ВЛАСОВ
Проф. А. К. ВЛАСОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
томи
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
томи
0Г1ГЗ • ГОСТЕХПЗДАТ • 1945

Проф. А. К. ВЛАСОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ТОМ II
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ (часть вторая)
ИЗДАНИЕ 4-е, ИСПРАВЛЕННОЕ
Допущоно Всесоюзным Комитетом по делам
высшей школы при СИК СССР в качестве
учебного пособия для высших учебных заведений
огиз
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1945 ЛЕНИНГРАД

Редактор Д. А. Райков, Техн. редактор Н. А. Тумаркина. Подписано к печати
21/XI 1945г. 33*/і пен. л. 38.10 уч.-авт. л. 46 000 тип. знаков в печ. л.
Тираж 50 000 экз. (1-Й зав. 1—25 000 экз.) A24I98. Цена книги 13 р. 50 к.
Переплёт 1 р. 50 к. Заказ №5873.
1-я Образцовая тип. треста «Полиграфкнига» Огиза при СНК РСФСР. Москва,
Валовая, 28*

СОДЕРЖАНИЕ.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ.
ГЛАВА I.
Основные понятия и положения высшей алгебры.
§ 1. Задача высшей злгебры 9
§ 2. Формулы Маклорена и Тэйлора для целых рациональных
функций 9
§ 3. Разложение целой рациональной функции на множители . . 12
§ 4. Кратные корни уравнения 15
§ 5. Вопрос о числе корней уравнения 17
глава и.
Комплексные числа.
§ 1. Вектор на плоскости и комплексное число 15
§ 2. Комплексное число как отношение двух векторов на
плоскости 21
§ 3- Сложение векторов 22
$ 4- Сложение комплексных чисел ¦ 23
§ 5. Вычитание комплексных чисел 24
§ б- Умножение комплексных чисел 25
§ 7. Деление комплексных чисел 28
§ 8. Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексного числа 29
§ 9. Тригонометрическая форма комплексных чисел 31
§ 10. Извлечение корня , 31
§11. Понятие предела для комплексного переменного 35
§ 12. Комплексная величина как показательная функция
амплитуды. Формула Эйлера 35
Упражнения 40
глава ш.
Основное предложение высшей алгебры.
§ 1. Целый многочлен как функция комплексного переменного 40
§ 2. Основное предложение высшей алгебры 42
§ 3. Уравнение с действительными коэффициентами.
Сопряжённые корни *' 45
§ 4. Соотношения между коэффициентами уравнения и его
корнями 46
§ 5. Общий вид разложения целого многочлена в произведение 47
1* Э

ГЛАВА IV.
Приближённое вычисление корней уравнения.
§ 1. Отделение действительных корней уравнения. Теорема
Штурма 48
¦§ 2. Определение верхней и нижней границ положительных (или
отрицательных) корней уравнения 54
§ 3. Графики целых рациональных функций — параболы высших
порядков 56
§ 4. Приближённое вычисление корней уравнения 60
Упражнения 67
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ-
ВТОРАЯ ЧАСТЬ.
ГЛАВА I.
Интегрирование рациональных функций.
§ 1. Интегрирование элементарных дробей 68
§ 2. Разложение рациональной дроби на простейшие и
интегрирование её (случай действительных корней
знаменателя) 69
§ 3. Разложение рациональной дроби и интегрирование её в
случае мнимых корней знаменателя 79
§ 4. Соотношение между круговыми функциями и логарифмом.
Формула Эйлера 88
§ 5. Метод Остроградского интегрирования рациональных
функций; выделение алгебраической части интеграла от
рациональной дроби 89
Упражнения . . , ' . . ; . . . . . „ 93
глава п.
Интегрирование иррациональных функций.
§ 1. Иррациональные функции , 95
§ 2. Интегрирование выражений, содержащих рациональные
степени линейной дроби ....... 96
§ 3. Интеграл двучленного дифференциала 98
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих корень из
квадратного трёхчлена 102
¦Упражнения ..".¦, 109
глава ш.
Интегрирование трансцендентных функций.
§ 1. Интегрирование функций, содержащих трансцендентный
множитель с алгебраической производной 110
¦§ 2. Интегрирование функций с трансцендентным множителем e<*xt
smcLX или zosax . . . . . .- . . . ........ . »¦ Ill
§ 3. Интегрирование выражений, зависящих рационально от
показательной функции SR{ex)dx- . 113
4

§ 4. Интегралы выражений, зависящих рационально от
тригонометрических функций \ /?(sin -v. cos .г, tgx. ,.)dx. Интг-
грирование помощью подстановки 114
§ 5. Формулы приведения для интеграла \ sin^.r cos" .r dx . . . 117
§ б. Разложение степеней sinnJt и cos^jc по синусам и косинусам
кратных дуг 115
§7. Интегралы вида \ e^xzr.sbxdx, \ еах sin bx dx 120
§ 8. Интегралы вида \ х** еа* cos bx dx, \ хп е^х sin bx dx . . 121
§ 9. Некоторые замечательные определённые интегралы .... 123-
Упражнения 129
ГЛАВА IV.
Функции нескольких переменных. Частные производные.
§ 1. Функции нескольких переменных 131
§ 2. Непрерывность функций нескольких переменных 134
§ 3. Частные производные 13:»
§ 4. Частные дифференциалы. Полный дифференциал 141
§ 5. Дифференцирование сложной функции 147
§ 6. Дифференцирование неявной функции 151
§ 7. Теорема о существовании неявной функции 152
§ 8. Геометрическое значение частных производных и полного
дифференциала функции двух независимых переменных . . 155
§ 9. Уравнение касательной плоскости и нормаль к
поверхности ¦ 158
§ 10. Высшие частные производные. Независимость результата
дифференцирования от порядка многократного
дифференцирования . . . 161
§11. Высшие частные и полные дифференциалы 164
§ 12. Теорема Эйлера об однородных функциях 167
Упражнения 168
ГЛАВА V.
Максимумы и минимумы функций нескольких переменных.
§ 1. Максимум и минимум функции двух независимых
переменных. Изыскание тех значений аргумента, при которых
функция может иметь максимум или минимум 170
§ 2. Условия существования максимума или минимума функции
двух независимых переменных 172
§ 3. Максимум и минимум функции многих переменных 180
§ 4. Относительный максимум или минимум 187
§ 5. Метод Лагранжа для решения вопроса об относительном
максимуме ¦ или минимуме 190
Повторительные .воиросы 197
Уп.ражненля . •• - 198
5

ГЛАВА VI
Задачи интегрального исчисления для функций
нескольких переменных.
§ I. Нахождение первообразной функции по данной частной
производной 199
§ 2. Интеграл функции, зависящей от параметра 201
§ 3- Дифференцирование под знаком интеграла. Правило
Лейбница . . . * 202
§ 4. Интегрирование по параметру 211
§ 5. Геометрическое значение двойного интеграла . 216
§ 6. Криволинейный интеграл 218
§ 7. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегри-
рования •*«.,#. 222
§ 8. Интегрирование полного дифференциала 226
Повторительные вопросы 231
Упражнения 232
ГЛАВА VII.
Кратные интегралы.
§ 1. Двойной интеграл * 233
§ 2. Теорема о среднем значении 238
§ 3. Вычисление двойного интеграла 239
§ 4. Замена переменных. Функциональный детерминант .... 248
§ 5. Замена переменных в двойном интеграле 250
§ 6. Элемент площади в прямолинейных координатах 253
§ 7. Свойства функционального детерминанта 256
§ 8. Переход от декартовых координат к полярным. Примеры
применения замены переменных в двукратном интеграле . 256
§ 9. Вычисление поверхности 261
& 10. Площадь поверхности в криволинейных координатах . . . 267
§ 11. Поверхностный интеграл или интеграл, распространённый
на какую-либо определённую сторону поверхности 268
§ 12. Многократные интегралы. Трёхкратный интеграл 271
§ 13. Замена переменных в трёхкратном интеграле 276
§ 14. Вычисление объёмов . . . . 281
§ 15. Центр тяжести. Теоремы Гюльдена 283
§ 16. Момент инерции 288
Повторительные вопросы. . . . 290
Упражнения 291
ГЛАВА VIII.
Соотношения между интегралами, распространёнными на область
и интегралами, распространёнными на границу этой области, '
§ 1. Формула Грина 293
§ 2. Формула Грина-Остроградского !.!!!! 296
§ 3. Теорема Грина , ..!!!! 300
§ 4. Формула Стокса • . . . • ,.!..!."!! 301
f5. Понятие о векторном анализе -...!•!!!! 304
пражнения ¦...-*¦ # I • ! • I 305
6

ГЛАВА IX.
Основания теории рядов.
§ 1. Определение рядов. Их сходимость и расходимость .... 305
§ 2. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда . . . 307
§ 3. Ряды с положительными членами. Признаки их сходимости,
вытекающие из сравнения рядов 309
§ 4. Признаки сходимости, вытекающие из свойств общего
члена ряда или группы таких членов 311
§ 5-. Иные признаки сходимости ряда . .' 317
§ 6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость 319
§ 7. Действия с рядами 325
§ 8. Ряды с комплексными членами 328
Повторительные вопросы 329
Упражнения 330
ГЛАВА X.
Функциональные ряды.
§ 1 Ряды, члены которых зависят от переменного аргумента . 331
§ 2. Равномерная сходимость "..... 333
§ 3- Признак (Вейерштрасса) равномерной сходимости и
некоторые свойства равномерно сходящихся рядов 335
§ 4. Интегрирование и дифференцирование рядов 336
§ 5. Свойства степенных рядов 339
§ б. Задача разложения функции в степенной ряд; аппроксимация
функции целым многочленом 345
§ 7. Ряды Тэйлора и Маклорена 349
§ 8. Разложение в ряд простейших функций 350
§ 9. Косвенные приёмы разложения в степенной ряд
некоторых функций ¦ 355
§ 10. Ряды Тэйлора и Маклорена для функций нескольких
переменных ............" 358
§ 11. Ряды Фурье 361
§ 12. Неопределённые выражения 374
Упражнения 382
ГЛАВА XI.
Приложение анализа к геометрии.
§ 1. Касательная и нормаль к плоской кривой 384
§ 2. Отрезки касательной и нормали. Подкасательная и поднормаль 386
§ 3. Отрезки касательной и нормали в полярных координатах.
Полярные подкасательная и поднормаль 387
§ 4. Асимптоты плоских кривых 390
§ 5. Особые точки плоских кривых 399
§ 6. Прикосновение плоских кривых между собой ....... 409
§ 7. Кривизна плоской кривой 416
§ 8- Радиус кривизны. Центр кривизны. Круг кривизны .... 419
§ 9. Эволюта кривой 422
§ 10. Огибающая семейства кривых 426
§ 11. Касательная прямая к пространственной кривой.
Нормальная плоскость * 432»
7

§ 12. Соприкасающаяся плоскость. Главная нормаль и бинормаль 434
§ 13. Кривизна и кручение пространственной кривой 437
§ 14. Системы поверхностей в пространстве . 440
Упражнения 447
ГЛАВА XII.
Дифференциальные уравнения.
§ 1. Общие понятия 450
§ 2. Общий и частный интегралы дифференциального уравнения 451
§ 3. Приближённое построение интегральных кривых уравнений
первого порядка • ; 456
§ 4. Разделение переменных. Однородные уравнения 459
§ 5. Линейные уравнения первого порядка 462
§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка,
приводящиеся к линейным уравнениям 470
§ 7. Особые решения дифференциальных уравнений первого
порядка 475
§ 8. Второй способ нахождения особых решений 479
§ 9.0 существовании решений дифференциальных уравнений
первого порядка 481
§ 10. Случаи нарушения единственности решения
дифференциального уравнения первого порядка. Аналитическое
обоснование существования особых решений 489
§11. Общие свойства интегралов линейных дифференциальных
уравнений второго порядка . . . 493
§ 12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами 497
§ 13. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения
второго порядка 500
§ 14. Линейные однородные уравнения л-го порядка 501
§ 15. Линейные однородные уравнения л-го порядка с
постоянными коэффициентами 505
§ 16. Уравнения Эйлера 509
§ 17. Неоднородные линейные уравнения л-го порядка . . . . ] 512
§ 18. Интегрирование уравнений при помощи рядов 520
Упражнения . .' 524
Алфавитный указатель 528

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ.
ГЛАВА I.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ ВЫСШЕЙ
АЛГЕБРЫ.
§ 1. Задача высшей алгебры.
Изучение алгебраических уравнений высших степеней
составляет предмет высшей алгебры. Это изучение может быть сведено
или поставлено в связь с изучением свойств целых рациональных
функций, иначе — многочленов, расположенных по степеням
аргумента.
Пусть f(x) означает многочлен n-й степени:
/(х)=р0х»+р1х»-і-{-р*х"-2+ ... +/V
Если при х = а значение этого многочлена равно нулю, т. е*
если /(а) = 0," то а называется корнем уравнения /(jt) = 0, или
корнем многочлена f(x). Отыскание корней целых многочленов
или решение уравнений высших степеней и составляет задачу
высшей алгебры. Существует ли хоть один корень у данного
многочлена, и если существует, то сколько,—вот главнейшие
вопросы этой теории.
В исследовании вопроса о корнях алгебраических уравнений
имеет существенное значение разложение целого многочлена на
множители. Не менее важно при этом и разложение целого
многочлена по степеням разности х — я, где а есть какое-нибудь
число. В этом разложении обнаруживается и смысл высших
производных от целых рациональных функций.
§ 2. Формулы Маклорена и Тэйлора для целых
рациональных функций:
Все коэффициенты многочлена какой-либо степени
. /(х)=А + Вх-}-Сх* + Ох*+...-{-Мх" (1)
можно выразить через значения его и его последовательных
производных. Действительно, составляя эти производные и пола-
9

гая в них и в самом многочлене х = 0, получим:
f(x) = A^-Bx-{-Cx2+...+Mxa и/(0)=Л,
f{x) = B + 2Cx-{-...+nMx'1-i »/(<)) = ?,
f(x) = 1-2C+2-3Dx-\-...
... + п{п — \)Мх»~* »/"(0) = 1-2С,
/"(^)=1.2-3^-4-3-4-5?дг+...
...-{- я (я— 1)(я — 2)Жд--» »/'"(0) = 1-2.3Д
у<и)(л:)=Ь2.3., .яЖ »/("Ц0) = п\М,
откуда
Л=/(0), Я=у/'(0), С=т15/'(0),
Я=ііз/"'<0) Ж=Ь2^/(Л)(°)-
Заменяя в многочлене (1) коэффициенты А, В, С, ..., Af их
выражениями через производные, мы представим целую
рациональную функцию в следующем виде:
/ М =/(0) + г /' (°) + Й f" <°) + гйз^"' (°) + • ¦ •
• • • + Ь2^ /(Л) (°)' ¦ (2)
Такой вид многочлена и составляет формулу Маклорена
для целых рациональных функций.
Пример 1. Разложить целую рациональную функцию f(x) — (х-\-а)пу
где и —целое положительное число, по степеням х (бином Ньютона).
Решение. Находим производные данной функции и полагаем потом
_*: = 0; получим таким образом следующие значения самой функции
и л её производных;
/ (0) = an, /' (0) = лдл-i, /" (0) = п (л — 1)^-2 .. м
/(*).(0).= я(л —1)...(л —А+1)в*-* -.., /<*)(0) = л(л-1)...2-1.
Следовательно, *
(х + а)п = дл -f- пап-іх-\- Л^7^ a"-2x2 +...
, л(л—1)...(л —А+1) „ . . ,
'*¦ + 1-2.3...* }ащ-*х*+...+х*
или, в обычном расположении по убывающим степеням xt
{х+ а)п = хя + пахп-і+ п{*~1)а*х«-* + ...
. л (л—1)#.,(л — А+1) . . ,
"-+"1:273.,^ ^ '<*«-*** + ... + *«¦
10

Формулу производной степени, на которую мы здесь
опирались, можно было бы вывести не на основании бинома Ньютона
[как в т. I, стр. 333), а, например, исходя из формулы
производной произведения [т. I, стр. 336]. Поэтому выкладка,
проведённая в этом примере, представляет собой новое
доказательство разложения бинома Ньютона, а именно, основывающееся
на формуле Маклорена.
Формулу Маклорена можно обобщить, расположив данный
многочлен по степеням х — а, где а — какое-нибудь число. В
самом деле, данный многочлен можно прежде всего представить
в виде
f(x) = A + B[(x — а) + а] + С[(х — а) + а]* +
-\-D[(x — a)-f а]3+ ... + Ж[(* — а)-{- а]п.
Считая здесь всюду х—а за одно количество, раскроем все скобки
по биному Ньютона и расположим все члены по степеням разности
х — а, обозначив коэффициенты при различных степенях х — а
через Av Blt Си Dv ..., Mv причём М1=М;
/(х) = Л1 + В1(х-а) + С1(^^ + 01(х^+,..
...+Мг(х — а)*. (3)
Составляя производные этого многочлена и полагая в них и в
самом многочлене х = а, будем иметь:
f(x) = Al + B1(x — а) + Сг(х — *)*+...+ИМ* — а)";
/(а)=4;
/1{х) = В1 + 2Сг(х—а) + ...+ пМ1{х — а)п-*; /'(а) = Ь5і;
/*(*)= 1.2^ + 2*SDx{x— а)+.-. +л (л— \)М,(х — а)""2;
/"(^=1.2.^;
/С«)(д:) = 1-2.3...ліИ1; Jt\{a) = n\Mv
Отсюда
Подставляя эти значения коэффициентов в многочлен (3),
получим
, (х-а)п (д)
•" ' Ь2.3...лу к } К }
Такое разложение многочлена по степеням разности х — а
составляет формулу Тэйлора для целых рациональных
И

функций. Положив x = a-\-h и, следовательно, х— a = h,
можно представить эту формулу в ином виде:
/(а + А) = /(в)+у/'И + й/* («)+•••
Из формул Маклорена и Тэйлора следует, что целая
рациональная функция #-й степени вполне определяется своим
значением и значениями своих производных при одном каком-нибудь
значении аргумента.
Пример 2. Разложить многочлен хв — 2х-\~5 по степеням
разности JC— 1.
Решение, По формуле Тэйлора (4) имеем
^_2* + 5=/<1) + *^/Ч1) + <^^
где
/<1)=1»-2.14-5 = 4,
f(x) = 3x*-2n /'(!) = !,
f»(x) = 6x » /"(П=6,
/'"(л:) =6 > /'"(!) = 6.
Следовательно,
д;3-2хН-5 —44-^-1) +3(^-1)3+(х-1)3.
Пример 3. Определить целую функцию четвёртой степени, кото-г
рая при х — 2 принимает значение 3, а производные её соответственно
1, % 6, 48.
/(2) = 3, /(2) = 1, /*(2) = 2, /'"(2) = 6 и /IV(2) = 48.
4tr\ — %±*-2 і , (Jf-2)'п і (^-2)3 д , (х-2у,0
/W-3 + -r-4+-r^-2 + T3^-64-T^371-48,
или
/(дг) = 29 - 55л; ¦+ 43*2__ \*>xz_|_%х\
§ 3. Разложение целой рациональной функции на
множители.
В формуле Тэйлора
•••+тті^')<«> ' (5)
все члены правой части, кроме первого, содержат множителем
разность х — а. Вынеся эту разность за скобки и обозначив
через Qx{x) многочлен, остающийся в скобках, можно лредста-
12 .

вить целую рациональную функцию в виде суммы двух
слагаемых, из которых одно делится без остатка на двучлен х— а,
а другое совсем не содержит аргумента х:
f(x)=f(a) + (x — a)Q1(x). (6)
Таким образом мы получаем следующее предложение.
Теорема Без у. При делении многочлена f(x) на
разность х—а получается остаток, равный значению делимого
при х^=а, т. е. /(а); иначе—разность f(x)—/(a) делится
без остатка на разность х — а.
Это предложение можно доказать и непосредственным
делением, без помощи формулы Тэйлора. Действительно, если Qx(x)—
частное, a Rx — остаток при делении многочлена f(x) на
разность х — а, то
f{x) = (x — a)Ql{x) + Ru (6')
причём остаток Rx не содержит х, так как делитель х — а
первой степени. Из тождества (6') следует, если положить х^а\
что и требовалось доказать.
Показатель степени частного Q1 (х) на единицу м.еньше
показателя делимого, т. е. равняется п — 1, а старший
коэффициент равен старшему коэффициенту делимого, т. е. pQ, так как
соответствующий коэффициент делителя равен единице.
Следствие 1. Если число а есть корень многочлена f(x),
т. е. если /(a) —0, то этот многочлен делится без остатка
ни разность х — а, т. е. разлагается на множители, из
которых один равен х — а:
f{x) = {x — a)Q,(x)1 если /(a) = 0. (7)
Следствие 2. Уравнение п-й степени имеет не более
п различных корней.
Действительно, пусть а — корень многочлена л-й степени f(x),
так что, по доказанному,
f{x) = {x — a)Ql(x)t (Г)
где Qi(x) — некоторый многочлен (л — 1)-й степени. Пусть
теперь b — корень многочлена /(х), отличный от а. Подставляя
х — Ь в (7'), получаем:
0 = (b — a)Qx(b).
Но, по условию, b — аф-§Л Следовательно, Qx(b) = Q, т. е.
b есть корень многочлена Q} (x). Тогда
Qi (*) = <* — *) <?2(*)>
13

откуда /{х) = {х_а){х_ b) q2 {x)t
где Q2 (х) — многочлен (л — 2)-й степени. Продолжая то же
рассуждение, заключаем, что если a, b, ...,d суть р попарно
различных корней многочлена f{x), то
f(x) = (x — a)(x — b)...(x — d)Qp(x)1
где Q {х) — многочлен степени п—р. А так как степень
многочлена есть неотрицательное число, то р^п, что и означает,
что f(x) не может иметь более п различных корней.
Мы видим вместе с тем, что решение алгебраического
уравнения и разложение целого многочлена на линейные множители,
т. е. множители первой степени относительно х, — задачи
эквивалентные: если мы разложим многочлен f(x) на линейные
множители, то тем самым решим и уравнение /(х)==0; если
удалось решить уравнение f(x) = 0, то тем самым найдено и
разложение многочлена f(x) на множители.
Если многочлен л-й степени f(x) имеет п различных корней
а, Ъ, ...,/, то, по доказанному,
f(x) = (x — а)(х — Ь)...(х — f)Qn(x),
где Q„(x) — многочлен нулевой степени, т. е. постоянное число.
Ясно, что Qn{x) есть коэффициент р0 при /г-й степени х в/(х)у
так что
f(x)—pQ(x— а)(х — о).. ,(х — /).
1 2
Примеры. 1. Уравнение х^~\~^х—^- = 0, как следует из фор-
2
мулы решения квадратного уравнения, имеет корни хх = -тг илг2=~1;
старший коэффициент равен единице; следовательно,
2
2. Уравнение Ъх2~\-х—2=0 имеет те же корни: Х\ =-^-и дг2=г—-I.
о
Следовательно, трёхчлен ЪхЪ-\-х~- 2 содержит множителями, как и
2
в предыдущем примере, двучлены х — -^ и х-\-1; но коэффициент
при старшей степени равен 3; поэтому
3. Трёхчлен л;2 —5jc-|-6 разлагается на множители х — 2 и # — 3.
В самом деле,
*2 — Ьх^б — х2 — 2х — Злг-f 2-3 = (лг —2)* — з(^_2) =
= (х-2)(х-?).
Следовательно, этот трёхчлен имеет корни Хі = 2 и x*~Z.
14

4. Многочлен х$ — х* -+- л;3 — х2 -f х — 1, очевидно, имеет корень Ir
15 — I4_j_- 13— 12_J_ J -l^O.
Следовательно, этот многочлен делится на х — 1 без остатка; и
действительно,
хь — х*-}- хЗ — х*-\- х — \ = (х — 1)(х* 4-*3 +1).
Решение уравнения путём разложения левой его части на
множители удаётся лишь в исключительных случаях. В общем
же случае сведение задачи решения уравнения к задаче
разложения многочлена на двучленные множители ещё не означает
её упрощения.
Следствие 3. Многочлен п-й степени, имеющий более
п различных корней, тождественно равен нулю, т. е. все
коэффициенты его равны нулю.
Действительно, если бы утверждение не было справедливым,
то многочлен был бы выше степени л, что противоречит условию.
Если, например, трёхчлен Ах2-\-Вх~\*С обращается в нуль
при x = xv х = х2 и х = хв, где xv х2 и хг попарно различны,
то он тождественно .равен нулю; иначе —из равенств
Ах\-{-Вх1-{~С = 0, Ах1-\-Вх2-\-С=0, і4*§ + А**+с = (>
следует
Д = 0, В = 0, С = 0."
§ 4. Кратные корни уравнения.
Если многочлен f(x) делится на k-ю степень разности х — аТ
но не делится уже на (k~\~\ )-ю степень этой разности, то
число а называется корнем кратности k многочлена f(x)y
a k,-—показателем кратности корня а. Если ?=1, то а
называют простым корнем многочлена f(x), если же А^>1, то а
называют кратным корнем.
Теорема. Кратный корень многочлена f(x) будет
корнем и производной f (х), но кратности на единицу меньшей.
Действительно, если а — корень многочлена f(x), имеющий
кратность k, то, по самому определению кратности корня,
f{x) = (x-a)*tf(x)9 (8)
где ср^а)=т^0. Дифференцируя это равенство, имеем:
/' (х) =k (х — а)*"1 <р (х) + {х — af <р' (дг) =
= (*_fl)A-i[A? (*) + (* — a)yf(x)].
Но выражение в квадратных скобках при х = а обращается
в ky{a)> что, в силу предположения, отлично от нуля. Тем са-
15

•+^>>н
-мым последнее равенство для /' (х) и показывает, что а есть
корень многочлена f'{x) кратности к— 1.
Таким образом, если а—корень кратности к для уравнения
J(x)^0, то
/(а) = 0, /'(а) = 0, f[a) = 0, ..•, /<*-*>(а) = (Ц (9)
но /*(а)фО. /
Эти соотношения являются не только необходимыми, но и
достаточными условиями для того, чтобы число а было
6-кратным корнем уравнения f(x) = 0. В самом деле, по формуле
Тэйлора при условиях (9) многочлен f(x) можно представить
-в следующем виде:
-откуда по вынесении (х — а)к за скобку получим
f(x)=(x — a)*(p(x), ¦
где <р (х) означает целый многочлен, оставшийся в скобках,
¦причём tp (а) =і—^):фОа
Следствие. Кратные корна уравнения f(x) = 0. будут
корнями кратности, на единицу меньшей наибольшего общего
делителя многочлена f(x) и его производной f (х)>
Таким образом нахождением наибольшего общего делителя
двух многочленов можно отделить кратные корни уравнения.
Пример. Дано уравнение
хв — 5х2 + 8лг — 4 = 0.
Имеет ли это уравнение кратные корни и если 'имеет, как их
определить?
Чтобы ответить на этот вопрос, найдём наибольший общий
делитель многочленов
J(x)=xS — 5x2±8x — 4 и /'(*) = &**—IQ*-f8t
или, так как в данной задаче постоянный множитель не имеет
значения,—многочленов 3/(дг) и /'(*). При делении Zf(x) на f'(x) получается
остаток — -^ (х — 2):
3/(*)=*/'(*)-J.(r-2). ' (Ю)
Отсюда видно, что наибольший общий делитель многочленов f(x) и
f'(x) должен быть делителем и разности х — 2. Далее, f'(x) делится
без остатка на х — 2. Тогда то же равенство (10) показывает, что
и/(х) делится без остатка на х —2. Следовательно, двучлен х — 2
J6

и будет искомым наибольшим общим делителем f(x) и f*{x\ а 2 —
двукратным корнем уравнения /(х) = 0. При делении многочлена f{x) =
= х*—Ьх*-{-8х — 4 на(х — 2)2получается частное дг—1.Следовательно,
f(x) = (x-2)4x-\),
т.е. данное уравнение имеет двукратный корень2 и простой корень 1,
§ 5. Вопрос о числе корней уравнения.
Выше было показано, что многочлен /2-й степени может иметь
не более п корней. Если бы мы доказали, что всякий
многочлен имеет по крайней мере один корень, то из этого
предложения с необходимостью следовало бы, что многочлен
п-й степени имеет ровно п корней. Но доказать это для общего
случая возможно, лишь расширив понятие числа введением
новых — мнимых чисел. Присоединение этих чисел к тем,
которыми мы до сих пор располагали (целые, дробные,
иррациональные, положительные и отрицательные) и которые мы теперь
будем называть действительными, даёт возможность общих
единообразных формулировок во многих вопросах математики.
Решение квадратного уравнения в области действительных
чисел приводит к трём случаям: либо квадратное уравнение
имеет два корня, либо квадратное уравнение имеет один корень,
либо, наконец, квадратное уравнение не имеет корней, т. е.
квадратный трёхчлен, представляющий левую часть такого
уравнения, при всяком значении х сохраняет один и тот же знак.
Например, уравнение х2 — 4х-|-3 —0 имеет два корня 1 и 3;
уравнение х2 — 4х-|-4 = 0 удовлетворяется только одним
значением х = 2, а уравнение х2 — 4-v -(-- 8 = 0 не имеет совсем
корней, т. е. трёхчлен х2 — 4X-J-8 ни при каком
(действительном) значении х не обращается в нуль, представляя при всяком
значении положительное число.
Решение уравнения х2 — 4д;-[-8 = 0 по формуле
выведенной для уравнения x2-^-px-\-q — 0, где puq — какие-
нибудь числа, приводит к действию, не имеющему смысла,
именно — к извлечению квадратно/о корня из отрицательного
числа: х=2±]/4=8 = 2±У=Г4.
Квадраты всех действительных чисел положительных или
отрицательных, суть положительные числа, а. между тем символом
У—4 требуется отыскание числа, квадрат которого равнялся
бы отрицательному числу —4^
2 Курс высшей математики, т. It > 17

Если мы хотим, чтобы формула решения квадратного
уравнения имела общность, т. е. имела смысл при всяких
числовых значениях коэффициентов р и q, мы должны__прежде всего
вложить смысл в такого рода символы, как у—4, должны
расширить понятие числа введением новых — мнимых чисел„
ГЛАВА II.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
§ 1. Вектор на плоскости и комплексное число.
Рассматривая положительные и отрицательные числа как
положительные и отрицательные абсциссы точек некоторой
прямолинейной оси, мы тем самым вносим конкретное толкование,
геометрическую картинность в отвлечённое арифметическое
содержание, связанное с понятием числа. Всякому положительному
и отрицательному числу соответствует определённая точка на
оси абсцисс или отрезок определённого направления, а
всякому действию над числом — некоторое смещение
соответствующей точки или некоторая геометрическая операция —
построение — над соответствующим отрезком. Сложение и
вычитание чисел очень просто интерпретируются как последовательные
смещения в ту или другую сторону соответственно знаку
слагаемых; умножение на положительное число — как растяжение
(увеличение) множимого отрезка, если множитель больше единицы,
или сжатие (уменьшение), если множитель меньше единицы.
В рассматриваемой геометрической картине умножение
на —1 могло бы быть определено как перемена
направления отрезка, изображающего множимое число, без
изменения его величины, а умножение на какое-нибудь отрицательное
число, например —5, означало бы сложное действие, состоящее
из двух умножений: на —1 и на 5, т. е. состоящее в перемене
направления (знака) и соответствующем увеличении.
Вектор. Придерживаясь геометрической интерпретации, можно
наметить дальнейшее обобщение понятия числа, введя в то
геометрическое содержание, которое связано с этим понятием, н а -
правление в более широком смысле, чем это было сделано
при введении отрицательных чисел, именно — направление на
плоскости, а не только на прямой в ту или другую сторону.
Отрезок, отличаемый от других отрезков не только по
размеру, но и по направлению, называется вектором.
Размер и направление являются характерными признаками для
многих величин из области геометрии, механики и физики;
1в

таковы смещение точки в определённом направлении и на
определённое расстояние, скорость, ускорение, сила и .т. п.
Такого рода величины суть векторы. Понятие вектора на плоскости
можно привести в соответствии с расширенным понятием числа.
Вектор можно представить геометрически направленным
отрезком, начальной и конечной точками которого вектор вполне
определяется. Параллельное смещение отрезка не изменяет
вектора (черт. 1). Приведём все век- у
торы на плоскости к одному на- *
чалу — началу прямоугольной
системы координат. В таком случае
каждому вектору ОА
соответствует определённая точка А
плоскости, и обратно *). Таким
образом, вектор О А можно
определить координатами а и b этой
конечной точки A. v
Совокупность двух чисел (а, Ь),
взятых в определённом порядке
как координаты конца приведённого вектора, мы и будем
называть в обобщённом смысле числом, полнее —
комплексным числом. Числа а и b будут составляющими его числами.
Каждому комплексному числу соответствует точка плоскости,
и обратно — каждой точке плоскости соответствует комплексное
число.
Модуль и амплитуда- Размер отрезка ОА, независимо от
направления последнего, называется модулем, а угол наклона*
его к положительному направлению оси абсцисс — амплитудой
комплексного числа (а, Ь). Составляющие а \\ b комплексного
числа определяют и модуль и амплитуду. Обозначив модуль
через г, а амплитуду через а, будем иметь:
Черт. 1.
r=.ydl-j-b2 и а = arctg
а
Модуль и амплитуда являются полярными координатами конца
соответствующего вектора и также определяют соответствующий
вектор и комплексное число, как и составляющие последнего
а и Ь\ поэтому мы будем обозначать комплексное число также
парой чисел г и а, заключая их в прямоугольные скобки:
(ау b)=[r, а].
і 1) Вектор, идущий из точки О в точку А, обозначается двумя.
J буквами со стрелкой наверху: ОА.
I 2* 19

Равенство комплексных чисел. Два комплексных числа мы
будем считать равными, если они соответствуют одной и той же
точке на плоскости.
Легко видеть, что два комплексных числа (а, Ь) и (а\ Ьт)
будут равны между собой только в том случае, когда
составляющие их соответственно равны, т. е. если а = а' и b = b\
Действительно, только при этом условии соответствующие точки
плоскости совпадают. Модули равных комплексных чисел также
равны между собой, но амплитуды могут отличаться на целое
число оборотов 2?тт, где k — любое целое число.
Положение действительных чисел среди комплексных.
Действительные числа можно рассматривать как частный случай
комплексных, у которых вторая составная часть b равна нулю:
(а, 0) = я. В частности (0, 0):=0. Действитель-
У4 ные числа изображаются на плоскости точками
А оси абсцисс.
а Чисто мнимые числа. Комплексные числа,
первая составляющая которых равна нулю,
^ т. е. числа вида (0, Ь) называются чисто мни-
О
о
а
-Ь мыма или просто мнимыми. Они изображаются
точками оси ординат.
В Сопряжённые комплексные числа. Два
Черт..2. комплексных числа (а, Ь) и (а,—Ь)у
отличающихся одно от другого только знаком мнимой
части, называются сопряжёнными. Соответствующие этим
числам точки плоскости Л и В симметрично расположены
•относительно оси абсцисс (черт. 2). Действительное число само
себе сопряжено. Модули сопряжённых чисел равны между собой,
г амплитуды либо отличаются знаками, либо дополняют друг
друга до полного числа оборотов:
"j/a2 -f b* = "|/"ая + (— b)\
arctg| + arctg(-|)=2Au (A = 0, 1, 2, 3, ...).
Действия над действительными числами вполне уже
определены и подчиняются известным законам. Надо теперь установить
такого рода операции над комплексными числами, которые можно
было бы назвать действиями сложения, вычитания, умножения
и деления. Эти операции надо определить, во-первых, так, чтобы
они подчинялись законам действий (т. I, Введение, § 3);
во-вторых, так, чтобы действия над действительными числами являлись
частными случаями тех же действий над комплексными,
20

§ 2. Комплексное число как отношение двух векторов
на плоскости.
Предыдущее определение комплексного числа является
обобщением числа как абсциссы. Это определение можно поставить
в связь с обобщением числа как отношения двух величин*
Измерение одного отрезка другим, как мы видели (т. I,
Введение, § 6), приводит к действительному числу. В этом смысле
число и можно определить как отношение двух отрезков.
Если два отрезка расположены на одной прямой, например, оси
абсцисс, на которой мы различаем два взаимно противоположных
направления, то отношение этих отрезков может быть
положительным или отрицательным числом, смотря по тому, будут ли
направления сравниваемых отрезков
одинаковыми или противоположными. Вводя
понятие вектора на плоскости, т. е. отрезка,
различаемого от других на той же
плоскости не только по величине, но и по
направлению, естественно ожидать, что и
понятие отношения может быть
обобщено.
Отношение векторов, например ОР и
ОМ (черт. 3), должно являться
результатом сравнения не только величин их, но
и направлений. Сравнение размеров
векторов даётся отношением в. первоначальном смысле этого
слова и приводит таким образом к действительному
(абсолютному) числу, которое является результатом измерения величины
первого вектора величиной второго, принятой за единицу меры.
Разница в направлении векторов может быть
характеризована углом между ними. Чтобы из второго вектора получить
первый, нужно, во-первых, второй и з м е н и ть (увеличить или
уменьшить) в отношении ОР:ОМ, иначе — умножить величину
второго вектора на действительное число, которое измеряет это
отношение, и, во-вторых, повернуть на соответствующий угол
так, чтобы направление его совпало с направлением первого.
Таким образом, в понятие отношения двух векторов на
плоскости включается отношение их размеров в первоначальном
смысле этого слова и угол между ними. Если мы имеем две пары
векторов ОР, ОМ и OQ, ON (черт. 3), размеры которых
пропорциональны, а углы между векторами первой и векторами второй
пары равны, иначе — если треугольники ОРМ и OQN лежат
в одной плоскости и подобны с одинаковым расположением
?1
У| Р

сторон, то отношение векторов ОР:ОМ должно считать равным,
отношению векторов OQ:ON:
OP:OM = OQ:ON. (1)
Будем считать отрезок ON расположенным на оси абсцисс
и примем его за единицу меры. В.таком случае для данных
векторов ОР и ОМ можно единственным образом построить
вектор OQ так, чтобы имела место пропорция (1).
Таким образом, отношение любой пары векторов ОР, ОМ
можно свести к отношению векторов OQ, ON, из которых
второй расположен на оси абсцисс и принят за единицу меры;
вектор OQ интерпретирует отношение данной пары векторов
ОР:ОМ. Всякому отношению двух векторов соответствует
вектор, отношение которого к вектору-единице равно данному
отношению. Обратно, любой вектор определяет некоторое отношение,
равное отношению данного вектора к вектору-единице. Пусть
а, Ь—координаты конца данного вектора OQ, Комплексное
число (я, Ь) имеет модулем размер вектора OQ, а амплитудой
угол NOQt и потому мы можем сказать теперь, что
отношение двух векторов на плоскости
есть комплексное число.
Таким образом, векторы плоскости в своём
отношении к вектору-единице представляют
комплексные числа.
§ 3- Сложение векторов.
Данный вектор определяет смещение
любой точки плоскости в направлении вектора и
на расстояние, равное величине его. Пусть со-
Чеот 4 вершается два последовательных смещения
какой либо точки: первое переводит смещаемую
точку из положения Л в положение Ву второе —
из положения В в положение С (черт. 4). Два таких
последовательных смещения можно заменить одним, переводящим точку
из положения Л непосредственно в положение С. Этим
смещением определяется и соответствующий вектор.
Такую замену двух смещений одним мы будем называть
сложением соответствующих этим смещениям векторов. Из такого
определения следуют выполнимость и однозначность сложения
векторов. .
22

Дополним треугольник ABC до параллелограмма ABCD, где
сторона AD параллельна ВС, а сторона DC параллельна АВЛ
Смещения AD и ВС соответствуют одному слагаемому вектору,
a DC и АВ — другому; так как смещения в порядке ABC и ADC
равносильны одному и тому же смещению АС, то сложение
векторов подчиняется закону переместительному.
Сложение векторов, как построение, сводится или к
построению диагонали параллелограмма (как говорят—сложение
по правилу параллелограмма) или к замене ломаной линии ев*
замыкающей. Из этого построения следует, что сложение
векторов подчиняется и закону сочетательному:
Действительно, три последовательных смещения, переводящих
точку из положения А в положение б, из В в С и из С в D,
равносильны одному смещению из А в D; но тому же смещению,
равносильны два последовательных смещения из А в В и из В
в D, что соответствует сложению вектора а с суммой векторов
b и с, а также из Л в С и из С в D, что соответствует
сложению суммы векторов а и b с вектором с.
Лишь закон монотонии, имеющий место при сложении
действительных чисел (т, I, стр. 16), не имеет непосредственного
применения, ибо понятие «больше», «меньше» для векторов не
имеет непосредственно такого значения, как для действительных
чисел,
§ 4. Сложение комплексных чисел.
Комплексное число мы определили как пару чисел (а, 6),
являющихся координатами конца вектора, начало которого
находится в начале координат. Построение,
названное нами сложением векторов,
определяет соответствующую операцию
вычисления — сложение комплексных
чисел. Составные части комплексного
числа а и b являются проекциями
соответствующего вектора г на оси координат:
a — npxr, b — npyr.
Пусть ОМ и ON—два вектора Черт. 5.
(черт. 5). Построив их сумму ОР, будем
иметь ломаную ОМР, состоящую из Слагаемых векторов, и
замыкающую ОР, равную сумме этих векторов. Если (av Ьг) и (а2, Ь2)—
два соответствующих комплексных числа и (я, Ь)—-комплексное
23:

число, соответствующее сумме их, то
а — пр ОР, ах = прхОМ = npxNP и аг = npxON= прхМРу
Ь=пруОР, bx=npyOM = npyNP и b2=npyON=npyMP.
Но проекция ломаной на какую-либо ось равняется проекции
замыкающей:
пррМР = npflP = nptOM + щМР,
Следовательно,
а==а1 -\-аг и b-=bx -\-b2.
Таким образом, сложение двух комплексных чисел (av Ьг)
и (я2, bz) определяется равенством
(«і» *i)+W *а)=Фі+в2» *і+**)« (2)
Следствие 1. Комплексное число можно представить
как сумму соответствующих действительного и чисто
мнимого числа:
(a, *) = (a,0)+ (<),*), (3)
Следствие 2. Сумма двух сопряжённых чисел равна
действительному числу.
(а,Ь) + (а,—Ь) — {а-{-а, b — b) — (2a,0)—2a. (4)
§ 5. Вычитание комплексных чисел.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению,
и потому
to» bi)—to> h)=to — a2> *i — **). (ь)
Пусть СШ—вектор, соответствующий уменьшаемому {avbt)r
a ON—вычитаемому {a2t b2) (черт. 6). Ломаная ONM
представляет сумму двух векторов ON и АШ, рапную
уменьшаемому ОМ. Следовательно, отрезок,
соединяющий конец вычитаемого вектора
ON с концом уменьшаемого вектора ОМ7
представляет вектор, соответствующий
разности двух векторов. Из этого построения
следует, что расстояние двух точек, иноЗра-
Черт б жающих два комплексных числа, равняется
модулю разности этих чисел.
Действительно,
mod to — a2, bx — b%) = V(ax — atf+{fo^b$ = NAL
34

Построение разности двух векторов можно свести к построе*
нию диагонали параллелограмма, одной стороной которого
является уменьшаемый вектор ОМ, а другой — вектор ON,
равный по размеру, но противоположный по направлению
вычитаемому (черт. 6);
ОМ— 6#= ОЛ4 -f ОЙ* = OQ.
Сло кение и вычитание действительных чисел являются частным»
случаями сложения и вычитания крмплексных чисел, так как для
действительных чисел соответствующие векторы располагаются
на одной прямой-гг. оси-абсцисс То же самое следует и н$ш>~.
средственйо из определяющих равенств (2) и (5):
(*vO)±{a%90) = (ax±a%t 0±0) = a1±a2.
§ 6. Умножение комплексных чисел.
Определение умножения комплексных чисел должно быть
таково, чтобы, с одной стороны, удовлетворялись законы действий
(т. I, Введение, § 3), с другой — чтобы умножение
действительных чисел являлось частным случаем умножения комплексных^
Такое определение легко установить, исходя из понятия
отношения векторов на плоскости. Действительно, пусть две лары
векторов ОР и ОМ, OQ и ON имеют одно и то же отношение,..
т. е.
OP:OM=OQ:ON. (б)*
Это значит, что, изменяя вектор ОМ в отношении OQ:ONT
мы получим из него вектор ОР, Изменение величины в каком-
либо отношении мы будем называть умножением этой
величины на соответствующее число, и потому из предыдущей
обобщённой пропорции, т. е, равенства двух отношений векторов,
пользуясь знаком умножения 1), можем как следствие написать:
0Р = 6М'Щ. m
ON '
Под умножением здесь разумеется построение. Если,
векторы ОМ и OQ даны {ON=\)t то легко построить и
вектор ОР. Действительно, по предыдущему треугольники МОР я
х) В равенствах (6) и (7) двоеточие (:) и черта \^=х) суть яе
\ON/
знаки действия, а знаки отношения.
25>

NOQ (черт. 3) должны быть подобны, с одинаковым
расположением в смысле последовательности сторон; поэтому на
стороне ОМ можно построить единственный треугольник, подобный
данному NOQ, и тем самым определить искомый вектор оР.
Исходя из такого построения, легко вычислить.и размер г
искомого вектора, а также угол а его наклона к оси абсцисс.
Действительно, пусть rv г2— размеры данных векторов, а ах
и а2 — углы их наклона к оси абсцисс:
OM=rv OQ=r2, ON=\,
j/ NOM= au ^/ NOQ=a2.
Из подобия треугольников MOP и NOQ и их расположения
относительно оси абсцисс следует:
r:r1 = r2:l и а — аі = я2,
откуда
г=тгг^ а=а1-\га2. (8)
Теперь, переходя от векторов к комплексным числам, можно
определить равенствами (8) и умножение комплексных чисел.
Размер вектора и угол его наклона к оси абсцисс являются для
соответствующего комплексного числа модулем и амплитудой.
Таким образом, умножить одно комплексное число (аи Ьх) на
другое (а2, Ь2) — значит составить новое комплексное число —
произведение, модуль которого равен произведению модулей
множимого и множителя, а амплитуда — сумме амплитуд их:
[г» аі1 ['» «*] = ['Л. аі + <*2]. (9)
В частности, умножить на комплексное число, модуль которого
равен единице, значит повернуть вектор, соответствующий
множимому, на угол, равный амплитуде множителя.
Если перенести обобщённое понятие отношения векторов и на
комплексные числа, определяя отношение двух комплексных
чисел как отношение соответствующих векторов, то умножение
комплексных чисел можно определить так: умножить одно
комплексное число на другое — значит составить третье комплексное
число, произведение, так, чтобы его отношение к множимому
равнялось отношению множителя к единице. То же самое
можно сказять другими словами и следующим образом:
умножить одно комплексное число на другое — значит составить
из множимого третье число, произведение, так, как
множитель составлен из единицы.
Эта последняя формулировка определения умножения сходна
с обычным обобщённым определением умножения действительных
26-

чисел, но при этом расширяется, конечно, содержание . слова
«составить», . .,
Формула (9) определяет операцию умножения, сводя её К
действиям над модулями и амплитудами. Модуль и амплитуда
являются полярными координатами конца соответствующего
комплексному числу вектора. Составные части комплексного числа
а и Ь выражаются через его модуль и амплитуду г и а
следующими формулами:
а == г cos a, b = г sin а.
На основании формул (8) получим:
а = rxr2 cos (ах -\- а2) = ггг2 [cos аг cos а2 — sin ах sin а2],
b = /у2 sin (ах -[• а2) = rir2 [sin аіcos а2 + cos аіs*n а»]»
или
а = а1а2
Ьф2 и ^ = а1^2 + а2^і-
(10)
Таким образом, умножение комплексных чисел определяется
также следующими формулами:
(<*!, А)-(Яа» *2)=Фіа9—А*2> аА + ^і)-
(И)
Из формулы (9) [или (11)] следует, что умножение
комплексных чисел 1) всегда и однозначно выполнимо и 2) /год-
чиняется закону перемести-
тельному и сочетательному,
так как сводится к
перемножению действительных
чисел — модулей и сложению
действительных чисел — амплитуд.
Закон монотоиии
непосредственно неприменим, так как
понятия «больше», «меньше» для
комплексных чисел не
определены.
Закон распределительный
[a -J- 6) с = ас -\- be, или а(Ь-\-
-J- с) = ab -j- ас вытекает из
соответствующего этим
действиям построения.
Справедливость распреде- Че 7
лительного закона а(Ь-{-с) =
= ab-\-ac докажем следующим образом. Пусть ОВСС —
параллелограмм, изображающий сумму Ь-\-с, и О А — вектор,
соответствующий множимому а (черт. 7). Строя на стороне ОА
27

треугольники OABv ОАСх и OAdv соответственно подобные
треугольникам ОЕВ, ОЕС и ОЕС, где 0? = 1, мы тем самым
строим произведения ab = OBv ас = ОСі и а(й-{-с) = ОС1.
Из подобия треугольников следует, что фигура OBfi^— тоже
параллелограмм, и потому
ОС^В^ и QC^OB^OC'v
то есть
а{Ь-\-с)=аЬ-\-ас?
Таким образом, умножение комплексных чисел подчиняется
законам действий.
Умножение действительных чисел является частным случаем
умножения комплексных. Действительно, полагая в формуле (11)
#!=() и Ь2 — 0, будем иметь:
(ах, 0)(а2, 0) = аЛ. (И')
Произведение двух сопряжённых чисел равно действительному
числу — квадрату их общего модуля:
(a, b)(a,—b) = (a* + t>\—ab-{-ba) = (a?-)rb*t 0)=а2 + ?2.
Произведение комплексных чисел, как и произведение
действительных, только в том случае обращается в нуль, если по
крайней мере один из сомножителей равен нулю, так как
комплексное число только тогда равно нулю, если его модуль равен
нулю, а модуль произведения равен произведению модулей
сомножителей, т. е. произведению действительных чисел.
Возведение в целую положительную степень представляет
частный случай умножения, и потому при возведении
комплексного числа (a, b) = [r, а], где г—модуль его, а а—амплитуда,
в п-ю степень возводится в эту степень модуль, а
амплитуда умножается на показатель степени:
(а, *)я = [і\ а]я=[Л ла]. (12)
§ 7. Деление комплексных чисел.
Деление есть действие, обратное умножению, т. е. действие,
которым по данному произведению и одному из сомножителей
отыскивается другой. Из этого общего определения и вытекают
те вычисления, к каким сводится деление комплексных чисел.
Если г и а — модуль и амплитуда искомого частного, а г1 и аг,
/2 и а2 — соответственно модули и амплитуды делимого и
делителя, то согласно определению деления и умножения должны
і-:меть место равенства
[п а][гъ а%] — [гх, ах], т. е. rr2 — rt и а4-а.л = аіг
28

откуда
Таким образом, при делении одного- комплексного числа на
другое надо разделить модуль делимого на модуль делителя,
а из амплитуды делимого вычесть амплитуду делителя:
fciS-fr --4 (,4>
Из того же определения можно вывести способ вычисления
составляющих а- и b искомого частного. По определению имеем:
(а, Ь){а2, Ь2) = (аи Ьг).
Выполняя пс формуле (11) перемножение, получим:
(aa2 — bb2, ab2+ba2) = {au Ьг),
0ТКУда aa2 — bb2 = av ab2-\rba2 = bv
Решая эти уравнения относительно а и Ь, получим:
а— —, о— .
ta2-f-b2 a2Jrb2
Следовательно,
Ц, Ь^Ь2) = [Щ±^ ,Ь*^\ (15)
Таким образом, деление однозначно выполнимо, если только
делитель не равен нулю, т. е. если а2 и Ь2 не равны нулю
одновременно, или, соответственно формулам
(13), если г2~?0.
§ 8. Мнимая единица. Алгебраическая
форма комплексного числа.
Мнимой единицей называется комплексное
число (0, 1); соответствующая этому числу
точка расположена на оси ординат (черт. 8).
Обозначим это комплексное число буквой /, т. е.
(О, 1) = і. Модуль его равен единице, а амплитуда -к- Умножить
на і — значит, геометрически, повернуть вектор,
соответствующий множимому, против движения часовой стрелки
на прямой угол. Поэтому квадрат мнимой единицы равен
отрицательной единице. Действительно, по формуле (12) имеем;
? = (0,l)*=[l,j]2=[l,«].
29

Но комплексное число с амплитудой, равной тс, есть
отрицательное число, абсолютная величина которого равна модулю.
Следовательно, /« = [1, іг]=—1. (1б>
Тот же результат можно получить по формуле (11), полагая
і2 = (0,1)2 = (0.0 — Ы, 0-1+0-1)=(— 1, 0)=—1.(16')
На основании равенства (16) легко определяются и высшие
степени і:
іъ=і2-і =—/, /4 = /з.і2 = +1, /б = /4./_/ н т# д>
Определяя и для комплексных чисел извлечение корня как
операцию, обратную соответствующему возведению" в степень,
пользуясь для этого действия тем же знаком, мы должны заклю-
чить, что і=У-\ш (17)
Таким образом, символ к—1, не имевший раньше смысла,,
теперь, после введения комплексных чисел, получил вполне
определённое содержание.
Уі Всякое чисто мнимое число (0, Ь) можг
/На+Ьц щ представить, пользуясь формулой (11),
в виде произведения действительного
числа Ь на мнимую единицу/. Действительно,
а перемножая но формуле (11) комплексные
q д о* числа (Ь, 0) и (0, 1), будем иметь:
' (Ь, 0).(0, 1) =
4ерт-У- =(Ь-0 — <Ы,*.1+<Ы) = (0, Ь),
и потому, принимая во внимание, что {b, 0) = ? и (0, 1)=/,
получим: (0> b)=:{bt 0)(0) 1)==w> (18)
Всякое'комплексное число (а, Ь)} как мы знаем (§ 4),
разлагается на сумму действительного и чисто мнимого числа (черт. У)
и потому может быть представлено в следующей форме:
(а, Ь) = (а, 0) + (0, *)=<* + «. (19)
Применяя .к комплексным числам в этой форме установленные
правила действий, будем иметь:
(a1+*1i) + K + V)=(«i+fls) + (Ai+*2)A
(«і + Ьхі) ~ (а2 + Ь2і) = (а, — я3) + (Ьх — Ь.) і,
iai+bli)(at+b2i) = la1a2 — l>1b2) + (V-_> + ^i)',
й\-{~Ьіі аха% 4- Ьф* ,_ bjfu — пхЬ,> .
*г±Ь4~ а\ + Ъ\ + **Т*Г'"
30-

Из этих равенств видно, что действия над комплексными
числами совершаются по обычным правилам алгебраических
вычислений над выражениями вида а-{-?/, причём полагается і2 =—U
Так, последнее равенство мы могли бы получить следующим:
образом:
а\ -{- Ьіі (fli-r-ftil')(g2~~fr2*) а\а% 4~ Ъфч \- (bidy— afa) i
<*2 +¦ ь4 ~ (<Ч 4- *з0 іаг — h*) ~ <4^гь1 *
§ 9. Тригонометрическая форма комллексных чисел.
Комплексное число а-\-Ы можно представить в следующей,
так называемой тригонометрической форме, если заменить
составные части а и Ъ их выражениями через модуль и амплитуду:
a=rcosa, b = rs\na и a~\-bi = r(cosa-\-i sina). (20)
Множитель cosa-f-*s*na содержит амплитуду а и определяет
направление соответствующего вектора и потому называется
коэффициентом направления.
Для тригонометрической формы комплексного числа особенно
просто выражаются уже установленные правила умножения,
деления, возведения в степень, а также извлечения корня. Формулы
(9) и (14) принимают теперь вид
rx (cos ах -\- і sin ах) • гг (cos a3 ~\- i sin a2) =
= Tj% [cos (аг -f a2) +1 sin (^ -f a2)]. (21>.
/•i(cosai -4-/sinoi) Г\ r , ч i . . , v1 /nr,v
~ , . .—4 = ~ cos (a! — a.,) 4- J sm (a, — a2)l. (22)
r2(cosa24-iSina2) ^2
Правило (12) возведения комплексного числа в степень
составляет так называемую формулу Моавра:
(a -J- ib)n = [ г (cos a -j- f sin а)]п = гл (cos яа 4"' s'm na)- (23)^
§ 10. Извлечение корня.
Из формулы Моавра вытекает и правило извлечения корня и»
комплексного числа: при извлечении корня из комплексного
числа извлекается (арифметически) соответствующий корень
из модуля, а амплитуда делится на показатель корня. В
самом деле, пусть р и <р — искомые модуль и амплитуда корня
/2-й степени из комплексного числа
а -f іЬ = г [cos (а -|- 2k-n) -\~ і sin (a -f- 2Атг)].
Мы имеем теперь полную амплитуду a-\-2krt, где Л — какое
угодно целое число, потому что в рассматриваемой операции
3-1

іИЛИ
этим обусловливается многозначность результата, между
тем как при умножении, делении и возведении в целую степень
результат не зависит от того, принята ли во внимание полная
амплитуда a-\-2kn или только главное её значение а. Таким
образом имеем
У г [cos (а -\- 2kn) -\- і sin (а + 2Атг)] — р (cos ср -{- / sin у),
/-[cos (а 4~ 2^п) +1 sin (а 4" 2Атг)] = ря (cos лср -f* Sin л?)»
откуда
ря = /- и жр = а-{"2«іТ) или р = ]/г, (р = —! .
Следовательно,
У г [cos (а + 2?тт) -|- / sin (а + 2Атг)] =
= Vr\zos^i |-isin-^— J. (24)
Здесь под символом ?//• разумеется арифметическое значение
корня. Давая k различные значения О, 1, 2,.. ., л—1, получим
различные значения для амплитуды
а а . 2іс а . л 2іс а , , ,. 2я
«•« + «' я+2-«'"" «+<л-1)-л'
Для других значений k значения амплитуды будут повторяться
из тех, какие уже получены, или точнее—отличаться от них на
полное число окружностей. Таким образом, при извлечении корня
п-Рі степени получается п различных результатов. Корень л-й
•степени из действительного числа также имеет п значений,
так как действительное положительное или отрицательное число
можно представить в виде комплексного с амплитудой 2?тт или
<2А + 1)тг:
А = A (cos 2ku -\- і sin 2?тт),
— А = A [cos (2k -f 1) ii -f /sin (2k -f* 1) тг].
Таким образом, для частного вида уравнения л-й степени,
так называемого двучленного уравнения xn — At мы теперь уже
можем сказать, что оно имеет п корней.
Пример. Найти все значения (действительные и мнимые) корня
«убичного из единицы. *
Имеем:
l=cos2b-j~/sin2bc; ^cos 2кк -}-/sin2kz = cos Ц?-f /sin^ .
32

Полагая последовательно k равным 0, 1, % получим три значения
кубичного корня, из которых два —сопряжённые числа:
Ar0~cosO+-*smO = ], хх =ccs-r-{-ism~, х2 = cos.-?-4-'si«^•
|^arcl20Vos^ = coSl20o=--cos6()o=~i;
sin ^ = sin 120° = sin 60°= ^~.
Arr 4іГ 1
~ = arc 240°; cos ~ = cos 240° = — cos 60° = — —;
о о 2
4и . Л,ЛЛ . f§
sin
sin 240°
лго = 1, *i =
2
х%
5іпб0°= —
— 1 — в У^З"
Действительно, возводя числа jc0, xh х% в куб, получим 1;
xl=l;
xi=h-i±iV3)s~
8
= о-[(-і)3+зч-і)2^ Кз+з.(*і)./2.з+/з.3/з]
8
= 4-1-1+3/^34-9-3//3] = 1;
8
л:.
і(1+^3)3=г-1 [1+3/^3^9-3/^3 ]=1.
Точки, соответствующие числам *о> *ь -г2> модули которых равны
1, а амплитуды 0°, 120°, 240°, являются вершинами А, В, С (черт. 10)
правильного треугольника, вписанного в круг,
радиус которого равен 1. Вообще надо заметить,
что построение правильного л-угольника,
вписанного в круг, и извлечение корня л-й степени
из 1 — задачи эквивалентные.
Корень квадратный из отрицательного
числа можно'представить как произведение ±і
и корня той же степени из абсолютной вели-,
чины этого числа. Рассмотрим, например,
V—А, где А—положительное число. Отри- ч 10
дательное число — А можно "представить
как комплексное с модулем А и амплитудой (2k-{-1)^; поэтому
У^А = J/5[cosl2A +!)« + *'sin (2А + 1)тс] =
У A jcos (*тг-}--|) +/ sin \kn |--j~j .
3 Курс вые "ел математик?, т. II.
33

Вели k — чётное число (в частности равное нулю), то из преды»
дущего равенства следует:
У~Л=іУАі или V=A=V—i-VA\
если же k принять равным нечётному числу, то
У^А^-і-Ул, или У^А=—У—іУл.
Двузначность всякого квадратного радикала отмечается знаком
плюс или минус, поставленным перед ним, а если знак явно не
поставлен, то принято разуметь знак плюс. Из предыдущих двух
равенств лишь первое подчиняется этому правилу обозначения,
а потому второе, чтобы и его согласовать с принятым условием
обозначения, следует писать в таком виде:
— V~lA=—Y=l У А.
Извлечение корня — операция многозначная; поэтому всякое
равенство, содержащее знаки радикалов, нужно понимать
относящимся к какому-либо определённому их значению. Тгк, правила
действий с-раді калами, рассматриваемые в элементарной алгебре,
относятся к арифметическому значенью корней:
арифметическим будет единственное действительное значение корней
нечётной степени из действительных чисел и
положительное значение корней четной степени из положительных чисел.
Этим правилам действий подчиняются действия над корнями из
модулей комплексных чисел, но не действия над корнями,
которые имеют обобщённое значение. Так, правило действий над
радикалами, выражаемое равенством
УЪ Vb=Va7b,
где перед каждым из радикалов разумеется лишь один знак
плюс, имеет определённый смысл лишь в том случае, если Л и
В— положительные числа. Но нельзя написать такого равенства:
У^^У^=У(^гщ=^)=Уа^в9
где А и В — положительные числа, так как по предыдущему имеем;
. У^а^іУа, У=в=іУв,
следовательно,
У^-У=в==іУа-іУв=і*УаУв=—УШ
34

§ 11, Понятие предела для комплексного переменного*
Комплексная величина х-\-іу будет комплексным переменным,
если составляющие её х и у меняются, как действительные
переменные, по какому-либо закону. Если Нтх —а и \\ту = Ь, то
комплексное переменное х-\-іу стремится к пределу a-\~ibr
т* е- \іт {х-\-іу) =lim.v + nimy. (25}
Из этого определения следует, что модуль разности
комплексного переменного и его предела
| х + іу — [а + Щ | = V7j? —а)* + СУ —*)3 (26)-
стремится к нулю как своему пределу, так как (х — а)2 и (у — Ь)*
по условию стремятся к нулю. Обратно, если этот модуль (2б)>
имеет пределом нуль, то это значит, что х стремится к а, а у
к Ь, т. е. lim (х ^- іу)=а -\- ib, так как сумма квадратов только
тогда равна нулю, когда каждое слагаемое отдельно равно нулю.
Теоремы о пределах, в частности о пределе суммы,
произведения, частного, выведенные (т. I, Дифф. и интегр. исч., ч. I,
гл. II) для действительного переменного, применимы и к
комплексному переменному.
Комплексное переменное, имеющее пределом нуль, называется
бесконечно малым. Модуль бесконечно малого комплексного
переменного бесконечно мал, и обратно.
§ 12, Комплексная величина как показательная функция
амплитуды, Формула Эйлера.
Действия с комплексными числами, модули которых равны
единице, сводятся исключительно к действиям над амплитудами
по тем же правилам, как и действия над степенями сводятся
к действиям над показателями, именно: умножение таких
комплексных чисел сводится к сложению амплитуд, деление — к
вычитанию, возведение в степень—к умножению амплитуды, а
извлечение корня — к делению амплитуды:
(cos a -f- i sin a) (cos 0 + / sin (J) = cos (a -f- 0) -j- / sin (a -f- {$), -
(cos a 4- i sin a): (cos p + 'sJn ?*) — cos (a — P) 4~ i s'in (a ^~ P)»
(cos a-\-i sin a)n = cos no. -|-i sin na,
{/'cos (a + 2Arr) + / sin (a -f 2?тг) = cos ^—^ + /slaa + 2fec.
По тем же правилам совершаются и действия над степенями:
3* 3J

Если рассматривать амплитуду как перем^ную, то
комплексная величина будет функцией этого переменного аргумента.
'Обозначим амплитуду — аргумент — через <р, а комплексную ве-
* личину — функцию — через z:
^= cos ср -]- / sin <p. (27)
Следует заметить, чт# эту функцию нельзя представить
графически в прежнем смысле, т. е. рассматритая её как
ординату, так как z— мнимая величина; но каждому значению z
будет соответствовать точка М на плоскости, именно точка
окружности радиуса, равного единице, так как модуль равен
единице; при непрерывном изменении ср точка М перемещается
по этой окружности.
Комплексная величина z есть функция действительного
Передо
менного ср. Найдём производную этой функции, т. е. lim -р . Эта
производная должна быть, вообще говоря, комплексной
величиной, так как Аг — комплексная величина, а Дер —действительная.
К выражению cos<j> + ZSIn?' опираясь на установленную теорию
пределов для комплексного переменного, можно применить
обычные правила дифференцирования, хотя в нём и встречается
нечто новое, что не имелось в виду при выводе этих правил,
именно, множитель і = У—1. Но і не зависит от изменений
аргумента со и потому играет роль такую же в этом отношении,
как и всякое постоянное. Итак, дифференцируя, найдём1)
dz ...
щ = — sin ^-[-* cos ср. (28)
Пусть значению z соответст-
з) Этот же результат можно получить и непосредственно, находя
т. &Z
lira -г—
д?_Ю Дер
в'ует точка М на окружности радиуса,
равного единице (черт. 11), а значению
z-\~Az=z1 — точка Мх. bz, как
разность комплексных величин zx и z
представляется геометрически по раз-
Т Щ 1 ^ меру (модулю) и направлению хордой
V / ММі (стр. 24):
Дг = ММХ (cos a-\-i sin a),
где а —угол наклона хорды ММХ к
положительному направлению оси абсцисс.
Л? равно дуге ММЬ Кроме того,
ММХ= = 2 siq
^=2sin^
Имея эти выражения для Дг и хор-
36

Вынося і за скобку и заменяя 4 через —/, получим:
dz . . . . dz
^=t(cos(?^rism(p) или d =iz. (29)
Таким образом, функция z=cos<p-{-ism(p обладает тем
свойством, что, во-первых, её производная равняется самой функции
умноженной на /, во-вторых, при ^=0 эта функция равна
единице. Если бы z и і были действительными числами, мы отсюда
сделали бы заключение, что г = е'ч. Но г —комплексное число.
и'i=V— 1, символ е'9 —вт^-і ещё не определён и не имеет
смысла. Опираясь на сходство свойств показательной функция
и функции г ¦= cos <р -\-і sin?, мы определим теперь этот
символ, полагая
г = е*(, или е& = cos <o-\-i sin ср. (30)
Эта формула — формула Эйлера — расширяет, таким образом,
понятие показательной функции и на область мнимых
показателей; вместе с тем расширяется и понятие обратной функции —
функции логарифмической на область отрицательных и мнимых
чисел. Всякое комплексное число, а в частности и
действительное, можно теперь представить в форме произведения его
модуля на еаг, где а есть амплитуда этого числа;
a-\-ib = r (cos а -{- і sin а) = геаі;
г = Уа?-\-Ь2 и a — arctg — -|-2Атг.
дыЛШі, составляем отношение Д.г:Л<р( предел которого и будет
искомой производной:
. Дер
^z ммг, , . smT .
^ = Ж(С03а+'5іпа) = "^"(С03а+/8іпа)*
т
Переходим теперь к пределу в предположении, что 4? стремится
к нулю, т. е. что точка Мь перемещаясь по окружности, стремится
к точке М. При этом хорда ММЬ вращаясь около точки М, в пределе
займёт положение касательной к окружности в точке М, и,
следовательно, угол а стремится к углу tp-h-j, как своему пределу, где
у—амплитуда точки М. Принимая во внимание, кроме того, что
Um (sin у ;-у) ~ ! (т* Г' СТР- Ш)> п°лучим:
^=ccs(y + |-)+/sin(?4-|) -
или
dz
dy =" sin у-hi cosy.
37

=-/*'
Пример, Представить числа 1, /,—1,—/ как значения
показательной функции еаі.
Имеем*
1 = cos 2кк 4- / sin 2kz = е*ы,
^f==cos(-y + 2A«)-KsIo('-y4-2A«)=e 2 =е 2 ,
Где А = 1, 2, 3,...
Если а-]-&— какое-либо комплексное число, то по
определению имеем
еа+Ы _ еа, еЫ _ ео (cos ? _|_ ; Sjn ?^
Всякое число можно представить в виде z = re(*+zk^v, где
г—его модуль, а a-\-2kit—его полная амплитуда (к = О, 4:1,
4-2, ...)»' модуль /• можно представить в виде степени е:
г = е]пг.
Следовательно,
г_?1пг.е(а + 2^)^ или з = 0іпг+(я+2*!е)^
Отсюда следует, что логарифм числа в расширенном смысле
этого слова есть функция многозначная:
lnz=lnr + (flt + 2Air)/, где А = 0, ±1, ±2,...
При таком понимании слова логарифм можно утверждать, что
и отрицательное число имеет логарифм, например:
1п(— 1) = 1п*<2*+1)*/— (2А+ 1)тт-
В силу данных определений логарифмы от комплексных
аргументов обладают теми же свойствами, что и логарифмы
действительных чисел. Так, например, если z1 и z2— два
комплексных числа, то ln(zlz2) = lnz1-\-lnz2. В самом деле, пусть <рх
и а2, гг и г2 — модули и амплитуды данных чисел. В таком
случае
Следовательно,
или
88
ZxZ2 = eb СЛ) + (?1 + <Г. + 4Ая)/#

Отсюда, по • определению^ логарифма комплексного аргумента,
In {zxz2) = In [ггг2)'+ (ft + ?2 + 4Атт) /\
или
ln(^e) = lnr1 + (?i-f 2Атг)і + Ьг8 + (ср2 + 2йіг)і.
Но
1пг1-}-((р1-|-2/е7т)і = 1пгг1 и 1п/2+(у2-{-2А7г)/=1п2г2,
следовательно,
In (Z322) ^=-1 П. -2Гі —|— In 22.
Применяя формулу Эйлера к двум сопряжённым комплексным
числам с модулем, равным единице, будем иметь
еаі = cos a -f- / sin а, (31)
е-** = cos а — і sin а, (32)
откуда получаются выражения тригонометрических функций через
показательные:
cosa = j(*e/ + *~e0, (33)
' $ina = ^(*el —*"ef). (34)
В нашем изложении формула Эйлер з определяет
показательную функцию через функции тригонометрические, а эти
последние определены обычным способом, т. е. геометрически. Если
бы показательная функция для мнимых показателей была
определена' независимо от формулы Эйлера, то эта последняя
определяла бы тригонометрические функции, и из формул (31), (32),
(33) и (34) можно было бы вывести все основные формулы
тригонометрии. Для примера выведем таким способом формулу для
соз (а-(-[$). По формуле (33) имеем:
cos{a + P) = -|- [в(«+Р)' + в"<«+Р>-,] = ^- [e-'.eP'-l-tf—'-e-P»"!.
Применяем далее ко второй части предыдущего равенства
формулы (31) и (32):
cos (a -j- Р) = -j [(c°s a + isin °0 (cos P +' s*a P) +
-f- (cos a — i sin a) (cos P —i sin (J)].
По умножении и приведении подобных членов, получим
cos (a -f- Р) = cos a cos p — sin a sin p.
39

УПРАЖНЕНИЯ.
1. Показать, что общие корни уравнений 2гя = 1 и zm=l
определяются уравнением *Р = 1, где /> —наибольший общий делитель
т и л.
2. Показать, что всякая степень корня уравнения zn=l также
есть корейь этого уравнения, т. е. если а — корень уравнения зя — if
' то и а2, а»,...— также корни этого уравнения.
3. Показать, что все корни уравнения zp = l, где р — простое
число, можно представить как степени одного из корней , не
равного единице: а, а2, а3,..., аР.
4. Какое геометрическое содержание заключается в предыдущих
предложениях?
ГЛАВА III.
ОСНОВНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ.
§ 1. Целый многочлен как функция комплексного
переменного.
Предложение, согласно которому алгебраическое уравнение
любой степени имеет по крайней мере один корень,
действительный или мнимый, является основным в алгебре. Из него на
основании тех рассуждений, которые были изложены в § 1
главы I, как следствие, вытекает, что уравнение п-й степени
имеет п корней. Доказательство основного предложения сводится
к исследованию целого многочлена
f(z)=p0z» + p1z"-i + ....+pn; (1)
здесь z принимает любое комплексное значение, и даже
коэффициенты р0, pv..., ра можно ради общности предположить
комплексными:
z~x + iy, pk = ak + Lbk (? = 0, 1, 2,...,й).
После выполнения в многочлене (1) указанных действий над
комплексными величинами мы получим многочлен /г—j— 1-й степени
относительно і; но все чётные степени /, как следует из
определяющего этот символ равенства /2-J-l=0, равны -[-1 или
— 1, а нечётные степени равны -J-/ или —/:
Следовательно, многочлен f{x -\-iy) сводится к двучлену первой
степени относительно і
f{x + ly) = U(x,y) + iV{x,y), (2)
где U(x\y) и V(xy у) суть многочлены л-й степени
относительно хну.
40

Таким образом результат подстановки комплексной величины
х-\-іу вместо z в многочлен f{z) есть комплексная величина.
Эта комплексная величина меняется вместе с изменением
независимого комплексного переменного z и будет, таким образом,
функцией комплексного переменного. Если С = 5 + ^ — корень
многочлена f(z)y то /(?-\-Щ) должно обратиться в нуль, т. е.
должно иметь место равенство
Но комплексная величина обращается в нуль, лишь если её
составные части отдельно равны нулю;
?7(5, і)) = 0 и Vfa Ч)=0, (3)
или, что сводится к, тому же, если модуль ;(её равен нулю:
|/(Cil = V^(5, т])+^(5, і]) = 0, или
Обратно, если существуют такие значения S и і), при которых
имеют место равенства (3) или (3'), то многочлен f(z)
обращается в нуль при z=?-\-ii\> т. е. уравнение f(z) = 0 имеет
корень, равный S-j-и]*
Непрерывность функции двух переменных Uz(x, у)-\-
-\- V2(x, у) и функции /(г)1). Пусть переменная величина х
принимает какой-нибудь ряд значений xv хъ лг3, ..., ха,... у
стремясь к определённому числу а как к своему пределу, а
переменная у — ряд значений yv у2, у?і ..., уп, ..., стремясь
к пределу Ь:
Мтх =#, limy =b.
В целых многочленах
"(*«, л). ^ л)и ^К- л)+ ^К. л)
над х и уп совершается конечное число рациональных
операций, именно — сложений, умножений и возведений в целую
положительную степень. Применяя к этим многочленам
соответствующие предложения о пределах, будем иметь:
ton U(xa, уп) — U{Urn хп, \1туп), lim V (хп, уп) = V(ilm хп, lim jg.
По какому бы закону величины хп и уа ни стремились к своим
пределам а и Ьу эти равенства будут иметь место по тем же
предложениям о пределах; а это значит, что многочлены U1 V,
г) По поводу понятия непрерывности функции нескольких пере*
менных в общем случае см. ниже § 2 гл. IV второй части
«Дифференциального и интегрального исчислений».
41
(3')

•а также LP -f~ V2 суть непрерывные функции в точке (а, Ь).
Ho an Ъ — какие угодно числа, и потому рассматриваемые
многочлены непрерывны в каждой точке плоскости. Около
каждой точки плоскости можно ограничить достаточно малую область,
где изменения (приращения) этих функций будут по абсолютной
величине менее сколь угодно малого положительного числа s;
|^7(лг + Длг, j/*+-Ду) — U{x> у)|<е при jAjc|<§ и |Ду1<і],
•где 8 и 7j — достаточно малые положительные числа.
Вместе с функциями U и V будет непрерывной и функция
J(z), где z — комплексное переменное, так как
f{?) = U{x, y) + lV(x, у)
]iTnf(zn)=*[imU(xa, yn) + llmiV{xn% yj> =
= U{at b)+tV{a, b)=f{a + ib)y
т. е.
1іга/(2гл)=/(ііт^).
§ 2. Основное предложение высшей алгебры.
Пусть z0 = х0-\-іу0 — некоторое комплексное постоянное.
По формуле Тэйлора, которая по тем же основаниям применима
и при комплексном переменном, имеем:
•" ' 1-2-3...л J { о)' W
где
/1«)(г0) = Ь2.3...лЛ^О,
так как данный многочлен — п-й степени. Мы будем также
считать л/(г0)фО, так как противное означало бы предполагать
доказываемое. Но ради общности можно положить, что несколько
производных, начиная с первой, при z = z0 обращается в нуль:
/' (*о) = f (*о> = • •. =/(*~!) (*о) = О,
и іаким образом
/« ='<«¦> + ШТ^К^ Ы + • • • + ГЙ^Г/(Л) (-о)- (4')
Вычислим теперь квадрат модуля f(z). Полагая
— Pj(cosa, + 'sina,), (5)

где г и ср — переменные, а Рх и аг—известные постоянные, будем
иметь
f(z) = U0-\- V0i + rk (cos Аср 4- г sin ky) • Pk (cos aA + / sin ak) +...
.., + г" (cos /г? -4- / sin /^). Pn (cos ад + i sin ал).
Отсюда по выполнении умножений и отделении действительных
и мнимых частей получим:
U{x, y) = U=U0 + r*Pkcos{ky-{-ak) + ...
... + '" Яй cos (м-faj,
V(x, у)=У=У0 + г*Ркзіп(кіе + ал) + ...
и, следовательно1),
+ 2г* Р, [?/0 cos (ft? + ак) + К0 sia (4у + а Л + • • - + г%1 К- (6>
Лемма 1. Модуль функции /(г), т. е. Vu>1Jr V'1 при
достаточно большом значении модуля разности z— z0 можно
сделать больше любого наперёд заданного числа.
Доказательство. Выражение (б), вынося старшую
степень г*за скобки, можно представить в следующем виде:
г/* + і/а=(Ч 4-/3) ^ и Vu*-\- ^=/4+^-^,
где 7j, представляющая собой сумму отрицательных степеней г,
может быть сделана сколь угодно малой. Следовательно, модуль
\f(z)\=]fU'--\-V2 при достаточно большом г растёт
безгранично вместе с гп, что и требовалось доказать.
Лемма 2. Если f(z0)=^0, ин.гче, если V U*-\- ^7^0, лм>
\f(z0)\ = \ и']-\~ VI не может быть минимумом.
Доказательство. Согласно условию, U0 и V0
одновременно не равны нулю. Можно поэтому положить
Оо =яГпВ И -^ ^ COS ft,
J) По формуле возведения в квадрат многочлена
(Д^4-' + ... + 02=д- + ^ + г24-.. + '3 + ...
... -f 2аЪ + 2ас + 2а14- ТЬс -f.. ¦
В формуле (6) результат расположен по восходящим степеням г.
43

где $і—некоторый постоянный угол, определяемый этими
равенствами. После этого выражение (6)' можно представить в
следующем виде:
^+P = ^+vS + 2/*/>*V^+V?[sInpcos(A? + a^) +
+ cos р sin (Ay -fa*)] Н-... + PY\
или, по вынесении /¦* за скобки и после соответствующего
тригонометрического преобразования,
ц» + 'у»=^ + Уо +
где § — многочлен, расположенный по положительным степеням л
• При достаточно малом значении г значение^ будет сколь угодно
мало и не будет влиять на знак первого члена скобки.
Следовательно, меняя <р, будем иметь:
при 0<А<р + аА4-(*<тг sin(&<fl + a*+f*)>° и
U2 + V2>U2 + V2i
при тг<6<р + aA-f ?<2тг sin (*<р + arf-{-($)< О и
Таким образом, если f(zQ)=fi 0, то всегда существует такой
путь изменения ср и г, а стало быть и z, при котором модуль
]/ U2-[- V2 может быть сделан меньше ]/?/о -j- Vf, т. е., если
/(г0)^0, то модуль YUq~\-Vq—не минимум, что и
требовалось доказать.
Теорема Даламбера. (Основное предложение.)
Всякое алгебраическое уравнение f(z)==0 имеет корень.
^Доказательство, Возьмём произвольную точку z0
плоскости. По лемме 1, мы можем описать вокруг точки zQ как
центра окружность (/?) столь большого радиуса /?, что
значения f(z) на этой окружности будут по модулю больше, чем |/(z0) |.
Но \/(г)\ — Уи2(х, y)-j- V2(x, у) есть непрерывная функция
от дг, у. Теперь мы воспользуемся следующим свойством
непрерывных функций (которое будет установлено ниже в § 2, гл. IV
второй части «Дифференциального и интегрального исчислений»):
непрерывная функция достигает в замкнутой ограниченной области
своего наименьшего значения. В силу этого свойства, \/(z\\
достигает своего наименьшего значения в некоторой точке ? зам-,
кнутого круга (/?). Но на границе этого круга |/(*)|>|/(^0) I >
44

тогда как |/(?)|, будучи наименьшим в круге (/?), должно не
превышать \f(z0)\. Следовательно, ? лежит внутри круга (/?).
Но тогда, в силу леммы 2, /({[)= О, т. е. С есть корень
уравнения f(z) = Ot Тем самым теорема доказана. '
§ 3. Уравнение с действительными коэффициентами.
Сопряжённые корни.
Если все коэффициенты данного уравнения действительны,
то мнимые его корни, если оно их имеет, попарно сопряжены,
и потому число мнимых корней уравнения с действительными
коэффициентами четно. В самом деле, подставляя
последовательно в многочлен f(z) вместо z сопряжённые комплексные
числа х0~\-іу0 и х0— iyQi при действительности коэффициентов
f(z) получим:
і /(Хо + іУо) = и(*о> Уо)+іУ[х0,Уь),
/(*о— /Уо) = ^/(*о- Уо)~іу(хо>Уо)-
Если число хь-\-іу0 является корнем многочлена f(z), то
.а следовательно, и сопряжённое ему число xQ— іу0 обращает
многочлен f(z) в нуль:
f(x0 — iyQ) = U{x0t yQ)—iV(xQ, y0) = 0.
Из этого свойства следует, что уравнение нечётной степени
с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один
действительный корень. Это же предложение вытекает и из общего
свойства непрерывной функции, принимающей при двух значениях
аргумента значения противоположных знаков (т. I, стр. 308).
В самом деле,
f{x)—Pt>xa-\-Pi*l-1 + '--+P* =
При. достаточно большом, значении абсолютной величины >х
дроби —, — ,...,— будут достаточно малы для того, чтобы
их сумма по абсолютной величине была меньше абсолютной
величины pQ> и, следовательно, знак многочлена /(.*:) при таком
значении х совпадает со знаком произведения хпр0. Если п —
число нечётное, то при перемене знака х и произведение хар0,
а вместе с тем и многочлен f(x)t меняют свой знак. Пусть А—
.абсолютная величина рассматриваемого значения х* В таком
.45

случае */(Л):« /(— -А) имеют противоположные знаки, и,
следовательно f(x) при некотором значении х, заключённом между А
и —_д обращается по крайней мере один раз в нуль.
§'4. Соотношения между коэффициентами уравнения
и его корнями.
Многочлен л-й степени
№ =PvZnJrPlZn~l +Р2*П-* + • • • +Рп> (8)
как следует из теоремы Даламбера и теоремы Безу, имеет п
корней. Обозначая эти корни через аи а2, а3, .,., ад, можно
представить многочлен f(z) в следующем виде:
f(z)=p0{z—ax){z — a2){z — az)...{z—an). (9)
Выполняя указанные умножения в правой части этого равенства
и заменяя f{z) его первоначальным выражением (8), будем иметь
следующее тождество:
p0z«+Plz«~i+p2zn-'2+ :..+pa=
+ (a1a2 + «1ct3-f-.., + afl_1a/i)z"-2-f...-f ala«a5...an].
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в обеих
частях этого тождества, получим следующие соотношения между
коэффициентами уравнения f(z) = О и его корнями:
«і+*а + <4+•¦•+*« = — % или Za/=— f0>
Го1
или ?аЛа, = ^ (іфкфіфі),
аіа2ага1...ап = {—\у?±, или а1оаа8.-.ая=( —1)"?«-,
т. е. 1) сумма корней уравнения равняется взятому с обратным
знаком отношению коэффициента при (я—1)-й степени неизвестного
к коэффициенту при л-й степени; 2) сумма попарных
произведений корней равняется отношению коэффициента при (п 2)-й
степени к коэффициенту при л-й степени; 3) сумма произведений
46

по три равняется взятому с обратным знаком отношению
коэффициента при (п — 3)-й степени к коэффициенту при /z-й степени,,
и т. д.
Эти соотношения являются обобщением известных
предложений элементарной алгебры относительно суммы и произведения
корней квадратного уравнения ax2-\-bx-\-c = 0:
где а и jJ — корни этого уравнения.
§ 5. Общий вид разложения целого мноючлена
в произведение.
Если уравнение f(z) = 0 имеет и действительные и мнимые
корни, то при действительности коэффициентов уравнения мнимые
корни попарно сопряжены (§ 3). Пусть
Ч = хн + 1Ук и **,=¦** — <%
— два сопряжённых корня уравнения (8). Соответствующие эти»
корням линейные множители в произведении (9) г.о перемножений
дадут квадратный трёхчлен с действительными коэффициентам»
(z — a)(z — a;,)==={z — xk — iyk)(z — xk-{-tyk)===
или
{г-ад{г-аЛ1)=* + $кг + ъ,
где
Таким образом, соединяя попарно сопряжённые множители
в произведении (9), будем иметь
f(z)—Po(Z — «iK* — <Ч) • • .(* — <*,)Х
X(^ + M+Ti)--(^ + M+U (">>
где
Предполагая в общем случае, что многочлен f(z) имеет
кратные корни как действительные, так и мнимые, мы должны
заключить, что разложение его имеет следующий вид:
f{z)=p(>(z — al)l*(z—as)I'...(z — atfMX
X.^ + M + Yi^-^ + M+Tt)1"'. (»>
где
4f

Решение уравнения с кратными корнями, как было указано
в §4 главы 1, может быть приведено к решению уравнений
низшей степени без кратных корней. Вычисление корней таких
уравнений и составляет, таким образом, основную задачу высшей
алгебры.
ГЛАВА IV.
ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ.
§ 1. Отделение действительных корней уравнения.
Теорема Штурма.
Уравнения первой и второй степеней можно решить,
пользуясь общими формулами; можно выразить корень такого рода
уравнения в зависимости от коэффициентов этого уравнения.
Для уравнений третьей и четвёртой степеней тоже
можно'составить подобные формулы решения, хотя и не столь удобные
в применении, как формула решения квадратного уравнения.
Формулы для решения уравнений второй, третьей и четвёртой
степеней содержат радикалы, т. е. для решения этих уравнений
требуются не только рациональные операции, но сверх того
и извлечение корней. Для.решения уравнений высших
степеней, если имеется в виду составление общей формулы, этих
операций, т. е, рациональных и извлечения корней, недостаточно.
Но корни уравнения какой угодно степени можно вычислить
с желаемой степенью точности, пользуясь различными приёмами
постепенных приближений. В основе этих приёмов лежит
теорема Штурма, дающая возможность ответить вполне
определённо на вопрос, сколько действительных корней данного
уравнения заключается между любыми двумя данными числами.
Меняя эти данные числа, можно достигнуть того, что все
действительные корни будут, отделены один от другого, будут
.известны достаточно малые интервалы, в каждом из которых
находится только один корень "уравнения. Числа, ограничивающие
такого рода интервалы, и будут первыми приближениями корней.
Функции Штурма. Пусть уравнение /(jc) = 0 не имеет
кратных корней, т. е. многочлены f(x) и f (х) не имеют общих
¦множителей. К функциям f(x) и f(x) присоединим ряд функций
/*(¦*)• /s (*)» • • •, составленных следующим образом; /2 (х)
есть остаток от деления f(x) на /'(х), взятый с обратным
¦знаком; fz{x) — остаток с обратным знаком от деления
f(x) на /2(дг), и т. д. Каждый раз делим предыдущую функцию
на найденную, а остаток с обратным знаком принимаем
-48
»¦ ¦

за новую функцию в этом ряде. Таким образом в общем случае
составится л —j— 1 функций
М/'(4Л(4А(4^.,/Ч(4
образующих так называемый ряд функций Штурма.
Эти функции Штурма по самому их определению находятся
в следующих тождественных соотношениях:
/М = *і/'М—Л(*). 1
f(*) = 92f*{*)—/*(*), I
М*)==л/8(*)-Л(*)> * 0)
/«-sW = ^i/«-iW4(4
где qv q2, qn, ..., qn_x — соответственные частные
вышеупомянутых делений. Степени функций Штурма постепенно понижаются
в общем случае на единицу, и последняя функция / (х)
представляет постоянное число, не зависящее от*.
Ряд функций Штурма обладает следующими свойствами.
1. Две последовательные функции Штурма не могут
обращаться в нуль при одном и том же значении аргумента.
В самом деле, если бы, например, fi(x)=0 h/5(jc) = 0, to,
как следует из соотношений (1), и функции f.^(x) и fb(x) при
том же значении аргумента обратились бы в нуль, а следова-.
тельно, при том же значении аргумента обратились бы в нуль
функции /2(х) и f'(x), а также и f(x). Но f{x) н/'(х) не могут
одновременно обращаться в нуль, так как предполагается, что
уравнение f(x) = 0 кратных корней не имеет. С другой стороны,
если /ь(х)=0 и f$(x) = 0, то и/7(л;) = 0, и т. д.; мы дойдём
таким образом до последней функции Штурма, которая при
сделанном предположении должна обратиться в нуль, чего опять-
таки быть не может.
2. Подставляя вместо х какое-нибудь число, например а,
в каждую из функций Штурма, получим ряд положительных
и отрицательных чисел. Отмечая только знаки этих чисел,
получим ряд знаков такого, например, вида:
+ - + ~ ¦..- +
/И. Я*), Л (*), • • - , /».
Число перемен знаков в этом ряде при переходе от каждого
места к соседнему и играет существенную роль в.геореме Штурма.
Функции Штурма как целые многочлены — функции непрерывные.
Поэтому всякое изменение в группировке знаков в этом ряде
функций может произойти лишь при переходе той или другой
из них через Нуль. При обращении в нуль какой-нибудь с р е д-
4 Курс высшей математики, т. II. 49

ней из функций Штурма не теряется ни одной перемены знака
в-ряде этих функций. Действительно, пусть Д_1И=і)) тогда
fk(a) и /ft_2(a) в СИЛУ соотношения
будут различных знаков, и мы будем иметь такое расположение
их знаков:
+ 0 — — 0 +
Л-«(Л).Л-і(в)іД(а) или Л-а И»/*-і (?)</*(*)•
При достаточно близких- к а. значениях л; знаки и Д.а(лг)
и /А(#) в силу непрерывности сохраняются, и мы будем иметь
один из следующих порядков в знаках: при изменении /ы(^}
от положительных значений к отрицательным1):
/*-«> /*-і» /*. йли Л-а» Л-і» Л
4- о — — о +
или при изменении fkmml (х) от отрицательных значений к
положительным:
Д-2, Л-!, Л, или /ft_2, /A_lf fk.
+ 0 — • — 0 +
+ + --+ +
Следовательно,* около функции Д_2 (лг) до перехода её через
нуль и после перехода мы будем иметь одну перемену, лишь
смещённую с прежнего места.
Если же обращается в нуль данный многочлен f(x)t m. е,
если х проходит, возрастая, через один из корней данного
уравнения, то в ряде функций Штурма теряется одна
перемена.
В самом деле, если f{x) проходит через нуль от
отрицательных к положительным значениям, т. е. возрастает, то первая
производная её/'(лг) положительна. В этом случае расположение
знаков может быть таково: "
/(A f(*)> AM, или /(*), /'(*), /?(х)
+ + h - —
о + + о + _
+ + + + + ~ —
*) Здесь значком ^ или w указывается место перемены знака,
50

Если же f(x) обращается в нуль, переходя от положительных
значений к отрицательным, т. е. убызает, то f {х) отрицательна,
и расположение знаков таково:
/to, fix), Л(*), или f(x)f f(x), ft(x)
+- — + + ¦— -
0 — 4- о — —
Подсчитывая число перемен в первой и последней строке, т. е.
до перехода многочлена f{x) через нуль и после перехода,
замечаем потерю одной перемены. Для остальных функций
Штурма знаки во всех трёх строках по доказанному имеют
одинаковое число перемен.
Итак, при каждом переходе f(x) через нуль ряд функций
Штурма теряет одну перемену; отсюда получается:
Теорема Штурма. Число корней алгебраического
уравнения между а и Ъ (а<^Ь) равно числу потерянных
перемен знака в ряде функций Ш.пурмх при переходе х от а
к Ь, иначе-— число перемене ряде чисел
/И, f(a), Л (а), ...,/»
превышает на столько единиц число перемен в ряде чисел
f[b),f[b)1f2{b)t...:fn(b)r
сколько корней уравнения /(д:) = 0 заключается между а и Ь.
Полагая а равным нулю и b — положительной бесконечности,
т. е.
а = 0, Ь= -\-оо,
мы можем таким способом определить, сколько положительных
корней имеет данное уравнение; полагая же
а==—оо, ? = 0,
можем определить число отрицательных его корней. Давая
другие значения числам а и Ь, мы можем отделить все корни друг
от друга, т. е. подобрать такие интервалы, относительно
которых можно утверждать, что каждый из них содержит по
одному корню уравнения.
Примечание. При составлении ряда функций Штурма, чтобы
избежать сложных арифметических вычисление с дробями, можно
заменить ту или другую из этих функций произведением её и какого-
нибудь положительного числа. В самом деле, если ct ch съ
сЬу •••>?/! — положительные числа, то функции
cf (*), Сі f (x)t c2f2 (х), ..., са fa (*)
4* 51

могут играть ту же роль, чтз и функции Штурма, потому что знаки
их при любвм значении аргумента совпадают со знаками функций
/(*)>/'(*)./*(¦*)>•.«./« С*).
Пример 1 .Определить число действительных и мнимых корней
^уравнения .
х3-6х -1-2 = 0.
Решение,' - ~ •
/{х) = х*-6х+2, f&)=Sx*-d = Z(x*-2).
За иторую функцию Штурма примем у /' {х) ~Xs — 2.
хз _ бд: + 21л:2 - 2
дгЗ-2д: | х
\-4* + 2
l/2(x) = 2.v-i.
д:2-2
2x2-4
2х* — х
л;
2jc —1
х±~
-4 '
1
о
з-і
/И*) = 4-3^-.
Итак, имеем следующий ряд функций Штурма и ряд их знаков при
х = — оо, 0 и -j-°°:
/(лг) = дгЗ-6д; + 2
i/'(*)=*2-2
i-/3(;t:)=2*-l
/з (х) = + 3 j
* =
— 00
—
)
4-
)
—
)
1
-г
0
+
)
—
—
)
4-
4- оо
+
4-
4-
4-
В первом столбце этой таблицы знаков имеется три перемены, во
втором—д в е и в третьем—и и одной. Следовательно, данное
уравнение имеет один корень, заключенный между — оо и 0, т. е. один
отрицательный корень, два корня м.ежду 0 и -f-'oo, иначе — дна
положительных корня. Таким образом, все три корня действительны.
Чтобы отделить корни уравнения и найти более тесные границы
для хаждого из них, вычислим значения функций Штурма, отмечая
52

только их знаки, при *==—3, —2, —1, 0,r-j-l, 4-2, -1-3:
х =
f(x) = x3~6x4-2
При л"^= —3 ряд функций Штурма имеет три перемены, при х = — 2
две, при х = —1 и 0 по две, при х = +1 и 4-2 по одной и при
х = -{-3 ни одной. Следовательно, один корень заключается между
— 3 и —2, другой между 0 и -f-і, третий между 4-2 и 4~3- Эти
границы каждого корня можно сблизить по способу, например,
применённому уже нами в примере на стр. 310, т. I, и таким образом
можно вычислить каждый из корней с желаемой степенью точности.
Пример 2. Определить число действительных и мнимых корней
уравнения
лг* 4-2*'+ 2* —1=0.
Решение. Путём последовательных делений, вводя или уничтожая
положительные числовые множители, находим ряд функций Штурма
и определяем их знаки при * = — оо, —3, —2, — 1, 0, 4-1, 4-2,-f-°°:
-3
—
)
4-
)
—
)
4-
-2
4-
4-
)
—
)
4-
-1
4-
)
—
— .
..)
4-
0
4-
)
—
—
)
+
1
—
—
)
+•
4-
—
)
4-
4-
4-
4-3
4-
4-
4-
4-
х =
— 00
1
).
1
4-
)
-3
4-
)
)
4-
4-
)
— 2
)
4-
4-
)
-1
)
4-
4-
4-
)
0
)
4-
4-
4-
)
4-1
4-
4-
4-
0
4-2
4-
4-
4-
)
4- оо
4-
4-
4-'
)
/(лг)=д:*4-2^34-2л:-1
/' (Х) = 4х4 + 6хі±2
/9(х)=Ъх*-6х±Ь
ЛС*) = -* + і
В первом столбце (— оо) мы имеем три перемены, а в последнем
(4-о°) одну. Следовательно, действительных корней данное уравнение
имеет два (3—1), а другие два корня сопряжённо-комплексные. При
# = 0 функции Штурма" имеют две перемены. Следовательно, один
корень заключён между — со и 0, а другой между 0 и 4- °°» т* е* ол-ин
корень отрицательный, а другой положительный. Из рассмотрения
других столбцов предыдущей таблицы следует, что отрицательный
корень заключён между — 3 и —2, а положительный между 0 и 1.
53

Теорема Штурма вполне решает вопрос об отделении
действительных корней уравнения; но следует заметить, что
определение функций Штурма, по идее очень простое, затруднительно
при выполнении, так как приводит в общем случае к
арифметическим действиям с большими числами. Поэтому полезно иметь
в виду и иные признаки, по которым можно судить о величине
или характере корней уравнения. Так, уравнение, все
коэффициенты которого положительны, не может иметь
положительных корней. Рассмотрим, например, уравнение
При всяком положительном значении х левая часть его
представляет положительное число, не равное нулю. Но это —
уравнение нечётной степени и потому (стр, 45) имеет по
крайней мере один действительный корень, который может быть, как
следует из предыдущего, только отрицательным. Другие два
корня или также отрицательны, или сопряжённо-комплексные*
Уравнение, коэффициенты которого при чётных (включая
и нулевую) степенях положительны, а при нечётных отрицательны,
не может иметь отрицательных корней, так как левая часть
такого уравнения, например уравнения
хі _ 2х* + 5л:2 — 3* + 5 = О,
при хл равном отрицательному числу, представляет
положительное число, не равное нулю. Корни такого уравнения могут быть
только положительными или сопряжённо-комплексными.
Но эти признаки, как и многие другие, которые
рассматриваются в курсах высшей алгебры, не всегда приводят к
определённому ответу, как теорема Штурма. Теорема Штурма, таким
образом, является основной и исчерпывающей в вопросе об
отделении действительных корней уравнения.
§ 2. Определение верхней и нижней границ положительных
(или отрицательных) корней уравнения.
Одним из существенных упрощений задачи отделения
корней является определение верхней и нижней границ
положительных (или отрицательных) корней, т. е. таких двух чисел, между
которыми заключены все положительные (или все отрицательные)
корни уравнения. Вместо сложного во многих случаях
вычисления функций Штурма можно положить в основание определения
границ формулу Тэйлора
54

Будем подставлять в функции
/(*W(*), fix), ..., /<л>(*)
ряд положительных, постепенно увеличивающихся чисел
tfl<fl2<%<-..<«,
определяя каждый раз только знак результата подстановки.
Пусть при х = а мы впервые в этой операции получим ряд
положительных значений
/(e)>О, /'И>0,/"(а)>0,...,/С)(а)>0.
В таком случае ни один корень уравнения
/М=о
не может быть больше а, так как по формуле (2) при всяком
значении x = a-\-h, где ft>0,-/(a-f-A) — число существенно
положительное.
Такой способ определения верхней границы положительных
корней уравнения предложен Ньютоном. К тому же способу
путём предварительного и соответствующего преобразования
уравнения сводится и определение нижней границы
положительных корней, а также верхней и нижней границ отрицательных
корней. Действительно, заменяя в уравнении неизвестное х
обратной величиной —, мы получим новое уравнение, причём
наименьшему положительному корню данного уравнения
соответствует наибольший преобразованного, С другой стороны
замена- неизвестного х величиной —у приводит к уравнению,
полоадтейБные корни которого по абсолютной величине равны
отрицательным корням данного.
Пример. Определить границы действительных корней уравнения
л-з_бдг-і-2 = 0,
т. е. верхнюю границу положительных корней и нижнюю
отрицательных.
Решение. Составляем ряд функций
/(х) = *3 — бдг-f 2, /'(*) = 3*з-6 = 3 (л:2 -2), /"{х) = 6х, /"'(*>=* 6
и вычисляем их значения при jc = 0, 1, 2, 3,.,. При этом достаточно
только определять знак этих значений. Чтобы избежать лишних
вычислений, испытание начнём с последней функции. /"' (х) = б > 0,
следовательно, f" (х) всегда функция возрастающая. /*(0) = 0, /*(1)>0;
следовательно, для х^і функция f(x) возрастает. /'(1)<0, но
/'(2)>0; следовательно, при х^2 имеем /'(•*)> О, /"(•*)>О»
/'"(*)> О- Но /(2)<0, а /(3)>0; следовательно, при х^Ъ
/tr)>0, fW>0, /*M>0, /'"(*) >0.
55

Таким образом 3 и будет верхней границей для положительных корней
данного уравнения: корни его меньше трёх.
Преобразовав данное уравнение, полагая х = —у, найдём
подобным же способом верхнюю границу положительных корней
преобразованного уравнения
(_j,)3_6(— .у) 4-2 = 0 или уЗ — 6у — 2 = 0.
Корни этого уравнения по абсолютной величине равны
соответственным корням данного, но противоположны им по знаку, и потому
верхняя граница положительных корней преобразованного уравнения
определяет в то же время нижнюю границу отрицательных корней
данного.
Составляем ряд функций:
F{y)=y*-6y-29 /"00 = 3^-6 = 3(^-2),
• F"(y) = 6yt F"'(y) = 6.
Fm(y)==6>0\ следовательно, F" (у) возрастает при у^О; F" (0) =
= 0, /*ff(l)>0, следовательно, F'(у) возрастает при_у^1. /="(1)<0,
Я(2)>0; следовательно, при у^2, F(y) функция возрастающая. Но
^(2)<0, а /7(3)>0; следовательно, при .у5=3
F (У) > 0, F* (У) > 0, F* (у) > 0, F"' (у) > 0,
т. е. 3 будет верхней границей положительных корней
преобразованного уравнения, а —3 нижней границей для отрицательных корней
данного. Таким образом корни дан.; ого уравнения заключены между
— 3 и 3. \
Полагая дг = — 3, —2,-1, 0, -f-Ь +2» +3, находим;
/(—3)<0, /(—2)>0, /(_1)>0, /(0)>0,
/(1)<0,/(2)<Д/(3)>0.
Следовательно, корни уравнения заключены между —3 и —2, между
0 и 1 чя между 2 и 3. В каждом из этих промежутков лежит только
по одному корню, так как уравнение третьей степени имеет только
три корня (ср. пример 1 § 1).
Определение верхней и нижней границ действительных
корней уравнения /(х) = 0 ограничивает число испытаний при
вычислении значения функции f(x) и иногда может заменить
применение теоремы Штурма для отделения действительных кор-
. ней уравнения.
§ 3. Графики целых рациональных функций — параболы
высших порядков.
Последний вопрос высшей алгебры, который мы рассмотрим
в этой главе, это вопрос о приближённом вычислении корней
уравнения. В сущности он уже решён теоремой Штурма и тем
методом, который мы применяли при доказательстве теоремы 4
§ 11 гл. II, I ч. Дифф. и интегр. исч., т. I. Теперь же мы имеем
в виду способы более быстрого приближения. Но прежде
56

чем излагать их, рассмотрим, как геометрически
иллюстрируются поставленные задачи алгебры, и прежде всего каков вид
графика целой рациональной функции.
Пусть
Кривая, соответствующая такому уравнению, называется
параболой /г-го порядка1). Для отыскания точек пересечения этой
линии с осью абсцисс нужно положить у = 0; следовательно,
абсциссы этих точек суть" корни уравнения
Таким образом рассматриваемая кривая пересекает ось абсцисс
во стольких (действительных) точках, сколько действительных
корней имеет уравнение (4).
Число максимумов и минимумов подобным же образом равно
числу действительных корней уравнения
/'(*) = <>, или лЛх-і + (я— 1)А^-2+...+^^ = 0, (5>
а число точек перегиба равно числу действительных корней
уравнения
Г(х) = '0, или л (л — 1)Ро*""а+-- + 2^а = 0. (6>
Представляя f(x) в виде
*-(л+*+5+-+&)-
нетрудно заметить, что при достаточно большом значении
абсолютной величины х сумма слагаемых
Р±Л-?1А- 4--
х) Параболу второго порядка мы изучали в аналитической
геометрии, составив её уравнение в виде
у* = 2рх.
Если повернуть плоскость координат вместе с начерченной на ней
кривой около биссектрисы координатного угла так, чтобы
положительное направление прежней оси абсцисс совпало с положительным
направлением оси ординат и обратно, то уравнение перемещённой
параболы относительно осей прежнего направления примет вид
х* = 2ру, или --. у = ^-х'\
а это уравнение является частным случаем уравнения (3) при п = 2
1 л
и PQ = 2J,i а Рі = Рг= ••• =0'
57

будет достаточно малой сравнительно с первым слагаемым />0 и
'потому знак f(x) при таких значениях аргумента совпадает со
знаком р0хп.
Если число л чётное и /70>0, то f(x) как при
положительных, так и при отрицательных значениях х, если абсолютная
величина х достаточно велика, имеет положительное значение
и стремится к + оо при лг, стремящемся к ± оо; если же pQ<^0,
то при тех же условиях f(x) стремится к —оо.
Черт. 12,
Черт. VS.
Таким образом, парабола чётного порядка при р0^> 0 и
направо и налево с некоторого места удаляется безгранично
в положительную сторону оси ординат (черт. 12), а при р0<^0 —
в отрицательную (черт. 13).
Если п—число нечётное, то при /?0^>0
Iim /(лг) = Jim /tyee==-{-oo, . lim f(x)= lim pQxn ——oo,
а при Ро<С®
lim /(*) = lim pQxn = —oo, lim f(x)= lim pQxn = -{-oc.
x -+-f-oo x ~*-\-<x> x -+ — oo x ~+ — oo
Это значит, что парабола нечётного порядка переходит из
-третьей четверти в первую (при />0>0) (черт. 14) или из
второй в четвёртую (при/?0<0) (черт. 15). Понятно поэтому,
почему уравнение нечётной степени имеет по крайней мере один
действительный корень.
Если многочлен f(x) или,, иначе, уравнение (4) имеет
кратные корни, то кривая касается оси абсцисс в соответствующей
точке, ибо. в этой тоуке и/'(л;) = 0. Если показатель
кратности— нечётное число, то точка прикосновения будет в то же
время и точкой перегиба. В -самом деле, обозначим корни
данного многочлена через аи а2, а3, ..., а„., а показатели их
кратности соответственно через /х, /2, /3, ../,1т, так что
'і+'з + '.+--- + '« = *
58

?сли между числами а и b заключён только один корень аи
то разности а — а2 и b — аг будут противоположных'знаков,
а разности а — а. и b — av где /> 1, — одинаковых. Так как
f(x)—p0(x — VxYl(x — а2)Ч* — авУ>... (х — ajfa.,
то отношение ^щ можно представить в следующем виде:
/(ft) U-aJ *U-«2i 'U-«3/ "Ч^^і '
Из дробей второй части этого равенства только первая
отрицательна, и если /j—число нечётное, то и первый множитель
(
а — о-і
Черт. 14. Черт. 15..
)1 останется отрицательным, а стало быть и отношение
f(a):f(d) будет отрицательным, т. е. значения ординат f(a) и
/(b)—противоположных знаков, а это значит, что кривая и ось
абсцисс, прикасаясь в точке аи в то же время
пересекаются в этой точке (черт. 16). Если бы 1Х было чётным числом,
УЬ
О
а
-%*
X
Черт. 16.
а а1 Ь
Черт. 17.
то отношение f(o):f(b) было бы числом положительным, и
кривая, прикасаясь к оси абсцисс в точке alt была бы расположена
в достаточной близости к этой точке по одну сторону оси
абсцисс (черт. 17).
Задача. Вывести то же заключение на основании формулы
Тэйлора.
59

Черт. 18.
§ 4. Приближённое вычисление корней уравнения.
На основании теоремы Штурма мы можем отделить
каждый действительный корень уравнения, т. е. указать два числа
а и Ь, между которыми заключён только один корень. В таком
случае, если уравнение не имеет кратных корней, значения-
многочлена f(x) при х — а и х=Ь имеют противоположные
знаки. Две точки А. и В кривой y=f(x), имеющие координаты —
одна хг=а и j/1=/(a), другая.
х<ь = Ь и y2 = f(b), соединены
дугой кривой линии y = f (x);
точка пересечения этой дуги
с осью абсцисс и определяет
тот корень уравнения/(лг)== О,
который мы желаем вычислить
с любой степенью точности.
Правило ложного
положения (Regula falsi). Один из
способов приближения состоит
в том, что мы заменяем дугу кривой АВ прямой линией АВ,
соединяющей точки А я В (черт. 18): абсцисса точки
^пересечения этой прямой с осью Ох и будет искомым приближением
корня. Чтобы найти это приближение, нужно прежде составить
уравнение прямой АВ.
Уравнение прямой, проходящей через две точки А(хи уг)
и В (лг2, у%)} имеет вид (т. I, стр. 69)
У— Уі = х — х1
У2—Уі х2 — хх'
Подставляя вместо xvyx и х2,у2 их значения в данной задаче,
будем иметь уравнение искомой прямой АВ в следующем виде:
У—fifl) _х — а
f{b)-f(a) Ь-а-
Чтобы определить абсциссу точки пересечения прямой АВ,
нужно положить в её уравнении ^ = 0:
-/(в)
х — а
f{b)-f{a)~b-a>
откуда
x=a_(b~a).f{a) или x=af(b)-bf(a)
f(b)~f(a) >
t(b)~f(a) -
(7)
*) Первые взятые приближения а и Ь и будут ложными
положениями относительно искомого корня. Правило ложного или ложных
положений в прежние времена являлось методом сведения задачи
к пропорции.
60

Применяя правило лржного положения несколько раз, мы будем
получать всё более и более точные односторонние при-*
ближения искомого корня. Геометрически "эта
операция'вычисления постепенных приближений соответствует проведению ряда
хорд, вращающихся около одного конца взятой дуги, например
А (черт, 18), другой конец которой приближается безгранично
к точке пересечения кривой с осью абсцисс, занимая положение
Пример 1. Между 0 и 1 заключаетсяо д и н корень уравнения
х* — 6х + 2=0
.(пример 1 § 1). " ""
Применим правило ложного положения при отысканий этого
корня, полагая
/(*) = *» —6*+-2, л = 0, і*=1.
Следовательно,
/(0)=2, /(і)= i — 6-i н-2=—а.
Соединим две точки Л,(О, 2) к -5(1,-3) кривой линии
прямой и составим уравнение этой прямой
__3_2~Т или у~~ 2~~~5дг-
Абсцисса точки пересечения прямой ЛВ с осью Ох определяется из
уравнения этой прямой,-если положить в нём#у = 0:
— 2 —— 5л",
откуда для первого приближения искомого корня данного уравнения
получаем;
*1=-|= °>4.
Тот же результат можно получить, применяя готовую формулу (7);
_0-(-3)-Ь2_2 .
хх _з-2 -б""0,4-
Так как
/(0,4) = 0,43-6-0,4+ 2 = -0,336, а /(0)= + 2,
'то корень заключается между 0 и 0,4.
Применяя второй раз то же правило, полагая d = 0 и 6=0,4,
найдём следующее приближение:
¦ _ 0-(-0,336)-0,4-2 _ 0,8 •
Хо- ~ - 0,336 - 2 2,336 ~ ">йи- • •
Другие два корня этого уравнения заключены; один между —3 и —2,
другой между 2 и 3. Найдём первое приближение каждого из них по
61

тому же правилу, применяя готовую формулу (7);
¦I. а = -3; f(-3)=(-dy~-H-3)±2 = -7;
* = -2; /(-2)^(-2)3-64-2)4-2 = 4-6;
X, =
_3.6~-(-2)-(-7)
6-(-7)
II, Д = 2;/(2) = 23-;б-24-2 = -2;
* = 3; /(3) = 33 —6.34-2=11;
г/_ 2-11 —3-(— 2) 0 2
11 — (— 2) 13'
13''
*і =
Линия, имеющая уравнение у = х3 — 6л- 4- 2, представлена на
черт. 19 [/= 3 (*2 — 2), у = 6*; максимум при x = — V2} минимум
при x = -\-V2\ точка перегиба на оси ординат]. Хорды АВ, А'ВТ и
А^В" отмечают на оси абсцисс первые приближения корней данного-
уравнения, и геометрически ясно, насколько хорошо подходят эти
приближения к истинным значениям, по крайней мере в пределах
точности чертежа.
Способ Ньютона также состоит в замене дуги кривой АВ
прямой линией; но не хордой АВ, а касательной к дуге АВ
,, в точке А или точке В в зави-
& симости от изгиба этой дуги.
Пусть Ах и Вх—основания
ординат в точках А и В (черт. 20),
а М—точка пересечения дуги АВ
с осью Ох, т. е. точка, абсцисса
которой и является искомым
корнем данного уравнения.
Соединив точки А и В с точкой М
прямыми, получим два
треугольника АМАХ и BMBV Если дуга
АВ не имеет точки перегиба, то
Черт. 19.
Черт. 20.
одна из частей этой дуги, на которые она делится точкой М,
лежит внутри соответствующего треугольника, другая — вне;
на чертеже 20 дуга AM лежит внутри треугольника АМАХ,
62

