индуктивной топологией семейства
локально выпуклых пространств {Еп: η Ε IN} относительно
вложений дп превращает Ε в индуктивный предел расширяющейся
последовательности локально выпуклых пространств Еп.
Наконец, отметим, что пространства типа V определяются
на гладких многообразиях, а пространства ростков голоморфных
функций рассматриваются на комплексных многообразиях.
В § 2.6, 2.7 описаны два класса индуктивных пределов
расширяющихся последовательностей локально выпуклых пространств,
наиболее часто встречающиеся в приложениях: строгие
индуктивные пределы и индуктивные пределы расширяющихся
последовательностей локально выпуклых пространств с компактными
вложениями.
168
Глава 2. Методы построения
2.5. Конструкция Гротендика
В этом параграфе мы рассмотрим один способ образования
нормированных пространств, связанных с абсолютно выпуклыми
множествами в топологических векторных пространствах. Этот
способ, ставший общепринятым после работ Гротендика и
нашедший многочисленные применения в теории локально выпуклых
пространств, теории банаховых пространств, теории операторов
и теории меры, состоит в следующем.
Пусть Ε — отделимое топологическое векторное пространство
и В — его ограниченное абсолютно выпуклое подмножество.
Обозначим через Ев векторное подпространство U^Li п^ (т0> чт0 эт0
действительно векторное пространство, следует из абсолютной
выпуклости множества В), наделенное нормой рв-, являющейся
функционалом Минковского множества В, и топологией,
определяемой этой нормой. Тот факт, что функционал Минковского —
полунорма на Ев-, следует из того, что В — абсолютно выпуклое
поглощающее подмножество векторного пространства Ев] из
того же, что В — ограниченное подмножество отделимого
топологического векторного пространства, следует, что рассматриваемый
функционал Минковского является и нормой.
Множество Ев представляет собой векторное
подпространство векторного пространства Е. Однако, вообще говоря, оно не
является топологическим векторным подпространством в Е, т. е.
топология, индуцированная на Ев топологией пространства Е,
не совпадает с только что определенной топологией
пространства Ев- Из ограниченности множества В вытекает, что
каноническое вложение Ев в Ε (при котором каждому элементу χ Ε Ев
сопоставляется он сам, но рассматриваемый уже как элемент
пространства Е) непрерывно; это равносильно тому, что топология,
индуцированная в Ев из Е, мажорируется топологией,
определяемой имеющейся в Ев нормой. См. также §2.10(iii).
2.5.1. Предложение. Если В — абсолютно выпуклое
ограниченное секвенциально полное подмножество отделимого
топологического векторного пространства Е, то нормированное
пространство Ев полно, т. е. банахово.
Доказательство. Пусть последовательность {ап} с Ев
фундаментальна по норме рв- Это значит, что для любого ε > О
существует no G IN такое, что рв(а>к ~ aj) < ε Для всех
&5 j > по- Поскольку топология, индуцированная в Ев
топологией пространства Е, мажорируется топологией, определяемой
2.5. Конструкция Гротендика
169
нормой рв-, то последовательность {ап} фундаментальна и в Е.
Значит, при каждом фиксированном к Ε IN в топологии
пространства Ε фундаментальна и последовательность {а^ — а^·}. Так как
из неравенства рв(а>к ~ aj) < ε вытекает, что а^ — clj Ε εί?, то
из предыдущего следует, что а^ — а^· Ε ε В при /c,j > по-
Множество εΒ секвенциально полно в Е, поэтому фундаментальная
последовательность {dk — CLj} его элементов сходится в топологии
пространства Ε к некоторому элементу bk Ε В. Поэтому сходится
в топологии пространства Ε и последовательность {αη}, причем
если а — ее предел, то а^ — а = bk Ε εί? С £?в при к > uq.
