/
Автор: Курант Р.
Теги: анализ дифференциальное исчисление математический анализ интегральное исчисление
Год: 1967
Текст
VORLESUNGEN
UBER DIFFERENTIAL- UND
INTEGRALRECHNUNG
von
R. COURANT
Erster Band
Funktionen einer Veranderlichen
Dritte, verbesserte Aufiage
DIFFERENTIAL AND
INTEGRAL CALCULUS
by
R. COURANT
Professor of Mathematics
in New York University
Translated by
e. j. McShane
Professor of Mathematics
in the University of Virginia
New Revised Edition
VOLUME I
Р. КУРАНТ
КУРС
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
И ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Том I
Перевод с немецкого
и английского изданий
3. Г. ЛИБИНА
и Ю. Л. РАБИНОВИЧА
ИЗДАНИЕ 4-е, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ЗНАЧИТЕЛЬНО ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1967
517. 2
К 93
УДК 517.0
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой мастерски написан-
ный крупным математиком курс математического
анализа, адресуемый автором «будущим учителям
и научным работникам в области математики,
физики и других естественных наук, а также
инженерам». Первый том был впервые издан на
русском языке в 1931 г.
Настоящий перевод первого тома содержит:
дифференциальное и интегральное исчисление
функций одного переменного, очерк теории фун-
кций нескольких переменных, дифференциальные
уравнения простейших типов колебаний. В него
включены многочисленные добавления автора,
появившиеся в последующих изданиях на немец-
ком и английском языках, в частности тщатель-
но подобранные и систематизированные упраж-
нения и задачи.
Книга может служить учебным пособием по
математическому анализу для студентов и пре-
подавателей университетов, педагогических инсти-
тутов и втузов.
Второй том выйдет из печати в 1968 г.
Р. Курант
Курс дифференциального
и интегрального исчисления
М., 1967 г., 704 стр. с илл.
Редактор В, М. Гринберг
Техн, редактор В. Н. Крючкова
Корректоры Т. С. Плетнева, В. П. Сорокина
Сдано в набор 15/IV 1967 г. Подписано к печати
4/Х 1967 г. Бумага 60x90l/1S. Физ. печ, л. 44.
Условн. печ. л. 44. Уч.-изд. л. 47,18.
Тираж 50000 экз. Цена книги 1 р. 75 к.
Заказ № 715.
Издательство «Наука»
Главная редакция *
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15,
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета.по печати прн Совете Министров
СССР. Измайловский проспект, 29.
2-2-3
51-67
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчиков.......................................................... 14
Из предисловия автора к первому немецкому изданию........................ 16
Из предисловия автора к первому английскому изданию.......................17
Предисловие автора ко второму английскому изданию........................ 18
Из предисловия автора к третьему немецкому изданию....................... 18
Вводные замечания........................................................ 19
Глава I. Подготовительный материал.................................... 21
§ 1. Числовой континуум................................................. 21
1. Система рациональных чисел и необходимость ее расширения (21). 2. Континуум
действительных чисел и бесконечные десятичные дроби (23). 3. Системы счисле-
ния, отличные от десятичной (26), 4. Неравенства (27). 5. Неравенство Швар-
ца (27). Упражнения (28).
§ 2. Понятие функции.................................................. 29
1. Примеры (29). 2. Интервалы или промежутки (30). 3. Определение понятия
функции (31). 4. Графическое изображение. Однозначность и многозначность.
Непрерывность. Монотонные функции (31). 5. Обратные функции (35).
§ 3. Обзор элементарных функций......................................... 37
1. Рациональные функции (37). 2. Алгебраические функции (38). 3. Тригоно-
метрические функции (39). 4. Показательная функция и логарифм (40). Упраж-
нения (41).
§ 4. Функции целочисленной переменной. Числовые последовательно-
сти. Полная индукция..................................................... 42
Л. Определение н примеры (42). 2. Принцип полной индукции {43). 3. Пример:
сумма первых п квадратов (45). Упражнения (46).
§ 5. Понятие предела последовательности чисел. Примеры.................. 46
1. ап = 1/п (46). 2. a2m = Vrn\ а2т_х = 1/2т (47). 3. ап = п/(п +1) (48). 4. ап-=
п
= Yр (48). 5. an~o.n (50). 6. Геометрическая иллюстрация пределов ап и
п_ п
Vр (51). 7. Геометрическая прогрессия (52). 8. an = Vn (53). 9. =
— /д-Н — Уп (54). 10. an — nlan (54). Упражнения (55).
§ 6. Более точное рассмотрение понятия предела ......................... 56
1. Первое определение сходимости (56). 2. Второе (внутреннее) определение схо-
димости (57). 3. Монотонные последовательности (60). 4. Действия над преде-
лами (61). 5. Число е (62). 6. Доказательство иррациональности числа е (64).
7. Число л как предел (64). 8. Арифметически-геометрическое среднее (65).
9. Мотивировка точного определения предела (66). Упражнения (67).
§ 7. Понятие предела функции непрерывной переменной...................... 68
1. Определение и примеры (68). Упражнения (71). 2. Мотивировка определения
предела функции непрерывной переменной (71).
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Понятие непрерывности......................................... 73
1. Определения (73). 2. Точки разрыва (75). 3. Теоремы о непрерывных функ-
циях (78). Упражнения (78).
Дополнение1кглаве1 .................................... 79
Предварительные замечания.......................................... 79
§ 1. Принцип точки сгущения и его приложения...................... 80
1. Принцип точки сгущения (80). 2. Пределы числовых последовательно-
стей (81). 3. Доказательство критерия сходимости Коши (84). 4. Существова-
ние предела у ограниченной монотонной последовательности (84). 5. Верхняя и
нижняя точка сгущения, точная верхняя н точная нижняя граница числового мно-
жества (85).
§ 2. Теоремы о непрерывных функциях................................ 86
1. Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций (86). 2. Равномер-
ность непрерывности (87). 3. Теорема о промежуточном значении (89). 4. Обра-
щение непрерывной монотонной функции (90). 5. Дальнейшие теоремы о вепре-
рывных функциях (91).
§ 3. Некоторые замечания об элементарных функциях.................. 91
Упражиення (93).
Дополнение II к главе!............................................ 94
§ 1. Полярные координаты........................................... 94
§ 2. Некоторые замечания о комплексных числах...................... 95
. Упражнения (97)
Смешанные упражнения к главе!......................,............... 97
Глава II. Основные понятия интегрального и дифференциаль-
ного исчисления '..............................................102
§ 1. Определенный интеграл.........................................102
1. Интеграл как площадь (103). 2. Аналитическое определение интеграла (104).
3. Дополнения, обозначения и основные свойства определенного интегра-
ла (106).
§ 2. Примеры.......................................................108
1. Интегрирование линейной функции (108). 2. Интегрирование функции х3 (109).
3. Интегрирование ха при любом целом положительном значении а (НО). 4. Инте-
грирование ха при произвольном рациональном значении 1 (1П). 5. Инте-
грирование функций sin л и cos х (112). Упражнения (113).
§ 3. Производная...................................................114
1. Производная и касательная к кривой (114). 2. Производная как скорость (119).
3. Примеры (120). 4. Некоторые основные правила дифференцирования (122). Упра-
жнения (122). 5. Дифференцируемость и непрерывность функций (122). 6. Произ-
водные высших порядков и их значение (124). Упражнения (126). 7. Производ-
ные и отношения приращений; обозначения Лейбница (126). 8. Теорема Ролля (128).
9. Теорема о среднем значении (129). 10. Приближенное представление любой диф-
ференцируемой функции с помощью линейной. Дифференциал (132). 11. Диффе-
ренциалы высшнх порядков (133). 12. Замечания относительно применения наших
понятий в естествознании (134). Упражнения (135).
§ 4. Неопределенный интеграл, первообразная функция и основные тео-
ремы дифференциального и интегрального исчисления ................ 136
1. Определенный интеграл как функция верхнего предела (136). 2. Производная
неопределенного интеграла (137). 3. Первообразная функция; общее определение
неопределенного интеграла (140). 4. Применение первообразной функции к вычи-
слению определенных интегралов (143). 5. Примеры (145). Упражнения (146).
§ 5. Простейшие методы графического интегрирования.................146
Упражнения (149).
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 6. Дальнейшие замечания о Ьвязи между интегралом и производной . . 149
1. Распределение массы и плотность; общее количество н удельное количе-
ство (149). 2. Точка зрения приложений (151).
§ 7. Оценка интегралов и теорема о среднем значении интегрального
исчисления.............................................................153
1. Теорема о среднем значении в интегральном исчислении (153). 2. Непрерывная
зависимость определенного интеграла от подынтегральной функции (155). 3. При-
ложение. Интегрирование и дифференцирование функции ха при любом иррацио-
нальном значении а (157). Упражнения (158).
Дополнение к главе II..................................................159
§ 1. Доказательство существования определенного интеграла от непре-
рывной функции........................................................ 159
§ 2. Связь между теоремами о среднем значении дифференциального и
интегрального исчисления ............................................. 161
Упражнение (163).
С м е ш а н н ы е у п р а ж н е н и я к г л а в е II...................163
Глава III. Дифференцирование и интегрирование элементарных
функций............................................................166
§ 1. Простейшие правила дифференцирования и их применение .... 166
1. Правила дифференцирования (166). 2. Дифференцирование рациональных функ»
ций (168). 3. Дифференцирование тригонометрических функций (170).
§ 2. Соответствующие формулы интегрирования ...........................170
1. Общие правила интегрирования (170). 2. Интегрирование простейших функ-
ций (171). Упражнения (172)
§ 3. Обратная функция и ее производная.................................173
1. Общая формула дифференцирования (173). 2. Обратная функция от степенной
функции (176). 3. Обратные тригонометрические функции (177). 4. Соответству
ющне формулы интегрирования (179). Упражнения (181).
§ 4. Дифференцирование сложной функции.................................181
1. Правило дифференцирования сложной функции— правило цепочки (181).
2. Примеры (183). 3. Дифференциал сложной функции. Инвариантность дифферен-
циала (184). 4. Еще раз об интегрировании и дифференцировании ха при ирра-
циональном значении а (185). Упражнения (186).
§ 5. Максимумы и минимумы..............................................187
1. Геометрическое значение второй производной. Выпуклость и вогнутость кри-
вой (187). 2. Максимумы и минимумы (189). 3. Примеры максимумов н миниму-
мов (192). Упражнения (196).
§ 6. Логарифмическая и показательная функции...........................197
1. Определение логарифмической функции. Формула дифференцирования (197).
2. Теорема сложения (199). 3. Монотонность логарифмической функции. Совокуп-
ность ее значений (200). 4. Обратная функция от логарифма (показательная функ-
ция) (201). 5. Общая показательная функция ах н общая степенная функция
xfx (203). 6. Представление показательной н логарифмической функций в виде
пределов (204). 7. Заключительные замечания (206). Упражнения (206).
§ 7. Некоторые приложения показательной функции ......... 207
1. Дифференциальное уравнение, характеризующее показательную функцию (207).
2. Непрерывное начисление процентов. Радиоактивный распад (208). 3. Охлажде-
ние или иагреваниие тела в окружающей среде (209). 4. "Зависимость атмосфер-
ного давления от высоты над поверхностью зе.мли (210). 5. Ход химических реак-
ций (211). 6. Замыкание н размыкание электрического тока (211). Упражне-
ния (212).
§ 8, Гиперболические функции . . ......................................212
1. Аналитическое определение (212). 2. Теоремы сложения и формулы дифференци-
рования (214). 3. Обратные гиперболические функции (215). 4. Дальнейшие ана-
логии (216). Упражнения (218).
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 9. Порядок роста и порядок малости функций.........................218
1. Понятие о порядке роста. Простейшне случаи (218). 2. Порядок роста показа-
тельной и логарифмической функций (219). 3. Общие замечания (221). 4. Поря-
док роста функции в окрестности произвольной точки (221). 5. Порядок малости
функции (222). Упражнения (223).
Дополнения к г лаве Ш................................................223
§ 1. Рассмотрение некоторых конкретных функций.......................223
1. Функция у = е-1/-«'2 (223). 2. Функция у = е~1/х (224). 3. Функция у =
= th j-(224). 4. Функция у=х th — (225). 5. Функция у = a: sin-i-, у (0)-0 (226).
§ 2. Замечания относительно дифференцируемости функций...............226
§ 3. Различные частные вопросы.......................................228
1. Доказательство бинома Ньютона (228). 2. Последовательное дифференцнрованне.
Правило Лейбница (228). 3. Дальнейшие примеры применения правила цепочки.
Обобщенная теорема о среднем значении (229). Упражнения (230).
Смешанны е упражнения к главе III....................................230
Глава IV. Дальнейшее построение интегрального исчисления 234
§ 1. Таблица элементарных интегралов.................................235
§ 2. Метод замены переменной (метод подстановки).....................237
1. Формула замены переменной (237). 2, Другое доказательство формулы преобра-
зования переменной (240). 3. Примеры. Формулы интегрирования (242).
§ 3. Дальнейшие примеры интегрирования методом замены переменной 243
Упражнения (247).
§ 4. Интегрирование произведения (интегрирование по частям) .... 248
1. Общие соображения (248). 2. Другая запись формулы интегрирования произве-
дения (250). 3. Примеры (252). Упражнения (253). 4. Своеобразный случай инте-
грирования произведения (253). Упражнения (255). 5. Обобщенная формула
интегрирования произведения (интегрирования по частям) (255). Упражне-
ния (260). 6. Рекуррентные формулы (261). 7. Формула Валлиса (263). 8. Пре-
образование повторного (п-кратного) интеграла к виду обыкновенного (однократ-
ного) интеграла (26-5). Упражнения (266).
§ 5. Интегрирование рациональных функций........................... 267
1. Основные типы (267). 2. Интегрирование основных типов (269). 3. Разложение
дробной рациональной функции иа элементарные дроби (270). 4. Пример. Химиче-
ские бимолекулярные реакции (272). 5. Дальнейшие примеры разложения на про-
стые дроби (метод неопределенных коэффициентов) (273). Упражнения (275).
§ 6. Интегрирование некоторых других классов функций.................275
1. Предварительные замечания о рациональном представлении тригонометриче-
ских и гиперболических функций (275). 2. Интегрирование рациональной функ-
ции от cos х и sin л (277). 3. Интегрирование рациональной функции от ch х
и sb х (278). 4. Интегрирование рациональной функции от л и 1^1 —х2 (278).
5. Интегрирование R(x, Ух2—1) (278). 6. Интегрирование ./? (х, "Их2 +1) (278).
7. Интегрирование R (х, Vax2Jr- 2bx+c) (279). 8. Дальнейшие примеры приведе-
ния к интегралам от рациональных функций (280). 9. Замечания по поводу при-
меров (280). Упражнения (281).
§ 7. Замечания относительно функций, не интегрирующихся в элемен-
тарных функциях.......................................................282
1. Определение функций с помощью интегралов. Эллиптические интегралы (282).
2. Замечания по существу относительно дифференцирования и интегрирова-
ния (284).
§ 8. Обобщение понятия интеграла. Несобственные интегралы............285
1. Функции с конечными разрывами (285). 2. Функции с бесконечными разры-
вами (285). 3. Бесконечный промежуток интегрирования (289). 4. Гамма-функ-
ция (291). 5. Интеграл Дирихле (292). 6. Замена переменной в несобственном
интеграле (293). Упражнения (295).
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
Дополнительные упражнения к главе IV................ 296
Дополнение к главе IV. Вторая теорема о среднем значении
в интегральном исчислении.................................. 297
Смешанные упражнениякглавеГУ.................................... 299
Глава V. Приложения............................................. 302
§ 1. Аналитическое задание кривой............................... 302
1. Параметрическое задание кривой (302). 2. Физическое истолкование параметра.
Преобразование параметра (304). 3. Производные от координат n<J параметру для
кривой, заданной в параметрическом виде (306). 4. Переход к новым системам
координат при параметрическом задании кривой (309). 5. Замечания общего
характера (310). Упражнения (310).
§ 2. Приложения к теории плоских кривых..........................311
1. Ориентация области и знак ее площади (311). 2. Общее выражение для пло-
щади, ограниченной замкнутой кривой (в прямоугольных координатах) (313).
3. Пример: площадь эллипса (317). 4. Независимость от выбора системы коорди-
нат и от выбора параметра (317). 5. Площадь в полярных координатах (318).
6. Длина дуги кривой (319). 7. Параметрическое выражение для длины дуги.
Длина дуги в полярных координатах (322). 8. Кривизна кривой (324). 9. Стати-
ческий момент кривой и ее центр массы (центр тяжести) (327). 10. Площадь по-
верхности вращения и объем тела вращения (329). 11. Момент инерции (329).
§ 3. Примеры......................... -........................ 331
1. Обыкновенная циклоида (331). 2. Цепная линия (332). 3. Эллипс и лемни-
ската (332). Упражнения (333).
§ 4. Простейшие задачи механики точки............................335
1. Основные допущения механики (335). 2. Свободное падение. Сопротивление
воздуха (337). 3. Простейшее упругое колебание (338). 4. Общий случай движе-
ния по заданной кривой (339). Упражнения (341).
£ 5. Дальнейшие приложения. Падение материальной точки по задан-
ной кривой.................................................. 342
1. Общие соображения (342). 2. Исследование движения (344). 3. Обыкновенный
маятник (345). 4. Циклоидальный маятник (346).
§ 6. Работа и энергия........................................... 347
1. Общие замечания (347). 2. Взаимное притяжение двух масс (350). 3. Растяги-
вание пружины (350). 4. 'Заряжание конденсатора (351).
Доп о л н ен ия к г л а в е V....................................351
§ 1. Свойства эволюты............................................351
Упражнения (357).
§ 2. Площади фигур, ограниченных замкнутыми кривыми..............357
Смешанные упражнения к главе V...................................360
Глава VI. Формула Тэйлора и приближение функций много-
членами ............................• •.................... 362
§ 1. Логарифм и арктангенс (362)................................
1. Логарифм (362). 2. Арктангенс (365). Упражнения (366).
§ 2. Формула Тэйлора............."...............................366
1. Формула Тэйлора для целых рациональных функций (366). 2. Формула:Тэйлора
для любой функции (367). 3. Другой вывод формулы Тэйлора с остаточным чле-
ном (370). 4. Оценка остаточного члена (371). Упражнения (372).
§ 3. Приложения. Разложение элементарных функций в ряд Тэйлора 373
1. Показательная функция. Иррациональность числа е (373). 2. Разложение в ряд
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
функций sin х, cos х, sh x, ch x (375). 3. Биномиальный ряд (376). Упражне-
ния (377).
§ 4. Нули и бесконечности функций. «Неопределенные выражения» . . 378
Упражнения (381).
§ 5. Приложения к геометрии....................................381
1. Касание кривых (381). 2. Окружность кривизны как соприкасающаяся окруж-
ность (3£в). 3. Применение к теории максимумов и минимумов (384). Упражне-
ния (385).
Дополнения к главе VI..........................................385
§ 1. Пример функции, не разлагающейся в ряд Тэйлора............385
§ 2. Общая теорема о разложимости в ряд Тэйлора функции, имеющей
неотрицательные производные любого порядка. Биномиальный ряд 386
§ 3. Приближение произвольных непрерывных функций многочленами
и тригонометрическими суммами..................................389
1. Теорема Вейерштрасса (389). 2. Приближение функции [х| (390). 3. Доказа-
тельство теоремы Вейерштрасса (391). 4. Приложения. Тригонометрические при-
ближения (392).
§ 4. Задача интерполирования и ее связь с формулой Тэйлора .... 394
1. Постановка задачи и предварительные замечания (394). 2. Построение решения.
Интерполяционная формула Ньютона (395). 3. Оценка остаточного члена (397).
4. Интерполяционная формула Лагранжа (399).
СмешанныеупражнениякглавеУ!...................................• 400
Глава VII. О методах приближенного вычисления................. 403
Предварительные замечания....................................... 403
§ 1. Численное интегрирование •..................................403
1. Формула прямоугольников (404). 2. Формула трапеций и формула касатель-
ных (404). 3. Формула Симпсона (405). 4. Примеры (406). 5. Оценка погреш-
ности (407). Упражнения (408).
§ 2. Применения теоремы о среднем значении и формулы Тэйлора . . 409
1. Исчисление ошибок (409). 2. Вычисление л (412). 3. Вычисление логариф-
мов (413). Упражнения (414).
§ 3. Численное решение уравнений.................................415
1. Метод Ньютона (метод касательных) (415). 2. Метод ложного положения (метод
хорд) (416). 3. Метод итерации (417). 4. Примеры (421). Упражнения (422).
Дополнение к главе VII. Формула Стирлинга........................422
Упражнение (425).
Смешанные упражнения к главе VII.................................425
Глава VIII. Бесконечные ряды и другие предельные процессы 427
Предварительные замечания........................................427
§ 1. Понятие сходимости и расходимости...........................428
1. Основные понятия (428). 2. Сложение сходящихся рядов и умножение сходя-
щегося ряда на число (430). 3. Абсолютная и условная сходимость (430). 4. Знако-
чередующиеся ряды н признак сходимости Лейбница (431). 5. Коренное различие
между абсолютно и условно сходящимися рядами (432). 6. Об изменении порядка
членов ряда (434). Упражнения (437).
§ 2. Исследование сходимости и расходимости ряда.................438
1. Принцип сравнения рядов (438). 2. Сравнение с геометрическим рядом (439).
3. Сравнение с интегралом (442). Упражнения (444).
ОГЛАВЛЕНИЕ И
§ 3. Последовательности функций и ряды функций.........................445
1. Общие соображения (445). 2. Предельные переходы для функций и для кри-
вых (446).
§ 4. Равномерная и неравномерная сходимость ...........................448
1. Общие соображения и примеры (448). 2. Критерий равномерной сходимости (451).
3. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функ-
ций (454). 4. Интегрирование равномерно сходящегося ряда (454). 5. Дифферен-
цирование бесконечного ряда (457). Упражнения (458).
§ 5. Степенные ряды...................................................459
1. Сходимость степенного ряда (460). 2. Интегрирование и дифференцирование
степенных^ рядов (462). 3. Действия над степенными рядами (463). 4. Теорема
об однозначности разложения в степенной ряд (464).
§ 6. Разложение заданных функций в степенные ряды. Метод неопре-
деленных коэффициентов. Примеры.................................... . 465
1. Показательная функция (466). 2. Биномиальный ряд (466). 3, Ряд для
arcsinx (468). 4. Разложение в степениойряд функции arsft х= In (х+У1 Цх1) (468).
5. Пример умножения рядов (469). 6. Пример почленного интегрирования ряда.
Эллиптический интеграл (469). Упражнения (470).
§ 7. Степенные ряды с комплексными членами.............................471
1. Введение комплексных членов в степенные ряды (471). 2. Краткие указания из
области теории функций комплексной переменной (473).
Дополнения к главе VIII................................................474
§ 1. Умножение и деление рядов.........................................474
1. Умножение абсолютно сходящихся рядов (474). 2. Умножение и деление сте-
пенных рядов (477). 3. Числа Бернулли и их производящая функция (478).
4. Степенные ряды для гиперболического и тригонометрического тангенса (480).
§ 2. Предельные переходы, связанные с показательной функцией . . . 481
1. Равномерность предельного перехода (\^гХ/п')П->еХ (481). 2. Замечание по по-
воду интегрирования и дифференцирования показательной функции (482). 3. До-
оо
казательство формулы e~x2dx =— Ул (482).
0 2
§ 3. Бесконечные ряды и несобственные интегралы.......................484
§ 4. Бесконечные произведения..........................................486
§ 5. Дальнейшие примеры бесконечных рядов- (различные разложения
в степенной ряд).......................................................489
Упражнения (492).
Смешанные упражнения к главе VIII................................... . 493
Глава IX. Ряды Фурье .................................................498
§ I. Периодические функции.............................................498
1. Общие замечания (498). 2. Наложение гармонических колебаний. Обертоны.
Биения (502).
§ 2. Применение комплексной записи.....................................506
1. Общие замечания (506). 2. Применение к изучению переменного тока (507).
3. Комплексная запись суперпозиции гармонических колебаний (508). 4. Вывод
одной тригонометрической формулы (509). Упражнения (510).
§ 3. Ряд Фурье.........................................................510
§ 4. Примеры разложения в ряд Фурье • - ..........................513
1. Предварительные замечания (513). 2. Ряды Фурье для функций ф (х)=х и q> (x) = xs
в интервале — л<х<л (514). 3. Ряд Фурье для функции х cos х, — л<х<л(515).
4. Функция /(х)=|х| в интервале — л<х<л(516). 5. Еще один пример (517).
12
ОГЛАВЛЕНИЕ
6. Функция /(x) = |s!hx| (517). 7. Ряд Фурье для функции / (л) = со8ЦХ. Разло-
. жение котангенса на элементарные дроби. Выражение синуса в виде бесконечного
произведения (518). 8. Дальнейшие примеры (519). 9. Заключительные замечания.
Разложение в ряд Фурье 'функции произвольного периода (519). Упражнения (521).
§ 5. Доказательство разложимости функции в ряд Фурье......................522
1. Сходимость ряда Фурье для кусочно гладкой функции (522). 2. Неравенство Бес-
селя (527). 3. Более подробное исследование характера сходимости ряда Фурье (529).
§ 6, Приближение в среднем с помощью тригонометрических много-
членов ......................................................533
Упражнения (537).
Дополнения к главе IX.............................................538
§ 1. Многочлены Бернулли и их приложения.........................538
1. Определение и разложение в ряды Фу.рье (538). 2. Производящая функция
многочленов Бернулли (541). 3. Формула суммирования Эйлера (543). 4. Прило-
жения (545).
§ 2. Интегрирование ряда Фурье....................................551
Глава X. Очерк теории функций многих переменных...................553
§ 1. Понятие функции многих-переменных............................553
1. Функция многих переменных и область ее определения (553). 2. Простейшие типы
функций (555). 3.’ Геометрическое изображение функций (555). Упражнение (558).
§ 2. Непрерывность................................................558
1. Определение (558). 2. Примеры разрывов непрерывности (560). Упражнения (561).
§ 3, Производные от функции многих переменных.....................561
1. Частные производные и их геометрическое истолкование (561). 2.-Фактическое вы-
числение частных производных (564). 3. Некоторые факты (без доказательств) (566).
Упражнения (567).
§ 4. Сложные функции и их дифференцирование (правило цепочки).
Преобразование независимых переменных. Дифференцирование
обратных функций................................................. 567
1. Сложные функции (567). 2. Правило дифференцирования сложной функции
(правило цепочки) (563). 3. Примеры (571). 4. Введение новых независимых пере-
менных (571). 5. Дифференцирование обратных функций (572). Упражнения (573).
§ 5. Неявные функции....................................................574
1. Геометрическое истолкование неявных функций (575). 2. Дифференцирование
неявных функций (576). 3. Дифференцирование неявной функции многих пере-
менных (578). Упражнения (579).
§ 6. Двойные и повторные интегралы.....................’................580
1. Двойные интегралы (580). 2. Приведение двойного интеграла к повторному про-
стому интегралу (583). 3. Примеры и замечания (586). 4. Вычисление двойного
интеграла но непрямоугольной'области (587). 5. Двойной интеграл в полярных
со
координатах (590). 6. Вычисление несобственного интеграла J е~х dx (591).
—со
7. Статические моменты и центр массы плоской фигуры. Моменты инерции (592).
8. Дальнейшие приложения (594). Упражнения (595).
Глава XI. Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях.
Простейшие колебания......................................................596
§ 1. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, решае-
мые с помощью квадратур...................................................597
1. Уравнения с отделяющимися переменными (598). Упражнения (599). 2. Одно-
родное дифференциальное уравнение первого порядка (599). Упражнения (601).
ОГЛАВЛЕНИЕ
13
3. Общее линейное дифференциальное уравнение первого порядка (601). Упраж-
нения (603). 4. Уравнение Бернулли (603). Упражнения (605).
§ 2. Дифференциальное уравнение второго порядка; его общее решение
и частные решения. Неполные уравнения второго порядка .... 606
1. Общее решение и частные решения дифференциального уравнения второго по-
рядка. Начальные условия (606). 2. Неполные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка. Понижение порядка (607). Упражнения (610).
§ 3. Дифференциальное уравнение колебаний в механике и физике . . 610
1. Простейшие механические колебания (610). 2. Электрические колебания (611).
§ 4. Решение линейного уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами без правой части. Свободное движение..................613
1. Общая теорема о решениях л. д. у. без правой части (613). 2. Формальное ре-
шение (613). 3. Физическое истолкование решения (616). 4. Выделение частного
решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Единственность реше-
ния (617). Упражнения (618).
§ 5. Линейное уравнение с правой частью. Вынужденное движение . . 619
1. Общие замечания (619). 2. Решение уравнения с правой частью вида се1®* (621).
3. Кривая резонанса (622). 4. Более подробное исследование процесса колеба-
ния (625). 5. Замечания по поводу регистрирующих приборов (626). Упраж-
нения (628).
Дополнительные упражнения к главе XI.................................628
Приложение. Действительные числа и понятие предела. . . . 630
1. Определение действительного числа с помощью гнезда интервалов (630).
2. Расположение действительных чисел по величине (632). 3. Принцип точки сгу-
щения (633). 4. Верхняя и нижняя точки сгущения. Верхний и нижний пределы (-634).
5. Сходящиеся числовые последовательности (635)'. 6. Ограниченные монотонные
последовательности чисел (636). 7. Критерий сходимости Коши для последова-
тельностей с * рациональными членами (637). 8. Определение основных действий
над действительными числами (638). 9. Общая формулировка критерия сходимости
Кошн (642).
Сводка важнейших теорем и формул..................................643
Ответы и указания....................................................660
Предметный указатель.................................................701
ОТ ПЕРЕВОДЧИКОВ
Первое издание немецкого оригинала этого курса вышло в изда-
тельстве Шпрингера в 1927—1928 гг. С него был сделан русский
перевод, опубликованный первым изданием в 1931 г. Второе, испра-
вленное и дополненное, немецкое издание не отразилось на советских
изданиях.
Когда Германия оказалась под властью Гитлера, Курант эмигри-
ровал в США, где в 1934 г. с его участием был издан английский
перевод этой книги со значительными изменениями и дополнениями.
В 1937 г. он вышел вторым изданием с новыми дополнениями. В 1955 г.
Шпрингер выпустил третье, исправленное и дополненное, немецкое
издание, содержащее и часть дополнений английского издания. В по-
следующие годы оба варианта книги неоднократно перепечатывались
ужё без изменений.
Настоящий перевод первого тома сделан с немецкого изда-
ния 1961 г. и с английского издания 1945 г._ В него включен как
общий материал обоих указанных изданий, так и почти все содер-
жащиеся в них добавления, словом — все, что можно было согласо-
вать, имея в виду различный характер изложения. Фактически из двух
во многом различных книг сделана одна книга.
Наибольшее по объему добавление взято из английского издания.
Это — многочисленные задачи и упражнения, а также ответы и ука-
зания к ним. Оттуда же добавлена глава X, содержащая очерк диф-
ференцирования и интегрирования функций многих переменных. Теперь
первый том представляет собой законченный учебник дифференциаль-
ного и интегрального исчисления для читателей, не нуждающихся
в более полном курсе анализа. Те же читатели, которые будут изучать
и второй том, могут просто опустить главу X первого тома. Однако
они могут выбрать и другой путь — изучить также и главу X, и тогда
весь курс станет для них концентрическим: том I — первый концентр,
том II — второй концентр. Концентрический характер имеет (уже
с первого издания) и изложение теории дифференциальных уравнений:
первый концентр — последняя глава первого тома (ее содержание
не повторяется во втором томе), второй концентр — шестая глава
второго тома.
В интересах лучшего приспособления книги к потребностям со-
ветского читателя мы позволили себе сделать некоторые перестановки
материала. Книга снабжена нами некоторыми добавлениями и поясни-
ОТ ПЕРЕВОДЧИКОВ 15
тельными примечаниями. Для удобства читателя они включены в текст
и отмечены звездочками в начале и конце каждого добавления. Не-
большие по объему пояснения выделены квадратными скобками.
Замеченные недосмотры исправлены.
Эта книга, без сомнения, послужит ценным учебным посо-
бием для многих категорий читателей, прежде всего для студентов
инженерно-физических вузов, а также для весьма широкого круга
преподавателей математики и для аспирантов и научных работников
в различных областях физики и техники.
Считаем приятным долгом выразить благодарность И. С. Аршону
и А. М. Олевскому за ценные советы и указания.
Москва,
25 декабря 1966 г.
3. Г. Либин,
Ю. Л. Рабинович
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПЕРВОМУ
НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
В математической литературе немало хороших курсов дифферен-
циального и интегрального исчисления. Однако начинающему трудно
найти книгу, которая откроет перед ним прямой путь к живой сущ-
ности науки и даст ему возможность сознательно и свободно ориен-
тироваться в приложениях. Начинающий хочет избежать бессодержа-
тельности и утомляющего многословия, и вместе с тем он не выносит
той педантичной манеры изложения, которая не делает никакого раз-
личия между существенным и несущественным и которая, в силу своей
систематичности и аксиоматичности, застилает непроницаемой завесой
собственно движущие силы науки и ее существенное содержание.
Конечно, гораздо легче видеть и чувствовать недостатки, чем их
устранить. Я очень далек от мысли, что могу дать начинающему
идеальный учебник. Однако я полагаю, что издание моих лекций не
является излишним; они значительно отличаются от обычных учебни-
ков расположением и выбором материала, тенденцией и, пожалуй,
также формой изложения.
Больше всего обратит на себя внимание то, что я порываю
с отжившей традицией , разделять дифференциальное и интегральное
исчисление. Это разделение, не обоснованное ни дидактически, ни по
существу и являющееся результатом исторических случайностей, мешает
выяснению основного пункта, именно связи между определенным инте-
гралом, неопределенным интегралом и производной. В устном лек-
ционном преподавании, по примеру Феликса Клейна и других,
все больше и больше пробивает себе путь совместное изложение.
Здесь делается попытка дать такое изложение и в литературе.
Я стремлюсь дать читателю ясное представление о тесной связи
между анализом и приложениями и, сохраняя полную математическую
строгость и точность, отвести подобающее место интуиции как основ-
ному источнику математических истин. Безусловно, изложение науки
как замкнутой системы вытекающих друг из друга положений, безот-
носительно к их происхождению и цели, имеет эстетическую при-
влекательность и соответствует глубокой-философской потребности
нашего познания. Но в качестве исключительной основной установки
или в качестве дидактического принципа по отношению к начинаю-
щему точка зрения абстрактно логической, замкнутой в себе, науки
представляет большую опасность. Заниматься математическим анали-
зом, повернувшись спиной к приложениям и к интуиции, —это зна-
чит безнадежно обрекать науку на сухость и бесплодность. Мне
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПЕРВОМУ АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ 17
кажется очень важной задачей предохранить начинающего от высоко-
мерного, слишком уж удобного пуризма; и этой цели в значительной
мере должна служить эта книга.
Она предназначается для всякого, кто хочет на основе нормаль-
ного курса средней школы серьезно заняться математикой и ее при-
ложениями, будь он студентом университета или высшей технической
школы, учителем или инженером. Эта книга не избавляет читателя
от самостоятельного продумывания, но ведет его без промедлений и
излишних окольных путей к интересным и плодотворным областям
и пытается облегчить понимание тем, что не ограничивается только
последовательным изложением доказательства, но и освещает общую
связь и мотивы в целом.
Для молодого читателя, доверяющегося руководству этой книги,
заметим следующее. Я избегаю того, чтобы забаррикадировать доступ
к конкретным фактам дифференциального и интегрального исчисления
анализом основных понятий; необходимость такого анализа начинают
вполне понимать лишь позднее. Поэтому эти вопросы выделены в виде.
дополнений к отдельным главам, и начинающий, которому в первую
очередь надо быстро проработать материал или которого интересуют
приложения, может спокойно отложить чтение этих частей до тех
пор, пока у него не явится потребность в этом. Впрочем, эти допол-
нения содержат также добавочный материал, выделенный с той целью,
чтобы сократить и облегчить изложение отдельных глав. Дополнения
изложены сравнительно сжато. Читатель заметит, что изложение, под-
робное в начале книги, переходит в конце тома в более сжатое.
Я не могу не воспользоваться этим поводом, чтобы не вспомнить
с благодарностью имя Феликса Клейна, моего великого пред-
шественника по кафедре. То, что я здесь пытаюсь выполнить, вполне
совпадает с направлением его устремлений. Я обязан также созна-
тельно и бессознательно воспринятыми идейными влияниями моему
другу Отто Тёплицу, который продумал затронутые здесь дидак-
тические вопросы так глубоко, как едва ли кто-нибудь другой.
Гёттинген,
июнь 1927 г.
Р. Курант
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПЕРВОМУ
АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Когда американские коллеги убеждали меня опубликовать англий-
ское издание моих лекций по дифференциальному и интегральному
исчислению, я вначале колебался. Я чувствовал, что, в силу различия
между методами преподавания анализа в Германии и в Британии и
Америке, о простом переводе не может быть и речи и что требуются
существенные изменения, чтобы пойти навстречу нуждам студентов,
говорящих по-английски.
2 Р. Курант
18 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
Мои сомнения улеглись, когда я нашел компетентного коллегу
в лице Э. Мак-Шейна (Е. J. McShane), профессора университета
штата Виргиния, который был готов не только действовать как пере-
водчик, но и сделать, при личной консультации со мной, необходи-
мые для английского издания улучшения и изменения.
Помимо многих деталей, вот главные из внесенных изменений:
1) английское издание содержит большое количество систематизиро-
ванных упражнений; 2) распределение материала между обоими томами
несколько отличается от немецкого текста. Первый том, который
в немецком издании посвящен только функциям одной переменной,
содержит в английском издании (глава X) очерк дифференцирования
и интегрирования функций нескольких переменных.
Таким образом, первый том представляет собой элементарный
курс математического анализа, а содержание второго тома — повышен-
ного типа. Но и в первом томе многое можно опустить при первом
чтении. Эти разделы, предназначенные для студентов, желающих
вникнуть в теорию более глубоко, сосредоточены в дополнениях
к отдельным главам, так что начинающий вполне может изучить книгу,
опуская или откладывая чтение этих дополнений.
Кембридж, Англия,
июнь 1934 г. р. Курант
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ
АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Это второе издание отличается от первого главным образом улуч-
шением и перераспределением упражнений, прибавлением многочислен-
ных новых упражнений в конце книги и включением дополнительного
материала о дифференциальных уравнениях.
Нью-Рошель, штат Нью-Йорк,
июнь 1937 г. р. Курант
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ
НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
. . . Успех книги, на нескольких языках, показал, что потреб-
ность в таком изложении не уменьшилась. Я рад поэтому, что имею
возможность предложить теперь существенно измененное и, полагаю,
улучшенное, третье издание. Книга адресована будущим преподава-
телям и научным работникам й области математики, физики и других
естественных наук, а также инженерам. Надеюсь, что она облегчит
изучающим доступ к науке, не вводя их в заблуждение дешевыми
компромиссами.
Нью-Рошель, штат Нью-Йорк,
и Гейдельберг, лето 1954 г. р. Курант
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Впервые вступая. в соприкосновение с так называемой высшей
математикой, начинающий не может не испытывать чувства извест-
ного разрыва между школьной математикой и математикой в том
виде, в каком она преподается в высшей школе. Помимо тех исто-
рических условий, которые придали преподаванию в высшей школе
столь отличный от средней школы характер, самое существо высшей
математики внутренне оправдывает это чувство. Высшая или, лучше,
новая математика, развивавшаяся на протяжении последних трех сто-
летий, по всему своему духу коренным образом отличается от эле-
ментарной математики, которая до самого последнего времени без-
раздельно господствовала в средней школе и содержание которой во
многом почти непосредственно заимствовано у классической матема-
тики, греков.
Для элементарной математики прежде всего характерна ее тесная
связь с геометрией. Даже там, где элементарная математика выходит
за пределы геометрии и вступает в область арифметики, геометрия
почти всегда продолжает оставаться основой.
Второй характерной чертой старой математики мы должны счи-
тать господствующую в ней тенденцию направлять внимание на еди-
ничные математические объекты. Вещи, которые мы теперь объеди-
нили бы как частные случаи общего явления, в элементарной математике
часто остаются изолированными друг от друга и не ставятся во
взаимную связь. Тесная связь с геометрической интуицией и пред-
почтительный интерес к конкретному придают старой математике
своеобразную привлекательность. Тем не менее, когда в начале нового
времени в математике распространились совершенно противоположные
тенденции, это означало решительный шаг вперед. И именно эти
новые тенденции послужили импульсом к новому великому развитию,
сменившему то состояние известного застоя, в котором математика,
несмотря на некоторые достижения в отдельных частных вопросах,
находилась на протяжении многих столетий средневековья.
Основной тенденцией всей математики нового времени является
замена изолированных частных исследований все более и более общими
систематическими методами. При этом, быть может, не всегда уде-
ляется должное внимание индивидуальным особенностям отдельного
частного случая, но зато эти систематические методы, благодаря
своей общности, таят в себе множество новых результатов. С другой
2»
20
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
стороны, число — аналитическая точка зрения—начинает играть в мате-
матике все более и более самостоятельную роль и в конце концов
полностью подчиняет себе геометрию. Эти новые тенденции в математике
особенно ярко проявились в создании новых математических дисцип-
лин, подготовленных рядом предшествовавших попыток, а именно:
аналитической геометрии, обязанной своим развитием главным образом
Ферма и Декарту, и дифференциального и интегрального исчислений,
основоположниками которых обыкновенно считают Лейбница и
Ньютона.
Современное развитие математики естественно сопоставить с рядом
других явлений истории нового времени, например с постоянным
вытеснением ремесленного способа производства фабричной промыш-
ленностью. Как бы то ни было, за 300 лет своего существования
новая математика получила могучее развитие и приобрела громадное
значение как для чистой науки, так и для разнообразнейших техни-
ческих и естественнонаучных приложений. Основные понятия новой
математики и прежде всего понятие функции постепенно получили
всеобщее распространение и проникли, наконец, и в среднюю школу.
В этом курсе изложены важнейшие факты дифференциального и
интегрального исчисления. Развитие теории доведено настолько далеко,
чтобы, с одной стороны, открыть читателю путь к дальнейшему
изучению высших математических дисциплин и углублению основ и,
с другой стороны, вооружить умением пользоваться дифференциаль-
ным и интегральным исчислением в разнообразных областях его при-
менения.
При этом необходимо указать на одну опасность, кроющуюся
в упомянутом выше разрыве между школьной и высшей математикой.
Элементарная точка зрения школьной математики направляет внимание
на частности и приводит к потере общей перспективы в смысле уме-
ния подмечать общие зависимости и применять систематические методы.
Но, с другой стороны, «высшая точка зрения» общих методов кроет
в себе противоположную опасность разрыва с миром конкретного.
Погрузившись в мир общих понятий, часто теряют способность видеть
и понимать конкретное и оказываются беспомощными перед. лицом
простейших конкретных задач. Читатель должен позаботиться о том,
чтобы собственными силами избежать опасности с той и с другой
стороны. Только продумывая на каждом отдельном примере само-
стоятельно все детали и вполне уясняя себе этим путем общую мысль,
он сможет этого достигнуть, и в этом заключается основная задача
каждого стремящегося изучить науку.
Г ЛАВ A 1
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
Два понятия, если не считать понятия числа, лежат в основе-
дифференциального и интегрального исчисления и вместе с тем
в основе всего высшего анализа: понятие функции и понятие пре-
дела. Хотя эти понятия встречались иногда уже в классической
древности, но только в современной математике они приняли харак-
терную для них форму и приобрели фундаментальное значение.
В настоящей вводной главе мы попытаемся наиболее простым и
наглядным образом уяснить себе эти понятия.
§ 1. Числовой континуум1)
Вопрос о том, что, собственно говоря, представляют собой числа,,
касается больше философа, чем математика, и является предметом
многочисленных философских исследований. Математика, однако, не
нуждается ни в каком предварительном теоретико-познавательном ис-
следовании более глубокой сущности понятия числа.
Мы будем поэтому рассматривать числа и прежде всего целые
положительные или натуральные числа 1, 2, 3, ... как нечто не-
посредственно данное; точно так же и правила, по которым можно
производить действия над этими числами2), мы будем считать дан-
ными и напомним только кратко, каким образом оказалось необхо-
димым расширить понятие целых положительных или натуральных
чисел.
1. Система рациональных чисел и необходимость ее расши-
рения. В области натуральных чисел основные операции сложения
и умножения всегда неограниченно выполнимы, т. е. сумма и про-
изведение двух натуральных чисел являются всегда также натураль-
ными числами. Но обращения этих операций, т. е. вычитание и де-
ление, не всегда выполнимы в области натуральных чисел, и это об-
стоятельство уже давно принудило творческую силу математики
*) Континуумом называется множество всех действительных чисел (ра-
циональных и иррациональных). (Прим, перев.)
2) Вот эти правила: 1) (а -|-6) -|-с — а (Ь -|-с) (сочетательный закон
сложения). 2) аb = b а (переместительный, или коммутативный, закон
сложения). 3) (ао) с = а (be) (сочетательный закон умножения). 4) ab = Ьа
(переместительный закон умножения). 5) a (b -|- с) = ab 4- ас (распредели-
тельный закон умножения).
22
ГЛ. I. подготовительный материал
[1
создать число 0, отрицательные числа и, наконец, положительные и
отрицательные дроби. Совокупность всех этих чисел принято назы-
вать рациональными числами, так как все они получаются из еди-
ницы путем применения «рациональных арифметических дей-
ствий»-. сложения, умножения, вычитания и деления.
Числа принято наглядно изображать посредством точек прямой
линии, «числовой прямой» или «оси», принимая на этой прямой не-
которую произвольную точку за начало, или точку 0, а другую —
за точку 1; отрезок между этими
Il 1__।__1
-3 -2 ~1 0 1 2 3
Рис. I.
место на числовой прямой,
двумя точками служит тогда масшта-
бом, при помощи которого каж-
дому положительному или отрица-
тельному рациональному числу при-
водится в соответствие определенное
причем обыкновенно положитель-
ными числами помечаются точки справа от нуля, а отрицатель-
ными— слева (рис. 1).
Если понимать, как обычно, под абсолютной величиной | а | чи-
сла а само значение а, если а^-01), и число — а, если а < 0, то
| а | просто означает расстояние соответствующей точки числовой
прямой от начальной точки.
Геометрическое истолкование рациональных чисел при помощи
точек числовой прямой приводит нас к установлению важного свой-
ства совокупности рациональных чисел, формулируемого так: «мно-
жество рациональных чисел является всюду плотным». Это означает,
что между двумя сколь угодно близкими друг к другу рациональ-
ными числами имеются еще другие рациональные числа или, выра-
жаясь геометрически, что любой сколь угодно малый отрезок число-
вой прямой содержит внутри себя рациональные точки. Это свойство
плотности множества рациональных чисел становится сразу очевидным,
если заметить, что числа 1/2, 1/22, 1/23..... 112п становятся все
меньше и меньше и при возрастании п все более приближаются
к нулю. Если разделить числовую прямую, начиная с точки 0, на рав-
ные отрезки длины 1/2", то концы этих отрезков 1/2", 2/2", 3/2", ....
представляют рациональные числа вида т12п', при этом мы можем
располагать числом п по произволу. Если на числовой прямой задан
какой-нибудь определенный отрезок, то, как бы мал он ни был, мы
можем всегда сделать вышеуказанное подразделение числовой пря-
мой настолько мелким, чтобы внутрь заданного отрезка наверное
попали точки этого подразделения. Для этого достаточно число п
выбрать настолько большим, чтобы 1./2" было меньше длины задан-
ного отрезка.
') а > Ь означает: число а либо больше, либо равно Ь. Аналогич-
но объясняется смысл символов ± и +, которые встретятся в даль-
нейшем.
21 J J. ЧИСЛОВОЙ КОНТИНУУМ 25
Однако, несмотря на это свойство плотности, множества рацио-
нальных чисел недостаточно, чтобы снабдить все точки числовой пря-
мой числами. Уже грекам было известно, что если принять длину
какого-нибудь отрезка за единицу, то существуют отрезки, длина
которых не выражается рациональным числом, — так называемые не-
соизмеримые с единицей длины отрезки. Так, например, гипотенуза
равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, равными
единице, несоизмерима с единицей, т. е. ее длина не выражается
рациональным числом. В самом деле, квадрат этой длины I должен,
по теореме Пифагора, равняться 2; поэтому, если бы I равнялось
рациойальному числу p/q, где р и q — целые числа, то р* 2 = 2<?2.
При этом мы можем предположить, что р и q не имеют общего де-
лителя, так как дробь pfq можно предварительно на таковой сокра-
тить. Из уравнения p2=2q2 следует, что р2 — четное число; по-
этому р также должно быть четным; пусть, например, р = 2р'.
Вставив это выражение, мы получим
4р'2 = 2q2 или q2 = 2p'2,
а потому q2 и, значит, q само также должно быть четным, что про-
тиворечит нашему предположению о том, что р и q не имеют об-
щего делителя и, в частности, не могут оба одновременно содержать
множителем 2. Итак, наше предположение, что гипотенуза выра-
жается дробью p[q, оказалось противоречивым и, значит, не-
верным.
Приведенное нами только что рассуждение — характерный при-
мер «косвенного доказательства»’) — показывает, что символу У 2
не может соответствовать какое-либо рациональное число.
Это рассуждение показывает, что если мы хотим каждой точке
прямой привести в соответствие некоторое число, то мы вынуждены
ввести кроме рациональных еще другие — «иррациональные» числа.
И мы действительно будем строго придерживаться этого требования,
чтобы точкам прямой линии после выбора определенной единицы
длины взаимно однозначным образом соответствовали определенные
числа. Эту систему рациональных и иррациональных чисел, нахо-
дящихся во' взаимно однозначном соответствии с точками числовой
прямой, называют системой действительных чисел2).
2. Континуум действительных чисел и бесконечные десятич-
ные дроби. Наше требование, чтобы точкам числовой прямой вза-
имно однозначным образом соответствовали числа, будет выполнено,
если в качестве системы действительных чисел принять множество
всех конечных и бесконечных десятичных дробей.
*) Доказательство «от противного».
2) В отличие от системы комплексных чисел, которая получается в ре-
зультате нового расширения понятия числа.
24 ГЛ. t. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ (2
Прежде всего вспомним факт, известный нам из элементарной
математики: всякое рациональное число может быть представлено
в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби,
и, обратно, всякая такая дробь представляет рациональное число.
Теперь же мы покажем, что любой точке числовой прямой можно
отнести однозначно определенную десятичную дробь (обычно беско-
нечную), так что иррациональные точки или иррациональные числа
изображаются бесконечными непериодическими десятичными дробями,
например: 0,101101110...
Допустим, что точки, соответствующие целым числам, отмечены
на числовой прямой. Эти точки разбивают числовую прямую на ин-
тервалы’) длины 1. В дальнейшем мы будем говорить, что точка
прямой принадлежит интервалу, если она является внутренней или
граничной точкой этого интервала. Возьмем теперь произвольную
точку Р числовой прямой. Эта точка принадлежит одному или, если
она является точкой деления, двум из тех интервалов, на которые
разбита числовая ось. Условимся, что во втором случае выбирается
правый из двух интервалов, которые встречаются в точке Р. Тогда
в любом случае мы будем иметь интервал с граничными точками g
и g-(-l, которому принадлежит точка Р, где g— целое число.
Этот интервал мы разобьем на десять равных частичных интервалов
с помощью точек, соответствующих числам g~j- 1/10, g-1-2/10, ...
.... g’-j-9/10, и этим частичным интервалам отнесем цифры 0, 1, ...
..., 9 в натуральном порядке слева направо. Частичный интервал
с номером а имеет граничные точки g 4- а/10 и g-|-a/10-|-1/10.
Точка Р должна принадлежать одному из этих частичных интерва-
лов. (Если точка Р является одной из новых точек деления, то она
принадлежит двум смежным частичным интервалам; выбираем, как и
раньше, правый из них.) Допустим, что определенному таким путем
интервалу, содержащему точку Р, отнесена цифра at. Тогда гранич-
ные точки этого интервала соответствуют числам g-^-aJlO и
g —ZZ|/1O~|— 1/10. Этот частичный интервал мы вновь делим на де-
сять равных частей и отмечаем ту часть, которой принадлежит Р;
если Р принадлежит двум таким частям, то, как и раньше, выби-
раем правую. В итоге получим частичный интервал с граничными
точками
где а2 — одна из цифр 0, 1....9. Этот частичный интервал мы
снова делим на десять равных частей и продолжаем далее этот про-
цесс разбиения. После п шагов мы приходим к содержащему точку
Р частичному интервалу длины 1/10", граничные точки которого
!) В этом параграфе автор употребляет слово интервал в смысле от-
резка числовой оси. (Прим, перев.)
2] § 1. ЧИСЛОВОЙ КОНТИНУУМ 25
соответствуют числам
S 10 102 10я ё 10 102 10я 10я
При этом каждое ак есть одна из цифр 0, 1, .... 9. Но
а\ | а2 t | аП
10 г 102 г ' "t" 10"
есть просто десятичная дробь 0,а}а2.. .ап. Граничные точки
этого частичного интервала можно поэтому записать и в следующем
виде:
g-|-0, аха2.. ,ап и £4-0. аха2 ... (
^я I ” 10я ) ’
Если представить себе, что описанный процесс повторяется бес-
конечное число раз, то получим бесконечную десятичную дробь
0,а}а2 .... смысл которой следующий: если оборвать десятичную
дробь на каком-нибудь знаке, например на л-м, то точка Р при-
1
надлежит интервалу длины , граничные точки которого (аппрок-
симирующие точки) суть
£4-0, аха2 .. ,ап и £ + 0, аха2 ...
В частности, точка, которая соответствует рациональному числу
£ 4- 0,й]а2• • • ап> будет лежать сколь угодно близко к точке Р,
коль скоро число п достаточно велико; по этой причине точки
£-|-О.а^г • ап и называются аппроксимирующими {приближаю-
щими) точками. Мы будем говорить, что бесконечная десятичная
дробь £4-0. #1^2 ••• есть действительное число, соответствующее
точке Р.
Для производства действий целое число £, которое мы здесь
примем для простоты положительным, обычно записывают в деся-
тичной системе, т. е. в следующем виде:
“тЮ”14-4- ••• 4”а1 Ю-1-Oq,
где каждое ак есть одна из цифр 0, 1, 9. Тогда действительное
число £4-0, аха2... записывается коротко так:
amam-l • • • «1“0. ala2 • • •
Здесь мы подчеркнем фундаментальное допущение, что над дей-
ствительными числами можно производить все операции согласно
обычным формальным законам арифметических действий. Это допуще-
ние, которое считалось само собой разумеющимся вплоть до второй
половины XIX века, можно доказать, опираясь только на свойства
целых чисел. Но это нелегкая задача, и, чтобы не задерживать наше
26
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
13
продвижение на этой ранней стадии изучения, мы будем рассматривать
тот факт, что обычные правила вычислений приложимы к действи-
тельным числам, как аксиому, на основе которой мы построим все
дифференциальное и интегральное исчисление.
Заметим, что в изложенной выше схеме разбиения существует в некото-
рых случаях двоякая возможность выбора интервала. Из нашего построе-
ния вытекает, что в последовательном процессе разбиения точки деле-
ния, и только эти точки, изображаются конечными десятичными дробями
g 4-0,«1 а2.. .ап. Допустим, что такая точка Р появляется впервые как
точка деления на n-й ступени разбиения. Выполняя заключенное выше согла-
шение, мы на n-й ступени выбираем интервал справа от Р. На следующих
ступенях мы должны выбрать частичный интервал этого интервала. Но у такого
частичного интервала точка Р должна быть левым концом. Поэтому во всех
дальнейших стадиях разбиения придется выбирать крайний слева частичный
интервал с номером 0. Стало быть, бесконечная десятичная дробь, соответ-
ствующая точке Р, есть g-4~0, eia2 ••• «л000 ... С другой стороны, если бы
мы на n-й ступени выбрали левый интервал, содержащий Р, то n-й деся-
тичный знак был бы не ап, а ап — 1 и на всех дальнейших ступенях разбие-
ния нам пришлось бы выбирать крайний справа частичный интервал, для
которого Р является правым концом. Такой частичный интервал имеет
номер 9. Следовательно, мы получим для точки Р бесконечную десятичную
дробь ^4- 0, ata2 ... an_i (ап —1)999..., в которой все десятичные знаки,
начиная с (п 4- 1)-го, — девятки. Поэтому двоякая возможность выбора в нашем
построении соответствует тому факту, что, например, число 1/4 имеет два
десятичных разложения: 0,25000 ... и 0,24999 ...
3. Системы счисления, отличные от десятичной. Выбор деся-
тичной системы счисления является в известном смысле случайным.
Вместо числа 10 можно принять за основание системы счисления
любое натуральное число р. Тогда любое целое положительное
число g может быть записано одним и только одним способом так:
РйРй + Рй-1Рй-1 + ••• “ЬРгР + Ро-
где каждое из чисел есть одно из чисел 0, 1..........р—1. Для
некоторых теоретических целей, а также в практических вопросах
конструирования автоматических. счетных машин полезно пользо-
ваться двоичной системой счисления, т. е. принять за основание р=2.
В этой системе целое положительное число запишется так:
S — ak • 2й 4~ ай-1 ’ 2й-1 И- • • • + ai • 2 4- «о-
причем цифры аг могут равняться только нулю или единице. Напри-
мер, число 9 запишется в двоичной системе так:
1 • 234-0 • 224-0 • 24- 1 • 2° = 1001.
В двоичной системе счисления числа имеют, очевидно, сравни-
тельно длинную запись. Зато механизм сложения и умножения исклю-
чительно прост.
В нашем представлении действительного числа число 10 играло
особую роль, так как каждый интервал делился на десять равных
5) § 1. ЧИСЛОВОЙ КОНТИНУУМ 27
частей. Единственная причина этого—всеобщее распространение деся-
тичной системы счисления. С таким же успехом можно было делить
каждый интервал на р равных частей, где р — любое целое число,
большее единицы. Мы тогда получим для действительного числа
выражение вида g-^-b^p + &>/р2 + ... Записывая и целое положи-
тельное число g в системе с основанием р, придем к следующему
выводу: всякое положительное действительное число может быть
представлено в следующей записи:
₽*Рй + ₽й-1Рй-14- • • • + 01Р + ₽о + •у + + • • •> (1)
где р; и bt— целые числа из последовательности 0, 1, .., р — 1,
Так, например, двоичйая запись дроби 21/4 есть
4 = I .22-1-0.2 + 1 -2о + ^ + 4--
И здесь мы приходим к выводу, что конечные или бесконечные
периодические представления вида (1) имеют рациональные и только
рациональные числа.
4. Неравенства. Действия над неравенствами играют в высшей
математике значительно более важную роль, чем в элементарной.
Поэтому мы вкратце напомним некоторые простейшие правила, каса-
ющиеся неравенств.
Из неравенств а>Ь и c>d вытекает а + с >6 + <7, но, разу-
меется, не вытекает а — с> b — d.
Из а > Ь вытекает ас > Ьс, если с положительно, но ас < Ьс,
если с отрицательно.
Если а > > 0 и с > d > 0, то ас > bd.
Абсолютные величины чисел удовлетворяют следующим нера-
венствам:
|д±6|<|а | + |А|, |а±й|>||а] — |Z>||.
Квадрат действительного числа всегда больше нуля или равен
нулю. Поэтому для всех действительных чисел х и у справедливо
неравенство
(х — у)2 = х2 + у2 — 2ху + 0 или 2ху + х2 + у2.
5. Неравенство Шварца. Из последнего неравенства мы выведем
очень важное для приложений более общее неравенство. Возьмем 2п
любых действительных чисел а2, .... ап и .... Под-
ставим в последнее неравенство числа1)
Х _______। ak ।______ у __________I bk |____
Уа2 + а2+...+а2 ' yb2 + b2+...+b2
’) Здесь и в дальнейшем символ Ух, где х>0, обозначает положи-
тельное число, квадрат которого равен х.
28 ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
последовательно при k — 1, 2.......... п и полученные неравенства
сложим; в результате получится
2 (I a4i 14~ I а2&2 14~ • • • 44 апЬп I) । । । 2
а1 + а2 + ' • + ал VX + 62 + • • 4- 6»
так как
и
7 P.I у , , [ IM у = 1.
\ V^1-р*2+ • • • 4^л / \ +*2 4- 4"*п /
Из последнего неравенства имеем
I | + | «2^2 I 4“ • • • 4* I ап^п I
< /44-^4- ••4-й» • /^+^4-... 4-^-
Заменим в левой части сумму абсолютных величин абсолютной вели-
чиной суммы, отчего неравенство может только усилиться:
4~ 0-2^2 4~••• 4~ ап^п | 4-
</ai4-al4- ...4-й2» • ^14-^4- •••4-^2-
Так как выражения на обеих сторонах этого неравенства положи-
тельны, то можно возвести их в квадрат, а затем опустить символ
абсолютной величины:
(й1^14~й2^2 4~ • • • 4~ йл^л)2 4
4- й2 4- ... 4- ап) (bi 4-1>2 4- • • 4- *«)•
Это — неравенство Щварца.
Упражнения1)
1. Доказать иррациональность следующих чисел: а) /3; б) У^п, если п
не является точным квадратом; в) |/з’; г)* x=[r2 4-172; д)* X—/34-172.
2*. В прямоугольной декартовой системе координат точки, у которых
обе координаты — целые числа, называются узловыми точками. Доказать,
что треугольник с вершинами в узловых точках не может быть равносто-
ронним.
3. Доказать неравенства:
а) х 4- 1/х 2, х > 0; б) х-4-1/х 4 — 2, х < 0; в) | х4~ 1/х (;>2, х=/=0.
4. Показать, что если д>0, то трехчлен ахг 4- 2ix 4” с 0 при всех
значениях х в том и только в том случае, если ft2 — дс^О.
5. Доказать следующие неравенства:
а) х2 4-ху 4-у2 > 0; б)* х2П4-х2П~1у 4-х2Я~2у2 4- ... + у2Я>0;
в)* х4 — Зх’ 4- 4х2 — Зх 1 0.
>) Более трудные упражнения отмечены звездочкой.
1] § 2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 29
6. Доказать неравенство Шварца, применяя к выражению
(а^х Z>,)2 (а2х 4- &2)2 4- • • • + {апх 4- ^л)2
теорему упр. 4.
7. Показать, что в неравенстве Шварца знак равенства имеет место
в том и только в том случае, если числа пропорциональны числам &*,
т. е. если cak-\-dbfi = O при £ = 1, 2, ..., п, где с и d не зависят от к и
не равны одновременно нулю.
8. Дать геометрическое истолкование неравенства Шварца при п = 2
или 3.
9. Числа ах, а2 являются направляющими косинусами прямой, т. е.
— I- Аналогично &14~^2 = 1- Доказать, что из равенства а1Ь1-\-а2Ь2 = 1
вытекает а{ — Ьь а2 — Ь2.
10*. Доказать неравенство
V (ai—6i)2 + • • + (а« ~~ 6л)2 < V(ai + • • 4- ал)+4- • • • + 6л)
и дать ему геометрическое истолкование.
§ 2. Понятие функции
Выяснением понятия функции мы обязаны новейшему времени.
Принципиальной формулировке этого понятия мы предпошлем не-
сколько поясняющих примеров.
1. Примеры, а) Если в сосуде заключен сжатый поршнем идеаль-
ный газ, температура которого поддерживается постоянной, то между
давлением р и объемом v существует зависимость
pv = C,
где С—некоторая постоянная. Этот так называемый закон Бойля
ничего не утверждает о величинах v и р самих по себе и означает
только следующее: если р имеет определенную величину, которая
в некотором интервале может быть выбрана произвольно (этот интер-
вал определяется физически, а не математически), то на основании
этого закона можно вычислить v: v = C/p, и обратно: p = C/v.
Это выражают словами так: v является функцией величины р,
или обратно: р является функцией величины v.
б) Если металлический стержень, имеющий при температуре 0°
длину Zo, нагреть до температуры &°, то при простейших физических
допущениях длина стержня I выражается законом
/ = Z0(l +р&),
где «коэффициент линейного расширения» 0 является постоянной
величиной. Мы говорим опять: Z является функцией от &.
в) В треугольнике заданы длины двух сторон а и Ь. Если для
угла у между этими сторонами мы выберем любое значение, мень-
шее 180°, то эти данные вполне определяют треугольник, а стало
быть, и длину с третьей стороны. И здесь мы говорим: если а и Ъ
30 гл. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ |2
наперед заданы, а у изменяется, то с является функцией угла у. Как
известно из тригонометрии, эта функция выражается формулой
с = + —2a&cosy.
2. Интервалы или промежутки. Возьмем какой-нибудь опреде-
ленный отрезок нашей числовой шкалы, например отрезок, концы
которого помечены числами а и Ь. Совокупность всех действитель-
ных чисел х, принадлежащих этому отрезку, т. е. удовлетворяющих
условию
а х Ь,
называется интервалом или промежутком. Числа а и Ъ называются
границами интервала: а — нижней, Ь — верхней границей.
• Если величину х можно выбирать совершенно произвольно в этом
промежутке, то мы называем х переменной величиной в данном про-
межутке (непрерывной переменной).
Во многих рассуждениях не безразлично, причисляют ли к про-
межутку от а до b его границы, как мы это сделали выше, или нет;
в последнем случае величина х удовлетворяет неравенствам
а < х < Ь.
Когда отсутствие соответствующего указания способно привести
к недоразумениям, мы будем интервал (промежуток) с присоединенными
границами а х b называть замкнутым, а интервал а < х < Ь —
открытым. Замкнутый интервал иногда называют просто отрезком
(числовым). Если к интервалу причисляется только одна из его гра-
ниц, но не другая, например а < х Ь, то интервал называется
полу- или односторонне открытым (в данном случае — открытым
на его начале а). Наконец, можно рассматривать открытые интер-
валы, простирающиеся в одну или в обе стороны до бесконечности.
В этом случае говорят, что непрерывная переменная х пробегает
бесконечный интервал, и записывают символически:
а < х < оо, или —оо < х < Ь, или —оо < х < оо.
* Замкнутый интервал короче обозначают [д, или [д, а], от-
крытый интервал—круглыми скобками: (а, Ь) или также (Ь, а);
полуоткрытый — [а, Ъ) или {а, &], причем круглая скобка ставится
у буквы, обозначающей открытую границу интервала. Эти символы
удобны, если не желают отметить, какое число больше: а или Ь.
Окрестностью числа (точки) £ называётся любой интервал (а, 0),
содержащий точку £.
Обыкновенно окрестность какой-либо точки 5, выбирают так,
чтобы границы окрестности находились на одинаковом расстоянии
от |. Если обозначить это расстояние через е, то окрестностью упо-
мянутой точки будет промежуток (| — е, Ц-е).
4]
§ 2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
31
Бесконечные интервалы обозначают: (а, со), если интервал открыт
на границе а, и [а, оо), если он замкнут на границе а; (—оо, Ь)
и (—оо, Ь\, наконец, (—оо, оо). *
3. Определение понятия функции. Дадим теперь общее опре-
деление математического понятия функции.
Если каждому значению х какого-либо промежутка на основании
некоторого правила приводится в соответствие определенное значе-
ние у, то говорят: у является функцией от х, и пишут символически:
у = / (х), или у == F (х), или у = g (х)
или как-нибудь аналогично. При этом х называют независимой,
у — зависимой величиной или переменной; х называют также аргу-
ментом функции у.
В общем определении понятия заданной в некотором интервале функции
ничего не говорится о характере того правила, согласно которому зави-
симая переменная получается из независимой переменной. Это правило
может быть как угодно сложно, и в некоторых теоретических вопросах эта
чрезвычайная общность является преимуществом. Однако в большинстве
случаев, в частности в дифференциальном и интегральном исчислении и
в приложениях, функции, с которыми приходится иметь дело, не обладают
наибольшей общностью; напротив, законы соответствия, относящие каждому
значению х определенное значение у, в каждом вопросе обычно подчиняют
некоторым упрощающим ограничениям.
4. Графическое изображение. Однозначность и многознач-
ность. Непрерывность. Монотонные функции. К разумному огра-
ничению, которое только и делает общее по-
нятие функции действительно применимым, при- # >
водит нас связь с геометрией. Ведь основ- .z"'”’
ная мысль аналитической геометрии заклю- У...........
чается в том, чтобы аналитически характеризо- :
вать геометрически заданную кривую, рассма- :
тривая одну из обеих прямоугольных координат, __________:
например у, как функцию у — /(х) от другой О *5
координаты х; например, парабола выражается рИс. 2.
функцией у=х2, окружность радиуса 1 с центром
в начале координат—двумя функциями у = ]Л1—х2 и v = — ]/" 1 —х2.
В первом примере мы можем себе представить функцию определенной
в бесконечном интервале — оо < х < оо, во втором же оказывается
необходимым ограничиться интервалом — 1 х 1, так как вне
этого интервала функция (в области действительных чисел) теряет
свой смысл.
Обратно, если мы будем исходить не от геометрически заданной
кривой, а, напротив, будем рассматривать функцию у = /(х) как
первично заданную, то функциональную зависимость величины у
от величины х можно изобразить графически, пользуясь для этого
прямоугольной системой координат (рис. 2).
32 гл. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ [4
Проведя в конце каждой абсциссы х соответствующую ординату
у = / (х), мы получим в качестве геометрического образа функции
кривую. Ограничение, которое мы налагаем на понятие функции,
заключается в том, чтобы этот геометрический образ представлял
собой доступную наглядному представлению кривую. Правда, это
скорее туманная общая мысль, чем точное математическое условие.
Но вскоре мы сформулируем такие условия, как непрерывность,
дифференцируемость и т. д., которые обеспечат графику функции
характер кривой, допускающей наглядное представление. Во всяком
случае мы должны будем исключить из рассмотрения функцию, опре-
деленную так: для всякого рационального значения х функция у имеет
значение 1; для всякого иррационального х функция у имеет зна-
чение 0. Это определение относит каждому значению х определенное
значение у; но в любом интервале значений х, как бы он мал ни был,
значение у совершает скачки от 0 к 1 и обратно бесконечное
число раз.
В связи с графическим изображением функций при помощи кри-
вых я хотел бы отметить один пункт, часто доставляющий начинаю-
щему известные трудности.
Закон, который относит переменной х функцию у, должен уста-
навливать это соответствие однозначным образом, если только не
сказано совершенно определенно и не вытекает из общей связи прямо
противоположное. Примеры однозначного соответствия представляют
функции у — х2 или y = sinx. Но если мы исходим из кривой,
заданной геометрически, то может случиться, как, например, у окруж-
ности х2—у2=1, что все течение кривой не может быть описано
одной-единственной (однозначной) функцией, но что для этого по-
требуется несколько функций. В случае окружности это две функ-
ции у = у 1—х2 и у — —1—х2. То же самое относится к гипер-
боле у1 — х2 = 1, ход которой описывается двумя функциями
у == У1 -1-х2 и у——У1 —х2. Такие кривые определяют соответ-
ствующие функции неоднозначно. Поэтому функции, соответствующие
такой кривой, часто объединяют термином многозначная функция.
Отдельные функции, представляющие эту кривую, называют тогда
однозначными ветвями, принадлежащими кривой (однозначными
ветвями многозначной функции). Для ясности мы под словом «функ-
ция» всегда будем понимать однозначную функцию. В согласии с этим
символ Ух при х > 0 будет всегда обозначать неотрицательное
число, квадрат которого равен х.
Если кривая является графиком одной функции, то она пересекает
всякую прямую, параллельную оси у, не более чем в одной точке,
так как каждому значению х из интервала, в котором функция опре-
делена, соответствует в точности одно значение у. Если же кривая
является графиком многозначной функции, состоящей из нескольких
однозначных ветвей, то прямые, параллельные оси у, могут ее пере-
4J
§ 2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
33
секать более чем в одной точке. Так, окружность, представляемая
двумя функциями у — У1 — х2 и у = — У1 — х2, пересекает такие
параллели оси у в интервале — 1 < х < 1 в двух точках.
Части кривой, принадлежащие различным однозначным ветвям
функции, могут быть при этом связанными одна с другой, образуя
вместе единую линию, которую можно описать одним почерком пера,
как у окружности (ср. рис. 3); но может также случиться, что раз-
личные ветви совершенно отделены друг от друга, как у гиперболы
(ср. рис. 4).
Приведем еще несколько примеров графического изображения функций,
а) у = ах,
у пропорционален х. Графиком функции является прямая, проходящая через
начало координат (рис. 5).
б) у = ах Ь,
у — (целая) линейная функция от х (рис. 5).
Графиком служит прямая, проходящая через
точку (О, Ь), а если a 0, и через точку
(—Ь[а, 0). В случае а = 0 график — горизонталь-
ная прямая.
, а
в) У = — -
у обратно пропорционален х. В частности, если
а = 1, то у = 1/х, и тогда при х = 1, у = 1; при
х = 1/2, у = 2; при х = 2, у = 1 2 и т. д. График
этой функции — кривая, симметричная относи-
тельно биссектрис углов между осями координат, — равносторонняя гипер-
бола (рис. 6). Рассматриваемая функция, очевидно, не определена при х = 0,
так как деление на нуль не имеет смысла. Точка х = 0, являющаяся для
этой функции исключительной точкой, в окрестности которой функция при-
нимает сколь угодно большие по абсолютной величине положительные
и отрицательные значения, представляет простейший пример точки беско-
нечности или бесконечного разрыва функции; к этому вопросу мы еще вер-
немся впоследствии (ср. § 8, п° 2).
г) у = X2.
Эта функция изображается, как известно, параболой (рис, 7).
д) у = X3.
Эта функция наглядно изображается так называемой кубической параболой
(рис. 8).
3 Р» Курант
34
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
(4
Только что рассмотренные функции и их графики обладают одним
свойством, имеющим очень большое значение при исследовании
функций, а именно свойством непрерывности. Это понятие мы впо-
следствии (§ 8) проанализируем более подробно. Наглядно оно выра-
жается так: малое изменение не-
зависимой переменной х вызывает
лишь малое изменение функции у,
значение которой не делает вне-
запных скачков, т. е. график
функции нигде не разрывается.
Точнее: изменение функции у
остается по абсолютной величине
меньше любой произвольно выбранной малой положительной грани,
если только изменение х достаточно мало по абсолютной вели-
чине.
5]
§ 2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
35
Функция, имеющая для всех значений х в некотором интервале
одно и то же значение у = а, называется постоянной (константдй) а;
ее график — горизонтальная прямая. Функция у — f(x), обладающая
тем свойством, что в некотором интервале большему значению х
всегда соответствует большее значение у, называется монотонно
возрастающей в этом интервале; если же большему значению х
всегда соответствует меньшее значение у, то функция называется
монотонно убивающей в этом интервале. Графики монотонных функ-
ций в соответствующем интервале (слева направо) либо постоянно
поднимаются, либо постоянно опускаются (рис. 9).
Если график функции у — f (х) симметричен относительно оси у,
т. е. если значению х = — а соответствует то же значение функции,
что и значению х = а, или, что то же самое, если
/(—х) = /(х),
то функция называется четной. Такова, например, функция у — х2
(рис. 7). Если же график симметричен относительно начала коор-
динат, т. е. если
/(— х) = — /(х),
то функция называется нечетной. Например, функции у — х, у = х3
(рис. 8) и у = 1/х (рис. 6) являются нечетными.
Всякая функция /(х) может быть представлена в виде суммы
четной и нечетной функций:
/(x) = «(x)4-v(x),
где
«(X) = 4 [f (X) +./ (- Х)1, V (X) = 4 [/ (X) - / (- X)].
При этом предполагается, что /(х) определена в интервале, симме-
тричном относительно начала координат.
5. Обратные функции. Уже на нашем первом примере в n° 1
было видно, что формальную зависимость между двумя величинами
можно толковать двояко: можно с равным правом рассматривать либо
3*
36 ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ [5
первую величину как функцию второй, либо вторую величину как
функцию первой.
Например, если у = ах-\-Ь (предполагается, что а =# 0), то х
как функция от у выражается равенством х =- Ь . Точно так же
функциональную зависимость между у и х, выражаемую уравнением
у = х2, можно представить уравнением х=±]/'у, так что функ-
ция у — х2 равносильна двум функциям х = Уу и х = — .
Совершенно так же можно для любой функции y = f(x) пытаться
выразить х как функцию от у или, как мы будем говорить, заменить
функцию у —/(х) обратной функцией х = <р(у).
Геометрически это означает следующее. Повернем график функ-
ции у = /(х) вместе с осями координат на 180° вокруг биссектрисы
угла между положительной осью х и положительной осью у и мы
сразу получим графически х как функцию от у, т. е. график обрат-
ной функции х = ср(у) (рис. 10).
Уже из этого геометрического рассуждения сразу видно, что
функция у = /(х), определенная в некотором интервале, имеет одно-
значную обратную функцию лишь при выполнении некоторых усло-
вий. Если график функции пересекается прямой у = с, параллельной
оси х, более чем в одной точке, то значению у == с соответствует
более одного значения х, так что функция у = /(х) в указанном
выше интервале не может иметь однозначной обратной функции.
Этого не будет, если функция у = f (х) непрерывна и монотонна.
В этом случае, как показывает рис. 10, каждому значению у из
интервала соответствует точно одно значение х из интер-
вала х1 х х3. Из этого рисунка мы заключаем, что всякая функ-
ция, монотонная и непрерывная в некотором интервале, имеет в этом
интервале однозначную обратную функцию, и эта обратная функция тоже
монотонна и непрерывна. (Строгое доказательство см. на стр. 90—91.)
1]
§ 3. ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
37
§ 3. Обзор элементарных функций
1. Рациональные функции. Мы переходим теперь к краткому
обзору элементарных функций, знакомых из средней школы. Про-
стейшие классы функций получаются путем повторного применения
элементарных арифметических действий: сложения, умножения и вы-
читания. Применяя эти действия к независимой переменной и к ка-
ким-нибудь рациональным или иррациональным числам, мы получаем
в качестве результата целые рациональные функции или полиномы
(многочлены):
У = + +апха.
Целые рациональные функции в силу простоты своего строения
являются, так сказать, основными функциями всего анализа.
Образуя, далее, частное двух таких функций, т. е. выражение
вида
___ ао + aix + ... 4~ апхп
у— ba + blX+ ... +ЬтХ”’
38
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
[2
мы приходим к общим, или дробным рациональным функциям, кото-
рые определены всюду, где знаменатель отличен от нуля.
Простейшей целой рациональной функцией является (целая) линейная
функция
у = ах 4- Ь.
Она изображается прямой линией. Всякая квадратичная функция вида
у = ax'1 -J- bx 4- с
изображается параболой. Кривые, изобра-
жающие целую рациональную функцию
третьей степени:
у = ах3 4- Ьх2 4~ сх 4- d,
называются иногда параболами третьего
порядка и т. д.
В качестве наглядных примеров мы
приводим на рис. 1'1 графические изобра-
жения функции у = хп для показателей
л=1, 2, 3, 4.
При четных значениях п функция
у — х" удовлетворяет уравнению f (— х) =
= f (х) и является, следовательно, четной
функцией, тогда как при нечетном п эта
функция удовлетворяет условию / (— х) = — f (л-), т. е. она — нечетная.
Простейшим примером дробной рациональной функции является уже рас-
смотренная раньше функция у=1/х, график которой — равносторонняя
гипербола. Другой пример: функция у = 1/х2 (рис. 12).
2. Алгебраические функции. Мы выходим за пределы области
рациональных функций, как только поставим себе задачу получить
обратные им функции. Важнейшим примером является введение функ-
п
ции |/х. Исходим из функции у = хп, монотонной при Она
имеет поэтому однозначную обратную функцию, которую ‘записывают
п
символом х = Уу или, меняя буквы, обозначающие зависимую и не-
зависимую переменные,
п
у — У X — Хх!п .
При этом, в порядке соглашения, этот корень всегда имеет неотри-
цательное значение. Если п нечетно, то функция хп монотонна при
всех (в том числе и при отрицательных) значениях х. Поэтому при
п
нечетном п функцию Ух можно считать однозначно определенной
п
для всех значений х; в этом случае Ух отрицателен при отрицатель-
ном х.
3]
§ 3. ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
39
Функции более общего вида можно получить, рассматривая
п ___
у=/Я(*).
где /?(х)— любая рациональная функция. К дальнейшим функциям
подобного типа приходим, применяя рациональные арифметические
действия к одной или нескольким таким функциям частного вида.
Так получаются, например, функции
т т ____________
у = )/’х4-)/’х* 24-1, у = х + Ух2 4- 1.
Эти функции—частные случаи алгебраических функций. (Опреде-
ление общего понятия алгебраической функции может быть дано
лишь позднее; см. гл. X или т. II.)
3. Тригонометрические функции. В то время как рациональные
и только что рассмотренные алгебраические функции определяются
непосредственно, при помощи эле-
ментарных арифметических действий
и построения обратных функций,
источником остальных, так называе-
мых трансцендентных функций1)
является в первую очередь геометрия.
Мы займемся здесь элементарными
трансцендентными функциями, а
именно: тригонометрическими функ-
циями, показательной функцией и
логарифмом.
В математическом анализе углы
измеряются не в градусах, минутах
и секундах, а в радианах. Вершину
угла, подлежащего измерению, поме-
щают в центр окружности радиуса 1 и величину угла измеряют дли-
ной дуги, вырезаемой углом на окружности2). Угол в 180° изме-
ряется поэтому числом л, т. е. равен л радианам, угол в 90° равен л/2,
угол в 45° равен л/4 радианам, угол в 360° (полный оборот) ра-
вен 2л радианам. Обратно, угол в 1 радиан выражается в градусах
числом 180°/л: или приближенно 57° 17х 45".
В дальнейшем, говоря об угле х, мы будем всегда понимать под
этим угол в х радианов.
!) Слово «трансцендентные» не означает чего-либо особо трудного или
таинственного; оно лишь указывает на тот факт, что определение этих функ-
ций уже не может быть дано при помощи элементарных арифметических
действий: «quod algebrae vires trascendit» — то, что превышает силы алгебры
(на латинском языке).
2) Отсюда ясно, что единичным углом, т. е. единицей измерения углов,
служит центральный угол, стягиваемый дугой длины 1, т. е. дугой, длина
которой равна радиусу окружности. Эта единица измерения углов и назы-
вается радианом. (Прим, перев.)
40
ГЛ. I. подготовительный материал
Н
После этих предварительных замечаний напомним еще кратко
смысл тригонометрических функций sinx, cosx, tg х, ctgx* 1), ссы-
лаясь на рис. 13, на котором угол х отсчитывается от неподвижного
радиуса ОС (длины 1), причем положительным вращением считается
указанное на чертеже вращение против часовой стрелки.
Прямоугольные координаты точки А дают просто функции cosx
и sinx. Графики функций sinx, cosx, tgx, ctgx даны на рис. 14 и 15.
4. Показательная функция и логарифм. Наряду с тригономе-
трическими функциями, элементарными трансцендентными являются
также показательная функция с положительным основанием а:
у= ах
*) Иногда полезно ввести в рассмотрение функции sec х — ,
I
cosec X = —;----.
sin X
J 3. ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 41
и обратная ей функция, логарифм при основании а\
* = logay.
В школе обычно проходят мимо тех специфических трудностей, ко-
торые кроются в определении этих функций, да и мы также немного
отложим более подробное исследование этих функций до того вре-
мени, когда мы уже будем располагать более тонкими вспомогатель-
ными средствами (ср. гл. III, § 6). Но уже теперь мы можем ска-
зать, какой смысл следует придать этим функциям.
Если x = p'q есть рациональное число (р и q—положительные
целые числа), причем а предполагается положительным, то мы опре-
деляем ах как
—
У О.Р = аР!ч,
где в порядке соглашения корень берется положительным. Так как
рациональные значения х расположены всюду плотно, то является
естественным приписать функции ах для иррациональных значений х
значения, непрерывно примыкающие к ее уже построенным выше-
указанным способом значениям. Этим самым мы дополняем эти по-
следние значения до непрерывной функции, определенной для всех,
й том числе и иррациональных, значений х, которую мы и называем
«показательной функцией». Таким образом, под ах мы понимаем ту
непрерывную функцию, которая для рациональных значений х опре-
делена вышеуказанным образом. Примем пока на веру, что это опре-
деление является безупречным и что функция ах этим способом дей-
ствительно однозначно определена, обязуясь впоследствии восполнить
этот пробел и строго обосновать наше утверждение (ср. стр. 92).
Функцию x = logay можно тогда определить при у>0 как
функцию, обратную показательной функции.
Упражнения
1. Построить по точкам график функции у = х3. Из него без новых
Вычислений получить график функции у — ]/х.
2. Наметить в общих чертах графики следующих ниже функций. Выяс-
нить, являются ли эти функции четными или нечетными.
а) y==sin2x; б) y = 5cosx; в) у = sinх-|-cosх\
г) у = 2 sin х sin 2х; д) у = sin (х -f- л); е) у = 2 cos (х л/3);
ж) у — tg х — х.
3. Построить графики следующих функций и выяснить, является ли ка-
ждая из этих функций 1) монотонной или нет, 2) четной или нечетной. Какие
Две из этих функций тождественны?
а) у=х2 (—со < х < со); б) у = х2 (O^x^l);
в) у = х 1 cj х < 1); г) у = | х | (—1<х<1);
д) у = Vх2 (—1<х<Н); е) у — | х—1| (— со < х < оо);
ж) у = | х2 4х 2 | (— 4 < х < 3);
з) у = [х] (—оэ < х < со), где [х] означает наибольшее целое число,
не превышающее х, т. е. [х] < х < [х] + 1;
42 гл. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ [1
и) у — х— [х] (—от < х < от); к) у = У"х— [х] (—оо < х < от);
л) у = х + Ух — [х] (— от < х < от);
м) у = | х — 11 + | х +11 — 2 (— 5 < х < 5);
н) у = | х — 1 | — 2 | х | -1- | х -|- 11 (— от < х < от).
§ 4. Функции целочисленной переменной. Числовые
последовательности. Полная индукция
1. Определение и примеры. До сих пор мы рассматривали не-
зависимую переменную как величину, непрерывно пробегающую все
значения в некотором интервале. Однако в математике часто встре-
чаются и величины, зависящие только от натурального числа, но-
мера п, который может принимать значения 1, 2, 3, ... Такую
величину мы называем функцией целочисленной (натуральной) пере-
менной, или числовой функцией, или же функцией индекса, рас-
сматривая целочисленную независимую переменную как номер или
индекс (указатель). Мы лучше всего поймем смысл этого понятия
на примерах.
1. Сумма первых п целых чисел
S, («) = 1 +2 + 3+ ... +»- "('И-1)
является функцией от п. Точно так же сумма квадратов первых п. целых
чисел
S2(n) = l24-224-324- ... +«=
тоже является функцией натуральной'переменной п1).
’) Эту последнюю сумму легко представить в виде простой рациональ-
ной функции от п при помощи следующего приема. Исходим из формулы
(k + I)3 — k3 = ЗЛ2 -f- 3k -f-1,
выписываем это равенство для значений 6 = 0, 1, 2, ..., п и складываем
почленно. Получится
(и 4-1)3 = 3S2 + 3S, + п +1,
откуда после подстановки выражения для
3S2= (л4-1){(«4-1)2-1--|и} = («+о(«2 4-44
а следовательно,
с п (л4~ 1) (2«4~ 1)
62 - 6 ’
Пользуясь аналогичным приемом, можно представить в виде рациональной
функции от и и нижеследующие функции натуральной переменной:
S3(n) = 134-234- ... 4-й3, S4(n) = l44-244- ... +«4-
(См. также следующую рубрику о полной индукции.)
2]
§ 4. ФУНКЦИИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
43
2. Другими простыми функциями индекса являются выражения
«1 = 1-2-3 ... п
и биномиальные коэффициенты
1п\— я — 1) (га— _ и!
\ k / ~~ k! — k! (n — й}!
при постоянном k.
3. Всякое целое число п > 1, не являющееся простым числом, имеет
известное число делителей, отличных от него самого и единицы, тогда как
простые числа делятся только на 1 и на самих себя. Количество Т (п) всех
делителей данного числа п является функцией самого числа п. Для первых
чисел натурального ряда эта функция представлена в следующей таблице:
п — 1
Г(п) = 1
10 | 11
4| 2
12
6
2
2
3 4
2 3
5 | 6 | 7 | 8 | 9
2 | 4 | 2 | 4 | 3
4. Значительно более сложной числовой функцией является число л (и)
простых чисел, не превосходящих заданного числа п. Подробное исследова-
ние этой функции является одной из самых интересных и привлекательных
проблем теории чисел ') Здесь мы только приведем основной результат
этих исследований: для больших значений п функция л (и) приближенно
выражается функцией п/In п* 2), где символ In п означает логарифм при «нату-
ральном основании» е, определение которого будет дано позже (гл. III, § 6).
Функцию целочисленного аргумента обычно представляют в виде
числовой последовательности.-Числовой последовательностью назы-
вается бесконечная совокупность чисел ах, а2, а3, .... ап..сле-
дующих друг за другом по какому-нибудь закону, определяющему аП
как функцию индекса п. Другими словами, мы имеем здесь функцию
натурального аргумента п. Единственная разница состоит в том, что
вместо символа а(п) пользуются индексным обозначением ап.
2. Принцип полной индукции. Для каждого натурального числа п
последовательности 1, 2, 3,4....существует непосредственно за ним
следующее число «4-1. Последовательность натуральных чисел пред-
ставляет собой самый простой и естественный пример математически
бесконечного, играющего исключительную роль в математическом
анализе. Повсюду встречаются «множества», состоящие из бесконеч-
ного числа «элементов», т. е. математических объектов: например,
множество всех точек прямой или множество всех треугольников
плоскости. Бесконечная последовательность натуральных чисел—
простейший пример бесконечного множества.
Процесс постепенного перехода от п к «4~1- порождающий
последовательность натуральных чисел, приводит к одному из важней-
ших математических методов доказательства, принципу полной индук-
ции. «Эмпирическая индукция» естественных наук исходит из более
’) Теория чисел — математическая наука, изучающая специфические
свойства целых чисел. (Прим, перев.)
2) То есть частное от деления числа л(п) на число и/In п при доста-
точно большом п сколь угодно мало отличается от единицы.
44 гл. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ |2
или менее значительного числа наблюдений какого-нибудь явления
и отсюда выводит суждение об общем ‘законе, которому должны
подчиняться все повторения этого явления. Степень уверенности,
с которой этот закон признается, таким образом, справедливым,
зависит от числа подтверждающих наблюдений. Такого рода индук-
тивное умозаключение является часто вполне убедительным; пред-
положение, что солнце взойдет завтра на востоке, столь достоверно,
как только может что-либо быть достоверным. Но эмпирическая
индукция носит совсем другой характер, чем строго доказанная
математическая теорема.
Совсем по-иному применяют полную индукцию для того, чтобы
доказать истинность математической теоремы для бесконечной после-
довательности случаев — первого, второго, третьего и т. д. без
исключений. Обозначим через А утверждение, относящееся к любому
натуральному числу п. Пусть А означает, например, следующее
утверждение: «Сумма углов многоугольника с числом сторон га-|-2
равна 180° • га». Или А' означает утверждение: «Если в плоскости
провести га прямых, то плоскость разобьется самое большее на
2" частей». Для того чтобы доказать такое утверждение для любого
натурального числа га, недостаточно доказать его для первых 10,
или 100, или даже 1000 значений. Вместо этого надо будет приме-
нить математический метод, который мы разъясним сначала на
доказательстве утверждений А и А'.
В случае А мы знаем, что при га — 1 многоугольник является
треугольником и сумма его углов равна 1 • 180°. В случае четырех-
угольника, га = 2, проводим одну диагональ, и четырехугольник
разобьется на два треугольника. Этим непосредственно доказывается,
что сумма углов четырехугольника равна сумме углов обоих треуголь-
ников, т. е. 2 • 180°. При га = 3 получается пятиугольник, который
диагональю разбивается на треугольник и четырехугольник. Так как
сумма углов четырехугольника — 2- 180°, а треугольника—180°, то
сумма углов пятиугольника равна 3-180°. Теперь ясно, что этот
процесс можно таким же образом повторять дальше сколько угодно
раз, получая тем самым доказательство теоремы для га — 4, га — 5
и т. д. Каждое отдельное утверждение получается из предыдущего
одним и тем же способом, так что общее утверждение А становится
очевидным для всех значений га.
Аналогично доказывается утверждение А'. При га = 1 оно, оче-
видно, справедливо, ибо одна-единственная прямая делит плоскость
на две части. Добавим теперь вторую прямую. Каждая из первых
двух частей разобьется теперь на две новые части, за исключением
того случая, когда вторая прямая параллельна первой, но, так или
иначе, при га = 2 получается не более чем 4 = 22 части. Теперь
добавляется третья прямая. Каждая из уже существующих областей
плоскости либо разрежется на две части, либо нет. Стало быть, общее
число частей не больше чем 22 • 2 — 23. Убедившись в справедливости
31 § 4. ФУНКЦИИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 45
утверждения А' при п = 3, можно теперь таким же способом доказать
его для следующего случая и т. д. до бесконечности.
Основная идея этого рассуждения состоит в том, что доказатель-
ство теоремы А для всех значений п получают, доказывая ее спра-
ведливость поочередно для последовательности частных случаев Alt
А2, .... Ал. Возможность такого умозаключения зависит от двух
факторов: а) должно быть дано общее доказательство того, что если
верно утверждение Аг, то верно и следующее за ним утверждение Дг+1;
б) должно быть известно, что утверждение Ах справедливо. Этих
двух условий достаточно для доказательства всех утверждений Др
Д2, Д3, . .. —таков логический принцип, который имеет в математике
столь же основополагающее значение, как классические правила ари-
стотелевой логики. Даем абстрактную формулировку этого принципа:
Пусть бесконечная последовательность математических пред -
ложений Лр А2, А3, . .. представляет в своей совокупности тео-
рему А. Исходим из следующих допущений: а) с помощью какого-
либо математического рассуждения можно показать для любого
целого числа г, что из справедливости утверждения Аг вытекает
справедливость 'утверждения Лг+1, и б) известно, что предло-
жение Аг верно', в таком случае все утверждения последователь-
ности справедливы, и тем самым теорема А доказана.
Мы принимаем этот принцип в качестве основного положения
математического мышления.
Принцип полной индукции большей частью применяют, не указывая
этого ясно и ограничиваясь, самое большее, ничем не обязывающим
«и т. д.». Особенно часто это встречается в элементарной .матема-
тике. Однако в более сложных доказательствах следует предпочесть
ясно выраженное проведение процесса индукции. Приведем простой
пример.
3. Пример: сумма первых п квадратов. Прямой проверкой находим,
что по крайней мере для первых значений п
I2 ф-22 + ... + и2 = п(п + 1Н2я + 1) ,
и можно предположить, что эта замечательная формула годится для всех
целых чисел п. Для доказательства обнаружим сперва следующее: если
допустить, что утверждение Ап верно при п = г, т. е.
12 _|_22 Н-32 + ... 4-r2= r
то, прибавляя к обеим частям этого равенства (/•—|— I)2, получим
р~|-22 +з2 + ... 4-г24-(г +i)2-= '•('• + 1H2'~ + 1) +(г_|_1)2 =
г (г 4-1) (2г 4-1)4-6 (г 4-I)2 (г 4-1) [г (2г4-1) +6 (г 4-1)1
6 6
(г4-1) (2г2 4-7г4-6) _ (г-h 1) (<4-2) (2г-4-3)
6 6
46
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
[1
Это равенство есть как раз утверждение Лг+1, так как оно получается
из предположенного равенства заменой п на г 4-1. Для завершения доказа-
тельства остается только заметить, что утверждение Д,, выражающееся
здесь равенством
r i(i + i)(2 + D
6
действительно верно. Следовательно, формула верна при всех значениях п.
Таким же способом можно доказать и формулы для суммы третьих
степеней, четвертых степеней и вообще для суммы lft + 2ft + 3ft +... -f- nk,
где k — любое натуральное число. (Ср. сноску *) на стр. 42.)
Упражнения
1. Доказать, что 13 + 23 + ... л3 = (1 + 2-|- ... + п)2.
2. Из формулы для' I2 -f- 22 ... 4" п2 вывести формулу для I2 + З2 + .. .
... 4-(2«Н-1)2.
3. Доказать следующие свойства биномиальных коэффициентов:
> >+(?)+(;)+-+(„2.1)+(«)-2"
4. Вычислить следующие суммы:
а) 1.2 + 2.3+ ... +n(n+l); б) ^+2^3+ ... !
в) 12.22 + 22 -32 + " п2 (n + I)2 '
5. Последовательность называется арифметической прогрессией первого
порядка, если разность любых двух последовательных членов постоянна.
Она называется арифметической прогрессией второго порядка, если разности
последовательных членов образуют арифметическую прогрессию первого
порядка; л вообще, последовательность называется арифметической прогрес-
сией порядка k, если разности последовательных членов образуют арифме-
тическую прогрессию порядка (k — 1).
Числа 4, 6, 13, 27, 50, 84 суть первые шесть членов арифметической
прогрессии. Какого она порядка? Какой у нее восьмой член?
6. Доказать, что и-й член арифметической прогрессии второго порядка
можно записать в виде ап2 + Ьп + с, где а, Ь, с не зависят от п.
7*. Доказать, что n-й член арифметической прогрессии порядка k можно
представить в виде многочлена ank -\-bnk~l ... -\-pn-\-q, где а, Ь, ..., р, q
не зависят от п. Найти n-й член прогрессии из упр. 5.
§ 5. Понятие предела последовательности чисел. Примеры
Понятие предела последовательности принадлежит, наряду с по-
нятием функции, к числу основных понятий математического анализа.
Разъясним этот вопрос сначала на нескольких примерах.
1. ал=1/«. Рассмотрим последовательность чисел
ах = 1, а2=1/2, а3— 1/3.........ал = 1/п, ...
Все числа этой последовательности отличны от нуля, однако чем
больше индекс п, тем меньше число ап отличается от нуля. Если мы
2] § 5. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ 47
поэтому окружим нуль каким угодно интервалом, то, как бы мал
этот интервал ни был, все числа ап рассматриваемой последователь-
ности, начиная с некоторого п, попадают в этот интервал. Это свой-
ство данной последовательности мы выражаем так: числа ап при
возрастании п стремятся к нулю, или имеют своим пределом (limes)
нуль, или' же: последовательность чисел ар а2, а3, ... сходится
к нулю.
Наглядно это означает, что если изображать числа точками чи-
словой прямой, то точки 1/п при возрастаниии п все плотнее и плот-
нее скопляются у предельной точки нуль.
Совершенно таким же образом ведут себя числа последователь-
ности
, —1 1 —1 (—I)"*1
О] — 1, Я2 — “ > й3 — 3 ’ а4 — 4 • • • • • ап — п > • • •
И здесь числа ап при возрастании п стремятся к нулю; различие
заключается только в том, что эти числа попеременно то больше,
то меньше своего предела, или что они, как говорят, колеблются
вокруг своего предела 0. Символически сходимость последователь-
ности чисел к нулю записывают равенством
lim ап~0
л -> 00
или иногда обозначают сокращенно так:
а„->0.
Буквы lim являются сокращением латинского слова «limes»
(предел).
2. azm — l/m; агт-1 — \f2tn. В предыдущих примерах абсолют-
ная величина разности между ап и его пределом при возрастании п
монотонно убывала. Что это не обязательно, показывает пример по-
следовательности
1/2, а2— 1, а3= 1/4, а4 = 1/2, а5 — 1/6, а6 = 1/3, а7 = 1/8, ...,
т. е. такой последовательности, в которой для четного п~2т число
ап = а2т = 1/т,
а для нечетного п — 2т — 1 число
«п — a2m-i = W-
Эта последовательность также имеет определенный предел, а именно
нуль, т. е., начиная с некоторого п, все числа ап попадают внутрь
любого сколь угодно малого интервала, окружающего нуль, но уже
не так, что всякое число последовательности ближе к пределу нуль,
чем предшествующее ему число.
48
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
[3
3. а№
. Рассмотрим последовательность
1 ~ 2 ~ п
а1—-2' а2—-^’ • • •• ап — ’ • • •>
где целочисленный индекс п пробегает все значения 1, 2, 3, ...
Представив а„ в виде
. 1
а„ = 1--------------г-
11 п -L
мы непосредственно убеждаемся в том, что при возрастании п
число ап все более приближается к пределу 1 в том смысле, что,
начиная с известного индекса N, все числа ап, индекс п которых
превосходит N, попадают внутрь любого наперед заданного сколь
угодно малого интервала, окружающего число 1. И мы пишем:
lim ап — 1.
п -> 00
Аналогично и последовательность
_ n2 —1
га2_|_га_|_]
при возрастании п стремится к пределу, а именно к пределу 1:
lim ап = 1; в этом проще всего убедиться так: напишем
п -> со
1 п + 2
1 „2 1 „ I
1
и достаточно будет показать, что при
мятся к нулю. В самом деле, при
zz2 —|— /г —1 > тг2, откуда
п . . 2п
О < г„ <
л и2
возрастании п
п~> 2 имеем
(« > 2),
числа гп стре-
п 2 < 2п и
2
п
и отсюда непосредственно следует, что этот остаток гп при возра-
стании п стремится к нулю. Наше рассуждение дает вместе с тем
возможность оценить, насколько число ап может в самом неблаго-
приятном случае отклониться от своего предела 1; это отклонение
не может быть больше чем 2/га.
Только что рассмотренный пример перехода к пределу иллю-
стрирует следующий сам по себе правдоподобный факт: если ап
представлено в виде рациональной дроби, то при больших значе-
ниях п преобладают высшие члены числителя и знаменателя, и они-то
предопределяют значение предела.
п
4. = Пусть р — какое-нибудь положительное число. Рас-
смотрим последовательность аь а2, а?1, ..., аа, .... где
п
««= V р-
4] § 5. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ 49
Мы утверждаем, что
п _
lim ап— lim Ур = 1.
п -> ио П -> СО
Чтобы это доказать, проще всего опереться на следующую
лемму, которая окажется также полезной и для других целей.
Если l-\-h есть положительное число, т. е. h^> — 1, тог)
(1 Ц-Л)” > 1 -]~nh при целом п > 1. (1)
Допустим, что неравенство (1) уже доказано для некоторого зна-
чения п — т > 1, так что
(1 4~ /г)"1 > 14-т/г;
умножим теперь обе части этого неравенства на 1 4- л:
(1 4- > (1 4- mh) (1 4- h) = 1 4- (т + 1) h 4- mh\
Опустив справа положительное число mh2, мы неравенства не нару-
шим, и, следовательно,
(14-Zt)m+1 >14-04-1)/!.
Мы получили как раз наше неравенство для показателя т4~1- Это
значит, что если неравенство (1) справедливо для показателя т, то
оно справедливо и для показателя т4~1- Но оно, очевидно, верно
при т — 2, стало быть, оно верно и для т = 3, а потому и для
т~4 и т. д. — следовательно, оно справедливо для любого нату-
рального показателя. Мы имеем здесь еще один простой пример
доказательства методом полной индукции.
Возвращаясь к нашей последовательности, рассмотрим отдельно
(п _
если р—1, то Ур тоже равен 1
при всяком п, и наше утверждение является тривиальным).
п
Допустим сначала, что /? > 1; тогда и Ур> 1; положим
п
= 1 4-/гя,
где hn — положительная величина, зависящая от п. Ввиду вышепри-
веденного неравенства (1) мы получаем
Р = (1 4~ > 1 4~ nhn>
откуда непосредственно следует, что
) Предполагается еще, что h =4 0; при А = О обе части неравенства
равны.
4 Р- Курант
50
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
[5
Мы убеждаемся, следовательно, что при возрастании п вели-
чина hn стремится к нулю, что и доказывает сходимость величин ап
к пределу 1. Вместе с тем получается оценка степени приближения
к пределу 1 при каком-либо выборе л; именно, отклонение числа ап
1 Р— 1
от 1 меньше чем —-----.
п
п
Если р < 1, то и р тоже меньше
положить *
единицы, а потому мы можем
п
1
где hn — положительное число. Тогда мы получаем, принимая опять
во внимание наше неравенство (1),
_ i 1
Р~ (1 + Мя < •
(Уменьшая знаменатель, мы дробь увеличиваем.) Отсюда следует
1Ч-пЛя<1 и hn<
г
так что
опять
мится
получается, что при возрастании п величина h„
14~йя ->1, а следовательно, и yrp = ——
1 “Г “л
стре-
мится
нулю,
1. Итак, наше утверждение доказано полностью.
п
к
5. а„ = ап. Рассмотрим теперь последовательность чисел at
где а — постоянная, а п пробегает последовательность целых
стре-
= а”,
поло-
к
жительных чисел.
мы получаем,
Если а — положительное число, меньшее единицы, то мы
1 .
положить а = , с положительным п, и
1 h
пользуясь неравенством (1),
можем
снова
1 1 _1_ . ±
(1 Л)" 1 пЛ Л п
Так как h зависит здесь только от а, т. е. остается постоянным при
изменении п, то и 1//г остается неизменным, и мы заключаем из этого
неравенства, что при возрастании п величина ал стремится к нулю:
lim ал = 0 (0 < а < 1).
П -> оо
Это соотношение, очевидно, справедливо при а = 0. Оно остается
справедливым и для отрицательного а, если только а больше чем
—1. Мы убеждаемся в этом сразу, так как в-этом случае |а| < 1 и
lim |а|л — 0.
Я -> ОО
6]
5. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ
51
Если а=1, то, очевидно, ап всегда равно 1, и мы должны
поэтому пределом а" считать число 1.
Если а>1, то полагаем <z = 1 -|—/г с положительнььм h и непо-
средственно заключаем из нашего неравенства, что при возрастании п
величина ап не стремится ни к какому определенному пределу, но
неограниченно растет. Мы выражаем этот факт, говоря, что При
возрастании п величина ап стремится к бесконечности или обращается
в бесконечность; символически мы пишем:
lim ап = со' (а > 1).
п -> со
При этом мы должны, однако, подчеркнуть, что символ оо
ни в коем случае нельзя рассматривать как число, над кото-
рым можно производить действия так же, как и над другими
числами', равенства или утверждения, выражающие, что какая-нибудь
величина обращается в бесконечность, никогда не носят характера
равенств между двумя определенными числами. Тем не менее такой
способ выражения и символ оо являются чрезвычайно удобными, как
мы еще не раз увидим в дальнейшем.
Если а==—1, то а" не стремится ни к какому пределу, но
когда п пробегает значения 1, 2, 3, .... величина а" принимает
поочередно значения —1 и 4-1. Если а<—1, то хотя абсолютная
величина а" и, растет неограниченно, но при этом само ап делается
попеременно то положительным, то отрицательным.
п
6. Геометрическая иллюстрация пределов а" и У р. Рассмо-
п
трим кривые у = хп и кривые у = хХ'п — Ух и ограничимся при
этом, удобства ради, неотрицательными значениями х. Тогда рис. 16
и 17 наглядно изображают соответственные переходы к пределу. Как
видно из рисунка, кривые у = хп в интервале от нуля до единицы
с возрастанием п приближаются все больше и больше к оси х, тогда
как вне этого интервала они подымаются все круче и круче и все
более прижимаются к прямой х— 1, параллельной оси у. Однако все
эти кривые проходят через точку с координатами х= 1, у — 1 и
через начало координат.
У кривых же
п
У = Хх<п — Ух
значение функции у для всех положительных значений х прибли-
жается все больше и больше к единице, так что кривые прибли-
жаются все больше и больше к прямой у—1; с другой стороны, все
эти кривые должны проходить через начало координат.
Следовательно, эти кривые имеют своим предельным положением
ломаную линию, состоящую из отрезка оси у между ординатами
4*
52
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
17
у = 0 и у=1, с одной стороны, и прямой у=1, параллельной
оси х, с другой.
Между обоими чертежами существует, впрочем, теснейшая связь
п
в соответствии с тем, что
Рис.
функции у = ]/гх являются как раз обрат-
ными функциями для степенных функ-
ций хп. Из этого мы можем заключить,
что оба чертежа переходят друг в друга
при перегибании вокруг прямой у = х.
7. Геометрическая прогрессия. Уже
со средней школы более или менее
Рис. 17.
знаком переход к пределу, связанный с суммой геометрической про-
грессии (геометрического ряда):
1+<7 + <72+ +9л-1=5„
(где число q называется знаменателем прогрессии).
Эта сумма при q=f=l, как известно, может быть выражена сле-
дующей формулой:
с __ 1-9"
1— q ’
в чем легко убедиться, умножая написанную выше сумму Sn на q
и вычитая получающееся этим путем равенство из первоначального.
Возникает вопрос: что происходит с суммой Sn, когда п неогра-
ниченно возрастает? Ответ гласит: если q заключено между —1
и -f-1, исключая границы, то сумма Sn имеет вполне определенный
предел 5, а именно:
S]
§ 5. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ
53
Чтобы в этом убедиться, напишем числа в форме
~ 1 - qn 1 qn
1 — q 1 — q 1 — q '
Но мы
чина qn, а
показали уже раньше, что при условии I q | < 1 вели-
qn
следовательно и , с возрастанием п стремится
1.
пределом 1 —
к нулю, откуда непосредственно следует, что при выполнении этого
условия число Sn при возрастании п имеет
Переход к пределу
1+?+?2+ ••• +?"->т=7
при п —> СО
выражают обычно следующим образом:
Геометрическая прогрессия при |^|<1 может быть продолжена
до бесконечности, и суммой этой бесконечной геометрической про-
грессии (или геометрического ряда) является выражение }___.
Суммы Sn конечных геометрических прогрессий называют частич-
ными (или конечными) суммами бесконечного геометрического ряда
1 4~ <7 4~ <72 + . • •
Частичные суммы Sj, S2, S3, ... образуют последовательность
чисел, которую следует строго отличать от ряда
1+<7 + <72+
Тот факт, что конечные суммы Sn геометрической прогрессии
при возрастании п сходятся к числу
1 — 9
выражают также и следующим образом: бесконечный ряд 1+94~92+-. •
сходится при | q | < 1 к сумме
П _
8. ап — Уп. Мы хотим доказать, что последовательность чисел
3 - п г—
ау— 1, а2= у 2, а3 = ]/гЗ, ..., ап=у п, ...
при возрастании п стремится к единице:
" Г-
lim у п = 1.
П -> СО
Здесь мы воспользуемся небольшим искусственным приемом.
п
Вместо последовательности ап — у п мы сперва рассмотрим после-
54
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
[9
довательность Ьп — Уап — ^Уп —Уп; bn > 1 при «> 1.
Можно поэтому положить bn—\-\-hn с положительным hn, зави-
сящим от п. На основании неравенства (1) из примера 4
Ьп = Уп = (1 4~ Ад) > 1 4~ nhn.
так что
С другой стороны,
1<а„ = ^==(14-йл)2=1 +2/г„4-/г2л< 1 +
У и п
Правая часть этого неравенства стремится, очевидно, к 1. Ясно, что
И ««-*!• _____
9. ап = Уп 4- 1 — Уп. Мы утверждаем, что
lim (Уп -1- 1—]/У) = 0.
П *> ОО
Чтобы в этом убедиться, достаточно подлежащее исследованию
выражение представить так:
//г 4-1 — У п =
(Уп +1 -У пН/ЯТГ + Уд
УГ+ТуУп
1
Уп 1 4- Уп
Отсюда мы сразу видим, что это выражение при возрастании п
стремится к нулю.
10. ал = «/а". Пусть а> 1. Мы утверждаем, что при возраста-
нии п последовательность чисел an — nlan стремится к пределу 0.
Как и выше в примере 8, рассмотрим последовательность
— У" п /—
Здесь мы положим ]/а=14-^> где h > 0, так как
(V а)
У а, как и а, больше единицы. На основании неравенства, (1)
;Из примера 4 имеем
(]Ах)л = (1 4- h)n > 1 ~Т uh,
•откуда
у— = Уп Уп _ 1_____________1_
v п (14-л)" 14-пл nh Уп'У
Следовательно,
ап<
1
п№
Так как ап положительно, а правая часть этого неравенства стре-
мится к нулю, то ап должно стремиться к нулю.
§ 5. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ 55-
Упражнения
1. Доказать, что Нт — = -5-. Найти такое N, чтобы при п > V
л->оо -|-i <3
п2 -4-и— 1 ,
разность между g^2-q-^— и пРеДелом 1/<> была а) меньше чем 1/10,.
б) меньше чем 1/1000, в) меньше чем 1/106.
2. Найти пределы следующих выражений при л->оо:
n= + 3n+l . n6 + 3n+l . 6n’ + 2n + l .
a) n6 + 7n24-2’ ' л54~7л24~2’ B) n24-n2
n
У k2
aon 4~flira 4~ • • • 4~ . д,
ban^ -J- bink 14- ... 4- bk n3
' n r~
3. Доказать, что lim у n2 = 1.
л->оо
П? 1
4. Доказать, что lim — 0. Найти такое N, чтобы было < Jqqq,
при л > N.
5. Найти такие числа Nx, N2, N3, чтобы было
, л 1 ,, n 1 ..
a) o7T < Tn ПРИ всяком n> Ni, 6) при всяком n >
A, 1 ’J Al I W
. Л 1 _ ..
в) 2^ < J(X)O при всяком n > N3-
6. Сделать то же самое для последовательности л„ = Ул 4~ 1 — Vn-
7. Доказать, что lim (Ул 4-1—У л) (У л 4~ 1/2) = 1/2.
Л~>со
8. Доказать, что lim (Ул 4-1 — Ул) = 0.
Л->оо
10л
9. Пусть ап = —j~. а) К какому пределу сходится лп? б) Монотонна ли
эта последовательность? в) Становится ли она монотонной, начиная с неко-
торого N, т. е. при всяком л > N? г) Дать оценку разности между ап и ее-
пределом, д) Начиная с какого значения л н выше эта разность меньше:
чем 0,01?
п ’
10. Доказать, что lim —^- = 0.
л->оо
11. Доказать, что lim
Л-»ОО
12. Доказать, что Дт^ (± + _^_г4_ ... 4-_1_) = о.
13. Доказать, что lim /—j--1- 4~ - • 4-= оо.
л->оо\Ул Ул 4-1 У 2л /
14*. Доказать, что
lim | - 4—т==г 4- • • • 4—
л->со\Ул2-|-1 Ул2 4~ 2 Ул2 4-л
56 гл. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ (1
15. Доказать, что если а и Ь^а— положительные числа, то последова-
п____________
дельность У ап Ьп сходится к а. Аналогично, пусть даны k фиксиро-
ванных^ положительных чисел at, а2, ..., а*; доказать, что величина
п
-J- л" + • • • +а* сходится, и найти ее предел.
16. Доказать, что последовательность ^2, ~^2^2, \\у2У2,... схо-
дится. Найти ее предел.
17* . Пусть v (и) обозначает число различных простых множителей числа п.
Доказать, что lim v = 0.
п -> оо п
§ 6. Более точное рассмотрение понятия предела
1. Первое определение сходимости. Обобщая рассмотренные
в предыдущем параграфе примеры, мы приходим к следующему
общему определению понятия предела:
Если задана бесконечная последовательность чисел
«р й2, а3, ..., ап, ...
и если существует такое число g, что в любом сколь угодно
малом интервале, окружающем g, содержатся все числа ап,
за исключением, быть может, конечного числа их, то говорят,
что число g является пределом данной последовательности или
что последовательность ах, а2.......сходится к пределу g ’).
Необходимо подчеркнуть, что это общее определение включает
также и тот тривиальный случай, когда все числа ап равны между
собой и, следовательно, совпадают со своим пределом g.
Только что данному определению можно придать и следующую,
эквивалентную, формулировку.
Если для всякого положительного сколь угодно малого числа е
существует такое целое положительное число N = N(e), что,
начиная с индекса N и далее, т. е. при п > N(е), всегда | ап—g |<е,
то число g называется пределом последовательности ау а2, ...
Естественно, что чем меньшим выбрано число е, тем большее
значение придется, как правило, выбрать для целого числа АЛ(е);
другими словами, N (е) будет возрастать безгранично, если е стре-
мится к нулю.
Полезно запомнить, что всякая сходящаяся числовая после-
довательность ограничена, т. е. для всякой последовательности
«р а2, а3.....имеющей предел g, существует такое положительное
число М, не зависящее от индекса п, что | ап | < М для всех
Эта теорема непосредственно вытекает из определения предела
последовательности. Выберем е равным 1; тогда существует такой
индекс 7V, что при n'^N всегда | ап — g|<l. Обозначим через А
’) Вместо выражения «за исключением конечного числа» можно было бы
сказать: «начиная с некоторого значения индекса п».
2] § 6. БОЛЕЕ ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА
57
наибольшее из чисел | ах — g |, | а2 — S I.| ап — S | • Теперь можно
положить Д4 = |jg-1А 4- 1. Действительно, при п—1, 2..........W
справедливо неравенство \ап — g | 4 "Ь 1• а ПРИ п^> N —
неравенство | ап — g | < 1 < А 4- 1, т. е. тоже | ап — g | < Л-ф- 1 ’).