а дуга ВМ—вне треугольника BMBV Касательная к дуге,
лежащей вне соответствующего треугольника, может
пересечь ось абсцисс и вне отрезка АхВг и внутри его, и
таким образом замена дуги такой касательной не всегда
приближает, а иногда и удаляет от искомого корня. Между тем
касательная к внутренней дуге — на чертеже 20 к дуге AM—во
всяком случае пересекает ось абсцисс в точке, лежащей
между точками Ах и ВХі и потому абсцисса хх этой точки
будет приближением к искомому корню уравнения;
Чтобы вычислить это приближённое значение корня, нужно
составить уравнение касательной линии в этой точке дуги АМУ
координаты которой нам известны, т. е. в точке A [a, /(a)]*
Уравнение прямой, проходящей через данную точку (дг0, у0) и
имеющей данное направление, определяемое её угловым
коэффициентом, имеет вид
У—Уо = Ь(х — xQ).
Рассматриваемая касательная проходит через точку А[а,/(а)]ь
а угловой коэффициент её, т. е. тангенс угла её наклона к
положительному направлению оси абсцисс, равен значению
производной при х, равном абсциссе точки прикосновения, т. е. при
х = а. Полагая л-0=а, y0—f(a), a k=zfr(a)} получим
уравнение касательной в следующем виде:
y—f(a)=f(a)(x~a). (8>
Теперь мы можем вычислить приближённое значение искомого
корня уравнения, положив в уравнении (8) у=0, т. е.
определяя абсциссу точки пересечения касательной (8) с осью Ох:
откуда
Вычисленное по формуле (9) значение хх действительно будет
приближением искомого корня, если, во-первых, f{x)^=0
при а<^х<^Ь, во-вторых, /(а) и f(a) имеют одинаковые
знаки. Первое условие соответствует требованию, чтобы дуга
АВ не имела точки перегиба, второе — чтобы дуга AM лежала
внутри соответствующего треугольника АМАХ1). Если первое
х) Если / (а) и /" (а) имеют одинаковые знаки, то в этом месте
дуга обращена своей выпуклостью к оси абсцисс.
?а

условие выполнено, то второе необходимо выполняется для од-
иого из концов рассматриваемой дуги; если же дуга АВ имеет
точку перегиба, то, уменьшая интервал AXBV можно достигнуть
того, что соответствующая дуга А В', пересекая попрежнему ось
-абсцис, уже не будет иметь точки перегиба1).
Формулу (9) можно получить исходя из других соображений,
а именно из теоремы о конечных приращениях2). Пусть а
отличается от истинного значения корня на величину h, так что
A-J-A и будет корнем рассматриваемого уравнения. По теореме
о конечных приращениях (т. I, стр. 354) должно иметь место
следующее равенство:
/(a-f- /г) —/(g) __, -, ,еч
a + h-a —J w'
где ? — чис^о, заключённое между а и а-]-А. Из этого
равенства следует
/(а + Л)=/(а)+ */'(?),
или
/(а + А)=/И+А/'(в+6А),
где 0<^?<^1. Но a-\-h есть корень уравнения f(x)—0;
следовательно,
f(a-\-h) = 0; и потому /(а) + А/'(л + 0а) = °- (10)
Если первая производная данной функции в рассматриваемом
интервале изменяется очень мало и, стало быть, /' (a ~f- ?Л) мало
отличается от /'(а), то из предыдущего равенства (10) мы
получим приближённое равенство, замен-ив д-)-?й числом а:
f{a)+kf'{a)=0,
откуда определяется приближённое значение поправки h:
а следовательно и приближённое значение хх искомого кррня:
*1==« + А = в_Ш. (9')
Вычислив приближённое значение хх искомого корня, мы
можем потом вычислить и значение многочлена f(x) при x = xv
т. е. значение f(x\), и применить потом к числам хг и f(xx)
х) Конечно, за исключением того случая, когда сама искомая
точка пересечения дуги с осью абсцисс есть точка перегиба.
2) Исходной точ'кой можно взять, вместо теоремы о конечных
приращениях, разложение многочлена по формуле Тэйлора.
64

тот же способ Ньютона для вычисления следующего
приближения х2: _/(*:)
** — ** fW
Со вторым приближением х2 поступают так же; повторяя тот
же способ сколько угодно раз, получим ряд односторонних
приближённых значений искомого у •
корня
V -—г у { s —'
X —— X 7
/(*Я-і)
Из геометрических
соображений (черт, 21) нетрудно
убедиться, что, при выполнении
вышеуказанных условий
относительно второй производной /№(х), хй стремится к искомому
корню как своему пределу.
В самом деле, абсциссы х1У лг2, ..., лгд, ... точек A'v А\,
..., А№\ ... пересечения последовательных касательных с осью х
образуют возрастающую последовательность, ограниченную
абсциссой х точки М и потому/ во всяком случае, стремятся к
некоторому пределу, так что А^Ы["+^ = х +г—хп—5-0. Но так
как выпуклость дуги AM обращена к оси лг, то отношения
А^А'-.А'^і, ..., A^AW:Af)A[n+l\ ... убывают. Следовательно,
А[аЫМ=/(хп)—+0. Переходя к пределу под знаком функции,
мы и получаем, что /(1іписл) = 0, т. е. что 1ітхл есть искомый
корень х.
Зигзагообразная линия А^А^А'А'^... А^'^А^ ведёт
асимптотически к искомой точке М.
Пример 2. Применим способ Ньютона к вычислению одного из
корней уравнения л:3 —6*4-2 —О
корни которого уже отделены (пример 1).
Решение.
0<хг<\; f(x)=x3-6x±2tff(x) = 3{x*~2)) /*<x) = &r,
2 _ 1
-6 ~3
9
/(0) = + 2; /'(0) = -6; 0</"(*)<6; ^ = 0-
= 0,333.
27~? +2-27;/Чз"!-3
о = —
17
3
1
1-3
Х-~~ 3 27-(-17)
51-4-1
153
0,340..
5 Курс высшей математики, т. II.
65

Согласно начальным данным, определяющим изгиб дуги и положение
на ней исходной для вычисления точки А, вычисленные по способу
Ньютона приближённые значения корня меньше истинного его
значения х, а вычисленные раньше по правилу ложного положения больше
О < 0,333... < 0,340... < х < 0,342... < 0,4 < 1.
Сопоставляя значения 0,340,.. и 0,342..., заключаем, что 0,34 будет
приближённым значением с ошибкой, которая во всяком случае меньше
0,003.
Способ Ньютона и правило ложного положения при выполз
нении вышеуказанных условий относительно второй производной
f(x) дают приближённые значения искомого корня с
недостатком и с избытком, и таким образом, комбинируя эти два
способа приближённого вычисления, мы можем и оценить
допущенную ошибку. Если рассматриваемая дуга кривой* линии имеет
одну точку перегиба, то правило ложного положения даёт
хорошее приближение, а способ Ньютона, если только f(a) и /"(я),
% стало быть f(b) и f (Ь) не имеют одинаковых знаков, — не
всегда.
Относительно приближённого вычисления комплексных
корней дело обстоит несколько сложнее, и потому в этом кратком
очерке основных задач высшей алгебры мы опустим подробное
рассмотрение этого вопроса. Заметим лишь, что его можно было
бы свести к предыдущей задаче, т. е. к задаче приближённого
вычисления действительных корней. В самом деле, определение
корней уравнения
/(z) = 0, (11)
а среди них и комплексных, сводится, как мы видели (стр. 41),
к отысканию точек пересечения двух кривых линий, данных
уравнениями
U(x,y) = 0 и V(x,y) = 0.
Исключая1) из этих уравнений, например, у, мы сводим за-
2) Исключение одного неизвестного из уравнений с двумя
неизвестными легко свести к решению линейных уравнений, если за
неизвестные принять степени у. Положим, например,
U (х,у) = aQy3 + агуй -f агу 4- аь = 0, \
V(x,y)= ЬоУ* + Ь1У + Ь% = 0,1 (а)
где коэффициенты а? и bt суть целые многочлены относительно л:,
степени которых указаны соответствующим индексом коэффициента*
Исключить из этих уравнений у значит определить его из одного
уравнения и вставить полученное выражение в другое. Но можно
исключить у и следующим образом, не решая того или другого из
данных уравнений. Именно, у, у\ у* имеют одни и те же значения
в этих уравнениях, рассматриваемых совместно. Умножая каждое из
66

дачу к отысканию действительных корней полученного в ре*
зультате исключения уравнения относительно х. Определив с
достаточной степенью точности приближённые значения xf можно
потом вычислить и соответственные значения у> н такими
образом будут вычислены комплексные корни данного
уравнения (11).
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Отделить корни уравнения х$ — 7х -J- 7 = 0 и вычислить их
приближённые значения (Serret).
Отв. - 4 < хі < 0, l<x2<xz<2;x2= 1,8568958...
2. Отделить корни уравнения .г3 — 2х — 5 = 0 и вычислить их
приближённые значения (Serret).
Отв. 2<^і< 3, х2 и хг мнимы; х\ = 2,09.455148...
3. Определить верхнюю и нижнюю границы действительных корней.
уравнения
х* + 2х* + 2х- 1=0
(ср. пример 2 на стр. 53).
них на у один или несколько раз, мы получим новые соотношения
между степенями у. Таким образом можно составить достаточное
число уравнений, из которых, как линейных, можно исключить все-
встречающиеся в них степени у, для чего нужно иметь число
уравнений на единицу больше числа степеней:
я0У4 + «іУ8 4- а*У2 + а*У = 0,
ацУ* + аіу*-\-а2у -- я3 = 0,
Ь*У*+Ьіу+Ь2 = 09
Ь0у* + Ьху* + Ъ2у* = 0,
Рассматривая у} у2, _у3, у4 как отдельные неизвестные, решаем
обычными приёмами четыре из этих уравнений, линейных относительно
степеней неизвестного, и полученные выражения для у, у\ у3, у*-
вставляем в последнее. Получим в результате такого исключения со*
отношение между коэффициентами at и Ьіу каждое из которых
содержит х. Таким образом, у из уравнений (а) оказывается исключённым^.
и получается уравнение, содержащее только х.
5*

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ.
ВТОРАЯ ЧАСТЬ.
ГЛАВА I.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
§ 1. Интегрирование элементарных дробей.
Дробь, числитель которой постоянное число, а знаменатель —
степень линейного двучлена, т. е. дробь вида
А А
или
(jc — а)а хп '
где п — положительное целое число, называется простейшей или
элементарной. Простейшая дробь только при одном значении
аргумента обращается в бесконечность и ни при каком в нуль.
Простейшую дробь можно представить в виде степени с
отрицательным показателем:
4 = А*:"", . Л . = А (х — а)-"
хп ' (х — а)п к '
и таким образом свести задачу интегрирования простейшей
дроби к интегрированию степени.
А
= (1-п)хп-і +С' 0)
Так как dx = d(x—а), то будем иметь также:
—4 -я + д +^=(1-д)(^,д)д.х + 0 (3)

2. При я = 1: ^а^А^^ = АЫх-а)^С. (4).
Общие правила интегрирования (т. I) дают возможность
вести к указанным основным формулам интегрирование
многочленов, расположенных по положительным и отрицательным степеням
аргумента или линейного двучлена, иначе — многочленов,
слагаемые которых суть положительные степени аргумента и
простейшие дроби.-
Пример.
, -f dx . _Л dx х* - е >х* , _, ,
л:3 Jt2 (л* —31-2+1
= Т~5'Т'1"7*4' -2+1 + 51п(*-3)-
~7 -5+1 +С~
= -3_|.,2 + 7х_^+5,п(*-3) + т^ + С
Но такого рода многочлен по приведении его членов к од-
f(x)
ному знаменателю представляется в виде дроби Ff\, где чис-
* \Х)
литель f(x) и знаменатель F(x) суть целые многочлены.
Естественно ожидать, что интегрирование дроби такого вида, т. е.
Дроби ет-г, иначе — рациональной функции, можно пу-
г [X)
тем соответствующего разложения свести к интегрированию
целого многочлена и элементарных дробей.
§ 2. Разложение рациональной дроби на простейшие я
интегрирование её (случай действительных корней
знаменателя).
Будем называть рациональную дробь правильной, если
степень числителя её ниже степени знаменателя. Делением
числителя на знаменатель можно всегда выделить из неправильной
69

дроби целую часть и представить неправильную дробь как сумму
целого многочлена и правильной дроби.
Пример 1. Выделить из неправильной дроби
З*5 — 13** -f- 20*3 _ іблг2 4~ 8* - 3
*3 —4**4-5* —2
щелую часть.
Решение. При делении числителя на знаменатель получим в
частном трёхчлен З*2 —*-|-1 и остаток — х2-\~х—1. Следовательно,
Зх*-13*44-20*3-16*2 + 8л:-3 0 , г л , -*24-*-1
*3-4*2-}-5*-2 — 6Х ¦V"hl"^*3-4*a+5*-2'
Правильную рациональную дробь можно разложить на
элементарные дроби. Это разложение можно обосновать следующим
предложением.
Теорема. Из правильной рациональной дроби, знамена-
щель которой имеет а-кратный корень а, можно выделить
ряд элементарных дробей с знаменателями (* — a)k, где k
принимает значения 1, 2, 3, .. ., о, так что в остатке
получится правильная рациональная дробь, знаменатель кото-
рой при х = а отличен от нуля. Это разложение един-
отвеяно.
fix)
Доказательство. Пусть ^р-—данная дробь. По условию
F(x) = (x — a)«Fl(x) и F1(a).^=0.
Если знаменатель F(x)~ многочлен л-й степени, то Рг (х) —
степени п — а, а числитель /(*) — степени не выше п—1.
Расположим многочлены /(*) и Fx (х), пользуясь формулой Тэйлора,
по восходящим степеням * — а:
/(*) =/(а) + ?=?/ (а) + (^ff (а) +...
^(*) = ^(а)+^ГіИ+(^=^/,;(а) + ...
• • ' I Ь2.3...(/i-a)^1 И- (6)
Так как Fx{a)^0, то можно разделить первый многочлен на
второй, располагая деление по восходящим степеням х а.
Продолжим это деление до тех пор, пока в частном не получим
степени (х — а)а~К Обозначим полученное таким образом
частное через Р(х):
P(x) = A0 + A1{x — a) + A2(x-a)*+.t. + Aa_x(x — a)*-\(7)

Остаток, который также расположен по восходящим степеням
и начинается со степени не ниже (х-—а)а, можно обозначить
через (х—&р/г(х), где fx (х) — вполне определённей многочлен
степени п — а—1. В силу соотношения между делимым,
делителем^ частным и остатком будем иметь:
f(x) = P(x)Fl{x) + (x —a)«/i(*); (8)
отсюда
/(*)_ Р(х) . fx(x)
F (х) ~ (х - а)* 1" Fx (х) % *у>
Заменяя Р(х) его выражением (7) и производя деление на (х — а)\
получим:
/С*) _ Ло і Лі і >*2 , , Л0_! , Л (л)
д1 1 д2 .1 I *а-1 1
т. е. требуемое разложение.
Единственность этого разложения будет следовать из
устанавливаемых ниже формул
А -±\*LfJ&] (k-o i 2 a-П
Л*~k\ [их*Рг{х)\ХЯ!а l*~~U' 1'^"" a ]>
(см. стр. 74). Действительно, эти формулы показывают, что ко-
4 (х)
эффициенты Ая вполне определяются дробью ~—- .
Следствие. Если
F(x)=(x — a)*(x—b)$...(x — l)x
и степень f(x) ниже степени F(x), то
/(•*) _ А0 | М і ^а | | Л,-1 | ^
/=Ч*) (дг —d)« ' U —a)»-1 ' (л: —а)*-з"Г •••"Гд;_гг-Г
+ (д: —^ + (дг-^-і + (* —?)Э-2 ' '•'+ *"^~<~ J-*10*
Действительно, вводя функции
Л(х) = г^г , FA*)*= tFllxh и т. д.
и соответствующие функции /х(д:), /2(#) и т. д., определяя
потом по предыдущему многочлены Р(х), Pl(x)J Рг(х),...,
получим цепь разложений, аналогичных разложению (9);
f{x)_ Р(х) . /х(х) h(x) Px{x) , h(x)
F(x)~ (x-aY^Fyix) ' fiW " (дг-*)Р~Г^(дг) '••"
71

откуда, полагая число корней а, Ъ, с,,.., / равным 5 -{-1,
имеем
f(x)_P(x) , РХ(Х) | Р%(Х) _ |. I Р*(Х) M1Y
/Ч*)- (х-а)« ~П*-&)? Т-(х-?г)т ~'""г С*-/)* ' v '
Заменяя многочлены Р(х), Рг(х)у Р2 (*),..., Ps{x) их
выражениями, аналогичными выражению (7), получим
разложение (10).
Если корни знаменателя F(x) все простые, то разложение
fix)
дроби щ~ принимает более простой вид
/*(*) * — л 1 л: — 6 ! * — с { ' * —/ v '
В этом случае Р(л:), Яі (*),..., Ps(x)—постоянные величины.
Вычисление коэффициентов разложения. Способ деления.
Вычисление коэффициентов разложения (10), как следует из
способа доказательства основной теоремы настоящего параграфа,
сводится к определению многочленов Р(х)у Рг (*),..., т. е.
к предварительному, разложению числителя /(*) и функции
F1(x)= __ ' по степеням х — а и делению первого
многочлена на второй по восходящим степеням до степени (х—а)*~г?
Такой способ мы будем называть способом деления.
Пример 2. Разложить дробь
- 3** 4-17*» — ЗОдгЗ-f 17*4-1
(* —1)3 (х — 2)2
на элементарные дроби.
Решение. Расположим числитель по степеням *—1; .
f{x) =-3jc* 4-17^8-30*2 4-17*4-1, /(1) = '2
/'(*) =-12*з --51*2 -60* 4-17, /'(1) =-4
/" (*) = - 36*2 4-102* - 60, /" (1) = 6
f(x) = -72* 4^102,. ..... /"'0)=- 30
/1У(*)=_72, yTV(i)z=_72;
По формуле Тэйлора имеем
/W=/(i) + ^/'(1)4-^^^(1)4-Ц^Г'ОіЧ"
4-(лгі1)4УУі(1)
^ 1-2.3-4 ; Uj*
Полагая ради сокращения х — \=і, получим
f(x) = 2 - 4^4-3^-4-5^ - 3*.
Функцию^ (*) = (*—2)2 располагаем также по степеням * — 1—*
пользуясь либо формулой Тэйлора, либо даже простой подстановкой
70

x-~l=t, или x = l -±~tf что ери низкой степени |іасцодагземогонно-
гочлеиа будет проще:
•Делим маогоялеа /(*) н& дрбхчлен Ft (*) \ по восходящим отеце-
ням t и вычисляем чаошо^{ДЬ%вт6роЗ свецени;
1—#4-*2
2 — 4*+ 3^4-5^-^-3^
*5*-_2*3-f ^
Я4-'2
7*8 — 4** "
Следовательно,
2— 4*+-3*2_f 5*3 —3^ = (2 + *2) (^— 1)2 4-^3(7 — 4^).
Внося в это равенство значение t — x— 1, будем иметь
— 3** + 17*3 _ 30*2 _l 17* 4-1 =
= [24-(дг-1)2](*-22)4-(л:-1)3(Н-4*).
Деля обе части этого равенства на знаменатель данной дроби, т. е.
на {х— l)s(*-— 2)2, получим следующее разложение данной дроби:
— 3**4-*7*8 "30^4-17*4-1 __ 2 1 11-4*
(*~1)3(*--2)з — (дг-і)3+ х—і -Ь(д.«2)2'
Применение того же способа к последней дроби полученного
разложения упрощается тем, что числитель приходится делить на I1), и,
следовательно, вычисление сводится только к разложению числителя
этой дроби, т. е. 11—4* по степеням * —2:
11 - 4* = И - 4 (* - 2) - 8 = 3 - 4 (* - 2).
Таким образом получаем следующее разложение данной дроби на
элементарные:
- 3** 4~ 17л;Э — 30*2 4- 17* 4-1 =
(*-1)3(*-2)2 ~~
2 4--Ц-4- 3
(*—1)3 ' *~ 1 L (* —2)2 * —2*
Можно вычислять коэффициенты разложения рациональной
дроби и иными способами. Все эти способы основываются на
том, что равенство (10) относительно х есть тождество, т, е*
равенство, справедливое при всяком значении аргумента х. Это
!) В обозначениях, употреблявшихся при выводе теоремы о
разложении рациональной дроби на простейшие, дробь -—~ ¦ пред-
(* 2,)"
{ (х\
ставляет выражение вида I}- . Согласно данному способу, числи-
тель 11—4* надо разделить на многочлен, определяемый равенством:
_, . ¦ Fx (*) ,
^2 W — /~ 1_ ot2 * 0ТКУДа видно, что этот многочлен равен 1, так как
Л (*) = (*-2*
73-

тождество остаётся тождеством и после каких угодно
тождественных преобразований. Можно поэтому, приводить в этом
равенстве дроби к одному знаменателю и отбрасывать в обеих
частях общий знаменатель; можно давать аргументу х какие-
либо определённые числовые значения, можно дифференцировать
обе части равенства по х и т. п. Оставляя коэффициенты Л0,
Л],..., Дх-1» "$¦> &v*i ?*?—1> * • • ' А)' ^1'''*> ^*Х-1> ЧИСЛО
которых будет a--[-(5-j-...-|-X = /z, неизвестными, из этого
тождества можно различными способами получить достаточное
число (т. е. п) уравнений для определения неизвестных
коэффициентов.
Способ последовательных дифференцирований. Умножая
обе части равенства (9') или (10) на (л: — а)*, получим;
Ш=Л + Лі(*-«)+Л2(*-я)2+--. + А-і(*-«Г1 +
-L ( v л\а
+(*-«>¦?&. <13)
где
/і (¦*) _ В0 ¦ Вг . , 1х-г
/=і (х) (х — Ь)? "Т" {х — b)t-i "Г ¦' • "Г х _ , •
Последнее слагаемое второй части равенства (13) имеет
а-кратный корень а, и потому этот член и а—1 его
производных при х = а обращаются в нуль. Следовательно,
А — \М*П A —\d /W
0 —L^(*)J**e' Al—|й^л
#=я
1.2-3... (а -1)4 1 = ГЛ^.1Ш."
Точно так же, полагая /(*) = (л; — b)f>F2 (x), будем иметь
Вл =
/«
0—іЛС*)]
5 ==\d /Wl
1.25 _r^L/W]
Такой способ определения коэффициентов разложения
рациональной дроби мы будем называть способом
последовательных дифференцирований.
Пример 3. Разложить дробь
лг2-2
*8(*4-2)3
на простейшие дроби,
74

Решение. Разложение должно иметь вид
л:2 — 2 Лл . Ал' , А2 , В
д;3(л:+-2)2~ *в "*~ д-2
+
о
Ді
дг ' (х + 2)2 -г х+>2 *
По умножении обеих частей этого равенства на *я получим
<* + 2)»
Следовательно,
Л0 + ^ + Л2,= + ,а[(_^. + -^].
, -Г*2-2! __1
Л°-Ц*4-2)2_|*=о~ 2-
¦ Г d л? — 2 1 _Ті?±і_]
1 [dx (х + 2?\х=0 [(х 4-2)4,=
2Л, =
rf2 X2_2
..-[
d Ах -Ъ 4
^д;2 (^ _1_ 2)2
8-ДГ-41 ____J_
L (х + 2)* J^o~ 4'
1
^д: (л: 4-2)3
J*=0
Для определения коэффициентов В0 и ^ будем иметь:
х-
л:3
откуда
= В0 + 5і(* + 2)4-(л?
л:2-21
+2>3[>+"~Н-т].
Si =
So
-D
*=-2
_1_
4 '
1 = Г_±,А1 =і
rfx л:3
Таким образом, для данной дроби получаем следующее разложение:
111 J_ J_
4 . 8
.: -h ~ : г^гт, -1
AT2
*3(*4-2)
2 і. і —— ——
2 v-;i "^ -г2 v
X
(л: 4-2)2 • д. 4-2 '
Способ сравнения коэффициентов. Если привести дроби
правой части равенства (10) к одному знаменателю, то
знаменатели обеих частей будут одинаковы, и поэтому числители
должны быть тождественно равны между соэой. Коэффициенты
при одинаковых степенях тождественно равных многочленов равны
между собой, и если какой-либо степени в многочлене f(x) нет,
то соответствующий коэффициент правой части должен
тождественно равняться нулю. Многочлен f(x) по условию не выше
(п—1)-й степени; в правой части получается также многочлен
(п — 1)-й степени, а такой многочлен имеет п коэффициентов.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, мы получим п
уравнений — число, достаточное для определения п неизвестных
7*»

коэффициентов Л0, Лх,..., Aa_v 50, Bv ..., Be_lf...7 t0,
**і» • • •» *•!—i"
Пример 4. Разложить дробь
(х2-1)(^ + 2)
на простейшие дроби.
Решение, Знаменатель разлагается на множители
(х-1)(*4-1)<* + 2).
Следовательно,
лг^-лг-Н _ А . 5 С
О*2—1) С* 4-2) ""-г—1 ~*~ х + 1 і"лг + 2-
По приведении к общему знаменателю получим:
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента,
получим для определения коэффициентов А, Я, С три уравнения:
А±В±С=\, Зі4 4-Я=—1, 2Д-2Я-С = 4.
Решая эти уравнения, находим:
Следовательно,
1 1?
^3 — ^4-4 _ 3 3 . 3
О** — 1)(д:-|-2) ~~ * — 1 хЦ-і *4"2 '
Пример 5. Разложить дробь
*2 — 2
на простейшие помощью сравнения коэффициентов.
Решение. По приведении к общему знаменателю
соответствующего разложения (пример 3) получим
д;2 - 2 = (Л0 + АіХ + А2х*) (х + 2)2 + [*о + Вг (х +¦ 2)] д:*
или
*2 _ 2 = (А 2 -f Лі) *4 + (Аг + 4Л2 + BQ -Ь 2Ді) *в _f
+ Ио + 4Лі + 4Л2) *« 4- 4 (AQ + Ах) х + 4Л0.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента обеих
частей предыдущего равенства, получим пять уравнений для
определения пяти неизвестных коэффициентов Л„, Ah Аъ В0 и Вг:
Л24-51--=0, Аг+-4Ао + В0±2Ві=0,
Аъ + 4АХ + 4А2=1, ЦА0±Аі) = 0, 4Л0 = -2.
Из пятого, четвёртого и третьего уравнений получаем
последовательно

из первого и второго
1 R -' 1
#і = -q* j #о = — -т .
Способ сравнениі коэффициентов неудоГен, если число
неизвестных коэффициентов велико, так как тогда приходится
решать систему линейных уравнений с большим числом неизвестных.
Способ дифференцирования также может оказаться
затруднительным, так как с каждым новым дифференцированием для
определения последующих коэффициентов приходится
дифференцировать, вообще говоря, всё более и более сложные дроби.
Иногда смешанные приёмы могут значительно упростить
вычисление.
Интегрирование рациональной дроби. Как было уже
отмечено в конце предыдущего параграфа, разложение
рациональной дроби на простейшие дает возможность свести
интегрирование её к интегрированию этих простейших дро'ей, т. е.
к основным формулам интегрального исчисления.
Пример б. Вычислить интеграл рациональной дроби, данной в
примере 2.
Решение. Эта дробь уже разложена на элементарные в примере 2.
Таким образом имеем
1 -:— dx —
3 4 1
dx =
2.1,3
t 1-я: — 1)3 * x—\ ' (* —2)* x — 2
(X — П-3 + 1 ( x — 9\-2 + l
= 2--3+l +Ш(*-1)4-3(*_2-^1 -^41n(*-2)+C =
= -(^ + іп(х-1)-з^з41п(Д:-2Н-С.
Пример 7. Интегрировать рациональную дробь, уже разложенную
на элементарные в примере 3.
Решение.
ЛГ2—2 .
•7r».dx=
хЦх+-2у
1_ , J 1 1 , 1
*» ~ 2х-' 8а- 4 {:: + ~)2 8 {* + 2) .
dx~
__ 1 jc-2+i , 1 -у-а + Д 1 , „ 1 Глг+2)"2+1 т
— """2 - 3+1 "^ -2 + 1 8'Ш-" 4 -2 + 1 ~*~
Пример 8. Интегрировать дробь, pav:o:i:ennyio на элементарные
в примере 4,
77

нешеяие.
*2-*4-4
$
2_
а
10 і
3
х + 21
(д:2- 1) (л: + 2Г~ Лх-\ x+V
9 10
=^ln(*_l)_31n(A;4-l) + yln(* + 2)4-inC==
dx —
ю
=1п1с—^тг?—/•
Пример 9. Взять интеграл
л Зл:5— 13л:4-|-20*3 — 16*24~ 8л; —3
д;3_ 4*2 + 5* — 2 *'
Решение. Степень числителя подинтегральной дроби выше степени
знаменателя. По выделении целой части (пример 1) получим
3*5 — 13** -f 20*з — 16*2 -f 8* — 3 __
*з — 4*2 4- 5* — 2
= 3*2-*4-1 +
*24-* —-1
л;3_4лг2 + 5*-2 '
Разлагаем теперь оставшуюся правильную дробь на простейшие,
определив предварительно корни знаменателя. Находя наибольший
общий делитель многочлена *3 — 4*24- 5* — 2 и его производной З*2 —
— 8*4-5, увидим, что 1 является двукратным корнем данной дроби,
а 2 — простым:
*з_ 4*2 4-5*— 2 = (х— I)2 (* — 2).
Таким образом, имеем:
— *2 + * — 1 Aq_ , Ах , В
(*-1)2(*-2)"
,+
(*-1)2 ' *—1
Определим сначала коэффициенты А0 и В:
Лп =
_ JC2 ^_ лг — 1
*
= 1, В
-[
*24-*-1
і.,=
Коэффициент Аі всего проще определить из равенства
— *2 4- * — 1 __ 1 г Аг 3
3.
(* — I)2 С* — 2) (*— I)2 ' * — 1
*
2 '
давая переменному * какое-либо значение (только не 1 и не 2),
например 0:
1 = 1-^ + 1, Л1 = 2.
Следовательно,
Г 3*5- 13**4-20^8 — 16*24-8-У — 3 _
J *3-4*з 4-5*-2 dX~
„*3 *2 , . (*-1)-2 + 1
_v, *2. . I , т (*-1)3 , „
1) — Зіп(* — 2)4-С=
78

§ 3. Разложение рациональной дроби и интегрирование её
в случае мнимых корней знаменателя.
Вышеуказанные способы разложения и интегрирования
рациональной функции применимы и в том случае, если знаменатель
f (х) гт ^
дроои ~~~ имеет мнимые корни. Пришлось бы только опериро-
вать с мнимыми числами. Действия с мнимыми числами, как мы
видели в предыдущей главе, совершаются по тем же законам,
как и с действительными, и нетрудно также убедиться, что
формулы дифференциального и интегрального исчислений
относительно степени и логарифма имеют место и в случае
комплексного аргумента. Но возможно поставленную задачу свести
к вычислению с действительными числами.
Будем называть дробь вида
Ax±B
где k — какое-либо целое число, простой дробью второго
типа.
fix)
Теорема. Из правильной рациональной дроби -^т-к,
знаменатель которой разлагается на множители (хг -\-рх -\~а)1*
и Fl(x), не имеющие общих корней, можно выделить ряд
простых дробей второго типа
Лх + В
(x*±px±q)b>
где k принимает значения 1, 2, 3,..., а, причём в остатке
получится правильная рациональная дробь с знаменате-
лем Fx{x). Предполагается, что трёхчлен х2 -{- рх -j- q
имеет различные корни. Разложение это единственное.
Доказательство. Можно подобрать так двучлен А0х-\-В&
и многочлен f1 (#), чтобы
f(x) = (Л0х + В0) Л (х) + (jfi -f Рх + ?)Л (*). (14)
Действительно, пусть хг и хг— корни трёхчлена x2-\-px-\-q.
Из равенства (14) при дг = хг и х = х* получаются два
уравнения для определения неизвестных коэффициентов;
f(x1) = (AoX,^rB0)F1(x1)i f(xJ = (AQx2 + B0)F1{x2). (15)
Из этих уравнений А0 и В0 определяются вполне, так как по
условию х1—х2=т^0. При найденных значениях коэффициентов
AQ и В0 многочлен f{x) — (AQx-{~B0)F: (х), обращаясь в нуль
при х=хг-и х = х2у делится без остатка на трёхчлен х--\-
7S*

~j-px-f-q. Частное от такого деления и'будет искомым
многочленом /і(лг), показатель степени которого равен разности
показателей многочлена f(x) и трёхчлена x2-\-px~\~q, т. е. не выше
п — 3, если г (х) — степени п.
Таким же образом можно подобрать двучлен Ахх-\-Вх и
многочлен/2 (л:); потом двучлен А2х-\-В2 и многочлен /3(лг), и
т. д., наконец, двучлен Аа_1х-\-Вд,^ и многочлен /а(х),
удовлетворяющие соответственно следующим равенствам:
fl[x) = (Aix + B1)Fl(x)-\-(xt+px-]-g)ft{x), )
/s (х) = (А2х + Вг) F, (х) + (х2-\-рх + д)/, (*), [ (] 6)
Показатель степени многочлена /х(х) не выше л — 2а—1. Из
равенств (14) и (16), обозначив ради сокращения трёхчлен х2 -{-
—|—/7лг —f—^ через Z, получим
f(x) = [A0x + B0+.(Alx+B1)Z+(Aix-{-B2)Z* + ... Л
... + (A^1x + BI_1)Z*-1]F1{x) + Z*fa(x). ) ( }
Следовательно,
f(x) _АйхА-В0 . АххАгВі Л2.у-[~Я3
Fix) Z* "^ Z"-1 2"-2 "і~"'
і4«_1лс+В„_1 . /а(лг)
или
Р(х) №+рх-\-д)*шГ№-{-рх + дУ'-і~г~л
А^х + В^г fa(x)
'¦'^ *2+а* + ? + ^W (18)
т. е. мы получим требуемое разложение.
Покажем, что это разложение единственно. Действительно,
умножив обе части равенства (18) на х2-\-px-\-q, получим:
^ = А^ + В0 + (Агх + В№*+рх + д) + ...
-..+ (Л-і*+Д,_і)(*Ч-/*^ (18')
Беря здесь х—^х1 и х—*х29 получим в пределе:
Я*і)_ л г і R
Я*я) _ d , р
Л(**)~ ° 2 •" °'

откуда, вследствие неравенства ххфхъ коэффициенты А0 и В0
вполне определятся. Перенеся затем А0х-\-В0 в левую часть
равенства (18'), разделив обе части полученного равенства на
хг-\-рх-\гЯ и снова переходя к пределу по х—+хл и *—*-*2,
мы определим единственным образом коэффициенты Аг и Bv
Продолжая этот процесс, мы убедимся в том, что все
коэффициенты разложения (18) однозначно определены.
При доказательстве теоремы мы относительно корней xv x2
трёхчлена х2 -\-px-\-q сделали' только одно предположение,
что они различны. Для целей интегрирования важен случай,
когда эти корни сопряжённо-комплексные. Уравнения (15) и им
аналогичные, определяющие коэффициенты AQ, BQ и т. д.,
содержат в этом случае мнимые коэффициенты и имеют вид
U-\-iV=0, U—iV=0, (15')
где U и V — выражения, не содержащие мнимых чисел. Но
система уравнений (15') равносильна системе уравнений с
действительными коэффициентами
?/=0, V=0. (15")
Коэффициенты разложения (18) могут быть определены или
так, как указано при доказательстве теоремы, или иными
способами, из которых, как общий, следует отметить способ
сравнения коэффициентов при одинаковых степенях
тождественных многочленов, — способ, который мы применяли
при разложении рациональной дроби на простейшие в случае
действительных корней знаменателя.
Пример 1. Разложить дробь
2jc* — 2^4-7jc24-5
(*2-f *4-l)2(*-2)
на простейшие.
Решение. Согласно указанным в §§ 2 и 3 способам разложения,
имеем
(*2-f *4-1)2 (*-2) (х2 + х-\-\)і "^хЧ^+Гд; -2' (іУ)
Приводя обе части этого равенства к одному знаменателю и
отбрасывая его, получим тождество
2*4 —2*3-1-7*2-+-5 =
= (А0х±В0){х-2)+(А1х + В1)(х2-\~х + \)(х-2)±С(х*±х±1)*
или
2л:4 — 2*3 -f 7*2 4- 5 =
= (А1±С)х*±{ — А1±В1±2С)хЦ-(А0-А1-~Ві + ЪС).х* +
4- (В0 — 2А0 - 2Аг - Вг -f 1С) х 4- (- 2В0 — 2ВХ + 2С).
6 Курс высшей математики, т. II. 81

•
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях
равенства, получим
Ах^г С= 2, \
А0- Ах~ ВХ±ЪС = 7, [ (20)
В0-2Л0- 2Лі- ВХ + 2С = 0, |
-2?0 ~25іі- С== 5. ,1
Решая х) эги уравнения относительно определяемых коэффициентов,
находим
А0 = 2, Во=1г Ах=\, ві = -3, С=1.
Таким образом, данная дробь разлагается на простейшие следующим
образом:
2г* —2лг*4-7*8 + 5 2*4-1 . х — 3 , 1_-
(дг2_|-дг-f 1)4* —2) ~(*3Ц-лг-Ы)3 + **4-лг-И ' * — 2'
Интегрирование. Интегрирование рациональной дроби в
случае мнимых корней её знаменателя сводится помощью
разложения на элементарные дроби к интегралам вида
(Ax-\-B)dx
(21)
іх*+рх+д)Ь'
Квадратный трёхчлен х2~\-рх-^д с мнимыми корнями можно
представить в виде суммы двух квадратов. В самом деле,
или
*»+/«+*=(*+f)V(/
4
(так как в случае мнимых корней q — —• ^> 0). Преобразуем
интеграл (21), полагая
Лг+т=/ и у я— ^т=т-
Из первого равенства имеем:
их = Л.
Следовательно,
dt
(f3+ «*)*'
Г. (Ллг-f fl)rf* _Г(^4-С)^ __д f __?^__Lr Г
і) Можно упростить решение системы уравнений (20) следующим
способом. Сначала определим С, умножая обе части равенства (19) на
х — 2 и полагая ;е —2;
^_ Г2** —2*3-г-7;с8 + 51 _49
L (**-t-*+I)8 J,.e"49-1"
Из первого уравнения (20) находим далее Аь потом из второго В1 и т. Д.
82

где
с=в-Ц.
Таким образом, интеграл (21) сводится к интегралам вида
tdt Г dt
и
Первый интеграл сводится к интегралу степени, если k=^=lf
или к логарифму, если &=1, подстановкой
/» + т2=у. (22>
В самом деле, из равенства (22) получаем:
2tdt = dy и ійі = Ц.
Следовательно
Г т _ і С 4у_ 1 _Z^iij_r—
= _ 2(A-l)>ft-i+C = — 2(/fe-l)(^-t-m2)A-i + C'
И
Для второго интеграла можно следующим образом
установить редукционную формулу, т. е. формулу, сводящую его
к интегралу того же вида, но с меньшим показателем
знаменателя.
Обозначим [(t2-\-m2)~kdt через Jk; следовательно,
_ Г d
Интегрируя по частям этот последний интеграл, полагая
« = (<. + іу-і = ('' + и'Г<*-1> и Л = *>>
можно установить соотношение между интегралами УА л /_lt
т. е. установить желаемую редукционную формулу. В самом
деле, имеем:
6* S3

но
= -2<*-1)(7^*
следовательно,
откуда
Определяя из этого соотношения Уд, находим желаемую
редукционную формулу:
г _ 1 * , 2>fe —3 7
Понижая таким образом указатель k, мы дойдём до интеграла Ju
который берётся по основной формуле:
т ь dt \ \ dt 1 ( да
Ч
«¦+- -j.+ur -j>+(a"
= — arctg-4-C.
Пример 2. Проинтегрировать рациональную функцию
Решение. Эта дробь была уже нами разложена выше (пример 1) на
элементарные:
2**— 2*з 4-7*2 + 5 _ 2*4-1 . х —3 , 1
(дг2 4-д:4-1)3(*-2)"~(д:2ф*4-1)2 ^2 + ^ + 1 ^-2 •
Следовательно,
Г2**~2*3 4-7-Г2 + 5 .г _f (2*+-l)rf* . r(x — Z)dx Г dx
J(*24-*4-l)2(*-2) J (*2-r-*+l)2 + J x*±x + l +) x~^2-
Нетрудно заметить, что числитель первого из интегралов, к
которым мы свели данный, является дифференциалом трёхчлена в
знаменателе;
(2x±l)dx=zd(x*±x-{-l).
Следовательно, не "стоит преобразовывать знаменатель в сумму
квадратов, так как подстановка
*з + *4-1=*.
84

очень просто сводит этот интеграл к интегралу степени:
r(2x + l)dx _ Cdt_ *-a+i _ і
При интегрировании второго интеграла преобразуем знаменатель
в сумму квадратов:
Полагая
* + Т=*'
получим
^(/і;
tdt 7 I dt
"+(/!)* 2J<•+(/!)'¦
Первый из этих интегралов интегрируется подстановкой
<Ч/!)=•¦
откуда
du
2tdt = du и *<# = -g-;
следовательно,
tdt _.і(^.=11пй-
2 2 U 2
2'
Второй интеграл сводится к арктангенсу. Полагая ?= 1/-та ир
следовательно, dt= у -jda, получим
dt 7 Г da
2\t*Jyf^Y у-Щі+«2
7 7 . 2*4-1
— arctg «= -= arctg
Кз * Уъ /з
8$

Таким образом, имеем:
Г2*4 — 2*3-f 7*3+5 _
+ іп(.г~2) + <;.
Пример 3. Взять интеграл
Г* + 2*а + 4
J (l-b^j. dx'
Решение. Подинтегральная дробь разлагается на элементарные
второго типа:
;r* + 2rS + 4__ Ах±В Ахх-\-Вх А2х+-В2
(1 -fjtsy* ~" (1 +х*у ~т~ (1 + лг2)з 1 + *2 '
откуда
хі+ 2**+ 4 = Л*+ 5 +(АіХ+ Вг)(1 + х*)+(А,х + Вм)(1 + **)». (23)
Вместо способа сравнения коэффициентов при одинаковых степенях
*в обеих частях равенства воспользуемся иными приёмами определения
коэффициентов А, В, Ах и т. д.
Полагая х2 = —1 или * = / = У" — 1, получим:
1 + 2.( — 1) + 4 = Л/ + В или 3 = і4і + 5,
откуда
Л = 0, 5 = 3.
Равенство (23) можно написать теперь в следующем виде:
дг« + 2*» + 4 = 3 + (і41дг+Д1)(1+л^) + (Л1ж + Д2)(1+^я)».
Перенеся 3 в левую часть, получим:
хі + 2*2 +1 = (Л іЖ + ДО (1 + *3) + (Л2дг + 52) (1 + .гзЛ
или
(1 + х*р = (^х + fix) (1 + д:2) + (Л2ж + 52) (1 + x*f.
По сокращении на 1+х2 будем иметь:
1+*2 = Л1г+В1 + (Л2.г+52)(1+*2). (24)
Полагая снова х* = — 1, или * = /, получим:
0 = ^/+5lf
откуда
-4і = 0 и 5Х = 0.
Следовательно, равенство (24) принимает вид:
1+лг2 = (Л2л: + Я2)(1+*2),
дли, по сокращении на 1 +ж2:
1.— л2дг + 52
откуда
А2 = 0 и Д2=1.

Итак, данная дробь разлагается следующим образом:
х* + 2х* + 4_ 3 ¦ 1
(1+*2)3 "~(1+*2)3 + 14- х**
Следовательно
Г*±2х*±4 Г dx Г dx
J (1+*2)3 aX-6]{l+x^)\+x2'
Обозначим ітт- ^ через Jk\ следовательно,
dx __ , С dx ,
(і 4-лг2)3 * J(i -h-v2)2
Интегрируя і/2 по частям, полагая (1 -\-х2)~2=.ц, a dx = da, получим
формулу, сводящую У3 к Л^
J2 = X (1 -f*2)"2 - С* d (1 -Ь*2)-2
ИЛИ
X
j = * + 2 U (1 -f- дгЯ)-з 2л- Ас
__ х С x*dx _ х . р(.у2 + 1 — 1>Аас
-(l+.^)2 + 4J(-l_J.^?~(l+^2)2i-^ (1+X2)3 -
— Х J_4 Г <** 4 С dX — Х _1_АТ А Г
откуда
г г г Г dX
Для сведения /3 к J\ интегрируем по частям J\ = I. , 2, полагая
(l-f^8)"1 = « и dx = dv:
— -у і о Г x*dx _ х . 0 Г (-яга-н 1 — 1) ^лг
— l-f*2"*" J (1+*2;2~1-г-*2 J (1+*2)2
откуда
Следовательно,
Но
г ? і Зх . 3 -
•« - 4(1+*»)« +8(1 4-*»)+ 8
л= (*Г4Йг==агсі:ждг'

Следовательно,
х Ъх 3
J* ™ 4(1+*2)2 -Ь 8(1 4- *2)+ "8 ardg *'
и потому
р *4-f-2*2-M ^ Зл . 9х , 17 . . п
j (Г+^)Т ^=4(l+^+8lIT^)4""8arCteJ: + C'
§ 4. Соотношение между круговыми функциями и логарифмом.
Формула Эйлера.
Интеграл рациональной дроби кроме
алгебраической части может содержать и трансцендентную, именно:
если знаменатель интегрируемой дроби имеет мнимые корни
—арктангенс, а при действительных корнях —логарифм. Нетрудно
установить и соотношение между этими трансцендентными функциями,
имеющими по первоначальному определению совершенно различное
происхождение. Рассмотрим интеграл \ (1 -\-х%)~1йх, который по
основным формулам равен arctgx-|-C Разлагая подинтегральную дробь
на элементарные дроби первого типа, можно для того же интеграла
получить иное выражение. Для этого заметим, что можно
распространить основные формулы интегрирования и на случай мнимых
коэффициентов подинтегрального выражения. В самом деле, в § 12
гл. II было сделано распространение действия дифференцирования на
случай мнимых коэффициентов дифференцируемого выражения. Тем
самым это распространение имеет силу и для обратной операции —
интегрирования. Но, разлагая знаменатель на мнимые множители,
имеем:
где 1 = У —I. Полагая
1 " 1 __ ГЛ В
1+х*~~ (х + і)(х — і) ~~ х^-і +х — і'
находим коэффициенты А и В:
Следовательно,
dx 1 f dx , 1 С dx 1 t х — і , „
7 = о7іп^-Г7 + С,
14-*2 2/ J х-\-і ~ 2/ J х — і ~~2і х + і
где логарифм от мнимого аргумента понимается в том смысле, как
он был определён в § 12 гл. II,
1 х — /
Функции arctg^r и -^п—г-у, полученные при интегрировании
одного . и того же выражения, имеют одну и ту же производную
и потому отличаются одна от другой на некоторое определённое
постоянное:
&xci^x===2llnT^7JrC или arc*g* = y lnj37 + G
88

Полагая лг=: 0, получим С=—-~-1п(—I)1). Следовательно,
arctg-*r=-*-ln —і-—-yln(—1) или arctg^ = — \п~^--.
Таково соотношение между арктангенсом и логарифмом. Исходя
из этого соотношения, можно установить соотношение между
обратными функциями — тригонометрическими и показательной. Мы придём
таким образом к известной уже нам формуле Эйлера. В самом деле,.
обозначив arctgx через <р, будем иметь;
arctg* = «p, x = tgb V = Jln)t.fgl-
Отсюда, по умножении обеих частей последнего равенства на t
и после преобразований правой части, получим:
(p/z=lnycos2cp4-/'sin2c? или (?/ = In (cos f -f- / sin f).
Переходя от логарифма к обратной функции, мы и получим формулу
Эйлера;
r-f* = cos tp-b*sin Ь
§ 5. Метод Остроградского интегрирования рациональных
функций; выделение алгебраической части интеграла
от рациональной дроби.
Вычисление интеграла от рациональной дроби, как мы видим,
требовало предварительного отыскания корней знаменателя этой
дроби, что в свою очередь приводило к задаче решения
алгебраического уравнения п-Рі степени.
Знаменитый русский математик Остроградский показал, что
вычисление интеграла от рациональной дроби во многих случаях
может быть значительно упрощено, причём алгебраическая часть
этого интеграла может быть найдена без предварительного
определения корней знаменателя.
Рассмотрим интеграл
где знаменатель F(x) —многочлен #-й степени, а числитель —
степени не выше п—1.
г) Арктангенс и логарифм —функции многозначные: значения
арктангенса отличаются одно от другого на кратное іс, а логарифма — на
кратное 2и. Употребляемые здесь равенства относятся лишь к одной
ветви той и другой функции, и соответствие между этими ветпямд
устанавливается этими именно равенствами.

Обозначим корни знаменателя через а, Ь, с /, а их
кратности соответственно через а, [і, у, ..., \ так что
F(x) = (x—aY{x — b)*{x—cy..m(x — l)\
fix)
Дробь р ' может быть разложена на простые по формуле (10):
Г \Х)
F{x)~(x — a)* "Г(дг-а)«-і"Г-" ~Т~х - a~t~
(*"—&)? l (-Г-й)Р'
"Г (*-/)* 1"(jc-/)X-i~r ••• ~TX-i •
Умножая обе части этого равенства на dx и интегрируя,
получим
I
'W dx =
F{x)
(1 — а)(х — я)*-1 ' (2 — а)(лг — я)* 2 ' ' "-1 v ' '
В В
+ (1 - X) (х - /)Х-1 + (2 - у.) (х- /,^2 + ' " + ^ 1П (* ~1) + С
Приводя в правой части все рациональные дроби к одному
знаменателю., будем иметь:
+ 4-і 1п(* — /)+С, (25)
где М{х) и Р(х) — целые многочлены, причём, если отнести
все постоянные множители к числителю М(х)9 то многочлен
Р(к) можно представить в виде
Р(х) = (х — а)«-Цх — Ь)$-К..{х — 1)х-К
Этот многочлен, очевидно, является наибольшим общим
делителем многочленов F(x) и F (х) (стр. 16). Дробь —рі, как сумма
F \Х)
правильных алгебраических дробей, есть дробь правильная и,
с.-едовательно, степень многочлена М(х) ниже степени Р(х).
Дифференцируя равенство (25), имеем;
Я(лг) rfx L Я О*) J 'лг-* Г дг—& "Г ••• Т^. /•
50

Приводя простые дроби в правой части к одному знаменателю,
получим
F(x)~dx{P(x)\iQ (х) » ^°'
где
Q(x) = (x — а){х— Ь)(х— ф ..(*— I)
и степень многочлена N(x) ниже степени Q(x). Все
многочлены М{х), N(x), Р(х) и Q(x), входящие в равенство (26),
могут быть найдены без фактического вычисления корней знаме-
fix)
нателя/^л;) данной рациональной дроои ут~л. В самом деле,
многочлен Р(х), как уже сказано, есть наибольший общий
делитель многочленов F(x) и F' (х). Его можно найти по правилу
нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов.
Многочлен Q(x), очевидно, равен частному от деления F(x)
F (х)
на Р(х), Q(x)=-et-~. Многочлены М(х) и N(x) можно найти
г \Х)
способом сравнения коэффициентов. Обозначим через м степень
многочлена F(x) и через п — степень многочлена Q{x). Степень
многочлена Я(дг) будет, следовательно, т — п; степень М(х) —
не выше т — п—1 и степень N(x) —не выше п—1. Вводя
в случае надобности нулевые коэффициенты, можно считать
степень М(х) равной т—п—1 и степень N(x) равной л —1.
Многочлен М(х) содержит т — п коэффициентов, многочлен
N(x) содержит п коэффициентов. Оба многочлена содержат,
следовательно, т—п -f- п=т неизвестных коэффициентов,
подлежащих определению.
Выполняя дифференцирование в правой части равенства (26),
получим
f{x) _М'{х) М(х)Рг(х) , N(x)
F(x) — Р(х) [Р(х)Г ^Q(x)'
Умножая обе части этого равенства на произведение Р(х) Q(x)
и замечая, что P(x)Q(x) = F(x), будем иметь:
/(*) = № (х) Q(x) — M (х) Qlx^x) + Щх) Р(х). (27)
Произведение Q(x)Pr(x) делится без остатка на Р(х), В самом
деле, многочлен Р(х) имеет корни я, Ь, с,...,/ с кратностями,
соответственно равными а— 1, {і — 1, у— 1, ..., X— 1. Эти же
корни с кратностями а — 2, (5 — 2, ..., X — 2 являются корнями
многочлена Р' (х). Они же являются простыми корнями много-
ч.^на Q(x). Произведение Р'(х) Q(x) имеет, следовательно, эти
корни с кратностями а— 1, (1— 1, ..., X— 1 и потому делится
без остатка на Р(х); причём степень частного равна п—1.
91

Правая часть равенства (27) есть, следовательно, целый многочлен.
Степень этого многочлена легко определить, подсчитывая
степени отдельных слагаемых его. Степень М {x)»Q(x) равна
0(х)-Р' (х)
(т — п—2)-\~п = т — 2, степень М(х) к, ; равна (т—
— п—1)4" (я — 1)=да—2, степень N(x)*P(x) равна (л — 1)-|-
-\-{т—п) = т—1. Степень многочлена в правой части
равенства (27) равна, следовательно, т—1. Этот многочлен
содержит т коэффициентов. Приравняв их соответствующим
коэффициентам левой части, получим т равенств, содержащих т
неизвестных коэффициентов многочленов М(х) и N(x). Для
определения этих коэффициентов мы будем иметь, следовательно,
т уравнений первой степени с т неизвестными. Знание этих
коэффициентов достаточно для непосредственного нахождения
алгебраической части данного интеграла \ у у dx и для
упрощения вычисления его трансцендентной части.
В самом деле, из равенства (26) имеем:
J F(x) йХ— Р(х) Tj TJm**- (28)
Алгебраическая часть данного интеграла равна, следовательно,
* М(х)
дроби р/ ', трансцендентная же часть его находится иитегри-
- N(x)
рованием рациональной дроои ¦?—-—, знаменатель которой
имеет лишь простые корни.
В этом и состоит упрощение, вносимое рассмотренным
методом, принадлежащим Остроградскому. Для фактического
применения этого метода достаточно определить многочлены Р(х) и
Q(x) и степени многочленов М(х) и N(x), а затем написать
равенство (26) с ещё неизвестными коэффициентами многочленов
М(х) и N{x). Освобождая полученное таким образом равенство
от знаменателя и сравнивая коэффициенты одинаковых
степеней в обеих частях, найдём искомые многочлены М{х) nN(x).
Пример. Вычислить интеграл
Г х2 — 2
J хЦх±2)*
В данном случае
dx.
Р(х) = хцх±2); Q(x) = x(x±2).
М(х) имеет степень т —я —1=5 —2—1=2, N(x) имеет^степень
2—1=я1. Следовательно, можно написать
I
хЦх + 2)* ах— дг*(л:+2) Т) x(x + 2)dX-
92

Дифференцируя это. равенство, получим:
х2— 2 - _
хЦх±2)*
__х{х-\г2)(2а0х-\-а1) — (а0х*+-а1х-\-а2)(Зх + 4) . ftpjc + fr
хЦх + 2)* ~т-Х(х+-2)'
Освободив это равенство от знаменателя и сравнив коэффициенты
обеих частей, получим пять равенств
Ь0 = 0,-а0 + Ь1 + 2Ьь = 0, — 2a1 + 2bi=l, 2ax-j-3a2 = 0t 4a2 = 2t
из которых найдём коэффициенты:
13 1 1
Яо = — f» аі — — f» аз~Т' Ьо=®, *і = — "J*.
Следовательно,
f **_—2 __ — лг2 —Здг-f 2 1 Г d*
Лс
J ^3(^4-2)2 4х2(х + 2) 4 J *(* +2)'
Вычисление последнего интеграла обычным способом даёт:
f dx L11~ х і />
J д: (jc4- 2) 2 дг-f 2
Подставляя это в выражение для данного интеграла, получим:
і
>;3(^-т-2)2ал:— 4х2(* + 2) 8 Ш дг + 2 ~*~
Сравнивая это выражение с ранее найденным для того же
интеграла выражением (§ 2, пример 7), легко убедиться в
тождественности обоих выражений.
Замечание. Если корни а, Ь, с,..., / уравнения F(x) = 0
известны, можно, переписав равенство (28) в виде
вместо того, чтобы определять коэффициенты многочлена N(x)t
находить сразу величины Л, В, ... , L.
УПРАЖНЕНИЯ.
С(2х*-х* + \)с1х__ . ,-*»-! , г
2" ^ + 10*4-16" б ln* + 8*t
. C(4x — 7)dx .. . . 0. . 19 . -
4 ]^ + б^ + 9:=41П(-У+3) + Г+3+С'
93

5.
6.
7.
8.
9.
10.
И.
12.
13.
14.
15.
16.
]Т&+ф~х+1 + *-fl+ *
хЫх
1
x-f3
хі _ 2х% +1
Г
J x* — 9x
C_J?±l)d?_ ± 1п^т^+-1п
1/«9 іч/~я л\ — о 11Z ~ і Т to
J(at — o)(x— Ь)~ а — Ъ *"х — Ь
п Г dx . х — а . -
1 . 3 t х — 1
4(* + 1) "4(*—.1) .» 4 '"* + 1
x2(x — 3)И
}
'(12** + 36л: - 18) dx _ 1п f с
(д;2-.і)(^2_4) ~3 дг— 1"|-12 х + 2
dx 1 . дг — а г
In — + С
+ С
17.
18.
і
і
- і ; 2У-1 + /5 , п
\^Г-х*~ГЬ 2ДГ-1--Г5 +С-
Лг
1
лг-f З
х2Ц_бл;+13 2
dx
=^Г arctg'-^K+C'.
2
jc2 — 2j*t -h 2
= arctg(^ —1)4~С.
+ 2arctg^4-C.
(2д: + 2)Лс 1 . . л: — 1 , , ^
г--—7тv » ¦ 1ХО = о , t + In r — arctg^}u
К v2 Й r 4
^+1 dx=ln[(x + \)Hx^x + l)]-
-4/3 arcfcg ??_1 4. <:.
/3
19.
20.
21.
Ax dx
= ln
^3+l
(*—1)*(**H-1) *
"(13д:2 — 68* -f %)dx
x*— 11x8+43* —65 *
'(15^ — 70^-95)^-
jc3 —бдгз —13лг4-42 *
-+агс**-(т=і?+а

ГЛАВА II.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
§ 1. Иррациональные функции.
Если две переменные величины х, у связаны алгебраически»
уравнением вида
Р{*,У)=0, (1)
где под знаком F разумеется совокупность рациональных
действий (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в
целую и положительную степень), которые надо совершить над
переменными хну, то одна из этих переменных (у) называется
алгебраической функцией другой. Если уравнение (1)—первой
степени относительно у, то определяемая им функция у будет
рациональной и может быть явно выражена помощью
рациональных операций над аргументом х:
(а0хР + а^Р'1 + ...+ар)у +
откуда
J,— aQxP+a1xP~^+ ... +ар*
Если же уравнение (1) будет второй или-высшей степени
относительно у, то определяемая им функция у будет в общем случае
не рациональной. Для явного выражения алгебраической функции»
зависимости от аргумента рациональных операций над ним вообще
говоря уже недостаточно. В случае второй, третьей и
четвёртой степени уравнения (1) относительно у определяемая функция
у может быть представлена явно помощью извлечения корня из
выражений, содержащих аргумент; при высших же степенях такое
явное выражение функции помощью радикалов возможно только
в исключительных случаях.
Такого рода алгебраические функции (т. е. выражаемые
помощью радикалов) мы будем называть специально
иррациональными.
Интегрирование выражений вида R (х, у), где R — знак
рациональных операций, совершаемых над аргументом х и
иррациональной функцией у, вообще говоря, приводит к высшим
трансцендентным функциям, и только сравнительно в немногих случаях
интегралы этого рода можно выразить помощью конечного числа
элементарных функций,
95

§ 2. Интегрирование выражений, содержащих
рациональные степени линейной дроби.
Рассмотрим интеграл вида
J=^R{x,y)dx, (2)
тде R — знак рациональных операций, совершаемых над х и у,
-а у есть иррациональная функция, определяемая уравнением
і
т ахА-Ь /ах -\-b\m
Подинтегральная функция содержит целые степени у и,
следовательно, степени с рациональными показателями линейной
дроби aXTmd • Такой интеграл
'- j* [*. {Ш"] * <2'>
рациональной подстановкой можно свести к интегралу
рациональной функции. Действительно, примем иррациональное выражение
у за новое переменное t
откуда получаем ""уравнение первой степени относительно х, и
таким образом х, а стало быть и dx выражаются рационально
через t:
(cx + d)t>«=ax + bt x=^=? = r{i), dx = r'(t)dt, (4)
где г—сокращённое обозначение указанного рационального
выражения для х. Следовательно, подинтегральное выражение
преобразованного интеграла будет рациональным относительно
нового переменного і:
, J=\R[r(t)J]r'{i)dl, (5)
Интеграл (5) находится по правилам интегрирования
рациональных функций. Заменяя в полученном результате /
соответствующим выражением (3') через х, получим интеграл (2) или (2').
* Пример 1. Вычислить интеграл
-П
4- і/^
+ х
96

Решение. Полагаем
1-+-ЛГ '
откуда
7з*
*™l ±& и rf*~ (T+l^* а ^х — \~±
Следовательно,
j=Cii±№\±?)
( 4tdt \~ ?Г <Ш>"*
+ 2arctg*-f С.
Возвращаясь к первоначальному переменному, получим:
=-2 V^njrJ+ln (1+*> -ь2 arct« J^rri -ь сь
где Cj = С — In 2.
Из интегралов этого типа наиболее часто встречаются такие,
в которых подинтегральное выражение содержит какой-либо
корень, или, более обще, — дробную степень линейного
двучлена или аргумента.
Пример 2. Вычислить интеграл
. С xdx
Решение. Здесь
ах4~Ь , , 0
L-_ = 1 -4- х. т = 2.
Полагаем
14-л = *2, откуда х = Р—1 и dx = 2tdt
Следовательно,
7=
или
M* = 2J>-l)* = 2(f-«)+C
у=2
Пример 3.
У=|.уг(Ц-л:)»-2Кі + хН-С.
7 Курс высшей матеиатики, т. II. °*

Решение, Здесь
g+|. = х, т = 6, так как У~х = (У~х)\ */х = (Ух)3.
Полагаем х = &, откуда dx — S&dt Следовательно,
dt
ялн
'=4?+?+'+In(/~!)]+c==
Пример 4.
Решение, Интегрирование многочлена, содержащего дробные
степени х, выполнимо по основным формулам без предварительной
рационализации:
4+і .^+1 J+1
§ 3. Интеграл двучленного дифференциала.
Интеграл двучленного дифференциала
J= [ хт [a -f Ьхп)Р dxy (6)
где а и ? — не равные нулю постоянные, при некоторых
условиях относительно рациональных показателей т, п и р может
быть сведён к интегралу типа
і_
J* [*• (гЩ)"] **. (7)
рассмотренному в предыдущем параграфе; в общем же случае
интеграл (6) не может быть выражен помощью конечного числа
элементарных функций. К условиям интегрируемости можно приттн,
преобразовывая данный интеграл так, чтобы двучленный
множитель был линейным относительно нового переменного. Полагая
98

хп равным /, получим;
хп = і, х — і» и dx — — tt~ldt
п
Интеграл (6) принимает после такой подстановки следующий вид
Г 1 С ^-і
Обозначая ——--— 1 через qy будем иметь:
7=1 Ui(a + bt\PdL (8)
1. Если q — целое число, то интеграл (8) принадлежит типу (7) и
интегрируется, как указано в § 2, т. е., если/? = —,—подста-
* о
новкой a-\-bt=us.
2. Если р—целое число, то интеграл (8) принадлежит также
к типу (7). Разложив (а-\-Ы)Р по биному Ньютона, почленным
интегрированием находим окончательный результат для J.
3. Умножив и разделив подинтегральное выражение (8) на /*,
получим:
У=1Г 1Ца + М,Ы1 = Цр**№^\Р dt. (9)
Если р -\- q—целое число, то интеграл (9) принадлежит также
:ипу (7)
становкой
*•
к типу (7). Если /? = —, то интеграл (9) рационализуется под-
t- — и .
Таким образом, если одно из трёх чисел р, q, p~\-q целое,
то интеграл (8) может быть рационализован. Для интеграла (6)
* •• m -і-1
целым числом должно быть одно из трех чисел р, —-—,
—^- \-Рі так как я = —— 1. Чебышев показал, что во
всех остальных случаях интеграл (8) или (6) представляет
высшую трансцендентную функцию.
Пример 1.
J={ xZdx -=f хз {I - х*)~~Т dx.
VT=
X*
i m'4-i 3 + 1 0, .
' m— 3, n = 2, p = —i • —~ =5 —i— = 2 (целре. чі*сло),
7* 99'

^ 1 -1-
Полагаем *2 = f, следовательно, x = t2, dx = -^t 2dt и
J=j^t(l-t)~Jdt.
Полагаем далее 1— f = u2; следовательно, dt = — 2udu, и
Тот же интеграл можно было бы интегрировать по частям, пола-
гая и = х\ dv = -p==. и, следовательно, v = ~V 1-х2:
j = _ *2 ^Ь=Г^2 4- (УП=Г** 2* tf* =-*2 КП^Гк* -f 2 f р== <**
или
J=-x*V'T=x^ + 2{ xdx_ _2J
jV\-x*
откуда
о
Тот путь интегрирования двучленных дифференциалов,
который указан при установлении условий интегрируемости, не всегда
самый простой. Можно было бы установить редукционные
формулы, сводящие данный интеграл постепенно к интегралам более
простым и, наконец, к основным формулам (в случае
интегрируемости), а иногда интегрирование по частям, если условие
интегрируемости выполняется, приводит быстро к цели-
Пример 2.
4mk=!ix4l^dx-
к л 1 «-М 5-4- 1 1
п ^р 4 2 1ш
m A— 1
Так как — [-/>—целое число, то данный интеграл можно свести к
основным формулам. Интегрируем по частям, полагая
„ . х3 dx с xs dx 1 г
u=x*,dv = yj^ и, следовательно, v=\y== = ±-^1+**.
100

Таким образом получим:
2 Jyi-b**
ИЛИ
2 J Гі-Ь*4
¦Л
откуда
4 2 J
дг^д;
Но
Следовательно,
д:
fT+
По первоначальному приёму мы имели бы:
dt
1_
2
Л,
где ?=д;*. Полагая далее
i+t_
2
t
= И',
получим
По правилам интегрирования рациональной дроби будем иметь:
I— * Г ^ц _ 1 и | 1 и — 1 | ,.,
"2 J(u2-1)2_ 4n'-lt8 1пТ+Т±Ь'
Но

Следовательно,
или, полагая і=д:4;
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих корень из
квадратного трёхчлена.
Если в подинтегральное выражение входит квадратный ко-
рень из многочлена второй степени, то интеграл
j R (х, Vax* + bx-\-c) dx%
где R есть знак рациональных операций над х и у =
= уах2-\-Ьх-\-с, одной из следующих, так называемых эйле<*
ровых подстановок может быть преобразован в интеграл от
рациональной функции или, как говорят, может быть
рационализован.
а) Если корни а и [J трёхчлена ах2~\-Ьх-\-с действительны,
то можно применить для рационализации данного интеграла
подстановку
Vax2-\-bx + c = (x — a)t, (10)
где t — новое переменное. Действительно, по условию
ах2 -\-Ьх-\-с=а(х — а){х — j$)
и равенство (10) по возведении обеих его частей в квадрат
принимает вид
а (х — а) (* — р) = (х — а)Н\
По сокращении будем иметь уравнение первой степени
относительно х:
а{х — $) = {х — а)і\
4
откуда для х получаем рациональное выражение относительно /;
обозначим это выражение через /•(/). Итак,
х = гЩ% dx = r'(t)dt1 y===Yax2 + bx + c = [r(t)— a]* = p(*)t
где р(і) — сокращённое обозначение указанного рационального
выражения для у.
102

(12)
Таким образом данный интеграл преобразовывается в
интеграл от рациональной функции:
J Я (я, Vax* + bx + c)dx=^R[r{t), p(t)]/(t)dty (11)
так как ряд рациональных операций (R) над рациональными
выражениями r(t) и p(z) приводит к рациональному выражению;
рационален также и второй множитель г'{і).
b) Независимо от того, будут ли корни трёхчлена ах2-\-
-\~bx-\-c действительны или мнимы, можно применить для
рационализации данного интеграла подстановки
Vax*-{-bx-{-c=xY~a~{-t
или
Уах2~\-Ьх + с = — х|ЛГ + *,
если коэффициент а — положительное число. Действительно,
независимо от знака перед yam равенства (12) по возведении
в квадрат и приведении получаем уравнение первой степени
относительно х:
bx^-c=±QxtVa+i:2.
Таким образом ху а вместе с тем dx и y^x^-^-bx-j-c будут
рациональны относительно і, и данный интеграл преобразуется
в интеграл вида (11).
c) Если коэффициент с — положительное число, то можно
для рационализации данного интеграла применить подстановку
Vax2-{-bx~\-c=xt-\-YT |
или ,/ ,, . .—;— , л/— Г (13)
у axz-f-bx-\-с —xt—у с. )
Действительно, по возведении в квадрат обеих частей равенства
(13) получим __
ах2-\-Ьх^-с = хЧ2±2У cxt + c.
Отсюда по приведении и сокращении на х будем иметь
уравнение первой. степени относительно х:
аХ-{-Ь = хі2±2}/7і,
и, следовательно, данный интеграл преобразовывается в интеграл
вида (11).
Пример 1. Применим вторую подстановку к интегралу

откуда
x* + m = t* — 2tx±x* или 2ta = *2 — m.
He определяя x, дифференцируем обе части последнего равенства:
2tdx+2xdt = 2tdt,
откуда
dx dt
t — x t '
Ho t — x = У~хг-\-т\ следовательно,
dx -dt и Г ,.** ^fJUlnt + g
или
Интегрирование выражений /?(x, у), где _y=J/ах2-[-?л;4-с»
можно и без предварительной рационализации сводить к
основным интегралам этого типа
f JgL-j^lnfr + l^ + ml-f С и Г r_ =aicsinjc+C.
)}ГХ2±т к Т -г >-г J 1^ 1 — лг« *
Прамер 2. Подстановкой .г=— интегралы
У
J л: |/^1—д:2 Jxfx°-—l
сводятся к основным. Действительно,
Vi-y* ,п—~,Ууг~\
)xVl-x* J Ку3 — 1
или
Г -?==, = -1. LhiH^+ c=m i^Hf?+с.
JxVl—x* х х
Точно так же
dx С dy . 1 . ~
Г = — \ - * = — arcsin \-С.
Vx*-l )V\-y* *
J x
Пример 3. Интеграл
1
dx
можно привести к основным, преобразовав квадратный трёхчлен лл:2-}-
4~ &*+•?, смотря по знаку коэффициента я, или в у^^-т или в nfi — y\
а) Если д > 0, то
ах
104
.+ta+._(,r„4._y+._?.

Полагая
Yax +
=у и с = /й,
2V а * 4а
будем иметь:
\/~~adx=dy и У~ах2-\-Ъх + с~Уу1-{-т.
Следовательно,
Возвращаясь к прежнему переменному, получим:
J\fax* + bx±c fa \2У а ^ Х } ^ '
Ъ) Если й<0и корни трёхчлена ах2 -\- Ъх -f- с действительны, то
Полагая
ъ* . ,/-— г>
1 = /я2 и 1^ —я* —
=«Л
4а 2У -а
будем иметь
\T^adx = mdyt Vox* + bx -f с = т КП^
С dx 1 С dy 1 . . „
или
i
— arcsm — + ?¦
Уах*+Ьх+с V —a V^— lac
Изложенным выше подстановкам Эйлера можно дать очень
простое геометрическое истолкование, которое показывает, что
подстановки Эйлера являются лишь частными видами в широкой
совокупности подстановок, позволяющих рационализировать под-
интегральное выражение в интеграле
? R {х, у) dx,
где
у=Yax2 -\-bx-\-c.
Такая рационализация достигалась тем, что хну выражались
рационально в функции некоторого параметра t. Возможность
выбора такого параметра и обусловливала возможность
рационализации данного подннтегрального выражения. Рассматривая
х и у в равенстве
у = Y ах1 -J- Ьх^ о
105.

¦как декартовы координаты точки на плоскости и написав это
равенство в виде
у2 = ах? + Ьх-{-с9 (14)
замечаем, что оно представляет собой уравнение некоторой
кривой второго порядка. Если хну будут выражены рационально
через некоторый параметр /, то координаты точек кривой (14)
-сделаются однозначными функциями этого, параметра: каждому
значению параметра t будет соответствовать единственная пара
значений х и у,, т. е. единственная точка на кривой (14). Чтобы
получить такое выражение координат лг, у точек кривой (14)
через параметр tf рассмотрим уравнение между координатами
х и у, в которое, кроме координат х и у, входит ещё
параметр ?:
F(x,yt t) = 0. (15)
Каждому значению параметра t соответствует свой вид
уравнения (15) и, следовательно, своя кривая на плоскости. Принято,
говорить, что уравнение (15) представляет целое семейство
кривых, зависящее от одного параметра L Допустим, что каждому
значению і соответствует одна кривая этого семейства и каждая
кривая семейства встречает кривую (14) в одной точке так, что
через каждую точку кривой (14) проходит лишь одна кривая
¦семейства (15). В таком случае каждому значению t = t0 будет
соответствовать определённая точка кривой (14), именно: точка
встречи кривой F(x9 у, t) = 0 с кривой (14), Следовательно,
координаты точек кривой (14) будут однозначными функциями
параметра. Чтобы получить их выражения через іу достаточно
найти координаты точки пересечения кривых (14) и (15) при
произвольном tt т. е. решить совместно уравнения (14) и (15). Если
-надлежащим выбором семейства кривых (15) и параметра ^ удастся
достигнуть того, что х и 'у будут выражаться через і
рационально, то это и даст возможность рационализировать данный
интеграл.
Выберем за семейство кривых (15) пучок прямых, центр которого
поместим на кривой (14) в какой-либо точке (xQt у0). Уравнение
такого пучка будет иметь вид
У—Уо = Нх — х0), (16)
.причём х0 и у0 удовлетворяют уравнению (14):
Каждая прямая "пучка (16) встречает кривую (14) дважды: в точке
(*о> Уо) и в некоторой точке (х, у). Первая точка (х0, у0) будет
¦одна и та же для всех прямых, пучка. (16). Её можно назвать
J06

поэтому неподвижной точкой. Вторая точка меняется от одной
прямой к другой, её можно поэтому назвать подвижной
точкой. Каждой прямой пучка (16) соответствует своя подвижная
точка встречи с кривой (14). Координаты этой подвижной точки
найдутся из совместного решения уравнений (16) и (14) и будут
рациональными функциями параметра t пучка (16). Помещая центр
пучка (16) в различных точках кривой (14), получим различные
рациональные выражения координат хну через параметр t9
т. е. различные методы рационализации подинтегрального
выражения в интеграле
[ R {х, у) dx.
Три подстановки Эйлера и соответствуют трём частным
положениям центра пучка (16) на кривой (14). В самом деле,
допустим, что кривая (14) пересекает ось абсцисс в двух точках
а и р. В таком случае её уравнение может быть написано
в виде
y*=:a(x-a)(x — P). (14')
Выберем одну из точек а или р, например а, за центр пучка
(16). Уравнение пучка будет иметь вид
y = t(x—а).
Замечая, что
y=z]/' ax2 -\-bx-\-c,
видим, что это и есть первая подстановка Эйлера,
рационализирующая интеграл
С R(дг, Vax* + bx-\-c)dx
в случае действительных корней трёхчлена ах2 -{- Ьх -j- с.
Допустим теперь, что а^>0. В таком случае кривая (14) будет
гиперболой;
ДіАз — «и = —]'а < °-
В этом случае можно поместить центр пучка (16) в одной из
бесконечно удалённых точек этой гиперболы, т. е. взять пучок
прямых, параллельных одной из её асимптот. Угловые
коэффициенты асимптот будут -j-Vа и —Vа. Следовательно, за
пучок прямых (16) можно взять один из следующих пучков
параллельных прямых:
y-=xV~a-\-t или у =— л: 1/"?-(-*•
Сравнивая эти равенства с формулами (12), видим, что этот
случай соответствует второй подстановке Эйлера.
х* 107

Наконец, допустим, что <?^>0. В этом случае кривая (14)
пересекает ось ординат в двух действительных точках. В самом
деле, из уравнения (14) при х—0 находим у — ±у с .
Выберем одну из этих точек за центр пучка (16). Уравнение пучка
будет
y—tx--\-y с или y = tx— Ус
Сравнивая эти равенства с формулами (13), видим, что этот
случай соответствует третьей подстановке Эйлера.
Выбирая центры пучка (16) в произвольной точке кривой (14),
можно получать новые подстановки, рационализирующие данный
интеграл.
Пример. Возьмём интеграл
R(x> /x* + x — \)dx.
$
Кривая (14) имеет уравнение
,ya = *s-f* —1. (И")
За центр пучка (16) выберем точку пересечения кривой (14") с
биссектрисой первого координатного угла у—х. Координаты этой точки
найдём, полагая в (И")у = х и, следовательно,
х* = х* + х — 1.
Отсюда дгі = 1, *2==оо; соответствующие значения у: Уі = 1,
у^=со. Кривая (14") встречает биссектр'ису у=х дважды: в точке
(1, 1) и в бесконечно удалённой точке. Выберем точку (1, 1) за центр
пучка (16):
y-\=t(x-\).
Этому выбору соответствует подстановка
рационализирующая данный интеграл и не совпадающая ни с одной
из подстановок Эйлера.
Рассмотренный выше метод рационализации интеграла может
быть распространён, на более широкий класс интегралов.
Рассмотрим интеграл вида \R{xt y)dx, где у — какая-либо
алгебраическая функция, определённая некоторым
алгебраическим уравнением
F(x,y) = 0. . (17)
Рассматривая х и уу как координаты точки на плоскости,
мы видим, что уравнение (17) представляет некоторую кривую.
Если эта кривая обладает тем свойством, что координаты её
точек могут быть представлены, как рациональные функции
некоторого параметра /, то интеграл, очевидно, может быть
рационализован.
108

Кривая, координаты точек которой могут быть представлены
рациональными функциями параметра, носит название суникур-
сальной кривой». Следовательно, если кривая (17) окажется
уникурсальной, то интеграл \R(x, y)dx можно
рационализировать. Кривая (14), которую мы рассматривали выше, т. е.
кривая второго порядка, является частным видом уникурсальной
кривой.
УПРАЖНЕНИЯ.
*• J Y^xdx=2а arcf2 Y Ш* - v*=*+c=
= a arcsin V a? — x2 -j- C.
2. р^?-Лг = 2»^Г+1п^?^| + С.
Jjt — 1 У * -f-1
-bearctg^jf +C.
J * УДГ4-1-Т-1
5. f _^^= J=lni±2«z2?IH±i)+a
JxV*-ha j/e * '
6. При каких значениях /и интеграл У= I —= ¦ можно
выразить посредством конечного числа элементарных функций?
7. При каких целых положительных значениях п интеграл */=
С x*dx *
— I можно выразить в конечном виде?
8. Г xdx = уяп?+а
f , jc/ea^jta , аз . *
9. V a* — x2dx= 2 h-o* arcsin —\-C.
10. f Vx2 + x+\dx = 5^±i V^ + jc + 1 +
»•!
# Ac
= ТЛ*2+2лг-(-2 —
yOpa+SU-f 2
- In (*+!+/*»+¦ 2*-J-2)+C.
109

12. Г *** ^-/Г+^*-arctg li*±k?=*+C.
«*Ju+i(7ra-/r:f+c-
ГЛАВА Ш.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ.
§ 1. Интегрирование функций, содержащих трансцендентный
множитель с алгебраической производной.
Рассмотрим теперь интегрирование выражений, содержащих
трансцендентные функции. Не исчерпывая всех возможных
комбинаций, отметим лишь некоторые группы интегралов; при этом
будем обозначать символом Е(х) целую, a R (х)—дробную
рациональную функцию. Рассмотрим прежде всего следующую группу
интегралов:
[е(х) 1пхdx\ \Е (дг)arctgхdx; \Е(х) arcctgxdx\
\ Е (;e)arcsin х dx; \ Е {х) arccos x dx.
В интегралах этой группы подинтегральный дифференциал
содержит множителем трансцендентную функцию, имеющую
алгебраическую производную. Интегрированием по частям первые три
интеграла сводятся к интегралам рациональных функций, а
последние два — к интегралам выражения, содержащего ]/і—х'К
Действительно, полагая трансцендентный множитель равным #, a
E(x)dx равным dv, будем иметь: *
dv=E{x)dx и v=\E(x)dx = El{x);
\)a = lnx; ^E{x)lnxdx =?,(.*) In* — ?ех(х) — ;
2) и = arctg х; Е(х) arctg х dx =Ег(х) arctg х— \Ег(х) гтг"2»
3) и = arcctgх\ I E(x)zxzz\%xdx =Ег{х) arcctg.*+ \Ег(х) tj~-^ I
4) и = arcsin х; E(x)atcsinxdx =Ег{х) arcsin*— \Ег(х) dx ;
5) и = arccos х; (E(x)aiccosxdx =?1(*)arccos;H- [ex(x)-j?L==^.
ПО

Вместо целой функции Е(х) подинтегральное выражение может
содержать дробный рациональный множитель R(x); если
интеграл дроби R(x) представляет тоже рациональную дробь, т. е.
если
i
R(x)dx=R1(x),
то тем же приёмом интегрирование может быть доведено до
конца.
Пример 1. У= [ (х* -(- х — 2) In х dx.
х* , х"-
п = \пх\ dv = (x* + x~2)dx; v=\j(x^ + x-2)dx = j + ^-2x,
fo + x-2)lnxdx=(Xj+? -2x)[nx-U* + *-2x)di? =
Пример 2. J=z\ —^ Л*.
, , dx С dx 1
Clnx __ __ 1п_д; ! Г J_ {*? __ _ lnx 1 , -,
J .r2 л: "j * л: a: л; ~*~ "
§ 2. Интегрирование функций с трансцендентным
множителем eaxt sin ал или cos ад:.
В интегралах этой группы
\ Е (х) еах dx; \ Е (х) sin ах dx; \ Е (х) cos ax dx
подинтегральная функция содержит множителем трансцендентную
функцию, производная и интеграл которой принадлежат к тому
же типу. Повторным интегрированием по частям, относя
трансцендентный множитель к дифференциалу, можно постепенно понижать
степень алгебраического множителя и таким образом довести
интегрирование до конца.
і"1 pax
eaxdx=—;
^E{x)eaxdx = e-^E{x)—^E'(x)eaxdx.
2. и—Е(х), dv=slnaxdx; v= \ slnaxdx=
cos ax
a
cos ax , 1
J E(x) sin axdx= — E[x) c^~- -f 1 ^E'(x)cosaxdx.
Ill

3. u=E(x)t dv = cosaxdx; v= \ cosaxdx=-^~;
\E{x)cosax dx=~^E(x) — ± J E'{x) s\naxdx.
Степень многочлена Er (x) ниже степени многочлена Е(х).
Пример. J= l (дг2 — x 4- 2) sin Ъх dx.
С п cos Zx
a) и = л;3 — дг4-2, <ft> — sin Зл: гідг; f = j sin3*rf* = о—i
?(x2^x±2)smSxdx = ~(x*-x + 2)^~+j \(2x-l)cos3xdx.
Л о Г о . sin Зл:
b) и — 2л: — 1, dv = cos Зл: &c; v = I cos Зл: Лс = —^— ;
I
sin3AT 1 Г
(2л: — l)cos3*d* = (2#— 1) —«г у 2sinZxdx =
==(2лг—1) —5 J-q-cos3a:.
2
+ яуСОзЗл:-1-^
Если алгебраическим множителем подинтегральной функции
является рациональная дробь R (х)т *то разлагают её на
элементарные дроби. Интегрированием по частям, относя элементарную
дробь к дифференциалу, можно понизить степень знаменателя
этой дроби; например, полагая и = ех, dv= и, следо-
С dx 1 1
вательно, v = \ -. гг= < ¦, гг-т, получим
J (х — а)п 1 — л (л:—я)*-1' J
Г exdx ?* l Г e*dx
J (лг—л)« — (1 — л)(* — я)"-1 1 — п J (*— л)я-г
Повторным интегрированием по частям мы дойдём до первых
степеней в знаменателях. Таким образом интегралы
\R(x)e* dx, f R (x) sin x dx, \ R (x) cos x dx
приводят к интегралам
Г e*dx f $}ft?dx fco??^f
J л:—a' J x — a ' J л: —a
112

или, после введения нового переменного (х— а = г),— к
интегралам
СеШ fsin t dt f cos t dt
Подставляя в первом из этих интегралов e* = z или / = 1п2\ а
в остальных ради симметрии і — z, можно те же интегралы
представить в виде
Г ^г С sin z dz С cos z dz
J In z ' J z 'J z '
Никакими преобразованиями нельзя свести эти интегралы
к основным табличным интегралам. Они представляют высшие
трансцендентные функции, которые нельзя выразить помощью
элементарных функций, комбинируя их в конечном числе. Первый
из этих интегралов называется интегральным логарифмом,
второй — интегральным синусом, а третий — интегральным
косинусом. При изучении этих новых функций нужно обратиться
к первоначальному определению первообразной функции как
определённого интеграла или применить для этой цели иного
рода бесконечные процессы (разложение в ряд).
§ 3. Интегрирование выражений, зависящих рационально от
показательной функции: \ R(ex)dx.
Подстановкой
ex = t и, следовательно, x=ln/, dx=~r
этот интеграл преобразовывается в интеграл рациональной
функции:
Интеграл вида \ E(ex)dx, где Е(ех)— целый многочлен
относительно степеней ех, можно интегрировать почленно, не
прибегая непосредственно к подстановке.
Пример 1.
У= —! dx.
J ех — е~х
Полагая ех=і, будем иметь:
ex = t. e-x — t-i, dx=-r и J= ±~^ ,-г = ,.о п;^і
, 7 . dt . Ct + t-idt Г *з +
, (*а—l)f f+l"1" ^— 1"+" t '
1)*
8 Курс высшей математики, т. II. і*3

= In(*4-l) + ln(* — 1) —ln*4-InC;
Пример 2.
f (*з* —3**4-!)<**== ^ Г ^аж^2дг — 3 ( e*dx+ dx =
= 1^—35*4-^ 4-С-
§ 4. Интегралы выражений, зависящих рационально от
тригонометрических функций: [ R(sinx, cos*, tgx> .t.)dx.
Интегрирование помощью подстановки.
Интеграл выражения, составленного помощью рациональных
операций из тригонометрических функций, преобразовывается в
интеграл рациональной функции подстановкой
tg у = ? или x = 2arctg/. (1)
Действительно, на основании формул тригонометрии имеем
. -х tgr t
/1+Vf V* + *%
cos 5- =
2 ./ 1 , ^x V\±tv
j/ 1+tg»
8іпдг=2 8т^.со8-2- = щ5, cosA:=cosay —sm2 j==j-j-i, (2)
t. e. sin л: и cos* выражаются рационально через и Остальные
тригонометрические функции выражаются рационально через sin лг,
cosx и. значит, рационально через /. Кроме того из (1) имеем:
^=гр?- (3)
Таким образом после замены тригонометрических функций и dx
их выражениями (1), (2) и (3) через t данный интеграл
преобразуется^ интеграл рациональной функции:
\R{smx, cosx, tgxy t..)dx =
H4

Пример 1. J=
s\nx
4 "o == *> sin x = ГТ-5. <** =
I
2 ' "'~ 14-**' ™—i+.f8»
slq jr f ' & 2
Из этого интеграла, заменяя х через л?-(--?, получим;
С dx ^
J cos*
sin ^+-2 J
Так как tg х, ctg х, sc х, esc x выражаются рационально
через sin х или cos х, то рассматриваемый интеграл можно
считать данным в зависимости только от sin* и cos.*;
\/?(sinAr, cos л;) Ас. (4)
Вместо подстановки (1) иногда более удобны подстановки
иные, именно, можно принять за новое переменное sin x или
cos ;е, или tgx, или ctg* в зависимости от вида интеграла (4).
Рационализация рассматриваемых интегралов приводит в общем
случае к интегрированию более или менее сложной
рациональной дроби, но в некоторых случаях может привести к
интегрированию целой функции или простых дробей. Рассмотрим в
частности интеграл
У= \ sinm х cos* x dx (5)
и исследуем, при каких подстановках и каких соотношениях
между показателями тип рационализация приводит к простому
интегрированию.
a) Подстановка sinx==/ даёт следующее преобразование:
Г sin1"хcos»xdx = (tm(\—P)~dt= [tm{\~t*fdt,
n — 1
где & = —s—. Если k — целое положительное число, т. е. п==
2&-J-1—число нечётное, то данное преобразование приводит
к простому интегрированию.
b) Подстановка cos#=^ даёт:
Г sinm;tcos*;tdv = C(l— *2)~2~>Л= Г(1 — fiffidt,
8* 115

„ 1
где & = —75—. Простой случай получается при k целом и
положительном, т. е. при нечётном показателе m = 2A-j-l.
с) Подстановка tgx = t или ctgA;=tf даёт:
sin«xcos«Arrfjc=U"(l+^) 2 Л= **(1+'2)*Л
или
f sin** cos*x dx = — f( 1 -f «3)" " _1 «"<*« = — f(1 +«*)*«"<*«.
Если &— целое положительное число или нуль, получим простой
случай интегрирования. В этом случае сумма показателей т-\-п
должна быть отрицательным чётным числом:
2
l=k, іи + л = —2(А + 1).
Таким образом в случаях а), Ь) и с), если разложить подин-
тегральный двучлен по биному Ньютона, задача сведётся к
почленному интегрированию.
d) Подстановка tgx=t или ctgx=u приводит также к
простому интегрированию, если k= — 1, иначе, если m-\~n=Q\
1 S№mxcQs-Hlxdx= tgmxdx = \ ттг2\
[sin-nxzo$nxdx= [J^dx= [ctgnxdx=:— f^?.
Выделяя в подинтегральных дробях целые части, .мы сведём
задачу к простым интегралам.
e) Подстановка tg—- = t даёт: -
rsinmxcos"xiA; = 2'7z+1 ^V(l -^-t2)-™-*-1 (l—t*)ndt;
Простой случай интегрирования получим при л = 0 и m
отрицательном или при п положительном и т = — (п-\-1):
Так как cos x—sin (x-^—V имеем также
JfSfe^-^J'-^d-^^ где < = *(? + $).
116 .

5. §Формулы приведения для интеграла \slnMx cos* x dx*
Интегрированием по частям можно установить редукционные
формулы дли сведения интеграла (5)
Jm/Tl= \ s'mmxcosnxdx
к интегралам с меньшими по абсолютной величине показателями.
Полагая sin**"1.*:=и, cos" х sin xdx = dv и, следовательно,
CDS'*** х
*=—7+т>
получим
sin'"-1 jtcos"*1 х , m—\ С . _ « и.0 , ...
Л*,« = jjq^i ^^+TJ SInm"-xz°snv-xdx. (6)
Точно так же, полагая cosn~1x = ii, sinm x cos x dx = dv и,
sin*"*1* -
следовательно, ^=-——р будем иметь
r $W^1 х cos^~l х , л —1 f . м,« „ п t
Уяі'я= ЫЛ ^W±l J sinm+2*«>se-*dr. (7)
Так как
cos"+2x = cosnA;(l ¦— sin2.*;), a sinw+2A:=sin;n^(l —cos2^),
то '
" sinw~2 xcos"+2 xdx= Jm-%n — Лі,«,
s
sinm+* x cos"-2 д: afx = Jm,n-2 — Jm, n-
Таким образом из равенств (6) и (7), решая их относительно
Jmin, получим редукционные формулы, понижающие один "из
показателей на 2:
. sinfft~1.*cos'H-1JC } т — 1 7
- sinr"+1Arcosrt-1x , _ я — 1 , Q
•V» — ^qr^ гот^л •/«.а-з. (У)
Если в формуле (8) заменить m через /я-|-2, а в формуле (9)
п через я-|-2, получим с одной стороны соотношение между
Jm+2,„ и Jm^ с ДР-УГ0Й соотношение между JMttt+2 и У,ад а
определяя из них Jmri> получим редукционные формулы,
повышающие на 2 один из показателей:
sinm+1
Формулы (8) и (9) применяются для понижения
положительных показателей, а формулы (10) и (11) для понижения абсо-
117
J- = Т Г-'ж + і 'J"+**# (1U)
г он,-¦ locos'*+1*- . w-b^j-2 г мп
¦'- ¦— m Г „4-1 J«-+s' U1)

лютной величины отрицательных показателей. В случае целых
т и я, повторное применение этих формул приводит интеграл
Jmn к одному из следующих простейших интегралов, для
которых тип имеют одно из значений —1, 0, 1:
COSJC
/lf0= [sinxdx; Л,і= \slnxcosxdx; ^г^г= ygxdx;
j _ (_?_ . j — [ctgxdx; J i _, =1 „
Эти простейшие интегралы находятся или по основным
формулам или помощью одной из рассмотренных в § 4
подстановок.
Если показатели т и п — противоположных знаков, то лучше
применять соответственно формулы (6) или (7), которые в этом
случае понижают абсолютную величину обоих показателей.
Пример 1. У4)о~ \&in4xdx. По формуле (8) имеем;
. sin3 x cos x _j_ 3 , . , sin x cos x , 1 T
Ji,Q — 4 Г "J" У2,0> J2,0 — 2 1~ "jjT У0,0-
Следовательно,
sin3 x cos .y ,
o- 4 + 8
Пример 2. /2,-2 == \tg2j;d^= \ sin2 j: cos-2* Ac. По формуле (б)
имеем;
Т sin3 х cos .*; , 3 , . . , ^,
/4j0 = [~ — (* — sin x cos ;r) + u.
sin x [ I
y2'-2 = cos*~Jd*' ИЛИ J *g2 ¦*<** = *?¦*-'-¦*+С
Можно применить также подстановку tgx—t (§ 4, d);
= t-arctgt+C;
\\g*xdx — igx~x + C.
§ 6. Разложение степеней smnx и cosmje по синусам и
косинусам кратных дуг.
Предположим, что m и п суть числа целые. При
интегрировании тригонометрических функций можно воспользоваться также
разложением степеней синуса и косинуса по синусам или
косинусам кратных дуг. Как мы видели, исходя из формулы Эйлера
118

(стр. 39), sin л: и cos л: можно выразить через показательную
функцию;
smx = ^ > cosa:= —-^ .
Следовательно,
п
(— 1) т2п sin" х — (ехі — е- хі)п, 2п cos" х = (ехі -\- е~х%
или
п
(—\f2nsmnx = enxi—ne(n^xi~{~ n{"~ 1)е(п~^хі~...
... + (- l)*e-**t
2а cos'1 л: = *"*'-)- д^д-Д)^-}--"^"^^ ^я-45*/+... + е~пхі-
Заменяя показательные функции тригонометрическими, т. е.
полагая
ekxi __. cos fcx _|_ i S1*n ^
где k = n, n — 2, n — 4, ..,, получим:
n
(—\)~22nsmnx =
= cosnx — n cos (n — 2) x -j-...-(- (— 1)" cos ад -j~
4-«[sin nx — n sin (n — 2) x-\- ... + (— 1)л+1 sin nx}\ (12)
2Mcos"x = cos nx~\-n cos (n — 2) x -j- j T cos (/z — 4) jc -j- • • *
...-]-cos/zjc-J-4 sin nx -}- л sin (л — 2) Jt—|—
-j-n n~ sin(n — 4)x-\-...— sinnx . (13)
В равенстве (12) левая часть будет действительной, если
п — число чётное, и чисто мнимой при нечётном /г, ибо в
последнем случае
п п — 1
(—1)2 =/(_!)— .
где п—1—число чётное. В равенстве (13) левая часть как
при чётном, так и нечётном п — число действительное.
Следовательно,
а) при n = 2k, где ? = 1,2,..., имеем:
п
(— 1 )2 2п sin* х = cos nx — п cos (п — 2) лг-f-
+ *іТ cos (n —4) * —... + cos nxi (14)
119

b) прил = 2&-|- 1, где А= 1, 2, ...:
я —1
(— 1)~2Л sin" х = sin пх — /г sin (л — 2) # +
Jrn{niJ)})$m{n — 4:)x — ... + smnx; (15)
с) при л = 1, 2, 3, ...:
2п cos" л; = cos пх -j- я cos (л — 2) х -[-
+ ?l^z!>COS(« — 4)Х + --- + С08ЛЛ. (16)
Пример. J^= \sm4xdx. По формуле (14) имеем;
24 sin4 х* = cos 4х — 4 cos 2х -\- б — 4 cos 2дг 4- cos 4дт,
откуда
sin4 х = -g- cos 4л: — — cos 2x + -g-;
следовательно,
і sin4 -v ^л- — т- cos Ах dx — -^\ cos2x dx-\--^\dx —
sin 4л- sin 2x , 3-е , ^
(Ср. пример 1 § 5.)
§ 7. Интегралы вида \eaxcos йл: Ая, \e™sin 6л; tfjc.
Интегрируем каждый из этих интегралов по частям5 относя
показательную функцию к дифференциалу;
еах cos bx dx =^.т- cos bx deax = e—cos -j \eax sin bx dx;
eaxslnbx dx=. — sinbxdeax =-—55L?. \eaxcosbxdx.
Таким образом мы получаем два уравнения, в которые искомые
интегралы входят как неизвестные;
aJx = еах cos ?л; -(- bJ2, aJ2 = е*** sin bx — bJv
где У,—первый из рассматриваемых интегралов, a J2— второй.
Решая эти уравнения и прибавляя в каждом решении
произвольное постоянное, получим:
У, = Je» cos bx dx = ga'(aC°SJ*~ysin*x) + С,
J2 = f «« sin bx dx = ^(**n»*->c*sfc?> -L c.
120

Тот же результат можно получить следующим образом.
Составим сумму интегралов Ух +і"У2, где / = |''~в По формуле
Эйлера cos bx-{-i sin Ьх=еш, и потому сумма 7,4-і'Л
сводится к интегралу показательной функции:
Ji + ;Л = і е^ (cos *а? + і sin *дг) Av = \ е{а+ ь:)х dx.
Интегрируя, находим:
Л +'Л = 5^-«•*'«* +С
Преобразовывая полученное выражение в целях отделения
действительной и мнимой частей и представляя произвольное
постоянное в виде Сг-\-іС2, получим:
Л + iJ* = Ss^Tp е°х (cos bx +'sin bx) -t c\ + ?'C2,
откуда
, ?a* (д sin bx — ? cos bx) | -
§ 8. Интегралы вида \xHeaxcos bx dx, \xtleax smbxdx.
Приём, применённый в конце предыдущего параграфа, даёт
возможность свести интегралы функций хпеах cos bx и *n?**sinZw
к интегралу вида, рассмотренного в § 2. Действительно,
составляя сумму Ji-\-iJ2, где J1—первый, а Л — второй
интеграл, будем иметь
Ji+,iJ2=\xneax(cosbx + i sinbx)dx=[xnew + bi)*dx.
Интегрированием по частям, относя показательную функцию
к дифференциалу, можно постепенно понижать степень
алгебраического множителя (§ 2) и таким образом получим в конечном
виде выражение для Jx-\-tJ2, а отделяя в этом выражении
действительную от мнимой части, найдём и интегралы Jv J2.
Пример 1. J\~ \xexcosxdx.
Составляем сумму J\ -f- iJ2l где J2 = \ хех sin х six;
Jx + iJ2 = \хе?+i)x dx = -1^ \ x de^+*)*.
121

Интегрируя по частям, получіім:
= -_(і _ /) xejf (cos .г -\- і sin л>)+ ^-<?* (cos x + i sin дг) + ft + /ft =
= ^{д: cos д: — (1 — х) sin х 4' [(1 — ¦*) cos дг+д: sin а-]} + ft + /ft,
откуда
У: = I л*?* cos д: rf-c = у [х cos д: — (1 — х) sin дг] + ft,
У2= I jte*sin.r а!д: = тг [(1 — *)cos.x:4-*sin*] + ft-
К рассмотренным выше интегралам можно свести и
интегрирование многочлена
Е (х, еах, sinijc, sin^Jtr, ..., cos ex,cos сгх, .,.),
расположенного но степеням х, ?°*, sin ?лг, .,., cos сх, ...
Действительно, после замены степеней синусов и косинусов суммами
синусов или косинусов кратных дуг по формулам (14), (15), (16)
этот многочлен будет состоять из*членов вида
хтепах sin op; sin рд: . . , COS *{Х COS 5дг. . .
Но произведения синусов и косинусов можно заменить
суммами или разностями синусов или косинусов соответствующих
дуг (т. I, стр. 258). Следовательно, рассматриваемый многочлен
сводится к сумме слагаемых вида
хтепах, xmenaxs'mpx, xmenaxcospxi
которые интегрируются указанными выше способами.
Пример 2. J—\{x-\-e*zosx)2dx.
Имеем:
(х + е* cos xf — х2-\~ 2хе* cos x -f ё2* cos2.*:.
,, 9 1 -|-cos 2x ¦¦ -
rio coszx = . Следовательно,
J== (x*+2xexcosx+^.eS*+-^e*xcos2x\ dx=;
= 3- 4- ex [xcos x - (1 - x)sin дг] 4- - #*4- - e*x (cos 2x 4-sin 2x) + C.
К интегралам этого типа можно свести интегралы вида
a) j Е(х, In x)dxt b) j E {x, arcsin x) dx, c)[e {x, arccos x) dx
122

подстановкой, заменяющей трансцендентную функцию новыми
переменными
a) lnx = t, Ь) arcsinjc = f, с) arccos* = *.
После преобразования будем иметь:
а) ^ Е (et, t) e* dtt b) [е (sin t, i) cos t dtt
c) — \E (cos t,i)sin tdt.
§ 9. Некоторые замечательные определённые интегралы.
Формулы приведения (8) и (9) для определённых интегралов
в пределах от 0 до -j принимают следующий вид:
it тс
"2 2
\ sihmхcos"хdx = тТ \sinm~2xcos"xdx, (17)
0 о
It 1С
"2 2
1 sinMхcos"хdx = n~ ¦ Isinmxcos"-2xdx, (18)
o-o
¦< ибо
я it
Г slngt-1.rcosfl+I лЛ2 ^ fsin^+T x cos"*1 л: 12* .
|_ /Я-1-/2 Jo L m\~n Jo
(за исключением случаев /я = 1, л ^ — 1 и /я =^= 1, п = — 1
для первого интеграла и тя =—1, п=?\ и тф—1, п = \ —
для второго). Отсюда как частный случай, положив в первом
случае я=0, а во втором /я = 0, получим:
тс тс
2 2
I sinOT xdx= """ \ sinw_2 л: Же, (19)
о о
тс тс
2 2
\cosnxdx = ~^ \cosn~2xdx (20)
о о
(предполагая в первом случае т=?1, а во втором п=?\). По
вторное применение этих редукционных формул, понижающих
показатель степени на 2, смотря по тому, будут ли числа т и п
123

. чётными или нечётными, приведёт к интегралам
тс «я
2 2 2
Ылгі=-|- или slnxdx^= \cosxdx=lt
о о о
Оба интеграла (19) и (20) при одинаковых показателях (т = п)
равны между собой. Таким образом для чётного показателя 2/г
и нечётного 2л-{-1 [вместо тип формул (19) и (20)] будем
иметь
я тс
2" "2
\&Fxdx= Г cos»"*tf*:= Ь32?47б (2V1} Т' <21>
oJ о
It я
"2 2
( гіц»+і *<fo = Jco»»*' х^= з.52.74;6; -(2Д 1}- (22)
о о
1. Формула Валлиса. Вычисленные определённые интегралы
дают возможность представить отношение окружности к
диаметру, т. е. число тг в виде бесконечного произведения.
Действительно, в пределах интегрирования sin х — положительное
число, меньшее единицы. Следовательно,
sin2*~г х ^> sin2" х ^> $іп2п+г ху
откуда
тс it т:
1 ~2 J
\ sin2ll-lxdxy>^ sin2nxdx> j sin2n^xdx.
о о о
Заменяя интегралы их значениями по .формулам (21) и (22),
получим следующие неравенства:
2-4-6... (2/г — 2)^1- 3-5... (2л—1) в ^ 2-4-6... 2я
3-5'7...(2лт1)^ 2-4- 6... 2п 2 ^3.5-7 ... (2л + 1) ' ( '
откуда
Г 2-4-6...2/г 12 1 ^ я ^ Г 2-4-6... 2л ]з 1
[і-3-5.;.(2л —1)J *2п^ 2 -^ [і-3-5 ... (2л — 1)| #2л-|-1# ( '
~* Г 2.4-6...2л
Обозначая ради краткости выражение |«—я-ё то п
1
2л
через -?, будем иметь:
2
>\ 2л . \ тс ^ 2л
- Ovstfi или !>5;>2ліл-
124

Переходя к пределу в предположении, что п безгранично
увеличивается, получим:
lim— = 1,
я,
откуда получаем так называемую формулу В а л л и с а:
тт = lira я = lim
2-4.6..,2я
п
П -> 00
Ь3-5...(2л—1}] п '
1
(25)
То же соотношение можно представить в виде предела
произведения, число множителей которого безгранично растёт,
иначе — в виде бесконечного произведения:
JL — v 2. 2. .1 і. In —2 2п — 2 2к
2 ~~„ __ 1 ' 3 ' 3 ' 5 2л — 3 * 2л — Г 2л — 1
П -* 00
ИЛИ
2 2 4 4 6 6
T^T'lT'lT'TnTY'"' }'
Из формулы Валлиса (25) следует:
2-4-6... 2л 1 лг-
я^00ЬЗ-5...(2л—1) j ,,
(26)
(26')
(27)
Помощью этого выражения из интегралов (21) и (22)
получаются следующие пределы, которыми мы воспользуемся при
вычислении интеграла Пуассона;
lim У п [ cos2" хdx — lim
о
П -*¦ СО L
Ь3-5...(2л-1)
2.4-6...2л
\ГпЦ,
ИЛИ
lim}/я I cos2/zxix =
/« " 2 - 2 '
(28)
далее,
lim]//г cos2"+1 #г2д;
о
.. Г 2*4-6...
=Лтоо1Г^^Л2
2-4-6...2л 1
(2ft-1)^
п
2л 4-1 '
*) Формула (26'). обыкновенно и называется ф ормул ой Вал-
лиса.
125

или
2
11m/я J cos^^xdx=*-?-. (29)
о
+Г°°
2. Интеграл Пуассона. Интеграл Пуассона \ e~x'dx имеет
00
большое значение в теории вероятностей. Для его вычисления
нельзя воспользоваться основным предложением интегрального
исчисления (т. I, стр. 380), так как соответствующая
первообразная функция представляет высшую трансцендентную, не
выражающуюся помощью элементарных функций в конечном виде.
Рассмотрим предварительно следующую функцию:
и = (1+ *)*-'.
Как следует из выражения её производной и' = — te~ty функция а
при отрицательных значениях і возрастает, достигая своего
наибольшего значения, равного 1, при ^ = 0, а при положительных
убывает. Следовательно,
(1+*)е-*<1 (при іф%
Подставляя —х% или -\~х2 вместо іу получим следующие два
неравенства:
(і _ х*) е* < і иди 1 _ х2 < е-х'\
(1+**)*-*< 1 или ^*<_L_.-
По возведении в /г-ную степень и умножении на ]/л обеих
частей этих неравенств будем иметь:
Vnil-xrKVne-'t'^J^. (30)
Интеграл от 0 до 1 первого члена этих неравенств меньше
интеграла от 0 до 1 и тем более интеграла от 0 до оо второго
члена, а этот последний интеграл меньше интеграла от 0 до оо
последнего члена:
1 1 оо
Yn"j (i _xY dx <§e~"*4(xVn)<§e-nx'd{xV'n)<i
<vA
00
dx
(1 ¦+ x*)n *
0
126

Но
00 СО
\er-"#d{xVn)^ [e-x*dx.
Таким образом интеграл Пуассона, взятый в пределах от 0 до оо,
заключён между двумя величинами, зависящими от произвольного
целого числа п:
1 СО 00
dx
Vn f (1 — x*fdx < f <r*dx < Vn f
0 0 0
Полагая в первом из этих интегралов л; = зіп?, а в
последнем x=tgz, будем иметь:
тс
1 1
Г (1— x*)ndx = f cos2"*1 zdz, (31)
о
тс
со 2
fu^-Jcos»-,*. (32)
Следовательно,
(1 + **)*
о о
тс тс
~2 СО Т
" I 9!пл.1 - J~ S" I v* -/.- ^" г л
]//г cos2n+1z^< er*dx<*JL- .J/д —2 cos2"-2z<&.
о о "~ о
Эти неравенства имеют место при всяком положительном и
целом /г. Пусть число п безгранично возрастает. На основании
равенств (28) и (29) будем иметь в пределе:
оо оо
^<jV*dx<?±-, т. е. jV"dx = t±. {33)
О О
Так как функция е~х* — чётная и потому
О со
? er*dx= ^e~x*dx,
— 00
ТО
-f 00
$ е-*9й?дг = 1/тт. . (34)
— со
127

3. Представление произведения nt= 1*2-3...» в виде
определённого интеграла. Вычислим определённый интеграл
00
J=z^xne-*dx, (35)
о
применяя правило интегрирования по частям, причём
трансцендентный множитель отнесём к дифференциалу:
и = хп, dv — e~xdx и, следовательно, v= \ e~xdx =— е~х\
со
J= — [x*e-*]f-\-n^xn-ie-xdx. (36)
о
Произведение хпе~х при лг=0 обращается в нуль; то же
произведение имеет пределом нуль и при лг=оо. Действительно,
при х^>0
X
е*—1^>0 и (ех—\)dx^>Ot откуда ^^у.
о
Точно так же имеем
X
)(** —у)<**>°» откуда е*— у^>0,
о
А'
*3 \ , -. Л „ ДГ*
?* — ]~2)^-х:>0' откуда е* — J7^3>0'
о
и т. д. После т интегрирований получим
й -Ь273Т^>° или еДГ>Ь2Гз77^-
Исходя из этого неравенства, будем иметь:
¦g> *".!!!_ или 0<л-<1^-8-*.
Полагая т^>п и переходя к пределу в предположении, что л;.
безгранично увеличивается, получим
О < Urn Л-* < 0 или lim хпе~х = 0.
X-+ZO *-»С0
Итак, принимая во внимание этот результат, из равенства (36)
СО 00
j xne-*dx = n§ xn~4'xdx. (36')
имеем
СО 00
128

Таким образом мы получили формулу приведения для
данного интеграла: интеграл второй части — того же типа, только
показатель степени х на единицу меньше показателя в данной
интеграле. Если п—число целое, то, применяя формулу (36') п раз,
получим:
00
Jjc"e-*djc=b2-3...iL (37)
о
УПРАЖНЕНИЯ.
I. Интегрирование функций с трансцендентным множителем.
С х*
Ь 3 x*lnxdx=x*lnx — -о-+с-
2. \ arcsin х dx = х гтсъіп х -{-V^l — xz-\*C.
3. i (2x + 2)ajctgxdx = {x±1)*zxcigx--x~ln(\-\-x*)-j-C.
' Clnxdx x , , /i f \ i />
5. [(x* — дг4-і)в*Лс = ^(лсЗ — 3je-j-4)-f С
6. f (x2 4- I) sin x dx = — л:2 cos * -f- 2* sin ^ -|- cos x 4- C.
7. ^(х^_і)8С05іГ^ = (дга-|.2х — 1) sin x-г-2 (x-И) cos л:-f-С.
8. Если Е{х)— многочлен степени я, то
\ E(x)e-xdx = -e-x[E(x) + Er(x)+E>>(x)+...-±EbHx)l
П. Интегрирование выражений, зависящих рационально от по*
казательной функции.
C_exdx_ _1 ,с
J(^4-l)2*" 1+е*^ *
2 Г ** ~ 1 1С
J('* + '-*)2~~ 2(14-в**Г
ч III. Тригонометрические функции.
а) Интегрирование подстановкой.
le JsinA:(14-cosAr)~4Tg 2^Ig2^2mig2^U
Г q ¦ j • sin8* , «
2. t cos3 xdx = smx о \- C.
3. \ sin5xrf^r= — (cos* — -^-cos*jc4--n-cos6;,r) 4"^*
9 Курс высшей математики, т. II* 129

- rcosxdx I., , n
I'
sm4 x cos3 л: rfjt: = —= - h- C.
о 7 '
ГС_0^?=_ 1 J_
J shi4jc 3sm8x ' smx '
7. j^-Stg^ + Stg*-?)^.
& f (tg3* — 2tg*H-3)rfr = tgjp-H21ncosx + 2r-+C.
b) Интегрирование помощью формул приведения.
9. ( ctg*xdx=—jctg3x+ctgx + x + C.
Ю f sin3 л: dx Wsin2^^ 2 _\ _. „
* J cos*x 3 Vcos3* cos л:/ '
f . , , sin a- cos л: / . 9 , 3 \ , 3 Л
11. \ sua*xdx= 2 [sinx^~~2j +~нХ~^ '
c) Интегрирование помощью разложения степеней синуса и коси-»
нуса по синусам и косинусам кратных дуг.
12. I sin3* cos2 *<!*¦ = — — Iccsx-^-^- cos3;t — утт cos5x J + С
13. ( cosGxdx = 2-e(jsin 6*+ 3 sin 4* 4-15 sin 2* +20*) +C.
IV. Применение формулы Эйлера.
1. 1 xe2*co$*xdx=?-7r-(2x—l-f-xcos2.tf-|-;csin2.r — -^-sin2.r) -f-C.
V. Интегрирование иррациональных функций помощью триго*
нометрических.
* г С dx Vai—x*- , _ tg*
2. J = i ,- = ss -4- or дг = a sin ?.
a-
'=*+*
a /=|іЛг2-*2^=^^ x = atint,
J=^(stot cos t + t) + C.
4. У=
13»
С x3 dx 1 /-
/ ч Г sin3 * „
/=дЗ I — *#.
COS**

