В. С. Шипачев
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Базовый курс
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ БАКАЛАВРОВ
8-е издание, переработанное и дополненное
Под редакцией А. Н. Тихонова
Рекомендовано
Министерством образования и науки Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
Москва • Юрайт • 2012

УДК517
ББК 22.1я73
Ш63
Шипачев, В. С.
Ш63 Высшая математика. Базовый курс : учебное пособие для
бакалавров / В. С. Шипачев; под ред. А. Н. Тихонова. — 8-е изд.,
перераб. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2012. — 447 с. — Се¬
рия : Бакалавр.
ISBN 978-5-9916-1609-6
В пособии изложен общий курс математики для студентов вузов.
Основная особенность книги — сочетание необходимого теоретичес¬
кого материала с широким использованием методов решения основ¬
ных типов задач по всем разделам курса. Пособие отличается высоким
уровнем строгости и методической продуманности изложения, точнос¬
тью формулировок основных понятий и теорем, краткостью и доступ¬
ностью доказательств.
Соответствует Федеральному государственному образователь¬
ному стандарту В ПО третьего поколения.
Для студентов высших учебных заведений.
УДК 517
ББК 22.1я73
Покупайте наши книги:
Оптом в офисе книготорга «Юрайт»:
140004, Московская обл., г. Люберцы, 1-й Панковский проезд, д. 1,
тел.: (495) 744-00-12, e-mail: sales@urait.ru, www.urait.ru
В розницу в интернет-магазине: www.urait-book.ru,
e-mail: order@urait-book.ru, тел.: (495) 742-72-12
Для закупок у Единого поставщика в соответствии с Федеральным законом от
21.07.2005 № 94-ФЗ обращаться по тел.: (495) 744-00-12,
e-mail: sales@urait.ru, vuz@urait.ru
© Шипачев В. С., 2009
© Шипачев В. С., 2011, с изменениями
ISBN 978-5-9916-1609-6	©	ООО «Издательство Юрайт», 2012

Содержание
К читателю	3
Предисловие	11
Глава 1. Вещественные числа	13
1.1.	Множества и основные обозначения	13
1.2.	Вещественные числа и их основные свойства	15
1.4.	Грани числовых множеств	21
1.5.	Абсолютная величина числа	24
1.6.	Метод математической индукции	27
1.7.	Факториал и формула бинома Ньютона	29
1.7.1.	Факториал (29). 1.7.2. Формула бинома Ньютона
(30). 1.8. Контрольные задачи	33
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости	34
2.1.	Метод координат	34
2.1.1.	Направленные отрезки и их величины. Основное
тождество (34). 2.1.2. Координаты на прямой. Числовая
прямая (36). 2.1.3. Прямоугольная (или декартова) сис¬
тема координат на плоскости (41). 2.1.4. Простейшие
задачи аналитической геометрии на плоскости (42).
2.1.5.	Полярные координаты (45).
2.2.	Множества точек на плоскости и их уравнения	47
2.2.1.	Определение уравнения линии (47). 2.2.2. Приме¬
ры на нахождение множеств точек (50).
2.3.	Прямые и их линейные уравнения	54
2.3.1.	Уравнение прямой с угловым коэффициентом
(54). 2.3.2. Уравнение прямой, проходящей через дан¬
ную точку, с данным угловым коэффициентом (56).
2.3.3.	Уравнение прямой, проходящей через две данные
точки (57). 2.3.4. Общее уравнение прямой (57). 2.3.5.
Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой
«в отрезках» (58). 2.3.6. Угол между двумя прямыми
(60). 2.3.7. Условия параллельности и перпендику¬
лярности двух прямых (60). 2.3.8. Расстояние от точки
до прямой (61). 2.3.9. Взаимное расположение двух

4
Оглавление
прямых на плоскости (63). 2.3.10. Примеры решения
геометрических задач методом координат (64).
2.4.	Линии второго порядка
75
2.4.1.	Эллипс (75). 2.4.2. Гипербола (80). 2.4.3. Директри¬
сы эллипса и гиперболы (86). 2.4.4. Парабола (89). 2.5.
Основные формулы и факты аналитической геометрии
на плоскости
(95). 2.6. Контрольные задачи
...98
102
102
Глава 3. Теория пределов
3.1.	Числовые последовательности
3.1.1.	Числовые последовательности и арифметические
действия над ними. Прогрессии (102). 3.1.2. Ограни¬
ченные и неограниченные последовательности (110). 3.1.3.
Бесконечно большие и бесконечно малые последова¬
тельности (111). 3.1.4. Основные свойства бесконечно
малых последовательностей (113).
3.2. Сходящиеся последовательности	116
3.2.1.	Понятие сходящейся последовательности (116).
3.2.2.	Основные свойства сходящихся последователь¬
ностей (122). 3.2.3. Предельный переход в неравенствах
(131). 3.3. Монотонные последовательности	134
3.3.1.	Определение и признак сходимости монотонных
последовательностей (134). 3.3.2. Число е (138).
3.4.	Теорема о вложенных отрезках	141
3.5.	Контрольные задачи	142
Глава 4. Функция	144
4.1.	Понятие функции	144
4.1.1.	Определение функции и основные понятия (144).
4.1.2.	Способы задания функций (147). 4.1.3. Понятия
сложной и обратной функций (149). 4.1.4. Класси¬
фикация функций (151). 4.1.5. Построение графиков
функций (152).
4.2. Предел функции	168
4.2.1.	Предел функции при х^х0 (168). 4.2.2. Предел
функции прих^х0- и прих^>х0+ (172).
4.3.	Теоремы о пределах функций	177
4.4.	Два замечательных предела	179
4.4.1.	Первый замечательный предел (179). 4.4.2. Второй
замечательный предел (182).
4.5.	Бесконечно малые и бесконечно большие функции	183
4.5.1.	Бесконечно малые функции (183). 4.5.2. Бесконеч¬
но большие функции (185).

Оглавление
5
4.6.	Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
функций	188
4.7.	Вычисление пределов функции	191
4.8.	Понятие непрерывности функции	193
4.8.1.	Определение непрерывности функции (194).
4.8.2.	Арифметические действия над непрерывными
функциями (196).
4.9.	Непрерывность некоторых элементарных функций	197
4.9.1.	Непрерывность рациональных функций (197).
4.9.2.	Непрерывность тригонометрических функций
(198). 4.9.3. Непрерывность функции f(x) = |лг| (199).
4.9.4.	Продолжение вычисления пределов функций (199).
4.10.	Определение и классификация точек разрыва функ¬
ции 	205
4.11.	Теорема о непрерывности сложной функции	206
4.12.	Основные свойства непрерывных функций	207
4.12.1.	Теорема об устойчивости знака непрерывной
функции (207). 4.12.2. Прохождение непрерывной
функции через любое промежуточное значение (207).
4.12.3.	Теорема об ограниченности непрерывной функ¬
ции на отрезке (210). 4.12.4. Теорема о достижении
функцией, непрерывной на отрезке, своих точных
граней (211). 4.12.5. Понятие равномерной непрерыв¬
ности функции (213). 4.12.6. Теорема о равномерной
непрерывности функции (216).
4.13.	Теорема о непрерывности обратной функции	220
Глава 5. Дифференциальное исчисление	223
5.1.	Понятие производной	223
5.1.1.	Определение производной (223). 5.1.2. Геомет¬
рический смысл производной (225). 5.1.3. Физический
смысл производной (227). 5.1.4. Правая и левая произ¬
водные (228).
5.2.	Понятие дифференцируемости функции	230
5.2.1.	Понятие дифференцируемости функции в данной
точке (230). 5.2.2. Связь между дифференцируемостью
и непрерывностью (231).
5.3.	Понятие дифференциала	232
5.3.1.	Определение и геометрический смысл диффе¬
ренциала (232). 5.3.2. Приближенные вычисления
с помощью дифференциала (234).
5.4.	Правила дифференцирования суммы, разности, произ¬
ведения и частного	235

6
Оглавление
5.5.	Вычисление производных постоянной, степенной, три¬
гонометрических функций и логарифмической функции... 237
5.5.1.	Производная постоянной функции (237). 5.5.2.
Производная степенной функции (237). 5.5.3. Про¬
изводные тригонометрических функций (238). 5.5.4.
Производная логарифмической функции (240).
5.6.	Теорема о производной обратной функции	241
5.7.	Вычисление производных показательной функции
и обратных тригонометрических функций	243
5.7.1.	Производная показательной функции (243). 5.7.2.
Производные обратных тригонометрических функций
(243).
5.8.	Правило дифференцирования сложной функции. Диф¬
ференциал сложной функции	245
5.8.1.	Правило дифференцирования сложной функции
(245). 5.8.2. Дифференциал сложной функции (249).
5.9.	Логарифмическая производная. Производная степен¬
ной функции с любым вещественным показателем. Таблица
производных простейших элементарных функций	250
5.9.1.	Понятие логарифмической производной функции
(250). 5.9.2. Производная степенной функции с любым
вещественным показателем (252). 5.9.3. Таблица произ¬
водных простейших элементарных функций (254).
5.10.	Производные и дифференциалы высших порядков	256
5.10.1.	Понятие производной и-го порядка (256). 5.10.2.
п-е производные некоторых функций (257). 5.10.3.
Формула Лейбница для п-и производной произведения
двух функций (259). 5.10.4. Дифференциалы высших
порядков (262).
5.11.	Параметрическое задание функции и ее дифференци¬
рование	264
5.11.1.	Параметрическое задание функции (264). 5.11.2.
Дифференцирование функции, заданной параметриче¬
ски (266).
5.12.	Основные теоремы дифференциального исчисления.. 268
5.13.	Раскрытие неопределенностей. Правило Ло^италя	274
5.13.1.	Раскрытие неопределенности вида - (274).
5.13.2.	Раскрытие неопределенности вида ^ (277).
5.13.3.	Другие виды неопределенностей и их раскрытие
(278).
5.14. Формула Тейлора	281
5.14.1.	Формула Тейлора (281). 5.14.2. Другая запись
формулы Тейлора и остаточного члена (283). 5.14.3.
Формула Маклорена (284). 5.14.4. Разложение неко-

Оглавление
7
торых элементарных функций по формуле Маклорена
(284). 5.14.5. Использование формулы Маклорена для
вычисления пределов (286). 5.14.6. Вычисление числа
е (287).
5.15.	Исследование поведения функций и построение гра¬
фиков 	288
5.15.1.	Признак монотонности функции (288). 5.15.2.
Отыскание точек локального экстремума функции
(289). 5.15.3. Задачи на максимум и минимум (292).
5.15.4.	Направление выпуклости и точки перегиба
графика функции (294). 5.15.5. Асимптоты графика
функции (298). 5.15.6. Схема исследования графика
функции (302).
5.16.	Контрольные задачи	312
Глава 6. Интегральное исчисление	314
6.1.	Первообразная и неопределенный интеграл	314
6.1.1.	Понятие первообразной функции (314). 6.1.2.
Неопределенный интеграл (316).
6.2.	Основные свойства неопределенного интеграла	318
6.3.	Таблица основных интегралов	319
6.4.	Основные методы интегрирования	321
6.4.1.	Непосредственное интегрирование (321). 6.4.2.
Метод подстановки (325). 6.4.3. Метод интегрирования
по частям (333).
6.5.	Интегрирование рациональных функций	340
6.6.	Определенный интеграл	348
6.6.1.	Понятие определенного интеграла (348). 6.6.2.
Основные свойства определенного интеграла (351).
6.6.3.	Оценки интегралов. Формула среднего значения
(354). 6.6.4. Условия существования определенного
интеграла (357).
6.7.	Определенный интеграл с переменным верхним преде¬
лом 	360
6.8.	Формула Ньютона — Лейбница	362
6.9.	Замена переменной в определенном интеграле	365
6.10.	Формула интегрирования по частям в определенном
интеграле	368
6.11.	Некоторые физические и геометрические приложения
определенного интеграла	369
6.11.1.	Площадь криволинейной трапеции (369). 6.11.2.
Площадь криволинейного сектора (376). 6.11.3. Длина
дуги кривой (377). 6.11.4. Площадь поверхности враще¬
ния (382). 6.11.5. Объем тела (386). 6.11.6. Центр тяжести

8
Оглавление
кривой и криволинейной трапеции (390). 6.11.7. Работа
переменной силы (396).
6.12.	Контрольные задачи	398
Ответы, решения, указания к контрольным задачам ...401
Предметный указатель	442

История человеческой мысли,
игнорирующая в ней роль
математики, естяъ постановка
на сцене «Гамлета»,
если не без самого Гамлета,
то по меньшей мере без Офелии.
А. Н. Уайтхед
К читателю
Одной из характерных особенностей математики является ее
абстрактность. Вот почему каждое отдельно взятое математическое
понятие, начиная с простейшего, усваивается нелегко. И несмот¬
ря на это, математика доступна самому широкому кругу людей.
«В целом, — утверждал акад. А. Н. Колмогоров, — последователь¬
но современное изложение математики, начинающееся с весьма
общих понятий множества, отображения, группы, упрощает ее.
Открывая в разнообразных частных фактах общую их основу, мы
делаем изложение более кратким и в конечном счете более простым
и доходчивым»1}. Простота и доходчивость — это тоже особенность
математики. А вот раскрыть эту особенность, вызвать к математике
интерес по возможности у всех учащихся — дело далеко не простое.
И главную роль в этом, конечно, играет педагог. Успех во многом
зависит не только от его профессиональной и общей эрудиции, от
его умения просто, четко и кратко выражать свои мысли, но и от
самой личности педагога, его способности если не загораться, то по
крайней мере чувствовать красоту в ее проявлениях.
В процессе преподавания математики на успех может рассчиты¬
вать только тот педагог, который увлечен своим предметом, которого
учащиеся любят и уважают за принципиальность и объективность,
в котором они видят не только квалифицированного специалиста,
но и человека.
Лекции и практические занятия по математике дают положи¬
тельный эффект, если на них между преподавателями и учащимися
царит атмосфера доверия, взаимопонимания и взаимоуважения. Но
достичь этого могут только те преподаватели, для которых интересы
учащихся, их математическая подготовка превыше всего.
Дорогой читатель! Математика в отличие от других наук является
делом прежде всего молодых людей. История свидетельствует, что
жизнь многих крупных математиков оборвалась очень рано: Галуа,
заложивший основы теории групп, непонятый при жизни, был убит на
1} Колмогоров А. Н. Современная математика и математика в совре¬
менной школе // Математика в школе. 1971. № 6.

10
К читателю
дуэли на 21-м году, Абель умер в 27 лет, Урысон — в 26 лет, Рамануд¬
жан — в 33 года, Риман — в 40 лет. Величайшие открытия Ньютона —
дифференциальное исчисление и закон тяготения — были сделаны
им в возрасте 24 лет. Можно назвать имена математиков, достигших
серьезных результатов несколько позднее. Сложнее привести примеры,
когда математический успех приходил к ученому на склоне лет.
Вот почему независимо от вашего положения, возраста и уровня
знаний проникнитесь мыслью о том, что математика — самая могуще¬
ственная из всех наук, она источник всех наших познаний, и, как автор
этой книги, я хотел бы вызвать у вас не просто интерес, а увлеченность
математикой, чтобы она стала для вас необходимостью, а для людей
особо одаренных — целью жизни. Математике человечество обязано
всеми величайшими открытиями, давшими миру гениев.
Изучение математики развивает логическое мышление, приучает
человека к точности, к умению выделять главное, сообщает необхо¬
димые сведения для понимания сложнейших задач, возникающих в
различных областях деятельности современного человека.
В связи с возросшей ролью математики в современной науке
и технике будущие инженеры и научные работники нуждаются в
серьезной математической подготовке.
Выпускник современной средней школы должен не только уметь
строить графики функций, но и использовать методы исследования
поведения функций, основанные на дифференциальном исчисле¬
нии, а также владеть техникой дифференцирования и интегриро¬
вания хотя бы простых функций независимо от того, продолжит
он обучение в вузе или нет. Сегодня математика нужна всем. Это
веление времени, настоятельная жизненная необходимость. На-
учно-технический прогресс невозможен без увеличения объема
математических знаний на всех уровнях, начиная в первую очередь
с техникума, средней школы, гимназии, лицея и колледжа. Совре¬
менный инженер или научный работник должен не только знать
основы математики, но и хорошо владеть всеми новейшими мате¬
матическими методами исследования, которые могут применяться
в области его деятельности.
Дорогой читатель! В наше время во все области человеческой
деятельности проникают математические методы исследования.
Смежные науки используют различный объем математических
знаний и ставят новые задачи в изучении самой математики. Ма¬
тематика как учебная дисциплина прочно заняла место в учебных
планах вузов. Можно смело сказать, что изучение математики спо¬
собствует усвоению самого современного стиля научного мышления
и является условием его применения в конкретных науках. Примите
мое искреннее уважение.

Жизнь украшается двумя вещами:
занятием математикой
и ее преподаванием.
С. Д. Пуассон
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие представляет собой обоб¬
щение многолетнего опыта преподавания автором высшей ма¬
тематики на нематематических факультетах и на Всесоюзных
курсах повышения научной квалификации учителей средних
школ в Московском государственном университете.
Цель книги — показать в простом изложении как четкость
и конкретность, так и доступность для широкого круга чи¬
тателей основных понятий и теорем высшей математики;
научить студентов самостоятельно решать задачи.
Поскольку в книге имеется большое количество подроб¬
но решенных типовых примеров и задач, поясняющих тео¬
ретический материал и способствующих более глубокому
его пониманию, она найдет применение в педагогической
деятельности в вузах, техникумах, средней школе, на курсах
повышения квалификации учителей, а также на подготови¬
тельных отделениях вузов.
К каждому параграфу сформулированы «Вопросы для
самопроверки», в основном по теории. Цель этих вопросов —
помочь в самостоятельной работе над теоретическим мате¬
риалом.
В конце каждой главы (кроме гл. 4) даны контрольные
задачи для повторения и углубления материала соответствую¬
щей главы. Большинство из этих задач предлагалось в виде
контрольных заданий для учащихся открытого лицея «Все¬
российская заочная многопредметная школа» (ОЛ «ВЗМШ»).
Эти задачи будут весьма полезны учащимся старших классов,
учителям при подборе материала для упражнений, а также
студентам для самостоятельной работы.
В конце книги к контрольным задачам даны ответы, ре¬
шения и указания. Здесь автор хотел бы дать некоторые ре¬
комендации. Прежде чем начать решать эти задачи, надо
сначала изучить нужный раздел, добиться полной ясности
в понимании соответствующих понятий и теорем. При этом
надо самостоятельно проводить параллельно с текстом все
вычисления, решать все примеры как разобранные, так и

12
Предисловие
помещенные без решения. Это будет хорошей тренировкой
и гарантией качественного усвоения материала.
Следует обратить особое внимание на формулировки с
«е-JV»- и «е-8»-терминологией. Важно ясное и четкое пони¬
мание сути определений, роли и места каждого слова. Для
этого следует детально разобрать предлагаемые примеры и
задачи.
И последнее. Изучение материала следует проводить
строго последовательно начиная с первой главы, с первого
параграфа и с первого пункта, так как в математике все
понятия тесно связаны между собой. Из одного понятия
следует другое, и пропуск какого-либо из них может вызвать
непонимание последующего. В этом заключена специфика
математики.
При написании данного пособия была использована
часть материала из книги автора «Высшая математика»,
М., 2000, которая имеет гриф учебника для студентов вузов, и
его методические разработки, изданные для ОЛ «ВЗМШ».
Автор надеется, что данное пособие облегчит работу сту¬
дентов, преподавателей и учащихся старших классов в изу¬
чении основ высшей математики. Он также полагает, что по¬
собие будет полезным широкому кругу лиц, занимающихся
заочно или самообразованием. Им оно заменит в какой-то
степени и лектора, и преподавателя.
Автор выражает свою признательность акад. А. Н. Тихо¬
нову, профессорам Д. П. Костомарову, Ю. А. Рябову и А. Г. Со¬
кольскому за участие в работе над рукописью данного
учебного пособия. Он также благодарит всех преподавателей
кафедры высшей математики Московского государственного
автомобильно-дорожного института, принявших участие в
обсуждении рукописи.
Автор

Будь благословенно
божественное число,
породившее богов и людей.
Пифагор
Глава 1
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
1.1.	Множества и основные обозначения
В математике все понятия делятся на первичныеХ) и опре¬
деляемые через первичные или уже известные.
Основным первичным понятием математики, ее фунда¬
ментом является понятие множество. Слова совокупность,
семейство, система, набор, объединение и т.п. являются си¬
нонимами слова множество. Примерами множеств служат
множество учащихся в данной аудитории; совокупность тех из
них, кто получает по математике только хорошие и отличные
оценки; семейство звезд Большой Медведицы; множество
страниц данной книги; множество всех рациональных чисел
и т.д. Из приведенных примеров следует, что множество
может содержать конечное или бесконечное число объектов
произвольной природы.
Объекты, из которых состоит множество, называются его
элементами или точками. Множества чаще всего обозначают
большими буквами латинского алфавита, а их элементы — ма¬
лыми буквами. Еслих — элемент множестваX, то пишутхеХ
(х принадлежит X). Если х не является элементом множества X,
то пишут х<£ X (.х не принадлежит X). Если xv ..., хп — некото¬
рые элементы, то записьX={xv ..., xj означает, что множество
X состоит из элементов х. ..., х . Аналогичный смысл имеет
1	’	п
запись Х={х{,х2,х3,...}.
Пусть X и Y — два множества. Если X и Yсостоят из одних
и тех же элементов, то говорят, что они совпадают, а пишут
Х= Y. Если в X нет элементов, не принадлежащих Y, то го-
0 Следует особо подчеркнуть, что первичные понятия не могут быть оп¬
ределены. Они, как правило, разъясняются на примерах. С их помощью оп¬
ределяются другие понятия.

14
Глава 1. Вещественные числа
ворят, что X содержится в Y или что X есть подмножество
множества Y. В этом случае пишут X с Y или У => X (X со¬
держится в Y или Y содержит X).
О1» Примеры. 1. Множество четных чисел X есть подмножество
множества Г целых чисел: X с Г. 2. Множество рациональных чисел
Q есть подмножество множества R всех вещественных чисел2): Q с R.
3.	Множество студентов всех факультетов института X и множество
всех студентов того же института Гсовпадают: X=Y. •
Множество, не содержащее ни одного элемента, называ¬
ется пустым и обозначается символом 0. Пустое множество
является подмножеством любого множества.
Множество с установленным порядком расположения
элементов называют упорядоченным. Упорядоченное мно¬
жество в отличие от просто множества записывают внутри
круглых скобок. Например, из одного и того же множест¬
ва {xv х2} можно получить два упорядоченных множества:
(*,; *2) и (х2; х,).
В дальнейшем нам придется иметь дело с различными
множествами вещественных чисел. Всюду, где это не может
привести к неточности, для краткости вещественные числа
будем называть просто числами.
Пусть Р(х) — какое-то свойство числа х. Тогда запись
{х | Р(х)} обозначает множество всех таких чисел, которые
обладают свойством Р(х).
О Примеры. 1. Множество {х\х2 - Зх + 2 = 0} есть совокупность
корней уравнения х2 - Зх + 2 = 0, т.е. это множество состоит из двух
элементов: 1 и 2.2. Множество {х\3 < х < 7} является совокупностью
всех чисел, удовлетворяющих неравенствам 3 < х < 1.3. Множество
{х\х > 7 и х < 3} = 0, т.е. это пустое множество. •
Если Xj,..., хп — произвольные числа, то запись х = max {х,,
..., xj (х = min {Xj,..., хп})3) означает, что число х максимальное
(минимальное) из чисел х,, ...,хп.
В заключение отметим, что первичными понятиями явля¬
ются точка, прямая и плоскость. Для всех остальных понятий
будут даны определения.
» Здесь и далее знаки о и • означают соответственно начало и конец
примеров.
2)	Вместо термина вещественные числа часто используют термин дейст¬
вительные числа. Обычно множество всех вещественных чисел обознача¬
ют через R (или R1).
3)	От лат. maximum (minimum) — наибольший (наименьший).

12. Вещественные числа и их основные свойства
15
Вопросы для самопроверки
1.	Какую роль в математике играют первичные понятия?
2.	Назовите основное первичное понятие.
3.	Приведите примеры различных множеств.
4.	Приведите пример совпадающих множеств.
5.	Сколько можно образовать подмножеств из множества
Z={x1x2,x3,x4}?
6.	Почему пустое множество является подмножеством любого
множества?
7.	Что означает запись {х \ Р(х)}7
8.	Приведите понятия, кроме множества, являющиеся первич¬
ными.
1.2.	Вещественные числа и их основные свойства
Понятие вещественного числа принадлежит к основным
математическим понятиям. Существуют различные подходы
к определению вещественного числа (метод сечений, опреде¬
ление вещественного числа как бесконечная десятичная дробь
и др.), однако наиболее логичным и простым является аксио¬
матический метод введения вещественного числа. Заметим,
что все методы введения вещественного числа эквивалентны,
так как ни в одном из них не устанавливается факт существо¬
вания вещественного числа. Поэтому во всех случаях необхо¬
димо вводить аксиому существования вещественного числа.
Поскольку же использование аксиом неизбежно, проще всего
их сразу сформулировать и перейти к непосредственному
изложению основного материала.
Напомним, что множество вещественных чисел разби¬
вается на два множества — рациональных и иррациональ¬
ных чисел. Рациональным называется число, которое можно
V
представить в виде —, где pnq — целые числа, причем q* 0.
q
Иррациональным называется всякое вещественное число, ко¬
торое не является рациональным. Всякое рациональное число
—	является либо целым, либо его можно представить в виде
q
конечной или периодической бесконечной десятичной дроби.
Иррациональное же число представляется непериодической
бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные
числа 3/4 и У3 представляются соответственно следующими

16
Глава 1. Вещественные числа
десятичными дробями: 0,75 и 0,333...; иррациональные числа
>/2и л представляются соответственно непериодическими бес¬
конечными десятичными дробями: 1,41421356... и 3,14159....
Приведем основные свойства вещественных чисел, которые
примем за аксиомы, выведем из них некоторые следствия,
а затем определим вещественные числа.
I. Сложение и умножение вещественных чисел
Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и
притом единственным образом, два вещественных числа а + b
ий- Ь, называемые их суммой и произведением, обладающими
следующими свойствами.
Каковы бы ни были числа а,Ьис:
1°. а + b = b + а (переместительное свойство).
2°. а + (Ь + с) = (о + Ь) + с (сочетательное свойство).
3 °.a-b = b -а (переместительное свойство).
4°. а ■ (Ь ■ с) = (а ■ Ь) ■ с (сочетательное свойство).
5°. (а + Ь) ■ с = ас + Ьс (распределительное свойство).
6°. Существует единственное число 0 такое, что о + 0 = о
для любого числа а.
7°. Для любого числа а существует такое число - а, что
а + (-а) = 0.
8°. Существует единственное число 1^0 такое, что для
любого числа а имеет место равенство а - 1 = а.
9°. Для любого числа а ф 0 существует такое число аг\ что
1
о	• о-1 = 1; число агх обозначается также символом
а
Замечание. Числа -а и а-1, о которых говорится в свой¬
ствах 7° и 9°, единственны.
В самом деле, если бы существовало, например, еще
одно число Ьф - а, удовлетворяющее условию а + b = 0, то
й + b + (- й) = - а, откуда а + (-а) + Ь = -а,0 + Ь = -аиЬ = -а,
т.е. получено противоречие. (Самостоятельно докажите един¬
ственность числа а-1.)
II.	Сравнение вещественных чисел
Для любых двух различных вещественных чисел am b
установлено одно из отношений: а = Ь (а равно b),a>b или
b > а (й больше b или b больше а). Отношение = обладает
свойством: если а = ЬкЬ = с,тоа = с.
Отношение > обладает следующими свойствами.

12. Вещественные числа и их основные свойства
17
Каковы бы ни были числа а,Ьис:
10°. Если а> b ub > с, то а> с.
11°. Если а> Ь,то а + с > b + с.
12° Если a>0ub>0,moa-b>0.
Вместо а > b пишут также b < а (Ь меньше а). Запись
а > b (или, что то же, Ь < а) обозначает, что либо а = Ьу либо
а > ЬХ). Соотношения a<bya<bya>bya>b называются не¬
равенствами. Неравенстваа<Ьиа>Ь называются строгими
неравенствами.
Число ау удовлетворяющее неравенству а > 0, называется
положительныму а число а, удовлетворяющее неравенству
а < 0, — отрицательным.
Отметим, свойствам 1°—12° удовлетворяет только множе¬
ство рациональных чисел.
III.	Непрерывность вещественных чисел
13°. Пусть XuY — два множества, состоящие из вещест¬
венных чисел. Тогдау если для любых чисел хе Хиу е Y выпол¬
няется неравенство х<ууто существует хотя бы одно число су
такоеу что для любых чисел хиу выполняются неравенства
х<с<у.
Следует заметить, что свойством непрерывности обладает
множество всех вещественных чисел, но им не обладает мно¬
жество только рациональных чисел. Действительно, пусть
множество X состоит из рациональных чисел х, для которых
выполняется неравенство х < а множество Y состоит из
рациональных чисел у, для которых выполняется неравенст¬
во у >42. Тогда, очевидно, для любого х е Хи любого у е Y
выполняется неравенство х < у, однако не существует рацио¬
нального числа с такого, чтобы выполнялись неравенства
х < с < у. В самом деле, таким числом могло бы быть только
которое, как известно, не является рациональным.
Из свойств 1°—13° вытекают все остальные свойства ве¬
щественных чисел. Приведем некоторые из них, но в даль¬
нейшем будем использовать и другие свойства, не проводя
их формального доказательства (такое доказательство всякий
раз легко провести).
Каковы бы ни были числа a,b,cu d\
0 Например, можно написать 2 < 2, 2 < 5. Разумеется, можно написать
более точно: 2 = 2, 2 < 5, однако неравенства 2 < 2 и 2 < 5 также верны, так
как означают, что «два не больше двух» и «два не больше пяти».

18
Глава 1. Вещественные числа
14°. Число х = b + ( - а) является решением уравнения
а + х=Ь.
□	Действительно, в силу свойств 1°, 2°, 6°, 7° имеем
а + b + ( - а) = Ь. и0
Число b + ( - а) называется разностью чисел b и а и обо¬
значается символом b - а. Отметим, что если а < b (или, что
то же, b > а)у то разность b - а > 0. В самом деле, из неравен¬
ства b > а в силу свойства 11° получаем Ь + (-а) >а+(-а)
или b — а > 0.
15°. Число х = Ьа~х является решением уравнения ах = b,
если аФ 0.
□	Действительно, в силу свойств 3°, 4°, 8°, 9° имеем
а • Ьа~х = Ь. ш
Число Ьагх называется частным чисел b и а и обозначается
b и
символом — или b : а.
а
16°. Если а < Ьу то- а> -Ь.
□	В самом деле, так как а < Ьу то b - а > 0. Следовательно,
согласно свойству 11°, b - а + (- Ь) > 0 + ( - Ь), откуда полу¬
чаем - а> -Ь. ш
В частности, если а > 0, то - а < 0, а если а < 0, то - а > 0
(здесь использован тот факт, что -0 = 0; действительно, на
основании свойства 6° (- 0) + 0 = - 0, а согласно свойству 7°,
(- 0) + 0 = 0, откуда следует, что -0 = 0).
17°. Если а > b и с > d, то а + с > b + d, т. е. неравенства
одного знака можно почленно складывать.
□	В самом деле, если а > b и с > d, то, согласно свойству 11°,
имеем a + c>b + cwc + b>d+b. Поэтому на основании
свойства 10° а + с > b + d. ш
18°. Если а < b и с >d, то а - с < b - d, т.е. неравенства
противоположных знаков можно вычитать, оставляя знак
того неравенства, из которого вычиталось другое.
□	В самом деле, так как с >d, то, согласно свойству 16°,
-c<-d. Складывая почленно неравенства a<bn-c<-d
(это можно делать на основании свойства 17°), получаем
а - с <b - d. ш
19°. я-я = 0.
□	В самом деле, а - а = а + (- а) = 0. ■
20°. а • 0 = 0.
□	Действительно, а • 0 = a (b - b) = ab - ab = 0. ■
1} Здесь и далее знак □ означает начало доказательства, а знак ■ — ко¬
нец доказательства.

12. Вещественные числа и их основные свойства
19
21°. - (- а) = а.
□	В самом деле, - (- а) = (- (- а)) + (- а) + а = 0 + а = а. я
22°. (-a)b = -ab.
□	Действительно, (-a)b = (-a)b+ab + (- ab) = [(-а) + а] ■ Ъ -
-	ah = 0 • b - ab = 0 - ab = - аЬ. и
Отметим, что, заменяя сумму (- a)b + ab произведением
[(- а) + а]Ь, мы воспользовались свойством 5°. Из свойства
22°, в частности, получаем (-1 )о = - а.
23°. Если а < 0 и Ъ > 0, то ab < 0.
□	В самом деле, так как а < 0, то - а > 0, поэтому, согласно
свойству 12°, (- а)Ь > 0. Следовательно, (- a)b = - ab> 0 и,
значит, ab< 0. ■
24°. Если а < 0 и b < 0, то ab > 0.
□	Действительно, так как b < 0, то - b > 0. Поэтому на осно¬
вании свойства 23° (- Ь)а < 0. Следовательно, (- Ъ)а = -аЪ< 0
и, значит, ab> 0. ■
25°. Если а * 0, то а ■ а = а2> 0. Справедливость данно¬
го утверждения следует из равенств 12° и 24°. В частности,
1 = I2 > 0, т.е. 1 > 0.
26°. Если а > 0, то и (Г1 > 0.
□	В самом деле, согласно свойствам 9° и 25°, аагх = 1 > 0,
а если предположить, что аг1 < 0, то в силу свойств 20° и 23°
получим, что аагх < 0, т.е. имеет место противоречие. Следо¬
вательно, аг1 > 0. ■
Итак, мы видим, что из основных свойств, вещественных
чисел вытекают остальные их свойства. Поэтому можно
считать, что вещественные числа представляют собой мно¬
жество элементов, обладающих свойствами, указанными
в п. I—III. Такое определение вещественных чисел назы¬
вается аксиоматическим, а приведенные их свойства —
аксиомами вещественных чисел.
В заключение отметим, что исходя из свойств, указанных
в п. I—III, любое вещественное число можно представить
в виде бесконечной десятичной дроби
(Ху (X.(Хг/Хъ..•& ...1
7	1	2 6 п 7
где а — любое целое число, a av а2, аъ,ап,...— числа, при¬
нимающие целые значения от 0 до 9 (0 < ап < 9). Однако рас¬
сматривать этот вопрос мы не будем0. Заметим, что можно
определить вещественные числа как бесконечные десятичные
0	С этим вопросом можно ознакомиться в кн.: Кудрявцев Л. Д. Курс ма¬
тематического анализа М., 1989. Т. 1.

20
Глава 1. Вещественные числа
дроби, а затем доказать их основные свойства 1°—1301). Все
другие построения вещественных чисел приводят к множе¬
ствам элементов, обладающих свойствами 1°—13°. В даль¬
нейшем при рассмотрении теоретических задач с участием
вещественных чисел нас не будет интересовать природа этих
чисел, а будут интересовать только те свойства, которыми
эти числа обладают.
Вопросы для самопроверки
1.	Какие числа образуют множество вещественных чисел?
2.	В чем заключается аксиоматический метод введения веще¬
ственных чисел?
3.	Перечислите основные свойства (аксиомы) вещественных
чисел.
4.	Каким основным свойством отличается множество всех веще¬
ственных чисел от множества только рациональных чисел?
1.3.	Наиболее употребительные
числовые множества
Пусть а и b — два числа, причем а < Ь. Будем использовать
следующие обозначения:
{х\а<х<Ь} = [а, Ъ\\ {х\а <х< Ь) = (а, Ь]\
{х\а<х<Ь} = [а, Ь)\
{х\а < х< Ь) = (а, Ь)\ {х\а <х) = [а, + оо);
{х\а < х) = (а, + ао);
{х\х < Ь} = (- ос, Ь]\ {х\х < Ь) = (- оо, Ь).
Множество всех вещественных чисел будем обозначать
так: {х|-оо<х< + оо} или (-оо, + оо).
Все эти множества называются промежутками,, причем [а, Ь]
называют отрезками (или сегментами), [<а, Ь), (а, Ь\, [а, + оо)
и (- оо, Ь] — полуинтервалами, а (а, b), (а, + оо), (- оо, Ь) и
(- оо, + оо) — интервалами. Промежутки [а, Ь\, (а, Ь\, [а, Ь)
и (а, Ь) называются конечными; а и b — их концы. Остальные
промежутки называются бесконечными.
Интервал (а, Ь) отличается от отрезка [а, b] лишь тем, что
ему не принадлежат концы а и Ь. Это отличие играет сущест-
1} Такое построение вещественных чисел приведено в кн.: Ильин В. А.,
ПознякЭ. Г. Основы математического анализа. М., 1981. Ч. I.

1.4. Грани числовых множеств
21
венную роль во многих вопросах математического анализа.
Кроме того, интервал (а, b) не содержит ни наибольшего, ни
наименьшего числа, в то время как в отрезке [а, b] такими
числами являются соответственно b и а.
Вопросы для самопроверки
1.	Какие числовые множества называются промежутками?
2.	Из отрезка [а, Ь] удален интервал (а, Ь). Что осталось?
3.	Из отрезка [1,8] удален интервал (3, 5). Что осталось? Запи¬
шите множество оставшихся чисел с помощью промежутков.
1.4.	Грани числовых множеств
Пусть X — непустое множество чисел.
Определение. Множество X называется ограниченным
сверху (снизу)у если существует число с такое, что для любого
х е X выполняется неравенство1) х < с (х > с).
Число с в этом случае называется верхней (нижней) гранью
множества X.
Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется
ограниченным.
О	Примеры. 1. Любой конечный промежуток ([а, Ь], [я, Ь), (а, Ь], (а, Ь))
ограничен. 2. Интервал (а, + оо) есть множество, ограниченное снизу,
но не ограниченное сверху. 3. Интервал (-оо, +оо) есть множество, не
ограниченное ни сверху, ни снизу. •
Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множе¬
ство Xимеет бесконечно много верхних (нижних) граней, обра¬
зующих множество чисел, ограничивающих Xсверху (снизу).
В самом деле, если число с является верхней (нижней) гранью
множествах, то любое число сбольшее (меньшее) числа с,
также является верхней (нижней) гранью множества X,
так как из справедливости неравенствах<с (х>с) следует,
что х<с' (х> с').
Возникает вопрос о существовании наименьшего из чисел
ограниченного сверху множества и наибольшего из чисел
ограниченного снизу множества.
1} Для сокращения записи в данном определении объединены два опре¬
деления, одно из которых соответствует словам, заключенным в скобках.
Этим приемом будем пользоваться в дальнейшем.

22
Глава 1. Вещественные числа
Наименьшее из чисел, ограничивающих множество X
сверху, называется точной верхней гранью множества X и
обозначается символом0 supX, а наибольшее из чисел, огра¬
ничивающих множество X снизу, называется точной нижней
гранью этого множества и обозначается символом2) infX.
О Примеры. 1. Пусть X = (а, Ь). Тогда число Ь, а следовательно, и
всякое большее число является верхней гранью данного множества, а
число а и всякое меньшее число — его нижней гранью. Очевидно, чис¬
ло b — точная верхняя грань множества X, а число а — точная нижняя
грань, т.е. b = supX, а = inf X. 2. Пусть Х= (а, + оо). Тогда число а и всякое
меньшее число является нижней гранью множества X. Очевидно, чис¬
ло а = infX, а верхних граней и, следовательно, точной верхней грани
данное множество не имеет. •
Свойство точной верхней (нижней) грани. Точная верх¬
няя грань (supX) обладает следующим важным свойством:
как бы мало ни было числоЪ) в > О, найдется число х еХ такое,
чтох > supX-s.
Если бы такого числа х не нашлось, то число supX- в было
бы также верхней гранью, и тогда число sup X не было бы
точной верхней гранью. Другими словами, данное свойство
выражает тот факт, что число supX является наименьшим
среди чисел, ограничивающих множество X сверху, и умень¬
шено быть не может.
Аналогичным свойством обладает и точная нижняя грань:
как бы мало ни было число в > 0, найдется число х еХ такое,
что х < infX+ в.
О Пример. Доказать, что множество X =
ничено. Установить, какие числа являются его гранями. Найти точные
верхнюю и нижнюю грани этого множества.
Решение. При любом натуральном п выполняются неравенства
1
О	< — <1, поэтому данное множество X ограничено. Таким образом,
п
число 1 — верхняя грань, а число 0 — его нижняя грань.
Докажем, что число 1 является точной верхней гранью множества X,
т.е. что supX = 1. Для этого, согласно свойству точной верхней грани,
надо показать, что для любого s > 0 найдется натуральное число п та-
1
кое, что выполняется неравенство — > 1 - 8. Этим числом п является
п
1} supremum (лат.) — наивысшее.
2)	infimim (лат.) — наинизшее.
3)	s — греческая буква «эпсилон».

1.4. Грани числовых множеств
23
п = 1, так как 1 > 1 — е — верное неравенство для любого s > 0, что и
требовалось доказать.
Докажем теперь, что число 0 является точной нижней гранью мно¬
жества X. Для этого надо проверить, что для любого s > 0 найдется
1
натуральное число п такое, что выполняется неравенство — < 0 + s или
1 1 п
— < 8. Решая неравенство, получаем п > — . Взяв какое-нибудь нату-
п	.	8
ральное число п > - , получим требуемое неравенство, а это, согласно
8
свойству точной нижней грани, и означает, что число 0 является точной
нижней гранью множества X, т.е. infX = 0.
Отметим, что данному множеству X точная грань 1 принадлежит и
является его наибольшим числом, а точная нижняя грань 0 не принад¬
лежит и в этом множестве нет наименьшего числа. •
Определение точной верхней грани supXможно сформу¬
лировать и по-другому:
число supXназывается точной верхней гранью ограниченно¬
го сверху множества X, если: 1) для любого х еХ выполняется
неравенство х < supX; 2) для любого в > 0 существует число
х еХ такое, что х > supX - в.
В этом определении первое условие точно показывает, что
число supX ограничивает множество X сверху, а второе усло¬
вие, что никакое число, меньшее supX, множество X сверху
не ограничивает, т.е. уже не является верхней гранью.
Аналогично определяется точная нижняя грань infX (Сде¬
лайте это самостоятельно.)
Возникает вопрос, при каких условиях числовое множе¬
ство имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Ответ дает
следующая важная теорема.
Теорема 1.1. Любое непустое ограниченное сверху (сни¬
зу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю)
грань.
П Доказательство. Пусть X — непустое множество, огра¬
ниченное сверху. Тогда множество У чисел, ограничивающих
X сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует,
что для любого х еХ и любого у е Y имеет место неравенство
х<у. Согласно свойству непрерывности вещественных чисел
13° (см. 1.2), существует такое число с, что для любых хи у
выполняются неравенства
х<с <у.	(1)
Из первого из неравенств (1) в силу определения верхней
грани следует, что число с ограничивает множество X свер¬
ху, т.е. является верхней гранью, а из второго неравенства,

24
Глава 1. Вещественные числа
что оно наименьшее из таких чисел1), т.е. является точной
верхней гранью, причем может как принадлежать, так и не
принадлежать множеству X.
Случай существования точной нижней грани у непустого
ограниченного снизу множества рассматривается анало¬
гично. ■
Если множество X не ограничено сверху (снизу), усло¬
вимся писать supX = + ос (infX = - ос).
Вопросы для самопроверки
1.	Дайте определение ограниченного сверху (снизу) множествах;
приведите примеры.
2.	Дайте определение точной верхней (нижней) грани ограни¬
ченного сверху (снизу) множествах; приведите примеры.
3.	Сформулируйте свойство точной верхней (нижней) грани.
4.	Докажите, что множество X, ограниченное снизу, имеет точную
нижнюю грань.
5.	Что означает символическая запись: a) supX = + оо; б) infX =
= — 00?
1.5.	Абсолютная величина числа
Понятия абсолютной величины числа и неравенства, свя¬
занные с абсолютными величинами, широко используются
в математике.
Определение. Абсолютной величиной (илимодулем) числах
называется само число х, если х > 0, или число -х, если х < 0.
Абсолютная величина числа х обозначается символом | х |.
Таким образом,
. .	\	х,	если х > О,
F = 1
[-х, если х < 0.
Например, |+ 5| = 5; |- 5| = - (-5) = 5; |0| = 0.
Из определения вытекает ряд свойств абсолютной вели¬
чины числа.
1°. |х| > 0.
□	Действительно: 1) еслих> 0, то |х| = х> 0; 2) еслих< О,
то |х| = -х; но -х > 0, так как х < 0, т.е. |х| > 0.
1} Так как с<у для всех г/еУ.

1.5. Абсолютная величина числа
25
Из 1) и 2) получаем, что |х| > 0. ■
1	. |х| = |-х|.
□	В самом деле: 1) если х > 0, то -х < 0, тогда |—х| = — (-х) =
= х = \х\, так какх> 0; 2) еслих < 0, то -х > 0, тогда |-х| = -х =
= |х|, так какх< 0.
Из 1) и 2) получаем, что |х| = |-х|. ■
3°. — | х| <х< |х|.
□	Действительно: 1) если х > 0, то |х|=х и -х<0, тогда
-х<0<х= |х|, откуда -х<|х| или -|х|<х; 2) если х<0, то
|х| = —х и —х>0, тогдах<0<-х = \х\, откудах<|х|.
Из 1) и 2) получаем, что-|х|<х<|х|. ■
Следующие три свойства докажем в виде теорем.
Теорема 1.2. Пусть s — положительное число. Тогда нера¬
венства |х| < 8 и -е<х<е равносильны.
□	Доказательство. Пусть |х|< s. Тогда:
1)	еслих>0, то |x|=x<s, откуда0<х<е;
2)	еслих<0, то |x| = -x<s, откуда-s<x<0. Объединяя
1)	и 2), при любом х получаем -s<x<s.
Пусть справедливы неравенства -s<x<s. Это значит, что
одновременно выполняются неравенства x<s их>-е. Из
последнего имеем -х<е. Так как, по определению, |х| есть
либох, либо -х, то |х|<8. ■
Теорема 1.3. Абсолютная величина суммы двух чи¬
сел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т.е.
|х+г/|<|х|+|г/|.
□	Доказательство. Пусть х и у — любые числа. Согласно
свойству 3°, для них справедливы неравенства
-|х|<х<|х| и-|г/|<г/<|г/|,
складывая которые почленно получаем
-(|х|+|г/|)<х+г/<(|х|+|г/|).
По теореме 1.2 это двойное неравенство равносильно не¬
равенству |х+г/|<|х| + |г/|. ■
Заметим, что | х-у \ <|х|+1 у\. Действительно, | х-у |=|х+(—г/)| <
<|х|+|-г/|=|х|+|г/| (проверьте это самостоятельно).
Теорема 1.4. Абсолютная величина разности двух чисел
не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т.е.
\х-у\>\х\-\у\.
□	Доказательство. Для любых чисел х и у имеем
х=у+(х-у).

26
Глава 1. Вещественные числа
По теореме 1.3 справедливо неравенство
\х\=\у+(х-у)\<\у\ + \х-у\,
откуда получаем |x-z/|>|x|-|z/|. ■
Заметим, что |х+г/|>|х|-|г/|. Действительно, \х+у\ =
=|х— (—г/)|>|х|—|—г/|=|х|—|г/| (проверьте это самостоятельно).
И в заключение отметим, что, каковы бы ни были два числа
х и у, имеют место соотношения
х
1*-у|=И-Ы и
У
\Х\
еслиг/^0,
\У\
которые легко проверить, рассмотрев случаи, когда х и у —
числа одного знака (оба положительны или оба отрицательны)
и когда они имеют различные знаки. Например, проверим
1х*/| = 1Х1Ы в случае, когда х>0, у<0. Имеем \х\=х, \у\=-у и
ху<0; следовательно, \ху\ = -(ху)=х(-у) = \х\\у\.
О Пример 1. Найти решения следующих уравнений: 1) |х|=х+2;
2) \х\=х-2; 3) х+2\х\=3; 4) х2+3|х|-4=0.
Решение. 1) Прих>0 имеемх=х+2, откуда 0 = 2 — неверное равен¬
ство. Следовательно, решений нет. Прих<0 получаем-х=х+2, откуда
х=— 1. Это есть решение уравнения.
2)	Прих>0 имеемх=х-2, откуда 0 = -2 — неверное равенство. Сле¬
довательно, решений нет. При х< 0 получаем -х-х-% откуда х= 1 > 0,
что противоречит сделанному предположению х<0. Таким образом,
уравнение не имеет решений.
3)	Прих>0 имеем х+2х=3, откуда xt = i. Прих<0 получаем х-2х=3,
откуда х2 = -3. Следовательно, xi = lnx2=-3 — решения уравнения.
4)	Воспользуемся тем, что |х|2=х21). Тогда |х|2+3|х|-4 = 0. Заменяя
\х\шу, получим у2+3у-4=0, откуда z/t = 1, г/2 =—4. Так каку=\х\>0, то
у2 = -4 не подходит. Остается ух = |х| = 1, а это равносильно х = -1 их = 1.
Можно решить уравнение и стандартным способом, рассмотрев случаи
х>0 их<0. (Сделайте это самостоятельно.)
Пример 2. Доказать, что ||х|-|г/||<|х-г/|.
Решение. Так как по определению ||х|-|г/|| есть либо |х|-|г/|, либо
”(М”М) = М”М> то Для доказательства данного неравенства надо
показать, что: 1)|х|-|г/|<|х-г/| и 2) |г/|-|х|<|х-г/|. Но неравенство 1)
доказано в теореме 1.4, а неравенство 2) также следует из этой теоремы
и свойства 2°:
\х-у\=\-(х-у)\ = \у-х\^\у\-\х\- •
1} Действительно, положив х=у в соотношении \ху\ = \х\\у\, получим \х\2 =
= |x2| = jt2, таккакх2>0.

1.6. Метод математической индукции
27
Вопросы для самопроверки
1.	Что называется абсолютной величиной числа?
2.	Докажите равносильность неравенств |х|<е и -е<х<е.
3.	Что больше: 12 — 31 или |2| + |-3|?
4.	Найдите \ -х\, еслих<0.
5.	Верно ли, что |jt3|^=||3, еслих<0?
6.	Докажите, что |х2| = |х|2; V? = \х\.
7.	Запишите без знака модуля выражение\х-у\, если х<у.
1.6.	Метод математической индукции
Метод математической индукции относится к самым важ¬
ным методам математических доказательств. Он применяется
для доказательства утверждений, зависящих от натурального
числа п. Сформулируем его в общем виде: чтобы доказать
некоторое утверждение, зависящее от натурального числа п
(например, какую-нибудь формулу), надо: 1) проверить его
справедливость при п = 11}; 2) предполагая справедливость
утверждения для некоторого гг (гг > 1), доказать его справед¬
ливость для п+1. Затем делается вывод о справедливости
данного утверждения для любого натурального числа п.
О Пример 1. Доказать методом математической индукции, что
I2 +22 +32 +...+п2 ”(”+1>(2я+1>.
6
Решение. 1) Проверяем верность данной формулы при п= 1. Левая
1(1 + 1)(2-1 + 1)
часть равна 1. Правая часть —	—		 = 1. Значит, формула верна
при гс = 1.
2)	Предполагая, что данная формула верна для некоторого п(п >1),
докажем, что при п +1 имеет место такая же формула:
I2 +22 +32 +... +п2 +(п+1)2 = (”+1Ж”+0+1][2(*+1)+1].
6
Действительно,
I2 +22 +32 +...+Л2 +(w + l)2 = rc(rc+lX2rc+l) +^w + ^2 _
_ (п+\)[п(2п + У) + §(п +1)] _ (^+1)(2^2 +7^ + 6) _
б б
(п +1 )(п + 2)(2 п + 3) (п + i)[(n +1) +1)] [2(п +1) +1]
	~ б б
0 Если при п = 1 утверждение не имеет смысла, то проверку справедли¬
вости утверждения надо делать для наименьшего значения п, при котором
утверждение имеет смысл.

28
Глава 1. Вещественные числа
что и требовалось доказать. Следовательно, на основании метода ма¬
тематической индукции делаем вывод, что данная формула верна для
любого натурального числа п. •
Метод математической индукции удобен для нахождения
сумм конечного числа слагаемых.
О	Пример 2. Найти сумму
1+3+5 + ...+(2я-1).
Решение. Обозначим эту сумму через 5я, т.е.
5я=1+3+5 +... +(2я-1).
Чтобы получить для Sn выражение, не требующее алгебраического
сложения п слагаемых, вычислим несколько первых значений этой
суммы:
5=1; 5=1 +3=4; 5= 1+3+5=9; 5=1+3+5+7 = 16.
1	2.	’6	'4
Видим, что это последовательные квадраты натуральных чисел.
Естественно предположить, что Sn=n2. Чтобы доказать справедливость
этого равенства, воспользуемся методом математической индукции.
Имеем: 1) 5t = 1 = I2. Значит, формула верна при п= 1; 2) предполагая,
что она верна для некоторого п, докажем, что при п +1 имеет место
формула 5я+1 = (п+1)2. Действительно,
5я+1=5я+[2(л + 1)-1]=я2+(2я + 1) = (гг+1)2,
что и требовалось доказать. Следовательно, на основании метода ма¬
тематической индукции делаем вывод, что формула Sn=n2 верна для
любого натурального числа п и
1+3+5 +... +(2п-1)=п2. •
11	1
Упражнение. Найти сумму —+—+ ...+	.
F	J	J 1-2 2-3	п(п+1)
(Отв. -Аг+тг-+ ...+—-— = —^—. Указание, замените
4	1-2 2-3 п(п +1) п +1
каждое слагаемое на разность по формуле	=
=——— или примените индукцию.)
п п+1
Вопросы для самопроверки
1.	В чем состоит метод математической индукции?
2.	Методом математической индукции докажите, что для любого
натурального п справедлива формула
.по	п(п +1)
1	+ 2 + 3 + ... + /2 —	.

1.7. Факториал и формула бинома Ньютона
29
1.7.	Факториал и формула бинома Ньютона
1.7.1.	Факториал
Для вычисления суммы первых п натуральных чисел
имеется удобная формула
п(п +1)
1 + 2 + 3 + ... + гг = —
2
Для произведения первых гг натуральных чисел такой фор¬
мулы нет, но зато эта часто встречающаяся в комбинаторике
и в других разделах математики величина имеет специальное
обозначение: п\ (эн факториал). Итак, по определению
1 -2-3	п=п\
Выбор для обозначения восклицательного знака, возможно,
связан с тем, что даже для сравнительно небольших значений
п число п\ очень велико: чтобы продемонстрировать, как бы¬
стро растет п\ с ростом пу выпишем эти числа для гг от 1 до 10:
11	= 14 21 = 1-2 = 2,31 = 1-2-3 = 6, 4!=3! -4 = 24, 5! = 4!-5 = 120,
6! = 720, 7! = 5040, 8! = 40 320, 9! =362 880, 10! =3 628 800.
Из определения п\ следует, что факториалы двух соседних
натуральных чисел п и гг + 1 связаны формулой
(гг+ 1)!=гг!-(гг+1).	(1)
Заметим, что если в это равенство подставить п = 0, то
получим 1! =0! -1, поэтому полагают
0! = 1; (2)
это соглашение часто оказывается удобным в различных
общих формулах.
О	Пример 1. Доказать формулу (п + \)\ -п\=п\-п.
Решение. Воспользуемся методом математической индукции. Име¬
ем: 1) при п= 1 (1 + 1)! —1! = 1! • 1, откуда 1 = 1, значит, формула верна;
2)	предполагая ее верность для некоторого п, докажем, что при п+1
имеет место формула (гг + 2)! — (гг +1)! =(гг + 1)!(гг + 1). Действительно,
по формуле (1) получаем
(гг+2)! — (гг +1)! =гг!(гг + 1)(гг+2)—гг!(гг + 1) = гг!(гг + 1)[(гг+2) — 1] =
= и!(и + 1)(и + 1) = (и+1)!(я + 1),
что и требовалось доказать. Следовательно, на основании метода ма¬
тематической индукции заключаем, что формула верна для любого
натурального числа гг.
1} По определению полагают 1! = 1.

30
Глава 1. Вещественные числа
Пример 2. Найти сумму 1-1!+2-2!+3-3! + ...+я-я!
Решение. Заменим каждое слагаемое разностью по формуле (я+1)! -
-я!=я! • я (см. пример 1), получаем
(1 + 1)!-1!+(2 + 1)!-2!+(3+1)!-3!+...+(я + 1)!-я! =
=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(я+1)!-я!=(я + 1)!-1,
так как все слагаемые в левой части равенства, за исключением вто¬
рого и предпоследнего, взаимно уничтожаются. Следовательно,
1-1!+2-2!+3-3! + ... +я-я!=(я + 1)!-1. •
v	„	0	1	2	п-\
Упражнение. Наитисумму —+—+—+...+	.
F	J	J	1!	2!	3!	п\
1
{Отв. 1	. Указание: замените каждое слагаемое раз-
п\
я-1	1	1 ч
ностью по формуле	=	. )
п\	(га-1)! п\
1.7.2.	Формула бинома Ньютона
В математике широко используются замечательные числа,
называемые биномиальными коэффициентами. Они имеют
специальное обозначение Ckn и находятся по формуле
где п — целые неотрицательные числа, a k — целые неотрица¬
тельные числа, удовлетворяющие условию 0 <k<n.
Если числитель и знаменатель дроби (3) сократить на
(n-k)\, то получим формулу
которую удобно запомнить и с помощью которой проще
производить вычисления. В знаменатель этой дроби вхо¬
дит произведение всех первых k натуральных чисел, а в чис¬
литель-произведение k натуральных чисел, записанных в
порядке убывания начиная с числа п. В комбинаторике эта
формула определяет биномиальный коэффициент Ckn как
число сочетаний из п элементов по k.
О	Пример 3. Вычислить С|q.
Решение. Имеем
rk _ п\
я -
k\(n-k)'
(3)
20	6114!	1-2-3-4-5-6
|6	20!	_	20-19-18-17-16-15
= 38760. •

1.7. Факториал и формула бинома Ньютона
31
С помощью биномиальных коэффициентов доказываются
многие математические утверждения и, в частности, очень
важная формула бинома Ньютона1}
(а + Ь)п = су + су-хЬ +... + су-кЬк +... + С1Ьп, (4)
с названием которой связано и название коэффициентов Скп.
□	Формулу (4) докажем методом математической ин¬
дукции, но предварительно покажем, что для биномиальных
коэффициентов выполняется соотношение
Ckn+1+Ckn=Ckntl	(5)
Действительно,
nk+i , nk _	п]-	,	п! _
(k + \)\(n-k-\)\	k\(n-k)\
n\	n\
*!(* + 1)(я-*-1)! k\(n-k-\)\(n-k)
n\ ( 1	1	n\(n +1)
k\(n-k-iy\k + l n-kJ k\(n-k-l)\(k + l)(n-k)
(я + l)!	_	(я	+	l)!	_	k+l
(k + l )\(n-k)\	(*	+	1)![(я	+	1)-(*	+	1)]!	"и+1,
что и требовалось показать.
Докажем теперь формулу (4).
1)	Проверяем верность формулы (4) при п= 1:
(а + bУ = С\а + C\b = а + Ь,
п	1>	1	1>
так как в силу соглашения (2) С =	= 1, С, =	= 1.
1 0!1!	1 1!0!
2)	Предполагая, что формула (4) верна для некоторого п,
докажем, что при п+1 имеет место такая же формула, т.е. что
(а + b)n+l = C®+lan+1 + Cl+lanb +... + СкпЦап-кЬк+х +...
nrW nhn +Cn+X
sn+\a0 +W+1
В самом деле,
...+Cnn+]abn +Cnn:\bn+\	(6)
1} Ньютон Исаак (1642—1727) — великий английский физик, механик,
астроном и математик.

32
Глава 1. Вещественные числа
(а + b)n+l = (СУ + С1пап~1Ь +... + Скпап-кЬк +...
... + Cnnbn)(a + b) = Cy+i+Clanb + ...
... + Ckn+lan~kbk+l +... + Cnnabn + Clanb +...
... + Cknan-kbk+l +... + C"-labn + C"bn+l =
= Cy+l+(C°n+Cln)anb + ... + (Ct +Ct+l)an-kbk+l +...
...+(С”-'+С”)аЪп+С”Ьп+\
откуда, в силу того что С° = 1 = С°+1, С° +Cln = Cln+l, Ckn +Ckn+l =
= Ckn;l	=Ci.	С	=l	=	Ci1 (СМ.формулы(2),(3),(5)),
следует формула (6). Из 1) и 2) на основании метода мате¬
матической индукции заключаем, что формула (4) верна для
любого натурального числа п. я
Формулу (4) обычно коротко записывают так:
(a + b)n = ^Cknan-kbk.
k=o
[Символ £ (греческая буква «сигма») обозначает знак
суммирования (сложения).]
Из формулы (4), в частности, при п = 2 и п = 3 получаем
хорошо знакомые формулы
(а + b)2 = СУ +С^аЬ + С%Ь2 = а2 +2 ab + b2;
(а + bf = СУ + С\а2Ь + С&Ь2 +	=
= а3 + 3 a2b + Sab2 + Ьъ.
Упражнение. Напишите разложение по формуле бинома
Ньютона (а + Ь)6. (Отв. а6 + 6а5Ь+\5а4Ь2 + 20агЬг + 15а2Ь4 +
+ 6 ab5 + Ь6.)
Вопросы для самопроверки
1.	Что означает запись п\?
2.	Найдите число п\ для п = 11; 12.
3.	Может ли п\ кончаться ровно пятью нулями?
4.	Докажите формулу бинома Ньютона.

1.8. Контрольные задачи
33
1.8.	Контрольные задачи
1.1.	Докажите, что множество Х= (0,1) ограничено. Какие числа
являются гранями? Найти точную верхнюю грань этого множества.
1.2.	Докажите, что множество X = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} всех
целых чисел не ограничено ни снизу, ни сверху, т.е. supX =+оо и
infX = -оо.
1.3.	Докажите, что множество Х= {1,2,3,...} натуральных чисел
не ограничено сверху, т.е. supX=+oo.
1.4.	Докажите следующее утверждение: каковы бы ни были числа
а и Ь, 0<а<Ь, существует такое целое число п>О, что ап >Ь.
1.5.	Пусть Хи Y— два непустых числовых множества. Докажите,
что если Y<^X, то sup Х> sup Y.
1.6.	Пусть Хи Y— два непустых числовых множества. Докажите,
что sup {z\z = x+y;xeX,y eY) = supX+supF.
1.8.	Решите уравнение |(х2+2х+5) + (х-5)| = |х2+2х+5|+|х-5|.
1.9.	Решите уравнение |sinx|-sinx= 2.
1.10.	Решите уравнение |(х4-4)-(х2+2)| = |л4-4|-|х2+2|.
1.11.	Решите уравнения, раскрыв модули: 1) |х+4| = |х-4|;
2)	|х-1| + |1 - 2х| = 2|х|; 3) ||3-2х|-11 = 2|х|.
1.12.	Решите неравенство |х2-3х|>|х2|-|3х|.
1.13.	Решите неравенство |х-3| + |х+3|>8, раскрыв модули.
1.14.	Докажите методом математической индукции, что 4П>п2
для любого натурального п.
1.15.	Докажите методом математической индукции, что п\ >2п
для п>3.
1.16.	Докажите методом математической индукции неравенства
11	1
4п <\ + —j= + —i= + ... + —i=<2ypn дляя>1.
1.7.	Решите уравнение
х-1	х-1
х+1	х+1
п(п + 1)
1.17.	Найдите сумму 1 + 3 +6 + ... +
1	1
1.18.	Найдите сумму	+	+ ...+
1-3 3-5
(2/2-1) (2/2 + 1)
1

То, что может превышать
геометрию, превышает нас.
Б. Паскаль
Глава 2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
Аналитическая геометрия — область математики, изу¬
чающая геометрические образы алгебраическими методами.
В XVII в. французским математиком Декартом был разрабо¬
тан и впервые применен метод координат, давший возмож¬
ность связать друг с другом геометрические и алгебраические
понятия.
2.1.	Метод координат
В основе метода координат лежит построение системы
координат. Таких систем существует много. Познакомимся
с прямоугольной (или декартовой) и полярной системами
координат.
2.1.1.	Направленные отрезки и их величины.
Основное тождество
Напомним, что множество точек прямой, состоящее из
двух граничных точек и всех точек, лежащих между ними,
называется отрезком.
Одним из основных понятий аналитической геометрии
является понятие направленного отрезка.
Рассмотрим произвольную прямую. Укажем на ней два
взаимно противоположных направления. Выберем одно из
них и на рисунке обозначим его стрелкой (рис. 1). Пусть,
кроме того, выбрана единица масштаба для измерения длин
отрезков.
Прямая с выбранным на ней направлением называется
осъюХ).
0 Здесь и далее предполагается, что ось расположена горизонтально и
положительным направлением является направление слева направо.

2.1. Метод координат
35
Ось
В D
J	I	I	1_
С
J	1_
Рис. 1	Рис. 2
Рассмотрим на оси две произвольные точки АиВ.
Определение 1. Отрезок с граничными точками АиВ
называется направленным, если указаноу какая из точек А
и В считается началом, а какая — концом отрезка.
Направленный отрезок с началом в точке А и концом в
точке В обозначим АВ{)и будем считать, что он направлен
от начала к концу.
В записи АВ букву, обозначающую начало направленного
отрезка, пишут первой, а букву, обозначающую его конец, —
второй.
Длина направленного отрезка АВ обозначается так: | АВ |
или \АВ\.
Для направленных отрезков, лежащих на оси, введем важ¬
ное понятие величины направленного отрезка.
Определение 2. Величиной АВ направленного отрезка АВ
называется вещественное число, равное \ АВ |, если направления
отрезка и оси совпадают, и равное -1 АВ |, если эти направле¬
ния противоположны.
Из определения следует, что величины направленных
отрезков АВ и В А при любом направлении оси отличаются
только знаками:
АВ = -ВА.
Заметим, что | АВ | и | В А | обозначают одно и то же число.
Пусть даны какая-нибудь ось, масштабная единица и точки
А, В, С, D, расположенные так, что расстояние между А и В
равно двум, между С и D — трем (рис. 2). Тогда направление
направленного отрезка АВ_ и оси совпадают, а направление
направленного отрезка CD и оси противоположно. Следо¬
вательно, АВ = | АВ | = 2, СР=- | СР\ = -3. Если рассматривать
направленные отрезки ВА и DC, то В А = -\ВА \ =-2, DC=
= \DC |=3. При этом \ ВА\=\АВ\=2 и I CD 1 = 1 DC 1=3.
Если точки АиВ направленного отрезка АВ совпадают, то
величина направленного отрезка АВ равна нулю, а направ¬
ление не определено.
1} Иногда обозначают АВ

36
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
В дальнейшем направленные отрезки оси будем называть
просто отрезками, опуская слово «направленный».
Основное тождество» Для любых трех точек А, В и С на
оси величина отрезка АС равна сумме величин отрезков АВ
и ВС у т.е.
АВ+ВС=АС.	(1)
□	Докажем основное тождество. Пусть сначала точки А,
В и С различны. Тогда, чтобы доказать равенство (1), нужно
рассмотреть шесть случаев взаимного расположения точек
А, В и С на оси1} (рис. 3). Случай I очевиден. Рассмотрим,
например, случай II. Имеем АВ-СВ=АС. Но СВ=ВС. Следо¬
вательно, АВ+ВС=АС, т.е. получено равенство (1). Остальные
случаи доказываются аналогично.
Пусть теперь некоторые из точек Ау В и С совпадают, на¬
пример точка В совпадает с точкой А. Тогда
АВ+ВС=АА+АС=0+АС=АС,
т.е. снова получено равенство (1).
Итак, установлено, что равенство (1) действительно спра¬
ведливо при любом расположении точек Ау В и С на оси. ■
2.1.2.	Координаты на прямой. Числовая прямая
Рассмотрим какую-нибудь прямую. Выберем на ней на¬
правление (тогда она станет осью) и некоторую точку О
(начало координат). Прямая с выбранным направлением и
началом координат называется координатной прямой (при
этом считаем, что единица масштаба выбрана).
Пусть М — произвольная точка на координатной прямой
(рис. 4). Поставим в соответствие точке М вещественное
I
II
III
IV-
V
VI-
А
В
С
А
С
В
В
А
с
В
С
А
С
А
В
С
В
А
	•	►
ЛВ+ВС=АС
м
Рис. 3	Рис.
1} Так как из трех точек можно составить Ръ = 3! = 1 • 2 • 3 = 6 перестано¬
вок.

2.1. Метод координат
37
число х, равное величине ОМ отрезка ОМ : х = ОМ. Число х
называется координатой точки М. Из определения величины
отрезка следует, что если направление отрезка ОМ совпадает
с направлением оси, то точка М расположена правее точки О
и координата х положительна, если не совпадает — то точка М
расположена левее точки О и координата х отрицательна,
если же точка М совпадает с точкой О, то координата х равна
нулю.
Тот факт, что точкаМ имеет координату х, символически
записывают в виде М(х).
Таким образом, каждой точке координатной прямой соот¬
ветствует определенное вещественное число — ее координата.
Справедливо и обратное: каждому вещественному числу х
соответствует некоторая точка на координатной прямой, а
именно такая точка М, координата которой равна х. Такое
соответствие называется взаимно однозначным.
Итак, вещественные числа можно изображать точками
координатной прямой, т.е. координатная прямая служит изо¬
бражением множества всех вещественных чисел. Поэтому
множество всех вещественных чисел называют числовой пря¬
мойа любое число — точкой этой прямой. Около точки на
числовой прямой часто указывают число — ее координату.
Изображение вещественных чисел в виде точек числовой
прямой делает геометрически наглядным представление о
числах и их свойствах. Числовым промежуткам геометрически
соответствуют промежутки на числовой прямой. Например,
отрезок [а, Ъ] изображается на числовой прямой отрезком
MtM2 в виде точек М(х), расположенных между двумя точ¬
ками М, и М2 (рис. 5), одна из которых изображает число а
(имеет координату а), другая — число b (имеет координату Ь),
т.е. для любого хе [а, b] выполняются неравенства а<х<Ь.
Рассмотрим еще один пример. Свойство непрерывности
вещественных чисел 13° имеет простой геометрический смысл.
Действительно, если взять числовую прямую, то на ней каж¬
дая точка х <=Х расположена левее каждой точки yeY. Поэто¬
му множество X расположено целиком левее множества Y.
Согласно свойству непрерывности, между множествами X
и Y есть точка с, «отделяющая одно множество от другого»
(рис. 6). При этом точка с может принадлежать как мно¬
жеству X, так и множеству Y, а также не принадлежать ни
0 Надо заметить, что координатных прямых много, а числовая прямая
одна — множество вещественных чисел. Иногда числовую прямую назы¬
вают числовой осью.

38
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
мх М О М2
а х	Ъ	х	Y
Рис. 5	Рис.	6
одному из них. Таким образом, числовая прямая является
как бы сплошной линией без «дырок». В каком бы месте мы
ни «разрезали» прямую на две части, разрез пройдет через
одну из точек прямой.
Пусть а — произвольная точка числовой прямой и 8]) —
положительное число. Интервал {а -8, а + 8) называется
8-окрестностью точки а (рис. 7).
На числовой прямой ограниченное множество X представ¬
ляет собой множество точек, гранями которого являются кон¬
цы промежутков, содержащих все точки этого множества.
О	Пример 1. Построить на числовой прямой точки, координаты
которых удовлетворяют следующим уравнениям: 1)|х| = 2;2)|х-1|=3;
3)	|2*-3| = 2*-3;4) |1-*| = 2; 5) |2+*| = 2.
Решение. 1) Уравнение |х| = 2 равносильно двум уравнениям: х-2
и х- - 2. Следовательно, имеем две точки М1(-2)иМ2(2), координаты
которых удовлетворяют данному уравнению (рис. 8).
2)	Уравнение \х-1\=3 равносильно двум уравнениям: х-1=Зих-1=-3,
откуда находим х--2 и х=4 и соответствующие точки М3( -2) и М4(4)
(см. рис. 8), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
3)	Так как \х\=х при х>0, то данное равенство справедливо для
3
тех х, при которых 2х-3 > 0, откуда получаем х> —. Следовательно,
точки, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, рас-
3
случаях решения аналогичны. (Постройте остальные точки самостоя¬
тельно.)
Пример 2. Охарактеризовать расположение на числовой прямой
множеств точек, координаты которых удовлетворяют следующим
неравенствам: 1) х>2; 2) х-3<0; 3) 2х-3<0; 4) 1 <х<3; 5) х2-9<0;
6) х2-5*+6<0; 7) 12-*<0; 8) 3*-5>0; 9) -2<*<3; 10) *2-8*+15<0;
Л
, О , Мг , М,
положены справа от точки М5 — , включая точку М5. В остальных
1 щ	1 щщ 2 1	»	4	►
Рис. 8
М3	М5
} 8 — греческая буква «дельта».

2.1. Метод координат
39
слева от точки М3 — , включая точку М3.
11) дг2-8дг+15>0; 12) дг2-25<0; 13) 16-дг2<0. К каждому случаю сде¬
лать рисунок.
Решение. 1) Точки расположены справа от точки Мх (2).
2)	Прибавляя к каждой части неравенства дг-3<0 число 3, получим
х< 3. Следовательно, точки расположены слева от точки М2(3), включая
точку М2.
3)	Прибавляя к каждой части неравенства 2х-3<0 число 3 и деля
почленно на 2, получим х< — . Следовательно, точки расположены
1
4)	Точки расположены внутри промежутка, ограниченного точками
М4(1)иМ5(3), включая точку М5.
5)	Данное неравенство равносильно неравенству х1 < 9. Так как
77 = 14 то \х\<3 или ~3<х<3 (см. теорему 1.2). Следовательно,
точки расположены внутри промежутка, ограниченного точками Мб(- 3)
иМ7(3).
6)	Найдем корни трехчлена, стоящего в левой части данного нера¬
венства xt = 2 и х2=3, и представим его в виде
(х-2)(х-3)<0.
Произведение двух множителей отрицательно, когда эти множители
имеют разные знаки. Следовательно, возможны два случая:
.	(х-2<0,	fx-2>0,
либо	либо	Первая система несовместна (не имеет
[х-3>0,	[х-3<0.
решения), решение второй 2 <х<3. Следовательно, точки расположены
внутри промежутка, ограниченного точками М8 (2) и М9 (3). В остальных
случаях решения аналогичны. (Выполните их самостоятельно.)
Пример 3. Охарактеризовать расположение на числовой прямой мно¬
жеств точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравен¬
ствам: 1) \х\< 1; 2) \х\>2; 3) \х\<2; 4) |*-2|<3; 5) \х-1|>2; 6) |^-5х+6|>
>х2~5х+6; 7) |х|<д:+1.
Решение. 1) Данное неравенство равносильно неравенствам — 1 <лс< 1
(см. теорему 1.2). Следовательно, точки расположены внутри проме¬
жутка, ограниченного точками Мх (-1) и М2 (2).
2)	Если |jr| >а (а > 0), то либо х> а либо х< - а (докажите самостоя¬
тельно). В данном случае х> 2 илих< - 2. Таким образом, точки распо¬
ложены вне промежутка, ограниченного точками М3 (- 2) и М4(2).
3)	Данное неравенство равносильно неравенствам ~2<х<2. Итак,
точки расположены внутри промежутка, ограниченного точками М5 (- 2)
и Мб (2), включая точки М5 и Мб.
4)	Данное неравенство равносильно неравенствам ~3<х~2<3.
Прибавляя к каждой части этих неравенств число 2, получаем -1 <х<5.

40
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Следовательно, точки расположены внутри промежутка, ограниченного
точками М7(-1) и М8 (5).
5)	Если |х-1|>2, то либо х-1 >2, либо х-1 <-2. Решая каждое из
этих неравенств, получаем либох>3, либо х< -1. Следовательно, точки
расположены вне промежутка, ограниченного точками М9 (-1) и Af10 (3),
включая точки М9 и М10.
6)	Так как |х|>хтолько прих< 0 (см. свойство 3° абсолютной вели¬
чины числа), то данное неравенство справедливо для тех х, при кото¬
рых х2-5х+6<0. Как следует из примера 2, случай 6), решение этого
неравенства 2 <х< 3.
7)	При х>0 данное неравенство равносильно неравенству х<х+1,
которое удовлетворяется при всех значениях х При х< 0 неравенство
1
равносильно неравенству -х <х+1. Решая его, получаем х > Таким
образом, точки расположены справа от точки Мп . •
В заключение докажем две важные теоремы.
Теорема 2.1. Каковы бы ни были две точки Мх(хх) и М2(х2),
всегда справедливо равенство
MtM2 = x2-xy	(2)
□	Доказательство. Рассмотрим три точки О, Mv М2 (рис. 9).
Согласно основному тождеству (1),
откуда
ом,+м,м2=ом2,
м1м2=ом2-ом1.
Но OMi=xv ОМ2=х2. Следовательно,МхМ2=х2-ху ш
Теорема имеет простой смысл: чтобы найти величину
М,М2 отрезка М1М2, надо от координаты его конца отнять
координату начала.
Теорема 2.2. Если М{(х,) и М2(х2) — любые две точки и
d — расстояние между ними, то
d= |x2-xj.	(3)
□	Доказательство. По теореме 2.1
MxM2=x2-xv
Но расстояние между точками Mt и М2 равно длине от¬
резка М1М2, т.е. модулю величины этого отрезка. Следова¬
тельно,
d=\MtM2\= |x2-xj. ■

2.1. Метод координат
41
У к
в
У
М, о м2
о
X
Рис. 9
Рис. 10
Замечание. Так как числа х2-х, и xf -х2 берутся по модулю,
то можно писать d=\xx-x^.
Принимая во внимание замечание, теорему 2.2 можно
сформулировать так: чтобы найти расстояние между точками
ЛГ, и М2, надо от координаты одной из них отнять координату
другой и полученную разность взять по модулю.
О Пример 4. Даны точки А (5), В(-1), C(-8),D(2). Найти величины
отрезков АВ, CD и DB.
Решение. На основании теоремы 2.1 имеем
АВ=-1-5=-6, CD=2-(-8)=10, ДВ=-1-2=-3.
Пример 5. Даны точки А (3) и В(-2). Найти расстояние d между
ними.
Решение. На основании теоремы 2.2 имеем
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие
общее начало 0 и одинаковую единицу масштаба (рис. 10),
образуют прямоугольную (или декартову) систему координат
на плоскости.
Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу — осью ординат.
Точка 0 пересечения осей называется началом координат,
Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется
координатной плоскостью и обозначается Оху.
Пусть М— произвольная точка плоскости. Опустим из нее
перпендикуляры МА и MB соответственно на оси Ох и Оу.
Прямоугольными координатами х и у точки М будем называть
соответственно величины О А и ОВ направленных отрезков
О А и ОВ: х = О А, у = ОВ.
Координаты х и у точки М называются соответственно ее
абсциссой и ординатой.
d=|-2-3|=|-5|=5. •
2.1.3.	Прямоугольная (или декартова)
система координат на плоскости

42
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Тот факт, что точка М имеет координаты х и г/, символи¬
чески обозначают так: М(х; у). При этом первой в скобках
указывают абсциссу, а второй — ординату. Начало координат
имеет координаты (0; 0).
Таким образом, при выбранной системе координат каж¬
дой точке М плоскости соответствует пара чисел (х; у) — ее
прямоугольные координаты и, обратно, каждой паре чисел
(х; у)Х) соответствует, и притом одна, точка М на плоскости
Оху такая, что ее абсцисса равна х, а ордината — у.
Итак, прямоугольная система координат на плоскости
устанавливает взаимно однозначное соответствие между
множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел,
которое дает возможность при решении геометрических задач
применять алгебраические методы.
Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их
называют четвертями, квадрантами или координатными
углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как
показано на рис. 11.
На рис. 11 указаны также знаки координат точек в зависи¬
мости от их расположения в той или иной четверти.
2.1.4.	Простейшие задачи аналитической геометрии
на плоскости
Рассмотрим, некоторые простейшие задачи на применение
прямоугольных координат на плоскости.
I.	Расстояние между двумя точками. Теорема 2.3. Для
любых двух точек М{ (xt; у{) и М2 (х2; у2) плоскости расстояние d
между ними выражается формулой
d = J(x2-xl)2 +(y2-ylf.	(4)
□	Доказательство. Опустим из точек Мх и М2 перпенди¬
куляры МХВ и М2А соответственно на оси Оу и Ох и обозначим
через К точку пересечения прямых МХВ и М2А (рис. 12). Точка К
имеет координаты (х2; ух). По теореме 2.2
\М1К\ = \х2-х1\; \М2К\ = \у2-у\
Так как треугольник М{М2К прямоугольный, то по теореме
Пифагора
1} Речь идет об упорядоченной паре чисел (упорядоченном множестве),
т.е. о наборе из двух чисел, в котором указано, какое число является пер¬
вым, а какое — вторым. Еслихфу, то пары (.х; у) и (у; х) различны, так как
в первой из них первым числом является х, а во второй — у.

2.1. Метод координат
43
d = \M1M2\ =	+	\М2К\2 = yj(x2 -x,f+ (г/2 -у,)2. Ш
О Пример 6. Найти расстояние d между точками Мх (-2; 3) и
М2(5;4).
Решение. По формуле (4) имеем
d = >/[5-(-2)]2 +(4-3)2 =л/50=5>/2. •
II.	Площадь треугольника. Теорема 2.4. Для любых трех
точек Л (xt; z/t), Б(х2; у2) и С(х3; г/3), лежащих на одной пря¬
мой, площадь S треугольника ABC выражается формулой
5 = 2 It*2 - ^	_	_	- *i )(г/2 “ У1 )]|-	(5)
□	Доказательство. Площадь треугольника А8С, изо¬
браженного на рис. 13, можно найти так:
^ABC ~ ^ADEC + ^BCEF ~ ^ABFD’	(6)
где SADEC, SBCEF, SABFD — площади соответствующих трапеций.
Поскольку
С	_\DF\\AD\ + \CE\_(x3-xiXy3+yi)
0ADEC -\иЩ	2	“	2	’
с _\рр\\Щ + \ВР\_(.х2-хзХУ2+Уз)
0BCEF -|£Г|	2	“	2	’
5 I пр| 1Л£>1+IДР1 (^2 - *1 )(У1 + У2 )
ABFD	2	2	*
подставив выражения для этих площадей в равенство (6),
получим формулу

44
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Рис. 13
Рис. 14
S--
[(*1 -*2XУ\ + У2)+ (*2 -*3)(У2 +Уз) +
+(х3-х1)(у3+у1)],
из которой после несложных преобразований следует фор¬
мула (5). Для любого другого расположения треугольника
АВ С формула (5) доказывается аналогично. ■
О Пример 7. Даны точки Л (1; 1 ),В(6; 4) и С(8; 2). Найти площадь S
треугольника ЛВС.
Решение. По формуле (5)
S = -
2
[(6—1)(2 — 1) — (8 —1)(4 — 1)]
_ 1
[-16]
"2
Итак, 5=8. •
III.	Деление отрезка в данном отношении. Пусть на
плоскости дан произвольный отрезок М,М2 и пусть М— любая
точка этого отрезка, отличная от точки М2 (рис. 14).
Число X, определяемое равенством
|MtM|
\мм2\
называется отношением, в котором точка М делит отрезок
М,М2.
Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в
том, чтобы по данному отношению X и данным координатам
точек М( и М2 найти координаты точки М.
Решить эту задачу позволяет следующая теорема.
Теорема 2.5. Если точка М(х\ у) делит отрезок М1М2 в
отношении X, то координаты этой точки определяются фор¬
мулами

2.1. Метод координат
45
*i+ta2	у i +ty2	т
\+х	\+х	'	к	J
где (х(; уу) — координаты точки Mv (хТ у2) — координаты
точки М2.
П Доказательство. Пусть прямая МХМ2 не перпендику¬
лярна оси Ох. Опустим перпендикуляры из точек Мх, М, М2
на ось Ох и обозначим точки их пересечения с осью Ох соот¬
ветственно через Pv Р и Р2 (рис. 14). На основании теоремы
элементарной геометрии о пропорциональности отрезков пря¬
мых, заключенных между параллельными прямыми, имеем
\Р1Р\_\М1М\_^
\РР2\ \мм2\
Но по теореме 2.2
\РХР\ = \х-хх\у \РР2\ = |х2-х|.
Так как числа (х-х^) и (х2-х) имеют один и тот же знак (при
xi	<х2 они положительны, а при х1 >х2 отрицательны), то
ЯГ-ЯЙ Х-Хл	Х-Хл	Л	Хл	+Ъс0	„
\	Поэтому	L = Ху откуда х = —	Если
\х2 -х\ х2 -х	х2-х	1	+ ^
прямая МХМ2 перпендикулярна оси Ох, то хх =х2 =х и эта фор¬
мула также, очевидно, верна. Найдена первая из формул (7).
Вторая формула находится аналогично. ■
Следствие. Если Мх(х^ ух) и М2(х2\ у2) — две произвольные
точки и точка М(х\ у) — середина отрезка МХМ2, т.е. \ МХМ\ =
= \ММ2\, то Х= 1 и по формулам (7) получаем
x=xi + x1	j/l+j/2
2	2
Таким образом, каждая координата середины отрезка
равна полусумме соответствующих координат.
О Пример 8. Даны точки М1 (1; 1) и М2 (7; 4). Найти точку М(х; у),
которая в два раза ближе к Mv чем к М2.	^
Решение. Искомая точка М делит отрезок МХМ2 в отношении X = —.
Применяя формулы (7), находим координаты этой точки: х = 3, у = 2. •
2.1.5.	Полярные координаты
Рассмотрим теперь полярную систему координат. Эта
система состоит из некоторой точки О, называемой полюсом,
и исходящего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью.

46
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин
отрезков.
Пусть задана полярная система координат и пусть М —
произвольная точка плоскости. Обозначим через р расстояние
точки Мот точки О, а через ср — угол, на который нужно повер¬
нуть против часовой стрелки полярную ось для совмещения
с лучом ОМ (рис. 15).
Полярными координатами точки М называются числа р и ср.
Число р считают первой координатой и называют полярным
радиусом, число ср — второй координатой и называют поляр¬
ным углом.
Точка М с полярными координатами р и ср обозначается
так: М(р; ср).
Обычно считают, что полярные координаты р и ср изме¬
няются в следующих пределах: 0<р< + оо, 0<ср<2л;. Однако
в ряде случаев приходится рассматривать углы, большие 2л;,
а также отрицательные углы, т.е. углы, отсчитываемые от
полярной оси по часовой стрелке.
Установим связь между полярными координатами точ¬
ки и ее прямоугольными координатами. При этом будем
предполагать, что начало прямоугольной системы координат
находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпа¬
дает с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные
координаты х и у и полярные координаты риср (рис. 16).
Очевидно,
Формулы (8) выражают прямоугольные координаты через
полярные, а выражение полярных координат через прямо¬
угольные следует из этих формул:
х = pcoscp, у = psincp.
(8)
(9)
-►
Е
О
О
х
х
Рис. 15
Рис. 16

22. Множества точек на плоскости и их уравнения
47
Формула tgcp -у/хопределяет два значения полярного угла ф,
так как ср изменяется от 0 до 2п. Из этих двух значений угла ср
выбирают то, при котором удовлетворяются равенства (8).
О Пример 9. Даны прямоугольные координаты точки (2; 2). Найти
ее полярные координаты, считая, что полюс совмещен с началом прямо¬
угольной системы координат, а полярная ось совпадает с положительной
полуосью абсцисс.
Решение. По формулам (9) имеем р = 2<j2y tg ср = 1. Согласно вто¬
рому из этих равенств, ср = л/4 или ср = 5к/4. Но так как х = 2 > 0 и
у = 2 > 0, то следует взять (р = я/4. •
Вопросы для самопроверки
1.	Что называется направленным отрезком и его величиной?
2.	Что называется основным тождеством? Докажите его.
3.	Что называется осью и координатной прямой?
4.	Почему множество всех вещественных чисел называют числовой
прямой?
5.	Раскройте геометрический смысл свойства непрерывности ве¬
щественных чисел.
6.	Чему равны величина направленного отрезка и расстояние между
двумя точками на числовой прямой?
7.	Что такое прямоугольная система координат?
8.	Покажите, как с помощью прямоугольной системы координат
устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством
всех точек плоскости и множеством упорядоченных пар чисел (х; у).
9.	Приведите простейшие задачи аналитической геометрии,
которые решаются методом координат.
10.	Что такое полярная система координат?
11.	Раскройте связь между прямоугольной и полярной систе¬
мами координат.
2.2.	Множества точек на плоскости
и их уравнения
2.2.1.	Определение уравнения линии
Рассмотрим соотношение вида
F(x,y) = 0,	(1)
связывающее переменные величины х и у. Равенство вида (1)
будем называть уравнением с двумя переменными х, у, если это

48
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
равенство справедливо не для всех пар чисел х и у. Примеры
уравнений: 2x+3z/=0, x2+z/2-25=0, sinx+sin^-l = 0.
Если (1) справедливо для всех пар чисел х и у, то оно назы¬
вается тождеством. Примеры тождеств: (х+у)2-х2-2ху-у2 = О,
(х+у)(х-у)-х2+у2 = 0.
Уравнение (1) будем называть уравнением множества то¬
чек (х; у), если этому уравнению удовлетворяют координаты
х и у любой точки множества и не удовлетворяют координаты
никакой точки, не принадлежащие этому множеству.
Важным понятием аналитической геометрии являет¬
ся понятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы
прямоугольная система координат и некоторая линия L
(рис. 17).
Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии L
(в заданной системе координат), если этому уравнению удовле¬
творяют координаты хиу любой точки, лежащей на линии L,
и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей
на этой линии.
Из определения следует, что линия L представляет собой
множество всех тех точек плоскости (х; у), координаты ко¬
торых удовлетворяют уравнению (1).
Если (1) является уравнением линии L, то будем говорить,
что уравнение (1) определяет (задает) линию L.
Линия L может определяться не только уравнением вида (1),
но и уравнением вида
F(p, ф) = 0,
содержащим полярные координаты.
Рассмотрим несколько простейших примеров определения
линий уравнениями.
О 1) х-у = 0. Записав это уравнение в виде у=х, заключаем, что
множество точек, координаты которых удовлетворяют данному урав¬
нению, представляет собой биссектрисы I и III координатных углов.
Это линия, определенная уравнением х-у=0 (рис. 18).
2)	х2 - у2=0. Представив уравнение в виде (х-у)(х+у)=0, заключаем,
что множество точек, координаты которых удовлетворяют данному
уравнению, — это две прямые, содержащие биссектрисы четырех ко¬
ординатных углов (рис. 19).
3)	х2+у2=0. Множество точек, координаты которых удовлетворя¬
ют этому уравнению, состоит из одной точки (0; 0). В данном случае
уравнение определяет вырожденную линию.
4)д^+г/2	+ 1= 0.Так как при любых хну числа х2 и у2 неотрицатель¬
ны, то х2+у2 +1>0. Значит, нет ни одной точки, координаты которой

22. Множества точек на плоскости и их уравнения
49
удовлетворяют данному уравнению, т.е. никакого геометрического
образа на плоскости данное уравнение не определяет. Оно определяет
«пустое» множество точек.
5)	р = а cos ф, где а — положительное число, переменные р и ср — по¬
лярные координаты. Обозначим через М точку с полярными координа¬
тами (р; ф), через А — точку с полярными координатами (а; 0) (рис. 20).
Если р=a cos ф, где 0 < ф <л/2, то угол ОМА прямой, и обратно. Следова¬
тельно, множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют
данному уравнению, есть окружность с диаметром О А (рис. 20).

50
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
6)	р=яср, где а — положительное число, р и ср — полярные координа¬
ты. Обозначим через Мточку с полярными координатами (р; ср). Если
ср = 0, то р = 0. Таким образом, при увеличении угла ср точка М(р; ср),
начавшая свое движение в полюсе, движется вокруг него, одновременно
удаляясь от полюса. Множество точек, полярные координаты кото¬
рых удовлетворяют уравнению р=яср, называется спиралью Архимеда
(рис. 21). При этом предполагается, что ср может принимать любые
неотрицательные значения.
Если точка М совершает один полный оборот вокруг полюса, то ср
возрастает на 2л, а р — на 2шс, т.е. спираль рассекает любую прямую,
проходящую через полюс, на равные отрезки (не считая отрезка, содер¬
жащего полюс), которые имеют длину 2шс. •
В рассмотренных примерах по заданному уравнению ли¬
нии были исследованы ее свойства и тем самым установлено,
что представляет собой эта линия.
Рассмотрим теперь обратную задачу: для заданного (ка-
кими-то его свойствами) множества точек, т.е. для заданной
линии I, найти ее уравнение.
О Пример 1. Вывести уравнение (в заданной прямоугольной системе
координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки С (а; Р)
на расстоянии R. Иными словами, вывести уравнение окружности
радиуса R с центром в точке С (а; р) (рис. 22).
Решение. Расстояние от произвольной точки М(х; у) до точки С
вычисляется по формуле \МС\ = yj(x- а)2 + (у- Р)2. Если точка М ле¬
жит на окружности, то \МС\ = R или МС2 = R2, т.е. координаты точки М
удовлетворяют уравнению
(x-a)2+(z/-p)2 = R2,	(2)
Если же точка М(т, у) не лежит на данной окружности, то МС2 * R2,
т.е. координаты точки Мне удовлетворяют уравнению (2). Таким обра¬
зом, искомое уравнение окружности имеет вид (2). Полагая в (2) а = О,
Р = 0, получим уравнение окружности радиуса R с центром в начале
координат:
х2+у2 = R2. •
2.2.2.	Примеры на нахождение множеств точек
Рассмотрим еще несколько примеров на нахождение мно¬
жеств точек по уравнениям и неравенствам, связывающим их
координаты.
О	Пример 2. Найти множество точек (х; у), координаты которых
удовлетворяют уравнению |х| + \у\ = 1.

22. Множества точек на плоскости и их уравнения
51
Решение 1. Так как \-т \ = \т[ то вместе с точкой (а; Ь) искомому
множеству принадлежат также точки (-а; Ь), (-а;-Ь), (а;-Ь). Это
означает, что Ох и Оу — оси симметрии искомого множества. Поэтому
найдем его часть, лежащую в I четверти, а остальное получим, симмет¬
рично отразив эту часть относительно осей координат.
В I четверти х>0 и у>0, поэтому |х|=х, \у\=у и данное уравнение
принимает вид х+у= 1. Нарисовав часть этой прямой, лежащую в
I	четверти, и отразив ее симметрично относительно осей Ох и Оу, по¬
лучим искомое множество — квадрат, изображенный на рис. 23.
Решение 2. Рассмотрим уравнение |х| +1у\ = 1 в координатных чет¬
вертях.
1)	В I четвертих>0иг/>0, поэтому \х\=х и |у |=у и уравнение прини¬
мает вид х+у= 1. Множество точек, координаты которых удовлетворяют
этому уравнению, есть прямая. Следовательно, к искомому множеству
точек I четверти принадлежит участок АВ этой прямой (см. рис. 23).
2)	Во II четверти х<0, у>0, поэтому |х| = -х, \y\-y и уравнение
принимает вид -х+у= 1. Таким образом, искомому множеству точек в
пределах II четверти принадлежит участок ВС прямой -х+у= 1.
3)	В III четверти х<0, у<0, поэтому |х| = -х, \у\ = -у и уравнение
принимает вид -х-у= 1. Следовательно, искомому множеству точек
в III четверти принадлежит участок CD прямой-х-у= 1.
4)	В IV четвертих>0,у<0, поэтому |х|=х, \y\--y и уравнение принима¬
ет вид х-у= 1. Следовательно, искомым множеством точек в IV четверти
является участок DA прямой х-у= 1, замыкающий квадрат ABCD. •
При решении примеров следует обращать внимание на
симметрию искомого множества точек относительно коор¬
динатных осей.
О Пример 3. Найти множество точек (х; у), координаты которых
удовлетворяют уравнению | х | -1 у \ = 1.
Решение. Так как искомое множество точек симметрично относи¬
тельно координатных осей Оу и Ох, то можно использовать любое из
двух решений примера 2. Для краткости рассмотрим первое решение.
ВI четверти уравнение |х|-|г/| = 1 принимает вид х-у= 1. Следовательно,
к искомому множеству точек в I четверти принадлежит участок АВ пря-
Рис. 23
Рис. 24

52
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
мой х-у= 1; отразив его симметрич¬
но относительно координатных осей,
получаем все искомое множество то¬
чек, изображенное на рис. 24.
(Второе решение этого примера
выполните самостоятельно.)
Пример 4. Найти множест¬
во точек (х; у), координаты кото¬
рых удовлетворяют неравенству
(х-2 у) (2х-у+1) > 0.
Решение. Произведение двух со¬
множителей положительно тогда и
только тогда, когда у них одинако¬
вые знаки, т.е.
\х-у> 0,
\2х-у + \>§
Неравенство первой степени Ах+Ву + С> 0 задает полуплоскость,
ограниченную прямой Лх+Ву+С=0. Поэтому решение каждой из систем
(3) и (4) — пересечение соответствующих полуплоскостей; получаем
ответ: пара вертикальных углов на рис. 25.
Пример 5. Показать, что уравнение я2+2х-и/2=0 задает на плоскости
некоторую окружность. Найти ее центр и радиус.
Решение. Представим данное уравнение в виде
(х2+2х+1)+у2 = 1 или (х+1)2+у2 = 1.
Теперь ясно, что это уравнение окружности с центром в точке С(-1; 0)
и радиусом 1.
Пример 6. Установить, какое множество точек задает неравенство
х2+у2 < Ах+Ау.
Решение. Перепишем это неравенство в виде
х2-Ах+А+у2-Ау+А <8 или (х-2)2+{у-2)2 < 8.
Это неравенство показывает, что расстояние от каждой точки иско¬
мого множества до точки (2; 2) меньше или равно л/8. Очевидно, что
точки, удовлетворяющие этому условию, заполняют круг радиуса л/8
с центром в точке (2; 2). Так как в неравенстве допускается равенство,
то граница круга также принадлежит искомому множеству.
Пример 7. На плоскости даны точки АиВ. Найти множество точек М,
удаленных от А вдвое дальше, чем от В.
Решение. Выберем систему координат на плоскости так, чтобы
начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс
пошла от А к В. За единицу масштаба возьмем длину отрезка АВ. Тогда
точка Л имеет координаты (0; 0), точка В — координаты (1; 0). Коорди¬
[х-у < 0,
(3) ИЛИ	Ъх-у	+	КО.	(4)
Рис. 25

22. Множества точек на плоскости и их уравнения
53
наты точки Мобозначим через (.х; у). Условие \ЛМ\ = 2\ВМ\ запишем в
координатах так:
у]х2 +у2 =2yj(x-l)2+y2.
Здесь мы воспользовались формулой (4) на с. 42. Получено урав¬
нение искомого множества точек. Чтобы понять, какое множество
описывается этим уравнением, преобразуем его так, чтобы оно приняло
знакомый вид. Возводя обе части в квадрат, раскрывая скобки и приводя
подобные члены, получаем равносильное уравнение
Зх2-8дг+4+Зг/2=0.
Это равенство можно переписать в виде
28	16	2	4
X	Х+-— + У =-,
3	9	9
или в следующем виде:
-чг
Последнее уравнение является уравнением окружности с центром в
точке oj и радиусом Таким образом, искомое множество точек
является окружностью (или ее частью).
Для решения несущественно, что \АМ\ именно в два раза больше
\ВМ\, поэтому на самом деле решена общая задача. Именно доказано,
что множество точек М, отношение расстояний которых до данных
точек Ли В постоянно
\АМ\
\вм\
(k — заданное положительное число, не равное 1), является окружно¬
стью.
Мы исключили случай k = 1. В этом случае искомое множество —
прямая (точка М равноудалена от точек А и В). (Докажите это анали¬
тически.) •
Рассмотренные примеры показывают, как метод координат
позволяет применять алгебраические методы при решении
геометрических задач. Теперь рассмотрим пример, когда
алгебраическую задачу можно решить геометрически с по¬
мощью метода координат.
О Пример 8. Установить, при каких значениях параметра а сис-
тема	Г	9	9
\х +У =1,
\х+у=а
не имеет решений, имеет единственное решение, имеет бесчисленное
множество решений. Какие еще случаи возможны?

