I


В. С. ШИПАЧЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Высшее образование
К ©о ШИПЖИВВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Допущено УМО по образованию
в области прикладной математики
и управления качеством
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 073000
«Прикладная математика»
d р о ф а
МОСКВА • 2006
УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161я73
Ш63
Рецензенты:
д-р пед. наук, проф., чл.-корр. РАО П. И. Самойленко
(Московский государственный университет технологии и управления);
канд. техн, наук, проф. В. Н. Калинина
(Государственный университет управления)
Шцпачев, В. С.
Ш63 Математический анализ. Теория и практика : учеб, по-
собие для вузов / В. С. Шипачев. — М. : Дрофа, 2006. —
349, [3] с. : ил.
ISBN 5-7107-8950-Х
В книге в доступной форме рассмотрены важнейшие понятия мате-
матического анализа функций одной переменной: 1) числовые последова-
тельности и их пределы; 2) функции, пределы и непрерывность функ-
ций; 3) производные и интегралы, их применения и приложения.
Многочисленные примеры и задачи способствуют глубокому усвое-
нию теории и позволяют развить самостоятельное математическое мыш-
ление.
Для студентов очных и заочных отделений высших учебных заве-
дений. Может быть полезно студентам техникумов и колледжей,
учащимся школ, лицеев и гимназий.
УДК 517.2(075.8)
ББК 22.161я73
ISBN 5-7107-8950-Х
© ООО «Дрофа», 2006
Предисловие
В предлагаемом учебном пособии обобщен многолетний
опыт преподавания автором математического анализа на нема-
тематических факультетах и на Всероссийских курсах повыше-
ния научной квалификации учителей средних школ в Москов-
ском государственном университете им. М. В. Ломоносова.
Книга позволяет ознакомиться с основными идеями и мето-
дами современного математического анализа, что делает ее по-
лезной широкому кругу читателей.
В процессе преподавания были выявлены разделы математи-
ческого анализа, которые вызывают затруднения как у учащих-
ся средней школы, так и у студентов, начинающих его изучение.
Именно на эти разделы в пособии обращено основное внимание.
Книга начинается с обзора разделов школьной программы,
наиболее важных при изучении математического анализа. Ма-
териал изложен доходчивым языком, что позволяет активно
включиться в повторение элементарной математики и успешно
перейти к изучению математического анализа.
Теоретический материал сопровождается большим количест-
вом подробно решенных типовых примеров и задач как вычисли-
тельного характера, так и способствующих глубокому пониманию
теории. Для самостоятельной работы приведены упражнения, ре-
шение которых требует непосредственного применения изложен-
ного материала.
Материал пособия разбит на главы, главы — на параграфы,
а параграфы — на пункты. К каждому параграфу даны вопросы
для самопроверки.
Автор старался выявить точный смысл основных понятий
математического анализа, а также всюду, где это возможно,
сформулировать определения этих понятий и привести строгие
доказательства теорем в доступном изложении.
Хорошо известны трудности, возникающие при изучении
теории пределов. Понятие предела — очень глубокое и одно из
3
важнейших в математике. Именно поэтому следует обратить осо-
бое внимание на формулировки с «е—А»- и «е—8»-терминологи-
ей. Важно ясное и четкое понимание сути определений, роли и
места в них каждого слова. Для этого следует детально разобрать
предлагаемые примеры и задачи.
В заключение следует отметить, что это пособие заканчивает
серию книг автора по высшей математике, в которую вошли учеб-
ник «Высшая математика», «Задачник по высшей математике»
и др. Автор ставил перед собой две цели: во-первых, показать
математику в ее развитии как одну из основных наук XXI века
(см. «Введение» в кн.: Шипачев В. С. Высшая математика. М.,
2006); во-вторых, изложить материал так, чтобы он был досту-
пен всем, кто хочет серьезно изучать математику, — и надеется,
что ему удалось это сделать.
Автор искренне благодарит всех коллег и друзей за полез-
ные советы и поддержку при работе над книгой.
Автор
ГЛАВА 1
—II----------------------------------------
Введение
в математический анализ
Современный математический анализ является основной
областью математики, вобравшей в себя дифференциальные урав-
нения (обыкновенные и в частных производных), интегральные
уравнения, дифференциальную геометрию, функции комплекс-
ного переменного, вариационное исчисление и многое другое.
Математический анализ в настоящее время является незамени-
мым инструментом исследования в самых различных областях
науки и техники. Знание дифференциального и интегрального ис-
числений необходимо каждому инженеру и научному работнику,
способствует формированию современного научного мышления
и является условием дальнейшего прогресса науки и техники.
§1.1. Понятия множества и подмножества.
Обозначения
В математике все понятия делятся на первичные и опре-
деляемые через первичные1.
Основным первичным понятием математики, ее фундамен-
том является понятие «множество». Слова: совокупность, се-
мейство, система, набор, объединение, коллекция и т. п. —
синонимы слова множество. Примерами множеств служат: мно-
жество учащихся в данной аудитории; совокупность тех из них,
кто получает по математике только хорошие и отличные оценки;
множество страниц данной книги; семейство звезд Большой Мед-
ведицы; коллекция картин Третьяковской галереи; множество
всех натуральных чисел; множество всех целых чисел; множест-
во, состоящее из одного числа нуль, и т. д. Из приведенных при-
меров следует, что множество может содержать конечное или бес-
конечное число объектов произвольной природы.
Объекты, из которых состоит множество, называют его эле-
ментами или точками. Множества чаще всего обозначают
1 Следует подчеркнуть, что первичные понятия не могут быть
определены. Их, как правило, разъясняют на примерах.
5
большими буквами латинского алфавита, а их элементы — ма-
лыми буквами. Если х19 ..., хп— некоторые элементы, то за-
пись X = {х19 ..., хп} означает, что множество X состоит из эле-
ментов х19 ..., хп.
Если х — элемент множества Х9 то пишут: х g X (х принад-
лежит X). Если х не является элементом множества Х9 то пи-
шут: х ё X (х не принадлежит X).
Пусть Р(х) — какое-то свойство числа х. Тогда запись {х|Р(х)}
обозначает множество всех таких чисел, которые обладают
свойством Р(х). Например, множество {х|х2 - Зх + 2 = 0} — со-
вокупность корней уравнения х2 - Зх + 2 = 0, т. е. это множест-
во состоит из двух элементов: 1 и 2; {х|3 < х < 7} — множество
всех чисел, удовлетворяющих неравенствам 3 < х < 7.
Пусть X и Y — два множества. Если X и Y состоят из одних и
тех же элементов, то говорят, что они совпадают, и пишут X = У.
Например, множество студентов всех факультетов института
X и множество всех студентов того же института У совпадают:
X = У; или, если X — множество, состоящее из двух чисел 2 и 3,
а У — множество корней уравнения х2 - 5х + 6 = 0, то X = У.
Если в X нет элементов, не принадлежащих У, то говорят,
что X содержится в У или что X — подмножество множества У.
В этом случае пишут: X с У (X содержится в У).
Например, множество четных чисел X — подмножество
множества У целых чисел: X с У; множество X = {1, 2, 3} есть
подмножество множества У = {1, 2, 3, 4}: {1, 2, 3} с {1, 2, 3, 4}.
Если же множество X состоит из чисел 1, 2 и 3: X = {1, 2, 3},
а множество У — из чисел 2, 3 и 4: У = {2, 3, 4}, то не имеет мес-
та ни соотношение X с У, ни соотношение У с X.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют
пустым и обозначают символом 0. Например, множество чи-
сел, удовлетворяющих системе двух неравенств: х < 3 и х > 4,
пусто. Так, множество {х> 7 их < 3} = 0. Множество всех веще-
ственных корней уравнения х2 + 1 = 0 — пустое.
Из определения подмножества следует, что пустое множест-
во является подмножеством любого множества, т. е. каково
бы ни было множество У, имеет место соотношение 0 с У.
Действительно, предположим противное, т. е. что соотношение
0 с У не имеет места. Это значит, что существует элемент мно-
жества 0, который не содержится в У. Но это невозможно, так
как множество 0 не содержит элементов. Значит, соотношение
0 с У верно.
Из определения подмножества следует также, что само мно-
жество У всегда является своим подмножеством, т. е. У с: У.
(Объясните почему.)
6
□ Пример. Дано множество X = {1, 2, 3}. Выписать все под-
множества множества X.
Решение. Сначала выпишем подмножества, состоящие из
одного элемента: {1}, {2}, {3}. Затем выпишем подмножества,
состоящие из двух элементов: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}; наконец, само
множество {1, 2, 3} и пустое подмножество 0. Таким образом,
множество всех подмножеств данного множества X содержит во-
семь элементов: {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, 0}. □
Множество с установленным порядком расположения эле-
ментов называют упорядоченным. Упорядоченное множество,
в отличие от просто множества, записывают внутри круглых
скобок. Например, из одного и того же множества {хх, х2} можно
получить два упорядоченных множества: (хх, х2) и (х2, хх). Если
хр ..., хп — произвольные числа, то запись х == шах {хх, ..., хп}
(х = min {хх, ..., х^})1 означает, что число х максимальное (мини-
мальное) из чисел хх, ..., хп.
В заключение отметим, что первичными понятиями явля-
ются точка, прямая и плоскость. Для всех остальных поня-
тий даются определения.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Какую роль в математике играют первичные понятия?
2.	Назовите основное первичное понятие.
3.	Приведите примеры различных множеств.
4.	Приведите пример совпадающих множеств.
5.	Дайте определение подмножества.
6.	Почему пустое множество является подмножеством любого
множества?
7.	Что называется упорядоченным множеством? Приведите при-
мер.
§1.2. Вещественные (действительные) числа
и их основные свойства
В элементарной математике изучаются вещественные
числа. Как известно, числа 1, 2, 3, ..., появившиеся в процессе
счета, называют натуральными. Эти числа служат фундамен-
том, на котором построена вся числовая система.
1 От лат. maximum (minimum) — наибольший (наименьший).
7
Над натуральными числами выполнимы действия сложения
и умножения. Однако действия вычитания и деления не всегда
возможны. Например, разность 3 - 6 и частное 2 : 3 невозможно
вычислить, не выходя за пределы натуральных чисел. Даже та-
кое простое уравнение, как 6 + х = 3, нельзя решить, оставаясь
во множестве натуральных чисел. Поэтому, чтобы все четыре
арифметических действия были выполнимы для любой пары
чисел (кроме действия деления на нуль), потребовалось введение
целых отрицательных чисел -1, -2, -3, ... и числа 0, а затем и
рациональных чисел видар/g, гдеpnq — целые числа, причем
q # 0. Целые отрицательные числа с натуральными, или, что то
же, целыми положительными числами и с числом нуль образу-
ют множество всех целых чисел
{...,-3,-2,-1,0, 1,2, 3, ...}.
Необходимость измерения различных геометрических и фи-
зических величин и проведения таких операций, как извлече-
ние корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических
уравнений, привело к рассмотрению иррациональных чисел.
Все рациональные и все иррациональные числа образуют мно-
жество всех вещественных чисел.
Множество натуральных чисел обычно обозначают через N,
множество всех целых чисел — через Z, множество рациональ-
ных чисел — через Q, множество всех вещественных чисел —
через R (или R1). Между этими множествами существуют сле-
дующие соотношения:
NcZcQcR.
Всякое рациональное число p/q является либо целым, либо
его можно представить в виде конечной или периодической бес-
конечной десятичной дроби. Иррациональное же число пред-
ставляется непериодической бесконечной десятичной дробью.
Например, рациональные числа 3/4 и 1/3 представляются соот-
ветственно следующими десятичными дробями: 0,75 и 0,333...;
иррациональные числа J2 и п представляются соответствен-
но непериодическими бесконечными десятичными дробями:
1,41421356... и 3,14159... .
Итак, множество всех вещественных чисел состоит из двух
множеств: множества рациональных чисел (множества конеч-
ных или бесконечных периодических десятичных дробей) и
множества иррациональных чисел (множества бесконечных не-
периодических десятичных дробей).
8
□ Пример 1. Доказать, что число
0,101001... 1000...01... иррациональное.
п нулей
Решение. Действительно, между n-й единицей и (п + 1)-й
стоит п нулей, а между (п + 1)-й единицей и (п + 2)-й стоят п + 1
нулей, чего не может быть в периодической дроби; следователь-
но, данное число иррациональное.
Пример 2. Доказать, что сумма рационального числа а
и иррационального числа Р есть число иррациональное.
Решение. Предположим, что а + Р = у — число рациональ-
ное. Тогда Р = у - а — число рациональное, как разность двух
рациональных чисел, что противоречит условию. Следователь-
но, число а + Р иррациональное.
Пример 3- Привести пример, показывающий, что сумма
двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.
Решение. Рассмотрим, например, два иррациональных чис-
ла а и Р: а = 0,1010010001..., Р = 0,8989989998... . Их сумма
а + Р = 0,9999999999... выражена периодической дробью, сле-
довательно, сумма а + Р — рациональное число.
Пример 4. Доказать, что J2 — иррациональное число.
Решение. Действительно, предположим, что J2 — число ра-
циональное. Тогда его можно представить в виде несократимой
дроби p/qy где р и q — целые положительные числа без общих
множителей. Из равенства а/2 = p/q имеем р2 = 2g2, поэтому р2,
следовательно, и р четное, так как в противном случае р2 было
бы также нечетным, поскольку квадрат любого нечетного числа
есть число нечетное: (2k + I)2 = 4fe2 +	+ 1 = 2(2k2 + 2k) + 1.
Пусть p = 2fe, где k — какое-то целое число. Подставляя 2k вме-
сто р, получаем 4fe2 = 2q2или 2k2 = q2. Следовательно, ид — чет-
ное число, но тогда дробь p/q оказывается сократимой (на два)
дробью, что противоречит сделанному предположению о несо-
кратимости дроби. Этим доказано, что J2 не есть рациональное
число; значит, оно иррациональное.
Пример 5- Доказать, что число 72 + 7з иррациональное.
Решение. Предположим противное, т. е. допустим, что чис-
ло л/2 + л/3 = г, где г — некоторое рациональное число. Заме-
9
тим, что число г, очевидно, не равно нулю. Тогда 73 = г - 72 ,
откуда, возводя в квадрат обе части равенства, находим 3 = г2 -
- 2г72 + 2, или 72 = ~2г“ ’ Н° число’ СТ0ЯЩее в правой части
равенства, является рациональным, как частное рациональных
чисел (напомним, что г — рациональное), и получили, что 72 —
рациональное число, что противоречит иррациональности числа
72 (см. пример 4). Следовательно, сделанное предположение не-
верно, и число 72 + Тз иррациональное.
Пример 6. Доказать, что log2 3 — иррациональное число.
Решение. Предположим противное, т. е. допустим, что чис-
ло log2 3 — рациональное число р/g, где р и q — целые числа.
Тогда log2 3 = р/д, откуда 2^/9 = 3, или 2Р = З9. Но это равенство
невозможно, так как 2Р — четное число, a 3q — нечетное. Из по-
лученного противоречия следует, что сделанное предположение
неверно и log2 3 является иррациональным числом. □
Упражнения. 1. Вспомните правило обращения периоди-
ческих десятичных дробей в обыкновенные и запишите дробь
1,3333... в виде обыкновенной дроби.
2.	Какие числа имеют два различных представления в виде
десятичной дроби?
3.	Определите, какие из данных бесконечных десятич-
ных дробей — рациональные числа, какие — иррациональ-
ные: 5,424242...; 0,32375375...; 1,313013001...; 7,1308367...;
10,30330333033330... .
4.	Приведите пример, показывающий, что разность двух ир-
рациональных чисел может быть числом рациональным.
5.	Докажите, что разность рационального числа а и ирра-
ционального числа р — число иррациональное.
6.	Докажите, что произведение и частное рационального чис-
ла а 0 и иррационального числа р — число иррациональное.
7.	Докажите, что 73 не является рациональным числом.
8.	Докажите, что число 75-72 иррациональное.
9.	Докажите, что число lg2 иррациональное.
Приведем основные свойства вещественных чисел, которые
примем за аксиомы, выведем из них некоторые следствия, а за-
тем определим вещественные числа.
10
I.	Сложение и умножение вещественных чисел
Для любой пары а и & вещественных чисел определены,
и притом единственным образом, два вещественных числа а 4- Ь
иа*Ь, называемые соответственно их суммой и произведени-
ем^ которые обладают следующими свойствами.
Каковы бы ни были числа а, b и с:
1°. а + b = b + а (переместительное свойство).
2°. а 4- (& 4- с) = (а 4- &) 4- с (сочетательное свой-
ство).
3°. а*Ъ = Ъ*а (переместительное свойство).
4°. а • (& • с) = (а • &) • с (с о ч е т а т е л ь н о е свойство).
5°. (а 4- Ь) • с = ас + Ьс (распределительное свой-
ство).
6°. Существует единственное число 0 такое, что
а -I- 0 = а для любого числа а.
7°. Для любого числа а существует такое число —а,
что а -I- (~а) — 0.
8°. Существует единственное число 1^0 такое, что
для любого числа а имеет место равенство а*1= а.
9°. Для любого числа а # 0 существует такое число а-1,
что срог1 = 1; число а-1 обозначают также символом 1/а.
Замечание. Числа -а и а-1, о которых говорится в свойствах
7° и 9°, единственны.
В самом деле, если бы существовало, например, еще одно число
Ъ # -а, удовлетворяющее условию а 4- д = 0, то о + Ь 4- (-а) = -а, от-
куда а + (-а) 4- Ъ = -а, 04-д = -аид = -а, т. е. получено противоре-
чие. (Самостоятельно докажите единственность числаа-1.)
II.	Сравнение вещественных чисел
Для любых двух различных вещественных чисел а и Ь
установлено одно из отношений: а = Ь (а равно &), а > Ъ или Ь > а
(а больше Ь или Ь больше а). Отношение = обладает свойством:
если а = ЬиЬ = с, то а = с.
Отношение > обладает следующими свойствами.
Каковы бы ни были числа а, Ь и с:
10°. Если а> Ъ иЪ> с, то а> с.
11°. Если а> Ь, то а + с>Ь + с.
12°. Если а> 0 иЬ> 0, то а*Ъ> 0.
Вместо а > Ъ пишут также Ъ < а (Ъ меньше а). Запись а > Ь
(или, что то же, Ь < а) означает, что либо а = Ъ, либо а > &1.
1 Например, можно написать 2 < 2, 2 < 5. Разумеется, можно
написать более точно: 2 = 2, 2 < 5, однако неравенства 2 < 2 и 2 < 5
так же верны, так как означают, что «два не больше двух» и «два не
больше пяти».
11
Соотношения а < b, а b, а > b, а > & называют неравен-
ствами. Неравенства а < Ъ и а > b называют строгими нера-
венствами.
Число а, удовлетворяющее неравенству а > 0, называют поло-
жительным, а число а, удовлетворяющее неравенству а < 0, —
отрицательным.
Отметим, что свойствам I и II удовлетворяет и множество
только рациональных чисел.
III.	Непрерывность вещественных чисел
13°. Пусть X и Y — два множества, состоящие из
вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел х е X
uyeY выполняется неравенство х < у, то существует
хотя бы одно число с такое, что для любых чисел х и у
выполняются неравенства
х<с<у.
Заметим, что свойством непрерывности обладает множество
всех вещественных чисел, но им не обладает множество только
рациональных чисел. Действительно, пусть множество X состо-
ит из рациональных чисел х, ддя которых выполняется нера-
венство х < а/2 , а множество У состоит из рациональных чисел
у, для которых выполняется неравенство у> а/2 . Тогда, очевид-
но', для любого х е X и любого у е У выполняется неравенство
х < у, однако не существует рационального числа с такого, что-
бы выполнялись неравенства х < с < у. В самом деле, таким
числом могло бы быть только 72 , которое, как известно, не яв-
ляется рациональным.
Из свойств I—III вытекают все остальные свойства вещест-
венных чисел. Приведем некоторые из них, но в дальнейшем
будем использовать и другие свойства, не проводя их формаль-
ного доказательства (такое доказательство всякий раз легко
провести).
Каковы бы ни были числа а, Ь, с и d:
14°. Число х = b + (-а) является решением уравнения
а + х = Ъ.
Действительно, в силу свойств 1°, 2°, 6°, 7° имеем
а + b + (-а) = Ь.
Число b + (-а) называют разностью чисел & и а и обознача-
ют символом Ъ - а. Отметим, что если а < b (или, что то же, b > а),
то разность b - а > 0. В самом деле, из неравенства Ъ > а в силу
свойства 11° получаем b + (-а) > а + (-а) или Ъ - а > 0.
12
15°. Число х = bar1 является решением уравнения
ах = &, если а # 0.
Действительно, в силу свойств 3°, 4°, 8°, 9° имеем а • &а-1 = Ь.
Число Ъа~х называют частным чисел & и а и обозначают
символом или b : а, или Ь/а.
16°. Если а < Ь, то -а > -Ъ.
В самом деле, так как а < &, то & - а > 0. Следовательно, соглас-
но свойству 11°, Ь - а 4- (-&) > 0 + (-&), откуда получаем -а > -Ь.
В частности, если а > 0, то -а < 0, а если а < 0, то -а > 0 (здесь
использован тот факт, что -0 = 0. Действительно, на основании
свойства 6° (-0) + 0 = -0, а согласно свойству 7°, (-0) + 0 = 0, от-
куда следует, что -0 = 0).
17°. Если а > Ь и с > d, то а + с > Ь + d, т. е. неравен-
ства одного знака можно почленно складывать.
В самом деле, если а > Ъ и с > d, то, согласно свойству 11°,
имеем а + с>& + сис + &>(/ + &. Поэтому на основании свойст-
ва 10° а + с > b + d.
18°. Если а < b и с > d, то а — с < b — d, т. е. неравен-
ства противоположных знаков можно вычитать, ос-
тавляя знак того неравенства, из которого вычита-
лось другое.
В самом деле, так как с > d, то, согласно свойству 16°, -с < -d.
Складывая почленно неравенства а < Ъ и -с < -d (это можно де-
лать на основании свойства 17°), получаем а - с < b - d.
19°. а - а = 0.
В самом деле, а - а = а + (-а) = 0.
20°.а-0 = 0.
Действительно, а • 0 = а • (& - &) = ab - ab = 0.
21°. -(-а) = а.
В самом деле, -(-а) = (-(-а)) + (-а) + а = 0 + а = а.
22°. (-а)& = -ab.
Действительно, (-а)& = (-а)& + ab + (-ab) = [(-а) + а] • b - ab =
= ()•& -а& = 0-а& = -ab.
Отметим, что, заменяя сумму чисел (~a)b + ab произведением
[(-а) + а\Ъ, мы воспользовались свойством 5°. Из свойства 22°,
в частности, получаем (-1)а = -а.
23°. Если а < 0 и Ъ > 0, то ab < 0.
В самом деле, так как а < 0, то -а > 0, поэтому, согласно
свойству 12°, (-а)Ь > 0. Следовательно, (-а)& = -ab > 0 и, зна-
чит, аЬ < 0.
24°. Если а < 0 и Ъ < 0, то ab > 0.
13
Действительно, так как Ь < 0, то -Ъ > 0. Поэтому на основа-
нии свойства 23° (-Ъ)а < 0. Следовательно, (-b)a = -ab < 0 и,
значит, ab > 0.
25°. Если а # 0, то а • а = а2 > 0.
Справедливость данного утверждения следует из равенств
12° и 24°. В частности, 1 = I2 > 0, т. е. 1 > 0.
26°. Если а > 0, то аг1 2 > 0.
В самом деле, согласно свойствам 9° и 25°, ааг1 = 1 > 0, а если
предположить, что а”1 < 0, то в силу свойств 20° и 23° получим, что
ааг1 < 0, т. е. имеет место противоречие. Следовательно, а-1 > 0.
Итак, мы видим, что из основных свойств I—III веществен-
ных чисел вытекают остальные их свойства. Поэтому можно
считать, что вещественные числа представляют собой
множество элементов, обладающих свойствами I—III.
Такое определение вещественных чисел называют аксио-
матическим, st свойства I—III — аксиомами веществен-
ных чисел.
В заключение отметим, что исходя из свойств I—III любое
вещественное число можно представить в виде бесконечной
десятичной дроби а, аха2аз...ап..., где а — любое целое число,
а а19 а2, а3, ..., ап, ... — числа, принимающие целые значения
от 0 до 9 (0 < ап< 9)1.
Заметим, что при изложении теории вещественных чисел
можно идти и в обратном порядке: определить вещественные
числа как бесконечные десятичные дроби, а затем доказать их
основные свойства I—III2. Все другие построения вещественных
чисел приводят к множествам элементов, обладающих свойст-
вами I—III.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Какие числа образуют множество вещественных чисел?
2.	В чем заключается аксиоматический метод введения веще-
ственных чисел?
3.	Перечислите основные свойства (аксиомы) вещественных
чисел.
4.	Каким основным свойством отличается множество всех веще-
ственных чисел от множества только рациональных чисел?
1 С этим вопросом можно ознакомиться в следующей книге:
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М., 2006. Т. 1.
2 Такое построение вещественных чисел приведено в книге:
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М.,
2002. Ч. 1.
14
§ 1.3. Геометрическое изображение
вещественных чисел
1. Изображение вещественных чисел точками на ко-
ординатной прямой. Введем ряд предварительных понятий.
Рассмотрим произвольную прямую. На ней можно указать два
взаимно противоположных направления. Выберем одно из них и
на рисунке будем обозначать его стрелкой (рис. 1). Пусть, кроме
того, выбрана масштабная единица для измерения длин отрез-
ков. Прямую с выбранным на ней направлением называют осью.
Рассмотрим на оси две произвольные точки А и В. Отрезок с
граничными точками А и В будем называть направленным,
если указано, какая из точек А и В считается началом,
а какая — концом отрезка. Направленный отрезок с началом
в точке А и концом в точке В обозначим АВ и будем считать,
что он направлен от начала к концу. Отметим, что в записи АВ
букву, обозначающую начало направленного отрезка, пишут
первой, & букву, обозначающую его конец, — второй. Длина
направленного отрезка АВ обозначается так: |ав| или |АВ|.
Для направленных отрезков, лежащих на оси (или парал-
лельных оси), вводится понятие величины направленного от-
резка. Величиной АВ направленного отрезка АВ называ-
ют число, равное |ав|, если направления отрезка и оси совпада-
ют, и равное-|ав|, если эти направления противоположны.
Для отрезков АВ и CD, которые изображенны на рисунке 2,
ab = -|ab|,cz> = |cd|.
Заметим, что величины направленных отрезков АВ и В А
при любом направлении оси отличаются знаками:
АВ = -ВА.
Если точки А и В совпадают, то величину направленного от-
резка АВ будем считать равной нулю.
Перейдем теперь к геометрическому изображению вещест-
венных чисел. Рассмотрим какую-нибудь прямую. Выберем на
ней направление (тогда она станет осью) и некоторую точку О
(начало координат). Прямую с выбранным направлением и на-
Ось	В А С D
Рис. 1	Рис. 2
15
ОМ	чалом координат назовем координатной
прямой (считаем, что масштабная единица
а)	выбрана). Пусть М — произвольная точка на
прямой (рис. 3, а). Поставим в соответствие
? *______точке М число х, равное величине ОМ на-
_	правленного отрезка ОМ. Число х называют
координатой точки М. Тем самым каждой
Рис. 3 точке координатной прямой будет соответст-
вовать определенное вещественное число — ее
координата. Справедливо и обратное: каждому вещественному
числу х соответствует некоторая точка на координатной пря-
мой, а именно такая точка М, координата которой равна х.
Таким образом, вещественные числа можно изображать точ-
ками на координатной прямой. Поэтому около точки на ко-
ординатной прямой часто указывают число — ее координату
(рис. 3, б).
2. Наиболее употребительные числовые множества.
Пусть а и & — два числа, причем а < &.
Определение 1. Множество чисел х9 удовлетво-
ряющих неравенствам а < х < &, называется отрезком
(или сегментом) и обозначается [а, &].
Определение 2. Множество чисел х9 удовлетво-
ряющих неравенствам а < х < &, или а < х < + оо, или
-оо < х < &, или -оо < х < +°°, называется интервалом и
обозначается (а, &), или (а, +°°), или (-оо , &), или (-оо, +°°)
соответственно.
Определение 3. Множество чисел х, удовлетво-
ряющих неравенствам а < х < &, или а < х < &, или а < х <
< 4-оо, или —оо < х < &, называется полуинтервалом и
обозначается [а, &), или (а, &], или [а, Ч-оо), или (-оо, &] со-
ответственно.
Все эти множества называют промежутками. Промежут-
ки [а, &], (а, &], [а, Ь) и (а, Ь) называют конечными; аиЬ — их
концы. Остальные промежутки называют бесконечными.
Интервал (а, &) отличается от отрезка [а, &] лишь тем, что
ему не принадлежат числа а и Ь. Это отличие играет существен-
ную роль во многих вопросах математического анализа. Кроме
того, интервал (а, Ь) не содержит ни наибольшего, ни наимень-
шего чисел, в то время как в отрезке [а, &] такими числами яв-
ляются соответственно & и а.
Числовым промежуткам соответствуют промежутки на ко-
ординатной прямой.
16
M^xj) О M2(x2)	а-8 а а + 8
Рис, 4	Рис, 5
Например, отрезок [хр х2] изображается на координатной
прямой отрезком МгМ2 таким, что точка Мг имеет координату
хр а точка М2 — координату х2 (рис. 4). Изображением мно-
жества (-°°, +°°) всех чисел служит вся координатная прямая.
Поэтому множество (-°°, +°°) называют также числовой пря-
мой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть а — про-
извольная точка числовой прямой и 81 — положительное чис-
ло. Интервал (а - 8, а + 8) называют ^-окрестностью точки а
(рис. 5).
В дальнейшем нам придется иметь дело с различными мно-
жествами вещественных чисел. Всюду, где это не может привес-
ти к неточности, для краткости вещественные числа будем на-
зывать просто числами.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Что называется осью?
2.	Что называется направленным отрезком и его величиной?
3.	Что называется координатной прямой?
4.	Что называется координатой точки на оси?
5.	Какие числовые множества называют промежутками?
6. Почему множество чисел называют числовой прямой?
7. Из отрезка [а, &] удален интервал (а, &). Что осталось?
8. Из отрезка [1, 8] удален интервал (3, 5). Что осталось? Запи-
шите множество оставшихся чисел с помощью промежутков.
§ 1.4. Грани числовых множеств
Пусть X — непустое множество чисел.
Определение. Множество X называется ограничен-
ном сверху (снизу), если существует число с такое, что
для любого х е X выполняется неравенство х < с (х > с)2.
1 8 — греческая буква «дельта».
2 Для краткости записи в данном определении объединены два
определения, одно из которых соответствует словам, заключенным
в скобках. Этот прием будет использован и в дальнейшем.
17
Число с в этом случае называют верхней (нижней) гранью
множества X.
Множество, которое ограничено и сверху, и снизу, называют
ограниченным.
□ Примеры. 1. Любой конечный промежуток ([а, &], [а, &),
(а, &], (а, &)) ограничен.
2. Интервал (а, 4-оо) есть множество, ограниченное снизу, но
не ограниченное сверху.
3. Интервал (-°°, 4-оо) есть множество, не ограниченное ни
сверху, ни снизу. □
Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество
X имеет бесконечно много верхних (нижних) граней, образую-
щих множество чисел, ограничивающих X сверху (снизу). В са-
мом деле, если число с является верхней (нижней) гранью мно-
жества X, то любое число с', большее (меньшее) числа с, так-
же является верхней (нижней) гранью множества X, так как
из справедливости неравенства х < с (х > с) следует, что х < с'
(х > с').
Возникает вопрос о существовании наименьшего из чисел
ограниченного сверху множества и наибольшего из чисел огра-
ниченного снизу множества.
Наименьшее из чисел, ограничивающих множество X свер-
ху, называют точной верхней гранью множества X и обо-
значают символом sup X1, а наибольшее из чисел, ограничи-
вающих множество X снизу, называют точной нижней
гранью этого множества и обозначают символом inf X2.
□ Примеры. 1. Пусть X = (а, &). Тогда число &, следова-
тельно, и всякое большее число является верхней гранью дан-
ного множества, а число а и всякое меньшее число — его ниж-
ней гранью. Очевидно, число Ъ — точная верхняя грань мно-
жества X, а число а — точная нижняя грань, т. е. & = sup X,
а = inf X.
2. Пусть X = (а, 4-оо). Тогда число а и всякое меньшее чис-
ло являются нижней гранью множества X. Очевидно, а = inf X,
а верхних граней и, следовательно, точной верхней грани дан-
ное множество не имеет. □
1 Supremum (лат.) — наивысшее.
2 Infinum (лат.) — наинизшее.
18
Точная верхняя грань1 обладает следующим важным свойст-
вом: как бы мало ни было число е2 > 0, найдется число
х е X такое, что х > sup X - е.
Если бы такого числа х не нашлось, то число sup X - е было
бы также верхней гранью, и тогда число sup X не было бы точ-
ной верхней гранью.
Другими словами, данное свойство выражает тот факт, что
число sup X является наименьшим среди чисел, ограничиваю-
щих множество X сверху, и уменьшено быть не может.
Аналогичным свойством обладает и точная нижняя грань:
как бы мало ни было число е > 0, найдется число х е X
такое, что х < inf X + е.
□ Пример 1. Доказать, что множество X = |1, |, g , ...» ~ }
ограничено. Установить, какие числа являются его гранями. Най-
ти точные верхнюю и нижнюю грани этого множества.
Решение. При любом натуральном п выполняются нера-
венства 0 < 1/п < 1, поэтому данное множество X ограничено.
Таким образом, число 1 — верхняя грань, а число 0 — его ниж-
няя грань.
Докажем, что число 1 является точной верхней гранью мно-
жества X, т. е. что sup X = 1. Для этого, согласно свойству точ-
ной верхней грани, надо показать, что для любого е > 0 найдет-
ся натуральное число п такое, что выполняется неравенство
1/n > 1 - е. Этим числом п является п = 1, так как 1 > 1 - е —
верное неравенство для любого е > 0, что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что число 0 является точной нижней
гранью множества X. Для этого надо проверить, что для любого
е > 0 найдется натуральное число п такое, что выполняется не-
равенство 1/п < 0 + Е или 1/п < е. Решая неравенство, получаем
п > 1/е. Взяв какое-нибудь натуральное число п > 1/е, получим
требуемое неравенство, а это, согласно свойству точной нижней
грани, и означает, что число 0 является точной нижней гранью
множества X, т. е. inf X = 0.
Отметим, что данному множеству X точная грань 1 принад-
лежит и является его наибольшим числом, а точная нижняя
грань 0 не принадлежит и в этом множестве нет наименьшего
числа. □
1 В некоторых учебниках по математическому анализу точную
верхнюю (нижнюю) грань называют просто верхней (нижней) гранью.
2 е — греческая буква «эпсилон».
19
Определение точной верхней грани sup X можно сформули-
ровать и по-другому:
число sup X называется точной верхней гранью огра-
ниченного сверху множества X, если: 1) для любого хе X
выполняется неравенство х < sup X; 2) для любого е > О
существует число х е X такое, что х > sup X — е.
В этом определении первое условие точно показывает, что
число sup X ограничивает множество X сверху, а второе усло-
вие, — что никакое число, меньшее sup X, множество X сверху
не ограничивает, т. е. уже не является верхней гранью.
Аналогично определяется точная нижняя грань inf X. (Сде-
лайте это самостоятельно.)
Возникает вопрос, при каких условиях числовое множество
имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Ответ дает следующая
важная теорема.
ТЕОРЕМА 1.1. Любое непустое, ограниченное свер-
ху (снизу) числовое множество, имеет точную верх-
нюю (нижнюю) грань.
Доказательство. Пусть X — непустое множество, ог-
раниченное сверху. Тогда множество Y чисел, ограничивающих
X сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что
для любого х е X и любого у g Y имеет место неравенство х < у.
Согласно свойству непрерывности вещественных чисел 13° (см.
§ 1.2), существует такое число с, что для любых х и у выполня-
ются неравенства
(1)
Из первого неравенства (1), в силу определения верхней гра-
ни, следует, что число с ограничивает множество X сверху, т. е.
является верхней гранью, а из второго неравенства, что оно на-
именьшее из таких чисел1, т. е. является точной верхней
гранью, причем может как принадлежать, так и не принадле-
жать множеству X.
Случай существования точной нижней грани у непустого, ог-
раниченного снизу множества рассматривается аналогично. 
Если множество X не ограничено сверху (снизу), условимся
писать sup X = 4- °° (inf X = -°°).
□ Пример 2. Доказать, что множество X = {..., -3, -2, -1, О,
1, 2, 3, ...} всех целых чисел не ограничено ни снизу, ни сверху,
т. е. sup X = 4-оо и inf X = -°°.
1 Так как с < у для всех у е Y.
20
Решение. Допустим обратное, например, что данное множе-
ство X ограничено сверху. Тогда, в силу теоремы 1.1, оно имеет
точную верхнюю грань. Обозначим ее через с, т. е. sup X = с. Со-
гласно свойству точной верхней грани, для е = 1 найдется такое
целое число х е X, что будет выполняться неравенство х > с -1.
Но тогда х + 1 > с, и так как х + 1 е X, то это означает, что с не
является точной верхней гранью множества X. Таким образом,
получено противоречие, которое доказывает, что данное множе-
ство не ограничено сверху.
Аналогично доказывается, что множество X не ограничено
снизу. (Сделайте это самостоятельно.)
Пример 3. Пусть X и У — два числовых множества. Дока-
зать, что если У с X, то sup X > sup У.
Решение. Пусть sup X = A, sup У = В. Требуется доказать,
что В < А. Предположим обратное, т. е. что В > А. Тогда, со-
гласно свойству точной верхней грани, для любого е > 0 най-
дется число у е У такое, что у > В - е. Так как В - А > 0, то
возьмем £ = В - А. Получим z/>B-£ = B- B + А, т. е. у > А. Но
у е У, а У с X, значит, у е X. По определению sup X, любой
у < А. Но допустив, что В > А, можно найти число у е X такое,
что у > А. Полученное противоречие доказывает, что В < А или
sup X > sup У.
Возможно и другое доказательство. Так как У с X, то для лю-
бого х е X и любого у е У выполняются неравенства х < sup X,
у < sup X и у < sup У. Но sup У — наименьшее из чисел, ограни-
чивающих множество У сверху, a sup X — одно из чисел, ограни-
чивающих множество У сверху, следовательно, sup У < sup X.
Аналогично доказывается, что inf У > inf X. (Сделайте это само-
стоятельно.)
Пример 4. Пусть X и У — два числовых множества. Дока-
зать, что sup {Z\z = х + z/; х е X, у е У} = sup X + sup У.
Решение. Пусть имеем sup {Z\z = x + z/;xeX, z/g У} = С,
sup X = A, sup У = В. По определению верхней грани, для любо-
го х е X и для любого у е У выполняется неравенство О z или
С > х + у. С другой стороны, согласно свойству точной верхней
грани, для любого £ > 0 найдутся х е X и у е У такие, что выпол-
няются неравенства х > А - £/2 и у > В - £/2. Отсюда получаем
x + z/>A + B-£, а так как Ox + z/>A + B-£, С>А + В - £, то
ОА + В.
Покажем теперь, что С = А + В. В самом деле, имеем z =
= х 4- z/, х = z - у, но, по определению верхней грани, А > х = z - у
21
1 2 3
2’ 3’ 4’ •“
п
п + 1 ’
или A > 2- у, откуда у > г - А. С другой стороны, В> у > 2 - А,
В > г - А или В + А > z. Согласно свойству точной верхней
грани, для любого е > 0 найдется 2 такое, что 2 > С - е. Поэтому
В + А > С - е, откуда получаем В+А> С. Таким образом, В + А <
< С < В + А; остается принять С = В + А.
Аналогично можно доказать, что inf {Z\2 = х + у; х е X,
у g У} = inf X + inf У. (Сделайте это самостоятельно.) □
Упражнения. 1. Докажите, что множествоX =
ограничено. Установите, какие числа являются
его гранями. Найдите точные верхнюю и нижнюю грани этого
множества (п — натуральное число).
2.	Приведите примеры числовых множеств X, у которых:
a) sup X g X; б) sup X ё X; в) inf X е X; г) inf X ё X. Име-
ет ли множество X в случаях а) и б) наибольшее, а в случаях
в) и г) наименьшее число?
3.	Приведите пример числового множества X, когда inf X =
= sup X.
4.	Приведите пример числового множества У, когда inf X g X,
a sup X £ X.
'	5. Докажите, что множество X = {1, 2, 3, ...} натуральных
чисел не ограничено сверху, т. е. sup X = + °°.
6.	Докажите, что для любого числа а существует такое нату-
ральное число п, что п > а (свойство Архимеда).
7.	Пусть X и У — два числовых множества. Докажите, что
sup {Z\2 = х - у; х е X, у е У} = sup X - inf У.
8.	Пусть X и У — два числовых множества. Докажите, что
если каждое х g X меньше любого у g У и для любого е > 0 су-
ществуют х g X и у g У такие, что у - х < е, то sup X = inf У.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Дайте определение ограниченного сверху (снизу) множества X;
приведите примеры.
2.	Дайте определение точной верхней (нижней) грани ограни-
ченного сверху (снизу) множества X; приведите примеры.
3.	Сформулируйте свойство точной верхней (нижней) грани.
4.	Докажите, что множество X, ограниченное снизу, имеет точ-
ную нижнюю грань.
5.	Что означают следующие символические записи: a) sup X =
— 4-СЮ; б) infX = -°o?
22
§1.5. Абсолютная величина числа
Понятия абсолютной величины числа и неравенства, свя-
занные с абсолютными величинами, широко используются в
математике.
Определение. Абсолютной величиной (или моду-
лем) числа х называется само число х, если х > 0, или
число —х, если х < 0.
Абсолютную величину числа х обозначают символом |х|. Та-
ким образом,
|х| =
х, если х > 0,
-х, если х < 0.
Например, |+5| = 5; |-5| = -(-5) = 5; |0| = 0.
Из этого определения вытекает ряд свойств абсолютной ве-
личины числа.
1°. |х| > 0.
Действительно: 1) если х > 0, то |х| = х > 0; 2) если х < 0, то
|х| = ~х; но -х > 0, так как х < 0, т. е. |х| > 0. Из 1) и 2) получаем,
что |х| > 0.
2°. |х| = |-х|.
В самом деле: 1) если х >0, то -х < 0; тогда |-х| = -(-х) = х =
= |х|, так как х > 0; 2) если х < 0, то -х > 0; тогда |-х| = -х = |х|,
так как х < 0. Из 1) и 2) получаем, что |х| = |-х|.
3°. -|х| < х < |х|.
Действительно: 1) если х > 0, то |х| = х и -х < 0; тогда -х < 0 <
< х = |х|, откуда -х < |х| или -|х| < х; 2) если х < 0, то |х| = -х
и -х > 0; тогда х < 0 < -х = |х| и х < |х|. Из 1) и 2) получаем,
что -|х| < X < |х|.
Следующие три свойства докажем в виде теорем.
ТЕОРЕМА 1.2. Пусть е — положительное число.
Тогда неравенства |x|<eu-e<x<e равносильны.
Доказательство. Пусть |х| < е. Тогда:
1) если х >0, то |х| = х < Е, откуда 0 < х < е;
2) если х < 0, то |х| = -х < е, откуда -б < х < 0.
Объединяя 1) и 2), при любом х получаем -е < х < е.
Пусть справедливы неравенства -е < х < е. Это значит, что
одновременно выполняются неравенства х < е и х > -£. Из по-
следнего неравенства имеем -х < е. Так как, по определению,
|х| есть либо х, либо -х, то |х| < е. 
23
ТЕОРЕМА 1.3. Абсолютная величина суммы двух
чисел не больше суммы абсолютных величин этих
чисел, т. е. |х 4- у| < |х| 4- |у|.
Доказательство. Пусть х и у — любые числа. Соглас-
но свойству 3°, для них справедливы неравенства
-|х| < X < |х| и -|у| < у < |у|,
складывая которые почленно, получаем
-(|х| + Ы) < х + у < (|х| + |у|).
По теореме 1.2 последнее двойное неравенство равносильно не-
равенству
|х + у| < |х| + |у|. 
Заметим, что |х - у| < |х| 4- |у|. Действительно, |х - у\ = |х 4-
4" (~У)\ < 1*1 + |~у| < 1*1 + Ы (проверьте это самостоятельно).
ТЕОРЕМА 1.4. Абсолютная величина разности
двух чисел не меньше разности абсолютных вели-
чин этих чисел, т. е. |х — z/| > |х| - |у|.
Доказательство. Для любых чисел х и у имеем
х = у + (х - у).
По теореме 1.3 справедливо неравенство
М = |у + (X - у)| < |у| + |х - у|,
откуда получаем |х - у| > |х| - |у|. 
Заметим, что |х 4- у| > |х| - |у|. Действительно, |х 4- у| = |х —
- (~У)\ 1*1 “ 1”£/1 = 1*1 “ Ы (проверьте это самостоятельно).
В заключение отметим, что, каковы бы ни были два числа х
и у, имеют место соотношения
|х • Z/I = |х| • Ы и |^| =	, если у # О,
которые легко проверить, рассмотрев случаи, когда х и у —
числа одного знака (оба положительны или оба отрицательны) и
когда они имеют разные знаки. Например, проверим |ху| = |х||у|
в случае, когда х > 0, у < 0. Имеем |х| = х, |у| = -у и ху < 0; сле-
довательно,
|xi/| = -(ху) = х(-у) = |х||Я
□ Пример 1. Найти решения следующих уравнений: 1) |х| =
= х + 2; 2) |х| = х - 2; 3) х + 2|х| = 3; 4) х2+ 3|х| -4 = 0.
24
Решение. 1) При х > О имеем х = х 4- 2, откуда 0 = 2 — не-
верное равенство. Следовательно, решений нет. При х < 0 полу-
чаем -х = х 4- 2, откуда х = -1. Это и есть решение уравнения.
2)	При х > 0 имеем х = х - 2, откуда 0 = -2 — неверное
равенство. Следовательно, решений нет. При х < 0 получаем -х =
= х - 2, откуда х = 1 > 0, что противоречит сделанному предпо-
ложению х < 0. Таким образом, уравнение не имеет решений.
3)	При х > 0 имеем х + 2х = 3, откуда хх = 1. При х < 0
получаем х - 2х = 3, откуда х2 = -3. Следовательно, хх = 1 и
х2 = -3 — решения уравнения.
4)	Воспользуемся тем, что |х|2 = х21. Тогда |х|2 4- 3|х| -4 = 0.
Заменяя |х| на г/, получим у2 4- Зу - 4 = 0, откуда z/x = 1, у2 = “4.
Так как у = |х| > 0, то у2 = -4 не подходит. Остается z/x = |х| = 1,
а это равносильно х = -1 и х = 1. Можно решить уравнение
и стандартным способом, рассмотрев случаи х > 0 и х < 0.
(Сделайте это самостоятельно.)
Пример 2. Доказать, что ||х| - |z/|| < |х - z/|.
Решение. Так как, по определению, ||х| - |z/|| есть либо |х| - |г/1,
либо -(|х| - |г/|) = |г/| - |х|, то для доказательства данного неравен-
ства надо показать, что: 1) |х| - |z/| < |х - z/| и 2) |z/| - |х| < |х - у\. Но
неравенство 1) доказано в теореме 1.4, а неравенство 2) также
следует из этой теоремы и свойства 2°. Имеем
|х - у| = |-(х - у)| = |у - х| > |i/| - |х|.
Пример 3. Выяснить, когда неравенство |х 4- z/| < |х| 4- |z/|
переходит в равенство.
Решение. По определению,
I I _ | х 4- у, если х 4- у > 0,
Iх + S/I — ।	если х 4- у < 0.
Рассмотрим все возможные случаи. Пусть сначала х > 0 и
У > 0. Тогда |х| = х, |z/| = у. х + у > 0 и |х + z/| = х + у = |х| + |z/|.
Исследуемое неравенство переходит в равенство.
Если х > 0, а г/ < 0, то нужно отдельно рассмотреть случай
х4-1/>0их + 1/<0. В первом случае |х| = х, |z/| = -у; |х 4- z/| =
= х 4- у = х - (-у) = |х| - |у|. Неравенство принимает вид |х| - |у| <
< |х| 4- |у|, и оно становится очевидным.
1 Действительно, положив х = у в соотношении |xz/| = |x||z/|,
получим |х|2 = |х2| = х2, так как х2 > 0.
25
Во втором случае |х| = х, |z/| = -у; |х + z/| = -(х + у) = -х - у =
= (“!/) “ х == Ы “ Ы> Неравенство принимает вид |г/| - |х| < |х| 4- |z/|,
и оно становится очевидным.
В остальных случаях
х < 0, у > О,
х < 0, у > О,
х < 0, у < О,
х + у > 0;
х + у < 0;
х + у < О
доказательства аналогичны предыдущим.
Таким образом, исследуемое неравенство переходит в равен-
ство |х 4-1/| = |х| + |z/|, когда х и у имеют одинаковый знак (оба по-
ложительны или оба отрицательны). □
Замечание. Можно, как в решении примера 3, разбирая раз-
личные случаи, доказать, что неравенство [г - у\ > |х| - |z/| переходит
в равенство |х - у\ = |х| - |i/|, когда х и у имеют одинаковый знак и
И > |у|.
Уп раж не ния. Решите уравнение или неравенство.
1. |х| = -х. 2. |х| > х. 3. |х - 2| < 3. 4. |х - 1| > 2. 5. |х| = х + 1.
6. |х|<х+1.7. l-^rl > —тт • 8. |^4| =	|х2-5х + б| =
11	|х + 1| X + 1	|х+1|	х+1	1	1
= —(х2 - 5х + 6). 10. |х2 - 5х + б| > х2 - 5х + 6. 11. |(х2 + 2х + 5) +
+ (х - 5)| = |х2+ 2х + 5| + |х - 5|. 12. |(х4- 4) - (х2 + 2)| = |х4- 4| -
-|х2+2|.
ОТВЕТЫ. 1. х<0. 2. х<0. 3. -1 < х < 5. 4. х>Зих<-1.
5. х = -1/2. 6. х > -1/2. 7. -1 < х < 0. 8. х < -1 или х > 1.
9. 2 < х < 3. 10. 2 < х < 3. 11. х > 5. 12. |х| > а/З. (У к а з а н и е.
См. замечание.)
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Что называется абсолютной величиной числа?
2.	Что больше: |2 - 3| или |2| + |-3|?
3.	Верно ли, что |х8| * |х|8, если х < 0 ?
4.	Докажите, что |х|2= |х|2; Тх2 = |хр.
5.	Запишите без знака модуля выражения: |х - i/|, если х < у;
|х - i/|, если х > у, |-х|, если х < 0.
|х|
6.	Какие значения может принимать выражение —?
1 К сожалению, иногда ошибочно считают, что Jx2 = х, забывая
об арифметическом значении этого корня.
26
§1.6. Метод математической индукции
Метод математической индукции относится к самым
важным методам математических доказательств. Он применя-
ется для доказательства утверждений, зависящих от натураль-
ного числа п. Сформулируем его в общем виде: чтобы доказать
некоторое утверждение, зависящее от натурального числа п (на-
пример, какую-нибудь формулу), надо: 1) проверить его спра-
ведливость при п = I1; 2) предполагая справедливость утверж-
дения для некоторого п (n > 1), доказать его справедливость для
п + 1. Затем делается вывод о справедливости данного утверж-
дения для любого натурального числа п.
□ Пример 1. Доказать методом математической индукции, что
I2 * + 22 + З2 + ... + п2 = га(га + 1^2п + Х).
Решение. 1) Проверяем верность данной формулы при
1 ТТ	1	1(1 + 1)(2-1+1)
п = 1. Левая ее часть равна 1; правая часть —------------ = 1.
Значит, формула верна при п = 1.
2) Предполагая, что данная формула верна для некоторого п,
п > 1, докажем, что при п + 1 имеет место такая же формула
I2 + 22 + З2 + ... + га2 + (га + I)2 = (га + 1)[(га +	Чб1][2<га + 1) + 1]
Действительно,
12+ 22+ 32+ ... + га2 + (га + 1)2 =	+ 1} +(п + 1)2 =
_ (п + 1)[га(2га + 1) + 6(га + 1)] _ (га + 1)(2га2 + 7га + 6) _
6	6
_ (га + 1)(га + 2)(2га + 3) _ (га + 1)[(га + 1) + 1][2(га + 1) + 1]
6	6
что и требовалось доказать. Следовательно, на основании мето-
да математической индукции делаем вывод, что данная форму-
ла верна для любого натурального числа п. □
Метод математической индукции удобен для нахождения
сумм конечного числа слагаемых.
1 Если при п = 1 утверждение не имеет смысла, то проверять
справедливость утверждения следует для наименьшего значения п,
при котором утверждение имеет смысл.
27
□ Пример 2. Найти сумму
1 4- 3 4- 5 4-... 4-(2п - 1).
Решение. Обозначим эту сумму через Sn, т. е.
Sn= 1 + 3 + 5 + ... + (2п - 1).
Чтобы получить для Sn выражение, не требующее алгебраи-
ческого сложения п слагаемых, вычислим несколько первых
значений этой суммы:
Sx = 1; S2 = 1 4- 3 = 4; S3 = 1 4- 3 4- 5 = 9; S4 = 1 4- 3 4- 5 4- 7 = 16.
Видим, что это последовательные квадраты натуральных
чисел. Естественно предположить, что Sn = п2. Чтобы доказать
справедливость этого равенства, воспользуемся методом мате-
матической индукции. Имеем: 1) Sx = 12= 1. Значит, формула
верна при п = 1; 2) предполагая, что она верна для некоторо-
го п, докажем, что при п 4- 1 имеет место формула Sn + х = (п 4-1)2.
Действительно,
Sn +1 = Sn+ [2(n + 1) - 1] = n2 + (2n + 1) = (n + I)2,
что и требовалось доказать. Следовательно, на основании ме-
тода математической индукции делаем вывод, что формула
Sn = п2 верна для любого натурального числа п и
1 4- 3 4- 5 4-... 4-(2п - 1) = п2.
Пример 3- Доказать методом математической индукции,
что 4П > п2 для любого натурального п.
Решение. Имеем: 1) при п = 1 утверждение верно, так как
41 = 4 > 1 = I2; 2) предполагая верность данного утверждения
для некоторого п, докажем, что 4п + 1 > (п + I)2. Действительно,
так как 4П +1 = 4 • 4П > 4п2, а п2 > п и п2 > 1, то 4п2 > п2 4- 2п 4-1 =
= (п 4- I)2. Окончательно получаем 4га +1 > (п 4- I)2, что и требо-
валось доказать. □
Упражнения. 1. Найдите сумму 4-	+ ••• + п.(д + !)•
2. Методом математической индукции докажите, что 2П > п2
&л.я п> 4.
ОТВЕТЫ. 1. Aj + зД; + ... + —, 1 ,	= —Дт-
1-2	2*3	и • (и 4- 1) п + 1
^Указание. Замените каждое слагаемое на разность по фор-
1	1	1	"I
муле —, 1 ч = - - ——г или примените индукцию.
п*(п4-1)пп + 1	)
28
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. В чем состоит метод математической индукции?
2. Методом математической индукции докажите, что для лю-
бого натурального числа п справедлива формула
1 + 2 + 3 + ... + п =	+
Л
§ 1.7.	Факториал
Для вычисления суммы первых п натуральных чисел
имеется удобная формула
Для произведения первых п натуральных чисел такой фор-
мулы нет, но это часто встречающаяся в комбинаторике и в дру-
гих разделах математики величина имеет специальное обозна-
чение: п\ (эн факториал). Итак, по определению,
1 • 2 • 3 •... • п = п\
Выбор для обозначения восклицательного знака, возможно,
связан с тем, что даже для сравнительно небольших значений
п число п! очень велико: чтобы продемонстрировать, как быстро
растет п\ с ростом п, выпишем эти числа для п от 1 до 10: 1! = I1,
2! = 1 • 2 = 2, 3! = 1 • 2 • 3 = 6, 4! = 3! • 4 = 24, 5! = 4! • 5 = 120,
6! = 720, 7! = 5040, 8! = 40 320, 9! = 362 880, 10! = 3 628 800.
Из определения п\ следует, что факториалы двух соседних нату-
ральных чисел п и п 4- 1 связаны формулой
(п + 1)! = п\ • (п + 1).	(1)
Заметим, что если в это равенство подставить п = 0, то получим
1! = 0! • 1, поэтому полагают
0! = 1;
это соглашение часто оказывается удобным в различных общих
формулах.
□ Пример 1. Доказать формулу (п 4- 1)! - и! = п\ • п.
Решение. Воспользуемся методом математической индук-
ции. Имеем: 1) при п = 1 (1 4- 1)! - 1! = 1! • 1, откуда 1 = 1, зна-
1 По определению полагают 1! = 1.
29
чит, формула верна; 2) предполагая ее верность для некоторого п,
докажем, что при п + 1 имеет место формула (п + 2)! - (п + 1)! =
= (n + l)!(n + 1). Действительно, по формуле (1) получаем
(п + 2)! - (п + 1)! = п!(п + 1)(п + 2) - n!(n + 1) =
= п!(п + 1)[(п + 2) - 1] = n!(n + 1)(п + 1) = (n + l)!(n + 1),
что и требовалось доказать. Следовательно, на основании мето-
да математической индукции заключаем, что формула верна
для любого натурального числа п.
Пример 2. Найти сумму 1 • 1! + 2 • 2! + 3 • 3! + ... + п • п!
Решение. Заменим каждое слагаемое разностью по форму-
ле (п + 1)! - п! = п\ • п (см. пример 1), получаем
(1 + 1)! - 1! + (2 + 1)! - 2! + (3 + 1)! - 3! + ... + (п + 1)! - п! =
= 2! - 1! + 3! - 2! + 4! - 3! + ... + (п + 1)! - п! = (п + 1)! - 1,
так как все слагаемые в левой части равенства, за исключением
второго и предпоследнего, взаимно уничтожаются. Следова-
тельно,
1 • 1! + 2 • 2! + 3 • 3! + ... + п • п! = (п + 1)! - 1.
Пример 3. Доказать методом математической индукции,
что п! > 2П для п > 3.
Решение. Имеем: 1) при п = 4 утверждение верно, по-
скольку 4! = 24 > 16 = 24; 2) предполагая верность данного ут-
верждения для некоторого п > 4, докажем, что (п + 1)! > 2п + х.
Действительно, (п + 1)! = n!(n + 1) > 2П • 2 = 2п + х, так как п + 1 > 2
при п > 4. Окончательно получаем (п + 1)! > 2п + х, что и требова-
лось доказать. □
тт »	0.1.2.	.п-1
Упражнение. Найдите сумму т? + о? + о? + ••• + —г-•
1!	о!	Ш
ОТВЕТ. 1 - i. ^Указание. Замените каждое слагаемое
_ n- 1	1	1 А
разностью по формуле —~	• J
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Что означает запись п!?
2.	Найдите число п\ для п = 11; 12.
3.	Может ли п! кончаться ровно пятью нулями?
30
§ 1.8. Соединения и формула бинома Ньютона
1. Соединения. Пусть X — множество, состоящее из
п элементов:
Х = {хр х2, .... хп}.
Элементами множества X могут быть различные объекты,
объединенные каким-нибудь общим признаком или свойством.
Например, X — множество студентов данного института, или
множество четных чисел от 2 до 100, или множество букв ла-
тинского алфавита и т. д.
Из элементов множества X будем образовывать различные
подмножества, содержащие каждое т элементов (1 < т < п),
которые называют соединениями. В общем случае поставлен-
ную задачу можно сформулировать так: сколько существует
подмножеств из п элементов множества X по тп?
В зависимости от того, входят ли в соединение (в подмноже-
ство) все элементы множества X или часть их, играет ли роль
порядок расположения элементов или не играет, различают три
вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.
РАЗМЕЩЕНИЯ. Определение 1. Размещения-
ми из п элементов по т называются соединения, содер-
жащие каждое т элементов из данных п элементов
множества X, которые отличаются друг от друга либо
самими элементами, либо их порядком.
Например, из множества трех элементов {А, В, С} можно об-
разовать шесть размещений из трех элементов по два элемента:
(А; В), (А; С), (В; А), (С; А), (В; С), (С; В).
Из множества четырех элементов {А, В, С, D} можно образо-
вать двенадцать размещений из четырех элементов по два эле-
мента (сделайте это самостоятельно).
Число размещений из п элементов по т обозначают симво-
лом А™. Мы нашли, что А| = 6, А| = 12. Если т = 1, то, очевидно,
Ai=n,
так как из п различных элементов можно составить п различ-
ных размещений по одному элементу в каждом.
Поставим теперь общую задачу: сколько можно образовать
размещений из п элементов по два элемента? Пусть на первом
месте такого размещения стоит элемент xv тогда на втором мес-
те может стоять любой из элементов х2, х3, ..., хп. При этом по-
лучим (п - 1) размещений. Пусть теперь на первом месте стоит
31
элемент х2, тогда на втором месте может стоять любой из эле-
ментов хр х3, хпи будет еще (п - 1) размещений. Перебрав
все элементы хр х2, хп, получим п групп, в каждой из кото-
рых содержится (п - 1) размещений. Таким образом, всего раз-
мещений из п элементов по два будет п(п - 1).
Составим теперь размещения из п элементов по три элемен-
та. В этом случае к каждому размещению из п элементов по два
элемента следует добавить по очереди один элемент из (п - 2) ос-
тавшихся. Тогда получится п(п - 1) групп, в каждой из кото-
рых будет по (п - 2) размещений. Следовательно, всего разме-
щений из п элементов по три элемента будет п(п - 1)(п - 2).
Итак, мы нашли, что
А1П =п;А^= п(п - 1); А3п = п(п - 1)(п - 2).	(1)
Перепишем формулы (1) в ином виде
= п; А* = п[п - (2 -1)]; А*п = п(п - 1)[п - (3 - 1)].
Из этих формул следует, что число размещений равно произве-
дению последовательно убывающих натуральных чисел от п до
[n - (k - 1)], где k = 1, 2, 3. Рассуждая аналогично предыдуще-
му, получим формулу
А™ = п(п - l)(n - 2)...[п - (т - 1)], 1 < т < п, (2)
из которой следует, что число всех различных размещений из
п элементов по т в каждом равно произведению т последова-
тельно убывающих на единицу чисел, из которых большее есть
число п.
При строгом выводе формулы (2) применим метод математи-
ческой индукции. При т = 1 формула проверена; предполагая,
что она верна для некоторого тп, докажем, что при т + 1 имеет
место формула
А™*1 = п(п - 1)(п - 2)...[п - ((тп + 1) - 1)].
Действительно,
Алп+1 = nAm_х = п(п - 1)(п - 2)...[(п - 1) - (тп - 1)] =
= п(п - 1)(п - 2)...[п - ((тп + 1) - 1)],
что и требовалось доказать. Следовательно, формула (2) спра-
ведлива для любого числа тп (1 < тп < п).
□ Пример 1. На первом курсе шесть учебных предметов и че-
тыре лекции в день. Сколькими способами можно составить
расписание одного учебного дня?
32
Решение. Для решения поставленной задачи надо найти
число размещений из шести элементов по четыре. По форму-
ле (2) получаем
= 6 • 5 • 4 • 3 = 360.
Итак, составить расписание можно 360 способами. □
ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 2. Переста-
новками из данных и элементов множества X по п на-
зываются соединения, каждое из которых содержит п
элементов и которые отличаются друг от друга толь-
ко порядком элементов.
Число перестановок из п элементов обозначают символом Рп.
Перестановки являются частным случаем размещений, ког-
да т = п. По формуле (2)
Рп-А- = п(п - 1)(п - 2)...2 • 1.	(3)
Если воспользоваться символом п\ (и! = 1 • 2 • 3 •... • и), то фор-
мулу (3) можно записать так:
Рп=и!,	(4)
т. е. число всевозможных перестановок из п элементов равно п!
□ Пример 2. Сколькими способами можно составить список
из девяти студентов?
Решение. Каждый список является перестановкой из де-
вяти элементов. По формуле (4) получаем
Р9 = 9! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 = 362 880. □
Замечание. Формулу (2), если воспользоваться символом и!,
можно записать так:
Ат _ п(п -	- (т - 1)](п -	_ п\
п	(п-т)...2-1	(и - т)! ‘ V '
Чтобы формула (5) совпадала с формулой (4) при т = п, полага-
ют, что 0! = 1.
СОЧЕТАНИЯ. Определение 3. Сочетаниями из
данных п элементов множества X по т называются со-
единения, которые отличаются друг от друга по край-
ней мере одним элементом.
Изменение порядка расположения элементов внутри сочета-
ния во внимание не принимается. Например, из множества трех
2 - 3587 Шипачев
33
элементов {А, В, С} можно составить только такие сочетания по
два элемента в каждом: {А, В}, {А, С}, {В, С}. Очевидно, что чис-
ло сочетаний из трех элементов по три равно единице.
Число сочетаний из п элементов по т обозначают С™. Мы
нашли, что С| = 3, С| = 1.
Рассмотрим общий случай, когда 1 < т < п. Пусть составле-
ны все сочетания С™ из п элементов по т в каждом. Если в каж-
дом из этих сочетаний переставим элементы всевозможными спо-
собами, то получим все размещения из п элементов по тп, т. е.
= СпРт .	(6)
Из формулы (6) получаем формулу для подсчета числа соче-
таний:
т _	_ п(п ~ !)(п - 2)...[п - (т - 1)]	_
п Рт	тп!	’	(1>
или, используя формулу (5), формулу
Например,
/пгз = Ю! = J20
ью 3! • 7!	1 и*
□ ПримерЗ. Из 20 студентов нужно выбрать шесть для работы
в приемной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Каждая выборка является сочетанием из 20 эле-
ментов по шесть. Порядок расположения студентов в выборке
не имеет значения. По формуле (7) получаем
6 _ 20-19.18.17.16.15 _
С20	1-2-3-4-5-6	38 760. □
Из определений размещений, перестановок и сочетаний следу-
ет, что выражения А™, Рп и С™ имеют смысл лишь для 1 < т < п.
Если т = 0, то считают А® = 1 и С® = 1, что согласуется с форму-
лой (8). Полагая в ней т = 0, имеем
Таким образом, можно считать, что формула (8) справедлива
для 0 < т < п.
В заключение докажем формулу
Cm+l + C» = Cm+il>	(9)
которая понадобится в следующем пункте.
34
Действительно,
гэ I	» I
pm+l 4. pm — _______n'_______ _______n'__ =
n n (m + l)!(n - m - 1)! m\(n - m)\
_	n’	_|_	n!	_
ml(m + l)(n - m - 1)! m\(n - m - l)!(n - m)
_ n! ( 1	_|_	1 A _	nl(n + 1)	_
ml(n - m - 1)! Vm + 1 n - m ) ml(n - m - l)!(m + 1)0 “ 771)
(n + 1)!	_	(n + 1)!	_Гт+1
(m + l)!(n - тп)! (m + l)![(n + 1) - (m + 1)]!	9
что и требовалось доказать.
2. Формула бинома Ньютона. Для любого натурального
числа п справедлива формула
(a + b)n = CQnan + C1nan~1b + ... +С™ап~тЬт + ... + С"&п, (10)
V	Л	fir	fir	fir	fir	9	V	Z
которая называется формулой бинома Ньютона.
Доказательство. Докажем формулу (10) методом матема-
тической индукции.
1) Проверяем верность формулы (10) при п = 1:
(а + &)1 = С?а + С}& = а + &,
так как С? =	= 1, С} =	= 1.
2) Предполагая, что формула (10) верна для некоторого п,
покажем, что она верна для п 4-1, т. е. докажем справедливость
формулы
(a + &)n + 1 = C°n+1an + 1 + C*+1an& + ... + C^+11an"fe&fe +1 + ...
... + C”+1abn + C^bn + 1.	(11)
Действительно, используя сначала свойства степени с нату-
ральным показателем, далее формулу (10) и, наконец, правило
перемножения многочленов, получим
(а + Ь)п +1 = (а + Ь)п -(а + Ь) = (С°ап + С*ап~гЬ + ... + Cknan~kbk + ...
... 4-С^&п)*(а + &) = С®ап + 14-С1ап& + ... + Cnk + 1an~kbk +1 + ...
... +C”abn +CQnanb + ... + Cknan ~ kbk +1 + ... + C^ab” + C%bn + 4
Приводя подобные члены, имеем
(а + Ъ)п +1 = С^ап +1 + (С® + С1)ал6 + ... + (С* + C*+1)an“ kbk +1 + ...
... +(С”-1 + С”)аЬп + Сл6л + 1,
откуда, в силу того, что С° = 1 = С°+1, С° + С\ = С\+1, С* + С*+1 =
=	с"-1 + СП = Сп+1’ СП = 1 = Сп+1 (см- формулы (8), (9)),
35
получаем формулу (11). Из 1) и 2) на основании метода матема-
тической индукции заключаем, что формула (10) верна для лю-
бого натурального числа п, что и требовалось доказать. Правую
часть формулы (10) называют разложением бинома. Коэффи-
циенты С®, С* *, ..., С™, ..., С" называют биномиальными коэф-
фициентами.
Основные следствия формулы Ньютона
1°. Число всех членов разложения на единицу больше
показателя бинома.
Это видно из равенства (10).
2°. Сумма показателей степеней при а и Ъ в любом
слагаемом разложения равна п — показателю степени
бинома.
3°. Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от
концов разложения, равны между собой, так как С™ =
— Г'п-т!
п
Например, Cf = Cf-3 = Cj = 10.
4°. Общий, член разложения имеет вид
Tk + i = Ckna*-kbk.
Положив последовательно k = 0, 1, 2, ..., п, получаем пер-
вый, второй и другие члены разложения. Например, То + j = Т\ =
= С®ап ~ °&° = С®ап — первый член, Т, . , = Т, = С1ап ~ х&х =
= С\ап ~ХЬ — второй член, Т2 + х = Т3 = С2ап ~ 2Ь2 — третий член
ит. д.
5°. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2п.
В самом деле, полагая в формуле (10) а = Ь = 1, получаем
(1 + l)n = C0+С*+ С* + ... + С™ + ... + С".
Формулу (10) обычно коротко записывают так:
(а + Ъ)п = Ъ С™ап~тЪт.
Здесь Z (греч. буква «сигма») обозначает знак суммирования
(сложения).
Из формулы (10), в частности, при п = 2 и п = 3 получаем хо-
рошо знакомые формулы
(а + Ь)2 = С^а2 + С\аЬ + С2Ь2 = а2 + 2аЬ + &2;
(а + &)3 = С!*а3 + С|а2& + С2аЪ2 + С|&3 = а3 + За2Ь + За&2 + &3.
1 Действительно, С™ = —п = 7-----хгг—у----гй = С”~т.
* п т\(п - т)\ (п - т)\(п - (и - ли))! п
36
Упражнения. 1. Напишите разложение по формуле бинома
Ньютона (а 4- Ь)6.
2.	Найдите шестой член в разложении бинома (а2 - Ь2)14.
3.	Упростите выражение (а 4- Ь)5 4- (а - Ь)5.
4.	Вычислите сумму биномиальных коэффициентов членов
разложения (а 4- Ь)8.
5.	Найдите показатель степени бинома (aja 4- b)n, если сум-
ма биномиальных коэффициентов равна 1024.
ОТВЕТЫ. 1. а6 + 6а5Ь 4- 15а4Ь2 4- 20а3Ь3 4- 15а2Ь4 + 6аЬ5 + Ь6.
2. Т6 = (-1)5 • С145 • (Ь2)5 • (а2)14 - 5 = 2ОО2а18Ь10. 3. 2а(а4 + 10а2Ь2 +
4- 5Ь4). 4. 256. 5. п = 10.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Какие подмножества из элементов множества X называют
соединениями?
2.	Назовите виды соединений.
3.	Сформулируйте определения соединений размещения, пере-
становок и сочетания. Чем они отличаются?
4.	Что означают символы А™, Рп, С™? Как они читаются?
5.	Напишите формулы числа размещений из п элементов по тп,
числа перестановок из п элементов, числа сочетаний из п эле-
ментов по тп.
6.	Не вычисляя, ответьте на вопрос: во сколько раз число А|
больше числа С|?
А8
7.	Проверьте равенство: 1) СЦ =	; 2) Cj0 4- Cf0 = Cjx; 3) Cf0 -
-	+ C30 = 0; 4) 12(A57 + A4) = A?; 5) 2(C45 - C35) = C46.
8.	Докажите формулу бинома Ньютона.
9.	Перечислите основные следствия из формулы бинома Нью-
тона.
10.	Напишите формулы общих членов разложения биномов
(а 4- Ь)п и (а - Ь)п. Чем отличаются эти формулы?
§ 1.9, Числовые последовательности
1. Числовые последовательности и арифметические
действия над ними. Прогрессии. Числовые последовательнос-
ти встречаются уже в программе средней школы. Примерами та-
ких последовательностей служат: 1) последовательность членов
арифметической и геометрической прогрессий; 2) последователь-
37
ность периметров правильных п-угольников, вписанных в данную
окружность; 3) последовательность хг = 1, х2 = 1,4, х3 = 1,41, ...
приближенных значений 72 . Уточним и расширим понятие чис-
ловой последовательности.
Определение У. Если каждому числу п из нату-
рального ряда чисел
1, 2, 3, ... , п, ...
поставлено в соответствие вещественное число хп9 то
множество вещественных чисел
х19х29х39 ...9хп9...	(1)
называется числовой последовательностью или просто
последовательностью1.
Числа х19 х2, х3, ... , хп, ... назовем элементами (или
членами) последовательности (1), символ хп — общим эле-
ментом (или членом) последовательности, а число п — его
номером. Сокращенно последовательность (1) будем обозна-
чать символом {хп}. Так, например, символ обозначает по-
1 1 1	1
следовательность 1, н , 5	.
г о	п
Формулу, задающую хп, называют формулой общего эле-
мента (или члена) последовательности {хп}. Например, после-
довательность {п2} задана формулой хп = n2. С помощью этой
формулы можно вычислить любой элемент последовательности:
хх = I2 = 1, х5 = 52 = 25, х10 = 102 = 100 и т. д.
□ Пример 1. Дана формула общего элемента последователь-
ности: хп =	• Написать пять первых элементов последова-
тельности.
Решение. Положив последовательно п = 1, 2, 3, 4, 5 в об-
щем элементе хп, получаем хх = 1/2, х2 = 2/3, х3 = 3/4, х4 = 4/5,
х5 = 5/6. □
1 Другими словами, числовую последовательность можно опреде-
лить как множество пар чисел (п; хп), в которых первое число прини-
мает последовательность значения 1, 2, 3, ... , п ... , т. е. (1; хх),
(2; х2), (3; х3), ... , (п; хп), ... .
38
Упражнения. Напишите пять первых элементов каждой из
последовательностей, заданных их общими элементами.
-	1	72' Н” 2	П л	/л v I
1 - хп = и--пз- . 2. X = q 1. 3. X = Н7ГГГ • 4- Хп = (”1) ” 1 х
п 2п + 1 п и3 + 1 п 2n+1 п
ОТВЕТЫ. 1. хх = 1/3, х2 = 1/5, х3 = 1/7, х4 = 1/9, х5 = 1/11.
2. хх = 3/2, х2 = 4/9, х3 = 5/28, х4 = 6/65, х5 = 7/126. 3. хх = 1/22,
х2 = 2/23, х3 = 3/24, х4 = 4/25, х5 = 5/26. 4. хх = 2, х2 = -3/22,
х3 = 4/32, х4 = -5/42, х5 = 6/52.
□ Пример 2. Зная несколько первых элементов последова-
тельности, написать формулу общего элемента последователь-
ности 1; 1/32; 1/52; 1/72; ... .
Решение. Знаменатели заданных элементов последователь-
ности образуют последовательность всех нечетных натуральных
чисел в степени 2. Поэтому в качестве искомой можно выбрать
формулу
1
Хп (2га-I)2’
Однако знание нескольких первых элементов последова-
тельности еще не определяет саму последовательность. Поэтому
данную задачу следует рассматривать как задачу отыскания не-
которой простой индуктивной закономерности, согласующейся
с заданными элементами последовательности. □
Упражнения. Зная несколько первых элементов последо-
вательности, напишите формулу общего элемента таких после-
довательностей .
1 1 • * •	1	•	*	•	2 !• 2^ • 2^ • 3	• 3	•
1в 1-2’ 1-2-3’ 1-2-3-4’	‘	Z4’ Z9’ д16’ д25’	*
3. 2; 10; 26; 82; 242; 730;....
1	32 52 72
ОТВЕТЫ. 1. х_ = —f. 2.Указание. 1;	-г»; ... .
п п\	22 З2 42
/О„ _ 1 \2
хп = (- I . 3. У к а з а н и е. 3 - 1; З2 + 1; З8 - 1; З4 + 1;
п у п )
З5 - 1; З6 + 1; ... . хп= 3" + (-1)".
Формула, задающая хп, не является единственной. Так, на-
пример, последовательность -1, 1, -1,1, -1,1, ... задается фор-
мулой хп = (-1)п или формулой хп = cos лп. Не всегда последова-
39
тельность {хп} можно задать аналитически, например последо-
вательность приближенных значений 72.
Последовательность {хп} считается заданной, если указан
способ получения любого ее элемента. Например, если хп = 1 +
4- (-1)п, то последовательность запишется в виде 0, 2, 0, 2, ... .
Обращая дробь 1/3 в десятичную, также получаем последова-
тельность:
хх = 0,3, х2 = 0,33, х3 = 0,333, ... , хп= ...0,333,...,3.
п троек
Часто используют рекуррентный способ задания последова-
тельности {хп}. Этот способ состоит в том, что дается: 1) первый
элемент последовательности хх (или несколько первых элемен-
тов) и 2) формула (или рекуррентное соотношение), указываю-
щая, какие действия нужно выполнить, чтобы вычислить сле-
дующий элемент (или несколько следующих элементов). Так,
если известно, что: 1) первый элемент хг = 1; 2) при любом п > 1
хп +1 = (п + 1)хп, то, последовательно выполняя действия, опре-
деленные данной формулой, находим
(n = 1) х2 = хх + х = (1 4- 1) • хх = 2 • 1! = 2!,
(п = 2) х3 = х2 + х = (2 4- 1) • х2 = 3 • 2! = 6 = 3!,
(п = 3) х4 = х3 + х = (3 + 1) • х3 = 4 • 3! = 24 = 4!,
(п = 4) х5 = х4 +х = (4 + 1) • х4 = 5 • 4! = 120 = 5!,
Таким образом, данное рекуррентное соотношение опреде-
ляет последовательность 1!, 2!, 3!, 4!, 5!, ... , п! ..Л, в которой об-
щий элемент задается формулой хп = п! Заметим, что при стро-
гом выводе формулы общего элемента надо применить метод
математической индукции. (Сделайте это самостоятельно.)
11 1
4 3 2	i
а)		  —
О	х4 х3 х2	хг
111 11 1
_1	3 5 7	6 4	2
б)		----------- « « ~~ -- ----------
хх	Х3 х5х7 о Xq х4 х2
Рис. 6
1 Напомним, что и! — сокращенное обозначение произведения
1 • 2 • 3 •• п; по определению 1! = 1.
40
Упражнения. Напишите пять первых элементов и формулу
общего элемента последовательности.
1. хх = 1, хп + i — хп1. 2. X} — 1, хп + j — хп + 3.
ОТВЕТЫ. 1. 1!, 1!, 1!, 1!, 1!, хп = 1!. 2. 1, 4, 7, 10, 13,
хп = Зп - 2.
Приведем еще один пример. Последовательность {хп} задает-
ся двумя первыми элементами хх = 1, х2 = 1 и рекуррентным со-
отношением хп = хп _ 1 + хп _ 2 при любом п > 3. Здесь рекуррент-
ное соотношение связывает хп с двумя предыдущими. Для по-
лучения последовательности нужно знать два первых элемента
последовательности. Запишем несколько ее первых элементов:
1,1,2, 3, 5,8, 13,21,34,....
Эта последовательность обладает рядом интересных и важ-
ных свойств. Ее элементы называют числами Фибоначчи1
(по имени итальянского математика XII—XIII вв.). Если в пер-
вом примере найти формулу общего элемента, зная первый и ре-
куррентное соотношение, легко, то для чисел Фибоначчи найти
формулу общего элемента довольно трудно.
Геометрически последовательность {хп} изображается на
числовой прямой в виде последовательности точек, координа-
ты которых равны соответствующим элементам последователь-
ности. На рисунке 6 изображены соответственно последователь-
ности {1/п} и {(—1)Л/тг}.
Может оказаться, что одна и та же точка числовой прямой
соответствует нескольким элементам последовательности, на-
пример для последовательности с общим элементом хп = (-1)п
все элементы с четными номерами попадут в точку с координа-
той 1, а с нечетными номерами — в точку с координатой -1; для
последовательности с общим элементом хп = 5, т. е. последова-
тельности 5, 5, 5, 5,..., все элементы попадут в одну и ту же точ-
ку с координатой 5.
Очевидно, что числовая последовательность является частным
случаем функции, определенной на множестве N натуральных чи-
сел. Поэтому способы задания и обозначения функции примени-
мы и для последовательностей. Однако чаще элементы последова-
тельностей обозначают буквами, снабженными индексами:
/(1) = Л; /(2) = /2;...; Л«) = fn.
1 С числами Фибоначчи и их свойствами можно ознакомиться,
например, в кн.: Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М., 1984.
41
Введем понятие арифметических действий над числовыми
последовательностями. Пусть даны произвольные последова-
тельности хх, х2,... , хп,... и yv у2, ... , уп ,... . Произведением
последовательности хр х2, ... , хп,... на число т назовем после-
довательность
тпхх, тпх2, ..., тпхп, ....
Суммой данных последовательностей назовем последователь-
ность
*1 + Уп х2 + у2, ... , хп + уп ,...;
разностью — последовательность
*1 - у19 Х2 - у2, ...,хп-уп, ...;
произведением — последовательность
Х1-У1,х2'У2, ~,хп-уп,...;
частным — последовательность
*1	*2 *п
У1' У2 ’ " ’ Уп 9	’
если все элементы последовательности, на которую делят, от-
личны от нуля.
Указанные действия над последовательностями символиче-
ски записывают так:
т{хп} = {тхп}, {хп} + {уп} = {хп + уп},
J " {Уп} = (хп ~ Уп}’ {*п} ’ }Уп} = {*п • Уп}’
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Определе-
ние 2. Последовательность {хп}1 2, определяемая первым
элементом хх и рекуррентным соотношением
xn + l = Xn + d’
где d — постоянное число, называется арифметической
прогрессией. Число d называется разностью арифмети-
ческой прогрессии.
1 у 0 означает, что значения уп отличны от нуля при любом п.
2 Иногда члены прогрессий обозначают буквой а.
42
Рекуррентное соотношение, определяющее арифметическую
прогрессию, словами формулируется так: всякий член ариф-
метической прогрессии, начиная со второго, равен пре-
дыдущему, сложенному с постоянным числом d.
Запишем несколько первых членов арифметической прогрес-
сии: хх = хр х2 = хх 4- d, х3 = х2 4- d = хг 4- d 4- d = хх 4- 2d и т. д.
Каждый раз прибавляем еще одно слагаемое d. Например, чет-
ные числа образуют арифметическую прогрессию с первым чле-
ном хх = 2 и разностью d = 2:
2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; ... .
 Докажем методом математической индукции формулу об-
щего члена арифметической прогрессии
xn=xx + d(n-1).	(2)
1) Для п = 1 имеем хх = хх 4- d • 0, т. е. формула (2) верна.
2) Предполагая справедливость формулы (2) для некоторого
п, докажем, что она справедлива для в + 1, т.е. докажем фор-
мулу хп + х = хх 4- d[(n 4- 1) - 1].
Действительно, по определению арифметической прогрес-
сии, хп + х = хп 4- d. Отсюда, используя формулу (2), находим
хп + х = хх + (n - l)d 4- d = хх 4- d[(n 4-1) - 1],
что и требовалось доказать. На основании метода математиче-
ской индукции заключаем, что формула (2) справедлива для
любого п.
Выведем формулу суммы п членов арифметической прогрес-
сии. Предварительно докажем основное свойство членов конеч-
ной арифметической прогрессии хх, х2, ... , хп: суммы членов
прогрессии, равноотстоящих от концов, равны, т. е.