Г /' (х) dx
¦ VI. Интегралы вида Шг-кIn/(х)+ С или приводимые
к этому виду.
1. f **-. 3. ftg*Ac. 5. Г dx .
J xlnx J 6 -J sinjecosjc*
2. f У , 4. [cigxdx. 6. f si"f^ ¦.
J (l+^arctg* J 5 J e-r-^cosjc*
VII. Вычисление определённых интегралов.
1С 1С ТС it
2 *2 Т 7
1. \ sin2 х dx, \ cos4 х dx, I sin3 л: tf*, f cos5 x dx.
и о и а
2. Построить графики функций .у = л:^--г,д/ = :с3^-^, j/= j:3^-*i ..»
у = хпе~х и вычислить площади, ограниченные этими кривыми и осью-
абсцисс в интервале от 0 до оо.
ГЛАВА IV.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ЧАСТНЫЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ.
§ 1. Функции нескольких переменных.
Пусть несколько переменных величин и, х, у, z, ... меняются
так, что каждой системе значений переменных х, у, z, ...
соответствует одно или несколько значений к. В таком случае
и будет функцией переменных ху у, г, ..., и мы будем отмечать
этот факт следующим образом:
а =*/(*, у, *,...)>
где / есть знак установленной или данной функциональной
зависимости рассматриваемых переменных. Функция и будет
однозначной или многозначной, смотря по тому, сколько значений её
соответствует каждой системе значений независимых переменных
х, у, zy ... Так, функция
u = x-\-y-\-z
— однозначная, а функция
a—±:Yx~{-y-\-z
— многозначная, именно двузначная.
Функции нескольких переменных, так же как и функции одного
переменного, разделяются на алгебраические и трансцендентные,
а алгебраические разделяются на рациональные и иррациоиаль-
9* 131

яые. Если функциональная зависимость переменных х, у, z, л.?
и а определяется уравнением
F(x, у, z, ...,а) = 0,
то одно из переменных, связанных этим уравнением, например и,
называется неявною функцией остальных переменных лг, у, z, ...
Функциями, v,...), зависящая от нескольких аргументов
и, v, ..., из которых каждый в свою очередь является функцией
независимых переменных х, у,..., называется сложною;
функция от функции является частным случаем сложной функции,
а именно, сложной функцией, зависящей от одного аргумента,
который в свою очередь зависит от одного независимого
переменного.
Функцию двух независимых переменных
z=f(x, у)
геометрически можно интерпретировать как аппликату точки,
абсциссой и ординатой которой служат независимые переменные
х и у; при всевозможных' изменениях хну конец аппликаты,
«ели функция непрерывна, описывает поверхность (т. I,
стр. 190—192). Пусть ¦ Ах{х, у) — точка в плоскости хОу>
АгА — соответствующая аппликата, т. е. АгА=/(х, у); принято
говорить, что /(лг, у) есть значение функции в точке А1[хіу);
короче—в точке (х, у). Понятие «точки», как совокупности
значений независимых переменных, можно распространить и на
большее число независимых переменных; так, если даны функции
«=/(*> у, z), v=F(x, у, z, t),
то можно говорить: и есть значение первой функции в точке
(х, -уч z), a v — значение второй функции в точке (х, у, z, f),
В йервом случае можно действительно иллюстрировать точку
{х> У> А точкою пространства с координатами х> у, z
относительно (какой-либо) данной системы координат; во втором случа е
такой иллюстрации, апеллирующей > к нашему представлению,
дать нельзя, но абстрактно можно всё-таки говорить, что (дг, _у, z, t)
есть точка четырёхмерного пространства, разумея под
четырёхмерным пространством не реальное представление, а всю
совокупность четвёрок (л:, у, z, t), состоящих из всевозможных
значений независимых переменных х, у, z и і.
Если последовательность точек
(хи ухі...),' (хг, у2, ...), ..., (дгя, уя1 ...), 9?я
такова, что _ существуют пределы 1ітд:я=д:, цтуя=у9 ..., то
мы будем говорить, что эта последовательность стремится
132

к точке (лг, у, ...), или точка (*, j;, ...) есть яр*д*л этой
последовательности, и писать:
л-*- со
На изменение независимых переменных может быть наложено-
то или иное ограничение или по самому смыслу определения
рассматриваемой функции или ради целей исследования. Так,
если имеются в виду лишь действительные значения функции
то изменение независимых переменных хну ограничено
неравенством
х2-\~у2^г2.
Совокупность всех тех значений, которые могут принимать
независимые переменные, составляет область их изменение
точка (х, у, ...) при изменениях х, у, ... перемещается в этой
области. Так, в предыдущем примере область изменения х и у
ограничена окружностью х2 -\~у2 = г2. Если независимые
переменные меняются каждое в каком-либо интервале
ах <; х ^ д2, Ьх ^у *^Ь2, ...,
то область изменения будет прямоугольной: в этом случае при
-даух независимых переменных точка (х, у) занимает любое
положение внутри прямоугольника, в случае трёх точка (х, уу z}
перемещается внутри параллелепипеда.
Точка (ху у, ...) называется предельной .тонкой области Dy
если она является пределом какой-либо последовательности точек,
принадлежащих этой области и отличных от самой точки (лг, у,...).
Предельная точка области может, вообще говоря, и не
принадлежать этой области. Так, область изменения переменных х, у9
определяемая неравенством х2-\-у2<^г2, есть внутренность круга
радиуса г с центром в начале координат; очевидно, каждая точка
периферии этого круга, т. е. окружности лг2-|-ву2 = г2, являете»
предельной для внутренности круга, не содержась, однако, сама
внутри круга.
Область D называется замкнутой, если она содержит все свои
предельные точки. Так, присоединив к рассмотренному
(«открытому») кругу х2-\-у2<С^г2 все точки его периферии, мы получим,
очевидно, замкнутую область — замкнутый круг х2~\-у2*^г2.
Мы будем, в случае двух независимых переменных,
рассматривать обычно функции, заданные в областях, ограниченных
контурами, не имеющими самопересечений (например,
окружностями, периметрами прямоугольников и т. п.). В зависимости от
133

того, будем ли мы считать контур принадлежащим или не
принадлежащим' области, эта область будет замкнутой или незамкнутой.
Область называется ограниченной, если координаты всех
точек этой области равномерно ограничены по абсолютной
величине, т. е. существует такое число М, что
¦ \*\<м,л \у\<Мі ...
для всех точек рассматриваемой области. Так, круг х2-]-у2<:г2
есть ограниченная область; полуплоскость же х ^ 0 есть область
неограниченная.
§ 2. Непрерывность функций нескольких переменных.'
Пусть независимые переменные х, у, z, ..., изменяясь по
какому угодно закону, "стремятся к определённым пределам:
1ітлг = а, limy = b, limz = c, ...,
т. е. точка (х, у, z, ...) по любому закону стремится к точке
(а, Ь, с, ...). Если при этом соответствующее значение функции
стремится также к определённому пределу, равному значению
этой функции при лг = а, у — Ь, z=c, ...:
lim/(x, у, z, ...)=/(1ітл;, lim^y, limz, ...), (1)
то функция называется непрерывной в точке (а, Ь, с, ...).
Как следует из понятия предела, можно указать для
изменения независимых переменных достаточно малую область около
точки (а, Ь, ...), чтобы внутри этой области переменное значение
¦функции сколь угодно мало отличалось от своего предела:
f{xfy,...)— f(a, *,...)'|<е;|* — a\<iv\y — ?|<52> -.-.(2)
Здесь е — данное наперёд положительное число (сколь угодно
малое), а 8,, <82, ...'—достаточно малые положительные числа,
определяющие область изменения независимых переменных.
Функция, непрерывная в каждой точке какой-либо области,
называется непрерывной в этой области.
Из предыдущего определения непрерывности следует, что
функция /(х,у, ...), непрерывная относительно совокупности
своих аргументов, непрерывна и относительно каждого
переменного в отдельности. Например, если функция f(x, у, z, ...)
непрерывна в области Р, то непрерывна и функция tf (x) =
=/(¦*> Уі> zv ••¦)> гДе Уи гъ ••- — постоянные, которые вместе
с переменным х принадлежат к области Я. Действительно, пусть
х0 — какое-либо значение х. Тогда {х0, уи ги ...) принадлежит
области Я, и потому при
1ішл: = д;0, limy — yv limz = zli ...
134

будем иметь
Нт/(л:, у, z, ...)=/(¦% Л. ?і, .--)•
Но переменные х, у, z, ... могут стремиться к своим пределам
по какому угодно закону, в частности у может сохранять
постоянное значение yv z постоянное значение гг и т. д., что даст
нам переход к пределу функции <fi(x):
lim tfl(x) = \\mf(xtyvzu ...) = f(xu,yvzv ...)=<Рі (Hm*)-
х-*х0
Но обратное заключение было бы неправильным: функция
f(x, у, z, ....), непрерывная относительно каждого аргумента
в отдельности, не всегда непрерывна относительно совокупности
всех аргументов.
Пример. Функция
определена в каждой точке плоскости, кроме точки (0, 0), ибо
непосредственная подстановка х = 0 и у = 0 приводит к не имеющему
арифметического смысла действию — делению 0 на 0. Если для этой
точки (0, 0) по дополнительному определению положим
/(0,0) = О,
то функция f(x, у\ теперь определённая всюду, будет испытывать
разрыв в точке (0, 0), принимая в пределе, при различных подходах
к этой точке, любое значение, заключённое между —1 и -f-і. Изменяя,
например, х и у так, чтобы y=kxy где k — какое-либо постоянное,
будем иметь
2kx2 2k
lim/Gr, ,y) = Hm y3о- kW~ПГй * ° (если k ? °)-
Но функция
где у!*—какое-либо постоянное, непрерывна всюду, ибо, если ух ф О,
знаменатель не равен нулю; а если ,Уі = 0, у\(х) сохраняет постоянное
значение, равное нулю. Следовательно, всегда
1ітчрі(.г) = 0.
Точно так же и функция ш2 (у) = 0 , где ^ — постоянная
Д:і + >2
величина, непрерывна в точке _у = 0.
Из теорем о пределах (т. I, стр. 274—276) следует, что сумма
и произведение непрерывных функций суть непрерывные функции,
а частное двух непрерывных функций будет непрерывной
функцией в тех точках, в которых делитель не обращается в нуль.
135

Теорема 1. Если и=/г(х, у, ...),v=ft(x, у, ...),.-• —
непрерывные функции в области Р, a F(ur v, ...) —
непрерывная функция аргументов и, v% ... в области,
соответствующей области Р, то сложная функция F{fx{xr у, ...),
Л(х> У* •••)» ¦-•) — также непрерывная функция независимых
переменных, х, у, ... в области Р.
Доказательство. Действительно, по условию имеем:
UmF(uy v, ...)=F(limxt іішф, ...)
и
1ітй=/1(1ітл:, limy, ...), \lmv=ft(llmx, limy, ...), ...
Следовательно,
ііш/Ч/і (*, у, . .".), /2 (*, у, ...), . Л) =
= F{fx{limx, limy, ...), /2(1ітлг, limy, ...), ...)t
что и требовалось доказать.
Следствие. Сложная функция F (и, v, ...)> непрерывная
от своих аргументов, может иметь разрыв, лишь если одна
из составляющих функций
u,v, ... имеет его или
если одна из составляющих
функций, входящая дели-
телем, обращается в нуль.
Теорема 2. Функция
f(x* У> --.), непрерывная
в замкнутой ограниченной
области Д ограничена в
этой области, т. е.
существует такое
положительное число Л/", что
!/(*> -V. -..)|<ЛГ
для всех точек {xt у, ...)
области D.
Черт. 22. Доказательство может
быть проведено в полной
аналогии с доказательством соответствующей теоремы о функциях одного
переменного (§ 11 главы II первой части). Мы проведем его для
функций двух переменных. По условию, область Д в которой
рассматривается функция /(*, у), ограничена, т. е. содержится в некотором
прямоугольнике F
Р(а^х^Ь, c^y^d)
(черт. 22). Пусть, в противоречие с утверждением теоремы, fix у)
неограничен в области D. Разобьем тогда прямоугольник Р на
четыре равных прямоугольника (черт. 22). По крайней мере в одном из
136

этих прямоугольников ^т. е. в части области Д заключённой в этом:
прямоугольнике) функция f(xty) неограничена. Пусть это будет
прямоугольник
здесь одно из чисел ah bx совпадает с одним из чисел а и Ь, а др\'-
а4~Ь
гое равно —^— , и аналогично для чисел съ d\. С прямоугольником Рг
поступим так же, как и с первым. Получим новый прямоугольник
Р2 (а2 ^х < Ьъ Ci^y^ d2),
совпадающий с одной из четвертей прямоугольника Рх и такой, что
в нём f(x, у) должна быть неограничена.
Продолжая эту операцию, получим бесконечную последователь^
ность вложенных друг в друга прямоугольников Pn{aa^x^b >
ca^y^dn), причём а
& ^ &\ ^ #2 ^.. .^ ап ^..., Ъ 5г Ьх ^ Ъ% ^>.. .^ Ьл^...
и . ""
так что Ад и &д сходятся к некоторому (одному и тому же) пределуЕ
и аналогично си и da сходятся к некоторому пределу q.
Выберем в каждом из прямоугольников Ра по точке (ха}уа),
принадлежащей к области D. Эти точки (х„, уа) образуют, очевидно,
последовательность, сходящуюся к точке (Е, tj), и так как область Д по
условию, — замкнутая, то и (Е, ¦/]) будет принадлежать к Z). Таким
образом, в точке (Е, т)), к которой стягиваются прямоугольники Р ,
функция f(x, у) определена. Тогда, в силу непрерывности функции
f(x, у), существует такой квадрат
С(Е-3<лг<Е4Ч Ъ-*о<у<гі+Ь)1 •
что для всех точек (х, у) этого квадрата, принадлежащих области D
выполняется неравенство
/&ій-«</(*.Л</№.'ч) + «-
Отсюда, в частности, следует, что функция ограничена в квадрате С.
Но в этом квадрате, очевидно, содержатся прямоугольники Рt для
всех достаточно больших /г, а в каждом таком прямоугольнике, по-
самому его построению, функция f(x) должна быть неограничена.
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Всякая ограниченная функция обладает верхней и нижней
границами, т. е. числами Мат такими, что замкнутый
интервал (/я, М) заключает все значения функции, но ни один из.
интервалов (т, М — е) и (лі-f-e, Ж), где е—сколк угодно малое
положительное число,— этим свойством уже не обладает.
Доказательство существования верхней и нижней границ для
ограниченной функции было дано в первом томе (стр. 303 и ел.),
причём в нём не играло никакой роли, зависит ли функция от одного
или же нескольких аргументов,
ізт

Теорема 3. Функция f{x, .у,...), непрерывная в ограни-
ценной замкнутой области D, имеет максимум и минимум,
vi.'е. достигает в этой области своей верхней и нижней
іраниц.
Доказательство. Пусть М— верхняя, а т — нижняя
границы данной функции. Докажем, что есть по крайней мере
одна точка (х0, у0,...), в которой /{х0і у0і...) = М.
Доказательство для минимума совершенно аналогично- По самому
определению верхней границы, изменяя независимые переменные, можно
•сделать разность М—f(x, у,...) сколь угодно малой, и функция
«е будет непрерывной внутри и на границах области Р, ибо
значения её могут превзойти любое положительное число.
Следовательно, в области D имеется по крайней мере одна точка
<л;0, _у0, - - -)» в которой функция F(x, у,...) имеет разрыв.
Согласно следствию теоремы 1, так как l=constH./W—/(х, у,...)
суть функции непрерывные, разрыв может произойти лишь от
того, что знаменатель М—f{x, у>...) .обращается в точке
<*<и Л» • • •) в нУль> т- е-
/(*о> Л"..) = Д
что и требовалось доказать1).
Понятие равномерной непрерывности, определённое ранее
для функций одного переменного (см. т. I, стр. 288),
переносится и на функции нескольких переменных. Функция/(х, у,...),
непрерывная в некоторой области D, называется равномерно
непрерывной в этой области, если для каждого е^>0
существует §^>0 такое, что для любых двух точек (х'} У,...) и
{х\ у",...) области D, удовлетворяющих условиям
выполняется неравенство
|/(^У,-..)-/(^,У')...)1<е.
Теорема 4. Функция f(x, у,...), непрерывная в
ограниченной замкнутой области, равномерно непрерывна в этой
области.
*) Эту теорему можно было бы также доказать в полной аналогии
с доказательством соответствующей теоремы о функциях одного
переменного (см. т. I, стр. 305 и ел.), заменяя лишь интервалы
прямоугольными областями.
138

Доказательство этой теоремы проводится совершенно
аналогично доказательству соответствующей теоремы о функциях
одного переменного (см. т. I, стр. 288), с заменой разбиения
на интервалы разбиением на прямоугольные области.
§ 3. Частные производные.
Будем рассматривать однозначную функцию двух
независимых переменных
*=/(*> У) (3)
и положим, что она непрерывна в некоторой области изменений
Jt и у. Если мы одно из переменных, например у, будем
считать сохраняющим постоянное значение, то данная функция
будет меняться в зависимости от изменения одного переменного х.
Приращение её, соответствующее приращению аргумента kx,
называется частным приращением функции z и обозначается
через Д^:
Ь**=/(х + Ь*,у)—/(х9 у). (4)
Точно так же составим и частное приращение по у, т. е.
приращение данной функции, которое она получает при
изменении у в предположении, что х сохраняет в это время
постоянную величину:
V=/^> y + by)—f{x9 у). (5)
Если переменное у мы считаем сохраняющим
постоянное значение, то z будет непрерывной функцией одного
переменного х. Будем предполагать, что эта функция имеет
производную. Производная функции z = f(x, у), составленная в
предположении, что из двух независимых переменных меняется
только х% а у сохраняет постоянную величину, называется
частной производной по х. .Точно так же, если рассматривать х
постоянным, а у переменным, определится частная производная
функции z—f(x> у) по у. Частные производные по х и по у
обозначаются следующим образом:
dz df(x, у) % j , .
^ і) или ух ¦" , или zx, или fx (х,у)9
?1 или ду , или zr или /у(х,у).
*) Для обозначения частных производных употребляется
круглое д, прямое rf — для производных функций одного
независимого переменного.
139

Таким образом, согласно определению производной как
предела отношения приращения функции к приращению
соответствующего независимого переменного, будем иметь:
jfc=limfe = lta/(r + A*';y)-/(*'*) при 1ітЛ* = 0,
дх &х Ьх , г *
%=ш%=ш1*У+Ы-'*» при 1ітД;/=0_
Эти определения и обозначения можно распространить и на
функции трёх и большего количества переменных.
Как следует из определения частных производных,
нахождение их не представляет для нас новой операции: надо только
считать переменным тот аргумент, по которому берётся частная
.производная, а остальные рассматривать как постоянные величины.
Пример 1. Найти частные производные функции двух переменных
z = Zx*y* — ху* + 7х* — ?у +• 1.
При дифференцировании по х нужно рассматривать у как посто--
янное. Таким образом будем иметь:
При дифференцировании по у аргумент х считается постоянным
|?=9л:*уЗ_ 5ху* —6.
Пример 2. Найти частные производные от функции
г = хУ.
При дифференцировании по х функция z является степенью^
а при дифференцировании по у—показательной функцией h I
стр. 334 (И); 400, (16')]:
dz . dz
Ъс=уХУ ' д? = ХУЫХ-
Пример 3. Найти частные производные функций
$ z = x^-^> b)z = sin(x±Sy), c).zr = arctg?,
d) u±=Vx*+y*+A
Решение.
dz _x+-y — (x—y) 2y .
& ix+yf ~ (х+уу»'
140

Ь) gj ="cos (x -f 3«); ^ = cos (x + 3y) • 3 = 3 cos Г* -f- Ъу).
c\ dz ~ X ~y — _._ ^ ¦
U* 1 1 X
ду іі(У\2х Jfi+y*
>+ш
d) H=3J (^+^-Ь^)2 = ^(^+^ + ^Г2 -2г =
;e
§ 4. Частные дифференциалы. Полный дифференциал.
Главную часть приращения функции одного независимого
переменного, пропорциональную приращению переменного, мы
назвали (т. I, стр. 331) дифференциалом этой функции. Как следует
из определения производной, дифференциал функции равен
произведению производной на приращение независимого переменного
или — что одно и то же — на дифференциал независимого
переменного.
Ax~dx~t*>
Ly=^bx-\-s&x, tfy = j^A* или dy = ?gdx.
Понятие дифференциала может быть обобщено и для
функций нескольких переменных. Рассмотрим сначала функцию двух
независимых переменных
*=/(*• У)-
Предполагая, что эта функция имеет частные производные
в каждой точке какой-либо рассматриваемой области, будем
иметь:
Avz dz V dz , dz \ (6)
где e' стремится к нулю вместе.с Длг, а е":—вместе с &у.
141

Называя главные части частных приращений L^z и Av2,
пропорциональные приращению соответствующего перем ен ного
частными дифференциалами и вводя для них соответствующие
обозначения d^s9 d^z, будем иметь:
d^=Tx^x и df=&y. (7)
Можно говорить и о частных или просто о дифференциалах
независимых переменных; но так как
дх 1 дх Л ду п ду 1
Лг ' ду дх ¦' dy '
то понятие дифференциалов независимых переменных, как
следует из определяющих равенств (7), совпадает с понятием
приращения их:
dxx = dx = kx, dyy = dy = ky (dyx — 0, #^/ = 0).
Таким образом равенство (7) можно представить в
следующем виде:
Если рассматривается одновременное изменение х и у по ка-.
кому бы ни было закону, то положительными или
отрицательными значениями Дх и ¦ Ду около точки (л:, у) определяется
прямоугольная область со сторонами 2|Д#| и 2|Ду|.
Безграничное уменьшение этой области можно связать или с
уменьшением половины диагонали у&х2-\-Ау* или с уменьшением
периметра или какой-либо части его, например четверти, которую
обозначим через р:
р = |Д*|-НДу|-
Таким образом вместо двух независимо одна от другой
уменьшающихся величин Дх и Ду1) мы вводим одну величину р как
главную бесконечно малую, относительно которой будем
определять порядок других бесконечно малых величин. Так как
| &х | ^ р и | Ду [ ^ р, то величина, порядок которой
относительно |Д#| или |Ду[ выше первого, будет высшего порядка
и относительно р.
Второе приращение функции по х и по у. Приращение
функции по х [§ 3, (4)] зависит и от х и от у; т. е. является
г) Если р стремится к нулю, то Ддг и Ду стремятся также к нулю,
и обратно. Но если стремится к нулю только одно приращение,
например Дх, то р может и не стремиться к нулю.
142

функцией двух независимых переменных:
Д^=/(лг + Д*, у)—/(х, у), (8)
Беря от этой функции приращение по yt получим второе
приращение Ду(Д_^) данной функции:
Ду(Д^) = [/(лг + /и, y + \y)-f(Xt у + \у)]-
_[/(х + Д*, у)—/(х, у)] (9)
или
Д,(Д^)=/(л: + Д*, у + Ау)—/(х, у + Ау)-
—f{x + Ax,y)+f(x,y). (9>
Совершенно такое же выражение мы получаем и для второго
приращения Ах(Ау?):
Аж(Д/0 = [/(* +Дж, У + &У)— /(Jf+Д*. У)} —
-[f(x,y + Ay)-f(x,y)] =
=/(х + Ах,у-\- Ду) —/(х + Ах, у) —/(х, у + Ay)+f(x, J>V
Следовательно,
Д,(Д_/) = Дл(Дугг). (10)!
Полное приращение функции. Приращение Дг функции-
z=f(x, у), которое она получает, когда одновременно
изменяются х и у> принимая приращения Дл; и Ду, называется.
Д2Г=/(Х + ДХ, У + Ьу)—/(Х, у). (И);
Полное приращение функции двух независимых переменных
можно представить как сумму частных приращений Д^, Д^г
и второго приращения йх(\уг). Действительно, по определению.
имеем:
Ь^=/{х-\-Ьх, j;)— /to .у),
V=/to J> + Ay)—/to .У),
*,(*,*)=/(*+А*, .У + Ду) — Л^ + Ajf, 3/)—/to .У + Ду) +
+/to j0:
Отсюда, складывая последние три равенства и принимая во
внимание равенство (11), получаем:
Дг = Д^ + Дуг+Дх(Д^). (12)
Мы предполагаем данную функцию z непрерывной и
имеющей в точке (х9 у) частные производные. Поэтому
145

где е' и s" стремятся к нулю вместе с Ах и Ду, а,
следовательно, и вместе с р = | Дл; | -j-1 Ду |. Таким образом іполное
приращение функции можно представить в следующем виде:
Az = giU+gAj; + e'A* + eBAj' + AJr(M. (13)
Величины ef Дл: и е"Ду. как произведения бесконечно малых
Ах и Ду на бесконечно малые s' и е", суть бесконечно малые
порядка выше первого относительно р. Если второе приращение
функции — также бесконечно малая высшего' порядка
относительно р, как и в* Ах и е"Ду, т° сумма двух первых слагаемых,
бесконечно малая первого порядка, будет главною частью
полного приращения функции (т. I, стр. 281).
Для того, чтобы Д (Д^) было бесконечно малым высшего
порядка относительно р, достаточно, например, чтобы функция
z имела частную производную по одному из переменных,
например по у, в некоторой «окрестности» \х'— х\<^Ь, \у':—у\<^&
точки (л:, у) и чтобы эта производная была непрерывна в точке
(ху у). Действительно, заменяя в правой части равенства
Ay(Axz) = [f{x^-Ax,y + Ay)~f(x + Ax,y)}^
— \f(^y + Ay)~f(Xly)]
разности в квадратных скобках их- выражениями по теореме о
среднем значении и принимая во внимание непрерывность
частной производной по у в точке х, получаем;
где г/ и Г|", а значит и г/ — г/', стремятся к нулю вместе с р.
Это и показывает, что Д^Д^гг) есть бесконечно малая высшего
порядка по сравнению ср.
Таким образом, полное приращение функции представится
в виде
Аг = ёД* + |4-У + г'Д* + ^. (И)
где ? стремится к нулю вместе с р:
e = e"-fV — if.
В двух первых членах правой части равенства (14)
множители при Да: и Ду не зависят от самих приращений Ах и Ду.
Сумма этих двух членов представляет собой бесконечно малую
144

величину первого порядка и составляет, следовательно, главную
часть полного приращения функции.
Если полное приращение функции можно представить в виде
Az = MAx-\-NAy^ бесконечно малое высшего порядка, (13')
где М и N не зависят от Ах и Д_у, то функция называется
дифференцируемой. В этом случае величины М и Добудут
необходимо равны частным производным Л? = -^-, N = ~^-. В
самом деле, полагая в равенстве (13') Д^ = 0, деля на Ах и
переходя к пределу при Ах—*-0, получим
,. Дг дг .,
и точно так же найдём
.. Аг дг ЛГ
hm г— = -V- = N.
Результат проведённого выше исследования полного
приращения функции можно теперь формулировать в виде
следующего предложения:
Для того, чтобы функция z = f(x,y) была
дифференцируемой в точке (х, у), достаточно, чтобы она имела
в точке (х, у) частные производные по х и у, кроме того,
чтобы частная производная по одному из переменных,
например по у, существовала в некоторой окрестности точки
(х, у) и была непрерывна в самой этой точке.
Полный дифференциал. Главная часть полного
приращения функции, линейная относительно приращений независимых
переменных, называется полным дифференциалом её.
Обозначая полный дифференциал функции z через dz} будем иметь
из выражения (13')
или, так как можно положить Ax — dxt Ay — dy,
te^^dx + ^dy, (15')
т. е. полный дифференциал функции равен сумме частных
дифференциалов её.
Понятие полного дифференциала можно распространить на
функции скольких угодно переменных. Обыкновенно определяют
его как сумму частных дифференциалов:
u=f(x,y,z,...)i du = p±dx + ^dy + -?dz-{-... (16)
10 Курс высшей математики, т. II. 145

В таком случае можно показать, что при некоторых условиях
полный дифференциал функции является главною частью полного
приращения функции. Так, полное приращение функции трёх
независимых переменных а—/(х, у, z\ как нетрудно убедиться,
является суммой частных приращений, вторых приращений и
третьего1):
Ди = Д,а f Lyu + Дг« + Дг (Дуг) + Дг (Дх«) + Д, (Дуг) +
Если функция имеет частные производные в точке (х, уу z), то
ДИ=§Дх + |рД>' + Й^ + ?'А^ + з"Д^ + 8"'Дг +
+ Д2 (Дуг) + Дг (ДЛ«) 4- А, (V) + А, [Л, (V)],
где е', е", г'" стремятся к нулю соответственно с Да:, Д_у, Дг,
а стало быть, и вместе с р = | Д-Хг j —[— | Ду |-|-| Дг|. Если все
вторые и третьи приращения, так же, как и е' Дл;, е" 1у,
ё" Дг, — бесконечно малые высшего порядка относительно р, то
сумма первых трёх слагаемых, бесконечно малая вместе с р, но
не относительно р, т. е. полный дифференциал функции
u=f(x} у, z), будет главною частью приращения её:
А да , г да j ¦ да , ,
где ? стремится к нулю вместе с р.
Операция составления полного дифференциала функции
сводится согласно его определению к нахождению частных
производных и называется дифференцированием2).
Пример 1. Определить полный дифференциал функции
г = 3л-2уі — ^5^. 7л-3 — 6v-f 1.
Находя частные производные этой функции (пример 1, § 3), будем
иметь;
g = 6^8 _^5 + 21*1, Щ = 9х2у2 _ 5хуі _ б<
Следовательно,
dz = (6хуп> — у* -f 21л-2) ^л- -f (9л2^ — 5-гу* — 6) rfj/.
J) Третье приращение Дх[Ду(Дги)] определяется аналогично
второму. Выражение его не зависит от порядка независимых
переменных.
2) Если желают отличить операцию составления дифференциала
от операции составления производной, то последнюю называют
деривацией (derived — производная) функции.
146

Пример 2. Определить полные дифференциалы функций
а) ^jqiy b) ?=arctgj, с) и^уХ2^_у^гч
(ср. пример 3, § 3).
2(ydx-xdy) ydx-xdy
а) - (х+У? ' Ъ) dZ хЧ~~У^>
§ 5. Дифференцирование сложной функции.
Рассматривая функции нескольких переменных, ограничимся
в дальнейшем, ради сокращения письма, тремя аргументами. Пусть
х, у, z зависят от одного независимого переменного /:
x = x{t), y=y{f), z = z(t), (17)
причём функции x(t), y{t)y z(t) непрерывны и имеют производные
в рассматриваемой области изменения і. Функция u—f{x,y,z)
аргументов х, у, z будет сложной функцией переменного /,
и если эта функция непрерывна относительно аргументов х,у, z
и имеет полный дифференциал в соответствующей области, то
она имеет и производную по t. Пусть t получило приращение
Д*, аргументы лг, у, z и функция и получат при этом
соответствующие приращения 1х, Ду, Д,г, Ди, которые, в силу
непрерывности рассматриваемых функций, стремятся к нулю вместе с Д>.
При всяких приращениях аргументов х, у, z, а стало быть и при
рассматриваемых, т. е. соответствующих приращению Д^,
приращение функции и, по выделении из него главной части, можно
представить в следующем виде:
Ь* = %Ь* + %ЬУ + %Ь + ч, (18)
где р = | Алг[-|-| &у\ -\~\kz\ стремится к нулю вместе с Д>, а
$ — вместе ср. Приращения Дх, Ду, Lz при данных условиях
(17) не совпадают с дифференциалами аргументов, что имело бы
место, если бы х, у, z были, независимыми переменными.
Для нахождения производной функции а по і составляем
отношение Ди к Ы\
bt~dxJF*dy *J~T"dz±t "t~? It' ( '
отсюда, переходя к пределу в предположении, что Д/ стремится
к нулю, получим
du ди ах ^dady^idt^d^ ,9Г)
dt ~r~dx"dt*'dydt * dz dt ' ^U)
10* 147

ибо Iims=^Q и, следовательно,
lime
it
- lim е-lim /
+
Д*
Д/
+
=№
dt
+
d?
dt
lime = 0.
Равенство (20) представляет формулу дифференцирования
сложной функции и является обобщением формулы
дифференцирования функции от функции (т. I, стр. 386—387).
Имея производную функции и по і, можно составить и
дифференциал этой функции, умножая производную на дифференциал
независимого переменного, т. е. на dU Таким образом из
равенства (20) будем иметь:
dx
так как по определению
, да , , да , » да ,
ду
d?dt=du,
-—dt = dx,
at
dy
dt
dt = dy,
(21)
dz
dt
dt =dz.
Сравнивая формулу (21) с формулой (16) § 4, мы можем
заключить, что дифференциал сложной функции имеет такое же
строение, как и полный дифференциал функции и,
рассматриваемой как функция независимых аргументов х, у, z. Но разница
заключается в том, что при независимых х, у, z формулы
*-&+%»+%* *-?*+?«ч-?*
совершенно эквивалентны, ибо &x = dx, ky — dy, Дг—. dz, а при
зависимости х, у, z от t, в общем случае, — не эквивалентны,
ибо в этом случае
Дл; = dx -f г' Д/, Ду = dy 4- s" Д*, Дг = dz + е"' Д*.
Пример 1. Найти производную по * от функции
г = ацх2 + 2tf12;ry + апУ2>
где л; = cos /, j/ = sin t.
dz _ dz dx , dz dy dz dz
dt-dx'dt^tytit' ?? — * №i* + *нЛ> ^ = 2 (al2* -f <z22j/);
*** . , dy
dz
— = — 2 (дцл; -f Ліау) sin * + 2 (tfl2x 4. <z22_y) cos Л
148

Заменяя x = co$t и y = sint, после тригонометрических
преобразований получим
•gr ~ (#22 — а1\) sin 2* 4~ 2Яі2 COS 2*.
Тот же результат, конечно, можно было бы получить, подставляя
cos t и sin t вместо х и у в данную функцию и дифференцируя её по
обычным правилам как функцию і.
Пример 2. Найти производную функции
Будем рассматривать у как сложную функцию:
y=zuvt где и = 1 -f- д;2, & = siru:;
4У — ^ ^w і ду dv
dx ~~ди dx~^ди dx '
При v постоянному ~av будет степенью, а при и постоянном —
показательной функцией. Следовательно,
Кроме того, имеем
ду - ду
^L — vav-Л s—uV\n и.
ди dv
du _ dv
— = 2Х И — = COSA\
ад: rt.v
Подставляя найденные выражения для частных производных функции
у и производных функций и и v в формулу (а), получим;
или
-— — vuv~l 2х 4- я» In а cos л:.
= (1 + *»>.:.*. [.^!iL?.+ C0SA-In(Ii_.v2)j>
Тот же результат можно было бы получить, находя предварительно
производную функции
ln„v = sinA'in (1-\-х2).
Если независимое; переменное t совпадает с одним из
аргументов, например xt то нужно различать частную
производную данной функции по х, иначе производную по л\ входящему
явно, и полную производную по х. Формула (20) принимает
в этом случае вид
. dx дх ~ ду dx* dz dx > ^u '
ибо, полагая t — x, будем иметь:
dx_ dx . dy_ dy dz__dz_
at ~ dx~ ' dt~~dx' (lF~~~dx
149

Первое слагаемое суммы (20') будет частной производной
функции и по х или производной по х, входящему явно, а вся
сумма — полной производной по х.
Пусть аргументы дг, у, z функции
u=f(x,y,z)
зависят не от одного, а от нескольких независимых переменных,
например, ?, q, С,...:
х = х($, ij, С,.-.)». 3/=>,(SJ J], С..-)» ^ = <z(S, ч, ?,...).
В таком случае и будет сложной функцией нескольких
независимых переменных:
и = Ф(?, т]. С, ...).
При нахождении частной производной этой функции по ?
остальные независимые переменные должны считаться
постоянными, и потому мы имеем здесь ту же задачу, что и раньше,
задачу, которая привела нас к формуле (20); вся разница только
в том, что вопрос идёт теперь не просто о производной сложной
функции по (одному) независимому переменному (*), а о частной
производной сложной функции по одному из независимых
переменных. Таким образом будем иметь:
(22)
да
dt :
да
да
да дх
~"д!Ж
да дх
дх дті
да дх
"~ дхЖ
\да ду
~Т~дуЖ
]да ду
*дудт\
х_да ду
idydZ
\да dz
*ШЖ'
\ди dz
\~dzdy\ '
\да dz
ідіЖ1
J
Полный дифференциал и в этом случае сохраняет ту же
форму (16), только dx, dy, dz не будут совпадать с приращениями
Lx, Ду, Дг аргументов, а будут полными их дифференциалами
относительно независимых переменных S, q» С,... Действительно,
по определению имеем:
Внося сюда вместо частных производных функции и по ?, 7], ?, ...
их выражения (22), получим:
+|(1*+§^+|.л+.:..) +
150

Выражения, на которые множатся в правой части предыдущего
равенства частные производные функции и по х, у, z, суть
полные дифференциалы аргументов ху у, z относительно
независимых переменных $, 7], С, -.. Следовательно,
§ 6. Дифференцирование неявной функция.
Правило дифференцирования сложной функции даёт
возможность находить и производные неявных функций, как одной, так
и нескольких переменных. В первом случае неявная функция у
определяется уравнением вида
Левая его часть является сложной функцией; она зависит от х*
входящего явно, и от х, входящего через у; производная такой
сложной функции находится по вышеустановленному правилу. Но
при изменении х и соответствующем изменении. j> эта сложная
функция сохраняет постоянную величину, равную нулю. Поэтому
производная её, как производная постоянного, равна нулю:
dLd± ±d±dy=Q или У. + *і*У = 0
дх их ' ду dx ' дх ' ду dx *
откуда и находим искомую производную неявной функции у:
dy дх
dx~ &Г
ду
Пример 1. Найти производную функции у, определённой
уравнением
f(x,y) = л-2 +3ху — у% + 2* — у -f 2 = 0.
Решение.
откуда
(2^-f3^ + 2)-b(3x-2^-l).g = 0,
<у__ 2х -[- Ъу + 2
dx" Ъх — 2у—\ "
Рассмотрим теперь неявную функцию z нескольких переменных,
например двух, определяемую уравнением вида
f(x,y> z) = 0.
151

Решая это уравнение относительно z, мы получили бы г как
некоторую определённую функцию двух независимых переменных
х и у. Поэтому при дифференцировании по х этого уравнения
левую часть должно рассматривать как сложную функцию х,
зависящую от х явно и через z, а у как постоянное;
?? + ?* 0, или #+?? = 0;
dxdxп dz дх ' дх х oz дх
отсюда
д±
dz дх_
дх~~~ д?'
dz
Точно так же при дифференцировании по у левая часть
рассматривается как сложная функция, зависящая от у явно и через z,
а х как постоянное:
df dy , df dz
dy dy * dz dy '
откуда
*
= 0,
dz _
ffV-
ИЛИ -r^
dz
Пример 2. Функция z двух независимых
делена уравнением
f(x,ytz) = x^
2у" + -
z1 — Sxyz -
>dfdz_
= o,
переменных .v
-2^ + 3-
= 0.
и у опре-
._. ,. dz dz
панти -з- и -г-.
дл: dy
Решение.
% = 3*-~Ъ,*, |=6у.-3«-2, | = 3,«-3«.;
<з,.-з^Жз,= -з^| =о, |= --?=?;
W-to-4 + Ои.-ад 1=0, 0= -^JX2-
Проведённый выше вывод формулы для производной от неявной
функции опирается на предположение, что эта функция
действительно существует и притом дифференцируема. В следующем
параграфе мы рассмотрим вопрос о том, при каких условиях это
предположение действительно выполняется.
§ 7. Теорема о существовании неявной функции.
Когда функция какого-либо аргумента дана явно, в этом явном
выражении функции содержится и способ её вычисления для каждого
данного значения аргумента. Если функция задана в неявно-:! форме урав-
152

пением, связывающим значения аргумента с соответствующими
значениями функции, то для вычисления величины функции" по заданному
аргументу приходится решать некоторое уравнение.
Так, если функция дана в неявной форме уравнением f(xyy) = Qt
то для нахождения величины .у при заданном л'="л-„ надо решить
уравнение /(л'о, у) = 0 относительно неизвестного у. Но такое решение
воіможно не для всякого уравнения. Чтобы уравнение fix,у) ~0
действительно определяло некоторую функцию аргумента л-, т. е. чтобы
хотя бы для некоторого интервала нзмзнснии л**каждому значению л"
соответствовало вполне определённое действительное значение j/,
функция f(x,y) = 0 должна быть подчинена некоторым ограничительным
условиям. Достаточные условия для существования и
дифференцируемое™ неявной функции даются следующей теоремой.
Теорема. Пусть функция j'(х\ у) удовлетворяет следующим
условиям: 1) она непрерывна в некоторой области D изменения
переменных х и у\ 2) в точке (х0і у{)), лежащей вчутри этой
области, обращается в нуль, т. е. } (лг0, >',,)= 0; 3) имеет в обла:ти D
частные производные по х а по у, причём 4) ча^тчая производная
по у отлична от нуля в точке (лг(!, y(j) и непрерывна в окрестности
этой точки х). Тогда уравнение f{x,y)^=0 при в-'ех значениях х>
достаточно близких к л'0, имеет единственное действительное
решение относительно у: у — у(х), причём функция з(х) непрерывна
и дифференцируема для всех х, достаточно близких к Xq, и
принимает значение уп при х = Х? y(x0)=.v„.
Для доказательства этой теоремы заметим прежде всего, что в силу
непрерывности функции Д, (дг, у) и неравенства fv (х^ >',,) ф О эта фуик-
ция сохраняет знак числа fy (х^у^) в некоторой окрести >сти
Л'о — s < * < л*,. 4- ?, Vn — з < У < У и -г 5
точки {х^УиХ будем предполагать, например, что /г(л>, у,Л > О и,
значит, во всей указанной окрестности fy (.v,jу) > 0. В силу этого
функция f(x0, у) одного аргумента возрастает в интервале (>',> — ?, Уо4"г)»
и так как в точке у=у$ она равна нулю, то
f(x0, j/-e)<0 и f(x^y-i~i)>0.
Тогда, в силу непрерывности функции f{x,y), существует такое число
Л>0 (которое мы можем считать не превосходящим г), что для
всякого значения л- из интервала .v0 — h < .v < x0-~h (содержащегося
в дг0 — s < лг< л"о -f-?) имеют место неравенства
/(х,Уь-*)<0 и f{x,y(l + z)>0.
Закрепив любое какое-нибудь из этих значений .v, рассмотрим функцию
f(x,y) одного аргумента у. Так как она непрерывна, монотонно
возрастает и принимает на концах интервала О',, — ;, Ул +¦?) разные
знаки, то в некоторой точке этого интервала, и притом только в
одной, она обращается в нуль.
!) Т. е. как в самой точке (х0> у0\ так и в точках (x,y)t координаты
которых отличаются по абсолютной величине от координат точки
(¦*¦()> Уо) меньше чем на некоторое с.
іза

Таким образом, каждому значению х в интервале х0 — h < х < x^h
будет соответствовать одно и только одно значение у такое, что
f(x,y)=:Q. Следовательно, в интервале Xq — Л< х <і я"о~Ь А существует
¦однозначная функция.}/= ?(*), удовлетворяющая уравнению/(ху у) = 0.
Эта функция непрерывна в интервале (х^ — Л, лг0~|-Л). В самом деле,
возьмем какое-либо значение х=хі внутри этого интервала и
соответствующее ему значение у=Уъ удовлетворяющее уравнению
/(хіу Уі) = 0. Значения х\ и уі не выходят из окрестности
x0 — h<x<xQ+-h1 У0 — ?<У<Уо-\-г (А)
точки (Хо, Уо). Дадим Х\ приращение Лд: настолько малое, что
х0 — h < хі -(- Д.г < дг0 ~\- h.
Значению х=^хх-\~^х соответствует в силу изложенного выше
значение у—ух+-\у, причём у0 — s<j/14-Ay<j/04-e и /Ui-|-4*,
-Уі -h 4У) = 0. Составим теперь полное приращение функции /(х, у)
в точке (*і, Уі). В силу условий 3) и 4) мы можем заранее выбрать 5
и h столь малыми, чтобы в окрестности (А) существовали частные
производные функции /(.V, у) по х и _у, причём частная производная по у
была непрерывна. Тогда согласно предложению, доказанному в § 4
(стр. 144—145), f(x,y) будет дифференцируема в этой окрестности
и потому будем иметь:
* / (*ь Л) = /^ Л* + fyt АУ + еі Ьх + е2 Ду = 0. (23)
Так как /j, 7^ 0, то из этого равенства следует, что при
уменьшении Дд: до нуля Сьу также уменьшается до нуля. Отсюда следует,
что функция у = <о{х) непрерывна в точке x\t т. е. в каждой то"чке
интервала (х$ — Л, х0-\- Л).
Далее, из равенства (23) следует, что у (дг) дифференцируема в точке
хі. В самом деле, разделив обе части на Ддг, получим:
f* +/л5 + Ьх' ™°-
Приближая Ддг к нулю и замечая, что Игл —-—^ 2 - = 0, а/' =?0.
Ну
заключаем, что Jim -p- существует, причем
д*-*п **х
откуда
ііш АУ—_^Ь
Д^-»-0Длг /' '
Ух
Таким образом, функция _у = ср(дг) имеет определённую конечную
производную во всех точках интервала х$ — h < х < х0 -\~h, За-метим, что
одновременно мы вывели заново и формулу для производной от
неявной функции, полученную в предыдущем параграфе.
Пример 1. Уравнение f(xly)=y — x2 = Q в точке (0, С)
удовлетворяет условиям теоремы.
¦ В самом деле, /^ = 1 ^ 0. Функция f (х, у) дифференцируема.
Данное уравнение определяет единственную функцию у = х2,
154

Пример 2. Уравнение f(x,y)=y2 — х = 0 не удовлетворяет усло-
виям теоремы, так как fy — 2y и при х = 0, у = 0 имеем /v' = 0; таким
образом, мы не можем утверждать, что указанное уравнение
определяет единственную функцию у, равную нулю при х = 0, И в самом
деле, данное уравнение определяет две такие функции: у = -\-У"х и
у= — Ух. Но в точке (1,1) условия теоремы выполнены, так как в
этой точке fy=l. Следовательно, уравнение у2~х определяет едьн-
ственную функцию, принимающую при х = 1 значение у=1. В самом
деле, из двух функций .у = 4- Vx и у = — Калишь перЕая
удовлетворяет этому условию.
Доказанную теорему легко распространить на функции любого
числа аргументов.
§8. Геометрическое значение частных производных и полного
дифференциала функции двух независимых переменных.
Геометрическое значение частных производных и частных
дифференциалов вытекает из самого их определения. Функция
двух переменных
z=f{*,y) (24)
геометрически представляется некоторой поверхностью, являясь
аппликатой точки, движущейся по этой поверхности. Если мы
берём частную
производную по х, то у при этом
рассматривается как
постоянная величина и z
является функцией одного
независимого аргумента х.
Соответствующая точка
М{х, у, z) при изменении
х перемещается на
поверхности (24) по некоторой
линии MP,
расположенной в плоскости,
параллельной плоскости xOz
(черт. 23). Давая хприра- ^
щение Длг, мы из точки
М{х, у, z) перейдём в
точку Р{х-\-кх, у, z-\-
-¦j-Д^) на этой линии.
Пусть MP'— касательная к линии MP, и МРХ есть прямая,
параллельная оси Ох, а точки Р, Р', Рх лежат на прямой, гараллель-
ной оси Oz. Согласно установленному раньше геометрическому
значению производных и дифференциалов (т. I, стр. 319—320) мы
155
Черт. 23.

должны иметь:
? = tg РгМР', dxz= pdx = PJ». (25)
дх ах
Точно так же, считая х постоянной величиной, а у
переменной, мы будем перемещать точку М(х, у, г) на рассматриваемой
поверхности по линии MQ, расположенной в плоскости,
параллельной плоскости yOz, и, произведя соответствующие
построения, найдём:
l^tgQ.MQ', dyz ^d^.dy=QxQ. (26)
Если хну одновременно получат приращения Ах и Д_у, то
функция получит полное приращение Lz. Точка М перейдёт при
этом в точку R на поверхности, и мы будем иметь:
Дгг±=/(х + Л*1 y + by)—f(x,y) = RxR.
Параллелограмм MPXRXQX проектируется на плоскость хОу
параллелограммом M0P0R()Q0. Продолжая проектирующую призму
с основанием M0P0R0QQ до пересечения с плоскостью,
соединяющей касательные прямые MP' и MQ\ получим третий
параллелограмм MP'R'Q'. Нетрудно убедиться, что RxRr и будет
полным дифференциалом. Действительно, центры Л/"0, Mv N'
параллелограммов лежат на одной прямой, параллельной оси Oz;
NXN' является средней линией трапеции PxP'Q'Qly и потому
Л^'=~(ЛР' + ^<Э'). (27)
С другой стороны, NXN' является также средней линией
треугольника MRXR\ и, следовательно,
Ы$=\~ЩЯ. (28)
Из равенств (27) и (28) следует:
^ = /У5Г+0^г или W = gjA* + f^* (29)
и5о РХР и QXQ суть частные дифференциалы рассматриваемой
функции [(25) и (26)1.
Пусть точка М(х, у, z) перемещается по поверхности,
оставаясь в какой-либо одной вертикальной плоскости, например так,
чтоЗы проекция этой точки на плоскость хОу, т. е. точкд М0 (х, у)
перемещалась по диагонали Лу?0 параллелограмма Ж0/у?0ф0.
Переменные х и у не будут уже независимыми переменными.
Если обозначим смещение точки М0(х, у) от некоторой
начальной точки её пути через і, толги^у будут линейными функциями
156

переменного t. При такой зависимости х и у от t
соответственные приращения Д/ = Ж0/?0, Дл; = Ж0Я0, ly = MQQQ меняются
пропорционально и потому
Ьх dx Ду dy
SF~dt* ¦ дг—5F'
Д* = ? А*, Ду=?Ді (30)
Производная функции^ по і и её дифференциал выражаются
следующими формулами:
dz dz dx , dz dy , dz . , dzdx Kf ^ dz dy K4
или, в силу равенств (30),
<&=§Д*+|5Ду. (31)
Таким образом дифференциал функции z при рассматриваемой
зависимости х а у от і геометрически представляется, как видно
из равенства (31), тем же отрезком RXR'. Отношение этого
отрезка к соответственному приращению независимого
переменного \t = MRx представляет поэтому производную функции z
по /:
RxRf _dz
MRi ~~~dt'
Из прямоугольного треугольника MRXR' следует:
%? = \gZ.*xMR'. (32)
С другой стороны, согласно геометрическому значению
производной, имеем
!=*»¦ (33>
где а — угол, образуемый касательной к кривой MR в точке М
с прямою M0Ro или MRV Из равенств (32) и (33) следует:
т. е, диагональ MR' параллелограмма AIP'R'Q' и будет
касательной к кривой MR в точке Л1
Ду
Меняя отношение приращений^, иначе — вращая
вертикальное сечение поверхности около М§МЛ мы не изменим
направлений MP и MQ', но параллелограмм MPQR' будет меняться,
157

оставаясь в одной и той же плоскости; будет меняться в своём
'направлении и диагональ его MR', оставаясь всё время каса-
' тельной к соответствующему сечению поверхности, т. е. к самой
поверхности.
Таким образом все касательные к поверхности в точке М
лежат в одной и той же плоскости; эта плоскость называется
касателъною плоскостью к поверхности.
Точка М является точкою прикосновения касательной
плоскости MP'Q't точка R' лежит в касательной плоскости. Так как
то полный дифференциал функции z=f(x> у) является
приращением аппликаты касательной плоскости при смещении её
основания М0 в какую-либо точку R0 плоскости хОу, иначе — при
изменении аргументов х и у. Это геометрическое значение
полного дифференциала функции двух переменных совершенно
аналогично геометрическому значению дифференциала функции одного
независимого переменного (т. I, стр. 332).
§ 9. Уравнение касательной плозкосги и нормаль
к поверхности.
Геометрическое значение частных производных функций двух
независимых переменных даёт возможность составить уравнение
касательной плоскости к поверхности в данной на ней точке.
Пусть уравнение касательной плоскости к поверхности
z=f(x,y) (34)
в точке М(х> уj z) имеет вид
AX + BY+CZ-{-D=Ot (35)
где A*, Y, Z — текущие координаты, а Л} В, Си D —
неизвестные пока коэффициенты. Большими буквами X, У и Z будем
обозначать текущие координаты точки, перемещающейся по
плоскости, в отличие от обозначаемых малыми буквами х, у, z
координат рассматриваемой точки поверхности.
Точка M{x,y,z)t как точка прикосновения, должна лежать
на касательной плоскости; поэтому
Ax + By + Cz-{-D = 0. (36)
Почленным вычитанием мы исключим из уравнения (35) и
равенства (36) один неизвестный коэффициент D и получим
уравнение той же плоскости в ином виде:
A(X—x)+B{Y-,y) + C(Z-g) = 0;
158

отсюда
А В
или, полагая —~г—Р и —7?~$'
Z-z=p(X-x) + q(Y-y). (37)
В этом уравнении X, У, Z рассматриваются как текущие
координаты, а ху у, z — постоянные.
Определим теперь коэффициенты р и д. Пересечём
касательную плоскость плоскостью, параллельной координатной плоскости
xOz и проходящей через точку М{х, у, z); уравнение этой
плоскости
У=у.
Поэтому линия пересечения этих плоскостей, т. е. MP' (черт. 23),
выразится уравнением1)
. Z— z=/7 [X — л:),
и стало быть угловой коэффициент её равен р. Но мы уже
знаем (стр. 155—156), что угловой коэффициент линии MP равен
соответствующей частной производной; следовательно,
dz
Р^дх-
Точно так же, пересекая плоскость (37) плоскостью,
параллельной плоскости yOz, уравнение которой Х=х, найдём, что
dz
Следовательно, уравнение касательной плоскости будет
Это уравнение мы могли, бы вывести и непосредственно из.
выражения полного дифференциала
Пусть X, Y, Z — координаты какой-либо точки касательной
плоскости в точке M(x,y,z). Исходя из геометрического зна-
Ц Точнее — двумя уравнениями: Z — z — p(X—x) и У=у. Но
так как прямая, определяемая этими уравнениями, лежит в плоскости,
параллельной плоскости xOz, и так как нас интересует только её
направление, то в данном случае и не принимается во внимание
уравнение К—J/.
159

чения дифференциала и определения приращений, выразим dz,
Lx и Ду через X, К, Z и л:, _у, г;
dz = Z— z% Lx = X—х, ky=Y—у.
Подставляя эти разности в выражение полного дифференциала,
мы и получим уравнение касательной плоскости (38).
Нормаль. Приводя уравнение (38) к нормальному виду, мы
тем самым определим и направление (а, [$, у) перпендикуляра
к ней (т. I, стр. 199). Имеем:
где р и q — частные производные z по х и по у. Следовательно
cos a = , , cos В =
(39)
1.
C0SY= =.
Перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания
называется нормалью поверхности. Уравнения этой линии тоже
легко найти. Уравнения нормали, как прямой линии, проходящей
через точку M{x,yyz) и имеющей данное направление,
определяемое формулами (39), имеют вид (т. I, стр. 202)
X-x=Y~-y_Z-z
cos a cos р cosy '
или, по замене косинусов величинами р\д, —1, им пропорцио*
нальными:
*11* = Г=У = ё=*т (40)
Р д — 1 v '
Пример. Найти касательную плоскость к эллипсоиду,
определяемому уравнением
л;2 , у* . z2
_4-^-Д--- — 1—0
dz dz
Решение. Находим прежде всего частные производные -,— и j-:
2х , 2г dz л <?г л: с2
¦з+ггй^0 и отсюда^=-т^:
2.у < 2zdz - dz у с2
F + ?^ = 0 й ОТСЮда^=~Тб2--
Составляя искомое уравнение касательной плоскости по формуле (38)
получим:
160

Перенеся все члены в левую часть, делим на с2 и умножаем на z:
или
Но
.5 > Л *.*>
Х'л , V3 . Z*
так как точка М (ху у, z) лежит на эллипсоиде. Следовательно, уравнение
касательной плоскости примет вид
Хх , У у , Zz
^+^+^-і-о.
§ 10. Высшие частные производные. Независимость
результата дифференцирования от порядка многократного
дифференцирования.
Частные производные функции нескольких переменных, вообще
говоря, зависят от тех же переменных, и по ним их снова можно
дифференцировать. Получим таким образом частные производные
высших порядков. Так, для функции z двух переменных хну
дг dz тт j.
имеем две частные производные первого порядка j~, ^-.
Дифференцируя каждую по хну, получим четыре производные
второго порядка, которые обозначаются следующим образом1);
JL(iL\—??L А (дг\— дЧ
дх\дх)'~ дх*' ду \дх) ~~ дх дуг
дх \ду)~~дудх ' ду\ду)~~ ду*л
Так же определяются и частные производные третьего порядка,
четвёртого и т. д. Число этих частных производных с
повышением порядка всё увеличивается. Но среди них некоторые будут
равны; именно, можно доказать, что порядок многократного
дифференцирования непрерывной функции, если только она имеет
непрерывные частные производные рассматриваемых порядков, не
влияет на результат дифференцирования; так,
д*г __ дЧ д*г д*г _ &г
дх ду ду дх ' дх ду*~~ ду дх ду ~~ ду* дх *
і) Порядок, в котором написаны внизу дх и ду, указываем на
порядок, в котором были произведены дифференцирования.
И Курс высшей математики, т. II. 191

Достаточно рассмотреть это предложение для вторых
производных, т. е. доказать, что
d-z д'2г ?„ t„
= ИЛИ Т ==¦ Т .
дхду дудх9 JХУ Jy*
Теорема. Если функция г=/{х, у) имеет частные
производные f, f и вторую частную производную f непрерывную в
х у лу
точке (х, у), то она имеет в этой точке и вторую
производную /" и притом тождественную с первой, т. е. при
данных условиях порядок дифференцирования не влияет на
результат дифференцировлния:
f = /"
J xy J ух*
Доказательство. Составим второе приращение ДЛ(Д г),
т. е. изменяя сначала уу а потом х:
Д, (1уг) = [f(x + ±х, у + Ду) —f(x + Д*. у)] —
— [/{х,У + ±У)—/(х,У)]- (41)
Положим ради краткости
<t(x)=f{x9y-\-Ay)—f(x,y),
отмечая зависимость лишь от х. Таким образом равенство (41)
можно представить в следующем виде:
д* (V) = ®{х + кх) — и (*).
По теореме Лагранжа о конечных приращениях (т. I, стр. 354),
имеем:
Д,(Д^) = Дх<р'(* + 0Д*),
где 0 <^ 6 <^ 1, или, по замене ср' (х -\- 0 \х) его выражением:
Дх (Д^) = Д* [Гх (х + 6 Дх, у + Ьу) —/; (jc'+ 6 Д*, у)].
Разность в правой части этого равенства представляет также
приращение функции, именно функции f [х -f- G Длг, у) по у.
Применяя снова теорему Лагранжа, получим:
А* (М = Ах ^yfxy іх + 8 be, у -j- 0, Ду), (42)
где О<02<1. Но fxy{x,y), по условию, — функция
непрерывная в точке (х, у), следовательно,
А« !Й^(JC+G Ах' ^+0;l 4y)=/^{х> у)'
Ду -¦ Q.
162

по определению предела, имеем:
fxy <* + 0 Ах, у + в, М =/^ (Jf, У) + в, (43)
где б стремится к нулю вместе с 1х и Ду, иначе — вместе с
р = |Дх -|-|Д_у|. Таким образом из равенств (42) и (43) следует:
Дж (Ауг) = Д* Д.у [/^ (х, j,) + г]. (44).
Делим обе части этого равенства на \у и переходим к пределу,
предполагая Ду стремящимся к нулю; при этом в правой части,
быть может, будет изменяться г, оставаясь всё-таки бесконечно
малым, стремящимся к нулю вместе с 1х:
ду-,0 ХУ —™Vxy
\im-^=bx[fxv{x,y) + t']. (45)
]
Но на основании равенства (41) имеем
r A*<V> ,- Г/^+Аж«-у + Ау)-/и + ^.Л
lim ——— = hm I ¦ г
Ay-* О Д^ А/-* О L 4У
/(¦*,> +Ау)-/(*. .У)
Лу
или, согласно условию теоремы,
Ау -> 0 -^ ^
Таким образом, равенство (45) принимает вид:
/; (х + Дх, у) -/; (х, у) = \х [fly (х, у) + ?'] (45-)
или, после деления на Дл:,
Первое слагаемое правой части этого равенства, т. е. f'{x, у)у
— величина постоянная относительно Дат, a s' стремится к нулю
вместе с Дх, так как 1у уже положено равным нулю.
Следовательно предел левой части при Дл:, стремящемся к нулю, существует,
а этот предел, согласно определению, и есть f'(x, у). Таким,
образом из равенства (46) имеем
fyx{x,y)=f"xy{x, у), (47)
т. е. порядок дифференцирования не влияет на результат.
Предложение остаётся в силе и для высших частных
производных, если функция имеет их и если эти высшие производные
11* 163

непрерывны. Докажем, например, что
дЧ дЧ
дх ду* ду дх ду *
По смыслу обозначения и по доказанному (47) имеем:
дЧ д\дх~3у) = д\дудх1= дЧ
дхду* ду ду у дудхду '
Пример*
z = а^х* -+ а\**У + <**хУ* 4- из J^.
Частные производные первого порядка представляются в
следующем виде;
рх = Зяо*3 + 2агху ¦+ ъу\ ~у = а& + 2а2ху + 3<г3у2.
Находим теперь частные производные второго порядка:
дЧ его <*** о I *
Мы видим действительно, что
дЧ дЧ
дх ду ду дх *
Частные производные второго порядка функции двух
переменных принято обозначать ещё следующим образом:
дЧ _ дЧ _ дЧ _
дх* ~г> дхду ~S> dy*~U
§ 11. Высшие частные и полные дифференциалы.
Частные и полные дифференциалы функции нескольких
переменных, например двух, z=f{x, у), являются функциями тех
же переменных и могут быть снова дифференцируемы; при этом,
если аргументы х, у — независимые переменные, то их
дифференциалы dx, dy не зависят от х к у и при дальнейшем
дифференцировании рассматриваются как постоянные. Таким образом,
вводя соответствующие обозначения для частных и полных диф-
164

ференциалов высших порядков, будем иметь:
ddz^cPz=^dyK
ду "-¦¦" j
V"> **> dy* ^"*
Точно так же для полных дифференциалов получим;
ddz . (д-z j , d*z , \ .
J-dx = [^dx-\-dT^dy)dx,
ddz , / d*z , , d*z , \ ,
ddz = dh=^dx + ^dy)dx+^dx+*Ld),) dy,
ИЛИ
*№> „ v —- i* г ч. v — ~
dx* ' ' " dx dy " * dy
..> д-z j»,-, d-z , . , 0-2: . _
Тот же результат можно получить также не помощью сложения
частных дифференциалов от dz> а оперируя по общим правилам
дифференцирования, которые одинаково относятся и к полным
дифференциалам, т. е. составляя сумму полных дифференциалов
отдельных слагаемых. Так, из второго полного дифференциала
(49) мы получим этим способом dzz\
d3z=ddZz = d^.dx* + 2d^.dxdy-{-d^-dy*
ИЛИ
откуда
d<>z =
&™+*^^dy+*i!r&d*d*+wd* (50)
165

Выражения (49) и (50) можно представить символически
следующим образом:
Символы -г—, g—, не имеющие самостоятельного значения,
при раскрытии скобок рассматриваются как дроби; дх, ду, dx и
dy расматриваются каждое как одно количество, а после
раскрытия скобок z при умножении приписывается в числителях
к степени буквы д. Это же правило распространяется и на высшие
дифференциалы. Так,
&z=(±dx-\-±-dy)\
откуда, применяя указанное правило раскрытия, получим
_±_ ."<"-l> *!* dxn-4f+... + д-р- dy\
Если аргументы x, у не суть независимые переменные, а
являются сами некоторыми функциями других независимых
переменных S, *],..., то dx и flfy уже нельзя рассматривать как
постоянные: они будут зависеть в общем случае от ?, % ...,
именно, через посредство частных производных х и ^ по ?, 7],...
Действительно,
Если х и у суть линейные функции ?, Г;,..., то
<?лг &с <^у ду
Ж9 Зп'- <?? ' дц
будут постоянными, а вместе с тем будут постоянными в этом
исключительном случае и dxy dy.
Итак, пусть
*=/(*. J') и *=*($, У],...), 3/=^/(?, Ч, —).
Будем обозначать символом dn[z] полный дифференциал этой
фуькции л-го порядка, если аргументы её зависят от новых
переменных, сохраняя обозначение dnz для /z-ro дифференциала
той же функции, когда такой зависимости её аргументов не
предполагается.
166

Полные дифференциалы первого порядка d [г] и dz имеют
одинаковый вид:
Но дальнейшее дифференцирование вносит уже разницу:
или
+ (?** + &*)* + $<*
откуда
или
Сравнивая с формулой второго дифференциала d~z, мы
заметим, что к прежнему выражению второго дифференциала
прибавляются члены, содержащие вторые дифференциалы аргументов:
Таким же способом можно получить d*[z], d4[z] и т. д.
§ 12. Теорема Эйлера об однородных функциях.
Функция нескольких переменных f(x, у, z,...) называется
однородной относительно этих переменных, если при
умножении всех переменных на какое-либо число t функция
получает множителем некоторую степень t, т. е. если
/(/х, /у, fz,...) = i"f(x,y, *,...)• (51)
Число т называется показателем однородности. Так, функции
х2 — Зху -\-у2, V ху—х-\- — > arctg ^
будут однородными; показатель однородности первой равен 2,
второй 1, а третьей 0.
В равенстве (51) аргументы х, у, #,..., і являются
независимыми переменными. Функции/(/хт іу, /г,...) и іт/(х, у, г,...)
по определению тождественны, 'поэтому и частные производные
их по переменному t тождественны. Но первая из этих функций
167

является сложной функцией і\
f(ix% іу, tz1...) = f(u, v, да,...), (52)
где u = txt v=tyi w=:lz,,.. Таким образом из равенства (51)
будем иметь:
или
Это равенство справедливо при всяком значении t. Полагая
/= 1 и принимая во внимание, что
(д1\ —д± (д1\ —д1 (дЛЛ
\ д*)ы\ ~ дх' V до)Ы1 — ду' \дт)ых
получим
т. е. сумма частных производных однородной функции,
умноженных на соответственные переменные, равна произведению
самой функции на показателя однородности.
Это предложение и составляет теорему Эйлера об
однородных функциях.
Пример.
і (х, у, z) = Ацд;3 4- а&у* + язз-г3 + 2а2зУ* 4- 2в8і» + 2ai2*_y.
д~ = 2 (апх 4- лв^ 4~ *іэ*). jj? = 2 (*зі* + *й.У + «а»*),
^ = 2 (л31л: -f 032 У 4- Д33г).
j На основании теоремы Эйлера по сокращении на 2 получим сле-
f дующее тождество:
a1^^ai2y + al3z)x^(anx + a-22y + a2Bz)y-\~(aB1x-\~a^y^ranz)z=
= ипх2 4- Д22У2 + язз-г2 4- 2а23<уг 4- 2azizx-\~2anxy.
УПРАЖНЕНИЯ.
I. Явные функции нескольких независимых переменных.
1. Найти частные производные и полный дифференциал функций
х* 4- у2
a) z=—-^— , Ь) г = д;24->2 — -*У, с) и = 8іп(дл:4-^ + ^)>
і) u = xS-t-2x*y+Zxz*±z*-3xyz±2x—y + z~6.
168

Ome.a)dz = xdx±ydy b) dzz=(2x-.y)dx±(2y — x)dy,
c) du = (adx-\-bdy ± с dz) cos {ax + by -4- cz);
«—(t/?-'-?)*+^*+!*
2. Определить второй дифференциал функции z = arclg— .
Отв •* 2л^(rf** ~ d& + 2 ^ ~ **>**^
•« (FT?)5 '
3. Отделяя действительную часть и и мнимую v функши (лг-f"
T-W-(*tW+l, где г = /"=1, показать, что — + ~г = 0 и
Ох- оу*
д*у ¦ дЪ
дх* f^ ""и-
II. Сложные функция.
1. Полагая х = tcos я -f- д, .y = *sin a-j-&, найти первую и вторую
производные по t сложной функции f{x, у).
п df df . df .
Отв. -~ = ^cos a4--f- sin a;
dt dx ' dy
—V = з-іг, cos2a + -^—i~ cos a sin я 4- -rv- SI"a a.
tfr2 <?.v* ' Ox dy ' cty-
2. Пусть _у = (р(лг). Составить полную производную по х функции
. У r\ dz xy'—y
z = arctgF. Отв. - = —ф.
3. Составить первый и второй дифференциалы сложной функции.
* = і-1л(*5-|-У>),
где у =*= «р (л;).
иотв. dz_ ^2+.у — х*+у* *
у* - jc«— 4*у/ + (*2 ~ У) У» + (*2 +3*) ЛУ* ,...
а-* _ (*а4-У)а *
4. Предполагая, что функция f(x) имеет первую и вторую
производные не только для действительных значений zt но и для
комплексных z = x-\-iy, где / = Y— 1, доказать, что действительная и
мнимая чясти этой функции а и с удовлетворяют соотношениям (ср.
прим. 3, I):
= 0 и 4-s-4-^-=- = 0.
дх*~д)Р дх* л ду*
Указание. Эти соотношения вытекают из равенств,
получаемых при дифференцировании f(z) по х и у, с одной стороны, как
сложной функции и, с другой,— как суммы и 4-to
169

III. Дифференцирование неявных функций.
1. Функция у определена уравнением:
а) у х*-\-у*—ху=\> Ь) еУ-\-х*е-у — 4лг = 0.
Найти производную У.
Отв. а) У = ^ . Ь) У = — ту-—,.
2. Найти частные производные функции zt определённой
уравнением
xyz — x~y-~z = 0.
~ dz \—yz дг \—xz
Отв. -т-= *-г , •л~=:—г—г*
3. Составить уравнение касательной плоскости в точке (х^ уъ z±)
к гиперболоиду
Ume. —5--г-г* ;зг=1»
Г Л А В А V.
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ.
§ 1. Максимум и минимум функции двух независимых
переменных. Изыскание тех значений аргумента, при которых
функция может иметь максимум или минимум,
Функция двух независимых переменных z=f(x, у) имеет
в точке (я, Ь) максимум, или минимум, если полное
приращение её
bz = f(a + bx, b + Hy)—f(a,d) (1)
сохраняет постоянный знак при всех возможных значениях Д*,
Ду, не выводящих точки (a-\-Lx, b-\-ky) из достаточно малой
окрестности точки (а, Ь). Если, например, Дг сохраняет
постоянный знак при
1/д*2+ду < р,
где р— данное наперёд достаточно малое положительное число,
то f(at b) будет наибольшим или наименьшим из всех
возможных значений функции f{x, у) внутри круга, описанного из
точки {а, Ь), как центра, радиусом р, —будет максимумом или
минимумом в TQ4Ke (a, ?)*
170

Если приращение ba постоянно отрицательно, то значение
функции /(а, Ь) будет максимумом:
/(Й+Дх, * + Ду)—/(0,4X0
и, следовательно,
/(а,*)>/(а + Д*. * + Ду);
а если Дг положительно, то /(а, 4) будет минимумом:
/(а + Д*. 6 + Ду)-/(а, *)>0
и, следовательно,
/(МХ/(* + Л*> * + Ду).
Задачу нахождения тех значений аргументов х и уу при
которых функция f(x, у) может иметь максимум или минимум,
можно свести к изысканию максимума или минимума функции
одного независимого переменного, положив
х=a -f- і cos а, у=b -{-1 s in а, (2)
где і—новое независимое переменное, а а, а и b — постоянные.
Функция f(x, у) будет сложной функцией одного переменного и
Так как
Дл: —Д/соза и Дз> = Д^5іпа,
то td будет гипотенузой прямоугольного треугольника с
катетами Дл: и Ду, а а—углом наклона этой гипотенузы к
положительному направлению оси абсцисс. При а постоянном и /,
меняющемся от отрицательных значений к положительным, точка
(х, у) перемещается по прямой в плоскости* хОуу проходя
при ^ = 0 через точку (а, Ь).
Сложная функция f{a-\-tcosa, b -\-t sin а) для данного
значения а может иметь максимум или минимум при і=07 если
ш,,=°-
1 ^^
Найдём эту производную. Принимая во внимание равенства (2),
имеем:
*~ *± — д1^+д2йу__д_1,д?^а iS]
¦ dt—dxdt+dydt~dxC0Sa + dySma' [6)
Если f(at b) будет максимумом или минимумом функции /{х, _у),
то f(a, b) будет также максимумом или минимумом функции
. f(a-\-tcosa, b-{-ts\na) в любом направлении. Поэтому коор-
" динаты а и b точки максимума или минимума должны удовле-
171

творять уравнению
vcosa+*_slna=0 {4)
при всяких значениях а, т. е. а и b должны удовлетворять
уравнениям г)
Решая эту систему двух уравнений с двумя неизвестными,
мы найдём одну или несколько пар значений х и у, т. е. те
точки {а, Ь), в которых функция f(x> у) может иметь
максимум или минимум.
Условия (4') геометрически означают, что касательная
плоскость к поверхности z=f(x> у) в точке (ау Ь, с), где с =
—f{at b), параллельна плоскости хОу*
§ 2. Условия существования максимума или минимума
функции двух независимых переменных.
Будем теперь предполагать, что в точке (а, Ь) существуют
дЧ d*f дЧ
вторые частные производные ^, ^' , -ф, причём сме-
>/
шанная производная . \ существует также в некоторой
окрестности точки (а, Ь) и непрерывна в самой этой точке (так что
дЧ
согласно доказанному в § 10 гл. IV, , і существует в точ-
дЧ
ке (а, Ь) и совпадает с gj^rr)-
Покажем,.что для того, чтобы при этих условиях
действительно существовал максимум или минимум функции fix у)
• d4 '
в точке (а, о), достаточно, чтобы -^ в точке (а, Ь) ни при
каком значении а не обращалась в нуль.
Вычислим прежде всего -^zf- ). Применяя правило
дифференцирования сложной функции к правой части формулы (3) и при-
* нимая во внимание равенства (2), получаем:
1) Полагая а=0 или « = -7), из уравнения (4) получаем
уравнения (4').
2) Всюду, где при производных не указаны значения аргументов,
будем предполагать, что соответствующая производная взята в
точке (а} Ь).
172

Теперь, из сделанных нами предложений следует (см. стр. 145),
470 2* и ?У диФФеРенциРУемы в точке (е. *). Так как, кроме
того, они обращаются в этой точке в нуль, то имеем:
?/(« + * cos а, Ъ -+- * sin а) /д2/ • #/ \
** —K^cosa+wsina+\)<'
d/(a4-*cosa, ^4-^sina) / №f i дЧ . \
ду -{wkco*a+W*m* + Ti*)'>
где 7jj и vj2 стремятся к нулю вместе с U Поэтому
df (a-\-t cos at b-]-t sin a)
dt Г
df(a-\-tcosa, &-j-*sina) ,
= ^ cosa +
I df(a -j-t cos a, ft -f* sin a)_ „,„ _
и 5? sina=
(дЧ дЧ
^cos2a + 2?^7cosasina +
+ ^ sii^a-f-iji cos a4-42sinaV =
= ®+ч)^ (6)
где jj = ги cos a -f- ij2 sin а; так как | Ч 1 < I Чі | +1 Чг 11 ™ 4
стремится к нулю вместе с t равномерно относительно а.
По предположению, -^ ни при каком значении а не
обращается в нуль. Но, как показывает равенство (5), -^ есть не-
прерывная функция а. Так как а можно считать
изменяющимся в замкнутом интервале (0, 2тс), то заключаем из сказан-
ного, что существует такое положительное число іі, что —і">ц
для всех а, если -г^2 сохраняет положительный знак, либо
&Ч ^ сіЧ
-ф <С—К лля всех а, если —^ сохраняет отрицательный знак.
Выбирая р столь малым, чтобы при \t\ ^ р выполнялось
неравенство |чі<С^і получаем тогда из (6), что знак
df {a -\-t cos а, Ь 4-t sin a) ,,, > л
J v ^ ¦——¦ при |f|<fl и любых a совпадает со
знаком t% если ^- сохраняет положительный знак, либо проти-
d4
воположен знаку /, если -тЬ сохраняет отрицательный знак.
173

Отсюда следует, что внутри круга, описанного около центра
(а, Ь) радиусом р, ло направлению любого диаметра от одного
конца до другого функция f(x,y) переходит в центре (а, д)у
смотря по знаку второй производной её по і, или от
возрастания к убыванию, или от убывания' к возрастанию, т. е. полное
приращение
Дг=/(а-[-Дх, Ь + ?ьу)—/{а, 6)
сохраняет внутри круга (р) постоянный знак.
Геометрически это означает, что поверхность г=/(х,у)
вокруг точки (а, А, с) в достаточной от неё близости располо-
г
У (а.Ы
Черт, 24. Черт. 25.
жена по одну сторону касательной плоскости: под нею в случае
максимума (черт. 24), над нею —в случае минимума (черт. 25).
Исследуем теперь вопрос, при каком же условии вторая
производная
^=^сов»в + 2Дгсо,в8іав + ^8іп«в (7)
сохраняет один и тот же знак, не обращаясь в нуль ни при
каком значении угла а. Всякий трёхчлен вида
Ah* + 2Bhk-\-Ck2
можно преобразовать следующим образом, умножив4 и разделив
его на коэффициент при Л2 и дополняя первые два члена до
полного квадрата:
A» + 2Bhk + C»=* *» + ™>* + *» + *C»-*» t
или
Точно так же преобразовывается и трёхчлен (7):
\2
d*fd*?
_дх*ду*
\дхду)
sinscr
<0*
174
дх*
(8)

Первое слагаемое числителя этого выражения, как квадрат,
есть неотрицательное число. Поэтому знак второй производной
f(x, у) по t зависит от второго члена числителя и от знака
знаменателя.
Условия максимума или минимума. Если при х = а и у = Ь-
^^/ /J2M2 d2f
дх*д)р \дхду) <?" и dP<^u'
то вторая производная сохраняет отрицательный знак, не обра*
щаясь в нуль ни при каком значении угла а, и, следовательно^
/(а, Ь) будет максимумом.
Если при х = й и у = Ь
????_(J2LV>>o и ^>>о
дх* ду* \дхду ) ^ и дх* <? >
то вторая производная •— сохраняет положительный знак и,
следовательно, f(ay b) будет минимумом.
Точки поверхности z=f(x, у)у для которых
. d*f&f ( d*f \2
дх*ду* \дхду ) S '
называются эллиптическими; изгиб поверхности около такого-
типа точки—такого же вида (черт. 24, 25}, как у эллипсоида
(в частности у шара) или эллиптического параболоида.
Пример 1. Определить максимум или минимум функции
' z = — х* — у* 4- 4х 4- 2у - 2.
Решение. Находим частные производные первого" и второго
порядка:
й = ""2г + 4' % = -*> + * ' '
*і —2 -**—<>¦ ** —2
^з— ^ dxdy~v* ду*~ '
Максимум или минимум функции возможен при тех значениях,
аргументов, при которых первые частные производные обращаются..
в нуль:
-2*44 = 0, -2^4-2 = 0;
отсюда
х = 2, у=\.
Вычисляем значение функции при этих значениях аргументов:
г = /(2, 1) = —22— 184-4-24-2-1—2 = 3.
17&

Так как при всяких значениях независимых переменных, а стало
€ыть и при х = 2 и у=\}
?&-k?y)'-<-"-*--.«>.. ?--.<*
то г = 3 будет максимумом рассматриваемой функции.
Задача. Определить вид поверхности, заданной уравнением
Условие, при котором нет ни максимума, ни минимума. Если,
при х = а} у^=д
#/ д*/ ( щ \у0
дх* ду* \дхду ) ^ '
то трёхчлен (7) при двух значениях tga, т. е. в двух
направлениях обращается в нуль; область около точки (я, Ь) этими
направлениями разделяется на две пары вертикальных углов: в
направлениях одной области вторая производная имеет отрицательный
знак, и функция f(x, у) переходит
в точке (а, Ь) от возрастания к
убыванию, в направлениях другой —
положительный, и f(xt у) переходит
от убывания к возрастанию. Таким
образом, есть пути, переводящие
точку (х> У) через точку (а, Ь) из
одного угла в смежный, по которым
функция /(#, у) всё время
возрастает или всё время убывает.
Следовательно, /(а, Ь) не будет ни
максимумом, ни минимумом. Поверхность z=f(xt у) пересекает
касательную плоскость в точке (а, Ь) по линии, две ветви
которой выходят из точки прикосновения.
Точки поверхности, для которых
Черт. 26.
Pf d*f ( ду \«^0
дх*ду* \дхду ) ^и'
называются гиперболическими. Изгиб поверхности около такой
точки седлообразный (черт. 26), подобно изгибу однополостного
гиперболоида или гиперболического параболоида [т. I, стр. 234, 236].
Пример 2. Выяснить, имеет ли максимум или минимум функция
Z = X*—y2—4x + 2y + 6.
Решение, Находим частные производные первого и второго
порядков:
dz п . dz no
дх * ду
дЧ
дх*
= 2.
дЧ
дх ду
= 0,
дЧ
ду*
= -2.
17$

Находим те значения х и уу при которых возможен максимум
или минимум:
2дг —4 = 0, —2>-і-2=:0;
отсюда
х = 2 и у = \.
Значение функции
/(2, 1) = 22— I» —4-2-h2-l-|-6 = 3
не будет ни максимумом, ни минимумом, так как при всяких
значениях х и у, а стало быть и при х~2 и j/=l
WW-KWW) =2-(-2)-0 = -4<0.
Задача. Определить вид поверхности, определяемой уравнением
¦г = .г2— У2 — 4л:4-2.у + 6.
Неопределённый случай. Если при х=а, у = Ь
d*f d*f ( d*f \2_^0
то вторая производная функции f(a-\-t cos a, 3-[-/sina) по /
сохраняет один и тот же знак, одинаковый со знаком производ-
ной -J— (или, всё равно, -т^), но обращается в нуль при одном
значении угла а=а0. Эти данные недостаточны, чтобы сделать
определённое заключение о том, будет ли f(a, b) максимумом
или минимумом функции f(x, у), или ни тем, ни другим. Здесь
возможен каждый из этих случаев.
Действительно, возможно, что вторая производная
-^.обращается в нуль лишь при / — О и й = а0, сохраняя вокруг
точки (а, Ь) постоянный знак; в таком случае /(<z, b)
обязательно будет максимумом или минимумом. Но возможно также,
что в любой как угодно малой области около точки (a, b)
имеются такие значения t и а, при которых -т^ обращается в нуль,
причём f (a-{-f cos a,. b-\-t sin а) испытывает перегиб. Тогда
может случиться, что в непрерывном ряде направлений, выходящих
из точки (а, д) и бесконечно приближающихся к направлению
a=a0, существуют непрерывно переходящие один в другой
максимумы или минимумы функции f(a -\-і cos a, ?-j-/sina). От
закона изменения этих максимумов и минимумов относительно
величины с=/(а, Ь) и зависит вопрос, будет ли /(я, Ь)
максимумом или минимумом функции двух независимых переменных,
или ни тем, ни другим.
Особенно интересным представляется тот возможный при
этих условиях случай, когда функция /(#-[-/cos a, b-\-t sin a)
12 Курс высшей математики, т. IIt 177

во всех направлениях, т. е. для всякого значения а имеет
максимум (или минимум) при 2 = 0 и тем не менее f(a, b) не будет
максимумом (соотв. минимумом) функции двух независимых
переменных f{xy у). А именно, может случиться, что в направлениях,
достаточно близких к направлению а = а0, функция f(a-\-lzosa>
й-f-^sina), начиная от ?=0, сначала убывает, потом в
некотором интервале (т{1 М{) возрастает и потом снова убывает и
т. д., а при приближении а к а0 интервал (тіУ М{) становится
бесконечно малым, и обе точки ті и Мі совпадают с точкою
(а, Ь) при а = а0 (черт. 27). Пусть х{і у.— координаты
точки М{, Если
/(*/. У,) >/(«, *),
то мы и будем иметь этот на первый взгляд парадоксальный
случай. Таким образом, чтобы функция /(лг, у) имела максимум
в точке (а, Ь), н е.д о с т а т о ч н о,
чтобы она во всех
направлениях имела максимум в этой точке,
т. е. чтобы функция /(а ~\~ і cos а,
b-\-t sin а) для всякого значения а
при і = 0 имела максимум. Другими
словами, выражаясь топографически,
из того, что из данной точки А
горной поверхности во всех
азимутах идут тропинки вниз, не следует,
что точка А — вершина горы; нужно
этот начальный спуск вниз по
Черт. 27.
добавить для этого, что
всякой тропинке продолжается на некотором конечном
протяжении, не стремящемся с переменой азимута к нулю, а не
переходит через всё меньшие промежутки в новый подъём.
Следующий пример иллюстрирует указанную возможность.
Пример 3. Имеет ли максимум или минимум функция
z = — (л-а ±у) С*2 -Ь 2у), или z = — хі — Zx2y — 2j/2? (a)
Находим частные производные первого и второго порядков:
|? = _4д.з_6ду,(
dv
4у;
дх*
дхду
— 12х2 — 6у,
дЧ
= — 6л:,
дУ-
(?)
(Т)
При х
щаются в
= 0, у = 0 частные производные первого порядка (р) обра-
нуль; соответствующее значение функции равно нулю:
/(0, 0) = 0. Следовательно, плоскость хОу касается поверхности в
начале координат. Исследуем теперь вопрос, будет ли /(0, 0) = 0 макси-
178

мумом или минимумом или ни тем, ни другим. Так как
^-^-(s*r)J,=o=°'(-4,"0==0-
то рассматриваемый случай представляется сомнительным.
Исследуем изменение функции во всех направлениях, исходящих
іИЗ начала координат, полагая x = t cos а, у = *sina:
z =. — t* cos4 а — З*3 cos3 a sin а — 2Р sin2 а, (3)
— = — 4?3cos4 а — 9?2 cos2 a sin а — М sin3 а, (*)
^зг = — Ш8cos* a — 18* cos2 a sin a — 4 sin3 a. (C>
d**
Так как
(SL- - (?)„=-«¦-*
то при a ?? О значение /(0, 0) = 0 будет максимумом переменной
величины z как функции t. Для направления а = 0 при переменном t
имеем:
(§).=.=-«•• .(?)_>«. (!).=,,<»¦
Следовательно, при ? = 0 функция z и в направлении а=0 переходит
от возрастания к убыванию. Таким образом, во всех
направлениях значение 2 = 0 будет максимумом функции
z = — t* cos4 a — Ы3cos3 a sin a — 2t2 siu- a;
и тем не менее г = 0 не будет максимумом функции двух
независимых переменных
Z- — *4 — Ъх^у — 2у\
Действительно, производная функции z по t для данного
направления а ф. 0 три раза обращается в нуль при следующих значениях t:
при этом
. , _ VT7sinjt_
и *8 —*а— 4^JT'
Следовательно, г, как функция ?, в интервале (*і, ?2) убывает, в
интервале (*2, *з) возрастает, а далее снова убывает; но интервал tb — tz
при а, стремящемся к нулю, стремится также к нулю. Кроме того,
„,._„ - *. (!±р1)' [№)¦-.. 9^F+2
или ,._.,._
w /9 + /іЛ2бУТ7-10 ^Л
. (*),^=і»*а^?_ J р >а
При о, стремящемся к нулю, («)/=/„ оставаясь положительным, т. е.
12* " 179

большим (z)t-Qi стремится также к нулю и таким образом 2 = 0 не
является максимумом функции z = — х4 — Zx2y — 2у\ так как в сколь
угодно малой области около точки (0, 0) имеются такие
направления а, близкие к а0, в которых
О
Касательная плоскость 2 = 0 поверхности, соответствующей
рассматриваемой функции, пересекает эту поверхность по линии
(х*+у)(х* + 2у) = 0,
которая распадается на две
параболы:
х2-\-у = 0 и А'24-2.у — 0.
Эти параболы расположены одна
внутри другой и касаются друг друга в
их общей вершине. На черт. 28
можно видеть, в каких областях
плоскости этих парабол функция z имеет
положительные и в каких —
отрицательные значения.
Давая независимому переменио-
Черт 28. МУ х различные значения, мы будем
получать сечения рассматриваемой
поверхности плоскостями, параллельными плоскости уОг, и так как
уравнение этого сечения можно представить в виде
('+М~К-і").
то поверхность является геометрическим местом парабол с общим
параметром //? = —) , опирающихся в своём перемещении на
параболы
х*-{~у = 0 и х2 + 2у = 0.
Эти результаты исследования и приняты во внимание при
изображении поверхности на черт. 28.
Точки поверхности z=f{xy у), для которых
#fW ( &f \2_
дх* ду* \дхду) ~ '
называются параболическими. Изгиб поверхности около таких
точек может быть и седлообразным, и не седлообразным.
§ 3. Максимум и минимум функции многих переменных.
Задача нахождения максимума или минимума функции
многих переменных
и=/{х, у, г,...) (9)
может быть решена так же, как и для функции двух
переменно

ных, путём исследования изменения её в различных
направлениях. Полагая
x = a-\-t cos a, y~b-\-tcos§, z = c-\-tco$ у, ..,, (10)
где / — новое переменное, а а, Ъ, с,... и а, [$, у,.,.
—постоянные, мы из данной функции (9) многих переменных получим
функцию одного независимого переменного /:
a=/(a-f-*cosa, ?_|^cos^ c-|-*cos у, ...)•
Величины cos a, cos [5, cos у,..., которые можно считать
связанными соотношением
cos2 a -j- cos2 p -}- cos2 у -f-... = 1, (11)
определяют направление изменения точки (х, у, г,...).
Для того, чтобы функция и при ^=0, иначе в точке (а, ?„
с,...), в данном направлении имела максимум или минимум,
необходимо и достаточно, чтобы
SL=° ¦ (?)„*¦>¦ <і2>
Вычисляя эти производные, будем иметь
ди ди , ди а . <?и * і ,„Л
_=_cosa + ^cos^ + ^cosY + ..., (13)
d*rdy cosacos Р"Ь^^^г cosaco^y-f-... (14)
Если во всяком направлении функция а имеет максимум или
минимум, необходимо, чтобы выражение (13) обращалось в нуль
при всяких значениях cos a, cos [J, cosy»..., удовлетворяющих
соотношению (11), а это возможно, если одновременно будем
иметь
¦ Й-»- 1-0. ? = ••- 04
Таким образом для нахождения тех значений независимых
переменных, при которых функция а может иметь максимум
или минимум, мы имеем достаточное число уравнений (15), Пусть
(а, Ь, с,...) — одно из решений этой системы уравнений. Если
-при этих значениях независимых переменных выражение (14)
сохраняет постоянный знак, не обращаясь в нуль ни при каких
значениях a, {J, у,.,., то /(а, *, с,...) будет максимумом при
181

отрицательном знаке этого выражения и минимумом при
положительном1).
Если выражение (14) принимает и положительные, и
отрицательные-значения, то f{a, b, с,...) не будет ни максимумом, ни
минимумом, ибо есть пути изменения переменных х, у, z,...t
ведущие через точку (а, Ь, с>...), в которых функция или всё
время возрастает, или всё время убывает.
Случаи, когда выражение .(14) сохраняет постоянный знак,
достигая в некоторых направлениях нуля, является
сомнительным, и вопрос о максимуме или минимуме функции и =
=/(*і Уі *)...)> в точке (а, Ь, с,...) остаётся нерешённым и
требует дополнительного исследования.
По умножении выражений (13) и (14) соответственно на dt
и di2 получим первый и второй дифференциалы исследуемой
функции:
du = ?dx + %dy + ..., (13')
¦¦¦+2wkdxdy+---> (14'і
так как
cos а<й = -^<# = dx, cos fi dt=~dt = dy,...
Таким образом, достаточные условия существования максимума
или минимума функции многих переменных принимают такой же
вид, как и для функции одного независимого переменного;
du = 0, <РифО> (16)
причём эти условия должны иметь место при всяких значениях
дифференциалов dx, dy7 dz,..., одновременно не равных нулю.
В силу этого из равенства da = 0 мы получаем систему
уравнений (15). Из этих уравнений определяются те значения
аргументов, при которых исследуемая функция может иметь максимум
или минимум, а исследование знака второго дифференциала d2a
при найденных значениях аргументов и любых значениях
дифференциалов dx, dy,..., одновременно не равных нулю, решает
вопрос, какой случай в данной точке имеет место.
Примечание. В этом первоначальном исследовании задачи о
максимуме и минимуме функций предполагается, что второй диффе-
:) Это утверждение верно при некоторых дополнительных
предположениях относительно функции f{x, yt z,...). Достаточно,
например, предположить, что частные производные -~ , •—, -з^-,...
дифференцируемы в точке (а, Ь} с,...).
.182

ренциал не равен тождественно нулю, т. е. не все вторые частные
производные при найденных значениях аргументов обращаются в нуль.
Пример I. Способ наименьших квадратов. Рассмотрим
в качестве примера отыскания максимума или минимума функции
многих переменных так называемый способ наименьших
квадратов, применяемый для решения эмпирически полученных уравнений,
число которых превышает число неизвестных. Будем рассматривать
этот способ в применении к определению трёх неизвестных х, у и z%
Пусть подлежит непосредственному измерению некоторая функция /
этих трёх величин, зависящая, кроме того, от некоторого параметра t:
l = F{x,ytz, *).
Каждому значению параметра t соответствует одно наблюдение, один
результат измерения. Практическое значение параметра может быть
различно: в астрономии, например, t обозначает время — каждое
наблюдение имеет определённую дату. Для определения трёх
неизвестных х, yt z нужно иметь три независимых уравнения; следовательно,
трёх наблюдений было бы, вообще говоря, достаточно для этой цели.
Соответственно трём различным значениям параметра мы получили бы
три различных независимых уравнения;
'і = /і (*. У> *\ ™е /і (¦*» У* z) = F{x> У, *\ h),
/а=/а(>г, У> г\ где /2(дг, у, z) = F(x, у, z\ t2)t
'з = /з (*, у, z\ где /3 (х, у, z) = F(xi у, z\ tz).
Если бы измерения были абсолютно точны, то всякое новое
наблюдение давало бы уравнение, являющееся следствием этих трёх и
потому было бы лишним. Но каждое наблюдение, каждое измерение
в силу несовершенства приборов и наших чувств содержит ту или
иную случайную погрешность. Чтобы возможно более
избежать одностороннего влияния таких ошибок, нужно произвести
измерения в возможно большем числе и использовать их наиболее
выгодным образом.
Положим, сделано п измерений величины / соответственно п
значениям параметра tb t2i h,.,.,tu. Полученные результаты (измерений
ihkthf-ila в СИЛУ случайных ошибок измерения не будут точными
соответствующими'значениями величины /. Пусть такими точными
значениями будут: /і-Мь 'г4-?2> /з + ?з)---» 'л-Ия» r*e еь е2, 6з. ¦••> ел
и будут случайные неизвестные нам положительные или
отрицательные погрешности измерения. Таким образом мы получим п
уравнений, связывающих л-j-3 неизвестных х, у, z и elF г2,..., V
f\(x, У> *) = 'і-Иь
h (¦*, У, z) = h
h(xty, *)=h
?2,
w
с3»
fa(x,y, ^) = ^+бя.
Но если бы мы пренебрегли неизвестными нам погрешностями въ е2,
?3..., ел, то имели бы, вообще говоря, п несовместимых
уравнений с тремя неизвестными;
hix, У, г) = 1ъ
h (х, У, г) = іъ
h(x,y, *) = 'з.
fn(x, у, г)=1#
(?)
183

Значения неизвестных лг, у, zy полученные при решении каких-либо
трёх из этих уравнений, вообще говоря, не удовлетворяют остальным.
Точных значений отсюда и нельзя найти, а можно говорить лишь о
том, каким способом всего выгоднее использовать эту начальную
систему уравнений (jl).
Будем считать лг,у, z независимыми переменными. В
таком случае величины еь е2, е3,..., гл, определяемые системой
уравнений (а):
4=fx(x, У> *) — h>
Ез=/зС*> .У. z) — /3,
ея=/л(^Д'» z —^ )
(а')
будут функциями х, у, z (переменными величинами). Раньше мы их
считали неизвестными определёнными погрешностями
измерения. Будем продолжать и теперь называть их «погрешности»,
хотя мы и изменили смысл их значения. По теории вероятностей в е-
роятнейшими значениями ху у, z считаются те, при которых
сумма квадратов «погрешностей» принимает
наименьшее значение:
еі 4" ?14" ез 4- • ..Н-ед = минимум
или
[fi(x,y,z)-ltf±[f2(x,y,z)-l2]*+...
4- t/д (х, у, z) — /л]2 = минимум. (у)
В этой гипотезе до известной степени выражена мысль, что при
возможной тщательности измерения абсолютная величина истинной
погрешности не может быть велика. Таким образом мы имеем теперь
вполне определённую и разрешимую задачу: отыскать минимум
функции (y), которую назовём Р.
Положим, что функции fi(x,y,z) (/=1,2,3, ..., л) —линейные,
т. е. первой степени относительно х, у, z, так. что начальная
система уравнений имеет вид
aix + bly+clz~-l1 = 0i t \
а%х 4- Ь2у -{- с*? — /2 = 0, |
аъх\-Ъцу'-\-сгг — 1ь = 0, } ^
««^4-^4-^ — ^=0, ;
а функция Ру т. е. сумма квадратов погрешностей, определяется таким
выражением:
п
Р (х,у, z) = 2 (*/* 4- ЬіУ 4- с?г — /,)*. м
Для нахождения минимума функции Р по предыдущему нужно
приравнять нулю частные производные её;
дк ду ' дг К}
134

Таким образом получаем так называемую н о риал ьн ую систему
уравнений:
2 2а, (айх -f &/У + ср - /,) = О,
п
2 2&, (ар + ЬіУ + с,* - /,) = О,
і=г
п
2 2с, (а,* +- ЬіУ 4- С/г — //) = О,
(о')
;
которую после приведения можно, пользуясь обозначением Гаусса,
представить в виде
[аа] х + [аЪ] у -f [ас] z - [al] = 0, ^
где
[Ьа]хі-[ЬЬ]у + [Ьс]2~[Ы)=0, \
[са]х + [сЬ]у-\-[сс]г — [с1]=0, )
[aa) = al + a22 + 4±...-+al,
[ab] = [Ьа] = aibi -f я2?2 4 *з*з + • • • 4 а А.
[ac] = [са] == а^і -f я2<?2 4 *8*s 4- • • • 4" <V„,
[а/] = а^ + а2/2 4 Vs 4 • ¦ • + ДЛ»
(о")
(О
Нормальная система состоит из трёх уравнений с тремя
неизвестными, откуда и определяются вероятнейшие значения
неизвестных л-0, у0 и г». "
При этих значениях д:, у, z сумма квадратов погрешностей будет
минимумом. Действительно, полагая х = х0 41 cos а, у =y$-\-t zo%$,
z = zu -+- ? cos y, где a, p, y связаны соотношением
cos2 a + cos2 p 4- cos2 y = 1, (0
найдём, что вторая производная функции Р по ^ не зависит от t:
d?-P д*Р , , д*Р 9й , д*Р 9 .
2r==_5cos-e 4-gpCos^ +_сов»т +
d2P d2P д2Р
4- 2 ¦-. , cos 6 cos Y 4 2 . д cos y cos a 4- 2 а д cos a cos 8.
1 dydz r ' ' дгЛ* avay r
Так как
№ r i V 2 <Э2Р „.. V «.3 <?2P r 1 V-2
(n)
дуг— i"1' j—^.j"/' ^
tf2P . , \^ . <?3P
= [*'] = &** ^=Iffel = H^ ^5-v = Ifl*l=Ze^
d*2
то выражение (т)) можно представить в виде суммы квадратов;
-^-2 = V (a, cos а 4 */ cos р 4- */cos Т)2
и, следовательно, при всяких значениях а, р, y, удовлетворяющих
соотношению (С), т. е. во всех направлениях вторая производная сохра-
185

няет положительную величину, ни в одном направлении не обращаясь
в нульJ).
Примечание. Если непосредственно измеряется величина х2)
и получены результаты п измерений l\t /2, ..., /л, то по способу
наименьших квадратов наивероятнейшее значение х будет то, при
котором
z = (jc - /3)2 + (х — hf + • • • + (х — ln)* = минимум.
Для этого необходимо, чтобы
g = 2(^-/1) + 2(^-^+-...+2(^-g=0,
или
отсюда
X —' s
п
т. е наивероятнейшим значением будет среднее
арифметическое результатов непосредственных измерений.
Пример 2. Пусть хь уъ ^ — результаты непосредственных
измерений трёх углов треугольника. Определить наивероятнейшие
величины этих углов х, у, z.
Решение. Искомые величины связаны соотношением
х\-у^г~ШР (а)
и потому неизвестными можно считать лишь две величины, например,
х и у. Таким образом результаты измерения дают систему
погрешностей:
х — хг~ еь
, У—Уі = Ч,
x+y-(\$0°-~zi)=zB.
По способу наименьших квадратов сумма квадратов этих
погрешностей при наивероятнейших значениях х и у имеет минимум:
Р(хуу) = (х — xtf -f (y-ytf + lx+y- (180° — ^)]8 = минимум.
Следовательно,
— = 2 (х - *d + 2 [* + jf-(180°^ *!)]=<>,
^-=2(у-^)4-2[^+3;-(180о™г1)] = 0>
*) Если только среди троек (ait Ъь ct) нет двух, например, (аъ Ъъ
<?Л (#2> *2» ^)> от которых всякая другая линейно зависит, т. е
а. — A^+MSi */=*А + Ні*2. ^ = ^1+^2» (' = 3,4, ...,л). НО
и в этом.случае существует минимум, как ясно из самой задачи:
положительная функция P(x,y,z)t очевидно, неограниченно
возрастающая при |*j + .j/| 4-И —> оо, должна достигать минимума в конечной
части пространства {xyy,z).
2) Так что имеет место как раз случай, отмеченный в предыдущей
сноске: здесь а?=1 и Ы=с? = 0 для всех /. Поэтому ^Г —ЯСоз3а,
что при а = — обращается в нуль.
186

или
2x+y=№° + xi — zb
откуда
_ . lsO'-fri+^H-zi)
Л Al -J- л ,
и в силу соотношения (а)
Таким образом каждый из результатов измерения должен быть
увеличен или уменьшен на одну треть общего недостатка или
избытка 180°-(*і-Ь.Уі4-*і)-
Пусть, например, л-3 = 62°10', ух = 40°№ и z1 — 11°22r. Общий
избыток хг ¦fj'i + ^i"" 180° = 2'. Следовательно, от хъ уъ z\ нужно
отнять по 40*:
лг = 62°9'20", _j/ = 40°29'20", z = 77°21'20*.
§ 4. Относительный максимум или минимум.
Максимум или минимум функции нескольких аргументов,
связанных какими-либо соотношениями, называется
относительным в отличие от абсолютного максимума или минимума,
который может иметь та же функция при свободном изменении
её аргументов. Так, аппликата полусферы
z = VR* — x*—y* О7)
с центром в начале координат и радиусом, равным /?, при
свободном изменении аргументов х и у имеет абсолютный
максимум z = R соответственно высшей точке шара. Но если
изменения аргументов х и у стеснены уравнением
. л:cos а-|-^sin а— р = 0, p<iR, (18)
то точка полусферы (17) будет перемещаться по линии её
пересечения с вертикальной плоскостью (18), отстоящей от центра
на расстояние,'равное р> т. е. по вертикальному полукругу
радиуса VR2 —Р2- Следовательно, относительным максимумом
функции (17) при условии (18) будет аппликата высшей точки этого
полукруга, т. е. УЯ'г—р2. Если р = 0, то относительный
максимум рассматриваемой функции (17) совпадает с абсолютным.
Пусть разыскивается максимум или минимум функции т-\-п
переменных
и = /(х,у, ..., av a2j ..., tfm), (19)
187

причём аргументы х,у,..., uv uv ..., ит связаны т
соотношениями
<Рііх>У> • ••»**!, «2.-м BJ = °»
?2(*>,Уі ....«!» «2»' ¦•»И«) = °»
?«(-»» Л ..-»«!. «2».- -|йл) = 0. ^
(20)
«1, «2>
Таким образом из аргументов х,у, ...,
симыми будут только п переменных, например,
х>У, ¦•
незави-
,., а /^
аргументов й1} и2, .*.jUm можно рассматривать как неявные
функции, определённые системой уравнений (20), Если бы
систему уравнений (20) мы могли решить относительно
аргументов #1t «а, ..., йж, то, вставляя в равенство (19) вместо иі9
иь иъ • • •» аот>
я2, ...,ит найденные выражения, мы свели бы задачу
отыскания относительного максимума или минимума функции (19)
т-\~п переменных к отысканию абсолютного максимума
щи минимума функции п переменных.
Но можно, не решая предварительно системы
уравнений (20), а рассматривая данную функцию (19) как сложную,
составить все те уравнения, которые необходимы для решения
поставленной задачи. Те значения независимых переменных,
при которых данная функция может иметь максимум или
минимум, должны обращать в нуль частные производные функции и
по независимым переменным х,у, ,,., которые входят и явно
ит. Следовательно,
Ир #2,
и через посредство переменных
искомые значения переменных ху у
удовлетворять системе уравнений (20) и уравнениям
, и
и Щі
и„, должны
т
df,df да,
дх*
df
диі дх ' ди2 дх
df дих , df да
EL^l-L- j df да
'/я
дх
= 0.
df ди,
ду ' ди1 ду ' дщду "Г ' • • ~* дйт ду ~" и'
(21)
Входящие в систему уравнений (21) частные производные
функций их,иъ ...уат могут быть найдены как производные
неявных функций из уравнений (20):
*Т~ А** Л~ I
дх
dji
ду
д<а дщ
дщ дх
д^і ди
дих ду ' ди2 ду
ди\ дх 1 ди% дх ' *
dft du± , <?(р/ да2
I дуі ди
" ^duZJx
т
+...+
т
д^і да
т
dum dy
= 0.
= 0,
)
¦ (22)
где / принимает значения 1, 2, ..#, /и.
188

Таким образом задача отыскания относительного максимума
или минимума функции (19) сводится к решению системы т +
--п-\-тп уравнений (20), (21) и (22) относительно т + я--
--тп неизвестных
-V» У у * • • > ty, 2?jr • 577 - ¦ * • (г* — *j 2, ..., m)t
из которых жя величин
дх ' о1 v ' * * * * — ' ' * * * * '
подлежит исключению.
Можно комбинировать уравнения (21) и (22) так, чтобы
посторонних, исключаемых величин было меньше, именно, вместо
тп только т. Действительно, по умножении уравнений системы
(21) соответственно на dxt dy, ... и сложении получим полный
дифференциал данной функции, приравненный нулю:
••• + #rf"»=°- C23)
Точно так же из уравнений (22) будем иметь:
•••+агЛ»=° (24>
(I = 1, 2, 3, ..., т).
Из т-\~\ уравнений (23) и (24) можно исключить т величин,
именно т дифференциалов duv du2, ..., dum. Получим таким
образом уравнение, содержащее только дифференциалы
независимых переменных:
Adx-\-Bdy-\-...=0, (25)
где А, В, ... являются определённым»* функциями переменных
х,у, ..., ии иг, ..., ит. Так как dx, dy, ..., как
дифференциалы независимых переменных, можно, рассматривать как
произвольные величины1), то из соотношения (25) следует
А = 0, 5 = 0, ... (25')
!) Если dx, dy, ... — произвольные величины, то они могут
принимать системы значений і, 0,0,..., или 0, 1,0, ..., или 0, 0, 1,0,...
и т. д., которые и приводят уравнение (25) к системе уравнений (25')-
189

Система п уравнений (25') вместе с системой т уравнений
-<20) и даёт те значения т-\-п переменных х, у, ..., и,, аа, ...,
¦ит> при которых функция и может иметь максимум или минимум.
Пример. Функция
где переменные х, у, и\ связаны соотношением
X±y + Ui — p = 0, (a)
сохраняет положительное значение, не обращаясь в нуль;
следовательно, она имеет минимум. Определить этот минимум.
Полный дифференциал данной функции и и полный дифференциал
левой части соотношения (а) приравниваем нулю;
2 х их -f 2у dy + 2«і dux=О,
Лс-1-rfj/+ <*«! = <)..
По исключении dux получим:
С* — щ) dx + (у — их) dy = О,
откуда
х~и1 = Огу — и1 = 0. (f)
Из уравнений (а) и (ji) находим те значения х, у, uh при которых
функция и имеет минимум:
Р Р Р Рг
«! = -=-, * = -5-, 3'=v) минимум и = % .
§ б. Метод Лагранжа для решения вопроса об
относительном максимуме или минимуме*
Задачу определения относительного максимума или минимума
можно свести к задаче отыскания абсолютного максимума или
минимума по методу Лагранжа путём введения неопределённых
множителей. Составим функцию
U{x,y, ..., uv uv ^.уит) =
"=/+VPi + VP2+ •. • +*Я(Р«, (26)
где/—исследуемая функция (19), <pv<p2, ...,<рл — левые части'
уравнений (20), связывающих -аргументы х,у, ..., uv и2, ,.„вя
и которые теперь мы пока не считаем равными нулю, а Х1( Х2,.. .*
Хт — неопределённые пока постоянные множители.
Отыскание абсолютного максимума или минимума функции
U, при свободном изменении переменных хі у, ...,uvu27 ...,
190

ат, требует решения уравнений
"LJ-l^J-), ^ф іу ^?m _n
<Элг
а/;+^Й+^Й+-
дщ
да,
4-х ^ —о
(27)
и исследования при найденных значениях аргументов знака
второго дифференциала
ди "«
или
**/=*/+М2?! +М2?2+ ... +\Л, (28)
где вторые дифференциалы a?2/, сРу, (/= 1, 2, ... ,/я) взяты
в предположении свободного изменения аргументов #,_у, ...„
uv u2t *..) ат, т. е. не принимая во внимание уравнений (20)
§ 4.
Значения аргументов, получаемые при решении уравнений
(27), зависят от постоянных \г, Х2, ...,\т; обозначим эти
значения через #*, у*, ..., «J, aj, ..., й^:
X X (Aj, А2| . - .) Ада),
^*=j)*(lj,X2, .... XJ,
(/ = 1,2, .. .,m).
i
(29)
Выберем теперь значения постоянных множителей \v\2, ...,
1т так, чтобы найденные значения аргументов (29)
удовлетворяли соотношениям (20):
' ?/(**» У. .-., aj, aj ...,в^) = 0 (і—1,2, ..., іи). (30)
.* —*
Из этих /?і уравнений, где х*,у*, .•.,«*, а*, .-.,а^
представляют выражения (29), найдём требуемые значения /п постоянных
множителей lv\2> •••ДЛ'
Если при найденных значениях множителей Хх, Хг> •••» Хда и
аргументов х*, j/*, ..., a*, а*, .. ./а^ второй дифференциал d?U
при свободном изменении дифференциалов dx, dy, ..., rfalf
191

du$, ...,dum> одновременно не равных нулю, сохраняет
постоянный знак, то величина U{x*,y*, ..., я*, я*, ..., я^) будет
абсолютным максимумом или минимумом функции V.
Но та же величина будет и относительным максимумом или
минимумом функции я = /. Действительно, прежде всего в силу
условий (30) имеем:
U(x*,y*, ..., u*vul> ..,, и*т) =
= /(**, у, ...,44 •••¦О (31)
Далее, величины х*,у*, ..., я*, я*, ..., я^ принадлежат к тем
значениям аргументов х, у, ..., uv я2, . -., affi, которые
удовлетворяют уравнениям (20) и которые, следовательно, обращают
в нуль полные дифференциалы функций ср;
ди dum = Q. (32)
{і = 1, 2, ..., m),
¦ а удовлетворяя в то же время уравнениям (27), они тем самым
обращают в нуль и полный дифференциал функции я =/:
"'• + ¦& dan. = ° (33)
{duvda2, ...,dum — дифференциалы неявных функций av я2,
,«да, определяемых уравнениями (20)). Таким образом
величины х*; у*, ..., я*, я*, ..., я^, удовлетворяя уравнениям (32)
и (33), будут теми значениями аргументов, при которых
функция я=/(лг, у, .е., uv я2, ..., я^) может иметь максимум
или минимум.
Наконец, для окончательного решения вопроса о максимуме
или минимуме функции я =/(лг, у, ..., uv я2, ..., ат) надо
исследовать знак второго дифференциала яГ2я, взятого в
предположении, что ut (г — 1, 2, ..., /и) суть функции независимых
переменных х,у,.ш,:
і «V
или, короче, *
*М = */+$ Лі + ^-Л, + ... +?*««, (34)
192

где символом d2 [f] мы отмечаем второй дифференциал функции
/, взятый в предположении, что а,, а2, • ..,ит зависят от х>
j/, ..., а символом d2f—второй дифференциал без такой
зависимости. Кроме того, должны иметь место получаемые
дифференцированием уравнений (20) условия
*Ы = ^і + &1**і+%*и, + ... + &я*«я = 0 .(35)
(/ = 1,2, ..., т)
Из равенств (34) и (35), если принять во внимание
равенства (-27), следует:
d* [/]=<*«/+ \ltpb+v2<p2 -f • • • +*Л<*Ч.. (36)
Правая часть этого выражения второго дифференциала d2[f] не
зависит от вторых дифференциалов d2uu d2u2, ..., d2u и имеет
такое же строение, как и второй дифференциал d2U, с тем
только отличием, что дифференциалы duvdu2> ...tdu в
выражении (36) зависят от дифференциалов dxtdy, ..., а в
выражении (28) не зависят. w fc , , > ь , . .
Таким образом, если при д:*, _у*, ..., а*, а* ..., а? и
свободном изменении дифференциалов Ac, rfy> --ч ^ки <2и2> ...,
dum второй дифференциал d2U сохраняет постоянный знак, не
обращаясь в нуль, то и второй дифференциал d2[f] сохраняет
тот же знак, т. е. абсолютный максимум или минимум функции U
будет в то же время и относительным максимумом или
минимумом функции u.=f(x,yr. ^., uv а2, ..., ая). Но обратное
заключение было бы неверно. Если d%U при свободном
изменении дифференциалов dx, dy, ..., duv du2\ ..., dum не сохраняет
постоянного знака, то нельзя заключить, что и d2[f] не
сохраняет постоянного знака: при стеснённых равенствами (32)
изменениях дифференциалов dx, dy, ..., duv duv ..., dum выражение
(36) может сохранять постоянный знак и функция /(л;, у, .,.,
av и2» ..., ит) может иметь максимум ила минимум, хотя бы
функция U и не имела его.
Таким образом задача,об относительном максимуме или
минимуме функции а =/(*, у, ..., uv а2, ..., ат), аргументы
которой связаны соотношениями (20), может быть сведена к
задаче об абсолютном максимуме или минимуме функции U=f-\-
"H^iVi -\-^2*?2~\- • • • Н~*уАі> причём соотношениями (20)
приходится пользоваться для .определения множителей \vl^ • "і\п
и при дополнительном исследовании знака второго
дифференциала d2 [/] в том случае, если функция U при найденных
значениях аргументов л;*,^*, .. •> и*, а*, ..,, и*т и свободном
изменении переменных не имеет ни максимума, ни минимума.
13 Курс высшей математики, т. II. 193

Вместо определения множителей ^Д2, ...Д^ из уравнений
(20) лучше во многих случаях исключить их, пользуясь
уравнениями (27) и (20). В таком случае приходится исследовать знак
второго дифференциала d2 [/] в первоначальном виде (34), не
зависящем от множителей Хх, Х2, . ..ДЛ.
Пример 1. Найти максимум произведения и= х\Хг.. .хю если
среднее арифметическое множителей хі, х2, ..., хп сохраняет
постоянную величину s:
и = х:х2хв...хПУ (а)
хі + х2 -f хг + ... -f xn - ns = 0. (р)
Решение. Отыскание относительного максимума функции и при
данном условии (р) по правилу Лагранжа сводится к отысканию
абсолютного максимума функции U;
U=xxx2x3.. .-ха + \(хі + х% + *в + • • • + *я — ns)\ (Т)
— = хіхг.. .ха-х +- X = 0;
(8)
отсюда получаем:
— хі*2*з---Яд = ^1 = ^2=^3= •-. = ***, (г)
т. е. произведение « может иметь максимум или минимум, когда
множители равны между собой и стало быть каждый из них равен s:
х1 = х2 = *3 = • • • = хп ~ s*
Из равенств (3) следует тогда, что Х=г —.ул-і.
Вопрос, будет ли при этих значениях множителей произведение
х\х%хг- • -хп максимумом или минимумом, зависит от знака второго
дифференциала d3[u]. Обозначая левую часть равенства (р) через в,
согласно равенству (36) будем иметь:
rf2 [и] =d^U^l d% ИЛИ rf2 [ц] — rf2Wj
так как у —первой степени относительно xh хь ..., хт и rf2^=0.
Таким образом нужно исследовать знак второго дифференциала
Фи при всех возможных значениях дифференциалов dx^dx^ ri.,dxni
одновременно не равных нулю и удовлетворяющих вытекающему из
условия (р) уравнению
dxx 4- dx-i-j- ... 4- dxn = 0. (С)
Но непосредственным дифференцированием убеждаемся, что
^і=о ^ = о *»-о
194
л»

Следовательно, при лг1 = ^2=... = xu~s будем иметь:
(d*u)s = 25Л-2 [dxxdx% + dxxdxz -f -.. Ч- dxa^dxnl
<ч)
Если бы вопрос заключался в том, имеет ли функция и
абсолютный максимум или минимум или нет, то ответ был бы отрицательный,
ибо квадратичная форма (т\) не при всяких значениях дифференциалов
dxi, dx2j ..., dxn сохраняет один и тот же знак. Но наша задача —
в отыскании относительного максимума функции и при условии (р).
Это условие стесняет изменение дифференциалов равенством (С), из
которого получаем;
(dxl+dx2+...+dxn)* = 0
и
2(dx\dx% + dxldxz4-... 4- dxn-idxn) = — (dxi 4~&*\4" • • * 4-**5). *
Следовательно при данном условии второй дифференциал ?2[ц]
сохраняет постоянно отрицательный знак:
d*[a]s = -sn-2(dx\ + dxl-{.^.±dxl)
и потому произведение хіХ2х$.. .хп при х\
\*&Ъ*=...==х„==
.? имеет
максимум:
-5л ^ ХіХ2Х$.. .X
Л'
(в)
Обобщённое среднее геометрическое. Решённая
здесь задача может служить основанием доказательства предложения
о среднем арифметическом положительных чисел дгь лг2, ,.., ха и их
обобщённом среднем геометрическом у Х\х-Х.. .ха. Известно, что
среднее арифметическое двух положительных чисел больше среднего
геометрического их и лишь при равенстве этих чисел оба средних
равны между собой. Предложение это для двух чисел х\ и х% выте*
кает из очевидного неравенства {Vxx — Улг2)35= 0 или хх^-х2-^
— 2V~XiX2^iOt откуда и получаем
Если рассматривать хъ лг2 как отрезки, то предложение очевидно
и геометрически. Пусть AQ = xlt QB = x2 (черт. 29) и АВ = AQ-^QB.
Построив на отрезке АВ как на диаметре
окружность и восставив из центра её О и
точки Q перпендикуляры ОС и QP До
пересечения с окружностью, будем иметь:
ОС=^Цр и QP=YXlXt
но
oc^qp, или ізфй-гаУ:
ххх2.
A Q О В
Черт. 29.
Это предложение можно обобщить на сколько угодно положи-*
тельных чисел хх> х2, ¦ •-, хл. Действительно, из равенства (б)
следует:
*1+Х%+—+Х*^*/х1Х....±яг
V.
13* * * TL
или
л
Знак равенства имеет место, когда j^ = *2 = ,,. = #rt.
13*
195

Пример 2. Точка А (черт. 30) с координатами (xty) леремещается-
по окружности с центром на оси ординат на расстоянии Ъ от начала
и радиусом, равным г. При каком положении точки А площадь
прямоугольника, сторонами которого служат координаты этой точки,
будет наибольшей?
Решение, По условию задачи требуется
найти максимум функции
z = xy, (a)
аргументы которой удовлетворяют уравнению
окружности
jt2-H.y-a)2-r*=o. (р)
% По способу Лагранжа нужно найти
абсолютный максимум функции
Черт. 30. z = ху + \[х* + СУ - Ь? - г*]. (т)
Обращая частные производные этой функции в нуль, будем иметь:
дх
'=у-\-2\х = 0, или у== — 21х1
2~=х+2Цу-Ь) = 0, или д: = -2ЦУ-
Из этих уравнений почленным делением исключаем I:
JL— х
(*)
Ь).
у-Ъ
, или х* — y* + by=Q.
(О
Таким образом те значения аргументов, при которых функция г = ху
мт>жет иметь относительный максимум или минимум, определяются
уравнениями (р) и (г):
х*-\-у* - 2Ьу-\-№ — /-2 = 0,
^2 — З'3 -h *У = 0.
Четыре решения этих уравнений второй
степени могут быть найдены
последовательным решением квадратных уравнений.
Так, исключая почленным вычитанием ху
находим:
2у2_3$У + ?2_Г2 = (). (С)
Корни Уі и .у2 уравнения (С) мегут быть
построены помощью циркуля и линейки, и
две прямые, отстоящие от оси абсцисс на
расстояния, равные Уі иу2, пересекают
данную окружность в искомых точках.
Ещё лучше можно представить
положение искомых точек, рассматривая их как
точки пересечения данной окружности (р)
и кривой (е) (черт. 31). Эта последняя —
равносторонняя гипербола, т. е. гипербола
с взаимно перпендикулярными асимптотами. Центр её (х0, у0) и
направления асимптот определяются по правилам, изложенным в гл. V
196
У
)СЙг
\ /о
4
*\As,
s\ л
%?' ~z
V
Черт. 31.