54
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
о^л-у1
Решение. Первое уравнение системы —
это уравнение окружности с центром в
начале координат и радиусом 1. Второе
уравнение является уравнением прямой,
отсекающей на осях отрезки, равные а.
Решить систему — значит найти точки,
координаты которых удовлетворяют как
первому, так и второму уравнению, т.е.
найти точки пересечения прямой х+у = а
и окружности. Из рис. 26 следует, что при
а>у/2 и при а < -V2 прямая не пересе¬
кает окружности, т.е. система не имеет решений; при а = ±>/2 получаем
касательные к окружности, т.е. система имеет единственное (двойное)
решение; при -у/2 <а<у/2 прямая пересекает окружность, т.е. система
имеет два решения. Других случаев не может быть. •
Вопросы для самопроверки
1.	Что называется уравнением с двумя переменными и тож¬
деством? Приведите примеры.
2.	Дайте определение уравнения линии и самой линии. При¬
ведите примеры.
3.	Выведите уравнение окружности с центром в данной точке.
2.3.	Прямые и их линейные уравнения
2.3.1.	Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная
оси Ох. Назовем углом наклона данной прямой к оси Ох
угол а, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы поло¬
жительное направление совпало с одним из направлений
прямой. Угол а может иметь различные значения, которые
отличаются друг от друга на величину ±пк, где п — нату¬
ральное число. Как правило, в качестве угла наклона берут
наименьшее неотрицательное значение угла а, на кото¬
рый нужно повернуть (против часовой стрелки) ось Ох,
чтобы ее положительное направление совпало с одним из
направлений прямой (рис. 27). В этом случае 0<а<л.
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называют угловым
коэффициентом этой прямой и обозначают буквой k:
£ = tga.	(1)

2.3. Прямые и их линейные уравнения
55
Из формулы (1), в частности,
следует, что если а = 0, т.е. прямая
параллельна оси Ох, то k=0. Если
а = п/2, т.е. прямая перпендику¬
лярна к оси Ох, то выражение k =
= tga теряет смысл. В таком случае
говорят, что угловой коэффициент
«обращается в бесконечность».
Выведем уравнение данной
прямой, если известны ее угло-
Рис. 27
вой коэффициент k и величина b
отрезка ОВХ), который она отсекает на оси Оу (см. рис. 27).
Обозначим через М произвольную точку плоскости с коор¬
динатами х и у. Если провести прямые BNи NM, параллельные
осям, то образуется прямоугольный треугольник BNM. Точка М
лежит на прямой тогда и только тогда, когда величины NM
и BN удовлетворяют условию
Но NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x. Отсюда, учитывая
формулу (1), получаем, что точка М(х; у) лежит на данной
прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовле¬
творяют уравнению
Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым
коэффициентом. Если k=0, то прямая параллельна оси Ох и
ее уравнение имеет вид у=Ь.
Итак, любая прямая, не перпендикулярная оси Ох, име¬
ет уравнение вида (2). Очевидно, верно и обратное: любое
уравнение вида (2) определяет прямую, которая имеет угло¬
вой коэффициент k и отсекает на оси Оу отрезок, величина
которого Ь.
О Пример 1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Оу
отрезок b = 3 и образующей с осью Ох угол а = ж/6.
Решение. Находим угловой коэффициент: k = tga = tg (тс/6) = l/V3
Подставляя kiibs уравнение (2), получаем искомое уравнение прямой:
Более точно, b является величиной направленного отрезка ОВ на оси
Оу. Однако для краткости будем говорить просто «величина отрезка ОВ».
х
которое после преобразования принимает вид
y = kx+b.
(2)

56
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Пример 2. Построить прямую, заданную
уравнением
О
х
Рис. 28
Решение. Отложим на оси Оу отрезок ОВ,
величина которого равна 2 (рис. 28); прове¬
дем через точку В параллельно оси Ох отре¬
зок, величина которого BN = 4, и через точку N параллельно оси Оу
отрезок, величина которого NM = 3. После этого проводим прямую
ВМ. Это и есть искомая прямая. Она имеет данный угловой ко-
3
эффициент k = — и отсекает на оси Оу отрезок величины b = 2. •
2.3.2.	Уравнение прямой, проходящей через данную
точку, с данным угловым коэффициентом
В ряде случаев возникает необходимость составить урав¬
нение прямой, зная одну ее точку Мх (хх\ у{) и угловой ко¬
эффициент k. Запишем уравнение прямой в виде (2), где
b пока неизвестное число. Так как прямая проходит через
точку Мх (хх \ ух), то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению (2): y^kx^ + b. Определяя Ъ из этого равенства
и подставляя в уравнение (2), получаем искомое уравнение
прямой:
Замечание. Если прямая проходит через точку Мх (х{; ух)
перпендикулярно оси Ох, т.е. ее угловой коэффициент обраща¬
ется в бесконечность, то уравнение прямой имеет вид х-х{=0.
Формально это уравнение можно получить из уравнения (3),
если разделить уравнение (3) на k и затем устремить k к бес¬
конечности.
О Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
7С
М(2; 1) и образующей с осью Ох угол а = —.
4
Решение. Находим угловой коэффициент: k = tga = tg — = 1. Под-
4
ставляя данные координаты и значение углового коэффициента k в
уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой:
у- \=х-2 или у~х+1 = 0.#
у-у=к{х-хх).
(3)

2.3. Прямые и их линейные уравнения
57
2.3.3.	Уравнение прямой,
проходящей через две данные точки
Пусть даны две точки Мх (хх\ у ) и М2 (х2; у2).
Приняв в (3) точку М(х\ у) за М2 (х2; у2), получим
у2-у^=к(х2-хх).
Определяя k из последнего равенства и подставляя его в
уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой:
у_у	У2
х2-х1
Это уравнение, если ух *у2, можно записать в виде
У - Цл Х-Хл
=	-■	(4)
У2-У1 х2~х1
Если yi=y2, то уравнение искомой прямой имеет вид у=уг
В этом случае прямая параллельна оси Ох. Если хх = х2, то
прямая, проходящая через точки М, и М2, параллельна оси Оу,
ее уравнение имеет вид х = ху
О	Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
Mt(3;l)uM2(5;4).
Решение. Подставляя данные координаты точек М{ и М2 в соотно¬
шение (4), получаем искомое уравнение прямой:
——- = ——-	или Зх-2у-7=0. •
2	3
2.3.4.	Общее уравнение прямой
Теорема 2.6. В прямоугольной системе координат Оху
любая прямая задается уравнением первой степени
Ах л-By Л- С—0,	(5)
и,	обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах:
А, В, С (А и В неравны нулю одновременно) определяет неко¬
торую прямую в прямоугольной системе координат Оху.
□	Доказательство. Сначала докажем первое утверждение.
Если прямая не перпендикулярна оси Ох, то, как было показано
ранее, она определяется уравнением первой степени: y = kx+b,
т.е. уравнением вида (5), где A=k, В=-\ и С=Ь. Если прямая
перпендикулярна оси Ох, то все ее точки имеют одинаковые
абсциссы, равные величине а отрезка, отсекаемого прямой на
оси Ох (рис. 29). Уравнение этой прямой имеет вид х=а, т.е.

58
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
также является уравнением первой степени вида (5), где А = 1,
В = 0, С=-а. Тем самым первое утверждение доказано.
Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5),
причем хотя бы один из коэффициентов А и В не равен
нулю.	А	с
Если Вф0, то (5) можно записать в виде у = —йх~~Б'
АС	В	В
Полагая k =	, b =	, получаем уравнение у = kx + b,
В В
т.е. уравнение вида (2), которое определяет прямую.
С
Если 5=0, то А ф0 и (5) принимает вид х =	. Обозначая
с	А
	через а, получаем х=а> т.е. уравнение прямой, перпен-
А
дикулярной оси Ох. ■
Линии, определяемые в прямоугольной системе координат
уравнением первой степени, называются линиями первого поряд¬
ка. Таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка
и,	обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.
Уравнение вида Ах+Ву+С=0 называется общим уравнени¬
ем прямой (или полным уравнением прямой). При различных
значениях Л, Б, С оно определяет всевозможные прямые.
О Пример 5. Дано общее уравнение прямой 12х-5г/-65 = 0. Напи¬
сать ее уравнение с угловым коэффициентом.
Решение. Разрешив уравнение прямой относительно у, получаем
уравнение с угловым коэффициентом:
12
=	Х-13.
5
Здесь k = ^-, Ъ = -13.
2.3.5.	Неполное уравнение первой степени.
Уравнение прямой «в отрезках»
Рассмотрим три частных случая, когда уравнение Ах+Ву+
+ С= 0 является неполным, т.е. какой-то из коэффициентов
равен нулю.
1)	С=0; уравнение имеет вид Ах+Ву=0 и определяет пря¬
мую, проходящую через начало координат.
2)	В=0 (А ^0); уравнение имеет вид Ах+С=0 и определяет
прямую, параллельную оси Оу. Как было показано в теореме 2.6,
С
это уравнение приводится к виду х=а, где а =	,	а	— величи-

2.3. Прямые и их линейные уравнения
59
у и
yi
i
ь{
0
Рис. 30
X
Рис. 29
на отрезка, который отсекает прямая на оси Ох (см. рис. 29).
В частности, если а=0, то прямая совпадает с осью Оу. Таким
образом, уравнение х= 0 определяет ось ординат.
3) А=0 (В*0); уравнение имеет вид Ву+С=0 и определяет
прямую, параллельную оси Ох. Этот факт устанавливается
аналогично предыдущему случаю. Если положить-— = 6,
В
то уравнение принимает вид у=Ь, где b — величина отрезка,
который отсекает прямая на оси Оу (рис. 30). В частности,
если Ь = 0, то прямая совпадает с осью Ох. Таким образом,
уравнение у=0 определяет ось абсцисс.
Пусть теперь дано уравнение Ах+Ву+С= 0 при условии,
что ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Пре¬
образуем его к виду
У_
С_
В
х
~с_
л
+-
- = 1.
с с
Вводя обозначения а =	^	=	~~вУ	полУчаем
х У л
a b
(6)
Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрез¬
ках». Числа аи b являются величинами отрезков, которые
прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения
удобна для геометрического построения прямой.
О Пример 6. Прямая задана уравнением Зх-5г/ + 15 = 0. Составить
для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую.
Решение. Для данной прямой уравнение «в отрезках» имеет вид
х У л
—+—= 1.
-5 3
Чтобы построить эту прямую, отложим на осях координат Ох и Оу от¬
резки, величины которых соответственно равны а=-5, Ь = 3, и проведем
прямую через точки Мх(-5; 0) и М2(0; 3) (рис. 31). •

60
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
X
Рис. 31
Рис. 32
2.3.6.	Угол между двумя прямыми
Рассмотрим две прямые 11 и Lr Пусть уравнение L имеет
вид y=k{x+bv тле kx=tgav а уравнение 12 — вид y = k2x+b2,
где &2=tga2 (рис. 32). Пусть ср — угол между прямыми Lx и
Ь2: 0<ф<7с.
Из геометрических соображений устанавливаем зависи¬
мость между углами ott, a2, ф: ос^оц+ср или q>=a2-av отсюда
Формула (7) определяет один из углов между прямыми.
Второй угол равен тт-ср.
О Пример 7, Две прямые заданы уравнениями г/=2х+3 и г/=-Зх+2.
Найти угол между этими прямыми.
Решение. Очевидно, kx=2, k2=-3, поэтому по формуле (7) находим
Таким образом, один из углов между данными прямыми равен тс/4,
другой угол к-к/4=Зк/А. •
2.3.7.	Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых
Если прямые Lx и 12 параллельны, то ср = 0 и tgcp = 0. В этом
случае числитель правой части формулы (7) равен нулю:
k2-k{ = 0} откуда
tg9 = tg(a2-a1) =
tga2 ~ tgai
l	+ tga1tga2’
ИЛИ
(7)

2.3. Прямые и их линейные уравнения
61
Таким образом, условием параллельности двух прямых яв¬
ляется равенство их угловых коэффициентов.
Если прямые L, и L перпендикулярны, т.е. ф=л/2, то из (7)
находим ctg(p = (i + kjil)/(k2-kl). В этом случае ctg7t/2 = 0 и
1+&2&,=0, откуда
£ 		L
Таким образом, условие перпендикулярности двух пря¬
мых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны
по величине и противоположны по знаку.
О Пример 8. Показать, что прямые 4дг— 6г/+7=0 и 20x-30i/-11 =0
параллельны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду уравнения с
угловым коэффициентом (2), получаем
2	7	„	2	И
у = 3х + 6	у=зх"зо-
Угловые коэффициенты этих прямых равны k1=k2 = 2/3. Отсюда
заключаем, что прямые параллельны.
Пример 9. Показать, что прямые Зх-5г/+7=0 и 10х+6г/-3=0 пер¬
пендикулярны.
Решение. После приведения уравнений к виду уравнения с угловым
коэффициентом (2) получаем
3	7	5	1
У=—х+— и у =
5	5	3	2
Здесь ^ = 3/5, k2 = -5/3. Так как &2 = - 1ДР то прямые перпендику¬
лярны. •
2.3.8.	Расстояние отточки до прямой
Теорема 2.7. Расстояние d от данной точки M(pcQ\ у0) Эо
прямой L, заданной уравнением Ах+Ву + С=0,на плоскости
определяется формулой
\Ах0+Ву0+С\
' (8)
Идея доказательства этой формулы состоит в следующем.
Рассмотрим на прямой L две произвольные точки EnFc ко¬
ординатами (xt; ?/t) и (х2; г/2). Вычислим длину отрезка EF и
площадь 5M£f треугольника MEF(формулы для нахождения
длины отрезка и площади треугольника известны). Тогда
расстояние от точки М до прямой L — это длина высоты h
треугольника MEF (рис. 33):

62
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
d — h:
2$MEF
|£F| ■
□	Доказательство. Запишем урав¬
нение прямой L через координаты (х(; ух)
и (х2; у2) точек Е и Fпо формуле (4):
г/-г/1 = x-xt
г/2" «/1 *2“*i'
откуда
(у-ух)(х2-хх)-(х-хх)(у2-ух) = Ъ.	(9)
Площадь 5МДГтреугольника MEFзапишем по формуле (5)
(см. с. 43):
2Smef= I [ (х2(хо ~Х\)(У2~УЖ
Кроме того,
\EF\ =	+(y2-ylf.
Тогда
j |[(*2 - *1 )(Уо - г/l) - (^o - *iХУ2 - У\)]|
4 	/	2	2	* (10>
^(x2-xi) НУ2-У1)
С помощью уравнения (9) выразим теперь коэффициенты
А, В, С уравнения Ах+Ву+ С= 0 прямой L через координаты
точек Е и F. Для этого перепишем уравнение (9) в виде
(У х -У2)Х+(Х2-Х^У+ Iх, (.У2~У\) - У\(х2~х,)]=1°>
откуда получаем, что А =угу2, В=х2-хх, С=х](г/2-у])-у](х2-х]).
Тогда
mef = 1^0 +Byo +С|; \EF\=	+	Л2
и формулу (10) можно переписать в виде
_ |Лх0 +Лг/0 +С|
’
что и требовалось доказать. ■
О Пример 10. Пусть прямая I задана уравнением Зх-4г/ + 10 = 0
и дана точка М (4; 3). Найти расстояние J от точки М до прямой L.
Решение. По формуле (8) имеем
|3 - 4 — 4 - 3 +10| Ю п
=5=Л
Таким образом, искомое расстояние равно 2. •

2.3. Прямые и их линейные уравнения
63
2.3.9.	Взаимное расположение двух прямых
на плоскости
Пусть прямые 11 и Ь2 заданы уравнениями
Г АаХ + Ва у + С а — О,
о.	С»
Рассмотрим эти уравнения как систему двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными х и у. Решая эту сис¬
тему, найдем
х _	~ ^2^1 А2С, - А]С2
А]Б2 - А2В1	_ ^2-®1
Пусть	Тогда найденные формулы дают ре¬
шение системы (11). Это значит, что прямые I, и 12 не парал¬
лельны и пересекаются в одной точке с координатами (х; у).
Пусть теперь А В2-А2В = 0. Возможны два случая:
1)	А2С,-А1С2 = 0 и Я СГ -Я С1 = 0; 2) А^-А^^О
(В^С2—В2С^ 0).
В первом случае имеем ^42=/?2=( или
^2 _ ^2 _ ^2
где (0.5*0 — некоторое число. Это означает, что коэффициенты
уравнений пропорциональны, откуда следует, что второе
уравнение получается из первого умножением на число ц.
В этом случае прямые I, и L2 совпадают, т.е. уравнения опре¬
деляют одну и ту же прямую. Очевидно, система (11) имеет
бесконечно много решений.
Во втором случае, если, например, А2СХ-AtC2*0, то, допус¬
тив, что система имеет решение (х0; у0), получим противоречие.
В самом деле, подставляя в уравнения вместо х и у значения х0
и у0, умножая первое уравнение на А2, второе — на А и вычи¬
тая из первого уравнения второе, получим А2СХ -АхЬг=0, что
противоречит предположению. Таким образом, система (11)
решения не имеет. В этом случае прямые L1 и L2 не имеют
точек пересечения, т.е. они параллельны.
Итак, две прямые на плоскости либо пересекаются в одной
точке, либо совпадают, либо параллельны.
Упражнение. Найти уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямых 2х-Ъу-1=0 и Зх-г/-2=0 пер¬
пендикулярно прямойу=х+\. (Отв. 7х+7у-6=0.)

64
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
2.3.10.	Примеры решения геометрических задач
методом координат
Рассмотрим геометрические задачи, которые удобно ре¬
шать с помощью метода координат и которые довольно слож¬
но решить чисто геометрическими методами.
О Пример 11. Найти множество точек плоскости, сумма квадратов
расстояний от которых до двух противоположных вершин данного
прямоугольника равна сумме квадратов расстояний до двух других
его вершин.
Решение. Введем на плоскости систему координат так, чтобы
ее начало было центром данного прямоугольника (рис. 34). Пусть
М(х, у) — произвольная точка искомого множества. Применяя формулу
расстояния между двумя точками (4) (см. с. 42), имеем
| МА |2+|МС|2 = (х+а)2+(у-Ь)2+(х-а)2+(у+Ь)2,
\MB\2+\MD\2 = (x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2.
Приравнивая правые части полученных равенств, получаем тожде¬
ство 0 = 0. Следовательно, искомое множество точек — вся плоскость.
Пример 12. Установить, какую линию описывает середина отрезка
между двумя пешеходами, идущими по двум взаимно перпендикуляр¬
ным дорогам с одинаковой скоростью.
Решение. Пусть первый пешеход движется вдоль оси Ох из точки
А (а; 0) со скоростью v, а второй — вдоль оси Оу из точки В (0; Ь) с той
же скоростью (рис. 35). Тогда в момент времени t первый пешеход
находится в точке (а + vt; 0), а второй — в точке (0; b + vt). Обозначим
через (х; у) координаты середины отрезка между пешеходами. В силу
следствия из теоремы 2.5 получаем
a + vt
х = -
2
b + vt
Исключим из этих равенств t
А(-а; Ъ)
ь
В(а; Ь)
0
W
X
D(-a; -
ъ)
С(а; -Ь)
Рис. 34

2.3. Прямые и их линейные уравнения
65
t = -
2 х-а
t =
2 y-b
откуда
2х-а _ 2у-
или у = х+-
Ь-а
V	V	2
Таким образом, искомая линия — прямая, параллельная биссектрисе
угла между направлениями движения пешеходов.
Замечание. Отметим, что если скорости пешеходов не равны, то,
аналогично, полученное уравнение искомой линии будет иметь вид
Vo	bv 1 -av 9
У = — *+	0	>
vx	2
т.е. это также прямая, но угол ее наклона к оси Ох уже другой (здесь
hv2 — скорости движения пешеходов).
Пример 13* Найти множество середин отрезков, концы которых
лежат на разных диагоналях квадрата.
Решение. Выберем систему координат, как показано на рис. 36, где
ABCD — данный квадрат. Пусть точки М(0; у) и N(x; 0) — произволь¬
ные точки соответственно на отрезках ОВ и ОС (половинах диагоналей
квадрата). Тогда
ГО <х<а,
[О <у<а,
отрезок MN лежит в I четверти и середины отрезков MN имеют коор¬
динаты (х/2; у/2), где
ГО < х/2 < й/2,
[0 <у/2 <а/2,
т.е. заполняют квадрат OEFPI Воспользовавшись симметрией данного
квадрата, получаем, что искомое множество — квадрат с вершинами в
середине его сторон. •
С помощью метода координат легко решаются и многие
задачи школьного курса математики. Приведем пример.
О Пример 14, Даны две окруж¬
ности, имеющие внешнее касание.
Установить, какое множество точек
образуют точки, из которых можно
провести к этим окружностям каса¬
тельные равной длины.
Геометрическое решение. Точки,
принадлежащие прямой, перпендику¬
лярной линии центров и проходящей
через общую точку этих окружностей,
обладают указанным свойством. Дей-

66
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Рис. 37
Рис. 38
ствительно, согласно свойству отрезков касательных, проведенных из
одной точки к окружности (рис. 37),
\МА\=\МС\ и \МС\ = \МВ\,
откуда |МЛ| = |МВ|.
Докажем, что точки, не принадлежащие этой прямой, не обладают
рассматриваемым свойством. Для этого возьмем произвольную точку N
плоскости, не лежащую на перпендикуляре к линии центров Ох 02, про¬
веденном через С — общую точку двух окружностей (рис. 38). Проведем
прямую NC. По теореме о произведении длины секущей на ее внешнюю
часть1} получаем
\NA\2 = \NC\\ND\ и \NB\2 = \NC\\NE\,
T.e.\NA\*\NB\.
Итак, искомое множество точек, из которых можно провести к этим
окружностям касательные равной длины, есть прямая, перпендикулярная
линии центров и проходящая через общую точку этих окружностей.
Возникает вопрос: каково множество точек, из которых можно про¬
вести к двум окружностям касательные равной длины (для произвольно
расположенных окружностей)?
Если взять две пересекающиеся в точках С и
D окружности (рис. 39), то легко показать, что
длины отрезков касательных, проведенных из
точки М прямой CD, равны (речь идет о тех
точках этой прямой, из которых можно провес¬
ти касательные). Действительно, по теореме о
произведении длины отрезка секущей на ее
внешнюю часть
\AM\2=\MD\\MC\ и \MB\2=\MD\\MC\.
Рис. 39	Следовательно,	| АМ\ = \ MB \.
1} Если из точки, лежащей вне окружности, проведены к ней касатель¬
ная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению длины
всей секущей на длину ее внешней части.

2.3. Прямые и их линейные уравнения
67
Теперь следует доказать, что вне прямой CD нет точек, обладающих
указанным свойством. Однако оказывается, что сделать это чисто гео¬
метрически трудно.
Если же рассматривать эту задачу для случая двух непересекающих-
ся окружностей, то оказывается, что при решении трудно опираться на
приведенные теоремы о свойствах касательной и приходится искать
новый метод решения. Кроме того, надо учесть, что теорема о квадрате
длины касательной не входит в обязательный школьный курс.
Таким образом, чисто геометрическое решение задачи довольно
сложно. Применим метод координат. Итак, решим следующую задачу.
Пример 15 (обобщение примера 14), Даны две окружности. Вы¬
яснить, какое множество точек образуют те точки, из которых можно
провести к этим окружностям касательные равной длины.
Решение. Если MNh МР — отрезки касательных к окружностям с
центрами Ох и 02 (рис. 40), то надо найти множество точек М таких,
что | MN\ = | МР|. Заметив, что
|МЛГ|2 = |МР|2; \MN\2 = \MOx\2-\OxN\2] \МР\2 = \М02\2-\02Р\2,
перепишем условие задачи так:
|М01|2-|01ЛГ|2=|М02|2-|02Р|2
или
а поскольку
|М01|2-|М02|2=|0Д|2-|02Р|2,
| Ох N\2-\02P\2=R2-r2 = С=const,
задачу можно сформулировать иначе.
Пример 16. Найти множество точек, для которых разность квадратов
расстояний до двух заданных точек Ot и 02 постоянна.
Решение с помощью метода координат. Направим ось абсцисс
по прямой 0Х02 и начало координат выберем в середине отрезка 0Х02
(рис-41)-	(	d	л	(d	л
Пусть \0102\ = d; тогда	—	координаты Ov а ; 0J — коор¬
динаты точки 02. Возьмем произвольную точку плоскости М(х; у).
По формуле расстояния между двумя точками (4) (см. с. 42) получим
Ук
ох 0
м
°2 Х
Рис. 40
Рис. 41

68	Г лава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
отсюда
\M0if-\M02f =[x+^j	-y2=2xd-
Так как | МОt \2 - \ М02 \2 = С, то для искомого множества точек получим
уравнение первой степени:
2 xd= С.
Q
Если то искомые точки принадлежат прямой х = —, парал-
2 а
лельной оси ординат, т.е. прямой, перпендикулярной прямой 0t02.
Обратно: взяв точки, принадлежащие прямой х = и выполнив
2 а
все преобразования в обратном порядке, получим, что для любой точки
этой прямой
|М01р-|М02р=С.
Итак, получен следующий результат. Множество точек, разность
квадратов расстояний которых до двух заданных точек постоянна, есть
прямая, перпендикулярная прямой, соединяющей заданные точки.
Теперь возможно легко ответить на вопрос примера 15 о множестве
точек, из которых можно провести к двум окружностям касательные рав¬
ной длины для любого случая взаимного расположения окружностей.
Решение. Используем результат примера 16, в котором доказано, что
искомое множество — прямая (возможно, без некоторого интервала).
Поэтому достаточно выяснить, где проходит эта прямая, например найти
две ее точки. Кроме того, воспользуемся тем фактом, что общие точки
двух окружностей удовлетворяют условию задачи — из них можно
провести касательные длины нуль. Рассмотрим все возможные случаи
взаимного расположения данных окружностей.
1)	Пусть данные окружности расположены одна вне другой (рис. 42).
Точки Ми N (середины их общих внешних касательных) удовле¬
творяют условию, поэтому прямая MN — искомая. (Как следствие
(см. пример 16) получаем, что прямая, проходящая через середины
общих внешних касательных к двум окружностям, перпендикулярна
их линии центров.)
2)	Пусть данные окружности касаются внешним образом (рис. 43).
Рассуждая аналогично, заметим, что середина М общей внешней ка¬
сательной и точка N касания окружностей удовлетворяют условию
(вместо точки N можно было взять середину второй общей внешней
касательной, которая на рис. 43 изображена штриховой линией), поэтому
прямая MN— искомое множество. (Одновременно мы получили, что
прямая, проходящая через середину общей внешней касательной двух

2.3. Прямые и их линейные уравнения
69
окружностей перпендикулярно их линии центров, проходит и через
их общую точку.)
3)	Если окружности пересекаются (рис. 44), то, так как точки Ми Л
удовлетворяют условию, искомой является прямая МА без интервала
АВ (из точек этого интервала нельзя провести касательные к окруж¬
ностям). Кроме того, тем самым доказано, что точки М, А и В лежат на
одной прямой, которая перпендикулярна линии центров.
4)	Пусть теперь окружности касаются внутренним образом
(см. рис. 45). Искомая прямая — общая касательная, так как она про¬
ходит через точку N, удовлетворяющую условию, и перпендикулярна
линии центров (см. рис. 45). Это легко показать и иначе: для любой
точки этой прямой | МА \ = \ MN\ = \ MB |, где А и В — точки касания.
5)	Теперь рассмотрим случай, когда одна окружность лежит внутри
другой и их центры Оt и 02 не совпадают (рис. 46).
Сведем этот случай к случаю 3). Для этого проведем окружность с
центром 03, не принадлежащим прямой 0Х02, которая пересекает обе
данные окружности. Рассмотрим прямые, на которых лежат общие
хорды окружностей с центрами Ох и Оъ, 02 и 03. Пусть М — точка пе¬
ресечения этих прямых. По доказанному в случае 3)
\MO,f -\M03f = R? -Rl \M02f -\M03f = Rl -Щ,
откуда
\M0,f-\M02f=I^-Rl
т.е. точка М принадлежит искомому множеству, поэтому все искомое
множество — прямая, проходящая через точку М перпендикулярно
прямой Ofi2.
6)	Если окружности являются концентрическими, то искомое мно¬
жество пусто. В самом деле, множество точек, из которых можно про¬
вести к первой окружности касательные данной длины, — окружность,
концентрическая данной; для второй окружности — также концентри¬
ческая ей окружность, но другого радиуса (рис. 47). Общих точек у
этих множеств нет.
Замечание. Прямая x=(R2- г2)/(2d) называется радикальной осью
двух данных окружностей. Из каждой ее точки, внешней по отно¬
шению к данным двум окружностям, можно провести к ним равные
касательные. •
Теперь можно без труда решить следующую задачу (чисто
геометрическое решение которой также довольно трудно).
О Пример 17. Даны три окружности, каждая из которых пересека¬
ет две другие. Доказать, что прямые, которым принадлежат их общие
хорды, пересекаются в одной точке.
Решение. Задача решается аналогично случаю 5) из примера 16
(рис. 48). Точка М пересечения общих хорд окружностей с центрами

70
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
М
( °:
М
1 N.
N
Рис. 42
Рис. 43
М
N
Рис. 47
Оt и 02, 02 и 03 обладает тем свойством, что разность квадратов рас¬
стояний от нее до точек 0^ и 02 (02 и 03) постоянна, а именно
|Л/0! |2 - |Л^0212 = i?!2 -	,
\M02\2-\M03\2 =R%-Rl
Сложив почленно эти равенства, получим
{MOtf-lMOsl2 =R?-Rl

2.3. Прямые и их линейные уравнения
71
т.е. точка М должна лежать на прямой, проходящей через точки пере¬
сечения окружностей с центрами Ох и 03, и принадлежать общей хорде
этих окружностей. Следовательно, точка М лежит на пересечении трех
прямых, которым принадлежат их общие хорды.
Пример 18. Найти множество точек, сумма квадратов расстояний от
которых до вершин А и В треугольника ЛВС равна квадрату расстояния
до третьей его вершины — точки С.
Решение. Введем систему координат, как показано на рис. 49; вер¬
шина Л имеет координаты (-1; 0), вершина В — координаты (1; 0). Пусть
вершина С имеет координаты (а; Ь) и М(х; у) — произвольная точка
искомого множества. Тогда условие задачи можно записать так:
\МА\2 + \МВ\2 = \МС\2.
Применив формулу расстояния между двумя точками, получим
[Сх+1У+у2] + [(х-1У+у2]=(х-а)2+(у-ЬУ.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, можно преобразовать
последнее уравнение так:
(*+a)2+(y+b)2=2(a2 + b2-l).	(12)
Теперь видно, что если a2 + b2- 1 >0, то искомое множество —
окружность с центром в точке D(-a,-b) и радиусом л/2я2 +2Ь2 -2; если
а2+b2 = 1, то искомое множество состоит из одной точки D (- а; - Ь)\ если
a2+b2 -1 < 0, то искомое множество пусто.
Заметим, что точка D симметрична вершине С относительно на¬
чала координат О (рис. 50). Отсюда вытекает, что центр D найденной
окружности — вершина параллелограмма ACBD, противоположная
вершине С.
Выясним теперь смысл условий, при которых получены разные от¬
веты на вопрос задачи. Известно, что a2+b2= 1 — уравнение окружности
единичного радиуса с центром в начале координат, неравенства a2+b2> 1
и a2+b2< 1 задают соответственно внешнюю область и внутренность
единичного круга, ограниченного этой окружностью.

72
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Рис. 50	Рис.	51
Отсюда вытекает, что искомое множество точек — окружность, точка
или пустое множество, в зависимости от того, лежит ли вершина С вне
единичного круга с центром в начале координат, на ограничивающей
его окружности (конечно, без точек Ли В) или внутри этого круга
соответственно.
Если вершина С лежит на указанной окружности, то угол А СВ=90°
как вписанный в нее угол, опирающийся на диаметр. Поэтому исследо¬
вание условий, при которых получаются разные ответы, заключается
в выяснении того, острый, прямой или тупой угол С в треугольнике
ЛВС (рис. 51).
Наконец, заметим, что
2 (a2+b2-1 ) = [(а-1 )2+b2] + [(а+1 )2+Ь2] -4
(чтобы в этом убедиться, надо раскрыть скобки в правой части послед¬
него равенства и привести подобные члены). Но
(a-l)2+b2 = \BC\2; (a+Xf+b2 = \AC\2) А = \АВ\2,
поэтому радиус окружности (12) равен yj\BC\2 +\ЛС\2 -|Аб|2.
Итак, если угол при вершине С острый, то искомое множество пред¬
ставляет собой окружность радиуса yj\BC\2 +|ЛС|2 -|АВ|2.с центром в
вершине D параллелограмма ACBD;
если угол при вершине С прямой, то искомое множество — вершина D
параллелограмма ACBD\
если угол при вершине С тупой, то искомое множество пусто.
Замечание. Попутно установлено, что если а,Ь,с — длины сторон
треугольника, то:
условие а2+Ь2 >с2 означает, что угол против стороны с острый;
условие а2+Ь2 = с2 означает, что угол против стороны с прямой;
условие а2+Ь2 < с2 означает, что угол против стороны с тупой. •

2.3. Прямые и их линейные уравнения
73
Последние задачи — частные случаи следующей общей
теоремы, которую также можно доказать с помощью метода
координат.
Теорема о квадратах расстояний. Если заданы точки Av
А2, ..., Ап на плоскости и числа Xv Xv..., Хп, ц, то множество
точек М, для которых выполняется условие
X, \МА§ +Х2 \MA2f+...+Xn\MAn\2 = [I,
является либо окружностью, либо прямой, либо одной точкой,
либо всей плоскостью, либо пустым множеством1).
Рассмотрим, как можно с помощью метода координат ре¬
шить следующую задачу, предлагавшуюся на вступительных
экзаменах в 1970 г. (МГУ, химфак).
О Пример 19. В треугольнике АВ С известно, что угол Л СВ = 60°, радиус
описанной окружности равен 2л/зГ На стороне АВ взята точка D так, что
\AD\ = 2\DB\, причем \CD\ = 2у/2. Найти площадь SABC
Решение. Пусть О — центр описанной окружности. Введем сис¬
тему координат с началом в точке Е (середина отрезка АВ), оси
координат направим, как показано на рис. 52. Вычислим длины
следующих отрезков:
\АВ\ = Rj3 = 6; \DE\ = -\АВ\ = 1; \ОЕ\ = - = 7з.
6	2
В выбранной системе координат точка С имеет координаты (х; у), ко¬
ординаты точек О и D соответственно равны (0,-у/З) и (1; 0).
Для вычисления площади треугольника ABC нужно найти его вы¬
соту, т.е. ординату точки С. Поскольку точка С принадлежит описанной
окружности, ее координаты удовлетворяют уравнению
х2 +(y-yjЗ)2 = (2л/3)2.
Для нахождения ординаты точки С составим систему уравнений:
Гг2 +(у-у/З)2 = 12,
1(х-1)2+г/2=8.
Решив эту систему, получаем г/ = л/2 (значение у = —>/2, таюке удов¬
летворяющее системе, не годится, так как в этом случае АСХВ = 120°,
что не соответствует условию задачи).
Итак, высота треугольника ABC равна л/2, следовательно,
5ЛБС =6>/2/2 = 3>/2.
1} См. § 2 кн.: Васильев Н. Б., Гутенмахер В. JI. Прямые и кривые. М.:
Наука, 1978.

74
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
У i
i
\с
( /
( / <
\ 1
\0
А
Л \
) \
/ 1
А\*
W
Dy
/в!
X
С,'
***.
/
Рис. 52	Рис. 53
Приведем теперь для сравнения геометрическое решение этой задачи
(рис. 53). Так же, как и в первом решении, найдем сначала, что \АВ\ = б; тогда
\AD\ = 4, \BD\ = 2 (Е— середина хорды АВ). По теореме о хордах, пересекаю¬
щихся внутри круга,
\AD\ \DB\ = |DC\ \KD\,
откуда
т.е. D — середина хорды КС. Отсюда сразу получаем, что
[OD]±[KC]'\	(13)
Пусть СМ— высота треугольника АВ С, тогда CDM = EOD (из (13) и
из того, что [ОЕ] 1 [АВ], следует, что рассматриваемые углы имеют соот¬
ветственно перпендикулярные стороны). Но легко найти угол EOD:
ВОВ =60°; |4=|
\BD\ 2 \ОВ\
поэтому OD — биссектриса угла ЕОВ, значит,
ЁбЪ = 30° = CDM,
откуда следует, что \СМ\ = (1/2)|CD| = V2 и задача решена. •
Приведенные примеры показывают, что использование
метода координат при решении геометрических задач ока¬
зывается очень полезным.
Его преимущества очевидны особенно в тех случаях, когда
решение задачи чисто геометрическими способами сложно или
требует применения мало известных теорем; координатный
метод позволяет получать решение задачи в общем виде, в то
время как геометрическое решение требует рассмотрения част¬
ных случаев отдельно (так, в примере 19 чисто геометрическое
решение при других числовых данных очень трудно).
0	Обозначение [OD] означает отрезок прямой с концами О и D.

2.4. Линии второго порядка
75
Вопросы для самопроверки
1.	Что такое тангенс угла наклона прямой к оси 0x1
2.	Выведите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3.	Выведите уравнение прямой, проходящей через две данные
точки.
4.	Что такое уравнение прямой «в отрезках»?
5.	Сформулируйте условия параллельности и перпендикуляр¬
ности двух прямых.
6.	Как определяется расстояние от точки до прямой?
7.	Докажите, что уравнение прямой всегда выражается уравне¬
нием первой степени и, обратно, всякое уравнение первой степени
есть уравнение прямой.
8.	В чем состоит геометрический смысл параметров k и b в урав¬
нении прямой с угловым коэффициентом?
9.	Исследуйте общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0 при А = 0,
приБ=0 и при С= 0.
10.	Как выражаются уравнения прямых, параллельных осям Ох
и Оу, а также уравнения самих осей координат?
11.	Как привести уравнение с угловым коэффициентом к общему
уравнению прямой?
12.	Как можно найти точку пересечения двух прямых?
2.4.	Линии второго порядка
Рассмотрим три вида линий: эллипс, гиперболу и парабо-
лу,— уравнения которых в прямоугольной системе координат
являются уравнениями второй степени. Такие линии назы¬
ваются линиями второго порядка.
2.4.1.	Эллипс
Определение. Эллипсом называется множество всех точек
плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных
точеку называемых фокусами, есть величина постоянная,
большая расстояния между фокусами.
Для вывода уравнения эллипса введем на плоскости пря¬
моугольную систему координат так, чтобы фокусы эллип¬
са лежали на оси абсцисс, а начало координат делило бы
расстояние между фокусами пополам. Выведем уравнение
эллипса в выбранной системе координат.

76
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Ft(-C, 0)
Рис. 54
Обозначим фокусы эллипса
через F{ и F2 (рис. 54). Пусть М—
произвольная точка эллипса.
Расстояние l-F^I между фоку¬
сами обозначим через 2с, сум¬
му расстояний от точки М до
фокусов — через 2а. Так как по
определению
\FAM\ + \F2M\>\FAF2\,
то 2а > 2с или а > с.
Обозначим далее через и г2 расстояние от точки М до
фокусов (r^l^Ml, r2=\F2M\). Числа и г2 называются фо¬
кальными радиусами точки М. Из определения следует, что
точка М(х; у) лежит на данном эллипсе в том и только в том
случае, когда
ri+r2=2°- (1)
Чтобы получить искомое уравнение эллипса, нужно в
равенстве (1) заменить переменные г, и г2 их выражениями
через координаты х и г/. Так как Ft и F2 расположены на оси Ох
симметрично относительно начала координат, то они имеют
соответственно координаты (-с; 0) и (с; 0); приняв это во
внимание и применяя формулу (4) (см. с. 42) находим
h = yl(x + c)2+y2, г2 = yj(x-c)2+y2.	(2)
Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем
yj(x + c)2 +у2 +у](х-с)2 + у2 = 2а.	(3)
Уравнение (3) и есть искомое уравнение эллипса. Однако
для практического использования оно неудобно, поэтому урав¬
нение эллипса приводят обычно к более простому виду. Для
этого перенесем второй корень уравнения (3) в правую часть
уравнения, а затем возведем обе части равенства в квадрат.
Получаем
(х + с)2 + у2 = 4 а2 -4 а^(х-с)2 +у2 +(х-с)2 +у2,
или
а^(х-с)2 +у2 = а2
-сх.
(4)
Снова возведем обе части равенства в квадрат:
а2х2 -2 а2сх+а2с2+а2у2 = а4-2а2сх+с2х2.

2.4. Линии второго порядка
77
Отсюда
Оа2-с2)х2+а2у2 = а2 (а2-с2).
Введем в рассмотрение новую величину
(5)
b = yja2 - с2,
(6)
геометрический смысл которой раскрыт далее. Так как по
условию а > с, то а2 - с2 > 0 и, следовательно, Ъ — число поло¬
жительное. Из равенства (6) имеем
поэтому уравнение (5) можно переписать в виде
b2x2+(fy2=a2b2.
Разделив обе части на а2Ь2, окончательно получим
Х‘1 У1 л	/-7Ч
—+тг = 1-	СО
a b
Так как уравнение (7) получено из уравнения (3), то коорди¬
наты любой точки эллипса, удовлетворяющие уравнению (3),
будут удовлетворять и уравнению (7). Однако при упрощении
уравнения (3) обе его части дважды были возведены в квадрат
и могли появиться «лишние» корни и уравнение (7) могло
оказаться неравносильным уравнению (3). Убедимся в том,
что если координаты точки удовлетворяют уравнению (7), то
они удовлетворяют и уравнению (3), т.е. уравнения (3) и (7)
равносильны. Для этого, очевидно, достаточно показать, что
величины г, и г2 для любой точки, координаты которой удов¬
летворяют уравнению (7), удовлетворяют соотношению (1).
Действительно, пусть координаты х и у некоторой точки
удовлетворяют уравнению (7). Тогда, подставляя в выраже-
( дЛ
ние (2) для гх значение у1 = b21 1 —j |, полученное из (7),
Ь2 = а2-с2,
после несложных преобразований найдем
С	С
Так как \х\ <а [это следует из (7)] и — <1, то а +—х> 0, и
а
а
с
поэтому гх=а +—х.
а
Аналогично найдем, что г2 = а-—х. Складывая почленно
а

78
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
эти равенства, получаем соотношение (1), что и требовалось
установить. Таким образом, любая точка, координаты кото¬
рой удовлетворяют уравнению (7), принадлежит эллипсу, и
наоборот, т.е. (7) — уравнение эллипса. Уравнение (7) назы¬
вается каноническим (или простейшим) уравнением эллипса.
Таким образом, эллипс — линия второго порядка.
Исследуем теперь форму эллипса по его каноническому
уравнению (7). Заметим, что уравнение (7) содержит члены
только с четными степенями координат х и у, поэтому эллипс
симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно
начала координат. В силу сказанного будет известна форма
всего эллипса, если установить вид той его части, которая ле¬
жит в I координатном угле. Для этого разрешим уравнение (7)
относительно у: у = ±-yla2-x2 и, учитывая, что в I четверти
а
у> 0, рассмотрим уравнение
у = -yla2-x2.	(8)
а
Из равенства (8) вытекают следующие утверждения:
1)	еслих=0, тоу=Ь. Следовательно, точка (0; b) лежит на
эллипсе. Обозначим ее через В;
2)	при возрастании х от 0 до а у уменьшается;
3)	если х=а, то у = 0. Следовательно, точка (а; 0)
лежит на эллипсе. Обозначим ее через А\
4)	при х> а получаем мнимые значения у. Следовательно,
точек эллипса, у которых х>а, не существует.
Итак, частью эллипса, расположенной в I координатном
угле, является дуга В А
Отражая эту дугу симметрично относительно обеих ко¬
ординатных осей, получаем весь
эллипс (рис. 55).
Замечание. Если а=Ь, то урав¬
нение (7) принимает вид х2+у2=а2.
Это уравнение окружности радиу¬
са а. Таким образом, окружность —
частный случай эллипса. Заме¬
тим, что эллипс можно получить
из окружности радиуса а, если
Рис. 55
Vi
i
в
(i'\
f\a ^
ч 0
	^—J X
а У
В гл. 5 будет введено понятие направления выпуклости графика функ¬
ция у=f(x) и показано, что дуга ВА направлена выпуклостью вверх.

2.4. Линии второго порядка
79
сжать ее в ^ раз вдоль оси Оу. При таком сжатии точка (х; у)
перейдет в точку (.х;ух), где ух = у—. Подставляя У = У\^ в
уравнение окружности, получаем уравнение эллипса:
X1 М? .
а2	Ъ2 "
Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр
симметрии (точка пересечения осей) — центром эллипса.
Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его
вершинами. Так как на основании равенства (6)а>Ь, то 2а —
длина большой оси симметрии эллипса, 2b — малой оси. Сле¬
довательно, числа а и b являются длинами соответственно
большой и малой полуосей эллипса.
Введем еще одну величину, характеризующую форму эл¬
липса.
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется
отношение —, где с — половина расстояния между фокуса-
а
ми, а — большая полуось эллипса.
Эксцентриситет обычно обозначают буквой е: е = —. Так
а
как с<а, то 0<e< 1, т.е. эксцентриситет эллипса меньше еди¬
ницы. Принимая во внимание, что с2 = о2 - Ь2, найдем
„2_с2 _<?-# _Л_(£2
2 ~ 2
а а	\а
откуда
а
Из последнего равенства легко получить геометрическое
истолкование эксцентриситета эллипса. При очень малом s
числа а и b почти равны, т.е. эллипс близок к окружности.
Если величина s близка к единице, то число b мало по срав¬
нению с числом а и эллипс сильно вытянут вдоль большей
оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует
меру вытянутости эллипса.
Как известно, планеты и некоторые кометы движутся по
эллиптическим орбитам. Оказывается, что эксцентриситеты
планетных орбит весьма малы, а кометных — велики, т.е.
близки к единице. Таким образом, планеты движутся почти
по окружности, а кометы то приближаются к Солнцу (Солнце
находится в одном из фокусов), то удаляются от него.

80
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
О Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, прохо¬
дящего через точки Мх (2; 3) и М2( 1; Зл/5/2).
Решение. Пусть искомое уравнение эллипса
2 2
	1
а2 Ъ2
Этому уравнению удовлетворяют координаты данных точек. Под¬
ставляя вместо х и у сначала координаты точки Mv а затем координаты
точки М2, получаем систему уравнений
4	9.1	45	.
Т + ТТ -1’’ т + ттт _ 1-
я2 2г гг 4£г
1	1
Обозначая —г = т\ -гт = п, приходим к системе
а	b
14т+9п = 1,
45 <
т+— = 1,
Ап
решая которую находим т = 1/16, п = 1/12, откуда я2 = 16, Ь2 = 12. Сле¬
довательно, уравнение эллипса имеет вид
2 2
Х У л Ш
		+ —= 1. •
16 12
Упражнение. Покажите, что уравнение Зх2 + 16у2 = 192
определяет эллипс. Найдите его полуоси, фокусы и экс¬
центриситет.
2 2
{Отв. —+^- = 1;в = 8; 6 = 2>/3; Е(2>/13; 0), Д(-2л/ТЗ; 0);
64 12
л/13 .
8=—^-)
2.4.2.	Гипербола
Определение. Гиперболой называется множество всех
точек плоскости, для которых модуль разности расстояний
от двух данных, точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
Для вывода уравнения гиперболы введем на плоскости
прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы ги¬
перболы лежали на оси абсцисс, а начало координат делило
бы расстояние между фокусами пополам. Выведем уравнение
гиперболы в выбранной системе координат.
Обозначим фокусы гиперболы через F1 и F2 (рис. 56).
Пусть точка М — произвольная точка гиперболы. Расстояние

2.4. Линии второго порядка
81
| FxF2 | между фокусами обозна¬
чим через 2с, а модуль разно¬
сти расстояний от точки М до
фокусов—через 2а. Так как по
определению 11 FtM\- \ F2M\ \ <
cl-Fj-Fj, то 2а<2с или а<с.
Числа \FrM\ и \ F2M\ называ¬
ются фокальными радиусами
точки Ми обозначаются через
гх и г2. Из определения следу¬
ет, что точка М(х, у) лежит на
данной гиперболе в том и только том случае, когда |гх -г2\=2а.
Отсюда
Ч-с, 0)
Рис. 56
гх-г2=±2а.
(9)
По аналогии с эллипсом, чтобы получить искомое уравне¬
ние гиперболы, нужно в равенстве (9) заменить переменные г,
и г2 их выражениями через координаты х и у. Так как фокусы
Ft и F2 расположены на оси Ох симметрично относительно
начала координат, то они имеют соответственно координаты
(-с; 0) и (с; 0). По формуле (4) (см. с. 42) находим
rx = tJ(x + c)2 +у2; r2 = <J(x-c)2 +у2.	(10)
Подставляя эти выражения в равенство (9), получаем
■\l(x + cf +у2 - \j(x-c)1 +у2 = ±2а.
(И)
Уравнение (11) является искомым уравнением гиперболы.
Упростим это уравнение аналогично тому, как было упрощено
уравнение (3) для эллипса. Перенесем второй корень в пра¬
вую часть уравнения, а затем возведем обе части в квадрат.
Получаем
{х + с)2 + у2 = Аа2 ±4ау](х- с)2 +у2 +(х- с)2 +у2,
или
г^{Х'
сх-а" = ±а*,}(х- с)2 +у2.
Снова возведем обе части уравнения в квадрат:
с2х2 - 2 а2сх+а4=а2х2 - 2 а2сх+а2с2+а2у2.
Отсюда
(с2 - а2) х2 - а2у2=а\с2 - а2).
(12)
(13)

82
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Введем в рассмотрение новую величину
Ь = л]с2 -а2,
(14)
геометрический смысл которой будет раскрыт далее. Так как
с > а, то с2 - а2 >0 и b — число положительное. Из равенства
(14)	имеем
Это и есть каноническое уравнение гиперболы.
Как и для эллипса, можно доказать равносильность урав¬
нений (15) и (11). (Сделайте это самостоятельно.)
Исследуем формулу гиперболы по уравнению (15).
Так как уравнение (15) содержит члены только с четными
степенями текущих координат х и у, то по аналогии с эллипсом
достаточно рассмотреть лишь часть гиперболы, лежащую в
I	координатном угле. Разрешим уравнение (15) относительно у,
считая у >0. Получаем
Из равенства (16) вытекают следующие утверждения:
1)	если 0<х<а, то у имеет мнимые значения, т.е. точек
гиперболы с абсциссами 0<х<« нет;
2)	если х = а, то у = 0, т.е. точка (о; 0) принадлежит гипер¬
боле. Обозначим ее через А;
3)	если х >а, то у > 0. При возрастании х также возрастает
у и у ->+оо при х-»+оо. Переменная точка М(х; у) на гипер¬
боле перемещается с ростом х «вправо» и «вверх», причем ее
начальное положение — точка А (а; 0) (рис. 57). Здесь необхо¬
димо уточнить, как именно точка М «уходит в бесконечность».
Для этого кроме уравнения (16) рассмотрим уравнение
Ь2 = с2-а2.
Уравнение (13) принимает вид
Ь2х2-а2у2=а2Ь2
или
(15)
(16)
а
Ъ
У = -*>
(17)
а
которое, как уже известно, определяет прямую с угловым

2.4. Линии второго порядка
83
коэффициентом k = —} проходящую через начало координат.
а
Часть этой прямой, расположенная в I координатном угле,
изображена на рис. 57. Для ее построения можно использо¬
вать прямоугольный треугольник ОАВ с катетами | О А \ = а и
\АВ\=Ь.
Покажем, что точка М, перемещаясь по гиперболе в
бесконечность, неограниченно приближается к прямой (17),
которая является асимптотой гиперболых\
Возьмем произвольное значение х(х>а) и рассмотрим две
точкиМ(х\у) иN(pc; У), где у = —yjx2 -а2 и У = —х. ТочкаМ
а	а
лежит на гиперболе, точка Л^— на прямой (17). Поскольку
обе точки имеют одну и ту же абсциссу х, прямая, соединяю¬
щая точки MnN, перпендикулярна оси Ох (рис. 58). Найдем
длину отрезка MN.
Прежде всего заметим, что при х>а
Ъ b гу Ь i—2	2
У = —х = —yjx > —yjx -а = у.
а а а
Это означает, что при одной и той же абсциссе точка ги¬
перболы лежит под соответствующей точкой асимптоты.
Таким образом,
MN = У -у = -х- —yjx2 -а2 = —(х - у/х2 -а2) =
а а	а
b (х - у/х2 - а2 )(л: + л]х2 -а2) _ ab
а	х + у/х2 -а2	x + yjx2 -а2
1} В гл. 5, дано определение асимптоты графика функции у =f(x) и пока¬
зано, что прямая у = —х является асимптотой гиперболы, а также рассмот-
а
рен вопрос о направлении выпуклости гиперболы (см. с. 298—301).

84
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Из полученного выражения следует, что дробь прих->+оо
стремится к нулю, так как знаменатель растет, а числитель —
постоянная величина ab. Следовательно, \MN\=Y-y стремится
к нулю при х+оо.
Обозначим через Р основание перпендикуляра, опущенно¬
го из точки М на прямую (17); МР — расстояние от точки М
до этой прямой. Очевидно, | МР\ < \ MN\, а так как | MN| -» 0, то
и подавно |МР|-»0 прих-»+оо, т.е. точка Мнеограниченно
приближается к прямой (17). А это мы и хотели показать.
Аналогичное рассуждение можно провести для любого ко¬
ординатного угла.
Итак, ветвь рассматриваемой гиперболы, лежащая в I ко¬
ординатном угле, проходит через точку А (а; 0) и направлена
«направо» и «вверх», асимптотически приближаясь к прямой
у = —х (см. рис. 57).
а
Вид всей гиперболы теперь можно легко установить с по¬
мощью симметрии относительно координатных осей (рис. 59).
Гипербола состоит из двух ветвей (правой и левой) и имеет
Ъ	Ь
две асимптоты: у = — х и у = —х, первая из которых уже
а	а
рассмотрена, а вторая представляет собой ее симметричное
отражение относительно оси Ох (или оси Оу).
Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр сим¬
метрии (точка пересечения осей) — центром гиперболы. Одна
из осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые на¬
зываются ее вершинами (на рис. 59 они обозначены буквами А'
и А). Эта ось называется действительной осью гиперболы. Дру¬
гая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой
осью гиперболы. Прямоугольник ВВ'С'С со сторонами 2а и
2b (см. рис. 59) называется
основным прямоугольником
гиперболы. Величины а и b
называются соответственно
действительной и мнимой
полуосями гиперболы.
Уравнение
2 2
У__£_ = 1
1	2 2 ’
b а
переставляя буквы х и у, а и
Ь, можно привести к уравне-
рис. 59	нию	(15).	Отсюда ясно, что

2.4. Линии второго порядка
85
оно определяет гиперболу, расположенную так, как показано на
рис. 59 штриховыми линиями; вершины ее лежат на оси Оу. Эта
гипербола называется сопряженной по отношению к гиперболе
(15). Обе эти гиперболы имеют одни и те же асимптоты.
Гипербола с равными полуосями (а = b) называется ряв-
носторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид
х2-у2 = а2.
Так как основной прямоугольник равносторонней ги¬
перболы является квадратом, то асимптоты равносторонней
гиперболы перпендикулярны друг другу.
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется
отношение —, где с — половина расстояния между фокусами,
а
а — действительная полуось гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим
буквой в. Так как с > а, то в > 1, т.е. эксцентриситет гипербо¬
лы больше единицы. Принимая во внимание, что с2 = а2 + Ъ2,
найдем
откуда
а
Из последнего равенства легко получить геометрическое
истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше экс¬
центриситет, т.е. ближе он к единице, тем меньше отношение
—, а это означает,что основной прямоугольник более вытянут
а
в направлении действительной оси. Таким образом, эксцен¬
триситет гиперболы характеризует форму ее основного пря¬
моугольника, а значит, и форму самой гиперболы.
Для равносторонней гиперболы (а = Ь) получаем е = л/2.
О Пример 2. Дано уравнение гиперболы Зх2 - Ау2 = 12. Найти ее
действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентри¬
ситет; составить уравнение ее асимптот.
Решение. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду
—-^ = 1, „ли £^ = 1,
12	12	4	3
откуда находим, что действительная полуось а = 2, а мнимая полуось

86
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
b = >/3. Так как асимптоты гиперболы имеют уравнения у = ±—х, фо-
а
Q
кусы — координаты (-с; 0) и (с, 0), эксцентриситет е=—, а
				а
с = Vа2 +Ь2 = >/7, то для данной гиперболы получаем координаты фоку-
сов (-V7; 0) и (л/7; 0); эксцентриситет 8 = — и уравнение асимптот
у = ±^х. •
2
Упражнение. Составьте уравнение гиперболы, если извест¬
но, что расстояние между ее вершинами равно 16 и фокусы ее
( х‘‘ ър1 ^
находятся в точках (—10; 0) и (10; 0). Отв.	— = 1.
^	64 36 у1
В следующем пункте рассмотрим важное свойство эллипса
и гиперболы.
2.4.3.	Директрисы эллипса и гиперболы
Определение 1. Две прямые, перпендикулярные большой
оси эллипса и расположенные симметрично относительно
центра на расстоянии — от него, называются директриса-
8
ми эллипса (здесь а — большая полуось, s — эксцентриситет
эллипса).
Уравнение директрис эллипса, заданного каноническим
уравнением (7), имеет вид
X :
а	а
—	и х = —.
8	8
а
Так как для эллипса s < 1, то —> а. Отсюда следует, что
s
правая директриса располо¬
жена правее правой вершины
эллипса, а левая — левее его
левой вершины (рис. 60).
Определение 2. Две пря¬
мые, перпендикулярные дей¬
ствительной оси гиперболы и
расположенные симметрично
относительно центра на рас-
Рис. 60
стоянии — отчего, называют-
8

2.4. Линии второго порядка
87
ся директрисами гиперболы
(здесь а — действитель¬
ная, полуось, в — эксцен¬
триситет гиперболы).
Уравнение директрис
гиперболы, заданной ка¬
ноническим уравнением
(15), имеет вид
-►
X
а
а
X =	И х = —
Рис. 61
8
8
Так как для гиперболы s > 1, то — < а. Отсюда следует,
8
что правая директриса расположена между центром и пра¬
вой вершиной гиперболы, а левая — между центром и левой
вершиной (рис. 61).
С помощью понятий директрисы и эксцентриситета можно
сформулировать общее свойство, присущее эллипсу и гипер¬
боле. Имеют место следующие две теоремы.
Теорема 2.8. Если г — расстояние от произвольной точки М
эллипса до какого-нибудь фокусау d — расстояние от той же
точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то
отношение — есть постоянная величина, равная эксцентри-
d
ситету эллипса.
□	Доказательство. Предположим для определенности,
что речь идет о правом фокусе F2 и правой директрисе. Пусть
М(х\ у) — произвольная точка эллипса (см. рис. 60). Рас¬
стояние от точки М до правой директрисы определяется ра¬
венством
которое легко устанавливается из рисунка. Из равенства (2)
и (4) имеем
Полагая с/а = s, получаем формулу расстояния от точки М
до правого фокуса
г
л а
а - — х,
(18)
8
а
г = а-&х.
Из соотношений (18) и (19) имеем
(19)

88
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
г _ а - гх _ (а - гх)г
= г. Ш
da	а-гх
— х
а-гх
г
Теорема 2.9. Если г — расстояние от произвольной точки М
гиперболы до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той
же точки до соответствующей этому фокусу директрисы,
то отношение — есть величина постоянная, равная эксцен-
d
триситету гиперболы.
□	Доказательство. Предположим для определенности,
что речь идет о правом фокусе F2 и правой директрисе. Пусть
М(х, у) — произвольная точка гиперболы (см. рис. 61). Рас¬
смотрим два случая.
1)	Точка М находится на правой ветви гиперболы. Тогда
расстояние от точки М до правой директрисы определяется
равенством
которое легко устанавливается из рисунка. Из равенств (10)
и (12) имеем
Полагая с/а = в, получаем формулу расстояния от точки М
до правого фокуса:
d х- а/г	гх-а
2)	Точка М находится на левой ветви гиперболы. Тогда
расстояние от точки М до правой директрисы определяется
равенством
г
У
8
(20)
а
г = ex — а.
Из отношений (20) и (21) имеем
г _ гх-а _ (гх-а)г
(21)
s
Из равенств (10)и(12) имеем
(22)
г = rx= yj(x + c)2+y2

2.4. Линии второго порядка
89
Полагая с/а = в, получаем формулу расстояния от точки М
до правого фокуса:
г = -(вх - а).	(23)
Из соотношений (22) и (23) имеем
г _ -(гх-а) _ (-вх + а)г
d~
-х +
я (-вх + а)
- = в.
Установленное свойство эллипса и гиперболы можно по¬
ложить в основу общего определения этих линий: множество
точек, для которых отношение расстояний до фокуса идо со¬
ответствующей директрисы является величиной постоянной,
равной в, есть эллипс, если в < 1, и гипербола, если в > 1.
Возникает вопрос, что представляет собой множество
точек, определенное аналогичным образом при условии в = 1.
Оказывается, это новая линия второго порядка, называемая
параболой.
2.4.4.	Парабола
Определение. Параболой называется множество всех
точек плоскости, каждая из которых находится на одина¬
ковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и
от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей
через фокус.
Для вывода уравнения параболы введем на плоскости
прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс
проходила через фокус перпендикулярно директрисе, и бу¬
дем считать положительным направлением направление от
директрисы к фокусу; начало координат расположим посе¬
редине между фокусом и директрисой. Выведем уравнение
параболы в выбранной системе координат.
Пусть М(х; у) — произвольная
точка параболы. Обозначим через
г расстояние от точки М до фокуса
F(r = \FM\), через d — расстояние от
точки М до директрисы, а через р —
расстояние от фокуса до директрисы
(рис. 62). Величину/? называют пара¬
метром параболы, его геометрический
смысл раскрыт далее. ТочкаМ будет
лежать на данной параболе в том и
только том случае, когда

90
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
r = d.	(24)
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве (24)
заменить переменные г и йш. выражениями через координаты
х и у. Фокус F имеет координаты (р/2; 0); поэтому по формуле
(4) (см. с. 42) находим
Г/	(25)
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущен¬
ного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет
координаты (-.р/2; У)\ отсюда и получаем
d = \MQ\ = j^x+^ +(у-у)2 =x+y	(26)
Заменяя в равенстве (24) ги d их выражениями (25) и (26),
найдем
|*-§) =*+|- <27>
Это и есть искомое уравнение параболы. Приведем урав¬
нение параболы к более удобному виду; для этого возведем
обе части равенства (27) в квадрат. Получаем
2 2
2 Р 2	2	Р
х -рх+——I-у = х +рх+—,
4	4
или
у2=2рх.	(28)
Проверим, что уравнение (28) после возведения в квадрат
обеих частей равенства (27) не приобрело «лишних» корней.
Для этого достаточно показать, что для любой точки, коор¬
динаты х и у которой удовлетворяют уравнению (28), выпол¬
нено соотношение (24). Действительно, из уравнения (28)
вытекает, что х > 0, поэтому для точек с неотрицательными
абсциссами d = —+х. Подставляя значение у1 из (28) в выра-
2	уу
жение (25) для г и учитывая, чтох>0, получаем, что г = ^+х,
т.е. величины г и d равны, что и требовалось показать. Таким
образом, уравнению (28) удовлетворяют координаты точек
данной параболы и только они, т.е. уравнение (28) является
уравнением данной параболы.

2.4. Линии второго порядка
91
Уравнение (28) называется каноническим уравнением пара¬
болы. Это уравнение второй степени. Таким образом, парабола
есть линия второго порядка.
Исследуем теперь форму параболы по ее уравнению (28).
Так как уравнение (28) содержит у только в четной сте¬
пени, то парабола симметрична относительно оси Ох. Следо¬
вательно, достаточно рассмотреть только ее часть, лежащую
в верхней полуплоскости. Для этой части у > 0, поэтому, раз¬
решая уравнение (28) относительно у, получаем
у = ф.~рх.	(29)
Из равенства (29) вытекают следующие утверждения:
1)	если х<0, то уравнение (29) дает мнимые значения у.
Следовательно, левее оси Оу ни одной точки параболы нет;
2)	если х = 0, то у = 0. Таким образом, начало координат
лежит на параболе и является самой «левой» ее точкой;
3)	при возрастании х возрастает и у, причем если х—>+оо,
то и у—>+00.
Таким образом, переменная точка М(х; у), перемещаю¬
щаяся по параболе, исходит из начала координат с ростом х
и движется «вправо» и «вверх», причем при х—»+оо точка М
бесконечно удаляется как от оси Оу, так и от оси Ох.
Симметрично отражая рассмотренную часть параболы
относительно оси Ох, получаем всю параболу (рис. 63), за¬
данную уравнением (28).
Точка 0 называется вершиной параболы, ось симметрии
(ось Ох) — осью параболы. Число р, т.е. параметр параболы,
как известно, выражает расстояние от фокуса до директрисы.
Выясним, как влияет параметр параболы на ее форму. Для
этого возьмем какое-нибудь определенное значение абсциссы,
например х= 1, и найдем из уравнения (28) соответствующие
значения ординаты: у = ±<>j2p. Получаем на параболе две
точки Мх( 1; +yj2p) и Мх( 1; -yj2p), симметричные относи¬
тельно ее оси; расстояние между ними равно 2у[2~р. Отсюда
заключаем, что это расстояние тем .
больше, чем больше р. Следователь- у L	—
но, параметр р характеризует «шири¬
ну» области, ограниченной параболой. _
В этом и состоит геометрический смысл 0
параметра р.
Парабола, уравнение которой
у2 = - 2рх, р > 0, расположена слева от	рис.

92
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
О
-►
х
-►
X
а)
б)
Рис. 64
оси ординат (рис. 64, а). Вершина этой параболы совпадает с
началом координат, осью симметрии является ось Ох.
По аналогии с предыдущим можно утверждать, что урав¬
нение х2 = 2ру,р > 0, является уравнением параболы, вершина
которой совпадает с началом координат, а осью симметрии
является ось Оу (рис. 64, б). Эта парабола лежит выше оси абс¬
цисс. Уравнение х2 = - 2ру, р> 0, определяет параболу, лежа¬
щую ниже оси Ох, с вершиной в начале координат (рис. 64, в).
Уравнение параболы, изображенной на рис. 65, имеет вид
а параболы, изображенной на рис. 66, следующий вид:
О Пример 3. Дано уравнение параболы г/2 = бх Составить уравнение
ее директрисы и найти координаты ее фокуса.
Решение. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением
параболы (29), заключаем, что 2р = 6, откуда р = 3. Так как фокус парабо-
х2 = 2р(у-а), р> 0, а < О,
у2 = 2р(х -Ь), р > О, Ь> 0.
У
-►
х
а
Рис. 65
Рис. 66

2.4. Линии второго порядка
93
данной параболы получаем координаты ; 0J и уравнение дирек-
3 *
трисы х = -—. 9
Упражнение. Напишите уравнение параболы с вершиной в
начале координат и уравнение директрисы, если известно,
что осью симметрии является ось Ох и что точка пересече¬
ния прямых у=х и х+у=2 лежит на параболе. {Отв. у2=х\
*=-1/4.)
В заключение рассмотрим еще несколько примеров на
нахождение множества точек по уравнениям, связывающим
их координаты.
О	Пример 4. Даны точки Л (-1; 0) и В (2; 0). Точка М(г, у) движется
так, что в треугольнике АМВ угол АВМ остается вдвое больше угла
МАВ. Определить траекторию точки М (рис. 67).
Решение. Выразим tgB и tg А через координаты точек А, В и М:
У У
х + 1
2-х	х-(-1)
Составим уравнение движения точки. По условию В = 2А, следова¬
тельно, уравнение имеет вид tgB = tg2^4, или
tgS=^_.
Подставив в уравнение найденные выражения для tgBntgA
у =	2у/(х	+	1)
2-х	1-у2/(1	+	х)2’
после упрощения получаем искомое уравнение
х2-^ = 1
3	’
т.е. траектория движения точки — гипербола.
Пример 5. Дана окружность и точка А внутри нее. Найти множество
центров окружностей, касающихся данной окружности и проходящих
через точку А.
Решение. Пусть М — произвольная
точка искомого множества, тогда ок¬
ружность радиуса МА касается данной
окружности. Пусть О — центр данной ок¬
ружности, R — длина ее радиуса, В — точка
касания (рис. 68). Тогда\ОВ\ = R = \ОМ\ +
+ \МВ\ = \ОМ\ +1МА |. Итак, для точки М
\MO\ + \MA\ = R,

94
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Рис. 68	Рис.	69	Рис. 70
т.е. сумма расстояний от нее до двух данных точек Он А постоянна.
Значит, точка М лежит на эллипсе с фокусами в точках Он А (см. оп¬
ределение эллипса).
Покажем, что все точки указанного эллипса принадлежат искомому
множеству. Пусть N— произвольная точка этого эллипса, т.е. | NO\+\NA\ = R.
Заметим, что точка N лежит внутри данного круга, так как \ON\ < |ON| +
+ \NA | = R. Пусть луч ON пересекает данную окружность в точке С
(рис. 69). Так как \ON\+\NC\ = Rk\ON\+\NA\ = R, то\NC\ = \NA\. Поэтому
окружность с центром в точке N и радиусом NA проходит через точку
С и касается в ней данной окружности.
Пример 6. Доказать, что если оси двух парабол взаимно перпен¬
дикулярны и параболы пересекаются в четырех точках, то эти точки
пересечения лежат на одной окружности.
Решение. Примем оси данных парабол за оси координат Ох и Оу
(рис. 70). Тогда уравнения парабол имеют вид
у2 = 2р(х-а)	(30)
и
х2 = 2 q(y-b).	(31)
Сложив почленно уравнения (30) и (31), получим
х2 +у2 = 2рх - 2ра+2 qy - 2 qb,
откуда
(x-p)2+(y-q)2 =p2+q2-2pa-2qb.	(32)
По условию параболы пересекаются в четырех точках, значит, коор¬
динаты этих точек удовлетворяют и уравнению (30), и уравнению (31),
поэтому и уравнению (32).
Но уравнение (32) задает в зависимости от знака правой его части
или окружность (если правая часть больше нуля), или точку (если
правая часть равна нулю), или пустое множество. Так как координаты
точек удовлетворяют уравнению (32), то оно задает окружность, на
которой они лежат. •

2.5. Основные формулы и факты аналитической геометрии на плоскости 95
Вопросы для самопроверки
1.	Дайте определение эллипса и выведите его каноническое
уравнение.
2.	Исследуйте форму эллипса по его каноническому урав¬
нению.
3.	Что такое эксцентриситет эллипса и каков его геометри¬
ческий смысл?
4.	Дайте определение гиперболы и выведите его каноническое
уравнение.
5.Исследуйте	форму гиперболы по ее каноническому уравне¬
нию.
6.	Что такое эксцентриситет гиперболы и каков его геометри¬
ческий смысл?
7.	Каким важным свойством обладают эллипс и гипербола?
8.	Дайте определение параболы и выведите ее каноническое
уравнение.
9.	Исследуйте форму параболы по ее каноническому уравне¬
нию.
10.	Чему равен эксцентриситет параболы?
11.	В чем состоит геометрический смысл параметра р в уравне¬
нии параболы?
12.	Почему эллипс, гипербола и парабола называются линиями
второго порядка?
12.	Как найти точку пересечения параболы с прямой, с окруж¬
ностью, с эллипсом и с другой параболой?
13.	Какая связь между эллипсом и окружностью?
2.5.	Основные формулы и факты
аналитической геометрии на плоскости
1.	Если Мх (xt) и М2 (х2) — две точки числовой прямой, то
формула
М{М2=х2-х{
выражает величину отрезка МХМ2, а формула
d=\MxM2\ = \x2-x\
—	расстояние между точками.
2.	Как только на плоскости выбрана система координат
Оху, каждой точке плоскости ставится в соответствие пара
чисел (х; у) — ее координаты. Соответствие между точками

96
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
плоскости и парами чисел взаимно однозначно: каждой точке
соответствует одна пара чисел и обратно.
3.	Расстояние между точками A(xv ух) и В(ху у2) находится
по формуле
\АВ\ = ^{x2-xif +{y2-yif.
4.	Площадь треугольника с вершинами в точках Л(х(; у^,
В(х2, у2) и С(ху уъ) находится по формуле
SABC =	~ х\\Уъ ~ У\)~ (х3 ~ х\ХУ2 ~ У1)]|-
5.	Если точка М (х; у) делит отрезок с концами М, (х,; у{)
\мм
и М, (х • у ) в отношении X = \—-—г, то
2	2 2	\ММ2\
хг+Хх2 У1+Ху2
1 + Х	1	+	Х
6.	Множество точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению
Ах+Ву+С= О,
где А, В и С — некоторые числа, причем Л и В не равны нулю
одновременно (т.е. А2+В2 ф 0), — прямая. Обратно, каждая
прямая L задается уравнением вида
Ах+Ву+С= 0.
При этом числа А, В и С определяются для данной пря¬
мой однозначно с точностью до пропорциональности: если
умножить все эти числа на одно и то же число ц (ц * 0), то
полученное уравнение
(цЛ)х+(цВ)г/+ цС= 0
определяет ту же прямую L.
7.	Уравнение прямой, проходящей через данную точку (xf; ух)
с данным угловым коэффициентом k, имеет вид
У~У\ = k(x—x^).
8.	Уравнение прямой, пересекающей ось Ох в точке (а; 0),
а ось Оу в точке (0; b), имеет вид
х У л
—+ 7- = 1
а о
—	уравнение прямой «в отрезках».
9.	Уравнение прямой, проходящей через точки (xt; уt)
и (х2; у2), таково:

2.5. Основные формулы и факты аналитической геометрии на плоскости 97
у-ух X-Xj
У2-У1
10.	Если прямая имеет угловой коэффициент к{, а пря¬
мая Ь2 — угловой коэффициент k2, то:
а)	k{ = k2 — условие параллельности прямых L{ и 12;
б)	kt-k2 = -1 — условие перпендикулярности прямых I, и 12.
11.	Расстояние d от точки М(х0; у0) до прямой L, заданной
уравнением Ах+Ву+ С= 0, вычисляется по формуле
_ |Ах0 + Бг/0 + С|
4	А2 +В2
12.	Прямая Лх+2?г/+ С=0 разбивает плоскость на две полу¬
плоскости: множество точек (х; г/), для которых Ах+Ву+С>0,
и множество точек (х; г/), для которых Лх+Бг/+ С<0.
13.	Множество точек (х; г/), координаты которых удовле¬
творяют уравнению
(х- a)2 + (y-b)2=R2,
где а и 6 — данные числа, R>0 — окружность с центром в
точке(а; й)радиуса R.
14.	Множество точек (х; г/), координаты которых удовле¬
творяют уравнению
где аиЬ — данные положительные числа, — эллипс с полу¬
осями а и b и центром в начале координат.
15.	Множество точек (х; у), координаты которых удовле¬
творяют уравнению
2 2
^_У_ = 1
2 /2
<2 О
щеаиЬ — данные положительные числа, — гипербола с дей¬
ствительной и мнимой полуосями а и b и центром симметрии
в начале координат.
16.	Множество точек (х; г/), координаты которых удовле¬
творяют уравнению
У2 = 2рх(х1 = 2ру),
где р — данное число, — парабола с вершиной в начале коор¬
динат и осью симметрии Ох (осью симметрии Оу).

98
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
2.6.	Контрольные задачи
2.1.	Постройте точки Л (2; 3), В (А; -1), С(-1; 7), D(-2; -3), Е( 0; 2),
F(4; 0).
2.2.	Не строя точку Л (1; —3), выясните, в какой четверти она
расположена.
2.3.	В каких четвертях может находиться точка, если ее абсцисса
положительна?
2.4.	На оси Ох взята точка с координатой (-5). Каковы ее коор¬
динаты на плоскости?
2.5.	Точки Л(3; 2) и В (а; -1) расположены на прямой, парал¬
лельной оси 0у. Найдите значение а.
2.6.	ТочкаМ является серединой отрезка О А, соединяющего на¬
чало координат 0 с точкой Л(-5; 2). Найдите координаты точки М.
2.7.	Даны точки Л(х^ ух) и В(х2; г/2). Покажите, что формула рас¬
стояния между точками А и В не зависит от знаков их координат.
2.8.	а) Какая точка дальше от оси Ох: А (2; -5) или В(3; 4)?
б) Какая из этих точек дальше от оси Оу? в) Чему равны расстояния
от точки А (а; Ь) до осей Ох и Оу соответственно?
2.9.	Постройте точки Л (4; 1),В(3; 5), С(-1; 4) и/)(0; 0). Если точ¬
ки построены правильно, то получен квадрат. Какова его площадь?
Чему равна длина стороны этого квадрата? Найдите координаты
середин сторон квадрата.
2.10.	Найти координаты центра тяжести однородной пластинки,
имеющей форму треугольника с вершинами А (2; 4), В (0; 1); С(4;-2)
(рис. 71).
2.11.	Точки Л (-2; 1), В (2; 3) и С(4; -1) — середины сторон тре¬
угольника. Найдите координаты его вершин.
2.12.	На плоскости даны точки А (0; 0), B(xt] у ) и D(x2;y2) (рис. 72).
Какие координаты должна иметь точка С, чтобы четырехугольник
ABCD был параллелограммом?
2.13.	Площадь треугольника равна 10 кв. ед., две его вершины —
точки Л (5; 1) и В (-2; 2). Найдите координаты третьей вершины,
если известно, что она лежит на оси абсцисс.
Рис. 71
Рис. 72

2.6. Контрольные задачи
99
2.14.	Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках
А(3; 1); 5(4; 6), С(6; 3) и D(5; -2).
2.15.	Даны полярные координаты точки: р= 10; ср = 30°. Найдите
ее прямоугольные декартовы координаты, если известно, что полюс
полярной системы находится в точке (2; 3), а полярная ось парал¬
лельна оси абсцисс.
2.16.	Найдите расстояние между точками, зная их полярные
координаты: pt = 3, <^=30°; р2=5, ср2= 120°.
2.17.	Найдите множество точек, координаты которых связа¬
ны следующими соотношениями: 1. а) у=|х|; б) х=\у\; в) |г/| = |х|.
2.	г7 = -пг 3.х+|х|=г/+|г/|. 4. (х-у)(х-2у)=0.5, (х-1)2+(г/+1)2=0
И \У\	Гх - г/ > 0,
6.	х+г/>0.7.х+г/>1.8, х-г/<1.9,	10.	(х-у)(х-2у) >0.
[х-2у>0.
2.18.	Составьте уравнения, которые описывают следующие
множества точек: а) прямую, параллельную оси абсцисс, проходя¬
щую через точку (1; 0); б) прямую, параллельную прямой у=х и
проходящую через точку (-3; 7); в) множество точек, находящихся
на расстоянии 2 от оси Оу.
2.19.	Придумайте соотношения между х и у, которые задают на
координатной плоскости: а) пару прямых у=Зх и у=х-3; б) пря¬
мую у=х и точку (-1; 2); в) всю часть плоскости выше прямой у=х
(включая эту прямую); г) часть плоскости между прямыми у=0 и
у= 1 (без этих прямых); д) внутренность квадрата с вершинами в
точках (0; 0), (0; 1), (1; 1); (1; 0).
2.20.	На плоскости даны три точки: А(3; -6), В (-200; 400),
С(1000; -2000). Докажите, что они лежат на одной прямой.
2.21.	Найдите, какие три из точек А (1; 3); В (-2; 1), C(-1;7),D(3; 1)
лежат на одной прямой.
2.22.	Примените формулу для расстояния между двумя точками
на координатной плоскости к доказательству следующей теоремы:
в параллелограмме сумма квадратов длин диагоналей равна сумме
квадратов длин всех сторон.
2.23.	Установите: а) лежит ли точка N(4,1; 1,9) на окружности с
центром С(1; -2) и радиусом 5 (попробуйте воспользоваться рис. 73);
б)	лежит ли точка К(0; 2л/б - 2) на этой же окружности; в) лежит ли
точка Л (160; -1) на окружности с центром (147; -6) и радиусом 13.
2.24.	Напишите уравнение окружности с центром С(-2; 3) и
радиусом, равным 5. Известно, что точка А (а; -1) лежит на этой
окружности. Найдите а.
2.25.	Напишите уравнение каждой из четырех прямых, изобра¬
женных на рис. 74.
2.26.	Напишите уравнение прямой, параллельной биссектрисе
I	координатного угла и проходящей через точку (0; -5).
2.27.	Напишите уравнение прямой, параллельной прямой
у=2х+1 и, кроме того: а) проходящей через точку (0; 2); б) прохо¬
дящей через точку (1; -1).

100
Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости
Рис. 73
Рис. 74
2.28.	Дана прямая 2х+г/-6=0 и на ней две точки Л и В с ордина¬
тами уА=6иув=-2. Напишите уравнение высоты AD треугольника
АОВ, найдите ее длину и площадь треугольника Л ОБ.
2.29.	Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (-1; 1)
так, чтобы середина ее отрезка между прямыми х+2у- 1 = 0 и
х+2г/-3=0 лежала на прямой х-у-1 = 0.
2.30.	Найдите уравнения биссектрис углов между прямыми
Зх+Ау-1=0 и 4х-Зг/+5=0.
2.31.	Найдите множество точек М, разность квадратов расстоя¬
ний которых до двух данных точек АиВ равна данной величине а.
При каких значениях а задача имеет решение?
2.32.	Найдите координаты точки, лежащей на окружности
х2+у2= 1 и одинаково удаленной от точек (1; 3) и (-2; 2).
2.33.	Найдите уравнение касательной к окружности х2+у2 = 5,
проходящей через точку (1; 2).
2.34.	Составьте уравнение общей хорды окружностей х2+ у2 = 2ах
их2+у2=2Ьу (аФ0, Ьф0).
2.35.	Составьте уравнения общих касательных к окружностям
х2 +у2=6х и х2+у2=6у.
2.36.	Составьте уравнение параболы, проходящей через точку
(6; 9), с вершиной в начале координат и осью симметрии Оу.
2.37.	Ординаты точек окружности х2+у2=36 уменьшены в два
раза. Найдите уравнение полученной кривой.
2.38.	Найдите полуоси эллипса 3x2+5z/2-30=0.
2.39.	Найдите уравнение эллипса, проходящего через точки (1; 4)
и (7; 2) и симметричного относительно осей Охи Оу.
2 2
X U
2.40.	Дан эллипс — + —= 1. Найдите уравнение гиперболы,
8	5
имеющей фокусы в вершинах данного эллипса, а вершины — в его
фокусах.
2.41.	Найдите уравнение диаметра окружности х2+г/2+4х-6г/-
-17 = 0, перпендикулярного прямой 5х+2г/-13=0.

2.6. Контрольные задачи
101
2.42.	Найдите наименьшее из расстояний от точки М0 до точек
окружности Г, если:
а)М0(6;-8);	Г: х2+у2=9;
б)	М0(-7; 2); Г: х2+г/2- 10х- 14г/-151 = 0.
2.43.	Определите, пересекает ли заданная прямая I данную
окружность Г, касается ее или проходит вне ее:
а)	L: 2х-г/-3 = 0; Г: х2+у2-3х+2у-3 = 0;
б)	L: х-2г/-1 = 0; Г: х2-\-у2-8х+2у +12 = 0;
в)1:	х-г/+10=0; Г: х2+у2-1=0.
2.44.	Постройте эллипс 9х2+25г/2 = 225. Найдите: а) полуоси;
б)	координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения дирек¬
трис.
2.45.	Определите, пересекает ли заданная прямая L данный
эллипс Г, касается его или проходит вне его:
а) L: 2х-у-3 = 0,
у!_
-р X у
Г: — + —
16	9
1;
6)1: 2х+г/-10 = 0,
в)L: Зх+2у-20=0,
2 2
г Х У л
Г: — + —= 1;
9	4
2	2
Г Х У А
Г: — + ^- = 1.
40	10
2.46.	Постройте гиперболу 16х2-9у2= 144. Найдите: а) действи¬
тельную и мнимую полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентри¬
ситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
2.47.	Постройте гиперболу 16х2-9г/2 = -144, «сопряженную»
гиперболе 16х2-9у2= 144 задачи 2.46. Найдите: а) эксцентриситет;
б)	уравнения директрис.
2.48.	Найдите множества точек, координаты которых связаны
соотношениями:
а)
9л:2 + 25/-225 < 0,
Зх + 5г/-15<0, б)
у + 2 > 0;
9х2 — 16г/2 +144>0,
2х-у-6<0, д)
Зх + у +12 > 0;
х2 +4 г/2 —16 > 0,
г/ ч- 3 > 0,
х + г/ - 2 < 0;
в)
х2 - 4г/2 - 4 > 0,
4х + Зг/-12<0;
г/ -10х<0,
5х-Зг/-15<0, е)
у-2<0;
х2 н- 8г/ < 0,
2х + Зг/ + 6 < 0,
16х2 - 9у2 > 144.
2.49.	Найдите множество точек, для которых произведение рас¬
стояний до двух данных пересекающихся прямых равно С= const.
2.50.	Найдите множество центров окружностей, проходящих
через данную точку Л и касающихся данной прямой L.

Без знания математики нельзя
понять ни основ современной
техники, ни того, как ученые
изучают природные
и социальные явления.
А. Н. Колмогоров
Глава 3
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
В этой главе рассмотрена основная теория математики — те¬
ория пределов. Эта теория является фундаментом, на котором
построено великолепное сооружение, носящее название «ма¬
тематический анализ». Математический анализ в настоящее
время является незаменимым инструментом исследования в
самых различных областях науки и техники. Знание диффе¬
ренциального и интегрального исчисления сейчас необходимо
каждому инженеру и научному работнику. Но для того чтобы
изучить математический анализ и научиться правильно его
применять, необходимо сначала освоить теорию пределов.
Начало изучения теории пределов положено в элементар¬
ной математике, где с помощью предельных переходов опре¬
деляется длина окружности, объем цилиндра, конуса и т.д.
Эта теория также использована при определении суммы бес¬
конечно убывающей геометрической прогрессии. Операция
предельного перехода является одной из основных операций
математического анализа. В настоящей главе будет рассмотре¬
на простейшая форма операции предельного перехода, осно¬
ванная на понятии предела числовой последовательности.
3.1.	Числовые последовательности
3.1.1.	Числовые последовательности
и арифметические действия над ними. Прогрессии
Числовые последовательности встречаются уже в програм¬
ме средней школы. Примерами таких последовательностей
служат: 1) последовательность членов арифметической и гео¬
метрической прогрессий; 2) последовательность периметров
правильных я-угольников, вписанных в данную окружность;

3.1. Числовые последовательности
103
3)	последовательность хх = 1,х2= 1,4, х3 = 1,41, ... приближен¬
ных значений у/2. Уточним и расширим понятие числовой
последовательности.
Определение 1. Если каждому числу п из натурального
ряда чисел
поставлено в соответствие вещественное число хп, то множе¬
ство вещественных чисел
называется числовой последовательностью или просто по¬
следовательностью1}.
Числах^ х2} х3, ..., хп,... будем называть элементами (или
членами) последовательности (1), символ хп — общим элемен¬
том (или членом) последовательности, а число п — его номе¬
ром2\ Сокращенно последовательность (1) будем обозначать
символом {хп}. Так, например, символ обозначает после¬
довательность 1, —, —, ..., —, ....
2	3 п
Формула, задающая хп, называется формулой общего эле¬
мента (или члена) последовательности {xj. Например, по¬
следовательность {п2} задана формулой хп=п2). С помощью
этой формулы можно вычислить любой элемент последо¬
вательности: xt = l2= 1, х5=52 = 25, х10= 102= 100 и т. д.
О Пример 1. Дана формула общего элемента последовательности:
х„ = —. Написать пять первых элементов последовательности.
п +1
Решение. Положив последовательно п = 1, 2,3,4,5 в общем элементе
хп, получаем ^ = 1/2, х2 = 2/3, х3=3/4, х4=4/5, х5=5/6. Ф
Упражнения. Написать пять первых элементов каждой из
последовательностей, заданных их общими элементами:
1} Другими словами, числовую последовательность можно определить
как множество пар чисел (п; хп), в которых первое число принимает после¬
довательно значения 1, 2, 3,..., п ..., т.е. (1; х{), (2; х2), (3; хг),..., (п; хп),....
2) Номер элемента надо понимать в обычном смысле, например, как но¬
мер, под которым выступает хоккеист или футболист.
1,2, 3, ..., П, ...
(1)
1	1 1

104
Глава 3. Теория пределов
3.	хп =^р (Отв. х=\/22, х=2/2\ х=Ъ/2\ х=\/2\
х5=5/26.)
4.	хп	(Ome.x1=2,x2=-3/22,x3=4/32)x4=-5/42,
п
х5=6/52.)
О	Пример 2. Зная несколько первых элементов последовательно¬
сти, написать формулу общего элемента последовательности 1; 1/32;
1/52; 1/72;....
Решение. Знаменатели заданных элементов последовательности
образуют последовательность всех нечетных натуральных чисел в
степени 2. Поэтому в качестве искомой можно выбрать формулу
Xfl ~ (2п -1)2
Однако знание нескольких первых элементов последовательности
еще не определяет саму последовательность. Поэтому данную задачу
следует рассматривать как задачу отыскания некоторой простой ин¬
дуктивной закономерности, согласующейся с заданными элементами
последовательности. •
Упражнения. Зная несколько первых элементов последо¬
вательности, написать формулу общего элемента таких
последовательностей:
*•1: П; Ш ГГз1; "•
_171	„6 .п	(2п-\
2. 1; 2—; 2—; 3—; 3—; ... {Отв. хп =
Указание: 1;	—г;	...	.)
OZ 02	/.I
9	16	25	4	п	\ п
& 72
22 ’ З2
3.2; 10; 26; 82; 242; 730; ... {Отв. х=Зп+{-\)п.
Указание: 3-1; 32+1; 33-1; 34 + 1;” 35-1; 36+1; ... .)
Формула, задающая хп, не является единственной. Так,
например, последовательность -1, 1, -1, 1, -1, 1, ... задается
формулой хп = (-1)п или формулой xn=cos пп. Не всегда по¬
следовательность {xj можно задать аналитически, например
последовательность приближенных значений >/2.
Последовательность {хп} считается заданной, если ука¬
зан способ получения любого ее элемента. Например,
если х = 1 +(-!)”, то последовательность запишется в виде

3.1. Числовые последовательности
105
0,2,0,2,.... Обращая дробь 1/3 в десятичную, также получаем
последовательность
^ = 0,3, х2=0,33, х3=0,333, ..., хп=0,333...3...
п троек.
Часто используют рекуррентный способ задания после¬
довательности {хи}. Этот способ состоит в том, что дается:
1)	первый элемент последовательности xi (или несколько пер¬
вых элементов) и 2) формула (или рекуррентное соотноше¬
ние), указывающая, какие действия нужно выполнить, чтобы
вычислить следующий элемент (или несколько следующих
элементов). Так, если известно, что: 1) первый элемент х( = 1 и
2)	при любом п > 1 хп+1 = (п+ 1)хя, то, последовательно выпол¬
няя действия, определенные данной формулой, находим
(„= 1) х2=х1+1 = (1 + 1)-х1=2-1! = 2!,
(п=2) х3=х2+1 = (2 + 1)-х2=3-2! = 6=3!,
(п=3) х4=х3+1 = (3 + 1)-х3=4-3! = 24=4!,
(п=4) х5=х4+1 = (4 + 1)-х4=5-4! = 120=5!,
Таким образом, данное рекуррентное соотношение опре¬
деляет последовательность 1!, 2!, 3!, 4!, 5!,..., п\ ...,1), в которой
общий элемент задается формулой хп=п\ Заметим, что при
строгом выводе формулы общего элемента надо применить
метод математической индукции. (Сделайте это самостоя¬
тельно.)
Упражнения. Написать пять первых элементов и формулу
общего элемента таких последовательностей:
1 .х=\,хп+=хп\(Отв. 1!, 1!, 1!, 1!, 1!, х =1!)
2. х1 = 1,хл+1=хл+3. (Отв. 1, 4, 7, 10, 13; хп=Зп-2.)
Приведем еще один пример. Последовательность {xj зада¬
ется двумя первыми элементами х( = 1, х2 = 1 и рекуррентным
соотношением хя=хя1+хя_2 при любом п>3. Здесь рекур¬
рентное соотношение связывает хя с двумя предыдущими.
Для получения последовательности нужно знать два первых
элемента последовательности. Запишем ее несколько первых
элементов:
1,	1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ....
Эта последовательность обладает рядом интересных и важных
свойств. Ее элементы называются числами Фибоначчи (по
Напомним, что п\ — сокращенное обозначение произведения
1	• 2• 3п; по определению 1!=1.

106
Глава 3. Теория пределов
111
0 4 3 2
1
-1
X^
о)
111 11 1
3 5 7 0 6 4 2
ф ^
Хх X
*1
х3х5х7 х6хА Х2
X
Рис. 75
имени итальянского математика XII—XIII вв.). Если в пер¬
вом примере найти формулу общего элемента, зная первый
и рекуррентное соотношение, легко, то для чисел Фибоначчи
найти формулу общего элемента довольно трудно0.
Геометрически последовательность {xj изображается на
числовой прямой в виде последовательности точек, коорди¬
наты которых равны соответствующим элементам последо¬
вательности. На рис. 75, а и б изображены соответственно
Ml /(-!)»I
последовательности < — > и <-—
[п]	[	п	\
Может оказаться, что одна и та же точка числовой прямой
соответствует нескольким элементам последовательности —
например, для последовательности с общим элементом хп=(-1 )я
все элементы с четными номерами попадут в точку с коорди¬
натой 1, а с нечетными номерами — в точку с координатой -1;
для последовательности с общим элементом хп=5, т.е. после¬
довательности 5, 5, 5, 5, ..., все элементы попадут в одну и
ту же точку с координатой 5.
Введем понятие арифметических действий над числовыми
последовательностями. Пусть даны произвольные последо¬
вательности xv x2f ..., хп, ...и yv г/2, ..., уп, .... Произведени¬
ем последовательности xv х2> ..., хп, ... на число т назовем
последовательность
mxv тх2, ..., тхп1 ...
Суммой данных последовательностей назовем последо¬
вательность
Xx+yv х2+у2, ..., Хп+уп, ...;
разностью — последовательность
*1-^1» х2~Ут •••> хп~Уп> •••;
1} С числами Фибоначчи и их свойствами можно ознакомиться, напри¬
мер, в кн.: Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1984.

3.1. Числовые последовательности
107
произведением — последовательность
xx-yv х2-у2, хп-уп,
частным — последовательность
У\ У2 Уп
если все элементы последовательности, на которую делят,
отличны от нуля.
Указанные действия над последовательностями символи¬
чески записываются так:
Арифметическая прогрессия. Определение 2. После¬
довательность {хп}2\ определяемая первым элементом х1 и
рекуррентным соотношением
х =х +d,
п+1 п 7
где d — постоянное число, называется арифметической про¬
грессией. Число d называется разностью арифметической
прогрессии.
Рекуррентное соотношение, определяющее арифметиче¬
скую прогрессию, словами формулируется так: всякий член
арифметической прогрессии, начиная со второго, равен пре¬
дыдущему у сложенному с постоянным числом d.
Запишем несколько первых членов арифметической про¬
грессии: хх =xvx2=xx+d, xs=x2+d=xx +d+d=x{ + 2dи т.д. Каж¬
дый раз прибавляем еще одно слагаемое d. Например, четные
числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом
хх = 2 и разностью d= 2:
□	Докажем методом математической индукции формулу
общего члена арифметической прогрессии
1)	Для п= 1 имеемх^л^ + ^-О, т.е. формула (2) верна.
т{хп} = {тхп}, {хп} + {уп} = {хп+уп},
{хп)-{уп} = {хп-уп}, {хп}-{уп} = {хп-ул},
2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; ....
х =х +d(n-1).
(2)
1}уп*0 означает, что значения уп отличны от нуля при любом п.
2) Иногда члены прогрессий обозначают буквой а.

108
Глава 3. Теория пределов
2)	Предполагая справедливость формулы (2) для некото¬
рого п, докажем, что она справедлива для п+1, т.е. докажем
формулу хл+j = х,+d [{п +1)-1 ].
Действительно, по определению арифметической профес¬
сии хл+1 =xn+d. Отсюда, используя формулу (2), находим
xn+i=xi + (n-\)d+d=xi+d[(n+\)-\'\,
что и требовалось доказать. На основании метода математи¬
ческой индукции заключаем, что формула (2) справедлива
для любого п.
Выведем формулу суммы п членов арифметической про¬
грессии. Предварительно докажем основное свойство членов
конечной арифметической прогрессии xv х2,..., хп: суммы
членов прогрессии, равноотстоящих от концов, равны, т.е.
х +х =х,+х„
т п k V
если m+n=k+l.
Действительно, используя формулу (2), получим
xm+x=xi+d(m-1 )+xl+d(n-1) =
= 2xi+d(m+n-2) = 2xi+d(k+l-2) =
—Х^ л-d (k — 1)	+d(l— 1)=x^~\-Xp
что и требовалось доказать.
Найдем теперь сумму Sn. Запишем ее дважды, расставив
слагаемые в разном порядке:
S =х.+х0+...+х ,+х,
П	1	А	П-	1	П’
S	=х +х 1 + ...+х0+х1.
п п п-1	А	1
Складывая почленно и используя доказанное свойство и
формулу (2), находим
2S =(х. +х ) + (х„+х ,) + ... + (х ,+х„) +
п 4	1	п/	4 2	п-\/	4 п-1	2/
+ (хл+Xj)=n(xi +хл)=n[2xi+d (п -1)],
откуда получаем следующие две формулы:
{х^+хп)п	[2xt +d(n-\))jn
п 2 " 2
О Пример 3. Написать формулу общего члена последовательности,
если известны несколько ее первых членов: 3, 5, 7, 9, И, ....
Решение. Заданные числа образуют арифметическую прогрес¬
сию с первым членом х^ = 3 и разностью d= 2. По формуле (2) имеем
х =3 + 2(п-1) = 2п + 1.

3.1. Числовые последовательности
109
Пример 4. Сумма первых п членов последовательности выражается
формулой Sn=3n2. Доказать, что эта последовательность является ариф¬
метической прогрессией; найти ее первый член и разность.
Решение. Имеемxn=Sn-Sn_t=3п2-3(п-l)2=3n2-3n2+6n-3=3(2n-l).
Так как разность хп -хп t = 3(2п -1) - 3( 2п- 3) = 6п - 3 - 6п+9=6 не зависит
от п, то данная последовательность является арифметической прогрес¬
сией с разностью d= 6. Первый член прогрессии хх =	=3. •
Геометрическая прогрессия. Определение 3. Последова¬
тельность {.хJ, определенная первым элементом х1 и рекур¬
рентным соотношением
х =х -а.
п+1 п
где q — постоянное число	называется геометрической
прогрессией. Число q называется знаменателем геометриче¬
ской прогрессии.
Рекуррентное соотношение, определяющее геометриче¬
скую прогрессию, словами формулируется так: всякий член
геометрической прогрессии, начиная со второго,равен преды¬
дущему, умноженному на постоянное число q.
Запишем несколько первых членов геометрической про¬
фессии: xi =х,, х =х( • q, хг=х2-q=x х- qq=x х- ql и т.д. Например,
числа 2, 6, 18, 54, 162,... образуют геометрическую прогрес¬
сию со знаменателем q=3 и первым членом х,=2.
Формула общего члена геометрической прогрессии
хп=х1<Г~1	(3)
доказывается точно так же, как формула общего члена ариф¬
метической прогрессии. (Проделайте это самостоятельно.)
□	Выведем формулу суммы п членов геометрической
прогрессии0. Для этого рассмотрим сумму
5	=х1+х2+...+хл	(4)
и умножим обе части равенства (4) на	q.	Так как х.<7=х„,
x2q=xy ..., xnq=xn+v то
Snq=xlq+x2q+...+xnq=x2+xz+...+xn+v	(5)
Вычтем почленно из равенства (5) равенство (4). Все чле¬
ны, кроме хл+1 =xnq и хр уничтожаются. Поэтому получаем
S	q-S =х ,-x,=xq-x,,
пЛ п п+1	1 пл V
откуда
1} Вывод формулы суммы бесконечно убывающей геометрической про¬
грессии дан в следующем параграфе (см. пример 7).

110
Глава 3. Теория пределов
х„а-х<	_	х1	-х„а
Sn =	или Sn = -L^L-	(6)
Так как xn=xxqn'\то формулы (6) можно записать в дру¬
гом виде:
5п = Х^П-»шпЗп = Х^П\	,	(7)
q-1	\-q	W
О Пример 5. В геометрической прогрессии 1; -2; 4; -8; 16 найти
11-й член и сумму 6 членов.
Решение. Найдем сначала знаменатель геометрической прогрессии.
Для этого воспользуемся рекуррентным соотношением. Имеем
хп+1	i5 16
g = _n±L. ? = -5- = - = -2.
хп	лг4 -8
По формуле (3) вычислим 11-й член:
х11=х1^11_1 = 1(-2)10 = 1024,
а по первой из формул (7) вычислим сумму шести членов:
1-ИН.64М	.
6	-2-1	-3
Обращаем внимание, что дальнейшее успешное изучение
материала возможно только при условии полного понимания
определения последовательности.
3.1.2.	Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 4. Последовательность {.х} называется огра¬
ниченной сверху (снизу)у если существует число М (число т)
такое, что любой элемент хп этой последовательности удов¬
летворяет неравенству хп < М(хп > т).
Определение 5. Последовательность {.хJ называет¬
ся ограниченнойу если она ограничена и сверху, и снизуу т.е.
существуют числа тиМ такие, что любой элемент хп этой по -
следовательности удовлетворяет неравенствам т<хп<М.
Обозначим А = max{\т\, \М\}. Тогда условие ограниченно¬
сти последовательности можно записать в виде |хи|<Л или
-А<хп<А. Действительно, так как А>\М\>М, а-А<-\т\<т,
то для всех элементов последовательности {хп} выполняются
неравенства -А<хп<А.
Определение 6. Последовательность {х^ называется неог¬
раниченнойу если для любого положительного числа А сущест¬

3.1. Числовые последовательности
111
вует элемент х этой последовательности, удовлетворяющий
неравенству |х] > А1}.
Из данных определений следует, что если последователь¬
ность ограничена сверху, то все ее элементы принадлежат
промежутку (-оо, М], а если последовательность ограничена
снизу — промежутку [т, +оо), а в случае ограниченности и
сверху, и снизу — промежутку [т, М]. Неограниченная по¬
следовательность может быть ограничена сверху (снизу).
Рассмотрим несколько примеров.
01.	Последовательность {п}, или, что то же, 1, 2,3,..., п,ограничена
снизу, но не ограничена сверху (т = 1).
2.	Последовательность {-гг}, или, что то же, -1, -2, -3, -гг,
ограничена сверху, но не ограничена снизу (М=-1).
3. Последовательность , или, что то же, 1, —, —, ..., —,	огра¬
ничена, так как любой элемент хп этой последовательности удовлетво¬
ряет неравенствам 0<хп< 1 (т=0, М= 1).
4.	Последовательность {(-1)”гг}, или, что то же, -1, 2, -3, 4, -5,
(-1)”гг,..., — неограниченная. В самом деле, каково бы ни было число А,
среди элементов хп этой последовательности найдутся элементы, для
которых будет выполняться неравенство \xj >А. •
Упражнения. Ограничены ли последовательности:
1.	|^|. (Отв. Да.) 2. {2п). {Отв. Нет.) 3. {Inn}.
{Отв. Нет.) 4. {sirm}. {Отв. Да.) 5. 1, 0, 2, О, 3, 0, 4, 0, 5,...
{Отв. Нет.) (Ответы обоснуйте.)
3.1.3.	Бесконечно большие
и бесконечно малые последовательности
Определение 7. Последовательность {.хJ называется беско¬
нечно большой, если для любого положительного числа А (сколь
большим бы мы его ни взяли) существует номер N такой, что
при п >N2)выполняется неравенство \х \ >А.
Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая
последовательность является неограниченной. Однако неог¬
раниченная последовательность может и не быть бесконечно
большой последовательностью. Например, неограниченная
последовательность 1, 2,1,3,..., 1, п, 1, п+1,... не является бес-
1} Если \хп\ >Л (Л >0), то либо хп> А, либо хп<-А (докажите это само¬
стоятельно).
2)	«При n>N» означает для всех элементов последовательности с номе¬
рами п >N.