Поскольку а^ Ε £?в, то а Е £?#. Кроме того, из включения
dk — а е ε В (выполненного при всех к > по) вытекает, что для
этих к мы имеем рв(а>к — α) ^ ε. В силу произвольности ε это
и означает, что а^ав Ев- □
Аналогично доказывается, что если Ε — векторное
пространство и т\ и Т2 — две отделимые топологии в Е, согласующиеся со
структурой векторного пространства, причем т\ мажорирует Т2
и обладает базой окрестностей нуля, секвенциально полных (или
полных) в топологии Т2, то топологическое векторное
пространство (Ε,τι) секвенциально полно (или, соответственно, полно).
2.5.2. Определение. Банаховым диском в топологическом
векторном пространстве Ε называется всякое абсолютно
выпуклое ограниченное подмножество В пространства Е, для
которого пространство Ев полно.
Из доказанного предложения следует такой факт:
чтобы абсолютно выпуклое ограниченное подмножество В
топологического векторного пространства было банаховым
диском, достаточно, чтобы оно было секвенциально полным {так
будет, в частности, если В компактно)', более того,
достаточно, чтобы В было секвенциально полно в какой-либо из
топологий в Е, согласующейся с двойственностью между Ε и Е'\
в частности достаточно, чтобы это множество было
компактным в какой-либо из таких топологий.
Ни одно из перечисленных условий не является необходимым.
2.5.3. Пример, (i) Подмножество
{х = (хп) Ε со: (пхп) Ε со, \хп\ < 1/n Vn}
пространства со является банаховым диском, хотя оно не
является компактным ни в одной из топологий, согласующихся с
двойственностью между со и (со)7 = I1.
170
Глава 2. Методы построения
(и) Замкнутый единичный шар U из С[0,1] является
банаховым диском в L2[0,1], который не замкнут и не предкомпактен.
Замыкание U в L2[0,1] — тоже банахов диск, для которого
соответствующее банахово пространство есть L°°[0,1], причем С[0,1]
имеет в нем бесконечную коразмерность.
(Hi) Пространство Ε = I1 естественно вложено в Ζ2; пусть А —
его замкнутый единичный шар. Возьмем функционал / Ε Z°°,
заданный последовательностью
(1,1,...). Положим В = АП/-1(0)
и получим банахов диск. Конечно, легко описать В явно: это
множество таких последовательностей χ = (жп), что ]CiS=i \хп\ ^ 1
и Σ™=ι хп — 0· Множество В — замкнутый единичный шар в
банаховом пространстве Ев, являющемся замкнутой
гиперплоскостью в I1. При этом в I2 множество В незамкнуто. Например,
к вектору h = (2-1,0,0,...) 0 В сходится в I2
последовательность векторов hk G В вида (2-1, — (2/с)-1,..., — (2/с)_1,0,0,...),
где число компонент — (2/с)-1 равно к; здесь \\h — hk\\22 = (4/с)-1.
Аналогичным свойством обладает незамкнутое предкомпакт-
ное множество {х = (хп) е I2: \хп\ < 2~n, lim 2nxn = 0}.
η—юо
На самом деле такие примеры — общее явление.
2.5.4. Пример. Во всяком бесконечномерном пространстве
Фреше F имеется незамкнутый банахов диск В, служащий
замкнутым единичным шаром банахова пространства Ев- При этом
можно выбрать В вполне ограниченным в F.
Доказательство. Утверждение сводится к случаю F = Ζ2,
поскольку можно найти непрерывно вложенное в F
бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Для этого
достаточно взять в F ограниченную последовательность {νη}
линейно независимых векторов и положить Τ χ = Σ™=ι 2~ηχηνη,
χ = (χη) Ε Ι2. Ортогональное дополнение к ядру Т инъективно
отображается в F, причем образ полученного отображения
содержит {νη}. Заметим, что построенное вложение компактно. D
Разумеется, аналогичный пример существует в любом
локально выпуклом пространстве, в которое можно непрерывно
вложить бесконечномерное гильбертово пространство.
Довольно неожиданным оказывается то, что замыкание
банахова диска не всегда является банаховым диском (см. Perez
Carreras, Bonet [424, замечание 8.3.21]).
2.5. Конструкция Гротендика
171
Отметим простое применение понятия банахова диска.
2.5.5. Пример. Пусть В — банахов диск в топологическом
векторном пространстве Ε и абсолютно выпуклое замкнутое
множ