аналитической геометрии (т. I, стр. 135 и ел.):
В уравнение равносторонней гиперболы (г) не входит радиус
данной окружности. Таким образом, каков бы ни был радиус данной
окружности при одном и том же положении её центра, положение
искомых точек на этой окружности определяется пересечением её
с тою же гиперболой (е).
Будет ли найденным точкам соответствовать максимум или
минимум функции z — xy, этот вопрос очень просто решается следующей
геометрической интерпретацией. Будем считать z параметром.
Определённому значению Z\
этого параметра
соответствует равносторонняя
гипербола
гх — ху,
асимптотами которой
являются оси координат. При
движении точки по такой-
гиперболе площадь ху
остаётся постоянной.
Различным значениям z -
соответствует ряд таких
гипербол с общими
асимптотами (черт, 32):
*і — ху, z2 = ху,
гъ = ху, ...
Через каждую точку
окружности проходит одна Черт. 32.
из гипербол этого ряда, и
если гипербола пересекает в этой точке данную окружность,
то точка пересечения не может соответствовать ни максимуму, ни
минимуму площади ху, ибо при перемещении точки по
окружности в одну сторону мы встретим гиперболы, соответствующие
большим площадям, а в обратную сторону—меньшим. Но если гипербола
касается данной окружности, то точка прикосновения и будет
искомою.
Ясно геометрически, что если точка прикосновения лежит в
первой или третьей четверти, на которые делится плоскость осями
координат, то ху для этих точек будет максимумом, а точке
прикосновения во второй или четвёртой соответствует минимум (ху —
отрицательно).
ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Функция нескольких переменных. Частные производные.
Частные и полные дифференциалы. 1. Что такое частная производная,
частный и полный дифференциал и какое геометрическое значение
они имеют в случае двух независимых переменных? 2. Что такое
сложная функция и в чём заключается правило дифференцирования
её? 3. В каком случае приходится различать частную и полную произ-
197

водные функции по одному и тому же переменному? 4. Что такое
йеявная функция и как находятся производные её? 5. При каких
условиях результат многократного дифференцирования не зависит от
порядка дифференцирования? 6. В каких случаях при составлении
полных дифференциалов высших порядков дифференциалы аргументов
рассматриваются как постоянные и в каких — как функции
независимых переменных? 7. Что такое однородная функция и в чём
заключается теорема Эйлера об однородных функциях?
Максимум и минимум. 1. В чём заключаются условия
существования максимума или минимума функции нескольких переменных?
2. Как находятся те значения независимых переменных, при которых
исследуемая функция может иметь максимум или минимум? 3. При
каких условиях при найденных значениях аргументов функция будет
иметь: а) максимум, Ь) минимум или с) не будет иметь ни максимума
ни минимума? 4. Что такое относительный максимум или
минимум функции? 5. Какими методами может быть решён вопрос об
относительном максимуме или минимуме и в чём эти методы
состоят?
УПРАЖНЕНИЯ.
I. Абсолютный максимум и минимум.
1. Найти максимум или минимум функции z = х% + У5 — а*У 4~ k
Отв. Xi~Q, yl = Q) zi = b — ни максимум, ни минимум;
а а аъ
л-2==-зг, -Уз — ~з~> z2~ b~ "27 — минимум.
2. Найти минимум или максимум функции z^=anx'1-\-2anxy-{-
+ a^fm + 2яіз* + 2^У -+- ffss. где «u«22—«і2 5й °> и определить вид
поверхности, соответствующей этому уравнению.
Отв. а) При апап — а\2 >0 *0— a13.v0-f a2s>'o + аъъ гДе *о> Уо~
координаты центра кривой пересечения поверхности с плоскостью
хОу, будет максимумом, если ап < 0, и минимумом, если а1г>0
(эллиптический параболоид).
Ь) Если апап — а\2 < 0, то нет ни максимума, ни минимума
(гиперболический параболоид).
3. В плоскости треугольника А(хъ ух), Я(лг2, у%\ С(хв, уг) найти
точку М(х, у), сумма расстояний которой от вершин, т. е. сумма
МА-\-MB-f МС, была бы наименьшей.
Отв. ? АМВ = ? ВМС=: Z СМА = 120°.
4. В плоскости треугольника A{xlt ух), В(хь у2), С(х3, у2) найти
такую точку N(xt у), чтобы сумма квадратов расстояний её от вершин,
т. е. сумма А№4-В№ + С№ была наименьшей.
Отв. x = ?^t*2±?st y^h±Jlil$.
о 3
5. Какой формы должен быть прямоугольный параллелепипед,
объём которого дан (V~a3), чтобы поверхность его была
наименьшей?
Отв. Куб.
198

II. Относительный максимум и минимум.
1. Какой из прямоугольных параллелепипедов, вписанных в шар
радиуса г, имеет наибольший объём?
Отв. Куб.
2. Какой из равновеликих круглых цилиндров имеет наименьшую
полную поверхность?
Отв. Цилиндр, вписанный в куб.
3. Требуется построить водовместилище на данное число вёдер
в форме открытого прямого круглого цилиндра. При каком
отношении глубины его к диаметру дна устройство будет наиболее дешёвым,
а) если стоимость работы и материала за квадратную единицу
боковой поверхности и дна одна и та же? Ь) если квадратная единица
боковой поверхности стоит Ъ руб., а квадратная единица дна d руб.?
Отв. а) Высота вдвое меньше диаметра. Ь) Отношение глубины
к диаметру дна равно d:2b.
4. Дана окружность с центром в точке С (а, Ь) и радиусом,
равным г, кроме того, две точки А(аь Ьг) и В{а^Ь^. Точка Р(х, у)
перемещается по данной окружности. Показать, что, если сумма
PA -j- РВ имеет наименьшее или наибольшее значение, то радиус
окружности СР делит пополам угол АРВ.
Указание. Если a-it а2—углы наклона к положительному
направлению оси абсцисс двух сторон угла, и а — угол наклона к той же
оси биссектрисы этого угла, то будем иметь:
COSat-f cos a2== Acosa, sin a1 + sin 32 = ksin a, (a)
где k — фактор пропорциональности. Это свойство биссектрисы
вытекает из рассмотрения проекций на оси координат ломаной,
состоящей из двух звеньев, одинаково наклоненных к замыкающей.
Из данных условий задачи по методу Лаг'ранжа приходим к
соотношениям (а). Можно применить для решения той же задачи
геометрические соображения, рассматривая ряд эллипсов с общими фокусами
в точках А и В.
ГЛАВА VI.
ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§ 1. Нахождение первообразной функции по данной
частной производной.
По данной частной производной найти первообразную
функцию, как следует из самого способа составления частной
производной функции, не представляет для нас новой задачи. Только
произвольное постоянное интегрирования мы теперь должны
считать произвольной функцией тех независимых
переменных, которые считаются постоянными при нахождении
рассматриваемой частной производной. Положим, что г есть неиз-
199

вестная нам функция двух независимых переменных х и у, а
частная производная её по х известна:
В таком случае
* = $f(x,y)dx + C{y),
где С(у) —произвольная функция у, а у под знаком интеграла
ч при интегрировании рассматривается как постоянное. В самом
деле, при поверке дифференцированием мы получим:
дг ,, . ^ дС(у) Л
Нахождение первообразной функции по данной частной
производной высшего порядка приводит к многократному
интегрированию, но каждая ступень такого интегрирования по
тем же основаниям не представляет новой задачи и лишь
произвольные постоянные интегрирования заменяются произвольными
функциями соответствующих независимых переменных.
Так, если
то
и
%=^Пъу)*х + сіу)
z = ^dy^f(x,y)dx + ^C(y)dy + Cx(x).
Не указывая порядка двукратного интегрирования и обозначая
произвольную функцию [ C(y)dyl) через С%{у), можно написать
полученное решение в следующем виде:
z=Nf(JC>y)dxdy + C1(x) + C2{y),
где Сг(х)у С2(у)—произвольные функции.
Таково общее решение поставленной задачи,
соответствующее понятию неопределённого интеграла.
Таким образом, при каждом частном интегрировании
по одному из переменных произвольное постоянное
J) Так как С (.у) —произвольная функция ,у, то" и \C(y)dy—
произвольная функция у, и потому нет нужды выполнять это
интегрирование.
200

заменяется произвольной функцией остальных
переменных. ч
дг
Пример 1. — = ЗхЧ-~2ху-\-у*-\-% Чему равно г?
Решение. z=zx* — х*у+у*х±2х-\- С(у), где С
(^-произвольная функция^/.
Пример 2. -5--Т- =2х~Ъу-\-Ъ. Определить z.
dz Ч
Решение. ^- = х* — Ъух 4- Ъх -f С (у); z = x*y~- ? у*х + Ъху +•
+ С1(^) + С2(^, где ^(^ — произвольная функция переменного^
а Со (дг)-—произвольная функция переменного ;с.
§ 2. Интеграл функции, зависящей от параметра.
Если данная функция f(x,y) находится среди частных
производных простых или сложных функций, составленных из функций
элементарных, производные коих нам известны, то на символы
?/(¦*, У) dx, j|/(лг, v) dxdy, .. •
можно смотреть как на решения, хотя и невыполненные,
поставленной задачи. Но если это обстоятельство остаётся
неизвестным и вопрос рассматривается при одном предположении,
что f(x,y)— функция непрерывная относительно х и у в
рассматриваемой области, то те же символы выражают лишь
постановку задачи: по данной частной производной найти
первообразную функцию.
Интегрирование как процесс суммирования, и здесь так же,
как и в случае функций одного независимого переменного,
является основанием для установления понятия первообразной
функции. Считая одно из переменных, например, у, постоянным
и обозначая через а и b два каких-либо определённых
значения переменного лг, будем иметь по определению
Ь я—1 п
f(x,y)dx — llm %f(xliy)Lx==\im'?f(xi,y)±xt (1)
і
где
Будем рассматривать у как параметр. С изменением этого
параметра величина определённого интеграла будет меняться,
будет функцией параметра:
ъ
F(y)^[f(x,y)dx. (2)
а
201

При постоянном значении у график функции z=/(x, у)
является линией пересечения соответствующей поверхности MNQP
(черт. 33) с плоскостью АффА, параллельной плоскости xOz,
а определённый инте-
0 грал (2) означает
геометрически площадь
АффА, ограниченную
этой линией,
плоскостью хОу и
соответствующими аппликата-
Черт. 33.
ми А>Л, Вф. С
изменением у эта
площадь изменяется,
перемещаясь параллельно
плоскости xOz.
Пределы интеграла
(1), постоянные
относительно х, могут
зависеть от параметра
у. В таком случае интеграл (1) будет представлять уже иную
функцию у:
Ь(У)
<рО0= J f(x,y)dx. (3)
«00
Точки Ло, Вг площади АффА при изменении у будут
в этом случае перемещаться не по линиям АХА% и Вф2і
параллельным оси Оу, а по некоторым кривым (черт. 35, стр. 218)
в общем случае, уравнение которых
х = а{у), х = Ь{у). (4)
Определённые интегралы, рассматриваемые в этом параграфе,
суть обыкновенные определённые интегралы (не обобщённые):
как было отмечено выше, f(xt у)— непрерывная функция
в-рассматриваемой области, а пределы я, Ь или а (у), Ь(у) конечны.
§ 3. Дифференцирование под знаком интеграла.
Правило Лейбница.
Рассмотрим определённый интеграл, зависящий от параметра,
который обозначим теперь через а:
ь
cp(a) = J/(x, a)dx. (5)
а
Этот интеграл, как мы видели, является функцией параметра а.
202

Возникает вопрос, как составить производную этой функции по
переменному а. Общие правила дифференцирования,
установленные раньше [т. I, стр. 335], здесь неприменимы непосредственно,
ибо самый состав этой функции не принадлежит к тем, к кото*
рым относятся эти правила.
Непрерывность функции ф (а). Будем предполагать, как
и раньше, функцию f(x, а) непрерывной в прямоугольной
области а^х^Ь и сСо^а^сц.
Рассмотрим два значения параметра а и а-[-Да.
Соответствующие значения функции <р (а) будут
ъ
<р(а + Да) = ^/(х, а ; &&)dx
а
И Ъ
<р (а) = \ f(xt a)dx.
а
Их разность составит соответственное приращение функции v (a):
ь ъ
<р (а^-Да)— ? (а) = \/іхі а-[-Да) Ас— \f(x<a)dx.
По основному свойству определённого интеграла интеграл
разности равен разности интегралов, и обратно;
ь
?(а + Да)~ <р(а)=?[/<*,а + Да)— /(*,а)]Лс.
а
Но по условию функция двух независимых переменных /(.г, а)—
непрерывная, и так как область a^x^b, a^^a^aj—
замкнутая и ограниченная, то по свойству равномерной непрерывности
(стр. 138) можно подобрать достаточно малое значение ц такое,
чтобы при |Да|<^Г| во всей этой области имело место
неравенство
|/(аг, a + Aa)— /(*, a)j<j^,
где ? — наперёд данное сколь угодно малое положительное
число. В таком случае
ъ
| ср (а + Да) — <р (а) 1 < ? |/{лг, а -f Да) —/(*, а) | dx <
г»
а
203

Таким образом, разность ср (а -{- Да) — ср (а) есть величина
бесконечно малая и, следовательно, функция <р(а) в
рассматриваемом интервале непрерывна.
Дифференцирование функции у (а). Будем теперь
предполагать, что функция f(x, а) в рассматриваемой области имеет
частную производную по а и что эта производная также
непрерывна. По определению имеем:
da ±а д^о Да
Но
Ъ
с? (а + Да) — ср (а) = f [/(*, а + Да) — f(x, a)] dx.
а
По теореме о конечных приращениях мы должны иметь ч
/(*, а + Да) — /(*, a) = bafa(x, а + ОДа),
и, следовательно,
^UJ>e(*,a + eAa)rf*,
а
где-
/>,а) = <^ иО<?<1,
причём ? зависит от х. Так как частная производная f (л:, а)
по условию— функция непрерывная (а$ значит, и равномерно
непрерывная в рассматриваемой области), то
1іт/в(*,а + ?Да)=/;(л;,а) или /;(*, а + ? Да)=/>, а) + 5,
Лз->0
где 5 — величина, которая остаётся по абсолютной величине
меньше любого положительного числа, например г^~ » ПРИ ДО*
статочно малом значении Да, например, меньшем числа 7j:
\Ь\<ъ^Га ПРИ |Да!<Ч-
В' таком случае мы будем иметь, предполагая а и b
постоянными,
ь ь
-і? = JV. (*.а+° д«) ^=J [/; (*>«) -I ч <**, '
ИЛИ G й
г» 6
^-J?*+J»*-
# а
204

Во второй части этого равенства только д зависит от Ла и потому
ъ ь
Д«-*0 *>уи Д«-»-0'
а а
Но
ъ
Следовательно, а а
ь
ИМ = Нш У(д + у-у(а) = Г ?Л
Да-+0
а
Таким образом дифференцирование функции ср (а) сводится
к дифференцированию под-знаком интеграла:
l\f{x,a)dx=\d-i^-dx. . (6)
В этом и заключается правило Лейбница.
Мы предполагали пределы а и b рассматриваемого
определённого интеграла постоянными, не зависящими от параметра а.
Положим теперь, что а и b зависят от а:
Интеграл а-а (а), * = *(а).
\ /(х, a)dx
будет сложной функцией а: он зависит от а 1) в прежнем
смысле, т. е. при посредстве подинтегральной функции f(x, a),
и 2) при посредстве верхнего и нижнего пределов:
z (a, a, b)= j /(аг, а) dx.
Дифференцируем функцию ср (а, а, Ь) как сложную функцию
(стр. 147): !? = ^і^^4-^^
da да * da da ' дЪ do. '
& = -/(a,a), g=/(M).
Следовательно,
l = Tg^+/(M)|-/(a,a)f. (7)
205

Предполагается при этом, что функции а (а) и Ъ {а) имеют
производные в рассматриваемом интервале для а.
Дифференцирование под знаком интеграла может служить
иногда средством вычисления сложных определённых интегралов.
Пример 1. Полагая а > 0, будем иметь
X
1
dX =_Larctg * (a)
о *» + « Va V-
Подинтегральная функция (л:3-(-а)-1 в области x^sO и а > 0
непрерывна относительно х, а и имеет непрерывную производную по а.
Следовательно, применимо правило Лейбница:
X
da
О ' О
f dx __ f d 1 „
Выполняя это дифференцирование, получим:
х
1
dx 1 , х , 1 л*
—- — — arctg -7= +
Дифференцируя равенство (а) п — 1 раз, получим:
JC
rf* (— 1)«-і dn-і / 1 , 1
(*з_|_а)л 1-2.3. ..(л—1) <*аЛ~Ч/а 5У"о
Эти интегралы можно было бы вычислить, предварительно определяя
неопределённый интеграл указанным в гл. I, § 3, способом.
Правило Лейбница в случае бесконечных пределов
интеграла. Правило Лейбница выведено нами для
обыкновенных (не обобщённых) интегралов. Но если подинтегральная
функция в пределах- интегрирования испытывает разрыв или
пределы интегрирования бесконечно велики, то необходимы
особые условия, при которых это правило остаётся
справедливым. Рассмотрим только случай, когда верхний предел
бесконечно велик.
Пусть дан интеграл
оо
?(*) = ?/(¦*, a)dx,
а
(8)
где а — постоянное, а функция f(x, а) и ее производная по а,
т. е. f*(x, а), непрерывны в интервале (а, оо). По предыдущему,
206

должно иметь место следующее равенство;
(р (а 4" Да) — ? (а)
со
д = />, а-И Да) rf.v, 0<6<1. (9)
а
Предполагается конечно, что интеграл правой части имеет смысл.
Равенство (9) можно написать в следующем виде:
; со
Чг = \f« {х>а+°Аа) **+JV. {х>а +0Аа>**• {Э'>
а і
Точно так же будем иметь
оо X со
j /; (*, «О ^ = [ /; (х, a) rfx + J /; (л, а) dx. (10)
Из равенств (9Г) и (10) получим:
со ' I
^1 - J/; (х, а) гі* = J[/: (*, а + ? Да) -/', (х, а)] ^ -f
00 00
+ (7>. а + ?Да)Аг — [/>, а)**. (11)
Г /
Покажем теперь, что правая часть равенства (11) при некотором
условии—величина бесконечно малая.
со
Интеграл \ /' (xt a)dx при безграничном увеличении нижнего
і
предела / является величиной бесконечно малой. Но этот
интеграл зависит от параметра а. Пусть а меняется в каком-либо
интервале (а', а7). Каждому значению параметра а в интервале
(а\ а") соответствует такое значение /а нижнего предела, что при
/ ^ /а абсолютная величина интеграла будет меньше данного
наперёд сколь угодно малого положительного числа, напри-
е
мер, •«*:
со
I
і
fa(x,a)dx <^, />/..
Будем предполагать, что /а, каково бы ни было а в
интервале (а', а''), не превосходит некоторого конечного числа U
207

Таким Образом будут иметь место неравенства
00
00
(7>,а)^|<|, Г/;(дг,а + ОДа)<і* <|при/>?.
г і
Интеграл с бесконечным пределом
\f'a{x, a)dx = \ft{x,a)dx+ \fa(x, a)dx,
обладающий таким свойством (la^I), называется равномерно
сходящимся в интервале (а', а'').
Далее, выбрав какое?нибудь определённое значение /, /^L,
можно, в силу предполагаемой непрерывности частной
производной f'a(x,a), приращение Да взять настолько малым, чтобы
|/>,а + ОДа)-/>,а)[<з~^
при a^x^lj а'<^а<^а" (свойство равномерной
непрерывности, стр. 138). Следовательно, будем иметь:
і
J [/.>,<! +в Да)- Гл{х,а)\<1х
||/>, а + ? Да)-/>, а)!<**<?.
а
оо
Итак, если интеграл ^f^(x%a)dx равномерно сходящийся, пра-
а
вая часть равенства (11) при достаточном увеличении / и
достаточном уменьшении Да может быть сделана по абсолютной
величине меньше любого положительного сколь угодно малого
числа s:
I оо
\[[fl(x,oiJrbba)-ffJxfa)]dx+[ftx(x, a + Ua)dx —
СО
Г /.' (*, a)dx < К [/; (х, а + ? Да) — ? (*, а)] dx +
а
оо
00
+ (/«'(*¦ * + в**)** \ + \\f'a(x,a)dx\<s,
208

Следовательно,
До
или
Ншо[^-|/.С«,а)л]вО,
00
? = JVe (*,«)<**,
da
а
т. е. правило Лейбница остаётся в силе:
00 X
?J/l*. »)**=№**.
Пример 2. Исходя из интеграла Пуассона
00
jw*-?.
вычислить интегралы
'00 00 .00
1 x4-*dx% С x*e-*dx,..., \ х**е-?йх.
0 0 0 "
Заменяя в интеграле Пуассона л: через *l^z, где д>0, получим
00 ___ 00
^д fe-«'d^=lL2Lf или \e-°*dx ==¦—=*
о о
Дифференцируем обе части последнего равенства по параметру а?
Применяя к первой части правило Лейбница, будем иметь
со
x*e-**?dx = ~ г-.
0
Дифференцируя снова по а, получим
со
J 22д2|Аа 2
0
Г »* „Л,- 1-,3-5.,.(2я —1)
I x^e-axdx=^ і—~г=г-—•
J 2aa*V a
0
14 Курс высшей математики, т. II.
¦ • •»
'2
209

Отсюда при а=\ будем иметь
00 .00
о о
Ь3-5...(2л —1) 1^*
fxWite^l.i^, J *«*-*'<?*
I
jf^-xtfj: —
2« 2 *
Применение правила Лейбница к рассматриваемым интегралам
вполне законно, пока д^О, ибо интегралы, полученные после
дифференцирования,— равномерно сходящиеся для интервала a$*^ а< оо,
где я0—любое положительное число, например, равное 1. Действительно,
00 I 00
^ x*ne~a?dx=. \ x*ne-axudx-\- \ х2пе-<*х*ах.
»J и V
О О I
Второй интеграл независимо от величины а при конечном
достаточно большом значении I можно сделать сколь угодно малым, ибо
[стр. 128]
еах > (2/2 4-1)! ' ИЛИ * ^ а**+іг*л+2'
откуда
00 00
Г dx
е~ахх*п < _^г-^^г^г и \ е-а*х<*ах < ^л ч- і)і \ ^т^л+з •
оо ио
Заменяя во втором интеграле ах через _у, получим:
СО 00
j **e-«\ir < <2» + 1)! J ^ = (2я)! ^Ь^,
f at
или, так как а^а§,
со
(2л)! 1
Х*пе-ах.йх<
_2л+1 /2л+1 "
"О
Для / можно выбрать настолько большое конечное значение L, что
правая часть последнего равенства, не зависящего от параметра я,
будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа б
и потому
00
^ xlne-ax*dx<^ г для а0^а, а0 > 0 и l^L.
t
Вычисление рассматриваемых интегралов можно было бы свести,
к интегралу Пуассона интегрированием по частям.
210

§ 4. Интегрирование по параметру.
Определённый интеграл
ь
<?{a) = ^f(x,a)dx,
а
если f(x, а) — непрерывная функция двух независимых переменных
х и а, а а и Ъ конечны, является, как мы видели, непрерывной
функцией параметра а. Интегрирование этой функции в пределах
от а0 до а приводит нас кдвойному интегралу
а и b
^<f{a)da = ^da[ f(x, a) dx. (12)
«О Oq й -
Порядок этих двух интегрирований может быть изменён,
иначе говоря, интегрирование по параметру может быть
выполнено под знаком интеграла, т. е.
a b b л
\da \f(x, a)dx= [dx f/(лг, a)da.
ас a a «a
Действительно, будем рассматривать а в верхнем пределе как
а
переменное. Обозначая \ f(x> a)da через F(x, а), двойной
во
интеграл в левой части через Ф (а), а двойной интеграл в правой —
через <Dj (а), будем иметь:
а Ъ а
Ф (а)= [da [f(x\a)dx, F(x,a)=\f{x,a)da,
асо а «у
Ь а Ъ
Фх (а) = [ dx Г f(x, a)da=i\F (х, a) dx,
причём
°о
Ф(а0)= f rfa f/(jc,o)djc=0 и Ф3 (а0) = С rfx [f{x,a)da = Q. t
Ь аъ a a oq
Ho
* a
a по правилу Лейбница
^\{o)^^dx^^f{x,a)dx.
a a
14* 211

Следовательно, функции Ф(а) и Фг (а), имея одинаковые про-*
изводные и одинаковые значения при а=а0, тождественны:
a b b a.
ф(д)=Ф? (а), или Сй?а Г/(х,а)іх== ("<?*; f /(л:, а) г/а.
«о д а «о
Для обобщённых интегралов — будем рассматривать случаи,
когда интеграл распространён на бесконечный интервал —
правило остаётся в силе, если данный интеграл равномерно сходя?
ідийся в конечном интервале (а0, аг), ибо правила отыскания
•Ф'(а) и Ф[{а) остаются в этом случае законными (§ 3):
00 00
\da\f (х, a)dx = \dx\. f(xy a) da.
«о а а аа
оо
Полученный таким образом интеграл \ F{x,a)da будет также
а
как, и данный, равномерно сходящимся. Действительно, по
условию
00
^f(xta)dx—[f(x,a)dx <е, l^zL,
а
где L не зависит от а, а е — любое сколь угодно малбе
положительное число. После интегрирования по параметру ,а под
знаком интеграла будем иметь:
00
[F(x,a)dx— ^F{xta)dx\<^e\a~<20I<e', l^Lt
a
где e' — положительное число, определяемое равенством
е = .
в'
I «1 — а0
со
т. е. интеграл \F(xya)dx равномерно сходящийся.
а
Таким образом, интегрирование под знаком интеграла можно
повторить сколько угодно раз.
Интегрирование под знаком интеграла так же, как и
дифференцирование, может служить средством вычисления
определённых интегралов и средством часто удобным, когда общие спо
собы не приводят к цели.
212

т. е.
Пример. Вычислить значение интегрального синуса при х = оо,
ос
sin л:
х
их.
о
Прежде всего имеем (стр. 120)
і
е-а.х (—a sin x—cos x)
О
е-ах gin х dX =
14-а2
e-*l(— а sin/— cos/) , 1
1 + а»
Следовательно,
со
/
14-е2"
1
I e-~*xsmx dx = lim і *-«* sin* dx = ч . 0
J f-+ooJ l+a2
О 0
(13)
<14>
Если а0< а < со, где а0 — сколь угодно малое положительное-
число, то
со
со
I е-*х sinxdx\<i \ е-*** | sin х \ dx.
і і
Интеграл правой части этого неравенства не зависит от параметра а
и при l^Ly где L — достаточно большое число, будет меньше любого-
оо
положительного числа е. Поэтому интеграл \ е~«х slnx dx равномер-
о
но сходящийся при а > а0.
Интегрируя по а в пределах о-т oq до а, будем иметь
а со
. а
da \ e-*x$inxdx —
ао О
-J
da
1+-а« '
или, по правилу интегрирования- под знаком интеграла,
со
I (?-«о* — е-°х) : dx = arctg a — arctg a^
или
со
00
е-«ох siE? dx _ L-«* !Е* dx = arctg а - arctg a0. . (15)
о . и
Но легко видеть, что второй интеграл в левой части стремится
к нулю при а -> со. Действительно, так как в рассматриваемой области
sin*
изменения а и х} е-*х^.1 и
х
1, то, выбирая произвольно
2іа

малое положительное 8, имеем:
со
00
„ Sin X ,
g-o* dX
„ sin x ,
e-aX dx
Й «
+
sin л; .
5-ox ^д;
<frf*+f«-^^ = « + ~,
откуда
О 8
со
Г „ sin х ,
е~*х dx
J x
о
<2о
I
для всех а>тг. Поэтому, переходя в (15) к пределу поа-> оо,по-
о
л у чае м;
00
j> v !Ё? л- _ |. _ arctg a0.
(16)
оо
J sin л:
Покажем теперь, что интеграл \ -^ dx существует и равен пре-
о
00
_ ^r sin х
Я
делу интеграла Ке"4* dx при а0-*0, т. е. -^. Прежде всего, из
о
<13) и (14) имеем:
со
*-***sin xdx~
I
Интегрируя по а от <*о Д° а и применяя правило интегрирования под
знаком интеграла, получаем:
а 00
00
sin л:
da \ е-*х Sin х dx = і (е ^ — ?-«*) гідг =
«о /
Но
Je~*i (a sin / -f- cos /)
14^2
«о
ata.
(17)
1 _[_ а2 — (а sin 14- c°s /)2 = sin2 / — 2a sin I cos / -f- a2 cos2 /
= (sin/ —acos/)2^0,
откуда
.(asin/4-cos/)2s^l 4-a2 или • |asin/ + cos/]^/l -f a2< 1 -f a2.
214

€ледовательно, из (17) получаем:
00
{e-^-e-^^dx
^ e-**da
Г^ — е"*1 1
<т-
Беря в левой части а -»- оо, приходим к оценке
со
. 1
Г«5ПХ
/ *
Теперь мы у цели. Действительно,
/ оо I
00
Г ^ ах - JV"^ ^«te = J (1 - е-"*) ~dx- j>«* НН ^
0 0 0 і
откуда, в силу полученной оценки,
I 00
J^-J"'
vS?t,
J
(1
_«„^ Sin X
-«D*
d*
4--
Перейдём в обеих частях неравенства к пределу по а0-»-0. Принимая
во внимание соотношение (16), а также непрерывность интеграла
в правой части неравенства как функции от параметра а0, получим
в пределе;
і
sin л: . іс
dx—7Г
х 2
_і_
/ *
00
Отсюда, при /-^со, и следует существование интеграла
sin л:
dx
и равенство
оо
smx , тс
-Tdx = Y'
¦ Вычислим теперь интеграл той же функции в пределах от — оо
до -)- со . -Так как
0 0 оо
Г sin^r^ ' Г sin (— х) ,, ч fsinx.
— оо
00
TO
оо
I
sin л: , 1 Г sin jr . ,
dx = n, или — I dx=l.
x * ¦*
— 00
— 00
Заменяя под интегралом х через ах, мы получим ту же величину
интеграла, если а Ф 0; при этом, если а > 0, то пределы интеграла
. 215

осхаются —оо и -f оо, а если <х<0, то пределы переставляются. Сле->
довательно,
оо ( 1 при а > О
1 Г sin ах , | п л
— \ dx = { 0 » а = 0
% J х
— 00
-f
[ _1 » а < 0.
Левая часть этого равенства представляет таким образом пример
прерывной функции параметра а.
§ 5. Геометрическое значение двойного интеграла.
Пусть функция 2==/(лг, у) определена или рассматривается
в некоторой . прямоугольной области Ria^x^b, c^y^d).
Определённый интеграл по одному из переменных, например, по х>
взятый в пределах а, Ь, будет функцией другого переменного,
рассматриваемого как параметр:
ь
?М = j/(*> y)dx.
а
ч
Мы видели (§ 2), что этот интеграл представляет площадь
параллельного плоскости xOz сечения призматического тела,
имеющего основанием R и ограниченного сверху поверхностью
z=f(x, у). Будем предполагать в этой области z=f{xt у)
положительным; тогда <р (у) будет также положительно. Интеграл
а & ъ
с с а
представляет объём рассматриваемого тела [ч. I. гл. VII, § 10].
Таким образом, объём такого рода призматического тела,
ограниченного в основании прямоугольником со сторонами,
параллельными осям координат, и покрытого поверхностью z=f{x, у),
может быть вычислен в результате двойного интегрирования в
постоянных пределах для каждого интегрирования. Согласно
правилу интегрирования под знаком интеграла, порядок
интегрирования при этом вычислении безразличен.
Пример111. На прямоугольном основании с центром в начале
координат и сторонами, параллельными осям координат, построено
призматическое тело, ограниченное сверху поверхностью равностороннего
гиперболического параболоида, уравнение которого дано в виде
z=zo-\-mxy,
где z0— аппликата вершины параболоида (черт. 34). Определить объём V
этого тела.
Пусть а, Ь — координаты одной вершины прямоугольника.
Площадь параллельного плоскости xOz сечения тела (трапеции LMNP)
216

определяется как определённый интеграл и будет функцией yt в
данном случае постоянной;
а
<р(.У)= J {z^mxy)dx = Гголг-Ь^у|^=2г0а.
—а •
Следовательно,
ь а ь
V== \ dy \ (zQ-±mxy)dx=\2z0ady = 4abzb.
— Ь —а —Ь
Таким образом данное тело равновелико призме с тем же
основанием и высотою г0. Нетрудно усмотреть и основание для такого
результата в симметрии расположения поверхности параболоида
относительно указанного
призматического тела.
Интеграл, если пределы
его an b не постоянны, а
зависят от параметра у,
означает (§ 2) площадь
сечения не призматического тела,
а тела, ограниченного
цилиндрическими поверхностями
х = а (у) и х = Ъ (у).
Интегрирование этого
определённого интеграла по второму
переменному в постоянных
пределах от с до d даёт
объём в общем случае
цилиндрического тела, в основании
которого лежит площадь,
ограниченная кривыми х= а(у),
х — Ь{у) и прямыми _у = су y = d% причём прямолинейные части
ограничивающего контура могут обратиться в точки, в которых
кривые x = a(v)t x = b{y) смыкаются в одну замкнутую кривую:
v=\*y'l f{x9y)dx.
с а{у)
Но в этом случае двойного интеграла перемена порядка
интегрирования не сводится к простому интегрированию в тех же
пределах (с, d) под знаком интеграла: пределы того и другого
интегрирования изменяются. Вопрос этот будет рассмотрен
в .следующей главе 'о многократных интегралах, где двойной
интеграл будет определён аналогично простому интегралу, как
предел двукратной суммы.
217
Черт. 34.

Пример 2. Определить объём тела, ограниченного плоскостью
хОу и тремя параболическими цилиндрами: у2 = х— х^ —у2 = х — хі
с боков и z~zq—у2 сверху (черт. 35).
Черт. 35.
Площадь сечения этого тела плоскостью, параллельной плоскости.
xOz (прямоугольник), определяется как интеграл по х функции z=zq—у*
в пределах от a(y) = xQ-\~y2 до Ь(у) = хі—у2:
ТОО= J (zo-y2)dx = (z0-y2)(x1-x(i-2yS).
а (у)
Параболы у2 = х — х$ и —уъ=х — хі пересекаются в точках
(у(*о-Ь*і)> —jV^ixi — XQ)) и (y(.vo4-*i), уУ*2(^і —^о))-
Следовательно, искомый объём определяется как интеграл функции ср (у)
в пределах от ~-с = —^V2 (х\ — дг0) до c — -z-Y2(xx~xq);
с
V = J (г0 - У») (л-і - дго - 2j^) dy =
~~С
— z0 (дг! — дг0) if 2 (дгі — дг0) — -g- (vx — *о +- 2zr0) (*,. — х0) V2 (хг — х0) -f
+10 (л:і ~ *o)3 ^ 2<*i~ ¦*<>)•
§ 6. Криволинейный интеграл.
Пусть Я(лг, у) и Q(.*:, <у) — непрерывные функции двух
переменных х и j/, связанных взаимно однозначною зависимостью
y = w(x) или лт = cpj (у), где срх — функция, обратная функции <р1).
А) Например," если y(x) = tgxJ,To ?i(.y) = arctgj/, где символом
arctg мы отмечаем одну — главную — ветвь арктангенса.
218

Уравнением у = у (х) [или х = уг(у)] определяется на
плоскости хОу некоторая кривая С. Пусть Ца, А) и М{ЬУВ)— две
точки этой кривой.
Определённые интегралы сложных функций Р(х, у{х)) по х
в пределах от а до Ъ и Я{уг(у), у) по у я соответствующих
пределах Л, Б
ь в
Jp(*, <?(x))dx, ^Q(b(y)>y)dy
а А
можно обозначить следующими символами:
\P{xt y(x))dx=\p{x, y)dx,
,а С
В
lQ(Vi(y)>y)*y=\Q(*> y)dy.
А С )
(18)
Указатель С, под которым мы разумеем дугу кривой LM,
заменяет и замещение у функцией у(х) или х функцией 9іО0»*и
указание пределов интегрирования.
Эти интегралы и их сумма
[p{x,y)dx, [q(x, y)dy, [P(x,y)dx-\-Q(xty)dy (19)
называются криволинейными, взятыми вдоль линии С. Согласно
равенствам (18) и определению обыкновенного интеграла имеем;
[р(х, y)dx^limn;^P(xii л)Д* =
g я-* оо /=0
я—1
= ііш 2 р(хі> Уі)(хм—хі)> (Щ
где yi=ztf(xi) и х1+1— х~&х* Таким образом криволинейный
интеграл можно определить следующим образом: на дуге
кривой LM (черт, 36) берётся ряд точек N0 ^L, Nv N2J ..., Nit ...,
N ^М; значение функции Р(хг у() в точке Л^ множится на
соответствующее приращение переменного х1+1—xt\ предел
суммы таких произведений, когда п безгранично увеличивается,
и составляет криволинейный интеграл. Подобным же образом
определяется и второй.
При тех условиях, которые были приняты нами относительно
кривой 1М% или иначе — относительно функций <р(дг) и <?х(.у),
219

У
Черт. 36.
определение криволинейного интеграла, как следует из
равенства (18), совпадает с определением обыкновенного интеграла:
переменное интегрирование х или у меняется монотонно. Но
если абсцисса и орди-
М ната точки кривой С
^tL**^T ПРИ пеРемеи*ении от ?
^і^^\ до М меняются не
монотонно, то
определение криволинейного
интеграла равенством (20)
приобретает более
общее и самостоятельное
значение. . Если будем
допускать, что кривая
С может быть разбита
на конечное число
таких частей, на которых
хну меняются
монотонно, например, LUV UXU^ U2UBi UZUV U4M (черт. 37), то
криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов
обыкновенных, ибо
[Р(х, y)dx= \pdx + \ Pdx+ \ Pdx + С Pdx-{- \Pdx,
С Шг Ufa Ufa U3CJ< UtM
а на дугах LUV UXU2, U2U37 UsUit U±M хну меняются
монотонно.
Этим самым доказывается при этих условиях относительно С
и существование предела у
в правой части равенства у
(20), иначе говоря,
устанавливается, что
криволинейный интеграл для
кривой, которая с прямыми,
параллельными оси Ох
или Оу> пересекается не О
в одной точке, имеет
смысл.
Черт. 37.
При параметрическом представлении кривой интегрирования,
когда координаты точек её даны как функции параметра і
* = <?«, .У=ф(<),
(21)
вычисление криволинейного интеграла можно свести к вычислению
220

обыкновенного определённого интеграла, взятому по параметру L
Пусть функции (f{t) и (()(/) и их производные непрерывны. Если
при изменении і от /0 до Т точка (х, у) описывает путь
интегрирования LMy то
т
[р(х, y)dx=[p(y(f), b(t))y'(t)dt,
т
\Q(x> y)dy= \ Q(y(t), &(f))V(t)dl,
т
\pdx+Qdy=^ (Pxr + Qy')dt,
(22)
где под знаком последнего интеграла л:, у, х\ уг должны быть
заменены соответствующими функциями параметра t
x = <pW, y = $(f), x' = tp'{f}f /=ф'(/).
Формулы (22) сохраняют смысл и тогда, когда производные
ср'(г) и ф'(*) испытывают разрыв в ограниченном числе точек,
оставаясь конечными, т. е. когда
линия интегрирования имеет
угловые точки.
Величина криволинейного
интеграла — будем
рассматривать наиболее важный и общий
вид —
\Pdx-\-Qdy
зависит от пути
интегрирования: если С и С — две
различные кривые, соединяющие те же точки L и М (черт. 38), то в
общем случае
(23)
[Pdx+ Qdy^\Pdx-{- Qdy.
Отметим ещё следующее свойство криволинейного интеграла,
вытекающее из его определения (20): интегралы от того же
дифференциального выражения и взятые по той же линии C^LMy
но в противоположных направлениях, отличаются только знаком;
\pdx-\-Qdy = — ([ Р dx+ Qdy.
LM ML
(24)
221

§ 7. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути
интегрирования.
В общем случае, величина криволинейного интеграла
[Pdx + Qdy,
6
как было отмечено в § б, зависит от пути интегрирования,
соединяющего две данные точки плоскости.
Но возможен случай, и очень важный как в математическом
анализе, так и его приложениях в механике и физике, когда
интеграл не зависит от пути интегрирования, а только от концов
его и направления. Для такого криволинейного интеграла нет
нужды отмечать путь интегрирования, а лишь начальную и
конечную точки этого пути Z,(a, b) ц М(А, В), координаты
которых, играют роль пределов интеграла:
J Pdx+Qdy. (25)
a,b
Пусть D — некоторая область плоскости хОу, в которой
функции Р(х,у) и Q(x, у) и их частные производные
непрерывны, и пусть пути интегрирования рассматриваются лишь
в этой области и не пересекают её границ. Эти пути будем
предполагать разложимыми на конечное число дуг, на которых
хну меняются монотонно. Другие возможные пути, для
которых криволинейный интеграл имеет смысл, можно
аппроксимировать с достаточной точностью кривыми рассматриваемого
типа, и таким образом для любого в этом смысле пути
в области D интеграл (25) предполагается имеющим смысл.
Следующие две теоремы выясняют, при каких условиях
криволинейный интеграл не зависит от пути, а лишь от начальной
и конечной точек епо.
Теорема 1. Если Pdx-\-Qdy — полный дифференциал
некоторой функции f{x,y), однозначной в области D,,mo
интеграл выражения Pdx~\-Qdy не зависит от пути
интегрирования, а только от начальной и конечной точек
его.
Доказательство. По условию
Р=%, Q=% и df=Pdx±Qdy.'
Пусть какой-нибудь путь интегрирования С дан параметрически
* = *(*), y=y(Q9 (26)
222

причём
а = *(*0), b=y{tQ) и Х = х(П У=у(П (27)
где (а, Ь) — начальная точка, а (X, Y) — конечная точка пути-
В таком случае
и следовательно
т
j Pdx + Qdy = f gЛ=/(*. F) _/(n, 4),
l0
т. е. интеграл полного дифференциала, каковы бы ни были
функции (26), равен разности значений функции f(xyy) в
конечной и начальной точках пути, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если интеграл дифференциального
выражения Pdx -\- Qdy не зависит от пути интегрирования
в некоторой области D, а только от начальной и конечной1
точек его, то Pdx-\-Qdy является полным
дифференциалом некоторой функции f{x,y).
Доказательство. По условию интеграл выражения
Pdx-\~Qdy не зависит от пути, а только от начальной точки
(а, Ь) и конечной (jt, у), которую будем считать подвижной. С
изменением этой конечной точки величина интеграла будет
меняться, будет функцией переменных координат х, у верхнего*
предела. Обозначим эту функцию через f{x,y);
f{x,y) = ^Pdx + Qdy:
Покажем теперь, что
дх~^ ду ч'
Пусть х получает приращение Дл:, г у остаётся неизменным.
К прежнему пути, соединяющему точки (а, Ь) и (х^у),
присоединяется ещё путь от {х, у) к {х-{-&х,у). Этот последний
может быть каким угодно, а стало быть и прямолинейным, при
котором у остаётся постоянным. Следовательно, приращение
функции /(х, у)
f[x + Lx,y)— f(x,y)=' у Pdx+Qdy—)Pdx+Qdy
afi а,Ь
можно представить в виде
х+Ьх
х
223

ибо на рассматриваемом прибавочном путину постоянно и іу = 0.
По свойству обыкновенного определённого интеграла (т. 1г
стр. 376) будем иметь
а потому
ЩЫ1 = Р{х+их,у) и % = Р{х,у).
Ьх
dx
Точно так же найдём ~ = Qh, следовательно,
Pdx-{- Qdy = df(x, у),
что и требовалось доказать.
Таким образом для того, чтобы интеграл
дифференциального выражения Pdx-\-Qdy не зависел от пути
интегрирования, а только от начальной и конечной точек его, необходимо
О
х
Черт. 39.
Черт. 40.
и достаточно, чтобы Pdx-\-Qdy было полным дифференциалом
в соответствующей области.
Следствие. Интеграл полного-дифференциала Pdx-\-
~\~Qdy по замкнутому контуру, если внутри этого контура
р{х, у) и Q(x, у) — непрерывные функции переменных х и у,
равен нулю.
Действительно, любые две точки L и М этого контура
(черт. 39) могут быть приняты за начальную и конечную точки
двух различных путей интегрирования, причем один из этих
путей имеет обратное направление.
Если в какой-либо точке J(xt,yx) (черт. 40) функции Р(х,у)
и Q(x, у) или одна из них обращается' в бесконечность, то
интеграл полного дифференциала Pdx~\-~ Qdy по замкнутому
контуру, окружающему точку У, может и не равняться нулю.
Можно окружить эту точку бесконечно малым кругом С и вы-
224

делить её из рассматриваемой области. Область, в которой
должно иметь место рассматриваемое следствие, будет
в этом случае ограничена двумя замкнутыми линиями С и С
(черт. 40), из которых С можно считать точкой У.
Обратно, если интеграл полного дифференциала PdxA^Qdy
по замкнутому контуру не равен нулю, то внутри этого контура
функции P{xt у) и Q(x, у) не непрерывны.
Пример. Рассмотрим интеграл
I
xdy—ydx
х*+у* '
взятый по кругу С с центром в начале координат.
Подинтегральное выражение является полным дифференциалом
функции arctg—. Действительно,
^ i У —У д l У х
Путь интегрирования (окружность) в параметрическом представ-
лении даётся уравнениями
х = R cos у, у = R s*n ip.
Следовательно,
*a;-fy* = Ri и xdy—ydx = R*dv.
Таким образом
2ic
Cxdy-ydx = r ^
.1 X*+y* У Г
с о
Понятно, почему зтот интеграл не равен нулю. Функции
/> = -сИг-л и 0= *
х2+У2 ^"дг2+Я
в центре окружности х=.0, у = 0 обращаются в бесконечность.
Путь интегрирования по замкнутому контуру считается
положительным или прямым, если, при обычном расположении осей
координат, при обходе в этом направлении часть плоскости,
лежащая внутри контура, остаётся по левую сторону
обходящего. !
Теоремы этого параграфа имеют место и для многих
переменных. Так, для трёх переменных, если дифференциальное
выражение Pdx-\-Qdy-\-Rdz является полным дифференциалом
ив области D функции Р(х,у> z), Q(xtyyz), R(x,y,z)
непрерывны, то криволинейный интеграл по линии внутри этой области
зависит только от начальной и конечной точек этого пути,
15 Курс высшей математики, т. II, 225

и обратно. Координаты конечных точек пути интегрирования
являются пределами интеграла:
х,у,г
j Pdx+Qdy-\-Rdz.
a, bt с
Область D ограничена теперь поверхностями.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру, который
непрерывной деформацией, не задевая границ области, где Я, <j, R
остаются непрерывными, можно обратить в точку, равен нулю.
§ 8. Интегрирование полного дифференциала.
Если дифференциальное выражение
P(xty)dx-{-Q{x,y)dy (28)
есть полный дифференциал некоторой функции z, то функции
Р и Q, как следует из определения полного дифференциала
(гл. IV, § 4)', должны быть частными производными этой
неизвестной функции;
% = Рі*,Л % = Q{*,y). (29)
Эти равенства связывают функции Р и Q. Действительно,
dP__ 'd_(dz_\ дЧ
0У~ду\дх) дудх*
dQ_ д (дг\_ d2z ?
дх дх \ду) дхду'
отсюда следует (стр. 162)
dP_d_Q_
бу~ дх'
(30)
Равенство (30) является, таким образом, необходимым'
условием того, чтобы дифференциальное выражение (28) было
полным дифференциалом, другими словами — если функции Р
и Q этому условию не удовлетворяют, то выражение (28) не
будет полным дифференциалом.
То же условие (28) будет и достаточным, т. е. при
выполнении его можно найти такую функцию гу которая будет
иметь данное выражение полным дифференциалом.
Действительно, искомая функция z должна удовлетворять по
определению полного дифференциала двум уравнениям (29):.
226

Если существует хотя бы одна такая функция, то существует
бесчисленное множество таких, функций, отличающихся одна от
другой на постоянное, так как при дифференцировании как по
х, так и по у обе функции должны давать соответственно
одинаковые частные производные. Будем искать такую функцию z,
которая бы в какой-либо данной наперёд точке, например (хф _у0),
равнялась нулю. Из первого равенства (29) имеем:
z=\ P(x,y)dx + 4(y), (31)
*0
где у (у) — произвольное постоянное относительно .г, но является
произвольной функцией у, обращающейся по условию в нуль
при у=Уо- Нужно подобрать функцию w(y) так, чтобы
производная z по у равнялась данной функции Q(x, у). Но
или, по правилу Лейбница,
X
ду J о у [ dy
Xq
Таким образом, принимая во внимание сверх того условие (30),
будем иметь:
ОЬЛ^Щъ+Ш
XQ
И
Q (х, y) = Q (х, у) - Q (х0, у) 4- Ш .
Итак, функция у (у), обращаясь при у—у0 в нуль, должна
удовлетворять сверх того равенству „
Ц$=(2(хо,у); (32)
отсюда
Vly) = $Q(xQ,y)dy. (33)
Уо
Подставляя это выражение для у (у) в выражение (31), мы
и получим искомую функцию z, обращающуюся в точке (х0, у^
15* 227

в нуль:
х у
z = [p{x,y)dx-{-\Q (xQi у) dy, (34)
х0 Уо
а прибавляя произвольное постоянное, будем иметь общее
решение:
х у
z = \p{x,y)dx + J Q (х0, у) dy + С. (34')
х0 Уо
Действительно, дифференцируя по х и по у, применяя правило
Лейбница и принимая во внимание условие (30), будем иметь:
х у
Хо У о
х у х
ъ^Щ^+Ь^***** или іИй^+о^'
х0 Уо х0
откуда
|? =Q (х, y) — Q (х0, y)+Q (х0У y) = Q (дг, у).
Заметим, между прочим, что на решение (34) можно
смотреть как на результат вычисления криволинейного интеграла
[pdx+Qdy,
причём путь интегрирования С состоит из двух частей: из
прямой, параллельной оси Оу, от точки (х0, у0) до точки (х09 у),
где dx = 0, и потом от точки (х0іу) до точки (х,у), где dy — Q;
у х
z= \ Pdx+Qdy = ^Q(x0,y)dy+[p(x,y)dx.
* Уо *о
Можно было бы выбрать путь иной — сначала от точки (xQjyQ)
до точки (х,у0) и потом от точки (х,у0) до точки (х,у);
получим то же решение в ином виде:
х У
zc=\p (х, yQ) dx + \Q (дг, у) dy. (34")
Хо Уо
Пример 1. Выражение
(2x+y)dx-\-(2y+-x)dy
228

есть полный дифференциал, так как выполняется условие (30):
ду ~~ дх ~"К
Полагая xQ = 0, y0 = 01)t будем по формуле (34') иметь:
z=\(2x±y)dx + \(2y + 0)dy + C1
о о
откуда
z = x* + xy±y*+C.
По формуле (34"), прибавляя произвольное постоянное, получили бы
то же самое:
z = ^{2x + Q)dx + \{2y + x)dy+C,
о о
откуда
z = x* + y*+xy + C.
По формуле (34) искомая функция z определяется помощью
определённых интегралов; но можно было бы для той же цели
применить и неопределённое интегрирование, предполагая, что
оно выполнимо по основным таблицам интегрального исчисления.
В самом деле, из равенства
имеем после частного интегрирования по х:
' z = $P(x,y)dx + <f(y)t (35)
где (fly) — произвольная функция^, которая должна быть
определена, чтобы выполнялись остальные условия задачи.
Дифференцируя по у, находим
Но частная производная z по у по условию должна равняться
Q(x,y); следовательно^
Q{x>y)=4z[p(x*y)dx+
*? (У)
dyj \—*^/— і dy '
откуда
dJ^=Q{X,y)-±^P{x,y)dx. (36)
і) При отыскании общего решения величины х^ Уо особой роли
не играют.
229

Таким образом, производная функции <p(j>), функции одного
переменного у, вполне определена, если только правая часть
окажется независящей от х, а для этого необходимо, чтобы
производная правой части равенства (36) по х равнялась нулю;
находим эту производную:
ъ[<Цх,У)—$у$Р{х>У)**]
dQ(x,y) <Э*
дх ,
а» Г
дхду J
Р(лг, y)dx =
= *1ЪУ)*Гд [P[x>y)dx\ ^^іх,у)_6Рі^у)
дх dy\dx J к ,*у/ дх ду
Предполагая, что условие (30) для рассматриваемого
дифференциального выражения (28) выполняется, мы действительно имеем
ох
Q(x,
«Г
y)-b]P{x^)dx\^-^
^dQ(x,y) дР(х7у) =
ду
0.
т. е. правая часть равенства (36) не зависит от х. Выполнив
в этой части указанное интегрирование и дифференцирование
и интегрируя после того по у, мы определим ср (у):
(37)
(38)
<p(y)=\\Q(x,y)-^^P(x,y)dxjdy.
Следовательно,
z={p(x,y)dx.+ [\Q(x,y) — ^[P{x,y)dx\dv.
Следует заметить, что в подинтегральном выражении
Q^y)—^^P^y)dx
указанные действия должны быть выполнены до интегрирования 1).
•*) Выражение Q(xty) — -=г- I P{xyy)dx по выполнении
указанных действий зависит только от у, между }тем отдельные члены его
Q(xt у) и -— I P(x,y)dx могут зависеть и от х. Интегрирование
целого выражения есть интегрирование некоторой функции одного
независимого переменного, и по самой постановке задачи другое
переменное сюца и не может войти. Между тем всякий иной
порядок выполнения действий при этом интегрировании заменяет
интегрирование функции одного независимого переменного частным
.интегрированием функций двух независимых переменных и может
привести к результату, отличающемуся от предыдущего на какую-
либо функцию х% что противоречит постановке задачи.
230

1
Пример 2. Применим этот способ к рассмотренному уже выше
примеру {2x-\-y)dx-\r{2y~\~x)dy. Имеем:
= ^(2x+y)dx + ^ (2y^x)~~;^(2x+y)dx
= jfi±xy+^ 2y + x^^(x^ + xy)jdy^
= x* + xy-\-h2y + x-x)dy=x*-hxy+ f 2ytfy,
dy =
или
z = x*±xy±y* + C.
Если бы мы не хотели применять готовую формулу (38), го
пришлось бы вычислять постепенно, как в общем случае. Из равенства
следует
z=[(2x+y)dx + <?(y)^x*+xy±<?(y)t
&z і dv(y) dz 0 ,
следовательно,
Сопоставляя содержание §§ 7 и 8, мы можем теперь сказать,
что равенство
б у дх
является необходимым и достаточным условием того, чтобы
величина криволинейного интеграла
{?dx-\- Qdy
зависела не от пути, а только от начальной и конечной точек
его. '
ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Какое геометрическое значение имеет определённый интеграл
функции, зависящей от параметра?
2. В чём состоит правило (Лейбница) дифференцирования
интеграла по параметру? Какие случаи при этом нужно различать?
3. Р чём заключается правило интегрирования интеграла по
параметру и в каком случае оно применимо?
4. Что такое криволинейный интеграл?
231

5. При каком условии величина криволинейного интеграла не
зависит от пути интегрирования?
6. Как найти интеграл полного дифференциала?
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Из интеграла
со
1
а
1
О
получить
00 00-
С 1 Г 1-2
а) I xe-**dx = -^\ b) х2е-**dx= -у ; ...,
о о
оо
С J 'L2-3...я
о
оо
в частности I xne-*dx = 1-2-3 . ..л. Показать законность применения
о
при этом вычислении правила Лейбница.
2. Исходя из интеграла
ъ
v . хЪ — ха
і
\пх
показать путём интегрирования под знаком интеграла, что
і
хъ — х*. . \-r-b
- dX = 1П ;—: .
In x 1 -j- a
0
Примечание. Функция —- определена в замкнутом ин-
111 X
тервале (0, 1) вполне, если за значения функции в концах этого
интервала принять пределы, к которым стремится эта функция;
.. хь — ха п ,. хЬ — ха ,
Jim —- = 0; lim —- = b — а.
jc->o In* x+i \nx
Последнее равенство можно получить следующим образом.
Полагая хь~а—\ = — у получим
,. хь„ха (і + іУ \b-a)
lim х х = lim і 11 - = Ь~а
232

3. Вычислить криволинейный интеграл J. I xdy-—ydx% взятый
с
по периметру эллипса, данного параметрически:
х = a cost, y — b sin tt
и показать геометрическое значение этого интеграла (т. Г, стр. 474).
4. Показать, что дифференциальные выражения
а> * %Г+у%Х » Ь> (^^-^^y + 2y)dxi~(-7x^ + 2x+Z)dy
суть полные дифференциалы, и найти соответствующие функции*
У х
Отв. a) w = arctg — -\~Ct или и = С — arctg —;
b) и = 5х4' — 7х*у + 2ху + Ъу±С.
ГЛАВА VII.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ;
§ 1. Двойной интеграл.
Двойным интегралом мы раньше (гл. VI, §§ 4, 5) назвали
результат интегрирования определённого интеграла по параметру;
именно, если
ъ
а
ТО
d d Ь
J <t(y)dy=-yy^f{x,y)dx (1)
с с а
было названо двойным интегралом. Переменные интегрирования
х и у удовлетворяют неравенствам
a^x^b, c^yz^d. (2)
Пределы первого интегрирования а и b будут или постоянными
или зависеть от параметра у. В первом случае областью
изменения переменных интегрирования хну будет прямоугольник со
сторонами, соответственно параллельными осям координат, во
втором эта область будет ограничена иначе.
Геометрически двойной интеграл означает объём
призматического или цилиндрического тела, опирающегося на область
изменения х и у, как на основание, и ограниченного сверху
поверхностью z—f(x7y).
Теперь мы определим двойной интеграл как предел
двукратной суммы. Докажем предварительно следующую лемму.
233

Лемма. Если двумя сериями прямых, соответственно
параллельных осям координат, разделим плоскость на
прямоугольники и, прибавляя к этим сериям всё новые и новые
прямые, будем неограниченно уменьшать стороны этих
прямоугольников, то сумма площадей тех из них, которые
пересекаются некоторой данной линией конечной длины, в пределе
равна нулю.
Доказательств о. Пусть аЪ — какая-нибудь дуга
рассматриваемой линии, имеющая длину 5. Рассмотрим произвольное
разбиение плоскости на
прямоугольники, стороны
которых ?(., параллельные оси Ох,
и Г\р параллельные оси Оу%
меньше Ь:
Так как проекции дуги аЬ
на оси Ох и Оу не
превосходят §, то у тех'прямоуголь-
ников разбиения, которые
содержат внутри точки дуги
ab, как сумма оснований ?(і
так и сумма высот г; • будет
во всяком случае меньше 35
(черт. 41). Поэтому площадь
этих прямоугольников будет меньше 3$-3§ = 9Й2. Разобьём теперь
данную линию, имеющую длину L, на п дуг равной длины — .
Тогда во всех разбиениях плоскости, удовлетворяющих
условию (3) с §= —, каждая частичная дуга кривой будет
содержаться в прямоугольниках, общая площадь которых меньше
—?¦, и значит, вся кривая будет целиком покрыта прямоугольни-
Черт. 41.
ками, общая площадь которых не превышает
9^з
Л2
П
п
(4)
взяв п достаточно большим, мы можем сделать выражение (4)
произвольно малым, что и доказывает лемму.
Двукратный интеграл. Пусть теперь нам дана
непрерывная функция двух независимых переменных z =f(x, у),
определённая для каждой точки внутри замкнутого контура С,
имеющего конечную длину, и на самом контуре. Будем предполагать
пока, что для рассматриваемой области f(x,y)^>0. Пусть, далее,
234

плоскость разделена прямыми, соответственно параллельными осям
координат, на прямоугольники ай, причём индексы / и k
указывают, каким по счёту от оси Оу (і) и от оси Ox (k) является
рассматриваемый прямоугольник. Часть прямоугольников аік попадает
в область D, ограниченную контуром С, из них пограничные
Черт. 42.
Черт. 43.
пересекаются этим контуром (черт. 42). Пусть Мік и mlk —
наибольшее и наименьшее значения функции/(х, у) внутри
прямоугольника aik. Произведения
Mi&k и ЩіР-іь
означают геометрически объёмы параллелепипедов с основанием аік
и высотами Mik и mik (черт. 43).
Обозначим через S'S'^A* СУММУ произведений Мікаш
распространённую на область, ограниченную контуром С, и область
выходящих частей пограничных прямоугольников, а через 22^/А-а
и SS^flA*—соответствующие суммы только для внутренних
прямоугольников. Если сверх того обозначим через 2'^/Ла сУммУ
произведений Мікаш распространённую на область пограничных
прямоугольников, то будем иметь следующее тождество:
. 2Т^»=22^,а*+2'^<а*- (5)
Ясно, кроме того, что •
2'2'^/*>22»w <6>
Будем теперь проведением новых прямых, соответственно
параллельных осям координат, раздроблять прямоугольники аік так,
чтобы стороны новых прямоугольников, безгранично уменьшаясь,
стремились к нулю. Наибольшее значение функции, т. е. Мш
для каждого из последующих в этом безграничном процессе
прямоугольников будет или сохранять ту же величину, как и для
235

соответствующего предыдущего, или уменьшаться, а наименьшее
значение mik или сохраняется, или увеличивается. Каждое
слагаемое суммы 2 2* Mikaik заменяется в этом процессе меньшей, или,
во всяком случае, не большей величиной и, кроме того,
некоторые части, входящие в состав суммы ^Mikaiki совершенно
отпадают, когда соответствующие прямоугольники делаются внешними.
Поэтому сумма 2'2'JW/Aatt уменьшается (во всяком случае не
увеличивается). С другой стороны, каждое слагаемое суммы 22;%Я/А
в этом процессе заменяется большей величиной, или, по крайней
мере, не меньшей, и кроме того, к этой же сумме присоединяются
новые положительные слагаемые, так как некоторые последующие
прямоугольники из пограничной области переходят во внутреннюю.
Поэтому рассматриваемая сумма увеличивается (во всяком случае
не уменьшается).
Таким образом мы приходим к следующему заключению:
первая сумма 2'2'^Ла» уменьшаясь, но оставаясь в силу
неравенства (б) больше некоторой конечной величины, стремится
к некоторому определённому пределу; к определённому пределу
стремится и вторая сумма, так как в указанном процессе она
увеличивается, оставаясь меньше некоторой конечной величины.
Пределы, к которым стремятся та и другая суммы, одинаковы,
ибо разность этих сумм может быть сделана сколь угодно
малой. Действительно,
2'SW/A* - 25Х-А*=22 W* - ««)«»+2'^л»;
для каждого прямоугольника аік колебание функции, т. е. Мік—.
.—mik, в силу равномерной непрерывности её может быть
сделано меньше любого данного наперёд положительного числа е:
22M*-»«*)«/*<022«,*.
и так как 22%— конечная величина, то
«niSSW* —«і*)*л = °;
далее, из неравенства
• 2Ча*<^2Ч*> ;
где М—наибольшее значение функции f(x,y) во всей
рассматриваемой области пограничных прямоугольников, следует
ибо по доказанной лемме
Ига 2Ча = 0.
236

Обозначив общий предел рассматриваемых двукратных сумм
через 1/, будем иметь
V= lim 2'2'^Л* =11*22 ^іА* = "ш 22"W (7)
Так как для каждого прямоугольника a/Jfe имеют место
неравенства
где хі9 yk — координаты какой-либо внутренней или граничной
точки этого прямоугольника, то к тому же пределу V стремится
и двукратная сумма
22Л*і.лК*-
Рассматривая, наконец, равномерное разбиение плоскости двумя
сериями параллельных осям координат прямых, при котором все
площади аік одинаковы, можно положить
аЛ=Д*Ду,
и, следовательно,
^=Hm22/(W*)A*4y. (7')
Этот предел двукратной суммы, в виде ли (7') или (7), и
называется двойным интегралом. Область изменения указателей
і и k при этом суммировании, как было отмечено выше,
определяется формою и положением контура С. По той же логике
обозначения, какой мы руководствовались при установлении понятия
простого определённого интеграла (т, I, стр. 368), мы можем
обозначить двойной интеграл следующим образом:
\\f{x%y)dxdy=l\mY%fixi%yk)bxLy. (8)
D * А
Буква D внизу двойного интеграла указывает на ту область,
на которую он распространяется. Согласно геометрическому
значению произведений Mikaik и тікаікУ а также и /(ХрУЛ)Ьх'йу,
двойной интеграл геометрически означает объём тела,
ограниченного сверху поверхностью z =f(x,y), снизу плоскостью хОу
и с боков цилиндрической или призматической поверхностью,
опирающейся на область D, ограниченную контуром С, как
основание (черт. 44). На произведение dxdy мы можем смотреть
как на элемент площади, на которую рглспространяется
двойной интеграл, а произведение f(xyy)dxdy является объёмом
бесконечно тонкого параллелепипеда, составляющим элемент
измеряемого объёма V.
Двойной интеграл является пределом указанной двукратной
суммы независимо от способа образования безгранично
уменьшающихся элементарных прямоугольников аік. В указанном про-
237

цессе предыдущая система прямоугольников разбивалась
проведением прямых, соответственно параллельных осям координат,
на части, давая последующую систему, и т. д. Но можно было бы
вообразить процесс, где каждая система элементарных
прямоугольников составлялась бы независимо от предшествующей,
причём должно соблюдаться лишь одно условие, чтобы стороны
прямоугольников в этом процессе стремились к нулю. И при таком
процессе
рассматриваемые двукратные суммы
стремятся к тому же
пределу.
Доказательство этого положения
аналогично
соответствующему
доказательству для простого
интеграла [т. I, стр. 382—
383].
Мы предполагали
выше, что для
рассматриваемой области
интегрирования f(x, у)^>0.
Теперь мы можем
отказаться от этого
ограничительного условия. Предыдущие рассуждения с
соответствующими изменениями применимы и в том случае, если во
всей области f(x, y)<^0. Двойной интеграл будет тогда
представлять отрицательную величину. Если поверхность z — f(x, у)
пересекает плоскость хОу в области интегрирования, то двойной
интеграл представит алгебраическую сумму положительных и
отрицательных частей, геометрически—алгебраическую сумму
объёмов, расположенных над плоскостью хОуу и объёмов,
расположенных под этой плоскостью.
§ 2. Теорема о среднем значении.
Пусть область интегрирования — связная, т.е. любые две её
точки можно соединить ломаной, целиком содержащейся в
данной области (так что эта* область не распадается на
разрозненные куски). Если подинтегральная функция представляет
произведение двух непрерывных функций:
/(*іУ) = <?(х,у)<Ь{хуу),
из которых ср (х, у) не изменяет знака в области интегрирования,
например ср(х, у)^0, а ${х, у) имеет в этой области
наименьшее значение т и наибольшее М, то существуют средние зна-
238

чения аргументов S и *], при которых имеет место равенство
})V{x>y)ty{x,y)dxdy = $& ij) [\u{x,y)dxdy.
b 'й
Действительно, по условию
т ^ ф (jf, j/) < Ж и о (х, у; > 0.
Следовательно, полагая произведение dxdy, согласно
определению двойного интеграла, положительным, будем иметь
Щ (*, у) dxdys^u (х, у) ф (х, у) dx dy ^ Му (лг, j/) At dy
и
/и ft <? (¦*, .У) ^ <У < \\ <Р С*, у) ф (л:,.у) dxdy^M ft<p (дг, j) At rf«"
или
\ \ ? (лг, J') ф (*, У) dx dy = \l\\ ср (дг, у) dx dy, (9)
где
Но функция ф (дг, у) непрерывна и потому в рассматриваемой
области существуют такие точки ($1? тіг) и (?2, rj2), что ф (^, г^) = да
и ф(Е2, *і2) = М (теорема 3 § 2 гл. IV). Далее, по условию
существует ломаная, соединяющая эти точки и целиком
содержащаяся в рассматриваемой области. На этой ломаной ф (х,у) есть
непрерывная функция одного переменного, за которое можно
принять, например, расстояние вдоль ломаной от её конца (?т, г^).
Поэтому ф (дг, у) принимает на ломаной всякое значение из
отрезка (да, М), в частности значение }і, т. е. в рассматриваемой
области существуют такие значения х и у, — обозначим их через ?
и т], — что
Таким образом из равенства (9) и получаем желаемую формулу:
\] <Р (х, у) ф(дг, у)dxdy=& (S, т;))]<р{х, у)dxdy.
Ъ D
§ 3. Вычисление двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла может быть сведено к
последовательному вычислению двух простых интегралов.
Предположим, что контур С, ограничивающий ту область, на которую
распространяется двойной интеграл, с любою прямой,
параллельной оси Оу, имеет не более двух общих точек. Если бы таким
239

свойством этот контур не обладал, но число точек пересечения
контура С с любой указанной прямою было ограниченным, то
соответствующими разрезами мы могли бы данную область
интегрирования разбить на части, из которых каждая была бы
желаемого вида, и могли бы рассматривать двойной интеграл для
«аждой части отдельно, а после вычисления результаты сложить.
Итак, пусть контур С с любой прямой, параллельной оси Оул
имеет не более двух общих точек. Две касательные к этому
контуру, параллельных оси Оу9 из которых одна (ближайшая)
отстоит от оси Оу, положим, на расстояние а (черт. 44), а
.другая (дальнейшая) — на расстояние Ь, точками прикосновения
Z и М разделяют контур С на две части LPM и LQM. Каждому
значению х,
заключённому между а и Ь,
соответствует на той и
другой дуге по одной
точке, из которых одна
имеет ординату у\ а
другая у. С
изменением х в указанных
пределах:
а
х
у1 и у' будут
также меняться, т. е.
будут функциями х.
Пусть, например,
y = ?iW.y=s=?8W;
О ''2
Черт. 45.
этими функциями и можно считать аналитически заданным
контур С.
В общем случае замкнутый контур С задаётся двумя
однозначными функциями у = 9і (*) и У"=== ?2 (•*) и уравнениями х = а
<нх = Ь двух прямых, параллельных оси Оу: область D ограничена
таким образом дугами L-^PM^ L%QM% и прямыми L^L2y МгМ2
(черт. 45). Если контур С дан в виде овала, например, в виде
эллипса, то функции <рг{х) и <р2(х) находятся решением
уравнения его относительно у, причем прямые L^ и МХМ%
обращаются в касательные овала, а а и b находятся как абсциссы
тех точек овала, для которых у'=у".
Возвратимся теперь к рассмотрению двукратной суммы
??/(*/. л) Д*Ду.
. Порядок суммирования её слагаемых может быть установлен сле-
:240

дующий. Сначала для данного значения лг, мы складываем
элементарные параллелепипеды/^, yk) АхДу в направлении оси Оу;
по вынесении Да: за знак суммы получим выражение
Д*2/(*/.л)4* (10)
k
представляющее объём некоторой пластинки (черт. 46). Толщина
её равна Дх, а площадь боковой стенки, параллельной плоскости
yOz, равна 2/(лг„ yk) Ду, где суммирование совершается по
индексу к. Для различных значений хг получим ряд таких пласти-
О
у
1
а
і
і
і
!/
\
„
\
\
\
—<
)
К
»
ч
>,
Л
Ъ
\\
V
\
}
I
т
Черт. 46.
Черт. 47.
нок, приложенных одна к другой и заполняющих приближённо
объём рассматриваемого тела;
Х?Ж. л) Д* ьу=2 Д* 2 Я*,-, л) Д*
/А і k
На черт. 47 представлен ряд оснований этих пластинок.
При переходе к пределу Длс и Ду стремятся к нулю
независимо одно от другого. Будем уменьшать сначала
безгранично Ду при постоянном Дл\ В таком случае будем иметь
иш SS/(*„ л)д* 4у=2 Д* lim 2/ (*/, л) h=2 Л* ф (*/)>
где
х"
Ф (*,) = ( /(* у) dy \у> = Vl (х§), У = ъ (X;)]
У
и представляет площадь сечения рассматриваемого тела
плоскостью x = xt: PQRS на черт. 44 и 45. Теперь будем уменьшать
хі
безгранично Дх, причём xt будет меняться в границах а
В левой части получим при этом двойном переходе к пределу
16 Курс высшей математики, т. II. 241

двойной интеграл, а в правой простой интеграл от функции Ф(лг);
ь
[[f(x,y)dxdy=[4>{x)dx%
D а
или
Ь у''
D ay
где
Таким образом вычисление двойного интеграла сводится к
двукратному простому интегрированию: сначала берётся
определённый интеграл
$ /{*>У)<*У,
где величина лг, рассматриваемая как параметр, входит, вообще
говоря, и в пределы интеграла; в результате получим некоторую
функцию Ф (х), представляющую величину площади сечения тела
плоскостью, параллельной плоскости yOz и отстоящей от
последней на расстояние х (черт. 44 и 45); потом берём
определённый интеграл этой функции в постоянных цределах а и Ь\
ъ
j Ф (х, у) dx,
а
который и даст величину рассматриваемого двойного интеграла.
Можно установить и другой порядок вычисления двойного
интеграла.
Положим, что контур Сие любой прямой, параллельной
оси Ох, имеет не более двух общих точек (черт. 48). Две
касательные к нему, параллельные оси Ох, точками прикосновения
Я и Q разделяют его на две дуги PLQ и PMQ. Пусть с и d—
ординаты точек Р и Q. Каждому значению у, заключённому
между cud, соответствуют две точки, из которых одна лежит
на дуге ЯД), а другая — на дуге PMQ. С изменением у в
границах c<^y<^d абсциссы этих точек х* и х" будут меняться,
будучи функциями у:
*' = Фі(У), *" = Ф,(У).
Представим теперь рассматриваемую двукратную сумму в
следующем виде:
2Е/(**. Л) А* Ау=24у 2/(*f. Л) А*.
і k k i
242

Выражение Ду2/(*/>.Уа) А* представляет объём пластинки,
расположенной параллельно плоскости xOz. На черт. 48
представлен ряд оснований таких пластинок. Переходим в два приёма
к пределу, полагая сначала стремящимся к нулю Длг, а потом Ду.
0
с
d
У
1
//
J
Ч
X
/^
и.
^
р
-—,
!
1 ;
1 !
L
^
1 і
і і
\1
Sl
v
>к.
ч
L
\
ъд
N
• і
¦«^
1
0
1
/
.я
\ы
у
/
X
0
с
У
d
У
а х і
і
к \
- >{А* п
/;а D
Ь х
р »-
L
v м
Черт. 48.
Черт. 49.
Получим два последовательно взятых простых интеграла, из
которых первый имеет пределами je/ = cj>1(j/), х" = §2(у), а
второй с и d:
а хч
? \f(x, у) dxdy = ^dy^ /(*, у) dx, где x' — фх (у), х' = 62 (у).
D
xf
Таким образом, при перемене порядка интегрирования в
двойном интеграле пределы каждого интегрирования соответственно
форме и положению контура С изменяются:
ь <?,(*) d ф,оо
\dx С f{x,y)dy= [dx С f{x,y)dx.
Если контур С имеет форму прямоугольника KLMN (черт. 49),
стороны которого соответственно параллельны осям координат,
то пределы как первого, так и последнего интегрирования
постоянны, ибо для всякого значения х, заключённого между а
и Ь, переменное первого интегрирования у меняется в
неизменных границах c<^y<^d, и обратно, при другом порядке
вычисления, для всякого значения у, заключённого между с и dr
х меняется в неизменных границах а<С^х<^Ь.
Таким образом перемена порядки интегрирования в двойном
интеграле, распространенном на прямоугольник, стороны которого
16*
245

соответственно параллельны осям координат, не меняет пределов
этих интегрирований;
ь d d ь
\ \ /(¦*. y)dxdy= \ dx [f(x, y)dy= \ dy [ f(x, y)dx.
KIMN а с с а
Пример 1. (Задача Вивиани.) Круглая цилиндрическая поверхность
прорезывает шар радиуса /?, касаясь этого шара и проходя через его
7 центр. Определить объём той части ша-
* ра, которая лежит внутри
цилиндрической поверхности (черт. 50).
Пусть центр шара находится в
начале прямоугольной системы координат.
В таком случае уравнение шара имеет
вид
откуда для аппликаты шара имеем:
=VR2-y2-
х*.
Цилиндрическая поверхность, положим,
проходит через ось Oz и касается
шара в точке В на оси Оу. Плоскость
Черт. 50. хОу пересекает этот цилиндр по кругу
С, для которого радиус шара ОВ
является диаметром. Уравнение окружности С легко составить, если принять
во внимание, что её радиус равен половине радиуса шара, а центр
лежит на оси Оу в точке, ордината которой
*2+(.У
2 ) 4
2 *
или x^-^y^ — Ry — 0.
(?)
вычислим сначала половину искомого объёма, именно объём той
части рассматриваемого тела, которая лежит над плоскостью хОу,
Величина этого объёма определяется двойным интегралом от функции
z = YR2 — У2 — х\ распространённым на область Д ограниченную
круговым сечением С цилиндра:
Установим следующий порядок интегрирования: сначала будем
интегрировать при постоянном у в направлении оси Ох, потом в
направлении Оу. Пределы первого интегрирования хг и х" должны
удовлетворять уравнению (Р) окружности С и являются, таким образом,
функциями у. Из уравнения (р) имеем
и потому
x = ztVRy~ j/2
x' = — YRy— У2 и x,f = ^VRy— у*.
Первое из этих уравнений представляет левую часть окружности С,
а второе —правую. Пределы последнего интегрирования постоянны,
.244

именно 0 и R. Итак, имеем:
R х"
D 0 л'
где х' и хп имеют указанные выше значения. Так как
jV^=P dx - Х-^Цр^- + | агС.іП ^ +¦ С 1),
то, полагая д = У#2 — .у2, будем иметь:
Г'
2 + ~2— » f^M
x=x'f
х=х?
= /Я.У -^ /Я2 - -У2 - #У +У* + (Я*~У2) arcsin ^ у2 =
Следовательно,
R
и
= /?УЯ (У dy-VR\y*dy+[ (^2-^)arcsin|/^^^=
О 0 0
Последний интеграл, содержащий трансцендентный множитель,
можно свести к интегралу от алгебраической функции, подводя
рациональный множитель под знак дифференциала и интегрируя по частям
R - *
Г {R2 — У2) агсзіп у п-ТГ йУ= arcsin У ^~~ И ™" У
R+y
' **Ч =
/?
2/У тс
3 4
, о
4У
2 К> (Я -М *
*) Ср. стр. 109, задача 9,
245

Полагая y = Rt2 и, следовательно, dy = 2Rt dtt будем иметь
X i
(#2 — _у2) arcsin
in]/
Я-КУ
^
б + 3J 1+?
о
Но, вычисляя последний интеграл, найдём:
г і
о
Следовательно,
2
і^-Л"--'-^-^)—5+і
4/?з озп рз/ 32 . тс \ /?з/ 4\
= TF +Т- + Т V~~ 15 + ТJ =-F [*-Т)'
v 2R3f 4\
v==-t[*-t)-
Если этот объём отнять от объёма той полусферы, которая
лежит в положительную сторону от плоскости xOz, то оставшаяся
часть полусферы будет иметь объём W, выражающийся рационально
через радиус сферы:
Этот результат и является решением задачи Вивиани (1692) о
рациональных
шара, задачи,
Черт. 51.
нение цилиндра, ось
на которую можно смотреть как на
обобщение задачи Гиппократа (гип-
пократовы луночки).
Пример 2. Два круглых
цилиндра с равными перпендикулярными
сечениями прорезывают друг друга
так, что оси их пересекаются под
прямым углом. Определить объём
тела, ограниченного этими
поверхностями.
1. Пусть ось одного цилиндра
направлена по оси Ог (черт. 51), а
другого — по оси Оу. Эти два
цилиндра пересекаются по двум
эллипсам, симметрично расположенным
относительно плоскостей xOz vtxOy
и пересекающимся на оси Ох. Урав-
которого направлена по оси Оу, имеет вид
а уравнение второго
x*+y* = a*t
(Т)
(*)
где а —радиус перпендикулярного сечения каждого из них.
Будем определять половину искомого объёма, именно объём той
части рассматриваемого тела, которая расположена над плоско-
246

стью хОу. Уравнение (Ь) является в то же время и уравнением
кругового основания этого тела. Этот объём определяется двойным
интегралом от функции г, определяемой уравнением <?), т. е. от
функции z л:2, распространённым на область D внутри круга С,
являющегося основанием второго цилиндра (S);
Черт. 52.
Двойной интеграл,
распространённый не на весь круг
основания, а лишь на часть его
внутри первого квадранта, даст
восьмую часть искомого объёма;
-?- = ( Уд3-— х2 dx dy.
Этот двойной интеграл проще вычислить, так как нижний предел
первого интегрирования —постоянное число, равное нулю. Порядок
интегрирования установим такой; сначала будем интегрировать в
направлении оси Оу, а потом в направлении оси Ох. Пределы первого
интегрирования / = 0, уп =Ya2 — х2, а пределы второго постоянны»
именно 0 и д. Имеем;
а у''
у=( I Va*-x*dxdyJ\dx\ya?-x* dy =
у»
= dxVtf—x2 dy; i dy— Va? — x\
о oo
a a
— = A Va* — x* Va* — x* dx=A (a2 - x*) dx =
о о
a a
= a2 \dx—\ x2dx = a*-j=j a\
о о
2, Расположив цилиндры по осям Ох и Оу (черт. 52), мы
получили бы поверхность, ограничивающую рассматриваемое тело над
плоскостью xOyt в виде сомкнутого свода с квадратным основанием.
Часть этого тела AOLB с основанием OAL имеет объём, равный
одной шестнадцатой доле искомого объёма, и выражается двойным
247

интегралом от функции ,гг=У я2 —x2, распространённым на область
внутри треугольника ОЛЬ:
^ = ] \Va% — x*dxdy =
OAL
= \dx fa*—x*dy = Va*—x*dx dy\ \ dy = x;
0 y=sQ 0
a a
~== Г xVa* — x*dx = — 1 (я2-лг2)2<*(а2 —Ar2) =
3
1 Г2(я2 —л:2)2]* я3 .. 16 ,
~~ 2 [ 3 Jo 3
§ 4. Замена переменных. Функциональный детерминант;
Пусть прямоугольные координаты х, у являются функциями
параметров а и v:
х=х(а, v), y=y{u, v). (11)
Пусть эти функции однозначны, непрерывны и имеют
непрерывные частные производные по и и v в некоторой области
переменных и, v. При постоянном значении одного из параметров
и и переменном v точка (х, у) описывает некоторую в общем
кривую линию. Различным значениям и соответствует серия
линий, которые мы будем называть кривыми (и). Точно так
же различным значениям v при переменном и соответствует
серия линий (v). Таким образом каждой паре значений u,v
соответствует точка (л:, у), как точка пересечения соответствующих
линий (и) и (v).
Рассмотрим в плоскости (х, у) такую область Д внутри
которой каждая кривая (и), если пересекается с какой-либо
кривой (v), то не более как в одной точке, причём через всякую точку
области проходят кривая (и) и кривая (v) (черт. 53а). Для такой
области соответствие пар значений (х7 у) с одной стороны
и (и, v) с другой будет взаимно однозначным.
Параметры и и ю можно рассматривать как криволинейные
координаты той же точки (х, у) [ср. т. I, стр. 167]. Если же и и v
248

рассматривать как прямоугольные координаты некоторой другой
плоскости, то в этой плоскости (и, v) области D соответствует
некоторая область D' (черт. 536), причём каждой точке (и, v)
области ?>' соответствует одна точка \х,у) в области D, и
обратно. Если точка (и, v) опишет контур С, ограничивающий область
?>', то соответствующая точка (лг, у) опишет контур С,
ограничивающий область ZX
О
и.
•
А
\
S.
ч
а
"
4s
Ч
-*і -
»///*'¦' *
чч
- г '
\7'
и
Черт. 53а.
Черт. 536.
При таком взаимно однозначном соответствии так
называемый функциональный детерминант или якобиан
(детерминант Якоби)
J
дх
ди
ду
ди
дх
dv
ду
ди
дх ду
ди до
дх ду
да ди
(12)
сохраняет в области D' постоянный знак, в предположении, что
D\ а следовательно, и D—связная область.
Действительно, рассмотрим соответствие достаточно малых
областей около точки (х, у) и около точки (и, v). Это
соответствие сводится к соответствию приращений х и у, и и v:
дх . ,
а дх .
Дл; = — Да
ди
(13)
где р = |Д;с]-|-|Ду|, a s и е'— бесконечно малые вместе с р.
Покажем, что J не может обратиться в точке (и, v) в нуль.
В самом деле, пусть 7=0. Во всяком случае, -г- и -=- не
249

могут одновременно обратиться в точке (и, v) в нуль, ибо тогда
в первом из равенств (13) справа стояла бы бесконечно малая
порядка выше первого, в то время как слева стоит бесконечно малая
дх
первого порядка. Пусть, например, -д— ф- 0. Умножая тогда
/іо\ ду дх
первое из равенств (1о) на —-~- , второе — на ->- и
складывая, получим, принимая во внимание равенство /=0:
Полагая Д;с = 0, мы и придём к противоречию, так как слева
в (14) будет стоять бесконечно малая первого порядка (Ау в
пределах выделенной области может изменяться независимо от Ддг),
тогда как справа стоит бесконечно малая высшего порядка!1
Итак, J не может обратиться в нуль ни в одной точке
внутри области D'. Так как эта область, по предположению,—
связная, то отсюда следует, что J сохраняет во всей области
постоянный знак. Действительно, если бы в точках (uv vx)
и (й2> v%) области П якобиан J принимал значения разных
знаков, то на любой ломаной, соединяющей эти две точки
и целиком содержащейся в D\ он должен был бы в некоторой
точке обращаться в нуль.
§ 5. Замена переменных в двойном интеграле.
Пусть переменные х и у в двойном интеграле заменяются
функциями новых переменных и и v
х = х(ц, v), y=y{uy v), (15)
имеющими непрерывные частные производные по а и v, и пусть
этими функциями устанавливается взаимно однозначное
соответствие области D, на которую распространён двойной интеграл,
и соответствующей области D' для новых переменных и7 v.
Данный двойной интеграл, распространённый на область Д
преобразовывается таким образом в двойной интеграл,
распространённый на соответствующую область /У. Это
преобразование можно свести к последовательной замене переменного в
простых интегралах; при этом будем предполагать пока область D
такою, что контур С, её ограничивающий, пересекается с каждой
прямой, параллельной оси Ох или Оу, а также с каждой
кривой (и) и (v) не более, как в двух точках, а кривые (и) и
{v) не только между собой, но и с прямыми, параллельными
250

той или другой оси координат, имеют не более одной общей
точки.
При таких условиях относительно области интегрирования
по правилу вычисления двойного интеграла имеем:
\у{*> y)dxdy= J dx \ /(дг, y)dy. (16)
V а уХх)
При первом интегрировании по у другой аргумент х считается
постоянным.
Из равенств (15), полагая х= const, находим:
0=d?da+d?dv'
откуда по исключении dv имеем:
дх л<: (дх ду дх ду\ j
ИЛИ
-%dy = Jdu. (17')
дх
Предполагая зг^^ в области D, после такой замены
переменного у получим:
Уг(х) at(x)
du
f{x, y)dy= \ f[x, y) J.
Vx(x) afc) dv
и следовательно,
f \f{xt y)dxdy=\ dx Г f{xty)J^^9
D а ах(х) $v
или, считая du, dx и dy положительными (так что —¦%
дх_
dv
=%>%
du
\ f f{x, y)dxdy=\ [f[x, y)\J\dxdu
D D"
dx\ '
251

. дх
где у, J я -5— предполагаются выраженными через х и я,
a Z)"—соответствующая область изменения переменных х и и.
Применяя снова правила вычисления двойного интеграла,
будем иметь:
d ха(а)
^ f[xty)dxdy = ^ du \^f{x,y)\J\^
D с Хііи) dv
причём пределы хг (и) и х2 (и) взяты в таком порядке, чтобы dx
дх 1ч
имел тот же знак, что и -з— )-
' dv '
При интегрировании по х переменное, и считается
постоянным. Заменяя х через v из равенств (15) при # = const, имеем:
dx = г- flfv.
Следовательно,
J J/(*. y)dxdy = \ du j /(л:, j/)|7|rfv,
где ^j (й) и v2 (и) — соответствующие пределы нового переменного,
а х, у и J рассматриваются как функции и и v. Не отмечая
порядка интегрирования и считая du и dv положительными, мы
и получим окончательную формулу преобразования двойного
интеграла:
\ \fix%y) dxdy=,f\ §f{xiy)\J\dudvm (18)
*Ъ D
Если область интегрирования с кривыми (и) и (v) на ней не
обладает принятыми выше свойствами, то, разбивая её на
части, где эти свойства имеют место,—предполагая, конечно,
такое разбиение возможным, мы можем заключить, что формула
(16), справедливая для каждой части, будет справедлива и для
всей области.
г) Так как. частные производные х по и и v или у по тем же
переменным не могут одновременно обратиться в нуль, то всегда
можно разбить область D на такие части, в которых по крайней мере
одна из производных не обращается в нуль, и установить для каж-
доЙ части соответствующий порядок преобразования, при котором
знаменатель подинтегральной функции после первого
преобразования не обращается в нуль.
252

Таким образом при преобразовании двойного интеграла
переменные х, у заменяются функциями новых переменных
х{и, v), у {a, v)9 а элемент площади dxdy области D — другим
элементом — произведением функционального детерминанта J на
элемент площади dudv новой области интегрирования D\
§ 6. Элемент площади в прямолинейных координатахі
Пусть область ?>' плоскости (и, v) разбита на
прямоугольники прямыми, параллельными осям координат О'я, O'v этой
плоскости. Площадь какого-либо из этих прямоугольников
a'b'c'd' (черт. 546), обобщая понятие приращения переменного,
обозначим через А (я, v) и будем считать её всегда
положительной:
Ца, v)
(19)
В плоскости (х, у) этому прямоугольнику соответствует
криволинейный четырёхугольник abed, ограниченный линиями (я),
о1
V
v+Av
и
( а'
и+Ди и
V ^\
t I
С
Черт. 54а.
Черт. 546.
(a-j-Ая), (v) и (v-{-b.v) (черт. 54а). Обозначим эту площадь
через Д(х, у) и будем считать её положительной или
отрицательной, смотря по тому, будет ли функциональный детерминант У
положительным или отрицательным. Соответствие, устанавливаемое
формулами
х = х(и, v), y=y{u7 v),
будем называть прямым, если У^>0, и обратным, если У<^0.
По формуле преобразования двойного интеграла имеем
j j dxdy= ( j |/| dudv,
253

и следовательно,
Д(*, у) — j ? Jdudv. (20)
Цв, v)
По теореме о среднем значении из равенства (20) следует
Д(дг, y) = J(u0, v0) [ Г dudv = J(a0, г>0)Д(я, ф), (20')
v а/ .
где (и0> ио) — некоторая точка внутри области Д(й, г>), откуда
Пусть теперь область Д(#, г») по какому-либо закону
уменьшается так, что в пределе обращается в точку (к, v). Точка
(«оі ^о)» оставаясь всегда внутри области Д(#, -о), стремится
к точке (а, г/) как своему предельному положению. Площадь
Д (х, у) в силу непрерывности соответствия также безгранично
уменьшается, и в пределе мы будем иметь:
или, распространяя не только символы приращения, но и
символы производной на область двух переменных,
d (х, у)
d(u, v)
= J(ut v).
Таким образом функциональный детерминант является
обобщением понятия производной (Donkin): функция одного
переменного y=zf(x) устанавливает соответствие точек оси Ох
и точек оси Оу; формулами x=x(u, v), у=у(и, v)
устанавливается соответствие двух плоскостей (и, v) и (х, у);
производная — является коэффициентом растяжения или сжатия для
оси Оу, а функциональный детерминант ^ ^—коэффициен-
том растяжения или сжатия плоскости (л:, у) в этом
соответствии. Для элемента площади плоскости (х, у) в
криволинейных координатах имеем
4{х> y) = J(u> v)d(a, v), или -d(x, у)—Jdudv.
Бесконечно малую площадь d(x, у) можно рассматривать,
как площадь параллелограмма, составляющую главную часть
254

бесконечно малой площади криволинейного четырёхугольника
Д (л:, у). Действительно, вершины Д В, С, D
четырёхугольника Д (х, у) имеют следующие координаты:
А(х, у), В (x + g^ + s'p.jr + l Ла + г/р) ,
с(* + ?д* + *р,.у + *А,, + ч-р),
Ч' + Я^ + ё^ + 'М + ё^ + ^^ + Чр),
где е, 7], е', г/, е", г/'— величины бесконечно малые вместе
с р == | Ди і —f-1 Дхг j (ср. гл. IV, § 4). Если отбросить в этих:
координатах бесконечно малые высших порядков, то получим*
четыре точки Л, В\ С, D':
А(х,у), B'(x + dfudu,y + d?du),
которые служат вершинами параллелограмма.
Примем точку А за новое начало координат тех же
направлений. Остальные вершины будут иметь координаты
Определяя площадь параллелограмма AB'CD', мы и получи»
утверждаемое [т. I, стр. 42]:
пл. AffCD' — 2 пл. АВ'С =
5— du J-du
да да
дх . ду -
ov ov
или
un.ABlC'Dl = (^d?-^)dudv = Jdudv.
Преобразованный двойной интеграл при замене переменных
можно рассматривать отнесённым к прежней области
интегрирования D, но выраженным в криволинейных координатах:
элементарные параллелепипеды f(x, у) dxdy данного интеграла
заменяются элементарными параллелепипедами /(л:, y)\J\dudxr
255>

преобразованного, в основании которых лежат элементарные
-параллелограммы, образованные в пересечении бесконечно
сближающихся пар кривых линий (a), (u-\-du) и (v), (v.-\-dv).
§ 7. Свойства функционального детерминанта.
Аналогия между производной и функциональным
детерминантом, отмеченная выше (§ 6), идёт и дальше. Так, если y=f(u)
и в = ©(?), то
dy dydfi
dl du dV
Точно так же для функционального детерминанта, если
х = х{а, <о\ У—У {и, v) и a = a(S, 4), v = v(t, 7]),
то
<*(*. у) _d(x, у) d(u, у)
d «, ч) *
d (S, ч) d (a, v)
Это равенство, представляющее обобщение формулы
дифференцирования функции от функции, является следствием очевидного
тождества
*(*,>)_*(*, у) А (а, Р)
Д(?, ч) A (a, v)" Д«, ч) '
где гД(лс, _у)> Д(к. ^)> Д (S, 7]) означают соответственные
площадки в плоскостях (х, зО, (", v) и (?, 7)), или следствием
непосредственного перемножения детерминантов; действительно,
дх дх
ЖТЛ
dv ду
Ж Щ
^? дЦ _!_ ^х — дхди . дх dv
да д$ ' (?f ді да дт) ' д# дт\
^.™-J_^'^ ^у (?ц, dv dv
да дЬ ' д» д? ди дг\ ~*~ ду дц
дх дх
ди dv
ду ду
ди dv
ди ди
ді дп
dv dv
Ж 5ч
§ 8. Переход от декартовых координат к полярным.
Примеры применения замены переменных в двукратном
интеграле.
Как наиболее часто применяемое, рассмотрим преобразование
декартовых координат в полярные:
x=rcoscp, _y = rsincp,
где г и ср — переменные. Вычисляя функциональный детерминант,
.получим
У (г, $) =
dx dx
dr dy
dv dv
dr dy
(21)
256

ибо
дх дх ду dv
Следовательно,
d(x, y) = rdrdv (22)
и
\ \/(*> y)dxdy=\ \ /(гcos у, г smy)rdrdu.
(23)
Выражение (22) для площади криволинейного
четырёхугольника d{xt у) можно вычислить и непосредственно из
геометрических соображений. Действительно, пренебрегая бесконечно
малыми высших порядков, можно принять криволинейный
четырёхугольник mnpq (черт. 55) за прямоугольник, у которого
mn = rdff и mq==dr,
и, следовательно,
nn.tnnpq=^d{x, y)—rdrd<p.
Во многих случаях формулы преобразования можно
подобрать так, что вычисление преобразованного интеграла будет
проще. Упростить вычисление двойного интеграла и составляет
одну из целей замены переменных в нём.
0
У
мс
*^>
N?
і
;Х
Черт. 55.
Черт. 56.
Пример 1. (Задача Визиани.) Определить объем общей части шара
и круглого цилиндра, касающегося этого шара и проходящего через
его центр (ср. прим. 1 § 2).
Решение. Мы уже видели (стр. 244), что
Z = Г (Vjp-jts-jtf dxdy,
ТУ
где Z)'—-половина окружности D (черт. 56). Вычисление этого
интеграла мы произведём помощью замены декартовых координат на пло-
17 Курс высшей математики, т. ц, 257

скости хОу полярными, т. е. полагая
x=rcos<? и j/ = /"siny,
где г и f — полярные координаты точки М (дг, .у).
Элемент площади в полярных координатах, как мы видели,
определяется формулой:
d(x, y) = rdrd<?.
Следовательно,
?.= ( \Vr#2 — x*—y'idxdy= \ VR* — r*rdrd<?.
Первое интегрирование будем совершать по г при постоянном yf
а второе— по ср. Пределы первого будут 0 и Rsiny (черт. 56), а пре-
делы второго постоянны, именно 0 и -к- ;
тс
6 b
i? sin ф L
0
я тс я
2 "2 "2
V С R3 RS Г Я3 Г
"4" = J ~эг ( cos3 ^rf<p =Т d<? ~~ Т г1 ~~siI*2^dsin т ™
О 0 0
3 2 3
3 Г. sinb Та яЛ3 2#з Wit 2\
3 \ 2 3 ' e
Если в двойном интеграле при постоянных пределах подинте-
гральная функция является произведением двух функций, из
которых каждая зависит только от одного переменного, т. е. если
f(*> У) = Р(х)Ф(у),
то двойной интеграл равняется произведению двух простых
интегралов. Действительно,
х—Ьу=ц1 ь d
[ J /(*, y)dxdy = ^F(x)0(y)dxdy =
x—ay=.c а с
d
= J * (У) [J P (*) dx] dy.
с а
258

Но интеграл с постоянными пределами
ь
^F(x)dx
а
не зависит от у, и потому его можно вывести за знак последа
него интеграла, откуда
ь d ь а
^F(x)<P(y)dxdy=:^F(x)dx^<p(y)dy. (24)
ас ас
Это частное свойство двойного интеграла в соединении с
заменой переменных иногда можно, как это видно из следующего
примера, применить к вычислению простого определённого
интеграла, когда обычные способы помощью неопределённого
интегрирования
неприменимы.
Пример 2. Вычислить
интеграл Пуассона
(Лапласа) (ср. стр. 126)
Ч-оо
V= С e-*dx. (a)
Геометрически величина
этого интеграла
представляет площадь,
ограниченную осью абсцисс и кривой у = е—& (черт. 57), простирающейся
по обе стороны в бесконечность. Вычисление помощью
неопределённого интегрирования здесь неприменимо, ибо соответствующий
неопределённый интеграл не выражается помощью элементарных функций
в конечном виде. По определению несобственного (с бесконечными
пределами) интеграла имеем
R
(Р)
V= lim Vb где Vx= \ е—**dx.
Так как величина определённого интеграла не зависит от
обозначения переменного интегрирования, то
я
Vi= f e-**dx
~R
R
У1= Г e-Pdy.
и
Следовательно,
17*
—R
R R
V?=.\ e-&dx
-R -i?
|=.f e-&dx- [ e-y*dy.
(T)
259

Применяя в обратном порядке формулу (24), получим
R Я
(Y)
Этот двойной интеграл, распространённый на квадратную область
[—R^x^Rt-R^y^Rl
представляет геометрически объём тела, ограниченного сверху коло-
колообразной поверхностью, которая получается вращением линии
Черт. 58.
у = е—х* около оси Oz (черт. 58, О А = /?). Область K{R\ для которой
x*+-y**R*t
представляет площадь круга и составляет часть квадрата (— /?, R),
г если радиус круга взять больше половины диагонали квадрата (на
черт. 58, ОАіУЯу 2), то квадрат составит часть круга; поэтому
п R
\\е- <*a+v3) dxdy < [\ е-{х*+у>) dx dy <
< Игл Г Г e~-i*+y*)dxdy. (о)
Но первый и последний интегралы могут быть вычислены помощью
замены декартовых координат полярными. Действительно, полагая для
первого интеграла
jr = rcoscp, У =/-sin?,
будем иметь:
x*+jfl = f*, d(x, y) = rdfdr,
яри этом г меняется при интегрировании от 0 до R, а © — от нуля
до 2л, и таким образом рассматриваемый интеграл
преобразовывается в интеграл с постоянными пределами:
(г=2ігг=Я йя Я
Г Г е- <*»+уі) dx dy— \ Г г-'2 rdrdf= Г tfy f e- 'V
tfr.
260

Интегрируя сначала по у, получим:
R
С С e-W+y*)dxdy =2r f е-** г dr. (г)
Полученный интеграл можно интерпретировать геометрически
следующим образом. Величина 2кгdr представляет площадь
кругового кольца, у которого радиус внутренней окружности равен г,
а внешней r-\~dr. Эта площадь служит основанием
цилиндрического кольца с высотой е—г3, а объём его 2^-гаА^г-элемеи-
том определяемого объёма.
Интеграл (е) легко вычисляется:
R Я
2и
С e-^rdr — ъ С *-*•<*(/*) =5* Г — е-'81* ,
откуда
я
2itfe-rVd>-==*(l-*-*a) или J С ^(^+у9)^^ = г(1-^-^).(5г>
Теперь можно вычислить и последний интеграл неравенств (о):
lim С \ш-^+^йх*у=Ш (!-*-*¦) = *
Jim \ i «г ал а,/ = іли \і — e ) = *w
Таким образом неравенство (о) можно представить в следующем виде;
П R
"я-я
Но согласно равенствам (7) и {Y)
R R
—Я — J? — Я
и из неравенств (2') получим
R
—я
Увеличивая безгранично R9 мы и получим из неравенства (5) величину
интеграла Пуассона:
со
f e^'rfjCsr/*.
—00
• § 9. Вычисление поверхности.
Что" разумеется под площадью части кривой поверхности,
ограниченной замкнутым контуром, конечно должно быть
определено. Если поверхность обращается в плоскость, то это опре-
261

деление должно привести к обычному определению площади
плоской фигуры. Определение должно быть таково, чтобы
площадь кривой поверхности зависела только от формы поверхности
и ограничивающего контура, а не от положения её или каких-
либо иных привходящих данных. Прежде чем дать такое
определение, рассмотрим предварительно предложение о проекции
площади плоской фигуры.
Лемма. Проекция площади треугольника на какую-либо
плоскость равняется проектируемой площади, умноженной
на косинус угла её наклона к плоскости проекций.
Доказательство. Предложение очевидно справедливо,
если одна из сторон, например, АВУ проектируемого
треугольника ЛВС параллельна плоскости проекций. Действительно, при
С^ С
Черт. 59.
Черт. 60,
таком положении сторона АВ будет параллельна и равна своей
проекции АгВи а высота СИ треугольника ABC (черт. 59)
проектируется высотой С^ треугольника А^В^С^ Поэтому
Но
пл. АВС = ^АВ.СН, ujlA1B1C1 = ^AxB^C1H1.
<?!#! = С//, cos а и АгВг=АВ,
где а — угол наклона плоскости треугольника ABC к плоскости
проекции. Следовательно,
пл. АгВг Сх = пр. пл. ABC = \аВ-СН cos а,
или
пр. пл. ABC = пл. ABC- cos а.
Пусть теперь ни одна из сторон треугольника ABC не
параллельна плоскости проекций. Если высота вершины В над плоскостью
проекций заключена между высотами вершин Л и С, иначе — если
С]С>В1В>і41і4, то через вершину В можно провести в
плоскости треугольника прямую ВМ (черт. 60), параллельную
плоскости проекций, и тем самым разделить треугольник ABC на
262

два: ABM и СВМ, у которых общая сторона ВМ параллельна
плоскости проекций. По предыдущему имеем
пр. пл. АВМ — пл. ABM* cos а,
пр. пл. СВМ = пл. СВМ* cos а*
Отсюда по сложении получим:
пр. пл. Л?С = пл. ABC- cos а,
что и требовалось доказать.
Следствие. Проекция площади любой плоской фигуры
равна проектируемой площади, умноженной на косинус угла
наклона к плоскости проекций.
Действительно, если фигура прямолинейна, то диагоналями
её можно разбить на треугольники, одинаково наклонённые к
плоскости проекций, а 2 >
если она
криволинейна, то её можно
рассматривать как предел
прямолинейных фигур.
Площадь кривой
поверхности. Пусть
подлежащая
измерению часть поверхности
ограничена замкнутым
контуром С, который
проектируется на
плоскость хОу контуром
Cv Площадь/),
ограниченную контуром Си
разделим каким-либо
образом, например,
двумя сериями прямых, параллельных соответственно оси Ох и оси
Оуу на элементарные части aik (черт. 61). В каждой из этих
частей возьмём какую-либо точку, (xikl yik) и в соответствующей
точке поверхности^,^, zik), где zik=f(xik, yik), проведём
касательную плоскость. Пусть a?k-—площадь той части этой
касательной плоскости, которая имеет aik своей проекцией на
плоскость хОу. По предыдущей лемме имеем:
*» = att«>SYrt, или att = JIa_., (25)
где У/а — Угол наклона карательной плоскости к плоскости хОу,
равный углу между нормалью к поверхности в точке (хшуш zik)
и осью Oz, Если из двух углов, образованных осью Oz и
нормалью к поверхности, будем брать за угол уй острый угол, то
263

можно считать cos Y/ft^> 0. Предполагая, что в каждой точке
поверхности имеется определённая касательная-плоскость и эти
касательные плоскости переходят непрерывно одна в другую, не
занимая положения, перпендикулярного к плоскости хОу, можно
считать непрерывной функцией переменных х и у. При
таких условиях сумма площадей а/А, прикасающихся к измеряемой
поверхности, стремится к определённому пределу, который как
предел двукратной суммы представляется в виде двойного
интеграла:
Hrn2S^ = nrnS-a-=ff^. ' (26)
c6sfx-A J J cost
Этот предел и представляет измеряемую площадь 6* поверхности.
Так как (стр. 160)
1 дг дг
cqsy= г -•> где/7 = -— , а=~.
то площадь S части поверхности г=/(лг, у), ограниченной
замкнутым контуром Су можно представить в следующем виде;
S= J J /"Т+ТМ1? ^ <У. (26')
Как следует из самого определения двойного интеграла,
величина (26') площади кривой поверхности не зависит от способа
разбиения её проекции D на элементарные части. Если
поверхность— плоская, т. е. если z зависит линейно от х и )і, то
cosy будет постоянным и формула (26) приводит к обычному
определению площади плоской фигуры.
Независимость величины S от системы координат.
Покажем теперь, что величина интеграла (26') не зависит от
системы координат, а зависит только от формы поверхности и
ограничивающего контура.
Из теоремы о среднем значении интеграла имеем
D D
где у0 заключается между наименьшим (g) и наибольшим (G)
наклоном касательных плоскостей измеряемой части поверхности:
?<Yo<G- (28)
Из.равенства (27) имеем:
cos го
264