112
Глава 3. Теория пределов
конечно большой, поскольку при А > 1 неравенство \хп\ >А не
имеет места для всех элементов хп с нечетными номерами.
Определение 8. Последовательность {ocj называется бес¬
конечно малой, если для любого положительного числа в (сколь
малым его ни взять) существует номер N такой, что при n>N
выполняется неравенство |aj < в.
О	Пример 6. Используя определение 7, доказать, что последова¬
тельность {п} является бесконечно большой.
Решение. Возьмем любое число Л >0. Из неравенства |хи| = |п|>Л
получаем п >А. Если взять N>A, то для всех п >Добудет выполняться
неравенство |xj >А, т.е., согласно определению 7, последовательность
{п} бесконечно большая. •
Упражнения. Пользуясь определением 7, доказать, что по¬
следовательности: 1. {- п}. 2. {п2}. 3. {(- 1 )П+Хп} — являются
бесконечно большими.
О	Пример 7. Используя определение 8, доказать, что последова¬
тельность Ш является бесконечно малой.
, , 1
Решение. Возьмем любое число s>0. Из неравенства аи =
1
получаем п>—. Если взять N =
8
<8
то для всех п >N будет выпол-
1
няться неравенство |an|<8. (При 8 = ^ получим N= [10] = 10, при
8=4/15 имеем N= [15/4]=3 и т. д.) Таким образом, согласно определению
8,	последовательность {1 /п) бесконечно малая. •
Упражнения. Используя определение 8, доказать, явля¬
ются ли бесконечно малыми такие последовательности:
1. (ULj. 2. j~xj (^>0)- 3. | 2^j- (Указание: вос-
2	п	2п 2
пользуйтесь неравенством —=— < —= —.)
п +1 п	п
В конце данного пункта доказана теорема, устанавливаю¬
щая связь между бесконечно большими и бесконечно малыми
последовательностями.
Теорема 3.1. Если {.хп} — бесконечно большая последова¬
тельность и все ее члены отличны от нуля, хфО, то последо¬
вательность {а^} = \	\	бесконечно	малая, и, обратно, если
1} Символ [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х.
Например, [1] = 1, [3,1]=3, [0,7]=0, [-0,5] = -1, [-172,9]=-173, [я]=3, [lg2]=0
и т.д.

3.1. Числовые последовательности
113
{а } — бесконечно малая последовательность, а фО,то после-
у п}	7	п ’
дователъностъ {хп} = \ — I бесконечно большая.
KJ
□	Доказательство. Пусть {xj — бесконечно большая
последовательность. Возьмем любое число s >0 и положим
1
А = -. Согласно определению 7, для этого А существует но-
s
мер N такой, что при n>N выполняется неравенство | xj > А.
' 1 '
Тогда а„ =
х„
11	. .
= ,—,< —= е, т.е. а <s для всех п >N. А это
х„ А
значит, что последовательность |~| бесконечно малая.
Доказательство второй части теоремы аналогично. ■
Все проведенные доказательства построены на проверке
выполнения условий, сформулированных в определениях.
Поэтому обращаем внимание на четкое понимание данных
определений.
3.1.4.	Основные свойства
бесконечно малых последовательностей
Теорема 3.2. Сумма и разность двух бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малые последователь¬
ности.
□	Доказательство. Пусть {aj и {[3J — бесконечно малые
последовательности. Требуется доказать, что последователь¬
ность {an ± [3J бесконечно малая. Пусть s — произвольное по¬
ложительное число, Nx — номер, начиная с которого | aJ < е/2,
а N2 — номер, начиная с которого 113 J < s/2. (Такие номера iV,
и N2 найдутся по определению бесконечно малой последо¬
вательности.) Возьмем JV=max{Nv N2}\ тогда при n>Nбу¬
дут одновременно выполняться два неравенства: |а | < е/2,
IPJ <s/2. Следовательно, при п >N
\ап ± Ри | - \ап | + |Ри | < 2 + 2 = s1)-
Это означает, что последовательность {ап ± рп} бесконечно
малая. ■
‘'Здесь использовано свойство абсолютных величин: \х+у\<\х\ + \у\
(см. теорему 1.3).

114
Глава 3. Теория пределов
Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа
бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность.
Теорема 3.3. Произведение двух бесконечно малых последо¬
вательностей есть бесконечно малая последовательность.
□	Доказательство. Пусть {ал} и {[3J — бесконечно малые
последовательности. Требуется доказать, что {ал- рл} — беско¬
нечно малая последовательность. Так как последовательность
{ал} бесконечно малая, то для любого числа s > 0 существует
номер JVj такой, что |aj<s при n>Nv атак как последова¬
тельность {[3J тоже бесконечно малая, то для 8=1 существует
номер N2 такой, что 113J< 1 при п >Nr Возьмем N=max{Nl, ЛГ2};
тогда при п >Добудут выполняться оба неравенства. Следо¬
вательно, при п >N
la -В I = I a I -1В |<8-1=8.
1 n r n' 1 n' Irn'
Это означает, что последовательность {су [3J бесконечно
малая. ■
Следствие. Произведение любого конечного числа беско¬
нечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность.
Замечание. Частное двух бесконечно малых последова¬
тельностей может быть любой последовательностью и может
не иметь смысла. Например, если ал= 1 /п, |Зп= 1 /п, то все эле¬
менты последовательности {ал/рл} равны единице и данная
последовательность является ограниченной. Если ал=1/п,
|Зп= 1/и2, то последовательность {ап/|Зп} бесконечно большая,
и наоборот, если ал= 1 /п2, а рл= 1 /п, то {а„ /Эл} — бесконечно
малая последовательность. Если начиная с некоторого номера
элементы последовательности {|Зп} равны нулю, то последо¬
вательность {осл/Рл} не имеет смысла.
Упражнение. Показать, что частное двух бесконечно боль¬
ших последовательностей {xj и {г/л} может быть любой
последовательностью, используя в качестве примеров по¬
следовательности {гг} и {гг2}.
Теорема 3.4. Произведение ограниченной последователь¬
ности на бесконечно малую есть бесконечно малая последо¬
вательность.
□	Доказательство. Пусть {хл} — ограниченная, а {ал} —
бесконечно малая последовательность. Требуется доказать,
что последовательность {х„-ал} бесконечно малая. После¬
довательность {хл} ограничена, поэтому существует число
А > 0 такое, что любой элемент хл удовлетворяет неравенству

3.1. Числовые последовательности
115
|xJ<A Возьмем любое число в >0. Так как {otj — бесконечно
малая последовательность, то для положительного числа
s/А существует номер N такой, что при п> Довыполняется
неравенство |aJ<s/A Тогда при п >N
Это означает, что последовательность {хпа^ бесконечно
малая. ■
Следствие. Произведение бесконечно малой последователь¬
ности на число есть бесконечно малая последовательность.
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте определение последовательности.
2.	Когда последовательность считается заданной? Приведите
примеры.
3.	В чем заключается рекуррентное задание последовательности?
Приведите пример.
4.	Дайте геометрическую интерпретацию последовательности.
Приведите примеры.
5.	Дайте определение арифметических действий над последо¬
вательностями.
6.	Почему из определения последовательности следует, что она
имеет бесконечное число элементов?
7.	Сформулируйте определение арифметической прогрессии.
8.	Выведите формулу суммы п членов арифметической про¬
грессии.
9.	Сформулируйте определение геометрической прогрессии.
10.	Выведите формулу суммы п членов геометрической про¬
грессии.
11.	Сформулируйте определения ограниченной и неограничен¬
ной последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию
этих определений.
12.	Приведите пример ограниченной последовательности, кото¬
рая: а) имеет и наибольший, и наименьший элемент; б) имеет наи¬
больший, но не имеет наименьшего элемента; в) имеет наименьший,
но не имеет наибольшего элемента.
13.	Сформулируйте определения бесконечно малой и бесконечно
большой последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию
этих определений.
14.	Приведите пример неограниченной последовательности, не
являющейся бесконечно большой.

116
Глава 3. Теория пределов
15.	Можно ли назвать бесконечно малой последовательность с
общим элементом хп=0?
16.	Приведите пример, когда значения элементов бесконечно
малой последовательности, возрастая, стремятся к нулю. Как на¬
зывается такая последовательность?
17.	Приведите пример, когда значения элементов бесконечно
большой последовательности при возрастании п убывают. Как
называется такая последовательность?
1111	1
18.	Дана последовательность 1;	2;	3;	4;	...;	п\	—; ....
2	3	4	5	п
Почему эта последовательность не является бесконечно малой,
несмотря на то что, какое бы малое число г > 0 мы ни взяли, среди
элементов последовательности всегда найдутся элементы, по мо¬
дулю меньшие, чем е? Почему эта последовательность не является
бесконечно большой, несмотря на то что, какое бы большое число
А >0 мы ни взяли, среди элементов последовательности всегда
найдутся элементы, по модулю большие, чем А? Как называется
эта последовательность?
19.	Является ли бесконечно малая последовательность ограни¬
ченной?
20.	Известно, что последовательность {xj является: а) беско¬
нечно малой; б) бесконечно большой. Следует ли отсюда, что по¬
следовательность {1/xJ (при условии хпф0 для всех п) является:
а)	бесконечно большой; б) бесконечно малой?
3.2.	Сходящиеся последовательности
Ниже будет рассмотрено одно из важнейших в матема¬
тическом анализе понятий — понятие предела числовой
последовательности.
3.2.1.	Понятие сходящейся последовательности
Определение. Число а называется пределом числовой после¬
довательности {xj, если для любого положительного числа в
существует номер N такой, что при n>N выполняется не¬
равенство
|хл-о|С8.	(1)
При этом последовательность {хл} называется сходящейся.
Если последовательность {хл} сходится и имеет своим
пределом число а, то символически это записывается так:

3.2. Сходящиеся последовательности
117
lim хп = а °, или х при и-»оо.
Л-»0О	"
Последовательность, не являющаяся сходящейся, назы¬
вается расходящейся.
Из определения предела следует, что, каким бы малым
мы ни взяли число s > 0, начиная с некоторого номера N все
элементы последовательности {хп} будут отличаться от числа
а меньше чем на е, т.е. |хп-а|<е при n >N. Это и означает, что
элементы последовательности {хп} неограниченно приближа¬
ются к числу а при неограниченном возрастании номера п.
В определении не случайно отмечено слово «любого», на
этом слове «держится» все определение.
Для примера рассмотрим вопрос о пределе последова¬
тельности
-1, 1, -1, 1, -1, ..., (-1)",....
С ростом п эта последовательность предела не имеет, так
как колеблется между значениями +1и-1иник какому числу
не приближается (строгое доказательство см. в замечании
к теореме 3.6).
«Докажем», используя определение, что последователь¬
ность имеет «предел, равный 0». Действительно, для s = 2
неравенство |(-1)л-0|<е выполняется для всех номеров п.
Следовательно, можно взять N= 1 и все «доказано». Ошиб¬
ка заключена в том, что, например, для е = 1/2 неравенство
|(-1 )л - 01 < s уже не выполняется ни для какого и, т.е. при «до¬
казательстве» нарушено основное требование определения,
чтобы неравенство \хп-а\<г выполнялось бы для любого
s > 0, в частности и для 8 = 1/2, хотя бы начиная с некоторого
номера N.
Сформулируем следующее определение: число а не явля¬
ется пределом последовательности {хл}, если существует
&>0 такое,что длялюбого номера N найдется номер n>N
такой, что выполняется неравенство \ хп - а \ > е.
Сравнивая данные определения, видим, что для построе¬
ния отрицания надо слова «существует» и «любого» взаимно
заменить, а неравенство заменить ему противоположным.
Это правило можно использовать и для построения от¬
рицания в любых других определениях, данных в смысле
«8 = JV».
О	Пример 1. Используя определение предела, показать, что
Limes (лат.) — предел. Эта запись читается так: «предел хп при п, стре¬
мящемся к бесконечности, равен а».

118
Глава 3. Теория пределов
ton —= 1.
п-> 00 71 +1
Решение. Возьмем любое число &>0. Так как \хп -l| =
1
я+1
--1
я + 1
, то для нахождения значений п, удовлетворяющих неравенству
\хп-1| <г, достаточно решить неравенство 		 < 8, откуда получим
п > -—-. Следовательно, за N можно взять целую часть числа -—-,
8 8
т.е. N =
1-8
. Тогда неравенство \хп- 1|<е будет выполняться при
= 99 и при я >N=99
всех п > N. Так как 8 — любое, то доказано, что
ton —= 1.
п-> 00 п +1
По определению а в данном примере равно 1.
Для более четкого понимания определения предела проверим про¬
веденные вычисления на конкретных числах.
Г 1 — 0,01"
Возьмем, например, 8=0,01. Тогда N =	^	^
имеем |дгя—1| < 0,01. В частности, при п <N (п = 97, я = 98) неравенство
\хп-1| <8 = 0,01 не выполняется. В самом деле, пусть «=98. Тогда
|дг98— 11=198/99 —1| = |—1/991 = 1/99 > 1 /100,
а если взять п > 99, например п = 100, то
|х100-1|=|1ОО/1О1-1|=|-1/1О1| = 1/1О1 <1/100.
Таким образом, неравенство |хя-1|<0,01 выполняется только для
номеров п, больших чем 99.
Если взять значение s <0,01, например 8=0,001, то значение номера
"1-0,001“
N увеличится. В самом деле, N =
0,001
= 999 и при п > N= 999
получаем | хп -11 < 0,001.
В заключение покажем, что число 2 не является пределом данной
последовательности. Для этого рассмотрим абсолютную величину
разности
77+2
.-2| =
--2
71+ 2
п + 1
71 +1
71 +1
п + 2
и решим относительно п неравенство	<8. Но в данном случае этого
77+1
можно не делать, так как при любом значении номера п (п может быть
только числом целым и положительным) число	^	а	следова-
п +1

3.2. Сходящиеся последовательности
119
тельно, оно не может быть меньше произвольно заданного положи¬
тельного числа в, например 8 = 1/2. Это и доказывает, что число 2 не
I 71
является пределом последовательности <	 .
[я+lj
Пример 2. Используя определение предела, доказать, что если
\q\<i, то
lim qn = 0.	(2)
П—>оо	4	'
Решение. Возьмем любое число е < 0 и g * 0. Так как | qn- 01 = | q \п, то
для нахождения значений п, удовлетворяющих неравенству | qn- 01 < 8,
достаточно решить неравенство |д|”<& или, чтобы не иметь дела с от-
(\У 1
рицательными логарифмами (Ы< 1), h—г >—• После логарифми-
ЧФ 8
рования получим
wlgrr>lg--
т е
(1/ ^0
откуда п > —} ,v Следовательно, если взять N =
щ/т
, то для
lg(l/s)
ЫШ
всех п > N будет выполняться неравенство | qn - 01 < 8. Так как е — любое,
то, согласно определению, lim qn = 0.
П—>00
Если q = 0, то соотношение (2) очевидно, так как неравенство
| qn—01 < s выполняется при любом п.
Пример 3. Используя определение предела, доказать, что
lim yfn = 1.
П—>00
Решение. Покажем, что для любого 8 > 0 существует номер АТ такой,
что при п> Довыполняется неравенство -l| < 8. Так как yfn> 1, то
|^-i| = yfn -1 < 8, откуда получаем п < (1 +е)п. Воспользуемся тем,
что
(1+е)- =i+„8+^zi)e4... +8» >^zi)e 2	(3)
2! 2
(здесь применена формула бинома Ньютона1)), и докажем, что неравенст¬
во п <(1 +s)” выполняется при п> 1+2/г2. Действительно, пусть п>(1 +8)”;
тогда из неравенства (3) следует, что п >	^82,	откуда	п	<	1+	2/s2.
Поэтому при п > 1 +2/е2 неравенство п > (1 +8)* не выполняется и, следо¬
вательно, выполняется неравенство п <(1 +8)”, а значит, и неравенство
^й-1<&. Таким образом, если взять N= [1+2/е2], то при п > N будет
Напомним, что формула бинома Ньютона имеет вид (а + Ь)п =
4~V)an-2b2 I w^w~1Kj
2!	3!
= ап +пап~1Ь+П^П 1)ап-2Ь2 + П^П 1)(П 2)ап~3Ь3+... +Ьп.

120
Глава 3. Теория пределов
выполняться неравенство |yfn -1| < s. А так как в — любое, то, согласно
определению,
п—>00
Упражнения, а) Используя определение предела, дока¬
жите, что: 1. lim^-^ = 0. 2. lim ^П = 2. 3. lim-—- = 1.
(Указание: представить выражение общего элемента последо¬
вательности в виде хп=(3й—1)/3” =1-1 /Зп ил и хи-1 = -1 /3”.)
4. lim —= 0. 5. lim^-^ = 0. 6. 1нп-У^ = 0.
б)	Известно, что lim ^ + 3 = 2. Найдите номер ЛГ, начиная
о	гг + 1
2?? + 3 0
с которого выполняется неравенство 		—2 <в, где
пл-1
2?7 + 3
-2
< в выпол-
8=0,1; 0,01; 0,001. (Отв. Неравенство
п +1
няется при я >N=[1/8-1]. При 8 = 0,1 неравенство выпол¬
няется начиная с А/=10, при 8 = 0,01 — начиная с А/=100,
при 8 = 0,001 — начиная с N= 1000.)
Замечание 1. Пусть {.хJ сходится и имеет своим преде¬
лом некоторое число а. Тогда разность {хп-а}={оси} является
бесконечно малой последовательностью, так как для любого
8 > 0 существует номер N такой, что при п >N выполняется
неравенство \ап\=\хп-а\<г{). Следовательно, любой элемент
хп сходящейся последовательности, имеющей пределом число
а,	можно представить в виде
хп=а+а,	(4)
где ап — элемент бесконечно малой последовательности {aj.
Очевидно, справедливо и обратное: если хп можно предста¬
вить в виде хп=а+ая, где {aj — бесконечно малая последо¬
вательность, то lim хп=а (докажите это самостоятельно).
со
Представление (4) будет использовано при доказательстве
теорем 3.7—3.9 о пределах последовательностей.
О Пример 4. Показать, что предел последовательности С, С, С,... с
общим членом хп= С-const равен числу С, т.е. lim хп = С.
1} Отсюда, в частности, следует, что всякая бесконечно малая последо¬
вательность является сходящейся и имеет своим пределом число <2=0.

3.2. Сходящиеся последовательности
121
Решение. Действительно, последова¬
тельность {хп- С\ = С- С=0 бесконечно ма¬
лая и поэтому, в силу представления (4),
lim х„ = С. •
Рис. 76
Замечание 2. Предел числовой
последовательности имеет геометрическое истолкование.
Неравенство (1) равносильно неравенствам
— 8<х —а<&, или a-z<x <а+8°,
п	’	п	’
которые означают, что элемент хп находится в s-окрестности
точки а (рис. 76). Поэтому определение предела последо¬
вательности можно сформулировать следующим образом:
число а называется пределом последовательности {xj, если
для любой г-окрестности точки а существует номер N та¬
кой, что все элементы хп с номерами n>Nнаходятся в этой
s-окрестности.
О Для иллюстрации сказанного снова вернемся к примеру 1. Если
Г п 1
8 = 0,01, а п >99, то все члены последовательности {	к начиная с
[тг + lj
члена с номером п = 1ОО(х100), попадут в заданную s-окрестность числа
а= 1 (-0,01 <х -1 <0,01 или 1-0,01 <х < 1 +0,01), т.е. на числовой
v ’	п	’	гг	’
прямой будут принадлежать интервалу (0, 99; 1,01). •
Следует отметить, что число N в определении предела
последовательности зависит как от рассматриваемой после¬
довательности, так и от произвольно взятого s. Чем меньше s,
тем больше N (см. пример 1), кроме случая, когда последова¬
тельность состоит из одного элемента. Например, последова¬
тельность 1,1, 1, 1,..., заданная общим элементом хп= 1, имеет
своим пределом число 1 (см. пример 4) и неравенство \хп-1|
выполняется для любого числа N независимо от взятого s.
Замечание 3. Очевидно, что бесконечно большие последо¬
вательности не имеют предела в том смысле, как этот предел
был определен ранее. Поэтому обычно считают, что беско¬
нечно большие последовательности имеют предел, равный оо,
и пишут
lim хп = оо 2>.
00
Если последовательность {xj такова, что для любого А > 0
существует номер N такой, что при п > Довыполняется нера¬
венство хп>А(хп<-А), то пишут lim хп = + ос (lim хп = - оо).
1} См. теорему 1.2.
2) Напомним, что здесь последовательность {xj такова, что при п > АГвы¬
полняется неравенство \хп\ >А.

122
Глава 3. Теория пределов
Во всех этих случаях говорят, что бесконечно большая по¬
следовательность имеет бесконечный предел, соответственно
равный да, +оо или -оо.
В связи с введением понятия «бесконечный предел» ус¬
ловимся называть первоначально определенный предел ко¬
нечным пределом.
Упражнение. Приведите примеры таких последователь¬
ностей {х } и {у }, что lim хп=+<х>, Нш уп = - оо и, кроме
п	п	-*г—>оо
-} И {у } = {-п}.)
п)
2. lim{хп + уп) = + оо. {Отв. {х } = {2гг} и {уп} = {-гг}.)
тг-> оо
3.	\im{xn+yn) = \. {Отв. {хп} = {п+1}и {уп} = {-гг}.)
гг—>00
4.	Нт(хя + г/я) не существует. {Отв. {х } = {гг + (-1)и}
тг-> оо	п
и {г/л} = {-гг}.) (Ответы обоснуйте.)
3.2.2.	Основные свойства
сходящихся последовательностей
Прежде чем перейти к доказательству следующей теоремы,
докажем лемму.
Лемма 3.1. Если все элементы бесконечно малой последова¬
тельности {аи} равны одному и тому же числу с, то с=0.
□	Доказательство. Предположим обратное, что с*0.
Положим s=| с|/2. Тогда, по определению бесконечно малой
последовательности, существует номер N такой, что при n>N
выполняется неравенство |ал|<е. Так как ап=с, а&=\с\/2, то
последнее неравенство можно переписать в виде |с|<|с|/2,
откуда 1 < 1/2. Полученное противоречие показывает, что
предположение с*0 не может иметь места. ■
Теорема 3.5. Сходящаяся последовательность имеет толь¬
ко один предел.
□	Доказательство. Предположим обратное, что сходя¬
щаяся последовательность {хл} имеет два предела а и Ь. Тогда
по формуле (4) для элементов хл получим
х =о+а их =Ь + (3 ,
п	п	п	“ п’
где аи и ри — элементы бесконечно малых последователь¬
ностей {а"} и {ри}. Вычитая из первого соотношения второе,
найдем, что ап-$п=Ь-а. Так как все элементы бесконечно
малой последовательности {аи-ри} имеют одно и то же по¬
1. Нш{хп +уп) = 0. {Отв. {хп} = \п +

3.2. Сходящиеся последовательности
123
стоянное значение b-а, то по доказанной лемме 3.1 Ь-а=0,
т.е. b-а. ш
Теорема 3.6. Сходящаяся последовательность ограничена.
□	Доказательство. Пусть {хп} — сходящаяся последова¬
тельность и число а —ее предел. Пусть, далее, в — произволь¬
ное положительное число и N — номер, начиная с которого
выполняется \xn-a\<s. Тогда для всех n>N
\х I = I(х -а) + а\<\х -а\ + \а\<\а\+гХ).
Inll\n / II п IIIII
Пусть Л = тах{|а|+в, |xj, |х2|,..., |xj}. Очевидно, |хи|<Л для
всех номеров п> что и означает ограниченность последова¬
тельности {xj. ■
Замечание. Ограниченная последовательность может и не
быть сходящейся. Например, последовательность-1, 1, -1,...,
(-1)”,... ограничена, но не сходится. Проведем рассуждения
от противного. Предположим, что предел данной последо¬
вательности — число а. Это означает, что для любого в > 0, в
частности и для в = 1/2, существует номер N такой, что при
n>Nбудет \хп-а\<\/2. Так какхп принимает попеременно
значения 1 и -1, то можно записать 11 -а\ < 1/2 и |(-1)-а\ < 1 /2.
Используя эти неравенства, имеем
2 = |1-а + й-(-1)|<|1-а| + |а-(-1)|<1+1 = 1,
т.е. 2 < 1. Полученное противоречие доказывает расходимость
данной последовательности.
О Пример 5. Известно, что последовательность {xj бесконечно
большая, а последовательность {у} имеет конечный предел, отличный
от нуля (у *0). Что можно сказать о последовательностях: 1) {х +у };
2){yjxn};h{xn/yn}?
Решение. 1) Так как последовательность {уп} сходится, то по теореме 3.6
она является ограниченной, т. е. для всех п выполняется неравенство
|уп\ < А, а так как последовательность {хп} бесконечно большая, то начиная
с некоторого номера п будет выполняться неравенство \хп\ >Л+М, где
М — любое положительное число. Тогда начиная с некоторого номера
п выполняется неравенство
К+ уп\^\хп\-1 уJ > (А+М)Т»,
т.е. \хп+уп\ >М, а это, по определению бесконечно большой последо¬
вательности, и означает, что последовательность {хп+уп} бесконечно
большая.
1} См. сноску на с. 113.
2)Здесь использовано свойство абсолютных величин \х-у\>\х\-\у\
(см. теорему 1.4).

124
Глава 3. Теория пределов
2)	Последовательность {уп /хп} бесконечно малая, так как ее можно
представить в виде {1/xJ • {z/J, где последовательность {i/xj по теореме 3.1
бесконечно малая, последовательность {г/J согласно теореме 3.6 огра¬
ниченная, а по теореме 3.4 последовательность {1 /xn-yj бесконечно
малая.
3)	Так как последовательность {yjxj (см. случай 2) бесконечно малая,
то по теореме 3.1 последовательность {*„/*/„} бесконечно большая. •
Докажем следующие основные теоремы.
Теорема 3.7. Сумма (разность) двух сходящихся последо¬
вательностей {хп} и {г/J есть сходягцаяся последовательность,
предел которой равен сумме (разности) пределов последова¬
тельностей {xj и {г/J, т.е.
lim(хп±уп)= lim хп ± lim уп.
тг—> оо	я-» оо	я-» оо
□	Доказательство. Пусть aab — соответственно преде¬
лы последовательностей {хп} и {г/л}. Тогда по формуле (4)
х =а+а , у =Ь + (3 ,
п	п7 ^ п	г п7
где {ал} и {рл} — бесконечно малые последовательности. Сле¬
довательно,
(xn±yj-(a±b)=а+рл.
По теореме 3.2 последовательность {an±pj бесконечно
малая. Таким образом, последовательность {(xn±yn)-(a±b)}
также бесконечно малая и поэтому последовательность {^±*/„}
сходится и имеет своим пределом число а±Ь. ■
О Пример 6. Известно, что последовательность {xj сходится, а
последовательность {у^ расходится. Что можно сказать о сходимости
последовательности {хи+г/и}?
Решение. Проведем рассуждения от противного. Предположим, что
последовательность {*„+*/„} сходится. Тогда, согласно теореме 3.7, по¬
следовательность {г/J также сходится, так как {z/J = {(xn+yn) - xj. Но по
условию последовательность {г/J расходится. Полученное противоречие
доказывает, что последовательность {*„+*/„} расходится. •
Теорема 3.8. Произведение сходящихся последовательно¬
стей {xj и {г/J есть сходящаяся последовательностьу предел
которой равен произведению пределов последовательностей
{xj и {г/J, т.е.
lim(хп-уп)= lim хп ■ lim уп.
тг—> оо	я-» оо я-» оо
□	Доказательство. Пусть aab — соответственно пре¬
делы {хп} и {г/л}. Тогда по формуле (4)
х =а+a , у =Ь + (3 ,
п	П7	J	п	• п7

3.2. Сходящиеся последовательности
125
где {ая} и {pj — бесконечно малые последовательности. Сле¬
довательно,
х •у -а-Ь=ф +ba +а 6 .
п ^ п	'п	п	пУ	п
Согласно теоремам 3.2—3.4, последовательность {apn+6a+anpn}
бесконечно малая. Таким образом, последовательность
{xny-ab) также бесконечно малая и поэтому последователь¬
ность {хп■ уп} сходится и имеет своим пределом число а-Ь.ш
О Пример 7. Пусть последовательность {xj — геометрическая про¬
грессия со знаменателем q, причем |g|< 1 их,^0. Доказать, что
Ит5и=-^-.	(5)
оо	1 - q
Решение. Так как (см. формулу (7) на с. 110)
_х1-х1дп _ х1 х1 ^
П	А	А	А	'	Ч
1-q	1-q	1-q
и lim qn = 0 (см. пример 2), то, переходя к пределу при я-»оо и применяя
п^> оо
теоремы 3.7—3.8, получаем
lim S„ = lim —	— lim qn = —	—-О =	•
п-+ оо	оо	1-q	1-q	1-q	1-q	1-q
Предел (5) называют суммой бесконечно убывающей гео¬
метрической прогрессии и часто обозначают через S.
Например, суммой бесконечно убывающей геометриче-
И 1 1	,	1 и 1	,
скои прогрессии 1; —; —; —;rflex^l, q = -, т.е. \q\ = -<\,
2 4 8	2	2
является
S = lim Sn = —= 2.
п-*«> "	1-1/2
Теорема 3.9. Частное двух сходящихся последовательно¬
стей {xj и {г/п} при условии, что предел {г/п} отличен от нулях\
есть сходящаяся последовательность, предел которой равен
частному пределов последовательностей {.хJ и {г/J, т.е.
X lim Хп
lim- 71 - я->°°
w_>0° Уп lim Уп
я-» со
□	Доказательство. Пусть а и b (ЬфО) — соответственно
пределы последовательностей {xj и {z/J. Тогда по формуле
(4)
0 Согласно условию lim уп * 0, элементы уп начиная с некоторого но¬
мера N не обращаются в нуль, поэтому частное {xjyn} имеет смысл для
всех n>N.

126
Глава 3. Теория пределов
х =а+ос, у =b + l3
п	п’	^	П	')
где {ап} и {рп} — бесконечно малые последовательности. Сле¬
довательно,
Согласно свойствам бесконечно малых последователь-
тельность. Покажем, что {1/yJ есть ограниченная последо¬
вательность. Так как уп-^Ъ, Ъф0 при п->оо, то для ъ = \Ь\/2
найдется номер N такой, что для всех n>N будет \yn-b\<\b\/2.
Тогда
откуда | уп | > | b |/2, и, следовательно, | \/уп \ < 2/\ b \ для всех n >N,
что и означает ограниченность последовательности {1/г/л}.
конечно малая, поэтому последовательность {хJуп-а/Ь} также
бесконечно малая. Следовательно, последовательность {хп/уп}
сходится и имеет своим пределом число а/Ъ. и
Теоремы, доказанные в этом пункте, имеют очень большое
как теоретическое, так и практическое значение. Но несмотря
на свою простоту, их правильное применение представляет
значительную трудность для многих начинающих. Особое
внимание следует обратить на тот факт, что применение тео¬
рем требует существования конечных пределов. Покажем,
х„ a bxn -ауп b(a+an)-a(b + |3Я)	1
Уп Ъ Ьуп	Ьуп	ут
Уп
|уя| = |*-(*-Уя)|^Н-|уя-*|>Н-2^ =-^2
_о о
2
По теореме 3.4 последовательность
роны,
со YI	Я->со	со	со	YI
lim + ^ = Hm	= lim 5 + lim — = 5 + 0 = 5,
с другой стороны,
?i—rw п	IIIII	П
1} См. сноску на с. 123.

3.2. Сходящиеся последовательности
127
Получено неверное равенство 5= 1. rw +о
Рассмотрим последовательность I	к С одной стороны,
lim^-^ = limfl + —1 = lim 1 + lim — = 1 + 0 = 1,
oo fl n-> oo \ YlJ я->со п^><х>П
с другой стороны,
lim	= lim (и +1) • lim — = oo • 0 = 0,
oo /2 я-»оо	и^oo Yl
получено неверное равенство 1 = 0.
Наконец, рассмотрим последовательность 1, 1, 1, 1,... с
общим элементом х = 1. С одной стороны, lim 1 = 1, с другой
П	Я-» со
стороны,
lim 1 = lim \(п + \)-п\= lim (гг+ 1)- lim п = оо-оо = 0.
я-» оо	ооL	гг^-со	я->оо
Опять получено неверное равенство 1 = 0.
Во всех рассмотренных случаях допущена грубая ошиб¬
ка: неправильно применены теоремы о пределах частного,
произведения и разности — последовательности {5п+1}, {п}
и {п+1} не имеют конечных пределов.
Еще раз подчеркнем, что запись lim хп = оо не обознача-
Я-» со
ет никакого числа, а является лишь выражением того, что
элементы последовательности {хп} по абсолютной величине
неограниченно возрастают. Поэтому с символом оо нельзя об¬
ращаться как с числами и писать ^ = 1, или оо-0 = 0, или
оо	— оо = 0.
Такого рода неточности часто встречаются при нахожде¬
нии предела последовательности, заданной в виде отношения
или разности двух выражений. Например, теорему о пределе
частного непосредственно применить не удается, если чис¬
литель или знаменатель не имеют конечных пределов или
предел знаменателя равен нулю. В таких случаях следует
предварительно преобразовать данную последовательность.
Часто бывает полезно разделить числитель и знаменатель
на одно и то же выражение или умножить. Этот прием будет
неоднократно использован в дальнейшем.
Рассмотрим теперь наиболее типичные примеры.
тт	о тт ” т 2тг2 + гг +1
О	Пример 8. Наити lim	=	•
я->°° Зп — 1
Решение. При я—»оо числитель и знаменатель стремятся к беско¬
нечности и сразу применить теорему о пределе частного нельзя, так

128
Глава 3. Теория пределов
как в условии этой теоремы предполагается существование конечных
пределов. Поэтому сначала преобразуем данную последовательность,
разделив числитель и знаменатель на п2. Затем, применяя теоремы о
пределе частпого и о пределе суммы, найдем
2п2+п + 1	2	+	l/n + l/n2 lm(2 + l/« + l/«2)
lim	5	= lim	-—/-5— =	7-5	=
я-*» Зп -1 ^oo 3-1jn	lim(3-1jn)
n—>00
lim2+lim(l/w) + lim(l/7z2) о.л.л о
_ n—>00 n—>00	n—>00	  ^	_	_
lim3-lim(l/rc2)	3-0	3
Пример 9. Найти lim
w->ooV?z+l n )
Решение. В первом слагаемом в выражении, стоящем под знаком
предела, как и в примере 8, применить сразу теорему о пределе частного
пельзя. Поэтому, разделив сначала числитель и знаменатель на п, а затем
применив теоремы о пределе частного и о пределе суммы, найдем
г „	г	lim 5	г
lim —=	lim —	— =	^- = 5.
и—>оо п + 1	п->°о1 + 1/тг lim 1+ lim (1/тг)	1+0
П—>00 П—>00
Второе слагаемое выражения, стоящего под знаком предела, можно
рассматривать как произведение ограниченной последовательности
{sin п) (| sin п| < 1) и бесконечно малой {1 /и}. По теореме 3.4 второе сла¬
гаемое является бесконечно малой последовательностью и предел ее
равен нулю. Следовательно, окончательно получаем
v ( 5п	sinn)	л. 5п	sinn	с л	_
lim 	+	 = lim	+ lim	= 5+0 = 5.
П—>00 U + 1	П )	п—>00 П + 1	п—>со Т1
Более компактно решение примера можно записать следующим
образом:
( Ъп sin/Л	Ъп	л. sin я
lim 	+	 = lim	— + lim -
п-*Ля + 1 п ) п—>00 1 + \j Л п—>со п
lim 5	/	5
= 				—+ lim sin п— =	+0 = 5.
lim 1+ lim(l/w) n-юЛ	п)	1+0
ГС—>00 П—>00
Когда вырабатывается определеппый навык, подробную запись
можно сократить.
Пример 10. Найти lim —«	.
п +1
Решение. Имеем
,.	2п-3	2-3jn
lim —z	= lim	= О,
«-><» w +1 n->oow+l/w
так как при п^>оо последовательность {2-3/п) ограниченная (покажите

3.2. Сходящиеся последовательности
129
это самостоятельно), последовательность {п+\/п} бесконечно большая
(покажите это самостоятельно), а по теореме 3.1 последовательность
^ является бесконечно малой. Следовательно, на основании
rc + l/rcj
теоремы 3.4
lim
п—>00
2-1
п) п+Х/п
= 0.
Пример 11. Найти lim
2я3 +4
п-»« п2 +5
Решение. Имеем
2я3 +4
lim —=	= lim -
я->°°я2+5 п^со\/п+5/п3
так как при п-+ оо последовательность {zj = {2+4/и3} сходящаяся (г,-^),
последовательность {1/гя} ограниченная (покажите это самостоятельно),
последовательность {г/^} = {1 /гг ч-5/гг3} бесконечно малая (покажите это
самостоятельно), а по теореме 3.4
lim — = lim \ уп •—] = О,
я->оо2„	/
то данная последовательность, в силу теоремы 3.1, есть бесконечно
большая и ее предел равен оо.
Пример 12. Найти lim 1+^+3+- + п ^
п >°о	п
Решение. Здесь, хотя в числителе и стоит сумма, теорему о пределе
суммы непосредственно применить нельзя, поскольку число слагаемых
не конечно, а зависит от п (с увеличением п число слагаемых тоже уве¬
личивается). Поэтому проведем преобразование. Так как 1 +2+3+...+W
есть сумма членов арифметической прогрессии с разностью d= 1 и она
(1 + п)п
равна -—то
1	+ 2 + 3 + ... + Я	(1 + п)п л. п + п2
lim	=	= lim 		= lim	5— =
п >о°	П-»00 2п п^>со 2п
.. 1+1/я 1+0 1
= lim —-7— = —— = -.
п >оо 2	2	2
тт 40 о -	1'	1+1/2	+	1/22+...+l/2W
Пример 13. Наити lim		-г-~	—.
»^«l+l/3 + l/32+...+l/3n
Решение. Так как 1 +q+q2+... +qn — сумма п +1 членов геометриче¬
ской прогрессии со знаменателем q (в числителе q= 1/2, в знаменателе
1-<7W+1
<7 = 1/3) и она равна —-—, то
\-q

130
Глава 3. Теория пределов
lim
1 + 1/2 + 1/22 +... + 1/2” _ Цт (1—l/2”+1 )(1 —1/3)
»-*» 1+1/3+1/32 +... +1/3”	(1 -1/2)(1 - l/3re+1)
(1-0)(1-1/3)	2/3	4
Пример 14. Найти lim
п—>00
Решение. Имеем
lim
(1 —1/2)(1 — 0)	1/2	3
1
1 1
l*2 + 2*3 + "' + rc(7z + l)
1
J	1_
1-2 + 2-3+	+тг(7г+1)
= lim
И—>00
2 — 1 3 — 2	72+1 — 72
	1	К... н
1-2	2-3
72(72 +1)
= lim
п—>00
,11111 1 11 1
1—+	+	+...+	+
2	2	3	3	4	72	—	1	72	72	72+1
= lim
1——
tl—>00
72 +1
= lim —= lim —
П—>00 72 +1 И—>00 ^	1	1+0
72
= 1.
тт	о - r ^ 723	3722 ^
Пример 15. Наити lim I —=	1.
га->со^72 +1 3?2 +lj
Решение. Так как lim
72
я->°° 72 +1
-	= оо (покажите это самостоятельно) и
372
lim — = оо (покажите это самостоятельно), то применить непосред-
п->оо 372+1
ственно теорему о пределе разности нельзя. Поэтому сначала преобра¬
зуем выражение, стоящее под знаком предела, приведя его к общему
знаменателю и разделив числитель и знаменатель на 723. Затем, применяя
теоремы о пределе частного, произведения и разности, найдем
1-3/72	_	1-0	_1	л
( 723
lim j "	1 - lim	 	--
п™{п2 +1 Зтг +1J "(1+1/722)(3 +1/72) ~ (1+0)(3+0) ~ 3'
Упражнения. Найти пределы
: 1. lim (
cos п
\5n+il 10??
(Отв. —.) 2. lim . (Отв. 0.) 3. lim-^-. (Отв. 10.)
5	я->оо	п	+\	п^сю Yl + \
4.	lim п . (Отв.оо.) 5. lim ——^=. (Отв.оо.) 6. lim^
+1
Yl-yfn
2
со 3^-2
(Ошв. 5.) 7. lim 1 + ^ + 9 + ... + гс	(Отв. Указание:
я-ко	/г+Зя + 2	3
предварительно преобразовать числитель, используя фор-

3.2. Сходящиеся последовательности
131
примере 1 на с. 27.) 8. lim
мулу I2 + 22 + 32 +... + п2 =
2 п(п + l)(2w +1)
= 6
п\	.
. (Отв. 0.)
, доказанную в
я->да(и + 1)!-га!
3.2.3. Предельный переход в неравенствах
Теорема 3.10. Если элементы сходящейся последователь¬
ности {хп} начиная с некоторого номера удовлетворяют нера¬
венству хп>Ь (хп<Ь), то и предел а этой последовательности
удовлетворяет неравенству а>Ь (а<Ь).
□	Доказательство. Пусть все элементы хп начиная с
некоторого номера удовлетворяют неравенству хп>Ъ. Тре¬
буется доказать неравенство а >Ь. Предположим обратное,
что а<Ь.
Так как а — предел {хп}, то для s=b-a существует номер N
такой, что при п > N выполняется неравенство \хп-а\<Ь-а, ко¬
торое равносильно следующим двум неравенствам: -(b-а) <
<хп-а<Ь-а. Из правого неравенства получаем хп<Ь, а это
противоречит условию теоремы. Случай хп<Ь рассматри¬
вается аналогично. ■
Замечание. Из теоремы следует, что знак нестрогого не¬
равенства при переходе к пределу сохраняется. Однако при
переходе к пределу в строгом неравенстве, х>Ь (хп<Ь), может
появиться и знак равенства, т. е. а>Ь (а<Ь). Возьмем, напри¬
мер, последовательность {1/п}. Очевидно, чтохп= 1/п>0 (Ь=0)
для любого номера и, в то время как lim (1/и) = 0 (о=0).
О	Пример 16. Пусть lim хп = а и lim уп = Ь, причем начиная с неко-
71—>оо	71—>оо
торого номера п выполняется неравенство хп<уп. Доказать, что а<Ь.
Решение. Действительно, начиная с некоторого номера п, элементы
последовательности {уп-хJ неотрицательны, а поэтому, в силу теоремы
3.10,	неотрицателен и ее предел:
отсюда следует, что а<Ь. •
Упражнения. 1. Пусть lim хп = с и все элементы хпе [а, Ь],
т.е. а<хп<Ь для любого номера п. Доказать, что и предел
се[а, Ь\, т.е. а<с<Ь. 2. Приведите пример последователь¬
ности, когда при переходе к пределу строгое неравенство
И т(уп-хп)= lim уп-lim хп=Ъ-а> О,
не сохраняется.

132
Глава 3. Теория пределов
Следующая теорема играет важную роль в различных
приложениях.
Теорема 3.11. Пусть даны три последовательности {xj,
{yj и {zj, связанные неравенствами xn<yn<zn — для всех п.
Тогда если {хп} и {zj имеют один и тот же предел а} то {.уJ
также имеет предел а.
□	Доказательство. Возьмем любое в > 0. Для этого в для
{xj найдется номер Nx такой, что \хп-а\<г при всехn>Nv т.е.
(6)
а-в<х <а+в.
Для этого же в для {zJ найдется номер N2 такой, что
\zn-a\<s при всех n>N2, т.е.
tf-8>Zn<tf + S.	(7)
Возьмем N=max{Nv N2}. Тогда для n>Nбудут одновременно
выполняться неравенства (6) и (7). Используя подчеркнутые
их части, а также неравенства, данные в условии теоремы,
можно записать
а-в<х <у <2 <а+в для n>N.
п ^ п п
Отсюда
а-г<уп<а+в или \уп-а\<г для n>N.
Последнее означает, что пределом {г/п} является а. ■
О	Пример 17. Найти пределы последовательностей, заданных об¬
щими элементами:
п	п
п П ’ п П
yjn +п у1п
+1
1	1 1
yjn2 +1 y]n2 +2 у!п2 +п
Решение. Докажем, что lim хп = lim zn= 1. Действительно,
И->00	И—>00
lim х„ = lim . П = lim —. П = lim -
п-+ оо ” я^оо 2 +п П^сопф + Уп п^соф + уП
Так как 1 < -^/l -I- 1/zz < 1 н- 1/гг, a lim (1 и-1/тг) = 1 и lim 1 = 1, то по теоре-
и—>00	га—>00
ме 3.11 lim Jl + 1/п = 1. Следовательно, lim = 1.
и—>оо	га—>00
Аналогично доказывается, что lim 2=1.
га-> оо
Докажем теперь, что lim = 1. Действительно, с одной стороны,

3.2. Сходящиеся последовательности
133
1	1 1
п
Уп < г-у	+ j р	+ ••• + I 2
yjn +1	\1п	+1 у]п +1
п слагаемых
с другой стороны,
1 1 1
я
т.е. получаем xn<yn<zn. А так как, по только что доказанному,
lim хп = Нш = 1, то, применяя еще раз теорему 3.11, получаем, что
Упражнение. Пусть элементы последовательностей {хп} и
{Уп} удовлетворяют неравенствам 0 <хп<уп для всех номе¬
ров п и пусть последовательность {г/J бесконечно малая.
Установить, существует ли предел последовательности
{xj, и если да, то чему он равен и почему.
1.	Сформулируйте определение предела последовательности.
Дайте геометрическую интерпретацию.
2.	Приведите примеры, когда номер N в определении предела
последовательности зависит от в; не зависит от s.
3.	Является ли бесконечно малая последовательность сходя¬
щейся?
4.	Является ли бесконечно большая последовательность схо¬
дящейся?
5.	Может ли последовательность иметь два разных предела?
6.	Может ли неограниченная последовательность быть сходя¬
щейся?
7.	Приведите пример ограниченной последовательности, но не
являющейся сходящейся.
8.	Приведите пример сходящейся и ограниченной последова¬
тельности.
9.	Приведите примеры сходящихся последовательностей, когда:
а) элементы последовательности с ростом п приближаются к преде¬
лу только с одной стороны; б) с двух сторон одновременно. Дайте
геометрическую интерпретацию.
10.	Какая последовательность называется расходящейся?
11.	Пусть в некоторой окрестности точки а лежит бесконечно
много элементов последовательности {xj. Следует ли из этого ус¬
ловия, что lim хп=а?
Вопросы для самопроверки

134
Глава 3. Теория пределов
12.	Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много эле¬
ментов последовательности {xj. Следует ли отсюда, что lim хп=а?
п	И—>00
13.	Может ли последовательность с положительными элементами
иметь отрицательный предел, а последовательность с отрицатель¬
ными элементами — положительный предел?
14.	Приведите пример, когда при переходе к пределу строгое
неравенство сохраняется (не сохраняется).
15.	Сформулируйте теорему о трех последовательностях.
3.3.	Монотонные последовательности
3.3.1.	Определение и признак сходимости
монотонных последовательностей
Определение. Последовательность {.%} называется воз¬
растающейу если хх <х2<х3< ... <хп<хп+х < ...; неубывающей,
еслихх<х2<хъ<... <хп<хп+х<...; убывающей, еслих{>х2>х3> ...
... >хп>хп+1> ••• ; невозрастающей, если х{>х2>х3> ... >хп>
>х .>....”+
п+1
Все такие последовательности объединяются общим на¬
званием монотонные. Возрастающие и убывающие последо¬
вательности называются также строго монотонными.
Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.
11	1
О 1) Последовательность 1,	, ... убывающая и огра-
2	3	п
ниченная.
2)	Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, ..., 1/и, 1 /п, ...
невозрастающая и ограниченная.
3)	Последовательность 1, 2, 3, ..., п, ... возрастающая и неогра¬
ниченная.
4)	Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, ..., п, п, ... неубывающая
и неограниченная.
5)	Последовательность 1/2, 2/3, 3/4, ..., п/(п+1), ...возрастающая
и ограниченная. •
При исследовании на монотонность конкретных после¬
довательностей чаще всего выясняют знак разности xn+i-xn
или (для положительных последовательностей) сравнивают
с единицей отношение
О	Пример 1. Доказать, что последовательность с общим элементом
п
хп = 			 монотонно возрастающая.

3.3. Монотонные последовательности
135
Решение. Надо доказать, что хп+1 >хп для любого п. Найдем xn+v
заменив п на п +1, в выражении для
п +1	_ п+1
x"+1 ~ 2(п + 1)+1 “ 2п+3
Сравним значения дробей хп = —-— и xw+1 = П + \] для этого приве-
2?г + 1	2п+3
дем их к общему знаменателю. Получаем
2п2+Зп + 1	2п2+3п
Хп+1 = (2п + 3)(2п+1)’ Хп ~ (2п +3)(2п +1)
Так как 2п2+Зп + 1 >2п2+3п, то первая дробь больше второй, значит,
хп+1 >хп для любого п, что и требовалось доказать.
Пример 2. Доказать, что последовательность с общим элементом
хп=-^ монотонно убывающая.
Решение. Надо доказать, что хп>хп+1 для любого п. В самом деле,
рассмотрим отношение последующего члена хп+1 к предыдущему хп:
1	+ ±
*я+1 _я + 1< тг _ (^ + 1)5" гг + 1 1 _ 1 + п ^ 1 + 1 = 2 ^ 1
5И+1 ' 5”	5п5п	п 5	5	5	5
Следовательно, хп>хп+х для любого п, что и требовалось доказать. •
Отметим, что монотонные последовательности ограничены
по крайней мере с одной стороны: неубывающие последо¬
вательности — снизу (х >х{ для всех п), невозрастающие —
сверху (рсп<хх для всех п). Оказывается, что если монотонная
последовательность ограничена с обеих сторон, т.е. просто
ограничена, то она сходится. Немонотонные последователь¬
ности этим свойством не обладают. Например, немонотонная
последовательность {(-1)”} ограничена, но не сходится (см.
замечание к теореме 3.6).
Имеет место, следующая основная теорема о монотонных
последовательностях.
Теорема 3.12. Монотонная ограниченная последователь¬
ность имеет предел.
□	Доказательство. Рассмотрим случай монотонно не¬
убывающей последовательности. Пустьxt<x2<x3<...<xn<
<хп <... и существует число Мтакое, что все элементы хп
не больше М, т.е. хп<М. Рассмотрим числовое множество
X, состоящее из элементов данной последовательности. По
условию это множество ограничено сверху и непусто. Поэто¬
му, в силу теоремы 1.1, множество X имеет точную верхнюю

136
Глава 3. Теория пределов
грань. Обозначим ее через а и покажем, что а — предел данной
последовательности.
Поскольку а — точная верхняя грань множества элемен¬
тов последовательности {хп}, то, согласно ее свойству, для
любого в > 0 найдется номер N такой, что xN>a 8* Так как
{хп} — неубывающая последовательность, то при n>Nимеем
a-s. С другой стороны, по определению верхней грани
хп<а<а+s для всех п. Таким образом, для n>Nполучаем
неравенства а<е<хп<а+е, из которых вытекает неравен¬
ство |хя-о|<е. Последнее и означает, что число а — предел
последовательности {xj.
Случай монотонно невозрастающей последовательности
аналогичен. ■
Замечание. Условие ограниченности монотонной после¬
довательности представляет собой необходимое и достаточное
условие ее сходимости.
В самом деле, если монотонная последовательность огра¬
ничена, то, в силу теоремы, она сходится; если же монотонная
последовательность сходится, то согласно теореме 3.6 она
ограничена.
О	Пример 3. Доказать, что последовательность с общим элементом
га!
х = — сходится, и наити ее предел,
га"
1-2
Решение. Данная последовательность имеет вид 1, —=-,
2
1-2-3 га! п	п
——, ..., —, .... Докажем сначала сходимость. Для этого, очевид¬
но, достаточно показать, что данная последовательность монотонна и
ограничена. Действительно,
xn+i (га+1)! , га! га!(га+1)га”	га”
хп ~ (га+1)и+1 га" ~ (га+1)"(га+1)га! ~ (га+1)" ’
га"
а так как	<1, то х л <х, значит, последовательность монотонно
(я + 1)"	”+1	”
убывающая и ограничена сверху. Так как хп> 0, то она ограничена снизу,
например, нулем. Следовательно, последовательность монотонна и ог¬
раничена. По теореме 3.12 она сходится, т.е. имеет конечный предел.
Найдем этот предел. Обозначим его через а. Так как все элементы
хп>0, то, согласно теореме 3.10, а>0. Здесь воспользуемся неравенст¬
вом Бернулли1
(l+h)n>l+nh(h>-l),
1} Бернулли Якоб (1654—1705) — швейцарский математик.

3.3. Монотонные последовательности
137
доказательство которого проведем по индукции. При п = 1 неравенство
очевидно (в этом случае оно переходит в равенство). Предположим, что
оно справедливо при n=k, и докажем его справедливость при n=k+1.
Умножая обе части неравенства на (1+h) (знак неравенства не изме¬
нится, так как 1 +h>0), получаем
(l+h)k+i>(l+kh)(l+h)=l+kh+h+kh2>l+(k+l)h
(так как kh2>0), что и требовалось доказать. Продолжая решение при¬
мера, имеем
(n+ir_rn+ir=r1+iy,1+n.i=2.
п \ п /	\ п/	п
X	71П	1	1
Следовательно, —=	<—,или лг„,< <—х„. Переходя в послед-
лг„	0ч+1)я	2	2
Л
нем неравенстве к пределу при я-» <х>, получаем неравенство а < —а,
711
откуда а=0. Таким образом, lim — = 0.
гс->°° пП
Пример 4. Последовательность {.гJ задана рекуррентным соотно¬
шением х{ = yj2, xn+i = yj2+xn. Доказать, что эта последовательность
имеет предел, и найти его.
Решение. Данная последовательность имеет вид
Х[ = у/2, х2 = ^2+у/2, хз = ^2+>/2 + у/2 , ...,
хп — ^2+^2 + ...+V2 , ...
и корней
Проверим факт существования предела. Для этого установим, что
последовательность монотонна и ограничена. Из неравенства
*я+1
= J17x^>Jh~>Jxi = xn
следует, чтохп<хп+1, т.е. последовательность монотонно возрастающая
и ограничена снизу. Покажем, что последовательность ограничена и
сверху. В самом деле, так как х{=>/2<2, то i2= ^2+х{ < л/2 + 2 = 2,
х$ = у]2 + х2 < у/2 + 2 = 2, ... .
Предположим, что доказано неравенствохп< 2. Тогда ХП+1=Р+ХП <
<>/2+2=2, а так как xt < 2, то по индукции доказано, что для любого
71 выполняется неравенство хп< 2, т.е. последовательность ограничена
и сверху.
Таким образом, установлено, что данная последовательность моно¬
тонна и ограничена. Согласно теореме 3.12 она имеет конечный предел.
Теперь, зная, что предел существует, найдем его. Пусть lim хп = а.
п-^> 00
Тогда и lim хп+1 = а, так как общий элемент хп+х задает ту же последова-

138
Глава 3. Теория пределов
тельность, чтоил^. Возводя в квадрат равенство хп+1 = у]2 + хп, получаем
х\+х = 2 +хп. Переходя в этом равенстве к пределу при п ->оо
lim**+1 = \\т(2+хп),
И—>оо
приходим к уравнению а2 = 2 + а. Решая полученное уравнение, находим
я1 = 2, а2=-1. Так как, по доказанному ранее, последовательность {хя}
возрастает и по условию xt > 0, то предел должен быть положительным,
следовательно, lim хп = 2. •
П—>00
Заметим, что теорема 3.12 устанавливает только факт су¬
ществования предела и ничего не говорит о самом пределе.
Однако и это в теории пределов имеет большое значение.
Иногда важно только знать, что предел существует.
3.3.2.	Число е
Рассмотрим последовательность {х } с общим элементом
44)'
(4)2	КГ-"
и докажем, что она сходится. Для этого достаточно пока¬
зать, что последовательность {хп} возрастающая и ограничена
сверху.
Применяя формулу бинома Ньютона, получаем
x„=1+w.i+^zi>.j-+^-^-2>4+...
п 2! п2	3!	пъ
п(п-\)(п-2)-[п-(п-\)] J_
■"+	п\	' Пп'
Представим это выражение в следующем виде:
я!\	п/\	п/	\	п
Аналогично запишем (п+ 1)-й элемент:
=2+1|11~я^т)+ш(1“й+т)(1-п+т
(1)

3.3. Монотонные последовательности
139
li-—in-—
(w + l)!V n + V\ пл-Х) \ n +1
Прежде всего заметим, что	при 0<k<n,
т.е. каждое слагаемое в выражении хл+1 больше соответству¬
ющего слагаемого в выражении хл, и, кроме того, у хл+1 по срав¬
нению с хл добавляется еще одно положительное слагаемое.
Поэтому хл<хл+1, т.е. последовательность {хл} возрастающая
и ограничена снизу.
Для доказательства ограниченности данной последова¬
тельности сверху заметим, что каждое выражение в круглых
скобках в соотношении (1) меньше единицы. Учитывая также,
что 1/и!<1/2"'1 прига>2, получаем
о	1	1	1	.	.	1	1	1
< 2 Н	1	Ь ... Н < 1 +1 Н 1—7г +	-
2!	3!	п\	2	22	2я-1'
Применим формулу для суммы геометрической прогрессии
в последнем выражении; тогда
. 1-1/2” n 1
:1+
Гя|
3	7- < 3,
1-1/2 2я-1
т.е. последовательность ограничена сверху.
Таким образом, доказано, что последовательность |^1 +
монотонно возрастающая и ограничена. Согласно теоре¬
ме 3.12 она имеет конечный предел. Этот предел называют
числом е. Следовательно, по определению
е= lim Г1+—
Число е имеет большое значение во многих вопросах
теории и практики. Здесь дано только определение числа е.
Дальше будет приведен способ вычисления этого числа с
любой степенью точности.
Здесь лишь отметим, что, так как хл < 3 и из (1) непосред¬
ственно очевидно, что 2 <хл, то число е заключено в пределах
2<е<3. Доказывается также, что е — число иррациональное.
Оно, в частности, является основанием натуральных лога¬
рифмов, играющих в математике важную роль.

140
Глава 3. Теория пределов
Натуральные логарифмы обозначаются lnx (lnx=logex).
Установим связь между логарифмами чисел по любому осно¬
ванию а>0 и натуральными логарифмами. Для этого восполь¬
зуемся вытекающим из определения логарифма тождеством
х = alogaX. Прологарифмируем обе части этого равенства по
основанию е. Получим
Пример 6. Найти последовательные целые числа, между которыми
содержится выражение 6(1 -1,01_100).
Решение. Представим данное выражение в виде
Воспользуемся тем, что 2 < (1 +1 /п)п < 3. Тогда 1/2 > (1 +1 /п)~п > 1 /3,
-1/2<-(l + l/w)"n<-1/3. Прибавляя к каждой части неравенства 1,
находим 1/2 < 1 - (1 +1 /п)~п < 2/3. Полагая п = 100 и умножая почленно
на 6, окончательно получаем
что и требовалось найти. •
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте определения: а) невозрастающей и воз¬
растающей последовательностей; б) неубывающей и убывающей
последовательностей.
\пх = In alogaX = \ogaX'\nay
откуда
1
loga х = 1— 1п х> ил и 1°§я х = М In х.
Число М называется модулем перехода.
п+1
О	Пример 5. Найти
Решение. Воспользуемся тем, что	=	е.	Имеем

3.4. Теорема о вложенных отрезках
141
2.	Приведите пример немонотонной последовательности.
3.	Приведите пример монотонной ограниченной (неограничен¬
ной) последовательности.
4.	Докажите теорему о сходимости монотонной последователь¬
ности для случая невозрастающей последовательности.
5.	Предел какой последовательности назван числом е?
3.4.	Теорема о вложенных отрезках
Изучение теории пределов закончим доказательством
теоремы, которая будет в дальнейшем неоднократно исполь¬
зована при доказательстве других важных теорем.
Пусть дана последовательность отрезков [av 6J, \а2, Ь2],
..., [ап, Ьп),... таких, что каждый последующий содержится в
предыдущем: [av з [а2, Ь2] з ... з [ап, Ьп] з,..., т.е.
а <а ,<Ь <Ь длявсехп,	(1)
п п+1 п+1 п ^	/
и пусть Нт(6„ -ап) = 0. Назовем ее последовательностью
вложенных отрезков. Имеет место следующая теорема.
Теорема 3.13. Для любой последовательности вложенных
отрезков существует единственная точка с, принадлежащая
всем отрезкам этой последовательности, т.е. такая, что
ап<с<Ьп.
□	Доказательство. Из неравенств (1) следует, что левые
концы отрезков образуют монотонно неубывающую после¬
довательность
а<а2<аъ<...<а<ап+<...,	(2)
а правые концы — монотонно невозрастающую последова¬
тельность
b>b2>b3>..>b>bn+>....	(3)
При этом последовательность (2) ограничена сверху, а по¬
следовательность (3) ограничена снизу, так как an<bv а Ъп>ах
для любого п. Следовательно, на основании теоремы 3.12
эти последовательности имеют пределы. Пусть lima„ =с\ а
lim6 = с". Тогда из условия
п-^> оо
lim(6. -ап) = lim 6 -Нта„ = с" -с' = О
п^> оо	п-^> оо	п^> оо
следует, что с' = с", т.е. последовательности {ап} и {Ьп\ имеют
общий предел. Обозначая этот предел через с, получаем, что

142
Глава 3. Теория пределов
для любого п справедливы неравенства ап<с<Ьп, т.е. точка с
принадлежит всем отрезкам последовательности (1).
Покажем теперь, что точка с является единственной. Допус¬
тим, что существует еще точка сх (схч±с), принадлежащая всем
отрезкам последовательности (1). Тогда для любого п должно
выполняться неравенство Ьп-ап>\с^-с\^ и, следовательно,
\im(bn - ап) > |q - с\ ф 0, что противоречит условию теоремы. ■
Замечание. Теорема неверна, если вместо отрезков рас¬
сматривать интервалы. Например, для последовательности
вложенных интервалов
(О, 1)з(0, 1/2) з(0, 1/4) з ... з (0, 1/2») з...	(4)
не существует точки, принадлежащей всем интервалам.
В самом деле, какую бы точку с на интервале (0, 1) ни взять,
всегда найдется номер N такой, что при n>N имеет место
1/2" < с и точка с не будет принадлежать интервалам после¬
довательности (4) начиная с интервала (0, 1/2^). Точка нуль
также не принадлежит им, так как является общим левым
концом всех интервалов.
О	Пример 7. Построить последовательность вложенных отрезков
с точкой с = 1, принадлежащей всем отрезкам.
Решение. Искомой является последовательность вложенных отрез¬
ков [1/2,1], [2/3,1], [3/4,1], [4/5, 1 ],..., [п/(п +1), 1],..., так как левые
концы отрезков образуют последовательность {п/(п+1)}, предел которой
при оо равен 1 (см. пример 1 на с. 117). •
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте теорему о вложенных отрезках.
2.	Дайте геометрическую интерпретацию последовательности
вложенных отрезков.
3.	Приведите пример последовательности вложенных отрез¬
ков, стягивающихся к точке с=3.
3.5.	Контрольные задачи
3.1.	Последовательность {хп} задается двумя первыми элемен¬
тами xt = 0, х2= 1 и рекуррентным соотношением хп+2=хп+1-хп для
любого п> 1. Найдитех90 и xgg5.
3.2.	Докажите, что последовательность {3^} является беско¬
нечно большой.	г	п	2\
3.3.	Докажите, что последовательность \ ^-?=—> является
[ 5v н +1J
бесконечно малой.

3.5. Контрольные задачи
143
3.4.	Докажите вторую часть теоремы 3.1: если {ап} — бесконеч¬
но малая последовательность (ос^О), то {xj = {l/aj—бесконечно
большая последовательность.
3.5.	Покажите, что неограниченная последовательность {/?(_1)”}
не является бесконечно большой.
3.6.	Докажите, что последовательность {1 +1/2 + ...+1/2"} имеет
своим пределом число 2.
3.7.	Докажите, что последовательность {п/2”} имеет своим пре¬
делом число 0.
3.8.	Докажите, что \im(yfn + i - yjn-1) = 0.
п—
3.9.	Докажите, что если limхп=а, то limlxj = \а\.
П—> со	1
3.10.	Известно, что последовательность {хи} бесконечно большая,
а последовательность {уп} имеет конечный предел а*0. Что можно
сказать о последовательности {хп-уп}7
3.11.	Приведите примеры таких последовательностей {хп}
и {у }, чтобы	Ктхи	=0, lim уп =оо	и,	кроме	того: 1)	lim хп • уп = оо;
п	П-> со	П-> со
2)	limx„ у„=0; 3) limx„-уп =1; 4) Итхп уп не существует.
П—^со	П—> СО	И—>со
3.12.	Известно, что последовательность {xj расходится, а после¬
довательность {г/и} имеет конечный предел я^о. Что можно сказать
о	сходимости последовательности {хи-г/и}?
3.13.	Известно, что последовательности {xj и {г/и} расходятся.
Могут ли последовательности {хп+у^, {хп-уп} быть сходящимися?
расходящимися? Ответы обоснуйте примерами последовательно¬
стей {п}, {(-1)”}, {(-1)”+1}.
3.14.	Найдите:	1)	lim + ^;	2)	limП	+ ^;	3)	lim ” + ^—;
и^со 3 - 4?2	n^co	_ 1	п^со п +п~ 1
1	з 3/2 ^ 1-ч	(3-п Зп1+2\,
4)	lim —cosга3	; 5) lim I	;	1
6гг + 1/	и^°°^2^ + 1	4??	+lj
3.15.	Докажите, что limyfa = 1 (a — любое число).
П-»сО
3.16.	Найдите lim 5у13пю .
П—>°0
3.17.	Найдите \im(yjn2 +n -yjn2 -n).
П—>cO
3.18.	Докажите, что последовательность с общим элементом
2м
хп= — сходится, и наидите ее предел.
п\
3.19.	Последовательность {xj задана рекуррентным соотноше¬
нием xt = л/2, xn+1 = yj2хп. Докажите, что эта последовательность
сходится, и найдите ее предел.

Высшее назначение математики
состоит в том, чтобы находить
скрытый порядок в хаосе, который
нас окружает.
Н.	Винер
Глава 4
ФУНКЦИЯ
Переходя к изучению функции, отметим, что понятие
функции является основным не только в математическом
анализе, где оно изучается специально, но и во всей матема¬
тике в целом.
4.1.	Понятие функции
4.1.1.	Определение функции и основные понятия
Определение 1. Пусть XuY — некоторые числовые мно¬
жества. Функцией / называется множество упорядоченных
пар чисел (х;у)Х) таких, что хеХ,уе Yu каждое х входит в
одну и только одну пару этого множества, а каждое у входит
по крайней мере в одну пару. При этом говорят, что числу х
поставлено в соответствие число у, и nuiuymy=f(x). Число у
называется значением функции f в точке х. Переменную у
называют зависимой переменной, а переменную х — независи¬
мой переменной (или аргументом); множество X — областью
определения (или существования) функции, а множество Y —
множеством значений функции.
В отдельных учебниках функцию понимают как опреде¬
ленное соответствие между элементами двух множеств. При
этом понятие соответствия вводится как первичное, что, ес¬
тественно, вызывает некоторые трудности в его раскрытии2),
а главное — в четком понимании самого понятия функции.
Предлагаемое же определение функции через понятие мно¬
жества, во-первых, лишено этих недостатков и, во-вторых,
отвечает современному уровню преподавания математики.
1)	Напомним, что пара чисел х и у называется упорядоченной, если указа¬
но, какое из этих чисел считается первым, а какое — вторым. Упорядоченную
пару чисел мы записываем в виде (х; у), где х — первое число, у — второе.
2)	Попробуйте, например, объяснить, что означает термин «соответствие».

4.1. Понятие функции
145
Кроме буквы /для обозначений функций используют
другие буквы латинского и греческого алфавитов, например
У=У(х)> У=ё(х), У=ф(*), У=А(х), y=F(x) и т. д. Другими, бу¬
квами обозначают зависимую и независимую переменные.
Иногда зависимую переменную также называют функцией.
Наряду с термином «функция» используют равнознач¬
ный термин «отображение» и вместо y=f(x) пишут /:xi—>г/
и говорят, что отображение/ отображает число х в число у>
или, что то же самое, число у является образом числа х при
отображении/.
При вычислениях запись у =/(х) обычно удобнее записи
f\x\-^y. Например, запись f(x)=x2 проще использовать при
аналитических преобразованиях, чем запись/:xi—>х2.
Пусть на некотором множестве X определена функция/(х);
тогда значение этой функции, соответствующее некоторому
значению аргумента х0, обозначится /(х0). Например, если
/(х)=х2, то/(3)=З2 = 9,/(-2) = (-2)2 = 4, и т.д.
Функция, все значения которой равны между собой, назы¬
вается постоянной. Постоянная функция часто обозначается
буквой С (fix') — С).
О	функции/(х), определенной на некотором множестве X,
говорят, что она ограничена сверху (снизу) на этом мно¬
жестве, если существует число М(т) такое, что для любого
хеХ выполняется неравенство f(x)<M(f(x)<m). Функция,
ограниченная сверху и снизу на множестве Ху называется
ограниченной на этом множестве. Условие ограниченности
функции f{x) можно записать в следующем виде: существует
число М>0 такое, что для любого хеХ выполняется нера¬
венство \f(x)\<M.
О	Примеры. 1) Функция f(x)=sin х ограничена на всей числовой пря-
1
мой, так как |sinх\<\ при любомх(М=1); 2) функция f(x) = — не
х
является ограниченной сверху на интервале (0,1), так как не существует
числа М такого, что для любого хе (0, 1) выполняется неравенство
-<м. •
.Г
Пусть функция y=f(x) определена на некотором множе¬
стве Ху a Y — множество ее значений и пусть она ограничена
сверху (снизу) на множестве X. Тогда число М(т) и всякое
большее (меньшее) число называется верхней (нижней) гранью
множества значений функции Y, а наименьшее (наибольшее)
из чисел, ограничивающих множество Y сверху (снизу), —

146
Глава 4. Функция
точной верхней (нижней) гранью функции на множестве X,
которая обозначается sup/(*) (inf f{x)).
X	X
Если множество Yне ограничено сверху (снизу), то пишут
sup f(x) =+оо (inf f(x) =—оо). В этом случае для любого числа Л
х	х
существует такая точка х* еХ, что f(x') > A(f(x’) < А).
X
О	Пример. Функция f(x) =	 в промежутке Х= [0, +оо) имеет
1	+ х
точную нижнюю грань /72=0 и точную верхнюю грань М= 1. Действи¬
тельно, функция ограничена на данном промежутке, так как для любо-
х
тохе [0, +со) выполняются неравенства 0 <	<1 (тп=О, М= 1). Значит,
1	+ х
m и М являются соответственно нижней и верхней гранями множества
значений функции У= [0,1). Кроме того, так как f(x)> 0, то т=0 — точная
нижняя грань множества значений функции. Для доказательства, что
М= 1 — точная верхняя грань функции f(x), воспользуемся свойством
точной верхней грани: для любого в>0 существует число хе [0, +оо)
X	1 — £
такое, что	>1-8 или х >	, т.е. при х, удовлетворяющем послед-
1	+ х	s
нему неравенству, выполняется неравенство f(x) > 1 - 8, а это и доказы¬
вает, что М= 1 является точной верхней гранью функции f(x) =
1	+ х’
X	X
или в принятых обозначениях 1 = sup	, а 0 = inf 	. Заметим,
[О, +«)1+ЛГ	[0. +«)1 + дг
что точная верхняя грань М= 1 не принадлежит множеству значений
функции Y, а точная нижняя грань т=0 принадлежит Y. •
Над функциями можно производить различные арифмети¬
ческие операции. Если даны две функции/и g, определенные
на одном и том же множестве X, а С — некоторое число, то
функция С-fipc) определяется как функция, принимающая в
каждой точке х <=Х значение С ■ f(x); функция f±g — как функ¬
ция, принимающая в каждой точке х еХзначение f(x) ±g(x)\
f-g— как функция, принимающая в каждой точке х еХ зна¬
чение fix) -g(x); f/g — как функция, принимающая в каждой
точке х еХ значение f(x)/g(x) (при£(х)*0).
На плоскости функцию изображают в виде графика —
множества точек (х; у), координаты которых связаны соот¬
ношением y=f{x), называемым уравнением графика.
График функции может представлять собой некоторую
«сплошную» линию (кривую или прямую) и может состоять из
отдельных точек, например график функции у=п\ (рис. 79).
Заметим, что не всякая линия является графиком ка-
кой-либо функции. Например, окружность х2+у2= 1 не есть

4.1. Понятие функции
147
график функции, так как каждое
хе(-1, 1) входит не в одну, а в две
пары чисел (х; у) этого множества с
разными значениями//: ух = Wl-x2
и у2= -\11-х2, что противоречит
требованию однозначности в опре¬
делении функции (рис. 77). Однако
часть окружности, лежащая в ниж¬
ней полуплоскости, является
графиком функции у = -\ll-x2, а
другая ее часть, лежащая в верхней полуплоскости,
фиком функции у = +V 1-х2.
гра-
4.1,2.	Способы задания функций
Задать функцию/ — значит указать, как по каждому зна¬
чению аргумента х находить соответствующее ему значение
функции /(х). Существуют три основных способа задания
функций: аналитический, табличный и графический.
1)	Аналитический способ. Этот способ состоит в том, что
зависимость между переменными величинами определяется
с помощью формулы, указывающей, какие и в каком поряд¬
ке действия нужно выполнить, чтобы получить значение
функции, соответствующее данному значению аргумента.
Рассмотрим примеры.
01* Формула у = х2 задает функцию, область определения которой —
числовая прямая (-оо, +оо), а множество значений — полупрямая
[О, +оо) (рис. 78, а).
2,	Формула у = yjl-x2 задает функцию, областью определения
которой является отрезок [-1, 1], а множеством значений — отрезок
[0,1] (рис. 78, б).
Рис. 78

148
Глава 4. Функция
У+
1
Рис. 80
3.	Формула у = п\ ставит в соответствие каждому натуральному
числу (т.е. целому положительному числу) п число у = 1 • 2 • 3 • ... • п.
Например, если п = 3, то г/ = 3! = 6. Таким образом, формула у = п\ задает
функцию, область определения которой {1, 2, 3,..., п,...}, а множество
значений — {1!, 2!, 3!,..., п\,...} (рис. 79).
+1, если х>0,
4.	у = sgnx1} = j 0, если х = О,
-1, если х<0.
Данная функция задана с помощью нескольких формул. Она оп¬
ределена на всей числовой прямой (-оо, +оо), а множество ее значений
состоит из трех чисел: -1, 0 и +1 (рис. 80).
5.	Формула Дирихле2)
fl, если х — рациональное число,
У= А
[0, если х — иррациональное число.
Эта функция определена на всей числовой прямой (-оо, +оо), а мно¬
жество ее значений состоит из двух чисел: 0 и 1. •
Заметим, что функцию Дирихле изобразить графически
не представляется возможным.
2)	Табличный способ. Приведем следующую таблицу:
X
0
0,1
0,2
3
0,6
4
0,8
1,5
2
У
-1
10
1
-2
-8
0,5
-2
5
7
1} Термин sgn происходит от лат. signum — знак.
2)	Дирихле Петер Густав Л ежен (1805—1859) — немецкий математик.

4.1. Понятие функции
149
Поставим в соответствие каждому х, записанному в пер¬
вой строке таблицы, число у, стоящее во второй строке под
этим числом х, и будем говорить, что полученная функция
задана таблицей. Областью определения данной функции
является множество, состоящее из девяти чисел х, указанных
в первой строке таблицы, а множеством ее значений — мно¬
жество, состоящее из девяти чисел у, приведенных во второй
ее строке.
С помощью таблицы можно задать функцию только при
конечном числе значений аргумента.
Табличный способ часто используют для задания функ¬
ций. Так, хорошо известны, например, таблицы тригономет¬
рических функций, таблицы логарифмов и др. Примером
табличного способа задания функции служит расписание
движения поезда, которое определяет местоположение поезда
в отдельные моменты времени.
3)	Графический способ. Графический способ задания
функции обычно используют в практике физических измере¬
ний, когда соответствие между переменными х и у задается с
помощью графика. Такая операция обычно называется «сня¬
тием» значений с графика. Во многих случаях графики чертят
самопишущие приборы. Например, для измерения давления
атмосферы на различных высотах используют специальный
самопишущий прибор — барограф, который записывает на
движущейся ленте в виде кривой линии изменение давления
в зависимости от высоты.
Существуют и другие способы задания функций — напри¬
мер, при проведении расчетов на ЭВМ функции задаются с
помощью программ.
4.1.3.	Понятия сложной и обратной функций
Определение 2. Если на некотором множестве X определе¬
на функция z = ф(х) со множеством значений Z, а на множестве
Z — функция у = /(г), то функция у = /[ср (х)] называется
сложной функцией от х [или суперпозицией (иногда компози¬
цией) функций ф (х) и f(z)\, а переменная z — промежуточной
переменной сложной функции.
О	Пример. Функция у = sin х2 — сложная функция, определенная
на всей числовой прямой, так как у = f(z) = sin 2, 2 = ф(х) = х2. •
Определение 3. Пусть Xu Y — некоторые множества и
пусть задана функция fy т.е. множество пар чисел (х; у) (х еХ,

150
Глава 4. Функция
у е У), в котором каждое число х входит в одну и только одну
пару у а каждое число у — по крайней мере в одну пару. Если в
каждой паре этого множества числа хиу поменять местами,
то получим множество пар чисел (у\х), которое называется
обратной функцией ср к функции /.
Обратную функцию будем обозначать символом х = ср (у).
Обратная функция, вообще говоря, не является функцией,
так как каждое число у может входить не только в одну, но и
в несколько пар. Так, например, для функции у = х обратная
функция х = у однозначна (каждое число у входит в одну
пару), для функции у = х2 обратная функция х = ±yfy двузнач¬
на (каждое число у входит в две пары), а обратная функция
х = arcsin у для функции у = sinx многозначна (каждое число у
входит в бесконечное число пар). Геометрически данный
факт очевиден.
Из определения следует, что если обратная функция од¬
нозначна, т.е. является функцией в обычном смысле, то мно¬
жество значений Yфункции/служит областью определения
обратной функции ср, а область определения X функции/ —
множеством значений обратной функции ср. Пусть, напри¬
мер, функция у = /(х) определена на отрезке [а, b], отрезок
[а, р] является множеством ее значений и каждое у е[ос, Р]
соответствует ровно одному х из [а, Ь\. Тогда очевидно, что
на отрезке [а, Р] определена однозначная обратная функ¬
ция х = ср (у), множеством значений которой служит отрезок
[а, b] (рис. 81).
Таким образом, функция у = /(х) и обратная функция
х = ср (у) имеют один и тот же график. Например, функция
у = 5х и обратная функция х = 1 /5у изображаются графически
одной прямой.
Если оси Ох и Оу поменять местами, для чего следу¬
ет повернуть в пространстве плоскость Оху вокруг бис¬
сектрисы I координатного угла на
180°, то новое положение графика
обратной функции х = ср(у) явля¬
ется графиком функции у = ср(х)
(см. рис. 81).
Рассмотрение сложной и обратной
функций будет далее продолжено.
Рис. 81

4.1. Понятие функции
151
4.1.4.	Классификация функций
Постоянная функция/(х) = С,С=const, степенная функция
Xю0 (ос — любое число), показательная функция ах (0 < а ^ 1),
логарифмическая функция log^x (0 < а ф 1), тригонометриче¬
ские функции sinx, cosx, tgx, ctgx и обратные тригонометри¬
ческие функции arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx называются
простейшими элементарными функциямиХ).
Эти функции играют важную роль в раскрытии основ¬
ных понятий анализа и составляют базу для изучения более
сложных функций.
Все функции, получаемые с помощью конечного числа
арифметических действий над простейшими элементарными
функциями, а также суперпозицией этих функций, составляют
класс элементарных функций. Примерами элементарных функ¬
ций являются /(х) = |х|(|х| = л/х2"); /(х) = lg3arctg2^ +sin3x;
/(х) = In |sin Зх| - earctg>^ и т.д.
Имеет место следующая классификация элементарных
функций.
1)	Функция вида
Р(х) = а0хт + аххт~х + ... +атХх + ат,
где т > 0 — целое число, aQ) av ..., ат — любые числа — коэф¬
фициенты (а0 ф 0), называется’ целой рациональной функцией
или многочленом степени т. Многочлен первой степени на¬
зывается также линейной функцией.
2)	Функция, представляющая собой отношение двух целых
рациональных функций
= айхт+аххт-'+... + ат_,х + ат
Ь0хп + Ьххп~х +... + Ьп_хх + Ьп
называется дробно-рациональной функцией.
Совокупность целых рациональных и дробно-рациональ¬
ных функций образует класс рациональных функций.
3)	Функция, полученная с помощью конечного числа
суперпозиций и четырех арифметических действий над
степенными функциями как с целыми, так и с дробными
показателями и не являющаяся рациональной, называется
иррациональной.
1} Предполагается, что читатель имеет представление о простейших эле¬
ментарных функциях по крайней мере в рамках элементарной математики.

152
Глава 4. Функция
Например, f(x) = yfx, f(x) = х + >/х, /(х) = J-
5х2 + 4х- 7
f Зх2 -8х + 4
+ (>/х +х)3 и т.д. — иррациональные функции.
4)	Всякая функция, не являющаяся рациональной или
иррациональной, называется трансцендентной функцией.
Это, например, функции/(х) = sinх,/(х) = sinx + х и т.д.
4.1.5.	Построение графиков функций
Предложим следующую методику построения графиков
функций, основанную на применении некоторых правил
построения по уже известным графикам функций.
Пусть дан график функции у = /(х). Построим график
функции у = /(х - а). График функции у = /(х - а) может быть
получен следующим образом: отправляясь от произвольной
точки х, в которой ордината f(x) известна, найдем точку xv
в которой ордината/(xt - а) имеет ту же величину, т.е. вы¬
полняется равенство
/с*, -а) =/(*)•
Для того чтобы данное равенство выполнялось, очевидно,
достаточно, чтобы выполнялось равенство
хх - а = х,
откуда находим х{=х + аХ).
Правило 1. Чтобы получить график функции у =f(x - а)
из графика функции у =/(х), нужно график функции у = f(x)
сдвинуть вдоль оси Ох на а вправо, если а > 0, или на\а \ влево,
если а < 0.
О Пример 1. Используя правило 1, построить графики функций:
1	.у = (рс- 2)2. 2.у = log Jx - 2). 3. у = —.
Vi	х+2
Графики данных функций построены соответственно на рис. 82,
83 и 84. •
Упражнения. Постройте графики функций: 1. у = (х + 2)2.
2. у = log. Jx + 2). 3. у = Зх+2. 4. у = —-—. 5. у = —^—.
*	1/2	x-2	x + i
6.	у = 4х +1.7. у = 4х-\. 8.z/ = log2(x-2). 9. i/ = log2(x+2).
10 .у = cos(x + ^/6). 11. y = tg(x-n/2). 12. z/ = arccos (x-2).
13. у = arcctg (x - 1/4).
0 В самом деле, если xt= х + а, то f(x- а) = f(x + а-а)= /(х).

4.1. Понятие функции
153
Пусть дан график функции у = fix). Построим график
функции у = /(х) + с.
Правило 2. Чтобы получить ординату графика функции
у = /(х) + с в точке х из ординаты графика у = /(х) в той же
точке, нужно график у = fix) сдвинуть вдоль оси Оу вверх на с,
если с > 0, или на\с \ вниз, если с < 0.
О Пример 2. Используя правило 2, построить графики функций:
1.у-х1 + 3. 2.у = sinx + 2. 3. у- — -1.
х
Графики данных функций построены соответственно на рис. 85,
86 и 87. •
Упражнения. Постройте графики функций: 1. у = х2 - 3.
2. г/ = sinx-2. 3. г/ = —+ 1. 4. г/ = \/х+1. 5. z/ = 3х- 1. 6. z/ =
х
= log1/2x+l. 7. г/ = >/х+1. 8. г/ = arctgx+1. 9. у = (1/2)х+1.
Дан график функции у =/(х). Построим график функции
у = -А*У
Правило 3. Чтобы получить ординату графика функции
у = -/(х) в точке х из ординаты графика функции у = /(х) в
той же точке, нужно у ординаты графика функции у = fix)
изменить знак на обратный. Таким образом, график функции
у-- fix) получается из графика функции у = /(х) зеркальным
отражением относительно оси Ох.
О Пример 3. Используя правило 3, построить графики функций:
1. г/ = -х2. 2. г/= - cos х. 3. у = ->/х.
Графики данных функций построены соответственно на рис. 88,
89 и 90. •
Упражнения. Постройте графики функций: 1. у = -х3.
2. z/ = -у/х. 3. z/ = —4. у = -Зх.5. у = -	. e.z/^-loggX
7. г/ = — sinx. 8. г/ = — tgx. 9• у = - arcctgx.
Дан график функции г/=/(х). Построим график функции
У = А~х)•
Правило 4. Чтобы получить ординату графика функции
у =/(-х) б точке х из ординаты графика у =/(х) б той же точ¬
кеу нужно значение хумножить на-I. Таким образом, график
функции у = /(-х) получается из графика функции у = /(х)
зеркальным отражением относительно оси Оу.
О Пример 4. Используя правило 4, построить графики функций:
1. г/ = v^x. 2. г/ = log2(-x). 3. г/ = З-*. Графики данных функций построе¬
ны соответственно на рис. 91, 92 и 93. •

154
Глава 4. Функция
Рис. 88
Рис. 89

4.1. Понятие функции
155
Упражнения. Постройте графики функций: 1. у=log1/2(-x).
2. у =	.	3.	у	=	-s/-x.	4.	у	=	arcsin(-x). 5. у = arcctg(-x).
Дан график функции г/=/(х). Построим график функции
y = kf(x).
Правило 5• Чтобы получить ординату графика функции
у = &/(х) в точке х из ординаты графика функции у = /(х) в
/ной же точке, нужно значение ординаты /(х) умножить на
число k.
При этом от умножения всех значений функции /(х) на
k>\ ординаты графика функции увеличиваются в k раз и
происходит «растяжение» графика функции у = /(х) от оси Ох
в k раз, а от умножения на k при 0<£< 1 ординаты графика
функции уменьшаются в k раз и происходит «сжатие» графика
функции у = /(х) к оси Ох в k раз.
О Пример 5. Используя правило 5, построить графики функций:
1. у = 2х2. 2.у = 2sinx. 3. у = l/2\[x.
Графики данных функций построены соответственно на рис. 94,
95 и 96. •
Упражнения. Постройте графики функций: 1. у = —х2.
2.z/ = ^sinx. 3.y = 2-Jx. 4. г/ = ^л/х. 5.у = —. 6. z/ = ^log1/2x.
1	1
7.	у = 2-2х. 8. у = — 2х. 9. у = — arccosx. 10. z/ = 2arctgx.
11. z/ = 21og1/2x.
Дан график функций у =/(х). Построим график функции
у = f(kx). Отправляясь от произвольной точки х, в которой
известна ордината /(х), найдем точку xv в которой график
функции у = /(fee,) имеет ту же ординату, т.е. выполняется
равенство
/(х) =f(kxx).
Для того чтобы это равенство выполнялось0, очевидно,
достаточно выполнение равенства х = kxv откуда находим
1
X'~kX-
Правило 6. Чтобы построить график у = f(kx), достаточно
значение х разделить на число k.
1} Проверьте данный факт.

156
Глава 4. Функция
у а
У = у1-х
/ = \1х
О
Рис. 91
У1
i
^	 у-sin2r
-л -я/' -к/2 о
/f'\ N ^y=sinx
n/A n/2 n X
-1
Рис. 97
При этом от деления на k > 1 всех значений аргумента
функции у = f(x) график функции «сжимается» к оси Оу в
\/k раз, а от деления на k при 0<k< 1 график функции «рас¬
тягивается» от оси Оу в \/k раз.

4.1. Понятие функции
157
О Пример 6. Используя правило 6, построить графики функций:
1.	у = sin2x. 2. у = arcsin2x. 3. у = >/(1/2)х.
Графики данных функций построены соответственно на рис. 97,
98 и 99. •
Упражнения. Постройте графики функций: 1. у = sin(x/2).
2.у=arcsin(х/2).3. у = -s/2x. 4. г/ = \/8х. 5.у=5х/2.6.у=(0,5)^.
7.у = log1/32x. 8. у = cos (х/2). 9. у = tg2x. 10. у = arccos3x.
Прежде чем сформулировать следующее правило, постро¬
им график функции, последовательно применяя несколько
правил.
О Пример 7. Построить график функции у = 2х2 -8х + 5.
Преобразуем квадратный трехчлен, выделяя полный квадрат, к
виду
и построение будем выполнять в следующем порядке: 1) график функ¬
ции у = х2 считаем известным; 2) по правилу 5 строим график функции
у = 2х2; 3) по правилу 1 строим график функции у = 2(х - 2 )2; 4) по пра¬
вилу 2 строим график искомой функции у = 2(х - 2)2-3 (рис. 100).
Получен график параболы у=2х2, смещенный на 2 единицы вправо
и на 3 единицы вниз. Аналогично строится график любого квадратного
трехчлена. •
Упражнения. Постройте графики функций: 1 .у = 2(х- 5)2-1.
2. у--2 -(1/2)(х + З)2. 3. у = х2-4х+1. 4. у = Зх-х2. 5. у =
= 4 -2х2-2х. 6. у = 4х-х2 -3.
Дан график функции у=/(х). Построим график функции
г/ = |/(х)|. Имеем
Правило 7. Чтобы получить график функции у = |/(х)| ш
графика функции у = /(х), наЭо участки графика у = /(х), да-
жащие выше оси Ох, оставить без изменения, а участки ниже
оси Ох зеркально отразить относительно этой оси.
О Пример 8. Используя правило 7, построить график функции
iH/(*)|=|;
/(X), если /(х) > 0,
-/(х), если /(х) <0°.
1} К сожалению, иногда пишут неверное равенство

158
Глава 4. Функция
Строим график функции у = х (рис. 101). Далее, участок графика у = х,
лежащий выше оси Ох (при х > 0), оставляем без изменения, а участок
ниже оси Ох (при х < 0) зеркально отражаем относительно этой оси; в
результате получаем график функции у = \х\.
Пример 9. Построить график функции у = |х+1|.
Строим график функции у = х+1 (рис. 102). Затем участок графика
у = х+1, лежащий выше оси Ох (прих> - 1), оставляем без изменения,
а участок ниже оси Ох (при х < — 1) зеркально отражаем относитель¬
но этой оси; в результате получаем график функции у = |х+1|. Этот
же график можно было получить, построив сначала график функции
у = \х\ и применив затем правило 1.
Пример 10. Построить график функции у = |1 - |х||.
Построение проведем в следующем порядке: 1) график функции
у = \х\ считаем известным (см. рис. 101); 2) строим график у = - \х\ (по
правилу 3); 3) строим график у = 1 -|х| (по правилу 2); 4) строим график
искомой функции у = |1 - |х|| (по правилу 7). График функции у = |1 - |х||
построен на рис. 103. •
Дан график функции у=/(х). Построим график функции
У =/(\х\)- Так как/(| -х|) =/(|х|), то функция у =/(|х|) является
четной, следовательно, ее график симметричен относительно
оси 0у. Кроме того, при х > 0 /(|х|) = /(х).
Правило 8. Чтобы получить график функции у =f(\x\) из
графика функции у = /(х), надо построить график функции
у = /(х) при х > 0 и отразить его зеркально относительно
оси Оу.
О Пример И. Используя правило 8, построить графики функций:
1- */ = VR- 2. г/ = log3|x|. 3. г/ = sin|x|.
Графики данных функций построены соответственно на рис. 104,
105 и 106. •
Иногда правила 7 и 8 приходится применять одновремен¬
но, т.е. строить графики функций вида у = |/(|х|)|.
О Пример 12. Построить график функции у = \2х2 - 8\х\ + 5|.
График функции у- 2х2- 8х + 5 уже построен (см. рис. 100). Заме¬
чая, что х2 = |х|2, строим график функции у - 2х2 - 81х| + 5 по правилу 8.
Строим часть параболы г/ = 2х2-8х+5 при х > 0 и отражаем ее зеркально
относительно оси Оу (рис. 107). Согласно правилу 7 построим график
модуля (рис. 108). •
В следующих примерах графики функций будем стро¬
ить, используя различные правила, не указывая конкретно,
какие.	г
х+5
О	Пример 13. Построить график функции у =	.
х+3

4.1. Понятие функции
159
Рис. 104
Рис. 101
уь
\\
i
V
/
-1 0
1
X
Рис. 103
Рис. 105

160
Глава 4. Функция
Преобразуем данную дробно-линейную функцию, выделяя целую
^ и построим график в следующем порядке:
часть, к виду
1+-
х+3
1
1)	график функции у = — считаем известным; 2) строим график
х
12	2
-; 3) строим график у =	; 4) строим график у = 1+-
х + 3
5)	строим график у =
1+-
х+3
х+З
(рис. 109).
х + З ’
Заметим, что строить промежуточные графики можно как на одном
рисунке, так и на разных. В данном случае для наглядности это следует
выполнить на разных рисунках (сделайте это самостоятельно).
Пример 14. Построить график функции у = (1/4)3дг_1 +1.
3(*”)
Представим функцию в виде у = (1/4)3дг_1 +1 = (1/4)	+1 и построе¬
ние графика проведем в таком порядке: 1) график функции г/ = (1/4)^
считаем известным; 2) строим график у = ( 1/4)3дг; 3) строим график
•И.
•И)
у = (1/4)	3 ; 4) строим график у = (1/4) v +1 (рис. 110).
Пример 15. Построить график функции у = - arctg(4x -1).
Представим функцию в виде у = -arctg(4x -1) = -arctg4	и
построим ее график в следующем порядке: 1) график функции у = arctgx
считаем известным; 2) строим график у = arctg4х; 3) строим график
z/ = arctg4[x-—); 4) строим график у = -arctg4[x-—) (рис. 111). •
Упражнения. Постройте графики функций: 1. у = 1 +
4-х
1
2. у-
1 л 0 Ах + 7 t
1. 3. у =	4. у
х + Ъ
2х-5
5 + 2х
х + 2
5. у = 3х'2.
6. у = (0,25)*+3. 7. у = -22x'i 8. у = -(0,5)*+1 +1. 9. у = 2*+2.
х + 2
10. у = -arcsin	. 11.?/ = 2arctg(2x-1). 12.у = 3arcctg(3x+
^ \-х	1	лг	+	2
+1). 13. z/ = 2arccos	. 14. г/ = —arcsin	.
' * 2 2 2
Рассмотрим теперь правила сложения, умножения и де¬
ления графиков.
Даны графики функций у = f(x) и у2 = g(x). Построим
график функции у = /(х) +g(x)1).
1} Разность всегда можно свести к сумме: у = /(х) - g(x) =/(х) + [-g(x)].

4.1. Понятие функции
161
Правило 9. Чтобы получить график функции у =/(х) +g(x)
из графиков функций у{ и yv нужно сложишь соответст¬
вующие значения ординат графиков функций ух и у2.
О	Пример 16. Используя правило 9, построить график функции
у = х + sinx.
Функция у определена на всей числовой прямой. Ее график полу¬
чаем графическим сложением соответствующих значений ординат г/1
ИУ? У = У\
Строим графики функций у х -х и у2 = sinx (штриховые линии на
рис. 112). В точках х= 0; ±7с; ±2л;... имеем у2 = 0,у1=хиу = у1+0=х, т.е.
в этих точках график функции проходит через прямую ух =х. В точках
х = ±7и/2; ±Зк/2; ... имеем у2= ±1, ух=х и у = х ±1, т.е. в этих точках к
ординате ух =х прибавляем +1 (соответственно -1). Отмечая найден-

162
Глава 4. Функция
ные точки и соединяя их плавной кривой, получаем график искомой
функции (сплошная линия на рис. 112). •
Упражнения. Постройте графики функций: i.y = \x\+x.
1	1
2. у = 3* + 3“*. З.у = sinx + |sinx|. 4.у = х2 +—. 5. у = |х| + —.
X	X
6.	y = \x\ + cosx.
Даны графики функций ух = /(х) и у2 = g(x). Построим
график функции у = /(х) ♦ g(x).
Правило 10. Чтобы получить график функции у =f(x) ♦ g(x)
из графиков функций ух и у2, надо умножить соответствующие
значения ординат графиков функций ух и уТ
О Пример 17. Используя правило 10, построить график функции
у = х • sinx.
Функция у определена на всей числовой прямой. Так как функции
ух -х и у2 = sinx нечетные, то функция у, как произведение нечетных
функций, четная, следовательно, построение будем производить при
х> 0.
Строим графики функций ух - х и у2 = sinx График функции у полу¬
чим умножением соответствующих ординат ух и у{.у = ух' у2. В точках
х = 7с; 2щ ... имеему2 = 0иу = ух'у2 = 0, авточкахх = 7с/2; Зп/2\...у2-±\ и
у = ух • (± 1) = ±х, т.е. соответствующие точки графика функции у лежат
на прямыхух = хиу2 = -хи график «колеблется» между этими прямыми
при х -» + оо. Таким образом, для построения данного графика целесооб¬
разно построить график вспомогательной функции у3 = -х.
При х -> 0+ (т.е. справа) функции sinx и х эквивалентны (sinx~x)
(см. параграф 4.6), поэтому у = ух • у2 = х • х = х2. Построив часть графика
при х > 0 и отражая ее относительно оси Оу, получаем искомый график
(рис. ИЗ). •
Упражнения. Постройте графики функций: 1. у = |x|sinx.
2.	у = х\х\. 3. у = х|sinx|. 4. у = х(х2-1).
Рис. Ш
Рис. Ш

4.1. Понятие функции
163
Даны графики функций yv = f(x) и у2 = g(x). Построим
график функции у -
Правило 11. Чтобы получить график функции у -
/(*)
ё(х)
из графиков функций у t иу2, нужно разделить соответству¬
ющие знамения ординат графиков функций yt и у2 в точках,
где у2 ф 0.
О	Пример 18. Используя правило И, построить график функции
|х-1|
у =
X
Функция у определена по всей числовой прямой, кроме точки х = 0.
Строим графики функций г/4 = |х -1| и i/2 = х (рис. 114). График функции у
получим делением соответствующих значений ординат графиков функ¬
ций ух и у2 во всех точках, за исключением х = 0.
Из рисунка видно, что при х 0- (т.е. слева) ух 1, у2 -^0
и у = уУу2-> -оо, а при х 0 + (т.е. справа) z/t —> 1, г/2 —> 0 и г/ = ух/у2-^>+ оо.
Таким образом, прямая х = 0 является асимптотой графика функции у.
Определение асимптоты дано на с. 298—302.
В точке х =1 имеем ух - 0, у2 = 1 и у = ух/у2=0.
Прих-
► оо получаем
х-1	1
:	= 1	> 1, поэтому прямая у = 1 яв-
X	X
ляется асимптотой правой ветви графика функции у, а при х	- оо
1-х	1
-1 -> -1, поэтому прямая у = -1 является асимп-
имеем у = -
X X
тотой левой ветви графика функции у. Асимптоты будем изображать
штриховой линией.
Таким образом, график искомой функции состоит из двух ветвей,
изображенных на рис. 114 сплошной линией.
График данной функции может быть построен и другим способом.
|х —1|
Функцию у = 		!■ можно задать
X
двумя формулами:
f х-1
X
х-1
при х-1>0,
X
х-1
при х-1<0,
X
1-х
при х>1,
при х<1.

164
Глава 4. Функция
1	— х	х	—	1
Построив отдельно дробно-линейные функции у =	и у =
X	X
и сохраняя только те их участки, которые соответствуют указанным
промежуткам, получим искомый график. (Сделайте это самостоя¬
тельно.) •
Упражнения. Постройте графики функций: 1. у = -
х
\х
-1'
2. yJ7x + 2[ 3. у = 2х + 4 4. у =			.5. у =	—
2х + 1	|Зж + 5|	arcsine	3*+3
6- У =
+ 2
(Указание к упражнениям 4—6: обозначить знаменатель
через ух(х), построить сначала график функции у^х),
а затем график функции у = —-—.)
г/iO)
Осталось рассмотреть правило построения графиков слож¬
ных функций. Понятие сложной функции введено на с. 149.
Дан график функции и = ср(х). Построим график функции
y=f[ ф(х)].
Правило 12. Чтобы построить график функции у = /[ср(х)],
надо сначала построить график функции и = ср(х), а затем,
зная свойства функции у =f(u), построить график сложной
функции у =/[ср(х)].
О	Пример 19. Используя правило 12, построим график функции
х-\
у = 2*+1.
Функция у определена на всей числовой прямой, кроме точки х = - 1.
х-1	2
Сначала строим график функции и =	= 1	(рис. 115, а),
х + 1	х + 1
а затем, используя свойства показательной функции, построим график
х-\
функции у = 2й = 2Х+К
Если х —> —1 —, то и —> +оо, г/ = 2" —> +оо.
Если х —> —1 +, то и —> —оо, у = 2й —> 0.
Если -оо, то и -»1, у = 2й -^2.
Если х +оо, то и -»1, у = 2й -^2.
Таким образом, прямые х = -1ку = 2 являются асимптотами графика
функции у. В точке х = 1 имеем и = 0, у = 2° = 1.
На основании полученных данных строим искомый график
(рис. 115, б); стрелка изображена для того, чтобы показать, что точка
(-1; 0) графику не принадлежит.