Несходящаяся числовая последовательность называется расходя-
щейся. Если с возрастанием п числа ап безгранично возрастают,
пробегая положительные значения, то говорят, что последователь-
ность расходится к со и пишут (нам уже приходилось так писать):
lima„ = 4~co- Аналогично пишут lima„ = — оо, если при возраста-
нии п числа — ап безгранично возрастают в положительном напра-
влении. Однако расходимость может происходить и другим путем,
как, например, у последовательности Я] = —1, а2==4“1> аз = —1>
а4 — 4-1......члены которой принимают поочередно два различных
значения и совершают колебания от одного значения к другому и
обратно.
Еще одно важное замечание: поведение последовательности в отно-
шении сходимости не изменится, если удалить из нее конечное число
членов ап. В дальнейшем мы этим будем часто пользоваться, ставя,
например, вопрос о сходимости или расходимости и таких последо-
вательностей, в которых члены ап для конечного числа значений п
вообще не определены.
Во всех примерах, рассмотренных в § 5, дело обстояло так, что
пределом изучаемой последовательности являлось уже известно? нам
число. Если бы понятие предела не давало нам ничего другого,
кроме указания на возможность приближенно выражать с какой
угодно точностью некоторые известные числа с помощью последо-
вательности других известных чисел, то это понятие принесло бы
нам не очень много пользы. Плодотворность понятия предела в ана-
лизе определяется в значительной мере тем, что пределы последова-
тельностей известных чисел доставляют новые числа, еще непосред-
ственно не известные или не допускающие другого выражения.
Весь высший анализ дает сплошную цепь примеров, подтверждаю-
щих этот факт, который станет нам в последующих главах все
яснее и яснее. Представление иррациональных чисел в виде пределов
рациональных чисел можно рассматривать как первый пример. С даль-
нейшими примерами мы познакомимся уже в настоящем параграфе
несколько позже.
2. Второе (внутреннее) определение сходимости. Как распоз-
нать по заданной последовательности аъ а3, ..., ап.......... что
она стремится к пределу, хотя бы и не умея указать заранее этот
предел? Ответ на этот вопрос дает критерий сходимости Коши
(Cauchy), но прежде чем его сформулировать, введем следующее опре-
деление:
’) I ап I = I (ап — g) 4- g К I ап — g I 4-1 g I < А 4-1 4- I g I = M. (Прим,
nepee.)
58
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
[2
Последовательность чисел аи а2, .... ап, ... называется внут-
ренне сходящейся, если для всякого сколь угодно малого положи-
тельного числа е существует такое число N = N (е), вообще говоря
•зависящее от е, что | ап — ат | < е, коль скоро п > N (е) и m > N (е).
Теперь можно формулировать
Критерий сходимости Коши. Всякая внутренне схо-
дящаяся числовая последовательность имеет предел.
Важность критерия Коши состоит в том, что он дает возможность
говорить о пределе последовательности на основании рассмотрения
самой последовательности, не имея какой-либо предварительной
информации об этом пределе.
Легко доказать следующее предложение, обратное критерию
сходимости Коши: если последовательность at, а2, ... стремится
к пределу g, то она внутренне сходится. Действительно, на
основании определения предела последовательности, если Птал = £,
Л~>00
то для любого сколь угодно малого е > 0 при достаточно больших
значениях тип имеем
\ё — аИ\<2 И lg~ йт1<-2'
Поэтому
1«л — ат | = | (g — am) — {g — an)|<|g — ат | + |g — «„ | < е.
Так как е может быть выбрано сколь угодно малым, то полученное
неравенство и выражает наше утверждение.
Сам критерий сходимости Коши становится почти непосредственно
очевидным, если изобразить числа точками числовой прямой. Он тогда
сводится к утверждению, что последовательность непременно имеет
предел, если, начиная с некоторого номера /V, все члены последо-
вательности могут изменяться только в небольшом промежутке, ко-
торый становится сколь угодно малым, если выбрать N достаточно
•большим.
Аналитическое доказательство критерия будет дано в Дополнении I
к этой главе. Пока мы ограничимся этим наглядным рассмотрением.
Критерий сходимости Коши эквивалентен принципу стягиваю-
щихся промежутков. Пусть дана последовательность интервалов 1п
таких, что всякий интервал Iп содержится в предшествующем /„-р
а длина 1п стремится к нулю; если теперь почти все члены 1) число-
вой последовательности аП содержатся в каждом из интервалов /л,
то ап стремится к пределу g, который, как «ядро», принадлежит
всем интервалам 1п. [См. Дополнение I к этой главе, § 1, п° 3.]
В качестве примера рассмотрим последовательность чисел
*) Выражение «почти все члены» означает: все члены, начиная с некото-
рого номера N, т. е. при всяком п > N. {Прим, перев.)
2]
§ 6. БОЛЕЕ ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА
59
где а0 и а — два любых заданных положительных числа. Тогда
lim ап = а
. л~>оо
независимо от выбора числа аа. (Кстати, это лучший способ извле-
чения квадратного корня.)
Доказательство. Положим для краткости b = —, так
<тл
что ал+1 —т? («„-]-£>„) и апЬп — о.. Все ап и Ъп положительны.
Число ал+1 есть среднее арифметическое чисел ап и Ьп, а а — их
среднее геометрическое. Поэтому ал+1 Улт при «^>0 (см. п° 8,
стр. 65). Число а0 выбрано произвольно, независимо от а. Если
как раз а0=У а, то и b0 = )/а, затем и bt = аг — а и вообще
Ьа = ап = У а при любом п. Тогда, очевидно, lim ап = У а. Если же
а0 Ф У а, то ап > а при rt > 1, а Ьп < У а, ибо anbn — a = a)2.
Далее, an+i является серединой предшествующего отрезка \Ьп, ап],
так что ал+1 < ап при стало быть, начиная с /г=1, все ап
монотонно убывают, а все Ьп монотонно возрастают. Итак, перед
нами последовательность стягивающихся вложенных отрезков [Ьп, ап],
длины которых с каждым шагом уменьшаются по крайней мере в два
раза, а число У а принадлежит всем интервалам этой последователь-
ности. Отсюда и вытекает, что lim ап — Уа.
п-^со
Легко убедиться, как превосходно этот процесс сходится. Пусть
Уа—а„—бл, где бл > 0. Тогда ап = У«4~бл и
Следовательно,
1 г—
«л+1 = у («я+ *.) = /—Ь ...
z 2 f а
Итак, новая погрешность приблизительно равна . Это значит,
что если мы подсчитали, например, У10 с пятью знаками после-
запятой, то следующий шаг сразу повысит точность до десяти зна-
ков после запятой.
Обобщение этого примера дает последовательность
1
m
a
am~^
ап
‘) Поставленные рядом два знака 4-----или-----[- означают, что знак»
дальше чередуются.
60 ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ [3
где т > 1 есть натуральное число, а а и а0, как и выше,—любые
заданные положительные числа. И здесь имеем стягивающуюся после-
довательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых
уменьшаются с каждым шагом по крайней мере на m-ю часть. Быстрота
сходимости того же рода, что и в рассмотренном выше случае т = 2,
так что эта последовательность дает удобный прием извлечения корня
степени т из числа а, ибо
hm ап = .
л->оо
3. Монотонные последовательности. Вопрос о сходимости за-
данной последовательности к пределу решается особенно просто,
если последовательность является так называемой монотонной по-
следовательностью, т. е. такой, в которой каждый член последо-
вательности либо всегда больше предшествующего (монотонно возра-
стающая последовательность), либо всегда меньше предшествующего
(монотонно убывающая последовательность). В этом случае справед-
лива следующая теорема:
Всякая монотонно возрастающая последовательность, в ко-
торой все члены ограничены сверху, т. е. лежат ниже некото-
рой постоянной верхней грани М, имеет предел', точно так же
всякая монотонно убывающая последовательность, в которой
все члены не могут опуститься ниже некоторой постоянной
нижней грани т, сходится к пределу.
Эти два предложения мы также будем пока считать наглядно
очевидными и дадим их строгое доказательство лишь в дополнениях
к настоящей главе.
Сходящаяся монотонно возрастающая последовательность может,
разумеется, иметь пределом только число, превосходящее все члены
последовательности, а монотонно убывающая последовательность может
сходиться только к пределу, меньшему любого члена последователь-
ности.
Так, например, числа 1/п образуют монотонно убывающую по-
следовательность с пределом 0, а числа 1 — 1/« — монотонно возра-
стающую последовательность с пределом 1.
В некоторых случаях удобно заменить требование монотонного
возрастания последовательности более слабым требованием, чтобы
члены последовательности во всяком случае не убывали, т. е., дру-
гими словами, допустить возможность равенства между двумя со-
седними членами последовательности. В этом случае говорят о
монотонной неубывающей последовательности или же о монотонно
возрастающей последовательности в слабом смысле. Наше предложе-
ние о существовании предела сохраняет свою справедливость и для
таких последовательностей, равно как и для монотонных невозра-
стающих последовательностей или последовательностей, монотонно
убывающих в слабом смысле.
4] , § 6. БОЛЕЕ ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА 61
4. Действия над пределами. Наконец, сделаем еще одно заме-
чание относительно действий над пределами. Из понятия предела вы-
текает почти непосредственно, что элементарные арифметические
действия сложения, умножения, вычитания и деления производятся
над пределами согласно следующим правилам.
Если а1У а2, ... есть последовательность с пределом а, а Ьх,
Ь2, ... — последовательность с пределом Ь, то и последовательность
чисел
сп — ап +
имеет предел, причем
л->оо
Аналогично и последовательность сп — ап — Ьп имеет предел:
lim(an — b^ — a — Ь. Последовательность чисел сп — апЬп тоже схо-
дится, и
lim (anbn) = ab.
л->оо
Если предел b отличен от нуля, то сходится и последователь-
ность
и для нее
Иными словами, рациональные арифметические действия перемести-
тельны относительно операции перехода к пределу, т. е. резуль-
тат— один и тот же, совершаем ли мы сначала переход к пре-
делу, а затем производим рациональные действия или поступаем
наоборот.
Для доказательства этих простых правил достаточно рассмотреть
одно из них в качестве примера, по образцу которого читатель легко
сам докажет остальные правила. Рассмотрим, например, умноженье
пределов. Соотношения ап->а, bn->b означают следующее: если
выбрать любое сколь угодно малое число е, то достаточно взять п
больше, чем N, где N — N (е) — некоторое, соответствующее е, до-
статочно большое число, чтобы безусловно имели место неравен-
ства \а—ап|<е и | — Ьп | < е. Напишем тождество:
— апЬп — Ь(а — ап)-\- ап (Ъ — Ьп).
Так как обязательно должна существовать такая не зависящая
от п положительная грань М, что | ап | < М, то получаем
\аЬ~ «ЛКРП® — «л 1 + 1 «л II* — М<(|* 1+^)6.
62 ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ |5
Так как величина становится сколь угодно малой,
если только е само выбрано достаточно малым, то отсюда следует,
что при достаточно большом п числа апЬп и ab действительно сколь
угодно мало отличаются друг от друга; но в этом как раз и заклю-
чается утверждение, содержащееся в равенстве
lim {anbn) — ab.
л->оо
На основании этих правил можно очень просто вычислить пре-
делы многих выражений, например:
I___L
lim ' 2j_~jzT = Um ----< ” i = 1>
л->оо П Л->оо II 1 I 1
п П2
так как во втором выражении можно перейти к пределу в числителе
и в знаменателе в отдельности.
Еще одно простое и само собой разумеющееся правило заслужи-
вает особой формулировки.
Если Ита„ = а и lim6„ = £ и если, кроме того, ап>Ьа для
П~>!Х> л->оо
любого п, то безусловно имеет место неравенство а^-b. Однако
нет никаких оснований ожидать, что всегда будет строгое неравен-
ство а > Ь, в чем, например, можно убедиться, рассматривая две
последовательности
1 А 1
Лд —— — у U п Q У
п п п 2п
для которых ап > Ьп при любом п и вместе с тем
a = b = Q.
Мы рассмотрим теперь несколько новых важных примеров, с тем
чтобы на них подробнее разъяснить вышеизложенный общий принцип.
5. Число е. В качестве первого примера построения путем пре-
дельного перехода нового, предварительно не данного, числа, рассмо-
трим сумму
= 1+тг+^г+ ••• +^г-
Мы утверждаем, что это число Sn при возрастании п стремится
к определенному пределу.
Чтобы доказать существование этого предела, заметим, что числа Sn
при возрастании п монотонно возрастают. С другой стороны, для
любого п имеет место неравенство
1____L
11 1 2Л
sn< 1 + 1-Ц+1+ +-^- = 1+——<3.
А & & 1 _-
2
51
§ 6. БОЛЕЕ ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА
63
Следовательно, Sn, как монотонно возрастающая последовательность,
ограниченная сверху, сходится к определенному пределу. Этот предел
обозначают через е:
е — lim Sn.
п-><х>
Оказывается, что к
довательность чисел
этому же пределу е сходится также и после-
i 1 \п
Тп= 1 -J—L) .
\ п )
Тождественность этих двух пределов доказывается следующим
очень простым и вместе с тем поучительным способом — характер-
ным примером оперирования с пределами.
Согласно биному Ньютона, который предполагаем известным,
Т — f 1 -I- —V — 1 -4- га • — -4- ~ ~ • — -4-
п ' п / ' п ' 1-2 п2 '
, п(п— 1)(л — 2) ... 1 1 _1 I 1 I * 1 Ц I
• "1 nt п« — 1 "г 1-г- 2Ц1 «/"г""-
...+ -L(i —l)(i —... (i
1 п I \ п ) \ п) \ п )
Отсюда непосредственно следует, что, во-первых, Тп < Sn,
а во-вторых, последовательность Тп монотонно возрастающая1), откуда
следует существование предела lim Тп = Т. Чтобы доказать равенство
л~>со
Т — е, заметим, что во всяком случае
Tm> 1 + 1+'4г(1 “ i)+
... +4-(i ——И1 —... (i —Ц
1 «1 \ т )\ т ] \ т )
для значений т > п. Не изменяя п, заставим теперь т неограниченно
возрастать; тогда левая часть неравенства имеет пределом Т, а пра-
вая — как раз число Sn, откуда получаем
T>Sn.
Таким образом, имеем
T>Sn>Tn
при всех значениях п.
Теперь только заставим п безгранично расти; тогда Тп стремится
к Т; поэтому из только что написанного двойного неравенства сле-
дует сразу
Т = lim Sn — e\
п-+оо
) В самом деле, Тп+, получается из Та заменой множителей 1 — 1/п,
1 2
1—2/п, ... большими множителями 1---г-,-. 1---г-г, ... и прибавле-
п 1 п4-1
нием нового положительного последнего члена.
64
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
16
тем самым наше предложение доказано. Позже (гл. III, § 6, стр. 205)
мы придем к этому же числу е еще с другой точки зрения.
6. Доказательство иррациональности числа е. Докажем, что
число е иррационально. Предположим противное: пусть е = p/q,
где р и q — целые числа. Из определения числа е как предела
вытекает
q\e = q! (1 + 1 + +
4- lim —j—r
Л->СО ' 4 1
1 \
(<7 + W + 2) ...(?+«)/
Стало быть, монотонная последовательность
-Mi i-1___|_ _j____1
? + l k <7+2^ (q + 2) ...(q + n)
должна иметь своим пределом целое число, что невозможно, так как
(^ + 2) ...(? + «))<
<_1_л +м ... +-М< —<-•
?+1 \ 2 2я-1 / ^ + 13
7. Число л как предел. Уже со средней школы читателю знаком
тот, по существу восходящий к классической древности, процесс
предельного перехода (принадлежащий Архимеду), при помощи кото-
рого определяется число л. Геометрическим значением числа л является
площадь круга радиуса 1. Наше убеждение в существовании этого
числа л основывается, следовательно, на том наглядно очевидном
положении, что эта площадь может быть измерена при помощи неко-
торого (рационального или иррационального) числа, которое мы тогда
просто обозначаем через л. Однако это определение мало чем помо-
гает, если мы хотим действительно получить это число с известной
точностью. Чтобы произвести подобное вычисление, мы не можем
поступить иначе, как представить число л посредством некоторого
предельного процесса, именно рассматривая его как предел последо-
вательности хорошо известных и легко определимых чисел.
Уже Архимед в своем методе исчерпывания вступил на этот путь,
исчерпывая все более и более круг при помощи правильных много-
угольников с возрастающим числом сторон, все теснее и теснее при-
легающих к окружности. Если обозначить через fm площадь пра-
вильного вписанного в круг /n-угольника, то площадь 2/п-угольника
выражается через fm известной из элементарной математики формулой:
/2. = ^- V 2-2]/
8] § 6. БОЛЕЕ ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА 65
Заставляя т пробегать не последовательность всех целых чисел, но
только последовательность степеней числа 2, т = 2п, т. е. рассма-
тривая как раз те правильные многоугольники, вершины которых
получаются путем последовательного деления окружности пополам,
мы получим площадь круга в качестве предела:
л== lim /2л.
л->со
Это представление числа л в виде предела действительно дает сред-
ство для приближенного его вычисления; в самом деле, отправляясь
от значения /4 = 2, можно последовательно вычислять члены этой
последовательности, сходящейся к пределу л. Оценку степени при-
ближения члена /2л к числу л можно получить так. Построим каса-
тельные к окружности, параллельные сторонам вписанного 2"-уголь-
ника. Эти касательные образуют описанный многоугольник, подобный
вписанному 2л-угольнику, со сторонами, увеличенными в отношении
1 : cos —. Поэтому площадь f2n описанного многоугольника дается
формулой
Так как площадь описанного многоугольника, очевидно, больше пло-
щади круга, то
Все это — вещи более или менее уже известные читателю. Но мы
хотели бы уже здесь отметить, что этот способ вычисления площадей
путем исчерпывания данной фигуры с помощью многоугольников,
площади которых легко вычислить, лежит в основе понятия инте-
грала, которое будет введено в следующей главе (стр. 103).
8. Арифметически-геометрическое среднее. Пусть а и р— два
положительных числа, причем р а. Среднее арифметическое этих
чисел всегда больше их среднего геометрического или равно ему,
т. е. всегда
причем знак равенства можно поставить только тогда, когда а = р.
Доказательством этого утверждения служит замечание, что
а + р — 2 /ар = (/ а — / р)2
в качестве квадрата не может быть отрицательным и обращается
в нуль только при а = р.
5 р. Курант
66 ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ [9
Положим а = аа, р — Ьо, где а0 > Ьо > 0, и образуем среднее
арифметическое
п __ач +
а1-----2—
и среднее геометрическое
— Vе «о^о
Очевидно, bg < b. < аг < а0. Образуем теперь как среднее ариф-
метическое, так и среднее геометрическое чисел аг и bf.
а2 = .. Д| + bi., b2 = Уaxbv
так что
bo <С Ь2 < а2 <Z С dg,
и затем снова
а3 = а2+— , Ь3 = Уаф2
и т. д.
Мы сразу убеждаемся в том, что последовательность ап удовле-
творяет неравенствам
а0 > а1 > а2 > а3 > • • > ^0>
а последовательность Ьп — неравенствам
bo b\ b2 b3 • • • < По-
следовательно, ап образуют монотонно убывающую, а Ьп — моно-
тонно возрастающую последовательность. Так как, с другой стороны,
все эти числа заключены между границами Ьд и а0, то существуют
пределы
lim ап = А и lim Ьп = В.
Л“>с© п~>со
Но легко убедиться в том, что А должно равняться В. Действительно,
A— lim п„= lim -д~’—
л~>со Л->СО
= Um a„_i+ lim b„_A = -^ +
\л->оо Л->00 )
откуда А — В.
Этот общий предел обеих последовательностей называется ариф-
метически-геометрическим средним чисел а0 и Ьй.
9., Мотивировка точного определения предела. Не следует
удивляться, что тот, кто в первый раз слышит отвлеченное опреде-
ление предела последовательности, не сразу его вполне поймет.
Определение предела как бы заводит игру между двумя лицами А
и В: А требует, чтобы постоянная величина а могла быть прибли-
женно представлена величиной ап таким образом, чтобы отклонение
§ 6. БОЛЕЕ , ТОЧНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА
67
было меньше заданной им, А, произвольной грани e = ej. В выпол-
няет это требование тем, что доказывает существование такого целого
числа М = Д/\, что все ап, начиная с элемента а^, удовлетворяют
требованию еР Тогда А хочет задать новую, меньшую грань е = е2;
В со своей стороны выполняет это требование тем, что находит новое
целое число N — (быть может, много большее), и т. д. Если В
в состоянии всегда удовлетворить требования А, какую бы малую
грань А ни задавал, тогда мы имеем ту ситуацию, которая выражается
символом ап—>а.
Существует, без сомнения, психологическая трудность в овладении
этим точным определением предельного перехода. Наше наглядное
представление внушает «динамическую» идею предельного перехода
как результата движения: мы «пробегаем» последовательность чисел
1, 2, 3, . . п, ... и наблюдаем при этом поведение последователь-
ности ап. У нас такое ощущение, что при этом «пробегании» при-
ближение должно быть доступно наблюдению. Но эта «естественная»
установка не допускает точной математической формулировки. Для
того чтобы прийти к точному определению, необходимо обратить
порядок рассмотрения: вместо того, чтобы сперва следить за аргу-
ментом п и затем рассматривать связанную с ним зависимую перемен-
ную ап, мы основываем наше определение на шагах, которые допускают
последующую проверку утверждения ап->а. При таком исследовании
приходится сначала выбирать сколь угодно малый интервал, окру-
жающий а, а затем проверять, возможно ли выполнить это условие,
выбирая независимую переменную п достаточно большой. Так-то мы
приходим к точному определению предела, присваивая выражениям
«сколь угодно малая грань» и «достаточно большое п» символические
имена е и W.
Упражнения
1*. Заменить утверждение «последовательность ап не ограничена по
абсолютной величине» эквивалентным утверждением, не пользуясь ни в каком
виде словами «ограничено» или «не ограничено».
2*. Заменить утверждение «последовательность ап расходится» эквива-
лентным утверждением, не пользуясь ни в каком виде словами «сходится»
или «расходится».
3*. Доказать, что если lim ап = А, то и lim а' zhfj.zh-i.'.'-.zE?”. — д,
Л->ОО Л->СО П
т. е. если последовательность ап стремится к определенному пределу, то
к тому же пределу стремится и средйее арифметическое ее первых п членов.
4. Д^но, что lim а„ = А. Пусть b„ = ai Ч~ аа 4~ • • • 4~ ал . Показать,
л->со п
что среднее арифметическое средних арифметических Ьп стремится к тому же
пределу А.
5. Примем Sn = 1 -|- -ур + — -(-•••+ -ур за приближенное значение
числа е. Получить оценку этого приближения. Найти приближенное значе-
ние е с пятью десятичными знаками.
5*
68
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
|1
§ 7. Понятие предела функции непрерывной переменной
1. Определение и примеры. До сих пор мы рассматривали пре-
делы числовых последовательностей, т. е. функций ап целочисленной
переменной п. Однако понятие предела возникает также и в связи
с функцией f (х), зависящей от непрерывного аргумента х.
Говорят, что функция /(х) стремится к пределу g, когда х стре-
мится к или в символической записи:
lim/(x)==g,
если все значения функции /(х) сколь угодно мало отличаются от g,
коль скоро х лежит достаточно близко к £. Более точная форму-
лировка этого определения такова.
Говорят, что функция /(х) стремится к пределу g при стремле-
нии х к если для всякого сколь угодно малого положительного
числа е > 0 можно окружить | интервалом | х — £ | < д настолько
малым, что для всякой точки х этого интервала, отличной от самой
выполняется неравенство
I/(*) — £| < е-
Мы здесь категорически исключаем значение х, равное £, с той
целью, чтобы определение было применимо и к тому случаю, когда
функция /(х) не определена в точке £, хотя и определена во всех
других точках некоторой окрестности точки |.
Если наша функция определена или рассматривается только в за-
данном интервале, как, например, /(х) = ]Л1—х2 в интервале
— 1<х<1, то в определении предела функции надо значения х
ограничить этим интервалом. Стало быть, если | есть одна из ко-
нечных точек этого интервала, то х может стремиться к £ только
с одной стороны, именно изнутри интервала. Тогда говорят об одно-
стороннем пределе.
{Односторонние пределы. Однако и во всякой внутренней точке £
промежутка определения функции можно детализировать понятие пре-
дела функции так: 1) если при нахождении предела рассматривать
лишь значения х < т. е. значения х только слева от £, то предел
функции, если он существует, называется ее левым пределом и обо-
значается символом lim /(х) или /(£ — 0); 2) если рассматривать
х->£-0
лишь значения х > £, то предел функции называется ее правым пре-
делом и обозначается символом lim /(х) или /(&-J-0). В том
частном случае, когда изучаются односторонние пределы в точке
£ = 0 (т. е. при х-»0), запись упрощают и пишут для левого пре-
дела lim /(х) = /(—0), а для правого предела lim f (х) = f (-|-0).
Ж->-0 Ж->+0
1] § 7. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 69
Нетрудно убедиться, что существование просто предела (можно
сказать: двустороннего предела) lim f (х) равносильно выполнению
следующих трех условий: 1) существует левый предел lim f(x) = A,
х-Н-о
2) существует правый предел lim f(x)~B, и 3) левый предел равен
х->£+0
правому пределу: А = В.
Тогда предел функции при х—равен общему значению ее ле-
вого и правого пределов в точке
Пример. Рассмотрим часто встречающуюся функцию sgnх (чи-
тается «сигнум х», от латинского слова «signum» — знак):
—1 при X < о,
sgn X = 0 при X = 0,
-Н при X >0.
Ясно, что lim sgnx =—1, a lim sgn х = 4-1. Двусторонний
х->-0 х->+0
предел, lim sgn х, не существует, ибо в точке 0 левый предел не
х->0
равен правому пределу.]
Из определения предела функции непосредственно вытекает сле-
дующий факт. Если lim f(x) = g и дана сходящаяся к пределу £
числовая последовательность хх, х2, х3, ..., х„, ..., все члены кото-
рой отличны от самого £, то lim f(x^ — g.
Л->ОО
Действительно, пусть е — любое положительное число; наша за-
дача— показать, что при всех значениях п, больших, чем некото-
рое п0, выполняется неравенство
\f(xn) — g\<e.
По определению предела функции, существует такое число 6 > О,
что из неравенства | х — || <6 вытекает неравенство | f (х) — g | < е.
Но так как хп —> то неравенство | хп — £ | < б выполняется при
всех достаточно больших значениях п, а следовательно, для таких
значений справедливо и неравенство |/(хл)— g | < е, что и требо-
валось доказать.
Поясним абстрактное определение предела функции на нескольких про-
стых примерах.
а) Рассмотрим сначала функцию
,. . sinx
/(*) = ——>
определенную при х 0.
Мы утверждаем, что
.. sinx ,
lim ------- 1.
х->о х
70
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
[1
Z7
Z7 /7
Рис. 18.
Этого нельзя доказать путем перехода к пределу в числителе и в знамена-
теле в отдельности, так как при х = 0 числитель и знаменатель одновре-
, 0 -
менно обращаются в нуль, а символ сам по себе не имеет никакого
смысла. Мы поведем доказательство следующим
путем.
Из рис. 18 получаем путем сравнения пло-
щадей треугольников ОАВ и ОАО с площадью
сектора ОАВ неравенства
sin х < х < tg х (0 < х < л/2),
откуда следует
1 х 1
sin х cos х '
Это, очевидно, верно и при х < 0, если только
0 < | х | < л/2.
-г - , sinx
1аким образом, дробь --------— заключается
между границами 1 и cos х. При х -> 0 функция
cos х, как известно, стремится к единице, откуда непосредственно следует,
, sinx ,
что дробь —-— должна отличаться от 1 сколь угодно мало, если только х
достаточно близок к нулю; но в этом именно и заключается содержание того
предельного равенства, которое мы доказываем.
Из доказанного равенства следует соотношение
tgx sinx ,. 1 ,
-2— = hm ------ hm -----== 1
0 x x-> 0 X x->0 cos
1 — cos x
б) Наити lim ------------и lim
X->0 X X->0
1 — cos х
X2
Имеем при 0 < | x | < л/2
1 — COS X _ (1 — cos x) (1 -f- cos x) _ 1 — COS2 X _ sin X 1
x — x(l-|-cosx) ~ X (1 COS x) — X l-|-cosx
При x -> 0 первый множитель правой части стремится к единице, второй —-
к 1/2, а третий — к нулю, следовательно, произведение стремится к нулю.
Итак,
1—cosx „
hm ------------------------------------------- 0.
х->о х
Из выведенной выше формулы делением на х получаем
1 — cos х
X2
/ sin X \2 1
\ X / 1 4- COS X ’
откуда
lim
х->0
1 — COS X
X2
1
2 ‘
в) Рассмотрим функцию Т^х2, определенную при всех значениях х. Эта
функция всегда неотрицательна; она равна х при х > 0 и — х при х < 0. Дру-
гими словами, /х2 = | х |. Следовательно, функция У”х2/х, определенная
при всех х 0, имеет значение Д- 1 при х > 0 и — 1 при х < 0. Отсюда
2| 5 7, ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 71
вытекает, что lim---- не может существовать, так как сколь угодно
х->0 х
близко от х = 0 можно найти как значения х, для которых дробь равна + 1,
так и значения х, для которых она равна —1. [Можно сказать и так: пре-
дел функции не существует здесь потому, что ее левый предел (—1) не
равен правому пределу (+1).]
Можно, разумеется, рассматривать и такие предельные переходы, при
которых непрерывный аргумент неограниченно возрастает. Так, например,
сама собой понятна следующая запись:
1 + —
lim 4Н~Т = Пт -------Т“ = 1-
Х->СО Х 1 Х->СО 1_____£_
X2
Она означает, что выражение слева сколь угодно мало отличается от еди-
ницы, если только х взят достаточно большим.
В этих примерах мы молчаливо предполагали, что действия над
пределами функций непрерывного аргумента подчиняются тем же за-
конам, что и действия над пределами последовательностей. В спра-
ведливости этого читатель может убедиться самостоятельно; доказа-
тельства по существу такие же, как для действий над пределами
последовательностей.
У п ражнения
1. Найти следующие пределы, обосновывая каждый шаг указанием
применяемой теоремы о пределах:
a) lim Зх; б) lim (4х 3);
х->2 х->3
в) lim Х 4-2^9 1 ’ г) l‘m ^5-}-^2х5
х-»1 ^x-|-z х->2
2. Доказать, что:
. .. хп—1 .. sinx , ч sin(x2) _
a) lim ----= п; б) lim--------= 1; в) lim -----—- = 0.
х->1 х~1 х х+о х
3. Выяснить, существуют ли нижеследующие пределы, и если сущест-
вуют, то найти их значения:
. .. У1 —х УГ+Т . уг+х"—УП=Т-
a) lim -------; б) lim —; в) hm ——Д-----------------——.
>г-»0 х х->0 х х->0 х
2. Мотивировка определения предела функции непрерывной
переменной. Определение предела в терминах е-6 является резуль-
татом продолжавшихся много десятилетий усилий поставить это
понятие на строгий-математический базис.
Математикам XVII и XVIII веков, изучавшим движение и функ-
цию, понятие независимой переменной, временной величины х, непре-
рывно «текущей» к пределу хь казалось само собой разумеющимся
понятием. Это первичное течение независимой переменной х ведет
за собой вторичную величину u = f(x), которая, так сказать,
72 ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ [2
следует за движением х. Наглядному представлению, что /(х) «стре-
мится», или «приближается», к постоянному значению а, когда х
течет к xv хотели дать точную математическую формулировку.
Однако со времен Зенона и его парадоксов попытки точной
математической формулировки интуитивного физического или мета-
физического понятия непрерывного движения неизменно терпели
неудачу. Дискретную последовательность значений аи а2, а3, ...
можно пробегать шаг за шагом. Однако, когда имеют дело с непре-
рывной переменной х, значения которой заполняют целый интервал
числовой оси, тогда возникает трудная задача объяснить, каким
образом должен х приближаться к постоянному значению хг, чтобы
х принимал друг за другом и в надлежащем порядке все значения
упомянутого интервала. Точки прямой образуют плотное множество,
и когда достигнута какая-то точка, то не существует «ближайшей»
к ней точки. Интуитивная идея непрерывной величины и непрерыв-
ного течения совершенно естественна. Однако нельзя на нее
ссылаться, когда хотят выяснить математическую ситуацию; между
интуитивной идеей и математической формулировкой, призванной опи-
сать в точных выражениях важные для науки элементы нашей интуи-
ции, всегда останется разрыв, пробел. Парадоксы Зенона и указы-
вают на этот пробел.
Коши первый понял, и в этом его заслуга, что при построении
математического понятия можно и даже должно избегать ссылки на
первоначальную наглядную идею. Как и в других вопросах, и здесь
путь к научной ясности был найден в том, что формулировали поня-
тия, соответствующие явлениям, принципиально «доступным наблюде-
нию». Если мы поразмыслим, какое конкретное представление мы
связываем со словами: «непрерывное приближение», как поступить
в конкретном случае, чтобы его констатировать, то мы почувствуем
себя вынужденными принять такое определение, как определение
Коши. Это определение статично: оно не пользуется интуитивным
понятием движения. Напротив, только статическое определение и
дает возможность точного математического анализа непрерывного
движения и разрешает парадоксы Зенона, насколько это касается
математики.
В определении в терминах е-б независимая переменная не дви-
жется; она не «стремится» к пределу хг и не «приближается»
к' нему в каком-то физическом смысле. Эти выражения и символ ->
сохраняют, и никакой математик не должен отказываться от нагляд-
ной картины, которую они вызывают. Но когда речь идет о том,
чтобы проверить, существует ли предел, тогда следует применить
именно определение сейб. Достаточно ли хорошо согласуется это
определение с наглядным «динамическим» понятием приближения —
это вопрос такого же рода, как вопрос: достаточно ли хорошо опи-
сывают аксиомы геометрии наглядное понятие пространства? Обе
формулировки являются неполными в том смысле, что они охваты-
1] § 8. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ 73
вают только часть нашего наглядного представления, но они дают
надежный математический фундамент, чтобы на нем расположить
интуитивный опыт.
Как и в случае предела последовательности, определение Коши
покоится, так сказать, на обращении интуитивно приемлемого
порядка, в каком хотелось бы рассматривать переменные. Вместо
того, чтобы рассматривать сперва независимую, а затем зависимую
переменную, мы сначала направляем свое внимание на «границу
точности» е для зависимой переменной, а потом пытаемся отграни-
чить соответствующую «арену» 6 для независимой переменной.
Утверждение «/(х)—>а, когда х-->хх» есть только краткое выра-
жение той мысли, что это можно выполнить для любого положи-
тельного числа е. Одна-часть этого утверждения, например «x->Xj»,
сама по себе не имеет смысла; одна одиночная непрерывная пере-
менная не стремится к пределу. Когда в предельном переходе неза-
висимая переменная х «стремится» к хи то величине х позволяют
быть как больше, так и меньше, чем х1( но решительно исключают
равенство, требуя, чтобы было х =#= х1( и, действительно, х никогда
не принимает значения хР Таким образом, наше определение можно
применить и к таким функциям, которые не определены при х = хр
но имеют определенные пределы при стремлении х к Хр например,
функция / (х) = —при xt = 0. Этому исключению значения х = хх
соответствует тот факт, что при нахождении предела последователь-
ности ап при п -> оо никогда не подставляют значения п — оо
в формулу, скажем, для ал=1/п.
Рассматривая, например, функцию /(х) = х/х и заставляя х стре-
миться к нулю, никогда не позволяют переменной х принимать само
значение 0. Но /(х)=1 при всех х =£ 0, а потому предел а суще-
ствует и, согласно нашему определению, равен единице.
§ 8. Понятие непрерывности
1. Определения. Понятие непрерывности мы иллюстрировали на
примерах в § 2, стр. 34. Теперь, пользуясь понятием предела, мы
имеем возможность дать вполне точное определение этого понятия.
График функции, непрерывной в некотором интервале, мы себе
представляли в виде кривой, состоящей из целого, непрерывакчце-
гося куска; мы установили также, что изменение функции у должно
оставаться сколь угодно малым, если только изменение независимой
переменной ограничивается достаточно малым интервалом. Это свой-
ство формулируется следующим несколько громоздким, но зато более
точным образом. Функция /(х) называется непрерывной в точке
если она обладает следующим свойством: в точке £ значение функ-
ции /(£) может быть с какой угодно наперед заданной точностью е
приближенно представлено любым другим значением /(х), если
74
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
[1
что наше
Важно понять,
два требования: 1) существования
только х находится достаточно близко от £. Другими словами, функ-
ция f(x) непрерывна в точке если для всякого сколь угодно
малого положительного числа е можно указать такое другое поло-
всех точек х, для которых
| х — £ | < 6, выполняется также
неравенство (ср. рис. 19)
I/O) —| <е.
Это можно выразить еще так:
свойство непрерывности тре-
бует, чтобы в точке £ выпол-
нялось предельное равенство
lim/(х) ==/(£).
Предел функции при х > S,
равен ее значению при пре-
дельном значении | независи-
мой переменной.
1ение непрерывности содержит
:редела lim /(х) и 2) совпаде-
ния этого предела с определенным в точке £ значением /(£) функции.
Установив понятие непрерывности функции в точке, дадим теперь
определение непрерывности функции в интервале-, функция / (х)
называется непрерывной в интервале, если она непрерывна во всякой
точке этого интервала.
Точнее: функция /(х) называется непрерывной в интервале
(замкнутом или открытом), если для любого заранее заданного числа
е > 0 существует для всякой точки х этого интервала такое поло-
жительное число 6, зависящее, вообще говоря, от е и от х, что
|/(х)— /W| < е> коль скоро | х — х | < б их принадлежит задан-
ному интервалу.
Это определение дает ясное указание, как установить факт
непрерывности в каждом конкретном случае.
Мотивировка определения непрерывности на языке е-б содержится
в тех же замечаниях § 7, п° 2.
Существует понятие, родственное понятию непрерывности, но не
совпадающее с ним; это — понятие равномерной непрерывности.
Функция /(х) называется равномерно непрерывной в интервале
а х Ь, если для всякого числа е > 0 существует такое положи-
тельное число б, что для любых двух точек Xj, х2 этого интервала,
расстояние между которыми | хг— х2 | < б, выполняется неравенство
| f (X]) — /(^2)|<е- Отличие по сравнению с определением просто
непрерывности состоит в том, что в определении равномерной не-
прерывности б не зависит ни от хР ни от х2, но оказывается
2)
§ 8. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
75
достаточным для всех точек интервала. Отсюда и термин—равно-
мерная непрерывность.
Очевидно, что функция, равномерно непрерывная в замкнутом
интервале а х <1 Ь, является и (просто) непрерывной в этом интер-
вале. Обратная теорема также справедлива, а именно: всякая функ-
ция, непрерывная в замкнутом интервале равномерно
непрерывна в этом интервале. Доказательство будет дано в Допол-
нении I к этой главе, § 2, п°2. Однако и до того, как читатель
усвоит это доказательство, при выполнении упражнений он может
принять, что всякий раз, когда говорится, что функция непре-
рывна в замкнутом интервале, имеется в виду равномерная непре-
рывность.
2. Точки разрыва. Мы лучше уясним себе смысл понятия непре-
рывности, сопоставляя его с противоположным ему понятием—поня-
тием прерывности. Простейший вид прерывности (или разрыва
непрерывности) состоит в том, что функция в некоторой точке делает
скачок. В такой точке (точка разрыва) значения функции стремятся
к определенным, но различным пределам, смотря по тому, прибли-
жаемся ли мы к месту скачка справа или слева. Каково при этом
значение функции в самом месте скачка и определена ли вообще
рассматриваемая функция в этом месте, не играет роли. (Такие точки
называются точками разрыва 1-го рода.)
Так, например, функция, определенная равенствами: /(х) = 0 при хг > 1,
f (х) = 1 при х2 < 1 и /(х) = 1/2 при х2 = 1, имеет точки разрыва 1-го
рода при £ — 1 и 1 = — 1.
Правое и левое предельные значения этой функции при приближении
к каждой из точек разрыва отличаются друг от друга на единицу (причем
сами значения функции в этих точках не совпадают ни с одним из этих
пределов, но равняются их сред-
нему арифметическому).
Заметим, между прочим, что,
пользуясь понятием предела, мдж-
но выразить эту функцию одной
формулой:
/ (х) = Ita t 'п
л~>оо I X
В самом деле, при х2 < 1,
т. е. если х лежит в интервале Рис. 20.
—1 < х < 1, х2Л стремится к пре-
делу 0, и функция /(х) имеет поэтому здесь значение 1. Если же х2 > 1,
то х2л неограниченно растет, и наша функция имеет значение 0. Наконец,
при х2=1, т. е. при х =-f-1 и х — —1, значение функции равняется 1/2
(ср. рис. 20).
Другие скачкообразно прерывающиеся кривые (т. е. с разрывами
1-го рода) показаны на рис. 21, а и 21, б и изображают функции, прерыв-
ные в соответствующих точках.
Но кроме точек разрыва 1-го рода, в которых существуют как предель-
ное значение функции справа, так и ее предельное значение слева, могут
быть и такого рода точки разрыва, в которых эти требования не выпол-
няются. Важнейшими точками разрыва такого рода являются бесконечные
76
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
[2
разрывы, или точки бесконечности. В этих точках, как, например, g = 0 для
функции 1/х или для функции 1/х2, значение функции совсем не определено,
и при х -> £ абсолютное значение | f (х) | неограниченно растет. У функ-
ции 1/х значения функции неограниченно растут в положительном или
Рис. 21.
отрицательном направлении, смотря по тому, приближается ли х к нулю
справа или слева. Напротив, функция у — 1/х2 имеет при х = 0 такую точку
бесконечности, в которой значение функции с обеих сторон становится поло-
жительно-бесконечным (ср. рис. 6 на
стр. 34 и рис. 12 на стр. 38).
Функция у = —2----р, изобра-
женная на рис. 22, имеет две точки
бесконечности: при х = + 1 и при
х = — 1.
Наконец, приведем пример еще
одного типа прерывности, при кото-
ром не существует предельного
значения функции справа или слева.
Рассмотрим функцию
Рис. 22.
. 1
у = sin — ,
х
определенную при всех значениях
х =/= 0. Эта функция принимает все
значения между —1 и +1, когда
число 1/х пробегает значения от
(п — 1/2) л; до (п + 1/2) л, каково бы
ни было целое число п. В точках
х — 0„_|_ л функция имеет зна-
функция имеет значение —1. Из этого
чение 1, а в точках х = —
(4п—1)л
видно, что по мере приближения к точке х = 0 функция все быстрее и бы-
стрее колеблется между значениями —1 и +1, так что в окрестности точки
х = 0 она совершает бесчисленные подобные колебания (ср. рис. 23). В самой
же точке х = 0 функция совершенно не определена.
Интересно отметить, что, напротив, функция y = xsin—, изображение
которой здесь тоже приводится (рис. 24), в точке х = 0 остается непрерыв-
ной, если приписать этой функции при х = 0 значение нуль. Эта непрерыв-
ность достигается благодаря тому, что множитель х при приближении к нулю
приводит к затуханию колебания синуса.
X
2
§ 8, ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
77
Одиако эта функция у = х sin — вблизи точки х = 0 бесконечно часто
меняет монотонное возрастание на монотонное убывание и обратно. Эта
Функция совершает бесчисленные колебания то в одну, то в другую сторону,
хотя амплитуды этих колебаний при приближении к нулю становятся сколь
угодно малыми. Этот пример показы-
вает, что одно только свойство непре-
рывности еще оставляет целый ряд раз-
личных своеобразных возможностей,
чуждых наивному наглядному представ-
лению.
При всем том следует указать на одно обстоятельство, которое
необходимо иметь в виду, если хотят вложить в понятие точное со-
держание. Может случиться, что какая-нибудь функция первоначально
заданным законом соответствия не определена в какой-нибудь опре-
деленной точке, как, например, обе последние рассмотренные нами
функции при х = 0. В последнем примере мы смогли так дополнить
заданную функцию добавочным определением ее значения в этой ис-
ключительной точке (а именно требованием, чтобы у —О при х = 0),
что после этого дополнения функция оказалась непрерывной также
и в этой точке. Чтобы подобное дополнение было возможно, необ-
ходимо и достаточно, чтобы пределы функции справа и слева суще-
ствовали и равнялись друг другу; положив тогда значение функции
в этой точке равным соответствующему пределу, мы обеспечим
78 ГЛ. 1. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ [3
непрерывность функции в этой точке. В предшествующем же примере
y = sin-i- это невозможно, разрыв неустраним.
3. Теоремы о непрерывных функциях. В заключение приведем
еще следующие важные общие положения, доказательство которых
после сделанных нами в § 6, п°4 замечаний о действиях над пре-
делами является очевидным:
Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций
суть также непрерывные функции-, частное двух непрерывных
функций непрерывно всюду, где знаменатель отличен от нуля.
В частности, из этого сразу вытекает непрерывность всех целых
рациональных функций, а также всех дробных рациональных функ-
ций повсюду, за исключением тех точек, в которых знаменатель
обращается в нуль. То, что и прочие элементарные функции, как,
например, тригонометрические, также непрерывны, получится как
естественное следствие наших последующих рассуждений (ср. стр. 92
и стр. 122).
Упражнения
1. Доказать, что
х2 sin —
,, х
lim -----------
х_>0 sinx
0.
2. Доказать, что
а)
lim
х->а
sin (х— а)
х2 — а2
1 . х + cos х . . .. 1 ,
=—; о) lim !—7-^— = 1; в) hm cos — = 1.
2а х-|-1 х
3. а) Дано f (х) = 6х. Найти значение S, принципиально зависящее от g
и от е, настолько малое, чтобы | f (х) — f (g) | < е, коль скоро | х — g | < б.
Сделать это при 1) е = 0,1; 2) е = 0,01; 3) е = 0,001.
То же самое найти для
б) /(х) = х2 —2х; в) /(х) = 3х44-х2 —7; г) /(x) = V~x, х>0;
Д) f (х) = Ух2.
4. а) Пусть /(х) = 6х в интервале 0<х<Д0. Найти S столь малое,
что | f (х,) — f (х2) | < е, если | хх — х21 < S, где 1) е = 0,01; 2) е > 0 про-
извольно.
Сделать то же самое для
б) f(x) = x2_ — 2х, — 1<х<1; в) / (х) = Зх4х2 — 7, 2<х<4;
г) f (х) = У х, 0 < х < 4; д) f (х) = Ух2, — 2 < х < 2. >
5. Выяснить, какие из нижеследующих функций непрерывны. Найти точки
разрыва для тех функций, которые прерывны.
a) x2sinx; б) xsin2(x2); в) — sinx; г)
х3+_Зх + 7 х2 + Зх + 7Х. х2 + Зх + 7.
д' х2 —6x4-8’ ' х2 —6x4-9’ ж) х2 —6x4-10’ 3) g’
И) siHx’ к) clgx; л) 7оГГ; м) н) (л —x)tgx.
ДОПОЛНЕНИЕ I К ГЛАВЕ I
79
ДОПОЛНЕНИЕ I К ГЛАВЕ I
Предварительные замечания
В греческой математике впервые был последовательно проведен
принцип логически связного доказательства всех предложений путем
сведения их к возможно меньшему числу уже не подлежащих дока-
зательству аксиом. Эта аксиоматическая форма изложения, являвшаяся
в то же время пробным камнем для законченности исследования, была
в новое время принята за образец и в других отраслях науки. Такие
люди, как Декарт и Спиноза, старались придать своим исследованиям
в области философии большую убедительность, облекая их в аксио-
матическую или, как тогда говорили, «геометрическую» форму.
В ином положении, однако, находилась новая математика, начавшая
развиваться почти одновременно с новой философией. Математики
нового времени во многих случаях очень скоро отказались от этого
принципа аксиоматического охватывания всего материала. Наглядная
очевидность в каждом отдельном случае стала главным орудием дока-
зательства; даже у крупнейших исследователей этой эпохи встречается
интуитивное и не всегда свободное от некоторой примеси мистики
оперирование с новыми понятиями (и в первую очередь со злополуч-
ным понятием «бесконечно малой величины»). Слепая вера во все-
могущество новых методов исчисления толкала исследователей на
такие пути, какими они никогда не смогли бы пойти, если бы под-
чинялись требованиям полной строгости. Неудивительно, что только
верный, гениальный инстинкт смог их предохранить от грубых ошибок.
И однако было большим счастьем для всего развития математики
то, что обстоятельства сложились именно так и что противоположное,
критическое направление в математике появилось только в XVIII сто-
летии. Это течение, которое в XIX столетии постепенно завоевало
господствующее положение в науке, взяло верх только в той стадии
развития математики, когда оно уже не могло препятствовать этому
развитию, но, наоборот, обосновывало достигнутые уже результаты
и способствовало получению новых. Но потребность в такой крити-
ческой разработке и в обосновании достигнутого постепенно усили-
лась в такой степени, что полное удовлетворение этой потребности
должно по праву считаться одним из крупнейших успехов математики
XIX столетия.
Специально в отношении интегрального и дифференциального
исчислений здесь следует в первую очередь назвать имя Коши. Без-
упречной и ясной формулировкой основных понятий Коши довел
до конца начатое уже в XVIII столетии дело изложения высшего
анализа в легко понятной форме, освобожденной от всех неясностей
бесконечно малого, и достиг при этом законченности, ставшей
во многих отношениях образцовой.
Задача, которую еще оставалось разрешить, заключалась в том,
чтобы заменить при обосновании положений и методов наглядные
80 гл. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
рассуждения чисто аналитическими, опирающимися исключительно на
понятие числа и на различные возможные операции над числами;
другими словами, предстояла задача арифметизации анализа. Дей-
ствительно, ссылки на геометрическую интуицию в доказательствах
анализа не внушают доверия критически вышколенному уму. Даже
не затрагивая вопроса о точности или неточности нашей интуиции
вообще или о существовании «чистого наглядного представления»
в смысле Канта, легко убедиться, что рассмотрение, основанное на
наивной интуиции, содержит в себе слишком много неопределенного
и уже в силу этого не должно иметь места в строгих доказатель-
ствах анализа. На протяжении настоящего курса мы познакомимся
с большим числом подтверждающих эту истину примеров. Но уже
здесь можно указать, например, на то, как трудно наглядно охватить
понятие непрерывной кривой. Непрерывная кривая вовсе не должна
обязательно иметь в каждой точке определенное направление; напро-
тив, оказалось, что существуют непрерывные кривые, которые ни
в одной точке не имеют направления; точно так же существуют не-
прерывные кривые, для которых понятие кривизны нигде не имеет
смысла, а также непрерывные кривые, которым невозможно приписать
какую-нибудь длину.
Все эти факты должны показать начинающему, насколько обосно-
вана потребность в арифметизации анализа ’).
Тем не менее мы не должны забывать, что на протяжении сто-
летий развитие математики происходило блестящим и в высшей сте-
пени успешным образом и без удовлетворения этой потребности
в критическом обосновании. Несмотря на все свои недостатки, интуи-
ция все же всегда является важнейшим движущим импульсом для
математического творчества, и только она перебрасывает мост от
теории к практическим применениям.
Опираясь на идеи Больцано и Вейерштрасса, мы изложим теперь
те рассуждения, которыми строго обосновываются и дополняются
рассмотренные нами в первой главе теоремы, формулированные там
только путем ссылки на интуицию.
§ 1. Принцип точки сгущения
и его приложения
1. Принцип точки сгущения. В основу строгого изложения ана-
лиза обыкновенно кладут принцип точки сгущения Вейерштрасса.
Содержание этого принципа с точки зрения наивной интуиции само-
очевидно, но, кратко формулируя положение дел, часто встречаю-
') По существу, необходимо иметь в виду, что строгие математические
понятия представляют собой далеко идущую идеализацию возникающих
интуитивно представлений. Поэтому вопросы полного обоснования матема-
тики не могут решаться путем ссылки на наивную интуицию.
ДОПОЛНЕНИЕ I К ГЛАВЕ I
81
щееся в анализе, он представляет большие удобства и очень полезен
для применения. Он гласит:
Если на конечном интервале задано бесконечное множество
чисел, то эти числа имеют по крайней мере одну точку сгуще-
ния т. е. существует по крайней мере одно число | такое,
что любой сколь угодно малый интервал, окружающий точку
еще содержит внутри себя бесконечно много заданных чисел.
Выражая это положение наглядно, можно сказать, что всякое
бесконечное множество точек на конечном отрезке имеет по меньшей
мере одну точку сгущения, в любой окрестности которой еще нахо-
дится бесконечно много заданных точек.
Чтобы чисто арифметически доказать принцип точки сгущения,
допустим сначала, чго заданный интервал есть интервал от 0 до 1.
Разделим его на 10 равных частей точками 0,1; 0,2; ...; 0,9. Тогда
по крайней мере в одном из этих десяти частичных интервалов обя-
зательно еще должно содержаться бесконечно много заданных чисел.
Пусть этот частичный интервал или, если таких интервалов имеется
несколько, то пусть один из них будет интервалом, прилегающим
к числу 0, av Мы делим тогда этот интервал снова на 10 равных
частей точками деления 0, аг1; 0, аг2; 0, afi; . . .; 0, at9 и заклю-
чаем снова, что по меньшей мере в одном из этих частичных интер-
валов должно обязательно содержаться бесконечно много заданных
чисел; пусть один такой частичный интервал примыкает к точке 0,
Деля снова этот частичный интервал на 10 равных частей, повторяя
наше умозаключение и продолжая таким же способом этот процесс
дальше, получаем последовательность цифр alt а2, а3, ..., из кото-
рых каждая имеет одно из значений 0, 1, 2, ..., 9. Рассмотрим
теперь конечную или бесконечную десятичную дробь
£ = 0, а^аз ...
Мы непосредственно убеждаемся в том, что эта дробь является точ-
кой сгущения данного числового множества. В самом деле, если
окружить точку £ любым сколь угодно малым интервалом, то все
выделенные выше интервалы, содержащие бесконечно много чисел
данного числового множества, попадают внутрь данного интервала,
как только наше десятичное подразделение становится достаточно
мелким.
Если вместо интервала 0 х 1 возьмем, скажем, интервал
от а до a-\-h, то наше рассуждение существенно ни в чем не изме-
нится. Искомая точка сгущения выражается тогда просто числом вида
а-|-й • 0, aYa2a3 .. .
2. Пределы числовых последовательностей. С достигнутой
нами точки зрения понятие предела бесконечной числовой последо-
вательности ах, а2, а3, ап, ... получает новое освещение.
6 Р. Курант
82 гл. 1. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
Рассматривая сначала тот особенный случай, когда последовательность
содержит бесконечно мнбго равных между собой чисел, мы расши-
ряем данное выше определение точки сгущения и считаем беско-
нечно повторяющееся в последовательности число также точкой сгу-
щения.
Пусть теперь последовательность содержит бесконечно много отлич-
ных друг от друг членов, и пусть все члены ап этой последователь-
ности ограничены, т. е. существует некоторое число М такое, что
I I < м
для любого значения индекса п; тогда члены нашей последователь-
ности образуют бесконечное числовое множество, расположенное на
конечном интервале, так как они все заключены между — М и М.
Следовательно, они должны иметь по меньшей мере одну точку сгу-
щения £. И если фактически существует только одна-единственная
точка сгущения, то наша числовая последовательность, очевидно,
сходится, и притом именно к этой точке, как к своему пределу:
В = lim а„.
л->оо
Действительно, окружим точку £ малым интервалом. Если бы вне
этого интервала было бесконечно много точек последовательности,
то у них была бы точка сгущения, отличная от £, что противоречит
предположению. Следовательно, вне малой окрестности £ имеется
лишь конечное число членов последовательности, а потому lim а„ = £.
Если же, напротив, существует несколько различных точек
сгущения, то наша числовая последовательность не имеет пре-
дела. Итак, существование предела и единственность точки сгуще-
ния у ограниченной числовой последовательности являются равно-
значащими понятиями.
Важно отдать себе отчет в том, что у взятой наудачу ограни-
ченной последовательности, вообще говоря, не существует предела,
но имеется несколько точек сгущения. Например, последовательность,
члены которой заданы так:
a2n=l/n, a2„_i = l —1/п («=1, 2, ...),
имеет две точки сгущения: 0 и 1.
Совокупность всех положительных рациональных чисел можно
рассматривать как числовую последовательность, причем, однако,
совершенно нарушается расположение чисел по их величине. Подобное
расположение множества рациональных чисел в виде последователь-
ности проще всего получить, располагая рациональные числа согласно
приводимой схеме, пробегая эту схему вдоль указанной стрелками
ДОПОЛНЕНИЕ I К ГЛАВЕ I
83
ломаной линии и выкидывая при этом каждое значение, которое
уже раз встретилось (например, 2/4).
Очевидно, для системы рациональных чисел все рациональные и
иррациональные числа являются точками сгущения; она представляет
собой простой пример числовой последовательности с бесконечно
большим числом точек сгущения.
Пользуясь понятием сходимости, можно дать принципу точки
сгущения следующую замечательную и удобную для некоторых при-
менений формулировку:
Из всякого ограниченного бесконечного числового множества
можно выделить бесконечную последовательность alt а2, а3........
сходящуюся к некоторому пределу £.
Для этой цели берем какую-нибудь точку сгущения заданного
бесконечного числового множества и затем выбираем из чисел этого
множества число ар отстоящее от £ меньше чем на 1/10; выбираем
дальше другое число а2 заданного множества, отстоящее от £ ближе
чем на 1/100, третье число а3, расстояние которого от £ меньше
1/1000, и т. д. Очевидно, эта последовательность чисел действи-
тельно сходится к пределу £.
В будущем нам понадобится следующая теорема о сходящихся
последовательностях:
Если последовательность ах, а2, ... сходится к пределу а,
то всякая выделенная из нее частичная бесконечная последова-
тельность стремится к тому же пределу а. Например, под-
последовательность а3, а5, ... сходится к а.
Действительно, всякая точка сгущения частичной последователь-
ности должна быть точкой сгущения материнской последовательности.
С другой стороны, бесконечная частичная последовательность, как
ограниченная, должна иметь по крайней мере одну точку сгущения,
и ею может быть только а.
6*
84 гл. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
3. Доказательство критерия сходимости Коши. Вернемся
к сходящимся числовым последовательностям, т. е. к ограниченным
последовательностям с одной-единственной точкой сгущения. Фор-
мулированный в гл. I, § 6, критерий сходимости Коши становится
теперь почти самоочевидным. В самом деле, предположим, что
| ат — ап\ становится сколь угодно малым, если только тип
достаточно велики. Тогда все числа ап лежат в конечном интервале
и имеют, следовательно, по меньшей мере одну точку сгущения
Если бы существовала еще одна точка сгущения q, то она находи-
лась бы на некотором расстоянии | £ — q | = а > 0 от точки £.
В любой близости от £, скажем на расстоянии меньшем чем а/3,
должно находиться бесчисленное множество чисел ап, т. е. и такие зна-
чения ап, для которых « > N, как бы велико ни было АЛ Точно так же
и в любой близости от точки сгущения q и, в частности, на рас-
стоянии от нее, меньшем чем а/3, должно находиться бесчисленное
множество чисел ат н< iefl последовательности, а следовательно,
и такие числа ат, для которых /п > АЛ
Но для этих значений ап и ат наверное имеет место неравен-
ство | ат — ап | > а/3, которое несовместно с предположением, что
| ат — ап | при достаточно большом N становится сколь угодно малым,
как только т и «превосходят одновременно число АЛ Следова-
тельно, не существует двух различных точек сгущения, и критерий
Коши доказан.
4. Существование предела у ограниченной монотонной по-
следовательности. Столь же просто убеждаемся в том, что моно-
тонно возрастающая и монотонно убывающая ограниченная чис-
ловая последовательность должна иметь предел. В самом деле,
пусть в первом случае £ будет точкой сгущения — а такая, безус-
ловно, существует,—тогда £ должно быть больше всех членов по-
следовательности. Ибо если бы какой-нибудь член at последователь-
ности был бы больше или равен £, то и для всех чисел ап с индек-
сом п > I + 1 имело бы место неравенство ап > al+1 a^l,, откуда
следовало бы, что все числа последовательности, за исключением
не больше чем I 1 первых чисел, лежат вне интервала ширины
|£ — а1+11 с левым концом в точке £. Но это противоречит предпо-
ложению, что £ является точкой сгущения. Таким образом, справа
от £ нет членов последовательности и подавно нет точек сгущения
этой последней. Если бы кроме £ существовала еще одна точка сгу-
щения q, то было бы q < Повторив наше рассуждение с q
(вместо £), мы получили бы также и £ < q, т. е. пришли бы к про-
тиворечию. Стало быть, существует лишь одна точка сгущения, и
сходимость доказана. Совершенно аналогичное рассуждение приме-
нимо, понятно, и к монотонно убывающей последовательности. Можно,
впрочем, наше предложение о монотонных последовательностях
дополнить так, как мы это сделали на стр. 60, допуская для подоб-
ных последовательностей промежуточный случай, т. е. случай равен-
ДОПОЛНЕНИЕ I К ГЛАВЕ I
85-
ства следующих друг за другом чисел последовательности. Тогда
лучше говорить о монотонной неубывающей или монотонной невоз-
растающей последовательности. Теорема о существовании предела
сохраняет свою справедливость и для таких последовательностей.
5. Верхняя и нижняя точка сгущения, точная верхняя и точ-
ная нижняя граница числового множества. Если при построении,
которое привело нас в п° 1 к точке сгущения ограничивать каждый
раз выбор частичных интервалов условием брать всегда последний
из частичных интервалов, содержащих бесконечно много точек задан-
ного множества, то мы получим определенную точку сгущения р,
которая называется верхней, точкой сгущения, или «верхним пре-
делом» («limes superior») числового множества и обозначается со-
кращенно через lim sup или lim. Эта точка является крайней правой
точкой сгущения данного множества, т. е. хотя справа от р еще может
лежать бесконечно много чисел этого множества, но справа от р —е,
как бы мало ни было е>0, уже нет больше бесконечного множества
этих чисел.
Если же в построения п° 1 выбирать каждый раз первый из ча-
стичных интервалов, содержащих бесконечно много точек множества,
то мы придем к точке сгущения а, называемой нижней точкой сгу-
щения или «нижним пределом» («limes inferior») числового мно-
жества (сокращенно lim inf или lim); слева от этой точки нет больше
точек сгущения множества. Хотя и возможно, чтобы слева от а еще
лежало бесконечно много чисел множества, но слева от а — е это
уже невозможно, как бы мало ни было число е>0. Доказательство этих
утверждений предоставляется самому читателю.
Верхняя точка сгущения р, равно как и нижняя а, не должна
обязательно принадлежать самому множеству. Так, например, для
множества чисел a2„==l/n, а2п_} — 2— \/п нижняя точка сгущения
а=0, а верхняя точка сгущения р = 2, но значения 0 и 2 не содер-
жатся сами в заданном множестве.
В этом примере справа от числа р = 2 нет ни одного числа мно-
жества. В этом случае говорят, что р = 2 является также точной,
верхней границей множества, определяя следующим образом этот тер-
мин точная верхняя граница-, число О называется точной верхней
границей числового множества, если это множество не содержит
числа, превосходящего О, но для любого сколь угодно малого поло-
жительного е существует по меньшей мере одно число множества,
превосходящее О — е. Соответственным образом определяется и точ-
ная нижняя граница g.
Точная верхняя граница может, как мы видели, совпадать с верх-
ней точкой сгущения. Но уже пример множества ая=1Ц-1/п-
(«==1,2, ...) показывает, что это не обязательно. Здесь О = 2, а р = 1.
Всякое ограниченное числовое множество имеет точную верхнюю
границу. Действительно, пусть р — верхний предел множества.
86
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
Множество либо не содержит чисел, больших чем р, либо содержит
такие числа. В первом случае р является точной верхней границей, так
как нет чисел множества, больших чем р, и сколь угодно близко к р
имеются числа множества, меньшие чем р. Во втором случае пусть
а — число множества, большее чем р. Существует лишь конечное
количество чисел множества, равных или больших чем а, ибо в про-
тивном случае имелась бы точка сгущения выше, чем р, что невоз-
можно. Из этих чисел остается выбрать наибольшее, оно и будет
точной верхней границей О множества.
Очевидно, всегда и легко убедиться в следующем факте:
Если точная верхняя граница не совпадает с верхним пре-
делом, то она принадлежит множеству и является его «изо-
лированной» точкой.
Аналогично доказывается, что всякое ограниченное числовое мно-
жество имеет точную нижнюю границу g, которая не превосходит
нижнего предела a: g а. Если g Фа, то точная нижняя граница g
принадлежит множеству и является его «изолированной» точкой.
§ 2. Теоремы о непрерывных функциях
1. Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функ-
ций. Ограниченное бесконечное числовое множество должно всегда
иметь точную верхнюю границу О и точную нижнюю границу g.
Однако эти числа О и g, как мы видели, не обязаны принадлежать
числовому множеству, или, как говорят, числовое множество не должно
обязательно иметь наибольшее или наименьшее значение. Так, напри-
мер, последовательность чисел 1, 1/2, 1/3, ... имеет точную нижнюю
границу 0, но число 0 не принадлежит этому множеству, и поэтому
множество не содержит в себе наименьшего числа.
Имея в виду эту возможность, мы поймем, что нижеследующая
теорема о непрерывных функциях не является столь безусловно-оче-
видной, какой она кажется с первого взгляда нашей наивной интуиции:
Всякая непрерывная в замкнутом интервале а^.х^.Ь функ-
ция f (х) принимает в этом интервале по меньшей мере один
раз наибольшее и по меньшей мере один раз наименьшее значе-
ние, или, как говорят, она имеет наибольшее и наименьшее зна-
чения.
Доказательство получается следующим образом. Совокупность
значений функции / (х), непрерывной в интервале а х Ь, пред-
ставляет собой ограниченное числовое множество, так как в против-
ном случае в данном интервале существовала бы последовательность
чисел £2> • • •> ....ДЛЯ которой значения функции /(£„) неогра-
ниченно возрастают. Эта последовательность должна была бы иметь
точку сгущения %*. Но тогда в любой близости от V имелись бы еще
числа нашей последовательности, для которых | / (£„) — 1
(и даже сколь угодно велика), т. е. функция была бы в точке £,*
ДОПОЛНЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ I
87
разрывной. Итак, множество значений функции в замкнутом ин-
тервале ограничено, а следовательно, имеет точную верхнюю гра-
ницу О. Но тогда представляются две возможности: либо G принад-
лежит к числу принимаемых функцией значений в качестве наиболь-
шего из них, и теорема уже доказана; либо в этом интервале должна
существовать такая последовательность чисел xlt х2, .... хп, . .. что
lim f(x„)=G.
П-^QO
На основании принципа точки сгущения (в трактовке стр. 83) из по-
следовательности х„ можно выбрать подпоследовательность
|2, .. ., .....сходящуюся к точке £, лежащей внутри или на одном
из концов интервала:
lim
л-»со
Тогда и для конечно, также
lim /(U = O-
n~>oo
С другой стороны, так как £ принадлежит данному интервалу (ибо
он замкнутый), то, в силу предположенной непрерывности функции,
lim /(В„)=/(|).
л~>со
Следовательно, f(g) = G. Итак, функция f(x) действительно при
всех обстоятельствах принимает значение G в некоторой определен-
ной точке £ внутри или на краю интервала, в чем и заключается
высказанное нами предложение.
Вполне аналогичное рассуждение справедливо, разумеется, и для
наименьшего значения. Заметим, что теорема о наибольшем и наи-
меньшем значениях непрерывной функции не всегда будет справед-
лива, если мы не предположим вполне определенным образом, что
заданный интервал является замкнутым, т. е. если мы не включим
условия о непрерывности функции и на концах интервала. Так, на-
пример, функция у — 1/х непрерывна в открытом интервале 0<х < оо
и в то же время не имеет в этом интервале наибольшего значения,
принимая, напротив, вблизи значения х =0 сколь угодно большие,
значения. Это объясняется тем, что на левом конце интервала функ-
ция имеет разрыв. Точно так же эта функция не имеет наименьшего
значения, но становится при достаточно большом х сколь угодно
малой, никогда не достигая точной нижней границы 0. На правом
конце интервал не замкнут, ибо простирается в бесконечность,
2. Равномерность непрерывности. Как мы уже видели раньше
(ср. стр. 77) и еще увидим в дальнейшем, непрерывность функции
в замкнутом интервале еще оставляет широкий простор для различ-
ных своеобразных особенностей,, не допускающих наглядного пред-
ставления. Поэтому мы выведем из понятия непрерывности строго-
88
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
логически еще некоторые свойства непрерывных функций, кажущиеся
с первого взгляда очевидными.
В определении непрерывности содержится только утверждение,
что из соотношения lim хп=£ вытекает соотношение lim f(xn}=f (£).
л->со л->оо
Это можно выразить также и следующим образом: если задана
точка то любому сколь угодно малому е > 0 соответствует число
6 > 0 такое, что | f (х) — / (£) | < е, если только | х — £ | < б и при
условии, что рассматриваемые числа х лежат в заданном интервале
Так, например, для функции у — сх при с =/= 0 -получим
сразу такое число б, полагая б = е/| с |; для функции у = х2 можно
построить такое число следующим образом: предположим, например,
что а = 0 и b — 1, и спросим, насколько близко от точки | следует
взять точку х, чтобы имело место неравенство
| — х2 | < е.
Для этой цели напишем
| £2-х2|Нх-£|-| х + М<|*-Ч !(! + £)•
Отсюда видно, что
| £,2—х2 | < е. Мы видим
только от е, но еще и
если выбрать б
е
Т+Г
то
наверное
на этом примере, что число б зависит не
от того места интервала, в котором мы
исследуем непрерывность функции. Однако если отказаться от того,
чтобы выбирать б наиболее благоприятным образом, то можно устра-
нить эту зависимость б от £, заменяя справа £ единицей, от чего б
в интервале только уменьшается и становится равным е/2;
теперь уже б служит с равным успехом для всех точек £ интервала
Возникает вопрос: справедливо ли нечто подобное для любой
функции, непрерывной в замкнутом интервале, т. е. можно ли, отка-
завшись от наиболее благоприятного в каждом месте выбора б, опре-
делить такое число б = б(е), которое зависело бы только от е, но
не зависело бы больше от так, чтобы вышеприведенное нера-
венство
имело место, коль скоро |х — £|<б? Иными словами, возможно ли
определить это число б одновременно для всех точек £ данного ин-
тервала или, как говорят, равномерно относительно £? Оказы-
вается, что это действительно возможно—в силу одного только общего
определения непрерывности и без всяких добавочных специальных
предположений. Это свойство, на которое обратили внимание только
во второй половине XIX столетия, называется теоремой о равно-
мерной непрерывности непрерывных функций.
Доказательство этой теоремы мы поведем от противного, т. е.
покажем, что предположение, будто существует функция f (х), не-
ДОПОЛНЕНИЕ I К ГЛАВЕ I
89
прерывная в замкнутом интервале а х Ь, но не равномерно
непрерывная, приводит к противоречию. Равномерная непрерывность
означает, что если мы хотим сделать | f (и) — / (т>) | меньше любого
сколь угодно малого положительного числа е, когда числа и и г»
взяты из замкнутого интервала а х Ь, то должны лишь выбрать
и и v достаточно близкими друг к другу, а именно на расстоянии,
меньшем чем б = б(е), одно от другого, притом безразлично, в каком
месте интервала взята пара чисел «, V. Так вот, если бы непре-
рывность функции / (х) не была равномерной, то существовало бы
положительное (хотя, возможно, и весьма малое) число а, обладаю-
щее следующим свойством: для всякого числа бл из произвольной,
сходящейся к нулю последовательности положительных чисел 61э б2,
б3, ... существует такая пара значений ип, vn из нашего интервала,
что \ип — vn | < 6„, а | / («„) — / (vn) | > а. Согласно принципу точки
сгущения, числа ип должны иметь точку сгущения £ и числа vn
должны иметь ту же точку сгущения. Если мы окружим точку £
произвольно малым интервалом | х—£|<6, то в этом интервале
будет лежать бесконечно много пар чисел «я, vn. Но это противо-
речит предположенной непрерывности функции / (х) в точке £, из
которой вытекает (по критерию сходимости Коши), что для точек хг
и х2, достаточно близких к точке
—/(*2)|<е.
Таким образом, равномерность непрерывности доказана. В нашем
доказательстве мы существенным образом опирались на то, что
интервал замкнутый J).
И действительно, теорема о свойстве непрерывности быть равно-
мерной для-незамкнутых интервалов не всегда справедлива. Например,
функция 1/х непрерывна в полуоткрытом интервале 0<х<^1, но
уже не равномерно непрерывна. В самом деле, какую бы малую длину
б (б<1) интервала мы ни взяли, выбрав этот интервал в достаточной
близости от точки нуль, например взяв интервал 6/2</x<i36/2, можно
сделать колебание функции (т. е. | / (х)—/ (£)|) в этом интервале больше
любого постоянного числа, например единицы. Неравномерность не-
прерывности обусловливается, разумеется, тем, что в замкнутом интер-
вале 0<х<1 данная функция имеет в начальной точке разрыв. Точно
так же, рассматривая вышеприведенную функцию у=х2 не в каком-
нибудь замкнутом конечном интервале, а во всем (открытом) интер-
вале — оо < х < оо, мы убедимся, что в этом последнем рассматри-
ваемая функция уже не является равномерно непрерывной.
3. Теорема о промежуточном значении. Постоянно применяется
в анализе и следующая теорема. Если функция f (х), непрерывная
в замкнутом интервале а^х ^.Ь, отрицательна при х — а и
положительна при х — b (или наоборот), то она принимает
’) В противном случае точка сгущения § могла бы и не принадлежать
интервалу.
90 ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
в этом интервале по крайней мере один раз значение нуль.
Эта теорема выражает тот геометрически очевидный факт, что если
начальная точка дуги непрерывной кривой лежит под, а конечная —
над осью х, то дуга должна где-нибудь в промежутке пересечь эту
ось. Она доказывается и аналитически очень просто. Действительно,
в рассматриваемом интервале безусловно существует бесконечное мно-
жество точек, в которых /(х)<0. Ведь в силу непрерывности функ-
ция наверное отрицательна в некотором частичном интервале, при-
легающем к начальной точке данного интервала. Это множество
точек х, где /(х)<0, имеет верхнюю точку сгущения £, которая
должна лежать внутри интервала, т. е. £ > а.
Так как в любой близости от £ находятся точки х, в которых
/(х)<0, то в силу непрерывности во всяком случае
(стало быть, | Но /(£) не может быть меньше нуля, так как
тогда функция f(x) была бы отрицательной в некоторой достаточно
малой окрестности точки £ и, в частности, и для всех тех точек
этой окрестности, в которых х>£; но это противоречит предположе-
нию, что £ есть верхняя точка сгущения тех значений х, в кото-
рых /(х)<0. Следовательно, /(£) = 0, и наше предложение до-
казано.
Эту теорему можно несколько обобщить.
П редположим, что f(a)—a, f и что р. есть какое-либо
значение, заключенное между а и р. Тогда непрерывная функ-
ция f (х) принимает в интервале а^х^Ь по меньшей мере
один раз значение р.. В самом деле, непрерывная функция <р(х) =
= /(х)— И имеет на концах интервала противоположные знаки,
а потому принимает где-либо внутри интервала значение 0.
4. Обращение непрерывной монотонной функции. Если непре-
рывная функция у = /(х) монотонна в интервале то она
принимает каждое свое промежуточное значение р, между / (а) и f (b)
один и только один раз. Поэтому, когда у пробегает замкнутый
интервал между значениями а==/(а) и р —/(6), то каждому значе-
нию у соответствует ровно одно значение х. Можно, таким образом,
рассматривать в этом интервале и х как однозначную функцию от у,
т. е. функцию /(х) можно однозначным образом обратить. Эта обрат-
ная функция х = <р(у) является, подобно функции /(х), непрерывной
и монотонной функцией от у, когда у изменяется в интервале между
~а и р.
То, что обратная функция х = <р(у) монотонна, очевидно. Чтобы
строго доказать ее непрерывность, заметим, что из монотонности
функции f (х) вытекает, что |/(х2)—у(х1)|==|у2 — 34 | > 0, если
X] и х2^-два различных числа нашего интервала. Выберем некоторое
положительное число h, меньшее, чем b—а, и рассмотрим функцию
|/(х-ф-А) — /(х)|, непрерывную в замкнутом интервале а<Сх<^—h.
Эта функция принимает в некоторой точке х — £ наименьшее значе-
ние | / (|, -j- h) — / (£) | = а (й), которое, в силу только что сделан-
ДОПОЛНЕНИЕ I К ГЛАВЕ I
91-
ного нами замечания, отлично от нуля!). Мы заключаем отсюда сле-
дующее: если хг, х2— два числа данного интервала, для которых
| xf — х2|^>/г, то | /(X])—/ (х2)|> а (А). Но отсюда непосредственно
получается непрерывность обратной функции. Ибо как только | у, — у2|
становится меньше положительного числа а (/г), так и | хг— х2|<(й.
Поэтому, если задана граница точности е, то достаточно выбрать б
равным а(е), чтобы для всех у, для которых | у,— у|<б, имело
место также и неравенство | <р (у.,)—<р (у) | < е. Тем самым доказана,
следующая теорема:
Если функция y = f(x) непрерывна и монотонна в интер-
вале а х ^Ь, причем f(a) = a, f (Z>) = p, то она имеет одно-
значную обратную функцию х = <р(у) в интервале а-Су-^р и
эта обратная функция тоже непрерывна и монотонна.
5. Дальнейшие теоремы о непрерывных функциях. Я пре-
доставляю читателю доказательство следующей почти очевидной тео-
ремы. 'Непрерывная функция от непрерывной функции также
непрерывна, т. е. если <р(х) непрерывна в интервале a<Jx<^Z>,
а значения этой функции заполняют интервал а <р р и если,
далее, /(<р) есть непрерывная в этом последнем интервале функция
от <р, то и f [<р (х)] как функция от х, непрерывна в интервале-
а<^х^б. (Теорема с непрерывности сложной функции, составлен-
ной из непрерывных функций.) Далее, как уже было упомянуто на
стр. 78, сумма, разность и произведение непрерывных функций
сами непрерывны, а также частное двух непрерывных функций
является непрерывной функцией, пока знаменатель отличен,
от нуля.
§ 3. Некоторые замечания об элементарных функциях
В первой главе мы молчаливо допустили, что элементарные функ-
ции непрерывны. Доказательство этого факта теперь очень просто.
Прежде всего, функция / (х) = х непрерывна, поэтому и х2 = х • х
непрерывна, как произведение двух непрерывных функций; точна
так же непрерывна и всякая целая степень от х, а потому и всякая
целая рациональная функция, как сумма непрерывных функций; вместе
'с тем и всякая дробная рациональная функция, как частное двух
непрерывных функций, непрерывна во всяком интервале, в котором
знаменатель не обращается в нуль.
Корень «-й степени из х. является непрерывной и монотонной
функцией, как обратная функция для функции х", ибо функция х",
очевидно, монотонна и непрерывна при х > 0. Поэтому, в силу тео-
ремы о непрерывности сложных функций, корень «-й степени из-
любой рациональной функции есть также непрерывная функция.
!) Впрочем, при неограниченном убывании h число а (Л), в силу равно-
мерной непрерывности f (х), тоже стремится к нулю.
92
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
Непрерывность тригонометрических функций—факт, с которым
читателю уже пришлось иметь дело в средней школе,—можно теперь
легко доказать при помощи введенных нами выше понятий; однако
мы этого здесь не делаем, так как в следующей главе, § 3, эта
непрерывность получится сама собой как следствие дифференцируе-
мости.
Мы должны только сделать несколько замечаний относительно
определения и непрерывности показательной функции ах, общей
степенной функции ха и логарифма. Мы предполагаем, как и в пер-
вой главе, § 3, стр. 40, что а — положительное число, скажем, большее
единицы, и понимаем под аг, где r = p[q— положительное рацио-
нальное число (р и q — целые числа), положительное значение этого
выражения ar = aPlq, т. е. положительное число, q-я степень кото-
рого равна ар. Если а—иррациональное число и если rv г2, ...
.. ., гт, . .. есть любая последовательность рациональных чисел,
стремящихся к а, то мы утверждаем, что существует lim аГт, и
т->со
этот предел называем аа.
Для того чтобы доказать существование этого предела, доста-
точно, согласно критерию сходимости Коши, показать, что \ аг"—аГт\
становится сколь угодно малой, если только взять пит достаточно
большими. Пусть, например, гп > гт, т. е. гл — гт = Ь^> 0.
Тогда агп — агт — аг™(а6—1).
Так как ат ограничено, то остается только показать, что
а6—1 становится сколь угодно малым при достаточно больших п
и т. Но б есть рациональное число, которое становится сколь угодно
малым, когда п и т достаточно велики. Поэтому, если выбрать
произвольное, сколь угодно большое натуральное число I, тоб<1//,
если п и т достаточно велики. Но если б < 1/Z и а>1, то1)
1 < а6 < a1/l, а так как ai/l при возрастании I стремится к единице
(ср. стр. 49), то отсюда непосредственно следует наше предложение.
Снова предоставляется читателю доказать самостоятельно, что
определенная таким образом и для иррациональных значений х функ-
ция ах является всюду непрерывной и монотонной функцией от х.
Для отрицательных значений х эта функция естественным образом
определяется условием
) Что а6 > 1, вытекает из того факта, что при а > 1 справедливо нера-
венство ат1п > 1, если т/п > 0. Действительно, если бы ат^ было меньше
/ т
единицы, то \а " / — ат было бы <1, как произведение т множителей,
каждый из которых < 1. Мы пришли к противоречию, так как ат есть про-
изведение т чисел, больших единицы.
ДОПОЛНЕНИЕ I К ГЛАВЕ I
93
Когда х растет от — со до -f- со, эта функция принимает, моно-
тонно возрастая, все значения от 0 до сю. Поэтому она имеет
непрерывную и монотонную обратную функцию, которую мы назы-
ваем логарифмом при основании а.
Совершенно аналогично можно доказать непрерывность общей
степенной функции у = ха как функции от х, где а есть любое ра-
циональное или иррациональное число, а х — независимая,переменная,
пробегающая интервал 0 < х < оо, а также что функция ха моно-
тонна, если а =£ 0.
«Элементарно-математическое» исследование показательной функ-
ции, логарифма и степени ха, довольно сложное и здесь только намечен-
ное, будет в гл. III, § 6, заменено другим, принципиально значительно
более простым исследованием.
Упражнения
1. Указать точные верхние и нижние границы и верхние и нижние пре-
делы для нижеследующих последовательностей и выяснить, какие из них
принадлежат последовательности:
а) 0 = 1,2,...); б) 0, 0 = 1,2,...);
(—ПЛ (—1\пП 1 1
г) 1+-^—^-+ \ 0=1,2,...); д) -4- + -V (т, л = 1,2,...).
’ ' п 1 2n +1 ’ т2 1 пг ’
2*. Доказать, что если f (х) непрерывна в интервале то для
всякого е > 0 существует такая кусочно-линейная функция <р (х) (т. е. не-
прерывная функция, график которой — ломаная линия, состоящая из конеч-
ного числа прямолинейных звеньев), что | f 0) — <р (х) | < е при любом х
из данного интервала.
3. Доказать, что всякая кусочно-линейная функция <₽ (х) может быть
представлена в виде суммы <₽ (х) = а -|- Ьх -f- 2 <7 Iх — xi I- где Х1 — абсциссы
вершин ломаной.
Найти формулу такого вида для кусочно-линейной функции /(х), задан-
ной в интервале 0 < х < 7 следующими уравнениями:
/(х) = 2х —1 (0<х<2); /(х) = 5 —х (2<х<3);
/(х) = х—1 (3<х<5); /(х) = 4 (5<х<7).
4. Для каждой из следующих функций f (х) найти такое б (е), чтобы было
I f (X]) — f (х2) | < е, лишь только | X; — х21 < б (е):
a) f (х) = 2х3 (— 1 .<С х I); б) f (х) = х" (— а х а)',
в) f (л) = 1/1—х’2 (—1<х<1).
5*. Функция у — sin— не имеет разрывов в интервале 0 < х < 1. Дока-
зать, что она не равномерно непрерывна в этом открытом интервале.
6. Функция f (х) определена при всех значениях х следующим образом:
f (х) = 0 при всех иррациональных значениях х;
f (x) — 1/q при рациональных значениях х = p[q, где p'q — несократимая
дробь (так, например, при х — 16/29 /(х) = 1/29).
Доказать, что функция /(х) непрерывна при всех иррациональных зна-
чениях х и разрывна при всех рациональных значениях х.
94
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
ДОПОЛНЕНИЕ II К ГЛАВЕ I
§ 1. Полярные координаты
В гл. I мы исходили из понятия функции и иллюстрировали его
геометрически с помощью кривой. Однако полезно напомнить'), что
аналитическая геометрия идет противоположным путем: она исходит
из геометрически заданной кривой и уже затем представляет эту
кривую функцией, которая, например, выражает одну координату
точки кривой через другую. Эта точка зрения, естественно, приводит
к рассмотрению, кроме прямоугольных координат,—единственных,
употреблявшихся нами до сих пор,—также и других систем коор-
динат, которые могут оказаться более подходящими для конкретных
кривых, заданных геометрически.
Важнейшим примером являются полярные координаты (г, О'),
связанные с прямоугольными координатами х, у точки Р посредством
уравнений:
х = г cos О', у = г sin О'; г2 — х2-4- у2, tg^ — y/x',
геометрическое значение полярных координат указано на рис. 25.
Рассмотрим, например, лемнискату, геометрически она опреде-
ляется как геометрическое место всех точек Р, для которых произ-
ведение расстояний fj и г2 от неподвижных точек Fx и F2 с прямо-
угольными координатами х = а, у = 0 и х — — а, у = 0 равно
постоянному числу а2 (ср. рис. 26).
Так как г2 — (х— а)2-ф-У2. r% = (х aj2 у2, то после простого
преобразования уравнение лемнискаты получается в следующем виде:
(х2 + у2)2 — 2а2 (х2 — у2) — 0.
Вводя полярные координаты, получаем
г4 — 2a2r2 (cos2 О — sin2 О) = 0
) Ср. также стр. 31.
ДОПОЛНЕНИЕ II К ГЛАВЕ I
95
или, сокращая множитель г2 и применяя простую тригонометрическую
формулу, имеем
г2 = 2а2 cos 2d.
Мы видим, таким образом, что уравнение лемнискаты в полярных
координатах имеет более простой вид, чем в прямоугольных.
§ 2. Некоторые замечания о комплексных числах
Наши исследования будут иметь своей основой главным образом
область действительных чисел. Однако я хотел бы уже теперь, имея
в виду применения, о которых будет идти речь в гл. VIII, IX и XI,
напомнить, что проблемы алгебры привели к еще более широкому
обобщению понятия числа, а именно к введению комплексных чисел.
Постепенное расширение области чисел от системы натуральных
до совокупности всех действительных чисел было вызвано потреб-
ностью устранить случаи возможных исключений из общих математи-
ческих законов и сделать выполнимыми во всех случаях без исклю-
чения известные операции, как, например, деление, вычитание, уста-
новление соответствия между числами и отрезками. Подобно этому
к введению комплексных чисел вынудило требование, чтобы всякому
квадратному уравнению и даже всякому алгебраическому уравнению
можно было приписать известное решение. Если, например, хотят
добиться, чтобы уравнение
х2+1 =0
имело корни, то приходится ввести новые символы -\-1 и —I в ка-
честве корней этого уравнения (и этим одновременно достигается,
как доказывается в алгебре, разрешимость всех алгебраических
уравнений)1).
Если а и b— обыкновенные действительные числа, то комплекс-
ное число c = a-\-lb означает не что иное, как пару чисел {а, Ь),
причем действия над подобными парами производятся просто по сле-
дующему правилу. Комплексные числа a-^-ib (в состав которых
входят в качестве частного случая при Ь — 0 также и действительные
числа) складывают, умножают и делят, рассматривая символ I как
неопределенную величину, а затем упрощают все выражения, содер-
жащие i в степенях выше первой, пользуясь соотношением Р =—1,
так что I остается только в первой степени и снова получается выра-
жение вида a~^lb.
Мы вправе предполагать, что читатель уже имеет некоторое зна-
комство с этими комплексными числами. Тем не менее обратим внима-
ние на одно особенно важное соотношение, связанное с геометрическим
') Тот факт, что всякое алгебраическое уравнение имеет действительные
или комплексные корни, составляет содержание так называемой «основной
теоремы» алгебры.
96
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
и тригонометрическим способами изображения комплексных чисел.
Комплексное число с — х-\-1у изображают в прямоугольной системе
координат точкой Р с координатами х и у. Введем теперь вместо
прямоугольных координат х и у полярные координаты г и О' (ср.
рис. 25, стр. 94) посредством уравнений
х = г cos'О', y = rsinO,
причем мы берем г О и — л<О'<^л, так что г = j/x24-у2—рас-
стояние точки Р от начала координат, а О'—угол между положи-
тельной осью х и лучом ОР. Комплексное число с представляется
тогда в виде
с = г (cos О + z sin О).
Угол О называется аркусом или аргументом числа с, а величина
г—модулем этого числа, который обозначается также символом | с J.
«Сопряженному» комплексному числу с = х — iy соответствует,
очевидно, тот же самый модуль г, но аркус этого числа с равен — О'.
Очевидно, г2 = | с |2 = сс = х2 4~ у2.
С помощью указанного тригонометрического представления умно-
жение комплексных чисел принимает особенно простую форму. В са-
мом деле,
с • с' — г (cos О' -ф- г sin О) • г' (cos О' 4- i sin О'7) =
— rr' [(cos О' cos О'7 —sin 0 sin О'7) -[- I (cos О sin О7-[-sin О cos О7)],
откуда, принимая во внимание известные законы сложения тригоно-
метрических функций, получаем
сс' = rr' [cos (О + О7) -ф-I sin (О -ф-О7)],
т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аркусы складываются.
Из формулы
(cos О 4- i sin О) (cos О7 4- i sin О7) — cos (О' 4~ О7) 4~ z sin (О' 4~ О7)
непосредственно получается замечательное соотношение
(cos О' 4~ i sin 0)" = cos nO 4~ * sin zzO,
которое обычно называется формулой Муавра. Она дает возможность
решить уравнение х" — 1 для целого положительного п и сразу на-
писать все корни этого уравнения (так называемые корни степени п
из единицы):
2л , , . 2п о 4л ... 4л
е, = е = cos---4 i sin — , е, = е2 — cos---4 z sin — ...,
2 п 1 п 2 п 1 п ’
„ , (п—1)2л , . . (п — 1)2л п ,
e„_i = e«-1 = cos-J—-------[-zsin——, ел = е" = 1.
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I 97
Далее, если разложить левую часть формулы Муавра по правилу би-
нома Ньютона, то, отделяя действительную и мнимую части этого
тождества, мы получим выражения для cosnft и sinnO1 через степени
и произведения степеней соэД и sinft.
Упражнения
1. Построить графики следующих функций:
г = sin ф; г = соз5ф; г = ф; г =---а — постоянно; г = з1п6ф.
г т’ cos (ф — а) т
2. Найти полярное уравнение:
а) окружности радиуса а с центром в полюсе; б) окружности радиуса а
с центром в точке (а, 0О); в) произвольной прямой линии.
3. С помощью формулы Муавра выразить через cos 0 и sin 0:
a) cos 20 и sin 20; б) cos 30 и sin 30; в) cos 59 и sin 50.
Доказать, что cos «0 выражается в виде целого многочлена от cos 0,
a sinnO при нечетном п выражается в виде целого многочлена от sin0.
4. Вычислить нижеследующие выражения и найти модули и аркусы как
чисел, над которыми производятся действия, так и полученных в виде ответа
комплексных чисел:
a) -3-2Z; б) (4 + 4г)(|-1Кз г); в) (1 +0(1 -г); г) (/У— i) 2.
д) 1,/г; е) Л=; ж)(1+г)‘/2; з) (3 — 31/4 и) 1'4 к) (16г)'4
5*. Доказать, что если e = cos | Zsin^-, где п — натуральное число,,
большее единицы, то
v , 9v , nv ( 0, если п не является делителем числа V,
е + е + ... + е = 1
I. п, если п является делителем числа v.
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
1. Доказать, что если р и q— целые числа, то десятичное разложение
дроби p'q будет либо конечной, либо периодической десятичной дробью.
Доказать также, что всякая конечная или периодическая десятичная дробь
представляет рациональное число.
2. Записать число 39 в троичной системе счисления (системе с основа-
нием 3).
3. Как писалось бы число сто пятьдесят шесть, если бы во всеобщем
употреблении была а) двоичная система счисления, б) система счисления
с основанием 4?
4. Нижеследующие числа записать в системе счисления с основанием 12:
а) 1076; б) 10 000; в) 20 736; г) 1/6; д) 1/64; е) 1 ;5.
5. Число /2 можно вычислить с точностью до 0,1 таким способом:
I2 = 1 < 2, 22 = 4 > 2, следовательно, 1 < ]42 < 2. Затем 1,32 = 1,69 < 2;
1.42 = 1,96 < 2; 1,52 = 2,25 > 2; поэтому 1,4 < /Т < 1,5.
а) Продолжить этот процесс еще на один шаг; б) вычислить тем же
способом У~7~ с двумя знаками после запятой.
6. При каких значениях х справедливы следую цие неравенства?
а) х2 +3х + 1 > 0; б) х2 — х + 1 > 0; в) | х + 1/х | > 6; г) Зх — 2 < х3.
7 Р. Курант
98
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
7. Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел
а и b не меньше их среднего геометрического, т. е. что
Выяснить, в каком случае надо писать здесь знак равенства.
называется сред-
8. Число |, определенное равенством -g-
ним гармоническим двух положительных чисел а, Ь. Доказать, что среднее
геометрическое не меньше среднего гармонического, т. е. что У~аЬ g.
В каком случае надо писать здесь знак равенства?
9*. Доказать нижеследующие неравенства, если а, Ь, с — положительные
числа:
a) a2 + 62 + c2>a&4-dc+c«; б) (а 4. Ь) (Ь -|-с) (с +«) > 8abc;
в) a2b2 4- b2c2 4- с2а2 > abc (а b 4~ с).
10. Числа %1, х2, х3 и числа (г, к — 1, 2, 3) все положительны. Из-
вестно, что aik^M. и х2 4~ 4~ хз < 1- Доказать, что
аих1 4“2«12'11'1х24~ ••• 4"а33Хз.-СЗЛ4.
11* . Доказать, что если числа at, а2, ..., ап и blt b2, Ьп удовлет-
воряют неравенствам «1 > а2 ... > ап и Ь{ > Ь2 ... > Ьп, то
п 2 а‘Ь‘ > ( 2 ( 5
г=1 \/=1 / у.1 /
12. Доказать следующие свойства биномиальных коэффициентов:
6>(?)+2(2)+3(“з)+"'+"(») = “^,;
в) 1.2(^) + 2.з(” )+ ... 4~(л —1)л( ” j = л(л—-1)2Л~2;
. 1 , 1/ п\, 1 /п\, . 1 (п\ 2n+1—1
г) 1+тЬ)+з(2)+ +7+т(п) = -4ЙЛ-:
, / п V , / п V . . ( п \2 / 2л \
Д) 1о) + +(и) =( л J'
13. Суммируя выражения
V (v1) (V Н-2) ... (v + *4-l) — (v— 1) v(v+l) ... (v + A)
по v от v = 1 до v = л, показать, что
п
2 V (V + 1) (V + 2) ... (V + k) = n(n+V А+(" + * + 1) .
v=l ' -
14. Вычислить 13-|-23-|- ... 4-л3, используя тождество
V3 = v (v 4-1) (v 4- 2) — 3v (v 4-1) 4~ v*
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Г
99
15. Вычислить следующие суммы:
1 , 1 , , 1
а) 1 -2-3 ”1" 2-3-4 • п (га 4-1) (га4-2) *
, 1 , 1 , 1 1
' 1-3 + 2.4+ 3-5 + п(п4-2) ’
. 1 , 1 , , 1
В) 1 -2-4 2-3-5 + -Г га («4-1) («4-3) '
16. Составить формулу для га-го члена следующих арифметических про-
грессий высших порядков (см. упр. 5. стр. 46):
а) 1, 2, 4, 7, 11, 16, ...; б) —7, —10, —9, 1, 25, 68, ...
17*. Показать, что сумма первых га членов арифметической прогрессии
порядка k (см. упр. 5, стр. 46) равна
aSh 4~ bS/l_l 4- ....-f-pSi 4"9'я’
где Sv обозначает сумму v-x степеней первых п натуральных чисел, а коэф-
фициенты а, Ь, ..., р, q не зависят от п.
Вычислить сумму первых п членов каждой прогрессии в упр. 16.
18*. Доказать формулу бинома Ньютона
(«4-6)n = an4-("jan-,z>4-^ja'’-2b2 4- ... 4-бл
методом математической индукции (см. также стр. 228).
19. Вычислить следующие пределы:
Э) Дтсо(‘П2+7^+ ••• + га («4- 1)):
/ 1 1 1 \
б) га'^Ь-2-3 ' 2-3-4 ' ' га(га4-1)(га-|-2)Г
/ 1 , 1 , , 1 \
в) Нт 7-----р---... 4- ... 4-__.. у
”’*00\УГл Уп + 1 И2л/
k k __________
20. Зная, что У аг = 0, доказать, что Игл 2 а1 У п 4-2 = 0.
г-0 л->оо г=0
га5
21. Доказать, что lim -трг = 0.
гг-»оо z
(л4-1)5
22. Доказать, что lim -три-= 0-
п -__
23. Доказать, что lim 1/га2 =1.
П *->оо
2гг + 1
24. Доказать, что lim 1/"л2 । л = 1.
гг-»оо ~
25. Показать с помощью критерия сходимости Коши, что данные ниже
последовательности сходятся:
а) ап = —; б)ая = —4—;
п п
•)-«,_1 + 4+4+...+4-;
г*) ал = 1—2?—-gj— ± 7J--
7*
100
ГЛ. I. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
26*. Показать, что пределы последовательностей в) и г) предыдущего
упражнения являются взаимнообратными числами (так что предел последо-
вательности г) равен 1/е).
27*. Доказать, что предел последовательности
КХ V2-}-Vb V2 + V2+V2, ...
а) существует; б) равен 2.
28*. Доказать, что предел последовательности
1 , 1 , ,1
ап~ п п +1 + + 2п
существует. Показать, что этот предел меньше чем 1, но не меньше чем 1/2.
29. Доказать, что предел последовательности
1 । । 1
= •••
равен пределу из предшествующего упражнения и что он больше чем 1/2, но
не больше чем 1.
30. Для предела L из предыдущих двух упражнений вывести следующее
неравенство: 37/60 < L < 57/60.
31*. Пусть 61—два любых положительных числа, и пусть ах <bt.
Положим а2 —-----т—т—> "2 и вообще
«1 +&1
Доказать, что последовательности at, а2, ... и bt, b2, ... сходятся и имеют
один и тот же предел.
32*. Доказать следующую теорему: если ап > 0 и lim —4.+ 1 = L, то и
п -> ОО йп
п
lim V~a~n = L.
п->оо
33. Пользуясь теоремой упр. 32, вычислить пределы последовательно-
стей: ___________________________
п_ «____________ "Ли!
а) Уп \ б) + в) у •
34. Пользуясь результатом упр. ЗЗв), показать, что
п\ = ппе пап,
п
где ап есть функция индекса, обладающая свойством: V~a~n -> 1. (См. Допол-
нение к гл. VII, стр. 422.)
35. Доказать, что lim = 2. Найти такое число б, что при [х|<б
х + 2
а) меньше чем 1/10,
абсолютная величина разности между 2 и
б) меньше чем 1/1000, в) меньше чем е, е > 0.
’ 3
: -g-. Найти такое б, что при 11—х ] < б
, 3
абсолютная величина разности между и
Сделать то же самое для б) lim]/' 1 -f-x3; в) lim
36. а) Доказать, что lim
меньше чем г, е > 0.
sin х
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
101
37. Доказать, что:
a) lim L = 1. б) lira /х + 1/2(/Т+Т—/х) = 1/2.
Л->0 X 2 Л" СО
38. Доказать, что lim (cos itx)2m существует при любом значении х и
равен 1 при х целом и 0 в противном случае.
39*. Доказать, что lim Г lim (cos itn! x)2ml существует при любом зна-
п -> со [тп ->со ]
чении х и равен 1 при х рациональном и 0 при х иррациональном.
40. Выяснить, какие из следующих ниже функций непрерывны. Для тех
из них, которые разрывны, найти точки разрыва.
/(0)=0;
6)/(л)=^+^+3\ Z(0> = O;
в) f (х) = Ит (cos лх)2т;
г) / (х) = lim [ lim (cos лп! х)2т 1.
п -> со i-m ->со J
41. Функция /(х) непрерывна при 0</х</1. Известно, что /(х) при-
нимает только рациональные значения и что /(1/2) = 1/2. Доказать, что
/(х)=1/2 во всем промежутке 0<х<(1.
42. Имеет ли функция / (х) = 2 sin Зх 10 cos 5х действительные корни?
43*. Функция / (х) удовлетворяет функциональному уравнению
/(х-|-у)=/(х)+/(у)
при всех значениях х и у. Найти значения / (х) в рациональных точках и
доказать, что если / (х) непрерывна, то / (х) = сх, где с — постоянная.
44*. Доказать теорему: если /(х) равномерно непрерывна в полуот-
крытом интервале а < х < Ь, то / (х) стремится к определенному пределу
при х -> а (этот предел можно принять за значение функции при х = а).
45. Построить кривые по их уравнениям в полярных координатах и вы-
разить уравнения этих кривых в декартовых координатах:
2
а) г — а b cos 9 (улитка); б) г = g- (эллипс);
. 2а sin2 9 . „ За sin 9 cos 9 . .
в) (циссоида); г) r= 8-,пз е + cos? е' (Декартов лист).
46*. Показать, что уравнение эллипса, один фокус которого находится
в полюсе полярной системы координат, имеет следующий вид:
1 — е cos (9 — 90)
47. Комплексная переменная z — х -|- iy изображается точкой в декар-
товой системе координат. Построить кривые:
а) | | = 2’ 6)* | 7-(Г | = ГДе а’ Р — комплексные постоянные,
a k — действительная положительная постоянная; в) | гг — 11 — k.
48. Пусть Ci, с2—два комплексных числа. Доказать, что;
a) I ci ± с21 < | Ci | + | с21; б) | ct ± с21 > 11 с, | — | с211.
49. Доказать тождество
I ci Н-с212 -|-1 с, — с212 — 21 с, |2 -|~2 | с212,
где сь с2 — комплексные числа. Выяснить геометрический смысл этого тож-
дества.
50. Доказать формулу Муавра (cos 9 -|-1 sin 9)" = cos n0 i sin nd мето-
дом математической индукции.
ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Из понятий, связанных с предельным переходом в анализе, два
играют особенно важную роль, не только потому, что они то и дело
встречаются в самых различных вопросах, но прежде всего в силу
того, что они находятся между собой в тесной взаимной связи. Эти
два понятия — интеграл и производная. Приводящие к ним предель-
ные переходы рассматривались на отдельных разрозненных примерах
уже давно, частью уже в классической древности; но началом на-
стоящего, систематического развития интегрального и дифференциаль-
ного исчисления является лишь тот момент, когда заметили тесную
взаимную связь между этими понятиями и, опираясь на эту связь,
положили их в основу совершенно новых методов исчисления. Этим
мы обязаны в равной мере двум великим умам XVII столетия — Нью-
тону и Лейбницу, которые, как в настоящее время установлено,
сделали свои открытия независимо друг от друга. Хотя Ньютон в
своих исследованиях, быть может, достиг большей ясности понятий,
однако обозначения и методы вычисления Лейбница получили более
высокое развитие. Еще и в настоящее время эти формальные стороны
концепции Лейбница являются необходимым элементом теории.
§ 1. Определенный интеграл
В первую очередь мы рассмотрим понятие интеграла. Это поня-
тие, по существу и из исторических соображений, следует выдвинуть
на передний план в значительно большей мере, чем это обычно
практикуется в силу действующей поныне педагогической традиции,
покоящейся на случайных обстоятельствах. С понятием интеграла мы
впервые встречаемся в задаче измерения площади плоской криволи-
нейной фигуры. Более тонкое рассмотрение позволяет затем тотчас
освободить понятие интеграла от наивного представления площади и
приводит к чисто аналитической формулировке, построенной на по-
нятии числа. Значение этого аналитического определения интеграла
обнаруживается не только в том, что единственно оно дает нам пол-
ную логическую ясность, но и в возможности разнообразных прило-
жений, далеко выходящих за пределы определения площади.
Начнем с наглядного рассмотрения.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
103
1. Интеграл как площадь. Пусть на некотором интервале задана
непрерывная положительная функция / (х), и пусть х = а и х — b
(а <{Ь)— два значения в этом интервале; представим себе эту функ-
цию изображенной в виде кривой и рассмотрим площадь, ограничен-
ную этой кривой, двумя прямыми х = а и х = Ь и, наконец, частью
оси абсцисс между точками а и b (рис. 27).
[Эта фигура называется криволинейной
трапецией.}
То, что есть определенный смысл гово-
рить об этой площади, является допуще-
нием, внушаемым интуицией, и мы здесь
формулируем это явно в качестве гипо-
тезы. Мы называем эту площадь Fa опре-
деленным интегралом от функции f{x),
взятым от а до Ь. Если мы попытаемся
y-f(x)
действительно выразить эту площадь име-
нованным числом, то сразу увидим, что не Рис. 27.
умеем измерять площади фигур, ограни-
ченных кривыми линиями, но зато умеем вычислять площади любых
прямолинейных многоугольников, разбивая их на треугольники или
прямоугольники. Точно провести такое разбиение нашей площади
в общем случае невозможно. Но весьма естественно представить эту
Рис. 28.
площадь как предел суммы площадей пря-
моугольников следующим образом. Делим
отрезок оси абсцисс между точками а и Ь
на п равных частей и восставляем во всех
точках деления ординаты до пересечения
с кривой; таким образом, площадь раз-
бивается на п полос. Площадь каждой из
этих полос столь же трудно, вычислить
непосредственно с помощью функции f (х),
k как и всю искомую площадь; но если мы,
& как это видно на рис. 28, найдем в каж-
дом частичном интервале наибольшее или
наименьшее значения функции /(х) и заме-
ним соответствующую полосу сперва прямо-
угольником с высотой, равной наименьшему значению функции, а затем
прямоугольником с высотой, равной наибольшему значению функции,
то получим две ступенчатые фигуры; ступенчатая ломаная одной фи-
гуры вычерчена сплошной линией, другой — пунктиром. Первая ступен-
чатая фигура имеет, очевидно, площадь, меньшую искомой площади Рьа,
а другая — площадь, большую чем Рьа. Обозначим обе эти площади,
полученные тем и другим путем, соответственно через Рп {нижняя
сумма) и Fа {верхняя сумма)-, тогда имеет место соотношение
р Fb <~F~
104
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
Если станем теперь делать все более и более мелкие подразде-
ления, т. е. будем неограниченно увеличивать число п, то наглядно
ясно, что обе величины Fn и Рп все больше сближаются и стре-
мятся к общему пределу Fba. Мы можем, таким образом, рассматри-
вать наш интеграл как предел:
Fba = lim Fn — lim Fn.
П “> OO n -> oo
Это наглядное рассмотрение показывает сразу и возможность обоб-
щения. Нет никакой необходимости в том, чтобы частичные интер-
валы были одинаковой длины; они могут быть и различной длины,
если только предположить, что с возрастанием п длина наибольшего
из частичных интервалов стремится к нулю.
Возможно и другое обобщение, порою полезное, но не столь
очевидное. При составлении верхних и нижних сумм можно брать
в качестве высоты каждого прямоугольника не точно наибольшее
или наименьшее значение функции f (х) в соответствующем частичном
интервале, а несколько большее или меньшее значение при усло-
вии, что с утончением разбиения наибольшая разность высот стре-
мится к нулю.
2. Аналитическое определение интеграла. Мы только что рас-
сматривали определенный интеграл как число, заданное площадью и,
стало быть, до некоторой степени заранее известное, а затем, зад-
ним числом, представили его в виде предела. Теперь мы обратим
порядок рассмотрения. Оставим ту точку зрения, будто мы интуи-
тивно уже знали, что всякой криволинейной трапеции можно отнести
указанным образом меру площади и как это сделать. Наоборот, мы
будем исходить из сумм, составленных чисто аналитически, вроде
определенных ранее верхних и нижних сумм, и потом докажем, что
эти суммы стремятся к определенному пределу. Этот предел мы
будем рассматривать как определение интеграла и площади. Этот
путь нас естественным образом приведет к тем формальным обозна-
чениям, которые со времени Лейбница вошли в употребление в инте-
гральном исчислении.
Пусть /(х)—положительная непрерывная функция в интервале
й<^х<С£. Представим себе, что интервал длины b — а разделен
п—1 точками деления X], х2, .... хп_1 на п произвольных, рав-
ных или неравных, частичных интервалов, и, кроме того, положим
х0 = а, хп = Ь. В каждом частичном интервале мы выбираем совер-
шенно произвольную точку, которая может лежать внутри или на
границе интервала: в первом интервале точку во втором интер-
вале точку £2, ••., в и'м интервале точку Мы рассматриваем
теперь вместо непрерывной функции /(х) разрывную (ступенчатую)
функцию, которая в первом частичном интервале имеет постоянное
значение /(E.J, во втором—постоянное значение f (|2), .... в га-м
2] § 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 105
интервале — постоянное значение /(£„). Графическое изображение
этой функции определяет, как указано на рис. 29, совокупность
прямоугольников, сумма площадей которых дается выражением
F„ = (x1-x0)/(^) + (x2-x1)/fe) + ... + (x„-x„_1)/(L).
Сокращенно эту сумму записывают, пользуясь знаком суммиро-
вания 2’ в форме
п
(*v—*V-1)/O
V = 1
Введя обозначение Axv = xv — xv-1, можно эту запись еще более
сократить:
п
V = 1
Символ А не является здесь множителем, а обозначает разность
(differentia). Цельный неразделимый символ Axv обозначает, по опре-
делению, длину v-ro частичного интервала.
Наша основная теорема заключается в следующем:
Если число точек деления неограниченно возрастает и в то же
время длина Ах наибольшего частичного интервала стремится
к нулю, то указанная сумма стремится к пределу. Этот пре-
дел не зависит от выбора точек деления и промежуточных зна-
чений £2.........|я в частичных интервалах.
Этот предел называют определенным интегралом от функ-
ции / (х), взятым от а до Ь, и рассматривают его, как уже было
упомянуто, как определение площади') между кривой у = /(х),
') Можно, конечно, понятие площади определить и чисто геометрически
и затем доказать эквивалентность такого геометрического определения
с предыдущим определением площади как предела суммы. Ср. гл. V, § 2,
n° 1, стр. 311.
106 гл. И. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (3
осью х и ординатами а и Ь. Нашу основную теорему можно пере-
фразировать так: если /(х) непрерывна в интервале то
ее определенный интеграл от а до Ь существует.
Эту теорему о существовании определенного интеграла от
непрерывной функции можно и должно доказать чисто аналитически,
не прибегая к интуиции. Однако мы пока пропустим здесь это дока-
зательство и приведем его в дополнении к этой главе, когда чита-
тель, убедившись в плодотворности новых понятий, будет более
заинтересован в их точном обосновании. Пока удовлетворимся тем,
что наглядные соображения из n° 1 делают эту теорему чрезвычайно
правдоподобной.
3. Дополнения, обозначения и основные свойства определен-
ного интеграла. Только что данное определение интеграла как
предела суммы побудило Лейбница обозначить интеграл следующим
символом:
j f(x)dx.
а
Знак интеграла получился при этом путем стилизации знака суммы,
имевшего форму латинского S. Предельный переход от деления ин-
тервала на конечные разности Axv к стремящимся к нулю разностям
отмечен тем,.что вместо символа А пишут символ d. Не следует,
однако, рассматривать dx как «бесконечно малую величину», а ин-
теграл— как «сумму бесконечного числа бесконечно малых слагае-
мых»; такое представление было бы совершенно лишено ясного
смысла: то, что в нем есть правильного по существу, как раз точно
выражается указанным выше предельным переходом. Итак,
ь п
/(x)dx=lim V/(xv)Axv,
когда длина наибольшего из частичных интервалов стремится
к нулю.
В предыдущих чертежах мы предполагали: во-первых, что
«подынтегральная» функция /(х) положительна во всем интервале и,
во-вторых, что 6 > а. Но формула, определяющая интеграл как
предел суммы, совершенно не зависит от этих допущений. Если /(х)
имеет отрицательные значения во всем интервале или в части его,
то в нашей сумме просто соответствующий множитель /(£v) имеет
отрицательное значение. Мы, разумеется, припишем тогда соответ-
ствующей части плоскости, ограниченной нашей кривой, отрицатель-
ную площадь, что вполне согласуется с правилом знаков, известным
из аналитической геометрии. Вся площадь, ограниченная куском кри-
вой, в общем случае составится из положительных и отрицательных
31
§ 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
107
слагаемых соответственно числу частей кривой, лежащих над осью х
или под нею1).
Если отказаться также от допущения а < Ь и принять а > Ь,
то можно все же сохранить арифметическое определение интеграла;
только разности Axv, когда мы пробегаем интервал от а к Ь, ста-
новятся отрицательными. Таким образом, мы непосредственно при-
ходим к соотношению, справедливому при любых значениях а и b
{а Ф Ь):
b а
J f (x)dx — — J f (x) dx.
a b
В согласии с этим соотношением полагаем (в качестве опреде-
ления)
J /(х) dx — Q.
а
Подобным же образом из определения интеграла непосредственно
получается основное соотношение-.
Ь с с Уч
J / (х) dx + у / (х) dx — у / (х) dx,
aba
если а < Ь < с (ср. рис. 30). На основании
предыдущих соотношений это равенство
справедливо также и при любом положении О
трех точек а, Ь, с.
К простому и важному основному свойству
определенного интеграла мы приходим, рас-
сматривая функцию cf (х), где с — постоянная. Из определения инте-
грала непосредственно получаем
ь ь.
У cf (x)dx — c у f(x)dx.
а а
Далее приведем следующее правило интегрирования суммы: если
/(х) = ф(х) + ф (х),
то
b b ь
У f(x)dx= у <р(х)й?х—|—у ф(х)£?Х.
а а а
') Относительно площадей, ограниченных любыми замкнутыми кривыми,
см. гл. V, § 2.
108
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
II
Доказательство его также непосредственно вытекает из определе-
ния интеграла.
Наконец, еще одно само по себе очевидное, но практически
важное замечание относительно обозначения переменной интеграции.
Мы писали наш интеграл в виде
ь
J /(х) dx.
а
Для вычисления интеграла не имеет никакого значения, назовем ли
мы абсциссу системы координат, т. е. независимую переменную,
через х или как-нибудь по-иному. Поэтому совершенно безразлично,
ь
как назвать переменную интеграции: вместо J f(x)dx можно писать
а
также ь ь
J f(t)dt или J f(u)du и т. п.
а а
§ 2. Примеры
Процесс предельного перехода, о котором идет речь в опреде-
лении интеграла, можно
Рис. 31.
во многих случаях действительно выполнить,
доведя его до полного вычисления искомой
площади. Разъясним это на ряде примеров,
причем будем пользоваться то верхними, то
нижними суммами !).
1. Интегрирование линейной функции.
Рассмотрим сперва функции f (х) = хп, где
— целое число. При п = 0, т. е. для /(х) = 1,
результат без всякого предельного перехода
настолько очевиден, что мы его просто запишем:
ь ь
J 1 • dx = J dx = b — а.
а а
И для функции f (х) = х интегрирование геометрически тривиально. Инте-
грал функции f (х) = х:
ь
J х dx
а
представляет площадь трапеции, изображенной на рис. 31, и по формуле
элементарной геометрии равен
*) Предоставляем читателю в качестве полезного упражнения самому
убедиться на следующих примерах, что действительно при пользовании
верхними и нижними суммами получается один и тот же предел.
§ 2. ПРИМЕРЫ
109
Покажем, что тот же результат получается и путем предельного пере-
хода. При этом для нахождения предела можно ограничиться рассмотрением
или верхних, или нижних сумм. Делим интервал от а до b на п равных
частей точками деления:
а 4- h, a-\-2h, ..., a + (n— 1) Л,
, b — а „
причем h = —-—. 1огда интеграл является пределом следующей суммы,
которая является нижней, если а < Ь, и верхней, если а > Ь:
h{a+(a+h) + (a + 2h)+ ... + [а + (п- 1) Л]} =
— h {па-\- h-\-2h-\- ... («'—1)Л)}.
Но
1+2+ ... + (n— 1) = (я~1)я-,
и наше выражение переходит поэтому в
(п— 1) h 1 , (
--J— | = (b — а) | «4
Ь — а п — 1 )
~ п (’
С возрастанием п правая сторона стремится, очевидно, к пределу
,, х ( , Ь —а
(b — a) I а 4--------g—
Ь2 — а2
2
что и требовалось доказать.
2. Интегрирование функции х2. Не так
прост пример функции / (х) = х2 или, говоря
геометрически, определение площади, ограничен-
ной дугой параболы, отрезком оси абсцисс и
двумя ординатами. Вычислим, например, интеграл
ь
J х2 dx,
о
где 6 > 0. Делим (см. рис. 32) интервал Рис. 32.