Хт+ Хп= Xk + Х1>
если т + п = k + I.
Действительно, используя формулу (2), получим
хт 4- хп = хх 4- d(m - 1) 4- хх 4- d(n - 1) = 2хх 4- d(m 4- п - 2) =
= 2хх 4- d(k + I - 2) = хх 4- d(k - 1) 4- хх 4- d(l - 1) = xk + xz,
что и требовалось доказать.
Найдем теперь сумму Sn. Запишем ее дважды, расставив
слагаемые в разном порядке
Sn = Хх 4- х2 4" ... 4- Хп _ х 4- хп,
Sn = xn + xn_l + ...+x2 + xv
43
Складывая почленно и используя доказанное свойство и
формулу (2), находим
2Sn = (x1 + хп) + (х2 + хп_1) + ... + (хп_1 + х2) + (хп + Xj) =
= п(х1 4- хп) = п[2х1 4- d(n - 1)],
откуда получаем следующие две формулы:
(хг+хп)'П	[2хх + d(n - 1)] • n
sn=-----2----- и Sn=--------2------- 
□ Пример 3. Написать формулу общего члена последователь-
ности, если известно несколько ее первых членов: 3, 5, 7, 9,11, ... .
Решение. Заданные числа образуют арифметическую про-
грессию с первым членом хг = 3 и разностью d = 2. По формуле
(2) имеем хп = 3 4- 2(п - 1) = 2п 4- 1.
Пример 4. Сумма первых п членов последовательности
выражается формулой Sn = Зп2. Доказать, что эта последова-
тельность является арифметической прогрессией; найти ее пер-
вый член и разность.
Решение. Имеем xn = Sn - Sn _ х = Зп2 - 3(п - I)2 = Зп2 -
- Зп2 4- 6п - 3 = 3(2п - 1). Так как разность хп - хп _ г = 3(2п - 1) -
- 3(2п - 3) = 6п - 3 - 6п 4- 9 = 6 не зависит от п, то данная после-
довательность является арифметической прогрессией с разно-
стью d = 6. Первый член прогрессии хх = Sx = 3. □
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Определе-
ние 3. Последовательность {хп}, определенная первым
элементом хг и рекуррентным соотношением
Хп + 1 = Хп'Ъ
где q — постоянное число, q 1, называется геометри-
ческой прогрессией. Число q называется знаменателем
геометрической прогрессии.
Рекуррентное соотношение, определяющее геометрическую
прогрессию, словами формулируется так: всякий член гео-
метрической прогрессии, начиная со второго, равен пре-
дыдущему, умноженному на постоянное число q.
Запишем несколько первых членов геометрической прогрес-
сии: хх = хх, х2 = хх • q, х3 = х2 • q = хх • qq = xxq2 и т. д. Напри-
мер, числа 2, 6, 18, 54, 162, ... образуют геометрическую про-
грессию со знаменателем q = 3 и первым членом хх = 2.
44
Формула общего члена геометрической прогрессии
xn = x1qn~1 *	(3)
доказывается точно так же, как формула общего члена арифме-
тической прогрессии. (Проделайте это самостоятельно.)
 Выведем формулу суммы п членов геометрической про-
грессии1. Для этого рассмотрим сумму
S„=Xi+ х2 +...+ х„	(4)
и умножим обе части равенства (4) на q. Так как
хгд = х2, x2q = x^ ... ,xng = xn + x,
то
Sn'q = xxq + x2q + ... + xng = x2 + x3 + ... +x„ + 1.	(5)
Вычтем почленно из равенства (5) равенство (4). Все члены,
кроме хп + х = xnq и хр уничтожаются. Поэтому получаем:
Sn<l - Sn = Хп + 1 - *1 = хп<1 - х1>
откуда
x„q _	~ xnq
S= пЧ , 1 или S= Ц-------— .	(6)
п	q - 1	п 1 - q	v 7
Так как хп = xrqn ~ х, то формулы (6) можно записать в другом
виде:
xAqn - 1)	Х](1 - qn)
S =	1 или S = -Ц------— . 	(7)
п q - 1	п 1 - q	7
□ Пример 5- В геометрической прогрессии 1; -2; 4; -8; 16;
найти 11-й член и сумму шести членов.
Решение. Найдем сначала знаменатель геометрической
прогрессии. Для этого воспользуемся рекуррентным соотноше-
нием. Имеем
*п + 1	хь	16	о
?= “—;? =	г-	=	то	=-2.
хп	х4	о
По формуле (3) вычислим 11-й член:
ххх = xxQn "1 = 1(-2)10 = 1024,
а по первой из формул (7) вычислим сумму шести членов:
_ 1- [(-2)6-1] _ 64 - 1 _
Ь6 =2^1	=3	U
1 Вывод формулы суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии дан в следующем параграфе (см. пример 10).
45
Обращаем внимание, что дальнейшее успешное изучение
материала возможно только при условии полного понимания
определения последовательности.
2.	Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение 4. Последовательность {хп} называ-
ется ограниченной сверху (снизу), если существует число
М (число т) такое, что любой элемент хп этой последова-
тельности удовлетворяет неравенству хп< М (хп > т).
Определение 5. Последовательность {хп} называ-
ется ограниченной, если она ограничена и сверху, и сни-
зу, т. е. существуют числа т и М такие, что любой
элемент хп этой последовательности удовлетворяет
неравенствам т < хп < М.
Обозначим А = max {\т\, \М\}. Тогда условие ограниченности по-
следовательности можно записать в виде |хп| < А или -А < хп < А.
Действительно, так как А > \М\ > М, а -А < -\т\ < т, то для
всех элементов последовательности {хп} выполняются неравен-
ства -А < хп < А.
Определение 6. Последовательность {хп} назы-
вается неограниченной, если для любого положительно-
го числа А существует элемент хп этой последователь-
ности, удовлетворяющий неравенству |хп| > А1.
Из данных определений следует, что если последователь-
ность ограничена сверху, то все ее элементы принадлежат про-
межутку (-оо, М], а если последовательность ограничена
снизу — промежутку [т, +°°), а в случае ограниченности и
сверху, и снизу — промежутку [т, М]. Неограниченная после-
довательность может быть ограничена сверху (снизу). Рассмот-
рим несколько примеров,
□ Примеры. 1. Последовательность {п}, или, что то же,
1, 2, 3, ... , п, ... , ограничена снизу, но не ограничена сверху
(тп = 1).
2.	Последовательность {-п}, или, что то же, -1, -2, -3, ...
..., -п, ... , ограничена сверху, но не ограничена снизу (М = -1).
1 Если |х J > А (А > 0), то либо хп > А, либо хп < -А (докажите это
самостоятельно).
46
3.	Последовательность {1/п}, или, что то же, 1» § ’ 3’	’ п’ ’
ограничена, так как любой элемент хп этой последовательности
удовлетворяет неравенствам 0 < xn < 1 (тп = О, М = 1).
4.	Последовательность {(-1)пп}, или, что то же, -1, 2, -3, 4,
-5, ... , (~1)пп, ... , — неограниченная.
В самом деле, каково бы ни было число А, среди элементов
хп этой последовательности найдутся элементы, для которых
будет выполняться неравенство |хп| > А. □
Упражнения. Ограничена ли последовательность:
1.	2' {2n}’ 3- {ln га}- 4- {sin 5- -1’ °’ 2’ °’ 3’ °’ 4’
О, 5, ...?
ОТВЕТЫ. 1. Да. 2. Нет. 3. Нет. 4. Да. 5. Нет. (Ответы обо-
снуйте).
3.	Бесконечно большие и бесконечно малые последова-
тельности.
Определение 7. Последовательность {хп} называ-
ется бесконечно большой, если для любого положитель-
ного числа А (сколь большим бы мы его ни взяли) су-
ществует номер N такой, что при п > ЛГ1 выполняется
неравенство |хп| > А.
Геометрический смысл определения состоит в том, что в лю-
бой (сколь угодно большой) окрестности нуля находится лишь
конечное число элементов последовательности, а вне ее — бес-
конечно много элементов.
Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая после-
довательность является неограниченной. Однако неограниченная по-
следовательность может и не быть бесконечно большой последова-
тельностью. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1,
3, ...» 1, п, 1, п + 1, ... не является бесконечно большой, поскольку
при А > 1 неравенство |хп| > А не имеет места для всех элементов хп
с нечетными номерами.
1 «При п> N* означает: для всех элементов последовательности с
номерами п > N.
47
Определение 8. Последовательность {ап} называ-
ется бесконечно малой, если для любого положительного
числа е (сколь малым его ни взять) существует номер N
такой, что при п > N выполняется неравенство |ап| < е.
С геометрической точки зрения это означает, что в любой
Е-окрестности нуля находятся все элементы последовательности,
начиная с некоторого номера (зависящего, вообще говоря, от е),
а вне ее — лишь конечное число элементов.
□	Пример 6. Используя определение 7, доказать, что после-
довательность {п} является бесконечно большой.
Решение. Возьмем любое число А > 0. Из неравенства |х J =
= |п| > А получаем п > А. Если взять N > А, то для всех п > N бу-
дет выполняться неравенство |хп| > А, т. е., согласно определе-
нию 7, последовательность {п} бесконечно большая. □
Упражнения. Используя определение 7, докажите, что по-
следовательность является бесконечно большой. 1. {—п}. 2. {и2}.
3. {(-1)л + 1п}.
□	Пример 7. Используя определение 8, докажите, что после-
довательность {1/п} является бесконечно малой.
Решение. Возьмем любое число е > 0. Из неравенства |ап| =
= |1/п| < £ получаем п > 1/е. Если взять N = [1/е]1, то для всех
п > N будет выполняться неравенство |ал| < е. (При е = 1/10 по-
лучим N = [10] = 10, при £ = 4/15 имеем N = [15/4] = 3, и т. д.)
Таким образом, согласно определению 8, последовательность
{1/п} бесконечно малая. □
Упражнения. Используя определение 8, докажите, яв-
ляется ли последовательность бесконечно малой. 1. {(-1)п/п}.
2. {l/nfe} (k > 0). 3. {2n/(n2 + 1)}. ^Указание. Воспользуй-
2п 2п 2 \	,	.
тесь неравенствами п2 + ± <	. 14. {1/3л}.
Докажем теорему, устанавливающую связь между бесконеч-
но большими и бесконечно малыми последовательностями.
1 Символ [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходя-
щее х. Например, [1] = 1, [3,1] = 3, [0,7] = 0, [-0,5] = -1, [- 172,9] =
= -173, [л] = 3, [1g 2] = 0 и т. д. Число 1/Е может быть дробью, а номер
N — целое число. Поэтому вместо 1/Е берется наибольшее целое
число, не превосходящее 1/Е.
48
ТЕОРЕМА 1.5.-Если {хп} — бесконечно большая по-
следовательность и все ее члены отличны от ну-
ля. хп 0, то последовательность {ап} = {1/хп} бес-
конечно малая, и обратно, если {ап} — бесконечно
малая последовательность. ап # 0, то последова-
тельность {хп} = {1/ап} бесконечно большая.
Доказательство. Пусть {хп} — бесконечно большая по-
следовательность. Возьмем любое число е > 0 и положим А = 1/е.
Согласно определению 7, для этого А существует номер N такой,
что при п > N выполняется неравенство |хп| > А. Тогда |ап| =
= |l/xn| = 1 /|хп| < 1/А = е, т. е. |ап| < е для всех п > N. А это зна-
чит, что последовательность {1/хп} бесконечно малая.
Доказательство второй части теоремы аналогично. 
Все проведенные доказательства построены на проверке вы-
полнения условий, сформулированных в определениях. Поэто-
му обращаем внимание на четкое понимание данных определе-
ний.
4.	Основные свойства бесконечно малых последова-
тельностей.
ТЕОРЕМА 1.6. Сумма и разность двух бесконечно
малых последовательностей есть бесконечно ма-
лые последовательности.
—II-----------------------------------------------------
Доказательство. Пусть {ап} и {£п} — бесконечно малые
последовательности. Требуется доказать, что последователь-
ность {ап ± Рп} бесконечно малая. Пусть е — произвольное по-
ложительное число, — номер, начиная с которого |ап| < е/2,
a N2 — номер, начиная с которого |рп| < е/2. (Такие номера
и А2 найдутся по определению бесконечно малой последова-
тельности.) Возьмем N = шах {ЛГр N2}; тогда при п > N будут
одновременно выполняться два неравенства: |ап| < е/2, |РП| < е/2.
Следовательно, при п > N
К ± М < l«J + IPnl < £/2 + £/2 “ £1-
Это означает, что последовательность {ап ± Рп} бесконечно
малая. 
1 Здесь использовано следующее свойство абсолютных величин:
|х + у\ < |х| + |i/| (см. теорему 1.3).
49
СЛЕДСТВИЕ. Алгебраическая сумма любого конечно-
го числа бесконечно малых последовательностей есть
бесконечно малая последовательность.
ТЕОРЕМА 1.7. Произведение двух бесконечно ма-
лых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность.
—II-----------------------------------------------------
Доказательство. Пусть {ап} и фп} — бесконечно малые
последовательности. Требуется доказать, что {ап • Рп} бесконечно
малая последовательность. Так как последовательность {ап} бес-
конечно малая, то для любого числа е > 0 существует номер
такой, что |ап| < е при п > Nv а так как последовательность {Рп}
тоже бесконечно малая, то для е = 1 существует номер N2 такой,
что |Pn| < 1 при п > N2. Возьмем N = max	тогда при п > N
будут выполняться оба неравенства. Следовательно, при п> N
|a„’₽J = |а„Н₽„1<е-1 = е.
Это означает, что последовательность {ап • Рп} бесконечно ма-
лая. 
С Л ЕД СТ В И Е. Произведение любого конечного числа
бесконечно малых последовательностей есть бесконечно
малая последовательность.
Замечание. Частное двух бесконечно малых последователь-
ностей может быть любой последовательностью и может не иметь
смысла. Например, если ап = 1/п, рп = 1/п, то все элементы после-
довательности {ап/Рп} равны единице и данная последовательность
является ограниченной. Если ап = 1/п, а рп = 1/п2, то последова-
тельность {ап/Рп} бесконечно большая, и наоборот, если ап = 1/п2,
а Рп = 1/п, то {ап/Рп} бесконечно малая последовательность. Если,
начиная с некоторого номера, элементы последовательности {рп}
равны нулю, то последовательность {ап/Рп} не имеет смысла.
Упражнение. Покажите, что частное двух бесконечно
больших последовательностей {хп} и {уп} может быть любой по-
следовательностью, используя в качестве примеров последова-
тельности {п} и {п2}.
ТЕОРЕМА 1.8. Произведение ограниченной после-
довательности на бесконечно малую есть беско-
нечно малая последовательность.
—II-----------------------------------------------------
Доказательство. Пусть {хп} — ограниченная, а {ап} —
бесконечно малая последовательность. Требуется доказать, что
50
последовательность {xn*an} бесконечно малая. Последователь-
ность {хп} ограничена, поэтому существует число А > 0 такое,
что любой элемент хп удовлетворяет неравенству |хп| < А. Возь-
мем любое число £ > 0. Так как {an} — бесконечно малая после-
довательность, то для положительного числа е/А существует но-
мер N такой, что при п > N выполняется неравенство |an| < г/А.
Тогда при п > N
1*П • а„| = |х„| • |а„| < А • г/А = г.
Это означает, что последовательность {xn*an} бесконечно
малая. 
СЛЕДСТВИЕ. Произведение бесконечно малой пос-
ледовательности на число есть бесконечно малая пос-
ледовательность (так как число можно рассматри-
вать как частный случай ограниченной последователь-
ности).
□ Пример 8. Доказать, что последовательность {sin п/п} яв-
ляется бесконечно малой.
Решение. Так как последовательность {1/п} бесконечно
малая (см. пример 7), а последовательность {sin п} ограничена
(|sin п\ < 1), то данная последовательность представляет собой
произведение бесконечно малой последовательности {1/п} на ог-
раниченную {sin п}. По теореме 1.8 это означает, что последова-
тельность {sin п/п} — бесконечно малая. □
Упражнение. Докажите, что последовательность {10/п} —
бесконечно малая.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте определение последовательности.
2.	Когда последовательность считается заданной? Приведите
примеры.
3.	В чем заключается рекуррентное задание последовательнос-
ти? Приведите пример.
4.	Дайте геометрическую интерпретацию последовательности.
Приведите примеры.
5.	Дайте определение арифметических действий над последо-
вательностями .
6.	Почему из определения последовательности следует, что она
имеет бесконечное число элементов?
7.	Сформулируйте определение арифметической прогрессии.
51
8.	Выведите формулу суммы п членов арифметической про-
грессии.
9.	Сформулируйте определение геометрической прогрессии.
10.	Выведите формулу суммы п членов геометрической про-
грессии.
11.	Сформулируйте определения ограниченной и неограничен-
ной последовательностей. Дайте геометрическую интерпре-
тацию этих определений.
12.	Приведите пример ограниченной последовательности, кото-
рая: а) имеет и наибольший, и наименьший элементы;
б) имеет наибольший, но не имеет наименьшего элемента;
в) имеет наименьший, но не имеет наибольшего элемента.
13.	Сформулируйте определения бесконечно малой и бесконеч-
но большой последовательностей. Дайте геометрическую
интерпретацию этих определений.
14.	Приведите пример неограниченной последовательности, не
являющейся бесконечно большой.
15.	Можно ли назвать бесконечно малой последовательность
с общим элементом хп = О?
16.	Приведите пример, когда значения элементов бесконечно
малой последовательности, возрастая, стремятся к нулю.
Как называется такая последовательность?
17.	Приведите пример, когда значения элементов бесконечно
большой последовательности при возрастании п убывают.
Как называется такая последовательность?
18.	Дана последовательность 1; 1/2; 2; 1/3; 3; 1/4; 4; 1/5; ... п;
1/п; ... . Почему эта последовательность не является бес-
конечно малой, несмотря на то что, какое бы малое число
£ > 0 мы ни взяли, среди элементов последовательности
всегда найдутся элементы, по модулю меньшие, чем е? По-
чему эта последовательность не является бесконечно боль-
шой, несмотря на то что, какое бы большое число А > 0 мы
ни взяли, среди элементов последовательности всегда най-
дутся элементы, по модулю большие, чем А? Как называет-
ся эта последовательность?
19.	Является ли бесконечно малая последовательность ограни-
ченной?
20.	Известно, что последовательность {хп} является: а) бес-
конечно малой; б) бесконечно большой. Следует ли отсю-
да, что последовательность {1/хп} (при условии хп # 0 для
всех п) является: а) бесконечно большой; б) бесконечно ма-
лой?
52
§1.10. Сходящиеся последовательности
Рассмотрим одно из важнейших в математическом ана-
лизе понятий — понятие предела числовой последовательности.
(Обращаем внимание, что это понятие вызывает трудности у
многих, начинающих его изучение.)
1. Понятие сходящейся последовательности.
Определение. Число а называется пределом чис-
ловой последовательности {хп}, если для любого поло-
жительного числа е существует номер N такой, что
при п > N выполняется неравенство
|х„ - а\ < е.	(1)
При этом последовательность {хп} называют сходящейся.
Если последовательность {хп} сходится и имеет своим преде-
лом число а, то символически это записывается так:
lim хп = а1, или хп —► а при п	°°.
п -► оо
Последовательность, не являющуюся сходящейся, называ-
ют расходящейся.
Из определения предела следует, что, каким бы малым мы
ни взяли число е > 0, начиная с некоторого номера N все эле-
менты последовательности {хп} будут отличаться от числа а
меньше, чем на е, т. е. \хп - а\ < £ при п > N. Это и означает, что
элементы последовательности {хп} неограниченно приближают-
ся к числу а при неограниченном возрастании номера п. В опре-
делении не случайно отмечено слово «любого», на этом слове
«держится» все определение.
В качестве примера рассмотрим вопрос о пределе последова-
тельности
-1, 1,-1, 1,-1, ... ,(-lf, ... .
С ростом п эта последовательность предела не имеет, так как
колеблется между значениями +1 и -1 и ни к какому числу не
приближается (строгое доказательство см. в замечании к теоре-
ме 1.10).
«Докажем», используя определение, что последователь-
ность имеет «предел, равный 0». Действительно, для е = 2 нера-
венство |(-1)п - 0| < е выполняется для всех номеров п. Следова-
1 Limes (лат.) — предел; читается: предел хп при и, стремящемся
к бесконечности, равена.
53
тельно, можно взять N = 1 и все «доказано». Ошибка состоит в
том, что, например, для е = 1/2 неравенство |(-1)п - 0| < е уже
не выполняется ни для какого п, т. е. при «доказательстве» на-
рушено основное требование определения, чтобы неравенство
\хп - а\ < £ выполнялось бы для любого Е > 0, в частности, и
для е = 1/2, хотя бы начиная с некоторого номера N.
Сформулируем следующее определение: число а не является
пределом последовательности {хп}, если существует е > О
такое, что для любого номера N найдется номер п > N
такой, что выполняется неравенство \хп - а| > Б.
Сравнивая данные определения, видим, что для построения
отрицания надо слова «существует» и «любого» взаимно заме-
нить, а неравенство заменить ему противоположным.
С геометрической точки зрения это отрицание означает, что
а * lim хп, если существует некоторая Е-окрестность точки а,
П~+ оо
вне которой находится бесконечно много элементов последова-
тельности.
Это правило можно использовать и для построения отрица-
ния в любых других определениях, данных в смысле «£ - АГ».
Например, сформулируем отрицание того, что последова-
тельность является бесконечно большой: последовательность
{хп} не является бесконечно большой, если существует по-
ложительное число А такое, что для любого номера N най-
дется номер п > N такой, что выполняется неравенство |хп| < А.
Геометрически это отрицание означает, что существует неко-
торая окрестность нуля, в которой находится бесконечно много
элементов последовательности, а вне ее — лишь конечное число.
□ Пример 1. Используя определение предела, показать, что
lim 2 1 = 1-
оо П + 1
Решение. Возьмем любое число е > 0. Так как \хп - 1| =
= \п/(п + 1) - 1| = l/(n + 1), то для нахождения значений п,
удовлетворяющих неравенству \хп - 1| < е, достаточно решить
неравенство l/(n + 1) < е, откуда получим п > (1 - е)/е. Следо-
вательно, за N можно взять целую часть числа (1 - е)/е, т. е.
N = [(1 - е)/е]. Тогда неравенство \хп - 1| < е будет выполняться
при всех п > N. Так как е — любое, то доказано, что
По определению, а в данном примере равно 1.
54
Для четкого понимания определения предела проверим про-
веденные вычисления на конкретных числах.
Возьмем, например, £ = 0,01. Тогда N = [(1 - 0,01)/0,01] = 99
и при п > N = 99 имеем \хп - 1| < 0,01. В частности, при п < N
(п = 97, п = 98) неравенство \хп - 1| < е = 0,01 не выполняется.
В самом деле, пусть п = 98. Тогда
|х98 - 1| = |98/99 - 1| = |-1/99| = 1/99 > 1/100,
а если взять п > 99, например п = 100, то
|х100 - 1| = 1100/101 - 1| = |-1/101| = 1/101 < 1/100.
Таким образом, неравенство \хп - 1| < 0,01 выполняется
только для номеров п, больших, чем 99.
Если взять значение £ < 0,01, например £ = 0,001, то значе-
ние номера N увеличится. В самом деле, N = [(1 - 0,001)/0,001] =
= 999 и при п > N = 999 получаем \хп - 1| < 0,001.
В заключение покажем, что число 2 не является пределом
данной последовательности. Для этого рассмотрим абсолютную
величину разности
|х - 21 = I га - г1 = 1-га + 21 = га + 2
' п ' I п + 1 I I п + 1| п + 1
и решим относительно п неравенство - + < е. Но в данном слу-
чае этого можно не делать, так как при любом значении номера
п (п может быть только числом целым и положительным) число
п + 2
п + > слеД°вательн°, оно не может быть меньше произволь-
но заданного положительного числа е, например е = 1/2. Это и
доказывает, что число 2 не является пределом последователь-
{п 1
---ГТ Ь
п + 1
Пример 2. Используя определение предела, доказать, что
если |g| < 1, то
limgn=0.	(2)
П оо
Решение. Возьмем любое число £ > 0 и q # 0. Так как \qn - 0| =
= |g|n, то для нахождения значений п, удовлетворяющих нера-
венству \qn - 0| < е, достаточно решить неравенство |g|n < е или,
чтобы не иметь дела с отрицательными логарифмами (|g| < 1),
(1/Ы)" > 1/Е.
55
Логарифмируя, получим
.1.1
lg(l/£) п	Ar rlg(l/E)-|
откуда п >	• Следовательно, если взять N = |jg(i/|g|)J >
то для всех п > N будет выполняться неравенство \qn - 0| < е.
Так как е — любое, то, согласно определению, lim qn = 0.
п оо
Если q = 0, то соотношение (2) очевидно, так как неравенст-
во \qn - 0| < £ выполняется при любом п.
Пример 3. Используя определение предела, доказать, что
lim nJn = 1.
П оо
Решение. Покажем, что для любого е > 0 существует номер
N такой, что при п > N выполняется неравенство \nJn - 1| < е.
Так как nJn > 1, то \nJn - 1| = nJn - 1 < £, откуда получаем
п < (1 4- е)п. Воспользуемся тем, что
(1 + E)n = 1 + ПЕ + —Цу,   Е2 + ... + En > ——-Q   Е2 (3)
(здесь применена формула бинома Ньютона1), и докажем, что
неравенство п < (1 4- е)п выполняется при п > 1 4- 2/е2. Действи-
тельно, пусть n > (1 4- е)п. Тогда из неравенства (3) следует, что
и > n(nQ е2, откуда п < 1 4- 2/е2. Поэтому при п > 1 4- 2/е2 не-
равенство n > (1 4- е)п не выполняется и, следовательно, выполня-
ется неравенство п < (1 4- е)п, значит, и неравенство nJn - 1 < е.
Таким образом, если взять N = [1 4- 2/е2], то при п > N будет вы-
полняться неравенство \nJn - 1| < е. А так как е — любое, то, со-
гласно определению, lim nJn = 1.
n — оо
Пример 4. Доказать, что последовательность {1 4- 1/2 4- ...
...4- 1/2п} имеет своим пределом число 2.
1 Напомним формулу бинома Ньютона:
(а 4- Ъ)п = ап + пап~ХЬ+ п^п9.	_2Ъ2 4-	—— ап~3Ь34-... 4- Ъп.
Z!	о!
56
Решение. Данная последовательность имеет вид
1 + 1/2; 1 + 1/2 + 1/22; ... ; 1 + 1/2 + ... + 1/2"; ... .
Для доказательства воспользуемся определением предела
последовательности, но предварительно с помощью формулы
суммы геометрической прогрессии представим выражение об-
щего элемента последовательности в виде
хп = 1 + 1/2 + ... + 1/2" = 2 - 1/2" или хп - 2 = -1/2".
Возьмем любое число е > 0. Тогда из неравенства \хп - 2| =
= |-1/2"| = 1/2" < £ получаем неравенство 2" > 1/е, или, лога-
рифмируя, п log2 2 > log2 (1/е)» откуда п > log2 (1/е). Если взять
N = [log2 (1/е)], то для всех п > N будет выполняться неравенст-
во \хп - 2| < е. Таким образом, согласно определению предела
последовательности, последовательность {1 + 1/2 + ... + 1/2"}
сходится и ее предел равен 2, т. е. lim хп = 2.
П оо
Пример 5. Доказать, что последовательность {п/2"} имеет
своим пределом число 0.
Решение. Данная последовательность имеет вид
1/2; 2/22; 3/23; ...; п/2"; ... .
Для доказательства воспользуемся определением предела
последовательности, но предварительно с помощью формулы
бинома Ньютона оценим выражение общего элемента данной
последовательности. Имеем
2" = (1 + 1)" = 1 + п + га(га2~ 1} + ... + 1 > п +	.
Следовательно,
I I _ п п _ 2
1хп1 “ 2" < п^/2 ~ п •
Возьмем любое е > 0. Тогда из неравенства \хп - 0| = п/2" <
< 2/п < е получаем неравенство п > 2/е. Если взять N = [2/е], то
для всех n > N будет выполняться неравенство \хп - 0| < е, т. е., со-
гласно определению предела последовательности, последователь-
ность {п/2"} сходится и ее предел равен нулю, т. е. lim хп = 0. За-
гс оо
метим, что данная последовательность является бесконечно малой.
Пример 6. Доказать, что если ^limxn = а, то limjxj = |а|.
Решение. Действительно, согласно определению предела
последовательности, для любого е > 0 существует номер N та-
57
кой, что при п> N выполняется неравенство \хп - а| < е. Но, со-
гласно свойству абсолютной величины числа (см. пример 2 в
§ 1.5), ||хп| - |а|| < \хп - а|, следовательно, при п > N выполняется
неравенство ||хп| - |а|| < е, т. е. lim |хп| = |а|. □
П —► оо
Упражнения, а) Используя определение предела, докажи-
-.V п + 1 Л о V 2п п о 1	Зп - 1	5
те, что: 1. lim —= 0. 2. lim —= 2. 3. lim —= 1.
(Указание. Представить выражение общего элемента по-
следовательности в виде хп = (3n - l)/3n = 1 - 1/Зп или хп - 1 =
= -l/3n.)4. lim =0. 5. lim — =0.6. lim < = 0.
П^ОО 2	n — OO П	n — ОО Зуд _|_ I
б) Известно, что lim	L? = 2. Найдите номер АГ, начиная
n —* OO W T 1
|2ra + 3 J - n -
с которого выполняется неравенство n - 21 < e, где e = 0,1;
0,01; 0,001. (ОТВЕТ. Неравенство |- 2| < eвыполняется
при п > N = [1/е - 1]. При е = 0,1 неравенство выполняется
начиная с N = 10, при е = 0,01 — начиная с N = 100, при
е = 0,001 — начиная с N = 1000.1
Замечание 1. Пусть {хп} сходится и имеет своим пределом не-
которое число а. Тогда разность {хп - а} = {ап} является бесконечно
малой последовательностью, так как для любого £ > 0 существует но-
мер N такой, что при п > N выполнятся неравенство |осЛ| = \хп - а\ < е1.
Следовательно, любой элемент хп сходящейся последовательности,
имеющий пределом число а, можно представить в виде
хп = а + ^	(4)
где ап — элемент бесконечно малой последовательности {ап}. Очевидно,
справедливо и обратное: если хп можно представить в виде хп = а + ап,
где {ап} — бесконечно малая последовательность, то lim хп = а (дока-
п — оо
жите это самостоятельно).
Представление (4) будет использовано при доказательстве теорем
1.11—1.13 о пределах последовательностей.
1 Отсюда, в частности, следует, что всякая бесконечно малая
последовательность является сходящейся и имеет своим пределом
число а = 0.
58
□ Пример 7. Показать, что предел по-	"'х
следовательности С, С, С, ... с общим —L---------_—4-------•-
членом хп = С = const равен числу С, т. е.	а ~ е	а хп а-г
lim хп = С.	Рис. 7
п —• оо
Решение. Действительно, последовательность {хп - С} = С -
- С = 0 бесконечно малая и поэтому, в силу представления (4),
lim хп — С. □
п —• оо
Замечание 2. Предел числовой последовательности имеет гео-
метрическое истолкование. Неравенство (1) равносильно неравенствам
-е < хп - а < е, или а - е < хп < а + е1,
которые означают, что элемент хп находится в Е-окрестности точки а
(рис. 7). Поэтому определение предела последовательности можно
сформулировать следующим образом: число а называется преде-
лом последовательности {хп}, если для любой е-окрестности
точки а существует номер N такой, что все элементы хп
с номерами п > N находятся в этой е-окрестности.
Для иллюстрации сказанного снова вернемся к примеру 1.
Если е = 0,01, а п > 99, то все элементы последовательности
{n/(n + 1)}, начиная с элемента с номером п = Ю0(х100), попадут
в заданную Е-окрестность числа а = 1 (- 0,01 < хп ~ 1 < 0,01 или
1 - 0,01 < хп < 1 + 0,01), т. е. на числовой прямой будут принад-
лежать интервалу (0,99; 1,01).
Следует отметить, что число N в определении предела после-
довательности зависит как от рассматриваемой последователь-
ности, так и от произвольно взятого е. Чем меньше е, тем боль-
ше N (см. пример 1), кроме случая, когда последовательность
состоит из одного элемента. Например, последовательность 1,1,
1, 1, ... , заданная общим элементом xn= 1, имеет своим преде-
лом число 1 (см. пример 7), и неравенство \хп - 1| выполняется
для любого номера N независимо от взятого Е.
Замечание 3. Очевидно, что бесконечно большие последова-
тельности не имеют предела в том смысле, как этот предел был опре-
делен ранее. Поэтому обычно считают, что бесконечно большие по-
следовательности имеют предел, равныйоо, и пишут
lim хп = о°2.
п — оо
1 См. теорему 1.2.
2 Напомним, что здесь последовательность {хп} такова, что при
п > N выполняется неравенство |xj > А.
59
Если последовательность {хп} такова, что для любого А > О
существует номер N такой, что при п > N выполняется неравен-
ство хп > А (хп < -А), то пишут
lim хп = +°° (lim хп = -°о).
Во всех этих случаях говорят, что бесконечно большая последова-
тельность имеет бесконечный предел, соответственно равный оо,
+оо или -оо.
В связи с введением понятия «бесконечный предел» усло-
вимся называть первоначально определенный предел конечным
пределом.
Упражнения. Приведите примеры таких последователь-
ностей {хп} и {уп}9 что lim хп = +°°, lim уп = -оо и, кроме того:
71 ОО	71 —► ОО
1.	lim (хп + уп) = 0.
71 оо
2.	lim (х„ + уп) = +°°.
Поо
3.	lim (хп + уп)= 1.
71 оо
4.	lim (хп + z/n) не существует.
71 —► оо
ОТВЕТЫ. 1. {хп} = {п + 1/п} и {уп} = {-«}. 2. {хп} = {2п}
и {Уп} =	3- (xn) = {« + 1} и {уп} = {-«}. 4. {хл} = {п + (-1)"}
и {уп} = {-п}. (Ответы обоснуйте.)
2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
Прежде чем перейти к доказательству следующей теоремы, до-
кажем лемму.
ЛЕММА 1.1. Если все элементы бесконечно малой
последовательности {ап} равны одному и тому же
числу с, то с = 0.
Доказательство. Предположим обратное, что с 0.
Положим £ = |с|/2. Тогда, по определению бесконечно малой по-
следовательности, существует номер N такой, что при п > N вы-
полняется неравенство |cxj < е. Так как ап = с, а е = |с|/2, то по-
следнее неравенство можно переписать в виде | с| < |с|/2, откуда
1 < 1/2. Полученное противоречие показывает, что предположе-
ние с * 0 не может иметь места. 
60
ТЕОРЕМА 1.9. Сходящаяся последовательность
имеет только один предел.
Доказательство. Предположим обратное, что сходя-
щаяся последовательность {хп} имеет два предела а и Ъ. Тогда
по формуле (4) для элементов хп получим
хп=а + «пихП=Ь + Рп»
где ап и Рп — элементы бесконечно малых последовательностей
{ап} и {Рп}. Вычитая из первого соотношения второе, найдем,
что ап - Рп = Ь - а. Так как все элементы бесконечно малой по-
следовательности {ап - Рп} имеют одно и то же постоянное значе-
ние Ъ - а, то, по доказанной лемме 1.1, Ь - а = 0, т. е. Ь = а. 
ТЕОРЕМА 1.10. Сходящаяся последовательность
11 ограничена.
Доказательство. Пусть {хп} — сходящаяся последова-
тельность и число а — ее предел. Пусть, далее, £ — произволь-
ное положительное число и N — номер, начиная с которого вы-
полняется неравенство \хп - а| < £. Тогда для всех п> N
W = 1(*л - а) + а| < |х„ - а| +|«1 < Ы + е1.
Пусть А = max {|а| + е, |хх|, |х2|, ... , |x#|}. Очевидно, |хп| < А
для всех номеров п, что и означает ограниченность последова-
тельности {хп}. 
Замечание. Ограниченная последовательность может и не быть
сходящейся. Например, последовательность -1, 1, -1, ... , (-1У, ...
ограничена, но не сходится. Проведем рассуждения от противного.
Предположим, что предел данной последовательности — числоа. Это
означает, что для любого £ > 0, в частности и для £ = 1/2, существует
номер N такой, что при п > N будет \хп - а| < 1/2. Так как хп прини-
мает попеременно значения 1 и -1, то можно записать |1 -а| < 1/2
и |(-1) - а| < 1/2. Используя эти неравенства, имеем
2 = |1-а + а- (-1)| < |1 - а| + \а - (-1)| < 1/2 + 1/2 = 1,
т. е. 2 < 1. Полученное противоречие доказывает расходимость дан-
ной последовательности.
□ Пример 8. Известно, что последовательность {хп} беско-
нечно большая, а последовательность {уп} имеет конечный пре-
дел, отличный от нуля (уп 0). Что можно сказать о последова-
тельности: 1) {хп+у п}; 2) {уп/хп}; 3) {хп/уп}?
1 См. сноску на с. 49.
61
Решение. 1) Так как последовательность {уп} сходится, то
по теореме 1.10, она является ограниченной, т. е. для всех п вы-
полняется неравенство \уп\ < А, а так как последовательность
{хп} бесконечно большая, то, начиная с некоторого номера п, бу-
дет выполняться неравенство |xn| > А 4- М, где М — любое поло-
жительное число. Тогда, начиная с некоторого номера п, выпол-
няется неравенство
\ХП + уп\ > W - W > (А + М) - А = М1,
т. е. \хп 4- z/n| > М, а это, по определению бесконечно большой по-
следовательности, и означает, что последовательность {хп 4- уп}
бесконечно большая.
2) Последовательность {уп/хп} бесконечно малая, так как ее
можно представить в виде {1/хп} • {уп}, где. последовательность
{1/хп}, по теореме 1.5, бесконечно малая, последовательность
{уп}9 согласно теореме 1.10, ограниченная, а по теореме 1.8 по-
следовательность {1 /хп • z/n} бесконечно малая. □
3) Так как последовательность {z/n/xn} (см. случай 2) беско-
нечно малая, то, по теореме 1.5, последовательность {xn/z/n} бес-
конечно большая. □
Докажем следующие основные теоремы.
ТЕОРЕМА 1.11. Сумма (разность) двух сходящих-
ся последовательностей {хп} и {уп} является сходя-
щейся последовательностью, предел которой ра-
вен сумме (разности) пределов последовательное-
тей {х„} и {уп}, т. е.
lim (хп ± уп) = lim хп ± lim уп.
п ОО	п оо	п —► оо
Доказательство. Пусть а и & — соответственно предел
последовательности {хп} и {z/n}. Тогда, по формуле (4)
хп=а + ап’ !/п=& + Рп’
где {ап} и {Рп} — бесконечно малые последовательности. Следо-
вательно,
{хп + уп)-(а + Ь) = ап±^п.
1 Здесь использовано свойство абсолютных величин |г - у\ > |х| - |i/|
(см. теорему 1.4).
62
По теореме 1.6, последовательность {ап ± Рп} бесконечно ма-
лая. Таким образом, последовательность {(хп ± уп) - (а ± &)} так-
же бесконечно малая, и поэтому последовательность {хп ± уп}
сходится и имеет своим пределом число а ± Ь. 
□	Пример 9. Известно, что последовательность {хп} сходит-
ся, а последовательность {уп} расходится. Что можно сказать о
сходимости последовательности {хп 4- уп}?
Решение. Проведем рассуждения от противного. Предпо-
ложим, что последовательность {хп 4- уп} сходится. Тогда, со-
гласно теореме 1.11, последовательность {уп} также сходится,
так как {уп} = {(хп 4- уп) - хп}. Но, по условию, последователь-
ность {уп} расходится. Полученное противоречие доказывает,
что последовательность {хп 4- z/n} расходится. □
ТЕОРЕМА 1.12. Произведение сходящихся последо-
вательностей {хп} и {уп} есть сходящаяся последо-
вательность, предел которой равен произведению
пределов последовательностей {хп} и {уп}9 т. е.
lim (хп-уп)= lim хп- lim уп.
. -П —*• °о П —» оо П оо
Доказательство. Пусть а и Ъ — соответственно пре-
делы последовательностей {хп} и {уп}. Тогда, по формуле (4),
хп=а + ап, уп=Ь + $п,
где {ап} и {Рп} — бесконечно малые последовательности. Следо-
вательно,
хп • уп - а • Ъ = ар„ + Ъап + а„р„.
Согласно теоремам 1.6 и 1.7, последовательность {аРп 4- Ьап 4-
4- апРп} бесконечно малая. Таким образом, последователь-
ность {хпуп - ab} также бесконечно малая, и поэтому последо-
вательность {xn*z/n} сходится и имеет своим пределом число
а*Ь. 
□	Пример 10. Пусть последовательность {хп} — геометриче-
ская прогрессия со знаменателем q, причем |g| < 1 и хх # 0. До-
казать, что
“SS’.-A-	(5)
63
Решение. Так как (см. формулу (7) в § 1.9)
X, - Xyqn Xi Xi
' = ____— =____— -___— • ап
п 1 - g 1-q 1 - q 4
и lim qn = 0 (см. пример 2), то, переходя к пределу при п оо
п оо
и применяя теоремы 1.11—1.12, получаем
Xi	Xi	Xi	Xi	Xi
lim Sn = lim	--- lim qn = ,-- - 3-- • 0 = ,-. □
n-oo n n^<xA-q 1-Qn-oo^ 1-Q	1-Q	1-Q
Предел (5) называют суммой бесконечно убывающей
геометрической прогрессии и часто обозначают через S.
Например, суммой бесконечно убывающей геометрической
прогрессии 1; 1/2; 1/4; 1/8; ... , где хх = 1, q = 1/2, т. е. |д| = 1/2 <
< 1, является
S	1-1/2	2"
ТЕОРЕМА 1.13. Частное двух сходящихся после-
довательностей {хп} и {уп} при условии, что пре-
дел {уп} отличен от нуля1, есть сходящаяся после-
довательность. предел которой равен частному
пределов последовательностей {хп} и {уп}, т. е.
х Ит хп
1.	п — оо
lim — = v------•
П - оо уп	11т уп
П^оо
---II---------------------------------------------------------
Доказательство. Пусть а и Ь. Ь 0 — соответственно
пределы последовательностей {хп} и {уп}. Тогда, по формуле (4),
хп=а + ап, уп=Ь + $п,
где {ага} и {Рл} — бесконечно малые последовательности. Следо-
вательно,
_ а = Ъхп - ауп
уп ь Ьуп
Ь(а + а„) - а(Ь + Рп)
Ьуп
1 Согласно условию, lim уп * 0, элементы уп, начиная с не-
п оо
которого номера N. не обращаются в нуль, поэтому частное {хп/у^
имеет смысл для всех п > N.
64
Согласно свойствам бесконечно малых последовательностей,
множитель ап - Рп — бесконечно малая последовательность.
Покажем, что {1/г/п} есть ограниченная последовательность.
Так как уп &, Ь # 0 при п -* оо, то для е = |&|/2 найдется номер N
такой, что для всех п > N имеет место неравенство \уп - Ь\ < |&|/2.
Тогда
|г/„| = |ь - (ь - у„)| > |&| - |i/„ - ь\ > |ь| - |ь|/2‘ = |ь|/2,
откуда \уп\ > |&|/2, и, следовательно, |1/г/п| < 2/|&| для всех п > ЛГ,
что и означает ограниченность последовательности {1/уп}.
По теореме 1.8, последовательность (ап - беско-
нечно малая, поэтому последовательность {хп/уп - а/b} также
бесконечно малая. Следовательно, последовательность {хп/уп}
сходится и имеет своим пределом число а/Ъ. 
Теоремы, доказанные в этом пункте, имеют очень большое
как теоретическое, так и практическое значение. Но несмотря
на свою простоту, их правильное применение представляет для
многих значительную трудность. Особое внимание следует обра-
тить на тот факт, что применение теорем требует существования
конечных пределов. Покажем, какие ошибки можно сделать,
если не учитывать этот факт.
~	[бп +11 ~
Рассмотрим последовательность	>. С одной стороны,
lim 5п + - = lim f 5 + - 1 = lim 5 + lim - =5 + 0 = 5,
n —> co 71	n —> co \	71 / n —* 00	n —* co 71
с другой стороны,
. 1 lim(5n + l)
DTI T 1	n — oo	00
lim ----- =------л----- = — = 1.
n-^oo n	lim n	00
n —oo
Получено неверное равенство 5 = 1.
Рассмотрим последовательность {(n + l)/n}. С одной стороны,
lim п + 1 = lim (1 + - )
п —* со	Т1 п —> со у 71 /
lim 1 + lim - =1 + 0=1,
П со п оо П
1 См. сноску на с. 62.
3 - 3587 Шииачев
65
с другой стороны,
lim га + 1 = lim (и + 1) • lim - = 00 • 0 = 0.
д —► ОО П'	п —> оо	со
Получено неверное равенство 1 = 0.
Наконец, рассмотрим последовательность 1, 1, 1, 1, ...с об-
щим элементом хп = 1. С одной стороны, lim 1 = 1, с другой
П —> оо
стороны,
lim 1 = lim [(n + 1) - n] = lim (n + 1) - lim n = °° - oo = 0.
n —> оо	П OO	n —► oo	n —► oo
Опять получено неверное равенство 1 = 0.
Во всех рассмотренных случаях допущена грубая ошибки:
неправильно применены теоремы о пределах частного, произве-
дения и разности — последовательности {5п 4-1}, {п} и {п + 1} не
имеют конечных пределов.
Еще раз подчеркнем, что запись lim хп = оо не обозначает
П —► оо
никакого числа, а является лишь выражением того, что элемен-
ты последовательности {хп} по абсолютной величине неограни-
ченно возрастают. Поэтому с символом оо нельзя обращаться
оо
как с числами и писать — = 1, или оо • 0 = 0, или сю - оо = 0.
Такого рода неточности часто имеют место при нахождении
предела последовательности, заданной в виде отношения или
разности двух выражений. Например, теорему о пределе част-
ного непосредственно применить не удается, если числитель
или знаменатель не имеют конечных пределов или предел зна-
менателя равен нулю. В таких случаях следует предварительно
преобразовать данную последовательность. Часто бывает полез-
но разделить или умножить числитель и знаменатель на одно
и то же выражение. Этот прием будет неоднократно использо-
ван в дальнейшем.
Рассмотрим наиболее типичные примеры.
—	- - тт «	1. 2п2 + П + 1
□ Пример 11. Наити lim —5—«—— .
П^ОО Зп2 - 1
Решение. При п —► °о числитель и знаменатель стремятся
к бесконечности и сразу применить теорему о пределе частно-
го нельзя, так как в условии этой теоремы предполагается су-
ществование конечных пределов. Поэтому сначала преобразуем
данную последовательность, разделив числитель и знаменатель
66
на п2. Затем, применяя теоремы о пределе частного и о пределе
суммы, найдем
оз. -I	O11/.1/2	lim (2 + 1/п + 1/п2)
..	2n2 + п + 1	..	2 + 1 /п+1/п2	п-оо
lim —5—2—— = hm -------о ( i ; 2— =-г—тъ—1 / 2ч--- =
д —♦ оо Зп2 - 1	п —оо	3-1/п2	lim(3-l/n2)
п —оо
lim 2 + lim (1/га) + lim (1/га2)	9,п.п	9
__ п—►оо п—*оо	п—*оо	_____ л т U т U _ &
lim 3 - lim (1/п2)	3-0	3’
_	4 Л тт «	1.	( 5п Sinn \
Пример 12. Наити lim —-г-т +------- .
Решение. В первом слагаемом в выражении, стоящем под
знаком предела, как и в примере 8, применить сразу теорему о
пределе частного нельзя. Поэтому, разделив сначала числитель
и знаменатель на п, а затем, использовав теоремы о пределе ча-
стного и о пределе суммы, найдем
е	г	lim 5	г
ОП   ..	О ____	п —оо	__ О  
“ nLmool + 1/п “ lim 1 + lim (1/п) “ Г+0 “
Второе слагаемое выражения, стоящего под знаком предела,
можно рассматривать как произведение ограниченной последо-
вательности {sin n} (|sin n| < 1)и бесконечно малой {1/п}. По тео-
реме 1.8, второе слагаемое является бесконечно малой последо-
вательностью, и предел ее равен нулю. Следовательно, оконча-
тельно получаем
..	( 5n , sinn Л .. 5п ... sinn ~ Л ~
lim —г-т +  = lim ——= + lim   =5 + 0 = 5.
п —> оо \ П + 1	П J п —► оо П + 1	д —> оо П
Компактно решение примера можно записать следующим
образом:
i- ( Ъп
lim ——
п —> оо \ П +
sinn Л .. 5п , .. sinn
----	= lim л i 7.. + lim ----- =
П J д^оо 1 + 1/П	д —» оо п
lim 5
1 \
= v—1 . к—zч-7....ч + lim I sinn• -	= гтп +0 = 5.
lim 1 + lim (1/п) n^ooV п) 1+0
71 — 00	П—ОО
Когда вырабатывается определенный навык, подробную за-
пись можно сократить.
2п — 3
Пример 13. Найти lim —9 , , .
п->оо П2 + 1
Решение. Имеем
2га-3	2 - 3/га л
lim —9 , , = lim —, , ;  = О
д-^ооП +1 д^ОоП+1/n
67
так как при п -> оо последовательность {2 - 3/п} ограниченная
(покажите это самостоятельно), последовательность {п 4- 1/п} бес-
конечно большая (покажите это самостоятельно), а по теоре-
ме 1.5, последовательность
—,	} является бесконечно малой.
п + 1/п
Следовательно, на основании теоремы 1.8,
lim Г Г 2 — —	1=0.
n^ooLk П )п + 1/п J
Пример 14. Найти lim —9 , g .
п^оо п2 4- 5
Решение. Имеем
lim
п оо
2п3 4- 4
п2 + 5
..	2 + 4/п3
= lim ----------s = 00
n-ZcxA/n + 5/п3
так как при п оо последовательность {zn} = {2 4- 4/п3} сходя-
щаяся (zn 2), последовательность {l/zn} ограниченная (пока-
жите это самостоятельно), последовательность {уп} = {1/п 4- 5/п3}
бесконечно малая (покажите это самостоятельно), а по теоре-
ме 1.8,
г Уп r (	1 А Л
hm — = lim I г/ • — I = 0,
n^oo^nn^ook Zn J
то данная последовательность, в силу теоремы 1.5, есть беско-
нечно большая и ее предел равен сю.
Пример 15. Найти lim ------------
п оо	П
Решение. Здесь, хотя в числителе и стоит сумма, теорему
о пределе суммы непосредственно применить нельзя, посколь-
ку число слагаемых не конечно, а зависит от п (с увеличением
п число слагаемых тоже увеличивается). Поэтому проведем
преобразование. Так как 14-24-34-... 4-п есть сумма членов
арифметической прогрессии с разностью d = 1 и она равна
(1 4- п)п
2
то
lim
П ОС
1 4- 2 4- 3 4-...4- п ..
hm —5—2
п —* оо	2п2
П3
(1 4- п)п .. п 4- п2
= hm о 2
п —> оо 2 п2
= lim
П оо
1 + 1/П _ 1 4-0
2	2
1
2 *
68
_	не тт - V 1 + 1/2 + 1/22 + ... + 1/2"
Пример 16. Наити hm , + 1/3 + 1/3а + ... + 1/3. 
Решение. Так как 1 + q 4- q2 4- ... 4- qn — сумма n + 1 чле-
нов геометрической прогрессии со знаменателем q (в числителе
q = 1/2, в знаменателе q = 1/3) и она равна (1 - qn + х)/(1 - д),
то
..	1 + 1/2 4-1/22 + ... 4-1/2п	..	(1 - 1/2л+1)(1 - 1/3)
1 + 1/3 + 1/32 + ... + 1/3”	Д™ (1 - 1/2)( 1 - 1/3" +1)
_ (1 - 0)(1 - 1/3) _ 2/3 _ 4
(1-1/2)(1-0)	1/2	3‘
Пример 17. Найти lim ГуД + Д-я + ... +
д —► оо	* О	П(П 4" 1)
Решение. Имеем
Д^[1-2 + 2-3 +,”+ га(га + 1)]
Дтоо[ 1*2
3-2	п 4- 1 - п “I
+ 2ТЗ +	+ п(п 4- 1) J
-Г	4-	1	- 1 4- 1 -	1 1-
2	2	3	3	4	,,, n-l п п n + lj
= lim Г1 - —1 = lim 2 1 = Um —“T = гтп = 1-
д —► oo |_ П + 1 J д —> OO П 4" 1 n —> co । 1	14-0
П
н	4 о tt «	v ( n3 3n2 A
Пример 18. Наити lim  *—? - 5—tt •
r	n^ooVn24-l 3n 4-1 J
n3
Решение. Так как lim  »—г = оо(покажитеэтосамостоя-
д^ооП2 4- 1
тельно) и lim о3п, 1 = оо (покажите это самостоятельно), то
д —> оо ОП -г 1
применить непосредственно теорему о пределе разности нельзя.
Поэтому сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком
предела, приведя его к общему знаменателю и разделив числи-
тель и знаменатель на п3. Затем, применяя теоремы о пределе
частного, произведения и разности, найдем
/и3 Зи2 А ..	1 -3/п
д^о1п24-1 Зп 4- 1 )	д^о(1 4- 1/п2)(3 4- 1/п)
=______________= 1 □
(1 + 0)(3 + 0)	3’
69
п
2.
6.
9.
Упражнения. Найдите предел. 1. lim  =——трг
д—>оо\О71 т 11
.. Юге .	10п3
lim —т-г . 4. lim —5—т .
п —* ОО П + 1
п —* ОО П2 + 1
1 4-4 4-94-...+ п2
lim
3.
5.
cosn A
TOn J*
n2 - n
lim -----7= .
n оо П - Jn
..	10п
lim 2  1 •
оо n2 + 1
..	5 • 3n
.. n*sinn! ..
hm —2  . 10. lim
П —* oo 71 4" 1	д —* oc
n3 + 3n + 2
2n
2"+~1‘ 11‘ n™
8.
lim
(п + 1)! - п\ ’
п	п
=. 12. lim •••;---------------
+ 1 П~*оо Jn2 + n
13. lim (7n 4- 1 - Jn). 14. lim {J2n 4- 3 - Jn - 1).
n~+ OO	n — OO
15. lim (Jn2 4-Л-1 - Jn2 - n 4- 1). 16. lim n2(n - Jn2 4- 1).
П -* оо	П OO
+ i + s + - + £)
18.
1 + 2 + 3 + ... + n
lim -------.	----
n — oo 79n4 + 1
19.
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)
1 + 2 + 3 + ... + n
20.
I2 + 32 + ... + (2ra - l)2
n ______________1______—
« 22 + 42 + ... +(2n)2 *
ОТВЕТЫ. 1. 1/5.2. 0.3. 10.4. 00.5. oo. 6. 5.7. 1/3. ^Ука-
зание. Предварительно преобразовать числитель, используя
формулу I2 + 22 + З2 + ... + п2 = п^п +	+ 1) t доказанную в
примере 1 в § 1.6. ) 8. 0.9. 0. 10. 1. 11. 1. 12. 1. 13. 0. 14. +оо.
15. 1. 16. -оо. 17. 1. 18. 1/6. 19. 2. 20.1. (Указание. Вос-
пользоваться следующими формулами: I2 + З2 + ... + (2n - I)2 =
= га(2га - l)(2n + 1) 22 + 42 +	+ ^п)2 = 2га(га + 1^(2га +	1
3. Предельный переход в неравенствах.
ТЕОРЕМА 1.14. Если элементы сходящейся после-
довательности {хп}, начиная с некоторого номера,
удовлетворяют неравенству хп > Ь (хп < &), то
предел а этой последовательности удовлетворя-
ет неравенству а > Ь (а < Ь).
Доказательство. Пусть все элементы хп, начиная с не-
которого номера, удовлетворяют неравенству хп > Ь. Требуется до-
казать неравенство а > Ь. Предположим обратное, т. е. что а < Ь.
Так как а — предел {хп}, то для е = Ъ - а существует номер N
такой, что при п > N выполняется неравенство \хп - а\ < Ь - а,
70
которое равносильно следующим двум неравенствам: ~(Ъ - а) <
< хп- а < Ъ - а. Из правого неравенства получаем хп < &, а это
противоречит условию теоремы. Случай хп < Ь рассматривается
аналогично. 
Замечание. Из теоремы следует, что знак нестрогого неравен-
ства при переходе к пределу сохраняется. Однако при переходе к пре-
делу в строгом неравенстве, хп > Ъ (хп < Ь), может появиться и знак
равенства, т. е. а > Ъ (а < Ь). Возьмем, например, последовательность
{1/п}. Очевидно, что хп = 1/п > О (Ъ = 0) для любого номера п, в то
время как lim (1/п) == 0 (а = 0).
п — оо
□ Пример 19. Пусть lim хп = а и lim у = &, причем, начи-
П — оо	п оо
ная с некоторого номера п, выполняется неравенство хп < уп.
Доказать, что а < Ь.
Решение. Действительно, начиная с некоторого номера п,
элементы последовательности {уп - хп} неотрицательны, поэто-
му, в силу теоремы 1.14, неотрицателен и ее предел:
lim(i/n-xn) = limуп - limx„ = &-a>0,
Д —> оо	п —* оо	п оо
отсюда следует, что а < Ь. □
Упражнения.
1. Пусть lim хп= с и все элементы хп е [а, 6], т. е. а < хп < Ъ
П оо
для любого номера п. Докажите, что и предел с е [а, 6], т. е.
а < с < Ь.
2. Приведите пример последовательности, когда при пере-
ходе к пределу строгое неравенство не сохраняется. (ОТВЕТ.
п/(п + 1)}.)
Следующая теорема играет важную роль в различных при-
ложениях.
ТЕОРЕМА 1.15. Пусть даны три последователь-
ности {хп}9 {уп} и {zn}9 связанные неравенствами хп <
< уп < zn для всех п. Тогда если {хп} и {zn} имеют
один и тот же предел а, то {уп} также имеет
II предел а.
Доказательство. Возьмем любое £ > 0. Для этого £ для
{хп} найдется номер N\ такой, что \хп - а| < е при всех т. е.
а - £ < хп < а + е.	(6)
71
Для этого же е для {zn} найдется номер N2 такой, что \zn - а| < е
при всех п > N2» т* е*
a-z<zn<a + e.	(7)
Возьмем N = max {N19 N2}. Тогда для п > N будут одновре-
менно выполняться неравенства (6) и (7). Используя их под-
черкнутые части, а также неравенства, данные в условии теоре-
мы, можно записать
а - г< х„< у„< z< а + г &л.я п> N.
Отсюда
а - г < уп< а + г или \уп - а| < е для n > N.
Последнее означает, что пределом {уп} является а. 
□ Пример 20. Найти пределы последовательностей, задан-
ных общими элементами
п	п
X — —	_ 2 — —	—
n Jn2 + п ’ n Jn2 + 1 ’
1 , 1 , , 1
У..........г + .   	. + —===== .
Jn2 + 1 Jn2 + 2 Jn2 + n
Решение. Докажем, что lim xn = lim zn = 1. Действительно,
n —> оо	П —> oo
lim x	= lim z—-....= lim	—, n. = lim , .1... .
n^oo	n-*°°7tt2 +	n n 00	Ha/1 “b 1/n
Так как 1 <	71 + IM <	1 + 1/n,	a lim (1 4- 1/n) = 1 и lim 1 =	1,
П oo	n oo
то, по теореме 1.15, lim 71 + 1/n = 1. Следовательно,
n oo
lim xn = 1.
П —► oo
Аналогично доказывается, что lim z = 1.
n-oo n
Докажем теперь, что lim yn = 1. Действительно, с одной сто-
П оо
роны,
1	,	1	,	,	1	п
Уп < —... - + "/..4" ••• 4" "•/----- ~ I - =
Jn2 +1	7^2 +1	7л2 +1	*]п2 +1
п слагаемых
с другой стороны,
1	,	1	,	,	1	п
I! ,	= + —.	+ ... + .	— = -------=
Jn2 + и Jn2 + и Jn2 + и Jn2 -I- и
72
т. е. получаем хп< уп< zn. А так как, по только что доказанно-
му, lim хп = lim zn = 1, то, применяя еще раз теорему 1.15, по-
П оо п оо
лучаем, что lim z/n=l. □
П —► оо
Упражнение. Пусть элементы последовательностей {хп} и
{уп} удовлетворяют неравенствам 0 < хп < уп ддя всех номеров п
и пусть последовательность {z/n} бесконечно малая. Установите,
существует ли предел последовательности {хп}, и если да, то че-
му он равен и почему.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте определение предела последовательности.
Дайте геометрическую интерпретацию.
2.	Приведите примеры, когда номер N в определении предела
последовательности зависит от е; не зависит от е.
3.	Является ли бесконечно малая последовательность сходя-
щейся?
4.	Является ли бесконечно большая последовательность сходя-
щейся?
5.	Может ли последовательность иметь два разных предела?
6.	Может ли неограниченная последовательность быть сходя-
щейся?
7.	Приведите пример ограниченной последовательности, но не
являющейся сходящейся.
8.	Приведите пример сходящейся и ограниченной последова-
тельностей.
9.	Приведите примеры сходящихся последовательностей, ког-
да: а) элементы последовательности с ростом п приближают-
ся к пределу только с одной стороны; б) с двух сторон одно-
временно. Дайте геометрическую интерпретацию.
10.	Какая последовательность называется расходящейся?
11.	Пусть в некоторой окрестности точки а лежит бесконечно
много элементов последовательности {хп}. Следует ли из это-
го условия, что lim хп = а?
12.	Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много
элементов последовательности {хп}. Следует ли отсюда, что
lim хп = а?
П оо
13.	Может ли последовательность с положительными элемента-
ми иметь отрицательный предел, а последовательность с от-
рицательными элементами — положительный предел?
73
14.	Приведите пример, когда при переходе к пределу строгое
неравенство сохраняется (не сохраняется).
15.	Сформулируйте теорему о трех последовательностях.
§1.11. Монотонные последовательности
1.	Определение и признак сходимости монотонных
последовательностей.
Определение. Последовательность {хп} называет-
ся возрастающей, если хх < х2 < х3 < ... < хп < хп + х < ...;
неубывающей, если хх < х2 < х3 < ... < хп < хп + х < ...; убы-
вающей, если хх > х2 > х3 > ... > хп > хп + х > ...; невозрастаю-
щей, если хх > х2 > х3 > ... > хп > хп + х > ... .
Все такие последовательности объединяют общим названи-
ем — монотонные. Возрастающие и убывающие последова-
тельности называют также строго монотонными.
Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.
1)	Последовательность 1, 1/2, 1/3, ... , 1/п, ... убывающая и
ограниченная.
2)	Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, ..., 1/п, 1/п, ...
невозрастающая и ограниченная.
3)	Последовательность 1, 2, 3, ..., п, ... возрастающая и не-
ограниченная.
4)	Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, ..., п, п, ... неубываю-
щая и неограниченная.
5)	Последовательность 1/2, 2/3, 3/4, ... , п/(п + 1), ... воз-
растающая и ограниченная.
При исследовании на монотонность конкретных последова-
тельностей чаще всего выясняют знак разности хп + х - хп или
(для положительных последовательностей) сравнивают с едини-
«	+1
цеи отношение-----.
хп
□ Пример 1. Доказать, что последовательность с общим эле-
п
ментом хп= 2гГ+'\ монотонно возрастающая.
Решение. Надо доказать, что хп + х > хп для любого п. Най-
дем хп + х, заменив п на n + 1 в выражении для хп
_ п + 1	_ п + 1
+ 1 _ 2(п + 1) + 1 “ 2п + 3 ‘
74
Сравним значения дробей хп = Zri+l и Хп + 1 =	’ для
этого приведем их к общему знаменателю. Получаем
_ 2п2 + Зп + 1	_	2п2 + Зп
хп + 1~ (2п + 3)(2га + 1) ’	- (2п + 3)(2га + 1)'
Так как 2п2 4- Зп 4- 1 > 2п2 4- Зп, то первая дробь больше второй,
значит, хп + 1> хп для любого п, что и требовалось доказать.
Пример 2. Доказать, что последовательность с общим эле-
ментом хп = п/5п монотонно убывающая.
Решение. Надо доказать, что хп> хп + 1 &л.я любого п. В са-
мом деле, рассмотрим отношение последующего члена хп + х
к предыдущему хп.
хп+\ _ п + 1 ф п _ (п 4- 1)5П _ п + 1 * 1 _
хп 5n + 1 * 5" 5n5n п~ 5
_ 1 + 1/п < 1 + 1 _ 2
5	^5	5 Ь
Следовательно, хп> хп + 1 ддя любого п, что и требовалось дока-
зать. □
Отметим, что монотонные последовательности ограничены
по крайней мере с одной стороны: неубывающие последова-
тельности — снизу (хп > хх для всех п), невозрастающие —
сверху (хп < хх для всех п). Оказывается, что если монотонная
последовательность ограничена с обеих сторон, т. е. просто ог-
раничена, то она сходится. Немонотонные последовательности
этим свойством не обладают. Например, немонотонная последо-
вательность {(-I)71} ограничена, но не сходится (см. замечание к
теореме 1.10).
Имеет место следующая основная теорема о монотонных по-
следовательностях .
ТЕОРЕМА 1.16. Монотонная ограниченная после-
довательность имеет предел.
Доказательство. Рассмотрим случай монотонно не-
убывающей последовательности. Пусть хх < х2 < х3 < ... < хп <
< хп +1 < ... и существует число М такое, что все элементы хпне
больше М, т. е. хп < М. Рассмотрим числовое множество X, со-
стоящее из элементов данной последовательности. По условию,
75
это множество ограничено сверху и непусто. Поэтому, в силу
теоремы 1.1, множество X имеет точную верхнюю грань. Обо-
значим ее через а и покажем, что а — предел данной последова-
тельности.
Так как а — точная верхняя грань множества элементов по-
следовательности {хп}, то, согласно ее свойству (см. § 1.4), для
любого е > О найдется номер N такой, что xN > а - е. Поскольку
{хп} — неубывающая последовательность, то при п > N имеем
хп > а - е. С другой стороны, по определению верхней грани,
хп < а < а 4- е для всех п. Таким образом, для п > N получаем
следующие неравенства: а < е < хп < а 4- е, из которых вытекает
неравенство \хп - а| < е. Последнее и означает, что число а —
предел последовательности {хп}.
Случай монотонно невозрастающей последовательности ана-
логичен. 
Замечание. Условие ограниченности монотонной последова-
тельности представляет собой необходимое и достаточное условие ее
сходимости.
В самом деле, если монотонная последовательность ограничена,
то, в силу теоремы, она сходится; если же монотонная последователь-
ность сходится, то, согласно теореме 1.10, она ограничена.
□ Пример 3. Доказать, что последовательйость с общим эле-
ментом хп = п\/пп сходится, и найти ее предел.
Решение. Данная последовательность имеет вид
1-2 1-2-3 п!
1, 22 , Зз ’ ••• ’ Пп ’ ••• •
Докажем сначала сходимость. Для этого, очевидно, доста-
точно показать, что данная последовательность монотонна и ог-
раничена. Действительно,
хп + \ _ (п + 1)! е n! _ п!(п 4- 1)пп _ пп
~п (и 4- l)n + 1 ’ и" “ (и 4- 1)п(и 4- 1)п! “ (и 4- 1)п ’
пп
а так как —-~v—-
(п 4- 1)п
< 1, то xn + j < хп, значит, последовательность
монотонно убывающая и ограничена сверху. Так как хп > 0, то
она ограничена снизу, например, нулем. Следовательно, после-
довательность монотонна и ограничена. По теореме 1.16, она
сходится, т. е. имеет конечный предел.
76
Найдем этот предел. Обозначим его через а. Так как все эле-
менты хп > 0, то, согласно теореме 1.14, а > 0. Здесь воспользу-
емся неравенством Бернулли1:
(1 + h)n > 1 + nh{h > -1),
доказательство которого проведем по индукции. При п = 1 нера-
венство очевидно (в этом случае оно переходит в равенство).
Предположим, что оно справедливо дри п = А, и докажем его
справедливость при п = k 4- 1. Умножая обе части неравенства
на 1 4- h (знак неравенства не изменится, так как 1 4- h > 0), по-
лучаем
(1 4- h)k + 1 > (1 4- kh)(l 4- h) = 1 4- kh 4- h 4- kh2> 1 + (k 4- l)h
(так как kh2 > 0), что и требовалось доказать. Продолжая реше-
ние примера, имеем
\1)“ =	- (1 +	> 1 + „ 1 - 2.
пп \ п )	\ п )	п
„	Хп+1	Пп , 1	1 ТТ
Следовательно, ---- = -—-у- < , или хп + х С ~ хп. Переходя
хп	4" 1)
в последнем неравенстве к пределу при п -+ оо, получаем нера-
1	71 ’
венство а < х а, откуда а = 0. Таким образом, lim —- = 0.
л	п —► оо Пп
Пример 4. Последовательность {хп} задана рекуррентным
соотношением хг = 72 , хп + х = J2 4- хп . Доказать, что эта по-
следовательность имеет предел, и найти его.
Решение. Данная последовательность имеет вид
хх = л/2 , х2 = 72 4- 72 , х3 = ^2 4- 72~4- 72 , ..., хп =
= ^2 4- 72 4" ... 4" 72 9 •.. .
п корней
Проверим факт существования предела. Для этого устано-
вим, что последовательность монотонна и ограничена. Из нера-
венства
ХП + 1 ~	+ Хп > J%Xn >	= Хп
1 Бернулли Якоб (1654—1705) — швейцарский математик.
77
следует, что хп < хп + р т. е. последовательность монотонно воз-
растающая и ограничена снизу. Покажем, что последователь-
ность ограничена и сверху. В самом деле, так как хг = 72 <2,
то х2 = J2 + хх < 72 + 2 = 2, х3 = 72 + х2 < 72 + 2 = 2, ... .
Предположим, что доказано неравенство хп < 2. Тогда хп + х =
= 72 + хп < 72 + 2 = 2, а так как хх < 2, то по индукции дока-
зано, что для любого п выполняется неравенство хп < 2, т. е. по-
следовательность ограничена и сверху.
Таким образом, установлено, что данная последовательность
монотонна и ограничена. Согласно теореме 1.16, она имеет конеч-
ный предел. Теперь, зная, что предел существует, найдем его.
Пусть lim хп = а. Тогда и lim хп + х = а, так как общий эле-
п —* сю	д —* ОО
мент хп + х задает ту же последовательность, что и хп. Возводя
в квадрат равенство хп + х = 72 + хп, получаем х2 + х = 2 + хп.
Переходя в этом равенстве к пределу при п °°
lim х2 + х = lim (2 + хга),
Д —* ОО	д —♦ оо
приходим к уравнению а2 = 2 + а. Решая полученное уравне-
ние, находим ах = 2, а2 = -1. Так как, по доказанному ранее, по-
следовательность {хп} возрастает и по условию хх > 0, то предел
должен быть положительным, следовательно, lim х = 2. □
П —сю П
Заметим, что теорема 1.16 устанавливает только факт су-
ществования предела и ничего не говорит о самом пределе. Од-
нако и это в теории пределов имеет большое значение. Иногда
важно только знать, что предел существует.
2.	Число е. Рассмотрим последовательность {хп} с общим
элементом хп = (1 + 1/п)п:
(1 + I)1, (1 + 1/2)2, ... , (1 + 1/п)", ...
и докажем, что она сходится. Для этого достаточно показать,
что последовательность {хп} возрастающая и ограничена сверху.
Применяя формулу бинома Ньютона, получаем
- l^n(n-l) 1	n(n-l)(n-2)	1 _L
х_ = 1 + п • - + -Цу;-- • -5 + —------------ • -5 + ...
"	п 2! п2	3!	п3
га(га - 1)(га - 2)...[га - (га - 1)] . J_
га!	га" ‘
78
Представим это выражение в следующем виде:
X<1 2 + 2! (1 п )
1-=—1
п
(1)
Аналогично запишем (п + 1)-й элемент
Xn + 1 2+2l(1 * * n + l) + 3!(1 n + lX1 п + 1)+"'
+ (п + 1)! С1 “ пТТ X1 " пТ1 ) -X1 " п+~1 )’
Прежде всего заметим, что (1 - k/n) < (1 - k/(n 4- 1)) при
О < k < п, т. е. каждое слагаемое в выражении хп + х больше со-
ответствующего слагаемого в выражении хп, и, кроме того, у
хп + х по сравнению с хп	еще одно положительное
слагаемое. Поэтому хп< хп + р т. е. последовательность {хп} воз-
растающая и ограничена снизу.
Для доказательства ограниченности данной последователь-
ности сверху заметим, что каждое выражение в круглых скоб-
ках в соотношении (1) меньше единицы. Учитывая также, что
1/п! < 1/2п"1 при п > 2, получаем
хп< 2 + 2! + 3! +	+ п\ <1 + 1+ 2 + 22 + ••• + тргп •
Применим формулу для суммы геометрической прогрессии в
последнем выражении; тогда
х < 1 . 1-1/2"	1
ХП< 1 + 1 - 1/2	6 2n l <
т. е. последовательность ограничена сверху.
Таким образом, доказано, что последовательность {(1 4- 1/п)п}
монотонно возрастающая и ограничена. Согласно теореме 1.16,
она имеет конечный предел. Этот предел называют числом е.
Следовательно, по определению,
е = lim (1 4- l/n)nl.
П -* оо
1 Если положить 1/п = а, то при п —► 00 имеем а —► 0, п = 1/а
и получаем: е = lim (1 + а)1/а.
а — оо
79
Число е имеет большое значение во многих вопросах теории
и практики. В настоящем параграфе дано только определение
числа е. Далее будет приведен способ вычисления этого числа с
любой степенью точности.
Здесь лишь отметим, что, так как хп < 3 и из (1) непосредст-
венно очевидно, что 2 < хп, то число е заключено в пределах
2 < е < 3. Доказывается также, что е — число иррациональное.
Оно, в частности, является основанием натуральных логариф-
мов, играющих в математике важную роль.
Натуральные логарифмы обозначаются In x(ln х = loge х).
Установим связь между логарифмами чисел по любому осно-
ванию а > 0 и натуральными логарифмами. Для этого восполь-
зуемся вытекающим из определения логарифма тождеством
х = а°*аХ . Прологарифмируем обе части этого равенства по ос-
нованию е. Получим
In х = In а°*аХ = loga х • In а,
откуда
loga х =	• In x, или loga x = M In x.
Число M называют модулем перехода.
□ Пример 5. Найти lim (1 4-l/n)n + 1.
П оо
Решение. Воспользуемся тем, что lim (1 4- l/n)n = е.
П оо
Имеем
lim (1 + 1/п)п +1 = lim [(1 + 1/п)п (1 + 1/п)] =
п оо	П ОО
= lim (1 4- 1/п)п lim (1 4- 1/п) =
п оо	п — ОО
= lim (1 + 1/п)"[ lim 1 + lim (1/п)] = е[1 + 0] = е.
П —- оо	п оо	п —- оо
Пример 6. Найти последовательные целые числа, между
которыми содержится выражение 6(1 - 1,01-100).
Решение. Представим данное выражение в виде
6(1 - 1,01"100) = 6[1 - (1 4- 1/1OO)100].
Воспользуемся тем, что 2 < (1 4- 1/п)л < 3. Тогда 1/2 >
>(14- 1/п)п > 1/3, -1/2 < -(1 4- 1/п)_д < -1/3. Прибавляя к каж-
80
дой части неравенства 1, находим 1/2 < 1 - (1 4- 1/п)“п < 2/3. По-
лагая п = 100 и умножая почленно на 6, окончательно получаем
3 < 6[1 - (1 + 1/1OO)100] < 4,
что и требовалось найти. □
Упражнения. Найдите предел.
/	1 \П + 2	/	Г хП	z	1 хП
1. lim | 1 + я— |	-2. lim ( 1 — — | .3. lim | 1 - 5— ) .
П —> оо у 071 J	д —> оо у	П J	п —► оо у	071 )
(	4 \П+3	/ п \П	(	1 \п + 4
4. lim [ 1 + - I .5. lim |——-у | . 6. lim 11 + - I
п —► оо у	71 )	д—►ооу71-_г 1J	д —> оо у	71 J
7. lim n[ln (n + 3) - In п]. 8. lim n[ln n - In (n + 2)].
П oo	n oo
9.
z л x3n
lim I 1 + -	.10.
n^ooy 71 )
lim
n -* oo
n/2
n -
П
3
ОТВЕТЫ. 1. Ve. ^Указание. Положить Зп = a, a oo,
n = ^ . 12. Д.ГУказание. Положить -- = a. 1з. е-1/3.4. e4.
3 ) e5 v	n )
5. e1. 6. e. 7. 3. 8. -2. 9. e6. 10. -/=.
eve
Закончим тему доказательством теоремы, которая использу-
ется при доказательстве других важных теорем.
3. Теорема о вложенных отрезках. Пусть дана последо-
вательность отрезков [ар Ьх], [а2, &2], •••> [ад, &п], ••• таких,
что каждый последующий содержится в предыдущем: [ap & J zd
z> [а2, &2] Z)... => [ап, &„] Z)..., т. е.
ап<ап + 1<Ьп + 1<Ьпдлявсехп,	(2)
и пусть lim (&n - ап) = 0. Назовем ее последовательностью
оо
вложенных отрезков. Имеет место следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1.17. Для любой последовательности
вложенных отрезков существует единственная
точка с9 принадлежащая всем отрезкам этой по
следовательности, т. е. такая, что ап< с < Ъп.
Доказательство. Из неравенств (2) следует, что левые
концы отрезков образуют монотонно неубывающую последова-
тельность
^1 С а2	ап ап +1	’	(3)
81
а правые концы — монотонно невозрастающую последователь-
ность
&1 > &2	••• bn> *>п + 1 ••• •	(4)
При этом последовательность (3) ограничена сверху, а после-
довательность (4) ограничена снизу, так как ап < Ь19 а Ъп > ах
ддя любого п. Следовательно, на основании теоремы 1.16, эти
последовательности имеют пределы. Пусть lim ап = с, a lim Ъп =
П — оо	п —* оо
= с". Тогда из условия
lim (b„ - а„) = lim bn - lim а„ = с" - с' = О
П-оо П П' п^оо П П-+ОО п
следует, что с' = с", т. е. последовательности {ап} и {Ьп} имеют
общий предел. Обозначая этот предел через с, получаем, что для
любого п справедливы неравенства ап < с < Ьп> т. е. точка с при-
надлежит всем отрезкам последовательности (2).
Покажем теперь, что точка с является единственной. До-
пустим, что существует еще точка с1(с1 # с), принадлежащая
всем отрезкам последовательности (2). Тогда для любого п дрл.-
жно выполняться неравенство Ъп - ап > |сх - с|, и, следователь-
но, lim (bn - ап) > |сх - с| # 0, что противоречит условию тео-
П — оо
ремы. 
Замечание. Теорема неверна, если вместо отрезков рассматри-
вать интервалы. Например, для последовательности вложенных ин-
тервалов
(О, 1) z> (0, 1/2) z> (0, 1/4) z> ... z> (0, 1/2") о...	(5)
не существует точки, принадлежащей всем интервалам. В самом де-
ле, какую бы точку с на интервале (0, 1) ни взять, всегда найдется но-
мер N такой, что при п > N имеет место 1/2N < с и точка с не будет
принадлежать интервалам последовательности (5), начиная с интер-
вала (О, 1/2N). Точка нуль также не принадлежит им, так как являет-
ся общим левым концом всех интервалов.
□ Пример?. Построить последовательность вложенных от-
резков с точкой с = 1, принадлежащей всем отрезкам.
Решение. Искомой является последовательность вложен-
ных отрезков
[1/2, 1], [2/3, 1], [3/4, 1], [4/5, 1], ... , [n/(n + 1), 1], ...,
так как левые концы отрезков образуют последовательность
{п/(п + 1)}, предел которой при п равен 1 (см. пример 1 из
§1.10). □
82
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте определения: а) невозрастающей и возрас-
тающей последовательностей; б) неубывающей и убываю-
щей последовательностей.
2.	Приведите пример немонотонной последовательности.
3.	Приведите пример монотонной ограниченной (неограничен-
ной) последовательности.
4.	Докажите теорему о сходимости монотонной последователь-
ности для случая невозрастающей последовательности.
5.	Предел какой последовательности назван числом е?
6-	Сформулируйте теорему о вложенных отрезках.
7.	Дайте геометрическую интерпретацию последовательности
вложенных отрезков.
8.	Приведите пример последовательности вложенных отрез-
ков, стягивающихся к точке с = 3.
Понятие функции является основным не только в мате-
матическом анализе, где оно изучается специально, но и во всей
математике в целом.
§ 2.1.	Понятие функции
Прежде чем дать точное определение функции, сделаем
некоторые предварительные пояснения к этому понятию.
В физике, геометрии, экономике и других областях знания
все время приходится иметь дело с величинами. Например,
температура, давление, скорость, масса, сила и т. д. — это физи-
ческие величины; производительность труда, зарплата — приме-
ры экономических величин. Для всех величин характерно то,
что их можно измерить и выразить численным значением.
Если величина в рассматриваемых условиях может менять-
ся, то ее называют переменной величиной. Например, объем на-
греваемого тела, скорость поезда, производительность труда —
переменные величины.
Итак, функции есть переменные величины, зависящие от из-
менения других переменных величин. Например, при нагрева-
нии металлического стержня увеличивается его длина, с повы-
шением высоты места над уровнем моря падает барометрическое
давление, с увеличением радиуса круга увеличивается его пло-
щадь и т. д. В приведенных примерах нас интересуют не столько
отдельно взятые изменения этих величин, сколько зависимость,
существующая между изменениями различных величин. Такую
зависимость называют функциональной, она является глав-
ным предметом исследования в математическом анализе.
Изучение функциональной зависимости состоит в том, что
между переменными величинами устанавливается соответствие.
Так, путь тела зависит от времени, т. е. каждому моменту време-
ни соответствует определенное значение пройденного пути; про-
изводительность труда зависит от результата труда, т. е. каждо-
84
му работнику ставится в соответствие количество полученной им
продукции, и т. д.
Если отвлечься от конкретного содержания переменных ве-
личин, то переменные х и у, находящиеся в функциональной
зависимости, не могут одновременно принимать любые значе-
ния. Если одна из них, например х, получит некоторое произ-
вольное значение, то другая у получает уже в зависимости от х
свое определенное числовое значение. В этом случае перемен-
ную х называют независимой переменной, а у — зависимой
переменной. Так, формула длины окружности I = 2itR выража-
ет зависимость между радиусом R и длиной окружности I. Если
R давать произвольные значения, например 1/л, 1, 3/(2л), то I
будет принимать соответственно значения 2, 2л, 3. В этом слу-
чае радиус окружности будет независимой переменной, а длина
окружности — зависимой переменной.
Теперь можно перейти к точному определению функции.
1.	Определение функции и основные понятия.
Определение У. Пусть X и Y — некоторые чис-
ловые множества. Функцией f называется множество
упорядоченных пар чисел (х; у)1 таких, что х е X, у е Y
и каждое х входит в одну и только одну пару этого
множества, а каждое у входит по крайней мере в одну
пару. При этом говорят, что числу х поставлено в со-
ответствие число у, и пишут у = /(х). Число у называ-
ется значением функции f в точке х. Переменную у на-
зывают зависимой переменной, а переменную х — неза-
висимой переменной (или аргументом), множество
X2 — областью определения (или существования) функ-
ции, а множество Y — множеством значений функции.
В отдельных учебниках функцию понимают как определенное
соответствие между элементами двух множеств. При этом поня-
тие соответствия вводится как первичное, что, естественно, вызы-
вает некоторые трудности в его раскрытии3, а главное — в четком
1 Напомним, что пара чисел х и у называется упорядоченной,
если указано, какое из этих чисел считается первым, а какое —
вторым. Упорядоченную пару чисел мы записываем в виде (г; у), где
х — первое число, у — второе.
2 Здесь X может быть промежутком любого вида: X = [а, Ь],
X = (a, b), X = (a, d], X = [-оо, +°°] и т. д. То же относится и к У.
3 Попробуйте, например, объяснить, что означает термин «соот-
ветствие».