4.1. Понятие функции
165
Пример 20. Используя правило 12, построить график функции
гарифмическая функция, у = logy2u определена лишь при тех значениях х,
-	оо < х < - 2 и 1 < х < +оо, которые являются областью определения
Если х -оо, то и —»1, у = log1/2и	0.
Если х —> —2 —, то и —> +°о, у = logx/2u	- оо.
Если х—> +оо, то и —>1, у = log1/2w -^0.
Еслих—> 1+, то и —>0, у = log1/2w ^+оо.
Таким образом, прямые х=-2, х=1 иу=0 являются асимптотами
графика функции у. На основании полученных данных строим искомый
график (рис. 116, б).
Пример 21. Используя правило 12, построить график функции
у = arccos(l/x).
Как и ранее, сначала строим график функции и = 1/х (рис. 117, а),
а затем график функции у = arccos и = arccos(l/x). По определению
функция у = arccos и определена лишь при тех х, для которых -1 <и<1,
т.е. для х, удовлетворяющих неравенствам -1 < 1Д<1. Значит, областью
1	—— (рис. 116, а),
х + 2
х — 1
а затем график функции у = log1/2 и = log1/2	.
х + 2
. Очевидно, что ло-
х-1	_
для которых и> 0, т.е.	> 0 для х, удовлетворяющих неравенствам
х + 2
(
-►
х
Рис. 115
Рис. 116

166
Глава 4. Функция
1
определения функции у = arccos— являются два промежутка: -оо<х<-1
и1<х<+оо.	х
Если х = -1, то и = — 1, у = arccos (-1) = к.
Еслих = +1, то и = + 1, у = arccos 1=0.
Если х - оо, то и -»0, у = arccos и -» к/2.
Если х -> +оо, то и ->0, у = arccos и ->л/2.
Таким образом, прямая у = п/2 является асимптотой графика. На ос¬
новании полученных данных строим искомый график (рис. 117, б). •
Упражнения. Построить графики функций: 1. у = 2|х|.
И	1
. (Owe. Рис. 118.) 3. у = 2х. 4. г/ =
+ 3V(-D. 6. у = Тг-1х. 7. у
-\/х
2> %У"
1+
2tgjr. 8. г/
х + 4
2sina:. 9. у = 2х
-4х+5
10. у = log1/2(x-x2). 11. z/ = log2^—. 12. г/= log2|sinx|. 13. у=
=log1/2cosx. 14. г/= log1/2|x2-Зх+ 2|. 15. у = log2(-ч/х+Т +1).
2|х1 — 1
16. у = log1/2 I, . {Отв. Рис. 119.) 17. у = log4|x+2|. 18. у =
х - 2
= |log |х+2||. 19. у = — arcsin——20. у = -2arctg % .21. у =
2 х +1	2-х
1 21/*
= arcctg—. 22. и =	т—
х *	\ + 21х
. {Отв. Рис. 120. Указание: числи-
и а
а)
б)
тель и знаменатель дроби предварительно разделить на 21Д.)
В заключение отметим, что умение
строить графики функций, заданных
формулами, имеет не только теорети¬
ческое, но и практическое значение.
Изучение функций гораздо проще и
нагляднее, если оно сопровождается
рассмотрением графиков этих функ¬
ций. Вот почему инженер или научный
работник, получив интересующую его
функцию в виде формулы, всегда, когда
надо выяснить общий характер поведе¬
ния функции, ее особенности, начинает
строить эскиз графика этой функции.
Далее, с помощью дифференциаль¬
ного исчисления будут рассмотрены
более точные и совершенные методы
построения графиков функций.
-1 о
о
Рис. 117

4.1. Понятие функции
167
О
х
Рис. 118
-2
i 0 1
2 2
2
-1
О
х
Рис. 120
Рис. 119
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте определение функции. В чем заключается
однозначность функции? Что называется областью определения
и областью значений функции? С помощью какого понятия опре¬
деляется функция?
2.	Что называется постоянной функцией?
3.	Сформулируйте условие ограниченности функции.
4.	Дайте определение точной верхней (нижней) грани функции.
5.	Что означает запись sup f(x) = +oo(inf f(x) = -оо) ?
X	x
6.	Что называется графиком функции? Приведите примеры
функции и не функции. Дайте геометрическую интерпретацию.
7.	Что значит задать функцию? Какие существуют способы
задания функции?
8.	Сформулируйте определения сложной и обратной функции.
Приведите примеры.
9.	Перечислите простейшие элементарные функции.
10.	Какая функция называется элементарной? Приведите при¬
меры.
11.	Приведите пример не элементарной функции.
12.	Сформулируйте определения рациональной, иррациональной
и трансцендентной функций. Приведите примеры.
13.	Опишите этапы построения графика функции у = bf(hc+a) + с,
где a, b,k,c — некоторые числа, если известен способ построения
графика функции у = f(x).

168
Глава 4. Функция
4.2.	Предел функции
4.2.1.	Предел функции прилс->дс0
Пусть функция f(x) определена на некотором проме¬
жутке Х^ и пусть точка х0 еХ или лг0 &Х. Возьмем из X
последовательность точек, отличных от х0,
Х^>	*^*3» •••>	О)
сходящуюся к х02). Значения функции в точках этой последо¬
вательности также образуют числовую последовательность
f(x1),f(x2),f(x3),...,f(xn)		(2)
и можно говорить о существовании ее предела.
Определение 1. Число А называется пределом функции
f(pc) в точке х = х0 (или прих^х0), если для любой сходящейся
к xQ последовательности (1) значений аргумента х, отличных
от х0, соответствующая последовательность (2) значений
функции сходится к числу А.
Символически это записывается так:
lim f(x) = А.
х^х0
Функция f(x) может иметь в точке х0 только один предел.
Это следует из того, что последовательность {f(xи)} имеет
только один предел.
Рассмотрим примеры.
О	1. Функция f(x) = С = const имеет предел в каждой точке х0 чи¬
словой прямой, равный С. В самом деле, если (1) — любая последова¬
тельность, сходящаяся кх0, то последовательность (2) имеет вид С, С,...,
С,..., т.е. f(xn) = С. Отсюда заключаем, что f(xn) —» С при я—»оо или
lim f(x) = С.
2.	Функция f(x)=x имеет в любой точке х0 числовой прямой предел,
равный х0. В этом случае последовательности (1) и (2) тождественны,
т.e.f(xn) = хп. Следовательно, если хп->х0, то f(xn) -» х0 при	оо или
lim f(x) = lim х = f(x0) = х0.
ЛГ->ЛГ0	*->*0
Заметим, что определение 1 удобно использовать, когда требуется
доказать, что функция f(x) не имеет предела. Для этого надо показать,
что существуют две последовательности {.х'} и {хзначений аргументах
такие, что limx^ =lim х”=а, но соответствующие последовательности
п—>00	П-> СО
\f(x'n)} и {/(х")} значений функции имеют разные пределы.
1} Напомним, что здесь X может быть любым промежутком вида [а, 6],
(a, b), (я, 6], (-оо, +ао) и т.д.
2)	Предполагается, что такая последовательность существует.

4.2. Предел функции
169
1
3.	Функция /(х) = sin—
X
(рис. 121), определенная для
всех х * 0, в точке х = 0 не име¬
ет предела. Действительно,
возьмем две последователь¬
ности значений аргумен-
111	1
та х: —, —, —,..., —,... и
7С 2л Зл	ПК
2	2 2	2
—, —, —,...,	,..., сходящиеся к нулю. Соответствующими
7С Э7С 97С	(Ап-3)к
последовательностями значений функции являются	’
^	^ -" /(!)■	'(D	/
Так как /I—I = sinn7i: = Оприлюбом??,а /
\пк;	\(Ап-3)к,
= sin
(4я-3)7с,
(4тг — 3)7с
= 1,
то для первой последовательности
lim f(xn) = lim sin rnz = 0,
n—> CO	n—> CO
а для второй последовательности
lim /(xn) = limsin-^—= 1.
n—>C0	Tl—>cO	2
Таким образом, для двух сходящихся к нулю последовательностей
значений аргумента х соответствующие последовательности значений
функции имеют разные пределы. А это по определению предела функции
и означает, что lim /(х) не существует.
X—>сО
х2 + X — 1
4.	Функция /(х) =	 имеет в точке х = 0 предел, равный 1.
х-1
Действительно, возьмем любую последовательность значений аргу¬
ментах, сходящуюся к нулю, т.е. limxn =0 ихи*0, тогда, в силу теорем
3.7—3.9, имеем
lim f(xn) = lim—
*„2+х-1 <!+!“!*.-1 o+o-i
-1
limx„ -1
0-1
= 1
(при этом xn * 1, так как при х = 1 рассматриваемая функция не опреде¬
лена). Таким образом, существует lim f(xn) = 1, и так как он не зависит
П-> СО
от выбора последовательности {хп}, сходящейся к нулю, то на основании
определения предела функции заключаем, что lim /(х) = 1.
д:->0
5.	Функция Дирихле, значения которой в рациональных точках
равны единице, а в иррациональных — нулю, не имеет предела ни в

170
Глава 4. Функция
одной точке х0 числовой прямой. Действительно, для сходящейся в
точке х0 последовательности рациональных значений аргумента предел
соответствующей последовательности значений функции равен едини¬
це, а для сходящейся в точке х0 последовательности иррациональных
значений аргумента предел соответствующей последовательности
значений функции равен нулю. •
Существует другое определение предела функции.
Определение 2. Число А называется пределом функции/(х)
в точке х=х0, если для любого числа s > 0 существует число 8 > 0
такое, что для всехх €Х,хфх0, удовлетворяющих неравенству
\х - х0| <8, выполняется неравенство |/(х) - Л|<е.
Неравенства х ф х0, |х - х0| <8 можно записать в виде
0<|x-xJ<8.
Первое определение основано на понятии предела число¬
вой последовательности, поэтому его часто называют опреде¬
лением «на языке последовательностей». Второе определение
называют определением «на языке е — 8».
Теорема 4.1. Первое и второе определения предела функции
эквивалентны1}.
□	Доказательство. 1) Пусть А — предел /(х) в точке х0
согласно первому определению. Покажем, что А — предел
согласно второму определению.
Предположим обратное, т.е. что А не является пределом
этой функции согласно второму определению. Это значит,
что не для любого s>0 можно указать такое 8>0, чтобы из
неравенства 0<|х-х0|<8 следовало бы равенство |/(х)-А\<е,
т.е. существует такое е = е0> 0, для которого, какое бы 8 > 0 ни
взять, найдется хоть одна точка х ф х0 такая, что |х - х0| < 8, но
|/(х) - Л|>е0. Будем выбирать в качестве 8 последовательно
числа
Тогда:
для 8 = 1 в X существует такое х ф хп, что |х -х.| <1, а
I/Cxj) - Л|>е0;
для 8 = 1/2 в Xсуществует такое х9 ф х,, что |х,-х.|<1/2, а
|/(х2)-Л|>е0;
для 8 = 1/3 в Xсуществует такое х, ф хп, что |х,-хп|<1/3, а
1/(*3)-Л|>в0;
1} То есть если функция имеет предел в точке х0 согласно одному из оп¬
ределений, то этот же предел функция имеет и согласно другому определе¬
нию.

4.2. Предел функции
171
для 6 = 1/и в X существует такое хп ф xqj что | х -х0\ < 1/и, а
1/(хл) _^1-80;
В результате получаем последовательность точек, отлич¬
ных от х0,
Хр %2, Х^, Хп, ...,
I	I	1	п
сходящуюся к точке х, так как х -х0 <—>0 при п-> оо.
п
Поэтому, согласно первому определению предела функции,
соответствующая последовательность {/(хп)} значений функции
сходится к числу А. Следовательно, для е0 найдется номер Ата¬
кой, что для всех п > Довыполняется неравенство |/(хп) - Л|<е0.
Но этого быть не может, так как для всех хп выполняется нера¬
венство |/(хл) - Л|>80. Полученное противоречие доказывает,
что число А — предел функции /(х) в точке х0 согласно второму
определению.
2)	Пусть теперь А — предел /(х) в точке х0 согласно второму
определению. Это значит, что для любого е > 0 существует 5 > 0
такое, что из неравенства 0<|х - х0|<8 следует неравенство
|/(х) - Л|<8. Покажем, что А — предел /(х) согласно перво¬
му определению. Возьмем любую последовательность точек
Xj, х2, х3,..., хп,..., сходящуюся к точке х0(хп ф х0). Тогда для ука¬
занного значения 8>0, соответствующего е согласно второму
определению, найдется такое N, что при п >N выполняется
неравенство |хп-х0|<5. Но вместе с этим, в силу второго опре¬
деления, выполняется и неравенство |/(хя) - А\ < s. А так как е
было выбрано произвольно, то это и означает, что/(хп) -М для
любой последовательности {хп}, сходящейся в точкех0(хп *х0),
т.е. число А является пределом /(х) в точке х0 согласно пер¬
вому определению. ■
После того как мы установили эквивалентность обоих
определений предела функции, можно использовать любое из
них в зависимости от того, какое более удобно при решении
той или иной задачи.
О	Пример 1. Используя определение 2, доказать, что функция
f(x) = Зх- 2 в точке х=1 имеет предел, равный 1, т.е. lim (Зх - 2) = 1.
х—>1
Решение. Возьмем любое s > 0. Задача состоит в том, чтобы по
этому s найти такое 5 > 0, при котором из неравенства \х -1| < 5 следо¬
вало бы неравенство |/(х) -1| = |(Зх-2) - 1|<е. Преобразуя последнее
неравенство, получаем
|3(х—1)|<8, или |х-1|<е/3.

172
Глава 4. Функция
Отсюда видно; что если взять 8 < s/З, то для всех х, удовлетво¬
ряющих неравенству \х-1\ < 8, выполняется требуемое неравенство
| f(x) -1| <8. Это и означает, что lim (Зх - 2) = 1. В частности, если 8= 1, то
8 < 1/3, если е= 1/2, то 8 < 1/6, если 8 = 0,01, то 8 <0,03, и т.д.; таким образом,
8 зависит от s. Поэтому в определении предела иногда пишут 8 = 8(e).
Пример 2. Используя определение 2, доказать, что функция
1
f(x) = х sin—, определенная для всех х * 0, в точке х = 0 имеет предел,
х	^
равный 0, т.е. limxsin—= 0.
*->° х
Решение. Возьмем любое 8 > 0. Как и ранее, по этому s надо най¬
ти такое 8 >0, при котором из неравенства |дг—0|<8 следовало бы не¬
равенство |/(х)-0| =
неравенство, получаем
1
1
xsin-
. 1
sin—
X
xsin	0
х
1
XSin— :
X
Отсюда видно, что если взять 8 < е, то, как только \х\ < 8, справедливо
< 8. Преобразуя последнее
<1 при х*0
х
<|х| <8
. 1
sin—
X
неравенство
1
xsin-
1
<8. Следовательно, limхsin— = 0. •
лг—>0	X
Упражнения. Используя определение 2, доказать, что:
1.	lim(3x-5) = 1. 2. limx = x0. 3. limcosx = 1. 4. lim С = C
л:->0
X^Xq
(f(x) = С = const). 5. \imx2 = 4.
x-»2
Заметим, что определение предела функции «на языке
последовательностей» называют также определением предела
функции по Гейне1}, а определение предела функции «на языке
в — 8» — определением предела функции по Коши2).
4.2.2.	Предел функции при х->х0- и при х-»х0+
В дальнейшем будем использовать понятие односторон¬
них пределов функции, которые определяются следующим
образом.
Определение 3. Число А называется правым (левым) пре¬
делом функции f(x) в точке х0, если для любой сходящейся к xQ
последовательности (1), элементы хп которой больше (меньше)
х0, соответствующая последовательность (2) сходится к А.
Обозначение: lim f(x) = А( lim f(x) = А).
л:->л:0+	х^х0-
О	В качестве примера рассмотрим функцию f(x) = sgnx3). Эта функция
имеет в точке х = 0 правый и левый пределы: lim sgn х = 1, lim sgn х = -1.
дг->0+	х->0-
1} Гейне Генрих Эдуард (1821 —1881) — немецкий математик.
2)	Коши Огюстен Луи (1789—1857) — французский математик.
3)	Определение функции sgnx приведено на с. 148.

4.2. Предел функции
173
В самом деле, если (1) — любая сходящаяся к нулю последовательность
значений аргумента этой функции, элементы хп которой больше нуля
(х > 0), то sgnx = 1 и limsgnx = 1. Следовательно, lim sgnx = 1. Ана-
”	п	п-> 00	дг—>0+
логично устанавливается, что lim sgnx = -1. •
Можно дать равносильное определение односторонних
пределов функции «на языке в — 8»: число А называется пра¬
вым {левым) пределом функции f{x) в точке если для любого
в > 0 существует 8 > О такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенствам xQ< х < х0 + 8 (х0 - 8 < х < х0), выполняется
неравенство \f{x) - А\ < в.
Связь между односторонними пределами и пределом функ¬
ции устанавливает следующая теорема.
Теорема 4.2. Функция f{x) имеет в точке х0 предел тогда и
только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так
и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции
равен односторонним пределам.
\1\ Доказательство. Пусть lim f(x)= lim f(x) = А. Тогда,
согласно определению предела функции слева и справа, для
любого s > 0 существуют числа 8,> 0 и 82> 0 такие, что для
всех х, удовлетворяющих неравенствам х0 - 8( < х < х0, и для
всех х, удовлетворяющих неравенствам х0 < х < х0 + 62, вы¬
полняется неравенство |/(х) - А\ < s. Возьмем 8 = min {8,, 82}.
Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству \х - х0| < 8,
х*х0, выполняется неравенство |/(х) - А\ < s. А это, согласно
определению 2, и означает, что
Обратно, пусть lim /(х) = А. Тогда, согласно определению
предела функции в точке х0, для любого s > 0 существует чис¬
ло 8 > О такое, что для всехх, удовлетворяющих неравенству
|х - xj < 8, х*х0, выполняется неравенство |/(х) - А\ < s. Тем
самым как для х0 - 8 < х < х0, так и для х0 < х < х0 + 8 справед¬
ливо неравенство |/(х) - А\ < s. А это, согласно определению
односторонних пределов, и означает, что
lim /(х) = А.
lim /(х) = lim /(х) = А. ■
О Пример 3. Доказ;
в точке х = 0 не имеет предела (рис. 122).

174
Глава 4. Функция
Рис. 122
Решение. Функция /(х) определена на всей
числовой прямой. При х < 0 функция задается
формулой/(х) = х2. Так как предел функции х2
в точке х = 0 равен нулю (докажите самостоя¬
тельно), то по теореме 4.2 левый предел данной
функции в этой точке также равен нулю, т.е.
lim f(x) = lim х2 = limx2 = 0.
дг->0-	лг->0-	лг->0
Аналогично доказывается, что пра¬
вый предел данной функции в точке х = 0 равен 1, т.е. lim /(х) =
дг->0+
= lim(x + l) = lim(x + l) = 1. Следовательно, в точке х = 0 данная
дг->0+	дт->0
функция имеет правый и левый пределы, но они не равны. Согласно
теореме 4.2, это и означает, что данная функция в точке х = 0 преде¬
ла не имеет, т.е. lim /(х) * lim /(х) и lim/(х) не существует. •
дг->0-	лг->0+	лг->0
Упражнение. Доказать, что функция
/(*) =
fx + 2 при х<1,
[ж + З при х>\
в точке х= 1 не имеет предела.
О	Пример 4. Доказать, что функция
Гх при х<0,
/(*) = 1 .	п
[sinx при х>0
в точке х = 0 имеет предел.
Решение. Функция /(х) определена на всей числовой прямой,
кроме точки х = 0. Вычислим в точке х = 0 односторонние преде¬
лы функции /(х). Имеем lim /(х)= limx = 0, так как limx = 0
дг->0-	л:->0-	дг^О
lim /(х) = lim sinx = 0. Следовательно, в точке х = 0 данная функ-
дг->0+	д:^0+
ция имеет правый и левый пределы и они равны. Согласно тео¬
реме 4.2, это означает, что данная функция в точке х = 0 имеет пре¬
дел и он равен нулю, т.е. lim /(x)=lim f(x) = lim/(x) = 0.	•
дг->0-	лг->0+	лг->0
4.2.3.	Предел функции при х—»оо, при х—»-оо и при х—»+оо.
Кроме рассмотренных понятий предела фунции при х->х0
и односторонних пределов, существует также понятие предела
функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение 4. Число А называется пределом функции
/(х) при х—>оо, если для любой бесконечно большой последова¬
тельности (1) значений аргумента соответствующая после¬
довательность (2) значений функции сходится к А.
Обозначение: lim/(х) = А.

4.2. Предел функции
175
Определение 5. Число А назы¬
вается пределом функции /(х) при
х—»+оо (х—»-оо), если для любой бес¬
конечно большой последовательности
(1) значений аргумента, элементы
хп которой положительны (отрица¬
тельны), соответствующая последо¬
вательность (2) значений функции
сходится к А.
Обозначение:
lim /(х) = А( lim /(х) = A)l\
1
О	Рассмотрим пример. Пусть f(x) = —. Эта функция при х^оо
х
имеет предел, равный нулю. Действительно, если {хп} — бесконечно
большая последовательность значений аргумента, то соответствующая
11	1
последовательность значении функции —, —, ..., —, ... по теоре-
Х\ Х2	Хп
ме 3.1 является бесконечно малой и поэтому имеет предел, равный
\
нулю, т.е. lim—= 0 (рис. 123). •
ДГ-»0О 2С
Определения 4—5 даны «на языке последовательностей».
Можно дать равносильные определения «на языке в — 8». Ре¬
комендуем сделать это самостоятельно. В качестве примера
сформулируем определение предела функции при х->+оо.
Определение 6. Число А называется пределом функции /(х)
при х—»+оо, если для любого числа в > 0 существует число 8
такое, что для всеххеХ, удовлетворяющих неравенству х > 8,
выполняется неравенство \f(x) - А\ < в.
О	Пример 5. Используя соответствующее определение предела «на
,. х + 1	1
языке e-о», доказать, что lim	= —.
2л: ч- 1	2
Решение. Равенство lim Х + ^ = — «на языке 8 — I
2х +1	2
означает, что
неравенство
х + 1
для любого s > 0 существует 5 > 0 такое, что из неравенства \х\ > 5 следует
1	1
I	г <8 или |2х+1|> —. Найдем значениях,
j^X + 1	8
для которых выполняется последнее неравенство. Так как 12х+1| > 12х| -1,
то достаточно решить неравенство |2х|-1>—, откуда получаем
2х +1
1} Если пределы функции f(x) при х->+оо и при х-> - оо равны А, то пи-
1	1 1
шут Нш/(х) = А. Например, lim — = lim — = lim — = О (А
:г->со	х^>-°о	%	х->+»	%	*->«>	х
= 0).

176
Глава 4. Функция
И > -^1+—j. Если взять 5 = ^1+—j, то для всех х, удовлетворяющих
неравенству |х| > 5, будет выполняться неравенство
х+1	1
х + 1	1
2х + 1	2
<8.
А это означает, что lim-
X—>сО
2х + 1	2'
Пример 6. Используя соответствующее определение предела «на
*	5х + 1	5
языке 8 — 5», доказать, что lim	= —.
*->+«> Зх+9 3
5х + 1	5
Решение. Равенство lim	= — «на языке 8 — 5» означает, что
*->+«> Зх+9 3
для любого 8 > 0 существует 5 такое, что из неравенства х >5 следует
5х + 1 5
неравенство
Зх+9 3
14
<	8. Найдем значения х, для которых
|Зх + 9|
выполняется последнее неравенство. Так как х > 0, то, решая неравенство
14	14-98	^	*	14-98
	<8, получаем х>—		. Если положить 5 =	, то для
Зх + 9	Зе	Зе
всех х, удовлетворяющих неравенству х > 5, будет выполняться нера¬
венство
5х+1 5
Зх + 9 3
.	,.	5х+1	5
< 8. А это означает, что lim	= —.
д^+со Зх + 9	3
Упражнения. Используя соответствующее определение
предела «на языке 8 - 6», доказать, что:
1. lim^—^ = -.	2. lim^—^ = -.	aiim—= 0.
x~>«>3x + 2	3	x^+co3x + 2	3	*->°°	х
4. lime1/;c=l. 5. lim —= 0.
х^+оо	х—»-<» %
О Пример 7. Доказать, что функция sinx не имеет предела при
X—^ +00.
Решение. Докажем, что эта функция не удовлетворяет определе¬
нию 5. Для этого укажем такую бесконечно большую последователь¬
ность {xj значений аргумента, элементы которой положительны, что
последовательность {sinxj значений функции расходится. Положим
хп = ~^(2п + 1). Тогдахп-++оопритг^оо, последовательность {sinxj при¬
нимает значения -1,1, -1,..., (-1)”,..., а последовательность {(-1)”} (см.
замечание к теореме 3.6) расходится, что и требовалось доказать. •
Упражнение. Доказать, что lim cos* не существует.

4.3. Теоремы о пределах функций
177
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте два определения предела функции. Что оз¬
начает эквивалентность этих определений?
2.	Приведите пример функции, не имеющей предела в данной
точке.
3.	При каких условиях из существования односторонних пределов
функции следует существование предела функции и наоборот?
Ы
4.	Существует ли lim — ?
5.	Сформулируйте два определения предела функции при
X—^ + 00.
6.	Докажите, что lim х не существует.
4.3.	Теоремы о пределах функций
Определение предела функции «на языке последовательно¬
стей» дает возможность перенести доказанные ранее теоремы
о	пределах последовательностей на функции. Покажем это
на примере двух теорем.
Теорема 4.3. Пусть функции /(х) ug{x) имеют в точке
f (х)
хп пределы В и С. Тогда функции f(x)±g(x),f(x) -g(x) и
(при С^О) имеют в точке х^ пределы, равные соответственно
В±С,ВСш —.
С
□	Доказательство. Пусть {xj (хл^х0) — произвольная,
сходящаяся к х0 последовательность значений аргумента
функций /(х) и g(x). Соответствующие последовательности
{/(хп)}и {g(xn)} значений этих функций имеют пределы В & С.
Но тогда, в силу теорем 3.7—3.9, последовательности {/(х ) ±
Г f(x )1
±&(х„)}> {/(хп) ~ё(хп)}и <	> при СфО имеют пределы, соответ-
[ ё(Хп) }
Jg
ственно равные В±С,ВСи —. Согласно определению 1 предела
С
функции, это означает, что
lim [/(х) ± g(x) ] = В ± С, lim [/(х) • g(x)] = В ■ С,
Г —4 У« L	J	У—Ь У- L	J

178
Глава 4. Функция
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за
знак предела, т.е. lim fC-g(x)]= С lim g(x), где f(x) = С —
X^Xq L	J
постоянный множитель.
В самом деле, lim [Cg(x)l= lim С■ lim g{x) = С lim g(x),
так как lim C = C (см. пример 1 на с. 171).
Теорема 4.4. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены
в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть
может, самой точки х0, и функции f(x), h(x) имеют в точке х0
предел, равный А, т.е.
lim f(x) = lim h(x) = A.
Пусть, кроме того, выполняются неравенства fix) <g{x) <
<h{x). Тогда
lim g(x) = A.
x^x0
□	Доказательство. Пусть {xj (хл^х0) — произвольная,
сходящаяся кх0 последовательность значений аргумента функ¬
ций fix) и h{x). Соответствующие последовательности {/(хл)}
и {/г(хл)} значений этих функций имеют предел, равный А,
т.е./(хи)-»Л, й(хя)-»Л при да. Используя неравенства,
данные в условии теоремы, можно записать
f(xn)<g(xn)<h(xn).
Отсюда по теореме 3.11 следует, что g(xn) -> А.
В силу определения 1 предела функции это означает, что
limg(x) = A ■
Замечание. Теоремы 4.3 и 4.4 верны также и в случае,
когда xQ является одним из символов ос, +ос или - ос.
О Пример 1. Найти lim(3x2 + х+5).
х—>1
Решение. На основании теоремы 4.3 (предел суммы и произведе¬
ния) имеем
Нш(3х2 + х+5) = НшЗх2 +Ншх + Нш5 =
х—>1	х—>1	х—>1	х—>1
= ЗНтхНтх+limx+5 = 311+1+5 = 9,
х—>1 х—>1	х—>1
так как limx = 1 (см. пример 2 на с. 172).
х—>1
Т2 + X + 1
Пример 2. Найти Нш^	.
х - X +1
Решение. Предел числителя
lim(x2 +х+1) = limxlimx+limx+1 = 11 + 1 + 1 = 3,
X—>1	X—>1	X—>1	X—>1

4.4. Два замечательных предела
179
а предел знаменателя
lim(x2 -х+1) = limx-limx-limx+1 = 1-1-1 + 1 = 1.
x-»i	x->i	x->i	x->i
Так как предел знаменателя не равен нулю, то, применяя теорему 4.3
(предел частного), окончательно получаем
x2+x+l lim(*2+x+l) з
lim—5	= з	= - = 3.
х -х + 1 lim(x - x +1)	1
х->1
Пример 3. Доказать, что lim sinx = 0.
х—>0+
Решение. Пусть 0 < х < п/2. Возьмем дугу AM окружности единич¬
ного радиуса и угол, радианная мера которого равна х (рис. 124). Тогда
AM = х, КМ = sinx Так как 0 < КМ < AM, то
0	< sinx < х,	(1)
а так как Ишх = 0 (см. пример 2 на с.172), то из неравенств (1)
дг->0
и теоремы 4.4 следует, что lim sin х = 0.
ЛГ—>0 +
Докажите самостоятельно, что lim sinx = 0.
дг^О-
I г
Пример 4. Доказать, что lim J1+—j = 1.
х^соу х
Решение. Для любого х ф 0 выполняются неравенства
1	< л 1 Н	2 < 1 н	2'
V	х х
Имеем lim [ 1+-1 ] = 1, так как lim^ = 0 (докажите это самостоятельно).
Х~*Х> \ X )	х^»*>	X
По теореме 4.4 получаем, что НтЛ/1 +-1=1. •
х^соу х
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте теоремы 4.3 и 4.4 о пределе функций.
2.	Докажите теорему 4.3 прих->+оо. Где в доказательстве теоремы
использовано,что Сф 0?
4.4.	Два замечательных предела
4.4.1.	Первый замечательный предел
sinx ,
lim	= 1.
х

180
Глава 4. Функция
□	Докажем данное равенство. Рассмотрим дугу окруж¬
ности радиуса R = 1 с центральным углом, радианная мера
которого равна х (0 < х < тс/2) (рис. 124). Тогда
ОА = 1, sinx = MK, tgх = АТ.	(1)
Очевидно, что площадь треугольника О AM меньше
площади сектора ОАМ, которая, в свою очередь, мень¬
ше площади треугольника ОАТ или, что то же самое,
1	1—1
-ОА-МК <-ОА - AM <-ОА - АТ. Принимая во внимание
2	2 2
равенства (1), доследнее соотношение можно записать в
виде
1 . 11,
—sinx<—х<—tgx,
откуда получаем
sinx <х< tgx.
(2)
sinx
Разделив эти неравенства на sinx, получим 1 >	> cos х,
х
sin х	х
откуда находим 0<1	<l-cosx. Так как sin—<1, то
х	2
sin2 ^ < sin^. Поэтому, учитывая первое неравенство (2),
для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < х < п/2, по¬
лучаем
х „ . х „х
2
l-cosx = 2sin2 — <2sin— <2:
■ х.
sm т
Итак, 0<1-^——<х при 0<х<
х
< тс/2.
Возьмем любое s > 0 и положим
5	= min{s, л/2}. Тогда для всех х, удов¬
летворяющих неравенствам 0 < х < 5,
будет выполняться неравенство х < в,
поэтому
sin т
0	< 1	< в, откуда
X
sinx
X
<8.

4.4. Два замечательных предела
181
sin X
Это означает, что 1 является правым пределом функции
х
sin х
в точке х = 0, т.е. lim	=1. Заметим теперь, что функция
х-»0+ х
s, ч sinx	ч	sin(-x) sin л:	£/	ч
/(х) =	 четная, так как j (-х) = —-—- =	= j (х).
X	-XX
sin х
Поэтому и левый предел функции	в точке х = О равен 1.
л:
sin х
Отсюда, в силу теоремы 4.2, следует, что lim	= 1. ■
*^0 х
Замечание. Используя неравенства sinx< х и 1 - cosx<x
при 0 < х < я/2, полученные в ходе рассмотрения первого
замечательного предела, легко доказать, что limcosx = l,
х-»0
limsinx = 0. (Сделайте это самостоятельно.)
х^О
С помощью первого замечательного предела вычисляются
многие другие пределы.
\ — cosx
О	Пример 1. Найти lim	.
*->0 х
Решение. Знаменатель дроби при х^О стремится к нулю. Поэтому
теорема 4.3 здесь неприменима. Для нахождения предела преобразуем
данную дробь:
,. 1-cosx ,.	2sin2(x/2) sin(x/2)	.	х
lim	= lim		—-—- = lim— '	sin— =
x^o x x^° x	x^°	X/	2	2
= iimSin(*/2>limsin- = 1-0 = 0.
x/2	2
tg X
Пример 2, Найти lim——.
^0 X
Решение. Имеем
tgx	л.	sinx 1	,. sinx,. 1	,	1	,
lim—— = lim	= lim	lim	= 1— = 1.
X	X COSX *->0 X *->0cOSX	1
5x
Пример 3. Найти lim-
sin4x
Решение. Имеем
lim—^ = 1,25.
*^°sin4x ^osin4x ^ sin4x 1
4x	4x

182
Глава 4. Функция
4.4.2.	Второй замечательный предел
limfl + —1 =е.
\ х)
□	Как известно, limf 1 + — ] =е (см. с. 138—140). До-
п)
кажем, что limf 1 + — ] = е. Действительно, пусть х >1. По-
% У
ложим п = [х]; тогдах=п + а, где п — натуральное число,
а а удовлетворяет условию 0 < а < 1. Так как п < х < п + 1,
1	1 1
—то
п +1 X п
1+_Ly<r1+ir<(1+i
п + V \ х) \ п
Прих^ + оо (?7—>00)
limf 1+—
= lim(l +—] limf 1 +—] =е-1 = е
Л->°°Ч flJ П^>со\ flJ П^>со\ flJ
И
lim 1 +
, lim 1 + —-
1 i	n +1
V	n +1
lim 1-
1
"->* V	n +1
Откуда по теореме 4.4 получаем
1
lim 1 + —	=e.
V	x)
Пусть теперь x < -1. Положим x = -у, тогда
lim I 1+—1 = lim
x) y^+x
I4'*
= lim
у—>+°o
1+-
у-У
l
V yj
lim
у—>+°o
= lim
у—>+°o
1 + -
1
1 + -
у-У
у-У
= e-l = e
ПрИХ-»-00.
Объединяя оба случая, окончательно имеем

4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции	183
lim(l + —| =е.
V, xj
Второй замечательный предел имеет широкое применение.
С его помощью находятся многие другие пределы.
О	Пример 4. Найти Кт(1 + х)1/дг.
д;->0
Решение. Сделаем замену переменной, полагая 1/х = ос. Тогда оче¬
видно, что а —»оо при х—>0. Поэтому
lim(l+х)1/дг = lim (1 +—1 = е.
дг->0	а->со^	ОС/
Пример5. Найти lim[l+—] .
х/
Решение. Положим х = 31. Тогда при х—>оо и £—>оо. Следовательно,
lim Г1 +—1 = lim Г1+—1 =Нш
х/	t)
>4УКУНУ
= limfl+-l •limfl+-l -limfl+-l =е-е-е = е3.	•
v t/ \ t/ \ t/
Вопросы для самопроверки
1.	Докажите первый и второй замечательные пределы.
2.	Докажите, что lim(l + х)1/х = е.
д;->0
4.5.	Бесконечно малые
и бесконечно большие функции
4.5.1.	Бесконечно малые функции
Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой
функцией (или просто бесконечно малой) в точке х = х0 (или
при х—>х0), если lim /(х) = 0.
*->*0
Аналогично определяются бесконечно малые функции
При X—>00, X —> + 00, X—>-оо, X—>Х0~ И X—>Х0+.
Так как предел бесконечно малой функции равен нулю,
т.е. |/(х) -А\ = |/(х) - 0| = |/(х)|, то можно дать равносильное
определение бесконечно малой функции «на языке в — 8»:
функция /(х) называется бесконечно малой в точке х = х0, если
для любого в > 0 существует 8 > 0 такое, что для всех хеХ,

184
Глава 4. Функция
х ф х0, удовлетворяющих неравенству \ х - xj <§, выполняется
неравенство |/(х)| < в, и «на языке последовательностей»:
функция f(x) называется бесконечно малой в точке х = х0, если
для любой сходящейся кх0 последовательности {хп} значений
аргумента, отличных от х0, соответствующая последова¬
тельность (/*(.хи)} является бесконечно малой.
Так же как бесконечно малые последовательности, бес¬
конечно малые функции играют существенную роль: общее
понятие предела функции может быть сведено к понятию
бесконечно малой.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 4.5. Для выполнения равенства lim /(х) = А не-
х^>х0
обходимо и достаточно, чтобы функция
ос(х) =/(х) - А
была бесконечно малой при х—>х0.
□	Доказательство. Необходимость.
Пусть lim /(х) = А. Рассмотрим разность /(х) - А = а(х)
х->х0
и покажем, что а(х) — бесконечно малая функция при х->х0.
Действительно, пределы каждой из функций /(х) и А при
х-»х0 равны А, и поэтому, в силу теоремы 4.3,
lim а(х) = lim[/(x) - Л] = lim /(х) - lim А = А - А = 0.
Достаточность. Пусть/(х) - А = а(х), где а(х) — беско¬
нечно малая функция при х-»х0. Покажем, что lim /(х) = А.
Так как/(х) = А + а(х), то	z~rz,‘
lim /(х) = lim [А + а(х)] = lim А + lim а(х) = А + 0 = А. и
х^>х0	х^>х0	х^>х0	х^>х0
Из теоремы 4.5 получаем специальное представление для
функции, имеющей в точке х = х0 предел, равный А:
/(х) = А + а(х), где lim а(х) = 0.
При этом обычно говорят, что функция f(x) в окрестности
точки х0 отличается от А на бесконечно малую функцию.
Бесконечно малые функции обладают такими же свойства¬
ми, что и бесконечно малые последовательности. Справедлива
следующая теорема.
Теорема 4.6. Алгебраическая сумма и произведение конечно¬
го числа бесконечно малых функций при х—>х0, а также произ¬
ведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию
являются бесконечно малыми функциями при х —>х0.

4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции	185
Эта теорема непосредственно вытекает из первого опре¬
деления предела функции и теорем 3.2—3.4.
Все сказанное о бесконечно малых функциях при х->х0
справедливо и для бесконечно малых функций при х->ао,
X —^ + ООj х —^ — 00j х —^Xq— И X —^.
О	Пример 1. Доказать, что функция /(х) = (х- l)sin	прих-» 1
х-1
1
является бесконечно малой, т.е. lim(x -l)sin	= 0.
Х-1
Решение. Так как lim(x-l) = 0 (докажите это самостоятельно),
x-»i
то, согласно определению 1, функция (х-1) бесконечно малая при
1
х-> 1, а так как функция sin	(х * 1) ограничена
х-1
данная функция /(х) представляет собой произведение бесконечно
малой функции на ограниченную. По теореме 4.6 это означает, что/(х) —
1
бесконечно малая функция при х-> 1, т.е. lim(x - l)sin	= 0. •
Х-1
4.5.2.	Бесконечно большие функции
Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно боль¬
шой функцией (или просто бесконечно большой) в точке х = х0
(или при х—>х0), если для любого в > О существует 8 > О та¬
кое, что для всех х еХ, х ф х0, удовлетворяющих неравенству
|х-х0|<8, выполняется неравенство \ f(x)\ > в.
В этом случае пишут lim /(х) = оо и говорят, что функция
стремится к бесконечности при х—>хй или что она имеет
бесконечный предел в точке х = х0. Если же выполняется
неравенство /(х) > s(/(x) < -s), то пишут lim/(x) = +oo
(lim /(*) = -оо) и говорят, что функция имеет в точке х0
х^>х0
бесконечный предел, равный+оо (-оо).
По аналогии с конечными односторонними пределами
определяются и бесконечные односторонние пределы:
lim f(x) = +оо, lim f(x) = -oo, lim f(x) = +00,
lim /(x) = -00.
x->x0-
Так, например, пишут lim f{x) = +00, если для любого s > О
существует 8 > О такое, что для всехх еХ, удовлетворяющих не¬
равенствам х0< х < х0+ 6, выполняется неравенство/(х) > в.
sin-
х — 1
<1 , то

186
Глава 4. Функция
«На языке последовательностей» это же определение за¬
писывается так: lim /(х) = +00, если для любой сходящейся
х->х0 +
кх0 последовательности {.хп} значений аргументах, элементыхп
которой больше х0, соответствующая последовательность
{fixу)} значений функции является бесконечно большой по¬
ложительного знака.
Точное определение подобных пределов рекомендуем
читателю дать самостоятельно.
Аналогично определяются бесконечно большие функции
при х—>оо, х—>+оо и х—>—ос. Так, например, функция/(х) на¬
зывается бесконечно большой при х^оо, если для любого в>0
существует 8 > 0 такое, что для всех х еХ, удовлетворяющих
неравенству |х| > 8, выполняется неравенство |/(х)| > в.
При этом пишут lim/(x) = 00.
Х-»0О
Если же выполняется неравенство/(х) > е(/(х)<-е), то
пишут lim/(x) = +oo (lim/(x) = -oo).
лг-»оо	х—>со
Предлагаем самостоятельно сформулировать определение
бесконечно большой функции при х->+со и х-»-оо.
В заключение покажем, что между бесконечно малыми и
бесконечно большими функциями существует такая же связь,
как и между соответствующими последовательностями, т.е.
функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно
большой, и наоборот.
В самом деле, пусть lim /(х) = 0 и /(х) ^ 0 при х ф х0. До-
кажем, что lim —-— = со.
fix)
Зададим произвольное 8 > 0. Так как /(х) — бесконечно
малая функция в точке х0, то для числа 1/е существует 8>0
такое, что для всех х еХ, удовлетворяющих неравенствам
\
О	< | х — х0| < 5, выполняется неравенство |/(х)| <—. Но тогда
для тех же х выполняется неравенство
1
/(*)
1
>s, т.е.
fix)
бесконечно большая функция в точке х = х0, что и требова-
лось доказать. (Обратное утверждение рекомендуем доказать
самостоятельно.)
О Пример 2. Используя определение 2, доказать, что функция
1	• 1
fix) =	при X —> 1 является бесконечно большой, т.е. lim-	= оо.
JK ’	х-1	v

4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции	187
Решение. Согласно определению надо доказать, что для любого е>0
существует 5 > 0 такое, что из неравенства | х -1| < 5 следует неравенст-
1
х-1
Возьмем любое s > 0 и решим неравенство
во |/(дг)| > s, т.е.
>8. Получаем
>8.
х-1
\х - 1| < 1/е. Таким образом, в качестве 5 можно взять число 1/е.
Итак, для любого 8 > 0 существует 5 = 1/е такое, что для всех х,
удовлетворяющих неравенству \х- 1| < 5, выполняется неравенство
i/mi > 8. Это и означает, что данная функция f(x) является бесконеч¬
но большой при х^> 1.
Пример 3. Доказать, что функция f(x) = logах(а >1) при х^+со
является бесконечно большой, т.е. lim logfl х = +оо.
X—>+сО
Решение. Надо показать, что для любого 8 > 0 существует 5 > 0 такое,
что из неравенства х > 5 следует неравенство logaJc > 8.
Берем любое 8 > 0 и рассматриваем неравенство \ogax > 8. Если
взять 5 = ае, то при х > 5 будет выполняться неравенство logax > 8, а
это означает, что данная функция f(x) является бесконечно большой
при х^+со.
Пример 4. Пусть limf(x) = A, lim g(x) = +оо. Доказать, что
дг->дг0
lim(/(x) + g(x)) = +оо.
х->х0
Решение. Надо доказать, что для любого 8 > 0 существует 5 > 0 такое,
что из неравенства | х - х0\ < 5, х * х0, следует неравенство f(x) +g(x) > е,
т.е. функция f(x) +g(x) удовлетворяет определению бесконечно большой
функции положительного знака в точке х0.
Предварительно покажем, что если функция f(x) имеет предел при
х^х0, то существует б'-окрестность точки х0, в которой
I/WI <М,	(1)
где М — некоторое положительное число. Действительно, по усло¬
вию задачи lim f(x) = А, тогда на основании определения предела
дг->дг0
функции для 8=1 существует 5' > 0 такое, что из неравенства \х- х0\ < 5',
х фх0, следует неравенство \/(х) - А\ <1. Так как \/(х) -А\> |/(х)|-|А\
(см. теорему 1.4), то |/(дг)|-|Л | < 1, откуда |/(дг)| < \ А |+1 = М, что и тре¬
бовалось показать.
Возьмем теперь любое 8 > 0. Так как по условию lim g(x) = +оо,
дг->дг0
то, согласно определению бесконечно большой функции при х^>х0,
для числа 8 + М > 0 существует 5 > 0 (5 < 5') такое, что из неравенства
\х-х0\<Ь,х* х0, следует неравенство
g(x)>z + M.	(2)
Из неравенств (1) и (2) получаем, что при \х - х0\ < 5 < 5' справедливо
неравенство f(x) +g(x) > g(x) - \f(x)\ > г + М- М=г, а это означает, что

188
Глава 4. Функция
функция f(x) +g(x) удовлетворяет определению бесконечно большой
функции при х—>х0, т.е. lim(/(x) + g(x)) =+оо. •
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте определение бесконечно малой функции:
а) при х->х0; б) при х->оо. Приведите примеры таких функций.
2.	Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно
малой функцией?
3.	Сформулируйте определение бесконечно большой функции:
а)	прих->х0; б) прих->оо.
4.	Что означают записи:	lim/(х) =+оо, lim/(х) =+оо,
х->х0-	х->-<х>
Нт/(х) = -оо? Дайте соответствующие определения.
8.	Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой
функциями?
4.6.	Сравнение бесконечно малых
и бесконечно больших функций
Мы уже знаем, что сумма, разность и произведение бес¬
конечно малых функций являются бесконечно малыми
функциями. Этого, вообще говоря, нельзя сказать о частном:
деление одной бесконечно малой на другую может привес¬
ти к различным результатам. Так, например, если а(х) = х,
|3(х) = 2х, то
,. а(х) ,. х	1
lim = lim— =
|3(х)	2х 2
Если же а(х) = х, р(х)=х2, то
lim = lim— = оо; lim = limx = 0.
х->0 р(х) х^0 х х^0 ос(х) х^°
Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функ¬
ций.
Пусть при х—>Xq функции а(х) и |3(х) являются бесконечно
малыми. Тогда:
1)	если lim а(х^ = о, то а(х) называется бесконечно малой
х~>хо р(х)
более высокого порядка, чем р(х) (говорят также, что а(х)
имеет более высокий порядок малости, чем |3(х), при х-»х0);

4.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций	189
ос(х)
2)	если lim —= А * О (А — число), то ос(х) и р(х) на-
*->*0 Р”(х)
зываются бесконечно малыми одного порядка (имеют как бы
«одинаковую скорость» стремления к нулю);
3) если lim	= 1, то а(х) и Р(х) называются эквива-
х^хо Р(х)
лентными бесконечно малыми. Эквивалентность обозначается
так: ос(х)~Р(х).
В некоторых случаях оказывается недостаточно знать, что
одна из двух бесконечно малых имеет более высокий порядок,
чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок.
Поэтому вводится следующее правило:
4) если lim	= А ф 0, то а(х) называется бесконечно
J	*-«0рп(х)	4 '
малой п-го порядка относительно р(х).
Существуют аналогичные правила для сравнения беско¬
нечно малых функций при х—>оо, при х->-оо, при х —>+оо, а
также при х—>х0 справа и слева.
О Рассмотрим примеры.
1.	Функции sinx их являются прих^О эквивалентными бесконечно
sin х
малыми, так как lim	= 1.
х^О X
2.	Функции sin3x и sinx являются при х^О бесконечно малыми
одного порядка, так как
3sin3x
.. sin3x ..	sinSx,.	х	_
lim	= lim—= 31im	lim	= 3.
sinx *->°(sinx)/x	x^°	3x	*^°sinx
3.	Функция a(x) = 1 - cosx является при x-»0 бесконечно малой вто¬
рого порядка малости по отношению к бесконечно малой х, так как
lim 1~СШХ = lim2sin2lx/2) = —limfsin<*/2>Y = i •
xz x^° x2 2v^0' l x/2	)	2
При сравнении бесконечно малых функций часто исполь¬
зуют символ о («о малое»). Если функция ос(х) в точке х0—бес¬
конечно малая более высокого порядка, чем бесконечно малая
р(х) в этой же точке, то это условно записывают так:
ос(х) = о(р(х».
Заметим также, что если функции а(х) и Р(х) — бесконечно
малые в точке х0, то функция а(х) • р(х) имеет более высокий по¬
рядок малости, чем каждый из сомножителей. В самом деле,

190
Глава 4. Функция
lim а(х)Р(х) = lim а(х) = О,
р(х) дг->*0
и поэтому а(х)Р(х) = о(р(х)), а(х)Р(х) = о(а(х)).
Для бесконечно больших функций имеют место анало¬
гичные правила сравнения.
Рассмотрим несколько примеров.
1+х	1
О	1* Функции ос(х) =	 и р(х) = — являются при л:—>0 эквива-
х	х
лентными бесконечно большими, так как
lim а(£) =	+	=	i
р(х)
В этом случае говорят также, что а(х) и Р(х) имеют одинаковый
порядок роста при х—» 0.
2.	Функция а(х) = х2+ 4 является при х^оо бесконечно большой
более низкого порядка, чем р(х) = х3 - 2 (имеет менее высокий порядок
роста), так как
а(х) х2+4	1	+	4/х2 г 1 А
lim = lim—;	= lim	,-1—г = lim— = 0.
*^°Р(х)	*->«х' -2 х - 2/х х^соХ
3.	Бесконечно большие при х^оо функции а(х) = 2х2 + 1 и Р(х) =
=х2 - 1 имеют одинаковый порядок роста, так как
2х2+1	2 + 1/х2	_
lim—^	= lim	'-j—r- = 2.
х-1	1-1/х
4.	Функция а(х) = х4 + х +1 является при х-> оо бесконечно большой
второго порядка по отношению к бесконечно большой Р(х) = х2 + 1,
так как
,. х4 + х +1	,.	х4 + х+1	,.	1+l/x3 + l/x4 .
lim—^	5- = lim—;	5— = lim	Lr^—'-j—r = 1.
(x +1)	^«x +2x +1 *^col + 2/x + l/x
Вопросы для самопроверки
1.	Что значит сравнить две бесконечно малые функции?
2.	Приведите примеры бесконечно малой функции а(х):
а)	одного порядка малости с функцией Р(х) в точке х0;
б)	эквивалентной функции Р(х) в точке х0;
в)	более высокого порядка малости, чем Р(х), при х—»х0.
3.	Что означает символическая запись а(х)=о(Р(х)) при х^х0?
4.	Докажите, что: а)х3 = о(х2) прих^-0; б) (х- 1)2=о (х- 1) при
х->1.
5.	Верно ли равенство х3= о(Р(х)) при х^О, если Р(х) =
= x2sinx?

4.7. Вычисление пределов функции
191
6.	Докажите, что 1/х4 = о( 1/х3) прих-»оо.
1	1
7. Верно ли равенство -у = оф(х)) прих^оо, если Р(х) = —г	?
X	х	sinx
8.	Докажите, что sinx-x = о(х) прих^О.
9.	Сравните следующие бесконечно большие функции при
х^оо:
а)	а(х) = х2 + 5х и Р(х) = х3 + 2х2;
б)	а(х) = 2х2 + 1 и Р(х) = (х -I)2;
в)	а(х) =	+ 1 и р(*) = у/х.
4.7.	Вычисление пределов функции
Мы познакомились с понятием предела функции f(x)
при х^>х0, х-»ж0-, х-»х0+, х-»+со, х—со и х—>со, с непо¬
средственным применением теоремы 4.3 о пределах суммы,
произведения и частного двух функций f(x) и g(x), имеющих
конечные пределы, для вычисления пределов и т.д. Осталось
рассмотреть те случаи вычисления пределов, которые не
охватываются рассмотренными ранее способами.
f (х)
Будем говорить, что отношение двух функций	J есть
g(x)
неопределенность вида — или если числитель и знаме¬
натель дроби одновременно стремятся к нулю или к беско-
нечности ПрИ X —> Xq, X —> х0 +, х —> х0 —, х —> + оо, х —> — оо и х —> 00.
В этих случаях о пределе отношения/(x)/g(x) ничего опреде¬
ленного сказать нельзя, так как этот предел может быть равен
нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и
вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределенности —
/(*)
значит вычислить предел отношения , если он сущест¬
ве*)
вует, или установить, что он не существует. На конкретных
примерах посмотрим, как это делается.
_Т	*	у т ° т X2 +6х+8
О Пример 1. Наити lim	~	.
^-2 х +8
Решение. Непосредственно теорему 4.3 (предел частного) применить
нельзя, так как предел знаменателя при х-»-2 равен нулю. Здесь и
предел числителя при х->- 2 также равен нулю. Следовательно, имеем
неопределенность вида -Ц. Необходимо, как говорят, раскрыть эту

192
Глава 4. Функция
неопределенность. Для этого разложим числитель и знаменатель на
множители и сократим на общий множитель х+2, который обращает
в нуль знаменатель и числитель дроби. Это можно сделать, так как в
определении предела функции при х^-2 значение функции в точке
х=-2 не входит в Y, поскольку х*-2. Имеем
,.	х2+6х+8	,.	(х + 2)(х + А)	,.	х+4
lim	5	= lim — 		 — = lim 	.
*->-2 х +8	х^-2(х	+	2)(х	-2х	+	4)	х->-2х — 2х+4
т	0
Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность —
раскрыта. Применяя теорему 4.3, окончательно находим
limx2+6x+8_ Цп(*+4>	^	-2+4	2	1	9
х3 +8 lim(x2 -2х+4) (-2)2-2(-2)+4	12	6'
При вычислении пределов отношения двух многочленов
при х оо, х ->+оо и х - оо для раскрытия неопределенности
вида ^ числитель и знаменатель дроби надо делить на х
в старшей степени; величина дроби от этого не изменится. При
этом, если в числителе и знаменателе многочлены одной сте¬
пени, предел равен отношению коэффициентов при старших
степенях, если разной степени, то предел равен 0 или оо.
О Пример 2. Найти lim х + 2х+3
2х +Зх+4
Решение. Имеем неопределенность вида Ц.
Разделив на х2 числитель и знаменатель дроби, а затем применив
теорему 4.3, получим
Цт х2 +2.Г+3 = ит1+2/х+3/х2 = lim(l+2/x+3/x2) ^
x^*2x2+3x+4 х^*2 + 3/х + 4/х2 lim(2 + 3/x + 4/x2)
х—>со
liml + lim(2/x) + lim(3/x2)	1+0+0	1
	 дг-юо дг-юо	дг-юо		 1 "Г V "Г V
lim2 + lim(2/x) + lim(3/x2)	2+0+0	2
д;->со х—>со	д;->со
х+3
ПримерЗ. Найти lim—5	.
2х + 3х+4
Решение. Имеем неопределенность вида	Разделив на х2 числи¬
тель и знаменатель дроби, а затем применив теорему 4.3, получим
lim »3	_
°2х2+Зх+4 х^2 + 3/х+4/х2 lim(2 + 3/x+4/x2)
X—>сО
lim(l/x)+lim(3/x2) 0+0	0
Л~	ЬгГ\	Л-	ЬгГ\	V	I	V	V	Q
Hm2 + lim(3/x) + lim(4/x2)	2+0+0	2
х-><я	х-><я

4.8. Понятие непрерывности функции
193
х3 +5
Пример 4. Найти lim—5	.
*->°°х +3
Решение. Имеем неопределенность вида Ц. Разделив на х3 числи¬
тель и знаменатель дроби, получим
х3+5 л. 1+5/х3
lim—«	= lim— —г^г = оо,
+3 х^1/х + 3/х
так как при х-»оо функция h(x) = 1 + 5/х3 имеет предел, равный 1, функ¬
ция —-— ограниченная (докажите это самостоятельно), функция
h(x)
g(x) =1/х+3/х3 бесконечно малая (также докажите самостоятельно) и
&(х')	1
lim = lim g(x)	= 0 (произведение ограниченной на бесконеч-
h(x) х^™ h(x)
но малую), т.е. данная дробь, как обратная, есть бесконечно большая
функция при х—»оо. •
хт	тт	и	л	у	х5 + х + \	,. Зх + 5
Упражнения. Наити: 1.	lim—*	5—. 2. lim	.
х + х +1	*->«>2х + 6
0	х3 -х2 -х + 1 ,	2х3-х2	+	1	х5+х3-4х
3. lim—^^	. 4. lim—т— 	5. lim—*—
^ г+Г-1-1	Зх	+	Зх	+	4	х + 2х +4
„ v х2+2х-8
6.	lim			.
«2 х -8
Вычисление пределов функций мы продолжим после того,
как рассмотрим понятие непрерывности функции.
Вопросы для самопроверки
1.	Что означают записи: х^х0, х-»х0-, х^х0+, х-»+оо, х-»-оо
И X—>00?
2.	В каких случаях говорят о наличии неопределенности вида
О 00 о
—	или — ?
О 00
4.	Что означают слова «неопределенность раскрыта»?
5.	Почему х Ф х0 при х—»х0?
4.8.	Понятие непрерывности функции
Понятие непрерывности функции является одним из ос¬
новных понятий математического анализа.

194
Глава 4. Функция
4.8.1.	Определение непрерывности функции
Пусть на некотором промежутке X определена функция
/(х) и точка х0 принадлежит этому промежутку0.
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в
точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке
равныу т.е.
lim /(х) = f(x0).	(1)
Так как limx = x0, то соотношение (1) можно записать
в следующем виде:
lim f(x) = /(limx),
х—»х0	х->х0
т.е. для непрерывной функции знаки функции и предела
можно переставлять.
Можно дать равносильное определение непрерывности
функции «на языке последовательностей»: функция f(x) на¬
зывается непрерывной в точке х0, если для любой последова¬
тельности значений аргументах: х, х2, х3,..., х ,..., сходящейся
кх0, последовательность соответствующих значений функции
/(хЛ,/(х2),/(х3), ...,/(хя),... сходится к/(х0).
По аналогии с определением предела функции можно
сформулировать определение непрерывности функции «на
языке 8 — 5».
Определение 2. Функция/(х) называется непрерывной в
точке х0, если для любого s > 0 существует 8 > 0 такоеу что
для всех х, удовлетворяющих неравенству \х - х0| < 8, выпол¬
няется неравенство |/(х) -/(х0)| < в.
Эквивалентность этих определений очевидна.
О Пример 1. Используя определение 1, доказать непрерывность
функцииf(x) = Зх1 + 2х + 1 в точкех=\.
Решение. Сначала найдем предел данной функции при х^> 1:
lim(3x2 + 2x+l) = 31imx2+21imx+l = 3- l + 2*l + l = 6.
X—>1	X —>1	х —>1
Затем вычислим значение функции в точке х = 1:
/(1) = 3*1+21+1 = 6.
Сравнивая полученные результаты, видим, что предел функции и
ее значение в точке х = 1 равны, т.е. lim f(x) = /(1). Согласно опреде-
х—> 1
лению 1, это означает, что данная функция непрерывна в точке х = 1.
Аналогично можно показать, что эта функция непрерывна в любой
точке числовой прямой. •
1} Заметим, что этого не требовалось, когда мы рассматривали предел
функции f(x) в точхе х0. В этом заключено отличие понятия непрерывно¬
сти функции от понятия ее предела.

4.8. Понятие непрерывности функции
195
Если lim /(х) = /(х0)( lim f(x) = f(x0)), то функцию
f(x) называют непрерывной в точке х0 справа (слева). Если
функция f(x) непрерывна в точке х0 и слева, и справа, то она
непрерывна в этой точке. В самом деле, в силу теоремы 4.2, в
данном случае предел функции в точке х0 равен ее значению
в этой точке.
Дадим, наконец, еще одно определение непрерывности
функции, которое, по существу, является перефразировкой
первого определения. Перенесем в равенстве (1) /(х0) в левую
часть и внесем /(х0) под знак предела. Так как условия х->х0
и (х-х0)-> 0 равносильны, то получаем
lim [/(х)-/(х0)] = 0.	(2)
(х-х0)^0
Разность х - х0 называется приращением аргумента х в точ¬
ке х0 и обозначается, как правило, Дх (читается: «дельта икс»),
а разность /(х) - /(х0) — приращением функции в точке х0,
вызванным приращением аргумента Дх, и обозначается Ду.
Таким образом,
Дх = х - х0, Ау = /(х0 + Дх) -/(х0).
Отметим, что Ду является функцией аргумента Ах при
фиксированной точке х0. Геометрический смысл прираще¬
ний ясен из рис. 125. Равенство (2) в новых обозначениях
принимает вид
lim Ау = 0.	(3)
Соотношение (3) и является еще одним определением
непрерывности функции, которое можно сформулировать
так.
Определение 3. Функция /(х) называется непрерывной
в точке х0, если ее приращение
в этой точке является бес¬
конечно малой функцией при
Дх—>0.
Последнее определение для
практического использования
иногда более удобно, и будем
его также использовать.
О Пример 2. Исследовать на не¬
прерывность функцию Дирихле:

196
Глава 4. Функция
ч fl, если х— рациональное число,
/(*) = L
[О, если х— иррациональное число.
Решение. Возьмем любую точку х0 на числовой прямой. Возможны
два случая: 1) число х0 рационально и 2) число х0 иррационально.
В случае 1) /(*0) =1. В любой окрестности рациональной точки
существуют иррациональные точки, в которых /(х0) = 0. Следователь¬
но, в любой окрестности точки х0 есть точки х, в которых приращение
функции Ау =/(х) -f(x0) = 0 -1 = -1.
В случае 2) /(х0) = 0. В любой окрестности иррациональной точки
имеются рациональные точки, в которых f(x) = 1. Следовательно, в лю¬
бой окрестности точки х0 есть точки х, в которых приращение функции
Ay=f(x)-f(x0)= 1-0=1.
Таким образом, приращение функции Ау может принимать как зна¬
чение, равное 1, так и значение, равное -1, т.е. не стремится к нулю при
Дг-»0. Согласно определению 3, это означает, что функция Дирихле не
является непрерывной в точке х0. А так как точка х0 выбиралась произ¬
вольно, то этим доказано, что функция Дирихле не является непрерыв¬
ной в каждой точке и, следовательно, на всей числовой прямой. •
4.8.2.	Арифметические действия
над непрерывными функциями
Теорема 4.7. Пусть функции f(x) ug(x) непрерывны в
точке х,. Тогда функции fix') ±g(x),f(x) -g(x) и также
g(x)
непрерывны в этой точке (последняя при g(x) ф 0).
□	Доказательство. Так как непрерывные в точке х0 функ¬
ции /(х) и g(x) имеют в этой точке пределы, равные /(х0) и
g(xQ), то по теореме 4.3 пределы функций /(х) ±g(x),/(x) -g(x)
f(x)
и	существуют	и	соответственно	равны /(х.) ± g(xn),
ё(х)
/(х0) • g(x0),/(x0)/g(x0). Но эти величины равны значениям
соответствующих функций в точке х0. Следовательно, по
f (%)
определению 1, функции f(pc) ±g(x),f(x) -g(x) и непре-
g(x)
рывны в точке х0. ■
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте три определения непрерывности функции
в точке х0.
2.	В чем различие между понятиями непрерывности функции и
пределом функции в точке х0?

4.9. Непрерывность некоторых элементарных функций	197
3.	Почему из непрерывности функции слева и справа в точке
х0 следует непрерывность функции в этой точке? На основании
какой теоремы?
4.	Сформулируйте теорему об арифметических действиях над
непрерывными функциями.
4.9.	Непрерывность некоторых
элементарных функций
Одним из важных свойств элементарных функций являет¬
ся их непрерывность в каждой точке области их определения.
На примере некоторых функций мы и проверим данный факт,
используя определение непрерывности функций в точке и
теорему 4.7.
4.9.1.	Непрерывность рациональных функций
Простейшим примером функции, непрерывной в любой
точке х0 числовой прямой, служит постоянная функция
f(x) = С. В самом деле, в этом случае lim f(x) = С = f(x0)
х^х0
(см. пример 1 на с. 171), т.е. постоянная функция непрерывна
в каждой точке числовой прямой.
Непрерывна также в каждой точке х числовой прямой
функция f(x)=x, так как lim х = х0 = f(x0) (см. пример 2
х->х„
на с. 172), т.е. предел функции в точке х0 равен ее значению
в этой точке. Из сказанного и теоремы 4.7 следует, что в лю¬
бой точке х0 функции х2 = х-х, Xй = х2-х, х4 = х3-х,xn=xn~i ■х
(п — натуральное число) непрерывны. Как мы знаем, функция
f(x)=xn называется степенной, а функция вида
Р(х) = С0хп + С^хп~' + С^сп~2 + ... + Сп^х+Сп,
где п > 0 — целое число, С0, Cv С2,..., Сп — любые числа, —
многочленом.
Каждое из слагаемых С0х”, Cvхп~\ С^сп~2,..., Сп есть про¬
изведение двух непрерывных функций (постоянной и сте¬
пенной). По теореме 4.7 оно непрерывно в любой точке х.
Многочлен Р(х) является, таким образом, суммой функций,
непрерывных в любой точке х, и, следовательно, непрерывен
в любой точке х.
Дробно-рациональная функция, т.е. функция вида
Q(x)

198
Глава 4. Функция
где Р(х) и Q(x) — многочлены, непрерывна во всех таких
точках х, в которых ее знаменатель не равен нулю (т.е. во всех
точках, за исключением корней знаменателя), как частное
непрерывных функций.
Зх^ + 7х	1
Например, функция i?(x) =	5	 непрерывна во
х — 1
всех точках х, отличных от +1 и -1.
4.9.2.	Непрерывность тригонометрических функций
Рассмотрим тригонометрические функции: sinx, cosx, tgx,
ctgx, secx, cosec x. Покажем, что функция sinx непрерывна в
любой точке х. Воспользуемся определением 3 непрерывности
функции. Придавая аргументу х приращение Ах, получим
приращение функции
Ау = sin (х + Ах) - sin х,
или
^ = 2cos(*+|:)sin^.
Переходя к пределу в левой и правой части равенства при
Ах-»0, получаем
lim Ay = 2 lim
Ax^O	Ax^O
COS
[ Ax) . Ax
x + — sin —
= 0,
так как
cos x +
Ax
<1,
. Ax
lim sin— =
Ax^O 2
lim
Ax^O
sin(Ar/2) ,.m Ax _ 1
Ax/2
lim — = — 1- lim Ax = 0°,
Ax^O 2	2	Ax^O
а произведение ограниченной функции на бесконечно ма¬
лую есть бесконечно малая. Таким образом, функция sinx
непрерывна в любой точке х. Непрерывность функции cosx
в любой точке х доказывается аналогично.
Из непрерывности функций sinx и cosx по теореме 4.7
,	„	.	sinx	1
следует непрерывность функции tgx =	и secx =
cosx
cosx
1} Здесь использован первый замечательный предел, который получает¬
ся в результате замены переменной t = Ах/2; lim	= \ (оче-
Ах/2	t
Ах
видно, что t = — ^ 0 приДх->0).

4.9. Непрерывность некоторых элементарных функций	199
л	71
во всех точках, где cosx^ 0, т.е. во всех точках, кроме х = — + пп,
COSX	1
и функций ctg х =	и со sec х =	во всех точках, кроме
sinx	sinx
х = п% (п = 0, ±1, ±2, ...).
4.9.3. Непрерывность функцииf(x) = |лг|
Функция/(х) = |х|, график которой изображен на рис. 101,
определена и непрерывна во всех точках числовой прямой.
В самом деле, в точках интервала (0, +со) она непрерывна, так
как при х > 0 fix) =х. В точках интервала (-со, 0) функция/(х)
также непрерывна, так как/(х) = -х при х < 0, то ее можно пред¬
ставить как произведение двух непрерывных функций ( -1)
и х и применить теорему 4.7 о непрерывности произведения.
Чтобы установить непрерывность функции |х| в точке х = 0,
вычислим односторонние пределы функции в этой точке:
lim |х| = lim(-x) = - lim х = 0;
х->0-1	1	х->0-	л:—>0—
lim |х| = lim х = 0.
х->0+ 1	1	л:—>0+
Итак, пределы функции в точке х= 0 слева и справа совпа¬
дают и равны значению функции в этой точке. Отсюда следует,
что функция |х| непрерывна в точке х = 0 и, следовательно,
непрерывна во всех точках числовой прямой.
Таким образом, мы убедились, что рассмотренные функ¬
ции непрерывны в каждой точке области их определения. На
основании теоремы 4.7 о непрерывности суммы, разности,
произведения и частного можно утверждать, что функции,
получаемые из них путем конечного числа арифметических
действий, являются также непрерывными функциями в каждой
точке области их определения.
Будем говорить, что функция /(х) непрерывна в интервале
(а, Ь), если она непрерывна в каждой точке этого интервала;
непрерывна на отрезке [а, Ь], если она непрерывна в интервале
(а, Ь), и непрерывна в точке а справа, а в точке b слева, т.е.
lim /(х) = /(a), a lim /(х) = f(b).
х^>а+	x^>b-
4.9.4.	Продолжение вычисления пределов функций
После того как мы установили, что элементарные функции
обладают свойством непрерывности в каждой точке области
их определения, открылись широкие возможности для вы¬
числений пределов элементарных функций.

200
Глава 4. Функция
1 eir» х
О Пример 1. Найти lim ■
х^п/2 1 _ COS 2х
Решение. Так как функция f(x) = ^ +	непрерывна в точке
l-cos2x
х=ж/2, т.е. предел функции и ее значение в этой точке равны, то, пере¬
ходя к пределу, получаем
1+sinx _ l + sin(7c/2) _	1	+	1
дг->л/2 i_cos2x 1-cos(27c/2)	1	—	(—1)
Пример 2. Найти	.
*->0 X
Решение. Имеем неопределенность вида —.
,	ч	V^+1-i
Функция / (х) =	 не определена в точке х = 0, т.е. не явля-
х
ется непрерывной в этой точке. Поэтому сразу переходить к пределу, как в
предыдущем примере, нельзя. Для нахождения предела надо функцию f(x)
тождественно преобразовать так, чтобы она прих * 0 совпала с некоторой
функцией F(x), непрерьюной в точке х=0, т.е. найти такую непрерывную
функцию F(x), чтобы/(х) = F(x) при х* 0 или lim /(х) = limF(x) = F(0).
дг->0	д;->0
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на сумму Vx+T+1:
f VFhT-i (Vr+T-ixVJ+T+i) x+i~i
X "	x(yfx +1+1)	~ x(yfx +1+1)”
= -7-1	= F(4
л/х + 1+l
Таким образом,/(x) = F(x) при x * 0. Но функция F(x) непрерывна
в точке x = 0, поэтому
yfx + i-i	1	11
lim	= lim 		— = 		— = -.
х	X^°\fx +1+1	л/0	+1+1	2
_ гт - т sin2x-cos2x-l
Пример 3. Наити lim	.
*^*/4 sin х-cos х
Решение. Имеем неопределенность вида
sin 2х — cos 2х — 1
Функция /(х) =	 не определена в точке х = л/4.
sin х-cos х
Для нахождения предела преобразуем дробь:
sin2x-cos2x-l _ sin2x-(l + cos2x) _ 2sinxcosx-2cos2 х _
sinx-cosx	sinx-cosx	sinx-cosx
_ 2cosx(sinx-cosx)
-	= 2cosx.
sinx-cosx

4.9. Непрерывность некоторых элементарных функций	201
При х * 7с/4 имеем
sin2x-cos2x-l
= 2cosx.
sin х- cos x
Но функция 2cosx непрерывна в точке х = л/4. Поэтому, переходя
к пределу, получаем
sin2x-cos2x-l то	о т
lim	;	= lim 2cosx = 2 lim cosx =
4 sin x- COS X	X^n/A	X^n/A
= 2cos| = 2-^ = >/2. •
При вычислении пределов функций при х-»+оо, х-»-оо и
х->оо, содержащих радикалы, надо рассматривать арифмети¬
ческое значение корня	= |х| при х > 0 и х < 0.
Jx2 + 1	л/х2 + 1	yl X2 + 1
О Пример 4. Найти: 1) lim	; 2) lim	; 3) lim	.
*->+«> X + l	X >—СО X + 1	*->«> Х + 1
Решение. Во всех случаях имеем неопределенность вида
1)	При х > 0 имеем = х, поэтому
Jx2(i+i/x2) _ HVi+1/х2
...	.	.	,	. ,	.	IT I .. I I -t- I I
|	\ Л II	1,	V Л \ 1 I 1/ Л /	1 ,
lim	= lim 		-	= lim J
X—>+cO x + 1	X~>+00	X(l+l/x)	X-»+■*> x(l + 1/x)
xJl + l/x2	Jl+l/x2	1
= lim —=	^— = lim 		^— = - = 1.
*^+c0 x(l+lJx) *^+co 1 + 1/x	1
2)	При x < 0 имеем = —x, следовательно,
Vx2 +1	..	-^r2(l	+	l/x2)	Ы-y/l+l/x2
lim	= lim  		= limJ—1-	:— =
X^-cO X + { X^-cO X(l+1/X)	^->-00	x(l	+	l/x)
r — Xyjl + l/x2	.. yjl + l/ X2	1
= lim — 	/— = -lim-51	 — = — = -1.
•	x(l + 1/x)	— 1 + 1/x	1
Q r V7+I
3)	lim	 не существует, так как пределы при х-» + оо и при
х +1
-оо разные.
3/Х3 +1-л/4х2 -1
Пример 5. Найти lim V	V	.
^-со	х	+	7
Решение. Имеем неопределенность вида	Прих<0 V? = -х,
yfx^ = x, поэтому

202
Глава 4. Функция
.. %lx3(l + t/x3) -tJx2(4-1/x2)
= lim 			=
x(l+7/x)
J. x-^/l + l/x3 -\x\yj4-l/x2
*->-«>	x(l	+	7/x)
v x$/l + l/x3 + xJi -1/ x2 1 + 2	3	0	-
= lim —				=	= — = o. •
x(l + 7/x)	1	1
Будем говорить, что сумма двух бесконечно больших функ¬
ций разных знаков есть неопределенность вида ос — оо.
В этом случае о пределе суммы ничего определенного
сказать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю,
бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе
не существовать.
О	Пример 6. Найти: 1) lim(>/?+4x-х); 2) lim (у/х2 +4х -х).
ЛГ->+00	X—►—СО
Решение. 1) Имеем неопределенность вида оо — оо. Для нахож¬
дения предела умножим и разделим на сумму у/х2 +4х +х, в резуль¬
тате получим
(у/х2 +4х-х)(у/х2 +4х +х) _	4х
у/х2 +4х +х	х^+<ау/х2 +4х +х
Теперь имеем неопределенность вида Ц. Для раскрытия данной
неопределенности разделим дробь на х, а затем перейдем к пределу.
Получаем
4х	4х
lim	=	= lim -
+ х
^x2(1+4/x)+x	хф+А/х
4	4
= lim ,	=	— = 2;
*”>+"^1+4/лг +1	1+1
2) lim (>Jx2 + Ах -х) = +оо, так как сумма двух положительных беско-
ЛГ—>—СО
нечно больших функций есть бесконечно большая функция (докажите
самостоятельно).
Из 1) и 2), в частности, следует, что lim(>/х2 +4х -х) не сущест-
вует. •
Будем говорить, что произведение бесконечно малой
функции на бесконечно большую есть неопределенность
вида 0-оо.
TZX
О	Пример 7. Найти lim(l-x)tg—.
ЛГ—>1	2

4.9. Непрерывность некоторых элементарных функций	203
Решение. Имеем неопределенность вида 0 • оо. Для нахожде¬
ния предела сделаем замену переменной, положив 1 - х = у. Так как
lim у = lim(l - х) = 0, то при 1 новая переменная у -»0. Кроме того,
х->1	х->1
если 1 - х = у, то х = 1 - у. Следовательно,
lun(l-*)tg^ = Kmy tg|(l-y) = Шпу
cos-
= limz/ctg—г/ = lim г/
l y->0
. Л
sin—\
V
- - lim -
y-> 0
sin—
2
Л
COS— 1
л 2 “
= lim-
y-> 0
sin—
2
—lim cos—у = lim
7C 2/^0	2	0
*	1 = lim
Л	y->0
sin—г
2~
. Л
sin—г
2 ~
Получена неопределенность вида —. Здесь удобно воспользоваться
первым замечательным пределом. Для этого преобразуем дробь
1
2/л
. л
sm—г
2
sin-
sin-
Окончательно имеем
2/л
f . л ^
Sin—"'
		2_
2/л
~т:
л
Л
lim
г/—>0
Заметим, что раскрытие неопределенностей в ряде случаев
дело не простое. Требуется некоторая сообразительность и,
конечно, практика решения большого числа примеров.
Итак, мы познакомились с неопределенностями вида
—,	да—оо и 0-оо. Существуют и другие неопределенности.
О
С ними познакомимся после того, как рассмотрим правило
Лопиталя.
х^ — 25
Упражнения. Найти: 1. lim	—. {Отв. 10.)
*-»5 х - 5
2. lim
Зх +х + 2
0тв, 2 1 3 ,in/-5*+6
3)	х-з
{Отв. 1.)

204
Глава 4. Функция
4. limX 2+3х + 2. \ Отв.	5. lim ^^.[Отв.-
^-2 х-х-6	V	5)	^V2sin4x	V	2
в. Um si".t-cos*	f От,. ‘	.1 7. Iim-Ь^.	(Отв. -12.)
x^n/i cos2x	V2	/	x^3j3x-3
8. lim ———-. (Отв.-l.)9. lim^	. (Отв. 4.)
*—i x +1	^ x2
l-cos2x	,• tgx-sinx (-	1
10. lim	;	. (Отв. 2.) 11. lim-5-—5	. Отв.—
XSinX	x->0	X	\	2
12.	lim .Sin?X . (Отв. 14.)
*-°Vx +1-1
Vl	+ sinx -Vl-sinx	1
13. lim	. Отв.-.
2x	V	2
14.	lim . S^n 	. (Отв. 9.) 15. lim^^—-—.
*->0 Vl + xsinx-cosx	*^<sin(x-l)
(Указание: сделать подстановку x-1 = у.) (Отв. 3.)
,6. ton'/*771-*. {отвХ
*^+о° Зх + 5 V 3
1-	%/х2	+ 5 + л/ 8лг3 +1	Q4
17.	lim	,		. {Отв. 3.)
*->+<»	5/х5+3
18. lim ^ 1	fome.--
*-*-* 7x + -vx4 + 1	V 3
19.	lim(>/x2 +3x + l - л/х2 -Зх-4). (Ome.3.)
20.	lim (л/х2 +4 -л/^2 -Зх + 1). Ошв.—
21.	lim(x-Vx2 +х + 1). \ Отв.-—\
•r->+co	V	2 /
22.	lim(х-л/х2 - а2). (Отв. 0.) 23. limxctgx. (Отв. 1.)
л:->+со
24. Iim3"-sin—. (Отв. х.) 25. lim(х-л/х2 +х + 1).
П—>°0	3”
(Отв. -оо.)

4.10. Определение и классификация точек разрыва функции	205
Вопросы для самопроверки
1.	Докажите, что функция /(х) = cosx непрерывна в любой точке х.
2. Почему можно утверждать, что функция /(х) =	2—
непрерывна на всей числовой прямой?
4.10.	Определение и классификация точек
разрыва функции
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции
fix), если f(x) в точке х0 не является непрерывной.
Разрывы функций классифицируются следующим обра¬
зом.
Разрыв первого рода. Точка х0 называется точкой разрыва
первого рода функции /(х), если в этой точке функция /(х) имеет
конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы:
lim /(х)ф lim /(х).
X—X——
О Пример. Для функции f(x) = sgnxточках = 0 является точкой
разрыва первого рода (см. рис. 80), так как
lim sgnx = 1, lim sgnx = -1. •
д:—>0+	ЛГ-»0-
Разрыв второго рода. Точка х0 называется точкой раз¬
рыва второго рода функции /(х), если в этой точке функция
/(х) не имеет по крайней мере одного из односторонних
пределов или хотя бы один из односторонних пределов
бесконечен.
О Пример. Для функции f(x) = 1/х точках = 0 является точкой
разрыва второго рода (см. рис. 123), так как
1	1
Нш — = +оо, Нш — = -оо. •
лг->0+ X	лг—>0- X
В примере 2 на с. 195 нами было установлено, что функция
Дирихле не является непрерывной в любой точке х0 число¬
вой прямой, а в примере 5 на с. 175, что функция Дирихле
в любой точке х0 не имеет предела. Следовательно, остается
заключить, что в любой точке х0 функция Дирихле имеет
разрыв второго рода.

206
Глава 4. Функция
Вопросы для самопроверки
1.	Какие точки называются точками разрыва функции?
2.	Дайте определения точек разрыва первого и второго рода.
3.	Укажите, в какой точке и какого рода разрыв имеет функция
/(*)=—•
4.11.	Теорема о непрерывности сложной функции
Теорема 4.8. Пусть функция z = ср(х) непрерывна в точке
х0, а функция у = f(z) непрерывна в точке zQ = ср(х0). Тогда
сложная функция у = /[ср(х)] непрерывна в точке xQ.
□	Доказательство. Возьмем из X любую последова¬
тельность точек
xt,x2,x3, ...,х,...,
сходящуюся в точке х0. Тогда, в силу непрерывности функции
z- ср(х) в точке х0, имеем
limz„ = Нтф(хл) = ф(х0) = z0,
n—> 00	n—> 00
т.е. соответствующая последовательность точек zv z2, zv ...,
z ,... сходится к точке zQ. В силу же непрерывности функции
/(г) в точке z0 получаем lim f(zn) = f(z0), т.е.
п—>оо
ит/[ф(*,)] = /[ф(*о)]-
00
Следовательно, предел функции /[ф(х)] в точке х0 равен
ее значению в этой точке, что и доказывает непрерывность
сложной функции Лф(х)] в точке х0. ■
О	Пример. Доказать непрерывность функции у = sinx2 в точке
х=0.
Решение. Так как функция г = х2 непрерывна в точке х = 0, а функция
у = sin г непрерывна в точке г = 0, то по доказанной теореме сложная
функция у = sinx2 непрерывна в точке х = 0. •
Вопросы для самопроверки
1.	Дайте определение сложной функции.
2.	Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции.
3.	Докажите непрерывность функции у = sin Зх на всей числовой
прямой.

4.12. Основные свойства непрерывных функций
207
4.12.	Основные свойства непрерывных функций
4.12.1.	Теорема об устойчивости знака
непрерывной функции
Теорема 4.9. Пусть функция /(х) непрерывна в точке и
f(x0) ф 0. Тогда существует 8 > 0 такое, что для всехх е (х0 - 8,
х0 + 8) функция /(х) имеет тот же знак, что/(х0).
□	Доказательство. Пусть/(х0) > 0 (рис. 126). Тогда в силу
второго определения непрерывности функции для любого
в > 0 существует 8 > 0 такое, что неравенство \f(x) -f(xQ)\ < s
выполняется для всехх, удовлетворяющих условию [x-xj<8,
или, что то же самое, выполняются неравенства
/(х0)-в</(х)</(х0) + 8	(1)
для всех х е (х0 - 8, х0 + 8). Возьмем s = /(х0). Тогда из левого
неравенства (1) получаем /(х) > 0 для всех х е (х0 - 8, х0 + 8),
что и требовалось доказать.
Если же/(х0) < 0, то рассмотрим функцию -/(х). Так как
-/(х0) > 0, то по доказанному существует 8-окрестность точки
х0, в которой -/(х) > 0 и, следовательно, /(х) < 0. ■
4.12.2.	Прохождение непрерывной функции
через любое промежуточное значение
Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной функ¬
ции через нулевое значение при смене знаков.
Теорема 4.10 (первая теорема Больцано — Коши)0. Пусть
функция/(х) непрерывна на отрезке [а, b] и на концах отрезка
имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с е (а, Ь),
в которой f (с) = 0.
1} Больцано Бернард (1781 — 1848) — чешский математик.

208
Глава 4. Функция
□	Доказательство. Пусть для определенности /(а) < 0 и
f(b) > 0 (рис. 127). Разделим отрезок [а, Ь] пополам. Если зна¬
чение функции в середине отрезка [а, Ь] равно нулю, то теоре¬
ма доказана. В противном случае выберем тот из полученных
отрезков, на концах которого функция имеет значения разных
знаков, и обозначим его [ах, 6J. Разделим отрезок [ах,
пополам и выберем тот отрезок, на концах которого функция
/(х) имеет значения разных знаков, и обозначим его \аг, Ь2],
и т.д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим по¬
следовательность
[а, b] з [av bj з [а2, b2] з ... з [ол, Ьп] з ...
и	Ь-а,
вложенных отрезков, причем Ъп-ап =——> 0 при и ^ да, и
на концах каждого отрезка [ап, Ьп] функция имеет значения
разных знаков.
По теореме 3.13 о вложенных отрезках существует точ¬
ка с, принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что/(с) = 0.
Действительно, если допустить, что /(с) > 0, то по теореме 4.9
об	устойчивости знака непрерывной функции существует
окрестность точки с, в которой /(х) > 0. В эту окрестность
при достаточно большом п попадет отрезок [ал, Ьп], в котором,
следовательно, будет /(х) > 0, а это противоречит выбору по¬
следовательности вложенных отрезков. Аналогично доказыва¬
ется, что /(с) не может быть меньше нуля. Остается принять,
что /(с) = 0. При этом очевидно, что точка с е (а, Ь). я
Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл:
непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, гра¬
ницей которой является ось Ох, в другую пересекает эту ось.
Обратим внимание на то, что при доказательстве теоремы
4.10 применен метод деления отрезка пополам. Этот метод
будем неоднократно использовать далее.
Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной функ¬
ции через любое промежуточное значение.
Теорема 4.11 (вторая теорема Больцано — Коши). Пусть
функция /(х) непрерывна на отрезке [а, b], причем /(о) = А,
f(b) = В. Пусть, далее, С — любое число, заключенное между
А и В. Тогда на отрезке [а, b] найдется точка с такая, что
Яс) = С.
Другими словами, непрерывная функция при переходе от
одного значения к другому принимает и все промежуточные
значения.

4.12. Основные свойства непрерывных функций
209
□ Доказательство. Пусть для yi
определенностиА<ВиА< С<В в
(рис. 128). Рассмотрим вспомога¬
тельную функцию
ср(х) =/(х) - С.
с
Эта функция непрерывна на от¬
резке [а, Ь\ (как разность непре¬
рывных функций) и принимает ~~о|	*
на концах этого отрезка значения
разных знаков:
Рис. 128
с
Ь
X
ср (a) =f(a) - С = А - С < 0,
y(b)=f(b)-C = B-C>0.
Согласно теореме 4.10 существует точка с е (а, b) такая,
что ф(с) =/(с) - С- 0, т.е./(с) -С - 0. Отсюда/(с) = С. ■
Следствие. Если функция f(x) определена и непрерывна
на некотором промежутке X, то множество ее значений Y
также представляет некоторый промежуток.
□	Доказательство. Пусть m =	М	=	supf(x),
Х	X
где т и М— числа, называемые соответственно тачной нижней
и верхней гранями функции1).
Возьмем любое у из У, не равное т и М, и выберем два
значения у1 и у2 функции /(х) так, чтобы выполнялись не¬
равенства т<ух<у<у2<М. Существование таких значений
функции /(х) следует из определения точных граней (если
М=+оо (т=-оо), то у2<М(т < г^)). Тогда по теореме 4.11 о
промежуточных значениях непрерывной функции сущест¬
вует точка х такая, что /(х) = у. Следовательно, множество
Y	представляет собой некоторый промежуток (конечный
или бесконечный) с концами тиМ, которые в зависимости
от конкретного случая могут ему принадлежать или не при¬
надлежать. ■
Доказанные теоремы имеют большое теоретическое и
практическое значение.
О	Пример 1. Доказать, что уравнение х5 - 18х + 2=0 имеет корень
на отрезке [-1,1].
Решение. Положим /(х) = х1 - 18х + 2. Эта функция непрерывна
на отрезке [-1,1] и на его концах принимает значения разных знаков:
0	Напомним, что точной верхней (нижней) гранью функции /(х), оп¬
ределенной нз-Х, называется наименьшая (наибольшая) из верхних (ниж¬
них) граней, ограничивающих У сверху (снизу).

210
Глава 4. Функция
/(-1) = 19 > 0,/(1) = -15 < 0. Следовательно, она удовлетворяет ус¬
ловиям теоремы 4.10, согласно которой существует по крайней мере
одна точка с (-1 < с < 1), в которой /(с) = 0. Число с и является корнем
данного уравнения.
Пример 2. Доказать, что функция/(х) = з?/4- sinrcx + 3 принимает
значение, равное 3, внутри отрезка [-2, +2].
Решение. Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 4.11.
Она непрерывна на отрезке [-2, +2] и на концах этого отрезка прини¬
мает разные значения: /(-2)=1,/(2) = 5.Так как 1 < 3 < 5, то, согласно
теореме 4.11, внутри отрезка [-2, +2] существует точка с, в которой
функция принимает значение, равное 3, т.е./(с) = 3. •
4.12.3.	Теорема об ограниченности
непрерывной функции на отрезке
Напомним, что функция /(х) называется ограниченной
на отрезке [а, Ь\, если существует число М > 0 такое, что
для всех х g [а, Ъ] выполняется неравенство |/(х)| < М или
-	М</(х) < М, т.е. график функции/(х) не выходит из полосы,
ограниченной прямымиу = Миу = -М(рис. 129).
Теорема 4.12 (первая теорема Вейерштрасса)1*. Если
функция /(х) определена и непрерывна на отрезке
[а, Ь\, то она ограничена на этом отрезке.
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Функция /(х), непрерывная в точке х0, ограничена
в некоторой ее окрестности.
□ Доказательство. Возьмем s = 1. Тогда, согласно второму
определению непрерывности функции в точке, для данного s
существует 8 > 0 такое, что для всех х е (х0 - 8, х0 + 8) выпол¬
няется неравенство |/(х) -/(х0)| < 1.
Используя это неравенство, получаем |/(х)| = |(/(х) -/(х0)) +
+/(*о)1£ l/(x) -/(хо)1 + 1/(хо)1 < 1 + 1/(*о)1- т-е- 1/(х)1 < м- где
М=\ + |/(х0)|. Отсюда заключа¬
ем, что функция /(х) ограничена в
5-окрестности точки х0. ■
□	Доказательство теоремы.
Предположим обратное, т.е. до¬
пустим, что функция /(х) не огра¬
ничена на отрезке [а, Ь]. Разделим
отрезок [а, b] пополам, тогда по
крайней мере на одном из двух по-
Piic. 129	лученных отрезков функция /(х)
1	Вейерштрасс Карл (1815—1897) — немецкий математик.

4.12. Основные свойства непрерывных функций
211
не ограничена (в противном случае она была бы ограничена на
[а, 6]). Обозначим этот отрезок через [ах, 6J. Разделим отрезок
[av 6J пополам и обозначим через \av b2) тот из отрезков, на
котором функция /(х) не ограничена, и т.д. Продолжая этот
процесс неограниченно, получаем последовательность
[а, b] з [av bx] з [а2, Ь2] з ... з [ап, Ьп] з ...
вложенных отрезков, на каждом из которых /(х) не ограни-
и	Ь-а,
чена, причем Ъп-ап= ——> 0 при п	оо.
По теореме 3.13 о вложенных отрезках существует точка с,
принадлежащая всем отрезкам. Функция /(х) по условию
определена и непрерывна в точке с, следовательно, согласно
доказанной лемме, в некоторой окрестности точки с она огра¬
ничена. При достаточно большом п в эту окрестность попадает
отрезок [ап, Ьп), на котором функция/(х) также ограничена,
что противоречит выбору последовательности вложенных
отрезков. Полученное противоречие доказывает теорему. ■
Замечание. Теорема неверна, если отрезок [а, b] заменить
1
интервалом (а, Ь). Так, например, функция /(х) = — непре-
х
1
рывна на интервале (0,1), но не ограничена, так как lim — = + оо.
х
Доказательство теоремы для интервала «не проходит» в
том месте, где утверждается, что в точке с функция опреде¬
лена и непрерывна. Для интервала точка с может совпасть с
его концом, и тогда /(х) не будет определена и непрерывна
в точке с.
4.12.4.	Теорема о достижении функцией,
непрерывной на отрезке, своих точных граней
В том случае, когда точные грани функции являются зна¬
чениями функции, говорят, что функция достигает своих
точных граней. Однако, как известно (см. теорему 1.1), не
всякому множеству принадлежат его точные грани. Сле¬
дующий пример показывает, что точные грани функции не
всегда достигаются.
О	Пусть на отрезке [0, b],b> 1, определена функция /(х) =х-[х],
график которой изображен на рис. 130. Множеством ее значений явля¬
ется полуинтервал [0,1). Функция ограничена и сверху, и снизу, имеет
на данном отрезке точную верхнюю грань, равную 1, и точную нижнюю

212
Глава 4. Функция
Ун
Рис. 130
грань, равную 0. Очевидно, функция принимает значение, равное 0, но
не принимает значения, равного 1. Следовательно, можно сказать, что
функция достигает своей точной нижней и не достигает своей точной
верхней грани. •
Возникает вопрос, при каком условии функция достигает
своих точных граней. Ответ дает следующая теорема.
Теорема 4.13 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функ¬
ция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь\, то она достигает на
этом отрезке своих точных граней, т.е. существуют точки
xvx2e [а, b] такие, что (рис. 131)
/<х ) = М = sup fix), f(x2) = От = inf /(-Г).
[a,b\	Ml
□	Доказательство. Так как функция/(х) непрерывна
на отрезке [а, Ь\, то, по теореме 4.12, она ограничена на этом
отрезке. Следовательно, согласно теореме 1.1 существуют
точная верхняя М и точная нижняя т грани функции fix)
на отрезке [а, Ь\.
Покажем, что функция fix) достигает М, т.е. существует
такая точка хх е[а, Ь], что fix ) = М. Будем рассуждать от
противного. Пусть функция fix) не принимает ни в одной
точке [а, Ь~\ значения, равного М. Тогда для всех хе[а, Ъ]
справедливо неравенство fix) < М.
Рассмотрим на отрезке [а, b] вспомогательную, всюду
положительную функцию
F(x) =	Х-—.
M-f(x)
По теореме 4.7 функция Fix) непрерывна как частное двух
непрерывных функций. В этом случае, согласно теореме 4.12,
функция Fix) ограничена, т.е. найдется положительное число ц
такое, что для всех х е [а, b]

4.12. Основные свойства непрерывных функций
213
1	1
F(x)=	-<ц,	откуда	/(х)<М—.
М- f{x)	ц
Получено, что число М- 1/ц, меньшее, чем М, является
верхней гранью/(х) на отрезке [а, Ь]. Но это противоречит
тому, что число Мявляется точной верхней гранью, т.е. наи¬
меньшей из них для функции/(х) на отрезке [а, Ь\. Полученное
противоречие и доказывает, что существует точка х, е [а, Ь],
в которой /(х,) = М.
Аналогично доказывается, что функция /(х) достигает на
[а, Ъ] своей точной нижней грани т. ■
Замечание. После того как доказано, что функция fix),
непрерывная на отрезке [а, Ь], достигает на этом отрезке своих
точных верхней М и нижней т граней, можно назвать точную
верхнюю грань максимальным, а точную нижнюю грань —
минимальным значением функции /(х) на этом отрезке и сфор¬
мулировать теорему 4.13 в следующем виде: непрерывная
на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное и
минимальное значение.
х — 1
О	Пример 3, Доказать, что функция f(x) = 2^arctg	+
		х+1
+(х2 -5x + 6)sin>/x2 +1 ограничена на отрезке [0, 1] и существуют
такие значения х, при которых функция принимает на этом отрезке
наибольшие и наименьшие значения.	,
х — 1
Решение. Так как на отрезке [0, 1] функции 21*1, arctg	,
х+1
(х2 - 5х + 6), sin yjx2 +1 непрерывны, то по теореме 4.7 данная функция
f(x) непрерывна на этом отрезке. Следовательно, по теореме 4.12 она
ограничена на отрезке [0, 1], а по теореме 4.13 существуют на этом
отрезке значения хх и х2, в которых функция принимает наибольшее
/(xt) = sup /(х) и наименьшее /(х2) = inf /(х) значения. •
[0,1]	М
4.12.5.	Понятие равномерной непрерывности функции
Важным свойством функции, непрерывной на отрезке,
является свойство равномерной непрерывности. Оно широко
используется при доказательстве ряда фундаментальных
теорем.
Пусть /(х) — функция, непрерывная на некотором про¬
межутке Ху и пусть точка х0 еХ. Так как функция f(x) непре¬
рывна в точке х0У то, по второму определению непрерывности,
для любого в > 0 найдется 8 > 0 такое, что | fix) -f(xQ)\ < в
при \х — xj < 8. Ясно, что 8 зависит от в, но 8 зависит также и

214
Глава 4. Функция
у и
Рис. 132
от х0. При изменении х0 в
пределах рассматриваемо¬
го промежутка (при посто¬
янном s) число 8 различно
для разных х0. Чем «кру¬
че» график функции f(x)
в окрестности точки х0, тем
меньше 5, соответствующее
этой точке (рис. 132).
Таким образом, при за¬
данном s каждой точке х рассматриваемого промежутка со¬
ответствует некоторое 8 > 0. Если бы точек было конечное
число, то из конечного множества чисел 8 можно было бы
выбрать наименьшее положительное 8, которое зависело бы
только от 8 и было «пригодно» для всех х. Для бесконечного
числа точек это, вообще говоря, сделать нельзя, так как этим
точкам соответствует бесконечное множество чисел 8, среди
которых могут быть и сколь угодно малые.
Возникает вопрос, существуют ли непрерывные функ¬
ции, определенные на некоторых промежутках, для которых
по любому 8 > 0 можно было бы найти 8 > 0, не зависящее
от х, т.е. 8 было бы общим для всех х из рассматриваемого
промежутка. Этот вопрос приводит к понятию равномерной
непрерывности функции.
Определение. Функция /(х) называется равномерно не¬
прерывной на некотором промежутке X, если для любого s > 0
существует 8 > 0 такое, что для любых двух точек х1, х"еХ,
удовлетворяющих неравенству \х" - х?\ < 8, выполняется не¬
равенство |/(х") -/(x')l < 8.
По определению 8 зависит только от 8 и является общим
для всех х!, х" промежутка X.
Понятие равномерной непрерывности функции относится
к наиболее сложным и трудным для понимания вопросам
математического анализа.
Понятие равномерной непрерывности функции на проме¬
жутке X отличается от понятия непрерывности на этом про¬
межутке тем, что величина 8 зависит только от 8 и не зависит
от х (для любого 8 > 0 существует «свое» 8 > 0, общее для всех
х<=Х), а при «обычной» непрерывности 8 зависит и от 8, и отх.
В этом случае, как было показано ранее, 8 в зависимости от х
может принимать сколь угодно малые значения.
Из определения равномерной непрерывности следует,
что если функция /(х) равномерно непрерывна на некотором

4.12. Основные свойства непрерывных функций
215
промежутке X, то она и просто непрерывна на этом проме¬
жутке, т.е. непрерывна в любой точке xQeX. В самом деле,
взяв в определении в качестве х' данную фиксированную
точку i0gI, а в качестве х" — любую точку этого проме¬
жутка, мы придем к определению непрерывности функции
f(x) в точке х0. Обратное утверждение неверно (подумайте,
почему?).
Рассмотрим примеры функций как обладающих, так и не
обладающих на данном промежутке X свойством равномерной
непрерывности.
О	Пример 4. Используя определение равномерной непрерывности,
1
доказать, что функция /(x) = sin— не является равномерно непрерыв-
х
ной на интервале (0, 1).
1
Решена. График функции /(x) = sin— изображен на рис. 121.
х
Функция непрерывна на интервале (0, 1), но не является равномерно
непрерывной на нем. Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что
для некоторого s > 0 и для любого сколь угодно малого 5 > 0 существует
хотя бы одна пара точек х' и х" интервала (0, 1) таких, что |х" - х'| < 5,
но|/С*")-/(*')1^е-
Возьмем s = 1 и рассмотрим две последовательности точек {д£} и {д£}
с общими элементами принадлежащих интервалу (0, 1),
=/(f+27С”) И Х'п =/(т+27С”) (” = 1,2, ...),
и таких, что /(х") = 1, а /(д£) = -1. Обе эти последовательности, а сле¬
довательно, и их разность являются бесконечно малыми. Поэтому
для любого сколь угодно малого 5 > 0 существует номер п такой, что
|х" - x’j < 5, в то время как для любого номера п
/«')-/«) = sin(f+2то) -sin^+2ro
= |1-(-1)| = 2>е=1.
Это и доказывает, что рассматриваемая функция не является рав¬
номерно непрерывной на интервале (0,1).
Пример 5. Используя определение равномерной непрерывности,
доказать, что функция /(х) = х равномерно непрерывна на всей число¬
вой прямой.
Решение. Возьмем любое s > 0 и 5 = 8. Тогда из неравенства |х"-od\ < 5
следует неравенство |/(х") -/(х')| = |x"-x'|<s, что и требовалось дока¬
зать.

216
Глава 4. Функция
Пример 6. Используя определение равномерной непрерывности,
доказать, что функция f(x) = х2 не является равномерно непрерывной
на всей числовой прямой1
Решение. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что для
некоторого 8 > 0 и для любого сколь угодно малого 5 > 0 найдется хотя
бы одна пара точек х' и х" таких, что
<	5, но \/(х") -/(Х)| —£•
1
Возьмем 8 = — и рассмотрим две последовательности точек {х'п} и
{.хс общими элементами х'п=у[п и х" = >Jn +1 (/2 = 1, 2, ...). Тогда
yj,U +1 -\-yjTl
1	->о
+1+
при л —»оо, а
l/ю -/«)i=к2 - <21=п+1 - /г=1.
Следовательно, для любого как угодно малого 5 > 0 найдется пара то-
1
чек хгп и у?п таких, что | х? - х*п\ < 5, в то зремя как |/(x") -f(pQ\ = 1 > s = — ,
это и доказывает, что рассматриваемая функция не является равномерно
непрерывной на всей числовой прямой. •
Следующая теорема устанавливает условие, при котором
непрерывная функция является и равномерно непрерыв¬
ной.
4.12.6.	Теорема о равномерной непрерывности функции
Теорема 4.14 (теорема Кантора)2). Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [а, 6], то она и равномерно непрерывна
на нем.
□	Доказательство. Докажем сначала, что если функция
f(x) непрерывна на [а, b], то для любого s > 0 отрезок [а, b]
можно разбить на конечное число отрезков, любые два из
которых или не имеют общих точек, или имеют только одну
общую граничную точку и на каждом из которых для любых
двух точек х7, х? выполняется неравенство |/(х") -fix') \ < в.
Предположим обратное, т.е. допустим, что существует
&>0, для которого такое разбиение отрезка [а, Ь] невозможно.
1} Хотя эта функция и является непрерывной в каждой точке числовой
прямой.
2)	Кантор Георг (1845—1918) — немецкий математик, основатель совре¬
менной теории множеств.