0 + х + Ь на п равных частей длины h = bin:,
тогда искомая площадь является пределом следующего выражения (верхняя
сумма):
Л(А2 + 22Л2 + 32Л2+ ... +п2/г2) = Л3(12 + 22+ ... +«2) =
Ь3
= -^(12 + 22+ ... ++),
но на стр. 45 мы видели, что
р + 22 + . + п2 = ” (2»+ 1) .
Подставляя это значение в предыдущую формулу, мы после очевидного
преобразования получим
±ц1+_ш2+и
6 \ п ) \ п )
При неограниченном возрастании п это выражение стремится к пре-
делу Ь3/3, и мы имеем искомую формулу интегрирования:
ь
Г b3
х2 dx — .
о
ПО ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [3
Отсюда с помощью основного соотношения (стр. 107) легко получается
более общая формула:
b Ъ а
f f f АЗ а3
х2 dx = x2dx — х1 dx =-------з---.
а о о
3. Интегрирование х“ при любом целом положительном значении а.
В качестве третьего примера рассмотрим интегрирование степенной функции
У=/(х) = х“,
где а — любое целое положительное число. Для вычисления интеграла
ъ
j ха dx
а
(причем предполагаем, что 0 < а < Ь) можно было бы разбить интервал
на п равных частей *). но проще выполнить переход к пределу, если про-
извести разбиение в «геометрической прогрессии», т. е. следующим образом:
"/Т
полагаем у — = q и делим интервал с помощью точек деления
a, aq, aq\ ..., aqn~\ aqn = b.
Искомый интеграл является тогда пределом следующей суммы:
аа (aq — а) + (aq)a (aq2 — aq) +
+ (aq2)a (aq3 — aq2) -f- ... 4“ (aqn~')a (aqn — aqn~1) =
= aa+1(q— 1) {l + ?a+1 ...
при неограниченном возрастании n.
В последних скобках стоит геометрическая прогрессия со знаменателем
^a+1 1. Суммируя, получаем для всего выражения значение
„л(а+1)__1
ч *
Подставляя вместо ^”(a+1) его значение j , получаем, наконец,
для нашей суммы выражение
(*a+l —aa+l)....9.71 .
gfl+l _ 1
Когда п неограниченно возрастает, первый множитель не изменяется,
а второй множитель на основании формулы для суммы геометрической
прогрессии можно представить в виде
__________1_________
1+<Z + (Z2 + ... +<1а’
*) Вычисление интеграла привело бы к нахождению предела от
-д-д- (1а +2а ... -|-па) при и->оо, что читатель может сам проделать,
пользуясь замечаниями в сноске на стр. 42.
4]
§ 2. ПРИМЕРЫ
111
так как ^#=1; он стремится-к пределу • ! г, ибо при п->со g = (bla)ln
Ct 1
стремится к 1. Таким образом, получаем, наконец, искомое значение нашего
интеграла:
Мы позже увидим (§ 4), что можно совершенно избежать этого простого
по идее, но несколько громоздкого вычисления, если охватить нашу про-
блему интегрирования с несколько более широкой в смысле метода точки
зрения.
4. Интегрирование при произвольном рациональном значении
а=£—1. Не усложняя существенно рассуждения, можно полученный резуль-
тат значительно обобщить. Пусть a — r^s — положительное рациональное
число, г и s — целые положительные числа; тогда в только что приведенном
вычислении интеграла ничего не меняется, за исключением нахождения пре-
дела выражения —--------при ^->1. Это выражение теперь имеет вид
— 1
' (r+5)/s^—J-" Полагаем q/s = x (т=#1): тогда т стремится к 1 вместе с q,
V___1
и мы должны, следовательно, найти предел выражения при т-> 1.
Если разделим числитель и знаменатель на т — 1 и применим к каждому
из них указанное выше алгебраическое преобразование, то искомый предел
есть просто
г5-1 1^-2 1 _|_1
т'’+*-Ч-тг+*-2+ ... +1
и определяется непосредственно подстановкой т = 1 в числитель и знаме-
натель, которые являются непрерывными функциями от т; таким образом,
s 1
получаем значение —:— = ——г, так что и для любого положительного
г s ot 1
рационального значения а имеем ту же формулу интегрирования:
ь
J xarfx = -jq-T(fca+1— л«+1).
а
Эта формула остается справедливой и для отрицательных рациональ-
ных значений а, если и. 4=—1; когда а = — 1, очевидно, теряет смысл при-
мененная выше формула суммы геометрической прогрессии. Чтобы найти
предел выражения -------- при отрицательном значении a = — r/s, пола-
— 1
гаем q тогда q = т а 9a+1 = q T^s+1 = q s^s = xr s, и, следо-
вательно, мы должны теперь найти предел выражения
т~4—1 1 —Xs
xr~s — 1 — xr — Xs ‘
Предоставляем читателю самому доказать, что этот предел опять-таки
равен l . Итак, получаем для любого положительного или отрицательного
112
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
[б'
рационального значения а, за исключением а ~ — 1, общую формулу:
ь
f ха dx = —!-г <6а+1 — аа+1).
J а + 1
а
Впрочем, самый вид правой части этой формулы ясно обнаруживает,
что формула неприменима при а = — 1, так как при этом значении числи-
тель и знаменатель обращаются в нуль.
Естественно предположить, что область применения последней формулы
распространяется и на иррациональные значения а. Действительно, мы в § 7,
стр. 157, докажем это с помощью простого предельного перехода.
5. Интегрирование функций sin х и cos х. В качестве последнего при-
мера, который нам также придется решать с помощью специальной уловки,
рассматриваем функцию f(x~) = sinx. Мы будем рассматривать интеграл
ь
J sin х dx
а
как предел следующей суммы:
Sh = h [sin (а -|- h) -|- sin (а +2Л) -|- ... -f- sin (а nh)],
, b—a , . h
где « = —-—. Умножая выражение, стоящее в скобках, на 2sin-g и при-
нимая во внимания известную тригонометрическую формулу
2 sin и sin v = cos (и — v) — cos (и v),
получаем
Так как a -[-nh = Ь, то интеграл является пределом выражения
Л [ ( , h \ I h. \ 1
_>cos a + _)__c°s J
2 sin у
при h 0.
Но из первой главы мы знаем, что при Л—>0 выражение ~ • —5-^-
sin
стремится к 1, следовательно, искомый предел равняется cos и — cos Ь, и мы
получаем формулу интегрирования:
ь
sin х dx = — (cos b — cos a).
§ 2. ПРИМЕРЫ
113
Совершенно аналогично получается формула
ь
J cos х dx = sin b — sin a,
a
в чем читатель может убедиться сам.
Почти в каждом из рассмотренных примеров нам приходилось прибегать
к какому-либо особому соображению или специальной уловке. Существен-
ным пунктом методов дифференциального и интегрального исчисления как
раз является то, что вместо таких специальных уловок выступают сообра-
жения общего характера, обязательно приводящие к требуемым результа-
там. Чтобы прийти к этим методам, мы должны обратиться ко второму ос-
новному понятию анализа — к понятию производной.
Упражнения
1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у — 2х2 -|- х -|- 1, орди-
натами X = 1 и X = 3 И ОСЬЮ X.
2. Найти площадь, ограниченную параболой у = -i- х2 1 и прямой
У = 3 + х.
3. Вычислить площадь, ограниченную параболой у2 = 5х и прямой
У = 1 + %-
4. Найти площадь, ограниченную параболой у = х2 и прямой у — ах -\-Ь.
5. Пользуясь методами, примененными в тексте, вычислить интегралы
*
a) J (х 4- 1)а dx;
а
sin ах dx;
ь
в) у cos ах dx,
а
где а — любое целое число.
6. С помощью формул, полученных в упр. 5, а также тождеств sin2 х =
= у — у cos 2х, cos2x = ~cos 2х доказать, что
ь
Г , , b — а , sin — sin 2а
, cos2 xdx— —я-------------;
J 2'4
a
b
Г . „ , b — a sin 2b— sin 2a
sin2 x dx — —-----------------.
J 2 4
a
b'
7. При помощи формулы из упр. 1, стр. 46, вычислить у х3 dx, поль-
а
зуясь разбиением интервала на равные частичные интервалы.
1
8. Вычислить У (1—х)п dx, где п — целое положительное число. (Ука-
о
зание: раскрыть скобки.)
8 Р. Курант
114
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[1
§ 3. Производная
Понятие производной, подобно понятию интеграла, интуитивного
происхождения.' Источниками этого понятия являются, с одной сто-
роны, задача о проведении касательной к данной кривой в неко-
торой точке, с другой стороны, задача о точном определении ско-
рости произвольного движения.
1. Производная и касательная к кривой. Начнем с задачи о
касательной. Если Р есть точка заданной кривой (рис. 33), то каса-
. тельную в этой точке Р мы оха-
“ рактеризуем, руководствуясь
У непосредственно интуицией,
/ следующим геометрическим
/ р; предельным переходом.
Рассматриваем кроме то-
рКТ'-'Т'а., чки Р еще точку Рх на кривой
---------------------1—-------------------и проводим через эти две точки
/7-------------------прямую РРХ, секущую кривой.
‘ Когда точка Р1 стремится вдоль
кривой к совпадению с то-
О чкой Р, секущая стремится
к некоторому предельному по-
ис‘ ' ложению, которое не зависит
от того, приближается ли точка Рх к точке Р справа или слева. Это
предельное положение секущей и есть касательная, и утверждение,
что предельное положение секущей действительно существует, рав-
носильно допущению, что кривая в точке Р имеет определенную ка-
сательную или определенное направление. (Словом «допущение» мы
подчеркиваем, что это действительно предположение, которое даже
для непрерывных кривых не всегда справедливо,—оно, например, не
выполняется в угловой точке кривой; в такой точке имеются «левая»
и «правая» касательные, но не существует единой касательной.)
Если кривая представляет собой график функции у = /(х), то
возникает задача: выразить этот геометрический переход к пределу
аналитически, с помощью функции /(х). Условимся под углом, об-
разуемым прямой g с осью х понимать тот угол, на который нужно
повернуть положительную ось х в положительном направлении ’), пока
эта ось не станет в первый раз параллельной прямой g. Обозначим
угол от положительного направления оси х до секущей через а1(
а до касательной — через а (ср. рис. 33 и 34). Тогда
lima] —а,
р^р
>) То есть в том направлении, в котором поворот на угол я/2 перево-
дит положительное направление оси х в положительное направление оси у,
другими словами, — против часовой стрелки.
и
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ
115
где смысл обозначений совершенно ясен. Пусть х, y = f(x) и хР
y1=f(x1) обозначают координаты точек Р и Рр Из рис. 34 видно,
что
t а — СР1 — =
° 1 PC Xi — х х. — х &х '
Здесь Дх обозначает приращение абсциссы х, т. е. разность между
ее измененным значением х1 и исходным значением х; \у есть при-
ращение функции, т. е. раз-
ность между ее новым зна-
чением f (х^ и исходным
значением /(х):
Дх = Xj — х,
Ду = у1 — у = /(Xi) — f (х).
Таким образом, символ Д,
как и на стр. 105, не является
множителем, а лишь кратким
обозначением термина «при-
ращение».
Итак, тангенс угла от
оси х до секущей равен от-
ношению приращения функ-
ции (т. е. ординаты) к со-
ответствующему приращению рис 34
независимой переменной (аб-
сциссы).
Предельный переход lim аг = а приводится теперь к предель-
р.^р
ному переходу
tga= lim tga1 = lim
P,->P x,->x
/(x,)—/(x) ljm Ay__
Xj X Дх->0
(Когда Xj —> x, to Ax = Xj — x->0.)
Предел дроби, стоящий в правой части этого равенства, т. е.
предел отношения приращения функции к приращению независимой
переменной, когда это последнее приращение стремится к нулю,
называется производной функции у = /(х) в точке х и обозначается,
по Лагранжу, символом у' — f (х) или, по Лейбницу, символом ,
df (х) d
или —, или -^-/(х). На стр. 126 мы рассмотрим смысл обо-
значений Лейбница'); здесь же мы отметим, что обозначение
’) Символ следует пока рассматривать только как символическую
замену термина «производная». {Прим, перев.)
8*
116 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ |1
Лагранжа f (х) выражает тот факт, что производная в свою очередь
является функцией от х, так как она имеет определенное значение
для каждого значения х рассматриваемого интервала. Этот факт
иногда подчеркивают, пользуясь термином производная функция.
Теперь имеем:
tg a = f'(x),
т. е. тангенс угла от положительной оси х до касательной (другими
словами, угловой коэффициент касательной) равен производной от
ординаты кривой у = /(х) по абсциссе.
Вернемся к определению производной:
, ,. f (Xj) — f (х)
f (х) = lim -
Х,->Х -Г1 * * * * * * * * * х
ИЛИ
= lim —^1= lim = lim + h\ ~ Z (х) ,
Хх-+х '*'1 х Дх->0 &х h~>0 “
причем последняя запись получается, если положить ху — х-\- h,
так что h = Xj — х — Ах есть приращение аргумента.
Заметим, что в литературе, особенно в- английской, встречается еще
обозначение производной по Коши: Df(x) (D6rivee— производная по-фран-
цузски).
Следует предостеречь против попытки вычислять производную
непосредственно — подстановкой х,=хв выражение отношения при-
„ f (Xj) — f (х)
ращений _ > так как при этом числитель и знаменатель
обратятся в нуль и получится лишенный смысла символ 0/0. Факти-
ческое выполнение предельного перехода требует в каждом отдельном
случае некоторой подготовительной работы — преобразования отноше-
ния приращений.
В качестве примера возьмем функцию /(х) = х2. Имеем
7 W - ~ = х‘ + х-
х2-х2
Функция Xi4-x не совпадает полностью с функцией -----------, так как
X । — X
х2 — X2
функция X] —|- х определена и в той точке х, = х, в которой дробь —-
не определена. При всех остальных значениях Х] обе функции равны; поэтому
в процессе перехода к пределу, для которого мы специально поставили
х2 — X2
требование Xj =£ х, получится то же самое значение как для lim _!_
Х,->Х Xj —х
Ij § 3. ПРОИЗВОДНАЯ 117
так и для lim (х,-]-х). Но функция х, -j- х определена и непрерывна
в точке х, = х\ поэтому с нею можно делать то, чего нельзя было делать
с дробью, а именно выполнить предельный переход xt -> х просто заменой xt
через х. Для производной получится выражение
Г (Л) = L = 2х или (х2)' = 2х.
Выполнение такого предельного перехода, т. е, действительное
нахождение производной, называется дифференцированием функ-
ции /(х). В дальнейшем мы увидим, что этот процесс дифференци-
рования можно действительно провести для всех важных функций, и
научимся это делать.
Большое значение имеет тот факт, что задача дифференцирования
заданной функции /(х) имеет определенный смысл независимо от
геометрического представления касательной. Подобно тому, как при
определении интеграла мы освободились от первоначального геометри-
ческого наглядного представления площади и, напротив, обосновали
понятие площади, опираясь на определение интеграла, так мы теперь,
независимо от геометрического изображения функции с помощью кри-
вой, определяем производную арифметически, как новую функцию
у' = f' (х), приведенным выше равенством в предположении, что пре-
дел отношения приращений существует. Если этот предел суще-
ствует, то говорят, что функция /(х) дифференцируема. Отныне
мы всегда будем молчаливо предполагать, что всякая функция, с ко-
торой мы имеем дело, дифференцируема, если определенно не ука-
зано противоположное ’).
Следует заметить, что для дифференцируемости функции /(х)
в точке х существенно, чтобы предел ~Ь ПрИ /г > о
существовал независимо от того, каким образом h стремится
к нулю, пробегает ли h только положительные или только отрица-
тельные значения или значения того и другого знака.
[Левый предел, lim -/ , если он существует, называется
левой производной от функции f (х) в точке g и обозначается символом f'_ (g);
правый предел, ^lirn , называется правой производной
в точке g и обозначается f'+ (g). Ясно, что производная f (g) существует
в том и только в том случае, если левая и правая производные в точке g.
существуют и равны друг другу, и тогда
(£) = f'+ (£) = f' (§)•
Не следует смешивать (g) с / (g — 0) и f'+ (g) с f' (g 0). Согласно
определению и обозначению односторонних пределов (стр. 68), f' (g — 0) =
*) Примеры случаев, когда это предположение не выполняется, будут-
приведены позже (см. п°5, стр. 122).
118 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [1
= lim f'(x) есть левый предел производной f (х) (при стремлениях
х->£-0
•слева), и этот левый предел может не совпадать с левой производной
в точке g, a f (£ 4- 0) = lim f (х) есть правый предел производной /' (х)
(при х —> Е, справа), причем этот правый предел производной может не совпа-
дать с правой производной в точке g. Может случиться и так, что, например,
левая производная f'_ (Ej) существует, а левый предел производной в точке
т. е- Г U— 0), не существует, и т. п.]
Коль скоро найдена производная f (х), мы можем принять за
касательную к кривой в точке (х, у) прямую, проходящую через эту
точку и имеющую угловой коэффициент tg а — f (х). Основывая
геометрическое определение на аналитическом, а не наоборот, мы
избегаем таким образом тех затруднений, которые возникают вслед-
ствие неопределенности геометрической интуиции.
Тем не менее наглядное представление производной с помощью
касательной к кривой является, конечно, важным вспомогательным
средством для понимания и в чисто аналитических рассуждениях.
Так, мы сразу получаем интуитивно очевидное положение: если f (х)
имеет положительное значение, а кривая описывается в направлении
возрастания х, то касательная направлена вверх; следовательно, кри-
вая в этом месте поднимается в сторону возрастания х (рис. 35, а);
если же /'(х) имеет отрицательное значение, то касательная напра-
влена вниз, и кривая опускается при возрастании х (рис. 35, б).
Аналитически этот факт следует из замечания, что при положитель-
. f (х + h) — f (х)
ном h предел ——!—— может иметь положительное значение
лишь в том случае, если функция возрастает в точке х, т. е. если
значение больше, чем /(х), при положительном й и меньше,
чем /(х) при отрицательном й, при всех значениях й, достаточно
-близких к нулю. Аналогичное рассуждение применимо при отрица-
тельном значении /'(х).
21
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ
119
2. Производная как скорость. Та же непосредственная интуиция,
которая дает нам представление о направлении кривой и вместе с тем
о касательной к ней, заставляет нас приписывать каждому движении}
некоторую скорость. Определение скорости приводит нас как раз
к тому же предельному переходу, который мы назвали дифферен-
цированием.
Рассмотрим, например, движение точки по прямой линии, на кото-
рой положение этой точки определяется координатой у, предста-
вляющей взятое с определенным знаком расстояние этой точки от
неподвижной начальной точки этой прямой. Движение задано, если
известна величина y = f(t) как функция времени t. Если /(£) есть
линейная функция f(t) = ct->rb, то движение называется равномер-
ным движением со скоростью с, и для любых различных значе-
ний t и tx можно писать
„ _ /«.)-/(О
fj — t
Скорость является, таким образом, отношением приращения функ-
ции ct-{-b к приращению независимой переменной t, и это отноше-
ние совершенно не зависит в данном случае от того, какие моменты
времени t и tx мы берем. Но что же следует понимать под скоростью
движения в момент t, если движение неравномерно?
Для того чтобы прийти к такому определению, рассмотрим отно-
шение - которое назовем средней скоростью за промежу-
*1 г
ток времени между моментом t и tx. Если теперь средняя скорость-
приближается к определенному пределу, когда момент все более
и более приближается к моменту t, то этот предел мы примем
за скорость в момент t. Другими словами, скорость в момент t
определяется производной-.
ti—г
Это новое применение понятия производной, которое само по себе-
не имеет ничего общего с задачей о касательной, показывает, что-
действительно целесообразно дать определение предельного перехода
дифференцирования как аналитической операции, независимо от гео-
метрической интуиции.
Дифференцируемость функции у — f (t), характеризующей, дви-
жение, является и в данном случае допущением, которое мы всегда
будем делать, не оговаривая этого специально, и которое безусловно-
необходимо, для того чтобы понятие скорости имело смысл.
Простой пример связи между движением и скоростью представляет
случай свободного падения тела в пустоте. Если исходить из установленного-
опытным путем закона падения, что путь, пройденный свободно падающим-
телом за время t, пропорционален величине t2, т. е. что этот путь у выра-
жается функцией вида
У = /(0 = ^2,
120 гл. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [3
где а — постоянная, то тотчас же получим для скорости, как в n° 1, выра-
жение /' (0 — 2at, указывающее, что скорость при свободном падении воз-
растает пропорционально времени.
3. Примеры. Приведем теперь несколько примеров на фактическое вы-
полнение дифференцирования функций. В качестве первого примера рас-
смотрим функцию у — f (х) = с, где с — постоянная. Имеем / (л h) — f (х)=
п f (х 4- h) — f (х) п
~с— с —0, следовательно, и hm ——1—£------ - —0, т. е. производная.
й->0 и
постоянной равна нулю.
Для линейной функции у — сх-[-Ь имеем
f(x4-h) — f(x) ch
у' — hm ' ,-------- = hm = с.
h->Q h->0 h
Далее, дифференцируем функцию
y = /(x) = x«,
причем сперва предположим, что а — целое положительное число.
Тогда при х1 =£ х
/(•*1) —/(•*) _ х1—
Х{ —X Xi —X '
и правая сторона равна x“~' + xf~2x -ф- ... Д-л0-1. В этом можно убе-
диться либо просто выполнив деление, либо с помощью формулы для суммы
геометрической прогрессии. Полученное выражение является непрерывной
функцией от xt; поэтому можно сразу выполнить предельный переход xt->x,
просто заменяя повсюду в этом выражении xt через х; тогда каждое сла-
гаемое дает в пределе ла-1. Так как число слагаемых равно а, то получим
У’ = /' (*) =
или (хаУ = аха~1.
К тому же результату мы приходим, если а = — (5 есть целое отрица-
тельное число; но при этом мы определенно предполагаем, что х отлично
от нуля. Имеем
J_____1_
/(л,)-/(л) Л^ =
Л« — X ЛД — X
л13 — х^ 1 х13-1...
X — Х{ Хх^ ’
И теперь можно выполнить предельный переход Xt->x заменой xt
через х. Совершенно таким же образом, как и раньше, получим выражение
Таким образом, и при целых отрицательных значениях а = — р для
производной от функции у = ха получается та же формула
f (х) = у' = ах“-1.
3)
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ
121
Наконец, докажем эту же формулу для случая, когда х — положитель-
ное число, а а—произвольное рациональное число. Положим а= pfq, где
р и q — целые числа, которые будем считать положительными.
(Если бы одно из них было отрицательно, то в рассуждении не было бы
существенных изменений; при а = 0, ха постояннб, и формула верна.) Тогда
/(%!)- f(x) х'^-х^
Xt —X Xj —X
Полагая
aJ/"=4, a x]/'7 = g1,
получим
/(Л0-/(Л) _ ... 4-ЕР-1
Х.-Х ^ + ^4+ +1""1 '
Выполнив это преобразование, мы можем опять непосредственно совер-
шить предельный переход xt-+x или, что теперь то же, и получаем
для предела выражение
т-р—1 Р-Ч Р 1
л” = Ал7-’
'/X ч ч ч
или, наконец,
/' (л) = у' = ах“-1,
т. е. формально тот же результат, что и раньше. Предоставляем читателю
доказать самостоятельно, что та же формула дифференцирования сохраняет
силу и для отрицательных рациональных значений показателя а. Впрочем,
мы еще вернемся позже (стр. 145) к дифференцированию степени при более
систематическом изложении теории.
В качестве последнего примера рассмотрим дифференцирование тригоно-
метрических функций sin л' и cos х. Пользуясь элементарной тригонометри-
ческой формулой, имеем
sin (х + Л) — siп х _ sin % cos h 4~ cos х sin h — sin x _
h ~~ h
Л->0 h Л->0
следовательно, непосредственно получаем,
. dsinx
—----:---= COS X. ИЛИ
Но в гл. I, § 7 (стр. 69—70), мы видели, что
sin h , cos h—1 „
lim ----— 1 lim ------------= 0;
h.
что искомая производная
(sin x)' — cos x.
Подобным же образом находится производная функции у = cos х~
Именно,
cos (х -4- Л) — cos х cos h — 1 . sin Л
----1—I—/-----------------------= cos x ---------------;-sin x —-—,
h--------------------------------------------------------h-h
и предельный переход h -> 0 тотчас же дает производную
у' = Х =— sin х, или (cos х)' = — sin л.
122 ГЛ. Ц. ОСНОВНЫЕ понятия И
4. Некоторые основные правила дифференцирования. Как и
для интеграла, можно получить и для производной непосредственно
из ее определения некоторые простые основные правила дифферен-
цирования.
Если ф (х) = f (х) ± S (х), т0 (х) = f' (х) ± ё' (х). Если Ф (х) =
= cf(x) (с — постоянная), то ф'(х) = cf' (х). В самом деле,
Ф (х + Л) — ф (х) _ / (х + Л) — / (х) + g (х + 7г) — g (х)
h — h ~ h.
и
Ф (х + 7г) — ф (х) _ „ / (х + /г) —У(х)
h ~ h
и наши утверждения получаются непосредственно путем перехода
к пределу. Эти правила можно кратко выразить словами так: произ-
водная от суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
Если функцию умножить на постоянное число, то и производная
умножится на это число.
Согласно этим правилам, например, производная функции ф(х)=
= У (х)ах6, где а и Ь — постоянные, выразится равенством
ф'(х) = /'(х)4-а.
Упражнения
1. Дифференцировать следующие функции непосредственно с помощью
определения производной:
х 1 1 х 1 ч 1
а) х-Н’ б) х2Н-2’ в) 2х2 +1 ’ г) sinx’
д) sin3x; е) cosax; ж) sin2x; з) cos2x.
2. Дифференцировать следующие функции с помощью выведенной
в тексте формулы:
4
г— Зг- г— 1 1/Х
а) 1/х; б) 1/х3; в) Ух; г) J/x; д) Ух3; е) -=—; ж) .
Ух Х
3. Найти производные от следующих функций:
а) у = — 2х3 -|- 5х2 — 7х — 31; б) f (х) = 3 sin х 2 cos х — У~2;
в) ф (х) = (х2 — У 2)3; г) г = х3 (frx + 2)2.
5. Дифференцируемость и непрерывность функций. Полезно
.заметить, что если известно, что функция дифференцируема, совсем
не нужно отдельно доказывать, что она непрерывна. Из дифферен-
цируемости функции вытекает ее непрерывность. В самом деле,
/ (х h) — f (х) ,
если отношение —3—1—- стремится к пределу, когда h стре-
мится к нулю, то одновременно со знаменателем h и числитель
У(х-ф-Л)— у (х) должен стремиться к нулю, но в этом как раз и
выражается непрерывность функции f (х) в точке х.
5)
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ
123=
Но нельзя ни в коем случае утверждать обратное, что непрерыв-
ная функция повсюду дифференцируема. Простейший пример, опро-
вергающий такое утверждение, представляет функция /(х) = | х\,
т. е. /(х) = — х при х 0 и f(x) = x при х 0, изображенная
на рис. 36.
Эта функция хотя и непрерывна в точке х — 0, но не имеет
„ .. ri f (х + А) — / (*)
в этой точке производной. Предел отношения .—*—*——--------- ра-
вен 1, если h стремится к нулю, оставаясь положительным, и ра-
вен — 1, если h стремится к нулю,
оставаясь отрицательным. Функ- .Д.
ция | х | имеет в точке х — 0 раз-
личные правую и левую проаз- .
водные. у/
Дифференцируемость функ-
ции требует, наряду с существо- /
ванием правой и левой произ-
водных, также и равенства их. /
Если они между собой не равны, >
то геометрически это означает по- &
явление на кривой угловой точки. рис 3g
В качестве дальнейших приме-
ров точек, в которых непрерывная
функция недифференцируема, рассмотрим точки, в которых произ-
водная бесконечна, т. е. те точки, в которых не существует ни пра-
„ „ „ / (х -4- Л) — f (х)
вой, ни левой производной, а отношение приращений ——1+-------—-
при h—>0 неограниченно возрастает. Например, функция у = f(x) —
3.—
= ]/х — х'/з определена и непрерывна при всех значениях х (между
прочим, функция нечетная). Производная этой функции при х О,
согласно п° 3 (стр. 121), дается формулой у' —В точке х = О
— f(x) /(Л) —/(0) Л7’ .-г/,
отношение —— == 7 —- — — р откуда
видно, что при /z —> 0 предела не существует и отношение прираще-
ний стремится к -{-оо. Положение дел в такой точке часто описы-
вают кратко словами: функция имеет в рассматриваемой точке бес-
конечную производную или производную, равную оо. Однако надо
при этом помнить, что это означает лишь то, что отношение прира-
щений безгранично возрастает при h—>0 и производная (в том смысле,
который имеется в виду в определении) в действительности не суще-
ствует. Геометрический смысл бесконечной производной состоит в том,
что касательная к кривой в этой точке перпендикулярна к оси х,
а кривая протекает в этом месте гладко (рассматриваемая точка не
является угловой точкой кривой) (рис. 37).
124
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
[S
Точно так же функция у = /(х) — У х, определенная и непре-
рывная при всех значениях х^О, недифференцируема в точке х = 0.
В данном случае мы должны рассматривать только правую производ-
ную, так как функция ]/х не определена для отрицательных значе-
ний х. Эта правая производная есть
и.
следовательно, она бесконечна. Стало быть, в начале координат
кривая касается оси у (рис. 38).
По-иному обстоит дело у функции у = ]/х2 = хг/*. Здесь перед
нами такой случай, когда в точке х = 0 правая производная поло-
жительно-бесконечна, а левая
производная отрицательно-бес-
конечна; это видно из того,
что отношение приращений
/W-/(0)_ 1
h V~h
По этой причине непрерывная
кривая у = х2/>, так называе-
мая полукубическая пара-
бола, имеет в начале координат острие, перпендикулярное к оси х
(рис. 39).
6. Производные высших порядков и их значение. Производ-
ная f'(x) в свою очередь является функцией от х, график которой
называется дифференциальной или производной кривой для данной
кривой, т. е. для графика данной функции. Например, дифферен-
циальная кривая параболы у = х2 есть прямая, уравнение которой
/ d (х2) \
у — 2х 1т. е. график производной /'(х) = —= 2х I. Диффе-
ренциальной кривой синусоиды y=sinx является косинусоида y=cosx
(график производной от sinx, т. е. график функции /'(x) = cosx);
6]
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ
125
таким же образом, производной кривой от косинусоиды y = cosx
служит кривая у = — sinx (график производной от функции cosx).
(Каждая из последних кривых, как это видно из рис. 40, получается
из остальных параллельным смещением в направлении оси х.)
Естественно образовать, далее, дифференциальные кривые этих
дифференциальных кривых, т. е. найти производную от функции
/'(х) = <р(х).
Эту производную
,, X 1- /' (X Д-Л) —(х)
<р'(х)= 11 m —-—t,
л->о “
если она существует, называют второй производной или производ-
ной второго порядка от функции f(x) и обозначают ее через f" (х).
Подобным же образом можно пытаться образовать производную
от /"(х), так называемую производную третьего порядка (или
третью производную) от f (х), которую обозначим через Для
большинства функций, имеющих важное значение, ничто не мешает
продолжать этот процесс произвольно далеко, и мы определяем таким
образом производную п-го порядка f(n\x). В некоторых случаях
целесообразно рассматривать исходную функцию f (х) как свою же
производную нулевого порядка.
Если истолковать независимую переменную х как время t и пред-
ставить, как было указано выше, функцией f (t) закон изменения
абсциссы точки, то физический смысл производной второго порядка
есть скорость изменения скорости f(t), или ускорение. Геометрическое
126 гл. И. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 17
значение производной второго порядка мы позже разберем под-
робно (стр. 187). Но уже здесь непосредственно замечаем следующее:
если f" (х) имеет положительное значение в точке х, то f'(x) воз-
растает при возрастании х; если же /"(х) имеет отрицательное зна-
чение, то f'(x) убывает.
Упражнения
1. Найти численные значения всех производных от функции f (х)=х5—х4
при х = 1.
2. Каково численное значение одиннадцатой производной от функции
317х9 — 202х7 4-76 при х = 13-1?
3. Найти предел при п-^-ао абсолютной величины производной порядка п
от функции 1/х в точке х = 2.
7. Производные и отношения приращений; обозначения Леии-
ница. Тот факт, что при предельном переходе, определяющем произ-
водную, разность Дх стремится к нулю, иногда выражают также
словами: величина Дх становится бесконечно малой. Этой форму-
лировкой хотят отметить, что предельный переход рассматривается
как процесс, в продолжение которого величина Дх не равна нулю,
но приближается неограниченно к нулю. Следуя Лейбницу, символи-
чески стали выражать предельный переход при нахождении произ-
водной, т. е. дифференцирование, тем, что символ Д заменили сим-
волом d. Таким образом, этот символ Лейбница определяется равен-
ством
#•
dx Ах->0 &х
Но если мы хотим постигнуть сущность дифференциального исчи-
сления, то должны остерегаться того, чтобы смотреть на производ-
ную как на частное двух действительно существующих (актуальных)
«бесконечно малых величин». Дело обстоит так, что мы всегда должны
сперва образовать отношение приращений Ду/Дх, где разность Дх
не равна нулю. Затем следует представить себе, что путем преобра-
зования этого отношения или каким-либо другим путем совершен
переход к пределу. Но ни в коем случае нельзя представлять себе,
что сперва совершаем какой-то переход от Дх к бесконечно малой
величине dx, которая все же отлична от нуля, и от Ду к dy и затем
делим эти «бесконечно малые» друг на друга. Такой взгляд на произ-
водную совершенно несовместим с требованием математической ясности
понятий, да и вообще не имеет смысла. Такой взгляд, без сомнения,
содержит в себе для иного наивного человека нечто привлекательное,
именно привлекает то таинственное, что всегда связано со словом
«бесконечность»; в начале развития дифференциального исчисления
и, в частности, у самого Лейбница такое, мистически неясное пони-
мание переплетается с вполне отчетливым представлением о предель-
ном переходе. Правда, этот туман, который реял над основами новой
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ
127
71
науки, не мешал Лейбницу и его великим преемникам находить пра-
вильные пути.
Это однако не освобождает нас от обязанности избегать при по-
строении дифференциального и интегрального исчислений всяких ту-
манных представлений !).
Обозначение Лейбница не только привлекательно само по себе,
но действительно чрезвычайно полезно и отличается большой гиб-
костью. Причина этого кроется в том, что во многих вычислениях
и формальных преобразованиях можно с символами dy и dx опе-
рировать так, как будто бы они просто арифметические вели-
чины, как обыкновенные числа. Многие вычисления существенно
выигрывают при этом в смысле наглядности, хотя принципиально их
всегда можно, конечно, провести и без этой символики. Мы в даль-
нейшем найдем неоднократные подтверждения этого факта и убедимся,
что имеем право широко пользоваться этим обстоятельством при усло-
вии, что не будем упускать из виду символический характер знаков
dy и dx.
И для производных второго и высших порядков Лейбниц ввел обо-
значение, обладающее наводящей способностью (von suggestiver
Kraft) и практически очень полезное. Именно, он рассматривает
производную второго порядка как предел «разностного отношения
второго порядка». Рассмотрим, наряду с аргументом х, аргументы
хх — x-\-h и х2 = х--|-2/г. Тогда мы под разностным отношением
второго порядка понимаем отношение разностей первого порядка от
отношения разностей первого порядка (отношение приращений от
отношения приращений), т. е. выражение
где у = /(х), yi—ftxj, у2 — /(х2). Обозначим еще h — hx и
у2— У1 = ДУ1, У1 — у = Ду; тогда выражение, стоящее в скобках
с правой стороны, равное &у} — Ду, т. е. представляющее собой
приращение приращения Ду, естественно назвать разностью второго
’) Упрек в туманных представлениях, связанных с термином «беско-
нечно малая», относится к учебникам эпохи зарождения дифференциального
и интегрального исчисления. Ныне термин «бесконечно малая» имеет точный
смысл: он обозначает переменную, стремящуюся к пределу нуль, и польза
его введения состоит в том, что ряд теорем о пределах легче доказывается,
так сказать, «в рассрочку»: сперва для частного случая, когда предел равен
нулю (для бесконечно малой), а затем для общего случая, когда пределом
является любое число. Этим приемом доказательства в две ступени поль-
зуется порою и автор. Однако описанное в тексте туманное рассуждение
еще и поныне встречается в книгах, написанных нематематиками для нема-
тематиков. Поэтому, опасаясь возможного ложного истолкования термина
«бесконечно малая», автор предпочитает вовсе от него отказаться. (Прим,
перев.)
128
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
18
порядка от у и символически записать так:
№ ~ * 2У1 + У = ААУ = Д2У ’)•
С помощью этого символа разностное отношение второго порядка
Д2у
примет теперь простой вид д—, причем в знаменателе действительно
стоит квадрат приращения ах, а показатель 2 в числителе символически
означает двукратное выполнение процесса образования разности. Эта
запись2) побудила Лейбница ввести для производных второго и
высших порядков символическое обозначение
у" = Г W = 4^ у"' = Г W = 44- и т. д.
Это обозначение, как мы дальше увидим, тоже вполне оправды-
вает себя с формальной стороны.
8. Теорема Ролля. Если функция ф(х) непрерывна в замкну-
том интервале Xj х х2 и дифференцируема в открытом
интервале Xj < х < х2 и есла к тому же <р (Xj) — <р (х2), то не-
пременно существует по крайней мере одна точка £, внутри
интервала, для которой ф'(£) — 0.
Доказательство. Функция ф(х) должна принимать свое наи-
большее значение М и свое наименьшее значение т по крайней мере
по одному разу внутри или на границах интервала (см. гл. I, Допол-
нение I, § 2, п° 1). Как правило, т < М, но в таком случае функ-
ция не может принимать оба этих значения на концах интервала, так
как ф (Xj) = ф (х2).
Следовательно, внутри интервала должна существовать по край-
ней мере одна точка в которой функция ф(х) принимает свое
наибольшее или наименьшее значение. Для определенности предполо-
жим, что £ есть такая точка, в которой функция ф(х) принимает
наибольшее значение ф (§,), так что при всяком х из нашего проме-
жутка ф(х)<ф(|). Тогда для всякого числа h, имеющего достаточно
малую абсолютную величину \h\, непременно
Ф(£)-<₽(£ + Л)>0.
') АД = Д2 обозначает здесь, следовательно, не квадрат, а символизи-
рует «разность от разности» или «разность второго порядка».
2) Следует подчеркнуть, что возможность представить производную вто-
Д2у
рого порядка как предел выражения . 2- при Дх->0 требует доказатель-
(Дх)
ства. В самом деле, мы раньше дали другое определение второй производ-
ной, именно как производной от первой производной, т. е. как предел отно-
шения приращения производной к приращению аргумента. При соблюдении
известных условий вообще 4Л) (х)
= lim -- X—. (Доказательство см.
дх-»о (Дх)л
Валл е-П у с с е н Ш. Ж., Курс анализа бесконечно малых, т. I, изд. 2,
гл. I, § 3, стр. 109, 110].
91 § 3. ПРОИЗВОДНАЯ 129
„ , ф(Е4-Л) — <р(Е) ,
Если п положительно, то '—заставим теперь h
стремиться к нулю по положительным значениям, и мы получим
б результате предельного перехода, что правая производная <(/ (В) 0.
„ , а (Е -4- й) — ф (Е) _
С другой стороны, если п отрицательно, то - - ——и,
стало быть, заставив h стремиться к нулю по отрицательным значе-
ниям; получим (I) 0- По условию теоремы функция имеет произ-
водную всюду внутри интервала. Следовательно,
< (I)(I)=<№
и, значит, одновременно <р'(1) 0 и <р'(1) 0- Стало быть, <р' (|) = 0.
Однако, надо еще рассмотреть и тот случай, когда т = М. Но
тогда <р (х) = т = const, a q/(x) = 0 во всем интервале, так что
любую внутреннюю точку интервала можно принять за £.
Итак, теорема Ролля полностью доказана.
Теоремой Ролля мы воспользуемся в следующем же п° для доказа-
тельства теоремы о среднем значении. Хорошим упражнением на при-
менение доказанной теоремы может служить доказательство ниже-
следующей обобщенной теоремы Ролля:
Если функция F (х), имеющая в данном интервале первые п
производных, принимает равные значения в «Д-1 различных
точках х0, хР .... х„ этого интервала, то внутри интервала
обязательно существует такая точка в которой производная
порядка п обращается в нуль-. Г(я)(£) = 0.
Для доказательства представим себе, что значения х0, хр х2, ..., хп
расположены в порядке возрастания. Тогда, по теореме Ролля, пер-
вая производная F' (х) должна обратиться в нуль, по крайней мере
по одному разу, в каждом из п частичных интервалов (xk_lt xk).
Применив то же самое рассуждение к производной F'(х) в каждом
промежутке между ее корнями, докажем существование п—1 точек,,
в которых обращается в нуль вторая производная F" (х). После п
таких шагов обобщенная теорема Ролля будет доказана. Эта теорема
понадобится в Дополнениях к гл. VI.
9. Теорема о среднем значении1). Между производной =
— f (х) и отношением приращений существует простое соотношение,
которое с пользой применяется для многих целей. Это соотношение,
известное под названием теоремы о среднем значении, получается
следующим образом. Рассмотрим отношение приращений
/(*г) —/(*1) __ А/
х2 — Х[ Ах
) В советской литературе эту теорему чаще называют теоремой Лаг-
ранжа или теоремой о конечных приращениях. (Прим, перев.)
9 Р, Курант
130
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
для функции f (х), причем предполагаем, что /(х) непрерывна при
Xi С х С х2 и имеет производную в каждой точке промежутка
Xj < X < х2, так что ее график имеет определенную касательную
в каждой точке. Отношение приращений равно угловому коэффи-
циенту секущей, т. е. тангенсу угла а, указанного на рис. 41. Сооб-
щим теперь секущей перемещение параллельно самой себе; тогда она,
по крайней мере один раз, займет
такое положение, когда она'кос-
нется кривой в точке, абсцисса
которой лежит между хг и х2,
и уж непременно в той точке
дуги кривой, которая наиболее
удалена от секущей. Таким обра-
зом, существует такое промежу-
точное значение £, что
/W-/(.,) =/,(&
Л-2 -Aj
Рис. 41.
в дифференциальном исчислении.
Это утверждение носит название
теоремы о среднем значении
Промежуточное число £ можно за-
писать в следующем виде:
— Xi -ф- 0 (Х2 — X!),
где 0 — некоторое число, лежащее между 0 и 1. В приложениях тео-
ремы о среднем значении мы часто'столкнемся с фактом, что 0 не-
возможно определить точнее, чем здесь сказано, да в этом и нет
надобности.
Точная формулировка теоремы о среднем значении такова:
Если функция f (х) непрерывна в замкнутом интервале
Xi<^x<^x2 и дифференцируема в каждой точке открытого
интервала Xj < х < х2, то существует по крайней мере одно
такое значение 0, причем О<0< 1, что
/(хЭ-/(х,) = f, (Xi + 0 (Х2 _ Х1) ).
Л2 —А ]
Эту формулу, выражающую теорему о среднем значении, можно
представить и в другом виде, если заменить Xj через х и х2 через
х —|— йл
^1. = р = /' (Х + ezt), о<0< 1.
Подчеркнем существенную важность того, чтобы функция f (х)
была непрерывна и на границах интервала, между тем как существо-
вание производной на концах интервала не обязательно. Это замеча-
ние кажется незначительным, однако его полезно иметь в виду во
многих приложениях.
9]
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ
131
Если производная не существует хотя бы в. одной внутренней
точке интервала, то теорема о среднем значении может оказаться
несправедливой, как видно из примера /(х) = |х| на стр. 123.
Наглядное рассуждение можно дополйить следующими соображе-
ниями.
Если кривая не совпадает со стягивающей ее хордой во всем
интервале хх х х2 (в случае совпадения отношение приращений
всегда равнялось бы производной), то на кривой обязательно должна
существовать точка Р, наиболее уда-
ленная от этой хорды (рис. 42).
В этой точке кривая, согласно ус-
ловию, имеет определенную каса-
тельную, и эта касательная непре-
менно должна быть параллельна
хорде. В самом деле, касательная
представляет предельное положение
секущей, которое мы получаем, со-
единяя точку Р с точкой Q на
кривой и приближая Q неограни-
ченно к точке Р. Так как, согласно
допущению, Р удалена от хорды
не менее, чем Q, то продолжение
отрезка PQ в направлении от Р к Q должно или встречать прямую,
на которой лежит хорда, или быть ей параллельным, причем без-
различно, с какой стороны от Р взята точка Q; а это возможно
лишь в том случае, если предельное положение, секущей параллельно
хорде, соединяющей точки [хР /(Xj)] и [х2, f (х2)]. Обозначим абс-
циссу точки Р через |. Угловой коэффициент /'(£) касательной
в точке Р равен, следовательно, угловому коэффициенту хорды
’ стал0 быть, в качестве числа | в формулировке тео-
ремы можно принять абсциссу точки Р.
Строгое доказательство теоремы о среднем значении проводится
с помощью теоремы Ролля. Применяем теорему Ролля к вспомога-
тельной функции *)
ф (X) = / (X) - / (ХО - [f (Х2) - f (Х0]
Л-2 —Л1
в промежутке Xj<^x<^x2. Эта функция удовлетворяет, очевидно,
условиям
ф(х1) = ф(х2) = 0
и имеет форму
ф (х) = / (х) -|- ах -ф- b
’) Эта функция, как читатель сам легко убедится, равна расстоянию от
точки [х, /(х)] кривой до секущей, деленному на cos а (рис, 41), т. е. на
число, не зависящее от х.
9*
132
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
[10
с постоянными коэффициентами а и Ь, причем а =— — ' 2>—' °..
г х2— X,
Согласно п° 4, стр. 122, <р'(х) =/'(х)-\-а, и, следовательно, по
теореме Ролля, существует такое промежуточное значение что
о=Ф'(&)=/'(!)+«,
откуда
f' (П _ а = —/(%1)
J х2 — Х1
и теорема о- среднем значении доказана.
В качестве первого из многочисленных приложений теоремы
о среднем значении докажем следующую теорему:
Пусть функция f (х) непрерывна в замкнутом интервале
а<(х^Ь и имеет производную f'(x) в каждой точке откры-
того интервала а<х<(Ь. Тогда, если производная f (х) поло-
жительна всюду в а х <( Ь, функция f (х) является монотонно
возрастающей в интервале а ^хи, аналогично, если f (х)
отрицательна в а<у_х<(Ь, то f (х) является монотонно убы-
вающей.
Докажем первое утверждение (второе доказывается таким же пу-
тем). Предположим, что /'(х)>0, и пусть хг и х2 > Х\— любые
два значения х из замкнутого интервала. Тогда, по теореме о сред-
нем значении,
f !-Х2) — f (Xj) = (х2 — Xi) f Q),
где Xj < £ < х2. Так как оба множителя в правой части положи-
тельны, то f (х2)> f (Xj); следовательно, f (х) — монотонно возра-
стающая функция.
10. Приближенное представление любой дифференцируемой
функции с помощью линейной. Дифференциал. Равенство
lim + = f (х), (1)
л->о "
являющееся определением производной, равносильно следующему
равенству:
/(х-|-Л) —/(х) = Л/'’(х)4-еЛ, (2)
или
Д/ (х) = f (х) Дх -f-’ е Дх, (2а)
или также
f(x-\- Дх) = у + Ду = f (х) + f (х) Дх Д- е Дх, (26)
где е — величина, стремящаяся к нулю вместе с А = Дх. Представим
себе на минуту значение х фиксированным, а Дх — переменным; тогда
этими формулами приращение функции, т. е. величина Ду, разбивается
на два слагаемых: одно слагаемое hf (х), пропорциональное h («ли-
нейная» часть), и второе слагаемое («погрешность»), которое тем
HI § 3. ПРОИЗВОДНАЯ 133
меньше по абсолютной величине по отношению к h, чем меньше | h |.
Итак, функция f (х -4- /г) при- постоянном х тем точнее представляется
в своей зависимости от h линейной частью f (x)-\-hf (х), чем мень-
шим интервалом вокруг точки х мы ограничиваемся. Этому прибли-
женному представлению функции f(x-fh) с помощью указанной
линейной функции от h геометрически соответствует замена кривой
ее касательной в точке х. Позже, в гл. VII, мы рассмотрим практи-
ческое применение этих соображений к выполнению приближенных
вычислений.
Здесь же мы лишь попутно заметим, что, исходя из этого при-
ближенного представления приращения Ду с помощью линейного выра-
жения hf(х), можно дать логически безупречное определение понятия
«дифференциал», как это впервые сделал Коши.
Несмотря на то, что понятие дифференциала как бесконечно малой
величины не имеет смысла и что столь же бессмысленно рассматри-
вать производную как отношение двух таких величин, можно, однако,
добиться такого толкования равенства f (х) — -57 > ПРИ котором
dv
выражение можно будет понимать не только как цельный символ
производной, но действительно как частное двух величин dy и dx.
Для этого даем сперва определение производной f (х) с помощью
нашего предельного перехода, пред-
ставляем себе далее х фиксирован- У
ным, а приращение h — Дх пере-
менным. Называем теперь это при-
ращение дифференциалом от х и
пишем A —dx. Определяем, наконец,
в качестве дифференциала функ-
ции у выражение
dy = у' dx — h f (х),
т. е. опять-таки число, которое не
имеет ничего общего с бесконечно &
малыми величинами. Теперь произ-
водная у' = f (х) действительно яв-
ляется отношением дифференциалов
dy и dx, но в этом утверждении уж
это-—простая тавтология, иное выражение определения терминов.
Таким образом, дифференциал dy есть линейная часть прираще-
ния \у (рис. 43).
11. Дифференциалы высших порядков. Если исходить не из
первоначального определения дифференциала как линейной части при-
ращения функции, а из формулы
dy = hf (х) = f (х) dx,
нет ничего удивительного,
134 гл. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (12
то можно также ввести понятия дифференциалов второго и высших
порядков. Именно, представим себе, что выбрано какое-то А=*Дх =
— dx, и притом одно и то же для всех значений х; тогда диффе-
ренциал
dy — hf' (х) = f (х) dx
будет функцией от х, от которой можно в свою очередь вычислить
дифференциал. Полученную величину называют дифференциалом вто-
рого порядка или вторым дифференциалом функции у—/(х) и обо-
значают символом d?y = d2f(x). Дифференциал от второго диффе-
ренциала называется дифференциалом третьего порядка или третьим
дифференциалом и обозначается символом d3y = d3/(x) и т. д. Вообще,
дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от диф-
ференциала (п—1)-го порядка:
d (d^y) = dny = dnf (xf
Итак, второй дифференциал
cP у = d (dy) == d [hf' (x)l = (hf (x)]' h = h2f" (x).
Третий дифференциал
d3y = d (d?y) = d [h2f" (x)] = [h2f" (x)]' h = h3f'" (x).
Продолжая в том же духе, получим, применяя полную индукцию:
dny = d (dn-1y) = d [A"-1/"-0 (*)] = [A"-1/"-” (x)]' h = A"/n) (x).
Таким образом, дифференциалы различных порядков выра-
жаются так:
dy = f (х) dx, d2y = f" (x) dx1, .... dny — f^ (x) dxn.
Теперь можно уже обозначение Лейбница для производной /г-го
порядка
/ ч __ dny = dnf (х)
J v ’ dxa dxn
рассматривать как дробь, а именно:
Производная га-го порядка равна частному от деления га-го диф-
ференциала функции на n-ю степень дифференциала независимой
переменной.
12. Замечания относительно применения наших понятий
в естествознании. В приложениях математики к явлениям природы
никогда це приходится иметь, дело с вполне точно определенными
величинами.
Равняется ли определенная длина точно метру-—вопрос, который
не может быть разрешен никаким экспериментом и потому не имеет
«физического смысла». Столь же мало смысла с физической точки
зрения говорить о том, что длина некоторого материального бруска
рациональна или иррациональна; мы можем измерить эту длину
с желательной степенью точности с помощью рациональных чисел,
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ
135
и при измерении нам главным образом интересно, можно ли при этом
• обойтись рациональными числами со сравнительно небольшими зна-
менателями или нет. Подобно тому, как вопрос о рациональности
или иррациональности в строгом смысле «точной математики» (РгЦ-
zisionsmathematik) не имеет физического смысла, так и действительное
выполнение предельных переходов в приложениях математики обычно
представляет только математическую идеализацию. Значение такой
идеализации для приложений заключается прежде всего в том, что
благодаря ей все аналитические выражения становятся существенно
проще и удобнее. Например, гораздо проще и удобнее оперировать
с понятием мгновенной скорости, которая является функцией только
одного определенного момента времени, чем с понятием средней ско-
рости между двумя различными моментами. Любое теоретическое
изучение природы при отсутствии математической идеализации было бы
обречено на безнадежное усложнение и должно было бы остановиться
на самой начальной стадии. Я, однако, не собираюсь вдаваться здесь
в рассуждения об отношении математики к действительности; хочу
только подчеркнуть по поводу наших новых понятий, что в прило-
жениях всегда имеем право заменить производную отношением при-
ращений и наоборот, если только рассматриваемые приращения на-
столько малы, чтобы гарантировать достаточную точность прибли-
жения. Физик, биолог, техник или всякий другой, кому приходится
практически иметь дело с этими понятиями, имеет поэтому право,
в пределах требуемой точности, отождествить производную с отно-
шением приращений. И чем меньше приращение h = dx независимой
переменной, тем с большей точностью он сможет представить при-
ращение Ау = /(x-j-A)—/(х) с помощью дифференциала dy — hf'(x).
Пока он при этой замене остается в границах точности, которые
ему каждый раз поставлены в его задаче, он привык называть при-
ращения dx = h и dy = hf'(x) «бесконечно малыми величинами».
Эти «физически бесконечно малые» величины имеют точный смысл.
Это, безусловно, конечные, отличные от нуля величины, только
выбранные в рассматриваемом вопросе достаточно малыми, например
меньше какой-то доли длины волны или меньше расстояния двух
электронов в атоме и т. п., вообще меньше некоторой желательной
степени точности.
Упражнения
1. Найти промежуточное значение g в теореме о среднем значении для
следующих функций и дать графическую иллюстрацию:
а) 2х; б) х2; в) 5х3-|-2х; г) -*2 t ; д) х1/3.
2. Показать, что теорема о среднем значении теряет силу для следующих
функций, если абсциссы концов интервала выбрать с противоположными
знаками, например х1 = — 1, х2 — 1:
а) 1/х; б) | х |; в) х2^.
Дать графическую иллюстрацию и сравнить с предыдущим упражнением.
136
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
п
§ 4. Неопределенный интеграл, первообразная функция
и основные теоремы дифференциального
и интегрального исчисления
Как уже было упомянуто, краеугольным камнем дифференциаль-
ного и интегрального исчисления является связь между задачей инте-
грирования и задачей дифференцирования. К установлению этой связи
мы теперь и переходим.
1. Определенный интеграл как функция верхнего предела.
Значение определенного интеграла функции f(x) зависит от выбора
обоих пределов интеграции а и Ь. Интеграл является функцией как
нижнего предела а, так и верхнего предела Ь. Чтобы ближе изучить
эту зависимость, представим себе прежде всего, что нижний предел а есть
определенное постоянное число; обозначим переменную интеграции не
через х, а через и, что, конечно, совершенно безразлично (см. стр. 108),
а верхний предел интеграции обозначим через х (вместо Ь), чтобы
отметить, что мы хотим его рассматривать как переменный и иссле-
довать значение интеграла как функцию его
верхнего предела. В силу этого полагаем
J f (и) й?« = Ф(х).
а
Эту функцию Ф (х) называют неопреде-
ленным интегралом функции f (х).
Ясно, что функция Ф(х) не является
единственным неопределенным интегралом
от функции /(х), так как за нижний
предел интеграла вместо а можно взять
произвольные другие значения, в связи
с чем изменяется и значение интеграла. Геометрически неопределен-
ный интеграл выражается для каждого значения х площадью (рис. 44)
ограниченной кривой у = /(«), ординатами и = а и и = х и отрезком
оси и, причем знак площади устанавливается, конечно, по указанным
выше (§ 1, п° 3, стр. 106) правилам.
Выбирая для нижнего предела вместо а другое значение а, мы
получаем неопределенный интеграл
X
Ч^(х)= J f(u)du.
а
Разность
х х х а а
Ч'(х) — Ф(х)= J f(ti)da — J f(u)du = j + J = J f(u)dti
a a a x a
2]
§ 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ПЕРВООБРАЗНАЯ
137
и является, следовательно, постоянным числом, поскольку а и а
постоянны. Таким образом,
Т (х) = Ф (х) 4~ const,
т. е. различные неопределенные интегралы от одной и той же
функции различаются между собой только аддитивной постоян-
ной (т. е. постоянным слагаемым).
Можно было бы подобным же образом рассматривать интеграл
как функцию нижнего предела, введя функцию
ь
ф (х) = | f (и) du,
X
где Ъ — постоянное число. И здесь два интеграла с различными верх-
ними пределами b и р различаются между собой только на аддитив-
ную постоянную
Р
J f(u)du.
ь
2. Производная неопределенного интеграла. Поставим теперь
вопрос: имеет ли неопределенный интеграл Ф(х) производную по
переменной х? В результате исследования получится следующая
теорема:
Неопределенный интеграл
Ф (х) = J f(u)du
а
от непрерывной функции f (х) имеет всегда производную Ф' (х),
причем
ф'(х) = /(х),
т. е. дифференцирование неопределенного интеграла от задан-
ной непрерывной функции f (х) дает обратно ту же функцию f(x).
[Можно сказать и так: производная интеграла по верхнему пределу
равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной инте-
грации подставлен верхний предел.]
Этот факт образует основу всего дифференциального а инте-
грального исчисления.
Для доказательства преобразуем приращение неопределенного
интеграла:
Ф(х-4-А)— Ф(х)= J f(u)du — J f(u)du =
а а
x+h. a x+h
= J f(.u)du+- J f(u)du= j f(u)du. (1)
a xx
138
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
!2
Этот результат очень нагляден, если воспользоваться геометрическим
x+h
толкованием интеграла как площади; J f(a)du выражает площадь
криволинейной трапеции от ординаты, соответствующей абсциссе х,
до ординаты, соответствующей абсциссе x-f/г (рис. 45).
Пусть х0 — та точка интервала между х и x-^/i, где f (х) при-
нимает свое наибольшее значение f (х0), и х^ —та точка, в которой /(х)
принимает наименьшее значение / (хг); тогда мера рассматриваемой
площади заключается между числами А/(х0) и hf (х^, т. е. между
площадями двух прямоугольников, имеющих общее основание—от-
резок оси и от х до х —h и разные высоты f (х0) и /(Xj). Итак,
(2)
Это двойное неравенство справедливо как при h > 0, так и при А < 0.
На рис. 45 изображен тот случай,
когда /(м)>0 в промежутке
интегрирования [а, А]. Оно спра-
ведливо и в том случае, если
/ (и) < 0 на [а, А], но тогда
потребуется другой рисунок,
на котором f (и) лежит ниже
оси и. Значительно сложнее рас-
смотрение общего случая, когда
/(я) принимает в интервале
[х, х —f- /г] значения различных
знаков, т. е. когда график f (и)
пересекает в этом интервале
ось и. Другими словами, графическое рассмотрение наглядно й быстро
приводит к цели, если ограничиваться простейшим случаем. А ведь
надо еще рассмотреть разные возможные случаи при я>А! .
То же самое неравенство (2) можно получить аналитически из
определения интеграла как предела суммы, не прибегая к геометри-
ческому истолкованию, к тому же сразу для всех возможных случаев.
Для этой цели на основании равенства (1) пишем:
л+Л
Ф (х 4-А) — Ф (х) 1 Г 1 V zz чл
— — • I-----— = -^J /(«М« = -д (3)
х n->c°v = l
где и0 = х, Wj, я2...«„ = x-f-A представляют точки деления ин-
тервала от х до х-фй и наибольшая абсолютная величина разностей
A«v = «v — wv_! стремится к нулю с возрастанием п. Но не-
пременно положительно, каков бы ни был знак h; кроме того,
2| §4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ПЕРВООБРАЗНАЯ 139
/(*o)>/(“v)>/(xi)- Отсюда
п п п
(*о) 2 Д Kv > 1 / («v) A«v > f (*1) 2 A«v
v=l V~1 V=1
Но
2 A«v = 3 (Mv — «v-l)=£“l — «о) + («2 — «1)+ • • •
+(«л —= — Uq — ^x 4- h) — x = h,
и последнее неравенство примет вид
п
f (*о) > У S / <«v) A«v > f (Xi).
V=1
Переходя к пределу при п->оо, получаем на основании (3)
x+h
f Оо)>4 J fWda>f (xj,
т. е. неравенство (2):
,, . \ Ф (х 4- h.) — Ф (х) . ...
f Оо) > h—— > f Oi)-
Пусть теперь h стремится к нулю; тогда, вследствие непрерыв-
ности функции /(х), значения f (х0) и f (х-^ должны стремиться
к одному и тому же пределу /(х), и мы сразу убеждаемся, что
. ,. Ф.(х + А)—Ф'(х) ,, ч
Ф' (х) = lim —- -..+-----— — / (х);
/г-^0 “
тем самым теореМа доказана.
Из доказанной дифференцируемости функции Ф(х) тотчас же на
основании § 3, п° 5, стр. 122, следует: интеграл от непрерывной
функции f (х) есть в свою очередь непрерывная функция своего
верхнего предела. »
Для полноты заметим, что при рассмотрении определенного инте-
грала не как функции верхнего, а как функции <р(х) его нижнего
предела производная равна не /(х), а—/(х), т. е. если
ь
<р(х) = J f (и) du,
то
<p'W = — /(х).
140 гл. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [3
Доказательство этого получаем сразу, заметив, что
ь х
J f(u)du =— J f(u)du.
х Ъ
3. Первообразная функция; общее определение неопределен-
ного интеграла. Только что доказанная теорема обнаруживает, что
неопределенный интеграл Ф(х) сразу дает решение следующей задачи:
Дана функция f (х). Найти такую функцию F(x), что
F'(х) = f (х).
Эта задача требует от нас обращения процесса дифференцирова-
ния. Это — одна из типичных задач на построение обратной операции,
которые встречаются в математике во многих местах и с которыми
мы уже неоднократно в этом курсе знакомились, как с плодотворным
принципом математического творчества. Так, например, первое расши-
рение понятия о натуральном числе произошло под влиянием требо-
вания об обращении известных простых действий над числами. Обра-
зование обратных функций приводило нас и еще приведет в дальней-
шем к новым видам функций.
Такая функция F (х), для которой F' (х) = f (х), называется перво-
образной или примитивной функцией для функции f (х) или, короче,
первообразной от f (х); этим названием хотят отметить, что функция
f (х) получается из F(х) дифференцированием. Эта проблема об обра-
щении дифференцирования, или о нахождении первообразной функции
от f (х), на первый взгляд имеет совершенно иной характер, чем
проблема интегрирования. Однако же результат, полученный в п° 2,
показывает, что неопределенный . интеграл Ф(х) от функции /(х),
т. е. J f(u)du, является первообразной функцией для f (х).
- а
Однако этим результатом задача о нахождении первообразной
функции еще не вполне решена, ибо еще не известно, получены ли
этим путем все решения задачи. На вопрос о совокупности всех перво-
образных функций дает ответ следующая теорема (которую иногда
также называют основной теоремой дифференциального и интеграль-
ного исчисления):
Разноств двух различных первообразных функций Т\ (х) и F (х)
для одной и той же функции f (х) всегда постоянное число'.
Рх W — Р (х) = с.
Таким образом, из одной первообразной функции F (х) полу-
чаются все остальные в виде Р(х)-\-с при соответствующем
выборе постоянной с. Обратно, выражение Fi(x') — F(x)-|-с
представляет первообразную функцию от f (х) при всяком зна-
чении постоянной с.
3] § 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ПЕРВООБРАЗНАЯ 141
Что при любом выборе этой постоянной с функция р(х)-]-С
является первообразной функцией от f (х) одновременно с F (х), видно
сразу на основании правил дифференцирования (стр. 120 и 122)
|(Г(«) + <| = ^ВД+|=ГЙ+0 = /И.
Остается теперь только доказать, что разность двух произволь-
ных первообразных функций Fr(x) и F2(x) является постоянной.
Для этого рассмотрим разность
Г2(х)-Л(х) = О(х)
и вычислим производную
°' =i t7"2 w - F1 (х) _ F'- (х)=/(*)-/ (*)=°-
Но функция, производная которой повсюду равна нулю, должна
изображаться кривой, в любой точке которой касательная параллельна
оси х, т. е. сама функция должна быть постоянной; таким образом,
G(x) = c, как мы и утверждали.
Это же можно доказать, не прибегая к геометрической интуиции,
с помощью теоремы о среднем значении следующим образом: имеем
G (х2) — G (xj = (х2 — *1) G' (&, *1<Л<х2.
Так как производная G'(х) равна нулю при всех значениях аргу-
мента, а стало быть, и при любом промежуточном значении £, то
сразу получаем G(x2) = G(Xi); но хг и х2— два произвольных зна-
чения х в рассматриваемом интервале, следовательно, G(x) сохра-
няет постоянное значение в этом интервале.
Принимая во внимание, что неопределенный интеграл Ф(х) =
== | / (и) du является первообразной функцией для f (х), можно
а
теперь утверждать:
Всякая первообразная функция F (х) от f (х) может быть
представлена в виде
F(x') = с-|-ф(х) = с -ф- J f(u)du, (*)
а
‘где с и а — постоянные', и обратно, это выражение предста-
вляет при любом фиксированном значении а и произвольной
постоянной с первообразную функцию от f(x).
На первый взгляд кажется, что постоянную с можно опустить
потому что при изменении нижнего предела интеграции а неопреде-
ленный интеграл уже изменяется на аддитивную постоянную.
142 гл. И. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [3
Однако, если отбросить с, во многих случаях фактически полу-
чились бы не все первообразные функции, как показывает пример
функции /(х) = 0. В этом случае неопределенный интеграл в смы-
сле n° 1 всегда равен нулю, каков бы ни был нижний предел а;
первообразной же функцией от f (х) = 0 является любая постоянная.
Другой пример дает функция / (х) = |/"х ; она определена только
для неотрицательных значений х, и мы ограничимся только неотри-
цательной однозначной ветвью корня (т. е. /(х)^>0).
Тогда неопределенный интеграл будет
Ф(х)=Л*’Л —
О О
и мы видим, что, как бы мы ни выбирали нижний предел а, всегда
неопределенный интеграл Ф(х) получается путем прибавления
к'-х-х’/г постоянной--гв'М, которая 0; между тем, например,
и \ и /
2 /—
ух!;!-|-1 также является первообразной функцией от у х . Поэтому
О
в общем выражении (*) для первообразной функции нельзя обойтись
без аддитивной постоянной с. Найденное соотношение (*) делает
естественным некоторое расширение понятия неопределенного инте-
грала. Именно, отныне мы будем называть неопределенным интегра-
лом от /(х) всякое выражение вида
с-ф-Ф(х) —с-4-j" f(u)du.
а
Иными словами, отныне мы не будем делать различия между не-
определенным интегралом и множеством первообразных функций.
Но для правильного понимания взаимной связи между этими поня-
тиями, безусловно необходимо ясно представить себе, что интегри-
рование и обращение дифференцирования первоначально две совер-
шенно различные вещи и что лишь установление связи между ними
дает право применять к первообразной функции также и термин
«неопределенный интеграл».
' Для неопределенного интеграла принято обозначение, которое
само по себе, быть может, не совсем ясно. Именно, пишут
F (х) — с 4- J / («) du — J / (х) dx,
а
т. е. опускают верхний предел х и нижний предел а, а также адди-
тивную постоянную с и обозначают переменную интеграции через х,
чего, собственно, следовало бы избегать, чтобы исключить возмож-
ность смешивания с верхним пределом х, который является аргумен-
4)
§ 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ПЕРВООБРАЗНАЯ
143
том для F (х). Употребляя обозначение j f(x)dx для неопределен-
ного интеграла, вы всегда должны помнить о связанной с ним неоп-
ределенности, именно о том, что этот символ обозначает всю
совокупность первообразных функций.
4. Применение первообразной функции к вычислению опре-
деленных интегралов. Допустим, что нам известна какая-нибудь
первообразная функция F (х) от f(x) и мы хотим вычислить опре-
ь
деленный интеграл J f (zz) du.
а
Мы знаем, что неопределенный интеграл
Ф(х)= J f(u)du,
а
поскольку он также является первообразной функцией” для / (х),
может отличаться от F (х) только аддитивной постоянной (т. е.
постоянным слагаемым).
Поэтому
Ф(х) = F(x)4~ с,
и аддитивная постоянная с тотчас же определяется, если заметить,
что неопределенный интеграл
ф (х) = J / (zz) du
а
при х — а должен получить значение нуль. Следовательно,
0 = ®(a) = F(zz)4-c,
отсюда
с = — F (а), а Ф (х) = F (х) — F (zz);
в частности, при х — b имеем
ь
Ф (Z>) = J f (и) dti = F(b) — F(a).
a
Эта формула, известная под названием формулы Ньютона—
Лейбница, выражает важное правило:.
Пусть F(x)— какая-либо (безразлично какая) первообразная
функция для функции / (х); тогда определенный интеграл от
/(х) в пределах от а до Ь равен разности F (Ь) — F (zz).
144 гл. II. ОСНОВНЫЕ понятия И
При пользовании этим правилом, часто применяют специальный
символ [так называемый символ двойной подстановки] для обозна-
чения разности F(й) — F(a), т. е. пишут
ь
J/(xMx = F(x)|* = F(*)-F(a).,
а
так что вертикальной чертой (с индексами а внизу и b наверху)
отмечают, что в стоящее перед ней выражение надо подставить вме-
сто х сперва Ь, потом а и, наконец, из полученного первого числа
вычесть второе ’).
Пользуясь соотношением F' (х) = f (х), можно найденную фор-
мулу [Ньютона — Лейбница] привести к следующему виду:
ь ь
F(b)-F(a) = ^ F'(x)dx — j ~f-dx.
a a
Эту формулу можно легко понять и доказать прямым путем.
Разделим промежуток а^х^& на частичные интервалы Axv Ах2, . . ,
..., Ахя и рассмотрим сумму У-^-Аху. (По внешнему виду она
Axv
напоминает интеграл в правой части формулы: отношение дифферен-
циалов заменено отношением приращений, символ dx заменен
через Ах, а знак интеграла — знаком суммы 2) С одной стороны,
эта сумма равна
п
21 (О = (*1) - Г (*о)1 + [F (х2) - F (Xj)] + • • •
... + [F (х„) - F (x„_0] = F (х„) - F (х0) = F (b) — F (о)
независимо от расположения точек деления интервала* 2). С другой
ь
стороны, предел этой суммы равен J F'(x)dx. В самом деле, по
а
\р
теореме о среднем значении = F (gv), где |v есть точка, проме-
жуточная между концами xv_j и xv интервала Axv. Поэтому
У-^ Axv = V F'(gv)Axv, а это выражение, по определению
) Для двойной подстановки употребителен также символ [f (x)j*.
2) Это можно, впрочем, понять и без вычислений: сумма всех последо-
вательных частичных приращений функции F (х) равна полному прираще-
нию этой функции.
51 § 4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ПЕРВООБРАЗНАЯ 145
ь
интеграла, имеет своим пределом J F'(x)dx, когда все Axv стре-
а
мятся к нулю.
5. Примеры. Только что найденную связь между определенным
интегралом, неопределенным интегралом и производной мы теперь
иллюстрируем рядом простых примеров. В силу теоремы из п° 2,
стр. 137, из каждой формулы интегрирования, выведенной прямым
путем в § 2, стр. 108—113, можно получить формулу дифферен-
цирования.
На стр. 112 мы получили формулу интегрирования
ь
[ xadx = -4-r<6“+1 — «“+1)
J a 4- 1
a
для любого рационального показателя а 4= —1 и при любых положительных
значениях а и Ь. Заменим переменную интеграции буквой и, а верхний Пре-
дел обозначим через х; тогда последняя формула запишется так:
f иа du = -4-т- (x“+1 — а“+1).
J а4~ 1
а
Отсюда, по нашей основной теореме, следует, что производная от пра-
вой части равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной
интеграции подставлен верхний предел. Таким образом, получается формула
дифференцирования
-£(xail) = (a + l)x«,
справедливая при всех рациональных значениях а, кроме а = —1, и для всех
положительных значений х. Прямой проверкой убеждаемся, что эта формула
верна и при а = —1. Полученный результат вполне совпадает с результатом,
полученным на стр. 121 путем непосредственного дифференцирования.
Таким образом, после того, как выведена формула интегрирования,
можно было бы, опираясь на основную теорему, сэкономить труд, затрачен-
ный на стр. 121 на дифференцирование.
Далее, из доказанной на стр. 113 формулы интегрирования
cos и du = sin х — sin а
а
, , . d .
следует формула дифференцирования sinx = cos х, что совпадает с резуль-
татом, полученным на стр. 121.
Но можно и, обратно, каждую доказанную прямым путем формулу диф-
ференцирования F' (х) — f (х) рассматривать как соотношение между пер-
вообразной функцией F (х) и производной функцией f (х), т. е. рассматри-
вать ее как формулу неопределенного интегрирования, и затем по правилу
п° 4, стр. 143, получить определенный интеграл от f (х). Как раз этим ме-
тодом, как мы увидим в гл. IV, очень часто пользуются. В частности, мож-
но исходить из результатов § 3, стр. 120, и получить из них, с помощью
10 Р. Курант
на стр. 121 мы узнали, что — ха+1 =(а-|-1)
146 гл. И. ОСНОВНЫЕ понятия
основной теоремы, формулы интегрирования из § 2, стр. 108. Так, например
xa+l
ха. Следовательно, ——- пред-
ел —|— 1
ставляет первообразную функцию или неопределенный интеграл от х, если
а#= —1; тем самым получается приведенная выше формула интегрирования.
Упражнения
1. Из формул дифференцирования, полученных при решении упражне-
ния 1, стр. 122 и упр. 1, стр. 135, вывести соответствующие формулы инте-
грирования.
2. Вычислить:
1 1
Г dx f 2х dx
а) J U+1)2: ’ J (^ + !)2 • .
о о
3. Используя упр. 2, доказать на основании определения определенного
интеграла, что
а) й'™со " [ («+ I)2 + (Я + 2)2 + • • + w] = +’
б) пТсо [(«2 + 1)2 + («2+2=)*+ ' • • + («* + «*)* ] J'
§ 5. Простейшие методы графического интегрирования
Неопределенный интеграл или первообразная функция от f (х)
есть функция у—Л(х), которую мы наглядно изображали в виде
площади, но можно, конечно, представить ее графически, как и всякую
другую функцию, в виде кривой. Из определения наших понятий непо-
средственно вытекает простой способ приближенного построения этой
кривой, которая дает наглядное представление об интегральной функции.
Прежде всего надо принять во внимание, что эта кривая опре-
делена не однозначно, а лишь с точностью до параллельного пере-
мещения в направлении оси у, благодаря наличию аддитивной про-
извольной постоянной. Поэтому можно еще потребовать, чтобы
интегральная кривая проходила через определенную, произвольно
заданную точку, например, если х = 1 принадлежит к интервалу
определения функции / (х), через точку с координатами х = 1 и
у = 0. Тогда интегральная кривая вполне определена требованием,
чтобы направление ее ’) в каждой точке х давалось соответствующим
значением функции /(х). Чтобы дать приближенное построение
кривой, удовлетворяющей этим условиям, пытаются построить вместо
кривой, уравнение которой y = F(x), ломаную, вершины которой
лежат над заданными точками деления оси х иг стороны которой
приближенно дают на соответствующем участке направление искомой
кривой. С этой целью делят рассматриваемый интервал на оси х
’) То есть угловой коэффициент касательной tgci'=F' (х)=/(х). (Прим,
перев.)
§ 5. ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ГРАФИЧЕСКОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 147
с помощью точек х=1, хь х2, ... на некоторое число частей, не
обязательно равных, и проводят через точки деления прямые, парал-
лельные оси у. Далее проводят (рис. 46) через точку (1, 0) прямую
с угловым коэффициентом, равным /(1); через точку пересечения
этой прямой с прямой х = х1 проводят прямую с угловым коэффи-
циентом /(*1) до пересечения с прямой х = х2 и продолжают этот
процес'с. Для того чтобы практически
угловым коэффициентом, откладывают
от каждой точки деления по вертикали
ординату кривой y — f(x). Эту орди-
нату проектируют на какую-нибудь пря-
мую, параллельную оси ординат, на-
пример на ось у. В таком случае
направление касательной к интеграль-
ной кривой получают, соединяя точку
х — 0, у = f (х) с точкой х = — 1,
у = 0 (рис. 47 и 48). Перенося эти
направления параллельно самим себе,
построить прямые с данным
строят ломаную линию, вершины которой лежат над заданными
точками деления оси х и направление каждой, стороны которой со-
впадает с направлением интегральной кривой в начальной точке соот-
ветствующего частичного интервала. Если разбить весь интервал на
достаточно мелкие части, то полученная ломаная будет сколь угодно
точным приближением к интегральной кривой. Часто можно точность
еще несколько увеличить, если брать каждый раз за направление
стороны ломайой направление касательной не в начальной, а в сред-
ней точке соответствующего интервала ’) (ср. *рис. 47 и 48).
На рис. 48 указанное построение проведено для функции f (х)=х.
Получаем таким образом с помощью графического интегрирования
Х2 1
в качестве интегральной кривой параболу у = ------у. Кроме того,
на рис. 47 построена приближенно интегральная функция F(x) для
функции /(х)—1/х. Это функция, которую мы позже (см. гл. III,
§ 6) еще будем подробно изучать — она окажется логарифмической
функцией. Наконец, читателю рекомендуется проделать самостоятельно
несколько упражнений, например графически проинтегрировать sinx
и cosx.
’) Заметим кстати, что графическая интеграция, т. е. построение гра-
фика первообразной функции Г (х) для заданной графиком же функции f (х),
может быть выполнена и механическими приборами, так называемыми интег-
рафами или интеграторами, у которых один штифт перемещают вдоль задан-
ной кривой у = /(х), тогда другой (пишущий) штифт автоматически вычер-
чивает одну из кривых у =/7 (х), для которых У7'(х)=/(х). Неопределенность
произвольной постоянной выражается в некоторой произвольности выбора
первоначальной установки прибора. Подробнее смотри в книге Мейер
цур Капеллен В., Инструментальная математика для инженеров, пер.
с нем., М., 1959, стр. 129—215.
10*
148
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
Рис. 48,
1]
§ 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРАЛОМ И ПРОИЗВОДНОЙ
149
Упражнения
1. Графическим интегрированием с шагом Л = 0Д построить следующие
интегральные кривые:
в)
<х<2);
dx (0<^х <1).
В
частности вычислить таким путем
§ 6. Дальнейшие замечания о связи между интегралом
и производной
Прежде чем перейти к систематическому изучению найденных
в § 4 на стр. 136 зависимостей, осветим их еще с другой точки
зрения, находящейся в самой тесной связи с наглядным представле-
нием о плотности и с другими физическими понятиями.
1. Распределение массы и плотность; общее количество и
удельное количество. Представим себе, что на прямой линии, оси х,
распределена какая-то масса, притом непрерывно, но не обязательно
равномерно. Представим себе, например, воздушный столб данного
поперечного сечения, вертикально стоящий над поверхностью земли;
примем за ось х направленную вверх вертикальную прямую, а за
начальную точку х = 0— точку на земной поверхности. Вся масса
между двумя абсциссами х~х^ и х — х2 характеризуется с помощью
так называемой суммирующей функции F(х) следующим образом.
Исходят из точки х = 0, начальной точки распределения масс вдоль-
прямой, и под F(х) понимают всю массу, лежащую между абсцис-
сой 0 и абсциссой х. Приращение массы между абсциссами X] и х.Л
выражается тогда просто разностью
F(x2) — Ftxj,
причем этой разности приписывается знак, изменяющийся при пере-
становке X] и х2-
Среднее значение массы, приходящейся на единицу длины в ин-
тервале от Xj до х2, равно
С(х2) —ClXj)
Х2 — X)
Допустим, что функция F (х) дифференцируема, тогда это значе-
ние при х2->Х] стремится к значению производной F' (х^ = / (х^..
150 гл. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [1
Эта последняя величина представляет как раз то, что обыкновенно
называют удельной массой или плотностью нашего распределения
масс в точке хг (она, конечно, вообще говоря, изменяется с измене-
нием места). Между плотностью /(х) и суммирующей функцией F(x)
•существуют, следовательно, соотношения
X
Р(х) = J f (и) da; f (х) = F' (х).
о
Суммирующая функция является первообразной функцией
от плотности, или, иными словами, масса есть интеграл плот-
ности; и обратно: плотность есть производная от суммирующей
функции, т. е. от массы.
Совершенно аналогичные соотношения встречаются в физике
неоднократно. Например, если мы обозначим количество теплоты,
которое нужно для повышения температуры единицы массы некото-
рого вещества от температуры t0 до температуры t, через Q(t), то
для повышения температуры с t до tx потребуется количество теп-
лоты, равное
Q (Л)-<?(/).
Среднее количество тепла, затрачиваемое между t и на повышение
температуры на единицу, равно
Q(C)-Q(O .
— t ’
если предположим и здесь дифференцируемость функции, то в пре-
деле получим функцию
>• Q(6)~ Q(0
q(t)= lim --- /—,-> ,
t, ->t ti—i
которая называется удельной теплоемкостью данного вещества.
Эту удельную теплоемкость надо рассматривать, вообще говоря, как
функцию от температуры.
И здесь между удельной теплоемкостью и общим количеством
теплоты существует соотношение
ъ
fiW)dt==Q(b)-Q(a),
а
которое характеризует зависимость между интегралом и производной.
Совершенно аналогичные соотношения встречаются повсюду, где
можно общему количеству противопоставить удельное количество,
как, например, электрическому заряду — плотность электричества,
силе, приложенной к поверхности,—плотность силы или давление
в каждой точке и т. д.
21 § 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРАЛОМ И ПРОИЗВОДНОЙ 151
В природе дело обыкновенно обстоит так, что нам известны не-
посредственно не удельные величины, т, е. плотности, а общее коли-
чество; первичными величинами являются, таким образом, интегралы
(что выражается, впрочем, и в названии «первообразная функция»),
и лишь предельный переход, именно дифференцирование, приводит
нас к удельным величинам, к плотностям.
Заметим, кстати, что когда мы массы рассматриваем как положи-
тельные по природе своей величины, суммирующая функция F (х)
непременно монотонно возрастает вместе с х и, вследствие этого,
удельная величина, плотность, не отрицательна. Но, конечно, ничто
не мешает нам ввести представление и об отрицательных массах,
(например, отрицательное электричество); тогда наши суммирующие
функции F (х) уже не ограничиваются никакими условиями монотон-
ности.
2. Точка зрения приложений. Отношение первообразной сум-
мирующей функции к удельной плотности распределения станет,
пожалуй, еще отчетливее, если уяснить себе, что с точки зрения
физических фактов предельный переход как при интегрировании,
так и при дифференцировании представляет идеализацию и что он
не выражает в природе чего-либо точно, что, скорее, вместо инте-
грала в физической действительности надо, в сущности, образовать
только сумму очень многих весьма малых слагаемых, а вместо произ-
водной— отношение очень малых приращений. Величины Ах остаются
отличными от нуля; предельный переход Ах—>0 имеет исключи-
тельно математическое значение далеко идущего упрощения, при ко-
тором, однако, точность математического представления действительно,
заметно не нарушается.
В качестве примера вернемся к вертикальному столбу воздуха.
В силу атомистического строения материи распределение массы в воз-
душном столбе не может быть в действительности непрерывной функ-
цией от х. Напротив, мы представляем себе массу (что, впрочем,
тоже является идеализирующим упрощением) распределенной вдоль
оси х в виде очень большого количества точечных молекул, лежащих
весьма близко друг к другу. Тогда суммирующая функция F (х) не-
будет.непрерывной функцией: сохраняя постоянное значение в проме-
жутке между двумя молекулами, она будет изменяться внезапно, скач-
ком всякий раз, как переменная проходит через точку, занимаемую
молекулой. Величина этого скачка равна как раз массе молекулы,
а среднее расстояние между двумя молекулами, согласно результатам
атомистической теории,—порядка 10~8 см. ,
Если мы наши величины Ах выберем очень малыми, но все же-
достаточно большими по сравнению с длиной 10~8 см, например
равными 10~4 см, то число молекул в каждом интервале от х да
х-|-Ах будет еще настолько велико, именно порядка 104, что па
отношению к ним еще сохраняется впечатление цепрерывнога
152 гл. И. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [2
распределения, и поэтому считают себя вправе идеализировать это рас-
пределение с помощью непрерывной и дифференцируемой функций.
В качестве плотности тогда просто рассматривают отношение
приращений
А/7 (х) Л (х 4~ Ах) — F (х) ,
Ах Ах ’
при этом, конечно, существенным физическим допущением является
предположение, что это отношение не будет заметно изменяться,
когда мы будем изменять Ах в некоторых границах, скажем от 10~4
до 1СГ5 см.
Непосредственно видим, что эта плотность связана со всей массой
очевидным равенством:
Полезно, пожалуй, разобрать еще один пример понятий: сумми-
рующая функция и плотность распределения. В статистике, например,
в кинетической теории материи или в статистической биологии эти
понятия часто встречаются в форме, в которой характер математиче-
ской идеализации выступает особенно ясно. Рассмотрим, например,
молекулы газа, заключенного в некотором сосуде, и будем наблюдать
их скорость в определенный момент времени. Пусть число их /V.
Число тех молекул, скорость которых меньше V, пусть будет МФ (-у).
Тогда Ф(у) означает отношение числа молекул, движущихся со ско-
ростью, лежащей между 0 и -и, ко всему числу молекул (все рас-
смотрение относится к определенному моменту времени). Эта сумми-
рующая функция, разумеется, не непрерывна, а кусочно постоянна,
т. е. сохраняет постоянные значения в некоторых интервалах и воз-
растает каждый раз скачкообразно на 1/ЛЛ, когда скорость при своем
возрастании проходит такое значение г», которому соответствует точно
одна молекула, движущаяся со скоростью v.
Математическая идеализация, которую мы здесь совершим, за-
ключается в том, что мы мысленно увеличиваем N неограниченно.
Мы принимаем, что при этом предельном переходе N—> оо сумми-
рующая функция Ф(-у) стремится к определенной непрерывной пре-
дельной функции F (v). Что это действительно так [т. е. что с до-
статочной точностью можно заменить Ф(у) непрерывной функцией
F(-u)], является, очевидно, существенным физическим допущением; и
таким же допущением является предположение, что суммирующая
функция F(v) имеет производную F' (v) = f(v), которую называют
плотностью распределения. Суммирующая функция связана с плот-
ностью распределения равенствами
v b
F(v) = J f(u)du-, F (b)— F(a) = J f(v)dv.
a a
1] § 7. ОЦЕНКА ИНТЕГРАЛОВ И ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 153
Эту плотность распределения называют иногда также удельной
вероятностью того, что молекула обладает скоростью v. Проведен-
ная только что идеализация, играющая большую роль в кинетической
теории газов Максвелла, встречается во многих вопросах математи-
ческой статистики в совершенно той же математической форме.
§ 7. Оценка интегралов и теорема о среднем значении
интегрального исчисления
Закончим эту главу некоторыми соображениями общего характера,,
вся важность которых выявится, впрочем, лишь несколько позже.
Речь идет об оценке интегралов.
1. Теорема о среднем значении в интегральном исчислении.
а) Первое и простейшее из правил оценки интеграла гласит:
Если непрерывная функция f (х) в интервале а нигде
не отрицательна, т. е. принимает либо положительные значения, либо
значения нуль, то и определенный интеграл
ь
J f(x)dx
а
имеет неотрицательное значение. Подобным же образом этот интеграл
имеет неположительное значение, если функция / (х) повсюду в ин-
тервале неположительна. Доказательство эт;ого вытекает непосред-
ственно из определения интеграла.
б) Отсюда получается следующая теорема. Если во всем ин-
тервале а х b
f(x)>g (х),
то и
ь ь
J / (х) <7х > j g (х) dx.
а а
Ибо, согласно предыдущему замечанию, интеграл от разности
/(х) — g{x) имеет неотрицательное значение, а по правилу интегри-
рования суммы (стр. 107)
ь ъ ъ
I/ (*) — S (-v)J dx = J f (х) dx —
а а а
в) Пусть М—-наибольшее, а т—наименьшее значение функ-
ции / (х) в интервале от а до Ь. Тогда
т / (х) М,
J g(x)dx.
154
ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ понятия
[1
и, на основании б), при а < Ь
b b ь
J mdx С J f (х) dx С J dx\
а а а
так как
b ь
J mdx = m(b— a), a j" Mdx = М(Ь — а),
а а
та получаем
ь
т(Ь — й) С J f (х) dx С М (Ь—а),
а
Рассматриваемый интеграл можно поэтому представить в виде
произведения b — а на значение р,, заключенное между т и М:
ь
J f (х)dx — р.(Ь — а), т Ср. С М.
а
Это и есть, собственно, формула оценки определенного интеграла.
Эта формула верна и при а > Ь. Для доказательства применяем дока-
а
занную формулу к J > а затем, поменяв местами пределы интегриро-
ь
вания, получим прежнюю формулу.
Точную величину этого промежуточного значения р. мы, вообще
говоря, не можем указать, да в этом, как правило, и нет надобности.
Но можно утверждать, что это значение функция f (х) принимает
в какой-то точке g интервала а < | < Ь, так как непрерывная в [а, £»]
функция принимает в интервале все значения, заключенные между ее
наибольшим и наименьшим значениями (см. стр. 86). Во многих при-
ложениях, как и для теоремы о среднем значении в дифференциаль-
ном исчислении, не играет существенной роли точное указание
Итак, можно положить р ==/(£), где g — такое промежуточное зна-
чение, и писать
ь
J /(х)dx — (b —
а
а < | < Ь.
В этой последней записи формулу оценки интеграла называют
теоремой а среднем значении, в интегральном исчислении.
г) Эту теорему о среднем значении можно еще несколько об-
общить, заменив подынтегральную функцию / (х) подынтегральной
функцией вида f(x)p(x)< где р(х)— произвольная неотрицатель-
2] § 7. ОЦЕНКА ИНТЕГРАЛОВ И ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 155
ная функция, которая предполагается, так же как и f (х),
непрерывной. Так как
тр (х) ^P(x)f (.х) < Мр (х),
то сразу получается соотношение
ь ь ь
т J Р (х) dx <1 J f (х) р (х) dx М J р (х) dx
а а а
или, в виде одного равенства,
ь ь
J f(x)p(x)dx = f(l) J р (х) dx, (*}
а а
где | есть промежуточное значение между а и Ь.
[Что р(х) есть именно неотрицательная функция, является не-
существенным ограничением, — она может быть и неположительной
функцией. Доказательство почти не изменится. Другими словами,
если непрерывная функция р(х) сохраняет постоянный знак в интер-
вале a<^x<^Z>, обращаясь, быть может, в нуль в некоторых его
точках, а функция f (х) непрерывна в этом интервале, то справедлива
теорема о среднем значении, выражаемая формулой (*), где а < g < £.]
[д) Из неравенства б) вытекает важное следствие:
Если а < й, то
ь ь
^f(x)dx J | / (х) | dx,
а а
т. е. абсолютная величина определенного интеграла от / (х)
не превосходит интеграла от абсолютной величины этой
функции.
Действительно, —|/(х) |/(x)<J/(х) |. Стало быть, со-
гласно б)
ь ь ь
— J |/(x)|rfx< J /(x)rfx< J |/(x)|rfx,
a a a
а это и есть только другая запись доказываемого неравенства. Чита-
телю рекомендуется в качестве упражнения дать другое доказатель-
ство, исходя из определения интеграла как предела суммы.]
2. Непрерывная зависимость определенного интеграла от под-
ынтегральной функции. Из теоремы о среднем значении вытекает
очень важная теорема, геометрически, впрочем, очевидная. Если зна-
чение подынтегральной функции мало изменяется, то и значение опре-
деленного интеграла мало изменяется. Точнее: если во всем интер-
вале а х b абсолютная величина разности двух функций f (х)-
156
ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ понятия
(2
и g(x) меньше числа е, то абсолютная величина разности их инте-
гралов меньше чем е(£ — а). На языке формул это запишется так.
Если | f (х)— gW[<E при то
ь ь
J / (х) dx — J g (x) dx
a a
< e (& — a)
или, в другой записи,
ь ь ъ
— е(Ь— й)-Ь J g(x)dx<_ J f(x)dx< J g (x) dx -|- e (b—a),
a a a
Рис. 49 показывает это очень ясно. Строим две кривые
y = g(x)— е и у —g’(x)-|-e, «параллельные» кривой y = g(x),
Согласно условию теоремы, кривая y = f(x) лежит в полосе, огра-
ниченной этими «параллельными» кривыми. Отсюда ясно, что площади
криволинейных трапеций, ограниченных кривыми /(х) и g(x), отли-
чаются между собой меньше чем на половину площади полосы,
а площадь полосы равна
ь ь
j [£(x) + e]dx- J [£(х) —е] dx = 2e(b —а),
а а
Не прибегая к геометрической интуиции, теорему можно доказать
так. Применяем теорему о среднем значении к функции f (х) — g (х):
ь
_[ lf(*) — g(x)]dx^(b-a)[f(l)-g(&], a<l<b.
а
Но по правилу интегрирования суммы
ь ь ь
/ -g (x)J dx — j f{x)dx— J g(x)dx,
a a a
31
§ 7. ОЦЕНКА ИНТЕГРАЛОВ И ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
157
а по условию теоремы |/(х)— g (х) | < е во всем промежутке
а х Следовательно,
ь ь
J f(x)dx — j* g (х) dx
а а
— а)Е.
Эта теорема приводит почти непосредственно к следующей тео-
реме, к которой мы вернемся позднее, в гл. VIII, § 4, п° 4, в более
общей ситуации. Пусть функция / (х), непрерывная в интервале
а х Ъ, является в этом интервале пределом последовательности
непрерывных функций fn(x) при л->оо; точнее, пусть для всякого
положительного числа е существует такое число N (е), что при
п > N (е) во всем интервале
!/(*)—Л (*)|<е;
тогда
ъ ъ
Г f(x)dx = lim fn(x)dx.
П->СО
a a
Действительно, по предыдущей теореме
ь b
j f (x) dx — J /„ (x) dx
a a
e,(b — d),
а это число становится сколь угодно малым при достаточно больших
значениях п.
3. Приложение. Интегрирование и дифференцирование функ-
ции ха при любом иррациональном значении а. На стр. 111 и 121
были выведены формулы интегрирования и дифференцирования сте-
пенной функции ха при рациональных значениях показателя а.
При помощи только что доказанной теоремы можно эти формулы
обобщить на любые иррациональные значения а при х > 0. (В этом,
может быть, и нет необходимости, поскольку в гл. III, § 6, п° 5,
будет дан более простой вывод, однако предлагаемое сейчас доказа-
тельство полезно как пример рассмотрения предельных переходов.)
Для степени х“ мы пользуемся определением (при х > 0)
х“ = lim х“«,
п ->оо
где показатели ал составляют последовательность рациональных чисел,
для которой lim ап — а. На основании замечания на стр. 93 опре-
Л->0О
деленная таким образом функция х“ непрерывна при х > 0, чего мы
и здесь не станем доказывать. Стало быть, выполнены условия послед-
ней теоремы. Так как здесь а =£—1, то можно без ущерба для
158
ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ понятия
общности принять, что ни одно ап не равно —1. Теперь
ь ь
f xadx — lim f xandx— lim —r (zA+1 — a“«+i),
J л->оо J Л->оо “Г *
a a
и, следовательно,
b
a
Другими словами, при x > 0 формула интегрирования, устано-
вленная раньше для степени ха с рациональным показателем,
годится и при любом иррациональном показателе а.
В силу основной теоремы стр. 137 отсюда вытекает, что и фор-
мула дифференцирования
-^(х“+1) = (аН-1)х“,
выведенная ранее для рациональных значений а, справедлива и при
иррациональных значениях показателя а (при х > 0).
Упражнения
1. Найти промежуточное значение £, фигурирующее в теореме интег-
рального исчисления о среднем значении, для нижеследующих интегралов и
результат истолковать геометрически:
ь ь ь ъ
a) J 1 dx', б) J х dx-, в) J хп dx-, г) J
а а а а
2. Дано, что f (х) — непрерывная функция. Доказать с помощью тео-
ремы интегрального исчисления о среднем значении, что производная от
J f (и) du равна f (х).
а
а
3. а) Вычислить 1п = х1/7г dx. Каков Нт /л? Истолковать геометри-
J Я~>оо
0
чески.
а
б) Сделать то же самое для In — J хп dx.
о
4*. Функция У(|) непрерывна при всех значениях g, а функция F (х)
определена равенством
б
^(х) = -^- J/(x + O^,
-б
где §—произвольное положительное число. Доказать, что:
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ II
159
а) функция F (х) имеет непрерывную производную при всех значениях х;
б) в любом фиксированном интервале а х < Ь можно сделать | Р (х) —
— /(х)|<е, где е — произвольное заранее заданное положительное число,
выбирая для 6 достаточно малое число.
5* . Неравенство Шварца для. интегралов. Доказать, что для всех не-
прерывных функций f (х) и g (х)
b b г- b -J2
J [/ О)]2 dx J [g (х)]2 dx > J f (x) g (x) dx
a a a .
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ И
§ 1. Доказательство существования определенного
интеграла от непрерывной функции
Теперь приведем аналитическое доказательство теоремы, что опре-
деленный интеграл от непрерывной функции f (х), в пределах от а до
b {а < Ь), всегда существует. Для этого вспомним обозначения гл. II,
§ 1, стр. 104—105, и рассмотрим сумму
п
f„ = Z/(|v)Axv.
V = 1
Вполне очевидно, что
п п
= Ю Axv < < 2 / («?) Axv =K.
— v=l v=l
где f (vj означает наименьшее, a f (uv) — наибольшее значение функ-
ции f (x) в v-м частичном интервале. Задача заключается в том,
чтобы доказать,' что Fn стремится к определенному пределу, не за-
висящему от специального характера разбиения на частичные интер-
валы и от выбора значений gv, когда с возрастанием п длина наи-
большего из интервалов Axv стремится к нулю. Для этого, очевидно,
необходимо и достаточно показать/ что оба выражения Fn и Fn
сходятся к одному и тому же пределу. ~
В силу равномерной непрерывности функции /(х), каково бы
ни было наперед заданное положительное число е, в любом доста-
точно малом интервале «колебание» | / (zzv) — / (vv~) | функции f (х)
будет меньше, чем е. Так как f (vv), то символ абсолютной
величины можно здесь опустить и писать: /(zzv)— f(vv) < е. Поэтому,
если интервал [a, 6] разбить на достаточно мелкие частичные интер-
валы, то
__ л
0 < = 2 A*v l/(«v) — /Ю1 < 6 — °)-
— V=1
160
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
Отсюда видно, что эта разность с возрастанием п стремится к 0,
и можно поэтому ограничиться доказательством сходимости Fn. Эта
сходимость будет доказана, если покажем, что | Fm — Fn\ может
быть сделана сколь угодно малой, коль скоро в обоих соответст-
вующих разбиениях, которые мы будем называть «разбиением т» и
«разбиением и», выберем интервалы достаточно малыми. Итак, мы
предполагаем, что оба разбиения выбраны настолько мелкими, что
колебание функции f (х) в каждом из частичных интервалов меньше
е; переходим теперь к третьему разбиению, точки деления которого
получаем, взяв все точки деления как разбиения т, так и разбие-
ния п. Пусть это новое разбиение состоит из / частичных интерва-
лов. Отметим его индексом I и рассмотрим соответствующее значе-
ние Ft. Мы сможем оценить выражение Fm — Fn, если найдем оценки
для выражений | Fm— Ft\ и | Fn— Ft |. Докажем сначала, что имеют
место следующие два соотношения:
Справедливость этого непосредственно вытекает из смысла Hair их
выражений. Рассмотрим, например, v-й частичный интервал, при-
надлежащий разбиению п. Этому интервалу соответствует один или не-
сколько интервалов из разбиения /; все соответствующие слагаемые при
последнем разбиении состоят из двух множителей, первый из кото-
рых есть некоторая разность Ах, а второй во всяком случае не
больше f (uv) и не меньше /(ч\,). Но сумма всех разностей Ах более
мелкого разбиения /, принадлежащих рассматриваемому v-му интервалу
более грубого разбиения п, как раз равна Axv. Мы видим, таким
образом, что соответствующая часть суммы Ft заключается между
\xvf(uv) и Axv/(vv). Суммируя теперь по всем п интервалам, мы
сразу получаем первое из вышеуказанных неравенств, а второе по-
лучается точно таким же путем, если исходить не из разбиения п,
а из разбиения т.
Мы раньше видели, что Fn — Fn <.г(Ь — а); аналогично
Лп ——Л).
Из доказанных неравенств относительно Ft следует поэтому, что
0< Fn—Ft < е(Ь — а) и 0< Fm — Ft < г(Ь — а).
Вместе с тем, конечно, следует, что
\(Fn-Fl)-(Fm-Fl)\^\Fn-Fm\<^(b-a).
Так как е может быть задано сколь угодно малым, то из этого
соотношения на основании критерия сходимости Коши, стр. 58,
вытекает сходимость наших чисел Fа. Вместе с тем из нашего рас-
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ II
161
смотрения непосредственно видно, что предел совершенно не зависит
от способа разбиения.
Таким образом, существование определенного интеграла от не-
прерывной функции доказано.
Наш способ доказательства дает еще больше. Он обнаруживает,
что во многих случаях и несколько более общие предельные переходы
приводят к интегралу. Если, например, f (х) = ф(х)ф(х) и проме-
жуток интегрирования от а до b разбит точками деления xv на п
частей, то мы рассмотрим теперь вместо суммы 2 f (lv) &xv более
общую сумму
где g' и уже не являются непременно совпадающими точками
г v-м интервале. И эта сумма с возрастанием п стремится к пределу
ь ь
J f (х) dx = J ф (х) ф (х) dx,
а а
если только длины всех частичных интервалов стремятся при этом
к нулю. То же справедливо для всех аналогичным образом построен-
ных сумм; например, сумма
Д/фО+фОЧ,
стремится к пределу
ь
| ]Лр(х)2+ф(х)2йх.
а
Доказательство этих положений ведется совершенно так же, как
только что приведенное доказательство, и поэтому нет надобности
излагать его особо.
§ 2. Связь между теоремами о среднем значении
дифференциального и интегрального исчисления
Между теоремой о среднем значении дифференциального исчисле-
ния и соответствующей теоремой интегрального исчисления существует
простое соотношение, которое получается из основной теоремы и
которое мы здесь выведем в качестве поучительного примера приме-
нения этой теоремы. Если возьмем теорему о среднем значении инте-
грального исчисления в ее специальной форме
ь
J/(x)dx==(i> —«<£<£,
а
11 Р, Курант
162
ГЛ. И. ОСНОВНЫЕ понятия
то, положив j f(x)dx = F(x), следовательно f(x) = F' (x), получим
непосредственно как выражение этой теоремы равенство
Рф) — Р(а) = ф -d)F'(®
или
При этом мы в качестве функции F (х) можем выбрать произ-
вольную функцию, производная которой F'(x)~f(x) непрерывна;
тем самым доказана для таких функций теорема о среднем значении
дифференциального исчисления.
Более общая теорема о среднем значении из интегрального
исчисления
ь ь
j /(*) Pkx)dx~f{^) J p(x)dx,
а а
где р(х)— непрерывная функция, не меняющая знака на [а, Ь],
a f (х) — произвольная непрерывная функция на этом интервале, при-
водит к обобщенной теореме о среднем значении дифференциального
исчисления. Если положим
J f (х) р (х) dx = F (х), т. е. f (х) р (х) = F' (х);
J р (х) dx = G (х), т. е. р(х) — G'(х),
то предыдущая формула примет вид
F Ф) - F (а) = [G ф) - G (а)] f (£)
, , . F' (х)
или, так как /(х) = Q, (х) .
G(b) — G(a) G'(S)
при а Ч=Ь.
Эта формула, в которой £ опять означает некоторое промежу-
точное значение между а и Ь, носит название обобщенной теоремы
о среднем значении дифференциального исчисления или теоремы
Коши. При этом выводе надо, очевидно, только предположить, что F
и G—непрерывные функции с непрерывными производными и что,
кроме того, G'(х) всюду в интервале имеет положительное значение
(или всюду отрицательное). В самом деле, при этих предположениях
можно непосредственно обратить предыдущее рассуждение.
Заметим, что данные здесь доказательства теорем о среднем зна-
чении дифференциального исчисления заставляют вводить более огра-
ничительные предположения, чем это необходимо по существу (ср.
гл. II, § 3, п° 9, стр. 130 и далее стр. 229).
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
163
Упражнение
1. Показать, что если f (х) имеет непрерывную производную в интер-
вале а < х < Ь, то функцию f (х) можно представить как разность двух
монотонных функций.
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
51*. Доказать прямым вычислением, что функция
/(*) =
х2 sin у при х ф О,
О при х = О
имеет производную в любой точке и эта производная
Г W =
— cos----\-2х sin —
X 1 X
при х Ф О,
О
при х = 0.
Показать, что хотя производная /' (х) имеет разрыв при х — 0, тем не менее
теорема о среднем значении сохраняет силу. Свойство, изложенное в упраж-
нении 57 (ниже), тоже имеет силу для этой функции (см. стр. 226 и 227 текста).
52. Построить график функции
/(•*) =
. 1
X sin —
X
О
при х #= О,
при х = О
и иайти ее производную при х #= 0. Показать,'что при х = 0 эта функция
не имеет производной, но что отношение приращений ? при х ->О
имеет нижний предел —1 и верхний предел 1 (см. стр. 226).
53. Исследовать на дифференцируемость функцию
/(х)= xsin -i-j-x2 sin i- при х=/=0, /(0) = 0.
54. Доказать, что функция
/ (х) = sin х при х ф 0, / (0) = 1
имеет в любой точке производную
/'(х) =— sinxcos х при х=#0, f (0) = 0.
Показать, что f (х) непрерывна, и найти /" (х).
55. Функция / (х) непрерывна и дифференцируема на х <6. Пока-
зать, что если /' (х) 0 при а < х < с н /' (х) > О при с < х < Ь, то функ-
ция /(х) нигде не принимает значений, меньших чем /(с).
56*. Если непрерывная функция f (х) имеет в окрестности точки х = с
производную /' (х) в любой точке, отличной от самой точки с, и если f (х)
стремится к пределу L при х —> с, то существует и f (с), причем /' (с) = L.
11*
164
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ понятия
57*. Если f (х) имеет производную f (х) (не обязательно непрерывную)
в любой точке интервала а х <1 b и если /' (х) принимает значения т и М,
то она принимает и всякое значение р. между т и М.
58. Если f” (л)1>0 при всех значениях х на а < х Ь, то график функ-
ции у = f (х) лежит выше своей касательной в любой своей точке х = g,
у = f (g) (кривая обращена вогнутостью вверх).
59. Если f" (х)/>0 при всех значениях л' на то график функ-
ции у = f (х) в интервале xt х х2 лежит ниже хорды, соединяющей
точки графика с абсциссами x = xt и х = х2.
60. Если fW>0, то
61. Дана функция /(%) = -1%3— х2-|~1. Найти такое число б, чтобы
О
при всяком h, для которого | Л | < б, и при всяком х из интервала —1/2
</ х «С. 1/2 выполнялось неравенство
/(% + А)-/(%)| 1
h | =М00 '
62. Дифференцировать прямым путем, на основании определения произ-
водной, следующие функции: а) Ух ; б) tg%.
Написать соответствующие формулы интегрирования.
63. Вычислить:
a) lim -L(l+-^r+ ... +-L);
л->оо У п \ У 2 У и /
б) lim — 14-sec2-;----ksec2-;-г- ... 4-sec2-^— .
п \ 4п ‘ 4п 1 1 4n )
64. Доказать, что:
1
a) J (л2—I)2 dx — 16/15;
-1
б) J* (Х^— 1)«rfx = 2[^-pT 1 2)2^3 —
-1
_1—i- . _i_(_i)«f"Yl,
\3 J 2n — 5 ' V И
{ n\' ,
где символы I ) обозначают биномиальные коэффициенты.
Л + 1
_Е п 1 Г dx 1
65. Показать, что , , . < ---< -т- и
Л-|-1 J х k
к
1
п—Г
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
165
k
Доказать, что последовательность 1— — (k = 1, 2,...)
2 к J х
1
убывающая и ограничена снизу.
66*. Функция f (х) обладает тем свойством, что f" (х) > 0 при всех
значениях х, a u = u(t) — произвольная непрерывная функция. Тогда
а /а
-i- J f [и (£)] dt > f ( ~ J-w (t) dt
0 \ 0
67*. Материальная точка, двигаясь прямолинейно, прошла за единицу
времени расстояние, равное 1; свое движение она начала с состояния покоя
и закончила состоянием покоя. Доказать, что в некоторый момент своего
движения материальная точка имела ускорение, абсолютная величина кото-
рого не меньше 4.
ГЛАВА Ill
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Простейшие правила дифференцирования
и их применение
В анализе и его приложениях дело обыкновенно обстоит так, что
проблемы интегрирования важнее проблем дифференцирования, но
выполнение дифференцирования представляет значительно меньше
трудностей. Поэтому при построении дифференциального и интеграль-
ного исчисления представляется естественным сперва научиться диф-
ференцировать возможно более широкие классы функций и затем
использовать полученные результаты с помощью основных теорем
гл. II, § 4, для решения проблем интегрирования. Задачей ближай-
ших параграфов и будет проведение этой программы. При этом
мы начнем опять сначала, а именно в систематическом порядке про-
ведем важнейшие дифференцирования и интегрирования, не ссылаясь
на результаты предыдущей главы. Важную роль при этом будут
играть некоторые правила дифференцирования; с первыми из них мы,
впрочем, уже познакомились в гл. II, § 3.
1. Правила дифференцирования. Предполагаем, что функции
/ (х) и g(x) дифференцируемы в рассматриваемом интервале; тогда
наши правила гласят:
Правило 1. Умножение на постоянную. Если с — постоянная
и <р(х) —с/(х), то ф(х) — дифференцируемая функция и
ф' (х) = cf (х) или [с/СхЯ'^с/'Сх).
Доказательство непосредственно следует из соотношения
<р (х + А) — <р (х)_f (х + h) — f (х)
h ~ h
и предельного перехода при h —>0.
Правило 2. Производная алгебраической суммы. Если <р (х) =
= /(х) + ^(х), то <р(х) — дифференцируемая функция и
ф'(х) = /'(х) ± £'(х) или [/(х) ± g'(x)]/ = /'(x) ± g'(X),
т. е. процесс дифференцирования и операцию сложения можно пере-
ставить между собой. Это же справедливо и для суммы произволь-
ного числа п слагаемых: если
п п
ф (X) = 2 fk (*)• то ф'' (X) = 2 /й (*)•
1] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 167
Опускаем доказательство, которое почти очевидно согласно
гл. 11, § 3.
Правило 3. Производная произведения. Если
ф (х) = / (х) g (х),
то функция ф(х) дифференцируема и
ф' (х) = f (х) g (х) + g' (х) f (х)
[/ (х) g (х)]' = f (х) g (х) + g' (х) f (х).
Доказательство следует из равенства
Ф (х + h) — <р (х) _ f (х + h) g (х 4- h) — f (x) g (x) _
h h
/ (x + /г) g (x + A) — / (x 4- Л) g (x) -I- / (x 4- A) g (x) — / (x) g (x)
h
= / <x + ч + f w /u+'o-zw .
В последнем выражении переход к пределу при '/г —> 0 выполняется
сразу и ведет непосредственно к доказываемой формуле.
Эта формула принимает еще более удобный вид, если разделить
обе части на <р (х) = / (х) g (х) ’). Мы получаем тогда
ф' (х) _ Г (х) , g' (х)
Ф(х) /(х) g(x)
Если применить эту формулу дифференцирования произведения
несколько раз, то для производной от произведения п функций полу-
чается методом полной индукции выражение, состоящее из п слагае-
мых, каждое из которых представляет произведение производной
одного из сомножителей на остальные сомножители первоначального
произведения. Запишем это формулой:
Ф' (х) = [/1 (х) /2 (х) .. . fn (х)] =
п
• • • + /1 (х) /2 (х) . . . f'n (X) = Л (*) 777^-
*=1
или в более удобной форме, разделив обе части на ф(х) =
=/1 (X)/2 (*) • • • Л(х):
ф' (х) _ (х) /2 (х) f'n (х) __ у f'k (х)
Ф (х) ~ /1 (х) ' f2 (X) *“ • • • fn (X) — 2^ fk(x) •
fe=l
') При этом полученная формула будет, конечно, верна лишь в тех
точках, где ф (х) не обращается в нуль.
168
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Р
Правило 4. Производная частного (дроби). Для частного
<р(х)
.. /(х)
g (х)
имеет место следующее правило: во всех точках, в которых g (х)
не обращается в нуль, функция <р(х) дифференцируема и
PW~Lg(x)J~ [g(x)P
или, если ф(х)4=0,
ф' (-4 __ /' (х) g' (х)
ф(х) /(х) g(x)
Если заранее допустить дифференцируемость функции Ф(х), то
на основании правила дифференцирования произведения из соотно-
шения f (х) = <р (х) g (х) можно заключить, что
f (х) = ср' (х) g (х) + g' (х) <р (х).
f (jv)
Если в правой части заменим ф(х) через уу—у
уравнения найдем q/(x), то получим указанное
и из полученного
правило. Однако
для того, чтобы доказать одновременно и дифференцируемость функ-
ции, мы поведем доказательство следующим образом. Пишем:
/ (х ф- A) f (х)
<р(х+Л)—<р(х) g (х -|- A) g (х)
h h
g (х) /U+А) —7(Х) f g(x-l-A) — g(x)
g (X + h) g (x)
Заставим теперь h стремиться к нулю. Согласно условию суще-
ствуют пределы
.. /(х-4-/г) — 7 (х) .
lim ~—I—-— v = f (х),
fi->0
lim g (-v> — g' (x) и lim g (x 4-й) = g-(x).
/г-»0 " A->0
Следовательно, существует и предел выражения, стоящего в левой
части, равный. ф'(х)- и искомая формула дифференцирования част-
ного доказана.
2. Дифференцирование рациональных функций. Выведем сперва
еще раз для любого целого положительного п формулу
опираясь на правило дифференцирования произведения. Рассматри-
2] § 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ 169
ваем х" как произведение п множителей: хп = х • х .. . х, и полу-
чаем тогда
+ l •х'г-1+ ... 4-1 •хя-1 = /гхл-1.
dx ill
Вторая производная функции хп получается непосредственно,
если воспользоваться только что полученной формулой и первым
правилом дифференцирования:
rf2 п z . п - 2 ,
—— х =п(п — 1) х ;
dx2
отсюда таким же путем
~ х'г = га (га — 1) (га — 2) хл~3,
Ясно, что (га-1)-я производная от хл тождественно равна нулю.
Умея дифференцировать степени, можно уже на основании пра-
вила дифференцирования суммы найти производную от целой рацио-
нальной функции
у = га04-а1х4-га2х24- ••• А-апхп.
Получится просто
у —— |— 2птХ —|— Зга3х2 —(— . . . —]— ttciпх ,
далее,
у" — 2га24-3 • 2а3х4~ 4-л(га—1)га,(хл-2,
^ = п\ап, у<л+1> = у<л+2>== ... =0.
Дифференцирование дробных рациональных функций получается
теперь с помощью правила дифференцирования частного. В частности,
выведем еще раз формулу дифференцирования функции хл, когда
п = — т есть целое отрицательное число. Правило дифференциро-
вания дроби, поскольку производная числителя равна нулю, дает
результат
d 7 1 \_______________ т
~dx Vx"7 ~ х2т ~~ ~~ xm+i
или, если заменить т через — п,
~ xn = hxn~\
dx
что формально вполне совпадает с формулой для положительного га
и согласуется с результатом, полученным ранее (гл. II, § 3, п° 3,
стр. 120).
170
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[3
3. Дифференцирование тригонометрических функций. Для
тригонометрических функций sinxHcosx мы уже раньше (стр. 121)
получили формулы дифференцирования:
d . d
-у— Sin X — COS X И -7— cosx = — sinx.
dx dx
С помощью правила дифференцирования частного можно теперь
продифференцировать также функции
, sin X . COS X
у = tg х =------ и у = ctg х = —.-----.
J ь COS X sin X
Производная первой функции, согласно этому правилу, равна
, cos2 х 4- sin2 х 1
у' =------------------------1-----=---------,
J cos2 х tos2x
и мы получаем
ZFtg х = zi? = 1 +tg2 х = sec2 х-
Совершенно так же получается
ctg х = — -ri— = — (14- ctg2 х) = — cosec2 x.
§ 2. Соответствующие формулы интегрирования
1. Общие правила интегрирования. Основная теорема гл. II,
§ 4, стр. 137, и определение неопределенного интеграла дают воз-
можность отнести каждой формуле дифференцирования соответствую-
щую эквивалентную ей формулу интегрирования. Нижеследующие
правила интегрирования (из которых первые два уже упоминались
на стр. 107) вполне эквивалентны первым трем правилам дифферен-
цирования.
Умножение на постоянное число. Если с—число постоянное,
то
J cf (x)dx = с J f(x)dx.