85
понимании самого понятия функции. Предлагаемое же определе-
ние функции через понятие множества, во-первых, лишено этих
недостатков и, во-вторых, отвечает современному уровню препо-
давания математики.
Кроме буквы f &л.я обозначений функций используют другие
буквы латинского и греческого алфавитов, например у = z/(x),
у = g(x), у = ф(х), у = А(х), у = F(x) и т. д. Другими буквами
обозначают зависимую и независимую переменные. Иногда за-
висимую переменную также называют функцией.
Наряду с термином «функция» используют равнозначный
термин «отображение» и вместо у = /(х) пишут /: х »-► у и гово-
рят, что отображение f отображает число х в число у,
или, что то же самое. число у является образом числа х
при отображении f.
При вычислениях запись у = /(х) обычно удобнее записи
/: х »-► у. Например, запись /(х) = х2 проще использовать при
аналитических преобразованиях, чем запись f: х х2.
Пусть на некотором множестве X определена функция /(х);
тогда значение этой функции, соответствующее некоторому зна-
чению аргумента х0, обозначится /(х0). Например, если /(х) = х2,
то /(3) = З2 = 9, /(-2) = (-2)2 = 4 и т. д.
Функцию, все значения которой равны между собой, назы-
вают постоянной. Постоянную функцию часто обозначают
буквой С (/(х) = С).
О функции /(х), определенной на некотором множестве X1,
говорят, что она ограничена сверху (снизу) на этом множестве,
если существует число М(т) такое, что для любого х е X вы-
полняется неравенство /(х) < 7И(/(х) > т). Функцию, ограничен-
ную сверху и снизу на множестве X. называют ограниченной
на этом множестве. Условие ограниченности функции /(х)
можно записать в следующем виде: существует число М > 0 та-
кое, что для любого х е X выполняется неравенство |/(х)| < М.
□ Примеры. 1. Функция /(х) = sin х ограничена на всей чис-
ловой прямой, так как |sin х| < 1 при любом х (М = 1). 2. Функ-
ция /(х) = 1/х не является ограниченной сверху, на интерва-
ле (0, 1), так как не существует числа М такого, что для любого
х е (0, 1) выполняется неравенство 1/х < М. 3. Функция /(х) = х3
ограничена на отрезке [0, 2], так для всех х е [0, 2] выполняется
неравенство |/(х)| < /(2) = 8, т. е. |/(х)| < 8 (М = 8). □
1 Таким множеством может быть, например, отрезок, интервал
или вся числовая прямая.
86
Упражнения. Ограничены ли следующие функции:
1. /(х) = х2 на [-1, 3]. 2. /(х) = х2на[-1,+оо]?
ОТВЕТЫ. 1. Да. 2. Нет. (Ответы обоснуйте.)
Пусть функция у = /(х) определена на некотором множестве
X, а У — множество ее значений и пусть она ограничена сверху
(снизу) на множестве X. Тогда число М(т) и всякое большее
(меньшее) число называют верхней (нижней) гранью мно-
жества значений функции У, а наименьшее (наибольшее)
из чисел, ограничивающих множество У сверху (снизу), —
точной верхней (нижней) гранью функции на множе-
стве X, которую обозначают sup f(x) (inf f(x)).
X	X
Если множество У не ограничено сверху (снизу), то пишут
sup f(x) = +°° (inf f(x) = -оо). В этом случае для любого числа А
х	х
существует такая точка х' е X, что f(x') >A(f(x') < А).
□ Пример. Функция f(x) = в промежутке X = [0, +оо)
имеет точную нижнюю грань т = 0 и точную верхнюю грань
М = 1 (см. § 1.4). Действительно, функция ограничена на дан-
ном промежутке, так как для любого х е [0, +°°) выполняются
неравенства 0 <	< 1	= О, М = 1). Значит, т и М явля-
ются соответственно нижней и верхней гранями множества зна-
чений функции У = [0, 1). Кроме того, так как f(x) > 0, причем
/(0) = 0, то т = 0 — точная нижняя грань множества значений
функции. Для доказательства, что М = 1 — точная верхняя
грань функции /(х), воспользуемся свойством точной верхней
грани: для любого е > 0 существует число х е [0, 4-оо) такое, что
х -	1-е
Т—— > 1 - Е ИЛИ X > ---,
14-х	е
т. е. при х, удовлетворяющем последнему неравенству, выпол-
няется неравенство f(x) > 1 - е, а это и доказывает, что М = 1
является точной верхней гранью функции
или, в принятых обозначениях, 1 = sup f , а 0 = inf 1-~-— .
[0, +ОО) 1 *" х	[0, +ОО) 1 х
87
Заметим, что точная верхняя грань М = 1 не принадлежит
множеству значений функции У, а точная нижняя грань т = О
принадлежит У. □
Упражнение. Докажите, что функция f(x) = х2 + 1 : 1) ог-
раничена на числовой прямой (-°°, +°°); 2) имеет точную ниж-
нюю и верхнюю грани. ^ОТВЕТ. 1) 0 <	т* е* ФУИКЦИЯ
X2 + 1	°’	+ 1
ограничена на (-°°, +°°); 2) inf
(-ОО, +ОО)
1
Над функциями можно производить различные арифмети-
ческие операции. Если даны две функции f и g, определенные
на одном и том же множестве X, а С — некоторое число, то
функция C*f(x) определяется как функция, принимающая в
каждой точке х е X значение С • /(х); функция f ± g — как
функция, принимающая в каждой точке х g X значение /(х) ±
± £(х); f • g — как функция, принимающая в каждой точке х g X
значение /(х)*£(х); f/g— как функция, принимающая в каж-
дой точке х g X значение f(x)/g(x) (при g(x) # 0).
На плоскости функцию изображают в виде графика — мно-
жества точек (х; г/), координаты которых связаны соотношени-
ем у = /(х), называемым уравнением графика.
График функции может представлять собой некоторую
«сплошную» линию (кривую или прямую) и может состоять из
отдельных точек, например график функции у = п\ (см. далее
рис. 10).
Заметим, что не всякая линия является графиком какой-ли-
бо функции. Например, окружность х2 + у2 = 1 не есть график
функции, так как каждое х
е (-1, 1) входит не в одну, а в две
пары чисел (х; у) этого множест-
ва с разными значениями у. ух =
= + 71 ~ х2 и у2 = - 71 “ х2 , что
противоречит требованию одно-
значности в определении функ-
ции (рис. 8). Однако часть окруж-
ности, лежащая в нижней по-
луплоскости, является графиком
функции у = - 71 - х2, а другая
ее часть, лежащая в верхней по-
луплоскости, — графиком функ-
88
ции у = 4- 71 - х2 , так как каждому числу х ставится в соответ-
ствие одно число у.
В математическом анализе изучаются в основном однознач-
ные функции, поэтому в дальнейшем, говоря о функциях, бу-
дем иметь в виду только однозначные функции, если специаль-
но не оговорено обратное.
В заключение отметим, что область определения функции X
задается вместе с заданием самой функции, а множество значений
функции Y вычисляется по данной области определения функ-
ции. Например, областью определения функции у = sin х являет-
ся множество всех вещественных чисел, а множество значений
функции есть множество всех чисел, заключенных между -1 и 1,
т. е. X = (-оо, +оо) и Y = [-1, 1]; областью определения функции
у = 71 ~ х2 является множество всех чисел, заключенных между
-1 и 1, а множество значений функции есть множество всех
чисел, заключенных между 0 и 1, т. е. X = [-1, 1] и У = [0, 1]; об-
ластью определения функции у = 1g х является множество всех
положительных чисел, а множество значений функции — множе-
ство всех вещественных чисел, т. е. X = (0, 4-оо) и У = (-°°, +°°).
□ Примеры. Найти область определения функции: a) f(x) =
•у 2	11	9 у
= ------г ; б) /(х) = .	= 4- 1g (х - 1); в) ftx) = arcsin^—r— ;
х-1 ’	7-х2 + х + 2	1+х
г) /(х) = 7х2 - 1; д) /(х) = 79 - х2.
Решения, а) Числитель и знаменатель дроби при каждом
значении х из интервала (-оо, +оо) являются вещественными
числами. Их отношение при всех значениях х также веществен-
ное число, кроме х = 1, при котором знаменатель обращается в
нуль. Следовательно, областью определения функции является
множество значений х, кроме х = 1, т. е. -оо <х<1, 1<х< +оо
или в виде (-оо, 1), (1, +°о).
б)	Так как функция представляет собой сумму функций, то
область определения функции будет состоять из всех тех значе-
ний х, которые принадлежат одновременно области определе-
ния функций ......_2---= и 1g (х - 1). Поэтому область опреде-
7-х2 + X + 2
ления заданной функции определяется как совокупность значе-
ний х, при которых одновременно выполняются неравенства
-х2 + х + 2 > Оих - 1 > 0. Это интервал (1, 2).
в)	Область определения функции определяется неравенст-
вом %х < 1. Возводя в квадрат, получим 4х2 < 1 4- 2х 4- х2
|1 4- х|
89
или Зх2 - 2х - 1 < 0. Решая это неравенство, найдем, что об-
ластью определения функции является отрезок , 1].
г)	Данная функция определена для тех значений х, при
которых подкоренное выражение неотрицательное. Значит,
функция определена при х2 - 1 > 0, или х2 > 1, или |х| > 1.
Это неравенство выполняется тогда, когда х<-1их>1. Та-
ким образом, (-оо, -1] и [+1, 4-оо) — область определения функ-
ции.
д)	Данная функция определена при 9 - х2 > 0, т. е. х2 < 9.
К сожалению, иногда ошибочно считают, делая на осно-
вании неравенства х2 < 9 заключение, что х < ± 3, или х < 4-3
и х < -3. Верно только, что х < 4-3, а неравенство х < -3 явля-
ется в данном случае ошибочным. Если же принять, что х < -3,
то числа, удовлетворяющие неравенству х2 < 9, будучи воз-
ведены в квадрат, дадут числа, большие, чем 9. Например,
-4 < -3 и (-4)2 = 16 > 9. Поэтому правильными решениями не-
равенства х2 < 9 являются х > -3 и х < 4-3, т. е. -3 < х < 4-3, или
|х| < 3.
Таким образом, область определения функции — отрезок
[-3, +3], или, в другой записи, -3 < х < +3. □
Упражнения. Определите множество значений х, удовлет-
воряющих неравенству.
1. |х| < 3. 2. х2 < 4. 3. х2 > 16. 4. |х - 2| < 1. 5. |2х + 3| < 1.
6. (х + I)2 < 9. 7. 2х2 < 50. 8. (х + З)2 < 3. 9. (5х + 6)2 > 1. 10. х2 -
-4х + 5 = 0. 11. х2-Зх-4<0.12. х-х2>0.13. х2-2х + 5<0.
14. х2 - Их + 10 > 0.
Найдите области определения функции, заданной формулой.
15. у = Зх + 2. 16. у = х3 + 5х + 6. 17. у =	1. 18. у =
= 7х - 2 + 72-х. 19. у = 73х - 1 +	*— . 20. у = 72 - Зх +
75-х
+ 1g х. 21. у = 7х2 - 5х + 6.22. у = . 1. . 23. у = 74 - х2 .
7х2 - Зх
24. у = sin Зх. 25. у = х + cos 2х. 26. у = tg х. 27. у = ctg (х/2).
28. у = arcsin х. 29. у = arccos (х + 2). 30. у = arctg (2х + 1).
31. у = log2 log3 log4 х. 32. у = log2 (—х). 33. у = log1/3 |х|.
90
34. у = log5 (2х - 1). 35. у = log7 (4х - х2). 36. у =	Зх) •
37. у = 31/х. 38. у = (1/2)’/х - 3. 39. у = arcsin—*-т;. 40. у =
X т о
= x2_Si5x + 4- 41. f(x) = х2 + х - 2, найти /(0), /(1), /(-2). 42. /(х) =
= arccos (1g х), найти /(1/10), /(1), /(10).
ОТВЕТЫ . 1. (-3, 3). 2. [-2, 2]. 3. [-оо, -4), (4, +оо). 4. (1, 3).
5. (-2, -1). 6. [-4, 2]. 7. (-5, 5]. 8. [-3 - л/З, -3 + л/З]. 9. (-8, -7/5),
[-1, Ч-oo), ю. Множество пусто. 11. [-1, 4]. 12. (О, 1). 13. Мно-
жество пусто. 14. (-оо, 1), (10, 4-оо). 15. (-оо, 4-оо). 16. (-оо, 4-оо).
17. (-оо, 6/5), (6/5, +оо). 18. х = 2. 19. [1/3, 5). 20. (О, 2/3].
21. (-оо, 2], [3, +оо). 22. (-оо, 0), (3, +оо). 23. [-2, 2].
24. (-оо, 4-оо). 25. (-оо, 4-оо). 26. X # л/2 4- kn, k = 0, ±1, ±2, ... .
27. х * 2йл, k = 0, ±1, ±2, ... . 28. [-1, 1]. 29. [-3, -1].
30. (-оо, 4-оо). 31. (4, 4-оо). (Решение. Функция log2 log3 log4 х
определена при log3 log4 х > 0, откуда log4 > 1 и х > 4.) 32. (-оо, 0).
33. (-оо, 0), (0, 4-оо). 34. (1/2, +оо). 35. (О, 4). 36. (-оо, 0), (0, 1/3).
37. (—оо, 0), (0, 4-оо). 38. (-оо, 3), (3, 4-оо). 39. (-оо, -4],
[-2, 4-оо). 40. (-оо, 1), (1, 4), (4, 4-оо). 41. -2, 0, 0. 42. л, тс/2, 0.
2. Способы задания функций. Задать функцию f — зна-
чит указать, как по каждому значению аргумента х находить
соответствующее ему значение функции /(х). Существуют три
основных способа задания функций: аналитический, таблич-
ный и графический.
1)Аналитический способ. Этот способ состоит в
том, что зависимость между переменными величинами опреде-
ляется с помощью формулы, указывающей, какие и в каком по-
рядке действия нужно выполнить, чтобы получить значение
функции, соответствующее данному значению аргумента.
□ Примеры. 1. Формула у = х2 задает функцию, область
определения которой — числовая прямая (-оо, 4-оо), а множест-
во значений — полупрямая [0, 4-оо) (рис. 9, а).
2. Формула у = 71 - х2 задает функцию, областью опреде-
ления которой является отрезок [-1, 1], а множеством значе-
ний — отрезок [О, 1] (рис. 9, б).
3. Формула у = п! ставит в соответствие каждому нату-
ральному числу (т. е. целому положительному числу) п число
91
Рис. 11
у = 1 • 2 • 3 •... • п. Например, если п = 3, то у = 3! = 6. Таким обра-
зом, формула у = п! задает функцию, область определения которой
{1, 2, 3, ... , п, ...}, а множество значений— {1!, 2!, 3!, ..., п!, ...}
(рис. 10).
4. у = sgn х1 =
+1, если х > 0,
0, если х = 0,
-1, если х < 0.
Данная функция задана с помощью нескольких формул. Она
определена на всей числовой прямой (-оо, +°°), а множество ее
значений состоит из трех чисел: -1, 0 и +1 (рис. 11).
5. Функция Дирихле2
1, если х — рациональное число,
0, если х — иррациональное число.
Эта функция определена на всей числовой прямой (-оо, +°°),
а множество ее значений состоит из двух чисел: 0 и 1. □
Заметим, что функцию Дирихле изобразить графически не
представляется возможным.
1 Термин sgn происходит от лат. signum — знак.
2 Дирихле Петер Густав Лежен (1805—1859)— немецкий
математик.
92
2) Табличный способ. Приведем следующую таблицу:
X	0	0,1	0,2	3	0,6	4	0,8	1,5	2
У	-1	10	1	-2	-8	0,5	-2	5	7
Поставим в соответствие каждому х, записанному в первой
строке таблицы, число у, стоящее во второй строке под этим чис-
лом х, и будем говорить, что полученная функция задана табли-
цей. Областью определения данной функции является множест-
во, состоящее из девяти чисел х, указанных в первой строке таб-
лицы, а множеством ее значений — множество, состоящее из
девяти чисел у, приведенных во второй ее строке.
С помощью таблицы можно задать функцию только при ко-
нечном числе значений аргумента.
Табличный способ часто используют для задания функций.
Так, известны таблицы тригонометрических функций, таблицы
логарифмов и др. Примером табличного способа задания функ-
ции служит расписание движения поезда, которое определяет
местоположение поезда в отдельные моменты времени.
3) Графический способ. Графический способ зада-
ния функции обычно используют в практике физических изме-
рений, когда соответствие между переменными х и у задается
с помощью графика. Такую операцию обычно называют «сня-
тием» значений с графика. Во многих случаях графики чертят
самопишущие приборы. Например, для измерения давления ат-
мосферы на различных высотах используют специальный само-
пишущий прибор — барограф, который записывает на движу-
щейся ленте в виде кривой линии изменение давления в зависи-
мости от высоты.
3.	Понятия сложной и обратной функций.
Определение 2. Если на некотором множестве
X определена функция z == ф(х) со множеством значений
Z' а на множестве Z — функция у = /(г), то функция
У = /Тф(х)] называется сложной функцией от х [или
суперпозицией (иногда композицией) функций ф(х) и /(г)],
а переменная z — промежуточной переменной сложной
функции.
□ Пример. Функция у = sin х2 — сложная функция, опре-
деленная на всей числовой прямой, так как у = f(z) = sin г,
Z = ф(х) = X2. □
93
Определение 3. Пусть XuY — некоторые мно-
жества и пусть задана функция f, т. е. множество пар
чисел (х; у) (х е X, у g У), в котором каждое число х вхо-
дит в одну и только одну пару, а каждое число у — по
крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого
множества числа х и у поменять местами, то получим
множество пар чисел (у; х), которое называется обрат-
ной функцией ф к функции f.
Обратную функцию будем обозначать символом х = ф(г/). Об-
ратная функция, вообще говоря, не является функцией, так как
каждое число у может входить не только в одну, но и в несколь-
ко пар. Так, например, для функции у = х обратная функция
х = у однозначна (каждое число у входит в одну пару), для
функции у = х2 обратная функция х = +Jy двузначна (каждое
число у входит в две пары), а обратная функция х = arcsin у для
функции у = sin х многозначна (каждое число у йходит в беско-
нечное число пар). Геометрически данный факт очевиден.
Из определения следует, что если обратная функция одно-
значна, т. е. является функцией в обычном смысле, то множест-
во значений Y функции f служит областью определения обрат-
ной функции ф, а область определения X функции f — множе-
ством значений обратной функции ф. Пусть, например, функция
у = /(х) определена на отрезке [а, 6], отрезок [а, Р] является мно-
жеством ее значений и каждое у g [а, Р] соответствует ровно од-
ному х из [а, 6]. Тогда, по определению, на отрезке [а, Р] опреде-
лена однозначная обратная функция х = ф(г/), множеством зна-
чений которой служит отрезок [а, &] (рис. 12).
Таким образом, функция у = /(х) и обратная функция х =
= ф(г/) имеют один и тот же график. Например, функция у = 5х
и обратная функция х = 1/5г/ изображаются графически одной
прямой. Если оси Ох и Оу поменять
местами, для чего следует повер-
нуть в пространстве плоскость Оху
вокруг биссектрисы I координатно-
го угла на 180°, то новое положение
графика обратной функции х = ф(г/)
является графиком функции у = ф(х)
(см. рис. 12), графики функции у =
== /(х) и обратной функции у = ф(х)
(аргумент в них выражен одной и той
же буквой) симметричны относитель-
но биссектрисы I координатного угла.
94
□ Пример. Найдем функцию, обратную функции у = -= х 4- 1.
Решая уравнение относительно х, получим: х = 5у - 5. Эта
функция и будет обратной для функции у = |х 4- 1. Так как
функцию обычно обозначают через г/, а аргумент через х, то, пе-
реходя в обратной функции к общепринятым обозначениям ар-
гумента и функции, получим для нее выражение у = 5х - 5. □
4. Классификация функций. Постоянная функция /(х) = С,
С = const, степенная функция ха (а — любое число), показа-
тельная функция ах9 0 < а 1, логарифмическая функция loga х,
О < а # 1, тригонометрические функции sin х, cos х, tg х, ctg х
и обратные тригонометрические функции arcsin х, arccos х,
arctg х, arcctg х называются простейшими элементарны-
ми функциями1 *.
Эти функции играют важную роль в раскрытии основных
понятий анализа и составляют базу для изучения более слож-
ных функций.
Все функции, получаемые с помощью конечного числа ариф-
метических действий над простейшими элементарными функ-
циями, а также суперпозицией этих функций, составляют класс
элементарных функций. Примерами элементарных функ-
ций являются /(х) = |х|(|х| = а/х^ ); /(х) = 1g3 arctg 2^4- sin Зх;
f(x) = In |sin 3x| - earctg^ и т. д.
Имеет место следующая классификация элементарных функ-
ций.
1)	Функцию вида
Р(х) = aQxm + аххт ‘1 + ... + ат_1х + ат,
где т > 0 — целое число, а0, ар ..., ат — любые числа — коэф-
фициенты (а0	0), называют целой рациональной функци-
ей или многочленом степени т. Многочлен первой степени
называют также линейной функцией.
2)	Функцию, представляющую собой отношение двух целых
рациональных функций
аохт + аххт-1 + ... + ат_!Х + ат
bQxn 4-	+ ... + Ьп_хх + Ьп ’
называют дробно-рациональной функцией.
1 Предполагается, что читатель имеет представление о простей-
ших элементарных функциях по крайней мере в рамках элементар-
ной математики.
95
Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных
функций образует класс рациональных функций.
3)	Функцию, полученную с помощью конечного числа су-
перпозиций и четырех арифметических действий над степенны-
ми функциями как с целыми, так и с дробными показателями и
не являющуюся рациональной, называют иррациональной.
Например, /(х) = 7х, f(x) = х + Jx, f(x) = ^Зх2 _	+
+ (5Jx + х)8 и т. д. — иррациональные функции.
4)	Всякую функцию, не являющуюся рациональной или ир-
рациональной, называют трансцендентной функцией. Это,
например, функции f(x) = sin (х), /(х) = sin (х) 4- х и т. д.
5.	Четные и нечетные функции.
Определение 4. Функция f(x) называется чет-
ной. если область ее определения X есть множество,
симметричное относительно начала координат, и если
при любом х из X имеет место равенство
f(-x) = /(х).
График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Определение 5. Функция /(х) называется нечет-
ной. если область ее определения X есть множество,
симметричное относительно начала координат, и если
при любом х из X имеет место равенство
f(-X) = -f(x).
График нечетной функции симметричен относительно нача-
ла координат.
1°. Сумма и разность двух четных (нечетных) функ-
ций есть функция четная (нечетная).
Действительно, пусть ф(х) = f(x) 4- g(x). Тогда, если f(x) и
g(x) — четные, то
ф(-х) = ft-x) + g(—x) = f(x) + g(x) = ф(х).
Если же /(х) и g(x) — нечетные функции, то ф(х) также бу-
дет нечетной:
ф(-х) = /(—х) + g(-x) = —/(х) - g(x) = -[/(х) + £(х)] = -ф(х).
Аналогичное доказательство для разности функций.
2°. Произведение двух четных или двух нечетных
функций есть функция четная, а произведение четной
функции на нечетную есть нечетная функция.
96
В самом деле, пусть ф(х) = f(x)'g(x) и f(x) и g(x) — четные
функции, тогда
ф(-х) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = ф(х);
если f(x) и g(x) — нечетные функции, то
Ф(-Х) = Л-хИ-х) = [-/(х)][-g(x)] = Ф(х);
если же f(x) — четная, a g(x) — нечетная функции, то
ф(-х) = f(-x)g(-x) = ftx) [-g(x)] = -ф(х).
□ Пример 1. Доказать, что функция/(х) = J1 - х2 — четная.
Решение. Область определения функции: -1 < х < 1; f(-x) =
= 71 ~ (~х)2 = 71 ~ х2 = /(х). Следовательно, данная функция
четная.
Пример 2. Доказать, что функция f(x) = х5 - х3 4- х — не-
четная.
Решение. Область определения функции: -оо < х < +°° ;
ft-x) = (—х)5 - (—х)3 4- (—х) = —х5 4- х3 - х = -(х5 - х3 4- х) = -ftx).
Следовательно, функция нечетная.
Пример 3. Является ли функция /(х) = х4 + х2, определен-
ная на множестве X = [-2, 10), четной?
Решение. Эта функция не является ни четной, ни нечет-
ной, так как ее область определения не симметрична относи-
тельно начала координат. Хотя формально /(-х) = /(х).
Пример 4. Исследовать на четность и нечетность функцию
/(х) = х2 + х - 1.
Решение. Область определения функции: -оо < х < +°°;
/(-х) = (—х)2 4- (—х) - 1 = х2 - х - 1 /(х), т. е. функция не удов-
летворяет равенствам /(-х) == /(х) и /(-х) = -/(х). Значит, функ-
ция не является ни четной, ни нечетной. □
Упражнения. Определите, является ли функция четной,
нечетной или ни четной, ни нечетной.
1. у = cos х 4- х sin х. 2. у = х • 2 х. 3. у = 2х 4- Q ) . 4. у =
“(Я"8* 5,i/ = ^.6.i/ = 51og2(x + l).7.i/ = log2J^.8.i/ =
= х2 - х. 9. у = х3 4- х2. 10. у = х2 4- Зх - 1. 11. у = х4 - 2х24- 3.
12. у = х3 + 2х. 13. у = 1g (х + 71 + х2). 14. у = х 1g t * * *2 •
4 - 3587 Шипачев
97
ОТВЕТЫ. 1. Четная. 2. Ни четная, ни нечетная. 3. Четная.
4. Нечетная. 5. Четная. 6. Ни четная, ни нечетная. 7. Нечет-
ная. 8. Ни четная, ни нечетная. 9. Ни четная, ни нечетная.
10. Ни четная, ни нечетная. 11. Четная. 12. Нечетная. 13. Не-
четная. 14. Нечетная.
6. Периодические функции.
Определение 6. Функция f(x) называется пери-
одической, если существует число Т 0 такое, что для
любого значения х из области определения функции вы-
полняется равенство
f(x + Г) = ftx).
Число Т называют периодом функции. Если Т — период
функции, то ее периодом является также и число — Т, так как
f(x - Т) = f[(x - Т) + Т] = f(x).
Обычно под периодом функции понимают наименьший из
положительных периодов, если такой период существует. На-
пример, периодом функций sin х и cos х является число Т = 2л:
sin (х 4- 2л) = sin х, cos (х 4- 2л) = cos х, а функций tg х и ctg х —
число Т = л.
Если Т — период функции, то ее периодом будет также и
число kT, где k — любое целое число (k = ±1 , ±2, ...). Действи-
тельно,
Дх ± 2Т) = Д(х ± Т) ± Г] = Дх ± Т) = Дх),
Дх ± ЗТ) = /Т(х ± 2Т) ± Т] = f(x ± 2Т) = Дх) и т. д.
Например,
sin (х 4- 4л) = sin [(х 4- 2л) 4- 2л] = sin (х 4- 2л) = sin х (k = 2).
Если функции Дх) и g(x) — периодические с периодами 7\
и Т2 соответственно, то периодом их суммы, произведения, раз-
ности и частного является число Т, кратное Т\ и Т2. Действи-
тельно, пусть Т = k1T1 и Т = k2T2, где kx и k2 — целые числа.
Как было показано, число Т является периодом функций Дх)
и g(x). Тогда для функции ф(х) = Дх) 4- g(x) получаем
<р(х 4- Т) = f(x 4- Г) 4- g(x 4- Т) =
= f(x + fejTJ + g(x + k2T2) = f(x) + £(x);
для функции ф(х) = f(x) • g(x) имеем
<p(x + T) = f(x + T)'g(x + T) =
= f(x + fejTj) • g(x + k2T2) = f(x) • g(x) и т. д.
Рассмотрим примеры.
98
□ Пример 5. Показать, что функция f(x) = sin сох имеет пе-
риод
Т = 2л/со, со 0.
Решение. Имеем
sin [со(х 4- 2л/со)] = sin (сох + 2л) = sin сох.
Пример 6- Показать, что функция /(х) = sin (5х 4- 3) имеет
период
Т = 2л/5.
Решение. Имеем
sin [5(х 4- 2л/5) 4- 3] = sin (5х + 2л 4- 3) =
= sin [(5х 4- 3) + 2л] = sin (5х 4- 3).
Пример 7. Показать, что число Т = 12л — период функции
/(х) = sin (х/2) + 7cos(x/3).
Решение. Период sin (х/2) есть Т\ =	= 4л (см. пример 5).
Период cos (х/3), следовательно, и 7cos(x/3) есть Т2 = 6л. На-
именьшее положительное число Г, кратное 4л и 6л, есть 12л.
Поэтому Т = 12л — период функции.
Пример 8. Показать, что для функции Дирихле
j 1, если х рациональное,
/Iх) _ о, если х иррациональное,
любое рациональное число Т является периодом для всех х.
Решение. Так как сумма двух рациональных чисел есть
число рациональное, а сумма рационального и иррационально-
го чисел есть число иррациональное (см. пример 2 из § 1.2), то
(1, если х рациональное
_ I (х 4- Т— рациональное число),
/(х 4- Т) - Q, если х иррациональное
(х 4- Т— иррациональное число).	□
Упражнения. Найдите период функции.
1. у = sin 4х. 2. у = tg (х/2). 3. у = sin х 4- cos 2х. 4. у = cos2 Зх.
5. у = sin Зх 4- sin 2х. 6. у = sin (Зх 4- 1). 7. у = |sin х|.
8. у = sin2 (х/3). 9. у = |cos (х/2)|. 10. у = cos (Зх/2) 4- sin (х/3).
ОТВЕТЫ. 1. л/2. 2. 2л. 3. 2л. 4. л/3. 5. 2л. 6. 2л/3. 7. л.
(Указание. |sin х| = 7sin2x = 7(1 ~ cos2x)/2 .) 8. Зл. 9. 2л.
10. 12л.
99
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте определение функции. В чем заключается
однозначность функции? Что называется областью опреде-
ления и областью значений функции? С помощью какого
понятия определяется функция?
2.	Что называется постоянной функцией?
3.	Сформулируйте условие ограниченности функции.
4.	Дайте определение точной верхней (нижней) грани функции.
5.	Что означает запись sup f(x) = +°° (inf f(x = -оо)?
6.	Что называется графиком функции? Приведите примеры
функции и не функции. Дайте геометрическую интерпрета-
цию.
7.	Что значит задать функцию? Какие существуют способы за-
дания функции?
8.	Сформулируйте определения сложной и обратной функций.
Приведите примеры.
9.	Перечислите простейшие элементарные функции.
10.	Какая функция называется элементарной? Приведите при-
меры.
11.	Приведите пример не элементарной функции.
12.	Сформулируйте определения рациональной, иррациональ-
ной и трансцендентной функций. Приведите примеры.
13.	Какие функции называются четными и какие нечетными и
в чем состоит геометрический смысл четности и нечетности
функций?
14.	Какие функции называются периодическими и что называ-
ется периодом функции?
§ 2.2. Предел функции
1.	Предел функции при х х0. Пусть функция f(x)
определена на некотором промежутке X1 и пусть точка х0 е X или
х0 ё X. Возьмем из X последовательность точек, отличных от х0
хрх2, х3, ..., хп, ... ,	(1)
сходящуюся к х0. Значения функции в точках этой последова-
тельности также образуют числовую последовательность
Лх^Ях^Дхз),...,^),...,	(2)
и можно говорить о существовании ее предела.
1 Напомним что здесь X может быть любым промежутком вида
[а, д], (а, &), (-оо, +°°) и т. д.
100
Определение 1. Число А называется пределом
функции f(x) в точке х = х0 (или при х —► х0), если для
любой сходящейся к х0 последовательности (1) значений
аргумента х9 отличных от х0, соответствующая после-
довательность (2) значений функции сходится к числу А.
Символически это записывается так:
lim f(x) = А.
Из определения видно, что для существования предела
функции в точке х0 не требуется, чтобы функция f(x) была не-
пременно определена в точке х0. Для того чтобы функция f(x)
стремилась к пределу при х х0, необходимо лишь, чтобы в об-
ласти ее определения X были точки, как угодно близкие к х0 и
отличные от х0. В дальнейшем это замечание будет неоднократ-
но использовано. На это следует обратить внимание.
Функция f(x) может иметь в точке х0 только один предел.
Это следует из того, что последовательность {/(хп)} имеет только
один предел.
□ Пример 1. Функция /(х) = С = const имеет предел в каж-
дой точке х0 числовой прямой, равный С. В самом деле, если
(1) — любая последовательность, сходящаяся к х0, то последо-
вательность (2) имеет вид С, С, ..., С, ... , т. е. f(xn) = С. Отсюда
заключаем, что f(xn) —► С при п -+ оо или lim f(x) = С.
x-xQ
Пример 2. Функция /(х) = х имеет в любой точке х0 чис-
ловой прямой предел, равный х0. В этом случае последователь-
ности (1) и (2) тождественны, т. е. f(xn) = хп. Следовательно,
если хп —► х0, то /(хп) —► х0 при п —► оо или lim f(x) = lim х =
х х0	х — х0
= ftx0) = х0.
Заметим, что определение 1 удобно использовать, когда тре-
буется доказать, что функция f(x) не имеет предела. Для этого
надо показать, что существуют две последовательности {х'п} и
{х"} значений аргумента х такие, что lim х' = lim х" = а, но
"	п —► оо Л п оо п
соответствующие последовательности {/(х')} и {/(х")} значений
функции имеют разные пределы.
101
Пример 3. Функция f(x) = sin- (рис. 13), определенная
для всех х # 0, в точке х = 0 не имеет предела. Действительно,
возьмем две последовательности значений аргумента х:
111	1	222	2
_	__ __ ______ jj _	__ ___ ___________
л ’ 2л ’ Зя ’	пл ’	л ’ 5л ’ 9л ’	(4п - 3)л ’
сходящиеся к нулю. Соответствующими последовательностями
значений функции являются
/П /ГМ /ГМ /ГМ ’/M -Л2А /П
J9 Г2л ) 9 '\3n J 9 ^пл J 9 *“ и 'yr J9 f 1.5л J 9 ' ^Ол J 9
/	2	\	( 1 'ъ
..., Л та-or )>•••• Так как / — I = sin пл = 0 при любом n, a
9 ,ц4п-3)л;’	'[nnj	K	’
. (4n - 3)л	.
= sm----я--- = 1, то для первой последовательности
2
(4n - 3)л
lim f(x ) = lim sin пл = 0,
n oo	n -+ oo
для второй последовательности
lim f(x ) = lim sn/4n 9	= 1.
Таким образом, для двух сходящихся к нулю последователь-
ностей значений аргумента х соответствующие последовательнос-
ти значений функции имеют разные пределы. А это, по определе-
нию предела функции, и означает, что lim f(x) не существует.
П оо
102
+ х — 1
Пример 4. Функция f(x) = —* _ j— имеет в точке х = О
предел, равный 1. Действительно, возьмем любую последова-
тельность хр х2, ..., хл, ... значений аргумента х, сходящуюся
к нулю, т. е. lim хп = 0 и хп # 0.
п -* оо
Соответствующая последовательность значений функции
xf + Х1 - 1 х| + х2 - 1 х2 + хп - 1
Xi - 1	’ х2 - 1	’ •••’ хп - 1
Тогда, в силу теорем 1.11—1.13 о пределах последовательнос-
тей, имеем
lim f(x ) = lim
n —» оо	n OO
+-Xn - 1
(lim xn)2 + lim xn - 1
n-^oo	n-^oo
xn - 1
lim xn - 1
n-*oo
0 + 0-1
0-1
(при этом xn * 1, так как при х = 1 рассматриваемая функция
не определена). Таким образом, существует lim f(xn) = 1 и так
как он не зависит от выбора последовательности {хп}, сходящей-
ся к нулю, то на основании определения предела функции за-
ключаем, что lim /(х) =1. □
П оо
Пример 5. Функция Дирихле, значения которой в раци-
ональных точках равны единице, а в иррациональных — нулю,
не имеет предела ни в одной точке х0 числовой прямой. Действи-
тельно, для сходящейся в точке х0 последовательности рацио-
нальных значений аргумента предел соответствующей последова-
тельности значений функции равен единице, а для сходящейся в
точке х0 последовательности иррациональных значений аргумен-
та предел соответствующей последовательности значений функ-
ции равен нулю. □
Существует другое определение предела функции.
Определение 2. Число А называется пределом
функции /(х) в точке х = х0, если для любого числа г > 0
существует число 8 > 0 такое, что для всех х е X,
х # х0, удовлетворяющих неравенству |х - х0| < 8, вы-
полняется неравенство |/(х) - А| < е.
Неравенства х # х0, |х - х0| < 8 можно записать в виде
0 < |х - х0| < 8.
В определении 2 следует обратить внимание на существен-
ный момент. Число А называется пределом функции, если вы-
полнение неравенства |х - х0| < 8 влечет за собой выполнение
103
неравенства |/(х) — А| < £, где е > О — заданное число, а 8 со-
ответствующим образом подобрано.
□ Пример 6. Используя определение 2, доказать, что функ-
ция f(x) = С (С — некоторое число) в точке х = х0 (х0 — любое
число) имеет предел, равный С, т. е. Inn С = С.
Решение. В данном случае /(х) = С,° А = С. Возьмем любое
е > 0. Тогда для любого числа 8 > 0 выполняется требуемое нера-
венство |/(х) - С| = |С - С| = 0 < е, следовательно, lim С = С.
х хо
Пример 7. Используя определение 2, доказать, что /(х) = х
в точке х = х0 имеет предел, равный х0, т. е. lim х = х0.
х хо
Решение. В данном примере /(х) = х, А = х0. Возьмем лю-
бое е > 0. Тогда если взять 8 = Е, то для всех х, удовлетворяю-
щих неравенству |х - х0| < 8, выполняется требуемое неравенст-
во |/(х) - х0| = |х - х0| < е; следовательно, lim х = х0.
х Х0
Пример 8. Используя определение 2, доказать, что функ-
ция /(х) = Зх - 2 в точке х = 1 имеет предел, равный единице,
т. е. lim (Зх - 2) = 1.
х — 1
Решение. В данном случае /(х) = Зх - 2, А = 1 и х0 = 1.
Возьмем любое е > 0. Задача состоит в том, чтобы по этому £
найти такое 8 > 0, при котором из неравенства |х - 1| < 8 следо-
вало бы неравенство \f(x) - 1| = |(3х - 2) - 1| < е. Преобразуя по-
следнее неравенство, получаем |3(х - 1)| < е, или |х - 1| < е/3. От-
сюда видно, что если взять 8 < е/3, то для всех х, удовлетворяю-
щих неравенству |х - 1| < 8, выполняется требуемое неравенство
|/(х) - 1| < £. Это и означает, что lim (Зх - 2) = 1. В частности, ес-
X 1
ли £ = 1, то 8 < 1/3, если е = 1/2, то 8 < 1/6, и т. д.; таким образом,
8 зависит от £. Поэтому в определении 2 иногда пишут 8 = 8(e).
Пример 9. Используя определение 2, доказать, что функ-
ция /(х) = х sin (1/х), определенная для все х 0, в точке х = 0
имеет предел, равный 0, т. е. lim х sin (1/х) = 0.
х — 0
Решение. В данном примере /(х) = х sin (1/х), А = 0 и х0 = 0.
Возьмем любое е > 0. Как и ранее, по этому е надо найти такое
8 > 0, при котором из неравенства |х - 0| < 8 следовало бы нера-
венство |/(х) - 0| = |х sin (1/х) - 0| = |х sin (1/х)| < е. Преобразуя
последнее неравенство, получаем |х sin (1/х)| = |х| |sin (1/х)| < |х| < е
(|sin (1/х)| < 1 при х # 0). Отсюда видно, что если взять 8 < е,
то, как только |х| < 8, справедливо неравенство |х sin (1/х)| < е.
Следовательно, lim х sin (1/х) = 0.
104
Пример 10. Используя определение 2, доказать, что функ-
— 1
ция f(x) = в точке х = 1 имеет предел, равный двум, т. е.
х2 —• 1
lim -—= 2.
х~ 1
х2 — 1
Решение. В данном примере f(x) =	, А = 2 и х0 = 1.
Воспользуемся тем, что при рассмотрении предела функции в
точке х = 1 ее аргумент не принимает значения, равного 1. Имеем
|х2-1 J |(Х-1)(х+1) о| I I 1 О| I 11	, 1
I х^=Т “ 2| = Г-х^1----- “ 2| = 1* + 1 - 2| = I*- Ч при х * 1.
Возьмем любое е > 0. Тогда
|/(х) - 2| = | Хх- - г| < е, если |х - 1| < е и х 1.
Отсюда видно, что если взять 8 = е, то для всех х, удовлетворяю-
щих неравенству |х - 1| < 8 при х 1, выполняется требуемое
неравенство
|/(х)-2|=|^^ -2| <е.
Это и означает, что
х2 — 1
lim -—= 2. □
х -1х~1
Рекомендуем самостоятельно доказать, что фунция /(х) =
2	1
х ~ 1
= х _ в точке х = 1 имеет предел, равный 2, используя опре-
деление 1 предела функции.
Отметим, что находить предел функции, используя только
определение 2, довольно сложно. На практике обычно исполь-
зуют теоремы о пределах, которые приведены в следующем пара-
графе.
Замечание. Неравенство |х - х0| < 8 равносильно двойному не-
равенству х0-8<х<х0 + 8(см. теорему 1.2).
Интервал (х0 - 8, х0 + 8), как мы уже знаем, называет-
ся 8-окрестностъю точки х0. Используя это название, опре-
деление 2 предела функции можно сформулировать и так: чис-
ло А называется пределом функции /(х) при х, стремящемся
к х0 (или в точке х0), если для любого числа е > 0 существует та-
105
кая 8-окрестность точки х0, что
для любого х # х0 из этой ок-
рестности выполняется неравенство
|/(х) - А| < е или А - е < /(х) < А + е
(рис. 14). Из этого рисунка видно,
что при приближении точки х к
точке х0 значения функции при-
ближаются к числу А. Естествен-
но считать, что число А — пре-
дел функции /(х) при х, стремя-
щемся к х0.
Упражнения. Используя определение 2, докажите, что:
1.	lim (Зх - 5) = 1. 2. lim х cos (1/х) = 0. 3. lim (2х - 5) = 7.
х 2
4. lim cos х = 1.
х 0
*•2 — 1
7. lim	-v = -2.
10. lim sin х = 0. 11.
х О
х 0
5. lim (Зх + 5) = 11.
х — 2
Л .. X - 1 Л
8. lim -т=---- = 2.
lim |х| = 0.
х -> 0
х-6
6. lim х2 = 1.
X 1
9. lim Tic = Тб.
х-5
Первое определение предела функции основано на понятии
предела числовой последовательности, поэтому его часто назы-
вают определением «на языке последовательностей». Вто-
рое определение называют определением «на языке £—8».
ТЕОРЕМА 2Л. Первое и второе определения преде-
ла функции эквивалентны1.
Доказательство. 1) Пусть А — предел /(х) в точке х0
согласно первому определению. Покажем, что А — предел со-
гласно второму определению.
Предположим обратное, т. е. что А не является пределом этой
функции согласно второму определению. Это значит, что не для
любого £ > 0 можно указать такое 8 > 0, чтобы из неравенства 0 <
< |х - х0| < 8 следовало бы равенство |/(х) - А| < е, т. е. существует
такое е = е0 > 0, для которого, какое бы 8 > 0 ни взять, найдется
хоть одна точка х х0 такая, что |х - х0| < 8, но |Дх) - А| > е0. Бу-
дем выбирать в качестве 8 последовательно числа
1, 1/2, 1/3, ..., 1/п, ... .
1 То есть если функция имеет предел в точке х0 согласно одному
из определений, то этот же предел функция имеет и согласно другому
определению.
106
Тогда:
для 8 = 1 в X существует такое хг # х0, что |хх - х0| < 1, а
|/(Х1) -А\> £0;
для 8 = 1/2 в X существует такое х2 # х0, что |х2 - х0| < 1/2, а
|/(х2)-А| >£о;
для 8 = 1/3 в X существует такое х3 # х0, что |х3 - х0| < 1/3, а
|/(х3)-А|>е0;
для 8 = 1/п в X существует такое хп # х0, что \хп - х0| < 1/п, а
|/(Х„) - А| > £0.
В результате получаем последовательность точек, отличных
от х0,
хрх2, х3, ... ,хп, ... ,
сходящуюся к точке х0, так как \хп - х0| < 1/п	0 при п -* оо.
Поэтому, согласно первому определению предела функции, со-
ответствующая последовательность {/(хп)} значений функции
сходится к числу А. Следовательно, для е0 найдется номер N та-
кой, что для всех n > N выполняется неравенство |/(хп) - А| < е0.
Но этого быть не может, так как для всех хп выполняется нера-
венство |/(хп) - А| > е0. Полученное противоречие доказывает,
что число А — предел функции /(х) в точке х0 согласно второму
определению.
2) Пусть теперь А — предел /(х) в точке х0 согласно второму
определению. Это значит, что для любого е > 0 существует 8 > О
такое, что из неравенства 0 < |х - х0| < 8 следует неравенство
|/(х) - А| < с. Покажем, что А — предел /(х) согласно первому
определению. Возьмем любую последовательность точек хх, х2,
х3, ..., хп, ..., сходящуюся к точке х0 (хп # х0). Тогда для ука-
занного значения 8 > 0, соответствующего е согласно второму
определению, найдется такое 2V, что при n > N выполняется не-
равенство \хп - х0| < 8. Но вместе с этим, в силу второго опреде-
ления, выполняется и неравенство |/(хп) - А| < е. А так как е бы-
ло выбрано произвольно, то это и означает, что /(хп) А ддя
любой последовательности {хп}, сходящейся к точке х0(хп # х0),
т. е. число А является пределом /(х) в точке х0 согласно первому
определению. 
107
После того как мы установили эквивалентность обоих опре-
делений предела функции, можно использовать любые из них в
зависимости от того, какое более удобно при решении той или
иной задачи. Заметим, что определение предела функции «на
языке последовательностей» называют также определением
предела функции по Гейне1, а определение предела функции
«на языке е — 8» — определением предела функции по Коши2.
2. Предел функции при х —► х0 — и при х —► х0 +. В даль-
нейшем будем использовать понятие односторонних пределов
функции, которые определяются следующим образом.
Определение 3. Число А называется правым (ле-
вым) пределом функции f(x) в точке х0, если для любой
сходящейся к х0 последовательности (1), элементы хп
которой больше (меньше) х0, соответствующая последо-
вательность (2) сходится к А.
Обозначение: lim f(x) = A(lim f(x) = A).
X — Xq +	X —- Xq -
□ Пример 11. Рассмотрим функцию f(x) = sgn x3.
Эта функция имеет в точке х = 0 правый и левый пределы:
lim sgn х = 1, lim sgn x = -1.
x 0 +	x — 0 -
В самом деле, если (1) — любая сходящаяся к нулю последо-
вательность значений аргумента этой функции, элементы хп ко-
торой больше нуля (хп > 0), то sgn хп = 1 и lim sgn хп = 1. Сле-
га — оо
довательно, lim sgn х = 1. Аналогично устанавливается, что
х о +
limsgnx=-l. □
х -* 0 -
Можно дать равносильное определение односторонних пре-
делов функции «на языке е — 8»: число А называется пра-
вым (левым) пределом функции f(x) в точке х0, если для
любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что для всех х,
удовлетворяющих неравенствам х0 < х < х0 + 8 (х0 - 8 <
< х < х0), выполняется неравенство \f(x) - А| < е.
Связь между односторонними пределами и пределом функ-
ции устанавливает следующая теорема.
1 Гейне Генрих Эдуард (1821—1881) — немецкий математик.
2 Коши Огюстен Луи (1789—1857) — французский математик.
3 Определение функции sgn х приведено в § 2.1, п. 2.
108
ТЕОРЕМА 2.2. Функция f(x) имеет в точке х0 пре-
дел тогда и только тогда, когда в этой точке су-
ществуют как правый, так и левый пределы и
они равны. В этом случае предел функции равен
односторонним пределам.
Доказательство. Пусть lim f(x) = lim f(x) = A. Tor-
X —> Xq-	X — Xq +
да, согласно определению предела функции слева и справа, для
любого е > 0 существуют числа 8Х > 0 и 82 > О такие, что для всех
х, удовлетворяющих неравенствам х0 - 8Х < х < х0, и для всех х,
удовлетворяющих неравенствам х0 < х < х0 + 82, выполняется
неравенство |/(х) - А| < е. Возьмем 8 = min {8Р 82}. Тогда для всех
х, удовлетворяющих неравенству |х - х0| < 8, х х0, выполняет-
ся неравенство |/(х) - А| < е. А это, согласно определению 2, и оз-
начает, что
lim f(x) = А.
х^х0
Обратно, пусть lim /(х) = А. Тогда, согласно определению
предела функции в точке х0, для любого е > 0 существует чис-
ло 8 > О такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству
|х - х0| < 8, х х0, выполняется неравенство |/(х) - А| < е. Тем
самым как для х0 - 8 < х < х0, так и для х0 < х < х0 + 8 справед-
ливо неравенство |/(х) - А| < е. А это, согласно определению од-
носторонних пределов, и означает, что
lim /(х) = lim (х) = А. 
х х0 -	х^х0 +
□ Пример 12. Доказать, что функция
/(*) =
х2 при х < О,
х + 1 при х > 0.
в точке х = 0 не имеет предела (рис. 15).
Решение. Функция /(х) определена
на всей числовой прямой. При х < 0 функ-
ция задается формулой /(х) = х2. Так как
предел функции х2 в точке х = 0 равен
нулю (докажите самостоятельно), то, по
теореме 2.2, левый предел данной функ-
ции в этой точке также равен нулю, т. е.
lim /(х) = lim х2 = lim х2 = 0.
х — 0 -	х — 0 - х 0
109
Аналогично доказывается, что правый предел данной функ-
ции в точке х = 0 равен 1, т. е.
lim f(x) = lim (х + 1) = lim (х + 1) = 1.
x — 0+	х — 0 +	х — 0
Следовательно, в точке х = 0 данная функция имеет правый
и левый пределы, но они не равны. Согласно теореме 2.2, это и
означает, что данная функция в точке х = 0 предела не имеет,
т. е. lim f(x) # lim f(x) и lim f(x) не существует. □
х — 0 -	х — 0+	х -- 0
Упражнение. Докажите, что функция
// \ _ Jх + 2 при х < 1,
”х' 1x4-3 при х > 1
в точке х = 1 не имеет предела.
□ Пример 13. Доказать, что функция
_ f х при х < 0,
~ [ sin х при х > 0
в точке х = 0 имеет предел.
Решение. Функция f(x) определена на всей числовой пря-
мой, кроме точки х = 0. Вычислим в точке х = 0 односторонние
пределы функции Дх). Имеем
lim Дх) = lim х = 0, так как lim х = 0 (см. п. 1, пример 2);
х -* 0 -	х ~* 0 *~	х -* 0
lim Дх) = lim sin х = 0
х —► 0 +	х — 0 +
(см. пример 3 в § 2.3). Следовательно, в точке х = 0 данная
функция имеет правый и левый пределы и они равны. Согласно
теореме 2.2, это означает, что данная функция в точке х = 0
имеет предел и он равен нулю, т. е.
lim Дх) = lim Дх) = lim Дх) = 0. □
х —► 0 -	х —► 0 +	х —* 0
3. Предел функции при х -► оо, при х -► -оо и при
х —► +оо. Кроме рассмотренных понятий предела функции при
х х0 и односторонних пределов, существует также понятие
предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение 4. Число А называется пределом
функции Дх) при х —► оо, если для любой бесконечно боль-
шой последовательности (1) значений аргумента соот-
ветствующая последовательность (2) значений функ-
ции сходится к А.
Обозначение: ИшДх)=А.
X оо
110
Определение 5. Число А называется пределом
функции f(x) при х —► +оо (х —► ~°°), если для любой
бесконечно большой последовательности (1) значений
аргумента, элементы хп которой положительны (отри-
цательны), соответствующая последовательность (2)
значений функции сходится к А.
Обозначение: lim f(x) = А( lim f(x) = А)1.
X — +ОО	х -* -оо
□	Пример 14. Пусть f(x) = 1/х. Эта функция при х —► оо име-
ет предел, равный нулю. Действительно, если {хп} — бесконеч-
но большая последовательность значений аргумента, то соответ-
ствующая последовательность значений функции 1/хр 1/х2, ...
..., 1/хп , ..., по теореме 1.5, является бесконечно малой и поэто-
му имеет предел, равный нулю, т. е. lim (1/х) = 0 (рис. 16). □
X —* ОО
Определения 4—5 даны «на языке последовательностей».
Можно дать равносильные определения «на языке е—8». Реко-
мендуем сделать это самостоятельно. В качестве примера сфор-
мулируем определение предела функции при х —► +оо.
Определение 6. Число А называется пределом
функции f(x) при х —► +оо, если для любого числа е > 0 су-
ществует число 8 такое, что для всех х е X, удовлет-
воряющих неравенству х > 8, выполняется неравенство
|/(х) - А| < е.
□	Пример 15. Используя соответствующее определение пре-
Q	х + 1	1
дела «на языке е—8», доказать, что lim ~= х .
Решение. Равенство lim «—-гт = о
«на языке е—8» означает, что для любо-
го £ > 0 существует 8 > 0 такое, что из
неравенства |х| > 8 следует неравенство
I X + 1	1 I 1	Ю 11^ 1
12х + 1 2 | |2х + 1| е или 12х + Х1> е •
Найдем значения х, для которых выпол-
няется последнее неравенство. Так как
|2х + 1| > |2х| - 1, то достаточно решить
1 Если пределы функции f(x) при х —► +°° и при х —►	равны А, то
пишут lim/(х) = А. Например, lim (1/х) = lim (1/х) = lim (1/х) = О
х —* оо	х -♦ -°0	х —* 4-0°	х —► оо
(А = 0).
111
неравенство |2х| - 1 > -, откуда получаем |х| > « (1 4- - 1. Если
£	Z у £ )
R 1 fl 1 1
взять о = s 1 + - , то для всех х, удовлетворяющих неравенст-
Z у £ J
ву |х| > 8, будет выполняться неравенство |	“ § | < е- А это
х + 1	1
означает, что lim ~——у = ~ .
Пример 16. Используя соответствующее определение пре-
~	5х + 1	5
дела «на языке е—о», доказать, что lim 5——77 = 5 .
х^+оо3х + 93
_	.. 5х + 1	5	о
Решение. Равенство lim 5—гл = о «на языке £—8» оз-
х—>_|_ооОХ т У	О
начает, что для любого £ > 0 существует 8 такое, что из неравен-
о	15х + 1	51	14	тт „
ства х > б следует неравенство |	” 3 = |3х 4- 9| < е* Сан-
дем значения х, для которых выполняется последнее неравенст-
14
во. Так как х > 0, то, решая неравенство «——< е, получаем
оХ т У
14 - 9е „	г» 14 — 9е
х > —X-----. Если положить о = —н----, то для всех х, удовлет-
оЕ	о£
воряющих неравенству х > 8, будет выполняться неравенство
15х + 1	51 А	..	5х + 1	5
о——и “о	< £. А это означает,	что lim	«—п-н	= о •	□
ОХ + У О	► 4-00 ОХ 4" У о
Упражнения. Используя соответствующее определение пре-
дела «на языке е—8», докажите, что:
.	..	х-1	1 _	..	2х-1	2 л .. sinx л
1. Inn „	? =5.2. Inn -	? =5-3. lim —- = 0.
X ~~» оо ОХ т	О	X 4-оо ОX I а	О	д; —► оо X
4. lim е1/х =1.5. lim - = 0. 6. lim -^ = 0.
X -* 4-оо	х -оо Х
□ Пример 17. Доказать, что функция sin х не имеет предела
при х -+ 4-оо.
Решение. Докажем, что эта функция не удовлетворяет
определению 5. Для этого укажем такую бесконечно большую
последовательность {хп} значений аргумента, элементы кото-
рой положительны, что последовательность {sin хл} значений
функции расходится. Положим х = (2п 4- 1). Тогда х 4-оо
112
при п —► оо, последовательность {sin хп} принимает значения
т-1, 1, -1,	(-1)п, ... , а последовательность {(-I)71} (см. замеча-
ние к теореме 1.10) расходится, что и требовалось доказать. □
Упражнение. Докажите, что lim cos х не существует.
X ОО
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте два определения предела функции. Что оз-
начает эквивалентность этих определений?
2.	Приведите пример функции, не имеющей предела в данной
точке.
3.	При каких условиях из существования односторонних пре-
делов функции следует существование предела функции и
наоборот?
|х|
4.	Существует ли lim — ?
х —0 х
5.	Сформулируйте два определения предела функции при
X +оо.
6.	Докажите, что lim х не существует.
х +°о
§ 2.3.	Теоремы о пределах функций
Определение предела функции «на языке последователь-
ностей» дает возможность перенести доказанные ранее теоремы
о пределах последовательностей на функции. Покажем это на
примере двух теорем.
ТЕОРЕМА 2.3. Пусть функции Дх) и g(x) имеют в
точке х0 пределы В и С. Тогда функции Дх) ± £(х),
/(х)
f(x) • g(x) и	(при С # 0) имеют в точке х0 преде-
ё\Х)
лы, равные соответственно В ±С, В*С и В/С.
Доказательство. Пусть {хп} (хп # х0) — произвольная,
сходящаяся к х0 последовательность значений аргумента функ-
ций Дх) и g(x). Соответствующие последовательности {Дхп)} и
{^(хп)} значений этих функций имеют пределы В и С. Но тогда,
в силу теорем 1.11—1.13, последовательности {Дхп) ± £(хп)},
{Дх ) 1
——А; к (при С # 0) имеют пределы, соответствен-
113
но равные В ± С, В • С и В/С. Согласно определению 1 предела
функции, это означает, что
lim [/(х) ± g(x)] = В + С, lim [Дх) • g(x)] = В • С,
Дх) _ В
Я(х) С •
СЛЕДСТВИЕ. Постоянный множитель можно
выносить за знак предела, т. е. lim [С •£(*)] =
= С lim g(x), где f(x) = С — постоянный множи-
х~+ xQ
тель.
В самом деле, lim [Cg(x)] = lim С • lim g(x) = C lim g(x),
X Xq	X —* Xq X —* x0	X —* Xq
так как lim С = C (cm. § 2.2, п. 1, пример 1). 
x^ xQ
ТЕОРЕМА 2.4. Пусть функции Дх), g(x) и h(x)
определены в некоторой окрестности точки х0,
за исключением, быть может, самой точки х0,
и функции Дх), й(х) имеют в точке х0 предел, рав-
ный А, т. е.
lim Дх) = lim й(х) = А,
х — х0	х XQ
Пусть, кроме того, выполняются неравенства
f(x) < g(x) < й(х). Тогда
lim g(x} = А.
II X^Xq
Доказательство. Пусть {хп} (хп^ х0) — произвольная,
сходящаяся к х0 последовательность значений аргумента функ-
ций Дх) и й(х). Соответствующие последовательности {Дхп)} и
{й(хп)} значений этих функций имеют предел, равный А, т. е.
Дхп)	A, h(xn) —► А при п —► оо. Используя неравенства, дан-
ные в условии теоремы, можно записать
f(xn) < g(xn) < h(xn).
Отсюда, по теореме 1.15, следует, что £(хп) А. В силу опреде-
ления 1 предела функции это означает, что
lim g(x) = А. 
Замечание. Теоремы 2.3 и 2.4 верны также и в случае, когдах0
является одним из символов	+оо или -оо.
114
\ □ Пример 1. Найти lim(Зх2 + х + 5).
х — 1
Решение. На основании теоремы 2.3 (предел суммы и про-
изведения) имеем
lim (Зх2 + х + 5) = lim Зх2 + lim х 4- lim 5 =
X -* 1	х — 1	х — 1	X -- 1
= 3 lim х • lim х + lim х + 5 = 3’1’1 + 1 + 5 = 9,
X -* 1	X 1 X 1
так как lim х = 1 (см. § 2.2, п. 1, пример 2).
х — 1
Пример 2. Найти lim —я-----—г .
X^lx2-x + l
Решение. Предел числителя
lim (х2 + х + 1) = lim х lim х + lim х + 1 = 1«1 + 1 + 1 = 3,
X -- 1	X 1 X -* 1 X — 1
а предел знаменателя
lim (х2 - х + 1) = lim х lim х - lim х + 1 = 1«1-1 + 1 = 1.
х —* 1	X — 1 X — 1	X —• 1
Так как предел знаменателя не равен нулю, то, применяя теоре-
му 2.3 (предел частного), окончательно получаем
2 ,	, -	lim(x2 + х + 1) о
.. х2 + х + 1	х-1	3	о
lim —5---7-7- = р—^-5--т-тт =т=3.
х_^1хг-х + 1 lim(xz-x + l) 1
х—*1
Пример 3. Доказать, что lim sin х =0.
х — 0+
Решение. Пусть 0 < х < л/2. Возьмем дугу AM окружнос-
ти единичного радиуса и угол, радианная мера которого равна х
(см. рис. 17). Тогда AM = х, КМ = sin х. Так как 0 < КМ <
< AM, то
0<sinx<x,	(1)
а так как lim х = 0 (см. § 2.2, п. 1, пример 2), то из неравенств
х —* 0
(1) и теоремы 2.4 следует, что lim sin х = 0.
х о+
Докажите самостоятельно, что lim sin х = 0.
х о—
Пример 4. Доказать, что lim 71 + 1/х2 = 1.
X — оо
Решение. Для любого х 0 выполняются неравенства
1 < 71 + 1/х2 < 1 + 1/х2.
115
Имеем lim (14- 1/х2) = 1, так как lim (1/х2) = 0 (докажите это
X оо	X оо
самостоятельно). По теореме 2.4 получаем, что lim 71 + 1/х2 =
X оо
= 1. □
Теоремы 2.3 и 2.4 можно доказать, используя определение
предела функции «на языке е—8». Приведем для примера дока-
зательство теоремы 2.4.
Доказательство. Пусть е — любое положительное число.
Так как lim /(х) = А, то существует число 8Х > О такое, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х — х0| < 8Р выпол-
няется неравенство | /(х) — А| < е, или
А - е < /(х) < А 4- е.	(1)
Так как lim Л(х) = А, то существует число 82 > 0 такое, что
для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х - х0| < 82, вы-
полняется неравенство | h(x) - А| < е, или
А - е < Л(х) < А 4-е.	(2)
Пусть 8 = min {8Р 82}. Тогда для всех х, удовлетворяющих
неравенству 0 < |х - х0| < 8, выполняются одновременно нера-
венства (1) и (2). Учитывая неравенства /(х) < g(x) < Л(х), полу-
чаем
А - е < /(х) < g(x) < h(x) < А 4- е,
откуда
А - е < g(x) < А 4- е или | g(x) - А | < е.
Неравенство |^(х) - А| < е выполняется для всех х, удов-
летворяющих неравенствам 0 < | х - х01 < 8. Это значит, что
lim g(x) = А. 
х^х0
Замечание. Для того чтобы доказать теорему 2.3, используя
определение предела функции «на языке Е—8», надо предварительно
ввести понятие бесконечно малой функции и доказать несколько те-
орем о бесконечно малых функциях (см. п. 1 в § 2.5).
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте теоремы 2.3 и 2.4 о пределе функции.
2.	Докажите теорему 2.3 при х —► 4-оо. Где в доказательстве
теоремы использовано, что С # О?
116
§ 2.4.	Два замечательных предела
1.	Первый замечательный предел:
,. sinx
lim --- = 1.
х^О Х
 Докажем данное равенство. Рассмотрим дугу окружнос-
ти радиусом R = 1 с центральным углом, радианная мера кото-
рого равна х, 0 < х < п/2 (рис. 17). Тогда
ОА=1, sin х = MIC tgx=AT.	(1)
Очевидно, что площадь треугольника О AM меньше площа-
ди сектора О AM, которая, в свою очередь, меньше площади
треугольника ОАТ или, что то же самое, ^ОА*МК <
< 5 ОА • AM < 5 ОА 'АТ. Принимая во внимание равенства (1),
последнее соотношение можно записать в виде
1	. Л ' 1.
2	sin х < g х < g tg x,
откуда получаем
(2)
sinx
Разделив эти неравенства на sm х, получим 1 > —— > cos х, от-
куда находим 0 < 1	< 1 - cos х. Так как sin (х/2) < 1, то
sin2 (х/2) < sin (х/2). Поэтому, учитывая первое неравенство (2),
для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < х < л/2, получаем
1 - cos х = 2sin2 (х/2) < 2sin (х/2) < 2 • (х/2) = х.
Итак, 0 < 1 -	< х при 0 < х < п/2.
Возьмем любое е > 0 и положим 8 =
= min {е, п/2}. Тогда для всех х, удовлет-
воряющих неравенствам 0 < х < 8, будет
выполняться неравенство х < е, поэтому
Л - sinx	I л sinx I ~
О < 1 - —— < е, откуда 1 - —— < г. Это
означает, что 1 является правым преде-
,	sinx	о
лом функции —— в точке х = 0, т. е.
.. sinx л о	,
пт ----- = 1. Заметим теперь, что функ-
х о+ х
117
4 sinx	„ 4 sin(-x) sinx .z 4
ция Дх) = —— четная, так как Д-х) = —= —— = Дх).
Поэтому и левый предел функции в точке х = 0 равен 1.
Отсюда, в силу теоремы 2.2, следует, что lim =1. 
х-0 х
Замечание. Используя неравенства sin х < х и 1 - cos х < х при
О < х < л/2, полученные в ходе рассмотрения первого замечательного
предела, легко доказать, что lim cos х = 1, lim sin х = 0. (Сделайте
х ~* 0	х —* 0
это самостоятельно.)
С помощью первого замечательного предела вычисляются
многие другие пределы.
Г-, П	4 ТТ » Т 1 “ COSX
□ Пример 1. Наити lim--------------.
х 0 х
Решение. Знаменатель дроби при х 0 стремится к нулю.
Поэтому теорема 2.3 здесь неприменима. Для нахождения пре-
дела преобразуем данную дробь
.. 1 - cosx	.. 2sin* 2 *(x/2)	.. sin(x/2) . z
lim------- = hm---------	= lim — '	• sin (x/2) =
x —0 x	x-0 x	x — o x/2
= lim sm(*/2) lim sin (x/2) =1-0 = 0.
x-* 0 xl& x —0
Пример 2. Найти lim .
x 0 x
Решение. Имеем
.. tgx .. sinx
hm = hm---------------
x о x	x —> 0 x
1
cosx
.. sinx ..	1	4
= hm----- hm---- = 1
x —► 0 x x-0cosx
Пример 3. Найти
lim A .
x ~* о sin4x

Решение. Имеем
.. 5x ..	5/4
hm A... = hm . A
X_osin4x X_^osm4x
4x
5/4	=5М=1>25. п
,. sin4x 1
hm—-------
x—»o 4x
2. Второй замечательный предел:
(	IV
lim I 1 + - | = e.
X OO\	x )
118
( 1 ?
 Как известно, lim 1 + -	= е (см. § 1.11, п. 2). До-
П —» оо \	п	)
(	IV
кажем, что lim 1 4- -	= е. Действительно, пусть х > 1.
х —► ОО V	Х )
Положим п = [х]; тогда х = п 4- а, где п — натуральное число,
а а удовлетворяет условию 0 < а < 1. Так как п < х < п 4- 1,
1 1 1
——т < - < - , то
и 4- 1 X п

1
п + 1
При X —► +°о, п —► оо,
/	1 \ Л 1
lim ( 1 + - |
п — оо \	п )
lim (1 +
П — оо\
lim (1 +
—* ОО \
= е« 1 = е
и
lim (1 +
П оо V
1
П 4- 1
lim 1 4-
п~*°°\
lim f 1 4---г
п^схЛ п 4- 1
Откуда, по теореме 2.4, получаем
lim f 1 4- -
X — 4-оо V Х
= е.
Пусть теперь х < -1. Положим х = -г/, тогда при х —►
/IV	(	1 \~у	( IV
lim ( 1 4- — ] = lim f 1 - - I = lim | 1 + - _ |
X —* -oo V x ) у —> -1-00 V У J у 4-00 \ У 1 J
(	1 V"1	/	1 \
= lim I 1 4------=-	= lim I 1 +------T = e • 1 = e.
У —> 4-00 V У 1 J	У 4-00 \ У 1 )
Объединяя оба случая, окончательно имеем
(	1 V
lim I 1 4- -	= е. 
I	-V» J
Второй замечательный предел имеет широкое применение.
С его помощью находят многие другие пределы.
□ Пример 4. Найти lim (1 4- х)1/х.
х о
Решение. Сделаем замену переменной, полагая 1/х = а.
Тогда очевидно, что а —► °о при х -* 0. Поэтому
(	1 V
lim (1 4- х)1/х = lim [14--] = е.
X 0	а -* оо V (X/
119
Пример 5. Найти limfl + -V.
X оо V х )
Решение. Положим х = 3t. Тогда при х оо и t оо. Сле-
довательно,
z	О \Х	z	1 x3t
lim I 1 + - | = lim I 1 + ; I =
X —* oo \	X J i —> co у t J
1 +
= lim
t oo
lim
t oo
I)'
lim
t oo
= e*e*e = e3.
□
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Докажите первый и второй замечательные пределы.
2.	Докажите, что lim (1 + х)1/х = е.
х о
§ 2.5.	Бесконечно малые
и бесконечно большие функции
1.	Бесконечно малые функции1.
Определение 1. Функция f(x) называется бесконеч-
но малой функцией (или просто бесконечно малой) в
точке х = х0 (или при х -> х0), если lim f(x) = 0.
Аналогично определяются бесконечно малые функции при
X ~► ОО, X -+ +°О, X -ОО, х х0 - и х х0 +.
Так как предел бесконечно малой функции равен нулю, т. е.
|/(х) - А| = \f(x) - 0| = |/(х)|, то можно дать равносильное опреде-
ление бесконечно малой функции «на языке е—8»: функция
f(x) называется бесконечно малой в точке х = х0, если
для любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что для всех
х е X, х * х0, удовлетворяющих неравенству |х - х0| < 8,
выполняется неравенство |/(х)| < е2, и «на языке последова-
1 Заметим, что название «математический анализ» — это видоиз-
мененное старое название «анализ бесконечно малых».
2 Рекомендуем сформулировать определение бесконечно малой
функции «на языке Е—8» для случаев х —► оо, х —► +°°, х —► -оо, х —►
-* х0 - И X —► х0 +.
120
тельностей»: функция f(x) называется бесконечно малой
в точке х = х0, если для любой сходящейся к х0 последо-
вательности {хп} значений аргумента, отличных от х0,
соответствующая последовательность {/(хп)} является
бесконечно малой.
□ Пример 1. Используя определение 1, доказать, что функ-
ция /(х) = х - 1 является бесконечно малой в точке х = 1, т. е.
что lim (х - 1) = 0.
х -* 1
Решение. Так как предел бесконечно малой функции ра-
вен нулю, то это значит, что для любого £ > 0 существует 8 > 0
такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х - 1| < 8,
х 1, следовало бы неравенство |/(х)| = |х - 1| < е. Отсюда видно,
что если взять 8 = е, то для всех х, удовлетворяющих неравенст-
ву |х - 1| < 8, выполняется требуемое неравенство |/(х)| < е. Это
и означает, что lim (х - 1) = 0. □
х 1
Бесконечно малые функции обладают такими же свойства-
ми, что и бесконечно малые последовательности. Справедливы
следующие две теоремы.
ТЕОРЕМА 2.5. Сумма и разность двух бесконечно
малых функций есть бесконечно малые функции.
Доказательство. Пусть а(х) и Р(х)— бесконечно ма-
лые функции. Требуется доказать, что функция а(х) 4- Р(х) —
бесконечно малая, т. е. показать, что для любого е > 0 сущест-
вует 8 > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенст-
ву |х - х0| < 8, х х0, будет выполняться неравенство |а(х) 4-
+ Р(х)|<е.
Пусть е — любое положительное число. Так как а(х) является
бесконечно малой функцией, то для положительного числа е/2
существует 8Х > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих нера-
венству |х - х0| < 8Р х # х0, будет выполняться неравенство
|а(х)|<е/2.	(1)
Так как Р(х) является бесконечно малой функцией, то для
положительного числа е/2 существует 82 > 0 такое, что для всех
х, удовлетворяющих неравенству |х - х0| < 82, х х0, будет вы-
полняться неравенство
|р(х)|<е/2.	(2)
121
Возьмем 8 = min {8Р 82}. Тогда для всех х, удовлетворяющих
неравенству |х - х0| < 8, х # х0, будут одновременно выполнять-
ся неравенства (1) и (2). Но в таком случае
|а(х) + Р(х)| < |а(х)| + |Р(х)| < е/2 + е/2 = е.
Следовательно, |а(х) + Р(х)| < е. Это означает, что функция |а(х) +
4- Р(х)| бесконечно малая. Если имеет место разность двух функ-
ций доказательство аналогично. 
СЛЕДСТВИЕ. Алгебраическая сумма любого ко-
нечного числа бесконечно малых функций есть
и бесконечно малая функция.
□ Пример 2. Функция х + х2 есть бесконечно малая
функция при х 0, так как функции х и х2 бесконечно малые
при х —► 0. □
Прежде чем перейти к доказательству следующей теоремы о
бесконечно малых функциях, докажем лемму, устанавливаю-
щую связь между понятиями ограниченной функции1 и функ-
ции, имеющей предел.
ЛЕММА 2.1. Если функция /(х) имеет предел при
х —► х0, то она ограничена в некоторой Ъ-окрест-
ности точки х0.
Доказательство. Пусть lim /(х) = А. Тогда, на основа-
нии определения 2 предела функции, для е = 1 существует 8 > 0
такое, что из неравенства |х - х0| < 8, х х0, следует неравенст-
во |/(х) - А| < 1. Используя это неравенство, получаем
|/(х)| = |(/(х) - А) + А| < |/(х) - А\ + \А\ < 1 + А = М,
где М — некоторое положительное число. Это и означает, что
функция /(х) ограничена в 8-окрестности точки х0. 
Замечание. Функцию, ограниченную в 8-окрестности точки
х0, будем называть ограниченной при х —► х0. Например, функция
Дх) = 5 + sin х ограничена при х —► 0.
1 Напомним, что функцию /(х) называют ограниченной на
некотором множестве X значений аргумента, если существует чис-
ло М > 0 такое, что для всех х g X выполняется неравенство
|/(X)| < М.
122
СЛЕДСТВИЕ. Бесконечно малая функция ограни-
чена при х х0.
ТЕОРЕМА 2.6. Произведение ограниченной функ-
ции (при х х0) на бесконечно малую (при х х0)
есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Пусть g(x) — ограниченная функция
при х х0, a f(x) — бесконечно малая функция. Требуется дока-
зать, что функция g(x) • f(x) есть бесконечно малая при х х0.
Функция g(x) ограничена при х х0, поэтому существует чис-
ло М > 0, для которого найдется такая 8j-окрестность точки х0,
в которой выполняется неравенство
\g(x)\<M.	(3)
Возьмем любое е > 0. Так как f(x) бесконечно малая функция,
то для положительного числа e/Af существует 32 > 0 такое, что
для всех х, удовлетворяющих неравенству |х - х0| < 82, х х0, бу-
дет выполняться неравенство
\f(x)\<E/M.	.	(4)
Пусть 8 = min {8Р 82}. Тогда для всех х, удовлетворяющих
неравенству |х - х0| < 8, х х0, одновременно выполняются не-
равенства (3) и (4). Имеем |^(х) • /(х)| = |^(х)| • |/(х)| < М • е/М = е,
т. е. |g(x)*/(x)| < е. Это означает, что функция f(x)*g(x) беско-
нечно малая. 
СЛЕДСТВИЯ. 1. Произведение двух бесконечно ма-
лых функций есть бесконечно малая функция, так
как любая бесконечно малая функция ограничена
при х —► х0 (см. следствие из леммы 2.1).
2.	Произведение бесконечно малой функции на чис-
ло есть бесконечно малая функция, так как
число — частный случай ограниченной функции.
□ Пример 3. Функция f(x) = (х - Ipsin * t явля-
ется бесконечно малой при х	1, так как она является произведе-
нием ограниченной функции sin^. * , х # 1 ( |sin^4ry | < 1) на
функцию х - 1, бесконечно малую при х 1 (см. пример 1). □
Докажем теорему, устанавливающую связь между понятия-
ми функции, ее предела и бесконечно малой функции.
123
ТЕОРЕМА 2.7. Если функция f(x) имеет предел А
при х —► х0, то ее можно представить в виде сум-
мы числа А и бесконечно малой функции. Обрат-
но, если функция f(x) представляется в виде сум-
мы числа А и бесконечно малой функции, то число
11 А является пределом функций при х -» хог.
Доказательство. Пусть lim f(x) = А. Рассмотрим фун-
х —х0
кцию f(x) - А. Обозначим ее а(х):
/(х)-А = а(х)	(5)
и покажем, что а(х) — бесконечно малая функция при х х0.
По определению предела функции, из того, что lim /(х) = А,
следует, что для любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству |х - х0| < 8, х х0, выпол-
няется неравенство |/(х) - А| < е. Но тогда для тех же х и |а(х)| < е,
а это значит, что а(х) — бесконечно малая функция. Из равенст-
ва (5) получаем /(х) = А 4- а(х). Таким образом, первое утвержде-
ние теоремы доказано.
Обратно, по условию, /(х) = А 4- а(х), где а(х) — бесконечно ма-
лая функция. Покажем, что lim /(х) = А. Пусть /(х) - А = а(х).
Так как а(х)— бесконечно малая функция, то, по определе-
нию бесконечно малой функции «на языке е—8», для любого е > О
существует 8 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих не-
равенству |х - х0| < 8, х х0, выполняется неравенство |а(х)| < е.
Но так как |/(х) - А| = |а(х)|, то для тех же х и |/(х) - А| < е.
А это, на основании определения предела функции, значит, что
lim /(х) = А. Второе утверждение теоремы доказано. 
х-х0
Из теоремы 2.7 получаем специальное представление для
функции, имеющей в точке х = х0 предел, равный А:
f(x)=A4- а(х),
где lim а(х) = 0.
х-х0
1 Для наглядности в данной теореме объединены две теоремы:
прямая и обратная. Напомним, что теорема называется обратной
данной теореме, если ее условие и заключение являются соответ-
ственно заключением и условием данной теоремы. Когда справед-
ливы прямая и обратная теоремы, то часто их объединяют в одном
предложении, употребляя выражение «необходимо и достаточно».
Иногда употребляют и другие выражения, например: «тогда и только
тогда», «в том и только в том случае». Этот прием уже применялся
(см. теорему 2.2).
124
При этом обычно говорят, что функция f(x) в окрестности
точки х0 отличается от А на бесконечно малую функцию.
Теперь можно (см. замечание в § 2.3) доказать теорему 2.3,
используя определение предела функции «на языке е—8».
ТЕОРЕМА. Пусть lim f(x) = Au lim£(x) = С при
X^Xq	X - х0
условии С # 0. Тогда:
1)	lim (Дх) ± £(х)) = lim Дх) ± lim#(x);
X Xq	X — Xq	X — Xq
2)	lim (/(x) • g(x)) = lim f(x) • lim g(x);
X —’ Xq	X—>Xq	X -> Xq
limftx)
limg(x)’
0	x^Xq
—II--------------------------------------------------------
Доказательство. 1) На основании теоремы 2.7 (первое
утверждение) функции Дх) и g(x) можно представить в виде
Дх) = А 4- а(х) и g(x) = С + Р(х),
где а(х) и Р(х) — бесконечно малые функции при х х0. Следо-
вательно,
Дх) + g(x) = (А + а(х)) + (С + Р(х)) = (А + С) + (а(х) + р(х)). (6)
На основании теоремы 2.5 сумма а(х) 4- Р(х) — бесконечно
малая функция. Из (6) следует, что функция Дх) 4- g(x) пред-
ставлена как сумма числа А 4- С и бесконечно малой функции
а(х) 4- Р(х). По теореме 2.7 (второе утверждение) это значит, что
число А 4- С является пределом функции Дх) 4- g(x), т. е.
lim (Дх) 4- £(х)) = А + С = lim Дх) 4- lim g(x).
X Xq	X — Xq	X —- Xq
В случае разности двух функций доказательство аналогично.
2) На основании теоремы 2.7 (первое утверждение)
Дх) = А + а(х) и g(x) = С 4- Р(х),
где а(х) и Р(х) — бесконечно малые функции при х х0. Следо-
вательно,
f(x) • g(x) = {А + а(х)) • (С + Р(х)) =
= А • С + (Са(х) +Ар(х) + а(х) • р(х)).	(7)
Функция Са(х) 4- АР(х) 4- а(х) • Р(х) является бесконечно ма-
лой функцией как сумма трех бесконечно малых функций (см.
следствия из теорем 2.5 и 2.6). Из равенства (7) следует, что
функция Дх) • g(x) представлена как сумма числа А • С и беско-
125
нечно малой функции Са(х) + А0(х) + а(х)Р(х). По теореме 2.7
(второе утверждение), это значит, что число А • С является пре-
делом функции Дх) • g(x), т. е.
lim (Дх) • g(x)) = А'С = lim Дх) • lim g(x).
X х0	х -» х0 х х0
3) На основании теоремы 2.7 (первое утверждение)
/(х) = А 4- а(х) и g(x) = С + Р(х),
где а(х) и Р(х) — бесконечно малые функции при х —► х0. Следова-
тельно,
/(х) _ А _ А + а(х) _ А _ Са(х) - АР(х)
i(xj С “ С + р(х) С С2 + Ср(х) ’
откуда получаем равенство
/(х) _ А Са(х) - Ар(х)
i(x) ~С+ С2 + СР(х) ‘
/(х)
Равенство (8) показывает, что функция может быть
6\Х)
(8)
представлена как сумма числа и бесконечно малой функции
О
Cot(x) — .zA.B(x)
Л	. Действительно, числитель дроби Са(х) - АР(х)
О ।
есть бесконечно малая функция, а знаменатель С2 4- СР(х) по
теореме 2.7 (второе утверждение) имеет предел С2 # 0. Пусть
Л(х) = Са(х) - АР(х), z(x) = С2 4- Ср(х) и lim z(x) = В (В = С2).
Тогда дробь может быть представлена в виде h(x) •
Z X J	Z [Л
Покажем, что функция —ограничена при х —► х0. Возьмем в ка-
честве е положительное число, меньшее |В|. Тогда |В| - £ > 0. На ос-
новании определения предела функции из неравенства |х - х0| < 8,
х # х0, следует неравенство |г(х) - В| < е, но так как |г(х) - В| =
= |В - г(х)| > |В| - |z(x)|, то |В| - |z(x)| < £ и |z(x)| > |В| - £ > 0. Сле-
довательно,
|г(х)|	|z(x)|	|В| - е М'
что и требовалось показать. Из теоремы 2.6 вытекает, что част-
Л(х)	1
ное = h(x) • (произведение бесконечно малой на огра-
Z{X)	z{x)
126
ниченную) есть бесконечно малая функция. Таким образом, на
^4
основании теоремы 2.7 (второе утверждение), число является
О
.	/(х)
пределом функции -j , т. е.
lim
х^х0
f(x) _ А
g(x) С
lim f(x)
x-^x0
lim g(x) *
X-X0
Итак получены два варианта доказательств очень важной
теоремы 2.3.
Попутно доказано утверждение: частное от деления беско-
нечно малой функции на функцию, предел которой х х0
отличен от нуля, является бесконечно малой функцией.
Замечание. Все проведенные доказательства построены в ос-
новном на проверке выполнения условий, сформулированных в опре-
делении предела функции «на языке Е—8». Поэтому обращаем вни-
мание на четкое понимание данного определения.
Все сказанное о бесконечно малых функциях при х —► х0
справедливо и для бесконечно малых функций при х оо,
X +°°, X -°о, X х0 - И X х0 +.
2. Бесконечно большие функции.
Определение 2. Функция /(х) называется беско-
нечно большой функцией (или просто бесконечно боль-
шой) в точке х = х0 (или при х —► х0), если для любого £ > О
существует 8 > 0 такое, что для всех х е X, х * х0,
удовлетворяющих неравенству |х — х0| < 8, выполняется
неравенство |/(х)| > £.