4.12. Основные свойства непрерывных функций
217
Разделим отрезок [а, b] пополам и выберем тот из отрезков,
для которого такое разбиение невозможно. Обозначим его
[av b{\. Разделим теперь отрезок \av bj пополам и выберем
тот из отрезков, для которого такое разбиение невозможно,
и т.д. Продолжая этот процесс неограниченно, получаем по¬
следовательность вложенных отрезков
[а, Ъ] з \av bx] => [а2) Ь2\ =>... =э [ап, Ьп] =>...,
обладающих тем свойством, что ни один из них нельзя разбить
на конечное число отрезков, на каждом из которых для любых
двух точекх' их" выполняется неравенство |/(х") -f(x?)\ < е.
По теореме 3.13 о вложенных отрезках существует точка с,
принадлежащая всем отрезкам. Так как функция/(х) непре¬
рывна в точке су то для рассматриваемого s найдется S такое,
что | /(х)- f(c)| <^- для любого х из 8-окрестности точки с.
Тогда для любых двух точек х? и х" 8-окрестности точки с
выполняется неравенство
fix")-fix') = ifix")-f{c)) + (f(c)-f(x'))
<
fix")-f{c) + f{c)-f{x')
8 8
<	1	:
2 2
т.е.
fix")-fix')
<8.
В 8-окрестность точки с при достаточно большом п попа¬
дает отрезок [ап, Ьп\ и, следовательно, для любых двух точек х!
и х" этого отрезка справедливо неравенство |/(х") -fix') \ < е,
а это противоречит выбору последовательности вложенных
отрезков.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоре¬
мы. По только что доказанному, для любого е > 0 существует
разбиение отрезка [а, b] на конечное число отрезков, в каж¬
дом из которых разность между любыми двумя значениями
функции/(х) по абсолютной величине меньше s/2. Обозна¬
чим через 5 длину наименьшего из отрезков разбиения и
рассмотрим любые две точких' их" отрезка [а, Ь], отстоящие
друг от друга на расстоянии, меньшем чем 8, т.е. \х" -xJ\< 8.
Возможны два случая: 1) точких* их" принадлежат одному от¬
резку разбиения; 2) точких' их" принадлежат двум соседним
g
отрезкам разбиения. В первом случае f{x")-f{x') < — <s;

218
Глава 4. Функция
во втором случае, обозначая через х0 общую граничную точку
соседних отрезков, имеем
Таким образом, для любого е > 0 найдется 8 > 0 такое, что для
любых двух точек od и я" отрезка [а, Ь\, удовлетворяющих нера¬
венству |х" -я?\ < 8, выполняется неравенство \f(x") -fix')\ < е,
что и требовалось доказать. ■
Замечание. Теорема не верна, если отрезок [а, Ь] заменить
интервалом или полуинтервалом.
О Пример 6. Рассмотрим функцию f(x) = — на интервале (0, 1).
х
Данная функция непрерывна на интервале (0, 1), но не является рав¬
номерно непрерывной на нем. Это следует из того, что для любого
фиксированного в > 0, какое бы 8 > 0 ни взять, всегда найдутся точки х'
и я", достаточно близкие к нулю, расстояние между которыми меньше 8,
а модуль разности \f(x") -f(x')\ больше в (рис. 133). •
Теорема Кантора дает возможность сразу утверждать, что
функция f(pc) равномерно непрерывна на отрезке [а, 6], если
установлена непрерывность функции на этом отрезке.
О Пример 7. Доказать, что функция f(x) = х2 равномерно непре¬
рывна на интервале (-1, 1)1}, причем сделать это двумя способами:
1) используя теорему Кантора; 2) используя определение равномерной
непрерывности.
fix")-fix') = ifix")-f{xQ)) + (f(x0)-f(x')) <
^ fix")-fix0) + fix0)-f{x') <1+1 = s-
0
Puc. 133
X.-&
Xt
►' ►
хл+8 x
Решение. I способ.
Рассмотрим функцию
f(x)=x2 на отрезке [-1,1].
Она непрерывна на этом
отрезке и, следовательно,
по теореме Кантора, равно¬
мерно непрерывна на нем.
Отсюда следует, что функ¬
ция f(x) = х2 равномерно
непрерывна на интервале
(-1, 1). В самом деле, ин¬
тервал (-1,1) представляет
собой подмножество отрез¬
ка [-1,1 ], т.е. (-1,1) с [-1,1 ],
1} Хотя эта функция и не является равномерно непрерывной на всей чи¬
словой прямой (см. пример 6).

4.12. Основные свойства непрерывных функций
219
и так как неравенство \ f(x") - f(x')\ < в выполняется для любых х',
х" е [-1,1], удовлетворяющих неравенству \х” -х'\ < 5, то оно выполня¬
ется и для любых хг,х" е (—1,1), удовлетворяющих тому же неравенству,
что и требовалось доказать.
II	способ. Возьмем любые две точки х' и х" из интервала (-1, 1).
Тогда
|/(я") - /(*01 = \х"2-х'21 = №+х?)(х”-х')\ =
=	<	2\х"-х'\,
так как модуль суммы |х"+:г'| ограничен числом 2.
Возьмем теперь любое s > 0 и положим 8 = е/2. Тогда для любых
х\ х"е(-1, 1), удовлетворяющих неравенству \х"-х'\<Ь, выполняется
неравенство
|/(x")-/(^)|<2-5 = 2-| = 8.
Это и означает, по определению равномерной непрерывности, что
функция f(x) = х2 равномерно непрерывна на интервале (-1,1)- •
В заключение заметим, что теорема Кантора имеет очень
большое теоретическое значение. С ее помощью доказан ряд
фундаментальных теорем.
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте теорему об устойчивости знака непрерывной
функции.
2.	Можно ли утверждать, что если функция f(x) непрерывна в точке
х0 и f(x0) = 0, то функция/(х): а) имеет определенный знак в некоторой
окрестности точки х0; 6) не имеет определенного знака ни в какой
окрестности точки х0? Приведите соответствующие примеры.
3.	Сформулируйте первую теорему Больцано — Коши.
4.	Можно ли утверждать, что если функция f(x) непрерывна на
отрезке [а, Ь] и на концах отрезка имеет значения одного знака, то
на [а, Ь] нет такой точки, в которой функция обращается в нуль?
Приведите пример.
5.	Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.
6.	Может ли непрерывная на интервале функция быть ограни¬
ченной на этом интервале?
7.	Может ли неограниченная на отрезке или интервале функция
быть непрерывной на этих промежутках?
8.	Может ли ограниченная на отрезке функция принимать зна¬
чения своих точных граней?
9.	Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса.
10.	Может ли непрерывная на интервале функция достичь на
этом интервале своих точных граней?

220
Глава 4. Функция
И. Дайте определение понятия равномерной непрерывности
функции.
12.	В чем состоит отличие понятия равномерной непрерывности
от понятия непрерывности функции?
13.	Сформулируйте теорему Кантора.
14.	Может ли непрерывная на интервале функция быть
равномерно непрерывной на этом интервале и, наоборот, равномерно
непрерывная на интервале функция быть непрерывной?
15.	Является ли функция /(х) = х2 равномерно непрерывной на
интервале (1, 5)?
4.13.	Теорема о непрерывности обратной функции
Введем ряд предварительных понятий. Будем говорить,
что функция /(х) не убывает {не возрастает) на множестве
X, если для любых xv х2 еХ, удовлетворяющих условию хх <х2,
справедливо неравенство/^) </(х2) (f(xx) > /(х)).
Неубывающие и невозрастающие функции объединяют
общим названием монотонные функции.
Если для любых xv х2 еХ, удовлетворяющих условию
xt<x2, справедливо неравенство f{xx
то функция /(х) называется возрастающей (,убывающей) на
множестве X. Возрастающие и убывающие функции называ¬
ются также строго монотонными.
О Пример 1. Функция f(x) = sgnx является неубывающей на всей
числовой прямой. •
О Пример 2. Функция f(x) = х является возрастающей на всей
числовой прямой. •
Теорема 4.15. Пусть функция у = /(х) определена, стро¬
го монотонна и непрерывна на некотором промежутке X
и пусть Y — множество ее значений. Тогда на множестве Y
обратная функция х = ср (у) однозначна, строго монотонна и
непрерывна.
□	Доказательство. Пусть для определенности функция
/(х) возрастает на X, т.е. для любых xv х2 еХ, удовлетворяю¬
щих условию х1 <х2, выполняется неравенство ух <у2 (у{ =
=/(х,) и у2 =/(х2)) (рис. 134).
Однозначность обратной функции х=ср(г/) следует из того,
что, в силу возрастания функции у = /(х) на X, справедливо
неравенство ух = /(xt) ф /(х2) = г/2 при xf ^х2 и, значит, каждому
г/ е У соответствует единственное значение хеХ
Докажем теперь, что обратная функция х = ср (г/) возрас¬
тает на У. Действительно, если ух <у2, то и xf <х2 (xf = ф(г/() и

4.13. Теорема о непрерывности обратной функции
221
х2 = ср(у2)) так как если бы было хх >х2, то из возрастания/(х)
следовало бы, чтоух>у2, что противоречило бы предполо¬
жению ух<ут Таким образом, факт строгой монотонности
обратной функции х = ср (у) установлен.
И наконец, покажем, что обратная функция х = ср (у) не¬
прерывна на У. В силу следствия из теоремы 4.11 множество
У является промежутком с концами га и М, где т = inf /(х),
М = sup/(х). Пусть у0 е У, х0 = ср(г/0). Рассмотрим снача-
х
ла случай, когда m<yQ< М (рис. 135). В этом случае точка
х0 является, очевидно, внутренней точкой промежутка X.
Возьмем в > 0 таким, чтобы (х0 - в) еХ и (х0 + в) еХ, и по¬
ложим ух = /(х0 - в) и у2=/(х0 + в). Тогда, в силу возрастания
/(х), получим
?/1<?/0<^2-
Возьмем теперь 8 > 0 таким, чтобы выполнялись нера¬
венства г/1 < г/0 - 8 и у0 + 8 < г/2. Тогда, если г/ удовлетворяет
неравенствам
Уъ-Ь<У<Уо + Ъ’
то
У \< У < У 2
и,	следовательно, в силу возрастания ср(г/) имеем
ф(У1> < ф(У> < Ф(У2)-
Учитывая, чтоф(г/,) =х0-г = ср(г/0) -ей <р(г/2) =x0+s = cp(jO+
+ в, получаем ф(г/0) - в < ф(у) < ф(г/0) + в при условии у0- о <
к У к У0+ &■
Таким образом, доказано, что для любого достаточно малого
s > 0 существует 8 > 0 такое, что для всех у, удовлетворяющих не¬
равенству \у-у0\< 8, выполняется неравенство |ср(г/) - ср(г/0)| < s,
т.е. обратная функция х = ср(у) непрерывна в точке у0. Но у0 —

222
Глава 4. Функция
произвольная точка интерва¬
ла (т, М). Значит, обратная
функция х=ср(г/) непрерывна
на (т, М).
Если uielYили Mg7, то,
рассуждая аналогично, мож¬
но доказать непрерывность
ср (у) справа в точке т и слева
в точке М.
Итак, факт непрерывности
обратной функции х = ср (у)
на Yдоказан.
В случае убывания функ¬
ции /(х) теорема доказывается аналогично. ■
Замечание. Если обратная функция х = ср (у) однозначна,
то, очевидно, функция у =/(х) является обратной для функции
х = ср(г/). Такие функции называют также взаимно обратными.
О Пример 3. Функция у = sinx на отрезке [-л/2, л/2] возрастает, не¬
прерывна, и множеством ее значений является отрезок [-1,1]. По теореме
4.15 на отрезке [-1,1] существует непрерывная возрастающая обратная
функция со множеством значений [-л/2, л/2]. Эту обратную функцию
обозначают х = arcsinу. График ее совпадает с графиком функции у = sinx,
рассматриваемой при -л/2 < х < л/2 (рис. 136).
Если теперь х и у поменять местами, т.е. если рассматривать функ¬
цию у = arcsinx, то получим график, изображенный на рис. 136 сплошной
линией. •
Вопросы для самопроверки
1.	Приведите пример немонотонной функции.
2.	Дайте определение обратной функции.
3.	В чем отличие функции от обратной функции? Проиллюст¬
рируйте геометрически.
4.	В каком случае обратная функция является функцией в обыч¬
ном смысле и что из этого следует?
5.	Сформулируйте теорему о непрерывности обратной функции.
6.	Найдите функцию, обратную функции у = cosx, заданной на
отрезке [0, л]. Установите область определения, множество значений
обратной функции и нарисуйте ее график.
7.	Можно ли рассматривать функцию у = sinx как обратную
функции у = arcsinx?
Рис. 136

Учиться надо только весело...
Чтобы переварить знания, надо
поглощать их с аппетитом.
А. Франс
Десять страниц математики
понятой лучше ста страниц, за¬
ученных на память и не понятых,
а одна страница, самостоятель¬
но проработанная, лучше десяти
страниц, понятых отчетливо, но
пассивно.
Д. Юнг
Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
5.1. Понятие производной
5.1.1.	Определение производной
Пусть на некотором промежутке X определена функция
у = f(x). Возьмем любую точку х0 еХ и придадим аргументу х
в точке х0 произвольное приращение Ах такое, что точка х0 + Ах
также будет принадлежать X Функция получит приращение
Ду =/(*о + Д*) -/(*о>-
Определение, производной функции у = f(x) в точке х0
называется предел при Ах —> 0 отношения приращения функ¬
ции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что
этот предел существует).
Для обозначения производной функции у = f(x) в точке
х0 используют символы у'(х0) или f\x0) (читается: «игрек
штрих от х0» или «эф штрих от х0»).
Итак, по определению
/'<*„) = l.m^= lim f&lMzIM
Ах Ах^°	Ах
Если для некоторого значения х0 выполняется условие
lim —= +оо (или lim —= -оо),
Ах	Ах

224
Глава 5. Дифференциальное исчисление
то говорят, что в точке х0 функция имеет бесконечную про¬
изводную знака плюс (или знака минус). В отличие от бес¬
конечной производной определенную ранее производную
функции иногда называют конечной производной.
Если функция fix) имеет конечную производную в каждой
точке х еХу то производную f\x) можно рассматривать как
функцию от ху также определенную на X.
Из определения производной вытекает и способ ее вы¬
числения.
О Пример 1. Найти производную функции f(x) =х2в точке х = х0.
Решение. Придавая аргументу х в точке х0 приращение Ах, найдем
соответствующее приращение функции:
Следовательно, производная функции f(x) = х2в точке х0 равна числу
2х0, что в принятых обозначениях можно записать так: f'(x0) = 2х0. •
Упражнения, Используя определение производной, найти
производные следующих функций в точке x=x0:i. fix) = 5х2.
&У =АХ0 + Д*) "/(*<>) = (*о + Ъх)2-х2о =
= х2 + 2х0Ах + (Ах)2 -х2 = 2х0Ах + (Ах)2.
Составим отношение
Ау 2х0Ах + (Ах)2
Ах	Ах
Найдем предел этого отношения при Ах -> 0:
\ х	2xq^Xq j
8. /(■r) = cos|. {отв. _sinV2j 9'f(xy=_L_'
2x + \

5.1. Понятие производной
225
5.1.2.	Геометрический смысл производной
Пусть функция/(х) определена и непрерывна на интервале
(а, Ь). Пусть, далее, точка М на графике функции соответству¬
ет некоторому значению аргумента х0, а точка Р — значению
х0 + Ах, где Ах — приращение аргумента. Проведем через
точкиМиРпрямую и назовем ее секущей. Обозначим через
ср(Ах) угол между секущей и осью Ох (рис. 137). Очевидно,
что этот угол зависит от Ах. Касательной S к графику функ¬
ции /(х) в точке М будем называть предельное положение
секущей МР при неограниченном приближении точки Р по
графику к точке М (или, что то же самое, при Ах —> 0). Из
рис. 137 следует, что
NP	Ау /(х0+Дх)-/(х0)
tgcp(Ar) = -— = -?- =			•
MN Ах	Ах
Так как при Ах->0 секущая МР переходит в касательную, то
lim tgcp(Ar) = tgcp0,
где ф0 — угол, который образует касательная с осью Ох. С дру¬
гой стороны,
Jim taKt# = Um/feLlMU .Пч).
Дх^О	Дх->0	Дх
Следовательно, f'(xQ) = tgcp0. Таким образом, производная
функции /(х) в точке х0 равна угловому коэффициенту каса¬
тельной к графику функции /(х) в точке М(х0; /(х0)).
О Пример 2, Найти угловой коэффициент касательной к параболе f(x)=
= х2 в точке М( 1/2; 1) и угол между касательной в этой точке и осью Ох.

226
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Решение. Так как угловой коэффициент касательной к графику
функции f(x) = x2 в точке М( 1/2; 1) равен значению производной этой
функции в точке лг0=1/2, то задача и сводится к отысканию значения
производной в этой точке.
Ранее было установлено (см. пример 1), что f'(x0) = (х2)'\х_хо=2х0.
Подставляя 1/2 вместох0, получаем/'(1/2) = 2 • 1/2 = 1. Следовательно,
угловой коэффициент касательной равен 1, т.е. k = 1 или tgcp0 = 1 (ср0 —
угол между касательной и осью Ох), откуда получаем искомый угол:
Ф0 = arctgl =тс/4. •
Если в некоторой точке производная равна нулю (k = 0),
то касательная к графику функции в этой точке параллельна
оси Ох, а если же производная обращается в бесконечность
(k = оо), то это значит, что касательная в этой точке парал¬
лельна оси Оу.
О Пример 3. Составить уравнение касательной к параболе f(x) =
х2 в точке М(1/2; 1).
Решение. Чтобы составить искомое уравнение касательной, дос¬
таточно написать известное из аналитической геометрии уравнение
прямой, проходящей через данную точку М(х0; у0), с данным угловым
коэффициентом k
y-y=k(x-xQ),
и вместо k подставить значение производной функции f'(x0). Подстав¬
ляя в уравнение координаты точки М(1/2; 1) и значение производной
функции f'(xо) = /'(1/2) = 1 (см. пример 1), получим уравнение искомой
касательной
ШШ ,« + i •
Упражнение. Составить уравнение касательной к параболе
f(x) = 4 - х2 в точке пересечения ее с осью Ох при х > 0.
Построить параболу и касательную. (Отв. у =-4х + 8.)
О Пример 4, Составить уравнение касательной, проведенной из
точки М( 1; -3) к параболе/(х) =х2.
Решение. Уравнение касательной к кривой f(x) = х2 в точке (х0;
f(xQ)) имеет вид
У~/(х0)=Пх0)(х-х0).	(1)
Так как f(x0) = x2,/'(x0) = 2х0 (см. пример 1) и эта прямая проходит
через точку (х; у) = (1; -3), то из (1) получаем
-3-лг02=2х0(1-х0).
Из этого уравнения находим х0 = -1 или х0 = 3.
Если х0 = -1, то f(x0) = х2 = 1 ,fr(x0) = 2х0 = -2 и уравнение касательной
принимает вид у-1 = -2(х +1), т.е. у = - 2х -1.

5.1. Понятие производной
227
Если х0 = 3, то /(х0) = 9, f\x0) = 6 и уравнение касательной таково:
у = 6х-9.
Таким образом, через точку М( 1; -3) к данной параболе можно
провести две касательные. •
Упражнение. Составить уравнения касательных к графи¬
ку функции f(x) = я, проходящих через точку (2; 3/2).
1	1	1
Отв. и = —х+—; и = —х + \.
2	2	4
Отметим, что геометрический смысл производной играет
важную роль в раскрытии многих понятий математического
анализа и в решении ряда геометрических задач.
5.1.3.	Физический смысл производной
Предположим, что функция у = f(t) описывает закон дви¬
жения материальной точки М по прямой линии, т.е. у = f(t) —
путь, пройденный точкой от начала отсчета за время t.
Тогда за время t0 пройден путь у= f(t0), а за время г, — путь
у=/(£,). За промежуток времени Дt = tx-tQ точка М пройдет
отрезок пути Ау =/(£,) - f(t0) =f(t0 + AC) - f(t0) (рис. 138). Отно¬
шение называется средней скоростью движения (&ср) за
А у
время At, а предел отношения — при А£^0 определяет
At
мгновенную скорость точки в момент времени t0(vMTH).
О Пример 5. Найти среднюю и мгновенную скорость в момент вре¬
мени tQ точки, прямолинейное движение которой задано уравнением
y = \ft (где г/ — путь, а£ — время, £>0).
Решение. За время t0 точка пройдет путь у = а за время ^ —
путь у = За промежуток времени At-tx-10 точка пройдет отрезок
пути Ау = yfc - JT0 = yjt0 + At - ф~. Тогда средняя скорость движения
точки на отрезке времени [£0, t0 + At] равна
_ Ау _ о + Af -yJt~Q
0ср = дГ = At ’
а мгновенная скорость движения в момент времени t0

228
Глава 5. Дифференциальное исчисление
v Аг/ ,. yjto + At JT0
мгн = y(to) = lim— = lim —	— =
0	д*->0 д^ д^о д^
-	lim 1>/+ ^ “)(у1*о + ^ + \/0 _
дг->о
At(ylt^~+A£ + fi)
Л
-	lim
(t0+At)-t0	_	1
дг->о
At(ylt0 + At +yft^)
Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при
исследовании поведения произвольной функции. Какую бы
зависимость ни выражала функция у = /(х), отношение — —
Ах
средняя скорость изменения у относительно изменения х,
а У\хо) — мгновенная скорость изменения у при некотором
Х = Х0.
О Пример 6. Найти скорость свободно падающего тела в пустоте в
некоторый фиксированный момент времени t.
Решение. Из физики известно, что закон свободного падения тела в
&2
пустоте определяется формулой 5 =	где g — постоянная величи¬
на. Придадим некоторому значению t приращение At, тогда пройденный
путь 5 получит приращение
2	2	2
Средняя скорость падения тела на отрезке времени [t, t + kt] равна
2gtAt+g(At)2
v = — =	2	= kg(2t + &t),
ср Д*	Д*	2	'
а скорость падения тела в момент времени t
As 1
v = s'(t) = lim — = lim-g(2f + A£) = gt.
Д*->0Д£	Д^0	2
Отсюда, в частности, следует, что скорость свободно падающего
тела пропорциональна времени движения (падения). •
Значение производной состоит в том, что при изучении
любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оце¬
нить скорость изменения связанных между собой величин.
5.1.4.	Правая и левая производные
По аналогии с понятием правого и левого предела функ¬
ции вводятся понятия правой и левой производных функций
/(х) в точке х0.

5.1. Понятие производной
229
Определение. Правой (левой) производной функции fix) в
точке хп называется правое (левое) предельное значение
Ах
(при условии, что это предельное значение существует).
Обозначение: f[{x0) = hm^[f'_(xQ) = Urn .
Если функция f(x) имеет в точке х0 производную, то она
имеет в этой точке и правую, и левую производные, совпа¬
дающие между собой.
Вместе с тем существуют функции, имеющие в данной
точке х0 и правую, и левую производные, но не имеющие про¬
изводной в этой точке. Примером такой функции служит
функция/(х) = |х|. Эта функция имеет в точке х = 0 правую
А и
производную,равную /'(0)= lim — = 1 (прих>0 Аг/ = Дх),
Д*->о+ Дг
А и
и левую производную, равную f’_ (0) = lim — = -1 (при х < 0
Дл:—>0- АХ
Ау = -Ах), но не имеет в точке х = 0 производной, так как
/[(0)^(0), т.е. односторонние пределы различны (см. тео¬
рему 4.2). Геометрически это означает, что график функции
/(х) = |х| в точке О (0; 0) не имеет касательной.
Упражнение. Показать, что функция/(х) = 3|х| +1 в точке
х = 0 не имеет производной.
Вопросы для самопроверки
1.	Дайте определение производной функции у = /(х) в точке xQ.
2.	Каков геометрический смысл производной функции у = /(х)
в точке х0?
3.	Дайте определение касательной к графику функции у = /(х)
в точке (х0; /(х0)) и напишите уравнение касательной.
4.	Каков физический смысл производной функции у = /(х) в
точке х0?
5.	Дайте определение правой (левой) производной функции
У = Кх) в точке х0. Какова связь между односторонними производны¬
ми и производной функции в точке х0? Приведите пример функции,
у которой существуют правая и левая производные в некоторой
точке, но не существует производная в этой точке.

230
Глава 5. Дифференциальное исчисление
5.2.	Понятие дифференцируемости функции
5.2.1.	Понятие дифференцируемости функции
в данной точке
Определение. Функция/(х) называется дифференцируе-
мой в точке х0, если ее приращение Ау в этой точке можно
представить в виде
Ау = ААх + а(Ах)Ах,	(1)
где А — некоторое число, не зависящее от Ах, а а(Аг) — функ¬
ция аргумента Ах, являющаяся бесконечно малой при Ах—> 0,
т.е. lim а(Ах) = 0.
Д;с->0
Выясним теперь связь между дифференцируемостью в
точке и существованием производной в той же точке.
Теорема 5А. Для того чтобы функция f(x) была дифферен¬
цируема в данной точке х0, необходимо и достаточно, чтобы
она имела в этой точке конечную производную.
□	Доказательство. Необходимость. Пусть функция/(х)
дифференцируема в данной точке х0, т.е. Ау = А Ах + а(Ах)Ах.
Тогда, предположив, что Ах ф 0, и разделив равенство на Ах,
получим
—	= А + ос(Аг).
Аг
Переходя к пределу при Аг->0, имеем
lim — = Нт(Л + а(Аг)) = А = f'(x0).
Д*->0 А у Д;с->0
Отсюда следует, что производная в точке х0 существует.
Достаточность. Пусть существует производная/'(х0)>
т.е. существует lim — = f(xQ). Пусгъ/’(хп) = А. Тогда функ-
Дх^о Дх
Ау
ция а(Дх) = — -А является бесконечно малой при Дх-»0
Дх
(см. теорему 4.5). Из последнего равенства имеем
Ау = ЛДх + а(Дх)Дх,
где lim а(Дх) = 0. Получено представление (1), тем самым
доказано, что функция/(х) дифференцируема в точке х0. ■
Таким образом, для функций одной переменной диффе¬
ренцируемость и существование производной — понятия

5.2. Понятие дифференцируемости функции
231
равносильные. Поэтому операцию нахождения производной
часто называют дифференцированием.
О Пример 1. Используя определение, показать, что функция f(x)=x2
дифференцируема в точке х = xQ.
Решение. Запишем приращение функции f{x)=x2 в точке х = х0в
виде (1):
Ау= f'(x0) Ах + а(Ах)Ах = 2х0Ах + а(Ах)Ах(А = f'{x0))
(см. теорему 5.1).
Надо показать, что lim а(Дг) = 0. Для этого запишем приращение
Ддг->0
функции в точке х0 другим способом:
ty =f(x0+Ax)-f(x0) = (х0+Ах)2-х20 = 2х0Ах + (Ах)2.
Приравнивая правые части, получаем ос(Дх) = Ах. Перехо¬
дя к пределу при Дх^О, находим, что lim а(Ах) = 0, что и
✓	Дх—>0
требовалось показать. •
Упражнение. Используя определение, показать, что функ¬
ция /(х) = х3 дифференцируема в точке х = х0.
5.2.2.	Связь между дифференцируемостью
и непрерывностью
Теорема 5.2. Если функция у =/(х) дифференцируема в
данной точке х0, то она и непрерывна в этой точке.
□	Доказательство. Так как функция у = /(х) дифферен¬
цируема в точке х0, то ее приращение в этой точке может быть
представлено соотношением (1). Тогда, переходя к пределу
при Ах—>0, получаем
lim Ау-A lim Ах + limа(Ах)• lim Ах = 0,
Дл:->0	Дх->0	Дг->0	Дх->0
что и означает непрерывность функции у - fix) в точке х0
согласно третьему определению непрерывности функции в
точке х0. ■
Замечание. Обратное утверждение не верно. Функция
может быть непрерывной в точке, но не быть дифференци¬
руемой, т.е. не иметь производной в этой точке.
О Примером такой функции служит функция f{x) = \х\. Эта функция,
как известно, непрерывна в точке х = 0, но, как показано на с. 229, не
имеет в этой точке производной, т.е. не является дифференцируемой.
Функция f{x) = у/х непрерывна на всей числовой прямой. Покажем,
что в точке х = 0 эта функция не является дифференцируемой. В самом

232
Глава 5. Дифференциальное исчисление
деле, в точке х = 0 приращению аргумента Ах соответствует приращение
функции Ау = >/0 + Ах —>/0 = >[Кх. Следовательно,
Ау _ у[ах _	1
л* ^ 'il(kx)2 ’
Переходя к пределу при Аг-»0, получаем
lim — = lim	1— = оо.
Ах Д*-»0 ж Дг)2
Это значит, что функция f(x) = >/х в точке х = 0 не имеет конечной
производной, т.е. не является дифференцируемой. График функции
f(x) = у/х в точке О (0; 0) имеет своей касательной ось Оу, угловой
коэффициент которой k = tgcp0 не имеет конечного значения, т.е. «об¬
ращается в бесконечность». •
Если функция f(x) имеет производную в каждой точке
некоторого промежутка (дифференцируема в каждой точке
этого промежутка), то будем говорить, что функция/(х) имеет
производную или что она дифференцируема на указанном
промежутке.
Вопросы для самопроверки
1.	Дайте определение дифференцируемости функции в точке х0.
2.	Какова связь между понятиями дифференцируемости функции
в точке и производной функции в этой точке? Докажите соответ¬
ствующую теорему.
3.	Какова связь между понятиями дифференцируемости и не¬
прерывности функции в точке? Приведите пример функции, непре¬
рывной в точке, но не дифференцируемой в этой точке.
4.	Может ли функция, имеющая производную в точке, быть
непрерывной в этой точке?
5.3.	Понятие дифференциала
5.3.1.	Определение и геометрический смысл
дифференциала
Пусть функция /(х) дифференцируема в точке х0, т.е. при¬
ращение Ау можно записать в виде суммы двух слагаемых:
Ау = ЛДх + а(Дх)Дх,

5.3. Понятие дифференциала
233
Таким образом, первое слагаемое яв-
где lim ос(Дг) = 0. Первое слагаемое А Ах является при Дг^О
Дл:->0
бесконечно малой одного порядка с Ах (покажите это само¬
стоятельно), оно линейно относительно Ах. Слагаемое а(Ах)Ах
при Дг—>0 — бесконечно малая более высокого порядка, чем
\Ах^0 Дх	)
ляется главной частью приращения функции f(x).
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х0
называется главная, линейная относительно Ах часть при¬
ращения функции:
dy = AAx.	(1)
Если учесть теорему 5.1, т.е. принять во внимание, что
A=f'(x0), то формулу (1) можно записать в виде
dy=f(x0)Ax.	(2)
Дифференциалом независимой переменной х назовем прира¬
щение этой переменной: dx = Ах. Окончательно соотношение
(2)	принимает вид
dy=f(x0)dx.	(3)
С помощью равенства (3) производную f'(xQ) можно вы¬
числить как отношение дифференциала функции dу к диф¬
ференциалу dx независимой переменной, т.е.
/■<*>-&
Дифференциал функции имеет геометрический смысл.
Пусть точка М на графике функции у = f(x) соответствует
значению аргумента х0, точка Р — значению аргумента х0 + Ах,
прямая MS — касательная к графику у = f(x) в точке М,
а — угол между касательной и
осью Ох. Пусть, далее, MN\ \ Ох,
PN\ | Оу, Q — точка пересечения
касательной MS с прямой PN
(рис. 139). Тогда приращение
функции Ду равно величине
отрезка NP. В то же время из
прямоугольного треугольника
MNQ получаем NQ = tga • Ах =
= f'(.x )Ax = dу, т.е. диффе¬
ренциал функции dу равен
величине отрезка NQ. Из гео¬

234
Глава 5. Дифференциальное исчисление
метрического рассмотрения видно, что величины отрезков
NP и NQ различны.
Таким образом, дифференциал dу функции у = /(х) в точке
х0 равен приращению «ординаты касательной» MS к графику
этой функции в точке М(х0; /(х0)), а приращение функции Ау
есть приращение «ординаты самой функции» у =/(х) в точке
х0, соответствующее приращению аргумента, равному Дх.
5.3.2.	Приближенные вычисления
с помощью дифференциала
Из определения дифференциала следует, что он зависит
линейно от Дх и является главной частью приращения функ¬
ции Ау. Само же Ау зависит от Дх более сложно. Например,
если/(х) = х3, то Ау = (х0+ Дх)3-х3= Зх2 Дх + Зх0(Дх)2+ (Дх)3,
в то время как
dу = f'(xо)Дх = \ lim ^~Х°+	1 Дх = Зх„ Дх.
^д*->0 Дх )
Кроме того, для вычисления дифференциала можно вос¬
пользоваться равенством dу = /'(x0)dx. Во многих задачах
приращение функции в данной точке приближенно заменяют
дифференциалом функции в этой точке:
Ay » dу.
Абсолютная погрешность при такой замене равна |Ду - Ау\
и является при Дх-»0 бесконечно малой более высокого по¬
рядка, чем Дх.
В частности, еслих0 = 2, Дг=0,1, то Дг/=3-22-0,1 +3-2(0,1)2 +
+ (0,1 )3 = 1,261, dz/ = 3-22 0,1 = 1,2 и абсолютная погрешность
Ay - dz/| = 0,061.
Упражнение. Найти приближенно приращение Ау функ¬
ции /(х) = х2, если х0 = 2 и Дх = 0,01. (Отв. 0,04.)
О	Пример. Покажем, что если а мало, то можно использовать при¬
ближенную формулу
лЯ+ос ”1+^-
Решение. Действительно, возьмем функцию f(x) = 4х. Тогда при
малых Ах

5.4. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения...	235
откуда, положив х0 = 1, Дх = а, получим
>/1+а «1+-^.
В частности, при ос = 0,0003 найдем ^/1,0003 «1,00015. •
Упражнение. Вывести приближенную формулу у/а2 +h «
«а + h/(2a). Найти приближенно VToT, -Д04, л/41, >/9,
-5/33. (Отв. 10,05; 1,02; 6,41; 2,08; 2,01.)
Рассмотрим теперь правила дифференцирования и вы¬
числения производных простейших элементарных функций.
Заметим, что при выводе формул и практическом вычислении
производных обычно пишут не х0, а просто х, но при этом х
считают фиксированным.
Вопросы для самопроверки
1.	Дайте определение дифференциала функции в точке х0.
2.	Почему в определении дифференциала выражение Л Ах на¬
зывается главной, линейной относительно Ах частью приращения
функции/(х)?
3.	Каков геометрический смысл дифференциала?
5.4.	Правила дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного
Теорема 5.3. Если функции и = и(х) uv = v(x) дифференци¬
руемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное
этих функций (частное при условии, что v(x) ^ 0) также
дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие
формулы.
1.	(и ± v)f = и' ± vf. 2. (и ♦ v)f = u'v + uv\
gfiiV =
\v) V
□	Доказательство. Для вывода формул (1) восполь¬
зуемся определением производной, очевидным равенством

236
Глава 5. Дифференциальное исчисление
f{pc + Ar) = f{pc) + Ау и теоремой 4.3. Рассмотрим отдельно
каждый случай:
1.	(u±v)' = lim ^^±v(-X + Д*)]~^х)±
Дх->0	АГ
■ lim
Д*->0
uix + Ах) - и{х) vix + Ах) - vix)
Ах	Ах
= lim и(х + Ах)- и(х) ± lim v(x + Ах)- v(x)
Аг	Ах
= lim — ± lim — = u'±v'.
Ar Ar
2. (и уУ = lim Ф + АуМ^ + Ау)-ФМ^) =
A*->0	Ar
- lim MJ) + HKJ) + Ar;] - w(r)r;(r) _
A*^0	AT
lim	+	+	^(^)Ar;	+	AuAv - uix)v{x) _
Ax^O	Ax
: lim
Ar->0
, 4 Au , 4Ar^ A Au
vix )— + щх )— + Ar;—
Ar	Ar	Ar
л. Au
= v lim— +
A*^0 Ar
+u lim —+ lim Ar; lim — = v-u’ + uv’ + 0-w' =
длг^о Ar	Ar->o Ar
= u'v + uv’,
так как lim Ar; = 0, а множители и и г; являются постоянными
Дг^>0
и не зависят от Аг.
w(r + Ar) uix)
3 ( и\ - ljm v(x + ^- lim ^ +	~ ujx)vjx + Ar) _
\и/	Ar	Ar • vix + Ar)r;(r)
-	lim iu(x) + ^u]v(x) ~ и(х№(х>) +	-
a*^o	Arr;(r)[r;(r) +Ar;]
Aw	Ar;
= Um uv + Auv-uv-uAv	цт”д^~Мд^
Axv(v + До) д*-*0 v2 + оДг»
Aw 1. Ar;
r; lim	и lim—	,	,
_ Ar->o Ar	Ar^o Ar	_	^ ^	^
r;2+r;limAr;	v2
Ar->0

5.5. Вычисление производных постоянной, степенной..	237
Вопросы для самопроверки
1.	Докажите правила дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного двух функций.
2.	Что можно сказать, если выполнены все условия теоремы
о	правилах дифференцирования, кроме условия v(x) ф 0, т.е. вы¬
полнено условие v{x) = О?
3.	Почему при доказательстве правил дифференцирования про¬
изведения и частного lim Av = О?
5.5.	Вычисление производных постоянной, степенной,
тригонометрических функций
и логарифмической функции
5.5.1.	Производная постоянной функции
Производная функции у = f(x) = С, где С — постоянное
число, выражается формулой
У* = 0.
□	Доказательство. Для любых х и Ах имеем fix + Ах) = С
и Ay =f(x + Ах) -f{x) = 0. Отсюда при любом Ах ф 0 отношение
АУ Л
—^ = 0 и, следовательно,
Ах	А
у' = lim — = 0. ■
Ах
Замечание. Постоянный множитель можно выносить за
знак производной, т.е. (Си)' = Си'. Действительно, если v = С
(С = const), то по формуле 2 (см. теорему 5.3) (Си)' = (С)'и +
+ Си' = 0 ♦ и + Си' = Си', что и требовалось показать.
5.5.2.	Производная степенной функции
Производная функции у = хп, показатель п которой являет¬
ся целым положительным числом, выражается формулой
у' = пхп~х.
□	Доказательство. Используя формулу бинома Ньютона,
можно записать
Ау = (х + Ах)п - хп =
п(п- 1)^-2/а^2
хп +пхп хАх +
2!
xn-z(Axy+... + (Ax)n
-хп = пхп хАх +

238
Глава 5. Дифференциальное исчисление
п(п-\)	п-2	/	\„\2
хп-г(АхУ+... + (Ах)п.
2!
Таким образом, при Ах ф 0 имеем
Ау	п(п +1) я_2	,
—	= пх + —	-х Ar + ... + (Ar) .
Ах	2!	v	'
Так как
то
limAr = 0, Нт(Дг) =0, Нт(Дг)" =0,
Дх->0	Д;с->0	Дх->0
у' = lim — = яхя“\ Ш
Ах
Замечание. Случай степенной функции, показатель кото¬
рой является любым вещественным числом, будет рассмотрен
на с. 252, 253.
5.5.3.	Производные тригонометрических функций
1)	Производная функции у = sinx выражается формулой
у’ = cosx.
□	Доказательство. Имеем
Ау = sin(x + Аг) - sinx = 2sin(Ax/2)cos(x + Ах/2).
Таким образом, при Ах ф 0
Ау _ 2sin(Ax/2)cos(x + Ах/2) _ sin(Ax/2)
Ах	Ах	Ах/2
-cos(x +Ах/2).
Так как lim	=	1 (первый замечательный предел),
Ах/2
a lim cos(x + Ах/2) = cosx в силу непрерывности функции
Дх^О
COSX, то
у’ = lim — = cosx ■
Ах^О Дх
2)	Производная функции у = cosx выражается формулой
у' = - sinx.
□	Доказательство. Имеем Аг/ = cos(x + Ах) - cosx =
=-2sin(Ax/2)sin(x + Ах/2). Таким образом, при Ах * 0
Аг/ _ 2sin(Ax/2)sin(x +Ах/2) _ sin(Ax/2)
Ах	Ах	Ах/2
-sin(x +Ах/2).

5.5. Вычисление производных постоянной, степенной-	239
Так как limsin^x + 4^ j = sin л: в силу непрерывности
функции sinx, то
у' = lim —= - sinx.
Ах
3)	Производная функции у = tgx выражается формулой
1	(	к
у = Z— ХФ — + ПК
* cos2 х \	2
□	Доказательство. Так как tgr =	, то по
COSX
теореме 5.3 получаем
^ _ (sinx)'cosx-sinx(cosx)' _ cosxcosx-sinx(-sinx)
У —	2	—	2
COS X	COS	X
cos2 x + sin2 x
2 f
COS X
следовательно,
y' = —^- ■
COS X
4)	Производная функции у = ctgx выражается формулой
и' =	^—(х ^ 7771Y
sin х	7
□	Доказательство. Так как ctg = C°SX, то, аналогично
sinx
предыдущему,
(cos х)' sinx- cos x(sinx)' (-sinx)sinx-cosxcosx
У —	•	2	—	•	2	—
sin X	sin	X
sin2x + cos2x
sin2x
следовательно,
r

240
Глава 5. Дифференциальное исчисление
5.5.4.	Производная логарифмической функции
Производная функции у = log^x (0 < а ф 1) выражается
формулой
1	1
у' = - l°gae = ——.
х	хта
□	Доказательство. Имеем
ЛУ = bga(x + Ах) - loga х = loga Х + АХ = loga fl+—
х	V	х
Таким образом, при Дх ф О
Au	1 ,	(.	Дх^1	1 х ,	(.	Дх^
л =7”1оМ1 +— =—— log J 1+— ,
Ах	Ах	\	х J	х Ах	\	х /
или
~Г~ = ~logc
Ах х
х/Ах
X /
Положив — = h, имеем
Дх
lim
Д*->0 V
fi+^1
х/Ах
■■ lim 1 + —
п
(второй замечательный предел), а так как логарифмическая
функция является непрерывной, то
lim fl + —1 /
у' = lim — = — log
Дх X
1
X /
—	l°gae :	,	•
х	хта
Следствие. Если у = log х = lnx, wo г/ = (1пх)' = —.
е	х
О	Пример. Используя правила и формулы дифференцирования, най¬
ти производную функции/(х) = 5 -ьх3 + Зх2 + sinх + cos х + 2tgх- 3ctgx +
+ log2 x + 3 In x.
Решение. Имеем
/'(x) = (5 -ьх3 -ьЗх2 + sinx + cosx+ 2tgx- 3ctgx + log2x + 31nx)' =
= (5)' + (x3)' + 3(x2)' + (sinx)' + (cosx)' + 2(tgx)' - 3(ctgx)' + (log2x)' +

5.6. Теорема о производной обратной функции
241
+ 3(1пх)' = Зх2 + бх + cosx- sinx +
cos2 х sin2 х х
2	3
о	.	о
X	X
Упражнения. Найти производные следующих функций:
5./(x)	= xsinx. (Отв. sinx + xcosx)
6.	f(x)=x2tgx. (Отв. x(sin2x + x)sec2x)
1.	Выведите формулы для производных постоянной, степенной,
тригонометрических функций и логарифмической функции.
2.	Почему при выводе формулы производной логарифмической
функции знаки функции и предела поменяли местами?
5.6.	Теорема о производной обратной функции
Пусть функция у =f(x) удовлетворяет условиям теоремы
4.15 об обратной функции и функция х = ср(у) является для
нее обратной. Тогда имеет место следующая теорема.
7. f(x) = х2 log3x. I Отв. х
21nx + l
X	:
1пЗ
Вопросы для самопроверки

242
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Теорема 5.4. Если функция у = /(х) имеет в точке х0 произ¬
водную /'(х0) *■ 0, то обратная функция х=ср (у) также имеет
в соответствующей точке у0 = /(х0) производную, причем
□	Доказательство. Дадим аргументу у обратной функ¬
ции х=ср (у) некоторое приращение Дг/* 0 в точке у0. Функция
х = ср (у) получит некоторое приращение Дх, причем в силу
возрастания (или убывания) обратной функции Дх* 0. Сле¬
довательно, можно записать
Перейдем в этом равенстве к пределу при Дг/ —> 0. Так как
обратная функция х = ср (у) непрерывна в точке у0 (см. теоре¬
му 4.15), то Дх-»0 при Дг/ —>0. Но при Дх-»0 предел правой
части равенства существует и равен 1//'(х0). Следовательно,
существует предел и левой части равенства, который по оп¬
ределению равен ср'(у0). Таким образом, получаем
Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл.
Рассмотрим в некоторой окрестности точки х0 график функ¬
ции у = f(x) (или обратной функции х = ср(г/)). Пусть точке
х0 на этом графике соответствует точка М (рис. 140). Как
известно, производная f'(x0) равна тангенсу угла а наклона
касательной, проходящей через точку М, к оси Ох. Производ¬
ная обратной функции ср'(у0) равна тангенсу угла р наклона
Дх _ 1
Дг/_ А?/'
Дх
у ч
этой же касательной к оси Оу. Так
как углы а и р в сумме составляют
л/2, то формула (1) выражает сле¬
дующий очевидный факт:
X
1 1 1
ctg(rc/2-a) tga f'(x0)'
Рис. 140

5.7. Вычисление производных показательной функции..	243
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте теорему о производной обратной функции.
2.	Что можно сказать о производной обратной функции, если
/'(х0) = 0? Приведите пример такого случая.
3.	Каков геометрический смысл теоремы о производной обрат¬
ной функции?
5.7.	Вычисление производных
показательной функции и обратных
тригонометрических функций
Опираясь на доказанную выше теорему 5.4, продолжим вы¬
числение производных простейших элементарных функций.
5.7.1.	Производная показательной функции
Производная функции у = ах (0 < а ф\) выражается фор¬
мулой
у' = ах\т\а.
□	Доказательство. Показательная функция у = ах яв¬
ляется обратной для логарифмической функции х = logау.
Таким образом,
1
х'(,у) = ~ l°gae,
У
а в силу теоремы 5.4 о производной обратной функции и
известного из элементарной математики соотношения
log Ь — 		 получаем
log* а
у'(х) = —-— = т~^~— = ах\па. Ш
х'(у) bga е
Следствие. Если у = е* то у' = (е*)' = е*.
5.7.2.	Производные обратных
тригонометрических функций
1) Производная функции у = arcsinx выражается формулой
1

244
Глава 5. Дифференциальное исчисление
□	Доказательство. Функция у = arcsinx является обрат¬
ной для функции х=sim/. Так какх'(г/) = cos у, то по теореме 5.4
о	производной обратной функции, получаем
1 1 1
у\х) = —- =	=
х(у) cos у ^1 —sin2 у
Корень взят со знаком плюс, потому что cos у положителен
на интервале - я/2 < у < я/2. Учитывая, что sin?/ = х, оконча¬
тельно получаем
У'(х)= , 1	■
V 1-х2
2)	Производная функции у = arccosx выражается форму¬
лой
У'(х) = - , 1
V 1-х2
Доказательство аналогично предыдущему.
3)	Производная функции у = arctgx выражается форму¬
лой
У'(х) = —Ц-.
1	+ х
□	Доказательство. Функция у = arctgx является обратной
\_
cos2 (у)'
для функциих = tgу. Так как х’(у) =	2/	ч, то
y'(,x) = —^— = cos2y.
х(у)
Но —j— = 1 + tg2у = 1 + х2, следовательно,
cos2 у
У'(х) = т-Ц-.
1 + Х
4)	Производная функции у = arcctgx выражается форму¬
лой
y'ix)=-jh'
Доказательство аналогично предыдущему.
О	Пример. Используя правила и формулы дифференцирования,
найти производную функции/(х) =5*+ arcsinx + 3arccosx + arctgx -
-3arcctgx.

5.8. Правило дифференцирования сложной функции.	245
Решение. Имеем
f'(x) = (5* + arcsinx+ 3 arccos х + arctg x-3arcctg x)r =
= (5х У +(arcsinx)' +3( arccos x)' +(arctg x)' -3(arcctgx)' =
«1 с 1	3	13
—	5 In 5 н—,	—.	н	7Г+■
y/l-X2 'Jl-X2 1 + X2 \+x2
2	4
= 5"1п5 —=i=+—•
VTF 1+*
Упражнения. Найти производные следующих функций:
(	4	)
1.	f(x) = arcsinx + 6х + 5arccosx. Отв. 6хIn6—,
^	V	1-х2	)
(	X	Л
2. /(х) = хarccosх. уОтв. arccosх-^	^ .J
( 2
3.	/(х) = arctgх-arcctgх. уОтв. -—2.
( 11^
4.	f(x) = 4ex+ arctgх+arcsinx. Отв. 4ех +	г+ .
у	6	I	1+х2	VTvJ
-	- х 1 + е* („	2е*	^
5.	/ (х) =	. Отв.	5-.
yv 7	1-е	I	(1-е ) )
Вопросы для самопроверки
1.	Выведите формулы производных для показательной функции
и обратных тригонометрических функций.
2.	Почему при выводе формулы производной для показательной
функции функция у = ах является обратной для функции х = logау?
5.8.	Правило дифференцирования сложной функции.
Дифференциал сложной функции
5.8.1.	Правило дифференцирования сложной функции
Теорема 5.5. Если функция х = ср(£) имеет производную в
точке tQ, а функция y=f(x) имеет производную в соответст¬
вующей точке х0 = ср(£0), то сложная функция f[q>(t)\ имеет
производную в точке t и имеет место следующая формула:

246
Глава 5. Дифференциальное исчисление
г/(д=/'(*0)ф'(д.	(1)
□	Доказательство. Так как функция у = /(х) предпо¬
лагается дифференцируемой в точке х0, то приращение этой
функции может быть записано в виде
Ау = /'(х0)Дх + а(Дх)Дх,	(2)
где lim а(Дх) = 0. Разделив равенство (2) на At, имеем
£-Л*>£+<з>
At	At	At
Равенство (3) справедливо при любых достаточно малых
Ах. Возьмем Ах равным приращению функции х = ср(£), соот¬
ветствующему приращению At аргумента t. Устремим в этом
равенстве At к нулю. Так как по условию функция х = ср(£)
имеет в точке t0 производную, то она непрерывна в этой точке.
Следовательно, по третьему определению непрерывности
функции в точке, Дх-»0 при Д£-»0. Но тогда устремится к
нулю и а(Дх), т.е. получим
Нт[а(Дх)—] = Нта(Дх)Нт —0 - ср'(t0) = 0.	(4)
At->0 ^	At)	Д£->0 Д£	’	v	'
Из соотношения (4) следует существование предела всей
правой части равенства (3) при Д£-»0, равного f'(x0)<p'(t0).
Значит, существует предел при Д£->0 и левой части равенства
(3), который по определению производной равен производной
сложной функции у =Лф(0]- Тем самым доказана дифференци¬
руемость сложной функции и установлена формула (1). ■
Замечание. В данной теореме мы рассматривали сложную
функцию, зависившую от t через промежуточную переменную
х. Возможна и более сложная зависимость — с двумя, тремя
и большим числом промежуточных переменных, но правило
дифференцирования остается прежним.
Так, например, если у = /(х), где х = ср(и), а и = и
v = %(0,то производную y'(t) следует искать по формуле
y\t) = y'(x)x’(u)u'(v)v'(t).	(5)
Рассмотрим примеры дифференцирования сложной функ¬
ции.
О	Пример 1. Вычислить производную функции у = earctgx.
Решение. Данную функцию можно представить в виде у = е", где
м=arc tgx. Тогда по формуле (1)

5.8. Правило дифференцирования сложной функции-	247
у,(х) = у,(и)и,(х) = е11-
1
1	+ х2 *
Заменив и на arctgx, окончательно получим
1
У
arctgx _
1	+ х2
Пример 2. Вычислить производную функции у = tg2(x2 + 1).
Решение. Данную функцию можно представить в виде у = и2, где
и = tga, a v = х2+1. Используя формулу (5), получим
у' (х) = y'(u)u'(v)v'(x) = (У )'(tgv)'(x2 +1)' =
= 2 и sec2v • 2х = 2tg(x2 +1) sec2 (х2 +1) • 2х =
= 4xtg(x2 +l)sec2(x2 +1). •
Разумеется, нет необходимости в таких подробных запи¬
сях. Обычно результат следует писать сразу, представляя
последовательно в уме промежуточные аргументы.
Так, например, вычисление производной в последнем
примере можно записать в таком виде:
у'{х) = 2tg(x2 +1)— 1	.'О2 +1)' = 2tg(x2 +1) X
cos (х +1)
х sec2 (х2 +1) • 2х = 4х tg(x2 +1) sec2 (х2 +1).
Упражнения. Найти производные следующих функций:
1.	f(x) = sin3x. {Отв. 3cos3x.)
2.	f(x) = sin(x2 + 5x + 2) iOme. (2x + 5) cos (x2 + 5x + 2).)
3./(x)	= sin2x. (Отв. sin2x.)
4	.fix) = sin3x. iOme. 3sin2xcosx.)
5	.fix) = cos100x. iOme. -100sinxcos"x.)
/	о	\
6.	/(x) = tg(x2 + 3).
Отв.
2x
cos (x +3)
7.	fix) = In sinx. iOme. ctgx.)
10
8. /(x) = In tg5x. Отв.
\ sin 1 Ox
9 .fix) = etgx. iOme. etgIsec2x.)
10.	/(x) = ln(x2+2x).
Отв.
2(x +1)
x(x + 2)

248
Глава 5. Дифференциальное исчисление
1
п. /(*>= xarctgx- —1п(1 + х2). (Отв. arctgx.)
12./(х)	= sin2x3. (Отв. 3x2sin2x3.)
13.	f(х) =			г. ГOme. — tg2x-sec102x.
(l + cos4x) V 8
14./(х)	= sin4x + cos4x. (Отв. -sin4x.)
cosx , (, x^ (Л -2cos2x
15- /(*) = —— + ln tg- . I Отв. —j—.j
sin x V 2)	\	sin x )
16.	/(x) = 23x + x5+ e_x2. (Отв. 3 • 23xln2 + 5x4 -2xe~x‘.)
17./(x)	= x2e_x. (Отв. xe~x(2 - x).)
18./(x)	= (x+2)e_x2. (Отв. e_x2( 1 - 2x2 - 4x).)
—f	sin x ^
19.	f(x) = ecosx. i Отв. ecosx—-2—.1
\	COS X у
. (
20.	/(x) = e
lnx
Отв.
x\n2 x'
‘2 X
У
21.	/(x) = io3~sin32\ (Отв. 103“sm'!21 In 10 • (-3sin 2xsin 4x).)
22./(x)	= sin(2*). (Отв. 2x(}n2')cos2x.')
( 1 ^
23.	/(x) = arccos(l - 2x). j^Ome. ^	-.j
(	de4x	}
24.	/(x) = arcsin(e4j:). | Отв.
I c»me. .	I
/
25.	/(x) = arctg ln(5x + 3).
Отв.
(5x + 3)[1 + In (5x + 3)]
X' к '	1	+	x2	V
27.	/(x) = tg sin cosx.
^	- sin cos (cosx) Л
Отв.
v	cos2(sincosx) /
28./(x) = ln5sin x. (Отв. 5ctgxln4sinx.)

5.8. Правило дифференцирования сложной функции-	249
5.8.2.	Дифференциал сложной функции
Вы уже знаете, что если х является независимой перемен¬
ной, то дифференциал дифференцируемой функции у = f(x)
имеет следующую форму, т.е. вид:
dy=f'(x)dx.	(6)
□	Сейчас мы покажем, что эта форма универсальна и спра¬
ведлива также и в том случае, когда хявляется не независимой
переменной, а дифференцируемой функцией некоторой неза¬
висимой переменной t, т.е. у является сложной функцией от t
Действительно, пусть у = f(x) и х = ср(t): у =/[ф(0]- Тогда,
так как аргумент t является независимой переменной, то
для указанной сложной функции у =/[ф(0] и Для функции
х = ср(£) дифференциалы представимы в форме (6), т.е. в
виде
dУ = {/[ф(0]№ (ix = ф’(t)At.	(7)
По правилу дифференцирования сложной функции
{/[9(f)]}'=/'(*) V(f).	(8)
Подставляя (8) в первую из формул (7), получаем
dy =/'(*)-ф'(0 dt,
а так как, согласно второй формуле (7), cp'(0 dt = dx, то окон¬
чательно находим
dy=f'(x)dx,
совпадающее с формой (6), что и требовалось показать. ■
Таким образом, получили, что формула (6) верна и для
сложной функции. Это свойство дифференциала сложной
функции принято называть инвариантностью его формы.
О Пример 3. Найти дифференциал сложной функции у = sin х, где
x = t2.
Решение. По формуле (6) имеем
dy = (sinx)'ch: = cosxdr,
а так как х = t2, dx = (t2)' dt = 2tdt, то, подставляя в выражение для dy,
окончательно получаем
dy = 2tcost2dt. •
Далее введем понятия второго и последующих дифферен¬
циалов функции у = fix), которые уже не обладают инвари¬
антностью формы. Поэтому доказанное свойство называют
также инвариантностью формы первого дифференциала.

250
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте теорему о производной сложной функции.
2.	Применима ли теорема о производной сложной функции к
функции у = sin(>fx) в точке х = О? Существует ли производная
этой функции в точке х = О?
5.9.	Логарифмическая производная.
Производная степенной функции
с любым вещественным показателем.
Таблица производных
простейших элементарных функций
5.9.1.	Понятие логарифмической производной функции
Вычислим производную функцииу = \п\х\(хФ 0). Так как
1	(-хУ 1
(Inx)f = —, а (1п(-х))' = -—— = —, (последнее равенство
х	-хх
получено на основании правила дифференцирования сложной
функции), то производная функции выражается следующей
формулой:
Учитывая полученную формулу (1), вычислим производ¬
ную сложной функции у = In | и |, где и = /(х) — дифференци¬
руемая функция. Имеем
Производная от логарифма функции (1п|/(х)|)' и называ¬
ется логарифмической производной функции/(х). Для упро¬
щения записи при логарифмическом дифференцировании
знак модуля у функции /(х) можно опустить.
В качестве примера вычислим с помощью логарифми¬
ческой производной производную показательно-степенной
(1)
или
(2)

5.9. Логарифмическая производная.
251
функции у = и(х)ф), где и и & — некоторые функции отл(и>0),
имеющие в данной точке производные и'(х) и v'(x).
Так как In у = у(х)1пм(х), то по формуле (2) получим
—	= \v(x) In и(х)\ = v'(x) In и(х) + v(x) U ^.
У	u(x)
Учитывая, что у = u(x)lix), получаем следующую формулу
для производной показательно-степенной функции:
У' = и(хУ
v(x)
vf(x)\nu(x) + v(x)
и'(х)
и(х)
(3)
О	Пример 1. Вычислить производную функции у = Xх.
Решение. Данную функцию можно представить в виде у = u(x)v(x\
где и(х) = хи v(x) = х. Используя формулу (3), получим
1-lnx + x-
= х*(1пх+ 1). •
Упражнения. Найти производные следующих функций:
1.	f(x) = xslTiX. | Отв. г
2.	/(x) = (tgx)
cosxlnx +
sinx
X
Отв. (tgx)sin:4 cosx-lntgx +
V	COS	Ху	/
3. /(x) = (cosx)sin* | Отв. (cosx)81
cosx-In cosx-
• 2 \ Л
Sin XI I
cosx у
Производную показательно-степенной функции у = и(х)*х)
можно вычислить и другим способом. Представим функцию
в виде у = е*х)1пи(х) и вычислим уг:
у' = [eK-)in июу = е^)ь“(*)[г,(^)1пм(х)Г =
и\х)
= У
vf(x)\nu(x) + v(x)
и(х)
Подставляя у = «(х)^, снова приходим к формуле (3).
Логарифмическая производная очень удобна при нахожде¬
нии производной степенной функции с любым вещественным
показателем.

252
Глава 5. Дифференциальное исчисление
5.9.2.	Производная степенной функции с любым
вещественным показателем
Производная функции у=ха(а — любое вегцественное число)
определяется формулой
у' = аха~К	(4)
□	Доказательство. Так как у = ха, то
In у = oclnx.
Используя формулу (2), получаем
—	= [oclnx]' = —.
у	х
Отсюда, учитывая, что у = ха, получаем формулу для произ¬
водной степенной функции:
у' = (ха)' = ос-ха_1. ■
О	Пример 2. Вычислить производную функции f(x) = >/l + cos2x.
Решение. Данную функцию представим в виде/(х) = (1 + cos2x)1/2.
Используя формулу (4), получим
/'(х) = ^-( 1 + cos2 x)1/2_1 -2cosx(cosx)' =
=-(1+cos2 х)_1/2-2cosx(-sinx) = - s^n^x
\ -I- I bUO Л, J	bUO Л, у Olll Л, у —	 	 .
2	2>/l + cos2x
Упражнения. Найти производные следующих функций:
1./(x)	= х1/д:. (Owe. х1/д:“2(1-1пх).)
2.	=	+ 2. fome.
хх V 4vx х х
„ ,, ч_ 8 6 (п 2(1 1 ^
/ s/ \	1	^ 1пх + 7 ^
4.	/(x) = vxlnx. Отяв.—
J	I	7V?	)
5.	f(x) = lfxarcctgx.
6.	=	\Отв.—!—	-J
yW VJ + 1 I	+	J

5.9. Логарифмическая производная.
253
7.	f(x) = y/2x-sin2x. (ome.—j=^Sm X j
^ v2x-sin2x J
8.	/(х) = ln(x + l + >/x2 +2х + 3). fome.
I Отв.—г
V	>/.
1
9./W = i(WT7 + arcsm*). (Ош„.,/Г7.>
10.	/(х) = х arctg л/2х -1
л/2х — 1
(Ome. arctg л/2х — 1.)
..	,, ч cosx . Г х^1	-2cos2x^
11./(х) = —^ + ln tg- . \Отв.—3	.1
sin х \	2/	\	sin	х	)
12.	/(х) = е
Г
Отв.
2
2е^
13.	/(х) = ln(sin х + л/l + sin2 х). \ Отв.
COSX
I итв. I	I
V л/l + sin2 х )
(
15. f(х) = </lnsin———.
1 ctg
Отв.
х +
20
i
л 4 . X + 3
In sin
16.	/(х) = ^д/(1 + In х)3. ^О/Ив. ^ + 'ПХ j
17.	/(х) = ln(xsinх• >/l-)• [Отв. —+ ctgx-
18.	/(х) = ^/arctge^". I Отв.
1-х2'
(l + e10j:)^/arctg4 е51'
Таким образом, вычислены производные всех простейших
элементарных функций и мы можем составить следующую
таблицу.

254
Глава 5. Дифференциальное исчисление
5.9.3.	Таблица производных
простейших элементарных функций
I.	(О' = о.
II.	(х“)'= аха~\ в частности [—] =—у, (yfx)f 1
XJ х2’уул/ 2 4х
1	1
III.	(logах)' = — log е, в частности (1пх)' = —.
х	х
IV.	(ахУ = ах\па, в частности (ех)' = е*.
V.	(sinx)' = cosx.
VI.	(cosx)' = - sinx.
VII.	(tgx)'= ^j-.
COS X
VIII.	(ctgx)' = —
sin X
1
IX.	(arcsinx)'
л/l-x2
1
X.	(arccos x)' = -
Vl-x2
1
XI.	(arctg x)' =	it.
1	+ x
1
XII.	(arcctg x)' =
1	+ x
.2 •
Указанная таблица вместе с правилами дифференциро¬
вания суммы, разности, произведения, частного и правилом
дифференцирования сложной функции составляет основу
дифференциального исчисления.
Из правил и формул дифференцирования можно сделать
важный вывод: производная любой элементарной функции
также функция элементарная. Таким образом, операция
дифференцирования не выводит из класса элементарных
функций.
На с. 233 было установлено, что дифференциал dу функции
у = /(х) всегда равен производной этой функции /'(х), умно¬
женной на дифференциал аргумента dx. Поэтому приведенные
формулы для отыскания производных легко преобразовать

5.9. Логарифмическая производная.
255
в формулы для отыскания дифференциалов простейших
элементарных функций:
l.d(C) = 0-dx=0(C=const). 7. d(tgx) =
dx
cos2 x
2.	d(x^) = aia_1 'dx.
1
3. d(loga x) = — loga e • dr.
X
4.	d(ax) = ax\na dx.
5.	d(sinx) = cosxdx.
6.	d(cosx) = -sinxdx.
8. d(ctg x) = -
dx
sin2x
9.	d(arcsinx) =
10.	d(arccosx) =
11.	d(arctg x) =
12.	d(arcctgx):
dx
4Г-
X
dx
y/i-x2
dx
1 + x
dx
1 + x2
Формулы для отыскания дифференциалов суммы, разно¬
сти, произведения и частного функций имеют вид
d(u±v) = du±dv; d(uv) = udv + vdu; d{—1 = V^U .
\v) V
Ограничимся выводом формулы произведения. (Вывод
остальных предоставляем читателю.) По определению диф¬
ференциала имеем
d (uv) = (uv)' dx = (u'v + uv')dx = vu'dx + uv' dx = vdu + udvy
так как ufdx = dunv'dx = dv.
О Пример 3, Найти дифференциал функции у = х3sin3x.
Решение. По только что доказанной формуле имеем
d у = x3d(sin Зх) + sin 3xd(x3) = х3 (sin 3x)'dx +
+sin3x(x3)'dx = x33cos3xdx + sin3x3x2dx =
= 3x2 (x cos 3x + sin 3x)dx. •
Вопросы для самопроверки
1.	В чем состоит прием логарифмического дифференцирования?
2.	Выведите формулу производной для степенной функции с
любым вещественным показателем.

256
Глава 5. Дифференциальное исчисление
3.	Почему операция дифференцирования не выводит из класса
элементарных функций?
4.	Докажите, что d{и ±v) = du± dv.
5.10.	Производные и дифференциалы
высших порядков
5.10.1.	Понятие производной и-го порядка
Как уже отмечалось в параграфе 1 данной главы, про¬
изводная f'(x) функции у = f(x) сама является некоторой
функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней
снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении
производной.
Назовем f'(x) производной первого порядка.
Производная от производной некоторой функции называ¬
ется производной второго порядка (или второй производной).
Производная от второй производной называется производной
третьего порядка (или третьей производной) и т.д. Производ¬
ные начиная со второй называются производными высшего
порядка и обозначаются у", у'”, г/<4), г/<5),..., г/(л),... или /"(х),
/'"(х),/4>(х),/5)(х), ...,fn)(x),....
Производная п-го порядка есть производная от производ¬
ной (п - 1)-го порядка, т.е. г/(л) - (г/(л~1))'-
Производные высших порядков имеют широкое примене¬
ние в физике. Здесь мы ограничимся физическим толкованием
второй производной f"(x). Если функция у = /(х) описывает
закон движения материальной точки по прямой линии, то, как
известно, первая производная f'(x) есть мгновенная скорость
точки в момент времени х, а вторая производная в таком
случае равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению
движущейся точки в момент времени х.
Упражнения. Найти производные второго порядка
от следующих функций:
1.	f(x) = e~x\ (Отв. 2е~*2 (2х2 -1).) 2./(x) = tgx.
^ 2sinx4
Отв.
cos3 х /
(	2cosx 1
3.	/(х) = ctgx. Отв.—j—. 4./(x)=arcsin
^	sin х }
х
2'
f
Отв.-
(4-х )
3/2
/
5./(х) = sin2x. {Отв. 2cos2x.) 6./(х) =

5.10. Производные и дифференциалы высших порядков	257
1	2x1
8.	/(x) = arctg—. Отв.	9. /(х) = 1п(2х-3).
ж ^	(1	+	х2у	)
Найти производные третьего порядка от следующих функ-
(Отв. е~х(3 -х).) 3./(х) = e*cosx. (Отв. -2ex(cosx + sinx).)
4.	/(х) = x2sinx. (Отв. (6 - x2)cosx - 6xsinx).) 5. /(х) =
= x32z. (Отв. 2z(x3ln32 + 9x2ln22 + 18xln2 + 6).) 6. f(x) = xlnx.
(Отв. -1/х2.)
5.10.2.	и-е производные некоторых функций
1)	Вычислим п-ю производную степенной функцииу=ха(х > 0)
(а — любое вещественное число). Последовательно диффе¬
ренцируя, имеем0
В частном случае, если а = т, где т — натуральное число,
получим
Нетрудно заметить, что, зная общий вид п-й производной,
можно сразу записать производную любого порядка, не вы¬
числяя при этом предшествующие производные.
Например, (х3)<3)=3 • 2 • 1=б, (х3)<2)=3 • 2 х = 6х, а (х3)^^ 0.
2)	Вычислим п-ю производную показательной функции у = ах
(0 < а ф 1). Последовательно дифференцируя, имеем
0 При строгом выводе формул тг-х производных следует применить ме¬
тод математической индукции.
ЦИЙ:
у' = аха\ у(Т) =а(а-1)х“ 2,
г/<3) = а(а - 1)(а - 2)ха~3,
г/л) = а(а - 1)(а - 2)... [а - (п - 1)]ха~".
(хп‘У'п)=т(т-1)(т-2)...[т- (т-1)]1 = т\,
(хот)<л)= 0 при п> т.

258
Глава 5. Дифференциальное исчисление
у' = ах In а, у{2) = ах (In а)2,
г/<3) =а*(1па)3, у(п) =а*(1па)\
В частности, если у = е* то для любого п
(ехУп)=е*.
3)	Вычислим п-ю производную функции у = sinx. Последо¬
вательно дифференцируя, имеем
Таким образом, производную любого порядка от sinx мож¬
но вычислить по формуле
4) Аналогично получается формула п-й производной функ¬
ции у = cosx:
Упражнения. Найти производные гг-го порядка от сле¬
дующих функций:
3./(х)	= е*/2. (Отв. е*/2 (1/2)”.)
4./(х)	= 23*. (Отв. 2&(31п2)л.)
5. /(x) = cos2x. | Отв. 2"~1cos^2x + ?z-^j.j
Функция, имеющая п-ю производную в точке х, называется
п раз дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая в
г/<3) =-cosx = sin х + 3-
Например, (sin х)<10) = sin |^х +10	= sin(x + л) = - sin х.

5.10. Производные и дифференциалы высших порядков	259
точке х производные любого порядка, называется бесконечно
дифференцируемой в этой точке.
5.10.3.	Формула Лейбница для п-й производной
произведения двух функций
Пусть у = uv, где и и и — некоторые функции от переменной х,
имеющие производные любого порядка. Тогда
у' = u'v + uv',
у" = u"v + u'v' + u'v' + uv" = u"v + 2 u'v' + uv",
yf" = u'"v + u"v' + 2 u"v' + 2u'v" + w V' + wc/" =
= u'"v + 3h'V + 3 u'v" +
Таким образом, мы видим, что правые части разложений
напоминают разложения различных степеней бинома (а + Ь)п
по формуле бинома Ньютона, но вместо показателей степени
стоят числа, определяющие порядок производных, а сами
функции и и v можно рассматривать как «производные нуле¬
вого порядка» иф) и v(0). Учитывая это, запишем по аналогии
общий вид п-й производной произведения двух функций
у{п) = (uv)(n) = u(n)v + ш(п_1 V +	^ u(n~2)v" +...
+ п(п - 1) ■• •-(п - k + 1) u(n-k)v(k) +"+uv(.n)_
Формула (1) называется формулой Лейбница^. Докажем
эту формулу методом математической индукции.
□	При п = 1 формула принимает вид (uv)' = u’v + uv’, что
совпадает с формулой дифференцирования произведения
двух функций. Для п = 2 и п = 3 она также проверена. Поэтому
достаточно, предположив справедливость формулы (1) для не¬
которого п, доказать ее справедливость для п +1. С этой целью
продифференцируем эту формулу, т.е. найдем г/('!+1)=(г/<п))':
г/(л+1) = и(п+% + M(nV + n[uwv’ + м<*-V] + n(n~V х
п(п — 1) • • • (п — ^ + 1)
k\
x[u(n~k+X)v{k) + u{n-k)v{k+X) ] + ... + u’v(n) + uv(n+i).
X
1} Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646—1716) — немецкий философ
и математик.

260
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
=u{n^v + (n + V)u{n)v' + [п+^^
n(n-\)---(n-k + 2)	n(n-i)---(n-k	+	i)
(k-i)\ k\
X u{n-M)vl'i) +... + (n + i)u'v(n) + uv(n+n.
Но выражение, стоящее в квадратных скобках, мы можем
представить в виде
n(n-l)---(n-k+2) ' n(n-l)---(n-k+l) _
(А-1)!	+	k\	-
_ л(л - 1)(л - 2)■■■ (л - к+2)(л - к + 1)(л - к)(п - к - 1)(л - к - 2)■■• 1
(к-1)\(п-к+1)(п-к)(п-к-2)-1	+
п(п -1) • ■ -(л - к+1)(л - к)(п - к - 1)(л - к - 2) • ■ • 1 _
+	к\(п-к)(п-к-1)(п-к-2)-1	"
л!	л!	л!	(	11
(А-1)!(л-Аг+1)!	к\(п-к)\	(к-1)\(п-к)\Уп-к+1	к
л!	л+1	(л+1)!
~ (к-1)\(п-к)\ к(п-к+1) ~ к\(п-к+1)\ ~
(п+1)п(п-1)(п-2)-(п-к+2)(п-к+1)(п-к)(п-к-1)(п-к-2)-1
k\(n-k+l)(n-k)(n-k-l)(n-k-2)-l
(л +1)л(л - 1)(л - 2) -(л - к+2)
6!
Тогда
г/<"+1) = u(n+nv + (п + i)u(n)v' + (n+^'nu(n-,>v" + ...
(п +1 )п(п-i)-(n-k + 2) („-Ы) (к)
k\
... + (n + i)u'vin) +uvin*n. Я
О Пример 1. Вычислить пятую производную функции у = х>ех.
Решение. Полагая и = х5 и ^ = е*, найдем
и' = 5х4, и" = 20х3, и'” = 60х2, г/(4) = 120х, г/(5) = 120;
V1	= v” = v'" = &А) = тР)=ес.
Подставляя найденные значения производных в формулу (1), по¬
лучим

5.10. Производные и дифференциалы высших порядков	261
у(5) = 120ех +5Л20хех +—60х2ех +^-^20.rV +
у	1-2	1-2-3
+5-5.r4e* + х5е* =
= е* (120 + 600л: + 600х2 + 200х3 + 25х4 + х5).
Пример 2. Вычислить п-ю (п > 2) производную функции у = x2cosx.
Решение. Полагая и = cos х и v = х2, найдем
и(п) = cos^r + ra-^-j, v' = 2х, v" = 2, v'" = г>(4) = а(5) =... = 0.
Подставляя найденные значения производных в формулу (1), по¬
лучим
"(n) =cos| х+п-^ \х2 +2ncos
х + (п-1)-
2п(п-1)
X +— 	-X
1-2
х cos
х + (п-2)—
Существует другой, более короткий вывод формулы Лейб¬
ница.
□	Запишем ее в виде
(июГ=^Скп
(2)
k=0
n(n-i)—(n-k + l) (0)	(0)
—1 	—— 	 , IT } = Uy VK ’ = V,
k\
0! = 1, С* биномиальные коэффициенты. Как и ранее, вос¬
пользуемся методом индукции. При п = 1 формула уже была
проверена. Предполагая ее справедливость при некотором п,
докажем справедливость для п +1. Имеем
(uv)(n+i) =^Скп(и(п~%^у =
=z<?
k=o
b-Xn+i-k) (k)
I ckyn
-k)v(k+\)
k=0 k=0
Заменим во второй сумме k на k -1. Получаем
2Х
k=0
ku(.n-k)v(k+l) ,
,(n+\-k)v(k)
k=\
Тогда

262
Глава 5. Дифференциальное исчисление
(му)(л+1) = и<п+1>о + £с*м(,,+1_*)о(*) +
k=\
+Z Ckn-lu{n+l-k)v(k) + uv(n+l) = и(п+% + J (Ckn + С ) X
k=\ k=\
n+1
X U(n+uk)v(k) + uv(n+i) = ^Скп+^п+'-%<к),
k=0
так как C°n+1 = C£} = 1 и С* + Ck;x = C*+1 при 1 <k<n.
Формула Лейбница доказана. ■
О Пример 3. Вычислить г/(10) функции у = х2е3х.
Решение. Применяя формулу Лейбница (2), получаем
(х2е3*)<10) = x\e3xf0) +Cl0(x2y(e3xf) +
+С20 (х2 )<2) (е3* )(8) +... + (х2)(10) е3*.
Но так как (дт2)<п)=0 при п >3, (е3*)(*> = е3хЗк, то (л^е3*)*10* =
= .г'2е3л310 +10 • 2хе3;,39+45 • 2е3*38 = 39e3*(3x2 + 20* + 30). •
Формулу Лейбница удобно применять, когда один из со¬
множителей является многочленом степени п. В этом случае
все члены формулы Лейбница начиная с (п + 2)-го обраща¬
ются в нуль.
5.10.4.	Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков. Для
удобства мы будем наряду с обозначениями дифференциалов
символами dy и dx использовать обозначения Ъу и 8х.
Пусть функция fix) дифференцируема в каждой точке х
некоторого промежутка, тогда ее дифференциал
dy=f{x)dx,
который назовем дифференциалом первого порядка, является
функцией двух переменных: аргументах и его дифференциала
dx. Пусть функция fix), в свою очередь, дифференцируема в
некоторой точке х. Будем рассматривать dx в выражении для
dy как постоянный множитель. Тогда функция dy представ¬
ляет собой функцию только аргумента х, и ее дифференциал
в точке х имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy
будем использовать обозначения для дифференциалов)
8(dy) = 5[/'(x)cLr] = [/'(x)dx]'8x =f"ix)dx8x.

5.10. Производные и дифференциалы высших порядков	263
Дифференциал 6(dу) от дифференциала dу в некоторой
точке х, взятый при 8x = dx, называется дифференциалом вто¬
рого порядка функции /(х) в точке х и обозначается d2y, т.е.
d 2у =/"(x)(dx)2.
В свою очередь, дифференциал 5(d2y) от дифференциала
d2у, взятый при 8х = dx, называется дифференциалом третьего
порядка функции /(х) и обозначается д?у и т.д. Дифференциал
8(d(n_1)j/) от дифференциала d”~ху, взятый при 8х=dx, называ¬
ется дифференциалом п-го порядка (или п-м дифференциалом)
функции fipc) и обозначается dпу.
□	Покажем, что для и-го дифференциала функции спра¬
ведлива формула
dпу = г/(я)(<1лг)”, п= 1,2,....	(2)
Ее доказательство проведем по индукции. Для п = 1 и п = 2
она доказана. Пусть эта формула верна для дифференциалов
порядка п-1:
d п~ху = 2/(”_1)(dx)"_1
и функция г/("_1), в свою очередь, дифференцируема в неко¬
торой точке х. Тогда
<\пу = Ъ(АП~1у) = S[^("‘1)(dx)"_1] = [г/("“1)(с1х)'!“1]'8х =
= у(п)Ъх (dx)"-1,
полагая 8х = dx, получим.
&y = 8(d’‘-iy)\&c=dx = y^(dxy. ■
Из формулы (2) следует, что для любого п справедливо
равенство
(п) &ПУ	(п) &ПУ
у{п) _	или	yW=—2-
У (dx)n	у dxn
т.е. n-я производная функции у = /(х) в некоторой точке х
равна отношению n-то дифференциала этой функции в точке х
к дифференциалу аргумента в степени п.
О Пример 4. Вычислить дифференциал d3y функции z/=x4-3x2+4.
Решение. Последовательно дифференцируя, получим
dу = у'dx = (Ах3 - 6x)dx,
d2y = d(dz/) = d[(Ax? - 6x)dx] = [(Ax3 - 6x)dx]'dx = (12x2 - 6)(dx)2,
d3y = d(d2y) = d[(12x2 - 6)(dx)2] = [(12x2 - 6)(dx)2]'dx = 24x (dx)3. •
Заметим, что если x является не независимой переменной,
а функцией какой-то переменной t, то формула (2) не верна

264
Глава 5. Дифференциальное исчисление
(при п > 1 не обладает свойством инвариантности формы диф¬
ференциалов). В частности, при п = 2 d2у = d(y'dx) = dz/' • dr +
+ у' • d(dx) = y”(dx)2+y'd2x или d2z/ = y"(dx)2+y'd2x.
Видим, что форма второго дифференциала изменилась,
появилось слагаемое yfd2x. Если х — независимая переменная,
то оно равно нулю, так как в этом случае dx — постоянная
величина и, следовательно, d2x = d(dx) = 0 - dx = 0.
Упражнения. Найти дифференциалы высших порядков
от следующих функций:
1	./(х) = 4~х2; найти d2у. (Ошв. 4~*22 In4(2x2ln4 -l)(dx)2.)
2./(х) = sin2x; найти dъу. (Отв. -4sin2x(dx)3.)
Вопросы для самопроверки
1.	Почему производную f\x) можно рассматривать как функцию
аргумента х?
2.	Дайте определение второй производной функции у = /(х).
3.	Приведите пример функции, у которой существует /'(х), но
не существует f"(x).
4.	Является ли производная/'(х) непрерывной функцией в точке х,
если в этой точке существует f”(x)7
5.	Дайте определение п-й производной функции у = /(х).
6.	Известно, что п-я производная функции у = f(x) существует в
точке х. Что можно сказать о существовании производных меньшего
порядка в этой точке и ее окрестности?
7.	Выведите формулу Лейбница.
8.	Дайте определение п-то дифференциала функции у = /(х).
5.11.	Параметрическое задание функции
и ее дифференцирование
5.11.1.	Параметрическое задание функции
Пусть даны две функции
х = ф (t),y=y(t)	(1)
одной независимой переменной t, определенные и непре¬
рывные в одном и том же промежутке. Если х = ср(£) строго
монотонна, то обратная функция t = Ф(х) однозначна, также
непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматри¬
вать как функцию, зависящую от переменной х посредством
переменной t, называемой параметром:
у = \|/[Ф(х)].

5.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование 265
В этом случае говорят, что функция у = f(x) задана пара¬
метрически с помощью уравнений (1). Отметим, что функция
\|/[Ф(х)] непрерывна в силу теоремы о непрерывности сложной
функции.
О Пример 1. Пусть х = #cost, у = Я sin £ (0 <t<%).
Так как функцияx=Rcost убывает при 0 < t < ж, то данные уравне¬
ния задают параметрически функцию у от х. Если выразить t через х
из первого уравнения и подставить во второе, то получим искомую
функцию переменной х в явном виде.
Еще проще придем к цели, если заметим, что
х2 + у2 = R2 (cos21 + sin21) = R2.
Отсюда у = >]R2 -x2 или у = ->lR2 -х2. Так как функция y = Rsint
неотрицательна для 0 < t < ж, то выбираем знак плюс перед радикалом:
у = \lR2 -х2. Взяв 7с < t < 2л, получим у = -у/R2 -х2.
Таким образом, видим, что, когда t изменяется от 0 до 2л, формулы
х = Я cos t и у = R sin t определяют две функции переменной х, графики
которых образуют целую окружность.
Пример 2. Пустьх = tfcost, у = bsmt (0 <t< 2л).
Нетрудно понять, что данные равенства являются параметриче¬
скими уравнениями эллипса, если вспомнить (см. замечание на с. 78),
что эллипс получается из уравнения окружности радиуса а сжатием
в а/Ь раз вдоль оси 0у. Из примера 1 следует, что параметрическими
уравнениями окружности х2 + у2 = а2 являются равенства х = a cos t,
у = a sin t, 0 < t < 2ж. Отсюда ясно, что параметрические уравнения эл¬
липса получаются из параметрических уравнений окружности умно¬
жением ординаты у на b/а и имеют вид x = acost,y = 6sin t. Существует
еще более простое решение. Исключая из этих уравнений параметр t
(разрешая их относительно cos t и sin t, возводя полученные равенства
в квадрат и складывая), получим
(f) +(f)
—	уравнение эллипса. •
Параметрическое задание функции имеет особенно важное
значение при изучении движения точки. Если точка движется
на плоскости, то ее координаты х, у являются функциями
времени t. Задав эти функции х=гр(£), у = у(£), мы полностью
определим движение точки. В каждом промежутке времени, в
котором функция ср(t) строго монотонна, можно, поступая, как
раньше, определить функцию^ = у[Ф(х)], графиком которой
является кривая, описанная за этот промежуток времени дви¬

266
Глава 5. Дифференциальное исчисление
жущейся точкой. В последнем примере функции описывали
движение точки по эллипсу.
Предположим теперь, что функции х = ср(£) и у = у(0 име¬
ют производные, причем ср'(0 * 0 на некотором промежутке.
Из последнего неравенства вытекает (как увидим далее)
строгая монотонность функции х = ср(£) (см. теорему 5.12) и,
следовательно, однозначность обратной функции t = Ф(х).
По теореме 5.4 о производной обратной функции функция
Ф(х) имеет производную
а по теореме 5.5 о производной сложной функции функция
у = ч/[Ф(х)] имеет производную
Таким образом, мы доказали, что производная функции,
представленной параметрически, выражается формулой
5.11.2.	Дифференцирование функции,
заданной параметрически
У'Х = Ч'( ф(х))ф'(х).
Следовательно,
ф'(0
(2)
О Пример 3. Найти у'х, если х = Rcos t, у = Rsint (0 < t < к).
Решение. По формуле (2) получаем
у' =——— = -ctgt (t*d\ к). Ф
-Rsmt
О Пример 4. Найти у'х, если х = 2t +12, у = t2 - 213.
Решение. По формуле (2) получаем
, _ 2t-6t2 _ 2t(l-3t) _ t(l-3t) #
Ух~ 2+21 ~ 2(1+0 ~ 1+t '
Пусть существуют вторые производные функции ср'(0 и
\|/'(0 в некоторой точке t. Тогда можно вычислить вторую
производную функции, заданной параметрически. Заметим,

5.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование 267
А,	'	V(t)
что функция ух = t^y в свою очередь, задана параметри¬
чески уравнениями
у'х =^r = vt/i(0. * = ф(0-
ф (О
Поэтому по формуле (2) имеем
ft V
у'(*>	ч/"(Оф'(0	-	ф'ЧОчЧО
, =(и,у _ у#) _1 *'<*>>> _	(Ф'(О)2
у~	Ф'(0	ф'(0	ф'(0
_ у"(0ф'(0-ф"(0у(0
[ф'(0]3
Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования
частного.
Итак, получено, что
_ у"(0ф'(0-ф"(0ч/(0
Ухх	[ф'(0]3
или, короче,
Ухх	,	о	*	\3)
<л)
Аналогично можно получить производную от у по х лю¬
бого порядка.
О Пример 5. Найти уесли х = cos t, у = sin t (0 < t < к).
Решение. у[ = cos£, г/"= -sin£; x?t = -sin£, х"= - cos t. Подставляя в
формулу (3), находим
„ _(-smt)(-smt)-(-cost)(cost) _sin2 t+cos21 _	1	^
(-sin£)3	(-sin£)3	sin3£
Упражнения. Для следующих функций, заданных пара¬
метрически, найти у' и у”:
Xf t2 -1 l + t2')
Отв.
2 *
1.	x = t , у =	1.
3
21 ’ At3 j
2.	x = e2t, y = e3t. [ Отв. -^j.

268
Глава 5. Дифференциальное исчисление
( t 1
3.	x = a(t-sint),y = a(l-cost). Отв. ctg-;	—-—.
^	2	4а	sin	(£/2)
Вопросы для самопроверки
1.	Что такое параметрическое задание функции?
2.	При каких условиях справедлива формула (2) для производной
функции, заданной параметрически?
5.12.	Основные теоремы
дифференциального исчисления
Теорема 5.6 (теорема Ферма)1*. Пусть функция f(x) оп¬
ределена на интервале (а, Ь) и в некоторой точке х0 этого
интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда,
если в точке х0 существует производная, то она равна нулю,
m.e.f\xQ) = 0.
□	Доказательство. Пусть для определенности функция
f(x) в точке х0 имеет наибольшее значение, т.е./(х) </(х0) для
любого хе (а, Ь). Это означает, что Ау =/(х0+ Ах) -/(х0)< 0
для любой точки х + Ах g (а, Ь). Поэтому если Ах > 0 (х>х ),
АУ
то —^-<0, и, следовательно,
Аг
Az/
если же Ах < 0 (х<хп), то — >0, поэтому
Аг
д*^о- Ах
т.е. правая производная в точке х0 неположительная, а левая —
неотрицательная. По условию /'(х0) существует и, значит,
/+(х0) = f-(xо) =f'(xo)• ^то возможно только в случае, когда
/!(*0) =/'(хо) = °- Но тогда и/'(х0) = 0.
Аналогично рассматривается случай, когда в точке х0 функ¬
ция/(х) имеет наименьшее значение. ■
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что
если в точке х0 дифференцируемая функция /(х) имеет наи-
1} Ферма Пьер (1601 — 1665) — французский математик.

5.12. Основные теоремы дифференциального исчисления	269
большее (наименьшее) значение, то в точке (х0;/(х0)) касатель¬
ная к графику функции/(х) параллельна оси х (рис. 141).
Замечание. Теорема не верна, если функцию/(х) рассматри¬
вать на отрезке [а, Ь]. Так, например, функция/(х)=хна отрезке
[0,1] в точке х = 0 принимает наименьшее, а в точке х = 1 —
наибольшее значение, однако как в той, так и в другой точке про¬
изводная в нуль не обращается, а равна единице (рис. 142).
Теорема 5.7 (теорема Ролля)1*. Пусть на отрезке [а, b]
определена функция/(х), причем: 1)/(х) непрерывна на [а, Ь\,
2)/(х) дифференцируема на (a, by, 3)/(о) = f(b). Тогда суще¬
ствует точка с е(«, Ь), в которой /'(с) = 0.
□	Доказательство. Так как функция /(х) непрерывна на
[а, Ь], то по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом
отрезке максимальное значение Ми минимальное значение т,
т.е. существуют такие точки xv х2 е [а, Ь], в которых/(х() = т
и/(х2) = Ми выполняются неравенства
т < /(х) < М
Возможны два случая: 1) М= т; 2) т < М.
В первом случае/(х) = const = М=т. Поэтому производная
/'(х) равна нулю в любой точке [а, b] и теорема доказана.
Во втором случае, так как /(о) = f(b ), то хотя бы одно из
двух значений т или М не принимается на концах отрезка
[а, Ь], т.е. существует точка се (а, Ь), в которой функция /(х)
принимает наибольшее (наименьшее) значение на интервале
(а, Ь). В этом случае, так как/(х) дифференцируема в точке с,
из теоремы Ферма следует, что /'(с) = 0. ■
Геометрически теорема Ролля означает, что у графика
непрерывной на отрезке [а, b] и дифференцируемой внутри
него функции, принимающей на концах этого отрезка равные
значения, существует точка (с; /(с)), в которой касательная
параллельна оси х (рис. 143). На рис. 143 в точке с функция
/(х) принимает наибольшее значение.
1} Ролль Мишель (1652—1719) — французский математик.

270
Глава 5. Дифференциальное исчисление
О Пример 1. Установить, удовлетворяет ли условиям теоремы Ролля
функция f(x) = l-yfx* на отрезке [-1,1].
Решение. Функция f(x) =	непрерывна на всей числовой
прямой, следовательно, и на отрезке [—1,1] (рис. 144). На концах этого
отрезка значения функции совпадают: /(-1) =/(1) = 0. Однако произ-
2
водная f'(x) =	1= в точке х = 0 не существует. Но так как эта точка
3	yjx
является внутренней точкой отрезка [-1,1], то условие существования
конечной производной на интервале (-1,1), требуемое в теореме Ролля,
не выполняется. Поэтому теорема Ролля к данной функции на отрезке
[-1,1] неприменима. И действительно,/'^) * 0 на [-1,1]. •
Упражнение. На рис. 142, 145,146 соответственно изобра¬
жены графики следующих функций: 1) f(x) = х, хе [0,1];
2)	f(x), равная х, если 0 < х < 1, и равная 0, если х = 1;
3)/(х)	= |х|,хе[-1, 1]. Удовлетворяют ли условиям теоремы
Ролля данные функции, и если нет, то укажите для каждой
функции два условия, которые выполняются, и третье,
которое не выполняется (объясните, почему).
Теорема 5.8 (теорема Лагранжа)1*. Пусть на отрезке [а, b]
определена функция f(x), причем: 1) f(x) непрерывна на [а,Ь];
2)/(х) дифференцируема на (а, b). Тогда существует точка
с g (а, Ь) такая, что справедлива формула
№-№)
Ъ-а
- = Г(с).
□	Доказательство. Введем в рассмотрение на [а, b] вспо¬
могательную функцию
F(x) = f(x)~ f (а)-
b-a
(.x - a).
Функция F(x) удовлетворяет всем трем условиям теоремы
Ролля:
0 Лагранж Жозеф-Луи (1736—1813) — французский математик.

5.12. Основные теоремы дифференциального исчисления	271
1)	F(x) непрерывна на [а, b] (как разность двух непрерывных
функций fix) и линейной функци / (а) +
f(b)-f(a)
b-a
О-а»;
производную, равную F'(x) = f'(x)-
2)	F(x) дифференцируема на (а, Ь), т.е. внутри [а, b] имеет
f(b)-f(a)_
b-a
3)	F(a) = 0 и F(b) = О, т.е. F(a) = F(b).
Следовательно, по теореме Ролля, существует точка с е (а, b)
такая, что Fr(c) = 0, т.е. ff(c) -	_	q	Отсюда	полу¬
чаем f'(c):
-а
Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис.
147). Величина 1Ю-—1^1 есть угловой коэффициент секу-
Ь-а
щей, проходящей через точки Мх(а\ f(a)) и M2(b; /(b)) графика
функции у =f(x), a f'(c) — угловой коэффициент касательной
к графику у = f{x) в точке (c\f(c)). Из теоремы Лагранжа сле¬
дует, что существует точка с такая, что касательная к графику
в точке (с;/(с)) параллельна секущей МХМ2. Таких точек может
быть и несколько, но по крайней мере одна всегда существует.
Замечание 1. Равенство
f(b) ~fip) =f'(c)(b - a), a<c<b	(1)
называется формулой Лагран¬
жа, или формулой конечных
приращений.
Замечание 2. Так как точка
с лежит между точками а и Ь,
то можно записать
c = a + Q(b-a), 0 < 0 < 1.
Здесь Q(b - а) — часть дли¬
ны отрезка [а, Ь\. Учитывая
это, формулу Лагранжа можно
записать в виде	рис.	147

272
Глава 5. Дифференциальное исчисление
f(b) -fid) =f'(a + Q(b - a)) (b - a), 0 < 0 < 1.
Замечание 3. Если положить a = x,b = x + Ах, то получим
f{x + Ах) -f(pc) = f'ipc + 0Дх)Дг, 0 < 0 < 1.
Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее,
чем запись (1).
Теорема Лагранжа лежит в основе доказательства многих
формул и теорем анализа.
О Пример 2. Проверить, что функция /(х) = 2х - х2 удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа на отрезке [1, 3], и найти имеющуюся в
формуле Лагранжа точку с.
Решение. Функция /(х) = 2х - х2 довлетворяет условиям теоремы
Лагранжа, так как она непрерывна на отрезке [1, 3] и имеет конечную
производную f{x) = 2- 2х в каждой внутренней точке отрезка, т.е. диф¬
ференцируема на (1,3). По теореме Лагранжа между двумя точками х1 = 1
и х2 = 3 существует точка х = с, удовлетворяющая равенству
f(x2) -Rx) =f(c)(x2-xl).
Подставляя значение х1 = 1 и х2 =3, получаем
f’(c) = 2-2 с №>-№> (2-3-32)-(2-1-12)	-4
J К ’	3-1	3-1	2
или 1 - с = -1, откуда находим с = 2. •
Теорема 5.9 (теорема Коши). Пусть функции/(х) и g(x)
непрерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, Ь). Пусть,
кроме того, g\x) * 0. Тогда существует точка с е (а, Ь) такая,
что справедлива формула
т-т Г(С)	т
g(b)-g(a) g'(cY	У J
□	Доказательство. Покажем сначала, что g(b) *g(a), т.е.
что формула (2) имеет смысл. Действительно, если допустить,
что g(b) = g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) най¬
дется точка % <=(а, b), в которой g'{%) = 0. А это противоречит
условию, что g'(x) * 0 на (о, Ь). Перейдем к доказательству
формулы (2).
Рассмотрим на [а, b] вспомогательную функцию
F{x) = f{x) - f(a)-^ = /<:>[g(x) - g(a)].
Нетрудно заметить, что F(x) на [а, b] удовлетворяет усло¬
виям теоремы Ролля. В самом деле, F(x) непрерывна на [а,Ь],

5.12. Основные теоремы дифференциального исчисления	273
дифференцируема на (а, Ъ) и, кроме того, подстановка х = а и
х=Ь дает F(a) = 0 и F(b) = 0, т.е. F(a) = F(b). По теореме Ролля
дляF(x) существует точка с, а< с< Ь, такая, что F’(c) = 0.
Так как F'(x) = f'(x)~—7^—^-^-g’(x), то
g(b)-g(a)
F'(c) = Г (с) -ЩгЩёЧс) = 0.
g(b)-g(a)
Откуда, учитывая, 4TOg'(c) ф 0, получаем формулу (2). ■
Формула (2) называется формулой Коши, или обобщенной
формулой конечных приращений.
Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем
теоремы Коши, если положить g(x) = х.
О Пример 3. Проверить, что функции f(x) = х2 - 2х + 3 и g(x) =х?~
-	1х2 + 20л: - 5 удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке
[1, 4], и найти имеющуюся в формуле Коши точку с.
Решение. Функции/(х) = х2 - 2х + 3 и g(x) = л3 - 7х2 + 20х - 5 удов¬
летворяют условиям теоремы Коши, так как они непрерывны на отрезке
[1,4], их производные fr(x) = 2х-2 Hg'(x) = Зх2 - \Ах+20 существуют во
всех точках интервала (1,4), т.е. дифференцируемы на этом интервале,
и,	кроме того,#'^) * 0 на [1,4]. По теореме Коши между двумя точками
х1 = 1 и х2=4 существует точка х = с, удовлетворяющая равенству
g(x2)-g(x,)	g'(c)'
Подставляя значения = 1 и х2=4, получаем
11-2 2с-2
27-9 Зс -14с+ 20
Решая уравнение, находим сх = 2 и с2=4. Так как точка х = с должна удовле¬
творять неравенствам 1 < с < 4, то искомой точкой является сх = 2. •
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте теорему Ферма. В чем состоит ее геометри¬
ческий смысл?
2.	Верна ли теорема, если f(x) = f(xQ) для нескольких значений
хе(а, b)?
3.	Приведите пример функции, принимающей наименьшее зна¬
чение в точке и не имеющей производной в этой точке. Что отсюда
следует?
4.	Сформулируйте теорему Ролля и раскройте ее геометриче¬
ский смысл.

274
Глава 5. Дифференциальное исчисление
5.	Останется ли справедливой теорема Ролля, если опустить одно
из ее трех условий? Приведите соответствующие примеры.
6.	Сформулируйте теорему Лагранжа и объясните ее геометри¬
ческий смысл.
7.	Сформулируйте теорему Коши.
8.	Покажите, что теорема Лагранжа является частным случаем
теоремы Коши.
5.13.	Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя
Снова вернемся к вопросу раскрытия неопределенностей,
который рассматривался в гл. 4. Здесь познакомимся с про¬
стым и весьма эффективным методом раскрытия неопреде¬
ленностей, называемым правилом Лопиталя.
5.13.1.	Раскрытие неопределенности вида ^
Следующая теорема дает правило раскрытия данной не¬
определенности.
Теорема 5.10 (теорема Лопиталя)1*. Пусть функции/(х) и
g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности
точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Пусть,
далее, lim/(х) = limg(x) = 02) и g'(x) ф 0 в указанной окрест-
х—>а	х—>а
ности точки а. Тогда, если существует предел отношения
производных lim ^ ^ (конечный или бесконечный), то су-
х^а g’(x)
ществует и предел lim ^%^, причем справедлива формула
х^а g(x)
втЛг> = ит/чг>.
х~>а g(x) х^а g'(x)
□	Доказательство. Пусть {хп} — произвольная последова¬
тельность значений аргумента, сходящаяся к точке а, причем
хп ф а. Доопределим функции /(х) и g(x) в точке а, положив их
равными нулю, т.е./(a) =g(a) = 0. Тогда, очевидно, функции
/(х) и g(x) непрерывны на [а, хп], дифференцируемы на (а, хп)
и по условию g'(x) ф 0.
Таким образом, для /(х) и g(x) выполнены все условия
теоремы Коши на [a, xj, т.е. внутри [а, xj существует точка
Е такая, что
~п	1
1} Лопиталь Гильом Франсуа (1661—1704) — французский математик.
2) Теорема остается справедливой и в случае, когдаа- и х-><2+.