Интегрирование aAie6pau4ecKo& суммы.
J l/W ± g(x)]dx =
Третьему правилу дифференцирования соответствует правило ин-
тегрирования произведения, часто называемое правилом интегри-
рования по частям. Из правила дифференцирования произведения
получаем интегрированием
j \f(x)g (jc)\'dx — j /(x)gz(x)dx4- у g(x)f(x)dx.
У f(x)dx ± у g(x)dx.
21
§ 2. СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
171
Неопределенный интеграл в левой части равен, очевидно,
/(x)g(x) (с точностью до постоянного слагаемого); поэтому
| / (х) g' (х) dx — f (х) g (х) — J g (х) f (х) dx.
Это и есть формула интегрирования произведения (формула интег-
рирования по частям).
Эта формула дана здесь только для полноты, как соответствую-
щая формуле дифференцирования произведения; мы займемся ею об-
стоятельно в следующей главе (см. стр. 248).
2. Интегрирование простейших функций. Полученным выше
формулам дифференцирования отдельных функций мы теперь про-
тивопоставляем по существу эквивалентные им формулы интегриро-
вания. Формула
~хп — пхп~х
влечет за собой формулу интегрирования
Jxn-1rfx=-^—|- С, п=£=0.
В самом деле, эта последняя формула выражает лишь, что про-
изводная правой части равна функции, стоящей под знаком интег-
рала слева. Если вместо п подставим /г 4-1, то получим формулу
— 1.
Эта формула справедлива при любом целом значении показателя
(если п < 0, естественно, лишь при х=#0), за исключением п — — 1,
когда знаменатель п 4- 1 обратился бы в нуль. Этим исключительным
случаем п — —1 мы займемся подробно в § 6.
Основная теорема интегрального исчисления (формула Ньютона —
Лейбница, стр. 143) позволяет тотчас же использовать формулы ин-
тегрирования для определения площади, т. е. для вычисления опре-
деленных интегралов. Согласно этой формуле непосредственно по-
лучаем
f xndx = —Lj-(Z>n+1—an+1),
J я 4-1
«4=—1;
при этом в случае отрицательного значения п предполагается, что
а п b одинакового знака, ибо в противном случае подынтегральная
функция была бы разрывна в промежутке интегрирования.
172 гл. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Формулам дифференцирования для sinx, cosx, igx и ctgx соот-
ветствуют следующие формулы интегрирования:
J" cos х <7х-----sin х4-С; Jsinxrfx = — созх-ф-С;
| —dx = tg x 4-С; -Д—dx =— ctgx-i-C.
j cos2x b 1 J sin2x b 1
Из этих формул сразу получаются, согласно правилу Ньютона —
Лейбница, значения определенных интегралов, взятых в произволь-
ных пределах ’), например:
*
cosxrfx=sinx =sinZi—sina.
J la
a
Едва ли нужно здесь особо подчеркивать, что с помощью двух
первых правил интегрирования возможно интегрировать любые целые
рациональные функции, а также любые линейные комбинации, обра-
зованные с помощью произвольных постоянных коэффициентов из
других проинтегрированных здесь функций. Следует еще отметить
одно важное обстоятельство. Правила интегрирования и дифферен-
цирования, согласно основной теореме, эквивалентны друг другу; по-
этому можно было бы сперва доказать общие правила интегрирования
этого параграфа и из них уже получить правила дифференцирования
предыдущего параграфа. Читателю рекомендуется выполнить эту
программу самостоятельно.
Упражнения
1. Продифференцировать следующие функции и написать соответствую-
щие формулы интегрирования:
а) ах -ф Ь; б) 25сх7; в) а ф- 2Ьх ф- сх2;
ах b ах2 2Ьх ф- с , . 1 1
Г) сх 4- d ’ Д) ах2 4~ 2₽х 4~ V ’ 1 — х2 — 1 ф-х2 1
(х8 — /8х4 4- 4) (х8 4- У¥х’ ф- 4)
Ж) х'6ф-16
2. Дано: Р (х) = аа-\-ахха2х2... ф-алхл.
а) Вычислить многочлен F (х) из уравнения F (х)— F' (х) = Р (х).
б*) Вычислить А(х) из уравнения саР (х) cxF' (х) -{-c2F" (х) = Р (х).
3. Продифференцировать следующие функции и написать соответствую-
щие формулы интегрирования:
а) 2 sin х cos х; б)
. sinx-4-cosx
г) —---1-----д)
sinx—cosx
1 X ,
, , ,---; в) xtgx;
1 ф- tg х ’ ь
sin х
>) В двух последних интегралах нужно, конечно, следить за тем, чтобы
промежуток интегрирования не содержал точек разрыва подынтегральной
функции.
§ 3. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ
173
Зная, что sec х =----, cosec х — —— , найти производные, указан-
cos х sinx
ные в упр. 4 и 5.
. d2 n d2
4. -3—=- sec х. 5. -3—5- cosec х.
. dx2 dx2
Вычислить неопределенные интегралы в
6. J (ах -I- b) dx.
8. J (9xs4-7xe + 5x4 + 3x2 + l)rfx.
,0. J +
12. J (зл- + 7йпх+А__1_)л.
14. Известно, что любой целый многочлен степени п имеет п корней,
среди которых могут быть и равные. Если k из этих корней равны между
собой, но отличны от всех других корней, то повторяющийся корень назы-
вается А-кратным или корнем кратности k. Пусть многочлен Р (х) имеет
корень а кратности k', тогда
Р (х) — (х — a)k Q (х),
причем многочлен Q (х) уже не имеет корня а, т. е. Q(a)=/=0. Корень мно-
гочлена, не равный ни одному из остальных его корней, называется про-
стым корнем или корнем кратности 1.
Доказать теорему: 1) Если число а является корнем многочлена Р (х)
кратности & > 1, то оно будет также корнем его производной Р' (х), но
уже кратности k—1. 2) Простой корень многочлена уже не является кор-
нем его производной.
15. Пусть ип (х) — (х2 — 1)л. Показать, что ип(± 1) = и" (± 1) = и'" (±1)=
= и'г"-1,(±1) = 0, а 4я)(±1)#=0.
упр. 6—13.
7. J (ах2 -|-2&х-|-с) dx.
9. f (-^5—I—з'4~~Й dx-
11. (acosx-l—Д—'j dx.
J \ 1 sin2x/
§ 3. Обратная функция и ее производная
1. Общая формула дифференцирования. Мы уже раньше
(стр. 36 и 90) видели, что непрерывная функция у = /(х) имеет
однозначную и непрерывную обратную функцию во всяком интер-
вале, в котором она монотонна. Точнее: если а х b — интервал,
в котором непрерывная функция у = /(х) изменяется монотонно, и
если /(ц) = а и — то х является в интервале от а до 0
однозначной, непрерывной и монотонной функцией х=<р(у)
от у.
Понятие производной дает очень простое средство распознать
монотонный характер, а вместе с тем и обратимость функции. Именно,
дифференцируемая функция всегда монотонно возрастает, если в рас-
сматриваемом интервале всюду /'(х)>0, и монотонно убывает, если
174
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(1
там всюду /'(х)<0. Этот геометрически очевидный факт аналити-
чески сразу же следует из теоремы о среднем значении
f(x-\-h)— f (х) — hf'(х-\-fth') (0 <&<!).
Если /'(х) имеет в каждой точке интервала положительное значение
и значения х и х -ф- h лежат в этом интервале, то f {х-\- К) — f (х)
будет иметь постоянно тот же знак, что и h; если же /'(х) имеет
повсюду отрицательное значение, то разность / (х-|-Л) — /(х) будет
иметь знак, противоположный знаку Л.
Докажем теперь следующую теорему:
Если функция y==f (х) дифференцируема в интервале
а < х <Ь и в этом интервале либо всюду f'(x) > 0, либо всюду
/'(х)<0, то и обратная функция х = ф(у) имеет производную
в интервале, в котором она определена, и между производной
данной функции y — f(x) и производной обратной функции
х = <р(у) существует соотношение /'(х)ф'(у) = 1, которое можно
записать также в виде
dy 1
dx dx '
~dy
Разумеется, это соотношение выполняется при соответствующих друг
другу значениях х и у.
В последней записи опять обнаруживается гибкость обозначений
Лейбница. Действительно, дело обстоит так, как будто символы dy
и dx — величины, с которыми можно оперировать, как с обыкновен-
ными числами. Доказательство этой формулы получается непосред-
ственно, если рассматривать производные как пределы отношений
приращений:
/ = lim lim ;.'~У .
Дх->0 'ЛЛ х1-^хх^~х
причем х и у = f (х), Х| и уг = f (Xj) означают пары соответствую-
щих значений. Согласно условию первый из этих пределов не равен
нулю. Равенства НтДх = 0 и limДу = 0 равносильны вследствие
непрерывности функций y = f(x) и х —ф(у), а следовательно, и
соотношения у^->у и хх-> х равносильны (т. е. существование пер-
вого из них влечет существование второго, и обратно). Поэтому
существует также предел
lim ———— lim
х{ — х
У1—У ’
и этот предел равен
1
Г (х) •
согласно определению, есть
ции ф(у), и тем самым наша
С другой стороны, этот же предел,
производная ф'(У) от обратной функ-
формула доказана.
n
§ 3. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ
175
Эта формула имеет простой геометрический смысл, который ясно виден
на рис. 50. Касательная к кривой у — f (х) или х = <р(у) образует с поло-
жительным направлением оси х угол а, а с положительным направлением
оси у угол Р; на основании геометри-
ческого значения производной имеем:
rc*) = ‘g«. <P'(y) = ‘g₽-
Но так как углы айв как раз допол-
няют друг друга до и/2, то tga tgp = 1,
и это соотношение точно,выражает нашу
формулу дифференцирования.
До сих пор мы явно предпола-
гали, что либо повсюду /'(х)>0,
либо повсюду f (х) < 0 и что, следо-
вательно, /'(х) нигде не равно нулю.
Что же будет, если f (х) = 0?
Если /' (х) = 0 во всем интервале, то функция имеет там постоян-
ное значение и, следовательно, необратима, потому что одному и
тому же значению у должны были бы соответствовать все значения х
нашего интервала. Если же равенство f (х) = 0 имеет место только
для отдельных точек нашего интер-
вала, а функцию /(х), простоты
ради, будем считать непрерывной,
то следует различать, меняет ли
/'(х) свой знак при переходе через
такую точку или нет. В первом
случае эта точка отделяет интер-
вал, в котором функция монотонно
возрастает;, от интервала, в котором она монотонно убывает. В окре-
стности такой точки не может быть однозначной обратной функции.
Во втором случае обращение в нуль производной не нарушает моно-
тонного характера изменения функции у = /(х) и, следовательно,
однозначная обратная функция существует. Только в соответствующей
точке обратная функция не будет дифференцируемой, ее производная
будет бесконечна.
176 ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [2
Пример случая первого рода представляет функция у = х2 при
х = 0, а пример второго случая дает функция у = х3 при х = 0.
Рис. 51 и 52 наглядно изображают поведение обеих функций при
переходе через начало координат и вместе с тем показывают, что
функция у — х3 имеет однозначную обратную функцию в окрестности
начала координат, а у=х2 не имеет.
2. Обратная функция от степенной функции. Простейший пример
обратной функции представляют функции у = хп при целом положительном
значении п, причем будем рассматривать эти функции только при положи-
тельном значении переменной х. Тогда у' всегда положительно, поэтому
для положительных значений у всегда можно образовать однозначную поло-
жительную обратную функцию
X = V у = у1/”.
Производная этой обратной функции получается теперь по общему правилу
путем следующего вычисления:
dx d (v1/n) 1 1 11 IF1
— = —'-------—-----—--------= — -------= — v •
dy dy dy nx’l~1 n n~1 n
dx у 11
если обозначить теперь опять независимую переменную (вместо у) через х,
то окончательный результат будет
dVx _£ (ЛЩ1 _ 1 1
dx dx п
который совпадает с результатом, выведенным ранее прямым путем
(стр. 120).
Особого рассмотрения требует только граничная точка х = 0. Когда х
d (х^л)
приближается к нулю со стороны положительных значений, то ———-
при п > 1, очевидно, возрастает неограниченно, что соответствует тому
обстоятельству, что производная степенной функции f (х) = хп при п > 1
обращается в нуль при х = 0. Геометрически это значит, что кривые у = х1/л
при п > 1 все касаются в начале координат оси у (см. рис. 17 на стр. 52).
Заметим, что при нечетном п можно отбросить условие х > 0 и рас-
сматривать функцию у = хп для всех значений х; при этом монотонный
характер ее возрастания и существование однозначной обратной функции
х = у1/" не нарушаются. Формула дифференцирования
_£ (у1/«) = 1у«
dy v 7 п у
остается в таком случае
при х = 0 производная
: справедливой и для отрицательных значений х;
d (хга)
—’ — 0 (если п > 1), что соответствует беско-
clx
печному значению производной —г— от обратной функции при у = 0.
ау
4*^3] § 3. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ 177
3. Обратные тригонометрические функции. Для того чтобы
построить функции, обратные тригонометрическим, рассмотрим еще
раз графики sin х, cos х, tg х и ctg х. Из рис. 14 и 15 (стр. 40—41) мы
тотчас же видим, что для каждой из этих функций необходимо
выбрать определенный интервал, если хотят получить однозначную
обратную функцию; в самом деле, прямые у = с, параллельные оси х,
пересекают эти кривые (если только они вообще встречают их)
в бесконечном множестве точек.
Для функции у = sinx производная у' = cosx остается, напри-
мер, положительной в интервале —л/2 < х < л/2. В этом интервале
функция sin х имеет, следовательно, однозначную обратную функцию,
эту обратную синусу функцию мы обозначаем
х — arcsin у
[произносится арксинус у и означает: дуга (угол), синус которой
есть у]. Эта функция монотонно возрастает от —л/2 до -ф-л/2,
когда у монотонно возрастает от —1 до -)-1. Если хотят словесно
подчеркнуть, что имеют в виду обратную функцию от синуса именно
в этом интервале, то говорят о главном значении арксинуса. Если
обратить функцию sin х в другом интервале, в котором она моно-
тонно изменяется, например в интервале л/2 < х < Зл/2, то полу-
чается «другая ветвь» арксинуса; без точного указания интервала,
в котором должны лежать значения обратной функции, арксинус
представляет многозначную и даже бесконечно многозначную функ-
цию, обозначаемую символом х~ Arcsin у.
Вообще, многозначность функции Arcsin у выражается в том, что
одному и тому же значению у синуса соответствуют, кроме угла х,
также и угол 2йл4~х и угол (2k ~у л ~ х, какое бы целое значе-
ние (положительное или отрицательное) мы ни дали числу k (рис. 53).
Дифференцирование функции х = arcsin у можно теперь провести
по общему правилу с помощью следующего небольшого вычисления:
dx 1 = 1 _ 1 _ 1
dy у' cosx У1 — sih2x У1 — у2
12 Р. Курант
178 гл. III. дифференцирование и ИНТЕГРИРОВАНИЕ (3
причем надо брать положительное значение корня, ибо х изменяется
в интервале ’) — л/2 < х < л/2.
Если опять независимую переменную вместо у обозначим через х,
то получим формулу дифференцирования функции arcsinx в следую-
щем виде:
d . 1
atCSin X = .
dx------------/1—х2
При этом имеется в виду, что arcsinx заключается между —л/2 и
-ф- л/2 (рис. 55), и поэтому надо взять положительный знак корня.
Совершенно таким же образом получаем для обратной функции
от у —cosx, которую мы обозначаем через arccosx (рис. 56), фор-
мулу дифференцирования
d 1
dx /1—x2
Здесь надо брать положительный знак корня, так как значения arccos х
берут в интервале от 0 до л (рис. 56; а не как у arcsinx между
— л/2 и 4-л/2).
Надо сказать еще несколько слов относительно концов х = — 1
и х = -|“1 интервала, в котором изменяется х. Производные неогра-
') Если вместо этого выбрать интервал л/2 < х < Зл/2, что соответст-
вует. замене х через х-|-л, то надо будет взять отрицательное значение
корня, потому что cos х в этом интервале имеет отрицательное значение.
4)
§ 3. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ
179
ииченно возрастают при приближении к этим концам, в соответствии
е тем, что кривые, изображающие arcsin х и arccosx, имеют в этих
(Точках вертикальные касательные, так как соэ(+л/2) = 0 и, соот-
ветственно, sin 0 = 0 и sin л = 0 (рис. 55
и 56).
Совершенно аналогично рассматри-
ваем обратные функции от tg х и ctgx.
Функция y = tgx, производная кото-
рой l/cos2x везде при х^л/2-[-6л
положительна, имеет, очевидно, одно-
значную обратную функцию в интер-
вале — л/2 < х < л/2. Эту обратную
функцию обозначают х — arctg у или,
меняя ролями буквы х и у, у = arctg х.
На рис. 57 сразу видно, что первона-
чальная многозначность обратной функ-
ции, т. е. многозначность, имеющая
место, если не фиксировать точно ин-
тервала для значений Arctg х, выра-
жается в том, что всякому значению х
можно было бы вместо значения у от-
нести также значение у 4~ kn при любом
целочисленном значении k. Для функции
у = ctgx обратная функция х= arcctg у (или у = arcctg х, если по-
менять ролями х и у) будет однозначно определена, если значения
этой функции ограничить интервалом от 0 до л; многозначность же
функции Arcctg х такого же рода, как и функции Arctg х.
Формулы дифференцирования получаются следующим образом:
, dx 1 о 1 1
х = arctg у; -т— — -у— = cos2 х — . - — -г-г—т;
dy dy 14-tg2x 1 + у2
dx
. dx . , 1 1
x = arcctg у; -г- —— sin-'x —-----:—-s—=---------,
dy 14~ctg2x 14~ У
или, наконец, если опять независимую переменную обозначим через х,
d . 1 d 1
-у— arctg х = -т—j—=• -7— arcctg х =-=—у—=-.
dx ь 14-х2 dx 4 s 14-х2
4. Соответствующие формулы интегрирования. Только что
выведенные нами формулы, выраженные на языке неопределенного
интегрирования, имеют следующий вид:
1 rfx = arcsin х 4~ С;
J /1—х2
1тт?‘'х=агс,5Х+С;
1 dx = — arccos х 4- С;
J /1—х2
J 1 dx = — arcctg х 4- С.
12*
180 ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [4
Между двумя формулами левого столбца и двумя формулами пра-
вого, которые относят неопределенным интегралам две на первый
взгляд совершенно различные функции, нет никакого противоречия.
Мы должны помнить, что в неопределенном интеграле остается
в нашем распоряжении произвольная аддитивная постоянная. Если
мы из этой постоянной выделим ее часть л/2 и заметим, что
л/2-—arccos х = arcsin х и точно так же л/2— arcctg х = arctg х, то
эта формальная несогласованность тотчас разъясняется. Эта неопре-
деленность покоится, следовательно, исключительно на том, что
неопределенный интеграл представляет не одну определенную функ-
цию, а целое семейство функций, отличающихся между собой произ-
вольными аддитивными постоянными. Когда мы пишем, что неопре-
деленный интеграл равен некоторой функции, то мы тем самым
определяем только одно из его значений. Хорошо поэтому всегда
отмечать этот факт, записывая каждый раз произвольную постоянную
явно, т. е. вместо
| / {x)dx — F (х)
писать всегда
J f (х) dx — F (х) -ф- с.
Ради краткости часто не пользуются этой более длинной записью;
но следует постоянно иметь в виду эту неопределенность, когда
пользуются сокращенной записью (см. также стр. 141).
Из формул неопределенного интегрирования тотчас же вытекают
формулы для определенных интегралов, если только ввести, согласно
стр. 143, 144, пределы интеграции.
В частности, получаем:
ь
г dx
J 1 — arctK х \а ~ arct& Ь — arctg a-
a
1]
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
181
Если положим а —0, Z>=1 и заметим, что 1g 0 = 0 и tgn/4=l,
то получим замечательную формулу:
я___
T ~ J
о
dx.
Число л, которое первоначально появилось при рассмотрении
окружности, приводится этой формулой в очень простую связь с ра-
циональной функцией 1 ц^х2 и истолковь1вается как удвоенная пло-
щадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 58.
Упражнения
1. Для функции у = х2/4 значению х = 8 соответствует у = 16. Найти
значение при х = 8; решить уравнение у = х2/4 относительно х и затем
dx
найти при у = 16. Показать, что значения этих производных согласуются
с правилом дифференцирования обратных функций. ______ ___________
2. Доказать, что: a) arcsin а 4- arcsin р = arcsin (а У1 — Р2 4- р У1 — а2),
б) arcsin а 4~ arcsin р = arccos (J^l — а2 У1 — р2 — ар),
в) arctg а arctg Р = arctg
В упр. 3—10
соответствующие
п
а4~ Р
1 — оф ‘
продифференцировать указанные выражения и написать
формы интегрирования.
3.
7.
4.
УX COS2 X.
8.
5.
9.
arcsin х arccos х.
1 4-arctg х
1 — arctg х ’
arcsinx
arctg x
6.
5 arcctg x 4---------.
1 arccos x
график функции у = —2 в крупном масштабе. Найти
10.
1—tg% •
11. Построить
1
Г dx
J ’ подсчитывая число миллиметровых квадратиков, и таким образом
о
получить приближенное значение для л/4. [Ср. упр. 1в на стр. 149.]
§ 4. Дифференцирование сложной функции
1. Правило дифференцирования сложной функции — правило
цепочки. Предыдущие правила дифференцирования дают возможность
продифференцировать любую функцию, которая может быть выражена
в виде дробно-линейной функции от функций, производные которых.
182 ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [1
нам известны. Но мы можем сделать еще весьма существенны шаг
вперед, который даст возможность дифференцировать все сложные
функции, составленные из функций, производные которых нам из-
вестны. Пусть функция ф(х) дифференцируема в интервале
и принимает там все значения из интервала а ф р. Возьмем теперь
другую дифференцируемую функцию £•(<₽) от независимой перемен-
ной ф, у которой эта переменная ф пробегает последний интервал
от а до р, и будем рассматривать g (ф) = g [ф (х)] — f (%) как функ-
цию от х в интервале Тогда функция /(х) — g [ф (х)]
называется сложной функцией *) независимой переменной х в интер-
вале а х Ь, составленной из функций g и ф.
Если, например, ф (х) — I — х2, а ^(ф)=/ф . то эта сложная функция
будет просто f (х) = У 1 — х2. В качестве интервала «<;х<4 возьмем здесь
интервал 0.<х<1, тогда совокупность значений функции ф(х) заполняет
весь интервал 0<ф<1; таким образом, сложная функция / (х) = У4 — х2
определена в интервале 0<х<1.
Другой пример сложной функции представляет f (х) — 4- х2; она
составлена из функций
Ф(х) = 1-{-х2 и ф(ф) = /ф;
при этом значение функции ф (х) > 1 и, соответственно этому, функция g (ф)
определена для всех значений х.
При составлении этим путем сложных функций надо, разумеется, всегда
ограничиваться такими интервалами а<х<6, на которых сложная функция
определена в каждой точке. Например, сложная функция V~I—х2 суще-
ствует только в области — 1 < х < 1 независимой переменной х, но не
в области 1 4 х 4 2, потому что когда х лежит в последнем интервале,
то совокупность значений ф (х) состоит из отрицательных чисел, для кото-
рых функция £(ф) не определена.
Кроме сложных функций, составленных с помощью двух функций, мы
можем и должны, конечно, рассматривать и такие, в которых этот процесс
составления повторяется несколько раз. Например, такова функция
f (х) = 1^1 -J- arctg х2
которая определяется следующим процессом составления:
Ф (х) = х2, ф(ф) = 14-arctg ф, (4) = ]A|) (ф) = / (х).
Для дифференцирования сложных функций имеется следующая
-основная теорема:
Функция f (х) — g [<р(х)] дифференцируема, и производная ее
дается равенством
f'(,X) = g' (ф)ф' (х)
или, в обозначениях Лейбница,
dy dy d<f
dx d<f dx'
‘) Или функцией от функции.
2)
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
183-
Это правило дифференцирования сложной функции мы будем на-
зывать правилом цепочки. Словесно оно выражается так: производ-
ная сложной функции равна произведению производных тех
функций, из которых она составлена. Доказательство этого пра-
вила получается с помощью формулы (2а) стр. 132. Всякому прира-
щению Дх Ф 0 соответствует приращение Дф, а этому Дф соответ-
ствует приращение kg. Когда Дх стремится к нулю, то и Дф—>0,
а вместе с Дф также и kg стремится к нулю. Дифференцируемость
функции £(<₽) означает следующее: существует такая величина е„
стремящаяся к нулю вместе с Дф, что
kg = g' (ф)ДфЧ-еДф.
Так как Д^ = Д/(х), то
Заставим теперь Дх стремиться к нулю, и мы тотчас же получим
требуемый результат, так как е стремится к нулю при Дх—>0, левая>
часть стремится к пределу /'(х), a lim — ф'(х)’).
Дх-»0
Применяя полученное правило последовательно несколько раз,
можно его
составлена
пример,
распространить на случай, когда сложная функция
из нескольких промежуточных функций. Если на-
У = g (и), u—q (®), v = ф (х),
до можно
цирование
рассматривать у как функцию от х: у — f (х); дифферент
этой функции производится по правилу цепочки:
dy , ,, . , . . ,, , . dy du dv
-^=у =g («)<₽ m лг-^7.
и аналогично обстоит дело для любого числа промежуточных функ-
ций. Доказательство этого можно предоставить читателю.
2. Примеры. В качестве простейшего примера, рассмотрим функцию-
у = х“, где а = p/q, причем q — целое положительное число, а р — положи-
тельное или отрицательное целое число, так что а означает любое поло-
жительное или отрицательное рациональное число. Считаем х > 0. Если
положить
у = <рр, <р = х1/?,
) Это правило можно было бы
приращений в виде
а стало быть, и Дф -> 0. Однако путь, указанный в тексте, следует пред-
Ag kg Дф
Ах Д<р Дх
также доказать, записывая отношение
и переходя к пределу при Дх -> 0,
почесть, так как при нем мы избегаем особого рассмотрения для случая
ф' (х) = 0 и связанной с ним возможности. Дф = 0.
184
ГЛ. HI. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[3
t п — 1 1 <7
У = PT ~х
то правило дифференцирования сложной функции дает
Р
— х 1 ,
Q
и, таким образом, для любого рационального значения а получается формула
дифференцирования
d U I
—— х = ах
dx
что совпадает с результатом, найденным другим путем на стр. 121.
В качестве второго примера рассмотрим функцию
у = 1^1 — X2 ИЛИ у = '/ф,
где ф=1 — х2 и — 1 < х < 1. Правило цепочки дает
, 1 / О X х
у = ---7=- (— 2х) =----г :.
2/ф /1 — х2
Еще несколько примеров:
1.____у = arcsin р7 !—х2,
dy ___ 1_________ d j/"l — x2 _ 1 —x _______ 1
~dx~ /1 — (1 — x2) ’ dx ~ |x| /1 — x2 ~ + ГГ=х2
______<4±4)
dx Г 1 I r dx
21/
VI—X 2 _ 1
2/14-х (1 — х)2 (1 + х)1/2 (1 — х)3/2
Правило цепочки для дифференцирования сложной функции можно пред-
ставить и в виде формулы интегрирования, ибо всякой формуле дифферен-
цирования соответствует вполне эквивалентная ей формула интегрирования.
Однако мы ее здесь приводить не станем, так как она еще не понадобится
в этой главе и к тому же в свое время нам все равно придется (гл. IV, § 2) '
подробно ею заняться.
*3. Дифференциал сложной функции. Инвариантность диф-
ференциала. Пусть дана сложная функция
у = f (и), и—<р(х), или у — f [<р(х)],
) Знак минус берется для интервала 0 < х < 1.
dy 1
то —— = —, , так как в этом случае
dx /1 — х2
Если же — 1 < х < О,
+ /1-О
X | = — X,
4| § 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 185-
у которой независимой переменной является х. Вычислим дифферен-
циал сложной функции. Согласно определению (стр. 133) он равен
dy — у' dx,
где dx = kx. По формуле цепочки
у' = у' и',
JX -’ll х’
и, подставив это выражение в последнюю формулу, получим
dy = у' . и'х dx.
Заметим теперь, что стоящее справа множителем выражение «' dx
есть как раз дифференциал функции «=<р(х), так как
du = и'х\х — и'х dx.
Поэтому
dy = у' du.
Сравнивая оба выражения для дифференциала сложной функции:
dy = y'xdx и dy — у'и du,
приходим к следующему важному заключению.
Правило: дифференциал функции равен произведению произ-
водной на дифференциал аргумента сохраняет силу независимо
от того, является ли величина, по которой взята производная, неза-
висимой переменной или же только промежуточным аргументом,
который сам зависит от другой, уже независимой переменной.
Различие между обеими записями: dy-u^du и dy = u'xdx лишь
в том, что когда производная берется по независимой переменной х,
то dx есть независимое приращение Дх; если же производная берется
по промежуточному аргументу и, то du есть не приращение Дм,
а дифференциал функции и=<р(х), т. е. линейная часть прира-
щения Ди.
Это свойство дифференциала функции называется инвариантностью
дифференциала. *
4. Еще раз об интегрировании и дифференцировании х'; при ирра-
циональном значении а. Соответственно элементарному определению сте-
пени х“, при иррациональном а с помощью равенства
ха = Нт хЧ
где . ’ гп представляют последовательность рациональных чисел, стре-
мящихся пределу а, могло бы явиться искушение провести дифференци-
рование ха путем прямого перехода к пределу в формуле
186
ГЛ. nt. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Это было бы оправдано лишь в том случае, если бы из сходимости хп к ха
d г da
вытекала сходимость -j—х к ——х . Но в законности такого предельного
их (IX
перехода возникают серьезные сомнения принципиального характера. Ведь
в любой сколь угодно малой окрестности кривой можно провести другие
кривые, направление которых в любых точках сколь угодно сильно отли-
чается от направления первоначальной
кривой; например, прямую линию можно
приближенно представить с помощью
волнистой линии, проходящей сколь
угодно близко к ней, но пересекающей
ее каждый раз под углом в 45° (рис. 59).
х-ч /ч х*\ /\ УХ , Другими словами, этот пример показы-
Хх '—s Хх хххх вает, что только из того факта, что
две функции всюду очень мало разли-
Рис. 59. чаются между содой, нельзя заклю-
чать, что и их производные всюду
близки друг другу; и это возражение запрещает выполнить напрашиваю-
щийся предельный переход без дополнительного обоснования.
Совершенно по-иному, чем у производной, обстоит дело у интеграла.
Мы видели в гл. II, § 7, п° 2, что если две функции во всем интервале от а
до Ь различаются между собой меньше чем на е, то их определенные инте-
гралы различаются между собой меньше чем на е (Ь — а). С помощью этой
ь
теоремы мы там вывели сначала формулу интегрирования j ха dx для
а
иррациональных значений а и уже из нее с помощью основной теоремы
стр. 137 получили формулу дифференцирования
~ха+х = {а 4-1)х°
или, заменяя а 4- 1 через а.
d
dx
Следовательно, этим окольным путем все же, наконец, подтвердилась схо-
димость
d гп
-г~х
dx
d
dx
Это рассуждение является характерным примером взаимосвязи диффе-
ренциального и интегрального исчислений. Однако из принципиальных со-
ображений мы предпочтем дать в § 6, стр. 204, вместо элементарного опре-
деления степени ха другое, значительно более простое, которое приведет
нас снова, и притом прямым путем, к полученному результату.
Упражнения
Продифференцировать следующие функции:
1. (х + 1)’.
2. (Зх-Ь-5)2.
3. (х9 — Зх« — х3)5-
1__
1 -j-х ‘
1
1 —X2 ‘
6. {ах 4* Ь)п.
.а _ аха-1
к
а
X .
1)
§ 5. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
187-
1
7. х + /х2-- 1 14. tg-5—! . 1 —X
у 15. sin (x2 4~ 3x 4~ 2).
ft / ах2 Ъх -ф с
>' /х2 4- тх 4~ п 16. arcsin (34-x3).
9. (Л-Л- 17. arcsin (cos x). 18. sin (arccos —x2 ).
10. sin2 х. Построить графики к упр. 17 и 18.
11. sin (х2). ,9. х/Г-х"^.
12. У 1 4- sin2 х. 3
1 20. [sin (х 4-7)]к 5 .
13. X2 sin -v. X2 21. [arcsin (<z cos х 4-6)]”-
Вычислить следующие производные высших порядков:
22. dA ^(secxtgx). <z4 24. -7—г (tgx sinx). dx4 ' °
23. -7—5- cosec х.
dx3
§ 5. Максимумы и минимумы
После того, как мы до известной степени овладели задачей диф-
ференцирования элементарных функций и сложных функций, из них
составленных, мы уже в состоянии заняться разнообразными приме-
нениями. Мы здесь изложим самое элементарное из этих приложений,
теорию максимумов и минимумов функции, в связи с геометрическим
толкованием второй производной, а затем, в следующем параграфе,
снова продолжим изложение общей теории.
1. Геометрическое значение второй производной. Выпуклость
и вогнутость кривой. Согласно своему определению, производная
f (х) от функции f (х) указывает подъем (крутизну, наклон) кри-
вой у = f (х). Этот наклон можно, в свою очередь, наглядно пред-
ставить с помощью кривой у' = = f (х)— дифференциаль-
ной кривой от заданной кривой. Наклон этой последней кривой
d d2
дается производной f (х) — f (х) — f" (х), т. е. производной
второго порядка от / (х), и т. д. Если вторая производная f" (х)
положительна в точке х, а следовательно, вследствие предполагаемой
здесь ее непрерывности, и в некоторой окрестности этой точки,
то при прохождении этой точки в направлении возрастания х произ-
водная возрастает. Кривая, следовательно, будет обращена своей
выпуклостью в сторону убывания у и вогнутостью в сторону
188
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(I
возрастания ординаты. Обратное будет иметь место, когда f" (х) имеет
отрицательное значение. Поэтому в первом случае кривая в окрест-
ности точки х расположена выше своей касательной, а во втором
случае — ниже своей касательной (рис. 60, а и 60, б). Особого
рассмотрения требуют только точки, в которых /7(х) = 0. В общем
случае при переходе через такую точку вторая производная f"(х)
будет менять знак. Тогда такая точка будет местом перехода от одного
из указанных типов к другому, т. е. касательная в этой точке будет
с одной стороны проходить
над кривой, а с другой—•
под нею и, следовательно,
будет не только касаться, но
в то же время и пересекать
кривую в этой точке (рис. 61).
Такая точка называется точ-
кой перегиба, а соответ-
ствующая касательная назы-
вается касательной в точке
перегиба кривой.
Простейший пример дает
кривая у = х3, кубическая
парабола, для которой при
х = 0 сама ось х является касательной в точке перегиба. Другой
пример представляет функция /(x) = sinx, для которой
d. d2
f (х) = — sin х — cos x, f" (x) = -y-y sin x = — sin x.
ClA (1Л
При x = 0 f (0) = 1, a f" (0) = 0; так как f" (x) при x = 0 меняет
знак, то начало координат является точкой перегиба для синусоиды,
и соответствующая касательная наклонена под углом в 45° к оси х.
Следует, однако, заметить, что могут быть точки, в которых
/' (х) — 0, но касательная в этих точках все же не пересекает кри-
21
§ 5. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
189
в точке х = Е, максимум {минимум),
эй-либо окрестности этой точки £ все
вой, а остается по одну сторону от нее. При переходе через такую
точку вторая производная /"(х) сохраняет неизменный знак. Напри-
мер, кривая у = х4 целиком лежит над осью х, хотя при х = 0 ее
вторая производная равна нулю. Действительно, /"(х)=12х2 и,
следовательно, не меняет знака при переходе через х = 0.
2. Максимумы и минимумы. Говорят, что непрерывная функция
или кривая у = f (х) имее-
если по крайней мере в к
значения функции /(х)при
X ¥= £ меньше, чем /(£)
[больше, чем /(£)]. Говоря
геометрически, такие макси-
мумы и минимумы являются
гребнями и впадинами гра-
фика функции. При одном
взгляде на рис. 62 убеж-
даемся, что значение макси-
мума в какой-либо точке Р5
вполне может быть меньше
значения минимума в другой точке Р2. Таким образом, понятию
максимума и минимума присуще нечто относительное, ибо оно всегда
ограничено некоторой малой окрестностью точки. [Эту мысль можно
выразить также словами: понятие максимума и минимума носит ло-
кальный {местный) характер, в отличие от понятия наибольшего или
наименьшего значения функции в замкнутом промежутке a^x^Z».]
Если хотят установить действительно наибольшее или наименьшее
значение функции в замкнутом промежутке, то потребуются специаль-
ные рассуждения для решения вопроса: можно ли выделить эти зна-
чения из максимумов или минимумов (и как это сделать) или, может
быть, эти значения принимаются функцией на границах интервала?
В последнем случае наибольшее значение функции в интервале может
не быть максимумом, и наименьшее значение в интервале может не
быть минимумом.
Перед нами стоит теперь задача о нахождении максимумов и мини-
мумов или, что то же самое, экстремумов функции или кривой
(если пользоваться термином, который объединяет оба понятия:
максимума и минимума; латинское слово «extremum» означает крайнее
значение).
Эта задача, которая очень часто ставится в геометрии, механике
и физике и которая встречается во многих других приложениях,
послужила одним из первых стимулов к развитию дифференциаль-
ного и интегрального исчисления в XVII веке.
Непосредственно видно, что касательная в экстремальной точке £
должна быть горизонтальной, если функция дифференцируема в этой
точке. Итак, условие
/'(!) = о
190
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[2
является необходимым условием тля существования экстремума;
решая это уравнение относительно неизвестной £, мы получим те точки,
в которых такой экстремум возможен. Но это условие никоим обра-
зом не является достаточным условием экстремума; дело в том,
что могут существовать точки, в которых производная обращается
в нуль, т. е. касательная горизонтальна, хотя в этих точках кривая
не имеет ни максимума ни минимума. Это тот случай, когда кривая
в рассматриваемой точке имеет точку перегиба и горизонтальная
касательная пересекает кривую в этой точке, как в приведенном
выше примере функции у — х3 — в точке х — 0.
Но раз найдена точка £, в которой /'(£) обращается в нуль,
то можно сейчас же заключить, что в этой точке функция имеет
максимум, если /"(£)<0, и минимум, если /"(£)>0, ибо в первом
случае кривая в окрестности этой точки лежит под касательной,
а во втором случае —над ней.
Вместо того, чтобы ссылаться на геометрическую интуицию, легко
дать чисто аналитическое доказательство необходимого условия экстре-
мума (ср. совершенно аналогичные рассуждения при выводе теоремы
Ролля на стр. 128). Если | есть точка, в которой функция имеет
максимум, то выражение /(£)—должно быть при всяком
отличном от нуля достаточно малом | h | положительным. Следова-
тельно, отношение будет положительно или отрица-
тельно, смотря по тому, будет ли h иметь отрицательное или поло-
жительное значение. Предел этого отношения, когда h стремится
к нулю, пробегая отрицательные значения, не может быть отрица-
тельным; в то же время он не может быть положительным, если h
стремится к нулю, оставаясь положительным. Так как оба предела,
на основании допущения о существовании производной, должны
быть равны одному числу /'(£), то они могут равняться только
нулю, т. е. непременно /'(£) —0. Аналогичное рассуждение можно
провести для минимума.
Можно также формулировать и аналитически доказать необходи-
мые и достаточные условия существования максимума или мини-
мума дифференцируемой функции и без привлечения второй произ-
водной (если возможно выделить такую достаточно малую окрестность
точки £, что /'(х) сохраняет постоянный знак с каждой стороны
от £ в этой окрестности):
Функция /(х) имеет в точке | максимум или минимум
в том и только в том случае, если производная f'(x) меняет
знак при переходе через эту точку, при этом, если производная
отрицательна слева от точки £ и положительна справа от нее,
то функция имеет минимум, а в противном случае — максимум.
Для доказательства заметим сначала, что по условию слева и
справа от точки £ существуют интервалы < х < | и|<х<£2
(простирающиеся до ближайших точек, в которых /' (х) — 0),
§ 5. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
191
в каждом из которых /z(x) сохраняет неизменный знак. По теореме
о среднем значении
= + о<0<1.
Если знаки f (х) в упомянутых выше двух интервалах различны
(а ведь знаки h в них тоже различны), то /(£-|-й)— /(£) имеет
один и тот же знак при всёх достаточно малых | h\, независимо
от знака самого h, так что f (£) есть экстремум. Если /z(x) имеет
в обоих интервалах одинаковый знак, то hfQhj меняет знак
вместе с h, так что больше, что /(£), с одной стороны
от точки £ и меньше, чем /(£), с другой стороны, и, следовательно,
экстремума нет. Теорема доказана.
Вместе с тем ясно, что экстремальное значение f (|) является
наибольшим или наименьшим значением функции /(х) в любом
содержащем точку | интервале, в котором производная, кроме точки £,
больше нигде не меняет знака.
Теорема о среднем значении, на которую только и опиралось
наше доказательство, справедлива и в том случае, если функция /(х)
не имеет производной на границе интервала, к которому она приме-
нена, при условии, что f (х) дифференцируема во всех внутренних
точках интервала. Поэтому наше доказательство сохраняет силу, если
/'(х) не существует в точке х = &, т. е. когда кривая у = /(х)
имеет при х = £ угловую точку или острие (точку заострения). Мы
приходим, стало быть, к следующему несколько более общему резуль-
тату: если функция /(х) непрерывна в интервале, содержащем точку
и дифференцируема в нем повсюду, с возможным исключением самой
точки д, то функция имеет в этой точке экстремум в том и только
в том случае, если точка £ отделяет друг от друга два интервала
с различными знаками производной /'(х). Например, функция у — | х |
имеет в точке х = 0 минимум, потому что у' > 0 при х> 0 и / < О
при х<0 (ср. рис. 36 на стр. 123). Функция у = ]/х2 тоже имеет
2
при х = 0 минимум, хотя в этой точке производная y'=z — x~'^
обращается в бесконечность (ср. рис. 39 на стр. 124).
Подчеркнем еще раз: задача нахождения максимумов и минимумов
не является безоговорочно равносильной задаче нахождения наиболь-
шего и наименьшего значений функции в замкнутом интервале. Моно-
тонная функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения
на границах интервала, и эти значения вовсе не являются максимумом
и минимумом, так как эти последние понятия всегда относятся к пол-
ной окрестности рассматриваемой точки. Так, например, функция
/(х) = х в интервале имеет в точке нуль наименьшее,
а в точке 1 наибольшее значение, и аналогично обстоит дело с любой
функцией. Функция у = arctg х, имеющая производную
монотонной
/ ~ l+x2
является в интервале — оо < х < -|- оо монотонной
192 ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [3
функцией и не имеет в этом открытом интервале ни максимума или
минимума, ни наибольшего или наименьшего значения (ср. рис. 57
на стр. 179).
Если корни производной /'(х) вычислены и желательно получить
уверенность, что тем самым найдены и точки, в которых функция
принимает наибольшее или наименьшее значение, то можно часто вос-
пользоваться следующим критерием:
Во внутренней точке j замкнутого интервала, в которой произ-
водная /'(х) обращается в нуль, функция f (х) обязательно прини-
мает свое наименьшее [наибольшее] значение, если во всем интервале
/"(*)> О [/"(х) < 0].
Действительно, если Z,-[-h есть любая отличная от £ точка интер-
вала, то по теореме о среднем значении
+ = + = + О<0<1.
Следовательно, производная f'(x) имеет в точке тот же знак,
что и h, если /"(х)>0, и противоположный, если /"(х)<0. Стало
быть, точка | делит весь интервал на две части с различными зна-
ками производной /'(х), отсюда и вытекает наш критерий.
* Можно рекомендовать следующий общий способ нахождения наиболь-
шего и наименьшего значений функции f (х), непрерывной в замкнутом
промежутке [а, 6]. Предполагается еще, что f (х) имеет производную в (а, Ь),
за исключением, быть может, конечного числа точек. Прежде всего надо
определить: 1) все точки, в которых производная f (х) обращается в нуль,
2) все точки, в которых производная не существует. Пусть всего оказалось
п таких точек (обоих типов): хь х2, ..., хп. Надо вычислить значения функ-
ции во всех этих точках, а также значения функции на границах проме-
жутка: f (a), f(Xt), /(х2), ..., f (xn), f (b). Наибольшее из этих чисел и
есть наибольшее значение f (х), а наименьшее из них — наименьшее ее зна-
чение в [а, 6]. *
3. Примеры максимумов и минимумов. Задача 1. Среди всех
прямоугольников, имеющих данную площадь, требуется найти прямо-
угольник с наименьшим периметром.
Пусть площадь прямоугольника равна а2, одна сторона равна х
(при этом х приходится рассматривать в интервале 0 <( х <( оо), тогда
другая сторона равна а2/х, а полупериметр равен
/(х) = х+4-
Имеем
/?2 9/?2
Г(Х) = 1-^, Г(х) = -^-.
Уравнение /z(x) = 0 имеет единственный положительный корень
| — а. При этом значении /"(х) положительна (как, впрочем, и при
любом положительном значении х); следовательно, при х = а пери-
метр получает наименьшее значение, и мы получаем весьма естествен-
3] § 5. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 193
ный результат, что из всех прямоугольников с заданной площадью
наименьшим периметром обладает квадрат.
Задача 2. Среди всех треугольников с заданным основанием и
заданной площадью надо найти тот, который имеет наименьший пери-
метр.
Для того чтобы решить эту задачу, мы рассматриваем данное
основание АВ как часть оси х, а середину его О берем за начало
координат. Длину заданного основания обозначим через 2а, Если
С — вершина треугольника, h — его вполне определенная высота и
(х, h) — координаты вершины С, то периметр треугольника выра-
зится так:
/ (х) = /(х + а)2 + й2Ч- V(x — a^ + tf4- 2а;
далее имеем:
. х + а х — а
J /(x-f-fl)2 +Л2 /(х —в)2 4-Л«
f„ (Х) —U + д)2 |______1________ — (х —а)2
J “ /[(Л._а)2 + А2]3 “Г
V(X — а)2 + h2 ~ (/(х + й)2 + Л2)3 (/(х —а)2 + Л2)3 "
Мы сразу видим: во-первых, /' (0) = 0, во-вторых, f"(x) всегда
положительна; поэтому при х = 0 действительно имеем минимум; так
как ///(х)>0, то' /'(х) постоянно возрастает и потому не может
равняться нулю ни в какой иной точке. Следовательно, при х = 0
получается действительно наименьшее значение периметра. Стало быть,
наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник.
На примере этой задачи можно дать ясную иллюстрацию того
факта (см. стр. 191), что если функция принимает свое наименьшее
значение на границе интервала, то ее производная не обязательно
обращается там в нуль. Попытаемся решить эту же задачу, пользуясь
формулой элементарной геометрии
S — рг,
где р — полу периметр треугольника, S — его площадь, г — радиус
вписанной окружности. Здесь площадь S—заданная постоянная, так
Что полупериметр
является функцией от г. Производная этой функции
dp _______________________________ S
~dr~~72
ие обращается в нуль ни при каком значении г. Несмотря на это,
Как мы уже знаем, наименьшее значение полупериметра р существует!
13 Р. Курант
194
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(3
о наименьшем значении этой
Это кажущееся противоречие объясняется тем, что для треугольника
постоянной площади S радиус вписанной окружности г не превышает
некоторого положительного числа г0, так что функция р (г) опреде-
лена лишь при г г0. Так вот полупериметр принимает свое наи-
меньшее значение как раз при г — г0. Отсюда видно, что задачу
функции р (г) невозможно решить
определением корней производной
p'(f)-
Задача 3. Доказать, что из всех
треугольников, имеющих данный пе-
риметр и данное основание, наиболь-
шую площадь имеет равнобедренный
треугольник. Решение, аналогичное
решению задачи 2, предоставляется
читателю.
Задача 4. Закон отражения.
На данной прямей найти точку, сумма
расстояний которой от двух данных
точек была бы наименьшей.
Пусть дана прямая и две точки
А и В по одну сторону от пря-
мой. На прямой ищем такую точку Р, чтобы сумма расстояний АР -\-ВР
была наименьшей.
Данную прямую примем за ось х и воспользуемся обозначениями,
отмеченными на рис. 63. Тогда искомая сумма расстояний равна
f (х) = /х2 + й2 4- У(х — а)2 4- h\,
и мы имеем, далее,
(X) = г = 4- ,
У\24*Л2 У (х—а)24~й2
fч (гХ —. —х2 I 1 I — (х — аУ
7 } (У?^)3 (/(х-аЗЧл2)3
1 й2 й?
У (х — а)2 4-й2 (ух24-/г2)3 (У(х —л)24-й‘03
Уравнение //(^)==0 дает
£ _ а-1
Vz+h1 +
или
cos а — cos fi,
а это означает, что обе прямые РА и РВ должны образовать с дан-
ной прямой равные углы. В том, что мы при этом получаем действи-
тельно наименьшее значение, убеждает нас положительный знак /" (х).
3]
§ 5. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
195
Решение этой задачи находится в самой тесной связи с законом
отражения в оптике. Согласно важному принципу оптики, так назы-
ваемому принципу Ферма о кратчайшем времени распространения
света, путь светового луча характеризуется тем свойством, что время,
которое требуется свету, чтобы при известных условиях прийти
из точки А в точку В, должно быть кратчайшим. Если на луч света
наложим условие, чтобы он на своем пути проходил через точку за-
данной прямой (скажем, зеркала), то мы увидим, что кратчайшее время
прохождения достигается таким
лучом, для которого угол па-
дения равен углу отражения.
Задача 5. Закон прелом-
ления. Пусть даны две точки
А и В по разные стороны от
оси х. Какой путь ведет в самое
короткое время из точки А
в точку В, если скорость по
одну сторону от оси х равна си
а по другую сторону равна с2?
Ясно, что этот «кратчай-
ший» путь должен состоять из
двух прямолинейных отрезков,
которые смыкаются в некоторой точке Р оси х. При обозначениях
рис. 64 длины отрезков РА и РВ равны соответственно
и /й2 + (а—х)2 ,
и время, требующееся для прохождения этого пути, получается де-
лением этих длин на соответствующие скорости. Стало быть, это
время равно
f (х) = 4- +4“ /й2-На-х)2.
с2
Отсюда, дифференцируя, получаем:
. 1 х 1 а — х
г (х) —------г ------------7. ---,
С1 /й2 + %2 С2 /Л2 + (а_^)2
„ _ 1 Л2 1 ' А1
7 (х)~ V (у^й?)3 + V (/A2+(«-x)2f ’
Уравнение /'(х) = 0, т. е.
1 х _________ 1 а — х
V /Чй? ~ Vh^ + ta-x)2 ’
13*
196
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
как легко видеть из чертежа, эквивалентно условию
— sina == — sin6
Ci с2
или
sin a_ Ci
sin p c2
Читателю предоставляется доказать самостоятельно, что существует
только одна точка, удовлетворяющая этому условию, и что в этой
точке действительно получается наименьшее значение. Физическое зна-
чение нашего примера и здесь получается из принципа оптики о крат-
чайшем времени распространения света. Луч света проходит между
двумя точками тот путь, для которого требуется наименьшее время.
Если Ci и с2 означают скорости света по обе стороны плоскости
раздела двух оптических сред, то ход светового луча должен проис-
ходить согласно полученному результату; итак, наш результат дает
закон преломления Снеллиуса.
Упражнения
1. Найти максимумы, минимумы и точки перегиба для следующих функ-
ций. Построить их графики и определить интервалы возрастания и убывания,
а также интервалы постоянного направления выпуклости (вогнутости).
,, 2х г3
а) х3 — 6x-f-2; б)х/з(1—х); в)р-р^; г) ! д) sin2x.
2. Определить максимумы, минимумы и точки перегиба функции
х3 4* 3/>х4~ Я- Исследовать характер корней уравнения х3 4-3/>х4*? =0.
3. Какая точка гиперболы у2 —х2 = 1 ближе всего к точке х = 0, у = 3?
4. Дана точка Р(ха, у0) в первой четверти прямоугольной системы коор-'
динат. Найти уравнение прямой, проходящей через точку Р таким образом,
что длина ее отрезка между положительными полуосями координат будет
наименьшей.
5. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На ка-
ком расстоянии должен стать человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы
видеть статую под наибольшим углом?
6. В двух точках А и В, расстояние между которыми равно d, нахо-
дятся источники света мощностью а и b соответственно. В какой точке пря-
мой АВ освещенность наименьшая? (Освещенность пропорциональна мощ-
ности источника света и обратно пропорциональна квадрату расстояния.)
7. Среди всех прямоугольников с заданной площадью найти:
а) прямоугольник «с наименьшим периметром; б) прямоугольник с наи-
меньшей диагональю.
X2 у*
8. В эллипс —1~'£2-=1 вписать прямоугольник наибольшей площади.
9. Длины двух сторон треугольника равны а и Ь. Определить третью
сторону так, чтобы площадь была наибольшей.
10. Круг радиуса г разделен на два сегмента прямой g, проходящей на
расстоянии h от центра. В меньший из этих сегментов вписать прямоугольник
наибольшей площади.
11. Среди всех, круговых цилиндров заданного объема найти тот, кото-
рый имеет наименьшую полную поверхность.
§ 6. логарифмическая и показательная функции
197
’]
12. Дана парабола у2 — 2рх, р > 0, и точка Р(хх, у,) внутри ее (у\ < 2рх^.
Найти кратчайший путь (состоящий из двух прямолинейных отрезков), ве-
дущий от данной точки Р к точке Q параболы, а затем к фокусу F (-g- р, б)
параболы. Показать, что угол FQP делится нормалью параболы пополам и
что прямая QP параллельна оси параболы. (Принцип параболического зеркала.)
13* . Призма отклоняет луч света, расположенный в плоскости, перпен-
дикулярной к ребру призмы. Каков должен быть угол падения, чтобы откло-
нение было наименьшим^
п
14. Дано п чисел а,, а2, .... ап. Определить х так, чтобы У, (а^—х)1
имела наименьшее значение.
15. Доказать, что если р > 1 и х > 0, то хр — 1 > р (х — 1).
sinx 2 п ' п
16. Доказать неравенство 1>.———если O^Ar^-g-.
17. Доказать, что: a) tgx>x, 0<х<л/2; б) cosx>l— х2/2.
18* . Дано п положительных чисел alt а2.а„. Определить наименьшее
значение функции
Д1 ~Ь • • an-i
п
п_______________
УЛ1&2 • • • ^П—\Х
при х > 0. Пользуясь этим результатом, доказать методом математической
индукции, что
-- Д1 + а2 + • • • + ап
у а {а2 ... ап гС-------~---------•
§ 6. Логарифмическая и показательная функции
Установленная нами связь между интегральным и дифференциальным
исчислениями открывает простой и естественный путь к построению
теории логарифмической и показательной функций. Хотя мы уже
рассматривали эти функции, мы им теперь дадим новые определения
и вновь разовьем их теорию, не пользуясь прежними определениями
и выведенными из них результатами. Мы начнем с логарифмической
функции, а затем' получим показательную функцию как обратную
логарифмической
1. Определение логарифмической функции. Формула диф-
ференцирования. Мы видели, что неопределенный интеграл от сте-
пенной функции хп при любом целом п опять приводит к степенной'
функции. Единственное исключение представляет функция 1/х, кото-
рая не является производной ни от какой из рассмотренных до сих
пор функций. Естественно поэтому предположить, что неопределен-
ный интеграл от функции 1/х представляет новую функцию; следуя
этой идее, займемся изучением функции
1
198
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[1
при х > 0. Назовем ее логарифмической функцией, короче — лога-
рифмом х или, точнее, натуральным логарифмом х и обозначим
ее символом у —1пх. Переменную интеграции мы обозначили через
чтобы не смешивать ее с верхним пределом х.
То, что мы в качестве нижнего предела взяли число 1, есть на
первый взгляд произвольный, однако, как скоро обнаружится, целе-
сообразный выбор.
В дальнейшем изложении выяснится само собой, что определенная
здесь логарифмическая функция совпадает с логарифмом, определен-
ным ранее «элементарным путем».
Однако, подчеркнем это еще раз, ре-
зультаты следующих ниже рассуждений
не зависят от полученных ранее.
Геометрически наша логарифмическая
функция означает площадь, заштрихованную
на рис. 65. Она ограничена сверху равно-
бочной гиперболой у =-г-,
снизу — осью £,
Рис- 65. а слева и справа — прямыми £=1 и^ = х.
Эту площадь надо считать положительной,
если х > 1, и отрицательной, если х < 1. При х = 1 площадь исчезает
и потому In 1 = 0.
Из данного выше определения следует, что производная логариф-
мической функции выражается формулой
d In х 1
dx х'
Специально подчеркиваем, что аргумент х всегда предполагается по-
ложительным; образовать логарифм нуля или отрицательных чисел
мешает нам то обстоятельство, что подынтегральная функция при
£ —О обращается в бесконечность. Можно, конечно, если только
взять за нижний предел отрицательное число, например —1, написать
интеграл с отрицательным верхним пределом х, т. е. рассматривать
выражение
J -у- при х < 0.
-1
Рассматривая интеграл как
видим, что при х < 0
предел суммы или как площадь, мы
-1 1 1
21
§ 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ
199
Соответственно этому можно написать общую формулу неопре-
деленного интегрирования в виде
J -^ = 1п|х| + с
и общую формулу дифференцирования
d In | х | 1
dx x
Логарифмическую функцию у = In | х | можно наглядно представить
с помощью графика. Этот график, логарифмическая кривая.
изображен на рис. 66. Как построить его, было показано на стр. 148
(рис. 47).
2. Теорема сложения. Определенная таким образом логарифми-
ческая функция удовлетворяет следующему основному закону:
In (ab) = In а In b.
Доказательство этой теоремы сложения получается очень просто
с помощью формулы дифференцирования логарифмической функции.
Положим z = 1п(ах); дифференцируем, пользуясь правилом цепочки:
dz 11
—г— = — а = —.
dx ах х
Но такова же производная от 1пх. Следовательно, .так как функ-
ции z и 1пх имеют тождественно равные производные, то они отли-
чаются только постоянным слагаемым, так что z = In х-1- с или
1п(ах) = 1пх-]-с
при всяком х > 0. Для определения с положим х— 1. Так как
In 1=0, получим отсюда 1па = с и
1п(ах) = 1пх-]-1па-
Подставляя х = Ь, имеем окончательно
In {ab) = In а~\~ In b,
и теорема сложения доказана.
200
ГЛ. Ш. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[3
Положим ab = m; тогда Ь = т1а, и мы имеем In b = In т — Ina
или
In — = In т — Ina,
а
т. е. получена формула для логарифма частного.
Из теоремы сложения логарифмической функции вытекает для
произвольных положительных чисел av a2.......ап равенство
In (aja2 . .. a„) = In a^ —]— In a2 —(- ... —(- In an.
Если, в частности, все числа ap a2, ап равны одному и
тому же числу а, то получаем
Ina" = nlna. (*)
Аналогично получаем
Ina -к- In— = In 1 = 0,
' а
следовательно,
, 1
In — =— Ina.
а
п
Если положим, далее, ]/а —а, то а = ап и lna = nlna, или
« - 1
1п У а — In a V» = — In а.
' п
Отсюда же, применяя формулу (*), получаем при целом т > 0
п
— In а = In Vат = In ат'п.
п ’
Равенство
\naT = r Ina
доказано, таким образом, для всех положительных рациональных зна-
чений г. Оно, очевидно, верно и при г = 0. При отрицательных
рациональных значениях г эта формула тоже справедлива: если г < 0,
то — г > 0 и
In аТ = In = — In a~r = г In а.
а
3. Монотонность логарифмической функции. Совокупность ее
значений. Логарифмическая функция In х, х > 0, имеет производ-
ную 1/х, всюду >0. Ясно, что функция у = 1п х возрастает с воз-
растанием х\ следовательно, логарифм является монотонно возрастаю-
щей функцией при х>0 (см. стр. 34 и 118).
Так как производная 1/х с возрастанием х убывает, то возраста-
ние функции . с возрастанием х все замедляется. Несмотря на это,
4] § 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ 201
функция 1п х при неограниченном возрастании х не стремится
к какому-то определенному пределу, а стремится к бесконечности,
т. е., как бы ни было велико положительное число А, всегда можно,
указать такие значения х, что 1пх>Л. Этот факт очень легко по-
лучается из теоремы сложения. Имеем 1п2'! = п1п2. Так как 1п 2 —
положительное число, то при х = 2п для достаточно большого зна-
чения п функция 1п х будет иметь сколь угодно большое значение.
Так как 1п = — п1п2, то мы видим, что 1пх, когда х, оста-
ваясь положительным, стремится к нулю, неограниченно возрастает
в отрицательном направлении.
Итак, резюмируя, можно сказать:
Функция In х — монотонная функция, которая принимает все зна-
чения от —оо до —|~оо, когда независимая Переменная х пробегает
континуум (непрерывное множество) положительных чисел.
4. Обратная функция от логарифма (показательная функ-
ция). Так как функция у — In х, х > 0; является монотонной функ-
цией от х, принимающей все действительные значения, то обратная
функция, которую мы сперва обозначим х = Е (у), есть функция
однозначная, монотонная, определенная для любого значения у; она
дифференцируема, потому что 1пх—дифференцируемая функция
(см. § 3, стр. 174).
Поменяв между собой обозначения зависимой и независимой пере-
менных, займемся подробным изучением этой функции Е(х). Прежде
всего, видим, что эта функция при любом значении х должна иметь
'положительное значение. Далее,
Е(0) = 1.
так как это равенство равнозначно тому, что логарифм единицы1
равен нулю. Из теоремы сложения для логарифма вытекает непосред-
ственно теорема умножения
Е (a) f(₽) = £(« + ₽)
Для доказательства нужно только заметить, что равенства
Е (а) = а, Е ($) = b, Е (а -ф-3) = с
эквивалентны равенствам:
а = 1па, р = 1п£, а-ф-р —1пс.
Но так как по теореме сложения для логарифма a-f-p = 1п(а£),
то с — ab, что и доказывает теорему умножения.
Из этой теоремы вытекает основное свойство функции у — Е(х),
которое дает нам право назвать ее показательной функцией и
представить символически в виде
у = ех.
202 гл. Ш. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [4
Чтобы получить это свойство, мы примем во внимание, что
должно непременно существовать такое число, назовем его е *), для
которого
In е — 1.
Этому эквивалентно определение
Е(1) = е.
На основании теоремы умножения для показательной функции
отсюда вытекает для любого целого положительного значения п
Е{п) — еп,
и таким же образом при целых значениях /пип
f = ет1п ,
что, впрочем, можно было бы вывести непосредственно из теоремы
сложения для логарифма.
Равенство Е (г) = ег, доказанное таким образом для положитель-
ных рациональных значений г, на основании равенства
£(г)£(-г) = £(0)=1
справедливо и для отрицательных рациональных значений г.
Итак, функция Е (х) непрерывна при всех значениях х и совпа-
дает при всех рациональных значениях х с функцией ех. Этот
факт позволяет обозначать эту функцию через ех и при любых
иррациональных значениях х* 2). (Заметим, что при этом определении
непрерывность функции ех, как обратной функции от непрерывной
монотонной функции, известна заранее, между тем при элементарном
определении непрерывность приходится доказывать.)
Дифференцирование показательной функции дается формулой
-у— ех = е или у = у.
П V S J
') Мы докажем в п° 6 этого параграфа, что это число е тождественно
с числом е, которое мы рассматривали в гл. I.
2) Тем самым доказано, что данное нами определение дает ту же самую
показательную функцию с основанием е, которая была ранее элементарно
определена с помощью возведения в степень. В самом деле, при том эле-
ментарном определении функцию ех при иррациональном значении х рас-
сматривали как предел выражений е*п, где хп пробегало последовательность
рациональных чисел, стремящихся к х. Так как Е (хп) = е*П’ а вследствие
непрерывности Е (х) имеем Е (х) = lim Е (хп), то элементарное определение
функции ех повсюду согласуется с данным теперь определением. При этом
мы, забегая вперед, полагаем, что введенное здесь число е совпадает с тем
числом, которое обозначалось этой буквой ранее, но это будет доказано
в п° 6.
61
§ 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ
203
Эта формула выражает важный факт, что производная показа-
тельной функции равна самой функции.
Доказательство крайне простое.-Именно, имеем х = 1пу, откуда,
принимая во внимание формулу дифференцирования логарифма,
выводим
dx___ 1
dy~ 7’
следовательно, по правилу
дифференцирования обратной функции
имеем
dy
dx
= у = ех.
как мы и утверждали.
График показательной функции ех,
так называемая экспоненциальная кри-
вая, получается просто путем отражения
логарифмической кривой относительно
биссектрисы положительного квадранта.
Он представлен на рис. 67.
5. Общая показательная функ-
ция ах и общая степенная функция х“.
Мы определяем теперь показатель-
ную функцию ах, при произвольном положительном основании а #= 1,
просто с помощью равенства
у = ах = ех |п °,
что согласуется с элементарным определением, ввиду того что
е1па _
С помощью правила цепочки сразу получаем
-4- ах = -4- ех |п ° = ех 1п ° In а,
dx dx
f. е.
d х х,
—— ах = ах In а.
dx
Обратную функцию от показательной функции у == ах называют
логарифмом при основании а и записывают так:
х = 1одау.
’Между тем как логарифм, который мы ввели раньше, называют, там
где их нужно различать, натуральным логарифмом или логарифмом
при основании е.
Непосредственно из определения получаем соотношение
х In а = In а, • loga у = In у или loga у = ,
204 гл. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [6
которое показывает, что логарифм числа у при любом положитель-
ном основании а Ф 1 получается из натурального логарифма этого
числа путем умножения его на число, обратное натуральному лога-
рифму в; это число называется модулем системы логарифмов при
основании а ’). Вместо нашего прежнего определения обобщенной
степени ха (х > 0) вводим теперь определение с помощью равенства
___еа ,ПЛ
И здесь непосредственно очевидно, что это определение согласуется
с элементарным определением. Новое определение обладает тем пре-
имуществом, что оно определяет ха сразу для всех значений а и не
нуждается в предельном переходе для иррационального а (ср.
стр. 92).
Правило дифференцирования степени ха получается на основании
этого определения непосредственно с помощью правила цепочки;
действительно,
_^а — ga In х eainx JL — axa-1
dx dx x '
что совпадает с нашим прежним результатом.
6. Представление показательной и логарифмической функций
в виде пределов. Теперь мы в состоянии просто установить важные
предельные соотношения для введенных выше величин. Исходим из
определения производной:
,,, , .. f (х -4- h) — f (х)
f (х) = lim ’— ;
л->о "
сюда мы подставим f (х) = 1п х, /' (х) = 1/х. Имеем
1 .. In (х -4- h) — Inx .. 1, х4-Л .. 1 , , h\
— = lim —1--------------— iim in —_l.— = hm — In 14 .
X h+0 h h+0 h x л->о л \
Положив 1/x — z, получим
z = lim 4-1п(1 + zK).
h->0 n
Так как функция ex непрерывна при всех значениях х, отсюда выте-
кает
lim -i 1л(1+гЛ) -1 1п(1+.гЛ) -4
е2==ел->ол =lime* =lim(l+z/i) (А)
Л->0 Л->0
’) При a =10 получаются знакомые со средней школы «бригговы»
логарифмы, которые преимущественно применяются для численных расчетов.
6] § 6. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ 205
Если, в частности, h
1/3...... 1/га.....то
пробегает последовательность значений 1, 1/2,
получится
lim f 1
л->со V
частное значение z =1. Тогда формулы (А)
+ тг) = *’• (В)
Л->0
которая непосредственно выражает
предела.
Заметим еще по поводу этого
Подставим вместо z
и (В) дают
lim (1 —Л)й =е, lim 11 + —I = е.
Л->0 л->оо ' п '
Эти формулы выражают следующий важный факт:
Выражение (1-|-/г)1/Л при ^->0 и выражение (1при
п->со стремятся к числу е как к своему общему пределу.
Отсюда вытекает, что введенное здесь число е совпадает с тем чис-
лом е, которое мы рассматривали на стр. 62 как пример числа,
определяемого предельным переходом.
Из формулы дифференцирования для ах
„ д*^+—- д^
(а } = ах In а — lim----т----
л-»о п
получаем при х — 0 формулу
aft_1
In а = lim —;,
h
логарифм числа а с помощью
равенства, что с его помощью
можйо удовлетворительным образом Дополнить ранее полученное
соотношение:
ъ
j ха dx = (ba+l — aa+1) (а > 0, b > 0). (*)
а
Нам всегда приходилось исключать здесь случай а = —1. Теперь
же мы можем проследить, что произойдет, когда число а, стоящее
в обеих частях этого равенства, будет стремиться к пределу —1.
Если подставим а = 1, то левая часть, на основании нашего опре-
деления логарифма, будет иметь пределом
ь
f =
I v
1
*) Предельный переход а->—1 мы совершили непосредственно под
знаком интеграла (см. по этому поводу рассуждения в гл. II, § 7, п° 3).
206 ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ (7
поэтому и правая часть равенства должна при а-* — 1 стремиться
к тому же пределу. И этот факт согласуется с формулой
лл__1
In b = lim —т— ,
л->о h
достаточно только заменить а -ф-1 через й.
Таким образом, мы устранили исключительное положение числа
а = —1 в этой формуле интегрирования, которую мы столь часто
рассматривали. Хотя формула (*) при а — —1 теряет смысл, зато
она сохраняет свое значение как предельная формула при а-> — 1.
7. Заключительные замечания. Резюмируем вкратце ход рас-
суждений в этом параграфе.
Мы прежде всего дали определение натурального логарифма
у = In х при х > 0 с помощью интеграла и отсюда же сразу вывели
формулу дифференцирования, теорему сложения и существование
обратной функции. Затем мы исследовали обратную функцию у = ех
(где число е означало то число, логарифм которого равен 1) и
вывели для нее формулу дифференцирования, а также предельные
выражения для нее и для логарифма. Введение функций у = ха — еа1пх
и y — ax = exhia получилось при этом само собой.
При данном здесь построении, в противоположность «элементар-
ному» изложению, не возникает никаких затруднений в вопросах
о непрерывности, так как логарифм с самого начала характеризуется
как интеграл и тем самым как непрерывная дифференцируемая функ-
ция своего аргумента, а непрерывность обратной функции вытекает
сама собой.
У пражнения
1. Построить график функции у = 1/х (1 < х<2) в крупном масштабе
на миллиметровой бумаге и найти In 2, подсчитывая квадратики.
Продифференцировать функции в упр. 2—5:
2. х (In х — 1). 4. In (х + К1 + х2).
3. In In л:. 5. In (У 1 -|- In х—sinx).
_i_ 1
6. Продифференцировать In —: а) пользуясь правилом цепочки
|/2-|-x
и правилом дифференцирования частного, без предварительного упрощения
этой функции; б) после упрощения^ помощью теорем о логарифмах (правил
логарифмирования).
7. а) Продифференцировать у = —--—---_
/х^У
б) Продифференцировать эту же функцию после предварительного ее
логарифмирования и упрощения.
(X
1 4* ел — = 1,
п /
1) § 7. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 207
9. Показать, что функция у = (a cos х b sinx) удовлетворяет ура-
внению
у"+2ау' + (а2 + 1)у = 0
при всех значениях а и Ь.
10*. Показать, что -^-=-(g~1/v2) = —”г-1^2, еслих=£0, где Рл (х)—
dxn xin
многочлен степени 2га — 2. Вывести «рекуррентную формулу»
Рп+\ (х) = (2 — Згах2) Рп (х) + x?JP'n (х).
11. Найти максимум функции у = хАаг~?“*, где А и а — постоянные.
Найти геометрическое место этого максимума при изменении А.
12. Продифференцировать функцию ааХ (а > 0).
13. Продифференцировать функцию asinx(inx)2
§ 7. Некоторые приложения показательной функции
Мы изучим в этом параграфе ряд различных задач, где появляется
показательная функция, и получим таким образом представление
о фундаментальном значении этой функции в самых разнообразных
приложениях.
1. Дифференциальное уравнение, характеризующее показа-
тельную функцию. Показательную функцию можно охарактеризовать
с помощью простой теоремы, применение которой сэкономит много
отдельных рассуждений.
Если функция y~f{x) удовлетворяет уравнению вида
у' = ау, (1)
где а =£ 0 — постоянная, то у имеет вид
y — f(x) — се°х,
где с — тоже постоянная-, обратно, всякая функция вида сеах
удовлетворяет уравнению у' = ау. Уравнение (1) называется диф-
ференциальным уравнением, так как в нем устанавливается соот-
ношение между функцией и ее производной.
Чтобы уяснить себе эту теорему, заметим сперва, что в простей-
шем случае, при а=1, наше уравнение принимает вид у' —у. Мы
знаем, что у — ех удовлетворяет этому уравнению, и ясно, что у=сех
тоже удовлетворяет ему, если с — произвольное постоянное число.
Но легко обнаружить и обратное положение: никакая иная функция
не удовлетворяет нашему дифференциальному уравнению. В самом
деле, пусть у—функция, удовлетворяющая этому дифференциальному
уравнению; тогда рассмотрим функцию и — уе~х. В таком случае
и' — у'е~х — уе~х — е~х(у' — у).
208
ГЛ. HI. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[2
Но правая часть равна нулю вследствие допущения, что у' — у,
а потому и и' —0, т. е. и равно постоянной с, и у = сех, что и
требовалось доказать.
Совершенно так же, как в частном случае а — 1, можно поступить и
в случае произвольного а, не равного нулю. Если мы введем и — уе~ах
как новую искомую функцию, то получим и' ~ у'е~ах — ауе-^ —
— е~ах (у' — ау). В силу допущения, что у удовлетворяет данному
дифференциальному уравнению (1), получаем и' — 0. Итак, и = с
и у = сеах, как мы и утверждали. Обратная теорема очевидна.
Применим доказанную теорему к ряду задач, и это сделает ее
более понятной.
2. Непрерывное начисление процентов. Радиоактивный распад.
Капитал, на который процентные деньги начисляются каждый раз через
определенные промежутки времени, возрастает в эти моменты скачками сле-
дующим образом. Если 100а — процентная такса и если наросшие проценты
присчитываются к капиталу в конце каждого года, то из начального капи-
тала величиной 1 получается по истечении х лет сумма
(1+а/
Если бы наросшие проценты причислялись к капиталу не по истечении
года, а по истечении 1/л части года, то капитал превратился бы по истече-
нии х лет в
(1+-Г.
\ И f
Если возьмем для простоты х — 1, то рост в 100а % годовых, при на-
числении процентов в конце каждой n-й части года, образует из капитала I
через год наращенный капитал
•
Заставим теперь п расти неограниченно, т. е. будем неограниченно
уменьшать промежутки времени, -по истечении которых процентные деньги
присчитываются к капиталу; тогда предельный случай будет означать, что
начисление производится известным образом непрерывно в каждый момент,
и мы видим, что величина наращенного капитала по истечении года равна
(а \л
1-1--=еа, т. е. в еа раз больше первоначального капитала; подоб-
Л /
ным же образом при этом способе начисления по истечении х лет (х может
быть любым целым или нецелым числом) наращенный капитал будет в еах раз
более первоначального.
Этот пример и ему подобные можно истолковать в духе рассуждений n° 1
следующим образом. Имеется некоторое количество, выражаемое числом у,
которое с течением времени возрастает (или убывает). Пусть скорость воз-
растания или убывания этого количества будет пропорциональна наличному
количеству. Тогда для скорости возрастания у' (как независимую перемен-
ную х мы рассматриваем при этом время) имеет место закон вида у' = ау,
причем множитель пропорциональности а положителен или отрицателен,
смотря по тому, имеем ли мы дело с возрастанием или убыванием. Сама
величина у выразится, согласно п°1, формулой
у = се1^;
31 § 7. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 209
при этом значение постоянной с сейчас же обнаружится, если рассмотрим
момент х = 0. Тогда еаХ = 1 и постоянная с «= у0, т. е. наличному количеству
в начальный момент, так что можем писать
У = УОеах.
Типичный пример такого явления представляет радиоактивный рас-
пад. Скорость, с которой уменьшается общее количество у радиоактив-
ного вещества, пропорциональна всему имеющемуся налицо в данный момент
количеству этого вещества. Эта гипотеза естественна, так как каждая порция
вещества уменьшается столь же быстро, как и всякая другая порция.
Поэтому мы имеем право написать для количества вещества у, рас-
сматриваемого как функция времени х, соотношение у' = — ky, причем
множитель пропорциональности k следует взять положительным, так как
речь идет об уменьшении массы вещества. Отсюда для массы как функции
времени х получаем выражение у — yae~kx, где у0 — количество вещества
в начальный момент (х = 0).
Через некоторое время т количество радиоактивного вещества умень-
шится вдвое против первоначального количества. Это время т, так называе-
мый период полураспада, находится из уравнения
In 2
откуда тотчас же получаем для т значение т = ——.
3. Охлаждение или нагревание тела в окружающей среде. Другим
типичным примером появления показательной функции служит явление
охлаждения тела, например металлической пластинки, погруженной в очень
большую ванну определенной температуры; при рассмотрении такого охлаж-
дения, мы предполагаем, что ванна настолько велика, что на ее собственную
температуру процесс не влияет. Далее предполагаем, что погруженное тело
в каждый момент имеет повсюду одну и ту же температуру и что быстрота
изменения температуры пропорциональна разности температур тела и окру-
жающей среды (ньютоновский закон охлаждения).
Если обозначим время через t, а разность температур тела и среды
через y = y{t), то закон охлаждения выразится уравнением
У' = — ky,
где k — положительная постоянная, зависящая от материала. Речь теперь идет
о том, чтобы из этого «дифференциального» закона, который выражает
тенденцию процесса охлаждения в определенный момент времени t, вывести
«интегральный» закон, который позволил бы, на основании известных условий
.в начальный момент t — 0, делать заключения относительно любого следую-
щего момента t. Этот интегральный закон получается непосредственно
с помощью теоремы из п° 1 в виде
У = ce~kt,
где k — указанная раньше постоянная, зависящая от материала. Следова-
тельно, оказывается, что температура с течением времени понижается по
экспоненциальному (показательному) закону и стремится сравняться с окру-
жающей температурой. Скорость, с которой это происходит, характеризуется
постоянной k. Значение постоянной с и здесь находим рассмотрением мо-
мента t = 0 и получаем у0 = с; даким образом, закон охлаждения оконча-
тельно запишется в виде
У = Уае~М.
14 Р- Курант
210 ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [4
Очевидно что такое же решение применимо и к задаче нагревания
тела в окружающей среде. Единственное различие заключается в том, что
начальная разность температур в данном случае имеет не положительное,
а отрицательное значение.
4. Зависимость атмосферного давления от высоты над поверхностью
земли. В качестве дальнейшего примера применения показательной функции
выведем закон зависимости атмосферного давления от высоты, так называе-
мую барометрическую формулу высоты. Мы будем при этом опираться,
с одной стороны, на тот известный из физики факт, что давление воздуха
равно весу столба воздуха, стоящего вертикально над площадкой, площадь
которой равна 1; с другой стороны, на закон Бойля, гласящий, что давление
газа р при постоянной температуре пропорционально его удельному весу а.
Выражая это формулой, имеем р — ая, где а — постоянная, зависящая от
природы газа. Нашей задачей является определение давления р = f (Л) как
функции высоты h над поверхностью земли.
Если обозначить через р0 давление воздуха у поверхности земли, т. е.
вес всего вертикального столба воздуха над единицей площади, и через а (Л}
удельный вес воздуха на высоте Л. над землей, то вес столба до высоты h.
выразится интегралом
Л
j а (Л) • dK,
о
а давлений р на высоте h будет равняться
Л
р = / (/г) = ра— J а (Л) dK.
о
Но отсюда дифференцированием получаем соотношение между давлением
р — f (h) и удельным весом a (К):
a(h) = — f (h) = -p’.
Из этого уравнения, с помощью закона Бойля р = ас исключаем вели-
чину а и приходим, таким образом, к уравнению
, 1
содержащему одну только неизвестную функцию — давление. На основа-
нии п° 1 получаем теперь
р = f (h) = ce~h/a.
Обозначая, как и раньше, давление на поверхности земли, т. е. значе-
ние р (0), через рй, получаем тотчас же с = р0, и потому
p = pQe~h'a.
Переходя к логарифмам, имеем
7г = а1п —.
Р
Эти две формулы находят частое применение. Они позволяют, например,
если известна «постоянная а, путем измерения атмосферного давления опре-
делить высоту местонахождения или путем измерения атмосферного давления
в двух местах определить разность их высот. С другой стороны, если
известны атмосферное давление р в одной точке и высота Л 0 этой точки,
6]
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 211
то последняя формула дает возможность определить постоянную а, играющую
большую роль в теории газов.
5. Ход химических реакций. Рассмотрим еще пример из области химии,
а именно так называемые унимолекулярные реакции. Допустим, что не-
которое вещество растворено в гораздо большем количестве растворителя
(например, некоторое количество тростникового сахара в воде). Если возни-
кает химическая реакция, то в этом простом случае химический закон
действия масс гласит: скорость реакции пропорциональна имеющемуся еще
налицо количеству реагирующего вещества. Представим себе, что, благодаря
каталитическому действию, тростниковый сахар превращается в инвертиро-
ванный, и обозначим количество еще не превращенного тростникового сахара
, ... du п
в момент времени t через и (t); тогда скорость реакции < 0, и, согласно
закону действия масс, имеет место уравнение вида
du
dt
ku.
где k — положительная постоянная, зависящая от вещества. Из этого диф-
ференциального закона получаем, согласно n° 1, интегральный закон, который
дает нам
функцию
прямо количество и (t) остающегося тростникового сахара как
времени:
и (t) — ае~ы.
формула ясно показывает, каким образом химическая реакция
Эта
асимптотически стремится к своему конечному состоянию и = 0, т. е. к пол-
ному превращению реагирующего вещества. Постоянная а, очевидно, пред-
ставляет количество вещества «0, которое имелось в момент t — 0.
6. Замыкание и размыкание электрического тока. В качестве послед-
него примера рассмотрим явление, которое происходит при замыкании (или
размыкании) постоянного электрического тока. Если R— сопротивление цепи,
Е — внешняя электродвижущая сила, то сила тока J постепенно возрастает
£
от начального значения 0 до конечного стационарного значения Мы
R
должны, следовательно, рассматривать силу тока J как функцию времени t.
Ход изменения тока зависит от самоиндукции цепи; цепь характеризуется
определенным постоянным числом L, коэффициентом самоиндукции, роль
которого такова, что при всяком изменении силы тока в цепи появляется
. dJ
электродвижущая сила, равная L и направленная противоположно внеш-
ней электродвижущей силе. На основании закона Ома, по которому в каждый
момент произведение силы тока на сопротивление равно фактически дей-
ствующей электродвижущей силе, получаем следующее уравнение:
„ „ . dJ dJ Е R
J R = Е — L или -f- = -----------г J.
dt dt L L
Чтобы иметь возможность применить теорему п° 1, полагаем
/(0 = 7
после чего уравнение примет вид
14*
212 ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [1
следовательно, / (t) — f (0) е 4 . Учитывая, что J (0) = 0, имеем / (0) — —EjR
и для силы тока как функции времени получим выражение
Е £ Г ~TZ"I
/ = = J-
Из него мы видим, как сила тока при замыкании асимптотически прибли-
жается к своему стационарному конечному значению EfR. [Читателю реко-
мендуется найти самостоятельно закон убывания тока при размыкании цепи,
в которой течет постоянный ток.]
Упражнения
1. Функция f (х) удовлетворяет уравнению
/(х + у) = /(х)/(у).
а) Если f (х) дифференцируема, то либо f (х) 0. либо f (х) — еах.
б)* Если f (х) непрерывна, то либо f (х) = 0, либо f (х) = е°*.
2. Доказать, что если дифференцируемая функция /(х) удовлетворяет
уравнению
то / (х) = a In х.
3. Находящееся в закрытом сосуде количество радия весит 1 г в мо-
мент t = 0. К моменту времени t — 10 (лет) оно уменьшилось до 0,997 г.
К какому времени количество радия уменьшится до 0,5 г?
4. Решить следующие дифференциальные уравнения:
а) у' = а(у— Ь); б) у' — ау — Ь; в) у' — ау = Ьеах; г) у' — ау = Ьесх.
§ 8. Гиперболические функции
I. Аналитическое определение,
зательная функция встречается не
вида
^(ех-\-е~х) или
Во многих приложениях пока-
отдельно, но в комбинациях
Целесообразно ввести эти и подобные комбинации как отдельные
функции; их обозначают следующим образом:
ех__е-х ех\е-х
shx=-....., chx=g + е ,
и называют гиперболическим синусом, гиперболическим косинусом,
гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом ’).
Функции shx, ch х, thx определены для всех значений х, между
тем как для cthx точку х = 0 необходимо исключить. Этими обо-
*) Иногда удобно ввести функции sechx=l/chx и cosech х = 1/sh х.
11
§ 8. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
215
значениями отмечают известную аналогию с тригонометрическими
функциями, и как раз эта аналогия, которую мы сейчас подробно
изучим, оправдывает особое рас-
смотрение наших новых функций.
На рис. 68—70 представлены гра-
фики гиперболических функций:
shx и ch л:' па рис. 68, thx на
рис. 69 и cthx на рис. 70. Для
сравнения на рис. 68 даны
пунктиром кривые у — -^-ех и
у =~е~х, с помощью которых
можно тотчас же построить кри-
вые у —shx и y = chx.
Мы видим, что ch х — четная
функция, т. е. такая функция,
которая не меняет своего значе-
ния, когда заменяют х через — х,
a shx— нечетная функция, т. е.
при замене х на —х меняет знак
(ср. стр. 34—35).
Функция
как вытекает из ее определения, принимает положительные значе-
ния при всех значениях х. Наименьшее значение она имеет при
х — 0, а именно ch 0 = 1. Между sh х и ch х имеет место основное-,
соотношение:
ch2x — sh2x = 1,
'214 ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
что непосредственно следует из определения этих функций. Обозна-
чим теперь независимую переменную через t (вместо х) и положим
x=chC y = sh/;
тогда получим
х2 — У2 — 1,
т. е. точка с координатами x = chr, y = sh/ движется по равносто-
ронней гиперболе х2 — у2 = 1, когда t пробегает все значения от
— оо до -j-оо. При этом, согласно нашему определяющему урав-
нению, х > 1. Легко убедиться
в том, что у пробегает вместе с t
все значения от —оо до -(-оо,
ибо когда t неограниченно возра-
стает, то е* неограниченно возра-
стает, а е~1 стремится к нулю.
Поэтому мы можем теперь точнее
сказать: параметрические уравне-
ния х = ch t, у = sh t дают одну,
а именно правую, ветвь нашей
равносторонней гиперболы, когда t
изменяется от —оо до -(-оо.
2. Теоремы сложения и
формулы дифференцирования.
Из определения наших функций
вытекают указанные ниже фор-
мулы, которые носят название
теорем сложения'.
ch {а -|- b) = ch a ch b 4- sh a sh b,
sh (а b) = sh a ch b -|- ch a sh Ъ.
2
Доказательство получается сразу, если написать равенства
. , ... еаеь е~ае~ь , . , .. еаеь — е~ае~ь
ch (а 4- Ь) =---3^—— , sh (а 4- &) =-------§-----
я подставить в них
еа — ch а 4- sh a, e~a = cha — sh а,
е6 = ch/>-(-sh i, e~b = ch& — sh&.
Из теорем сложения при Ь = а получается ch 2а == ch2 а 4- sh2 а,
sh 2а = 2 sh a ch а.
Аналогия этих формул с соответствующими тригонометрическими
формулами ясна. Различие только в знаке в теореме сложения для
гиперболического косинуса.
Соответствующую аналогию мы получаем в формулах дифферен-
de^
щирования. Из наших определений на основании того, что ——е,
3] § 8. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 21&
вытекают формулы дифференцирования:
d t < di . d ,, 1 d .. 1
--chx = shx, -j-shx = ch x, -7— th x = —г , -т—cthx =— -=—.
dx dx dx ch2 x dx sh2 x
3. Обратные гиперболические функции. Гиперболические функ-
ции x=ch/, y = sh/ имеют обратные функции, которые обозна-
чают так:
t = Arch х, t — arsh у.
Так как sh/ —повсюду монотонно возрастающая функция от t, то-
ее обратная функция однозначно определена для всех значений у,
между тем обратная функция t = Arch х, как видно с первого взгляда
на график ch х (рис. 68, стр. 213), двузначна, ввиду того что дан-
ному значению х соответствует не только значение t, но и значе-
ние — t. Так как ch t 1, то функция Archx определена только
для значений х 1.
Эти обратные функции можно выразить с помощью логариф-
мической функции, рассматривая в уравнениях
е( — е~1
х—т—' ’
'которые служат определением ch/ и sh/, величину е* = и как неиз-
вестную и решая получающиеся квадратные уравнения для и:
«2 — 2х« + 1 — 0 и и2 — Чуи — 1=0.
Из этих уравнений получаем
« = е* = х ± У х2 — 1 и и = е* — у + У У2 1 •
Так как и = е* всегда положительно, то во втором равенстве мы
отбросили знак минус, а в первом равенстве надо сохранить оба знака..
Переходя к логарифмам, имеем
/ = Arch х = 1п(х + ]/х2 — 1) = +1п (х + Ух2 — 1),
так как х — Ух2 — 1 =----г------> и
F х+Ух2—1
/ = arsh у = In (у + Уу2 + О-
Аргумент х двузначной функции Arch х ограничен интервалом,х 1,.
а однозначная функция arsh у определена для всех значений у. [Пред-
ставляется целесообразным дать положительной ветви двузначной
функции Archx особое обозначение archx (с малой буквы), так что-
archх = In(х + Ух2—1), х>1, и Arch х = + archx,
archx =| Archx |.J
Совершенно аналогично можно, конечно, определить обратные
функции от гиперболических тангенса и котангенса. Для этих функций,
•216
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
И
которые обозначают arth х и arcth х, без труда получаем (причем
независимая переменная везде обозначена через х) равенства
arthх — у In в интервале —1 <х < 1,
1 . х —|— 1 . . ,
arcth х = у In в интервалах х < — 1, х>1.
Формулы дифференцирования обратных гиперболических функ-
ций можно вывести либо пользуясь правилом дифференцирования об-
ратных функций, либо исходя из выражений этих обратных функ-
ций через логарифм и применяя правило дифференцирования слож-
ных функций (правило цепочки). Вот
эти, формулы, в которых аргумент
обозначен везде через х:
d
— arch х
dx
d
— arsh x —
dx
d ,,
-г— arth x —
dx
d xu 1
-г— arcth x = т------7.
dx 1 — x2
Последние две формулы не противо-
речат друг другу, так как первая имеет
место только в интервале — 1 < х < 1,
а вторая применима только при х < —1
и х > 1.
4. Дальнейшие аналогии. Когда
мы выше писали параметрические урав-
нения равнобочной гиперболы, мы там не указывали геометриче-
ского значения параметра t. Теперь можно восполнить этот пробел
и тем самым сделать аналогию между. тригонометрическими и ги-
перболическими функциями более полной. Если окружность, задан-
ную уравнением х2 -|- у2 = 1, представить параметрическими урав-
нениями x — cost, y = sint, то параметр t можно рассматривать как
угол или как длину дуги этой единичной окружности; но можно
1акже рассматривать t как удвоенную площадь кругового сектора,
соответствующего указанному углу, причем эту площадь надо счи-
тать положительной или отрицательной, смотря по тому, положителен
или отрицателен угол сектора.
Мы теперь докажем аналогичное утверждение для гиперболиче-
ских функций: у равнобочной гиперболы х2 — у2 = 1 параметр t в
ее параметрических уравнениях x = ch/, у —sh/ равен удвоенной
площади «гиперболического сектора», заштрихованного на рис. 71.
.Для этого сделаем поворот осей координат на угол а ™ — 45° и от-
4] § 8. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 21Г
несем эту гиперболу к ее асимптотам, которые примем за новые оси
координат г] (рис. 71). Выполнив преобразование координат
+ У = у=(—вч-п)
или
х —у = У2-£, х + у = уг2-1].
получим уравнение нашей гиперболы относительно асимптот:
=1/2.
Из рис. 71 видно, что площадь гиперболического сектора АОР
равна площади криволинейной трапеции ABQP; это вытекает из того,,
что прямоугольные треугольники OPQ
и О АВ равновелики на основании урав-
нения гиперболы = 1/2. Вычисляем
новые координаты точки А: |=1/]/г2,
1] = 1/У2; точки Р:£, = (х—у)/У 2,
П = (х + у)/У 2?
Теперь для удвоенной площади гипер-
болического сектора, равной удвоенной
площади криволинейной трапеции ABQP,
получается следующее выражение:
(х+ууГГ
2 f -?- =
J 2ц
1/К2
= In (X 4- у) = In (х ± Ух2- 1) =
= ±)п(х 4 Ух2 — 1) = ± arch х
(знак плюс для у > О, знак минус для у < 0). Что Archx =
±archx = /, вытекает из уравнения x = ch/. Таким образом, гео-
метрический смысл параметра t есть действительно площадь, именно
удвоенная площадь гиперболического сектора. Это, кстати, отражено
в обозначениях обратных гиперболических функций, где частица аг
есть сокращение латинского (и английского) слова «area»—площадь.
В заключение заметим, что совершенно таким же образом, как
тригонометрические функции изображают отрезками на единичной,
окружности, так и гиперболические функции можно наглядно пред-
ставить (рис. 72) отрезками на единичной равнобочной гиперболе1).
*) Таблицы гиперболических функций издавались неоднократно. Из них.
отметим следующие: Hayashi, Fiinfstellige Tafeln dec Kreis- und Hyperbel-
funktionen, Berlin, 1930; E. Янке, Ф. Э м д e, Ф. Лёш, Специальные
функции (формулы, графики, таблицы). Перевод с немецкого, «Наука», 1964;
И. Н. Бронштейн и К. А. Семендяев, Справочник по математике:
для инженеров и учащихся втузов, изд. 11, «Наука», 1967.
218 ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ (1
Упражнения
[Настоятельно рекомендуем читателю формулы, которые он выведет в упр.
1 и 2, записать в таблицу формул: они не раз пригодятся в дальнейшем.
Сходство с формулами тригонометрии поможет их запомнить.]
1. Вывести формулу
, | . , п . Л “I- , Л — Ь
sh а sh b — 2 sh —J— ch ——.
Получить аналогичные формулы для sh а — sh b, ch а 4-ch &, ch а — ch b.
2. Выразить th (a±b) через th а и th b.
Выразить cth(a±Z>) через cth а и cth b.
Выразить ch 2a: 1) через ch а и sh a; 2) через ch a; 3) через sha.
Выразить sh2 a/2 и ch2 a/2 через ch a.
3. Дифференцировать следующие функции:
a) ch х 4~ sh х; б) gthx+cthx. in sh (х 4-ch2 х);
2х
г) arch х -f- arsh х; д) arsh (a ch х); е) arth । _у2 ~
4. Вычислить площадь, ограниченную цепной линией у = ch х, ордина-
тами х = а и х — b и осью абсцисс.
§ 9. Порядок роста и порядок малости функций
Разнообразные функции, с которыми мы встретились в этой
главе, весьма существенно различаются между собой в смысле их
поведения при больших значениях аргумента или, как говорят, по
порядку их роста. Ввиду их важного значения мы здесь остановимся
вкратце на этих вопросах, хотя они не имеют непосредственного от-
ношения к понятию интеграла или производной.
1. Понятие о порядке роста. Простейшие случаи. Когда пере-
менная х возрастает неограниченно, то одновременно с ней возра-
стают неограниченно при а > 0 и функции ха, 1п х, ех, e,jx. Но
относительно характера этого возрастания можно сразу же устано-
вить существенные различия. Например, функция х3 обращается
в бесконечность более высокого порядка, нежели функция х2; мы
хотим этим сказать, что и частное х3/х2 при неограниченном воз-
растании х тоже неограниченно, возрастает. Подобным же образом
говорят, что функция х“ обращается в бесконечность более высокого
порядка, нежели х₽, если а > р > 0, и т. д.
Вообще, относительно двух функций /(х) и g’(x), абсолютные
величины которых с возрастанием х неограниченно возрастают, гово-
рят: функция /(х) обращается в бесконечность более высокого
порядка, чем функция g(x), если с возрастанием х частное
I Tt I неограниченно возрастает; говорят, что /(х) обращается
в бесконечность более низкого порядка, чем g(x), когда частное
I I стремится к нулю, и, наконец, что обе функции обращаются
I g Xх)
Л / (*) I
_в бесконечность того же порядка, если частное —с возраста- I
I g Xх) I
ах3 Ьх2 с
х3
2] § 9. ПОРЯДОК РОСТА И ПОРЯДОК МАЛОСТИ ФУНКЦИЙ 219
нием х стремится к пределу, отличному от нуля, или по крайней мере
всегда остается между двумя положительными границами. Так, напри-
мер, функция ах3 -j- bx2 -|- с — f (х) при а 0 будет того же порядка,
что и функция х3 = g (х), так как частное |
имеет предел | а |. Напротив, функция х3+х-|-1 обращается в бес-
конечность более высокого порядка, чем функция х2-|~х-]-1.
Сумма двух функций f (х) ср (х), из которых f (х) имеет более-
высокий порядок роста, чем <р(х), имеет такой же порядок роста,
как и /(х). В самом деле | —I = |1 +~77*\ I а по"
I I I f (х) Г
следнее выражение с возрастанием х стремится, по условию, к пре-
делу 1.
Можно было бы пытаться измерять порядок роста функций по
известной шкале, приписывая величине х порядок роста 1, а сте-
пени ха при положительном значении а — порядок а. Тогда целая
рациональная функция степени п имела бы, очевидно, порядок роста л;
дробная рациональная функция, у которой степень числителя на h
единиц больше степени знаменателя, имела бы порядок роста й.
2. Порядок роста показательной и логарифмической функций.
Оказывается, однако, что попытка определить порядок роста любых
функций с помощью описанной выше шкалы обречена на неудачу.
Дело в том, что существуют функции, которые стремятся к беско-
нечности сильнее !), чем любая сколь угодно высокая степень ха от х;
точно так же имеются функции, которые стремятся к бесконечности
слабее ’) любой сколь угодно малой степени х. Эти функции, таким
образом, совершенно нельзя включить в нашу шкалу.
Не вдаваясь здесь в более подробную теорию порядка роста,
докажем следующее предложение:
Если а — произвольное число, большее 1, то отношение ах/х
стремится с возрастанием х к бесконечности.
Для доказательства построим функцию
<р (х) — In —— — х In а — In х;
очевидно, достаточно показать, что эта функция неограниченно воз-
растает, когда х стремится к -]-оо. Рассмотрим для этого произ-
водную
ф (х) = 1п а— —
’) Это значит, что существуют функции, порядок роста которых больше-
порядка ха (при х->Ц-°о), как бы велик ни был показатель а > 0, и суще-
ствуют функции, порядок роста которых меньше порядка х“, как бы мало
ни было а > 0. {Прим, перев.)
220 ГЛ. Ш. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [2
и заметим, что при х с = 2/1п а она не менее положительного
числа (1/2) In а. Отсюда для х^-с получим
Ф (х) — ф (с) = J ф' (/) dt J у In a dt — х 2 In а,
С с
т. е.
ф (х) > ф (с) 4~In а,
а выражение в правой части стремится с возрастанием х к бесконечности.
Приведем еще другое доказательство этой важной теоремы. Пола-
гая h, имеем 1 и й > 0. Выберем такое число п,
что можно считать х > 1, так что Применяя
неравенство (1), стр. 49, имеем
F _ (14-Л)х (14-Л)п 1 Н-яЛ nh = h у-
х ~ VI > V~n+i > > *
откуда
и, следовательно, ах/х стремится'к бесконечности, когда х->оо.
Из доказанного положения вытекает еще гораздо больше, а именно:
при любом положительном показателе а и при любом числе а > 1
отношение ах/ха стремится с возрастанием х к бесконечности, т. е.
показательная функция стремится к бесконечности сильнее
любой степени х, или: показательная функция ах при а > 1 имеет
более высокий порядок роста, чем степенная функция х“, Как бы
велик ни был показатель а > 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно
только показать, что корень степени а из выражения ах/ха, т. е.
ах/а = ах>а = _1_ £
х х а у ’
а —
а
где у — х/а, стремится к бесконечности при х->оо. Но это непо-
средственно вытекает из предыдущей теоремы, если применить ее
к у — х/а вместо х.
Подобным же образом можно доказать следующее положение. При
любом положительном значении а отношение стремится к нулю,
когда х стремится к бесконечности, т. е. логарифм стремится слабее
к бесконечности, чем любая сколь угодно малая положительная
степень аргумента х.
Доказательство получается тотчас же, если положим In х == у;
V У
тогда наше отношение примет вид -х— ——, где еа = а\ отсюда
еау
число а больше 1, и наше частное — стремится с возрастанием у
ау
4]
§ 9, ПОРЯДОК РОСТА И ПОРЯДОК МАЛОСТИ ФУНКЦИЙ
221
к нулю. Так как у стремится к бесконечности одновременно с х, то
наше утверждение тем самым доказано ’).
Опираясь на полученные результаты, можно, очевидно, построить
функции, имеющие ещё гораздо более высокий порядок роста, чем
показательная функция, и другие функции, имеющие гораздо более
низкий порядок роста, чем логарифмическая функция. Например,
функция ееХ растет быстрее показательной функции, а функция In In х
растет медленнее логарифма; можно, очевидно, подобные процессы
итерации нагромождать как угодно один на другой и комбинировать
между собой.
3. Общие замечания. Наши рассуждения обнаруживают, что
принципиально невозможно отнести каждой функции определенное
число как порядок ее роста таким образом, чтобы быстрее растущей
функции соответствовало большее число. Например, если функция х
имеет порядок 1, а функция х1+е— порядок роста 1-J-E, то функция
х In х должна была бы иметь порядок больший чем 1 и меньший
чем 1 —е, как бы мало ни было положительное число е. Но такого
числа не существует. Да и помимо только что указанного обстоятель-
ства, легко видеть, что функции могут и не иметь определенного
и , х2 (sinx)2-4-х
ясно порядка роста. Например, функция —с возраста-
X (COS -VI I X
нием х не будет стремиться к определенному пределу; в самом деле,
, . . ran
при х — пл (п — целое число) значение функции равно я2д2 пп =
— । а при х = (п + 1 /2) л оно равно (п-|- 1/2) лД- 1. Хотя
числитель и знаменатель, каждый в отдельности, обращаются в бес-
конечность, однако не имеет места ни один из трех указанных выше
случаев, а именно: при неограниченном возрастании х значения функции
не остаются заключенными в определенных положительных границах
и не стремятся ни к нулю, ни к бесконечности; следовательно, на
основании нашего определения невозможно сказать, имеет ли боль-
ший порядок роста числитель или знаменатель или они оба имеют
одинаковый порядок.
4. Порядок роста функции в окрестности произвольной точки.
Совершенно таким же образом, как исследовалось поведение функций
при неограниченном возрастании х, ставится вопрос: можно ли
') Наметим еще другое очень простое доказательство. При х > 1 и е > О
lnx= J^-< J 5е-* 1 01 = 1(хе-1);
1 1
если выбрать число е > 0 меньшим, чем а, и разделить обе части получен-
ного неравенства на х“, тотчас же получим, что при х->оо выражение
±1£->о.
222
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
[5
различать функции, которые в точке х = с, обращаются в бесконечность,
по характеру их возрастания и как это сделать? Мы опять скажем:
функция f{x) = ~.——z-j- в точке х = £ обращается в бесконечность
I X ё I
первого порядка, и, соответственно, функция f (х) —
I х |
щается в бесконечность порядка а, если а — положительное число.
1
обра-
Тогда снова увидим, что функция el^-il обращается в бесконеч-
ность более высокого порядка, а функция In | х—£|—в бесконеч-
ность более низкого порядка, чем все эти степени, т. е. что имеют
место следующие предельные соотношения:
lim |х— = оо и lim | х — 11“ In | х — £| = 0
при всяком значении а > 0.
Чтобы убедиться в этом, достаточно только положить = у,
и тогда наши утверждения сводятся к теоремам, доказанным в п° 2,
так как
1 уа
in у
Уа
а значениям х, стремящимся к |, соответствуют неограниченно воз-
растающие значения у.
Между прочим, метод, сводящий исследование в конечной точке
к исследованию в бесконечности с помощью «подстановки» ----—г
= у.
оказывается часто полезным и в других случаях.
5. Порядок малости функции. Обращение функции в бесконеч-
ность характеризуется с помощью понятия о порядке роста; таким же
путем можно точнее характеризовать и стремление функции f (х)
к нулю. Так, например, говорят: порядок исчезания, или порядок
малости, функции 1/х при х—>оо равен единице, порядок малости
функции х~“, при положительном значении а, равен а. Тогда опять
оказывается, что порядок малости функции ниже порядка
малости любой степени х~а, т. е. что при любом положительном
значении а имеет место соотношение
lim х~а In х = 0.
jr-»oo
Аналогично скажем, что при х->Е, порядок исчезания функции
х—£ равен единице, порядок исчезания |х — равен а. Соотно-
шения
1
lim I х |а In | х | = 0, lim |х|~ ае 1*1 =0,
х-»0 л-»0
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
223
которые легко доказать на основании предыдущего, выражают обычно
словами так: порядок малости функции -ln |x । при х —>0 ниже
порядка малости любой степени |х|; порядок малости показа-
тельной функции е И при х->0 выше порядка малости любой
степени | х |.
Упражнения
1. Выяснить порядок роста следующих ниже функций по сравнению со
степенями переменной х при х->со:
а) е*$ — 1; б) (In x/J; в) sinx; г) shx; д) х1/2 sin х • arctg х;
ч 1/2 , x2cos3x . е~^х х V.,,
е) x1/zsinx+ л-т-ч—: ж) ------TJ-; з) хх — 1; и) In (х In х).
х + 1 1 — е '
2. Сравнить функции упр. 1, в смысле порядка роста, с функциями
г0*, еха, 0п?с)а.
3. Сравнить функции упр. 1 со степенями переменной х при х->0.
„ _ ех _
4. Существует ли lim е е ° ?
х-»со
5. Каковы пределы функций е~е и ее при х->со?
6. Пусть / (х) — непрерывная функция, обращающаяся в нуль вместе
со своей первой производной при х = 0. Показать, что f (х) имеет более
высокий порядок исчезания, чем х, при х->0.
7. Показать, что функция
f и _ аохя-|-а1хя-> + ... +ап
/(Х>-+ ... +Ьт ’
где а0 ^=0, Ьа^= 0, имеет при х -> оэ такой же порядок роста (или исчеза-
ния), как хп~т.
8*. Доказать, что ех не является рациональной функцией.
9*. Доказать, что функция ех не может удовлетворять алгебраическому
уравнению, коэффициенты которого — целые многочлены, зависящие от х.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
§ 1.'Рассмотрение некоторых конкретных функций
На примерах не раз было показано, что в общем понятии функ-
ции таятся многочисленные возможности, кажущиеся странными и
чуждыми нашей наивной интуиции. Эти примеры, как правило, не
представлялись едиными аналитическими выражениями. Поэтому мы
теперь покажем, что с помощью очень простых выражений, состав-
ленных из элементарных функций, можно представить как типичные
разрывы, так и аномальные особенности. Начнем, однако, с примера,
в котором нет разрывов.
1. функция у = е~^х\ Эта функция (рис. 73), которая вначале опре-
делена только для всех отличных от нуля значений х, имеет, очевидно, при
х-»0 пределом 0; в самом деле, с помощью преобразования 1/х2 = g наша
224
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
функция переходит в у — е а Игл е =0. Таким образом, имея целью
со
дополнить нашу функцию так, чтобы она оставалась непрерывной и при
х = 0, мы определяем ее значение при х = 0 равенством у (0) = 0.
Производная нашей функции при х =£ 0, на основании правила цепочки,
равна у'—-^- e~Alxi • Когда х стремится к нулю, то и производная тоже стре-
мится к нулю, что сразу следует на основании стр. 222. В самой точке х =
производная
У' (0) = lim
Л-»0
У(Л)-у(0)
h
lim L
fl
1.Л2
тоже равна нулю.
Если вычислим производные высших порядков сперва при х =£ 0, то
получим, очевидно, всякий раз произведение функции е~^х1 на целую ра-
циональную функцию от 1/х и, переходя к пределу при х->0, получим
всегда значение 0. И в самой точке х = 0 все производные высших
порядков так же, как и производная у' (0), равны нулю.
Рис. 73.
0
Мы видим, таким образом, что наша функция непрерывна и дифферен-
цируема сколько угодно раз при всех значениях х и в точке х = 0 обра-
щается в нуль вместе со всеми своими производными (см. также § 2).
Исключительный характер этого факта еще яснее обнаружится перед нами
позже (см. Дополнения к гл. VI, § 1).
2. Функция у ==е~1'х. Нетрудно убедиться, что эта функция имеет для
положительных значений х тот же общий характер, что и предыдущая
функция; когда х, оставаясь положительным, стремится к нулю, функция
стремится к нулю, и то же справедливо для ее производной любого по-
рядка. Если принять, что при'х = 0 значение функции у(0)=0, то все
правые производные будут иметь в точке х = 0 значение 0. Но совершенно
иначе обстоит дело, когда х приближается к нулю со стороны отрицатель-
ных значений, тогда функция и все ее производные растут неограниченно
и, следовательно, не существует левых производных в точке х — 0. Функ-
ция имеет, таким образом, в точке х = 0 замечательный вид разрыва
(рис. 74), иной, чем те бесконечные разрывы, которые мы рассматривали
в гл. 1 у рациональных функций, стр. 39 и 76.
3. Функция у = th -i-. Мы уже видели на стр. 75, что из простых
функций путем предельного перехода можно получить функции с конечными
разрывами. Определенная на стр. 201 показательная функция и принцип
образования сложных функций дают другой метод построения функций
с такого рода разрывами из элементарных функций—прямым путем, не поль-
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
225
зуясь новыми предельными переходами. Примером может служить функция
_ 1 _ е11х— е~11х
У Х~ +
и поведение ее в окрестности точки х = 0. Прежде всего, эта функция
не определена в этой точке. Если неограниченно приближаться к точке
х — 0 со стороны положительных значений х, то получается в пределе 1;
если же приближаться к х=0 со стороны отрицательных значений х, то по-
лучим в пределе —1. Точка х=0 является, следовательно, точкой разрыва
функции, при переходе через которую функция делает скачок, рав-
ный 2 (рис. 75). Производная же
предыдущий разрыв устраняется множителем х. При х -> 0 с той и с другой
стороны функция стремится к пределу 0, поэтому целесообразно опять опре-
делить у (0) = 0. Тогда наша функция становится непрерывной при х ~ 0,
’) Другой пример точки конечного разрыва представляет функция
у = arctg при х -> 0.
15 Р. Курант
226
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
однако ее первая производная
как раз будет иметь разрыв, рассмотренный в предыдущем примере, т. е.
сама функция представляется кривой с угловой точкой (рис. 76): в точке
х = 0 функция не имеет производной, но она имеет правую производную,
равную 4-1, и левую, равную —1.
• 5. Функция у—х sin —, у (0)=0. Мы уже знаем, что эта функция не со-
стоит из конечного числа монотонно изменяющихся кусков или, как иногда
говорят, не является «кусочно монотонной», но что она все же непрерывна
(стр. 77). Напротив, ее первая производная
, 1 1 1 . , „ '
у' = sin — — — cos— (х #= 0)
при приближении к точке х—0 непрестанно колеблется между все возра-
стающими по абсолютному значению положительными и отрицательными гра-
ницами и, следовательно, в точке х = 0 имеет разрыв. В самой точке х = 0
у (Л) — У (0) , 1 , „ ,
отношение J ' -=а sin-т-; так как это отношение при Л->0 беско-
h. h
нечно часто колеблется между —1 и 4-1, то функция в этой точке не
имеет ни правой, ни левой производной.
§ 2. Замечания относительно дифференцируемости функций
Если функция непрерывна и имеет в каждой точке производную,
то эта производная вовсе не обязана быть непрерывной. В качестве
простейшего примера рассмотрим функцию
y = /(x) = x2sin-i,
которая пока- определена только при значениях х=£0 и которой усло-
вимся при х = 0 приписывать значение /(0) = 0, и, таким образом, она
представляет уже непрерывную, повсюду определенную функцию от х.
Для всех отличных от нуля значений х производная имеет выражение
f (х) == — х2 cos --------L -4- 2х sin — =—cos — -4- 2х sin -i.
J ' XX21 X X 1 X
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ нг
227
Когда х стремится к нулю, производная /' (х) не стремится
к пределу. Если же вычислить отношение приращений =
Л2 sin 4- .
= —— = Asin^-, то сразу увидим, что оно стремится к нулю
при h —> 0. Следовательно, существует производная в точке х — 0 и
//(0) = 0. Для того чтобы наглядно представить себе это парадо-
ксальное поведение, изобразим функцию графически (рис. 77). График
функции совершает колебания между кривыми у —х2 и у =— х2,
которых она поочередно касается. Хотя при этом отношение высоты
вершин волн нашей кривой к их расстоянию от начала координат
все уменьшается при х—>0, тем не менее волны не становятся при
этом более покатыми; их наклон (угловой коэффициент касательной),
измеряемый производной у' = 2х sin -------cos —, в точках х =
X X
(п = 1,2, 3, ...), где cos — = 1, равен —1, а в точках х = х 4л-
X (хП "Т“ 1 j ОХ
равен 4-1.
В противовес описанной здесь возможности, что производная может
везде существовать, но не быть повсюду непрерывной, можно дока-
зать следующую теорему, которая освещает целый ряд предыдущих
примеров и рассуждений. Если известно, что производная /'(х) суще-
ствует и непрерывна повсюду в некоторой окрестности точки а и
что lim /' (х) — Ь, то мы можем утверждать, что и в точке х = а
х-^а
существует производная f'(а) и что f(a) = b. Доказательство непо-
средственно следует из теоремы о среднем значении. По этой теореме
f(a-\-h)— f (а) ,, ... -
-----1—— = j (%), где I — некоторое промежуточное значение
между а и a-\-h. Когда h стремится к нулю, то /'(£), по условию,
стремится к Ь, и отсюда тотчас же вытекает наше утверждение.
15*
228
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Совершенно аналогично доказывается следующая теорема. Если
функция f (х) непрерывна при а<^х<^^, а при а<х<£ имеет
непрерывную производную /'(х), которая неограниченно возрастает
при приближении точки х к точке а, то и отношение приращений
f (а 4- h) — f (а) .
——!———- неограниченно возрастает, когда п стремится к нулю,
оставаясь положительным, т. е. не существует конечной правой про-
изводной. Геометрический смысл такой ситуации тот, что в точке
с (конечными) координатами (a, f (а)) график функции имеет верти-
кальную касательную.
§ 3. Различные частные вопросы
1. Доказательство бинома Ньютона. С помощью правил диф-
ференцирования получается простое доказательство бинома Ньютона;
это доказательство приводится здесь в качестве примера метода
неопределенных коэффициентов, который будет иметь для нас
впоследствии важное значение. Мы ищем разложение выражения
(1 4-х)" по степеням х для любого целого и положительного значе-
ния п. Непосредственно . видно, что функция (1 4-х)я должна быть
целой рациональной функцией степени п, т. е.
(1-|-х)л = а0-|-ajXа2х2 4~ ••• (О
и дело только в том, чтобы определить коэффициенты ak. Положим
х — 0; тогда сразу получаем а0 = 1. Если продифференцируем обе
части тождества (1) по х один, два, три раза и т. д., то получим
тождества:
п (1 -4- х)"-1 — аг 4- 2а2х 4- ... -4-/гапхя-1,
п(п — 1)(1 4~х)”-2 = 2а2-|-3 • 2а3х... -\-п(п— 1)а„хя-2,
Так как эти равенства справедливы для любого значения х, то можно
опять подставить в каждое из них х = 0, и, таким образом, для
коэффициентов «j, я2, а3, ... получатся одно за другим выражения:
й1 = п, = fl3^Ml.-W-2)
1-2-3
___п (п — 1) (п — 2) ... (п — k 4- 1) ______I п\
— j.
Таким образом, окончательно находим разложение бинома в виде
(1+х)я = 14-пх + ("... 4-(")xft4- ••• +хп.
2. Последовательное дифференцирование. Правило Лейбница.
В связи с этим предоставляем читателю в качестве упражнения до-
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
229
казать, что многократное дифференцирование произведения можно
производить по следующей формуле (правило Лейбница):
Л (fS) = s 4. Р 'I H -^-4-
dx* dxnS^\4dxn-1 dx^b)dxn~i dx?
I ( n \df dn~xg dng
\n — 1 / dx dxn~l dxn
или
№)“’=/“’g+( " ) f'"~" S'+( 2) V + • •
Доказательство провести методом полной индукции.
Не так нагляден закон образования производных высшего по-
рядка от сложной функции у = /[ср(х)]. Согласно правилам диф-
ференцирования предыдущей главы (правила дифференцирования про-
изведения и сложной функции), имеем:
dx d<p dx J 'V '
3. Дальнейшие примеры применения правила цепочки. Обоб-
щенная теорема о среднем значении. Производную от функции Xх
вычисляют, полагая хх — ех1ах\ применяя правило цепочки, находим
-^-xjf = xjr(lnx4 1).