Следовательно, всегда можно выбрать такую касательную
плоскость поверхности — именно наклонённую под углом у0 к
плоскости хОу,— что в сечении её с проектирующим цилиндром,
опирающимся на контуры С и С,, будем иметь площадь, равную
величине двойного интеграла (26')«
.Применение этого положения к любой элементарной части
поверхности приводит к следующему: можно выбрать такую
точку (xtk, yik) в каждой элементарной части aik площади D, что
двукратная сумма, определяющая двойной интеграл (26), при
стремлении своём к пределу совсем не будет менять своей
величины, т. е.
22 И =lim 22c-grY=1J V\+p*+*ix dy.
D
Пусть теперь оси координат изменяют свои направления, но
достаточно мало, чтобы интеграл (26') для каждого положения
осей имел смысл *). Пусть контур С проектируется на плоскость
х'Оу' контуром C'v ограничивающим площадь ?>'. При
непрерывном изменении осей площадь D' непрерывно меняет свою
величину и потому можно считать D' м'ало отличающимся от Z)»
Подберём теперь угол у^ так, чтобы
D' = S cos ?0. (29)
Вследствие непрерывности изменения величины D* и направления
оси аппликат cosy0 будет мало отличаться от cosy^. Точно так
же мало изменятся наименьший (g1) и наибольший (С) наклон
касательных плоскостей, так что будет оставаться в силе
неравенство (28) для изменённых углов gy у^ и G':
4<fo<0'- <28>
Поэтому угол y[j, определённый равенством (29), является углом
наклона одной из касательных плоскостей измеряемой части
поверхности, и площадь сечения этой плоскости с новым
проектирующим цилиндром будет равна S> т. е. величине, названной
нами площадью измеряемой части поверхности. Применяя это
положение ко всякой элементарной части поверхности, мы можем
заключить, - что существует и для новых осей способ образова-
!) Преобразованная функция должна оставаться однозначной, а
поверхность—не иметь касательных плоскостей, перпендикулярных
плоскости хОу, т.е.рпд должны быть конечны. Если бы изменение осей
выходило из этих границ, то измеряемую поверхность нужно было
бы разбить на части, для которых применимо приводимое рассуждение.
265

«ия постоянной двукратной суммы, равной S:
а следовательно, и всякий другой способ образования этой
суммы при новой системе координат приводит к пределу S, т. е.
величина интеграла (26') зависит лишь от формы поверхности и
-ограничивающего контура.
Пример 1. Вычислить поверхность шара х3-\-у2-\-z2 = а2.
Решение. Уравнение верхней полусферы
Нормаль в каждой точке поверхности направлена по радиусу и
потому
z = a cosy.
Площадь полусферы определяется двойным интегралом
2 JJcost —J J уа*-{х*+у*) '
где областью интегрирования D является область, ограниченная
экватором шара. Переходя к полярным координатам, получим
1 S = Г [ardrd4
2 ))V^=7*'
D
Пределы интегрирования постоянны: ? меняется от 0 до 2к, а г—от О
.до а;
2 J TJV^-r-
f I* /
о о
S = 4xaK
Пример 2. Вычислить площадь той части поверхности шарьа,
которая лежит внутри касающегося и проходящего через центр шара
круглого цилиндра (ср. задачу Вивиани).
Решение. Областью интегрирования является круг радиуса -^-,
проходящий через центр шара. Пределы интегрирования в полярных
координатах — те же, что и в задаче Вивиани (§ 8):
к
2 asfne
1 0 С С rdrdy С С rdr
Но
D 0 0
a sin и
Г rdr ,y --.asiiKo
266

следовательно,
it
~2
о
$ = 2д*(іс —2).
§ 10. Площадь поверхности в криволинейных координатах.
Уравнение поверхности можно представить в параметрической
форме
х = х{и, v), у=у(иу v), z = z(a, v), (30)
где и и v—независимые переменные (параметры), а х, у, z в
правых частях уравнений (30) — Знаки функций. Если определить
из первых двух уравнений и и v и вставить их выражения
через х и у в последнее, то мы получим уравнение поверхности
в виде z=f{x, у).
Проектируя элемент поверхности da
последовательно на плоскости хОу, yOz, zOx, получим:
cosada=d(yy z)y cos$da = d(z, x)y cos*fda = d(x, y),
где a, $, y-—углы наклона нормали, соответствующей
рассматриваемому элементу. Преобразовывая помощью уравнений (30)
элементарные площади d(yy z), d(z, х), d(x, у), будем иметь
cos a da = Л dudv, cos$da=Bdudv, cosyda = Cdudv, (31)
где
л _ d (у, z) p_tf(z, л:) r_d(x, у)
Л d(utv)> d(u,vy °— d(к, v)*
Из равенств (31) по возведении в квадрат и сложении получим
da = К-42 + 52 + С2 du dv, (32)
и следовательно,
S = J [ VA* + B* + C*dudv, (33)
D'
где Dr — область изменения параметров Of, соответствующая
площади D.
Интеграл (33) можно представить в ином виде. Преобразуем
помощью формул (30) элемент дуги, расположенной на поверхт
ности:
d$ = 1/Лса + 4уа+?&2. ' (34)
Полагая здесь
dx=%?da + l?dv, dy = d?du-\-d^dv, dz=^du + d?dv,
267

найдём:
где
ds2=Edu2 -\-2Fdudv-\-G dv2,
*-©•+(&•+$)•.)
P dx дх , ду_ ду_ , dz dz
да dv * да dv * да dv '
(35)
(36)
/ Принимая во внимание, что
A^~dudv dvduy dadv dvda* L~ dadv dvdu' (d7'
нетрудно простым вычислением-установить тождество
А* + В2-\-С* = Еа — Я,
и следовательно,
S=\[VEG—I^dttdv.
(38)
(38')
§11. Поверхностный интеграл или интеграл,
распространённый на какую-либо определённую сторону поверхности.
Пусть некоторый кусок поверхности S, ограниченный
замкнутым контуром, в пересечении с любой прямой, параллельной
оси Ох, или Оу, или Oz, имеет не более одной точки. Таким
образом уравнение этой поверхности можно представить в любом
из видов
*=/іО. %)> или у—/2(^ х)> или *=Л(*і У),
где /, (у, z), /2(г, х)> /ъ(хч у) — непрерывные функции,
однозначные соответственно в областях D\, Z)2, D8, получаемых как
проекции поверхности S на соответствующие плоскости
координат.
Если Р(х> у, z), Q{x, у, z), R{x,y, z) — непрерывные
функция переменных х} у; zy то интегралы
j J Л (Л (У. *). У, *) &У dz, \\Q(х, /2(*, x), z)dzdx,
И Я (•*. >¦/3 (*> y))dxdy
¦ (39)
имеют согласно определению вполне определённый смысл.
Элементы площади dydz, dzdxy dxdy по тому же определению
268

должны считаться здесь положительными величинами. Не
предрешая формы этих элементов площади, те же интегралы (39)
можно представить в следующем виде:
\\Л(*,.У>/з(*».У)) d{x,y).
о.
(39')
Пусть da—элемент поверхности S, a a, J5, у— углы
наклона к осям координат нормали в точке (х, у, г), направленной
в какую-либо определённую сторону поверхности. Рассматривая
элементы площади d(y, z), d(zy х), d(x,y) как проекции элемента
поверхности da, будем иметь:
d (Уь z) = I cos а | do, d (z, х) = | cos ? | da, 1
rf(-rIey) = |cosY|rfa. 1 (40)
Соответственно выбранной стороне поверхности cos a, cos ji, cosy—
величины определённого знака и не меняют его при перемещении
точки (х, у, z) по поверхности S. Если отнести эти знаки и к
элементам площади, то равенства (40) примут вид
d (v, z) = cos a da, d {z, x) = cos 3 da, )
\.» / > (40')
rf(x, _y) —cosyafa, )
где ^j—во всяком случае положительная величина. При таких
значениях d {у, г), d (z, х), d (х. у) интегралы (39'), сохраняя
определённый смысл, отличаются от интегралов (39), быть может,
лишь знаком. Эти интегралы, как вполне определяемые формой
и выбранной стороной поверхности S, можно обозначить сле-
дуюшим образом:
J j Р (х, у, z) cos ado, \\ Q іх>Уу z)cos ? da, I
]]R(x,y,z)cos4dat j
где под x, y,z разумеются координаты точек рассматриваемой
поверхности, что и отмечается указателем S, а знаки косинусов
определяются выбранной стороной 6' поверхности. Эти
интегралы (41), а также их сумма
и
{Р cos а -f Q cos р 4" Л cos у) cfa (42)
5
269

и называются поверхностными или интегралами,
распространёнными на определённую сторону поверхности S. Если
направление нормали в каждой точке поверхности изменить на
противоположное, то cos a, cosp, ?Osy изменят свой знак, а потому и
интегралы (41) и (42), если их рассматривать распространёнными
на другую сторону поверхности S, сохраняя прежнюю
абсолютную величину, изменяют свой знак:
\'\ (Pcosa+Qcosp ~\-Rcos*{)da =
3F
= — J J (Pcos a + Q cos p -\-R cos y) da,
где S и S означают разные стороны одной и той же
поверхности.
Распространим теперь понятие поверхностного интеграла на
случай, когда поверхность S, имея две различные стороны,
пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не в одной
только точке. Разрежем такую поверхность линиями
прикосновения огибающих её цилиндров с образующими, параллельными
осям координат, на куски, каждый из которых обладает
требуемым вначале свойством. Интеграл (42), распространённый на
определённую сторону каждого из этих кусков, имеет по
предыдущему определённый смысл. Сумма таких интегралов,
распространённых на те стороны кусков, которые составляют
одну сторону данной поверхности, например, внешнюю в случае
замкнутости, и называется интегралом, распространённым на
эту сторону поверхности S. При перемещениях точки (х, у, z)
по поверхности в этом общем случае cos a, cosp, cosy могут
и менять свой знак, но в каждой точке (х, у, z), раз выбрана
сторона поверхности, каждый из косинусов имеет вполне
определённый знак. Интеграл, распространённый на обратную
сторону поверхности, отличается от первого только знаком.
Если поверхность дана параметрически, т. е. представлена
уравнениями
x = x(ut v)9 у=у(и, v), г = г(щ v), (43)
то
d<y> *=IMd{u'v)' d{z' *>=!ёг§'<в'v)'
Функциональные детерминанты имеют здесь вполне определённый
знак, смотря по тому, прямое или обратное соответствие между
270

плоскостями (и, v) и (у, z), (z, х), {х\ у) устанавливается
формулами (43). Знаки элементов площадей d(y, z), d(z, х), d(x, у)
определяются выбранной стороной элемента поверхности из
и меняются на обратные при перемене стороны поверхности.
Поэтому знак элемента d{u, v) определяется выбранной
стороной поверхности и можно положить
j d (уу z) ,. . г, . d(zt х) ,. ч
cos a da = ., : d(u9 ©), cosn da=-^~—[dlu, v),
d(a, v) x " r d{ut v) ' "
cos v da = *tr&-?d (a, v).
' d(a, v) v ' '
Поверхностный интеграл (42) преобразовывается таким образом
в обыкновенный двойной интеграл
J J \ d(u, v) I ^ tf(a, p) J <*(«, c) /
взятый со знаком -f- или — соответственно выбранной стороне
поверхности;'здесь D означает область изменения переменных
а и v, соответствующую поверхности S, на которую
распространён интеграл (42), a dudv^>0.
§ 12. Многократные интегралы. Трёхкратный интеграл.
Определение многократных интегралов аналогично определению
двукратного. Трёхкратный интеграл допускает геометрическое
и механическое толкование и потому, чтобы дать представление
о многократных интегралах, мы будем говорить только о
трёхкратном.
Пусть функция f(xt у, z) определена в каждой точке
некоторой области Vy ограниченной замкнутой поверхностью S*
Будем предполагать эту функцию непрерывной и пока
положительной внутри области V, а поверхность
S—«кусочно-однозначной»; под этим мы будем понимать, что S можно разбить
на конечное число кусков, каждый из которых изображает
непрерывную однозначную функцию каких-либо двух из
переменных х, у, z\
z = z(x, у), либо х = х{у, г), либо y=y(z, х).
Разбивая область V плоскостями, соответственно параллельными
плоскостям координат, на элементарные параллелепипеды aikv где
индексы і, к, I указывают номера по счёту от соответствующей
плоскости координат рассматриваемого параллелепипеда, составим
21\

трехкратные суммы
22Е/(*/, л> *і «/и и 2Г2Г2Г/(л>. **> ?г)яш, (44)
/ ft / 1 к I
«з которых первая распространена на внутреннюю область, а
вторая— на внутреннюю и пограничную, которая составлена
параллелепипедами а'ш, пересекаемыми ограничивающею область V
поверхностью. Покажем, что сумма пограничных
параллелепипедов имеет пределом нуль:
В силу сделанного выше предположения о «кусочной
однозначности» поверхности 5, достаточно доказать, что к нулю
стремится сумма пограничных параллелепипедов, содержащих
«однозначный кусок» поверхности 5, т. е. часть её, изображённую,
например, однозначной непрерывной функцией
z = z(x,y).
Но в силу замкнутости поверхности S, область D задания
функции z можно считать замкнутой ограниченной. Тогда z
равномерно непрерывна в D, т. е. для каждого г^>0 существует
?^>0 такое, что
\z(x',/)— z{x,y)\<e при )х' — *|<* и |/_у|<г, (45)
в какой бы части области D ни лежали точки (х,у) и (х*,у'),
лишь бы их координаты удовлетворяли указанным неравенствам.
Рассмотрим произвольное разбиение пространства на
параллелепипеды аш со сторонами $л 7], и Cft, параллельными,
соответственно, осям Ох, Оу и Oz и меньшими 5:
Пусть mtj и Мц — нижняя и верхняя грани функции z в столбце,
образованном параллелепипедами aifk, проектирующимися на
плоскость Оху в один и тот же прямоугольник alf со сторонами ^., ?] ..
В силу (45) имеем: Mif — /и^^е, и потому сумма высот
параллелепипедов а'к, входящих в этот столб и содержащих каждый.
внутри точки рассматриваемого куска поверхности S, будет
меньше s —J— 2S. Но отсюда следует, что сумма объёмов всех
параллелепипедов а' , содержащих внутри точки рассматриваемого
куска поверхности 6", меньше произведения
(е + 25) К, (46)
где iff—площадь какого-нибудь квадрата, содержащего внутри
область D. Но взяв е (а затем, в случае нужды у 8) достаточно
272

малым, мы сделаем сколь угодно малым и выражение (46). Тем
самым наше предложение доказано.
На основании этого предложения совершенно так же, как
в случае двукратного интеграла, можно доказать, что
трёхкратные суммы (44) стремятся к одному и тому же пределу, который
и называется тройным или трехкратным интегралом4.
1ішХЕЕ/(**Л' *1>ам = Щ f{x,y,z)dxdydz. (47)
г"*° / k і * v
Произведение dxdydz, измеряющее объём бесконечно малого
во всех трёх измерениях прямоугольного параллелепипеда,
является элементом области интегрирования, а произведение
f(x,y,z)dxdydz— элементом трёхкратного интеграла.
Если в области интегрирования f(x,y,z)<^0, то по тем же
основаниям трёхкратный интеграл (47) имеет вполне
определённый смысл. Если в области интегрирования функция f(x%y,z)
меняет знак, оставаясь непрерывной, то, разбивая эту область
на части, в каждой из которых f(xyy,z) сохраняет знак, мы
придём к заключению, что и в этом случае трёхкратный интеграл
имеет вполне определённый смысл.
Геометрическое и механическое толкование трёхкратного
интеграла. Если функцию f(x,y,z) примем сохраняющей в
области интегрирования постоянное значение, равное¦1, то
трёхкратный интеграл представит объём тела, ограниченного
поверхностью 5 и представляющего область интегрирования:
V= [[[dxdydz.
ь il J
v
Представим себе тело I/, ограниченное поверхностью S,
заполненным веществом, плотность которого в различных точках
различна и является, следовательно, функцией координат точки
f{x,y,z). Произведение плотности f(x,yyz) на объём dxdydz
бесконечно малого параллелепипеда представляет массу этого
объёма, а трёхкратный интеграл, распространённый на область Vt
представляет массу всего тела:
М== \ \ \ f(x,у,z)dxdydz.
Вычисление тройного или трёхкратного интеграла
соответственно порядку суммирования его элементов можно свести
к последовательному вычислению трёх простых интегралов.
Пределы этих интегралов определяются формою поверхности S.
Предположим, что эта поверхность с любою прямою, парал-
18 Курс высшей математики, т . II. 273

лельной какой-либо из осей координат, пересекается не более
как в двух точках. Если бы такое предположение не имело
места, то так же, как и в случае двойного интеграла, мы
разбили бы область интегрирования на части, имеющие
требуемое свойство. Пусть первое суммирование бесконечно малых
элементов f{x,yy z)dxdydz совершается в направлении Oz при
предполагаемых постоянными хну. Пределами этого интеграла
будут аппликаты zvz2 точек пересечения поверхности S с прямой,
по которой совершается суммирование (черт. 62). Эти аппликаты
являются функциями х я у:
z1=z1(xty), z2 = z2{x,y).
Таким образом получим после этого суммирования функцию
переменных х и у:
dxdy \ f(x,ytz) dz= 0(x,y)dxdy,
*>
^\^f(x,y,z)dxdz = [^ 0(x,y)dxdy,
"tf"
D
где D-
обласги
¦ область интегрирования; каждая точка этой
является проекцией какой-либо точки поверхности S.
Иными словами, кривая
С, ограничивающая эту
область, представляет
проекцию той линии
на поверхности S,
которая разделяет её на
две части — верхнюю,
определяемую
уравнением 22 = z2(jt,ey), и
нижнюю, определяемую
уравнением zx = z: (x,
у) (черт. 62).
Таким образом
вычисление тройного
интеграла сведено к
двойного была уже речь
вычислению двойного, а
выше (стр. 203). Итак,
о вычислении
f{x,y,z)dxdydz=\\y\f{x,y,z)dz\ dxdy =
= fafo§f{*,y,z)dz9
л
274

где пределы zv z2 первого интегрирования по z зависят от х и у.
гг = zx (*, у), z% = z2 {х, у), пределы yv уг второго — только
от х: Уі=уг{х), у2=у2(х), а пределы третьего интегрирования
а и b постоянны. Геометрическое значение пределов явствует из
чертежа 62.
При перемене порядка интегрирования и пределы
соответственно изменятся. Если тело, на которое распространяется
интеграл, представляет собой параллелепипед с гранями,
параллельными плоскостям координат, то пределы
всех трёх интегралов постоянны и
сохраняются при перемене порядка
интегрирования.
Пример. Определить массу М
параллелепипеда OG (черт. 63), в котором
распределение плотностей подчинено закону
т. е. x~\-y-\-z есть плотность в точке ^ff
(x,y,z). Таким образом плотность в начале "
координат О равна нулю, в вершине G рав- Черт. 63.
наа^-Ь-\~с; в плоскости, определяемой
уравнением
x+y-\-z=zm,
где т — какое-нибудь постоянное, плотность в каждой точке одна и
та же, именно т. Меняя /л, мы тем самым разбиваем параллелепипед
на бесконечно тонкие слои одинаковой плотности. Масса всего тела»
определяется трёхкратным интегралом:
М
а о с
да и о о
с
"-$(**+?+?)—[
cbx* . с&х
2 "•" 2
сЧхЛх~а
2 \х=0
= аЪс
а-\-Ъ-\-с
18*
275

§ 13, Замена переменных в трёхкратном интеграле.
Пусть переменные х,у, г в трёхкратном интеграле заменяются
функциями новых переменных и, v, w:
х = х (я, v, w), у —у (я, г/, w), z = z (я, v^w), (48)
имеющими непрерывные частные производные по я, v и w, и
пусть этими функциями устанавливается взаимно однозначное
соответствие области V, на которую распространён данный
трёхкратный интеграл, с соответствующей областью V1 для
новых переменных, на которую должен быть распространён
преобразованный трёхкратный интеграл. Здесь так же, как и при
выводе формулы преобразования двукратного интеграла, область
интегрирования будем пока предполагать подчинённой некоторым
ограничительным условиям. От этих ограничений можно потом
освободить окончательный результат, распространяя его и на
область, которая может быть составлена из областей
рассматриваемого вида.
По правилу вычисления трёхкратного интеграла имеем
[ [ \f (*>.У.z) dxdydz=[ [ dxdy [f(x,y, z)dz, (49)
где z1^=zl{xyy)9 z2 = z2{x,y)9 a D — соответствующая область
изменения x и у после интегрирования по z. При интегрировании
ло z переменные х и у считаются постоянными. Из равенств
(48), полагая х= const и у = const, находим:
л dx , . дх , , дх .
ди ' '**¦»
dw
dv
dz =
ow
dz _, i dz . x dz
du 4- — dv~\-
1 rivt I
би ' ov
Отсюда, определяя du, получим:
Jtidz
dw
dw,
dw.
)
)
(50)
du =
J
J
и dz^-r-dut
(51)
где J и Уі:
соответствующие функциональные детерминанты
дх dx dx
du
ду
ди
dz^
du
dv
ду
dv
dz_
dv
dw
dl
dw
dz_
dw
/ -
» Ji3 —
dx
dv
ду
dv
dx
Ow
ду
dw
(52)
276

Заменяя в интеграле \f(x,y,z)dz переменное интегрирова
кия
*і
z через к, будем иметь:
z%
\f(x,yiz)dz = [/(х, у, г) -^du, (53)
где z = z(u,v9w), ul=al(xfy), u2 = a2(x,y), a v и w
рассматриваются как функции и, х и у. Смотря по тому, будет ли их
больше или меньше и2, du будет положительным или
отрицательным.
Таким образом данный трёхкратный интеграл с переменными
4 интегрирования х, у, z преобразовывается в трёхкратный
интеграл, содержащий переменными х, у, и с соответствующей
областью изменения V'\
\[[f{xyyyz)dxdydz=[\dxdy С f(x, yf z) *duy
V D щ Id
ИЛИ
[\\f{x,yyz)dxdydz = \\[f(x,yiz)^Ldxdydu1 (54)
к
V
13
где du, так же как и dx и rfy, считается положительным.
• Применяя снова правила вычисления тр&хкратного интеграла,
будем иметь
ъ
\\\ f(x,y,z)dxdydz= [du [[f(x,yyz) -^\dxdyy
где а и ? (#<C^) — постоянные пределы последнего
интегрирования, а D'—область изменения предшествующего двукратного
интегрирования, при котором и считается постоянным.
Преобразуем этот двукратный интеграл помощью подстановок (48), где
а должно рассматривать постоянным. Полагая и = const,
находим:
dx = — Фо-\-— dw,
dv ' aw
dy = -^dv4- -zrdw.
* ov ' dw
По правилу преобразования двойного интеграла элемент площади
dxdy заменяется элементом \Jlz\dvdw\
дх дх
dxdy— \Jn\ dvdw, где Jlb
dv dw
ду ду_
dv dw
277

Следовательно,
5J /(*, У, z)^dxdy=\\f{x,y,z) \J\dvdw
И
b
^f{x,yz)dxdydz=^du ^f(xyy,z)\J\ dvdw,
V a D"
ИЛИ
[\\fix> У* z)dxdydz= [\[f{xty,z) \J\dudvdw. (55)
Таким образом при преобразовании трёхкратного интеграла
элемент объёма dxdydz заменяется элементом \J\dudvdw.
Функциональный детерминант как обобщение
производной. Полагая f(x,y, z)= 1, из равенства (55) получим:
\ \ \ dxdydz = [[[\J\dudvdw,
V 'V
или по теореме о среднем значении1)
dxdydz—\J (и 0, v0l w0)\ \ f f du dv dwt (56)
где (a0> vQi w0) — некоторая точка в области V. Обобщая
обозначение приращения и производной на случай соответствия
протяжений трёх измерений, подобно тому, как это для случая двух
измерений было сделано в § 5, и считая Д (и, v, w)
положительным, а Д(дг, у, г) положительным или отрицательным, смотря
по знаку функционального детерминанта, равенство (56) можно
представить в следующем виде:.
Д (*, у, z) = J(я0, % да0) Д (я, v, w) и A[*'ffJ} = J(»<и vo. »о).
где
1 \b(xty,z)\ = 555dxdydz, A(uiv,w)= [[[dudvdw. (57)
Будем уменьшать безгранично область V так, чтобы она
обратилась в точку (и, v, w). С этою же точкой совпадёт в пределе
и точка (и0> vQ, w0), и таким образом получим
dj?L^) = J(u,v,w) и d(x,y,z)=sJd{a,v,w). (58)
') Теорема о среднем значении распространяется и на
многократные интегралы.
278

Новые переменные и, v, w можно рассматривать или как
прямоугольные координаты области V\ или как криволинейные
координаты в области V: уравнениям и = const, v = const, w = const
соответствуют кривые поверхности, пересекающиеся в точке
(uiviw)> прямоугольные координаты которой х, у, z.
Если из двух соответственных областей Д(#, v, w) и \{x,yyz)
первая представляет параллелепипед с гранями, соответственно
параллельными плоскостям координат (vw), (wu), (uv)t то вторая
имеет форму криволинейного шестигранника, ограниченного
кривыми поверхностями и — const,
и -j- Дй = const, v = const,
v -)- Д?> = const, w — const и
w-\-kw = zon$t. Элемент
объёма d(x, у, z)—Jd(a, г/, w)
представляет главную часть
бесконечно малого объёма Д(дг,
у, z). Рассматривая ц, v7 w как
криволинейные координаты той
же области V, мы можем
теперь сказать, что замена
переменных в трёхкратном интеграле
сводится геометрически к
замене одного элемента объёма
dxdydz другим, который является главною частью объёма
криволинейного шестигранника, образованного в пересечении
бесконечно близких пар кривых поверхностей (а) и (a-\-du)) (v) и
(v-f-dv), (w) и (w-\-dw). Другими словами, одно разбиение
области I/, именно тремя сериями плоскостей, параллельных
соответственно плоскостям координат, заменяется другим, именно
. тремя сериями кривых поверхностей (и), (v) и (w), где и, v, w
принимают соответственно различные постоянные значения.
Элемент объёма в полярных координатах. Пусть г, ?,
<р — полярные координаты точки М (х, у, г): г—радиус-вектор,
ф — долгота, а ? — дополнение широты до прямого угла (черт, 64):
OA = xt AB=y9 BM = z.
Проектируя радиус-вектор, с одной стороны, сначала на
плоскость экватора хОу, а потом на оси Ох, Оу, с другой,—на
ось Oz, получим
Ar = rsin8cos у,
y=rsm ? sin у и z=r cos 6.
Различным значениям г соответствует ряд концентрических сфер,
279
Черт. 64.
(59)

различным значениям ? — ряд круглых конусов с общею осью Oz
и, наконец, различным значениям ср—пучок плоскостей с осью Ог.
Равенства (59) устанавливают взаимно однозначное соответствие
значений декартовых координат и полярных, если
г^О, 0<ср<2тт и 0<6<п.
Вычислим элемент объёма в полярных координатах.
Дифференцируя х,у, z по л со и ?, находим
дх . д
-р = sin 0 cos ср,
ду . д .
~- = sin о sin ср,
— = cos ?,
= /*cos t) coscp, j-=—/" sin g sin ср;
С?
ду
dv л . dy . n
-^ =rcososincp, — =rsin9cos cp;
CO
dz
db
OZ . fi
^- = —rsin8,
t79
Следовательно,
У:
?у
дг
дх
дЬ
ду
дЬ
dz_
СО
дх
ду
ду
ду
д_г_
ду
sin ? cos <р
sin 6 sin <р
sin 9
Таким образом
г cos ? cos ср
г cos ? sin ср
— г sin ?
г sin 9 sin ср
г sin ? cos ср
О
= r2sin9. (60)
d(x, у, z) = r2 sin ? dr db dtp.
(6i)
Тот же результат можно получить геометрически следующим
образом. Сферами (г), конусами (?) и
плоскостями (ср) пространство
разбивается на кривогранные шестигранники.
Один из таких шестигранников мы
получим, давая координатам г, ? и ср
приращения dr, db и дер (черт. 65).
Пренебрегая бесконечно малыми
высших порядков, можно принять такой
шестигранник за прямоугольный
параллелепипед с измерениями aar = dr вдоль
радиуса, ac=rdb по дуге меридиана
и ад =г sin ? d<p по дуге параллели.
Определяя объём такого
параллелепипеда, мы и получим предыдущее выражение (61).
280
Черт. 65.

§ 14. Вычисление объёмов.
Как мы видели, объём тела, ограниченного какими-либо
поверхностями, определяется трёхкратным интегралом
V=\\\dxdydz. (62)
Элементом объёма здесь" является бесконечно малый во всех
направлениях параллелепипед, грани которого параллельны
плоскостям координат. Формой ограничивающих измеряемый объём
поверхностей определяются пределы последовательных
интегрирований, к которым сводится вычисление трёхкратного интеграла.
Вычисление объёма помошью суммирования бесконечно
тонких пластинок. По правилу вычисления трёхкратного
интеграла, если результат двух первых интегрирований, например, по
у и z, представить в виде двойного интеграла, имеем
ъ
V= f С f dxdydz= [dx [[dydz. (63)
" V а Ъ
Иногда границы тела таковы, что результат двойного
интегрирования по у и z заранее известен как функция х, которая
представляет площадь сечения, перпендикулярного оси Ох:
\\dydz=v{x). (64>
Произведение y(x)dx является элементом объёма и представляет
объём бесконечно тонкой пластинки, вырезанной из тела, а* объём
всего тела может быть определён как сумма таких пластинок:
ъ
V= ^<f(x)dx. (65)
а
В частности так вычисляется объём тела вращения, для которого
ш(л:) = тгу2. Примеры такого вычисления объёмов мы имели в
т. I (стр. 483—485).
Вычисление объёма тела помощью суммирования
бесконечно тонких призм. Представим трёхкратный интеграл по
правилу его вычисления в следующем виде:
V= ^ Г Г dxdydz— \ \ dxdy f dz,
D
где z-[=zl(x,у) и z2 = z2(xiу). Выполняя первое
интегрирование, будем иметь: .-г
J V— \ \ (za — zx) dx dy. (66)
•if
•281

Произведение (z2 — zx)dxdy является элементом объёма и
представляет объём бесконечно тонкой призмы, площадь основания
которой равна dxdy, а высота г2—zv Если эта высота, как
функция хну, известна, то вычисление объёма сводится к
двукратному интегрированию, т. е. к суммированию такого рода
яризм, заполняющих измеряемый объём. В частности, если тело
ограничено снизу плоскостью xQy, с боков — цилиндрической
поверхностью, опирающейся на область D как основание, и
сверху — поверхностью z=f{x, у), то в равенстве (66) должно
положить гг = 0 и z2=f(x, у):
V=\\f{xiy)dxdy.
Такую интерпретацию мы давали двукратному интегралу при его
определении (стр. 237).
Вычисление объёма помощью суммирования бесконечно
тонких цилиндрических колец. Если в интеграле (66)
декартовы координаты хну преобразовать в полярные, то получим
<стр. 257):
V—\\^~ zi)rdrd?>
D'
где z2— Z] представлено как функция г и ср. По правилу
вычисления двойного интеграла имеем
Я 2те
V=\rdr\(z2 — zl)dy.
Если z2— zx зависит только от г, то
V=2n\(z2 — zl)rdr.
Элемент объёма — произведение 2тт (z2 — zx)
rdr—представляет объём бесконечно тонкого цилиндрического кольца радиуса/-,
толщина которого dr, а высота z2 — zl%
В частности, при ^-Ои z2=/(r) будем иметь:
R
V—2n[f(r)rdr.
Таким образом вычисление объёма сводится к суммированию
бесконечно тонких цилиндрических колец, заполняющих
измеряемый обьём (см. пример 2 § 8).
282

Вычисление объёма в полярных координатах. Как мы
видели, в полярных координатах г, ? и ер объём определяется
следующим трёхкратным интегралом:
V=^r2smbdrd$du.
Элементом объёма является бесконечно малый во всех
направлениях кривогранный шестигранник (черт. 65). Формой и
положением ограничивающих поверхностей определяются пределы
последовательных интегрирований.
Вычисление объёма помощью суммирования бесконечно
тонких пирамид (или конусов), усечённых или полных.
Пусть начало координат лежит вне поверхности,
ограничивающей измеряемый объём, а радиус-вектор пересекает эту
поверхность не более как в двух точках. По правилу вычисления
трёхкратного интеграла имеем:.
V = [[[r2sm$drdbdy= Г Г sin ? <Л Л> } r2dr,
или, по выполнении интегрирования по г,
D
где D — область изменения, определяемая конусом, огибающим
ограничивающую поверхность из начала координат. Элементом
ор ьёма' является разность объёмов двух пирамид, одна — с
основанием r2 sin bdb-r2 dtp и высотой г2, а другая — с основанием
rls\nbdb-rldrp и высотой rv Вычисление об ьёма сводится к
суммированию такого рода пирамид. Если начало координат лежит
внутри измеряемого тела, то г1=0 и /,2 = Л а пределы для ?
и ф постоянны:
1/= j J dtp J r3 sin ? fif6 = | fr« sin ? db.
о о о
§ 15. Центр тяжести. Теоремы Гюльдена.
Пусть в точках Ax{xv уи гг) и А2 (х2і уг, z2) сосредоточены
массы ти т2, на которые действуют пропорциональные этим
массам параллельные силы Pv P2:
283

где g—фактор пропорциональности. Чтобы иметь конкретное
представление о таких силах, можно принять g за ускорение
силы тяжести, ибо силы тяжести при небольших размерах
расстояния АгА2 сравнительно с радиусом земли считаются
параллельными. По правилам сложения параллельных сил
равнодействующая равна сумме их, а точка приложения её С2 делит
расстояние АгА2 на части, обратно пропорциональные силам и,
стало быть, массам:
АХС2 Я2 АгС2 т2
т^г = 7Г , ИЛИ -р^-~ = —- .
С2А2 Рх9 С2А2 тх
При изменении направления действующих сил РіУ Р2 эта
точка не меняет своего положения на отрезке ЛхЛа; она
называется центром параллельных сил или центром тяжести пары
точек Av А2. Пусть ?2, Г]2, С2— координаты точки С2. По
формулам деления отрезка в данном отношении (т. I, стр. 39, 182?
имеем:
Если даны п точек Ах(хи yv zx), А2{хъ у2, z2), Аъ(х$,
j/8l z3),..., An(xai yn, zj с массами да1( тъ /w3,..., тп, на
которые действуют параллельные силы Pv Р2і Я3,..., Я,
пропорциональные этим массам, то точку приложения
равнодействующей Сп можно построить, складывая по предыдущему силы Ри
Р2, потом их равнодействующую Рг -\-Р2, приложенную в точке
С2,— с третьей силой Р3, и т.д. Получим таким образом
определённую точку Сл, координаты которой ?я, гід} Сл находятся
постепенно по тем же формулам (67):
с {ш\ 4~ Щ) х2 -f- т3лг3 _ /их^х -|- /я2;г2 -f- /ft;j*3
3_~ («і+ «»)•+¦ да* /иі4-«2 4-»»г ' И т* д*
е __ wi-Уі + т2дг2 + ¦ > ¦ + ^a*/r - ЩУ\ + м2<у2 + •••+• тпУп
п OTl4-«2-f----4-«e ' л «i + «2-r-..--f-mrt '
jj _ ^і^і -f- m2z2 4-... + mnza g
tt mi -b m2 +•... 4~ ^д "
В каком порядке ни складывать параллельные силы Pv Р2,...,
Ял и при любом их направлении, получим, как следует из
симметрии формул (68), ту- же точку Ся(5Я, і]в, Сд) как точку при-,
ложения равнодействующей Рг -j~ Р2 + • < - + Яя. Точка Сд и будет '
центром тяжести системы материальных точек Av Аъ..., А.
Если массы заполняют сплошь дугу какой-либо линии или
часть поверхности или объём какого-либо тела, то суммы в
числителях и знаменателях формул (68) обращаются, в- интегралы.
В случае тела элемент массы равен произведению элемента
284

объёма на плотность р, которая в общем случае будет
функцией координат точки:
dm = pdxdy dz
и, следовательно, из формул (68), обозначая через S, tj, ?
координаты центра тяжести тела, получим:
рхdxdydz \\\ руdxdydz
ь=ш . ri=
рdxdydz \\\ pdxdydz
\\\ pzdxdydz
Шр dx dy dz
(69)
где тройные интегралы распространяются на область,
занимаемую рассматриваемым телом.
Если определяется центр тяжести поверхности, занимаемой
сплошь массами, то подобным же образом найдём:
\\oxdQ \\pydQ \\pzda
?-=44—• ч=44—* :=тг—* <70>
\\pdc \\?da \\pda
где da — элемент этой поверхности. Область, на которую
распространяются встречающиеся здесь двойные интегралы,
определяется рассматриваемой поверхностью. В частности для
координат центра тяжести плоской пластинки будем иметь:
\\ рх dx dy \\ pydxdy
5 = 44 • і=тг • <70')
\\ pdxdy \\ pdxdy
Координаты центра тяжести дуги плоской кривой линии
определяются по тем же основаниям формулами
\ pxds \ pyds
S = 7 > 4 = 7 ' <71>
\ pds \ р d$
где ds — элемент этой дуги, а пределы интегралов определяются
концами её.
При однородности тела, или материальной поверхности,
или материальной дуги плотность всюду постоянна и на р дроби
в формулах (69), (70), (70') и (71) можно сократить. В этом
случае из формул (70') и (71) для ординаты tj центра тяжести
можно вывести интересные теоремы Гюльдена для определения
поверхности и объёма тел вращения.
285

Теорема 1. Площадь поверхности, образованной
вращением дуги плоской кривой около некоторой оси, лежащей
в плоскости кривой, равна произведению длины вращаемой
дуги на длину окружности, которую описывает при этом
центр тяжести её', определённый в предположении
однородного распределения масс (черт. 66).
Доказательство. Примем ось вращения за ось абсцисс.
При однородном распределении масс на вращаемой дуге из
равенств (71) имеем для ординаты центра тяжести дуги:
{yds
7] = ^ , ИЛИ іТ\ = \ у dS,
где L — длина вращаемой дуги, концами которой A(xQ, у0\
В(Х, У) определяются пределы интеграла. По умножении обеих
частей последнего равенства на 2тг, получим:
X=zX
2тт \ yds — 2тггр?.
х=хл
Но в левой части этого равенства мы имеем площадь
полученной поверхности вращения (т. I, стр. 487), а в правой —
произведение длины вращаемой линии L на длину окружности,
описанной центром тяжести, что и требовалось доказать.
и
А
С?
и
Черт. 66.
и
В
D
Черт. 67.
Теорема 2. Объём тела, образованного вращением
плоской фигуры около оси, лежащей в плоскости этой фигуры
вне её, равен произведению площади вращаемой фигуры на
длину окружности, которую описывает при этом центр
тяжести её, определённый в предположении однородного
распределения масс (черт. 67).
Доказательство. Принимая ось вращения за ось абсцисс
и полагая, согласно условию, р = const, из формул (70') имеем:
\\ydxdy
Г] = ^ , или Ptj = \ \ydxdy,
\\dxdy JJ
286

где Р—вращаемая площадь, контур которой определяет и
область, на которую распространяется двойной интеграл. Выполняя
интегрирование по у, будем иметь:
ъ yt ъ
[[ydxdy=[dx[ydy^^ Uy$—y$dx,
Р а ух а
где у2:=:Уг(х) иУі=Уііх) — уравнения верхней и нижней
части контура вращаемой площади. Таким образом будем иметь
\§(Уі-Уі)<іх = Рг1,
а
или, по умножении на 2тт,
ь
а
Левая часть этого интеграла представляет объём
рассматриваемого тела вращения, а правая — произведение вращаемой
площади Р на длину окружности, которую описывает центр её-
тяжести, что и требовалось доказать.
Применение теоремы Гюльдена к вычислению поверхностей
и объёмов тел вращения особенно просто, когда положение
центра тяжести вращаемой фигуры известно или по тем или иным
соображениям легко определимо.
Пример 1. Вычислить поверхность и объём тора (ср. т. I, стр. 484)»
Тор получается вращением круга около не пересекающей его прямой,
лежащей в той же плоскости. ,
Пусть а — радиус круга, а Л — расстояние его центра от оси
вращения. Рассматривать ли окружность заполненной равномерно
массами или площадь круга, — центром тяжести, в том и другом случае,
как следует из симметрии расположения масс, будет центр круга.
Обозначая через S и V соответственно поверхность и объём тора,
по теоремам Гюльдена будем иметь:
S = 2ita-2Tt/z = 4n2aA,
Теоремы Гюльдена могут служить и для определения
положения центра тяжести той или другой фигуры, если
соответствующая поверхность или объём тела вращения заранее
известны.
Пример 2. Определить положение центров тяжести
полуокружности и полукруга радиуса а. Полуокружность и полукруг при
вращении около соответствующего диаметра дают поверхность и объём
шара. Обозначая через Лі и Л2 расстояния искомых центров тяжести
287

от центра шара, будем иметь:
4яд2 = гса-2тс/гі и — тел3 = —- • 2тсЛ2,
о ?
откуда 2 4а 2а 2
Выражение для Л2 можно было бы вывести из выражения для hx
геометрически, разбив полукругла бесконечно тонкие секторы и
рассматривая последние как треугольники: геометрическое место центров
тяжести их будет полуокружность радиуса -^- д.
§ 16. Момент инерции.
Моментом инерции какой-либо материальной частицы от-
досительно данной оси называется произведение массы этой
частицы на квадрат её расстояния от данной оси. Моментом
инерции системы материальных частиц называется сумма
моментов инерции этих частиц. Чтобы вычислить момент инерции
какого-либо тела относительно данной оси, данное тело
разбивают на неограниченно возрастающее число безгранично
убывающих частиц и составляют сумму моментов инерции всех этих
частиц, в предположении, что вся масса каждой частицы
сосредоточена в произвольной её точке. Предел этой суммы при
беспредельном возрастании числа частиц и составляет, по
определению, момент инерции данного тела.
В силу изложенного выше этот предел выразится трёхкратным
интегралом, распространённым на объём данного тела.
В самом деле, допустим, что требуется вычислить момент
инерции некоторого тела V относительно оси Oz. Разобьём
весь объём V плоскостями, параллельными плоскостям
координат, на мелкие прямоугольные параллелепипеды. Плотность тела
во всех точках каждого из этих параллелепипедов будем считать
одинаковой и совпадающей с действительной плотностью тела
в одной из вершин взятого параллелепипеда. Возьмём какой-либо
«з этих параллелепипедов и пусть х?уур zt— координаты одной-
его вершины, p(xif yt, 'zt)-—плотность тела в этой вершине.
Его объём будет
Момент инерции этого параллелепипеда относительно оси Oz
равен
где г—функция от xt, уг, z., представляющая расстояние точки
{х{і j/„ zt) от оси Oz,
288

Момент инерции / всего тела мы получим, составив сумму
для всех параллелепипедов, находящихся внутри данного тела,
и переходя к пределу в предположении, что число
параллелепипедов безгранично растёт в то время, как их линейные размеры
стремятся к нулю. В силу изложенного выше, пределом этой
суммы служит трёхкратный интеграл
/== Нш 2 г2 Р &xt Ду? Azt= \\\ r2P dx dy ^
распространённый на объём данного тела.
Таким же путём вычисляется и момент инерции произвольной
плоской фигуры, покрытой некоторой массой, относительно оси,
лежащей в плоскости этой фигуры. Кратность интеграла в этом
случае понижается: мы получаем здесь двукратный интеграл,
распространённый на площадь данной фигуры.
По тому же правилу вычисляются моменты инерции кривых
поверхностей и линий относительно различных осей. При этом
вычисление момента инерции линии сводится не к кратному, а
к простому интегрированию.
Пример 1. Найти момент инерции площади круга радиуса R
относительно какого-либо его диаметра, считая плотность фигуры
равной единице во всех её точках.
Уравнение окружности будет
х*-\-у* = Я\- (с)
Будем вычислять момент инерции относительно оси Ох. В силу
предыдущего имеем:
I=^y*dxdy=\ dx С y*dy.
"С -R _удГГр
Но
следовательно,
2 Г
1 = 1 ( {№-x*)VR*-x*dx.
-я
Полагая
x = R sin t, dx — R cos t dt,
19 Курс высшей математики, т. II *°"

имеем
re я
+ 2 2
— J- #і ¦ Г COS* *Л=4- Я* Г COS* t (it =
з'х .)
О
2*
4 _ 1 Г л, , л, ^ ™ 1 Г ,, *#*
У*Т
(cos4*-f 4cos2^-|-3)^ = ^4-2 ^ = -j-
о о
Пример 2. Вычислить момент инерции прямоугольника с
основанием & и высотой h относительно оси, параллельной его основанию
и проходящей через центр прямоугольника.
Поместив начало координат в центре прямоугольника и направив
оси координат параллельно сторонам прямоугольника, вычисляем
момент инерции относительно оси Ох:
^2 ^2
ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Что такое двукратный4 интеграл? Каково его геометрическое
значение? Что такое элемент площади, элемент интеграла, элемент
объёма?
2. В чём. заключается правило замены переменных в двукратном
интеграле? Что такое функциональный детерминант и каково его
геометрическое значение?
3. Какой вид имеет элемент площади в полярных координатах?
4. В чём заключается правило вычисления двукратного интеграла?
Как определяются пределы последовательных интегрирований при
вычислении двукратного интеграла? При какой области пределы
интегрирования постоянны? Изменяются ли пределы при перемене порядка
интегрирования?
5. Что такое трёхкратный интеграл? Какой вид имеет элемент
объёма? Какое механическое значение может иметь трёхкратный
интеграл? Как вычисляется трёхкратный интеграл? Как определяются
пределы интегрирования? При какой форме области интегрирования
пределы постоянны? Как преобразовывается трёхкратный интеграл при
замене переменных?. Какое геометрическое значение имеет
функциональный детерминант? Какой вид имеет элемент объёма в полярных
координатах? В полуполярных или цилиндрических?
6. Какие способы вычисления объёма?
7. Что такое криволинейный интеграл? Когда криволинейный
интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит только от
начальной и конечной точек этого пути?
8. Что такое интеграл, распространённый на какую-либо сторону
поверхности? Какая связь между интегралами, распространёнными на
290

одну и на другую стороны одной и той же поверхности? Как свести
интеграл по поверхности к обыкновенному двукратному интегралу?
9. Как вычисляется площадь поверхности? Элемент поверхности
в декартовых координатах? В криволинейных?
УПРАЖНЕНИЯ.
Двукратный интеграл.
1. Вычислить помощью двойного интегрирования объём усечённой
треугольной призмы, в основании которой лежит треугольник в
плоскости хОу, ограниченный прямыми y = k\x, y = k>x, х~а, причём
#2>?і>0, рёбра параллельны оси Ozt а верхнее основание (косое
сечение) дано уравнением jccosa-J-^cos (*-[-zcosy — /?~0.
Отв. V = -—^5— • о —-1 ГДе zh *& ^з — боковые ребра
призмы.
2. Вычислить таким же образом объём круглого цилиндра с
основанием, данным уравнением х2-\-у*~ а2 = 0, усечённого плоскостью
х cos а -\~у cos j* -f- z cos 7 — p = 0.
Отв. V=imi2.-?-.
cosy
3w Вычислить объём эллиптического цилиндра с основанием
ж2 v2
-5-+Г5-— 1 = 0, усечённого плоскостью* cos a 4-.yccs{l-w cosy —Р —
= 0.
Р
Отв. V —^а?-
cos Y
4. Вычислить объём ограниченного сверху параболоидом 2г =
х* , у*
= [_¦?_ призматического тела, в основании которого лежит
прямоугольный треугольник, отсечённый от координатного угла прямою
а ' 6
1 л3 о2
Отв. V=^abc, Wc = Tp + -.
5. Вычислить объём цилиндра с эллиптическим основанием
—о+г2=^> ограниченного сверху эллиптическим параболоидом 2г =
Р * Я '
Отв. К^—тсяяс ^ = ^- + к-«
4 2р х 2q
Замена переменных в двукратном интеграле.
6. Двукратный интеграл J— \\ e*(*+y)*dxdy распространён на
область!), определяемую неравенствами 0^х-\-у^\. Преобразовать
его помощью подстановок x = s — st и y = st. Каков геометрический
19* 291

смысл этого преобразования? Что означают геометрически s к t}
В какую сеть преобразовывается элементарная сеть прямоугольников
dx dy?
і і
Отв. J= \ \ e^sdsdt = ek~l
2k
о о
(И!
7. Вычислить двукратный интеграл J= \ \ е \а b'dxdy, pac^
"У
X
пространённый на область D, определяемую неравенствами 0^ |~
4-~^1. (Заменой х~а?,у=Ьті задача сводится к предыдущей.)
1 1
Отв. J=ab [e^sdsdtrzzab—^r—.
о о
Вычисление поверхности.
8. Вычислить площадь той части поверхности равностороннего
гиперболического параболоида x2 — y2 = 2pz, которая ограничена
линией пересечения поверхности с цилиндром. х2-\-у2 — а2.
Отв. S = ^ [(р2 -f a2) VF+** - Р*\
6р
У
9. Вычислить площадь части винтовой поверхности z = c arztg —,
проектирующейся на плоскость хОу в виде правой от оси Оу половины
кольца с центром в начале координат и радиусами а тл Ь.
Отв. S = -|
а±\/а?-\-сЧ
Трёхкратный интеграл.
10. Вычислить объём эллипсоида.
4
Отв. V = -~r.abc.
о
11. Определить массу шара, если плотность в какой-либо точке
его обратно пропорциональна квадрату расстояния этой точки от
центра шара; коэффициент пропорциональности k, а радиус шара а,-
Центр тяжести и теоремы Гюльдена.
12. Определить центр тяжести тонкой однородной
полусферической чашки радиуса а.
Отв. С = |.
13. Цилиндрическая поверхность, проходящая через круги
прикосновения тора с двумя плоскостями, перпендикулярными к оси
292

вращения, разрезает тор на два кольца. Как велика разность объёмов
и разность поверхностей этих колец?
Отв. Разность объёмов равна объёму двух шаров радиуса я,
а разность поверхностей — поверхности двух таких шаров.
Момент инерции.
14. Вычислить момент инерции треугольника относительно одной
из его высот.
15. Вычислить момент инерции параболического сегмента,
ограниченного параболой у* = 2рх и прямой х = р, относительно
касательной в вершине параболы.
16. Вычислить момент инерции сферы относительно одного из её
диаметров.
ГЛАВА VIII.
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ИНТЕГРАЛАМИ,
РАСПРОСТРАНЁННЫМИ НА ОБЛАСТЬ, И ИНТЕГРАЛАМИ,
РАСПРОСТРАНЁННЫМИ НА ГРАНИЦУ ЭТОЙ ОБЛАСТИ.
§ 1. Формула Грина.
Особенно важное значение как для математического анализа,
так и для математической физики имеют предложения, которыми
устанавливается связь между интегрированием,
распространённым на область, и интегрированием, распространённым на
границу этой области. Эти предложения устанавливаются формулами
Грина, Грина-Остроградского и Стокса. К этой же категории,
как простейшее, можно отнести и основное предложение
интегрального исчисления, по которому значения первообразной
функции при верхнем и нижнем пределах определённого интеграла,
т. е. на границах интервала интегрирования, определяют и
величину интеграла, распространённого на этот интервал.
Двойной интеграл, распространённый на какую-либо площадь,
можно свести к криволинейному интегралу по контуру этой
площади. Формула, устанавливающая такое соотношение,
называется формулою Грина. Для вывода её рассмотрим
предварительно интегралы
D D
где Р= Р{х,у) и Q= Q (лг,у) — непрерывные однозначные
функции внутри области интегрирования D. Контур этой
области С, предположим, пересекается с любой прямой, параллель-
293

ной оси Ох или оси Оу, не более как в двух точках. Пусть
прямая, параллельная оси Оу, пересекает контур С в точках
^і(хуУі) и Щ(х>Уг1- По
правилу вычисления двукратного
интеграла имеем
а ух
D
=^[Р(х,у2) — Р(х,Уі)]с1Х, (1)
а
где а и А — абсциссы точек
прикосновения касательных к
контуру С, параллельных оси Оу,
Черт. 68. т. е. точек U и V (черт. 68),
а уъ у2 являются функциями
переменного х, определёнными дугами UMl V и UM2 К Но интегралы
А А
\ P(x1y1)dx и j P(x,y2)dx
а а
можно рассматривать как криволинейные интегралы,
распространённые первый на дугу UMX V, а второй — на дугу UM% V
контура С, т. е.
А
а
^P{x,yx)dx = С P{x1y)dxi
a UM,V
dx= \ P(x,y)dx = ~ \ P(xyy)dx.
UMtV VMXU
Следовательно, равенство (1) можно представить в виде
\\%dxdy = — J р(*>У)*х— f Р(х>У)*х-
D VMtU UMXV
Но дуги VM2U и UMXV соединяются в одну линию С,
проходимую против движения часовой стрелки, и потому
ССдР Г
}\vdxdy==-)PdX<
D С
(2)
Точно так же, обозначая через b и В абсциссы точек
прикосновения касательных, параллельных оси Ох, т. е. точек
S и Г, а через х19 х2 — абсциссы точек Nlt N2t меняющиеся
294 ¦

в зависимости от у, находим
В х%
^d?dxdy = ^dy^d?dx = §[Q(x2,y)-Q(x1,y)]dy =
D Ь хх b
= J Qdy+ j Qdy,
SNtT TNtS
или, так как дуги SN2T и TNXS составляют полный контур С,
\\d?dxdy = ^Qdy. (3)
Из равенств (2) и (3) по вычитании и получим формулу Грина:
d?jdxdy = §Pdx + Qdy. (4)
дх
С
Если кривая С, ограничивающая область Д пересекается
с той или другой прямой, параллельной оси абсцисс или оси
ординат, более чем в двух точках, то соответствующими
разрезами мы область D разобьём на области Dv D2, ..., к каждой
из которых применима формула (4). Складывая почленно
полученные таким образом равенства, мы получим снова формулу(4), ибо
интегралы правой части соединяются в один криволинейный
интеграл по контуру С, так как интегралы по разрезам, проходимым
два раза в противоположных направлениях, обращаются в нуль.
Применим фо'рмулу Грина (4) для определения площади
помощью криволинейного интеграла, взятого по контуру,
ограничивающему эту площадь. Полагая
будем иметь
Следовательно.
Я= — jy и Q~-^xt
дх ду
\ \ dxdy=Y Х^У—У&х* (5)
kd с
Но двойной интеграл \ \ dx'dy представляет величину
площади Д на которую он распространён. Таким образом площадь
можно, вычислить по формуле (5) помощью криволинейного
интеграла, взятого по её периметру.
Если уравнения контура С представить параметрически:
* = <РЮ", -у=ф(0, причём ф(*о) = ?(Г) и Ф('о) —Ф(Л,
295

то криволинейный интеграл второй части равенства (5)
обратится в простой определённый интеграл, и мы получим для
вычисления площади D уже известную нам формулу [т. I,
стр. 474 (10)]
t = T
?> = -. (xdy—ydx).
/ = ь
Помощью той же формулы Грина можно представить площадь
D криволинейным интегралом иного вида. Полагая Я=—yt
a Q-=0, будем иметь
Ъ-Щ= 1 и [ldxdy = -[ydx. (6)
D С
Полагая Q = x, а Р=0, получим
D С
Полусумма интегралов (6) и (7) даст нам снова формулу (5).
Из формулы. Грина (4) можно вывести условие, при котором
криволинейный интеграл \Pdx-\-Qdy не зависит от пути,
а только' от начальной и конечной точек его. Действительно,
в этом случае криволинейный интеграл по замкнутому контуру
внутри соответствующей области, где Р и Q вместе со своими
производными непрерывны, должен равняться нулю. Из
формулы (4) следует, что и двойной интеграл [[(-—- — ^-jdxdy
при всякой области должен равняться нулю, что возможно,
лишь если
dP_dQ_
ау~ дх '
Это условие мы уже вывели раньше из других соображений
(стр. 226 — 228).
§ 2. Формула Грина-Остроградского.
Формула Грина-Остроградского, представляющая
соответствующую формулу для тройных интегралов, имеет вид
V
= \\ Pdydz-\~Qdzdx + Rdxdy, (8)
296
s

где Я, Q, R— непрерывные вместе со своими частными
производными функции лг, у, z: -
Р=Р(х,у, г), Q= Q{x,у, z), R = R(x,у, z).
Допустим сначала, что поверхность $, ограничивающая оГ>ъ-
ём V, с той или другой прямой, параллельной какой-либо из
осей координат, пересекается не более как в двух точках.
Применяя правило последовательного вычисления к тройному
г» г* л Л D
интегралу \ \ \ -т- dxdydz, будем иметь
\[[d?dxdyd*=\\dxdy]d*dzt (9)
V V z,
где zv гг — функции х и у, определяемые нижней и верхней
частями поверхности S:
Ч = Ч (х> .У). Ч = Ч (*» У) (Ч < Ч)-
Выполняя интегрирование по z во второй части равенства (9),
получим:
^[^dxdydz=^[R(x,y,z2) — R(x,y1z1)]dxdy. (10)
Двукратные интегралы
\\ R {х, у, z2) dxdy и [ j R (х,у, гх)dxdy,
распространённые на область Z), в которую проектируются обе
части поверхности S, можно рассматривать как интегралы,
распространённые на верхнюю сторону: первый — верхней части
[z2-=z2{x,y)], а второй — нижней части [zl=zl(xiyj]
поверхности S, ибо элемент площади dxdy в этих интегралах
положителен:
} \R (Jf, У, Ч) dxdy = ^[R (х, у, z) dx dy,
\\ R(x,yiz1)dxdy= \\ R{x,y1z)dxdy.
Указатели Sx и S2 обозначают верхние стороны обеих частей
поверхности S. Поэтому, обозначая через S{ нижнюю сторону
297

нижней части поверхности St будем иметь
И [Я (*. У, *8) — Я (*> Л zxj\ dxdy =
= f ^/? (дг,j/f zr)d>:rfy + \<\R(xJy,z)dxdy,
Но поверхности 6*2 и Sj образуют вместе внешнюю сторону
поверхности 6". Следовательно, равенство (10) можно
представить в следующем виде:
[^^dxdydz=^R{x,y,z)dxdy, (10')
V S
где под S разумеется внешняя сторона поверхности,
ограничивающей объём V.
Подобным же образом находим
\\\fdxdydz=[\Pdydz
V S
и
\\ \ -~- dxdy dz= \ \ Qdzdx.
(10»)
Из равенств (10') и (10") по сложении и получим формулу
Грина-Остроградского (8), которая называется также
формулой Гаусса1).
Если поверхность 5 пересекается с прямыми, параллельными
той или иной оси координат, более чем в двух точках, то
область V разрезают новыми поверхностями на части,
удовлетворяющие требуемому свойству. К каждой из таких частей
применима формула (8). По сложении таким образом полученных
равенств получим ту же формулу (8), ибо те части поверхностных
интегралов, которые приходятся на разрезывающие поверхности,
в сумме дают нуль, так как интегралы берутся с той и другой
стороны любой разрезывающей поверхности.
Применим эту формулу для определения объёма помощью
поверхностного интеграла. Полагая Р=-^х, Q =—y и /? =
= jz, будем иметь ^+Щ-+— = \ и ^dxdydz =
v
= —- \ \ xdydz^-ydzdx-\-zdxdyt
S
3) G. Green 1838. Остроградский 1838. Gauss 1840.
298

Обозначая углы наклона внешней нормали к поверхности 5
через a, (S, f, получим:
\\\dxdy dz = ^\\ (xcosa-\-ycos$-\-zcosy)da,
v s
где da — элемент поверхности. Если г—радиус-вектор точки
(х, у, z), а (г, п) — угол между ними и внешней нормалью л, то,
проектируя звенья ломаной (х, у> z) и замыкающую г на
внешнюю нормаль, найдём:
х cos а -\-ycos ^-\-zcos^ = rcos{r, n).
Следовательно,
\ [ [ dxdydz= V=j\ \ rcos (г, n)da.
v s
Так, если центр шара лежит в начале координат, то г-= const.,
а (/-, л) = 0; для объёма шара будем иметь таким образом
1 ' Г Г 4
V= j-гПЛ, или V= -?• тг/-8,
так как
Из формул Грина-Остроградского следует, что интеграл по
поверхности
[\Pdydz-{-Qdzdx-{-Rdx dy
•у
не зависит от формы поверхности, а только от
ограничивающего её контура, если
?+?+?-•• о»
Действительно, пусть 5 и Sx—две поверхности, ограниченные
одним и тем же контуром L. Интегралы, распространённые на
соответствующие переходящие непрерывно одна в другую
стороны этих поверхностей, по условию равны между собой, а
потому интеграл по внешней стороне замкнутой поверхности
SJf-S-t должен равняться нулю. Следовательно, для всякой
области V, где выполняются условия непрерывности функций Р, Q, R
дР дО дР
и их производных j-, -р, -г- , должно иметь место равенство
дх ¦ ду ' дг J
v
что возможно лишь при условии (11).
299

§ 3. Теорема Грина.
Применение формулы Грина-Остроградского к функциям вида
дх дх' ^ бу ду * dz dz '
где U и V—функции переменных х, yt z, непрерывные вместе
со своими производными в рассматриваемой области D, приводит
к теореме Грина, имеющей существенное значение в
математической физике. Заметим предварительно, что
где под Д?/ и ДУ разумеются следующие выражения — так
называемые вторые дифференциальные параметры г);
М7—дЮ і дЮ.Ld4J
(XV— дх^~ду*~\дг* '
Кроме того, обозначая через п перемещение точки по нормали
к поверхности S, ограничивающей рассматриваемую область I/,
будем иметь
х = х0 -f- /г cos a, j/ =j/0 -(- /г cos р, z = zQ-\-n cos у,
где (x0JyQ,zQ)—точка, служащая началом отсчёта для л, а а,
р, у, как и раньше,—углы наклона нормали л к осям
координат. Рассматривая функции U и V как сложные функции л,
находим их производные по нормали, т. е. производные по
этому переменному л:
— — Ш. *? _L Ш О. _ц ^ —
4 л d* dn~*~ дуйп^Шdn'
или
д/ аи .я/ D ¦ ди
_ = _cosa+_cosp + _COSY;
точно так же
dV dV . dV q < dV
_ = 5-cosa+^cos^ + -cosT.
Вычисляя выражение
Pdydz+ Qdzdx + Rdxdy— {Pcosa-\- Qcos$ -^h>cosy)d?,
!) Первым дифференциальным параметром называется выражение*
300

получим
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy=: U*?— V — .
dfi dn
Применяя теперь формулу Грина-Остроградского, мы и получим
теорему Грина, выражаемую формулой
§ 4. Формула Стокса.
Соотношение между интегралом функции определённого вида
распространённым на поверхность 5, ограниченную контуром L
и криволинейным интегралом, взятым по этому контуру,
устанавливается формулою Стокса. Если Р= Р(х, у, z)> Q=Q[x,y, z)
R = R(x, у, z) вместе со своими частными производными —
непрерывные функции переменных л:, у,< z, то по формуле Стокса
Pdx + Qdy-\-Rdz. (12)
s
=1<
L
Чтобы установить это равенство, выделим из интеграла по
поверхности ту его часть, которая относится к одной функции,
например Р, и представим его в следующем виде:
Ш?*Л-?*«0=И(ж~'-?«»т)*<">
s s
где [J и у — углы наклона нормали поверхности к
положительным направлениям осей Оу и Ог, a da — элемент поверхности.
Переменные л\ у, z здесь связаны с уравнением поверхности S:
z = y(x, у). Предположим сначала, что функция z = у (х, у)
однозначна, a cosy не меняет своего знака. Пусть, например,
интеграл распространён на верхнюю сторону поверхности и, стало
быть, cosy^>0. Контур I, ограничивающий поверхность S,
проектируется на плоскость хОу линией С, ограничивающей
некоторую область Д которая по условию находится во взаимно
однозначном соответствии с поверхностью S. Так как cos a, cosS,
cosy пропорциональны-з-, ^- и —1 [стр. 160], то
cos р _ dz
cosy dy
301

и, следовательно,
Подставляя в этот интеграл ®(х,у) вместо z и dxdy
вместо cosy da, мы обратим его в обыкновенный двойной интеграл,
распространённый на область Z). Обозначая сверх того
Р{х,у, ф{х,у)) чеРез Л» бУДем иметь:
~ду ду~т~ дг ду
По формуле Грйна [§ 1, (2)]
D С
Но значения функции Р1 = Р(х,уі<? (х,у)) на кривой С—такие
же, как и значения функции Р(х}у, z) в соответствующих точках
кривой L. Следовательно,
С Pxdx=\Pdx
с і
и
^^dzdx — j-dxdy= ^Pdx. (14)
5 z.
Криволинейный интеграл здесь взят в прямом направлении,
которое определяется взаимным расположением осей координат:
наблюдатель, стоящий на плоскости хОу и обращенный головою
в положительную сторону оси Oz, обходит какую-либо область
в прямом направлении, если его-повороты согласуются с
вращением луча около начала координат от положительного
направления оси Ох к положительному направлению оси Оу.
При расположении осей как на черт. 62, обходимая область
будет постоянно справа от зрителя. При обходе контура L на
поверхности наблюдатель располагается на той стороне её, на
которую распространён двойной интеграл и в соответствующем
направлении нормали.
Если функция z=tp(x,y)— не однозначная и cosy при
перемещении точки по поверхности может менять свой знак, то
соответствующими разрезами разобьём поверхность 5 на части Sv
S2, .,., к каждой из которых применимо равенство (14), сле-
302

довательно, это равенство будет иметь силу и для всей
поверхности 5, ибо при сложении каждый из разрезов проходится два
раза в противоположных направлениях.
Совершенно аналогично устанавливаются равенства
S L )
Сложив почленно равенства (14) и (15), мы получим формулу
Стокса (12), которую можно представить также в следующем
виде:
H[(s-2)«"+(?-?)«•»+
Из формулы Стокса можно вывести необходимые и
достаточные услі^вия того, чтобы криволинейный интеграл, взятый по дуге
какой-либо'пространственной кривой, не зависел от формы этой
кривой, а только от начальной и конечной точек её.
Действительно, из такого свойства следует, что криволинейный интеграл
по любому замкнутому контуру в соответствующей области
должен равняться нулю. Но в таком случае при любой поверхности,
проходящей через такой контур, двукратный интеграл формулы
Стокса должен равняться нулю, а следовательно,
[dR dQ\ . (дР дР\ „ , (6Q дР\ л
а так как а, [5, у при произвольной форме поверхности 5
произвольны, то из предыдущего равенства вытекают искомые
необходимые условия:
dv Oz ' dz ах ' дх ay
Достаточность их непосредственно следует из равенства (12').
При этих условиях дифференциальное выражение Pdx-\-Qdy-\-
-\-Rdz будет полным дифференциалом некоторой функции Uy
которую 'можно определить как криволинейный интеграл
х, у, z
U{x,y,z) = [ Pdx-\-Qdy-\-Rdz.
a^bt с
303

§ 5. Понятие о векторном анализе.
Чтобы дать представление о том, какое значение могут иметь
приведённые в этой главе формулы Грина, Грина-Остроградского
и Стокса,. заметим, что тремя непрерывными функциями Р(х, у, г),
Q(x,y>z)i #{хіУіг) определяется, как компонентами, т. е.
слагающими по осям координат, вектор, выходящий из точки (х, у, z).
Обозначая через V величину этого вектора, называемую модулем,
а через X, \і, v — углы его наклона к положительным
направлениям осей координат, будем иметь:
, Р Q R
COS к = у , COS JJL = ^, COS V = -у .
Область, где эти функции непрерывны, называют векторным
полем. Вектор V может иметь различное физическое, значение.
Такими векторами будут, например, силы, действующие по какому-
либо закону на точки какого-либо тела, скорости движущейся
жидкости и т. п. Смотря по тому значению, какое придаётся
вектору, остальные выражения, встречающиеся в формулах Грина,
Грина-Остроградского и Стокса, имеют соответствующее
физическое значение, а эти формулы выражают ту или иную
физическую теорему. Так, если Р, Q, R—компоненты скорости
движения частицы какой-либо массы жидкости, то во-первых,
выражение
дх ' ду "¦" dz '
называемое дивергенцией вектора V, представляет кубическое
расширение частицы жидкости в точке (х, у, z), отнесённое к
единице объёма и времени, и для несжимаемой жидкости должно
равняться нулю, во-вторых, выражения
* и* ду dz' К"У~дг' дх1 С*~ дх~ду
суть компоненты нового вектора С, называемого ротором (rotation)
или вихрем вектора V (по-английски curl — завиток, локон), а
формулы Грина, Грина-Остроградского и Стокса выражают
соответствующие теоремы гидродинамики. Дивергенция вектора С,
как нетрудно проверить непосредственным вычислением,
обращается в нуль:
дх г ду "г dz ~~ и'
При невихревом движении Сх = 0, Cy=zG и 0 = 0 и
выражение Рdx-\-Qdy-\. R dz представляет полный дифференциал,
304

т. е. Р, Q, R суть частные производные некоторой функции U:
р — О! п — ди R-™
^~дх' Ч~ ду' п~~ дгщ
Дивергенция такого векторного поля равна второму
дифференциальному параметру функции U, т. е. Д?Л Такое поле называется
потенциальным, U== const — уравнение эквипотенциальных
поверхностей.
Уже приведённая терминология показывает, какое значение
имеют формулы Грина, Грина-Остроградского и Стокса для век-,
торного анализа, а через него для рассмотрения задач
математической физики.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Вычислить поверхностный интеграл
ж2 dy dz -\-у* dz dx + zMxdy,
я
распространённый на внешнюю поверхность шара (х — а)2 4- (У — &)Ц-
+ (*-<?)> = #».
Указание. Перенести начало координат в центр шара и
преобразовать потом декартовы координаты в полярные.
Отв. -| (а + Н- с) w-з.
2. Применить для вычисления поверхностного интеграла
предыдущей задачи формулу Грина-Остроградского.
3. Преобразовать, по формуле Стокса криволинейный интеграл
\ у dx -f- z dy -(- x dz, взятый по замкнутому контуру Lt в
поверхностный.
R
Взяв за кривую L круг ;t = #cos2?, y = —=sin2t, z = i?sin2r,
вычислить и криволинейный интеграл и поверхностный,
распространённый на соответствующую сторону площади этого круга.
Отв.
Г2Ш
ГЛАВА IX.
ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ РЯДОВ.
§ I. Определение рядов. Их сходимость, и расходимость.
При установлении теории пределов (т. I, Дифф. и интегр.
исч.,'1 ч., гл, II) мы рассматривали переменную величину а,
меняющуюся по какому-либо закону с изменением указателя п
и таким образом принимающую безграничный ряд
последовательных значений а01 аЛ, а2, ..., ад, ... Один из простейших
20 Курс высшей математики, т, II. 305

типов такого бесконечного процесса состоит в том, что каждое
новое число последовательности получается из предыдущего
путём прибавления к нему некоторого числа, меняющегося
по некоторому закону при продолжении этой операции. Если
sv s2, ..., 5 , %.. — бесконечная последовательность чисел этого
рода, ак0, uv и2і ...— образующие их слагаемые, то
Отсюда следует, что
*я = ио + аі + в2 + ..- + йя-і- (1)
При безграничном увеличении п из суммы sn получается соеди*
нение бесконечного множества чисел, как слагаемых; это
соединение и называется рядом, а самые слагаемые и0, uv и2,...,
и , ... — членами его.
ft
Сходимость и расходимвсть ряда. Если сумма п первых
членов ряда sn при безграничном увеличении числа его членов п
стремится к определённому конечному пределу," то ряд
называется сходящимся, а предел, к которому стремится sn, суммою
ряда. Обозначая эту сумму через s, будем иметь по определению
5 = 1іт$л, (2)
я-кэо
или, как иногда пишут,
* = «0 + И1+а2+--- + Яя-1 +". .(2')
Если sa не стремится к определённому конечному пределу,
то ряд называется расходящимся. В этом случае $ или
безгранично возрастает по абсолютной величине, иначе — стремится
к положительной или отрицательной бесконечности, или не
стремится ни, к какому определённому пределу. Таким образом
расходящийся ряд может быть собственно расходящимся,
когда limsrt=oo, или неопределённым.
Различают ряды знакопостоянные и знакопеременные.
У знакопостоянного ряда все члены имеют один и тот же знак.
Знакопеременный имеет члены и положительные и отрицательные;
если при этом положительные и отрицательные члены чередуются,
то и ряд будем называть знакочередующимся. Относительно
знакопостоянных рядов можно утверждать, что всякий такой
ряд— или сходящийся или собственно расходящийся, т. е.
lim sn = oo; случая неопределённости для знакопостоянного
ряда быть не может. В случае знакопеременных рядов могут
осуществляться все эти возможности; сходимость и расходимость
двух видов, т. е. sa может стремиться к определённому ко*
306

нечному пределу, может стремиться к бесконечности или не
стремиться ни к какому определённому пределу.
Геометрическая прогрессия. Примером ряда, который может
быть при известных условиях и сходящимся, и расходящимся
ш том и другом смысле, может служить геометрическая
прогрессия, число членов которой безгранично увеличивается:
л + ^ + а9,3 + ^- + Л?в"1+а?я + -«- (Лт^°)і (3)
По известной формуле элементарной алгебры для суммы п
первых членов этого ряда при q ^k 1 имеем
Если 1?|<0, ряд будет сходящийся. Действительно, дп
стремится к нулю, а^л — к определённому конечному пределу,
который и составляет сумму s бесконечно убывающей
геометрической прогрессии:
llm sM = s = z •,
.а \ — q
Если |?| 15*1, то ряд (3) расходящийся, ибо сумма sa,
абсолютная величина которой при этом условии бесконечно возрастает,
не стремится к конечному пределу; при q положительном sn
стремится к положительной или отрицательной бесконечности,
смотря по знаку а; при q отрицательном s , бесконечно
возрастая по абсолютной величине и постоянно меняя свой знак, не
стремится ии к какому пределу.
Остаток ряда. Если отделить от бесконечного ряда
п первых его членов, т. е. sn, то совокупность остальных членов
образует остаток ряда. Обозначая этот остаток через г ,
будем иметь:
Таким образом остаток бесконечного ряда есть также
бесконечный ряд, сходящийся или расходящийся одновременно
с первым и, кроме того, меняющийся с изменением л.
§ 2. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда.
Для сходящегося ряда, т. е. ряда, имеющего определённую
конечную сумму s, имеем
20* 307

следовательно, остаток ряда, как разность переменной
величины sn и её пределам, есть величина бесконечно малая: limr =
= lim(s— $п) = 0. Бесконечно малой будет и любая часть этого
остатка ил + "я+іН~"- Ч~w«+p-f КОТОРУЮ можно представить
как разность двух соответствующих сумм sR+p и sn:
sn+p-sn=aR + xn+i + -.' + "n+p~i- (7)
Таким образом, е'сли ряд 2 й* сходящийся, то при любом целом
и положительном значении р разность sn+p— sa повышением
указателя п может быть сделана по абсолютной величине менее
любого наперёд заданного положительного числа е:
W+P — sn\<*- (8)
Это неравенство, если оно при любом наперёд заданном
положительном и сколь угодно малом числе е, при любом
положительном целом числе р* имеет место, начиная с достаточно
высокого значения указателя л, является не только необходимым,
по и достаточным условием существования предела для
последовательности чисел su- s2, s3,..., $л,... [т. I, стр. 269], а
следовательно, необходимым и достаточным условием сходимости
ряда Sttn*
Соответственно различным значениям р неравенство (8)
распадается на бесконечное множество подобных неравенств:
каждое из которых в отдельности выполнимо для сходящегося
ряда, но одно (т. е. при определённом значении р) недостаточно,
чтобы обусловить эту сходимость.
Первое из неравенств (9) можеТ'быть представлено в виде,
|ил|<0, иб° 'sn+i — sn — un' и выражает 'следующее
предложение: общий член сходящегося ряда должен стремиться'
к нулю. Но не всякий ряд, для которого lima =0, будет
•сходящимся.
Гармонический ряд. Недостаточность для сходимости
последнего условия можно подтвердить примером так называемого
гармонического ряда
Общий член его бесконечно уменьшается и стремится к нулю
как своему пределу: ид=— и 1ітил = 0. И тем не менее этот;
ряд расходящийся. Действительно, часть остатка г этого ряда,
.308

состоящая из п членов, всегда каково бы ни было л, больше-^- :
1 , 1 , _і_ ] \, 1 і ] і і 1
SU 5л~ л^_іі-л4-2+**,-"і 2л > 2^ + 2^ + --' + 2^ —
__ 1 _ 1
-~П'2п— 2*
Поэтому остаток ряда г , все члены которого — положительные
числа, во всяком случае, как бы ни было велико я, всегда
больше -^ и при бесконечном увеличении п не может быть.
величиной бесконечно малой. Следовательно, гармонический ряд
есть ряд расходящийся.
§ 3. Ряды с положительными членами. Признаки их сходи*
мости, вытекающие из сравнения рядов.
Ряды с положительными членами, как было отмечено выше {§ 1),
могут быть сходящимися или собственно расходящимися, т. е.
такими, для которых lim.?e=oo, случая же неопределённости
для них быть не может.
Одна из существенных задач теории рядов состоит в том,,
чтобы установить признаки, по которым можно было бы узнать,
будет ли ряд сходящимся или расходящимся. Мы уже
установили (§ 2) необходимое и достаточное условие сходимости
ряда: \$п+р — sn|<^e, но это общее условие, имеющее основное
теоретическое значение, не всегда может служить практическим
признаком, ибо соответственно различным значениям р оно, как
сложное, распадается в сущности на бесчисленное множество
простых условий \sa+1 — sn\<^et l5rt+2 — sJ<^ie и т- д-> каждое
из которых в отдельности необходимо, но недостаточно, чтобы
обусловить сходимость. Естественно поэтому изыскание более
простых признаков, хотя бы и не имеющих исчерпывающей общности.
Признаки, вытекающие из сравнения двух рядов. 1. Если
из двух рядов с положительными членами 2ЦЛ» ^Eivn ыпоР°&
сходящийся, а члены первого, начиная с некоторого места,
постоянно меньше соответственных членов второго, то-
и первый ряд сходящийся.
Действительно, пусть, начиная с указателя /п, имеем
неравенства
Обозначая через sn сумму п членов первого ряда &и
а через s'a—соответствующую сумму второго 2^' причём па
условию s'n стремится к конечному пределу <$', и полагая п
309

больше m, будем иметь:
'"< — ^ = **+V>Y+ —+**-i*
Согласно условию, первая из этих сумм меньше второй при
всяком значении /г, большем, чем -т, а вторая в свою очередь,
как сумма постоянно возрастающая, меньше своего предела s'—$\
Следовательно,
Sa — *m<S'— S'm, ИЛИ Sn<Cs' — S'm + Sm.
Таким образом постоянно возрастающая сумма sn остаётся
всегда меньше конечной величины $' \-sm и стремится
потому к определённому конечному пределу, т. е. ряд 2 а
сходящийся.
2" Если из двух рядов с положительными членами 2 а , 2 v
второй расходящийся, а члены первого, начиная с некото*-
рогр места, постоянно больше соответственных членов,
второго, то и первый ряд расходящийся.
Действительно, если бы первый ряд был сходящимся, то
в силу предыдущего предложения и второй ряд должен был
бы быть сходящимся, что, однако, противоречит предположению.
3. Если положительные числа ап при всех п меньше
положительного числа А и ряд 2 ип сходящийся, то и ряд
2^„ал сходящийся.
Действительно, ряд 2 Аи, очевидно, сходящийся, ибо 2 Ли =
ип. Но, согласно условию, апиа<^АипГ Следовательно, по
признаку 1 и ряд 2 ааия сходящийся.
4. Если ая^> Л^>0 при всяком п и ряд ^ипрасходящийсЯ;
то и ряд 2ллцп расходящийся*.
В самом деле, ряд ^Аиа = А^ия расходящийся; но, по
условию, сіпип^>Аиа\ следовательно, и ряд 2ДЯЙЛ п0 признаку 2
расходящийся.
Примеры. 1. Ряд 22~Л! как бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия, сходящийся. Следовательно, и ряд 2(2/I + ^)~J или
сходящийся, ибо
310

2. Гармонический ряд
расходящийся. Следовательно, и ряд
расходящийся, ибо
^=г>~- ПрИ П > 1.
3. Ряд 2^я ПРИ ** положительном, но меньшем единицы, как
геометрическая убывающая прогрессия, сходящийся. Следовательно,
и ряд
1+?+?+...+?+...
при 0 < х < 1 сходящийся, ибо, начиная со второго члена,
множитель аа~ — < 1.
** п
4. Ряд ^j"*" ПРИ ¦*>* расходящийся. Следовательно, и ряд
1 4-2* -f- Здг2 + 4дг3 + • ¦ . + Л**-1 + • ••
при .г > 1 расходящийся, ибо, начиная со второго члена,
множитель ап — п > 1.
§ 4. Признаки сходимости, вытекающие из свойств общего
члена ряда или группы таких членов.
Суждение о сходимости или расх'одимости какого-либо
наперёд данного ряда не всегда удобно можно обосновать на
сравнении его с другими, ибо ряд, с которым сравнивается
данный, не может быть каким угодно, а должен быть
соответственно подобран. Необходимо поэтому установить такого рода
признаки, которые позволяли бы судить о сходимости или
расходимости ряда по некоторым свойствам его общего члена или
по соотношению, связывающему общий член и несколько членов,
следующих за ним. Из таких признаков мы рассмотрим" два —
признак Даламбера и признак Кош и. В признак
Коши — признак первого рода — входит один общий член ап
исследуемого ряда, а в признак Даламбера — признак второго
рода — два: ип и ил+1.
Признак Даламбера, Ряд с положительными
членами — сходящийся, если отношение любого члена его к
предыдущему остаётся, начиная с некоторого значения п,
меньше числа k, заключённого между нулём и единицей,
311

и расходящийся, если это отношение становится, наконец,
больше единицы или равно ей.
Доказательство 1. Если при п^=/л, где т—некоторое
определённое целое число, имеет место неравенство
^±і<Л, где 0<А<1,
•* ип
то, полагая л равным т, т-\-\, ..., будем иметь
Таким образом ряд ит-{-ит + 1 -\-ит+2-\~.. ,-}-ил-|-. ••, члены
которого, начиная со второго, меньше соответственных членов
бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сходящийся.
Но этот ряд является остатком гт данного ряда 2ИЛ* Следова-
ч тельно, и данный ряд сходящийся.
2. Если при всех значениях п, начиная с п — т, имеет место
неравенство
Eu±l^k, где А 5*1,
иа
то это значит, что члены ряда, начиная с п = т, не убывают,
но возрастают или сохраняют свою величину; a ->h ^u
и, следовательно, мы имеем ряд расходящийся.
Следствие. Если отношение ^^ при п бесконечно
увеличивающемся стремится к определённому пределу а, то
соответственно тому, будет ли этот предел меньше или
больше единицы, и ряд ^ин будет сходящимся или
расходящимся.
Действительно, пусть
и.
Взяв какое-нибудь число k между а и 1 (а < k <^ 1), можно
подобрать целое число т так, что при п^т будет иметь место
неравенство
ип
и, следовательно, ряд 2МЯ сходящийся.
Еслиа>1, топри а>^>1и л^/л, где/я —целое число,
подобранное соответственно величине k, будем иметь
>*>!.
и, следовательно, ряд 2#д расходящийся.
312

Если lim -^±1=1, то определённого заключения о сходи-
п
мости или расходимости ряда сделать ещё нельзя.
Признак Коши. Ряд с положительными
членами—сходящийся, если у ип, начиная с некоторого значения п7
меньше числа k, заключённого между нулём и единицей,
и расходящийся, если \/ ип становится, наконец, и остаётся
далее большим или равным единице.
Доказательство. 1. Если, начиная с некоторого
значения указателя, Уипменьше k, иначе ип меньше kn, где 0<^<М,
то это значит, что с этого места члены данного ряда меньше
соответственных членов убывающей геометрической прогрессии 2^"-
Следовательно, ряд 2МЛ родящийся.
2. Если, наоборот, \/ип^\ч иначе «й^1, то 1ітггд=^0
и, значит, мы. имеем ряд расходящийся.
Следствие. Если у/ип прип бесконечно
увеличивающемся стремится к определённому пределу р,- то соответственно
тому, будет ли этот предел меньше или больше единицы*
и ряд 2йп будет сходящимся или расходящимся.
Действительно, если lim *{/иа= Р <^ 1, то для любого числа ky
заключённого между р и 1 (р<^&<0), можно подобрать такое
целое число /я, что при п^т будем иметь неравенство
а если lim j/и == р^> 1, то подобным же образом будем'иметь
\/run^>k, где 1<^&<^Р и п^т.
Таким образом вопрос сводится к условиям теоремы.
Если 1іт?/ил=1, то определённого заключения о
сходимости или расходимости ряда сделать ещё нельзя.
Примеры. 1. Ряд
1.1.1. . 1
*+ 1 +Ь2+ 1.2-3 "і""'"^ Ь2-3... и ' "
.сходящийся, ибо
lim^bti- = lim Г—1—: J-1 = lim —!-, =0.
/ 1 \ я
Раньше [т. I, стр. 393] мы видели, что lim sn — lim М -j_ — j = e+
2. Ряд
^,^,^1 -1_*Л4-
зіі

сходящийся, если 0 < х < 1, и расходящийся, если х>1. Действ*.
тельно,
Ы„мл .. {ХП+1 Хп\ «. Х'П
ип \п + \ п) л + 1
3. Ряд
сходящийся, ибо
/^ = ^7ЩіГ<Тприл^1-
К такому же заключению приводит и признак Даламбера.
4. Определённого заключения о сходимости или расходимости
рядов
но признакам Даламбера и Коши сделать нельзя, ибо
а) 1іга2й±і==иш(-іг-г;1)==ііт-5т = 1
и
з признак Коши приводит к определению пределов у п и уп(п-\~\\
которые, как увидим ниже, также равны каждый единице. Первый ряд
гармонический, и мы уже знаем, что он расходящийся; второй же
ряд — сходящийся, так как
1 __ п п —1
п (Л4-і)-~л-и п •
п —1\ п
^-Т+(т~2) + и~з) + *-' + (;Г4Л h~~J~h~+i
и, следовательно, Нт$я = 1.
Теорема. Если и?—общий член бесконечного ряда с
положительными членами и отношение -?іі стремится при
бесконечно увеличивающемся п к определённому пределу
(в частности и к бесконечности с положительным знаком),
то к этому же пределу стремится и ?/и .
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда ^^
ап
стремится к конечному пределу а, отличному от нуля. Тогда,
как бы мало ни было число е^>0 (которое мы можем считать
меньшим 2а)у существует такое конечное значение т указателя,
314

«я+1
начиная с которого отношение попадает внутрь интервала
л
(а—~, а4""2")- Давая указателю значения /и, от+1, т-^-2,
..4. л—1, мы получим таким образом ряд неравенств
—5<^?<в+т. —т<Й!?<в+т..».
' ,'-Т<«„_,<°+2-'
(«-тГ"<г <(.+і)
откуда после почленного перемножения будем иметь:
g \п—т
<д«і--
Отсюда, по извлечении корня /z-й степени, получим:
ИЛИ
^(«-тГ^^^'+тГ* (W)
Но при п —> оо крайние члены этих неравенств стремятся,
соответственно, к а-—2" и ^"("'о*' Следовательно, существует
такое TV, что для всех п^>N будем иметь:
а~е<^(а — у) " и y^(a-f-j) "<« + *¦
Тогда из (10) получим, что для всех n^>N выполняются
неравенства
Это и означает, что lim у^и существует и равен а:
П-?СС
lim ]/йл=1іт . (11)
я-юо Л-+00 иа
При а = 0 проведённое доказательство остаётся в силе, с тем
изменением, что всюду вместо а—¦=- и а — е нужно поставить
нуль. Точно так же при а = оо следует всюду в левых
неравенствах .вместо а подставить yW-j-e, где М—произвольно большое
315

е
положительное число, правые же неравенства (содержащие а-\- —
и а~\-в) вовсе не рассматривать.
Обратное утверждение не всегда верно: если у иа
Стремя-М
мится к определенному конечному пределу, то отношение
может' и не иметь предела. Пусть
аа = аах^ где ап=аап f^1) и ап=-ц~2 *
Для чётных значений указателя ай=1> для нечётных ап = 0 и
потому
11 ¦ П Y-n 11 у-2я+ 1
Определяя lim{/кв, получим:
л/и = л/!Гх и 1іт?/й=л:, ибо 1іта?=1.
Таким образом предел у и существует. Но предела отноше-
"я + 1 аа^
ния не существует, так как отношение принимает по-
переменно значения а"1 и а:
ап+і аа+і их х щ й3 х^
иа ап Uq а щ и% а
Предыдущая теорема имеет то значение, что позволяет свести
разыскание предела выражения вида у и к определению предела
ия+1
отношения , если этот последний существует. Та же теорема
л
в применении к рядам показывает, что там, где признак Далам-
бера не может дать решения вопроса о сходимости, признак
Коши может дать определённый ответ, если lim ^ип-ф 1. Тем
не менее признак Даламбера, хотя он и имеет меньшую сферу
применения, по своей простоте во многих случаях более удобен.
Пример 1. Определить пределы, к которым стремятся выражения
а) /Л и J) j/1.2-3.../Г при бесконечно увеличивающемся п:
чі- ,л/~ ,. л+1
і) Jim yn=hm—!—= 1.
Л-*- 00 Л->- СО Л
Р) lim V/1.2-3...«^lim-3;3---(n + 1)^iim(/i+iJ=0o.
1 * ^ "О ... /2
Пример 2. Определить» сходимость или расходимость ряда
а + х + ах* + х* + ...+ аъх*±..., где ад= 1 +(~1)Д.
316

Признак Даламбера не решает поставленного вопроса, ибо, как
t мы видели выше, отношение —— Не стремится к определённому
Ua
пределу. Обращаясь к признаку Коши, будем иметь:
lira Кил —-v.
Следовательно, рассматриваемый ряд при 0<лг<1 сходящийся, а при
х>1 расходящийся. При л:=1 и а >0 ряд будет также
расходящийся, ибо $т как нетрудно видеть, бесконечно возрастает. Следует
отметить, что этот ряд составлен из двух прогрессий 2а*2л и2*2л+1*
§ 5. Иные признаки сходимости ряда.
В тех случаях, когда предыдущие признаки не приводят
к решению вопроса о сходимости ряда, приходится изыскивать
другие, могущие дать это решение. Но наперёд следует
отметить, что общего практического признака, всегда приводящего
к цели, и#не может быть, если только не иметь в виду
теоретического необходимого и достаточного условия сходимости
ряда [§ 2].
1. Один из признаков, могущих иногда дать ответ, когда
ни признак Даламбера, ни признак Коши не приводят к цели,
вытекает из следующей теоремы Коши,
Теорема Коши. Если f(x) — положительная
убывающая функция и F(x)— её интеграл, имеющий при х=0
конечную величину, то ряд 2/(л), где п принимает
значения О, 1,2, ..., будет сходящимся или расходящимся, смотря
по тому, стремится ли функция F(x) при х бесконечно
увеличивающемся к конечному или бесконечному пределу.
Доказательство. По теореме Лагранжа о конечных
приращениях имеем
/>(л+1) — Р(п) = Г(п + Ъ)9 или ^(л+1) —-Р(л)=/(л+в,)
где О<0<4. Но по условию f(x) — функция убывающая;
- /(л)>/(« + в)>/(л + 1).
Следовательно,
/(я)>/7(л+1)—Р(л)>/(л+1).
Ряд, общий член которого равен F (n -j- 1) — F (л), будет
сходящимся или расходящимся, смотря по тому, стремится ли F(n)
к конечному или бесконечному пределу. Действительно, определяя
сумму sn этого ряда, получим:
sa=[F(\)-F(0)] + [F(2)-F(l)}+...+ [F(n)-F(n-\)] =
= F(n)-F(0),
317

откуда
\lmsa—\imF(n)—F(0).
Если lim F (n) —^ конечная величина, то ряд 2/(Л) сходящийся,
ибо члены его соответственно меньше членов сходящегося ряда
2[^(д) — ^(л— 1)]. Если же Нш/?(л) = оо, то ряд 2/(я)
расходящийся, ибо члены его соответственно больше членов
расходящегося ряда 2 [F іп + 1) — ^ (л)1-
Теорему Коши можно формулировать и так: ряд 2/(л) будет
сходящимся или расходящимся, смотря по тому, будет ли
00
интеграл \/{x)dx сходящимся или расходящимся, т. е,
о
будет ли он иметь конечную или бесконечную величину.
Пример 1. Определить сходимость или расходимость ряда
2* •—] _L } _[ ! L4 J I
!(\+nf l 2p l гр (i + nf ' .
Общий член ряда (1 -f n)~P можно рассматривать как значение
непрерывной убывающей функции (1 -\-х)-Р при целом значении аргу^
мента. Полагая f{x) = {\ -\~х)-ру находим интеграл этой функции;
при » ^ 1 Z7 (*)= і « — —! ;
X
прир=1 ^(*) = J~j^ = ln(l+*).
о
Если /?>1,то при бесконечно увеличивающемся х UmF(x) =
=(р — I)-1 и, следовательно, рассматриваемый ряд сходящийся. Если
р^і, то limF(x) = оо и ряд расходящийся.
Пример 2, Ряд
1,1, U
сходящийся, ибо
JC
^) = j(^+l^ + 2)-ln^JT-) И ;^W = ln2<oc.
о
2. Бесконечные ряды вида
TopTqpt" 'Т пТ • • • »
318

где р*^>Ъ, наряду с геометрическими прогрессиями различных
знаменателей, могут служить для сравнения с ними других
рядов. Определение порядка малости общего члена изучаемого
ряда 2 ип относительно общего члена л-1 гармонического ряда
решает вопрос о сходимости или расходимости ряда.
Действительно, пусть.иа — бесконечно малая относительно /г"1
порядка р. Это значит по определению, что
lim пРап = q, где 0 <^ q <^ оо.
Пусть а и Ъ — два положительных числа, между которыми
заключено д. При достаточно высоком указателе будем иметь
^ п ^ пр а пр
Если р^>1, то с некоторого места члены данного ряда
оказываются меньше соответственных членов заведомо сходящегося
ряда
7 + 2? + 3? + 4^+^+^-=*S^p
и, следовательно, данный ряд сходящийся.
Если р^.1, то члены данного ряда с некоторого места
будут больше соответственных членов расходящегося ряда а^п~рл
Следовательно, и рассматриваемый ряд расходящийся.
Если праа не стремится к определённому пределу, но при
достаточно высоком указателе колеблется между конечными
границами, заключение было бы то же самое. Таким образом, если
прап<^Ь<^оо и р>1, то рассматриваемый ряд сходящийся,
а если /шя^>#^>0,— расходящийся.
В случае существования предела признаком сходимости
является равенство \\тприп = 0 для некоторого /?^>1, ибо это
значит, что и —бесконечно малая величина более высокого по-
рядка, чем общий член сходящегося ряда 2j п~р- Признаком
расходимости является неравенство lim пи ^> 0, ибо это значит,
что ип — того же или более низкого порядка (если 1ітлип=оо),
чем общий член гармонического ряда.
§ 6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
сходимость.
Знакопеременные ряды во многих своих свойствах отличаются,
вообще говоря, от знакопостоянных. Уже выше было отмечено
[§ 11, что расходимость знакопеременного ряда может быть двух
видов; либо s стремится к бесконечности, либо не стремится
319

ни к какому определённому пределу, между тем как для
расходящегося знакопостоянного ряда возможность только одна:
1іт.?д=оо. Ряд следующих теорем отмечает различие свойств
этих рядов и в случае их сходимости.
Теорема 1. Знакочередующийся ряд
члены которого постоянно убывают по абсолютной величине,
а общий член с повышением указателя стремится к нулю,
сходящийся.
Доказательство. По условию ип^>ап+1 при всяком
значении указателя. Следовательно, при всяком (чётном или
нечётном) числе членов, частные суммы рассматриваемого ряда
S2tt= (Щ — Щ) + (й2 — в8) +. . .+ («2я-2 — «2и-0,
52«+1 = (#0 — иі) + (а2 — Из) +• • ' + (й2*-2 — И2я-і) + Л*,,
как составленные из положительных частей, суть положительные
величины. Первая из этих сумм, ^всегда меньшая второй,
возрастает, а вторая, которую можно представить также в виде
S2*+i= Щ — ("і — Щ) — (иь — а4) — ¦ ¦ • ~ (»2«-i — а2я).
убывает. Кроме того, суммы эти отличаются одна от другой на
«бесконечно малую величину, ибо
$2я+1 = ^2я-{"''и2я>
а по условию іітн2п = 0. Следовательно, обе эти суммы
стремятся к одному определённому конечному пределу [т. I, стр. 268],
т. е. рассматриваемый ряд сходящийся, что и требовалось
доказать.
Таким образом необходимое условие сходимости ряда,
выражаемое равенством 3ітип=0, недостаточное в общем случае
(стр. 308), оказывается достаточным для знакочередующегося
ряда.
Пример. Гармонический ряд
как мы видели, —расходящийся, а знакочередующийся ряд,
составленный из тех же членов,
— по предыдущей теореме сходящийся. Ниже будет показано, чему
равна его сумма (гл. X, § 5).
320

Теорема 2. Знакопеременный ряд2#„ будет сходящим-
ся, если ряд 21 Ид | > составленный из абсолютных величин тех
же членов, сходящийся.
Доказательство. Пусть sn и зп — суммы п первых членов
рядов 2ил и 2|йя|- Н° условию sn содержит и положительные
и отрицательные слагаемые. Обозначая сумму первых через
s', а абсолютную величину суммы вторых через s", будем иметь
s =s' — s" и а = $' -4- s".
п п п п п 1 п
Суммы a s' и s" состоят из положительных слагаемых, и
так как ап стремится к определённому конечному пределу, то
к определённым конечным пределам стремятся и обе части её,
т. е. s' и s", а следовательно, и sn стремится к конечному
определённому пределу, т. е. ряд 2ИЙ сходящийся, что и
требовалось доказать.
Обратное заключение не всегда было бы правильно: из
сходимости ряда 2ЫЛ не следует с необходимостью сходимость
ряда 2|'дя[» и^° разность s'n — s"n может стремиться к конечному
определённому пределу при бесконечно увеличивающихся
уменьшаемом и вычитаемом.
Примером может служить рассмотренный выше
знакочередующийся ряд, составленный из членов гармонического.
Абсолютная и условная сходимость. Из предыдущего
следует, что сходимость знакопеременного ряда может быть двоякого
рода. Ряд называется абсолютно сходящимся, если абсолютные
величины его членов образуют сходящийся ряд, и условно (не
абсолютно) или просто сходящимся, если абсолютные величины
его членов составляют ряд расходящийся. Как следует из этих
определений, знакопостоянный сходящийся ряд в то же время
и абсолютно сходящийся, но знакопеременный ряд может быть
и абсолютно сходящимся, и условно сходящимся. Всякая
убывающая геометрическая прогрессия с положительным или
отрицательным знаменателем представляет ряд абсолютно сходящийся,
а знакочередующийся ряд, составленный из членов
гармонического, — условно сходящийся.
Теорема 3. Сумма абсолютно сходящегося ряда не
зависит от порядка его членов.
Доказательство. Пусть2ипи 2vn — Ря^ы»
отличающиеся один от другого только порядком своих членов, а $п и s'n — их
частные суммы. Число слагаемых второй суммы можно взять
настолько большим, чтобы при данном п в неё входили все
21 Курс высшей, математики, т. II, 321

члены суммы sn. Таким образом будем иметь
где ип+ —член.суммы s'm с наивысшим указателем, т. е. /z-f-
-\-р = т. Но среди указателей п -}-я, я-|-?, ..., л+Р могут
и не быть все, следующие за п, а потому разность $'т— $п по
абсолютной величине будет меньше или равна соответствующей
части остатка ряда 2ійлі:
\S'm — Sn\=\Un+a + Un + b+ ' • - +ип+р\ ^
Если ряд 2ип абсолютно сходящийся, то любая часть остатка
ряда 2іилі ПРИ бесконечно увеличивающемся п может быть
сделана сколь угодно малой; вместе с тем сколь угодно малой
можно сделать и разность sm ¦— sn. Следовательно, частные
суммы рядов 2anHS^» т- е- sn и s'm ПРИ бесконечно
увеличивающемся п и соответственно изменяющемся mf отличаясь
бесконечно мало одна от другой, стремятся к одному и тому же
пределу:
lims' =lims„=rs,
что и требовалось доказать.
Теорема Римана. Сумма условно сходящегося ряда
зависит от порядка его членов и при соответствующем
расположении их может иметь любую величину, равно как и
расходиться.
Доказательство. Пусть ava%, ..., ап ..., —
положительные, а —bv —bv ... , —bn, ... —отрицательные члены
условно сходящегося ряда 2мяі расположенные в порядке
занимаемых ими в этом ряде мест. Вследствие условной сходимости
ряда 2И„ суммы a1-j-«2+"- ¦. +а* и *і + *2 + • ¦ • + */ растут
безгранично. Составим теперь из членов данного ряда новый
ряд так: сначала возьмём положительные члены а1 -\-й2-\-... -\-ak
в установленном порядке, пока сумма не превзойдёт данного
наперёд числа С, потом будем приписывать отрицательные члены,
пока сумма ах-{-а2-\- ... -\-ak — bx — Ь2—...—bl не станет
меньше числа С, и будем продолжать эту операцию безгранично,
прибавляя с - указанным расчётом то положительные, то
отрицательные члены из данного запаса тех и других.
Частная сумма s'm так составленного ряда отличается от
числа С, с увеличением /я, сколь угодно мало; действительно,
если s^]>C, то s'm—C<^aRl где а — последний положительный
322

член суммы s'm, а если ^<С, то С— ^<*д, где ^ —
абсолютная величина последнего отрицательного члена суммы s . Но
ряд 2йп СХ°ДЯ1ДИЙСЯ и Нтиа = 0; вместе с тем и lima =0
и \imbn=0. Следовательно,
lira s' —С,
т
где С, как отмечено выше, — любое данное наперёд число,
что и требовалось доказать.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно
сделать его и расходящимся. Так, полагая С'<^С, выполняем
указанную выше операцию с таким изменением; если операция
заканчивается прибавлением положительных членов а , то сумма
s должна превышать число С, а если операция заканчивается.
прибавлением отрицательных членов —Ь у то сумма s должна
быть меньше С. При таком порядке членов sf не стремится
к определённому пределу, и ряд будет расходящимся.
Из последних двух теорем следует, что только абсолютно
сходящийся ряд подчиняется законам действий над конечными
суммами и только его, а не условно сходящийся ряд можно
рассматривать как совокупность, как сумму его членов
в смысле, соответствующем первоначальному значению этого
слова.
Теорема Абеля. Ряд 2апиа сводящийся, если av a2,
#з> • • •» ап-> • • • — не возрастающая последовательность поло-
жшпельных чисел, sn = Щ -\- иг -f- и% -f- ... -j- иа при всяком
п не превосходит конечного числа Л, а произведение saan
стремится к определённому конечному пределу.
Доказательство. Пусть ап обозначает сумму п первых
членов ряда 2<W
аа = а1и1 + а2и2 + «з"з+ • • • + апиа-
Принимая во внимание, что ul=sv u2= s2 — sv uz = s^—
— So, . . м un— sn — sn-v можно представить предыдущую сумму
в следующем виде:
*п = a\s\ + <Фг — si) + аз ($з — s2) + • • • + ап (sn— sn-i)>
откуда имеем:
sn = si К — a2) + s2 (a2 — as) + •'• • + sn-i K-t — ar!) + ?«•
Последний член правой части стремится, по условию, к
определённому конечному пределу, а первые п—1 членов представляют
частную сумму сходящегося ряда 2L ^я-і (Vi~~ an^ который
21* 323

абсолютно- сходится, ибо невозрастающая последовательность
положительных чисел av а2, а3) ..., ап, ... имеет предел а,
положительный или равный нулю, и потому ряд 2(ап_і—а)
(члены которого неотрицательны) сходится к сумме аг — а, а
числа sv s2> .... 5П> ... по абсолютной величине меньше конечного
числа А [§ 3]. Следовательно, сумма jfl1 которую можно
представить как сумму двух слагаемых, имеющих предел, стремится
к определённому конечному пределу, т. е. ряд2апил сх°ДЯ1ДИйся,
что и требовалось доказать.
По теореме Абеля из двух рядов 2ал и 2йл> сходящихся
или расходящихся, при некоторых условиях можно составить
сходящийся ряд 2 апиа. Первый ряд состоит из положительных
и невозрастающих членов, и вопрос о его сходимости или
расходимости в теореме совершенно не затрагивается. Вопрос же о
том, когда второй ряд должен быть сходящимся и когда он
может быть расходящимся, вполне решается требованием теоремы,
чтобы произведение saan стремилось к определённому конечному
пределу. Если 1ітад больше нуля, то ряд 2ЙЛ должен быть
сходящимся, ибо сумма sn должна стремиться к определённому
конечному пределу. Если ііпі ая = 0, то ряд 2 ип может быть
расходящимся, но колеблющимся в конечных границах, ибо всё
равно saaa будет стремиться к нулю.
В случае сходимости ряда 2алі если притом все его члены
положительны, теорема Абеля является повторением признака
сходимости 3 § 3, вытекающего из сравнения рядов.
Если положить и"= (— \)п и Птал = 0, то из теоремы Абеля
получаем теорему 1 этого параграфа о знакочередующемся ряде,
составленном из убывающих членов.
Пример 1. Если число ап с увеличением п не возрастает и lim an = О,
то ряд
ао + #іcos0-\-а%cos2?-J- ... -\-aacosn^-\rttt
при ? ф 2кк сходящийся.
Чтобы убедиться в этом, можно, полагая ua = cosnfts применить
теорему Абеля, если толь.ко sn==cosb _f_cos20-T-. ,+cos nb при всяком
значении п будет меньше некоторого конечного числа. Но sa можно
рассматривать как проекцию правильной ломаной линии [т. I, стр. 60—62],
каждое звено которой равно принятой единице меры; первое
наклонено к оси проекций под углом ?, второе — под углом 20 и т. д.
Каково бы ни было л, эта ломаная может быть вписана в круг радиуса
г== г-» проекция её равна проекции стягивающей хорды и не боль-
2sin2
324

ше этой хорды, а хорда не больше 2г. Следовательно,
1
$в | = cos 0 +cos 2?-[-... 4-cosлО
. D
5Ш2"
т. е. если ? ф 2?»с, то $а — ограниченная величина, и рассматриваемый
бесконечный ряд по теореме Абеля есть ряд сходящийся.
Примечание. Ряд cos ?-|-cos 2?-}- ... -J-cos/rt 4- ...
расходящийся, ибо su (проекция хорды круга радиуса г= т-) при уве-
2smy
личении п колеблется между т- и т— .
2sin-^- 2 sin-^-
Пример 2. Если bn с увеличением п не возрастает и 1іт?л = 0,
то ряд
Ьі sin ? ¦+ ^2 sft 2д 4- • • • + ^л sin пЪ -\- ...
есть ряд сходящийся, H66^==siflO Н-&п '20'+"-.'. -f-sfn л? есть
проекция той же ломаной, что и в предыдущем примере, на
перпендикулярное направление и при б Ф %Ы представляет конечную величину.
Если Q = 2?rc (k = 0, 1, 2, ...), все члены ряда обращаются в нуль.
§ 7. Действия с рядами,
1. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно
и то же число, то тем самым умножится на то же число
и сумма этого ряда.
Действительно, обозначая через sg и s'n частные суммы, а через
.9 и sf — суммы рядов 25л и 2 айл> будем иметь
s'n = аи0 + ааг + аи2 +....+ аип_г = asa
и, следовательно,
Iims'=alims, или s'=as.
2. Сложение и вычитание рядов. Из двух сходящихся
рядов ^и и 2^ почленном сложением соответственных
членов получим новый ряд 'Si(un-{-va)t сумма которого равна
сумме слагаемых рядов.
Действительно, если sa, s'n, s"n—частные суммы, a s, $'t s' —
СУММЫ рЯДОВ 2йа> 2ФЛ> 2(a/I + 'r'„)I Т0 Н3 основании СВОЙСТВ
конечных сумм будем иметь
< = (йо + ^о) + («і + ^)+--- + К-і + фл-і) = 5д + 5л,
откуда
1ігп5" = 1іт5 -4-lims', или $" = s-\-$\
325

Точно так же сумма ряда 2(йя—^я) Равна разности сумм
рядов 2КД н 2*я-
3. Умножение рядов. При умножении сумм с конечным
числом слагаемых каждое слагаемое одной суммы множится на
каждое слагаемое другой. Распространяя такой способ перемно-*
жения на 'бесконечные ряды 2« и 2^n» П0ЛУЧИМ в результате
двойной ряд 2 ^д) в котором каждый член, представляя
произведение двух членов перемножаемых рядов, содержит два
не зависящих друг от друга указателя. Такой двойной ряд можно
представить в следующем виде:
«0*0 + «0*1 + «0*2 + • ¦ • + Wm+ ' ' '
+ «і*о + «і*і + «і*2+-¦•+«!**<+•• •
+ «2*0 + «2*1 + «2*2 + •••+Яа*«і+'-- L
+ V0 + V1 + «л*2 + ' • * + «„*,*+¦ • •
Суммирование идёт здесь в двух направлениях в
бесконечность. Но можно тот же ряд представить в виде простого
бесконечного ряда и притом разными способами.
Отметим два таких способа. Один из них состоит в том, что
в предыдущей прямоугольной таблице членов двойного ряда
суммируются члены растущего квадрата, начиная с uQv0, причем
при переходе от каждого квадрата к следующему недостающие
члены объединяются в одну группу:
«о*о 4" («o*l + «і*і + «і*о) +
+ К*2 + «1*2 + «2*2 + «2*1 + «2*о) + . . •
Таким образом получаем ряд последовательных сумм, равных
соответственно произведениям частных сумм перемножаемых рядов:
tit >
SlSV S2S% 535з> ¦ • • i SaSn> ' * '
Второй способ состоит в суммировании членов двойного ряда
в направлении восходящих (слева направо) диагоналей;
«о*о + «і*о + «о*і + «2*о + uxvx + «о*2 + • • •
' • • + «л*0 + • • • Н- «0*л + • • • >
так что сначала идёт член uQv0, затем два члена, сумма
указателей которых равна 1, затем три члена, сумма указателей
которых равна ?> и т. д.
326

Вопрос теперь заключается в том, будет ли результирующий
ряд сходящимся независимо от способа суммирования и
объединения членов двойного ряда в группы и представляет ли он в
случае сходимости произведение данных рядов.
Теорема. Если $ = *%иа и s' = ^уп — абсолютно
сходящиеся ряды, то и ряд ^uavm будет сходящимся, не
меняющим при любом порядке суммирования своей суммы, равной
произведению сумм перемножаемых рядов, т, е. будет
абсолютно сходящимся рядом.
Доказательство. Какое бы конечное число членов ряда
2an^m ни было взято, всегда они входят в некоторый квадрат
прямоугольной таблицы (12), определяемый наибольшим
значением того или другого из указателей л, т. Пусть s , s'
—частные суммы рядов 21аа1' 2!и«'' а К~~ частная сумма ряда
2іаЛ*1» причём р—наибольший из указателей входящих в эту
сумму членов.. В таком случае будем иметь:
Но при q-юо также р -*¦ оо. Так как sp и s по условию
стремятся к определённым пределам s и s\ a s" — монотонно
возрастающая сумма, остающаяся таким образом всё время меньше
произведения ss\ то, следовательно, s'' стремится к
определённому конечному пределу, т. е. ряд 21 иірт I сходящийся, а
поэтому и ряд'2 "Л* будет абсолютно сходящимся. Сумма
абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка суммирования
и объединения членов ряда в группы. При суммировании
квадратами прямоугольной таблицы (12) будем иметь:
s*p = s/p и *" = •<
а следовательно, и при всяком ином порядке суммирования сумма
ряда 2 и г^ равна произведению сумм данных рядов 2иа и S^
что и требовалось доказать.
Обобщение Мертенса. Если по крайней мере один из
двух сходящихся рядов, 5 = Vuv sf = Vvn, например, первый, —
абсолютно сходящийся, то ряд y\wat где wn = unVQ-\-un-iV1-\-...
...-(- UQVny — сходящийся и имеет сумму, равную произведению сумм
данных рядов.
Доказательство. Прежде всего отметим что в силу
сходимости данных рядов разности sa — sp и s'n — sq при достаточно
высоких значениях р и q и п>ру л>? могут быть сделаны сколь
угодно малыми.
Произведение sasn представляет сумму членов квадрата
прямоугольной области (12), a s^ — сумму членов этого квадрата, лежа-
327

тих над восходящей диагональю его. включая и эту диагональ. Сле-
> it
довательно, в разность $asa — sn входят члены
Суммируя по строкам эту совокупность слагаемых и обозначая через
ар сумму первых р строк, а через $р сумму остальных, получим
ар = »1 (4 — 5Я-і) + М2 (5Я - 5Л__2) + • • • +Up (*п ~ S'q)>
Р^ = "/7 + і(5Л — ^-і) + «/>+2 (*Я.—^-2)+ ••• +Ид-1 (*Д -^і).
При достаточно больших значениях /> и q (p-{-q = n) разности
s^ — s'^, 5П — $л_2, *..,<?„—^, как части остатка сходящегося ряда
V е^, по абсолютной величине будут меньше наперёд данного
положительного числа е, сколь угодно малого. Следовательно,
1«рК1 *і(*я~ *'я-і) 1 + 1 »2<*я—*я^2>1 +•-•
•.. Ч- I "р(^я — Sg) | < (5р + і — 5і) ? < Si.
С другой стороны, разности sa—sg_i , ..., sn — sit в силу
сходимости ряда 2 vn > ~~ конечные числа и можно считать их меньшими по
абсолютной величине некоторого положительного числа Л.
Следовательно,
іРр1<1"я+і(4--5^і)1+--- + 1«я»і(*я--*і)1<-4(*д-' ^)-
Но разность $д — 5р, представляя часть сходящегося по условию
ряда 21 ип I > ПРК Достаточно высоком значении р представляет
величину бесконечно малую. Таким образом при бесконечном увеличении
р и q будем иметь
lima, = 0, ііш \р = 0 и Игл (5Д5Я — $%) = lim a, + lira $р = О,
откуда
Ига 5Л$Л = Ига $л' и д" = &$',
что и требовалось доказать.
§ 8. Ряды с комплексными членами.
Определение сходимости и расходимости ряда в силу понятия
предела для комплексного переменного (стр. 35) применимо и к
рядам, члены которых — комплексные числа. Пусть члены ряда
328