5.13. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя	275
/(*,)-/(«)_/45,)	. К . I3. I2 » I1
g(xn)-g(a) g'(5,)’	а х"
^пе(а’хп)-	Рис.	148
По сделанному доопределению f(a) = g(a) = 0, следова¬
тельно,
/(*,)_/45.)
g(*„) «45»)
> 5» е (<*,*„).	(!)
Пусть теперь в формуле (1) я->со. Тогда, очевидно, при
f'(x)
и-»со (рис. 148). Так как lim существует, то правая часть
g'(*)
fr(x)
формулы (1) имеет предел при и-»со, равный lim . Сле-
*-*«g4*)
довательно, при п—>оо существует предел и левой части фор¬
мулы (1), причем
U тЛ£)=1ш1Л£)
g'(x)
Так как {xj — произвольная последовательность значений
аргумента, сходящаяся к а, то отсюда заключаем, что
г fix)	у f{x) у f'(x)
lim существует и lim = lim . ■
х^а g(x)	х~>а g(x) *->а g'ix)
Доказанную теорему обычно называют правилом Лопиталя.
О Пример 1. Найти lim——l + 'nt~
ех -е
Решение. Функции f(x) = х2 - 1 +1пх и g(x) = ех - е определены в
окрестности точки х= 1. Далее, lim f(x) = limg(x) = 0, т.е. имеем неоп-
х —>1	ДГ-»1
ределенность вида —. Предел отношения их производных существует:
° цтЛ£)=ит^£Л,
g'(x)	ех	е
причем g'(x) = е**0. Следовательно, эти функции удовлетворяют усло¬
виям теоремы Лопиталя, согласно которой lim ^Х^ также существует
—1 g(x)
г f'(x)
и равен lim , т.е.
ё'(х)
\[тх2 _l + lnx _ j-m	-1 + lnx)' _^2х+\/х _ 3 ^
х^ ех -е	(ех-еу *->i ех е

276
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Замечание 1. Обычно при вычислении пределов с помо¬
щью правила Лопиталя записывают только необходимые
преобразования, а проверку выполнения условий делают по
ходу вычислений. Если при этом окажется, что отношение
производных	снова	представляет собой неопреде-
g'O)
ленность и/(х) и g'(x) удовлетворяют тем же требованиям,
что и функции /(х) и g(x), то правило Лопиталя применяют
повторно.
х — sin х
О Пример 2. Найти lim	=—.
х
Решение. Имеем неопределенность вида —. Применяя правило
Лопиталя, получаем
,. x-sinx 1-cosx sinx 1,. sinx 1 .	1
hm	о— = lim	^— = lim	= —lim	= —	1 = —.
x x^°	3x x~>° 6x	6 *->°	x 6	6
В этом примере правило Лопиталя применено дважды. •
Упражнения. Найти:	1. lim-—C°0SX. {Отв.— .1 2.	lim-—
^ х2	\	2)	^	х
х3 _зг2 +2 ( Я ^	ех	-е~х
(ОтвЛ.)3. lim—;	5	. Отв.—A A. lim-	.{Отв.2.)
*^хг-Ах2+?>\	5)	«oln(l + *) v
v 2-(ех+e~x)cosx ( 1Л	ех-ё
5.	lim	-4	.	|	Отв.—А 6. lim
sin*
I^°	х	V	3 J	х->° х - sin х
(Отв. 1.)
Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда
х-»оо, х-»+ооих-»-оо. В самом деле, пусть, например,
f'(x)
lim/(x) = limg(x) = 0 и lim	существует (конечный
д:-»оо	д:-»оо	х^оо
или бесконечный). Сделаем подстановку х = 1Д; тогда t -» О
при х оо и
/(х) = /(1Д) -> 0, g(x) = g( 1/0 -> 0 при *	0.
Применяя к функциям /(1/0 ИЯ( 1/0 теорему 5.10 и пра¬
вило дифференцирования сложной функции, получим
t^o g(l/t) t-o	x^g'(x)
О
Пример 3. Найти lim	—arctg x
x^+co 1. x-1
2toi+l

5.13. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя	277
Решение. Имеем неопределенность вида	—,	так как
Х-1	0	71
lim	= 1,	In 1 = 0,	a	lim arctgr = —.
*->+со х + 1	*->+со	2
Применяя правило Лопиталя, получаем
Л ,	1
—-arctgx	J	2.
lim \		 = lim 		— = цт
х—>+<ю
1 }n Х - 1	Х-»+00 1 X + 1	2	ЯГ->+« X2 +1
2 Пх + 1	2 х-1 (х+1)2
1-1/х2	1-0	,
= - lim	V-5- =	= -1.
о 1 + 1/х2	1+0
Упражнения. Найти: 1. lim +	^	.	(Отв.	0.)
;r-2arctgx
2.	lim%-^CtfX. (отв.—.
е 7 -1 I 3
5.13.2.	Раскрытие неопределенности вида ^
Для этой неопределенности справедливо утверждение,
аналогичное теореме 5.10, а именно: если в формулировке
теоремы заменить требование lim/(x) = limg(x) = 0 на ус-
х->а	х
ловие lim f{x) = limg(x) = оо, то теорема останется справед-
х^>а	х-^а
ливой.
х”
О	Пример 4, Найти lim —.
*->+со 0*
Решение. Имеем неопределенность вида Ц. Применяя правило
Лопиталя и раз, получаем
v хп ,.	их”-1 v я(я-1)хп_2
lim — = lim	= lim —			=...
x->+<x> P	x—>+co
Здесь уже никакой неопределенности нет. Поэтому
lim — = lim — = 0. •
д;->+оо qx х—>+со g*

278
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Упражнения. Найти: 1.	(Отв.	0.) 2.
*^+°° х	х^0+	\/х
(Отв. 0.) 3. lim-^y. (Отв. +оо.) 4. lim^^——. (Отв. 0.)
*^+0° X	Х^х ctg пх
*. 71
ах
5.	lim-	-—. (Отв. 1.) 6. lim—. (Отв. +оо.)
х^\п(\-х)	х^+со х
7.	lim	.	(Отв.	1.)
™\п(ех-еа)
5.13.3.	Другие виды неопределенностей и их раскрытие
Неопределенности вида 0 • ос и ос - оо, как известно, можно
0 ос
свести к неопределенностям вида — и а затем раскрыть
0
с помощью правила Лопиталя.
0	Пример 5. Найти lim xlnx.
*->о+	,
In X
Решение. Имеем неопределенность вида 0 • оо. Но xlnx = ——, и
1/х
мы получили неопределенность вида	Применяя правило Лопиталя,
получим
lim xlnx = lim	=	lim	0	=	-	lim	х = 0.
дг—>0+	дг—>0+ ^J Xs)1	—\j X	*->0+
Пример 6. Найти lim (sec x-tg х).
лг->л/2
Решение. Имеем неопределенность вида оо - оо. Но secx- tg х =
1	sinx 1 —sinx
=	=	, и мы получили при том же условии х -> к/2
COSX COSX COSX
неопределенность вида jj. Применяя правило Лопиталя, имеем
lim (sec х - tg х) = lim f-—\ _ \[m cosx =q ф
x^n/2	x^n/2\ COSX )	x^n/2	—sinX
Упражнения. Найти: 1. lim(arcsinx-ctgx). (Отв. 1.)
71	2
2.	lim xe~x. (Отв. 0.) 3. lim(l-x)tg—x. (Отв.
x^+oo	x->\	2	7Г

5.13. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя	279
4.	limf—	-Ц. {Отв. “.) 5. limf—^	—
х^\х-1 \пх/	2	-1	х-
{Отв. .)6. limf—		{Отв. 0.)
2	*^°\sinj:	х)
И наконец, рассмотрим неопределенности вида 0°, 1°°, оо°.
Такие неопределенности имеют место при рассмотрении
функций у = f{x)g(x\ если при х -> а функция f{x) стремится
соответственно к 0, 1 и оо, ag{x) — соответственно к 0, оо и 0.
Эти неопределенности с помощью тождества
/(x)g(*> = е £(*>1п/(*>
сводятся к неопределенности вида 0 • оо, которая уже рас¬
смотрена.
О	Пример 7. Найти lim хх.
дг->0+
Решение. Имеем неопределенность вида 0°. Но хх = е*1п* и мы по¬
лучили в показателе степени неопределенность вида 0 • оо, которая уже
рассмотрена (см. пример 5). Следовательно,
lim хх = lim ехЬх = е*™+хЬх = е° =1.
х->0+	х->0+
Пример 8. Найти lim^ + x2)1^-1-^.
х->0
Решение. Имеем неопределенность вида Iе0. Но (1 + х2)1/(е*“ 1~х) =
_ е1п(1 + ^)/(ел- i-х)^ и в показателе степени выявлена неопределенность
вида —. Применяя правило Лопиталя, получим
Ит1п(1 + х2) = lim2-r/(l+-t-2) = Ит	2х		=
х^оех-\-х	ех-1	*->°(е*-1)(1 + лг )
2	2
= lim	=-=	= - = 2.
—oe"(l + x2) + (e"-l)2x	1
Следовательно,
_L_	НтМ11£!)
lim(l + ^2)eX-1-;r =е~0е'-1-* =е .
х—>0
Пример 9. Найти lim (tg x)2cos*
x^ni/2
Решение. Имеем неопределенность вида оо°. Но
21ntg*
(tgx)2cos* = e2cosxlntgx =е l/cos*
и в показателе степени получена неопределенность вида Ц. Применяя
правило Лопиталя, находим

280
Глава 5. Дифференциальное исчисление
1	2
1		sec х
lim 2ЬМ£ = 2 lim ]^ = 2 lim tg£	=
#->л/2	1	#->я/2 secx	#->л/2 secxtgx
cosx
„ secx 0 secx-tgx ,.	Л
= 2 lim —9—= 2 lim 	^—= lim cosx = 0.
tg X	x^n/2 2tg xsec	X x^-%/2
Следовательно,
„	lim 2cos#lntg#
lim (tg x)	* = e*^*/2	=e =1.	•
#->я/2
Упражнения. Найти: 1. lim(sinx)x. {Отв. 1.)
2.	lim (tgx)sin2* {Отв. l.)3. lim(l + x)lnx. {Отв. 1.)
x-»7r/2	X-»0
Рекомендуем для приобретения навыка раскрытия не¬
определенности по правилу Лопиталя использовать также
примеры, помещенные в гл. 4.
В заключение рассмотрим пример, когда правило Лопи¬
таля неприменимо.
х + sin х
О Пример 10, Найти lim	.
#—>оо х
Решение. Имеем неопределенность вида
Однако правило Лопиталя здесь применить нельзя, т.е. предел отно¬
шения производных
lim (•r + s^nx), _ \[т
#—►00 (x)f	#->оо	1
не существует. Для раскрытия данной неопределенности разделим
числитель и знаменатель на х, получим
.. x+sinx (. sinx^	sinx	.	_	.	-
lim	= lim 1+	 = lim 1+lim	= 1+0 = 1. •
#—>oo x	#—>oo	\	1	/	#—>oo	#—>oo	x
Вопросы для самопроверки
1.	Докажите теорему Лопиталя для случаев, когда х^а- и
х—> о,-\-
2.	Сформулируйте правило Лопиталя для неопределенности
—	при х—
00	Г(х)
3.	Пусть lim у не существует. Следует ли отсюда, что
x^ag'(x)
у f(x)	„	0	оо
lim , представляющий неопределенность вида — или —,
х^а g(x)	0	00
также не существует?

5.14. Формула Тейлора
281
4.	Почему в теореме Лопиталя не требуется, чтобы производные
f’(x) и g’(x) обязательно существовали в самой точке о?
5.14.	Формула Тейлора
Рассмотрим одну из главных формул математического
анализа, имеющую многочисленные применения как в самом
анализе, так и в смежных дисциплинах.
5.14.1.	Формула Тейлора
Теорема 5.11 (теорема Тейлора)0. Пусть функция f(x)
имеет в точке а и некоторой ее окрестности производные
порядка п+ 12). Пусть х — любое значение аргумента из указан¬
ной окрестности, х ф а. Тогда между точками аих найдется
точка £, такая, что справедлива следующая формула:
/(*) = /(з) + ^р(*-з)+^2^(*-з)г+-
...+/^(*_ауч/^м(*_оГ.	(1)
п\	(п	+1)!
□	Доказательство. Обозначим через ср(х, а) многочлен
относительно х порядка п в правой части формулы (1), т.е.
положим
ср(х, a)=f(a)+(х-а) + ^ ^ (х - а)2+... + ? ^ (х- af.
(Он называется многочленом Тейлора порядка п для функции
/(*)•)
Далее обозначим через Rn+i(x) разность
д+1(х) =/(х) - Ф(х> °>-
Теорема будет доказана, если мы установим, что
f(n+l)/s\
^я+1)(х) = (п + 1)|(х~аТ , а<%<х.
Фиксируем любое значение х из указанной окрестности.
Для определенности считаем х > а. Обозначим через t пе¬
0 Тейлор Брук (1685—1731) — английский математик.
2) Отсюда следует, что сама функция /(х) и ее производные до порядка
п непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности.

282
Глава 5. Дифференциальное исчисление
ременную величину, изменяющуюся на отрезке а < t < х, и
рассмотрим на отрезке [а, х] вспомогательную функцию
(x-t)n+iR, +п(х)
F(t) = Д*)-ф(*,0-	;	•	(2)
(х-а)
Функция F(t) удовлетворяет на [а, х] всем условиям тео¬
ремы Ролля: 1) из формулы (2) и из условий, наложенных
на функцию /(х), вытекает, что F(t) непрерывна и диффе¬
ренцируема на [а, х], ибо f(t) и ее производные до порядка п
непрерывны и дифференцируемы на [а, х];
2)	полагая в (2 )t = а, имеем
F(a) = f(x) - Ф(х, а) - Дл+1(х) = Я+1(х) - Дл+1(х) = 0.
Полагая в (2) t = х, получим
F(x) = /(x)-/(x)-^p(x-x)-^^(x-x)2-...
f(n)(x) (х п (x-x)n+lRn+l(x)
п\	(х-а)п+1
Таким образом, условие F(a) = F(x) выполнено.
На основании теоремы Ролля внутри отрезка [а, х] суще¬
ствует точка % такая, что
F($) = 0.	(3)
Вычислим производную F'(t). Дифференцируя равенство (2)
по t, имеем
x(x-02 +...+^-^-n(x-t)n~i -f(n+V)(t) (X-t)n +
п\	п\
| (n + i)(x-t)nR(n+l)(x)
+	(х-а)”+1
Нетрудно заметить, что все члены в правой части равенст¬
ва, за исключением двух последних, взаимно уничтожаются.
Таким образом,
/(И+1)(0^ ,у, , (n + l)(x-tTRn+l(x)

5.14. Формула Тейлора
283
Полагая в (4) t = £ и используя равенство (3), получим
F,a) =	/{П+1)(0(Х _ уп , (n + l)(x-Q^+1(x)	0
w!	(x-a)”+1
Откуда
^iw=-т^(х-а) ■
Формула (1) называется формулой Тейлора, а выражение для
Rn+X(x) — остаточным членом в форме Лагранжа. Его можно
переписать в другом виде. Так как точка (а, х), то найдется
такое число 0 из интервала 0 < 0 < 1, что £ = а + 0(х - а) и ос¬
таточный член принимает вид
Эта форма остаточного члена наиболее употребительна
в приложениях.
5.14.2.	Другая запись формулы Тейлора
и остаточного члена
Часто формулу Тейлора (1) записывают в ином виде. По¬
ложим в (1) а = х0, х - а = Ах, х = х0 + Ах. Тогда получим
/(х0 + Аг) - /(хо) = ^	Ах + f ^ (Аг)2 +...
_ + /{п\ч) (Ar)n + f(n+i)(xо +6Аг)	о < е < х	(5)
п\	(п +1)!
При п = 0 из (5) получается формула Лагранжа
/(х0 + Ас) -/(х0) =/'(х0 + 0Аг)Ах.
Покажем, что если функция /и+ °(х) ограничена в окрест¬
ности точки а, то остаточный член Rn+ ,(х) является бесконеч¬
но малой более высокого порядка, чем (х - а)" при х	а:
н„1,ш/(“‘)е) <*-«)?.
х^>а(х-а)п X-ла (и + 1)!	(Х-а) х^а (и + 1)!
так как функция/(п+°(5) ограничена, а (х- а) —> 0 при х —> а.
Таким образом,

284
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Rn+ t(x) = о[(х - а)п] при х я.	(6)
Формула (6) называется остаточным членом в форме Пеано0.
5.14,3.	Формула Маклорена
Формулой Маклорена2) принято называть формулу Тей¬
лора (1) при а = 0:
/(х) = /(0) +	X + ^-jp-x2 +... + ^ J^x" + Rn+1 (х).
Остаточный член имеет вид:
f(n+l)(Q х)	,
1) в форме Лагранжа Rn+l (х) =  	 —-х , 0 < 9 < 1;
(и + 1)!
2)	в форме Пеано Rn+ ,(х) = о(х").
5.14.4.	Разложение некоторых элементарных функций
по формуле Маклорена
1)	f{x) = е*. Так как
fix) =f'ix) =f"(x) =... =/("+1)(x) = ех,
/(0) =/'(0) =/"(0) = ...=/<-»(0) = 1,
то формула Маклорена имеет вид
X	X^	хп
ех = 1 + —+ — + — + ...+ — + о(х”).	(7)
1!	2!	3!	п\	У	’
2)	fix) = sinx. Так как
f(n)(v\- ■ (	71
/(")(0) = sin^j =<
f(n) (х) = sin yx+n—y
0	при п четном,
гг-1
(-1) 2 при п нечетном,
то формула Маклорена имеет вид
3	5	7	г2п_1	о
sinx = x	+	+ ... + (-1)		+ о(х п).	(8)
3!	5!	7!	У	w
3)/(х) = cosx. Так как
1} Пеано Джузеппе (1858—1932) — итальянский математик.
2)	Маклорен Колин (1698—1746) — шотландский математик.

5.14. Формула Тейлора
285
f(U\x) = COS^X + /7-^J ,
, ч	^	тгЛ Г0 при п нечетном,
/(n)(0) = cosU- =	,,
V	2)	[(-1)”/	при п	четном,
то формула Маклорена имеет вид
,	х2	х4	х6	, п	Х2п	, 2п+К
cosx — 1	1	ь... + (—1)	ь о(х У (9)
2!	4!	6!	v 7	(2п)\	v 7	w
В формуле (8) мы записали остаточный член в виде о(х2и),
а не в виде o(x2n_1), так как следующий за последним член
равен нулю (то же самое относится к формуле (9)).
4)	f(x) = (1 + х)а, где а — вещественное число. Так как
f{n)(x) = а(ос- 1) ••• (а - п + 1)(1 + х)а_и,
/">(0) = а(а-1)- (а-п+ 1),
то формула Маклорена имеет вид
(1 + х)« = 1 + « х + а<а^ гЧ... + а(а ~ ‘>-(а - ” + 0 л:" +
v	1!	2!	п\
+Rn+i(x)>
где остаточный член в форме Лагранжа равен
= а(ос ~ O-fo ~ п) (1+е^)а~<п+1) хп+\ 0 < 0 < 1.
n+1	(п + 1)!
В частном случае, когда ос=п — натуральное число,/”+1)(х) = О,
следовательно, Rn+i(x) = 0, и мы получим известную вам
формулу бинома Ньютона
{\ + х)п = 1 + ^-х+^ГС[ ^ х2 +... + хп.	(10)
Если нужно получить разложение двучлена (а + х)п, то
можно вынести ап за скобку и воспользоваться формулой
(10). При этом получим
(а + xf =ап\\+^ =ап
1|Ы	2!	Ki
а/ \а
Таким образом, общий случай бинома Ньютона является
частным случаем формулы Маклорена.

286
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Приведенные выше разложения показывают, что с помо¬
щью формулы Маклорена функции можно с определенной
степенью точности заменять многочленами, являющимися
наиболее простыми элементарными функциями. Над мно¬
гочленами удобно выполнять арифметические действия,
дифференцировать их, многочлен непрерывен в любой точке
и т.д. Формулы Тейлора и Маклорена позволяют прибли¬
женно заменять многочленами и более сложные функции.
Кроме того, эти формулы имеют широкий круг приложений.
Ограничимся рассмотрением двух из них.
5.14.5.	Использование формулы Маклорена
для вычисления пределов
Формула Тейлора является эффективным средством для
вычисления пределов функций, с которыми часто приходится
иметь дело при исследовании функций.
Рассмотрим примеры.
sinx — х
О 1. Найти lim	=—. По формуле (8), взятой при п = 2, имеем
*->0 х
x_£i+0^4,_„	_±+«&
цт 3!	(	=	Ит	3!	х3	=	_	А	+ lim Ф_2 =
х	1	3!	х
= -—+0 = --.
3!	6
-x2h
g л — COSX
2.	Найти lim	г	. По формулам (7)—(9) получаем
*->о х sinx
о/	А	/	А\	А
lime~* f ~с0$лг = lim ~^~+~^~+	~2~~24_
*-*•0 х3 sinx *-*-0	х3(х+о(х))
X4 х4 , 4Ч	11	°(*4)	1	1 п
, нтжж^11=lim E2V_^=04^=_l.
X +о(х )	\	+	°(Х )	^
х4
ех -е~х -2х
3.	Найти lim	. По формулам (7) и (8) имеем
*->о x-sinx
г ех-е~х-2х
lim	=
*->о x-sinx

5.14. Формула Тейлора
287
= lim -
*->о
х2 х3 *
1+Х+¥+ 3!+0(Х )_
I1-
х +■
2!	3!
* +o(x3)j-
2х
( X3 , зЛ
х-1 Х-—+фг)1
х , 3s	1	.	°(х	)
—+о(х ) Х+	—
= lim - Д	= lim -	х
1
+0
*-»0х3	,	зч
-^-+о(х3)
*->о1 | о(х3)	1.+0
= 2. •
5.14.6. Вычисление числа е
На с. 138—140 мы ввели число е как предел последова¬
тельности {(1 + 1 /п)п) и получили для е грубую оценку вида
2<е<3.
Покажем, как вычислить число е с любой необходимой
точностью. Для этого запишем формулу (7) с остаточным
членом в форме Лагранжа
х л х х1	хп	е9х	п+\ л л ,
е =1 +—+—+... + —+	х , 0 < 0 < 1.	(11)
1!	2!	п\ (я + 1)!
Если заменить функцию е* ее многочленом Тейлора сте¬
пени п, то получим приближенное равенство
х . х	х2	хп
е «1 +—+—+... +—,	(12)
1!	2!	п\
абсолютная погрешность которого
е9х	\
K+i(x)l=^7^jH”+. о<е<1.
Если рассматривать функцию е* для -1 < х < 1, то
рвх	3
\Rn+l^\~ (n+iy.< (n+iy:	(13)
Полагая в (12) х = 1, получаем приближенное значение
числа
1	1

288
Глава 5. Дифференциальное исчисление
3
При этом абсолютная погрешность меньше	. Если
(я + 1)!
требуется вычислить значение е с точностью до 0,001, то число
п определяется из неравенства
3
■<0,001, или (п + 1)!>3000,
(я + 1)!
которое выполняется при п = 6. Следовательно,
1 1	1
е«2 + ——= 2,718
2! 3!	6!
с точностью до 0,001.
Таким образом, использование формулы Маклорена дает
возможность вычислить число е с любой точностью.
Вопросы для самопроверки
1.	Сформулируйте теорему Тейлора.
2.	Что называется многочленом Тейлора степени п для функции
/(*)?
3.	Получите остаточный член формы Пеано из формы Лагранжа.
4.	Что называется формулой Маклорена для функции /(*)?
Напишите остаточные члены этой формулы в формах Лагранжа
и Пеано.
5.	Почему нельзя назвать правую часть формулы Тейлора (1)
многочленом степени п+ 1?
6.	В каком случае остаточный член в формуле Тейлора обраща¬
ется в нуль? Приведите пример.
7.	Какого условия в формулировке теоремы Тейлора не хватает для
вывода остаточного члена в форме Пеано? Сформулируйте его.
5.15.	Исследование поведения функций
и построение графиков
5.15.1.	Признак монотонности функции
Теорема 5.12. Если функция /(х) дифференцируема на
интервале (а, Ь) и f'(x) > 0 (f'(x) < 0) на (а, Ь), то функция
ДхУне убывает (не возрастает) на (а, Ь).
□	Доказательство. Для определенности рассмотрим слу¬
чай f(x) > 0. Пусть х( их2 — две произвольные точки из (а, Ь)
и х( < х2; тогда на отрезке [х(, х2] выполняются все условия
теоремы Лагранжа, согласно которой имеем

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 289
/(*2) "/(xi) =/'(0(*2	),с e(xv х2).
Согласно условию/'(с) >0,xt-x2> 0, поэтому fix) -f(x{) > О
или /(х2) >/(xt), т.е. функция fix) не убывает на (а, b).
Доказательство для случая f'(x) < 0 аналогичное. ■
Замечание. Точно так же можно доказать, что если f(x) > О
(< 0) на (а, Ъ), тоf(x) возрастает (убывает) на (а, b).
О Пример 1. Определить промежутки, на которых функция fix) =
= х3 — 12х + 11 возрастает и убывает.
Решение. Область определения функции — вся числовая прямая. На¬
ходим производную функции fix) = Зх2 - 12. Из неравенства Зх2 - 12 > 0
получаем |х| > 2 (х > 2 либо х < -2), следует, что данная функция воз¬
растает на интервалах (-оо, -2) и (2, +оо), а из неравенства Зх2 - 12 < 0
получаем |х|<2(-2<х<2), следует, что данная функция убывает на
интервале (-2, 2). •
Упражнения. Определить промежутки, на которых воз¬
растают и убывают следующие функции:
1.	fix) = Зх2 - 2х. ( Отв. Возрастает на интервале (1 /3, +оо)
и убывает на интервале (-оо, 1/3).)
2.	fix) = 2- Зх+х3. (Отв. Возрастает на интервалах (-оо, -1)
и (1, + оо) и убывает на интервале (-1, 1).)
5.15.2.	Отыскание точек локального экстремума функции
Определение. Точка х0 называется точкой строгого локаль¬
ного максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из
некоторой 8-окрестности точки х0 выполняется неравенство
fix) < f(x0) (fix) > f(x0)) при x * X0 (рис. 149).
Локальный максимум (max) и локальный минимум (min)
объединяются общим названием локальный экстремум.
Из определения следует, что понятие экстремума носит
локальный характер в том смысле, что в случае экстремума
неравенство f(x) < f(xQ)(f(x) > f(xQ)) не обязано выполнять-
Рис. 149

290
Глава 5. Дифференциальное исчисление
ся для всех значений х в области определения функции, а
должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки х0.
Очевидно, функция может иметь несколько локальных макси¬
мумов и несколько локальных минимумов, причем может так
случиться, что иной локальный максимум окажется меньше
какого-то локального минимума.
Теорема 5.13 (необходимое условие локального экст¬
ремума). Если функция /(х) имеет в точке х0 локальный экс¬
тремум и дифференцируема в этой точке, то /'(х0) = 0.
□	Доказательство. Так как в точке х0 функция/(х) имеет
локальный экстремум, то существует такой интервал (х0 - S,
х0 + 8), в котором значение/(х0) является наибольшим (наи¬
меньшим) среди всех других значений этой функции. Тогда,
по теореме Ферма, производная функции в точке х0 равна
нулю, т.е./'(х0) = 0. ■
Теорема 5.13 имеет следующий геометрический смысл.
Если xv х2 и х3 — точки локального экстремума и в соответ¬
ствующих точках графика существуют касательные, то эти
касательные параллельны оси х (рис. 150).
Иногда такие точки называют стационарными; мы будем
называть их точками возможного экстремума. Если точка х0 —
точка возможного экстремума, т.е./'(х0) = 0, то она может и не
быть точкой локального максимума (минимума). Например,
если /(х) = х3, то f\x) = Зх2 = 0 при х = 0, но тем не менее в
точке х = 0 нет локального экстремума (рис. 151). Поэтому
мы их и назвали точками возможного экстремума, а условие
/'(х0) = 0 является лишь необходимым. Установим достаточ¬
ное условие существования локального экстремума.
Теорема 5.14 (достаточное условие локального экст¬
ремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некото¬
рые. 150
Рис. 151

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 291
рой 8- окрестности точки х . Тогда, если f'(x) > О(f’(x) < 0)
для всех х из (х0 - 8, х0), а /'(х) < 0 (f'(x) > 0) для всех х из
(х0, х0 + 8), то в точке х0 функция /(х) имеет локальный мак¬
симум (минимум), если же f'(x) во всей 8-окрестности точки
х0 имеет один и тот же знак, то в точке х0 локального экст¬
ремума нет.
Другими словами, если f'(x) при переходе через точку х0
меняет знак с + на то х0 — точка локального максимума, если
/'(х) в точке х0 меняет знак с - на +, то х0 — точка локального
минимума, если же знак f'(x) в точке х0 не изменяется, то в
точке х0 экстремума не существует.
□	Доказательство. Пусть f'(x) при переходе через точку
х0 меняет знак с + на - и пусть хе (х0 - 8, х0). Применим фор¬
мулу Лагранжа к функции /(х) на отрезке [х, х0]. Получаем
/Оо) -/(*) =f'(c)(x0 - х), с е(х, х0).
Так как f'(x) > 0 на (х0 - 8, х0), то f'(c) > 0 и, кроме того,
х0 - х > 0, следовательно,
/Оо) - Кх) > 0 или /(х0) > /(х).	(1)
Рассмотрим теперь интервал справа от точки х0, т.е. х е (х0,
х0 + 8). Применим формулу Лагранжа к функции /(х) на от¬
резке [х0, х]. Получаем
/(х) -/(х0) =/'(с)(х-х0), с е(х0,х).
Так как f'(x) < 0 на (х0, х0 + 8), то f'(c) < 0 и, кроме того,
х - х0 > 0, следовательно,
/(х) -/(х0) < 0 или/(х0) >/(х).	(2)
Из неравенств (1) и (2) следует, что в рассматриваемой
окрестности точки х0 выполняется неравенство /(х) </(*„)
при х * х0, а это означает, что в точке х0 функция /(х) имеет
локальный максимум. Аналогично рассматривается случай
перемены знака f'(x) с - на +.
Осталось рассмотреть случай, когда f'(x) не меняет знака.
Пусть f'(x) > 0 в некоторой окрестности (х0 - 8, х0 + 8),
тогда по теореме 5.12 (по признаку монотонности) функция
/(х) не убывает на (х0 - 8, х0 + 8), т.е. для любых х < х0 выпол¬
няется неравенство /(х) < /(х0), а для любых х > х0 — нера¬
венство /(х) > /(х0). Это означает, что точка х0 не является
точкой локального экстремума, т.е. при переходе через нее
в данном случае не сохраняется знак разности /(х) - /(х0) в
окрестности этой точки. ■

292
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Замечание. Теорема 5.14 остается справедливой, если
функция f{pc) в самой точке х0 не дифференцируема, а только
непрерывна. Примером такой функции является f(x) = \х\,
которая в точке х- 0 непрерывна, но не дифференцируема.
О В качестве примера рассмотрим вопрос об отыскании точек ло¬
кального экстремума функции f(x) = х3 - Зх. Находим производную:
fix) = Зх2 - 3 = 3(х2 - 1). Решая уравнение 3(х2 - 1) = 0, получаем две
точки возможного экстремума: хх = - 1 и х2 = 1. Дальнейшее исследование
удобно вести, сделав вспомогательный рисунок (рис. 152). Отметив на
нем точки х1 = -1их2 = 1и исследовав знак f'(x) в окрестности этих
точек, получаем, что f(x) в точке хх = - 1 имеет локальный максимум, а
в точке х2 = 1 — локальный минимум. Осталось найти у и у . . Имеем
=/(-!) = 2, ymi„ =/(1) = -2.
На рис. 152 видны и интервалы монотонности f(x): (-оо, -1), (-1,1)
и (1, +оо), причем в первом и третьем из них функция возрастает, а во
втором — убывает. •
Задачи, в которых требуется найти, при каких значениях
аргумента некоторая функция принимает наибольшее (наи¬
меньшее) значение, играют важную роль в математике и ее
приложениях.
С математической точки зрения наиболее просты зада¬
чи, когда функция задается формулой и является при этом
дифференцируемой. В этом случае для исследования свойств
функции, определения участков ее возрастания и убывания,
поиска точек локального экстремума существенную роль
играет производная.
О Пример 2. Найти максимумы и минимумы следующих функций:
х^ — X
1)	/(*) = -?——; 2)f(x) = 3x4-4xs-12x2 + 2;3)f(x) = (x-2)5.
xz-х+З
Решение. 1) Область определения данной функции — вся число¬
вая прямая, так как х2 - х + 3 > 0 при любом х. Находим производную:
3(2х -1)
f'(x) = —^	—г. Решая уравнение 3(2х - 1) = 0, получаем точку
(х -х + З)
возможного экстремума х = 1/2. Исследовав знак f'(x) на вспомо¬
гательном рисунке (рис. 153) в окрестности точки х = 1/2, получа-
5.15.3.	Задачи на максимум и минимум
Знак/'(х)+ + + + __/f_
Знак f'(x)
О
-1 О
2
Рис. 152
Рис. 153

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 293
ем, что в этой точке данная функция имеет локальный минимум, а
/(1/2) = -1/11 — минимальное значение функции.
2)	Область определения данной функции — вся числовая прямая.
Находим производную: f'(x) = 12хг - 12х2 - 24х. Решая уравнение
12х(х^ - х - 2) = 0, получаем три точки возможного экстремума: х1 = -1>
х2 = 0, х3 = 2. Исследовав знак f'(x) (рис. 154) в окрестности этих точек,
получаем хх = -1 и х3 = 2 — точки локального минимума,/(-1) = - 3
и/(2) = -30 — минимальные значения функции, х2 = 0 — точка ло¬
кального максимума,/(0) - 2 — максимальное значение функции в
этой точке.
3)	Область определения данной функции — вся числовая прямая.
Находим производную: f'(x) = 5(х- 2)4. Производная обращается в
нуль в единственной точке х = 2. Так как f'(x) положительна как слева,
так и справа от этой точки, т.е. при переходе через точку х = 2 знака не
меняет, то данная функция не имеет точек экстремума.
Пример 3 (задача о «наилучшей» консервной банке). Найти наи¬
лучший вариант изготовления консервной банки фиксированного
объема V, имеющей форму прямого кругового цилиндра и наимень¬
шую поверхность S (на ее изготовление должно пойти наименьшее
количество жести).
Решение. Запишем формулы для объема банки и площади ее по¬
верхности:
V=nR2h}S=2KR2 + 2KRh.
Выражая высоту банки h через радиус h = V/(kR2) и подставляя
полученное выражение в формулу для поверхности, получаем
Таким образом, задача о «наилучшей» консервной банке сводится к
определению такого значения R, при котором достигает своего наимень¬
шего значения функция S(R). Вычислим производную функции S(R):
S(R) = 2nR2+0 <R <<х>.
S'(R) = 4kR~ = ^(2kRs-V).
R R
экстремума R = ^У/(2к). Исследуем знак производной в окрестности
этой точки (рис. 155). При 0 < R < ^У/(2ж) производная отрицательна
и функция S(R) убывает, при %]У/(2к) < R < +оо производная положи-
Рис. 154
Рис. 155

294
Глава 5. Дифференциальное исчисление
тельна и функция S(R) возрастает. Следовательно, R = %]V/(2k) — точка
локального минимума, StflV/(2K)) = 3bnV2 — минимальное значение
функции в этой точке.
Итак, радиус и высота банки, наилучшие с точки зрения условия
минимальности S(R), определяются формулами R = ^V/(2n), h = 2R,
т.е. высота «наилучшей» банки равна ее диаметру.
Можно расширить поставленную задачу. Например, рассмот¬
реть другой вариант: найти наилучшую форму консервной банки
фиксированного объема V, имеющей наименьшую длину всех швов
/ (необходимо минимизировать работу по сварке швов). Решите эту
задачу самостоятельно. Заметим, что длина швов выражается формулой
/ = 4пR + h, а радиус и высота банки, имеющей наименьшую длину швов,
определяются следующими формулами: R = y]v/(2n2), h = 2nR. •
5.15.4.	Направление выпуклости и точки перегиба
графика функции
Пусть функция у = f(x) дифференцируема на интервале
(а, Ъ). Тогда существует касательная к графику функции
у = flpc) в любой точке М(х; f(x)) этого графика (а < х < Ь),
причем касательная не параллельна оси 0у, поскольку ее
угловой коэффициент, равный f'(x), конечен.
Определение 1. Будем говорить, что график функции
у =f(x) имеет на (а, Ь) выпуклость, направленную вниз (вверх),
если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к
графику функции на (а, Ь) (рис. 156).
Из определения следует, что на участке выпуклости ка¬
сательные к графику функции не пересекаются с самим гра¬
фиком и имеют с ним лишь точки касания.
Теорема 5.15. Если функцияу =f(x) имеет на интервале (а, Ь)
вторую производную и f”(x) > 0 (f"(x) < 0) во всех точках
Рис. 156

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 295
(а, b), то график функции у = /(х) имеет на (а, b) выпуклость,
направленную вниз (вверх).
□	Доказательство. Для определенности рассмотрим
случай /"(х) > 0 на (а, Ь). Обозначим через с произвольную
точку (а, Ь) (рис. 157). Требуется доказать, что график функ¬
ции у = f(x) лежит не ниже касательной, проходящей через
точку М(с, f(c)).
Запишем, обозначая текущую ординату ее точек через У,
уравнение этой касательной: У - /(с) = f'(c)(x- с) или
Y=f(c)+f'(c)(x-c).	(3)
Разложим функцию у = /(х) в окрестности точки с по фор¬
муле Тейлора при п = 1. Получим
У = 1(х) = /(с) + Ц^(х-с)+^р-(х-с)2, \ е(с,х).	(4)
Так как по условию/(х) имеет /"(х) на (а, Ь), то, согласно
теореме Тейлора, формула (4) справедлива для любого х из
(а, Ь). Вычитая равенство (3) из равенства (4), имеем
y-Y = ^-(x-c)2.	(5)
Так как по условию f"(x) > 0 на (а, Ь), то правая часть ра¬
венства (5) неотрицательна, т.е. у -Y> 0 для всех х из (а, Ь)
или у > У. Последнее неравенство и доказывает, что график
функции у = f(x) всюду в пределах (а, Ь) лежит не ниже ка¬
сательной (3).
Аналогично доказывается теорема для случая /"(х) < 0. ■
Определение 2. Точка M(xQ; /(х0)) называется точкой
перегиба графика функции у = /(х), если в точке М график

296
Глава 5. Дифференциальное исчисление
имеет касательную и существует такая окрестность точки
х0, в пределах которой график функции у =fix) слева и справа
от точки х0 имеет разные направления выпуклости.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересека¬
ет график функции, так как с одной стороны от этой точки
график лежит под касательной, а с другой — над нею, т.е. в
окрестности точки перегиба график функции геометрически
переходит с одной стороны касательной на другую и «пере¬
гибается» через нее. Отсюда и произошло название точка
перегиба (рис. 158).
Теорема 5.16 (необходимее условие точки перегиба).
Пусть график функции у = fix) имеет перегиб в точке M{xQ\
f{xQ)) и пусть функция f{x) имеет в точке х0 непрерывную
вторую производную. Тогда f"ix) в точке xQ обращается в
нуль, m.e.f"{xQ) = 0.
□	Доказательство. Предположим обратное, т.е. допус¬
тим, что f”(x0) * 0. Тогда, в силу непрерывности второй про¬
изводной, по теореме 4.9 об устойчивости знака непрерывной
функции, существует окрестность точки х0, в которой f”{x) < 0
(№ > 0), и, значит, согласно теореме 5.15, график функции
у = f(pc) имеет определенное направление выпуклости в этой ок¬
рестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке М(х0;
/(х0)). Полученное противоречие доказывает теорему. ■
Следует заметить, что не всякая точка М(х0; /(х0)), для
которой /"(х0) = 0, является точкой перегиба. Например, гра¬
фик функции f{x) = х4 не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя
/"(х) = 12х2 = 0 при х = 0 (рис. 159). Поэтому равенство нулю
второй производной является лишь необходимым услови¬
ем перегиба. Такие точки М(х0;/(х0)) графика, для которых
/"(х0) = 0, будем называть критическими. Необходимо допол¬
нительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой
Рис. 159
Рис. 160

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 297
критическои точке, для чего следует установить достаточное
условие перегиба.
Теорема 5.17 (достаточное условие точки перегиба).
Пусть функция /(х) имеет вторую производную в некоторой
окрестности точки х0. Тогда, если в пределах указанной окре¬
стности /"(х) имеет разные знаки слева и справа от точки х^
то график у = /(х) имеет перегиб в точке Л/(х0; /(х0)).
□	Доказательство. Из того, что /"(х) слева и справа
от точки х0 имеет разные знаки, на основании теоремы 5.15
заключаем, что направление выпуклости графика функции
слева и справа от точки х0 является различным. Это и означает
наличие перегиба в точке Л/(х0; /(х0)). ■
Замечание. Теорема остается верной, если f(x) имеет
вторую производную в некоторой окрестности точки х0, за
исключением самой точки х0, и существует касательная к
графику функции в точке М. Тогда, если в пределах указан¬
ной окрестности/"(х) имеет разные знаки слева и справа от
точки х0, то график функции у = /(х) имеет перегиб в точке
М(х0; /(х0)). Доказательство данного факта аналогично до¬
казательству теоремы.
О Рассмотрим пример: f(x) = х1/3. Эта функция в точке х = 0 имеет
бесконечную производную, а касательная к графику функции в точке О
(0; 0) совпадает с осью Оу. Вторая производная в точке х = 0 не суще¬
ствует. Однако график функции у = х1/3 имеет перегиб в точке 0(0; 0),
/■«/ ч 2 1
так как вторая производная / (х) = -——щ имеет слева и справа от
точки х = 0 разные знаки (рис. 160). •
Итак, вопрос о направлении выпуклости и точках перегиба
графика функции исследуют с помощью второй производной.
О В качестве примера продолжим рассматривать функцию f(x) =я?-3х.
Знак второй производной будем отмечать на вспомогательном рисунке
(см. рис. 152). Находим вторую производную: f”(x) = 6х. Из уравнения
6х = 0 получаем одну критическую точку: 0 (0; 0). Отметив точку х= 0 на
вспомогательном рисунке (рис. 161) и исследовав знак fn(x) в ее окре¬
стности, получаем: слева от точки х = 0 производная f"(x) < 0 (график
направлен выпуклостью вверх), а справа f"(x) > 0 (график направлен
выпуклостью вниз), т.е. точка 0 (0; 0) является точкой перегиба графика
рассматриваемой функции. Этот	.
график схематически изображен	Знак/'(.г)
на рис. 162. •
Знак f"(oc)	0
Рис. 161

298
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Докажем теперь, что часть эллип-
-2
верхней полуплоскости (у > 0), име¬
ет на интервале (-а, а) выпуклость,
направленную вверх. В самом деле,
из уравнения эллипса получаем
О	9	2
у = —\1а -х . Далее находим
а
Рис. 162
b х „	Ьа
=V-*2>3/2'
Из выражения для второй производной вытекает, что эта
производная отрицательна на интервале (-а, а). Значит, дан¬
ная кривая на всем интервале (-а, а) направлена выпуклостью
вверх (см. рис. 55).
Аналогично можно показать, что часть гиперболы
(х2 у2 }
-¥— = 1J, расположенная в верхней полуплоскости на
интервалах (а, + оо) и (-оо, - а), имеет выпуклость, направлен¬
ную вверх. (Предлагается сделать это самостоятельно.)
При исследовании поведения функции на бесконечно¬
сти, т.е. при х —> +оо и при х —> -оо или вблизи точек разрыва
второго рода, часто оказывается, что график функции сколь
угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие
прямые называют асимптотами1}.
Существует три вида асимптот вертикальные, горизон¬
тальные и наклонные.
Определение 1. Прямая x=xQ называется вертикальной асим¬
птотой графика фунщииу=/(х), если хотя бы одно из предельных
значений lim /(.х) или lim /(х) равно +оо или - оо.
Например, график функции у = f(x) = 1/х (рис. 163) имеет
вертикальную асимптоту х = 0, так как/(х) —>+оо прих—> 0 +
и/(х) ->-оо прих—> 0-.
1} Понятие асимптоты уже встречалось в аналитической геометрии при
рассмотрении гиперболы (см. с. 80—86).
5.15.5.	Асимптоты графика функции
Х-».Го +
Х->Х0-

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 299
Определение 2. Прямая у = А
называется горизонтальной
асимптотой графика функции
у = f(x) при х —> +00 (х —> -оо), если
lim /(х) = А
Х^+СО
(х-»-оо)
Например, график рассмотрен¬
ной выше функции у = 1/х имеет го¬
ризонтальную асимптоту у = 0 при
х +оо и при х-> -да, так как 1/х->0
при х + 00 и при х - 00.
Определение 3. Прямая у = kx+b
(k 0) называется наклонной асимптотой графика функ¬
ции у = /(х) при х —> +оо (х —> - оо), если функцию /(х) можно
представить в виде
/(х) = kx + b + а(х),	(6)
где а(х) —» 0 при х —> +оо (х —» -оо).
Выясним геометрический смысл наклонной асимптоты.
Для определенности рассмотрим случай, когда х +оо (случай
х —> —оо рассматривается аналогично).
Пусть М(х; г/) — точка графика функции у = /(х) и пусть
прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графи¬
ка функции при х —> +оо. Текущую ординату точки на асим¬
птоте обозначим через у, точку на асимптоте — через N(x\ у)
(рис. 164). Тогда |MJV| = \y-y\ = \f (х) - (kx + b)\ = |а(х)| -> 0 при
х —^ +оо. Опустим из точки М перпендикуляр МР на асимптоту.
Расстояние dот точки М до асимптоты равно \МР\ = |M/V| cosa,
где a — угол между асимптотой и осью Ох и, следовательно,
lim d = 0.
Х^+СО
Таким образом, рас¬
стояние от точки М(х; у)
графика функции до асим¬
птоты стремится к нулю при
х —>+оо, т.е. график функции
неограниченно приближается
к асимптоте при х +оо.
Рассмотрим способ оты¬
скания наклонной асимпто¬
ты, т.е. способ определения
чисел k и b в уравнении

300
Глава 5. Дифференциальное исчисление
асимптоты. Разделив равенство (6) на х и перейдя к пределу
при х —> +оо, получаем
lim = lim \k+-+^-] = k,
х—>+qo х	х—>+оо |_	X X \
Ь
так как lim — = 0 и lim —— = 0. Итак,
X—>+сО X	X—>+со X
k = lim	(7)
х-»+оо X
Далее, из соотношения (б) имеем
lim [f(x)-kx] = lim [b + a(x)] = b.
X—>+00	X—>+oo
Таким образом,
ь= lim [f(x)-kx\.	(8)
X—>+00	4	/
Мы доказали, что если прямая y = kx + b является наклон¬
ной асимптотой, то числа k и b находятся по формулам (7) и
(8). Обратно, если оба предела (7) и (8) существуют, причем
k ф 0, то прямая y = kx + b является наклонной асимптотой
графика функции у =f(x) при х -» +оо. В самом деле, пола¬
гая а(х) = f(x) -kx-bvi используя равенство (8), получаем,
что lim а(х) = 0. Следовательно, справедливо равенство
X—>+оо
fix) = kx + b + а(х), где lim a(.r) = 0, т.е. прямая y = kx + b
X—>+оо
является наклонной асимптотой графика функции при
х—>+оо.
Заканчивая рассмотрение наклонной асимптоты, сформу¬
лируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 5.18. Для того чтобы график функции у =f(x)
имел при х —> +оо (х —> - оо) наклонную асимптоту у = kx + b,
необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
lim ^%^ = k и lim [f(x)-kx] = b.
х^+оо X	х^+оо
(х->-со)	(х->-со)
Целесообразно искать асимптоты в следующем порядке:
1)	вертикальные асимптоты; 2) горизонтальные асимптоты;
3)	наклонные асимптоты.

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 301
О	Пример 4. Найти асимптоты для гра¬
фика функции у =
х + 2х — 3
Решение. 1) Находим вертикальные асим¬
птоты. Точках=0 — точка разрыва второго рода
данной функции, причем у -» +оо при х -» 0 -,
у -» - оо при х -» 0 +. Следовательно, ось орди¬
нат х = 0 — вертикальная асимптота.
2)	Находим горизонтальные асимптоты:
,.	х2+2х-3	,.	(	3^
lim 	= lim | х + 2 — = +оо
X' (-оо)
#—>+оо	X
(*->-00)
X—>+00
(*->-00)
следовательно, горизонтальных асимптот нет.
3)	Находим наклонные асимптоты:
k= lim	lim fl+——У = 1,
x >+oo x x >+oo \ x x '
(x^~oo)	(#—>-oo)
x2 +2x-3
b- lim [f(x)-kx]= lim
x—>+00	x—>+00
(#—>-00)	(#—>-00)
= lim (*L±) = lim f2-i1=2.
x—>+oo \ X )	x—>+oo \ x)
(#—>-oo)	(#^-00)
Следовательно, прямая у = x + 2 является наклонной асимптотой
графика данной функции как при х -» +оо, так и при х -» - оо.
График функции схематически изображен на рис. 165.
2 2
X Ъ)
Пример 5. Доказать, что гипербола -—-^— = 1 имеет своими на-
а1 Ъ1
клонными асимптотами прямые
\) I о о”
Решение. Так как у = ±—\х -а ,
= ±—х.
а
то
х—>+оо	X
(*->-0о)
X—>+00
(*->-00)
= + —;
а
lim [f(x)-kx] = lim
X—>+00	X—>+00
(#—>-оо)	(х^~ оо)
±—Vх -а +—х
А — *
= lim
#—>+00
(*->-00)
±—(у]х2 -а2 -х)
= ±— lim
# #—> + 00
(*->-0о)
>/х2 -я2 +х2
= 0.

302
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Следовательно, прямые у = ±—х являются наклонными асимпто-
а
тами данной гиперболы как при х ->■ +оо, так и при х^-со. •
5.15.6.	Схема исследования графика функции
В данном пункте познакомимся с примерной схемой, по
которой целесообразно исследовать поведение функции и
строить ее график. Для иллюстрации приведем примеры.
Изучение заданной функции и построение ее графика
целесообразно проводить в следующем порядке:
1)	найти область определения функции;
2)	найти точки пересечения графика функции с осями
координат;
3)	найти асимптоты;
4)	найти точки возможного экстремума;
5)	найти критические точки;
6)	с помощью вспомогательного рисунка исследовать знак
первой и второй производных. Определить участки возрас¬
тания и убывания функции, найти направление выпуклости
графика, точки экстремума и точки перегиба;
7)	построить график, учитывая исследование, проведенное
в п. 1—6.
При этом в начале исследования полезно проверить, яв¬
ляется данная функция четной или нечетной, чтобы при
построении использовать симметрию графика относительно
оси ординат или начала координат.
О	Пример 6. Построить по изложенной выше схеме график функ¬
ции
х — 1
У=ТТ-
Решение. 1) Областью определения функции является множество
всех вещественных чисел, кроме х = 1 (в этом случае знаменатель об¬
ращается в нуль).
2)	Так как уравнение х2 + 1 = 0 не имеет вещественных корней, то
график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает
ось Оу в точке (0; -1).
3)	Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведе¬
ние функции вблизи точки разрыва х = 1. Так как у -» -оо при х->1-
у -> +оо при х ->1+, то прямая х = 1 является вертикальной асимптотой
графика функции.
Если х -> +оо (х -> - оо), то у -> +оо (у -» - оо), следовательно, горизон¬
тальной асимптоты у графика нет. Далее, из существования пределов

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 303
f(x) _ 1- х +1 _ ,	1	+	l/x
k= lim	=	lim	—=	= lim 	—— = 1,
x—>+oo	X	x—>+oo x —X >+oo 1 — 1jX
(*->-oo)	(*->-oo)	(:r—>-oo)
b= lim [f(x)-kx]= lim
X—>+00	X—>+00
(*->-oo)	(*->-oo)
x2 +1
x-1
,.	1+x ,.	1 + l/x .
= lim 	= lim 	= 1
x >+oo X — 1 x >+oo x—ljX
(:r—>-oo)	(:r—>-oo)
вытекает что при x +oo и при x -oo график функции имеет наклон¬
ную асимптоту у = х +1.
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую
производную функции:
г., v 2х(х-1)-(х2+1)	2х2-2х-х2-1	х2-2х-1
J (х) =				 =	5	=	5“ •
(х-1)2	(х — 1)	(х — 1)
Решая уравнение х2 - 2х -1 = 0, получаем две точки возможного
экстремума: x^l-V^ и х2 = 1+>/2.
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую произ¬
водную:
(2х-2)(х-I)2 -2(х- 1)(х2 -2х-\)	4
(х-1)4	(х-1)3'
Так как f”(x) в нуль не обращается, то критических точек нет.
6)	Строим вспомогательный рисунок и исследуем знак первой и
второй производных (рис. 166). Получаем, что функция на (-оо, 1 - у/2)
возрастает, на (1 - у/2,1 + у/2) убывает, а на(1 + у/2, +оо) снова возрас¬
тает. Точки экстремума: максимум при х = 1 - у/2, причем/(1 - V2) =
= 2-2 у/2;минимумприх= 1 +>/2,причем/(1 + >/2) = 2 + 2 V2. На(-оо, 1)
график направлен выпуклостью вверх, а на (1, +оо) — вниз.
7)	По полученным данным строим эскиз графика (рис. 167).
(х-1)2
Пример 7. Построить график функции /(х) =	=——.
X +1
Решение. 1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2)	График функции пересекает ось Ох в точках, в которых (х — I)2 = О,
т.е. в точке с абсциссой х = 1, а ось Оу — в точке с ординатой у = 1.
У4
Знак/'(х) + + + + + -
Знак f"(x)	1-V2-
I
I
-|	+ + + + + +
l' + + + + +lW2-
+ + + +
х
Рис. 166

304
Глава 5. Дифференциальное исчисление
3)	Так как функция непрерыв¬
на на всей числовой прямой, то
вертикальных асимптот нет. Далее,
из существования предела
ж->00 X х^усо х(х + 1)
,.	х2-2х	+	1
= lim	г	=
х +х
,.	l/x-2/x2	+l/x3
= lim -	 /о 	=
1 + 1/х
= ®=0
1
следует, что
b = lim [f(x)-kx] = lim [/(х) -0 - х] = lim ^ ^
:г—>оо	:г—>00 X +1
,.	х2-2х	+ 1	,.	l-2/x + l/x2 1-0+0	,
= lim	=	= lim	-—-г^-— =	= 1,
X >00 X +1	X >00	1+1/ X	1+0
т.е. наклонных асимптот нет, а прямая у = 1 — горизонтальная асим¬
птота.
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую
производную:
/ч*)=
2(x-i)(x2 +i)-(x-i)2-2х	2х2	-2
(х2+1)2
(х2+1)2'
Решая уравнение 2х2 -2 = 0, получаем две точки возможного экстре¬
мума: х1 = -1,х2 = 1.
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую произ¬
водную:
/"(*>=
4х(х2 +1)2 ~(2х2 -2)2(х2 +1)2х _ 4х(3-х2)
(х2+1)4
(х2 +1)3 '
Решая уравнение 4х(3 - х2) = 0, получаем три критических точки:
х1 = - л/3, х2 = 0, х3 = 73.
6)	Строим вспомогательный рисунок (рис. 168) и исследуем знак
первой и второй производных.
Знак /'(*) + + -*
Знак f"(x)
--1-
-l-
Pwc. 168

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 305
Получаем, что на (-00, -1) функция
возрастает, на (-1, 1) — убывает, а на
(1, +оо) — снова возрастает. Точки экс-
тремума: при переходе через точку х = -1	^
производная f'(x) изменяет знак с	1-“
плюса на минус, а через точку х = 1 —	_^з
с минуса на плюс, следовательно, в точ¬
ке х = -1 — максимум, а в точке х = 1 —	Рис. 169
минимум, причем/(-1) = 2,/(1) = 0. На
(-оо, -у/3) график направлен выпуклостью вниз, на (->/з, 0) — вверх,
на (0, >/3) — вниз, а на (>/3, +оо) — снова вверх, следовательно, точки
х= - -ч/З, х = 0, х = л/З — абсциссы точек перегиба, причем/(- >/3) =
= 1 + л/3/2; /(0) = 1,/(V3) = 1 - л/3/2.
7)	По полученным данным строим график функции (рис. 169). •
Упражнения. Построить графики следующих функций:
х2 +1
1.	/(х) =	. (Отв. Прих= 1 — минимум,/(1) = 2; при
х
х=-1 — максимум, /(-1) = - 2, х = 0 — вертикальная асимп¬
тота, у = х — наклонная асимптота.)
х2
2.	/(х) =	. (Отв. При х = 0 — максимум,/(0) = 0; при
х-2
х = 4 — минимум,/(4) = 8; х = 2 — вертикальная асимптота,
у = х + 2 — наклонная асимптота.)
2г3 — 5х2 +14х — 6
3.	f (х) = ———ох з	.	(Отв.	При	х	=	-3-	макси¬
мум, /(-3) = -49/12; прих= 1 — максимум,/(1) = 5/4; при
х= 2 — минимум,/(2) = 9/8; точках=9/7 — абсцисса точки
перегиба; /(9/7) = 913/756; х = 0 — вертикальная асимптота,
15	Г1 п!
у = -х -— — наклонная асимптота;	, 0J — точка пересе¬
чения графика с осью Ох.)
Ш X
О Пример 8. Построить график функции f(x) =	.
X
Решение. 1) Функция определена при х > 0, т.е. в интервале
0	< х< +оо.
2)	График функции пересекает ось Ох в точке, в которой 1пх = О,
т.е. в точке с абсциссой х = 1, а с осью Оу пересечений не имеет, так как
функция определена при х > 0.
3)	Вертикальной асимптотой является прямая х = 0, так как
lim = -оо (докажите это самостоятельно). Отыскиваем асимптоты:
#—>0+ X

306
Глава 5. Дифференциальное исчисление
k= lim Ш= iim i5£.
х—>+оо X	х—>+оо х
Имеем неопределенность вида Применяя правило Лопиталя, по¬
лучаем
k= lim	lim	\[т	= 0,
х—>+оо х	:г—>+оо 2х х—>+оо 2х
\пх
b = lim [f(x) -kx]= lim
,. lnx
= lim 	:
x >+oo X
--0-X
X
= lim ll?L = lim — = 0
x—>+oo 1	x—>+oo X
(здесь также было использовано правило Лопиталя).
Таким образом, k = b = 0, т.е. наклонных асимптот нет; прямая
у = 0 — горизонтальная асимптота.
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую
производную:
№>--Ц!£
JT
Решая уравнение 1 - \пх = 0, получаем одну точку возможного
экстремума: х = е.
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую произ¬
водную:
№) =
X6
з
Решая уравнение 21пдг-3 = 0, 1пх = —, х = е3/2, получаем одну кри¬
тическую точку х = е3/2.
6)	На вспомогательном рисунке (рис. 170) исследуем знак первой
и второй производных.
Получаем, что на (0, е) производная /'(1) = —-— = —— = 1 > О,
следовательно, функция возрастает; на (е, +оо) производная /'(е2) =
1-1пе2	1-21пе	1-2	1
.	.	-	.	=	—г<	0 — функция убывает. Точки экстрему-
е	е	е	е
ма: при переходе через точку х=е производная f(x) меняет знак с плюса на
1
минус, следовательно, в точкех=е — максимум, причем /(е) = -. На (0, е3/2)
е
,	21пе-3
вторая производная / (е) =	5— =
е
= —о- < 0 — график направлен выпук-
е
лостью вверх, а на (е3/2, +оо) произвол-
Знак f'(x)
i
f + + +e
Знак f"(x) 0
			'b + + + +wx
e2

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 307
ная /"(е ) =
2 21пе -3
1 )= е6	е
= —V > 0— график
направлен выпуклостью вниз, следова¬
тельно, точка х = е3/2 — абсцисса точки
перегиба, причем /(е3^2) =—Таким
2е3/2'
,3/2.
— точка пе-
Рис. 171
образом, точка \ ё , ^
региба графика функции.
7) На основании полученных данных
строим график функции (рис. 171). •
Упражнения. Построить графики следующих функций:
1./(x)	= xlnx. (Отв. Прих = 1/е — минимум,/(1/е) = - 1/е;
(1;0) — точка пересечения графика с осью Ox; lim /(х) = 0.)
х->0+
2./(х)	= х-1пх. (Отв. Прих= 1 — минимум,/(1) = 1; х = 0 —
вертикальная асимптота.)
3. f (х) =	(Отв. Прих = 1 — максимум, /(1) = 1;
х
х = 0 — вертикальная асимптота, у = 0 — горизонтальная
асимптота; (е1/2; 3/2е1/2) — точка перегиба, (1/е; 0) — точка
пересечения графика с осью Ох.)
О Пример 9. Построить график функции /(х) =х2е~х.
Решение. 1) Область определения функции — вся числовая пря¬
мая.
2)	График функции пересекает оси координат в точке 0 (0; 0).
3)	Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то верти¬
кальных асимптот нет. При отыскании наклонных асимптот необходимо
рассмотреть отдельно случаи х-»-ооих-»+оо, имеем
k = lim ^Х^ = lim хе~х = оо
(докажите это самостоятельно).
Следовательно, наклонной асимптоты при х -» - оо нет, а так как и
lim /(х) = lim х2е~х = +оо, то горизонтальной асимптоты также нет.
Далее имеем
k = lim ^Х^ = lim — = lim — = 0;
*-> +00
*-> +00
b = lim [/(х)-0-х] = lim х2е * =

308
Глава 5. Дифференциальное исчисление
х2	2х	2
= lim —= lim —= lim —= 0
X—>+сО 0 х X—> +СО 0 х X—>+сО 0 х
(здесь использовалось правило Лопиталя); таким образом, прих -^+оо
наклонной асимптоты нет, прямая у = 0 — горизонтальная асимптота.
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую
производную:
fix) = х(2 - х)е~х.
Решая уравнение х(2 - х)е~х = 0 (е~х * 0), получаем две точки воз¬
можного экстремума: xt = 0, х2 = 2.
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую произ¬
водную:
f"(x) = (х2 - 4х + 2)е~х.
Решая уравнение х2 - 4х + 2 = 0, получаем две критические точки:
Х| — 2	у/2, х2 = 2 + у/2.
6)	Исследуем знаки первой и второй производных (рис. 172). По¬
лучаем, что на (-оо, 0) функция убывает, на (0, 2) — возрастает, а на
(2, +оо) — снова убывает. Точки экстремума: при переходе через точку
х = 0 производная f'(x) меняет знак с минуса на плюс, а через точку
х = 2 — с плюса на минус, следовательно, в точке х = 0 минимум, а в
точкех= 2 максимум, причем/(0) = 0,/(2) = 4е-2. На (-оо, 2 - у/2) график
направлен выпуклостью вниз, на (2 - V2, 2 + у/2) — вверх, а на (2 + V2,
+со) — снова вниз, следовательно, x=2-V2,x=2+V2 — абсциссы точек пере¬
гиба, причем f(2-y/2) = (2-yf2)2e~(2~^\ /(2 + V2) = (2+у/2)2е~(2+^\
1)	На основании полученных данных строим график функции
(рис. 173). •
Упражнения. Построить графики следующих функций:
е*
1.	/0*0 = —. {Отв. Прих = 1 — минимум,/(1) =е; точек
х
перегиба нет; х = 0 — вертикальная асимптота, у = 0 — го¬
ризонтальная асимптота при х -> - оо.)
2./(х)	=х2е1Д. {Отв. Прих= 1/2 — минимум;/(1/2) = 1/4е2;
точек перегиба нет; х = 0 — вертикальная асимптота при
х -» 0+, lim х2е1/х = 0.)
х^0-
Знак f'(x)
Знак/"(х) + + + + +
+ +2-V2	2W2+ + + X
Рис. 172
Рис. 173

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 309
3.	f(x) = (1 - х)ех. (Отв. При х = О — максимум;/(0) = 1;
(-1, 2/е) — точка перегиба; у = 0 — горизонтальная асимп¬
тота.)
О Пример 10. Построить график функции /(х) = у/х2 +1 + >/х2 -1.
Решение. 1) Область определения функции — множество значений х,
удовлетворяющих неравенству х2 - 1 > 0 или |х| > 1, т.е. либо х < -1,
либо х> 1. Другими словами, функция определена в двух промежутках:
(-оо, —1] и [1, +оо). Причем нетрудно заметить, что на этих промежутках
функция неотрицательна.
2)	Точек пересечения с осями координат график функции не имеет,
так как х * 0 и у * 0.
3)	Так как функция непрерывна во всех точках области опреде¬
ления, то, очевидно, вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные
асимптоты:
k=]]mrn=]]m^+^=
X—► +СО	X	ЛГ—>+сО	X
-lim^,^V?Lul = 2;
X—>+сО	X
b = lim [/(х) - 2х] = lim [у/х2 +1 + у/х2 -1 - 2х] =
ДГ—>+сО	X—>+сО
= lim[(>/x2 +1 -х) + (>/х2 -1 — х)] =
X—► +СО
= lim [(у/х2 +1 - х) + lim (у/х2 -1 - х)] =
ДГ—>+сО	ДГ—>+сО
= lim ,	^	н lim .	^ — = 0-0 = 0;
д~+‘°л/х2 + 1+х х~"'Чх2-1+х
k=]imm=]imJZF'+^=
Х со	х	*->-«>	X
= lim	+У*2 + V1 ~ У*2) = _1_1 = _2;
дг^-со	Х
b = lim [/(х) + 2х] = lim [>/х2 +1 + у/х2 -1 + 2х] =
= lim[(V*2 +1 +x) + (Vx2 -1+х)] =
= lim [(Vx2 +1 + х) + lim (у/х2 -1 + х)] =
= lim ,	^ 	+ lim .	^	= 0-0 = 0.
^_c0у/х2 +1 — х х_>_со vx2 -1-х
Таким образом, получаем, что график функции имеет две различные
наклонные асимптоты: у = 2х при х-»+ооиг/ = -2х при х - оо.

310
Глава 5. Дифференциальное исчисление
Так как lim /(х) = +00, то горизонтальных асимптот нет.
Х-»сО
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую
производную:
rt/ v 2х	2х	х(\/х2 -1 +>1х2 +1)
—37ТГ—•
Экстремальных точек нет, так как числитель дроби в нуль не обра¬
щается. При х = ± 1 производная f'(x) = 00.
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую произ¬
водную:
г„/ .	( х	X Л
f (x)=Iv?tT+^tJ =
Г~2	7 Х'2Х Г~2	7 Х'2Х
VX +1	,	л/х-1	,
=	2>/х2 +1		2yjx2 -1 _
х2+1	х2-1
1	1	_(х2-1)3/2-(х2+1)3/2
(х2+1)3/2 (х2-1)3/2	(x4-l)VxM
Критических точек нет, так как числитель дроби в нуль не обра¬
щается.
6)	Исследуем знак первой и второй производных (рис. 174). Полу¬
чаем, что на (-00, -1] функция убывает, график направлен выпуклостью
вверх, а на [1, +оо) функция возрастает, график также направлен вы¬
пуклостью вверх. Экстремумов и точек перегиба нет. Сделаем вспомо¬
гательное вычисление: /(±1) = >/2.
7)	На основании полученных данных строим график функции
(рис. 175). •
Упражнение. Построить
график функции f(x) =
= >Jx2 -1 -yjx2 +1. (Отв.
Область определения: \х\ > 1,
экстремумов и точек переги¬
ба нет; у = О — горизонталь¬
ная асимптота.)
Знак /'(х)	 ^
i ++++++
Знак f"(x)	-1
!
	X
Рис. 174
Рис. 175

5.15. Исследование поведения функций и построение графиков 311
Вопросы для самопроверки
1.	Докажите теорему 5.12 для случая возрастания функции.
2.	Дайте определение локального экстремума функции.
3.	Может ли функция иметь несколько локальных экстрему¬
мов?
4.	Может ли локальный максимум некоторой функции оказаться
меньше какого-то локального минимума этой же функции?
5.	Сформулируйте теорему, выражающую необходимое условие
локального экстремума. Покажите на примере, что это условие не
является достаточным.
6.	Какие точки называются точками возможного экстремума
функции?
7.	Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие
локального экстремума.
8.	Дайте определение направления выпуклости графика функ¬
ции.
9.	Сформулируйте теорему, с помощью которой решается вопрос
о направлении выпуклости графика функции.
10.	Дайте определение точки перегиба графика функции.
11.	Сформулируйте необходимое условие точки перегиба гра¬
фика функции. Покажите на примере, что это условие не является
достаточным.
12.	Какие точки называются критическими?
13.	Сформулируйте достаточное условие точки перегиба гра¬
фика функции.
14.	Может ли функция иметь экстремум в точке перегиба гра¬
фика функции?
15.	Дайте определения вертикальной, горизонтальной и наклон¬
ной асимптот. Приведите примеры.
16.	Докажите следующее утверждение: если прямая у = kx + b
является наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при
х —» +оо, то существуют пределы
lim	- = k; lim [f(x)-kx] = b,	(*)
д;—>+со х	#—>+<»
и,	обратно, если оба предела (*) существуют, то прямая у = kx+b
является наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при
Х —>• +00.
17.	Приведите схему построения графика функции.

312
Глава 5. Дифференциальное исчисление
5.16.	Контрольные задачи
5.1.	При каких значениях х касательные к графику функции
у = хг-х параллельны прямой у = х?
5.2.	Под каким углом к оси Ох кривая у = 2х3 - х пересекает
ось Оу?
5.3.	В точках (0; 0), (2; 1), (4; 0) проведены касательные к пара-
^х — х2
боле у = —-—. Найдите углы их наклона к оси Ох.
5.4.	Напишите уравнение касательной к графику функции
х3+1	.
у = —-— в точке его пересечения с осью абсцисс.
5.5.	Найдите угол наклона к оси Ох касательной к гиперболе
ху= 1 в точке (1; 1).	3
dx — х
5.6.	При каком значении а кривая у = —-— пересекает ось Ох
под углом 45° (хотя бы в одной из точек пересечения)?
5.7.	Является ли прямая у = Зх - 4 касательной к кривой
у = хг-2?
5.8.	Составьте уравнение касательной, проведенной из точки
М(- 1; 3) к гиперболе у = 1/х.
5.9.	Даны две параболыу = 8- 3х-2х2иу = 2+ 9х- 2х2. Найдите
уравнение прямой, которая касается обеих парабол.
5.10.	Даны две прямые у = -х и у = 5х — 6. Найдите значения
параметров а и Ь, при которых обе данные прямые касаются пара¬
болы у = х2 + ах + Ь.
5.11.	Окружность задана уравнением х2 + у2 - Ах = 0. Найдите
уравнения касательных к ней в точках ее пересечения с осью Ох.
5.12.	Приведите пример (т.е. запишите формулу или аккуратно
постройте график) всюду определенной функции, имеющей произ¬
водную всюду, кроме точек х = 0,х=1их=2.
5.13.	Доказать, что функция
fsinx, еслих>0,
/0)= I 2	П
[х , еслих<0,
не имеет производной в точке х = 0.
5.14.	Доказать, что функция
fsinx, если х рациональное,
[х, если х иррациональное,
имеет производную в точке х = 0.
5.15.	Найти производную функции
/0) =
2-1	л
х sin—, еслих^О,
х
0, если х = 0,

5.16. Контрольные задачи
313
и показать, что ее производная разрывна в точке х = 0.
5.16,	Разложите функцию f(x) = In (1 +х) по формуле Маклорена
с остаточным членом в форме Пеано.
5.17,	Разложите функцию /(х) = tgx по формуле Маклорена до
члена с х3 включительно.
5.18,	Разложить следующие функции по формуле Маклорена
до члена указанного порядка включительно:
а) Кх) = е~х Д° члена с х2; б) /(г) = е2*-*2 до члена с х5;
в)	fix) = ln(cosx) до члена с х*; г) /(х) = sin sinx до члена с х3.
5.19,	С помощью формулы Маклорена найти пределы:
ч tgx + 2sinx + 3x .. ех+е~х-2
a) lim—			; б) lim	=	;
*->о	х	х
ч (1	1 ^	ч л. cosx-e"^2
в)	lim	; г) lim			;
х^°\х sinxv1	х
ч 1-vl + x cosx ч ,. ln(cosx + x 2)
д) lim	-	; е) lim— 	—.
х^° х	х^° x(sinx-x)

Если бы мне вновь пришлось
начать свое обучение, то я
последовал бы совету Платона
и принялся бы сперва за мате¬
матику как науку, требующую
точности и принимающую за
верное только то, что вытекает
как следствие из доказанного.
Г. Галилей
Глава 6
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
6.1.	Первообразная и неопределенный интеграл
6.1.1.	Понятие первообразной функции
Одной из основных задач дифференциального исчисления
является отыскание производной заданной функции. Разно¬
образные вопросы математического анализа, его многочис¬
ленные приложения в геометрии, механике, физике и технике
приводят к решению обратной задачи: по данной функции
fipc) найти такую функцию F(x), производная которой была
бы равна функции/(х), т.е. F'(x) = /(х).
Восстановление функции по известной производной этой
функции составляет одну из основных задач интегрального
исчисления.
Определение У. Функция F(x) называется первообразной
для функции /(х) на некотором промежутке X, если для всех
значений х из этого промежутка выполняется равенство
F(x)=f(x).
Рассмотрим примеры.
О 1. Функция F(x) = sinx является первообразной для функции
f(x) = cosx на всей прямой, так как при любом значении x(sinx)' = cosx.
2.	Функция F(x) = х3 является первообразной для функции f(x) = Зх2
на всей прямой, ибо в каждой точке х (х3)' = Зх2.

6.1. Первообразная и неопределенный интеграл
315
3.	Функция F(x) = V 1-х2 является первообразной для функции
X
f(x) = —,	на интервале (-1, +1), так как в любой точке х этого
V 1-х2
интервала (л/l-x2)' = —. Х	•
V	1-х2
Задача отыскания по данной функции f(x) ее первооб¬
разной решается неоднозначно. Действительно, если F(x) —
первообразная для /(х), т.е. F'(x) = /(х), то функция F(x) + С,
где С — произвольная постоянная, также является первооб¬
разной для/(х), так как |Дх) + С]' = /(х) для любого числа С.
Например, для/(х) = cosx первообразной является не только
sinx, но и функция sinx + С, так как (sinx + С)' = cosx.
Покажем теперь, что множество функций F(x) + С, где
F(x) — некоторая первообразная для функции /(х), а С —
произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные
для функции /(х).
Лемма 6.1. Функция, производная которой на некотором
промежутке Xравна нулю, постоянна на этом промежутке.
□	Доказательство. Пусть во всех точках промежутка X
производная функции /(х) равна нулю, т.е./'(х) = 0. Тогда
для любых двух точек хр х2 еХ по теореме Лагранжа
/(*2) -/(*,) =/'(5) 0*2 -	хх<$< х2.
Так как/'(q) = 0, то/(х2) = /(xt). Это и означает, что значения
функции во всех точках промежутка одинаковы, т.е./(х) = С,
где С — некоторое число. ■
Теорема 6.1. Если F(x) — первообразная для функции /(х)
на некотором промежутке X, то любая другая первообразная
для/(х) на том же промежутке может быть представлена в
виде F(x) + С, где С — произвольная постоянная.
□	Доказательство. Пусть Ф(х) — любая другая перво¬
образная для функции/(х) на промежутке X, т.е. Ф'(х) =/(х).
Тогда для любого х еХ
[Ф(х) - F(x)Y = Ф'(х) - F’(x) =/(х) -/(х) = О,
а это значит (по лемме 6.1), что функция Ф(х) - F(x) посто¬
янна, т.е. Ф(х) - F(x) = С, где С — некоторое число. Следова¬
тельно, Ф(х) = F(x) + С. я
Из доказанной теоремы следует, что множество функций
F(x) + С, где F(x) — одна из первообразных для функции /(х),
а С — произвольная постоянная, исчерпывает все семейство
первообразных функций для /(х).

316
Глава 6. Интегральное исчисление
6.1.2.	Неопределенный интеграл
Определение 2. Если функция F(x) — первообразная для
функции /(х), то множество функций F(x) + С, где С — произ¬
вольная постоянная, называется неопределенным интегралом
от функции /(х) и обозначается символом
При этом функция/(х) называется подынтегральной функ¬
цией,/(х)Ах — подынтегральным выражением, а переменная х —
переменной интегрирования.
всех первообразных для функции /(х).
Восстановление функции по ее производной, или, что
то же, отыскание неопределенного интеграла по данной по¬
дынтегральной функции, называется интегрированием этой
функции. Интегрирование представляет собой операцию,
обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить,
правильно ли выполнено интегрирование, достаточно про¬
дифференцировать результат и получить при этом подынте¬
гральную функцию.
О	Пример 1. Проверить, что J3x2dг = х3 + С.
Решение. Дифференцируя результат интегрирования (х3 + С)' = За2,
получаем подынтегральную функцию. Следовательно, интегрирование
выполнено верно. •
Упражнения. Проверить, что: 1. Jcosxdx = sinx + C.
В связи с понятием первообразной возникает вопрос: для
каких функций существуют первообразные (а значит, и не¬
определенные интегралы)? Здесь лишь отметим, что далее
будет доказано, что любая непрерывная на отрезке функция
имеет на этом отрезке первообразную (следовательно, и не-
(1)
Символ J /(x)dx обозначает, таким образом, совокупность
2. je~2xdx = -^e-2x + C. 3. j
3. f—-i—= tgх + С.
J COS X
dx J ^
1} Читается: «неопределенный интеграл f(x) на dx>>.

6.1. Первообразная и неопределенный интеграл
317
определенный интеграл). В дальнейшем будем считать, что
все функции, стоящие под знаком интеграла, непрерывны и
формула (1) имеет смысл. В случае разрывной функции будем
рассматривать ее интегрирование только в тех промежутках,
в которых она непрерывна.
Например, функция /(х) = 1/х определена и непрерывна
для всех значений х, отличных от нуля, т.е. имеет разрыв в
точке х = 0 и непрерывна в промежутках (-оо, 0) и (0, +оо).
Если х > 0, то одной из первообразных для/(х) = 1/х являет¬
ся F(x) = lnx, так как (lnx)' = 1 /х. Следовательно, для х > 0
г 1
—dx = lnx + C.
J х
Если х < 0, то одной из первообразных для /(х) = 1/х яв¬
ляется F(x) = 1п(—х), так как [1п(-х)]' = (1/-х)(-1) = 1/х.
Следовательно, для х < 0
Геометрически неопределенный интеграл представляет
собой множество (семейство) кривых, являющихся графи¬
ками первообразных у = F(x) + С. Если у = F(x) — какая-либо
кривая, то по теореме 6.1 все другие кривые получаются из
нее параллельным сдвигом вдоль оси Оу (рис. 176). Причем,
если у = F(x) — первообразная для /(х), т.е. F'(x) = /(х), то,
согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла
наклона касательной в каждой точке с абсциссой х кривой
у = F(x) равен /(х). Все другие
кривые будут иметь в каждой у к \
—dx = 1п(-х) + С.
J х
Объединяя оба случая, получаем формулу
точке с абсциссой х парал¬
лельные касательные с тем же
угловым коэффициентом ка¬
сательной /(х).
О	Пример 2. Какое семейство
кривых образуют первообразные
у = F(x) + С, если угловой коэффи¬
циент касательной в каждой точке
с абсциссой х кривой у = F(x) равен
f(x) = х2?
X
Рис. 176
X

318
Глава 6. Интегральное исчисление
Решение. Имеем F(x) = /(х) = х2. По определению неопределенного
интеграла
э
у = J f(x)dx = F(x) + C = Jx2dx = — + С.
Следовательно, кривые образуют семейство кубических парабол
х3
у+С. •
3
Вопросы для самопроверки
1.	Дайте определение первообразной функции. Приведите при¬
меры.
2.	В чем состоит смысл действия интегрирования?
3.	Объясните, почему при интегрировании появляется произ¬
вольная постоянная.
4.	Дайте определение неопределенного интеграла.
5.	В чем состоит геометрический смысл неопределенного ин¬
теграла?
6.2.	Основные свойства
неопределенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла непосредст¬
венно вытекают следующие его свойства.
1°. Производная неопределенного интеграла равна подын¬
тегральной функции; дифференциал от неопределенного ин¬
теграла равен подынтегральному выражению, т.е.
(j /СО d*y = /СО и dj /(x)dx = f(x)dx.
□	Действительно, (j / (x)dr)' = (F(x) + С)' = F’(x) = f (x) и
d| /(x)dx = (J* /(x)dx/dx = /(x)dx. ■
2°. Неопределенный интеграл от дифференциала неко¬
торой функции равен сумме этой функции и произвольной
постоянной, т.е.
jd F(x)=F(x) + C.
□	В самом деле, так как dF(x) = F'(x)dx, то
| F'(x)dx = F(x) + С. я

6.3. Таблица основных интегралов
319
3°. Постоянный множитель можно вынести из-под знака
интеграла, т.е. если k = const ф 0, то
J kf(x) dr = kJ /(x) dr.
□	Действительно, пусть F(x) — первообразная для функ¬
ции f(x), т.е. F\x) = f(x). Тогда kF(x) — первообразная для
функции kf(x)\(kF(x)y = kF\x) = &/(х). Из определения сле¬
дует, что
k J / (x)dr = &|Т(х) + С] = &F(x) + Ct = J kf (x)dr,
где Ct = kC. Ш
4°. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы
двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих
функций отдельно, т.е.
J [/(х) ± g(x)]dx = J /(x)dx ± J g(x)dx.
□	В самом деле, пусть F(x) и G(x) являются первообраз¬
ными для функцийf(x)ng(x): F'(x) = f(x), G'(x) =g(x). Тогда
функции F(x) ± G(x) являются первообразными для функций
/(х) ± g(x). Следовательно,
j /(x)dx ± j g(x)dx= [F(x) + C,]± [G(x) + C2] =
= [F(x) ± G(x)] + [Cx ± C2 ] = [F(x) ± G(x)] + C =
= j[/<X)±g<X)]dx ■
Отметим, что это свойство справедливо для любого ко¬
нечного числа слагаемых функций.
Вопросы для самопроверки
1.	Перечислите основные свойства неопределенного ин¬
теграла.
2.	Докажите свойство 4° для суммы из трех слагаемых
функций.
6.3.	Таблица основных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул
этой таблицы непосредственно следует из определения ин¬
тегрирования как операции, обратной дифференцированию,
и таблицы производных. Справедливость остальных формул
легко проверить дифференцированием.

320
Глава 6. Интегральное исчисление
г	X
I	fx“dx =	+
1	ос + 1
+С(а Ф —1),
II Г—= 1пЫ + С,
J х
Vm j cosxdx = sin x + C,
III f-
J1
iv J
dx
+ x
dx
4Г-
2 = arctg x + C,
= = arcsin x + C,
x
V \axdx = ^—+C
J	In a
(0 < а ф 1),
VI	| exdx = ex +C,
VII	Jsinxdx = -cosx + C,
IX
X
XI
XII
j ——5— = tgx + C,
J .	^
COS2 X
j-
J Q1
dx
sin2 x
-ctg x + C,
f dx	1	J
^x2-a2	2	a
x-a
x + a
+С(аФ 0),
dx
1
= in\x +
XIII	J
XIV	J
•Jx2 +k
+л/х2 +k I + C,
dx
dx
a2 -x2
—arctg— + C,
a a
. x
= arcsin—+ C.
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято назы¬
вать табличными.
Отметим некоторые частные случаи формулы I:
Jl-dx = x + C(a = 0); Jxdx = — + C(a = 1);
^ = 2^ + C(a = _2)'
В формуле II вместо f—dx для краткости написано Г—;
J х	J	х
вообще, I	 означает |	dx.
J ф(х)	J	ф(х)
Приведем еще одну очевидную формулу: |0-dx = C, т.е.
первообразные от функции, тождественно равной нулю, есть
постоянные.

6.4. Основные методы интегрирования
321
Вопросы для самопроверки
1.	Каким образом составляется таблица основных интегралов?
2.	Укажите табличные интегралы, которые получены из таблицы
производных действием, обратным дифференцированию.
6.4.	Основные методы интегрирования
6.4.1.	Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших
интегралов и основных свойств неопределенных интегралов
называется непосредственным интегрированием.
О	Пример 1. Вычислить интеграл
f | 5cosx + 2-3x2 +——5^—] dr.
•Ч	х	х	+1/
Решение. Применив свойства 3° и 4°, имеем
П 5cosx + 2-3x2 +——^—|dr =
•Ч	х	х	+1/
= 5jc0sxdr + 2jdr-3jx2dr + j—-4j ^ -
X J X +1
Далее, используя соответственно формулы VIII, I, II, III таблицы ос¬
новных интегралов, находим
5jcosx dr = 5(sinx + C1) = 5sinx+5C1;
2	J dr = 2(x + C2) = 2x + 2.C2 ?
(r2+1	^
3J x2dr = 3	+ C3j = X3 + ЗС3; J ^ = In |x| + C4;
г dr
4—5— = 4(arctgx + C5) = 4arctgx+4C5.
J x +1
Таким образом,
П 5cosx + 2-3x2 +——^—] dr =
•4	xx2	+lJ
= 5sinx + 2x-x2 +ln|x|-4arctgx +
+(5Cj +2C2 +ЗС3 +C4 +4C5).

322
Глава 6. Интегральное исчисление
Обычно все произвольные постоянные суммируют, резуль¬
тат обозначают одной буквой: С = 5С1 + 2С2 + ЗС3 + СА + 4С5,
поэтому окончательно получаем
f[ 5cosx + 2-3x2 +———]dr =
J V	хх	+V
= 5sinx + 2x-x3 + ln|x|-4arctgx + C.
Правильность полученного результата легко проверить дифферен¬
цированием. (Сделайте это самостоятельно.)
Пример 2. Вычислить интеграл J ^	2	’
Решение. Интеграл табличный. Поэтому можно переходить к не¬
посредственному интегрированию. По формуле XIV, где а = 4, полу¬
чаем
[ . ^	=	arcsin— + С. •
Непосредственно вычислить интегралы с помощью
таблицы на практике удается довольно редко. Приходится
предварительно подынтегральное выражение тождественно
преобразовывать таким образом, чтобы в результате получить
табличные интегралы.
О	Пример 3. Вычислить интеграл f—33—.
J sin xcos х
Решение. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так
как 1 = sin2x + cos2x, то интеграл можно записать в виде
г dx	г	sin2	x+cos2 х , rf 1
J ~ 2	2	—	J	•	2	2	~	J	I	2	'	•	2	I
J sin xcos х J sin xcos x	J \cos x sin x)
Применяя свойство 4°, имеем
rf 1	г	dx	г	dr
I 	2	+		 dx - I 	2	+ I “~2	•
J \cos x sin x) J COS X J sin X
Получили два табличных интеграла. По формулам IX и X нахо¬
дим
f • 2^ 2 =f ^	+\-r^—	=	tgX-CtgX+C.
J sin XCOS X J COS X J sin X
Пример 4. Вычислить интеграл Jtg2xdx.
Решение. Так как tg2x = —\	1, то
COS X

6.4. Основные методы интегрирования
323
По формулам IX и I получаем
Г tg2xdx = Г —^— fdr =tgx -х + С.
J	J COS X J
Пример 5. Вычислить интеграл J \^Х 2^ с^•
Решение. Так как 1 + 2х2 = (1 +х2) + х2, то
f 1+2x2 dx = f(1+x2)+x2dr= f 1+x2	dx +
I о	л	УХЛ	— I	о	о	V_4*/V	—	I	о	о	V_4*/V	I
X (1+ X )	J X (1+ X )	X (1 +x )
r x2 , r dx r dx
+x2’
По формулам I и III получаем
г l+2x2	.	fdx	r dx 1	_	_
^	=—dx= ^-+ 	=- =	harctgx + C. •
X (1+ X )	X	1+ X	X	6
Таким образом, мы видим, что для интегрирования не¬
достаточно просто знать формулы и уметь их применять,
необходим еще и опыт, который постепенно приобретается
в процессе решения примеров.
Упражнения. Применяя метод непосредственного интег¬
рирования, вычислить следующие интегралы:
(	г3	Чг4 г2	^
1. f (х2 + Зх3 + х + l)dx. Отв.—+	+—+х + С. I
J	'У	3	4	2	)
2.	ffx4+-\/x + 3-\/x+-^-+ —Idx. \Отв. ^ +—х54х +
1 \	х	х/	\	5	6
+2ху[х - — + In |х| + С.
(	2	з	^
3. 1—2 ~ j 2 J dx. (Отв. 2 arctgx - 3 arcsinx + С.)
4.	f(2*+3*)dх.\Отв.^-+^- + с]
J	I	In	2	1пЗ	)
5.	Je^2-^jdx. ( Отв. 2ex+^ +С.
6.	J(sinx + 5cosx)dx. (Отв. -cosx + 5sin x + C.)

324
Глава 6. Интегральное исчисление
7.	J^sin^ + cos^J dx. (Отв. x-cosx+C.)
8.	J—cos2x^—^ (Отв. -(tgx + ctgx) + C.)
cos xsm x
„4 f
rdx.
x3	^
Отв. —-x + arctg x + C.J
9.	f-
J 1
10.	f 3 2ctg x^ (Отв. 3tgx + 2ctgx+C.)
J cos x
11.	f-—S‘f Xdx. (Отв. cosx-ctgx+ C.)
J sin x
12.	|ctg2xdx. (Отв. - (ctgx + x) + C.)
13.	|sin2^dx. ^Ome. -^(x-sinx) + C.
14.	j
yji + x1 -VT
Wl + л:2 l + C.)
-dr. (Ome. arcsin x-In |:r +
г X
15.	^—dx. (Отв. x-arctgx + C.)
J x +1
16.	ff—=--—+ ■ * ndx. fome. — In
^ 1.x -25 4x^5) V 10
Wx2 +5 I + C.
x-5
x + 5
■In I
+ 1ПХ +
17' fe- = + } ,1 dx. f Отв. arcsin ^ +
r2 x2+3j
+;rrctg7Tc
18. f X„ + ^dx. I Ome. x+—In
x — 1 I	2
x — 1
x +1
+ C.

6.4. Основные методы интегрирования
325
6.4.2.	Метод подстановки
Во многих случаях введение новой переменной интегри¬
рования позволяет свести нахождение данного интеграла к
нахождению табличного, т. е. перейти к непосредственному
интегрированию. Такой метод называется методом подста¬
новки или методом замены переменной. В его основе лежит
следующая теорема.
Теорема 6.2. Пусть функция х = ср(£) определена и диффе¬
ренцируема на некотором промежутке Ти пусть X — множе¬
ство значений этой функции, на котором определена функция
f(x), т.е. на Топределена сложная функция f\(p(t)\. Тогда если
на множестве X функция fix) имеет первообразную F(x), то
справедлива формула
j /(*)dx|x=q)(() = j /[ф(0]ф'(0с1г.	(l)
□	Доказательство. Так как первообразная F(x) опреде¬
лена на том же множестве, что и функция /(х), и существует
сложная функция/[ср(0],то существует и сложная функция
-Р[ф(0]- Тогда, по правилу дифференцирования сложной
функции, учитывая, что F'(x) = /(х), получаем
№(*)])' = №(0]>; ф'(0 = Лф(0]ф'(0>
т.е. функция/[ср(£)]ф'(0 имеет на множестве Тпервообразную
-Р[ф(0] и> следовательно,
jf[<p(t)]<p'(t)dt = F[<p(t)] + C.
Замечая, что Ffo>(*)] + С= (F(x) + С]\хжф) = j/(x)dx|i=9(<),
окончательно имеем
j /(x)dx|i=9(<)= J /[Ф(0]ф'(0с1г,
т.е. искомую формулу (1). ■
Формула (1) называется формулой замены переменной в
неопределенном интеграле.
Из формулы (1) следует, что для вычисления интеграла
| /(x)dx с помощью подстановки х=ф(г) надо в функции /(х)
заменить х через ф(г) и положить dx = q>'(t)dt. При этом по¬
лучаем искомую функцию, выраженную через переменную t.
Для возвращения к переменной х необходимо заменить t зна¬
чением t = v(x), которое находится из соотношения х = ср(£)
Если функция х = ср(£) имеет обратную функцию t = у(х),
то из (1) следует формула

326
Глава 6. Интегральное исчисление
j /О) dx = j /[ф(0]ф'(0^|г
т.е. формулу (1) можно применять и в обратном порядке
(справа налево). Для этого в дополнение к условиям теоремы
достаточно потребовать, чтобы функция х = ср(£) была строго
монотонной.
О Пример 6. Вычислить интеграл Jcos3xdx
Решение. Интеграл не табличный, хотя и напоминает интеграл
fcosxdr. Поэтому для его вычисления естественно сделать подста-
J 1
новку, полагая t = Зх; тогда dt = (3x)'dx = 3dx, dx = — dt. По формуле
(1) получаем
J cos 3xdr = — J cos tdt
—	табличный интеграл. Применяя формулу VIII таблицы основных
интегралов, находим
1	1
—Jcosftk = — sin£ + С.
3	3
Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
J cos 3xdx = i sin Зх + С.
Данный интеграл можно вычислить и непосредственно, выразив
1
dx через —d(3x), т.е. внося под знак дифференциала множитель 3 и
разделив на него интеграл. В результате получаем
1	1
Jcos3xdr = — Jcos3xd(3x) = — sin3x + C.
3	3
Здесь применена подстановка t = Зх. Этот экономный и простой прием
будет неоднократно использован в дальнейшем. •
Тождественное преобразование подынтегрального вы¬
ражения с выделением дифференциала новой переменной
интегрирования — простейшая замена переменной. Таким
путем устанавливается и общая формула
j fix) dx = - J f(x)d(ax).
О Пример 7. Вычислить интеграл
J 41-
Решение. Вычислим данный интеграл непосредственно, выделяя
дифференциал новой переменной интегрирования. Имеем

6.4. Основные методы интегрирования
327
Г xdx rl/2d(£^) _ pl/2d(l-x2)
= -|j(l-x2)-1/2d(l-x2) = -|-2(l-x2)1/2+C =
= -(1 -x2)V2+C.
Данный интеграл вычисляется с помощью подстановки t= 1-х2.
(Выполните это самостоятельно.) •
Существует другой несложный, но весьма эффективный
прием, позволяющий упростить вычисление интегралов. Если
числитель подынтегральной функции /(х) равен производной
знаменателя, то справедлива формула
ljrWdx = ln\/(x)\ + a	<2>
Действительно, используя подстановку t = /(х), At = /'(x)dx,
имеем
/(*) J t
О	Пример 8. Вычислить интеграл Jctgxdx.
^	cos	X
Решение. Так как ctgx =	, то интеграл можно записать в
sinx
виде
fctgxdx=f—dx.
J	J sin х
Замечая, что (sinx)' = cosx, по формуле (2) получаем
fctgxdx = fCQSXdx = f(s^nx) dx = ln|sinx| + C.
J	J	sinx	J	sinx
Данный интеграл можно вычислить и с помощью подстановки
t = sinx, и непосредственно, выделяя дифференциал новой переменной.
(Выполните это самостоятельно.)
гех -1
Пример 9. Вычислить интеграл J ——-dx.
Решение. Полагаем t = ex,x = In t. Отсюда dx = (IntYdt = —. Сле-
t
довательно,
Г——6х= \— — = f 2t~('t+V)dt =
’ ех +1 Jt+lt 3 (t+i)t

328
Глава 6. Интегральное исчисление
Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
ге*-1
I
ех +1
сЬс = 21п(1+ех)-х+С.
Г X
Пример 10. Вычислить интеграл 	Tdx.
J(x-1)2
Решение. Положим х-1 = t, следовательно, х = t + 1. Отсюда
dx = (t + 1 )'dt = dt; тогда
= ^2 + 3£+31n|f|-i+C.
Возвращаясь к переменной x, окончательно получим
J(x-l)2<ic = l(x~1)2+3(x~1)+31n|x~l|~^l + c-
Пример 11. Вычислить интеграл f _^ _.
J >/х+>/х
Решение. Имеем
f dr _ f dr
Положим t = л/х; тогда x = г6, dx = 6^dt Находим
r dx _ r 6t5dt _ t3dt
J(^)2+(C)3 ~*t2+t3~ J t +1’
Выделяя делением целую часть дроби, получим
£ + 1
=6
t+1.
+С.
Окончательно имеем
dx
J:
= 2yfx-3yfx+6yfx-6\n(yfx+1) + С. •
Vx +>/x
И, вообще, если подынтегральное выражение не содержит
F
ml-
\cx + d’
а ЬЛ
числа | — ф —J; т — натуральное число, то следует применять
ах + b	,	,
других корней, кроме корня и	т, где а, о, с, а — некоторые
подстановку t -
ax + b
cx + d

6.4. Основные методы интегрирования
329
О	Пример 12. Вычислить интеграл
г 11 + х dx
Ч 1-х 1-х'
11	X	1 -I- X
Решение. Сделав подстановку t = J	получим t2 =	,
yl-x	1-х
л	2	t2-l	,	(t1-	lV,	4	tdt	п
‘-"'ТП' x‘77i- ^-(7^) d‘-¥W
Jvl-xl-x J^2+l J t2+1 J J ^
£2+l
= 2t- 2arctg f+C = 2 J— - 2arctg J— + C.
yl-x	Vl-x
г Зх -ь 5
Пример 13, Вычислить интеграл Г . dr.
	 v4x + l	1 t
Решение. Положим £ = >/4х + 1; тогда £2 = 4х + 1, х =	9
1
dx = — fdf. Находим
f-^dr=flt3~f+5.ltdr, rf3(. + £1 a,,
J>/4l+T J t 2 Я8 8^
= —•—+—/: + С = —>/4л: + 1(4л: +18)+C =
8 3	8	8
= l(2x+9)V4r + l+C. •
Необходимо заметить, что удачный выбор подстановки
обычно представляет известные трудности. Для их успешного
преодоления необходимо хорошо владеть техникой диффе¬
ренцирования и твердо знать табличные интегралы.
с dx
> Пример 14, Вычислить интеграл I .
yjx2 +а
I		( х	^
Решение. Положим yjx2 +a+x = t, откуда 		+1 dx = dt\
.	W х2+а J
таким образом,
<b = _j£+a_dt
г~2
О]
& +а +лг
f .	=	f—ln|d+C = ln|Vx2+a+J+C.
J t 11 I I
Здесь вычислен табличный интеграл XII.

330
Глава 6. Интегральное исчисление
Пример 15, Вычислить интеграл Jsinnxcosxdx.
Решение. Положим t = sinx, откуда dt = cosxdx. Тогда
J sin” x cosxdx = J tndt =
tn+i	sinre+1 x
	+ C =	+ C при n * -1,
77+1	77 +1	F
ln|f| + C = ln|sinx| + C при n = -1.
Пример 16, Вычислить интеграл J ^X2 , n * 1.
Решение. Положим x2 +1 = t, 2xdx = d£, следовательно,
л x dr _l|*df_	1	1	j	^	_
J (x2+l)n _2^?"~~2(7г-1)’?=г +
1	1
- + C.
2(77-1) (x'+l)”-1
При n = 1 аналогично получим
^Л|п(,.+1)+с. .
Заметим, что интегралы в примерах 15 и 16 можно вы¬
числить непосредственно путем выделения дифференциала
новой переменной. Убедитесь в этом.
Упражнения. Применяя метод замены переменной, вы¬
числить следующие интегралы:
1.	|sin(3x + 5)dx. \^0тв. --^cos(3x + 5) + C.
2.	je2xdx. | Отв. ^е2х +C^j
3.	jtgxdr. (Отв. -ln|cosx| + C.)
4.	je~x xdr. | Ome. -^e"*2+C.j
5.	f——dx. (отв. —e3*+—e2* +6* + In|e*-l| +С
Je"-1 К 3	2	11
6. J X5^X ■ {^Ome. ^ln|^5 +7| + C.

6.4. Основные методы интегрирования
331
7- j Д, Н>*+с-}
8. f dx. {Отв. б(—^[х^ +—у/х -^/х +
JVx + l \	\7	5	3
+ arctg>/xj + C.j
9. |—у+1dx. (Отв. x + 4-JxTi + 4 In|Vx+T-1| + C.)
10. f	^	(£ = l + lnx). (Отв. ln|l + lnx| + C.)
J x(l + lnx)
11.	j eC0S*sinxdx. (Отв. -ecosx + C.)
u jJTTh^dx (0me 2(l + lnxf+c
13. |x(5x-7)50dx. | Отв.
52
(5x-7)52 +
+-(5x-7f
+ C.
14.	f dx. (Отв. x-2-Jx+ ln(-Jx+ \)2+ C.)
J Jr + 1
yj~X + 1
15. f-^=JLdx. I Ome
J Vl-3x
,2^-Х5х\^Гх + С.
27
16.	|x2\/x3 - 8 dx(t = x3 - 8). (отв. ^(x3-8)6/5 + C.
17.	f —(Y = VeT +1). I Ome. In
JVe" + l	I.
г31/д;с1хЛ П	31/a:
18' I—= l0me -ta3+cJ
л/е*+ 1-1
>/e^ + 1 + 1
+ C.
19. j
(arctgx)
1 + x2
— dr (f^arctgx)
ioi л
-+c.

332
Глава 6. Интегральное исчисление
20. Г	(Отв. arcsin—+ С.1
}yf4^F I	2	J
21.	f cos2^ dx. (Отв. 2 sin-Jx + C.)
1	vx
22. f	dx .	(отв.	г—+ C.
(arccos x)5>J{-x2	^	4arccos x
При интегрировании иногда приходится метод замены
переменной применять несколько раз.
О Пример 17. Вычислить интеграл Jу] a2 -x2dx(-a <х<а).
Решение. Положим х = яsin£(-7c/2 < t < п/2). Функция х = asint
монотонна и имеет непрерывную производную х'. При этом, когда t
изменяется от -п/2 до л/2, переменная х изменяется от -а до а. Далее
имеем dx = acostdt. Следовательно,
|>/я2 -x2dx = |у]a2 - a2 sin2 tacostdt = а2^cos2 tdt.
Снова получили не табличный интеграл. Преобразуем его. Так как
cos2£ = -(1+cos2£), то
2 2 2
a2Jcos2 tdt = -^-J(l + cos2£)d£ = ^- j dt+^~ j cos2tdt.
Первый из двух последних интегралов табличный и вычисляется
непосредственно:
а2 г , а2 ^	_
т! Т v
Для вычисления второго интеграла сделаем подстановку и = It.
Тогда du = 2dt, dt = — и
2 ^ 1
| yja2 -x2dx =
Следовательно,
| \Ja2 -x2dx = —
£+-sin2£
2
+ С.
1
£+—sin2£
2
+С,
2^
2
где С = Сх + С2. Для того чтобы вернуться к переменной х, из равенства
х = a sin t находим
у а а
sin2t = 2sintcost = 2—’—y/a2 -х2, £ = arcsin—. Подставив, оконча-
a a
тельно получаем

6.4. Основные методы интегрирования
333
\yla2 -x2dx = — arcsin—+—>la2 -х2 +С. •
J	2	а	2
6.4.3.	Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям основан на использо¬
вании формулы дифференцирования произведения двух
функций.
Теорема 6.3. Пусть функции и(х) и v(x) определены и диф¬
ференцируемы на некотором промежутке X и пусть функция
u'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т.е.
существует J v(x)u’(x)dx. Тогда на промежутке X функция
u(x)v'(x) также имеет первообразную и справедлива фор¬
мула
J u(x)v'(x)dx = Ju(x)v(x) - J v(x)u'(x)dx.	(2)
□	Доказательство. Из равенства
[u(x)v(x)]f = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
следует
u(x)v'(x) = [u(x)v(x)]f - u'(x)v(x).
Первообразной функции [u(x)v(x)]' на промежутке X яв¬
ляется функция u(x)v(x). Функция u (x)v(x) имеет первооб¬
разную на X по условию теоремы. Следовательно, и функция
u(x)v\x) имеет первообразную на промежутке X (как разность
интегрируемых функций). Интегрируя последнее равенство,
получим формулу (2). ■
Формула (2) называется формулой интегрирования по
частям в неопределенном интеграле.
Так как v'(x)dx = dv, u\x)dx = du, то ее можно записать
в виде
| udv = uv -1 vdu.	(3)
Она позволяет свести вычисление J udv к вычислению
интеграла J vdu, который может оказаться более простым
для интегрирования.
О	Пример 18. Вычислить интеграл Jarctgxdr.
Решение. Положим и = arctgх, dv = dx. Тогда
du = (arctgx)'dx = ^ 2; Jd& = Jdr, v = x

334
Глава 6. Интегральное исчисление
(здесь в качестве v можно взять любую из первообразных вида х + С,
где С — произвольная постоянная. Мы взяли v=x, т.е. С = 0). По фор¬
муле (3)имеем
г	j	^	Г	dxt)	^	1	rd(x2 +1)
arctgxах = хarctgx - х	=- = xarctgx — —	5—.
	1 L_—I I—I	1 JL_ll + X	2J 1+x
и dv v и v1	1
Так как
1	rd(x2 +1)	1,	2.	_
-	—	г!- = -\ъ(\+х ) + C,
2' 1 + x2 2 v ’
то окончательно получаем
Jarctgxdx = xarctgx--ln(l + x2) + C. •
Надо отметить, что метод интегрирования по частям пред¬
ставляет известные трудности для начинающих. Нельзя выби¬
рать в формуле (3) и и dv произвольно, иначе можно получить
еще более сложный интеграл, чем исходный.
О Пример 19. Вычислить интеграл Jxe*dx.
Решение. В отличие от предыдущего примера здесь ситуация совсем
не ясная. Можно положить и = е* dv = xdx, или и = х, dv = exdx, или,
наконец, и = хех, dv = dx. Положим, например, u = ex,dv=xdx. Тогда
du = (e*)'dx = e*dx; Jcb = Jxdx, v = —x2.
По формуле (3) получаем
f x exdx = — x2ex - — f x2exdx.
J	2	2J
Видим, что пришли к более сложному интегралу. Значит, выбор и
и dv в данном случае неудачен. То же самое получится, если положить
и = хех, dv = dx. (Убедитесь в этом самостоятельно.) Остается рассмот¬
реть последний случай.
Полагая и = х, dv = e*dx, найдем
du = (x)'dx = dx; J dv = J ex dx, v = ex.
По формуле (3) получаем
Jxe* dx = xe* - j*ex dx = xex -ex +C.
Исходный интеграл вычислен. Значит, в данном случае и и dv вы¬
браны верно. •
1} Данный интеграл можно вычислить подстановкой t = 1 +х2 (сделайте
это самостоятельно) или непосредственно, выделяя дифференциал новой
переменной, заменив xdx через —d(x2 +1), что мы и сделали.