Совершенно таким же путем получается производная более об-
щего выражения f {x)3 * s w = ее (ж) ln в виде
J- [f (x)]ff w = [/ (x)H W [g' (X) In f (X) + g (x) .
В качестве дальнейшего примера применения этого правила при-
ведем доказательство обобщенной теоремы о среднем значении диф-
ференциального исчисления (теоремы Коши, стр. 162), причем она
получится теперь при менее ограничительных условиях, Пусть функция
G (х) = и непрерывна и монотонна в замкнутом интервале а х Ь
и дифференцируема в открытом интервале д<х<£, причем про-
изводная Q' (х) нигде не обращается там в нуль, и пусть функция
F(х) тоже непрерывна и дифференцируема в той же области. Введем
в Д(х) с помощью обратной функции х = Ф(«) от О(х) (вместо х)
230
ГЛ. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
независимую переменную и, т. е. рассмотрим сложную функцию
f (и) = F [Ф(м)]; тогда, по правилу дифференцирования сложной
F' (х)
функции, f' (zz) = F' (х) Ф' (zz) — r, ’ . Применяя обыкновенную тео-
Cz (X)
рему о среднем значении к функции f («) в интервале между иг = G (zz)
и zz2 = G (Ь), получаем для некоторого промежуточного значения о
=г (®) («<<><*)
или
F(b)-F(a) __ F'(®
G(b) — G(a) G'(&) ’
где | = Ф (co) есть промежуточное значение между а'и Ь.
Упражнения
1. Найти вторую производную от функции f {g [/»»(х)]}.
2. Дифференцировать следующие функции:
a) xs,n х; б) (cos x)tg х;
в) lgp (х) Iц (Л) I’ т- е- логарифм абсолютной величины функции и (х) по
основанию v (х); v (х) > 0.
3. Найти производную порядка zz от функций:
а) х3еах', б) (In х)2; в) sin х sin 2х;
г) cosmxsin^x; д) eA'cos2x; е) (1 -|-x)s ех.
4*. Найти zz-ю производную от arcsin х при х = 0, а затем zz-ю произ-
водную от функции (arcsin х)2 при х = 0.
п
5. Доказать, что k (k — 1) ( ” = zz (zz — 1) • 2”-2.
ft=2
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
68. Продифференцировать следующие функции:
а) etg=x+lnsmx. б) (х _|_ 2)4 (1 — х2)1/3(х2 +1)5/7; в).*3 sin х —_х5 cos х ,
X tg X
69. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты а, 0, а, Ь, с
для того, чтобы функция
ах 4- fl
К ах2 -L-2bx Ц-.с
имела всюду конечную производную, нигде не обращающуюся в нуль?
70. Построить график функции
у = (х2)* при х 4= 0, у (0) = 1.
Показать, что эта функция непрерывна при х = 0. Имеет ли эта функция
максимумы, минимумы или точки перегиба?
71. Среди всех треугольников с заданным основанием и заданным пери-
метром равнобедренный треугольник имеет наибольшую площадь.
72. Среди всех треугольников с заданным основанием и заданным углом
при вершине наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
231
73. Среди всех треугольников с данным основанием и данной площадью
наибольший угол при вершине имеет равнобедренный треугольник.
74* . Среди всех треугольников заданной площади наименьший периметр
имеет равносторонний.
75* . Среди всех треугольников с данным периметром наибольшую пло-
щадь имеет равносторонний.
76* . Среди всех вписанных в окружность треугольников наибольшую
площадь имеет равносторонний.
77. Доказать следующие неравенства:
а) ^>—2—, х > 0; б) 6х > 14-In (14-дг), х > 0;
в) 6х > 1 4- (14- х) in (14- *), х>о.
78*. Пусть а, b — два положительных числа, р и q — любые не равные
нулю числа, р < q. Доказать, что
[9аР4-(1_0)^]1/р
[0а? + (1 _ 0) bq]V4
при всех значениях 0 из интервала 0 < 0 < 1.
(Это — неравенство Йенсена (Jensen), которое устанавливает, что «сред-
нее взвешенное р-го порядка» f/>th power mean) [9а₽4~(1— 9) Ьр^р двух
положительных чисел а, b является возрастающей функцией от р.)
79. Показать, что в неравенстве предшествующего упражнения знак ра-
венства имеет место в том и только в том случае, если а = Ь.
80. Доказать, что lim [9ар4-(1— 0) Ьр^р = а061-0.
р->0
81. Назовем средним взвешенным нулевого порядка чисел а, Ь выра-
жение а061-0. Показать, что неравенство Йенсена (упр. 78) приложимо и
к этому случаю и при а 4= Ь принимает следующий вид:
ae61-0s[9a?4-(l —9) b4\Vq,
смотря по тому, будет ли q s 0.
. При q — 1 ае61-0<;9а4'(1 — 9) b.
82. Доказать неравенство aeZ>1-0 < 9а-f-(1—9)6, где а > 0, Ь > 0, 0<
< 9 < 1, не прибегая к неравенству Йенсена, и показать, что знак равенства
имеет место лишь при а — Ь. (Это неравенство устанавливает, что среднее
геометрическое с весами 0, 1 — 9 меньше соответствующего взвешенного
среднего арифметического.)
83. Дано: ф (х) -> оо при х -> со. Показать, что In ф (х) имеет более низ-
кий порядок, а е4’ более высокий порядок роста, чем ф (х).
84. Зная, что порядок роста положительной функции f (х) при х -> оо
выше, тот же самый или ниже порядка роста степени хт, доказать, что
X
J f (g) dg имеет соответствующий порядок роста по отношению к сте-
а
пени хт+‘.
' X
85. Сравнить порядок роста интеграла J f (t) dt при х -> со по отно-
а
шению к / (х) для следующих функций /(х):
X* 2
а) б) ех\ в) хех; г) In х.
V х
232 гл. III. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
86. Доказать, что если функция f (х) непрерывна и
f (О dt<
О
то f (х) тождественно равна нулю.
/7 — 1
S k (п — 1) Хп — пхп~1 4- 1
\х — и
S = 1
88. Показать, что ех‘'2 = ип (х) ех2/2, где ип (х) есть многочлен сте-
пени л. Вывести рекуррентную формулу ил+1 — хип 4- ип.
89*. Вывести для многочлена ип (х) из предыдущего упражнения рекур-
рентную формулу
ия+1 =ха„4-л«я_1,
применяя правило Лейбница для вычисления производной порядка п к функ-
ции ел2/2 = хел'2'2.
90*. Комбинируя рекуррентные формулы из упр. 88 и 89, вывести диф-
ференциальное уравнение для ип (х):
и"п + хи'п — пип = 0.
91. Найти многочлен ип(х) = хп-{-аххп~!... an_ tx -j-ап, удовле-
творяющий дифференциальному уравнению ип 4- хип — пип = 0.
92*. Вывести для функций [многочленов Лежандра]
1 dn
Рп (х) = (хг — 1)л
' 2”л! dxn
рекуррентные формулы:
а) рп+\ = 2(л4-1) Р» +'
б) Р;+1 = хР' + (л4-1)Р„
и дифференциальное уравнение
(л 4-2)х
р .
2 «’
93. Найти многочлен
pnix) = 2^!7%n + a‘xn_1+ ••• +a«-ix + a«-
удовлетворяющий дифференциальному уравнению
Х[(х2-1)Р']-л(л4-1)Р„ = 0.
94. Найти развернутое выражение многочлена Лежандра Рп (х) =
1 dn
~ 2nn! dxn (х2—П0ЛЬЗуЯСЬ Разложением (*2 —1)” по формуле бинома
Ньютона.
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III 233
95*. Пусть р(х) — (1—х)р~п, /1 = 0, 1,р. Показать, что
р
1 = 2 Р
л=0
Р
Х ~ ~р р
л=1 Р
*р = ч р W-
ГЛАВА IV
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Установив в предыдущей главе правила дифференцирования, мы
в значительной мере справились с задачей дифференцирования задан-
ных функций. Но как раз обратная задача, задача интегрирования,
оказывается почти всегда более важной, чем задача дифференцирова-
ния. Ввиду этого мы должны теперь ознакомиться с искусством инте-
грирования заданных функций.
Результат, полученный с помощью наших правил дифференциро-
вания, можно резюмировать следующим образом: всякая функция,
выраженная с помощью элементарных функций «в конечном
виде»:), может быть продифференцирована, и ее производная
является функцией, которая также выражается через элемен-
тарные функции в конечном виде.
Напротив, в проблеме интегрирования элементарных функций мы
не встретились с вполне аналогичным фактом. Мы знаем, правда, что
всякая элементарная функция и даже любая непрерывная функция
интегрируема, и мы даже проинтегрировали много элементарных функ-
ций, прямо или путем обращения формул дифференцирования, с по-
мощью элементарных же функций, однако мы еще очень далеки от
того, чтобы уметь решить в общем виде следующую -задачу:
Дана функция f (х), которая каким-нибудь образом выражена
с помощью элементарных функций в конечном виде. Требуется найти
выражение ее неопределенного интеграла F(x) = J f(x)dx, и при-
том найти в том смысле, чтобы функция F(x) тоже была выражена
через элементарные функции в конечном виде.
Более того, такая задача в общем даже неразрешима; интегриро-
вание элементарной функции не всегда приводит опять к элементар-
ной функции или,, как говорят, не всегда «выполняется элемен-
тарно». Однако, несмотря на это, чрезвычайно важно уметь действи-
тельно выполнять такое интегрирование там, где оно возможно, и
) Под этим мы разумеем функцию, которая может быть образована из
элементарных функций ха, ех, sinx путем повторного применения (в конеч-
ном числе) процессов составления сложных функций, рациональных опера-
ций и построений обратных функций.
Следует при этом подчеркнуть, что само разделение функций на «эле-
ментарные» и неэлементарные есть нечто весьма произвольное.
§ 1. ТАБЛИЦА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
235
вообще приобрести известные технические навыки в интегрировании
заданных функций.
Первая часть этой главы и будет посвящена изложению приемов
такого интегрирования. При этом я хотел бы определенно предосте-
речь начинающего от попытки выучить наизусть то множество фор-
мул, которое получается при применении этих технических приемов.
Нужно стремиться исключительно к тому, чтобы понять и научиться
применять методы интегрирования. Кроме того, не следует забывать,
что даже в том случае, когда интегрирование с помощью этих при-
емов невозможно, интеграл все же существует (по крайней мере для
всех непрерывных функций) и его можно фактически вычислить
с любой желательной степенью точности с помощью численных мето-
дов, которые будут изложены позднее (гл. VII, стр. 403).
В конце главы мы займемся некоторыми вопросами более прин-
ципиального характера для углубления и расширения наших понятий
интегрирования и интеграла (независимо от вопроса о технике инте-
грирования).
§ 1. Таблица элементарных интегралов
Прежде всего еще раз напомним, что каждой из ранее доказан-
ных формул дифференцирования соответствует равносильная ей фор-
мула интегрирования. Так как эти элементарные, интегралы то и дело
встречаются при интегрировании, то мы сведем их в таблицу. В ка-
ждой строке этой таблицы справа стоит элементарная функция,
слева — ее производная. Если читать эту таблицу слева направо, то
для функции, стоящей слева, найдем в правом столбце ее неопреде-
ленный интеграл (см. таблицу на стр. 236).
При пользовании таблицей полезно помнить основные теоремы
дифференциального и интегрального исчисления, особенно тот факт,
что определенный интеграл получается из любой первообразной F (х)
с помощью формулы
ь
j /(x)dx = F(x)\ba = F (b) —F (а),
а
Наконец, для овладения техникой интегрирования необходимо
помнить элементарные правила интегрирования, изложенные в гл. II,
§ 1, п° 3.
В ближайших параграфах мы попытаемся тем или иным путем
привести интегрирование заданных функций к элементарным интегра-.
лам, собранным в таблице. Если отвлечься от искусственных приемов,
которые начинающий не может, конечно, систематически изучить и
которыми овладевают лишь в результате более долгой практики,
такое приведение в основном всегда базируется на двух методах.
236
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
№ п/п F' (х) = f (х) F (x) = J f (x) dx
1 ха (а ф — 1) xa+l a-j- 1 '
2 2 X In | x | 4- C
3 ех ex + C
4 ах (а 1) a* _i. q Ina 1 G
5 sinx — cos x -f- C
6 COS X sinx 4- C
7 1 sin2 х — ctg x -j- C
8 1 COS2X tgx4-c
9 sh x chx4*C
10 ch x sh x4- C
11 1 sh2 x — cth x4- C
12 ' 1 Ch2X thx4-C
13 arcsin x 4* C = —arccos x 4-
14 1 l-f-x2 arctg x 4- C = — arcctg x 4- Cj
15 1 /14-*2 arsh x4*C = ln(x 4-/14-x2) 4- C
16 ~r=L= (| X | > 1) Ух2—1 archx4-C = ln(x-|-/x2—1)4-C
arth x 4- C = 1 In AJ-f. 4- c
1 (1*1 <1 1 2 1—x '
17 1—X2 ( I X 1 > 1 arcth x 4- C = 1 In _l c 1 2 x—11
1 1 x 4~ 1 1 । r = ‘21п|т^т| + с
1] § 2. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (МЕТОД ПОДСТАНОВКИ) 237
Каждый из них позволяет различными способами преобразовать
данный интеграл, и цель таких преобразований — привести данную за-
дачу интегрирования, сразу или целым рядом шагов, к одной или не-
скольким из указанных элементарных формул интегрирования.
§ 2. Метод замены переменной (метод подстановки)
Первым из этих приемов интегрирования является метод введения
новой переменной (метод замены или преобразования переменной,
метод подстановки). Соответствующая формула интегрирования
представляет не что иное, как правило дифференцирования сложной
функции, выраженное в интегральной форме.
1. Формула замены переменной. Представим себе, что в функ-
цию Р(х) введена с помощью уравнения х = ф(и) новая перемен-
ная и, так что F (х) становится сложной функцией от «:
F (х) = F [ф («)] — G (и).
Согласно правилу цепочки
Если напишем теперь
F'(x) = /(х) и O'(u) = g(u)
или, что равносильно,
F (х) = j f(x)dx и О (и) — j g (и) du,
то, с одной стороны, формула дифференцирования (1) примет вид
£(«) = /(-Оф' (и).
а с другой стороны, по определению
О (и) = F (х),
т. е.
J g (и) du = J f (х) dx,
и мы получаем, таким образом, формулу' интегрирования, эквивалент-
ную формуле дифференцирования сложной функции:
j f [ф(«)1ф' (и) du — J f(x)dx, где х—ф(и). (2)
Это основная формула для введения новой переменной под
знаком интеграла. Она гласит: если нужно найти неопределенный
интеграл функции от и, заданной в специальной форме f [ф («)] ф' (и),
то можно вместо этого найти неопределенный интеграл от функ-
ции /(х) аргумента х и после выполнения интегрирования вернуться
к переменной и подстановкой х = ф («).
238
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(I
Применив, например, эту формулу к подынтегральной функции
<р' (и)
.-Y-, непосредственно получаем:
Ф \и)
Ф («) J •*
1п | х | -J- С = In | <р (а) | С
или, если вместо и писать х,
fv^rfx = lnl<f(x)l+c-
Заменяя в этой важной формуле ф (х) различными конкретными функ-
циями, например ф (х) = In х, или ф (х) = sin х, или ф (х) = cos х, получаем:
[ fx- = ln|lnx|4-C,
J X In X 1 1
J ctg x dx = In | sin x 14- C, J tg x dx = — In | cos x | 4- C *)•
Дальнейшим примером служит следующий интеграл, в котором f (ф) = ф;
J Ф(«) Ф' («) du= J xdx=-^—hC = ipp (и)]24-С.
Отсюда, например, при ф(п) = 1пи получаем
I In И J 1 ,« . q | у,
J -j7“d“ = -2 (1пи)2 + С-
Наконец, рассмотрим пример
J sin" и cos и du.
Здесь х = sin и = ф (u), dx = ф' (и) du = cos и du, н мы получаем
Г • п . Гл/ х"+1 । sin"+*« . _
sin" и cos и du = xndx = —г—=-4-C =---пт |-C.
j J «4-1 «4-1
Во многих случаях, однако, мы будем применять нашу общую
формулу в обратном направлении, отправляясь от интеграла J f(x)dx,
стоящего в правой стороне. Тогда задача состоит в том, чтобы вы-
числить или упростить заданный неопределенный интеграл Д(х) =
= J f(x)dx, вводя с помощью формулы преобразования х = ф(к)
новую переменную интеграции и. Для этой цели находят неопреде-
>) Проверьте правильность этих и следующих формул, показав, что диф-
ференцирование результата приводит каждый раз к подынтегральной функ-
ции. Впрочем, и тогда эти формулы верны лишь постольку, поскольку встре-
чающиеся в них выражения имеют смысл.
1)
§ 2. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (МЕТОД ПОДСТАНОВКИ)
239
ленный интеграл G(«)=j f [<р (и)] ф' (и) du и в полученную перво-
образную О (и) Подставляют выражение переменной и через х.
•Чтобы иметь возможность выполнить этот последний шаг, мы
должны быть уверены, что каждому значению х соответствует вполне
определенное значение и, т. е. что функция х = ф(«) обратима.
Ввиду этого мы теперь рассматриваем переменную х как первона-
чальную и предполагаем, что в рассматриваемом интервале функ-
ция и = ф(х) есть монотонная дифференцируемая функция, произ-
водная которой ф'(х) нигде не обращается в нуль. Из этого пред-
положения вытекает, что для функции и = ф (х) существует однозначно
определенная обратная функция х = ф(«), производная которой
,, ч 1
Ф (и) = .
Y ' ф' (X)
Итак, получаем следующую основную формулу для
введения новой переменной и под знаком интеграла:
|/(x)dx = J /[ср(«)] ср'(и)[« = ф(х)]. (3)
Неопределенный интеграл j f(x)dx получится, если найти
неопределенный интеграл J / [ф («)] ф' (и) du и заменить в нем
обратно переменную и через х с помощью уравнения и = ф (х).
Следовательно, нельзя просто выразить в подынтегральной функции
старую переменную х через новую переменную « и затем интегри-
ровать, а необходимо еще перед интегрированием выразить диффе-
ренциал старой переменной х через дифференциал новой переменной и.
Из формулы (3) вытекает соответствующая формула для опреде-
ленного интеграла:
г> Ф (»)
J/(x)dx=J /[ф(и)]ф' (и)du,
а ф(а)
♦
т. е. в новом интеграле надо писать новые пределы интеграции
для новой переменной и так, чтобы она соответствовали по
формулам преобразования х = ф(и), « = ф(х) старым пределам
интеграции.
Большей частью в применениях подынтегральная функция / (х)
с самого начала дана как сложная функция, скажем f (х) = h(u),
где и = ф(х). Тогда удобнее записать нашу формулу несколько иначе,
отождествляя выражение / [ф(«)] с функцией А(«). Если сделаем
подстановку и —ф(х), х = ф(«), то наша формула преобразования (3)
примет следующий вид:
J h [ф (х)] dx = J h (и) — du.
240
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[2
В качестве первого примера рассмотрим J sin 2х dx. Здесь /(x) = sin2x,
следовательно, и = ф (х) = 2х, a h (и) = sin и. При этом
da ., . . „ dx 1
—— = ф'(х)=2,
dx du 2
Введем новую переменную и = 2х, тогда интеграл переходит не
в J sin и du, а в
udu = — у cos и C = — -i- cos 2x 4- C
что, разумеется, легко проверить дифференцированием правой части.
Вычислим определенный интеграл в пределах от х = 0 до х = л/4;
тогда соответствующими пределами для и будут и = 0 и и = л/2; получаем
я я
4 2 Я
f if 1 I 2 1
J sin 2x dx =-у;-J sin и du —— ^-cosm| = -<p
4
о
Второй простой пример представляет интеграл
и = ф (x) = У x. Следовательно, x = <jp (и) = и2.
Так как, далее, <р'(и) = 2«, то мы получаем
4 2 2
f dx ___% С udu
J Ух J и
du = 2.
2. Другое доказательство формулы преобразования перемен-
ной. Формулу интегрирования путём замены переменной можно до-
казать еще другим, прямым путем, а именно выводя ее для опреде-
ленного интеграла из его значения как предела суммы. Для того
чтобы вычислить интеграл
ь
J h [ф (х)] dx,
а
можно положить в основу какое угодно разбиение интервала а х Ь
на частичные интервалы, которые мы дальнейшим подразделением не-
ограниченно уменьшаем. Выберем это разбиение следующим образом.
Если предположить, что функция м = ф(х) монотонно возрастает,
то интервалу а х b оси х соответствует взаимно однозначно
интервал а и р для соответствующих значений функции
и—ф(х), причем полагаем а = ф(п) и р = ф(£). Этот интервал пере-
менной и мы делим на п равных частей длины Да ’); этому разбиению
) Допущение, что эти частичные интервалы равны между собой, впро-
чем, совершенно несущественно для доказательства.
2] §2. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (МЕТОД ПОДСТАНОВКИ) 241
соответствует разбиение интервала переменной х на части, которые,
вообще говоря, между собой не равны. Обозначим точки деления
этого разбиения через a, хг, х2, ..., хп=Ь, а соответствующие
длины интервалов — через Axp Ах2, .... Ахп.
Рассматриваемый интеграл представляет предел г) суммы
п
^lh^(ik)]\xk,
n=i
где значения можно выбрать совершенно произвольно в k-м ча-
стичном интервале разбиения х. Эту сумму запишем следующим
образом:
п
k = 1
где мА=ф(^). Но, по теореме о среднем значении из дифферен-
циального исчисления, — ф'СПй)> где х = ф(и) есть обратная
функция для и = ф (х), а есть некоторое промежуточное значение
переменной и в k-м частичном интервале разбиения и. Распорядимся
теперь значениями так, чтобы они как раз соответствовали зна-
чениям т]й, т. е. чтобы = ф(т]А), т]й = ф тогда наша сумма
примет вид
5 Л0и)ф' 01*)
* = !
Если перейдем к пределу в сумме, записанной в этом виде, то
непосредственно получим в качестве предела, т. е. в качестве значе-
ния рассматриваемого интеграла, выражение
₽
f h(u)-^- du,
J du
a
в полном согласии с формулой предыдущего номера.
Таким образом, доказана следующая теорема:
Пусть h(u)— непрерывная функция от и в интервале а<^и^р.
Тогда, если функция п = ф(х) непрерывна, монотонна и имеет
непрерывную, нигде не обращающуюся в нуль производную
в а х b и ф (а) = а, ф (Ь) — р, то
ь ь р
J h [ф (х)] dx — J h (и) dx == j h (w)du.
a a a
]) Этот предел (при Ди->0) существует и равен нашему интегралу, так
как, в силу равномерной непрерывности функции х = ф (и), при Дм -> О стре-
мится к нулю и наибольший из Дхй.
16 р. Курант
242
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
13
При выполнении преобразования ф(х) = а надо еще выразить dx
, , dx ,
через du: dx — —^du\ кроме того, надо написать новые пределы
интегрирования, заменив первоначальные пределы (значения х) соот-
ветствующими значениями переменной и.
3. Примеры. Формулы интегрирования. С помощью метода
замены переменной можно во многих случаях вычислить заданный
интеграл J f(x)dx, сводя его путем подходящего преобразования
к одному из элементарных интегралов нашей таблицы. Существуют ли
такого рода подстановки и как их найти, по этому поводу никаких
общих указаний дать нельзя; здесь систематический метод уступает
свое место сноровке и ловкости.
.. i dx
Интеграл - мы вычислим, например, с помощью под-
J у а2 — х2
становки x = q>(u) = au, и — -^, dx = adu и таким образом, при-
нимая во внимание 13-й интеграл нашей таблицы, находим
J? dx Г a du . . « . х . п .
—— —, ...= arcsin и -4-С — arcsin--н С при х < а,
Уа2 — х2 J а/1 —и2 а '
причем в этом и в четырех следующих примерах можно принять,
без ограничения общности, а > 0.
Таким же образом, с помощью той же подстановки, получаем
(при а Ф 0):
f dx Г a du 1 , . 1 , х .
, , •,—5v — ~ arct£ u-\-C = — arctg-------------------------k-C,
J a2-f-x2 J a2(l-[-u2) a & 1 a b a 1
f dx — = arsh—-j-C. f dx arch — С при I x I > a,
J у a2 x2 a . J у x2 — a2 a
— arth — -j-С
a a '
1 2.1. x ।
— arcth--------h C
a a 1
при
при
[Функция arsh = In (у-Ь у 4- 1у=1п(х + Ух2 -|-a2) — Ina,
а функция arch= In \j~4~y --1 у = In (x + У x2 — a2)— Ina.
Так как Ina есть постоянная, то In (х -j- Ух2 — а^) является одной
из первообразных для функции -р====г, а 1п(х4~Ух2 — °2) —
первообразной для z 1 Эти два факта можно объединить
ух2 — а2
в одном утверждении, что In (х + Ух26 ) является первообразной
§ 3. ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ 243
для функции .... Ь---:, и, следовательно,
У х2 4- b
f r dx— = In (х 4- /х24- 6) и- с
J у л2 4-й ' • / Г
при любом b Ф 0, как положительном, так и отрицательном. Если
Ь < 0, то можно положить Ь — — а2, а > 0, и тогда х должен, быть
ограничен условием | х | > а. Эти формулы, которые очень часто
встречаются, легко, впрочем, проверить путем дифференцирования
правых частей.]
В заключение подчеркнем еще раз следующее обстоятельство. Со-
вершив замену переменной, мы предполагали, .что во всем рассматри-
ваемом интервале ф' (и) 4 0, откуда следует, что подстановка х — ф (и)
имеет однозначную обратную функцию и — ф (х).
Если это условие не выполнено, то при применении формулы
замены переменной легко прийти к неправильным результатам. Чтобы
избежать затруднений такого рода, следует в том случае, когда
в отдельных точках промежутка интеграции ф'(м) = 0, разбить этот
промежуток на части так, что ф'(«) = 0 только на концах этих от-
дельных промежутков, и выполнить подстановку в каждом таком про-
межутке отдельно.
Применяя этот метод, нетрудно получить следующий полезный
во многих случаях результат: если производная ф' (zz) обращается
в нуль в конечном числе точек, но функция остается монотонной,
то формула замены переменной под знаком интеграла сохраняет силу.
§ 3. Дальнейшие примеры интегрирования методом
замены переменной
В этом параграфе кратко приводится ряд дальнейших примеров,
которые читатель должен тщательно проработать в качестве мате-
риала для упражнения.
G помощью подстановок и = 1 ± х2, du= ±2х dx получаем:
Г х dx -.г.---------х , „ С х dx „
. = ± У1 ± х2 -4- С, -------= ± — In 1 ± х2 -4- С.
J У 1 ± х2 J 1±х2 2
В этих формулах надо во всех трех местах одновременно брать или
знак 4", или знак —
С помощью подстановки и — ах -f-й, du = adx (а 4 0) мы получаем:
f -................— In| ax-j-bj +C,
J ax 4- b a 1
| {ax -f- b)a dx= a (a^_ {ax 4- й)а+1 C («4—1),
J sin {ax -\-b)dx =-cos {ax 4 й) + C.
16*
244
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Подобным же образом с помощью подстановки и = cos х, du — — sin х dx
получаем
J tg х dx = — In | cos x | 4- C,
а с помощью подстановки и = sin x, du = cos x dx имеем
J ctg x dx — in | sin x | + С (ср. стр. 238).
Путем совершенно аналогичных подстановок и = ch х, du = sh х dx и
и = sh х, du = ch х dx получаются формулы
J th x dx = In | ch x | 4- C = in ch x 4- C
и
j" cth x dx = in | sh x | 4-C.
При помощи замены переменной
мы получаем две формулы:
f dx _ 1 f_______________________1____ dx _______
J a2 sin2x'4- 62 cos2 x ft2 J a2 . . , , cos2jc ~
if du 1 i ( a , \ _
= п~i—г = —г arctg -г- tg x 4- C
ab j 14~ “2 ab \b °
и
f dx 1 ,. (a . \ , _
-----—---j— ------j- arth -г- tgx 4- C *).
J a2 sin2x—62cos2jc ab \b b } * 1
Интеграл
f
J sin x
XX XX
вычисляют, представляя sinjr в виде 2 sin -g- cos -g- = 2tg-g- cos2 -g- и пола-
гая M = tg-~-, следовательно, du —-----------; тогда
2 cos2 -y
f dx Г du I . x I , _
J IiHT=J — = ln|tg-2 | + C
') Эта формула применима, если |-2-tgA|<l, т. е. в интервале
— arctg< х < arctgесли же |-у tgх| > 1, то интеграл равен
1 .. / а \ . «
----г arc th tg х 4- С
ab \ b ь ) 1
(см. формулу 17 на стр. 236).
§ 3. ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ 245
Если в этой формуле заменим х через х4-л/2, то формула перейдет
в следующую:
Подстановка м = 2х приводит, если принять во внимание известные
тригонометрические формулы 2cos2х = 1 -f-cos2х и 2sin2x=l — cos 2л;
к часто употребляющимся формулам
J cos2 х dx »-i- (лЦ- sin х cos x) 4- C
и
J sin2 x dx = J (x — sin x cos x) 4- C.
С помощью замены переменной x = cos «, откуда и = arccos
или более общей х = a cos и (а =/= 0) интегралы
J V1 — х2 dx и | У а2 — х2 dx
приводятся к предыдущим. Таким образом, получаем
J ]/а2 — x2dx —-------------y arccos-^- 4“ -у- У а2 — х2 4- С.
^Подстановка же x = asin/, dx = a cos tdt дает J У а2—x2dx =
== arcsin -^-4~ У a2 — x2 4- Cj.j
Совершенно аналогично путем подстановки х = a ch и получается
формула!)
f Ух2 — a2 dx — — arch 4“ -у Ух2 — а2 4- С,
а с помощью подстановки х = a sh и — формула
J У а2 4- х2 dx = -у- arsh -у 4- -у У а2 4~ х2 4- С,
’) В формуле замены переменной функции х = <р (и) и и = ф (х)
должны быть однозначно определены. Поэтому и = arch есть одно-
значная положительная ветвь обратной гиперболической функции Arch
(Прим. перев.)
246
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Подстановка и — -^, х — ^-, dx — — -^-du приводит к формулам:
dx 1 arcsin — -j- С,
х У х2 — а2 а X
dx 1 arsh —4~
х У х2 4- л2 а X
dx 1 arch — 4~
х У а2 — х2 а X
Рассмотрим, наконец, еще следующие три интеграла:
J sin тх sin пх dx, J sin тх cos пх dx, J cos mx cos nx dx.
По известным тригонометрическим формулам:
sin тх sin пх = [cos (т — п)х — cos {т 4- га) х],
sin тх cos пх = у [sin (гаг 4- га) х 4- sin (гаг — га) х],
cos тх cos пх = ~ [cos (гаг + га) х + cos (гаг — га) х]
можно каждый из этих интегралов разбить на два. Пользуясь под-
становками и = (гаг га) х и и = (т — п)х, получаем систему формул:
J sin тх sin пх dx =
11 / sin (гаг — га)х sin (л 4" w)х '
2 \ гаг — га т-\-п
j 1 / sin2rarx \ ,
| ~2 \Х------2^—) + С’
J* sin тх cos rax dx =
____1/ cos (гаг га) х , cos (гаг — га) х'
2 \ гаг-рл гаг —га
I 1 cos 2/гах „
( ~2~~2т 1-1
если гаг =£ га,
если гаг = га,
если гаг =/= п,
если гаг — га,
J* cos тх cos nxdx —
1 / sin (гаг + га) х
2’\ гаг-[-га
sin (гаг — г
т — п
1 / sin 2/ггх
2 \ 2т
если гаг =/= га,
если гаг = га.
xj-f-C,
§ 3. ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ 247
Предположим теперь, что т и п — целые положительные числа,
и проинтегрируем от —л до -4~л; тогда из этих формул получатся
чрезвычайно важные соотношения:
+л
sin тх sin пх dx =
0, если т =# п,
л, если т = п,
J sin тх cos пх dx =0, (2)
0, если т Ф п,
л, если т — п.
cos тх cos пх dx =
-л
[Из (2) и (3) при п = 0, m =/= 0 получаются как частные случаи
формулы
+л +л
J sinmxtfx = 0, J cos тх dx = 0. (4)
-л -л
Определение. Две функции <р(х) и ф(х) называются орто-
гональными в интервале а^х-^b, если
ь
j ф(х)ф(х)с?х = 0.
а
Рассмотрим бесконечную последовательность функций
1, cosx, sinx, cos 2х, sin 2х..cosrax, sinrax, ... (5)-
Из формул (1) — (4) видно, что функции этой последовательности
попарно ортогональны в интервале — л х л. Короче принято
говорить так: эта последовательность является ортогональной си-
стемой функций в интервале —л^х<^л.]
Первые из формул (1) и (3) и формулы (2) и (4), устанавливаю*
щие ортогональность системы (5), называются соотношениями орто-
гональности системы тригонометрических функций (5). Все фор-
мулы (1) — (4) понадобятся в гл. IX.
Упражнения
Вычислить следующие интегралы и результаты проверить дифференци-
рованием:
1. J хе*г dx. 3. | х2 /1 + х3 dx.
Г ч , f 1пх ,
2. I x3e~xdx. 4. J —^~dx-
248
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
П
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Г dx
J X (In х)п ’
Г 3dx
J 9х2 — 6х + 2 ’
Г____dx______
J V х2 —2x4-5 "
Г 6х
J 2 4-Зх dX‘
f х+1 л
—. dx.
J /1—
Г dx
J J/54- 2x4-^’
|*____dx_____
J КЗ —2х —х2 ’
Г х dx
J х2 — х 4-1 ’
Г х dx
Г (х 4- 1) dx
J /2 4-2х —3^’
f dx
J х2 4-Х4-1 ‘
Г dx
J x2 — x 4- 1 "
Г_____dx_____
J x2 4- 2ax 4- b
18.
19.
20.
21.
22.
23)
24.
25.
26.
27.
28.
J sin3x cos4xrfx.
J sin2 x cos5 x dx.
J x^YT^^dx.
Г x* ,
r ' dx.
j Ki—x2
1
J 14-x
0
Л
J cos" x sin x dx.
0
4
f x dx
J /14- Зх2'
о 1
b
J (14- X2)2 dx'
a
b
J yzry dx (1 < a < b).
a
яр
J x sin 2x2 dx.
0
29. Вычислить J (1—x)"rfx, где n — целое положительное число, метО'
о
дом замены переменной.
§ 4. Интегрирование произведения (интегрирование по частям)
Второй метод интегрирования дает формула дифференцирования
произведения (fg)' = ffg-\-fg'.
1. Общие соображения. Если записать эту формулу в виде
формулы интегрирования, то получим (ср. стр. 170)
/ (х) g (х) = J. g (х) f' (х) dx 4- J f (х) g' (х) dx
или
/ /(x)i?/(x)c?x = /(x)g(x)— j /'(x)g(x)dx.' (1)
1] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 249
Эта формула называется формулой интегрирования произведения
или интегрирования по частям. Она, дает возможность привести
один интеграл к другому. Делается это так. В интеграле J <n(x)dx
представляют подынтегральную функцию в виде произведения со (х) =
= f (х)ф(х), и если мы умеем найти с помощью элементарных функ-
ций неопределенный интеграл
g (х) = j ф (х) dx
от множителя ф(х), так что ф(х) = g' (х), то формула (1) приводит
интеграл jco(x)c?x=J / (х) ф (х) dx = J f(x)g’(x)dx к другому
‘ интегралу J /' (х) g (х) dx, который может оказаться более простым,,
чем первоначальный. Так как данную подынтегральную функцию-
можно различными способами представить в виде произведения
/ (х) ф (х) — f (х) g' (х), то формула (1) дает широкую возможность
для преобразования интегралов.
Поясним этот метод на следующем примере:
J In х dx — J In х • 1 • dx.
Этой записью подынтегральной функции мы отмечаем, что намерены поло-
жить f (х) = In х и g’ (х) = 1, так что /' (х) = — и g (х) = х, Таким обра-
зом, формула (1) дает
J* In х dx — х In х — J” dx = x In x — x -|- C.
Последнее выражение есть, следовательно, первообразная логарифма,
что нетрудно проверить дифференцированием.
В применении к определенному интегралу формула интегрирова-
ния произведения принимает такой вид:
ь ь
/ f(x}g' (x)dx = f(x)g (х)£ — у f (х) g (x)dx ==
а а
Ь
— f (ty g (Р) — f (а) g (а) — у f (x)g(x)dx.
а
В самом деле, для того чтобы из формулы неопределенного интеграла
получить формулу для определенного интеграла, надо только-
(см. стр. 143) в найденную первообразную подставить вместо пере-
менной интегрирования сперва верхний предел х = Ь, затем нижниЛ
предел х = а и из первого результата вычесть второй.
250
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[2
Формуле определенного интегрирования произведения можно дать
простую геометрическую иллюстрацию, если наложить некоторые
ограничения на участвующие в ней функции. Предположим, чТо
функции у = f (х) и z = g (х) либо обе монотонно возрастаю-
щие, либо обе монотонно убывающие. Пусть f(a) = A, —
g(a) = a, g(b)=:p. Если выразить обратную функцию для f (х) и
подставить ее в z = g (х), то Получим z как функцию от у. Эта
функция будет монотонно возрастающей, и ее график изображен
на рис. 78 кривой P2Q2. Так как dy — f'(x)dx и dz — g'(x~)dx,
то формула интегрирования произведения
ь ь
j £ О) Г (x)dx -J- J f (х) g' (х) dx = f (х) g (х) £
а а
.запишется в следующем виде:
в р
j zdy-\- j ydz —f (b) g(b) — /(a)g(a) = B₽ — Да.
A a
Эта формула наглядно подтверждается на рис. 78:
пл. P2P2Q2Q3 + пл. PxP2Q2Qi = пл. OQXQ2Q2 — пл. ОРХР2Р2.
* Читателю рекомендуется сделать аналогичный чертеж для того
г случая, когда одна из функций/(х)
“ и g(x) монотонно возрастающая,
4_а другая — монотонно убывающая
~7 на [а, £»], и наглядно проверить на
/ нем последнюю формулу.
У' 2. Другая запись формулы ин-
Рэ тегрирования произведения. Вос-
4 рг пользуемся обозначением автора
.11----~-----------------— gr (х) = <р (х) и введем обозначение
& Ф1(х) Ддя первообразной: <р1(х) =
д = J <р (х) dx = g (х), так что индекс
Рис. 78. 1 внизу символа функции означает
интегрирование. Тогда формула (1)
интегрирования произведения запишется в следующем виде:
j / (х) <р (х) dx = f (х) ф! (х) —- j f (х) ф1 (х) dx. (А)
Словесно ее можно формулировать в виде следующего правила:
Интеграл от произведения двух функций равен произведению
одного из сомножителей /(х) на первообразную ф^х) от другого
множителя минус добавочный интеграл опять-таки от произведения —
только что найденной первообразной на производную от первого
множителя.
2]
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
251
Целесообразно пользоваться именно этой словесной формулиров-
кой, и тогда, если производная f (х) и первообразная (х) легко
вычисляются в уме, результат запишется сразу.
Пример. J (ах -|- b) cos х dx = (ах b) sin х — | а • sin х dx —
= (ах -|- b) sin х + a cos х С.
В применении к определенному интегралу формуле интегрирования
произведения можно придать следующий вид:
ь ь ь
j f (х) ф (х) dx = / (х) ф! (х) — j /' (х) ф! (х)dx.
а а а
Замечание по поводу формулы интегрирования про-
изведения. В формуле (А) ср, (х) есть одна из первообразных для функ-
ции <р (х). Эта формула утверждает, что если под символом интеграла, стоящим
в левой части,' разуметь все множество первообразных для произведения
/(х)<р(х), а под символом интеграла в правой части — все множество перво-
образных для функции f (х) ф! (х), то семейство функций J f (х) ф (х) dx,.
с одной стороны, и совокупность функций / (х) ф] (х) — J /' (х) ф] (х) dx,
с другой стороны, тождественны.
Но можно под символом J f (х)ф(х)<Ух понимать одну, хотя и любую, из-
первообразных для /(х)ф(х). В таком случае под символом J /'(х)ф1 (x)dx
в правой части формулы (А) надо разуметь тоже одну из соответствующих
первообразных, но уже не произвольную, а надлежащим образом выбранную,
чтобы формула (А) была верна. Вообще, из двух явно записанных знаков
интеграла в формуле (1) и в равносильной ей формуле (А) один может
означать произвольно выбранную первообразную своей подынтегральной
функции; но тогда другой знак интеграла означает уже не любую перво-
образную своей подынтегральной функции, а некоторую первообразную,
предопределенную предыдущим выбором. Забвение этого обстоятельства
может привести к недоразумениям. Возьмем, например, известный нам инте-
С dx „
грал но попытаемся его найти по правилу интегрирования про-
изведения j/(x) = --L, ф(х) = 1, f (х) = — ф](х)=х^, получим
f 1 , . 1 П 1 \ .
--I dx — — х — I----5-1 х dx, т. е.
J х х J \ х2 /
f dx
Наивно сокращая получим 0=1. В чем здесь дело? В свете ска-
„ f dx
занного выше все понятно. С одной стороны, если под символом --------
понимать все множество первообразных для функции 1/х, то равенство (у).
252
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
13
справедливо, ибо, прибавляя к каждой из первообразных единицу, мы вновь
получим ту же всю совокупность первообразных. Но, с другой стороны.
f dx f dx
сокращать ----- нельзя, так как если понимать под символом — слева
какую-либо одну первообразную, то тот же символ справа должен означать
тоже одну из первообразных, но уже не произвольную, а надлежащим образом
выбранную, чтобы равенство было справедливо; в данном случае, очевидно,
Г dx ,
справа означает первообразную, точно на единицу меньшую той перво-
образной, которая взята произвольно в левой части. *
3. Примеры. Следующие примеры помогут читателю овладеть
этим методом.
Полагая f(x) = x, <р (х) = g' (х) = ех, откуда /'(х) = 1, ф!(х) =
= g (х) = ех, получаем
| хгх dx = ех (х — 1)Н-С.
Подобным же образом получается
| х sin х dx — — х cos х 4- sin х Ц- С
и
| х cosх с?х = х sin х cosх-|-С.
При f (х) = 1п х, <р (х) = g' (х) = ха получаем
f ra+l / 1 \ _
xalnx dx =——r-llnx----------f-T-l-j-C.
J a4-l\ a-f-l / 1
При этом предполагаем, что а =£— 1. Если же а = —1, то
J -i-Inхdx = (Inx)2—Jlnx-^-; (a)
перенося интеграл из правой части в левую, получим
J -^-Inxdx = -^-(1п х)2 Ц-С.
На стр. 238 этот интеграл вычислен другим путем.
Интеграл J arcsin х dx вычислим, полагая /(х) = arcsin х, <р(х) =
= g'(x)==l. Тогда
f . . . f х dx
arcsin x dx = x arcsin x — r . ;
J J /1—X2
интеграл в правой части уже вычислен на стр. 243 (первый пример
в § 3), и, следовательно,
Г arcsin х dx — х arcsin х -f- У1 — х24-С.
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
253
По тому же способу вычисляется также интеграл
J arctg xdx—x arctg х — In (1 -|- х2) + С
и многие аналогичные интегралы.
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
1. j Х^х dx. 2. j x^e x‘ dx. 3. j x3 cos (x2) dx.
интегрирования произведения.
5. I x2ex dx. 6. x2 cos x dx.
7. x2cosnxrfx (n— целое). 8. x2sin/zxrfx (n — целое).
9. j dx (n =£ 1). 10. J xm In x dx (m Ф — 1). It J x2 (In x)2 dx.
4. Своеобразный случай интегрирования произведения. Не-
сколько иной характер имеют следующие интегралы. В этих при-
мерах двукратное применение метода интегрирования произведения
приводит снова к исходному интегралу, и, таким образом, для него
получается уравнение. Решая это уравнение, находим искомый
интеграл.
С помощью двукратного интегрирования по частям получаем
J еах sin bx dx = —еах cos bx + у J еах cos bx dx =
= — 4- еах cos bx -f- 4т еах sin bx — f еах sin bx dx-, (p)
и иг Ьг j xrv
определяя из этого уравнения исходный интеграл J еах sinbx dx,
имеем
J еах sin bx dx — eax (a sin bx — b cos bx) 4~ C.
Таким же образом получаем
J еах cos bx dx — a2 e°X (a cos bx-±-b sin bx) -|- C.
* Общее замечание по поводу уравнений (а) и (р).
В формулах (а) и (Р) имеется то общее, что каждая из них рассматри-
вается как уравнение первой степени с одним неизвестным, из которого
254
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
И
и определяется искомый интеграл: J In х ~ из уравнения (а) и
J еах smbx dx из уравнения (р). Между тем из замечания на стр. 251
мы знаем, что символ интеграла от одной и той же подынтегральной
функции в обеих частях какого-либо равенства (первой степени отно-
сительно этого интеграла) может означать различные первообразные!
Мы сейчас покажем, что тем не менее приведенные здесь вычисления
приводят каждый раз к правильному выражению искомого интеграла.
Пусть каким бы то ни было путем получено уравнение вида
J и (х) dx — F (х) + k J u(x)dx, (*)
где k — постоянная. Если k— 1, то Z’(x) должна сводиться к по-
стоянной (не обязательно к нулю, см. парадокс в замечании на стр. 251).
Если же &=£1, то обозначим первообразную, стоящую в левой части,
через I. Тогда в правой части надо подставить вместо J u(x')dx
выражение 1-\-А, где А — некоторая постоянная:
Z = F(x) + £(Z+X),
откуда
._________________________ F (х) . kA
1 ~~ \ — k "* 1 — й •
Так как А — постоянная, то и , — есть постоянная, а стало
1 — k
F (х)
быть, также является первообразной функцией для и(х),
а потому неопределенный интеграл
J a(x).dx =
Но такое же выражение для интеграла получается из уравнения (*),
если вообразить, что символ J и(х)а?х имеет одинаковый смысл
в обеих частях этого уравнения. Опираясь на только что доказанный
результат, так всегда и решают уравнения типа (*).
Пример 1. J У а2 — х2 dx = J 1 • У а2 — x2dx =
= х Уа2 — х2 — [ х . ,~2х dx — х У а2 — х2 -|- [ - —
r J 2/а2 — х2 r J ]/а2 —х2
Л2 — X2 , Г , /~5----------9 , Г dx . X
— -dx — у а1 — xldx, а -7:.=... — arcsin—,
]/«2 —х2 J J /а2 —x2 о.
Так как
5] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 255
ТО
J У а2— х^йх — хУа2—х2—J У а2— x2dx-f-a2 arcsin-^-.
Из этого уравнения находим
J У а2 — х2 dx — -у У а2 — х2 — arc sin С.
Пример 2. yyx2-j-Z>c?x=y \ - Ух2-Уbdx =
= хУх2A-b — f х —,2х_ dx = хУ x2~yb — f х dx “
v J 2Ух2уь v J Ух2±Ь
= хУ^ + Ь- [ -£===-dx-f-b f —
r J /х2 + 6 J Ух2уь
Но
f y.'.rjt’ b~ dx = [ Уx2A-b dx,
J yX2 + ь J K
a
f - dx = In (x 4~ У x1 yb)
J /л2 4- ь \ -v v -r j
(см. стр. 243); Следовательно,
У Ух2 -j- b dx = x Ух2 + b — j Ух2 + b dx 4- b In (x 4- Ух2 4* b).
Решая это уравнение, находим
У yx2 + bdx = -у /х24-£> 4- ~ In (х 4- Ух24-д) 4- С.
Упражнения
Методом интегрирования произведения вычислить следующие интегралы:
1. У Ух2 4"д2 dx. Отв. — Ух2 4- я2 4- arsh ~а 4"
2. У Ух2 — a2 dx. Отв. ^~Ух2 — а2 arch 4- С.
р. стр. 245). *
* 5. Обобщенная формула интегрирования произведения (инте-
грирования по частям). При вычислении интегралов в п° 4 правило
интегрирования произведения пришлось применять последовательно
Два раза. Это наводит на мысль проделать повторное интегрирование
произведения в общей формуле (А) (стр. 250):
У f (х) Ф (х) dx — f (х) ф! (х) — У /' (Я) Ф1 (X) dx. (А)
256 ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [5
К интегралу в правой части применим вновь правило интегрирования
произведения. Введя обозначение J (х) dx = ф2 (-*0 (причем имеется
в виду какая-либо одна из первообразных функций), получим
/ f (*) Ф1 W dx = f (*) Ф2 (*) — / Г (*) Ф2 (*) dx.
Подставив этот результат в (А), имеем
J / (х)ф (х) dx=^f (X) ф! (X) — /' (X) ф2 (х) + J /" (х) Ф2 (X) dx.
К интегралу в правой части можно вновь применить правило инте-
грирования произведения и т. д. Введя дальнейшие обозначения
j Ф2 (х) dx = ф3 (х), ... и вообще J ФА,_1(х)йх = ф^(х), так что
индекс k у ф^(х) показывает, что над функцией ф(х) выполнена
последовательно k раз операция интегрирования, получим обобщен-
ную формулу интегрирования произведения:
j/(х)ф(х)с?х==/(х)ф1(х) —//(х)ф2(х) + /"(х)ф3(х)-----1- ...
... + (-1)п-7(я-1,(х)фя(х)-(-1)я-1 |/я)(х)фя(х)йх. (В)
При этом предполагается, конечно, что все входящие сюда произ-
водные и интегралы существуют. Полученную формулу (В) можно
доказать методом полной индукции; еще проще проверить ее диф-
ференцированием.
Словесно формулу (В) можно выразить в виде следующего правила:
1) Интеграл от произведения двух функций равен сумме про-
интегрированной, т. е. готовой, части, состоящей из п членов, и
добавочного интеграла. Знаки всех членов чередуются, начиная
со знака плюс.
2) Первый член равен произведению одного из сомножителей
подынтегральной функции на интеграл (первообразную) от другого
множителя.
3) Каждый следующий член проинтегрированной части тоже является
произведением двух множителей и получается из предшествующего
ему члена по одному и тому же правилу: множитель, полученный
интегрированием, еще раз интегрируют, а другой множитель диффе-
ренцируют. Не следует забывать поставить перед каждым полученным
членом полагающийся знак (плюс или минус) согласно пункту 1).
4) Подынтегральная функция добавочного интеграла получается
из последнего члена проинтегрированной части так: множитель, полу-
ченный интегрированием, переписывают без изменения, другой мно-
житель дифференцируют. Перед интегралам ставят надлежащий знак
согласно пункту 1) (чередование знаков1*
51
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
257
Таким образом, из двух сомножителей подынтегральной функции
один, мы его обозначили через /(х), приходится последовательно
дифференцировать и раз, другой, <р (х),— последовательно интегри-
ровать п раз. Если добавочный интеграл легко вычисляется, то инте-
грирование будет успешно завершено.
В применении к определенному интегралу обобщенная формула
интегрирования произведения имеет следующий вид:
ъ
J / (*) Ф (*)dx = I/ (*) Ф1 <х) — f (*) Ф2 О) + Г (*) Фз (х)-F • • • +
а ь
+ (_1)'‘-1/'‘-1)(х)фн(х)]^ + (_1)« J /n>(x)<p„(x)dx.
а
f еах еах
Пример 1. еах cos bx dx — cos bx--------------—bsinbx)-}-
<Р(х) /(Л)
f еах
_|_ (—№ cosbx)dx. После того, как был написан второй член,
стало ясно, что если на нем закончить готовую часть, то добавочный
интеграл воспроизведет искомый, но с коэффициентом, отличным от
единицы; так оно и получилось. Перенесем последний интеграл в ле-
вую часть, и мы получим одну из первообразных:
/ 62 \ Г еах
11 -ф- — j еах cos bxdx =—j-(a cosbx-{-bsinbx),
откуда
J eax cos bx dx =
eax
(a cos bx -ф- b sin bx) -|- C.
Так же точно вычисляется j еах sin bxdx.
Пример 2. ch ax sin bxdx = —-— sin bx----------— b cos bx -ф-
q>(x) fix')
-ф- J (—62sin£>x)dx. И здесь потребовалась готовая часть из
двух членов, т. е. я = 2. Решая полученное уравнение относительно
искомого интеграла, получим
j*ch ax sin bx dx
1
а2ф-62
(a shaxsindx — 6 ch ax cosZ»x)4-C-
Читателю предоставляется вычислить самостоятельно интегралц
J ch ax cos 6х dx, J shaxsinbxdx и J shaxcos&x dx. Этим же ме-
тодом можно также найти f cos ах cosbx dx, cosax sinbx dx и
17 P. Курант
258
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
15
J sin ах sin 6х dx, но эти три интеграла лучше вычислять другим
путем (см. стр. 246). Все интегралы, перечисленные в примерах 1 и 2,
любопытны еще тем, что при их вычислении безразлично, какой из
двух множителей последовательно дифференцировать и какой инте-
грировать,— успех обеспечен при любом выборе / (х) и ф(х).
Применение обобщенного правила интегрирования произведения
особенно выгодно при вычислении интеграла Рп (x)<p(x)dx, где
Ра(х)— целый многочлен любой степени п, а множитель <р(х) таков,
что его легко интегрировать последовательно n-f-1 раз. В таком
случае выписываем готовую часть из (д-|-1)-го члена, причем Рп(х)
дифференцируем п раз. В последнем, (тг4~1)-м члене многочленный
множитель Р(ял>(х) сведется к постоянной. Дополнительный инте-
J Р«л+1) (х)ф„+1 (x)dx= J Odx — С, т. e. даст лишь
гральный член
постоянную интегрирования.
Таким образом, обобщенное правило даст возможность сразу вы-
писать результат интегрирования для всех интегралов вида j Р„ (х) X
Xq>(x)dx, где Р„(х) — целый многочлен степени п, а <р(х) — одна
из следующих шести функций:
akx+b, cos(kx-\-b), sin (Ах-(-&), ch (Ах-)-6), sh(Ax —J—6), (kx-}-b)a.
причем (в последней функции) а — любое действительное число,
кроме а ——т, где т— целое положительное число, меньшее сте-
пени п многочлена. Случай а — — т исключается не потому, что
правило к нему неприменимо, а лишь потому, что при ф(х) =
= (kx -|- Ь)~т (т. — целое, 0 < т < п) получается
., I ..-1 , /4 In | Ах 4-А I ,
4>m-i = (kx-}-b) -const, <pm(x) =--------г--- • const
и последующие интеграции уже затруднительны. Впрочем, в этом
исключительном случае интеграл проще всего взять заменой пере-
менной: kx -\-b=*t, dx —^~. Тогда
Р ((-Ь
С т Г k
j Pn(x)(kx + b) dx=j -----—
Раскрыв многочлен в числителе и поделив его почленно на tm, по-
лучим под знаком интегр'ала сумму степеней вида а^1, где i пробе-
гает целые значения, начиная с I = п — т~> 0, через нуль, до
I — — /и<0. Степени же интегрируются сразу по формуле 1 таб-
лицы интегралов.
5]
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
259
Пример 1. J(x2— Зх + \)axdx — (х2— -
— (2х — 3) (]п я)2 + 2 ((п а)3 + С.
г ?кх
Пример 2. I Рп (х) екх dx = Рп (х) --,
- Рп (X) . 4- (~1)пР(„п} (х) + С =
= [*"Р« (*) - '1 Р'п (*) + •. . + (-1)" (X)] + С.
Пример 3. J(x3—2х2 + 3х—l)cos2xc?x =
= (x3-2x2 + 3x — l)^~ — (3x2 — 4x4-3)(—-^i-j +
+ (6х — 4)(— — 6 • C0S^X -\-С~
= (2х3 — 4х2 + Зх) + (бх2 — 8х + 3) + С.
Пример 4. Jx"sinax</x получает различные выражения в за-
висимости от того, четно или нечетно целое число п. (Последний
член содержит cosax при нечетном п и sin ах при четном п.)
Однако можно получить одно выражение, пригодное для обоих слу-
чаев, если заметить, что
, I . , л\
г /in sin ах + 6 —к-
f sin (ах + 6) rfx = - + »), + С = —1----2-А + С.
Тогда
sin (ax — -2* I
sin ax dx = x" —-----------:----nx"-1
a
4
sin l ax —
+ «(« — 1) x"~2
а3
sin
i"-1 n(n — l) ... 3-2х —
-И— 1)"п(п — 1) ... 2 • 1
А"
а«
а'
17*
260
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Пример 5. J(x24-x — 3)sh 2xdx = (x2-|-x— 3) —
_(2х-Ь1)^-4-2 • -~^+С=-£^(2х2 + 2х — 5) —
--^(2х + 1)+С.
а
Пример 6. Вычислить J (х2—a2)"dx, где я —целое поло-
—а
жительное число.
а а
J (Х2 _ а2у‘ dx= |(Х _ а)п (X 4- «)" dx =
__ Г/ „'» (Х + a)" + 1 п(х дчЯ-1 (x-f-fl)'1 + 2 . ,
~[(* а) „-4-1_п(-х_а> (я_|_1)(га + 2) + • • • +
I ( 1Уи! (x + a)2n+1 Г
-bl (n + i)(„ + 2)... (2/г-j-1) J _а ’
При х = — а все члены обращаются в нуль. При х = а не обра-
щается в нуль только последний член. Следовательно,
а
f (2^2/г+1
j (х2 — а2У dx = (— 1)" п! (л + 1)(п + 2) ... (2л 4-1) =
_ (—1)" (л!)2 (2a)2"+1
~ (2л+ 1)!
Пример 7. J(x3-]- х2 — Зх 4" 1) У ах 4" &х —
(х34- х2 — Зх 4-1) («х 4- г>)1/2 dx =
= (х3 + х2 - Зх + 1) (^+j)3^2 _ (3%2 + 2х _ 3) (g*±g-22 +
I „ ! 21 («*4-fr)7/2-23 _ 6 + &)9/2 • 24 , c
-HOXH-2) з . 5.7дз °- 3 • 5 • 7 • 9a4 ‘
Упражнения
Вычислить следующие интегралы:
1. J (х4 — х3-|-4х — 3) ch-Зх dx. 2. J (Зх2-}-х — 2) sin2 (Зх + 1) dx.
3. J (х3 — 5х2-|-4) cos2 (ax-\-b) dx. 4. J (х4-|-х — 6)sh2 (ax-\-b) dx.
5. (х3 — х) sin (ах2 + b) dx. (Указание: сделать предварительно подхо-
дящую подстановку.)
6] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 261
6. Вычислить J (ах -|- Ь)т (ах 4- ₽)" dx, где тип — целые положитель-
ные числа, двумя способами.
f х2 — 7x4-1 Г ,,__________
7. —Г-— — dx. 8. х5)/(4х—I)2 dx.*
J У 2x4-1 J
6. Рекуррентные формулы. Во многих случаях подынтегральная
функция зависит не только от аргумента (переменной интеграции),
но и от целочисленного индекса п, причем методом интегрирования
произведения удается привести интеграл к интегралу такой же формы,
но с меньшим значением индекса; продолжая понижать таким путем
индекс, после некоторого числа таких шагов приходят к интегралу,
который можно найти с помощью нашей таблицы интегралов. Такой
метод вычисления называют рекуррентным методом (методом при-
ведения). Разъясним этот метод на нескольких примерах. Повторным
применением интегрирования произведения (интегрирования по частям)
можно вычислить тригонометрические интегралы
J cos" х dx, J sin"xrfx, J sinm x cos" x dx,
если m и n — целые положительные числа. Например:
J cosnxdx — J cos"-1x cosx dx =
= cos"-1x sin x -\-(n — 1) j* cos"-2xsin2xrfx =
= COS"-1X sin x-\-(n— 1) J cosn-2xrfx— (n — 1) J cosnxdx,
и отсюда получаем рекуррентную формулу
cos" х dx = — cos"-1 х sin х4~ ” ~ 1 I cos"-2x dx.
J n 1 я J
Эта формула дает возможность уменьшать показатель степени
в подынтегральной функции каждый раз на две единицы до тех пор,
пока мы наконец не придем к интегралу
J cos xdx = sin х4- С или J dx =х -\-С,
смотря по тому, является ли п числом нечетным или четным. Та-
ким же путем получаются аналогичные рекуррентные формулы
Jsin"xrfx =— -^sin"-1xcosx4~-^-=--^ j*sin"-2xdx,
f sin-X cos" x dx = ^osfi"x + f sin- X COS"-2X dx.
J m-^n * J
262 ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 16
В частности, эти формулы позволяют вычислить интегралы
J sin2x dx — (х — sin х cos х) + С
и
J cos2 х dx = -j (х + sin х cos x).-|- C
которые получены уже раньше другим методом (стр. 245).
Едва ли нужно упоминать о том, что аналогичные интегралы для
гиперболических функций вычисляются таким же путем.
Следующие преобразования интегралов представляют собой еще
ряд рекуррентных формул:
J (In x)m dx = х (in x)m — tn J (In x)m-1 dx,
J xmex dx = xmex — nt J xm-1 ex dx,
J xmsinxdx =— xmcdsx4-m J x"'-1 cos x dx,
J xm cosx dx — xm sinx •— m J xm-1 sinx dx,
|xfl (In x)m dx = — -ZL- J x° (In x)”-1 dx (a + — 1).
* Интегралы J xmexdx, J xm sin x dx, J xmcosxdx, как мы уже
знаем, можно написать сразу по обобщенному правилу интегрирования
произведения из п° 5, и рекуррентные формулы для этих интегралов
даны лишь как легкие примеры для упражнения. Остальные инте-
гралы, для которых выведены здесь рекуррентные формулы, невоз-
можно вычислить с помощью обобщенного правила из п° 5.
Иногда обобщенное правило интегрирования произведения помо-
гает выводу рекуррентной формулы, как показывает пример инте-
грала /„= J eaxslnnxdx. Выпишем готовую часть из двух членов:
Г еах еах
I „ = eaxsin"x dx =----sin" х----п sin"-1 х cos х4-
" J а а2 * 1
f еах
4- — l)sin"-2 х cos2x — п sin"-1 х sin х] dx-
Подставим в последнем интеграле cos2x = l—sin2x; после неслож-
ного преобразования получим
Г еах
еах sin"xdx = sin"-1x (a sinx — ncos х)-|-
. n(n — l) f eaxsinn~2xdx—\ I e^sin" х dx.
1 a2 J a2 J
7]
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
263
Выразив искомый интеграл из полученного уравнения, придем
к следующей рекуррентной формуле:
Г еах
J еах sin" х dx = --2~_|_'й2" sin"-1 х (a sin х — п cos х) -|-
+ -^"7^-/ sin"-2 х </х.
С помощью этой формулы шаг за шагом можно понижать показатель
при синусе каждый раз на 2, пока не придем при п четном к ин-
тегралу J eaxdx, а при п нечетном — к интегралу J еах sin х dx,
который вычислен в п° 4, стр. 253. *
7. Формула Валлиса. Рекуррентная формула для J sin" х dx
приводит элементарным путем к замечательному выражению числа л
в виде бесконечного произведения. Полагаем п > 1 и в формуле
J sin"xrfx =----i-sin"-1xcosx-f- J sin"-2xdx
примем за пределы интегрирования 0 и л/2; тогда получим
Л/2 Л/2
J sin" х dx = - J sin"-2xdx при л>1.
о о
Применяем теперь эту же рекуррентную формулу к интегралу
в правой части ц продолжаем этот процесс далее; тогда получаем,
рассматривая отдельно случаи п — 2ш и п = 2т 4- 1,
Л/2
j sin2m
о
х dx =
2т — 1
2т
Л/2
2т — 3 3 1 f
2т—2 ' ‘ ’ 4 ’ ~2 J
о
dx.
Л/2
J sin2,”+1xdx —
о
2т
2m 4-1
Л/2
2т — 2 4 2 Г
2т —I ' • ’ 5 ’ 3 J
о
sin xdx;
следовательно,
Л/2
J sin2”1 х dx
о
Л/2
У sin2m+1xrfx
_ 2m — 1 2т — 3 1л
2т ‘ 2^ — 2 ‘ ‘ ‘ "2 ' ~2
2т 2т — 2 2
2т 4-1 2т — 1 * ’ ' 3 ’
264
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
17
Отсюда делением получим
Л/2
f sin2"1 х dx
л 2 • 2 4 • 4 6 • 6 2m • 2т о
~2 =ТТ' ТТ ' 5-7 • • • (2m — 1)<2т4-1) л/2
J sin2m+1xd.x
о
Но отношение интегралов в правой части с возрастанием т стре-
мится к 1, что вытекает из следующего рассуждения. В интервале
О </х л/2 имеем 0 sin2m+1 х sin2"1 х < sin2"1-1 х; следовательно.
Л/2 Л/2 л/2
0<J sin2m+1 х dx J sin2mxdx<^J sin2m-1xdx.
о oo
П/2
Разделив каждый член этих неравенств на J sin2m+1xdx и заме-
о
тив, что на основании доказанной в начале пункта формулы
Л/2
f sin2m-1xdx
о________________2m-j- 1 . i 1
л/2 2m "I 2m ’
J sin^+^dx
о
находим
л/2
f sin2"1 x dx
1 </—-------------1 4- 1
Л/2 2m ’
J sin2m+‘xdx
о
а отсюда вытекает наше утверждение.
Вследствие этого получается соотношение
л __ Iim 2 2 4 4 6 6 2m 2m
2 ~,„Х 1 ’ 3 ‘ 3 ’ 5 ’ 5 ’ 7 2m —1 ' 2m+ 1 1
Это выражение л/2 с помощью произведения, которым мы обя-
заны Валлису, благодаря наглядности закона образования представляет
весьма замечательную связь между числом л и целыми числами.
Этому соотношению можно придать и различные другие формы.
Заметив, что lim , = 1, можем написать
га->оо Т 1
.. 22-42 ... (2m —2)2 л
„X З2 • 52 ... (2m — I)2 2т~ 2’
8]
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
265
извлекаем квадратный корень, а затем умножаем числитель и знаме-
натель на 2 • 4 ... (2m — 2):
л 2-4
2 ™ 1^5
(2т—2) ,/т;— ..
75---iT-l/2/n= lim
(2m-1) ' т^а
lim
(2m — 1)! ’
22 • 42 ... (2m)2 /2m-
(2m)! 2m ‘
Отсюда, наконец, получаем
(m!)2 22m
lim ——
Формулой Валлиса в этом виде нам еще придется впоследствии
воспользоваться (см. Дополнение к гл. VII).
*8. Преобразование повторного (n-кратного) интеграла к виду
обыкновенного (однократного) интеграла. В обобщенной формуле
интегрирования произведения мы встретились с серией повторных
интегралов <p1(x)=j cp(x)dx, <p2(x)=J <р2(x')dx= [ dxJ<p(х)dx, ...
..., <рл (х) — J фл_; (х) dx = J dx J dx • • • | Ф W dx. Фактически
п раз
эта формула выражает обыкновенный интеграл J / (x)<p(x)dx через
повторные интегралы. Возникает вопрос: нельзя ли повторный, п-крат-
ный интеграл представить в виде обыкновенного, однократного ин-
теграла (конечно, от другой функции)? Это предположение оправды-
вается. Прежде чем приступить к выводу соответствующей формулы,
уточним, что под символом У7! (%) мы будем понимать ту первооб-
разную для F (х), которая обращается в нуль при х — а, т. е.
Fj (x) =| F(x) dx — J F (t) dt,
a a
x x t
F2 (x) = J Л (/) dt — J dt J F (/) dt,
a a a
x x t t
Fn(x)--= J Fn-i^dt— J dt J dt ... j F(t)dt.
a a a a
n раз
Таким образом, Fx(a) = Р2(а) = ... = Fn(a) = 0. Производные от
этих интегралов равны
F„(x)=F„_1 (х), F^_1(x)=F„_2(x).....F2(x)=Fi(x), F1(x)=F(x).
266
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
18
Применим обобщенное правило интегрирования произведения
с готовой частью из л — 1 членов к интегралу
Fn (х) = J Fn_. (0 dt= | Fn_, (t) • 1 • dt =
= [^-i (0(t - x) - Fn_2 (t) + Fn-.(t) 4ST “ + • • •
... +(-1)я-2Р1(0-^^-]^-(-1)я-2 J F(t) - dt.
В пояснение заметим, что мы выбрали первообразную J 1 • dt =
— t— х, а не t с той целью, чтобы она обращалась в нуль на
верхнем пределе интеграла, т. е. при / = х. При t = x обращаются
в нуль все члены готовой части. Готовая часть обращается в нуль и
при t — a, ибо Fyta)— ... = Fll_l(a) = 0. Следовательно,
X
Fn М = (Г-1)1 / F ~ Х)'!"1
а
Заменяя символ Fn(x) его значением, записанным выше, и введя
(—I)"-1 под знак интеграла, придем к формуле
х t t t X
| dt J dt j* dt ... J F(t) dt = (n2 i); / F(t)(x — t)n~x dt.
a a a a a
n раз
Это и есть искомая формула, преобразующая повторный, п-крат-
ный интеграл в обыкновенный, однократный. *
Упражнения
Вычислить интегралы в упр. 1—3.
1. sin4 х dx.
2. cos6 х dx.
3. ?fl- x2 dx.
4. Показать, что при любом нечетном положительном значении показа-
теля п интеграл J e~xl хп dx может быть выражен через элементарные
функции.
5. Показать, что при п четном положительном интеграл е~*г хп dx
может быть выражен через элементарные функции и интеграл j е х ' dx
(для которого составлены таблицы).
и
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
267
[6. Доказать формулу, преобразующую n-кратный- интеграл в обыкно-
венный, применяя обобщенное правило интегрирования произведения к ин-
тегралу тщ- j <Р(0(* — О"'1 dt.
а
§ 5. Интегрирование рациональных функций
Самый важный общий класс функций, интегрирование которых
всегда выполнимо с помощью элементарных функций, представляют
рациональные функции
где
f (*) = am*m + + • • • + «о.
§-(х) = ^хп + &„_1хл-1+^0 (b„^0)
сводится к интегрированию
г(х) гтт л
, , • [Дробная рациональ-
S Xх)
— целые многочлены.
Напомним, что всякая целая рациональная функция интегрируется
сразу и приводит при этом снова к целой рациональной функции.
Нам нужно поэтому сосредоточить внимание исключительно на дроб-
ных рациональных функциях, у которых знаменатель отличен от
постоянной. При этом мы всегда имеем право предполагать, что сте-
пень т числителя f (%) меньше степени п знаменателя g(x). Дейст-
вительно, в противном случае можно разделить многочлен / (х) на
g(x), и остаток будет многочлен г(х), степень которого меньше п;
другими словами, имеем тождество f (х) = g (х) q (х) г (х), где
<?(х) и г(х) тоже многочлены, причем степень г (х) меньше п. Таким
образом, интегрирование дроои
многочлена q (х) и «правильной дроби»
ная функция называется правильной, если степень т числителя меньше
степени п знаменателя. В противном случае она называется непра-
вильной.]
Заметим, далее, что такая дробная функция
k
представлена в виде суммы дробей вида
рассмотреть только интегралы от функций вида .
1. Основные типы. Мы проведем сперва интегрирование не самых
общих рациональных функций такого рода, а лишь таких, знаменатель
которых g(x) особенно простого типа, а именно:
может быть
и поэтому достаточно
vk
g(x) = x или £(х) = 1 -|-х2,
268 ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [I
или более общего вида:
g(x) = x", g(x) = (l 4-х2)",
где показатель п — любое целое положительное число.
К этому случаю можно тотчас же привести интегрирование не-
сколько более общего случая, когда g (х) — (ах 4- р)" представляет
степень линейного выражения ах4~₽ или когда g (x)=(ax2-{-‘2bx-}-c)r‘
есть степень определенного квадратичного выражения1)- В первом
случае мы вводим новую переменную д = ах44>- Тогда x = -i-£—
также является линейной функцией от £ и rfx = -i-d|. Поэтому
числитель /(х) переходит в многочлен q>(£) той же степени и
J (а*4-₽)" a J Ъп ъ
Во втором случае пишем
1 „ Д2
g (х) = ах2 4~ 2£»х 4- с = — (ах 4~ Ь)2 4- — (А2 = ас—Ь2, А > 0);
при этом «40 и ас — Ь2 должно быть положительным числом, ввиду
того что наше квадратичное выражение, по условию, определенное.
Вводя новую переменную
о ах -4- b тЦ — b , Adi
а А а а
мы тотчас же приходим к интегралу от рациональной дроби со зна-
А2 Г А2
менателем -^-(14~£2) или -^-(14~£2) соответственно.
Итак, чтобы проинтегрировать рациональные функции, знаменатель
которых есть степень линейного выражения или степень определен-
ного квадратичного выражения, достаточно уметь интегрировать сле-
дующие типы функций:
1 x2k x2k+i
хп ’ (х2 + 1)л ’ (х2-Н)" ’
Ниже мы увидим, что вовсе не понадобится рассматривать эти
типы в общем виде и что можно свести интегрирование всех рацио-
нальных функций к интегрированию функций этих типов для частного
') Квадратичное выражение Q (х) = ах2 4- 26x4- с называется определен-
ным, если при действительных значениях х оно может принимать значения
только одного знака, т. е. если уравнение Q (х) = 0 не имеет действитель-
ных корней. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ас — Ь2 было по-
ложительным числом.
2]
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 269
случая k — 0. Поэтому мы сперва займемся интегрированием следую-
щих трех выражений:
1 1 х
хп ’ (х2+1)п и (х2 4-1)" •
2. Интегрирование основных типов. Функция
1
первого типа сразу
интегрируется и дает при п = 1 функцию 1п|х|, а при п > 1 — функцию
— 7----п—т- е- опять рациональную функцию. Функцию третьего типа
\П 1) X
можно непосредственно интегрировать, если ввести новую переменную
g = х2-j- 1; тогда d£ = 2xdx, и, следовательно,
1
х а _ 1 f
(Х2 + 1)« ах~ 2 J
2 (л — 1) (х24- 1)«-1
11п(х2 + 1)
при
при
п > 1,
л= 1.
Наконец, для того чтобы найти интеграл
dx
U2+If
при любом п > 1, воспользуемся рекуррентным методом. Именно, пишем
1 _(х24-1) — х2 _ 1 х2
(Х24-1)«~ (Х2+ 1)" “' (х24-1)«-1 (х24-1)«’
откуда
dx
(x2+V)n
х2 dx
второй интеграл правой части преобразуем по правилу интегрирования произ-
ведения, полагая
f (х) = х, <р (х) = -(-2 .
Тогда (см. выше)
<р, (х) = —-------------------г-;
2 (л —1) (х2+I)"”1
в результате получаем
f х2 dx | х dx
J (x2 + 1)" ~ J X (x24-lf ~
___ x , 1 p dx
“ 2 (n — 1) (x2-f-l)n-1 2 (n —1) J (х2+1)" -1
И
j ___ f dx __ x . 2n, — 3 f dx
n ~ J (х24-1)” ” 2(л —1) (x24-l)"-1 "I 2(n —1) J (x2-^!)"-1 ’
Следовательно, нахождение интеграла Jn приводится к нахождению ин-
теграла Если л—1 > 1, то применяем тот же прием к последнему
270
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[3
интегралу и продолжаем этот процесс до тех пор, пока не придем к вира-
I* dx
жению ...... — arctg х. Таким образом, мы убеждаемся в том, что ин-
J л!+1
теграл Jn выражается с помощью рациональных функций и функции
arctg х1).
Кстати, заметим, что интегрирование функции 2 гЛЧя' можно было бы
„ dt
выполнить также с помощью подстановки x = tgr, тогда ах— 2 11
т—г—т- = cos21, следовательно,
1 л2
f dx
cos2” 2/ dt,
а последний интеграл мы уже научились вычислять в § 4, п° 6, стр. 261.
3. Разложение дробной рациональной функции на элементар-
ные дроби. Теперь мы уже в состоянии интегрировать рациональ-
ные функции самого общего типа. Дело в том, что всякую дробную
рациональную функцию (если она сама не является правильной дробью)
можно представить в виде суммы целого многочлена и правильной
дроби (см. начало § 5), всякую же правильную рациональную дробь
можно представить в виде суммы так называемых элементарных
дробей или, как говорят, разложить на элементарные дроби. Эле-
ментарными называются такие дроби, у которых знаменатель—сте-
пень линейной функции, а числитель — постоянная, либо знаменатель —
степень определенного квадратичного трехчлена, а числитель — линей-
ная функция. Все такие элементарные дроби мы уже умеем интегри-
ровать, так как знаменатель можно привести к одному из частных
видов х'1 или (х2-)-!)" (см. п° 1), и дробь окажется суммой основ-
ных типов, проинтегрированных в п° 2.
Общее доказательство возможности такого разложения на элемен-
тарные дроби относится к алгебре, и мы его здесь излагать не будем.
Мы ограничимся тем, что разъясним содержание этой теоремы и
покажем на примерах, как фактически выполнить разложение па
элементарные дроби в каждом отдельном случае. На практике при-
дется иметь дело только со сравнительно простыми функциями, так
как в противном случае вычисления становятся слишком громоздкими.
Каждый многочлен g(x), как известно из элементарной алгебры,
можно представить в виде
g (*) =
= а (х — аг)г' (х — а2У2 ... (х2 -f- 2i’1x -j- c-tf' (x2 -f- 2b2x -f- c2/2 ..
') Совершенно таким же образом можно найти интеграл от функции
—jyT’ приведя его аналогичным рекуррентным процессом к интегралу
. 2 = ar th х 4~ С (или arcth x-f- С).
3)
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
271
При этом числа ар а2, ... являются действительными и различными
корнями уравнения ^(х) = 0, а целые положительные числа Zp
Z2, ... указывают кратность этих корней; множители (х2 -f- %bkx -f- ск)
означают определенные квадратичные выражения (среди которых нет
двух одинаковых) с сопряженными комплексными корнями, а целые
положительные числа г}, г2, ... указывают кратность этих корней.
Допустим, что знаменатель g(x) либо с самого начала дан в виде
такого произведения, либо мы привели его к этому виду путем вы-
числения действительных и мнимых корней. Предположим, далее,
что степень числителя /(х) меньше степени п знаменателя (см. стр. 267);
тогда теорема о разложении рациональной правильной дроби на эле-
ментарные гласит: для каждого множителя (х — a)z, где a — любой
из действительных корней av, а Z есть соответствующий показатель Zv,
можно определить выражение вида
At ।_____Л2_____|А[
х — а (х — а)2 (х — а)1
с постоянными коэффициентами .... Лг, а для каждого входя-
щего в знаменатель квадратичного множителя Q(x) = x2-j- 2^х—]—с»
кратность которого равна г, можно определить выражение вида
Bi 4~ CiX . С2х , । С*г (х)
Q "Г Q2 ~' • • • ' Qr
таким образом, что функция
f(x)
g(x)
равна сумме всех этих выраже-
ний. Иными словами, дробь
/(*)
g(x)
может быть представлена в виде
суммы «элементарных» дробей, каждая из которых принадлежит
к одному из типов, рассмотренных в п° 2.
Наметим здесь вкратце основную мысль доказательства возможности
такого разложения. Если g (х) = (х — а)* /г (х) и Л (а) 0, то можно опре-
делить постоянную Р таким образом, чтобы разность
/(х) Р .. /(х)-РЛ(х)
g (х) (х — а)* (х — a)k h (х)
представлялась в виде рациональной функции, знаменатель которой содер-
жит множитель х — а в степени не выше (k — 1). Это ведет к требованию,
чтобы числитель f (х) — РЛ (х) делился без остатка на х — а или, что рав-
носильно, при х = а обращался бы в нуль: f (a) — р/г (a) = 0; вместе с Тем,
так как h (a) =/= 0, получаем Р =
Продолжая идти тем же путем, мы
можем понижать степень (х — а) в знаменателе, пока наконец этот множи-
тель совсем не исчезнет из знаменателя. Применяя тот же прием к остаю-
щейся после этого дроби, для другого корня знаменателя g’(x), и повторяя
его столько раз, сколько различных корней имеет уравнение g (х) = 0, мы
приходим в конце концов, принимая во внимание и мнимые корни, к пол-
ному разложению рациональной дроби на элементарные.
272
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
|4
В отдельных случаях такое разложение легко выполнить с помощью
искусственного приема. Если, например, g (х) = х2— 1, то
1 _ (х4-1) —(х—1) _ 1 1 11
х2 — 1 2(х+1)(лг—1) 2 ’ х — 1 2'х4-1’
так что
Вообще, если g (л) = (х— а)(х— Р), т. е. если g (х) является неопределен-
ным квадратичным выражением с двумя различными действительными кор-
нями а и р, то непосредственно получаем
1 _ (х — р) — (х — а) _
(х — а) (х — Р) (а — Р) (х — а) (х — р)
_ 1 1 11
а — р х — а а—р х—р’
так что
Г dx — 1 in I x~a l_l_r
J (x — a) (x — p) a — p I x — p P
4. Пример. Химические бимолекулярные реакции. Простой пример
применения только что полученного простого разложения на элементарные
дроби представляют так называемые бимолекулярные реакции. Если имеем
два исходных вещества, начальные концентрации которых, выраженные
в молях на единицу объема, равны а и Ь, причем мы предполагаем, что
а < Ь, и если за время t образуется х молей продукта химической реакции,
то по закону действия масс (стр. 211) для простейшего случая, когда соеди-
няется по одной молекуле каждого из обоих веществ, участвующих в реак-
ции, эта величина х, как функция времени, будет возрастать со скоростью
dx
— k (а — х)(Ь—л); задача заключается в нахождении функции х (t).
Будем рассматривать, наоборот, t как функцию от х, тогда
dt ________1_____________1 /_1______1 \.
dx ~ k(x — а)(х — b) ~ k (а — Ь)\х — а х — b ) ’
следовательно, интегрируя, получаем
,, 1 , I х— al, 1 , а — х . , ,
kt —----г In -----т + с =----т- In -----Р с, ибо х<а<Ь,
а — b I х — о | 1 а — b о — х '
причем постоянную интеграции с определяем из условия, что при t = 0 нет
еще продукта реакции (х — 0), т. е. ——In -^--|-с = 0.
1 1-Т
Окончательно kt =-^—In-------или, разрешая относительно х,
1 — Т
получаем искомую функцию
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
273
5. Дальнейшие примеры разложения на простые дроби (ме-
тод неопределенных коэффициентов). Если знаменатель g(%) =
= (х — OjXx—а2) ... (х—ап), где а1 Ф ak при I Ф k, т. е. если g(x)
имеет только простые действительные корни, то разложение на эле-
ментарные дроби имеет следующий вид ^предполагается, что пра-
х f (х) 1
вильная дробь necoKpaTHMaj:
f(x) _ я, , а2 . , ап
g (х) х — ' х — ‘ ' х — а,г
Мы получим тотчас же явные выражения для коэффициентов ak,
если умножим обе части равенства на (х — ай), сократим общий
множитель знаменателя и числителя в левой части и в А-м члене
правой части и затем положим х — ак. Таким образом, находим
__________________fM__________________
(ак — а,) (а* — а2) ... (а* — а^) (ай — ал+1) ... (а* —а„) ‘
Читатель сам легко проверит, что знаменатель есть не что иное,
как g'т. е. производная функции g(x) в точке x — ak, а сле-
/ (аа)
довательно, ак = , . К.
к g (а*)
следующей формулой:
и разложение на элементарные дроби дается
у 1 . /W
g (х) aU х — ак ‘ g' (aft) ’
k = l
Эта формула пригодна и для комплексных корней: каждая пара эле-
ментарных дробей, соответствующая паре комплексно-сопряженных
корней, объединяется в одну действительную дробь с квадратичным
знаменателем.
В качестве типичного примера знаменателя g (х) с кратными корнями
рассмотрим функцию , знаменатель которой имеет двойной корень
х = 0. В данном случае мы приходим к цели, полагая, согласно п° 3,
1 a j b , с
х2 (х — 1) х — 1 ~^~'х х2 ’
умножая обе части этого равенства на х2 (х— 1), мы получаем для опреде-
ления коэффициентов а, Ь, с равенство
1 = (а -}- Ь) х2 — (Ь — с) х — с,
которое должно быть справедливо для всех значений х. Ввиду этого все
коэффициенты трехчлена (а -ф- Ь) х2 — (Ь — с) х — с — 1 должны быть равны
нулю, т. е. a-\-b = b — с = с -1-1 = 0, откуда с = —1, Ь — —1, я = 1. Мы
получаем, таким образом, разложение
1 _ 1 11
X2 (х—1) — X — 1 X X2
18 Р- Курант
274
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[5
и отсюда находим
f у-г--.-с = 1п|х—1| — 1п|х|4~ —+С.
J х2(х—1) г 1 1 11 X 1
В качестве примера дроби, знаменатель которой имеет комплексные
корни, рассмотрим функцию п пРеДставим ее в виде
1 __ а . Ьх с
х (х2 4- 1) х ' х2 4- 1 '
Для определения коэффициентов, получаем уравнения а 4- Ь = с =
— а — 1=0; следовательно, а=\, b — — 1, с=0 и дробь
1 _ 1 х .
Х(Х2-(- 1) “ X х24- 1 ’
поэтому
(* dx 1
J ТйЯЛГ = ,ni%l~у1п^+1> + с-
В качестве третьего примера рассмотрим функцию дЛ-уч-. интегриро-
л I г
ванне которой доставило еще Лейбницу большие затруднения.
Знаменатель можно представить в виде произведения двух квадратич-
ных множителей:
х4 4-1 = (х2 4-1)2 — 2х2 = (х2 + 1 4- V 2х) (х2 -4-1 — у 2х),
а потому разложение запишется в следующем виде:
1 ___ ах-\-Ь , cx-\~d
л4-4-1 ~ х2 4-/2x4-1 + X2 —/2x4-1 ’
Для определения постоянных a, b, с, d получаем равенство
(а 4- с) х3 4- (Ь 4* d — а /2 4* с /2")х2 +
4-(а4-с —i/2’4-d/2)x4-i4-d—1 =0,
которое будет тождеством относительно х при значениях
а==—__ ь — — с —-------- d — —,
2/2 2 2/2 2
Поэтому
1 1_____х + У2______1_____х —/2
х44-1 ~ 2/2 ’ х24-/2x4-1 г/2- ’ х2 —/2x4-1 ’
и с помощью метода, указанного в п°1, получаем
f -7TT = TiU-'Blx24-/2x4- 11—-2=-in | х2 —/2 х 4-114~
J x4 4-1 4 У 2 4У2
4- ~=- arctg (/2 x 4-1)4- arctg (/2 л- — 1) 4. C
— результат, который легко проверить путем дифференцирования.
1]
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ КЛАССОВ ФУНКЦИИ
275
Упражнения
Проинтегрировать
‘ J 2х — Зх2
Г (х— 4)
91 J (х24-1)(х-2) dX~
10- J (^_lt(x+2) dx-
С jv®
11. , ,-dx.
J 1 — x*
dx
хг (x2 + l)2 ’
§ 6. Интегрирование некоторых других классов функций
1. Предварительные замечания о рациональном представлении
тригонометрических и гиперболических функций. К интегрирова-
нию рациональных функций приводится также интегрирование неко-
торых других общих классов функций. Мы лучше всего поймем это
приведение, если предварительно уясним себе несколько элементар-
ных фактов относительно тригонометрических и гиперболических
функций. Полагая / = tgy, с помощью элементарной тригонометрии
получаем следующие формулы:
2/ 1 — <2 1)
sinX==T+F’ cosx = rp?\
т. е. sinx и cosx выражаются рационально через величину
, X *
Из равенства / = tgy дифференцированием получаем
dt _ 1
dx „ . х
2cos2y
_ 1 +*2 .
~' 2 1
‘) В самом деле,
, X . , X
= COS2 -X- — Sin2 -X =
£ 4
1
1
1—/2
14-/2 ’
, X t2 . , X
= cos2-5-, г- .-7--= sin2-K-; отсюда
Z 1 Г4 2
, о . X X п , X „X
sinx = 2 sin -у cos у = 2 tg -у cos2 -x-
COS X =
2t
s 14-z2’
18*
276
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
следовательно,
dx _ 2
~dF ~~ 1 -4-<2 ’
dx
т. е. и производная выражается рационально через t.
Геометрическое значение и наглядную интерпретацию наших формул
дает рис. 79. На нем изображена окружность ц2Ц-о2 = 1 в плоскости и, ~v.
Обозначая отмеченный на рисунке угол
РОТ через х, имеем
и — cos х, v = sinx.
Угол треугольника OSP, вершина S ко-
торого находится в точке и = — 1, v = 0, ра-
вен х/2, и на рис. 79 сразу видим геометри-
X
ческое значение параметра / = tg^-= OR;
когда точка Р, начиная от точки S, пробе-
гает один раз в положительном направлении
окружность, т. е. когда х пробегает интер-
вал от — л до -ф- л, величина t принимает по
одному разу все значения от — оо до -ф- со.
Совершенно аналогично можно пред-
ставить и гиперболические функции
ch х — -ф- е~х) и sh х = у (ех — е~х) в виде рациональных функ-
ций некоторого параметра. Наиболее естественным кажется положить
ех = т, тогда
, 1 / , 1 \ и 1 ( 1 \
ch х = у I т 4-) и sh х = — yJ.
т. е. действительно получаются рациональные выражения для sh х
dx 1
и ch х. И здесь = — зависит рационально от т. Однако более
полная аналогия с тригонометрическими функциями получается, если
ввести величину Z = thy; при этом, как легко доказать, получаются
формулы
, 2/ . 14-/2
sh х = -j--75-, ch х = . .
1 — Г2 1 — Г2
Отсюда, как и раньше, путем дифференцирования ^ = thy полу-
„ dx .
чаем рациональное выражение для производной
dx _ 2
~dt~~ '
И здесь величина t имеет геометрическое значение, подобное ее значе-
нию у тригонометрических функций, что ясно видно из рис. 80, t = th =
= 0/?.
2] § 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ 277
[Это следует из подобия треугольников SAP и SOR;
х sh-2 2sh-2 ch-2 shx AP OR OR 1
2 — , x ~ _ ,, x chx4-l ~~ ЗЛ “ SO ~ 1 =
chy 2ch4
Но, в то время как для тригонометрических функций t должно пробегать,
весь интервал от —оо до +со> для того чтобы получились все значения.
sinx и cosx, у гиперболических функций величина t ограничена интер-
валом — 1 < t < 1.
После этих предварительных замечаний переходим к нашей про-
блеме интегрирования.
2. Интегрирование рациональной функции от cos х и sin х.
Пусть R(cosx, sinx) означает рациональное выражение относительно
обеих функций sinx и cosx, т. е. выражение, составленное из этих
функций и постоянных с помощью рациональных операций, например:
3 sin2 х cos х
3 cos2 х 4- sin x ’
Если применим замену переменной t = tg , то интеграл
J /?(cosx, sinx)dx перейдет в интеграл
f о / 1 — Р 2t \ 2dt
. J 14-/2 ’ 14-/2 / 1 4-/2 ’
и под знаком интеграла находится теперь рациональная функция от /.
278
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
. Тем самым задача интегрирования нашего выражения принци-
пиально решена, так как последний интеграл можно найти методами,
указанными в предыдущем параграфе.
3. Интегрирование рациональной функции от ch х и sh х. Та-
ким же образом, если /?(chx, sh х) есть рациональное выражение
относительно гиперболических функций sh х и ch х, то его можно
проинтегрировать с помощью подстановки £ = thy; принимая во вни-
мание, что
dx __ 2 , ___ 2 dt
~dF~ 1 —i2 ’ ax~ 1 —/a •
получаем
K(chx, shx)rfx= RI t . у_1 -pziT dt-
Можно, впрочем, согласно сделанному выше замечанию, ввести про-
сто т = ех в качестве новой независимой переменной и выразить
chx и shx через т. И здесь интегрирование приводится к интегри-
рованию рациональной функции.
4. Интегрирование рациональной функции от х и 1 — х2.
Интеграл J /?(х, У 1 — х2)dx путем подстановки х = cosh,
У"1—x2 = sinw, dx — — s'mudu приводим к типу, рассмотренному
в п° 2, затем уже от этого типа с помощью подстановки / = tgy
переходим к интегралу от рациональной функции. Впрочем, приве-
дение к интегралу от рациональной функции можно выполнить и
сразу, а не в два приема, с помощью замены переменной
У -]/" 1 х х * t2 -|/~ 1 х2— 2< dx —____________________4t
г V 1-|-х ’ — 1-Н2 ’ ' 1-Н2 ’ м (1-Н2)2'
- / I —х , и
Это значит, что можно сразу ввести t = у уцу- = *g у в качестве
новой переменной и получить интеграл от рациональной функции
в один прием.
5. Интегрирование R (х, Ух2 — 1). Интеграл /?(х, ]/х2— l) dx
переводится подстановкой х = ch и в интеграл типа, рассмотренного
в п° 3. И здесь можно прямо прийти к цели путем подстановки
,, и
— th 2 •
6. Интегрирование R (х, Ух2 + 1]. Интеграл J R (х, Ух2 1) dx
путем замены переменной х = sh и также приводится к типу, рас-
смотренному в п° 3, и, следовательно, интегрируется в элементарных
7] § 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ КЛАССОВ ФУНКЦИИ 279
функциях; затем новой подстановкой е“ = т или thy = £ он приво-
дится к интегралу от рациональной функции. Вместо этого можно
получить интеграл от рациональной функции сразу с помощью за-
мены переменной т = % + ’|/х2+ 1 или же . Из
х~ sh и и е“ = т, вытекает н = arsh х = In (х 4~ У*2 4~ 1) и т =
= еа = х 4~ ]/х2+ 1 . Из x = sh« и th = t вытекает (см. стр. 276)
2t
х ~ 11Z/7 и для * получается уравнение t2x-j-2/ — х = 0, один
„ — 1+/F+1
из корней которого t ==-----— ---1—.
7. Интегрирование /?(х, ]Лах24-2&х + с). Интеграл
J /?(х, ]/ах24-2/>х4~с)dx
от выражения, которое рационально составлено из х и корня квад-
ратного из произвольного трехчлена второй степени от х, можно
непосредственно привести к одному из только что рассмотренных
типов. Мы пишем (ср. со сказанным на стр. 268)
ах2 4- 2Ьх 4- с = -1 (ах 4* Ь)2 4- аС а b
и вводим в случае, если ас — Ь2 > 0, с помощью преобразования
«. ах 4- b
g = ,, J . ' новую переменную |, причем наш квадратный корень
У ас — Ь2 ______
примет вид Ь 1А2 4~ 1 • Следовательно, интеграл с новой
переменной £ будет как раз рассмотренного в п° 6 типа. При этом
постоянная а должна быть положительной, для того чтобы корень
вообще имел действительные значения.
Если ас — Ь2 = 0, а > 0, то подынтегральная функция уже с са-
мого начала рациональна относительно х, так как ]Azx2 4~ 2£х 4~ с =
= /л(* + у)-
Если, наконец, ас — Ь2 < 0, то полагаем £ — - ?-—i-— и полу-
______________________________________* Vb2 — ас
—-—(£2—1). Если а—число поло-
жительное, то интеграл тем самым приводится к типу, рассмотрен-
ному в п° 5; если же а — число отрицательное, то пишем наш корень
/Ь2 — ас , г----
__ У 1 — У и видим, что получается интеграл типа,
рассмотренного в п°4.
280
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[8
8. Дальнейшие примеры приведения к интегралам от рацио-
нальных функций. Из других типов функций, интегрирование ко-
торых осуществляется с помощью приведения подынтегральной функ-
ции к рациональному виду, мы остановимся еще на двух. Во-первых,
рассмотрим рациональные выражения R (х, ]/ах У сх +
относительно двух различных квадратных корней из линейных
функций, во-вторых, выражения вида
Ь, с и d — постоянные. Вводя в первом случае | — Усх-^-d в ка-
„ » Ъ2 — d dx 25
честве новой независимой переменной, откуда х = —-—, ^- = у
получаем
/?(х, Уах-\-Ь, У сх a) dx =
V\\a%-(dd-bc)\,
т. е. тип, рассмотренный в п°7.
Во втором случае берем за новую независимую переменную вели-
? , fax 4- b
ЧИНУ % = V F7+7 : тогда
_____ ах--\-Ь ___—d£,n-\-b dx ad — be ?п-1
ь ““ cx-\-d ’ Х~ сУ—а ' ~df~ (ci,n — a)2
и мы приходим к формуле
ах-{-Ь
сх 4-
— ^5”+^ Л ad — be
cln —а ’ (c5« —a)2
t. e. к интегралу от рациональной функции.
9. Замечания по поводу примеров. Предыдущие рассуждения
имеют преимущественно принципиальное, теоретическое значение. Дей-
ствительное проведение вычислений при сложных выражениях было бы
час’го слишком громоздко. Чтобы добиться большей простоты, це-
лесообразно поэтому, когда это возможно, использовать специальный
характер интегрируемой функции. Например, при интегрировании вы-
1
ражения 2 2—-т-г-2-----— лучше, вместо рекомендованной ранее под-
d sin X 1“ v COS X
становии t — \g^, ввести новую переменную £=tgx, так как sin2x и
cos2x выражаются рационально уже через tgx, и поэтому обращаться
к более сложной подстановке i = tgf нет нужды. Это же относится
ко всякому выражению, составленному рационально из sin2x, cos2x
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ КЛАССОВ ФУНКЦИИ
281
и sinxcosx1). Впрочем, при вычислении многих интегралов предпо-
читают иметь дело не с рациональной, а с тригонометрической фор-
мой, когда, отправляясь от нее, можно прийти к цели с помощью
простого рекуррентного процесса. Например, вместо того чтобы при-
водить к рациональному виду интеграл —х2)т dx, лучше
путем подстановки х = sin и представить его в виде J sin" и cosm+1 и du,
и тогда его легко проинтегрировать рекуррентным процессом, ука-
занным в § 4 (или также переходя с помощью теорем сложения от
степеней синуса и косинуса к синусам и косинусам кратных аргументов).
Для вычисления интеграла
f-------— («2 + ьг > °)
J acosx4~# sinx 1
лучше вместо того, чтобы пользоваться общей теорией, определить число А
и угол й так, что
а = A sin О, b = A cos О,
т. е. полагаем
A = ]fa2-}-b2 , sin'fr = -^-, cos'fr=-4-.
1 А А
Интеграл переходит тогда в
1 Г dx
Д J sin (х 4- й) ’
рассматривая х -|- Ф как новую переменную, находим (см. стр. 244), что зна-
чение интеграла равно
1.|. х-+-Ф
л's-г-
Упражнения
1 . Г__.
J 1-)-sinx
2 f____dx
'J 1 4- cos x
„ f dx
' J 24-sinx ’
4 f dX .
J sin3 x
5. f —
J COS X
Л/2
6 f dx
J 34-cosx *
0
7 f dx
J 1 4-COS2X ’
8 f dx
J 34-sin2x ’
9 . J tg3 x dx.
1°. f -------------
J sin x 4-cos x
’) В самом деле, sinxcosx = -^-sin2x, конечно, рационально выражается
через tgx.
282
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(1
sin2 х -|~ cos3 х
3 cos2 х -j- siп4 х
sin xdx.
17.
18.
12. J Ухг — 4dx.
13. J /4 4- 9x2 dx.
14. f -------- ft. . r-.
J (x —2)/x2 — 4x4-3
15. f x V~x2-j-4x dx.
/14^4-/1377
/14-Х — /1—Х
dx.
§ 7. Замечания относительно функций, не интегрирующихся
в элементарных функциях
1. Определение функций с помощью интегралов. Эллиптиче-
ские интегралы. Указанными примерами типов функций, интегриро-
вание которых приводится к интегрированию рациональных функций,
в основном исчерпывается область функций, интегрируемых в эле-
ментарных функциях. Попытки выразить через элементарные функции,
например, общие интегралы следующего вида:
J* 4~ aix 4“ • • • 4~ ® п%п
или
лА
— dx
всегда кончались неудачно; в XIX столетии удалось, наконец, дока-
зать принципиальную невозможность выполнить эти интегрирования
с помощью элементарных функций.
Если бы, следовательно, целью интегрального исчисления являлось
интегрирование в элементарных функциях, то мы быстро достигли бы
границ этого искусства. Но такая ограниченная цель, действительно,
не имеет никакого внутреннего оправдания; напротив, в ней есть нечто
искусственное. Мы знаем, что интеграл от непрерывной функции су-
ществует и представляет в свою очередь непрерывную функцию верх-
него предела, и этот факт не имеет ничего общего с возможностью вы-
разить первообразную функцию через элементарные функции. В сущ-
ности, элементарные функции отличаются только тем, что свойства их
легко охватить и практическое применение их значительно облегчается
удобными таблицами или тем, что их, как, например, рациональные
функции, можно просто вычислять с произвольной ТОЧНОСТЬЮ.
Ничто не мешает в случае, когда интеграл от некоторой функции
не выражается с помощью известных нам функций, ввести этот инте-
грал как новую, «высшую» функцию, т. е., в сущности, только дать
ему имя. Целесообразно ли введение такой новой функции или нет,
1] § 7. ФУНКЦИИ, НЕ ИНТЕГРИРУЮЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 283
будет зависеть от того, какими свойствами эта функция обладает,
часто ли она встречается и насколько легко она поддается теорети-
ческому изучению или вычислению в смысле нахождения числовых
значений функции. В этом смысле, следовательно, процесс интегри-
рования является принципом образования новых функций.
В сущности, с этим принципом мы уже ознакомились при изуче-
нии элементарных функций. Так, в третьей главе мы должны были
ввести неизвестный нам тогда интеграл от функции 1/х в качестве новой
функции, которую мы назвали логарифмом и свойства которой мы
затем сумели легко установить. Совершенно аналогичным образом мы
могли бы ввести и тригонометрические функции, опираясь исключи-
тельно на рациональные функции, процесс интегрирования и процесс
построения обратной функции. Для этого достаточно было бы только
взять за исходный пункт одно из равенств:
, f dt Г dt
arctg х — или arcsin х~ —==
s J 1+^2 J /1 — /2
о о
в качестве определения функции arctgх или arcsinx, чтобы затем
путем обращения получить из них тригонометрические функции; этим
путем мы освобождаем определение этих функций от геометрии, но
налагаем, конечно, на себя обязанность вывести теперь все их свой-
ства тоже независимо от геометрии, прямо из их определения с по-
мощью интегралов1).
Первым и самым важным примером, выводящим нас за пределы
области элементарных функций, являются эллиптические интегралы.
Это такие интегралы, подынтегральная функция которых рационально
выражается через переменную интеграции и корень квадратный из
многочлена третьей или четвертой степени. Среди этих интегралов
особенно важной оказывается функция
и ($) = f d-*-...........-.
J /(1—х2)(1—А2х2)
Обратная ей функция s(u) также играет важную роль. В част-
ности, при й = 0 получаем и (s) = arcsin s или s(u) = sin а. Функция
s(u) при £=#0 так же хорошо изучена и представлена в таблицах,
как и элементарные функции. Но здесь мы уже выходим из рамок
нашего курса в область так называемых эллиптических функций,
которая составляет важную часть теории функций комплексной пере-
менной, которой нам еще придется заниматься впоследствии.
') Мы не будем здесь заниматься проведением этой мысли. Основной
шаг заключается в доказательстве теоремы сложения для обратных функций,
т. е. для синуса и тангенса.
284 гл. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Здесь мы только заметим, что название «эллиптические интегралы»
объясняется тем, что такого рода интегралы встречаются в задаче
определения длины дуги эллипса (см. гл. V, стр. 332).
Заметим, далее, что интегралы на первый взгляд совершенно иного вида
приводятся с помощью простых подстановок к эллиптическим интегралам.
Например, интеграл
Г dx
J l^cosa — cosx
путем подстановки и — cos -у переходит в интеграл
du
/(1— a2)(l — A2a2)'
” a
C0ST
интеграл
dx
V cos 2x
путем подстановки и = sin x переходит в
f rfa
J /(1— a2)(l — 2a2) ’
наконец, интеграл
Г dx
J У 1 — k2 sin2 x
подстановкой и = sin x превращается в
f_______________________________du________
J /(1—a2)(l —£2a2) ’
2. Замечания по существу относительно дифференцирования
и интегрирования. Сделаем еще одно общее замечание об отношении
дифференцирования к интегрированию. Операция дифференцирования
является более элементарной операцией, чем интегрирование, так как
она не выводит нас за пределы ранее известных функций. С другой
стороны, мы должны, однако, иметь в виду, что дифференцируемость
произвольной непрерывной функции ни в коем случае не является
чем-то само собой разумеющимся, а представляет собой весьма огра-
ничивающее дополнительное условие. Мы ведь видели, что существуют
непрерывные функции, которые в отдельных точках недифференци-
руемы, и добавим без доказательства, что можно построить много
примеров непрерывных функций, которые даже не имеют производной
ни в одной точке1); первый пример такого рода был построен Вейер-
штрассом. (Таким образом, в содержании математического определения
') См. F. Klein, Elementarmathematik vom hoheren Standpunkt aus. Ill,
стр. 39 и след., Berlin, Julius Springer, 1928.
2]
§ 8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
285
непрерывности кроется значительно меньше того, что на первый взгляд
позволяет предполагать непосредственная интуиция.) В противополож-
ность этому, интегрирование в общем случае, правда, уже невыпол-
нимо в элементарных функциях, но зато мы всегда уверены в суще-
ствовании интеграла от непрерывной функции.
Итак, мы видим, что нельзя просто противопоставить друг другу
дифференцирование и интегрирование, как более элементарную или
менее элементарную операцию, но что в одном отношении одна из
этих операций заслуживает названия более элементарной, в другом —
вторая.
Что касается понятия интеграла, то мы в ближайше^м параграфе
увидим, что оно не связано даже с предположением непрерывности
интегрируемой функции, а может быть распространено на широкие
классы функций, имеющих разрывы.
§ 8. Обобщение понятия интеграла. Несобственные интегралы
1. Функции с конечными разрывами. Прежде всего, мы непо-
средственно видим, что не встречается никаких затруднений в рас-
ширении понятия интеграла на тот случай, когда подынтегральная
функция /(х) имеет конечный разрыв
в одной или нескольких точках интервала
интегрирования. Тогда достаточно под ин-
тегралом функции понимать сумму инте-
гралов, взятых по отдельным частичным
интервалам, в которых функция остается
непрерывной.
При этом и геометрическое значение
интеграла как площади остается в силе
(рис. 81)1).
2. Функции с бесконечными разрывами. Иначе обстоит дело,
когда функция обращается в бесконечность в какой-нибудь точке
внутри интервала или на одном из его концов. Для того чтобы иметь
возможность формулировать понятие интеграла в этом случае, мы
должны прибегнуть еще к одному предельному переходу. Разъясним
предварительно на нескольких примерах возможные здесь случаи.
Для этого рассмотрим интеграл
Г dx
*) Собственно, следовало бы обратить внимание на то, что раньше, при
определении интеграла, мы рассматривали замкнутые интервалы и предпо-
лагали функцию непрерывной во всем замкнутом интервале. Но это обстоя-
тельство не вызывает никаких затруднений, так как в каждом замкнутом
частичном интервале мы можем дополнить функцию f (х) до непрерывной,
принимая просто пределы функции, при неограниченном приближении изнутри
к концам интервала, за значения функции в этих конечных точках.
286
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
|2
где а — положительное число. Подынтегральная функция 1/ха обращается
в бесконечность при х—>0, поэтому мы не можем взять за нижний предел
интеграции значение нуль. Но мы.можем исследовать, что получится, если
возьмем интеграл в пределах от положительного числа е, например, до 1
и затем заставим е стремиться к нулю.
На основании элементарных правил интегрирования мы получаем, если
а =/= 1,
f !—(1 _
J ха 1— а
е
Теперь мы непосредственно видим, что имеются следующие возможности.
Во-первых, а > 1, тогда правая часть с убыванием е стремится к бесконеч-
ности. Во-вторых, а < 1, тогда правая часть стремится к Во втором
случае мы будем рассматривать этот предел, в порядке определения, просто
как интеграл, взятый в пределах от 0 до 1. В первом случае мы скажем,
что этот интеграл не сходится. В третьем случае, когда а=1, интеграл
равен — In е и потому с убыванием е не стремится к конечному пределу,
а возрастает неограниченно, т. е. интеграл, взятый от 0 до 1, не сходится
(не существует). Эти выводы, очевидно, не изменятся, если взять за верх-
ний предел любое постоянное число а > 0, т. е. рассматривать интеграл
а
f dx
J Ха ’
о
Другой пример того, что можно расширить промежуток интеграции
вплоть до точки, в которой подынтегральная функция обращается в беско-
нечность, представляет функция - . Имеем
У1 — х2
1-е
Г dx . z1 .
' = arcsin (1 — с).
J /1-л’
Когда е стремится к нулю, правая часть стремится к определенному
пределу, именно к л/2, и этот предел обозначают поэтому как I dx
J /1-х2
о
хотя подынтегральная функция и обращается в оо при х = 1.
Для того чтобы извлечь из этих примеров общее определение^
прежде всего заметим, что совершенно безразлично, лежит ли точка
разрыва подынтегральной функции на верхнем или нижнем конце
промежутка интеграции; в самом деле, можно поменять местами верх-
ний и нижний пределы, если только изменить в то же время знак
интеграла. Теперь дадим общее определение:
Если в интервале функция f (х) непрерывна, за
ь
исключением, быть может, крайней точки Ъ, то j f(x)dx
а
2]
§ 8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
287
определяют как предел:
Ь Ь-е
Г / (х) dx — lim I f(x)dx
j е~>0 J
а а
(при этом Ь — е стремится к b изнутри интервала), при усло-
вии, что этот предел существует.
ь
В этом случае мы говорим, что j f(x)dx есть сходящийся не-
а
собственный интеграл. Если же предела не существует, то мы
ь
говорим, что несобственный интеграл J f (x)dx не существует или
а
расходится.
Аналогичное определение дается для того случая, когда подын-
тегральная функция обращается в бесконечность не на правом, а на
левом конце промежутка интеграции, т. е. на нижнем пределе ин-
теграла.
И несобственный интеграл можно геометрически интерпретировать как
площадь. Хотя на первый взгляд не имеет никакого смысла говорить о пло-
щади такой области, кото-
рая «простирается в бесконеч- j i
ность», но можно все же попы-
таться определить такую пло-
щадь с помощью предельного
перехода от областей с конеч-
ной площадью.
Например, предыдущий ре-
зультат, относящийся к функ-
циям llxa, гласит, что площадь,
ограниченная осью х, прямыми
х — 1 ил = е и кривой у ~ 1/ха,
при е -> 0 стремится к конеч-
ному пределу, если а < 1, и не-
ограниченно возрастает, если g
а^1. Этот факт выражают
словами просто так: площадь,
заключенная между осью х,
осью у, нашей кривой и прямой х= 1, конечна при а < 1 и бесконечна при
а >).
Интуиция не может, конечно, дать никаких точных заключений о ко-
нечности или бесконечности площади простирающегося в бесконечность
куска плоскости. Можно только сказать, что идущий в бесконечность кусок
плоскости тем вероятнее будет иметь конечную площадь, чем уже он стя-
гивается по мере удаления в бесконечность. В этом смысле рис. 82 иллю-
стрирует тот факт, что при а < 1 площади над нашими кривыми остаются
конечными, между тем как при а^>1 они становятся бесконечно большими.
Для того чтобы узнать, можно ли для функции f (х), обра-
щающейся в бесконечность при х = Ь, продолжить промежуток
288 гл. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |2
интеграции до точки Ь, часто можно обойтись без особого исследо-
вания, пользуясь следующим критерием:
Пусть в интервале функция f (х) имеет положи-
тельные значения1), и пусть lim /(х) = оо. Тогда интеграл
х-+Ь
ь
J f(x)dx сходится, если существуют такое положительное
а
число v <1 и такое постоянное, не зависящее от х число /Ч,
М
что во всем интервале а-у^х<о функция f(x)y^-------------, т. е.,
(Ъ— ху
иными словами, если функция f (х) в точке х — b обращается
в бесконечность ниже первого порядка.
Напротив, интеграл расходится, если существуют число
v > 1 и положительное число N такое, что f (х) ---—---,
(Ь — x)v
т. е., другими словами, если порядок обращения функции в точке
х — b в бесконечность не ниже первого.
Доказательство почти непосредственно вытекает из сравнения
с простейшим разобранным раньше случаем. Чтобы доказать, напри-
мер, первую часть теоремы, мы примем во внимание, что при
О < е < b — а
Ь-г Ь-е
О < f f (х) dx I ----—— dx.
J J } J (b — xy
a a
1
Г
Интеграл в правой части получается из —(стр. 286) простым
J ха
о
изменением обозначений: х на Ь— х, а на v и 0 на Ь; при е->0 он
сходится и потому остается ограниченным; заметим еще, что значе-
й-е
ния J f (x)dx при е->0 монотонно возрастают. Так как эти значения
а
b
ограничены, то они стремятся к пределу, т. е. J f(x)dx сходится.
а
Совершенно аналогичное доказательство второй части теоремы
предоставляется читателю в качестве упражнения.
Таким же образом легко убедиться в том, что соответствующие
теоремы имеют место и в том случае, когда подынтегральная функ-
ция обращается в бесконечность на нижнем пределе интеграции.
Если подынтегральная функция обращается в бесконечность во внут-
) В Дополнениях к восьмой главе мы увидим, что это ограничение от-
носительно знака можно легко устранить.
31 § 8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА 289
ренней точке рассматриваемого интервала, то достаточно только этой
точкой разбить промежуток интегрирования на два частичных интер-
вала и к каждому из них применить предыдущие рассуждения.
В качестве дальнейшего примера рассмотрим эллиптический интеграл
1
J /(1 — Х2) (1 — &Хг)
Сразу видим из тождества 1—хг = (1 — х) (1-|-х), что при х ~ 1
подынтегральная функция обращается в бесконечность только порядка 1/2,
откуда следует, что несобственный интеграл сходится.
3. Бесконечный промежуток интегрирования. Другое столь же
важное обобщение понятия интеграла заключается в том, что один из
пределов интегрирования берут бесконечно большим. Чтобы точно
выразить это обобщение понятия интеграла, мы вводим следующее
обозначение: если интеграл
А
J /(х)dx
а
при фиксированном значении а стремится к определенному пределу,,
когда положительное число А неограниченно возрастает, то этот
предел мы обозначим символом
J /(*) dx
а
и назовем несобственным интегралом с бесконечным промежутком
интегрирования от функции f(x). Само собою разумеется, что такой
интеграл не всегда существует или, как говорят, не всегда сходится.
Простые примеры возможных при этом случаев опять дают нам функ-
ции f (х) = 1/ха:
— = . 1 (Л1-0- 1);
ха 1—а
отсюда выводим, исключая сперва случай а=1, что при а> 1 этот интег-
рал с бесконечным пределом сходится, а именно:
dx 1
а—1 ’
напротив, в случае а < 1 интеграл уже не сходится. В случае а = 1 интег-
рал, очевидно, тоже не сходится, так как 1пх возрастает неограниченно
вместе с х. Итак, мы видим, что по отношению к интегрированию по беско-
нечному промежутку функции 1/ха ведут себя иначе, чем при интегриро-
19 Р. Курант
290
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(3
вании от точки нуль. И здесь тот же рис. 82 дает некоторое наглядное
подтверждение этого факта. В самом деле, мы видим, что чем больше а,
тем ближе подходят кривые при больших значениях х к оси абсцисс, так
что становится понятной конечность соответствующей площади при неогра-
ниченном возрастании 4, если показатель а достаточно велик.
Для решения вопроса о сходимости интеграла с бесконечным пре-
делом интегрирования можно пользоваться следующим критерием,
причем мы опять будем предполагать, что при достаточно больших
значениях х, скажем при х а, подынтегральная функция имеет по-
стоянный знак1), который мы можем, не ограничивая общности, счи-
тать положительным. Этот критерий гласит:
ОО
Интеграл j f(x~)dx сходится, если функция /(х) обращается
а
в бесконечности в нуль порядка выше первого, т. е. если суще-
ствует такое число v> 1, что при всех значениях х, как бы
велики они ни были, имеет место соотношение | f (х)| ,
где М означает некоторое фиксированное число, не зависящее
от х. Интеграл расходится, если функция /(х) остается по-
ложительной и в бесконечности обращается в нуль порядка
не выше первого, т. е. существует такое постоянное положи-
тельное число N, что xf (х)"^- N.
Доказательство этого критерия, которое совершенно аналогично
доказательству в предыдущем пункте, предоставляется читателю.
ОО
Простейший пример представляет интеграл J dx, (а > 0). Подынтег-
а
ральная функция имеет в бесконечности исчезание второго порядка. И дей-
ствительно, сразу видно, что интеграл сходится, так как
А
С 1 . 1 1
—г dx =--------г,
J х2 а А
а
откуда
Столь же прост пример
оо
J T^TdX = (afCtg А - afCtg 0) = 1-
О
*) Это ограничение относительно постоянства знака будет устранено
в Дополнениях к восьмой главе, § 3.
4] § 8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА 291
оо со
Интегралы J е~х~‘ dx и J хпе~*2 dx тоже сходятся, в чем нетрудно убе-
0 о
диться с помощью нашего критерия.
4. Гамма-функция. Дальнейший, особенно важный для анализа
пример представляет так называемая гамма-функция
СО
Г(п) — J е~ххп~1 dx (п>1).
о
И здесь критерий сходимости выполнен; в самом деле,
lim е~ххп~1х2 = О,
Х->со
так как показательная функция е~х при х—>со обращается в нуль
более высокого порядка,. чем любая степень 1/х"! (т > 0).