2 #я — комплексные числа
"„ = <*„ + **..
Составляя частную сумму этого ряда, мы получим
комплексное число, составные части которого определяются по правилу
сложения комплексных чисел (стр. 23—24):
Л = во + яі + я*+••¦+«*-! = Лв + Шя»
где
An = uo + ai+a*+'-*+an-i>Bn=bo + biJrb2+---+f>n-i~
Предел, к которому стремится частная сумма s , и называется
суммою данного ряда. Но
lims =1ітЛ +ПітВ .
л л ' л
Таким образом ряд с комплексными членами будет
сходящимся, если ряды 2ап и 2^я> образованные из составных частей
членов данного комплексного ряда, будут сходящимися.
Ряд с комплексными членами называется абсолютно
сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, т. е»
ряд
2і".і=2*Ч+*і
сходящийся.
Абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами
обладают такого же рода свойствами, как и абсолютно сходящиесяг
ряды с действительными членами.
ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Что- такое бесконечный ряд и что называется суммой
бесконечного ряда? Когда ряд называется сходящимся и когда расходящимся?
Какие виды расходимости следует различать? Что такое остаток ряда?
В че*м заключается необходимое и достаточное условие сходимости
ряда?
2. Какие признаки сходимости положительных рядов вытекают из
сравнения рядов? В чем состоят признаки Даламбера и Коши? Когда
признаки Даламбера и Коши не применимы и какие пути возможны
в этом случае для исследования вопроса о сходимости ряда?
3. Когда знакопеременный ряд сходится? Что такое абсолютная
и что такое условная сходимость ряда? Что можно сказать о сумме
условно сходящегося ряда? Возможно ли из двух расходящихся рядов
2дя и 2ия составить сходящийся ряд^^А и» если возможно, на
основании какой теоремы?
4. Какие возможны действия с рядами и при каких условиях?
329

УПРАЖНЕНИЯ-
1. При каких значениях а и Ь ряд ^{ап-\-_Ьа) будет сходящимся?
Определить его сумму.
а4-Ь — 2аЬ
Отв. s = ,-=—!—^ гт .
2. Можно ли установить сходимость ряда
1 ' 1 ¦ -4-—L—4. ¦
1-2-3 1 2-3-4п •*' ' л (л-И) (я-Ь 2)
по признаку Даламбера или Коши? Разлагая общий член этого ряда
следующим образом:
1 =і/1 L.J. !
о \ « я±іт
л(л-j-1)(л-f2) 2 \л л4-1^л + 2У'
вычислить 5Л и 1іт$л и показать таким образом, что данный ряд
сходящийся.
3. Показать, что ряды
2««. 2^- 2^ (при ал ^ 1)
будут одновременно или сходящимися или расходящимися.
4. Можно ли установить сходимость ряда
JL-4~!- + -!-4- I 1 |
2.2.3^2.3.5^2.4.7^"" ^2 (/Z+-1) (2л 4- 1)^"*
по" признаку Даламбера или Коши?
Разлагая общий член на сумму или разность дробей с
знаменателями 2л 4-2 и 2л +. J, показать, что данный ряд' имеет ту же сумму,
что и знакочередующийся убывающий ряд
±_± + -L_I +
з 4^5 б ^'"
и, следовательно, является сходящимся.
5. Применить к определению сходимости ряда
2(1
1 1 * ]_ 1 ¦ 4- L_ 4-
п 2)а т 3 (in 3)« ^ 4 (1п 4)« ^ * * * "т" л (In л)« "*" '' *
теорему Коши и показать таким образом, что данный ряд будет
сходящимся при а > 1 и расходящимся при а^ 1.
6. При каких значениях х ряды
х* , , дгл
а)1+Ь2+П2^+*"+ 1.2-3...я+-
х
с) * I * I »х" і
будут сходящимися?
330

ГЛАВА X.i).
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
§ 1. Ряды, члены которых зависяг от переменного
аргумента.
Члены бесконечного ряда 2 ип могут зависеть от переменного
аргумента х.
Для одних значений этого аргумента ряд может оказаться
сходящимся, для других—расходящимся. Если для всякого
значения х какого-либо интервала (я, Ь) ряд функций независимого
переменного х
и0 (х) + »і (х) + и2 (х) +.. -+ ая-і (л:) +... (1)
сходящийся, сумма ряда будет функцией х, определённой
в этом интервале. Возможно, что ряд (1) будет сходящимся и
в концах интервала, но возможно также, что здесь он будет
расходящимся в одном или другом 'смысле. В тех случаях, где
будет требоваться определенное указание на поведение ряда
в концах интервала, мы будем пользоваться и более
определёнными обозначениями для последнего;
(а, Ь) — для интервала а^х^Ь,
(а-|-0, Ь) — для интервала а<^х^Ь,
(л-j-O, b — 0) — для интервала а<^х<^Ь,
(a, b— 0) — для интервала а^х<^Ь.
Таким образом интервал сходимости ряда может быть и
замкнутым или закрытым, т. е. интервалом, включающим
начальную и конечную точки, и открытым с одной или обеих сторон,
т. е. интервалом без одного или обоих концов.
Обозначая функцию, определяемую рядом (1), через s(x),
будем иметь по определению
s{x) = \imsJx) = lim[u0(x)±ul{x)+u2{x)-Jr... + un_x{x)].
Вычисление частных сумм sn(x) для различных значений п
даёт возможность вычислять значения функций s(x) с любою
степенью точности.
Таким образом устанавливается новый способ аналитического
определения функций. Сначала для этой цели в нашем
распоряжении были элементарные алгебраические операции, совершаемые
в конечном числе над постоянными и аргументом, или над
постоянными, аргументом и функцией (неявные функции). Потом мы
і) Главы X, XI и XII II тома написаны учеником А. К. Власова
Н, А. Глаголевым.
331

познакомились с бесконечным процессом в виде определённого
интеграла с переменным верхним (или нижним) пределом (т. I, стр. 369).
Мы видели, что этим вторым способом можно определить
In л; (т. .1, стр. 405), что так же могут быть определены обратные
тригонометрические функции:
*?
. — , , dx
arcsin х = \ -Гл , arctg х =
\+х'<
которые первоначально определялись нами геометрически. Теперь
к предыдущим способам прибавляется также бесконечный процесс,
но в виде бесконечного ряда.
Возможно, что одна и та же функция может быть
определена различными способами, но не всегда различные способы
определения функции определяет её в совершенно
тождественных интервалах. Так, ряд
1 4-* + *2+... .+*"+. • • , (2)
представляющий геометрическую прогрессию, будет сходящимся,
если х по абсолютной величине меньше единицы, и потому даёт
нам вполне определённую функцию для интервала (—1 -(-0, 1 —0),
значения которой мы можем вычислить для |л;|<М с любой
степенью точности, вычисляя суммы 1-(--*:, \-{-х-\-х2 и т. д.
Но та же функция определяется и конечным выражением,
представляющим предел бесконечно убывающей геометрической
прогрессии:
*W=bzr- (3)
Оба эти определения тождественны лишь для интервала
(—1-}-0> 1—0); вне этого интервала ряд (2), будучи
расходящимся, не определяет никакой функции, между тем выражение (3)
и при |лг|<М имеет смысл и лишь при лг = 1, требуя деления
на 0, не определяет соответствующего значения функции. Если
присоединить к значениям функции и пределы, к которым она
стремится при различных изменениях х, то выражение (3)
определяет функцию всюду, и при л;=1, если считать, что
s(l) = Iims(x) = oo,
а ряд (2) определяет функцию лишь в интервале (—1 —J— 0, 1),
совпадающую с функцией (3) при дополнительном условии—1 <*
Члены бесконечного ряда могут зависеть и не от одного
переменного, а от нескольких, и тогда ряд определяет в некоторой
области сходимости функцию нескольких переменных, Если члены
332

ряда зависят от одного, но комплексного переменного, ряд
определяет функцию этого комплексного переменного.
Рассмотрение рядов, члены которых суть функции одного или
нескольких независимых переменных, ставит перед нами ряд
новых задач. Если функции ап{х)(п=\, 2, 3, ...) непрерывны
и дифференцируемы, то сумма, состоящая из конечного числа
таких слагаемых:
представляет также непрерывную функцию, имеющую
производную и, в силу непрерывности, интеграл, которые находятся
соответственно почленным дифференцированием и интегрированием.
Эти положения и правила вытекают из предложения, что сумма
конечного числа бесконечно малых слагаемых бесконечно
мала. Но такая аргументация неприложима к бесконечным
рядам.
Таким образом, нам предстоит исследовать вопрос, при каких
условиях бесконечный ряд, члены которого суть непрерывные
и дифференцируемые функции, представляет непрерывную функцию
и можно ли и в каких случаях бесконечный ряд
дифференцировать и интегрировать почленно.
§ 2. Равномерная сходимость.
Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
остаток 'при увеличении его указателя мог быть сделан сколь угодно
малым по абсолютной величине.
Но остаток ряда, члены которого являются функциями
независимого переменного дг, зависит не только от указателя п} но
и от аргумента х:
где
г, (*)=«д(*) + «я+1 (*)+... (4)
При данном значении аргумента, например, xQi взятого из
интервала сходимости, для данного сколь угодно малого
положительного числа г мы можем подобрать соответственное, достаточно
большое-значение указателя т так, что будут иметь место
неравенства
кя(*о)1<е> \гт+г (*о)1<е, ... , К(*о)Ю, ... (5)
Если значение аргумента изменится, оставаясь в интервале
сходимости, то возможно, что при том же числе е и том же
начальном указателе т неравенства (5) сохранят свою силу, но
333

возможно, что с изменением х при данном значении в
значение указателя т, начиная с которого неравенства (5) должны
иметь место, придётся повысить, возможно даже, что при
изменении аргумента х в интервале сходимости такому повышению
указателя нет границ. Если возможно подобрать определённое
достаточно большое значение указателя М, не зависящее от х,
так, что при любом значении /г, большем числа М или равном
ему, неравенство
|ГЯ(*)|<8 (П^М) (6)
будет иметь место при всяком значении х в
рассматриваемом интервале (a, b)t то ряд называется равномерно
сходящимся. Другими словами—остаток равномерно сходящегося ряда
можно сделать сколь угодно малым равномерно во всём
интервале, т. е. начиная с т о г о же самого значения указателя Ж,
меняющегося лишь с изменением положительного числа е, меньше
которого должна быть по требованию абсолютная величина остатка.
Число Ж, входящее в определение равномерной сходимости, или
совпадает с значением указателя т в неравенствах (5) или является
его верхнею границей, если т для различных значений х
интервала (я, Ь) различно. Для неравномерно сходящегося ряда
значение указателя т, вообще различное для различных значений jc,
не имеет верхней границы.
Для ряда как равномерно, так и неравномерно сходящегося
неравенство \r (Jt)|<^e, при данном г, в интервале (а, Ь) .или
части его может выполняться для некоторых значений п и без
того, чтобы сохранять силу для всех следующих за ними его
значений. Но разница в том, что при равномерной сходимости
есть такое значение указателя М, начиная с которого это
неравенство уже постоянно имеет место независимо от х7 а при
неравномерной сходимости такого указателя нет.
Понятие равномерной сходимости одинаково относится и к
рядам, члены которых зависят не от одного, а от нескольких
переменных, или от комплексного переменного. Определение её для
них остаётся то же самое, только вместо интервала сходимости
и значений переменного в этом интервале придётся говорить об
области сходимости и системе значений переменных в этой области.
Пример. Геометрическая прогрессия с первым членом х и
знаменателем 1 —х
s(x)=x + x(\-x) + x(\-x)2+...±x(\-x)"-i±... (а)
представляет сходящийся ряд в замкнутом интервале (0, 1).
Действительно, при х < 1 $(х) = 1. Кроме того, как следует из
непосредственной подстановки, s(0) = 0, а 5(1)= 1. Рассматриваемый, ряд в
интервале (0,1) неравномерно сходящийся, а в интервале (а, 1) где 0 < а < 1, —
334

равномерно сходящийся. Действительно, остаток
гп (х) = х(1 - х)п + х (1 - х)п+і + •¦• = (! — ¦*)"
зависит от х, а из неравенства |гя(д:)|<е или (1 — *)Л<е, принимая
во внимание, что 1— х и е можно считать заключёнными между
нулём и единицей, следует:
я 1 in (1 — лг) I > | In . I или л> J^iJ_. (р>
При данном е. числитель остаётся конечным, а знаменатель, если х
стремится к 0, может быть сделан сколь угодно малым; следовательно,
1 In е 1 „ ,« ,.
выражение . » ' __' не имеет верхней границы в интервале (0, 1),
а потому нельзя указать такого числа М, чтобы при п > М
неравенство (JJ) удовлетворялось для всех х в интервале (0, 1). Но в интервале
(я, 1) дробь (Р) имеет верхнюю границу /і — \\ =^ и ПРИЛ>^
имеем | га (х) )< в при всех х в интервале (д, 1).
§ 3. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
и некоторые свойства равномерно сходящихся рядов*
Ряд функций^ и (х)—равномерно сходящийся в интервале
(а, д), если члены его, начиная с некоторого указателя, при
вся/сом значении х в этом интервале по абсолютной величине
постоянно меньше соответственных (по номеру) членов
сходящегося ряда 2 &п? составленного из положительных членов,
не зависящих от х.
Доказательство. Действительно, по условию при п^ту
где т — некоторое определённое целое число, | и (х)]<^аа.
Следовательно, при п^т и ] та (х) | <^ Rn, где R —остаток ряда
2 ссд. Но в силу сходимости ряда 2 я любому наперёд данному
положительному числу б соответствует определённое значение
указателя М, начиная с которого /?п<^е. Следовательно, для
п^М или, если М<^т, — для п^т имеет место и
неравенство \гп(х)\<^? на протяжении всего интервала сходимости, т.-е.
ряд 2и/Дх) в этом интервале — равномерно сходящийся.
Докажем теперь, что если члены равномерно сходящегося
в каком-либо интервале ряда суть непрерывные функции
переменного х, то сумма ряда есть функция, непрерывная в том же
интервале.
Доказательство. Действительно, обозначая через s{x)
функцию, представляемую данным рядом, имеем:
s(x) = sa{x) + ra{x),
где s {х)—сумма п членов ряда, а га(х) — его остаток. Возьмём
произвольное значение аргумента ху лежащее в данном интер-
335

вале, и дадим ему приращение h такое, чтобы число х-\- h также
лежало внутри данного интервала. Обозначая через Д$, Д$д, Дг
соответственно приращения функций s{x), sa(x) и га{х),
очевидно, будем иметь:
Д5 = Д*л + Дгй, (7)
или
ks = Д*я-|- rn {x~\-h) — гп(х),
откуда
|A*KI4l + k„(* + A)l + keW|. (8)
Так как данный ряд сходится равномерно, то, взяв
произвольное сколь угодно малое число е, можно подобрать такое
число да0, что при n>mQ будем иметь кдМКу ПРИ всех
значениях х в данном интервале; в частности будем иметь
одновременно
1^(*)1<ТИ|/-Яв(* + А)|<|. (9)
Далее, s, (х), как сумма конечного числа непрерывных функций,
есть функция непрерывная, а потому можно подобрать такое
положительное число і, что при |А|<^§ будем иметь
IM<f 00)
Тогда из равенства (8) в силу (9) и (10) следует;
|Д*|<е при |й|<8,-
что я доказывает непрерывность функции s(x).
Обратное предложение не было бы справедливо; неравномерно
сходящийся ряд также в некоторых случаях может представлять
непрерывную функцию.
§ 4. Интегрирование и дифференцирование рядов.
Пусть дан ряд
"о (*) +*і (*) + •. - + ап-г (*)+• • •"> (и)
сходящийся при всех значениях х, лежащих в данном интервале.
Он определяет в этом интервале некоторую функцию s(x).
Является вопрос, какими свойствами обладает эта функция по
отношению к основным операциям анализа: дифференцированию и
интегрированию.
Теорема 1. Если члены ряда (11) суть функции
непрерывные в каком-либо интервале и ряд (11) сходится в этом
интервале равномерно, то функция s(x) интегрируема и инте-
336

грал её в любых пределах от а до Ь, лежащих внутри
интервала сходимости, может быть получен почленным
интегрированием данного ряда,
В самом деле, сумму s(x) данного ряда можно представить
в форме
s(x) = sn{x) + ra(x). (11')
Из предшествующего следует, что s(x), sn(x) кгп(х) суть
функции непрерывные и, следовательно, s (х) интегрируема (ч. I, гл. IV,
§ 9), причём
b Ъ Ь
\s{x)dx=,\sn(x)dx+\rn(x)dx. (12)
а а а
Так как ряд (11) сходится равномерно, то для произвольно
малого положительного числа s можно подобрать такое число /п,
что, взяв п^т, будем иметь
KWKe
для всех значений х в интервале (at Ь\ Поэтому
ь ъ ъ
\\rn(x)dx\ < \\rn(x)\dx<C^Bdx = B(b — a)
а а а
При П^?ТП:
Таким образом этот интеграл при п^т становится менее
произвольно малого положительного числа в(Ь — а) и,
следовательно, при беспредельном возрастании п стремится к нулю;
а потому, увеличивая в равенстве (12) п беспредельно, будем
иметь:
ь ь
\ s (л:) dx = lim \ sa (x) dx —
я->оо
а
ь ъ ь о
= lira f uQ(x)dx-\- \ ux{x)dx-\-\ u2(x)dx-\-.. m-\Aun{x)dx
или
а и и
\ s(x) dx=rz \ uQ(x)dx-\- \ иг (x)dx-{-••• , (13)
a a a
и теорема доказана.
Допустим теперь, что верхний предел интеграции есть не
постоянное число Ь, а переменная величина х} лежащая в
интервале (а, Ь)\ тогда интегралы (13) будут функциями этого верхнего
22 Курс высшей математігки, т. II. 337

предела, и равенство (13) примет вид:
XXX
\s(x)dx=\ uQ (x) dx-\-\u1 (x) dx-\-... (13')
а
Легко видеть, что этот новый ряд также сходится равномерно
в интервале (а, Ь). В самом деле, его остаточный член в силу (12)
имеет вид:
X
\ rn(x)dx.
а
Так как х лежит в интервале (я, Ь), то при п^т имеем:
X
га (х) dx
<?(? — а)
при всех х в интервале (а, Ь), что и доказывает равномерную
сходимость нашего ряда.
Теорема 2. Если члены сходящегося ряда суть функции
переменного х, имеющие непрерывные производные, и ряд,
составленный из этих производных, сходится равномерно
в каком-либо интервале, то сумма второго ряда есть
производная от суммы данного рядл.
Доказательство. Пусть
S(x) = u0(x)~\~u1 (*) + .. .+ ил_і (лг)+... (14)
есть данный ряд и
' s{x) = u'Q(x) + ttll{x)+...-{-iSn_l(x)+... (15)
— ряд, члены к?торого суть производные членов данного ряда
и который сходится равномерно в интервале {а, Ь). В силу
теоремы 1 ряд (15) можно интегрировать почленно в пределах от
а до х, где а<^х<^Ь.
Выполнив это интегрирование, получим
¦U{x)dx=% \un(x)dx=fi[un(x)Ya =
= [и0 (х) — и0 (а)] + [«! (х) — аг (a)] -f ...
Последнее выражение представляет собой разность *двух
рядов:
и
S(u) = а0 («) + йі ( )+•••+ ип-\ (<*) + ¦ - •»
338

а потому имеем:
X
\s(x)dx = S(x) — S{a).
а
Беря производные обеих частей этого равенства, в силу
непрерывности функции 5 {х) получим:
s(x) = S'(x),
что и требовалось доказать,
§ 5, Свойства степенных рядов.
Степенным рядом называется ряд, члены которого суть
последовательные целые положительные степени аргумента, т. е.
ряд вида
Яо + аіЛ: + й:2Лг2+ ... +яп_і*"~"1+... (16)
Эти ряды вследствие своих важных свойств играют большую
роль в анализе. Познакомимся с важнейшими из этих свойств.
Обозначим через г и ап абсолютные значения величии х
и ап, т. е. положим
х\ = г и |ав| = ая,
и составим ряд
«0 + ^ + ^+•¦•+Лл-ігЯ"1+---і <17)
члены которого суть абсолютные величины членов ряда* (16).
Если ряд (17) будет сходящимся, то и ряд (16) будет тоже
сходящимся и притом абсолютно. Исследуем сходимость ряда
(17), применив к нему признак Коши (стр. 313).
Возьмём выражение
Уъ/" = гУ*п==г?п> где Р*= У^-
Если 11трд = 0, то ряд (17), очевидно, сходится при лю'ом
л-*со
значении г, а, следовательно, ряд (16) сходится абсолютно при
всяком х.
С другой стороны, если для некоторой последовательности
указателей nv п2і ..., пкі ... имеем 1іп>р = сс, то, ОЧеВИД-
но, ряд (16) расходится при. лю5ом значении ху так как
абсолютная величина его общего члена, т. е. (рпг)п не стремится
к нулю с возрастанием п.
Пусть, наконец, ря ограничено. Тогда для каждого
значения т последовательность рл, pm+v ..., рл+я, ... ограничена и,
значит, обладает верхней Границей; обозначим её р' . По опре.
22* зза

делению верхней границы, $ есть наименьшее число,
обладающее тем свойством, что рл^р'т для всех п^т. Ясно, что
$'т при возрастании 'т не может возрастать. Поэтому, будучи
ограниченным снизу числом 0, р'т при т—*оо стремится к
определённому прэделу. Этот предел называют верхним пределом
последовательности рр р2, ..., р , ... и обозначают
ТіпТрл.
я-*со
Название «верхний предел» объясняется следующим. Хотя
сама последовательность pv р2, ..., рл, ... может и не
сходиться, из неё, в силу её ограниченности, можно выбирать
различные сходящиеся подпоследовательности и, значит, получать
различные, вообще говоря, пределы, связанные с данной
последовательностью. Оказывается, что определённое выше число
limp и есть, действительно, верхний, т. е. наибольший из этих
я«-сс
пределов.
Очевидно, если последовательность plt р2, ..., ря, ...
сходящаяся, то верхним пределом служит просто предел этой
последовательности: lim рл = Игл рд.
Л-+00 Л-ИЭО
Вернёмся теперь к вопросу об условии сходимости ряда (16).
Если последовательность рі5 р2, ..., р ... ограничена и
вместе с тем не стремится к нулю, то её верхний предел есть
конечное положительное число; обозначим его через w:
А;
я-юо "¦
Докажем, что ряд (17) будет сходящимся, если г<^/?, и
расходящимся, если r*^>R.
Пусть
тогда
и мы можем положить
где е — положительное число. Отсюда
т 1 + 18 '
340

Возьмём выражение
По определению верхнего предела, для всех достаточно
больших значений п должно' выполняться неравенство
Следовательно, у &пгпу начиная с некоторого значения я,
делается меньше правильной дроби и в силу признака Коши ряд
(17) сходится.
Пусть r^>R.
Из определения верхнего предела следует, что для
произвольного положительного числа € существует бесчисленное
множество значений /г, для которых осуществляется неравенство
^ 1
откуда а/—- г
Но так как r*^>R, то ^-^> 1 и так как е — произвольное
положительное число, то можно взять его меньшим, чем разность
¦?- ; тогда величина ^-—ег будет ]>1 и, следовательно,
для бесчисленного множества значений п мы будем иметь"
следовательно, в ряде (17) общий член не стремится к нулю,
а потому ряд (17) расходится.
Сравнивая ряд (17) с рядом (16), мы заключаем, что ряд
(16) сходится абсолютно при любом д:, для которого J jc J <^ /?,
и расходится при тех значениях х, для которых |jc|p>7? (ибо
при этих значениях х общий член ряда (16) не будет
стремиться к нулю).
Интервал { — R, ~\-R) называется интервалом сходимости
ряда (16).
При | х | = R ряд (16) может оказаться и сходящимся, и
расходящимся. __
Если величина р ={/ая имеет предел при п—»-оо, то
Ига«/ад
я->оог
341

Далее, если существует предел отношения -?±±, то в силу те-
оремы, доказанной" на стр, 314, имеем также
Я = 1іт -^.
Теорема, Степенной ряд (16) сходится равномерно
в любом интервале (— р, +Р)» границы которого лежат
внутри интервала сходимости.
Доказательство. Пусть ( — /?, -\-R) — интервал
сходимости данного ряда (16); по условию р<С^> а -потому ряд
«о + <*іР + 22р2 + • • • + «„-ip""1 + • • • (17')
сходится и, следовательно,' ряд (16) сходится абсолютно при
всяком х, для которого |х|<^р. При этом члены ряда (16)
будут меньше соответствующих членов сходящегося числового
ряда (17') и в силу критерия Вейерштрасса ряд (16) будет
сходиться равномерно в интервале (— р, -f-p), что и требовалось
дока'зать.
Следствие. Степенной ряд можно интегрировать
почленно в любых пределах, лежащих внутри интервала
сходимости.
Теорема. Если
/(х)=а0-\-агх-{-а2х2-{-...-\-аахп-\-... (16')
— степенной ряд, интервал сходимости которого (— /?,-}- R),
то ряд
аг-\~2а2х~\-За2х*+ ... + папх«~1 + ¦.., (18)
получаемый почленным дифференцированием ряда (16'), имеет
тот же интервал сходимости (— R, -)-/?) и сходится в этом
интервале к функции
Другими словами, производную от функции, определяемой
степенным рядом, можно получить почленным дифференцирова- '
нием данного ряда.
Доказательство. Покажем сначала, что ряд (18)
сходится абсолютно при всяком х, для которого | л; | =/¦<#, и
расходится при | х \ = /*^> /?,
Пусть r<^R. Возьмём какое-либо число Rf, лежащее между
г и R, т. е. удовлетворяющее неравенствам r<^Rr<^R, и
составим вспомогательный ряд:
7?+ Т? ' 2 Ті' + Ті'' 3 {т?У+ ¦ • • + J? ' Л(т')Д""1+ ' •' (19)
342

В силу признака Даламбера этот ряд сходится, так как
отношение последующего члена к предыдущему
при беспредельном возрастании п стремится к пределу -^ мень-
шему единицы. Так как ряд (16') сходится абсолютно при |л;| =
= R\ то можно указать такое число Л, для которого
ал/?"?<Л
при всяком п, а потому, умножая члены ряда (19) соответственно
на t^/?', <x2R'2y ... мы должны вновь получить сходящийся ряд
(стр. 310, п. 3). Но выполнив это умножение, получим ряд
ах + 2агг -f За8|Д + ...; \ (20)
это — ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда
(18). Из сходимости его вытекает абсолютная сходимость
ряда (18).
Пусть теперь r^>R. Легко видеть, что при таком
предположении ряд (20) не может сходиться. В самом деле, допустим,
что ряд (20) сходится; тогда должен сходиться и ряд
так как члены последнего ряда не превосходят соответственных
членов ряда (20). Умножая члены последнего ряда на г и
прибавляя к ряду число а0, получим:
3o + ai'' + <V" + <V3+-"
Этот ряд опять должен сходиться, что, однако, невозможно,
так как это — ряд, составленный из абсолютных величин
членов ряда (16'), абсолютно сходящегося лишь при г<^/?. Итак,
интервал сходимости ряда (18) есть (—R, -\-R), т. е. тот же,
что и ряда (16').
Далее, в силу теоремы о равномерной сходимости степенного
ряда, заключаем, что ряд (18) сходится равномерно в любом
интервале (— р, -|-р), границы которого лежат внутри
интервала сходимости, и так как каждую точку х, лежащую внутри
интервала (—R, -)- R), всегда можно окружить интервалом
{х— е, jc-f-e), границы которого лежат внутри интервала (—/?,
-(-/?), то в силу теоремы о дифференцировании рядов
заключаем, что сумма ряда (18) есть производная от функции /(х),
представляемой" рядом (16'), во всех точках внутри общего
интервала сходимости рядов (16') и (18).
.. 343

Пример. Рассмотрим ряд
r^.==i-X4-'*8-*e + ...; (2і)
этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со
знаменателем — х и сходится абсолютно при |#|<1. Интервал его
сходимости есть, таким образом, (— 1, +-1). Границы интервала сходимости
можно определить и общим методом, изложенным выше: именно, мы
имеем для определения границы R интервала сходимости следующее
равенство:
Jim у ап
Так как в данном случае од=1, то наше равенство даёт /? = 1.
На границах интервала сходимости, т. е. при х = ~\~1 и jc = — 1Л
ряд (21) расходится.
В силу доказанных выше свойств степенного ряда, мы можем
проинтегрировать ряд (21) почленно в пределах от 0 до х, где
(*|<1. Выполнив эту интеграцию, получим;
¦г v2 у-3 v4
1п(1+;с) = ^-^ + ^-^-+... (22)
Мы получили таким образом выражение функции In (1 —|- jc) для
|л?і< 1 в виде бесконечного ряда. Ряд (22) сходится также в
интервале (— 1, -{- *)• ГСри этом при *==— 1 ряд (22) обращается в
гармонический ряд
1 2 3 4 5 "•
и, следовательно» расходится (стр. 308). Напротив, при jc = -fl мы
получим ряд, который, как мы видели выше, сходится (стр. 320).
Покажем, что сумма этого ряда есть Неперов In 2:
Это равенство мы пока не можем получить, полагая в (22) х = 1,
так как формула (22) была выведена нами в предположении, что
|jcj< 1. Но нетрудно видеть, что формула (22) верна и при *—1.
Действительно, интегрируя тождество
в пределах от 0 до 1, получаем
і
1,1 1
ьы-і+і-і+...+<=ір+<-і№х*.
Но
і
:-1]n$TT-xdx\<§xndx=Eirv
О
344

итак как , ^ —> О при п~>-оо, то тем самым и доказано равен*
ство (22).
Мы видели, что ряд, получаемый почленным интегрированием
(или дифференцированием) данного степенного ряда, сходится в том
же интервале, что и данный ряд. Но на границе интервала сходимости
поведение обоих рядов может быть различно. Так, в рассмотренном
выше примере ряд (22) сходится при лг=1, тогда как ряд (21) при
к = 1 расходится,
§ 6. Задача разложения функции в степенной ряд;
аппроксимация функции целым многочленом.
До сих пор мы изучали свойства функций, представляемых,
рядами, члены которых суть функции переменного аргумента.
Естественно" поставить теперь обратную задачу: найти
выражение данной функции в виде бесконечного ряда, иначе, разложить-
данную функцию в бесконечный ряд. Простейшими рядами
с переменными членами являются ряды степенные; в пределах
интервала сходимости их свойства, как мы уже видели, во
многом напоминают свойства целых многочленов. Поэтому мы и
начнём с рассмотрения вопроса о разложении функции в
степенной ряд. Такое разложение может иметь двоякую цель:
во-первых, исследуя ряд, представляющий данную функцию,
можно, как мы увидим далее, более подробно изучить свойства
этой функции; во-вторых, вследствие простоты конструкции
степенного ряда, такое разложение даёт возможность легче
вычислять значения функции по данному значению аргумента. В с^мом
деле, имея выражение данной функции в виде бесконечного
ряда и взяв сумму п его членов, мы получим целый многочлен
(п—1)-й степени, дающий приближённое значение нашей
функции и могущий с некоторым приближением заменить собой
данную функцию в пределах интервала сходимости степенного
ряда; величина остаточного члена гя(х), которую мы
отбрасываем, заменяя равенство
f(x) = sa(x) + rn(x)
приближённым равенством
f{x)*ssa{x),
показывает величину погрешности, которая будет сделана при
такой замене.
Пусть дана функция/(л;), имеющая, при х = а, п конечных
производных:
Я*). /*(*)> /'"(*).¦ ..../^Н.
345

Найдём многочлен ga^ степени п—1, обладающий тем
свойством, что при х = а значения этого многочлена и его п — 1
производных совпадают со значениями самой функции f(x) и её
п— 1 первых производных:
*Li (*> =/" («)5 • • •; ^-і' w =/(л_ 1} w- J (23)
Равенства (23), как нетрудно видеть, вполне определяют
единственный многочлен gn_1 (х) степени п — 1, обладающий таким
свойством. В самом деле, по формуле Тэйлора для целого
многочлена (стр. 11) имеем
. gB-i (*) = *я-і И + 1t?*Li (а) + ^ТГ1^ (*)+¦¦•
•'•^Ь2...(л—1)^я-і 1 ''
но, в силу (23), величины
*я-і(*). 4-хW. •••> *??(«)
можно заменить соответственно через
а потому
^_1W=/(a)4-^/4^) + ^^///W + ...
•"^Ь2...(л-1)7 W-
Посмотрим теперь, с какой точностью и при каких
значениях х найденный многочлен gn-l (x) может заменить собою
данную функцию f(x).
Обозначив величину разности f(x) — gn„i(x) через R (х, а),
будет иметь:
№ =/Н + х-=^ Г («) + і?^і/" («) +...
• • • + 1 ¦?" (Г-'!) /('"° <й> + *я <*' а)- (24)
Формула (24) носит название формулы Тэйлора для
функции f(x)} a Rn{x, а) называется остаточным членом.
Представим Rn (х, а) в следующей форме:
Ra(x, а)=(х — а)РРп(х, а),
где р — произвольное пока положительное число. Равенство (24)
346

примет вид:
• • • + i.(2V~(i-7)/(,,"') W + (*-a'Ppn(*- «)• (25)
Предполагая, что х имеет определённое числовое значение,
составим теперь новую функцию аргумента у следующего вида:
+ (х—у)ррп{х% a)—f{x). (26)
В силу свойства функции /(х) замечаем, что функция F(y)
непрерывна и имеет определённую производную F'(y). Кроме
того, как следует из (25) и (26), F(a) = 0 и F(x) = 0, а
потому, в силу теоремы Ролля, существует некоторое число ?,
лежащее между числами хна, для которого F (?) = 0.
Непосредственное вычисление даёт:
F {у) = т-(?~"(я-і)/(д) {у} -р {х —УУ~1рАх* *>•
Полагая -у = $, получим:
откуда
Подставив это значение Pa{xt а) в выражение для R (х, а),
получим:
Н*\Х> а)— р. 1-2.3...(/1-1) } W"
Так как ? есть число, лежащее между а и л, то можно
положить
S— я-f Ь{х — а), где 0<6<1,
и потому
Rn{x, a) = (.-.№-a-a(f-^^/(a)(a+6(x_fl))
ИЛИ
*-<*. а)-(^ьГ..(!(7-і7/(п)^+?^-д»- <27>
317

Величина ?, входящая в формулу (27), есть некоторая поло^
Тигельная правильная дробь; точное значение её нам неизвестно,
оно зависит от значении х, а, п и р.
Различным значениям числа р соответствуют различные формы
остаточного члена.
Полагая р = я, мы будем иметь выражение остаточного
члена в форме, данной Лагранжем:
Rn (*> а) = п??>(я) (а + ? {х - *»¦ <28)
Полагая/? = 1, получим остаточный член в форме, данной
Коши:
*« <*• ^=^i.y.V-iT1; (я) {а+Цх~а))- (29)-
Величина остаточного члена определяет степень точности,
с которого многочлен ga_l (x) может заменить данную
функцию f(x). При х = а значения многочлена gn_i(x) и данной
функции /(х) совпадают. Чтобы определить степень уклонения :
значения многочлена gn_l (х) от соответственных значений
функции/(*) в интервале (а—Л, л-j-А), окружающем точку я, до-'
статочно найти верхнюю границу величины |/? (лг, а)\ в этом :
интервале. Эта верхняя граница определяет предел погрешности,
допускаемой при замене функции f(x) многочленом g _г (х).
Можно заранее задаться некоторою степенью точности, т. е.
потребовать, чтобы при такой замене погрешность не
превосходила некоторого заранее указанного предела М, Тогда
возникает вопрос, как велик может быть интервал (а — A, a-\^k)}
т. е. каково должно быть значение Л, если
|ЯЯ(*, а)\<М
при ;
а — h<^x<^a-\-h.
Для различных функций этот вопрос имеет различные
решения.
Если в формуле Тэйлора (24) положить а = 0, то получим
формулу Маклорена:
/М=/(0) + у/'(0) + Й/"(0)+---
^)=/b(2.:.(9r:V(")(9^ (о<б<і),
348

или, в форме Крши:
или, наконец, в форме Лагранжа:
R*W=T?rJ{n){№) (о<о<і).
§ 7. Ряды Тэйлора и Маклорена.
При выводе формул Тэйлора и Маклорена мы предполагали,
что функция f(x) имеет производные до /г-го порядка
включительно.
Допустим теперь, что данная функция имеет бесконечную
последовательность производных:
f(x),f(x),...,f<"Hx),...
Тогда в формуле Тэйлора можно брать число п сколь угодно
большим. Если при этом остаточный член Rn(Xy а) будет
стремиться к нулю при беспредельном возрастании л, то в этой
формуле возможен переход к пределу при п—* оо . Правая часть
этой формулы [формулы (24) предшествующего параграфа]
обращается при этом в бесконечный ряд:
/(х) =/(а) + x-=2f (а) + ^#/" («) + • ¦ •
'••+b(2~(f-l/g"1)(g)+--- (30)
Этот ряд в силу сделанного предположения сходится и выра*
жает данную функцию.
Посмотрим, йогда вообще возможен такой предельный
переход и какие случаи могут при этом представиться.
1. Допустим, что в равенстве (24) Rn(x, а) не стремится
к конечному пределу при беспредельном возрастании п.
В этом случае предельный переход в равенстве (24)
невозможен. Ряд (30) будет расходящимся, ибо сумма п его членов
/(в) + ?^?/(в)Ч-<^і2і> («) + ...
••• + i.(2.~(f-V(""1)(a)=/W~^^'a) (31)
не стремится ни к какому пределу при возрастании п.
2. Пусть Ra(x, а) при всех значениях х в каком-либо
интервале (а, р) стремится при возрастании п к некоторому пре-
349

делу, величина которого зависит от х: lim Ra (х, а) = L (x)t
л-* ос
В этом случае ряд (30) будет сходиться в интервале (а, р), но
сумма его в силу (31) будет f{x) — L(x). Её значения будут,
таким образом, совпадать со значениями данной функции лишь
для тех значений х, для которых L(x) = 0.
3. Если, наконец, при всех х в каком-либо интервале (а, (і)
имеем limRn(x9 а) = 0, ряд (30) будет сходящимся в интервале
п -»¦ со
(a, (J), и в этом интервале его сумма совпадает со значениями
данной функции. Он будет таким образом представлять данную
функцию в интервале (а, р).
Если Игл /?Л (лг, а) = 0 при всех значениях лг, то ряд (30)
сходится при любом х и представляет функцию /(х) для всех
значений х.
Полагая в формуле (30) я = 0, мы получаем ряд Маклорена:
/W=/(0) + y/'(0) + T^/',(0) + ..,
Этот ряд представляет функцию f(x) в виде степенного ряда.
§ 8. Разложение в ряд простейших функций.
1. Возьмём функцию f(x) = ex.
Так как в данном случае f(x)=f'(x) = f,f(x) = ..,z=
=fW(x) = ex для всякого порядка k, и /(0)=/'(0) = /"(0) =
==. ..==/(*) (0)= 1, то, применяя формулу Маклорена, найдём;
^=і+т+й+г^+---+Ь2."л(;1-і)+^^мз2)
Беря остаточный член в форме Лагранжа, будем иметь:
*>)=гхЬіеЧ (33)
Нетрудно заметить, что эта величина Rn (х) с возрастанием п
стремится к нулю при любом значении х, В самом деле, взяв
модуль этой величины, получим:
W*H=T^«ej(. (ззт
Первый множитель этого выражения стремится к нулю с
возрастанием п при всяком х. Действительно, обозначая через т
наибольшее число, не превосходящее 2\х\> так что уже т-\~
-j- 1 ^>2 \х |, имеем:
\х\п ^ |л'1т ( \Х\ \п~т \х\т / \\a-m
1-2-(..я<^1-2...« \rn-f 1/ <^l-2...m\2j *
350

и так как правая часть этого неравенства стремится к нулю
при п—»-оо, то и левая часть стремится к нулю.
Второй же множитель выражения (33') еЬх при любом
конечном х есть конечная величина. Отсюда следует, что lim R U)=
п
= 0 при всяком а*. А потому ¦ функция ех разлагается в Сеско-
нечный сходящийся ряд:
\п~\)
еХ— 1+Т+Ь2 + Ь2^ + "-+Ь2...(/г-1)+"" і34)
представляющий эту функцию при всяком конечном х. Полагая
в равенстве (34) jt=l, получим разложение в ряд основания
неперовых логарифмов — числа е:
е = 1+Т + Г2+Ь2і + "ф+1-2^3...(/2-1) + ;"
2. Возьмём функцию /(jc) = sinx. Имеем:
/(0) = 0
f(x) = cosx = sin(x + ^< f(0) = \,
f(x) = cos(x+^)=$ln(x + 2.±), Г(0) = 0, J (35)
/'"(*) = cos (x + 2.|) = sin(x-h34)) /,"(0) = — 1,
/v(,v)_cos(x+3.^)=sin(x + 44), /IV(0)^0, ,
/(-)(0х) = 5іп(^ + ?аг).
Мы видим, что рассматриваемая функция и все её чётные
производные при х = 0 обращаются в нуль, а нечётные принимают
попеременно значения -\~\ и —1. Таким образом, подставляя
значения (35) в формулу Маклорена, получим разложение slnx
по нечётным степеням аргумента:
х xt | хъ
smx 1 1-2-3 ' Ь2-3-4.5
• • • + (~ 1 )т~гі. 2.3... (2« —1) "Ь ^ W'
где л = 2/й и і?я в форме t Лагранжа ^имеет вид:
351

Первый множитель в этом выражении, как мы уже видели,
стремится к нулю при всяком х, второй же множитель sin (л-гг-f"
-j-?дг) по абсолютной величине не превосходит единицы, а
потому при любом значении х имеем limRa(x) — 0. Следовательно,
я->оо
sin х при любом конечном х разлагается в бесконечный ряд:
8іп* = Т~1^+1-2-і4-5~''* <36)
3. Возьмём функцию f(x) = cos x. Поступая подобно
предыдущему, найдём; /W (jc) = cos f k-~~\'x)m ^Ри х—®
обращаются в нуль все производные нечётного порядка, а чётные
производные равны попеременно -}-1 и — 1. Формула Макло-
рена даёт:
«>s*=l -П5 + ГТЭЧ~- " + 1-2-3... 2т + *»(*)'
где /г = 2т. Взяв опять Ra(x) в форме Лагранжа, получим:
Повторяя рассуждения, проведённые при разложении sihat,
найдём: UmRn(x) = Q при всяком х, а потому cos л: разлагается
n-yzo
в бесконечный ряд:
при любом конечном х
Заметим, что тот же ряд (37) можно было бы получить на
основании свойств степенного ряда (§ 5) простым
дифференцированием ряда (36).
4. Применим формулу Маклорена к функции In (1 —J— л:).
Вычисляя производные, получим:
/(*) = 1п(1+*),
/"(*)=- Ь2
(1 + х)*'
/C*)We(_1^il±8^rJ1#
352

Беря значения /(*),/'(*),..., /(n-1)W при дг = 0, заменяя
в выражении j№ (х) х через Ьх и внося полученные значения
в формулу Маклорена, найдём:
ь(і+*і=т-т+т-т+--
•••+(-Dn^r + ^W. (38)
Возьмём остаточный член R (х) в форме Коши:
«п W — (1+6*)* ' ^У)
Посмотрим, как изменяется величина остаточного члена с
увеличением л. Мы уже видели, что интервалом сходимости ряда
^+y—*•• служит (—1, +1)' а потомУ и остаточный
член (39) будем исследовать лишь для значений х, лежащих
в этом интервале.
Представим Rn(x) в следующем виде:
Если |л:|<[1,'то 1ігпл:й = 0. Далее, так как |лс|<^1, то
«->сс
х^> —1; умножая обе части этого неравенства на
положительную дробь 0 и прибавляя к обеим частям по 1, получим
1 -|- Ьх > 1 — ?, следовательно, ¦« , Q < 1 и тем более
(« , fl ) <!• Последний множитель выражения (40) . , ,
изменяясь с возрастанием л, всегда оетаётся меньше некоторого
постоянного числа, а именно л ,' <"¦; :—?. Отсюда сле-
дует, что остаточный член (40) стремится к нулю при всяком xt
для которого |х|<^1.
Таким образом ln(l-j-jc) разлагается в бесконечный ряд:
1 /1 \ \ X Х2 , X3 X* і Хь ....
1п(1+*) = т-т+т-^ + т-... (41)
при |х|<[1. Этот ряд представляет функцию 1н(1 -\-х) внутри
интервала (—1, -\- 1).
Исследуем сходимость ряда на границах интервала (—1, —{— 1).
При х^= —1 ряд (41) принимает вид
_1_±_1_і_
1 2 3 4 "•
23 Курс высшей математики, т. II. 353

и представляет, следовательно, знакопостоянный гармонический
ряд, который, как мы видели (§ 2 гл. IX), расходится.
При х=\ ряд (41) принимает вид
1_і4-1— 1 +
1 2 > 3 4 "Г""
и по теореме Лейбница сходится. Однако, представление
остаточного члена Ra{x) формулы (38) в форме Коши не может
дать ответа на вопрос о справедливости равенства (41) при
д:=1. Возьмём теперь остаточный член в форме Лагранжа:
Полагая здесь х=\, получаем:
Это и показывает, что равенство (41) остаётся в силе и при
х=1, т. е.
1-| + !-і + ... = 1пН (41')
5. Пусть f(x) = (1 -f- х)т, где т — любое действительное
число.
Вычисляя производные этой функции, найдём;
/(*) = (1+*)«
f(x) = m(\-\-x)m-1,
Г(х) = т(т—1){1-{-х)т-2у
fi")(x) = m(m—l)...(m -n -[-1)(1+*)»-«.
Положив во всех этих равенствах, кроме последнего, x = 0t
а в последнем заменяя х через Ьх} и подставив найденные
значения в формулу Маклорена, получим:
•••+и(г2^з\-.т-іТ2)"й+^^ (42>
Остаточный член опять возьмём в форме Коши:
w{m,Ti).-i:H~-tn' Grc)""1 <ч-в*»"-- <43>
*) Другое доказательство равенства (41') было дано «а стр. 344.
354

Заметим, что ряд
как легко убедиться, применяя критерий Даламбера (стр.311—312),
имеет интервалом сходимости (—1, +1); поэтому, исследуя
остаточный член (43), будем предполагать |*|<^1.
В выражении (43) множитель
т{т — l)...(m — я 4-1) -
1 .2-3... (л — 1) *
есть как раз общий член сходящегося ряда (44) и,
следовательно, стремится к нулю с возрастанием л. Второй множитель
1_? \п-л
, как мы уже видели, остается всегда меньше единицы.
1+?дг,
Наконец, последний множитель (1 —|— ?аг)771 ~1 при любом п
остаётся меньше некоторого постоянного числа. Действительно,
если !я>1, то (1-1-?*Г~1<2'п-1;
если т<1, то (\-\-Ъх)т-1<(\ — \х\)т-К
Следовательно, с увеличением п R (х) стремится к нулю при
всяком х, если только |дг|<^1.
Таким образом, (\-\-х)т для всякого т разлагается при
|лг|<^1 в бесконечный ряд:
(1+^Г = 1+ТХ + ^=^^ + ... (45)
Более подробное исследование показало бы нам, что при
д;=1 разложение сохраняет силу в том случае, когда т^>—1,
при х =—1 разложение остаётся в силе, если тя^>0.
Наконец, при |дг|^>1 разложение вовсе не имеет места,
так как соответствующий ряд (45) при этом расходится.
§ 9. Косвенные приёмы разложения в степенной ряд
некоторых функций.
Выше был изложен общий метод разложения функций в
степенной ряд. В отдельных случаях удаётся избежать применения
этого общего метода* и получить искомое разложение более
коротким путём, основываясь на общих свойствах степенных
рядов. Именно, если найдено разложение в ряд какой-либо
функции, то, основываясь на свойствах дифференцируемости и
интегрируемости степенных рядов внутри интервала его
сходимости, можно получить путём дифференцирования и
интегрирования данного ряда разложения в ряд производной от данной
23* 355

-функции, а также её первообразной функции. Так, мы уже
отмечали выше, что ряд для cos х мог быть получен простым
дифференцированием ряда, представляющего sinx.
В некоторых случаях при разложении в ряд данной функции
бывает легче найти разложение в ряд её. производной. В таком
случае, найдя это разложение и затем проинтегрировав
найденный ряд, можно получить искомое разложение данной
функции. Именно 'этим приёмом мы получили разложение функции
f(x) = In (1 -\-х) в конце § 5. Рассмотрим ещё два
примера этого рода.
1. Возьмём функцию
f(x) = arctgx.
Её производная
представляет сумму бесконечно!": прогрессии со знаменателем — jc2,
сходящейся при | х \ <^ 1:
T-L3 = i-i*» + ^_*6 + _ (46)
Таким образом, производная данной функции разлагается в ряд
непосредственно по формуле (46). Чтобы получить теперь
разложение в ряд функции arctg x, достаточно проинтегрировать
равенство (46) в пределах от 0 до х, где |х[<^1;
^dx
X
= Г(1 — х2 -f ^—*6 +...) dx.
о о
Выполняя интеграцию, получим искомое разложение в ряд
функции arctg x:
arctg* = .J-:? + T-T + -. (47)
Ряд в правой части равенства (47) представляет функцию arctg
в интервале (— 1, -[- 1).
Исследуем сходимость ряда на границах этого интервала.
При д:=1 ряд принимает вид
1
3^5 7 ^*в'
По теореме Лейбница он сходится. Покажем, что равенство
(47) остаётся справедливым и" при х=\. Действительно,
интегрируя тождество
356

в пределах от 0 до 1, получаем:
О
и так как
і і
О
О
то действительно получаем:
4 3 і^ 5 7 г--*
Так как в обеих частях равенства (47) стоят нечётные
функции и это равенство, по только что доказанному, справедливо
-при jc == 1, то оно справедливо и при х =—lt
2. Возьмём функцию
f (х) = axcsin хш
Её производная
Представим эту производную в форме
Сравнивая это выражение с биномом (1 -[- %)т, разложенным
в ряд по формуле (42), легко заметить,. что разложение в ряд
функции (1—х2) 2 можно получить из формулы (42), полагая
в ней т= — г й заменяя х через —х2. Выполняя эту замену,
получим
1.1
1 2 , 2 2
2 Х "t" 1-2
1 1 1
2 " 2 " 2
f{x)=(i-x2)~* ^i+4^2+4t#^+
+ ПГТТТ-*• + ••• <48>
В силу сказанного при разложении в ряд бинома (1 -\-х)т,
ряд (48) сходится при |лг|<^1 и представляет функцию/'(х) =
= (1—х2) 2 в интервале (—1,-j-l). Проинтегрируем равен-
357

ство (48) в пределах от 0 до х, где |^|<^1:
/(*) =
X
dx
У\ ~х2
о
Выполняя интеграции, находим разложение в ряд
функции arcsin.*;;
*. , 1 *з . 1 3 л* , 1 3 5 *7 ,
в интервале (— 1, -J-1).
§ 10. Ряды Тэйлора и Маклорена для функций нескольких
переменных.
Возьмём функцию двух переменных F(x, у). Формула
Тэйлора имеет целью дать разложение функции F (х -\~ ht у -|- k)
f по степеням h и k.
Составим новую функцию аргумента і следующим образом:
ф (t) = F(x -\- ht, y-\-kt), и разложим её по формуле Маклорена:
. Ф (*) = Ф (0)-f-f Ф''(0) + Й-Ф"(0) + -..
• • • + (SjT Ф(л-]) (0) + ? Ф<»> (60. (49)
Вычислим последовательные производные функции Ф(^). С этой
целью введём временно обозначения: х -)- hi = и, j/ --}- ?* = ф.
Тогда Ф(/) будет сложной функцией аргумента г, зависящей
от него при посредстве двух переменных и и г>, и
производную Ф'{і) найдём по формуле производной сложной функции
(гл. IV, § 5):
u ди dt^ dv dt '
Но — = h, —=k; кроме того, так как миг; суть в то же
время функции от х и _у, причём •,-= 1 и — = 1, то мы
можем рассматривать Ф (t) и как функцию х п у и, очевидно,
358

имеем:
дФ №du дФ^? дФ дФйь дФ
дх ди dx ди ' ~ду~ Thflx~~dv *•
д2Ф _ д*Ф д2Ф __ д*Ф д2Ф _ д*Ф
дх2 ~~~ ди* ' дх ду ~~ diTdv' ~ду* ~~ ~dtf ' •' •
и вообще
дт + п ф дт+п ф
дхп dyn dumdv**
Следовательно:
Подобным же образом найдём:
Полагая в этих равенствах /=0 и замечая, что при ^=0
функция Ф(2) делается равной данной функции F(x, у), имеем:
Пользуясь обозначениями, введёнными в § 11 главы IV, мы
можем эти производные представить в следующей
символической форме:
Ф«(0)=(^А+|;А)^(^^) ('" = 1,2, 3,...). (50)
Подставляя (50) в (49), получим:
F(x + ht, y + kt) = F{x,y)+{(^h + ±k)F(xt y) +
359

При 2=1 получаем формулу Тэйлора, дающую
разложение функции F(x~\-h, у -\-к) по степеням h и k\
+^{ш,г+гУкУр{х+ьк у+щ- (51)
Если в (51) положить х=у = 0, то получим формулу
Маклорена:
F(h,k) = F(0,0)+(±h + ±k)F(0,0) +
Заменяя й и ? через д: и у, получим:
- • +К^+4)3/?(0'0)+-
-+5^і)г(*аЕ+>|Г1^0)+
+ і(*й+^)"^в*.взО. (52)
Формула Маклорена (52) даёт таким образом разложение
функции F{xyy) по степеням хну.
Если функция ^(х, у) допускает неограниченное
дифференцирование в некоторой области изменения переменных х и у,
то в формуле (51) можно увеличивать п беспредельно, и если
при этом остаточный член
будет стремиться к нулю, то можно перейти к пределу при
/2—voo и получить таким образом ряд Тэйлора,
представляющий F (х -}- hy у -|- к) в виде бесконечного ¦ ~ ряда по сте-
360

пеням h и k:
Такой же предельный переход в (52) даёт ряд Маклорена:
П*'У)=ГЪО)+(х&+у?)р{о,о) + .тт> (54)
представляющий разложение функции F(x,y) в бесконечный
ряд по степеням х и у.
Разложения (51), (52), (53) и (54), очевидно, могут быть
непосредственно распространены на функции любого числа
переменных.
Пример 1. Разложить sin (л:-f .У) в ряд по степеням х и у.
Имеем:
F(x,y) = sin(x±y), ^- = — = cos(x±y)}
d*F &F d*F , , ,
Ш* = Ш-у=д?=~ьт(х+у)>-'-
и (54) даёт:
sin(x±y) = x+y-]~(x3±№y+Zxy*±y*)±...;
очевидно, то же можно получить, заменяя х-\~у через z и разлагая
sin z в ряд по степеням z.
1
Пример 2. Разложить в ряд F(xty) = _ __
Легко видеть, что — / ¦ = (—1)ді+д rem >
и (54) даёт:
(жц-1)1Су-1)=' + *^ + *' + ^+>»+...
§ 11. Ряды Фурье.
Мы решали задачу представления данной функции
степенным рядом. Эта задача является простейшим случаем более
общей задачи представления функции бесконечным рядом,
членами1 которого служили бы функции заданного типа.
При представлении функции степенным рядом членами ряда
являются степени аргумента с соответственными коэффициентами;
другим столь же важным видом разложения в ряд является
разложение по тригонометрическим функциям, именно, по синусам
и косинусам дуг, кратных аргументу. Ряд вида
aQ -J- Q-L cos х-\-Ьх%\ъх-\- а2 cos 2x -f- Ьг sin 2x -j-.. .
* " ~і~ аа C0S ПХ ~Ь ^а Sin ПХ "Ь * *' (^
361

носит название тригонометрического ряда. Ввиду особых
свойств тригонометрических рядов представление функции в виде
такого ряда является особо важной задачей анализа.
Как будет показано ниже, тригонометрическими рядами можно
представить значительно более широкий класс функций, чем
рядами степенными. Кроме того, представление функции
тригонометрическим рядом бывает особенно полезно при решении
многих вопросов прикладных наук и, в частности, ряда задач
теоретической физики.
Задача представления данной функции в виде
тригонометрического ряда сводится к нахождению тех значений
коэффициентов аа, Ъп ряда (55), при которых этот ряд представляет
данную функцию. При этом следует заметить, что сумма ряда (55)
в случае его сходимости является периодической функцией
аргумента х с периодом 2тс, так как все его члены —
периодические функции с периодом 2тг. Поэтому, если данная функция —
не периодическая, или имеет период, отличный от 2я, то ряд
(55) может представлять эту функцию лишь в интервале
длиной 2тт, например, в интервале (—тг, —|—тг). За пределами же
этого интервала ряд (55) будет повторять те значения, которые
он имел внутри интервала, тогда как данная функция за
пределами интервала может иметь совершенно иные значения. Таким
образом, ряд (55) всегда будет представлять периодическую
функцию, совпадающую с данной лишь в одном из интервалов
длиной 2тг (если данная функция сама не имеет периода 2тт).
Этим самым исключается возможность представления данной не
периодической функции тригонометрическим рядом, сумма
которого совпадала бы с данной функцией при всех значениях
аргумента, при которых функция определена, — случай, вполне
возможный при разложении функций в степенной ряд, имевший
место при разложении в ряд функций ех, sin*, cos* и др.
С другой стороны, при разложении функции в степенной
ряд эта функция должна удовлетворять целому ряду
ограничительных условий, не имеющих места при разложении в
тригонометрический ряд.
В самом деле, степенной ряд, как было показано (стр. 342 и ел.),
сходится равномерно в любом замкнутом интервале, лежащем
внутри интервала его сходимости; его можно дифференцировать
почленно, причём в результате получается ряд с тем же
интервалом сходимости и сумма нового ряда есть производная от
суммы первоначального. Это дифференцирование, очевидно,
можно повторить неограниченное число раз. Отсюда следует,
что функция, представляемая степенным рядом в интервале его
сходимости, непрерывна и бесконечно дифференцируема во всех
362

точках внутри этого интервала. Эти ограничения оказываются
излишними при разложении функций в тригонометрический ряд.
Приведём условия, достаточные для того, чтобы данную
функцию можно было в каком-либо интервале длиной 2тт
представить тригонометрическим рядом (55); эти условия были
найдены Дирихле и носят поэтому название условий Дирихле.
Они состоят в следующем.
Функцию f(x) в каком-либо интервале (а, Ь) длиной 2тт можно
представить в виде тригонометрического ряда, если:
1 ° во всех точках замкнутого интервала (а, Ь), где
Ь — а = 2тг, данная функция f(x) ограничена;
2° в замкнутом интервале (а, д) данная функция f(x)
или изменяется монотонно, или имеет конечное число
максимумов и минимумов;
3° функция f(x) непрерывна во всех точках замкнутого
интервала {а, Ь) кроме, может быть, конечного числа его
точек.
При этом, в силу условий 1° и 2°, если xt — точка разрыва,
то существуют пределы выражений f(xt-\-z) и /(дг. — е) при
g—„0. В самом деле, в силу условия 2°, интервал (а, Ь) можно
разбить на конечное число подынтервалов, в каждом из
которых функция f(x) меняется монотонно. Точка xt будет лежать
в одном из таких интервалов или на его границе. В обоих
случаях в интервалах (xt — е, х?) и (хіч хіУ-\-в) функция f(x)
изменяется монотонно и в силу условия 1° и теоремы о пределе
монотонно изменяющейся величины (т. I, стр. 268) существуют
\\mf{xt — г) и lim/^-J-s). Следуя Дирихле, обозначим их со-
е -»о б-»-о
ответственно через f(xt — 0) и f(x?-\-Q).
При выполнении условий 1°, 2°, 3° для данной функции f{x)
существуют такие значения коэффициентов ад и Ьп в ряде (55),
при которых этот ряд сходится и сумма его в каждой точке
интервала (а, Ь), где функция f(x) непрерывна, совпадает со
значением функции f(x) в этой точке, а в каждой точке х.
разрыва функции f(x) равна величине
/(*< + 0)-b/fr<-0).
на концах интервала (а} Ь) сумма ряда (55) даёт одну и ту же
величину
/(*)+/№)
2
Если тригонометрический ряд (55) сходится в каком-
либо интервале и представляет в этом интервале некото-
365

рую функцию f(x), то почленное интегрирование его даёт
новый тригонометрический ряд, сходящийся в том же
интервале и представляющий в этом интервале функцию,
первообразную для функции, представляемой первоначальным
рядом.
Доказательство всех приведённых выше утверждений
выходит за рамки настоящей книги. Мы примем. их без
доказательства и будем на них опираться в дальнейшем.
Рассматривая условия Дирихле, нетрудно заметить, что они
охватывают значительно более широкий класс функций, чем класс
функций, разлагаемых в степенной ряд. В самом деле, функция,
разлагаемая в степенной ряд в каком-либо интервале, не только
непрерывна, но и бесконечно дифференцируема в этом интервале,
в то время как функция, удовлетворяющая условиям Дирихле в
интервале (л, Ь)у допускает разрывы и может быть вовсе недиффе-
ренцируема в бесконечном множестве точек этого интервала.
Приступая к разложению функций в тригонометрический
ряд, фиксируем интервал (а, Ь), именно, будем искать
разложения функции в интервале (—тс, -j-rc)*
Пусть f(x) — функция, удовлетворяющая условиям Дирихле.
В силу сказанного, существуют такие значения
коэффициентов ап и Ьа, при которых
f(x) =a0~\-alcosx~{~b1sinx~\-a2 cos2x-j-b2 sin2x-f-...
- • • +лдcos«jc-j-^esinлд:-(-... (56)
во всех точках интервала (a, b), где функция f(x) непрерывна.
Для определения величины коэффициентов ад, Ья1
соответствующих заданной, функции f(x), Эйлер предложил следующий
метод. Умножим обе части равенства (56) на cos/ллг, где т —
целое положительное число, и проинтегрируем это равенство
в пределах от — к до -j- тс:
+it +*
\ f(x) cos mx dx = a0 \ cos mxdx-\-
— 1С — It
+01 \ cos x cos mxdx-{-b1 \ sin*cos mxdx-{-...
— it —я
V
,..-|-#л\ cos nxco$mxdx-\~
Y
-\~bn \ sin nxcosmxdx-^-... (57)
364

Найдём величины интегралов правой части. Имеем:
Jcosi«*di=[s^]^=o.
—тг
Если тфпу то
I cosmxcos nxdx = — I [cos (/n-J-#)•*; +cos (w — л)л:]^;с
— л —л
1 Г sin (т-\-п)х | sin (m — л) x
2 |_ т+-л "T~ m — л
+ я = о.
— л
Если же т = Пу то будем иметь
-f 71 4" It
Г о .г Г 1+cos2/wa: , И і ъіп2тх~\+к
—1С — Л
Далее, при тфп
-fit +я
I sin /zx cos mxdx=z-^ I [sin (л -J- m) x -f- sin (к — m) x] </x =
— 71 — IE
1 Г cos (n-\-m)x , cos (л — m) лгі 4- * л
21_ n-\~m "T n — m J_k
и при т = п
\ cos mxslnmx dx-— — 1 sin2/nx{3?x = 0.
—л
Таким образом, равенство (57) приводится к следующему
f /(х) cos /пх й?х = #ottt,
— It
откуда
дж = — V f(x) cos mx dx. (58)
Давая в этом равенстве индексу т последовательно
значения 1, 2, 3,..., получим значения коэффициентов av а2, а3,...
Для определения коэффициентов Ьг Ъ%, Ь%,... умножим
равенство (56) на sin/их, где т—целое положительное число, и
проинтегрируем его в пределах от —тг до -f-71- Выполнив ин-
365

теграцию, мы совершенно так же, как и выше, найдём:
\ f(x) sin тх dx = &ттг,
U
— It
откуда + л
?m = — f(x) sin mxdx. (59)
— re
Остаётся определить коэффициент я0. Для этой цели
умножим равенство (56) на dx и проинтегрируем в пределах от
— тт до —J— тт:
f/(л:)<?* = Яо f Лс + я3\ cos #а?лг-|-?Л sinxrfx-}-....
— it — л
Первый интеграл правой части даст
я0 \ dx = 2naQ;
— л
все же остальные интегралы, очевидно, равны нулю.
Следовательно.
+ *
С/(х)Лс==2тгя0,
откуда +гс
^o = 2i\f(x)dx- (60)
— л
Формулы (58), (59) и (60) определяют коэффициенты ряда
(56), представляющего данную функцию f(x). Ряд (56), в
котором коэффициенты выражаются формулами (58), (59). и (60),
называется рядом Фурье функции f(x).
Пример 1. Разложить в ряд Фурье в интервале (—тс, ~\-ъ)
функцию
/с*)=?.
По формулам (58), (59) и (60) находим:
-f * +* 4-я
1 Г * А 3 Г * -, Г. 1 Г -Г .
а0=7г —ах, ат = — —zosmxdx, bm = -- -^smmxdx.
*•- J - - J z ^ J «s
— тт —те — л
Произведя вычисления этих интегралов, получим:
*о = 0, ат=0, bm = (-l)m-i.l
т
366

Таким образом, находим искомое разложение:
х ¦ 1 . 0 , 1
у = sin х — — sin 2х -\~ — sin Ъх —...
(61)
Ряд (61) сходится при всех конечных значениях х и представляет
периодическую функцию с периодом 2іг, причём во всех внутренних
Черт. 69.
точках интервала- (—я,-(-я) значение суммы ряда (61) совпадает со
х
значением функции —. За пределами интервала (—іт, -\-к) ряд (63)
повторяет значения функции —, которые она имела внутри этого
л>
интервала. При х = + к сумма ряда (61) равна нулю.
График функции, представляемой рядом (61), изображён на черт. 69,
х
причём пунктиром изображена остальная часть графика функции у.
Пример 2. Разложить в ряд Фурье в интервале (— я, -\~к) функцию
х2
Определим коэффициенты разложения по формулам (58), (59) и
(60):
-К*
v-2
+ *
-2
ат= — \ -j-cos mxdx, 6m=— I -j- sinmxdx.
— 1С — Ъ
Оба интеграла легко вычисляются двукратным применением метода
интеграции по частям. Выполнив вычисления, найдём:
(-1)
вя=Ьр.*.=-о.
т
По формуле (60) находим величину а0:
— -к
367

-2л
т>
О
2
X
л
2л Зл
?*-л
Черт. 70.
-г* ч-*у о
Ч*.'' 2л K*JjzS 4я
Черт. 71.
Ц *-со$х+р cos 2т--рсогЗх
Черт. 72.
**|*- ?<7SJt + ^ cosZx J
-2*
-л 0]
гг
2л
5л
4л
368
Черт. 73.

Таким образом,
х2 г.2 \ 1
4* = '\2 — со? х + 2^ cos 2х — 32 cos 3* + * * • <62>
*з
•(На черт. 70—73 показаны графики функции ^ и её приближений.
-2
На черт. 70 —график первого слагаемого разложения: уг = —; на
Г.3
черт. 71 — график суммы первых двух слагаемых: у2=тъ — cosx\ на
тс2 1
черт. 72 —график суммы трёх слагаемых: .Уз—г^^cos*-[-^cos 2*;
-2
на черт. 73—график суммы первых четырёх слагаемых: _у4=-Ц —
— cos j»: 4-22 cos. 2л: —р cos Ъх.)
То же разложение можно получить короче, интегрированием
ряда (61). В самом деле, интегрируя равенство (61), получим:
х~ 1 1
-j = -— cos х + -я-2 cos 2дг — -sj cos 3* -(-... + С,
где С — постоянная интеграции — является первым членом ряда Фурье,
т. е. совпадает с щ. Его можно определить по формуле (60), как это
и сделано выше.
Ряды Фурье для чётных и нечётных функций. Отметим
частные случаи разложения в ряд Фурье. Пусть данная
функция f(x) обладает тем свойством, что
f{—x) = —f{x)..
Функция называется в этом случае нечётной. Для такой
функции все коэффициенты ат ряда Фурье обращаются в нуль.
В самом деле,
-f-тс 0 " -f-«
ат= \ f '(х) cos mxdx = \ f (x) cos mxdx -{- J f(x) cos mxdx.
— n -fit ¦ . 0
Произведём в первом из этих интегралов замену переменного»
полагая
откуда х= z'
dx = — dz.
Тогда
о о
\ /(x)cosmxdx = — \ /(—2r)cos( — mz)dz =
— я +*
0* +я
= -f- [ f[z) cos mdz = — \f{z) cos nizdz.
-j-тс О
24 Курс высшей математики, т, II. «>Ь9

Подставляя это в выражение для ат, получим
rt тс
а = — \ / (z) cos mz dz -(-. \ f(x) cos mx dx = 0.
и о
Таким образом, нечётная функция разлагается в интервале (—тг/
„|_тт) в ряд Фурье по синусам кратных аргументов. Примером
такого разложения может служить первый из приведённых выше,
примеров. Вычисление коэффициентов Ьт может быть в этом
случае упрощено:.
-f-1E 0 ТГ
Ьт = — f(x)sinmxdx= — f(x) sin mx dx~\— \ f(x)slnmxdx.
— тс —г. О
Заменив в первом из этих интегралов х через —z, будем иметь
0 0 -{-те
\f{x)smmxdx = \ f(z)s'm(—mz)dz= \f(z)s'mmzdz.
•' — 7Г -f- 7Г 0
Следовательно,
тс
Ьт = — I f(x) sin mx dx. (59/)
6
Если функция f(x) такова, что
то она называется чётной. В разложении Фурье в этом случае
исчезают все коэффициенты Ьш. Коэффициенты же ат вычисляются
по формулам
тс
ат = — / (jc) cos mx dx (58')
и
тс
a0 = ^/(x)dx. (60')
о
В этом можно убедиться, производя совершенно такие же
вычисления, как и те, которые мы выполнили для случая нечётной
функции. Таким образом, чётная функция разлагается в интервале
(— тг, -(-тг) в ряд Фурье по косинусам дуг, кратных аргументу.
В общем случае, когда функции f(x) не удовлетворяет ни\
одному из равенств
^70

её разложение в ряд Фурье содержит члены обоих видов
апсо$пх и bnsmnx. Но следует заметить, что если ограничиться
разложением лишь в интервале от 0 до ттэ то можно лю^ую
функцию, разложимую в ряд Фурье, разложить или только по
синусам, или только по косинусам. В самом деле, пусть дана
какая-либо функция f(x), удовлетворяющая условиям Дирихле.
Чтобы получить для неё разложение по синусам в интервале (0, тг),
составим новую функцию F(x)9 определив её следующим
образом:
F(x)=f{x) при 0<лг<я,
F(x) =—/(—х) при —7г<;*<^0.
Функция F{x), очевидно, удовлетворяет условиям Дирихле, если
им удовлетворяет функция f(x); следовательно, функция F(x)
разложима в ряд Фурье. Далее, F(x) — функция нечётная, так
как при л:^>0
F{—x) = —f(x) = — F(x),
при х<^0
F(-x)=f{—x) = -F(x).
Следовательно, F(x) разлагается в ряд Фурье по синусам дуг,
кратных аргументу. Выполнив это разложение, мы получим ряд
Фурье, сумма"" которого во всех точках внутри интервала (0, тг)
совпадает со значениями данной функции f(x) в этих точках.
Точно так же, чтобы получить разложение данной функции
в ряд Фурье в интервале (О, тг) по косинусам, мы составляем
новую функцию, полагая
F{x)—f(x) при 0<*<тг
и
F(x)=f(—х) при —тг^лг^О.
В этом случае F(x) — функция чётная и, следовательно,
разлагается в ряд Фурье по косинусам дуг, кратных аргументу.
Внутри интервала (0, тг) это разложение представляет данную
функцию f(x).
Пример. Разложить в интервале (0, я) функцию -^ в ряд по коси-
нусам дуг, кратных аргументу.
Мы уже. имели разложение этой функции в интервале •(—тс, -f-*)»
причём разложение происходило по синусам- дуг, кратных аргументу.
Чтобы получить разложение той же функции в интервале (0, z) по
косинусам, составим функцию F(x):
24* ЗД

Разложим теперь функцию F (х) в ряд Фурье в интервале {— я, -f it).
Коэффициенты разложения определятся по формулам (58'), (59') и (60'):
2 Г х , 1,
ат = — \ -z-cosmxdx = — \ хcos mx dx
о
я
cos mx
кт2
cos тъ — 1
тс/га2
==— { \ sm mx ax } =
к \ I т Jo т J J
о
Если т — число чётное, то cos да =1, следовательно, ат = 0\ если
— 2
m — нечётное, то cos тъ = — 1 и, следовательно, #т = —^ . Далее,
Ьт = 0 при всяком т, так как F (х) — функция чётная; наконец,
к
1 С X . 7Г
Яо = _ \ dx=T.
Таким образом, искомое разложение функции-^- в интервале (0, іг)
имеет вид
х те 2/cos л: , cos Здг , cos Ъх , \
"2*"~T""7V~P~ + ~~P~~t~ 52 "т*"-;-
Разложение функции в тригонометрический ряд в
интервале (—/, +0- От Данного выше разложения в ряд Фурье
в интервале (—тг, —|—тт) можно перейти к разложению по
синусам и косинусам в интервале (—/, -{-/) произвольной длины 21.
В самом деле, пусть дана функция f(x)t удовлетворяющая
условиям Дирихле в замкнутом интервале (—/, -{-/). Произведём
замену переменного лг, полагая
* = ?. (63)
Мы будем иметь
№>=/(!)•
Последнее выражение есть некоторая функция аргумента г,
-Обозначим её через F\z):
Из формулы (63) следует, что, когда х меняется в пределах
от —/до -|~/> z меняется монотонно от —тг до-|-тг. Функция
(z) в замкнутом интервале (— я,-[-тг) удовлетворяет условиям
Дирихле и, следовательно, разложима в этом интервале в ряд
¦372

Фурье
00
F(z) = aQ -J- 2 (a„ cos лг 4" bn sin /zz),
0 = 1
где
ao = ^ J ^(*)^
— тс
#„=-- I F(z) cos nzd%, йд = — j Z7 (z) sin ля &.
— ic — я
Преобразуем переменное во всех этих интегралах, полагая
тс
откуда
dz = —7—.
Тогда
*-ijV«*-i]>(?)*-?.
Из равенства
— п -г
находим
а поэтому
^И=/(т)
(l--\
далее,
— *
"Я 1С
— я
или
-и

Совершенно так же получим
ba=11\jf(x)smn^dx. (59")
Произведём в равенстве (64) ту же замену переменного
2= — Замечая, что
F (?) =/<*>•
будем иметь: v ' J
/(х) = а0+^ (^cos^-f^sin^f). (65)
П = 1
Формула (65) даёт искомое разложение функции f(x) по синусам
и косинусам дуг, кратных у , причем это разложение, очевидно,
имеет силу внутри интервала (—/, -\-1).
Если требуется получить разложение функции лишь в
интервале (0,/), то, дополняя эту функцию в'интервале (—/, 0)
до чётной или нечётной, можно получить её разложение в
интервале (0, /) или только по косинусам, или только по синусам
кратных дуг.
Пример. Разложим функцию /(#) = тг в ряд Фурье в произвола
ном интервале (—/, 4~0- Вычисляя коэффициенты по общим
формулам, будем иметь
п — 1 Г х тх . 1 Пх . пкх 1 1 | е.„ пкх ^,«
— Z - I -I
%l • +l +J
. 1 Г x . nnx ,
*» = Tjysin-7 dx = —2i
-i ~ -i -i
= i (- D"-]
Следовательно, искомое разложение есть
1 /jc пъх I , 1 і пкх .
_. _ cos -7- + о— cos / d* =
I ( . %x 1 . 2*x . 1 . Зад , (— I)""1 . nw, \
§ 12. Неопределённые выражения.
Данные выше представления функций по формуле Тэйлора
и разложение функций в ряды с успехом могут быть приложены'
к вычислению некоторых предельных значений функций для тех
случаев, когда обычные способы вычислений пределов оказы-
374

ваются неприменимыми. Это будет, например, в том случае,
когда отыскивается предел дроби, причём числитель и
знаменатель одновременно стремятся к нулю или оба беспредельно
возрастают. То же представится: при отыскании предела
произведения, когда один из множителей стремится к нулю, а другой
беспредельно растёт; при вычислении предела разности, когда
уменьшаемое и вычитаемое одновременно беспредельно растут;
при вычислении предела степени, когда основание и показатель
одновременно стремятся к нулю или основание беспредельно
растёт,, а показатель стремится к нулю, или основание стремится
к единице, а показатель беспредельно растет. Во всех этих
случаях мы говорим, что имеем дело с неопределёнными
выражениями и обозначаем их, соответственно, символами:
?,Ц, О.оо, со — оо, О», оо°, 1<».
1. Рассмотрим прежде всего первый случай. Пусть данная
функция F(x) представляется в виде дроби: F(x) = ~~-, где
Т V* /
<р (х) и ф (х) — непрерывные функции, имеющие непрерывные
производные до «-го порядка для значений дг, достаточно
близких к а, причём при х = а имеем: у(а) — 0 и ф(а) = 0.
Для отыскания предела lim ?-И^ допустим ради общности,
что при х = а обращаются в нуль не только сами функции у (х)
и ф (jc), но и их производные до (п — 1)-го порядка
включительно; из производных же л-го порядка у№(х) и ф<л>(лг) хотя
бы одна'в точке а отлична от нуля. Разлагая функции <р(х)
и ф (х) по формуле Тэйлора с остаточным членом в форме
Лагранжа, получим:
Их)
~~ *(*)+^ ¦'(*) + ..- + (7~^ Ф^Н*) + (?=г^ W«+e'<*-*))
откуда в силу условий
ф (а) = ф' (.:) =.,. = ф**"1). (а) = О
найдём:
?(*) уО») (а+ Р (* — *))
375

В силу непрерывности функций у№ (л:) и ф(л> (х) будем
иметь:
1 — cos д:
Пример 1. Вычислим Ига
Здесь
Следовательно,
Пример 2.
?(*)==!-cosat; т(0) = 0; у'(0) = О,
<[>(*);= sin* ; ф(0) = 0; f(0)=l.
,. 1—cos л; Л
hm —; = 0.
hm
*-*•() х —sin*
Здесь
f(x) = e*~esinx'1 ?(0) = 0; ?'(0) = 0; ?"(0) = 0; *'"(0) = 1,
ф(дг)=л: -sinл:; ф(0) = 0; ф'(0) = 0; ф*(0) = 0; ф'"(0) = 1.
Следовательно,
ex^es'mx
hm = 1.
*->о х — sin х
Выведенное правило становится неприменимым, когда
'функции ср (дг) и ф (х) вовсе не имеют производных в точке а, а
также в том случае, когда нужно найти предел дроби |у*-' при
беспредельном возрастании х% причём числитель и знаменатель
беспредельно убывают.
2. Более удобный способ, применимый и в только что
указанных случаях, представляет собой так называемое правило Лопиталя
(l'Hospital), основанное на следующей теореме Кош и.
Пусть ср(л;) и ф(лг)— две функции, непрерывные в интервале
(а, Ь) и имеющие во всех точках этого интервала конечные
производные ср'(лг) и ф'(л;), причём ш' (х) и ty (х) не
обращаются . одновременно в нуль нигде внутри интервала (а, Ь) и
ф(а)^ф(^); тогда существует число S внутри' интервала (а, Ь\
(а<^$<^6). такое, что имеет место равенство
т(*)-у(а)_т'(6) ""
. Ф(*)-Ф(л) ф'(5) '
В самом деле, рассмотрим следующую функцию х:
F{x) = <p(x)[$(b) — ф(а)] — ф(х) [у (А) — <р(а)] +
Ч-9(*)ф(а) — V (а) Ф (*)•
Очевидно,
/=•(^ = 0 и Р(Ь)-=0,
376

а потому в силу теоремы Ролля имеем
^(5) = 0, где а<е<?,
или
<?' (S) [ф (6) - ф (а)] - ф' (5) [? (ft) _ ? (а)] = 0.
Но мы имеем здесь
ф(*) —ф(а)=?0 и ф'($)^0,
ибо если ф'(?) = 0, то в силу написанного равенства мы имели
бы <р'(&) = 0, т. е. обе производные <р'{х) и ф'(лг) обращались
бы в точке 5 одновременно в нуль, что противоречит условию
теоремы. Поэтому из написанного равенства следует;
ФС*) —*(«)—Ф'№) ' (Ь7>
что и требовалось доказать.
Применим эту теорему к отысканию предела дроби ^~
при дг = а, причём (р(а) = ф(а) = 0.
Очевидно, имеем, в силу теоремы Коши:
¦ С*) "¦(*)-¦(*) *'(*)'
где S лежит между х и а и lim $ = а. Поэтому
х ~* а
в предположении, что lira hj—[ при произвольном стремлении х
к а сущестаует.
Равенство (68) и составляет содержание правила Лопиталя,
Пример.
,. х — sin х .. 1 — cos x .. sin x __, ft
lim . — iira —: — iim =^о.
^^qI —COS* л_».д Sin ДГ j^-^o COS*
Заметим, что в правой части равенства (68) ? есть
некоторое число, связанное с дг, и при приближении х к а ? также
стремится к я, но по некоторому определённому закону. Если
же приближать х к а произвольным образом, то предел выра-
а'(х)
жения тттЧ может и не существовать, в то время как предел
дроби т—г существует.
377

Возьмём, например, функцию
х2 sin —
F(x)= . Х
v * sin*
Мы, очевидно, имеем;
л-2 sin —
lim ^?l==nm__i= Hm Г*~ * siri т\ =°-
Хч.о + ^ *->o sin-^ ^o L sin* лг J
Составим теперь выражение
• ,, . 2л* sin cos —
f (x) X X .
Ф' (a-) cos л: '
это выражение при беспредельном убывании х, очевидно, не
имеет никакого предела. .
Формула (68) имеет более широкое применение, нежели (66),
так как она, во-первых, не требует, как мы видели,
существования производных <р1 (а) и <!>' (а) и, во-вторых, она, как легко
показать, применима и в том случае, когда х не стремится
к конечному числу #, а беспредельно возрастает.
В самом деле, пусть х стремится к со. Полагая х= —,
видим, что у стремится к 0, и
иш '<&'= ііщ -іШ= и» у4т?'!~т!=«» рг^
3. Пусть теперь при беспредельном возрастании 'х функции
tp(x) и 6(jc) также беспредельно возрастают.
Предположим, что при всех достаточно больших значениях
хг и лг2 функции ср(лг) и ф(*) удовлетворяют условиям теоремы
Коши в интервале (л^, jc2). Тогда
Ф (JCi) — Ф (*і) Ф'(6) '
где Arx<^S<^A:2. Отсюда
1 —
Ф(*і)
Ti?i)=lli5 Ф(*я)
Ф(*з) ФЧ6) * д, усдгі)
(69)
378

1 *'<*)
? Предположим, что предел lim ~~~ существует. Тогда при до-
'; статочно большом xv а следовательно, и при достаточно
большом ?, дробь |ттс\ будет сколь угодно мало отличаться от этого
предела. С другой стороны, можно, зафиксировав xv выбрать х2
настолько - большим, чтобы дроби
?(*і) и Ф(*і>.
стали сколь угодно малы и, следовательно, дробь
і Ф(?і)
1 __ * (*і)
сколько угодно мало отличалась от единицы. При таком вы*
боре величин хг и х2 выражение (69) будет сколь угодно
»' (х)
мало разниться от предела lim pj-{*
Отсюда следует, что lim 1^-1 = lim тт^т* -
*-«оФ(*) *-«Ф (*)
Следовательно, если существует предел lim ——~ и если
функции ф(х) и ф (л:) при достаточно больших значениях х
удовлетворяют условиям теоремы Коши, то существует и предел
lim^y-: и для вычисления его можно применить данное выше
правило Лопиталя.
Это же правило применимо и в том случае, когда дробь
9 (х) , оо
^-т принимает форму — при конечном значении х,
В самом деле, пусть 1ітф(д:):=оо и Нтф(д;) = оо. Чтобы
х-+а х-+а
м (х) 1
вычислить lim Ц-\ , полагаем дг = а-| . Тогда
im.f^= lira -і Li= lim -) ^ ' ) у. ' =
lim Ф м
379

4. Рассмотрим теперь другие виды неопределённых
выражений, на которые мы указывали в начале этого параграфа.
Легко видеть, что все они приводятся к видам,
рассмотренным выше.
а) Пусть
F(x) = y{x)'ty{x) и 1ітср(х) = 0, а Нтф(лг) = оо.
х->а х~>а
Имеем:
FW = i^ = *Jf>f
¦ (*) ?(¦*)
и следовательно, при х = а функция F(x) приводится к одному
из видов
О 00
Тг- ИЛИ —.
О оо
б) Пусть
F(x)=9(x) — ф(*),
причём
lim у {х) = оо и lim ф (л;) = оо.
, х-*а х-+<х>
Мы можем написать:
F{x)~i№ tWJ:tW-
H*V
о
и при х — а имеем -д-ь
в) Пусть
Р(х) = <р{х)*1*\
причём при х=а это выражение принимает один из трёх
видов: 0°, оо°, 1»
Мы, очевидно, можем написать:
и во всех трёх случаях выражение ф (х) In <р (х) при х = а пр?
нимает форму 0«оо. -
Пример. Найдём
lira (tg x)tg 2x = Ига #* **In t« *.
я
4
380
1С

Имеем
1 1
п и ctg гх п 2
Следовательно,
Ига (tg*)tg2-*:=l
Весьма часто при вычислении пределов рассмотренных выше
типов непосредственное разложение функций в ряд быстрее
приводит к цели, чем применение данных выше правил.
Найдём, например, предел дроби
,. 1—cos л:
lim - .
x-*Q Х
Заменяя cosx его выражением в виде бесконечного ряда,
получим:
1 — cos х , 1 ?? і ?і
1? ~~Т —? + ?
а потому
¦ 1 — cos* 1
lira
• > • ?
дг-*-0
*2 2
6х
Найдём ещё lim —, где m">0.
у/Я ' 4^
Хтп
Разлагая 6х в ряд, будем иметь:
?L_v-~m і Xl-m x2-m ' xn-m
xm~X " ' 1 I 21 Г •' * "1 й~і~"*
Начиная с некоторого номера л, имеем п —/я^>0, а потому
.. ех
lim —— == оо
іглі
при любом т^>0.
Это свойство .показательной функции выража^от словами:
показательная функция- с возрастанием аргумента растёт
быстрее всякой положительной степени.
381

УПРАЖНЕНИЯ.
I. Разложение функций в ряд.
1. Разложить в ряд по степеням х — 1 дробь —.
Отв. — '=1 —-{х — \)-\~(х—I)2— (х— 1)3+---; разложение годно
для 0 < х < 2.
2. Разложить в ряд по степеням л; дробь
Отв. ——-г—2 =1 ~дг 4-^3 — хААгХ* — л:74- •*•; разложение
і —f~ .*: -р х
годно для | д:| < 1.
3. Разложить в ряд sin2.*::
а) по формуле Маклорена;
^ d(s\xPx) . _
б) замечая, что —~ ' = sin2jc, разложить в ряд sin 2*,
пользуясь непосредственно рядом для sin.*:, и полученный ряд
проинтегрировать в пределах от 0 до х.
Отв. sin2^ = A:2 — 23---j-25— —...; разложение годно при
всяком х.
х
С ех их
4. Вычислить интеграл I путём разложения в ряд подинте-
а
тральной функции.
X
п Cexdx ¦ х . х — а . л;2 —а2 . Xs — а3
Отв. — =1п 7 + п_+т^т + Г2^з- + ...
а
х х
sin.*: , Ccosx
5. Вычислить интегралы I dx и I dx путём разложения
О а
в ряд подинтегрзльных функций.
х
~ С sin х . ' Xs . х5 х1 ,
Отв. \ dr = J:__+.g_- 4-.-.,
} ¦ X
О
С cos х . , . X х2 — а2 .
*, = !„„ +
.*г2 —а2 , JC* — а* д^ — g6
4-4! 6-6!
-ь-.
6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x\ если f(x) = -\-\ в
интервале от 0 до -(- * и /(*) = ~ 1 в интервале от -идо 0.
_ ... 4/sinjc . зіпЗл: , sin 5х . \
Ome.f{.x)=-\-r. f-^_4—5- + ...;.
7. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)t определенную условиями
/(.*¦) =— х в интервале от —т: до 0 и f(x) — -{-x в интервале от
О до 4-ъ
382

8. Разложить функцию f(x) = x по косинусам в интервале от О
до я.
_ іс 4 fens .г , cos3.v , cos 5л: , \
Отв. * = ___^_ + ^-+___+....).
II. Неопределённые выражения. ["1 — (1 -j— -v)«*
лг2-4дг + 31
'* | л:3-9 J
Ome.L
*->з 3
x*-9x±W] 0m^l
" L *3-8 ]*->*
3.
-X6_A;4_3X2^5X_2
ха_*з_*_|,і
12"
JC->I
«¦IV
5.
6.
7.
8.
x* cos jc
COS ДГ — 1
x — sin x
1 — cos x
x — sin x
x-*0
x->3
X-+1
9* I jr—1—ftijcl
x 2 lx~*^
-m
Отв. - .
Отв. 1.
jf-*-i
O/ne.
VI
Отв. 2.
О/пб. 0.
Отв. 0.
<9/яв. 2.
Отв.—1.
Отв. 2.
. ln(l-fx) J^o °«-- ~л
13.
14.
*-и
In cos —
, ЪХ
*T
'V —у tg*—— sin*
"*3
Oma&
Отв.0*
,,[н
дг-fO
1
16.
17.
О/Ив*-20-
(x-3)ctgHl ОтвД.
•і _|*-+3 г.
л:
1
?*— 1 U->o
18. [*я In л:]*->о
19. [хх]х-*о
' 20. [Vin *]*^о
21
22
га
24.
/Я->00
х-Н)
Отв. - .
Отв. 0.
Отв. 1.
Отв. 1.
Отв. — .
е
Отв. —= .
\ е
Отв. еа.
Отв. 1.
2 ГГ
ГЛАВА ХГ.
ПРИЛОЖЕНИЕ АНАЛИЗА К ГЕОМЕТРИИ.
Попутно с. изложением дифференциального и интегрального
исчислений мы уже касались некоторых геометрических задач,
решаемых аналитическим методом. Так, мы строили касательную
к плоской кривой (т. I, стр. 319), находили уравнение
касательной плоскости к поверхности (т. II, стр. 159), мы видели, как
яяз

вычислить длину дуги плоской, или пространственной кривой
(т. I, стр. 477 и ел.), как определить прверхность и объём
какого-либо тела (т. II, стр. 264, 237). В настоящей главе мы
рассмотрим некоторые специальные вопросы теории плоских и
лространственных кривых.
§ 1. Касательная и нормаль к плоской кривой.
К Геометрическое значение производной f'(x) от данной
.функции f{x) (т. 1, стр. 319) даёт возможность* весьма просто
решить задачу нахождения касательной к кривой, данной
уравнением y=f(x), в данной на ней точке. Мы уже касались этой
задачи в связи с другими вопросами анализа (стр. 63).
Рассмотрим теперь эту задачу подробнее. Пусть на кривой y=zf[x)
дана точка (х,у). Уравнение какой-либо прямой, проходящей
-через точку (х,у\ имеет вид:
Y—y = k(X — x),
где k — угловой коэффициент этой прямой. Если эта прямая
капается кривой
y = f{x),
А = ? = У.
ах •*
•Следовательно, уравнение касательной имеет вид:
у—у=У(Х—х), (і)
где'-Y и У—текущие координаты, а х ну — координаты точки
(Прикосновения. ' *
Если кривая дана уравнением вида F(x, y) = 0t не
разрешённым относительно ординаты, то это уравнение определяет у
как неявную функцию от х, и производная этой функции имеет
прежнее геометрическое значение.
Эту производную мы можем найти как производную неявной
функции (стр. 151):
SF
dy_ дх
dx~ dF_'
ду
-Подставляя это выражение в уравнение (1) и освобождая его
•от знаменателя, получим;
&-4%+1Х-У)%=0. (2)
Наконец, если кривая дана параметрическими уравнениями,
jf=cp(tf)l j/=cj)(/.), то эти уравнения также устанавливают функ-
384

циональную зависимость между х и _у, и производную — можно
найти по формуле производной функции от функции:
tf> dy dt_
dx dt ' dx}
но
следовательно, dj, ^{t)
dx~VW)'
Подставляя это в уравнение (1), получим уравнение
касательной в виде:
xl(Y—y)—yl(X — x) = 0. (3)
Пример. Составим уравнение касательной к кривой второго
порядка, данной общим уравнением;
«и*2 + Ъапху + апу* 4~2«із* +2л3з У 4 «зз = О,
в точке с координатами лг0, .Уо-
Применяя равенство (2), получим:
(«п*о Н- «12У0 + «із> (* — Аг0) -f (апхо +- л22у0 4* лзд) 0V — Л) = 0,
или
* («11*0 4 аПУ0 4" «із) +^ (Л21^0 + апУ0 + «2з) —
— Х0 ( Лц*0 +- «12.У0 4" йіз) ~" >0 («21*0 4" «22^0 4" «2з) = °-
Но в силу уравнения кривой имеем:
*0 '«11*о4*«12-УО 4" «іа)4-^и(«21*0+ «22-Уо 4-«2з)+(«31*0+ «32^0"Т-«Зз)=0»
а потому предыдущее равенство можно написать в виде:
х (апх0 4- «і2Уо 4- «із)+.У («2і*о 4~ «22.Уо+ «2з) + («31*0 4 «ззУо4- «8з)= 0.
2. Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая
через точку прикосновения, носит название нормали к кривой.
Угловой коэффициент нормали к кривой, очевидно, равен ,
для кривой, данной уравнением y==f(x), или —: —, если кри-
к'
вая дана общим уравнением F(x, у) = 0у или, наконец, —~—/%
если кривая представлена в параметрической форме. у
Соответственно этим трём случаям уравнение нормали может
быть пр.едставлено в следующих видахг
Х — х+У(У—у) = 0, (4).
dF — аР ' ^'
дх ду
*'(* — *)+/( Г—JO = 0. (4")
25 Курс высшей математики, т. II. 385

Пример. Составим уравнение норуали к параболе у2=2рх.
Применим равенство (4');
F(x,y)=y--2px, д?=-2р, д?=Ь.
Уравнение нормали;
или
дх
Х~х_У—у
— 2р~~ 2у
y(X-x)±p(Y-y) = Q.
§ 2. Отрезки касательной и нормали. Под касательная и
поднормаль.
Длиною касательной называется отрезок этой прямой от
точки её касания до точки пересечения её с осью х7 т. е.
отрезок МТ (черт. 74). Длиною нормали называется отрезок
нормали от точки кривой, до
точки встречи нормали с осью
х, т. е. отрезок MN.
Проекции ТР и PN этих отрезков
касательной МТ и нормали MN
на ось х называются
соответственно подкасашельной и
поднормалью.
Мы введём следующие
обозначения:
МТ=и MN^n,
t
TP=zs, и PN=s
n
и вычислим длину каждого из этих отрезков. Пусть кривая дана
уравнением: у=/(х). Обозначая угол касательной с осью х
через а, имеем tga=y. Из треугольника ТРМ находим:
ТР= РМ : tg а или st = 4 , (5>
^1/T+yl (6>
откуда
Из треугольника PMN находим:
PN^PM-tg^/PMN,
или, замечая, что
386
^PMN=Z.PTM = ay

имеем
откуда
М№
s« =УУ'>
= РМ* + Р№ = у* -\-у2у'*,
n^yV^+J2.
(7)
(8)
Пример]. Найти подкасательную и поднормаль параболы;/2 = 2д*г.
Дифференцируя равенство у"- — 2рх, получим: 2уу' = 2р; отсюда
у у>
а потому
s'-y'-J--J—2x-
Из этого равенства следует, что
начало О делит подкасательную
пополам, а ось у делит пополам
касательную МТ (черт. 75).
НайдОм поднормаль. Имеем:
sn=y.y=yj=p.
Черт. 75.
Следовательно, поднормаль параболы не зависит от координат точки
кривой, т. е. есть величина постоянная для всех точек кривой.
Пример 2. Найти длину нормали циклоиды
х = а (<р — sin <р), у = а (1 — cos <р).
Мы
имеем п =у у ^4-(т^) I но из уравнения циклоиды находим;
следовательно,
а потому
dx = а (1 — cos у) d®, dy = a sin ? tftp,
dy sin 9 1 4-cos У __ t Jp_
dx 1 — cos? sin? ~~ 2 '
я= я (1 — cos 9) |/ 1 -|— ctg2 4- = л*2 sin- -^--cosec -? = 2a sin-I-,
Сравнивая эту величину я с длиною хорды MP (см. т. I, черт. 212),
замечаем, что п= MP. Отсюда нетрудно видеть, что нормаль
совпадает с хордою MP, т. е. проходит через точку прикосновения
образующего круга.
§ 3. Отрезки касательной и нормали в полярных
координатах. Полярные подкасательная и поднормаль.
Пусть кривая дана уравнением в полярных координатах
r = f(u). (9)
Возьмём на ней какую-либо точку М (черт. 76), построим радиус-
25* 387

вектор ОМ, касательную МТ, нормаль MN в точке М, а также
проведём через полюс О прямую TN, перпендикулярную к
радиусу-вектору ОМ и встречающую касательную МТ и нормаль
MN соответственно в
точках Г и N, Отрезок МТ
касательной называется
длиною полярной касательной,
отрезок MN—длиною
полярной нормали, отрезки
ОТ и ON—соответственно
полярной под касательной и
полярной поднормалью.
Чтобы вычислить длины
этих отрезков, найдём
сначала величину угла,
образуемого касательной МТ с
радиусом-вектором ОМ.
Обозначая этот угол через }і, а угол
через а, имеем:
а х
Черт. 76.
касательной МТ с полярной осью
где ір—полярный угол точки М\ отсюда
tg jx = tg (а — <р)
_ tg а — tg у
1 4-tga-tgf
(10)
Но переходя к декартовым координатам, имеем:
х = г cos ф, у = г sin ср,
, dy dr sin <р 4- г cos ю d<t>
ter о. =^ v == — = —¦ I—- •
& y dx dr cos f — r sin f rf-f
Подставляя это выражение tga в (10), после сокращений
получим:
in)
Обозначая теперь длины полярных касательной, нормали, под-
касательной и поднормали соответственно через
Т, М 2, \,
из треугольника ОТМ имеем:
OT=OM-tgy. или 2t=r-r-^,
383

т. е.
далее,
ЖГ=|/0Г2 + 0М2 или Г= |/*^у+Л
или
Точно так же, из треугольника ОЛ/Л1 имеем:
ON=OM<tg/_ONM;
но ^mONM = ^OA4T=iii следовательно,
т. е.
отсюда
т. е.
"-/^КіГ-
Пример 1. Рассмотрим спирали, которые мы уже встречали в
аналитической геометрии (т. Г, стр. 172 и ел.). Докажем следующие
свойства этих кривых.
а) Поднормаль архимедовой спирали есть величина постоянная.
Действительно, уравнение спирали Архимеда: г = яу. Отсюда
2 =¦ — = а.
п */<р
б) Подкасательная гиперболической спирали есть величина
постоянная. Действительно, уравнение гиперболической спирали:
г = — . Отсюда
¦Р
dr — JL v— г2 —'( аУ (—?\ —
d9~ У2» h- dr~[ f) :[ f*)- a-
в) Угол |і касательной к логарифмической спирали с радиусом-
вектором точки прикосновения есть величина постоянная.
Действительно, уравнение логарифмической спирали г — аеЩ, Отсюда
dr . . , rdu г aek? I
dp ' ^r dr dr akek? к
d^
С-'- ..