В этом случае пишут lim f(x) = оо и говорят, что функция
x^xQ
стремится к бесконечности при х —► х0 или что она имеет
бесконечный предел в точке х = х0.
Если же выполняется неравенство f(x) > е(/(х) < -е), то пи-
шут lim f(x) = 4-оо ( lim f(x) = -oo) и говорят, что функция
X х0	х - х0
имеет в точке х0 бесконечный предел, равный 4-оо (-оо).
По аналогии с конечными односторонними пределами опре-
деляются и бесконечные односторонние пределы:
lim f(x) = Ч-оо, lim f(x) = -oo, Цт f(x) = 4-oo, Цт f(x) = -oo.
X -* x0+	X x0+	X x0-	x — x0-
127
Так, например, пишут lim f(x) = +°°, если для любого е > О
существует 8 > 0 такое, что для всех х е X, удовлетворяющих
неравенствам х0 < х < х0 4- 8, выполняется неравенство /(х) > е.
«На языке последовательностей» это же определение запи-
сывается так: lim /(х) = +°°, если для любой сходящейся к х0
последовательности {хп} значений аргумента х, элементы хп ко-
торой больше х0, соответствующая последовательность {/(хп)}
значений функции является бесконечно большой положитель-
ного знака.
Точное определение подобных пределов рекомендуем дать
самостоятельно.
Аналогично определяются бесконечно большие функции
при х -* °°, х -* 4-оо их-* -оо. Так, например, функция f(x) на-
зывается бесконечно большой при х —* оо, если для любого е > О
существует 8 > 0 такое, что для всех х g X, удовлетворяющих
неравенству |х| > 8, выполняется неравенство |/(х)| > е. При этом
пишут lim /(х) = °0.
X ОО
Если же выполняется неравенство /(х) > е(/(х) < -е), то пи-
шут lim /(х) = 4-оо ( Нт Дх) = -оо).
X ОО	X оо
Предлагаем самостоятельно сформулировать определение бес-
конечно большой функции при х —* 4-оо их-* -оо.
В заключение покажем, что между бесконечно малыми и бес-
конечно большими функциями существует такая же связь, как и
между соответствующими последовательностями, т. е. функция,
обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и на-
оборот.
В самом деле, пусть lim Дх) = 0 и Дх) # 0 при х # х0. Дока-
х^х0
жем, что lim = оо.
Зададим произвольное е > 0. Так как Дх) — бесконечно ма-
лая функция в точке х0, то для числа 1/е существует 8 > 0 та-
кое, что для всех х е X, удовлетворяющих неравенствам 0 < |х -
- х0| < 8, выполняется неравенство |Дх)| < |. Но тогда для тех
111	1	л
же х выполняется неравенство х > е, т. е. — бесконеч-
|Дх)|	/W
но большая функция в точке х = х0, что и требовалось доказать.
(Обратное утверждение рекомендуем доказать самостоятельно.)
128
□ Пример 4. Используя определение 2, доказать, что функ-
ция f(x) = - 2 j при х —► 1 является бесконечно большой, т. е.
Решение. Согласно определению, надо доказать, что для
любого £ > 0 существует 8 > 0 такое, что из неравенства |х - 1| <
< 8 следует неравенство |/(х)| > е, т. е. 1	> е.
|х - 1|
Возьмем любое е > 0 и решим неравенство 1	> е. Получа-
|х - 1|
ем |х - 1| < -. Таким образом, в качестве 8 можно взять число 1/е.
Итак, для любого е > 0 существует 8 = 1/е такое, что для всех х,
удовлетворяющих неравенству |х - 1| < 8, выполняется неравен-
ство |/(х)| > е. Это и означает, что данная функция /(х) является
бесконечно большой при х —► 1.
Пример 5- Доказать, что функция /(х) = logax, а > 1, при
х -* +оо является бесконечно большой, т. е. lim log х = 4-оо.
+оо
Решение. Надо показать, что для любого е > 0 существует
8 > 0 такое, что из неравенства х > 8 следует неравенство
loga х > Е. Берем любое е > 0 и рассматриваем неравенство
loga х > Если взять 8 = ае, то при х > 8 будет выполняться не-
равенство loga х > е, а это означает, что данная функция /(х) яв-
ляется бесконечно большой при х 4-оо.
Пример 6. Пусть limftx) = A, limg(x) = 4-оо. Доказать,
x^xQ	х — х0
что lim (/(х) 4- g(x)) = 4-оо.
х^х0
Решение. Надо доказать, что для любого е > 0 существует
8 > 0 такое, что из неравенства |х - х0| < 8, х х0, следует нера-
венство /(х) 4- g(x) > е, т. е. функция /(х) 4- g(x) удовлетворяет оп-
ределению бесконечно большой функции положительного знака
в точке х0. Согласно лемме 2.1, если функция /(х) имеет предел
при х х0, то существует 8'-окрестность точки х0, в которой
|/(х)|<М,	(9)
где М — некоторое положительное число.
Возьмем теперь любое е > 0. Так как, по условию, lim g(x) =
х^х0
= 4-оо, то, согласно определению бесконечно большой функции
5 - 3587 Шиначев
129
при х -> х0, для числа е 4- М > 0 существует 8 > О (8 < 8') такое,
что из неравенства |х - х0| < 8, х х0, следует неравенство
£(х)>е4-М.	(10)
Из неравенств (9) и (10) получаем, что при |х - х0| < 8 < 8'
справедливо неравенство /(х) 4- g(x) > g(x) - |/(х)| > е 4- М - М =
= е, а это означает, что функция /(х) 4- g(x) удовлетворяет опре-
делению бесконечно большой функции при х х0, т. е.
lim (Дх) 4- £(х)) = 4-00. □.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте определение бесконечно малой функции:
а) при х х0; б) при х оо. Приведите примеры таких
функций.
2.	Какова связь между понятиями ограниченной функции и
функции, имеющей предел?
3.	Сформулируйте определение бесконечно большой функции:
а) при х	х0; б) при х —► оо.
4.	Что означают записи: lim Дх) = 4-оо, Нт /(х) = 4-оо,
х х0-	х -оо
lim Дх) = -оо? Дайте соответствующие определения.
X оо
5.	Какова связь между бесконечно малой и бесконечно боль-
шой функциями?
6.	Докажите теоремы 2.5—2.6 для случая бесконечно малых
функций при х оо.
§ 2.6.	Сравнение бесконечно малых
и бесконечно больших функций
Мы уже знаем, что сумма, разность и произведение бес-
конечно малых функций являются бесконечно малыми функ-
циями. Этого, вообще говоря, нельзя сказать о частном: деление
одной бесконечно малой на другую может привести к различ-
ным результатам. Так, например, если а(х) = х, Р(х) = 2х, то
lim
х о
а(х)
Р(х)
_ х _ 1
2-
Если же а(х) = х, Р(х) = х2, то
lim
х О
а(х)
= lim - =
х^0х
I- Р(х) V п
hm i-T—4 = hm х = О
оа(х)
130
Правила сравнения бесконечно малых функций
Пусть при х х0 функции а(х) и Р(х) являются бесконечно
малыми. Тогда:
ot(x)
1)	если lim тту—т = 0, то а(х) называют бесконечно ма-
х х0 Pvx)
лой более высокого порядка, чем Р(х) (говорят также, что
а(х) имеет более высокий порядок малости, чем Р(х), при
х — х0);
2)	если lim ; = А # О (А — число), то а(х) и Р(х) на-
X^Xq PW
зывают бесконечно малыми одного порядка (имеют как бы
«одинаковую скорость» стремления к нулю);
3)если lim = 1, то а(х) и Р(х) называют эквива-
лентными бесконечно малыми.
Эквивалентность обозначают так: а(х) ~ Р(х). В некоторых
случаях оказывается недостаточно знать, что одна из двух бес-
конечно малых является бесконечно малой более высокого по-
рядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот поря-
док. Поэтому вводится следующее правило:
4)	если lim = А 0, то а(х) называется беско-
х^х0Р Vх/
нечно малой п-го порядка относительно Р(х).
Существуют аналогичные правила для сравнения бесконеч-
но малых функций при х —► оо, при х —►	при х —► +°°, а так-
же при х —► х0 справа и слева.
□ Примеры. 1. Функции sin х и х являются при х —► 0 экви-
.. sinx .
валентными бесконечно малыми, так как lim-- = 1.
х —О х
2.	Функции sin Зх и sin х являются при х —► О бесконечно
малыми одного порядка, так как
3sin3x
.. sin3x .. Зх
lim —---- = lim -7—.—г-^-
sinx 0(smx)/x
О1. sin3x
= 3 lim —5—
x-»0 3x
lim -2- - 3.
x 0 sinx
3.	Функция a(x) = 1 - cos x является при x —► 0 бесконечно
малой второго порядка малости по отношению к бесконечно ма-
лой х, так как
.. 1-cosx	v 2sin2(x/2)	1 .. fsin(x/2)A2	1
lim----«— = lim--------\	= n lim — ' 	= . □
x-o *2	x^0 x2	2X_OV x2 )	2
131
При сравнении бесконечно малых функций часто использу-
ют символ о («о малое»). Если функция а(х) в точке х0 беско-
нечно малая более высокого порядка, чем бесконечно малая
Р(х) в этой же точке, то это условно записывают так:
а(х) = оф(х))1.
Заметим также, что если функции а(х) и Р(х) — бесконечно
малые в точке х0, то функция а(х) • Р(х) имеет более высокий
порядок малости, чем каждый из сомножителей. В самом деле,
lim	= Ит a(x) = О
х^х0 Pv-M x — xQ
и поэтому a(x)P(x) = о (P(x)), a(x)P(x) = o(a(x)).
Для бесконечно больших функций имеют место аналогич-
ные правила сравнения.
1 х	1
□ Примеры. 1. Функции а(х) = ....и р(х) = - являются
при х -* 0 эквивалентными бесконечно большими, так как
lim RFH = lim f1 + х) = х-
В этом случае говорят также, что а(х) и Р(х) имеют одина-
ковый порядок роста при х 0.
2.	Функция а(х) = х2 4- 4 является при х оо бесконечно
большой более низкого порядка, чем Р(х) = х3 - 2 (имеет менее
высокий порядок роста), так как
.. а(х) .. х2 + 4	1 + 4/х2	..	1 Л
lim тгт—г = hm	—о—х	= lim ---х1—?	= lim	- = 0.
х —* оо р(х) х	ЭС 2	со X	2/X х
3.	Бесконечно большие при х —► оо функции а(х) = 2х2 4- 1
и Р(х) = х2 - 1 имеют одинаковый порядок роста, так как
lim
X оо
2х2 4- 1
х2 - 1
= 2.
4.	Функция а(х) = х4 + х + 1 является при х оо бесконеч-
но большой второго порядка по отношению к бесконечно боль-
шой Р(х) = х2 4-1, так как
.. х4 4-х + 1	.. х4 + х + 1	..	1 +1/х3 4- 1/х4	1	.
lim , 9 ,  9 = lim 4 , п 9 , 1 = lim 1	. 2 , . z 4 = 1. □
х —> ОО (X2 4- I)2 X —* ОО X4 4- 2х2 4- 1 X —* ОО 1 4- 2/х2 4- 1/х4
1 Читают: а(х) равно «о малое» от Р(х) при х —► х0.
132
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Что значит сравнить две бесконечно малые функции?
2.	Приведите примеры бесконечно малой функции а(х):
а)	одного порядка малости с функцией Р(х) в точке х0;
б)	эквивалентной функции Р(х) в точке х0;
в)	более высокого порядка малости, чем Р(х), при х х0.
3.	Что означает символическая запись а(х) = о (Р(х)) при х х0?
4.	Докажите, что: а) х3 = о(х2) при х —► 0; б) (х - I)2 = о(х - 1)
при х —* 1.
5.	Верно ли равенство х3 = о(Р(х)) при х -* 0, если Р(х) = х2 sin х?
6.	Докажите, что 1/х4 = о(1/х3) при х —► оо.
7.	Верно ли равенство 1/х4 == о(Р(х)) при х -* оо, если Р(х) =
= l/(x3sin х)?
8.	Докажите, что sin х - х = о(х) при х —► 0.
9.	Сравните следующие бесконечно большие функции при х —► оо:
а)	а(х) = х2 + 5х и Р(х) = х3 + 2х2;
б)	а(х) = 2х2 + 1 и Р(х) = (х - I)2;
в)	а(х) = Jx + 1 и Р(х) = л/х.
§ 2.7. Вычисление пределов функций
Мы познакомились с понятием предела функции /(х) при
х —► х0, х х0 -, х —► х0 +, х +°о, х —► -оо и х —► оо, с непо-
средственным применением теоремы 2.3 о пределах суммы,
произведения и частного двух функций /(х) и g(x), имеющих
конечные пределы, для вычисления пределов и т. д. Осталось
рассмотреть случаи вычисления пределов, которые не охваты-
ваются рассмотренными ранее способами.
Будем говорить, что отношение двух функций ^7—7 есть не-
определенность вида g или — , если числитель и знаменатель
дроби одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при
х —► х0, х —► х0 +, х -* х0 -, х —► +°°, х —► -оо и х оо. в этих слу-
чаях о пределе отношения f(x)/g(x) ничего определенного сказать
нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, бесконечнос-
ти, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать.
Раскрыть эти неопределенности — значит вычислить предел отно-
шения
Лх)
если он существует, или установить, что он не су-
ществует. На конкретных примерах посмотрим, как это делается.
133
□ Пример 1. Найти lim -----.
х--2 х3 4-8
Решение. Непосредственно теорему 2.3 (предел частного)
применить нельзя, так как предел знаменателя при х -+ -2 ра-
вен нулю. Здесь и предел числителя при х —► -2 также равен ну-
лю. Следовательно, имеем неопределенность вида g. Необходи-
мо, как говорят, раскрыть эту неопределенность. Для это-
го разложим числитель и знаменатель на множители и
сократим на общий множитель х 4- 2, который обращает в нуль
знаменатель и числитель дроби. Это можно сделать, так как в
определении предела функции содержится существенная ого-
ворка: функция может не быть определенной в точке х = -2, т. е.
при отыскании предела функции при х -+ -2 значение функции
при х = -2 может не рассматриваться. В рассматриваемом слу-
чае х, стремясь к значению аргумента -2, никогда не становится
равным -2 и, значит, х 4- 2	0. Если бы указанной оговорки не
было, то мы должны были рассматривать и значение х = -2, но
разделить числитель и знаменатель дроби на х 4- 2 не смогли бы,
так как такое деление означало деление числителя и знаменате-
ля дроби на нуль, что невозможно, поскольку на нуль делить
нельзя. После сокращения дроби на х 4- 2 получаем:
х2 4- 6х 4- 8 _ (х 4- 2)(х 4-4)	_ х 4- 4
х3 4- 8 (х 4- 2)(х2 - 2х + 4) х2 - 2х + 4 ’
Естественно возникает вопрос: тождественны ли функции
х2 + 6х + 8 х + 4	?
х3 4- 8 И х2 - 2х 4- 4
Ответ: функции тождественны, если не рассматривать значение
х = -2. Области их существования совпадают, и численные значе-
ния, взятые при одном и том же значении аргумента, равны.
Итак, для всех значений х -2 имеет место тождество
х2 4- 6х 4- 8 х 4- 4
х3 4- 8 х2 - 2х + 4 ’
а так как при вычислении предела функции при х -2 не име-
ет значения, определены или не определены эти функции в са-
мой точке х = -2 (объясните почему), то пределы этих функций
равны между собой1:
lim
х — -2
х2 4- 6х 4- 8
х3 4- 8
х + 4
1пп —2---о—~~7 •
х^-2 х2 — 2х 4- 4
1 На это утверждение следует обратить внимание, так как оно
часто используется.
134
Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределен-
0	о о
ность q раскрыта; применяя теорему 2.3, окончательно находим
2 а  Q lim (х + 4)
.. X2 4- ОХ + 8 _	х—2
х х3 4- 8 lim (х2 - 2х + 4)
х—*-2
=______Z2 + 4_____2_ = 1
(-2)2 - 2(-2) + 4	12	6
При вычислении пределов отношения двух многочленов при
х —*	х —* 4-оо их-* для раскрытия неопределенности ви-
оо
да — числитель и знаменатель дроби надо разделить на х в стар-
шей степени; величина дроби от этого не изменится. При этом,
если в числителе и знаменателе многочлены одной степени, пре-
дел равен отношению коэффициентов при старших степенях,
если разной степени, то предел равен 0 или оо.
□ Пример 2. Найти lim п 9 , о——.
х^оо2х2 + Зх + 4
оо
Решение. Имеем неопределенность вида —. Разделив на
х2 числитель и знаменатель дроби, а затем применив теоре-
му 2.3, получим
..	х2 + 2х + 3	_ ..	1	+	2/х	+ З/х2	_	1^о(1 + 2/х + 3/х2) _
Д™	2х2 + Зх + 4	2	+	3/х	+ 4/х2	lim (2 + 3/х + 4/х2)
х~*°о
lim 1 +	lim(2/x) + lim (3/х2)	n n 1
“ lim 2 +	lim (2/x) + lim (3/x2)	“	2 + 0 + 0 - 2 '
x—*°o	x—>o°	x—oo
Пример 3. Найти lim
X OO
x 4- 3
2x2 + 3x + 4 ’
OO	о
Решение. Имеем неопределенность вида — . Разделив на х2
числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему 2.3,
получим
.. х 4- 3	..	1/х 4- 3/х2
lim н—9-7-0--ГТ = 11т О.О/-----.
х —► ОО 2х2 + Зх + 4	X —- ОО 2 + 3/х + 4/х2
lim (1/x 4- 3/x2)
_ X-*°°	_
lim (2 4- 3/x 4- 4/x2)
lim (1/x) 4- lim (3/x2)
_	x-*oo	x~*oo	_
lim 2 4- lim (3/x) 4- lim (4/x2)
0 + 0	_ ° -Л
2 4-0 4-0	2
135
Пример 4. Найти lim 2 , Q .
X —* оо X то
ОО
Решение. Имеем неопределенность вида —. Разделив на х6
числитель и знаменатель дроби, получим
.. х3 4- 5	..	1 + 5/х3
lim 2 , Q = lim y-.—я '	* = 00,
х —► ОО х1 2 4- 3	X —► оо 1/х + 3/х3
так как при х оо функция h(x) = 14- 5/х3 имеет предел, рав-
ный 1, функция 1/Л(х) ограниченная (докажите это самостоя-
тельно), функция g(x) = 1/х 4- З/х3 бесконечно малая (также до-
^(х)	1
кажите самостоятельно) и lim 7-7—т = lim g(x) • 7-7—т = 0 (произ-
X—>оо/ЦХ) х —оо	п\Х)
ведение ограниченной на бесконечно малую), т. е. данная дробь,
как обратная, есть бесконечно большая функция при х оо. □
Упражнения.
Найдите предел.
2. lim
5. lim
Зх + 5
2х + 6 ’
х5 4- х3 - 4х
3.
X3 - X2 - X + 1
lim о , 2------------г •
х —► 1 xd 4- х2 — х — 1
_ .. х2 4- 2х - 8
6. lim-------л—5—
х - 2 х3 - 8
1. lim
х —* 1 х6 4- х3 4- 1
2х3 - х2 4- 1
Зх4 + Зх 4- 4 ’
х2 + х - 12
4. lim
7‘	- Эх + 9 •
х3 + 2х2 4- 4 ’
_ .. х3 - х2 - х 4- 1
8. 11т --з---о—ГТ"
Х ^ 1 х3 - Зх 4- 2
Вычисление пределов функции продолжим после того, как
рассмотрим понятие непрерывности функции.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Что означают записи: х -► х0, х х0-, х х0 4-, х 4-оо,
х -> -ОО и X —* ОО?
2.	В каких случаях говорят о наличии неопределенности вида
О °°о
б ИЛИ ОО ?
3.	Что означают слова «неопределенность раскрыта»?
4.	Почему х х0 при х х0?
§ 2.8.	Понятие непрерывности функции
Понятие непрерывности функции является одним из ос-
новных понятий математического анализа.
1. Определение непрерывности функции. Пусть на неко-
тором промежутке X определена функция /(х) и точка х0 при-
надлежит этому промежутку.
136
Определение 1. Функция f(x) называется непре-
рывной в точке х0, если предел функции и ее значение в
этой точке равны, т. е.
lim f(x) = f(x0).	(1)
х^х0
Так как lim х = х0, то соотношение (1) можно записать в сле-
х —х0
дующем виде:
lim /(х) = /( lim х),
X ~* Xq	X Xq
т. е. для непрерывной функции знаки функции и предела мож-
но переставлять и переходить к пределу под знаком функции.
Согласно определению 1, для того чтобы функция /(х) была не-
прерывна в точке х0, требуется выполнение следующих условий.
1)	Точка х0 должна принадлежать области определения функ-
ции. Заметим, что этого не требовалось, когда мы рассматрива-
ли предел функции /(х) в точке х0. В этом состоит отличие по-
нятия непрерывности функции от понятия ее предела. (На это
следует обратить внимание!)
2)	Функция /(х) должна иметь конечный предел при х
-> х0, т. е.
lim ftx) = А.
x^Xq
3)	Этот предел А должен быть равен значению функции в
точке х = х0, т. е. должно выполняться равенство А = /(х0).
Если же равенство (1) не выполняется, то функцию (х) назы-
вают разрывной в точке х0, а саму точку х0 — точкой раз-
рыва функции /(х).
□ Пример 1. Доказать непрерывность функции /(х) = Зх2 +
+ 2х + 1 в точке х = 1.
Решение. На основании известных теорем о пределах
функции найдем предел данной функции при х —► 1:
lim (Зх2 + 2х + 1) = 3lim х2 + 2lim х + 1 = 3*1 + 2*1 + 1 = 6.
X —* 1	X —* 1	X — 1
Вычислим значение функции в точке х = 1:
/(1) = 3 • 1 + 2 • 1 + 1 = 6.
Сравнивая полученные результаты, видим, что предел функции
и ее значение в точке х = 1 равны, т. е. lim /(х) = /(1). Согласно
X — 1
определению 1, это означает, что данная функция непрерывна в
137
точке х = 1. Аналогично можно показать, что данная функция
непрерывна в любой точке х0 числовой прямой. □
Упражнение. Докажите, что функция f(x) = Зх3 - 4х + 5
непрерывна в любой точке х0 числовой прямой.
Можно дать равносильное определение непрерывности
функции Дх) «на языке последовательностей»: функция Дх)
называется непрерывной в точке х0, если для любой по-
следовательности значений аргумента х: хр х2, х3, ..., хп,
сходящейся к х0, последовательность соответствую-
щих значений функции f(xx), Дх2), Дх3), ..., Дхп), ... схо-
дится к Дх0).
По аналогии с определением предела функции можно сформу-
лировать определение непрерывности функции «на языке е -8».
Определение 2. Функция Дх) называется непре-
рывной в точке х0, если для любого е > 0 существует
8 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравен-
ству |х - х0| < 8, выполняется неравенство |Дх) - Дх0)| < е.
Эквивалентность этих определений очевидна.
В определении 2 мы не пишем х # х0, так как в рассматри-
ваемом случае х0 принадлежит X.
Если lim Дх) = Дх0) ( lim Дх) = Дх0)), то функцию
х х0+	х — Xq-
Дх) называют непрерывной в точке х0 справа (слева).
Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и слева и спра-
ва, то она непрерывна в этой точке. В самом деле, в си-
лу теоремы 2.2, в данном случае предел функции в точ-
ке х0 равен ее значению в этой точке.
Перенесем в равенстве (1) Дх0) в левую часть и внесем Дх0)
под знак предела. Так как условия х х0 и (х - х0)	0 рав-
носильны, то получаем
lim [Дх) - Дх0)] = 0.	(2)
(х-х0) — О
Разность х - х0 называют приращением аргумента х в
точке х0 и обозначают, как правило, Дх (читают: дельта икс),
а разность Дх) - Дх0) — приращением функции в точке х0,
вызванным приращением аргумента Дх, и обозначают \у. Та-
ким образом,
Дх = х - х0, \у = Дх0 + Дх) - Дх0).
138
Приращение Дг/ есть вели-
чина, на которую изменилось
значение функции f(x) при из-
менении значения аргумента
от х0 до х0 4- Дх (рис. 18).
В зависимости от вида функ-
ции ее приращение Дг/ может
быть нулевым, положитель-
ным или отрицательным. При-
ращение аргумента Дх также
может быть положительным
или отрицательным. На рисунке 18 Дх и Дг/ положительны.
Равенство (2) в новых обозначениях принимает вид
lim Дг/ = 0.	(3)
Дх —- 0
Соотношение (3) — еще одно определение непрерывности
функции, которое можно сформулировать так.
Определение 3. Функция /(х) называется непре-
рывной в точке х0, если ее приращение в этой точке яв-
ляется бесконечно малой функцией при \х —► 0.
Это определение для практического использования иногда
более удобно, и будем его также использовать.
□	Пример 2. Найти приращение Дг/ функции /(х) = х2при пе-
реходе аргумента от значения хх = 3 к новому значению х2 = 4.
Решение. Приращение аргумента Дх = х2 - хх = 4 - 3 = 1,
а так как /(х) = х2, то /(х2) = /(4) = 42 = 16, /(хх) = /(3) = З2 = 9
и приращение функции Дг/ = /(х2) - Лхх) = /(4) - /(3) = 16-9 = 7.
□	Пример 3. Используя определение 3 непрерывности функ-
ции, доказать, что функция /(х) = 5х2 - 6х 4- 2 непрерывна в
любой точке х0 числовой прямой.
Р	ешение. Придавая аргументу х в точке х0 приращение
Дх, найдем соответствующее приращение функции
Дг/ = ftx0 + Дх) - Дх0) = 5(х0 4- Дх)2 - 6(х0 4- Дх) 4-
4- 2 - 5х| 4- 6х0 - 2 = (10х0 - 6)Дх 4- 5(Дх)2.
Найдем предел Дг/ при Дх 0
lim Дг/ = lim [(10хо - 6)Дх 4- 5(Дх)2] = 0
Дх —► 0	Дх —- 0
в любой точке х0, что и доказывает непрерывность заданной
функции на всей числовой прямой. □
139
Упражнения. Докажите непрерывность функции в любой
точке х0 числовой прямой.
1.	f(x) = х. 2. f(x) = х2 + Зх + 3. 3. Дх) = х3 - 2х + 4. 4. Дх) =
= Зх3 - 4х + 5.
□ Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию Ди-
рихле
_ 1, если х — рациональное число,
/Iх) — о, если х — иррациональное число.
Решение. Возьмем любую точку х0 на числовой прямой.
Возможны два случая: 1) число х0 рациональное и 2) число х0
иррациональное.
В первом случае Дх0) = 1. В любой окрестности рациональ-
ной точки существуют иррациональные точки, в которых Дх) =
= 0. Следовательно, в любой окрестности точки х0 есть точки х,
в которых приращение функции Дг/ = Дх) - Дх0) = 0 - 1 = -1.
Во втором случае Дх0) = 0. В любой окрестности иррацио-
нальной точки имеются рациональные точки, в которых Дх) =
= 1. Следовательно, в любой окрестности точки х0 есть точки х,
в которых приращение функции Дг/ = Дх) - Дх0) =1-0 = 1.
Таким образом, приращение функции Дг/ может принимать
как значение, равное 1, так и значение, равное -1, т. е. не стре-
миться к нулю при Дх —► 0. Согласно определению 3, это означа-
ет, что функция Дирихле не является непрерывной в точке х0.
А так как точка х0 выбиралась произвольно, то этим доказано,
что функция Дирихле не является непрерывной в каждой точке
и, следовательно, на всей числовой прямой. □
2.	Арифметические действия над непрерывными функ-
циями.
ТЕОРЕМА 2.8. Пусть функции Дх) и g(x) непре-
рывны в точке х0. Тогда функции Дх) ± £(х),
Дх)*£(х) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой
точке (последняя при g(xQ) * 0).
Доказательство. Так как непрерывные в точке х0
функции Дх) и g(x) имеют в этой точке пределы, равные Дх0) и
£(х0), то, по теореме 2.3, пределы функций Дх) ± g(x)> Дх) • g(x)
и f(x)/g(x) существуют и соответственно равны Дх0) ± £(х0),
Дх0)*£(х0), Дх0)/£(х0). Но эти величины равны значениям со-
140
ответствующих функций в точке х0. Следовательно, по опреде-
лению 1, функции f(x) ± g(x), f(x) *g(x) и f(x)/g(x) непрерывны
в точке х0. 
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте три определения непрерывности функции
в точке х0.
2.	В чем различие между понятиями непрерывности функции
и пределом функции в точке х0?
3.	Почему из непрерывности функции слева и справа в точке
х0 следует непрерывность функции в этой точке? На основа-
нии какой теоремы?
4.	Сформулируйте теорему об арифметических действиях над
непрерывными функциями.
§ 2.9. Непрерывность
некоторых элементарных функций
Одним из важных свойств элементарных функций являет-
ся их непрерывность в каждой точке области их определения. На
примере некоторых функций проверим данный факт, используя
определение непрерывности функций в точке и теорему 2.8.
1. Непрерывность рациональных функций. Простейшим
примером функции, непрерывной в любой точке х0 числовой
прямой, служит постоянная функция /(х) = С. В самом деле, в
этом случае lim /(х) = С = /(х0) (см. § 2.2, п. 1, пример 1), т. е.
постоянная функция непрерывна в каждой точке числовой пря-
мой.
Непрерывна также в каждой точке х0 числовой прямой
функция /(х) = х, так как lim х = х0 = /(х0) (см. § 2.2, п. 1, при-
х^х0
мер 2), т. е. предел функции в точке х0 равен ее значению в этой
точке. Из сказанного и теоремы 2.8 следует, что в любой точке
х0 функции х2 = х • х, х3 = х2 • х, х4 = х3 • х, ... , хп = хп ~ 1 • х
(п — натуральное число) непрерывны. Как мы знаем, функция
/(х) = хп называется степенной, а функция вида
Р(х) = С0хп + С1хп"1 + С2хп-2 + ... 4-Cn_xx + Cn,
где и > 0 — целое число, Со, Ср С2, ... , Сп — любые числа, —
многочленом.
141
Каждое из слагаемых Сохп, Сххп " х, С2хп 2, Сп есть про-
изведение двух непрерывных функций (постоянной и степенной).
По теореме 2.8, оно непрерывно в любой точке х. Многочлен Р(х)
является, таким образом, суммой функций, непрерывных в лю-
бой точке х, и, следовательно, непрерывен в любой точке х.
Дробно-рациональная функция, т. е. функция вида
Я(х) =
Р(х)
Q(x)’
где Р(х) и Q(x) — многочлены, непрерывна во всех таких точ-
ках х, в которых ее знаменатель не равен нулю (т. е. во всех точ-
ках, за исключением корней знаменателя), как частное непре-
рывных функций.
Зх2 4" 7х — 1
Например, функция R(x) = —х2 _ i--- непрерывна во всех
точках х, отличных от 4-1 и -1.
2.	Непрерывность тригонометрических функций. Рас-
смотрим тригонометрические функции: sin х, cos х, tg х, ctg х,
sec х, cosec х. Покажем, что функция sin х непрерывна в любой
точке х. Воспользуемся определением 3 непрерывности функ-
ции. Придавая аргументу х приращение Дх, получим прираще-
ние функции
Дг/ = sin (х + Дх) - sin х,
или
Ду = 2 cos (х + Дх/2) sin (Дх/2).
Переходя к пределу в левой и правой частях равенства при Дх —► О,
получаем
lim Ду = 2 lim [cos (х 4- Дх/2) sin (Дх/2)] = О,
Дх —- О	Дх ~► О
так как
|cos (х 4- Дх/2)| < 1,
lim sin-5- = lim —А	'  lim -5- = 75 • 1 • lim Дх = О1,
Дх —► О	Дх —► О ДХ/ Z	Дх —► 0	Дх —- О
а произведение ограниченной функции на бесконечно малую
есть бесконечно малая. Таким образом, функция sin х непре-
рывна в любой точке х. Непрерывность функции cos х в любой
точке х доказывается аналогично.
1 Здесь использован первый замечательный предел, который
получается в результате замены переменной t = Дх/2
sin(Ax/2) .. sin# - z	А Л А
lim —f—-5—^ = hm—— = 1 (очевидно, что t = Дх/2 —► 0 при Дх —► 0).
Дх-* 0 ДХ/Z	t —► 0 *
142
Из непрерывности функций sin х и
cos х, по теореме 2.8, следует непрерыв-
,	„ . sinx	1
ность функции tg х = --- и sec = ---
° cosx	cosx
во всех точках, где cos х 0, т. е. во всех
п ,	,
точках, кроме х = g + пл, и функции
. cos х	1
ctg х = -— и cosec х = -— во всех точ-
® sin х	sm х
ках, кроме х = пл, п = 0, ±1, ±2, ... .
3.	Непрерывность функции f(x) = |х|. Функция /(х) = |х|,
график которой изображен на рисунке 19, определена и непре-
рывна во всех точках числовой прямой. В самом деле, в точках
промежутка (0, +°о) она непрерывна, так как при х > 0 /(х) = х
(см. п. 1). В точках промежутка (-°°, 0) функция /(х) также не-
прерывна, так как /(х) = -х при х < 0, ее можно представить
как произведение двух непрерывных функций (-1) и х и приме-
нить теорему 2.8 о непрерывности произведения. Чтобы устано-
вить непрерывность функции |х| в точке х = 0, вычислим одно-
сторонние пределы функции в этой точке:
lim |х| = lim (-х) = - lim х = 0;
х-* 0- х-* 0-	х-0-
lim |х| = lim х = 0.
х-* 0+ х — 0+
Итак, пределы функции в точке х = 0 слева и справа совпа-
дают и равны значению функции в этой точке. Отсюда следует,
что функция |х| непрерывна в точке х = 0 и, следовательно, не-
прерывна во всех точках числовой прямой.
Таким образом, мы убедились, что рассмотренные функции
непрерывны в каждой точке области их определения. На осно-
вании теоремы 2.8 о непрерывности суммы, разности, произве-
дения и частного, можно утверждать, что функции, получае-
мые из них путем конечного числа арифметических действий,
являются также непрерывными функциями в каждой точке об-
ласти их определения.
Будем говорить, что функция /(х) непрерывна в интервале
(а, &), если она непрерывна в каждой точке этого интервала; не-
прерывна на отрезке [а, 6], если она непрерывна в интервале
(а, &), и непрерывна в точке а справа, а в точке Ь слева, т. е.
lim f(x) = f(a), a lim f(x) = /(&).
x — a+	x ~* b-
143
4.	Продолжение вычисления пределов функций. После
того как мы установили, что элементарные функции обладают
свойством непрерывности в каждой точке области их определе-
ния, открылись широкие возможности для вычислений преде-
лов элементарных функций при х х0, если функции опреде-
лены в точке х = х0. Для этого достаточно вычислить значения
функций в этой точке.
□ Пример 1. Найти lim / + sin* .
х-л/2 1 - cos2x
Решение. Так как в точке х = л/2 функции 1, sin х, cos 2х
непрерывны, то, по теореме 2.8, функция /(х) =	Не-
£ COS £tX
прерывна в точке х = л/2, т. е. предел функции и ее значение в
этой точке равны, тогда, переходя к пределу, получаем
..	1 + sinx _ 1 + sin(n/2) _ 1 + 1
х™/2 1 - cos2x “ 1 - cos(2n/2) “ 1 - (-1) ”
Пример 2. Найти lim-----------.
х О х
Решение. Имеем неопределенность вида g . Функция /(х) =
7* +1 - 1	Л
=---------- не определена в точке х = 0, т. е. не является непре-
рывной в этой точке. Поэтому сразу переходить к пределу, как
в предыдущем примере, нельзя. Для нахождения предела на-
до функцию /(х) тождественно преобразовать так, чтобы она
при х 0 совпала с некоторой функцией F(x), непрерывной
в точке х = 0, т. е. найти такую непрерывную функцию F(x), чтобы
Дх) = F(x) при х 0 или lim Дх) = lim F(x) = 1^(0). Для этого
хо	хо
умножим числитель и знаменатель дроби на сумму 7х + 1 + 1:
f _ 7* + 1 - 1 _ (7х + 1 - 1)(7* + 1 + 1) _
Г(Х) *	х(7хП + 1)
= х + 1~.1  = - L_____ = F(x).
x(Jx + 1 + 1) 7х + 1 + 1
Таким образом, Дх) = F(x) при х 0. Но функция F(x) не-
прерывна в точке х = 0, поэтому
ТхП - 1	1	1	1
lim------- = lim )- —--- = ......  =	о •
X - о X X - о 7^+1 + 1 ТоП + 1	2
144
_	л тт «	1- sm2x - cos2x - 1
Пример 3. Наити lim --------.
r	х^п/4	Sin X - COS X
Решение. Имеем неопределенность вида g . Функция /(х) =
sin2x - cos2x - 1	..
= —sinx _ 	— не определена в точке х = л/4. Для нахожде-
ния предела преобразуем дробь
sin2x - cos2x - 1 _ sin2x -(14- cos2x) _
sinx - cosx	sinx - cosx
2sinxcosx - 2cos2x 2cosx(sinx - cosx)
= ----;------------ = ------------------- = 2 COS X.
sinx - cosx	sinx - cosx
При x # л/4 имеем
sin2x - cos2x - 1 Л
---:------------ = 2 cos x.
sinx - cosx
Но функция 2 cos x непрерывна в точке x = л/4. Поэтому, пере-
ходя к пределу, получаем
,. sin2x - cos2x - 1	,. Л
lim ------;---------- = lim 2cos x =
x Я/4 Sin X COS X x n/4
= 2 lim cos x = 2cos5 = 2 •	= a/2 . □
X - Л/4	4	2
При вычислении пределов функций при х —► +°о, х —► -оо
и х оо, содержащих радикалы, надо рассматривать арифме-
тическое значение корня л/х2 = |х| при х > 0 и х < 0.
а/х2 4- 1	а/х2 4- 1
Пример 4. Найти предел: 1) lim ——=— ; 2) lim ——;
.. Jx2 + 1
3)	lim —т-т- .
Х^ОО X + 1
ОО
Решение. Во всех случаях имеем неопределенность вида — .
*
1)	При х > 0 имеем а/х2 = х, поэтому
..	7х2+ 1	7х2(1 + 1/х2)	|х|71 + 1/Х2
lim -----г-я— = lim —Д , . ч = lim '	, i ч =
X —- 4-оо X 4" 1	х _► _|_оо Х(1 + 1/х) Х-+ОО *(1 + 1/х)
х71 + 1/х2 _	71 + 1/х2 _ 1 _ ,
x*i“oo х(1 + 1/Х)	1 + 1/Х	1 Ь
145
2)	При х < 0 имеем Jx* 2 = -х, следовательно,
..	7х2 4- 1	7х2(1 + 1/х2)	|х| 71 + 1/х2
hm —т-тг- = hm —-v у..........<. = hm	ч ч
X —> —оо X 4" 1	х —* —оо х(1 4- 1/х)	X —* ~ОО х(1 + 1/х)
..	-х71 + 1/х2	71 + 1/х2	1	,
= hm —Z1 .1/х = ~ hm 1	1 7— =-7 =-1.
х —* — оо х(1 4“ 1/х)	х —* —оо 1 4“ 1/х	1
3)	lim —т-s- не существует, так как пределы при х -* +°°
X —* оо X т 1
и при х —► -oo разные.
П	Е ГТ - V Vx3 + 1 - л/4х2 - 1
Пример 5. Наити lim ---------—=------
х —* -оо	X 4- <
оо	.—-
Решение. Имеем неопределенность вида — . При х < О	-
= “X, VT3 = х, поэтому
Vx3 4- 1 - /4х2 - 1	?/х3(1 4- 1/х3) - 7х2(4 - 1/х2)
im ----------т-=-------- = Ьт -—------------ zi\ . 4V----------—-
--оо	х + 7	х--оо	х(1 + 7/х)
.. Хл/1 4- 1/х3 - |х|л/4 “ 1/х2	..	х?/1 4- 1/х3 4- х74 - 1/х2
:--оо	Х(1 + 7/Х)	х--оо	х(1 4-7/х)
Будем говорить, что сумма двух бесконечно больших функ-
ций разных знаков есть неопределенность вида оо - оо.
В этом случае о пределе суммы ничего определенного ска-
зать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, беско-
нечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не сущест-
вовать.
Пример 6. Найти: 1) lim (7х2 4- 4х - х);
х +°о
2) lim (а/х2 4- 4х - х).
X -оо
Решение. 1) Имеем неопределенность вида оо - оо. дЛя на-
хождения предела умножим и разделим на сумму 7х2 4- 4х 4- х,
в результате получим
..	(7х2 4- 4х - х)(7х2 4- 4х 4- х) ..	4х
hm 1......................     =	hm ------------
X2 4- 4х 4- X	X — +оо
Jx2 4- 4х 4- х
146
Теперь имеем неопределенность вида —. Для раскрытия
данной неопределенности разделим дробь на х, а затем перей-
дем к пределу. Находим
4х
lim	---- =
- — +°°*Jx2(l 4- 4/х) + х
1»	4
4х
lim —.	-----
X — 4-00 xjl + 4/х + х
lim —.........= 2;
: — 4-оо 71 + 4/х 4-1	1+1
2) lim (л/х2 + 4х - х) = +°о, так как сумма двух ПОЛОЖИ-
ЛА — -оо
тельных бесконечно больших функций есть бесконечно боль-
шая функция (докажите самостоятельно).
Из 1) и 2), в частности, следует, что lim (Jx2 4- 4х - х) не
существует. □	х “* °°
Будем говорить, что произведение бесконечно малой функ-
ции на бесконечно большую есть неопределенность вида 0 • оо.
□ Пример 7. Найти lim (1 - х) tg (лх/2).
X -* 1
Решение. Имеем неопределенность вида 0 • оо. дЛя нахож-
дения предела сделаем замену переменной, положив 1 - х = у.
Так как lim у = lim (1 - х) = 0, то при х —* 1 новая переменная
X -* 1	X -* 1
у -+ 0. Кроме того, если 1 - х = у, то х = 1 - у. Следовательно,
lim (1 - х) tg^ = lim у tg£ (1 - у) = lim у tg f 5 - £ у 1 =
х—1	* у —О	у —О	* J
Л
л	cos2y
= lim у ctg5 у = lim у——
у —* 0	2 у -* 0	• Я
у	у sin^y
у л
= hm —cosxi/ =
у —* 0 . Л
у Singl/
L —-— • 1 = lim —-—
у —♦ 0 • Я	у —► 0 • Я
У Singl/	У Singl/
= lim —-— lim cos д у = lim
у —* 0 • Я у —* 0	" г п
У SlllgZ/ у
„	о «
Получена неопределенность вида д . Здесь удобно воспользо-
ваться первым замечательным пределом. Для этого преобразу-
ем дробь
У =	1	=	2/л
( Л А	( ЛА/ЛА*
singi/ lsingj/l/i/	I sin2^l/l 2У)
147
Окончательно имеем
V /1	к	2/л
hm (1 - х) tgs х =---------------—
х -* 1	z . (( . п
lim sin^i/
i/-*OVV *
= *£ = 2-. □
1 л
Заметим, что раскрытие неопределенностей в ряде случаев
дело непростое. Требуется некоторая сообразительность и, ко-
нечно, практика решения большого числа примеров.
О 00
Итак, рассмотрены неопределенности вида g, —, °° - °° и
О *00. Существуют и другие неопределенности. С ними мы по-
знакомимся после того, как рассмотрим правило Лопиталя.
Упражнения. Вычислите предел.		
« 1- х2 - 25 1. lim	=- . х —• 5 X 5	_	х3 4- 4х - 1 2‘ Йд Зх2 + X + 2 	x2 - 5x 4- 6 3. hm	5— . x-з x-3
л .. х2 + Зх + 2 4. lim —5	. х-2 х2 — х — 6	5. lim -Э-^. X^n/2sin4x	_	sinx - cosx 6. hm 	s	. x —► л/4	C0s2x
..	9-х2 7. lim —f=	. х — з 73х - 3	х2 - х - 2 8. lim 	:— х--1 X3 4- 1	_ .. sin22x 9. hm	5—. x —0 X2
..	1 - cos2x 10. hm	.	. xsmx	- 1. tgx - sinx 11. lim —	s. x — 0	x3	..	sin7x 12. hm 	 . X — 0 7 x 4-1-1
т 71 4- sinx - 71 13. hm  	о— х-о	2х	- sinx 	.	14.	..	sin23x lim		. x^o71 4- xsinx - cosx
. _ х3 - 1	..	74х2 + 1 - х
15. lim--------з- . 16. lim —о—т-к—•
isin(x - 1)	Зх + 5
_ _ ,.	7х2 4- 5 + ?/8х3 + 1	- в ..	7х2 - 1 - ?/х3 + 2
17. lim  ..........--------. 18. lim ----------.....-—.
X — +OO	5yx5 + 3	x -oo 7X 4- 4yx4 + J
19.	lim (Jx2 4- 3x 4- 1 - Jx2 - 3x - 4).
X — +OO
20.	lim (Jx2 4- 4 - Jx2 - 3x 4- 1).
X -oo
21.	lim (x - Jx2 + x + 1). 22. lim (x - Jx2 - a2).
X 4-00	x 4-00
23.	lim x ctg x. 24. lim 3n • sin^-. 25. lim (x - Jx2 + x + 1).
x — О	П — oo	О	x — -oo
ОТВЕТЫ. 1. 10. 2. 2/3. 3. 1. 4. 1/5. 5. 1/2. 6. -1/72.7. -12.
8. -1. 9. 4. 10. 2. 11. 1/2. 12. 14. 13. 1/2. 14. 9. 15. 3. (Ука-
зание: сделать подстановку x - 1 = у). 16. 1/3. 17. 3. 18. —1/3.
19. 3. 20. -3/2. 21. -1/2. 22. 0. 23. 1. 24. х. 25. -оо.
148
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Докажите, что функция f(x) = cos х непрерывна в любой
точке х.
2.	Почему можно утверждать, что функция f(x) =
=---------к------ непрерывна на всей числовой прямой?
§ 2.10.	Определение и классификация
точек разрыва функции
Определение. Точка х0 называется точкой раз-
рыва функции /(х), если /(х) в точке х0 не является не-
прерывной.
Разрывы функций классифицируются следующим образом.
Разрыв первого рода. Точку х0 называют точ-
кой разрыва первого рода функции /(х), если в этой точке
функция /(х) имеет конечные, но не равные друг другу правый
и левый пределы:
lim /(х) lim /(х).
X х0+ X —> х0-
□	Пример 1. Для функции /(х) = sgn х точка х = 0 является
точкой разрыва первого рода (см. рис. 11), так как
limsgnx=l, lim sgn х = -1. □
х —0+	х —0-
Разрыв второго рода. Точку х0 называют точкой
разрыва второго рода функции /(х), если в этой точке функ-
ция /(х) не имеет по крайней мере одного из односторонних пре-
делов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
□	Пример 2. Для функции /(х) = 1/х точка х = 0 является
точкой разрыва второго рода (см. рис. 16), так как
lim - = 4-оо, lim i = -оо. □
х —* 0+ х	х —» О- х
В примере 4 (§ 2.8, п. 1) нами было установлено, что функ-
ция Дирихле не является непрерывной в любой точке х0 число-
вой прямой, а в примере 5 (§ 2.2, п. 2), что функция Дирихле в лю-
бой точке х0 не имеет предела. Следовательно, остается заклю-
чить, что в любой точке х0 функция Дирихле имеет разрыв вто-
рого рода.
149
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Какие точки называются точками разрыва функции?
2.	Дайте определения точек разрыва первого и второго рода.
3.	Укажите, в какой точке и какого рода разрыв имеет функ-
ция f(x) =
§ 2.11. Теорема о непрерывности
сложной функции
ТЕОРЕМА 2.9. Пусть функция z = ф(х) непрерыв-
на в точке х0, а функция у = f(z) непрерывна
в точке z0 = ф(х0). Тогда сложная функция у =
= /Т(ф(х)] непрерывна в точке х0.
Доказательство. Возьмем из X любую последователь-
ность точек хр х2, х3,	, хп, ... , сходящуюся в точке х0. Тогда,
в силу непрерывности функции z = ф(х) в точке х0, имеем
lim гп = lim ф(хга) = ф(х0) = г0,
оо П оо
т. е. соответствующая последовательность точек zp г2, г3, ...
..., zn, ... сходится к точке г0. В силу же непрерывности функ-
ции f(z) в точке г0, получаем lim f{z^ = f(zQ)> т. е.
П —> оо
lim Яф(хп)] = Яф(х0)].
П —► оо
Следовательно, предел функции /Тф(х)] в точке х0 равен ее
значению в этой точке, что и доказывает непрерывность слож-
ной функции /[ф(х)] в точке х0. 
□ Пример. Доказать непрерывность функции у = sin х2
в точке х = 0.
Решение. Так как функция z = х2 непрерывна в точке
х = 0, а функция у = sin z непрерывна в точке z = 0, то по дока-
занной теореме сложная функция у = sin х2 — непрерывна в
точке х = 0. □
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Дайте определение сложной функции.
2.	Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции.
3.	Докажите непрерывность функции у = sin Зх на всей число-
вой прямой.
150
§2.12. Основные свойства
непрерывных функций
1. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
ТЕОРЕМА 2.10. Пусть функция f(x) непрерывна в
точке и /(х0) # 0. Тогда существует 8 > 0 та-
кое. что для всех х е (х0 - 8, х0 + 8) функция Дх)
имеет тот же знак, что Дх0).
Доказательство. Пусть Дх0) > 0 (рис. 20). Тогда, в си-
лу второго определения непрерывности функции, для любого
£ > 0 существует 8 > 0 такое, что неравенство |/(х) - Дх0)| < е вы-
полняется для всех х, удовлетворяющих условию |х - х0| < 8,
или, что то же самое, выполняются неравенства
/(х0) - £ < Дх) < Дх0) + Е	(1)
для всех х g (х0 - 8, х0 + 8). Возьмем е = Дх0). Тогда из левого
неравенства (1) получаем: Дх) > 0 для всех х g (х0 - 8, х0 + 8),
что и требовалось доказать.
Если же Дх0) < 0, то рассмотрим функцию -Дх). Так как
-Дх0) > то’ по доказанному, существует 8-окрестность точки
xQ. в которой -Дх) > 0 и, следовательно, Дх) < 0. 
2. Прохождение непрерывной функции через любое
промежуточное значение. Рассмотрим теорему о прохожде-
нии непрерывной функции через нулевое значение при смене
знаков.
ТЕОРЕМА 2.11. (первая теорема Больцано1—Коши).
Пусть функция Дх) непрерывна на отрезке [а. &]
и на концах отрезка имеет значения разных зна-
ков. Тогда существует точка с g (а, Ь). в которой
н Дс) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности f(a) < 0 и
Д6) > 0 (рис. 21). Разделим отрезок [а. &] пополам. Если значе-
ние функции в середине отрезка [а. &] равно нулю, то теорема до-
казана. В противном случае выберем тот из полученных отрез-
ков, на концах которого функция имеет значения разных зна-
ков, и обозначим его [ар 6J. Разделим отрезок [ар &J пополам.
Выберем тот отрезок, на концах которого функция Дх) имеет
1 Больцано Бернард (1781—1848) — чешский математик.
151
значения разных знаков, и обозначим его [а2, &2] и т* Д* Продол-
жая этот процесс неограниченно, получим последовательность
[а, Ь] э [ар z> [а2, Ь2] => ... э [а„, &„] z>...
вложенных отрезков, причем Ъп - ап = (& - а)/2п	0 при п —► оо,
и на концах каждого отрезка [ал, &п] функция имеет значения
разных знаков.
По теореме 1.17 о вложенных отрезках, существует точка с,
принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что /(с) = 0. Действи-
тельно, если допустить, что /(с) > 0, то, по теореме 2.10 об устой-
чивости знака непрерывной функции, существует окрестность
точки с, в которой f(x) > 0. В эту окрестность при достаточно
большом п попадет отрезок [ап, &п], в котором, следовательно,
f(x) > 0, а это противоречит выбору последовательности вложен-
ных отрезков. Аналогично доказывается, что /(с) не может быть
меньше нуля. Остается принять, что /(с) = 0. При этом очевидно,
что точка с 6 (а, &). 
Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл:
непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, гра-
ницей которой является ось Ох, в другую пересекает эту ось.
Обратим внимание на то, что при доказательстве теоре-
мы 2.11 применен метод деления отрезка пополам. Этот метод
будем неоднократно использовать далее.
Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной функции
через любое промежуточное значение.
ТЕОРЕМА 2.12 (вторая теорема Больцано—Коши).
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, &],
причем f(a) = А, /(&) = В. Пусть, далее, С — любое
число, заключенное между А и В. Тогда на отрезке
[а, &] найдется точка с такая, что f(c) = С.
Другими словами, непрерывная функция при перехо-
де от одного значения к другому принимает и все
промежуточные значения.
152
 Доказательство. Пусть для определенности А < В и А <
< С < В (рис. 22). Рассмотрим вспомогательную функцию
ф(х) = f(x) - С.
Эта функция непрерывна на отрезке [а, &] (как разность не-
прерывных функций) и принимает на концах этого отрезка зна-
чения разных знаков
ф(а) = /(а)-С=А-С<0,
ф(&) = /(&)-С = В-С>0.
Согласно теореме 2.11, существует точка се (а, Ь) такая, что
ф(с) = /(с) - С = 0, т. е. /(с) - С = 0. Отсюда /(с) = С. 
СЛЕДСТВИЕ. Если функция f(x) определена и не-
прерывна на некотором промежутке X, то мно-
жество ее значений Y также представляет неко-
торый промежуток.
Доказательство. Пусть т = inf f(x) и М = supftx),
х	х
где т и М — числа, которые называют соответственно точной
нижней и верхней гранями функции1 * *.
Возьмем любое у из У, не равное т и М, и выберем два зна-
чения ух и у2 функции f(x) так, чтобы выполнялись неравенства
т < Z/1 < у < у2 < М. Существование таких значений функции
f(x) следует из определения точных граней (если М = +°°
(т = -°°), то у2 < М (т < уг)). Тогда, по теореме 2.12 о проме-
жуточных значениях непрерывной функции, существует точка
х такая, что f(x) = у. Следовательно, множество У представляет
собой некоторый промежуток (конечный или бесконечный) с
концами т и М, которые в зависимости от конкретного случая
могут ему принадлежать или не принадлежать. 
Доказанные теоремы имеют большое теоретическое и прак-
тическое значение.
□ Пример 1 .Доказать, что уравнение х5 - 18х + 2 = 0 имеет
корень на отрезке [-1, 1].
Решение. Положим /(х) = х5 - 18х + 2. Эта функция не-
прерывна на отрезке [-1, 1] и на его концах принимает значе-
ния разных знаков: /(-1) = 19 > 0, /(1) = -15 < 0. Следователь-
но, она удовлетворяет условиям теоремы 2.11, согласно которой
1 Напомним, что точной верхней (нижней) гранью функции/(х),
определенной на X, называют наименьшую (наибольшую) из верх-
них (нижних) граней, ограничивающих У сверху (снизу).
153
существует по крайней мере одна точка с, -1 < с < 1, в которой
/(с) = 0. Число с и является корнем данного уравнения.
Пример 2. Доказать, что функция /(х) = х3/4 - sin пх + 3
принимает значение, равное 3, внутри отрезка [-2, +2].
Решение. Данная функция удовлетворяет условиям теоре-
мы 2.12. Она непрерывна на отрезке [- 2, + 2] и на концах этого
отрезка принимает разимые значения /(-2) = 1, /(2) = 5. Так как
1 < 3 < 5, то, согласно теореме 2.12, внутри отрезка [-2, + 2] су-
ществует точка с, в которой функция принимает значение, рав-
ное 3, т. е. /(с) = 3. □
3. Теорема об ограниченности непрерывной функции
на отрезке. Напомним, что функцию /(х) называют ограничен-
ной на отрезке [а, 6], если существует число М > 0 такое, что
для всех хе [а, &] выполняется неравенство |/(х)| < М или -М <
< /(х) < М, т. е. график функции Дх) не выходит из полосы, ог-
раниченной прямыми у = Миу = —М (рис. 23).
ТЕОРЕМА 2.13 (первая теорема Вейерштрасса1). Ес-
ли функция f(x) определена и непрерывна на от-
резке [а, &], то она ограничена на этом отрезке.
Предварительно докажем следующую лемму.
ЛЕММА. Функция /(х), непрерывная в точке х0, ог-
। раничена в некоторой ее окрестности.
Доказательство. Возьмем е = 1. Тогда, согласно второ-
му определению непрерывности функции в точке, для данного е
существует 8 > 0 такое, что для всех х е (х0 - 8, х0 + 8) выполня-
ется неравенство |/(х) - /(х0)| < 1.
1 Вейерштрасс Карл (1815—1897) — немецкий математик.
154
Используя это неравенство, получаем |/(х)| = |(/(х) - /(х0)) 4-
+ Яхо)1 < 1/(х) - Лхо)1 + 1Я*о)1 < 1 + 1/(хо)1’ т- е- 1л*)1 < м> где м =
= 1 + |/(х0)|. Отсюда заключаем, что функция f(x) ограничена в
8-окрестности точки х0. 
Доказательство теоремы. Предположим обратное,
т. е. допустим, что функция /(х) не ограничена на отрезке [а, 6].
Разделим отрезок [а, &] пополам, тогда по крайней мере на од-
ном из двух полученных отрезков функция /(х) не ограничена
(в противном случае она была бы ограничена на [а, &]). Обозна-
чим этот отрезок через [ар 6J. Разделим отрезок [ар &J попо-
лам и обозначим через [а2, &2] тот из отрезков, на котором функ-
ция /(х) не ограничена, и т. д. Продолжая этот процесс неогра-
ниченно, получаем последовательность
[а, &] [ар & J z> [а2, Ь2] =>... z> [а„, &„]=>•••
вложенных отрезков, на каждом из которых /(х) не ограничена,
причем Ьп - ап = (Ь - а) / 2п -+ 0 при п —> оо.
По теореме 1.17 о вложенных отрезках, существует точка с,
принадлежащая всем отрезкам. Функция /(х), по условию, оп-
ределена и непрерывна в точке с, следовательно, согласно дока-
занной лемме, в некоторой окрестности точки с она ограничена.
При достаточно большом п в эту окрестность попадает отрезок
[ап, &п], на котором функция /(х) также ограничена, что проти-
воречит выбору последовательности вложенных отрезков. По-
лученное противоречие доказывает теорему. 
Замечание. Теорема неверна, если отрезок [а, 6] заменить ин-
тервалом (а, Ь). Так, например, функция f(x) = 1/х непрерывна на
интервале (0, 1), но не ограничена, так как lim (1/х) = +°°.
х — о+
Доказательство теоремы для интервала «не проходит» в том мес-
те, где утверждается, что в точке с функция определена и непрерыв-
на. Для интервала точка с может совпасть с его концом и тогда/(х) не
будет определена и непрерывна в точке с.
4. Теорема о достижении функцией, непрерывной на
отрезке, своих точных граней. В том случае, когда точные
грани функции являются значениями функции, говорят, что
функция достигает своих точных граней. Однако, как из-
вестно (см. теорему 1.1), не всякому множеству принадлежат
его точные грани. Следующий пример показывает, что точные
грани функции не всегда достигаются.
155
□ ПримерЗ. Пусть на отрезке [0, 6], 6 > 1, определена функ-
ция f(x) = х - [х], график которой изображен на рисунке 24.
Множеством ее значений является полуинтервал [0, 1). Функ-
ция ограничена и сверху, и снизу, имеет на данном отрезке точ-
ную верхнюю грань, равную 1, и точную нижнюю грань, рав-
ную нулю. Очевидно, функция принимает значение, равное ну-
лю, но не принимает значения, равного 1. Следовательно,
можно сказать, что функция достигает своей точной нижней и
не достигает своей точной верхней грани. □
Возникает вопрос, при каком условии функция достигает
своих точных граней. Ответ дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2.14 (вторая теорема Вейерштрасса). Если
функция f(x) непрерывна на отрезке [а, &], то она
достигает на этом отрезке своих точных гра-
ней, т. е. существуют точки х19 х2 е [а, &] такие
(рис. 25), что
f(Xj) = М = sup ft х), ftx2) = т = inf ftx).
[а,Ь][а,Ь]
Доказательство. Так как функция Дх) непрерывна на
отрезке [а, &], то, по теореме 2.13, она ограничена на этом отрез-
ке. Следовательно, согласно теореме 1.1, существуют точная
верхняя М и точная нижняя т грани функции Дх) на отрез-
ке [а, &].
Покажем, что функция Дх) достигает М, т. е. существует
такая точка хх е [а, &], что Дхх) = М. Будем рассуждать от про-
тивного. Пусть функция Дх) не принимает ни в одной точке
[а, &] значения, равного М. Тогда для всех х е [а, &] справедли-
во неравенство Дх) < М.
156
Рассмотрим на отрезке [а, Ь] вспомогательную, всюду поло-
жительную функцию
F(x) = ч.
v ' М- f(x)
По теореме 2.8, функция F(x) непрерывна как частное двух не-
прерывных функций. В этом случае, согласно теореме 2.13,
функция F(x) ограничена, т. е. найдется положительное число
ц такое, что для всех х е [а, &]
Л*) = M-f(x) < Ц’ откуда ^(х) с м ~ ц •
Таким образом, число М - 1/ц, меньшее, чем М, является
верхней гранью f(x) на отрезке [а, 6]. Но это противоречит то-
му, что число М является точной верхней, т. е. наименьшей
верхней гранью функции f(x) на отрезке [а, 6]. Полученное про-
тиворечие и доказывает, что существует точка хх е [а, &], в ко-
торой /(хх) = М.
Аналогично доказывается, что функция /(х) достигает на
[а, &] своей точной нижней грани тп. 
Замечание. После того как доказано, что функция/(х), непре-
рывная на отрезке [а, д], достигает на этом отрезке своих точных
верхней М и нижней тп граней, можно назвать точную верхнюю грань
максимальным, а точную нижнюю грань — минимальным зна-
чением функции f(x) на этом отрезке и сформулировать теорему 2.14
в следующем виде: непрерывная на отрезке функция имеет
на этом отрезке максимальное и минимальное значения.
□ Пример 4. Доказать, что функция
Дх) = 2И arctg* * 4- (х2 - 5х + 6) sinjx2 4- 1
ограничена на отрезке [0, 1] и существуют такие значения х,
при которых функция принимает на этом отрезке наибольшие
и наименьшие значения.
х — 1
Решение. Так как на отрезке [0,1] функции 2М, arctg^—j ,
(х2 - 5х 4- 6), sin7x2 4- 1 непрерывны, то, по теореме 2.8, дан-
ная функция Дх) непрерывна на этом отрезке. Следовательно,
по теореме 2.13, она ограничена на отрезке [0, 1], а по теоре-
ме 2.14, на этом отрезке существуют значения хх и х2, в которых
функция принимает наибольшее (Дхх) = sup Дх)) и наименьшее
[0,1]
(Дх2) =inf Дх)) значения. □
[0,1]
157
5. Понятие равномерной непрерывности функции. Важ-
ным свойством функции, непрерывной на отрезке, является
свойство равноименной непрерывности. Его широко исполь-
зуют при доказательстве ряда фундаментальных теорем.
Пусть f(x) - функция, непрерывная на некотором промежут-
ке X, и пусть точка х0 g X. Так как функция f(x) непрерывна в
точке х0, то, по второму определению непрерывности, для любо-
го £ > 0 найдется 8 > 0 такое, что |/(х) - /(х0)| < е при |х - х0| < 8.
Ясно, что 8 зависит от е, но 8 зависит также и от х0. При измене-
нии х0 в пределах рассматриваемого промежутка (при постоян-
ном е) число 8 различно для разных х0. Чем «круче» график
функции /(х) в окрестности точки х0, тем меньше 8, соответст-
вующее этой точке (рис. 26).
Таким образом, при заданном е каждой точке х рассматри-
ваемого промежутка соответствует некоторое 8 > 0. Если бы то-
чек было конечное число, то из конечного множеств чисел 8
можно было бы выбрать наименьшее положительное 8, которое
зависело бы только от е и было «пригодно» для всех х. Для бес-
конечного числа точек это, вообще говоря, сделать нельзя, так
как этим точкам соответствует бесконечное множество чисел 8,
среди которых могут быть и сколь угодно малые.
Возникает вопрос, существуют ли непрерывные функции, оп-
ределенные на некоторых промежутках, для которых по любому
е > 0 можно было бы найти 8 > 0, не зависящее от х, т. е. 8 было
бы общим для всех х из рассматриваемого промежутка. Этот во-
прос приводит к понятию равномерной непрерывности функции.
158
Определение. Функция f(x) называется равно-
мерно непрерывной на некотором промежутке X, если
для любого е > О существует 8 > О такое, что для лю-
бых двух точек х', х" е X, удовлетворяющих неравенст-
ву |х" - х'| < 8, выполняется неравенство |/(х") - /(х')| < е.
По определению, 8 зависит только от е и является общим для
всех х', х" промежутка X.
Понятие равномерной непрерывности функции относится к
наиболее сложным и трудным для понимания вопросам матема-
тического анализа.
Понятие равномерной непрерывности функции на проме-
жутке X отличается от понятия непрерывности на этом проме-
жутке тем, что величина 8 зависит только от е и не зависит от х
(для любого е > 0 существует «свое» 8 > 0, общее для всех х е
е X), а при «обычной» непрерывности 8 зависит и от е и от х.
В этом случае, как было показано ранее, 8 в зависимости от х
может принимать сколь угодно малые значения.
Из определения равномерной непрерывности следует, что ес-
ли функция /(х) равномерно непрерывна на некотором проме-
жутке X, то она и просто непрерывна на этом промежутке, т. е.
непрерывна в любой точке х0 g X. В самом деле, взяв в опре-
делении в качестве х' данную фиксированную точку х0 е X,
а в качестве х" — любую точку этого промежутка, мы при-
дем к определению непрерывности функции /(х) в точке х0. Об-
ратное утверждение неверно (подумайте почему).
Рассмотрим примеры функций, как обладающих, так и не
обладающих на данном промежутке X свойством равномерной
непрерывности.
□ Пример 5. Используя определение равномерной непре-
рывности, доказать, что функция /(х) = sin (1/х) не является
равномерно непрерывной на интервале (0, 1).
Решение. График функции /(х) = sin (1/х) изображен на
рисунке 13. Функция непрерывна на интервале (0, 1), но не яв-
ляется равномерно непрерывной на нем. Чтобы убедиться в
этом, достаточно доказать, что для некоторого е > 0 и для любого
как угодно малого 8 > 0 существует хотя бы одна пара точек х' и
х" интервала (0, 1) таких, что |х" - х'| < 8, но |/(х") - /(х')| > £.
Возьмем е = 1 и рассмотрим две последовательности точек, при-
надлежащих интервалу (0, 1), {х^} и {х"} с общими элементами
х" = 1/(л/2 4- 2лп) и х'п = 1/(Зл/2 4- 2лп), п = 1, 2, ... ,
159
и таких, что f(x") = 1, a f(x'n) = -1. Обе эти последовательности,
следовательно, и их разность, являются бесконечно малыми.
Поэтому для любого как угодно малого 8 > 0 существует номер
п такой, что \х" - х'Д < 8, в то время как для любого номера п
|/(х") “ Лхп)1 = |sin (л/2 + 2лп) - sin (Зя/2 + 2лп)| =
= |1 - (-1)1 = 2 > е = 1.
Это и доказывает, что рассматриваемая функция не является
равномерно непрерывной на интервале (0, 1).
Пример 6. Используя определение равномерной непре-
рывности, доказать, что функция Дх) = х равномерно непре-
рывна на всей числовой прямой.
Решение. Возьмем любое е > 0 и 8 == е. Тогда из неравенства
|х" - х'| < 8 следует неравенство |Дх") - Дх')| = |х" - х'| < е, что
и требовалось доказать.
Пример 7. Используя определение равномерной непре-
рывности, доказать, что функция Дх) = х2 не является равно-
мерно непрерывной на всей числовой прямой1.
Решение. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать,
что для некоторого е > 0 и для любого как угодно малого 8 > О
найдется хотя бы одна пара точек х' и х" таких, что
|х" - х'| < 8, но |Дх") - Дх')| > е.
Возьмем е = 1/2 и рассмотрим две следующие последова-
тельности точек {х^} и {х"} с общими элементами х'п = Jn и
х" = 7n + 1, п = 1, 2, ... . Тогда
\х" - <1 = Vn + 1 - Jn =
_ (Jjl -I- 1 - 7Й)(7п + 1 + л/Й) _	1	Q
Jn + 1 + Jn	Jn + 1 4- Jn
при n oo, a
l/«) - ЯО1 = |x„2 - x;2| = n +1 - n = 1.
Следовательно, для любого как угодно малого 8 > 0 найдется
пара точек х'п и х" таких, что |xn" - xj < 8, в то время как
|Дх") - Дх^)| = 1 > е = 1/2, это и доказывает, что рассматривае-
мая функция не является равномерно непрерывной на всей чис-
ловой прямой. □
1 Хотя эта функция и является непрерывной в каждой точке
числовой прямой.
160
Упражнение. Используя определение равномерной непре-
рывности, докажите, что функция f(x) = sin х равномерно не-
прерывна на всей числовой прямой. ^Указание. Разность
ff f	х" И- хг х" — xf	\
sin х - sin х = 2 cos—— sin—g— оценить по модулю. I
Следующая теорема устанавливает условие, при котором не-
прерывная функция является и равномерно непрерывной.
6. Теорема о равномерной непрерывности функции.
ТЕОРЕМА 2.15 (теорема Кантора1). Если функция
f(x) непрерывна на отрезке [а, 6], то она и равно-
мерно непрерывна на нем.
Доказательство. Докажем сначала, что если функция
f(x) непрерывна на [а, 6], то для любого е > О отрезок [а, &] мож-
но разбить на конечное число отрезков, любые два из которых
или не имеют общих точек, или имеют только одну общую гра-
ничную точку и на каждом из которых для любых двух точек
х', х" выполняется неравенство |/(х") - /(х')| < £.
Предположим обратное, т. е. допустим, что существует е > О,
для которого такое разбиение отрезка [а, &] невозможно. Разде-
лим отрезок [а, &] пополам и выберем тот из отрезков, для кото-
рого такое разбиение невозможно. Обозначим его [ар 6J. Разде-
лим теперь отрезок [ар пополам и выберем тот из отрезков,
для которого такое разбиение невозможно, и т. д. Продолжая
этот процесс неограниченно, получаем последовательность вло-
женных отрезков
[a, b] z> [ар bj z> [а2, b2] =>... z> [а„, Ьп] =>... ,
обладающих тем свойством, что ни один из них нельзя разбить
на конечное число отрезков, на каждом из которых для любых
двух точек х' и х" выполняется неравенство |/(х") - /(х')| < е. По
теореме 1.17 о вложенных отрезках, существует точка с, при-
надлежащая всем отрезкам. Так как функция /(х) непрерыв-
на в точке с, то для рассматриваемого е найдется 8 такое, что
|/(х) - /(с)| < е/2 для любого х из 8-окрестности точки с. Тогда
для любых двух точек х' и х" 8-окрестности точки с выполняет-
ся неравенство
|/(х") - /(х')| = |(ftx") - /(с))| + |(/(с) - /(х')| <
< |/(х") - /(с)| + |/(с)| - /(х')| < е/2 + е/2 = е,
1 Кантор Георг (1845—1918)— немецкий математик, основа-
тель современной теории множеств.
6 - 3587 Шипачев
161
т. е.
|/(х") - /(х')| < е.
В 8-окрестность точки с при достаточно большом п попадает
отрезок [ап, &п], и, следовательно, для любых двух точек х' и х"
этого отрезка справедливо неравенство |/(х") - /(х')| < е, а это
противоречит выбору последовательности вложенных отрезков.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоре-
мы. По только что доказанному, для любого е > 0 существует
разбиение отрезка [а, &] на конечное число отрезков, в каждом
из которых разность между любыми двумя значениями функ-
ции /(х) по абсолютной величине меньше е/2. Обозначим через 8
длину наименьшего из отрезков разбиения и рассмотрим любые
две точки х' и х" отрезка [а, &], отстоящие друг от друга на рас-
стоянии, меньшем чем 8, т. е. |х" - х'| < 8. Возможны два случая:
1) точки х' и х" принадлежат одному отрезку разбиения; 2) точки
х' и х" принадлежат двум соседним отрезкам разбиения. В пер-
вом случае |/(х") - /(х')| < е/2 < е; во втором случае, обозначая че-
рез х0 общую граничную точку соседних отрезков, имеем
|/(х") - ftx')| = |(/(х") - /(х0)) + (Лх0) - /(х'))| <
< |/(х") - /(Хо)| + |/(х0) - /(х')| < е/2 + е/2 = е.
Таким образом, для любого е > 0 найдется 8 > 0 такое, что для
любых двух точек х' и х" отрезка [а, 6], удовлетворяющих нера-
венству |х" - х'| < 8, выполняется неравенство |/(х") - /(х')| < £, что
и требовалось доказать. 
Замечание. Теорема не верна, если отрезок [а, Ь] заменить ин-
тервалом или полуинтервалом.
Рассмотрим, например, функцию /(х) = 1/х на интервале (0,1).
Данная функция непрерывна на интервале (0, 1), но не является
равномерно непрерывной на нем. Это следует из того, что для
любого фиксированного е > 0, какое бы 8 > 0 ни взять, всегда
найдутся точки х' и х", достаточно близкие к нулю, расстояние
между которыми меньше 8, а модуль разности |/(х") - /(х')| боль-
ше £ (рис. 27).
Теорема Кантора дает возможность сразу утверждать, что
функция /(х) равномерно непрерывна на отрезке [а, 6], если ус-
тановлена непрерывность функции на этом отрезке.
□ Пример8. Доказать, что функция /(х) = х2равномерно не-
прерывна на интервале (-1, I)1, причем сделать это двумя спо-
1 Хотя эта функция и не является равномерно непрерывной на
всей числовой прямой (см. пример 6).
162
собами: 1) используя теорему Кантора; 2) используя определе-
ние равномерной непрерывности.
Решение. 1 -й способ. Рассмотрим функцию f(x) = х2 на
отрезке [-1, 1]. Она непрерывна на этом отрезке и, следователь-
но, по теореме Кантора, равномерно непрерывна на нем. Отсюда
следует, что функция f(x) = х2 равномерно непрерывна на ин-
тервале (-1, 1). В самом деле, интервал (-1,1) представляет со-
бой подмножество отрезка [-1, 1 ], т. е. (- 1, 1) с [- 1, 1], и так
как неравенство |/(х") - /(х')| < £ выполняется для любых х',
х" g [-1, 1], удовлетворяющих неравенству |х" - х'| < 8, то оно
выполняется и для любых х', х" g (-1, 1), удовлетворяющих то-
му же неравенству, что и требовалось доказать.
2-й способ. Возьмем любые две точки х и х" из интервала
(-1, 1). Тогда
Iftx") - /(х')| = |х"2 - х'2| = |(х" + х')(х" - х')| =
= |х" + х'||х" - х'| < 2|х" - х'|,
так как модуль суммы |х" + х'| ограничен числом 2.
Возьмем теперь любое е > 0 и положим 8 = е/2. Тогда для лю-
бых х', х" g (-1, 1), удовлетворяющих неравенству |х" - х'| < 8 ,
выполняется неравенство
|/(х") -/(х')| < 2*3 = 2• (е/2) = е.
Это, по определению равномерной непрерывности, и означа-
ет, что функция /(х) = х2 равномерно непрерывна на интервале
(-1,1). □
163
В заключение отметим, что теорема Кантора имеет очень
большое теоретическое значение. С ее помощью доказан ряд
фундаментальных теорем.
Упражнения. Докажите любым способом равномерную не-
прерывность функции. 1) f(x) = х3 на (-1, 1); 2) Дх) = ех на
[О, 1]; 3) Дх) = 1/х на [1, +оо); 4) Дх) = Jx на [0, +оо); 5) Дх) =
= arcsin х на (-1, 1).
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте теорему об устойчивости знака непрерыв-
ной функции.
2.	Можно ли утверждать, что если функция Дх) непрерывна
в точке х0 и Дх0) = 0, то Дх): а) имеет определенный знак
в некоторой окрестности точки х0; б) не имеет определенного
знака ни в какой окрестности точки х0? Приведите соответ-
ствующие примеры.
3.	Сформулируйте первую теорему Больцано—Коши.
4.	Можно ли утверждать, что если функция Дх) непрерывна
на отрезке [а, &] и на концах отрезка имеет значения одного
знака, то на [а, &] нет такой точки, в которой функция обра-
щается в нуль? Приведите пример.
5.	Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.
6.	Может ли непрерывная на интервале функция быть ограни-
ченной на этом интервале?
7.	Может ли неограниченная на отрезке или интервале функ-
ция быть непрерывной на этих промежутках?
8.	Может ли ограниченная на отрезке функция принимать
значения своих точных граней?
9.	Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса.
10.	Может ли непрерывная на интервале функция достичь на
этом интервале своих точных граней?
11.	Дайте определение понятия равномерной непрерывности функ-
ции.
12.	В чем состоит отличие понятия равномерной непрерывности
от понятия непрерывности функции?
13.	Сформулируйте теорему Кантора.
14.	Может ли непрерывная на интервале функция быть равно-
мерно непрерывной на этом интервале и, наоборот, равномер-
но непрерывная на интервале функция быть непрерывной?
15.	Является ли функция Дх) = х2 равномерно непрерывной на
интервале (1, 5)?
164
§ 2.13.	Теорема о непрерывности
обратной функции
Введем ряд предварительных понятий. Будем говорить,
что функция f(x) не убывает (не возрастает) на множест-
ве X, если для любых хг, х2 е X, удовлетворяющих условию
х1 < х2, справедливо неравенство f(xr) < /(х2), /(хх) > /(х2).
Неубывающие и невозрастающие функции объединяют об-
щим названием монотонные функции.
Если для любых хг, х2 еХ, удовлетворяющих условию хх <
< х2, справедливо неравенство /(хх) < f(x2) (/(хх) > /(х2)), то
функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на
множестве X. Возрастающие и убывающие функции называют-
ся также строго монотонными.
□ Примеры. 1. Функция f(x) = sgn х является неубываю-
щей на всей числовой прямой.
2. Функция f(x) = х является возрастающей на всей число-
вой прямой. □
ТЕОРЕМА 2.16. Пусть функция у = f(x) определена,
строго монотонна и непрерывна на некотором про-
межутке X и пусть Y — множество ее значений.
Тогда на множестве Y обратная функция х = q(y)
однозначна, строго монотонна и непрерывна.
Доказательство. Пусть для определенности функция
f(x) возрастает на X, т. е. для любых хх, х2 е X, удовлетворяю-
щих условию хх < х2, выполняется неравенство z/x < у2 (z/x =
= f(Xj) иу2 = f(x2)) (рис. 28).
Однозначность обратной функции х = <р(у) следует из того,
что, в силу возрастания функции у = f(x) на X, справедливо не-
равенство yr = /(хх) # f(x2) = у2 при хх # х2, значит, каждому
у е Y соответствует единственное значение х е X.
Докажем теперь, что обратная функция х = ф(г/) возрастает
на У. Действительно, если z/x < у2, то и хх < х2 (хх = Ф(г/Х) и х2 =
= ф(г/2)), так как если бы было хх > х2, то из возрастания f(x)
следовало, что уг > у2, что противоречило бы предположению
У1 < У2* Таким образом, факт строгой монотонности обратной
функции х = ф(г/) установлен.
И наконец, покажем, что обратная функция х = ф(г/) непре-
рывна на У. В силу следствия из теоремы 2.12, множество У
является промежутком с концами т и М, где т = inf f(x),
165
М = sup /(х). Пусть z/0 e У, x0 = <p(z/0). Рассмотрим сначала слу-
чай, когда т < yQ < М (рис. 29). Тогда точка х0 является, оче-
видно, внутренней точкой промежутка X.
Возьмем е > 0 таким, чтобы (х0 - е) е Хи (х0 4- е) е X, и по-
ложим = /(х0 - е) и у2 = /(х0 4- е). В этом случае, в силу возрас-
тания /(х), получим уг < yQ < у2.
Возьмем теперь 8 > 0 таким, чтобы выполнялись неравенст-
ва уг < yQ - 8 и yQ 4- 8 < у2. Тогда, если у удовлетворяет неравен-
ствам
Уо “ 3 < У < У о + 8.
то ух < у < у2, и, следовательно, в силу возрастания ф(т/), имеем
ф(У1) < Ф(*/) < ф(^/2)*
Учитывая, что ц>(ух) = х0 - е = <р(г/0) -ей <р(у2) = х0 + е = ф(г/0) + е,
получаем ф< г/0) - е < <р(у) < <р(у0) + е при условии у0 - 5 < у < у0 + 5.
Таким образом, доказано, что для любого достаточно малого
е > 0 существует 8 > 0 такое, что для всех у, удовлетворяющих
неравенству \у - yQ\ < 8, выполняется неравенство |<p(z/) - ф(т/0) < е,
т. е. обратная функция х = <p(z/) непрерывна в точке yQ. Но yQ —
произвольная точка интервала (тп, М). Значит, обратная функ-
ция х = ф(г/) непрерывна на (тп, М).
Если т е У или М е У, то, рассуждая аналогично, можно до-
казать непрерывность ф(г/) справа в точке тп и слева в точке М.
Итак, факт непрерывности обратной функции х = ф(т/) на У
доказан. В случае убывания функции /(х) теорема доказывается
аналогично. 
166
Замечание. Если обратная функция х = <р(у) однозначна, то,
очевидно, функция у = f(x) является обратной для функции х = ф(г/).
Такие функции называют также взаимно обратными.
□ Пример 1. Функция у = sin х на отрезке [-л/2, л/2] возрас-
тает, непрерывна, и множеством ее значений является отрезок
[-1, 1]. По теореме 2.16, на отрезке [-1, 1] существует непре-
рывная возрастающая обратная функция со множеством значе-
ний [-л/2, п/2]. Эту обратную функцию обозначают х = arcsin у.
Ее график совпадает с графиком функции у = sin х, рассматри-
ваемой при -п/2 < х < п/2 (рис. 30).
Если теперь х и у поменять местами, т. е. если рассматри-
вать функцию у = arcsin х, то получим график, изображенный
на рисунке 30 сплошной линией.
Пример 2. Функция /(х) = 2х + sin х, -оо < х < +оо, име-
ет определенную на всей числовой прямой возрастающую не-
прерывную обратную функцию. Действительно, пусть хх < х2,
тогда
/(х2) - /(хх) = 2х2 4- sin х2 - 2хх - sin хх =
= 2(х2 - хх) 4- sin х2 - sin хх > 2(х2 - хх) - |sin х2 - sin хх|.
Так как
|sin х2 - sin хх|= 2 cos
х2 + хх
2
<2-1
х2 - хх
2
= х2 - хх,
sm 2	1
2
то
f(x2) - ftxj > 2(х2 - хг) - (х2 - Xj) = х2-х1>0,
т. е. функция /(х) возрастает на всей числовой прямой. Она не-
прерывна как сумма двух непрерывных функций и определена
167
на всей числовой прямой. Поэтому, по теореме 2.16, функция
f(x) имеет возрастающую непрерывную обратную функцию, оп-
ределенную на всей числовой прямой. □
Упражнение. Докажите, что функция f(x) = х - 5sin х,
-оо < х < +°о, имеет определенную на всей числовой прямой воз-
растающую непрерывную обратную функцию.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Приведите пример немонотонной функции.
2.	Дайте определение обратной функции.
3.	В чем отличие функции от обратной функции? Проиллюст-
рируйте геометрически.
4.	В каком случае обратная функция является функцией в
обычном смысле и что из этого следует?
5.	Сформулируйте теорему о непрерывности обратной функции.
6.	Найдите функцию, обратную функции у = cos х, заданной
на отрезке [0, л]. Установите область определения, множест-
во значений обратной функции и нарисуйте ее график.
7.	Можно ли рассматривать функцию у = sin х как обратную
функции у = arcsin х?
ГЛАВА 3
—II------------------------------------------
Дифференциальное
исчисление
В основе дифференциального исчисления лежит понятие
производной. Исследование функций с использованием произ-
водной является одной из основных задач математического ана-
лиза. Исторически понятие производной возникло еще в XVII в.,
задолго до возникновения теории пределов, рассмотренной в пре-
дыдущих главах.