[При п < 1 рассматриваемый интеграл делается несобственным
по двум причинам: в силу наличия бесконечного верхнего предела и
вследствие обращения подынтегральной функции при х = 0 в беско-
нечность. Для выяснения вопроса о сходимости гамма-интеграла при
п < 1 разбиваем его на два интеграла:
1 оо
J е-хлгл-1 dx и J £-ххл-1 dx.
о 1
Гамма-интеграл сходится в том и только в том случае, если сходятся
оба этих несобственных интеграла. Но второй из них сходится при
любом п (это доказывается приведенным выше рассуждением). В пер-
вом же интеграле подынтегральная функция обращается при х—>0
в бесконечность того же порядка, что и степень 1/х1-л; стало быть,
интеграл сходится в том и только в том случае, если 1 — п < 1,
ОО
т. е. п > 0. Следовательно, и исходный интеграл J е~ххл-1 dx схо-
о
дится при д>0и расходится при т. е. функция Г (и) опре-
делена при 0 < п < оо и только в этом промежутке.
Эти сведения понадобятся в гл. IV второго тома.]
Этот интеграл (гамма-функция), который можно рассматривать как
функцию >1йсла п (не обязательно целого), удовлетворяет замечатель-
ному соотношению, которое получается с помощью правила интегри-
рования произведения следующим образом:
J е~ххп~у dx == — е~ххп~1-}- (п—1) J е~ххп~2 dx.
19*
292 гл. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (5
Произведем интегрирование в пределах от 0 до оо, т. е. сперва
от 0 до Л, а затем станем неограниченно увеличивать А; тогда
в пределе получим
Г (га) = (га— 1) J е~ххп-2 dx — (а— 1)Г (га— 1)
о
и из этой рекуррентной формулы, если р, — целое число и 0 < у. < п,
Г (га) = (п — 1) (п — 2) ... (га — р) Г (га — р,).
В частности, если га — целое положительное число, то
Г(га) = (га — 1) (га — 2) . . . 3 • 2 • 1Г(1),
и так как
Г(1) = J е~х dx = 1,
о
то окончательно получаем
Г (га) - (га — 1) (га — 2) ... 2 - 1 ==(га — 1)!,
если га — натуральное число.
Это представление факториалов с помощью интеграла играет
большую роль в очень многих приложениях.
5. Интеграл Дирихле. Важным сходящимся несобственным инте-
гралом, имеющим многочисленные приложения, является интеграл
Дирихле
ОО
г Г sin х ,
]= "х "" dx'
о
но его сходимость нельзя установить с помощью нашего критерия.
Несмотря на наличие знаменателя х в подынтегральной функции,
точка х — 0 не является особой для этого интеграла, так как
81п - —>1 при х—>0. Сходимость этого несобственного интеграла
обусловлена периодическим чередованием знака подынтегральной
функции, приводящим к тому, что слагаемые интеграла, происходя-
щие от соседних промежутков длиной л, почти компенсируют друг
друга. Для того чтобы использовать это обстоятельство, исследуем
выражение
в
Г sin х .
dab= J —~dx.-
A
Так как DAB — D0B— D0A, то, согласно критерию Коши (см.
стр. 57 и 84), стремление к нулю этого выражения при безгранич-
6|
§ 8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
293
ном возрастании А п В равносильно существованию предела D0A
при А->оо и, следовательно, сходимости интеграла Дирихле. Имеем
A-tn В+я В+л
„ f sinx , Г sinx , , f sin £
Dab= J —— dx— J ——rfx+ J
A В А + Л
в последнем из трех интегралов правой части делаем замену пере-
менной ^ = х-|-л, так что sint = — sinx и dt — dx, откуда
А+л В4-л В
f sin х . Г sin х , С sin х ,
D.n = ---dx— ----dx— —i—dx.
AB J x J x J x 4-л
ABA
Сложивши этот результат с первоначальным выражением для DAB,
получаем
А+Л В+п В
f sin х , Г sinx . , f sinx .
20. „ = ---dx— —---dxA-я ——г—rdx.
AB J x J x 1 J x (x + л)
AB A
Полагаем В > A > 0; тогда, принимая во внимание, что | Sl”x |
1 . 1 I sinx 1^1
— < -г и ——j—г < -г- при положительных значениях х, на
х А | х (х -f- л) | х2 1
основании теоремы д) стр. 155 имеем
в
Отсюда видно, что Олв->0, когда А и В стремятся к бесконеч-
ности, а стало быть, существует конечный предел интеграла
А
Doa — J dXt и тем самым доказана сходимость интеграла Ди-
о
рихле. В Дополнениях к гл. VIII, § 3 будет дано другое доказатель-
ство сходимости несобственного интеграла Дирихле, а позднее, на
стр. 527, мы покажем, что он равен л/2.
6. Замена переменной в несобственном интеграле. Очевидно,
что все правила относительно замены переменной и т. д. сохраняют
силу и для сходящихся несобственных интегралов. Например, для
ОО
вычисления интеграла J xe~x!dx вводим новую переменную х2 = м,
о
, du
причем х dx —~2~ > а стало быть,
оо оо
f хе~х2 dx = -у j e~u du = lim —e”A) = i.
J 2 J d-bm * z
294
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[в
Другой пример применения преобразования переменной к иссле-
дованию несобственных интегралов дают интегралы Френеля, встре-
чающиеся в теории дифракции света:
Подстановка
F} = j sin(x2)dx,
0
x1 — и дает
F2 — J cos(x2) dx.
о
cos и ,
du.
~ _ - У и
О' о
интегрирования произведения имеем
в
cos а № if cos и , cos A cos В
-^=1 I
du.
По правилу
в
в
1 Г cos и
уи у и |Д “ X и“ 2 а и'1г
Когда А и В стремятся к оо, в правой части первые два члена
стремятся к нулю, а по критерию сходимости стр. 290 стремится
к нулю и третий, интегральный член. С помощью того же рассу-
ждения, которое мы применили к интегралу Дирихле, убеждаемся,
что интеграл Рх сходится. Сходимость интеграла F2 доказывается
точно таким же способом.
Те же интегралы Френеля показывают, что несобственный инте-
грал может сходиться и в том случае, когда подынтегральная функ-
ция не стремится к нулю при х->оо. Более того, несобственный
интеграл может сходиться даже в том случае, если подынтегральная
функция не ограничена. Это видно на примере интеграла
J 2и cos (и4) du.
о
4___
При и—у пл (n = 0, 1, 2, ...) подынтегральная функция прини-
4 ____________________ 4 _______________
мает значения 2 у пл cos пл = ± 2 у пл, так что подынтегральная
функция не ограничена. Вместе с тем замена переменной и2 — х пре-
образует этот интеграл в сходящийся цнтеграл
J cos(x2)dx.
о
Замена переменной нередко преобразует несобственный интеграл
в собственный. Например, преобразование x = sin«, dx —cos и du
дает
dx
л
о
о
§ 8. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
295
С другой стороны, интеграл от непрерывной функции может
перейти в несобственный интеграл; это происходит в том случае,
если преобразование переменной интегрирования а = <р(х) таково,
что производная <р' (х) обращается в нуль на границе промежутка
dx , ,
интегрирования, так что там обращается в бесконечность.
Упражнения
Проверить сходимость несобственных интегралов в упр. 1—11.
з
dx
dx
1.
-з
л
4.
dx
dx
6.
личны
7.
9.
(1 -4-х) Ух
J 1 — cos х
о
dx
\x — aj (x — a2) (x — a3) (x — a4)
А и В.
, где at, а2, а3, ал все раз-
А
и лежат между
dx.
dx.
dx.
dx.
11.
Л/2
х dx.
о
в
о
о
j е
о
о
12*. Доказать, что
несобственный интеграл j
о
dx рас-
ходится.
13*. Доказать, что
14. Выяснить, при
каких
f dx
J 1-4-йх10
о
значениях параметра s сходятся несобственные
0.
интегралы:, a) J
о
dx;
sin х ,
—dx.
15*. Выяснить, сходится
ли
sin/ ,,
, , , dt.
о
о
16*. 1) Пусть а — заданное положительное число; доказать, что
а
— а
dx — л.
296
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
2) Пусть функция f (х) непрерывна в интервале
зать, что
1
lim [ =
л->о J л 4"х
— 1 < х < 1; дока-
Дополнительные упражнения
к главе IV
Вычислить интегралы в упр. 1—7.
1. j earcsInxrfx.
2. J sin3 x cos6 x dx. (Метод тригонометрического преобразования подын-
тегральной функции быстрее приведет к цели, чем применение рекуррент-
ной формулы.)
3. f (lnx)2rfx. 4. f 5. f У1—е~2х dx.
J J 3-f-sin2x J ’
+i 2
6. J xe~x2{g2 x dx. 7. J -i-sin(x —
-1 ‘A
8*. Доказать, что lim et2 dt — 0.
x->oo J
9. Предполагая, что | a | =/= | p |, доказать, что
т
lim -i- sin ax sin fix dx = 0.
T->oo 7 J
10. Вычислить J x3e x* cos 2x dx.
11*. Доказать, что замена переменной х = гДе — ₽V ¥= 0,
преобразует интеграл
dx
J У Дх4 4- Вх3 4- Сх2 + £>% 4- £
в интеграл такого же типа и что, если многочлен четвертой степени
Дх4 Вх3 4- Сх2 4- Dx 4-£
не имеет одинаковых множителей, то их не имеет и новый, зависящий
от t многочлен, заменяющий его в результате преобразования.
Доказать, что эти же утверждения справедливы для интеграла
j R (х, У Дх4 4- Вх3 4- Сх2 4^ 0x4- Е) dx,
где R — символ рациональной функции.
12. Найти предел выражения ап= j ~ Ч~ п_^2 " "^"2/Г ПРИ
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ IV
297
13*. Найти предел выражения
Ьп = —-------к -7: ' + /- + ••• 4---г При П -> ОО.
Уп* 2 * * —О Уп?— 4 Уп2 — (п — \)2
15*. Вычислить
Пт 1а + 2а + За4- ... +па
где а — любое действительное число, большее чем —1.
1
16. Вычислить j" (х2 — 1)" dx, не развертывая подынтегральной функции
-1
по формуле бинома.
Г 1
17*. При вычислении J (х2— l)n dx двумя способами (здесь, в упр. 16,
-1
и в смешанных упражнениях к гл. II, упр. 64) получены различные по виду
результаты. Доказать без помощи интеграла, что ответы совпадают, т. е.
доказать тождество
___I.....f \f \________________J_____1------------_1_ (_ пл ( ” 'l :
2п-|-1 U ) 2п — 1 ^Д2/2п — 3 \3/2« —5^ 7\п)
(_1)«22л (п!)2
~ (2П-4-1)!
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ IV
Вторая теорема о среднем значении в интегральном
исчислении!)
Правило интегрирования произведения дает простой метод дока-
зательства важной теоремы для оценки определенного интеграла.
Эта теорема называется второй теоремой о среднем значении в инте-
гральном исчислении; она особенно часто применяется в теории чисел.
Обозначим через <р(х) функцию монотонную и непрерывно диф-
ференцируемую2) в интервале a<Jx<^Z>, и пусть /(х)— непрерывная
функция в этом интервале. Тогда найдется такое число а Ь,
что
ь j ь
J/(x)<p(x)dx==<p(a) J /(х) dx + <yb) J f(x)dx.
a a i
*) Эту теорему часто называют теоремой Боннэ (Bonnet). (Прим: перев.)
2) Функция f (х) называется непрерывно дифференцируемой в интер-
вале, если она имеет в каждой точке этого интервала непрерывную произ-
водную f' (х). (Прим, перев.)
298
ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Таково содержание второй теоремы о среднем значении.
Для доказательства положим
а
так что F'(х) — f (х). По правилу интегрирования произведения
имеем
ь ь
J / (х) ф (х) dx — j F' (х) ф (х) dx —
а а
ь ь
— F (х) ф (х) |* — j F (х) ф' (х) dx = F (b) ф (£) — J F (х) ф' (х) dx.
а а
Так как ф(х)—монотонная функция в интервале a<^x<^Z>, то про-
изводная ф' (х) сохраняет постоянный знак в этом интервале. По-
ft
этому можно к интегралу J F (х)ф' (x)dx применить теорему о сред-
а
нем значении, выражаемую формулой (*) на стр. 155. Следовательно,
существует такое число £, а <1 j b, что
ь ь
J F(x)q' (x)dx = F (Q J ф'(х)б?х = /?(У [ф(Л) —ф(а)].
а а
Отсюда вытекает, что
ъ
j f (х) ф (х) dx — F (b) q(b) — F (£) [ф (b) — ф (а)] =
а
= \F(b)-F (£)] Ф (b) + F Q) Ф (а).
Подставив сюда
I ь i ь
F(l)= J f{x)dx, F(b)—F(%) = J /(x)tfx—J f(x)dx = j/(x)dx,
a a a I
получим окончательно то равенство, которое требовалось доказать.
Добавим еще (без доказательства), что эту теорему можно обоб-
щить на более общие классы функций. Дело в том, что теорема
остается справедливой, если ф(х)— любая непрерывная монотонная
функция, не обязательно дифференцируемая. Более того, теорема
справедлива и в том случае, если ф(х) имеет разрывы, при условии,
ь
что интеграл | f (х) (р (х) dx существует.
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
299
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Выполнить интегрирование в упр. 96—101.
96. Г I + Va dx.
Г е2Х
97. -4--------dx.
98.
•> ]/1 х — У1 4-х
100.
10'. J
dx
х/х2л—1
_________dx__________
X (X1) ... (х-|-п)
Вычислить интегралы в упр. 102—107.
л/2
102. J cos" х dx.
о
л/6
103. J cos7 30 sin4 60 rf0.
о
105.
Г x2n+1dx
J ут—
106. J x2 /1
о
x2 dx.
104.
х2я dx
У1—х2‘
i
107. J x2 (1— x2)'^dx.
о
Вывести рекуррентные формулы для интегралов в упр. 108—112.
108. J xa(lnx)mdx. 111. У еах sh bx dx.
109. У хпеах sin bx dx. 112. У eax ch bxdx.
ПО. у xneax cos bx dx.
113. Вычислить интеграл J -=• тремя различными способами и
сравнить результаты.
1 dn
114*. Пусть Рп (х) = :—-г-у;- (х2— 1)я. [Эти многочлены степени л
& II 1 С4-А
называются полиномами Лежандра (ср. упр. 92 и 94, стр. 232).] Доказать,
что для любого многочлена f (х) степени т < п
1
У Pn (х) / (х) dx = 0.
1
В частности, J хтРп (х) dx = 0 при т < п.
-1
300 ГЛ. IV. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1
115. Показать, что J Рт (х) Рп (х) dx = 0, если т =/= л, т. е. что Рт (х)
-1
и Рп (х) при т =# п ортогональны (стр. 247).
1
116. Доказать, что J Рп (х) dx
-1
1
117. Вычислить J хпРп (х) dx,
-1
Выяснить, сходятся ли или
в упр. 118—131.
а
со
1
f / 1 \П
120. (in —I dx, 127.
о
1
121. J хт (in -i-j” dx. 128.
о
©о
122. е~ххт (In х)п dx. 129.
о
л
123. Jlnsinx^/x. 130.
0
л
124. j* ~ In sin х dx. 131*.
о
132*. Доказать теорему: если
с
тельном значении а и если f (х)
f f (ах) — f (fkx)
I —1dx СХ°ДИТСЯ и P
о
2n + l '
расходятся несобственные интегралы
л
J* х In sin x dx,
о
CO
1 — Г2 _/
e x dx.
CO
J x2n~ye~x2 dx.
о
n/2
[ x’n dx
J (sin x)n '
о
oo
f dx
J 1 4-x4 sin2.r '
0
co
f x dx
J 1 4- x2 sin2 x ’
о
‘co
f x<1dx
J 1 -|- A'P sin2 X
oo
C f (x) , ,
- dx сходится при любом положи-
Г
стремится к пределу L при х -> 0, то
авен L In —.
а
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
301
133. Пользуясь теоремой предшествующего упражнения, показать, что:
Г e-vx_e-& р а) dx — In — J * « 0 _ Г cosax — cos Bx , . 6 б) — dx = In —. J x a 0 b
134*. Доказать теорему: если f f (x) , сходится при любых положитель-
а
них значениях чисел а и & и если f (х) стремится к пределу М при х->оо
и к пределу L при х -> 0, то
/(ах) — /(рх) . ... . Р
—— ---J ’ dx = (L — М) In —.
J х ' а
о
135. Вывести следующие выражения для гамма-функции:
СО - 1
а) Г (и) = 2 J х2л-1е-х2 dx\ б) Г (и) = J In dx.
о о
ГЛАВА V
ПРИЛОЖЕНИЯ
Имея теперь в своем распоряжении известный запас сведений из
области дифференциального и интегрального исчисления, мы покажем
в настоящей главе, что полученные результаты применимы к различ-
ного рода вопросам геометрии и физики.
§ 1. Аналитическое задание кривой
1. Параметрическое задание кривой. Как мы видели в гл. I,
стр. 32, представляя кривую как график функции у = /(х), мы
должны каждый раз ограничиваться однозначной ветвью кривой. По-
этому во многих случаях, особенно для замкнутых кривых, более
удобно пользоваться другими способами аналитического задания кри-
вой. Самой общей и в то же время наиболее удобной формой пред-
ставления является параметрическое задание кривой. Вместо того
чтобы рассматривать одну прямоугольную координату как функцию
другой, обе координаты х и у выражают в виде функций от третьей
независимой переменной t, так называемой вспомогательной перемен-
ной или параметра', при этом точка с координатами х и у описы-
вает кривую, когда t пробегает известный интервал. С такими пара-
метрическими представлениями кривых мы уже встречались. Так,
например, для окружности х24~у2 = а2 мы имели параметрическое
представление x = acosZ, y = asinC Геометрически t, как известно,
означает здесь центральный угол окружности. Точно так же для
эллипса
— 1
а2
получается параметрическое задание х — a cos t, у — b sin t, где t озна-
чает так называемую эксцентрическую аномалию, т. е. центральный
угол, соответствующий точке описанной окружности (рис. 83), лежащей
над или под точкой Р эллипса. В обоих случаях точка с координа-
тами х, у описывает всю окружность или, соответственно, весь эл-
липс, когда параметр t пробегает интервал от 0 до 2л.
В общем случае мы можем пытаться изобразить заданную нам
кривую, полагая
х = Ф(0 = х (0, , у = Ф(О = у(О.
т. е. рассматривая две функции параметра t (мы будем впредь поль-
зоваться более короткой записью х (t) и у (t) всюду, где это не сможет
1]
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВОЙ
303
Рис. 83.
привести к недоразумениям). При этом обе функции <р (/) и ф(/)
должны быть для заданной кривой выбраны так, чтобы совокупность
пар значений функций x(t) и y(t), соответствующих заданному интер-
валу значений t, давала все точки данной кривой и только эти точки.
Если кривая первоначально задана в форме у = f (х), то можно полу-
чить такое параметрическое задание,
полагая сперва х = ф(/), где ф(/)—
произвольная, непрерывная и монотон-
ная функция, которая принимает в неко-
тором определенном интервале каждое
из интересующих нас значений х ровно
один раз; тогда у = / [<р (/)] = ф (/), т. е.
вторая функция ф(/) получается как
сложная функция, составленная из /
и <р. Мы. видим, что произвол в выборе
функции ф предоставляет нам большую
свободу при параметрическом предста-
влении заданной кривой; в частности,
можно положить t = х, так что перво-
начальное задание у = / (х) можно
рассматривать как параметрическое представление с помощью пара-
метра t = x.
Преимущество параметрического задания заключается как раз
в возможности использования остающегося произвола в целях упро-
щения аналитического выражения. Так, например, кривую у—ух2
можно задать параметрическими уравнениями x = t3, y — t2, так что
ф(/) = /з, ф(/) = /2. Тогда точка с координатами х, у пробегает всю
рассматриваемую кривую (полукубическую параболу), когда t изме-
няется от —оо до
Обратно, если кривая заранее задана в параметрической форме
х = ф(/), у = Ф(/) и хотят получить обычное уравнение кривой
в прямоугольных координатах, то достаточно исключить из обоих
уравнений х = ф(/), у = ф(/) параметр t. Для приведенных выше
параметрических уравнений окружности и эллипса это удается просто
путем возведения в квадрат и использования тождества sin2/-|- cos2/—1
(другой пример см. ниже). В общем случае надо было бы выразить t
из уравнения х=ф(/) с помощью обратной функции / = Ф(х); под-
ставляя в у = ф(/), получаем уравнение у = ф [Ф (х)] = / (х) J);
') При этом, однако, может случиться, что полученное таким образом
уравнение у = / (х) определяет большее число точек, чем первоначальное
параметрическое задание. Так, например, уравнения х = a sin/, у = b sin/
определяют только конечный отрезок прямой у = -^-х, заключающийся
между точками х —— а, у = — b и х = а, у = Ъ, тогда как уравнение
b
у = — х представляет всю прямую.
304
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
[2
впрочем, исключая t, необходимо в общем случае ограничиваться
только частью кривой, а именно одной ветвью ее, не пересекающей
больше одного раза ни одной прямой, параллельной оси ординат.
С параметрическим заданием связано определенное направление
на кривой—то направление, в котором кривая описывается при воз-
растании параметра t\ мы будем его называть положительным на-
правлением. Если параметр t пробегает свой интервал значений
убывая, то соответствующая точка описывает кривую в отрицатель-
ном направлении. Если, например, точка x=x(t), y = y(t) опи-
сывает дугу кривой С, когда t пробегает интервал t0 t tx, и
значениям t0 и t1 соответствуют крайние точки дуги Ро и Ри то
положительным является направление от Ро к Pv Введем новый пара-
метр т — — t; тогда дуга кривой РОРХ будет соответствовать значе-
ниям — Zoт нового параметра т, точка Ро будет соответ-
ствовать значению т = —10, а Рг—значению т — — tv При движении
вдоль кривой от точки Ро к РА кривая пробегается в направлении
убывания параметра т, т. е. в отрицательном направлении. Вообще,
преобразование параметра t = t(x) сохраняет направление пробега
кривой, если /(т)— монотонно возрастающая функция, и изменяет
его на противоположное, если t(x) — монотонно убывающая функ-
ция.
2. Физическое истолкование параметра. Преобразование пара-
метра. В очень многих случаях параметру t можно приписать непо-
средственный физический смысл, например рассматривать t как время.
Всякое движение точки на
плоскости математически
выражается тем, что коор-
динаты х и у являются
функциями времени. Эти
две функции определяют,
таким образом, движение
по траектории в пара-
метрическом виде. По-
этому-то все кривые, к ко-
торым приводят механи-
ческие или кинематические исследовани;;, естественным образом по-
являются в параметрическом представлении. Таковы, например, разного
рода циклоиды, получающиеся, когда круг катится (без скольжения)
по прямой или по окружности другого круга. Каждая точка катя-
щегося круга описывает при этом циклоиду того или иного типа.
Мы здесь ограничимся простейшим случаем, когда круг радиуса а
катится по оси х и изучается движение точки, лежащей на самой
окружности катящегося круга. Кривая, описываемая этой точкой, на-
зывается обыкновенной циклоидой. Если выбрать начало координат
и начало отсчета времени так, что движущаяся точка в начальный
момент находится в начале координат, то получим (рис. 84) следую-
2] § 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВОЙ 305
щие параметрические уравнения циклоиды:
x = a(t— sin/), у —а(1—cos/),
где t обозначает угол, на который повернулся катящийся круг от
своего начального положения; если круг катится равномерно, то этот
угол поворота пропорционален времени.
Исключая параметр t, можно получить уравнение циклоиды
в обычном, не параметрическом виде, но ценой потери простоты и
наглядности. Имеем
. а — У м а — У j. -1 f < («— у)2
cos t =------ , t — arccos---— , sin t — ± 1/ 1-----*--,
a a V a2
откуда
x — a arccos У(2a — y)y,
t. e. x выражен как функция от у.
* Всякая внутренняя точка этого круга описывает кривую, называемую
укороченной циклоидой; каждая точка радиуса, жестко связанного с катя-
щимся кругом, лежащая вне этого круга, описывает удлиненную циклоиду.
Обозначим через b расстояние от центра круга, катящегося по оси х,
до точки М, движение которой изучается. Параметрические уравнения траек-
тории точки М таковы: x = at — b sin/, у —а— beast. При Ь<а это —
укороченная циклоида, при Ь>а — удлиненная циклоида, при Ь — а —
обыкновенная циклоида. Читателю рекомендуется вывести эти уравнения
и набросать чертежи для случаев b < а и b > а.
В упр. 2 и 4 на стр. 310 рассматриваются траектории точки окружности,
катящейся без скольжения по неподвижной окружности — по ее внешней
или внутренней стороне. *
При параметрическом представлении геометрически заданной- кри-
вой, как уже сказано на стр. 303, в выборе параметра имеется боль-
шая свобода. Так, например, вместо времени t можно было бы ввести
в качестве параметра величину $ = /3 или даже совершенно произ-
вольный параметр т, связанный с первоначальным параметром t любым
уравнением вида т = со (/), причем предполагается только, что во всем
рассматриваемом интервале значений t эта функция имеет единствен-
ную обратную функцию / = х(т). Если при этом возрастающим зна-
чениям t соответствуют возрастающие значения т, то положительное
направление пробега кривой остается тем же; в противном случае
оно изменяется на обратное.
Разумеется, в параметрической форме можно задавать не только
прямоугольные координаты точек кривой, но точно так же и поляр-
ные координаты гид, связанные, как известно, с прямоугольными
координатами посредством уравнений:
х = г cos'О', у = г sin 0- или г — У х2 ф- у2, $ = arctg — ,
так что параметрические уравнения в полярных координатах будут
г — r(t), & — &(t).t
20 Р. Курант
306
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
13
Так, например, для прямой мы получаем параметрическое задание
(рис. 85)
cos t 1
(р и а — постоянные), откуда, исключая параметр t, мы сразу полу-
чаем обычное уравнение прямой в полярных координатах:
г =______Р-.—
cos (О — а)
3. Производные от координат по параметру для кривой, за-
данной в параметрическом виде. Если кривая задана, с одной
стороны, уравнением у = /(х) и, с другой стороны, в параметри-
ческом виде уравнениями х — х (f)
и У = У (f), то имеет место тождество
УОТ = /[Х(О1.
Согласно правилу дифференцирова-
ния сложной функции (правилу цепо-
чки), имеем тогда
dy dy dx
dt dx ' dt
или
y=£=4.
dx x
где дифференцирование по параметру t,
краткости ради, обозначается вместо
штриха точкой, поставленной над диф-
ференцируемой величиной (обозначение Ньютона). Штрих сохраняем
как символ дифференцирования по х.
Так, например, для циклоиды получаем:
х — а (1 — cos t) = 2a sin2-|-; у — a sinZ = 2a sin у cos^-.
Эти формулы показывают, что в точках t = 0, ± 2л, ± 4л, . ..,
в которых циклоида встречает ось х, она имеет точки заострения
с вертикальными касательными; в самом деле, при приближении
к этим точкам производная
, у , t
y=T = C,g2
стремится к бесконечности; в самой такой точке у = 0, тогда как
в ее окрестности всюду у > 0.
Уравнение касательной к кривой имеет вид
(£ — х) у — (п — у) х = 0,
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВОЙ
307
где | и »]— текущие координаты, т. е. координаты переменной
точки касательной.
Точно так же уравнение нормали кривой, т. е. прямой, про-
веденной через какую-нибудь точку кривой перпендикулярно к каса-
тельной в этой точке, имеет вид
(£ — х)х + 0] — У)У = О.
Направляющие косинусы касательной, т. е. косинусы углов а, р,
образуемых касательной с осью х и осью у, выражаются так:
х у
cos а —---г. _. /, cos р =--,
± у х2 у2 ± V х2 + у2
что нетрудно проверить элементарными средствами. Соответствующие
направляющие косинусы нормали выражаются формулами:
cos а' =----------- .-L-. .,
± У х2 4- у2
cos р' =----^==
± У i24-y2
(рис. 86).
Эти формулы показывают, что во всякой точке, в которой
х и у, как функции от t, непрерывны, а х24~У2>0. направление
касательной изменяется непрерывно с изменением t. Это — самый
важный для нас случай. Однако инте-
ресно также выяснить, какие геометри-
ческие следствия влечет за собой
невыполнение этих предположений,
в частности невыполнение условия
х2 -4- у2 > 0; в такой ситуации нельзя
раз навсегда установить, продолжает ли
касательная непрерывно вращаться или
нет. Эти явления мы иллюстрируем на
примерах. В качестве первого примера
возьмем полукубическую параболу
х — t3, у — t2,
знакомую нам по стр. 124 и 303. Хотя
для этой кривой х и у всюду непре-
рывны, но они обращаются в нуль при t — 0. В этой точке,
т. е. в начале координат, кривая имеет точку заострения, и непре-
рывное изменение направления касательной нарушается. В качестве
второго примера рассмотрим кривую х = t3, у — t3; и для нее
х и у обращаются в нуль при t = 0. Но эта кривая есть просто
прямая у = х, и ее касательная имеет постоянное направление,
так что направление касательной изменяется непрерывно. Итак,
в точке, где х = у = 0, непрерывное вращение касательной может
20*
308
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
нарушаться, но может и не нарушаться. Более того, и в точке,
в которой x(t) и у (0 имеют разрыв, изменение касательной может
остаться, но может и не остаться непрерывным. Действительно,
пусть <р (0—непрерывная, монотонно возрастающая функция, опре-
деленная в промежутке t t2, имеющая угловую точку при
t — tz, < ^3 < ^2- Тогда кривая x = t, у = ф(7), т. е. кривая
у — <р (х), имеет угловую точку при x = t^ а между тем кривая
х = ф(/), у = <р (/), которая является отрезком прямой у = х, имеет
постоянное направление касательной, хотя в точке t = t?i производ-
ные х и у не существуют. Отсюда вытекает, что для исследования
поведения касательной в особой точке параметрического задания
кривой надо сначала вычислить по данным выше формулам cos а или
cosp как функции от t и затем исследовать эти самые направляющие
косинусы.
Из формул для направляющих косинусов касательной можно вы-
вести формулу для угла б между двумя кривыми, т. е. для угла
между их касательными или нормалями в общей точке этих кривых.
Пусть параметрические уравнения первой кривой: x = Xj(0, У = У1(С»
уравнения второй кривой: х = х2(/), у = у2(/). Обозначим угол от
оси абсцисс до касательной через щ для первой кривой и а2 для
второй кривой. Тогда
cos б = cos (а2 — cq)
*1*2 + У1У2
±/*?+ У1У-^+ >2
Неопределенность знака перед квадратными корнями в этой формуле
и в формулах для направляющих косинусов касательной и нормали
отражает тот факт, что наши углы не вполне определены, поскольку
на каждой из этих прямых можно выделить любое из двух напра-
влений в качестве «положительного». Если брать, как обычно, поло-
жительное значение квадратного корня, то это значит, что за по-
ложительное направление касательной выбрано направление,
соответствующее возрастанию параметра /, а положительное на-
правление нормали получается положительным вращением только что
выбранного направления касательной на угол л/2 (т. е. вращением
против часовой стрелки).
п и d2y
Вторая производная у — получается с помощью правила
цепочки и правила дифференцирования частного следующим образом:
у" — dy' = dy' dt = — (_У_\ 1 _ *У ~ У* 1
dx dt dx dt \ x / x x2 x
Итак,
d2y __ xy — у x
dx2 x3
4] § 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВОЙ 300
4. Переход к новым системам координат при параметрическом
задании кривой. Если повернуть систему координат на угол а в поло-
жительном направлении, то новые прямоугольные координаты £, л
связаны со старыми х, у соотношениями:
x = £cosa— Tjsina, £ — х cos а-]- у sin a,
у — E, sin a + л cos a, t] = — x sin aу cos a.
Поэтому, вместе с x и у, новые координаты £ и т] также пред-
ставлены в виде функций параметра t. Дифференцируя, получаем:
x = £cosa—r|sina, | = х cos а-|-у sin a,
у — £sina-|-T]cosa, т] = — xsina-|-y cosa и т. д.
Представим себе, что кривая 'Задана в полярных координатах
в параметрическом виде:
г =-- г (/), ft == ft (f).
Формулы перехода от полярных координат к прямоугольным
х = г cos ft, у —г sin ft сразу дают параметрическое представление
этой кривой в прямоугольных координатах с тем же параметром
х = г (t) cos ft (f), у = r (Z)sin ft(/).
Дифференцируя эти уравнения по/, получим следующие соотношения:
x = rcosft — rsinft-ft, у = г sin ft Ц-г cos ft • ft, (*)
которые часто применяются при переходе от прямоугольных к поляр-
ным координатам. В качестве примера рассмотрим уравнение кривой
в полярных координатах г = / (ft), кото-
рое, например, получено путем исключе-
ния параметра t из параметрического за-
дания г = r (f), ft = ft (/). Покажем, что
угол у. между радиусом-вектором любой
точки кривой и касательной к кривой
в этой точке дается формулой
/(ft)
/' (ft) '
Для доказательства представим себе, Рис. 87.
что кривая имеет в прямоугольных коор-
динатах уравнение у = F (х), и примем специально в качестве пара-
метра t = ft, так что ft = 1, г = f (ft); тогда
dx х г —rtgft
(См. рис. 87 и формулы (*).)
•310
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
15
Далее, имеем ц — а — О, так что
= tgct—tgfr у' —tgfl /-+/-tg2O == /-
14-tgatgO 1 -f-У' tgO ?4-rtg20 г
Эту формулу легко также вывести и геометрическим путем.
5. Замечания общего характера. При исследовании заданных
кривых рассматривают порою такие свойства, которые нисколько
не характеризуют формы кривой, а только лишь сообщают что-нибудь
о положении кривой относительно системы координат. Таково, на-
пример, наличие горизонтальной касательной, выражаемое равенством
у = 0, или же наличие вертикальной касательной, выражаемое равен-
ством х — 0. При повороте системы координат такие свойства не
сохраняются.
В противоположность этим свойствам, точка перегиба кривой
останется и после поворота осей точкой перегиба. В самом деле,
критерий точки перегиба — — 0 (см. стр. 188) при пара-
метрическом задании кривой принимает следующий вид:
ху — ху = 0
(на основании последней формулы п° 3, стр. 308).
Заменяя слева производные х, у, х, у их выражениями в новых
координатах т|, легко получим соотношение
ху — = Й —Н
откуда следует, что равенство ху — ху — 0 влечет за собой также
и равенство £т] — |т] — 0, так что это равенство выражает такое
свойство точки кривой, которое не зависит от системы координат.
В дальнейшем мы неоднократно убедимся в том, что собственно
геометрические свойства выражаются такими формулами, вид которых
не изменяется при повороте системы координат.
Упражнения
1. Кривая задана параметрическими уравнениями:
х = a cos 20 cos 0, у — a cos 20 sin 0.
Найти обычное, не параметрическое уравнение этой кривой.
2. Окружность с радиуса г катится без скольжения по внешней сто-
роне неподвижной окружности С радиуса R. Точка Р на окружности с,
двигаясь вместе с ней, описывает кривую, называемую эпициклоидой.
Найти параметрические уравнения эпициклоиды. Исходить из начального
положения, когда движущаяся точка наблюдения на окружности с является
точкой касания обеих окружностей. За параметр принять угол поворота
прямой, соединяющей центры этих окружностей.
3. Построить эпициклоиду и найти ее параметрические уравнения для
частного случая г = Р. (Этот частный вид эпициклоиды называется кар-
диоидой.)
1] § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 31 ]
4. Если в упр. 2 радиус г < R и окружность с катится по внутренней
стороне С, то точка Р описывает гипоциклоиду. Найти ее параметрические
уравнения.
5. Построить гипоциклоиду: а) для случая R = 2г; б) для случая
/? = 3г.
8. Построить гипоциклоиду при /? = 4г (астроиду) и найти обычное,
не параметрическое уравнение астроиды.
7. Найти параметрические уравнения кривой х3 У3 = 3аху, называе-
мой декартовым листом. В качестве параметра взять тангенс угла между
осью абсцисс и радиусом-вектором точки (х, у) кривой.
8. Показать, что у гипоциклоиды х3/з + у!/з — а/з (астроиды) длина
отрезка касательной, заключенного между осями координат, постоянна.
9. Показать, что касательная и нормаль к циклоиде в каждой ее точке
проходят через самую верхнюю и самую нижнюю точки катящейся окруж-
ности в ее соответствующем положении.
10. Вывести формулу для угла а между двумя кривыми, заданными
в полярных координатах уравнениями г = / (0) и г = g (0).
11. Пусть С — неподвижная кривая, а Р (х0, уй) — неподвижная точка.
Подэрой кривой С относительно точки Р называется геометрическое место
оснований перпендикуляров, опущенных из точки Р на касательные к кри-
вой С. Вывести параметрические уравнения подэры кривой С, которая сама
задана в параметрическом виде уравнениями х = f (t), у = g (t).
12. Найти подэру окружности С: а) относительно ее центра О; б) отно-
сительно точки А, лежащей на самой окружности.
£13. Вывести формулу = (см. стр. 309) прямым путем, не-
прибегая к преобразованию прямоугольных координат в полярные.^]
§ 2. Приложения к теории плоских кривых
Мы будем рассматривать два различных типа свойств кривых или
величин, характеризующих кривые. Первый тип состоит из свойств-
или величин, которые зависят только от поведения кривой в малом,
т. е. в непосредственной окрестности точки, и выражаются аналити-
чески с помощью производных в рассматриваемой точке. [Такие
свойства можно называть локальными, т. е. местными свойствами.}
Свойства же или величины второго типа связаны со всем ходом
кривой или части кривой и выражаются аналитически с помощью*
интеграла. Мы начнем с рассмотрения свойств второго типа.
1. Ориентация области и знак ее площади. Понятие площади
служило у нас исходным пунктом для определения интеграла; однако-
эта связь между определенным интегралом и площадью оставляет
еще чувство неудовлетворенности в силу своей неполноты. Для гео-
метрии важно определение площади фигуры, ограниченной произ-
вольной замкнутой кривой; с другой стороны, для «криволинейной,
трапеции», площадь которой измеряется интегралом J f(x)dx, дуга
кривой у — f (%) составляет только часть ее границы, а остальная,
часть состоит из линий, зависящих от выбора системы координат.
Если мы пожелаем определить с помощью интегралов такого вида
312
ГЛ. V,- ПРИЛОЖЕНИЯ
(1
площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой, вроде круга или
эллипса, то должны будем разбить фигуру на несколько частей,
каждая из которых ограничена однозначной ветвью кривой, отрезком
оси х и двумя ординатами.
Прежде чем заняться исследованием этого общего случая, целесо-
образно сделать несколько замечаний по вопросу об определении
вается отрицательным.
знака рассматриваемой площади. Вопрос
о знаке площади фигуры, ограниченной про-
извольной замкнутой кривой, не пересекаю-
щей самое себя, можно связать с чисто гео-
метрическим понятием направления обхода
этой кривой с помощью следующих опре-
делений. Говорят, что область обходится
в положительном направлении, если ее
границу описывают в гаком направлении, что
внутренние точки области остаются слева 1);
противоположное направление обхода назы-
Область, которой приписано определенное
направление обхода, называется ориентированной областью, и площадь
такой области считается положительной при положительном напра-
влении обхода и отрицательной, если направление обхода отрица-
тельное (ср. рис. 88).
Предположим, в частности, что в промежутке функ-
ция f (х) всюду положительна. Рассмотрим замкнутую ломаную
линию, которую опишем, отправляясь от
точки х = а = х0, у = 0, вдоль ординаты
х — а до кривой у = / (х), затем вдоль этой
кривой до ординаты х = Ь == хр далее вдоль
этой ординаты до оси абсцисс, т. е. до точки
х — b = х1( у — 0, и, наконец, вдоль оси х до
исходной точки х = а — х0, у — 0 (рир. 89).
Абсолютная величина площади внутренней
области этой замкнутой ломаной (число содер-
жащихся в ней единиц площади) равна, как
нам известно, / (х) dx.
а
Если обозначить через F01 площадь, снабженную знаком согласно
данному выше определению, то этот интеграл даст абсолютную
') Если в этом объяснении желательно обходиться без слов «слева» и
«справа», то можно сказать так: треугольник, вершины которого по порядку
лежат в начале координат, в точке (1; 0) и, наконец, в точке (0; 1), описы-
вается в положительном направлении при указанном порядке обхода вер-
шин. Всякой области, граница которой пробегается в таком же направлении,
приписывается в этой системе координат положительное направление об-
хода, а всякой области, граница которой пробегается в противоположном
направлении, приписывается отрицательное направление обхода.
2] § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 313
величину | Fm |. Для определения знака надо только заметить, что
граница фигуры описывается здесь в отрицательном направлении,
так что Fm отрицательно; стало быть,
ь
ро1 = ~ /(*)dx-
а
Аналогично, если а > Ь, то на основании правила определения.
ь
знака площади Fm положительно, между тем как J f(x)dx имеет
а
отрицательное значение; таким образом, формула для Fm справедлива.
в обоих случаях.
2. Общее выражение для площади, ограниченной замкнутой
кривой (в прямоугольных координатах). После этих предвари-
тельных замечаний мы теперь в состоянии преодолеть упомянутые
выше затруднения очень простым путем, а именно путем перехода
к параметрическому представлению нашей кривой: x = x(t), y — y(f).
Начнем с того, что введем параметр t формально в качестве новой
независимой переменной в интеграл, выражающий площадь F01. Имеем
х — х (О, у = У (0 = / Iх (0)> откуда
6
= ~ J y(t)x(t)dt,
где t0 и — значения параметра, соответствующие абсциссам х0 = а
и ху=Ь. При этом мы предполагаем, что рассматриваемая ветвь
кривой у = /(х) связана с промежутком взаимно одно-
значным соответствием!), что / (х) всюду положительна и что х (7)
нигде в этом интервале не обращается в нуль. Как мы видели, .по-
следняя формула дает площадь криволинейной трапеции, ограничен-
ной нашей кривой-, осью х и ординатами х = а и х — 6, и, очевидно,
все еще страдает теми же недостатками, о которых говорилось выше..
Но параметрическая форма выражения для площади замечательна тем,
что она сохраняет силу и для замкнутой кривой. Мы сейчас пока-
жем, что если кривая x=x(t), y = y(t), является замк-
нутой кривой, ограничивающей область с площадью Fm, то эта
площадь дается интегралом точно такого же вида, как написанный выше.
Рассмотрим замкнутую кривую, заданную параметрическими урав-
нениями х — x(t). У = У(О. причем эта кривая описывается один раз,
когда t пробегает промежуток Тот факт, что кривая
замкнутая, выражается равенствами х(/0) = x(tt) и y(tQ) = y(tl).
’) То есть таким, что каждая точка этой ветви соответствует единствен-
ному значению t в интервале t0 t и, обратно, каждое значение t соот-
ветствует единственной точке.
314
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
(2
Мы будем предполагать, что производные хну непрерывны, за исклю-
чением, самое большее, конечного числа разрывов первого рода, и
что х2 + у2 отлично от нуля, за исключением, быть может, конеч-
ного числа точек. Эти исключительные точки могут быть угловыми
точками кривой ’).
Рассмотрим сначала замкнутую кривую, не имеющую угловых
точек, и притом выпуклую, так что ни одна прямая не пересекает
ее более чем в двух точках. Обозначим через Рх и Р2 те точки
кривой, в которых она обладает вертикальной касательной; эти каса-
тельные называются опорными прямыми в точках Рх и Р2, потому
что точки кривой в окрестности точки Pi (или Р2) лежат полнЬстью
по одну сторону от соответствующей касательной. Площадь, огра-
ниченную нашей замкнутой кривой, мы можем тогда рассматривать
(рис. 90) как сумму площади F12, ограниченной замкнутой кри-
вой Р1МР2АВР1, и площади F2l, ограниченной замкнутой кривой
P2NPiBAP2; эти фигуры имеют форму, описанную в предыдущем п°.
Мы здесь предполагаем, что данная замкнутая кривая PlMP2NP1 опи-
сывается в положительном направлении; тогда, по нашему правилу
знаков, площадь F12 положительна, a F2l отрицательна. Предпола-
гаем, что точка x(f), у (0 описывает верхнюю часть кривой Р1МР2,
когда t изменяется от t0 до т, и нижнюю часть P2NPX, когда t про-
бегает значения от т до tx. Из сказанного вытекает, что
т
/12 = — J У (О х (0 dt,
to
а
Л
Ли = — J У (О х (0 dt.
г
*) Точка t = ta непрерывной кривой х — x(t), y — y(t) называется угло-
вой точкой этой кривой, если предельное положение секущей, проходящей
через точки ta и t кривой, существует, когда t — ^->0 как по положитель-
ным, так и по отрицательным значениям, но оба эти предельных положения
различны.
2]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
315-
Отсюда для площади, ограниченной заданной выпуклой кривой, по-
лучается
F — F12-4-/721 —— J J •—— У y(t)x(f)dt.
Это выражение дает абсолютную величину площади (число содер-
жащихся в ней единиц площади), снабженную знаком в соответствии
с правилом предыдущего п°. Для того чтобы увидеть, что произойдет,,
если изменить направление обхода кривой на противоположное, надо
просто взять тот же интеграл не от t0 до tv а от t} до t0', получится.
— У У* (Z) dt = — F.
Таким образом, установлено следующее положение:
Площадь, вычисленная по нашей формуле, положительна при
положительном обходе и отрицательна при отрицательном
обходе ее границы.
Остается освободиться от стеснительного предположения, что-
у ==/(%)> 0 для всех точек замкнутой кривой. Общность резуль-
тата, действительно, не огра-
ничена этим предположе- У ।
нием. В самом деле, сместим
нашу замкнутую кривую па- х4”—____________р,
раллельно оси у (без вра- Р____
щения) на такое расстоя-
ние а, чтобы все ординаты л/7
стали положительны, иначе Г''-' -----д *
говоря, заменим у на у + «; -----LI—---------------1-------L
площадь при этом не изме- 2
нится, но не изменится и Рис. 91.
значение ее, получаемое по
формуле, так как прежнее выражение для площади заменится выра-
жением
— У (у + о) x(f)dt,
А}
а так как кривая замкнутая, то добавочный член
У ах (0 dt — а[х (/]) — х (/0)] = 0.
Два простых замечания дают возможность обобщить полученный-
результат. Во-первых, наша формула остается верной для замкнутой
кривой, не пересекающей самое себя, и в том случае, когда она не
выпуклая, а имеет более общую форму, вроде показанной на рис. 91.
316 ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ (2
Во-вторых, производные x(t) и y(t) могут иметь конечные разрывы
(скачки, разрывы первого рода) или могут обращаться одновременно
в нуль в конечном числе точек, что тоже может означать наличие
угловых точек; согласно гл. IV, § 8, стр. 285 и след., функция y(t)x(t)
остается интегрируемой. (Ордината в угловой точке считается опор-
ной прямой, если кривая в окрестности этой точки лежит полностью
по одну сторону от ординаты.) Предполагая, что кривая имеет лишь
конечное число опорных прямых, соответствующих точкам Рг,
Р2, •••> Рп< разбиваем эту кривую на однозначные дуги РХР2,
Р2Р3...... Рп-\Рп’ pnpv Тогда плбщадь, ограниченная нашей замк-
нутой кривой, можно записать в виде F = Fl2 f23.
... -\-Fn_lt n-\-Fni (см. рис. 91, где показан случай га = 6). Выражая
площадь каждой из этих частей в виде интеграла в параметрическом
виде и объединяя все эти интегралы в один интеграл, получим для
площади всей области, ограниченной нашей замкнутой кривой, вы-
ражение
— J y(t)x(t)dt,
и результат, как и раньше, будет того же знака, что и направление
обхода граничной кривой.
Наша формула дает в некотором смысле площадь области
даже в том случае, если граничная кривая сама себя пере-
секает. Однако в этом месте мы не будем входить в обсужде-
ние этого вопроса; читатель может обратиться, если поже-
лает, га § 2 Дополнений к этой главе (стр. 357).
Формулу для площади, ограниченной замкнутой кривой, можно
привести к симметричному и более изящному виду преобразованием
интеграла по правилу интегрирования произведения:
Л Л Л
F=—J у (t) x(t)dt — — x(t) y(t) -f- J x(t)y(t)dt.
if) to to
Так как граничная кривая замкнута, то
х (t0) = х (О. y(^0) = y(Q.
а потому1)
F — J x(t)y(f)dt.
Cl
') Эту вторую формулу для площади можно получить и другим путем,
с помощью следующего рассуждения. В отношении площади, ограниченной
замкнутой кривой, обе оси координат равноправны, за исключением одного
обстоятельства: направление поворота, приводящего ось х по кратчайшему
пути к совпадению с осью у, противоположно направлению поворота, при-
водящего ось у к совпадению с осью х по кратчайшему пути.
4] § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 317
Составив среднее арифметическое обоих выражений, получим для
площади новое, симметричное выражение:
F — j J (ху — ух) dt.
Резюмируем сделанное. Для площади, ограниченной замкнутой кривой
x = x(t), y = y(t), имеем три равноценных выражения:
Л Л <i
F = — j* у (0 х (t) dt — j* х (t) у (t) dt = y J (xy — yx) dt.
to to to
3. Пример: площадь эллипса. В качестве примера вычислим площадь
эллипса у — ± — У а2— х2. Учитывая симметрию этого эллипса относительно
оси х, можно вычислить площадь верхней половины эллипса и результат
удвоить. Пользуясь формулой для площади криволинейной трапеции, получим
для площади эллипса выражение
а
F = 2 ± J У а2 — х2 dx.
—а
Если же воспользоваться параметрическими уравнениями эллипса
х = a cos t, у = b sin t, то сразу получим
2л 2л
F = — J у (t) х (t) dt = ab J sin21 dt = nab.
о 0
Вычисление интеграла можно провести по формуле, выведенной на стр. 245.
£ Автор пользуется первой из трех формул, приведенных в конце п° 2.
2л 2л
По второй из этих формул F = J х (t) у (f) dt = ab J cos21 dt. Проще всего
о о
вычисление по третьей, симметричной формуле:
2л 2л 2л
F — у J (ху — ух) dt = ~ J (cos21 -|- sin21) dt = ~ J dt = nab.
о о 0 -
4. Независимость от выбора системы координат и от выбора
параметра. Всякая подлинно геометрическая величина не может зави-
сеть от частного выбора системы координат. Поэтому и площадь,
ограниченная замкнутой кривой, как чисто геометрическая величина,
не может зависеть от этого выбора. Между тем как самый вид фор-
мулы для этой площади, так и ее вывод базируются на некоторой
системе прямоугольных координат. Поэтому очень важно установить,
что наши интегралы для площади, ограниченной замкнутой кривой,
318
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
[5
не изменяют своего значения при преобразовании системы прямо-
угольных координат, причем достаточно это сделать для одного из
эих интегралов.
Ясно, что эти интегралы не изменяются при параллельном пере-
носе осей координат, — на стр. 315 это было показано для парал-
лельного переноса оси абсцисс. Предположим теперь, что оси коор-
динат повернуты на угол а; вместо х и у мы будем теперь иметь
новые переменные | и т], связанные со старыми х, у формулами пре-
образования координат x = |cosa— rjsina, у = |sina--{-T]cosa, так
что новые переменные тоже будут функциями параметра t. Диффе-
ренцирование этих формул дает x = |cosa— nsina, y = |sina-4-
-|-T]cosa. Небольшое вычисление дает ху — ух = |т]— откуда
/, Л
Г = Т J — yx)dt = ± J (|п —4)^-
^0 *0
Итак, площадь области, ограниченной замкнутой кривой, выражается
в новой системе координат той же формулой, что и в старой, чем
и доказывается независимость этой площади от выбора системы
координат.
Наше интегральное выражение для площади не зависит также и
от выбора параметра t. В самом деле, введем вместо t новый пара-
метр т с помощью преобразования т = т(/). Тогда
• __ dx __ dx dr •__________ dy ___ dy dr
X dt dr dt ’ dt dx dt ’
откуда
dx \ dr j,
у-т— -jj-dt =
* dr / dt
dr
где т0 и Tj — начальное и конечное значения нового параметра, соот-
ветствующие начальному и конечному значениям t0 и tx старого
параметра.
До сих пор мы основывали определение площади на понятии
интеграла и лишь затем показали, что это аналитическое определение
площади носит подлинно геометрический характер, так как оно при-
водит к формуле, не зависящей от системы координат. Можно, однако,
дать прямое геометрическое определение площади фигуры, ограни-
ченной замкнутой кривой, не пересекающей самое себя, следующим
образом: эта площадь есть точная верхняя граница площадей всех
многоугольников, лежащих внутри кривой (существование этой точной
верхней границы нетрудно доказать). Можно доказать эквивалентность
обоих определений, но мы этим здесь заниматься не будем.
5. Площадь в полярных координатах. Во многих случаях целе-
сообразно выразить площадь в полярных координатах. Пусть
6] § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 319
r = f(&) — уравнение кривой в полярных координатах. Обозначим
через F(ft) площадь фигуры, ограниченной полярной осью, т. е.
прямой ft = 0, радиусом-вектором, проведенным из начала координат
к точке (/(ft), ft), и лежащей между ними частью кривой. Тогда
F' (ft) —4 г2.
В самом деле, пусть г0—наименьший, г1 — наибольший полярный
радиус в интервале [ft, ft—|—Aft] изменения угла ft (рис. 92). Тогда
площадь АС сектора кривой, заключенного между радиусом-векто-
ром ft и радиусом-вектором ft—[—Aft, содержится между числами
г2 Aft и -i-r2Aft. Таким образом, у го у ri’ и пеРех°Д
к пределу при Aft.—>0 приводит к ука-
занному выше значению производной
С'(ft). X \
Отсюда, согласно основной теореме / \—\
интегрального исчисления, получается / \
следующее выражение площади сектора /
кривой между полярными углами а и р: / го '
[ r2dft.
Если Р > а, это выражение поло- Рис. 92.
жительно. Ясно, что при возраста-
нии ft точка с координатами (г, ft) описывает контур области
в положительном направлении, так что результат находится в согласии
с нашим правилом знаков.
В качестве примера рассмотрим площадь, ограниченную одной петлей
лемнискаты, уравнение которой г2 — Ча2 cos 2ft (см. стр. 94). Угол "О изме-
няется здесь от — л/4 до -[- л/4, и для площади получается следующее
выражение:
+Л/4
a2 J cos 2’0 — а2.
—Л/4
6. Длина дуги кривой. Еще одно важное геометрическое поня-
тие, связанное с кривой, приводит к интегралу. Это длина дуги
кривой.
Сначала выясним геометрически, как подойти к определению длины
дуги произвольной кривой. Элементарный процесс измерения длины
состоит в сравнении длины, подлежащей измерению, с прямолинейным
масштабом. Для этого прилагают масштаб к кривой так, чтобы его
начало совпало с началом дуги, а конец лежал на кривой, и подсчи-
тывают, сколько раз надо повторить эту операцию, чтобы дойти до
конца дуги кривой. Затем уточняют этот процесс измерения путем
320
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
[6
введения все более мелких масштабов. По аналогии с этой элемен-
тарной наглядной идеей мы построим определение дли1ы дуги кривой
следующим образом. Вписываем в дугу кривой ломаную из прямо-
линейных звеньев и измеряем периметр этой ломаной. Полученная
длина будет зависеть от расположения вершин ломаной (и от их числа).
Будем теперь неограниченно увеличивать число вершин вписанной
в дугу ломаной, и притом так, чтобы длина наибольшего звена ло-
маной стремилась к нулю. Предел, к которому стремится периметр
этой вписанной в'дугу ломаной, мы и будем называть длиной дуги
кривой. Такое определение предполагает, что упомянутый предел су-
ществует и не зависит от частного выбора последовательности лома-
ных, с помощью которых осуществляется все большее приближение
к кривой. Это двойное предположение называтся условием спря-
мляемости, и лишь при его выполнении можно говорить о длине
кривой. Мы вскоре увидим, что возможно доказать спрямляемость
весьма обширных классов кривых.
Для того чтобы вывести аналитическое выражение для длины дуги,
предположим сначала, что кривая задана как график функции у — f (х)
с непрерывной производной f (х). Разобьем промежуток а х b
оси х, над которым лежит рассматриваемая дуга кривой, точками
а = х1У х2, .... хП = Ь на п — 1 частичных интервалов длины Axj,
Дх2, .... Axn_j (рис. 93). Впишем в дугу кривой ломаную, вершины
которой пусть лежат на ординатах, проходящих через эти точки де-
ления. Согласно теореме Пифагора, общая длина этой вписанной ло-
маной выражается так:
п -1 п -1 ,---—г -у
S/м+м г1 1
А=1 А=1
Но, по теореме дифференциального исчисления о среднем значении,
отношение приращений
Дх*
точное значение из интервала
f (|А), где — некоторое промежу-
Axft. Заставим теперь п безгранично
6]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
321
возрастать, а длину наибольшего из частичных интервалов Дхй стре-
миться к нулю; тогда последнее выражение, согласно определению
интеграла, будет стремиться к интегралу
ь
j /1 +/ dx,
а
как к своему пределу. Так как этот предельный переход всегда при-
водит к одному и тому же результату, а именно интегралу, незави-
симо от способа разбиения промежутка интегрирования, то итог нашего
рассмотрения можно сформулировать в виде следующей теоремы:
Всякая кривая y = f(x). у которой функция f (х) имеет
непрерывную производную, является спрямляемой кривой, и ее
длина от точки х — а до точки х — b, Ь^а выражается фор-
мулой
ь _________
s(a, b) = J V1 + у'2 dx.
а
Обозначим через s длину дуги, отсчитываемой вдоль кривой от
некоторой произвольной, но фиксированной точки до точки с абсцис-
сой х; тогда из последней формулы, в которой верхний предел будет
переменный (х), получим следующее выражение для производной от
длины дуги по абсциссе:
Простой пример вычисления длины дуги дает парабола у = -g- х2. Длина
ее дуги выражается интегралом, который вычисляется преобразованием
переменной х = sh u, dx = ch и du:
b arsh b arsh b
s (a, b) — J* У x2 dx ~ J ch2 и du ~ ~ J (1 4" ch 2u) du =
a arsh a arsh a
1 / , sh 2u \ (arsh b 1 , , , u Jarshft
= V ---------9— =-x-sh w chu) ;
/ larsh a z 'arsh a
окончательно длина дуги параболы между абсциссами х = а и х = b выра-
жается так:
s (a, b) = (arsh 6 4- 6 &2 — arsh а — af^l-j-a2).
Другой пример. Длина дуги цепной линии у = ch х:
ь ь
з (й, 6) = J /1 + sh2 х dx = j ch х dx или s {a, b) = sh b — sh a.
a a
21 P. Курант
322
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
[7
7. Параметрическое выражение для длины дуги. Длина дуги
в полярных координатах. Наше выражение для длины дуги связано,
однако, со специальным и искусственным допущением, что рассма-
триваемая дуга кривой представляет собой однозначную ветвь, лежа-
щую над осью х. От этого ограничения можно освободиться, если
перейти к параметрическому представлению кривой. Если та же кри-
вая задана в параметрическом виде уравнениями: х = х (I), у = у (t),
то, введя параметр t в качестве новой переменной интегрирования,
имеем
где а и [>—значения параметра t, соответствующие началу и концу
дуги х — а и х — Ь. Отсюда получается параметрическое выражение
длины дуги:
3 ______
s (а, р) = J х2 -j- у2 dt.
а
Ниже мы покажем, что это параметрическое выражение для длины
дуги имеет над предыдущей формулой то существенное преимущество,
что его применение не ограничивается однозначными ветвями кривых,
представленными уравнениями вида у = /(х); это выражение сохра-
няет силу для любой дуги кривой и даже для замкнутой кривой, если
только производные x(t) и у (0 непрерывны вдоль рассматриваемой
дуги.
Для того чтобы это показать, вернемся к исходному выражению
для периметра ломаной, вписанной в дугу кривой. Предполагаем, что
вдоль этой дуги x(t) и у (0 имеют непрерывные производные x(t)
и y(Z). Теперь делим промежуток точками а = £0, tx, ...
.. ., tn — ₽ на п частей с разностями \tk и соответствующие точкам де-
ления точки кривой используем в качестве вершин вписанной ломаной.
Переход к пределу при п—>оо совершается таким образом, что наи-
большая из разностей стремится к нулю. Общую длину ломаной
запишем в следующем виде:
2УМ+М? = V /_
А=1 *=1
п ___________________
где 0' и 6,'— некоторые промежуточные значения из интервала A^ft.
Сразу видно, что последняя сумма стремится к интегралу
7] § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 323
В _______
J Vх2 у2 dt-, для этого надо только вспомнить замечания стр. 161
а
о более общей структуре сумм, имеющих своим пределом опреде-
ленный интеграл.
Если кривая состоит из нескольких дуг такого рода, примыкаю-
щих одна к другой в угловых точках или точках заострения, то длина
кривой равна сумме соответствующих интегралов.
Резюмируя все сказанное, имеем следующую теорему:
Если вдоль дуги кривой x — x(t), y = y(f), функции
x(t) и y(t) непрерывны, и их производные x(t) и у (г) тоже не-
прерывны, за исключением, быть может, конечного числа раз-
рывов первого рода, то дуга имеет длину, выражаемую инте-
гралом
В _______
s(a, р)=| Vх2-\-у2 dt,
а
причем в случае необходимости этот интеграл следует рассма-
тривать как несобственный в смысле гл. IV, § 8.
На основании этой формулы, в которой должно быть а < р, це-
лесообразно приписывать дуге, пробегаемой в направлении убывания
параметра t, отрицательную длину, которая выражается тогда тем же
интегралом. Ясно, что знак длины дуги зависит от выбора параметра.
Если ввести новый параметр т с помощью такого преобразования
т = т(7), которое не изменяет направления пробега кривой, т. е. такого,
dx п
что > 0, то наша интегральная формула должна дать один и тот же
результат независимо от того, пользуются ли параметром t или т,
так как оба интеграла выражают длину одной и той же дуги кривой,
а потому должны быть равны. Это подтверждается прямым выпол-
нением преобразования в общей формуле
f =f /Ш+Ш «=
[Поставим в параметрической формуле для длины дуги вместо р
переменный верхний предел t и обозначим длину дуги от произволь-
ной, но фиксированной точки f = a до переменной точки t через S-.
t ______
-ТогдаVх2 + у2 dt, откуда производная от длины дуги по па-
a
раметру t
21*
324
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
[8
Заметим, что во многих случаях удобно пользоваться в качестве
параметра длиной дуги s, отсчитываемой от некоторой фиксированной
точки Ро кривой, т. е. записывать параметрические уравнения кривой
в виде x — x(s), y = y(s). Точкам кривой, лежащим по разные сто-
роны от Ро, будут соответствовать значения s с противоположными
знаками. В таком случае
откуда дифференцированием получается
хх -ф-уу = 0.
Оба этих соотношения находят частое применение.
Выведем еще формулу для длины дуги кривой, заданной параме-
трическими уравнениями в полярных координатах г = r (t), 0 — 0 (t).
Для этого надо только подставить в параметрическую формулу для
длины дуги вместо производных х и у их выражения через г и 0
из формул (*) стр. 309, чтобы получить
х2 у2 __ г2 г2021
откуда
р ________________________________________
s(a, р) = j Vr> г202 dt.
a
От параметрического задания кривой в полярных координатах легко
перейти к уравнению вида г = f (0) путем введения в качестве пара-
метра самого полярного угла 0 = Д так что 0= 1, и для длины дуги
получится следующая формула:
0.
s(0o, 91) =| r2^Q.
б»
8. Кривизна кривой. В то время как площадь и длина дуги кри-
вой зависят от всего хода кривой или ее дуги и выражаются через
интегралы, понятие кривизны относится к поведению кривой только
в окрестности точки и поэтому выражается лишь с помощью про-
изводных.
Представим себе, что кривая описывается равномерно в положи-
тельном направлении, так что в равные промежутки времени пробе-
гаются дуги равной длины; тогда направление кривой будет изме-
няться с определенной скоростью. Эту скорость и принимают за меру
кривизны кривой в соответствующей точке. Обозначим угол от поло-
жительного направления оси х до положительного направления каса-
тельной (стр. 307) через а и будем рассматривать этот угол как
8] § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 325
функцию длины дуги s, так что a = a(s); тогда кривизну k в точке,
соответствующей длине дуги s, определяют равенством
, <Za
« = ~г~ •
as
Как известно, tga = y', а стало быть, по правилу цепочки sec2a^- =
,, dx г. , >2\ dot у"
= У _ или (1 + У ) 1 0ТКуда
rfct _ у" 1
ds ~ 1+у'2 ’ /Г+У^ ’
где положительный знак квадратного корня означает такой выбор
положительного отсчета длины дуги, что возрастанию х соответствует
и возрастание s. В итоге для кривизны получается выражение
k =----—~-
(1+/2)А
Знак кривизны, в этой формуле не имеет геометрического зна-
чения, не зависящего от системы координат. Считая, как обычно,
1^1 у'2 положительным, мы видим, что кривизна имеет тот же знак,
что у", и, следовательно, кривизна положительна, если кривая обра-
щена вогнутостью вверх (лежит выше своей касательной), и отрица-
тельна, если кривая обращена вогнутостью вниз (лежит ниже каса-
тельной). (Ср. стр. 187, 188.)
Для того чтобы получить выражение кривизны для кривой, за-
данной параметрическими уравнениями, можно воспользоваться фор-
мулами у' = -^- и у" — ху ~ ух (см. стр. 306 и 308), и с их помощью
X Xs
прежнее выражение преобразуется в следующее параметрическое вы-
ражение кривизны:
а _ ху — ух
(^ + ?)3/2 ’
Эту формулу можно, конечно, вывести и непосредственно из равенства
tg а = у/х
тем же путем, каким первая формула кривизны получена из равен-
ства tga = y'.
Первое выражение для кривизны, выведенное для явного задания
кривой у = f (х), связано, в силу этого, со специальным допущением
о расположении дуги кривой относительно оси х. В противополож-
ность этому параметрическое выражение кривизны пригодно для всех
дуг, вдоль которых х, у, х, у являются непрерывными функциями
326
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
[8
от t, и х2-|~У2¥=0- Оно, в частности, сохраняет силу и в точках,
где х = 0, и где, стало быть, обращается в бесконечность.
Если параметром служит длина дуги s, то (см. стр. 324)
х2-|-у2 = । и ххуу — о, откуда —x/y=’ylx, и для кривизны по-
лучаются особенно простые выражения:
k = ху — ух — у(х-\- у Л') = — — — .
\ х/ х у
Знак кривизны (по параметрической формуле) изменяется при из-
менении направления пробега кривой, т. е. если заменить параметр t
или $ новым параметром т =— t или о = — $. Действительно, при
такой замене х и у изменяют свой знак, а х2, у2, х и у не изменяют
знака, что видно из следующих простых вычислений:
d ... ., dx dt • .
-7— х It(т) = —гг -г- = х(—1) = —х,
dx 1 4 71 dt dx v ’
^гХ[/(т)] = -г?!-х^(т)]}=-^г.;?г = -х(-1) = х.
Аналогичное вычисление можно сделать для у. В первом выражении
у"
для кривизны k=этот факт скрыт, так как для кривой
у = /(х) естественно и привычно считать, что кривая описывается
слева направо, и в этом случае квадратный корень в знаменателе
может.быть только положительным. [В результате фиксирования знака
квадратного корня коивизна не меняет знака при преобразовании
х = -~ |.]
В качестве примера вычислим кривизну окружности радиуса а,
пробегаемой в положительном направлении. Такое направление обхода
получается, если задать эту окружность параметрическими уравнениями
х = a cos t, y = asinZ. Простое вычисление дает
k = 1/а.
Кривизна окружности, описываемой в положительном направле-
нии, равна обратной величине ее радиуса. Этот результат под-
тверждает целесообразность нашего определения кривизны, так ка<
естественно считать мерой кривизны окружности обратную величину
ее радиуса.
Положим (для любой кривой) р=1/£, Величину |р|=1/|&| на-
зывают радиусом кривизны кривой в рассматриваемой точке. Окруж-
ность, касающаяся кривой в данной ее точке, обладающая в этой
точке тем же направлением обхода и той же кривизной, что и дан-
ная кривая, и имеющая центр на положительной или отрицательной
стороне нормали, смотря по тому, положительна или отрицательна
9] § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 327
кривизна, называется окружностью кривизны, соответствующей упо-
мянутой точке кривой. [Пояснение: две кривые называются касаю-
щимися в их общей точке, если они имеют в этой точке общую ка-
сательную. Об определении направления нормали см. стр. 308.]
Представим себе уравнение окружности кривизны (или ее дуги, со-
держащей рассматриваемую точку кривой) в виде y = g(x), а урав-
нение кривой в виде y = f{x). Тогда в рассматриваемой точке
кривой не только f{x) = g{x) и f (х) — g' (х) —- эти равенства
выражают факт касания окружности с кривой, — но и
/"(x) = g"(x),
что вытекает из соотношения
Г (х) _ g" (х)
(Ki + [/'(x)]2)3 (И+кЧх)]2)3
— окружность и кривая имеют одинаковую кривизну.
Центр окружности кривизны называется центром кривизны,
соответствующим данной точке кривой. Радиус окружности кривизны
равен радиусу кривизны кривой, что ясно из определения последнего:
|р| = 1/| k\. Если кривая задана параметрическими уравнениями х =
= х(Ц, y = y(t), то координаты |, г| центра кривизны выражаются
через параметр t следующими формулами:
. РУ , рх
g = х----г_ ... , т] = у + 7--Ц .
]/> + ? /х24-у2
Для вывода этих формул надо воспользоваться выражениями напра-
вляющих косинусов нормали (стр. 307), на которой и лежит центр
кривизны на расстоянии |р|=1/|А| от данной точки кривой. Эти
формулы выражают координаты центра кривизны через параметр t.
Когда t пробегает свой интервал значений, центр кривизны описывает
Kpipyro, называемую эволютой данной кривой. Так как вместе с х
и у надлежит рассматривать как известные функции параметра t и
их производные х и у, а также р, то те же формулы для координат
центра кривизны дают параметрические уравнения эволюты.
Конкретные примеры читатель найдет в следующем параграфе
(§ 3, стр. 331 и след.) и в Дополнениях к этой главе (стр. 351 и
след.).
9. Статический момент кривой и ее центр массы (центр тя-
жести). Переходим к некоторым применениям из области механики.
Рассмотрим систему п лежащих в одной плоскости материальных
точек. Пусть mv т2.....т„—-массы этих точек, ylt у2, ... ., уп—
их ординаты. Величина
п
Тх — lLnikyk = mxy^m2y2^ ... + /н„у„
328
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
19
называется статическим моментом этой системы точек отно-
сительно оси х.
Т
Выражение т| = -д£ дает ординату центра массы {центра тя-
жести) нашей системы точек, причем М = тх т2-)~ ... тп
означает общую массу всей системы точек.
Аналогично определяются статический момент относительно оси у
и абсцисса центра массы.
Эти понятия можно обобщить и дать определение статического
момента материальной кривой у — f{x), рассматриваемой как носи-
тельница равномерно распределенной массы, и координат £ и т| цен-
тра тяжести такой кривой. Только ради краткости мы предполагаем,
что плотность массы р, постоянна вдоль всей кривой. С таким же
успехом можно рассматривать любое непрерывное распределение
массы.
Мы сводим нашу задачу к рассмотрению системы конечного числа
точек и переходу к пределу. Для этой цели мы предполагаем, что
на кривой в качестве параметра выбрана длина дуги 5, и делим рас-
сматриваемую дугу кривой с помощью п — 1 точек деления на п дуг
длиною As2.............As„. Массы pAs; каждой из этих дуг мы
представляем себе сконцентрированными в некоторой точке дуги
с ординатой у,.
Согласно определению, мы получаем для статического момента
этой системы точек выражение
Тп = ц 2 У1
Пусть теперь п->оо, а наибольшая из величин Asz стремится
к нулю; тогда сумма, обозначенная через Тп, стремится к опреде-
ленному пределу
•S! _______
Тх = р j у ds = ц j у V1 4- /2 dx,
s, Хг,
который естественно принять за определение статического момента
дуги кривой относительно оси х.
Так как полная масса дуги кривой равняется ее длине, умножен-
ной на р: .
«1
Р J ds = р ($i — Sq),
so
то отсюда получаются выражения для координат центра массы (центра
тяжести) дуги кривой:
J у ds J х ds
-и == t —— Sf) —
1 Si — So ’ 6 St—So'
Ill § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 329
Эти формулы, в сущности, дают определения статического мо-
мента и центра массы дуги кривой; но они являются столь прямым
обобщением более простого случая дискретной системы материальных
точек, что естественно ожидать, что всякая теорема, касающаяся
центра массы или статического момента системы точек, сохраняет силу
и для дуги кривой, и это ожидание оправдывается. В частности, по-
ложение центра массы относительно дуги кривой не зависит от си-
стемы координат.
10. Площадь поверхности вращения и объем тела вращения.
Если кривая у=/(х), где /(х)^>0, вращается вокруг оси х, то
она описывает так называемую поверхность вращения. Площадь
этой поверхности можно непосредственно получить путем рассуждения,
совершенно аналогичного предыдущему. Пусть абсциссы точек поверх-
ности изменяются в пределах от х0 до Xj > х0.
Заменим сначала кривую вписанной ломаной линией и получим,
вместо кривой поверхности, геометрическую фигуру, состоящую из
конечного числа усеченных круговых конусов. Руководствуясь интуи-
цией, мы определим площадь поверхности вращения как предел суммы
площадей боковых поверхностей этих усеченных конусов, когда длина
наибольшего звена вписанной ломаной стремится к нулю. Но боковая
поверхность усеченного конуса равняется, как известно, длине обра-
зующей, умноженной на длину среднего кругового сечения.
Складывая эти выражения и совершая затем предельный переход
от ломаной линии к кривой, мы получим для площади поверхности
вращения выражение
F = 2 л | у V1 у'2 dx = 2л J у ds
Л'о s0
или F — 2nr|(Sj — s0), где г|—ордината центра массы дуги.
Этот результат можно словесно выразить так: боковая поверх-
ность тела вращения равна длине вращающейся дуги кривой, умно-
женной на длину пути, описываемого центром масс этой дуги (пра-
вило Гульдина).
Совершенно аналогично получается для объема, ограниченного
Нашей поверхностью вращения и плоскостями х = х0 и х —х1>х0,
выражение
V = л | у2 dx.
Вывод этой формулы основывается на следующем опирающемся
на интуицию определении: под искомым объемом мы разумеем предел
суммы объемов только что рассмотренных усеченных конусов. Самый
вывод предоставляем читателю.
11. Момент инерции. При исследовании вращательного движения
в механике важную роль играют известные величины, называемые
330 гл. V. ПРИЛОЖЕНИЯ (II
моментами инерции. Остановлюсь кратко также и на этих выраже-
ниях.
Пусть материальная точка с массой т, находящаяся на расстоя-
нии у от оси х, равномерно вращается вокруг этой оси с угловой
скоростью со (т. е. в единицу времени точка поворачивается на угол ®).
Кинетическая энергия точки, равная половине произведения массы
на квадрат скорости, выражается, очевидно, формулой -у- (у®)2 =
— ту2 у®2.
Множитель при у®2, т. е. величина ту2, называется моментом
инерции материальной точки относительно оси х. Точно так же и
в случае п материальных точек с массами тх, т2.......тп и орди-
натами ур у2.........................................уп выражение
/ = 2 т1У2(
i
называется моментом инерции данной Системы точечных масс относи-
тельно оси х. Момент инерции есть величина, присущая данной мате-
риальной системе масс как таковой, независимо от ее состояния дви-
жения. Значение момента инерции состоит в том, что если вся система
вращается вокруг оси так, что взаимные расстояния точек системы
остаются неизменными, то кинетическая энергия системы получается
умножением момента инерции системы относительно оси вращения
на половину квадрата угловой скорости. Момент инерции относи-
тельно оси играет при вращательных движениях вокруг этой оси
такую же роль, как общая масса материальной системы при ее прямо-
линейном поступательном движении.
Предположим теперь, что вдоль произвольной кривой у — f (х)
равномерно распределена масса с линейной плотностью 1.
Чтобы определить момент инерции дуги этой кривой, лежащей
между абсциссами х0 и Хр мы поступаем точно так же, как и при
определении статического момента; отсюда получается следующее
определение момента инерции относительно оси х:
Ix= j у2 ds = j у2 V1 -ф- y'2dx.
Sq х0
Таким же образом для момента инерции относительно оси у
получаем выражение
Iу — | х2 ds = J х2 У" 1 у'2 dx.
1]
§ 3. ПРИМЕРЫ
331
§ 3. Примеры
Теория плоских кривых с их многообразными специальными фор-
мами и свойствами дает множество примеров для всех построенных
нами понятий. Но, чтобы не потеряться в чрезмерном обилии подроб-
ностей, мы ограничимся лишь некоторыми типичными приложениями.
1. Обыкновенная циклоида. Из уравнений циклоиды
х = a (t — sin t), у = а (1— cos t)
получаем непосредственно
х = а (1— cost), y = asin/
и отсюда длину дуги
S
а а
J Ух2 -ф у2 dt = J Yla2 (1 — cos t) dt,
о о
Подставляя в выражение для s 1—cost = 2sin2-g-, получаем при 0<а<
<2.ч
а
Ct t \а t а \ а
s — 2а sin-7r<Z/ =— 4а cos -=- = 4а 1— cos v- = 8а sin2 -г
2 2 \ 2 / 4
о 0
Рассмотрим, в частности, длину дуги между двумя последовательными
точками заострения циклоиды. Для этого полагаем а = 2я, так как проме-
жуток 0<а<2я значений параметра соответствует полному обороту катя-
щегося круга. Мы получаем 8а, т. е. длина циклоиды между двумя после-
довательными точками заострения равна учетверенному диаметру катящегося
круга.
Таким же образом вычисляется площадь, содержащаяся между дугой
циклоиды и осью х:
2л 2я 2л
S = J yxdt = a2\ (1 — cost)2 dt = а2 (1 — 2 cos t4- cos21) dt =
0 0 0
„Л o . , . t . sin 2t\ l2jT
= a2 ^ — 2 sin/ + у------------------—j| = 3a2rt,
т. e. вычисленная площадь равна утроенной площади катящегося круга.
Для радиуса кривизны | р | = 1/| k | находим
|Р| =
й2 + <)
х у — ух
— 2aV'2(l — cos 0 — 4alsin^-
в точках t ~ 0, t = ± 2л, ... это выражение обращается в нуль; это как раз
точки заострения циклоиды, в которых циклоида встречает ось х под пря-
мым углом.
332
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
|2
Площадь поверхности, образуемой вращением одной арки циклоиды
вокруг оси х, получается, согласно нашей формуле (стр. 329), в виде
8а 2л 2л
F = 2л J у ds = 2л J а (1 — cos t) 2а sin -i dt = 8а2л у sin3 у dt =
0 0 о
л л
= 16а2л у sin3 и du = 16а2л у (1 — cos2 и) sin и du.
о о
Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки cos и = v, и мы
получаем
„ 1Й , ( .1 , \1л 64а2л
Л=16а2л^—cos«-|--g- cos3 и) j = —з—.
В качестве упражнения вычислите сами ординату ц центра тяжести
одной арки циклоиды и ее момент инерции I х. Результат:
2. Цепная линия. Длину дуги цепной линии у = ch х мы уже вычи-
слили в качестве примера в предыдущем параграфе (стр. 321) >и получили
ь
s = J ch х dx = sh b — sh a.
a
Для площади поверхности, образуемой вращением цепной линии у = ch х
вокруг оси х, так называемого катеноида, получаем
b ь
F = 2л у ch2 х = 2л у ' ch 2х dx — л^Ь — а sh 2b — -is'1 2а •
а а
Отсюда получается ордината центра массы дуги от а до 6:
р Ь — a -j- у sh 2b-------i sh 2а
2ns 2 (sh b — sh a)
Наконец, для кривизны получаем
, у" ch х 1
К ----------- = —:---- = ------.
0_|_ух2)8/2 ch3x ch2x
3. Эллипс и лемниската. Длины дуг этих кривых уже не могут быть
сведены к элементарным функциям, но выражаются «эллиптическими инте-
гралами», о которых уже упоминалось на стр. 283.
Для эллипса
у = — 'Ка2 — х2
получаем
1 f п /а4 * * * — (а2 — й2)х2 Г 1 — и2|2
aj V а2 — х2 J /(1 —12) (1 — х2^2)
§ 3. ПРИМЕРЫ
333
где
с помощью подстановки — = sin <р этот интеграл приводится к виду
s = J |Ля2 — (я2 — b2) sin2 <р d<p = a J У1 — х2 sin2 <р Ар.
Чтобы получить длину половины эллипса, мы должны изменять здесь х
от —а до -|- а, что соответствует интервалу —1</|</1 и, соответственно,
интервалу — л/2 < ф < + л/2.
Уравнение лемнискаты в полярных координатах имеет вид г2 = 2а2 cos 20;
поэтому
s=J /r2 + r'2d0= j У2я2соэ20+2я2-^^А) =
= ау 2 --- = ay 2 —. -----.
J У cos 20 J 'Kl—2sin20
Введя в последний интеграл в качестве независимой переменной u = tgO,
получаем:
• 9 а “2 /а du
Sin20 = -r-: </0 = —
1 + U2 1 -j- и2
Вдоль правой петли лемнискаты — л/4 Ол/4; следовательно, и из-
меняется от —1 до 1, и длина одной петли равна
+1
я/2 [ ......
j /1-И*
Этот специальный эллиптический интеграл играл большую роль в иссле-
дованиях Гаусса.
Упражнения
1. Вычислить площадь, ограниченную полукубической параболой у =х^2,
осью абсцисс и прямыми х=а и х— Ь.
2. Вычислить площадь области, ограниченной прямой у = х и нижней
половиной петли декартова листа. (Воспользоваться параметрическими урав-
нениями, полученными при решен: 7, стр. 311.)
3. Вычислить площадь секте имедовой спирали г = аО (я > 0)
между радиусами-векторами, соот ющими значениям 0 = 0j и 0 =. 02.
4. Вычислить площадь кардии.VJnp. 3, стр. 310), пользуясь поляр-
ными координатами. [У к а з а н и е. Прежде чем перейти к полярным коор-
динатам, упростить параметрические уравнения кардиоиды (упр. 3, стр. 310)
параллельным переносом оси у.]
5. Вычислить площадь астроиды (упр. 6, стр. 311).
6. Вычислить площадь подэры окружности jc2 Ц- у2 = 1 относительно
точки Р (xQ, 0) на оси абсцисс. Показать, что эта площадь имеет наименьшее
значение, если Р находится в начале координат. (См. упр. 11, стр. 311).
7. Сделать то же самое, что в задаче 6, для эллипса •—= 1.
а1 1 Ь2
334
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
8. Найти параметрические уравнения кардиоиды (упр. 3, стр. 310), при-
няв за параметр длину дуги.
9. То же самое, что в задаче 8, сделать для циклоиды.
10. Вычислить длину дуги полукубической параболы у = хК
11. Вычислить длину астроиды.
12. Вычислить длину дуги: а) архимедовой спирали г = аО, а > 0;
б) логарифмической спирали г = ет0; в) кардиоиды (упр. 3, стр. 310);
г) кривой r=a(Q2— 1).
13. Найти радиус кривизны: а) параболы у = х2; б) эллипса х = a cos <р,
у = b sin <р, выразив его как функцию от х и как функцию от <р. Найти
наибольшее и наименьшее значения радиуса кривизны и точки, которым
они соответствуют.
14. Сделать эскиз кривой
t t
Г cos и . Г sin и ,
х— ——- du, у,— ——- du
.1 уи J у и
о о
и определить ее радиус кривизны р.
15. Показать, что выражение для кривизны кривой x~x(t), у -= у (f)
не изменяет своего вида ни при повороте осей координат, ни при измене-
нии параметра по формуле t = <р (т), где ср' (т) > 0.
16. Кривая задана в полярных координатах уравнением г = f (0). Вы-
вести следующую формулу для кривизны:
Г2 I 2г'2 — гг"
R. = ---!----------- ,
где
r'-^L d2f
dQ dQ2 ’
17. Найти объем шарового слоя и площадь шарового пояса сферы
радиуса /?, т. е. объем части шара и площадь части его поверхности, вы-
резанных двумя параллельными плоскостями, расстояния которых от центра
сферы равны hi и h2.
18. Определить объем и площадь поверхности тора или кольца, полу-
ченного вращением окружности вокруг оси, лежащей в одной плоскости
с этой окружностью и ее не пересекающей.
19. Сделать эскиз кривой, определенной уравнениями
t t
х = J cos nt2 dt, у = J sin (dt.
o' о
Каков общий ход кривой, когда t изменяется от —со до -{-со? Вычи-
слить кривизну k этой кривой как функцию длины дуги.
20. Кривая, у которой длина отрезка касательной от точки касания
до оси у всегда равна единице, называется трактрисой. Найти ее уравне-
ние. Показать, что радиус кривизны в каждой точке трактрисы обратно
пропорционален отрезку нормали от этой точки кривой до оси у. Вычислить
длину дуги трактрисы и найти ее параметрические уравнения, приняв за
параметр длину дуги.
21. Замкнутая кривая задана уравнениями x = x(t), у = у (t). Вдоль
каждой нормали к этой кривой отложен отрезок постоянной длины р. Концы
этих отрезков образуют кривую, которая называется параллельной кривой
11
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТОЧКИ
335
по отношению к первоначальной кривой. Найти площадь области, ограни-
ченной параллельной кривой, длину дуги и радиус кривизны параллельной
кривой.
22. Найти центр массы произвольной дуги: а) окружности радиуса /?;
б) цепной линии у = ch х.
23. Вычислить момент инерции относительно оси абсцисс периметра
прямоугольника аСу^р.
24. Вычислить момент инерции дуги цепной линии у = ch х: а) относи-
тельно оси х; б) относительно оси у.
25. Уравнение у/ (х)с, представляет семейство кривых,
по одной кривой для каждого зйачения параметра с. Доказать, что среди
кривых этого семейства наименьший момент инерции относительно оси х
имеет та кривая, центр массы которой лежит на оси абсцисс.
§ 4. Простейшие задачи механики точки
Наряду с геометрией, механика была той областью науки, кото-
рой в первую очередь интегральное и дифференциальное исчисление
обязано своим возникновением. Механика покоится на нескольких
основных принципах, установленных Ньютоном; формулировка этих
принципов требует введения понятия производной, а их использова-
ние возможно лишь с помощью теории интегрирования. Не вдаваясь
в подробный анализ основных принципов, мы поясним на простых
примерах применение интегрального и дифференциального исчисления
в механике.
1. Основные допущения механики. Ограничимся рассмотрением
одной материальной точки, т. е. точки, в которой мы представляем
себе сконцентрированной некоторую массу т; предположим, далее,
что движение может происходить исключительно по некоторой зара-
нее заданной фиксированной кривой, на которой положение мате-
риальной точки характеризуется длиной дуги s, отсчитываемой от
некоторой определенной фиксированной точки кривой; в частности,
речь может идти о прямой линии, на которой мы тогда вместо S’
вводим в качестве координаты места абсциссу х. Движение точки
характеризуется заданием криволинейной координаты s = <p(£) как
функции от времени t. Под скоростью движения следует понимать
производную <[/ (0 или, как мы будем также писать,
<Zs - , ...
Ускорением называют вторую производную
— = ф"(0 = *.
Механика исходит из того представления, что движение мате-
риальных точек может быть объяснено или описано с помощью сил,
имеющих определенную величину и направление. Второй основной
закон механики Ньютона для случая движения по заданной кривой
можно формулировать следующим образом: масса т, умноженная
336
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
II
на ускорение s, равна силе, действующей на материальную
точку по направлению кривой, или, обозначая силу через F,
ms = F^
Направление силы поэтому всегда совпадает с направлением
ускорения, так что сила направлена в сторону возрастания значений $,
если скорость растет в этом направлении; в противном случае сила
направлена противоположно направлению s.
В этом законе Ньютона содержится пока только определение
понятия силы. Левая - часть нашего равенства является величиной,
определяемой экспериментально путем наблюдения ускорения, и слу-
жит мерой силы. Однако это равенство имеет гораздо более глубо-
кий смысл; опыт показывает, что в очень многих случаях можно
заранее определить
в секундах, а длину
действующие силы, не зная самого движения,
исходя из других физических предпосылок;
тогда приведенный выше основной закон Ньютона
является уже не определением силы, но пред-
ставляет собой соотношение, из которого можно
делать важные выводы относительно рассмат-
риваемого движения.
Важнейшим примером заранее известной силы
является сила тяжести. Мы знаем на осно-
вании непосредственных измерений, что сила
тяжести, действующая на массу т, направлена
вертикально вниз и равна mg, где постоянная g,
так называемое ускорение земной силы тяжести,
приближенно равна 981, если время измерять
в сантиметрах. Если масса движется по заданной
кривой, то опыт показывает, что сила тяжести, действующая по на-
правлению кривой, равна mg cos а, где а означает угол касательной
в соответствующей точке кривой с вертикалью (рис. 94). Основная
проблема механики для случая движения по заданной кривой заклю-
чается в следующем.
Задана каким-нибудь путем сила, действующая на материальную
точку, например сила тяжести; требуется определить положение
точки, т. е. ее координату $ или х, как функцию времени. Огра-
ничимся простейшим случаем, когда сила F = mf(s)r) заранее из-
вестна как функция длины дуги, так что она не зависит явно от
времени; покажем, каким образом можно из уравнения
узнать весь ход движения точки по кривой.
') Выделение множителя т из выражения для заданной силы несуще-
ственно, но оно упрощает формулы.
21
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТОЧКИ
337
Мы здесь имеем дело с дифференциальным уравнением, т. е.
с таким уравнением, из которого требуется определить неизвестную
функцию — в данном случае s(t)— и в котором, кроме самой этой
неизвестной функции, содержатся также и ее производные (ср. гл. III,
§ 7, стр. 207).
2. Свободное падение. Сопротивление воздуха. При свободном па-
дении материальной точки по вертикали, которую мы примем за ось х,
закон Ньютона дает нам дифференциальное уравнение х = g.
Отсюда следует х (tj = gt где v0 есть постоянная интегрирования,
значение которой мы получаем, полагая t — О. Тогда х, (0) = ц0, т. е. v0
есть скорость материальной точки в начальный момент отсчета времени,
начальная скорость.
Вторичным интегрированием получаем
л (0 = у +*’</+Ми
где х„ есть также постоянная интегрирования, значение которой опять по-
лучаем, полагая 7 = 0; ха есть начальная координата, т. е. координата точки
в начальный момент.
Обратно, можно выбрать произвольно начальное положение ха и на-
чальную скорость ц0, и тогда уравнение
х = у §72-Н</+м>
дает полное описание процесса движения.
Если мы хотим учесть влияние трения или сопротивления воздуха, дей-
ствующего на падающую материальную точку, то должны его рассматри-
вать как силу, действующую в направлении, противоположном направлению
движения, и относительно этой силы надо ввести известные физические
гипотезы, допущения 1).
Разберем два различных физических допущения:
а) Сопротивление пропорционально скорости; оно тогда выражается
формулой вида —гх, где г есть положительная постоянная.
б) Сопротивление пропорционально квадрату скорости и имеет вид —гх2.
Согласно основному закону Ньютона, мы получим следующие уравнения
движения:
а) т'х = mg — гх, б) mx=mg — гх2.
Будем рассматривать сначала скорость x = u(t) как искомую функцию;
тогда
х (7) = и (7),
так что уравнения движения примут такой вид:
a) mu = mg — ги, б) mu = mg — ги2.
) Эти допущения должны учитывать конкретные обстоятельства изу-
чаемого движения; например, закон сопротивления при малых скоростях
другой, чем при больших (скажем, при скорости пули).
22 Р. Курант
338
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
(3
Вместо того, чтобы определить из этих уравнений и как функцию от t,
мы найдем t как функцию от и, для чего напишем наши уравнения
в форме: *
а)
dt
du
г
g----«
т
б)
du
g-~ u2
т
С помощью методов
полнить интегрирование,
интегрирования предшествующей главы можно вы-
и в итоге получим:
a) t (и) =
т .
— 1п
б)
t («) = —k In
kg
kg
г
1
1
mg ) ’ и
где k = Jrm/rg, a t0 есть постоянная интегрирования. Смысл t0 таков:
в момент времени t = t0 скорость и (t0) = 0 или, что то же самое, t (0) — t0.
Решая эти уравнения относительно и, получаем:
a) и (t) = х (t)
г \ '
Эти уравнения обнаруживают важное свойство нашего движения: с воз-
растанием t скорость не растет неограниченно, но стремится к некоторому,
определенному пределу, зависящему, впрочем, от массы т. В самом деле,
a) lim u(t) = ^,
б)
lim и (t) = ~\f.
t -»co Г Г
Вторичное интегрирование полученных выражений для и (/) = х (t) с по-
мощью методов предыдущей главы дает следующие результаты (которые
можно проверить дифференцированием):
a) X(t) = ^ge~m +
т / г о*
б) x(t)=— In ch Т/ (t — t0) -f- с,
где с есть новая постоянная интегрирования. Обе постоянные интегрирова-
ния ta и с легко определить, если известны начальное положение х (0) = хл
и начальная скорость х(О) = ц(О) = ц0 падающей материальной точки в мо-
мент t = 0.
3. Простейшее упругое колебание. В качестве второго примера рас-
смотрим движение материальной точки, движущейся по оси х и связанной
с началом координат упругой силой. Мы предполагаем, что эта упругая сила
постоянно направлена в сторону начала и '-~э ее величина пропорциональна
4] § 4. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТОЧКИ 339
расстоянию от начала. Другими словами, мы полагаем силу равной — kx,
где коэффициент k > 0 служит мерой жесткости упругой связи. Так как k
предполагается положительным, то сила имеет отрицательное значение при
положительных значениях х и положительное значение, когда х отрицателен.
Уравнение Ньютона в этом случае гласит:
тх — — kx.
Нельзя ожидать, что это дифференциальное уравнение вполне опреде-
ляет процесс движения; наоборот, естественно полагать, что в определенный
момент, например при £ = 0, мы можем произвольно задать начальную-ко-
ординату х (г) = ха и начальную скорость х (0) = v0, т. е., выражаясь физи-
чески, материальная точка может быть приведена в движение из любого
начального положения и с любой начальной скоростью, и только тогда про-
цесс движения однозначно определяется уравнением движения. Математи-
чески это выражается в том, что самое общее решение нашего дифферен-
циального уравнения содержит две, -сначала неопределенные, постоянные
интегрирования, которые должны быть определены из обоих начальных
условий; докажем, что это действительно так.
Можно указать такое решение. Положим ® = У k-m ; тогда нетрудно
проверить дифференцированием, что наше дифференциальное уравнение
удовлетворяется всеми функциями вида
х (/) = C| cos at с2 sin со/,
где с( и с2 обозначают произвольно выбранные постоянные. Мы увидим
в п° 4, стр. 341, что других решений нашего дифференциального уравнения
не существует, так что всякое такое движение, совершающееся под влиянием
упругой силы, описывается приведенным выше выражением, которое можно
представить и в таком виде:
х (1) = a sin со (t — 6) = — я sin <о5 cos at -j- a cos «5 sin ®Z;
для этого достаточно положить —я sin = сн я cos соб = с2 и тем самым
ввести вместо постоянных Ci и с2 новые постоянные
- / 9 : ~ . 1 . с ।
o=Vc +c2 и 5 = — 77 arctg
W С2
Движения этого типа называются синусоидальными или простыми гармо-
ническими колебаниями. Они представляют собой периодические движения;
всякое состояние, т. е. положение х (t) и скорость х (/), повторяется снова
через промежуток времени Т = 2л/а, называемый периодом колебания, так
как функции sin at и cos at имеют этот период Т. Величина я называется
амплитудой колебания, а число 1/7 = а/2л— частотой колебания; оно
измеряет число колебаний в единицу времени. Мы еще вернемся к теории
колебаний в гл. XI, § 3 стр. 610.
4. Общий случай движения по заданной кривой. В заключение мы
исследуем поставленную выше задачу в ее самом общем виде, а именно
задачу о движении точки по заданной кривой под влиянием произвольной
заданной силы m f (s).
Вопрос здесь сводится к нахождению s (f) как функции от t из диффе-
ренциального уравнения
s = f (s),
где f (s) — данная функция. Это дифференциальное уравнение с неизвестной
функцией s можно полностью разрешить с помощью следующего приема.
Рассмотрим сначала любую первообразную функцию F (s) от f (s), так
что F' (s) = f (s), и умножим обе части дифференциального уравнения
22*
340
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
[4
s — f (s) = F' (s) на s. Тогда левую часть уравнения можно написать в виде
d. I 1 • \
"dFlT /' что легко проверить дифференцированием; правая же часть
F' (s) s является как раз производной от F (s) по времени t, если рассмат-
ривать в F (s) величину s как функцию от t. Таким образом, получаем
d I 1 • \ d
dt\2 S)~dtF (S)’
откуда, интегрируя,
|s2 = r(s) + c,
где с означает постоянную, еще подлежащую определению.
Напишем это уравнение в форме
л/ с
f = K2tfW + d.
Ясно, что нельзя непосредственным интегрированием получить из этого
уравнения сразу s как функцию от t, но можно решить нашу задачу, если
сперва найти обратную функцию t (s), т. е. время t = t (s), требующееся для
того, чтобы материальная точка достигла определенного места s. Для этой
функции t (5) имеем уравнение
dt _________1______
ds 1''2 [Г (s) + с]
т. е. нам известна производная от функции t (s), откуда
“J |z2 [Л (s) + c] +C1’
где означает новую постоянную интегрирования. Выполнив это последнее
интегрирование, мы получаем окончательное решение задачи, так как, хотя
мы и не выразили ксординату места s как функцию времени, но зато нашли
обратное выражение времени t как функции координаты места s. То об-
стоятельство, что в нашем распоряжении еще остаются обе постоянные ин-
тегрирования С] и с2, дает возможность приспособить общее решение к спе-
циальным начальным условиям.
В нашем предшествующем примере упругого движения мы должны
х приравнять s, тогда f (s) = — ®2s и, соответственно,
Мы получаем, таким образом,
dt__1
ds У2с — ®2s2
и отсюда
/ — f lls
J ]^2с — ®2s2
Этот интеграл легко вычислить, вводя в качестве новой переменной
MS
; получим
t — — arcsin М£_ -j- q,
а |'2с
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТОЧКИ
341
откуда можно выразить обратную функцию s (f):
s = sin ® (t — c,).
a
Мы получили как раз тот результат, который был дан выше (стр. 339)
непосредственно. На этом примере мы снова видим, каково значение по-
стоянных интегрирования и каким путем они должны быть определены. Если
мы, например, потребуем, чтобы при 1 = 0 материальная точка находилась
в точке s = 0 и имела в этот момент скорость s (0) = 1, то получим два
уравнения:
_ Vic . .
0 = ------sin(ocj, 1=У2с cosoci,
откуда найдем для постоянных с, и с значения С] = 0 и с = 1/2. Совершенно
таким же образом можно определить постоянные интегрирования с и сь
задавая совершенно произвольно начальное положение s0 и начальную ско-
рость s (0) = va в момент 1 = 0.
Упражнения
1. Точка А движется с постоянной скоростью 1 по окружности радиуса г
с центром в начале. Точка А связана с точкой В отрезком постоянной длины
I > г; точка В может двигаться только по оси х (ср. кривошип, шатун и
поршень у паровой машины). Вычислить скорость и ускорение точки В как
функции времени.
2. Материальная точка начинает двигаться из начала координат со ско-
ростью 4 и под действием силы тяжести скользит вдоль прямолинейной про-
волоки до тех пор, пока она не достигнет вертикальной прямой х = 2. Каков
должен быть наклон проволоки, чтобы точка могла достичь вертикали х = 2
в кратчайшее время?
3. Материальная точка массы 1 движется по прямой линии (при отсут-
ствии внешней силы) и встречает сопротивление, равное ku3, где и — ее ско-
рость и k — постоянная. Найти выражения для скорости и и времени 1 че-
рез s (расстояние от начального положения) и и0 (начальную скорость).
4. Материальная точка единичной массы движется вдоль оси х и нахо-
дится под действием силы f (х) = — sin л:.
а) Определить движение точки, если в момент 1 = 0 она находится
в точке х = 0 и имеет скорость ц0 = 2. Показать, что при 1->оо движу-
щаяся точка стремится к некоторому предельному положению, и найти это
положение.
б) Условия остаются те же, с единственным изменением, что va может
иметь любое значение. Показать, что если v0 > 2, то движущаяся точка уда-
ляется в бесконечность при 1->оо; если же о0 < 2, то точка колеблется
около начала координат.
5. Начало прямоугольной системы координат находится в центре земного
шара, радиус которого обозначим через /?. По закону тяготения Ньютона
материальная точка единичной массы, находящаяся на оси у, притягивается
к Земле с силой — цМ/у2, где р — «гравитационная постоянная», а М — масса
Земли (предполагается, что у > /?).
а) Рассчитать движение материальной точки после того, как она была
отпущена в положении у0 > /?, т. е. она, находясь в точке у = у0, начинает
падать в момент 1 = 0, имея начальную скорость v0 = 0.
б) Найти скорость, с которой материальная точка из а) достигнет Земли.
в) Используя результат вопроса б), вычислить скорость, с которой до-
стигнет Земли материальная точка, падающая на нее из бесконечности.
342
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
п
(Эта скорость равна наименьшей скорости, с которой надо выпустить
снаряд по вертикали с тем, чтобы он оставил Землю и никогда нз вернулся.)
k
6*. Материальная точка массы т движется по эллипсу г = .
1 — с cos 9
Сила, действующая на движущуюся точку, равна ст/г2 и направлена к на-
чалу (полюсу) полярной системы координат. Описать движение точки, найти
период обращения и показать, что радиус-вектор движущейся точки опи-
сывает в равные промежутки времени секторы, имеющие равные площади.
§ 5. Дальнейшие приложения. Падение материальной
точки по заданной кривой
1. Общие соображения. Изложенный выше метод дает возмож-
ность особенно просто исследовать движение материальной точки,
скользящей под влиянием силы тяжести, без трения, вдоль плоской
кривой. Мы рассмотрим это движение
сперва в общем виде и затем на спе-
циальных случаях обыкновенного и цик-
лоидального маятников. Выберем си-
стему координат х, у так, чтобы ось у
была направлена вертикально вверх,
т. е. противоположно направлению силы
тяжести, и предположим, что кривая
задана с помощью параметра О в пара-
метрическом виде: х — <р (О) — х (О),
у = ф (О) = у (О), и пусть, например, х
возрастает вместе с О. Та часть кри-
вой, по которой происходит исследуе-
мое движение, изображена на рис. 95.
В каждой точке кривой на массу т
движущейся частицы действует сила тяжести mg, направленная вер-
тикально вниз, т. е. в отрицательную сторону оси у. Обозначим
через а угол между направлением силы тяжести и касательной к кри-
вой; сила, действующая по направлению кривой, равна
mg cos <х = — mg—r ____-,
V*'2 + y'2
где
Заметим, что штрихом обозначена здесь не производная по х,
а производная по О. [у' < 0, так как у убывает с возрастанием б-,
и правая., часть формулы имеет положительное значение, так же как
и левая (mg cos а). ]
Введя, в частности, в качестве параметра вместо •& длину дуги $,
мы получаем для силы, действующей по направлению кривой, выра-
1| § 5. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 343
dy . ,
жение —mg ~ , и дифференциальное уравнение, определяющее, со-
гласно закону Ньютона, функцию s(t), гласит:
dy
Справа стоит известная функция от $, так как кривая задана, и, сле-
довательно, величины х и у мы должны рассматривать как извест-
ные функции от s. [Положительный отсчет длины дуги s ведем вниз.]
Умножая снова, как в предыдущем параграфе, обе части урав-
1'2
нения на s, мы получаем слева ss, т. е. производную от -х-s2 по вре-
/ dy •\ ,
мени t, а справа I — т- е- производную от —gy по t
(в функции y(s) мы рассматриваем s как функцию от /), и находим
интегрированием
1 *2
-s > = — gy-\-c,
где с есть постоянная интегрирования. Чтобы теперь же установить
значение этой постоянной интегрирования, мы предполагаем, что
в момент t = 0 наша материальная точка занимает на кривой место,
в котором параметр О—О0, а координаты суть х0 = ср (О0) и
у0 = ф (О0), тогда как скорость движущейся точки в этот момент
равна нулю, т. е. s(0) = 0. Полагая выше t = 0, мы получаем
— ёУо + с == 0, откуда
1 ? = _ g (у _ уо)
Теперь вместо того, чтобы рассматривать s как функцию от t, будем
искать обратную функцию /($) и для этой функции получаем урав-
н.ние
dt __ 1
ds /2,g-(y0 —у)
При извлечении квадратного корня берем знак -[-, так как он дол-
жен совпадать со знаком s; мы изучаем движение на части кривой
ниже точки (х0, у0), где s > 0. Интегрируя, получим
, , f ds
t Сi —|— —'г-- ~ >
j К2^(у0 —у)
где С] — новая постоянная интегрирования. Справа стоит под знаком
интеграла выражение, известное нам как функция от •& по парамет-
рическому заданию кривой. Введя О' в качестве переменной интегри-
рования, получаем
. । f ds dft , Г _ Г х,2-1- у'2
t — Ci 4- — • — = с, -4- 1/ ------С-Д— dft,
1 J db W(y0-y) V 2^(y0-y)
344 гл. v. приложения р
где функции х' = ф/('О), у' = ф'(О), у = ф(О) суть известные нам
функции. Чтобы определить постоянную ct, заметим, что при / = 0
параметр должен равняться О0. Поэтому наше решение принимает
окончательный вид:
а- ,____________
t = [ 1/" Л'2+ у'2 rfO.
J И 2^(у0 —у)
Это уравнение выражает с помощью процесса интегрирования
время t, которое материальная точка затрачивает для прохождения
пути от значения параметра О0 до значения параметра О. Обратная
функция 0(0 для найденной функции /(О) дает возможность пол-
ностью описать процесс движения, ибо мы можем для каждого мо-
мента t определить точку кривой:
х = ф[0(/)], у = ФМ01,
через которую наша движущаяся материальная точка проходит в этот
момент.
2. Исследование движения. С помощью полученных уравнений,
даже не имея явного выражения для результата интегрирования, можно
уяснить себе общий характер движения
путем простого наглядного исследования.
у ____________________В Предположим, что наша кривая
° У имеет показанную на рис. 96 форму,
т. е. состоит из дуги, обращенной своей
выпуклостью вниз. Пусть s возрастает
слева направо. Если в начале движения
L—I___________________мы отпускаем материальную' точку и
В хо & даем ей падать с места А с коорди-
Рис. 96. натами х = х0, у = Уо и парамет-
ром О = О0, то ее скорость воз-
растает, так как ускорение положительно. Материальная точка будет
падать до самой низкой точки дуги со все возрастающей скоростью.
Но, минуя эту самую нижнюю точку кривой, материальная точка за-
медляет свое движение, так как ускорение становится отрицательным,
, dy
ибо правая часть уравнения движения — g -------становится отрица-
тельной. Поэтому скорость убывает, и мы видим из уравнения
s2 —— 2g(у — у0), что, когда материальная точка снова достигает
своей начальной высоты в точке кривой В, скорость обращается
в нуль. Так как ускорение по-прежнему отрицательно, то материаль-
ная точка должна в этом месте возвратиться назад, совершая обрат-
ное качание до места А, и этот процесс, поскольку мы пренебрегаем
трением, должен все время повторяться. В этом колебательном дви-
жении время, требующееся для возвращения материальной точки
от В к А, должно, очевидно, равняться времени, в течение которого
3]
§ 5. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
345
она прошла путь от А до В. Если обозначить время такого полного
колебания туда и обратно через Т, то движение будет, очевидно,
периодически повторяться с периодом Т.
Обозначая через и значения параметра в точках А и В,
мы получим для полупериода нашего колебательного движения сле-
дующее выражение:
о, »
-L= *
2 j V Уо— у /2? J V ’l’(^o) — W)
VQ О •
Если &2 — значение параметра в самой нижней точке кривой, то
время падения от А до этой низшей точки дается выражением
3. Обыкновенный маятник. Простейший пример такого движе-
ния дает так называемый простой или математический маятник. Здесь
заданной кривой является окружность радиуса I:
x = /sin&, у =— Zcosfr.
При этом отсчитываем угол & в обоих направлениях от поло-
жения покоя, т. е. от низшей точки окружности. Из данного выше
общего выражения мы получаем непосредственно
При этом а (0 < а < л) означает угол наибольшего отклонения
маятника, —а есть тот угол отклонения, с которого отпустили
материальную точку при t = 0 со скоростью нуль.
Введем новую переменную интегрирования и с помощью фор-
. О' .а 1 О ,й . а .
мулы sin-x- = и sin-у, так что cos-y dv — sin-y du,
2sin-^- 2 sin у du
=----------du = —.. - ,
cos "T r 1 — и2 sin2 -2-
sin2у — sin2-у = sin у 1^1 — u2 ;
346
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
[4
тогда наше выражение для периода колебания маятника примет вид
1
Мы выразили, таким образом, период колебания маятника с по-
мощью эллиптического интеграла.
Предположим, что угол наибольшего отклонения а очень мал,
так что второй множитель под знаком радикала может быть с доста-
точной точностью заменен единицей. Мы получаем тогда для периода
колебания приближенное выражение:
du
Этот интеграл можно вычислить по формуле 13 нашей таблицы
интегралов (стр. 236), и мы получаем в качестве приближенного значе-
ния Т выражение
4. Циклоидальный маятник. То обстоятельство, что период коле-
бания обыкновенного маятника не строго независим от угла наиболь-
шего отклонения, побудило Христиана Гюйгенса, в связи с его рабо-
тами по устройству точных часов, йскать такую кривую, на которой
период колебания был бы строго независим от того, с какого хлеста
кривой колеблющаяся ма-
териальная точка начинает
свое движение'). Гюйгенс
выяснил, что такой кри-
вой является циклоида.
Для того чтобы ма-
териальная точка могла
вообще совершать коле-
бания по циклоиде, точ-
ки заострения циклоиды
должны быть обращены
в сторону, противоположную направлению силы тяжести, т. е. цик-
лоиду, которую мы до сих цор рассматривали (стр. 305), надо пере-
гнуть вокруг прямой у = а. Получим рис. 97. Поэтому мы пишем
теперь уравнения циклоиды в форме
х = а(Ь — sinf>), у = а (1 -|- cos Я).
') Такие колебания называются изохронными.
§ 6. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
347
Время, в течение которого материальная точка проходит по циклоиде
путь от точки, находящейся на высоте
у0 = а (1 cos а) (0 < а < л),
до самой нижней точки циклоиды, выражается, согласно последней
формуле из п°2, стр. 345, так:
Применяя тождество
л ( 9 СС п Й
cos а — cos v = 2 I cos- у — cos2 у
получаем
Для вычисления определенного интеграла введем новую перемен-
ную и с помощью подстановки
fr а . '& .л о а ,
cosy = и cos у, sin у а» =— 2 создам.
Получаем
d& = —2
о
Г du
J
2 arcsin и |° — л,
откуда
так что период колебания Т действительно не зависит от угла наи-
большего отклонения а.
§ 6. Работа и энергия
1. Общие замечания. Вопросы, рассмотренные в предыдущих
параграфах, как и многие другие проблемы механики и физики,
получают новое освещение, если ввести понятие работы.
Представим себе опять, что материальная точка движется по кривой
под влиянием силы, действующей по направлению этой кривой
(т. е. в каждой точке — по направлению касательной в этой точке),
и что положение точки кривой задается длиной дуги s, отсчитываемой
от некоторой начальной точки. Тогда сила будет в общем случае
348 гл. V. ПРИЛОЖЕНИЯ [1
зависеть от s. Мы допускаем, что она является непрерывной функ-
цией от s. Эта функция принимает положительные значения, когда
сила направлена в сторону возрастания длины дуги s, и отрицатель-
ные, когда сила имеет противоположное направление.
В том случае, когда величина силы, действующей по направлению
движения, постоянна, под работой, произведенной силой, подразуме-
вают произведение силы на путь Sj — s0, пройденный материальной
точкой, где s означает конечную, a s0—начальную точку движения.
Если же сила переменна, то произведенная ею работа должна быть
определена с помощью предельного перехода. Для этого разбиваем
весь интервал от s0 до S] на п равных или неравных частичных
интервалов и предполагаем, что в каждом частичном интервале сила
имеет постоянное значение, например то значение, которое она дей-
ствительно принимает в некоторой точке ov, произвольно взятой
в этом интервале. Для такой прерывной силы, изменяющейся скачками
от одного интервала к другому, работа выражается суммой
2 /(ov)Asv,
v=l
где под /(Oj), /(о2), ..., f(о„) мы подразумеваем промежуточные
значения силы, взятые в первом интервале, втором интервале и т. д.,
а через As,, As2......Asn обозначаем длины этих интервалов. Если
теперь совершить предельный переход, заставляя п неограниченно
расти, а длину наибольшего из частичных интервалов стремиться
к нулю, то наша сумма, согласно определению интеграла, будет
стремиться к интегралу
А = | f (s) ds,
So
и этот интеграл естественно рассматривать как работу, произведен-
ную силой при данном движении.
Если направление силы совпадает с направлением движения, то
произведенная работа положительна; в этом случае говорят, что сила
производит или затрачивает работу, если же направление силы
и направление движения противоположны, то работа отрицательна;
тогда говорят, что произведена работа против силы ’).
Будем рассматривать координату положения s и силу р как функ-
ции времени t: s = s(f), p = p(t). Построим на плоскости систему
прямоугольных координат с абсциссой s и ординатой р. Уравнения
!) Следует помнить, что при этом способе выражения надо четко раз-
личать, о какой силе идет речь. Так, например, при поднимании груза работа
силы тяжести отрицательна. С точки же зрения человека, поднимающего
этот груз, эту работу следует считать положительной, ибо человек, под-
нимающий груз, производит работу посредством силы, направленной про-
тивоположно силе тяжести.
и
§ 6. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
349
s — s (/), р = p(f) дают параметрическое представление некоторой
кривой; представим себе, что она построена. Эта кривая называется
диаграммой работы рассматриваемого процесса. Если мы имеем
дело с периодическим движением, как у любой машины, то точка
(s, р), перемещаясь с изменением параметра t, вернется опять к своему
исходному положению через некоторый промежуток времени Т (период),
т. е. диаграмма работы будет замкнутой кривой. Может случиться,
что эта замкнутая кривая будет состоять из одной и той же дуги,
пробегаемой сперва в одном, затем в обратном направлении; так будет
в том случае, когда сила первоначально задана как однозначная
функция от s и не зависит явно от /, например при упругих коле-
баниях. Однако диаграмма работы может оказаться и настоящей
замкнутой кривой, ограничивающей некоторую площадь; так будет,
например, у всякой тепловой поршневой машины, в которой давле-
ние пара на поршень при прямом его ходе отлично от давления при
обратном ходе поршня. Работа, производимая силой давления пара
за один цикл, т. е. за период Т, выражается интегралом
+
J p(t)^dt,
^0
где промежуток времени от t0 до 10-\-Т представляет как раз один
период движения. Эта работа численно равна взятой с обратным знаком
ориентированной площади, ограниченной диаграммой работы, или,
как говорят, площади петли этой диаграммы (ср. первую из формул
для ориентированной площади на стр. 317). Если обход диаграммы
совершается в положительном направлении, то работа, произведен-
ная паром, отрицательна; если в отрицательном, то произведенная
работа положительна. Если кривая состоит из нескольких петель,
из которых одни пробегаются в положительном направлении, а другие—
в отрицательном, то общий итог произведенной работы выражается
алгебраической суммой ориентированных площадей всех петель, взятой
с обратным знаком.
Сказанное выше хорошо иллюстрируется на практике индика-
торной диаграммой паровой машины. Надлежащим образом приспо-
собленное механическое устройство сообщает движение перу по листу
бумаги; горизонтальное перемещение пера относительно бумаги про-
порционально пути s, пройденному поршнем от своего крайнего
положения, а вертикальное смещение пера пропорционально давлению
пара и, стало быть, пропорционально полной силе р, с которой пар
действует на поршень. Поэтому перо автоматически вычерчивает в из-
вестном масштабе диаграмму работы для паровой машины. Площадь
этой диаграммы измеряют (обычно планиметром) и таким образом
находят работу, производимую паром над поршнем. И здесь стано-
вится ясно, что наше соглашение о знаке площади (стр. 315) имеет не
только чисто теоретический интерес. Действительно, иногда случается,
350 гл- V. ПРИЛОЖЕНИЯ (2
что машина идет легко, что весьма расширившийся в конце хода
поршня пар имеет давление более низкое, чем требуется, для того
чтобы толкнуть поршень в обратный ход; это покажет на диаграмме
работы петля, пробегаемая в положительном направлении; это зна-
чит, что машина вместо того, чтобы дать энергию, сама получает
энергию от махового колеса.
2. Взаимное притяжение двух масс. Одна материальная точка
притягивает другую по закону тяготения Ньютона; в качестве первого
примера мы рассмотрим работу, производимую этой силой притяже-
ния, когда вторая точка движется по прямой, соединяющей обе точки.