Пример 2. Задача. Найти геометрическое место концов
полярных подкасательных кривой второго порядка, отнесённой к фокусу.
Полярное уравнение этой кривой имеет вид
1 -f~*COS(p
(т. Г, стр. 171); длинп подкасательной 2. выражается так:
г'~ dr ~~ dr1
во из уравнения кривой имеем:
dr ре sin у
flty ~~(1 Ч-^соэф)2'
следовательно,
2 .=
/^ _ ре sin <р
' (1 -f-*COS tp)2 * (J 4-^ COS tp)- ? Sin (p"
Угол наклона подкасательной к полярной оси, очевидно, равен
ер —^ . Обозначая этот угол через 9 и длину подкасательной — через р,
мы замечаем, что р и 9 суть полярные координаты конца
подкасательной Т, причём по предыдущему
9 ^ sin ср ' * 2 .
Для получения уравнения геометрического места точки Г остаётся
найти непосредственную зависимость между р и 0, т. е. исключить у
из двух последних уравнений. Последнее уравнение даёт у = 0-}-¦=-.
Вставляя это в предыдущее равенство, получим:
Р =
или
Это уравнение представляет прямую, перпендикулярную к полярной
оси и отстоящую от полюса на расстояние —. Нетрудно заметить,
что эта прямая есть директриса кривой, соответствующая фокусу,
находящемуся в полюсе (см. т. I, стр. 170—171).
§ 4. Асимптоты плоских кривых.
Мы уже встречались с понятием асимптот при изучении свойств
гиперболы (т. I, стр. 100).
Асимптотами гиперболы служили две прямые линии,
обладавшие тем свойством, что разность ординат точек гиперболы
390
р
е sin ( Э 4"
р cos Е):
\)
е
Р
е cos Э'

и асимптоты с общей абсциссой стремилась к нулю при
беспредельном удалении точки по кривой, т. е. при беспредельном
возрастании абсциссы.
Мы дадим теперь общее определение асимптот плоских
кривых и укажем способы их нахождения. Пусть дана какая-либо
кривая
/Ч*і У) = 0, ' (12)
имеющая бесконечную ветвь, и прямая линия
а* + *У + ?Г = 0- (13)
Если при беспредельном удалении точки кривой (12) по её
бесконечной ветви расстояние этой точки от прямой (13) стремится
к нулю, то прямая (13) носит название асимптоты кривой (12).
Асимптоты гиперболы, очевидно, обладают указанным свойством.
Покажем, как найти асимптоту кривой в том случае, когда
она существует. Найдём сначала те асимптоты кривой, которые
не параллельны оси ординат. Уравнение такой асимптоты можно
представить в виде
y = kx4-&. (13')
Для нахождения асимптоты мы должны определить величину k.
Пусть М(х, у)— какая-либо точка кривой (12); её расстояние
от прямой (13') найдётся по формуле
Уі-И1
(т. I, стр. 67, (17)), причём хи у удовлетворяют уравнению (12).
При удалении точки М по бесконечной ветви кривой абсцисса
этой точки беспредельно растёт (либо беспредельно растёт по
абсолютной величине, оставая-сь отрицательной), расстояние же d
при этом по условию стремится к нулю:
\lmd = Umy~kx~~b = 0 или lim y~kx~b = 0; (14)
*-*» уі+*2 *--оо Vi-ь*3
отсюда
\lm(y — kx)~b lim (у — kx) = b. (15)
Х-*УЭ Х->— 00
Далее, выражение у — kx можно представить в форме
у — kx = x (— — k\.
Так как всё выражение х (— — k) имеет конечный предел Ь,
а первый множитель, лг, беспредельно растёт, то второй множи-
391

тель, — — k, должен стремиться к нулю, следовательно,
VimT=k ( lim T = k)- (16)
Равенства (15) и (16) и определяют искомые величины k и Ь,
При этом величины х и у, входящие в формулы (15) и (16),
являются координатами точки кривой (12) и, следовательно,
удовлетворяют уравнению (12). Таким образом, для определения
величин k и b служат равенства (12), (15) и (16). Порядок
вычислений может быть следующий: сначала по уравнению (12)
стараются определить предел, к которому стремится отношение
— при х—> оо или х—*-—оо. Этот предел даёт величину k.
л
Далее, с помощью уравнения (12) составляют выражение у— kx
и находят его предел при х—> оо или х—>—оо. Этот предел
даёт величину д.
Пример, Найти асимптоту кривой
. 1
V = X Sin — .
X
Из уравнения кривой имеем:
У . 1
і- = sin —;
X X
отсюда
1іт^=0.
*-*» х
Следовательно,
* = 0.
Из уравнения (15) находим:
Ь = \іт(у — 0-х) — limy»
Этот последний предел найдём непосредственно из уравнения кривой.
Обозначая — через а, имеем
1 .
y = ysma7
причём
lim а = 0.
Следовательно
Таким образом, ?=1. Искомая асимптота имеет уравнение
v=l.
392

Если кривая имеет асимптоту, параллельную оси у, то
уравнение такой асимптоты должно иметь вид х = а. При удалении-
точки по кривой ордината у беспредельно растёт (либо
беспредельно растёт по абсолютной величине, оставаясь отрицательной).
При этом расстояние точки М(хуу) кривой от асимптоты,
очевидно, равно
|^| = |л: — а
Так как по условию
Umd—0 (Hm d=0)t
у-*оо у-+—оо
Т0 1ітл: = а (ііт х = а).
у-+оо у-*—оо
Таким образом, чтобы найти асимптоту, параллельную оси уу
следует в уравнении кривой взять у—>-оо или j/—>— оо и
установить, к какому пределу будет при этом стремиться абсцисса х.
Если х стремится к конечному пределу а, то уравнение
асимптоты будет х — а. Если х не стремится к конечному пределу»
то кривая не имеет асимптоты, параллельной оси у.
Совершенно /гак же можно, очевидно, находить и асимптоты,
параллельные оси х, а именно, беря х—> ее или х—>—оо,.
определять предел у.
Пример. Найти асимптоты кривой
х* + ху*-ау* = 0.
Будем сначала искать асимптоты, не параллельные оси у. Для этого
надо сначала определить lim — , предполагая его конечной величиной.
Деля данное уравнение на л;3, получим:
Переходя к пределу при х -+ оо, найдём;
1-|Лііт?і2=0.
1_*-+оол J
Из этого уравнения следует, что lim— не имеет действительных зна-
х-*-СоХ
чений; следовательно, кривая не имеет асимптоты, не параллельной
оси .у.
Будем теперь искать асимптоту, параллельную оси у. Деля обе
части уравнения кривой на у\ получим:
л:3
Легко видеть, что при приближении х ка координата^ бесігедельио
растёт. Следовательно, уравнение искомой асимптоты
393

Кривая, представленная данным уравнением, носит название
«строфоиды» (черт. 77).-
Теорема. Если при беспредельном удалении точки по
бесконечной ветви кривой касательная к кривой в этой точке,
перемещаясь по плоскости, стремится к определённому
предельному положению, то это предельное положение
касательной является
асимптотой данной кривой.
Уравнение касательной
к кривой
У=/(х) (17)
имеет вид
у—у=У(Х-х),
ИЛИ
Y=y'X + y-xy',
где X, Y—текущие
координаты, а х} у —
координаты точки
прикосновения. Если точка М(х, у)
удаляется по бесконечной
ветви кривой, то по
крайней мере одна из её
координат беспредельно
растёт. При этом
очевидно, не нарушая общности,
-*оо. В таком случае по
Черт. 77.
всегда можно предположить, что х-
условию будут существовать пределы
limy и 1ітп(_у — ху% (18)
Jf-*CO JC-*O0
'Обозначая их соответственно через р и q% будем иметь:
\lmy'=p, lira (j/ — xyT) = q. (19)
Следовательно, уравнение предельного положения касательной
представится в виде
у=рх + д.
Будем теперь искать асимптоту кривой. В силу изложенного
выше, асимптотой к кривой служит прямая
_у= kx -j- by
394

где v
Заметим теперь, что если при х —> оо у также стремится к
бесконечности, то величина lim — может быть найдена по правилу
Х-+У1 Х Г J
Лопиталя:
lim У- = \\п)у'.
X-*ZO% Jf-ЮО
Далее, величину
Ъ = \іт(у —kx)
?-*ЭО
можно также найти по правилу Лопиталя. В самом деле,
Ъ = lim (3/ — kx) =lim —=-
і-*
При ^—> 00 это выражение принимает форму -=-. Применяя
правило Лопиталя, находим:
*/—.У
л:2
Ь = \'\т =— = \іт(у — xy') = q.
jc-юо L х-*х>
л-2
Таким образом, k—p и b = q. Следовательно, асимптотой
кривой служит предельное положение касательной.
Замечание. По доказанной теореме совпадение асимптоты
с предельным положением касательной имеет место всякий раз, когда
предельное положение касательной существует (так как правило
Лопиталя при раскрытии неопределённости
X
х
применимо лишь тогда, когда выражение у — ху' имеет предел). Но
асимптота можег существовать и независимо от предельного
положения касательной, т. е. и тогда, когда касательЕіая не имеет
определённого предельного положения при удалении точки касания в бес-
•т, sin х
конечность. Так, например, кривая у-= имеет, как мы видели,
асимптоту v = 0, но касательная к кривой при беспредельном удалении
точки касания не стремится ни к какому определённому предельному
395

положению. В самом деле, выражение ч
, sin х х cos x — sin x _ sin x
у — ху = х 5 = 2 cos х
* X X2 X
при беспредельном возрастании х ни к какому определённому пределу
не стремится.
Рассмотрим случай, когда данная кривая— алгебраическая,
т. е. когда она представляется алгебраическим уравнением вида
а0хп + ахх*-1у + л^-у +... + a J* +
+ /о* + 'ьУ+Р = °- (20)
Будем сначала искать асимптоты, не параллельные оси Оу. Для
определения величины & = 1іт— делим обе части уравнения (20)
на хп:
^+яі 7+ **§ + '•' + **§ +
_lA _lа у 1 л-ь у3 1 л. л_а у71"1 х \
+7+**7' 7 + ^7+ "• + *«-'J^v 7+ •• ¦
— + ^і + 'і j-^5=1 + 5 = 0. (20)
у
При беспредельном увеличении х величина — по условию стре-
мится к конечному пределу k\ все члены уравнения (20'),
начиная с членов второй строки, состоят из множителей, имеющих
конечный предел, и множителя вида — (а]>0), который стре-
мится к нулю при беспредельном возрастании х% Поэтому в
уравнении (20') все члены, кроме членов первой строки, при
беспредельном возрастании х будут стремиться к нулю.
Переходя к пределу при х—юо, получим уравнение, из которого
определится величина k:
a0 + alk-\~...Srankn = 0. (21)
Отсюда найдём п значений для k: kv k2, ... , fe которые и
подставим в выражение b= lim (у — kx).
¦GO
Вычисляя этот предел для k=kv А2, ..., А получим-л
соответствующих значений для Ь\
Ь1 = \іт(у — &:х),
Ь2 — \\т(у — к2х),
t?a = lim(y — knx)
396

(если все эти пределы существуют) и, следовательно, найдём п
асимптот кривой (20):
y = kxx-\-bv
y=kbxJrbb,
y = kax + bn.
Из этих асимптот действительными будут те, которые
соответствуют действительным значениям k и д.
Для вычисления величины \іт(у—k?x) можно положить у —
— А/дг=Р/ и искать предел величины (5, при х—> оо при
условии, что х а у удовлетворяют уравнению (20). Для нахождения
этого предела мы заменяем в уравнении (20) у через кіх-\~^і
и ищем предел j5f. при х—юо. Выполнив эту замену и
расположив резулыаг в левой части по степеням х, получим:
+ (а1^+2^Л + ---)^-1 + ... = 0. (22)
При этом коэффициент при хп будет равен нулю, так как ki
есть корень уравнения (21). Так как предельное значение для ji/
соответствует беспредельному возрастанию х, то искомым
предельным значением для ^ будет служить то, при котором
уравнение (22), как уравнение (п—1)-й степени относительно х,
будет иметь бесконечный корень, а для этого необходимо, чтобы
коэффициент при старшей степени неизвестного был равен нулю.
Таким образом, предельное значение для ($, мы найдём,
приравняв нулю коэффициент при хп~~1 в уравнении (22) и решив урав-
нение
ЛіР/ + 2а2РД+...= 0, (23)
в котором неизвестной величиной является $.. .
Цетрудно заметить, что уравнения (21) и (23), определяющие
асимптоты алгебраической кривой (20), можно было получить
.одновременно следующим образом: исключить у из уравнения
кривой (20) и уравнения прямой
у = kx + * (24)
и в полученном уравнении для х приравнять нулю коэффициенты
при двух старших членах уравнения. Но такому исключению у
из уравнений (20) и (24) можно дать иное геометрическое
толкование. В самом деле, решая совместно уравнения (20) и (24),
мы находим точки пересечения кривой (20) с прямой (24),
Исключив у из уравнений (20) и (24), мы получим уравнение, опреде-
397

ляющее абсциссы точек пересечения этих линий. Приравнивая
в этом уравнении нулю коэффициенты при двух старших членах,
мы тем самым требуем, чтобы уравнение имело два корня,
равных бесконечности. Геометрически это значит, что мы требуем,
чтобы прямая (24) имела с кривой (20) две слившиеся точки
в бесконечности, т. е. чтобы она касалась кривой в бесконечности.
Как было показано выше, прямая (24) будет при этом служить
асимптотой кривой (20). Отсюда следует, что для алгебраической
кривой асимптота касается кривой в бесконечности, т. е, всегда
является предельным положением касательной при удалении в
бесконечность точки её прикосновения.
Мы определили асимптоты алгебраической кривой, не
параллельные оси у. Для нахождения асимптот, параллельных оси у,
применим общий метод: полагая в уравнении (20) х = а, находим
те значения а, при которых у обращается в бесконечность.
Нетрудно заметить, что мы найдём эти значения, приравняв нулю
в полученном уравнении коэффициент при старшей степени у.
При этом, чтобы асимптота находилась на конечном расстоянии,
необходимо, чтобы член с уп в уравнении (20) отсутствовал. В
самом деле, коэффициент при уп в уравнении (20) не изменяется
при замене х через а. Поэтому, если после этой замены член
с уп исчезает, то это может быть лишь в том случае, когда он
отсутствует в уравнении (20). Таким образом, в уравнении,
полученном после замены х через а, старшим членом будет член,
содержащий уп~*. Коэффициент при этом члене и должен быть
приравнен нулю для нахождения величины а.
Пример 1. Найти асимптоты кривой, называемой «декартовым
листом» и представляемой уравнением
л:3 +-У3 — %а*У = 0- (20")
Найдём сначала асимптоты, не параллельные оси Oyt Полагая
y=kx + b (24')
и исключая у из уравнений (20") и (24'), получим:
д-з 4- (kx 4- bf — Ъах (kx 4- b) = 0,
или
(1 ±№)х* + Ък{М> — а)х%^ЪЬ(кЪ — а)х-\-Ь* = 0.
Приравнивая нулю коэффициенты при двух старших членах, получим:
1-^*3 = 0, ЗА (Aft-л) = 0.
Решая эти уравнения, найдём:
А = —1, * = —л.
Следовательно, кривая (20") имеет асимптоту
х+у 4-л = 0.
Так как уравнение (20") содержит член у*} то асимптот, параллельных
оси Оу, кривая не имеет. Вид кривой изображён на черт. 78,
398

Пример 2. Найти асимптоты кривой, называемой строфоидой
и представляемой уравнением
или
Полагаем
хг 4- хуг ~ 2ах* — 2ау* -f в«* == 0.
и исключаем у:
х*-{-х (kx + by- - 2ах* - 2а (kx +- ?)2 + а*х = 0,
или
(1 -f А2)д:3 -f 2 (Л* — д — а?2) л:2 -f <62 — 4я&? -f л*) jc — 2а&* = 0.
Приравняем нулю коэффициенты* при двух старших членах:
Н-*2 = 0,
Первое из этих уравнений
не имеет действительных
решений. Следовательно,
кривая не имеет асимптот,
не параллельных оси Оу.
Для нахождения асимптот,
параллельных оси Оул
полагаем х = с в уравнении
кривой;
с* -j- су2 — 2асг — 2ау* +-
4- а2с = 0,
или
(с—2а)у*-1-с*—2ас*-\-
-fa2c = 0.
Черт. 78.
Приравнивая нулю коэффициент при у2, получаем г — 2д = 0, откуда
с=2а.
Следовательно, кривая имеет асимптоту
х — 2а — 0.
§ 5. Особые точки плоских кривых.
В § 1 была решена задача о проведении касательной к кривой
F(x,y)=0 (25)
в точке М(х,у). Уравнение этой касательной было получено
в форме
fit? /НН
0, (26)
399
/V \дР і ,,, кдР
(X-x)7r- + (Y--y)7r-
дх
ду

тде X, Y—текущие координаты, дг, у— координаты точки
прикосновения.
Уравнение (26) показывает, что задача о проведении
касательной к кривой имеет вполне определённое и единственное
решение для всех тех точек кривой, в которых по крайней мере одна
dF dF
из двух частных производных -г- и -г- отлична от нуля. Если
для данной точки кривой одновременно имеют место равенства
g=o, 1=0, ¦ т
то уравнение (26) обращается в тождество и не даёт
возможности определить касательную к кривой в этой точке. Так как
координаты такой точки должны одновременно удовлетворять
трём уравнениям (25), (26) и (27), то существование на кривой
таких точек является необычным фактом, могущим иметь место
лишь для отдельных типов кривых.
Такие точки называются особыми точками кривой. Нашей
задачей является изучить характер расположения кривой вблизи
её особых точек и в частности исследовать возможность
проведения касательной к кривой в такой точке.
Пусть дана точка M(xt у), для которой имеют место равенства
(25) и (27), Для определения касательной к кривой в этой точке
будем исходить из первичного определения касательной, как
предельного положения секущей, соединяющей точку М с другой
точкой кривой М\ когда эта последняя, перемещаясь по кривой,
стремится к совпадению с точкой М. Будем предполагать, что
функция F (х, у) дифференцируема и имеет вблизи точки М
непрерывные частные производные по х -и у до некоторого л-го
.порядка. Возьмём на кривой (25) точку М (х -\- Дл:, у -\- ?іу);
разложение функции
F(at-(-Ax, y-\-ky)
по формуле Тэйлора имеет вид:
• • ¦ +S (f-тИ. A" +• • •+ №»},V) . ОТ
где частные производные /z-ro порядка
fdnF(x,y)\ f dnF{x,y) \
\ dxn /o'""i dyn |0
400

ьычислены для некоторых значений (*0, у0), лежащих в
интервалах (л:, х-\-кх) и (у, у + Ьу). Так как точка Л1(* +Ах, .у + Ду)
взята на кривой (25), то F(x-\-kx,y-{-&y)=zO и из равенства
(28) в силу (25) и (27) имеем:
•••+М{т}Л"+---+НИН=о. (29)
Разделим обе части этого равенства на Дат2:
1 \d*F(xty) . g d*F{xty)by . d*F(x,y) /±У\П ,
••¦+і[НИ*~+-
•••+{т}.Ш>-*н. <з°>
Угловой коэффициент секущей ММ равен ^-. Если при
перемещении точки Л4' по кривой до совпадения с точкой М величина
¦г- стремится к некоторому предельному значению «= lira -? ,
•* дл^о^
то, по определению, величина /г и является угловым
коэффициентом касательной к кривой в точке М. Для нахождения этой
величины переходим в равенстве (30) к пределу при Ддг—*0.
Так как все члены левой части этого равенства, содержащие
производные выше второго порядка, имеют множителями \х и \у
в различных положительных степенях, то в пределе равенство
(30) даёт
^+2 ^*+?*¦-* (3D
Если по крайней мере одна из производных второго порядка
д%Р d*F d*F /Q1,
5F*' дТду* Ту2 отличыа от НУЛЯ> то УРавнение (31) определит
искомый угловой коэффициент касательной в точке М. Если
уравнение (31) имеет действительные и различные корни кг и k2i то.
кривая (25) имеет в этой точке две различные касательные.
Такая точка кривой носит название узловой точки. При
перемещении точки по кривой она дважды проходит через узловую
точку. Каждому, прохождению соответствует своя касательная,
определяющая направление движения точки в момент ее
прохождения через узловую точку. Аналитически узловая точка харак-
26 Курс высшей математики, т, II. 401

теризуется равенствами (25) и (27) и неравенством
d*F d*F Г &F
дх* д*у \дхду_
О (32)
Примерами узловой точки служит начало координат для листа
Декарта (черт. 78).
F= лг3 + У$ — Заху — 0.
Действительно, при х = 0, у = 0 имеем:
/> = 9; g = 3*« —3ду = 0; Щ=3у* — 3ах = 0;
&F a n d*F о /а ^ я л
дх*=ех = 0; Ш-у = -3а^0; ду>=6у=0;
А d*F d*F Г ^2/7 12 ол2 ^ п
Другим примером узловой точки является точка (0, 0) для
строфоиды (черт. 77), что легко проверить вычислением.
Если уравнение (31) имеет мнимые корни, т. е. если
*_dJF dJF
-—ддгз* ду*
дхду
] * > 0, (33)
то касательные к кривой в этой точке будут мнимыми. Чтобы
выяснить расположение кривой вблизи такой точки, рассмотрим
функцию z = F(x,y). Равенство (27) и неравенство (33) являются
необходимыми и достаточными условиями того, что эта функция
имеет в данной точке максимум или минимум. Поверхность,
представляемая уравнением z = F(x, у), в точке,
соответствующей данной системе значений х и у, имеет наибольшую или
наименьшую аппликату z по отношению ко всем достаточно
близким точкам поверхности. Касательная плоскость к
поверхности в данной точке параллельна плоскости ху, причем
поверхность вблизи точки прикосновения вся лежит по одну сторону от
касательной плоскости. Так как для данной точки z = F(x,y) = 0,
то касательной плоскостью служит плоскость ху, и поверхность
вблизи данной точки лежит по одну сторону от плоскости ху.
Заметим теперь, что кривая (25) есть не что иное, как сечение
поверхности z = F(x, у) плоскостью ху. Из указанного выше
расположения поверхности относительно плоскости ху следует,
что вблизи данной точки не существует других точек кривой.
В этом случае особая точка носит название изолированной точки
кривой. Общий вид расположения кривой вблизи такой точки
представлен на черт. 82 (стр. 406).
402

Если уравнение (31) имеет равные корни, т. е. если
<?дг2" ду* [дхду
= 0,
(34)
то обе касательные сливаются в одну. Примером такой точки
служит начало Координат для полукубической параболы
уг — х8 —0, Действительно, в этом случае при х=0 к _у = 0
имеем
dF(xyy)
&F{x,y)m
дх*
A_d*Ffr,y)
а~ дх*
dF(xt у)
дх
=— 6х~
&F (х,
_3л;2 = 0,
ду
= 2у = 0;
= 0,
У)
ду'
дх ду ' dy- ~ '
дхду J
0й =0.
Вблизи точки, где Д = 0, кривая имеет очень часто вид кривой,
представленной на черт. 79. В этом
случае точка носит название
точки возврата. В общем же случае
график кривой вблизи этой точки
может иметь и более сложный вид.
В этом можно убедиться,
исследуя расположение поверхности
z=F(x, у) у точки, где
dF
дх
». % ¦=«.
Л = 0,
относительно её касательной
плоскости в этой точке, что было
сделано при отыскании максимума
и минимума функции двух
переменных (гл. V, § 2).
Пример. Рассмотрим кривую
третьего порядка, носящую название
расходящейся параболы и
представляемую уравнением
у2=(х-а){х-Ь)(х-с).
Для определённости будем предпола- Черт. 79.
гать, что а > Ь > с. Найдём особые
точки этой кривой. Составим уравнения (25) и (27) для исследуемой
кривой:
F (г, У)=У2~ (х- а)(х- Ъ){х-*) = 0,
dF^^^2y=0.
У
0
.
J
<ч
.
\
\
\
'
ду
26*
- 403

Из последнего уравнения имеем ^ = 0. Подставив в первое
уравнение значение y==Qt получаем:
(*-а)(*—*)(лг-с)=0.
Отсюда для х находим три значения:
хх = ау х2 = Ь, х^ = с.
Ни одно из этих значений не удов-
летворяет уравнению ^—=0.
Отсюда следует, что расходящаяся
парабола особых точек не имеет (черт. 80).
Пусть теперь а<Ь = с.
Уравнение F = Q принимает вид
F=y* — (x~a)(x-b)2 = 0. (25)
Уравнения (27) сводятся к
следующим:
(х - Ь)* ±2(х - а)(х - Ь)=0Лрг
2j> = 0. Г }
Решая совместно три последних
уравнения, находим систему значений
ЧерТ 8о# х = Ь, у = 0, удовлетворяющих всем
трём уравнениям (25') и (27'). Таким
образом, кривая (25') имеет особую точку (?, 0). Для определения её
типа составим выражение
Имеем
cW; d*F Г d*F у
дх*' ду* [дхду] '
ML==-2(x-b)-~2(x-a)-2(x-b),
дх ду * ду*
При х = Ь, у = 0 имеем:
Д== —2(ft-e).2<0/
Следовательно, исследуемая точка есть узловая точка кривой (черт. 81).
Пусть теперь а— Ь < с.
Уравнения, определяющие особую точку, приводятся к
следующим:
У2-{х-а?(х-с)=0,
— 2(х- а)(х — с) — (х— fl)2 = 0,
2у = 0.
Решая эту систему, находим: х = а, у = 0. Следовательно, кривая
імеет особую точку (а, 0). Составим выражение А;
|g = _ 2{х - а) - 2(х - с) ~ 2(х - а),
'd*F _ d*F
дх ду * ду
404

причём при x = at _у = 0
Д = 4 (с - а) > О.
Следовательно, исследуемая точка есть изолированная точка кривой
(черт. 82).
Положим теперь a = bz=c. Уравнение кривой примет вид
У* — С* - л)8 = 0.
Для исследования кривой перенесём начало координат в точку (а, 0).
В этом случае уравнение кривой получит вид
Мы исследовали эту кривую и видели, что она имеет точку возврата
Черт. 81.
в начале координат. Следовательно, данная кривая имеет точку
возврата (й, 0) (черт. 83). Это же можно подтвердить и
непосредственными вычислениями.
Рассмотренные нами три вида особых точек носят общее
название двукратных точен: по числу возможных в них
касательных (различных, совпадающих или мнимых). Эти точки были
получены в предположении, что по крайней мере одна из част-
405

ных производных второго порядка
<W(r, у) &F(x, у) дФ{х, у)
дх*
дх ду
ду'
отлична от нуля. Предположим теперь, что эти три производные
в данной точке одновременно обращаются в нуль. Для общности
Черт. 82.
Черт. 83,
будем считать, что в данной точке оказываются равными нулю
все производные некоторого порядка р — 1, но по крайней мере
одна из производных порядка р отлична от нуля. В этом случае
разложение (20) начнётся с членов р-то порядка и, повторяя те
же выкладки, что и выше, мы получим для определения
углового коэффициента k касательной уравнение p-Pt степени.
Следовательно, в такой точке возможно провести р
касательных к кривой (среди них могут быть совпадающие и
мнимые). Точка кривой носит в этом случае название /;-кратной
точки.
Пример. Рассмотрим кривую, представляемую уравнением
р(х, у)^(х*-±у*)(х*+у*+сх)*— а*(*з_j/3)2 = 0 (а)
и носящую вследствие её вида название жук (черт. 84). Кривая эта
является геометрическим местом оснований перпендикуляров,
опущенных из начал координат на все к-сателыіые к некоторой
астроиде, особым образом расположенной относительно осей координат.
Для определения особых точек решаем совместно уравнение (а) и
406

уравнения
+ 2 (*2 + У2) № + У* + сх) (2х + с) - 4лЪг (дг2 _ ys) = 0) (J)
?^L2)=2^(jf»+^+W)1 +
+ 4у (д?а +^2) (а:2 +У* + сх) + 4а-у (х* -уі) = 0.
(Г)
Из (?) находим одно из возможных значений .у: > = 0. Подставляя
это значение в (а) и (0), находим в о'боих случаях л; = 0; следователь-
Черт. 84.
но точка (0, 0) является особой точкой кривой. Для нахождения
других решений системы, умножим (а) на —4х и результат сложим
с (SO:
— 4дг (** -f у2) (х* -f .у2 4- сх)* 4- 2* (*з +уі -f- cxf 4-
4- 2 (л:2 4-^2) (*2 +¦ У + сх) (2х 4- *) = 0.
Вьшося за скобки и приравнивая нулю множитель x^-\-y2-\-cx,
получаем равенство
х*+у* + сх = 0. (5)
Подставляя это в (а), получим;
аЦх*—у*) = 0.
Отсюда
407

В силу этого уравнение (5) даёт решение
с
X — — -J.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что системы значений хну
1\ С ! С
2) * = —-J- -^ = --5-
удовлетворяют всем трём уравнениям (а), (Р) и (у). Более подробное
исследование этих уравнений показывает, что других действительных
решений, кроме найденных выше, эти уравнения не имеют. Данная
кривая имеет, таким образом, три особые точки
О(0,о), *(-|, +|), *(-|, -|).
Для определения характера этих точек вычислим частные
производные высших порядков и составим выражение дискриминанта Д. Для
точек К и L получим Д < 0. Следовательно, К и L являются
узловыми точками кривой.
Для точки О обратятся в нуль все производные как второго, так
и третьего порядка, тогда как среди производных третьего порядка
будут отличные от нуля. Следовательно, точка О есть четырёхкратная
точка кривой.
Рассмотренные выше кратные точки не исчерпывают собой
всех возможных видов особых точек плоской кривой. В самом
деле, исследуя уравнение F(x,y) = 0t мы предполагали, что
в исследуемой точке кривой функция F(x,y) имеет
непрерывные частные производные до некоторого порядка п, причём,
чтобы можно было выполнить разложение (20), п должно быть
^ 2. В этом предположении вблизи /^-кратной точки кривой
бесконечно малому значению приращения Д* соответствуют р
значений приращения переменного у: Ayv Ау2, ..., Ау по
числу ветвей кривой, проходящих через эту точку (считая
совпадающие и мнимые). При приближении Ах к нулю Ау1У Ду2, • • •> АУв
также стремятся к нулю, причём отношения ^, -^, ..., -~^
стремятся к вполне определённым пределам kv k2l ..., k ,
которые не зависят от способа приближения к нулю приращения
Ах и служат, как мы видели, корнями уравнения /?-й степени.
Величины &j, k2l —, k являются угловыми коэффициентами р
касательных, которые можно провести к кривой в /?-кратной
точке её (считая совпадающие и мнимые). Для алгебраической
кривой условие существования непрерывных частных
производных всегда выполняется; следовательно, алгебраическая кривая
403

никаких других особых точек, кроме точек различной кратности,
иметь не может. Но в общем случае, когда условие
существования частных производных до порядка не ниже второго не
выполняется, могут представиться и более сложные случаи,
Ду
именно, отношение ^ может вовсе не стремиться ни к какому
пределу, или при различных способах приближения Дл: к нулю
может иметь различные пределы. В этих случаях мы будем иметь
более сложные виды особых точек. Мы не будем исследовать
всех могущих представиться здесь возможностей и ограничимся
лишь рассмотрением примера особой точки этого рода.
Рассмотрим кривую
X
У — y ПРИ х ^ 0 и .у = О при х = 0.
1+«
X
Эта кривая, по самому своему заданию, проходит через начало
координат. Исследуем характер расположения кривой вблизи этой точки.
Дадим х (при # = 0) приращение Дх. Соответствующая величина Ду
выразится так;
л д*
Отсюда
Д> 1
Д*— I
14-*4*
Если Дд; стремится к нулю, принимая лишь положительные значения;
то
lim ^=0.
Если же &х стремится к нулю, принимая лишь отрицательные
значения, то
lim ^ = 1.
Следовательно, в начале координат кривая имеет две касательные:
ось Ох и равноделящую координатного угла (черт. 85). Этот вид.
особой точки кривой носит название точка перелома.
§ 6. Прикосновение плоских кривых между собой.
Рассмотрим две произвольные кривые, имеющие общую
точку М(х,у). Допустим, что она не является особой точкой ни
для одной из этих кривых и что касательные к обеим кривым
в этой точке не параллельны оси у7 причём углы наклона каса-
409^

тельных к оси х непрерывно зависят от положения точек на
кривых. В таком случае через точку М будет проходить лишь
одна ветвь каждой кривой, и вблизи точки М ордината у каждой
V
г
~4 -J -2 -
Черт. 85.
точки рассматриваемых кривых представится как однозначная
функция абсциссы х.
Пусть для первой кривой
у = у{х) (35)
и для второй
у = ${х). (36).
Будем предполагать, что функции tp(x) и ф(лг) вблизи точки М
имеют непрерывные производные до некоторого порядка п.
Дадим ¦ абсциссе х какое-либо приращение Ах. Абсциссе х~\-Ах
соответствуют ординаты <р(х^-Ах) и ty(x-\-Ax) точек Ж'и М'
данных кривых. В силу сделанного предположения о функциях
<р(х) и ф(лг), ординаты <р(х-\*Ах) и ф (лс-|-Ajc) можно
разложить по формуле Тэйлора:
<И*+Д*)=Ф(*)+уФЧ*)+^У (*) + ...
где Oj и б2— положительные величины, меньшие единицы.
Найдём величину разности ординат точек обеих кривых,
соответствующих абсциссе х -\- Ах, т. е. величину отрезка ММ'
410

(черт. 86). Вычитая почленно предыдущие равенства одно из
другого, получаем
ММ' = ^ [*' (*) - і (х)] + ^ [6" (х) - f (х)] +.. .
... + *?*,
п\
(37)
где
П == ф(«) (х 4- 02Длг) — tfW (х + О^х).
Если кривые (35) и (36) имеют в точке М различные
касательные, то ф' (х)фу{ (х) и, следовательно, при бесконечно малом Лх
величина УИ'ЛГ будет бесконечно малой величиной первого
порядка, если принять за глазное бесконечное малое кх. Если
кривые (35) и (36)
соприкасаются в точке М, то ф' (х)— " J д/'^
— ср' (л:) = 0 и разложение
(37) начнётся с членов,
содержащих вторую степень
Ддг, следовательно, величина
отрезка ММ будет
бесконечно малой величиной
второго порядка. Допустим
теперь, вообще, что в точке Лі
совпадают все производные
функций cp(je) и ф (х) до.
некоторого порядка k,
производные же порядка к -\~ 1
различны. В таком случае разложение (37) начнётся с членов,
содержащих (А-(- 1)-ю степень Ах, и, следовательно, отрезок М'М
окажется бесконечно малой величиной (k -{- 1)-го порядка. В этом
случае принято говорить, что кривые (35) и (36) имеют в точке М
прикосновение k-го порядка. Таким образом, порядком
прикосновения двух кривых называется число совпавших в дан*
ной точке производных от ординат точек обеих кривых
или порядок последних совпадающих в данной точке произ-
подных. Пересечение двух кривых можно рассматривать, как
прикосновение нулевого порядка.
Пример. Определим порядок прикосновения кривых
в точке х — 0.
При х = 0 имеем:
Уі=1, у\=Ь, у'[ = -2, ^'=0, >Г = 12;
Л=1. У»=0, у'а = -2, ^" = 0, У? = 0.
і:і

Таким образом, в общей точке данных кривых совпадают
производные первых трёх порядков, следовательно, данные кривые в точке
х = 0 имеют прикосновение третьего порядка.
Найдём среди прямых, проходящих через точку (xQl у0)
кривой
У = Ах), (38)
ту, которая имеет с этой кривой наивысший возможный порядок
прикосновения. Уравнение прямой, проходящей через точку
(*о> -Уо)> есть
У—Уо = Ь(Х — х0), (39)
где k — неопределённый пока угловой коэффициент. Для
прямой (39) имеем
Следовательно, если /' (х0) Ф А, т. е. прямая (39) — не
касательная к кривой (38) в точке (л;0, у0), то кривая (38) имеет в
точке (л:0, у0) с прямой (39) прикосновение нулевого порядка. Если
f(x0) = k, а /"(*0)ф0, то кривая (38) имеет со своей
касательной (39) прикосновение первого порядка. Во всех же точках
кривой, где /"(л:) = 0, в частности в точках перегиба кривой,
этот порядок не ниже второго. Таким образом, среди всех
прямых, проходящих через заданную точку кривой (38), наибольший
порядок прикосновения с кривой имеет касательная к кривой
в этой точке.
Рассмотрим теперь кривую (38) и окружность
{х — o)f + (j/ — bf = R\ (40)
проходящую через точку (х0, у0) этой кривой, и постараемся
определить центр С(а, Ь) и радиус R окружности (40) так,
чтобы эта окружность имела с кцивой (38) прикосновение самого
высокого (из возможных) порядка, причём вычислим порядок
этого прикосновения.
Так как, по предположению, окружность (40) проходит
через точку М(х0, у0), то координаты. х0, у0 точки М должны
удовлетворять уравнению (40):
(*о — «)' + (Уо-*)' = *•• (40')
Это равенство устанавливает то соотношение между координатами
центра окружности (а, Ь) и её радиусом R, при наличии
которого окружность (40) проходит через точку Ж.
Потребуем теперь, чтобы окружность (40) касалась
кривой (38) в точке М. Для этого необходимо, чтобы
производная У, найденная из уравнения окружности в точке М,
совпадала с величиной f\x\ найденной из уравнения * (38). Диф-
412

ференцируя (40), имеем
(х — а)-\-уЧу — ft) = 0. (41)
Для точки М будем иметь
(*о — а)-\гУ'о(Уо — *)=0, (4 Г)
где
Это равенство устанавливает новое соотношение между
координатами а и b центра окружности (40).
Потребуем, наконец, чтобы в точке М совпадали не только
первые, но и вторые производные ординат точки кривой (38)
и окружности (40). Дифференцируя (41), получаем
1+У1%+Уіу — Ь)=0. (42)
В точке М будем иметь
1+ЛЧ' + КО'о-*) = 0, (42')
где
Уо=/'(*о), X =/"(*<>)•
Соотношения (40'), (41') и (42') представляют три соотношения
между координатами центра а и b окружности (40) и её
радиусом R, при наличии которых окружность (40) имеет с кривой
(38) в точке М(х0,у0) прикосновение не ниже второго порядка.
Эти равенства представляют собой три уравнения с тремя
неизвестными a, b и R и определяют, при условии y^j^O,
единственную окружность. Равенства (40'), (41;) и (42') позволяют
легко вычислить координаты её центра а и b и радиус /?. Из
(42') находим
1+Уо2
Уо — Ь = — •
vo
Подставляя в (4 Г), получим
_ .*+*?
х0 а — yQ „
Подставив эти выражения в (40'), будем иметь
' 413

Из трёх последних уравнений найдём
а — х0 yQ „ ,
Уо
Ь=Уоцг
l+>d
'2
'/ )
/г =
^0
3
'2\ 2
(1 +^)
^0
(43)
Найденная окружность носит название соприкасающейся,
окружности. Она имеет с данной кривой прикосновение, вообще
говоря, второго порядка. Легко заметить, что более высокий
порядок прикосновения окружности (40) и кривой (38) может
иметь место лишь для отдельных точек кривой. В самом деле,
если мы потребуем, чтобы в точке М совпадали не только
вторые, но и третьи производные ординат точек кривых (38) и (40),
то получим, кроме соотношений (40'), (41') и (42'), ещё одно
соотношение между координатами центра a, b и радиусом R*
Таким образом, три величины a, b и R должны будут
удовлетворять четырём соотношениям, что возможно лишь для
отдельных систем значений х0і у0, т. е. лишь для некоторых отдельных
положений точки М на кривой (38).
Итак, соприкасающаяся окружность имеет с кривой порядок:
прикосновения наивысший по сравнению со всеми другими
окружностями, касающимися кривой (38) в той же точке М.
Пример 1. Определить центр и радиус соприкасающейся
окружности для параболы у*г = 2рх в произвольной её точке (х,у).
Дифференцируя дважды уравнение данной параболы, получим.
уу'=р, У»+яу* = о.
Выразив отсюда уг и у", получим
У у г
У у*-
Вставив в (43), будем иметь
г У2±Р2 L jfl + oty
(У2 + Р2)*
Р2
Исходя из последней формулы, легко дать весьма простой способ
построения центра соприкасающейся окружности в произвольной точке
параболы, С этой целью преобразуем выражение радиуса солрикасак>
414

щейся окружности
__ *=^Й=^(.+|).
Но Уу + /?2 есть длина нормали параболы МЫ (черт. 87) (так как
PN=p; см. § 2); j=*g?>, где ? = ^ЛШ>; следовательно,
/? = AflV(l-J-tgS?) =
cos- у"
Для построения этого отрезка проводим касательную JtfT, через
точку Т проводим перпендикуляр к оси параболы и продолжаем его
до пересечения в точке G с про- у
должением нормали параболы. Из
чертежа замечаем:
MN
TN'=
cos©
NG =
TN
cos?
отсюда
NG = —5- = R.
COS^f
Для построения центра
соприкасающейся окружности следует
на продолжении нормали от точки
N отложить отрезок NQ = MG9
так как центр соприкасающейся
окружности, очевидно, должен
лежать на нормали к кривой.
Пример 2. Определить радиус соприкасающейся окружности для
эллипса
в конце его малой оси.
Дифференцируя дважды уравнение эллипса, получим
?+^ = о
л2\ hi - '
Черт. 87.
а* ' Ь
1 . У2 . УУ^__
0.
Для точки (0, Ь), служащей концом малой оси, будем иметь
* = 0, у=Ь, У =5 0,
Следовательно,
R =
(1-4-0)»
*¦=-?¦
а-

Легко видеть, что для точки, служащей кондом большой оси эллипса
€удем иметь '
а
Для построения'центров окружностей, соприкасающихся с эллип-
-сом в его вершинах, следует описать около эллипса прямоугольник
-со сторонами, параллельными осям эллипса (черт. 88), и из какой-
либо его вершины опустить перпендикуляр на диагональ
прямоугольника. Этот перпендикуляр пересечет оси эллипса в искомых
центрах Ях и Й2 соприкасающихся окружностей.
В самом деле, из черт. 88 непосредственно находим
в$1_вс
ВС "АС
следовательно,
или
"»і = Т
Точно так же
АС "ВС
следовательно,
Л92
или
ь1
а
BQ
а
а
Т
Ъ а
Найденными центрами соприкасающихся окружностей эллипса в его
вершинах пользуются в черчении для приближённого построения
эллипса.
§ 7. Кривизна плоской кривой.
Перейдём теперь к установлению способов измерения
искривлённости плоской кривой в различных её толках. Для этого,
прежде всего, установим понятие о средней кривизне кривой на
данном участке дуги.
Пусть дана дуга ММХ некоторой кривой (черт. 89). Проведём
в концах этой дуги касательные к ней. Пусть Р—точка
пересечения этих касательных и т — угол между ними: т= ^/ ТРТХ.
Отношение ^-^ назовём средней кривизной кривой на дуге MMV
Интуитивно ясно, что чем больше угол т при данной длине
дуги ЛШР тем сильнее искривлена эта дуга ММ19 и обратно.
Данное определение средней кривизны отвечает, таким образом,
нашему интуитивному представлению о кривизне кривой. С дру-
416

гой стороны, интуитивно ясно, что чем меньше длина дуги
MMV тем лучше средняя кривизна характеризует степень
искривления кривой вблизи точки М.
В соответствии с этим мы назовём кривизной кривой в точке Ж
тот предел, к которому стремится средняя кривизна кривой на
дуге ММг, когда точка Мг
стремится к точке М.
Обозначая кривизну кривой в точке
М через К, а длину дуги ММг
через Ls, имеем:
К= lira д^
(44)
перемещаясь
У.
~д\
,
л
т
по дуге крк
уу-
ну/р
т,
1ВОЙ,
Т
Черт. 89.
Посмотрим, как" вычислить
кривизну кривой в данной
точке, если кривая дана уравнением
у = /(х). (45)
Обозначим через а угол наклона к оси х касательной
в точке М к данной кривой. С перемещением точки М по
кривой угол а будет меняться, и так как положение точки М на
кривой вполне определяется значением её абсциссы х [ибо
ордината у при заданном х найдётся из уравнения кривой (45)],
то угол а можно рассматривать как функцию х. Нетрудно дать
выражение угла а в функции абсциссы х.
В самом деле, мы знаем, что
fca = §?=y>
dx
следовательно,
а = arctgy,
или, в силу уравнения (45):
а = arctg/' (x).
(46)
(46')
Будем далее отсчитывать дуги нашей кривой от некоторой
точки А(а, /(a)). Тогда
s = АМ= jj/l+Z2 dx
(47)
а
(см. т. I, стр. 477). Если х при переходе от точки М к точке
Мг получает приращение Дх, то дуга s и угол а получают
некоторые приращения As и Да, причём, очевидно, As = ММг и
87 Курс высшей математики, т. И. 417

из треугольника ТРТг имеем:
Следовательно, равенство (44) даёт:
Да
д = 1іт -г— = Зіт тг—= ііт -г—.
bs^0As As^O^ Д*-0^
Ах
Но так ках кх и As стремятся к нулю одновременно, то
,. Да ,. Да da
lim -r-=hm -r- = —
ь - Q*x ьх^0 Ax dx
и
..As „ As ds •
hm~Ax= 1іШ Ax^dx*
й$-*0лх Ах^Оах ах
a потому
„ da ds , '
К=И'И' (48)
Дифференцируя равенства (46) и (47), находим:
da у4 ds 1/-г-і л;
Внося эти выражения в (48), получим:
К — j.
(1+У2)2
(49)
Пример 1. Найти кривизну прямой линии y-=kx-\-b в какой-либо
точке.
Мы имеем; yf = k, у№ = 0, и формула (49) даёт:
(1+*2)2
Итак, кривизна прямой линии всюду равна 0.
Пример 2. Найти кривизну окружности х2-\-у2 = г2.
Чтобы найти у* и у", дифференцируем уравнение окружности.
После одного дифференцирования будем иметь:
Дифференцируя ещё раз, получим:
Из этих равенств найдём:
х2
• = _.? у«= 1+у2 = _ 1+72_ _ ?i±Z?_ _ ±
* У г У У У У6 ~ j/*"
418

Вставляя эти выражения в формулу (49), получим:
К-
з_ з_ з_
г
Следовательно, кривизна окружности постоянна во всех её точках,
и по абсолютной величине равна обратной величине её радиуса. Это-
свойство окружности можно непосредственно вывести из данного>
выше определения кривизны.
Пример 3. Найти кривизну параболы у- = 2рлг.
Дифференцируя это уравнение два раза, получаем:
УУ~
Отсюда
y=j, у=-
Вставляя в формулу (49), найдём:
У3
д_ з
(л . Р*\* (
У'2 Р*
У У3'
р*
3 ~~
¦i/2_LnS\2 /-
1
— Р2
Это выражение показывает, что абсолютная величина кривизны
параболы имеет наибольшее значение в вершине параболы и убывает по»
мере удаления точки по кривой.
§ 8. Радиус кривизны. Центр кривизны. Круг кривизны.
Радиусом кривизны кривой в данной точке называется
величина, обратная кривизне кривой. Обозначая радиус кривизны
через р, имеем р = т; и в силу формулы (49):
р=(1±Д (50)
Примеры предыдущего параграфа показывают, что радиус
кривизны окружности по абсолютной величине равен радиусу самой
_з_
(У2-\-Р2Уг
окружности. Радиус кривизны параболы равен р = —х Ч ..
Он имеет наименьшее значение в вершине параболы и
возрастает по мере удаления точки по кривой. Точка С,
получающаяся, если отложить на нормали в сторону вогнутости кривой
величину радиуса кривизны, называется центром кривизны кри-
27* 419-

вой, а круг с центром в центре кривизны и радиусом, равным
радиусу кривизны, называется кругом кривизны кривой.
Сравнивая формулу (50) и формулы (43) § б, замечаем, что
жруг кривизны кривой есть не что иное, как соприкасающаяся
окружность.
Формулами (50) и (49) можно пользоваться не только в том
случае, когда кривая представлена уравнением, разрешённым
¦относительно ординаты, но и тогда, когда кривая дана общим
уравнением f(x, у) = 0 или уравнениями в параметрической форме
x = y(t)9 y = ty (t). Метод, который применяется в случае
общего уравнения, мы уже применяли в примерах 2 и 3
предыдущего параграфа.
Рассмотрим случай параметрического представления кривой.
Для примера, найдём радиус кривизны циклоиды
х = a (tg — sin <р), у =¦= а (1 — cos <р).
Чтобы вычислить радиус кривизны, нам нужно найти величины
У ~ dx
» d*y
Дифференцируем уравнения циклоиды:
dx = a(\—cosy)^<p,
dy = a sin ш dv.
Деля второе равенство на первое, получим:
dy__ , sin со ср
йх'~У 1 — cos ср —Cg~2 "
Далее
* *("?) "Ы:
«О
dx* dx dx
*Ы)=-7777**>
2sin2T
dx = a (1 — cos <p) du = 2a sin2|- dtp;
деля первое на второе, получим
dx
420
4а sii;4-^-

Таким образом
<Ру 1
dx% л . 4 ? "
4а sm* ^>
Вставляя эти выражения для -~ и ~2 в формулу (50),
получим:
(¦+•»*)* 4.,
р= j = —4asm-? .
4я sin4™
Сравнивая этот результат с найденным в § 2 выражение»
для длины нормали циклоиды, приходим к заключению, что
радиус кривизны циклоиды равен абсолютной величине удвоенной
нормали кривой: р = — 2л.
Легко получить и общую формулу для радиуса кривизны
кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими
уравнениями. Пусть
* = <р(/), y = $(t) (51)
— параметрические уравнения кривой. Исключив из них параметр/,
мы получим уравнение кривой в декартовых координатах в виде
F(х, у) = 0. Равенства (51) можно поэтому рассматривать, как'
уравнения, устанавливающие функциональную зависимость между
хну при посредстве вспомогательного параметра и Поль-
' dy
зуясь этим равенством, можно вычислить производные ух=~ и
ах
у, djy
s* dx*e
Из равенств (51) дифференцированием находим:
dy = ф' (?) dt, dx = tp' (t) dt,
dy ==y'dt, dx = x'dt;
yx—dx—i'{t) — x" ^2>
или
следовательно,
Далее,
xy-x>ydt
,, dy'x _ d\x) _ xn »* _ xy _ xy
421

Подставляя эти величины в формулу (50), получим:
о
Пример. Найдём радиус кривизны эллипса, заданного
параметрическими уравнениями
х —a cost, y = b sin t, (a)
в произвольной его точке.
Дифференцируя уравнения (а), получим:
х1 = — a sin t, У =b cos t;
x"=— acost, y,fz=z — bsint.
Подставляя в формулу (50'), найдем:
_ {Ф sin^4-^cos2Q2
Р =
аЪ
Значения t = 0 и t=-^ соответствуют вершинам эллипса. При
і = 0
Р=а
при t = -g-
fl2
Р=Т
6 *
Эти величины совпадают с найденными ранее радиусами
соприкасающихся окружностей в вершинах эллипса.
§ 9. Эволюта кривой.
Если для каждой точки кривой построить центр её кривизны
б этой точке, то все эти центры кривизны расположатся на
плоскости по некоторому определённому закону и заполнят собой
некоторую кривую — геометрическое место центров кривизны
данной кривой. Эта кривая носит название эволюты, данной кривой.
Чтобы установить взаимоотношение, которое имеет место между
кривой и её эволютой, составим уравнение эволюты.
Если уравнение кривой дано в виде
У = /{х), ' (54)
то координаты центра её кривизны можно найти по формулам
•{43) § 6, как координаты центра соприкасающейся окружности.
Обозначая эти координаты для произвольной точки М{х,у)
данной кривой через ? и 7], будем иметь
Ь — Х—у —уг-у 1} ==у-f-уГ" • (50)
•422

Если кривая дана параметрическими уравнениями х = ъ (f)
dy d2y '
у=Ь(і), то, выражая -г- и —,-г через производные х',у\ х'\ у"
от х и у по параметру t по формулам (52) и (53) предыдущего
параграфа, мы получим для координат ; и т; следующие
выражения:
уу,
Л""У'
(55')
Равенства (55г) можно, таким образом, рассматривать, как
параметрические уравнения эволюты, выражающие текущие
координаты ? и 7j точек эволюты
через параметр t.
Уравнениям (55') можно
придать иную форму, более
удобную для установления свойств
эволюты.
(14-У3)2
Замечая, что р-=
У
и y==tga, где а— угол
касательной к кривой с
положительным направлением оси х,
14-У*_ Р _
имеем:
я
0
N
4
L
M^Vj
у t
1
*М(х,у)
?
У* у і +У*
=pcosa. Заменяя в равенствах
1 1 у'2
(55) величину ,, через pcosa и У
$ = л; — р sin a, ^
Черт. 90.
— через tg ее, получим.-
і I (56)
г\ = у -j-pcosa. ) v '
Те же формулы можно получить и непосредственно из черт. 90.
Пользуясь равенствами (56), можно установить важные
свойства эволюты. Дифференцируя равенства (56), находим:
d% = dx — dp • sin a — p cos a da,
dr^ = dy 4~ dp • cos a — p sin a da.
Вычислим отдельно величины pcosa^a и psina^a. Замечая, что
1 v"
tfa = darctgy = —?—-dx, имеем:
(57)
У = tga, cosa =
p cos ada =
/1+У2'
(1 4- v'2)2
l+y
'2
У
1 У
(i +/?
423

точно так же найдём:
р sin a da — dy.
Внося эти величины в уравнения (57), получим:
d^t= — rfp sin a, j
й?7)= ipcosa. /
Деля почленно второе из равенств (58) на первое, получаем:
а\__ L—_1
d\ — tga"~ у"
(58)
(59)
Так как -тг есть угловой коэффициент касательной к эволюте,
то из равенства (59) следует, что касательная к эволюте
параллельна нормали к кривой. Но точка Q эволюты лежит на нормали
к кривой, следовательно,
"А а. г нормаль к кривой в
каждой её точке служит,
касательной к эволюте
в соответствующей
точке эволюты.
Определим теперь
длину дуги эволюты между
какими-либо двумя её
точками Qj и йа (черт. 91).
Обозначая эту дугу,
отсчитанную от некоторой
точки 20, через а, будем
иметь: Л = V'rfS2 + Л]2 и
в силу (58)
rfa = ±rfp. (60).
Пусть точкам Qt и Q2 эволюты соответствуют значения аг и а2
дуги а, а соответствующим точкам Мг и М% кривой — значения
Pj и р2 радиуса кривизны р. Интегрируя равенство (60) в
пределах от аа до а2, получим:
Черт. 91.
р,'
J<fo=±Jrfp
или, выполняя интеграции,
<*2 — Gl=±(?2— Pi)
!),
(61)
*) Двойной знак объясняется тем, что при возрастании дуги
эволюты а радиус кривизны кривой р может и возрастать и убывать.
424

т. е. длина дуги эволюты между двумя какими-либо её точкам»
равна разности радиусов кривизны кривой в точках,
соответствующих концам дуги эволюты. Это свойство эволюты имеет
простое кинематическое истолкование.
Если точку М2 оставить неподвижной и перемещать по кривой
точку Мх, то соответствующая точка Йх эволюты будет
перемещаться по эволюте, причём во время всего яроцесса
перемещения будет соблюдаться равенство 2122 = d~(^2^2— М$і)* Это
равенство показывает, что перемещение точки Мх по кривой
может быть осуществлено путём разматывания или наматывания
туго натянутой нити, навёрнутой на эволюту. Этим свойством
эволюты и объясняется её название: эволюта — «развёртка».
Данная кривая по отношению к своей эволюте носит название
эвольвенты — «развертывающей».
Пример, Найти эволюту эллипса
х = a cost, y = bsin t
Составим параметрические уравнения эволюты по формулам (55')fc
Из уравнений эллипса имеем
х' = — a sin t, у =zb cos t,
x" — — a cos t, yr,=z—b sin t.
Таким образом, уравнения (55') дают:
Л a* sin*14- b* cos21.
E = a cos t -г b cos t
ab *
. fl* sin2*-}-ft2 COS2*
ъ = b sin t Ц- a sin ty
ao
или
a
T] — sin3 t.
0
Ф — & , a2 — №
— = a, —r—=fc
a b
5 = I cos91, T) = — ji sin31,
i=cos4 H= — sin»*.
X p.
Таковы параметрические уравнения эволюты. Возводя почленно эти
2
равенства в степень -$ и складывая, получим уравнение эволюты эл*
о
липса в декартовых координатах:
2 ?
"з / - \ 3
Полагая
имеем:
или
(!)+(?)='•
425

§ 10. Огибающая семейства кривых.
Если уравнение кривой кроме координат х и у содержит
*ещё некоторые постоянные величины, то эти величины влияют
на форму кривой. Давая этим постоянным различные значения,
мы будем получать различные кривые. Например, уравнение
Л*- V2
эллипса —^-\-j-^t=z\ содержит две постоянные величины а и Ь,
представляющие геометрически длины осей этого эллипса. Давая
этим, величинам а и b различные значения, мы будем получать
эллипсы разной формы и разных размеров.
Постоянные величины, входящие в уравнения кривой и
могущие принимать произвольные (в известных пределах) значения,
называют параметрами. Придавая параметрам всевозможные
значения, мы получаем бесчисленное множество кривых,
образующих так называемое семейство кривых. В предыдущем
примере мы имеем, таким образом, семейство эллипсов, зависящих
от двух параметров. Пусть дано семейство кривых, зависящих
от одного параметра. Обозначая параметр буквой а, мы можем
представить уравнение этого семейства в виде
/(x,jr,a) = 0. (62)
Каждому значению параметра а соответствует своя кривая
«семейства.
Если кривые семейства располагаются на плоскости так, что
все они касаются одной и той же кривой, то такая кривая носит
название огибающей данного семейства кривых. Эта кривая
характеризуется тем свойством, что каждая её точка есть точка
соприкосновения с одной из кривых семейства. Чтобы найти
уравнение огибающей, заметим, что каждая её точка принадлежит
одной из кривых семейства, именно, той кривой, которой
огибающая касается в этой точке. Отсюда следует, что координаты
каждой точки огибающей удовлетворяют уравнению (62), но
величина а, входящая в это уравнение, для различных точек
огибающей имеет различные значения, а именно, значение а в какой-
либо точке огибающей является значением параметра а
семейства (62) для той кривой, которая касается огибающей в этой
точке. Таким образом, а есть некоторая функция координат
xty точек огибающей. Но как и для всякой кривой, для
огибающей ордината у является функцией абсциссы л:. Следовательно,
в конечном счете а может быть рассматриваема как функция
абсциссы лг.
Отсюда следует, что огибающая семейства (62) представляется
тем же уравнением (62), в котором а — уже не постоянная
величина, а некоторая, пока неизвестная функция от х. Найти эту
426

функцию можно, опираясь на основные свойства огибающей:
'касательная к огибающей в произвольной её точке должна
совпадать с касательной к кривой семейства, проходящей через эту
точку. Угловой коэффициент касательной к кривой семейства (62)
мы найдём, дифференцируя уравнение (62) по х и считая а
постоянной; угловой коэффициент касательной к огибающей
получим, дифференцируя равенство (62) по х, но считая при этом а,
как некоторую, пока неизвестную функцию от х. В первом
случае будем иметь:
во втором
У, найденное из обоих этих уравнений, должно быть одно и
то же. А потому вычитая (63) из (64), получим:
да dx
Так как в равенстве (64) а не есть постоянное, то -^-^0 и,
dx
следовательно, последнее равенство даёт:
37 = °- (65)
Это уравнение совместно с уравнением (62) и определит искомую
функцию а.
Чтобы получить обычное уравнение огибающей в декартовых
координатах, следует исключить а из уравнений (62) и (65).
Пример 1. Найти огибающую семейства окружностей
Дифференцируя это уравнение по а, находим:
— 2 (у — а) = а, откуда а = 2у.
Внося это выражение а в уравнение семейства, получим;
д-2 _)_ (J/ — 2j/)3 = -? ИЛИ х* + У* = Оу* ИЛИ JC2 — /> = 0.
Это — уравнение пары равноделящих координатных углов.
Наше семейство представляет таким образом семейство кругов,
центры которых находятся на оси у и которые касаются равноделящих
координатных углов.
Пример 2. Найти огибающую семейства парабол
*=«-?(14-«2).
42?

Все параболы этого семейства проходят через начало координат,
и оси их параллельны оси у. Параметр а геометрически означает
угловой коэффициент касательной к параболе в начале координат.
Действительно, из данного уравнения имеем:
^ = а_?(1+а2),
dx
откуда
dxjx = o
Для получения уравнения огибающей этого семейства
дифференцируем данное уравнение по а;
откуда а = —. Внося это в уравнение семейства, получим:
Х2 , л
или
с х* (х , &\
У~~~2 2с'
Это уравнение представляет также параболу с вершиной на оси у
в точке ("О,-к-) и пересекающую ось х в точках (с, 0) и (— с, 0)
(черт. 92).
Данный выше вывод уравнения огибающей был проведён
в предположении, что огибающая семейства (62) существует.
Такое предположение
оправдывается не всегда:
существуют семейства кривых, не
имеющие огибающей, как,
например, семейство
концентрических окружностей. В
таких случаях исключение а
из уравнений (62) и (65) не
будет давать уравнения
огибающей. Возьмём, например,
семейство концентрических окружностей х2 -j--V2 = °-г-
Дифференцируя по а, получим: 2а =0. Исключая а из двух последних
равенств, получим: х2-\-у2 = 0. Действительные решения этого
уравнения дают начало координат.
Если кривые семейства (62) имеют кратные точки, то
координаты всех этих точек кривых семейства также будут
удовлетворять уравнениям (62) и (65). В самом деле, пусть геометрическое
место кратных точек всех кривых семейства есть некоторая
кривая g\ координаты каждой точки кривой g должны удовлетво-
428

рять уравнению (62) при некотором значении а, так как каждая
точка кривой g принадлежит в то же время одной из кривых
семейства (62). При этом каждой точке М кривой g
соответствует своё значение а, именно то, которое служит значением
параметра а для кривой семейства (62), проходящей через точку И1
Следовательно, а является для точек кривой g некоторой вполне
определённой функцией от х и у или, в конечном счёте, — от л:.
Таким образом, и уравнением кривой g является уравнение (62),
в котором а должна рассматриваться, как некоторая неизвестная
функция от х. Дифференцируя в этом предположении равенство
(62) по х, получим:
дх ' Оу * ' да ах
Но так как кривая g состоит из кратных точек кривой
семейства (62), то для всех точек этой кривой выполняются равенства
дх ' ду '
и предыдущее равенство принимает вид
^^1 — 0
да dx *
и так как ^-^0, то -~ = 0. Следовательно, кривая
g—геометрическое место кратных точек кривых семейства (62) —
определяется теми же уравнениями (62) и (65), что и огибающая.
Из изложенного выше следует, что уравнения (62) и (65)
могут определять огибающую, если она существует, могут
определять геометрическое место кратных точек кривых, если
кривые семейства имеют кратные точки, и могут не давать ни того,
ни другого, если кривые семейства (62) не имеют особых точек,
а само семейство не имеет огибающей.
Пример 1. Рассмотрим уравнение семейства кривых с параметром а
х[х* + (у-*Т-) = 2г(у-а)К
Дифференцируя по а, получим
2х(у-а)=4г(у-а),
или
(х-2г)0г-а) = 0.
Это уравнение распадается на два:
х — 2г = 0 и _у —а = 0.
Уравнение х — 2г = 0 представляет прямую, параллельную оси .у,
конечные точки которой не принадлежат кривым данного семейства
(это — общая асимптота всех кривых семейства). Уравнение у — а = О
определяет функцию а: а=у; подставляя её в данное уравнение, по-
42Э

лучим; дг = 0; это — геометрическое место точек возврата кривых се-
мейства (черт. 93).
Пример 2. Рассмотрим семейства кривых
Дифференцируя по а, получим
2{у~ а) = 3(х — а)2.
Деление равенства (а) на (Ь) приведёт к уравнению
(а)
(Ь)
у — а л: — а
~~2~~НГ~
или
откуда
3CV-a) = 2Cr-a\
а — Ъу~ 2х.
Подставляя значение а в равенство (Ь>
получим
2(2дг-2^) = 3(3лг — Зу)з, или
^{х-у) = (х-у)\
Это уравнение распадается на два:
у = 0 и
*-y = fr
Первое из этих уравнений представляет
геометрическое место точек возврата
кривых семейства, второе—даёт огибающую
семейства (черт. 94).
Возьмём теперь две кривые,
соответствующие двум значениям параметра a
и a-J-Дя. Уравнения этих кривых будут
f(x,y,a) = 0, (62)
f{x,y, a + ka)—0. (66)
Допустим, что эти кривые
пересекаются, и найдём точку их пересечения. Для
этого надо решить совместно уравне-
Черт. 93. ния (62) и (66). Это совместное
решение даёт, вообще говоря, одну или
несколько систем значений х и у, которые и будут служить
координатами точек пересечения наших кривых. Если мы теперь
будем уменьшать величину Да, приближая её к нулю, то точки
пересечения наших кривых будут перемещаться по кривой (62),
приближаясь, вообще говоря, к некоторым предельным
положениям на кривой (62). Эти предельные положения точек пересе-
430

чения кривых (62) и (66) называются предельными точками
кривой (62).
Чтобы найти предельные точки кривой, надо из уравнений
(62) и (66) найти значения х и у и вычислить пределы этих
значений, когда Да стремится к нулю.
Черт. 94.
Систему уравнений (62) и (66) можно заменить равносильной
ей системой
/{х,у,а) = 0 (62)
и
/(*, у,а + Да) —/(*, у, а) = 0, (67)
где уравнение (67), очевидно, является следствием уравнений (62)
и (66), так как получается почленным вычитанием этих уравнений
одного из другого. К левой части уравнения (67) можно
применить теорему Лагранжа о конечном приращении:
/(*» У> «]+ М —/(¦*» У* а) = ^аК (*» У* а + ° Аа)>
где О <^? <М и символ f'a означает производную функции/ по а.
В силу этого равенства уравнение (67) можно заменить
следующим:
/>,.у, а + 0Да) = 0. (67')
431

Для нахождения координат предельных точек кривой (62) надо,
таким образом, найти х и у из уравнений (62) и (67') и перейти
к пределу при Да, стремящемся к нулю.
Но если f есть функция, непрерывная относительно своих
-аргументов, то такой переход к пределу можно совершить прямо
а равенствах (62) и (67'). Замечая, что Нт/^ (х, у, а-j-в Да) =
=/'л(х,у, а), мы видим, что координаты предельных точек кривой
(62), в случае, когда такие точки существуют, должны
удовлетворять уравнениям
Ж.У, а) = 0, (62)
Щ^- = 0. (68)
Мы пришли к той же системе уравнений, что и полученная
авыше при определении огибающей семейства.
§11. Касательная прямая к пространственной кривой.
Нормальная плоскость.
Кривая линия в пространстве представляется, как мы знаем
(г. I, стр. 191), двумя уравнениями между координатами x,y,z
точки пространства:
Л (*, у, z) = 0,^ F2 {х, у, z) = 0. (69)
Можно представить пространственную кривую и уравнением
ш параметрической форме, подобно тому, как мы это делаем в
случае плоской кривой (т. I, стр. 468). Если одну из координат,
например лг, представить в виде некоторой функции параметра
tt x = <p(t), то, подставляя это выражение в уравнения (69)
и разрешая их относительно у и z, мы выразим у и z также
в виде некоторых функций того же параметра:
Наша кривая представится в этом случае уравнениями в
параметрической форме:
x = f{t), у=$(і), z = x(t)m (70)
Если из уравнений (70) мы исключим параметр t, то получим два
уравнения между координатами х, у, z, т. е. вернёмся к
первоначальному представлению кривой двумя уравнениями.
Будем предполагать в дальнейшем, что кривая дана
параметрическими уравнениями (70), в которых функции <р(^), ф(*)и?ф
^суть функции непрерывные, допускающие производные до третьего
.порядка включительно. Возьмём на кривой две точки М и М\
432

соответствующие значениям параметра і и t-\-Lt. Координаты
их пусть будут дг, у, z и х-\-Ах, .У + АУ» *-}-Az, Уравнения
прямой, проходящей через эти точки, т. е. хорды ММ\ очевидно,
имеют вид
Ах ~~ Ay Az ' Кі1>
где X, К, Z — текущие координаты.
"Если мы будем уменьшать величину At, приближая её к нулю,
то точка М будет перемещаться по даной кривой, приближаясь
к точке М. Прямая (71)' будет при этом также менять своё
положение в пространстве, стремясь в силу сделанных
предположений о функциях ір (*), ф (t) и і (t) к некоторому предельному
положению. В самом деле, деля все знаменатели в уравнениях
(71) на Д/, получим;
Х—х__У~-у—z—z
Ьх ""Ту""""" Az *
At At At
Переходя к пределу при Д/, стремящемся к нулю, будем иметь:
Х-х _Y-y _Z-z
tfg dy dz
dt Ж di
(72)
Это предельное положение секущей ММ\ когда точка М
стремится к М, называется касательной к кривой в точке М.
Уравнения (72) можно заменить, очевидно, следующими:
dx ~~- dy ~~ dz *
Обозначая через а, р, у углы, составленные касательной с осями
координат, имеем:
dx
cosa =
Ydx*-\-d&+dz**
cos?- dy
Vdx*+dy*+dz*'
dz
cos Y = —— ¦..-_, —
* Ydxt + dyt+dz**
и, так как у dx2-{-dy2~\~dz2 = ds, где ds — элемент дуги
пространственной кривой (70) (т. I, стр. 481), то
cosa = g, co.p=g, cosY = |. (73)
28 Курс высшей математики, т, II
433

Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через
точку прикосновения, называется нормалью к кривой. Очевидно,
что в каждой точке пространственной кривой можно провести
бесчисленное множество нормалей. Все они лежат в одной
плоскости, перпендикулярной к касательной. Эта плоскость называется
нормальной плоскостью. Уравнение нормальной плоскости, как
перпендикулярной к прямой (72), имеет вид
{X-x)f + {Y-y)f + {Z-z)d?=0, (74)
„ dx dy dz
или, обозначая производные — , ^-, -тр соответственно через
х\ У» -?'>
(X — д:)дг' + (Г—y)y'-{-{Z — z)z'=zQ. (74')
§ 12. Соприкасающаяся плоскость. Главная нормаль
и бинормаль.
Соприкасающейся плоскостью к пространственной кривой
называется предельное положение плоскости, проходящей через
три бесконечно близкие точки кривой.
Составим уравнение соприкасающейся плоскости. Пусть
кривая дана параметрическими уравнениями
* = ?(*)і У=.ф(0> * = *('). .(75)
где функции #(/), ф(?), i{t) непрерывны и имеют непрерывные
і производные первого и второго порядка. Возьмем на этой
кривой три точки Ж, М и М', соответствующие значениям
параметра ty { и f\ Уравнение всякой плоскости имеет вид:
AX-\-BY-\- CZ + D = 0. (76)
Мы должны определить коэффициенты Л, В, С и D так, чтобы
плоскость (76) прошла через точки М, М и М". Очевидно, мы
должны для этого определить Д В, С и D из уравнений:
A<p(t) +5ф(/) +ад +d=o, \
AV{f)+B^(t')+Ci(t') + D = 01 l (77)
Л?(О+Дф(О + С^Ю + ^ = 0. J
Перейдя затем к пределу при ? и Г, стремящихся к t, мы и
получим коэффициенты уравнения соприкасающейся плоскости.
Обозначая Aff(t)~\-Bty (t)-\-C% (t)-\-D через -F(/), мы можем
предыдущие равенства представить в форме:
F{t) = 0, F(i') = 0 и Р(Г)=0. (78)
434

Эти равенства показывают, что функция F(t) обращается в нуль
при трёх значениях параметра'/, ? и/", а потому в силу теоремы
Ролля первая производная F (t) должна дважды обратиться в нуль
при значениях параметра іг и tv где *<^і<0' и *'<^2<С^"
(если t<f<f), т. е.
?'('i) = 0, /»(<*) = О,
а из этих разенств, в силу той же теоремы, следует, что вторая
производная Ff {і) должна обратиться в нуль при t = tr2, где
Таким образом, равенства (78) можно заменить следующими:
/7W = 0f /* &) = <>, /"=($ = 0. (79)
Будем теперь приближать точки М и Лі7 к точке М. Значения
V и f будут при этом стремиться к t, к тому же пределу будут,
очевидно, стремиться и величины іг и t'T А потому в пределе,
при /;и /", стремящихся к /, равенства (79) дадут;
или в раскрытой форме:
л?(/)+вф(о + ад+л=о,
Ар-w+*¦'« + <**« =o,
или, что то же:
Ax'+By'+Cz' =0, I (80)
Ax't + By' + Cz' =0. J
Определив из этих равенств коэффициенты Д В, С и D и
подставив их в уравнение (76), мы получим уравнение
соприкасающейся плоскости. Вычитая первое равенство (80) из
уравнения (76), получим уравнение соприкасающейся плоскости в
виде
A(X — x)+B(Y—y) + C{Z — z) = 0i
причём отношения коэффициентов Л, В, С найдутся из двух
последних равенств (80);
А:В:С=(y'z"—z'y"): (z'x« — х'аГ): (*'/—/**). (81)
28* 435

Из определения соприкасающейся плоскости непосредственно
ясно, что эта плоскость проходит через касательную прямую.
Этот же факт подтверждается вторым из равенств (80).
Та из нормалей пространственной кривой, которая лежит
в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью
кривой. Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся
плоскости, называется бинормалью. Направляющие косинусы \у
р. и v бинормали, очевидно, найдутся из равенств:
I: ]х: v = (y'z" — z'y"): {z'x" — x'z"): (х'у" — y'xtf).
Направляющие косинусы /, да, п главной нормали мы
найдём из условий её перпендикулярности к касательной прямой
и к бинормали. Эти условия дают:
1х'-\-ту' + пг' = 0,
11-{-т}і-\-п)>==0.
из этих уравнений находим:
/: да: л== (v/ — ]izf): (kzr — va;'}: (]хх* — Xy'). (82)
Особенно простые выражения для /, т и п мы получаем в
том случае, когда за параметр принята длина дуги кривой.
В самом деле, в этом случае имеем:
xt*+yl* + zl* = \.
Дифференцируя это равенство, находим:
х'л;''4-уу' + 2'г'' = 0.
Это равенство, вместе с третьим равенством (80), показывает,
что прямая с 'угловыми коэффициентами л-", У, z'r
перпендикулярна к касательной и к бинормали, т. е. есть главная нормаль,
а потому
1:т:п = х":у":г". (83)
Плоскость, проходящая через бинормаль и касательную
прямую, называется спрямляющей плоскостью. Её уравнение,
очевидно, есть
l(X—x)-\-m(Y—y) + n{Z — z)=0.
Спрямляющая, соприкасающаяся и нормальная плоскости
образуют прямой трёхгранный угол, рёбрами которого являются
¦касательная, главная нормаль и бинормаль кривой. Направления
этих прямых носят название главных направлений в данной
точке кривой.
Пример. Цилиндрической винтовой линией называется линия,
лежащая на поверхности прямого круглого цилиндра и пересекающая
все его образующие под постоянным углом. Винтовую линию можно
436

образовать из гипотенузы прямоугольного треугольника ЛВС, навивая
его на цилиндр так, чтобы катет АС навивался на основание цилиндра.
Примем ось цилиндра за ось z, и пусть вершина А нашего
треугольника совпадает с точкой z i
встречи цилиндра с осью х
(черт. 95).
Примем за параметр t
угол плоскости, проходя*-
щей через какую-либо точку
М винтовой линии л ось z}
с плоскостью zx и
обозначим через г радиус
цилиндра, а через а — угол CAB
нашего треугольника; тогда
уравнения, винтовой линии
будут
x-=rzost, y = rsint,
z = lt,
где
l = rtga. Черт. 95.
Найдём для этой линии угловые коэффициенты касательной,
бинормали и главной нормали. Дифференцируя уравнения кривой два
' раза, найдём:
х' = — г sin t, yr = r cos tt z' = I.
xtl = — rcost, y = — rsintf zf' = 0.
Угловые коэффициенты касательной суть
х': у': zr = —г sin t: г cost: /.
Угловые коэффициенты бинормали суть:
{Уг" — z'/'): {z'x!> — x'z"): (х'У — /*»)=/sin* : —Icost:ry
или
X: ц : v = / sin t: (— I cos t): r.
Отсюда следует, что бинормаль образует с осью z, т. е. с
образующими цилиндра, постоянный угол".
Угловые коэффициенты главной нормали найдем по формулам (82):
/: т : п =
= (г2 cos t -J- /2 cos t): (/'2 sin t -f r2 sin 0 : (lr sin * cos t — /r sin * cos t\
следовательно,
/ = cos tt m = sin/, n = 0;
эти равенства показывают, что главная нормаль винтовой линии пере*
секает ось z и перпендикулярна к ней.
§ 13. Кривизна и кручение пространственной кривой.
Для кривизны пространственной кривой можно дать то же
определение, которое мы давали и для плоской кривой. Мы
назовём кривизной кривой в данной точке тот предел, к
которому стремится отношение угла т между касательными в двух
437

близких точках кривой М и М к длине дуги ММ', когда точка
М стремится по кривой к точке JH и, следовательно, дуга
ММ1 стремится к нулю. Обозначая кривизну буквою К и длину
дуги ММ* через Ля, имеем:
К= lim ?¦ • (84)
Для вычисления кривизны кривой в данной точке, обозначим
косинусы углов касательной с осями координат в точке М через
a, (J, у, а в точке Ж' — через а-{-Да, [* + Д{5, y-j-Ду. Угол т
между этими касательными мы найдём по формуле:
cosT = a(a + Aa) + HP + *P) + Y<Y + *Y)-
Но
a2 + g2-f Y3 = l
(а4-Да)я+(Р+дР)в+(у+Ду)2=і;
из двух последних равенств найдём:
2[a(a + Aa) + P(P+AP) + Y(Y + AY)] = 2 — (Да2 + Д^ + Ду2)
или
2 cos т = 2 — (Да2 + Д?2 -j- Ду2).
Отсюда
2 (1 — cos т) = Да2-{-Др2 + Ду2
или
2 зіп~ = ]/Да2 + Др2 + Ду2.
Далее,
т Т 2sinT "2 2sjn2"
ЛГ=1ші т- = 1іт • —-г— = lim -Пт —г—
или
где а', ?', у', 5' суть производные функций а, [5, у, 5 по
параметру t.
В частности, если за параметр t принята длина дуги $} то
мы имеем
и формула (85) даёт:
438

Величина # = -^ называется радиусом кривизны кривой в
точке М,
Кроме кривизны, для пространственной кривой устанавливают
ещё понятие кручения, или второй кривизны, которое должно
характеризовать степень отклонения пространственной кривой
от плоской линии. Чтобы охарактеризовать это отклонение,
заметим, что для плоской линии соприкасающаяся плоскость, как
следует из её определения, совпадает с плоскостью этой линии.
Чем более отклоняется наша линия от плоской на данном участке
дуги ММ1, тем на больший угол отклоняется соприкасающаяся
плоскость при переходе от точки М к точке М\ Поэтому за
меру кручения кривой в данной точке принимается предел
отношения угла между соприкасающимися плоскостями в точках М
и М к длине дуги ММ\ когда эта последняя стремится к нулю.
Замечая, что угол между соприкасающимися плоскостями
измеряется углом между бинормалями, и обозначая этот угол через у,
величину кручения — через у к длину дуги ММ — через Asr
имеем
— = lim-f-.
Величина Т носит название радиуса кручения. Если
обозначить через і, ]іу v косинусы углов бинормали с осями
координат, то для вычисления величины кручения придётся текстуально
повторить те же вычисления, которые мы делали при вычислении
кривизны.
Эти вычисления дадут нам:
Г~ sr
Пример. Рассмотрим винтовую линию
х = г cos tt у —г sin t, z = kL
(86)
Мы имеем:
rsint
у' rcos t
Vx'2+/2+*'2 ViH- &
**±t* + T*=^
5 •
439

Далее,
а потому
1 г
т. е. кривизна винтовой линии постоянна.
Вычислим кручение винтовой линии.
Мы имеем по предыдущему (стр. 437):
I: jt; v = ? sin *: (— k cos ?): r\
отсюда
? sin * k cos ? r
Следовательно,
w ?cos* , ksint # л
}'2 _L a'3 J- v'2 = _
а потому по формуле (86) находим;
Г~#_{_г2 ¦
Следовательно, кручение винтовой линии есть также величина
постоянная.
§ 14. Системы поверхностей в пространстве*
Уравнение между тремя координатами в пространстве
представляет, как известно, некоторую поверхность. Если это
уравнение, кроме текущих координат, содержит параметры а, Р,...,
могущие принимать различные значения, то при различных
значениях этих параметров мы будем получать различные
поверхности. Совокупность всех поверхностей, соответствующих
всевозможным значениям параметров, носит название семейства
поверхностей, зависящего от этих параметроз.
Рассмотрим семейство поверхностей с одним параметром
Р{х,у,г,а) = 0, (87)
где а — параметр семейства, F—функция, допускающая
непрерывные частные производные первого порядка по всем
аргументам. Возьмём две поверхности этого семейства, соответствующие
значениям параметра а и a-J-іа. Их уравнения
F(x, у, г% а) = 0 (87)
и
РКхч'У* г> а +Дау=0. (88)
440

Если эти две поверхности пересекаются, то линия их
пересечения представляется совокупностью уравнений (87) и (88)»
Вычитая из второго уравнения первое, получим:
F{x, у, z} а + Ьа) — Р(х, у, г, a) = 0: (89)
Система уравнений (87) и (88) равносильна системе уравнений
(87) и (89); уравнение (89) можно заменить следующим:
?л(х, у, *,а + 6Да) = 0, (90)
где 0<?<1.
Уравнения (87) и (90) представляют линию пересечения
поверхностей (87) и (88). Будем теперь искать предельное положение
этой линии пересечения при Да-»-0. '
Предполагая функцию Р[ непрерывной относительно всех
своих аргументов и искомое предельное положение
существующим, мы можем совершить переход к пределу непосредственна
в уравнении (90). Таким образом, уравнения предельной линий
представляются в виде
Р(х, у, zt a)=0, 1
dF(x,y, z, а) \ (91)
дя ~ * J
Эта линия носит название характеристики семейства.
Геометрическое место характеристик семейства образует некоторую
поверхность, которая, как мы покажем, касается каждой
поверхности семейства вдоль её характеристики и потому носит
название огибающей семейапва поверхностей. Уравнение этой
огибающей мы, очевидно, получим, исключая параметр а из
уравнений (91).
Чтобы доказать, что огибающая касается всех поверхностей
семейства, покажем, что нормаль огибающей семейства в
произвольной её точке совпадает с нормалью к соответствующей
поверхности семейства. В § 9 гл. IV были найдены косинусы
углов нормали к поверхности с осями координат:
Р Ч ~1 _ (92\
где
dz dz
Чтобы найти величины р и q, дифференцируем равенство (87)
441

сначала по jc, потом по у, считая а постоянным:
дх* dz
dFj__d_F
ду "** dz
ef+<?*=». j
(93)
"Из этих равенств определим ряд.
Косинусы углов нормали к огибающей с осями координат
выразятся теми же формулами (92), в которых частные
производные р и q получатся дифференцированием уравнения (87)
в предположении, что а есть функция от х и у, определяемая
равенствами (91). Дифференцируя (87) в этом предположении
-сначала по х, потом по у, получим
дх ' dz и * да дх
dFj_dF *д?да
dy*dz " ' да ду
Но в силу второго равенства (91) эти уравнения равносильны ¦
уравнениям (93). Отсюда вытекает совпадение нормали к огибаю- \
щей в каждой её точке с нормалью к поверхности семейства (87), ;
проходящей через эту* точку.
Совокупность всех характеристик образует на огибающей
поверхности семейство линий, зависящее от одного параметра.
Б самом деле, каждому значению пареметра а соответствует своя
поверхность семейства (87) и на ней своя характеристика.
Относительно этого семейства линий на огибающей поверхности можно
поставить тот же вопрос, какой мы ставили относительно
семейства кривых на плоскости: найти на огибающей поверхности
линию, которая касалась бы всех характеристик, т. е. каждая
точка которой была бы точкой прикосновения к ней одной из
характеристик. Эта линия носит название ребра возвршпа
огибающей поверхности. Такой линии, вообще говоря, может и не
существовать (так же как и для семейства плоских кривых), но
в том случае, когда она существует, можно дать весьма простой
способ её отыскания. В самом деле, координаты каждой точки
ребра возврата удовлетворяют уравнениям (91), так как эта точка
лежит на огибающей поверхности. Но различным точкам ребра
возврата соответствуют различные значения а. Следовательно,
ребро возврата представляется теми же уравнениями (91), что
и характеристика, но 'в этих уравнениях а должно
рассматриваться, как некоторая функция координат х, у и z. Чтобы
определить эту функцию, остаётся потребовать, чтобы касательная
442

к ребру возврата в каждой её точке совпадала с касательной
к характеристике, проходящей через эту точку.
Угловые коэффициенты касательной к кривой, как мы знаем,
пропорциональны дифференциалам dx, dy и dz. При этом для
касательной к характеристике эти дифференциалы должны быть
найдены из уравнений (91) при постоянном а, а для касательной
к ребру возврата dx, dy и dz найдутся из уравнений (91), в
которых а есть некоторая функция координат х, у и z. Для
касательной к характеристике имеем, следовательно,
d*F . , d*F . . d*F . п [ у '
Отсюда найдём отношения dx:dy:dz.
Для касательной к ребру возврата отношения dx:dy:dz
найдутся из уравнений
№ * і № а і dF j і dF. Л ^
дадх * даду ^ [ dadz ' да2 J
dF
В первом из равенств (95) член -fda исчезает, в силу второго
равенства (91). Далее, отношения dx:dy:dz в обоих случаях
должны быть, по условию, одинаковы, следовательно, равенства
(94) и (95) должны иметь место при одних и тех же значениях
этих отношений. Вычитая из второго равенства системы (95)
второе равенство системы (94), получим:
d2F
15=о- (96>
Это равенство и определяет а как функцию от х, у, г. Таким
образом, ребро возврата определяется уравнениями (91), в
которых а есть функция от лг, у и z, определяемая равенством (96).
Уравнения ребра возврата в декартовых координатах получим,
исключая а из уравнений
F(x, у, z, a) = 0, g=0, g = 0,
взятых попарно. Эти три уравнения можно также разрешить
относительно координат х> у и z, выразив их в функции
параметра я, и получить, таким образом, параметрические уравнения
ребра возврата в виде
* = У(а)і У=${а), * = Х(а)-
443

Не вдаваясь в более подробное исследование всех могущих
здесь представиться возможностей, мы ограничимся
рассмотрением нескольких примеров нахождения огибающих различных
семейств поверхностей и их рёбер возврата.
Пример 1. Рассмотрим семейство сфер постоянного радиуса Rt
центры которых лежат в плоскости хОу на окружности радиуса
г (r>R) с центром в начале координат. Уравнение семейства пред-
ставится в виде
(*-«)*+(.У-«" + ** = «*¦ (97)
где о и р связаны соотношением
о*+р* = Л (98)
Дифференцируя (97) по а, получаем:
Из равенства (98) имеем
Исключив из двух последних равенств j-t получим
—г- t »
откуда
д: у
7=Т* (99)
Остаётся исключить а и f из равенств (97), (98) и (99). Положим
а "~ {I ""ьГ;
тогда
и в силу (98)
а = их, $ = иу
к2=^ір72- (10°)
Уравнение (97) даёт:
(дга+Ж1-а)8 + ^-Л2 = 0. (101)
Исключив к из (100) и (101), после упрощений получим:
(х2 +У2 + г* + г2 — Л3)2 — 4r2 (jc« -f .У2) = 0.
Поверхность, представляемая этим уравнением, носит название тор.
Характеристиками здесь являются те большие круги сфер (97),
плоскости которых проходят через ось z. Вся поверхность тора
образуется, таким образом, вращением окружности радиуса R вокруг не
пересекающей её оси, лежащей в её плоскости. Очевидно, что все
характеристики в данном случае (т. е. при г > R) не имеют общих
точек и на торе не существует линии, которая касалась бы всех
характеристик, т. е. не существует ребра возврата (черт. 96).
444

Если г<#, то все характеристики и, следовательно, все сферы
семейства будут проходить через две фиксированные точки на оси z:
(О, О, /Я2 — г2) и (О, О, —VR2-г2). Следовательно, вместо ребра
возврата мы будем иметь две точки.
При r=R обе эти точки сливаются в одну (начало координат).
Пример 2. Рассмотрим семейство плоскостей
Ах + By -f Cz + D = О, (102)
где Л, В, С и О — произвольные непрерывные функции параметра а,
допускающие непрерывные же производные по о до второго порядка.
Дифференцируя (102) по ее, получим;
А'х + В'у-\-С'г + О' = 0. (103)
Исключив а из уравнений (102) и (103), получим уравнение искомой
огибающей. При заданном фиксированном значении а уравнения (102)
и (103) представляют
характеристику. Так как оба эти
уравнения — линейные, то
характеристиками служат
прямые линии. Следователь-
но, искомая огибающая есть
некоторая линейчатая
поверхность. Она носит
название развёртывающейся
поверхности. При
непрерывном изменении
параметра а плоскость (102)
непрерывно перемещается в
пространстве, касаясь
огибающей вдоль характеристики.
При перемещении
плоскости (102) перемещается и
характеристика и своим движением образует развертывающуюся
поверхность.
Дифференцируя по а равенство (103), получаем
А "х -f- В"у ~\- Cz -f D" = 0. (104)
Уравнения (102), (103) и (104) по исключении из них параметра а дадут
уравнения ребра возврата развёртывающейся поверхности. Разрешая
уравнения (102), (103) и (104) относительно х, у и z, можно выразить
их через а и получить параметрические уравнения ребра возврата
¦*=?(*)! У=Иа)> .* = Х(я).
Не выполняя практически этого разрешения, можно считать
координаты точек ребра возврата х, у и z неявными функциями
параметра а, определяемыми системой уравнений (102), (103) и (104).
Пользуясь этими уравнениями, можно установить расположение плоскостей
семейства (102) относительно ребра возврата. Докажем, что плоскости
семейства (102) являются соприкасающимися плоскостями ребра
возврата.
Так как и соприкасающаяся плоскость и плоскость семейства (102)
имеют общую точку на ребре возврата, то для их совпадения
достаточно их параллельности. Уравнение соприкасающейся плоскости
445

имеет вид (§ 12):
{у'*»-/V) {Х—х)+ {z'x»-z№xl) {Y—y)+ (xY-x!,yf) (Z-z) = 0.
Вычислим производные х\ У, z\ х'\ у'\ z". Как мы уже указали, для
точек ребра возврата мы можем считать xtynz неявными функциями
от а, определяемыми уравнениями (102), (103) и (104). Дифференцируя
в этом предположении (102), получим:
Ax' + By'+Cz' + A'x-t-B'y+C'z + D'^zQ.
Отсюда в силу (103)
Ax' + By*+Gg* = Q. (105)
Дифференцируя (103), имеем
А*х' + ВУ + C'z' + А»х + В»у + C'z + D" = 0.
Отсюда в силу (104)
A'x' + B'y'+C'z'^O. (106)
Наконец, дифференцируя (105), имеем
Ах" + By" + Cz" + A'xf + ВУ + C'z1 = 0.
Отсюда в силу (106)
Л*" + ЯУ'+С2"=0. (107)
Из равенств (105) и (107) находим
А : В : С= {y'z» —y"zl): {z'x* — zr,xT): {х'У — х'У)}
что и доказывает наше утверждение.
Нетрудно показать, что и обратно; совокупность всех
соприкасающихся плоскостей произвольной пространственной кривой образует
семейство плоскостей с одним параметром, огибающей которого
является развёртывающаяся поверхность — геометрическое место всех
касательных к данной кривой.
В самом деле, составив уравнение семейства соприкасающихся
плоскостей данной кривой, легко убедиться, что характеристиками
этого семейства служат касательные к данной кривой. Отметим
важное свойство, которым обладает развёртывающаяся поверхность по
отношению к своим касательным плоскостям. Мы видели выше, что
для произвольного'семейства поверхностей с одним параметром
каждая поверхность семейства касается огибающей вдоль характеристики.
Следовательно, плоскость семейства (102) касается развёртывающейся
поверхности вдоль всей образующей. Другими словами, во всех
точках одной и той же прямолинейной образующей развёртывающейся
поверхности касательная плоскость к этой поверхности одна и та же.
Это свойство характеризует развёртывающуюся поверхность среди
всех вообще линейчатых поверхностей.
Название «развёртывающаяся поверхность» объясняется тем, что
каждую такую поверхность, если она будет осуществлена из гибкого
и нерастяжимого материала, можно непрерывным изгибанием без
складок и разрывов развернуть на плоскость.
В этом можно убедиться, хотя и не вполне строго, следующими
рассуждениями. Возьмём произвольную пространственную кривую
и впишем в неё какую-либо ломаную линию. Продолжим
неограниченно звенья этой ломаной, через каждую пару продолженных
соседних звеньев проведём плоскость и ограничим её лишь частью, лежащей
между двумя последовательными секущими (черт. 97). В результате
446

мы получим некоторую поверхность, состоящую из последовательности
плоских пластинок. Вращая каждую пластинку около ее ребра, можно-
заставить все пластинки совместиться в одной плоскости, т. е, эту
поверхность можно
развернуть на плоскость.
Увеличивая число звеньев ломаной
так, чтобы длины всех
звеньев стремились к нулю,
легко заметить, что все
продолженные звенья, т. е.
секущие, будут стремиться
к касательным к кривой, а
наша пластинчатая,
поверхность — к
развёртывающейся поверхности. При этом
свойство пластинчатой по-
вер хности развёртываться
на плоскость будет
сохраняться в течение всего
процесса . увеличения числа
звеньев.. Можно предвидеть,
что это свойство
сохраняется и в пределе, т. е. для
развёртывающейся
поверхности. Строгое доказательство этого свойства развёртывающихся
поверхностей даётся в курсах теории поверхностей.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Кривая, данная параметрическими уравнениями
__ ЗаХ _ ЗаХ3
*~ 1+V ^""l+X^
называется «декартов лист». Написать уравнение касательной к этой,
кривой в точке, определённой значением Х== Xq.
Отв. (X4 - 2Х) х — (2Х3 - 1) у + ЗаХ*= 0.
При X, стремящемся к — 1, х и у стремятся к оо, а уравнение
касательной при Х = — 1 имеет вид х-\-у-\-а = 0 и представляет
касательную в бесконечно удалённой точке, т. е. асимптоту кривой.
2. Называя сопряжёнными те точки строфоиды
1 rt sin ф
о = а L,
г cos у
которые соответствуют различным знакам + в числителе при
одинаковом значении ф, найти; а) геометрическое место точек пересечения
касательных к строфоиде в парах сопряжённых точек; б)
геометрическое место точек пересечения нормалей в парах сопряжённых точек.
Отв. а) циссоида Диоклеса: у2 (2а — х) = іх — а)3; б) парабола.
3. Найти подкасательную кривой х(х*+у2) = 2гуі (циссоиды
Диоклеса).
х Or х)
Отв. $/ = —— , т. е., st есть четвёртая пропорциональная к
Or ™— X
трём известным отрезкам. Ферма принадлежит построение
касательных к циссоиде, основывающееся на этом свойстве.
447

4. Найти длину касательной к кривой (трактрисе):
Отв. t — a?
х = a In tg-77 + а cos Ъ У = а sin *
All
5. Вычислить длину отрезка касательной к астроиде лг3+^3=й3г
заключённого между осями координат.
Отв. а.
6. На кривой х2у = а2 (а—-у) (аньезиана) найти точку, в которой
поднормаль имеет наибольшую величину.
Отв. х = а, У — ~2>
7. Найти полярную поднормаль кривой р = \~а (конхоида
CUo Ф
Никомеда).
Отв. 2Я =—^ . Вывести отсюда способ построения касательной
п cos- у
к конхоиде.
8. Найти геометрическое место концов полярных подкасательных
и поднормалей логарифмической спирали r = ek9.
Отв. Логарифмическая спираль, совпадающая с данной.
9. Найти геометрическое место концов полярных поднормалей
«ривой г = а — ?ф2 (спираль Галилея).
Отв. Спираль Архимеда.
10. Найти геометрическое место концов полярных поднормалей,
«параболической» спирали (г — а)% = 2ару.
Отв. r3U — |-)=^f (*езл).
11. Найти геометрическое место концов полярных: а)
подкасательных; б) поднормалей кривой р = а—— (строфоида).
Отв. а) Кардиоида р = а (1 + sin <р); б) две параболы: *2з:2лу2 —
— д2 = 0.
Найти особые точки и асимптоты кривых:
12. *2 — ялг2.у — ?у3 = 0.
Отв. Тройная точка в начале координат.
13. х* — 2ву* _ з#2у2 — 2а2лг2 -f я4 = 0.
Отв. Три двойные точки (а, 0), (— а, 0), (0, — а).
14. У* (2х — а) + а?х* — х*?=-0.
Отв. В начале координат точка возврата.
Уравнения асимптот # = --, .у = 2 3 (ЛГЧ-'ё-)'
15. J/ (*2 — а2) = а (л:2 + л2).
Отв. Уравнения асимптот х = =?. а} у = а.
16. Я2;/2 _ хЧуЧ _ а2д;2 — 0.
Отв. Двойная точка (0, 0). Асимптоты: х= + а.
17. Найти радиус кривизны кривой
(jcS + j/3)9 = 2e3(jC2_J/3)
(лемниската Бернулли),
Отв. р =—.
448-

18* Вычислить радиус кривизны кривой, данной параметрическими
уравнениями х— а (2 cos X+cos2X), у = а (2 sin X — sin 21) (кривая Штей-
нера).
ЗХ
Отв. | р [ = ?а sin -^.
19. Найти огибающую семейства прямых (\-\-7а?)х — 6а3у — 2г=0.
78'Д:2
Отв. ,у2= (циссоида Диоклеса).
оэ * (<&/" — X)
20. Найти огибающую семейства парабол с общей осью и общей
директрисой.
Отв. Пара прямых, делящих пополам углы между, директрисой
и осью.
21. Найти огибающую семейства эллипсов с постоянной суммой
осей;
111
Отв. xz-\- у3 =Lb (астроида).
22. Кошйл отрезка постоянной длины а скользят по осям
координат. Какую кривую огибает этот отрезок при такой движении?
111
.'¦¦' Отв. Астроиду: x3-\-yz=az.
23. Найти огибающую семейства окружностей, построенных на
радиусах-векторах параболы, как на диаметрах.
Отв. Касательная в вершине параболы.
24. Найти огибающую семейства окружностей, построенных на
ради\'сах-векторах эллипса, как на диаметрах.
Отв. Окружность, описанная около эллипса.
25. Ко всем точкам кригой, данной параметрическими уравнениями
в полярных координатах (г, <р)
г» = «-2(5 4-4 cos ЗХ),
, 2-sinX — sin2X
6 ' 2 cos X-f cos2X
(кривая ШтеЙнера, зад. 18), проведены радиусы-векторы из полюса и
на ним, как на диаметрах построены окружности. Найти вгибающую
семейства этих окружностей.
Отв. /• — #cos3cp (трёхлепестковая роза).
26. Определить кривизну и кручение конического винта
x = t cos {mint), y=t sin (mint), z — nt.
1 тр^Уі + т* 1 MP* 1 j i
Отв. ? = t — * y ~ —Г~; отсюда W :Y ~const*
27. Найти геометрическое место главных нормалей
цилиндрического винта
х = a cos t, y=a sin t, z = kt
Отв. 2 = fcarctg— (геликоид).
29 Курс высшей математики, т. II. 449

ГЛАВА XII.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§ 1. Общие понятия.
Отыскание неизвестной функции одного аргумента по данной
её производной составляет, как мы знаем, основную задачу
интегрального исчисления. Если обозначить данную функцию через
f{x), то задача интегрального исчисления состоит в отыскании
функции у, удовлетворяющей соотношению
g-/W. (Ч
Эту задачу можно обобщить следующим образом.
* dv
Прежде всего производная — неизвестной функции может
быть задана выражением вида f(x, у), содержащим не только
аргумент х, но и самую неизвестную функцию у. Такое
выражение производной мы получали, например, при
дифференцировании неявных функций. В таком случае задача будет состоять
в отыскании функции у, удовлетворяющей соотношению
Можно поставить и'более общую задачу отыскания
функции у одного аргумента х, удовлетворяющей соотношению,
которое содержит х, неизвестную функцию у и ряд её
производных: У, у, ..., у(п\ т. е. соотношению вида
• Р{х, у, У, У, ..., У«)) = 0. (3)
Такое соотношение носит название дифференциального
уравнения. Равенства (1) и (2) суть частные виды дифференциальных
уравнений| Найти все функции у, удовлетворяющие данному
дифференциальному уравнению,—зцачит проинтегрировать это
уравнение. \
Порядок наивысшей производной, входящей в данное урав-
нение* называется порядком уравнения. Таким образом,
уравнения (1) и (2) суть уравнения первого порядка, уравнение (3)—
л-го порядка. Функцию у, удовлетворяющую данному
дифференциальному уравнению, называют решением этого уравнения;
если же эта функция будет определена, как неявная функция х7
уравнением вида ср (х, у) — 0, то это уравнение называется
интегралом дифференциального уравнения (3). Изучение способов
' отыскания функций, удовлетворяющих данному
дифференциальному уравнению, и составляет задачу настоящей главы.
450

§ 2. Общий и частный интегралы дифференциального
уравнения.
Мы знаем, что задача неопределённого интегрирования имеет
бесчисленное множество решений, так как для каждой
непрерывной функции существует бесчисленное множество
первообразных функций, разнящихся одна от другой на постоянное число.
Но эта задача есть, в то же время, задача интегрирования
простейшего дифференциального уравнения:
g =/(*). (4)
Общее решение уравнения (4) даётся формулой
y = ^f(x)dx=C; (5>
оно содержит одно произвольное постоянное ?
Посмотрим теперь, в кати мере неопределённа общая задача
интегрирования дифференциального уравнения /г-го порядка
F{xyyyy\y\ ..., у>> = 0, (3)
и сколько постоянных содержит общее решение этого уравнения.
С этой целью поступим следующим образом.
Возьмём какую-либо функцию у, зависящую не только от
аргумента х, но и от нескольких, например т, произвольных
постоянных Cv С2, С3, ..., Ст. Ради общности определим у как.
неявную функцию от х и постоянных Cv С2, С3, .,., Ст:
Я*, y> Q, Q, ..., CJ = 0. (6)
При различных частных значениях постоянных. Cv С2, ..., Ст
равенство (6) определяет различные функции у. Постараемся.
найти такое соотношение между аргументом дг, неизвестной
функцией у и различными её производными у', у", у'", ...,
которому удовлетворяли бы все функции у, определяемые
равенством (6), при любых значениях постоянных Cv С2, ..., Ст~
Такое соотношение, очевидно, вовсе не должно содержать этих
постоянных. Продифференцировав (6) т раз, мы получим ряд
новых равенств:
'd*f , і^/„/яі_
+ --+^W=-°-
(7>
29* 451

Равенства (7) содержат, вообще говоря, постоянные Сг, С2,
С3, . ¦., Ст, и им удовлетворяет любая функция у, определяемая
равенством (6). Чтобы получить теперь соотношение между х, у
и производными у, У, У"» --Л не содержащее постоянных Сь
С2, ...., Ст, мы должны исключить из т-\-\ равенств (б) и (7)
т постоянных С,, С2, ..., Ст; в результате, исключения мы
и получим искомое соотношение вида
F{x, jsy, у, ...,У«>) = 0, (8)
справедливое для любой функции _y, определённой равенством (6).
Равенство (8) есть, как мы видим, дифференциальное уравнение
т-то порядка, причём решениями его служат все функции у%
определяемые равенством (б) при всевозможных значениях
постоянных Cv С2, —, Ст.
В силу этого свойства мы назовём (б) общим интегралом
уравнения (8). В 'соответствии с этим общим интегралом
произвольного дифференциального уравнения (3) мы будем называть
такое соотношение между л*, у и п постоянными Cv С2, ...., С ,
которое после «-кратного дифференцирования и исключения
постоянных Cv Со, ..•, Сп приводит нас к данному
дифференциальному уравнению.
Давая постоянный Ct, С2, .'.., Сп отдельные частные значе»
ния, мы будем получать так называемые частные интегралы.
Нетрудно видеть, какой геометрический смысл имеют общий и
частные интегралы дифференциального уравнения.
Пусть общий интеграл уравнения (3) имеет вид:
Ф\х, у, Clf С2, .... Са)=0. (9)
Будем -рассматривать х и у как декартовы координаты точки
на плоскости, а Сп С2, .../С —как произвольные параметры;
тогда уравнение (9) представит семейство плоских кривых,
зависящее от- п параметров. При частных значениях постоянных С,,
С2, ..., Сп мы будем получать отдельные кривые этого
семейства. Эти кривые называются интегральными кривыми;
уравнения их суть частные интегралы данного дифференциального
уравнения (3). В силу этого уравнение (3) часто называют
дифференциальным уравнением семейства кривых, представляемых
оощим интегралом (9).
Ставя задачу интегрирования дифференциального, уравнения,
мы и будем понимать её как задачу отыскания общего интеграла
этого уравнения. При этом мы молчаливо предполагаем, что такой
общий интефлЛ; существует. При известных ограничениях,
налагаемых на функцию F, можно действительно показать, что
уравнение (3) имеет бесчисленное множество "интегралов, удовлетво-
452

ряющих некоторым a priori задаваемым условиям. Доказательства
этого предложения для уравнений первого порядка будет дано
ниже (см. § 9).
Кроме общего и частных интегралов дифференциального
уравнения, как мы увидим ниже, может существовать так
называемый особый интеграл, под которым подразумевается интеграл,
который не может быть получен из общего ни при каких
частных значениях произвольных постоянных. Возможность и причину
существования таких интегралов мы выясним впоследствии.
Пример 1. Возьмём уравнение
y-f а2у=0. (10)
Это уравнение —второго порядка, его общий интеграл имеет вид
,y = Cisin(<ur+C2). (11)
Действительно, чтобы (11) было общим интегралом уравнения (10)>
нужно, чтобы после двукратного дифференцирования (И) и
исключения постоянных Сх и С2 мы получили уравнение (10). Дифференцируя
(11) два раза, получим: " ,
yr=aCiCos(ax±Cz) и f — —а2Сх&п(ах+С2).
Деля последнее равенство на а2 и складывая с (11), получим
^і-5 = 0 или у±а*у = 0}
т. е. получаем уравнение (10).
Пример 2. 'Найдём дифференциальное уравнение семейства всех
окружностей постоянного радиуса R. Уравнение этого семейства
имеет вид
[х-СхУ-\-(У-С&=Я* (12>
Оно содержит . два произвольных параметра С\ и С2 — координаты
центра окружности. В силу предыдущего мы должны найти такое
дифференциальное уравнение, для которого равенство (12)
являлось бы общим интегралом. Так как» равенство (12) содержит дьа
произвольных постоянных, то искомое уравнение должно быть второго
порядка, для получения его нужно дзажды продифференцировать (12>
по х и исключить постоянные С\ и С2.
Дифференцируя два раза, последовательно находим:
(x-C1)+y'(y-Cz) = Q, (13)
1+у*+у{у-С%) = 0. (Н)
Остаётся исключить Сг и С2 из (12), (13) и (14). Из (14) имеем;
1 4- У2
подставляя в (13), найдём;
14- у'2
У
453

Вставляя х — С: я у — С2 в (12), получим искомое дифференциальное
уравнение
у"2 у"2
или
^±?Ц*. ,15)
Нетрудно заметить, что (15) выражает некоторое геометрическое
свойство, присущее всем кривым семействам (12). В самом деле, левая
часть (15) представляет выражение квадрата радиуса кривизны кривой.
Следовательно, уравнение (15) выражает тот факт, что все кривые
¦семейства (12) имеют постоянную кривизну ¦& , одинаковую для всех
кривых семейства*
Пример 3. Найдём дифференциальное уравнение семейства
окружностей постоянного радиуса /?, центры которых лежат на оси х. Это
семейство кривых зависит только от одного параметра — абсциссы
центра окружности. Уравнение этого семейства имеет вид
(*—с)*-ку»=/г* Об)
Так как уравнение (16) содержит только одно произвольное
постоянное С, то нужно продифференцировать это уравнение один раз
« из полученных равенств исключить С. Дифференцируя (16), имеем:
отсюда
х~С=—ууг.
Вставляя это в (16), получим искомое дифференциальное уравнение
«ащего семейства;
^24-уу2=#2. (17)
Опять нетрудно заметить, что оно выражает некоторое
геометрическое свойство, присущее всем кривым данного семейства. В самом
деЛе, из равенства (17) имеем
y=[/T+y~*=R;
§ю yV\-\~y'*~n, где п — длина нормали кривой (см. стр. 326);
следовательно, уравнение (17) выражает тот факт, что все кривые дан-
вого семейства имеют нормаль постоянной длины, равной R.
Нетрудно заметить, что (17) кроме общего интеграла (16) имеет
ещё" два особых решения, которые нельзя получить из (16) ни при
каком С.
Эти особые решения суть
y=:-l-R и у~ — R.
В самом деле, если >= + R, то у' — О и подстановка этих
значений в уравнение (17) приводит к тождеству
R*±R*-0 — RK
Геометрически этим особым решениям соответствуют две прямые,
-параллельные осилги отстоящие от неё нарасстояние/?. Ясно, что эти
прямые не входят в состав семейства окружностей (16).
-454

Пример 4. В двух последних примерах мы имели
дифференциальные уравнения, непосредственно выражавшие определённые
свойства интегральных кривых. Ясно, что и обратно, отыскание кривых,
обладающих тем или иным заданным свойством, может привести нас
к интегрированию дифференциального уравнения, интегралами
которого будут уравнения искомых кривых. Если бы мы искали, например,
все кривые с постоянной нормалью, то получили бы уравнение (17).
Точно так же отыскание кривых постоянной кривизны -д- приведёт
нас к интегрированию уравнения (15).
Найдем, для примера, все кривые, для которых поднормаль во
всех точках постоянна и равна р. Так как поднормаль sn
представляется формулой sa=zyyTf то для искомой кривой мы должны нме-ть:
УУ = р. (18).
Это равенство есть дифференциальное уравнение первого порядка.
Общим интегралом его, как нетрудно убедиться, является равенство
у* = 2рх + С, (19)
представляющее семейство парабол с параметром/;, оси которых
совпадают с осью Ох.
Пример -5. Многие задачи механики, физики, естествознания и
других наук также весьма часто приводят к интегрированию
дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например, задачу: определить закон
движения тояки М по прямой линии ОМ под действием
центростремительной силы, прямо пропорциональной расстоянию точки М от
' іфшдвйжной точки О. Массу точки для простоты примем равной 1.
Обозначая абсциссу ОМ точки М через х, мы должны выразить х
в функции времени -t. По известной теореме механики, сила /, дей-
d?x
ствующая на точку М, выразится так: J=~m-. С другой стороны,
lit
. та же сила, по условию, должна быть равна а?х, где а2 —фактор
пропорциональности; но так как сила, действующая на точку М, при х > С
направлена в сторону отрицательных хл то /= — а2х, \И мы имеем
равенство:
&х
.. .- . ;— — д2і-
Л»
Это равенство есть дифференциальное уравнение второго порядка,
выражающее искомый закон движения. Это же дифференциальное
уравнение.было рассмотрено в первом примере. Общий интеграл его,
как мы видели, пишется так:
х = d sin {at ±С2). (20)
Он и дает искомый закон движения.
Присутствие произвольных постоянных Сі и d в равенстве (20),
даюдн.ем закон движения, объясняется некоторой неопределённостью
задачи. В самом деле, не нарушая закона движения, мы можем
предположить, что в заданный момент времени tQ точка М находится от О
на данном расстоянии х0, и что ей сообщена некоторая начальная
скорость щ. Предположим, например, что в начальный момент * = 0
точка ЛТ находилась от О на расстоянии ОЛ = 1 и начальная скорость
её »0 = 0. Полагая в (20) * = 0, имеем:
/ = CisinCa. (21)
455

Далее, вычислим скорость движения v:
v — -rfT — аСі cos (a*-f- C2);
при tf = 0 имеем:
0 = ^CiCOsC2. (22)
Решая равенства (21) и (22) относительно С\ и С2і найдём:
Сг=1} С2 = 4 + 2^
где & = 0, 1, 2,... Подставляя эти значения в (20), получим:
х = ls'm(at-\—^-j.
Это равенство выражает теперь вполне определённый закон так
называемого гармонического колебания.
§ 3. Приближённое - построение интегральных кривых уравнений
первого порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
/(*,лУ)=о; (23)
его общий интеграл содержит одно произвольное постоянное и
представляет собой соотношение вида
F{xty,C)=<l.. (24)
Уравнение (24) представляет семейство кривых с одним
параметром; каждая кривая этого семейства обладает тем свойством, что
ордината каждой .ее точки, как функция, абсциссы, удовлетворяет
уравнению (23).
Выше мы указали, что такое семейство кривых существует. Для
случая уравнения первого порядка это можно подтвердить следую*,
щими соображениями. Решив з'равнение (23) относительно у, получим
У = <Р (х, у). (25)
Если уравнение (23) допускает несколько решений относительно у\
например, если это уравнение второй или ещё более высокой степени
относительно у', т? мы берём одно из этих решений. Функцию ер
будем предполагать ограниченной и непрерывной, по крайней мере
для некоторой области 2 изменения переменных х и у, и имеющей
ограниченную производную по у в точках этой области.
Каждой паре, значений х и у соответствует своё значение У,
определённое равенством (25). Будем рассматривать хну как
декартовы координаты точки на плоскости, а у' — как угловой
коэффициент прямой, проходящей через эту точку. Интегральные кривые
уравнения (23), в силу определения, обладают тем свойством, что- в каж-
456

дой точке координаты этой точки х> у и угловой коэффициент
касательной У удовлетворяют уравнению (25). Дадим способ
приближённого построения искомых кривых. Возьмем какую-либо точку А(хъуі)
в области 2 (черт. 98). Подставив эти значения х\ и уі в уравнение
(25), найдём соответствующее значение У; обозначим его через уг*
Проведём через точку А\ прямую с угловым коэффициентом у±
и возьмём на ней точку Л2, близкую к точке Ах. Прямая АХА* должна
быть касательной к искомой интегральной кривой, а так как
касательная есть предельное положение секущей, когда две точки
пересечения её с кривой стремятся к совпадению, то при достаточной
близости точек Ах и Л2 точку Л2 можно приближённо принять за
точку интегральной кривой. Обозначая координаты этой точки через
(*ъ У-і\ найдём из уравнения (25) соответствующее значение У;
обозначим его через у2: у2 = <р (хп7 у.2\ Проведём теперь через точку Аг
прямую с угловым коэффициентом у2 и возьмём на ней точку Az,
близкую к точке А2. При достаточной близости точек Л2 и Л3 точку Аг опять,
можно приближённо принять эа
новую точку интегральной кривой.
Продолжая этот процесс
построения, мы получим ряд точек АЬАЪ
- A:h ... , Аа и ряд прямых А\АЪ
А^Аь ... , Ап^іАа, соединяющих
, попарно каждые две последова-
; тельные точки. Если мы, сохраняя
закон построения, будем брать
звенья ломаной линии АіА.гА$... Ап
все меньшей длины, то можно
показать, что при условиях,
наложенных выше на функцию <р (xt
у), ломаная линия будет при этом
стремиться к определённой един-
0
-+Г
Черт. 98.
ственнои предельной кривой линии, причём прямые АХАЪ Л2Л3, ...
в пределе обратятся в касательные к этой линии. Эта линия будет
интегральной кривой, проходящей через точку А\. Таким образом через
каждую точку проходит одна интегральная кривая.'Нетрудно теперь
показать, что все эти кривые образуют семейство кривых с одним
параметром.
Для этого покажем, что можно ввести такой параметр \ что
каждому значению \ будет соответствовать единственная вполне
определённая интегральная кривая. Проведём через начало координат какую-
либо прямую /, пересекающую область 2. Эта прямая пересечёт н наши
интегральные кривые, если не все, то некоторую часть их. Через
каждую точку М прямой /, лежащую в области 2, проходит одна
интегральная кривая. Расстояние ОМ можно принять за параметр \ опре~,
деляющий интегральную кривую, проходящую через точку М; ОМ = Х,
Каждому значению I соответствует, очевидно, единственная
интегральная кривая. Если бы нам удалось составить одно уравнение, общее
для всех интегральных кривых, то такое уравнение будет содержать-
параметр X, индивидуализирующий кривую семейства. Это уравнение
будет представлять собой общий интеграл дифференциального
уравнения (25).
457

Другое, чисто аналитическое доказательство существования
решения дифференциального уравнения первого порядка будет во всех
подробностях проведено ниже (§ 9).
Данному выше методу приближённого построения интегральной
¦кривой можно придать более законченную форму. Выше было сказано,
что уравнение (25) устанавливает зависимость между точками
плоскости с координатами (х, у) и проходящими через эти точки прямыми
•с угловым коэффициентом у\ Каждой точке плоскости (в некоторой
ее области) с координатами {х, у) соответствует проходящая через
J/
О
Черт. 99,
неё прямая с угловым
коэффициентом у', определяемым из
уравнения (25). Если в уравнении (25)
придать величине у' какое-либо
постоянное значение, то это урав-
нение определит некоторую
кривую, обладающую тем свойством,
что для всех её точек
соответствующие им прямые, т. е.
касательные к интегральным кривым
в этих точках, параллельны
между собой. Такая кривая носит
название изоклины. Каждому
значению У соответстэует своя
изоклина. Совокупность всех
изоклин для данного
дифференциального уравнения образует
семейство с одним параметром.
Уравнением этого семейства служит
данное дифференциальное
уравнение, в котором у'
рассматривается как параметр семейства.
Можно дать весьма простой способ приближённого построения
интегральной кривой, проходящей через данную точку при помощи семейства
изоклин.
Пусть дана точка Л0(х0)Уо) (черт. 99). Координатам х^ у0
соответствует определённое значение уг=у0. Дадим теперь уг ряд
значений -V у'ь У%> Уг> ••• чеРез равные и достаточно малые промежутки
(величина промежутка определяется степенью точности построения).
Этим значениям у1 соответствуют изоклины
/(л-,^^) = 0, f{xty,y[) = 0, /(лг,>,У2) = 0, ... (26)
Эти изоклины наносятся на чертёж, после чего приближённое
построение интегральной кривой осуществляется следующим образом; через
точку А0 строим прямую, соответствующую изоклине (yQ), т. е.
прямую с угловым коэффициентом у0, и продолжаем её до встречи
в точке Лг с изоклиной (у^; в точке Аг строим прямую, соответствую-
іцую изоклине (уг\ и в точке А2 встречи этой прямой с изоклиной
іУ%) строим следующую прямую, и т. д. Таким путём получим
ломаную линию, приближённо представляющую интегральную кривую. Этот
способ принадлежит Массо (Massau).
458

§ 4. Разделение переменных. Однородные уравнения.
1. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
% = Пх,У\ (27)
где
Fix v) — ZW
Имеем:
их ${уУ ^' '
Это уравнение- можно представить в форме
§(y)dy=t?{x)dx. (28)
Правую часть этого равенства мы можем рассматривать как
дифференциал некоторой неизвестной нам функции Ф (х)
аргумента х. Эту функцию мы можем найти квадратурой1):
. : ¦ :, 0(x)=[f(x)dx.
Левая часть равенства (28) также представляет со5ой
дифференциал некоторой функции V(y) аргумента у, которую можно
і найти квадратурой:
•''•-' , V(y) = [$(y)dy.
Но так как у есть функция х, то &(у) есть также функция х,
и левую часть (28) можно рассматривать как дифференциал
некоторой функции аргумента х. Равенство (28), таким образом,
выражает равенство дифференциалов двух функций аргумента х.
Но если дифференциалы двух функций равны, то сами функции
разнятся на постоянное число. А потому из (28) находим:
[${y)dy=[<? (*) dx + в. (29)
Выполнив эти квадратуры, мы и найдём общий интеграл
уравнения (27). Мы говорим, что в уравнении (28) переменные
разделены. Таким образом, если в данном уравнении (27) удастся
произвести разделение переменных, • то интеграция уравнения
сведётся к простым квадратурам.
Пример, Рассмотрим уравнение
^у , xslnx «
dx*y cos v
*) Мы будем в дальнейшем вычисление неопределённого интеграла
называть «квадратурой», а термин «интегрирование» относить
исключительно к интегрированию дифференциальных уравнений. ч
459

Освобождая уравнение от знаменателя, получим:
у cos у dy 4- х sin х dx = 0 или у cos ^ dy = — jc sin л: Лс.
Это равенство можно интегрировать почленно:
\ у cosy dy = — \ .г sin * #л; -[- С
Выполнив квадратуры, найдём:
j/sin^4" cos^ — л: cos л: 4~ sin д: = С.
Таков общий интеграл данного уравнения.
2. Иногда разделение переменных становится выполнимым
лишь после некоторых преобразований данного уравнения. Как
пример такого случая рассмотрим так называемое однородное
уравнение, т. е. уравнение вида
dy^M(x,y)
dx N(x, у)' ^и)
где М{х,у) и N{x, у} суть однородные функции с одинаковым
показателем однородности т1).
Введём вместо у новую неизвестную функцию и, полагая
У_
х
найдём:
и= j-, откуда у = их. Дифференцируя последнее равенство,
і:
dy . du х
Подставляя эти значения у и -т- в (30), мы получим новое
дифференциальное уравнение, связывающее аргумент х, неизвестную
du
функцию и и ее производную j-, и задача приводится, таким
образом, к интегрированию уравнения
rda | „ _ M{xt ах) пп
Xdx + a-N(x,ux) • (dl)
Но в силу однородности функций Л! и N имеем:
М(х, их) = хтМ(\, и),-
N(x, ux) = xmN(\, и).
Следовательно, (31) принимает вид:
dx ' jV(1, и) v '
!) Об однородных функциях см. стр. 167,
460

В этом уравнении легко выполнить разделение переменных;
В самом деле, перенеся и в правую часть и умножив затем обе.
части на выражение
dx
х
получим:
т >
M(\,U) g
L^(1,b)
du dx
M(l, и) ~x*
N(Uu)
Определив отсюда с помощью простых квадратур и в
функции х и подставив это выражение в равенство у=их, мы
найдём искомую функцию у.
Пример. Возьмём уравнение
.?=?+?. (33)
dx х—у у
Полагаем у~их\ отсюда
dy , da
Подставляя в данное уравнение, найдём:
, du \ 4-и
1 dx 1 — и
Разделяя переменные, получим:
dx (1 — u)du
~х~~ 1+и2 '
Выполняем квадратуры:
In х = arctg и — — In (1 4- к2) + In С;
отсюда
х ]Л4-и* = Ce^tg и. (34)
Таков общий интеграл уравнения (33). Нетрудно видеть, что
семейство интегральных кривых есть семейство логарифмических спиралей
с общим полюсом в начале координат. В самом деле, введя вместо
декартовых координат*чіблярныет мы получим то же семейство в
полярных координатах:
г — Се1?.
Это, очевидно, есть семейство равных логарифмических спиралей
с общим полюсом (см. т. I, стр. 174—175). Все эти спирали, как
нетрудно заметить, пересекают радиусы-векторы во всех точках под
одинаковым углом, равным -j (см. гл. XI, § 3, пример 1).
451

§ 5. Линейные уравнения первого порядка»
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида
% + Py = Q,' (35)
г де Р и Q суть какие-либо функции х: в этом- уравнении про-
изв'одная—- выражается в.виде линейной функции от у с пере-
м енными коэффициентами.
Уравнение (35), в которого Q = 0, называется линейным
уравнением без второй части или линейным однородным уравнением:
% + РУ = 0. • (36)
Уравнение (36) интегрируется непосредственно, так как в нём
весьма просто разделяются переменные. В самом деле, это
уравнение можно представить в форме
откуда
lny = — ^Pdx-\-lnC,
или
y=Ce-$Pdx. (37)
Перейдём к уравнению (35).
Мы укажем два приёма интеграции этого уравнения. Первый
приём состоит в следующем.
Представим у в форме произведения двух функций и и v>
iy = uvi из них первую, и мы можем выбрать произвольно, авто-
рая, v определится из того условия, что у, т. е. произведение av,
должно удовлетворять уравнению (35). Дифференцируя равенство
y = uv,
находим:
dy dv . du
dx- = Udx+Vdx-'
Подставляя выражения для у и ^ в уравнение (35), получим:
dx
dx l " dx
dv i du ,
или
dv , (du
•?+"(S+i>0-» «»>
462

Пользуясь произволом выбора функции иу выберем её так, чтобы
в (38) коэффициент при v обратился в нуль, т. е. чтоЗы функция
и удовлетворяла уравнению
^ + Ptt = 0. (39)
Это уравнение есть линейное однородное уравнение. Его общий
интеграл по предыдущему имеет вид
^ - [pdx
Так как нам достаточно взять какое-либо частное решение
уравнения (39), то постоянному С можно придать какое-либо'
частное значение, например, принять С= 1, т. е. принять а = е~* >
Уравнение (38) при таком выборе и примет вид:
— \PdxdV «
е J — = О:
отсюда
**--<*
dx ^
.Из этого последнего уравнения мы можем определить v простой
квадратурой:
г> = JQ*TP **<?*+С.
Щш нахождения у остаётся подставить полученные значений
для '%• и:у ;ві равенство y=uv. Эта подстановка даёт;
.y=e4Pdx[lQefPdxdx + C
(40)
Второй приём интеграции уравнения (35) принадлежит
французскому математику Лагранжу и носит название метода
вариации произвольного постоянного.
Он состоит в следующем. Пусть дано уравнение:
QL + Py=Q. (35)
Заменим функцию Q, стоящую в правой части этого уравнения*
•через 0, т. е. возьмём уравнение:
g+Py=o. (36).
Это — однородное уравнение, его общий интеграл имеет вид
y=arfpa*. (37)
465

При всевозможных частных значениях постоянного С мы будем
получать интегралы уравнения (36), но ни при каком значении С
функция (37), очевидно, не будет удовлетворять уравнению (35).
Но можно поставить такой вопрос: нельзя ли в равенстве (37)
постоянное С заменить такой функцией ,v, чтобы это равенство
дало интеграл уравнения (35)? Итак, будем в равенстве (37)
считать С не постоянным числом, а некоторой функцией х, и
постараемся подобрать эту функцию так, чтобы у, определяемое
равенством (37), удовлетворяло уравнению (35).
Дифференцируя равенство (37), считая С функцией х, получим:
н<, иг -Г*** -fPdx
<%L = dS-e J -CPe J .
dx dx
Подставляя эти выражения у и ~ в (35), найдём:
или
dC -fp<f* -
dx* ^
отсюда
иг
Qe
dC Л {Pdx
—- LiP.J
dx
и следовательно,
Г \ P dx
C = )Qe dx + C, (C, = const).
Подставив это в (37), получим общий интеграл для (35):
t={[Q*SP"dx+Cl)rSP'x.' (40')
Это выражение тождественно с найденным выше выражением (40).
Отметим теперь некоторые общие свойства интегралов линей-.
ных уравнений.
Рассмотрим сначала однородное уравнение (36):
?+*-••
Пусть нам известно одно частное решение этого уравнения.
Докажем, что в таком случае общий интеграл этого уравнения
может быть найден без помощи квадратур. Пусть ух есть
решение уравнения (36), так что тождественно
464

Умножая это равенство на —j/, а равенство (36) на ух и
складывая, получим:
Деля на у\, получим:
dy dy-i
откуда
dx ^ dx п d {у \ Л
—\—=° или ^Ы=0;
у = Су или У=СУі*
Это, очевидно, — общий интеграл уравнения (36).
Итак, при заданном частном решении уравнения (36) его
общий интеграл находится умножением частного решения на
произвольное постоянное.
Возьмём теперь неоднородное линейное уравнение (35):
Мы видели выше, что для нахождения его общего интеграла
нужно выполнить две квадратуры. Докажем, что, если нам
известно одно частное решение уравнения (35), то для
получения его общего интеграла достаточно одной квадратуры. Пусть уг
есть частное решение уравнения (35). Положим
У=Уі + и>
откуда
dy_ dyx ¦ du
dx dx ' dx'
Вставляя это в (35), получим:
но так как уг есть решение уравнения (35), то имеем
тождественно:
и, следовательно, (41) примет вид:
30 Курс высшей математики, т, II.
465

Это — линейное однородное уравнение, оно интегрируется одной
квадратурой, и общий интеграл его имеет вид
- -fpdx
следовательно, общий интеграл уравнения (35) напишется в виде
Для нахождения его, очевидно, нужно выполнить лишь одну
квадратуру.
Докажем далее, что, если мы знаем два частных решения
уравнения (35), то общий интеграл его мы можем найти без
всяких квадратур.
Пусть у{ и у2— два частных решения уравнения (35).
Полагая у=Уі-{-и, мы по предыдущему получим для а
однородное уравнение:
р+Ри = 0.
dx l
Легко видеть, что для этого уравнения нам известно одно
частное решение. В самом деле, так как у2 есть решение
уравнений (35), то уравнению
f + A* = 0
dx '
должна удовлетворять функция uv найденная из равенства
т. е. функция
Щ=У%—Уі>
но, если известно одно решение однородного линейного
уравнения, то общий интеграл его находится без квадратур:
и=Сих = С(у2—у1);
следовательно, и общий интеграл уравнения (35) находится без
помощи квадратур:
У=Уі + и=Уі + с(Уг—Уі)-
Оба данных частных решения входят в состав решений, даваемых
общим интегралом; действительно, при С=0 имеем у=у{,
а при С= 1 имеем у'=уг. Так как уг и у2 были какие угодно
частные решения, то отсюда следует, что любое частное
решение линейного уравнения входит в состав общего интеграла, т. е.
линейное дифференциальное уравнение особых решений не имеет.
466