6.4. Основные методы интегрирования
335
Часто метод интегрирования по частям приходится при¬
менять несколько раз.
Полученный интеграл снова вычисляем интегрированием по частям,
положив и = е*, dv = sin xdx, откуда найдем du = е*, v = - cosx. Тогда
Подставляя значение полученного интеграла в выражение (4), на¬
ходим
Перенося интеграл из правой части равенства в левую, получаем
произвольная постоянная.) •
Практика показывает, что большую часть интегралов,
вычисляемых интегрированием по частям, можно разбить
на три группы.
1)	К первой группе относятся интегралы вида
где Р(х) — многочлен. Для их вычисления следует положить
и равным одной из указанных выше функций, a dv = Р(х)dx
(см. пример 18).
2)	Ко второй группе относятся интегралы вида
О Пример 20. Вычислить интеграл Jех cosxdx.
Решение. Положим u = ex,dv = cos хсЬсЧ Тогда
du = (ex)'dx = exdx\ Jcb = J cos xdx, v = sinx.
По формуле (3) имеем
Je* cosxdx = e*sinx- Je* sin xdx.
(4)
Je*sinxdx = -e*cosx+ Je* cosxdx.
Je* cosxdx = e* sinx- (-e* cosx + Je* cosxdx)
= e* sinx+e* cosx - Je* cosxdx.
2je* cosxdx = e* (sinx+cosx) +Ct
и окончательно имеем
1} Здесь можно положить также и = cosx, dv = exdx.

336
Глава 6. Интегральное исчисление
гдеР(х) — многочлен, ak — некоторое число. Для их вычис¬
ления следует положить и = Р(х), a do = efadx, do = sin fee dx,
do = cos fee dx соответственно (см. пример 19).
3)	К третьей группе относятся интегралы вида
je^cos&rdx, je^sinfexdx,
где аяЬ — некоторые числа. Эти интегралы вычисляются
двукратным интегрированием по частям (см. пример 20).
Разумеется, указанные три группы не исчерпывают всех
интегралов, вычисляемых с помощью метода интегрирования
по частям.
О Пример 21. Вычислить интеграл J —^—.
Решение. Этот интеграл не входит ни в одну из упомянутых трех
dx
групп. Тем не менее, полагая и = х, dv = —;—, найдем du = dx, v = - ctgx.
sin x
По формуле (3) получаем
г xdx ^ г ^ j	^	rcosxdx
J	;— = -XCtgX+J Ctgxdx = -XCtgX + J -
sin X	J	J	sinx
•d(sinx)
sinx
= —xctg x + f (sinx) _ _xctgx + ln|sinx| + C.
J sin r	11
.	r	_
Аналогично вычисляется интеграл —5—. •
J cos x
Упражнения. С помощью метода интегрирования по час¬
тям вычислить следующие интегралы:
1.	jx arctg xdx. уОтв. Х * ^ arctg х - ^+С. j
2.	jarcsinxdx. (Отв. xarcsinx + Vl-x2 +С.)
3.	jlnxdx. (Отв. xlnx-x + C.)
4.	fxlnxdx. \ Отв. —lnx- —+ С.1
J	I	2	4	)
5.	fxcos2xdx. \Отв. —+ —xsin2x + —cos2x + C.l
3	К 4	4	8	)
6.	| х sin xdx. (Отв. -x cosx +sin x + C.)
7.	Jx2sinxdx. (Отв. -x2cosx + 2(xsinx + cosx) + C.)

6.4. Основные методы интегрирования
337
8.	jx2exdx. (Отв. ех(х2-2х + 2) + С.)
„ г ,г „ ,	e2l(3sin3x	+	2cos3x)
9. J е cos3xdr. \Отв. —-	—	- + C.J
(
10.	|(4х3 +§x-l)\ax<hc. Отв. (х4 + 3х2-7х)1пх-
(х4 Зх2	)	~)
- —+	7х +С.
U	2	)	)
11.	J(x3 + l)cosxdr. (Отв. (х3 - 6х + l)sinx + (Зх2 -
-6)cos х + С.)
	 	 (
12.	J* ln(Vl -х + *J\ + x)<bc. [ Отв. x\n(yj\-x + \j\ + x)~
\	\	. Л
—х +—arcsin х + С.
2	2	)
При интегрировании часто приходится применять сначала
метод замены переменной, а затем метод интегрирования по
частям.
О Пример 22. Вычислить интеграл
г у/х2 +1[1п(х2 +1) - 2 In х] ,
J	-a
Решение. Этот интеграл не входит ни в одну из трех групп инте¬
гралов, интегрируемых по частям. С помощью метода замены перемен¬
ной преобразуем его. Положим t = 1+-^. Тогда dt-	откуда
dr 1	х	х
-	—dt. После несложных преобразований подынтегрального вы-
х 2
ражения и подстановки получим
С yjx2 + 1[1п(х2 +1) - 2 Inх] А
Видим, что пришли к интегралу, который легко интегрируется по
d t	2
частям. Полагая и = Int, dv = yft dt, найдем dи = —, v = —tyft. Следо-
t	3
вательно,

338
Глава 6. Интегральное исчисление
2L3
-^t4t
+c.
Наконец, возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
ryjx2 +1[1п(х2 +1)-21пх]^ _
J	г4
1
3/2
О 4
1
~	In	I	1	ч—-1 - — 11 н—-
(x2 +1)V^2 +1
3/2
+c=
9x
2 — 3 In 11+Дг
+c. •
Упражнение. Вычислить интеграл Je^dx (положить
t = 4x). (Отв. 2(4x-\)^ + C.)
Вычислим интеграл I = j yja2 -x2dx с помощью интегри¬
рования по частям (ранее (см. пример 17) он был вычислен
с помощью замены переменной).
Положим и = л/а2 -х2, d» = dx; тогда dи = -
yla2
*,v = x.
Следовательно,
I	= | Vo2--x^dx = x-Ja2 -х2 +1 —j
У1‘
x2dx
a2 -x2
(5)
Добавим и вычтем а2 в числителе подынтегральной функ¬
ции интеграла в правой части равенства. Тогда, разделив на
4а
2	х2, получим
x2dx
• а2 -(а2 -х2)
2 J /а2-г2
d х = а2
dr
yja2
a2 -x2dx -
= a2arcsin—I.
a
Подставив это выражение в (5), получим
I	= xyja2 -х2 + a2 arcsin—-1.
а

6.4. Основные методы интегрирования
339
Объединяя оба интеграла / = Jу/а2 -х2dx в левой части,
имеем
2	f yja2 -х2 dx = xyja2 -x2 + a2 arcsin—.
J	a
Отсюда окончательно находим
f yja2 -x2 dx = — yja2 -x2 +—arcsin— + C.
1	2	2	a
В заключение вычислим интеграл
Г d.r
" J(X2+l)n
(п — целое положительное число), который понадобится в
дальнейшем. При п = 1 имеем
I{ = arctg х + С.
Пусть п > 1. Заменив в числителе единицу разностью
(х2 + 1) - х2, получим
т f dx f x2dx
n=J(x2 + l)n-1_J(x2 + l)n’
Во втором интеграле положим
u=x,du = dx,
^ _ xdx	г	xdx _	1
V~ (х2 + 1)я ’ V ~ J (x2 + \)n ~ ~ (2n - 2)(x2 + l)n_1
(см. пример 16), поэтому
r x2dx	x	г	dx
—Г+ f
«-1 J - '
J (x2 +1 )n	(:In - 2)(x2 +1)”-1 J (2w - 2)(x2 + l)n_1
следовательно,
j =J		x	1 j
n~	+ (2w - 2)(x2 + l)n_1 2m-2 n_1’
т.е.
x	2n-3
h-r
n (2n-2)(x2 + l)n~l 2n-2
Таким образом,
f dx	x	2n-3	г	dx

340
Глава 6. Интегральное исчисление
Формулы типа (6) называются рекуррентными^. Они по¬
зволяют свести вычисление интеграла 1п к вычислению инте¬
грала 1п_х с индексом, меньшим на единицу, а, в свою очередь,
вычисление 1п_х — к вычислению / _2 и т.д. В результате придем
к известному интегралу 1Х и будет вычислен интеграл 1п.
О Пример 23. Вычислить J—f* 3.
(г +1)
Решение. По рекуррентной формуле (6) имеем
г dx	х	3 г dr
Jfr2+'h3 А( г2 + 1^2 4 J z'^-2-l 1 ч2 ’
(xz+iy 4(xz+iy 4J (г +1)
dr	г	1	г	dr	г	dr
С dr	х	1	j-
J (V+lV* ~ ^-r2 -И'Л?.!
-	= arctg х;
(r2+l)2	2(r2+l)	2Jr2+l’	Jr2+1
окончательно получаем
с dr	г	3	3^^
	7)	5" — 	7)	77 Н	7)	1—arctg X + С.
J(r2+1)3	4(г	+1)	8(х	+1)	8	6
Вопросы для самопроверки
1.	В чем состоит метод непосредственного интегрирования?
2.	Напишите формулу замены переменной в неопределенном
интеграле. При каких условиях эта формула справедлива?
3.	Напишите формулу интегрирования по частям. При каких
условиях эта формула справедлива?
4.	Какие интегралы наиболее удобно вычислять интегрирова¬
нием по частям?
5.	Каково назначение рекуррентных формул?
6.5.	Интегрирование рациональных функций
Важный класс функций, интегралы от которых всегда
выражаются через элементарные функции, образуют рацио¬
нальные функции, т.е. функции, которые можно представить
в виде дроби
Р(х)
QCO’
где Р(х), <2(х) — многочлены.
Если степень многочлена в числителе равна или больше
степени многочлена в знаменателе, то, выполнив деление,
получим
0 От лат. recurrens — возвращающийся.

6.5. Интегрирование рациональных функций
341
(1)
где W(x) — некоторый многочлен, a R(x) — многочлен степени
ниже чем Q(x).
О Примеры.
. л:5 +х3-х2 +1	2	о	2х2-6х+2
1.		5	= Х +3	5	.
х -2х+1	х	—	2х	+1
В высшей алгебре доказывается, что каждый многочлен
<2(х) может быть представлен в виде произведения
где А — коэффициент при старшей степени многочлена Q(x),
а а, р,..., у — корни уравнения Q(x) = 0. Множители (х- а)(х-
- р)-(х- у) называются элементарными множителями. Если
среди них есть совпадающие, то получим представление
где г, 5,..., t — целые числа, которые называются кратностями,
соответствующими корням а, р,..., у, причем г + s + ... +1 = п,
п означает степень многочлена Q(x).
Так, например, многочлен Q(x) = 5(х - 1)2(х + 4)3 имеет
следующие корни: а = 1, р = - 4, при этом число 2 есть крат¬
ность корня 1; число 3 — кратность корня (-4).
Среди корней представления (2) могут быть и комплекс¬
ные. В высшей алгебре доказывается, что если a = a + bi-r —
кратный комплексный корень многочлена с вещественными
коэффициентами, то он имеет также сопряженный с ним
г-кратный корень а = а-Ы. Другими словами, если в пред¬
ставление (2) входит множитель (х - а)г, то оно содержит
также и множитель (х-а)г. Перемножив эти два множителя,
получим
(x-a)r(x-a)r = {[x-(a + biy\[x-(a-biy\y =
= [х2 -x(a + bi)-x(a-bi) + a2 +b2J =
= [х2 -2ах + а2 +b2J = (х2 +2px + q)r,
где р = -a, q = а2 + b2,p2 - q < 0.
Таким образом, произведение множителей, соответствую¬
щих сопряженным комплексным корням, можно представить
Q(x) = А(х - а) + (х - р)-(х - у),
<2(х) = А (х - а)г(х - ру-(х - у у,
(2)

342
Глава 6. Интегральное исчисление
в виде квадратного трехчлена с вещественными коэффици¬
ентами. Поступая аналогично с остальными комплексными
корнями, представление (2) запишем в виде
а(х) = Л(*-аУХ*-р)5...
...(х2 + 2px + qY(x2 +2ux + vy... .	(3)
В высшей алгебре доказывается следующая теорема: если
рациональная функция ^Х^ в соотношении (1) имеет сте-
<20)
пень многочлена в числителе меньше степени многочлена в
знаменателе, а многочлен Q(x) представлен в виде (3), то эту
функцию можно единственным образом представить в виде
R(x)	А	А	А
—— =	 	+	—J + ... +	-	+ ...
Q(x) (х-а)	(х-а)	(х-а)г
M,x + N,	M0x + N,	M.X + N,
...+—5-1	—+—5—2	2—r + ... + —5—*	(4)
х +2 px + q (х +2 px + q) (х +2 px + q)
где Л,, А2,..., Аг,..., Mv Nv Mv Nv ..., Mt, Nt,... — некоторые чис¬
ла. Разложение (4) называется разложением рациональной
функции на элементарные дроби.
Равенство (4) имеет место для всехх, не являющихся ве¬
щественными корнями многочлена Q(x).
Чтобы определить числа Av А2,..., Аг,..., М(, Nv ..., Mt, Nt,...,
умножим обе части разложения (4) на Q(x). Так как равенство
между многочленом R(x) и многочленом, который получится в
правой части, справедливо для всех х, то коэффициенты, стоя¬
щие при равных степенях х, равны между собой. Таким образом
получим ряд уравнений первой степени, из которых найдем
неизвестные числа AVA2,..., Аг,..., М{, Nv ..., Mt, Nt,.... Изложен¬
ный метод отыскания разложения рациональной функции
называется методом неопределенных коэффициентов.
2х-\
О	Пример 1. Разложить рациональную функцию —;— 	 иа
X —эх + 6
элементарные дроби.
Решение. Так как х2 - 5х + 6 = (х - 3)(ж - 2), то по формуле (4)
имеем
2х-1 А В
—9	=	1	•
х -5х +6	х-3	х-2
Умножая обе части равенства иа х2-5х + 6, получаем
2х - 1 = Л(х - 2) + В(х- 3), или
2х-1=(А+В)х-2А-ЗВ.

6.5. Интегрирование рациональных функций
343
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
уравнения первой степени:	^	’ откуда А = 5, В = -3. Таким
[2 А +оВ = 1,
образом,
2х -1	5	3
х2-5х + 6	х-3	х-2
х2-1
Пример 2. Найти разложение рациональной функции
х(х2 +1)2
на элементарные дроби.
Решение. Так как квадратный трехчлен х2 + 1 имеет комплексные
корни, то по формуле (4) имеем
х2-1 А Вх + С	Dx + E
х(х2 +1)2 х х2 +1	(х2	+1)2 ‘
Умножая обе части равенства на х(х2 + I)2, получаем
х2 - 1 = А(х2 + I)2 + (Вх + С)(х2 + 1)х + (Dx + Е)х
или
x1-l = (A+B)x4 + Cx3 + (2A+B + D)x2 + (C + E)x + A.
Сравнивая коэффициенты прилс°, л:1, л:2, f ил4, придем к системе
уравнений
[ха\А+В = О,
х3:С = О,
<	х2:2 А В D = 1,
х1:С + £’ = 0,
лг°:Л = -1.
Решая эту систему, найдем Л = -1,Я = 1,С = 0, D = 2, Е=0, поэтому
искомое разложение имеет вид
х2-1	_	1	х	2х	-
х(х2 +1)2	х + х2 +1 + (х2 +1)2 *
Из изложенного следует, что задача интегрирования ра¬
циональной функции (1) сводится к интегрированию ра¬
циональной функции w(x) = aQ:г"1 +	+ ... + ат, интеграл
от которой является табличным
хт+х хт
Г w(x) dx = an	+ а. — +... + ах + С,
J	т	+1 т
R(x\
и интегрированию рациональной функции , чтосводит-
<20)
ся к нахождению интегралов следующих четырех типов:

344
Глава 6. Интегральное исчисление
I.	f ^ <hc = А\п\х-а\ + С.
х-а.
При этом многочлен х2 + 2рх + q не имеет вещественных
корней, так чтор2 -q< 0.
Вычислим интеграл III типа, который принадлежит к числу
интегралов, часто встречающихся на практике.
Выделим из трехчлена в знаменателе полный квадрат:
Это разложение подсказывает подстановку x+p = t,x=t-p,
dx = dt. Далее, q-p2 = h>0vi перейдем к переменной t.
В результате интеграл преобразуется к виду
Первый интеграл в правой части вычисляется непосред¬
ственно:
Второй интеграл вычисляется по формуле XIII таблицы
основных интегралов.
О	Пример 3. Вычислить интеграл Г &х+5—^
J х +4х+9
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат: х2 + Ах + 9 =
= (х + 2)2 + 5. Сделаем подстановку х + 2 = t, х = t - 2, dx = d£; в резуль¬
тате получаем
х2 + 2рх + q = (х+р)2 + q-р2.
г Ах + В j г At + В — Ар j
—о—~	dx =		5—r~^dt
J х +2рх + q	J t +h
= ln |^2 +h\ + C = \n\x>+2px + q\ + C.
I
6x+5
dr =J
6x+ 5
x2 + 4x+9
(x + 2)2 +5
1} Интегралы I и II типа интегрируют с помощью подстановки t = x- а.

6.5. Интегрирование рациональных функций
345
= j^d; = 3j^-7j^ =
*42 + 5	J^2+ 5	J^2+	5
= 31n(£2 +5)--^arctg-^r + C.
Возвращаясь к переменной x, получим
J77^to=31ntf+4*+9)-^arct8;^+c- •
Теперь перейдем к вычислению интеграла IV типа
| —2	+ В—-dx, q - р2 > 0, г > 1. Введем новую перемен¬
ах* ~н 2 рх ~н q)
ную
z= *—!-=, х = z^jq-p2 -р, dx = yjq-p2dz.	(5)
Jq
Далее имеем
гЧ1=(£±£> +1 = х +2рт+9	(6)
q-p	q-p
Таким образом, используя подстановку (5) и принимая
во внимание (6), получаем
Г Ах+В Hr - f а[Ф-р2-р]+в !^~Jaz =
•’(х2+2px + qY •" (z2+ i)r(q-р2)г
= f^±^dz = Ml4^ + iVf- **
J/V-I-IY	J/V24-1Y	J/
(г2 + l)r ~ "J (г2 + l)r " J (z2+l)r’
где М, N — постоянные числа, значения которых ясны из
предпоследнего равенства. Ко второму интегралу послед¬
него равенства можно применить рекуррентную формулу
(см. формулу (6) на с. 339); положив в первом из интегралов
Z2 + 1 = t, получим
f zd^=Mfdt=_^u	1
(z + l)r 2 3 tr 2(r-l) t
M 1 .+c.
2(r-l) (z2 + l)r'1
^(?-2x+5)2
О Пример 4. Вычислить интеграл f—+ ^	^
J f г — 9 г

346
Глава 6. Интегральное исчисление
х — 1 х — 1
Решение. Положим 2 = 		=	, откуда х = 1 + 2z, dx = 2d2, а
>/5^1	2
х2 - 2х + 5 = 4(г2 + 1), следовательно,
г	5х + 3	j л 5(1 + 2z) +3 n j
j* 10 2 + 8 ,	5	j*	zdz	j*	dz
HO
8(z2 +1)2	4J (z2 +1)2 J (z2 +1)2 ’
zdz 1	1
J
02+l)2	2	г2	+1’
cb	г	1
-+—arctg 2.
(z2+l)2	2(z	+1)	2
Таким образом,
5x+3	,	51	г	1	^
dr —	p	1	о	^—arctg 2 + о —
J (x -2x+5)	8	2	+1	2(2	+1)	2
42-5	1	„	_
—	^	1—arctg 2 + C.
8(z +1)	2	6
Возвращаясь теперь к переменной х, получаем
г 5х+3	,	2х-7	1	fх-14) _ _
2С^2^Т5> + 2;arctg[—J+C- *
Итак, установлено, что интегрирование любой рацио¬
нальной функции сводится к интегрированию многочлена и
конечного числа элементарных дробей, интегралы от которых
выражаются через рациональные функции, логарифмы и
арктангенсы. Иными словами, любая рациональная функция
интегрируется в элементарных функциях.
Упражнения. Вычислить следующие интегралы:
1. f	 — 	dr. (Отв. 21n|x-2|-ln|x-3| + C.)
J (х-2)(х-3)
2. J-—(Отв. 1п|х-2| + 1п|х + 5| + С.)
.	I О у
3.	|	dr. (Отв. 31n|x| + ln|x-l|-ln|x + l| + C.)
4- f ч Х 	dx (отв. х+—1пЫ- —Ьг-2| +
}х3-5х2+6х К	6	11	21	1

6.5. Интегрирование рациональных функций
347
+^-1п|х-3| + С.
5.J
х4 +Зх3 + 2х2 +х + 1
х2 + X + 1
dr.
Отв.	1- х - х +
3
4 , 2 ( ^
+—i= arete —j=\ х + —\ + С.
yfb V3'v 2)	,
6 |__5ж + 2—^ (отв. —ln(x2 + 2x +10) - arctg x + ^ +
oc “I-	“I-10^	\	2	3
+ C.
, Г dx (n 1, (x + 1)2	1	^ 2x-l
7- f?7T I0”"' 6 I^7+T+V3	g_j3_+ J
8. J . fome.	ln|x + l| + —ln(x2-x + l) +
x 1 \	3	6
yfb „ 2x-l ^
+Tarctg^/T+Cj
9.	fowze. —In
x — 1
x + 1
arctg x + C.
10.	J ^X + l42 dy- Отв. ln|x|-^ln(l + x2) +
x(l + X )
+—arctgx + C.
3x + l
2(x2 +1)
11. j
+ C.
3x + 5
(x +2x + 2)
-dx.
Отв.
2x-l
2(x + 2x + 2)
+ arctg(x + l) +
В заключение отметим, что рассмотренные приемы и ме¬
тоды интегрирования не исчерпывают всех классов аналити¬
чески интегрируемых элементарных функций. В то же время
из изложенного следует, что технически интегрирование

348
Глава 6. Интегральное исчисление
сложнее дифференцирования. Необходимы определенные
навыки и изобретательность, которые приобретаются ис¬
ключительно практикой решения большого числа примеров.
Кроме того, если дифференцирование не выводит из класса
элементарных функций, то при интегрировании существуют
-г2	1	sinx
такие элементарные функции (например, е , -—,
1пх х
и т.д.), первообразные от которых не являются элементар¬
ными функциями. Такие первообразные хорошо изучены,
их значения вычислены приближенно, для них составлены
таблицы и графики.
Вопросы для самопроверки
1.	Как рациональную дробь разложить на элементарные дроби?
2.	Что такое метод неопределенных коэффициентов?
3.	К интегралам каких типов приводит интегрирование рацио¬
нальной дроби?
4.	Приведите примеры элементарных функций, первообразные
от которых не являются элементарными функциями.
6.6.	Определенный интеграл
6.6.1.	Понятие определенного интеграла
Пусть функция у =f(x) определена на отрезке [а, Ь\ а < Ь.
Разобьем этот отрезок на п произвольных частей точками
а = х0 < хх < х2 < ... < x._t < х. < ... <xn = b.
Обозначим это разбиение через т, а точки х0, xv ..., хп бу¬
дем называть точками разбиения. В каждом из полученных
частичных отрезков [х. v х.] выберем произвольную точку
^.(х. t	< х.). Через Ах. обозначим разность х. -x._v которую
будем называть длиной частичного отрезка [х{ v х]. Составим
сумму:
а = /(^) Д*, + /($2) Дг2 +... + К^п)Ахп =
=£/&)д*£,	о)
г=1
которую назовем интегральной суммой для функции/(х) на
[а, Ь]у соответствующей данному разбиению [а, b] на частич¬

6.6. Определенный интеграл
349
ные отрезки и данному выбо¬
ру промежуточных точек
Геометрический смысл сум¬
мы ст очевиден: это сумма
площадей прямоугольников с
основаниями Axv Ах2,..., Ахп и
высотами/^),/(у, ...,/(£),
если/(х) > 0 (рис. 177).
Обозначим через X дли¬
ну наибольшего частич¬
ного отрезка разбиения т:
X = тах{Дх;}.
1 x(=at3^xfi2x2 х._х .х. х-\ ^Ь=хп х
Рис. 177
1 <г<п
Определение. Если существует конечный предел I инте¬
гральной суммы (1) при X —> 0, то этот предел называется
определенным интегралом1} от функции f(x) по отрезку [а, Ь]
и обозначается следующим образом:
(2)
или
j /(x)dx = Нт£/(^)Дг;.
z=1
В этом случае функция /(х) называется интегрируемой
на [а, Ь]. Числа а и b называются соответственно нижним и
верхним пределами интегрирования, /(х) — подынтегральной
функцией, х — переменной интегрирования.
Необходимо сделать ряд пояснений, так как имеет место
не совсем обычный предельный переход. Данное определение
определенного интеграла по форме напоминает первое опреде¬
ление предела функции «на языке последовательностей», где
вместо функции стоит интегральная сумма (1), являющаяся
переменной величиной, которая зависит от X. Действительно,
предположим, что отрезок [а, b] последовательно разбивают
на части сначала одним способом, затем — вторым, третьим
и т.д. Причем длина наибольшего отрезка в каждом случае
В некоторых учебных пособиях, где неопределенный интеграл, как
множество функций вида F(x) + С, называется «первообразной», опреде¬
ленный интеграл называют просто «интегралом».
2)	Читается: «определенный интеграл от а до b f(x) на dx».

350
Глава 6. Интегральное исчисление
уменьшается X -» 0°, когда и -> оо. Таким образом, получаем
последовательность разбиений {т }, у которой lim А. =0, и
п	п^>	ОО
можно дать определение определенного интеграла на уже
знакомом «языке последовательностей»: функция /(х) назы¬
вается интегрируемой на [а, 6], ea/ш для любой последователь¬
ностиразбиений {т }, у которой \imXn =О, соответствующая
п	п->°о
последовательность интегральных сумм {aj стремится всегда
к одному и тому же пределу I = limc^.
00
Можно дать определение определенного интеграла и «на
языке в — 6»: число I называется определенным интегралом
функции f(pc) на отрезке [а, й], если для любого в > 0 суще¬
ствует 6 > 0 такое, даю n/ж Л, < 6 (т.е. отрезок разбит на
части, длина которых Дх. < 6) независимо от выбора точек £.
выполняется неравенство
<8.
Доказать эквивалентность обоих определений можно по
аналогии с эквивалентностью двух определений предела
функции. Определение «на языке последовательностей» дает
возможность перенести основные понятия теории пределов
и на этот новый вид предела.
Из определения определенного интеграла следует, что
величина интеграла (2) зависит только от вида функций/(х)
и от чисел а и Ь. Следовательно, если заданы /(х) и пределы
интегрирования, то интеграл (2) определяется однозначно и
представляет собой некоторое число.
ъ
О Пример 1. Используя определение, вычислить интеграл J Cdx,
где С — некоторое число.
Решение. Разобьем отрезок [а, Ь] на п произвольных частей точками
а - х0 < хх < х2 < ... < х. t < х. < ... < хп = b и составим соответствующую
интегральную сумму (1). Так как подынтегральная функция f(x) = С
постоянна, то для любого выбора промежуточных точек получим
интегральную сумму вида
a = CAxt +САх2 + ... + САхп =
i=i
Далее имеем
1} Вместо X О было бы неправильно писать оо, так как можно при¬
вести пример (подумайте, какой?), когда увеличение числа точек разбие¬
ния [а, Ь] еще необязательно означает, что все Ах. неограниченно убывают;
если же X -> 0, то все Ах.	0 и обязательно п оо.

6.6. Определенный интеграл
351
^СДг- =С^Лг- =
i=l	г=1
= C[(xt-а)+(х2 -хх) + ... + (Ь-хп)\ = С(Ь-а).
Видим, что интегральная сумма для данной функции не зависит ни от
разбиения, ни от выбора точек и равна С(6 - а). Следовательно, и ее
предел при X = тах{Лх.} -» 0 равен той же величине.
1 <i<n
Таким образом, по определению
Ь	п
JCdx = Hm^CAx- = С(Ь-а).
1
Пример 2. Используя определение, вычислить интеграл JxcLx.
о
Решение. Разобьем отрезок [0,1] на п равных (в данном случае это
удобно) частей точками 0=х0 < х4 < х2 <... < хм < х <... < хя = 1. Длина каж¬
дого частичного отрезка Ах = 1 /п. Причем если п —» со, то X = тах{Лх-} =
^	1	1<i<n
=	> 0, и наоборот. В качестве промежуточных точек % (х < £< х.)
п	i	'	'
возьмем правые концы частичных отрезков:	=	х. = —(i = 1, 2, гг).
'	1	п
Составим соответствующую интегральную сумму (1):
” Е .	”	i	1	1	о	ч	я(я+1)	я+1
ст = ТЕ,Дг, =У	= —^(l + 2+... + w) = 4 9 - =	.
п п п	'	2п	2п
Вычислим предел интегральной суммы при п -» оо. Получим
я + 1	1+1/гг	1+0	1
lim—— = lim—-7— = —— =
"->со 2п п->°°	2	2	2
Следовательно, по определению
1	п	л
f xdx = lim У £.Дх. =
А,—>0 . .
(п->со) 1=1
Упражнение. На примере 2 покажите, что при другом вы-
i-1
боре промежуточных точек (например, =	левые
г	п
концы частичных отрезков) предел интегральной суммы,
а значит, и величина данного интеграла не изменятся.
6.6.2.	Основные свойства определенного интеграла
ъ
Интеграл J f(x)dx был введен для случая а < Ъ.
а
Обобщим понятие определенного интеграла на случаи,
когда а = Ь иа> Ь.

352
Глава 6. Интегральное исчисление
1°. Если а = Ь,то по определению полагаем
| f(x)dx = 0.	(3)
а
Если а> Ь, то, по определению
J f(x)dx = -J f(x) dx	(4)
a	b
2°. Каковы бы ни были числа а, Ъ, с, всегда имеет место
равенство
Ъ	с	Ъ
J f(x) dx = J f(x)dx + J f(x) dx	(5)
a	a	с
(здесь и в дальнейшем предполагается, что интегралы, вхо¬
дящие в доказываемые формулы, существуют).
□	Доказательство. Допустим сначала, что а < с < Ь.
Так как предел интегральной суммы а не зависит от способа
разбиения отрезка [а, Ь], то будем проводить разбиение так,
чтобы точка с всегда была бы точкой разбиения [а, Ь]. Если,
например, с = хт, то а можно разбить на две суммы:
п	т	п
=Z/(^)Ari + Z
i=1	z= 1	i=m+1
Переходя в последнем равенстве к пределу при X -» 0, мы
и получим равенство (5).
Суть доказанного свойства состоит в том, что определен¬
ный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по
его частям.
Доказательство для другого расположения точек а, Ь, с
легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например,
а<Ь<с\ тогда, по доказанному, имеем
с	Ъ	с
J f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx,
a	a	b
откуда, учитывая (4), получаем
J f(x) dx = | f(x) dx - j f(x) dx =| f(x) dx + J f(x) dx,
a	abac
т.е. опять пришли к равенству (5). ■
3°. Постоянный множитель можно выносить за знак оп¬
ределенного интеграла, т.е.

6.6. Определенный интеграл
353
и	и
| kf(x)dx = kjf (x)dx.	(6)
а	а
□	Доказательство. Действительно, для любого разбие¬
ния отрезка [а, b] и любого выбора точек ^
z=1	z=1
Переходя к пределу при X -> 0, имеем
j kf (x)dx = lim	)Ax; = lim	/(^ )Ax; =
a	z=l	^ z= 1
= /(x)(ir’
i=l	a
т.е. получено равенство (6). ■
4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы функ¬
ций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.
ъ	ъ	ъ
J [kf (х) ± g(x)]dx = J /(x)dx ± J g(x)dx.
а	а	а
□	Доказательство. Действительно, для любого разбие¬
ния отрезка [а, b] и любого выбора точек i;;
fd[fai)±gai)]Axi=fdfai)Axi±fdgai)Axi.
i=\ i=\	i=\
Так как
lim £ /(^ ) Дх; = J /(x) dx и lim £ g(q,) Ax; = J g(x)dx,
*=1	a	*=1	a
то получаем, что
J [/(x)±g(x)]dx =	=
a	i=l
=!™Z/(^) ^ ±	^ =
z= 1	z= 1
= j/(X)dx± Jg(x)dx.	■
a	a
Замечание. Свойство 4° имеет место для любого конечного
числа слагаемых.

354
Глава 6. Интегральное исчисление
6.6.3.	Оценки интегралов. Формула среднего значения
1°. Если всюду на отрезке [а, Ь\ функция f(pc) > О, то
ъ
J / (x)cLr > 0.
а
□	Доказательство. В самом деле, любая интегральная
сумма а для функции/(х) на [а, Ь\ неотрицательна, так как
/(£.) >0, Axi = x.-x._>0, г = 1, 2,..., п.
п
Переходя к пределу при X -> 0 в неравенстве	> 0,
г=1
получаем
ъ
J/(x)cLr>0. ■
а
2°. £а/ш всюду на отрезке [а, 6] /(х) < g(x), wo
J/(x)dx< Jg(x)dx.	(7)
а	a
□	Доказательство. Применяя оценку 1° к функции
g(x) -fix') > 0, имеем
j[g(*)-/(*)]d*^0.
а
Но, согласно свойству 4°,
ь	ъ	ъ
j [gO) - fix)] dx = J g(x) dx - J fix) dx > 0,
a	a	a
откуда получаем неравенство (7). ■
3° Для функции f(x), определенной на отрезке [а, Ь], имеет
место неравенство
|/(x)dx <j|/(x)|dx.	(8)
а	а
□	Доказательство. Применяя оценку 2° к очевидным
неравенствам
и проинтегрировав их почленно, учитывая свойство 3°, по¬
лучим

6.6. Определенный интеграл
355
а это равносильно неравенству (8). ■
Следствие. Если всюду на отрезке [a, b], a<b,\f (х)| < k, то
j f(x) dr
<k(b-a).
(9)
□	Действительно, из неравенства |/(х)| <km оценок 2° и 3°
следует, что
ъ	ъ	ъ	ъ
|/(х)dx < ||/(х)|dx< |Мх = dx,
отсюда, принимая во внимание, что
ъ
|с1х = Нт^1-Дх; =Ь-а,
а	i=l
(10)
получаем соотношение (9). ■
4°. Если тиМ — соответственно наименьшее и наибольшее
значения функции/(х) на отрезке [а, Ь], а<Ь,то
тф - а) < |/(x)dx < M(b - а).
(11)
□	Доказательство. По условию для любого х е [а, Ь]
имеем
т < /(х) < М.
Применяя оценку 2° к этим неравенствам и проинтегри¬
ровав их почленно, получим
/и jdx < |/ (x)dx < М| dx,
откуда, учитывая (10), получаем неравенства (11). ■
Теорема 6.4 (о среднем). Если функция/(х) непрерывна
на отрезке [а, b], то на этом отрезке существует точка с
такая, что
}/(х) dx = f (с)(Ь - а).	(12)

356
Глава 6. Интегральное исчисление
Формула (12) называется формулой среднего значения.
□	Доказательство. Так как/(х) непрерывна на [а, 6],
то по второй теореме Вейерштрасса существуют числа т и
М такие, что
min f(x) = m< f(x) <М = max f(pc).
[a, b]	[a,b]
Отсюда, согласно оценке 4°, находим
и
m(b - а) < J/(л:) dx < M(b - а)
и,	следовательно,
jf(x)dx
т < -2—	< М.
Ь-а
Положим
j /(х) dx
_а	.
Ь-а
■ \х (m<\i< М).
Так как ц заключено между наименьшим и наибольшим
значениями непрерывной функции f(x) на [а, b] (рис. 178),
то, по теореме 4.11 о прохождении функции через любое
промежуточное значение, существует точка се[а, b] такая,
что /(с) = \х. Поэтому
{ /(х) dx
	= /(с)>
Ь-а
а это равносильно равенству (12). ■
Величина /(с) в формуле (12) называется средним зна¬
чением функции f(x) на отрезке
[а, Ь].
Замечание. Теорема о сред¬
нем имеет четкий геометрический
смысл: величина определенного
интеграла при/(х) > 0 равна пло¬
щади прямоугольника, имеющего
высоту /(с) и основание Ь-а.
Рис. 178

6.6. Определенный интеграл
357
6.6.4.	Условия существования определенного интеграла
Теорема 6.5 (необходимое условие интегрируемости
функции). Если функция/(х) интегрируема на отрезке [а, Ь],
то она ограничена на этом отрезке.
□	Доказательство. Предположим обратное, т.е. допустим,
что/(х) не ограничена на [а, Ь]. Покажем, что в этом случае
интегральную сумму ст можно за счет выбора точек\2,..., \п
сделать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка
[а,Ь].
Действительно, так как/(х) не ограничена на [а, Ь], то при
любом разбиении отрезка [а, Ь) она обладает этим свойством
хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, скажем, на Дгг
Выберем тогда на остальных отрезках Дх2, Дх3,..., Дхл точки
q2, q3,..., \п произвольно и обозначим
" а'=/(уДг2+/(уДг3 + ...+Мп)Ахп.
Затем возьмем такое на Ах,, чтобы
|ст'| + М
Дх,
где М — любое наперед заданное положительное число. Это
можно сделать, поскольку /(х) не ограничена на Дхг Тогда
|/Ю|	^	И	+	А/	и	|ст|	= |/(5,+ а'| >
>\fa,)\Ax,-\o'\>M,
т.е. интегральная сумма а по абсолютной величине больше лю¬
бого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма а
не имеет конечного предела, а это означает, что определенный
интеграл от неограниченной функции не существует. ■
Замечание. Обратная теорема не верна, т.е. условие ог¬
раниченности функции /(х) необходимое, но не достаточ¬
ное условие для интегрируемости функции. Поясним это
утверждение на примере. Рассмотрим функцию Дирихле на
отрезке [0,1]:
Г1, если х рационально,
}\х) = {
[О, если х иррационально.
Функция Дирихле, очевидно, ограничена. Однако она
не интегрируема на [0, 1]. Покажем это. Если при любом
разбиении отрезка [0,1] выбрать точки ^(х.^ <q.< х.) рацио¬
нальными, то получим

358
Глава 6. Интегральное исчисление
а = Х/(УЛ*;=2>Л*; = 1,
i=l	г= 1
а если взять иррациональными, то имеем
а = £/&)**,=£ 0-Ari=0.
z=l
Итак, при разбиении на сколь угодно малые отрезки ин¬
тегральная сумма может принимать как значение, равное О,
так и значение, равное 1. Поэтому интегральная сумма а при
X 0 предела не имеет.
Таким образом, очевидно, что для существования опре¬
деленного интеграла от некоторой функции f(x) последняя
помимо ограниченности должна обладать дополнительными
свойствами, обеспечивающими ее интегрируемость.
Теорема 6.6 (достаточное условие интегрируемости
функции). Если функция f(pc) непрерывна на отрезке [а, Ь\,
то она интегрируема на нем, т.е. для любого е > О существует
8 > 0 такое, что при X < 6 выполняется неравенство
Х/(УЛ*;-/< 8.	(13)
i=1
□	Доказательство. Так как функция/(х) непрерывна
на отрезке [а, b] то по теореме Кантора она и равномерно
непрерывна на нем, следовательно, для любого s > 0 суще¬
ствует 8 > 0 такое, что для любых двух точек х \ х"е [а, Ъ],
удовлетворяющих неравенству \х” -х'\ < 8, выполняется
неравенство
\f(x")-f(x')\<-^-.	(14)
Покажем, что это и есть такое 8, при котором неравенство
(13) выполняется при X < 8.
Пусть т — разбиение отрезка [а, Ъ] на частичные отрезки
[x._t, х.], длина которых Ах. < X < 8. Применяя теорему о сред¬
нем к каждому из отрезков [х t, х], получим
JCj
J f(x) dx = /(^*)Дх„ х{_, <^<xt (i = 1, 2,..., n).
*»-l
Суммируя эти равенства по всем частичным отрезкам
[х_1,х], имеем

6.6. Определенный интеграл
359
£ | /О) dx = J f(x) dx = о,
а
п
где о* = '^f(£>*)Axi. Возьмем теперь на каждом из отрезков
z=i
[х. 1, х.\ произвольную точку Тогда
а - f f(x)dx = а - ст* = J /(!<) ■^ =
i=l i=l
i= 1
Так как -£*| < Лг; < Я, <8, то, принимая во внимание
неравенство (14), получаем
£/(^)Дг;-/
2=1
<TL:S^=TL:^“a)=8’
т.е. требуемое неравенство (13). ■
Как следует из теоремы, условие непрерывности функции
на отрезке [а, 6] является достаточным условием ее интегри¬
руемости. Но это не означает, что определенный интеграл
существует только для непрерывных функций. Класс интег¬
рируемых функций гораздо шире. Например, можно доказать,
что существует определенный интеграл от функций, имеющих
конечное число точек разрыва0.
Вопросы для самопроверки
1.	Что такое разбиение отрезка [а, b]?
2.	Что такое интегральная сумма функции f(x) на отрезке [а, Ь]
и в чем состоит ее геометрический смысл?
3.	Дайте определение определенного интеграла как предела ин¬
тегральной суммы. Почему вместо X -> 0 нельзя писать оо?
4.	Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
Докажите свойство 2° для случая расположения точек Ь<с<а.
5.	Перечислите оценки интегралов.
ь
6.	Пусть | f(x)dx > 0. Следует ли отсюда, что/(х) > 0 на [а, b]?
а
7.	Сформулируйте теорему о среднем.
1} См. кн.: Шипачев В. С. Высшая математика. М., 2000.

360
Глава 6. Интегральное исчисление
8.	Почему в формуле среднего значения (12) точку с нельзя
считать произвольной?
9.	Приведите пример, когда формула (12) справедлива для любой
точки С Е [#, Ь].
10.	Сформулируйте необходимое условие интегрируемости
функции.
11.	Всякая ли ограниченная функция интегрируема? Ответ
обоснуйте примером.
12.	Сформулируйте достаточное условие интегрируемости
функции.
13.	Приведите пример интегрируемой функции.
6.7.	Определенный интеграл
с переменным верхним пределом
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с
постоянными пределами интегрирования а и Ь. Если изме¬
нять, например, верхний предел, не выходя из отрезка [а, Ь],
то величина интеграла будет изменяться. Другими словами,
интеграл с переменным верхним пределом представляет собой
функцию своего верхнего предела.
Таким образом, если имеем интеграл
J/(Od£1), (a<x<b)
а
с постоянным нижним пределом а и переменным верхним пре-
делом х, то величина этого интеграла является функцией верх¬
него предела х. Обозначим эту функцию через Ф(х) (рис. 179),
т.е. положим
Ф(*) = //(*)<**>	(1)
а
и назовем ее интегралом с пе-
ременным верхним пределом.
Геометрически функция Ф(х)
представляет собой площадь за¬
штрихованной на рис. 179 криво¬
линейной трапеции, если /(х) > 0.
При этом функция Ф(х) возрас-
0 Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t,
так как буквой х обозначен верхний предел интегрирования.

6.7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
361
тающая, так как с ростом х площадь криволинейной трапеции
увеличивается.
Теперь рассмотрим основную теорему дифференциального
и интегрального исчислений, устанавливающую связь между
производной и интегралом.
Теорема 6.7. Производная интеграла от непрерывной
функции по переменному верхнему пределу существует и
равна значению подынтегральной функции в точке, равной
верхнему пределу, т.е.
(х	V
O'(*) = y[/(0cl*j = fix).	(2)
□	Доказательство. Возьмем любое значение х е [а, b] и
придадим ему приращение Ах * 0 такое, чтобы х + Ах е [а, Ь],
т.е. а < х + Ах < Ь. Тогда функция Ф(х), определенная выра¬
жением (1), получит новое значение:
х+Ах
Ф(х + Дх) = | f(t) df.
а
Согласно свойству 2° определенного интеграла (см. с. 351—
353), имеем
х	х+Ах	х+Дх
Ф(х + Ах) = J /(О dt + J /(О dt = Ф(х) J /(О (it.
ах	х
Отсюда находим приращение функции Ф(х):
х+Ах
Ф(х + Дх) - Ф(х) = | f(t) dt
*
Применяя теорему 6.4, получим
Ф(х + Дх) - Ф(х) = /(с) Дх,
где с — число, заключенное между х и х + Дх. Разделим обе
части равенства на Дх:
Ф(х +Ах)-Ф(х) =
Дх
Если теперь Дх -» 0, то с -> х, тогда, в силу непрерывнос¬
ти функции/(х) на [a, b],f(c) -» /(х). Поэтому, переходя к
пределу в последнем равенстве при Дх -» 0, получаем
Ф(х+ Дх) Ф(х) =	= ушдсу =
Дх^О	Ду	Дх-»0	с^>х

362
Глава 6. Интегральное исчисление
или Ф'(х) = /(х). ■
Таким образом, установлено, что любая непрерывная на
отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке перво¬
образную, причем функция Ф(х) (интеграл с переменным
верхним пределом) является первообразной для/(х). А так
как всякая другая первообразная для функции f(x) может
отличаться от Ф(х) лишь на постоянную (см. теорему 6.1), то
установлена связь между неопределенным и определенным
интегралами:
X
J/(*)dr = J/(*)ck + C,
а
где С — произвольная постоянная.
Из теоремы, в частности, следует, что Ф(х) — непрерывная
на отрезке [а, b] функция. (Объясните, почему?) Случай, когда
определенный интеграл имеет переменный нижний предел и
постоянный верхний предел, легко сводится к рассмотренному
с помощью свойства 1° (см. формулу (4) на с. 352).
Вопросы для самопроверки
1.	Какая функция называется интегралом с переменным верхним
пределом? В чем состоит ее геометрический смысл?
2.	Чему равна производная от интеграла по его верхнему пределу?
Докажите соответствующую теорему и объясните, почему ее считают
основной в дифференциальном и интегральном исчислении.
6.8.	Формула Ньютона - Лейбница
Вычисление определенных интегралов методом, основан¬
ным на определении интеграла как предела интегральной
суммы, связано с большими трудностями. Поэтому сущест¬
вует другой практически более удобный метод вычисления
определенных интегралов, который основан на тесной связи,
существующей между понятиями неопределенного и опре¬
деленного интегралов.
Теорема 6.8 (основная теорема интегрального исчисле¬
ния). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тогда,
если функция F(x) является некоторой ее первообразной на
этом отрезке, то справедлива следующая формула:
\f(x)<hc = F(b)-F(a).
а
(1)

6.8. Формула Ньютона - Лейбница
363
Формула (1) называется формулой Ньютона — Лейбница.
X
□	Доказательство. Пусть Ф(х) = | /(£) dt. Тогда по тео-
а
реме 6.7 функция Ф(х) является первообразной для функ¬
ции /(х) на отрезке [а, Ь]. Таким образом, F(x) и Ф(х) — две
первообразные одной и той же функции/(х) на [а, Ь]. Так
как первообразные отличаются на постоянную (см. теоре¬
му 6.1), т.е.
Ф(х) = F(x) + C, a<x<b,
то имеет место равенство
х
jf(t)dt = F(x) + C, a<x<b,
a
где С — некоторое число. Подставляя в это равенство значе¬
ние х = а и используя свойство 1° (см. формулу (3) на с. 352),
имеем
а
j f(t) dt = F(a) + C, 0 = F(a) + C, С = -F(a),
a
т.е. для любого x e [a, b]
]fit)dt = Fix)-Fia).
a
Полагая здесь x = b, получаем формулу (1). ■
Разность F(b) - F(a) принято условно записывать в виде
Fix)|‘ или [F(x)fa;
тогда формула (1) принимает вид
jfix)dx=Fix)\ba.
а
Необходимо еще раз подчеркнуть, что в формуле (1) в
качестве F(x) может быть любая первообразная функции /(х)
из семейства F(x) + С.
Итак, полученная формула (1), с одной стороны, уста¬
навливает связь между определенным и неопределенным
интегралами, с другой стороны, дает простой метод вычис¬
ления определенного интеграла: определенный интеграл от
непрерывной функции равен разности значений любой ее пер¬
вообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов ин¬

364
Глава 6. Интегральное исчисление
тегрирования. Эта формула открывает широкие возможности
для вычисления определенных интегралов, так как задача
вычисления определенного интеграла сводится к задаче вы¬
числения неопределенного интеграла, которая рассмотрена
достаточно полно.
ь
О	Пример 1. Вычислить интеграл J sin х dr.
а
Решение. Так как одной из первообразных для функции f(x) = sin г
является функция F(x) = - cosx, то, применяя формулу Ньютона —
Лейбница, получаем
ь
| sin х dr = -cosx\a =cosa-cosb.
a
1
Пример 2. Вычислить интеграл Jx2dr.
о
Решение. По формуле Ньютона — Лейбница имеем
1	1	нЗ	пз	.
=±гЛ4- •
о	з	0	3	3	3
Упражнения. Вычислить следующие интегралы:
2	2 А	2
1.	J(3x2-l)dx. (Отв. 6.) 2. J—. (Отв. 1п2.) 3. Je*dx.
1	*
3	1	л
(Отв. е(е-1).) 4. f ,	.	(Отв.	ln(3	+ <Л0).) 5. f sin xdx.
W 1 + x2	Jo
b	/	1n+\ _ дП+\\
(Отв. 2.) 6. fxndx (пф-1). I Отв.	1.
i	К	n+l )
Следующий пример показывает, что формальное исполь¬
зование формулы Ньютона — Лейбница без учета условий ее
применимости может привести к неверному результату.
j* dr
О	Пример 3. Вычислить интеграл I
_,1 + хг
г2’
Решение. По формуле Ньютона — Лейбница имеем
Г ^
		2 = arCt^ Х
{х\+х
1
7С I 7С
= arctg 1 - arctg (-1) = —
к к _ к

6.9. Замена переменной в определенном интеграле
365
Здесь формула Ньютона — Лейбница применена верно, так как функ¬
ция F(x) = arctgx непрерывна на [-1,1] и равенство F'(x) = f(x) выполняет¬
ся на всем этом отрезке. Если же в качестве первообразной функции
1
взять F(x) = arcctg—, то формальное применение формулы Ньютона —
х
Лейбница приводит к равенству
f dx	^	1	1	.	.	,	.	7U	37U	к
	5- = arcctg —	=	arcctg	1	-	arcctg	(-1)	=	= —.
^l + x	x -i	4	4	2
Получен неверный результат, так как п/2 * - л/2. Ошибка произошла
1
из-за того, что при х= 0 функция F(x) = arcctg— разрывна и не может
х
быть первообразной. Применение формулы Ньютона — Лейбница пред¬
полагает непрерывность первообразной F(x) на заданном отрезке. •
Замечание. Формула Ньютона — Лейбница была выве¬
дена в предположении, что подынтегральная функция /(х)
непрерывна. При некоторых условиях формула Ньютона —
Лейбница может иметь место и для разрывных функций.
Вопросы для самопроверки
1.	Докажите формулу Ньютона — Лейбница.
2.	Почему формулу Ньютона — Лейбница считают основной
формулой интегрального исчисления?
6.9.	Замена переменной
в определенном интеграле
Теорема 6.9. Пусть /(х) — непрерывная функция на от¬
резке [а, Ь\. Тогда если: 1) функциях = ср(£) дифференцируема
на [а, р] и ср'(£) непрерывна на [а, р]; 2) множеством значений
функции х = ср(£) является отрезок [а, Ь]\ 3) ср(а) = а и ср(р) = b
(рис. 180), то справедлива формула
J/OOd^j Лф(0]ф'(0<1£.	(1)
а	а
□	Доказательство. По формуле Ньютона — Лейбница
)f(x)dx = F(p)-F(a),

366
Глава 6. Интегральное исчисление
где F(x) — какая-нибудь первообразная
для функции f(x) на [а, Ь). С другой
стороны, рассмотрим сложную функ¬
цию Ф(£) = F[cp(£)]. Согласно правилу
дифференцирования сложной функ¬
ции находим
ф( о = F[cp(0]-cp'(0 =/[ср(0]ф'(0-
Отсюда следует, что функция Ф(£) яв¬
ляется первообразной для функции
/[ф(0]ф'(0, непрерывной на [а, р], и
поэтому согласно формуле Ньютона — Лейбница получаем
1	/[ф(0]ф'(0 d t = Ф(р) - Ф(а) = F[ ср(р)] - F[ ср(а)] =
F(b)-F(a) = J/(x)dr.l
Формула (1) называется формулой замены переменной или
подстановки в определенном интеграле.
Замечание 1. Если при вычислении неопределенного
интеграла с помощью замены переменной мы должны были
от новой переменной t возвращаться к старой переменной х,
то при вычислении определенного интеграла этого можно не
делать, так как цель — найти число, которое, в силу доказан¬
ной формулы, равно значению каждого из рассматриваемых
интегралов.
О Пример 1. Вычислить интеграл J х2 ^а2 -х2Ах.
О
Решение. Рассмотрим подстановку х = a sin£, 0 < t < п/2. Такая замена
переменной удовлетворяет всем условиям теоремы 6.9. Действительно,
во-первых, f(x) = x2yla2 -х2 непрерывна на [0, а], во-вторых, функция
х = a sin t дифференцируема на [0,7с/2] и х\ = acost непрерывна на
[О, п/2 ] и, в-третьих, при изменении t от 0 до п/2 функция х = a sin t воз¬
растает от 0 до а, при этом ср(0) = 0 и ср(л/2) = а. Так как dx = (as'mtydt =
= acostdt, то, применяя формулу (1), получаем

6.9. Замена переменной в определенном интеграле
367
Замечание 2. При использовании формулы (1) необходи¬
мо проверять выполнение перечисленных в теореме условий.
Если эти условия нарушаются, то замена переменной по ука¬
занной формуле может привести к неверному результату.
л
О Пример 2. Вычислить интеграл Jdr.
о
71	л
Решение. Имеем Jdr = х = тс. С другой стороны,
о	о
fdr-f		j* dr
I	j sin2 x+cos2 x I cos2x(l+tg2x)'
Подстановка £=tgx формально приводит к следующему результату:
Jdx=fd(tg£)
J	J 1 _|_ f02r J 1
= 0.
о	o1 + tg x о 1 + ^
Получен неверный результат, так как л * 0. Это произошло потому,
что функция t = tgx разрывна при х = п/2 и не удовлетворяет условиям
теоремы 6.9. •
Упражнения. 1. Найти ошибку, допущенную при следую¬
щем вычислении интеграла:
1)
г Ах
14 + х2
1	*	cfc
х = ~; ах = —г-
t	t2
X
-2
2
t
-1/2
1/2
1/2
f
d t
-i/21 | 4 + p-
1/2
-1/2
dt	1	*	o*
—^— = —arctg2£
At +1	2	6
1/2
-1/2
(Результат явно неверный, интеграл от всюду положитель-
1
ной функции
->0
оказался равным отрицательному
Л + х2
числу - п/4.)
2.	Вычислить данный интеграл. (Отв. п/4.)
1} Здесь вертикальными линиями отделены вспомогательные запи¬
си. Замену пределов интегрирования удобно записывать в виде таблицы
X
а
Ъ
t
а
Р

368
Глава 6. Интегральное исчисление
Вопросы для самопроверки
1.	При каких условиях справедлива формула замены переменной
в определенном интеграле?
2.	Почему при замене переменной в определенном интеграле
можно не возвращаться к старой переменной?
3.	Приведите пример, когда нарушение условий теоремы 6.9
привело бы к неверному результату.
6.10.	Формула интегрирования по частям
в определенном интеграле
Теорема 6.10. Если функции и(х) и v(x) — непрерывные
вместе со своими производными и'(х) и v'(x) на отрезке [а, Ь],
то справедлива формула
Ь	Ь ъ
[udv = uv -[vdu.	(1)
а	а а
□	Доказательство. Так как функции и(х) и v(x) по усло¬
вию имеют производные, то по правилу дифференцирования
произведения
[и(х) v(x)\ = и(х) v'(x) + v(x) и'(х).
Откуда следует, что функция и(х) v(x) является первообраз¬
ной для функции и(х) v'(x) + v(x)u'(x). А так как функция
и(х) v'(x) + v(x)uf(x) непрерывна на отрезке [а, 6], то интеграл
от нее существует, т.е. она интегрируема на этом отрезке и по
формуле Ньютона — Лейбница
ъ
J[и(х) v'(x) + v(x) и'(х)] dx = [и(х) v(x)fa.
а
Отсюда, согласно свойству 4° определенных интегралов
(см. с. 353), получим
ь	ъ
Jи(х) v'(x) dx + Jv(x) u’(x) dx = [u(x) v(x)]ba>
a	a
или, что то же,
Ь	Ь	ь
[udv-uv - Jv duy
т.е. формулу (1). ■

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
369
Формула (1) называется формулой интегрирования по
частям в определенном интеграле.
О	Пример 1. Вычислить f In х dr.
1	dr
Решение. Положим и = lnx, dv = dx, отсюда dи =—, v = х и по
х
формуле (1) находим
е	е	е
Jlnxdr = xlnx -Jx— = [xlnx-x]* = 1.
Пример 2, Вычислить Jxe*cLr.
Решение. Положим м = х, dv = e*dr, отсюда du = dx, = ev и по фор¬
муле (1) имеем
2	2 2
Jxe*cLr =хеЛ - Jevdx = [ev(x-l]J =е2.
i	i i
i
ПримерЗ. Вычислить J arctg х dr.
^	dx
Решение. Положим и = arctgх, da = dx, отсюда dи =	5-, v = х и
1+х
по формуле (1) получаем
1	1	1 х dr
J arctgxdr = х arctgx - J	j
о	0
1
l	+ xz
x arctgx -^-ln(l + x2)
:^-lnV2.
Вопросы для самопроверки
1.	Докажите формулу интегрирования по частям в определенном
интеграле.
2.	Где конкретно использовано в ходе доказательства теоремы 6.10
условие непрерывности производных функций и(х) и v(x)7
6.11.	Некоторые физические и геометрические
приложения определенного интеграла
6.11.1.	Площадь криволинейной трапеции
Пусть на плоскости Оху дана фигура, ограниченная от¬
резком, [а, b] оси Ох, прямыми х = а,х = Ь и графиком непре¬
рывной и неотрицательной функции у = f(x) на [а, Ь\. Такую

370
Глава 6. Интегральное исчисление
фигуру называют криволинейной трапецией, площадь 5Х)
которой может быть вычислена по формуле
5 = j/(x)dx.	(1)
а
□	Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, b]
на п частей точками а = х0 < хх < х2 < ... < х;1 < х. < ... < хп = Ь,
выберем на каждом частичном отрезке [х. v х.], *=1,2,..., п,
произвольно точку ^;(х._ 1 <q;< х.) и рассмотрим ступенчатую
фигуру (рис. 181). Ее площадь будем считать приближенно
равной площади S криволинейной трапеции:
г= 1
где Дг.=х. -х._г Таким образом, получена интегральная сумма а
для интеграла (1). Так как функция/(х) непрерывна на [а, Ъ],
то предел этой суммы существует при X = тах{Дх;}->0 и
1	<i<n
площадь S криволинейной трапеции численно равна опре¬
деленному интегралу от функции /(х) на [а, Ь\.
5 = !™}Х fGJAXj = j f(x) dx. ■
*=1	a
Итак, определенный интеграл от неотрицательной не¬
прерывной функции f(x) на [а, Ъ] численно равен площади
криволинейной трапеции с основанием [а, Ь\, ограниченной
сверху графиком функции у =f(x). В этом заключается гео¬
метрический смысл определенного интеграла.
1} С понятием площади произвольной плоской фигуры (а также объема
тела и площади поверхности) можно познакомиться в любом полном учеб¬
нике по математическому анализу.

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
371
О Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = х*, а > 0, прямой х = 1 и осью Ох (рис. 182).
Решение. По формуле (1) имеем
5 = j xadx =
а+1
1
а + 1
При этом если а = 1, то S= 1/2; если а = 2, то S= 1/3, и т. д. •
Более сложные задачи на вычисление площадей решают,
используя свойство аддитивности1} площади: можно разбить
фигуру на непересекающиеся части и вычислить площадь
всей фигуры как сумму площадей этих частей.
О Пример 2. Найти площадь S фигуры, ограниченной линиями
у = х, у = 1 /х2, у = 0, х = 3.
Решение. Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную
трапецию, ограниченную осью абсцисс, прямыми х = 0 и х = 3 и графиком
функции, которая на отрезке [0,1] равна х, а на отрезке [1,3] равна 1/х2.
Записать первообразную такой функции нелегко. Поэтому разобьем
данную криволинейную трапецию прямой х= 1 на две части (рис. 183).
Площади этих частей легко найти по формуле (1):
1	г2	1	1	3 1
51=Jx(it: = — =-; S2=j-jdx = -
О	О	1 Х
Согласно свойству аддитивности площади S = 51 + S2 = 7/6. •
Иногда при вычислении площадей фигур бывает полезно
еще одно свойство площади, которое называется инвариант¬
ностью2) относительно перемещений: одинаковые фигуры
имеют одинаковые площади.
О Пример 3. Найти площадь S фигуры, ограниченной линиями
у = yfx, у = 2,х = 0.
Решение. Данная фигура (рис. 184) станет криволинейной трапеци¬
ей, если отразить ее относительно прямой у = х (рис. 185). График функ-
1 < 2
= -з+1=з-
1} Аддитивный (от лат. additivus) — получаемый сложением.
2) Инвариантный (от франц. invariant) — неизменяющийся.

372
Глава 6. Интегральное исчисление
ции у = у[х отобразится при этом в график обратной функции у = х2,
прямая у = 2 — в прямую х = 2. Так как симметричные фигуры одинако¬
вы, то они имеют равные площади, поэтому по формуле (1) имеем
8 -
2	3
5=f x2dx = —
J 3
3'
Замечание. Другое решение этой задачи можно получить,
заметив, что данная фигура дополняется криволинейной
трапецией (снизу) до прямоугольника, площадь которого
равна 8. Поэтому
16 8
5 = 8 -1 Jxdx = f 8 -—х3/2
о	\	3
3
Такое решение — еще один пример использования свойства
аддитивности площади: данная фигура представляется как
«разность» двух более простых фигур.
Прием вычисления площадей, рассмотренный в замечании,
можно сформулировать в более общем виде. Пусть на отрезке
[а, b] заданы две непрерывные функции ух = /,(х) и у2 = /2(х),
причем при всех значениях х из этого отрезка ух <у2. Найдем
площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, а
также прямымих = аих = Ь (рис. 186).
Если обе функции неотрицательны, то площадь данной
фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций,
ограниченных сверху соответственно графиками функций
У 2 = /2(х)> У\ = /) (х), прямыми х=аих=6и осью абсцисс. Сле¬
довательно, площадь S данной фигуры можно найти так:
S = j /2 (*) dx~ j / (*) d* = j (/2 (*) - f\ (x)) dx-	(2)
Рис. 186
Рис. 187

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
373
Формула (2) справедлива для любых непрерывных функ¬
ций yl = fl(x) иу2= /2(х), не обязательно положительных.
Действительно, если функции ух и у2 могут принимать и от¬
рицательные значения (но по-прежнему ух <у2) (см. рис. 186),
то прибавим к обеим функциям одну и ту же постоянную
С, которую выберем настолько большой, чтобы графики
функций уъ = /, + С и у4 =/2 + С оказались выше оси абсцисс
(рис. 187). Фигура на рис. 187 получается из фигуры, изо¬
браженной на рис. 186, параллельным переносом и поэтому
имеет такую же площадь. К фигуре на рис. 187 применима
формула (2):
5 = J[/2(x) + C]dx-J[/(x) + C]dx =
а	а
= J[(/2(*) + Q-(/(*) + Q] d*.
а
Поскольку (/2(х) + С) - (/,(х) + С) =/2(х) -/,(х), формула (2)
верна и для фигуры на рис. 186.
О Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками
функций ух =/1(х) = х и у2 =/2(х) = 2 - х2 (рис. 188).
Решение. На рис. 188 видно, что пределами интегрирования явля¬
ются абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Найдем
их. Для этого решим систему уравнений
|г/ = х,
\у = 2-х2.
В результате получаем xt = -2, х2 = 1. Искомую площадь находим
теперь с помощью формулы (2):
Рис. 188
Рис. 189

374
Глава 6. Интегральное исчисление
i	г3 г2	Q
5 = j[(2-x2)-x]ch:= 2х-—~—	=2
Пример 5. Найти площадь, заключенную между параболой у=х2-
-	2х + 2, касательной к ней в точке (3; 5) и осью у.
Решение. Уравнение касательной к кривой /(х) = х2 - 2х + 2 в точке
(3; 5) имеет вид у-5= /'(3)(х - 3). Поскольку f(x) = 2х - 2 и/'(3) = 2 • 3 -
-2 = 4, получаем уравнение касательной у-5 = 4(х-3), или у = 4х - 7.
Так как ветви параболы направлены вверх, то парабола лежит над каса¬
тельной, т.е. х2 - 2х + 2 > 4х - 7 на отрезке [0,3] (рис. 189). По формуле (2)
находим искомую площадь
Упражнения. Вычислить площади фигур, ограниченных
линиями:
При вычислении площади криволинейной трапеции в случае,
когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями
х - ф(0> У = жСО* ос < £ < р, в формуле (1) надо сделать замену
переменной, положив х = ср(£), dr = ср'(£)<к. Тогда получим
где ос и р — значения параметра t, соответствующие значениям
х = аих = Ь, т.е. а = ср(ос), b = ср(р).
О Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой цик¬
лоиды^ х = a(t - sin t), у = а( 1 - cos t), 0 < t < 2л, и осью Ох (рис. 190).
Решение. По формуле (3) имеем
1} Циклоида — плоская кривая, которую описывает точка М окружнос¬
ти, радиусом а, катящейся без скольжения по прямой линии.
3	3
5 = J[x2 -2x + 2-(4x-7)]dx = J(x2 -6x + 9)dx
о	о
——Зх2 +9х	=9. •
3	п
1.	у = А-х2, у = 0. j^O/Tze. — J 2. г/2 = 2рх, х = к
р
(3)
а

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
375
О
па	2па	х	-R
Рис. 190
Рис. 191
S = J a(\-cost)a(\-cost)dit = a2 J (l-cos£)2d£
о	о
ГЗ	1	Т71
= а2 — t-2smt+—sin2£ = 3ка2. •
2
4
о
Интересно было бы с помощью интегрирования получить
известную формулу для площади круга радиуса R.
О	Пример 7. Показать, что площадь S круга, радиус которого R,
равна kR2.
Решение. Составим нужный интеграл. Для этого введем систему ко¬
ординат 0ху и рассмотрим круг радиуса R с центром в начале координат
(рис. 191). Этот круг — множество точек (х; у), координаты которых
удовлетворяют соотношению х2 + у2 < R2. Четверть круга в I квадран¬
те — это криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции
у=у[¥ - х2, осью Ох и прямыми х = 0 и х = R. Следовательно,
Вычислим этот интеграл. Сделаем подстановку х= Rsint,0<t<%/2.
Проверим законность такой замены переменной, т.е. выясним, выпол¬
няются ли условия теоремы 6.9. Имеем:
х = ф(t) = R sin t дифференцируема на отрезке [0, тс/2] и ее производная
ср'(0 = R cos t непрерывна на этом отрезке;
2)	при возрастании t от 0 до л/2 функция ф(t) = R sin t возрастает от
О до R, т.е. множество значений функции х = ф(t) — отрезок [О, R];
3)	ф(0) = 0, ф(тс/2) = Я.
Таким образом, подстановка х =R sin t удовлетворяет всем условиям
теоремы 6.9. Применяя формулу (1) на с. 365, находим
1) функция /(х) = yJR2 - х2 непрерывна на отрезке [О, R], а функция

376
Глава 6. Интегральное исчисление
П R	л/2
= R2 J cos2£d£ = — j (l+cos2£)d£ =
n	^	n
я/2	g2	"/2
й!Г 1 .	'
= — t+-sm2t
R2 Г 1 . n T/2	%R2
4
Итак, получена формула площади круга: 5 = rci?2. •
6.11.2.	Площадь криволинейного сектора
Пусть кривая АВ задана в полярных координатах урав¬
нением
причем функция р(ср) непрерывна и неотрицательна на от¬
резке [а, р). Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и
двумя полярными радиусами, составляющими с полярной
осью углы аир, будем называть криволинейным сектором
(рис. 192). Площадь криволинейного сектора может быть
вычислена по формуле
□	Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, р]
на п частей точками а = ср0 < ф1 < ср2... < ф;1 < ср. < ... < срл = р,
выберем на каждом частичном отрезке [(р;1, cp.j, i = 1, 2, п
произвольно точку ^(ф;., <q;< ф;) и построим круговые сек¬
торы с радиусами p(q.).
Р = Р(ф), а < ф < р,
а
/
/
О
Е
Рис. 192
Рис. 193

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
377
В результате получена веерообразная фигура, площадь
которой будем считать приближенно равной площади S кри¬
волинейного сектора:
5
^ г=1
где Дсрг = ф. - ф. г Таким образом, получена интегральная
сумма о для интеграла (4). Так как функция р2(ф) непре¬
рывна на отрезке [а, Р], то предел этой суммы существует
при X = шах{ДфЛ->0 и площадь криволинейного сектора
1 <г<п
численно равна определенному интегралу от функции р2(ф)
на [а, р]:
5 = ^п}Ер2<^)Аср; =^Р2(ф)с1(Р-
Z г=\	Z а
Отсюда следует справедливость формулы (4). ■
О Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной
осью и первым витком спирали Архимеда р = лер, где а — положительное
число (рис. 193).
Решение. При изменении ср от 0 до 2к полярный радиус опишет
кривую, ограничивающую криволинейный сектор О ABC. Поэтому по
формуле (4) имеем
а2 8л:3	4	о	о	а
С _ °2 2f 2 j _ а1 Ф3
$оавс “ 2 J ^	2 3
2	3
Заметим, что точка С отстоит от полюса на расстоя¬
нии р = 27К2. Поэтому круг радиуса ОС имеет площадь
%-ОС2 =4п3а2 =3~п3а2 =35швс,т.е. площадь фигуры, огра-
О
ниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда,
равна 1/3 площади круга с радиусом, равным наибольшему
из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще
Архимед.
6.11.3.	Длина дуги кривой
Пусть плоская кривая АВ задана уравнением у = f(x), a<x<b,
где f(x) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция. Разобьем
кривую АВ на п произвольных частей точками А = М0, Mv
М2,М._{, М.,Мп = В в направлении от А к В. Соединив
эти точки хордами, получим некоторую вписанную ломаную

378
Глава 6. Интегральное исчисление
линию, периметр которой обозначим через Р (рис. 194). Обо¬
значим через I длину одного звена М_,М ломаной линии, а
через ц — длину наибольшего из ее звеньев: ц = тах{/Л.
1 <i<n
Определение. Число L называется пределом периметров
Р при ц -» 0, если для любого s > 0 существует 8 > 0 такое,
что для всякой ломаной, у которой ц < 8, выполняется нера¬
венство
|1-Р| <8.
Если существует конечный предел L периметра Р впи¬
санной в кривую ломаной линии при ц -» 0, то этот предел
называется длиной дуги АВ:
Z = limP.
ц->0
Если функция /(х) непрерывна вместе с f'(x) на отрезке
[а, Ь\, то длина дуги АВ выражается формулой
I	= J ф + /'2(х) dx.	(5)
а
□	Доказательство. Обозначим через х. и/(х.) координа¬
ты точки М, так что для абсцисс этих точек получим а = *0<
< хх < х2 < ... < х._, < х. <... <хп = Ь. Тогда длина одного звена
ломаной равна
h = л/О, - xi~\)2 + №,)- /0,-1 )]2 •
По формуле Лагранжа имеем
/(х) -f(x._A) =f'(^)(xi - rj, х._, <q;< х..

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
379
Следовательно,
h=4X + f'1<&i>bxi,
Таким образом, периметр всей ломаной равен
2=1 2=1
т.е. получена интегральная сумма а для интеграла (5). Так
как функция ф + f'2(x) непрерывна на [а, Ь], то предел этой
суммы при >, = тах{Дл;Л-»0 существует и равен опреде-
1<2<П
ленному интегралу (5). Так как X < ц1}, то X —> 0 при \х —> 0.
Следовательно,
L = limP = lim^-y/1 + /'2(£i) Аг; = \ф + f'2(x) dx. U
ц->0	J
*=!■	а
О Пример 9, Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической
параболы у = у?11 от х - 0 до х - 5 (рис. 195).
3
Решение. Из уравнения у = х*/2 находим г/'=—х1/2. Следовательно,
по формуле (5) получим
5
L = Jф + у,2(х) dx = J Jl+— dr =
0	0^4
:АГ1 + 9£)
271	4	)
3/2
335
: 27 ’
При вычислении длины дуги в случае, когда кривая АВ
задана параметрическими уравне¬
ниями х = ср(£), у = v}/(£), ос < t < р,
где аир — значения параметра t,
соответствующие значениям х = а
их = Ь, т.е. а = ф(а), b = ср(Р), в
формуле L = jyji + i/\x) dx надо
а
сделать замену переменной, поло¬
жив х = ср(£), dx = (p'(Odt Тогда
получим
Рис. 195
откуда |Дя4|</4.

380
Глава 6. Интегральное исчисление
Р
= j л/ф'2(0 + ¥,2(0 dt-
(6)
а
О Пример 10. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды:
x = a(t- sin t), у = а( 1 - cos t), 0 < t < 2к (см. рис. 190).
Решение. Из уравнения циклоиды находим ср'(£) = а(1 - cost),
\\/(£) = asmt. Когда х пробегает отрезок [0, 2тш\, параметр t пробегает
отрезок [0, 2л]. Следовательно, искомая длина дуги равна
При вычислении длины дуги в случае, когда кривая АВ за¬
дана в полярных координатах уравнением р = р(ср), а < ср < р,
где р(ф) имеет непрерывную производную р'(ср) на отрезке
[а, (3] и точкам АнВ соответствуют значения а и Р, переходя
от полярных координат к прямоугольным, получим пара¬
метрическое задание кривой АВ уравнениями х = pcoscp, у
= р sin ср с параметром ср. Тогда
где аир — значения параметра ср.
О	Пример 11. Вычислить длину первого витка архимедовой спирали
р = яср (см. рис. 193).
Решение. Первый виток архимедовой спирали образуется при из¬
менении полярного угла ср от 0 до 2%. Тогда по формуле (7) искомая
L = J ^1+у,2(х) dr = j ^/ср(0'2 +Ч/'2(0
о	о
о	о
х'(ср) = p'(q>)coscp - psincp,
yr( ср) = p'(cp)sincp + р(ср) coscp
и формула (6) принимает вид
(7)
а
длина дуги равна

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
381
^ 		 **
L = J ^Ja2 ср2 +а2 dcp = а\ yj ф2 +1 dcp =
= а
и = yjcp2 +1; dz/ = -=2=dcp
л/ф2+1
da = dcp, a = ср.
I	2	7|271	(*ф2+1	— 1 j
cpJcp2+l -	.	dcp
^ lo J0
CPV^I - J >/ф2 +1 с!ф +J “F=
О	О	V	Ф‘
dcp
+1
2л
= a |ф-у/ф2 +1 +|1п(ф+л/ф2 +1)
= й 7Сл/4тС2 +1 +^(27С + л/4тС2 +1)
Данный интеграл вычислен интегрированием по частям (см. с. 368—
369).
Пример 12. Показать, что длина L окружности радиуса R равна
2kR.
Решение. График функции у = yjR2 -х2 при 0<x<R/yf2 представ¬
ляет собой восьмую часть окружности (см. рис. 191). Следовательно,
т RN2 ,
-= J Ф+[/'(х)]2 dr.
8
Так как f'(x) =
-х . гч,2 Я
Vi?2-J
, то 1 + [f'(x)]2 =
R2-x‘
-. Поэтому, согласно
формуле (5), получаем
kjf **
s *' I 4Ш-х2
Как и в примере 7, сделаем замену переменной: х = R sin t, где 0 < t <
<	л/4. Тогда по формуле (1) на с. 365 замены переменной имеем
тс/ 4
-	= R\dt =—,
Я j 4
8
откуда приходим к нужному результату. •
Замечание. Хотя в примере 12 удобнее было считать ин¬
теграл в пределах от 0 до R, мы поступили иначе. Это связано

382
Глава 6. Интегральное исчисление
с тем, что при выводе формулы длины дуги предполагалось,
что функция у = f(x) имеет непрерывную производную на
всем отрезке [а, Ь\, в данном случае при х = R производная
функции у = V-R2 -х2 обращается в бесконечность.
В заключение рассмотрим понятие дифференциала дуги,
представляющее самостоятельный интерес.
Если в формуле (5) заменить верхний предел Ъ переменной
х, то длина дуги станет функцией верхнего предела и формула
(5)принимает вид
Z(x) = }Vl + /'2(0 dt,
а
где /(х) — переменная длина дуги. Так как здесь подынтеграль¬
ная функция непрерывна, то, согласно теореме 6.7 о производ¬
ной интеграла по переменному верхнему пределу, имеем
( Х ^ '
nx) = ^jyll + f'2(t)dtj =yl 1 + /'2(х),
откуда следует формула для дифференциала дуги
dI = /'(х) dx = -y/l + /'2(х) dx, или dI = -y/l + z/'2(x) dx, (8)
а так как y'(x) = ^-, то d/ = .|l + f^-| dx, и окончательно
9 dx V
получаем
d/ = J(dx)2 +(dy)2.	(9)
Формула (9) позволяет дать простое геометрическое истол¬
кование дифференциала дуги d/. Возводя в квадрат, получаем
(d/)2 = (dx)2 + (dу)2. Учитывая, что дифференциал функции
у = /(х) равен приращению ординаты касательной (см.
с. 252—253), получаем, что дифференциал дуги d/ (рис. 196)
равен длине отрезка касательной к кривой от точки касания
М(х, у) до точки Р(х+dx; у + dу), т.е. гипотенузе прямоуголь¬
ного треугольника с катетами |dx| и |dz/|, а равенство (dI)2 =
= (dx)2 + (dу)2 представляет собой теорему Пифагора.
6.11.4.	Площадь поверхности вращения
Пусть кривая АВ задана уравнением у = /(х), а<х<Ь, и
пусть функция у = /(х) неотрицательна и непрерывна вместе
со своей первой производной на отрезке [a, b\. Тогда поверх-

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
383
ность, образованная вращением кривой АВ вокруг оси Ох, име¬
ет площадь S, которая может быть вычислена по формуле
ъ
S = 2пJ /(x)yjl + f,2(x) dx.	(10)
а
□	Доказательство. Возьмем на кривой АВ точку М с
абсциссой х. Тогда длина дуги AM определяется формулой
l(x) = ]yll + f'2(t)dt.
а
Так как функция /(х) возрастающая (yjl + f,2(x) > 0) и не¬
прерывная (/(х) дифференцируема) на [а, Ь\, то, согласно теоре¬
ме 4.15, для нее на этом отрезке существует обратная функция
х = ср(/). Но тогда y=f(x) =/[ср(/)] = vK0 — сложная функция
от /, непрерывная на [0, Ь\, где L — длина кривой АВ. Таким
образом, кривая АВ может быть задана параметрически урав¬
нениями х = ср(/), у = \|/(/), 0 <1<L, где / — параметр.
Разобьем кривую АВ на п частей точками А = А0, Av А2,
..., A._v А...., Ап = В (рис. 197). Длину частичной дуги А._г А.
обозначим через А/= /. - /,_г При вращении кривой АВ вокруг
оси Ох получим поверхность, составленную из п боковых
поверхностей, приближенно равных боковым поверхностям
усеченных конусов (цилиндров). Площадь боковой поверх¬
ности г-го усеченного конуса (цилиндра) равна произведе¬
нию длины окружности 2nR (R равно полусумме радиусов
верхнего и нижнего оснований конуса) на длину образующей
(хорды А._г А). Поэтому если положить R = у(£.), 1_х <	<	/.,
длину хорды A_t Av равной А/., то получим, что площадь 5.
боковой поверхности приближенно равна
S,	~ InyiqJAi.
Площадь всей поверхности вращения приближенно равна
сумме площадей частичных поверхностей 5., т.е.

384
Глава 6. Интегральное исчисление
=Ё27Г^)А/*
i=1	i=l i=l
С другой стороны, эта сумма является интегральной сум¬
мой. Так как функция у(1) непрерывна на [О, L], то предел этой
суммы при X = шах{Д/,} -» 0 существует и равен определенно-
1	<i<n
му интегралу от функции у(1) по [О, I). Следовательно,
5 = Нш2т1^г/(^)Д/; =2яНт £г/(^)Д/;,
г=1	г=1
ИЛИ
L
5 = 2л| г/(/> d/.	(11)
О
Перейдем в интеграле (11) от переменной интегрирова¬
ния / к переменной х. Эти переменные связаны формулой
X
l(x) = J ^1 + /'2(0 df. Если I = 0, то х = а, если 1 = Ь,юх = Ь.
а
А так какy=y(l) = f(x) и d/ = ф + /'2(х) сЬ:(см. формулу (8)),
то из формулы (11) окончательно имеем
ь
S = 2nj f(x)^l + f'2(x) dx. U
а
Замечание. Если поверхность получается вращением
кривой АВ, заданной уравнением х = ср (у), с<у <d, вокруг
оси 0у, то ее поверхность
d
5 = 2njф(у)ф + ty'2(у) dy.
С
О Пример 13, Часть сферы, вырезаемая двумя параллельными
плоскостями, находящимися на расстоянии Я друг от друга, называется
шаровым поясом высоты Я. Вычислить площадь поверхности шарового
пояса, если радиус шара равен R, а высота пояса равна Я (рис. 198).
Решение. Поверхность шарового пояса можно рассматривать
как поверхность тела, полученного при вращении дуги окружности
у=у[¥ - х2, где а<х<Ь, вокруг оси Ох (рис. 199). Так как у' =
R2
то 1 + [f'(x)f =—2	2", поэтому, согласно формуле (10),
R — х
-х
ylR2-X2’

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
385
Н
-R
/
/
У =
=4¥^г
Рис. 198
Рис. 199
I2 - х2 —,	dx = 2kR f dx
4вПг I
= 2к R(b -a) = 2kRH.
Итак, площадь поверхности S шарового пояса вычисляется по фор¬
муле S = 2%RH. Если Я->• 2R} то в пределе получим площадь поверхности
всей сферы: S = 4 kR2. •
Замечание. Из решения примера 13 следует, напри¬
мер, что если около шара описан цилиндр, то поверхность
шарового пояса, заключенного между двумя плоскостями,
которые перпендикулярны оси цилиндра, равна части по¬
верхности цилиндра, заключенной между этими же плос¬
костями.
Если поверхность получается вращением вокруг оси Ох
кривой АВ, заданной параметрическими уравнениями х=q>(t),
у = ц/(£), а < t < р, причем ц/(£) > 0, ср(£) изменяется от а
до b при изменении t от а до р, то, производя в интеграле
(10) замену переменной по формулам х = ср(£)> У = Н/(^)>
получим
Наконец, если кривая задана уравнением в полярных ко¬
ординатах р = р(ср), а < ф < Р, где р(ф) имеет непрерывную
производную на [ос, р], то этот случай, как уже отмечалось
нас. 380, с помощью формул переходах = р(ф)со$ф,у = р(ф)
siny приводится к параметрической форме задания кривой,
и формула (12) принимает вид
(12)
а

386
Глава 6. Интегральное исчисление
О Пример 14. Вычислить площадь S поверхности, полученной
вращением циклоиды л: = a(t - sin£), у = а(\- cos t), 0 < t < 2 тс, вокруг
оси Од: (см. рис. 190).
Решение. По формуле (12) имеем
2л
S	= 27cJ а(1- cost)yj(asmt)2 +[tf(l-cos£)]2d£ =
о
= 2у12ка2 J (1 - cos t)3/2dt =—ка2. •
о	3
6.11.5.	Объем тела
Как уже известно, с помощью определенного интеграла
можно вычислять площади фигур и длины кривых. Нахожде¬
ние объемов некоторых тел также можно свести к вычислению
определенных интегралов.
Рассмотрим некоторое тело (рис. 200) и вычислим его
объем V. Допустим, что известны площади сечений этого тела
плоскостями, перпендикулярными оси Ох. С изменением
х площадь сечения также будет изменяться, т.е. являться
некоторой функцией х. Обозначим эту функцию через S(x)
и будем считать ее непрерывной функцией на отрезке [а, Ь\.
Тогда объем тела
ь
V	= $S(x)dx.	(13)
а
□	Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, Ь]
на п частей точками а = хп < х< х0 < ... < х. < х. < ... < х =Ь.
0	12	i-l	i	п
Через эти точки проведем плоскости, перпендикулярные оси
Ох. Эти плоскости разобьют тело на п слоев. Найдем объем
i-го слоя, образованного сечениями с абсциссами хи х.
Его объем V. приближенно равен объему прямого цилиндра,
основание которого совпадает с сечением тела, соответствую-
Рис. 200

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
387
щим какой-либо точке	<£.<*.), и, следовательно, имеет
площадь 5(2,.), а высота равна Ах. = х,-
■x._v т.е.
V^S^bx,
Сумма объемов всех п слоев приближенно равна объему V
данного тела:
2=1
Таким образом, получена интегральная сумма для ин¬
теграла (13). Так как функция S(x) непрерывна на [а, Ь], то
предел этой суммы при X = тах{ДгЛ -> 0 существует и равен
1	<i<n
определенному интегралу (13). Таким образом,
п	b
V	= Нш^5(^)Аг. = jS(x)dx. Ш
г=\	а
О Пример 15. Вычислить объем пирамиды, высота которой равна
Я, а площадь основания Q.
Решение. Введем систему координат Оху так, чтобы начало коорди¬
нат находилось в вершине пирамиды, а ось Ох проходила по высоте Я
от вершины к основанию (рис. 201). Пересечем пирамиду плоскостью,
параллельной основанию. Расстояние от вершины пирамиды до секу¬
щей плоскости обозначим через х, 0 < х < Я, а площадь сечения — через
S(x). Найдем функцию S(x). Для этого воспользуемся известным из
элементарной геометрии свойством сечений пирамиды, параллельных
основанию, и составим пропорцию
5(х)_
х
Я7’
откуда находим
S(x) = -QTx2.
Подставляя последнее равенство в формулу (13), имеем
я	н	п
V	= J S(x) dr = J —jx2 dr =
= -% fx2 dr =-%• —
H2J	H2	3
Щ-sQH-
Итак, мы получили формулу объема
1
пирамиды: V = —QH. •

388
Глава 6. Интегральное исчисление
В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг
оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной
функцией у = /(х), а<х<Ь, объем тела вращения вычисля¬
ется по формуле
ь	ъ
V = я | (f(x))2dx = к J y2dx.	(14)
а	а
Действительно, сечение тела вращения плоскостью, пер¬
пендикулярной оси Ох и проходящей через точку х, представ¬
ляет собой круг радиуса/(х) (рис. 202). Поэтому площадь
этого сечения (площадь круга) равна % (fix))2. Таким обра¬
зом, для рассматриваемого тела вращения площадь сечения
S(x) = 7г(fix))2. Из формулы (13) получаем, что
ъ	ь	ь
V = 171(/(x))2dx = к J (/(х))Чх = 711 y2dx.
а	а	а
Замечание. Если криволинейная трапеция 0 < х < ср(г/),
а<у<Ь вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения
ь	ь
V	= 7i| (ф (y)fdy = TiJ x2dу.
а	а
О	Пример 16, Вычислить объем шара радиуса R.
Решение. Шар радиуса R получается вращением полуокружности
у=у[¥ - х2 вокруг оси Ох (рис. 203), поэтому его объем Vможно найти
по формуле (14). Используя симметрию данного шара относительно
оси Оу, находим
V = %\ (f(x))2dx = 27tj(4r2 -х2 )2cLr =
= 2тс
R2x--
=rR3-
Рис. 202
Рис. 203

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
389
Таким образом, получена формула объема шара:
V = -kR\ •
3
Упражнения. Вычислить объемы тел, образованных вра¬
щением фигуры, ограниченной линиями:
2	2
X ti
1.—г	+ ^г = 1, м = 0, где у > О вокруг оси Ох. (Отв. 4/ЗпаЬ2.)
a b
2.	у2 = 2рх, x = h вокруг оси Ох. (Отв. nph2.)
3.	у = sinx, у = 0, 0 < х < 71 вокруг каждой из следующих
прямых: 1) г/ = 0; 2) х = 0; 3) х = 2л;; 4) х = -1; 5) х = -2;
( п2
6) у = 1; 7) у = -2. \ Отв. —; 2л2; 6я2; 2л(л + 2); 2л(л + 4);
п(8-п) л(л + 16)
2	’ 2
4	.у = х2, y = Jx, вокруг оси Ох (Отв. Зк/10.)
5.	у = ех,х = 0,х= 1,у = 0 вокруг: 1)оси Ох, 2) оси Оу. (отв.
л(е2 -1) Л
2
6.	г/ = х3, у= 1,х = 0 вокруг: 1)оси Ох, 2) оси Оу. (Отв. 6п/7;
Зл/5.)
7.	у = 1пх, у = 0, х = е вокруг каждой из следующих прямых:
1)	у = 0; 2)х= 0; 3) г/ = — 1; 4)х= 1; 5)х = -1; 6)у= 1. \ Отв.
„(е-2);	±i>; «;	*<4-е).)
/	Q	О
8.x2-г/2	= 4, г/= 2, г/= 0 вокруг оси Ох уОтв. —
9.	у = 4/х,х = 1,х = 4, у = 0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу(Отв.
12л; 24тг.)
1
10. z/ =	х = 1,х = -1, г/= 0 вокруг: 1)оси Ох; 2) оси Оу.
1	+ х
271.
Отв. 7Г(7Г + ^); ^^2

390
Глава 6. Интегральное исчисление
6.11.6.	Центр тяжести кривой и криволинейной трапеции
Центр тяжести системы материальных точек. Пусть
на плоскости Оху задана система материальных точек: Ах(хх) ух),
А2(х2; у2),Ап(х^ уп), массы которых соответственно равны
mv m2,..., тп.
Статическим моментом М этой системы относительно
X
оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на
их ординаты:
М = тть.у. + тпуп + ... + га у .
х W1	2^2	и^и
Аналогично определяется статический момент Му системы
относительно оси Оу\
М = га^х + га0х0 + ... + т х .
у	11	2 2	ИИ
Точка с координатами —, где т = т. + ... + т ,
\т т )	п
называется центром тяжести1} системы.
Можно показать, что центр тяжести обладает следую¬
щим свойством: если поместить в него массу, равную сумме
масс всех точек системы, то статический момент этой массы
относительно любой оси равен статическому моменту всей
системы относительно этой оси.
Отсюда следует, что положение центра тяжести системы
не зависит от выбора системы координат.
О Пример 17. Показать, что центр тяжести системы, состоящей из
трех точек P,QR, в которых сосредоточены единичные массы (тр = mQ =
= mR= 1), находится в точке пересечения медиан треугольника (рис. 204).
Решение. Убедимся, например, в том, что центр тяжести нахо¬
дится на медиане РМ. Введем систему координат в плоскости тре¬
угольника PQR так, чтобы ее центр (0; 0) находился в точке Р, а ось
Ох проходила по прямой РМ. Тогда если ордината точки Q равна г/0,
то ордината точки R равна (-yQ). Отсюда следует, что ордината ус
центра тяжести С равна
^ = ОЛ+щЛ-щЛ =0
Таким образом, точка С лежит на оси
'х’ Ох (прямой РМ). Рассуждая аналогично,
покажем, что центр тяжести С лежит на ме¬
дианах QL и RN. Следовательно, С — точка
Рис 204	пересечения медиан. •
1} Мы не различаем понятия «центр тяжести» и «центр масс».

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
391
Пусть теперь массы не сосредоточены в отдельных точ¬
ках, а расположены «сплошным образом», заполняя линию
или плоскую фигуру. Тогда для определения статического
момента вместо суммы потребуется интеграл.
Центр тяжести кривой. Рассмотрим некоторую пло¬
скую кривую АВ. Будем предполагать, что: 1) кривая задана
параметрически уравнениями х = ср(/), у = \|/(/), О <1<L, где
параметр / — длина дуги, отсчитываемая от точки A, L — длина
всей кривой АВ, и функции ср(/) и \|/(0 непрерывны на [О, I];
2)	кривая однородна, т.е. ее линейная плотность р (масса,
приходящаяся на единицу длины) постоянна и для простоты
равна единице.
Определим статические моменты этой кривой относи¬
тельно осей Ох и Оу и ее центр тяжести (рис. 205). Для этого
разобьем кривую АВ на п частей точками А = Л0(х0; у0), A{(xv
г/,), ..., Л;(х.; г/.), Л.+1(х.+1; у.+1),..., Ли(хи; уп) = В, и пусть этим
точкам соответствуют значения /0 = 0 < /, < /2< ... <1< /;+1 <...
... < l„ = L параметра I. Обозначим длину дуги AAi+1 через
Д/; = /;+1 - I, а массу этой дуги — через тг Тогда масса mi =
= рД/. = Д/.(р = 1). Сосредоточим массу каждой из частей А.АМ
в одной какой-нибудь ее точке, например в точке Л.(х.; г/.).
При этом условии всю кривую АВ приближенно можно за¬
менить системой материальных точек А0, Av ..., А.,.... Ап. То¬
гда статический момент Мх кривой АВ приближенно равен
сумме статических моментов системы материальных точек
относительно оси Ох:
С другой стороны, эта сумма является интегральной сум¬
мой для функции у = \|/(0> а так как функция непрерывна на
[0, L], то предел этой суммы при X = шах{Д/;}	0	существует	и
равен определенному интегралу от функции у = у(0 по [0,1].
Следовательно,
п
п
1 <i<n
Рис. 205

392
Глава 6. Интегральное исчисление
Поскольку масса всей кривой m = pL = L(p = 1), по определе¬
нию центра тяжести получаем
I	I
Jxd/	J г/ d/
В частном случае, когда кривая АВ задана уравнением
у = /(х), а<х<Ь, и дифференциал дуги d/ = л]1 + у'2 dx (см.
формулу (8)), координаты центра тяжести кривой АВ вы¬
числяют по формулам
ъ 		ъ
| Xsjl + y'2dx | уф + у'2йх
хс = л—2	;ус=*—2	•	(15)
ъ
Из формулы для ус следует, что L ■ ус = | у^1 + y'2dx, откуда,
а
умножив обе части равенства на 2л, получаем
ъ
2кус ■ L = 2nj y^l + y'2dx.
а
Правая часть последнего равенства представляет собой
площадь поверхности, полученной вращением кривой АВ
вокруг оси Ох (см. формулу (10)), а выражение 2%ус в левой
части — длину окружности радиуса ус.
Таким образом, получена следующая теорема.
Первая теорема Гульдена0. Площадь поверхности тела,
полученного вращением дуги плоской кривой вокруг некоторой
не пересекающей ее оси, которая расположена в ее плоскости,
равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности,
описанной при этом вращении центром тяжести кривой.
О Пример 18. Найти площадь боковой поверхности конуса.
Решение. Конус можно представить как тело, полученное вращени¬
ем прямоугольного треугольника вокруг катета. Пусть данный конус
получен вращением прямоугольного треугольника с гипотенузой L и
катетом R вокруг другого катета. Введем систему координат так, чтобы
ось вращения была осью абсцисс (рис. 206). Очевидно, центр тяжести
отрезка находится в его середине. Поэтому центр тяжести образующей
1} Гульден Пауль (1577—1643) — швейцарский математик. Обе приво¬
димые теоремы были известны еще в III в. н. э. выдающемуся греческому
математику Паппу.

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
393
конуса — гипотенузы прямоугольного треугольника — описывает ок¬
ружность радиуса R/2. Применяя первую теорему Гульдена, получаем
площадь S боковой поверхности конуса: S = L- 2kR/2 = kRL.
Пример 19, Найти координаты центра тяжести полуокружности
радиуса R с центром в начале координат, лежащей в верхней полуплос¬
кости при условии, что р = 1 (рис. 207).
Решение. Поскольку полуокружность расположена симметрично
относительно прямой х = 0, центр тяжести дуги лежит на этой прямой
и х = 0. Площадь S боковой поверхности тела, полученного вращением,
полуокружности длины L = kR вокруг оси Ох, равна AkR2. Применяя
первую теорему Гульдена, получаем 2кус • kR = AkR2, откуда находим
yc = 2R/%. •
Центр тяжести криволинейной трапеции. Аналогично
понятию центра тяжести кривой вводится понятие центра
тяжести криволинейной трапеции 0 < у < f(pc), а<х<Ъ.
Будем предполагать, что: 1) функция у =f(x) непрерывна
на отрезке [а, Ь]\ 2) по этой трапеции равномерно распреде¬
лены массы так, что их поверхностная плотность р (масса,
приходящаяся на единицу площади) постоянна, и для про¬
стоты положим ее равной единице. Тогда масса любой части
трапеции будет измеряться ее площадью.
Определим статические моменты этой трапеции от¬
носительно осей Ох и Оу и ее центр тяжести (рис. 208).
Для этого разобьем отрезок [а, b] на п частей точками
а = хп < х, < хп < ... < х. < х. < ..,
0	12 il+1
трапецию прямыми х = х. на п со¬
ответствующих частей. Заменим
каждую элементарную трапецию
прямоугольником с основанием,
равным Дг. = х - xt_v и высотой,
равной /(^.), где ^ — средняя точ¬
ка [xi V х]. Тогда масса т[ = р/(^г) х
х Ах. = /(£,.)Дх(р = 1) равна пло¬
а криволинеиную
“хс£А^:
,2и,2	^	х.	хп_^пхп	=
Рис. 208

394
Глава 6. Интегральное исчисление
щади i-ro прямоугольника. Из механики известно, что центр
тяжести прямоугольника лежит в точке пересечения его диа¬
гоналей и, следовательно, координаты центра тяжести г-го
208). Сосредоточим массу каждого i-го прямоугольника в его
центре. Тогда вся трапеция приближенно заменится системой
материальных точек: Cv С2,..., С.,..., Сп (i-x центров тяжести
прямоугольников). Статические моменты /-го прямоуголь¬
ника относительно осей Ох и Оу соответственно равны
а статические моменты Мх и М данной трапеции приближенно
равны суммам статических моментов всех прямоугольников
относительно осей Ох и Оу\
С другой стороны, эти суммы являются интегральными
суммами, а так как функции/2(х) и xf(x) непрерывны на [а, 6],
то пределы этих сумм при Х = тах{Дх}->0 существуют
1<г<п
и равны определенным интегралам. Следовательно,
где S — площадь всей трапеции, то для нахождения коорди¬
нат центра тяжести трапеции, согласно определению центра
тяжести, следует значения статических моментов Мх и Му
разделить на площадь всей трапеции:
прямоугольника равны соответственно £. и — /(£г) (см. рис.
Z г=1	г=1
И
Так как масса всей трапеции равна

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
395
Как и в случае центра тяжести кривой, можно получить
для ординаты ус центра тяжести криволинейной трапеции
следующее геометрическое следствие:
ь
2nycS = л; J f2(x) dr.
а
Учитывая, что 2пу — длина окружности радиуса у ,
ъ	с	с
a 7tj/2(x)cb: — объем тела, полученного в результате вра-
а
щения криволинейной трапеции вокруг оси Ох, получаем
следующую теорему.
Вторая теорема Гульдена. Объем тела вращения кри¬
волинейной трапеции вокруг не пересекающей ее оси, распо¬
ложенной в той же плоскости, равен произведению площади
этой трапеции на длину окружности, описанной при этом
вращении центром тяжести трапеции.
О	Пример 20. Найти центр тяжести одной арки циклоиды x=a(t- sin О,
у = а(1 - cos t), 0<t<2%, при условии, что р = 1 (см. рис. 190).
Решение. Объем тела, полученного в результате вращения одной
арки циклоиды вокруг оси Ох, равен
2па	2п
V = 7tJ y2dx = ш3 J(l-cos£)3d£ = 5%2а3.
0	о
Площадь одной арки циклоиды S = Зля2 (см. пример 6). Пусть ус —
ордината центра тяжести. Согласно второй теореме Гульдена, 2лус • S= V,
откуда ус = 5а/6. Из симметрии одной арки циклоиды относительно
прямой х = 7Ш следует, что абсцисса центра тяжести хс = ка.
Пример 21. Найти центр тяжести однородной треугольной пла¬
стины.
Решение. Введем систему координат Оху так, как показано на
рис. 209, чтобы ее начало находилось в одной из вершин пластины, а
другая вершина имела координаты (1; 0); пусть третья вершина имеет
координаты (х; у).
Найдем ординату центра тяжести пластины, используя вторую
теорему Гульдена. Очевидно, площадь
1
треугольника равна — • 1- у = у/2; объем
тела, полученного в результате враще¬
ния треугольника ОАВ вокруг оси Ох,
равен сумме объемов конусов, получен¬
ных в результате вращения сторон О А
и АВ соответственно, поэтому

396
Глава 6. Интегральное исчисление
Итак, центр тяжести пластины находится на расстоянии у/3 от
стороны ОБ. Аналогично можно показать, что он находится на расстоя¬
нии соответствующих высот от других сторон треугольника. Таким
образом, центр тяжести треугольной однородной пластины находится
в точке пересечения медиан треугольника. •
Упражнение. Найти координаты центра тяжести полукруга
с центром в начале координат, лежащего в верхней полуплос¬
кости, при условии, что р = 1. Отв. хс = 0, ус=-
Пусть материальная точка перемещается под действием
силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную
величину, зависящую от х. Требуется определить работу А,
совершаемую силой F, по перемещению материальной точки
вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = Ь (а<Ь). Функция F(x)
предполагается непрерывной на отрезке [а, Ъ] (рис. 210).
Разобьем произвольно отрезок [а, Ъ] на п частей точками
а = хп < х < х < ... < х. < х. < ... < х =Ь. Выберем на каждом
012	г	г_1	1	Z	г*	»
частичном отрезке [х. v x.J точку Сила, действующая на
материальную точку на отрезке [х. t, х.], изменяется от точ¬
ки к точке. Но если длина отрезка мала, то значение силы
в точках отрезка [х{ v х.] мало отличается от ее значения в
любой точке £.е [хм, х.], так как F(x) непрерывна. Поэтому
работу А совершаемую силой FHa [х{ v xj, можно считать
приближенно равной работе, совершаемой на том же отрезке
постоянной силой F(^.) т.е.
6.11.7.	Работа переменной силы
F	►
Рассуждая аналогично для
каждого отрезка разбиения,
получаем приближенное зна¬
чение работы А силы .Рна всем
отрезке:
п
Рис. 210

6.11. Некоторые физические и геометрические приложения..
397
С другой стороны, сумма в правой
части равенства является интеграль¬
ной суммой для функции F(x). Так
как функция F(x) непрерывна на от¬
резке [а, Ь], то предел этой суммы при
X = шах{Ахг}	0 существует и равен
1	<г<п
определенному интегралу от функции
F(x) по отрезку [а, Ь]. Таким образом,
Л = НтХ^)Лг; = J F{x) dr. (16)
Пример 22. Определить работу А, необ¬
ходимую для запуска тела массой т с поверх¬
ности Земли вертикально вверх на высоту h
(рис. 211).
Решение. Обозначим через ^силу притяжения тела Землей. Пусть
т3 — масса Земли. Согласно закону Ньютона
Рис. 211
F = G
тгПп>
где х — расстояние от тела до центра Земли. Полагая Gmm3 = k, полу¬
чаем F(x) = k/x2, R < x < h + R, где R — радиус Земли. При x = R сила
k	PR2
F(R) равна весу тела P = mg, т.е. — = P, откуда k = PR2, и F(x) = ——.
R	x
Таким образом, по формуле (16) получаем
R+h	R+h	j	а
А= J F(x)dx = PR2 J Ц- =-PR2-
R+h
PRh
R+h'
Упражнение. Электрический заряд ev помещенный в начале
координат, отталкивает заряд того же знака е2 из точки х=а
в точку х = b (а < Ь). Определить работу А силы F при
перемещении заряда е2. (Отв. А = kete2 (l/о - 1/6).) (Ука¬
зание: электрические заряды отталкивают друг друга с
е е
силой F(x) = где k — постоянная, ех и ег — величины
зарядов, х — расстояние между ними.)
Из рассмотренных задач следует, что для их решения был
применен один и тот же метод: приближенное значение ис¬
комой величины представляли в виде интегральной суммы,
а затем предельным переходом получали точное значение в
виде интеграла. С помощью этого же метода можно решить
ряд других задач механики, физики и техники.