Задачи нахождения скорости движения, а также проведения
касательной к кривой привели к понятию производной. Вместе с
развитием математики совершенствовались и развивались мето-
ды и средства исследования. Понятие производной получило аб-
страктный, обобщенный смысл, что значительно расширило
применение математики в изучении самых разнообразных явле-
ний, происходящих в природе. Математики получили совершен-
нейший аппарат исследования.
§3.1. Понятие производной
1. Определение производной. Пусть на некотором про-
межутке X определена функция у = /(х). Возьмем любую точку
х е X и придадим аргументу х в точке х0 произвольное прира-
щение Дх, такое, что точка х0 4- Дх также будет принадлежать
X. Функция получит приращение
&У = Яхо + Ах) “ Лхо)‘
Определение. Производной функции у = /(х) в
точке х0 называется предел при Дх —► О отношения при-
ращения функции в этой точке к приращению аргумен-
та (при условии, что этот предел существует).
Для обозначения производной функции у = f(x) в точке х0
используют символы или / (хо) (читают: игрек штрих от
х0 или эф штрих от х0).
169
Итак, по определению,
,,z х v Аг/ ,. ftx0 + Ах) - ftx0)
f (xn) = lim т2- = lim -----т--------
0 дх-оАх дх — о Ах
или, вспоминая, что Дх = х - х0 и х = х0 4- Ах, имеем
ч Лх)-/(х0)
/(х0)= lim ---------
X Хо Х Xq
Из определения производной видно, что х0 считается постоян-
ным и рассматривается предел функции
Аг/ = Л*) - /(х0)
Ах X - Xq
(1)
при х —► х0. Из определения предела функции следует, что
функция может не быть определенной в точке х0. Поэтому, что-
бы предел отношения (1) существовал, необходимо, чтобы это
отношение было определено для всех х х0 из некоторой ок-
рестности точки х0. При х = х0, Ах = 0, отношение (1) теряет
смысл. На это следует обратить внимание.
Если предел отношения (1) не существует, то говорят, что
функция /(х) в точке х0 производной не имеет.
Если для некоторого значения х0 выполняется условие
lim = 4-оо (или lim = -оо \
дх —► о Ах	у дх —► о Ах	)
то говорят, что в точке х0 функция имеет бесконечную произ-
водную знака «плюс» (или знака «минус»). В отличие от беско-
нечной производной определенную ранее производную функ-
ции иногда называют конечной производной.
Если функция /(х) имеет конечную производную в каждой
точке х g X, то производную f(x) можно рассматривать как
функцию от х, также определенную на X.
Чтобы вычислить производную функции у = /(х) в некото-
рой точке х0, исходя из определения, необходимо:
1)	значению аргумента х в точке х0 придать некоторое при-
ращение Ах и найти соответствующее приращение функции
&у =	+ Дх) - /(х0);
2)	составить отношение приращения функции к приращению
Az/
аргумента ;
3)	вычислить предел отношения при Дх О (если он сущест-
вует).
170
□ Пример 1. Найти производную функции f(x) = х2 в точке
х = х0.
Решение. Придавая аргументу х в точке х0 приращение
Дх, найдем соответствующее приращение функции
&У = f(xo + Дх) - f(x0) = (х0 + Дх)2 - х02 =
= х02 + 2х0х + (Дх)2 - х02 = 2х0Дх + (Дх)2.
Составим отношение
Sy _ 2х0Дх + (Дх)2
Дх	Дх
Найдем предел этого отношения при Дх —► О
Дх
Ди .. 2х0Дх + (Дх)2
lim = lim ----------т----- = 2xn.
Дх —► О Д^	дх —- о	л у
Следовательно, производная функции /(х) = х2 в точке х0
равна числу 2х0, что в принятых обозначениях можно записать
так: Г(*о) = 2х0. □
Упражнения. Используя определение производной, найди-
те производную функции в точке х = х0.
1. Дх) = 5х2. 2. Дх) = х3. 3. Дх) = а/х . 4. Дх) = 1/х. 5. Дх) =
= 1/х2. 6. Дх) = 1/л/х. 7. Дх) = sin 2х. 8. Дх) = cos (х/2).
9. Дх) = 1/(2х + 1). 10. Дх) = 71 + Зх .
ОТВЕТЫ. 1. 1Охо. 2. 3xg.3. 1/(2^). 4. -l/xg.5. -2/xg.
.—	sinxn/2
6. -1/(2xOa/^). 7. 2 cos 2x0. 8.--. 9.-2/(2x0 + l)2.
10. 3/(271 + 3Xo).
2. Геометрический смысл производной. Пусть функция
Дх) определена и непрерывна на интервале (а, &). Пусть, далее,
точка М на графике функции соответствует некоторому значе-
нию аргумента х0, а точка Р — значению х0 + Дх, где Дх — при-
ращение аргумента. Проведем через точки М и Р прямую и на-
зовем ее секущей. Обозначим через ф(Дх) угол между секущей
и осью Ох (рис. 31). Очевидно, что этот угол зависит от Дх.
Касательной S к графику функции f(x) в точке М будем
называть предельное положение секущей МР при неограничен-
171
ном приближении точки Р по графику к точке М (или, что то
же самое, при Дх —► 0). Из рисунка 31 следует, что
х /А ч NP Sy Дх0 + Дх)- Дх0)
tg ф(Дх) =	= ------7------- .
&	' MN Дх	Дх
Так как при Дх —► 0 секущая МР переходит в касательную, то
lim tg (р(Дх) = tg ф0,
Дх - 0
где ф0 — угол, который образует касательная с осью Ох. С дру-
гой стороны,
Дх0 4- Дх) - Дх0)
lim tg <p(Ax) = lim ----д------- = f (х0).
Следовательно, f (х0) = tg ф0. Таким образом, производ-
ная функции Дх) в точке х0 равна угловому коэффици-
енту касательной к графику функции f(x) в точке
М(х0; Дх0)).
□	Пример 2. Найти угловой коэффициент касательной к па-
раболе Дх) = х2 в точке М(1/2; 1) и угол между касательной в
этой точке и осью Ох.
Решение. Так как угловой коэффициент касательной к
графику функции Дх) = х2 в точке М(1/2; 1) равен значению
производной этой функции в точке х0 = 1/2, то задача и сводит-
ся к отысканию значения производной в этой точке.
172
Ранее (см. пример 1) было установлено, что /'(х0) = (х2)'|х=Хо =
= 2х0. Подставляя 1/2 вместо х0, получаем /'(1/2) = 2 • 1/2 = 1.
Следовательно, угловой коэффициент касательной равен 1, т. е.
k = 1 или tg ф0 = 1 (ф0 — угол между касательной и осью Ох), от-
куда получаем искомый угол: ф0 = arctg 1 = л/4. □
Если в некоторой точке производная равна нулю (k = 0),
то касательная к графику функции в этой точке параллель-
на оси Ох, а если же производная обращается в бесконечность
(k = оо), то это значит, что касательная в этой точке параллель-
на оси Оу.
♦
□	Пример 3. Составить уравнение касательной к параболе
/(х) = х2 в точке М(1/2; 1).
Решение. Чтобы составить искомое уравнение касатель-
ной, достаточно написать известное из аналитической геометрии
уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х0; z/0),
с данным угловым коэффициентом k
У-Уо = к(х- х0),
и вместо k подставить значение производной функции f(xQ).
Подставляя в уравнение координаты точки М(1/2; 1) и значе-
ние производной функции /'(х0) = Г(1/2) = 1 (см. пример 1), по-
лучим уравнение искомой касательной
у - 1 = 1(х - 1/2) или у = х + 1/2. □
Упражнение. Составьте уравнение касательной к параболе
/(х) = 4 - х2 в точке пересечения ее с осью Ох при х > 0. Пост-
ройте параболу и касательную. (ОТВЕТ: у = -4х + 8.)
□	Пример 4. Составить уравнение касательной, проведенной
из точки М(1; -3) к параболе /(х) = х2.
Решение. Уравнение касательной к кривой /(х) = х2 в точ-
ке (х0; /(х0)) имеет вид
У - f(x0) = f(x0)(x - х0).	(1)
Так как /(х0) = х02, f(x0) = 2х0 (см. пример 1) и эта прямая про-
ходит через точку (х; у) = (1; -3), то из (1) получаем
-3 - х02 = 2х0(1 - х0).
Из этого уравнения находим х0 = -1 или х0 = 3.
173
Если х0 = -1, то /(х0) = х02 = 1, f'(xQ) = 2х0 = -2 и уравнение
касательной принимает вид у - 1 == -2(х 4- 1), т. е. у = -2х - 1.
Если х0 = 3, то /(х0) = 9, f\x^ = 6 и уравнение касательной
таково: у = 6х - 9.
Таким образом, через точку Af(l; -3) к данной параболе
можно провести две касательные. □
Упражнение. Составьте уравнения касательных к гра-
фику функции /(х) = а/х, проходящих через точку (2; 3/2).
(ОТВЕТ. г/= х/2 4-1/2; I/= х/4 4-1.)
Отметим, что геометрический смысл производной играет важ-
ную роль в раскрытии многих понятий математического анализа
и в решении ряда геометрических задач.
3. Физический смысл производной. Предположим, что
функция у = f(t) описывает закон движения материальной точ-
ки М по прямой линии, т. е. у = f(t) — путь, пройденный точ-
кой от начала отсчета за время t.
Тогда за время tQ пройден путь у = f(t0), а за время tx — путь
У == /(^1)- За промежуток времени At = tx - tQ точка М пройдет
отрезок пути Ау = /(tj - f(tQ) = f(tQ 4- Д£) - f(tQ) (рис. 32). Отно-
шение называют средней скоростью движения иср за
время At, а предел отношения при At -* 0 определяет мгно-
венную скорость точки в момент времени £0(рмгн)*
□ Пример 5. Найти среднюю и мгновенную скорость в мо-
мент времени tQ точки, прямолинейное движение которой зада-
но уравнением у = (где у — путь, t — время, t > 0).
Решение. За время t$ точка пройдет путь у =	, а за вре-
мя tx — путь у ==	. За промежуток времени At =	- tQ точ-
ка пройдет отрезок пути Ay = Jt[ - Jt~Q = JtQ 4- At - Jt~Q.
>A£i)Mx
Puc. 32
Тогда средняя скорость движения
точки на отрезке времени [£0, t$ 4- Д£]
равна
__ Ау ___ л/^0 At аАо
U°p ~ At	At
174
а мгновенная скорость движения в момент времени tQ
х т	т л/^о + At ~
L> гн = У Uo) = 11т л7 = 11т ---л7------ =
мгн v и/ м о Д*	At - О	Д*
(7*о + az - 7^)(7^о + az + 7*0) =
At-0 AZ(7Z0 + AZ + 7^)
(Zo + AZ) — Zo 1
= lim --------------7=- = —7= . □
At-0 Д*(7*о 4-A* 4- 7*0)	27*0
Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при
исследовании поведения произвольной функции. Какую бы за-
висимость ни выражала функция у = /(х), отношение —
средняя скорость изменения у относительно изменения х,
а У'(хо) — мгновенная скорость изменения у при некотором
значении х = х0.
□ Примерб. Найти скорость свободно падающего тела в пус-
тоте в некоторый фиксированный момент времени *.
Решение. Из физики известно, что закон свободного паде-
ния тела в пустоте определяется формулой s = gt2/2, где g — по-
стоянная величина. Придадим некоторому значению t прира-
щение Д*; тогда пройденный путь s получит приращение
Л -	+ лп otn - g^ + gt2 - 2gtst + g^2
As = s(t 4- At) - s(t) =-g- - -g- =-------g-----.
Средняя скорость падения тела на отрезке времени [*, t 4- Д*]
равна
а скорость падения тела в момент времени t
имгн = 8'(0= lim = lim \g(2t + М) = gt.
At -> 0	At — 0
Отсюда, в частности, следует, что скорость свободно падающего
тела пропорциональна времени движения (падения). □
Значение производной состоит в том, что при изучении лю-
бых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить
скорость изменения связанных между собой величин.
175
4. Правая и левая производные. По аналогии с понятием
правого и левого предела функции вводят понятия правой и ле-
вой производных функции f(x) в точке х0.
Определение. Правой (левой) производной функ-
ции f(x) в точке х0 называется правое (левое) предельное
значение (при условии, что это предельное значение
существует).
Обозначение: /+(х0) = lim ( f'_ - (х0) = lim 1.
Если функция f(x) имеет в точке х0 производную, то она
имеет в этой точке и правую и левую производные, совпадаю-
щие между собой.
Вместе с тем существуют функции, имеющие в данной точ-
ке х0 и правую и левую производные, но не имеющие производ-
ной в этой точке. Примером такой функции служит функция
f(x) = |х|. Эта функция имеет в точке х = 0 правую производную,
равную /1(0) = lim = 1 (при х > 0 Дг/ = Дх), и левую произ-
Дх о+ Д*
водную, равную /1(0) = lim = -1 (при х < 0 Ду = -Дх), но
Дх о-
не имеет в точке х = 0 производной, так как /ДО) # /1(0), т. е.
односторонние пределы различны (см. теорему 2.2). Геомет-
рически это означает, что график функции /(х) = |х| в точке
0(0; 0) не имеет касательной.
Упражнение. Покажите, что функция /(х) = 3|х| + 1 в точ-
ке х = 0 не имеет производной.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Дайте определение производной функции у = /(х) в точке х0.
2.	Каков геометрический смысл производной функции у =
= -f(x) в точке х0?
3.	Дайте определение касательной к графику функции у = /(х)
в точке (х0; /(х0)) и напишите уравнение касательной.
4.	Каков физический смысл производной функции у = /(х) в
точке х0?
5.	Дайте определение правой (левой) производной функции
у = /(х) в точке х0. Какова связь между односторонними
производными и производной функции в точке х0? Приве-
дите пример функции, у которой существуют правая и ле-
вая производные в некоторой точке, но не существует произ-
водная в этой точке.
176
§ 3.2. Понятие
дифференцируемости функции
1. Понятие дифференцируемости функции в дан-
ной точке.
Определение. Функция f(x) называется диффе-
ренцируемой в точке х0, если ее приращение Ау в этой
точке можно представить в виде
&у = ААх + а(Дх)Дх,	(1)
где А — некоторое число, не зависящее от Дх, а а(Дх) —
функция аргумента Дх, являющаяся бесконечно малой
при \х —► 0, т. е. lim а(Дх) = 0.
Дх —* 0
Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке
и существованием производной в той же точке.
ТЕОРЕМА 3.1. Для того чтобы функция /(х) была
дифференцируема в данной точке х0, необходимо и
достаточно, чтобы она имела в этой точке ко-
нечную производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функ-
ция /(х) дифференцируема в данной точке х0, т. е. Ау = ААх +
+ а(Дх)Дх. Тогда, предположив, что Дх 0 и разделив равенст-
во на Дх, получим
= А + а(Дх).
Переходя к пределу при Дх 0, имеем
lim = lim (А + а(Дх)) = А = Л(х0).
Дх — 0	Дх — 0
Отсюда следует, что производная в точке х0 существует.
Д остаточност ь. Пусть существует производная f(xQ),
т. е. существует lim	= /'(х0). Пусть f'(xA = А. Тогда функция
Дх — о
а(Дх) =	“ А
является бесконечно малой при Дх 0. Действительно, пределы
каждой из функций	и А при Дх —► 0 равны А и поэтому в силу
177
теоремы 2.3, lim а(Дх) = lim Г -Al = lim - lim А =
Дх-0	дх-о!_Д* J Дх-оД* Дх-0
= А - А = 0. Из последнего равенства имеем
Дг/ = АЛх 4- а(Дх)Дх,
где lim а(Дх) = 0. Получено представление (1); тем самым до-
Дх О
казано, что функция Дх) дифференцируема в точке х0. 
Таким образом, для функций одной переменной дифферен-
цируемость и существование производной — понятия равно-
сильные. Поэтому операцию нахождения производной часто на-
зывают дифференцированием,
□ Пример. Используя определение, показать, что функция
Дх) = х2 дифференцируема в точке х = х0.
Решение. Запишем приращение функции Дх) = х2 в точке
х = х0 в виде (1)
Дг/ = f'(xQ)&x 4- а(Дх)Дх = 2х0Дх 4- а(Дх)Дх (А = f'(xQ))
(см. теорему 3.1).
Надо показать, что lim а(Дх) = 0. Для этого запишем при-
Дх -* о
ращение функции в точке х0 другим способом
Дг/ = f(xQ 4- Дх) - Дх0) = (х0 + Дх)2 - х02 = 2х0Дх 4- (Дх)2.
Приравнивая правые части, получаем а(Дх) = Дх. Переходя
к пределу при Дх 0, находим, что lim а(Дх) = 0, что и требо-
Дх о
вал ось показать. □
Упражнение. Используя определение, покажите, что
функция Дх) = х3 дифференцируема в точке х = х0.
2. Связь между понятиями дифференцируемости и не-
прерывности.
ТЕОРЕМА 3.2. Если функция у = Дх) дифференци-
руема в данной точке х0, то она и непрерывна в
этой точке.
—II---------------------------------------------------
Доказательство. Так как функция у = Дх) дифферен-
цируема в точке х0, то ее приращение в этой точке может быть
представлено соотношением (1). Тогда, переходя к пределу при
Дх 0, получаем
lim Дг/=А lim Дх 4- lim а(Дх) • lim Дх = 0,
Дх 0	Дх —- 0	Дх —- 0	Дх —- 0
178
что и означает непрерывность функции у = f(x) в точке х0, соглас-
но третьему определению непрерывности функции в точке х0. 
Замечание. Обратное утверждение не верно. Функция может
быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не
иметь производной в этой точке.
Примером такой функции служит функция f(x) = |х|. Эта функ-
ция, как известно, непрерывна в точке х = 0, но, как показано в § 3.1,
п. 4, не имеет в этой точке производной, т. е. не является дифферен-
цируемой.
Функция f(x) = 3Jx непрерывна на всей числовой прямой. Пока-
жем, что в точке х = 0 эта функция не является дифференцируемой.
В самом деле, в точке х = 0 приращению аргумента Дх соответствует
приращение функции Дг/ = 3/0 + Дх - З/б = ?/Дх . Следовательно,
Дг/ = З/Дх =	1
з/сд^Г2’
Переходя к пределу при Дх —► 0, получаем
lim = lim . 1	= °о.
Дх ~* О	Дх — 0 3/(Дх)2
Это значит, что функция f(x) = 3/х в точке х = 0 не имеет конечной
производной, т. е. не является дифференцируемой. График функции
/(х) = 3/х в точке О (0; 0) имеет своей касательной ось Оу, угловой
коэффициент которой k = tg ф0 не имеет конечного значения, т. е.
«обращается в бесконечность».
Если функция /(х) имеет производную в каждой точке неко-
торого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого
промежутка), то будем говорить, что функция /(х) имеет про-
изводную или что она дифференцируема на указанном проме-
жутке.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Дайте определение дифференцируемости функции в точке х0.
2.	Какова связь между понятиями дифференцируемости функ-
ции в точке и производной функции в этой точке? Докажите
соответствующую теорему.
3.	Какова связь между понятиями дифференцируемости и не-
прерывности функции в точке? Приведите пример функции,
непрерывной в точке, но не дифференцируемой в этой точке.
4.	Может ли функция, имеющая производную в точке, быть
непрерывной в этой точке?
179
§ 3.3. Понятие дифференциала
1. Определение и геометрический смысл дифферен-
циала. Пусть функция Дх) дифференцируема в точке х0, т. е.
приращение Дг/ можно записать в виде суммы двух слагаемых
Дг/ = ААх 4- а(Дх)Дх,
где lim а(Дх) = 0. Первое слагаемое ААх является при Дх —► 0
Дх —* 0
бесконечно малой одного порядка с Дх (покажите это самостоя-
тельно), оно линейно относительно Дх. Слагаемое а(Дх) Дх при
Дх —► 0 — бесконечно малая более высокого порядка, чем Дх
f lim а(Ах)Ах = 01. Таким образом, первое слагаемое является
кдх-о	)
главной частью приращения функции Дх).
Определение. Дифференциалом функции Дх) в
точке х0 называется главная линейная относительно
\х часть приращения функции:
dy = ААх.	(1)
Если учесть теорему 3.1, т. е. принять во внимание, что А =
= Д(х0), то формулу (1) можно записать в виде
dy = f(x0)Ax.	(2)
Дифференциалом независимой переменной х назовем при-
ращение этой переменной: dx = Дх. Окончательно соотноше-
ние (2) принимает вид
dy = r(x0)dx-	(3)
С помощью равенства (3) производную f (х0) можно вычис-
лить как отношение дифференциала функции dy к дифферен-
циалу dx независимой переменной, т. е.
= dx •
Дифференциал функции имеет геометрический смысл.
Пусть точка М на графике функции у = Дх) соответствует
значению аргумента х0, точка Р — значению аргумента х0 +
4- Дх, прямая MS — касательная к графику у = Дх) в точ-
ке М, а — угол между касательной и осью Ох. Пусть далее
MN || Ox, NP || Ог/, Q — точка пересечения касательной MS
с прямой PN (рис. 33). Тогда приращение функции Ау равно
величине отрезка NP.
180
В то же время из прямоугольного треугольника MNQ полу-
чаем NQ = tg а*Дх = f(xQ) Дх = dz/, т. е. дифференциал функ-
ции dz/ равен величине отрезка NQ. Из геометрического рас-
смотрения видно, что величины отрезков NP и NQ различны.
Таким образом, дифференциал dz/ функции у = /(х) в точке
х0 равен приращению «ординаты касательной» MS к графику
этой функции в точке М (х0; /(х0)), а приращение функции Дг/
есть приращение «ординаты самой функции» у = /(х) в точке
х0, соответствующее приращению аргумента, равному Дх.
2. Приближенные вычисления с помощью дифферен-
циала. Из определения дифференциала следует, что он зависит
линейно от Дх и является главной частью приращения функции
Дг/. Само же Дг/ зависит от Дх более сложно. Например, если
/(х) = х3, то Дг/ = (х0 4- Дх)3 - х| = Зх§ Дх 4- Зх0 (Дх)2 4- (Дх)3, в то
время как
,	(	(х0 4- Дх)3 - х§ \	п
dy = f (х0)Дх =	-----J Дх = Зх§ Дх.
Кроме того, для вычисления дифференциала можно вос-
пользоваться равенством dz/ = f\x^Ax. Во многих задачах при-
ращение функции в данной точке приближенно заменяют диф-
ференциалом функции в этой точке:
Дг/« dz/.
Абсолютная погрешность при такой замене равна \Ду - dz/|
и является при Дх О бесконечно малой более высокого поряд-
ка, чем Дх.
181
В частности, если х0 = 2, Дх = 0,1, то Дг/ = Зе22*0,1 +
+ 3 • 2 • (О,I)2 + (О,I)3 = 1,261, dy = 3 • 22 • 0,1 = 1,2 и абсолютная
погрешность |Дг/ - di/| == 0,061.
Упражнение. Найдите приближенно приращение Дг/ функ-
ции /(х) = х2, если х0 = 2иДх = 0,01. (ОТВЕТ: 0,04.)
□ Пример. Покажем, что если а мало, то можно использо-
вать приближенную формулу
71 + ос ~ 1 + а/2.
Решение. Действительно, возьмем функцию /(х) = 7х.
Тогда при малых Дх
Дг/ = Jx0 + Дх - Jx~0 « di/ или Jx0 + Дх - Jx~0 «(Jx)' I _ r &x =
x x0
/	JxQ + Дх - Jx~n \	/	(хп + Дх)-х0 \ i
=	= [ iim \°	°	|Ax = —^=Ax,
VAx-o Дх )	кдх-0Дх(7х0 + Дх + JxQ))	2jx0
откуда, положив x0 = 1, Дх = а, получим
71 + ос ~ 1 + а/2.
В частности, при а = 0,0003 найдем 71,0003 « 1,00015. □
Упражнение. Выведите приближенную формулу Ja2 + h «
~ а + h/(2a). Найдите приближенно 7101, 71,04 , 741, V9,
5733. (ОТВЕТ: 10,05; 1,02; 6,41; 2,08; 2,01.)
Рассмотрим теперь правила дифференцирования и вычисле-
ния производных простейших элементарных функций. Заме-
тим, что при выводе формул и практическом вычислении про-
изводных обычно пишут не х0, а просто х, но при этом х счита-
ют фиксированным.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Дайте определение дифференциала функции в точке х0.
2.	Почему в определении дифференциала выражение ААх на-
зывается главной, линейной относительно Дх частью прира-
щения функции /(х)?
3.	Каков геометрический смысл дифференциала?
182
§ 3.4.	Правила дифференцирования суммы,
разности, произведения и частного
ТЕОРЕМА 3.3. Если функции и = и(х) и v = v(x)
дифференцируемы в точке х, то сумма, разность,
произведение и частное этих функций (частное
при условии, что v(x) # 0) также дифференциру-
емы в этой точке и имеют место следующие фор-
мулы'.
1)	(и ± и)' = и' ± v'; 2) (и • и)' = и'и 4- uv';
31 (^' = u'v-uv'.	rn
Доказательство. Для вывода формул (1) воспользуемся
определением производной, очевидным равенством f(x 4- Дх) =
= f(x) 4- Дг/ и теоремой 2.3. Рассмотрим отдельно каждый случай.
1) (и 4- vY = lim [ц(х + Ах) ± и(х * Ах)] ~ [ц(х) ± и(х)] =
ги(х 4- Дх) - и(х) . v(x 4- Дх) - у(х) q
hm -------т---------- ±------7-------- —
дх-oL Дх	Ах J
и(х 4- Дх) - и(х) , .. v(x 4- Дх) - v(x)
hm —------т-~--—- ± hm ---------т---------
Дх ~* 0	ДХ	Дх — о	Дх
Ди ... Ду / . /
= hm -т— ± hm -т— = и ± V .
Дх ~* о Дх	Дх — о Дх
z ч, и(х 4- Дх)и(х 4- Дх) - и(х)у(х)
2) (и-v) = hm —---------- Лу --------5-^-^ =
Дх —* 0	АХ
..	[и(х) 4- Ди][у(х) 4- Ди] - и(х)у(х)
= _
Дх -* о	Дх
.. и(х)у(х) 4- Диу(х) 4- и(х)Ду 4- ДиДи - и(х)у(х)
= hm -----------------------7-----------------------
Дх -* 0	Дх
.. г , хДи .	, чДи , А Ди1	Ди	.	Ди	.
= hm Р(х)д— 4- и(х)-г— 4- Дрт—	= V hm -г—	4-	и hm -т—	4-
Дх — о L Дх V 7Дх Дх J	Дх-oAx	Дх-^оАх
4- lim Ди lim = и • и' 4- uv' 4- 0 • и' = и'и 4- uv',
Дх - 0 Дх — 0 Дх
так как lim Ди = О1, а множители и и и являются постоянными
Дх —* 0
и не зависят от Дх.
1 По условию, функция v дифференцируема, следовательно (по
теореме 3.2), непрерывна, поэтому lim Ду = 0 (см. определение 3
Дх —* 0
непрерывности функции).
183
3)Ш-
lim
Дх —* О
u(x + Дх) _ u(x)
р(х + Дх) v(x)
Дх
и(х + Дх)р(х) - и(х)р(х + Дх)
Дх?0 Дх • v(x + Дх)р(х)
,	[и(х) + Ди]р(х) - и(х)[р(х) + Др]
Дх-*О	Дхр(х)[р(х) + Др]
Ди Др
I А	А	Р д— “ U~
uv + Дир - uv - иДр	Дх Дх
lim ---т-7—, л ч-- = lim —7-—-—
Дх-* О Дхр(р + Др)	Дх—* О Р2 + рДр
Ди Др
р lim — - и lim —
дх^оДх	дх^оДх
р2 + р lim Др
и'р - up'
р2
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Докажите правила дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного двух функций.
2.	Что можно сказать, если выполнены все условия теоремы о
правилах дифференцирования, кроме условия р(х) # 0, т. е.
выполнено условие р(х) = О?
3.	Почему при доказательстве правил дифференцирования
произведения и частного lim Др = О?
Дх о
§ 3.5.	Вычисление производных постоянной^
степенной, тригонометрических функций
и логарифмической функции
1.	Производная постоянной функции. Производная
функции у = f(x) = С, где С — постоянное число, выра-
жается формулой
г/' = 0.
□ Доказательство. Для любых х и Дх имеем f(x + Дх) =
= С и Ду = f(x + Дх) - Дх) = 0. Отсюда при любом Дх 0 отноше-
Ди _
ние = 0, следовательно,
у' = lim = 0. 
Замечание. Постоянный множитель можно выносить за знак
производной, т. е. (Си)' = Си'. Действительно, если р = С (С = const),
то, по формуле 2 (см. теорему 3.3), (Си)' = (С)'и + Си' = 0 • и + Си =
= Си', что и требовалось показать.
184
2.	Производная степенной функции. Производная функ-
ции у = хя, показатель п которой является целым поло-
жительным числом, выражается формулой
у' = пхп~х.
 Используя формулу бинома Ньютона, можно записать
Дг/ = (х 4- Дх)я - хп = [хя 4- пхп ~ хДх 4- —	--- хп ~ 2(Дх)2 4-...
... 4- (Дх)2] - Xя = пхп ~ хДх 4- п(п2? хя " 2(Дх)2 4- ... 4- (Дх)я.
Таким образом, при Дх # 0 имеем
= пхя“х 4-	+ 1--хп~2Лх 4-... 4- (Дх)я-Х.
Дх	2!	v '
Так как
lim Дх = 0, lim (Дх)2 = 0, ..., lim (Дх)я~1 = 0,
Дх —► 0	Дх —- 0	Дх —- 0
ТО
.	_. Дг/	-	—
у = lim =пхп~1. 
дх-оД^
Замечание. Случай степенной функции, показатель которой
является любым вещественным числом, будет рассмотрен в § 3.9, п. 2.
3.	Производные тригонометрических функций.
1)	Производная функции у = sin х выражается фор-
мулой
у' = cos х.
 Имеем
Дг/ = sin (х 4- Дх) - sin х = 2sin (Дх/2) cos (х 4- Дх/2).
Таким образом, при Дх 0
Дг/ _ 2sin(Ax/2)cos(x 4-Дх/2) _ sin(Ax/2)	А^/о\
Дх	Д^----------------Дх/2 cos (х + ДХ/2)-
m	sin(Ax/2) - .	~	~ ч
Так как lim —л .'	= 1 (первый замечательный предел),
Ах —> 0 ДХ/ а
a lim cos (х 4- Дх/2) = cos х в силу непрерывности функции
Дх —- 0
COS X, то
у' = lim = cos х. 
2)	Производная функции у = cos х выражается форму-
лой
у' = -sin х.
185
 Имеем
Ду = cos (х + Дх) - cos х = -2 sin (Дх/2) sin (х + Дх/2).
Таким образом, при Дх О
Ду _ _2sin(Ax/2)sin(x + Дх/2) _ _sin(Ax/2)	_
ДЗЕ “	ДЗЕ	Дх/2 Sin {Х +
Так как lim sin (х + Дх/2) = sin х в силу непрерывности функ-
Лх
ции sin х, то
у' = lim = -sin х. 
* Дх-оДх
3)	Производная функции г/ = tg х выражается формулой
,	1	л
У = --9“ , X 5* 75 + ПЯ.
*	cos2x	2
 Так как tg х =	, то, по теореме 3.3, получаем
COS X
, _ (sinx)'cosx - sinx(cosx)' _
cos2x
_ cosxcosx - sinx(-sinx) _ cos2x + sin2x
COS2X	COS2X ’
следовательно,
'= 1
cos2x‘
4) Производная функция у = ctg x выражается форму-
лой
' 1
у = - . 9 , X пл.
sin2x
 Так как ctg =	, то, аналогично предыдущему,
, _ (cosx)'sinx - cosx(sinx)' __
sin2x
_ (-sinx)sinx - cosxcosx _ _sin2x 4- cos2x
sin2x	sin2x ’
следовательно,
1
sin2x *
4. Производная логарифмической функции. Производ-
ная функции у = logax, 0 < а # 1, выражается формулой
y'=ilogae=^.
186
 Имеем
\у = loga (X + Дх) - loga X = loga—-10&a^ 1 + Т J •
Таким образом, при Дх О
Ди 1,	(. , Дх А 1 х, , Дх \
= д— log J 1 + — = - • -г— log J 14- — ,
Дх Дх &av х ) х &х &av	х )
или
-ll0g rfl + ^pl.
Дх х aL\ х ) J
Положив х/Дх = h, имеем
/	Дх \х/Лх	/	1 \й
lim | 1 + — I = lim | 1 + -г | = е
Дх —* 0 \	X j	h —> оо\ П )
(второй замечательный предел), а так как логарифмиче-
ская функция является непрерывной, то
, V Д1/	1 1 Г г (1 I Ах/Лх 1	1 1	1	—
У = lim -r^=-loga lim I 1 + —	= z loga е =-j—. 
дх^ОДХ X	“[.Дх-*0\	X J J X	Х1ПО
С Л ЕД СТ В И Е. Если у = loge х = In х, то у' = (In х)' =
= 1/х.
□ Пример. Используя правила и формулы дифферен-
цирования, найти производную функции f(x) = 5 + х3 * + Зх2 +
4- sin х 4- cos х 4- 2 tg х - 3 ctg x 4- log2 x 4- 3 In x.
Решение. Имеем
f(x) = (5 4- x3 4- Зх2 4- sin x 4- cos x 4- 2tg x - 3 ctg x 4- log2 x 4-
4- 3 In x)' = (5)' + (x3)' + 3(x2)' 4- (sin x)' 4- (cos x)' + 2(tg x)' -
- 3(ctg x)' 4- (log2 x)' 4- 3 (In x)' = 3x2 4- 6x 4- cos x - sin x 4-
2	3	1,	3	„
4- --я—	4-	——5—	4-	— log2 e 4- —	.	D
coszx	sinzx	X Z X
Упражнения. Найдите производную функции.
1. f(x) = 4х5 - 3sin х + 5 ctg x. 2. f(x) = log2 x + 3 log3 x.
3. f(x) = 4 cos x - 2 tg x + 3. 4. f(x) = 5 In x - 7 cos x + tg x + ctg x.
5. f(x) = x sin x. 6. f(x) = x2 tg x. 7. f(x) = x2 log3 x. 8. f(x) =
X2 - 1 Л \ 1ПХ ,	.	jyz x cosx .. x
= / о ,	• 9- f(x) = -- 4- x ctg X. 10. f(x) = . . o .-.11. f(x) =
(x2 + 1) v 7 sinx &	1 + 2sinx	’
_ xtgx
1 4- x2 *
187
ОТВЕТЫ. 1.20х4 - 3 cos х - 5/sin2x. 2.	. 3. -4 sin х -
'	х1п21пЗ
2
- —р- . 4. 5/х 4- 7 sin х - 4 ctg 2х. 5. sin х 4- х cos х. 6. x(sin 2х 4-
cos2x
, ч 9	_ 21пх+1 _ л ,z 9 , л sinx-x2+xcosx(sinx-lnx)
+ z) sec* х. 7. z-,53-. В. 4х/(х‘ +1)*. В.----
п _ 2 4-sinx (l + x2)(sinxcosx 4-х) - x2sin2x
(l + 2sinx)2’ ’	(I 4-x2)2cos2x
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Выведите формулы для производных постоянной, степен-
ной, тригонометрических функций и логарифмической
функции.
2. Почему при выводе формулы производной логарифмиче-
ской функции знаки функции и предела поменяли местами?
§ 3.6. Теорема о производной
обратной функции
Пусть функция у = /(х) удовлетворяет условиям теоре-
мы 2.16 об обратной функции и функция х = ф(г/) является для
нее обратной. Тогда имеет место следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3.4. Если функция у = /(х) имеет в точ-
ке х0 производную f'(xQ) # 0, то обратная функция
х = ф(£/) также имеет в соответствующей точке
yQ = f(xQ) производную, причем
- лЬ 
Доказательство. Придадим аргументу обратной функ-
ции х = ф(г/) некоторое приращение Ду # 0 в точке г/0. Функция
х = 4>(у) получит некоторое приращение Дх, причем, в силу
возрастания (или убывания) обратной функции, Дх # 0. Следо-
вательно, можно записать
Дх _	1
~ \у/\х *
Перейдем в этом равенстве к пределу при Дг/ —► 0. Так как об-
ратная функция х = ф(г/) непрерывна в точке г/0 (см. теоре-
му 2.16), то Дх 0 при Дг/ 0. Но при Ах 0 предел правой
части равенства существует и равен 1//'(х0).
188
Следовательно, существует предел и
левой части равенства, который, по оп-
ределению, равен ф'(г/0). Таким образом,
получаем
 (1)
Доказанная теорема имеет простой
геометрический смысл. Рассмотрим в не-
которой окрестности точки х0 график
функции у = f(x) (или обратной функции
х = ф(г/)). Пусть точке х0 на этом графи-
ке соответствует точка М (рис. 34). Как
известно, производная f'(xQ) равна тан-
генсу угла а наклона касательной, проходящей через точку М,
к оси Ох. Производная обратной функции <pz(z/0) Равна тангенсу
угла Р наклона этой же касательной к оси Оу. Так как углы а
и Р в сумме составляют л/2, то формула (1) выражает следую-
щий очевидный факт:
7	R_ 1	_	1	1	1
Ф \Уо) S Р ctgp	ctg(л/2 - a)	tga Л(х0) ’
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте теорему о производной обратной функции.
2.	Что можно сказать о производной обратной функции, если
f(xQ) = 0? Приведите пример такого случая.
3.	Каков геометрический смысл теоремы о производной обрат-
ной функции?
§ 3.7.	Вычисление производных
показательной функции
и обратных тригонометрических функций
Опираясь на доказанную выше теорему 3.4, продолжим
вычисление производных простейших элементарных функций.
1.	Производная показательной функции. Производная
функции у = ах, 0 < а # 1, выражается формулой
у' = ах In а.
 Показательная функция у = ах является обратной для лога-
рифмической функции х = loga у. Таким образом,
х(у)= -logae,
У
189
а. в силу теоремы 3.4 о производной обратной функции и извест-
1 к 1
ного из элементарной математики соотношения loga о = д,
получаем
у\х) = У ч . 1 = ах In а. 
' х\у) logae
СЛЕДСТВИЕ. Если у = ех, то у' = (ех)' = ех.
2. Производные обратных тригонометрических функ-
ций.
1) Производная функции у = arcsin х выражается фор-
мулой
У
 Функция у = arcsin х является обратной для функции
х = sin у. Так как х'(у) = cos г/, то, по теореме 3.4 о производной
обратной функции, имеем
ч 1	1	1
и (х) = Z/ ч	, ....=	.
* Х^У) cosy _ Sin2y
Корень взят со знаком «плюс», поскольку cos у положите-
лен на интервале - л/2 < у < л/2. Учитывая, что sin у = х, окон-
чательно получаем

2)	Производная функции у = arccos х выражается фор-
мулой
Доказательство аналогично предыдущему.
3)	Производная функции у = arctg х выражается фор-
мулой
»-(«) - 
 Функция у = arctg х является обратной для функции х = tg у.
Так как х'(и) = —, то
cos2 г/
y'(x)=FTF) =cos2^-
190
Ho cQg2^ = 14- tg2 у = 14- x2, следовательно,
“ 1ТР • 
4)	Производная функции у = arcctg х выражается фор-
мулой
Доказательство аналогично предыдущему.
□ Пример. Используя правила и формулы дифференцирова-
ния, найти производную функции
/(х) = 5х 4- arcsin х 4- 3 arccos х 4- arctg х - 3 arcctg х.
Решение. Имеем
f(x) = (5х 4- arcsin х + 3 arccos х 4- arctg х - 3 arcctg х)' =
= (5х)' + (arcsin х)' + 3 (arccos х)' 4- (arctg х)' - 3 (arcctg х)' =
= 5х In 5 4- -=L= —	— 4- —-—я + г—2 =
71-х2 Л-*2 1 +х 1 +х
Упражнения. Найдите производную функции.
1. Дх) = arcsin х 4- 6х 4- 5arccos х. 2. Дх) = xarccos х.
3. Дх) = arctg х - arcctg х. 4. Дх) = 4ех 4- arctg х 4- arcsin х.
ОТВЕТЫ. 1.6х In 6 - 4/ 71 - х2.2. arccos х - х/ 71 - х2 .
3. 2/(1 + х2). 4. 4е* + 1/(1 + х2)+ 1/71 -х2). 5. (1^*х)2 •
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Выведите формулы производных для показательной функ-
ции и обратных тригонометрических функций.
2. Почему при выводе формулы производной для показатель-
ной функции функция у = ах является обратной для функ-
ции x = loga у?
191
§3.8. Правило дифференцирования
сложной функции.
Дифференциал сложной функции
1. Правило дифференцирования сложной функции.
ТЕОРЕМА 3.5. Если функция х = ф(£) имеет произ-
водную в точке tQ9 а функция у = f(x) имеет произ-
водную в соответствующей точке х0 = ф(£0), то
сложная функция /[ф(0] имеет производную в точ-
ке tQ и имеет место следующая формула:
||yz(*o) = f(*o) фх(Л>)-(!)
Доказательство. Так как функция у = f(x) предпола-
гается дифференцируемой в точке х0, то приращение этой
функции может быть записано в виде
ку = f{x^)\x 4- а(Дх)Дх,	(2)
где lim а(Дх) = 0. Разделив равенство (2) на Д£, имеем
Дх —- 0
Ау ш чДх , чДх
^=/(х0)д?+(х(Дх)д?.	(3)
Равенство (3) справедливо при любых достаточно малых Дх.
Возьмем Дх равным приращению функции х = ф(£), соответст-
вующему приращению М аргумента t. Устремим в этом равен-
стве Ы к нулю. Так как, по условию, функция х = ф(£) имеет в
точке tQ производную, то она непрерывна в этой точке. Следова-
тельно, по третьему определению непрерывности функции в
точке, Дх —► 0 при Ы —► 0. Но тогда устремится к нулю и а(Дх),
т. е. получим
lim Га(Дх)^ ) = lim а(Дх) lim =0*ф'(£о) = 0-	(4)
де о V Дг у де о де о А*
Из соотношения (4) следует существование предела всей
правой части равенства (3) при 0, равного f(x$) ф'(^0). Зна-
чит, существует предел при Д£ 0 и левой части равенства (3),
который, по определению производной, равен производной
сложной функции у = /Тф(О] в точке tQ. Тем самым доказа-
на дифференцируемость сложной функции и установлена фор-
мула (1). 
192
Замечание. В данной теореме мы рассматривали сложную
функцию, где у зависел от t через промежуточную переменную х.
Возможна и более сложная зависимость — с двумя, тремя и большим
числом промежуточных переменных, но правило дифференцирова-
ния остается прежним.
Так, например, если у = /(х), где х = ф(и), а и = \|/(р) и v = х(0, то
производную y'(t) следует искать по формуле
y\t) = У'(х)х' (и)и'	(5)
Рассмотрим примеры дифференцирования сложной функции.
□ Пример 1 .Вычислить производную функции у = е*™1**.
Решение. Данную функцию можно представить в виде
у = ем, где и = arctg х. Тогда, по формуле (1),
У\х) = у'(и)и' (х) = ем •	•
Заменив и на arctg х, окончательно получим
y' = earCtgX.	.
Пример 2. Вычислить производную функции
у = tg2 (х2 + 1).
Решение. Данную функцию можно представить в виде у =
= и2, где и = tg v, а и = х2 4- 1. Используя формулу (5), получим
у'(х) = y'(u)u'(v)v'(x) = (u2)'(tg v)'(x2 + 1)' = 2и sec2 v • 2x =
= 2 tg (x2 4-1) sec2 (x2 + 1) • 2x = 4x tg (x2 4-1) sec2 (x2 4-1). □
Разумеется, нет необходимости в таких подробных записях.
Обычно результат следует писать сразу, представляя последова-
тельно в уме промежуточные аргументы. Так, например, вы-
числение производной в последнем примере можно записать в
таком виде:
У'(х) = 2tg (х2 + 1)СО82(2гТ13 • (*2 + 1)' =
= 2tg (х2 + 1) • sec2 (х2 + 1) • 2х = 4xtg (х2 + 1) sec2 (х2 + 1).
Упражнения. Найдите производную функции.
1. /(х) = sin Зх. 2. /(х) = sin (х2 + 5х + 2). 3. /(х) = sin2 х.
4. f(x) = sin3 х. 5. f(x) = cos100 x. 6. /(x) = tg (x2 + 3). 7. /(x) =
= In sin x. 8. /(x) = In tg 5x. 9. f(x) = etgx. 10. f(x) = In (x2 + 2x).
11. /(x) = xarctg x - |ln (1 + x2). 12. f(x) = sin2x3. 13. f(x) =
7 - 3587 Шипачев
193
= 7ТТ-----7-^5 • 14- Я*) = sin4 Х + C°S4 Х- 15- Я*) =	+
(l+cos4x)5	sinzx
+ in (tg| ). 16. ftx) = 23x + X5 + ex2. 17. /(x) = x2e~x. 18. /(x) =
= (x + 2)ex2. 19. /(x) = e1/cos x. 20. /(x) = ex/ln x. 21. f(x) =
= 108-si“32x. 22. /(x) = sin (2х). 23. ftx) = arccos (1 - 2x).
24. f(x) = arcsin (e4x). 25. f(x) = arctg In (5x + 3). 26. f(x) =
= arcctg2 (1/x). 27. ftx) = tg sin cos x. 28. f(x) = In5 sin x.
ОТВЕТЫ. 1. 3cos 3x. 2. (2x + 5)cos (x2 + 5x + 2). 3. sin 2x.
2 x
4. 3sin2 xcos x. 5. -lOOsin xcos" x. 6. —9/ 9-,	. 7. ctg x.
cosz(xz + 3)
8. .	. 9. etgxsec2x. 10. 2^X +-*  .11. arctg x. 12. 3x2sin2x3.
sin lUX	X(X т Z)
13. | tg 2x • sec10 2x. 14. —sin 4x. 15. ^C°,S X . 16. 3 • 28x In 2 +
8	sindx
+ бх4- 2xex2. 17. xe-x(2 - x). 18. e~x2(l - 2x2 - 4x). 19. e1/cosx x
x . 20.	. 21. io3-sin32x In 10 • (-3sin2x sin 4x).
coszx	xlnzx
22. 2x(ln 2)cos 2х.	23. 1/7* - x2.	24. 4e4x/71 - e8x.
25 ___________5___________ 2arcctg(l/x) -sincos(cosx)
‘ (5x + 3)[1 + ln2(5x + 3)]’		1 + x2 ’	’ cos2(sincosx) ’
28. 5ctg x • In4 sin x.
2. Дифференциал сложной функции. Вы уже знаете, что
если х является независимой переменной, то дифференциал
дифференцируемой функции у = /(х) имеет следующую форму,
т. е. вид
dz/ = f (x)dx.	(6)
 Покажем, что эта форма универсальна и справедлива также
и в том случае, когда х является не независимой переменной,
а дифференцируемой функцией некоторой независимой пере-
менной t, т. е. у — сложная функция от t. Действительно, пусть
у = /(х) их = ф(£): У = /Тф(О]« Тогда, так как аргумент t является
независимой переменной, то для указанной сложной функции
у = /Тф(£)] и для функции х = ф(0 дифференциалы представимы
в форме (6), т. е. в виде
di/ = {/Тф(О]}' dt, dx = <p'(t) dt.	(7)
По правилу дифференцирования сложной функции,
{fl<P(t)]}' = f(x)-<p'(O.	(8)
194
Подставляя (8) в первую из формул (7), получаем
dy = f (х) • ф'(0 dt,
а так как, согласно второй формуле (7), ф'(0 сН = dx, то оконча-
тельно находим
dz/ = f (х) dx,
что совпадает с формулой (6). □
Таким образом, получили, что формула (6) верна и для
сложной функции. Это свойство дифференциала сложной функ-
ции принято называть инвариантностью его формы.
□ Пример 3. Найти дифференциал сложной функции
у = sin х, где х = t1 2.
Решение. По формуле (6) имеем
dz/ = (sin х)' dx = cos х dx,
а так как х = t2, dx = (t2)' d£ = 2t dt, то, подставляя в выражение
для dz/, окончательно получаем
dz/ = 2t cos t2dt. □
Далее введем понятия второго и последующих дифферен-
циалов функции у = /(х), которые уже не обладают инвариант-
ностью формы. Поэтому доказанное свойство называют также
инвариантностью формы первого дифференциала.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.
2. Применима ли теорема о производной сложной функции
к функции у = sin (л/х) в точке х = О? Существует ли произ-
водная этой функции в точке х = О?
§ 3.9. Логарифмическая производная.
Производная степенной функции
с любым вещественным показателем.
Таблица производных
простейших элементарных функций
1. Понятие логарифмической производной функции.
Вычислим производную функции у = In |х|, х # 0. Так как
1	(-х)'	1
(In х)' = - , a (In (-х))' =	= - (последнее равенство получено
195
на основании правила дифференцирования сложной функции),
то производная функции выражается следующей формулой:
у' = (In |х|)' = 1 .	(1)
Учитывая формулу (1), вычислим производную сложной
функции у = In |и|, где и = f(x) — дифференцируемая функция.
Имеем
у' = (1п |и|)' = - • и' =
* vii/ и
ИЛИ
(ln|/(x)|)'=^g.	(2)
Производную от логарифма функции (1п |Дх)|)' и называют
логарифмической производной функции Дх). Для упроще-
ния записи при логарифмическом дифференцировании знак мо-
дуля у функции Дх) можно опустить.
В качестве примера вычислим с помощью логарифмической
производной производную показательно-степенной функции
у = и(х)у(х), где и и v — некоторые функции от х (и > 0), имею-
щие в данной точке производные и'(х) и v'(x).
Так как In у = и(х) In и(х), то по формуле (2) получим
57 = [v(x) In u(x)]' = v'(x) In u(x) + v(x)^-^ .
Учитывая, что у = u(x)y(x), получаем следующую формулу для
производной показательно-степенной функции:
у' = u(x)”<*)[t/(x) In u(x) +	.	(3)
□ Пример 1. Вычислить производную функции у = Xх.
Решение. Данную функцию можно представить в виде у =
= и(х)у(х), где и(х) = х и и(х) = х. Используя формулу (3), получим
у' = Xх Ь1пх + х*
= х*(1п X + 1).
□
Упражнения. Найдите производную функции.
1. Дх) = xsinx. 2. Дх) = (tg x)sinx. 3. Дх) = (cos x)sinx.
ОТВЕТЫ. 1. xsin х [cos х In x +	2. (tg x)sinx [cos x x
1	\	/	sin2x
X in tg X + ----- . 3. (cos x)sin x COS X • In cos x - ---
cosx ) v '	\	cosx
196
Производную показательно-степенной функции у = и(х)у(х)
можно вычислить и другим способом. Представим функцию в
виде у = еу(х) 1п и вычислим г/':
у' = [еу(х) in u(x)]' = ер(х) in им [У(Х) 1п и(х)]' =
= i/[v'(x) In и(х) + р(х)£$ ].
Подставляя у = и(х)у(х), снова приходим к формуле (3).
Логарифмическая производная очень удобна при нахожде-
нии производной степенной функции с любым вещественным
показателем.
2. Производная степенной функции с любым вещест-
венным показателем. Производная функции у = ха (а —
любое вещественное число) определяется формулой
z/' = axa-1.	(4)
 Так как у = ха, то
1п у = а 1п х.
Используя формулу (2), находим
Отсюда, учитывая, что у = ха, получаем формулу для производ-
ной степенной функции:
у' = (ха)' = а• ха"Ч 
□ Пример 2.Вычислить производную функции
Дх) = 71 + cos2x .
Решение. Данную функцию представим в виде Дх) = (14-
4- cos2 х)1/2. Используя формулу (4), получим
Д(х) = 5 (1 + cos2 х)1/2 "1 • 2 cos х • (cos х)' =
= 5 (1 + cos2 x)“1/2 2 cos x (-sin x) = -—A”—— . □
2	271 + cos2x
Упражнения. Найдите производную функции.
1. ftx) = xVx 2. Дх) -	+ Д - А + 2. 3. Дх) - А -
X х	4ух
- А. 4. Дх) = Vx In х. 5. Дх) = Vx arcctg x. 6. Дх) =	.
?/x	Jx + 1
7. Дх) = 72 x - sin2x. 8. Дх) = in (x + 1 + 7x2 + 2x + 3).
197
9.	f(x) = (x71 ~ x2 + arcsin x). 10. /(x) = x arctg 72x - 1 -
-	• 11 • Ax) =	+ ln(tgf ). 12. f(x) = e’^. 13. f(x) =
= in (sin x + 71 + sin2x). 14. f(x) = arcsinTx. 15. f(x) =
= 5 in sinX . 16. f(x) = 5 7(1 + Inx)3. 17. f(x) = In (x sin X X
x 71 - x2). 18. /(x) = Varctge5*.
ОТВЕТЫ. 1. x^-2(i-inx). 2. -4= - 15 + ® .3.	-
41/i x3 x“ x V
_	1 \ Inx + 7 g arcctgx _ 3Jx	1
Vx '	’ 7l/x® *	' 337T2	1 +x2 ‘	' 27x(7x + I)2 *
7.  2s™2*...- . 8. ..1..... .	9. 71 - X2. 10. arctg72x - 1.
72x - sin2x 7x2 + 2x + 3
.. -2cos2x	2e7^	cosx	..	1
sin3x	77/^5	71 + sin2X	27x - X2
x + 3
Iе g 4	71 + Inx	1 / . x x
15. hh --------------. 16. --------. 17.	1/x + ctg x- 4---5.
20 , 4 . * + 3	x	6	1-x2
5/ln4Sin--j-
\	4
p5x
18. -------- , ..........
(1 + e10x) • Varctg4e5x
Таким образом, вычислены производные всех простейших
элементарных функций, и мы можем составить следующую таб-
лицу.
3. Таблица производных простейших элементарных
функций.
I.	(С)' = 0.
II.	(ха)' = аха “х, в частности f- Y = - Д , (Jx)' = -Д= .
v ’ \х) х2
III.	(loga х)' = i log., e, в частности (In x)' = - .
u	X u	X
IV.	(ax)' = ax In а, в частности (ex)' == ex.
V.	(sin x)' = cos x.
VI.	(cos x)' = -sin x.
VII.	(tg x)'-V •
COS2X
198
VIII.	(ctg x)' =	.
sin2x
IX.	(arcsin x)' = r.1 . .
71 - x2
X.	(arccos x)' = --7=1= .
71 - x2
XI.	(arctg x)' =	•
XII.	(arcctg x)' =	+ x2.
Приведенная таблица вместе с правилами дифференцирова-
ния суммы, разности, произведения, частного и правилом диф-
ференцирования сложной функции составляет основу диффе-
ренциального исчисления.
Из правил и формул дифференцирования можно сделать важ-
ный вывод: производная любой элементарной функции так-
же функция элементарная. Таким образом, операция диффе-
ренцирования не выводит из класса элементарных функций.
В § 3.3, п. 1 было установлено, что дифференциал dz/ функ-
ции у = /(х) всегда равен производной этой функции f(x)9 умно-
женной на дифференциал аргумента dx. Поэтому приведенные
формулы для отыскания производных легко преобразовать в
формулы для отыскания дифференциалов простейших элемен-
тарных функций.
4. Таблица дифференциалов простейших элементарных
функций.
1. d(C) = 0 • dx = 0 (С = const).	7.d(tgx)=^.
2. d(x“) = аха~ xdx.	dx 8. d(ctg x) =	. sm2x
3. d(logax)= i logaedx.	9. d(arcsin x) =	— . 71 - x2
4. d(ax) =ax In adx.	dx 10. d(arccos x) = - .	. 71 - x2
5. d(sin x) = cos x dx.	dx 11. d(arctg x) = j-j-p.
6. d(cos x) = - sin x dx.	dx 12. d (arctg x) = -j-^.
199
Формулы для отыскания дифференциалов суммы, разности,
произведения и частного функций имеют соответственно вид
d (и ± v) = du ± du; d (uu) = udv 4- vdu; d^) = v^u
 Ограничимся выводом формулы произведения. По определе-
нию дифференциала имеем
d (uu) = (uu)' dx = (u'v 4- uv') dx = vu' dx 4- uv' dx = vdu 4- udu,
так как и' dx = du и v' dx = du. 
□ ПримерЗ. Найти дифференциал функции у = х3sin Зх.
Решение. По только что доказанной формуле имеем
dy = x3d (sin Зх) 4- sin Зх d(x3) = х3 (sin 3x)'dx 4- sin Зх (x3)'dx =
= x3 3 cos 3x dx 4- sin 3x 3x2 dx = 3x2 (x cos 3x 4- sin 3x)dx. □
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. В чем состоит прием логарифмического дифференцирования?
2. Выведите формулу производной для степенной функции с
любым вещественным показателем.
3.	Почему операция дифференцирования не выводит из класса
элементарных функций?
4.	Докажите, что d(u ± u) = du ± du.
§ 3.10.	Производные и дифференциалы
высших порядков
1. Понятие производной n-го порядка. Как уже отме-
чалось в § 3.1, производная f(x) функции у = /(х) сама является
некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отноше-
нию к ней снова можно ставить вопрос о существовании и на-
хождении производной.
Назовем f'(x) производной первого порядка.
Производную от производной некоторой функции называют
производной второго порядка (или второй производной).
Производную от второй производной называют производной
третьего порядка (или третьей производной) и т. д. Про-
изводные, начиная со второй, называют производными высше-
го порядка и обозначают у", у'", z/(4),	...,	..., или f"(x),
f4Kx), /<5)(Х), .... /(n)(x), ....
Производная n-го порядка есть производная от производной
(п - 1)-го порядка, т. е. i/(n) = (i/(ra "1))'.
200
Производные высших порядков широко применяют в физике.
Ограничимся физическим толкованием второй производной f'\x).
Если функция у = f(x) описывает закон движения материальной
точки по прямой линии, то, как известно, первая производная
f'(x) есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а вторая
производная в таком случае равна скорости изменения скорости,
т. е. ускорению движущейся точки в момент времени х.
Упражнения. Найдите вторую производную функции.
1.	f(x) = е~х2.2. f(x) = tg х. 3. f(x) = ctg x. 4. f(x) = arcsin .
5.	f(x) = sin2 x. 6. f(x) = cos2 x. 7. f(x) = Jl + x2. 8. f(x) =
= arctg i. 9. f(x) = In (2x - 3).
Найдите третью производную функции.
10. f(x) = arctg .11. f(x) = xe~x. 12. f(x) = ex cos x. 13. f(x) =
= x2 sin x. 14. f(x) = Xs 2х. 15. f(x) = x In x.
ОТВЕТЫ. 1. 2e x2 (2x2-1). 2.	3.	4. 2—X^.
cos3x sin3x	(4 - x2)d/2
1	2x	—4
5. 2 cos 2x. 6. -2 cos 2x. 7.	2 3/2.8. -y——. 9.	.
(1+x2)3/2	(1 + x2)2	(2x - 3)2
1 °- 4^2^-)Т •11 • e~*<3 - «)• 12. —2ex (cos x + sin x). 13. (6 - x2) x
x cos - x 6x sin x. 14. 2х (x3 In3 2 + 9x2 In2 2 + 18x In 2 + 6).
15. —1/x2.
2. n-e производные некоторых функций. 1) Производ-
ная степенной функции у = х“, х > 0 (а — любое веще-
ственное число). Последовательно дифференцируя, имеем1
у' = аха~г, i/(2) = а(а - 1)ха~2,
г/(3) = а(а - 1)(а - 2)ха~3, ..., i/(n) =
= а(а - 1)(а - 2)... [а - (п - 1)]х“п.
В частном случае, если а = т, где т — натуральное число,
получим
(х'п)1'”) = т(т - 1)(тп - 2)... \т - (т - 1)] • 1 = тп!,
(х"г)(п) = 0 при п> т.
1 При строгом выводе формул n-х производных следует приме-
нить метод математической индукции.
201
Нетрудно заметить, что, зная общий вид n-й производной,
можно сразу записать производную любого порядка, не вычис-
ляя при этом предшествующие производные.
Например, (х3)(3) = 3 • 2 • 1 = 6, (х3)(2) = 3 • 2 • х = 6х, а (х3)(4) = 0.
2)	Производная показательной функции у = ах, 0 < а
1.	Последовательно дифференцируя, имеем
у' = ах In а, у№ = ах (1п а)2,
z/(3) = ах (1п а)3,	z/(n) = ах (In а)п.
В частности, если у = ех, то для любого п
(ех)<п> = ех.
3)	Производная функции у = sin х. Последовательно диф-
ференцируя, имеем
у' = cos х = sin (х 4- л/2), z/(2) = -sin х =
= sin (х + л) = sin (х 4- 2л/2),
z/(3) = -cos х = sin (х 4- Зл/2), ..., z/(n) = sin (х 4- пл/2).
Таким образом, производную любого порядка от sin х можно
вычислить по формуле
(sin х)(п) = sin (х + пл/2).
Например, (sin х)(1°) = sin (х 4- 10л/2) = sin (х 4- л) = -sin х.
4)	Производная функции у = cos х. Аналогично получаем
формулу n-й производной функции у = cos х:
(cos х)<п> = cos (х 4- пл/2).
Упражнения. Найдите n-ю производную функции.
1. /(х) = In х. 2. /(х) = sin Зх. 3. /(х) = ех/2. 4. /(х) = 23х.
5. /(х) = cos2x.
ОТВЕТЫ. 1. (~1)П	~ 1)!. 2. 3n,sin (Зх + пп/2). 3. ех^2х
/1 \П
х .4. 23х(3 In 2)п. 5. 2п " xcos (2х 4- пп/2).
Функцию, имеющую n-ю производную в точке х, называют
п раз дифференцируемой в этой точке. Функцию, имею-
щую в точке х производные любого порядка, называют беско-
нечно дифференцируемой в этой точке.
3.	Формула Лейбница для п-й. производной произведения
двух функций. Пусть у = ни, где и и и — некоторые функции от
переменной х, имеющие производные любого порядка. Тогда
у' = u'v 4- uv',
у" = u"v 4- u'v' 4- u'v' 4- uv" = u"v 4- 2u'v' 4- uv",
y'" = u'"v 4- u"v' 4- 2u"v' 4- 2u'v" 4- u'v" 4- uv'" =
== u'"v 4- 3u"v' 4- 3u'v" 4- uv'".
202
Таким образом, видим, что правые части разложений напо-
минают разложения различных степеней бинома (а 4- Ь)п по
формуле бинома Ньютона, но вместо показателей степени стоят
числа, определяющие порядок производных, а сами функции и
и v можно рассматривать как «производные нулевого порядка»
и(°) и р(0). Учитывая это, запишем, по аналогии, общий вид п-й
производной произведения двух функций
z/(n) =	= u(n)u + ти№~ XV 4- —-----" 2)и" 4-...
4U !
+ п(п - 1)..ЛП - fe + 1) u(n_fc)u(ft) + _ + ир(га)	(1)
Формулу (1) называют формулой Лейбница1.
Докажем эту формулу методом математической индукции.
 При п = 1 формула принимает вид (uv)' = u'v 4- uv\ что
совпадает с формулой дифференцирования произведения двух
функций. Для п = 2 и п = 3 она также проверена. Поэтому до-
статочно, предположив справедливость формулы (1) для неко-
торого п, доказать ее справедливость для п 4- 1. С этой целью
продифференцируем эту формулу, т. е. найдем + D = (у^>)'.
Имеем
у(п +1) = и(п + 1)р + и^и' 4- n[u(n)v' 4- и^п ~1 ^v"] 4-...
, п(п - 1)г	, п(п - l)...(n - k ч- 1)
... +	—-[и<п - W + u(n-2)p'"] + ... + -3-----1' X
!	к!
X [u<n " k +	4- u(n " kWk + X)] 4-... 4- u'y(n) 4- uv{n + X).
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем
Z/(n + X) = u(n + l)p + (n + l)u<nV 4- (п 4-	) U(n-X)l/' 4- ...
... + [п(п -	~	+ 2) + п(п -	- fe + 1)] u(n-fe + l)p(*)+ _
... 4- (n 4- l)u'u(n) 4- uv^n + X).
Но выражение, стоящее в квадратных скобках, можно предста-
вить в виде
n(n - l)...(n - k 4- 2) n(n - l)...(n - k 4- 1) _
(k - 1)!	+	kl
_ n(n-l)(n-2)...(n-k + 2)(n-k + l)(n-k)(n-k-l)(n-
(k- l)!(n-/? + l)(n-k)(n-k~2)...l
1 Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646—1716) — немецкий фило-
соф и математик.
203
n(n - l)...(n - k + l)(n - k)(n - k - l)(n - k - 2)...l _
+	k\(n - k)(n -k - l)(n -k- 2)...l
” (k - l)!(n - + 1)! + kl(n - k)\ ~ (k - l)!(n - k)\ V n-k + 1 +
1 \ _ n\ . n + 1	_ (n + 1)!
+ k J (k- l)!(n - k)\ ' k(ji-k + \) kl(n - k + 1)!
_ (n + l)n(n-l)(n-2)...(n-k + 2)(n-k + l)(n-k)(n-k-l)(n-k-2)...l _
k\(n-k + l)(n-k)(n-k-l)(n-k-2)...l
_ (n + l)n(n - l)(n - 2)...(n - k + 2)
k\	’
Тогда
^(« +1) = u(n + i)p + (n + l)u(n)u' 4-	- - n u(«- i)p" + ...
+ (n + l)n(n-l)...(n-fe + 2) u{n_k + i)p(fe) +
k\
... + (n + l)u'y<n) + iw<n + 1). 
□ Пример 1. Вычислить пятую производную функции у =
= х5ех.
Решение. Полагая и = х5и v = ех, найдем
и' = 5х4, и" = 20х3, и'" = 60х2, u* (4) = 120х, и(5) = 120;
v' = v" = v'" = t№ =	= ex.
Подставляя найденные значения производных в формулу (1),
получим
z/(5) = 120ех4- 5• 120хех 4- 60х2ех + i <2*3 %®х3еХ + ® * 5х4ех +
4- х5ех = ех(120 4- бООх 4- 600х2 4- 200х3 4- 25х4 4- х5).
Пример 2. Вычислить n-ю (и > 2) производную функции
у = х2 cos х.
Решение. Полагая и = cos х и v = х2, найдем
u(«) = cos(x 4- пл/2), v' = 2х, и" = 2, v'" = i/4) = и(5) = ... = 0.
Подставляя найденные значения производных в формулу (1),
получим
^(«) = cos(x 4- пл/2)х2 4- 2n cos [х 4- (п - l)g ] х 4-
, 2n(n- 1) Г । / “I гл
4- —х—- cos х 4- (п - 2)5 . □
А • л	[_	Z J
Существует другой, более короткий вывод формулы Лейб-
ница.
204
 Запишем эту формулу в виде
(uv)(«)= £ Cn*u<n-*M*>,	(2)
k = о
™еС* -	- n("^-)-^'t + 1>, «<”>- U. в» - V. О!- 1,
— биномиальные коэффициенты. Как и ранее, воспользуем-
ся методом индукции. При п = 1 формула уже была проверена.
Предполагая ее справедливость при некотором п, докажем
справедливость для п 4-1. Имеем
(uv)<n + D = £ Ckn(itn ~	= £ Cknu^n +1" v™ +
k = Q П	k = Q П
4- 2	+
k = о n
Заменим во второй сумме k на k - 1. Получаем
п	п+1
Е Cku<n-*М* + » = ЕС* - 1u<" +1 -*)р<*>.
гг,	*=°	"	*=1	"
Тогда
(uv)<n + D = u(n + i)u + Cn*u<" +1 - *) v<*> +
fe-1
+ E C*-1u<n + 1-*>v<*> +uv<ra + 1> =
*=i ra
= u<n + Uv + E (C* + C*-1) • u<n +1 - *> v<*> + uv(n + U =
k=l
n+1
= E C* + x u<n +1" *> i><*>,
fe=O
так как C®+1 = C"+} = 1 и C„* + С*-1 = C*+1 при 1 < k < n.
Формула Лейбница доказана. 
□ Пример 3. Вычислить z/(10) функции у = х2е3х.
Решение. Применяя формулу Лейбница (2), получаем
(х2е3х)(10) = х2(е3х)(10) 4- С}0(х2)'(е3х)(9) 4-
4- Cf0(х2)(2)(е3х)(8) 4-... 4- (х2)(10)е3х.
Но так как (х2)(п) = 0 при п > 3, (e3x)(fe) = е3хЗ\ то
(х2е3х)(10) = х2е3х310 4-10 • 2хе3х39 4- 45 • 2е3х38 =
= 39е3х(3х2 4- 20х 4-30). □
Формулу Лейбница удобно применять, когда один из сомно-
жителей является многочленом степени и. В этом случае все
члены формулы Лейбница, начиная с (п 4- 2)-го, обращаются в
нуль.
205
4. Дифференциалы высших порядков. Рассмотрим те-
перь дифференциалы высших порядков. Для удобства мы будем
наряду с обозначениями дифференциалов символами dz/ и dx
использовать обозначения бу и 8х.
Пусть функция /(х) дифференцируема в каждой точке х не-
которого промежутка, тогда ее дифференциал
dz/ = f (х) dx,
который назовем дифференциалом первого порядка, явля-
ется функцией двух переменных: аргумента х и его дифферен-
циала dx. Пусть функция f(x), в свою очередь, дифференциру-
ема в некоторой точке х. Будем рассматривать dx в выражении
для dz/ как постоянный множитель. Тогда функция dz/ пред-
ставляет собой функцию только аргумента х и ее дифференциал
в точке х имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dz/ бу-
дем использовать обозначения для дифференциалов)
8(dz/) = 8[/'(х) dx] = [f\x) dx]'8x = f'(x) dx 8x.
Дифференциал 8(dz/) от дифференциала dz/ в некоторой точ-
ке х, взятый при 8х = dx, называют дифференциалом вто-
рого порядка функции /(х) в точке х и обозначают d2z/, т. е.
d2z/ = f'(x)(dx)2.
В свою очередь, дифференциал 8(d2z/) от дифференциала d2z/,
взятый при 8х = dx, называют дифференциалом третьего
порядка функции /(х) и обозначают d3z/ и т. д. Дифференциал
8(d(n " X)z/) от дифференциала dn " гу, взятый при 8х = dx, называ-
ют дифференциалом п-го порядка (или n-м дифференциа-
лом) функции /(х) и обозначают dnz/.
 Покажем, что для n-го дифференциала функции справедли-
ва формула
dnz/ = z/(n)(dx)n, п = 1, 2, ... .	(2)
Ее доказательство проведем по индукции. Для п = 1 и п = 2
она доказана. Пусть эта формула верна для дифференциалов по-
рядка п - 1
dn ~ ху = z/(n " X)(dx)n "х,
и функция z/(n ’Х), в свою очередь, дифференцируема в некото-
рой точке х. Тогда
dnz/ = 8(dn " xz/) = 8[z/(n ” X)(dx)n ”x] =
=	- D(dx)n ”x]' 8x = z/(n)8x(dx)n "x,
полагая 8x = dx, получим
dny = 8(d” - Xi/)|5x _ dx = yW(dx)n. 
206
Из формулы (2) следует, что для любого п справедливо ра-
венство
„(") = или
У (dx)" ИЛИ У dx" ’
т. е. n-я производная функции у = /(х) в некоторой точке х рав-
на отношению n-го дифференциала этой функции в точке х
к дифференциалу аргумента в степени п.
□ ПримерЗ. Вычислить дифференциал d3z/ функции у = х4-
-Зх2+4.
Решение. Последовательно дифференцируя, получим
dz/ = z/'dx = (4х3 - 6x)dx,
d2z/ = d(dz/) = d[(4x3 - 6x)dx] =
= [(4x3 - 6x)dx]' dx = (12x2 - 6)(dx)2,
d3z/ = d(d2z/) = d[(12x2 - 6)(dx)2] =
= [(12x2-6)(dx)2]'dx = 24x(dx)3. □
Заметим, что если x является не независимой переменной, а
функцией какой-то переменной t9 то формула (2) не верна (при
п > 1 не обладает свойством инвариантности формы дифферен-
циалов). В частности, при п = 2 имеем d2z/ = d(z/'dx) = dz/' • dx +
4- z/' • d(dx) = z/"(dx)2 + z/'d2x или d2z/ = z/"(dx)2 + z/'d2x.
Видим, что форма второго дифференциала изменилась, по-
явилось слагаемое z/'d2x. Если х — независимая переменная, то
оно равно нулю, так как в этом случае dx — постоянная величи-
на и, следовательно, d2x = d(dx) = 0 • dx = 0.
Упражнения. Найдите дифференциалы высших порядков
от следующих функций.
1. Дх) = 4-*2; найдите d2z/. 2. /(х) = sin2 х; найдите d3z/.
ОТВЕТЫ. 1. 4“*2 21п 4(2х2 • In 4 - l)(dx)2. 2. -4 sin 2x(dx)3.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Почему производную /'(х) можно рассматривать как функ-
цию аргумента х?
2.	Дайте определение второй производной функции у = /(х).
3.	Приведите пример функции, у которой существует /'(х), но
не существует /"(х).
4.	Является ли производная /'(х) непрерывной функцией в
точке х, если в этой точке существует /"(х)?
207
5.	Дайте определение n-й производной функции у = f(x).
6.	Известно, что n-я производная функции у = Дх) существует
в точке х. Что можно сказать о существовании производных
меньшего порядка в этой точке и ее окрестности?
7.	Выведите формулу Лейбница.
8.	Дайте определение n-го дифференциала функции у = Дх).
§ 3.11. Параметрическое задание функции
и ее дифференцирование
1. Параметрическое задание функции. Пусть даны
две функции
x = <p(t), l/ = Y(t)	(1)
одной независимой переменной t, определенные и непрерывные
в одном и том же промежутке. Если функция х = ф(£) строго мо-
нотонна, то обратная функция t = Ф(х) однозначна, также не-
прерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать
как функцию, зависящую от переменной х посредством пере-
менной t, называемой параметром:
у = \|/[Ф(х)].
В этом случае говорят, что функция у = Дх) задана пара-
метрически с помощью уравнений (1). Отметим, что функ-
ция у[Ф(х)] непрерывна в силу теоремы о непрерывности слож-
ной функции.
□ Пример 1. Пусть х = Я cos t9 у = Я sin t9 0 < t < п.
Так как функция х = Я cos t убывает при 0 < t < л, то данные
уравнения задают параметрически функцию у от х. Если выра-
зить t через х из первого уравнения и подставить во второе, то
получим искомую функцию переменной х в явном виде.
Еще проще придем к цели, если заметим, что х2 + у2 =
= Я2 (cos2 t + sin2 t) = Я2. Отсюда у = 7я2 - х2 или у =
= - 7Я2 - х2 . Так как функция у = Я sin t неотрицательна для
О < t < л, то выбираем знак «плюс» перед радикалом: у =
= 7Я2 - х2 . Взяв л < t < 2л, получим у = - 7Я2 - х2 .
Таким образом, видим, что, когда t изменяется от 0 до 2л,
формулы х = Я cos tny = R sin t определяют две функции пере-
менной х, графики которых образуют целую окружность.
208
Пример 2. Пусть х = a cos t,y = b sin t. О < t < 2л. Исклю-
чая из этих уравнений параметр t (разрешая их относительно
cos t и sin t9 возводя полученные равенства в квадрат и склады-
вая), получим
f-1 + (Ю = cos2£ + sin2f = 1
\а J \b )
или
+ е! = i
а2 Ь2
— уравнение эллипса. □
Параметрическое задание функции имеет особенно важное
значение при изучении движения точки. Если точка движется
на плоскости, то ее координаты х, у являются функциями вре-
мени t. Задав эти функции х = <р(0, У = V(0, мы полностью оп-
ределим движение точки. В каждом промежутке времени, в ко-
тором функция ф(£) строго монотонна, можно, поступая как
раньше, определить функцию у = \|/[Ф(х)]. Графиком этой функ-
ции является кривая, которую за этот промежуток времени
описывает движущаяся точка. В последнем примере функции
описывали движение точки по эллипсу.
2. Дифференцирование функции, заданной параметри-
чески. Предположим теперь, что функции х = q>(Z) и у = \|/(Z)
имеют производные, причем <р'(0 0 на некотором промежутке.
Из последнего неравенства вытекает (как увидим далее) строгая
монотонность функции х = ф(0 (см. теорему 3.12) и, следова-
тельно, однозначность обратной функции t = Ф(х). По теоре-
ме 3.4 о производной обратной функции, функция Ф(х) имеет
производную
Ф'(х) = -4г:.
а по теореме 3.5 о производной сложной функции, функция
у = \|/[Ф(х)] имеет производную
у'х = 1|/(Ф(х)) Ф'(х).
Следовательно,
,	Ф'(*)	, y't
или’короче’ у- =
Таким образом, мы доказали, что производная функции,
представленной параметрически, выражается формулой
, yt
у*=^
(2)
209
□ Пример 3. Найти у'х, если х = Я cos t, у = R sin t, 0 < t
Решение. По формуле (2) получаем
, .Rcos t .	.	. . л
<#0;х
Л.
Пример 4. Найти у'х, если х = 2t + t2, у = t2 - 2t3.
Решение. По формуле (2) получаем
, _ 2t - 6*2 _ 2^(1 - 3*) _ £(1 - 3*)
2 + 2*	2(1 + *)	1 + * ‘ U
Пусть существуют вторые производные функции ф'(0 и \|/(0
в некоторой точке t. Тогда можно вычислить вторую производ-
ную функции, заданной параметрически. Заметим, что функ-
/	ф'(*)
ция yY = -Чтл, в свою очередь, задана параметрически уравне-
Ф (л)
НИЯМИ
Ух= wr = х = ф(0’
Поэтому по формуле (2) имеем
„ -( 'У -	- ^707 _
У хх 'Ух>х ф'(<)	ф'(<)
<«)Ф'(<) - Ф"(* W)
_________(ф'(О)2_______<(*)ф'(*) - <P*(t)V(t)
фТо	[ф'(*)]3
Здесь использовано правило дифференцирования частного. Итак,
мы получили, что
„ = у//(^)ф/(^) - ф"(*)у'(*)
Ухх [<p'(*)]3
или, короче,
= yt-xt-xt-yt
У XX -------^-5--
(3)
Аналогично можно найти производную от у по х любого по-
рядка.
□ Пример 5.Найти ухх, если х = cos t9y = sin t, 0 < t < л.
Решение. Имеем y't = cos t, у" = - sin t; x't = -sin t9 x" = -cos t.
Подставляя в формулу (3), находим
„ _ (-sin£)(-sin£) - (-cost)(cost) _ sin2£ + cos2t
Vxx	(-sinf)3	(-sinf)3
1
sin3t ’
210
Упражнения. Для функции, заданной параметрически,
найдите у'х и ухх.
t2
1.	х = t2, у = -g- - t. 2. х = e2t, у = e3t. 3. x = a(t - sin t),
у = a(l - cos t).
-i ^2-1	1+*2 о 3 t 3 о X t	1
ОТВЕТЫ . 1. Q . ; —r-о-. 2. ^e*; -7-7. 3. cig;,; . 4/Jt/O4.
2t ’ 4£3	2	4e#	62’ 4asm4(^/2)
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое параметрическое задание функции?
2. При каких условиях справедлива формула (2) для производ-
ной функции, заданной параметрически?
§3.12. Основные теоремы
дифференциального исчисления
ТЕОРЕМА 3.6 (теорема Ферма1). Пусть функция
f(x) определена на интервале (а, Ь) и в некоторой
точке х0 этого интервала имеет наибольшее или
наименьшее значение. Тогда, если в точке х0 су-
ществует производная, то она равна нулю, т. е.
н Г(х0) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности функция
f(x) в точке х0 имеет наибольшее значение, т. е. f(x) < f(x0) для
любого х е (а, Ь). Это означает, что Ay = f(x0 + Дх) - f(x0) < О
для любой точки х0 + Дх е (а, Ъ). Поэтому, если Дх > 0 (х > х0),
то < 0, и, следовательно,
/+(х0) = lim < О,
+ 07 дх-о+Дх
если же Дх < 0 (х < х0), то > О, поэтому
/'(х0) = lim > О,
v 07 дх-о-Дх
т. е. правая производная в точке х0 неположительная, а ле-
вая — неотрицательная. По условию f(x0) существует и, зна-
чит, /+(х0) = Л(х0) = /'(х0). Это возможно только в случае, когда
/+(х0) = Л(х0) = 0. Но тогда и f (х0) = 0.
1 Ферма Пьер (1601—1665) — французский математик.
211
Аналогично рассматривается случай, когда в точке х0 функ-
ция f(x) имеет наименьшее значение. 
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что ес-
ли в точке х0 дифференцируемая функция f(x) имеет наиболь-
шее (наименьшее) значение, то в точке (х0; /(х0)) касательная к
графику функции /(х) параллельна оси Ох (рис. 35).
Замечание. Теорема не верна, если функцию /(х) рассматри-
вать на отрезке [а, Ь]. Так, например, функция /(х) = х на отрезке
[О, 1] в точке х = 0 принимает наименьшее, а в точке х = 1 — на-
ибольшее значение, однако как в той, так и в другой точке производ-
ная в нуль не обращается, а равна единице (рис. 36).
□ Пример 1. Удовлетворяет ли функция /(х) = Зх2 - 1 усло-
виям теоремы Ферма на отрезке [1, 2]?
Решение. Не удовлетворяет, так как она монотонно воз-
растает на отрезке [1, 2] и, следовательно, принимает наимень-
шее значение при х = 1 и наибольшее значение при х = 2, т. е.
на концах отрезка, а не на интервале (1, 2). Поэтому как в той,
так и в другой точке производная этой функции f'(x) = 6х в
нуль не обращается, а равна /'(1) = 6, f(2) = 12. Следовательно,
теорема Ферма неприменима. □
ТЕОРЕМА 3.7 (теорема Ролля1). Пусть на отрезке
[а, &] определена функция /(х), причем: 1) функция
/(х) непрерывна на [а, &]; 2) функция /(х) дифферен-
цируема на (а, &); 3) /(а) = /(&). Тогда существует
точка с е (а, &), в которой f\c) = 0.
Доказательство. Так как функция Дх) непрерывна на
[а, &], то по второй теореме Вейерштрасса, она имеет на этом от-
резке максимальное значение М и минимальное значение тп,
1 Ролль Мишель (1652—1719) — французский математик.
212
т. е. существуют такие точки хр х2 е [а, &], в которых f(xr) =
= т и /(х2) = М и выполняются неравенства
т < ftx) < М.
Возможны два случая: 1) М = тп; 2) тп < М.
В первом случае /(х) = const = М = тп. Поэтому производная
f(x) равна нулю в любой точке [а, &], и теорема доказана.
Во втором случае, так как f(a) = /(&), то хотя бы одно из двух
значений тп или М не принимается на концах отрезка [а, 6],
т. е. существует точка с е (а, &), в которой функция /(х) прини-
мает наибольшее (наименьшее) значение на интервале (а, &).
В этом случае, так как /(х) дифференцируема в точке с, из тео-
ремы Ферма следует, что f'(c) = 0. 
□	Пример 2. Удовлетворяет ли функция Дх) = sin х услови-
ям теоремы Ролля на отрезке [0, л]?
Решение. Удовлетворяет, так как эта функция непрерыв-
на и дифференцируема на отрезке [0, л] и обращается в нуль на
его концах: sin 0 = sin л = 0. Производная этой функции f'(x) =
= cos х обращается в нуль в точке х = л/2 на интервале (0, л). □
Геометрически теорема Ролля означает, что у графика не-
прерывной на отрезке [а, &] и дифференцируемой внутри него
функции, принимающей на концах этого отрезка равные значе-
ния, существует точка (с; Де)), в которой касательная парал-
лельна оси Ох (рис. 37). На рисунке 37 в точке с функция Дх)
принимает наибольшее значение.
□	Пример 3. Установить, удовлетворяет ли условиям теоре-
мы Ролля функция Дх) = 1 - 3JxZ на отрезке [- 1, 1].
Решение. Функция Д х) = 1 - 3Jx^ непрерывна на всей число-
вой прямой, следовательно, и на отрезке [-1, 1] (рис. 38). На кон-
цах этого отрезка значения функции совпадают: /(-1) = /(1) = 0.