Последнему равенству можно дать простое геометрическое
истолкование. Перепишем его в следующей форме;
У — У\
Уі — Уі
= с.
(42)
Возьмём три какие-либо частные решения уравнения (35) yv у2, уг*
Для них в силу (42) будем иметь тождественно:
У-2-Уі г
(«'>
Возьмём соответствующие интегральные кривые:
У = /і(х)9 y=f2(x), y=fz(x).
Проведём какую-либо прямую РМВ || Оу, пересекающую наши
кривые соответственно в точках Mv М2, Мв (черт. 100). Мы
имеем PMx~yv РМ2=у2і РМг=у& и (42г) даёт:
МхЩ_г
МлМ.
Для другой прямой Р'М'
М1М3
МгМ2
Следовательно,
МХМВ
-—Г
Оу точно так же будем иметь:
У
мхмъ
мхм2 м[м2'
Отсюда
мхм* мхм0
= —;—7 = const,
М,М2 ММ.
(43)
Черт. 100.
т. е. всякие три интегральные кривые отсекают от прямых,
параллельных оси ординат, отрезки, находящиеся в постоянном
отношении.
Пользуясь пропорцией (43), можно, имея две интегральные
кривые, легко построить третью, проходящую через любую
заданную точку внутри полосы, заключённой между ними, т. е.
по двум интегральным кривым можно построить и все остальные.
Пример 1. Дано уравнение
dx
30*
(44)
4G7

Применим первый из данных выше приёмов интеграции, Полагая
y~uv,
имеем:
Уравнение (44) даёт:
или
dy dv . da
dx dx ' dx
dv . da 9
xa-:—U xv av = x2
dx ' dx
dv , ( dii
xa
dx^v\xrx-u)=x- <45>
Выберем и так, чтобы иметь:
du Л
dx
отсюда
da dx
а х ' ,
'и следовательно, можно взять
«= X,
Уравнение (45) принимает вид:
dv
dx
x*-r=x\
или
откуда
Следовательно,
или
dv .
© = *-+-С.
_у = и» = х (лг -f С),
У = х*-)-Сх.
Семейство интегральных кривых, как нетрудно видеть, есть семейство -
парабол, проходящих через начало координат, оси которых параллельны
оси у, причём параметр семейства С представляет собой угловой
коэффициент касательной к соответствующей параболе в начале
координат. Всё семейство может быть образовано, таким образом, движением
по плоскости одной параболы, постоянно проходящей через начало
координат, с осью, параллельной оси ординат.
Допустим теперь, что мы заранее знаем одно частное решение
уравнения (44). Тогда общий интеграл мы можем найти с помощью
одной квадратуры. Так, нетрудно заметить непосредственно из
уравнения (44), что одним из его решений является функция х\ Полагаем:
y~X2-\-U.
Отсюда
T-^x + f-
dx J dx
лт

Подставляя в данное уравнение, найдём;
1 dx 9
или
da Л
х- и = 0.
dx
Отсюда
dx du
х а
Выполнив квадратуру, найдём:
и=Сх,
и следовательно,
у = х*+Сх.
Пример 2. Возьмём уравнение
sin х -— + у = sin х -J- у sin 2*. (46)
Применим второй метод. Заменив в (46) правую часть нулём,
получим однородное уравнение
sin х -^ 4\У = 0.
Разделяя в нём переменные и интегрируя, найдём:
^+^?_ = о.
У ' SltlJC
Отсюда
ln3/4intg 2" = 1пС,
или
>=Ccig|-. (47)
Будем считать в этом равенстве С неизвестной функцией х и
определим её так, чтобы (47) удовлетворяло уравнению (46). Дифференци-»
руя (47), находим;
dy__d? х С
dx ~ dx g 2 . . , х '
2 sin3 -у
Вставляя в <46), получим:
Sin * [ Лё g Т х \ + ^ ctg^- = sin а: 4 -J sin 2лг»
V ' 2s№T/
или, после упрощений:
r+rr
2 dx
, х dC , .
469

откуда
j? = tg |- (1 +cosдг) = sin*.
Следовательно,
C= — cos л: -f* C\
и
-У=<^у(Сі — cos*).
§ 6* Дифференциальные уравнения первого порядка,
приводящиеся к линейным уравнениям.
Рассмотрим несколько типов дифференциальных уравнений,
интеграция которых сводится к интеграции линейных уравнений.
1. Уравнения типа Бернулли. Эти уравнения имеют вид
g + Py = <?y> (48)
где Р и Q—функции*. Чтобы проинтегрировать уравнение (48),
введём вместо у новую неизвестную функцию и, полагая
Отсюда
* dx 1 —л dx
Подставляя в (48), получим:
1 —П A J_ П
1 — гс гіл; ] ^
я
или; сокращая на w
T±-nd?. + Pa = Q. (49)
Это — линейное дифференциальное уравнение; проинтегрировав
его, мы найдём сначала неизвестную функцию и, а затем и у
из равенства и=ух~аш
Пример.
dy , у у*
Ох + Т^хЪ- (430
Это — уравнение типа (48); здесь в = 2, следовательно, мы должны
положить;
1
"=7-
470

Отсюда
— 1 ^—__1^
У~ и* dx~~ tfidx'
Подставляя в (48'), получим:
1 da 1 _ 1
или, по сокращении:
Это—линейное дифференциальное уравнение. Чтобы найти его общий
интеграл, применим метод Лагранжа. Берем соответствующее
однородное линейное уравнение:
dx х
Разделим в нём переменные и интегрируем; получим:
и — Сх.
Будем считать С неизвестной функцией х и определим ее так, чтобы
и=,Сх удовлетворяло уравнению (49'). Дифференцируя, имеем;
dx ' dx
Вставляя в (49') вместо и и — их выражения, получим:
п і dC г l dC 1
C+*S?-C = "» или S="J3;
отсюда
где С].—произвольное постоянное, которое для удобства мы
представим в виде
Г'
следовательно,
а потому
и, наконец,
и = Сх=—2Г-
_1_ 2лг
и — 1-f-C'jc*-
2. Уравнения типа Лагранжа. Эти уравнения имеют вид
471

где ср и ф— произвольные дифференцируемые функции.
Обозначу
чая — через р, получим:
'У=*9ір) + $(Р). (50')
Продифференцировав это равенство по х, получим:
p=?(p)+*?'(p)?+f(p)?.
Это равенство содержит лишь величины х, р и -^ и, если
рассматривать в нём /? как независимое переменное, а х— как
его функцию, и представить его в виде
'* = Ч'(Р) х I V(P)
dp р — у(р) """jp-fW
то нетрудно заметить, что в этой форме оно является линейным
дифференциальным уравнением, определяющим х как функцию
р; проинтегрировав его, мы найдём х в функции р и
произвольного постоянного С
Выразив обратно р через х и С и подставив в (50'), мы
найдем у в функции х и С, т, е. получим общий интеграл
уравнения (50).
Пример.
у = хУ*±у*. (51)
Обозначая У через /7, будем иметь:
у = хр*+р\ (51')
Дифференцируя (51') по д:, найдём:
ИЛИ
1 tf* l rfjf
Считая л: функцией /?, решим это уравнение относительно —:
dx 2х Т
dp р — 1 р — 1 *
Это —линейное дифференциальное уравнение; его общий интеграл
мы легко найдём приёмами, данными в предыдущем параграфе. Этот
общий интеграл можно* написать непосредственно, применяя
формулу (40):
Представив произвольное постоянное С в виде С2, можно написать:
(х + 1){р-1)*=С\ (52)
472

Для нахождения общего интеграла данного уравнения остаётся
исключить р из (51) и (52). Из (52) находим:
¦ С+Ух+1
Р~ ГЩГі •
Подставляя в (51'), получим:
Нетрудно заметить, что, кроме общего интеграла, данное урав*
нение имеет ещё особый интеграл у = 0.
3. Уравнения типа Клеро. Эти уравнения представляют:
собой частный вид уравнений Лагранжа (50), когда
* \dx) dx
Таким образом, общий вид уравнения Клеро таков;
У=У*+/(У), где /=g. (53>
Для нахождения общего интеграла уравнения (53) можно
применить общий метод интеграции уравнений Лагранжа, причём
в рассматриваемом частном случае интеграцию можно
значительно упростить.
Дифференцируя (53), получим:
y=S+xg+fit)%
dx ' v-^ ' dx
или
I*+f №]%=<>•
Этому уравнению можно удовлетворить двумя способами:
во-первых, полагая -^- = 0;
во-вторых, полагая х -\-f (у') = 0.
<ty_
Рассмотрим первое предположение. Пусть -^- = 0, тогда у'=
= С, и так как искомая функция у должна удовлетворять
уравнению (53), то, подставляя эт© выражение у' в (53), получим
искомую функцию у в виде
' y=Cx + f(C). (54>
Это выражение искомой функции содержит произвольное
постоянное С и, следовательно, является общим решением данного
уравнения. Таким образом, для нахождения общего интеграла
уравнения (53) достаточно в этом уравнении заменить у1
произвольным постоянным С.
473-

Рассмотрим теперь второе предположение. Пусть
*+/'(У) = 0. (55)
Так как искомая функция .у должна удовлетворять уравнению (53),
то для получения этой функции можно разрешить (55)
относительно У и подставить это выражение в (53), другими словами —
исключить у' из (53) и (55). Такое исключение приведёт нас
к новому соотношению между х и у, не содержащему
произвольного постоянного, причём у, определяемое этим
соотношением, в силу самого способа его получения будет удовлетворять
уравнению (53). Легко заметить, что функция у, определённая
таким образом, не может быть получена из общего интеграла
(54) ни при каком частном значении С. В самом деле, пусть,
в противоречие с нашим утверждением, функция у, определяемая
уравнениями (53) и (55), может быть получена из общего
решения (54) при некотором значении С0 параметра С:
¦ y = CQx+f(CQ).
Тогда у = С0 и подставляя это в (55), получаем:
х =—/' (С0) = const,
в противоречие с предположением, что л: — независимая
переменная. Таким образом, исключение у' из (53) и (55) даст особый
интеграл уравнения (53).
Пример.
y=y'x+}j. (530
Общий интеграл мы получаем, заменяя у' через С;
y=Cx±j. (540
Для получения особого интеграла дифференцируем (530:
или
Предположение ~ = 0 приводит к общему интегралу (540,
предположение
дг+у = 0 (550
приводит к особому интегралу, который мы получим, исключив у из
<530 и (550. Из (550 имеем;
У = — х.
474

Вставляя это в (530, получим:
х2 х%
j/ = —л:а+-g- или y=z—-9 (56)
X2
Можно и непосредственно убедиться, что функция — -к-
удовлетворяет уравнению (53').
Общий интеграл (54') представляет семейство прямых с одним
параметром, особый интеграл (56) представляет параболу, ось которой
совпадает с отрицательной осью у, а вершина лежит в начале
координат.
Нетрудно заметить, что все прямые (54') касаются параболы (56).
§ 7. Особые решения дифференциальных уравнений
первого порядка.
Мы уже видели выше, что дифференциальное уравнение
первого порядка, кроме общего интеграла, содержащего одно
произвольное постоянное С и дающего при частных значениях С
бесчисленное множество частных интегралов, может иметь ещё
особый интеграл, которого нельзя получить из общего ни при
каком частном значении постоянного С
На примерах предыдущих параграфов мы видели, что
некоторые дифференциальные уравнения имеют особый интеграл,
как, например, уравнения типа Клеро, тогда как другие его не
имеют, например, линейные уравнения. Постараемся теперь
уяснить причину существования для некоторых дифференциальных
уравнений таких особых интегралов.
Пусть дано дифференциальное уравнение
/(*,*/) = <> (57)
и его общий интеграл
F(x,y,Q=Om (58)
Этот общий интеграл геометрически представляет семейство
плоских линий, зависящее от одного параметра. При частных
значениях постоянного С мы получаем отдельные кривые
семейства, так называемые интегральные кривые уравнения (57),
Каждая интегральная кривая обладает тем свойством, что координаты
х, у каждой её точки и угловой коэффициент у' касательной
в этой точке удовлетворяют уравнению (57). Если числа х и у
суть координаты одной из точек данной кривой, а у'—угловой
коэффициент касательной в этой точке, то мы для краткости
будем говорить, что тройка чисел (л;, у,уг) принадлежит данной
кривой. Интегральная кривая уравнения (57) есть, по
определению, такая кривая, что все принадлежащие ей тройки (л:, у, уг)
удовлетворяют уравнению (57).
475

Если (57) имеет особый интеграл, т. е. такой, который нельзя
получить из (58) ни при каком С, то это означает геометрически,
что существует кривая, не принадлежащая к семейству (58) и
обладающая свойством интегральной линии. Допустим, что такая
кривая существует; назовем её кривой g. Возьмём на ней
произвольную точку М0{х0,у0) и вычислим угловой коэффициент^
касательной к кривой g в этой точке. Числа лг0, у0, y'Q по
условию удовлетворяют уравнению (57), но мы уже указывали выше, что
всякая тройка чисел (х, у, У), удовлетворяющих уравнению (57),
необходимо принадлежит некоторой кривой, входящей в состав
семейства интегральных кривых, представляемых общим интегралом.
Отсюда следует, что наша кривая g в каждой своей точке
должна касаться одной из кривых семейства (58), т. е. кривая g
должна быть огибающей семейства кривых (58). Обратно, легко
видеть, что если семейство (58) имеет огибающую, то эта
огибающая есть интегральная кривая для (57), ибо все
принадлежащие ей тройки чисел (х, у, у') принадлежат в то же время и
одной из кривых семейства (58) и, следовательно, удовлетворяют
уравнению (5.7); если эта огибающая сама не входит в состав
семейства (58), то она даёт особый интеграл уравнения (57). Из
сказанного следует, что уравнение (57) только тогда имеет особый
интеграл, когда семейство интегральных линий, представляемых
общим интегралом, имеет огибающую и притом не входящую
в состав семейства (58).
Это свойство особого интеграла объясняет, почему линейное
уравнение не может иметь особого интеграла. В самом деле,
из данного в § 5 свойства интегральных кривых линейного
уравнения нетрудно видеть, что либо никакие две интегральные
кривые не пересекаются, либо все интегральные кривые
проходят через одну точку — в обоих случаях семейство таких линий
не имеет огибающей.
Рассмотрим теперь уравнение Клеро:
Его общий интеграл у=Сх-\-/(С) представляет собой
семейство прямых с одним параметром. Такое семейство всегда имеет
огибающую, если только это семейство не вырождается в
пучок прямых1); этим и объясняется, что уравнение Клеро имеет
особый интеграл.
!) Мы пргдполагаем непрерывность и двукратную дифференцируй
емость функции /. При этих условиях семейство прямых
y = Cx±f(C),
не вырождающееся в пучок, может быть образовано непрерывным
476

Доказанное свойство особого интеграла даёт в то же время
и способ его нахождения, для того случая, когда уже найден
общий интеграл.
В самом деле, огибающую семейства линий с одним
параметром мы находим, дифференцируя уравнение семейства по
параметру и исключая затем параметр семейства; а поэтому, чтобы
найти особый интеграл уравнения (57), зная общий интеграл (58),
нужно продифференцировать (58) по" С и исключить С из
равенств
F(x,y,Q = Q
и
dF{x,y,Q
дС
= 0, (59)
Легко заметить, что особый интеграл уравнения Клеро,
который мы получили выше, может быть найден и этим оЗщим
приёмом. В самом деле, особый интеграл этого уравнения мы
получили как результат исключения у' из равенств
¦У = *У'+/<У) и х+/'(у') = 0. (60)
Общий интеграл того же уравнения имеет вид
" у = сх+№.
Огибающую семейства интегральных прямых мы найдём,
исключая С из равенств
y=Cx + f{C) и x + f(C) = 0. (61)
Ясно, что исключение у' из равенств (60) и исключение С из
равенств (61) приведёт к одному и тому же соотношению между
х и у.
Пример 1, Уравнение Лагранжа
y^xyt+У* (57')
имеет, как мы видели, общий интеграл
y=(C+VZ+\)*. (58')
Чтобы выяснить, существует ли особый интеграл, будем искать
огибающую семейства интегральных кривых. Дифференцируя по С равенство
У = (С + У^Т)2, (58')
находим:
Q = 2(C-^VxT\\ (59')
9
движением прямой на плоскости, при котором прямая необходимо
будет огибать некоторую кривую.
477

Исключая С из (58') и (59'), найдём: у = 0. Это и есть тот особый
интеграл для (57'), на который мы указывали в предыдущем параграфе.
Пример 2. Дифференциальное уравнение
уЦ\±у'*)=:а\ (57")
как мы видели в § 2, имеет общий интеграл
(х-С)*+-у* = аЪ, (58")
представляющий семейство окружностей постоянного радиуса я, цен-
тры которых лежат на оси х.
Найдём огибающую этого семейства. Дифференцируя по С,
найдём:
2(*-С) = 0. (59")
Исключая С из (58") и (59"), получим:
/ уЪ = а~ или у = ±.а.
Легко видеть, что обе функции у = -\-а и у =—а удовлетворяют
уравнению (57") и являются его особыми решениями; на существование
их было указано выше (§ 2, пример 3),
Пример 3. Рассмотрим уравнение
*У=*±Уш (57'-)
ах х — у v '
Его общий интеграл (см. § 4) имеет вид
v
. г arctg —
Vx2+y2=C-e х\ . (58">)
Будем искать огибающую семейства интегральных кривых.
Дифференцируя (58'") по С, получим;
arct^ ?¦
е х=0. (59"')
Легко видеть, что исключение С из равенств (58"') и (59"') приведёт
нас к соотношению
откуда имеем
т. е. получаем изолированные значения переменных х и у.
Рассматриваемое уравнение особого интеграла иметь не будет.
Пример 4. Рассмотрим линейное уравнение
y'±Py=-Q.
Его общий интеграл имеет вид
y = e-SPdx[]JPaxQdX±c}.
Дифференцируя по С, получим;
0 = е J
Но это равенство не может иметь места при ограниченности функции Р;
таким образом, ещё раз убеждаемся в том, что линейное уравнение
особых интегралов не имеет.
478

§ 8. Второй способ нахождения особых решений.
Изложенный выше способ нахождения особых решений
дифференциального уравнения первого порядка требовал знания
общего интеграла. Можно показать, что те же особые решения
могут быть получены непосредственно из самого
дифференциального уравнения. Мы видели, что особое решение
представляет геометрически огибающую семейства интегральных кривых,
т. е. геометрическое место их предельных точек. Возьмём две
бесконечно близкие интегральные кривые
F(x,yyC) = 0
и
F(x,yyC+bC) = 0,
соответствующие значениям параметра С и C-J-ДС Легко
видеть, что если они пересекаются, то в точке их пересечения
касательные к этим кривым при достаточно малом значении ДС
образуют между собой бесконечно малый угол. Действительно,
угловые коэффициенты у и у\ этих касательных определяются
соответственно из уравнений
dF{x,y,C) ¦ dF{xty,C) , = Q
дх ' ду У
и
dF(x,y,C + \Q , dF(x9y9C±XQ . п
ді 1 Ту -"і = °-
Вследствие предполагаемой непрерывности частных производных
от функции F(x,y,C) по всем аргументам, очевидно, будем
иметь limу\ ==У 1). Отсюда следует, что если существует общая
ДС->(?
точка двух бесконечно близких интегральных кривых, то она
является в то же время общей точкой двух бесконечно близких
изоклин (т. е. линий равного наклона интегральных кривых; см.
§ 3) и, следовательно, предельная точка интегральной кривой
есть в то же время предельная точка изоклины. А потому
геометрическое место предельных точек интегральных кривых
является и геометрическим местом предельных точек изоклин.
Отсюда следует, что особое решение можно получить,
отыскивая огибающую семейства изоклин. Для отыскания этой оги-
іх п dF{x,yt С) . п
1) При условии, что — * —" ?* Ф но только в окрестности таких
точек, в которых это условие выполняется, мы можем разрешать
уравнение F(x,y}C) = 0 относительно у, т. е; рассматривать .у как
функцию от х.
479

бающей знания общего интеграла не требуется. В самом деле,
семейство изоклин представляется непосредственно данным
дифференциальным уравнением, в котором производная -—- или у'
рассматривается, как параметр семейства. Таким образом,
особое решение может быть получено непосредственно из данного
дифференциального уравнения: следует данное уравнение
f(x> у, У) = 0 продифференцировать по У и из двух уравнений
/(*,* У) = 0
Щ^У} = 0 (62)
исключить у. В этом состоит второй способ нахождения особых
решений/
Пример. Найдём особое решение уравнения Лагранжа
у = ху'*+-уг*.
Дифференцируя по У, имеем:
2*/4-2У = 0,
откуда
у=о.
Подставив найденное У в данное дифференциальное уравнение,
получим:
У = 0.
Это значение у удовлетворяет данному уравнению и является его
особым решением (ср. пример 1 на стр. 477).
Однако, огибающая семейства изоклин может и не служить
огибающей семейства интегральных кривых и потому может и
не давать особого решения. <-
Пример. Возьмём уравнение
Изоклинами здесь будут служить окружности радиуса г = \ с
центрами на оси Ох. Огибающую этого семейства найдём, дифференцируя
данное уравнение по у': что даст
2(*-У) = 0,
и исключая У из полученного и данного уравнений, Получим равенство
дающее в качестве огибающих две прямые: у = -{-\ и .у — —1. Но
ни одна из этих функций не является решением данного уравнения.
Аналитическое обоснование обоих изложенных выше методов
отыскания особых решений, не зависящее от геометрических
представлений, будет дано ниже (см. § 10).
480

§ 9. О существовании решений дифференциальных
уравнений первого порядка.
Для всех рассмотренных выше типов дифференциальных
уравнений первого порядка были даны способы нахождения их
общих решений. Таким образом, вопрос о существовании функции,
удовлетворяющей данному дифференциальному уравнению, до
сих пор решался путём непосредственного нахождения этой
функции. Но такие мэтоды нахождения общих решений можно
найти далеко не для всякого дифференциального уравнения.
И в случаях, когда нельзя указать прямого метода нахождения
общего решения, может возникнуть вопрос: существует ли вообще
функция, удовлетворяющая данному дифференциальному
уравнению, и при каких условиях можно быть уверенными, что такая
функция существует? Решение этого вопроса и составляет нашу задачу.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
в форме, разрешённой относительно производной:
y=/(*,j). (63)
Возьмём какую-либо систему значений х — х0, y=yQ и
сделаем следующие предположения относительно функции /(х, у):
1° Существуют два положительных числа а и b такие, что
функция /{х, у) непрерывна при всех значениях х и _у,
удовлетворяющих неравенствам
*0-«<*<*0+оЛ (64)
Следуя общей терминологии, будем говорить, что
совокупность всех пар значений х и у', удовлетворяющих неравенствам
(64), образует некоторую область измерения этих переменных,
и для краткости будем называть эту область областью (D).
Так как функция f(x, у) непрерывна в конечной замкнутой
области (D), то она неизбежно ограничена в этой области, т. е.
существует некоторое число М такое, что во всей области (D)
функция f(x, у) удовлетворяет неравенству
і/(лг, у)\^М. (65)
2° Существует такое число Л^>0, что для любых двух пар
значений (лг, у) и (х, у), лежащих в области (D),
удовлетворяется неравенство
\/(х,У)—/(х,У)\^А\7-У\-
Это условие носит название условия Липшица (Lipschitz).
Сущность этого условия сводится к следующему: условие 2°
31 Курс высшей математики, т. II. «>1

будет заведомо выполнено, если функция f(x, у) во всей
области (D) имеет частную производную ^- и притом
ограниченную в этой области, т. е. удовлетворяющую неравенству
^- <^?, где В — некоторое постоянное положительное число.
В самом деле, по теореме Лагранжа имеем;
f(x,y)—f(x,y)=-G—y)f'y(x,y + b(y-y);
отсюда
\f{x,y)—f(x,y)K\y—y\B.
Таким образом, условие существования в области (D)
ограниченной частной производной j- является требованием не менее
сильным, чем условие 2°.
Налагая вместо условия существования ограниченной
производной ~~ условие 2°, мы подвергаем функцию f(x, у) несколько
меньшим ограничениям и, следовательно, проводим наше
исследование для более широкого класса дифференциальных уравнений.
При наличии условий 1° и 2° имеет место следующее
предложение:
Теорема Коши (Cauchy). Если левая часть уравнения
(63) представляет собой функцию непрерывную в области (D)
и удовлетворяющую в этой области условию Липшица, то
существует единственная функция у (х), удовлетворяющая
уравнению (63) и принимающая при х = х0 значение у=у0.
Эта функция определена и непрерывна для всех
значений х, лежащих в пределах
хо — Р < х < хо + Р>
где р — меньшее из чисел а и -г?.
Доказательство. Мы докажем эту теорему методом
Пикарa (Picard) (метод последовательных приближений).
Доказательство сводится к составлению бесконечной сходящейся
последовательности функций, имеющей своим пределом искомое
решение у (х) уравнения (63).
Постоянное число у0 назовём нулевым приближением.
Заменив в правой части равенства (63) у через у0, получим
482

Это равенство определяет некоторую новую функцию у от х,
которую получим интегрированием, равенства
Постоянное интеграции выберем так, чтобы при х = х0 иметь
Уі=Уо-
X
Ух —Уъ = \ /(*, y0) dx, ' (66)
Xq
Функцию
Уі=Уо+$/{х>Уо)&с
х0
мы назовём первым приближением.
При х = х0 значение уг=у0 лежит в области (/)).
Ограничим теперь пределы изменения настолько, чтобы значения ух
не выходили из области (D). Из равенства (66) имеем:
\Уі—Уъ\*^\х — Хо\М.
Но l^j—Уо\ необходимо должно удовлетворять неравенству
\Уі— Л К*;
этому условию мы удовлетворим, если потребуем, чтобы
выполнялось неравенство
| л: — х01М ^ Ь%
или
Ь
С другой стороны, мы должны иметь \х — х0\^а.
Следовательно, чтобы уг не вышло из области (D), достаточно
потребовать, чтобы х заключалось в пределах
х0 —Р<*<*о + р,
где р— меньшее из чисел
Ъ
а И Ж'
Будем считать х заключённым в этих пределах и построим
второе приближение у, полагая
%=/(*> УіУ.
dx
31* 483

отсюда, потребовав ещё, чтобы при х = лг0 было у2 =у0,
получим:
х
Уг— Л = $/(*,Л)**- (66')
Потребуем, чтобы это второе приближение опять не
выходило из области [D). Из (66) имеем:
\У2—Уо\**\х — хъ\М>
и так как мы уже ограничили изменение аргумента х неравенством
I* — *ol<P>
то
Таким образом, при выполнении неравенства \х — х0 | ^ р,
уг не выйдет из области (?>).
Продолжая неограниченно этот процесс построения
последовательных приближений, мы получим последовательность
функций
Л» Л> Л» Л. .¦•> Л* ••¦> <б7>
в которой каждая функция выражается через предыдущую
равенством
х
При этом для всех значений х, лежащих в пределах х0 — р^
^х*?х0-\-р, все функции (67) не выходят из области (D)
и при x = xQ принимают значение у0.
Докажем, что последовательность (67) имеет определённый
предел при всех значениях аргумента х в рассматриваемом нами
замкнутом интервале (х0— р, х0~\-р). Для этой цели оценим
абсолютные величины разностей
Л—Л» Л—Л» Л—Л» ¦••> Л-Л-1' •••
Первая из этих разностей уже была оценена выше, а именно:
\Уі—Уо\^М\х — х0\. (68)
Вторая разность определяется из равенств (66) и (66')
х
У2 —Уі = J \/(х,Уі)—/{х,Уо)]dx;
484

отсюда
х
IЛ —Ух I < J 1/(*..Уі) -/(*Jo) Idx-
Но в силу условия Липшица
\/{х>Уі)—/{х*Уо)\<А\Уг—Уо\>
откуда, в силу (68),
\f(x*yi) — f{x>yQ)\*ZMA\x — xu\,
а потому
х
\у2 — у, К /ИЛ j | ж — х01 it = МЛ Li^fLl! .
Покажем, что при любом /г имеет место неравенство
іл-л-іК^"-1!^,1!- (69)
Допустим, что это неравенство верно для какого-либо
значения п, и докажем, что в таком случае оно будет верным и для
значения п-\- L
В самом деле,
X
Xq
В силу условия Липшица,
\П*,У1-/{х,Уа-1)\*?А\Уп-У.-Л>
откуда, в силу (69),
I / (*, Уа) -f(x, Л-i) I < ^Л* U~foln ;
следовательно,
і-^я + і -'я-J л! (л -j-1)1
XQ
Так как неравенство (69) справедливо для я=2, то оно,
таким образом, будет справедливо и для п =¦ 3, 4, 5 и вообще
для любого номера п.
Составим теперь ряд
л+(*-л) + (л-л)+..--Ь(л-л-і)+-.- (7°)
и сравним его с рядом
M\jc^^ + MA\x~x^ + _+^-J*-*ol*+_ (71)
4S5

Ряд (71) сходится при всяком значении х и, как нетрудно
заметить, представляет собой разложение в ряд функции
А
В силу неравенства (69) члены ряда (70) по абсолютной
величине меньше соответствующих членов ряда (71) и тем более
(так как \х — х01 ^ р)— ряда
,; М?-\-Ма?+...+ МА"-*?+:.. (71')
Поэтому ряд (70) сходится равномерно в замкнутом интервале
(х0—р, лг0~Ьр) (см* § ^ гл* ^)' и так как члены этого ряда —
непрерывные функции х, то сумма ряда (70) есть некоторая
непрерывная функция от х. Обозначим её через у(х).
Составив сумму п-\-\ членов ряда (70), получим
Следовательно, сумма членов ряда (70) равна lim уп:
п -> оо
у [х) = lim yn.
При х0—р^лг^х0-|-р значения функции у(х), очевидно,
не выходят*из области (D). Мы доказали, следовательно, что
построенная нами последовательность функций (67) имеет
определённый предел у (х), представляющий собой в замкнутом
интервале (х0— р, #о~Ьр) непрерывную функцию аргумента х.
Покажем, что найденная функция у(х) является решением
уравнения (63). В последовательности (67) функция у;і
определена равенством
Переходя к пределу при п—*-оо, будем иметь
X
У(х)=Уо + Нт \/(х,уп_г)с1х. (72)
Так как lim J'rt_i =,>* (jc) и уп_г есть сумма п членов равномерно
П -*¦ 00
сходящегося в интервале (лг0—р, *о~Ьр) РяДа> т<э Для любого
сколь угодно малого положительного числа е можно указать
такой номер Nt что при n^zNu х0 — р^х*^х0-\-р будем
иметь
іУ(*) — Л-ііО '
486

Рассмотрим разность
Так как f{x,y)— функция, равномерно непрерывная
относительно х и у в области (?>), то можно, задавшись произвольно
малым положительным числом 7), взять s настолько малым, что
при
\У{*)— Л-ііО
будем иметь
!/(*> Л-і)—/(*»>) 1<Ч
для всех л; в замкнутом интервале (л;0— р, лг0-{-р)- Положим
так что |ад(^)|<]ч при n^Nn \х — *01^Р- Отсюда
/(*. Л-і) =/(*¦ .у) + ал (*)¦
Внеся это выражение в равенство (72), получим:
X X
У (х)=Уо + f/(*. jO <& + Hm С ая (#) <**. (73)
Xq Xq
Но при п^ N я \х — х01 ^ р
\ а (jt) d^c ^ | \ ч rfjc I ^ ijp;
J \ AJ l
Xq
следовательно,
lim \ an(x)dx = 0.
n * oo *
Xq
Таким образом, равенство (73) принимает вид
X
У=Уо~\-)/(х>У)<іх- (74)
Х0
Интеграл в правой части равенства (74) есть непрерывная
функция верхнего предела, имеющая производную, равную f(x,y)
при тех значениях х, при которых f{x,y) — функция
непрерывная, и, следовательно, при всех х в замкнутом интервале (*0~Р>
х0 -J- р). Дифференцируя (74), получим:
. ?-/<**
4S7

Таким образом, найденная функция у(х) удовлетворяет
уравнению (63). Из равенства "(74) следует также, что при х=х0
имеем y=zy0.
Нам остаётся доказать, что найденное решение у(х) есть
единственное решение, принимающее при х = х0 значение у0.
Допустим существование двух функций у(х) и Y(x),
удовлетворяющих уравнению (63) и при х==х0 принимающих общее
значение
y(x0)=Y(x0)=yQ. (75)
Возьмём функцию
\Y(x)-y[x)\
и выберем положительное число h, удовлетворяющее неравенству
Л<Со1 и такое' что в интервале {xQl x0-\-h) значения функций
У(х) и у(х) не выходят из области (D). Функция [ У(х)—у(х)\
будет непрерывна в замкнутом интервале (х0, х0 -\- h) и,
следовательно, будет иметь в этом интервале некоторый максимум ja,
так что
I ?{*) —У (х) I ^ Р- ПРИ XQ^x^x0-\-h. (76)
По условию
?=/(*. п и g=/(*,,).
Вычитая эти равенства одйо *из другого, имеем:
*^W<*,r)-/<*,>);
отсюда и из (7,5)
х
У-У=[[/{х,У)-/{х,у)]сіх,
%/
причём здесь
х0 < х < xQ -f- К
В силу условия Липшица и неравенства (76), получаем поэтому:
X X
I Y—у\^ j A\Y—y\dx^A \ lidx^Aiih.
*0 Xq
Но ^<Сол> следовательно,
I Y—у|< |- при xQ^xs?x0-]-h.
Это неравенство противоречит предположению, что \і —
максимум функции \Y—у\ в интервале (х0і x0^-h). Отсюда следует
438

невозможность сделанного допущения о существовании двух
решений уравнения (63), соответствующих одним и тем же
начальным данным.
Интервал (х0, x0-\~h) может быть продолжен как в ту, так
и в другую сторону. Именно, если на каком-либо конце
интервала, например в точке x0-\-h, значения функции у(х) лежат
внутри области непрерывности функции f(x> у), то можно
принять x0-\~h за новую начальную точку x0-\~h = x'0 и
рассмотреть интервал (х'0, x'Q-\-h'), в котором у не выходит из той же
области.
Так возможно продолжить найденное решение до границы
области непрерывности функции /(лг, у) (и действия условия
Липшица).
Таким образом теорема Коши доказана полностью.
Давая у0 всевозможные значения, мы будем получать
различные уравнения (63). Рассматривая у0 как произвольное
постоянное, мы получим общее решение уравнения (63); оно будет
охватывать все частные решения, даваемые теоремой Коши.
§ 10, Случаи нарушения единственности решения
дифференциального уравнения первого порядка.
Аналитическое обоснование существования особых решений»
Поставим теперь вопрос: все ли решения дифференциального
уравнения могут быть получ'ены данным выше методом, т. е.
на основании теоремы Коши?
Если какая-либо функция у=у{х) даёт решение уравнения
"?=/(*'?). <63>
и для какой-либо системы значений х0, Уо = ф(х0) выполняются
условия теоремы Коши, то решение у = <р(х) может Сыть
получено также данным выше методом и по теореме Коши Гудет
единственным решением уравнения (63), принимающим при
х = х0 значение у0 = <р(х0). Между тем нам уже известны
случаи, когда теорема о единственности решения не имеет места.
Именно, если семейство интегральных кривых имеет огибающую,
то через каждую точку огибающей проходят две кривые,
•дающие решение: интегральная кривая, касающаяся огибающей в этой
точке, и сама огибающая. Следовательно, если координаты
какой-либо точки огибающей принять за начальные данные х0
и yQi то эти начальные данные определят не одно, а два
решения данного уравнения.
489

Таким образом, решение, даваемое огибающей семейства
интегральных кривых, не может быть получено на основании
теоремы Коши.
Из сказанного выше следует, что кривая j/ == ф (л:) лишь
в том случае может быть решением уравнения (63), не
входящим в семейство решений, даваемых теоремой Коши, когда ни
для одной точки этой кривой не выполняются условия теоремы
Коши.
Такие решения мы называем в общем случае особыми
решениями. К этому классу решений, очевидно, принадлежит и то,
которое даётся огибающей семейства интегральных кривых.
Выясним, в каком случае могут не выполняться условия
теоремы Коши.
Считая функцию f{x,y) попрежнему непрерывной, мы
должны предположить, что для этой функции не выполняется
условие Липшица. Отсюда следует, что решение, не получаемое
по теореме Коши, может быть представлено лишь такой кривой,
для всех точек которой не выполняется условие Липшица.
Если функция /\х,у) в данной области изменения перемен-
пых х и у имеет частную производную -J- (конечную или
бесконечную), то условие Липшица не будет выполняться для всех
тех точек данной области, в которых производная -^
обращается в бесконечность. Геометрическое место таких точек может,
в силу сказанного выше, являться особым- решением данного
уравнения (но оно может и вовсе не давать решения данного
уравнения). Если же в данной области ф всюду имеет конечные
значения, то данное уравнение в этой области вовсе не имеет
особых решений.
Пример 1. Возьмём линейное уравнение
y'=:Py+Q.
В этом случае
?=*
Эта функция может обращаться в бесконечность лишь для отдельных
значений х. Следовательно, кривой, во всех точках которой было бы
справедливо равенство
df
ду
не существует, т. е. линейное уравнение не имеет осо-бых решений.
Пример 2.
у'=а-\-Уу — ах.
490

Здесь
ду 2У у-ах
Эта функция обращается в бесконечность во всех точках прямой
линии у = ах} следовательно, эта прямая может давать особое реше-
ние. Подставляя в данное уравнение значение у = ах, мы видим, что
уравнение удовлетворяется. Отсюда следует, что у=ах действительно
является особым решением данного уравнения.
Пусть теперь дифференциальное уравнение дано в виде, не
разрешённом относительно ~-:
?{х,У,у')=0, • (75)
и разрешая его относительно у\ мы можем получить равенство
у' = <р{х,у).
Для получения производной -^ мы должны
продифференцировать равенство (75) по у, считая х постоянным и у' равным
у (х-, у). В этих предположениях будем иметь:
^4- — ^ = 0
ду ' ду' ду
Отсюда
dF
ду ду__
ду~~ dF_'
ду1
~ будет обращаться в бесконечность лишь в тех точках
области изменения х и у, в которых
dF n dF
или 3-7 = 0 или -г—=гсо.
дуг ду
Для нахождения геометрического места этих точек мы должны
очевидно исключить у1 из уравнений
Ар
F(x,y9y') = 0 и ^ = 0,
или из уравнений
Р(х,У, У) = 0 и ^г = 0.
ду
Полученное таким образом геометрическое место может
давать особое решение данного уравнения.
:91

Этот способ отыскания особых решений был выше получен
из геометрических соображений (§ 8). Теперь же мы получили
аналитическое обоснование этого метода, не зависящее от
геометрических интерпретаций. Из тех же геометрических
соображений о свойствах огибающих нами был получен и другой
способ нахождения особых решений дифференциального
уравнения, когда известен его общий интеграл. Именно, если
F{x,y, C) = 0 (76)
есть общий интеграл уравнения (63), то особое решение, если
оно существует, находится путём исключения С из равенств
F(x,y, С) = 0 и J?=0.
Этому способу можно также дать аналитическое обоснование.
Если в равенстве (76) давать С произвольные постоянные
значения, то это равенство будет определять частные решения
уравнения (63). Если же в равенстве (76) считать С не
постоянной величиной, а некоторой функцией от х, то это равенство
определит у, как некоторую функцию от дг, вообще говоря, не
совпадающую ни с одним из частных решений уравнения (63).
Выясним, нельзя ли так подобрать функцию С (х), чтобы
равенство (76) определяло функцию у, служащую решением
уравнения (63).
Разрешим равенство (76) относительно у:
у=у(х, С). (77)
При постоянном С в силу уравнения (63) мы имеем тождественно
относительно дг и С
jx=f^y^ (78>
Будем теперь считать в равенстве (77) С некоторой
функцией от л; и потребуем, чтобы ср (дг, С) удовлетворяла
уравнению (63). Дифференцируя (77), получим:
dy df_ , gy dC
dx~dx~T"dCdx*
и в силу (63)
Но так как (78) — тождество относительно дг и С, то оно будет
верно независимо от того, будет ли в нём С постоянным
числом или функцией от х. А потому в равенстве (79) величины
492

f{x, у) и -^ сократятся и равенство примет вид
дС dx
и, следовательно, распадается на два
*?г дС
Первое равенство даёт С= const, т. е. приводит к тем
решениям, которые даютс» общим интегралом. Равенство ^=0
может определять С, как некоторую функцию от л;, при
которой ср (ху С) служит решением уравнения (63). Это решение мы,
очевидно, получим, исключая С из равенств
у = у(х,С) и %=0.
дС
Если теперь общий интеграл дан в виде (76), то -?, мы
найдём как производную неявной функции, дифференцируя (76) по
С и считая лг постоянным:
ду дС~гдС~ '
Из этого равенства, в силу равенства
дС и'
следует
дС Vt
Таким образом, особое решение, если оно существует,
определится равенствами
F{x,y, C) = 0 и ^=0.
Таково аналитическое обоснование второго метода отыскания
особых решений, найденного ранее чисто геометрическим путём.
§11. Общие свойства интегралов линейных
дифференциальных уравнений второго порядка.
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка
называется уравнение вида
где/?0, pv р2 и q суть какие-либо функции х. Если q — 0, то
493

уравнение называется однородным или уравнением без второй
части.
Проблема интегрирования линейных дифференциальных
уравнений— проблема большой трудности, и в общем случае она
не может быть сведена к простым квадратурам, как это имело
место для линейных уравнений первого порядка. Но существуют
отдельные типы линейных уравнений, для которых задача
интеграции имеет более или менее простое решение; один из
важнейших видов подобных уравнений мы рассмотрим ниже.
Мы увидим в дальнейшем (§ 13), что интеграцию линейного
неоднородного уравнения (80) можно {'вести к интеграции
соответствующего однородного уравнения
РоУ*+РіУ'+Р*У=°- (81)
Поэтому прежде всего мы рассмотрим уравнение (81) и
установим общие свойства его интегралов.
Докажем, что если уг есть частное решение уравнения (81),
то и Cyv где С—любое постоянное число, есть также
решение того же уравнения. В самом деле, полагая y=Cyv имеем
у=Су[, у"^=Су[. Подставляя в (81), получим:
PoCyl+plCy'1 + p2Cy1=C(p0y"1 + ply[ + p2y1) = 0;
выражение в скобках есть тождественно нуль, так как у1 есть
решение для (81). Таким образом, подстановка в (81) Суг вместо уг
обращает (81) в тождество, чем и доказывается наше
утверждение.
Докажем далее, что если^ и у2 суть решения уравнения (81),
то сумма их Уі~\~У2 есть также решение уравнения (81).
Действительно, полагая у =ух -\~У2, имеем у' =у'г -\-у'2У у" =
===3'і "Ь-Уг» п°Дставляя в (81), получим:
Ро (X +Уі) +Л <Уі +/а> + Л (Уг +Уг) =
= РоУі+РіУі+Р2Уі+РйУ2+РіУ2+Р2У2 = 0;
первые три члена левой части этого равенства дают
тождественно нуль, так же как и три последние, так как ух и у2 суть
решения для (81); тем самым наше утверждение доказано.
Из двух последних предложений вытекает важное следствие.
Если ух и у2 суть решения для (81), то выражение Сгуг -\- С2у2,
где С, и С2— произвольные постоянные, есть также решение
уравнения (81). В самом деле, в силу первой теоремы выражения
С^Уі и С2у2 суть решения уравнения (81), а в силу второй их
сумма Сгуг -\- С2у2 есть также решение уравнения (81).
Решение
У=С1Уі + С2у% (82)
494

содержит два произвольных постоянных; столько же
произвольных постоянных должно входить и в общий интеграл
уравнения (81), и можно спросить, является ли (82) общим интегралом
для (81)? Для того, чтобы это имело место, необходимо и
достаточно, чтобы двукратное дифференцирование уравнения (82)
и исключение постоянных Сг и С2 приводило к уравнению (81).
Дифференцируя (82) дважды, получим:
у'=СіУ[ + С2У2, (83)
У = СУг + СгУг (84)
Чтобы исключить Сг и С2, решим (82) и (83) относительно Сг
и С2 и подставим в (84). Из (82) и (83) найдём;
_ УУъ — УУъ
Ц — ; ;
У\У%—У\Уъ
у'Уі—уу[
(85)
а =
У1У2-У1У2 )
Подставляя (85) в (84), получим:
_ УУъ-у'Уг „ , У'Уі~УУ[ ,
У — —; ;— Уі п ; ;—У<у
УіУ2—УхУ* У1У2-У1У2 "
или после упрощений:
{У1У3-У[У2)У+{у:У2—У^У' + {уУл-Му=0. (86)
Мы получаем таким образом линейное дифференциальное
уравнение, очевидно, совпадающее с (81), ибо из тождеств
РоУі+РіУ[+РгУі = °*
находим
Ро 'Рі -Р2 = (УіУ'2 —У'іУг): (У\Уг —У\У$: (у[уі ~У'іУ^
откуда следует совпадение уравнений (81) и (86).
Таким образом, если описанный процесс исключения
постоянных Сх и С2 выполним, то (82) даёт общий интеграл для (81).
Этот процесс исключения Сх и С2 будет неприменим лишь
в том случае, когда в формулах (85) знаменатель окажется
тождественно нулём*).
:) В этом случае, как легко видеть, в (86) все коэффициенты
обратятся в нуль.
495

Посмотрим, когда это будет. Полагая
УіУ2—УіУ* = °*
имеем
Уг ~У\ ИЛИ Уч — У\ '
отсюда
Ъу2 = \пу1-\-\пС или у2 = Су1 или у = С,
т. е. отношение функций уг и у2 постоянно. Две функции,
обладающие этим свойством, называются линейно зависимыми.
Следовательно, (84) лишь в том случае не даст общего
интеграла для (81), когда функции уг и у2 окажутся линейно
зависимыми.
Итак, если уг и у2— два линейно независимых частных
решения (81), то его общий интеграл имеет вид (82).
Таким образом, задача интегрирования уравнения (81)
сводится к нахождению двух линейно независимых частных
решений. Но можно показать, что достаточно найти одно частное
решение уравнения (81), чтобы получить общий интеграл с
помощью квадратур. Пусть уг — частное решение уравнения (81);
тогда имеем тождественно:
РоУі+РіУ[ +Р2У1 = 0. (87)
Умножая (81) на -j-j/j, а (87) на —у и складывая, получим:
. Ро{УіУ—У"іУ)+Рі(УіУ — У1У) = Оі
откуда
УіУ"—УіУ_ Рі
УіУ'-у'іУ ~ ¦ Ро'
Но, как нетрудно заметить,
УхУ—УгУ=^(уУ —У[У), (88)
и (88) даёт:
?(УіУ-У[У)
_ А
или
УіУ'—Угу Ро
din (угу'- у[у) рл ^
dx ~~ J0 '
отсюда квадратурой находим:
УіУ—У1У=Схе Jp°
496

Деля на у*у получим:
или
откуда
Уі
_ \Eidx
Г**
Следовательно,
у=Уі (Сі f h г ^ "х dx+с*)- (89>
J У \
Эта формула даст общий интеграл уравнения (81), когда
известно одно его частное решение.
Пример. Уравнение
допускает частные решения
1
Ух = х и у2 = —;
л*
эти решения, очевидно, линейно независимы, а потому его общий
интеграл имеет вид
С,
у = Схх^г-~.
Зная лишь одно частное решение, например, У\ = х, можно найти
общий интеграл по формуле (89). Замечая, что pQ = x*t рі = х} имеем
в силу (89); рХ
или по упрощении
С 1
Обозначая — —х через С\ получаем.* у = С VC^x, что и имели
выше.
§ 12. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим частный случай линейного однородного
уравнения, когда все его коэффициенты суть постоянные числа. Пусть
имеем такое уравнение:
а,У + а}у1+а2у = 0щ (90)
32 Курс высшей математики, т. II. 497

Покажем, что оно имеет частное решение вида у = е**, где
k — некоторое постоянное число. В самом деле, если yz=ekx>
то y'=kekx и y" = k?ekx. Подставляя в (90), получим:
а0А2*** + алкекх + а%&* = 0
или
a0k2 + axk + д2 = 0. (91)
Следовательно, е** будет частным решением уравнения (90),
если k удовлетворяет уравнению (91). Уравнение (91) называется
характеристическим уравнением; оно имеет, вообще говоря,
два различных корня &: и k2) и мы имеем таким образом два
частных решения:
уг = ekiX и у2 = ?*а*.
Эти решения, очевидно, линейно независимы, а потому
находим общий интеграл уравнения (90) в виде
y=Cle***-\-C2ek*. (92)
Если уравнение (91) имеет мнимые корни, то в выражение
(92) войдут мнимые величины, но тогда можно будет
соответствующим подбором постоянных Сг и С2 избавиться от мнимых
величин. Пусть мнимые корни уравнения (91) суть а 4- р/ и
а — [Й. Из (92) имеем:
у = Схе*х+ $хі + С2е**-**1 = е*х (Сге№+ С2е~***).
f Но по формуле Эйлера (стр. 37, формула (30))
eP*J = cos рл:—J—/ sin Рл: и 5-^ = cos рл: — / sin fix.
Внося это в предыдущее равенство, получим:
У = <?* [(^і + С,) cos рлг + / (С, - С2) sin р*].
Полагая
<?! + <:.,= С и і (С, — Ct) = С,
имеем:
jr=**(Ccospjc + C*sinpx). (93)
Здесь под С и С" мы можем подразумевать произвольные
действительные постоянные1).
Уравнение (91) может также иметь равные корни. Пусть
kx=k2 = p; мы имеем в этом случае не два частных решения,
а только одно у = е?х. Для нахождения общего интеграла
J) Очевидно, что для того, чтобы С и С были действительны»
нужно С\ и С2 взять сопряженными комплексными числами.
498

можно применить формулу (89) предыдущего параграфа:
у=е?х
Сідг* J*° ^ + C2J;
замечая, что - = 2р, и выполняя квадратуры, получим:
у = е**(Сгх + Сг). (94)
Таков общий интеграл уравнения (90) в случае равных
корней характеристического уравнения. Можно и непосредственно
убедиться в том, что уравнение (90) имеет два линейно
независимых частных решения е?х и хе?х, и составить интеграл (94) на
основании общих свойств линейных уравнений.
Пример 1.
У—У —6у = 0. (90')
Составляем характеристическое уравнение:
#-а-6 = 0; (910
оно имеет корни ^=3, k^ — — 2, следовательно, общий интеграл
имеет вид
у — Схе*х -f С3*-а* (92')
Пример 2.
У — 2y-fj; = 0. (90")
Характеристическое уравнение
?2 _ 2^4-1=0 (91")
имеет равные корни Л1 = А2= 1- Следовательно, общий интеграл имеет
вид
У = е*{С1х±С%). (94'):
Пример 3. Возьмём уравнение гармонического колебания
g + aV = 0. 90'»>
Характеристическое уравнение k2-\-a? = 0 имеет мнимые корни:
k-L—ai, k2=— ai.
Общий интеграл составится по формуле (93), где <* = 0Г $ = а:
у—С cos ах -j- С sin ах. (93>
Введя вместо С1 и С" другие постоянные, с помощью равенств
С = Сх sin Сь С — Сг cos Съ
получим:
у =z Сі (sin С2 cos &* + cos С2 sin дх) = Сг sin (ex -f- Cj).
Интеграл в этой форме мы уже имели выше (§ 2Г пример 5).
32* - 49»

§ 13. Неоднородные линейные дифференциальные
уравнения второго порядка.
Пусть дано неоднородное линейное дифференциальное
уравнение:
РаУ"+Р7У'+РіУ = 9' (95)
Покажем, что, зная общий интеграл соответствующего
однородного уравнения
р<У+ру'-\-р*у = °> (Щ
можно найти общий интеграл для (95) с помощью квадратур.
Общий интеграл для (96), как мы видели, имеет форму:
у=СгУі-{-С2у2. (97)
Для нахождения общего интеграла уравнения (95) применим
метод вариации произвольных постоянных. Будем в (97) считать
Сг и С2 не постоянными числами, а неизвестными функциями ху
и определим эти функции так, чтобы (97) дало общий интеграл
для (95).
Для определения двух функций Сг и С2 мы можем
подчинить их двум условиям, из которых одно дано заранее: (97)
должно быть интегралом для (95); второе условие мы можем
наложить произвольно.
Дифференцируя (97), получим:
У = СіУ[ + С2у + С[уг + С'2у2. (98)
Потребуем теперь, чтобы Сг и С2.удовлетворяли равенству
С'У1 + С*У, = 01 (99)
тогда (98) примет вид:
У = ^і + ад (98')
Дифференцируем (98'):
. У = суг + С2у1+ С[у[ + С>;. (100)
Подставив (97), (98') и (100) в (95), мы должны получить
тождество. Эта подстановка даёт:
р0 (СіУ[ + С2у; + С[у[ + С'2у'2) +Рі (СіУ[ + С2у'2) +
+рі (сіУі + ЗД=я
или
Сг (РоУ"ЛРіУ[+РіУі) + С2 (РоУі+Р^+РМ) +
+ С'1РоУ'і + С'2р0у2=д. (іоі)
300

Так как уг и у2 суть решения для (96), то первые две скобки
в (101) исчезают, и мы имеем:
С[РоУ[ + С^роУ2 = д. (102)
Из равенств (99) и (102) мы можем найти С. и С' и следова-
тельно, Сг и С2 определятся с помощью простых квадратур.
Пример.
х%У'г + ху' — у = х\ (95')
Пишем соответствующее однородное уравнение:
ху±ху' — у = 0. (96')
Его общий интеграл мы уже имели выше:
j/=Ci*-f С2-. (97>
Дифференцируем (97'), считая Сх и С2 функциями х:
У'=Сг-Су± + с[х + С'г±. (98*).
Налагая на С\ и С% условие
С[х + С'2-± = 0, (99>
получаем из (98"):
У=Сх-Сг±а (98'">
Дифференцируем (98"'):
Вставляя (97'), (98"') и (100') в (950, получим;
Сі*'-Сі = *>. (Ю2>
Из (99') и (102') найдём:
откуда
Ci = f- + C Ct=-^±C.
Вставляя это в (97'), найдём общий интеграл для (95'):
§ 14. Линейные однородные уравнения л-го порядка;
Линейным однородным уравнением я-го порядка называете»
уравнение вида
РоУ{п)+РгУ(п-1)+РгУ{п-2)+ - •-+Рп-У'+РпУ = °> (103>
501

где /?0, pv р2, ..., ра суть какие-либо функции от дг.
Совершенно так же, как и для случая линейных уравнений второго
лорядка, непосредственной проверкой легко установить
следующие свойства уравнения (103).
1° Если уг есть решение уравнения (103), то и Ctyv где
¦С1 — постоянное число, есть также решение этого уравнения.
2° Если yv у2, ув, ..., ук суть k частных решений
уравнения (103), то их сумма
•есть также решение того же уравнения.
Из этих свойств вытекает, что, если yv _у2, ..., ук —
частные решения уравнения (103), то выражение
-есть также решение того же уравнения.
Среди решений уравнения (103) всегда содержится решение
_j/ = 0. Это решение считается тривиальным и не принимается
в расчёт при отыскании решений уравнения (103). Говоря о
частных решениях уравнения (103), мы всегда будем подразумевать
решения, отличные от нуля.
Если функции yv у2> ..., yk связаны соотношением
аіУі + а2У2-\~:- -+аьУк=°> (104)
тде av а2, ..., ак — некоторые постоянные, среди которых
имеются отличные от нуля, то эти функции называются линейно
зависимыми.
Если же для данной системы функций yv yv ...,yk
равенство (104) не имеет места ни при каких постоянных значениях
uv а2, ..., ak, кроме аг=а2 ¦-— .. . = аА = 0, то функции этой
системы называются линейно независимыми.
Теорема. Если yv yv ..., уп — линейно независимые
частные решения уравнения (103), то общее решение этого
уравнения имеет вид
У = сіУі + с?У2 + С?У* + ..- + Спуп. (105)
Доказательство. Эта теорема уже была установлена
для уравнений второго порядка. Покажем теперь, что если она
верна для уравнения порядка п—1, то она будет верна и для
уравнения порядка п.
Допустим, что теорема верна для любого линейного
уравнения порядка л —1, и пусть yv у2, j/3, ...,уп суть п линейно
независимых частных решений уравнения (103). Введём в
уравнение (103) вместо у новую неизвестную функцию г, связанную
-.502

с у соотношением y=zya. Чтобы произвести эту замену,
продифференцируем равенство y=zyn п раз:
У =гуп>
y"=zyl+2z'y'a+z*ya,
уіп) = Zy(n) _|_ пг>у(П — 1> _|_ _f_ Z{n)y^
Подставив эти выражения в уравнение (103), получим:
Коэффициент при z равен нулю, так как уа есть решение
уравнения (103). Обозначив для краткости остальные
коэффициенты через q с соответствующими индексами, будем иметь:
^й)+^Л"1)+..-+^-і^ = 0. (106)
Уравнение (106) определяет неизвестную функцию z. Введём
теперь опять новую неизвестную функцию и, полагая u—z'.
В таком случае ц' = г", и* = ги\ ..., «(«;-*> = -г<я>.
Подставляя эта в уравнение (106), получим:
?о«<Л-1) + ^(я-2)+.-.+ ^-ги —°- 0 07)
Для определения функции и мы получили уравнение (п—1)-го
порядка. Легко видеть, что п—1 частных решений этого
уравнения известны. В самом деле функции и а у связаны
соотношением
« = (*
так как yv у2, ..., уп_г—частные решения уравнения (103),
то
УіУ „ _ (УіУ „ __ (Уп-1
суть частные решения уравнения (107). Все эти решения
отличны от нуля. В самом деле, если бы для какого-либо k мы
имели аА=0, то отсюда вытекало бы равенство ~ = const, или
Ул.
yk — Су =0 и, следовательно, функции yk и уа оказались бы
линейно зависимыми, что противоречит нашему предположению.
Далее, все функции uv и2, ..., ил_г линейно независимы. В
самом деле, допустим, что существует соотношение вида
«l"l + V2+..-+*e-A-l = 0. (108)
503

где не все at равны нулю. Подставляя вместо иі их
выражения через у?, получим
Интегрируя, находим:
У п Уп •>п
где а —некоторое постоянное. Отсюда следует, что
*іУі+а2У2 + --- + ап_1уп_1~-апуп===0,
что противоречит условию линейной независимости функций yv
Ух У& •¦•» Уп' Следовательно, равенство (108) не может иметь
места. Так как av uv ,.., ип_г суть п — \ линейно
независимых частных решений уравнения (107), то, в силу допущения
об уравнениях (п — 1)-го порядка, общий интеграл этого
уравнения представится формулой
Выражая и через у, получаем:
(#.)'-c.®'+c>(ay+-+c»-.fe)'-
Отсюда, интегрируя и умножая обе части на уп> находим
общее решение уравнения (103):
Следовательно, теорема, будучи верной для уравнения порядка
п—17 будет верна и для уравнения порядка я. Справедливость
теоремы была уже установлена для л =2. Отсюда следует, что
она верна и для л = 3, 4, ... и вообще уравнений любого
порядка. В силу доказанной теоремы интеграция уравнения (103)
1 сводится к отысканию п линейно независимых частных решений
этого уравнения.
Прамер. Уравнение
xsyn _ зд-зу -j- вху' — 6у = 0
имеет три частных решения
Уі = х, У2 = А у^—х*
эти решения линейно независимы, так как равенстве
aix -f- a2x2 ~-\- aBx3 = 0
при аь аъ д3, одновременно не равных нулю, не может иметь места
при любом х Ф 0.
504

Таким образом, общий интеграл данного уравнения имеет вид
у = С1х+С2х:іі-С?х\
где Сі, С2, С3 — произвольные постоянные.
Примечай и^е. Общее решение вопроса о линейной зависимости
системы п функций уъ уь ..,, уп связано со свойствами так
называемого детерминанта Вронского, составленного для этих функций. Этот
детерминант Вронского имеет следующий вид:
^л =
Уі
У-2
I
Уг
Уг
'Уп
I
-Уп
-Уп
у(Гг)у^
1)
•Уп
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости функций:
является равенство нулю этого детерминанта.
§ 15. Линейные однородные уравнения л-го порядка
с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение
а&М+ау<*-»+... + ая_}у + аяу = 0, (109)
где все ал — постоянные числа. Так же, как и в случае
уравнения второго порядка, будем искать частные решения этого
уравнения в виде ekx. Полагая у — ekx, имеем:
у = ke**9 у" = k2ekx, . ь., jA«> = knekx.
Подставляя в (109) и сокращая на ekx, получим:
alkn-\-alka-'i-{~...-\~aa_lk-\-aa = Q. (П0>
Таким образом, если число к удовлетворяет уравнению (110),
то функция е^ является решением уравнения (109).
Уравнение (ПО) носит название характеристического
уравнения для данного дифференциального уравнения (109). От
характера корней уравнения (110) зависит вид общего интеграла
уравнения (109).
Если все п корней уравнения (НО): kv k2> ..., ka различны
между собой, то функции
**!*, e**t #..f ek*x (111)
являются частными решениями уравнения (109). Легко видеть,
что все эти решения линейно независимы. Чтобы убедиться
в этом, покажем сначала, что две функции вида (111) не могут
оказаться линейно зависимыми, В самом деф, если бы две функ-
505-

-дни еЬ* и е*& оказались связаны соотношением
то из него вытекало бы равенство
a1fi(*»-*s)* = — av
¦что невозможно, так как правая часть от х не зависит.
Допустим теперь, что между функциями (111) имеется
соотношение
^fiA>x + ^2^+ • • .+ ^-ifiAft",Jr +VV:=0' (112)
где не все bt равны нулю. Допустим, что Ьа=?0, и разделим
всё равенство (112) на е^х:
Так как это равенство тождественно относительно я, то его
¦можно дифференцировать по х. Дифференцируя, получим
Равенство (113) имеет тот же характер, что и (112); оно
выражает линейную зависимость функций того же типа, что и
функции (112), но в числе на единицу меньшем. Деля равенство (113)
на e(ft«—i — **)* и дифференцируя, придём к равенству,
выражающему линейную зависимость функций типа (111) в числе п — 2.
Продолжая этот процесс, мы придём к равенству, выражающему
линейную зависимость двух функций вида (111), что, как мы
видели, невозможно. Отсюда следует, что функции (111) линейно
независимы. А потому общий интеграл уравнения (109) имеет
ЛИД
jf= Сів*і*+Са«*г+ ... + Сяе^. (114)
Заметим, что среди корней уравнения (ПО) могут оказаться
и мнимые. В таком случае они войдут попарно сопряжёнными,
и в интеграле (114) слагаемые с мнимыми показателями смогут
быть соединены по два и заменены соответствующими
выражениями через тригонометрические функции так же, как это было
.в случае уравнений второго порядка.
Пример. Возьмём уравнение
характеристическое уравнение
#*4-і=о
имеет один действительный корень А1 = —1 и два мнимых
' і . V3". . і Уъ
^=*2+ —'' ** = Т 2"
S06

В силу изложенного, общий интеграл данного уравнения
представится формулой
X
V? , ~ . VT
Рассмотрим теперь случай, когда характеристическое
уравнение имеет кратные корни. Пусть сначала уравнение (110) имеет
двукратный корень, т. е. среди его корней kv А2, ... , kn
имеются два, равных между собой, например кг=к^ В таком
случае, корни уравнения (ПО) дадут не п, а лишь /Г—1
частных решений уравнения (109). Чтобы получить недостающее л-е
решение, предположим сначала, что корни k^ и k0 не равны
между собой, а весьма мало отличаются один от другого, и что
коэффициенты уравнения (ПО), а следовательно, и уравнения
(109) изменяются непрерывно так, что корень к2 стремится к
совпадению с kv Частными решениями уравнения (109) будут
служить функции екіХ и ек^, и в силу общих свойств линейных
уравнений частным решением будет являться также выражение
ek%x — ehx
k<> — k\
При kv стремящемся к kv это выражение стремится к
производной по kx от функции е**х:
ekiX-~ekiX d , kx,
lim —г г— = -тг-(?*іЛГ).
А потому мы вправе ожидать, что при к2 = кг уравнению (109)
будет удовлетворять не только функция ekiX, но и её
производная по ky
Справедливость такого предположения легко подтвердить
непосредственной проверкой. Обозначим для краткости левую
часть уравнения (ПО) через /(А). В таком случае результат
подстановки функции ек*х в уравнение (109) можно записать в
форме ek*xf(k)\ Посмотрим, что даст результат подстановки в
уравнение (109) функции -^- (**»*). Выполняя эту подстановку,
получим в левой части
-+v.[4(«*-)]'+».[ffi(«")].
507

где верхний индекс в каждом слагаемом означает порядок
производной по х. Но так как величины х и kx не зависят одна от
другой, то оба дифференцирования по х и по кг можно
выполнить в обратной последовательности и предыдущее выражение
записать в форме
А {а0 (*М}00 + аг {**)<* -« + ... + ап_х (*М/ + аа&*}
или, пользуясь введённым обозначением, — в форме
Выполняя теперь дифференцирование по kv получим
d [ek^f{kl)}z=xek^f(kl)+ek^f (kx).
dh
Но так как kx — двукратный корень уравнения (ПО), то
f(kx) = 0 и/ (кг) =0. Отсюда следует, что производная -г^ {е***)
действительно удовлетворяет уравнению (109). Этим самым
мы нашли недостающее я-е решение уравнения (109). Таким
образом, и в этом случае мы имеем для уравнения (109) п
независимых частных решений.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть уравнение (ПО)
имеет корень 5 кратности р. Обобщая предыдущий результат,
мы можем ожидать, что уравнению (109) будет удовлетворять
не только функция е5Х, но и все её производные по s, кончая
производной (р—1)-го порядка. Непосредственная проверка
подтверждает это предположение. В самом деле, подставляя в
уравнение (109) вместо у функции j~r[esx)-> где г^р—1, и
переставляя, как и раньше, порядок дифференцирования по х и по
s, получим:
?[•-/(*)]•
Выполняя дифференцирование по s, после приведения подобных
членов получим;
•&[esxf(s)] = xV*f(s) + лС-Vy (s)+./. +*"/<" (s).
Но так как $ является //-кратным корнем уравнение (109), то
f(s) = 0, f(s) = 0f f"(s) = 0t ..., /(Р-і)(5) = 0,"
а потому предыдущее выражение равно нулю при г=1, 2, ...,
508

р—1, т. е. функции
ds [ h ds* уе ь '"4sP-i{e '
действительно удовлетворяют уравнению (109). Выполняя
дифференцирование по s, получаем р — 1 недостающих решений
уравнения (109):
хе3*, jrV, ... , jc'-V*.
Таким образом, для уравнения (109) опять получим п
независимых частных решений, с помощью которых составим и общий
интеграл уравнения.
Пример.
у?* 4- ЗУ' 4- ЗУ'+У = 0.
Характеристическое уравнение
?4_^3?34-3?2-t-? = 0
имеет простой корень k\ = 0 и трёхкратный корень ?2,3)4 = — I.
А потому общий интеграл этого уравнения представится формулой
у = Сг f С*е-х-\-Сэхе-* + СіХ*е-х,
или
y = C1 + e-x{c2JrC3x + C,x^
§ 16. Уравнения Эйлера.
Линейное однородное уравнение с постоянными
коэффициентами, как мы видели, интегрируется в квадратурах, коль скоро
удаётся определить все корни некоторого алгебраического
уравнения. Одним из видов линейных однородных уравнений с
переменными коэффициентами, интеграция которых также сводится
к решению алгебраических уравнений, являются уравнения Эйлера.
Эти уравнения имеют вид
Введением новой независимой переменной уравнение (115)
можно превратить в линейное уравнение с постоянными
коэффициентами. В самом деле, введём вместо х новое переменное t,
полагая х = е* или ? = lnjr. В таком случае
^ — ^ EL — ^—— ^ е ~ *
dx~~ dt dx~~ dt x~~dt
d*y_d (dy t\_d (dy f\dt_
dx*~ dx \dt ) dt \dt J dx
или
d*y _t&y dy\
d~* \ dt* dt J
-\di*e dt e Г
«-*.
509

Таким же образом получим
dx*~\dt* dpi^dt)
Мы видим, что производные от любой функции по старому
переменному х выражаются через производные той же функции по
новому переменному і в форме произведения многочлена с
постоянными коэффициентами относительно производных по t на е~Р*
где р — порядок старшей производной. Легко убедиться, что
такова же будет форма производной любого порядка. В самом
деле, пусть
dPy fdPy , ~dP~ly , , _ dy\ „,
где все Cf — постоянные. Дифференцируя по х, получим
dP^y__(dP^y . dPy . , dty\ dt
dxP+l"\dtP+^'r^1 dtp~t~ ¦•¦"T^-irf^ Jdxe p —
fdPy , n dP-ty , , . rfyv <#
а так как — = е~\ то окончательно
dP+*y_ \'dP^y , ,^ ,^,^ ^ .rfP-iy ,
Для производной порядка /?+1 мы получили, таким образом,
ту же форму, что и для производной порядка р. Так как эта
форма, как мы видели, имеет место для производных первого,
второго и третьего порядков, то она является общей для всех
производных. Умножая обе части равенства (116) на х? и
замечая, что хр = ері,. получим
хр^У = ОРу, dP^ dy_
dxP dtp i °idtp-* i ' *" r ^P-\ldt #
Полагая здесь p= 1, 2, ... , n и подставляя полученные
выражения в уравнение (115), получим, очевидно, линейное однородное
уравнение с постоянными коэффициентами
Мя) + *,^-1>+...+Ая-іУ/ + *^ = 0, (П7)
где у№—производная от у по /. Определив из этого уравнения
у как функцию от t, мы вернёмся к переменному х и получим
решение уравнения (115).
510

Пример. Возьмём уравнение
хУ" — Ъх*у * + 6xf — 6у=0.
Полагаем х = е*. Производные от у по х при замене переменных.
примут вид
dx dt * ' dx2~~\dt* dt J
dx* \dt* dt^ dt )e *
Подставляя в данное уравнение, находим:
W-edii+Udi~e), = 0'
Составляем характеристическое уравнение:
*3—6#4-ш —6 = 0.
Корнями этого уравнения будут кг — \7 k2 = 2, ^3 = 3. Следовательно,
решение данного уравнения через ? представится в виде
Возвращаясь к переменному х% получаем общий интеграл данного
уравнения
y = C1x±C.x*JrCzxK
Заметимт что действительное выполнение подстановки х = е*
не является необходимым. В самом деле, интегрируя линейное
уравнение (117), мы ищем его решения в форме ekt, но в силу
равенства х = е* решению уравнения (117) вида ekt соответствует
решение уравнения (115) вида хк. А потому можно, не выполняй.
подстановки, прямо искать решение уравнения (115) в форме хк?
Пример.
х*У" +- Ъх*у" 4- 2ху' = 0.
Полагаем
у=х*, у=кх*-\ У=А(А—I)**-»,
У"= А (Л — 1) (* — 2) jc*~3.
Подставляя в данное уравнение, получаем:
k{k —\){k~2)xb±Zk(k — l)jcft-r-2ftj:*=0.
Сокращая на **, получим алгебраическое уравнение для определения кг -.
А(*—1)(А — 2)4- 3?(? — 1)4-2А = 0,
или
Корни этого уравнения
kx=0y k2~-\-i, *s — — L
Следовательно, частными решениями данного уравнения служат функции
хв,. х*, х-к
Общий интеграл данного уравнения получаем в форйе'
у=С1-+С2х*і-Сэх-г.
Пользуясь произволом в выборе постоянных С2 и С& можно подобрать
511.

их так, что интеграл будет выражаться только через действительные
функции аргумента х. В самом деле,
хі = е*1п х = cos In x 4- і sin In х,
x-i =. e—i in. x — cos In x — i sin I n x\
следовательно,
C2xf+ C^c-i = (C2-\- C3)cos In дг-Ь /" (C2 — C3) sin in x.
Полагая
получим общий интеграл в виде
у = Сг-\~ A cos in х •{-В sin In x.
§17. Неоднородные линейные уравнения л-го порядка.
Неоднородным линейным уравнением, или линейным
уравнением с правой частью называется уравнение вида
где p0,pv , рп и q — какие-либо функции ху причём д=^=0.
Интеграция этого уравнения может быть сведена к интеграции
линейного однородного уравнения и выполнению ряда квадратур.
Этого можно достигнуть тем же методом вариации произвольных
постоянных, который мы применяли для интеграции неоднородного
уравнения второго порядка. Именно, если будет найден общий
интеграл однородного уравнения
Л>(я)+лУ"~1)+...+Р»-,/+/>я.У = 0 (119)
в виде *
У=С1у1 + С2у2 + ... +С/іЛ, (120)
то, считая в этом выражении все С- некоторыми функциями х,
можно определить эти функции так, чтобы выражение (120)
служило общим интегралом уравнения (118). Как и в случае
уравнений второго порядка, все С1 могут быть определены при
помощи квадратур. Но во многих случаях сведение уравнения
(118) к уравнению (119) может быть достигнуто значительно
более коротким путём.
Докажем, что, если известно одно частное решение
уравнения (118), то интеграция этого уравнения сводится к интеграции
однородного уравнения (119).
Пусть уг — решение уравнения (118). Введём вместо .у новую
неизвестную функцию .z7 полагая
У=*+Уі-
Дифференцируя это равенство по х, получим:
y = z'+y'v y = S+yv ..., у»)=^(-)+^«).
512,

Подставляем эти выражения в уравнение (118):
Ро [^ +У[п)] +Рг [^¦1) + ^1)] + . • •
.•.+Ра-і(г'+у{)+Рл(2^-Уі) = д,
или
[p,?W+p1zl»-»-\-pt?<«-*>+...+pa_lz'+pl?} +
Н-ГМ^+М"-4 +МЯ~2)+• • -+ра-Уг +рМ = я-
Но так как^ есть решение уравнения (118), то сумма, стоящая
во второй квадратной скобке в левой части полученного
соотношения, тождественно равна д, а потому уравнение принимает вид
Таким образом, чтобы свести неоднородное уравнение к
однородному, достаточно найти одно частное решение неоднородного
уравнения. Рассмотрим случаи, когда такое решение может быть
найдено при помощи элементарных операций.
1. Возьмём уравнение
^У{а) + ^п'1) + '^ + ^гУ + %У===е^Рт(х), (121)
где Рт(х) — многочлен степени т, а а0, а^ ... ,an„v
&п—постоянные коэффициенты. Будем искать частное решение этого
уравнения в элементарных функциях. Так как е%х при
дифференцировании лишь получает постоянный множитель а, то естественно
искать частное решение в виде произведения некоторой функции
на е**. Так как, при этом, после выполнения всех операций,
указанных в левой части (121), и сокращения на е*х, слева должен
будет остаться многочлен, тождественный с Рт(х), то
естественно предположить, что в искомом частном решении
дополнительным множителем к еах служит некоторый многочлен
относительно х. Таким образом, мы будем искать решение уравнения
(121) в форме
; y = #xQ{x), (122)
где Q{x) — многочлен. Коэффициенты и степень многочлена Q{x)
надо определить так, чтобы . функция (122) служила решением
уравнения (1.21). Чтобы выполнить подстановку функции (122)
в уравнение (121); продифференцируем , равенство (122) п раз,
применяя формулу Лейбница:
y = #*Q(x),
у' = aexQ (х) + e*xQ! (x),
у' = d2e*xQ (jc) -f 2ae*xQ' (x) + *"*Q" (*),
yW = ane^Q,(x) -f- na^h^Q' (x) +... + e°*QW (jc).
33 Курс высшей математики, т. П. *>13

Умножая эти равенства соответственно на ап, an_v ... , av ай
и складывая, получим
a,yW _)_aiya-D _|_...+ аа_іУ' + аяу =
= е«^(л:)(а()а" + а1аи-і4-.-- + ал-іа + ап)-Ь
+^Q'M(Va»-i + ul(^-l)a»-2+-+Vi) +
4-а^я—1)(я-2)а»-»+--. + 2-1в«_8] +
+ #^K«(V-l).V.3.2a+
+ МД — 1)(Д — 2)..- 3-2-1] ^.е^пЦ^айп{п—\)... 3-2-1.
Левая часть этого равенства в силу уравнения (121) равна еахРт (х).
Далее, если обозначить характеристический многочлен для левой
части уравнения (121), соответствующий подстановке е"(см. § 15),
через /(а), то легко заметить, что многочлены, стоящие в
квадратных скобках в предыдущем равенстве, равны соответственно
/(а), /' (а), /" (а), ... ./(-«(а), /<"> (а).
А потому равенство можно записать в следующей сокращённой
форме:
Отсюда
Рт (х) = Q (х) f (а) + Z&f (а) +...+ g^ /(«> (а). (123)
Если /(а) =т^= 0, то степень многочлена Q(at), очевидно, должна
совпадать со степенью Рт(х), т. е. многочлен Q(х) должен быть
взят m-й степени. Следовательно, мы должны положить
Выполняя действия в правой части равенства (123), получим
некоторый многочлен т-й степени, коэффициенты которого
содержат в качестве неизвестных величины b01 bv ?2, ..., Ьт„
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа,
получим /л —j— 1 равенств, из которых найдём все неизвестные
коэффициенты b0, bv ... , ?от многочлена Q(#). Таким образом,
белы а не есть корень характеристического многочлена, то
частное решение уравнения (121) можно искать в форме
eaxQ(x)9
614

причём коэффициенты многочлена Qm(x) найдутся методом
неопределённых коэффициентов.
Допустим теперь, что /(а) = 0, т. е. а — корень характера
стического многочлена. Для общности предположим, что этот
корень имеет кратность р, так что
/(а) = 0, /(00=0, Ла) = 0, ... ,/(р-»(а) = 0, /W(a)=^0.
Равенство (123) примет вид
... + 2»а/1.)И. (124>
Это равенство показывает, что Q№(x) есть многочлен степени т,
а следовательно, сам многочлен Q(x) имеет степень /л-{-/?:
QM = ^"+?^H+... + V'+cet,^'+...+C„+p.
Но равенство (124) позволяет определить лишь т-\-\ из этих
коэффициентов, именно ?0, ср ... , ст; коэффициенты cm+v
ст+2> • * * >ст+Р остаются, следовательно, произвольными и для
простоты их можно считать равными нулю. Многочлен Q(x)
можно, таким образом, взять в виде
Q{x) =cQxm+P + c1xm+P-1+...+ cmxPy
или
Q{x) = xP(c0xm+cxxm-i+.. .+ ся).
Итак, если а — корень характеристического многочлена крат*
ностир, то уравнение (121) допускает частное решение вида
xPe**Rm(x)t
где Rm{x)—многочлен т-й степени, коэффициенты которого
могут быть найдены методом неопределённых коэффициентов.
Пример 1.
у 4-У— 12у=(х - 1) еЧ
Общий интеграл однородного уравнения
У4-У —Цу=0
имеет вид
Ищем частное решение данного неоднородного уравнения в форме
откуда
У: — л^аг +. 2 (Лд: + 5) ***, У{ — 4Л*2* + 4 (Л* 4- S) *2х.
Подставляя в данное уравнение и сокращая на е**, получим
5Л — 65 — 6Л*=* — 1.
34 Курс высшей математики, т. II. 0Аі>

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в правой
и левой частях:
— 64=1, 5-4 —63 = —1,
откуда
л- 6- *~зб-
Следовательно, частным решением неоднородного уравнения будет
блг — 1 ,
Общий интеграл данного уравнения имеет вид
"36
у=СіеЪ+С2е-**-%Лек
Пример 2.
у __ 5у -f By' —4у = е**ф
Характеристическое уравнение имеет вид
?3_5?2-f-8? — 4 = 0;
его корни
h = 1, ^2 — *з = 2«
Общий интеграл однородного уравнения
у"_5у'-Ь 8у' — 4> = 0
имеет вид
Частное решение данного неоднородного уравнения мы должны
искать в форме
следовательно,
у[ = Аеь (2х + 2л:2), у[ = Ае** (2 +- Sx +¦ 4*«)f
^і' = Л^ (12 +- 24* 4- 8л-2).
Подставляя значения производных в данное уравнение, получим после
упрощений
откуда
Следовательно,
и общий интеграл имеет вид
jr = Схе* + (С, -f Сдлг) *з* 4- і- *2*2*.
2. Рассмотрим уравнение вида
516

где А0, aj, ..., an—постоянные, а Рщ, Рт%, ..., ^ —
многочлены степеней mv щ, ... , mk относительно x. Обозначим для
краткости левую часть уравнения через А {у}. Тогда уравнение
примет вид
А {у } = ##РЩ + е^Рт% -}-... + в^Рч. (125)
Напишем теперь к линейных уравнений
A{y}=ewpmx1
А{у} = е«**Рт%,
А{у}=е*ъ*Ртк.
Для каждого из этих уравнений можно найти частное решение
методом, который дан выше. Обозначим эти решения
соответственно через
Л» Уъ Л. • • -. Л-
В таком случае нетрудно убедиться, что сумма
служит решением уравнения (125). В самом деле,
непосредственным вычислением находим:
А {Л+Л+Л + - • -+Л} =Л {Л} Л-А Ы +• • -+^ Ы-
Но каждая из скобок правой части совпадает с соответствующим
членом правой части уравнения (125) и, следовательно, сумма
уг -\-у2-\-< • -~\~Уіг удовлетворяет уравнению (125). Таким
образом, этот случай сводится к предыдущему.
3. Рассмотрим уравнение вида
A{y}=Pa{x)cosax
или
A{y}=Pm(x)smax.
Этот случай также легко свести к предыдущему. В самом деле,
gaxiJL.g—ахі . gaxl—e—axt
cosa= ^ t sma = ^ .
Следовательно, данные уравнения можно написать в виде
а М = 4 іеах!Рт W ± *"*Р« W1
и искать частные решения уравнений
А{у}=\е°«Рт(х) и А{у}=±±е-*«Рт(х).
34* 617

Найдя частные решения этих уравнений, можно вернуться к
тригонометрическим функциям и освободиться от мнимых величин.
Но можно и вовсе не вводить в вычисление мнимые величины,
а непосредственно искать решение данных уравнений в форме
Qm (х) cos ах + Rm (x) sin ax
или, более обще,
хр [Qm (x) cos ах + Rm (x) sin ax]
(эта форма соответствует тому случаю, когда at есть />-кратный
корень характеристического уравнения). ¦
Пример.
уш __ уП _ зу = х sin х.
Общий интеграл однородного уравнения имеет вид
у=С1-\-С2еЪ±Сье~ъ.
Частное решение данного уравнения ищем в форме
уг = (Ах -J- 5) sin х -J- (Cx -f- D) cos x.
Вычислив производные y'v у^ у™ и подставив в данное уравнение,
получим
(7D — 9Л 4- В + 2С) sin х -\~ (— 7В — 2Л — 9С+ ?>) cos х +
4* (7С+Л) х sin л: 4~ (— ?л 4- С) jt cos х=х sin x.
Приравнивая коэффициенты при функциях sin л;, cosa:, .rsin*' и xcosx
в правой и левой частях, получаем систему уравнений
— 9Л4- B-t-2CJr7D = 0,
— 2А — 7В — 9С-{- D — 0,
А 4-7С=1,
— 1А 4- С =0.
Решив эту систему, найдём
л~50' 125' ° —50' 250*
Следовательно,
_ 5*—46 . , 35*4-3
. Л = -250-ап* + -250~"СО"-
Общий интеграл данного уравнения имеет вид
у==С1+С2е^ + С3е~2х + Б^^втх + Щ^со$х.
4. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение типа
уравнений Эйлера
apxHyW -f а^-у-і) +.. .+ая_гх>>+аяу = 1пх-Рт(х). (126)
513

Подстановкой х=е* этот случай также можно свести к
предыдущим. В самом деле, эта подстановка приводит левую часть
уравнения (126) к виду
Правая часть уравнения (126) примет вид
Всё уравнение (126) приведётся, таким образом, к виду,
рассмотренному выше.
Пример.
х*у» 4- *У - 4У=х* In х. (а)
Полагая х = е*^ приводим уравнение к виду
rf3v
Ищем частное решение в форме
ух = (Аі+-В)е**.
Тогда
у\ = (ЪАі + ЗВ 4- Л) е**; у" = {Ыі ¦+- 93 + 6Л) *м.
Подстановка этих значений в уравнение (Ь) даёт:
(9At + 9B-\~6A)eV— 4(Ai±B)e*t=teK
Сокращая на ezt и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях ?, получаем:
6Л + 5В = 0, 5і4 = 1,
откуда
Следовательно,
Так как общий интеграл однородного уравнения
сРу
имеет вид
то общим интегралом уравнения (Ь) будет
возвращаясь к аргументу х, получим общий интеграл данного
уравнения в виде
y=Cxx^C2x"^(l^f-^)x\
519

§ 18. Интегрирование уравнений при помощи рядов.
До сих пор мы рассматривали методы нахождения точных
решений дифференциальных уравнений различных типов. Между
тем, для многих задач, в особенности для задач прикладного
характера, бывает достаточно знать лишь приближённое решение
данного уравнения, причём весьма часто нет надобности знать'
общий интеграл, а необходимо найти лишь частное решение,
удовлетворяющее некоторым заранее наложенным условиям. В этих
случаях искомое решение часто можно найти без применения
общих методов интеграции в виде некоторого сходящегося
ряда, представляющего искомую функцию в пределах его
сходимости.
Посмотрим, какие и сколько условий можно наложить
заранее на искомое частное решение дифференциального уравнения.
Мы видели, что для уравнений первого порядка у' =/(х> у)
можно потребовать, чтобы при данном значении х = х0 искомая
функция у принимала заданное значение y==yQ. Этими
начальными данными: х0> у0 определялось при известных условиях
единственное частное решение данного дифференциального
уравнения. Нетрудно убедиться, что для уравнения п-го порядка
/(*. ^.У, У.-..,Уя})=0 (127)
можно заранее потребовать, чтобы при данном значении х — х0
как сама искомая функция у, так и все её производные до
(п — 1)-го порядка принимали заранее заданные значения
Л. У0. Уо..-» Jtf1""^
В самом деле, общий интеграл уравнения (127)
Ф(х, у, С„ Са> ..., Сл) = 0 .(128)
содержит п произвольных постоянных. Продифференцировав по х
равенство (128) л—1 раз, мы получим вместе с равенством (128)
всего п равенств, содержащих величины уу у', у", ..., у(*-1)у
а также постоянные Cv С2, ..., С . Полагая в этих равенствах
* = *о, У=Уо> У=У0, ••.. y^n-l^=yf-1\
получим п уравнений, из которых в общем случае можно найти
значения всех постоянных Cv С2> ..., С. При этих значениях
равенство (128) определит искомую функцию у, удовлетворяющую
указанным начальным данным.
Примечание. Существование решения дифференциального
уравнения (127), удовлетворяющего заранее указанным начальным
данным, может быть вполне строго доказано тем же методом
последовательных приближений, который был применён при доказательстве
520

существования интеграла уравнения первого порядка. Именно,
разрешив уравнение (127) относительно уіпУ
Ул, = ?(*, J»,/ У"-1)), (129)
можно показать, что при известных условиях, налагаемых на
функцию <р, уравнение (129) имеет единственное решение у,
удовлетворяющее начальным условиям
* = *о, у=У0і У=^...., уЬ-1)=у$-Ъ.
Будем теперь искать частное решение уравнения (127) при
начальных данных {xQ4 у0, у'0,..., У?~% не находя общего
интеграла этого уравнения. Разрешив уравнение (127)
относительно Ул):
yi*) = tp(Xi у, У, у, ..., у»-»)), (129)
допустим; что функция ср вблизи данной системы начальных
значений имеет частные производные любого порядка по всем
аргументам. В таком случае, из равенства (129) дифференцированием
найдём (/г -f- 1)-ю производную:
у дх*дуу^дууі'"^ду(п-і)У •
Подставляя сюда вместо у№ его выражение (129), получим
У*+0 = ф(Лі _у, у, у, .... уя-О). (130)
Дифференцируя (130), таким же образом получим
y^2)=x(Xj ^ yf yf ввм ул-D). , (1зі)
В силу сделанного предположения о функции ср, этот процесс
можно продолжить безгранично и получить бесконечную
последовательность производных
У«\ Ул+1), Ул+2), ...
Полагая в равенствах (129), (130), (131) и всех следующих:
х = х0, у^у0, у'=У0, .*., у(«-Ъ=У«-г\
получим последовательность начальных значений производных
всех высших порядков
yf\ У[?+Х), 4я+2). ••• (132)
Составим теперь ряд Тэйлора
л+^Уо+^т^Ч+..-+(йі^'^')+--- <133>
Легко видеть, что если этот ряд сходится в каком-либо
интервале (#о — Р> ^о+Р)' т0 функция, определяемая этим рядом,
521

является решением уравнения (129). В самом деле, обозначив
сумму ряда (133) через s{x), имеем
С другой стороны, разлагая в ряд левую часть равенства (129),
получим
?(*, У, У,..., Уп-і))=УР+^=^Уіа+г) + .-. 035)
Сравнивая равенства (129), (134) и (135), убеждаемся в том,
что функция s(x) удовлетворяет уравнению (129). Далее из
равенства
в(*)=л+?:гй.Уо+---+(тіг5^+--- <136>
непосредственно следует, что функция s (х) удовлетворяет
заданным начальным условиям
*(*о)=.Уо. ^(*о)=У0і .... *(я-1)(*о)=Уя"1)-
Следовательно, s(x) есть искомое частное решение уравнения (129),
Примечание. В известных случаях, как, например, в случае
линейных уравнений, бывает возможно определить последовательные
производные
в общем виде, т. е. не придавая начальным данным yQ) y'Ql..., .yj,*"*"1*
определённых числовых значений. В таком случае эти начальные
данные войдут в коэффициенты ряда (133). Их можно будет
рассматривать как произвольные постоянные. Раренство (136) будет в этом слу%
чае давать общее решение уравнения (129).
Пример. Найти частное решение уравнения гармонических
колебаний
определяемое начальными данными
Из данного уравнения имеем у'^=0.
Дифференцируя данное уравнение, находим;
§ + *У = 0;
при х~0 имеем у'ц=—аК
522

Дифференцируя ещё раз, получим:
при х 3= 0 имеем у^ = 0.
Продолжая этот процесс, последовательно найдём:
Подставляя эти выражения в равенство (136), получим
. . ах й3дг3 , Фх*
«W=i—
1 1-2-3 1 1-2-3-4-5
Таково искомое частное решение. Легко заметить, что его можно
записать в конечной форме
5 (л:) = sin ax.
При применении изложенного метода на практике можно
несколько сократить выкладки. Именно, вместо последовательного
определения производных у&\ у\?~^1\ •-• можно прямо написать
ряд (133) с неопределёнными коэффициентами, начиная с члена,
содержащего (х — х0)п, и подставив этот ряд в данное
уравнение, так подобрать неопределённые коэффициенты ряда, чтобы
уравнение обратилось в тождество.
Пример. Найти частное решение уравнения
у"-\-ху = 0
при начальных данных
Следуя .сказанному, выше, пишем искомое решение в виде ряжа
у = 1 ~\- а^-^-а^х* 4- яз**+- • •
Дифференцируя дважды, получим:
У' = л1.2.14-А2-3*2дг + д8.4.3дг2+--' + ал(« + 1)я^я-1-г-.--
і
Подстановка значений производных в заданное уравнение даёт:
e12.1 + («i-3-2 + l)ar-ba,.4.3^4-(ff4"5-44-tfl)Jce4-...
-:+[вл(я + 1)л + ял-в]*я-1-Ь.-.= 0.
Приравнивая нулю все коэффициенты, найдём:
^.2-1 = 0, д3-3-2 + 1=0, в,-4.3 = 0,
\ д4-5-44-Ді = 0,;.., ад(л + 1)л + «я-і = 0*---
От сюда
ал = —
3.2' "3
(п+\)п
, * • •

Следовательно, искомое решение'представится в виде ряда
- х3 . х6 . х*п_ і
у— 1 3-2 * 6-5-3-2 '¦" •—Зл(3/2—1)...б.5.3-2"Г#- *
Применяя признак сходимости Даламбера, легко убедиться, что этот
ряд сходится при всяком х и, следовательно, дает решение данного
уравнения;
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти общие интегралы следующих уравнений;
Отв. arctgy — arcsinjr = C.
у х
п ЗУ Зд:2
0тв' 2?—2у = С-
3. Найти кривую, поднормаль которой постоянна.
Отв. Парабола.
4. Найти кривые с постоянной подкасательной.
Отв. Показательные кривые.
5. Найти кривую, длина нормали которой постоянна.
Отв. Семейство окружностей с центром на оси х.
6. Найти функцию zr=f(x), зная, что она удовлетворяет уравнению
f{x+y)=f{x)-\-fty). d)
Решение. Дифференцируя даннЪе уравнение сначала по х, затем
по у, получим:
f(x+y) = f'(x)f'(x-\-y)=f (у).
Отсюда
f(x)=f(y)t
и так как х и у независимы, то такое равенство возможно лишь
в случае
/'(*) = ? = const.
Итак,
или, полагая f(x) = zt
¦откуда
rf?_
dx~~c'
z — cx^rC (2)
Для определения С положим в (1) д-=>у = 0; получим /(0-|-0) =
=/(0)-f/<0). т- е. /(0)=0, так что при дг = 0 и г = 0. Полагая в
равенстве (2) х = 0, получим 6*=0.
Итак,
z=f(x) = cx.
7. Найти функцию z=f(x), удовлетворяющую уравнению
Отв. z = x\
524

Найти функции, характеризуемые следующими уравнениями:
8. /С*+J0 = /(*)•/О* Ю. /(^+^gw\t)0C) *
Отв. j (х) =. , с*. Отв. / (х) = tg Сх.
9. f(xy)=f(x)+.f(y).
Отв. f(x)=C\nx.
Найти общие интегралы уравнений:
dy =х — у
dx
U' dx~x-\-y'
Отв. х* — 2ух—У2=С.
dx х2—у*
Отв. х*-\-у*=Су.
13. xdy—ydx =Vx*-\-Уdxm
Отв. 14-20— С2лг2 = 0.
14. (x—y)dx + xdy = Q.
Отв. х*ех = С.
15. jf^=j/ln'y-.
0/7Z5. J/ = JT^Cjc + 1.
16. y*-\-ky = e*x.'
gCLX
Ome.y = Ce-b* + ^zfk'
17. y-f-^- = 21n^+l.
* x x
С
Отв. у = x In x -h —¦.
18. У — e*y — -~ e*x.
Отв. у = е** + 2е*-24-p?«*.
19. у -f 4дгу = 2j:*~* Уу.
Указание: У~_у=2.
Они. У='~~*а(^ + с).
20. У4-^ = ^У3-
:С<?-2*4-
2^: —1
Отв. „У— ^* - -г- о
21. (1-д:2)У-^ = ^2.
0тв'у== PVT=^~i'
22.у = ху'-+у'2.
Отв. у = Сх-\-С2. Особое ре-
: х* + 4у = 0.
23. у=хУ — у.
Отв. у~Сх— j?. Особое
решение: у*-\-4х = 0.
24. ^— Уху1 — у'* = 0.
Отв. {Ъху 4-2х* 4- С)2 — 4(у4-
25. у — АЗу — о.
О/ив. у = С^** 4- Съв-Ьх.
26. У — 7У 4- 12^-0.
Отв. > = Сі<?3* 4- С2еЧ
27. У —бу'4-13у=0.
Отв. y=^4^iCOs2j:4-C<,sin2jc).
28. У- 12У-j-36.y = 0. "
Отв. у = {Сі\-С*х)е*х.
29. У4-у = дг3.
Отв. .у = C1sin^4"^2Cosх4-
-t-x2—2.
30. у — 7У + 6у = з1пдг.
Отв. у = С\е** 4 С2е* -|-
, 5 sin л- 4" 7 cos л:
і 74 *
31. У — Зу = *?*. _
Отв. у = Сх/ 3* 4- С2*~ V ** -
32. у +в3у=Л
Отв. у = 2 .-4-^iCOsaA:4-
4- С2 sin ax.
33. У 4-У = ¦> г
' ^ /(cos2*)3
Отв. у=Сг cos л: 4- С2 sin х —
— Vcos2jt.
34. (sinjf—xcosx)y"—xsmx-y'—
— sinx-y — O.
Указание. Частное решение У\=х
Отв. у = Сіх 4- Со sin х.
35. *У —2*УН-2,у=2.
Отв. у = \+- Схх+С2х*.
36. ху"+у'=\-
Отв.у = х^С) + С2\пх.

37. jAV— ізу»4-36.У=0. 38- у _ЗУ_|_4У" —4У4-
Ome. y=:Cie**±C%e-**+ ±3y'-y=0.
4. С8в**4. C4e- »*. Отв. у=е*{ Сг+ C2x 4- Czx*) 4.
39. jflV4-e4y = 0. 4-^4 cos д; 4-C5 sin j:.
Ош. .y^<?v 2 f CiCos -^ 4- ^2 sin ^)+
. ~ v*2 f *• ax . ~ > ax \
+ * (C3cosyf+ C*sinyf/
40. У — 5У4-6.у = at 4-1.
Отв. y^C^ + C^x+^f+li.
41. у —бУ4-9у = дг3.
42. У — 2У — 3y = ***.
Отв. у = Ci*3* 4- С*-* 4- i «s*.
43. ут—у = еЪ.
Отв. у = Cxex+e-* \C2zos ~^~ х + Съ?іп-^х )+-^-
44. У — 7y' 4- 12y = xex.
Отв. У-С^х + С^х+Щ^^х. .
45. у _ 5у 4- 6.у=е** (1 — лг\
Отв. у = Сге** 4- <V3jc + ^f^l
46. j/IV-зУ'Ч-ЗУ — У = 6л
Отв. у = Сі 4- ** (Са + сз* + С**3) + хЧх.
47. yv— д/ = хех.
х^ Zx
Отв. y = CiexJrC2e-x-}-CsCQsX']-CAsinx-{ =—ex.
48. У — ЗУ — Ay = sin jr.
л •> а~ ! •> ^ і 3 cosx — 5 sin x
Отв. у =: Сі*4* 4- С2е~х-\ -^ .
49. У4-4у = со8 2*.
Отв. y=CiCos2x-]r C^sin2x-{-—^xsm2x.
50. У 4-^ = 5 4-cos лг.
Отв. J/ = Сі cos j: 4- ?2 s*n x~\--<j x sin ¦# + 5.
51. У"—.у = в*4-2.
0«в. y==Cie* + e ^(c2cos *—^-x + C3sin J-^-jr J4- jt** —2.
52. У —3yiV4_2^"'==:8jr—12.
Олю. ,У = Ci 4- C2J: + Q*2 + С#* 4- C5*2* 4. ^ m

53. yv + 4y"-t-8y + 16y + I6jr=s2*-**- sin2x.
Отв. y=Cicos 2x+ C2sin 2xe-*x (C3+. С4лг) +i*з*-**+ ~ jr sin2x.
54. ід:У"+-дг3У+.;сУ-> = 1—lnx.
О/не. ^ = CiC0s(*K"2In^) f СзЗшО^^іп^ + СзЛГ + іпх.
55. У" — 2_/-b4y=e*cosjt.
O/ne. .y = Сів-*« + e* (C2cos * + Cz sin лг) — щ xe* (cos x — 3 sin x).
56. У"-ЗУ'-[-ЗУ— jr=15**.
Om*. .y=(d +• C2jc + Сгх*) ^ + ^ *9**.
57. jcsy + jry4-jf = lnx.
О/из. ^=CiCos(ln x)-|-C2Sin(lnj:)+-lnj:.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
(Цифры обозначают страницы.)
Абеля теорема 322
Абсолютная сходимость, абсолютно
сходящийся ряд 321
Абсолютный максимум, минимум 187.
Алгебра, основное предложение 44
Алгебраическая форма комплексного
числа 29
Амплитуда 19
Аппроксимация функции 345
Асимптоты 390
Арифметическое сгецнее 186
Арксинус, разложение в ряд 357
Арктангенс, разложение в ряд 356
Архимеда спираль 389
Безу теорема 13
Бернулли дифференциальное уравнение470
Бином Ньютона 11
— разложение в ряд 354
Бинормаль 436
Валлиса формула 127
Вариация постоянного 463
Вейершграсса признак сходимости 335
Вектор 18
Векторное поле 304
Векторов отношение 22
— сложение 22
Верхний предел последовательности 340
Вивиаии задача 244, 257
Винтовая линия 436
Возврата ребро 442
— точка 402
Выражения неопределенные 375
Высшие трансцендентные функции 113
— частные диффере циалы 164
. производные 161
Высший полный дифференциал 164
Вычитание комплексных чисел 24
— рядов 325
Гармонический ряд 308
Гармоническое колебание 456, 499, 522
Гаусса формула 298
Геометрическая прогрессия 307
Геометрическое значение двойного
интеграла 216, 233
полного дифференциала 155
— среднее, обобщенное 1Э5
Гиперболическая спираль 389
Гиперболические точки 176
Гиппократа задача 246
Главная нормаль 436
— часть приращения 144
Главные направления 436
Границы корней 54
Графики целых рациональных функций 56
Грина теорема 301
— формула 295
Грина-Остроградского формула 296
Гюльдена теоремы 286
Даламбера признак сходимости 311
— теорема 44
Двойной интеграл 211, 233, 237
, ьычисление 239
— ряд 326
Двукратная точка кривой 406
Двучленного дифференциала
интегрирование 98
Действительные корни, отделение 54
Декартов лист 398
Деление комплексных чисел 28
Деринацин 146
Детер м инант функциональный (Якоби)
249, 256, 276
Дивергенция 304
Диэихле условия 363
Дифференциал полный 145, 222, 226
—, геометрическое значение 155
— частный 142
Дифференциальное уравнение 450, см.
также соотв. название дифф. ур-ния
Дифференциальный параметр 300
Дифференцирование 146
— неявной функции 151
— под знаком интеграла 205
— рядов 336
— сложной функции 147
Дифференцир>емая функция 145
Дроби простейшие (элементарные) 67, 79
. второго типа 79
Единица мнимая 29
Жук 406
Зависимость линейная 496
Замена переменных 248, 250, 256, 276
Замкнутая область 133
Знакопеременный ряд 306, 319
Знакопостоянный ряд 306
Знакочередующийся ряд 306
Извлечение корня из комплексных чисел
31
Изоклины 458
Изолированная точка 402
Инерции момент 288
Интеграл двойной 211, 233 237
— —, вычисление 239
528

Интеграл двойной, геометрическое
значение 216, 233
— дифференциального уравенния 450
—. общий 452
_ особый 453
— частный 452
— кратный 233
— криволинейный 219, 222
— Лапласа 259
— многократный 271
— Пуассона 127, 259
— равномерно сходящийся 208
— тройной, трехкратный 273
— функции, зависящей от параметра 201
Интеграіы определённые 123
Интеграл1.ное исчисление (для функций
неск. переменных) 199
Интегральные кривые 452
, приближенное построение 456
Интегральный косинус 113
— логарифм 113
— синус 113
Интегрирование 459
— дз>членного дифференциала 98
— дифференциального уравнения 450
при помощи рядов 520
— иррациональных Фонации 95
— м .огокэатное 200
— по параметру 211
— показательных функций 113
— полного дифференциала 226
— рациональных функций 68, 77, 82, 89
— рядов 336
— трансцендентных функций 110
— тригонометрических функции 114
— элемеітарных дробей 68
Интервал сходимости 331, 341
Касательная 384, 433
—, длина 386
— плосчосгь 158
— полярная 388
Квадратов наименьших способ 183
Квіірагура -159
Клеро дифференциальное уравнение 473,
475, 477
Колебание гармоническое 456, 499, 522
Коипле<сиое число 19
Комплекс іые члены ряда 329
Коордиіагы полярные 256, 267, 279, 288
Корень из комплексного числа 31
— многочлена 9
— уравнения 9
— — кратный 15
, приближённое вычисление 48, 60
простой 1і
— —, число корней 13, 17
Корни отрицательные 5 4
— по.южительчые 54
— сопряжённые 45
Косинус интегральный 113
—, разложение в ряд 352
Коши признак сходимости 311
— теорема 317, 376, 482
Коэффициент направления 31
Коэффициенты разложения дроби 72
— уравнения, выражения через корни 46
Кратная точка 406
Кратюсти показатель 15
Кратность корня 15
Кратный корень 15
Кривая поверхность, площадь 263, 267
Кривизна 417, 437
Кривизна вторая 439
— средняя 416
Кривизны круг 420
— радиус 419, 439
— центр 419
Криволинейный интеграл 219, 222
Кривые интегральные 452
— —, приближенное построение 456
— плоские ЗК4
— уннкурсальные 109
Кривых семейство 426
Круг кривизны 420
Круговые функции, связь с логарифмом 88
Кручение 439
Кручения радиус 439
Лаграмжа дифференциальное уравнение
471, 477, 480
— метод 190, 463
Лапласа интеграл 259
Лейбница правило 205, 206
Линейные дифференциальные уравнения
462,413, 497, 500, 501, 505, 513
Линейно зависимые, независимые функции
496
Линия винторая 436
Липшица условие 481
Логарифм интегральный 113
— комплексного числа 39
—, разложение в ряд 359
Логарифмическая спираль 383
Ложного положения правило 60
Лопиталя правило 377
Луночхи гилпократовы 246
Маклорена ряд 350, 360
— формула 10, 348
Максимум 138, 170, 178
— абсолютный 187
— относительный 187
Мартеяса обобщение теоремы об
умножении рядов 327
Массо способ 458
Минимум 138, 170, 178
— абсолютный 187
— относительный 187
Мнимая единица 29
Мнимые числа 17, 18
Многократное интегрирование 200
Многократный интеграл 271
Многочлен, разложение в произведение 47
Mv-огочлена коре:ь 9
Моавра формула 31
Модуль 19
Момент инерции 288
Наименьших квадратов способ 183
Направления главные 436
— коэффициент 31
Невихревое движение 304
Неоднородные уравнения 500
Неопределенные выражения 375
Неопределенных коэффициентов метод
515
Непрерывная функция, непрерывность 134
Неравномерно сходящийся ряд 334
Нечбтнія функция 370
Неяв ая функция 132
, дифференцирование 151
—» —, теорема существования 132
Нормаль 160, 385
— глазная 436
—» Длине 386
529

Нормаль полярная 388
—> производная по нормали 300
Нормальная плоскость 434
Ньютон 55
Ньютона бином 11
—. способ 62
Область замкнутая 133
— изменения функции 133
— ограниченная 134
— связная 238
Обобщённое среднее геометрическое 195
Общий интеграл 452
Объёма элемент 237, 279
Объёмы 281
Огибающая 426, 441
Ограниченная область 134
Однородная функция 167
Однородности показатель 167
Однородные уравнения 462, 466, 494, 497
Окружность соприкасающаяся 314
Определенные интегралы 123
Осно вно е предложение высшей
алгебры 44
Особые решения 475, 479, 489-
— точки 400
Особый интеграл 453
Остаточный член 346
Остр о градского метод 89
Остгоградс^ого Грина формула 296
Отделение корней 54
Относительный максимум, минимум 187
Отрицательные корни 54
Парабола расходящаяся 403
Параболические точки 180
Параболы высших порядков 57
Параметр 426
— дифференциальный 300
—, интегрирование функций, вависящих
от параметра 201, 211
Первообразная функция 199
Перелома точка 409
, Переменных замена 248, 250, 256, 276
— разделение 459
Перемены зчаков 49
Пикара метол 482
Пло^-ость касательная 158
— нормальная 434
— сопгикасающаяся 434
—> спрямляющая 436
Площади элемеіт 237, 253
Площадь поверхности 1бЗ, 267
Поче 'Хностеи семейство 440
. Поверхчости площадь 263, 267
— развертываю ;„иеся 445
— эквипотенциальные 305
Погрешность сл>чайная 183
Под.асательмая 386
•— полярная 388
Поднормаль 386
— подя'ная 388
Подетанов <и Эйлера 102
Показатель кратности 15
— однородности 167
Показательная функция, интегрирование
» разложеьие в ряд 351
Поле векторное 304
— потенциальное 305
Полное приращение функции 143
Полный дифференциал 145, 222, 226
530
Полный дифференциал, геометрическое
значение 155
Положительные корни 54
Полярные координаты 256, 267, 379, 288
Порядок дифференциального уравнения
456
— прикосновения 411
Последовательных дифференцирований
способ 74
— приближений метод 482
Постоянного вариации метод 463
Потенциальное поле 305
Предел верхний последовательности 340
— комплексного переменного 35
Предельная точка 133
Приближений последовательных метод 482
Приближённое вычисление корней 48, 60
Признаки сходимости, см. Сходимости
признаки
Прикосновение k-vo порядка 411
'Приращение второе 143
— пол юе ИЗ
— тре*,*ье 146
— ча-тное 139
Прогрессия геометрическая 307
Производная по нормали 300
— частная 139
— —, высшая 161
—, геометрическое значение 155
Простой корень 15
Пуассона интеграл 127, 128, 259
Равномерно сходящийся интеграл 208
ряд 334
— непрерывная функция 138
Радиус кривизчы 419, 439
— круче шн 439
Развй[тка 425
Развертывающая 425
— поверхность 445
Разделение переменных 459
Разложение дроби на простейшие 69, 79
— многочле'а ь произведение 47
— целой рациональной функции на
множители 12
— функции в ряд 345, 350, 355
Расходящаяся парабола 403
Расходящийся ряд 305
Ребро возврата 442
Regu'a falsi 6J
Редукционная формула 83, 117
Решение дифференциального уравнения
450
. , особое 475, 479, 489
., существование 481
Римана теорема 322
Ротор 304
Ряды 306, см. также соотв. название
—, дифференцирование и интегрирование
336
—, признаки сходимости 317
—, применение к интегрированию
дифференциальных уравнений 520
—, сравнение 309
Связная область 238
Семейство кривых 426
— поверхностей 440
Синус интегральный Из
—, разложение в гяд 351
Сложение векторов 22
—¦ комплексных чисел 23

Сложение рядов 325
Сложная функция 132
г , дифференцировачие 147
Случайная погрешность 183
Смещение 22
Соприкасающаяся окружность 314
— плоскость 434
Сопряжённые комплексные числа 20
— корни 45
Спираль Архимеда 389
— гиперболическая 389
— логарифмическая 389
Спрямляющая плоскость 436
Сравнение рядов 309
Сравнения коэффициентов способ 75, 81
Среднее арифметическое 183
— геометрическое обобщенное 195
Степенной яд 339
Степень комплексного числа 28
Стокса формула 301
Строфоида 394
Сумма ряда 306
Существование неявной функции 152
— решения дифференциального
уравнения 481
Сходимости интервал 331, 341
— признаки 307
— признак ВеЙерштрасса 335
— *— Даламбера 311
Коши 313
Сходимость абсолютная 321
— равномерная 334
— условная 321
Сходящийся ряд 306
Теорема, см. соотв. название
Тор 444
Точка возврата 403
— гиперболическая 176
— двукратная 403
—> изолированная 402
—, обобщение понятия 132
— особая 400
— давд атная 406
— парабодическая 180
— перелома 409
— предельная 133
— узловая 401
— эллиптическая 175
Трансцендентные функции,
интегрирование 110
высшие 113
Трёхкратный интеграл 273
Тригонометрическая форма комплексного
числа 31
Тригонометрические функции,
интегрирование 114
Тригонометрический ряд 362
Тройной интеграл 273
Тэйлора ряд 349, 360
— формула 11,346
Тяжести центр 285
Узловая точка 401
Умножение комплексных чисел 26
— рядов 326
Уникурсальная кривая 109
Уравнение дифференциальное 450, см.
•также соотв. название
дифференциального уравнения
Уравнение характеристическое 498 505
Условие Липшица 481 '
Условия Дирихле 363
Условная сходимость, условно схож*.
щийся ряд 321
Факториал, представление в виде
интеграла 125
Формула, си. соотв. название
Функции иррациональные, ивтегрирова-
ние ээ
— линейно зависимые, независимые 496
<- показательные, интегрирование 113
— рациональные, интегрирование 68
— трансцендентные, иктегрированне 110
высшие 113
— Штурма 49
Функциональные ряды 331
Функциональный детерминант 249, 256»
2/6
Функция непрерывная 134
— нескольких переменных 131,199
— нечётная 370
— неявная 132» 152
— —, дифференцирование 147
— однородная 167
— первообразная 199
— сложная 132
, дифференцирование 147
— чётная 370
Фурье ряд 361, 366
Характеристика 441
Характеристическое уравнение 498,
Центр кривизны 419
— тяжести 285
Частная производная Ш
— —, геометрическое значение 155
¦ высшая 161
Частное приращение 139
Частный дифференциал 142
— интеграл 452
Часть гласная приращения 144
Чебышев 99
Чётная функция 369
Число комплексное 19
— корней уравнения 13, 17
Чисто мнимые числа 20
Член остаточный 346
— ряда 306
Штурма теорема 51
^- функцди 49
Эволюта 442
Эвольвента 425
Эйлера теорема 168
— уравнение 509
— формула 37, 88
Эйлеровы подстановки 102
Эквипотенциальные поверхности 30S
Элементарные дроби 68
Элемент объёма 237, 279
— площади 237, 253
Элементарные дроби 68
Эллиптические точки 175
Якобиан 249, 256, 276
506

ОГИЗ РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
„ГОСТЕХИЗДАТ"
Москва, Орликов пер., 3.
УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ВЫШЛИ В СВЕТ:
И. И. Привалов. Аналитическая геометрия, изд.
14-е, 304 стр., цена 8 руб.
А. Ф. Бермант. Курс математического анализа,
изд. 3-е, т. I, 324 стр., цена 10 руб.; т. II, 336 стр.,
цена 16 руб.
О. Н. Цубербнллер. Сборник задач и упражнений
по аналитической геометрии, изд. 14-е,308стр.,
цена 8 р. 50 к.
И, П. Тарасов. Кур.с высшей математики для
техникумов, 4-е изд., 272 стр., цена 8 руб.
ПЕЧАТАЮТСЯ:
С. С. Бюшгенс. Аналитическая геометрия, ч. I
и II.
Р. О. Кузьмин. Сборник задач по высшей
математике, изд. 10-е, переработанное, г I и И.