По закону тяготения Ньютона сила притяжения обратно пропорцио-
нальна квадрату расстояния. Пусть притягивающая точка находится
в покое в начале координат, а притягиваемая — на расстоянии г от
начала; тогда притягивающая сила будет
/(О = —
где р,—положительная постоянная. Работа, произведенная этой силой
при перемещении второй точки от положения г до положения Г1<г,
положительна и равна интегралу
Если посторонняя сила, противоположная притяжению, заставляет
вторую точку 'удаляться от первой, от положения г до положения
Г] > г, то работа, совершенная силой притяжения, выразится тем же
интегралом, но теперь она будет отрицательной. Работа, произведен-
ная посторонней движущей силой [точнее, та часть этой" работы,
юторая затрачена на преодоление силы притяжения], имеет ту же
бсолютную величину, но противоположный знак: она положительна
и равна ц(1/г— 1/гх). Представим себе, что конечное положение гх
удаляется все дальше и дальше в бесконечность; тогда выражение
для работы будет стремиться к пределу p/г, который можно рас-
сматривать как величину работы, которую надо затратить для преодо-
ления силы притяжения, с тем чтобы полностью удалить подвижную
точку из сферы притяжения неподвижной, от положения г до «бес-
конечности».
Эта работа, равная ц/г, является очень важной физической вели-
чиной и называется потенциалом. Следовательно, потенциал опре-
деляется здесь как та работа, которую требуется затратить для того,
чтобы полностью отделить друг от друга две взаимно притягивающиеся
точки, как, например, работа, требующаяся для того, чтобы электрон
полностью вырвать из атома (ионизационный потенциал).
3. Растягивание пружины. В качестве второго примера рас-
смотрим работу, производимую при растягивании пружины. Мы делаем
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
351
обычное в теории упругости допущение (ср. также стр. 338), что
сила, которая требуется для растягивания пружины, пропорциональна
удлинению х пружины, т. е. p = kx, где k — постоянная. Работа,
которую надо затратить для того, Чтобы растянуть пружину от по-
ложения равновесия х = 0 до конечного положения х — хх, выража-
ется, следовательно, интегралом
-М л
Г kX}
kx dx — -g- •
о
4. Заряжание конденсатора. Аналогично обстоит дело с поня-
тием работы в других областях физики. Рассмотрим, например, про-
цесс заряжания конденсатора. Обозначим через Q количество электри-
чества на конденсаторе, через С его емкость, через V разность
потенциалов на его обкладках. Тогда Q = CV.
Если бы разность потенциалов на обкладках конденсатора имела
постоянное значение V, то работа, требующаяся для того, чтобы
сообщить незаряженному конденсатору количество электричества Q,
измерялась бы произведением QV. Но так как при заряжании разность
потенциалов не постоянна, а возрастает в процессе заряжания, то
надо выполнить предельный переход, совершенно аналогичный про-
веденному нами на стр. 348, и мы получим следующее выражение
для работы, затраченной на заряжание конденсатора:
Qi <21 ,
" 1 Г О2
j QdQ=^=
О о
cvl
~2~
где Q] означает полный заряд электричества, сообщенный конденса-
тору, а V] — разность потенциалов на обкладках в конце процесса
заряжания.
ДОПОЛНЕНИЯ к ГЛАВЕ V
§ 1. Свойства эволюты
На стр. 327 мы вывели для кривой х = x(f), y = y(Z) пара-
метрические уравнения ее эволюты:
? У , х
1 = х-р- / . п = у + р-г . •
У X2 у2 У X2 4- у2
Эти уравнения дают возможность вывести некоторые интересные
геометрические соотношения между данной кривой и ее эволютой.
352
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
Для удобства примем за параметр длину дуги s, так что
х2 У2 = 1. хх -|- уу — О,
Р X у
или
РУ = X и рх = — у.
Поэтому
£ = ру, -п^уД-рх;
дифференцируя, получаем:
j = х —• ру — ру = —- ру, г|= у-4-рх4-рх= рх (1)
и, следовательно,
|х4-т)у==0.
Отсюда Л- • = — 1; так как -Д
I х g
фициенты касательных к эволюте и
:-^2- И 4-==-^ (угловые коэф-
dg х dx
к кривой), то ^.-^ = -1,
т. е. касательная к эволюте и каса-
тельная к кривой в соответствующих
точках взаимно перпендикулярны.
Вспомним, что соответствующими
являются точка кривой и центр кри-
визны, который лежит на эволюте
и на нормали данной кривой.]
Из этого вытекает: нормаль кри-
вой является касательной к ее
эволюте в центре кривизны, или:
касательные к эволюте являются
нормалями данной кривой, или же:
эволюта является «огибающей»
семейства нормалей данной кри-
вой (рис. 98).
[Слово «огибающая» применено
здесь как наглядный образ. Опре-
деление математического понятия
рис 98. огибающей будет дано во втором
томе, гл, III, § 5, п° 2.]
[Обратная теорема тоже верна: если нормали кривой С касаются
кривой Е, то Е является эволютой кривой С. Докажем это.
Пусть уравнения кривой С суть x = x(s), y = y(s), и пусть ее
нормали касаются кривой Ев точках £, = £,($), т] = т]($), где s—длина
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
353
дуги кривой С. Тогда направляющие косинусы — у, х нормали кри-
вой С в точке (х, у) должны равняться направляющим косинусам т)
касательной к кривой Е в точке (£, т|), т. е. —у = j, х = т|, откуда
|х + т|у = 0. (2)
Обозначим через г расстояние между точками М(х, у) и Р(1,, т]);
так как обе эти точки лежат на нормали к кривой С в точке (х, у),
то, проектируя вектор МР на оси, имеем:
£— х==—гу, Т] — у = гх или с = х—г у, Т] = у-)ГГХ.
Дифференцируя последние два равенства по s, получим:
£ = х—г у—ry, rt — y-^-rx-^rx.
Подстановка этих двух выражений, в (2) дает
г (ху — ух) — 1.
Следовательно, г = ... * . „ = р, т. е. точка (£, т]) является центром
ху — ух
кривизны кривой С для точки (х, у). Это и подтверждает, что кри-
вая Е является эволютой кривой С.]
Обозначим через о длину дуги эволюты, отсчитываемую от ее
любой фиксированной начальной точки; тогда
Из предыдущих формул (1), так как х2-[-у2=1, получаем
о2 = р2;
следовательно, при надлежащем выборе направления отсчета а мы
получаем (во всяком случае, пока а остается отличным от нуля)
а = р.
Интегрируя, получаем
°i °о = Pi Ро-
Таким образом, длина дуги эволюты между двумя ее точ-
ками равна разности соответствующих радиусов кривизны дан-
ной кривой, во всяком случае, пока р остается отличным от
нуля вдоль рассматриваемой дуги.
Последнее условие не является излишним: действительно, если р
при переходе через нуль меняет свой знак, так что радиус кривизны
достигает максимума или минимума, то равенство о = р показывает,
что и о имеет максимум или минимум, и при дальнейшем движении
23 Р. Курант
354
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
точки по эволюте длину дуги о следует не просто продолжать счи-
тать дальше, но необходимо изменить направление отсчета дуги
на обратное. Если мы желаем этого избегнуть, то должны при пере-
ходе через такую точку изменить знак в нашем равенстве, т. е.
положить теперь
о = —р.
Кстати, заметим без доказательства, что центры кривизны, соот-
ветствующие максимуму или минимуму радиуса кривизны, являются
точками заострения (точками возврата) эволюты.
Найденное нами геометрическое соотношение может быть выражено
иначе следующим образом. Представим себе, что вдоль дуги эволюты
наложена гибкая нерастяжимая нить,
У & часть которой отделяется от этой
дуги и направлена прямолинейно по
/ X. касательной к ней; если конец нити Q
/ лежит при этом на первоначальной
I кривой С, то при сматывании и раз-
_____I вертывании нити точка Q описывает
' Дугу исходной кривой С. Поэтому
первоначальная кривая С называется
\ /£ эвольвентой (evolvere — разматывать,
\ I развертывать) эволюты Е.
Ч Это соотношение может быть
обращено, т. е. можно исходить от
\ произвольной кривой Е и построить
ее эвольвенту С посредством опи-
санного выше процесса развертыва-
Рис- "• ния. Тогда, обратно, Е является эво-
лютой С.
Для доказательства предположим, что кривая Е, которая теперь
считается заданной, представлена уравнениями В —В (°) и т1 = т1(а)-
где | и я — текущие прямоугольные координаты, а параметром служит
длина дуги о. Процесс развертывания происходит, как показано
на рис. 99. Будем следить за переменным положением Q той точки
нити, которая до развертывания совпадала с точкой А кривой Е,
и пусть точке А соответствует значение а = а. Развернутая прямо-
линейная часть PQ нити касается кривой в точке /’(l, л)> которой
соответствует длина дуги
Длина PQ равна а — о, а направляющие косинусы касательной PQ
(вектора PQ] суть | и т), где теперь точка над буквой есть символ
дифференцирования по о. Отсюда для координат х и у точки Q
получаются выражения:
х=Ч -+-(« — У = П-Н« — «)д
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
355
дающие параметрические уравнения эвольвенты, описанной точ-
кой Q, причем параметром служит о.
[Предположим теперь, что мы развертываем нить, наложенную
на ту же кривую Е по другую сторону от точки А, и следим за дви-
жением того конца Q, нити, который до развертывания находился
в той же точке А. Развернутая часть P^Qt нити является касательной
к линии Е в точке Pv координаты которой будем обозначать £, тг|.
Точке Pj соответствует длина дуги а^-а. Длина Р^ равна а —а,
а направляющие косинусы касательного вектора P^Qt равны соответ-
ственно — £, —т], так как он направлен в сторону убывания пара-
метра о. Проектируя вектор PTQ^ на оси координат, получим:
х —1 = —|(о —а), у —7]== —т](а —а),
и для геометрического места, описываемого точкой получаются
те же уравнения:
х = ^ + (а —o)t у'=т] + (« — о)11-
Но точка А — произвольная точка кривой Е. Отсюда ясно, что если
разрезать намотанную на Е нить в любой ее точке А и развертывать
оба конца нити, смыкающиеся в точке А, то получим для каждой
точки кривой соответствующую ей эвольвенту, т. е. всякая кривая
имеет бесчисленное множество эвольвент'. Ниже будет показано, что
каждая касательная PQ или PjQj к исходной кривой Е нормальна
к эвольвенте С. Отсюда вытекает, что если в точке А кривая Е
имеет (единственную) касательную, то обе ветви эвольвенты, смы-
кающиеся в А, нормальны к этой касательной, т. е. касаются друг
друга. Следовательно, каждая точка кривой Е является точкой заостре-
ния (точкой возврата) для соответствующей ей эвольвенты.]
Дифференцируя уравнения эвольвенты по о, получаем:
х = I “ t + (« — о) 1 = {а — о) |,
у= т| — т] + (а — о)п==(а —a)ii.
Принимая во внимание, что t]T) = О, отсюда получаем
xi 4-й = о.
и это равенство показывает, что прямая PQ является нормалью
к эвольвенте С.
Мы можем поэтому сказать: нормали кривой С являются каса-
тельными кривой Е. На основании обратной теоремы (стр. 352)
из этого следует, что Е является эволютой линии С, так что всякая
кривая является эволютой каждой из своих эвольвент.
23*
356
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
Пример I. Найдем эволюту циклоиды x = t — sinZ, у = 1— cos t
(рис. 100). По формулам (см. стр. 325—327):
„ • х2 -4- у2 . • х2 4~ у'2
g = X — у -ГТ.—, ч = у + т ... ...
ху—ух ху — ух
получаем следующие параметрические уравнения эволюты с тем же пара-
метром t:
g = £-4—sin£, т] = —l-|-cosZ.
Введя новый параметр т с помощью преобразования
t =
получаем:
g — л = т — sint, т)4~2 = 1 — cost;
эти уравнения показывают, что эволюта циклоиды представляет собой опять
циклоиду, конгруэнтную первоначальной и получающуюся из последней
путем параллельного перемещения, как это видно на рис. 100.
Пример 2.
ности | = cos t,
Рис. 101.
Выведем параметрические уравнения эвольвенты окруж-
т] = sin Z, именно той эвольвенты, которая проходит через
точку А (1; 0) окружности (рис. 101).
Параметр t равен длине дуги окружности, отсчитывае-
мой от точки А (1; 0). Подставляя в общие уравнения
эвольвенты (стр. 354—355) а = t, а — 0, £ = cos /, т) = sin t,
g = — sin t, л = cos t, получим параметрические уравнения
эвольвенты окружности:
х = cos t 4~Z sin t, y = sinZ — Z cos Z.
Пример 3. Найдем эволюту эллипса х = a cos Z,
у = b sin Z. По формулам стр. 327 получим параметриче-
ские уравнения эволюты:
• х2 у2 а2 — Ь2
g = х — у ... 1 . .. =-------cos3Z,
ху — ух a t
• х2+у2 а2 — Ь2
и = у -4- х — —~— =------------sin31.
ху — ух Ь
Исключая обычным способом параметр Z, получим уравнение эволюты
эллипса в обычной (не параметрической) форме:
(а§)2/3 4- (6ц)2/3 = (а2 — Ь2^3-
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
357
Эта кривая называется [обобщенной] астроидой. Ее форма показана
на рис 102. На нем видно, что центры кривизны вершин эллипса являются
точками возврата астроиды; это легко проверить по параметрическим урав-
нениям этой кривой.
Упражнения
1. Показать, что эволютой эпициклоиды (упр. 2, стр. 310) служит другая
эпициклоида, подобная данной, и что она может быть получена из данной
при помощи поворота и сжатия.
2. Показать, что эволюта гипоциклоиды (упр. 4, стр. 311) есть тоже
гипоциклоида, подобная данной, и что она может быть получена из данной
путем поворота и растяжения.
§ 2. Площади фигур, ограниченных замкнутыми кривыми
Мы видели в § 2, стр. 315, что площадь, ограниченная замкну-
той кривой х = x(t), y — y(t) (/“0 ^i)’ которая нигде себя
не пересекает (так называемой простой замкнутой кривой), дается
интегралом
tt
— | у (/) x(t)dt,
причем полученное значение положительно или отрицательно, смотря
по тому, является ли направление обхода границы положительным
или отрицательным. Мы теперь распространим этот результат на более
общий класс кривых. Предположим, что замкнутая кривая С, задан-
ная уравнениями x — x(t), у — у ((), сама себя пересекает в конечном
числе точек, выделяя на плоскости конечное число областей /?2> • • •
358
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
Предположим еще, что производные от координат непрерывны, за
исключением, быть может, конечного числа разрывов первого рода,
и что х2—у2 ¥=0, за исключением, быть может, конечного числа зна-
чений t, которые могут соответствовать угловым точкам. И, наконец,
пусть кривая имеет конечное число опорных прямых (стр. 314 и 316).
Каждой области Rt присвоимхпиде/сс pz, определяемый следующим
образом. В каждой области /?z выберем точку Q, не лежащую ни на
какой опорной прямой, и построим полупрямую, выходящую из точки Q
вертикально вверх, т. е. по направлению положительной оси у. Сосчи-
таем, сколько раз кривая С пересекает эту полупрямую справа налево
и сколько раз слева направо, и затем вычтем из первого числа второе;
Рис. 103.
эта разность и есть ин-
декс pz. Например, вну-
тренняя область кривой,
изображенной на рис. 88
(стр. 312), имеет индекс
р = 4-1, а на рис. 103
области Rlt ......./?5
имеют индексы jij = — 1,
Р2 = + 1, Цз = + 2,
р4=— 2, р5= —1. Этот
индекс р; характеризует
область Rt и не зависит от выбора точки Q в Rt. Докажем это следую-
щим образом. Выберем в области Rt другую точку Q', тоже не лежащую
на опорной прямой, и соединим точки Q и Q' ломаной линией, лежащей
полностью в области /?z. Будем двигаться вдоль этой ломаной от Q
к Q'; тогда для вертикальной полупрямой, выходящей из каждой
точки этой линии, разность числа точек пересечения справа налево
и числа точек пересечения слева направо постоянна. Действительно,
между опорными прямыми число пересечений каждого типа не изме-
няется, а всякий раз, как ломаная пересекает какую-либо опорную
прямую, число пересечений каждого типа либо возрастает на единицу.,
либо убывает на’ единицу; и в том и в другом случае разность не
изменяется. В том случае, когда опорная прямая встречает кривую
в нескольких различных точках А, В, . . ., Н, ее можно рассматри-
вать как несколько разных опорных прямых РА, FB...............FH,
где F — точка оси х, лежащая на одной вертикали со всеми точками
А, В......Н, и применить наше рассуждение к каждой из этих
Прямых. Итак, индекс pz сохраняет свое значение независимо от того,
какой' точкой, Q или Q', мы пользуемся для его определения.
В частности, если наша замкнутая кривая сама себя не пересекает,
то внутренние точки кривой составляют одну область R, индекс
которой равен -|-1 или —1, смотря по тому, каково направление
обхода границы — положительное или отрицательное. Для того чтобы
в этом убедиться, проведем какую-либо вертикаль (но не опорную
прямую), пересекающую нашу кривую; на этой вертикали найдем
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
359
высшую точку пересечения Р с кривой и внутри области R выберем
точку Q ниже Р и столь близко к ней, что между Р и Q не будет
точек пересечения с кривой. Тогда выше Q кривая пересекает верти-
каль один раз; если обход кривой совершается в положительном
направлении, то пересечение будет справа налево и р, = —|— 1; в про-
тивном случае ц = —1. Как мы уже видели, то же самое значение р
сохраняется для всякой другой точки области R. Для всякой вообще
замкнутой кривой одна из областей, внешняя область кривой, про-
стирается неограниченно по всем направлениям; такая область имеет,
очевидно, индекс нуль, поэтому мы ее оставляем без внимания.
Теперь мы уже можем формулировать теорему о площади:
Значение интеграла— J y(f)x(f)dt равно сумме абсолютных
h
величин площадей всех областей Rt, причем каждая площадь Rt
предварительно помножена на свой индекс pz. В символической
записи результат выглядит так:
— J у(/)х(0^ = 2и/|пл. РД.
Доказательство несложно. Мы вправе предположить, что наша
замкнутая кривая лежит выше оси х, ибо в противном случае мы
можем этого достигнуть параллельным переносом оси х на надлежа-
щее расстояние вниз (ср. замечание об этом на стр. 315). Опорные
прямые разбивают область Rt на конечное число частей; пусть г —
t,
одна из этих частичных областей. Вычисляя интеграл—J ух dt для
каждой одназначной ветви кривой, найдем, что абсолютная величина
площади г войдет в счет -|-Г раз для каждой ветви, пробегаемой
выше г справа налево, и —1 раз для каждой ветви над г, пробе-
гаемой слева направо; в итоге она войдет в счет pz раз. В резуль-
тате интеграл вдоль всей замкнутой кривой имеет значение, равное
2н«1пл- Rt\> как и было сказано выше. В частном случае простой
замкнутой кривой эта формула дает ориентированную площадь
фигуры, ограниченной этой кривой; это видно из проведенного выше
рассмотрения индекса ц для такой кривой и находится в согласии
с тем, что мы уже знали ранее.
Определение, данное здесь индексу pz, имеет тот недостаток,
что оно основано на частной системе координат. Однако на самом
деле можно показать (хотя мы этого здесь делать не будем), что
значение pz не зависит от выбора системы координат и определяется
только лишь самой замкнутой кривой.
360
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
136. Построить по точкам следующие кривые и найти их уравнения
в непараметрическом виде:
5а/2 5а/3
а) 1-Н5’ У~Т+/5:
б) х — at -j- b sin /, у — а — b cos /, где а > 0, b > 0:
1) при Ъ = а, 2) при b < а, 3) при b > а.
[По поводу б). Преобразование параметра / = л -|- т с последующим пере-
носом начала в точку О, (ла, 2а) и изменением направления оси ординат
на противоположное (х = А' Ц- ла, у = 2а — Y) приводит уравнения б) к виду
X = ат — b sin т, Y = а — b cos т. Отсюда видно (см. стр. 305), что эта кри-
вая есть при Ь = а обыкновенная циклоида, при Ь < а — укороченная, а при
b > а — удлиненная циклоида. Производящий эти кривые круг радиуса а
катится по прямой у = 2а, находясь под нею.]
137*. Показать, что семейство эллипсов
у2 о2
~2----Ч----7 = 1 ПРИ < Ь2
а2— Л 1 Ь2— л г
и семейство гипербол
—-------р -------= 1 при Ь2 < т < а2
а2 — т 1 Ь2 — т
имеют общие фокусы и пересекаются под прямыми углами.
138. Найти подэры (см. стр. 311, задача 11) следующих кривых: а) элли-
пса х = a cos /, у — b sin / относительно его центра; б) гиперболы х — ±ch /,
у = b sh t относительно ее центра; в) параболы у2 == 4рх относительно ее
вершины; г) параболы у2 = Арх относительно ее фокуса.
139. Показать, что касательная к эллипсу образует равные углы с фокаль-
ными радиусами, проведенными в точку касания.
140. Показать, что касательная к гиперболе образует равные углы
с фокальными радиусами, проведенными в точку касания.
141. По обе стороны от каждой точки параболы у2 — 2рх отложен по
нормали отрезок постоянной длины Z. Найти параметрические уравнения
геометрического места концов отложенных отрезков.
141а. По обе стороны от каждой точки кривой х — х (/), у = у (/) отло-
жен по нормали отрезок постоянной длины Z. Найти параметрические ура-
внения геометрического места концов отложенных отрезков.
142. Найти площадь, ограниченную петлей кривой
х5 у5 — 5ах2у2 = 0.
143. Найти площадь, ограниченную кривой
а2 (х2 4- у2)2 (Ь2х2 4- а2у2) = (а2 — Ь2)2 Ь2х\
144. Найти длину дуги эпициклоиды
, . ,ч , а 4“ b , . . ,. . , , . а 4* Ь ,
х — (а 4- о) cos / — о cos —±— /, у = (а 4- b) sin / — о sin —4— /
от начальной точки / = 0 до переменной точки /.
145*. Доказать, что если кривизна кривой, лежащей в плоскости х, у,
есть монотонная функция длины дуги, то кривая не замкнута и не имеет
двойных точек.
146. Найти момент инерции тонкого стержня длины Z: а) относительно
его середины; б) относительно одного из концов; в) относительно точки на
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V 361
оси стержня, находящейся на расстоянии d от его середины; г) относительно
любой точки, находящейся на расстоянии d от его середины.
147. Найти уравнения всех кривых, пересекающих полупрямые, выходя-
щие из начала координат, под постоянным углом а.
148. Найти уравнения кривых, нормаль которых имеет постоянную
длину k. (Длиной нормали называется длина ее отрезка между соответству-
ющей точкой кривой и осью абсцисс.)
149. Показать, что единственными кривыми, кривизна которых есть
определенная постоянная k, являются окружности радиуса l/k.
150. Найти уравнения всех кривых, центр кривизны которых лежит на
оси х, а стало быть, их радиус кривизны равен длине нормали [см.
задачу 148].
151. Найти уравнения всех кривых, радиус кривизны которых равен
длине нормали, но их центр кривизны не лежит на оси х.
152*. Вывести формулу для длины дуги в полярных координатах [пря-
мым путем, не прибегая к преобразованию декартовых координат в по-
лярные].
153. Вывести формулу для кривизны кривой, заданной в полярных коор-
динатах уравнением г = f (0) [прямым путем, не прибегая к преобразованию
уже известной формулы в декартовых координатах. Ср. упр. 16 на стр. 334].
Г Л А В A VI
ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
МНОГОЧЛЕНАМИ
Рациональные функции являются во многих отношениях простей-
шими функциями анализа; они получаются при выполнении над пере-
менной х конечного числа рациональных действий, между тем как
образование всякой другой функции в конечном счете требует,
в более или менее замаскированной форме, предельного перехода от
рациональных функций. Поэтому большое теоретическое и практи-
ческое значение имеет вопрос, можно ли заданную'функцию f (х)
приближенно представить или, как говорят, аппроксимировать с помощью
рациональных и, в особенности, с помощью целых рациональных
функций (многочленов).
§1. Логарифм и арктангенс
1. Логарифм. Рассмотрим сперва несколько частных случаев,
в которых интегрирование геометрической прогрессии почти непосред-
ственно приводит к требуемому приближенному выражению. Сначала
напомним, что при q =£ 1 и при целом положительном п
ТТ2ГТ- = 1 + Ч + Ч2 + • • • + Чп~х + гп,
* ч
где
В случае |^|< 1 остаток гп стремится к нулю с возрастанием п,
и мы тогда получаем (стр. 53) бесконечный геометрический ряд
1 q -ф- q2 -ф- ... с суммой •
Теперь рассмотрим формулу
X
|"<1+^ = /ттг
о
и развернем подынтегральное выражение по предыдущей формуле,
в которой полагаем q = — t. Тогда, интегрируя, получаем
у2 уЗ у4 1 уП
1п(1 +х) = х—+ ^-+ . . . +(_!)«-’А.
1)
5 1. ЛОГАРИФМ И АРКТАНГЕНС
363
причем
о о
Таким образом, при любом целом положительном п мы прибли-
женно выразили функцию 1п(1-{-х) с помощью целой рациональной
функции степени п, именно с помощью многочлена
>•2 v3
(л-1) Хп
п
остаточный член Rn указывает, как велика ошибка при этом
аппроксимировании.
Чтобы оценить точность этого приближения, достаточно только
получить оценку остаточного члена /?„; эта оценка сразу же полу-
чается на оснований оценок определенных интегралов (стр. 153).
Предположим сначала, что х 0; тогда подынтегральная функция
во всем промежутке интегрирования неотрицательна и меньше чем t".
Следовательно,
J n-f-l
о
и мы видим, что для всех значений х, лежащих в интервале 1,
можно сделать | Rn | сколь угодно малым, если только выбрать
достаточно большое значение п (ср. гл. I, § 5, п° 5, стр. 50).
Если же х лежит в интервале —1 < х 0, то подынтегральная
функция сохраняет постоянный знак и по абсолютной величине не
превосходит
и мы получаем следующую оценку остаточного
члена:
1*„1
|х|п+>
(1 х) (п-)-1)
Итак, мы видим, что и в этом случае |/?„| сколь угодно мала
при достаточно большом значении п; но наша оценка, разумеется,
неприменима при х =—1.
Окончательно мы можем утверждать, что
ln(l 4-x) = x-4+4----+b1)',"1v + /?-
причем остаточный член Rn с возрастанием п стремится к нулю,
если х лежит в интервале —1 < 1 ’)• Из предыдущих неравенств
можно даже вывести одну и ту же оценку |/?„| для всех значений х
*) Следует заметить, что этот интервал слева открыт, а'справа замкнут.
364
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
[1
интервала —1 -h х 1, где h означает положительное произ-
вольно малое число, 0<й<1. Именно
|Я„|<
1 1
h п + 1
Эта формула показывает, что во всем интервале функцию In (1 -|-х)
можно приближенно представить многочленом и-й степени по край-
ней мере с точностью до • Читателю предоставляется само-
стоятельно доказать, что для всех значений х, для которых |х|> 1,
остаточный член не только не стремится к нулю, но с возрастанием
п неограниченно возрастает по абсолютной величине, так что для
этих значений х наши многочлены не дают приближенного выраже-
ния логарифмической функции.
Тот факт, что в указанном интервале ошибка Rn стремится
к нулю с возрастанием п, выражают также следующим образом:
в этом интервале логарифм разлагается в бесконечный ряд ’)
у2 уЗ у4
1п(1+х) = х-^+4г-.
Если в этом ряде положить х = 1, то получим замечательную
формулу:
In 2 = 1— I4-I — 1+ . . .
Это одно из тех соотношений, открытие которых произвело
глубокое впечатление на первых исследователей в области диффе-
ренциального и интегрального исчисления.
Данное выше приближенное выражение логарифма приводит
к другой формуле, полезной во многих отношениях, в особенности
для приближенных вычислений. Предполагая, что —1 1, под-
ставляем — х вместо х в формулу для ln(l-j-*)'> получится формула
. .. , л2 л3 л4 хп
In (1 — х)= — х----2---3----4------ • •-п-----Rn'
и путем вычитания, при четном п, придем к равенству
1 1+л I %3 । х~а । । -vZ!-1 I D
т пт=т=х+-з-+-5-+ • • • +t=t+^-
При этом остаточный член дается выражением
= J+ #л) = у J t (-jyp- + ) dt = / 1—^2 dt-
о 0
*) Учение о бесконечных рядах будет подробно изложено в гл. VIII.
2]
§ 1. ЛОГАРИФМ И АРКТАНГЕНС
365
Мы предположили, что —1 <х< 1; поэтому
откуда видно, что остаточный член Rn с возрастанием п стремится
к нулю, что мы опять выразим, написав разложение в бесконечный
ряд:
1 , 14-х ,, . х3 , х5 . х1 .
11nT=7T~ arth .V —- x + -g- + -g- + -7-+ ....
справедливое при всех значениях х, для которых | х | < 1. Это и
есть обещанная формула.
Преимущество этой формулы заключается в том, что когда х
g. , , , . 1 -4- х g.
пробегает промежуток — 1 < х < 1, выражение 1 пробегает все
положительные числа. Поэтому последняя формула дает возможность
вычислить логарифм любого положительного числа с погрешностью,
не превосходящей данной выше оценки для | Rn |.
2. Арктангенс. Подобным же образом можно поступить и с функ-
цией arctgx; при этом мы исходим из формулы
... ^«-2+ /.л1
1 4-
где
tin
Интегрируя от 0 до х, получаем
уЗ у 5 „ 1 1
arctgx —х — -+ ... +(-ir1^=T + ^.
Г /27?
/?л==(—1Г J -пр-Л.
о
и мы тотчас же видим, что в интервале — 1 х 1 остаточный
член, Rn стремится с возрастанием п к нулю, так как
Из выражения для Rn легко заключить, что при | х | > 1 |/?д |
с возрастанием п неограниченно возрастает. При | х |-< 1 мы, таким
образом, получаем бесконечный ряд
уЗ у5
arctgx — х----з"+^--------к • • •>
366
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
(1
из которого при значении х = 1 ^так как arctg 1 = получается ряд
4 3^5 7 ' •••’
называемый рядом Лейбница.
Этот результат
для In 2.
столь же замечателен, как и ряд, полученный
Упражнения
1. Доказать, что х -
х > 0. Отсюда вычислить
2. Вычислить In-3* с
о
у2 г3 у2 уЗ
--г+3(1+х) <1п(1+а)<х--т+-г при
. 4
In-я- с двумя , знаками после запятой,
о
тремя десятичными знаками, пользуясь рядом
1п(1 + л)=х-----—д-— + ... Доказать, что результат верен с точ-
ностью до 0,001.
3. Вычислить In -=- с тремя десятичными знаками, пользуясь рядом для
О
4. Сколько членов ряда для In (1 4- х) надо взять, чтобы получить
In (1 4-х) с точностью до 10%, если 30 <х 31?
§ 2. Формула Тэйлора
Приближенное выражение с помощью рациональных функций,
как в только что рассмотренных частных случаях, можно также по-
лучить и для произвольной функции f(х), относительно которой
предполагается только, что для всех значений аргумента из некото-
рого заданного замкнутого интервала она имеет непрерывные произ-
водные по крайней мере до (п4-1)-го порядка. В большинстве слу-
чаев, с которыми приходится иметь дело,, заранее известно, что
производные всех порядков существуют и непрерывны, так что
в качестве п можно взять любое число натурального ряда. Формула
приближенного выражения функции, которую мы сейчас выведем,
была открыта в начальный период развития дифференциального и
интегрального исчисления Тэйлором (Taylor), учеником Ньютона, и
носит название формулы Тэйлора1).
1. Формула Тэйлора для целых рациональных функций. Для
того чтобы ориентироваться в вопросе, рассмотрим сперва случай,
когда функция f(x)~a0-\-alx-[- ... -|-алхя сама является целой
рациональной функцией степени п. В этом случае можно просто вы-
*) Частный случай этой формулы часто называют формулой Маклорена
без всяких к тому оснований, как исторических, так и по существу. Мы не
будем следовать этому обычаю.
21
§ 2. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
367
разить коэффициенты этого многочлена через производные от f (х)
в точке х = 0. С этой целью дифференцируем наше равенство по х
последовательно п раз и затем положим х = 0. Таким путем полу-
чаем следующие выражения для коэффициентов:
ао==/(0), ^=/'(0), а2 = -%/"(<)).........«n = ^r/W(0)-
Следовательно, всякая целая рациональная функция степени п
может быть представлена в виде
/(х) = /(0) + хГ(0) + -^Г(0) + ^-Г'(0)+ ... +^1/">(0).
Эта формула устанавливает только, что коэффициенты можно
выразить через производные в точке нуль, и дает для них эти вы-
ражения.
Это «тэйлоровское представление» целой рациональной функции
можно несколько обобщить. Для этого заменим х через £ = х4-Л
и будем рассматривать функцию f (с) = / (х -|- й) = g (й) как целую
рациональную функцию степени п от й, считая пока х постоянным
числом, а й независимой переменной. Тогда
следовательно, полагая й = 0, получим
g'(0) = /(x)......g(n\0) = fln)(x).
Применив нашу формулу к функции / (х 4~ й) = g (h), которая
является многочленом степени п от й, получим формулу Тэйлора:
/(|) = /(х + й) =
= / (X) + hf (X) 4- /" (X) + Г (X) +. ... + (X)..
В качестве частного случая, для функции /(х) = хп при натураль-
ном. п получаем формулу бинома Ньютона-.
. (х4-й)я = хп + (")х"-1й + ... 4-й",
где числа
1п\ п(п — 1) ... (п — &4~ 1) и! / п \
\й/ й! й!(п— й)! \n — k)
суть биномиальные коэффициенты (см. также Дополнения к гл. III,
§ 3, п° 1).
2. Формула Тэйлора для любой функции. Полученная формула
наводит на мысль искать подобное же выражение и для любой функ-
ции /(х), не только многочлена; но тогда речь может идти только
о приближенном представлении данной функции с помощью много-
члена.
368 ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА [2
Мы хотим сравнить друг с другом значения функции / в точке х
и в точке £ = х-{~/г, где h, следовательно, равно £ — х. Теперь
выражение
/(х) + (^-х)/'(*)4- ... +-^5^/(я)(х),
где п — какое-либо натуральное число, вообще говоря, уже не дает
точно значения /(£). Мы должны поэтому положить
/©=/W+(H^)/'W+^r-/"(Jc)+ • • •
... +IL=r1/('!,W + ^. (А)
где так называемый остаточный член Rn означает ошибку, получаю-
щуюся при замене /(£) многочленом /(x)-j-(g,— х)/'(х)-|- ... Это
равенство есть не что иное, как формальное определение остаточ-
ного члена Rn, но значение этого равенства заключается в том, что
очень легко найти наглядное и удобное выражение для Rn. С этой
целью представим себе величину £ постоянной, а х независимой пе-
ременной; тогда остаточный член является функцией Rn(x). Эта
функция обращается в нуль при х = £, что непосредственно следует
из нашего равенства, определяющего Rn, т. е.
/<(!)-о.
Далее путем дифференцирования по х получаем
В самом деле, дифференцируя равенство (А) по х, мы слева по-
лучаем нуль, так как f (t,) не зависит от х и поэтому при измене-
нии х остается постоянной; справа мы дифференцируем все слагае-
мые, помимо Rn(x), как произведения и замечаем, что при этом все
члены взаимно уничтожаются, кроме последнего, который перенесен
на другую сторону с обратным знаком.
Но, согласно основной теореме интегрального исчисления, имеем
х I
Rn (х) = Rn (х) — Rn (%) = J R'n (t) dt = — J R'n (/) dt.
I X
Таким образом, мы получаем для остаточного члена выражение
5 x+h
Rn (х) = J +° (0 dt = J U+^01 +1)(0 dL
21
§ 2. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
369
Введем новую переменную интегрирования x = t— х; тогда последнее
выражение примет такой вид:
h
= тИ(/г - т>л /я+1) +т)dx-
о
Резюмируем полученный результат:
Если функция f (х) имеет в рассматриваемом интервале
непрерывные производные до (/г4-1)-го порядка, то
/ (х + й) = /(х) + й/'(х) + -^-/"(*) +
+ ^Г(х) + ... +^f{n4x)+Rn
или, что равносильно, при h = l> — х
...
••• +д=г17(л)(^+^
причем остаточный член Rn выражается формулой
= х)п f'n+" (х + т) dx.
(А)
(А!)
Если положим, в частности, x — Q, а вместо h будем опять
писать х, то получим формулу
/(х) = /(0) + уГ(0) + ^-/"(0)+ ... + (В)
с остаточным членом
X
{X-xY f(n^ (у) dx.
о
(Bi)
Формула (А) и ее частный случай формула В называются фор-
мулами Тэйлора. (А) выражает /(х-)-й) приближенно в виде целого
многочлена степени п относительно h, а формула (В) выражает
/ (х) с помощью многочлена степени п относительно х, с добавлением
(в каждой из этих формул) остаточного члена. Упомянутый целый
многочлен называется аппроксимирующим полиномом или приближаю-
щим многочленом. Приближающий многочлен характеризуется тем,
что при й —0 [формула (А)] или при х = 0 [формула (В)] его зна-
чение и значения его первых п производных совпадают с соответ-
ствующими значениями функции и ее первых п производных.
[Говорят еще, что формула (В) дает разложение функции /(х)
по формуле Тэйлора в окрестности точки х = 0 (иногда прибавляют:
24 Р. Курант
370
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
[3
по степеням х), а формула (А) дает разложение той же функции /(х)
по формуле Тэйлора в окрестности точки х (по степеням при-
ращения А).]
В формулах (А) и (В) остаточный член и его выражение играют
существенную роль, в отличие от формул Тэйлора для целого много-
члена, которые являются точными и не содержат поэтому остаточного
члена. Значение этих формул состоит в том, что хотя остаточный
член и имеет более сложный вид, чем другие члены формулы, но он
является удобным орудием для оценки точности, с которой «Ц-1
членов приближающего многочлена представляют /(х-|-/г) или /(х).
*3. Другой вывод формулы Тэйлора с остаточным членом.
Дадим другой вывод формулы Тэйлора, который приведет нас впо-
следствии к имеющей важное значение суммационной формуле Эйлера
(стр. 543). Исходим из тождества
I I
X X
в котором мы рассматриваем х и Е, как фиксированные числа. Вос-
пользуемся обобщенным правилом интегрирования произведения и по-
ложим ф(0=1, — эту функцию будем последовательно интегриро-
вать, а второй множитель f'(f) будем последовательно дифференци-
ровать. В качестве первообразной для <р(/) берем qx(t) = t—£,
а не t, с той целью, чтобы при подстановке верхнего предела она
обращалась в нуль; аналогично выбираем первообразную для q>i (t):
Н__S)2
<p2(f)=3—и T. д. Выписываем n членов готовой части и до-
полнительный интегральный член:
£
J1 • /' (.t) at=[(* - g) г (o - r (/)+-£=Д r (o -
-... +(-1)"-1 1)" / /л+1)(о^.
X
Следовательно,
f (I) - f (x) = -ЦД r (X) + f" (X) +
+ f" (*) + • • • +
где
Мы получили ту же формулу Тэйлора.#
4]
§ 2. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
371
4. Оценка остаточного члена. Насколько первые п -f- 1 членов
формулы Тэйлора действительно дают достаточно хорошее прибли-
жение к функции, будет, конечно, зависеть от того, как мал оста-
точный член; поэтому следует сосредоточить внимание на оценке
этого остаточного члена. Естественным средством для такой оценки
является теорема о среднем значении из интегрального исчисления
[гл. II, § 7, стр. 155, формула (*)]. Применяем эту теорему в сле-
дующем виде:
л л
J Р (О ф (т) dx = <р (й/г) J p(x)dx,
о о
причем р (т) предполагается непрерывной неотрицательной функцией
в промежутке интегрирования, ф(т) — только непрерывной в этом
промежутке, а й — некоторое значение из интервала 0 < $ < 1. Если
в формуле (А]) (стр. 369) для остаточного члена примем (А — т)"
за р (т), то получим остаточный член в форме Лагранжа:
^ = 7^/я+1,(х + ^);
если же вместо этого положить р (т) = 1, то получится выражение
остаточного члена в форме Коши:
= Air (1 - <»7( 4- Ы).
В этих формулах б' есть некоторое промежуточное число из интер-
вала 0 < ft < 1; установить это число точнее мы не можем. Это про-
межуточное значение, вообще говоря, конечно, различно в обеих
формулах для остаточного члена и к тому же зависит от п, х и h.
Первая форма остаточного члена дана Лагранжем, вторая — Коши, и
по имени их авторов они и получили свои названия *)• Подставив
‘) Эти и еще другие выражения для остаточного члена можно вывести
и из теоремы о среднем значении дифференциального исчисления или из
обобщенной теоремы о среднем значении (стр. 229). Нужно применить з ин-
тервале от g до х эту теорему к функции Rn (х) или обобщенную теорему
к дроби
fin (*)
(X — е)л + 1 ’
причем следует рассматривать § как постоянную и воспользоваться фор-
мулами:
/?„£)= О и R'n{x} = - (^~Х)П Лл+1)(%).
При таком выводе формул для остаточного члена больше выделяется
характер формулы Тэйлора как обобщения теоремы о среднем значении;
кроме того, имеется то в теоретическом смысле важное преимущество, что
достаточно предполагать только существование, но не непрерывность про-
изводной (л4-1)-го порядка. Однако при этом лишаемся точного выраже-
ния остаточного члена с помощью интеграла.
24*
372
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
в остаточный член в форме Лагранжа х = 0 и заменив h на х,
получим остаточный член в форме Лагранжа для разложения (В):
v/2 4-l .
Наибольший интерес представляет следующий вопрос: стремится ли
остаточный член с возрастанием п к нулю? если это так, то
функция /(хЦ-й) тем точнее выражается соответствующей целой
рациональной функцией от h, чем больше п. В этом случае говорят»
что функция разлагается в бесконечный ряд Тэйлора
f(x + h) = f(x)+^f (x) + f"+ ЗГ f" W + • • •
или, в частности, если положим сперва х=0 и затем заменим h
через х,
fW=f (0)+/' (0) 4- 4 Г (0) + 4 f" (°) + • • •
В ближайшем параграфе мы познакомимся с примерами такого
разложения.
Однако сначала отметим вторую существенную точку зрения, вы-
текающую из рассмотрения формулы Тэйлора. Представим себе, что
в первой формуле величина h. становится все меньше по абсолютной
величине и стремится к нулю; тогда (пользуемся терминологией
гл. III, § 9, стр. 222) порядок малости отдельных членов ряда раз-
личен; соответственно этому мы называем / (х) членом нулевого по-
h.2
рядка, hf'tx) членом первого порядка, f"(x) членом второго по-
рядка и т. д. Форма нашего остаточного члена показывает, что при
развертывании до членов п-го порядка мы совершаем ошибку,
порядок малости которой при й —> 0 равен п -|- 1. На этом осно-
ваны многие важные применения формулы Тэйлора. Мы видим, что
аппроксимирующий полином тем лучше представляет функцию f (х-|-й),
чем ближе находится точка х-(-й к точке х, и что в непосредст-
венной окрестности точки х это приближение может быть улучшено
путем увеличения числа п.
Упражнения
1. Функция /(х) имеет непрерывную производную в интервале
а /" (х) 0 всюду в этом интервале. Пусть g — любая точка из этого ин-
тервала; доказать, что график функции / (х) чв точке х = g, у — f (g) нигде
не лежит ниже своей касательной. (Воспользоваться формулой Тэйлора
с тремя членами.)
2. В выражении остаточного члена Rn в форме Лагранжа найти значе-
ние промежуточного числа й при разложении по степеням х функций
1 —х и 1 4--* *
1]
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЭЙЛОРА 373.
§ 3. Приложения. Разложение элементарных функций
в ряд Тэйлора
Мы воспользуемся общими результатами предыдущего параграфа
для того, чтобы приближенно выразить элементарные функции с по-
мощью многочленов и разложить их в ряды Тэйлора. При этом мы,
однако, ограничимся только такими функциями, для которых коэф-
фициенты разложения образуются по простым законам. В гл. VIII
мы выведем разложения в ряд некоторых функций с помощью дру-
гих методов.
1. Показательная функция. Иррациональность числа е. Про-
стейшим примером является показательная функция f (х) = ех. На-
пишем ее разложение по степеням х. В этом случае все производ-
ные тождественны с /(х), и все они принимают поэтому при х = 0-
значения, равные 1. По формуле Тэйлора (В) (стр. 369), пользуясь
остаточным членом в форме Лагранжа, сразу получаем
у у 2 уЗ ХП yfl+l «
е 1 2! 31 ‘ п! (п +1)! ‘
Если будем неограниченно увеличивать число п, то остаточный
член будет стремиться к нулю, каково бы ни было взятое нами зна-
чение х. В самом деле, прежде всего | е®х | < е<х।. Выберем теперь,
целое число т большее, чем 21 х |. Тогда при п т имеем:
|х|/п< 1/2,
xn+1 _ I хт I . |хI |х| Iхт I 1 12хр 1 .
(п + 1)! ~ т! ' тя + 1 ’ ' ’ п + 1 ml < ml ' 2п ’
следовательно,
1
2« '
Так как первые два множителя, стоящие в правой части, не зависят
от п, а множитель 1/2" с возрастанием п стремится к нулю, то, дей-
ствительно, Rn—>0 при п—>оо. Если будем рассматривать х не как
фиксированное число, а дадим ему возможность изменяться в интер-
вале — « + x </+, где а — постоянное положительное число, то из
предыдущего рассуждения, если только выбрать т > 2й, следует,,
что
|Я„1
(2«)W .a 1
ml ’ 2" '
Тем самым мы указали для
члена верхнюю границу, общую
— а^х^а и стремящуюся к
абсолютной величины остаточного
для всех значений х в промежутке
нулю при ,и—>со. Поэтому можно
374
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
П
для функции ех написать разложение в бесконечный ряд:
V
v=0
Последняя запись со знаком суммирования У есть просто сокращен-
ное выражение для ряда. Это разложение в ряд имеет место для
всех значений х. Вместе с тем мы снова подтвердили, что число е,
рассмотренное в гл. I (стр. 62), совпадает с основанием натуральных
логарифмов (гл. III, § 6). Для вычислительных целей мы должны,
конечно, пользоваться формулой Тэйлора с остаточным членом; на-
пример,
при х = 1 эта формула дает
e==i + 1+ir+i+ •
1 । е*
лГ-*- (п 4-1)! '
(1)
хотят вычислить е с точностью до 1/10 000, то достаточно
п настолько большим, чтобы остаточный член был меньше
3 i\
ёгтпг то д0‘
30000. Таким образом, находим
Если
выбрать
чем 1/10 000; так как остаточный член меньше чем
отаточно взять п = 7, так как 8!
приближенное значение
е = 2,7182
ч: погрешностью, не превышающей 0,0001. Ошибок, происшедших
от округления, мы не учитывали.
Из формулы (1) легко вывести, что число е иррационально. Дей-
ствительно, если бы оно было, напротив, рационально, то было бы
e = pfq, где р и q— целые числа. Выберем тогда п больше зна-
менателя q. В таком случае п!е = п! -£ должно быть целым числом.
л! л!
С другой стороны, nle = 2п1~. .. 4~ + n> а так
как е9 < е < 3, то 0 < < 1- Таким образом, целое число п.\е
должно равняться сумме целого числа 2л!. -ф- 1 с отлич-
ным от нуля числом, меньшим единицы, что невозможно.
!) Мы здесь воспользовались неравенством е < 3, которое непосредст-
венно вытекает из нашего ряда для е (ср. также стр. 62). В самом.деле,
— <—J—j- при всяком л > 2; поэтому е<1-р1-|—--j- —+ . . = 1 4-
3.
2]
$ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЭЙЛОРА 375
2. Разложение в ряд функций sinx, cosx, shx, chx. Для
функций sin х, cos х, sh х , ch х получаем следующие выражения их
производных ’):
7(х) = sinx cosx sh x ch x,
/'(*) = cos X — sin x chx sh x,
/"(*) = - sin x — cos X sh x ch x,
/"'(х) = ^ cos X sin x ch x sh x,
/JVW = sin x cosx sh x ch x,
Для того чтобы получить коэффициенты разложения вида (В) (стр. 369>
по степеням х, надо в эти формулы подставить х = 0. »
Следовательно, в аппроксимирующих полиномах для sinx и shx
обращаются в нуль коэффициенты при четных степенях х, а в ап-
проксимирующих полиномах для cosx и chx обращаются в нуль
коэффициенты при нечетных степенях, так что в первом случае
(2ro—j— 1)-Я многочлен и (2и-|-2)-й многочлен тождественны между
собой, а во втором случае — 2и-й и (2н-1- 1)-й. Представим себе,
что мы берем каждый раз высший многочлен; тогда, пользуясь оста-
точным членом в форме Лагранжа (стр. 372), получаем:
уЗ у5 1
sinx = x-^+^- + ... +(- ir-^+T), +
-j i y2fl-h3
+ (2п -|- 3)! C0S
• у2 у4 у* 2 71
cosx^i-^ + ^L-----------Н ... +(_1)« _£_ +
» „ । 1
+ (-Dn+1 (2п + 2)! cos(Ox),
уЗ у5 у2Л-}-1 у2Л+3
shx = x4--3j- + -^-+ .. . + (2п4-1)! + (2п4-3)! ch
у2 у4 1*2Л у2Л + 2
chx= 1 +~2г + '4Г“Ь‘-• • +(2njT-^ (2п4-2)! ch
причем й в каждой из четырех формул означает, конечно, различные
числа из интервала 0 < ft < 1, которые зависят к тому же от х и п.
И в этих формулах можно при любом значении х довести при-
ближение до какой угодно точности, так как остаточный член с
>) Для функций /(x) = sinx или 7(x) = cosx можно вывести общее-
выражение для n-й производной:
376
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
[3
возрастанием п стремится к нулю. Таким образом, получаем четыре
разложения в ряд: '
х3 । х5 . nV x2v+1
sinx — x 31 + 51 +•••—2/ (2v-f-l)! ’
v=0
00 9
, X2 . X4 . __ V t nv x
cosx 1 2! + 4! + •• 2^ ( 1) (2v)l ’
v=o
, , X3 , X5 , _ V -+ + 1
stix^x + ^p + ^-H- .. . — 2| (2v + l)! ’
v=0
co 9
, . . x2 x4 Vх
ch x 14- 2! + 41 + • • • 2j (2v)! '
v=o
IB разложениях для cos x и ch x при v = 0 получится в знамена-
теле 0!, что не имеет смысла с точки зрения определения факториала.
Условлено считать 0!= 1.]
Два последних ряда можно также получить формальным путем из
разложения в ряд функции ех с помощью формул, определяющих
гиперболические функции.
3. Биномиальный ряд. Мы не станем снова разлагать в ряд
с помощью формулы Тэйлора функции 1п(14~-х) и arctgx, для
которых мы это уже сделали с помощью специального приема в § 1.
Но мы должны еще рассмотреть обобщение формулы бинома для
любых показателей. Это обобщение является одним из плодотвор-
нейших математических открытий Ньютона и представляет одно из
важнейших разложений в ряд Тэйлора. Речь идет о том, чтобы раз-
ложить по формуле Тэйлора функцию
/(х) = (1+х)“
при произвольном положительном или отрицательном, рациональном
или иррациональном значении показателя а. То, что мы выбрали
функцию (14-х)“, а не функцию х“, объясняется тем, что у функ-
ции х“ в точке х=0 не все производные непрерывны, если исклю-
чить тривиальный случай целого неотрицательного а. Найдем сперва
производные от /(х):
/'(х) = а(1 4-х)“-1, f"(x) = a(a — 1) (1 4-х)“~2......
/(*) (Х) = а (а _ 1)... (а — А 4-1) (1 + х)“+
Подставляя х = 0, получаем
7(0)= 1, /'(0) = а, /"(0) = а(а-1)...........
/(й)(0) = а(а— 1) ... (а — &4~1)«
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЭЙЛОРА 377
Таким образом, получается формула Тэйлора для бийома
(1+х)°=1+их+
, а(а—1)(а —2)... (а —л+'l п
Н----------------------—х +«»•
Исследование остаточного члена будет дано в Дополнениях к этой
главе (стр. 386). Кроме того, вопрос о разложении бинома в беско-
нечный ряд будет полностью решен другим путем в гл. VIII (стр. 466).
Здесь мы приведем лишь результат, что при | х | < 1 остаточный
член с возрастанием п стремится к нулю и, следовательно, функция
(l-f-*)0 может быть разложена в бесконечный биномиальный ряд'.
(1+х)“= 1+^х + -1<^х2+...=2(«)хй,
л=о'
где для сокращения введены обозначения обобщенных биномиальных,
коэффициентов
/а\ а (а—1) ... (а— £4-1) / и I «\ <
------ (при£>0), (0) = 1.
Упражнения
1. Написать формулу Тэйлора для функции (14-А')',,! — два члена плюс
остаточный член. Оценить остаточный член.
2. Воспользоваться разложением из упр. 1 (отбросив остаточный член)
для вычисления . Какова степень точности этого приближения?
3/-___
3. Аппроксимировать у l-j-х линейной функцией по формуле Тэйлора
в окрестности точки х — 0. Между какими значениями х ошибка приближе-
ния меньше чем 0,01?
4. Аппроксимировать функцию 1 -1- х в окрестности точки л=0
многочленом второй степени по формуле Тэйлора. Какова наибольшая (по
абсолютной величине) погрешность в интервале —0,1 <х <0,1?
5. Найти: а) линейную функцию, б) квадратичную функцию, дающие
п ________________
приближения к в окрестности точки х — 0; каковы наибольшие по
абсолютной величине погрешности при —0,1 < х< 0,1?
6. Вычислить sin (0,01) с четырьмя знаками после запятой.
7. Вычислить с четырьмя знаками после запятой: a) cos 0,01; б) '|/*126;_
в)
8. Разложить sin(x-f-A) в ряд Тэйлора в окрестности точки х (т. е. по
степеням h). С помощью этого ряда найти sin 31° [= sin (30° -f- I0)] с тремя
десятичными знаками.
В упр. 9—18 разложить указанные функции в окрестности точки х = 0
по формуле Тэйлора, написав три члена и остаточный член в форме Лаг-
ранжа.
9. sin2 х. 10. cos3 х.
378
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
11. In COS X. 15. ----------.
COS X
12. tgx. 16. ctgx-----—.
COS X Sin X X
14. e~x\ 18. '"(H-A.
1 X
19. а) Для функции e8inx написать первые пять членов формулы Тэйлора
и остаточный член /?5. б) В ряд (по степеням х) для е2 подставить вместо г
ряд для sinx (по степеням х), взяв достаточно членов, чтобы обеспечить
правильность коэффициента при х4. Сравнить результаты а) и б).
20. Найти многочлен четвертой степени, дающий приближение функ-
ции tgx в окрестности точки х = 0. В каком интервале этот многочлен
представляет tgx с относительной погрешностью не больше 5%?
21. Найти первые шесть членов ряда Тэйлора (по степеням х) для функ-
ций у — у (х), определенных следующими уравнениями:
а) х2-f-у2 = у, у (0) = 0; б) x2-f-у2 = у, у (0) = 1;
в) х3 у3 = у, у (0) = 0.
§ 4. Нули и бесконечности функций. «Неопределенные выражения»
Разложение функции по формуле Тэйлора в окрестности точки
х = а дает повод к следующей характеристике поведения функции
в окрестности этой точки. Говорят, что функция /(х) при х=а
имеет нуль кратности п или что порядок ее обращения в нуль
в точности равен п, если /(а) = 0, /'(а) = 0, /"(а) = 0, ...
.... f<-n~1\a) = 0, а /(л)(а)#=0. При этом предполагается, что
функция в окрестности этой точки имеет непрерывные производные
по крайней мере до д-го порядка. Этим определением мы хотим
отметить, что разложение функции по формуле Тэйлора в окрест-
ности этой точки может быть представлено в виде
Л"
/(a + A) = -JrF(ft),
причем множитель F (ti) при Л—>0 стремится к пределу, отличному
от нуля, именно к (а).
Если функция <р(х) определена во всех точках некоторой окрест-
ности точки х — а, за исключением, быть может, самой этой точки,
выражением вида
, . f (х)
<р (х) — .
причем в точке х = а числитель не обращается в нуль, а знамена-
тель имеет нуль кратности k, то говорят, что функция ф(х) в точке
х = а обращается в бесконечность k-го порядка. Если в точке
х—а числитель тоже имеет нуль кратности т и т > k, то мы при-
§ 4. НУЛИ И БЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИИ
379>
писываем функции <р(х) в этой точке нуль кратности (т—k); если же
т < А, то говорят, что функция имеет точку бесконечности порядка
(А — т).
Все эти определения находятся в согласии с установленными нами
ранее (гл. III, § 9) определениями, относящимися к поведению функции.
Чтобы придать более точный смысл всему сказанному, разложим
числитель и знаменатель в окрестности точки а по формуле Тэйлора
с остаточным членом в форме Лагранжа; функция примет такой вид:
ф («+й) _ /<-.+«> _ .
g(a-{-h) m\hkg^ (a-j-fy/i)
где О’ и О’; — два числа, заключенные между 0 и 1, а множители
при k\hm и m\hk имеют пределами при А—>0 соответственно числа
/(т) (а) и (а), которые отличны от нуля. Тогда при /п>А имеем
lim <р (а + К) = lim — hm~k T - = 0,
л->о л-»о т! g'(a)
т. е. выражение ф(х) при х —>а обращается в нуль (т — А)-го
порядка. При А > т мы видим, что выражение ф(а-{-А) при А—>0
обращается в бесконечность (А — /п)-го порядка. В случае m — k
имеем равенство
lim ф(а-|- А)
Л-»0
g{m} (а)
Содержание последних равенств можно выразить в следующей-
форме. Если числитель и знаменатель некоторой дроби ф(х) = ^—у
обращаются в нуль при х — а, то предел этой дроби при х->а
определяют просто, дифференцируя числитель и знаменатель одина-
ковое число раз до тех пор, пока по крайней мере одна из произ-
водных не окажется отличной от нуля при х = а. Если это про-
изойдет одновременно для числителя и знаменателя, то искомый
предел равен частному значений этих двух производных при х = а.
Если первой не обращающейся в нуль производной будет производ-
ная от знаменателя, то предел будет равен нулю; если же первой
не обращающейся в нуль производной будет производная числителя,
то дробь неограниченно возрастает.
Таким образом, мы получили правило для определения значений
так называемых неопределенных выражений вида 0/0. В некоторых
курсах дифференциального и интегрального исчисления этот вопрос
излагается с чрезмерной полнотой. В действительности речь идет
только об очень простом вычислении предела дроби, у которой
числитель и знаменатель стремятся одновременно к нулю. Встречаю-
щееся в литературе название «неопределенные выражения» является
неточным и вводящим в заблуждение.
380
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
Наши результаты можно получить и несколько иным путем,
основываясь не на формуле Тэйлора, а на обобщенной теореме
о среднем значении (гл. II, стр. 162)!). Согласно этой теореме, если
g' (х)=#0, то
/ (д 4-/г) — / (д) _f'(a + ^h)
g (а-\- h) — g (a) g' (а + 07г) ’
где 0 в числителе и знаменателе — одно и то же число; в частности,
при f («) = g (а) — 0 имеем
/(д + й) Г(« + ^)
£(д-|-/г) g'(a-\-$h)’
При этом О' есть некоторое значение из интервала 0 < О < 1,
и, следовательно, если положим / = Ой,
lim
л->о
f(a + h) .
g(a+h)
Hm Г(«+.Р, = lim r^+Л
l->0 S (а~Н) h->0 S (а+Л)
в предположении, что предел выражения, стоящего в правой части,
существует. Если f (а) и g'(а) также равны нулю, то можно про-
должать в том же духе, пока не дойдем впервые до такого индекса k,
при котором по крайней мере одна из производных («) или
g^ (а) не равна нулю. Тогда
.. /(д4-й) /Й)(« + О
lim ——-= lim ,ь. —!—-,
л->0£(д+й) Z->0 gw(a + l)
причем- сюда включен и тот случай, когда правая часть имеет «предел,
равный бесконечности».
Рассмотрим несколько примеров:
sinx cosx cosO ,
lim----— lim —,— = —j—= I,
x->0 x x->0 1 1
.. 1—cosx .. sinx sinO „
lim-------= lim —=— = —=— == 0,
r-хП A i i
2^ __9
1 ’
e2X — 1
— lim
lim -j- —г
In (l-t-лс)
,, 2x tg x 4
x2tgx <= T
lim b----= lim-----
Wl- x2 — 1 «о
/1— X2
COS2 X
COS2 X
— х2 = 0.
>) Это видоизменение нашего правила и второй способ его вывода
имеют то преимущество, что не приходится пользоваться существованием
производной в самой точке х — а; кроме того, таким путем охватывается
также случай, когда функция <р (х) определена только при х а, так что
предельный переход х->д или й->0 приходится совершать только с одной
стороны.
1] § 5. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ 381
Заметим еще, что и некоторые другие, так называемые неопре-
деленные формы приводятся к нашему случаю. Например, предел
выражения ----------при х->0, как предел разности двух выраже-
ний, обращающихся одновременно в бесконечность, представляет
«неопределенность» вида со — оо. С помощью преобразования
1 ____ 1 __ х — sin х
sinx х х sin х
мы получаем выражение, предел которого при х->0 можно найти
с помощью нашего правила:
х— sinx 1—cosx .. sinx
lim--:----= lim-------:—:— = lim ~----------— 0.
_^Q xsinx ox cos х-ф sinx 02cosx—xsinx
Упражнения
Вычислить пределы функций в упражнениях 1—12.
, хп — ап
1. lim ----
2.
х — sinx
hm -----3---
2
,х2 — 1
1
sin2 х
1
1
3.
4.
5.
24—12х2 + х4—-24cos х
(sin х)6
ех— е~х
hm ---------.
sinх
.. arcsin х
hm --------.
lim
9.
10.
11.
6.
tg5x
tgx
12.
lim xsin x
03X_ !
, lim ,—,, , „—.
х->о In (l-f-2x)
lim______xtg%______
х->о /(1 —хг) — 1 ‘
lim
л
13. Доказать, что функция, определенная равенствами у = (х2)х при
х-'-0 и у (0) = 1, непрерывна при х = 0.
lim (14-x)1/x.
§ 5. Приложения к геометрии
Формула Тэйлора дает возможность более точно изучить ход
изменения функции /(х) в окрестности значения х — а или поведе-
ние заданной кривой в окрестности какой-либо ее точки, так как
она представляет приращение функции при переходе к соседней
точке в виде суммы величин первого, второго, третьего порядка и т. д.
1. Касание кривых. Воспользуемся этим методом для того, чтобы
исследовать понятие касания двух кривых. Если две кривые y — f(x)
и у = g (х) имеют не только общую точку, скажем х — а, но и
общую касательную в этой точке, то говорят, что они в этой точке
касаются друг друга или имеют в этой точке касание первого по-
рядка. В разложениях Тэйлора для f(a-\-ti) и gta-^-h) совпадают
тогда члены нулевого и первого порядка относительно й. Если
382
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
(I
в точке х — а равны друг другу также и вторые производные от
f (х) и g(x), то говорят, что кривые имеют касание второго порядка.
В разложениях по формуле Тэйлора совпадают тогда и члены вто-
рого порядка по h, и если предположить, что обе функции имеют
непрерывные производные по крайней мере до третьего порядка, то»
разность £)(х) —/(х)— g(x~) можно будет представить в виде
АЗ 7}3
D (а + К) = f (а + й) - g (а + й) = (а + Ой) = F (h),
причем выражение F (h) при й—>0 стремится к f"' (а) — gm (а). Сле-
довательно, разность D(a-\-h) есть бесконечно малая не нижа
третьего порядка относительно h.
Это рассуждение можно продолжить и рассмотреть общий случай,
когда в формулах Тэйлора для f(a-Vh) и g{a-\-h) совпадают члены
до порядка п включительно: f (а) = g (a), f'(a) —g'(a), f"(a) —
— g"(a), • - , /(л) (a) = g(/I) («)• Предполагаем при этом, что и произ-
водные («+ 1)-го порядка еще непрерывны. Если выполнены эти
условия, то говорят, что кривые имеют в точке х = а касание-
п-го порядка. В этом случае разность обеих функций будет иметы
следующий вид:
Лл+1
f (а + й) — g (а 4- й) = F (й),
где F (й) = (д 0/г) при й —> 0 стремится к пределу /(л+1) (а) —.
— («) так как.О<0<1. Из этих формул видно, что при
х~+а разность /(х) — g(x) будет в окрестности точки касания
величиной 1)-го порядка ма-
лости относительно й.
Многочлены Тэйлора геоме-
трически определяются просто тем,
что они представляют параболы
«-го порядка, которые с графи-
ком данной функции имеют каса-
ние наивысшего возможного по-
рядка. Поэтому их иногда назы-
вают соприкасающимися пара-
болами. На рис. 104 изображены
первые три соприкасающиеся па-
раболы для кривой у — ех в точке
х — 0.
Если две кривые у == f(x) и
y = g(x) имеют касание «-го по-
рядка, то наше определение не исключает возможности того, что,
касание будет и более высокого порядка, т. е. может случиться, что
и /л+1) (a) = g(”+1) (а). Если этого нет, т. е. если
/я+1) (а) 4= ?"+1) (а).
2| § 5. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ 383
то говорят, что налицо касание точно п-го порядка или что поря-
док касания в точности равен п.
Из наших формул, а также из рис. 104 можно вывести интерес-
ный факт, который начинающие часто упускают из виду. Если точный
порядок касания двух кривых четный, т. е. если четное число п
производных обеих функций совпадает, а(га-[-1)-е производные уже
различны, то разность f(a-\-h)— g(a-\-h) имеет различные знаки
при положительных и отрицательных значениях Л, достаточно малых
по абсолютной величине. Обе кривые будут в точке х = а не только
касаться, но и пересекаться. Это происходит, например, при касании
второго порядка, когда производные третьего порядка уже не равны
между собой. Если же точный порядок касания нечетный, например
при обыкновенном касании первого порядка, то разность /(« + &)—
— g(a~\-h) имеет один и тот же знак при положительных и отри-
цательных значениях h, достаточно малых по абсолютной величине.
Следовательно, в этом случае обе кривые не пересекают друг друга
в их точке касания. Простейшим примером может служить касание
кривой со своей касательной. Касательная пересекает кривую в точке
касания в том случае, если точный порядок касания четный, напри-
мер в обыкновенной точке перегиба, где у кривой /"(«) = 0,
а /да(а)¥=0> а у касательной g" (а) = gm (а) — 0. Если же порядок
касания нечетный, то касательная не пересекает кривой, как, напри-
мер, в обыкновенной точке касания, где первые производные совпа-
дают у кривой и у ее касательной, а вторая производная у кривой
f"(a)^Q, а у касательной g"(a) = 0. Другой пример второго слу-
чая представляет кривая у = х4 в начале координат. [Касательной
является ось х, не пересекающая кривой; касание точно третьего
порядка.]
2. Окружность кривизны как соприкасающаяся окружность.
С этой точки зрения понятие кривизны кривой y — f(x) получает
новое наглядное 'значение. Рассмотрим определенную точку кривой
с координатами х — а, у = Ь; через эту точку проходит бесчислен-
ное множество окружностей, касающихся кривой в этой точке. Центры
этих окружностей лежат на нормали к кривой, и каждой точке этой
нормали как центру соответствует одна такая окружность, имеющая
с кривой касание первого порядка. Можно ожидать, что при надле-
жащем выборе центра окружности получится касание второго порядка
между окружностью н кривой.
Действительно, в гл. V, стр. 327, мы видели, что для окруж-
ности кривизны в точке х — а, уравнение которой у = g(x), не только
g(a) = /(a) и g'(а) = f'(а), но, кроме того, и g" (a) = f" (а).
Окружность, имеющая с кривой в данной ее точке касание вто-
рого порядка, называется соприкасающейся окружностью в этой
точке.
Следовательно, окружность кривизны является одновременно и
соприкасающейся окружностью в соответствующей течке. В пре-
384 гл. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА [3
дельном случае, когда рассматриваемая точка есть точка перегиба
кривой или вообще точка, в которой кривизна равна нулю, а радиус
кривизны бесконечен, окружность кривизны вырождается в касатель-
ную. Из сказанного выше, в n° 1, ясно, что окружность кривизны,
как правило, не только касается кривой, но и пересекает ее в точке
касания (рис. 105). Кривая и ее окружность кривизны не пересекают
друг друга в том и только в том
случае, если точный порядок их каса-
Ония больше двух и является нечет-
ным числом.
з. Применение к теории мак-
симумов и минимумов. Мы видели
в гл. III, стр. 190, что функция
f (х) достигает г точке х = а,
в которой f (а) — 0, максимума,
если f" (а) отрицательна, и мини-
& & мума, если f" (а) положительна.
_ Стало быть, эти условия являются
достаточными условиями существо-
вания максимума или минимума. Но
они отнюдь не являются необходимыми условиями [и не исчерпывают
вопроса], так как в том случае, когда /"(а) —0, остается еще откры-
той каждая из трех возможностей: наличие в рассматриваемой точке
максимума, наличие минимума или отсутствие того и другого. При-
меры этих трех возможностей дают функции у — — х4, у = х4 и
у —х3 в точке х —0. Формула Тэйлора дает возможность более
общей формулировки достаточных условий экстремума. Разлагаем
функцию f(a-\-h) по степеням /г, тогда решение вопроса сводится
к тому, содержит ли первый неисчезающий член разложения сте-
пень hn с четным или нечетным показателем п. В случае четного п
налицо экстремум, причем f (а) есть максимум или минимум функ-
ции /(х), смотря по тому, является ли коэффициент при hn отрица-
тельным или положительным числом. В случае нечетного п значе-
ние f (а) не является ни максимумом, ни минимумом, а график функ-
ции имеет при х = а точку перегиба с горизонтальной касательной.
Читатель может сам уточнить эти мысли рассмотрением остаточного
члена.
Заметим кстати, что данное ранее (стр. 190) необходимое и доста-
точное условие является более общим и удобнее для пользования,
а именно: если первая производная f (х) обращается в нуль лишь
в конечном числе точек, то для существования максимума или мини-
мума функции /(х) в одной из этих точек необходимо и достаточно,
чтобы первая производная f (х) меняла свой знак при переходе через
эту точку. [При этом допускается существование такой окрестности
«подозрительной» точки £, что с каждой стороны от £ производ-
ная f (х) сохраняет неизменный знак.]
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
385
Упражнения
1. Каков порядок касания кривых у = ех и у = 1 -j- х4- sin2х в точке
х = 0?
2. Каков порядок касания кривых у = sin4 х и у = tg4 х в точке
х = 0?
3. Определить постоянные a, b, с, k таким образом, чтобы кривые
у = е2Х и у = a cos х -|- b sin х 4- с cos 2х k sin 2х имели в точке х = О
касание третьего порядка.
4. Каков порядок касания кривых х3 4- у3 = ху и х2 4- у2 = х в их
общих точках? Построить эти кривые.
5. Каков порядок касания кривых х24-у2 = у и х2 = у в их общих
точках?
6. Кривая у = f (х) проходит через начало О и касается в этой точке
оси х. Показать, что радиус кривизны этой кривой в точке О дается фор-
х2
мулой р= lim тг—.
х-»о 2у
7*. Окружность К касается данной кривой в точке Р и проходит через
близкую точку Q этой кривой. Показать, что при Q -> Р окружность К
становится в пределе окружностью кривизны кривой в точке Р.
8*. М есть точка пересечения двух нормалей данной кривой в смежных
точках Р, Q этой кривой. Показать, что при Q~>P точка М стремится
центру кривизны кривой для точки Р. (Центр кривизны есть предельное
положение точки пересечения смежных нормалей.)
9*. Показать, что в тех точках кривой, где ее радиус кривизны имеет
максимум или минимум, порядок касания этой кривой со своей соприка-
сающейся окружностью не меньше трех.
10. Определить максимумы и минимумы функции у = (см. стр. 386).
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
§ 1. Пример функции, не разлагающейся в ряд Тэйлора
Возможность разложения функции f (с,) = f (х 4~ А) по формуле
Тэйлора, по степеням h, с остаточным членом («4~1)-го порядка
существенным образом зависит от существования у функции /(£)
производных до (п4-1)-го порядка во всем интервале от х до х 4~ h,
включая его концы. Поэтому, например, нельзя по формуле Тэйлора
3/-—•
разложить по степеням х функцию 1пх или функцию ух, произ-
водные которых обращаются в бесконечность цри х = 0.
Для того чтобы возможно было разложить функцию в окрест-
ности некоторой точки |, = х в бесконечный ряд Тэйлора, необхо-
димо во всяком случае, чтобы в этой окрестности, в частности при
£ = х, существовали производные любого порядка; но это необхо-
димое условие ни в коем случае не является достаточным. Функция,
все производные которой в некотором интервале существуют и не-
прерывны, может, несмотря на это, и не разлагаться в ряд Тэйлора,
т. е. остаточный член Rn формулы Тэйлора может с возрастанием п
не стремиться к нулю, как бы мала ни была область, в которой мы
хотим иметь разложение в ряд.
25 ₽. Курант
386
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
Простейший пример такого явления представляет функция
у = f (х) = при х =# 0 и /(0) = 0,
которую мы уже рассматривали в Дополнениях к главе III, стр. 223. Эта
функция и все ее производные непрерывны в любом интервале, даже в точке
х = 0, и мы видели, что "в этой точке все производные равны нулю, т. е.
(0) = 0. Следовательно, в формуле Тэйлора обращаются в нуль все
коэффициенты аппроксимирующего полинома, какое бы число п мы ни взяли;
иными словами, остаточный член всегда равен самой функции и, следова-
тельно, за исключением точки х — 0, не стремится к нулю с возрастанием п,
так как функция при всяком х =£ 0 имеет положительное значение.
Другая функция: f (х) = при х <0 и /(х)=0 при х>0 —иллю-
стрирует возможность такого случая, когда ряд Тэйлора существует для
положительных и отрицательных значений х (он тождественно равен нулю).,
но представляет функцию лишь при положительных значениях аргумента х.
§ 2. Общая теорема о разложимости в ряд Тэйлора функции,
имеющей неотрицательные производные любого порядка.
Биномиальный ряд
Рассмотрим класс функций f (х), обладающих тем свойством, что
в промежутке а<^х<^й все производные /й)(х) существуют и не-
отрицательны:
/(ft>(x)^-0 при k = 1, 2, ...
Для функций /(х) этого класса остаточный член Rn формулы Тэй-
лора стремится к нулю при «->оо, коль скоро х лежит в интер-
вале а < х < й, a h — в интервале х — b<^h<^b — х, и, следова-
тельно, /(х-ф-й) разлагается при‘таких значениях х и й в беско-
нечный ряд Тэйлора (В) (стр. 369). Докажем эту теорему.
Для доказательства заметим, что из условия f (х) 0 вытекает
х Ь
0< f W-f = J f (t)dt < j f' (t)dt = f (Й)-f (a) = M
a a
По формуле Тэйлора для значений х и х-|-й, лежащих в проме-
жутке от а до Ь,
/(х + й)-/(х) = /'(х)й+ ... -|_^Мйл4-/?„.
Допустим сначала, что й > 0 или х < х-|-й = | < й. Тогда в сумме,
стоящей в правой части, нет отрицательных членов; поэтому каждый
отдельный член не превосходит выражения в левой части, а тем более
не превышает числа М, откуда
п /л)(х) . М __ М
n! hn (1 — х)п’
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
387
Значение — мы имеем право выбрать сколь угодно близким
к Ь, так что получается оценка
/я) (х) М
п! {Ь—х)п '
Эту оценку мы внесем в остаточный член, взятый в форме Коши,
для чего придется подставить вместо х промежуточное значение
х — х + 0й. По формуле Коши
О < Rn = йя+1/я+1> (х + 0Й) = йя+1 («+ 1) (1 — 0)">
следовательно,
О < R. С („+T) (1 - «)"
_ £
Ограничим значение h интервалом 0 -С 1, где р — какое-либо
постоянное положительное (но сколь угодно малое) число. Из нера-
венства b— х^>й(1+р) вытекает
О < Яй < Mh (tl + 1) (1 - 0)"
hn
или
0</?„<жй(п4-1)^т^Т7) .
как q = * 2-о 4-р < 1 , то qn (п 4- 1) стремится к нулю при п -> оо
стр. 54), а следовательно,
при л->оо, если 0<^h<b — х.
самым доказана разложимость f(x-\-h) в бесконечный ряд Тэй-
>0.
0 сходимость доказывается с помощью записи
Так
(см.
Тем
лора при h
При h <
остаточного члена в форме Лагранжа:
Ш = IА Г+1/я+1)(х —0 Ш
где подставлено h = — | h ), а 0 — опять число, лежащее между О
и 1. Из условия /я+2)(х)^>0 вытекает, что /(я+1)(х) является воз-
растающей функцией; пользуясь этим, а также данной выше оценкой
/я) (х)
-—Н-, имеем
л!
у(Д + 1) у</>+1)
(л4-1)1 (л 4-1)! (6 — х)я+1
для
и
м
Отсюда видно, что коль скоро |Л| = — h<.b— х.
25*
388
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
Может случиться, что' точка х лежит ближе к а, чем к Ь. Так
как, по доказанному выше, разложение /(х-|-й) в ряд Тэйлора
справедливо в интервале х — £ < /г < £ — х, серединой которого
является точка х, то ряд для f(x~\~h) представляет продолжение
функции /(х), определенной первоначально в интервале а^х-^Ь,
на интервал 2а — b = а — (Ь — а) < х < а.
Заметим еще следующее. Полученные результаты остаются в силе,
если в условии теоремы предполагать, что производные любого
порядка /'*?(х)^>0 только начиная с k > N, а при k-^N знак /А)(х)
может быть любой. Для доказательства достаточно заменить функ-
цию f (х) вспомогательной функцией
g{x) = f (X) _/(£) + (£_х) Г (х) + ... ч- $>~$N fw (X),
где |—любое число, выбранное в интервале от а до Ь. Тогда
при х = 1
g(£) = 0, = 0.....gW(l) = 0,
а при & > ./V производные g^(%) — Поэтому полученные
результаты справедливы для функции g(x), а следовательно, и
для f (х).
На стр. 377 мы отложили исследование остаточного члена в раз-
ложении по формуле Тэйлора бинома /(х) = (1 Д-х)“. Искомый
результат является почти непосредственным следствием только что
доказанной теоремы. Мы введем только маленькое изменение обо-
значения, а именно: вместо функции (1 -J- х)а рассмотрим функцию
ф(х) = (1-х)“,
которая имеет производные любого порядка
<p(ft)(x) = (— l)fta(a — l)(a— 2) ... (a — k 4- 1)(1—x)a-ft.
Так как знак произведения a (a—1) ... (a — начинает чере-
доваться с того момента, как а — k делается впервые отрицатель-
ным, то с этого номера [благодаря наличию множителя (—1)*] все
дальнейшие производные ф<*>(х) имеют одинаковый знак, если огра-
ничить х сверху условием х< 1. Поэтому либо функция ф(х), либо
функция —ф(х) принадлежит к рассмотренному выше классу функ-
ций. Здесь b= 1, в качестве же а можно взять любое число — 1.
Мы желаем получить разложение функции в окрестности точки х = 0,
так что ф(х—1~К) = ф(Л) — (1 —А)а и- по доказанной выше теореме,
при «->оо в интервале х — # </г < Z»х, т. е. в интер-
вале — 1<й<1, ибо здесь х —0 и Ь—\. Так как (р(/г)(0) =
= (—l/a(a—1) . .. (a — k~1), то ф(А) = (1—h)a разлагается
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
389
в промежутке — 1 < h < 1 в бесконечный ряд
СО
(1 _Л)“ = 1 + 2
Положим теперь h = — х, так что х = — h. Когда h принадлежит
интервалу —1 < h < 1, то и х~ — h лежит в том же интервале
— 1 < х < 1. Следовательно, формула
ОО
(И-*)“ = 1+ £(£)**
доказана для — 1 < х < 1.
§ 3. Приближение произвольных непрерывных функций
многочленами и тригонометрическими суммами
1. Теорема Вейерштрасса. В § 1 было показано, что предста-
вление функции f (х) в виде ряда Тэйлора не всегда возможно даже
в том случае, когда эта функция имеет производные любого порядка.
Однако, как показал Вейерштрасс, любую непрерывную функцию,
о производных которой нет нужды делать какие-либо предположе-
ния, всегда возможно приближенно представить с какой угодно точ-
ностью многочленами. Повышение точности, естественно, требует,
как и по формуле Тэйлора, повышения степени аппроксимирующего
многочлена. Но и в этом отношении есть существенное различие
между обоими методами. Улучшение приближения. с помощью много-
членов Тэйлора достигается одним только прибавлением членов более
высокой степени к уже найденному многочлену Тэйлора более низкой
степени. В противоположность этому, при желании улучшить приближе-
ние произвольной непрерывной функции по Вейерштрассу всегда необ-
ходимо заново определить весь аппроксимирующий многочлен. Отметим
еще, что метод Тэйлора дает явные формулы, часто удобные для
практического применения, между тем как излагаемая ниже теорема
Вейерштрасса содержит только утверждение о существовании при-
ближения J). Эта теорема гласит:
Дана функция f (х), непрерывная в замкнутом интервале
zi<^x<C^. Тогда для любой заранее заданной границы точности
е>0 существует такой многочлен Р(х), что | f (х)—Р(х)| <е
*) Последнюю фразу автора следует отнести не к самой теореме Вейер-
штрасса, а лишь к излагаемому ниже ее доказательству. Между тем суще-
ствуют конструктивные доказательства этой теоремы; например, доказатель-
ство, данное академиком С. Н. Бернштейном, исходит из явного построения
аппроксимирующих многочленов (так называемых многочленов Бернштейна).
См. Н. И. А х и е з е р, Лекции по теории аппроксимации, гл. 1, п° 20;
В. Н е м ы ц к и й, М. С л у д с к а я, А. Черкасов,. Курс математического
анализа, т. II, стр. 76, 1944. (Прим, перев.)
390
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
во всем интервале а х Ь. Степень этого многочлена, вообще
говоря, неограниченно растет при е->0.
Мы докажем теорему Вейерштрасса методом Лебега, который
приводит ее к частному случаю функции | х |.
2. Приближение функции | х |. Это приближение можно полу-
чить почти непосредственно на основе разложения по формуле Тэй-
лора функции g (й) = 1 — у 1 — h. Используя биномиальный ряд
для У1 — h = (1 — А)'4, имеем
_____ оо N
Pkhk= 2 Pkhk + RN(Ji),
4 = 1 4=1
/_1_ \
где коэффициенты Рь = {—l)ft+1 I / положительны.
Мы знаем, что у биномиального ряда /?„(&)-> О при п->оа
в интервале — 1 < h < 1. Мы сейчас покажем, что Rn (й) -* О и
в конечной точке этого интервала h = 1; точнее: для всякого заранее
заданного сколь угодно малого числа е > 0 существует такое число
Nx = Nx (е), что при О й 1 и N^-Nx
\RnW\ = Rn(h)<e,
и, следовательно, функция 1 — 1 — h разлагается в бесконечный
ряд. [Пояснение: при й> 0 /?„(й)>0.]
Для доказательства заметим, что функция g(h) непрерывна и
монотонно возрастает при 0 h 1 и g(l)= 1. Так как коэф-
фициенты pk положительны, то при конечном N и 0-^й< 1
N
SN{h)= Pkhk <g{h)< 1.
& = 1
Отсюда вытекает, что при h —> 1
а так как величины S„ составляют монотонно возрастающую после-
довательность, то <$уу(1) при А/—>со стремится к пределу 5, который
не может быть больше единицы: 5 = SjV(1)-4-/?jv(1)^ 1, Переходя
здесь к пределу при ;V-->cc и учитывая, что lim S7V(1) = S, получим
7V~>oo
при AZ->oo.
Но SN(h) при фиксированном N является непрерывной и моно-
тонно возрастающей функцией от h и, в частности, 5„(й) < Sn(l).
Выберем при заданном малом значении е число I, настолько близкое
к 1, что £(/)> 1 —е/2, а затем N— столь большое, что R^(i) < е/2;
тогда SN(l) = g(l) — Rn(l)> 1 —е. В результате при всяком h'^-l
l>5,v(l)>Sw(/z)> 1 — е.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
391
Следовательно, ^(1) при ;V—>оо стремится к 1 =£(!), а стало быть,
^?/v (А) ^vО) < е-
Отсюда вытекает, что для всякого заданного е существует такое
число N, что
N
/1_А-1 + 2 Pkhk
k-i
< е при 0 h 1.
Этот результат мы используем при
/г — 1 — х2, /1 —А = | х |
(биномиальный ряд дает положительное значение квадратного корня).
Обозначим через Рп следующий многочлен степени 2AZ:
N
Рл = 1- 2 '
й-1
тогда последнее неравенство запишется так:
11 х I — РП (*) I < е.
а это и значит, что Р„(х) есть аппроксимирующий многочлен для
функции | х |. Но эту теорему о приближении функции х | много-
членом мы покамест доказали только для х2 1. Это ограничение
можно устранить, полагая h — 1 — ; тогда справедливость теоремы
будет непосредственно установлена для интервала — А < х < А сколь
угодно большой длины 2 А. Если же положить й = 1— ——> то
так же- точно получим приближающий многочлен для | х — а |.
3. Доказательство теоремы Вейерштрасса. С целью доказать
теорему Вейерштрасса для любой непрерывной функции f (х) заменим
кривую у==:/(х) приближенно ломаной П, т. е. функцию f (х)
аппроксимируем кусочно линейной функцией. Обозначим через а = xv
х2, ..., х„==& абсциссы вершин ломаной П; тогда уравнение лома-
ной П можно записать в следующем виде:
л-1
у = Ф(х) = с+ 2 М(х —xv)4-|x —xv|]
V=1
с надлежащим образом выбранными постоянными с, cY, с2, .... сл-1-
Действительно, каждый член этой суммы, а стало быть и <р(х),
является кусочно линейной и непрерывной функцией. Ломаная линия,
являющаяся графиком функции <р(х), совпадет с ломаной П, если
каждое прямолинейное звено первой, соответствующее частичному
интервалу xv < х < xv+1, имеет тот же угловой коэффициент, что и
соответствующее звено ломаной П, и если к тому же обе ломаные
имеют общую вершину. Угловой коэффициент звена с номером k
392
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
£
равен 2 2 П0ЭТ0МУ надо последовательно определить коэффи-
циенты cv так, чтобы при всяком k — 1, 2, .... п—1 эта сумма
k
2 2 cv равнялась угловому коэффициенту звена ломаной П, лежа-
v=l
щего в интервале хй<х<хй + 1, и, наконец, так выбрать постоян-
ную с, чтобы <р(х1) = ф(а) равнялось f(a).
Если мы зададимся произвольной границей точности е, то можно
точки деления xv выбрать столь частыми, что
|/(х)— ф(х)|<е/2 при а<^х<;£.
Теперь можно каждую из функций (х — xv) —|—| х — xv | с какой
угодно точностью аппроксимировать многочленом, и в результате
получится и сколь угодно точное приближение для линейной комби-
нации ф(х); точнее, можно найти такой многочлен Р(х), что
| ф (х) — Р (х) | < е/2.
Для этого многочлена Р(х)
|/(х) — Р(х)| = | [/(*) —ф(х)1 + [ф(х) — Р(х)] К
< I f (л) — ф (X) 1 +1 ф (X) — Р (х) I,
а следовательно,
|/(х) —Р(х)|<е,
что и требовалось доказать.
Значение весьма общей и важной теоремы Вейерштрасса—преиму-
щественно теоретическое. Хотя с точки зрения аппроксимации целые
многочлены и являются единственным классом функций, которым
можно вполне обойтись, но было бы крайне непрактично не исполь-
зовать самым широким образом все алгебраические и трансцендентные
функции. Только введением этих функций обеспечивается необходимая
простота и свобода движения в анализе, подобно тому как введением
иррациональных чисел создается необходимая простая основа для
действий анализа, хотя рациональные числа и дают в каждом случае
сколь угодно точные приближения.
4. Приложения. Тригонометрические приближения. Пусть у=
== р(х) есть монотонная и непрерывная функция в интервале а х Ь,
имеющая непрерывную обратную функцию х = Х(у) в интервале от
р(а) = ц до р(#) = Р; тогда преобразование у = р(х) переводит
непрерывную функцию f (х) в непрерывную функцию f (Ху) — g (у).
По теореме Вейерштрасса, можно функцию /(x) = g(y) аппроксими-
ровать многочленами относительно у, а у=р(х)‘, поэтому утвержде-
ние теоремы Вейерштрасса сохраняет силу, если вместо многочленов
относительно х применять многочлены относительно р(х).
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
393
Например, если г—любое положительное число, то функцию f (х)
можно в интервале 0 х 1 аппроксимировать с какой угодно
точностью функциями вида
с0 + С1Х'Ч-с2х2г+ ... -\-спхпг.
Другой важный пример дает функция у = ц (х) = cos лх, моно-
тонно убывающая в интервале 0 х 1 от значения а = 1 до р =— 1.
Так как степени функции созлх можно выразить как линейные ком-
бинации функций 1, cos лх, cos 2лх.....то получается следующий
результат:
Всякую функцию /(х), непрерывную в промежутке 0^х<^1,
можно с какой угодно точностью е представить приближенно «триго-
нометрическим многочленом», т. е. выражением вида
ao + ai cos лх-Hi sin лх-}- ... -\-ап cos лях-}- bn sin лях,
причем здесь bk = 0.
Для четной функции g(—x) = g(x) это приближение-сохраняет
силу и в интервале — 1 <^х<^0, так как cos лях — четная функция.
Эта же теорема справедлива и для нечетной непрерывной функ-
ции и (х) = — и (— х), если предположить, что не только и (0) = 0
[что обязательно для непрерывной нечетной функции], но и я(1)==0.
Действительно, сначала можно аппроксимировать и (х) с какой угодно
точностью функцией
v (х) =
«(У).
0
— V (— х)
у — А
где у = \ ПРИ х 1 —
при 0<^х<^6 и 1—6<х<1,
при — 1 <х <0,
если взять достаточно малое положительное число 6. [д(х) построена
так, что она нечетна и непрерывна при —1 <^х<^ 1.] Тогда
является четной функцией, и ее можно аппроксимировать с какой
угодно точностью тригонометрическим полиномом. Так как произве-
дение тригонометрического многочлена на sinnx есть опять тригоно-
метрический многочлен, то наша теорема справедлива и для нечет-
ной функции и (х).
Всякая функция /(х), непрерывная в интервале —и
удовлетворяющая условию /(—1) = /(-}-!), является суммой
четной функции g (х) = [f (х) -}- f (— х)]
и
нечетной функции и (х) — у [/ (х) — f (— х)],
причем
и (0) = и (1) = 0.
394
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
Отсюда вытекает следующий важный результат:
Всякую функцию f (х), непрерывную в интервале —1^х<^1 и
удовлетворяющую условию/(—1) = /(4-1)> можно аппроксимировать
с какой угодно точностью тригонометрическим многочленом.
§ 4. Задача интерполирования и ее связь
с формулой Тэйлора
Формулу Тэйлора можно рассматривать как предельный случай
общей формулы интерполирования, которая сама по себе имеет важ-
ное теоретическое и практическое значение.
1. Постановка задачи и предварительные замечания. Начнем
с решения следующей задачи: требуется определить многочлен, т. е.
целую рациональную функцию ф(х) степени не выше п, который
в данных «+1 различных точках х0, Xj.........хл принимает соот-
ветственно заданные значения /0, flt ..., fn, т. е.
ф(хо)=7о> <P(*i) = /i.....<?(*«) =fn-
Если числа ft даны как значения ft = f(x^, принимаемые какой-то
заданной функцией f (х) в точках х — хь то многочлен ф(х) или
Фл (х) называется интерполяционным многочленом п-й степени
этой функции f (х) для точек х0, х}....хл.
. Прежде всего заметим, что такой многочлен «-Й степени может
существовать, самое большее, только один. Действительно, если
ф(х) и ф(х) —два многочлена такого рода, то их разность D(x) —
= ф (х)—ф(х) является многочленом степени п или ниже, который
обращается в нуль в различных точках хь х2, .... хп\ следова-
тельно, по известной теореме алгебры имеем
D (х) = Со (X —- X!) (X — Х2) ... (X — х„).
Но так как и D(xo) = O, т. е.
Со (*о '“i) (''о хг) • • (''о х„) ==
то отсюда следует (ввиду того, что по условию все значения
х0, Xi....хл различны между собой), что постоянная Со = О, и,
следовательно, многочлен D(x) тождественно равен нулю. Тем самым
доказана однозначность интерполирующего многочлена.
Однозначность интерполирующего многочлена можно доказать еще
и другим способом, опираясь на обобщенную теорему Ролля (стр. 129).
Применяя эту теорему к разности F (х) = D (х) = ф (х) — ф (х),
которая по условию является многочленом степени п, обращающимся
в нуль в л-|-1 точках, мы заключаем, что «-я производная О(л)(х),
обращается в нуль в некоторой точке | интервала. Но эта произ-
водная равна п\С0, следовательно, Со = О, т. е. разность представ-
ляет многочлен («—1)-й степени, обращающийся в нуль в наших
«4-1 точках. Применяя обобщенную теорему Ролля к этому много-
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
395
члену, убеждаемся, что Сг — 0; продолжая таким же путем, шаг
за шагом обнаруживаем, что и все остальные коэффициенты много-
члена D(x) равны нулю, что и выражает однозначность интерполя-
ционного многочлена.
Полученные результаты легко обобщить на тот случай, когда
некоторое число г значений хк совпадает, например: х0 = х1=...
. ..—хг_г Тогда в условии интерполяционной задачи надо задать
значения <р(х) и ее производных ф'(х), ф" (х).....ф<г~!>(х) при
х — х0 и значения самой функции ф(х) в остальных точках хг, хг+1, ...
..., х„. Разность двух многочленов имеет теперь вид £)(х) —
=с(х—х0)г(х—хг)... Однозначность интерполяционного многочлена
доказывается любым из двух примененных методов.
2. Построение решения. Интерполяционная формула Ньютона.
Переходим теперь к построению интерполяционного многочлена п-й
степени ф(х), удовлетворяющего следующим требованиям: ф(х0) — /0,
<р(х]) = /1, ..., Ф(хл) = /Я. Чтобы постепенно, шаг за шагом, по-
строить этот многочлен, будем исходить из постоянной /0, много-
члена «нулевой степени», который всюду, а значит и при х = хс,
имеет значение /0 — Ао. К нему прибавляем многочлен первой сте-
пени, который обращается в нуль при х = х0, т. е. многочлен вида
Л^х —х0), и определяем .Aj так, чтобы сумма при х = х1 имела
требуемое значение Д. Получающийся в результате многочлен пер-
вой степени назовем Ф1 (х). Затем мы к ф](х) прибавляем много-
член второй степени, который обращается в нуль при х = х0 и
х — хг, т. е. имеет вид А2(х— х0)(х — х^. Прибавление этого мно-
гочлена не изменяет, следовательно, значений в этих точках. Опре-
деляем множитель А2 таким образом, чтобы полученный многочлен
второй степени ф2(х) имел при х = х2 требуемое значение /2, и т. д.
Соответственно этому интерполяционный многочлен запишется так:
ф (х) = ф„ (х) == Ло Л1 (х — х0) 4 Л2 (х — х0) (х — Xi) 4-
4 ... 4 Л„(х —х0) .. . (х —х„_1),
и поэтому
/(х) = ф„(х)4/?„(х),
где /?л(х)— остаточный член, который во всяком случае обращается
в нуль в точках х — xt (I = 0, 1, 2, ..., «).
Подставляя в выражение для ф(х) поочередно значения х = х0,
х — Xi.....х = хл, получим систему уравнений
/о ~ А>
Л = АЧ~ A (xi — хо).
А = А + А (х2 — хо) 4 Л2 (х2 — хо) (х2 — X!),
f п АН- А (хл xo)^~• • •~1~'А(хл хо) (хл х1) • • • (.-"я х/г-))>
396
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
из которых можно последовательно определить коэффициенты
Ао, Лр .... Ап. Тем самым интерполяционный многочлен в принципе
построен.
Если значения х0, xv .... хп лежат на равных расстояниях друг
от друга, так что хк = хк_г -\-h. = х04-kh при й=1, 2, .... п,
то полученный результат можно представить в виде явного и изящ-
ного по форме выражения. Уравнения для определения коэффициен-
тов Ак запишутся в этом случае так:
/о = ^о>
/1 —
/2 = Ао + 2Ц + 2! й2Л2,
/3 = Ао + 3hAj 4- 3 • 2А2Л2 + 3 ! /г3Л3,
fn = А0-\-пЬАх -f- п(п — 1) й2Л2
4~«(«—1)(« — 2)й3л34- ... 4-^1 й"л„.
Введем понятия разностей различного порядка функции g(x)
(ср. стр. 127). Разностью или первой разностью какой-либо функ-
ции g (х) называется выражение
gi = kg = g (х0 4- h) — g (x0) = g (xj) — g (x0).
Если вычислим разность первой разности kg, то получим вторую
разность, или разность второго порядка, функции g:
№g = A (Ag) = Agj = [g (x2) — g (Xi) ] — [g (Xj) — g (x0) ] =
= g (x2) — 2g (Xi) 4- g (x0).
Продолжая далее этот процесс образования разностей, с помощью
метода полной индукции (фактическое выполнение предоставим чита-
телю) получим п-ю разность, или разность п-го порядка-.
kng = g(x„) — (" ) g (x„_i) 4- (” ) g (x„_2) — ... 4- (- 1)" g (*o)>
где —биномиальные коэффициенты. Те-
перь легко из системы уравнений для Ак выразить эти коэффициенты
через последовательные разности функции f (х):
Ло = /о, Ак = -^~, й=1, 2, ..., п.
0 70 А klhk
Произведения вида (х — х0) (х — xj ... (х — хк), входящие в вы-
ражение интерполяционного многочлена, мы преобразуем с помощью
обозначения
так что х=хо~НА и X—хй=(х0-]-|Л)—(Xo+*A)=(^—й)й;
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
397
отсюда
(х —х0)(х—Xj) ... (х —xft) = |(£—1) . . . (| — /г)Ztft+1 •
В результате получаем для многочлена <р(х) интерполяционную
формулу Ньютона-.
ф(х)=ф(х0+^) = /0+(^)А/+(|)Д7+...+(^ AV-
Если /(х) имеет непрерывные производные до n-го порядка, то
lim --7 — lim -^7- = /<*) (х0).
й->0 hk Дл-->0 Ах*
Поэтому интерполяционный многочлен переходит в многочлен Тэй-
лора, когда h стремится к нулю.
Заметим, что если первые г значений х0, xv ..., xf_1 совпадают
и, в соответствии с этим, заданы значения функции и ее производ-
ных: /(х0) = /0, /'(хо) = /о, .... /(г"1}(х0) = 4r-n, fr.fn, то
интерполяционный многочлен ф(х) можно построить тем же путем.
Для ф(х) пишем выражение следующего вида:
ф (х) = -ф- А1 (х — х0) -ф- А2 (х — х0)2 -ф- ... Аг (х — х0)г -ф-
+ Л+1(х —х0)г(х —хг)ф- ...,
и коэффициенты Ak определяются из нижеследующей системы урав-
нений:
/о — А>
/о=А-
/;-2л2,
fr — А + А (хг — Хо) -ф-. . . -ф- Аг (хг — х J,
/г+1 = А+ A (xr+i — хо)+ • • • + A (xr+i — хо)г А
+ А+1 (хг+1 — хо/ (хг + 1 — хг)>
3. Оценка остаточного члена. До сих пор для наших рассуж-
дений было, по существу, безразлично, каким путем даны значения
/о. /1- •••• fn- Если, например, эти значения получены в результате
физических измерений, то с построением многочлена ф(х) интерпо-
ляционная задача полностью решена; в многочлене ф(х) мы нашли
возможно более простую функцию, которая в заданных точках при-
нимает заданные значения. Если же функция /(х) заранее дана, то
возникает новая задача, а именно задача об оценке разности /?(х)_
= f (х)— ф(х), т. е. погрешности, допущенной при интерполяции.
398
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
Покамест мы знаем только то, что «+1 значений R(x0), R(xl), ...
.... R(xn) равны все нулю. Для того чтобы появилась возможность
добыть дополнительные сведения об R(x), необходимо сделать не-
которые допущения по поводу функции /(х), а стало быть, и R(x').
Мы предположим, что /(х) имеет в рассматриваемом промежутке
непрерывные производные по крайней мере до («-{-1)-го порядка.
Прежде всего заметим, что функция
К (х) = R (х) — с (х — х0) (х — Xi) ... (х — х„)
обращается в нуль при п-f-1 значениях х0, хр .... хп при любом
выборе постоянной с. А теперь прибегнем к следующему искусствен-
ному приему: выберем произвольное число у, отличное от х0, хр ...
.... хп, и затем подберем с так, чтобы было и АГ(у) = О; для этой
цели должно быть
с==___________*(У)_________
(у — х0)(у — Xi)... (у — хп) '
и при таком значении с функция К (х) имеет, стало быть, n-j-2
корней.
Применим теперь к функции АГ (х) обобщенную теорему Ролля.
Пр этой теореме, существует такое, не поддающееся дальнейшему
уточнению, промежуточное значение | между наибольшим и наимень-
шим из чисел х0, хр х2.......хп и у, что А’("+1)(|) = 0. Так как
Л'(х) —/(х) — <р(х) — с(х— х0)(х — х,) ... (х— х„), а ф(х), как
многочлен степени п, имеет («+1)-ю производную, равную тожде-
ственно нулю, то
/c(«+I,(S) = /«+va)_c(re+i)! = o>
ибо («-]-1)-я производная от (х — х0) ... (х— х„) равна
Отсюда получаем второе выражение для с:
Г — /Л+1)(»
L— («4-1)! •
Оно содержит промежуточное значение которое каким-то образом
зависит от у. Это значение с мы подставим в равенство К (у) = 0 и
из него получим
/ги = „-л,,.,.
Вспомним, что у — совершенно произвольное число, которое можно
поэтому заменить буквой х, и для остаточного члена получится
оценка
R (х) = Rn (х) = {х~х*} <х~2\~^Х~Хп}
V*T
где | — какое-то промежуточное значение между наибольшим и наи-
меньшим из чисел х0, Xj....х„ и х.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
399
Тем самым полностью решена общая задача интерполяции задан-
ной функции. Внимательное рассмотрение наших формул и только
что полученной оценки для остаточного члена показывает, что если
равноудаленные точки х0, хх.....хп, сближаясь, стремятся к со-
впадению в точке а, то интерполяционная формула Ньютона пере-
ходит почленно в формулу Тэйлора с остаточным членом в форме
Лагранжа. Таким образом, формула Тэйлора является предельным
случаем интерполяционной формулы Ньютона.
Благодаря этой связи между интерполяционной формулой и фор-
мулой Тэйлора приобретает новый смысл принятый в геометрии тер-
мин «соприкасающаяся парабола», а именно: соприкасающаяся пара-
бола, имеющая с данной кривой в некоторой ее точке касание «-го
порядка, имеет с этой кривой в указанной точке «-(-1 общих «со-
впадающих» точек пересечения. В самом деле, эта соприкасающаяся
парабола получится, если провести сначала параболу через п 1
различных точек кривой и затем все эти точки сближать до совпа-
дения с данной точкой. Совершенно подобное происходит при со-
прикосновении данной кривой с кривой, принадлежащей любому се-
мейству линий (не только семейству парабол). Например, окружность
кривизны есть та из окружностей, проходящих через данную точку
кривой, у которой в этой точке сливаются три ее точки пересечения
с данной кривой.
Интерполяционную формулу применяют всегда в том случае, если
функцию, значения которой в определенных точках известны, тре-
буется выразить для промежуточной области между этими точками
с примерно одинаковым приближением. Если функцию хотят выразить
в точке х, лежащей вне промежуточной- области между точками
х0, X], ..., х„, то говорят об экстраполяции. При такой экстра-
поляции тем менее можно рассчитывать на хорошее приближение,
чем более удалена точка от промежуточной области. В формуле
Тэйлора мы имеем дело, некоторым образом, с полной экстраполя-
цией, и поэтому формула Тэйлора часто практически пригодна для
представления функции только в непосредственной окрестности дан-
ной точки.
4. Интерполяционная формула Лагранжа. В заключение решим
интерполяционную задачу другим путем и выведем интерполяционную
формулу Лагранжа, которая отличается от формулы Ньютона лишь
тем, что она расположена не по произведениям разностей вида х — хк,
а по заданным значениям fk в точках интерполяции. Введем вспо-
могательное выражение
ф (X) = (X —- Хо) (X — Xj) ... (х — х„).
Это — многочлен («~{-1)-й степени, который вполне определяется
заданием точек хк. Продифференцируем его по правилу дифферен-
цирования произведения и затем подставим вместо х последовательно
400
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
значения х0, хи .... хп. Получим систему равенств
Ф' (хо) — (хо — Х1) (х0 — х2) .. . (х0 — х„),
Ф' (*v) = <Х — хо) • • • (Xv — xv-l) (Xv — *v+l) (Xy — xn)
(1 ------------------------------ 1),
Ф' <x«) = (Xn — *o) (Xn — *1) • . . (x„ — X„_!).
С помощью этих равенств нетрудно проверить, что выражение
------^-.-7—г есть многочлен степени п, принимающий в точке
(X —Xv)l|/(*v)
x = xv значение 1, во всех же остальных заданных точках х;—зна-
чение нуль.
Теперь ясно, что многочлен
/ (х) — Ф (*) | _ Хау (Х1) + • • •
|_____fп________1
“t- (X — Хл) (х„) J
дает искомое решение интерполяционной задачи. Это и есть интер-
поляционная формула Лагранжа.
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
154. Вывести интегральную форму остаточного члена Rn из формулы
А
/ (х + Л) — / (х) = J f (х + 0 dt,
о
развертывая интеграл в правой части по правилу интегрирования произ-
ведения.
h
155. Из формулы J" — t)'1 {x-\-t)dt, развертывая пра-
о
вую часть по правилу интегрирования произведения, вывести
Rn = f(x + h)-f(x)-hf' (х).
156*. Предположим, что для функции f (х) каким-то образом получен
ряд
f (х) = ай + atx 4- а2х2 + . • • + апхп -ф- Rn (х),
где а0, ait а2, ..., ап — постоянные числа, функция Rn (х) непрерывно диф-
, Rn(x) „ „ „ /('г) (0)
ференцируема п раз, а —ПРИ Показать, что р —
при А = 0, 1, 2, и, т. е. что ряд является рядом Тэйлора для f (х).
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
401
157*. Найти первые три неисчезающих члена ряда Тэйлора для sin2x
в окрестности точки х = 0, возвышая в квадрат ряд Тэйлора для sin х. Обо-
сновать эту процедуру.
158*. Найти первые три неисчезающих члена ряда Тэйлора для tgx
в окрестности точки х = 0, используя тождество tg х = —. Обосновать
COS X
этот способ.
159*. Найти первые три неисчезающих члена ряда Тэйлора для V cos х
в окрестности точки х = 0, разлагая ряд Тэйлора для cos х по формуле
биномиального ряда. Обосновать этот способ.
160. Найти первые четыре неисчезающих члена ряда Тэйлора в окрест-
ности точки х = 0 для следующих функций:
а) х ctg х; в) sec х; д) ее ;
У sinx . . slnX . , . .
б) —; г) г ; е) In sin х — In х.
V х
161. Разложить функцию f (х) = arcsin х в ряд Тэйлора в окрестности
точки х = 0, используя формулу
f dt
arcsin х = .
J Kl-^2
о
(ср. стр. 230, упр. 4).
162*. Найти ряд Тэйлора для функции (arcsinx)2 (ср. стр. 230, упр. 4).
163. Найти ряд Тэйлора в окрестности точки х = 0 для каждой из сле-
дующих функций:
. , Г -г2 ч f sin Г
a) arsh х; б) 0 dt-, в) I —— dt.
о о
164*. Оценить погрешность, которая будет допущена, если в' рядах,
выведенных в упр. 163, ограничиться первыми п членами.
165*. Два противоположных заряда -j-e и —е, сосредоточенные на
небольшом расстоянии d друг от друга, образуют электрический диполь
с моментом М — ed. Показать, что потенциал а) в точке, находящейся на
М d2
оси диполя, на расстоянии г от его центра, равен -^-(Ч-8). где
б) в точке на перпендикуляре к оси диполя, проходящем через его центр,
равен 0; в) в точке с полярными координатами г, 0 (полюс — в центре
. М cos 0 , .
диполя, полярная ось — по оси диполя) равен ---------§— (1 -(- е), где е и
d2
я:-о-г (5 cos2 0—3). (Потенциал точечного заряда q в точке, находящейся от
or*
него на расстоянии г, равен <у/г; потенциал нескольких зарядов равен сумме
потенциалов, порождаемых отдельными зарядами.)
166*. Найти первые три члена ряда Тэйлора для функции -f-
1
по степеням —.
х
26 Р. Курант
402
ГЛ. VI. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА
167. Вычислить следующие пределы:
a) lim х [71 -+—j — el; б) lim ) х х2171 -4- — 'j — е
л->со 1А * / J л-»оо I 2 L\ 1 х)
/sinx
д) lim ——
г->со \ л
168*. Показать, что соприкасающаяся окружность в точке, в которой
радиус кривизны достигает максимума или минимума, не пересекается
с кривой.
169. Найти максимумы и минимумы следующих функций:
а) |х|; б) х sin —.
ГЛАВА VII
О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
Предварительные замечания
Читатель, который видит в анализе орудие для физических иссле-
дований или технических расчетов, стоит перед вопросом, можно ли
вывести из теории практические средства для действительного выполне-
ния вычислений. Но этот вопрос представляет, пожалуй, не меньший
интерес и с точки зрения теоретика, интересующегося не покорением
природы, а познанием существующих в природе зависимостей.
Систематическое изложение методов приближенного вычисления
можно найти в специальных руководствах1). Здесь мы можем рас-
смотреть только несколько особенно важных пунктов, связанных
более или менее тесно с предшествующим изложением. При этом
необходимо подчеркнуть, что всякое приближенное вычисление имеет
определенный смысл лишь в том случае, когда оно дополняется оцен-
кой сделанной при этом ошибки, т. е. определенными сведениями
о степени точности полученного результата.
§ 1. Численное интегрирование
Мы видели, что даже сравнительно простые функции не могут
быть проинтегрированы с помощью элементарных функций и что
интегральное исчисление не может стремиться к этой принципиально
недостижимой цели. С другой стороны, определенный интеграл от
непрерывной функции действительно существует; возникает поэтому
задача — найти методы для его приближенного вычисления. Мы изло-
жим здесь самые простые и очевидные из этих методов, опираясь на
геометрическую наглядность, а затем рассмотрим вопрос об оценке
погрешности.
ь
Речь идет о вычислении интеграла I = J f(x)dx, где а < Ь.
а
Представим себе, что промежуток интегрирования разделен на п
*) Runge-KOnig, Vorlesungen fiber numerisches Rechnen, Berlin, 1924;
Уиттекер и Робинсон, Математическая обработка результатов наблю-
дений, пер. с англ., Л.— М., 1933. [Крылов А. Н., Лекции о приближенных
вычислениях, изд. 6, Гостехиздат, 1954; Гу тер Р. С., О в ч и н с к и й Б. В.,
Элементы численного анализа и математической обработки результатов
опыта, Физматгиз, 1962.]
26*
404 гл. VII. О МЕТОДАХ приближенного ВЫЧИСЛЕНИЯ (1
равных частей длины h = -- п а , и обозначим точки деления через
х0 — а, X] = а h, .. ., хп=Ь, значения функции в этих точках —
через /0, /j, .... fn, а значения функции в серединах частичных
промежутков — через /]/2, /3/2./(2л_1)/2-
Наш интеграл мы рассматриваем как площадь криволинейной
трапеции и разбиваем ее обычным путем на полосы ширины h.
Теперь все сводится к тому, чтобы приближенно найти площадь
каждой такой полосы, т. е. приближенно вычислить интегралы
I = J f (х) dx.
xv
1. Формула прямоугольников. Самый простой, но и самый
грубый метод приближенного вычисления интеграла непосредственно
связан с его определением; мы заменяем площадь полосы Zv площадью
прямоугольника fvh и получаем тогда для интеграла I приближенное
выражение ’)
Ih (/0-Ь/i4-... 4-/л-1)-
2. Формула трапеций и формула касательных. Лучшее при-
ближение при той же затрате труда на вычисления получим, если
заменим площадь полосы не площадью прямоугольника, а площадью
трапеции, изображенной на рис. 106 и равной -i (/v4~/v+i)Для
всего интеграла получаем в таком случае приближенное выражение
(формула трапеций)
I «5» h(f j 4-/2+ • Ч~/л-1) у (/o4“/«-’
*) Знак « означает здесь и в дальнейшем «приближенно равно».
3]
§ 1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
405
так как при сложении площадей трапеций каждое из значений функ-
ции, кроме первого и последнего, встречается дважды.
Еще несколько лучшее приближение получается, вообще говоря,
если заменить полосу fv не трапецией, ограниченной хордой АВ,
а трапецией, ограниченной сверху касательной к кривой в точке
с абсциссой |— А/2. Площадь этой трапеции равна hfv+xp, и для
всего интеграла получаем приближенное выражение
/ h (fyz + f3/2 + • • 4~/(2n — IJ/z)’
формулу касательных,
3. Формула Симпсона. Значительно более точные численные
результаты получаются, если пользоваться более точной интерполя-
цией функции / (х) в каждой
полосе многочленами степени
выше первой. Самый простой /''S
из этих методов исходит из
интерполяции трехчленами вто- \
рой степени и приводит к фор- / \
муле Симпсона. Эта формула '
основана на том, что площадь
/v4-/v+i двойной полосы меж-______________________________
ду абсциссами х = xv и х = О zv z
= xv -ф- 2й = xv+2 заменяют
площадью, ограниченной сверху Рис. 107.
не прямой линией, а дугой па-
раболы, проходящей через три точки кривой с абсциссами xv,
xv+1 = xv-)-/z и xv+2 = xv-\-2h (рис. 107).
Уравнение этой параболы, согласно интерполяционной формуле
Ньютона (стр. 397), имеет вид
y-/v4-(^-^v)Zv+1F/v' +
, (х — xv) (х — xv — h) /у+2 —2/у+1 +/у
"г" 2 А2
Интегрируя этот многочлен второй степени в пределах от xv до
Xy-J-2/г, получаем, после небольшого вычисления, для площади,
находящейся под дугой параболы, выражение
Ху+2Л 8А _2Л
J у dx = 2hfv + 2Л (/v+1 — /у) + -Ц------(Д+2-2/у+1 + /у) =
= "з (А 4~ Vv+14- /v+2)-
Оно дает искомое приближение площади 7v4-7v+1 нашей двойной
полосы.
406 гл. VII. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ [4
Если выбрать п — 2/п четное, то сложением площадей всех т
двойных полос получим формулу Симпсона для приближенного вычи-
сления интеграла:
I ~3~ (/1 +/з 4“ • • • 4~/2т-1)4~~з- (А + /4~Ь • • • +/2т-2)Ч“
+ “з (/о + Ат)-
2
/* dx
4. Примеры. Применим эти методы к вычислению In 2 = J —. Разби-
1
ваем интервал от 1 до 2 на десять равных частей, т. е. берем Л = 0,1.
Сперва по формуле трапеций получаем:
Х1 = 1,1 хг — 1,2 х3 = 1,3 = 1,4 х6= 1,5 /( = 0,90909 /2 = 0,83333 /3 = 0,76923 /4 = 0,71429 /з = 0,66667 ха — 1,0 х1(> = 2,0 у/о =0,5 у /ia = 0,25
х, = 1,6 /з = 0,625 6,93773 - 0,1
х1 — 1,7 /7 = 0,58824
xs = 1,8’ /8 = 0,55556 In 2 « 0,69377
х^ — 1,9 /9 = 0,52632
сумма 6,18773
Это значение больше истинного, как и следовало ожидать, так как
’кривая обращена к оси х своею выпуклостью.
По формуле касательных имеем:
хо + тЛ= 1.°5 /,л = 0,95238
^+1Л =1,15 /% = 0,86957
—5- Л ~ 1,25 Л, =0,8 /2
•*з 4~ у Л = 1,35 =0,74074 ' 12
х4 + 4 Л =1,45 /,/г =0,68966
х5 + у Л= 1,55 /(1/1 = 0,64516
*6 + у Л= 1,65 /1>л = 0,60606
*7 4" у ~ 1’75 /1% = 0,57143
лг8 + -1л = 1,85 /1% = 0,54054
х9 + |й=1,95 * 2 /1#А = 0,51282
6,92836 • 0,1
In 2 х 0,69284
6]
§ 1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
40Г
Так как кривая обращена выпуклостью к оси абсцисс, это значение меньше,
истинного.
Наиболее точный результат при том же числе мощью формулы Симпсона: делений получаем с по-
Xi = 1,1 fi = 0,90909 х2 — 1,2 /2 = 0,83333
х3 — 1,3 /3 = 0,76923 х4 — 1,4 /4 = 0,71429
х5 — 1,5 /5 = 0,66667 х6 = 1,6 /в = 0.625
х7 ~ 1,7 /7 = 0,58824 х6 = 1,8 /8 = 0,55556
х9 = 1,9 /9 = 0,52632 сумма 3,45955 • 4 13,83820 ха — 1,0 х10 = 2,0 сумма 2,72818 • 2 5,45636 13,83820 /о =1,0 /ю = 0,5
20,79456 • -А
In 2 « 0,69315
И действительно, In 2 — 0,693147 ...