2
Однако производная f(x) = -—— в точке х = 0 не существует.
3?Ух
Но так как эта точка является внутренней точкой отрезка [-1, 1],
то условие существования конечной производной на интервале
(-1, 1), требуемое в теореме Ролля, не выполняется. Поэтому
теорема Ролля к данной функции на отрезке [-1, 1] непримени-
ма. Действительно, f(x) 0 на [-1, 1]. Из рисунка 38 видно, что
в этом случае на отрезке [-1, 1] не существует касательной, па-
раллельной оси Ох. □
213
Рис. 39
Уп ражнение. На рисунках 36, 39 и 40 соответственно изо-
бражены графики следующих функций: 1) f(x) = х, х е [0, 1];
2) /(х), равная х, если 0 < х < 1, и равная 0, если х = 1; 3) /(х) = |х|,
х g [-1, 1]. Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля данные
функции? Если нет, то укажите для каждой функции два усло-
вия, которые выполняются, и третье, которое не выполняется
(объясните почему).
ТЕОРЕМА 3.8 (теорема Лагранжа1). Пусть на от-
резке [а, &] определена функция /(х), причем:
1) функция /(х) непрерывна на [а, &]; 2) функция /(х)
дифференцируема на (а, &). Тогда существует точ-
ка с е (а, &) такая, что справедлива формула
Доказательство. Введем в рассмотрение на [а, &] вспо-
могательную функцию
F(x) = f(x) - f(a) - f(bl Z fa(a) (x - a).
1 Лагранж Жозеф-Луи (1736—1813) — французский мате-
матик.
214
Функция F(x) удовлетворяет
всем трем условиям теоремы Ролля:
1) функция F(x) непрерывна на
[а, &] (как разность двух непрерыв-
ных функций
f(x) и линейной
f(b)~ f(a).	\
b-а
F(x) дифференци-
функции f(a) +
2) функция
руема на (а, &), т. е. внутри [а, &]
имеет производную, равную F'(x) ==
3) функции F(a) = 0 и F(b) = О,
т. е. Г(а) = F(b).
Рис. 41
Следовательно, по теореме Ролля, существует точка се (а, Ь)
такая, что F\c) = 0, т. е. f'(c) -	= 0. Отсюда получаем
Г(с)-М2_.
Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 41).
~	f(b) - f(a)
Величина —— есть угловой коэффициент секущей, про-
ходящей через точки Мх(а; f(a)) и М2(&; /(&)) графика функции
у = /(х), a f(c) — угловой коэффициент касательной к графику
у = /(х) в точке (с; /(c)). Из теоремы Лагранжа следует, что су-
ществует точка с такая, что касательная к графику в точке (с; /(c))
параллельна секущей МгМ2. Таких точек может быть и не-
сколько, но по крайней мере одна всегда существует.
Замечания. 1. Равенство
/(&) - /(а) = f (с) (Ь - а), a<c<b	(1)
называется формулой Лагранжа или формулой конечных
приращений.
2. Так как точка с лежит между точками а и Ь, то можно записать
с = а + 0(Ь - а), 0 < 0 < 1.
Здесь 0(Ь - а) — часть длины отрезка [а, Ь]. Учитывая это, формулу
Лагранжа можно записать в виде
f(b) - f(a) = f(a + 0(Ь - а)) (b - а), 0 < 0 < 1.
3. Если положить а = х, b = х + Дх, то получим
/(х + Дх) - /(х) = /'(х + 0Дх)Дх, 0 < 0 < 1.
Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем запись (1).
Теорема Лагранжа лежит в основе доказательства многих
формул и теорем анализа.
215
□ Пример 3. Проверить, что функция f(x) = 2х - х2 *удовлет-
воряет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [1, 3], и найти
имеющуюся в формуле Лагранжа точку с.
Решение. Функция f(x) = 2х - х2 удовлетворяет условиям
теоремы Лагранжа, так как она непрерывна на отрезке [1, 3] и
имеет конечную производную f'(x) = 2 - 2х в каждой внутрен-
ней точке отрезка, т. е. дифференцируема на (1, 3). По теореме
Лагранжа, между двумя точками хх = 1 и х2 = 3 существует точ-
ка х = с, удовлетворяющая равенству
f(X2) - f(Xy) = f (с) (х2 - хх).
Подставляя значение хх = 1 и х2 = 3, получаем
Г(е) . 2 - 2-е-л3>~((1) - <2*3 - З2) - (2-1 - 1г) _ -4
о — 1	о — 1	с
или 1 - с = -1, откуда находим с = 2. □
Упражнение. Проверьте, применима ли теорема Лагранжа
к следующим функциям: 1) /(х) = х2 на отрезке [3, 4]; 2) /(х) =
= 1п х на отрезке [1, 3]; 3) /(х) = Vx4 * *(x - 1) на отрезке Г-i , 11.
L Ct Ct J
В случае применимости найдите имеющуюся в формуле Лагран-
жа точку с. (О Т В Е Т Ы . 1) с = 7/2; 2) с = 2/1п 3; 3) неприменима,
так как функция не имеет производной в точке х = 0.)
ТЕОРЕМА 3.9 (теорема Коши). Пусть функции Дх)
и g(x) непрерывны на [а, &] и дифференцируемы на
(а, &). Пусть, кроме того, ^(х) # 0. Тогда существу-
ет точка с е(а, &) такая, что справедлива формула
f(b) - f(a) = f'(c)
g(b) - g(a) g'(c) •	1 7
Доказательство. Покажем сначала, что#(&) # g(a), т. е.
что формула (2) имеет смысл. Действительно, если допустить, что
g(&) = £(#), то, по теореме Ролля, для функции g(x) найдется точ-
ка е (а, Ъ), в которой = 0. А это противоречит условию, что
g\x) 0 на (а, Ь). Перейдем к доказательству формулы (2).
Рассмотрим на [а, &] вспомогательную функцию
Г(х) = /(х) - f(a) - fg[b)-g“a)
Нетрудно заметить, что F(x) на [а, &] удовлетворяет услови-
ям теоремы Ролля. В самом деле, F(x) непрерывна на [а, 6],
дифференцируема на (а, Ь) и, кроме того, подстановка х = а и
х = Ь дает F(a) = 0 и F(b) = 0, т. е. F(a) = F(b). По теореме Ролля,
для F(x) существует точка с, а < с < Ь, такая, что F'(c) = 0.
216
Так как F'(x) = f(x) -	g\x), to
Откуда, учитывая, что g\c) =* 0, получаем формулу (2). 
Формула (2) называется формулой Коши или обобщен-
ной формулой конечных приращений.
Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем тео-
ремы Коши, если положить g(x) = х.
□ Пример 4. Проверить, что функции f(x) = х2 - 2х 4- 3 и
g(x) = х3 - 7х2 4- 20х - 5 удовлетворяют условиям теоремы Коши
на отрезке [1, 4], и найти имеющуюся в формуле Коши точку с.
Решение. Функции Дх) = х2 -2х + 3 и g(x) = х3 - 7х2 +
4- 20х - 5 удовлетворяют условиям теоремы Коши, так как они
непрерывны на отрезке [1, 4], их производные f(x) = 2х - 2 и
g\x) = Зх2 - 14х 4- 20 существуют во всех точках интервала (1,4),
т. е. дифференцируемы на этом интервале, и, кроме того, g'(x) # 0
на [1, 4]. По теореме Коши, между двумя точками х± = 1 и х2 = 4
существует точка х = с, удовлетворяющая равенству
f(X2) - f(xx) _ f' (с)
g(X2)~ g^Xj g\c) ’
Подставляя значения xx = 1 и x2 = 4, получаем
11-2 _ 2c-2
27-9 Зс2 - 14c 4- 20 *
Решая уравнение, находим сх = 2 и с2 = 4. Так как точка х = с
должна удовлетворять неравенствам 1 < с < 4, то искомой точ-
кой является с1 = 2. □
Упражнение. Напишите формулу Коши и найдите точку с
для функции.
1. Дх) = х3 и g(x) = х2 на отрезке [а, &]. 2. Дх) = sin х и g(x) =
= cos х на отрезке [0, л/2]. 3. Дх) = х2 и g(x) = 7х на отрезке [1, 4].
ОТВЕТЫ. 1. с = 2(aL+	Ь2)- 2- с== л/4- 3. с = V(15/4)2.
Т и)
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте теорему Ферма. В чем состоит ее геометри-
ческий смысл?
2.	Верна ли теорема, если Дх) = Дх0) для нескольких значений
х е (а, Ь)?
217
3.	Приведите пример функции, принимающей наименьшее
значение в точке и не имеющей производной в этой точке.
Что отсюда следует?
4.	Сформулируйте теорему Ролля и раскройте ее геометриче-
ский смысл.
5.	Останется ли справедливой теорема Ролля, если опустить од-
но из ее трех условий? Приведите соответствующие примеры.
6.	Сформулируйте теорему Лагранжа и объясните ее геометри-
ческий смысл.
7.	Сформулируйте теорему Коши.
8.	Покажите, что теорема Лагранжа является частным случа-
ем теоремы Коши.
§ 3.13. Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя
Вернемся к вопросу раскрытия неопределенностей, который
рассматривался в гл. 2. Познакомимся с простым и весьма эф-
фективным методом раскрытия неопределенностей, называе-
мым правилом Лопиталя1.
.	0
1. Раскрытие неопределенности вида g. Следующая тео-
рема дает правило раскрытия данной неопределенности.
ТЕОРЕМА 3.10 (теорема Лопиталя). Пусть функции
f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в неко-
торой окрестности точки а, за исключением,
быть может, самой точки а. Пусть, далее,
lim f(x) = lim g(x) = О2 и g'(x) # 0 в указанной ок-
х^а	х^а
рестности точки а. Тогда, если существует предел
отношения производных
lim
х а
Г(х)
F(xj
(конечный или
бесконечный), то существует и предел
причем справедлива формула
lim
х а
ft*)
g(X) ’
= iim
g(x) x^aS(x)
Доказательство. Пусть {xra} — произвольная последо-
вательность значений аргумента, сходящаяся к точке а, хп * а.
1 Лопиталь Гилъом Франсуа (1661—1704) — французский
математик.
2 Теорема справедлива и в случае, когда х —► а- и х а+.
218
Доопределим функции f(x) и g(x) в . F f F
точке а, положив их равными нулю, t , « t > < »» г
т. е. f(a) = g(a) = 0. Тогда, очевидно, а хп х3 х2 хг х
функции f(x) и g(x) непрерывны на
[а, хп], дифференцируемы на (а, хп)	Рис* 42
и, по условию, g'(x) # 0.
Таким образом, для f(x) и g(x) выполнены все условия тео-
ремы Коши на [а, хп], т. е. внутри [а, хп] существует точка
такая, что
f(xn) - f(a) = f(^n)	?
g(xn) - g(a) g'(£n) ’	€
По сделанному доопределению, f(a) = g(a) = 0, следова-
тельно,
f^n) __ f (^n)	£	/	\	/1\
e (a’ x^‘ (1)
Пусть теперь в формуле (1) п -* оо. Заметим, что зависит
от хп. Тогда, очевидно, а, при п -* оо (рис. 42). Так как
lim >: ' существует, то правая часть формулы (1) имеет пре-
х^а 8 \х)
дел при п —► оо, равный lim Л1. Следовательно, при п —► оо
х~*а 8 \Х)
существует предел и левой части формулы (1), причем
1- ft*") _ 1- f'(x)
lim -77—г — lim --77—?.
п—»оо^(хп) х_*а g (х)
Так как {хп} — произвольная последовательность значений
г /X*)
аргумента, сходящаяся к а, то отсюда заключаем, что lim
х —* а 8\^)
существует и
lim = lim 4^4. 
X_a^(x) х _ а g (х)
Доказанную теорему обычно называют правилом Лопи-
таля.
□ Пример 1. Найти lim-----—-----.
X 1 е е
Решение. Функции /(х) = х2 - 1 + 1п х и g(x) = ех - е опре-
делены в окрестности точки х = 1.
219
Далее, lim f(x) = lim g(x) = 0, т. e. имеем неопределенность
0 ТТ
вида q . Предел отношения их производных существует:
..	f'(x)	2х + 1/х	3
lim ---Л--' = lim-----г-2— = -,
х -> 1 ё х -> 1 е	е
причем g'(x) = ех # 0. Следовательно, эти функции удовлетвори-
lim
е-1 g(x)
ют условиям теоремы Лопиталя, согласно которой
т. е.
-. □
е
г /'(*)
также существует и равен lim \,
ё \х)
х2 - 1 + 1пх (х2 - 1 + 1пх)' 2х + 1/х
lim ---------- = lim -—— -7—- = hm ——
х—1 е е	х -* 1 (е е)	х—1 е
Замечание 1. Обычно при вычислении пределов с помощью пра-
вила Лопиталя записывают только необходимые преобразования, а про-
верку выполнения условий делают по ходу вычислений. Если при этом
f'(x)	cz «
окажется, что отношение производных < снова представляет собой
ё \Х)
неопределенность и f(x) и g'(x) удовлетворяют тем же требованиям,
что и функции /(х) и g(x), то правило Лопиталя применяют повторно.
□ Пример 2. Найти lim-----3— .
* 0
Решение. Имеем неопределенность вида g . Применяя пра-
вило Лопиталя, получаем
.. х - sinx 1-cosx sinx 1 .. sinx 1
lim —— = lim —372------lim ~6T = 6 lim = 6
x	x^O &x	x^O DX °x —0 x 0
1
6*
В этом примере правило Лопиталя применено дважды. □
х2
Упражнения. Найдите предел.
. ..	1 - cos х
1. hm —
х -> о
рХ — р
4. lim Атт-г-ч • 5.
1п(1 + х)
о .. ех - 1 от х3 - Зх2 + 2
2. lim----.	3. lim —s— *.,	.
х-о х	x-i х3 - 4х2 + 3
..	2 - (ех + е~х) • cosx о ех - esinx
hm---------. 6. lim-----------— .
х-> о	х4	^ox-smx
4
ОТВЕТЫ. 1. 1/2. 2. 1. 3. 3/5. 4. 2. 5. 1/3. 6. 1.
Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда
х -* х —► +°° их—* -°°. В самом деле, пусть, например,
lim /(х) = lim g(x) = 0 и lim A . существует (конечный или беско-
X —* оо	X —* оо	X —* оо g(X) -	-
нечный). Сделаем подстановку х = 1/f; когда t — 0 при х -» °° и
f(x) - /(1/f) - 0, g(x) = g(l/t) -* 0 при t -* 0.
220
Применяя к функциям f(l/t) и g(l/t) теорему 3.10 и правило
дифференцирования сложной функции, получим
lim Ах) =	= Um»vg _ lim Л1Л) = lim Их)
г—*oog(x}	>Q4f(l/£)	i—>o4f(l/^)( l/^2) t—*0^(1/^) x—*<x>g(x)
r-1 m	л TT «	,.	k/2 - arctg x
□ Пример 3. Наити hm -Ц------
x —*+°o	1. X - 1
2lnm
г,	т,	О
Решение. Имеем неопределенность вида g, так как
lim * , « = 1, In 1 = 0, a lim arctg х = .
X—*4-ооХ т 1	х —* 4-00	Z
Применяя правило Лопиталя, получаем
..	л/2 - aretgx	-1/(1 + х2)
hm ---------=— = 1—
X —* 4-00	1 - X 1
21пхП
.. X2 - 1
^+ОО х2 + 1
= —lim
ТТоо 1 х + 1	2
2 х - 1 (х + I)2
1 - 1/х2 _ 1-0
Tool + 1/х2	1+0.	Е °
ТТ о	4V ln(l + I/*2)
Упражнения. Найдите предел. 1. lim —^—5—т—
% —► оо л	arctg х
л .. л - 2arctgx
2-+m„ .-/.-I
ОТВЕТЫ. 1. 0. 2. 2/3.
2. Раскрытие неопределенности вида —. Для этой неоп-
ределенности справедливо утверждение, аналогичное теореме
3.10, а именно: если в формулировке теоремы заменить требова-
ние lim f(x) = lim g(x) = 0 на условие lim f(x) = lim g(x) = °°,
то теорема останется справедливой.
□ Пример 4. Найти lim —
оо
Решение. Имеем неопределенность вида —. Применяя
правило Лопиталя п раз, получаем
lim
.. nxn-1
lim ——
lim
- 1)хп~2 =
.. n(n - 1)(и - 2)...1	.. п!
lim —:------------------- = hm --
221
Здесь уже никакой неопределенности нет. Поэтому
lim ±- = lim -г = 0. □
х — ч-oo ех х-*4-ооех
Упражнения. Найдите предел:
.	.. 1пх _	.. 1пх Л 1. ех л ..	1п(х-1)
1. lim  . 2. lim . 3. lim —. 4. lim —7----------------.
X —► 4-00 X	х —* 04- 1/ X	x 4-ос X^	X ~* 1 Ctg ЛХ
я
_ v ^2X о i- a* _	1- ln(x - a)
5. lim r—rzj--r. 6. lim — . 7. lim . / y--7-.
X^iln(l-x) x^+ooX x^aln(e*-ea)
ОТВЕТЫ. 1. 0. 2. 0. 3. Ч-oo. 4. 0. 5. 1. 6. 4-oo. 7. 1.
3. Другие виды неопределенностей и их раскрытие.
1) Неопределенности вида 0 • оо и оо - оо. Как известно, эти не-
0 оо
определенности можно свести к неопределенностям вида q и
а затем раскрыть с помощью правила Лопиталя.
□ Пример 5. Найти lim xlnx.
х 04-
Решение. Имеем неопределенность вида 0 • °°. Но х 1п х =
1пх	оо
= Y/x^ и мы ПОЛУЧИЛИ неопределенность вида —. Применяя
правило Лопиталя, получим
lim х In х = lim ^7Хр = lim -44~9 = “ lim х = 0.
х-о+	х-о+(1/^)	х^о+-1/хг х-* 04-
Пример 6. Найти lim (sec х - tg х).
х п/2
Решение. Имеем неопределенность вида сю - оо. Но sec х -
- tg х =    -	1—sinx и мы получили при том же ус-
®	COS X	COS X	COS X	J	г	j
Я	О тт
ловии х -* 2 неопределенность вида д. Применяя правило
Лопиталя, находим
,.z	XXI- fl- sinx A .. -cosx л
lim (sec x - tg x) = lim ---- = lim —— = 0.
x-n/2	b	x —*л/2 \ COSX ) х^л/2-SinX
Упражнения. Найдите предел.
1. lim (arcsin xectg x). 2. lim xe“x. 3. lim(l - x) tg -x.
x 0	x 4-00	x -* 1
Л ( 1	1 A e v (	2	1 A v ( 1 П
4. lim ---= - i— . 5. lim	—7  ---? . 6. lim -— - - .
x^i^x-1 Inx) X^ivx2-1 x - 1 ) x^Q\smx xj
ОТВЕТЫ. 1. 1. 2. 0. 3. 2/л. 4. -1/2. 5. -1/2. 6. 0.
222
2) Неопределенности вида 0°, 1°°, оо°. Такие неопределен-
ности имеют место при рассмотрении функций у = /(х)^х), если
при х а функция f(x) стремится соответственно к 0, 1 и оо,
a g(x) — соответственно к 0, оо и 0. Эти неопределенности с по-
мощью тождества
/(х)^х) = 1п №
сводятся к неопределенности вида 0 • оо, которая уже рассмотрена.
□ Пример 7. Найти limxx.
х 0+
Решение. Имеем неопределенность вида 0°. Но Xх = ех1пх,
и мы получили в показателе степени неопределенность вида
0 • оо, которая уже рассмотрена (см. пример 5). Следовательно,
lim xlnx
lim Xх = lim exln x - ex~0+	= e° = 1.
x —0+	x —0+
Пример 8. Найти lim (1 + x2)1/e*-1-x.
x —о
Решение. Здесь имеем неопределенность вида 1°°. Но
(1 + х2)1/(еХ-1-х) = eln(1+x2>/<e*_1-x), и в показателе степени по-
ОО
лучена неопределенность вида —. Применяя правило Лопита-
ля, получим
..	1п(1+х2)	..
hm —-?—;--- = lim
е -1-х	х - о
2х/(1 + х2)
ех - 1
2
_ ..	2х _
z ™о(ех- 1)(1 + х2) "
_ I •	__________________
х-оех(1 + х2) + (ех - 1)2х
Следовательно,
1	1п(1+х2)
lim (1 + х2)еХ-1-х =е*1™°ех-1-* = е2.
х —* 0
Пример 9. Найти lim (tgx)2cosx.
х -* л/2
Решение. Имеем неопределенность вида °°0. Но
(tg x)2cosx
= g2 cos x In tg x
21ntgx
gl/COSX
и в показателе степени получена неопределенность вида
Применяя правило Лопиталя, находим
оо
ОО *
.. 21ntgx
lim -г-,——
х-я/2 1/COSX
о . sec х
= 2 lim —9—
х-л/2 tg2X
1	2
. ,	7—sec2x
= 2 lim 1^=2 lim	=
Х-Л/2 secx Х-Я/2 secxtgx
„ .. secx-tgx ,.	n
= 2 lim err--=я— = hm cos x = 0.
x-K/2 2tgxsec2x х-я/2
223
Следовательно,
lim 2cosxlntgx
lim (tg x)2 cos x = ex-*"/2	= e° = 1. □
x — n/2
Упражнения. Найдите предел.
1. lim (sin x)x. 2. lim (tg x)sin 2x. 3. lim (1 4- x)ln x.
x 0	x n/2	x 0
ОТВЕТЫ. 1. 1. 2. 1. 3. 1.
Для приобретения навыка раскрытия неопределенности по
правилу Лопиталя рекомендуем использовать также примеры,
помещенные в гл. 2.
В заключение рассмотрим пример, когда правило Лопиталя
неприменимо.
Г-,	—	-лтт»	X + sinx
□ Пример 10. Наити lim ----------.
X -* оо	X
ОО
Решение. Имеем неопределенность вида —. Однако прави-
ло Лопиталя здесь применить нельзя, т. е. предел отношения
производных
.. (х 4-sinx)' ..	1 4-cosx
hm i—т—7-------hm ----=---
X^oo \X)	x^oo	1
не существует. Для раскрытия данной неопределенности разде-
лим числитель и знаменатель на х и получим
lim --------= lim 1 4----- = lim 1 4- lim -= 14-0 = 1. □
x —* OO	X	X —* OO \	X у X —* OO	X —* oo X
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Докажите теорему Лопиталя для случаев, когда х -* а—
и х —► а4-.
оо
2.	Сформулируйте правило Лопиталя для неопределенности —
при х —► а.
f*(х)
3.	Пусть lim —А—< не существует. Следует ли отсюда, что
х а ё ix)
fix)	0 оо
lim , представляющий неопределенность вида д или ~,
также не существует?
Почему в теореме Лопиталя не требуется, чтобы производ-
ные f(x) и g'(x) обязательно существовали в самой точке а?
224
§ 3.14.	Формула Тейлора
Рассмотрим одну из главных формул математического
анализа, имеющую многочисленные применения как в самом
анализе, так и в смежных дисциплинах.
1.	Формула Тейлора1.
ТЕОРЕМА 3.11 (теорема Тейлора). Пусть функция
f(x) имеет в точке а и некоторой ее окрестности
производные порядка п + I2. Пусть х — любое зна-
чение аргумента из указанной окрестности, х * а.
Тогда между точками а и х найдется точка £ та-
кая, что справедлива следующая формула*.
f(x) = f(a) + Цр (х - а) + (х - а)2 + ...
... + ^2(x-a)"+g^(x-ar + i.	(1)
—II-------------: --------------------------------
Доказательство. Обозначим через <р(х, а) многочлен
относительно х порядка п в правой части формулы (1), т. е. по-
ложим
<р(х, а) = f(a) + f-^-(x-a) + f-^-(x- а)2+ ... + ^П*(,а)(х - а)".
Этот многочлен называется многочленом Тейлора по-
рядка п функции Дх).
Обозначим далее через Rn + х (х) разность
Дп + 1(Х) = /(Х)“ф(Х’ «)•
Теорема будет доказана, если мы установим, что
^(п +1)	=	+ 1)1 (х ~~ а}п + а <^< х.
Фиксируем любое значение х из указанной окрестности.
Для определенности считаем х > а. Обозначим через t перемен-
ную величину, изменяющуюся на отрезке а < t < х, и рассмот-
рим на отрезке [а, х] вспомогательную функцию
гт - /и - Ф(х. о -(J ~ ‘}х'1	.	(2)
1 Тейлор Брук (1685—1731) — английский математик.
2 Отсюда следует, что сама функция /(х) и ее производные до
порядка п непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности.
8 - 3587 Шипачев
225
Функция F(t) удовлетворяет на отрезке [а, х] всем условиям
теоремы Ролля: 1) из формулы (2) и из условий, наложенных на
функцию /(х), вытекает, что F(t) непрерывна и дифференциру-
ема на [а, х], так как f(t) и ее производные до порядка п непре-
рывны и дифференцируемы на [а, х];
2) полагая в формуле (2) t = а, имеем
F(a) = f(x) - <р (х, а) - Rn + х (х) = Rn + l(x)~ Rn + 1 (х) = 0.
Полагая в (2) t = х, получим
Я-Ч - fix) -f(x)-^(x-x)-^(x-x)‘-...
<х7)”‘”:г(х> -о.
n! v 7 (x-a)n + 1
Таким образом, условие F(a) = F(x) выполнено.
На основании теоремы Ролля внутри отрезка [а, х] сущест-
вует точка такая, что
Г(^) = о.	(3)
Вычислим производную F'(t). Дифференцируя равенство (2)
по t, имеем
Л0--Л0+ ЦР -QP(x-t)+Qp2(x-t)-
-™(x-t)2+... + qw„(x-()»-.-
_	+	_ (П + l)(x - t)nfl(n + 1)(x)
n! T) +	(x-a)" + 1
Нетрудно заметить, что все члены в правой части равенства, за
исключением двух последних, взаимно уничтожаются. Таким
образом,
ftn+iytfx	(и + 1)(х - t)nRn + 1(x)
F'(t) = - т--(х - t)n + --Р---;„+1	•	(4)
v 7 п\ v 7	(х - a)n+1	v 7
Полагая в формуле (4) t = £ и используя равенство (3), получим
/(л+1)(£)	(п + 1)(х - £)пЯл+1(х)
- -47 (х - =)+5—4 «4	- °-
Откуда
Bn + 1(x)=g^(x-a)»^. 
Формула (1) называется формулой Тейлора, а выражение
для Rn + х (х) — остаточным членом в форме Лагранжа.
Его можно переписать в другом виде. Так как точка е (а, х), то
226
1.
(5)
найдется такое число 0 из интервала 0 < 0 < 1, что = а + 0 (х - а)
и остаточный член принимает вид
+1 (*) °^+1>[(“ t ь*~а)]-а>п+0<е<1.
Эта форма остаточного члена наиболее употребительна в
приложениях.
2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена.
Часто формулу Тейлора (1) записывают в ином виде. Положим в
формуле (1) а = х0, х - а = Дх, х = х0 + Дх. Тогда получим
Л J.A \ Л А Нх0) , Г(Х0)	2 f{nKx0)
f(x0 + Дх) - ftx0) =	Дх + —gy—(Дх)1 2 + ... + —— (Дх)л +
/(п + 1)(х +0ДХ)
+ —С^ Г).  (Дх)” + 1, О<0
При п = 0 из этой формулы получается формула Лагранжа
/(х0 4- Дх) - /(х0) = f'(xQ 4- 0 Дх) Дх.
Покажем, что если функция + Х)(х) ограничена в окрест-
ности точки а, то остаточный член Rn + 1 (х) является бесконеч-
но малой более высокого порядка, чем (х - а)п при х —► а:
r Rn + i(x) г /(п+1)(^)(х - а)п+1	..	+	х п
lim т---— = lim 7—тЧтгЧ = hm 7—т4тг (х - а) = О,
Х^а(х-а)п х^а(п4-1)! (х - а)п Х^а(п + 1)Г
так как функция + Х)(^) ограничена при х —► а, а (х - а) О
при х —► а1. Таким образом,
+ i (х) = о[(х - а)п] при х а.	(6)
Формула (6) называется остаточным членом в форме
Пеано2.
3. Формула Маклорена3. Формулой Маклорена приня-
то называть формулу Тейлора (1) при а = 0:
Ях)-да)+фх + ф^ + ... + ^х» + й, + 1(«).
Остаточный член имеет следующий вид:
Лп+1)(0х1
1) в форме Лагранжа — Rn + 1(x)=	+ 1)!хП + ® < ® < 1»
2) в форме Пеано — Rn + \ (х) = о(хп).
1 См. теорему § 2.6.
2 Пеано Джузеппе (1858—1932) — итальянский математик.
3 Маклорен Колин (1698—1746) — шотландский математик.
227
4. Разложение некоторых элементарных функций по
формуле Маклорена. 1) f(x) = ех. Так как
f(x) = fix) = f"(x) = ... = fni x>(x) = ex,
/(0) = f (0) = f'(0) = ... = fn + x>(0) = 1,
то формула Маклорена имеет вид
-у*	-у» 2 -у* 3	-у«Л1
e*=1 + n+5i+1!+-" + Ы+о<х">-	<7>
2)	f(x) = sin х. Так как
/(п) (х) = sinf х + ns 1,
при п четном,
f(n) (0) = sinf п •	1
\ )
(-!)(" 1)/2 при п нечетном,
то формула Маклорена имеет вид
у»3	.у» 5	-у 2 и 1
sinX = X- gi + gj - уу +... + (-1)п-!(2га_ 1); + о(х2л). (8)
3)	f(x) = cos х. Так как
fln\x) = cosf X + n • g j ,
Лп) (0) = cosf n • 5
k "
0 при п нечетном,
(-l)n/2 при n четном,
то формула Маклорена имеет вид
-у» 2	v4 у» 6	-у» 2 и
cos х = 1 - |у + 5у -	+ ... + (-1)"^ + о(х2" + 1).	(9)
В формуле (8) мы записали остаточный член в виде о(х2п),
а не в виде о(х2п ~ х), так как следующий за последним член ра-
вен нулю (то же относится к формуле (9)).
4)	f(x) = (1 + х)а, где а — вещественное число. Так как
у=(п)	= а (а - 1)... (а - n + 1) (1 + х)а ~ п,
/=(«) (0) = а (а - 1)... (а - п + 1),
то формула Маклорена имеет вид
(1 + х)« = 1 + р X +	> X2 + ...
• + а(а~1)---(,а~га + 1)х” + Яп + 1(х),
228
где остаточный член в форме Лагранжа равен
Rn+1(х) = а(а ~ га) <х + 0х)“-(п+1)ХП+1, о < е < 1.
В частном случае, когда а = п — натуральное число,
+ Х)(х) = 0, следовательно, Rn + х(х) = 0, и мы получим извест-
ную формулу бинома Ньютона
(1 + хл) = 1 + рх+ га(га27 1Jx2 + ...+ хп. (10)
Если нужно получить разложение двучлена (а 4- х)п, то мож-
но вынести ап за скобку и воспользоваться формулой (10). При
этом получим
/ । \п п( 1 . х V и Г-t । п । п(п ~ i)fxA2 .	।
(а + x)n = an 1 + - = ап 1 + тт - + —Чп—-	-	•
V а ) L l’k^J 2!	\а) \аJ J
Таким образом, общий случай бинома Ньютона является ча-
стным случаем формулы Маклорена.
Приведенные выше разложения показывают, что с по-
мощью формулы Маклорена функции можно с определенной
степенью точности заменять многочленами, являющимися наи-
более простыми элементарными функциями. Над многочленами
удобно выполнять арифметические действия, дифференциро-
вать их, многочлен непрерывен в любой точке и т. д. Формулы
Тейлора и Маклорена позволяют приближенно заменять много-
членами и более сложные функции. Кроме того, эти формулы
имеют широкий круг приложений. Ограничимся рассмотрением
двух из них.
5.	Использование формулы Маклорена для вычисле-
ния пределов. Формула Тейлора является эффективным сред-
ством для вычисления пределов функций, с которыми часто
приходится иметь дело при исследовании функций.
г-1 _	- тт «	1- Sinx - X
□ Пример 1. Наити lim-------«— .
х 0 х
По формуле (8), взятой при п = 2, имеем
_ 1	о(х4)
3! х3
= lim----=----
х-0	1
= -4 + о = - -
3! и 6 •
X3
X - -XT + О(х4) - X
lim------’
х О
3!
х3
+ Пт
х — 0 X3
229
Пример 2. Найти lim -—-3- -— х
х —* о xdsinx
По формулам (7)—(9) получаем
e-x/2-cosx
lim----------
х —► о xdsmx
= lim
х -* О
-у» 2	у 2	у* 4
1-_+—+ 0(х4)-1 +___
X2 , X4
х3(х 4- о(х))
= lim
х — О
у 4 у4
1Г _ 24 + °(х4)
X4 4- о(х4)
8 24^ х4 _ 8 24+ _ 1
х™ , , о(х4)	1+0	12 ’
X4
Рх _ р-х — 9у-
Пример 3. Найти lim------.---
г	х — о X - sin X
По формулам (7) и (8) находим
ех - е-х - 2х
lim---------:------
х — о х ~ sin х
1+х+2Т+ЗТ +	“ (1 “ х + 2Т - ЗТ + °(х3Ц ~ 2х
Иш--------:-'--------------:--:---------
х^°	( х3 . / чЛ
X - I X - jjj- + о(х3) I
1 , о(х3)
..	3^ х3
hm -------г-т-
x-ol , о(х3)
6 х3
Ь-=2- °
6 + 0
6.	Вычисление числа е. В § 1.11, п. 2 введено число е как
предел последовательности {(1 4- 1/п)п} и получена для е грубая
оценка вида 2 < е < 3.
Покажем, как вычислить число е с любой необходимой точ-
ностью. Для этого запишем формулу (7) с остаточным членом в
форме Лагранжа
Y -у» 2	-у«П	рбх
еХ = 1 + П+5т+- + Ы + (ТГГТ)!хП + 1’О<0<1- (11)
Если заменить функцию ех ее многочленом Тейлора степени п,
то получим приближенное равенство
>у»
ех^1 + ^+^+... + ^,	(12)
230
абсолютная погрешность которого
|В„ + 1(х)|=^Г1р|х|'»^,О<0<1.
Если рассматривать функцию ех для -1 < х < 1, то
+	(„ + 1)! <(п + 1)|-
(13)
Полагая в формуле (12) х = 1, получаем приближенное значе-
ние числа
e^i + i + 1 +... + 1.
При этом абсолютная погрешность меньше
(7ГТТ)!>Если требу'
ется вычислить значение е с точностью до 0,001, то число п
определяется из неравенства
. а < 0,001, или (п + 1)! > 3000,
(п + 1)!	v '
которое выполняется при п = 6. Следовательно,
е = 2+^ +£! +-+^ = 2’718
с точностью до 0,001.
Таким образом, формула Маклорена позволяет вычислить
число е с любой точностью.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте теорему Тейлора.
2.	Что называется многочленом Тейлора степени п функ-
ции Дх)?
3.	Получите остаточный член формы Пеано из формы Лаг-
ранжа.
4.	Что называется формулой Маклорена для функции Дх)?
Напишите остаточные члены этой формулы в формах Лаг-
ранжа и Пеано.
5.	Почему нельзя назвать правую часть формулы Тейлора (1)
многочленом степени n + 1?
6.	В каком случае остаточный член в формуле Тейлора обраща-
ется в нуль? Приведите пример.
7.	Какого условия в формулировке теоремы Тейлора не хвата-
ет для вывода остаточного члена в форме Пеано? Сформули-
руйте его.
231
§ 3.15. Исследование поведения функций
и построение графиков
1.	Признак монотонности функции.
ТЕОРЕМА 3.12. Если функция f(x) дифференци-
руема на интервале (а, Ъ) и f(x) > 0 (f(x) < 0) на
(а, &), то функция f(x) не убывает (не возрастает)
на (а, Ь).
Доказательство. Для определенности рассмотрим слу-
чай f(x) > 0. Пусть хг и х2 — две произвольные точки из (а, Ъ) и
хг < х2; тогда на отрезке [хр х2] выполняются все условия тео-
ремы Лагранжа, на основании которой
f(x2) - fixj = f (с) (х2 - xj, с е (Хр х2).
Согласно условию, f(c) > 0, х2 - хг > 0, поэтому f(x2) - /(хх) > 0
или f(x2) > /(хх), т. е. функция f(x) не убывает на [а, &).
Доказательство для случая f(x) < 0 аналогичное. 
Замечание. Точно так же можно доказать, что если f'(x) > 0
(< 0) на (а, Ь), то функция f(x) возрастает (убывает) на (а, Ь).
□ Пример 1. Определить промежутки, на которых функция
f(x) = х3 - 12х 4-11 возрастает и убывает.
Решение. Область определения функции— вся числовая
прямая. Находим производную функции f'(x) = Зх* 1 2 - 12. Из не-
равенства Зх2 - 12 > 0, или х2 > 4, или Тх2 > 2, т. е. |х| > 2 (либо
х > 2, либо х < -2), следует, что данная функция возрастает на
интервалах (-оо, -2) и (2, +°°), а из неравенства Зх2 - 12 < 0 или
х2 < 4, или Тх2 < 2, т. е. |х| < 2, -2 < х < 2, следует, что данная
функция убывает на интервале (-2, 2). □
Упражнения. Определите промежутки, на которых функ-
ция возрастает и убывает.
1. f(x) = Зх2 - 2х. 2. f(x) = 2 - Зх + х3.
ОТВЕТЫ. 1. Возрастает на (1/3, +оо) и убывает на (-оо, 1/3).
2. Возрастает на (-оо, -1) и на (1, +°°) и убывает на (-1, 1).
2. Отыскание точек локального экстремума функции.
Определение. Точка х0 называется точкой стро-
гого локального максимума (минимума) функции /(х), ес-
ли для всех х из некоторой 8-окрестности точки х0 вы-
полняется неравенство f(x) < ftx0) (f(x) > /(х0)) при х #
х0 (рис. 43).
232
Локальный максимум (max) и локальный минимум (min)
объединяются общим названием локальный экстремум.
Как следует из определения, понятие экстремума имеет ло-
кальный характер в том смысле, что в случае экстремума нера-
венство f(x) < /(х0) (/(х) > /(х0)) не обязано выполняться для
всех значений х в области определения функции, а должно вы-
полняться лишь в некоторой окрестности точки х0. Очевидно,
функция может иметь несколько локальных максимумов и не-
сколько локальных минимумов, причем может так случиться,
что иной локальный максимум окажется меньше какого-то ло-
кального минимума.
ТЕОРЕМА 3.13 (необходимое условие локального экс-
тремума). Если функция /(х) имеет в точке х0 ло-
кальный экстремум и дифференцируема в этой
точке, то f'(x0) = 0.
Доказательство. Так как в точке х0 функция /(х)
имеет локальный экстремум, то существует такой интервал
(х0 - 8, х0 + 8), в котором значение /(х0) является наибольшим
(наименьшим) среди всех других значений этой функции. Тог-
да, по теореме Ферма, производная
функции в точке х0 равна нулю, т. е.
f(xo) = O. 
Теорема 3.13 имеет следующий гео-
метрический смысл. Если хр х2 и х3 —
точки локального экстремума и в соот-
ветствующих точках графика существуют
касательные, то эти касательные парал-
лельны оси Ох (рис. 44).
233
Иногда такие точки называют стаци-
онарными (или критическими); мы будем
называть их точками возможного экс-
тремума. Если точка х0 — точка возмож-
ного экстремума, т. е. f'(xQ) = 0, то она
может и не быть точкой локального макси-
мума (минимума). Например, если f(x) = х3,
то f'(x) = Зх2 = 0 при х = 0, но тем не менее
в точке х = 0 нет локального экстремума
(рис. 45). Поэтому мы их и назвали точками
возможного экстремума, а условие f'(x0) = О
является лишь необходимым. Установим до-
статочное условие существования локально-
го экстремума.
ТЕОРЕМА 3.14 (достаточное условие локального экс-
тремума). Пусть функция Дх) дифференцируема в
некоторой 8-окрестности точки х0 и пусть точ-
ка х0 является точкой возможного экстремума Дх).
Тогда, если f'(x) > 0 (Д(х) < 0) для всех х из (х0 - 8,
х0), a f'(x) < 0 (f'(x) > 0) для всех х из (х0, х0 + 8),
то в точке х0 функция Дх) имеет локальный мак-
симум (минимум), если же Д(х) во всей 8-окрест-
ности точки х0 имеет один и тот же знак, то
в точке х0 локального экстремума нет.
Другими словами, если f'(x) при переходе через точку х0
меняет знак с + на - , то х0 — точка локального максимума, ес-
ли f'(x) в точке х0 меняет знак с - на + , то х0 — точка локаль-
ного минимума, если же знак f'(x) в точке х0 не изменяется, то
в точке х0 экстремума не существует.
□ Доказательство. Пусть Д(х) при переходе через
точку х0 меняет знак с 4- на - и пусть х е (х0 - 8, х0). Применим
формулу Лагранжа к функции Дх) на отрезке [х, х0]. Получаем
У(*о) - f(x) = f'(c)(x0 - х), с е (х, х0).
Так как /'(х) > 0 на (х0 - 8, х0), то f'(c) > 0 и, кроме того, х0 - х > 0,
следовательно,
f(x0) - f(x) > 0 или У(х0) > У(х).	(1)
234
Рассмотрим теперь интервал справа от точки х0, т. е. х е
g (х0, х0 4- 8). Применим формулу Лагранжа к функции Дх) на
отрезке [х0, х]. Получаем
Дх) - Дх0) = f (с)(х - х0), с е (х0, х).
Так как f(x) < 0 на (х0, х0 4- 8), то f'(c) < 0 и, кроме того,
х - х0 > 0, следовательно,
Дх) - Дх0) < 0 или Дх0) > Дх).	(2)
Из неравенств (1) и (2) следует, что в рассматриваемой ок-
рестности точки х0 выполняется неравенство Дх) < Дх0) при
х # х0, а это означает, что в точке х0 функция Дх) имеет локаль-
ный максимум.
Аналогично рассматривается случай перемены знака /'(х)
с минуса на плюс.
Осталось рассмотреть случай, когда f'(x) не меняет знака.
Пусть f'(x) > 0 в некоторой окрестности (х0 - 8, х0 4- 8); тогда,
по теореме 3.12 (по признаку монотонности), функция Дх) не убы-
вает на (х0 - 8, х0 4- 8), т. е. для любых х < х0 выполняется нера-
венство Дх) < Дх0), а для любых х > х0 — неравенство Дх) > Дх0).
Это означает, что точка х0 не является точкой локального экс-
тремума, т. е. при переходе через нее в данном случае знак раз-
ности Дх) - Дх0) в окрестности этой точки не сохраняется. 
□ Пример 2. Рассмотрим вопрос об отыскании точек локаль-
ного экстремума функции Дх) = х3 - Зх. Находим производ-
ную: f'(x) = Зх2 - 3 = 3(х2 ” 1). Решая уравнение 3(х2 - 1) = О,
получаем две точки возможного экстремума: хх = -1 и х2 = 1.
Дальнейшее исследование удобно вести, сделав вспомогатель-
ный рисунок (рис. 46). Отметив на нем точки хх = -1 и х2 = 1
и исследовав знак f(x) в окрестности этих точек, получаем,
что функция Дх) в точке хх = -1 имеет локальный максимум,
а в точке х2 = 1 — локальный минимум. Осталось найти z/max
и «/mm- Имеем i/max = /(-1) = 2, j/min = /(1) = -2.
На рисунке 46 видны и интервалы монотонности Дх):
(-оо, -1), (-1, 1) и (1, 4-оо), причем в первом и третьем из них
функция возрастает, а во втором — убывает. □
3. Задачи на максимум и минимум. Задачи, в которых
требуется найти, при каких значениях аргумента некоторая
функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, игра-
ют важную роль в математике и ее приложениях.
235
Рис. 46
Рис. 47
С математической точки зрения наиболее просты задачи,
когда функция задается формулой и является при этом диффе-
ренцируемой. В этом случае для исследования свойств функ-
ции, определения участков ее возрастания и убывания, поиска
точек локального экстремума важную роль играет производная.
□ Пример 3. Найти максимумы и минимумы следующих
функций: 1) /(х) = х2Х_ х + 3 ’ 2) /(*) = Зх4 - 4х3 - 12х2 4- 2;
3)/(х) = (х - 2)5.
Решение. 1) Область определения данной функции — вся
числовая прямая, так как х2 - х 4- 3 > О при любом х. Находим
ф Решая уравнение 3(2х - 1) = О,
уX	X "г о J
производную: f(x) =
получаем точку возможного экстремума х = 1/2. Исследовав
знак f(x) на вспомогательном рисунке (рис. 47) в окрестности
точки х = 1/2, получаем, что в этой точке данная функция име-
ет локальный минимум, а /(1/2) = -1/11 — минимальное значе-
ние функции.
2)	Область определения данной функции — вся числовая
прямая. Находим производную: f(x) = 12х3 - 12х2 - 24х. Ре-
шая уравнение 12х(х2 - х - 2) = 0, получаем три точки возмож-
ного экстремума: хх = -1, х2 = 0, х3 = 2. Исследовав знак f(x)
(рис. 48) в окрестности этих точек, получаем: хх = -1 и х3 = 2 —
точки локального минимума, /(-1) = -3 и /(2) = -30 — мини-
мальные значения функции, х2 = 0 — точка локального макси-
мума, /(0) = 2 — максимальное значение функции в этой точке.
3)	Область определения данной функции — вся числовая
прямая. Находим производную: f(x) = 5(х - 2)4. Производная
обращается в нуль в единствен-
ной точке х = 2. Так как /'(х)
положительна как слева, так и
справа от этой точки, т. е. при
переходе через точку х = 2 зна-
ка не меняет, то данная функ-
ция не имеет точек экстремума.
г»
Знак f (х)
----т 4-4-4- - т +4-4-4-4-г
-10	2 х
Рис. 48
236
Упражнения. Найдите максимум и минимум функции.
1. /(х) = х In х. 2. /(х) = х *х2.3. /(х) = х2е-х.
ОТВЕТЫ. 1. При х = 1/е — минимум, /(1/е) = -1/е. 2. При
х = -1 — минимум, /(- 1) = -1/2; при х = 1 — максимум, /(1) =
= 1/2. 3. При х == 0 — минимум, /(0) = 0; при х = 2 — макси-
мум, /(2) = 4е~2.
Пример 4 (задача о «наилучшей» консервной банке). Най-
ти наилучший вариант изготовления консервной банки фикси-
рованного объема V, имеющей форму прямого кругового ци-
линдра, и наименьшую поверхность S (на ее изготовление дол-
жно пойти наименьшее количество жести).
Решение. Запишем формулы для объема банки и площади
ее поверхности:
V = nR2 • Л, S = 2tlR2 + 2nRh.
Выражая высоту банки h через радиус h = V/(nR2) и подставляя
полученное выражение в формулу для поверхности, получаем
S(R) = 2nR2+2V/R, 0<R<oo.
Таким образом, задача о «наилучшей» консервной банке
сводится к определению такого значения R, при котором дости-
гает своего наименьшего значения функция S(R). Вычислим
производную функции S(R):
ои 9
S'(R} = 4nR-^.=±2 (2nR* - V).
2
Решая уравнение (2лВ3 - V) = 0, получаем точку возмож-
ного экстремума R = VW(2n). Исследуем знак производной в
окрестности этой точки (рис. 49). При 0 < R < 3JV/(2n) произ-
водная отрицательна и функция S (R) убывает, при 3JV/(2n) <
< R< +оо производная положительна и функция S(R) возраста-
ет. Следовательно, R = 3jv/(2n) — точка локального миниму-
ма; S(3JV/(2n)) = 33j2nV2— минимальное значение функции
в этой точке.
Итак, радиус и высота банки, наилучшие с точки зрения усло-
вия минимальности S(R), определяются формулами R = 3jv/(2n) ,
h = 2 R, т. е. высота «наилучшей» банки равна ее диаметру.
Расширим поставленную задачу. Например, рассмотрим
другой вариант: найти наилучшую форму консервной банки
237
Знак S(fl)--++++++	Знак S'(x)------ +++++
0 fV R	0	4 R
W
Рис. 49	Рис. 50
фиксированного объема V, имеющую наименьшую длину всех
швов I (необходимо минимизировать работу по сварке швов).
Решите эту задачу самостоятельно. Заметим, что длина швов
выражается формулой I = 4лВ 4- Л, а радиус и высота банки,
имеющей наименьшую длину швов, определяются следующими
формулами: R = VW(2rc2), h = 2nR. □
□	Пример 5. Определить размеры открытого бассейна с
квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его
стен и дна пошло наименьшее количество материала.
Решение. Обозначим сторону основания через х, а высоту
через у. Тогда объем V бассейна равен V = х2у = 32, а облицовы-
ваемая поверхность S бассейна равна S = х2 4- 4z/x. Выражая у
через х — у = 32/х2 и подставляя полученное выражение в фор-
мулу для поверхности, получаем
S(x) = х2 4- 4хр = х2 4-	, 0 < х < 4-00.
Таким образом, задача сводится к определению такого зна-
чения х, при котором достигает своего наименьшего значения
функция S(x). Вычислим производную функции S(x):
S'(x) = 2х - 128/х2.
Решая уравнение 2х - 128/х2 = 0, получаем точку возмож-
ного экстремума х = 4. Исследуем знак производной в окрест-
ности этой точки (рис. 50). При 0 < х < 4 производная отрица-
тельна и функция S(x) убывает, при 4 < х < 4-оо производная
положительна и функция S(x) возрастает. Следовательно,
х = 4 — точка локального минимума, S(4) = 42 4- 128/4 = 48 —
минимальное значение функции в этой точке.
Итак, искомые размеры бассейна, наилучшие с точки зре-
ния условия минимальности S(x): х = 4 м, г/ = 2 м. □
Заметим, что при решении практических задач иногда удоб-
нее не проверять выполнение достаточных условий существова-
ния экстремума с помощью первой производной, а находить
экстремум на основании условий задачи.
238
□	Пример 6. В шар радиусом R вписать цилиндр с радиусом
основания г и высотой А, имеющий наибольшую боковую по-
верхность. (Предварительно сделать рисунок.)
Решение. Высота цилиндра по теореме Пифагора определя-
ется по формуле (А/2)2 = R2 - г2, отсюда h = 2 Jr2 - г2, а боко-
вая поверхность S — по формуле S = 2nr*h. Подставляя полу-
ченное выражение для h в формулу для поверхности, получаем
S(r) = 4nrjR2 - г2, ОС г<7?.
Задача сводится к определению такого значения г, при кото-
ром достигает своего наибольшего значения функция S(r). Вы-
числим производную функции S(r):
S'(r) = 4л( JR2 - г2
г2 \	. Я2-2г2
------ = 4 л______
7я2 - г2 ) Jr2 - г2'
_	. R2 - 2г2
Решая уравнение 4л-у===
= 0, получим: S'(r) = 0 при
R2 - 2г2 = 0, отсюда г = R/J2. Это и есть точка максимума. Дей-
ствительно, искомое значение функции в этой точке положитель-
но, так как функция S(r) положительна и непрерывна на [О, Я],
на концах отрезка она равна нулю, и поэтому искомое значение
достигается в точке, лежащей внутри отрезка, т. е. в точке макси-
мума функции S(r). Отсюда ясно, что цилиндр радиусом г = R/J2
является искомым. □
Иногда вызывает затруднение исследование знака первой
производной f(x) слева и справа от точки возможного экстрему-
ма. В этом случае следует использовать другое достаточное ус-
ловие существования экстремума, основанное на знаке второй
производной.
ТЕОРЕМА 3.15. Пусть функция f(x) имеет в дан-
ной точке возможного экстремума х0 (f'(xQ) = 0)
конечную вторую производную. Тогда в точке х0
функция имеет локальный максимум, если /"(х0) <
< 0, и локальный минимум, если f"(xQ) > 0.______
Доказательство. Пусть для определенности f"(xQ) > 0.
По определению второй производной1,
f"(X0) =
lim
f (X) - f (х0)
X - Х0
1 f\xQ) = (f(xQ))', т. е. вторая производная есть первая производ-
ная от первой производной.
239
На основании определения предела функции «на языке е—8»
для любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что для всех х, удовлет-
воряющих неравенству |х - х0| < 8, х х0, будет выполняться /
неравенство	\
I х - х0 v и,|
или
/ (х0) - Е < -------- < f (х0) + Е.
Возьмем в качестве е положительное число, равное f"(xQ). Тог-
да из последних неравенств при х0 - 8 < х < х0 + 8, х х0 получим
О < л» - Л*,) с м - Г(х,) > 01
X - х0	м X - х0
Это означает, что в пределах 8-окрестности точки х0:
f'(x)<f'(xQ) при х < х0,
f (х) > f (х0) при х > х0.
Так как по условию f(x$) = 0, то f(x) < 0 на (х0 - 8, х0),
f(x) > 0 на (х0, х0 + 8), т. е. в пределах 8-окрестности точки х0
функция f'(x) отрицательна слева от точки х0 и положительна
справа от этой точки. Получили, что первая производная при
переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс. Но тогда
по теореме 3.14 функция /(х) имеет в точке х0 локальный мини-
мум. Аналогично доказывается, что если f'(xQ) < 0, то в точке х0
функция /(х) имеет локальный максимум. 
□ Пример?. Найти максимумы и минимумы функции
f(x)= i*4- |х3-|х1 2 + 2.
Решение. Область определения данной функции — вся
числовая прямая. Находим первую производную: f(x) = х3 -
- 2х2 - Зх. Решая уравнение х(х2 - 2х - 3) = 0, получаем точки
возможного экстремума: хх = -1, х2 = 0, х3 = 3. Найдем вторую
производную. Дифференцируя первую производную, получаем
/"(х) = Зх2 - 4х - 3 и определяем знак второй производной в
каждой точке возможного экстремума: f'(-l) = 4 > 0; при хх =
= -1 функция имеет минимум, /"(0) = -3 < 0; при х2 = 0 функ-
ция имеет максимум, /"(3) = 12 > 0; при х3 = 3 функция имеет
1 То есть f(x) - f(xQ) и х - х0 одного знака; если х - х0 < 0, то
f(x) - f(x0) < 0; если х - х0 > 0, то f(x) - f(xQ) > 0.
240
минимум. Рекомендуем провести исследование данной функ-
ции на экстремум, используя первую производную. □
Заметим, что способ исследования функции на экстремум с
использованием второй производной более удобен, но, к сожале-
нию, не всегда применим. В тех случаях, когда первая произ-
водная в исследуемой точке не существует, а также, когда вто-
рая производная обращается в нуль или не существует, этот
способ использовать нельзя. В последнем случае для решения
вопроса о наличии экстремума нужно изучить поведение в точ-
ке возможного экстремума х0 производных высших порядков.
Иногда и вычисление второй производной настолько громозд-
кое, что проще воспользоваться достаточным признаком су-
ществования экстремума, основанным на перемене знака пер-
вой производной.
Мы рассмотрели вопрос о наличии у функции f(x) экстрему-
ма в такой точке х0, в которой функция f(x) дифференцируема.
Оказывается, теорему 3.14 можно обобщить на случай функции,
которая не дифференцируема в точке х0, но дифференцируема
всюду в некоторой окрестности слева и справа от х0 и, кроме то-
го, непрерывна в этой точке. Справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3.16. Пусть функция f(x) дифференци-
руема всюду в некоторой окрестности точки х0,
за исключением, быть может, самой точки х0, и
непрерывна в точке х0. Тогда, если в пределах ука-
занной окрестности производная f'(x) положи-
тельна (отрицательна) слева от точки х0 и от-
рицательна (положительна) справа от точки х0,
то функция f(x) имеет в точке х0 локальный мак-
симум (минимум). Если же производная f'(x) име-
ет один и тот же знак слева и справа от точ-
 ки х0, то экстремума в точке х0 нет.
Доказательство в точности совпадает с доказательством
теоремы 3.14. Условия теоремы 3.16 и на этот раз применимы к
теореме 3.8 Лагранжа по отрезку, ограниченному точками х0 и х,
где х — любое число из достаточно малой окрестности точки х0.
□ Пример 8. Функция f(x) = |х|, как мы уже знаем, диффе-
ренцируема всюду на всей числовой прямой, кроме точки х = 0, и
непрерывна в точке х = 0, причем производная f'(x) при х > О
равна 1 и при х < 0 равна -1. Теорема 3.14 к этой функции непри-
менима, а согласно теореме 3.16, она имеет минимум при х = 0.
241
Пример 9- Функция f(x) = непрерывна на всей число-
вой прямой и дифференцируема всюду на этой прямой, за исклю-
2 1
чением точки х = 0. Производная при х # 0 равна f(x) = « —.
d 37х
Если в примере 1 производная хотя и не существовала в точке
х = 0, но имела в ней конечные неравные предельные значения, то
в этом случае производная имеет в точке х = 0 разрыв второго рода.
Из выражения для производной заключаем, что эта произ-
водная отрицательна слева от точки х = 0 и положительна спра-
ва от этой точки. Согласно теореме 3.16, рассматриваемая функ-
ция имеет в точке х = 0 минимум. □
Упражнения. 1. Решеткой длиной 120 м нужно огородить
прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей
площади. Определите размеры площадки.
2.	Из 32 спичек постройте прямоугольник наибольшей пло-
щади.
3.	Определите наибольшую площадь прямоугольника, у
которого одна сторона лежит на основании а данного треуголь-
ника, а две вершины — на боковых сторонах треугольника, ес-
ли треугольник имеет высоту h.
4.	Из квадратного листа картона со стороной а вырезают по
углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной
фигуры склеивают прямоугольную коробку. Какова должна
быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был
наибольшим?
5.	Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завер-
шенного полукругом. Периметр сечения Р. При каком радиусе
полукруга площадь сечения будет наибольшей?
6.	В прямой круговой конус радиусом R и высотой h впи-
сан цилиндр наибольшего объема. Найдите этот объем.
7.	В шар радиусом R вписан цилиндр наибольшего объема.
Найдите этот объем.
8.	Из сектора круга радиусом R свертывают коническую
воронку. При каком центральном угле она имеет наибольший
объем?
9.	Даны точки А(0; 3) и В(4; 5). На оси Ох найдите точку,
сумма расстояний которой до точек А и В наименьшая.
10.	Разложите число 10 на два слагаемых так, чтобы произ-
ведение их было наибольшим.
11.	Используя вторую производную, найдите экстремумы
функции:
1) /(X) = ^ - ^ + 6х; 2) /(х) = х4 + 8х3 + 16х2.
О Z
242
12.	Исследуйте на экстремум функцию f(x) = (х - 1)3(х + I)2,
причем сделайте это двумя способами: 1) используя первую про-
изводную; 2) используя вторую производную.
ОТВЕТЫ. 1. 30 х 60 м. 2. Прямоугольник наибольшей пло-
щади получится, если обе его стороны состоят из 8 спичек.
3. ah/4. 4. а/6. 5. Р/(4 + л). 6. £nR2h. 7. 4лЯ8/(ЗТЗ).
8- 2Ял/2/3. 9. 3/2; 0. 10. 5 и 5. 11. 1) Точки возможного экстре-
мума: хх = 2 и х2 = 3. При хх = 2 — максимум; при х2 = 3 — ми-
нимум. 2) Точки возможного экстремума: хг = -4; х2 = -2; х3 = 0.
При хх = -4 — минимум; при х2 = -2 — максимум; при х3 —
минимум. 12. Точки возможного экстремума: хх = -1; х2 = -|;
х3 = 1. При хх = -1 — максимум; при х2 = —1/5 — минимум;
при х3 = 1 — экстремума нет; /(1) = 0; в интервале (—1/5, +<»)
функция возрастает, так как ее первая производная на этом ин-
тервале положительна.
4. Направление выпуклости и точки перегиба графика
функции. Пусть функция у = /(х) дифференцируема на интер-
вале (а, &). Тогда существует касательная к графику функции
у = Дх) в любой точке М(х; Дх)) этого графика (а < х < &), при-
чем касательная не параллельна оси Оу. поскольку ее угловой
коэффициент, равный f'(x). конечен.
Определение 1. Будем говорить, что график функ-
ции у = Дх) имеет на (а, &) выпуклость, направленную
вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой
касательной к графику функции на (а. Ь) (рис. 51).
Из определения следует, что на участке выпуклости каса-
тельные к графику функции не пересекаются с самим графиком
и имеют с ним лишь точки касания.
ТЕОРЕМА 3.17. Если функция у = f(x) имеет на
интервале (а. Ь) вторую производную и f"(x) > 0
(f"(x) < 0) во всех точках (а. Ь). то график функ-
ции у = f(x) имеет на (а. Ь) выпуклость, направ-
ленную вниз (вверх).
Доказательство. Для определенности рассмотрим слу-
чай f"(x) > 0 на (а. Ь). Обозначим через с произвольную точку
(а. Ь) (рис. 52). Требуется доказать, что график функции у = f(x)
лежит не ниже касательной, проходящей через точку М(с; f(c)).
243
Запишем, обозначая текущую ординату ее точек через У,
уравнение этой касательной: У - f(c) = f(c)(x - с) или
У=/(с) + Г(с)(х-с).	(3)
Разложим функцию у = f(x) в окрестности точки с по фор-
муле Тейлора при n = 1. Получим
У = f(x) = /(с) + Цр (х - с) + ^р(х - с)2, £ е (с, х).	(4)
Так как, по условию, f(x) имеет f"(x) на (а, &), то, согласно тео-
реме Тейлора, формула (4) справедлива для любого х из (а, &).
Вычитая равенство (3) из равенства (4), имеем
1/-У=ф(х-с)2.	(5)
Так как, по условию, f"(x) > 0 на (а, &), то правая часть
равенства (5) неотрицательна, т. е. у - У > 0 для всех х из
(а, Ь) или у > У. Последнее неравенство и доказывает, что график
функции у = f(x) всюду в пределах (а, Ь) лежит не ниже каса-
тельной (3).
Аналогично доказывается теорема для случая f'(x) <0. 
Определение 2. Точка М(х0; /(х0)) называется
точкой перегиба графика функция у = /(х), если в точке
М график имеет касательную, и существует такая ок-
рестность точки х0, в пределах которой график функ-
ции у = /(х) слева и справа от точки х0 имеет разные
направления выпуклости.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает гра-
фик функции, так как с одной стороны от этой точки график
лежит под касательной, а с другой — над нею, т. е. в окрест-
ности точки перегиба график функции геометрически пере-
ходит с одной стороны касательной на другую и «перегибается»
через нее. Отсюда и произошло название точка перегиба
(рис. 53).
244
ТЕОРЕМА 3.18 (необходимое условие точки переги-
ба). Пусть график функции у = f(x) имеет перегиб
в точке М(х0; /(х0)) и пусть функция /(х) имеет в
точке х0 непрерывную вторую производную. Тогда
f"(x) в точке х0 обращается в нуль, т. е. f"(xQ) = 0.
Доказательство. Предположим обратное, т. е. допус-
тим, что f"(xQ) # 0. Тогда, в силу непрерывности второй произ-
водной, по теореме 2.9 об устойчивости знака непрерывной
функции, существует окрестность точки х0, в которой f'(x) < 0
(f"(x) > 0), и, значит, согласно теореме 3.17, график функции
у = /(х) имеет определенное направление выпуклости в этой ок-
рестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке
М(х0; /(х0)). Полученное противоречие доказывает теорему. 
Заметим, что не всякая точка М(х0; /(х0)), для которой
/"(х0) = 0, является точкой перегиба. Например, график функ-
ции Дх) = х4 не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя f\x) = 12х2 = 0
при х = 0 (рис. 54). Поэтому равенство нулю второй производ-
ной является лишь необходимым условием перегиба.
Точки М (х0; Дх0)) графика, для которых /"(х0) = 0, будем
называть критическими. Необходимо дополнительно иссле-
довать вопрос о наличии перегиба в каждой критической точке,
для чего следует установить достаточное условие перегиба.
ТЕОРЕМА 3.19 (достаточное условие точки перегиба).
Пусть функция Дх) имеет вторую производную
в некоторой окрестности точки х0. Тогда, если
в пределах указанной окрестности f'(x) имеет
разные знаки слева и справа от точки х0, то гра-
фик у = Дх) имеет перегиб в точке М(х0; Дх0)).
Доказательство. Из того, что f'(x) слева и справа
от точки х0 имеет разные знаки, на основании теоремы 3.17 за-
245
ключаем, что направление выпуклос-
ти графика функции слева и справа
от точки х0 является различным. Это
и означает наличие перегиба в точке
М(х0;	
Замечание. Теорема остается вер-
ной, если функция f(x) имеет вторую про-
изводную в некоторой окрестности точки
х0, за исключением самой точки х0, и су-
ществует касательная к графику функ-
ции в точке М. Тогда, если в пределах
указанной окрестности f"(x) имеет раз-
ные знаки слева и справа от точки х0, то
график функции у = /(х) имеет перегиб в точке М(х0; /(х0)). Доказа-
тельство данного факта аналогично доказательству теоремы.
Рассмотрим, например, функцию /(х) = х1/3. Эта функция в
точке х = 0 имеет бесконечную производную, а касательная к
графику функции в точке 0(0; 0) совпадает с осью Оу. Вторая
производная в точке х = 0 не существует. Однако график функ-
ции у = х1/3 и имеет перегиб в точке 0(0; 0), так как вторая про-
изводная
9 х8/3
имеет слева и справа от точки х = О разные знаки (рис. 55).
Итак, вопрос о направлении выпуклости и точках перегиба
графика функции исследуют с помощью второй производной.
□ Пример 10. Найти интервалы выпуклости и точки пере-
гиба графика функции
/(х) = х2 + х + 5.
Решение. Область определения функции — вся числовая
прямая. Находим производные: /'(х) = 2х + 1; f\x) = 2 > 0. Так
как f"(x) > 0 при любом значении х, то график функции имеет
на интервале (-°°; +°°) выпуклость, направленную вниз. Точек
перегиба нет.
Пример 11. Найти интервалы выпуклости и точки пере-
гиба графика функции /(х) = 2х3 + Зх.
Решение. Область определения функции — вся числовая пря-
мая. Находим производные: f(x) = 6х2 4- 3; f"(x) = 12х. Из уравне-
ния 12х = 0 получаем одну критическую точку х = 0.
246
Отметив точку х = 0 на вспо-	у
могательном рисунке (рис. 56)
и исследовав знак f"(x) в ее Знак Г(х)------+++++++++\
окрестности, получаем слева от
точки х = 0 вторую производную
f"(x) < 0 (график направлен вы-	Рис. 56
пуклостью вверх), а справа от
нее f"(x) > 0 (график направлен выпуклостью вниз). Таким об-
разом, при переходе через точку х = 0 вторая производная f'(x)
меняет знак. Согласно теореме 3.19, точка с абсциссой х = 0 яв-
ляется точкой перегиба графика рассматриваемой функции. Ее
координаты (0; 0). Кроме того, ясны и интервалы выпуклости:
(-оо, 0) и (0, 4-оо). □
Упражнения. Найдите интервалы выпуклости и точки пе-
региба графика функции.
1. /(х) = х3 - 6х2 + х. 2. /(х) = х4 + 2х3 - 12х2 - 5х 4- 2.
3. /(х) = (х - I)4. 4. ftx) = ^2 • 5. /(X) = 2х2 + 1пх. 6. Дх) =
= х arctg х.
ОТВЕТЫ. 1. При х = 2 — точка перегиба, на (-°°, 2) — вы-
пуклость вверх, на (2, 4-оо) — вниз. 2. При х = -2 и х = 1 — точ-
ки перегиба, на (-°°, -2) — выпуклость вниз, на (-2, 1) —
вверх, на (1, 4-оо) — вниз. 3. На (-°°, 4-оо) — выпуклость вниз,
точек перегиба нет. 4. При х = -1 и х = 1 — точки перегиба, на
(-°°, -1) — выпуклость вверх, на (-1, 1) — вниз, на (1, 4- оо) —
вверх. 5. При х = 1/2 — точка перегиба, на (0, 1/2) — выпук-
лость вверх, на (1/2, 4-оо) — вниз. 6. На (-°°, 4-оо) — выпук-
лость вниз, точек перегиба нет.
В качестве примера продолжим рассматривать функцию
/(х) = х3 - Зх (см. п. 2). Знак второй производной будем отме-
чать на вспомогательном рисунке (см. рис. 46). Находим вторую
производную: f'(x) = 6х. Из уравнения 6х = 0 получаем одну
критическую точку: 0(0; 0). Отметив точку х = 0 на вспомога-
тельном рисунке (рис. 57) и исследовав знак f"(x) в ее окрест-
им
Звак f(x)++++-1---о 1+++++
Знак /zz(x) ------ -Ы-+++++4-4-4- х
Рис. 57
247
ности, получаем: слева от точки х = 0 производная f"(x) < О
(график направлен выпуклостью вверх), а справа f'(x) > 0 (гра-
фик направлен выпуклостью вниз), т. е. точка 0(0; 0) является
точкой перегиба графика рассматриваемой функции. Этот гра-
фик схематически изображен на рисунке 58.
5. Асимптоты графика функции. При исследовании пове-
дения функции на бесконечности, т. е. при х —► +°° и при х -оо
или вблизи точек разрыва второго рода, часто оказывается, что
график функции сколь угодно близко приближается к той или
иной прямой. Такие прямые называют асимптотами.
Существует три вида асимптот: вертикальные, горизон-
тальные и наклонные.
Определение 1. Прямая х = х0 называется вер-
тикалъной асимптотой графика функции у = f(x), если
хотя бы одно из предельных значений lim f(x) или
lim f(x} равно +°° или -оо.
X * Xq
Например, график функции у = f(x) = 1/х (рис. 59) имеет
вертикальную асимптоту х = 0, так как /(х) +оо при х 0 +
и Дх) -оо при х 0-.
Определение 2. Прямая у = А называется гори-
зонтальной асимптотой графика функции у = Дх) при
х _► _|_оо (х —► -оо), если lim Дх) = А.
х -* 4-00
х — -оо
Например, график рассмотренной выше функции у = 1/х име-
ет горизонтальную асимптоту у = 0 при х —► +°° и при х -оо,
так как 1/х -* 0 при х —► +°° и при х —► -оо.
Рис. 58
Рис. 59
248
Определение 3. Прямая у = kx + ft, k 0, называ-
ется наклонной асимптотой графика функции у = /(х)
при х —► +°° (х —► — оо), если функцию f(x) можно предста-
вить в виде
Дх) = kx 4- Ъ 4- а(х),	(6)
где а(х) —► 0 при х —► +°°, х -оо.
Выясним геометрический смысл наклонной асимптоты. Для
определенности рассмотрим случай, когда х —► +оо (случай
х -оо рассматривается аналогично).
Пусть М (х; у) — точка графика функции у = Дх) и пусть пря-
мая у = kx 4- Ъ является наклонной асимптотой графика
функции при х —► 4-оо. Текущую ординату точки на асимптоте
обозначим через у, точку на асимптоте — через N(x; у) (рис. 60).
Тогда |МЛГ| = |z/ - у\ = |Дх) - (kx 4- &)| = |а(х)| -* 0 при х -► +°°.
Опустим из точки М перпендикуляр МР на асимптоту. Рас-
стояние d от точки М до асимптоты равно |МР| = |МЛГ| cos а,
где а — угол между асимптотой и осью Ох и, следовательно,
lim d = 0.
X 4-оо
Таким образом, расстояние от точки М(х; у) графика функции
до асимптоты стремится к нулю при х -* 4-оо, т. е. график функ-
ции неограниченно приближается к асимптоте при х —► +°°.
Рассмотрим способ отыскания наклонной асимптоты, т. е.
способ определения чисел k и Ь в уравнении асимптоты. Разделив
равенство (6) на х и перейдя к пределу при х -> -Н», получаем
lim = lim Гй + - +	1 = k
х -> 4-00 х х
оо|_ Х Х J
1. ъ п
так как предел lim - = О и пре-
х 4-00 х
дел lim = 0. Итак,
х-+оо х
k= lim	(7)
X —► 4-00 х
Далее, из соотношения (6) имеем
lim [Дх) - kx} =
X 4-оо
= lim [& + а(х)] = &.
Х^ +оо
Таким образом,
&= lim [Дх)-Лх].	(8)
х — 4-00
249
Доказано, что если прямая у = kx 4- Ь является наклонной
асимптотой, то числа fe и & находятся по формулам (7) и (8). Об-
ратно, если оба предела (7) и (8) существуют, причем k # 0, то
прямая у = kx 4- Ь является наклонной асимптотой графика
функции у = f(x) при х —► 4-ос. в самом деле, полагая а(х) =
= f(x) - kx - Ъ я используя равенство (8), получаем, что
lim а(х) = 0. Следовательно, справедливо равенство
х +	Дх) = kx 4- Ь 4- а(х),
где lim а(х) = 0, т. е. прямая у = kx 4- Ь является наклонной
X 4-оо
асимптотой графика функции при х 4-оо.
Заканчивая рассмотрение наклонной асимптоты, сформули-
руем полученный результат в виде теоремы.
ТЕОРЕМ А 3.20. Для того чтобы график функции
у = Дх) имел при х —► 4-оо, х —► -оо наклонную
асимптоту у = kx 4- &, необходимо и достаточно,
чтобы существовали два предела
lim = k и lim [Дх) - kx} = &.
х 4-00 х	х _ 4-00
(х -оо)(X -оо)
Целесообразно искать асимптоты в следующем порядке:
1) вертикальные асимптоты; 2) горизонтальные асимптоты; 3) на-
клонные асимптоты.
□ Пример 12. Найти асимптоты для графика функции
х* 1 2 3 4- 2х - 3
У =-----х----•
Решение. 1) Находим вертикальные асимптоты. Точка
х = 0 — точка разрыва второго рода данной функции, причем
у —* ч-oo при х 0 -, у -+ при х —► 0 4-. Следовательно, ось
ординат х = 0 — вертикальная асимптота.
2) Находим горизонтальные асимптоты
.. х2 4- 2х - 3	..	( о 3 \
lim ---------- = lim 1x4-2—-- = +оо ,
Х^4-оо	X	х^4-оо	X J (_ оо)
(х — -ОО)	(х -оо)	V /
следовательно, горизонтальных асимптот нет.
3) Находим наклонные асимптоты
k = lim = lim (14---~1 = 1,& = lim [Дх) - kx} =
X —* 4-оо X х —* 4-оо \ X X )	X —* 4-оо
(X — -оо)	(х -оо)	(х -оо)
.. гх2 + 2х - 3	-|	/2х-ЗЛ ..	3 \ о
= lim ------------- х = hm --------- = hm 12 - - 1 = 2.
х —* 4-00 L	%	J	x —* 4-00 \ x ) x -* 4-00 V	J
(x -oo)	(X — -oo)	(x -oo)
250
Следовательно, прямая у = х + 2 яв-
ляется наклонной асимптотой графи-	/	,
ка данной функции как при х +°о,	/	/
так и при х -оо.	/	//
График функции схематически	/	/
изображен на рисунке 61.	/ /	/
-з/ / Ч
6. Схема исследования графи- / Л2 -1 ° 11-----------х
ка функции. Познакомимся с при-	//	I
мерной схемой, по которой целесооб- //	/
разно исследовать поведение функ-	I
ции и строить ее график. Для	|
иллюстрации приведем примеры.	I
Изучение заданной функции и	I
построение ее графика целесообраз-	рис
но проводить в следующем порядке:
1)	найти область определения функции;
2)	найти точки пересечения графика функции с осями коор-
динат;
3)	найти асимптоты;
4)	найти точки возможного экстремума;
5)	найти критические точки;
6)	с помощью вспомогательного рисунка исследовать знак
первой и второй производных. Определить участки возрастания
и убывания функции, найти направление выпуклости графика,
точки экстремума и точки перегиба;
7)	построить график, учитывая исследование, проведенное
в п. 1—6.
При этом в начале исследования полезно проверить, являет-
ся ли данная функция четной или нечетной, чтобы при постро-
ении использовать симметрию графика относительно оси орди-
нат или начала координат.
□ Пример 13. Построить по приведенной выше схеме гра-
х^ + 1
фик функции у =	.
Решение. 1) Областью определения функции является мно-
жество всех вещественных чисел, кроме х = 1 (в этом случае зна-
менатель обращается в нуль).
2)	Уравнение х2 + 1 = 0 не имеет вещественных корней, гра-
фик функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересе-
кает ось Оу в точке (0; -1).
3)	Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем
поведение функции вблизи точки разрыва х = 1. Так как у —►
251
при х —► 1 -, у	4-оо при х —► 1 4-, то прямая х = 1 является вер-
тикальной асимптотой графика функции.
Если х -* 4-оо (х —► -°0), то у -+ 4-оо (у —► -оо), следовательно,
горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее, из существо-
вания пределов
Дх) .. х2 4-1
= lim —5---------
X х^+оо х2 - х
(X - -ОО)
r 1 4- 1/Х2	.
lim — = 1,
х — 4-00 1	1/х
(X — -ОО)
Г X2 + 1	1
Ь = lim [/(х) - kx] = lim	- х =
х 4-00	х 4-00 L Х	J
(X
k = lim
X +<
(х--<
= 1
lim
X +<
(х^-<
(X - -оо)
V 1
11Ш у-
х 4-00 1
(X -ОО)
вытекает, что при х -* 4-оо и при х -* -оо график функции имеет
наклонную асимптоту у = х 4- 1.
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим
первую производную функции:
ч 2х(х - 1) - (х2 4- 1)	2х2 - 2х - х2 - 1 х2 - 2х - 1
------<7^1?---------------<7^1?-----------(7^17“ '
Решая уравнение х2 - 2х - 1 = О, получаем две точки воз-
можного экстремума: хх = 1 - 72 и х2 = 1 4- 72 .
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую
производную
r,z . _ (2х - 2)(х - I)2 - 2(х - 1)(х2 -2х - 1) _	4
1У)	(х-1)4	(х-1)3‘
Так как /"(х) в нуль не обращается, то критических точек нет.
6)	Строим вспомогательный рисунок и исследуем знак пер-
вой и второй производных (рис. 62). Получаем, что функция
на (-оо, 1-72) возрастает, на (1 - 72, 14- 72) убывает, а
на (1 4- 72,4-оо) снова возрастает.
Точки экстремума: максимум при х = 1 - 72, причем
/(1 - 72) = 2 - 272; минимум при х = 1 4- 72, причем /(1 4- 72) =
Знак f(x)++4-4-4—
Знак f\x)--------О
1-72
Рис, 62
252
= 2 4- 2 а/2 . На (-°°, 1) график на-
правлен выпуклостью вверх, а на
(1, +°°) — вниз.
7)	По полученным данным стро-
им эскиз графика (рис. 63).
Пример 14. Построить гра-
фик функции Дх) =	' .
Решение. 1) Область опреде-
ления функции — вся числовая
прямая.
2) График функции пересека-
ет ось Ох в точках, в которых
(х - I)2 = 0, т. е. в точке с абсцис-
сой х = 1, а ось Оу — в точке с ор-
динатой у = 1.
3) Так как функция непрерывна
мой, то вертикальных асимптот нет. Далее, из существования
предела
на всей числовой пря-
х2 - 2х + 1
lim ---------- = lim
с^оо X3 + X	х^ ос
,	Дх) ..	(х-1)2
k = lim = lim . , , ' =
х —* CO X
х —> ОО Х(Х2 + 1)
- 2/х2 4- 1/х3 _ 0
1 4- 1/х2	1	U
следует, что
Ь = lim [Дх) - kx} =
(х-1)2	..
9 , .	= lim
lim [Дх) - 0 • х] =
эо
х2 - 2х 4- 1
х2 4" 1
1 - 2/х 4- 1/х2 _ 1-0 + 0
lim
1 + 0 1э
= lim —
X —* оо	1 + 1/ Х
т. е. наклонных асимптот нет, а прямая у = 1 — горизонтальная
асимптота.
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим
первую производную
ч 2(х - 1)(х2 + 1) - (х - I)2 • 2х 2х2 - 2
-----------------------------(^+17-
Решая уравнение 2х2 -2 = 0, получаем две точки возможно-
го экстремума: хх = -1, х2 = 1.
253
!/м
Знак f(x)+4-4-4-4-4-4-4- -1-----------1 ++++++++^
Знак /"(х) 4-+++++Н-------------0 +++++++------------ х
-7з	7з
Рис. 64
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую
производную
„	4х(х2 + I)2 - (2х2 - 2)2(х2 4-1)2х _ 4х(3 - х2)
' (Х)	(х2 + 1)4	(х2 + 1)3 ‘
Решая уравнение 4х(3 - х2) = 0, получаем три критических
точки: хх = -л/З, х2 = 0, х3 = л/З.
6)	Строим вспомогательный рисунок (рис. 64) и исследуем
знак первой и второй производных.
Получаем, что на (-°°, -1) функция возрастает, на (-1, 1) —
убывает, а на (1, 4-оо)— снова возрастает. Точки экстремума:
при переходе через точку х = -1 производная f(x) изменяет
знак с плюса на минус, а через точку х = -1 — с минуса на
плюс, следовательно, в точке х = -1 — максимум, а в точке
х = 1 — минимум, причем /(-1) = 2, /(1) = 0. На (-°°, ~а/3) график
направлен выпуклостью вниз, на (~л/3, 0) — вверх, на (0, а/З) —
вниз, а на (7з, 4-оо) — снова вверх.
Следовательно, точки х = ~л/3, х = 0, х = л/З — абсциссы то-
чек перегиба, причем
Я-73) = 1 + 73/2, ДО) = 1, Дл/3) = 1 - Тз/2.
7)	По полученным данным строим график функции
(рис. 65). □
254
Упражнения. Постройте график функции.
4	4?/ \ х2 + 1 о ы \ х2 о \	2х3 - 5х2 + 14х - 6
1  «*> - -Г-  2- Лх> - —2  3- ««------------------
ОТВЕТЫ. 1. При х = 1 — минимум, /(1) = 2; при х = -1 —
максимум, /(-1) = -2, х = 0 — вертикальная асимптота, у = х —
наклонная асимптота. 2. При х = О — максимум, /(0) = 0; при
х = 4 — минимум, /(4) = 8; х = 2 — вертикальная асимптота,
у = х + 2 — наклонная асимптота. 3. При х = -3 — максимум,
/(-3) = -49/12; при х = 1 — максимум, /(1) = 5/4; при х = 2 —
минимум, /(2) = 9/8; точка х = 9/7 — абсцисса точки перегиба;
1	5
/(9/7) = 913/756;х = 0 — вертикальная асимптота, у = g х ~ j —
наклонная асимптота; (1/2, 0) — точка пересечения графика
с осью Ох.
□ Пример 15. Построить график функции Дх) =	.
Решение. 1) Функция определена при х > 0, т. е. в интер-
вале 0 < х + оо.
2)	График функции пересекает ось Ох в точке, в которой
1п х = 0, т. е. в точке с абсциссой х = 1, а с осью Оу пересечений
не имеет, так как функция определена при х > 0.
3)	Вертикальной асимптотой является прямая х = 0, так как
.. Inx	z	ч ~
hm = ---- = -оо (докажите это самостоятельно). Отыскиваем
х 0+ X
асимптоты:
,	.. Дх) .. Inx
k = lim = lim —2 .
X Ч-оо X х +°° X*
Имеем неопределенность вида —. Применяя правило Лопита-
ля, получаем
lim
х +оо
Inx
х2
k =
= lim = lim 2^2 = о,
X —* 4-оо л Л	х—”4-оо^Х
b = lim [/(х) - kx] = lim Г - 0 • х"| = lim =
X —* 4-оо	х 4-оо L X	J X -* 4-оо X
= lim = lim - = О
X —* 4-оо -I	х —* 4-оо X
(здесь также было использовано правило Лопиталя).
Таким образом, k = Ъ = 0, т. е. наклонных асимптот нет; пря-
мая у = 0 — горизонтальная асимптота.
255
Ул
Знак f'(x)	+4-4-4- е —7-------
Знак f"(x) 0------------е3/2 +++ х
4) Для нахождения точек
возможного экстремума вычис-
лим первую производную
ч 1 - Inx
Решая уравнение 1 - In х =
= 0, получаем одну точку воз-
можного экстремума: х = е.