398
Глава 6. Интегральное исчисление
Вопросы для самопроверки
1.	Что называется криволинейной трапецией?
2.	В чем заключается геометрический смысл определенного
интеграла?
3.	По каким формулам вычисляются площади фигур: а) в пря¬
моугольных координатах; б) в полярных координатах; в) в случае
параметрического задания границы?
4.	Что такое свойство аддитивности площади?
5.	Дайте определение предела периметров ломаной при jlx —> 0.
6.	Что называется длиной дуги кривой?
7.	По каким формулам вычисляется длина дуги кривой: а) в пря¬
моугольных координатах; б) заданной параметрически; в) в полярных
координатах?
8.	Что такое дифференциал дуги? В чем состоит геометрический
смысл дифференциала дуги?
9.	По каким формулам вычисляется площадь поверхности враще¬
ния: а) в прямоугольных координатах; б) в случае параметрического
задания кривой; в) в полярных координатах?
10.	С помощью какой формулы вычисляется: а) объем тела с
известными поперечными сечениями; б) объем тела вращения?
11.	Что такое статические моменты системы материальных точек
относительно координатных осей?
12.	Что называется центром тяжести системы материальных
точек?
13.	По каким формулам вычисляется центр тяжести кривой:
а)	заданной параметрически; б) в прямоугольных координатах?
14.	Сформулируйте первую теорему Гульдена.
15.	По каким формулам вычисляется центр тяжести криволи¬
нейной трапеции?
16.	Сформулируйте вторую теорему Гульдена.
17.	Сформулируйте общий метод решения задач с помощью
определенного интеграла.
6.12. Контрольные задачи
В задачах 6.1—6.3 надо вычислить указанные интегралы.
6.1.	f \Ia~x2 dx. 6.2. f . 6.3. [—
J-	J	J\	+	x	{	X
x2 -4 ,
ax.
-S	3	VIT7 2
я
6.4.	Вычислите интеграл j\Jcosx dx, не находя первообразной
подынтегральной функции. °
В задачах 6.5—6.7 требуется найти площади фигуры, ограни¬
ченной указанными линиями.

6.12. Контрольные задачи
399
6.5.	Парабола у = -х2 + 4х-Зи касательные к ней, проведенные
через точки (0; - 3) и (3; 0).
6.6.	Синусоида у = sinx и парабола у = х2 -юс.
6.7.	Линия у = |.г| + 1, прямые у = 0,х = -2их=1.
6.8.	Шаровым слоем называется тело, получаемое при враще¬
нии криволинейной трапеции, ограниченной дугой окружности
y = jR2-x2 , прямымих= аих=Ь(- R<a<b< Я)и осью Ох, вокруг
оси Ох (рис. 212)4 Найдите объем шарового слоя, вырезаемого из
шара х2 + у2 + z2 = 16 плоскостями х = 2 и х = 3.
6.9.	Шаровым сегментом называется тело, полученное при вра¬
щении дуги окружности вокруг диаметра окружности, перпендику¬
лярного хорде, стягивающей концы дуги. Найдите объем шарового
сегмента, зная радиус окружности R и высоту Я сегмента — длину
участка оси вращения, находящейся внутри сегмента (рис. 213).
6.10.	Шаровым сектором называется тело, полученное при вра¬
щении кругового сектора вокруг одного из его граничных радиусов.
Найдите объем шарового сектора, зная радиус шара R и высоту
сектора Н (рис. 214).
6.11.	Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена
и спросил соседку тетю Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы по¬
лучилась вкусная каша?» — «Это очень просто, — отвечала соседка. —
Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и
закрыла ровно половину дна Теперь заметь точку на стенке кастрюли,
1} Поверхность этого тела мы называли шаровым поясом и искали в при¬
мере 13 нас. 384.

400
Глава 6. Интегральное исчисление
ближайшую к краю, до которой поднялась крупа, и зажми ее пальцем.
До этого уровня и надо налить воду!» (рис. 215) — «Так ведь пшена
можно насыпать больше или меньше, да и кастрюли бывают разные —
широкие и узкие», — усомнился Сережа. — «Все равно, мой способ
годится в любом случае!» — ответила тетя Люда.
а)	Докажите, что тетя Люда права: отношение объемов воды и
пшена по ее рецепту для любой цилиндрической кастрюли полу¬
чается одинаковым.
б)	Чему равно это отношение?
6.12.	Ювелиру заказано золотое колечко шириной Я, имеющее
форму тела, ограниченного сферой с центром 0 и поверхностью цилин¬
дра радиуса R, ось которого проходит через точку 0 (рис. 216). Мастер
сделал такое колечко, но выбрал R слишком маленьким. Сколько золота
ему придется добавить, если R нужно увеличить в т раз, а ширину Я
оставить прежней (удельный вес золота считается известным)?
В задачах 6.13,6.14 надо найти: а) нлощадь фигуры, ограничен¬
ной заданными линиями; б) объем тела, полученного вращением
этой фигуры вокруг оси Ох.
6.13.	Параболы х= 1 - Зу2 и х = - 2у2.
6.14.	Кривая у = cos2 (х/2) - sin2 (х/2) и прямые у = 0, х = 0 и х = 7с/2.
6.15.	Найти длину дуги полукубической параболы у = х3/2, где
хе[0, 4].
6.16.	Заданы: парабола х = у2 и прямые у = 0, х = а, где а > 0.
Найдите: а) площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми;
б)	объем; в) площадь поверхности тела, образованного вращением
этой фигуры вокруг оси Ох. При вычислении площади поверхности
считать сначала 0 < b <х<а, а затем устремить b к 0.
В задачах 6.17, 6.18 требуется найти с помощью теорем Гуль¬
дена и соображений симметрии центры тяжести указанных ма¬
териальных тел.
6.17.	Дуга окружности радиуса R, стягивающая центральный
угол величины 2а.
6.18.	Круговой сектор с углом 2а между ограничивающими его
радиусами величины R.
6.19.	Тором называется тело, полученное вращением круга вокруг
не пересекающей его оси («бублик»). Найдите: а) объем тора; б) пло¬
щадь поверхности тора, полученного вращением круга (х- 2)2 + у2 < 1
вокруг оси Оу.
6.20.	Вычислить работу Л, которую
нужно затратить, чтобы растянуть пружи¬
ну на 0,05 м, если известно, что сила, рас¬
тягивающая пружину на х м, равна F(x) =
= кх, где k — коэффициент пропорциональ¬
ности, зависящий от упругости пружины,
и что для растяжения пружины на 0,01 м
Рис. 216	необходима	сила 1 кг.

Ответы, решения, указания
к контрольным задачам
(Возможны иныеу нежели приведенные здесь, решения задач)
1.1.	Решение. Так как для любого хе(0, 1) выполняются нера¬
венства 0 < х < 1, то данное множество ограничено. Поэтому число 1,
а следовательно, и всякое большее число является верхней гранью,
а число 0 и всякое меньшее число — его нижней гранью.
Более того, число 1 является точной верхней гранью данного множе¬
ства, т.е. sup(0,1) = 1, так как для любого s> 0 всегда найдется хе(0,1)
такое, что будет выполняться неравенство х > 1-е. Действительно,
пусть в = 2, тогда существует хе (0,1) такое, что выполняется нера¬
венство х> -1; пусть в = 1, тогда существует хе. (0,1) такое, что вы¬
полняется неравенство х > 0; пусть s = 1/2, тогда существуетх е(0,1)
такое, что выполняется неравенство х > 1/2 и т.д. А это, согласно
свойству точной верхней грани, означает, что sup(0,1) = 1.
Аналогично можно показать, что inf(0, 1) = 0. (Сделайте это
сам остояте л ьн о.)
1.2.	Решение. Допустим обратное, например, что данное мно¬
жество X ограничено сверху. Тогда, в силу теоремы 1.1, оно имеет
точную верхнюю грань. Обозначим ее через с, т.е. sup X = с. Согласно
свойству точной верхней грани для е = 1 найдется такое целое число
хеХ, что будет выполняться неравенствох> с-1. Но тогдах + 1 >
> с, и так как х+1 еХ, то это означает, что с не является точной верх¬
ней гранью множества X Таким образом, получено противоречие,
которое доказывает, что данное множество не ограничено сверху.
Аналогично доказывается, что множество X не ограничено снизу.
(Сделайте это самостоятельно.)
1.3.	Указание. То, что множество X не ограничено сверху, сле¬
дует из доказанного в задаче 1.2 утверждения.
1.4.	Решение. В самом деле, в силу утверждения задачи 1.2, для
числа b/а найдется такое целое число п, что b/а < п. Это число п
искомое, так как, умножая неравенство Ь/а < п на положительное
число а, получаем ап > Ь, что и требовалось доказать.
1.5.	Решение. Пусть supX = A, sup Y = В. Требуется доказать,
что В<Л. Предположим обратное, т.е. что В > А. Тогда, согласно
свойству точной верхней грани, для любого 8 > 0 найдется число
у е Y такое, что у > В - г. Так как В - Л> 0, то возьмем е = В - А.
Получим у>В-г = В- В + А, т.е. у > А. Но у е Y, a Y^X, значит,
у еХ. По определению supX, любой у < А. Но, допустив, что В> А,
можно найти число у еХ такое, что у > А. Полученное противоречие
и доказывает, что В < А или supX > sup F.
Возможно и другое доказательство. Так как Ycz X, то для любого
хеХи любого у е Yвыполняются неравенствах < supX, у < supX и
у < sup Y. Но sup Y — наименьшее из чисел, ограничивающих множе¬
ство Yсверху, a supX — одно из чисел, ограничивающих множество Y

402	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
сверху, следовательно, sup Y< supX Аналогично доказывается, что
inf Y> infX (Сделайте это самостоятельно.)
1.6.	Решение. Пусть sup {z\z = х + у\х еХ, yeY} = С, supX = А,
supF = В. По определению верхней грани, для любого хеХ и для
любого у е Y выполняется неравенство С > z или С > х + у. С дру¬
гой стороны, согласно свойству точной верхней грани, для любого
8 > 0 найдутся хеХ и у е Yтакие, что выполняются неравенства
х > А - в/2 и г/ > В — в/2. Отсюда получаем х + у>А+В-г. А так
как С>х + у> А + В-г, С> А + В-г, то С> А + В.
Покажем теперь, что С = А + В. Действительно, имеем 2 = х + у,
х = z - у, но, по определению верхней грани, А > х = z - у или
A>z-y, откуда y>z-A.C другой стороны, B>y>z-A,B>z-A
или В + А > z. Согласно свойству точной верхней грани, для любого
в > 0 найдется 2 такое, что 2 > С - в. Поэтому В + А> С - в, откуда
получаем В + А > С. Таким образом, В + А<С<В + А\ остается
принять С = В + А.
Аналогично можно доказать, что inf {2I2 = х + у; х еХ, yeY} =
= infX + inf У. (Сделайте это самостоятельно.)
1.7.х<-1	илих> 1.
Указание. Данное равенство справедливо для тех значений х,
х — 1
для которых	> 0.
х + 1
1.8.	х> 5.
Решение. Равенство \х+у\ = \х\ + \у\ справедливо только тогда, ко¬
гда хи у имеют одинаковый знак. Так как х2 + 2х+5 = (х+1)2 + 4>0
при любых значениях х, то данное равенство справедливо для тех
значений х, при которых х - 5 > 0, отсюда х > 5.
1.9.	х = - к/2 + 2кк (k = 0, ±1, ±2,...).
Решение. Данное равенство справедливо для тех значений х, для
которых sinx < 0. Поэтому имеем: -sinx -sinx = 2, или sinx = -1,
отсюдах = - к/2 + 2кк (k = 0, ±1, ±2,...).
1.10.	|х| >л/3.
Решение. Равенство |х-г/| = |х|-|г/| справедливо только тогда,
когда х и у имеют одинаковый знак и |х| >\у\. В данном случае ра¬
венство справедливо для тех значений х, при которых х4 - 4 > х2 + 2,
или х2 - 2 > 1, отсюда |х| > д.
1.11.1)х=0; 2)х=2/5их=2; 3)х=1/2.
.	| Г(х + 4), если х>-4,
1)	Решение. Имеем х + 4 = <
[-(х + 4), если х<-4,
.	.	Г(х-4),	если	х>4,
[-(х-4), если х<4.
Следовательно, прих < -4 получаем - (4 +х)=- (х - 4), откуда 8=0 —
неверное равенство — решений нет; при -4 < х < 4 получаем (х + 4) =

Ответы, решения, указания к контрольным задачам
403
= - (х - 4), откуда х = 0; при х > 4 имеем х + 4 = х - 4, откуда 8 = 0 —
неверное равенство — решений нет. Таким образом, х= 0 — решение
данного уравнения1).
2)	Решение. Имеем
Следовательно, при х < 0 получаем -(х - 1) +1 - 2х = - 2х, откуда
х = 2 — решений нет, так как 2 ^ (-оо, 0); при 0 < х < 1/2 получаем
-	(х - 1) + 1 - 2х = 2х, откуда х = 2/5 — решение уравнения, так как
да х = 0 — решений нет; при 1 < х < +оо имеем х - 1 - (1 - 2х) = 2х,
откуда х= 2 — решение уравнения. Таким образом, х=2/5их=2 —
решения данного уравнения.
3) Решение. Имеем: а) 13 - 2х\ - 1 = 2|х|; б) |3 - 2х\ -1 = -2|х|.
Следовательно, при х < 0 получаем 3-2х-1=-2х, откуда 2 = 0 —
неверное равенство — решений нет; при 0 < х < 3/2 получаем
3	— 2х — 1 = 2х, откуда х = 1/2 — решение уравнения; при 3/2 < х <
< +оо имеем -3 + 2х - 1 = 2х, откуда 4 = 0 — неверное равенство —
решений нет.
Нетрудно проверить, что в случае б) уравнение не имеет решения.
Таким образом, х = 1/2 — решение данного уравнения.
1.12.	х < 0 или 0 < х < 3.
Решение. Неравенство |я-6|>|я|-|6| справедливо тогда, когда:
1)	числа а и b имеют разные знаки; 2) \ а\ < \ Ь\. В случае 1), так как
х2 > 0, то неравенство имеет место для значений х, при которых Зх< О,
т.е. для х < 0. В случае 2) неравенство выполняется для тех значений
х, для которых х2 < Зх или х2 - Зх < 0, х(х - 3) < 0. Возможны два
случая: либо	Первая	система не имеет
решений, а вторая имеет решение 0 < х < 3. Таким образом, получаем
ответ х < 0 или 0 < х < 3.
1.13.х<-4илих>4.
1.14.	Решение. Имеем: 1) при п = 1 утверждение верно, так как
41 = 4 > 1 = I2; 2) предполагая верность данного утверждения для
некоторого п, докажем, что 4n+1 > (п + I)2. Действительно, так как
х -1, если х > 1,
-(х-1), если х<1,
1-2х, если х < 1/2,
-(1-2х), если х > 1/2,
х, если х>0,
-х, если х<0.
2
—	е[0, 1/2]; при 1/2 < х < 1 получаем -(х - 1) - (1 - 2х) = 2х, отку-
а)
1} Здесь использован специальный прием — «метод интервалов».

404
Ответы, решения, указания к контрольным задачам
4«+i =4 .4”>4^ая2>?ги?г2> 1,то4п2>п2 + 2п + \ = (п+ I)2. Окон¬
чательно получаем 4n+1 > (п + I)2, что и требовалось доказать.
1.15.	Решение. Имеем: 1) при п = 4 утверждение верно, поскольку
4! = 24 > 16 = 24; 2) предполагая верность данного утверждения для
некоторого п > 4, докажем, что 0 + 1)! > 2n+1. Действительно, (гг +1)! =
= п\(п + 1) > 2П(п + 1) > 2п • 2 = 2n+1, так как я + 1 > 2 при п > 4. Окон¬
чательно получаем (я + 1)! > 2п+\ что и требовалось доказать.
1.16.	Решение. Имеем: 1) при я = 2 утверждение верно. В самом
деле, V2 < 1 + 1/л/2 < 2л/2 или 2 < >/2 +1 < 4. Это верно, поскольку
1	< л/2 < 2; 2) предполагая верность данного утверждения для не¬
которого п > 2, докажем, что
+1 < 1 н—н—7= +... н—н—.	< 2\Jti +1.
л/2	>/3	vrc л/^ + 1
Для того чтобы доказать справедливость неравенства
I	7 i 1	11
V72 + 1 <1-1	~г=	+	... Н—Н—.	,
л/2 vrc V^ + l
достаточно показать, что
V/7 +1 < + J:—
yj72 + 1
Это действительно верно, так как
V^"+"l < "I—I	72 + 1 < ^72(72 + 1) + 1 <^>
V72 + 1
OH2 < (<у/т2(72 + 1))2 = П2 + П О 0 < П,
что очевидно при я > 2. Аналогично, чтобы доказать неравенство
1	1	1	1	о	I	7
1	н—+... н—-j= н—I	< 2\]н +1,
л/2	V72	V72 + 1
достаточно показать, что
ч
2у[н н—,	< 2л/т?ТТ.
V72 + 1
Это неравенство верно, поскольку
1	I		I
2л/?7 н—.	< 2yjti +1 <^> 2yln(n +1) +1 < 2(/7 +1) <^>
>М + 1
о	2у]п(п +1) < 2/7 +1 о 4/г2 +4/2<4/?2 + 4/7 +1	0	<	1.
Таким образом, данное утверждение доказано.
1} Знак о означает равносильность. Например, запись А о 5 означает,
что из А следует В и, наоборот, из В следует Л.

Ответы, решения, указания к контрольным задачам	405
1.17.	l + 3 + 6 + ...+ W(W^=w(w + 1)(w + 2).
2	6
Решение. Обозначим искомую сумму через Sn. Тогда
_	,	_	_	п(п + 1)	12+1	22+2	п2 +п
Sn = 1 + 3 + 6 + ... + —^——- =—-— + —-— + ...+—-— =
2	2 2 2
п(п +1)(2 п +1) п(п +1)
1 +2 +... + П +1 + 2 + ... + ??	^	о
2	2
??(?? +1)(2/? + 1 + 3) _ ??(?? + !)(?? + 2)
12
о	^	.2	02	2 И(Я + 1)(2я + 1)
Замечание. Формула 1 +2 +... + « = —	—		 доказана
б
п(п +1)
на с. 27, а формулу 1 + 2 +... + п = — 	  вы должны были доказать
самостоятельно.	2
1 1 1 11
1.18.	 +	+ ... + -
1-3 3-5	(2я-1)(2я	+	1)	2	2(2??+ 1)
Решение. Обозначим искомую сумму через Sn и представим
1	1 1 „ "
в виде	. 1огда
(2и - 1)(2я +1)	2(2??	-1)	2(2??+ 1)
2 6) Кб 10)	К2(2п-1)	2(2??+ 1)
1111 1 1 1
- +	+ ...	+ -
2	6 6 10 2(2??-1) 2(2??-1) 2(2??+ 1)
1 1
~2 2(2?? +1)
Чтобы убедиться в том, что сумма определена правильно, вос¬
пользуемся методом математической индукции. Имеем:
1)	при п = 1 утверждение верно, так как
с -
1	1-3 2 6’
2)	допустим, что для некоторого п верно равенство
5.4- 1
п 2 2(2?? +1) ’
тогда
1	. 1 1
Sn+1 -£. +	-- - - +"
” (2?? + 1)(2?? + 3)	2	(2??	+	1)(2??	+	3)	2(2??+ 1)

406	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
1	2п + 3-2	1
2п + \
1 1
2	2(2п + 1)(2п + 3)	2 2(2п + \)(2п + 3)	2 2(2я + 3)‘
Таким образом, методом математической индукции мы подтвер-
1	1
дили справедливость искомой формулы Sn =	.
2.9.1)	Длина стороны квадрата а = л/17 (ед.); 2) SABCD = 17 (ед.2);
3)	середины сторон квадрата — точки: М(3,5; 3) (середина стороны
АВ); N(1; 4,5) (середина стороны ВС); К(-0,5; 2) (середина стороны
CD); 1(2; 0,5) (середина стороны AD).
Решение. 1) Длина стороны квадрата
а = \AD\ = J(xA -xDf + (уА - yDf = V( 4 - О)2 + (1 - О)2 = 7l7 (ед.).
2)	Площадь квадрата SABCD = а2=17 (ед.2).
3)	Координаты середин сторон АВ, ВС, CD, DA находим по фор¬
муле для координат середины отрезка (см. следствие на с. 45). Пусть
М(хм; ум) е[АВ], \АМ\ = \МВ\. Тогда точка Мделит отрезок АВ в
Аналогично получаем остальные ответы.
2.10.x =2; у =1.
С	’ Я с
Решение. Центр тяжести пластинки, имеющеи форму тре¬
угольника, находится в точке пересечения медиан треугольника
(рис. 217). Пусть D — середина стороны i? С треугольника А6 С. Тогда
точка D делит отрезок ВС в отношении X = 1, поэтому координаты
точки D таковы:
2	2(2 /2 + 1)
отношении Х =
\АМ\
= 1, поэтому,
\МВ\
4
>А
Медианы треугольника пересекаются в
одной точке, которая делит каждую из
них в отношении X = 1/2. Обозначая че¬
рез и ус координаты центра тяжести
искомой пластинки, получим
-2
0
С
1 + 1/2	3/2	3
Рис. 217
Таким образом, хс = 2; ус = 1.

Ответы, решения, указания к контрольным задачам	407
2.11.	Вершины имеют координаты М(0; -3); N(-4; 5) и К(8; 1).
Решение. Пусть А — середина стороны MN; В — середина сто¬
роны NK; С — середина стороны КМ в треугольнике MZVK Тогда
(приХ= 1)
*М+%. ^	_	XN	+	_	_	ХК +	.
2	2 ° 2
У _Ум +Уы . у _Уы + У К . у _Ук + Ум
у а	2	*	™	в	2	*	2
Подставив в эти уравнения координаты точек Л, 5 и С, приходим
к двум системам уравнений:
XM+XN=~A> (О
XN+XK=±> (2)
*=8,	(3)
Ум +Уы =
Уы ^Ук ~
У к + Ум~ -2*
Сложив почленно уравнения (1), (2) и (3), получим 4=хм+хм+хк.
Вычитая последовательно из последнего уравнения уравнения (1),
(2)	и (3), находим: хк = 8,хм= 0, xN = -4. Выполнив аналогичные
действия с уравнениями второй системы, найдем: ук = 1,ум = -3,
У N ~
2.12.	Точка С должна иметь координаты (рсх + х2; ух + у2).
Решение. Пусть О — точка пересечения диагоналей паралле¬
лограмма А В CD, тогда она является серединой диагоналей. Так как
О	— середина отрезка BD, то (X = 1) (рис. 218)
xR+xn х,+х0	...	Уп + Уп У\+У<)
хо= ~^	= ~^2 W иг/с = “=^	(2)
Так как О — середина отрезка АС, то аналогично находим
хА + х с	у А + ус
И у0 =^л__^с_
Отсюда получаем хс = 2х0 -хАиус = 2 у0 - уА. Подставляя в эти
равенства найденные в (1) и (2) значения х0 и у0, находим ответ.
Замечание. Задачу проще решить с помощью сложения векторов
с заданными координатами.
2.13.	С(32;0) или С(-8; 0).
Решение. Пусть С(хс; ус) — искомая вершина. По условию ус = 0.
Согласно формуле площади треугольника имеем
Ю = 1|(-2-5)(0-1)-(хс-5)(2-1)|,
откуда 112 -хс\ = 20. Значит, 12 -хс= 20, или 12 -хс = -20, поэтому
хс = -8 или хс = 32.
2.14.	Площадь четырехугольника равна 13 (ед.2).

408	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
Рис. 218
Рис. 219
Рис. 220
Рис. 224

Ответы, решения, указания к контрольным задачам	409
Решение. Так как (рис. 219) SABCD = SABC + SACD, то, SABC = 13/2,
^acd = 13/2, то SABCD =13 (ед.2).
2.15.	Прямоугольные координаты точки равны (2 + 5>/3; 8).
Решение. Так как в прямоугольном треугольнике О'АВ (рис. 220)
АО'В = Ж, то \АВ\=^\0'А\ = 5, поэтому \0'В\ = ^\0'А\2 -\АВ\2 =
= л/75 = 5л/3. Далее,хА = 2 + \0'В\ = 2+5^3, уА = 3 + \АВ\ = 3 + 5 = 8.
2.16.	Расстояние равно л/34 (ед. дл.).
Решение. Пусть О — полюс, АиВ — данные точки (рис. 221).
Треугольник ЛОБ — прямоугольный, поэтому
\AB\ = J\A0f +\BOf = V9 + 25 =-\/34.
2.17.	См. рис. 222—230.
\ х > 0,	х	у
Указания и решения. 2) В случае	’ уравнение г = #7
[у>°	М	\у\
Гх <0,
принимает вид 1 = 1, а в случае	— следующий вид: -1 = -1,
[г/<0
следовательно, все точки, лежащие в I и III четвертях (без границ,
так как х ф 0, у ф 0), принадлежат искомому множеству. Если х и у
имеют разные знаки (т.е. для точек II и IV четвертей), то получаем
неверное равенство 1 = -1, значит, во II и IV четвертях нет точек
искомого множества (рис. 225).
{х — у = 0,	\ у = х,
’ откуда получаем,
х-2у = 0	[у = х/ 2,
что искомым множеством является объединение прямых у = х и
у = х/2 (рис. 226).
5)	Сумма квадратов может быть равна нулю только в случае
равенства нулю каждого слагаемого, следовательно,
0	Гх —1 = 0,	Гх = 1,
(х -1) + (г/ +1) = 0 <=> j	oj
[г/ +1 = 0	[у = -1,
т.е. искомое множество — точка М(1; -1) (рис. 227).
6)	х + у > 0 о у > -х, откуда следует, что искомому множеству
принадлежат все точки, лежащие «выше» прямой у = - х (рис. 228).
Гх-г/>0, Гу<х,
9)	^	о	поэтому	искомому множеству при-
[х-2у>0	[у<х/ 2,
надлежат точки, являющиеся пересечением полуплоскостей у < х
и у < х/2 (рис. 229).
10)	(х-у)(х-2у) > 0.

410	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
У к
Ук
х+у> 0
Рис. 228
Ук
(х-у)(х-2у)>0
Рис. 230
>0,
/>0
х-у <0,
(х-1)2+(у+1)2 = 0
	*ЛГ(1;-1)
Рис. 229
Случай V' *	’7	разобран	в	задаче	9);	аналогично	рассмат-
[х-2у>0
ривается случай <	~	, т.е. искомое множество представляет
[х-2у<0,
собой пару вертикальных углов (рис. 230) без границ.
2.18.	а) у = 0; б) у = х+ 10; в) \х\ = 2.
Указания и решения. а) Точка А( 1; 0) сама лежит на оси абс¬
цисс у = 0.
б)	Уравнение прямой, параллельной прямой у = х, имеет вид
у = х + Ь, где b — постоянное число. Точка В(- 3; 7) лежит на этой

Ответы, решения, указания к контрольным задачам
411
прямой, поэтому 7 = -3 + Ъ, откуда Ь = 10. Итак, искомая прямая
имеет уравнение у = х + 10.
в)	Множество точек, находящихся на расстоянии 2 от оси Оу,
представляет пару прямых, параллельных оси Оу и проходящих через
точки (-2; 0) и (2; 0). Уравнения этих прямыхх = -2 илих = 2.
2.19.	а) (у - Зх)(у -х + 3) = 0; б) (у -х)[(х + I)2 + (у - 2)2] = 0;
Г 0 < X < 1,
в)	у > я; г) 0 < у < 1; д) -I
[0<г/<1.
2.20.	Решение. Запишем уравнение прямой (АВ)1} ^ + ^ =
400 + 6
%	з
= —200—3’ 0ТКУда^ = Координаты точки С удовлетворяют
уравнению прямой (АВ). Действительно, -2000 = -2 • 1000. Таким
образом, Се(АВ), т.е. точки А, В и С лежат на одной прямой.
2.22.	Решение. Введем прямоугольную систему координат с нача¬
лом в вершине А параллелограмма и осью абсцисс, направленной по
прямой (АВ) от точки А к точке В (рис. 231). Запишем координаты
вершин параллелограмма: А (0; 0), В (х^, 0), С(х2; у2), D (рсх + х2, у2)
(см. задачу 12). Найдем длины сторон и диагоналей параллело¬
грамма:
\АС\ = <J(x2 - О)2 + (уг - О)2 = Jx\ + у\;
\АВ\ = y](xi — О)2 + (0 — О)2 = yjxf;
\BD\ = \АС\ = yjxl+yl; \CD\ = \АВ\ =
\AD\ = л/(х, +x2 - О)2 + (y2 - О)2 = y](xt + x, )2 + y\;
\CB\ = ,J(x, -x,)2 +(г/2 -0)2 = J(x2 -x,)2 + y\.
Теперь можно проверить, что сумма квадратов длин всех сто¬
рон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.
В самом деле,
|ЛС|2 +|АВ|2 +|ЯО|2 + \CD\2 = (х2 + у22) + х\ + (х\ + у22) + х\ =
= 2х\ +2x1 +2у1’,
\AD\2 + \СВ\2 = (х2 + 2х^х2 + х\ +у\) + (х2 - 2х^х2 + х2 +у\) =
= 2х\ + 2х\ + 2 у\.
2.23.	а) Точка N не лежит на данной окружности.
Решение. Запишем уравнение данной окружности: (х -1)2 +
+ (у + 2)2 = 25. Подставим в него координаты точки. Имеем
(-1 + 4,1 )2 + (+ 2 + 1,9)2 = 25. Раскрывая скобки, получаем неверное
равенство 24,82 = 25.
1} Обозначение (АВ) означает прямую, проходящую через точки А и В.

412	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
2.24.	а = 1 или а = -5.
Решение. Запишем уравнение данной окружности: (х + 2)2 +
+ (у- 3 )2 = 25. Поскольку точка А (а; -1) лежит на данной окружно¬
сти, ее координаты удовлетворяют уравнению окружности, т.е.
(а + 2)2 + (-1-3)2 = 25.
Решая последнее уравнение, получаем два значения а:	=	1, а2 = - 5.
2.25.	(АВ): у = Sx + >/3; (ВС): у = Sx + S', (CD): y = Sx-
S; (AD): y = ->j3x-S.
Решение. Найдем координаты точек В и D:
|OB| = |^0|tg60”, |ЛО| = 1, \ОВ\ = 1 • tg 60° = >/3;
\OD\ = \ОВ\ = -v/З; В(0; >/3), D(0; -л/3).
Запишем уравнения прямых (АВ), (ВС), (CD) и (AD)
(АВ): — + -М= = 1; ->/Зх + г/ = >/3; г/ = >/Зх + >/3;
—1 л/З
(AD): —+ —^= = 1; >/Зх +г/=->/3; у = -л/Зх-л/З;
—1	—л/3
(CD): - + -^= = 1; -j3x + y = S; y = *JЗлг-л/З;
1	—л/ 3
(ВС): —+ -= = 1; j3x + y = j3; у = Sx + л/3.
1	л/3
2.26.	г/= х-5.
Решение. Биссектриса I и III координатных углов имеет урав¬
нение г/ = х. Искомая прямая, по условию, параллельна этой бис¬
сектрисе, поэтому уравнение прямой имеет вид у = х + Ь. Учитывая,
что точка Л (0; -5) лежит на прямой у =х+Ь, найдем значение b:
-5 = 0 + 6;6 = -5. Таким образом, уравнение искомой прямой имеет
вид у = х-5.
2.27.	а) г/ = 2х+ 2.
Решение. Поскольку искомая прямая параллельна прямой
г/ =	+1, ее уравнение имеет вид у = Ъс+Ь. Учитывая принадлежность
точки М(0; 2) искомой прямой, находим значение к 2 = 2-0+b\b=2.
Итак, искомая прямая имеет уравнение у = 2х + 2.
2.28.	1) Уравнение высоты AD у = 2х + 6; 2) длина высоты /Ш
равна 12/>/5 (ед.); 3) 5Д0В = 12 (ед.2).
Решение. Найдем абсциссы точек Л и В. Подставляя в уравнение
2х + у - 6 = 0 ординаты уА и ув, получаем 2х+6-6 = 0, 2х- 2- 6 = 0,
откуда хА = 0 и хв = 4 (рис. 232). Запишем уравнение прямой (ОВ):
ух	1
= — или у = -—х. Далее, на основании запишем уравнение прямой

Ответы, решения, указания к контрольным задачам	413
5(4;-2)
Рис. 232
Рис. 233
(AD): у - 6 = k(x-0),y = kx+ 6. Так как, по условию, прямая (AD) пер¬
пендикулярна прямой (BD), тогда k в уравнении прямой (AD) равно
2. Следовательно, уравнение искомой высоты AD имеет вид у = 2х+6.
yD = 6/5. Далее находим, что \AD\ = 12/л/5, a SA0B = 12 (ед.2).
2,29,	2х+1у - 5 = 0.
Решение. Заметим, что точка А(-1; 1) принадлежит прямой
х + 2у —1 = 0 (рис. 233).
1)	Пусть искомая прямая пересекает прямую х+2г/-3 = 0в
точке В(х0; г/0). Тогда х0 + 2г/0 -3 = 0.
2)	Координаты (хс; ус) середины С отрезка АВ можно найти
(приХ= 1):
Точка С принадлежит прямой х - у - 1 = 0, и, следовательно,
3)	Координаты (х0; г/0) точки В находим из системы уравнений
откуда х0 = 11/3, г/0 = -1/3.
4)	Находим уравнение искомой прямой (АВ), где А(-1; 1),
аБ(11/3; -1/3),
хс-ус - 1 = 0 или
-1 + х0 1 + г/0
2 2
-1 = 0, т.е. х0 - г/0 = 4.
Г х0 + 2у0 — 3,
{хо-2/о=4,
х + 1 _ г/ — 1
или 2х + 7г/-5 = 0.
11/3 + 1	-1/3-1

414	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
2.30.	х-7г/ + 6 = 0и7х + г/ + 4 = 0.
Решение. По условию необходимо найти множество всех точек
М(х; у), равноудаленных от прямых 11 (уравнение Зх + Ay - 1 = 0) и
L2 (уравнение Ах - Зу + 5 = 0), т.е. таких, что расстояние dx от точки
М(х; у) до прямой 11 равно расстоянию d2 от точки М(х; у) до прямой
L2 (dx = d2). Поэтому
Таким образом, искомое множество точек М(х; у) задается урав¬
нением
Последнее уравнение равносильно следующим двум уравнениям:
4х-3г/ + 5 = 3х + 4г/- 1 или 4х-Зг/ + 5 = -Зх-4г/ + 1,т.е.х-7 у +
+ 6 = 0 или 1х + у + 4 = 0.
2.31.	При любых а. Множество точек Месть прямая, перпенди¬
кулярная отрезку АВ.
Решение. Введем прямоугольную систему координат с центром
в середине отрезка АВ и осью абсцисс, направленной от точки А к
точке В (рис. 234). Пусть \AB\ = d, тогда имеем А = (-d/2; 0), £(d/2; 0).
Пусть М(х; у) — точка искомого множества. Запишем уравнение
откуда \АМ\2 - \ВМ\2 = 2xd. С другой стороны, по условию \АМ\2 -
-	\ВМ\2 = а и тем самым искомое множество точек задается уравне¬
нием 2xd = а. Очевидно, это прямая, перпендикулярная оси абсцисс
и пересекающая ее в точке с координатами (a/2d; 0).
2.32.	(0; 1) или (3/5;-4/5).
Решение. Искомая точка А (х0; у0) лежит на данной окружности,
поэтому ее координаты связаны соот-
yii	ношением х20 + у\ = 1. Кроме того, по
М(х’ ^	условию точка А (х0; у0) равноудалена
от точек (1; 3) и (- 2; 2); поэтому
А	|3х + 4г/ —1| А |4х-Зг/ + 5|
Ct'A	j	t/л
1	V9 + 16 ’ 2	V16	+	9
\4х — Зг/ + 5|	|3х + 4г/ -1|
V25	_
т.е. \4х - Зу + 51 = |3х + 4г/ - 1
\AM\2 = [x + jj +y\ \BM\2=^x-^j +уг,
Таким образом, координаты точки
А (х0; г/0) можно получить, решая сис¬
тему уравнений:
Рис. 234

Ответы, решения, указания к контрольным задачам
415
[%1+у1 = \,	^
[Оо - !)2 + (Уо - 3)2 = (хо + 2У + (г/о - 2)2
ИЛИ
2.33.	у = --х + -.
*22
Решение. Заметим, что так как I2 + 22 = 5 — верное равенство, то
точка Л(1; 2) лежит на данной окружности, а, прямая (ОА) имеет
уравнение у = 2х.
Искомая касательная перпендикулярна радиусу окружности,
проведенному в точку касания Л, т.е. прямой (ОА). Поэтому, угловой
коэффициент искомой касательной равен (-1/2), и, следовательно,
1 ,
ее уравнение имеет вид у = --х + о.
Для нахождения b воспользуемся тем, что точка А (1; 2) принад¬
лежит касательной, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению
1	5
касательной: 2 = --Л + Ь. Отсюда 6 = —.
Итак, уравнение касательной к данной окружности в точке Л (1; 2)
Решение. Две точки пересечения двух данных окружностей
удовлетворяют системе уравнений
J х2 + у2 =2 ах,
\х2 + у2 =2Ьу
и,	следовательно, условию 2ах = 2by, т.е. лежат на прямой ах = by.
Заметим, что при а ф 0 и b ф 0 система имеет два решения (0; 0) и
( 2ab2	2а2Ь Л	,
—	-J] ——-J , поэтому окружности имеют общую хорду.
2.35.	x + y-3-3yf2 =0 и х + у-3 + 3-\/2=0.
Решение. Приведем данные уравнения к каноническому виду
1	5
имеет вид у = —х + -.
2	2
2.34.	у = ^-х.
*	Ъ
(.х2 + у2 = 6х) о ((х - З)2 + у2 = З2)
и
(х2 +у2 = 6г/) о (х2 +(у- З)2 = З2).

416	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
ных от прямой X + у -
Окружности имеют одинако¬
вые радиусы, значит, если про¬
вести прямую через их центры, то
общие касательные будут парал¬
лельны этой прямой и удалены от
нее на расстояние, равное радиусу
(рис. 235). Уравнение прямой, про¬
ходящей через центры Ot(3; 0) и
02(0; 3), следующее:
х-3 у-0	0	А
	= 		о х+у- 3 = 0.
0-3	3-0	*
Следовательно, искомые касатель¬
ные — множество точек (х; у), удален-
3	= 0 на расстояние, равное 3. Поэтому
\х + у-?>\
л/2
1 = 3,
откуда и получаем ответ.
2.36.	у = —х2.
У 4
Решение. Парабола проходит через начало координат и сим¬
метрична относительно оси Оу, поэтому ее уравнение имеет вид
х2 = 2ру. Учитывая, что точка (6; 9) принадлежит параболе, найдем
значениер: 62 = 2р • 9, р = 2. Итак, искомая парабола имеет уравнение
х2 = 4у, или у = ~х2-
2.37.	— + — = 1.
36	9
Решение. Ординаты ух точек полученной кривой вдвое меньше
ординат у точек окружности х2 + у2 = 36 с теми же абсциссами, т.е.
1
У\ = ~^У> 0ТКУДа У = 2yv Поэтому уравнение новой кривой имеет
вид
х2 + (2уЛ2 =36<=> —+ —= 1.
v	36	9
Полученная кривая — эллипс.
2.38.	a = V10; b = S-
Решение. Преобразуем данное уравнение к каноническому
виду
Зх2 S772
Зх2 + 5у2 - 30 = 0 о	+ -У— = 1 о
У
зо зо (VTo)2 (7б):
-=1.

Ответы, решения, указания к контрольным задачам	417
Таким образом, большая полуось эллипса a = VlO, малая по¬
луось Ь = у[б.
х2 Ау2
2.39.	—+ -^- = 1.
65	65
Решение. Уравнение эллипса, симметричного относительно
осей Ох и 0у, таково:	9	9
^+у~=\
„2	U2
а о
Учитывая, что точки (1; 4) и (7; 2) лежат на эллипсе, получим
систему уравнений
16_1
2 + t.2 ’
a b
49	4	.
п2 + h2 ~
а о
/	 ^ ^
Решив ее, найдем а = >/б5, b = — >/б5. Подставляя найденные
2	х2	4w2
значения а и b в общее уравнение эллипса, получим — +	=	1.
65	65
2.40.	= 1.
3	5
Решение. Данный эллипс имеет полуоси я = >/8, b = >/5 и фоку¬
сы в точках ^(с; 0) и i\,(-c; 0), где с = \1а2 -Ь2 = л/3. Искомая гипер¬
бола имеет фокусы в точках F[(c^ 0) и F'2(-c, 0), где с4 = yjaf - b2. По
условию ct = а и = с. Поэтому имеем я = у]с2 + Ь2, откуда
я2 = с2 + 62 о а2 = (а2 + Ъ2) - b2 ob2 = b2 obx=b.
Итак, уравнение искомой гиперболы
2 2 2 2 2 2
х	г/ , х у л х у .
	= 1 <=>	—— = 1 <=>	— 1
a2 62 с2 /г	3	5'
2.41.	Ъс-Ъу + 19 = 0.
Решение. Приведем уравнение окружности к каноническому
виду
х2 +уг + 4х-6г/-17 = 0о(х + 2)2+(г/-3)2 =(л/30)2.
Таким образом, центр окружности находится в точке (-2; 3), и,
следовательно, искомая прямая (диаметр окружности) проходит
через эту точку.
Искомая прямая перпендикулярна прямой 5х+ 2у - 13 = 0, т.е.
прямой у = ~—х +—, поэтому угловой коэффициент искомой пря-

418	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
Значение b найдем, используя принадлежность точки (-2; 3) искомой
2.42.	а) 7.
Решение. Данная окружность х2 + у2 = 9 имеет центр в начале
координат (0; 0) и радиус, равный 3. Соединим точку М0 с началом
координат. Пусть отрезок М0О пересекает данную окружность в
точке Л (рис. 236). Тогда \MqA \ — искомое расстояние.
Найдем \MqA\. Учитывая, что \ОА\ = 3, имеем \MqA\ = \М0О\ - 3,
Получаем х = 0, у = -3 и х = 11/5, у = 7/5. Итак, данная окружность пе¬
ресекается с данной прямой в двух точках: Л ДО; -3) и Л2(11/5; 7/5).
2.44.	а) а = 5, Ъ = 3; б) F (-4; 0), F2(4; 0); в) 8 = 4/5; г) х = -25/4
их= 25/4.
Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду
а)	Полуоси эллипса а = 5, b = 3 (рис. 237).
б)	Координаты фокусов ^(-с; 0), F2(с; 0), т.е. ^(-4; 0), F2(4; 0),
2	19
г/ = —х + — или 2х - 5у + 19 = 0.
т.е. \ М0А\ = yj62 +(-8)2 - 3 = 7.
2.43.	а) Пересекает.
Решение. Решим систему уравнений
2х - г/ - 3 = 0,	Г г/ = 2х - 3,
х2 + г/2 -3х + 2г/-3 = 0	[х(5х-11) = 0.
Гг/ = 2х-3,
[х(5х -11)
2 2
9д-2 + 25 у1 = 225 о ^ ^ = 1.
*	5	З2
так как с =
:как с = \1а2 - Ь2 =4.
в)	Эксцентриситет: s = с/а, т.е. в = 4/5.
3
К
Рис. 236
Рис. 237

Ответы, решения, указания к контрольным задачам	419
г)	Уравнения директрис х = - а/в и х = а/г, т.е. х = - 25/4 и
*	= 25/4.
2,45,	а) Пересекает.
Решение, Решим систему уравнений
2х - у - 3 = О,
2 2
Х У л
		+ —= 1
16	9
[у = 2х - 3,
^{х(73.г-192) = 0.
Получаемх=0,у = -3их = 192/73, у = 165/73. Итак, задан¬
ная прямая пересекает данный эллипс в двух точках: Вх(0; -3)
и В2( 192/73; 165/73).	4
2,46,	а) а = 3, b = 4; б) F/-5; 0), F2(5; 0); в) е = 5/3; г) у = -х и
4.99	3
у = --х; д) х = -- и * = -.
Решение. Приведем уравнение гиперболы к каноническому
виду
16х2
2	2
-9г/2=144»^-^ = 1.
*	3	4
а)	Полуоси гиперболы: а = 3, b = 4 (рис. 238).
б)	Координаты фокусов: Ft(-5; 0), F2(5; 0), так как
с = >]а2 +62 =5.
в)	Эксцентриситет: s = с/а, т.е. в = 5/3.
w	Ъ	Ъ	4	4
г)	Уравнение асимптот: г/ = — х и у = —лет, т.е. г/ = — х и у = —х.
а	а	3	3
д)	Уравнения директрис: х = -а/г и х = а/в, т.е.х=-9/5 и х = 9/5.
Данная гипербола изображена на рис. 238.
2,47,	а) в = 5/4; б) у = 16/5 и г/ = -16/5.
Решение, Приведя уравнение гиперболы к каноническому
виду
Рис. 238
Рис. 239

420
Ответы, решения, указания к контрольным задачам
16х2 -9у2 = -144 о	г=Ъ
получим, что полуоси гиперболы а = 4, b = 3, координаты фокусов
^(0; -5) и .Р2(0; 5), откуда эксцентриситет е = с/а = 5/4. Тогда урав¬
нения директрис гиперболы будут иметь вид у = -16/5 и у = 16/5.
2.48. е) Искомое множество изображено на рис. 239.
Указание. Преобразуем неравенства данной системы к виду,
удобному для построения:
х2 +8у< О,
2.x + 3у + 6 < О, <^>
16х2 - 9у2 > 144
2х
3~’
2 2
X У л
	— >1.
9	16
(1)
(2)
(3)
Неравенство (1) задает множество точек плоскости, лежащих
«ниже» параболы у = -х2/8. Неравенство (2) задает множество то¬
чек, лежащих «ниже» прямой у = -2- 2х/3. Наконец, неравенство
(3)	задает множество точек плоскости, лежащих «правее» правой
ветви и «левее» левой ветви гиперболы, включая точки, лежащие
на самой гиперболе.
2.49.	Если С < О — пустое множество, если С = 0 — пара данных
прямых, если С > 0 — две сопряженные гиперболы.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох явля¬
лась биссектрисой одной из пар вертикальных углов, образуемых
данными прямыми, а начало координат совпало с точкой их пере¬
сечения. Тогда уравнения прямых Lx и 12 имеют соответственно
вид y = kxn y = -kx.
Пусть М(х; у) — произвольная точка искомого множества, тогда
имеем
_ \kx-y\
_\kx + y\
л/^ + Г
где	d2 — расстояния от точки М(х; у) до прямых Lx и 12 соответ¬
ственно, а условие задачи можно переписать в виде
\kx-y\ \kx + y\
л[Р+1 yfP+i
= C(const)
или
\(kx- y)(hc + y)\ = Cv где Cx = (k2+ 1 )-C.
Если Cx < 0, то искомое множество точек пусто.
Если Сх = 0, то множество точек — две данные прямые у = ±kx.
Если С{ > 0, то множество точек — две гиперболы k2x2 -у2 = С{
и у2 - k2x2 = Су

Ответы, решения, указания к контрольным задачам	421
2.50.	Парабола.
Решение. Так как для любой точки иско¬
мого множества расстояния от нее до точки А
и до прямой L равны (радиусу окружности),
то по определению множество всех таких
точек является параболой с фокусом в точке
А и директрисой L (рис. 240).
3*1 ♦ -*90 =	-*885 = 1-
Решение. Данная последовательность пе¬
риодическая с периодом, равным шести: х1 = 0,
х2 = 1,х3= 1,х4 = 0,х5 = -1,х6 = -1,х7 = 0,....
Поэтому Х90 = х15.в = х6 = -1, х885 = хш.6 + з =
= xs = 1.
3.2.	Решение. Данная последователь¬
ность имеет вид 3; 3^; 3^;...; 3^”;.... Для
доказательства воспользуемся определением бесконечно большой
последовательности. Возьмем любое число А > 0. Из неравенст¬
ва |хм| = |3*| > А получаем неравенство |з^| = 3^ > А. Пролога¬
рифмировав, найдем yfn\g3>igA>	откуда	]	.
Ig3	Ug3)
Рис. 240
Если взять N =
мУ
igsj
, то для всех п> N выполняется неравенство
\хп\ > А, т.е., согласно определению бесконечно большой последова¬
тельности, последовательность {3^} бесконечно большая.
3.3.	Решение. Данная последовательность имеет вид
1	2 2 2 2
3’ 5>/2+l’	5>/3+l’ Ss/4+l’"’’ 5>/я+1’""
Для доказательства воспользуемся определением бесконечно малой
последовательности. Возьмем любое число в > 0. Из неравенств
а» =
(-1)”2
5у/п +1
Г<-
1
Г< В
5 4п +1 S^fn 2 yfn yfn
получаем неравенство л/п> 1/в, откуда п > l/в2. Если взять N = [l/s2 ],
то для всех п > N будет выполняться неравенство |aj < в, т.е., согласно
определению бесконечно малой последовательности, последователь-
(—1)”2
ность
бесконечно малая.
[ Sy/н + 1J
3.4.	Решение.
П Доказательство. Пусть {aj — бесконечно малая последователь¬
ность. Возьмем любое число Л > 0 и положим в = 1/Л. По определению

422
Ответы, решения, указания к контрольным задачам
бесконечно малой последовательности, для этого 8 существует номер
N такой, что при п > Довыполняется неравенство |aj < s. Тогда
\х J =
1
11
1—г>- = А, т.е. \х\ > А для всех п> N.
ale
А это, по определению бесконечно большой последовательности,
означает, что последовательность \ — \ бесконечно большая. ■
KJ
3.5,	Решение. Данная последовательность имеет вид
1	1
1; 2; —; 4; —;...; ??(_1) ;.... Возьмем число А > 1. Тогда неравенство
\хп\ > А не имеет места для всех элементов хп с нечетными номерами:
xv ху ху.... Это и означает, что последовательность {п{~Х)П} не является
бесконечно большой.
3.6.	Решение. Данная последовательность имеет вид
1 < 1	1	. 1	1
1 н—, 1 Н	1—;г,..., 1 н—н... н	, —
2	2 2	2	2”
Для доказательства воспользуемся определением предела по¬
следовательности, но предварительно с помощью формулы суммы
геометрической прогрессии представим выражение общего элемента
последовательности в виде
1	1	1 о 1	о	1
хп=1+2 + - + у = 2-^Г или хп~2 = ~—-
Возьмем любое число е > 0. Тогда из неравенства \хп -2| =
’2"
1	1
= — <в получаем неравенство 2”>—, или, логарифмируя,
1	1
пlog2 2 > log2 —, откуда п > log2 —. Если взять N =
8	8
log2-
8
ТО ДЛЯ
всех п > N будет выполняться неравенство \хп - 21 < s. Таким образом,
согласно определению предела последовательности, последователь¬
ность jl + +... + j сходится и ее предел равен 2, т.е. lim хп=2.
3.7.	Решение. Данная последовательность имеет вид
1- А. А. . А.
2’ 22> 23> 2й ’
Для доказательства воспользуемся определением предела по¬
следовательности, но предварительно с помощью формулы бинома

Ответы, решения, указания к контрольным задачам
423
Ньютона оценим выражение общего элемента данной последова¬
тельности. Имеем
on ,чп „ п(п-1)	,	п{п-1) п2
2	=(1 + 1) = 1 + п + — 	- + ... +1> п + — 	->—.
2	2 2
Следовательно,
I	I_ п п _2
'Xn'¥<Vj2~n'
7Т 2
Возьмем любое е > 0. Тогда из неравенства \хп - 0| = — < — < е по¬
лучаем неравенство п > 2/г. Если взять N = [2/е], то для всех п > N
будет выполняться неравенство \ хп - 0| < е, т.е., согласно опреде-
I п'
лению предела последовательности, последовательность j —
сходится и ее предел равен 0, т.е. limxn = 0. Заметим, что данная
последовательность является бесконечно малой.
3.8.	Решение. Покажем, что для любого числа г > 0 существует
номер А/такой, что при п > N выполняется неравенство \хп \ = ]>]п +1 -
-yjn-l\< е, т.е. справедливо определение бесконечно малой после¬
довательности. Так как
I	7 I	7 (yjn + l-\ln-l)(yln + l+yjn-l)
X = yjn + i-yjn-i =-			/V ^-=	- =
Vw+T+V^T
y/n + 1 +yjn-l ’
TO
2	1
\XJ = -
y/n + l+yln-1 yin-1
Отсюда следует, что для любого числа г > 0 при п > N= [ 1 + 1/s2]
выполняется неравенство\х \ < е. Этим доказано, что lim(V^ + l -
I		п
—yjn — 1) = 0. Для доказательства можно было бы воспользоваться
и определением предела последовательности. (Сделайте это само¬
стоятельно.)
3.9.	Решение. Действительно, согласно определению предела
последовательности, для любого г > 0 существует номер N такой,
что при п > N выполняется неравенство \хп- а\<г. Но, согласно
свойству абсолютной величины числа (см. пример 2 на с. 26), \\хп\
-1я|| < \х - а\ и, следовательно, при п > Довыполняется неравенство

424	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
ЗЛО, Последовательность {хп • г/п} бесконечно большая.
Решение. По теореме 3.1 последовательность J — \ бесконеч-
KJ
но малая, по теореме 3.6 последовательность \ — \ ограниченная,
[Уп )
1	1
так как lim — = — (докажите самостоятельно), а по теореме 3.4
уп а
произведение \—-L J — I = J —-— I — бесконечно малая последо-
[*п) [Уп] [ХпУп)
вательность, по теореме 3.1 последовательность {хп • уп} является
бесконечно большой. Заметим, что данная задача является продол¬
жением примера 5 на с. 123.
3.11.1)	{хп} = |~| и {%} = {и2}; 2) {хп} = <Ш> И {уп) = {п}-,
3)	{хп} = {1/я} и {уп} = {«}; 4) {хп} = {(—1)"/п} и {уп} = {п}. (Ответы
обоснуйте.)
3.12,	Последовательность {.хп • уп) расходится.
Решение, Проведем рассуждения от противного. Обозначим
zn = хп • уп и предположим, что последовательность {zj сходится.
Так как по условию lim уп=аФ 0, то согласно теореме 3.9 последо-
П->сО
вательность {хп} = {zn/yn} сходится. Но это противоречит условию.
Следовательно, последовательность {хп • уп} расходится.
3.13.	Последовательности {хп +уп} и {хп • уп) могут сходиться ({хи} =
= {(-1)"} и {yj = {(-I)"*1}) или расходиться ({xj = {п} и {yj = {п}).
3.14.1)	-5/4; 2) оо; 3) 0; 4) -1/2; 5) -5/4.
Решение. Можно воспользоваться тем, что начиная с некоторого
п выполняются неравенства 1 /п < а < п. Тогда ф/п < \fa < >fn. Но
так как >[п -^1 и ф/п = 1/</я -и при п —> оо (см. пример 3 на с. 119),
то согласно теореме 3.11 получаем, что и lim yfa = 1.
3.16.	5.
Решение. Воспользуемся тем, что lim rfn = 1 и lim Va = 1 (см.
П—> со	И—►<»
задачу 3.15). Имеем
lim 5у13п'° = 51im ^3 lim у[п™ =
п—><х>	п—><я
= 5 lim ^3(Иш V«)10 = 5 • М10 = 5.
3.17.	1.
Решение. Преобразуем выражение общего элемента последо¬
вательности:

Ответы, решения, указания к контрольным задачам	425
=
(yjn2 +п - у]п2 -п)(у1п2 + п + \1п2 -п)
yjn2 + п + ^п2 -п
2	п	2
у/п2 +п+л1п2 -п L+1+ jl- —
V п V п
Докажем, что lim, /1 + — = lim Jl - — = 1. Действительно, для всех
К—>со у и п->со у YI
п > 1 выполняются неравенства
l<Jl + -<l + - и l--<Jl--<l.
V	п	п	пуп
Но так как lim (1 + —) = lim [	1 -—1	= 1	(докажите это самостоя-
п) п^°°\ п)
I	Г I г
тельно), то по теореме 3.11	получаем,	что	limjl + — = lim Jl— = 1.
п-><»У П п—>х>у ft
Следовательно,
lim(\ln2 +п-у}п2-п) = Пт——^ ^ ,	= = -^—^ = ^ = 1.
'1Д+Г1 1+1
V	п V п
3.18.	0.
Решение. Данная последовательность имеет вид
2	22 23 2й
ТУ' 2? 3!’~’ я?""
Она монотонно убывает, так как
2«+i 2й 2”-2-я!	2	,
—1— =	: — =	=	<1 при п> 1,
(?? +1)! п\ п\(п +1)2” я + 1
т.е. хи+1 < хи, и ограничена сверху, например, элементом хг Кроме
того, так как хп > 0, последовательность ограничена снизу. Следо¬
вательно, данная последовательность монотонна и ограничена. По
теореме 3.12 она сходится. Обозначим ее предел через а и найдем
его. Для этого воспользуемся тем, что
2	2
1 _
х„ п +1	n+1	п	+1
или хп+1 =	-х„.
Переходя в последнем равенстве к пределу при оо
limx t = lim Г —^| = lim —— • limхп,
и—и—><*> \ /2 + 1	/ п^с0 ?? + 1	и-*00

426	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
22
получаем а = 0 • а, откуда а = 0. Следовательно, lim — = 0.
п—> °° yi I
3.19.	2.
Решение. Данная последовательность имеет вид
xt = л/2; х2 = V2V2; лг3 = V2V2W;...;
хн=Д2132
п корней
Проверим сначала факт существования предела. Очевидно, что
xi	< х2 < хз < — <	<	-^«+1 < —» т*е* Дойная последовательность
монотонно возрастающая и ограничена снизу элементом хг Ме¬
тодом индукции докажем, что хп<2 при любом п, т.е. последова¬
тельность ограничена сверху. В самом деле, так как = л/2 < 2,
то х2 = ^2хх < л/2-2=2; х3 = ^2 • х2 < V2-2=2;.... Предположим,
показано, что хп < 2. Тогда хм+1 = у]2-хп < л/2-2 = 2. А так как xt < 2,
то для всех пхп<2, что и требовалось доказать. Таким образом, ус¬
тановлено, что данная последовательность монотонна и ограничена.
По теореме 3.12 limxn существует.
П-»сО
Исходя из факта существования предела, найдем теперь его
значение. Для этого возведем равенство хп+1 = ^2-хп в квадрат:
х2+1 = 2хп. Тогда, если последовательность {хп} имеет предел а, то,
переходя в последнем равенстве к пределу при оо
lim** = lim2хп = lim21imx ,
n->«о	п—>со	П->со п->со
получаем равенство а2 = 2а, откуда а = 0 или а = 2. Но так как по
доказанному последовательность {хи} возрастает и в то же время
для любого пх <2,тоа = 2, lim хи = 2.
П «->00 И
5.1.	x = ±yJ2/3.
Решение. Так как касательная параллельна прямой у = х, ее
угловой коэффициент равен 1 — угловому коэффициенту этой
прямой. С другой стороны, угловой коэффициент касательной в
точке х0 равен /' (х0).
Итак, надо найти, при каких значениях х верно равенство f'(x) = 1.
Поскольку /(х) = х3 - x,fr(x) = Зх2 -1, получаем уравнение Зх2 -1 = 1.
Отсюда х = ±yj2/3.
5.2.	-45°.
Решение. Искомый угловой коэффициент равен значению про¬
изводной функции в точке х = 0 (точке пересечения графика с осью
Ог/). Так как/(х) = 2Х3 - х, то/'(*) = 6х2 -1 и/'(0) = -1.

Ответы, решения, указания к контрольным задачам
427
5.3.	45°; 0°; -45°.
Решение. Искомые угловые коэффициенты равны значениям
—	х2	4 — 2х
производной в точках 0; 2; 4. Так как /(х) =	, то f'(x) =	.
4	4
Соответственно имеем:/'(0) = 1;/'(2) = 0;/'(4) = -1.
5.4.	г/ = х + 1.
Решение. Точки пересечения с осью абсцисс находятся из условия
у0 = 0, те. (xjj +1)/3 = 0. Отсюдах0 = -1. Уравнение касательной, прохо¬
дящей через точку графика (х0; г/0), имеет вид у-у0= f'(xQ)(x - х0). Так
как f(x) = Х * , то f'(x) = x2 и /'(х0) = 1. Получаем уравнение
касательной: г/ = х + 1.
5.5.	-45°.
Решение. Искомый угловой коэффициент равен значению про-
1
изводной прих = 1. Так как /(х)=—, то/'(х) = -1/х2 и/'(1) = -1.
5.6.	а = 4.	Х
Решение. Точки пересечения кривой с осью абсцисс нахо-
з
dx — X
дим из уравнения —^—- = 0; отсюда х0 = 0 или (при а > 0)
х0 = ±у/а. Угловые коэффициенты в этих точках равны f'(xQ). Так
как/(х) = (ах - х3)^, то/'(х) = (я - Зх2)/4. Отсюда/'(0) = ^г/4 или
(при^г>0) f'(±yfa) = -a/2.
По условию/'(0) = 1. Значит, а = 4 или (при я > 0) я = -2. Зна¬
чение я = - 2 не подходит.
5.7.	Прямая г/ = Зх - 4 является касательной к кривой у = х3 - 2.
Решение. Если прямая г/ = Зх - 4 — касательная к кривой г/ = х3 - 2
в точке (я; я3 - 2), то/'(#) = 3. Отсюда За2 = 3, следовательно, я = ±1.
Касательная, проходящая через точку кривой с абсциссой а, имеет
уравнение у - f(a) = f’(a)(x - а). При а = 1 получаем у + 1 = 3(х - 1),
откудаг/ = Зх-4.
5.8.	у = -х + 2; г/ = -9х - 6.
Решение. Уравнение касательной, проходящей через точку гипер¬
болы (я; 1/а), г/ - 1/я =/'(#)(х-я). Так как/(х) = 1/х, то/'(х) = -1/х2
и /'(я) = -1Дг2. Итак, уравнение касательной имеет вид у - 1 /а =
= - (1 /а2)(х - а), откуда
По условию эта прямая проходит через точку (-1; 3); т.е. 3 = 1/а2+2/а.
Отсюда За2 - 2а -1 = 0, значит, ах = 1, а2 = -1/3. Подставляя эти
значения в (*), получаем ответ.
5.9.	г/ = х+ 10.
Решение. Пусть искомая прямая проходит через точку (а; 8-3а -
-	2а2) на первой параболе. Общее уравнение касательной у = /(а) +

428
Ответы, решения, указания к контрольным задачам
+Г(а)(х~а)’ Так как/(х) = 8 - Зх- 2х2, то/'(х) = -3 -4хи f(a) = -3 -4а.
Таким образом, данная прямая имеет уравнение у = 8 - За- 2а2 -
-	(3 + 4а)(х - а), т.е. у = - (Аа + 3)х + 2а2 + 8. Предположим теперь,
что прямая проходит через точку (6; 2 + 9Ь - 2Ь2) на второй па¬
раболе. Рассуждая аналогично, получаем, что уравнение прямой
у = - (Ab - 9) • х+ 2Ь2 + 2. Полученные два уравнения должны задавать
одну и ту же прямую. Следовательно,
[Аа + 3 = 46-9,
2а2 +8 = 2Ь2 +2.
Решая эту систему, найдем а = -1. Таким образом, уравнение
искомой прямой у = х + 10.
5.10.	я = 0; b =1/4.
Решение. Уравнение касательной к параболе в точке (с; с2 + ас + b)
такое: y = c2 + ac + b+ f'(c)(x - с), причем/'(х) = 2х+а} т.е. /'(с) = 2с + я.
Поэтому уравнение касательной г/ = (я + 2с)х + b - с2.
Если касательной является прямая у = -х, то получаем
# + 2с — — 1,
Ь-с2 =0 ^
-(а +1)	. у
2	) =Ьоа2 +2а + 1 = АЬ.	(*)
с2 =Ь
Во втором случае касательная — прямая г/ = 5х - 6. Тогда
5-а
а + 2с — 5,
b-с =-6
2	о а2 -10я + 1 = 4б.	(**)
с2 =6 + 6
Из(*)и(**) получаем систему
[а2 + 2^ + 1 = 46,
[а2 -10я + 1 = 46.
Вычитая из первого уравнения второе, имеем а = 0 и b = 1/4.
5.11.х	= 0их = 4.
Решение. Приведем уравнение окружности к каноническому
виду: х2 - 4х + 4 + г/2 = 4, откуда (х - 2)2 + у2 = 4. Таким образом,
центр окружности — точка (2; 0) — лежит на оси абсцисс. Поэтому
касательные к окружности в точках пересечения с осью абсцисс
вертикальные. Так как радиус равен 2, то эти касательные проходят
через точки (0; 0) и (4; 0).
5.12.	Решение. Функция у = |х| не имеет производной только в
точкех = 0, а функции г/ = |х — 1|,г/ = |х — 2| — соответственно в точ¬
ках х = 1 и х = 2. Поэтому условию задачи удовлетворяет, например,
функция г/ = |х| + |х — 1| + |х—2|.
5.13.	Решение. Так как функция/(х) задается различными фор¬
мулами на промежутках (-оо; 0) и [0, +оо) с общим концом х = 0, то

Ответы, решения, указания к контрольным задачам
429
необходимо вычислить правую и левую производные в точке х = 0.
Имеем
.	,.	Ау ,.	(0 + Ах)2 -0	,.	(Ах)2	,.
/_ (0) = lim — = lim 				= lim -—— = lim Ax = 0,
Лг^О- Ax Ах^О- Дх Дх^О- Ax Ax^o-
,,,ЛЧ	Ay .. sin(0 + Ar)-sin0 sinAr .
/'(0) =	lim = lim —			= lim	= 1.
Ax^0+ Дх Дх—►()+	Дх	Ax^0+	Дх
Так как правая и левая производные различны, то данная функция
не имеет производной в точке х = 0, что и требовалось доказать.
5.14.	Решение. Пусть Ах стремится к нулю, принимая рацио¬
нальные значения. Тогда Ay = sin(0 + Ах) - sinO = sinAx и, следова¬
тельно,
Г,/АЧ ,. Ay ,. sinAx ,
/'(0) = lim — = lim	= 1.
Ах	Ах
Если же Ах ^ 0, принимая иррациональные значения, то Ау =
= (0 + Ах) - 0 = Ах и, следовательно,
/'(0) = lim — = lim — = 1.
Ах	Ах
Оба предела совпадают, поэтому данная функция имеет произ¬
водную в точке х = 0, что и требовалось доказать.
5.15.	Решение. В случае, когда функция /(х) задана не одной
формулой, а несколькими, производную приходится иногда вычис¬
лять непосредственно, исходя из определения производной.
В данном случае при х ф 0 производная функция /(х) существует
и вычисляется по формулам и правилам дифференцирования:
■2М. 1У_Л.2ч,„- 1 IV ПУ
f’(x) = \ x2sin— = (x2)'sin—+ х2 sin
V	х/	х	\	xJ \х.
= 2xsin—-cos—.
X	X
В точке же х = 0 производная находится непосредственно по
определению:
/'(0) = lim — = lim (^) sin(l/Ar) _ ^ дх5ш(1/Ах) = 0
Дг	Дх
(произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть
бесконечно малая). Таким образом,
f2xsin(l/x)-cos(l/x), если х^0,
{	0,	если х = 0.
Отсюда, в частности, следует, что функция /(х) дифференци¬
руема на всей числовой прямой.

430	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
Покажем теперь, что производная /'(х) разрывна в точке х = 0.
В самом деле, так как lim 2xsin(l/x) = 0, a lim cos(l/x) не существу-
*->0	х->0
ет, то и lim f'(x) не существует. Отсюда следует, что производная
х—>0
функции f{x) в точке х = 0 разрывна.
5.16.	Решение. Так как
^(*>=(Т+х)-1>,; /<">(0> = (-1>”",(”-1>!' /(0) = In 1 = 0,
то формула Маклорена имеет вид
1п(1 + X) = X - ^ ^+... + (-1Г1 ■— + о(хп).
2	3	п
5.17.	Решение. Так как
fix) = —V- = cos-2 xr,	/(0) = О, /40) = 1;
COS X
/"(х) = 2 cos-3 xsinx;	f”(0) = 0;
f'"(x) = 6 cos-4 xsin2 x + 2 cos-2 x; f”'(0) = 2,
то по формуле Маклорена имеем
tgx = x + x3/3 + o(x3).
Заметим, что на самом деле остаточный член имеет вид о(х4), так
как/(4)(0) = 0 (проверьте это самостоятельно).
5.18.	а) е~х = 1 -х + —+ о(х2); б) е2*-*2 = 1 + 2х + х2 х3 х4 -
2!	3	6
1	х2	х4
х5+о(х5); в) ln(cosx) = ——- —+ о(х4); r)sinsinx = x-
X3 , зч
~Y+
5.19.	а) 0; б) 1; в) 0; г) -1/12; д) 1/3; е) -1/4.
Указание. При вычислении подобных пределов надо разла¬
гать функции по формуле Маклорена в числителе и знаменателе
до члена одного порядка. Так, например, в примерах а), г) и д) до
члена с х4.
6.1.	4тс/3 + >/3.
Решение. Применим подстановку х = ср (t) = 2sin t, считая, что
—	к/3 <t< к/3. Функция ф(0 = 2sin£ на отрезке [-к/3, к/3] удов¬
летворяет всем условиям теоремы о замене переменной, так как
она непрерывно дифференцируема, монотонна и cp(-7t/3) = —л/3,
Ф(7с/3) = >/3. Заметим, что \Ia~x2 =2|cos£| = 2cos£ (|cos£| = cos£,

Ответы, решения, указания к контрольным задачам	431
так как при-к/3 < t < л/З в I и IV четверти, cost > 0), ср '{€) = 2cost.
Поэтому
S 		7t/3	п/3
| yji-x2dx = 4 | cos2tdt = 2 J (l + cos2t)dt =
S	-л/3	-71/3
= 2| t + -^sin2t
—Tl/3
6.2.	32/3.
Решение. Сделаем подстановку t = >/l + x. Выразив отсюда х,
получим, что х = ф (0 = t2 -1; так как t = 2 при х = 3, а при х = 8 имеем
t = 3, будем считать, что функция х= ф(Т) определена на отрезке [2,3].
Поскольку функция ф (t) удовлетворяет всем условиям теоремы о
замене переменной, получаем
г xdx Л 2	,	ft3 V 32
6.3.	у/з/32.
Решение. Воспользуемся подстановкой х = g(t) =	= 2sect,
cost
где 0 < t < к/3. Тогда g'(t) = 2	г—. Поскольку функция х = g(t)
cos t
удовлетворяет на отрезке [0, к/3] всем условиям теоремы о замене
переменной,
4 I 2	4 л/3
—4—dx = — j* sin21cost dt.	(*)
2	x	4 0
Чтобы вычислить последний интеграл, заметим, что если в формуле
ь	Р
замены переменной J/(х) dx = J/[ф(0] ф'(0 dt в интеграле слева
а	а
положить f(x) = х2, а х = ф (t) = sin t, то
/[ф(0]фЧ0 = sin2 *cost,
т.е. подынтегральная функция в интеграле в правой части равен¬
ства (*) равна /[ф(0]ф'(0- Поэтому, используя формулу замены
переменной справа налево, получим
л/з/2
lY . 2	ГГ 21	1
—	sin tcostdt = — и аи=
A J	4 J	4	я
V3	, V3/2	,
— I sin rcosrar = — I и аи=
4 J	4 J	4 3
^ 0	^	0	о
6.4. 0.
32
Решение. В силу формул приведения cos(rc - х) = - cosx. По¬
этому ^/cos(7t-x) = -yjcosx, и фигуры, имеющие площади 5t и 52

432	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
(рис. 241), симметричны относительно точки л/2 на оси абсцисс,
значит, Si = S2. С другой стороны, используя формулу (5) на с. 352,
имеем
я	л/2	п
| л/cos х dr = | >/cos х dx + J y/cosx dr.
О	0	п/2
п/2	п
Поскольку J л/соsx dr = Sv a J >Jcosx dx = -52, получаем
О	п/2
п
|yjcosx dx = 5t - S2 = 0.
6.5.	5=9/4.
Решение. Убедимся в том, что данные точки лежат на параболе:
-3 = -02 + 4- 0-3;0 = -32 + 4*3-3. Найдем уравнения касательных.
Подставляя в уравнение касательной
y-f(Xo) = f'(xo)(x-xo)
сначала х0 = 0,/(х0) = - 3 и f(xQ) = - 2х0 + 4 = 4, а затем х0 = 3,/(х0) = 0
и ff{x0) = -2, получаем г/ = 4х-Зиг/ = -2х + 6. Находим точку пе¬
ресечения касательных:
у = 4х - 3, Гх = 3/2,
у = -2х + 6, \у = 3.
Найдем площадь полученной фигуры (рис. 242):
3/2	3
5=J [(4х-3) - (-х2 + 4х - 3)] dr + J [(-2х + 6) - (-х2 + 4х-3)]dx =
0	3/2
3/2
= J x2dx+ J (х -3)2dr =—
0	3/2
3/2
(х - З)3
3/2
9
4
6.6. 5=2 + 7с3/6.
Pwc. 24 У
Pwc. 242

Ответы, решения, указания к контрольным задачам
433
у =а2-пх
Рис. 243
Рис. 244
Решение. Заметив, что х=0их=к — корни функции у = х2- их, и
построив графики данных линий — синусоиду и параболу (рис. 243),
находим площадь S заданной фигуры:
71	71
5 = J [sinx- (х2 - 7lt) ] dx = J (sin х - х2 + 7сх) dx =
о	о
= [-COSX - Х3/3 + 7UX2/2]^ = [(1 - 7U3/3 + ти3/2) - (-1)] = 2 +7U3/6.
6.7.	S= 11/2.
х + 1 при х е[0, +оо),
Решение. Так как у = |х| +1 = <{	*	~r 1 ~7 то, разбивая
[-х + 1 при хе(-оо, 0),
данную фигуру на две части (рис. 244), найдем площадь
S=j(-x + i)dx + j(x +1) dx = (-х2/2 + х) + (х2/2 + х)
-2 0 -2
= [0 - (—(—2)2/2 + (-2)] + [(1/2 +1) - 0] = 11/2.
29
6.8.	V = — к.
3
Решение. Данный шаровой слой можно представить как тело,
полученное вращением криволинейной трапеции, которое огра¬
ничено линиями у = у! 16-х2, х = 2, х = 3 и осью Ох, вокруг оси Ох
ь
(рис. 245). Поэтому, согласно формуле V = 7uJ у2(х) dx, для объема V
этого шарового слоя имеем
з
V	= 7uJ (16 - x2)dx = к
16х- —
29
=	7U.
3
тт 2
6.9.	у = —(3R-H).

434	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
Решение. Шаровой сегмент (см. рис. 213) можно рассматри¬
вать как тело, полученное в результате вращения криволинейной
трапеции, образованной дугой окружности у = VR2 -х2, прямыми
x = -Rhx = -R + Hh осью Ох, вокруг оси Ох (рис. 246). Поэтому,
ь
согласно формуле V = 7с| у2(х) dx, где V— объем тела, полученного в
а
результате вращения криволинейной трапеции 0 < у < /(х), а<х<Ь,
вокруг оси Ох, объем шарового сегмента можно найти так:
У = к J (R2 -х2) dx = к
R2x
х
кН2
(3 R-H).
Замечание. Формулу объема шарового сегмента можно получить
из формулы объема шарового слоя:
ь
V	= nj(R2 -х2) dx,
а
если устремить а к -R.
6.10.	V=2kR2H/3.
Решение. Объем шарового сектора можно получить, сло¬
жив объем шарового сегмента (см. задачу 6.9) и объем конуса
(1/3)тс|ЛВ|2|ОВ| (рис. 247). ^ = 4^ -(-R + H)2 = J2RH-H2 ;
| ОВ| = R-Н. Таким образом, для объема шарового сектора
Рис. 247

Ответы, решения, указания к контрольным задачам
435
V =
kH2(3R-
Я2)х
<(R-H) =
2%R Н
6.11. Решение. Будем считать, что
пшено заполняет какую-то часть каст¬
рюли без пустот, наподобие жидкости.
Пусть радиус основания (дна) цилин¬
дрической кастрюли равен R, а пшена
насыпано столько, что оно поднялось
до высоты Я (рис. 248). Найдем объ¬
ем пространства, занятого пшеном.
Для этого воспользуемся формулой
ь
V = 15(х) dx, где V — объем тела, по-
перенные сечения которого имеют пло-
Рис. 249
щадь 5(х). Пусть О — центр основания
цилиндра, ось Ох направим по диаметру основания АВ. Найдем
площадь 5(х) сечения искомого тела плоскостью, перпендикулярной
оси Ох и проходящей через точку этой оси с координатой х. Если
плоскость пересекает тело по треугольнику OxZ Кх то A01Z1iC1 ~
- AOZK (см. рис. 248), откуда l:R = А: Я (здесь | ОК\ = R,\ZK\ = Я, 1ОхКх1 = /,
|K,Z,\ = h). Таккак/2 = R2-х2,то S(x) = —lh = ——l2 = ——(R2 -x2).
1111	w	O 2 R 2 R
Таким образом, объем Vx пшена равен
Vt =2j|^(^2-x2)dr =
= — j(R2-x2)dx = -HR2.
R n	3
Общий объем V воды и пшена равен объему цилиндра, радиус
которого R и высота Я; поэтому V = %R2H\ отношение объемов V2
воды и Vx пшена равно
У2 :V, =(У-У1):^ = (*-|) :| = у-1*3,7
и не зависит от количества пшена и размеров кастрюли. Итак, пред¬
полагая, что пшено полностью, без просветов, заполняет объем, мы
решили оба пункта задачи.
6.12. Золота добавлять не придется.

436
Ответы, решения, указания к контрольным задачам
Рис. 250
ь
Решение. Найдем объем колечка. По формуле V = 7cjz/2(x) dx,
а
где V — объем тела, полученного в результате вращения криволи¬
нейной трапеции 0 <у </(х), a<x<b, вокруг оси Ох, найдем иско¬
мый объем Vкак разность объемов тела, образованного вращением
криволинейной трапеции 0<y<y](R2+H2/i)-x\ -Я/2<х<Н/2,
и цилиндра, образованного вращением прямой у = R вокруг оси Ох
(рис. 249). Итак,
Таким образом, объем колечка не зависит от радиуса R, а зависит толь¬
ко от высоты Я, поэтому ювелиру не придется добавлять золота.
6.13.	а) 5 = 4/3; б) V=n/2.
Решение. а) Ось абсцисс является осью данных парабол. Оче¬
видно, из уравнений парабол получаем, что для первой из них
Зу2 = 1 - х > 0, поэтому х < 1; аналогично для второй параболы имеем
х< 0. Найдем дополнительно несколько точек графиков и построим
их (рис. 250, а). Отразим симметрично полученные графики отно¬
сительно прямой у = х. Мы получили графики функций у = 1 - Зх2
и у = -2х2 (рис. 250, б). Из уравнения
1 - Зх2 = - 2х2
найдем абсциссы точек пересечения полученных графиков: х = ±1.
Воспользовавшись симметрией парабол относительно оси Оу, найдем
площадь S искомой фигуры (она равна площади фигуры, изображен¬
ной на рис. 250, б, симметричной ей относительно прямой у = х):

Ответы, решения, указания к контрольным задачам
437
5 = j[(l-3x2)-(-2x2)]cLr =
-1
1
= 2j*(l - х2) dx = 2
о
б)	Найдем абсциссу точек пе¬
ресечения данных графиков (см.
рис. 250, а) из системы уравне-
[х = 1-3 у2
ний <(	~	имеем	х	= - 2.
[х = -2у\
Объем искомого тела можно найти как разность объемов тел, по¬
лученных в результате вращения вокруг оси Ох двух криволиней¬
ных трапеций. Первая из трапеций образована частью параболы
х = 1 - 3у2, расположенной над осью Ох, уравнением этой части
11-х
а также прямыми х=-2,х=1и осью Ох. Вторая трапеция
ГГ
образована параболой у = Jпрямыми х=-2,х=0и осью Ох.
Находим объем:
F = 7C
K¥K-JHK
fX х2>1
Is'Tj
6.14.	а) 5=1; б) У=тс2/4.
Решение. а) Поскольку cos2 (х/2) - sin2 (х/2) = cosx, данная фи¬
гура — криволинейная трапеция, ограниченная линиями у = cosx,
у = 0,х = 0,х = 7с/2 (рис. 251). Найдем ее площадь:
п/ 2
5=| cosхdx = sinx
о
б)	Вычислим объем тела вращения:
п/2
= 1.
п/2
п/2
V = 7С | cos2 X dx = 71 |
l + cos2x
dx = 71
п/2	^	д/2
+ — f cos2xdx
9 J
о
Для нахождения последнего интеграла можно сделать замену пе¬
ременной по формуле x = t/2. Тогда
V2	^п	^
| cos2xdx = — jcost dt = — sint
= 0.

438	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
6.15.	1 = 8/27(1(4/10-1).	ь
Решение. Воспользуемся формулой L = J^t + (y')2dx, где L —
а
длина дуги кривой y=f(x),a<x<b. Так как у' = ^х1/2, то yjl + (y')2 =
= ^1 + ^х. Длина дуги
1 + — dr.
9х	At	—	1
После замены 1 + — = t, т.е. х =	, получаем
10	/	А	10	Л	у-3/2
I	= [ yft -—dt = — [ t1/2dt =	—
J 9	9	3/2
= A(ioVIO-l).
6.16. a) S = 2a4a/3) 6) V = %a2/2\ в) S =
Ak
a +
iV/2 i
Решение. а) Данная фигура заштрихована на рис. 252, а. Она
ограничена сверху параболой у = л/х. Найдем площадь фигуры:
.3/2
5 = {>/^d* = |-
2 ayfa
3/2 0
б)	Находим объем тела вращения К:
7Ш
У = 7cj(>/x)2dx = 7cjxdx = 7c —
0	0	2	о
в)	Пусть 6 > 0. Найдем сначала площадь Sb поверхности, полу¬
ченной в результате вращения криволинейной трапеции, ограни¬
ченной параболой у = л/х, прямыми х=Ь,х=а,у = 0 (рис. 252, б).

Ответы, решения, указания к контрольным задачам
439
Так как у' = 1/(2>/х), то ф + (у'У =ф + 1/(4х). Согласна формуле
ь
S = 27и J f(x)y]l + (/'(x))2dx, где S— площадь поверхности тела, полу-
а
ченного в результате вращения криволинейной трапеции 0 < у </(х),
а<х<Ь, вокруг оси Ох, площадь рассматриваемой поверхности Sb
можно найти так:
\\т
х + -
3/2
_ 4к
=т
Устремив теперь b к 0, получим
5 =
4л
1
а + -
3/2
6.17.	ус =
Я sin а
а
Решение. Дуга симметрична относительно радиуса, проходя¬
щего через ее середину, поэтому центр тяжести лежит на этом ра¬
диусе. Введем систему координат, как показано на рис. 253; пусть
дуга вращается вокруг оси Ох. При этом дуга опишет поверхность
шарового пояса (см. пример 13, на с. 384), ее площадь равна 2%RH,
где Я — высота пояса, равная в данном случае длине хорды, стяги¬
вающей данную дугу; очевидно, Я= 2# sin а. Так как длина данной
дуги равна 2Ra, то, обозначив ординату центра тяжести через ус, в
силу первой теоремы Гульдена получим
47u#2sina = 2кус • 2Ra, откуда ус = ^s*na
а
Рис. 253
Рис. 254

440	Ответы, решения, указания к контрольным задачам
Замечание. Из полученного ответа следует, что центр тяжести
Решение. Введем систему координат, как показано на рис. 254.
В силу симметрии сектора относительно оси Оу, центр тяже¬
сти лежит на этой оси. Воспользуемся для решения задачи второй
теоремой Гульдена. Найдем сначала объем тела, полученного в
результате вращения данного сектора вокруг оси Ох. Уравнение
дуги сектора у = \jR2 -х2; абсциссы ее концов, очевидно, равны
±R sin а, а ординаты концов равны Rcos а. Объем искомого тела
будем искать как разность объема шарового слоя, образованного
в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной
дугой у =	- х2, прямыми х = ± R sin а и осью Ох, и объемов двух
одинаковых конусов, полученных при вращении концевых радиусов
сектора (см. рис. 254):
Так как площадь данного сектора равна R2а, то, обозначив ор¬
динату центра тяжести через ус, в силу второй теоремы Гульдена
получим
Замечание. Из полученного ответа следует, что центр тяжести
полукруга 0<у< х2 находится в точке (0; 4R/(3n)).
6.19.	а) V = 4тс2; б)5 = 8тс2.
Решение. а) Воспользуемся второй теоремой Гульдена. Площадь
данного круга равна тс, центр его тяжести — точка (2; 0) — опи¬
сывает при вращении окружность длины 4%, поэтому объем тора
V=k-4k = 4тс2.
б)	Воспользуемся первой теоремой Гульдена. Найдем сначала
площадь поверхности, образованной вращением «правой» полуок-
полуокружности равна тс, а ее центр тяжести — точка (2 + 2/тс; 0) —
описывает окружность (см. замечание к задаче 6.17) длины 27с(2 + 2/тс)
(рис. 255), то площадь
полуокружности у = х2 находится в точке (0; 2R/%).
к sina	л	«sina
V = % j (R2-x2)dx-2-^n\ABf\OA\ = 2n j (R2-x2)dx
ft sin a
2R sina
3a
ружности x = 2 + y/l-у2 вокруг оси Оу (рис. 255). Так как длина этой

Ответы, решения, указания к контрольным задачам	441
Рис. 255
51 = к-2к( 2 + —] =47с(7с + 1).
2
7С.
Аналогично находим площадь S2 поверхности, образованной вращени¬
ем «левой» полуокружности (ее центр тяжести — точка (2 - 2/тс; 0)):
S2 = 4к(к -1). Таким образом, площадь поверхности заданного тора
5	= 51 + 52 = 8тс2.
6.20.	А = 0,125 кгм.
Решение. Найдем сначала значение коэффициента пропор¬
циональности К. Так как, в силу условия задачи, при х = 0,01 м
F(0; 01) = 1 кг, т.е. 1 = #• 0,01, то коэффициент пропорциональности
1
К =	= 100. Следовательно, сила, растягивающая пружину от
х = 0 до х = 0,05 м, выражается формулой F(x) = 100-х. Согласно
ь
формуле А = jF(x) dr, где А — работа, совершаемая силой F(x),
а
а<х<Ь, искомую работу можно найти так:
0,05
A = jF(x)dx= J WO* dr = 100—
= 1qq(0,05)2 =0Д25 кгм.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина числа 24
Абсцисса 41
Аксиомы вещественных чисел 16—
19
Аналитический способ задания функ¬
ции 147
Аргумент 144
Арифметическая прогрессия 107
Асимптота 298
Асимптоты гиперболы 83
Бесконечная производная 224, 225
Бесконечно большая последователь¬
ность 111
	функция 185, 186
—	малая последовательность 112
	функция 183
Бесконечный предел 122, 185
—	промежуток 20
Бернулли Я. 138
Биномиальные коэффициенты 30
Больцано Б. 207
Большая ось эллипса 79
Вейерштрасс К. 210
Величина направленного отрезка 35
Вертикальная асимптота 298
Верхний предел интегрирования 349
Верхняя грань множества 22
	функции 145
Вершина параболы 91
Вершины гиперболы 84
—	эллипса 79
Вещественные числа 14
Взаимно обратные функции 222
—	однозначное соответствие 37
Возрастающая последовательность
134
—	функция 220
Второй замечательный предел 182
Выпуклость вверх 294
—	вниз 294
Геометрическая прогрессия 109
Гипербола 80, 81
Горизонтальная асимптота 299
График 146
Графический способ задания функ¬
ции 149
Гульден П. 392
Действительная ось гиперболы 84
Декарт Р. 35
Деление отрезка в данном отношении
44-45
8-окрестность точки 383
Директриса параболы 89
Директрисы гиперболы 87
—	эллипса 86
Дирихле П. 148
Дифференциал 233
—	высшего порядка 262, 263
—, геометрический смысл 233, 234
—	дуги 380
—, применение в приближенных вы¬
числениях 234
—	сложной функции 249, 250
Дифференцирование 231
—	обратной функции 241
—, основные правила 235
—	простейших элементарных функций
237-241,243-245,252
—	сложной функции 245
—, таблица производных 254, 255
—	функции, заданной параметрически
266 - 268
Дифференцируемая функция 230
Длина дуги кривой 377
—	частичного отрезка 348
Дробно-рациональная функция 151
Зависимая переменная 144
Знаменатель геометрической прогрес¬
сии 109
Значение функции 144
Гейне Г. 172

Предметный указатель
443
Инвариантность площадей относи¬
тельно перемещений 371
—	формы первого дифференциала
249
Интеграл с переменным верхним пре¬
делом 360
Интегральная сумма 348
Интегрирование 316
—	непосредственное 321—323
—	подстановкой 325—333
—	по частям 333—340
—	рациональных функций 340—348
Интегрируемая функция 350,351
Интервал 20
Иррациональная функция 151
Иррациональные числа 15
Каноническое уравнение гиперболы
82
	параболы 91—93
	эллипса 78—80
Кантор Г. 216
Касательная 225
Квадрант 42
Композиция функций 151
Конечная производная 224
Конечный предел 124
—	промежуток 20
Координата точки 37
Координатная плоскость 41
—	прямая 36
Координатный угол 42
Коши О. 172
Кратность корня 349
Криволинейная трапеция 369,370
Криволинейный сектор 376
Критическая точка 296
Лагранж Ж. 270
Левая производная 228
Левый предел 173,174
Лейбниц Г. 256
Линейная функция 153
Линия второго порядка 75
—	первого порядка 58
Логарифмическая производная 255
—	функция 153, 244
Локальный максимум 289
—	минимум 289
—	экстремум 289
Лопиталъ Г. 21А
Малая ось эллипса 79
Маклорен К 284
Максимальное значение функции
213
Мгновенная скорость 227, 228
Метод интегрирования по частям
330-340
—	координат 34—41
—	неопределенных коэффициентов
350-352
—	математической индукции 27, 28
—	подстановки (замены переменной)
332-341
Минимальное значение функции
213
Мнимая ось гиперболы 84
Многочлен 153, 203
—	Тейлора 288
Множество 13
—	значений функции 144
Модуль перехода 142
—	числа 24
Монотонная последовательность 134
—	функция 224
Наклонная асимптота 299
Направленный отрезок 34
Натуральный логарифм 141
Начало координат 36,41
Невозрастающая последовательность
134
—	функция 224
Независимая переменная 144
Неограниченная последовательность
112
Неопределенный интеграл 321
		, основные методы интегрирова¬
ния 328—348
	,— свойства 325,326
	, таблица основных интегралов
326
Непрерывность вещественных чисел
17,	23, 37
—	функции в интервале 197
	точке 198—199
	слева, справа 198
Неравенство 17
—	Бернулли 136
Неубывающая последовательность
134
—	функция 220
Нижний предел интегрирования 349
Нижняя грань множества 22
		функции 145
Номер общего элемента последова¬
тельности 103

444
Предметный указатель
Ньютон И. 31
Область определения функции 147
Обратная функция 149, 150
Обратные тригонометрические функ¬
ции 151, 243
Общий элемент последовательности
103
Объем тела 386
		вращения 388
Ограниченная последовательность
112
—	сверху, снизу последовательность
112
	,— функция 145
—	функция 145
Ограниченное множество 21
—	сверху, снизу множество 21
Односторонние пределы 172, 173
о малое 189
Определенный интеграл 348
	, геометрические приложения
369
	, методы вычисления 362—365
	, основные свойства 351—353
	, оценки 354, 355
	, условия интегрируемости 357—
359
	, физические приложения 369
Ордината 41
Основное тождество 36
Основной прямоугольник гиперболы
84
Оси гиперболы 84
—	эллипса 79
Остаточный член в форме Лагранжа
289, 290
	Пеано 284
Ось 34
—	абсцисс 41
—	ординат 41
—	параболы 91
Отношение 44
Отображение 154
Отрезок 20, 35
Отрицательные числа 17
Парабола 89
Параметр 264
—	параболы 89
Параметрическое задание функции
265
Пеано Д. 284
Первообразная 315
Первый замечательный предел 179
Переменная интегрирования 349
Площадь криволинейного сектора
376
—	криволинейной трапеции 369, 370
—	плоской фигуры 373
—	поверхности вращения 382—386
—	треугольника 43, 96
Подмножество 14
Подынтегральная функция 349
Показательная функция 151, 243—
245
Положительные числа 17
Полуинтервал 20
Полуоси эллипса 79
Полюс 45
Полярная ось 45
Полярные координаты точки 46
Полярный радиус 46
—	угол 46
Последовательность 103
—	вложенных отрезков 141
Постоянная 237
Правая производная 228
Правила построения графиков функ¬
ций по уже известным графикам 152—
166
Правило Лопиталя 274—277
Правый предел 173, 174
Предел периметров длин ломаных 378
—	последовательности 116,117
—	функции при х -» х0168,170
	х—^ оо, х—^ +°о, х—^ — °о 174,175
Приращение аргумента 195
—	функции 195
Произведение вещественных чисел
16
—	последовательностей 114
—	последовательности на число 114
Производная 223
—	высшего порядка 256
—, геометрический смысл 225
—, физический смысл 227
См. также Дифференцирование
Промежуток 20
Промежуточная переменная 149
Простейшие элементарные функции
151
Прямоугольная система координат на
плоскости 41
Прямоугольные координаты точки
41,42

Предметный указатель
445
Пустое множество 14
Работа переменной силы 396
Равномерно непрерывная функция 214
Равносторонняя гипербола 85
Радикальная ось 69
Разложение рациональной функции
на элементарные дроби 342
—	элементарных функций по формуле
Маклорена 291, 292
Разность арифметической прогрес¬
сии 114
—	вещественных чисел 18
—	последовательностей 114
Раскрытие неопределенностей 203,
278-281
Расстояние между двумя точками 40,
95
—	от точки до прямой 61, 75
Расходящаяся последовательность
117
Рациональная функция 151
Рациональные числа 15
Рекуррентная формула 340
Рекуррентный способ задания после¬
довательности 105
Ролль М. 269
Сегмент 20
Сложная функция 149
Совпадающие множества 13
Сопряженные гиперболы 85
Спираль Архимеда 50
Сравнение бесконечно малых 188
—	вещественных чисел 16
Среднее значение 354
Средняя скорость 227
Статические моменты 390—397
Стационарная точка 290
Степенная функция 237
Строго монотонная последователь¬
ность 134
	функция 220
Строгое неравенство 17
Сумма бесконечно убывающей геомет¬
рической прогрессии 125
—	вещественных чисел 16
—	последовательностей 113
—	членов арифметической прогрес¬
сии 108
	геометрической прогрессии 109
Суперпозиция функций 149
Схема исследования графика функ¬
ции 302
Сходящаяся последовательность
116
Таблица основных интегралов 319
—	производных простейших элемен¬
тарных функций 254
Табличный интеграл 320
—	способ задания функции 148, 149
Тейлор Б. 281
Теорема Больцано — Коши вторая
208
	первая 207
—	Вейерштрасса вторая 212
		первая 210
—	Гульдена вторая 395
		первая 392
—	Кантора 216
—	Коши 272
—	Лагранжа 270
—	Лопиталя 274
—	о вложенных отрезках 141, 142
		квадратах расстояний 73
	монотонности функции 288, 289
	непрерывности обратной функ¬
ции 220
	сложной функции 206
	производной интеграла с перемен¬
ным верхним пределом 361
	обратной функции 241, 242
	связи между бесконечно большой
и бесконечно малой последовательно¬
стями 113
	среднем 355, 356
	существовании точных граней у
ограниченного множества 21
		сходимости монотонной ограни¬
ченной последовательности 135
—	об общем уравнении прямой 57,
58
	устойчивости знака непрерывной
функции 207
—	основная интегрального исчисле¬
ния 362
—	Ролля 269
—	Тейлора 281—282
—	Ферма 268
Теоремы о бесконечно малых после¬
довательностях 112—115
	функциях 184, 185
	дифференцируемых функциях
245-250
	методах вычисления определен¬
ных интегралов 365, 366, 368

446
Предметный указатель
	направлении выпуклости и точках
перегиба графика функции 296—298
	непрерывных функциях 196, 206—
208, 210—213, 216—222
	первообразных 314, 315
	пределах последовательностей
122-125, 131,135
	функций 170, 173, 177—179,
	свойствах эллипса и гиперболы
88
—	об абсолютных величинах 25
	интегрируемости функций 357—
291
	экстремумах 287—291
Тождество 36
Тор 400
Точка возможного экстремума 290
—	локального максимума 289
		минимума 289
	экстремума 289
—	множества 13
—	перегиба 296
—	разбиения 348
—	разрыва 205
	второго рода 205
	первого рода 205
—	числовой прямой 37
Точная верхняя грань множества 22,
23
	функции 146
—	нижняя грань множества 22, 23
	функции 146
Трансцендентная функция 152
Тригонометрические функции 151,
198, 238
Убывающая последовательность 134
—	функция 239
Угловой коэффициент 54
Угол между прямыми 60
—	наклона прямой к оси Ох 54
Упорядоченное множество 14
Уравнение графика функции 146
—	линии 48
—	множества точек 48
—	окружности 50, 53
—	прямой «в отрезках» 59, 99
		неполное 58
	общее 58
	, проходящей через данную точку,
с данным угловым коэффициентом
56
	,	две данные точки 57
	с угловым коэффициентом 55
	с двумя переменными 44
Условие параллельности прямых 60,
61
—	перпендикулярности прямых 60,
61
Факториал 29
Ферма П. 268
Фокальные радиусы точки 76,81
Фокус параболы 89
Фокусы гиперболы 82
—	эллипса 75
Формула бинома Ньютона 30
—	замены переменной в неопределен¬
ном интеграле 325
	определенном интеграле
366
—	интегрирования по частям в неоп¬
ределенном интеграле 333
	определенном интеграле
368
—	Коши (обобщенная формула конеч¬
ных приращений) 273
—	Лагранжа (формула конечных при¬
ращений) 271
—	Лейбница 259
—	Маклорена 290
—	Ньютона — Лейбница 362
—	общего элемента последовательно¬
сти 103
—	среднего значения 354
—	Тейлора 281—283
Функция 144
—	Дирихле 148
—	у = sgnx 148
См. также соотв. названия
Целая рациональная функция 153
—	часть числа 112
Центр гиперболы 84
—	тяжести криволинейной трапеции
393
	кривой 391
	системы материальных точек
390
—	эллипса 79
Циклоида 374
Частное вещественных чисел 18
—	последовательностей 106
Четверть 42
Числа Фибоначчи 105
Число е 138, 287
Числовая последовательность 103

Предметный указатель
447
—	прямая 37
Шаровой пояс 384
—	сегмент 399
—	сектор 399
—	слой 399
Эксцентриситет гиперболы 85
—	эллипса 79
Элемент множества 13
—	последовательности 103
Элементарные множители 341
—	функции 151
Эллипс 75
Эквивалентные бесконечно малые
189

Учебное издание
Шипачев Виктор Семенович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Базовый курс
Учебное пособие для бакалавров
Под редакцией А. Н. Тихонова
Редактор В. А. Русев
Корректоры JI. А. Шарапова, Н. Н. Вохман
Художественное оформление А. И. Гиренко
Компьютерная верстка В. В. Дроздов
Формат 84x108 У32.
Гарнитура «PetersburgC». Печать офсетная.
Уел. печ. л. 23,47. Доп. тираж 1000 экз. Заказ №
ООО «Издательство Юрайт»
140004, Московская обл., г. Люберцы, 1-й Панковский проезд, д. 1.
Тел.: (495) 744-00-12. E-mail: izdat@urait.ru, www.urait.ru