5) Для нахождения крити-
ческих точек вычислим вторую
производную
ч 21пх-3
f (х) = .х3~~ •
Решая уравнение 2 In х - 3 =
= 0, In х = 3/2, х = е3/2, полу-
чаем одну критическую точку
х = е3/2.
6) На вспомогательном рисунке (рис. 66) исследуем знак
первой и второй производных. Получаем, что на (0, е) производ-
ная /'(1) = —j— =	= 1 > 0, следовательно, функция воз-
/	। — х	j?// 2\	1 ~ hie2 1 - 21пе
растает; на (е, 4-оо) производная f(e£) = ——
1—2	1
= е4 = -^	0 — функция убывает. Точки экстремума: при
переходе через точку х = е производная f'(x) меняет знак с плю-
са на минус, следовательно, в точке х = е — максимум, причем
Де) = ^. На (0, е3/2) вторая производная f'(e) = 21п^3—- = -	< 0 —
график направлен выпуклостью вверх, а на (е3/2, 4-оо) производная
2	21пе2 - 3	1 п а.
f (е2) = --> 0 — график направлен выпуклостью
вниз, следовательно, точка х = е3/2 — абсцисса точки перегиба,
причем /(е3/2) =	• Таким образом, точка ( е3/2;	1 —
точка перегиба графика функции.
7) На основании полученных данных строим график функ-
ции (рис. 67). □
256
Упражнения. Постройте график функции.
1.	/(х) = х In х. 2. /(х) = х - In х. 3. Дх) = 1 +	.
ОТВЕТЫ. 1. При х = 1/е — минимум, /(1/е) = -1/е; (1; 0) —
точка пересечения графика с осью Ox; lim Дх) = 0. 2. При х =
х — 0+
= 1 — минимум, /(1) = 1; х = 0— вертикальная асимптота.
3. При х = 1 — максимум, /(1) = 1; х = 0 — вертикальная асимп-
тота, у = 0 — горизонтальная асимптота; (е1/2; 3/2е1/2) — точка
перегиба, (1/е; 0) — точка пересечения графика с осью Ох.
□ Пример 16. Построить график функции Дх) = х2е х.
Решение. 1) Область определения функции — вся число-
вая прямая.
2)	График функции пересекает оси координат в точке 0(0; 0).
3)	Так как функция непрерывна на всей числовой прямой,
то вертикальных асимптот нет. При отыскании наклонных
асимптот необходимо рассмотреть отдельно случаи х —► -оо и
х —► 4-оо, имеем
k = lim = lim хе“х = оо
X — -оо х х — -оо
(докажите это самостоятельно).
Следовательно, наклонной асимптоты при х —► -°о нет, а так
как и lim Дх) = lim х2е~х = 4-оо, то горизонтальной асимпто-
х — -оо	х — -оо
ты также нет. Далее имеем
k = lim = lim ~ = lim — = 0;
X —♦ +oo x	x —♦ +°° в*	X —♦ +°° в
b = lim [Дх) - 0 • x] = lim x2e~x =
т	х2 г 2х ..	2 п
= lim — = lim — = hm — = О
(здесь использовано правило Лопиталя); таким образом, при
х —► 4-оо наклонной асимптоты нет, прямая у = 0 — горизон-
тальная асимптота.
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим
первую производную
/(х) = х(2 - х)е-х.
Решая уравнение х(2 - х)е-х = 0 (е х 0), получаем две точ-
ки возможного экстремума: хх = 0, х2 = 2.
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую
производную
f\x) = (х2 - 4х 4- 2)е-х.
9 - 3587 Шипачев
257
Знак f'(x)---- +++++++ g--------
Знак f"(x)+++++° ++	---- +++*
2-72	2+72
Рис. 68
Решая уравнение х2 - 4х + 2 = О, получаем две критические
точки: хх = 2- 72, х2 = 2 + 72.
6)	Исследуем знаки первой и второй производных (рис. 68).
Получаем, что на (-оо, 0) функция убывает, на (0, 2) — возрастает,
а на (2, +°°) — снова убывает. Точки экстремума: при переходе че-
рез точку х = 0 производная /'(х) меняет знак с минуса на плюс, а
через точку х = 2 — с плюса на минус, следовательно, в точке х = 0
минимум, а в точке х = 2 максимум, причем /(0) = 0, /(2) = 4е-2. На
(-оо, 2 - 72) график направлен выпуклостью вниз, на (2 - 72 ,
2 + 72) — вверх, а на (2 + 72 , +°°) — снова вниз. Следователь-
но, х = 2“72,х = 2+ 72 — абсциссы точек перегиба, причем
/(2 - 72 ) = (2 - 72 )2е-<2"^), /(2 + 72) = (2 + 72 )2е-<2+^).
7)	На основании полученных данных строим график функ-
ции (рис. 69). □
Упражнения. Постройте график функции.
1. Дх) = ех/х. 2. ftx) = х2е1/х. 3. ftx) = (1 - х)ех.
ОТВЕТЫ. 1. При х = 1 — минимум, /(1) = е; точек переги-
ба нет; х = 0 — вертикальная асимптота, у = 0 — горизонталь-
ная асимптота при х —► -оо. 2. При х = 1/2 — минимум; /(1/2) =
= 1/4е2; точек перегиба нет; х = 0 — вертикальная асимптота
при х —► 0 +, lim х2е1/х = 0. 3. При х = 0 — максимум; /(0) =
х -* 0-
= 1; (-1, 2/е) — точка перегиба; у = 0 — горизонтальная асимптота.
258
□ Пример 17. Построить график функции
f(x) = Jx2 + 1 4- Jx2 - 1.
Решение. 1) Область определения функции — множество
значений х, удовлетворяющих неравенству х2 - 1 > 0 или |х| > 1,
т. е. либо х < -1, либо х > 1. Другими словами, функция опреде-
лена в двух промежутках: (-оо, -1] и [1, 4-оо). Причем нетрудно
заметить, что на этих промежутках функция неотрицательна.
2)	Точек пересечения с осями координат график функции не
имеет, так как х 0 и у 0.
3)	Так как функция непрерывна во всех точках области оп-
ределения, то, очевидно, вертикальных асимптот нет. Ищем на-
клонные асимптоты.
,	1- f(x) .. Jx2 4- 1 4- Jx2 - 1
k = lim = lim ---------------------- =
X — 4-00 X x^ -i-oo	X
= lim X('^1 + 1/x2 +	~	=1 + 1 = 2;
x — 4-00	x
b - lim [/(x) - 2x] = lim [ Jx2 + 1 + Jx2 - 1 - 2x] =
x — +°O	x — +°O
= lim [(Jx2 + 1 - x) + (Jx2 - 1 - x)] =
x — +00
= lim (7x2 + 1 - x) + lim (Jx2 - 1 - x) =
x —• +00	x —• +00
= lim -=^__L_----- + lim -y=J=------ =0-0 = 0;
x +00 д/X2 + 1 + X x — +00 7x2 - 1 + x
и г Лх)	7x2 + 1 + л/х2 - 1
k = hm = hm ------------------------ =
X —> -00 X	x —♦ -oo	X
= lim ~^(71 +IM2+ 71-1/x2) = -J _ J = _2
X — -OO	x
b = lim [/(x) + 2x] = lim [ Jx2 + 1 + Jx2 - 1 + 2x] =
x -* -00	X -* -00
= lim [(Jx2 + 1 4- x) 4- (Jx2 - 1 4- x)] =
= lim (Jx2 4- 1 4- x) 4- lim (Jx2 - 1 4- x) =
x — -OO	X -* -oo
= lim .	1 --- 4- lim —------- =0-0 = 0.
X — -oo Jx2 + 1 - X X —* —oo Jx2 - 1 - X
Таким образом, получаем, что график функции имеет две
различные наклонные асимптоты: у = 2х при х —► 4-оо и у = -2х
при х —► -оо; Нт /(х) = 4-оо, поэтому горизонтальных асимптот
259
Знак f\x)
Знак f"(x)
1	1 Ч—Н—Н—h+
яннннинннннь---------
О	--------х
Рис. 70
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим
первую производную
f'(x) = —у...-.... +	—. .....
27х2 + 1	2д/х2 - 1
Экстремальных точек нет, так как числитель дроби в нуль не
обращается. При х = ±1 производная f(x) = оо.
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую
производную
X
X
х • 2х
2л/х2- 1
/ 2 ± « х•2х
Ух2 + 1 -—..-..-
________27х2 + 1
х2 + 1
1 1
X2 - 1
_	_	_ (х2 - 1)3/2 - (х2 + I)3/2
(х2 + 1)3/2	(х2 - 1)3/2
(х4 - 1)А4 - 1
Критических точек нет, так как числитель дроби в нуль не обра-
щается.
6)	Исследуем знак первой и второй производных (рис. 70).
Получаем, что на (-оо, -1] функция убывает, график направ-
лен выпуклостью вверх, а на [1, +оо) функция возрастает, гра-
фик также направлен выпуклостью вверх.
Экстремумов и точек перегиба нет. Сде-
лаем вспомогательное вычисление:
/(±1) = 72.
7)	На основании полученных данных
строим график функции (рис. 71).
Упражнение. Построить график функ-
ции /(х) = 7х2 - 1 - 7х2 + 1. (ОТВЕТ.
Область определения: |х| > 1, экстремумов
и точек перегиба нет; у = 0 — горизонталь-
ная асимптота.)
260
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Докажите теорему 3.12 для случая возрастания функции.
2.	Дайте определение локального экстремума функции.
3.	Может ли функция иметь несколько локальных экстремумов?
4.	Может ли локальный максимум некоторой функции оказать-
ся меньше какого-то локального минимума этой же функции?
5.	Сформулируйте теорему, выражающую необходимое усло-
вие локального экстремума. Покажите на примере, что это
условие не является достаточным.
6.	Какие точки называются точками возможного экстремума
функции?
7.	Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие
локального экстремума.
8.	Дайте определение направления выпуклости графика функ-
ции.
9.	Сформулируйте теорему, с помощью которой решается во-
прос о направлении выпуклости графика функции.
10.	Дайте определение точки перегиба графика функции.
11.	Сформулируйте необходимое условие точки перегиба графи-
ка функции. Покажите на примере, что это условие не явля-
ется достаточным.
12.	Какие точки называются критическими?
13.	Сформулируйте достаточное условие точки перегиба графи-
ка функции.
14.	Может ли функция иметь экстремум в точке перегиба гра-
фика функции?
15.	Дайте определения вертикальной, горизонтальной и на-
клонной асимптот. Приведите примеры.
16.	Докажите следующее утверждение: если прямая у = kx 4- Ь
является наклонной асимптотой графика функции у = Дх)
при х —► +°°, то существуют пределы
lim = fe; lim [Дх) - kx} = &,
X — +оо х	х — +оо
и, обратно, если оба эти предела существуют, то прямая
у = kx 4- Ь является наклонной асимптотой графика функ-
ции у = Дх) при х —► 4-ос.
17.	Приведите схему построения графика функции.
261
ГЛАВА 4
Интегральное
исчисление
Интегральное исчисление естественно является продол-
жением дифференциального исчисления.
Одной из основных задач дифференциального исчисления
является отыскание производной заданной функции. Разнооб-
разные вопросы математического анализа, его многочисленные
приложения в геометрии, механике, физике и технике приво-
дят к решению обратной задачи: по данной функции f(x) найти
такую функцию F(x), производная которой была бы равна
функции f(x), т. е. F'(x) = f(x).
Восстановление функции по известной производной этой функ-
ции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
§ 4.1.	Первообразная
и неопределенный интеграл
1.	Понятие первообразной функции.
Определение 1. Функция F(x) называется перво-
образной для функции f(x) на некотором промежутке X,
если для всех значений х из этого промежутка выпол-
няется равенство F'(x) = /(х).
□ Примеры. 1. Функция F(x) = sin х является первообраз-
ной для функции /(х)= cos х на всей числовой прямой, так как
при любом значении х (sin х)' = cos х.
2.	Функция F(x) = х3 является первообразной для функции
f(x) = Зх2 на всей числовой прямой, поскольку в каждой точке х
(х3)' = Зх2.
3.	Функция F(x) = 71 - х2 является первообразной для
функции /(х) = - на интервале (-1, 4-1), так как в любой
71 - х2
точке х этого интервала (71 ~ х2)' = х 2 . □
262
Задача отыскания по данной функции f(x) ее первообразной
решается неоднозначно. Действительно, если F(x) — первооб-
разная для Дх), т. е. F'(x) = Дх), то функция F(x) 4- С, где С —
произвольная постоянная, также является первообразной для
Дх), так как [F(x) 4- С]' = Дх) для любого числа С. Например,
для Дх) = cos х первообразной является не только sin х, но и
функция sin х 4- С, так как (sin х 4- С)' = cos х.
Покажем теперь, что множество функций F(x) 4- С, где
F(x) — некоторая первообразная для функции Дх), а С — про-
извольная постоянная, исчерпывает все первообразные для
функции Дх).
ЛЕММА 4.1. Функция, производная которой на не-
котором промежутке X равна нулю, постоянна
И на этом промежутке.
Доказательство. Пусть во всех точках промежутка X
производная функции Дх) равна нулю, т. е. f'(x) = 0. Тогда для
любых двух точек хр х2 g X, по теореме Лагранжа,
f(X2) - f(Xj) = f(£)(x2 - xj, хг<^< х2.
Так как fit) = 0, то /(х2) = /(хх). Это и означает, что значения
функции во всех точках промежутка одинаковы, т. е. Дх) = С,
где С — некоторое число. 
ТЕОРЕМА 4.1. Если F(x) — первообразная для
функции Дх) на некотором промежутке X, то лю-
бая другая первообразная для Дх) на том же проме-
жутке может быть представлена в виде F(x) 4- С,
и| где С — произвольная постоянная.
Доказательство. Пусть Ф(х) — любая другая первооб-
разная для функции Дх) на промежутке X, т. е. Ф'(х) = Дх).
Тогда для любого х g X
[Ф(х) - F(x)]' = Ф'(х) - F'(x) = Дх) - Дх) = 0,
а это значит (по лемме 4.1), что функция Ф(х) - F(x) постоянна,
т. е. Ф(х) - F(x) = С, где С — некоторое число. Следовательно,
Ф(х) = F(x) 4- С. 
Из доказанной теоремы следует, что множество функций
F(x) 4- С, где F(x) — одна из первообразных для функции Дх),
а С — произвольная постоянная, исчерпывает все семейство
первообразных функций для Дх).
263
2.	Неопределенный интеграл.
Определение 2. Если функция F(x) — первообраз-
ная для функции /(х), то множество функций F(x) + С,
где С — произвольная постоянная, называется неопре-
деленным интегралом от функции f(x) и обозначается
символом
jfMdx^Fixy + C.	(1)
При этом функция f(x) называется подынтегральной
функцией. f(x) dx — подынтегральным выражением.
а переменная х — переменной интегрирования.
Символ //(х) dx обозначает, таким образом, совокупность
всех первообразных для функции Дх).
Восстановление функции по ее производной или, что то же,
отыскание неопределенного интеграла по данной подынтеграль-
ной функции называется интегрированием этой функции.
Интегрирование представляет собой операцию, обратную диф-
ференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли вы-
полнено интегрирование, достаточно продифференцировать ре-
зультат и получить при этом подынтегральную функцию.
□ Пример 1. Проверить, что J3x2dx = х3 4-С.
Решение. Дифференцируя результат интегрирования (х3 +
4- С)' = Зх2, получаем подынтегральную функцию. Следователь-
но, интегрирование выполнено верно. □
Упражнения. Проверьте интегрирование.
1.	[cos х dx = sin х 4- С. 2. fe-2x dx = e~2x + С. 3. J . =
J	j	2	J cos2x
= tg x 4- C. 4. Jx3dx = ^- 4- C. 5. j i' &+x2 = arctg x 4- C. 6. fax dx =
= i— 4- C. 7. I —я = - arctg- 4- C.
ma	J x2 4- a2 a a
В связи с понятием первообразной возникает вопрос: для ка-
ких функций существуют первообразные (значит, и неопреде-
ленные интегралы)? Здесь отметим, что в § 4.6 будет доказано,
что любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрез-
ке первообразную (следовательно, и неопределенный интеграл).
1 Читается: неопределенный интеграл Дх) по dx.
264
В дальнейшем будем считать, что
все функции, стоящие под знаком
интеграла, непрерывны и форму-
ла (1) имеет смысл. В случае раз-
рывной функции будем рассмат-
ривать ее интегрирование только
в тех промежутках, в которых она
непрерывна.
Например, функция f(x) = 1/х
определена и непрерывна для
всех значений х, отличных от ну-

у = Г(х) + С2
у = F(x) + Cj
У = F(x)
у = Г(х) 4- С3
у = Г(х) + С4
Рис. 72
ля, т. е. имеет разрыв в точке х = 0 и непрерывна в промежут-
ках (~°°, 0) и (0, 4-оо).
Если х > 0, то одной из первообразных для Дх) = 1/х являет-
ся F(x) = In х, так как (In х)' = 1/х. Следовательно, для х > О
f-dx = In х 4- С.
J х
Если х < 0, то одной из первообразных для Дх) = 1/х являет-
ся F(x) = In (~х), так как [In (~х)]' = (1/-х) • (-1) = 1/х. Следова-
тельно, для х < О
Ji dx = In (~х) 4- С.
Объединяя оба случая, получаем формулу
fl. In х 4- С при х > 0,	. ii,^
-dx=1 z	’=1пх+С.
J х [In (~х) 4- С при х < 0	11
Геометрически неопределенный интеграл представляет со-
бой множество (семейство) кривых, являющихся графиками
первообразных у = F(x) 4- С. Если у = F(x) — какая-нибудь кри-
вая, то, по теореме 4.1, все другие кривые получаются из нее
параллельным сдвигом вдоль оси Оу (рис. 72). Причем, если
у = F(x) — первообразная для Дх), т. е. F'(x) = Дх), то, согласно
геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона
касательной в каждой точке с абсциссой х кривой у = F(x) ра-
вен Дх). Все другие кривые будут иметь в каждой точке с абс-
циссой х параллельные касательные с тем же угловым коэффи-
циентом касательной Дх).
□ Пример 2. Какое семейство кривых образуют первообраз-
ные у = F(x) 4- С, если угловой коэффициент касательной в каж-
дой точке с абсциссой х кривой у = F(x) равен Дх) = х2?
265
Решение. Имеем F'(x) = f(x) = х2. По определению неопре-
деленного интеграла,
у = j/(x) dx = F(x) 4- С = jx2 dx = ^- 4- С.
Следовательно, кривые образуют семейство кубических па-
рабол у = -5- + С. □
О
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Дайте определение первообразной функции. Приведите при-
меры.
2.	В чем состоит смысл действия интегрирования?
3.	Объясните, почему при интегрировании появляется произ-
вольная постоянная.
4.	Дайте определение неопределенного интеграла.
5.	В чем состоит геометрический смысл неопределенного ин-
теграла?
§ 4.2. Основные свойства
неопределенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла непосредст-
венно вытекают следующие его свойства.
1°. Производная неопределенного интеграла равна по-
дынтегральной функции; дифференциал от неопределенно-
го интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.
(JДх) dx)' = Дх) и dj Дх) dx = f(x) dx.
Действительно, (J/(x) dx)' = (F(x) + C)' = F'(x) = f(x) и
dj/(x) dx = (j/(x) dx)' dx = f(x) dx.
2°. Неопределенный интеграл от дифференциала не-
которой функции равен сумме этой функции и произ-
вольной постоянной, т. е.
JdF(x) = F(x) 4- С.
В самом деле, так как dF(x) = F\x) dx, то
jF'(x) dx = F(x) 4- C.
3°. Постоянный множитель можно вынести из-под
знака интеграла, т. е. если k = const 0, то
jkf(x) dx = k\f(x) dx.
266
Действительно, пусть F(x) — первообразная для функции
Дх), т. е. F'(x) = f(x). Тогда kF(x) — первообразная для функ-
ции kf(x): (kF(x))' — kF'(x) = kf(x). Из определения следует,
что
k\f(x)dx = /г[Г(х) + С] = kF(x) + Cj = ffe/(x)dx,
где Cr = kC.
4°. Неопределенный интеграл от алгебраической сум-
мы двух функций равен алгебраической сумме интегра-
лов от этих функций отдельно, т. е.
1[Дх) ± g(x)]dx = J/(x)dx ± J^(x)dx.
В самом деле, пусть F(x) и G(x) являются первообразными
для функций Дх) и g(x)\ F'(x) = Дх), G'(x) = g(x). Тогда функ-
ции F(x) ± G(x) — первообразны для функций Дх) ± g(x). Сле-
довательно,
J/(x)dx ± $g(x)dx = [F(x) + CJ ± [G(x) + С2] =
= [F(x) ± G(x)] + [Сх ± С2] = [F(x) ± G(x)] + С = 1[Дх) ± £(х)] dx.
Отметим, что это свойство справедливо для любого конечно-
го числа слагаемых функций.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
2. Докажите свойство 4° для суммы из трех слагаемых функций.
§ 4.3. Таблица основных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул
этой таблицы непосредственно следует из определения интегри-
рования как операции, обратной дифференцированию, и табли-
цы производных. Справедливость остальных формул легко про-
верить дифференцированием.
Таблица основных интегралов
Г	ха+1
I. Jxa dx = а 4- С, а -1.
II. =1п|х| + С.
ш- JfVP = arct& х + С.
267
IV.	J . d.X = arcsin x + C.
V.	fax dx =	+ C, 0 < a * 1.
J	Ina
VI.	Jex dx = ex + C.
VII.	fsin x dx = -cos x + C.
VIII.	jcos x dx = sin x 4- C.
IX.	=tgx + C.
JCOS2X
v f dx	.	, ~
X.	-г-?- = -ctg x 4- C.
J sm2x
XL	f 2dx , = j-ln|*-a| +C, a*Q.
XII.	f . dx = In lx + Jx2 + k | + C.
1	I I
vttt f dx 1	. X , -
XIII.	I -p——5 = - arctg- 4- C.
J x2 + a2 a a
XIV.	J . dx = arcsin- +C.
1 J a2 -x2	a
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято назы-
вать табличными.
Отметим некоторые частные случаи формулы I:
J1 • dx = х + С, а = 0; jx dx = y 4- С, а = 1;
=2jx +С, a = -i
Jx	*
В формуле II вместо J i dx для краткости написано J ; во-
л f	f 1 j
обще, —т—т означает —^-dx.
J<P(*)	J<p(x)
Приведем еще одну очевидную формулу: jO*dx = С, т. е.
первообразные от функции, тождественно равной нулю,
есть постоянные.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Каким образом составляется таблица основных интегралов?
2. Укажите табличные интегралы, которые получены из табли-
цы производных действием, обратным дифференцированию.
268
§ 4.4.	Основные методы интегрирования
1.	Непосредственное интегрирование. Вычисление ин-
тегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных
свойств неопределенных интегралов называется непосредст-
венным интегрированием.
□ Пример 1. Вычислить интеграл
[f 5cos х + 2 - Зх2 + i - 4 , 1dx.
Л	х х2 + 1 )
Решение. Применив свойства 3° и 4°, имеем
ff 5cosx + 2 - Зх2 + - - Л , 1 dx =
Л	х х2 + 1 )
= 5Jcos x dx + 2Jdx - 3 jx2 dx +	- 4J.
Используя далее соответственно формулы VIII, I, II, III таб-
лицы основных интегралов, находим
5jcos х dx = 5(sin х + С\) = 5sin х + 5СХ;
2jdx = 2(х + С2) = 2х + 2С2;
з/хМх = з(^Д- + С3) =х3 + ЗС3; = in |х| + С4;
х2+ 1 =	х + ^б)= arctg х + 4С5.
Таким образом,
[Гбcos х 4- 2 - Зх2 4- i - «Л dx =
J V	х х2 4- 1 у
= 5 sin х 4- 2х - х3 4- In |х| - 4 arctg х 4- (5СХ 4- 2С2 4- ЗС3 4- С4 4- 4С5).
Обычно все произвольные постоянные суммируют, резуль-
тат обозначают одной буквой: С = 5СХ 4- 2С2 4- ЗС3 4- С4 4- 4С5,
поэтому окончательно получаем
Г/	14 4
JI 5 cos х 4- 2 - Зх2 4- - - 2 I dx =
J V	х х2 4- 1 J
= 5sin x 4- 2x - x3 4- in |x| - 4arctg x 4- C.
Правильность полученного результата легко проверить диф-
ференцированием. (Сделайте это самостоятельно.)
269
Пример 2. Вычислить интеграл J	.
J 716 -- х^
Решение. Интеграл табличный. Поэтому можно перехо-
дить к непосредственному интегрированию. По формуле XIV,
где а = 4, получаем
f dx	. х . „	г-,
...... =	arcsin-г 4- С. □
1 716 - х2	4
Непосредственно вычислить интегралы с помощью таблицы
на практике удается довольно редко. Приходится предвари-
тельно подынтегральное выражение тождественно преобразо-
вывать таким образом, чтобы в результате получить табличные
интегралы.
г dx
□ ПримерЗ. Вычислить интеграл ------------s— .
J sm2xcos2x
Решение. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем
его. Так как 1 = sin2 х 4- cos2 х, то интеграл можно записать
в виде
Г dx _ Гsin2x 4- c°s2x _ f/ 1^1
Jsin2xcos2x J sin2xcos2x ^Vcos2x sin2x )
Применяя свойство 4°, имеем
jV 1	+ 1 Idx = f dx 4- [ dx
lvcos2x sin2x ) lcos2x J sin2x ’
Получены два табличных интеграла. По формулам IX и X
находим
f dx f dx . f dx .	.	.
I -^-2--2” = J —2“ + J “^“2~ = tg x - ctg x 4- C.
J sm2xcos2x J cos2x J sm2x
Пример 4. Вычислить интеграл jtg2 xdx.
Решение. TaKKaKtg2x=—^--1,to
cos2x
ftg2 xdx = ff —- 11 dx = f .... - fdx.
J °	Jvcos2x ) J cos2x J
По формулам IX и I получаем
Jtg2xdx =	- Jdx = tgx - x + C.
270
г 1 + 2x2
Пример 5. Вычислить интеграл J 2	—dx.
X у X । X у
Решение. Так как 1 + 2х2= (1 + х2) + х2, то
г 1 + 2х2 , _ Г(1 + х2) + х2 , _
*х2(1 +x2)dX J х2(1+х2) ах
J X2(l + X2) J Х2(1 + X2) J X2 J 1 + X2
По формулам I и III получаем
f 1 + 2х2 , fdx , f dx 1 .	.	. ~ г—।
dx = —р 4- т——5 = -- 4- arctg х 4- С. □
J х2(1 4- х2) J х2 J 1 4- х2 х &
Таким образом, видим, что для интегрирования недостаточ-
но просто знать формулы и уметь их применять, необходим еще
и опыт, который постепенно приобретается в процессе решения
примеров.
Упражнения. Вычислите интеграл, применяя метод непо-
средственного интегрирования.
1. J(x2 4- Зх3 4- х 4- l)dx. 2. j(x44- Vx 4- Зл/х 4-	“ )dx.
3- Цггр - тгЬ )dx- “• J<2'+ 3’’dx- 5- И2  К
6. j(sin х 4- 5 cos x)dx. 7. Jf sin 4- cos^ ) dx. 8. [—Cfs2.X2 dx.
2	2 J	Jcos2xsin2x
л f x4 . _Л f3 - 2ctg2x .	fl-sin3Xj _o f . 9	.
9.	Нт--—sdx. 10. ---—dx. 11. I—r-s dx. 12. |ctg2xdx.
J1 + x2-	J cos2x	J sm2x	J
. o f- 9X J	f71 + x2 - 71 - X2 .	IE f X2 .
13. sin2ndx. 14. I--------7==-------dx. 15. l-s—7-dx.
J 2	J	jx24-1
16. ff 21y. + —J—: Idx. 17. ff . 1	+ -2^-5 Idx.
4 x2 - 25 Jx2 + 5 )	3 V 74 - x2 x2 + 3 J
fx2 + 2.
18.	I-5—=-dx.
J X2 - 1
z-x-r-।	л x3 , Зх4 , x2 ,	, Л x5 , 5 с/— .
ОТВЕТЫ. 1. -s- 4- —г— 4- -75- 4- х + С. 2. -=- 4- ~xVx 4-
о 4	2	00
4- 2xTx - - 4- In |x| 4- C. 3. 2arctg x - 3arcsin x 4- C. 4.	4-
3х	1
+ r-o + C. 5. 2ex 4-	4- C. 6. -cos x 4- 5sin x 4- C. 7. x - cos x 4- C.
In3	2x2
271
8. —(tg x + ctg x) + C. 9. x3/3 - x + arctg x + C. 10. 3tg x +
+ 2ctg x + C. 11. cos x - ctg x + C. 12. —(ctg x + x) + C.
13. и (x - sin x) + C.	14. arcsin x - In |x + 71 + x21 + C.
15. x- arctg x 4-C.	16. ln|g_g| +ln|x+ Jx2 4- 51 4- C.
17. arcsin^ 4- arctg-^= 4- C. 18. x 4- | ln|X *| 4- C.
2	73	73	2 \x + 1|
2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой
переменной интегрирования позволяет свести нахождение дан-
ного интеграла к нахождению табличного, т. е. перейти к непо-
средственному интегрированию. Такой метод называется ме-
тодом подстановки или методом замены переменной.
В его основе лежит следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4.2. Пусть функция х = ф(£) определена
и дифференцируема на некотором промежутке Т
и пусть X — множество значений этой функции,
на котором определена функция Дх), т. е. на Т
определена сложная функция /[<p(t)]. Тогда, если на
множестве X функция Дх) имеет первообразную
F(x), то справедлива формула
1|jftx) dx|x  = JflcpCOMO dt.(1)
Доказательство. Так как первообразная F(x) опреде-
лена на том же множестве, что и функция Дх), и существует
сложная функция /[ф(ОЪ то существует и сложная функция
^[ф(0]« Тогда, по правилу дифференцирования сложной функ-
ции, учитывая, что F'(x) = Дх), получаем
№(0])' = №(* )]);ф'(о = /[ф(О]ф'(о,
т. е. функция /[ф(^)]ф'(^) имеет на множестве Т первообразную
^[ф(0] и, следовательно,
J/W)]<P'(O dt = F[<p(t)] + С.
Замечая, что
F[<p(t)] + С = (F(x) + С)\х _	= Jftx) dx|x _
окончательно имеем
J/(x) dx|x = (p(i) = Jfl<p(t)](p'(t) dt,
т. е. искомую формулу (1). 
272
Формула (1) называется формулой замены переменной
в неопределенном интеграле.
Из формулы (1) следует, что для вычисления интеграла
j/(x)dx с помощью подстановки х = <р(£) надо в функции Дх) за-
менить х через ф(£) и положить dx = <р'(0 d£. При этом получаем
искомую функцию, выраженную через переменную t. Для воз-
вращения к переменной х необходимо заменить t значением t =
= \|/(х), которое находится из соотношения х = ф(^).
Если функция х = ф(£) имеет обратную функцию t = \|/(х), то
из (1) следует формула
jftx) dx = j/[<p( t )](p'(t) df|t. v(x),
т. e. формулу (1) можно применять и в обратном порядке (справа
налево). Для этого в дополнение к условиям теоремы достаточно
потребовать, чтобы функция х = ф(£) была строго монотонной.
□	Пример 6. Вычислить интеграл jcos Зх dx.
Решение. Интеграл не табличный, хотя и напоминает ин-
теграл jcos х dx. Поэтому для его вычисления естественно сде-
лать подстановку, полагая t = Зх; тогда d£ = (Зх)' dx = 3dx,
dx = df. По формуле (1) получаем
о
jcos Зх dx = | jcos t At —
табличный интеграл. Применяя формулу VIII таблицы основ-
ных интегралов, находим
| jcos t At = 5 sin t 4- C.
о J	о
Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
jcos Зх dx = i sin Зх 4- С.
J	о
Данный интеграл можно вычислить и непосредственно, заме-
нив dx через | d(3x), т. е. внося под знак дифференциала множи-
о
тель 3 и разделив на него интеграл. В результате получаем
jcos Зх dx = | jcos Зх d(3x) = | sin Зх 4- С.
J	о J	о
Здесь применена подстановка t = Зх. Этот экономный и простой
прием будет неоднократно использован в дальнейшем. □
273
Тождественное преобразование подынтегрального выраже-
ния с выделением дифференциала новой переменной интегри-
рования — простейшая замена переменной. Таким путем уста-
навливается и общая формула
J/(x)dx = i J/(x)d(ax).
f xdx
□ Пример?. Вычислить интеграл J -== .
71 х%
Решение. Вычислим данный интеграл непосредственно, вы-
деляя дифференциал новой переменной интегрирования. Имеем
/	= J = Г17^1 ~2х2) = -|J(1 - *2r1/2 d(l - х2) =
71-х2	71-х2	71-х2	*
= -5 • 2(1 - X2)1/2 + С = -(1 - х2)1/2 + с.
Данный интеграл вычисляется с помощью подстановки t = 1 - х2.
(Выполните это самостоятельно.) □
Существует другой несложный, но весьма эффективный
прием, позволяющий упростить вычисление интегралов. Если
числитель подынтегральной функции f(x) равен производной
знаменателя, то справедлива формула
dx = In |ftx)| + С.	(2)
Действительно, используя подстановку t = Дх), d? = f'(x)dx,
имеем
J^dx = J^ = In |i| + С = In |/(х)| + С.
□	Пример8. Вычислить интеграл jctg х dx.
_	m	х	COS X
Решение. Так как ctg х =	, то интеграл можно запи-
сать в виде
[ctg х dx = [ dx.
J & Jsinx
Замечая, что (sin x)'= cos x, по формуле (2) получаем
[ctg x dx = [dx = [(sin— dx = In |sin x| + C.
J	J sm x J sin x	1	1
Данный интеграл можно вычислить и с помощью подстанов-
ки t = sin х, и непосредственно, выделяя дифференциал новой
переменной. (Выполните это самостоятельно.)
274
Гех — 1
Пример 9. Вычислить интеграл J — - j dx.
Решение. Полагаем t = ех, х = In t.Отсюда dx = (In t)' df =
dt ~
= у. Следовательно,
fex - 1 , ft-ldt f2t - (t + 1) JjL
Ift,-11 Im7 (n-i), »<-
-2Jrri -Jt 21'т^г' -Jt-21n(l + ()-ln( + C.
Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем
dx = 2 In (1+ e*) - x + C.
J ex + 1
Г x^
Пример 10- Вычислить интеграл J  _ dx.
Решение. Положим x - 1 = t, следовательно, x = t 4- 1.
Отсюда dx = (t 4-1)' df = df; тогда
J x3 ^dx = f(^31)3dt = fft + 3+| +i1dt =
J (x - iy J td J v t t2 J
= 512 + St + 3 In |t| - i + C.
Возвращаясь к переменной x, окончательно получим
= § (^ - 1)2+ 3(х - 1) + 3 In |х - 1| -	+ С.
_	4 4 та	f dx
Пример 11. Вычислить интеграл J —----— .
а/х 4- ?/х
Решение. Имеем
г dx _ г dx
Jx 4- 37х	(Vx)2 4- (Vx)3
Положим t = Vx ; тогда x = £6, dx = 6£5 df. Находим
f dx _ f 6^5dt _ fif*3d£
Выделяя делением целую часть дроби, получим
6Jrri =6[A<2-t + 1)dt“Jn£l] =6|л "7 +^-ln|t + l|] +С.
275
Окончательно имеем
dx
Вообще, если подынтегральное выражение не содержит дру-
„	ах + b	,	,
гих корней, кроме корня mJcx + d, где а, Ь, с, d — некоторые
; т — натуральное число, то следует применять
. ах + b
подстановку t = mJcx + •
□
Пример 12. Вычислить интеграл
1 + х dx
1 - X 1 - X
Решение. Сделав подстановку t = L, получим
«	1+х .	2	t2-l ,	/*2-1\'	±tdt
f 1 - X ’ 1	X t2 + 1 ’ x	t2 + 1 ’ dx	U2 + 1J d*	(t2 + l)2	’
Далее имеем
Г /1 + x dx = Q f t2dt = о [+ 1 ~ 1 Я+ = о fdf - 2 f =
41-xi-x ^h2 + i *2 + i	JJ*2 + i
= 2t - 2arctg t + C = 2	~ 2arctg J-p* * + C.
i->	о о т>	[3x4-5,
Пример 13. Вычислить интеграл J -y=== dx.
Решение. Положим t = 74х + 1; тогда t2 = 4х + 1, х =	- |,
dx = - tdt. Находим
?<2-? + 5
’74х + 1dX J t ' 2tdt Цв* + 8 Jd* 8*3 + 8 t +
+ С = | 74х + 1 (4х + 18) + С = | (2х + 9)74х + 1 + С. □
Необходимо заметить, что удачный выбор подстановки обыч-
но представляет известные трудности. Для их успешного преодо-
ления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирова-
ния и твердо знать табличные интегралы.
276
f dx
□ Пример 14.Вычислить интеграл J -==
Решение. Положим Jx2 4- а + х = t> откуда
таким образом,
Итак,
f dx
Jx2 + а
х
Jx2 + а
dx =
+ 1 dx = dt;
Jx2 + a
Jx2 + a + x
jy = In |f| 4- C = In \ Jx2 4- a 4- x| 4- C1.
Пример 15. Вычислить интеграл jsinn x cos x dx.
Решение. Положим t = sin x, откуда d£ = cos x dx. Тогда
jsinn x cos x dx = jfnd£ =
t 1 ,	smn + 1x ,
—4- C =-----4- С при n -1,
n + 1	n 4- 1	K	’
in |f| 4- C = in |sin x|4- С при n = -1.
Пример 16. Вычислить интеграл
f xdx
J(x2 4- 1)"
, n 1.
Решение. Положим x24-1 = t, 2x dx = &t9 следовательно,
xdx _ 1 fd£ 1	1
(x2 4- l)n ~ 2 J Г ~ 2(n - 1) tn~x
2(n - 1) (x2 4- I)"’1
При n = 1 аналогично получим
/гпл =2ln(x2+1) + c- °
Заметим, что интегралы в примерах 15 и 16 можно вычис-
лить непосредственно, выделяя дифференциал новой перемен-
ной. Убедитесь в этом.
Упражнения. Вычислите интеграл, применяя метод заме-
ны переменной.
1.jsin(3x 4- 5)dx. 2. Je2xdx. 3. jtgxdx. 4. je“x2dx.
e4x
——rdx.
ex - 1
f x4dx
Jx5 + 7’
7. f______
J cos23x ’
1 Здесь вычислен табличный интеграл XII.
277
9‘ Jjfrl-Idx- 10- Jxa4*inx)(* = 1 + lnx)- 11- Jec°s*sinxdx.
12. J + *nxdx.	13. Jx(5x - 7)50 dx. 14. f y^x -i dx.
15. Jdx. 16. Jx257x3 - 8dx (t = x3 - 8). 17. J . dx
J TF^ J	J T^Ti
(t = 7e* + 1). 18. (t = A ). 19. J(ar1Ctf310° dx(f = arcte *)•
__ f exdx fcosTx j f dx
20. z .21, —Д—dx. 22. --------------------==.
74 - e2x	Jx	J (arccos x)5 Jl - x2
ОТВЕТЫ. 1. -|cos(3x + 5) + C. 2. ^е2х + С.З. -ln|cosx| + C.
o	Z
4. ~le~x2 +C.5. h3j:+ le2x + ex + In |e* - 1| + C. 6. |ln|x5+7| +
+ C. 7. Jtg 3x + C. 8. б( J6Tx7 - pTx3 + Je7x - 67x +
о	\ <	Э	о
+ arcctgVx j + C. 9. x + 47x + 1 + 41n |7x + 1 - 1| + C.
10. In |1 + In x| + C. 11. -ecos x + C. 12. |(1 + In x)3/2 + C.
О
13. 2Б [^(5x“ 7)52+ ^(5x- 7)51] +C. 14. x-2Tx +ln(7x +
+ l)2 + C. 15. 2(44 ~ 15x) • 71 - Зх + C. 16. Д (x3 - 8)6/5 + C.
17. In + 1 ~ 1 + C- 18- “тД + C- 19> 'arCihT)101 + C-
7^T1 + i	ln3	101
20. arcsin^- + C. 21. 2sinTx + C. 22. ---—j— + C.
2	4arccos4x
При интегрировании иногда приходится метод замены пере-
менной применять несколько раз.
□ Пример 17. Вычислить интеграл J Ja2 - х2 dx (-а < х < а).
Решение. Положим х = a sin t(-n/2 < t < л/2). Функция
х = a sin t монотонна и имеет непрерывную производную x't.
При этом, когда t изменяется от -л/2 до л/2, переменная х из-
меняется от -а до а. Далее имеем dx = а cos t At. Следовательно,
j Ja2 - x2 dx = j Ja2 - a2sin2f a cos t d£ = a2jcos21 dt.
278
Снова получен не табличный интеграл. Преобразуем его. Так
как cos21 = | (1 4- cos 2t), то
a2jcos21 dt = у j(l 4- cos 2t) dt = jd£ 4- jcos 2t cH.
Первый из двух последних интегралов табличный и вычис-
ляется непосредственно:
^2Jdt=^t+c1.
Для вычисления второго интеграла сделаем подстановку и = 2t.
Тогда du = 2d£, df = и
д2 г	q2 f	q2	д2
-% Jcos 2t dt = -у Jcos u du = -J- sin и 4- C2 = -j- sin 2t 4- C2.
Следовательно,
jJ a2 - x2dx = y	4- |sin 2t]^ 4- C,
где C = Cx 4- C2. Для того чтобы вернуться к переменной х, из
равенства х = a sin t находим
sin t = - , cos t = 11 -	= - Ja2 - x2 ,
a	a2 a
sin 2t = 2 sin t cos t = 2 • - • - Ja2 - x2 , t = arcsin- .
a a	a
Окончательно получаем
j Ja2 - x2 dx = arcsin- 4- Ja2 - x2 4- C. □
J	2 a 2
В заключение отметим, что при интегрировании (особенно
тригонометрических функций) в зависимости от приема интегри-
рования возможны различные по форме ответы. Так, например,
jsin 2х dx = -i cos 2х 4- С.
С другой стороны,
jsin 2х dx = j2sin х cos х dx = 2 jsin d(sin x) = sin2 x 4- C.
Получили, что -i cos 2x и sin2 x являются первообразными
для одной и той же функции sin 2х. Но (см. теорему 4.1) перво-
279
образные от одной и той же функции отличаются друг от друга
на постоянное слагаемое:
-|cos 2х = -|(cos2 х - sin2x) = -|(1 “ 2sin2x) =	4- sin2x.
Видим, что в данном случае постоянным слагаемым является
число, равное -1/2.
3. Метод интегрирования по частям. Метод интегрирова-
ния по частям основан на использовании формулы дифференци-
рования произведения двух функций.
ТЕОРЕМА 4.3. Пусть функции и(х) и р(х) опреде-
лены и дифференцируемы на некотором проме-
жутке X и пусть функция u'(x)u(x) имеет первооб-
разную на этом промежутке, т. е. существует
J u(x)u'(x)dx. Тогда на промежутке X функция
u(x)v\x) также имеет первообразную и справедли-
ва формула
ju(x)v'(x) dx = u(x)u(x) - ju(x)u'(x) dx.	(2)
Доказательство. Из равенства
[u(x)u(x)]' = u'(x)u(x) 4- u(x)v'(x)
следует
u(x)v'(x) = [u(x)u(x)]' - u'(x)u(x).
Первообразной функции [u(x)u(x)]' на промежутке X явля-
ется функция u(x)u(x). Функция u'(x)u(x) имеет первообразную
на X по условию теоремы. Следовательно, и функция u(x)v'(x)
имеет первообразную на промежутке X (как разность интегри-
руемых функций). Интегрируя последнее равенство, получим
формулу (2). 
Формула (2) называется формулой интегрирования по
частям в неопределенном интеграле.
Так как v'(x)dx = dp, u'(x)dx = du, то ее можно записать
в виде
\udv = uv-jvdu.	(3)
Эта формула позволяет свести вычисление J и du к вычисле-
нию интеграла Judu, который может оказаться более простым
для интегрирования.
□ Пример 18. Вычислить интеграл Jarctg х dx.
Решение. Положим и = arctg х, du = dx. Тогда
du = (arctg х)' dx =	2 » Mu = Мх, и = х
280
(здесь в качестве v можно взять любую из первообразных вида
х + С, где С — произвольная постоянная. Мы взяли v = х, т. е.
С = 0). По формуле (3) имеем
f arctg х dx х arctg х f dx 1	, If d(x2 4- 1)
--— 1“ =--------— ~ * 7—----5 = X arctg X - 75 -7-:-H •
J и du v и J^yl+x2	2 J 1 + x2
du
Так как
| In (1+ «*)<• С,
то окончательно получаем
jarctg x dx = x arctg x - | In (1 + x2) 4- C. □
Отметим, что метод интегрирования по частям представляет
известные трудности для начинающих. Нельзя выбирать в фор-
муле (3) и и du произвольно, иначе можно получить интеграл,
еще более сложный, чем исходный.
□	Пример 19.Вычислить интеграл jхех dx.
Решение. В отличие от предыдущего примера здесь ситу-
ация совсем не ясная. Можно положить и = ех, du = х dx, или
и = х, du = ех dx, или, наконец, и = хех, du = dx. Положим, на-
пример, и = ех, du = х dx. Тогда
du = (ех)'dx = ех dx; Jdu = fxdx, и=|х2.
По формуле (3) получаем
jxex dx = | х2ех - | jx2ex dx.
Видим, что пришли к более сложному интегралу. Значит, вы-
бор и и du в данном случае неудачен. То же самое получится, ес-
ли положить и = хех, du = dx. (Убедитесь в этом самостоятель-
но.) Остается рассмотреть последний случай.
Полагая и = х, du = ех dx, найдем
du = (х)' dx = dx; jdu = jex dx, и = ex.
1 Данный интеграл можно вычислить подстановкой t = 1 + х2
(сделайте это самостоятельно) или непосредственно, выделяя диф-
ференциал новой переменной, заменив xdx через | d(x2 +1), что мы
и сделали.
281
По формуле (3) получаем
jхех dx = хех - Jex dx = хех - ех + С.
Исходный интеграл вычислен. Значит, в данном случае и и dp
выбраны верно. □
Часто метод интегрирования по частям приходится приме-
нять несколько раз.
□	Пример 20. Вычислить интеграл jех cos х dx.
Решение. Положим и = ех, du = cos xdx1.
Тогда
du = (ех)' dx = ех dx; jdu = Jcos x dx, v = sin x.
По формуле (3) имеем
Jex cos x dx = ex sin x - jex sin x dx.	(4)
Полученный интеграл снова вычисляем интегрированием по
частям, положив и = ех, du = sin х dx, откуда найдем du = ех,
v = -cos х. Тогда
Jex sin х dx = -ех cos х 4- jex cos x dx.
Подставляя значение найденного интеграла в выражение (4),
находим
/ех cos х dx = ех sin х - (-ех cos х + jex cos х dx) =
= ех sin х + ех cos х - Jex cos x dx.
Перенося интеграл из правой части равенства в левую, имеем
2jex cos х dx — ex(sin x 4- cos x) 4-
и окончательно
г	ex
J ex cos x dx = (sin x 4- cos x) 4- C,
где С = Cx/2. (Так как С — произвольная постоянная, то и Сг/2 —
также произвольная постоянная.) □
Практика показывает, что большую часть интегралов, вы-
числяемых интегрированием по частям, можно разбить на сле-
дующие три группы.
1)	Первая группа. К этой группе относятся интегралы вида
jP(x) arctg х dx, jP(x) arcctg x dx,
jP(x) In x dx, JP(x) arcsin x dx, J P (x) arccos x dx,
1 Здесь можно положить также и = cos х, di? = ех dx.
282
где Р(х) — многочлен. Для их вычисления следует положить
и равным одной из указанных выше функций, a dp = Р(х) dx
(см. пример 18).
2)	Вторая группа. К этой группе относятся интегралы вида
jP(x) ekx dx, jP(x) sin kx dx, jP(x) cos kx dx,
где P(x) — многочлен, k — некоторое число. Для их вычисле-
ния следует положить и = Р(х), a du = ekx dx, du = sin kx dx,
dp = cos kx dx соответственно (см. пример 19).
3)	Третья группа. К этой группе относятся интегралы вида
Jeax cos bx dx, feax sin bx dx,
где а и & — некоторые числа. Эти интегралы вычисляются дву-
кратным интегрированием по частям (см. пример 20).
Разумеется, указанные три группы не исчерпывают всех ин-
тегралов, вычисляемых с помощью метода интегрирования по
частям.
f xdx
□ Пример 21. Вычислить интеграл J .
Решение. Этот интеграл не входит ни в одну из упомяну-
тых трех групп. Тем не менее, полагая u = х, dp =	, найдем
du = dx, р = -ctg х. По формуле (3) получаем
f xdx	,	, f .	.	.	, fcosxdx
. 9 = —x ctg x + ctg x dx = -x ctg x 4- —-- =
Jsm2x	J	J sinx
.	, fd(sinx)	. .Il- I .
= -x ctg x 4- J	= “X ctg x 4- In |sin x| 4- C.
*	f xdx
Аналогично вычисляется интеграл —s— .
J cos2x
Упражнения. Вычислите интеграл с помощью метода ин-
тегрирования по частям.
1. jx arctg х dx. 2. jarcsin x dx. 3. jin x dx. 4. jx In x dx.
5. jx cos2 x dx. 6. jx sin x dx. 7. jx2 sin x dx. 8. jx2ex dx.
9. j e2x cos 3x dx. 10. j(4x3 4- 6x - 7) In x dx. 11. j(x3 4-1) cos x dx.
12. jin (71 - x 4- 71 + x) dx.
ОТВЕТЫ. 1. X 2 агс^£ x - | 4- C. 2. x arcsin x 4- 71 - x2 4-
y2	y>2	y2	1
+	C. 3. x In x - x + C. 4. -и- In x - -г- + C. 5. -j- + x sin 2x +
2	4	4	4
+	з cos 2x + C. 6. —x cos x + sin x + C. 7. — x2 cos x + 2(x sin x +
О
283
j \i/no rz 2 Q , I лч л e2x(3sin3x + 2cos3x) . „
4- cos x) 4- C. 8. ex(x2 - 2x 4- 2) 4- C. 9. —------- 4- C.
io
10. (x4+3x2-7x)lnx-(^ -7xj +C. 11. (x3-6x + l)x
x sin x + (3x2 - 6) cos x + C.	12. x ln(71 _x + 71+ x) - x +
4-	| arcsin x 4- C.
При интегрировании часто приходится применять сначала
метод замены переменной, а затем метод интегрирования по
частям.
□ Пример 22. Вычислить интеграл
|7*2 4- l[ln(x2 + 1) - 21пх]
Решение. Данный интеграл не входит ни в одну из трех
групп интегралов, интегрируемых по частям. С помощью мето-
да замены переменной преобразуем этот интеграл. Положим
.	- . 1 Hi j, 2dx	dx 1 ,,
t = 1 4- —. Тогда df = -—3- , откуда — = df. В результате не-
сложных преобразований подынтегрального выражения и под-
становки получим
Гл/х2 + 1[1п(х2 + 1) - 21пх]	_
J	^4	Х ~
- f /1 । 1 1 х2 + 1 dx _ 1 Г г
J	+ х2 х2 * х3 2 J
Мы пришли к интегралу, который легко интегрируется по
частям. Полагая и = In t, du = Jt &t9 найдем du =	, v = It Jt.
t	о
Следовательно,
=	^|£л/Йп£- |=-| ^|гл/Йп£-	+ С.
Наконец, возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
г7*2 + 1[1п(х2 4- 1) - 21пх] ,	1г2/<	1 \3/\	1 \
J---------4^-----------dx = "2 I з ( 1 + ) 1п(1 + р)~
-5 (1 + ? Г ] + с ~ (jZ +	[2 ~ 3 1П(1 + ? ) ] + С- °
284
Упражнение. Вычислите интеграл je^dx (положить t =
= Тх). (ОТВЕТ. 2(Тх - 1)е^+С.)
Вычислим интеграл I = j Ja2 - х2 dx с помощью интегриро-
вания по частям (ранее (см. п. 2, пример 17) он был вычислен с
помощью замены переменной). Положим и = Ja2 - х2 , dp = dx;
тогда du = ~-==2= , v = х. Следовательно,
.//7.2 _ у2
/=	- x2dx = Хд/а2 - х2 4- j * dx= .	(5)
- х2
Добавим и вычтем а2 в числителе подынтегральной функции
интеграла в правой части равенства. Тогда, разделив на Ja2 - х2,
получим
J а2 - х2	Ja2 - x2
= a2 J- j J a2 - x2 dx = a2 arcsin- - I.
J Ja2 - x2 J	a
Подставив это выражение в (5), получим
I = xja2 - х2 4- a2 arcsin- - I.
а
Объединяя оба интеграла I = J Ja2 - х2 dx в левой части, имеем
2j Ja2 - х2 dx = х J а2 - x2 4- a2 arcsin.
Отсюда окончательно находим
J J a2 - x2 dx = J a2 - x2 4- arcsin- 4- C.
J	2	2 a
В заключение отметим, что рассмотренные приемы и мето-
ды интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически
интегрируемых элементарных функций. В то же время из изло-
женного следует, что технически интегрирование сложнее диф-
ференцирования. Необходимы определенные навыки и изобре-
тательность, которые приобретаются исключительно практи-
кой решения большого числа примеров. Кроме того, если
дифференцирование не выводит из класса элементарных функ-
ций, то при интегрировании существуют такие элементарные
285
(	„2 1 sinx	\	-
функции I например, е х ,	—— и т. д. I, первообразные от
которых не являются элементарными функциями. Такие перво-
образные хорошо изучены, их значения вычислены приближен-
но, для них составлены таблицы и графики.
Закончим тему рассмотрением вопроса о практическом при-
менении понятия неопределенного интеграла.
В дифференциальном исчислении (см. гл. 3, § 1, п. 3) скорость
движения тела представляет собой производную от пути по време-
ни, т. е. v = s'(t), где s(t) — путь, пройденный телом к моменту
времени t. Таким образом, если известен путь тела, то с помощью
операции дифференцирования функции з(£) находят его скорость.
Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть дана скорость те-
ла v = v(t). Требуется найти функцию з(£), производная от кото-
рой была бы равна заданной функции v(t), т. е. s'(t) = v(t). Сле-
довательно, путь s(t) является первообразной функцией для v(t).
Таким образом, если известна скорость движения тела, то
его путь s(t) находят с помощью операции интегрирования. За-
дача сводится к отысканию первообразной, т. е. к отысканию
неопределенного интеграла по заданной функции v(t).
Пусть для определенности дано, что скорость движения тела
пропорциональна времени t, т. е. v = kt, где k — коэффициент
пропорциональности. Тогда
(1)
s(i) = J kt dt =	+ С,
kt%
где С — произвольная постоянная. Выражение 4- С пред-
ставляет собой множество всех первообразных для функции v = kt,
(kt2 Y
так как ( -g- + С I = kt. Чтобы получить определенное решение
задачи, т. е. найти одну первообразную для функции kt, доста-
точно знать величину пути в какой-нибудь начальный момент
времени t. Пусть в начальный момент времени t = 0 путь равен
нулю. Подставив в формулу (1) значение t = 0, получим 0 = 0 4- С,
откуда находим: С == 0. Следовательно, искомый путь, пройден-
kt2
ный телом, s(t) =	. В частности, если рассматривать задачу о
падении тела в пустоте, то k = g, где g — ускорение свободного
падения. Тогда путь, пройденный падающим телом и отсчиты-
ваемый от точки, в которой тело выходит из состояния покоя,
определяется формулой
8(0==^.
286
Упражнение. Пусть дана скорость тела v = 2t. Найдите
путь s(t), если известно, что в начальный момент времени £ == 1
путь, пройденный телом, равен 3. ОТВЕТ. s(t) = t2 4- 2.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	В чем состоит метод непосредственного интегрирования?
2.	Напишите формулу замены переменной в неопределенном
интеграле. При каких условиях эта формула справедлива?
3.	Напишите формулу интегрирования по частям. При каких
условиях эта формула справедлива?
4.	Какие интегралы наиболее удобно вычислять интегрирова-
нием по частям?
5.	Выведите формулу пути свободно падающего тела, исполь-
зуя понятие определенного интеграла.
§ 4.5. Определенный интеграл
1. Определение определенного интеграла. Пусть
функция у = f(x) определена на отрезке [а, &], а < Ь. Разо-
бьем этот отрезок на п произвольных частей точками
а = х0 < хх < х2 < ... < xt _ 1 < xt < ... < хп = Ь.
Обозначим это разбиение через т, а точки х0, хр ..., хп
будем называть точками разбиения. В каждом из полу-
ченных частичных отрезков [х£ _ р х-] выберем произвольную
точку Z>i(xi _ 1 < < х*)1. Через Axz обозначим разность х£ - х£ _ р
которую будем называть длиной частичного отрезка [xz _ р xj.
Составим сумму
о =	+ ft^2)Ax2 +... + ft£„)Axn = Е Л^)Дхр (1)
i=l
которую назовем интегральной суммой для функции Дх) на
[а, &], соответствующей данному разбиению [а, &] на частичные
отрезки и данному выбору промежуточных точек Геометри-
ческий смысл суммы о очевиден: это сумма площадей прямо-
угольников с основаниями Дхр Дх2, ..., Дхп и высотами /(£.),
/(U’ •••’ МЛесли А*) > 0 (рис- 73)-
Обозначим через X длину наибольшего частичного отрезка
разбиения т: А, = lim {Дх.}.
1 < i < п
1 Точка может, таким образом, быть как внутри соответству-
ющего отрезка, так и в любом из его концов.
287
Определение. Если существует конечный предел I
интегральной суммы (1) при X —* О, то этот предел на-
зывается определенным интегралом1 от функции f(x) по
отрезку [а, Ь] и обозначается следующим образом:
ь
I=jf(x)dx	(2)
а
или
*
J/(x)dx = lim S f(^)Axr
а	л ~* О 1
В этом случае функция f(x) называется интегрируемой
на отрезке [л, &]; числа а иЬ — соответственно нижним и
верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтег-
ральной функцией, х — переменной интегрирования.
Необходимо сделать ряд пояснений, так как имеет место не
совсем обычный предельный переход. Данное определение оп-
ределенного интеграла по форме напоминает первое определе-
ние предела функции на «языке последовательностей», где вме-
сто функции стоит интегральная сумма (1), являющаяся пе-
ременной величиной, которая зависит от X. Действительно,
предположим, что отрезок [а, &] последовательно разбивают на
части сначала одним способом, затем — другим, третьим и т. д.
Причем длина наибольшего отрезка в каждом случае уменыпа-
1 В некоторых учебных пособиях, где неопределенный интеграл,
как множество функций видаР(х) + С, называется «первообразной»,
определенный интеграл называют просто «интегралом».
288
ется X —► О1, когда п —* оо. Таким образом, получаем последова-
тельность разбиений {тп}, у которой lim Хп = 0, и можно дать
П —* оо
определение определенного интеграла на уже знакомом «языке
последовательностей»: функция f(x) называется интегри-
руемой на [а, &], если для любой последовательности
разбиений {оЛ}, у которой lim Хп = 0, соответствующая
П оо
последовательность интегральных сумм {оЛ} стремит-
ся всегда к одному и тому же пределу
I = lim ап.
П — оо
Можно дать определение определенного интеграла и «на
языке е—8»: число I называется определенным интегра-
лом функции f(x) на отрезке [а, &], если для любого г > О
существует 8 > 0 такое, что при X < 8 (тп. е. отрезок
разбит на части, длина которых \xt < 8) независимо от
выбора точек выполняется неравенство
I	<е.
I i=l	I
Доказать эквивалентность обоих определений можно по ана-
логии с эквивалентностью двух определений предела функции.
Определение «на языке последовательностей» дает возмож-
ность перенести основные понятия теории пределов и на этот
новый вид предела.
Из определения определенного интеграла следует, что вели-
чина интеграла (2) зависит только от вида функций /(х) и от чи-
сел а и Ь. Следовательно, если заданы /(х) и пределы интегриро-
вания, то интеграл (2) определяется однозначно и представляет
собой некоторое число.
□ Пример 1. Используя определение, вычислить интеграл
ъ
Jc dx, где С — некоторое число.
а
Решение. Разобьем отрезок [а, &] на п произвольных час-
тей точками а = х0 < хх < х2 < ... < х-_ х < х- < ... < хп = Ъ и сос-
1 Вместо X —► 0 было бы неправильно писать п —► оо, так как
можно привести пример (подумайте какой), когда увеличение числа
точек разбиения [а, Ь] еще не обязательно означает, что все Axz
неограниченно убывают; если же X —► 0, то все Axz -► 0 и обязательно
п оо.
10 - 3587 Шиначев
289
тавим соответствующую интегральную сумму (1). Так как
подынтегральная функция /(х) = С постоянна, то для любо-
го выбора промежуточных точек получим интегральную сум-
му вида
о = СДхх 4- СДх2 + ... + СДхп = Z СДХр
i = l
Далее имеем
Z СДх. = С Z Дх. =
i = l	i = l
= С[(хх - а) 4- (х2 - хх) 4-... 4- (Ь - хп)] = С (Ь - а).
Видим, что интегральная сумма для данной функции не зави-
сит ни от разбиения, ни от выбора точек и равна С(Ъ - а). Сле-
довательно, и ее предел при X = max {ДхД —► 0 равен той же ве-
личине.
Таким образом, по определению,
г	п
]С dx = lim Z СДх.. = C(b - а),
a x-oz=i 1
Пример 2. Используя определение, вычислить Jxdx.
о
Решение. Разобьем отрезок [0, 1] на п равных (в данном
случае это удобно) частей точками 0 = х0 < хх < х2 < ... < xt_ х <
< xz < ... < хп = 1. Длина каждого частичного отрезка Дх- = 1/п.
Причем если п —►	то X = max {Дх£} = - —* 0, и наоборот. В ка-
п
честве промежуточных точек х- _ х < хр возьмем правые
концы частичных отрезков: £z= xz = -, i = 1, 2, ..., п. Составим
соответствующую интегральную сумму (1):
п	п I 1
i-i 1	1 i-in п
= —(1 + 2 + +ra)-ra<ra + 1) _ra + 1
га2<1 + ^ + — + п> 2п2 2п •
Вычислим предел интегральной суммы при п	00. Получим
lim
П —- оо
П + 1
2п
lim
П — оо
1 4- 1/n _ 1 4- О
2	2
1
2 ’
290
Следовательно, по определению,
Упражнение. На примере 2 покажите, что при другом вы-
боре промежуточных точек (например,	— левые
концы частичных отрезков ) предел интегральной суммы, а зна-
чит, и величина данного интеграла не изменятся.
2. Основные свойства определенного интеграла. Интег-
ь
рал \f(x) dx был введен для случая а < Ъ.
а
Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда
а = Ъ и а > Ъ.
1°. Если а = Ь, то, по определению, полагаем
а
f/(x)dx = O.	(3)
а
Если а > Ь, то также, по определению,
Ъ	а
\f{x) dx = - Jftx) dx.	(4)
a	b
2°. Каковы бы ни были числа а, Ъ, с, всегда имеет мес-
то равенство
Ъ	с	Ъ
]У(х) dx = Jftx) dx + Jftx) dx	(5)
a	a	c
(здесь и в дальнейшем предполагается, что интегралы, входя-
щие в доказываемые формулы, существуют).
Допустим сначала, что а < с < Ь. Так как предел интеграль-
ной суммы о не зависит от способа разбиения отрезка [а, &], то
будем проводить разбиение так, чтобы точка с всегда была бы
точкой разбиения [а, &]. Если, например, с = хт, то о можно
разбить на две суммы:
п	т	п
о= Zfl^)Axf =	s Г(^)Дхг
i=l	i=l	i=m+l
Переходя в последнем равенстве к пределу при 1 —► 0, мы и по-
лучим равенство (5).
Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный
интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его час-
тям.
291
Доказательство для другого расположения точек а, &, с легко
сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, а < Ъ < с,
тогда, по доказанному, имеем
]У(х) dx = Jftx) dx	+ Jftx) dx,
a	a	b
откуда, учитывая (2), получаем
j/(x) dx = Jftx) dx - Jftx) dx	= Jftx) dx +	Jftx) dx,
a	a	b	a	c
т. e. опять пришли к равенству (5).
Геометрически свойство 2° выражает очевидный факт, что
площадь криволинейной трапеции с основанием [а, &] равна
сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями [а, с]
и [с, &].
3°. Постоянный множитель можно выносить за знак
определенного интеграла, т. е.
ь	ь
jfe/(x) dx = k J/(x) dx.	(6)
a	a
Действительно, для любого разбиения отрезка [а, &] и любо-
го выбора точек
п	п
Е	* Z f^xt.
i=l	i=l
Переходя к пределу при X —► 0, имеем
Ъ	п	п
jfe/(x)dx= lim Z	Ё	=
a	X-*Oi=i	X — 0 i=i
n	f
= k lim E	/(^Ax*1 =	dx,
X — 0 i=i	a
т. e. получено равенство (6).
4°. Определенный интеграл от алгебраической суммы
функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.
ь	ь	ь
J[ftx) ± g(x)] dx = Jftx) dx ± jg(x) dx.
a	a	a
Действительно, для любого разбиения отрезка [а, &] и любо-
го выбора точек
п	п	п
Е[ЛУ±^)]Дхг=	Е^)Ахг
i=l	i-1	i=l
1 См. следствие из теоремы § 2.3.
292
Так как
lim Е /(QAxz= jf(x) dx и lim E g(QAxz = jg(x) dx,
A-*Oi=l	a	A-*Oi=l	a
то получаем, что
* n
J[/(x) ± g(x)] dx = lim E [/(^,) ± £(^)]Ax, =
а	Л	— 0 i=l
n	n	ь ь.
= lim E /(^)Axz ± lim E £(£z)Axz = Jf(x) dx ± jg(x) dx.
A —Oj=i	a —Oi=i	a	a
Замечание. Свойство 4° имеет место для любого конечного
числа слагаемых.
3.	Оценки интегралов. Формула среднего значения.
1°. Если всюду на отрезке [а, &] функция f(x) > 0, то
ь
\f(x) dx > 0.
а
В самом деле, любая интегральная сумма о для функции f(x)
на [а, &] неотрицательна, так как
/(^i) > 0, Ах. = xz- xt_ j > 0, i = 1, 2, ..., n.
n
Переходя к пределу при X —► 0 в неравенстве Z /(^)Axz > 0,
i=i
получаем
J/(x) dx > 0.
а
2°. Если всюду на отрезке [а, 6] /(х) < g(x), то
ь	ь
J/(x) dx < $g(x) dx.	(7)
a	a
Другими словами, неравенство можно почленно интегрировать.
Действительно, применяя оценку 1° к функции g(x) - f(x) > 0,
имеем
ь
J[£(x) - я*)] dx > 0.
а
Но, согласно свойству 4°,
ь	ь	ь
Jte(x) - Я*)] dx = jg(x) dx - \f(x) dx > 0,
a	a	a
откуда получаем неравенство (7).
293
3°. Для функции f(x), определенной на отрезке [а, &],
имеет место неравенство
|Ь	ъ
J/(x)dx <J|/(x)|dx.	(8)
'а	'а
В самом деле, применяя оценку 2° к очевидным неравенствам
“|/(х)| < /(х) < |Дх)|
и проинтегрировав их почленно, учитывая свойство 3°, получим
ъ	ъ	ь
-J|/(x)| dx < Jftx) dx < J|/(x)| dx,
a	a	a
а это равносильно неравенству (8).
С Л Е Д СТ В И Е. Если всюду на отрезке [а, &], а < Ь,
|/(х)| < k, то
Iй	I
J/(x) dx <	- а).	(9)
'а	’
Действительно, из неравенства |/(х)| < k и оценок 2° и 3°
следует, что
.6	। ь	ъ	ъ
J/(x) dx < J|/(x)| dx < jk dx = kjdx,
' a	' a	a	a
отсюда, принимая во внимание, что
*
Jdx = lim Е 1* *Ах,= &-а,	(10)
а Х->0/=1	‘
получаем соотношение (9).
4°. Если т и М — соответственно наименьшее и на-
ибольшее значения функции Дх) на отрезке [а, &], а < Ь, то
ь
m(b - а) < jf(x) dx < M(b - а).	(11)
а
По условию, для любого хе [а, &] имеем
т < Дх) < М.
Применяя оценку 2° к этим неравенствам и проинтегрировав их
почленно, получим
ь	ъ	ъ
mjdx < Jftx) dx < МJdx,
а	а	а
откуда, учитывая (10), получаем неравенства (11).
294
ТЕОРЕМА 4.4 (теорема о среднем). Если функция
f(x) непрерывна на отрезке [а, &], то на этом от-
резке существует точка с такая, что
ь
J/(x) dx =/(с)(Ь - а).	(12)
а
Формула (12) называется формулой среднего зна-
чения.
Доказательство. Так как f(x) непрерывна на [а, &], то,
по второй теореме Вейерштрасса, существуют числа т и М та-
кие, что
min f(x) = тп < f(x) < М = max /(х).
[а, д]	[а,Ь]
Отсюда, согласно оценке 4°, находим
ь
т(Ъ - а) < f/(x) dx < М(Ъ - а)
а
и, следовательно,
ь
\f(x)dx
<М.
Положим
J/(x)dx
Ц—— = |Л (тп < ц < М).
Так как ц заключено между наименьшим и наибольшим
значениями непрерывной функции /(х) на [а, &] (рис. 74), то, по
теореме 2.11 о прохождении функции через любое промежу-
точное значение, существует точка с е [а, &] такая, что f(c) = ц.
Поэтому
ь
jf(x)dx
а-ъ^Г
а это равносильно равенству (12). 
Величина f(c) в формуле (12) назы-
вается средним значением функ-
ции f(x) на отрезке [а, Ь].
295
Замечание. Теорема о среднем имеет четкий геометрический
смысл: величина определенного интеграла при f(x) > 0 равна площа-
ди прямоугольника, имеющего высоту f(c) и основание Ъ - а.
4.	Условия существования определенного интеграла.
ТЕОРЕМА 4.5 (необходимое условие интегрируемости
функции). Если функция f(x) интегрируема на от-
резке [а, &], то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Предположим обратное, т. е. допус-
тим, что f(x) не ограничена на [а, &]. Покажем, что в этом случае
интегральную сумму о можно за счет выбора точек •••, сде’
лать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка [ а, &].
Действительно, так как функция f(x) не ограничена на
[а, Ь], то при любом разбиении отрезка [а, &] она обладает этим
свойством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, ска-
жем на ДхР Выберем на остальных отрезках Дх2, Дх3, ..., Дхп
точки £2, £3, •••’ ^произвольно и обозначим
О' = Д£2)Дх2 + Я^з)Ах3 + ... + Д^„)Дхп.
Затем возьмем такое на Дхр чтобы
где М — любое наперед заданное положительное число. Это
можно сделать, поскольку функция /(х) не ограничена на ДхР
Тогда
> |g'| + М и |о| = Ift^JAxj + <i'| > Ift^lAXj - |ст'| > М,
т. е. интегральная сумма о по абсолютной величине больше лю-
бого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма о
не имеет конечного предела, а это означает, что определенный
интеграл от неограниченной функции не существует. 
Замечание. Обратная теорема не верна, т. е. условие ограни-
ченности функции /(х) необходимое, но не достаточное условие для
интегрируемости функции. Поясним это утверждение на примере.
Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке [0, 1]:
[1, если х рациональное,
/(х) — । о, если х иррациональное.
Функция Дирихле, очевидно, ограничена. Однако она не интег-
рируема на [0, 1]. Покажем это.
296
Если при любом разбиении отрезка [0,1] выбрать точки (xt _ 1 <
< < xj рациональными, то получим
о = Z ft^)Axz Z 1 • Axz = 1,
t=i	t=i
а если взять иррациональными, то имеем
о = Z /(L)Axz = Z 0 • Ах, = 0.
i=l	1=1
Итак, при разбиении на сколь угодно малые отрезки интеграль-
ная сумма может принимать как значение, равное 0, так и значение,
равное 1. Поэтому интегральная сумма о при X —► 0 предела не имеет.
Таким образом, очевидно, что для существования опреде-
ленного интеграла от некоторой функции f(x) последняя поми-
мо ограниченности должна обладать дополнительными свойст-
вами, обеспечивающими ее интегрируемость.
ТЕОРЕМА 4.6 (достаточное условие интегрируемости
функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, &], то она интегрируема на нем. т. е. для любого
е > 0 существует 8 > 0 такое, что при X < 8 выпол-
няется неравенство
I ЕЛ^)Дх,-/|<е.	(13)
—и-------------------------------!-----------------------
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на
отрезке [а. &], то, по теореме Кантора, она и равномерно непре-
рывна на нем, следовательно, для любого е > 0 существует 5 > 0
такое, что для дюбых двух точек х', х" е [а. &], удовлетворяю-
щих неравенству |х" - х'| < 5, выполняется неравенство
|Лх")-Лх')|<^.	(14)
Покажем, что это и есть такое 8, при котором неравенство (13)
выполняется при X < 8.
Пусть т — разбиение отрезка [а. &] на частичные отрезки
[xz _ р xj, длина которых Axz < X < 8. Применяя теорему о сред-
нем к каждому из отрезков [xf _ р xj, получим
J /(x) dx = /(^)ДХр х;_ i <	< xt (i = 1, 2,	n).
xf-l
Суммируя эти равенства по всем частичным отрезкам [ х- _ р xj,
имеем
п xi	&
Е J Дх) dx = J/(x) dx = о*,
i“l xl_l	a
297
п
где G* = Е f(£*)Axz. Возьмем теперь на каждом из отрезков
i=l
[xz _ р х.] произвольную точку Тогда
ь	п	п	п
G - Jflx) dx = ст - ст* = z /(^)Axz - z Л£)Дх4 = z [Я^) - /(^*)]Axf.
a	i=l	i = l	i=l
Так как - £*| < Дх£ < X < 8, то, принимая во внимание неравен-
ство (14), получаем
I-'I <
т. е. требуемое неравенство (13). 
Как следует из теоремы, условие непрерывности функции на
отрезке [а, &] является достаточным условием ее интегриру-
емости. Но это не означает, что определенный интеграл сущест-
вует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых
функций гораздо шире. Например, можно доказать, что сущест-
вует определенный интеграл от функций, имеющих конечное
число точек разрыва1.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Что такое разбиение отрезка [а, &]?
2.	Что такое интегральная сумма функции f(x) на отрезке
[а, Ь] и в чем состоит ее геометрический смысл?
3.	Дайте определение определенного интеграла как предела
интегральной суммы. Почему вместо А, —► 0 нельзя писать
п оо?
4.	Сформулируйте основные свойства определенного интегра-
ла. Докажите свойство 2° для случая расположения точек
Ь < с < а.
5.	Перечислите оценки интегралов.
ъ
6.	Пусть jf(x) dx > 0. Следует ли отсюда, что /(х) > 0 на [а, &]?
а
7.	Сформулируйте теорему о среднем.
8.	Почему в формуле среднего значения (12) точку с нельзя
считать произвольной?
9.	Приведите пример, когда формула (12) справедлива для лю-
бой точки с е [а, &].
1 См.: Шипачев В. С. Высшая математика. М., 2006.
298
10.	Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функ-
ции.
11.	Всякая ли ограниченная функция интегрируема? Ответ обо-
снуйте примером.
12.	Сформулируйте достаточное условие интегрируемости функ-
ции.
13.	Приведите пример интегрируемой функции.
§ 4.6. Определенный интеграл
с переменным верхним пределом
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл
с постоянными пределами интегрирования а и Ь. Если изменять,
например, верхний предел, не выходя из отрезка [а, &], то вели-
чина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл
с переменным верхним пределом представляет собой функцию
своего верхнего предела.
Таким образом, если имеем интеграл
J/(t) dt1, а < х < &,
а
с постоянным нижним пределом а и переменным верхним пре-
делом х, то величина этого интеграла является функцией верх-
него предела х. Обозначим эту функцию через Ф(х) (рис. 75),
т. е. положим
х
ф(х)=Ша«,	(1)
а
и назовем ее интегралом с переменным верхним преде-
лом. Геометрически функция Ф(х) представляет собой пло-
щадь заштрихованной на рисунке 75
криволинейной трапеции, если f(x) > 0.
При этом функция Ф(х) возрастающая,
так как с ростом х площадь криволи-
нейной трапеции увеличивается.
Рассмотрим теперь основную тео-
рему дифференциального и интеграль-
ного исчислений, устанавливающую
связь между производной и интегра-
лом.	Рис. 75
1 Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена бук-
вой t, так как буквой х обозначен верхний предел интегрирования.
299
ТЕОРЕМА 4.7. Производная интеграла от непре-
рывной функции по переменному верхнему пределу
существует и равна значению подынтегральной
функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.
х	f
Ф'(х) = (Ш<1г1 = Ях).	(2)
Доказательство. Возьмем любое значение х е [а, &] и
придадим ему приращение Дх О такое, чтобы х + Дх е [а, Ь],
т. е. а < х 4- Дх < Ъ. Тогда функция Ф(х), определенная выраже-
нием (1), получит новое значение
х+Дх
Ф(х 4- Дх) = J f(t) d£.
а
Согласно свойству 2° определенного интеграла (см. § 4.6,
п. 2), имеем
Ф(х + Ах) = J/(t) dt + J ftt) dt = Ф(х) + J /(t) dt.
ax	x
Отсюда находим приращение функции Ф(х):
х+Дх
Ф(х + Дх) - Ф(х) = J f(t) dt.
X
Применяя теорему 4.4, получим
Ф(х 4- Дх) - Ф(х) = Дс)Дх,
где с — число, заключенное между х и х 4- Дх. Разделим обе
части равенства на Дх
Ф(х 4- Дх) - Ф(х) _ .
Дх	а h
Если теперь Дх —► 0, то с —► х; тогда, в силу непрерывности
функции Дх) на [a, ft], f(c) —* Дх). Поэтому, переходя к пределу
в последнем равенстве при Дх -+ 0, получаем
Иш ф(* +	= lim f(c) = lim f(c) = Дх),
Дх — О	Дх — О	с -* х
или ф'(х) = Дх). 
Таким образом, установлено, что любая непрерывная на от-
резке [а, &] функция Дх) имеет на этом отрезке первообразную,
причем функция Ф(х) (интеграл с переменным верхним преде-
лом) является первообразной для Дх). А так как всякая другая
первообразная для функции Дх) может отличаться от Ф(х)
300
лишь на постоянную (см. теорему 4.1), то установлена связь
между неопределенным и определенным интегралами:
J/(x) dx = J/(0 dt + С,
a
где С — произвольная постоянная.
Из теоремы, в частности, следует что Ф(х) — непрерывная
на отрезке [а, &] функция. (Объясните почему.) Случай, когда
определенный интеграл имеет переменный нижний предел и
постоянный верхний предел, легко сводится к рассмотренному
с помощью свойства 1° (см. формулу (4) в § 4.5).
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какая функция называется интегралом с переменным верх-
ним пределом? В чем состоит ее геометрический смысл?
2. Чему равна производная от интеграла по его верхнему пре-
делу? Докажите соответствующую теорему и объясните, по-
чему ее считают основной в дифференциальном и интеграль-
ном исчислении.
§ 4.7. Формула Ньютона—Лейбница
Вычисление определенных интегралов методом, основан-
ным на определении интеграла как предела интегральной сум-
мы, связано с большими трудностями. Поэтому существует дру-
гой, более удобный на практике метод вычисления определенных
интегралов, который основан на тесной связи, существующей
между понятиями неопределенного и определенного интегралов.
ТЕОРЕМА 4.8 (основная теорема интегрального ис-
числения). Пусть функция /(х) непрерывна на от-
резке [а, &]. Тогда, если функция F(x) является не-
которой ее первообразной на этом отрезке, то
справедлива следующая формула:
ъ
jf(x)dx = F(b)-F(a).	(1)
а
Формула (1) называется формулой Ньютона—
Лейбница.
X
Доказательство. Пусть Ф(х) = J/(t) di. Тогда, по теоре-
а
ме 4.7, функция Ф(х) является первообразной для функции /(х)
301
на отрезке [а, &]. Таким образом, F(x) и Ф(х) — две первообраз-
ные одной и той же функции f(x) на [а, &]. Так как первообраз-
ные отличаются на постоянную (см. теорему 4.1), т. е.
Ф(х) = F(x) + С, а < х < &,
то имеет место равенство
J/(t)dt = F(x) + С, a<x<b,
а
где С — некоторое число. Подставляя в это равенство значе-
ние х = а и используя свойство 1° (см. формулу (3) в § 4.4),
имеем
Jftt) dt = F(a) + С, 0 - F(a) + С, С = -F(a),
а
т. е. для любого х g [а, &]
х
J/(t) dt = F(x)-F(a).
а
Полагая здесь х = &, получаем формулу (1). 
Разность F(b) - F(a) принято условно записывать в виде
F(x)|J, или [Г(х)]£;
тогда формула (1) принимает вид
ь
Jftx) dx = F(x)\ba.
а
Необходимо еще раз подчеркнуть, что в формуле (1) в каче-
стве F(x) может быть любая первообразная функции /(х) из се-
мейства F(x) 4- С.
Итак, формула (1), с одной стороны, устанавливает связь
между определенным и неопределенным интегралами, с дру-
гой стороны, дает простой метод вычисления определенного
интеграла: определенный интеграл от непрерывной функ-
ции равен разности значений любой ее первообразной,
вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегри-
рования. Эта формула открывает широкие возможности для
вычисления определенных интегралов, так как задача вычис-
ления определенного интеграла сводится к задаче вычисле-
ния неопределенного интеграла, которая рассмотрена достаточ-
но полно.
302
b
□ Пример 1. Вычислить интеграл Jsin х dx.
а
Решение. Так как одной из первообразных для функции
f(x) = sin х является функция F(x) = -cos х, то, применяя фор-
мулу Ньютона—Лейбница, получаем
ь
Jsin х dx = -cos х|£= cos а - cos Ь.
а
1
Пример 2. Вычислить интеграл Jx2dx.
о
Решение. По формуле Ньютона—Лейбница имеем
Упражнения. Вычислите интеграл.
2	2,2	з ,	п
1. J(3x2	- 1) dx. 2.	J— . 3. Jex dx.	4.	J ... 5.	Jsin x dx.
о	1 x 1	oVl +	x2	о
ь	0,5 я
6. Jx" dx (n * -1). 7. j .
a	о 71 “ X2
ОТВЕТЫ. 1. 6. 2. In 2. 3. e(e - 1). 4. In (3 + 710). 5. 2.
bn + 1 - an + 1	7t
6’ n + 1.. ’ 7’ 6 ’
Следующий пример показывает, что формальное использо-
вание формулы Ньютона—Лейбница без учета условий ее при-
менимости может привести к неверному результату.
1 ,
._। _	л	f dx
□ Пример 3. Вычислить интеграл J х2 •
Решение. По формуле Ньютона—Лейбница имеем
г dx
J ! + хг = arctg x|lt = arctg 1 - arctg (-1) =
= л/4 - (-я/4) = л/4 + л/4 = л/2.
Здесь формула Ньютона—Лейбница применена верно, так
как функция F(x) = arctg х непрерывна на [-1, 1] и равенство
F'(x) = f(x) выполняется на всем этом отрезке. Если же в качестве
303
первообразной функции взять F(x) = arcctg (1/х), то формальное
применение формулы Ньютона—Лейбница приводит к равенству
I i’4.Xx2 = arcctg j l-i = arcctg 1 - arcctg (-1) =
= л/4 - Зл/4 = -п/2.
Получен неверный результат, так как п/2 * -п/2. Ошибка
произошла из-за того, что при х = О функция F(x) = arcctg (1/х)
разрывна и не может быть первообразной. Применение форму-
лы Ньютона—Лейбница предполагает непрерывность первооб-
разной F(x) на заданном отрезке. □
Замечание. Формула Ньютона—Лейбница была выведена в
предположении, что подынтегральная функция f(x) непрерывна.
При некоторых условиях формула Ньютона—Лейбница может иметь
место и для разрывных функций.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Докажите формулу Ньютона—Лейбница.
2. Почему формулу Ньютона—Лейбница считают основной фор-
мулой интегрального исчисления?
§ 4.8. Замена переменной
в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 4.9. Пусть Дх) — непрерывная функция
на отрезке [а, &]. Тогда если: 1) функция х = ф(£) диф-
ференцируема на [а, Р] и <р'(0 непрерывна на [а, Р];
2) множеством значений функции х = ф(£) являет-
ся отрезок [а, &]; 3) ф(а) = а и ф(Р) = Ь (рис. 76), то
справедлива формула
ъ	Р
J/(x)dx = J^(p(t)]<p'(Odt.	(1)
а а
Доказательство. По формуле Ньютона—Лейбница
ъ
\f(x) dx = F(b) - F(d),
а
где F(x) — какая-нибудь первообразная для функции Дх) на
[а, &]. С другой стороны, рассмотрим сложную функцию Ф(0 =
= .Е[ф(ОЪ Согласно правилу дифференцирования сложной функ-
ции, находим
Ф'(0 = Г[ф(О] • Ф'(о = ДФ(О]Ф'(О.
304
Отсюда следует, что функция Ф(£) яв-
ляется первообразной для функции
/T<p(t)](p'(t), непрерывной на [а, |3], и поэто-
му, согласно формуле Ньютона—Лейбни-
ца, получаем
Р
ШО]ф'(О аг = Фф) - Ф(а)=
а
Ь
= *т<рф)] - *1<Р(а)] = F(b) - F(a) = f/(x) dx. 
а
Формула (1) называется формулой замены переменной
или подстановки в определенном интеграле.
Замечание 1. Если при вычислении неопределенного интегра-
ла с помощью замены переменной мы должны были от новой пере-
менной t возвращаться к старой переменной х, то при вычислении
определенного интеграла этого можно не делать, так как цель — най-
ти число, которое, в силу доказанной формулы, равно значению каж-
дого из рассматриваемых интегралов.
а
□ Пример 1.Вычислить интеграл Jх2 Ja2 - х2dx.
о
Решение. Рассмотрим подстановку х = a sin t, 0 < t < л/2.
Такая замена переменной удовлетворяет всем условиям теоре-
мы 4.9. Действительно, во-первых, функция /(х) = x2Ja2 - х2
непрерывна на [0, а], во-вторых, функция х = a sin t дифферен-
цируема на [0, л/2] и х/ = a cos t непрерывна на [0, л/2] и,
в-третьих, при изменении t от 0 до тс/2 функция х = a sin t воз-
растает от 0 до а, при этом ф(0) = 0 и ф(л/2) = а. Так как dx =
= (a sin t)' dt = a cos t dt, то, применяя формулу (1), получаем
а __________ л/2	4 я/2
Jx2 Ja2 - х2 dx = a4 j sin21 cos21 dt =	J sin2 2t dt =
о	о	4 о
а4	a4 (	1	.	\ |Лу/2	ла4	_.
= -Q-	J (1	- cos 4t) dt =	-Q-1 t -	7 sin 4t I	= -tt-.	□
8	о	8 V	4 J|o	16
Замечание 2. При использовании формулы (1) необходимо
проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти
условия нарушаются, то замена переменной по указанной формуле
может привести к неверному результату.
305
□ Пример 2. Вычислить интеграл jdx.
о
я
Решение. Имеем jdx = x
о
л
= л. С другой стороны,
о
к
dx
dx
0cos2x(l + tg2x) ’
л к
Jdx = J ---Т---2“
5 Jsm^x + cos2x
Подстановка t = tg х формально приводит к следующему ре-
зультату:
я я , „, ч О
fdx-L^TTT- -Jrz^ -о-
J J1 + 4!X Jl + <!
Получен неверный результат, так как л 0. Это произошло
потому, что функция t = tg х разрывна при х = л/2 и не удовлет-
воряет условиям теоремы 4.9. □
Упражнение. 1) Найдите ошибку, допущенную при сле-
дующем вычислении интеграла:
2 j г	=	1 ,	dt x=-;dx = --^			1 lzf2	dt
J24 + х2	X	-2	2	J t2(4+ I/*2) 1/^
	t	-1/2	1/2	
1/Z
^Результат явно неверный, интеграл от всюду положитель-
ной функции ( ± ± х2 > 0 ) оказался равным отрицательному
Л Л
числу - 4 . I
2) Вычислите данный интеграл. (ОТВЕТ, л/4.)
1 Здесь вертикальными линиями отделены вспомогательные за-
писи. Замену пределов интегрирования удобно записывать в виде
таблицы
х	а
~t	а
b
Г'
306
□ Пример 3. Вычислить интеграл [-== двумя способами:
з7х + 1
с помощью формулы Ньютона—Лейбница и с помощью форму-
лы замены переменной в определенном интеграле.
Решение. Способ 1. Сначала найдем первообразную от по-
„ ,	х
дынтегральнои функции -7=.
л/X + 1
Положим t = 7х 4- 1, тогда х = t2 - 1, dx = 2t d£. По форму-
ле (1) из § 4.4 находим
J-^=J== =	~ l)2*d* = 2J(t2 - 1) dt = 2^ - t j + C.
Возвращаясь к переменной x, получаем
J xd^ = 2r J(x + l)3 _	'j + c
J Jx + 1	\	6	J
Следовательно, одной из первообразных от подынтегральной
,	,	7(Х + I)3	/---т А
функции является функция 2 ——5—— -а/х + 1 . Применяя
у о	/
формулу Ньютона—Лейбница, окончательно находим
Рр. - 21"	ц’_
J377Ti I з N J|3
- 2f - 78П ) - 2f - ЛТ1 h lot
\ О	) у о	J	о
Способ 2. Положим t = Jx 4- 1, т. e. x = <p(£) = t2 - 1. При
x = 3 имеем t = 73 + 1 = 2; при x = 8 имеем t = 78 4- 1 = 3, при
этом ф(2) = 3 и ф(3) = 8. Итак, новые пределы интегрирования:
а = 2, Р = 3. Так как dx = (t2 - 1)' d£ = 2t df, то, применяя фор-
мулу (1) замены переменной, находим
8 j	3 z о ч	3
I xd^ = j(t ~1)2fdt = 2j(t2-l)dt =
3VX + 1	2 Г	2
Результат, как и следовало ожидать, получился тот же, но
вычислений меньше, так как нет необходимости возвращаться
от переменной t к переменной х. □
307
Упражнения. Вычислите интеграл.
1. J-^=.	2.	.	3. J7а2 - х2 dx.
ol + 7i jo
г x2dx
о Ja2 - x2
я/З
(T2)/2 ь ,	1	,,
9' [ J=I<lx(x-cos(). 10. J 4eZ, Д2*, + 34 (t - e>).
ОТВЕТЫ. 1. 1. 2. 4 - 21n 3. 3. ^.4.	5. 2	6. %.
4	4	2	6
_ 1 _ 5a/2 л л . 1	a/2 _л 1	. 2e + 3 n .. A
7* 3 * 8* "12" * 9* 4 + 1 "2" * 10‘ 16 arctg §	40*11*4 K-
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	При каких условиях справедлива формула замены перемен-
ной в определенном интеграле?
2.	Почему при замене переменной в определенном интеграле
можно не возвращаться к старой переменной?
3.	Приведите пример, когда нарушение условий теоремы 4.9
привело бы к неверному результату.
§ 4.9. Формула интегрирования по частям
в определенном интеграле
ТЕОРЕМ А 4.10. Если функции и(х) и v(x) непре-
рывные вместе со своими производными и\х) и
и\х) на отрезке [а, &], то справедлива формула
ь	ь
Judu = uv\^ - Jp du.	(1)
a	a
Доказательство. Функции u(x) и u(x) по условию име-
ют производные, поэтому, по правилу дифференцирования про-
изведения,
[u(x)p(x)]' = u(x)v'(x) 4- p(x)u'(x).
Откуда следует, что функция и(х)р(х) является первообраз-
ной для функции u(x)v'(x) 4- u(x)u'(x). А так как функция
u(x)v'(x) 4- u(x)u'(x) непрерывна на отрезке [а, &], то интеграл
308
от нее существует, т. е. она интегрируема на этом отрезке и, по
формуле Ньютона—Лейбница,
ь
$u(x)v'(x) -F v(x)u\x)\ dx = [u(x)p(x)]£.
a
Отсюда, согласно свойству 4° определенных интегралов
(см. § 4.5, п. 2), получаем
ь	ь
$u(x)v'(x) dx 4- jp(x)u'(x) dx = [u(x)p(x)]*,
a	a
или, что то же,
b	b
\u dp = uv\ba - jp du,
a	a
т. e. формулу (1). 
Формула (1) называется формулой интегрирования по
частям в определенном интеграле.
е
□ Пример 1. Вычислить jin х dx.
1
Решение. Положим и = In х, dv = dx, отсюда du = —,
х
v = х и по формуле (1) находим
jin х dx = х In x|f - jx— = [х In х - x]f = 1.
1	i x
2
Пример 2. Вычислить jxex dx.
1
Решение. Положим u = x, dp = ex dx, отсюда du = dx,
p = ex и по формуле (1) имеем
2	2
jxex dx = xex\l - jex dx = [ex(x - 1)]J = e2.
1	1
1
Пример 3. Вычислить jarctgxdx.
о
Решение. Положим и = arctg х, dp = dx, отсюда du =
dx	,
=	, p = x и по формуле (1) получаем
Jarctg x dx = x arctg x|J - J =
о	о
= [x arctg x - | In (1 + x2)]* = ^ - In л/2 . □
309
Упражнения. Вычислите интеграл.
я/2 1. j X COS X 0 1 _ г arcsin x . 5. 1 .	dx. 0 71 + X	1	elnx	1 dx. 2. Jarcsin x dx. 3. J dx. 4. Jx e* dx. о	i 7x	о Л/2	Tt/3	TC2 */4 6. f x2sinxdx. 7. J x * . 8. j sinTxdx. о	7/4sin2*	0
ОТВЕТЫ. 1. я/2-1.2. л/2-1.3. 2(2- Те). 4. 1.5. л72 -4.
6. л - 2. 7. 71(9 4fi4^) + Ьп? . 8. 2.
ОО	Z Z
Указание. Сначала применить метод замены перемен-
ной, положив t = л/х, а затем метод интегрирования по частям.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Докажите формулу интегрирования по частям в определен-
ном интеграле.
2. Где конкретно в ходе доказательства использовано условие
непрерывности производных функций и(х) и р(х)?
§ 4.10. Некоторые физические
и геометрические приложения
определенного интеграла
1. Площадь криволинейной трапеции. Пусть на плос-
кости Оху дана фигура, ограниченная отрезком [а, &] оси Ох,
прямыми х = а, х = Ь и графиком непрерывной и неотрицатель-
ной функции у = /(х) на [а, &]. Такую фигуру называют криво-
линейной трапецией, площадь S1 которой может быть вы-
числена по формуле
ь
S = J/(x)dx.	(1)
а
 Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, Ь] на п
частей точками а = х0 < хх < х2 < ... < xz _ х < х£ < ... < хп = &,
выберем на каждом частичном отрезке [х. _ р xj, i = 1, 2, ..., п,
произвольно точку ^(х. _! < < х£).
1 С понятием площади произвольной плоский фигуры (а также
объема тела и площади поверхности) можно познакомиться в любом
полном учебнике по математическому анализу.
310
Рассмотрим ступенчатую фигуру (рис. 77). Ее площадь бу-
дем считать приближенно равной площади S криволинейной
трапеции:
1=1
где Axz = xt - xt _ Р Таким образом, получена интегральная сумма
о для интеграла (1). Так как функция f(x) непрерывна на [а, &],
то предел этой суммы существует при X = max {AxJ —► 0 и пло-
Ki<n
щадь S криволинейной трапеции численно равна определенно-
му интегралу от функции f(x) на [а, &]:
п	&
S = lim z /(^,)Дх;= Jftx) dx. 
о i=l	а
Итак, определенный интеграл от неотрицательной
непрерывной функции f(x) на [а, &] численно равен пло-
щади криволинейной трапеции с основанием [а, &], огра-
ниченной сверх графиком функции у = /(х). В этом заклю-
чается геометрический смысл определенного интеграла.
□	Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графи-
ком функции у = ха, а > 0, прямой х = 1 и осью Ох (рис. 78).
Решение. По формуле (1) имеем
S = Jx“ dx = i-
о a + 1
1 _ 1
о а + 1’
Если а = 1, то S = 1/2; если а = 2, то S = 1/3 и т. д. □
311
Более сложные задачи на вычисление площадей решают, ис-
пользуя свойство аддитивности1 площади: можно разбить фигу-
ру на непересекающиеся части и вычислить площадь всей фигу-
ры как сумму площадей этих частей.
□	Пример 2. Найти площадь S фигуры, ограниченной ли-
ниями у = х, у = 1/х2, у = 0, х = 3.
Решение. Данную фигуру можно рассматривать как кри-
волинейную трапецию, ограниченную осью абсцисс, прямыми
х = Оих = Зи графиком функции, которая на отрезке [0, 1] рав-
на х, а на отрезке [1, 3] равна 1/х2. Записать первообразную та-
кой функции нелегко. Поэтому разобьем данную криволиней-
ную трапецию прямой х = 1 на две части (рис. 79). Площади
этих частей легко найти по формуле (1):
1	2 1 1	1 12	1	9
Si =jxdx = Y 0 = 2; s2 = |T2dx = _j|i =-з + 1 = §•
Согласно свойству аддитивности площади, S =	4- S2 = 7/6.
Иногда при вычислении площадей фигур бывает полезно
еще одно свойство площади, которое называют инвариантно-
стью2 относительно перемещений: одинаковые фигуры
имеют одинаковые площади.
□ Пример 3. Найти площадь S фигуры, ограниченной ли-
ниями у = а/х, у = 2, х = 0.
Решение. Данная фигура (рис. 80) станет криволинейной
трапецией, если отразить ее относительно прямой у = х (рис. 81).
Рис. 81
1 Аддитивный — от лат. additivus (получаемый сложением).
2 Инвариантный — от франц, invariant (неизменяющийся).
312
График функции у = Тх отобразится при этом в график обрат-
ной функции у = х2, прямая у = 2 — в прямую х = 2. Так как
симметричные фигуры одинаковы, то они имеют равные пло-
щади, поэтому по формуле (1) имеем
2	О 2 Q
S=jx2dx=^- = ?. □
о	d о 6
Замечание. Другое решение этой задачи можно получить, за-
метив, что данная фигура дополняется криволинейной трапецией
(снизу) до прямоугольника, площадь которого равна 8. Поэтому
4
S = 8-J7xdx=(8-
О	'
16 = 8
3	3 ’
7 о
Такое решение — еще один пример использования свойства адди-
тивности площади: данная фигура представляется как «разность»
двух более простых фигур.
Прием вычисления площадей, рассмотренный в замечании,
можно сформулировать в более общем виде. Пусть на отрезке
[а, &] заданы две непрерывные функции ух = /\(х) и у2 = /2(х),
причем при всех значениях х из этого отрезка ух < у2. Найдем
площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, а
также прямыми х = а и х = & (рис. 82).
Если обе функции неотрицательны, то площадь данной фи-
гуры равна разности площадей криволинейных трапеций, огра-
ниченных сверху соответственно графиками функций у2 =
= /2(х), У1 = Л(х)» прямыми х = аих = &и осью абсцисс. Следо-
вательно, площадь S данной фигуры можно найти так:
ь	ь	ь
s = \f2{x) dx - J/^x) dx = \(f2(x) - /\(х)) dx. (2)
a	a	a
Формула (2) справедлива для любых непрерывных функций
1/1 = /\(х) и у2 = /2(х), не обязательно положительных. Действи-
тельно, если функции уг и у2 могут принимать и отрицательные
значения (но по-прежнему ух < i/2) (рис. 82), то прибавим к обеим
функциям одну и ту же постоянную С, которую выберем настоль-
ко большой, чтобы графики функций у3 =	+ С и у4 = f2 4- С
оказались выше оси абсцисс (рис. 83). Фигура на рисунке 83 по-
лучается из фигуры, изображенной на рисунке 82, параллель-
ным переносом и поэтому имеет такую же площадь. К фигуре на
рисунке 83 применима формула (2)
Ь	b	ь
s = J[/2(X) + С] dx - ЯЛ(х) + С] dx = J[(/2(x) + С) - (Л(х) + С)] dx.
а	а	а
313
Поскольку (/2(х) + С) - (/\(х) + С) = /2(х) ~ Л(х)> формула (2)
верна и для фигуры, изображенной на рисунке 82.
□ Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной графи-
ками функций у1 = f^x) = хиу2 = /2(х) = 2 - х2 (рис. 84).
Решение. На рисунке 84 видно, что пределами интегриро-
вания являются абсциссы точек пересечения графиков данных
функций. Найдем их. Для этого решим систему уравнений
У = х,
у = 2 - х2.
В результате получаем: хг = -2, х2 = 1. Искомую площадь
находим теперь с помощью формулы (2)
\	г	-у* 2 11 Q
S= J [(2-x2)-x]dx= [2х-|-	=
Пример 5. Найти площадь, за-
ключенную между параболой у = х2 -
- 2х + 2, касательной к ней в точ-
ке (3; 5), и осью Оу.
Решение. Уравнение касатель-
ной к кривой /(х) = х2 - 2х + 2 в
точке (3; 5) имеет вид
У - 5 = f (3)(х - 3).
Поскольку f(x) = 2х - 2 и f(S) =
= 2 • 3 - 2 = 4, получаем уравнение
касательной у - 5 = 4(х - 3) или у =
= 4х - 7.
314
Ветви параболы направлены вверх, поэтому
она лежит над касательной, т. е. х2 - 2х + 2 >
> 4х - 7 на отрезке [0, 3] (рис. 85). По форму-
ле (2) находим искомую площадь
з
S = J[x2 - 2х + 2 - (4х - 7)] dx =
О
3	_ 3	3
= f(x2 - 6х + 9) dx = Г^- - Зх2 + 9x1 = 9. □
о	L ®	Jo
Упражнения. Вычислите площадь фигу-
ры, ограниченной следующими линиями.
1. у = 4 - х2, у = 0. 2. у2 = 2рх, х = h.3. у =
= In х, х = е, у = 0. 4. у = х2, у = 2 - х2. 5. у =
= sin Зх, у = 0, где 0 < х < л/3. 6. ху = 4, х = 4,
у = 4, х = 0, у = 0. 7. у = х2, у = 1. 8. у = |х| + 1,
у = 0, х = -2, х = 1. 9. у = х2, у = л/х. 10. у =
= |х2 - 1|, у = 0, х = -2, х = 2. 11. у = arcsin 2х,
х = 0, у = -л/2.12. Найдите площадь фигуры, заключенной меж-
ду параболой у — -х2 + 4х - 3 и касательными к ней в точках
(0; -3) и (3; 0).
ОТВЕТЫ. 1. 32/3.2. |йл/2рЛ.З. 1.4. |. 5. |. 6. 41п(4е).
7. 4/3. 8. 11/2. 9. 1/3. 10. 4. 11. 1/2. 12. 9/4.
При вычислении площади криволинейной трапеции в слу-
чае, когда верхняя граница задана параметрическими уравне-
ниями х = <р(£), У = V(0, ос < t < Р1 2, в формуле (1) надо сделать за-
мену переменной, положив х = <р(£), &х = Ч>'(0 dt• Тогда получим
Р
S = j\|/(t )<p'(t)dt,	(3)
а
где а и Р — значения параметра t, соответствующие значениям
х = а и х = &, т. е. а = <р(а), Ь = <р(Р).
□	Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной одной
аркой циклоиды2 х = a(t - sin t), у = а(1 - cos t)9 0 < t < 2л,
и осью Ох (рис. 86).
1 О параметрическом задании кривой см. § 3.11.
2 Циклоида — плоская кривая, которую описывает точкам ок-
ружности, радиус которой а, катящейся без скольжения по прямой
линии.
315
Решение. По формуле (3) имеем
2л
S = J [а(1 - cos t)a(l ” cos t)] dt =
о
2К	2П/	1-4-	9 + X
= a2 J (1 - cos t)2 dt = a2 J | 1 - 2 cos t +-— | dt =
о	(Л	*	)
гЗ	1	~i2n
= a2|_g t - 2 sin t 4- j sin 2tJ = 3 na2. □
Замечание. Формула (3) может быть также использована для
вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой, при
условии, что вся кривая обходится по направлению вращения часо-
вой стрелки, когда параметр t изменяется от а до р.
Упражнение. Вычислить площадь эллипса х = a cos t, у =
= &sin t, 0 < t < 2л. (ОТВЕТ, nab.)
С помощью интегрирования получим известную формулу для
площади круга радиусом R.
□	Пример?. Показать, что площадь S круга, радиус которо-
го R, равна nR2.
Решение. Составим нужный интеграл. Для этого введем
систему координат Оху и рассмотрим круг радиусом R с центром
в начале координат (рис. 87). Этот круг — множество точек (х; у)9
координаты которых удовлетворяют соотношению х2 + у2 < R2.
Четверть круга в I квадранте — это криволинейная трапеция,
ограниченная графиком функции у = Jr2 - х2 , осью Ох и пря-
мыми х = 0 и х = R. Следовательно,
Q R J________
4 = J JR2 - x2 dx.
4 о
316
Вычислим этот интеграл. Сделаем подстановку х = R sin t,
О < t < л/2. Проверим законность такой замены переменной,
т. е. выясним, выполняются ли условия теоремы 4.9. Имеем:
1)	функция /(х) = JR2 - х2 непрерывна на отрезке [О, Я], а
функция х = ф(£) = R sin t дифференцируема на отрезке [0, л/2]
и ее производная ф'(0 = R cos t непрерывна на этом отрезке;
2)	при возрастании t от 0 до л/2 функция ф(£) = R sin t воз-
растает от 0 до /?, т. е. множество значений функции х = ф(£) —
отрезок [0, /?];
3)	ф(0) = 0, ф(л/2) = R.
Таким образом, подстановка х = R sin t удовлетворяет всем
условиям теоремы 4.9. Применяя формулу (1) из § 4.10, находим
Q R __________ л/2 _______________ я/2
-т = J JR2 - х2 dx = j Jr2 - R2sin2t R cos t dt = R2 j cos21 dt =
4	о	о	0
R2 V/l	R2 Г+ U. 1 • О*Г/2 *R2
= -g- J (1 + cos 2t) dZ = -g-	+ g sin 2t j =	.
Итак, получена формула площади круга: S = nR2. □
2. Длина дуги кривой. Пусть плоская кривая АВ задана
уравнением у = /(х), а < х < &, где /(х) — непрерывная на отрез-
ке [а, &] функция. Разобьем кривую АВ на п произвольных час-
тей точками А = Мо, М19 М2, ..., р Mi9 ..., Мп_ р Мп = В в
направлении от А к В. Соединив эти точки хордами, получим
некоторую вписанную ломаную линию, периметр которой обо-
значим через Р (рис. 88). Обозначим через lt длину одного звена
Mt _ ломаной линии, а через ц — длину наибольшего из ее
звеньев: ц = max {ZJ.
317
Определение. Число L называется пределом пе-
риметров Р при ц —► О, если для любого е > О существует
8 > О такое, что для всякой ломаной, у которой ц < 8,
выполняется неравенство
|L - Р| < е.
Если существует конечный предел L периметра Р вписан-
ной в кривую ломаной линии при ц —> 0, то этот предел называ-
ют длиной дуги АВ:
L= limP.
ц -О
Если функция f(x) непрерывна вместе с f(x) на отрезке
[а, &], то длина дуги АВ выражается формулой
L = f 71 + f2(x)dx.	(4)
а
 Доказательство. Обозначим через xt и /(xz) координаты
точки Мt, так что для абсцисс этих точек получим а = х0 < xt <
< х2 < ... < х- _ 1 < xt < ... < хп = Ь. Тогда длина одного звена ло-
маной равна
li= - xz_j)2 + [f(xt) - /(x^i)]2.
По формуле Лагранжа имеем
Лхг) - f(xt _ i) = f (^)(х; - Xi _ J, xt _ i <	< xt.
Следовательно,
li = 71 + f'2^d&Xi’ &Xi=Xi-Xi_г.
Таким образом, периметр всей ломаной равен
n	п I	z
р= zii= z 71 + г2(^)дхр
i=l i=l
т. е. получена интегральная сумма о для интеграла (4). Так как
функция 71 + /,2(х) непрерывна на [а, Ь], то предел этой сум-
мы при X = max {Дх J 0 существует и равен определенному ин-
тегралу (4), а так как X < ц1, то X —► 0 при ц —► 0. Следовательно,
L = limP= lim £ 71 + Г2(^)Дх.= J71 + f2(x)dx. 
Ц 0	A, —* 0 j=l	a
1 = 7(Дх;)2 + (ДУ;)2 . откуда |Дх,| < lt.
318
□	Пример 8. Вычислить длину дуги верхней ветви полуку-
бической параболы у = х3/2 от х = 0 до х = 5 (рис. 89).
Решение. Из уравнения у = х3/2 находим у' = х1/2. Следо-
вательно, по формуле (4) получим
L = JV1 + !/ (x)dx= J /1 +-rdx= н= 1 + т =^T-D
0	о v	v 70
При вычислении длины дуги в случае, когда кривая АВ
задана параметрическими уравнениями х = <р(£), У = V(0,
а < t < Р, где а и Р — значения параметра t, соответствующие
значениям х = а и х = Ь, т. е. а = <р(а), Ъ = <р(Р), в формуле
L = J71 + у'2 (х) dx
а
надо сделать замену переменной, положив х = <р(£), dx = <р'(0 d£.
Тогда получим
Ъ __________ р I——;---------2
L = J71 + у'2(х) dx = j 1 +	1 <p'(t) dt =
₽ /------------
= J 7<р'2(х) + V'2 (t) dt.	(5)
а
□	Пример 9. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды:
х = a(t - sin t), у = а(1 - cos t), 0 < t < 2л (см. рис. 86).
Решение. Из уравнения циклоиды находим; <р'(0 =
= а(1 - cos t), yXt) = a sin t. Когда x пробегает отрезок [0, 2ла],
параметр t пробегает отрезок [0, 2л]. Следовательно, искомая
длина дуги, согласно формуле (5), равна
2яа ________ 2п __________________
L = J 71 + z/'2(x)dx = J	у'2 (t)dt =
о	о
2я _________________ 211	t	t\2K
= J а 7(1 - cosf)2 4- sin2f dt = 2a f sin^dt = -4acosI = 8a.
0	0	zlo
Пример 10. Показать, что длина L окружности радиу-
сом R равна 2л/?.
Решение. График функции у = JR2 - х2 при 0 < х < R/ 72
представляет собой восьмую часть окружности (рис. 90). Следо-
вательно,
f B/V2
§ = J 71 + [f(x)]2dx.
319
Ja
x = a cos3 t,
у = a sin3 t
-a
a
-a
Астроида
0
Puc. 91
Так как f'(x) = ........, то 1 + [/'(лЭ]2 =
гласно формуле (4), получаем
R2
д2 _X2 • ПОЭТОМУ, CO-
8 о Jr2 - х2'
Как и в примере 7, сделаем замену переменной: х = R sin t,
где 0 < t < л/4. Тогда по формуле (1) из § 4.8 замены переменной
имеем
8
откуда приходим к нужному результату. 
Замечание. Хотя в примере 10 удобнее было считать интеграл
в пределах от 0 до R, мы поступили иначе. Это связано с тем, что при
выводе формулы длины дуги предполагалось, что функция!/ = f(x)
имеет непрерывную производную на всем отрезке [а, Ь], в данном
случае при х = R производная функции у = JR2 - х2 обращается в
бесконечность.
Упражнения. Найдите длину дуги кривой.
1. у = х3/2 от х = 0 до х = 4. 2. у == х2 - 1, ограниченной осью
Ох. 3. у = х2 от х = 0 до х = 2. 4. у = S (ех/а 4- е-х/а) от х = 0
до х = а. 5. х = е* sin t, у = cos t, 0 < t < л/2. 6. Астроиды
x = a cos3 t9y — a sin31 (рис. 91).
ОТВЕТЫ. 1. ^(lOTlO -1). 2. л/5 + iln(2+ Тб). 3. 717 +
+ i ln(4 + 717). 4. a(e^~ 1}. 5. 72 (ел/2 - 1). 6. 6a.
320
В заключение рассмотрим понятие дифференциала дуги,
представляющее самостоятельный интерес.
Если в формуле (4) заменить верхний предел Ь переменной
х, то длина дуги станет функцией верхнего предела и формула
(4) принимает вид
Z(x) = J71 + f2(t) di,
a
где Z(x) — переменная длина дуги. Так как здесь подынтеграль-
ная функция непрерывна, то, согласно теореме 4.8 о производ-
ной интеграла по переменному верхнему пределу, имеем
Z'(x) = ( JV1 + / (*) сИ = 71 + /,2(х),
откуда следует формула для дифференциала дуги dZ = l\x) dx =
= 71 + f'2(x) dx или
dZ = 71 + у'2 (х) dx,	(6)
//ч di/ j, L , fdy\2 .
а так как у (x) =	, то dZ = /1 4-1 I dx, и окончательно полу-
чаем
dZ = 7(dx)24- (dz/)2 .	(7)
Формула (7) позволяет дать простое геометрическое истол-
кование дифференциала дуги dZ. Возводя в квадрат ее левую и
правую части, получаем (dZ)2 = (dx)2 4- (di/)2. Учитывая, что диф-
ференциал функции у = /(х) равен приращению ординаты каса-
тельной (см. § 3.3, п. 1), получаем, что дифференциал дуги dZ
(рис. 92) равен длине отрезка касательной к кривой от точки ка-
сания М(х; у) до точки Р(х 4- dx; у 4- dz/), т. е. гипотенузе пря-
моугольного треугольника с катетами |dx| и |di/|, а равенство
(dZ)2 = (dx)2 4- (dz/)2 представляет собой теорему Пифагора.
3. Площадь поверхности вращения. Пусть кривая АВ за-
дана уравнением у = /(х), а < х < Ь и пусть функция у = f(x) не-
отрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной
на отрезке [а, &]. Тогда поверхность, образованная вращением
кривой АВ вокруг оси Ох, имеет площадь S, которая может
быть вычислена по формуле
ъ _____________
S = 2njf(x)Jl + f\x)dx.	(8)
11 - 3587 Шипачев
321
Рис. 93
 Доказательство. Возьмем на кривой АВ точку М с абс-
циссой х. Тогда длина дуги AM определяется формулой
Z(x) = 171 + f'2(t) dt.
а
Так как функция Z(x) возрастающая (71 + /,2(х) > 0) и не-
прерывная (Z(x) дифференцируема) на [а, &], то, согласно теоре-
ме 2.16, для нее на этом отрезке существует обратная функция
х = ф(/). Но тогда у = /(х) = /[<р(0] = V(0 — сложная функция по
Z, непрерывная на [0, L], где L — длина кривой АВ. Таким обра-
зом, кривая АВ может быть задана параметрически уравнения-
ми х = ф(/), у = y(Z), 0 < I < L, где I — параметр.
Разобьем кривую АВ на п частей точками А = Ад, А19 А2, ...
..., At _ р Ар ..., Ап = В (рис. 93). Длину частичной дуги Ai_1Ai
обозначим через Д/ = lt - lt _ Р При вращении кривой АВ вокруг
оси Ох получим поверхность, составленную из п боковых поверх-
ностей, приближенно равных боковым поверхностям усеченных
конусов (цилиндров). Площадь боковой поверхности f-го усечен-
ного конуса (цилиндра) равна произведению длины окружности
2л/? (радиус R равен полусумме радиусов верхнего и нижнего ос-
нований конуса) на длину образующей (хорды At _ х Az). Поэтому,
если положить R = i/(£z), lt _ i < < li9 длину хорды At _ x Az, рав-
ной Д/р то получим, что площадь St боковой поверхности
2л </(^)Д/р
Площадь всей поверхности вращения приближенно равна
сумме площадей частичных поверхностей Si9 т. е.
п	п	п
s = Z St = Z 2л у(Ъ) Mt = 2п£ у (U Mi.
i=l	i=l	i=l
322
С другой стороны, эта сумма является интегральной суммой.
Так как функция у(1) непрерывна на [О, L], то предел этой сум-
мы при X = max {Д/J —► 0 существует и равен определенному
1 i п
интегралу от функции у(1) по [0, £]. Следовательно,
S = lim 2л Z у(£Л &L = 2л lim Z i/(L)
Х-0 i=i	X->0i=i
или
L
S = 2n\y(l)dl.	(9)
о
Перейдем в интеграле (9) от переменной интегрирования I к
переменной х. Эти переменные связаны следующей формулой:
Z(x) = J 71 + f'\t) dt. Если I = 0, то х = а, если I = L, то х = Ъ.
а
А так как у = y(l) = f(x) и dl = 71 + /,2(х) dx (см. формулу (6)),
то из формулы (9) окончательно имеем
8 = 2л|Ях)71 + /'2(x)dx. 
а
Замечание. Если поверхность получается вращением кривой
АВ, заданной уравнением х = ф(г/), с < у < d, вокруг оси Оу, то ее по-
верхность
d _____________________________________
S = 2nJ(pCf/)Vl + <p'2(i/) dy.
С
□ Пример 11. Часть сферы, вырезаемую двумя параллель-
ными плоскостями, находящимися на расстоянии Н друг от
друга, называют шаровым поясом высоты Н. Вычислить
площадь поверхности шарового пояса, если радиус шара ра-
вен R, а высота пояса равна Н (рис. 94).
Решение. Поверхность шарового пояса можно рассматри-
вать как поверхность тела, полученного при вращении дуги ок-
ружности у = JR2 - х2 , где а < х < b, Ь - а = Н, вокруг оси Ох
-х	R2
(рис. 95). Так как у' =	, то 1 + [f(x)]2 = д2 _ поэто-
му, согласно формуле (8),
ь t______________	„2	Ь
S = 2лj Jr2 - х2 • . dx = 2nRjdx = 2nR(b - a) = 2nRH.
a	Jr2 - x2	a
Итак, площадь поверхности S шарового пояса вычисляется
по формуле S = 2itRH. Если Н —► 2R, то в пределе получим пло-
щадь поверхности всей сферы: S = 4л/?2. □
323
Замечание. Из решения примера 11 следует, например, что
если около шара описан цилиндр, то поверхность шарового пояса, за-
ключенного между двумя плоскостями, которые перпендикулярны
оси цилиндра, равна части поверхности цилиндра, заключенной
между этими же плоскостями.
Если поверхность получается вращением вокруг оси Ох кри-
вой АВ, заданной параметрическими уравнениями х = ф(£),
у = v(0, ос < t < Р, причем y(t) > 0, ф(£) изменяется от а до & при
изменении t от а до р, то, производя в интеграле (8) замену пе-
ременной по формулам х = ф(£) у =	), получим
S = 2nJv(t)7<p,2(t)+ y'2(t) dt.	(10)
а
□ Пример 12. Вычислить площадь S поверхности, получен-
ной вращением циклоиды х = a(t - sin t), у = а(1 - cos t), 0 < t <
< 2л, вокруг оси Ох (см. рис. 86).
Решение. По формуле (10) имеем
2л
S = 2л jа(1 - cos oV(asinf)2 4- [а(1 - cosf)]2cH =
о
2к	кл
= 2 а/2 па2 J (1 - cos £)3/2 dt = па2. □
о	6
Упражнения. Найдите площадь поверхности, образован-
ной вращением фигуры вокруг оси Ох.
1. Дуги синусоиды у = sin х от х = 0 до х = л. 2. Дуги кри-
х3
вой у = -Q- от х = -2 до х = 2. 3. Дуги кривой у2 = 4 4- х, отсе-
о
ченной прямой х = 2. 4. Полуокружности у = 7-R2 _ х2.5. Дуги
кривой у2 = 4х от х = 0 до х = 3. 6. Дуги кривой х = ef sin t,
у = е* cos t от t = 0 до t = л/2. 7. Астроиды х = a cos3 t,y = a sin31,
0 < t < 2л.
324
ОТВЕТЫ. 1. 2л[ J2 + In (1 + 72)]. 2. 34^—-л. з. б2л/3.
У
4. 4тШ2. 5. 56л/3. 6.	(е” - 2). 7. л.
О	о
4. Объем тела. Как уже известно, с помощью определенно-
го интеграла можно вычислять площади фигур и длины кри-
вых. Нахождение объемов некоторых тел также можно свести
к вычислению определенных интегралов.
Рассмотрим некоторое тело (рис. 96) и вычислим его объем V.
Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскос-
тями, перпендикулярными оси Ох. С изменением х площадь се-
чения также будет изменяться, т. е. являться некоторой функ-
цией х. Обозначим эту функцию через S(x) и будем считать ее
непрерывной функцией на отрезке [а, &]. Тогда объем тела
ь
V=JS(x)dx.	(11)
а
□ Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [а, &] на п
частей точками а = х0 < хг < х2 < ... < xt _ х < xt < ... < хп = Ь.
Через эти точки проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох.
Эти плоскости разобьют тело на п слоев. Найдем объем j-ro
слоя, образованного сечениями с абсциссами х- _ х и х-. Его
объем Vt приближенно равен объему прямого цилиндра, основа-
ние которого совпадает с сечением тела, соответствующим какой-
либо точке ^.(xz _ i < х.), и, следовательно, имеет площадь
S(^), а высота равна Дх£ = xz - xz _ р т. е.
^ = 8(^)Дхг.
Сумма объемов всех п слоев приближенно равна объему V
данного тела:
v~
i=l
Таким образом, получена интегральная сумма для интегра-
ла (11). Так как функция S(x) непрерывна на [а, &], то предел
этой суммы при X = max {ДхД —* 0 существует и равен опреде-
1 < i < п
ленному интегралу (11). Таким образом,
V = lim Z S(^)Axz = JS(x)dx. 
X -» 0 i=i	a
□ Пример 13. Вычислить объем пирамиды, высота которой
равна Н, а площадь основания Q.
325
Рис. 96
Рис. 97
Решение. Введем систему координат Оху так, чтобы нача-
ло координат находилось в вершине пирамиды, а ось Ох прохо-
дила по высоте Н от вершины к основанию (рис. 97). Пересечем
пирамиду плоскостью, параллельной основанию. Расстояние от
вершины пирамиды до секущей плоскости обозначим через х,
О < х < Н, а площадь сечения — через S(x). Найдем функ-
цию S(x). Для этого воспользуемся известным из элементарной
геометрии свойством сечений пирамиды, параллельных основа-
нию, и составим пропорцию
S(x) = х*_
Q Н2'
откуда находим
<S(x) =	х2.
Подставляя последнее равенство в формулу (11), имеем
н	н а	а н
V = j S(x) dx = j	х2 dx =	j х2 dx =
о	ом	м 0
1
0	3H2	3QH •
Q х3
Н2 ’ 3
Итак, мы получили формулу объема пирамиды:
v=\qh. □
о
В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг
оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функ-
цией у = /(х), а < х < &, объем тела вращения вычисляется по
формуле
ь	ь
У = л J( Л*))2 dx = к\у2 dx.
а	а
(12)
326
Действительно, сечение тела вращения плоскостью, перпен-
дикулярной оси Ох и проходящей через точку х, представляет
собой круг радиусом f(x) (рис. 98). Поэтому площадь этого сече-
ния (площадь круга) равна л(/(х))2. Таким образом, для рас-
сматриваемого тела вращения площадь сечения S(x) = л(/(х))2.
Из формулы (11) получаем, что
ъ	ъ	ь
У = /л(/(х))2 dx = л j(/(x))2 dx = к\у2 dx.
а	а	а
Замечание. Если криволинейная трапеция 0 < х < Ф(</)»
а < у < Ъ вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения
ь	ь
V = nj(<p(i/))2 di/ = л Jx2 dy.
а	а
□ Пример 14. Вычислить объем шара радиусом R.
Решение. Шар радиусом R получается вращением полуок-
ружности у =	- х2 вокруг оси Ох (рис. 99), поэтому его
объем V можно найти по формуле (12). Используя симметрию
данного шара относительно оси Оу, находим
Я	3 Д А
V=n J (ftx))2dx = 2я[(7В2 - x2)2dx = 2лГ«2х -	1 = 5 лЯ3.
-я	о	L 3 Jo 3
Таким образом, получена формула объема шара: V = л/?3. □
о
Упражнения. Вычислите объемы тел, образованных вра-
щением фигуры, ограниченной линиями.
X2 jy 2
+	= гДе У 0, вокруг оси Ох. 2. у2 = 2рх,
х = h вокруг оси Ох. 3. у = sin х, у = 0, 0 < х < л, вокруг: 1) оси
Ох; 2) оси Оу. 4. у = х2, у = Jx, вокруг оси Ох. 5. у = ех, х = О,
327
х = 1, у = 0, вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. 6. г/ = х3, у = 1, х = О,
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. 7. у = In х, у = 0, х = е, вокруг:
1) оси Ох; 2) оси Оу. 8. х2 - у2 = 4, у = 2, у = 0, вокруг оси Ох.
9. у = 4/х, х = 1, х = 4, у = 0, вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
10. у = j х2 х = 1, х = -1, у = 0, вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
ОТВЕТЫ. 1.4/Зла&2. 2. nph2. 3. л2/2; 2л2. 4. Зл/10.
5. л(е2 - 1 )/2; 2л. 6. 6л/7; Зл/5. 7. л(е - 2); л(е2 4- 1 )/2.
8. ^(2^2 - 1). 9. 12л; 24л. 10. л(л + 2)/4; л In 2.
О
В заключение рассмотрим понятие дифференциала перемен-
ного объема, имеющего широкое применение (см. пример 16).
Если в формуле (12) заменить верхний предел Ь переменной х,
то объем тела станет функцией верхнего предела и формула
принимает вид
У(х) = fny2dx,
а
где V(x) — переменный объем тела. Так как подынтегральная
функция непрерывна, то, согласно теореме 4.7 о производной
интеграла по переменному верхнему пределу, имеем
V'(x) = Г \пу2 dx 1 = лг/2,
' а	'
откуда следует формула для дифференциала переменного объема
dV = V\x) dx = л у2 dx или dV = л г/2 dx.
5. Работа переменной силы. Пусть материальная точка
перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси
Ох и имеющей переменную величину, зависящую от х. Требу-
ется определить работу А, совершаемую силой F, по перемеще-
нию материальной точки вдоль оси Ох из точки х = а в точку
х = Ь (а < Ъ). Функция F(x) предполагается непрерывной на от-
резке [а, &] (рис. 100).
А/м
F—►
0| xQ=a х1 х2 Xj-i х/Ь = хп х
Рис. 100
328
Разобьем произвольно отрезок [а, &] на п частей точками
а = х0 < Xj < х2 < ... < xz_х < xz< ... < хп= Ь.
Выберем на каждом частичном отрезке [х- _ р xj точку
Сила, которая действует на материальную точку на отрезке
[xz_ р xz], изменяется от точки к точке. Но если длина отрезка
мала, то значение силы в точках отрезка [xz _ р xj мало отлича-
ется от ее значения в любой точке g [х- _ р xj, так как Р(х) не-
прерывна. Поэтому работу А, совершаемую силой F на [xz _ р xj,
можно считать приближенно равной работе, совершаемой на
том же отрезке постоянной силой F(£z), т. е.
А«Р(^)Дхг
Рассуждая аналогично для каждого отрезка разбиения, полу-
чаем приближенное значение работы А силы F на всем отрезке:
п
1=1
С другой стороны, сумма в правой части равенства является
интегральной суммой для функции F(x). Так как функция F(x)
непрерывна на отрезке [а, &], то предел этой суммы при
X = max {Axz} —► 0 существует и равен определенному интегралу
от функции F(x) по отрезку [а, &]. Таким образом,
п	*
А = lim Z Р(^) Лх; = \F(x) dx,	(13)
0 i=i	a
что и требовалось определить.
Пример 15. Определить работу А, необходимую для запу-
ска тела массой тп с поверхности Земли вертикально вверх на
высоту h (рис. 101).
Решение. Обозначим через F силу притяжения тела Зем-
лей. Пусть тп3 — масса Земли. Согласно закону Ньютона,
F = G^,
X2
где х — расстояние от тела до центра Земли. Полагая Gmm3 =
= fe, получаемF(x) = k/x2, R< х < h + R, гдеR — радиус Земли.
При х = R сила F(R) равна весу тела Р = mg, т. е. k/R2 = Р, от-
куда k = PR2, и Р(х) = PR2/x2. Таким образом, по формуле (13)
получаем
П+Л	R+h j	ч i-R + Л	DDlj
А= J P(x)dx = PP2 J dx =-РЯ2±	=^-
я	я х	x\R кт п
329
Рис. 101
Рис. 102
Упражнение. Электрический заряд ер помещенный в на-
чале координат, отталкивает заряд того же знака е2 из точки
х = а в точку х = Ь (а < &). Определите работу А силы F при пе-
ремещении заряда е2. (ОТВЕТ. А = kere2 (1/а - 1/&).
^Указание. Электрические заряды отталкиваются с силой
^1^2
F(x) = где k — постоянная, ег и е2 — величины зарядов,
х — расстояние между ними. )
□ Пример 16. Определить работу А, которую необходимо за-
тратить, чтобы выкачать воду из прямого кругового цилиндра.
Радиус основания цилиндра — /?, высота — Л.
Решение. Работа, которую необходимо затратить, чтобы
поднять тело, равна произведению веса тела на высоту подъема.
Введем систему координат так, как показано на рисунке 102.
Разобьем объем цилиндра плоскостями, параллельными осно-
ванию, расстояние между которыми равно dx. Тогда цилиндр
разобьется на отдельные элементарные цилиндры. Так как речь
идет о воде, удельный вес которой равен единице, то вес ци-
линдрического слоя воды численно равен его объему. Поэтому
вес элементарного цилиндра равен его объему dV = nR2 dx. Так
как сила, которую надо приложить к этому элементарному ци-
линдру, для его поднятия, равна его весу, то работа, которую со-
вершает эта сила, равна
dA = xnR2 dx.
330
Интегрируя, получим всю работу
А = nR2Jxdx =	.
О	z
Данную задачу можно решить и другим способом: сначала
найти приближенное значение искомой величины в виде интег-
ральной суммы, а затем предельным переходом получить точ-
ное значение в виде интеграла. □
Упражнения. 1. Определите работу, которую нужно затра-
тить, чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму полуша-
ра радиусом R.
2.	Шар лежит на дне бассейна глубиной h. Определите ра-
боту, которую необходимо затратить, чтобы извлечь шар из во-
ды, если его радиус равен R и удельный вес шара и воды ра-
вен единице.
3.	Определите работу, которую необходимо затратить, что-
бы выкачать воду из резервуара, имеющего форму конуса,
обращенного вершиной вниз. Высота конуса Л, радиус основа-
ния R.
4.	Под поршнем под давлением Ро в цилиндре находится газ
объемом VQ. Определите работу, которую необходимо затратить
для уменьшения объема газа в два раза при постоянной темпе-
ратуре.
ОТВЕТЫ. 1-^. 2. ^nR1. 3. ^nR2h. 4. PoVoln 2.
(Указание. Использовать закон Бойля—Мариотта: PV = С =
= const.)
6. Давление жидкости. Пусть пластинка ABCD с горизон-
тальными краями АВ и DC вертикально опущена в жидкость.
Требуется определить силу давления Р жидкости на эту пласти-
ну. Введем систему координат так, как показано на рисун-
ке 103. Ось Оу предположим лежащей на поверхности жидкости.
Предположим также, что абсцисса точек А и В пластинки равна
а, абсцисса точек D и С равна Ь. Разобьем произвольно отрезок
[а, &] на п частей точками а = х0 < хх < х2 < ... < xt _ х < xt < ...
... <хп = Ь и проведем через точки деления прямые, парал-
лельные оси Оу. Тогда пластинка разобьется на п полосок. Че-
рез точки деления дуг DA и СВ проведем отрезки, параллель-
ные оси Ох. В результате получим п вписанных прямоуголь-
ников.
331
Рассмотрим i-й прямоугольник MM'N'N. Обозначим осно-
вание MN прямоугольника через yi9 его высоту ММ' через ДхР
Тогда площадь прямоугольника будет равна уг &xt. При малых
можно считать, что глубина погружения в жидкость этого
прямоугольника равна хр следовательно, сила давления жид-
кости на прямоугольник, согласно закону Паскаля1, прибли-
женно равна
Полное давление Р на все п прямоугольников приближенно
равно
i=l
С другой стороны, сумма в правой части равенства является
интегральной суммой для функции ху (у — некоторая функция
от х). Так как функция ху непрерывна на отрезке [а, &], то пре-
дел этой суммы при X = max {AxJ -+ 0 существует и равен опре-
деленному интегралу от функции ху по отрезку [а, &]. Следова-
тельно,
п	г
P = ylim Z xiyiAxi = yjxi/dx,	(14)
X — 0 i=i	a
что и требовалось определить.
1 По закону Паскаля давление жидкости Р на площадку с глуби-
ной погружения h равна Р = yhS, где у — удельный вес жидкости,
S — площадь площадки.
332
□ Пример 17. Вычислить силу дав-
ления жидкости на вертикальную тре-
угольную пластинку, имеющую осно-
вание Ъ и высоту й, погруженную в
жидкость так, что ее вершина лежит на
поверхности жидкости.
Решение. Введем систему коор-
динат таким образом, как показано
на рисунке 104. Пусть MN = у —
ширина пластинки, которая находится
на произвольной глу-
бине х. Из подобия треугольников MBN и АВС имеем
MN х ух
“б	h ИЛИ Ъ “ h ’
Ъх
откуда у =	. По формуле (14) получаем
Р - Jx^dx . £ Jx4x - ?	- $
о й h JQ h L 3 Jo й
й3 _ убй3 n
T 3~- U
Замечание. Пример 17 можно решить и с помощью формулы
дифференциала переменной силы давления жидкости
dP = уху dx,
вывод которой предоставляется сделать читателю самостоятельно.
Упражнения. 1. Вычислите силу давления на полукруг,
вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен /?,
верхний диаметр лежит на свободной поверхности жидкости.
2.	Вычислите силу давления воды на треугольник, высота
которого равна й, а основание 6, если он погружен в воду таким
образом, что основание его лежит на поверхности воды, а высо-
та направлена вертикально вниз.
3.	Вычислите силу давления жидкости на боковые стенки
кругового цилиндра, высота которого равна й, а радиус основа-
ния R. Жидкость полностью заполняет цилиндр.
4.	Вычислите силу давления жидкости на вертикальный эл-
липс с осями 2а и 26, центр которого погружен в жидкость на
уровень h,h>b.
5.	Вычислите силу давления жидкости на вертикальную за-
слонку, закрывающую трубу, если труба, лежащая горизон-
тально, наполовину наполнена жидкостью. Поперечным сече-
нием трубы является круг диаметром 6 м.
2	1
ОТВЕТЫ. 1. дуЯ3. 2. дуйй2. 3. уяЯй2. 4. yabh. 5. 9у.
333
Из рассмотренных задач следует, что для их решения был
применен один и тот же метод: приближенное значение иско-
мой величины представляли в виде интегральной суммы, а за-
тем предельным переходом получали точное значение в виде
интеграла. С помощью этого же метода можно решить ряд
других задач механики, физики и техники.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Что называется криволинейной трапецией?
2.	В чем заключается геометрический смысл определенного
интеграла?
3.	По каким формулам вычисляются площади фигур: а) в пря-
моугольных координатах; б) в случае параметрического за-
дания границы?
4.	Что такое свойство аддитивности площади?
5.	Дайте определение предела периметров ломаной при ц -► 0.
6.	Что называется длиной дуги кривой?
7.	По каким формулам вычисляется длина дуги кривой: а) в
прямоугольных координатах; б) заданной параметрически?
8.	Что такое дифференциал дуги? В чем состоит геометриче-
ский смысл дифференциала дуги?
9.	По каким формулам вычисляется площадь поверхности вра-
щения: а) в прямоугольных координатах; б) в случае пара-
метрического задания кривой?
10.	С помощью какой формулы вычисляется: а) объем тела с из-
вестными поперечными сечениями; б) объем тела вращения?
Выведите формулу дифференциала переменного объема.
11.	Выведите формулу работы переменной силы.
12.	Выведите формулу силы давления жидкости.
13.	Сформулируйте общий метод решения задач с помощью оп-
ределенного интеграла.
§4.11. Несобственные интегралы
Вводя определенный интеграл как предел интегральных
сумм, мы предполагали, что отрезок интегрирования конеч-
ный, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке.
Если хотя бы одно из условий не выполнено, то данное ранее оп-
ределение определенного интеграла теряет смысл. Однако и на
эти случаи можно обобщить понятие определенного интеграла.
В результате такого обобщения и появилось понятие несобст-
венного интеграла.
334
1. Несобственные интегралы с бесконечными предела-
ми интегрирования.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена
на промежутке [а, +°о) и интегрируема по любому от-
резку [а, Я], т. е. существует определенный интеграл
R
J /(x)dx при любом R > а. Тогда, если существует конеч-
а
ный предел
я
lim f/(x)dx,	(1)
Д~+°°а
то его называют несобственным интегралом первого
рода и обозначают
4-00
J /(x)dx.	(2)
а
Таким образом, по определению,
+ОО	R
J f(x) dx = lim J f(x) dx.
a
В этом случае говорят, что интеграл (2) существует или сходит-
ся. Если же предел (1) не существует или бесконечен, то гово-
рят, что интеграл (2) не существует или расходится.
Аналогично интегралу (2) вводится несобственный интеграл
по промежутку (-°°, &]:
ь	ь
J /(х) dx = lim J f(x) dx.	(3)
-oo	R~"~°°r
Наконец, как сумму интегралов вида (2) и (3) можно опреде-
лить несобственный интеграл с двумя бесконечными предела-
ми, т. е.
Ч-оо	с	4-оо
J f(x) dx = J f(x) dx + J f(x) dx,
—OO	—OO	C
где c — любое число, при условии существования обоих интег-
ралов справа.
+°° л
Г-1 Н	4 тт	f
□ Пример!. Исследовать сходимость J у——
О 1 + х
Решение. По определению имеем
4-°°	,	R ,
J , * 2 = lim j . ,Х 2 = lim arctg х|„ = lim arctg R = 5,
О 1 + x2 Д —* 4-oOq 1 4" X2 я—+OO	О й—+OC	2
t. e. данный интеграл сходится.
335
+ОО
Пример 2. Исследовать сходимость j cos xdx.
о
Решение. По определению имеем
+оо	R
f cos х dx = lim f cos x dx = lim sin x|^ = lim sin R,
Q	Я-*+оо0	д^+оо	jR ~* 4-oo
но предел функции sin R при R 4-оо не существует, следова-
тельно, интеграл расходится.
+оо
Пример 3. Исследовать сходимость j exdx.
—оо
Решение. Полагая с = 0, по определению имеем
4-оо	0	+°°
J ех dx = j ех dx + J ех dx;
-ОО	-ОО	О
интеграл расходится, так как
4-оо	R
fexdx= lim fexdx= lim ex|^ = lim (eB-l) = oo.
0	R^+oQq	R^+oo U R^+oo
П	A TT	f dx
Пример 4. Исследовать сходимость J —, a— некоторое
число.
Решение. 1) Если a 1, то для любого R > О
,. г dx .. x1-a
lim I — = lim 4----------
J?-*4-oojXa	Д —* 4-oo 1 a
R
= lim
1 r — +
Я1а- 1
я--- при a > 1,
1 - a H ’
oo приа<1.
1 - a
2) Если a = 1, то для любого R > 0
r dx	R
lim f —- = lim In x|, = lim 1пЯ=°°.
Д —» 4-00 Xa	д_+оо	1	Я—4-oo
Таким образом, данный интеграл сходится при a > 1 и рас-
ходится при a < 1. □
Заметим, что в рассмотренных примерах вычисление несоб-
ственного интеграла основано на его определении. 2
2. Несобственные интегралы от неограниченных функ-
ций.
Определение 2. Пусть функция Дх) определена на
промежутке [а, Ъ). Точку х = b будем называть особой, ес-
ли функция Дх) неограничена в любой окрестности этой
336
точки, но ограничена на любом отрезке [а, Ъ — е], заклю-
ченном в [а, Ь). Пусть на любом отрезке [а, Ъ — е] функция
f(x) интегрируема, т. е. существует определенный интег-
Ъ-е
рал j Дх) dx при любом £ > 0 таком, что Ъ — г > а. Тогда,
а
если существует конечный предел
Ь~Е
lim f /(x)dx,	(4)
£ ~* 0+ а
то его называют несобственным интегралом второго
рода и обозначают
ь
J/(x)dx.	(5)
а
В этом случае говорят, что интеграл (5) существует или схо-
дится. Если же предел (4) не существует или бесконечен, то го-
ворят, что интеграл (5) не существует или расходится.
Аналогично, если х = а — особая точка, то несобственный
интеграл определяется так:
ь	ъ
JДх) dx = lim j Дх) dx.
а	£ -* 0+а+£
Если функция Дх) не ограничена в окрестности какой-ни-
будь внутренней точки се [а, &], то при условии существования
обоих интегралов справа по определению полагают
Ь	с	Ь
\f(x) dx = jf(x) dx + jf(x) dx.
a	a	c
Наконец, если а и & — особые точки, то если оба интеграла
справа существуют, несобственный интеграл определяется как
сумма
Ъ	с	Ь
\f(x) dx = jf(x) dx +J7(x) dx,
a	a	c
где c — любая точка из (а, Ъ).
1 dx
□ Пример 5. Исследовать сходимость интеграла J .	.
о71 - х2
Решение. Подынтегральная функция Дх) = ..-L--- не ог-
71 - х2
раничена в окрестности точки х = 1, т. е. «обращается в беско-
нечность». Поэтому точка х = 1 особая.
337
На любом же отрезке [0, 1-е] она интегрируема, так как
является непрерывной функцией. Поэтому по определению
имеем
1 л	1-е	,
г dx к Г dx	.	,1-е
I .	= lim I ;...... =	lim arcsin x L
о71 -X2	e-0+ 0 71 - X2 e —0+	* * * * 10
= lim arcsin (1 - e) =
e — 0+
Следовательно, интеграл сходится.
Xdx
Примерб. Исследовать сходимость интеграла
a > 0 — некоторое число.	о
Решение. 1) Если a * 1, то
lim
е — 0+
1 -е1-“
1 - a
оо при a > 1,
, * при 0 < a < 1.
2) Если a = 1, то
1.
lim f— = lim In xl* = lim (-lne) = oo,
e-O+e X e-»0+ le e —0+'
Таким образом, данный интеграл сходится при 0 < a < 1 и
расходится при a > 1. □
3. Признак сходимости несобственных интегралов.
ТЕОРЕМА 4.10 (признак сравнения несобственных
интегралов). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на
промежутке [а, +°о) и удовлетворяют на нем усло-
вию 0 < Дх) < g(x), то из сходимости интеграла
J g(x)dx
а
следует сходимость интеграла
4-оо
J ftx)dx,
а
(6)
(7)
а из расходимости интеграла (7) следует расходи-
мость интеграла (6).
338
Доказательство. Введем следующие обозначения:
R	R
F(R) = J f(x) dx, G(R) =Jg(x) dx.
a	a
Так как 0 < Дх) < g(x) при х > а, то в силу оценок 1° и 2° (см.
§4.5) справедливы неравенства
0<Г(Я)<(?(Я)приЯ>а,	(8)
и, кроме того, функция F(R) (а также G(R)) является неубываю-
щей на промежутке [а, +©о). В самом деле, если а < RY < R2,
н2
то J /(х) dx > О и,следовательно,
-^2
F(R2) = J Дх) dx = J Дх) dx + J Дх) dx > J Дх) dx - FtRJ.
a	a	Rx	а
Пусть интеграл (6) сходится, т. е. функция G(R) имеет ко-
нечный предел при R —► +°о. Отсюда в силу неубывания G(R)
следует, что функция G(R) ограничена на [а, +°о). Но тогда, со-
гласно равенству (8), и функция F(R) ограничена на [а, +°о) и,
следовательно, имеет на [а, +<») точную верхнюю грань. Пусть
sup F(R) = I. По определению точной верхней грани для любого
[а, 4-оо)
Е > О найдется такое Яе > а, что 0 < I - F(2?e) < £. Так как функция
F(R) не убывает на [а, +°°), то для любого R > Re выполняется
неравенство F(R) > F(Re) и, значит, 0 < I - F(R) < е при R > Re.
Таким образом, |F(JR) - 1\ < £ при R > Яе. Это означает, что
lim F(JR) = /, т. е. интеграл (7) сходится.
R -* 4-оо
Пусть теперь интеграл (7) расходится. Тогда, если предполо-
жить, что интеграл (6) сходится, то в силу доказанного выше
интеграл (7) сходится, что противоречит условию. Следователь-
но, интеграл (6) также расходится. 
Замечание. Аналогичный признак сравнения для несобствен-
ных интегралов второго рода можно сформулировать следующим об-
разом: если функции f(x) и g(x) непрерывны на полуинтервале (а, £]
и для всех точек х в некотором интервале (а, а + £) выполняются ус-
ь
ловия 0 < f(x) < g(x), то из сходимости интеграла \g(x) dx следует
а
b	Ь
сходимость интеграла jf(x) dx, а из расходимости интеграла jf(x) dx
а	а
Ь
следует расходимость интеграла $g(x) dx.
а
339
"r	J
m «	-» тт	f CLX
□ Пример 7. Исследовать сходимость интеграла J 	-—г.
Решение. Сравним подынтегральную функцию /(х) =
= 2 -,—- с функцией /(х) = —т, на [1, 4-оо). Очевидно, что
X у X "i XJ	X
1 < 1
х2(1 + х) X2 ’
Tdx
Но интеграл J — сходится, так как а = 2 > 1 (см. пример 4).
1 х
Следовательно, согласно признаку сравнения, сходится и
данный интеграл.
4-оо у—
Пример 8. Исследовать сходимость интеграла j 1 dx.
i 1 + х
Решение. Сравнивая подынтегральную функцию + с
функцией -i= на [1, +°°), имеем
2jx
1 _ Jx < Jx
2jx ~	1 +*’
+°° 1 • 1
Но интеграл f —4= расходится, так как ос = ~ < 1 (см. при-
1 27*	z
мер 4). Следовательно, согласно признаку сравнения, и данный
интеграл расходится. □
Упражнения. Исследовать сходимость интеграла.
4-оо
1. J e~xdx.
о
1 + Inx ,
-----dx.
5. J
1
3
9‘ J/9-X2'
13.7-7^=
2	Jx4 +
х
dx
-t-w	1
2. J xe~*2dx. 3. J 2 *
J	J _|_
0
+00
6.	j sin x dx.
0
10. J dx......
. T dx
о
7.	J xexdx.
1.	J-^=.
2 3Vx3 ~ 1
+°° j
_______.15. f d* .
x2 + 2x + 5 ’	‘ J x2 + 4x + 9 ’
4.	J arctg x dx.
0
я/4
8.	J ctg x dx.
0
+°°
12.	J^.
J1 x
ОТВЕТЫ. 1. 1. 2. 1/2. 3. in 2. 4. Расходится. 5. Расходится.
6. Расходится. 7. —1. 8. Расходится. 9. л/2. 10. 0. 11. Расхо-
1	1	+°°dx
дится, так как . ... - > -, a j — расходится. 12. Сходится,
3 / v3 — 1 х _ X
340
так как при х > 1 имеем — < е-х, a J е-х dx сходится (см. зада-
х 1
чу 1). 13. Расходится, так как при х > 1 v * * * * х
4 ’
a j —= расходится. 14. л/2. (Указание. Оба предела интег-
2 Ха/2
рирования бесконечны, поэтому предварительно следует разбить
интеграл на два. Вместо точки х = 0 в качестве промежуточно-
го предела интегрирования можно взять любую другую точку
оси Ох.) 15. Лл/5 /5.
4. Пример использования несобственного интеграла.
Вычислим вторую космическую скорость тела, т. е. начальную
скорость, при которой оно способно выйти из поля притяжения
Земли в межпланетное пространство.
Ранее (см. § 4.10, п. 5, пример 14) с помощью определенного
интеграла была вычислена работа, необходимая для запуска те-
ла массой т с поверхности Земли на высоту й:
R+h	ппи
A- j FWdx-^L.
R
Выход тела в межпланетное пространство означает запуск
его на бесконечную высоту (й = °°). Вычислим необходимую для
этого работу:
оо
lim А = f F(x)dx = lim = lim ,	= PR = mgR,
h — °° О	Л^соЯ+Л й^оо1+Я/Й
XV
где т — масса тела; g — ускорение свободного падения у по-
верхности Земли (трение и притяжение других планет при этом
не учитываются). Эта работа совершается за счет изменения ки-
нетической энергии тела. Поэтому кинетическая энергия тела
в начальный момент должна быть не меньше этой работы,
т. е. начальная скорость тела v должна быть такая, чтобы
или
mv2
~2~
> mgR
v > j2gR = 72*10* 6400000 м/с = 1,4 • 8000 м/с =11,2 км/с.
Если начальная скорость тела равна 11,2 км/с, то его траек-
тория движения представляет собой параболу. При начальной
скорости, большей 11,2 км/с, траектория представляет собой
гиперболу, а при начальной скорости, меньшей 11,2 км/с, тело
будет двигаться по эллиптической траектории, при этом либо
упадет на Землю, либо станет искусственным спутником Земли.
341
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Дайте определение несобственного интеграла первого рода.
2.	В каком случае несобственный интеграл первого рода схо-
дится?
3.	Если оба предела интегрирования бесконечны, то какое чис-
ло можно взять в качестве промежуточного предела интег-
рирования?
4.	Дайте определение несобственного интеграла второго рода.
5.	Приведите примеры ограниченной и неограниченной функ-
ций, нарисуйте их графики.
6.	В каком случае несобственный интеграл второго рода схо-
дится?
7.	Сформулируйте признак сходимости несобственных интег-
ралов.
8.	С помощью несобственного интеграла первого рода вычис-
лите вторую космическую скорость.
§ 4.12. Приближенное вычисление
определенных интегралов
При решении физических и технических задач прихо-
дится находить определенные интегралы от функций, первооб-
разные которых не выражаются через элементарные функции.
Это привело к необходимости вывода приближенных формул
вычисления определенных интегралов. Рассмотрим две из них:
формулу трапеций и формулу Симпсона1.
1.	Формула трапеций. Формула трапеций имеет вид
г	Ь ~ d [	Л-1	1
J/(x)dx « f(a) + /(&) + 2 Е f(xk) ,
где f(a) = /(х0),	/(х2),	/(хп) = f(b)— равноотстоящие
ординаты функции у = /(х) на отрезке [а, &]. Погрешность фор-
мулы трапеции не больше, чем k \2п* ’ где * — наибольшее
значение |/"(х)| на отрезке [а, &].
□ Пример 1. Вычислить по формуле трапеций для п = 10 ин-
теграл L . Полученный результат сравнить с точным.
о1 + х
1 С выводом этих формул можно познакомиться в любом полном
учебнике по математическому анализу.
342
Решение. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точ-
ками х0 = 0, хх = 0,1, ..., х9 = 0,9, х10 = 1. Вычислим приближен-
но значения функции Дх)= * в этих точках: ДО) =1,0000,
/(0,1) = 0,9091, /(0,2) = 0,8333, Д0,3) = 0,7692, /(0,4) = 0,7143,
ДО,5) = 0,6667, ДО,6) = 0,6250, ДО,7) = 0,5882, ДО,8) = 0,5556,
ДО,9) = 0,5263, ДЮ) = 0,5000.
По формуле трапеций находим
« Л ( 1,0000 t0,5000 + 0,9091 + 0,8333 + 0,7692 +
^1 + х 10 V 2
+ 0,7143 + 0,6667 +
+ 0,6250 + 0,5882 + 0,5556 + 0,5263 j = 0,69377 « 0,6938.
Оценим погрешность полученного результата. Так как
функция Дх) = 1/(1 + х), то /(х)= -1/(1 + х)2, /"(х) = 2/(1 + х)3.
На отрезке [0, 1] имеем |/"(х)| < 2. Поэтому погрешность полу-
ченного результата не превосходит величины
fe^~-£2.3 = ?  = _L < о 0017
12n2	12-102	600
Вычислим точное значение данного интеграла по формуле
Ньютона—Лейбница
1 ,
= In (1 + х)|1 = In 2 « 0,69315.
Абсолютная ошибка результата, полученного по формул';
трапеций, меньше 0,0007. Это находится в соответствии с да н-
ной выше оценкой погрешности. Во многих технических зада-
чах эта точность достаточна. Если увеличить число п, то точ-
ность будет большей. □
Упражнение. Вычислите по формуле трапеций для п = 10
4
интеграл I = jx2 dx; полученный результат сравните с точным,
о
(ОТВЕТ. 21,44.)
2.	Формула Симпсона1. Запишем формулу Симпсона
г	Ъ — а 71-1
J/(x)dx ~	z (У2k + 4^2* +1 + У2k + 2)’
a	k—0
1 Симпсон Томас (1710—1761) — английский математик.
343
или в развернутом виде
ь	Ь —
Jftx)dx «	[z/0 + у2п + 2 (у2 + у4 + ... + у2п _ 2) +
+ 4(1/! + у3 + ... + 1/2л-1)]-
Погрешность формулы Симпсона не больше, чем Af ,
2оо0п4
где М — наибольшее значение |/(4>(х)| на отрезке [а, &].
Выше отмечалось, что погрешность формулы трапеций оце-
нивается числом fe—- -6	= шах|/"(х)|). Так как п4растет бы-
[а,Ь]
стрее, чем п2, то погрешность формулы Симпсона с ростом п
уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы
трапеций. Этим и объясняется, что формула Симпсона позволя-
ет получить большую точность, чем формула трапеций.
Для сравнения точности приближенных формул вычислим
еще раз интеграл J , но теперь по формуле Симпсона при
о1 + х
п= 4. Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точка-
ми х0 = 0, хг = 1/4, х2 = 1/2, х3 = 3/4, х4 = 1 и вычислим при-
ближенно значения функции /(х) = 1/(1 + х) в этих точках
у0 = 1,0000, уг = 0,8000, у2 = 0,6667, у3 = 0,5714, у4 = 0,5000.
По формуле Симпсона получаем
} rh * Ь~^Г fro + у4 + 2у2 + 4(1/! +1/3)] =	[1,0000 + 0,5000 +
°	4- 2 • 0,6667 4- 4(0,8000 + 0,5714)] « 0,69325.
Оценим погрешность полученного результата. Для подынтег-
ральной функции f(x) = 1/(1 4- х) имеем: f^(x) = 24/(1 4- х)5, от-
куда следует, что на отрезке [0, 1] |Л4)(Х)|	24. Следовательно,
можно взять М = 24, и погрешность результата не будет превос-
ходить величины 24/(2880 • 44) < 0,0004. Сравнивая приближен-
ное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка ре-
зультата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011.
Это находится в соответствии с данной выше оценкой погреш-
ности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона
значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симп-
сона для приближенного вычисления определенных интегралов
используют чаще, чем формулу трапеций.
Как отмечалось ранее, приближенные формулы для вычис-
ления определенного интеграла применяют в тех случаях, ког-
да первообразная подынтегральной функции не выражается че-
рез элементарные функции.
344
1
Вычислим, например, интеграл je-*2 dx1 по формуле Симп-
сона с точностью до 0,001.	о
Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точ-
ности число 2п, найдем Последовательно дифференци-
руя функцию /(х) = е-*2, получаем
/=<4>(х) = 4е~*2 (4х4 - 12х2 4- 3).
Так как на отрезке [0, 1] е~х2 < 1, |4х2 - 12х2 4- 3| < 5, то |Л4> (х)| <
< 20. Следовательно, можно взять М = 20. Используя форму-
лу оценки погрешности, имеем 20/2880п4 < 1/1000, откуда
п4 > 1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство,
достаточно взять п = 2, т. е. 2п = 4.
Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точка-
ми х0 = 0, хх = 1/4, х2 = 1/2, х3 = 3/4, х4 = 1 и вычислим прибли-
женно значения функции /(х) = е-*2 в этих точках: i/0 = 1,0000,
= 0,9394, у2 = 0,7788, у3 = 0,5698, у4 = 0,3679. Применяя
формулу Симпсона, получаем
Г	2	1
je~x2dx~ ± [1,0000 + 0,3679 + 2-0,7788 +
о	1Z
+ 4(0,9394) + 0,5698)] « 0,7469.
1
Таким образом, jе~х2 dx ~ 0,747 с точностью до 0,001. Так, разбив
о
отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассматри-
ваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симп-
сона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.
Упражнение. Вычислите по формуле трапеций при п = 10,
2dx
а по формуле Симпсона при 2п = 8 интеграл I = j — . Получен-
1 х
ные результаты сравните с точным.
(ОТВЕТ. По формуле трапеций I ~ 0,69377; по формуле
Симпсона I ~ 0,69315.)
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Чем вызвана необходимость приближенных формул вычис-
ления определенных интегралов?
2. Объясните, почему формула Симпсона позволяет получить
большую точность, чем формула трапеций.
1 Рассматриваемый интеграл не выражается через элементарные
функции, но имеет большое значение в статистической физике, тео-
рии теплопроводности и диффузии.
345
Оглавление
Предисловие.........................................  3
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
§1.1	. Понятия множества и подмножества.
Обозначения.......................................... 5
§1.2	. Вещественные (действительные) числа
и их основные свойства............................... 7
§1.3	. Геометрическое изображение вещественных
чисел............................................... 15
1.	Изображение вещественных чисел точками на коорди-
натной прямой (15). 2. Наиболее употребительные число-
вые множества (16).
§1.4	.	Грани числовых множеств..................... 17
§1.5	.	Абсолютная величина числа................... 23
§1.6	.	Метод математической индукции............... 27
§1.7	.	Факториал................................... 29
§1.8	.	Соединения и формула бинома Ньютона......... 31
1. Соединения (31). 2. Формула бинома Ньютона (35).
§1.9.	Числовые последовательности................. 37
1. Числовые последовательности и арифметические дей-
ствия над ними. Прогрессии (37). 2. Ограниченные и не-
ограниченные последовательности (46). 3. Бесконечно
большие и бесконечно малые последовательности (47).
4. Основные свойства бесконечно малых последователь-
ностей (49).
§1.10. Сходящиеся последовательности..................... 53
1. Понятие сходящейся последовательности (53). 2.Основ-
ные свойства сходящихся последовательностей (60). 3. Пре-
дельный переход в неравенствах (70).
§ 1.11. Монотонные последовательности.................... 74
1. Определение и признак сходимости монотонных после-
довательностей (74). 2. Число е (78). 3. Теорема о вложен-
ных отрезках (81).
346
Глава 2. ФУНКЦИЯ
§2.1. Понятие функции............................... 84
1. Определение функции и основные понятия (85). 2. Спо-
собы задания функций (91). 3. Понятия сложной и об-
ратной функций (93). 4. Классификация функций (95).
5. Четные и нечетные функции (96). 6. Периодические
функции (98).
§	2.2. Предел функции.................................100
1.	Предел функции при х —► х0 (100). 2. Предел функции
при х —► Xq- и при х —► х0+ (108). 3. Предел функции при
х оо, при х —► -оо и при х —► 4-оо (110).
§2.3	. Теоремы о пределах функций....................113
§2.4	. Два замечательных предела.....................117
1.	Первый замечательный предел: lim = 1 (117).
х -♦ О х
2.	Второй замечательный предел: lim f 1 + i ) =е(118).
X -* ОО\	х /
§2.5	. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 120
1. Бесконечно малые функции (120). 2. Бесконечно боль-
шие функции (127).
§2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций............................130
§2.7.	Вычисление пределов функций................133
§2.8.	Понятие непрерывности функции..............136
1.	Определение непрерывности функции (136). 2. Ариф-
метические действия над непрерывными функциями
(140).
§2.9. Непрерывность некоторых элементарных функций 141
1. Непрерывность рациональных функций (141).
2.	Непрерывность тригонометрических функций (142).
3.	Непрерывность функции f(x) = |х| (143). 4. Продолжение
вычисления пределов функций (144).
§2.10. Определение и классификация точек разрыва
функции....................................149
§2.11. Теорема о непрерывности сложной функции...150
§2.12. Основные свойства непрерывных функций.....151
1. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции
(151). 2. Прохождение непрерывной функции через любое
промежуточное значение (151). 3. Теорема об ограничен-
ности непрерывной функции на отрезке (154). 4. Теорема
о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих
точных граней (155). 5. Понятие равномерной непрерыв-
ности функции (158). 6. Теорема о равномерной непрерыв-
ности функции (161).
§2.13. Теорема о непрерывности обратной функции......165
347
Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§3.1. Понятие производной...........................169
1. Определение производной (169). 2. Геометрический смысл
производной (171). 3. Физический смысл производной (174).
4. Правая и левая производные (176).
§3.2	. Понятие дифференцируемости функции...........177
1.	Понятие дифференцируемости функции в данной точ-
ке (177). 2. Связь между понятиями дифференцируемости
и непрерывности (178).
§3.3	. Понятие дифференциала........................180
1.	Определение и геометрический смысл дифференциала
(180). 2. Приближенные вычисления с помощью дифферен-
циала (181).
§3.4	. Правила дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного ............................183
§3.5	. Вычисление производных постоянной, степенной,
тригонометрических функций и логарифмической
функции.............................................184
1.	Производная постоянной функции (184). 2. Производ-
ная степенной функции (185). 3. Производные тригоно-
метрических функций (185). 4. Производная логарифми-
ческой функции (186).
§3.6	Теорема о производной обратной функции.........188
§3.7	. Вычисление производных показательной функции
и обратных тригонометрических функций...............189
1.	Производная показательной функции (189). 2. Произ-
водные обратных тригонометрических функций (190).
§3.8	. Правило дифференцирования сложной функции.
Дифференциал сложной функции .......................192
1.	Правило дифференцирования сложной функции (192).
2.	Дифференциал сложной функции (194).
§3.9	. Логарифмическая производная. Производная
степенной функции с любым вещественным
показателем. Таблица производных простейших
элементарных функций ...............................195
1.	Понятие логарифмической производной функции (195).
2. Производная степенной функции с любым веществен-
ным показателем (197). 3. Таблица производных простей-
ших элементарных функций (198). 4. Таблица дифферен-
циалов простейших элементарных функций (199).
§	3.10. Производные и дифференциалы высших порядков 200
1. Понятие производной n-го порядка (200). 2. n-е произ-
водные некоторых функций (201). 3. Формула Лейбница
для n-й производной произведения двух функций (202).
4. Дифференциалы высших порядков (206).
348
§3.11	. Параметрическое задание функции
и ее дифференцирование...............................208
1.	Параметрическое задание функции (208). 2. Диффе-
ренцирование функции, заданной параметрически (209).
§3.12	. Основные теоремы дифференциального
исчисления...........................................211
§3.13	. Раскрытие неопределенностей. Правило
Лопиталя ............................................218
1.	Раскрытие неопределенности вида g (218). 2. Раскры-
то
тие неопределенности вида — (221). 3. Другие виды неоп-
ределенностей и их раскрытие (222).
§3.14	. Формула Тейлора................................225
1.	Формула Тейлора (225). 2. Другая запись формулы Тей-
лора и остаточного члена (227). 3. Формула Маклорена
(227). 4. Разложение некоторых элементарных функций
по формуле Маклорена (228). 5. Использование формулы
Маклорена для вычисления пределов (229). 6. Вычисле-
ние числа е (230).
§3.15	. Исследование поведения функций
и построения графиков...................................232
1.	Признак монотонности функции (232). 2. Отыскание
точек локального экстремума функции (232). 3. Задачи на
максимум и минимум (235). 4. Направление выпуклости и
точки перегиба графика функции (243). 5. Асимптоты
графика функции (248). 6. Схема исследования графика
функции (251).
Глава 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§4.1	. Первообразная и неопределенный интеграл.......262
1.	Понятие первообразной функции (262). 2. Неопределен-
ный интеграл (264).
§4.2	. Основные свойства неопределенного интеграла .... 266
§4.3	. Таблица основных интегралов...................267
§4.4	. Основные методы интегрирования................269
1.	Непосредственное интегрирование (269). 2. Метод под-
становки (272). 3. Метод интегрирования по частям (280).
§4.5	. Определенный интеграл.........................287
1.	Определение определенного интеграла (287). 2. Основ-
ные свойства определенного интеграла (291). 3. Оценки
интегралов. Формула среднего значения (293). 4. Условия
существования определенного интеграла (296).
§4.6	. Определенный интеграл с переменным
верхним пределом......................................299
349
§4.7	. Формула Ньютона—Лейбница.....................301
§4.8	. Замена переменной в определенном интеграле...304
§4.9	. Формула интегрирования по частям
в определенном интеграле ...........................308
§4.10	. Некоторые физические и геометрические
приложения определенного интеграла..................310
1.	Площадь криволинейной трапеции (310). 2. Длина дуги
кривой (317). 3. Площадь поверхности вращения (321).
4. Объем тела (325). 5. Работа переменной силы (328).
6. Давление жидкости (331).
§4.11. Несобственные интегралы......................334
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования (335). 2. Несобственные интегралы от не-
ограниченных функций (336). 3. Признак сходимости не-
собственных интегралов (338). 4. Пример использования
несобственного интеграла (341).
§4.12. Приближенное вычисление
определенных интегралов.............................342
1. Формула трапеций (342). 2. Формула Симпсона (343).
Учебное издание
Шипачев Виктор Семенович
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
Учебное пособие
для вузов
Зав. редакцией Б. В. Панкратов
Ответственный редактор Ж. И, Яковлева
Художественный редактор Л. А. Овчарова
Технический редактор Н. И. Герасимова
Компьютерная верстка А. В. Маркин
Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003.
Подписано к печати 27.04.06. Формат бОхЭО1/^.
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 22,0. Тираж 3000 экз. Заказ № 3587.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции
издательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Магазины «Переплетные птицы»:
127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1.
Тел.: (495) 912-45-76;
140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин,
ул. Октябрьской революции, 366/2.
Тел.: (495) 741-59-76.
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ОАО “Тульская типография”.
300600, г. Тула, пр. Ленина,109.
КНИГИ ИЗДАТЕЛЬСТВА «ДРОФА»
Комплект для студентов вузов, обучающихся
по химико-технологическим специальностям
УЧЕБНИК: В. П. Васильев.
•	«Аналитическая химия. В 2 кн. Кн. 1. Титриметрические
и гравиметрический методы анализа».
В учебнике изложены теоретические основы титриметрических
и гравиметрического методов анализа, указаны условия и области
применения, их достоинства и недостатки, метрологические харак-
теристики.
УЧЕБНИК: В. П. Васильев.
•	«Аналитическая химия. В 2 кн. Кн. 2.
Физико-химические методы анализа».
В учебнике изложены теоретические основы физико-химических
методов анализа, указаны области практического применения, их
значение и ограничение, средства и методы оперативного анали-
тического контроля, применение тест-методов и сенсоров в анализе.
ПОСОБИЕ: В. П. Васильев, Л. А. Кочергина, Т. Д. Орлова.
•	«Аналитическая химия. Сборник вопросов, упражнений
и задач».
В сборнике приведены вопросы, упражнения и задачи, связанные
с теоретическим расчетом полноты протекания химико-
аналитических реакций в заданных концентрационных условиях, а
также по расчетам массы навески, концентрации, объемов
растворов и т. д.
П О С О Б И Е: В. П. Васильев, Р. П. Морозова, Л. А. Кочергина.
•	«Аналитическая химия. Лабораторный практикум».
Практикум состоит из трех частей. Первая часть содержит общие
сведения о технике безопасности и проведении основных химико-
аналитических операций и метрологии анализа. Вторая часть
представляет собой описание 50 работ по химическим методам
анализа. В третьей части изложены основы и техника выполнения
75 работ с применением приборов отечественного производства.
Виктор Семенович Шипачев —
автор известных книг по высшей математике:
учебника, задачника
и многочисленных учебных пособий,
которые получили широкое признание
математической общественности.
Отличительная особенность данной книги —
удачное сочетание простоты и строгости
изложения теоретического материала.
Тщательно продуманные и методически
обоснованные многочисленные примеры
делают ее полезной для любой формы
обучения (дневной, вечерней или заочной).
Учебное пособие адресовано студентам
вузов, техникумов, колледжей и принесет
несомненную пользу:
	преподавателям вузов, техникумов,
колледжей и учителям средних школ,
лицеев и гимназий;
	учащимся и учителям старших классов
профильной средней школы —
для подготовки к экзамену;
•	абитуриентам — для систематизации
школьных знаний по математике.
Л D р О Ф Q