5. Оценка погрешности. Во всех наших формулах легко даты
оценку погрешности, если известен общий ход изменения производ-
ных от функции /(х). Пусть Alp М2, Л43, ...—верхние грани
абсолютных значений производных первого, второго порядка и т. д.,
т. е. мы предполагаем, что | /v) (х) | < Mv во всем интервале инте-
грирования. Тогда формулы для оценки погрешности в v-м частичном
промежутке выражаются следующим образом.
Для формулы прямоугольников имеем
| Iv — hfv | < — Mxh2 или
л-1
V--0
< — ^Mx(b — a)h‘r
для формулы касательных
Л12Л3
24
для формулы трапеций
/2 — 1
1 ~~h 2 А+>/,
v=0
ИЛИ
для формулы Симпсона
|А + А+1 — 3-(/v + 4/v+i+A+2) |
Из последних двух оценок тоже можно вывести оценки для всего
интеграла I. Мы видим, что формула Симпсона дает погрешность
значительно более высокого порядка малости относительно h, нежели
другие формулы, и поэтому ее следует предпочитать другим форму-
лам, если только Л14 не слишком велико.
408
ГЛ. VII. О МЕТОДАХ приближенного вычисления
Чтобы не утомлять читателя проведением доказательств, которые
сами по себе очень просты, для всех наших оценок, я ограничусь
доказательством для случая формулы касательных. С этой целью мы
разлагаем функцию f (х) в полосе по формуле Тэйлора:
/ (*)=а+</2+(«—xv—4) г (xv+у)+(х—xv—-J)2 ла).
где £ — некоторое промежуточное значение из этой полосы.
Интегрируем правую часть этого равенства в пределах от xv до
xv-(-A. Тогда интеграл среднего члена равен нулю. Так как
dx = h
то
*v+h
J f(x)dx — hfv+,!t
xv
что и написано выше.
Если пользоваться интерполяцией с помощью многочленов более
высокой степени, то оценка погрешности производится по остаточ-
ному члену интерполяционной формулы Ньютона (стр. 398).
В качестве примера приведем без доказательства (читатель сумеет
сам его дать по образцу сделанного выше) следующий факт. Если
/ (х) имеет в промежутке а х Ъ непрерывную производную чет-
вертого порядка и если <р(х)— интерполяционный многочлен степени
не выше трех, так что гр (а) — f (а), <р (/>) = f (Ъ), <р j = f
И <₽ НН = /Г2 )’ T0
/(x) = <p(x)-|-^2^-(x —a) (x — 6) ^x —
И
b
J f (x) dx = Ц2- [/ (») + 4/ (itl) + f (»)] - fcj!* /.» a),
a
где £ — промежуточное значение из интервала интегрирования, не
поддающееся более точному определению.
Упражнения
, „ . л f dx
1. Вычислить л по формуле -т-= -гп—у:
r J 4 J 1-f-x2
о
а) с помощью формулы трапеций, беря Л = 0,1;
б) с помощью формулы Симпсона, беря h = 0,1
11
§ 2. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ И ФОРМУЛЫ ТЭЙЛОРА 409
ОО
2. Вычислить J е~х2 dx с точностью до 0,01 (численным интегрирова-
0
нием). (Ср. стр. 592.)
1
/* dx
3. Вычислить - с ошибкой, меньшей чем 0,1 (численным
J
интегрированием).
§ 2. Применения теоремы о среднем значении
и формулы Тэйлора
1. Исчисление ошибок. В совершенно ином направлении нахо-
дятся применения к приближенным вычислениям теоремы о среднем
значении, или, более общо, формулы Тэйлора с остаточным членом,
или, наконец, бесконечного ряда Тэйлора. Рассмотрим сначала в ка-
честве простого, но практически важного примера исчисление ошибок.
Оно опирается на лежащее в основании всего дифференциального
исчисления положение, что любую функцию f (х), дифференцируемую
достаточное число раз, можно заменить в окрестности какой-либо
точки линейной функцией, причем порядок малости погрешности будет
выше первого, или целым многочленом второй степени, причем по-
рядок малости погрешности будет выше второго, и т. д. Рассмотрим
линейное приближение функции у — /(х). Если у-|-Ду== /(х-4-Дх)=
= /(х-]-/г), то по формуле Тэйлора имеем
/,2
где = (0 < ft < I) — некоторое промежуточное значение,
которое нам точнее неизвестно. Если й = Дх— малая величина, то
мы имеем право пренебречь вторым членом и получаем
Д/^/'(х)й.
Иными словами: отношение разностей приближенно заменяют произ-
водной, а приращение функции приближенно заменяют ее линейной
относительно h частью, т. е. дифференциалом функции.
Это почти очевидное соображение применяется на практике сле-
дующим образом. Пусть две физические величины х и у связаны
между собой соотношением у = / (х). Возникает вопрос: какое влия-
ние окажет неточность в измерении величины х на определение ве-
личины у? Если вместо «истинной» величины х из наблюдений по-
лучается неточная величина х -|- h, то соответствующее значение у будет
отличаться от истинного значения у = /(х) на Д/= /(х-|-й)— /(х)_.
Следовательно, погрешность приближенно выражается предыдущим
соотношением.
410
ГЛ. VII. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
[1
Если хотят увеличить точность, то достаточно вместо линейной
функции взять по формуле Тэйлора аппроксимирующий многочлен
второй или более высокой степени, и тогда получатся поправки более
высокого порядка и соответствующие оценки погрешности.
Как применяются эти соображения, лучше всего выяснится на
нескольких примерах.
Пример 1. Тангенс-гальванометр. Производя измерения тан-
генс-гальванометром, пользуются формулой y==c-tga, причем а означает
угол отклонения магнитной стрелки, с — постоянную, характеризующую при-
бор, а у — 1—силу тока. Имеем
, с j
dy —---5— da
J cos2 a
c
и приближенно Ay « cos2 - Aa. Точность измерения в процентах выразится
так:
100 Ау 100-сДа 200 .
------- X -----;-1-- = -г „ Да.
у с cos2 a tg a sm 2а
Ясно, что относительная точность будет наибольшей, т. е. ошибке в из-
мерении угла на величину Aa будет соответствовать наименьшая возможная
относительная ошибка при определении силы тока в том случае, когда
a = л/4, т. е. когда угол отклонения равен 45°.
Например, пусть на приборе возможны отсчеты в 1/2 градуса; тогда,
выражая углы в радианах, имеем | Да | <-у • 0,01745 ..., и относительная
1,745
погрешность, выраженная в процентах, равна —. . Если для а получен,
УЗ" 1
например, отсчет в 30°, то sin 2a = — 1,73205, и относительная по-
9 11745 к о
грешность равна 2 , т. е. приблизительно 2%.
Пример 2. Пусть в треугольнике АВС (рис. 108) стороны Ъ и с из-
вестны точно, в то время как угол a = х может быть измерен лишь с по-
грешностью, абсолютное значение которой | Дх | <6. Спрашивается: в каких
границах лежит ошибка измерения длины у = a— YЬг с° — 2bc cos a
третьей стороны? Имеем
Да « — be sin а Да;
а
11 § 2. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ И ФОРМУЛЫ ТЭЙЛОРА 41 f
следовательно, относительная погрешность, выраженная в процентах, равна
100-Да 100-6с . . „
--------= ——— sin а Да. Если возьмем в качестве численного примера
Ъ — 400 м, с — 500 м и а — 60°, то получаем у — а = 458,2576 м и
Да и
200 000 д
458,2576 ' 2 Ла;
если ошибка в измерении угла не превосходит 10", т. е. Да = 10" или.
4848 • Ю-8 радианов, то
Да si 1,83 см,
т. е. точность составляет около 0,004%.
Пример 3. В этом примере мы покажем, как применение изучаемого
метода к физическим задачам часто экономит много труда.
Из опыта известно, что если железный стержень имеет длцну 10 при
температуре 0°, то при температуре t его длина будет Z =/0 (1-|-а/), где
а — постоянная, характеризующая материал, из которого сделан стержень.
Зная, что маятниковые часы показывают верное время при температуре tx,
определить, на сколько секунд в расчете на сутки они отстанут, если тем-
пература поднимется до Z2?
Для периода колебания маятника существует формула
Т (Z) = 2л 1/ — , откуда dT == - -Дг- dl.
r g V lg
Поэтому, если приращение длины маятника равно AZ, то соответствующее
приращение периода колебания будет
ДГ ~
Vhg
где Zi = Zo (1 -f- aZJ и AZ = aZ0(Z2— tx). Это ДГ есть отставание за время
одного колебания. Отставание за секунду будет \Т[Т « AZ/2Zt; следовательно,,
за сутки часы отстанут на 43 200 • -у— сек.
‘1
Наш метод приближения сэкономил здесь ряд умножений и два извле-
чения квадратного корня. К тому же в более длинном прямом вычислении
пришлось бы в конце из значения Т (12) вычесть почти равное ему значе-
ние Т (1Х), и очень малая ошибка вычисления вызвала бы сравнительно
большую относительную ошибку результата. (Именно такого рода обстоя-
тельство делает вычисления прикладной оптики столь трудоемкими.)
Как здесь, так и в большинстве случаев, когда рассматриваемая функция
содержит несколько множителей или степени с дробными показателями,
можно еще более упростить вычисления, если перед дифференцированием
взять предварительно логарифмы обеих сторон того равенства, которое со-
бираются дифференцировать. Так, в рассматриваемом примере имеем
In Т = In (2л) — -j- In g In I,
отсюда дифференцированием получаем
dT _ dl
’ “ 2Z ’
T
412
ГЛ. VII. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
(2
После приближенной замены dl на AZ и dT на АГ и подстановки значения
1 = li это даст прежний результат
АТ А/
Г ~ 2li'
2. Вычисление л. Ряд Лейбница п/4 = 1 — 1/3 4* 1/5 — 1/7 -|- ...,
который мы вывели (гл. VI, § 1, п° 2, стр. 366) из разложения в ряд
для арктангенса, неудобен для вычисления л вследствие медленного
убывания членов ряда. Однако можно получить сравнительно точный
и не требующий большого труда способ вычисления л с помощью
следующего приема. Из теоремы сложения для тангенса tg(a-|-0) =
tga + tgp
1 — tg a tg р
путем перехода к обратным функциям a = arctg и,
₽ = arctg <v получаем формулу
. , . , и-4-v
arctg и 4- arctg v = arctg —_uv
„ < и-4-v ,
Если выбрать и и v так, что = 1 > то справа получается
значение л/4. Пусть при этом числа и и v небольшие; тогда легко
вычислить и левую часть равенства с помощью известного нам раз-
ложения арктангенса в ряд. Если, например, как это делал Эйлер,
положить и— 1/2, и =1/3, то получится
у = arctg у4-arctg-у.
±+±
3 7 1
Далее можно использовать равенство ---j— = у, которое дает
1-----— z
21
, 1 . 1 . .1
arctg у = arctg -у 4- arctg у;
следовательно,
у = 2 arctg -у 4- arctg -1.
С помощью этой формулы Вега вычислил 140 знаков числа л.
гт 5^ 8 1
Пользуясь равенством ------у — у, мы далее получаем
1—40
*1 . 1 , * 1 .
arctg у = arctg у 4- arctg у;
следовательно,
у = 2 arctg у 4- arctg у 4- 2 arctg у.
3] § 2. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ И ФОРМУЛЫ ТЭЙЛОРА 413
Это выражение исключительно удобно для вычисления п с по-
мощью ряда arctg х=х-----з--Ь-5-------Ь- • 4 в самом деле, подставляя
вместо х значения 1/5, 1/7 или 1/8, мы достигаем, взяв только
несколько членов суммы, большой точности, так как члены ряда
очень быстро убывают. Но можно, если угодно, еще значительно
увеличить точность, исходя из формулы
л , 120 ,1 . , 1 ,1
Т = arctg П9 - arctg 239 = 4 arctg Т - arctg 239 ’
которая получается с помощью рассуждений, аналогичных предыдущим.
[Последнюю формулу легче всего получить следующим путем.
Исходим из угла a— arctg так что tga=-|-. Вычисляем
tg2a = затем tg 4a Далее, tg (А — 4a) =
= l + igS^-259 • Следовательно, -J - 4a = - arctg и
i = 4a — arctg— 4 arctg ——arctg Разлагая в ряд, получим
4 ^оУ о <ьоУ
"_4(1________1_____________k _______________-_____k- 'll
Т — \ 5 3 • 53 5 • 55 • • / \ 239 3 • 2393 ‘ ') J
3. Вычисление логарифмов. Для вычисления логарифмов целесо-
образно преобразовать логарифмический ряд
1 , 14- х , х3 . х5 . ,
'2lnT=T==x+‘3" + ‘5’+ (M<D
для значений 0 < х < 1, путем подстановки
1 х ___ р2 _ 1
“ р2 —1 ’ х ~ 2р2—1 ’
в ряд
1п р -g- In (р 1)"| In (р | 1) —| у Ч з (2р3 1)я I-
причем 2р2— 1 > 1 или р2 > 1. Берем р > 0, так что р > 1. Эта
формула дает возможность в том случае, когда р — натуральное
число, а число р —|— 1 составное, выразить логарифм числа р через
логарифмы меньших чисел и ряд, члены которого очень быстро
убывают; этот ряд можно, следовательно, вычислить с достаточной
точностью, взяв сумму только небольшого числа первых членов. Таким
образом, с помощью этого ряда можно последовательно вычислить
логарифмы всех простых чисел и затем найти логарифм любого числа,
если только предварительно вычислено значение In 2.
Что касается степени точности вычисления In р с помощью этого
ряда, то ее легко определить, не прибегая к общей формуле остаточ-
ного члена. Если при суммировании остановиться на члене у—
414
ГЛ. VII. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
то погрешность равна так называемому остатку ряда, т. е. сумме
всех отброшенных членов. Обозначим этот остаток (он тоже ряд)
через гп.. Тогда и погрешность будет гп. Ясно, что
Г < __________1_________(1 -4---1-----1-----1_____|_ )
" (л + 2)(2р2 — 1)я+2 \ (2/Я—I)2 (2р2—I)4 '”/
Ряд в скобках есть бесконечно убывающая геометрическая прогрес-
сия, сумма которой равна
1 _ (2р2 —1)2
1 ~ (2р2 —1)2-1 ‘
(2Р2-1)2
Следовательно,
ГЛ < (п + 2)(2р2—1)« ’ (2р2_1)2_1 -
и эта формула дает требуемую оценку погрешности.
Вычислим, например, In 7, используя два первых члена ряда. Имеем:
р = 7, 2р2 —1=97, ге = 3,
ln7 = 21n2+lln34-± + _^_+ ....
— 0,01030928, ~ 0,00000037,
97 3* 97э
2 In 2 «to 1,38629436, 1 In 3 =to 0,54930614;
следовательно,
In 7 «to 1,94591015.
Оценка погрешности дает
1
r« < 5.973
1 1
972 — 1 36-109 ’
Следует еще заметить, что каждое из четырех слагаемых получено
с точностью до 5/109, так что последний десятичный знак в указан-
ном значении 1п 7 может подвергнуться изменению еще на 2. В дей-
ствительности же верна и последняя цифра.
Упражнения
1. Для того чтобы измерить высоту холма, наблюдали с равнины стоя-
щую на вершине холма башню высотой 100 м. Угол возвышения основания
башни над горизонтом 42°, а сама башня была видна под углом 6°. Каковы
границы погрешности в определении высоты холма, если в измерении угла
в 42° возможна ошибка до Г?
2. Вычислить In 2 с тремя десятичными знаками с помощью разложения
в ряд.
3. Вычислить In 5 с шестью десятичными знаками, пользуясь значениями
1п2 и 1п 3, данными в тексте.
4. Вычислить л с пятью знаками после запятой, пользуясь любой
из формул п° 2, стр. 412—413.
и
§ 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
415
§ 3. Численное решение уравнений
В заключение добавим несколько замечаний о приближенном
численном решении уравнения /(х) = 0, причем / (х) может и не быть
целой рациональной функциейJ). Все численные методы основаны
на том, что исходят из какого-либо уже известного приближенного
значения х0. бдного из корней и это приближение затем улучшают.
При этом не имеет существенного значения, как найдено это первое
приближение искомого корня уравнения и каково его качество. Часто
первое приближение получают с помощью грубого предварительного
подсчета или, лучше, по графику функции у — / (х); точки пересе-
чения графика с осью абсцисс дают искомые корни (с погрешностью,
зависящей, конечно, от масштаба и от точности чертежа).
1. Метод Ньютона (метод касательных). Способ приближенного
вычисления корня уравнения, данный Ньютоном, исходит из основной
идеи дифференциального исчисления — замены кривой линии ее каса-
тельной в ближайшей окрестности точки касания. Имея приближен-
ное значение х0 корня уравнения / (х) — 0, рассмотрим., на графике
функции у = f (х) точку (х0, f (х0)). Наша цель — найти точку пере-
сечения кривой с осью абсцисс; в качестве приближения к этой
точке найдем точку пересечения касательной в точке х0, / (х0) с осью
абсцисс. Абсцисса X] этой точки пересечения касательной с осью х
будет новым приближением к искомому корню уравнения; при неко-
торых обстоятельствах хг будет лучшим приближением, чем х0.
Для того чтобы найти хр составим уравнение касательной
к кривой y = f(x) в ее точке х0, /(х0):
У — / (*о) = f (xQ) (х — х0).
Координаты (хр 0) точки пересечения этой касательной с осью х
должны удовлетворять этому уравнению, поэтому
— f (х0) = Г (£,) (X! — х0).
Отсюда получаем формулу для нового приближения xt:
Тот же результат можно получить и непосредственно из рис. 109.
Если новое приближение хг лучше, чем х0, то можно повторить
этот процесс, подставив в последнюю формулу Xj вместо х0 и х2
вместо Xj, и таким- образом найти дальнейшее приближение х2 и т. д.
Если кривая имеет вид, изображенный на рис. 109, то эти последо-
вательные приближения будут все более и более приближаться
К искомому корню. Это связано с тем, что на рис. 109 кривая
*) Речь идет здесь только об определении действительных корней
уравнения.
416
ГЛ. VII. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
!2
обращена выпуклостью к оси х. На рис. ПО мы видим, что если, на-
против, начальное значение х0 выбрано неудачно, то наше построение
отнюдь не приближает нас к искомому корню.
Таким образом, полезность метода Ньютона существенно зависит
от хода кривой у = /(х),
И
для его успешного применения надо
в каждой отдельной задаче иссле-
довать степень точности приближе-
ния. Мы вернемся к этому вопросу
на стр. 420.
2. Метод ложного положения
(метод хорд). Метод Ньютона, в ко-
тором решающую роль играет каса-
тельная к кривой, является предель-
ным случаем более старого способа,
в котором вместо касательной рас-
сматривается секущая (хорда). До-
пустим, что нам известны две точки
кривой у = /(х), (х0, у0) и (хь ух),
вблизи искомой точки ее пересечения с осью х. Если заменить кривую
секущей, проходящей через эти две точки, то при некоторых усло-
виях точка пересечения (х2, 0) этой секущей с осью абсцисс дает
лучшее приближение к искомому корню уравнения /(х) = 0, чем х0
и хг. В уравнение секущей Р0Р^ (рис. 111)
х — ха== y — f (х0)
х,— Хо f(Xi) — f(Xa)
подставляем координаты (|,, 0) точки ее пересечения с осью х:
Е — Х0 _ —f (х0)
Х1— ха /(X,) —/(Хо)
и отсюда находим- новое приближение х2 ==
v (Х1 — Xa)f{Xa) _ Xof(X}) — Xi/(X0)
2—6 Z(x1)-/(x0) /(х,)-/(х0) •
3]
§ 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
417
Эту формулу, определяющую по начальным значениям х0 и X] сле-
дующее приближение можно с успехом применять в том случае,
когда одно из значений функции f (х0) и f (х^ положительно, а
другое отрицательно, как, например, на рис. 111, где /(х0)>0,
a f (xj) < 0. Повторное применение этой формулы всегда улучшает
приближение, если при каждом очередном шаге исходить из таких
двух точек, которым соответствуют значения функции, различные
по знаку. [Так, на рис. ПО надо взять у
для следующего приближения пару то-
чек х1 и х2, а не х0 и х2.[ Между со-
ответствующими абсциссами непременно
должен лежать искомый корень.
Последнюю формулу можно при- /7
вести к следующему виду:
/(^)
ё ° /(Х1) —/(х0) ’
Рис. 111.
из которого ясно, что данная выше
формула Ньютона получается из этой
формулы ложного положения как предельный случай, когда хг
мится к х0. Действительно, при Xj —>хй знаменатель второго
правой части имеет своим пределом /'(х0), и эта формула превра-
щается в формулу Ньютона.
Рассмотрим в качестве примера уравнение
f (х) — х3 — 2х — 5 = 0.
При х0 — 2 значение f (х0) =—1, при х, =2,1 значение /(xj = 0,061;
в качестве следующего приближенного значения берем
2;0:0gk7M.b-l) « 2,0943.
стре-
члена
0,061—(—1)
Теперь получаем f (g) ж —0,028 < 0; поэтому подставляем далее в нашу
формулу x0=g = 2,0943 и хг =2,1. Тогда
g, ж 2,0946
и
/(?,)- 0,00054.
Подставляя теперь х0 = g = —2,0943, Xj = gj = 2,0946, получаем
g2 ж 2,09455,
и это значение уже достаточно точное.
3. Метод итерации. Еще один прием приближенного решения
уравнения представляет метод итерации. Для его применения дан-
ное уравнение f (х) = 0 приводят предварительно к виду
Х = ф(х). (1)
27 Р. Курант
418 ГЛ. VII. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
[3
Мы будем предполагать, что функция <р(х) имеет непрерывную произ-
водную. Тогда исходят из подходящего начального (нулевого) при-
ближения х0, которое часто можно выбрать произвольно в довольно
широких границах, и по нему определяют первое приближение
х1 = ф(х0), затем второе приближение х2 —Ф(х1) и вообще (п-]-1)-е
приближение
^П+1=Ф(^)- . п = 1, 2, ... (2)
Таким путем получается последовательность значений хг, х2, х3, ...
.... ха, ... Если эта последовательность сходится к пределу
lim хп = £,, то и lim хя+1 = £, и, совершая в уравнении (1) пре-
/2->ОО /2->ОО
дельный переход п—>оо, получим | — <р (%), т. е. £ есть корень
уравнения (1).
Этот метод и называется методом итерации. [Итерация озна-
чает повторение.] Методы такого типа с успехом применяются и
во многих других сложных проблемах анализа. Метод итерации
быстро сходится при следующем очень общем предположении: если
начальное значение х0 выбрано в таком интервале !) [a, Z>], окружаю-
щем корень £, в котором |<р' (х) | < д, где 0 < q < 1, то последова-
тельность хп сходится к корню
Для доказательства исходим из того, что хй лежит в интер-
вале fa, Ь\\ поэтому
*1 — £ = Ф (*о) — Ф (I) = (*о — £) ф' (х)
(по теореме о среднем значении), причем х лежит между £ и х0,
а следовательно, в интервале [а, £]. На основании сделанного
предположения
l-Vi — £|<?| -*Ъ —£1-
а стало быть, и хх лежит в [а, д], и повторение того же рассужде-
ния дает
I — & | < q | X! — £ | < </2| х0 — £ |.
После п. таких шагов получаем
|*л — £1<<7"|*о — 11-
Так как </*—>0, то погрешность | хп — и хп—>|, а в этом
и заключалось наше утверждение. Ясно, что чем меньше абсолютная
величина q/(x) в окрестности корня тем быстрее сходимость.
[Из последнего неравенства вытекает и оценка погрешности. Так как
I *о — М < ь ~ а- то | хп — £, | < qn (b — а).]
Легко убедиться, что если в окрестности | значение | <р' (х) | > 1,
то процесс расходится и метод итерации бесполезен.
') Хотя корень g и неизвестен, но во многих случаях такой интервал
можно указать с самого начала.
3] § 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ 419
Если известно, что в точке £ выполняется условие | ф' © | < 1
или, напротив, |ф'©|>1, то в силу непрерывности производ-
ной ф'(х), отсюда вытекает существование достаточно малой окрест-
ности точки в которой |ф'(х)|<1 или, напротив, |ф'(х)|>1.
Между тем в случае | ф' © | == 1 невозможно сделать никакого общего
утверждения о сходимости или расходимости процесса итерации.
Целесообразно, особенно в более сложных случаях, где анало-
гичные процессы ведут к цели, осмыслить итерационный процесс
с помощью понятия «преобразования» или «отображения». Функцию
у = ф(х) рассматривают как преобразование, которое каждой точке х
числовой оси приводит в соответствие «изображающую точку» у,
которая, вообще говоря, отличается от х. Наш корень £ уравнения
х = ф(х) оказывается так называемой неподвижной точкой пре-
образования, и задача состоит в том, чтобы определить неподвижные
точки.
Процесс решения состоял в том, что определялось отображение Xj
начальной точки х0, затем отображение точки Xj и т. д., пока
не получилась изображающая точка или отображение х„ в результате
«-кратно итерированного, т. е. « раз повторенного, преобразования
фф...ф(х) или, символически, ф"(х). Если |ф'©|<1, то «итери-
рованные» отображения точки х0 стремятся к притягивающей не-
подвижной точке если |ф'©|>1. эти последовательные ото-
бражения все более удаляются от отталкивающей неподвижной
точки в случае «.безразличной неподвижной точки», |ф'©| = 1,
невозможно сделать на этот счет какого-либо общего утверждения.
Если | является отталкивающей неподвижной точкой для пре-
образования у = ф(х), то та же точка £, очевидно, является при-
тягивающей неподвижной точкой для обратного преобразования
х —ф(у), так как ф'©"ф'©=1. Поэтому существует принци-
пиальная возможность заменить расходящийся итерационный процесс
сходящимся путем перехода к обратной функции.
В качестве примера рассмотрим уравнение х = tg х в промежутке
л/2 < х < Зл/2.
„ dtgx 1 . ,
Так как - " — — cos2 1, то процесс итерации расходится;
но. если переписать предложенное уравнение в виде
х — arctg х -ф- л,
то получится сходящийся процесс, так как (arctg х -|-л) =
~1_|^л2 < [При переходе к обратной функции здесь получается
не х = arctg х, а х = arctg х -ф- л, так как по определению
— л/2 < arctg х < л/2, а по условию л/2 < х < Зл/2.]
Для того чтобы привести уравнение /(х)=0 к виду X —ф(х),
достаточно положить ф (х) = /(х)-|- х. Если | ф' (х) |=| f (х)-1-1 |> 1
27*
420 гл. VII. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
|3
в окрестности корня £, то процесс итерации не будет сходиться.
Тогда, как уже сказано выше, можно воспользоваться обратной функ-
цией или же следующим приемом. Выбираем начальное приближе-
ние х0, вычисляем f (х0) = А и, если А + 0, пишем
ф (Х) = _ 2. / (х) 4- х.
Тогда уравнение / (х) — 0 запишется в виде х — ф (х), причем теперь
ф'(х) ——(х)1 обращается в нуль при х = х0, а стало быть,
| ф' (х) | < q < 1 в некоторой окрестности точки х0. Если эта окрест-
ность доходит до корня %, то итерационный процесс будет схо-
диться к этому корню.
[Можно рекомендовать следующий более общий способ приведе-
ния уравнения / (х) = 0 к требуемому виду. Вводят вспомогательную
функцию ф(х) = ).У('х) х с пока неопределенным коэффициентом
X #= 0. Ясно, что уравнение / (х) = 0 равносильно уравнению х = <р (х).
Неопределенный коэффициент X можно теперь выбрать так, чтобы
было | <р' (х) | = | X/' (х) + 1 | < <7 < 1 в некоторой окрестности корня £,
и это обеспечит сходимость итерационного .процесса.]
Возвращаясь к методу Ньютона, мы можем теперь исследовать,
насколько он пригоден для применения в какой-либо заданной точке.
f (х)
Уравнение /(х) = 0 равносильно уравнению х=ф(х) = х------------
J \х)
в предположении, что f'(x)^0. Применяя к последнему уравнению
метод итерации, исходя из начального приближения х0, получим
х f (Хо)
первое приближение х,=х0--------< , другими словами, то же самое
j (х0)
первое приближение, которое дает метод Ньютона, примененный
к уравнению /(х) = 0 при том же начальном значении х0. Отсюда
видно, что применение формулы Ньютона улучшает приближение,
если абсолютная величина производной от ф(х) меньше единицы:
. , / М I / (X) /" (X) | . ,
I ф (X) I — I у, | < 1
При выполнении этого условия последовательные приближения тем
, I f (X) /" (X) I й . ,, , . ,
быстрее сходятся, чем меньше —гут; и2 - т. е. чем больше | j (х) |
I 1/ V*)J I
и чем меньше |/(х)| и | f"(х) |, а следовательно, чем меньше абсо-
лютная величина /(х) и кривизны.
Можно также получить оценку точности метода Ньютона, если
заметить, что из /(У = 0 вытекает, что производная ф'(£) = 0. При-
меняя формулу Тэйлора, имеем
I - х1 = ф (£) - ф (х0) = ф" (X),
где х лежит между | и х0. Следовательно, если погрешность началь-
ного значения х0 мала, то этот метод сходится гораздо быстрее, чем
4]
§ 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
421
метод итерации, примененный непосредственно к уравнению /(х) = 0
[т. е. к уравнению х = f (х)х].
Например, если
,, (гЛ _ {/' W}2 г (*) +/' (*) / (•*) (•*) -2/ (•*) {/" W}2
ф (X) — {/'(*)}’ w
меньше десяти во всем исходном промежутке, то начальное прибли-
жение х0, имеющее погрешность до 0,001, дает первое приближе-
ние %! с погрешностью, меньшей чем (0,001)- 10:2 = 0,000005.
4. Примеры. В качестве примера рассмотрим то же уравнение
f (х) = х3 — 2х — 5 = 0,
которое мы раньше решали методом хорд. При х0 = 2 имеем f (х0) = — 1,
а при Х] = 2,1 — значение f(xY) = 0,061. Применяя метод Ньютона к значе-
Г I f (х) f" (х) I
нию х, в обеих точках г .. . ,;У - < 1, но в точке xt она значительно
L I [/ W]2 I
меньше , получим
Х2 = х, - -££4- = 2,1 — = 2,1 - 0,005431 = 2,094569.
/ (X ।) О (4 1) — 2
Для оценки погрешности приближения х2 из выражения (а) находим,
что ] <р" (х) | < 2 вблизи точки х = 2. Кроме того, ошибка начального при-
ближения Х!=2,1, несомненно, меньше чем 1/160, так как хорда, соединяющая
точки х0 = 2, у0 = — 1 и Xi =2,1, у[ =0,061, пересекает ось абсцисс на рас-
стоянии, меньшем 1/160, от точки Xt=2,l, кривая же лежит под хордой
и пересекает ось х еще ближе к х} — 2,1. Поэтому погрешность ') прибли-
12 1
жения х2 меньше чем -.-=т = оё'спп < 0,00004.
loir хО OUv
Если
вычислив
эта степень точности недостаточна, то можно повторить процесс,
f (х2) и /' (х2) для х2 = 2,094569, и получить следующее прибли-
с ошибкой, меньшей чем Хтг.-, < 0,000000002.
(25 600)2
жение х3
В качестве второго примера решим по методу Ньютона уравнение
/(x)==xlgx — 2 = 0. Имеем /(3) =— 0,6 и f (4) = 0,4; берем поэтому
начальное приближение х0 = 3,5. Пользуясь десятизначными таблицами лога-
рифмов, получаем последовательные приближения:
Xq — 3,5,
х, = 3,598,
х2 = 3,5972849,
х3 = 3,5972850235.
’) Погрешность значения х2 можно оценить, и не прибегая к хорде,
следующим образом. Ошибка начального приближения xt во всяком случае
меньше чем (2,1 — 2) = 0,05; поэтому погрешность приближения х2 меньше
чем 0,052 = 0,0025. Следовательно, корень g отличается от Xt=2,l меньше
чем на (2,1—2,0945) -|-0,0025 = 0,008. Это значит, что ошибка начального
значения х1 была не только меньше чем 0,05, но и меньше чем 0,008, так
что х2 имеет погрешность, меньшую чем 0,0082 = 0,000064.
422
ГЛ. VII. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
Упражнения
1. Пользуясь методом Ньютона, найти положительный корень уравне-
ния хе 4- 6х — 8 = 0 с четырьмя знаками после запятой.
2. Вычислить корень уравнения х — tg х, лежащий между л и 2л,
с четырьмя знаками после запятой. Доказать, что эта точность обеспечена.
3. Пользуясь методом Ньютона, найти значение х, для которого
J 14-«2 du 2-
о
4. Найти корни уравнения х = 2 sin х с двумя знаками после запятой.
5. Определить положительные корни уравнения х5 — х — 0,2 = 0 методом
итерации.
6. Определить наименьший положительный корень уравнения х* — Зх34-
-f- 10х — 10 = 0 методом итерации.
7. Найти корни уравнения х3— 7х2 4-6х 4-20 = 0 с четырьмя знаками
после запятой.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ VII
Формула Стирлинга
В очень многих приложениях, особенно в статистике и теории
вероятностей, встречается нёобходимость в приближенном представле-
нии выражения /г! с помощью элементарной функции от п. Такое выра-
жение дает формула Стирлинга.
При п->оо
или, точнее,
У 2л п + 2е~" <«!<У2лп + 2е~л (1 ~l~ •
Другими словами, так как 1 4~ 1/4» стремится к единице при п— хз,
то выражение У2л пп+'^е~п дает приближенное значение п! с малой
относительной погрешностью, тем меньшей, чем больше п. Это
принято выражать следующей фразой: п! асимптотически равно
У2л пп+^е~п. Вместе с тем множитель 1 I/4/г дает оценку сте-
пени точности приближения.
На эту формулу наводит вычисление площади Sn криволинейной
трапеции, ограниченной кривой у —1пх, осью абсцисс и ордина-
тами х=1 и х = п -(рис. 112). Интегрированием получаем точное
значение этой площади (см. стр. 249):
п
Sn — J In х dx — х (In x — 1) I" = n In n — n -j- 1.
i
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ VII
423
Если же вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций,
проведя ординаты х=1, х = 2, ,.., х — п, то получим прибли-
женное значение Тп этой площади^
Тп — In 2 -|- In 3 -ф- ... —|—In (п — l)4-ylnn = ln/i! — у In п.
Естественно предположить, что Sn и Тп имеют одинаковый порядок
роста, откуда будет вытекать, что In ni и выражение (а -|- 1/2) In п — п
являются величинами .одного и того же порядка, а стало быть,
п! того же порядка, что n'l+'i’2e-'1, а это и есть существенное утвер-
ждение формулы Стирлинга.
Для того чтобы это наводящее рассуждение превратить в точное
доказательство, мы сначала покажем, что разность an = Sn — Тп огра-
ничена, откуда и будет немедленно вытекать, что 7’П=5П(1 — -y-j
того же порядка, что’ и Sn.
Разность ak+i — ак есть площадь фигуры между кривой и ее
хордой в полосе й х й-|-1- Так как кривая обращена вогну-
тостью к оси абсцисс и лежит выше хорды, то aft+1 — ак > 0 и ап > О
и монотонно возрастает. С другой стороны, разность ак+1 — ак, оче-
видно, меньше, чем (ср. рис. 112а) разность -площади трапеции,
ограниченной сверху касательной в точке х = й-ф- 1/2, и площади
трапеции, ограниченной сверху хордой; отсюда получаем неравенство
ак+\ ак < In (Л Н- 2")-----g- [In й In (й -|- 1)] =
In й
£
2
____1
2(й-4
Следовательно, подавно
ak+i — ак < 4 1"(1 — 4 *П О
1
2(й + 1)
(*)
424
ГЛ. VII. О МЕТОДАХ приближенного вычисления
Подставим сюда последовательно k= 1, 2, ..., п—1 и сложим
почленно полученные п— 1 неравенств. Тогда в левой части оста-
нется ап — аг, а в правой части сократятся все члены, кроме пер-
вого и последнего, и мы получим:
ап а\ < 2 1п 2 2 П V Чп ) ’
а так как а}=0, то
/ 1 1 3
ап < 2 I” 2 ‘
Следовательно, переменная ап ограничена, а так как она моно-
тонно возрастает, то непременно стремится к некоторому пределу а,
когда п-^-оо: lim ап=^а.
П-><Х>
В неравенство (*) подставим последовательно k — n, /г-f-l, ...
..., n-j-m—1 и сложим полученные т неравенств; тогда получим
ап+т — ап <~2 1П(1 + 2?) Tln(1 + 2(n-f-m))'
Оставляя п неизменным, перейдем в этом неравенстве к пределу при
/п->со; так как lim ап+т = а, то предельное неравенство будет
ш->со
По определению ап — Sn — Тп~п\пп — «4-1 — In п\-|- In п;
поэтому
In n! = 1 — ап In п — п,
откуда
1 1
« п+п —п — И.
п\ = е 2е —апп 2е ,
где ая = е1’ °п. Последовательность ап монотонно убывает и стре-
lim о._ = е1"; стало быть
1 <5 а” — еа~а а и Следовательно, ап 2 n<g2 14-i< а<ая<а(1 + ^-). 'е~п < п! < апп+ 2е~п(1
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VH
425
Остается вычислить предел а, существование которого доказано
выше. Для этого воспользуемся формулой, доказанной в гл. IV, § 4
(стр. 265):
.. (п!)222л
У л = hm ........,
n->co (2п)! п
являющейся следствием формулы Валлиса.
Заменяя в ней п! через аппп+'^е-п и (2п)! через а2п22л+1/2/г2л+'/2в-2л
немедленно получим
9 9
г- ал а а
УЛ = lim --------7=-==-----7=- = -7=->
л->со о2л J 2 р^2
откуда а = 1Л 2л. Тем самым формула Стирлинга полностью доказана.
Помимо ее большого теоретического значения, формула Стирлинга
очень полезна для приближенного вычисления п! при больших зна-
чениях п. Вместо того, чтобы перемножать много целых чисел, можно
просто вычислить выражение Стирлинга с помощью таблицы лога-
рифмов; число операций будет много меньше. Так например, при
п = 10, пользуясь семизначными таблицами логарифмов, находим по
формуле Стирлинга 101^3 598 696, между тем как точное значение
101 = 3 628 800. Относительная ошибка составляет лишь 5/6%.
Упражнение
п
п 1- V«! 1
Доказать, что hm -------= —.
п->со п е
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
170. Показать, что длина эллипса x = acos£, у = b sin t есть
л
2
s=4a I )^1 — е2 cos2t dt, где е2 — ——.
J а
о
Вычислить длину эллипса, эксцентриситет которого с = 1/2, с четырьмя зна-
чащими цифрами, пользуясь формулой Симпсона с шестью делениями.
171. Интеграл из упр. 170 разложить в ряд и оценить, какое число членов
надо удержать, чтобы обеспечить четыре верные цифры.
172. Вычислить J *n dx с помощью формулы Симпсона, беря
о
Л = 0, 1.
173. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна точно 40, а результат
измерения одного из его углов 30°, с возможной ошибкой в 0,5°. Найти,
с какой погрешностью возможно вычисление каждого из катетов треуголь-
ника и его площади.
426
ГЛ. VII. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
л+1/2
174\ Рассмотрением интеграла J In (а-f-*) rf-*, а > 0, показать, что
1/2
а(а-|-1) ... (а + я) = апп' па,
где ап ограничено снизу положительном числом. Показать, что ап монотонно
убывает при достаточно больших значениях п. ^Предел ап при п -> оо
естьтЬ-) , , ,
175. Найти приближенное выражение для In—:—где
И1+«2+ ••• +
176. Показать, что в разложении функции
..- в биномиальный ряд
К1 — X
1
коэффициент при хп асимптотически равен —
у лп
ГЛАВА VIII
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ДРУГИЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Предварительные замечания
Геометрический ряд, разложение в ряд Тэйлора и много частных
примеров, с которыми мы встретились на протяжении этого курса,
естественно ставят вопрос о необходимости систематического изучения
тех предельных переходов, которые носят название суммирования
бесконечных рядов. В сущности, всякий предел
S = lim sn
n->oo
можно записать в виде бесконечного ряда; достаточно только поло-
жить sn — + ПРИ » > 1 и ^ = 04, тогда
sn = ai + аг + аз + ••• +ап-
и значение S оказывается пределом суммы sn, состоящей из п ела- .
гаемых. Этот факт выражают следующими словами: S есть «сумма
бесконечного ряда»
а1 ~h а2 + аз + • • •
Таким образом, бесконечный ряд представляет только своеобраз-
ный способ представления предела, при котором каждое следующее
приближенное значение получается из предыдущего просто путем
прибавления еще одного члена. Например, принцип изображения числа
в виде десятичной дроби есть не что иное, как представление числа а
в виде бесконечного ряда: а — а1-]-а2-\-а3-\- ..., причем, если
то ая=ап-10~я, а ап означает одно из целых чисел
от 0 до 9. Так как всякий предел можно представить в виде бес-
конечного ряда, могло бы показаться излишним особое изучение рядов;
оказывается, однако, что во многих случаях пределы возникают в виде
бесконечных рядов и что при этом получаются особенно простые
закономерности. Разумеется, не всякое разложение в ряд обнаружи-
вает простые закономерности; например, число л можно представить
в виде бесконечной десятичной дроби, но мы не знаем простого закона,
который дал бы нам возможность указать произвольную, скажем
7000-ю, цифру этого разложения; однако, если мы откажемся от пред-
ставления л в виде десятичной дроби, а возьмем для этого, например,
ряд Лейбница (стр. 366), то получим выражение с чрезвычайно про-
стым общим законом образования.
428
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
[1
Совершенно аналогично, как с бесконечными рядами, у которых
приближение к пределу происходит путем постоянного прибавления
новых членов, обстоит дело и с бесконечными произведениями, где
приближение к пределу происходит путем последовательного умно-
жения на новые множители. Впрочем, мы только мимоходом коснемся
вопроса о бесконечных произведениях; основное содержание этой и
следующей главы составят бесконечные ряды.
§ 1. Понятие сходимости и расходимости
1. Основные понятия. Рассмотрим бесконечный ряд, «общий член»
которого обозначим через ап !); тогда ряд имеет вид
СО
й1 + аг+ = 2
Й = 1
Знак суммирования, как и раньше, означает, что вместо k надо
подставить по порядку все числа 1, 2, 3, ... и затем суммировать.
Если «п-я частичная сумма»
п
sn = a14-a2~i- ••• +ап— 2
с возрастанием п стремится к пределу
S = lim sn,
П-^(Х>
то ряд называется сходящимся; если sn не стремится к пределу,
то ряд называется расходящимся; в первом случае предел S назы-
вается суммой ряда.
С примерами сходящихся рядов ы уже встречались неоднократно:
геометрический ряд 1+? + ?2+ ••• с суммой если I <71 < 1>
ряд Лейбница, ряд для In 2, ряд для е и другие.
Критерий сходимости Коши (см. гл. 1, § 6, стр. 58) на языке
теории рядов формулируется так:
Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы число
I sm sn I — I an + l + an+2~l~ ••• +aml
было сколь угодно малым, если только тип выбраны доста-
точно большими (т > п). Иными словами: сходимость ряда имеет
место в том и только в том случае, если выполнено следующее
условие; какое бы малое число е > 0 на было задано, всегда
можно выбрать такой индекс ^ = ^(e), что выражение | sm — sn |
окажется меньше е, если только т~^> N и п> N. Чем меньше
') Из соображений формального характера мы при этом допускаем, что
некоторые из чисел ап могут равняться нулю. В том случае, когда все ап,
начиная с некоторого индекса N, т. е. при п > N, равны нулю, говорят, что
ряд обрывается, и называют его конечным рядом.
§ 1. ПОНЯТИЕ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ
429
заданное число е > 0, тем больше будет, вообще говоря, индекс N,
и при е-»0 он будет неограниченно возрастать.
Смысл критерия сходимости станет яснее, если рассмотреть его на кон-
кретном примере геометрического ряда
1+у+'22'+ ••• +туг+---
Если задать е— 1/10, то достаточно взять N = 4. В самом деле,
I sm
J 1_ ... _1-----1J /1 _1 |_ Д_ 1 <; 1
211 ' с2т~^ \2 22 *** *
а 1/2я—1 < 1/10, коль скоро п>>5. Следовательно, можно принять N = 4.
Если зададим е = 1/100, то достаточно взять для W число 7, как это
нетрудно проверить.
Ясно, что для сходимости ряда существует необходимое условие:
lim ап = 0.
п->со
Действительно, в противном случае не выполняется критерий сходи-
мости Коши. Но это необходимое условие ни в коем случае не
является достаточным для сходимости ряда. Очень легко указать
бесконечные ряды, у которых общий член ап с возрастанием п стре-
мится к нулю, а сумма для них не существует, так как частичная
сумма sn с возрастанием п. неограниченно возрастает.
Примером может служить ряд
1 _|-1----1--1--L . -J----1----L
общий член которого равен l/Уп и стремится к нулю при п->со. Оче-
видно,
1 । .1 п .—
sn >-у=г-|- ... +-?=- = -7^ = Уп;
V п У п У п
следовательно, с возрастанием п п-я частичная сумма неограниченно воз-
растает, и поэтому ряд расходится.
То же имеет место и в классическом примере гармонического ряда
•••
Действительно,
1 । 1 । 1 1 .
Я"+1 + ... +а2л_—р-4- ... >_-j- ... 4 24 = у.
Ввиду того, что п и т = 2п можно взять произвольно большими, ряд рас-
ходится, так как не выполняется критерий Коши. При этом п-я частичная
сумма может только стремиться к бесконечности, так как все члены ряда
положительны. Напротив, ряд с чередующимися знаками (знакочередую-
щийся ряд), составленный из тех же чисел:
2'3 4'5 п -Г---
сходится, и сумма его равна In 2 (см. гл. VI, стр. 364).
430
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
[2
Расходимость ряда не всегда выражается в том, что sn с возра-
станием п стремится к -|-оо или —оо. Так, у ряда
1 — 14-1 — 1-1-1 — 1-1-----...
мы видим, что sn поочередно принимает значения 1 и 0, и в силу
этого колебания от одного значения к другому sn не стремится
к определенному пределу и не возрастает безгранично по абсолют-
ной величине.
Еще одно, правда, очевидное, но принципиально важное замеча-
ние по поводу сходимости или расходимости бесконечного ряда: схо-
димость или расходимость ряда не нарушается, если к ряду при-
писать или убрать от него конечное число членов. Следовательно,
в отношении вопроса о сходимости или расходимости ряда совер-
шенно безразлично, начинаем ли мы ряд с а0, или с av или с а5,
или же с любого другого члена.
2. Сложение сходящихся рядов и умножение сходящегося
ряда на число. Ясно, что два сходящихся ряда а1^-а2-^~ ... = S
и + ••• — можно почленно сложить или вычесть, т. е.
ряд, составленный из членов сп = ап+Ьп, сходится и сумма его
равна S ± Т. В самом деле ’),
± 3^->5±Т (я->оо).
й = 1 fe = l k-=\
Ясно также, что если умножить каждый член сходящегося ряда
на одно и то же число, то ряд остается сходящимся и его сумма
умножится на это число.
3. Абсолютная и условная сходимость. Ряд, составленный
из чисел 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . ., расходится, если все его члены имеют
положительные знаки, и сходится, если знаки членов чередуются.
По-иному обстоит дело у геометрического ряда, где при 0 q < 1
ОО со
одновременно с рядом (—l)v<?v = сходится и ряд qv,
v=0 v=0
1
имеющий сумму
Здесь обнаруживается различие, которое мы должны несколько
ближе изучить. Для ряда, все члены которого положительны, воз-
можны, очевидно, только два 'случая: либо ряд сходится, либо ча-
стичные суммы sn неограниченно возрастают с возрастанием п. В самом
деле, частичные суммы представляют монотонно возрастающую после-
довательность и, следовательно, должны сходиться, если только
остаются ограниченными. Сходимость имеет место в том случае,
когда члены ряда с возрастанием п достаточно быстро стремятся
>) Эта теорема о сложении рядов представляет лишь другую формули-
ровку теоремы: предел суммы двух слагаемых равен сумме их пределов.
4] § 1. ПОНЯТИЕ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ 431
к нулю; расходимость же — в том случае, когда члены вообще не
стремятся к нулю или же слишком медленно стремятся к нулю.
Но у рядов, члены которых частью положительны, частью отрица-
тельны, сходимость может быть обусловлена этим различием знаков,
именно, слишком быстрое возрастание частичных сумм, вызванное
положительными членами, компенсируется отрицательными членами,
так что в конечном счете частичные суммы стремятся к некоторому
пределу.
Чтобы лучше уяснить себе это обстоятельство, сопоставим с ря-
дом 2 +• имеющим как положительные, так и отрицательные члены,
V=1
ряд абсолютных величин его членов, т. е. ряд
ОО
| flq | + | «2 1+ • • • = 5 I + |-
Если последний ряд сходится, то при достаточно большом зна-
чении п и любом т > п выражение
I «л+1 1 + 1 ап+1 1+ • • • + 1 + 1
будет сколь угодно малым; поэтому, в силу соотношения
I ап + \ + ••• + ат I -С I ап+\ 1+ ••• +1 ат\>
выражение в левой части этого неравенства также будет сколь угодно
малым; следовательно, обязательно сходится и первоначальный ряд.'
СО
В этом случае ряд 2 av называется абсолютно сходящимся. Схо-
v=l
димость его обусловливается малостью абсолютных величин его чле-
нов и не зависит от распределения знаков.
Если же ряд из абсолютных величин расходится, а первоначаль-
ный ряд сходится, то этот ряд называется условно сходящимся.
Сходимость в этом случае является следствием компенсаций, полу-
чающихся благодаря различию знаков.
4. Знакочередующиеся ряды и признак сходимости Лейбница.
Для распознавания условной сходимости приведем здесь только при-
знак сходимости Лейбница, относящийся к знакочередующимся рядам.
Так называются ряды, у которых соседние члены всегда имеют про-
тивоположные знаки. Если в знакочередующемся ряде абсолютное
значение \ап\ с возрастанием п стремится монотонно к нулю
ОО
{так что | ал+11 < | ап |), то ряд 2 + сходится. Примером может
V-1
служить ряд Лейбница (стр. 366).
Для доказательства, запишем наш ряд в виде
^1 ^2 + ^з — ^4 Н--• • >
432 ГЛ- VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [5
где все числа Ьп положительны, удовлетворяют условию #п+1 < Ьп
и Ьп стремится к нулю. Группируя члены следующими двумя спо-
собами:
^1 — (^2 *з) (^4 *б) • • •
и
(Ьх — Ь2) -j- (#3 — £4) —(^5 — • • • >
мы непосредственно замечаем, что частичные суммы удовлетворяют
следующим соотношениям:
S1 > * s3 > S5 > • > 'V2m + 1 > • • > S2 < S4 < S6 < . . . < S2m .. .
С другой стороны, s2m < s2m+1 < «4 и $2m+i > s2m > s2- Следовательно,
частичные суммы с нечетными индексами образуют монотонно убы-
вающую последовательность чисел, которые, однако, всегда остаются
больше чем $2; поэтому эта последовательность стремится к некото-
рому пределу О (см. стр. 84). Подобным же образом частичные
суммы с четными индексами s2, s4< s6, ... образуют монотонно воз-
растающую последовательность чисел, которые во всяком случае
меньше постоянного числа sf, следовательно, эта последовательность
должна иметь предел G'. Так как разность $2л+1—s2n = b2n+1 стре-
мится с возрастанием п к нулю, то G = О'. Таким образом, те и
S
о 9 —0—0 | О О 0 - 0 о
-% Sg Sg Sg Sg s7 Ss Sg Sf
Рис. 113,
другие частичные суммы стремятся к одному и тому же пределу,
который мы теперь обозначим через 6' (рис. 113). Но это означает,
что наш ряд сходится и сумма его равна S. Из написанных выше
двух цепей неравенств нетрудно вывести следующее предложение:
сумма знакочередующегося ряда, сходящегося по признаку Лейбница,
заключена между любыми двумя его соседними частичными суммами,
например между «4 = Ьх и $2, между s2 и $3, вообще, между sk и sft+1.
5. Коренное различие между абсолютно и условно сходящи-
мися рядами. В заключение сделаем еще одно общее замечание
о коренном различии между абсолютно и условно сходящимися ря-
дами. Рассмотрим сходящийся ряд 2 av< обозначим положительные
т = 1
члены этого ряда по порядку через рг, р2, р3....а отрицательные
через —^1, —q2, —q3, ... Если составим п-ю частичную сумму
п
данного ряда sn — 2 av< т0 среди ее слагаемых встретится некото-
V-1
рое число, скажем п', положительных и некоторое число, скажем п",
отрицательных членов, причем п,' -\-п" = п; Далее, при неограничен-
ном возрастании п будут неограниченно возрастать и числа п' и п".
5] § 1. ПОНЯТИЕ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ 433
если только наш ряд содержит бесконечно большое число как поло-
жительных, так и отрицательных членов. Частичная сумма s„, оче-
п'
видно, просто равна частичной сумме У pv ряда положительных
V = 1
Пп
членов, сложенной с частичной суммой—2 Яу ряда отрицательных
v-1
членов. Если заданный ряд сходится абсолютно, то непременно схо-
ОО
дится и ряд положительных членов 2 Ру и РЯД абсолютных величин
V=»l
оо т
отрицательных членов У, qv. В самом деле, частичные суммы 2 Ру
V = 1 У = 1
т
и 2 представляют две последовательности чисел, монотонно воз-
V=1
оо
растающие вместе с т и ограниченные сверху числом 2 I ау I- Сле-
. V==l
довательно, сумма абсолютно сходящегося ряда равна сумме
ряда, составленного только из его положительных членов, и ряда,
составленного только из его отрицательных членов', иными сло-
вами: сумма такого ряда равна разности сумм двух рядов
п п' п"
с положительными членами. Действительно, 2^ = 2 Ру-------- Яу'*
V-1 V-=l V-1
с возрастанием п неограниченно возрастают также п' и п"; следова-
тельно, предел левой части должен равняться разности пределов обеих
сумм справа. Если ряд содержит только конечное число членов опре-
деленного знака, то положение соответствующим образом упрощается.
Если же данный ряд не абсолютно, но только условно сходящийся,
ОО оо
то оба ряда 2 Ру и 2 Яу необходимо должны быть расходящимися,
v-l V=1
В самом деле, если бы оба ряда были сходящимися, то данный ряд
был бы абсолютно сходящимся, что противоречит условию. Если бы
ОО
только один из рядов, скажем 2 Ру* был расходящимся, а другой
V=*l
п' п"
был бы сходящимся, то, как следует из формулы sn— 2 Ру— 2 Яу*
v=l V=1
данный ряд вообще не был бы сходящимся; в самом деле, с возра-
п'
станием п число п' и 2 Ру неограниченно возрастают, в то время
V=1
п”
как 2 Яу стремится к определенному пределу, поэтому частичная
V=1
п
сумма 2 ау с возрастанием п должна неограниченно возрастать.
№1
28 Р. Курант
434 гл. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [5
Итак, мы видим, что условно сходящийся ряд нельзя рассматри-
вать как разность двух сходящихся рядов, один из которых состоит
из положительных членов данного ряда, а другой — из абсолютных
величин его отрицательных членов. С этим фактом тесно связано еще
одно различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися
рядами, которое мы рассмотрим в следующем пункте.
6. Об изменении порядка членов ряда. Конечные суммы обла-
дают тем свойством, что в них можно произвольно менять порядок
слагаемых, не изменяя этим значения суммы. Возникает вопрос: каков
точный смысл понятия об изменении порядка членов бесконечного
ряда и изменяется ли при этом сумма ряда? В то время как для
конечной суммы имеет, например, вполне определенный смысл скла-
дывать слагаемые в обратном порядке, для бесконечного ряда такой
возможности нет, так как не существует последнего члена, с кото-
рого можно было бы начать. Изменение порядка членов бесконечного
ряда будет означать лишь следующее: говорят, что ряд a0-4-aj-|-
-j-a2-f- переходит путем перестановки членов в ряд #o+^i +
4-^2+ •••• если каждый член ап первого ряда встречается ровно
один раз во втором ряде, и обратно. Этот член может быть, напри-
мер, тем далее сдвинут со своего места, чем больше п. Он должен
только непременно встретиться где-либо в ряде с переставленными
членами, причем в этом ряде встретятся, с другой стороны, некото-
рые члены первого ряда на местах, более близких к началу ряда,
чем раньше. Так, например, ряд
1 +7 + 72 + 74 + 934V + ?7 + <76 + <754~<716+ • •
получается путем перестановки членов из геометрического ряда
1 + <72+ • • •
И вот в отношении изменения порядка членов ряда существует
основное различие между абсолютно сходящимися и условно сходя-
щимися рядами. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда
не нарушает его сходимости, и сумма ряда не изменяется,
совершенно так же, как и у конечных сумм. Напротив, в условно
сходящемся ряде можно всегда, путем надлежащей перестановки
членов, придать сумме ряда произвольное значение и даже сде-
лать ряд расходящимся.
Первое предложение, относящееся к абсолютно сходящимся ря-
дам, -очень легко доказывается. Допустим сначала, что наш ряд имеет
только положительные члены, и рассмотрим п-ю частичную сумму
п
sn — 2 Все слагаемые этой суммы, безусловно, встретятся в /п-й
Й = 1
т
частичной сумме tm — 2 bk ряда, полученного путем перестановки
Й = 1
членов, если только выбрать достаточно большое значение т. Тогда
tm sn- С Другой стороны, можно по индексу т выбрать настолько
61 § 1. ПОНЯТИЕ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ 435
я'
большой индекс п', чтобы в частичной сумме sn' = '£alt первона-
Л = 1
чального ряда содержались все слагаемые bv b2, .... Ьт. Следова-
тельно, tm s'n < $, где s — сумма исходного ряда. Вместе с тем
а так как limsn = s, то и lim tm = s, т. е. ряд с пере-
мещенными членами тоже сходится, и сумма его равна сумме перво-
начального ряда.
Если абсолютно сходящийся ряд содержит как положительные,
так и отрицательные члены, то его можно рассматривать как раз-
ность двух сходящихся рядов с положительными членами. При изме-
нении порядка членов нашего ряда в каждом из этих двух рядов
члены также подвергаются перестановке, что, по доказанному, не
изменяет суммы каждого из них; поэтому сходится и новый ряд, и
его сумма равна разности сумм этих рядов; таким образом, теорема
доказана и для общего случая.
Начинающему только что доказанное предложение может показаться ".
само собой разумеющимся. Что это положение нуждается в доказательстве
и что доказательство существенным образом опирается на абсолютную
сходимость ряда, можно показать на примере условно сходящегося ряда,
где дело обстоит совершенно по-иному. Берем ряд, с которым мы уже встре-
чались,
1 1 i 1 1 . 1 1 _1_ , О
1__ + T-- + T--g- + y-y + -... — In 2,
умножаем обе части этого равенства на множитель 1/2 и пишем получен-
ный ряд под исходным так:
Сложим теперь оба ряда почленно, соединяя вместе члены, стоящие друг
под другом; в результате получим
, . 1 1.1.1 1.1.1 1 . 3 . _
J +J--2 + 5 + 7~ 4- + -9+ТГ“-б + ••• =Т1п2‘
Но этот ряд можно, очевидно, получить из первоначального путем пере-
становки членов; выходит, что от перестановки сумма ряда умножилась
на 3/2. Легко себе представить, какое впечатление должно было произвести
открытие этого кажущегося парадокса на математиков XVIII столетия, кото-
рые привыкли оперировать с бесконечными рядами, не обращая внимания
на характер их сходимости.
Приведем теперь доказательство сформулированной выше теоремы
об изменении суммы условно сходящегося ряда при изменении по-
рядка расположения членов, хотя этим результатом нам в дальней-
шем пользоваться не придется. Пусть рг, р2, ...—положительные
члены, а —qlt —q2, ... —отрицательные члены ряда. Так как абсо-
лютная величина | ап | с возрастанием п стремится к нулю, то и числа
рп и qn с возрастанием п стремятся к нулю. Выше мы видели, что
28*
436
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
[6
СО оо
ряды 2 Pv и 2i Должны расходиться. Теперь мы можем найти
v=l v=»l
такую перестановку членов данного ряда, чтобы новый ряд имел
произвольную сумму а.
Для определенности предположим, что а > 0. Выпишем первые
«1
пх положительных членов ряда, выбрав пх так, чтобы сумма У, рк
1
«1 л-1
была как раз больше, чем а, т. е. так, что 2 Pk > а рк < а.
' 1 1
Так как У pk безгранично возрастает вместе с пх, всегда возможно
1
сделать частичную сумму больше а, взяв достаточное число членов.
Тогда частичная сумма будет отличаться от а самое большее на рп.
т.
Теперь добавим столько отрицательных членов — У qk, что сумма
1
П\ ИЧ
2 Ра— 2 <7 а будет как раз меньше, чем а; из расходимости ряда
1 1
оо
2 Qk вытекает, что и это возможно. Разность между а и суммой
1
выписанных членов не превышает теперь qm . Добавим теперь как раз
л2
столько следующих положительных членов У pk, что частичная
л,+1
сумма сделается опять больше, чем а; это тоже возможно, так как
ряд, составленный из положительных членов, расходится. Разность
между частичной суммой и числом а теперь не превосходит р . Теперь
т2
добавляем достаточное число отрицательных членов — У qk, сле-
т,+ 1
дующих за последним из ранее взятых, чтобы снова сделать частич-
ную сумму как раз меньше, чем а. Этот процесс мы продолжим без-
гранично. Значения полученных при этом частичных сумм будут
колебаться около числа а, и после достаточно большого числа шагов
колебание будет совершаться в сколь угодно тесных границах: так
как pk и qk стремятся к нулю при безграничном возрастании ин-
декса k, то размах колебания тоже будет стремиться к нулю. Итак,
теорема доказана.
Тем же путем можно достигнуть такого Изменения порядка чле-
нов ряда, что он станет расходящимся; для этого надо каждый раз
брать так много положительных членов по сравнению с отрицатель-
ными, что взаимной компенсации уже не будет.
[Можно сказать, что переместительное свойство конечных сумм
не распространяется без оговорок на бесконечные ряды, — мы только
§ 1. ПОНЯТИЕ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ
437
что убедились, что этим свойством обладают только абсолютно схо-
дящиеся ряды. Между тем сочетательное свойство конечных сумм
распространяется в определенном смысле на все сходящиеся ряды;
оно выражается следующей теоремой:
Если произвольно выбранные группы соседних членов сходя-
щегося ряда
а 1 ~h а2 + аз ~4 ••• •••
заключить в скобки (не изменяя порядка членов), так что полу-
чится новый ряд
(ai + а2 4- • • • + 4~ (^nj+i 4- • • • 4“ а«2) *4 • • •
членами которого являются суммы групп соседних членов дан-
ного ряда, то новый ряд сходится и имеет ту же сумму, что
и первоначальный ряд.
Доказательство очень просто. Обозначим частичные суммы дан-
ного ряда через $(-, а частичные суммы нового ряда — через St. Ясно,
что частичные суммы нового ряда
S] = S-2 =*= Sn2> . . . , Sk = • • •
составляют подпоследовательность последовательности частичных
сумм «!, s2.....sn> • • • исходного ряда, а потому имеют тот же
предел $.]
Упражнения
1. Доказать, что % * (Д 1) = 4^ + А + 4~ =1-
оо
2. Доказать, что >(А + 1Ь+2)'=='?’
k »“ 1
00
3. Доказать, что % (-D*
4. При каких значениях а сходится ряд 1—-14__^у--трН---...?
5*. Доказать, что если сходится ряд 2 а = ei + й2 4- • • • 4- «л»
к-1
то последовательность
44-^4- ••• + 4v
00
также сходится и ее предел равен сумме данного ряда У, ак.
k “ 1
438
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
[1
6. Выяснить, СХОДИТСЯ ли
7. Выяснить, сходится ли ряд
VI / 2n 2n — I
2^Д2п + 1 2п
Л = 1
§ 2. Исследование сходимости и расходимости ряда
В предыдущем параграфе мы вывели признак сходимости общего
характера, относящийся к знакочередующимся рядам, члены которых
по абсолютной величине убывают; этот признак дает возможность
установить по крайней мере условную сходимость таких рядов.
Теперь мы займемся выводом признаков, касающихся лишь абсо-
лютной сходимости.
1. Принцип сравнения рядов. Все исследования сходимости
такого рода основаны на том, что изучаемый ряд сравнивают
с другим рядом, члены которого по абсолютной величине больше
членов данного ряда; этот второй ряд подбирают таким образом,
чтобы вопрос о его сходимости разрешался просто. Общий принцип
сравнения рядов можно выразить следующим образом:
если ряд
~Ь ^2 + + • • • >
все члены которого положительны, сходится и если при любом
значении п
\ап\<Ьп,
ОО
то ряд 2 ап сходится абсолютно.
п=1
Доказательство с помощью критерия Коши почти очевидно.
Действительно,
I ап + • • • +ат|-^|ал 1+ • • • +1 ат\^^п + • • •
СО
Так как ряд 2 Ьп сходится, то при достаточно больших значениях
п = 1
т и п правая часть сколь угодно мала; следовательно, при этих
значениях т и п и левая часть произвольно мала, и, согласно кри-
терию Коши, данный ряд сходится. Что эта сходимость абсолютная,
вытекает из того, что наше рассуждение обнаруживает заодно и схо-
.димость ряда абсолютных величин | ап |.
Предоставляем читателю доказать следующее предложение:
Если
О,
2] § 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ РЯДА 439
оо со
а ряд 2 расходится, то ряд 2 ап не может абсолютно
п=1 п=1
сходиться.
2. Сравнение с геометрическим рядом. При пользовании этим
принципом в качестве ряда для сравнения чаще всего берут геомет-
рический ряд. Тогда непосредственно получается следующая теорема:
ОО
Ряд 2 ап абсолютно сходится, если, начиная с некоторого
/1 = 1
члена, постоянно имеет место соотношение вида
\an\<cqn, (I)
где с есть не зависящее от п положительное число, a q—любое
положительное число, меньшее единицы.
Обычно этот критерий дается в одной из следующих двух более
ОО
слабых формулировок. Ряд 2 ап сходится абсолютно, если, начи-
л-1
ная с некоторого члена, имеет место соотношение вида
(Па)'
I ап I
где q — не зависящее от п положительное число, меньшее еди-
ницы, или если, начиная с некоторого места, справедливо соот-
ношение
(ПЬ)
где 0 < q < 1.
В частности, условия этих признаков сходимости всегда выпол-
нены, если существует соотношение вида1)
Hm I 3n+i-\ = k< 1 (Illa)-
л-»со1 I
или соотношение вида2)
lim У| ап| = k < 1. (ШЬ)
п ->оэ
Доказательство этих утверждений очень легко получить следу-
ющим образом. Пусть критерий (Па), основанный на рассмотрении
отношения двух последовательных членов ряда, выполняется, начиная
с некоторого индекса п0, т. е. при п^~ п0. Тогда мы для краткости,
полагаем аПа+т = Ьт и имеем
IM<?Po|. IM < ?р2| < <73Ро1
) Так называемый признай сходимости Даламбера.
2) Так называемый признак сходимости Коши.
440
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Р
и т. д.; следовательно,
что и доказывает наше утверждение. Для критерия (ПЬ), основан-
ного на рассмотрении корня, непосредственно имеем | ап | < qn, т. е.
наше утверждение правильно.
Наконец, чтобы доказать признаки (Ша), и (ШЬ), выберем про-
извольное число q, удовлетворяющее условию й<9<1. Тогда,
начиная с некоторого п0, т. е. при п > п0, обязательно
п ___
<? или V\an\ <q.
I ип I
так как числа
п ____
РМ и /ы
I ап I
при достаточно большом значении п сколь угодно мало отличаются
от k. Таким образом, на основании признаков (Па) и (ПЬ) признаки
•сходимости (Ша) и (ШЬ) доказаны.
Обратим внимание на то, что эти четыре признака сходимости,
полученные из первоначального критерия |ап | < cqn, не равносильны
друг другу и не равносильны первоначальному критерию, т. е. они
не вытекают взаимно друг из друга. Если для некоторого ряда
выполнен один из этих признаков сходимости, то это ни в коем
случае не значит, что для этого ряда выполняются и все остальные
признаки, как мы вскоре увидим на примерах1).
В дополнение заметим еще, что ряд обязательно расходится, если,
начиная с некоторого члена,
I I > с-
где с — некоторое постоянное положительное число, или
п ____
/КТ >i.
или когда
lim I Дд+1 I = /г > 1 либо lim а I = k > 1.
1/7 1 г 1 7* 1
n-»oo I 1 П->СО
В самом деле, легко видеть, что у такого ряда члены с возраста-
нием и не могут стремиться к нулю, следовательно, ряд расходится.
(В данном случае не может быть речи и об условной сходимости.)
Впрочем, наши признаки представляют только достаточные
услЬвия абсолютной сходимости ряда, т. е. если они выполнены,
') Точнее: из (Ша) вытекает (Па), из (ШЬ) вытекает (ПЬ), из (Ша)—(ШЬ),
из (Па) — (ПЬ); если выполнен один из этих четырех признаков, то выпол-
няется и критерий (I). Однако ни одно из этих утверждений не может быть
обращено.
2] § 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ РЯДА - 44J
то можно заключить, что ряд абсолютно сходящийся. Но они ни
в коем случае не являются необходимыми условиями, т. е. можно-
найти абсолютно сходящиеся ряды, для которых эти условия не
выполняются.
Например, нельзя уже сделать никаких общих утверждений, если
lim I a”+1 I = 1 или lim ап | = 1.
Л-»ОО1
Такие ряды могут быть или сходящимися, или расходящимися.
Например, гармонический ряд (стр. 429)
п ____
для которого lim )Л|ап| =1 и lim -п+‘ — 1, является, как мм
п-»со п-»оо ап
раньше видели, расходящимся. С другой стороны, мы вскоре увидим,,
что ряд
Si-
для которого выполняются те же соотношения, сходится.
В качестве примера на применение наших признаков сходимости рас-
смотрим сперва ряд
q + ‘2q^ + ^+ ...+nq’‘+ ...
Имеем
Hm Kl «„ I = | q | lim Vn = | q |
n->co n->co
и
.. I an+\ I II,. n T 1 I .
n->OOl I n->co
Что ряд сходится абсолютно при | q | < 1, следует как из первого, так
и из второго признака, даже в их более слабой форме (1Па, Ь).
Если же мы рассмотрим ряд
1_|_294-92-Ь29з+ ... +92л'+292Л+Ч- ...,
то мы уже не можем решить вопрос о его сходимости при -g- < I q | < 1
с помощью признака, основанного на рассмотрении отношения последова-
тельных членов, так как тогда
Напротив, критерий, основанный на рассмотрении корня, сразу дает
lim /|«„| = | ? |
Л->со
442
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
[3
и обнаруживает сходимость ряда при | q | < 1, что можно было, конечно, и
непосредственно заметить.
3. Сравнение с интегралом!). Наряду с только что проведен-
ными исследованиями сходимости существует еще другой метод иссле-
дования, не сводящийся к предыдущему и имеющий самостоятельное
значение. Проведем этот метод ис-
следования на наиболее простом
и важном примере 'ряда
Рис. 114.
в котором общий член ап равен
1/гаа, где а — некоторое положи-
тельное число. Для того чтобы
исследовать сходимость или рас-
ходимость таких рядов, предста-
вим себе кривую у= 1/ха и отме-
тим на оси х целочисленные аб-
сциссы х=1, х = 2, ... По-
строим прямоугольник с высо-
той 1/па сперва над отрезком оси
абсцисс п—\-^х^п, а затем над
с площадями двух криволинейных
ним площадь этого прямоугольника
трапеций (заштрихованных по-разному на рис. 114), ограниченных
теми же отрезками оси х, ординатами в конечных точках и вырезае-
мыми ими дугами кривой у=1/ха. Площадь первой криволинейной
трапеции, очевидно, больше, а площадь второй меньше площади пря-
моугольника, которая равна 1/«“. Иными словами,
П4-1
1
п“
ап
что можно, конечно, вывести и не прибегая к чертежу, из свойства
интеграла (см. гл. II, § 7, п° 1). Подставим сюда последовательно
п = 2, п — 3....... п = т и сложим почленно полученные т—1
неравенств; тогда мы получим для m-Vi частичной суммы
') См. также Дополнение к гл. VII.
(А)
3]
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ РЯДА
443
Но мы знаем (см. гл. IV, § 8, п° 3, стр. 289), что с возраста-
нием т интегралы
т+1 т
I" dx С dx
------ и —
J ха J ха
2-----1
стремятся к конечному пределу или возрастают неограниченно, смотря
по тому, будет ли а > 1 или а .
Следовательно, монотонно возрастающая последовательность Sm
будет в первом случае ограниченной, а во втором случае — неогра-
ниченно возрастающей. Мы получаем отсюда следующую теорему:
ряд
СО
У--1 + -+- +
па 1 2“ 3“
/7 = 1
сходится в том и только в том случае, когда а> 1. Расходи-
мость гармонического ряда, которую мы раньше доказали другим
путем, является, как видим, непосредственным следствием этой тео-
ремы. В частности, из этой теоремы следует также, что ряды
JL+_L+J_+
р f 22 ' 32 Т • • • >
। _L .
р т 23 Т 33 । • • •
СХОДЯТСЯ.
оо
Только что исследованные на сходимость ряды V —— в свою
п
77=»1
очередь часто применяются как ряды для сравнения при исследовании
со
сходимости. Например, непосредственно ясно, что ряд /. при.
п
Л=1
а > 1 сходится абсолютно, если только абсолютные величины | сп |
коэффициентов остаются меньше некоторого постоянного, не завися-
щего от п числа М.
Из неравенства (А) при а=1 непосредственно вытекает, что последова-
тельность чисел сп = 1 -|- 4—|—5- + • • • + —— In п ограничена снизу. С дру-
2 О П
гой стороны, ел+1 —С„ = -^-ру — [1п(п-|-1) —1пп]. Но
п + 1 п + 1
1п(л-|-1)-1пл = f —>—~ f dx =—
J X «4-1 J n-|-1
n n
444
ГЛ. VtH. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
т. е. 1п(п+0 — In п >—Следовательно, сп+1<с„ и последователь-
Л "у* 1
«ость с„ монотонно убывает с возрастанием п. Стало быть, она сходится
к некоторому пределу С:
lim c„ = lim (1+4-+4-+--- + 7-— InnUc.
«~>оо п->со \ z ° " /
Это число С, равное 0,5772 ..., называют эйлеровой, постоянной. В отличие
от других замечательных чисел анализа, вроде е или я, для постоянной
Эйлера не удалось найти другие выражения, имеющие простой закон обра-
зования.
[Рассуждения, проведенные в этом пункте для конкретного ряда част-
ного вида, можно провести в общем виде для любого ряда «1 4~ а2 + аз 4~ • •
... -\-ап 4- ..., общий член которого задан как функция индекса п: ап = f (п).
В результате получается своеобразный так называемый интегральный при-
знак сходимости, устанавливающий связь между сходимостью ряда и схо-
димостью некоторого несобственного интеграла. См. Фихтенгольц,
Основы математического анализа, т. II, гл. 15, § 2; Смирнов, Курс выс-
шей математики, т. I; Б е р м а н т, Курс математического анализа, т. I.]
Упражнения
Исследовать на сходимость ряды, данные в упражнениях 1—6.
1
(In п)а
где а — постоянная.
В упр. 7—10 оценить
погрешность, если ограничиться п членами ряда.
/1 = 1
п=*1
11, Доказать, что ряд
сходится.
СО' оо
е~"г, т. е. ряд 1 -|-2 г~"г?
п~ — 00 Л=1
12. Сходится ли ряд
13*. Доказать, что ряд
«< 1.
У]-----5---сходится при а > 1 и расходится при
п (In п)а
п-2 ' '
11
§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ
445
14*. Доказать, что ряд V.-----------------сходится при а > 1 и расхо-
п In п (In In n)“
дится при 1.
15. Доказать, что если (1 = 1, 2, 3, ...) и ряд сходится,
i=i
то и ряд У] и] сходится.
i-i
СЮ со
16. Показать, что если ряды 24 и 2 Ь2к оба сходятся, то и ряд
fe=i ft==i
СЮ
акЬк сходится.
k=i
17. Доказать, что
1 , 1 2 1 1 '21, 1 ,
1 + 7 ~ "З + 7 + "5 - К + 7 + • •' + ЗТфТ +
+"Зп+2 — Зпф-З + ••• =1п3-
18*. Доказать, что если п есть любое целое число, большее единицы, то
= In п,
где числа сф определяются следующим образом:
(П) f 1. если п не является делителем индекса у,
v ( —(п — 1), если п является делителем индекса у.
§ 3. Последовательности функций и ряды функций
1. Общие соображения. До сих пор мы рассматривали ряды,
члены которых были постоянными числами; поэтому и суммы этих
рядов, если они сходились, представляли постоянные числа. Но как
для теории, так и для приложений особенно важны такие ряды,
члены которых являются функциями некоторой переменной и суммы
которых вследствие этого также являются функциями той же пере-
менной; таковы, например, рассмотренные в шестой главе ряды
Тэйлора.
Итак, мы рассмотрим теперь в общем виде ряд
Si (х) Si (х) + S3 (•*-) + • • •.
в котором gn (х) представляет функцию, определенную в интервале
а х -С Ь. Обозначим n-ю частичную сумму gx (х) ... -ф- gn (х)
446
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
|2
этого ряда через /„ (х). Сумма f (х) нашего ряда есть не что иное,
как предел lim fn(x), если только этот предел существует. Следо-
л->оо
вательно, сужжу бесконечного ряда функций можно рассматри-
вать как предел последовательности функций (х), f2 (х),
/з(х), .... fn(x), ... и, обратно, для каждой такой последователь-
ности функций fn(x) можно построить эквивалентный ей ряд, пола-
гая gB(x) = /„(x) —/n_j(x) (при п> 1) и gj (х) =/j (х). Поэтому
мы имеем право заменять рассмотрение бесконечных рядов рассмотре-
нием последовательностей функций и обратно, смотря по тому, как
нам удобнее.
2. Предельные переходы для функций и для кривых. Теперь
мы точно сформулируем, каков смысл утверждения, что функция
/(х) представляет в определенном интервале предельную функцию
для последовательности функций /](х), /2(х),'..., fn(x). Вот это
определение: последовательность функций f1(x\ f2(x), ... схо-
дится к 'предельной функции f (х) в данном интервале, еоли
в каждой точке х этого интервала значение f п (х) стремится
к значению /(х) в обычном смысле. В эгком случае мы пишем
lim /л(х) = /(х) или fn (х)->/(х). На основании общего крите-
п->со п~>оо
рия сходимости Коши (см. гл. I, § 6) сходимость последовательности
функций можно также охарактеризовать, совершенно не зная заранее
и даже не упоминая 6 предельной функции /(х). Именно, наша по-
следовательность функций сходится к некоторой предельной функ-
ции /(х) в том и только в том случае, если в каждой точке х на-
шего интервала величина |/„(х)— /т(х)| становится меньше любого
наперед заданного сколь угодно малого положительного числа е,
как только мы возьмем числа т й п достаточно большими, т. е.
большими, чем некоторое число N — N (г, х). Это число N (е, х),
вообще говоря, зависит от е и от х и при неограниченном убыва-
нии е неограниченно возрастает.
С примерами такого рода пределов последовательностей функций
мы встречались неоднократно. Напомним только определение сте-
пени х“ для иррационального значения а с помощью равенства
х“— lim xr”,
л->оо
где г2, . . ., г„, ... есть последовательность рациональных чисел,
стремящихся к пределу а, или равенство
е* = lim (1+^-Г,
„^.00 \ п)
где функциями /л(х) справа являются целые рациональные функции
степени п.
2]
§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ
447
Изображение функций с помощью кривых, естественно, приводит
к тому, что говорят также о предельной кривой для последова-
тельности кривых. Можно сказать, что графики предельных функ-
ций ха и ех являются предельными кривыми для последовательностей
fix
графиков функций хл и ll-|- — I • Однако между предельным пере-
ходом для функций и для кривых имеется тонкое различие, на ко-
торое до середины XIX столетия не обращали достаточного внима-
ния. Но только ясное понимание этого различия позволяет нам избе-
жать некоторых кажущихся парадоксов.
Рассмотрим в качестве примера функции
/я(х) = х” (п = 1, 2, ...)
в промежутке 0<^х<Л. Все эти функции непрерывны, и существует пре-
дельная функция lim fn (х) = f (x). Однако эта предельная функция уже
Л->00
не является непрерывной. В самом деле, /(1) = 1, так как при любом зна-
чении п значение /„(]) = 1; между тем при всяком х, 0 х <. 1, как мы видели
(см. гл. I, § 5, п° 6, стр. 51—52), f (х)= lim fn (х) = 0. Следовательно, пре-
/2>СО
дельная функция f (х) представляет в нашем промежутке прерывную функ-
цию, имеющую повсюду значение 0 и только при х = 1 значение 1.
Эта прерывность функции становится наглядной, если рассмотрим гра-
фики Сп функций у = fn (х). Это непрерывные кривые (см. рис. 16 на стр. 52),
которые проходят через начало коор-
динат и через точку (1; 1) и которые
тем ближе примыкают к оси х, чем
больше п. Эти кривые стремятся к пре-
дельной кривой С, которая вовсе не
будет прерывной. Она состоит (рис. 115)
из отрезка оси х от х = 0 до х = 1
и перпендикулярного к нему отрезка
прямой х=1 от у = Одо у=1. Итак,
кривые сходятся к непрерывной пре-
дельной кривой, содержащей отрезок,
перпендикулярный к оси х, функции
же сходятся к прерывной предельной
функции. Таким образом, мы видим,
что прерывность предельной функции
геометрически выражается в том, что
предельная кривая содержит отрезок,
перпендикулярный к оси абсцисс. Такой
отрезок непременно должен означать
и, действительно, такой вертикальный
прерывность предельной функции,
отрезок всегда присутствует, когда
предельная функция прерывна. Эта предельная кривая не является гра-
фиком предельной функции, и вообще кривая, содержащая вертикальный
отрезок прямой, не может быть графиком однозначной функции у = f (х).
потому что для того значения х,.которое соответствует вертикальному от-
резку, кривая дает бесконечное множество значений у, а функция — только
одно. Стало быть, предел последовательности графиков функций /„ (х)
не то же самое, что график предельной функции /(х).
То, что мы говорили о последовательностях функций, относится, ра-
зумеется, и к бесконечным рядам функций (см. п°1).
448
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
[1
§ 4. Равномерная и неравномерная сходимость
1. Общие соображения и примеры. Различие между понятиями
сходимости последовательности функций и последовательности кривых
приводит к явлению, которое необходимо уяснить себе при изучении
сходимости. Это — явление неравномерной сходимости последователь-
ностей функций или бесконечных рядов функций. Так как этот пункт
обычно доставляет начинающим затруднения, то мы остановимся
на нем несколько подробнее.
Что функция f (х) является пределом последовательности функций
fn(x) в интервале а согласно определению означает лишь,
что соотношение /(х)~ lim fn(x) имеет место в каждой точке х
П->со
интервала. С наивной точки зрения можно было ожидать, что из этого
понятия сходимости автоматически вытекает следующий факт: если
задана произвольная степень
точности, например е= 1/1000
или е = 1/100, то,начиная с не-
которого индекса /V, все функ-
ции f п (х) для всех значений х
интервала заключаются между
f (х) —е и /(х)— е, так что
их графики у — fn (х) целиком
находятся внутри полосы, изо-
браженной на рис. 116; иными
словами, по данному е > 0
можно найти такое число W — N(е), которое, вообще говоря, с убы-
ванием е возрастает, что при п > N всегда ! /(х)—fп (х) | < с, какое бы
мы ни взяли значение х из нашего- интервала. Это требование можно
выразить и так: |/„(х)— /т(х)|<2е, если одновременно п > Л/ и
m > N. Если степень точности приближения, предписанная наперед
заданным числом е, может быть обеспечена повсюду в интервале
одновременно, т. е. путем выбора одного и того же числа N (е),
не зависящего от х, то говорят, что сходимость равномерна. Оказы-
вается, однако, и это на первый взгляд кажется поразительным, что
предположение, будто всякая сходимость непременно должна быть
равномерной, совершенно не соответствует действительности. Короче
говоря, сходимость последовательности может быть и неравно-
мерной.
Пример 1. Неравномерная сходимость обнаруживается уже в рас-
смотренной нами выше последовательности функций fn (х) = х”; они схо-
дятся в интервале 0 <х<;1 к предельной функции /(х) = 0 при 0.<х < 1,
f (1)= 1. В любой точке интервала имеет место сходимость; именно, если
задать наперед сколь угодно малое положительное число е и выбрать любое
определенное значение х = g, то стоит только взять п достаточно большим,
чтобы достигалось неравенство | £" — f (5) | < е.
1) § 4. РАВНОМЕРНАЯ И НЕРАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
449
Но это приближение к пределу неравномерно; в самом деле, если возь-
мем, например, е = 1/2, то, как бы велико ни было число п, мы всегда мо-
жем найти такие значения х = вблизи точки х = 1, для которых
hn—/(п)1 = п”>у>
а именно те значения х — т], для которых 1 > т| > 1/ -g- . Следовательно,
Рис. 117.
невозможно выбрать число п настолько большим, чтобы во всем интер-
вале разность между fn(x) и f (х) была по абсолютной величине меньше 1/2.
Это обстоятельство становится понятным, если обратимся к графикам
этих функций (рис. 115, стр. 447) и обратим внимание на то, что кривые
у = fn (х) вблизи точки х — 1, у = 1 становятся все более крутыми, но что
крутой подъем с возрастанием п ограничивается все меньшей и меньшей
окрестностью этой точки и что,
наконец, эти графики стремятся
к указанной ранее предельной
ломаной.
Аналогично ведут себя
функции
/л (*) = j _|_Л2Л
вблизи точек х=1 и х — —1,
в чем нетрудно убедиться (см.
также гл. 1, § 8, п" 2, стр. 75).
Пример 2. В предыдущих
двух примерах неравномер-
ность сходимости была связана
с тем, что предельная функция
прерывна. Легко, однако, по-
строить и такую последова-
тельность непрерывных функ-
ций, которая сходится к непре-
рывной же предельной функ-
ции, но сходимость эта неравно-
мерная.
Возьмем интервал 0 х 1
дельность функций:
и определим при п 2 такую последова-
/л (х) = хпа
/л(*) = (-^- —п“'
/л (X) = о
при
при
при
причем а есть положительное число, которое находится пока в нашем рас-
поряжении, но которое выбираем постоянным для всех функций нашей по-
следовательности. Геометрически наши функции изображаются в виде лома-
ной, состоящей из. двух прямолинейных отрезков, симметричных относительно
прямой х = 1/п и расположенных над осью абсцисс от х = 0 до х = 2/п, и
отрезка самой оси х от х = 21п до х= 1 (рис. 117).
Если а < 1, то высота построенного треугольника, которая вообще
равна л“-1, с возрастанием п стремится к нулю; кривые равномерно стре-
мятся к оси х, а функции равномерно стремятся к нулю.
29 Р. Курант
450
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
[1
Если а= I, то зубец при любом п будет иметь высоту, равную единице.
Если а > 1, то высота зубца с возрастанием п будет неограниченно воз-
растать. [Между тем основание зубца стремится к нулю при п->оо.]
Но, как бы мы ни выбрали а, последовательность функций fn (х) всегда
будет стремиться к предельной функции / (х) = 0. В самом деле, для любого
положительного значения х нашего интервала при достаточно большом зна-
чении п 2/п < х, так что точка х окажется вне основания треугольника и
/л(-г) = 0; при х = 0 все функции fn (х) равны нулю, так что их предел
f (0) = lim fn (0) — 0; следовательно, при всех значениях х имеем
П~>СО
lim fn (х) = 0. Но при а > 1 сходимость, безусловно, неравномерна, так
л ->оо
как уже невозможно выбрать столь большое п, чтобы абсолютное значение
разности | f (х) —fn (х) | = | /„ (х) | было, скажем, меньше 1/2 одновременно
во всем интервале.
Пример 3. Аналогичный характер обнаруживает и последователь-
ность функций
/„ (х) — хпае~пх.
малости показательной функции е выше
Рис. 118.
В отличие от предыдущего примера каждая функция последовательности
задана единым аналитическим выражением (рис. 118). И здесь, при любом
положительном значении х, lim f„ (х)=0, так как при возрастании п порядок
л->оо
порядка малости любой степени
числа 1/п (стр. 222). При х=0
всегда fn (0) = 0, и, таким
образом, во всем интервале
О -C х «, где а — любое по-
ложительное число,
f (х) = lim /„ (х) = 0.
л->оо
Но и здесь при а > 1 сходимость
последовательности к предель-
ной функции неравномерна.
В самом деле, в точке
х = 1/п [точка максимума для
функции fn (х)]
/л (Ш = «“"‘/г.
и мы видим, что при а 1 лю-
бая кривая у — fn (х), каким бы
большим ни выбрать п, будет содержать точки (именно точку х = 1/п,' изменяю-
щуюся вместе с п, и соседние точки), в которых fn (•*) — /,(•*) == fn (х)и > У'2е.
Пример 4. Понятия равномерной и неравномерной сходимости пере-
носятся, разумеется, и на бесконечные ряды. Ряд (х) g2 (х) -f- ... на-
зывается равномерно сходящимся или же неравномерно сходящимся, смотря
по характеру сходимости последовательности его частичных сумм/л(х).
Очень простой пример неравномерно сходящегося ряда представляет ряд
, . _ g | Хг | X2 ! х2
/ (Х)-Х -f- -f- (1-1-х2)3
№
При х = 0 каждая частичная сумма fn (х) = х2 -|~ ... -(———гчя-1 ~
(1 )
следовательно, и /(0) = 0. При х^=0 мы имеем просто геометрический ряд
2]
§ 4. РАВНОМЕРНАЯ И НЕРАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
451
с положительным знаменателем _|_х2 < Следовательно’ ег0 можно про-
суммировать по элементарному правилу, и при х^=0 сумма ряда
/ (*) -----^-j----= 1 +*2«
1— 14-х2
Предельная функция f (х) имеет повсюду, кроме х = 0, выражение
f (х) = 1 4- х2, a f (0) = 0; ей, таким образом, как бы искусственно в точке
х = 0 навязан разрыв.
И здесь мы в каждом интервале, содержащем точку х = 0, имеем дело
с неравномерной сходимостью. Разность / (х) — fn (х) — гп (х) при х = 0
равна нулю при любом п; между тем
при всяком другом значении х эта
разность
Гп (х) = ---------г-.
" (14-х2)”-1
Если потребовать, чтобы это выраже-
ние было, скажем, меньше 1/2, то при
всяком выбранном значении х мы мо-
жем всегда этого достигнуть, выбирая
достаточно большое значение для п.
Однако при любом фиксированном зна-
чении п можно всегда указать такие
близкие к нулю значения х = при
которых <„(£)> 1/2; таким образом,
невозможно равномерно достигнуть ука-
занной степени приближения. Наглядно
все это и здесь становится ясно при рас-
смотрении последовательности графи-
ков функций fn (х) (рис. 119). Эти кри-
вые при достаточно большом значении п,
за исключением непосредственной ок-
рестности точки х — 0, все теснее при-
мыкают к параболе у = 14-х2; но в окрестности точки х = 0 все эти кри-
вые протягивают все более и более суживающиеся хоботообразные отростки
к началу координат, и эти отростки при неограниченном возрастании п все
более стягиваются к отрезку оси у, так что в качестве предельной кривой
получаем параболу вместе с прямолинейным отрезком оси у от у = 0 до
у = 1.
В качестве дальнейшего примера неравномерной сходимости приведем
СО
ряд 2 £>(•*)’ где £о (*) = 1 и W = xk — xk~x при £>1 в интервале
fe = 0
0</х</1; частичные суммы этого ряда образуют рассмотренную выше, в
примере 1, последовательность функций хк.
2. Критерий равномерной сходимости. Изложенные выше сооб-
ражения обнаруживают, что равномерность сходимости в некотором
интервале является особым свойством, которым обладает не всякая
последовательность функций и не всякий бесконечный ряд функций.
Формулируем еще раз понятие равномерной сходимости, сначала в
общих чертах:
29*
452 ГЛ- VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [2
Сходящийся ряд gy (х) -|- g2 (х) + • • называется равномерно
сходящимся в некотором замкнутом интервале, если можно вычис-
лить его сумму f (х) с точностью до любого сколь угодно малого
положительного числа е, пользуясь достаточно большим числом чле-
нов, одним и тем же для всего интервала; ниже это определение
будет уточнено.
Мы предполагаем, что ряд gx (х) g2 W + ••• сходится в каж-
дой точке указанного интервала а к b к предельной функции
(его сумме) /(х); обозначим через fn(x) п-ю частичную сумму ряда:
fn (х) = gr (х) + g2 (х) + ... + ёп (х), а через Rn (х) — остаток ряд а
после его п первых членов: /?л(х) = /(х)— fn(xf
Ряд gx (х) -ф- g2 (х) 4~ ... называется равномерно сходящимся
в замкнутом интервале, если для любого наперед заданного
сколь угодно малого положительного числа е можно указать
такое число N, зависящее только от е, но не зависящее от х,
что при всяком n~>N выполняется неравенство | Rn (х) | —
= |/(х)— fnf*) I < е сразу для всех точек х упомянутого ин-
тервала.
Говоря более образно, частичная сумма fn(x) аппроксимирует
сумму ряда /(х) с ошибкой, меньшей е по абсолютной величине,
одновременно во всех точках интервала, если только п выбрано до-
статочно большим. Сразу устанавливаем критерий Коши: ряд схо-
дится равномерно в том и только в том случае, если \fm(x) —
— fn(x) \ может быть сделана меньше любого положительного
числа е сразу во всем интервале а<^х-^Ь— стоит лишь вы-
брать индексы пи т больше некоторого числа N, не завися-
щего от х. Действительно, во-первых, если сходимость равномерна,
то можно сделать | fm (х) — f (х) | и J /„ (х) — f (х) | каждую порознь
меньше, чем е/2, выбрав т и п больше, чем некоторое число N,
не зависящее от х, и тогда
I fm (*) — fn (*) | = | [frn (x) — f (*)] — [fn (x) — f (x)l I < «•
Во-вторых, если |/m(x) — /„(x)|<e при всех значениях x, коль
скоро тип больше, чем N, то, выбрав какое-либо фиксированное
значение т > N и заставляя п безгранично возрастать, получим
I frn (*) — f (х) I = lim'l frn (x) — fn (x) I < e
П~>со
при всех значениях x, так что сходимость равномерна.
Если нас интересует равномерная сходимость не ряда, а после-
довательности функций, то в данное выше определение придется вне-
сти лишь небольшое изменение. Последовательность функций
/1(х)> /г(х)> ••• называется равномерно сходящейся к предель-
ной функции f (х) в интервале а х <1Ь, если | / (х) — /„ (х) |
можно сделать меньше любого числа е > 0, сразу во всем интер-
вале, выбрав п больше некоторого числа N, не зависящего от х.
2J § 4. РАВНОМЕРНАЯ И НЕРАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 453
И далее, как и выше, критерий сходимости Коши: необходимым
и достаточным условием равномерной сходимости последо-
вательности fn (х) в интервале а х b является возмож-
ность сделать | fm (х) — fn (х) | < е сразу для всего замкнутого
интервала только лишь тем, что индексы тип будут
взяты больше некоторого числа N, зависящего от е, но не за-
висящего от х.
Мы вскоре увидим, что именно это свойство равномерной схо-
димости делает бесконечные ряды и последовательности удобным и
полезным орудием анализа. К счастью, в предельных процессах,
обычно встречающихся в анализе и его приложениях, неравно-
мерная сходимость является чем-то вроде исключительного явления,
которое редко вызывает затруднения при пользовании методами
анализа.
Обычно равномерность сходимости ряда доказывается с помощью
ОО
следующего критерия: если члены ряда 2 ёъ (х) удовлетворяют
k-i
условиям | gk(x) | < ak, где ak — положительные постоянные, обра-
оо оо
зующие сходящийся ряд ^ак, то ряд gk(x) сходится равно-
k~i *-i
мерно (заметим кстати, и абсолютно).
В самом деле,
т
2 ёк (х)
k~n
т т
< 21 gk(х) |< 2 аю
k — n k—n
отсюда непосредственно вытекает наше утверждение, так как, согла-
сно критерию сходимости Коши, последнюю сумму можно сделать
сколь угодно малой, а это выражает необходимое и достаточное
условие равномерной сходимости.
Примером может служить геометрический ряд 1-|~ хх2-|~ .... если
ограничиться интервалом | х | q, где q— произвольное положительное чи-
сло, меньшее единицы. В этом случае члены ряда по абсолютной величине
не превышают членов сходящегося геометрического ряда 2 ?’•
Дальнейший пример представляет «тригонометрический ряд»
C]Sin(x — 6[) , С2 sin (х— 62) , C3sin(x— б3) ,
Р I 2* 1 З2
в котором | Сп | < С, где С — положительная постоянная, не зависящая от п.
о . . Сп sin (х— 6„) . , . . С
В данном случае gn (х) = — ---------—, так что | gn (х) | < отсюда,
ОО
V с . ,
в силу сходимости ряда следует равномерная и абсолютная сходи-
мость нашего тригонометрического ряда в любом интервале.
454 ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [3
3. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда не-
прерывных функций. Значение равномерной сходимости бесконечных
рядов заключается прежде всего в том, что равномерно сходящийся
ряд во многих отношениях ведет себя совершенно таким же обра-
зом, как сумма конечного числа функций. Так, например, сумма ко-
нечного числа непрерывных функций непрерывна, и, соответственно,
справедлива теорема: равномерно сходящийся в замкнутом
интервале ряд, члены которого являются непрерывными функ-
циями, представляет функцию, непрерывную в этом интервале
[т. е. имеет в этом интервале непрерывную сумму].
Доказательство очень простое. Представляем ряд / (х) — gx (х) -|-
~t~g’2(x)+ как сумму n-й частичной суммы fn{x) и «остатка»
Я„(х). При этом /„(х) = (х)-ф- ... 4-g„(x). Если задано про-
извольно малое положительное число е, то, в силу равномерной схо-
димости ряда, можно выбрать число п настолько большим, чтобы
остаток по абсолютной величине был меньше е/4 во всем интервале,
и потому непременно будет иметь место неравенство
| Rn (х + h) — Rn (х) | < е/2,
где х и х-}-Ь— произвольные значения из нашего интервала. Ча-
стичная сумма fn (х) состоит из конечного числа непрерывных сла-
гаемых и поэтому непрерывна; следовательно, для всякой точки х
интервала можно выбрать столь малое положительное 6, что
(•»+*) — /„(аг) | < е/2,
если | h | < б и значения х и x-\-h лежат в нашем интервале; тогда
|/(х-|-Л)-/(х)| = |/л(х-|-й)—/л(х)-]-/?л(хф-й) —/?„ (х) | <
<|/„(х + й)-/л(х)Ц-|/?л(х4й)-/?я(х)|<е,
а это соотношение и выражает непрерывность функции f (х).
Значение этой теоремы станет яснее, если вспомним, что сумма
неравномерно сходящегося ряда непрерывных функций, как мы ви-
дели на примерах, отнюдь не является обязательно непрерывной. Из
последней теоремы можно вывести и следующее заключение: если
сумма сходящегося ряда непрерывных функций прерывна в некото-
рой точке, то в любой окрестности этой точки сходимость ряда не-
равномерна. Следовательно, представление прерывных функций с по-
мощью рядов непрерывных функций как раз и основано на приме-
нении неравномерно сходящихся рядов.
4. Интегрирование равномерно сходящегося ряда. Сумму ко-
нечного числа непрерывных функций можно «интегрировать почленно»,
т. е. интеграл суммы можно получить, интегрируя каждую функцию
в отдельности и складывая полученные интегралы. Для сходящегося
ряда функций, т. е. для бесконечной суммы, этот прием также за-
конен, если ряд сходится равномерно в промежутке интегрирования.
41 § 4. РАВНОМЕРНАЯ И НЕРАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 455
Равномерно сходящийся в некотором интервале ряд непрерыв-
СО
ных функций 2 £й(%) = /(х) можно в этом интервале почленно
k = i
интегрировать. Точнее: если а и х — любые два числа этого ин-
СО X
тервала, то ряд J gk(t)dt сходится, притом равномерно
fe = l а
относительно х (при фиксированном а), и сумма его равна
I f(t)dt.
а
Для доказательства напишем, пользуясь предыдущими обозначе-
ниями,
со
f (X) = 2 Sk О) = fn (х) + Rn (х).
По условию каждый из членов ряда является непрерывной функ-
цией; следовательно, и сумма f(x), по теореме предыдущего п°, не-
прерывна в данном интервале и поэтому может быть проинтегриро-
вана. Далее, для любого наперед заданного е > 0 всегда можно вы-
брать число п столь большим, чтобы во всем интервале имело место
соотношение | Rn (х) | < е, а вместе с тем и | / (х) — f„ (х) | <.е. По
первой теореме о среднем значении интегрального исчисления имеем
J [f(t)—fn(t)]dt <el,
где I — длина промежутка интегрирования; но так как интегриро-
вание конечной суммы (х) мы имеем право выполнять почленно,
X п X
то J /„(0^ = 2 J gk(t)dt и
a а
х п
J f(t}dt-^
а й = 1
J gk(t)dt
el.
Приближая е неограниченно к нулю и тем самым увеличивая не-
ограниченно п, мы отсюда получаем теорему о возможности почлен-
ного интегрирования равномерно сходящегося ряда:
СО х п X X
У f gk (t)dt = lim У f gk(t)dt — f f(t)dt.
456
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
И
Если речь идет не о рядах, а просто о пределе последователь-
ности
/(x) = lim/„ (х),
Z?->co
то наш результат можно выразить следующим образом:
Если в некотором интервале последовательность функций
/1(х), /2(х)> ••• стремится равномерно к функции f(х), то
ь ь ъ
lim f fn(x)dx — j Нт fn(x)dx = f f(x)dx,
n-tco • J n->co J
a a a
если только a и b лежат в этом интервале', иными словами,
в этом случае можно поменять местами операции интегриро-
вания и предельного перехода [или: предельный переход можно
выполнить под знаком интеграла].
Этот факт отнюдь не является очевидным с самого начала. Правда,
с наивной точки зрения, господствовавшей вплоть до XIX столетия, едва ли
возникают сомнения в возможности изменения порядка этих операций, од-
нако одного взгляда на примеры п° 1 этого параграфа достаточно, чтобы убе-
диться в том, что наше утверждение в случае неравномерно сходящихся
рядов или последовательностей функций может оказаться неверным. До-
статочно рассмотреть пример 2 (стр. 449). Здесь интеграл предельной функ-
ции равен нулю, в то время как интеграл от функции fn (х), взятый в пре-
делах от 0 до 1, т. е. площадь треугольника на рис. 117 (стр. 449), имеет
значение
1
J /л(х)^ = п«-2
о
и, следовательно, в случае а^>2 не стремится к нулю. Мы здесь непосред-
1 1
ственно видим, что причина несовпадения значений f(x)dxn Hm fn(x)dx
J n~>OOV
о 0
лежит в неравномерности сходимости.
С другой стороны, в случае 1-<а<2 обнаруживается, что, несмотря
на неравномерность сходимости, может иметь место равенство
1 1
Hm f fn (х) dx = f / (х) dx.
п-^сх> J J
О О
То же обнаруживают и другие примеры, приведенные в п° 1. Можно, напри-
' оо
мер, почленно интегрировать в пределах от 0 до 1 ряд 2 Sn где
о
ga (х) = 1 и gn(x)~xn — х”-1 при п>1, несмотря на неравномерную схо-
димость этого ряда, т. е. мы получим таким путем правильный результат.
Итак, равномерность сходимости является достаточным условием возмож-
ности почленного интегрирования, но ни в коем случае не является необ-
ходимым условием. На этот пункт надо обратить внимание, чтобы избежать
недоразумений.
SJ § 4. РАВНОМЕРНАЯ И НЕРАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 457
5. Дифференцирование бесконечного ряда. По отношению
к дифференцированию равномерно сходящиеся ряды или последова-
тельности функций ведут себя иначе, чем по отношению к интегри-
рованию. Например, последовательность функций f п (х) = -sin п*х
равномерно сходится к предельной функции /(х) = 0, но производ-
ные f'n (х) = п cos п2х с возрастанием п совсем не стремятся к произ-
водной от предельной функции f' (х) = 0; например, этого не будет
при х = 0. Следовательно, несмотря на равномерность предельного
перехода, мы не имеем права изменять порядок операций дифферен-
цирования и перехода к пределу.
То же самое относится и к бесконечному ряду. Например, ряд
, sin24x , sin34x ,
sinx + —22-----------------1---32---h •••
абсолютно и равномерно сходится в любом промежутке, так как
члены его по абсолютной величине не превосходят членов сходяще-
1 । 1 । 1 ।
гося ряда -22- + -gr+ 37-+ . •
Однако, дифференцируя предыдущий ряд почленно, получим ряд
cos х + 22 cos 24х + З2 cos 34х + .. .,
который, очевидно, даже сходится не во всех точках; так, напри-
мер, при х = 0 этот ряд расходится, так как члены его не стре-
мятся к нулю.
Единственный удобный критерий, который в конкретных случаях
позволяет установить, что почленное дифференцирование законно,
представляет следующая теорема: если при почленном диффе-
ренцировании сходящегося бесконечного ряда
S °k(x) = F(x)
получается равномерно сходящийся ряд непрерывных функций
оо
X gk(.x)—f(x);
”о
то сумма последнего ряда представляет производную от суммы
первого ряда. Таким образом, условие теоремы ясно требует, чтобы
подле почленного дифференцирования мы еще убедились в том, схо-
дится ли полученный ряд равномерно.
Доказательство теоремы почти очевидно. В самом деле, на осно-
вании п° 4 ряд, полученный путем дифференцирования, можно по-
членно интегрировать в нашем интервале, причем верхний предел х
458
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
можно оставить неопределенным. Принимая во внимание, что
gk (t) = G' (t), получаем, таким образом,
X X / со \ со х
J J { 1^ = ^ J gk(t)dt =
a a \k—Q / Л=0 a
co
= 2 [O* (x) - Gk (a)] = F (x) - F (a),
* = 0
Так как это верно при всех значениях
ной сходимости, то f (х) — F' (х), как мы
х из интервала равномер-
и утверждали.
Упражнения
1. Путем сравнения с рядом из постоянных членов показать, что ниже-
следующие ряды сходятся равномерно в указанных интервалах:
а) х — х2 + х3 — х4-|-...
б) +
(-1<х<1);
, sinx , sin2x , . sinnx , , , .
в) —p- + -gj--h • • 4-^2--Ь • • (в любом интервале);
г) e*~H2X + ... 4-елг+ ... (~2<x<—1).
2. Доказать, что если fn (х) = (—1<х<1), то lim /„ (х) = 0.
1 -|- п X п->со
Доказать, что сходимость неравномерна.
п2х2
3*. а) Дано fn(x)=^~,—(—1<х<1); найти lim fn (х). Доказать,
l.-f- Л Л п->со
что эта сходимость неравномерна. Доказать, что тем не менее
4*. Построить кривые у = f„ (х)
1 1
lim fn(x)dx~ lim fn (x) dx.
n-^<x> J J* n ->oo
tl^X^
б) Исследовать поведение последовательности fn (x) =-------—у в от-
1 -|- nx
ношении сходимости, равномерной сходимости и законности предельного
перехода под знаком интеграла.
у 2П
= Y+x2n <~2<х<2) ПРИ п = 113110-
Найти lim fn (х). Доказать, что сходимость неравномерна.
п оо
оо
5. Показать, что ряд 2 сходится равномерно в любом фикси-
п= -со
рованном интервале а<^х^6.
6. Показать, что нижеследующие последовательности сходятся в интер-
вале 0<;х<;л, но не равномерно:
п ____ п
а) Уsinx; б) (sinx)"; в) "/xsinx;
§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
459
sin X
Г) [/ (JC)]", где f (х) = -у— при х =£ 0, / (0) = 1;
Д) V f (х), где f (х) = -8-”% при х #= О, f (0) = 1.
7. Последовательность fn (л) определена в интервале равен-
ствами
/0(х) = 1, /„(X) = /х/„_! (х) при л = 1, 2, 3, ...
а) Доказать, что в интервале 0<х<Ч эта последовательность сходится
к непрерывной предельной функции.
б)* Доказать, что эта сходимость равномерна.
8*. Функция /о (х) непрерывна в интервале 0 < х < а. Последователь-
ность функций f п (х) определена равенством
/„(*) = j fn-i (Ол=1, 2, ...
о
Доказать, что эта последовательность сходится равномерно к нулю в любом
фиксированном интервале О х < а.
9. Построить (в общих чертах) кривые х2лУ2” = 1 при п = 1, 2, 4.
К какой предельной кривой стремятся эти кривые при п->со?
10*. Дана последовательность функций fn (х) (п=1, 2, ...), имеющих
непрерывные производные при а < х < Ь. Доказать, что если fn (х) схо-
дится в любой точке интервала и неравенство | f'n (х) | < М (где М — по-
стоянная) выполняется при всех значениях п и х, то эта сходимость равно-
мерна.
§ 5. Степенные ряды
Среди рядов функций наиболее важное значение имеют степен-
ные ряды. Под степенным рядом разумеют ряд вида
Р(х) = с0 + С1х + с2х24- •••
й = 0
(«степенной ряд относительно х») или ряд более общего вида (сте-
пенной ряд относительно х — х0):
Р (х — х0) = с0 Cj (х — х0) -|- с2 (х — х0)2 -|- ... = 2 ck (х — xo)k-
к=0
где xQ—постоянное число. Если в последнем ряде ввести в качестве
новой независимой переменной х—xQ — t, то ряд перейдет в сте-
СО
пенной ряд 2 cktk относительно переменной /; поэтому можно, не
К-0
нарушая общности, ограничиться рассмотрением степенных рядов
СО
более частного вида 2 ckx>t-
КС
Мы уже в гл. VI подробно рассмотрели вопрос о приближенном
выражении функций с помощью целых рациональных функций, и это
460
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
П
нас привело к разложению функций в ряд Тэйлора, который, конечно,
представляет собой степенной ряд. В этом параграфе мы займемся
изучением степенных рядов самих по себе и получим таким путем
новые и во многих отношениях более простые и удобные подходы
к разложению в ряд наиболее важных функций.
1. Сходимость степенного ряда. Существуют степенные, ряды,
которые расходятся при всех значениях х, за исключением, конечно,
значения х = 0, например ряд х4-22х2 -ф- З3х3-|- . .. -}-nnx”4- ...;
действительно, если х 4= 0, то всегда можно найти такое натураль-
ное число N, что | х | > 1/ЛЛ; тогда все члены ппхп при п > N по
абсолютной величине больше 1 и даже с возрастанием п неограни-
ченно возрастают, между тем как члены сходящегося ряда должны
стремиться к нулю.
С другой стороны, существуют степенные ряды, сходящиеся при
любом значении х, например степенной ряд для показательной
функции
^-l + x + ^+^4-....
сходимость которого при всяком значении х непосредственно выте-
кает из критерия (Ша) (§ 2, п° 2); в самом деле, при делении
(п+О-го члена на n-й получаем
х
ТГТТ’
и это частное всегда стре-
мится с возрастанием п к нулю, каково бы ни было значение х.
Характер сходимости степенных рядов описывается следующей
основной теоремой:
Если степенной ряд сходится при некотором значении х — £,
то он абсолютно сходится при всяком значении х, для кото-
рого | х | < | £ |, и сходимость будет равномерной во всяком ин-
тервале |x|<xi, где Xj— любое положительное число, мень-
шее, чем | £ [. Впрочем, Xj может быть взят сколь угодно близ-
ким к] 11.
ОО
Доказательство очень простое. Если ряд У, сходится, то члены
й-0
его с возрастанием k должны стремиться к нулю; следовательно, они
непременно по абсолютной величине меньше некоторого не завися-
щего от k числа М, т. е. | cv|v | < М. Возьмем теперь постоянное
число q, удовлетворяющее условиям 0 < q < 1, и ограничим изме-
нение-х интервалом | х |< q 11|; тогда | cftxft |<;| | q* < Mq*. Итак,
ОО
члены нашего ряда S ckxk в этом интервале по абсолютному зна-
о
со
чению меньше членов сходящегося геометрического ряда Л1 2
й-0
состоящего из постоянных положительных чисел. Отсюда непосред-
ственно вытекает на основании теоремы § 4, п° 2, абсолютная и
равномерная сходимость в интервале — q | £ | х <4 q | £ |.
1]
§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
461
Если степенной ряд сходится не всюду, т. е. если существует
значение х = %, при котором ряд расходится, то ряд непременно
расходится и при всяком значении х, при котором | х | > | £ |. Дей-
ствительно, если бы ряд при таком значении х сходился, то на осно-
вании только что доказанной теоремы ряд должен был бы сходиться
и при значении £, которое по абсолютному значению меньше чем х.
Отсюда видно, что если степенной ряд сходится по крайней мере
при одном значении х, отличном от нуля, и расходится по крайней
мере при одном значении х, то он имеет интервал сходимости,
т. е. существует определенное положительное число р такого рода,
что при | х | > р ряд расходится, при | х | < р ряд сходится, и при-
том абсолютно; относительно | х | — р мы не можем сделать заранее
никаких общих утверждений. Предельные случаи, когда ряд сходится
только при значении х — 0 или сходится при всех значениях х, мы
символически выражаем записью р = 0 или р = оо. [Итак, интервал
сходимости таков:—р < х < р. Само число р называется радиусом
сходимости степенного ряда. Сходимость является равномерной в лю-
бом замкнутом промежутке, содержащемёя целиком внутри интервала
сходимости.] ’)
Например, для геометрического ряда 1 х -j- х2 -ф- ... значение р
равно 1; на концах интервала сходимости этот ряд расходится. Подобным же
образом для ряда
arctg х = х — + ---
с которым мы познакомились в гл. VI (стр. 365), р = 1; на обоих концах
интервала сходимости, т. е. когда |х| = 1, ряд сходится, что сразу видно
по признаку сходимости Лейбница (стр. 431).
В качестве следствия равномерной сходимости отметим важное
положение, что степенной ряд внутри своего промежутка сходимости
представляет непрерывную функцию [т. е. сумма его есть непрерыв-
ная функция].
) Можно указать простое правило для определения радиуса сходимости
п ________________________________________________________________
по коэффициентам с* степенного ряда. Если существует предел lim J'Q с„ |,
л->оо
ТО
lim /| с„ |
л->оо
В общем случае р выражается формулой
1
Р = -~ п
lim /| сп |
п->оо
(где Игл есть символ верхней точки сгущения, введенный на стр. 85).
462
ГЛ. Vin. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
[2
2. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
В силу равномерной сходимости степенной ряд
ОО
/ (%) = 2 ckXk
£ = 0
всегда можно почленно интегрировать в любом замкнутом про-
межутке, целиком лежащем внутри его интервала сходимости. Таким
образом получаем функцию
F(x) = C + 2
fc=0
для которой
Г(х) = /(х).
Заметим кстати, что
Ck
*4-1
ck при всех значениях
k\
следо-
вательно, ряд, полученный почленным интегрированием, сходится
(даже абсолютно) много быстрее, чем первоначальный степенной ряд.
Степенной ряд можно также почленно дифференцировать
внутри его промежутка сходимости и таким образом получить
равенство
/'(х)=2 kckxk 1.
k~i
Чтобы доказать правильность этого утверждения, достаточно
только показать, что степенной ряд, полученный дифференцированием,
сходится равномерно, коль скоро х ограничен интервалом, который
целиком лежит внутри промежутка сходимости. Выберем какое-либо
ОО
положительное число £ < р, так что ряд 2 ckl>lt сходится (число £
&=о
может лежать как угодно близко к р). Тогда, как мы видели выше,
все числа | ck^k | будут меньше некоторого числа М, не зависящего
от k, так что | 1 < -у- = N. Пусть теперь q — любое число,
удовлетворяющее условию 0 < <7 < 1. Если мы ограничим х интер-
валом |х|<С<7£, то члены ряда, полученного дифференцированием, по
ОО
абсолютной величине меньше членов ряда 2 1 и* следо-
ы
оо
вательно, меньше членов ряда 2 Nkqk~x. Но в этом ряде отноше-
4 = 1
ние (п 4- 1)-го члена к n-у равно - * q. Оно стремится с возра-
станием п к пределу q. Так как 0<^< 1, то по признаку сходи-
мости (Ша) (стр. 439) этот ряд с положительными и не зависящими
3]
§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
463
от х членами сходится. Следовательно, степенной ряд, полученный
дифференцированием, сходится равномерно и представляет поэтому,
согласно теореме предыдущего параграфа, производную f' (х) от
функции / (х); тем самым наше утверждение доказано.
Применяя этот результат снова к степенному ряду
ОО
//W=S kckxk-\
4=1
получаем путем почленного дифференцирования
ОО
/"(*)= 2 й(/г-1)сАх*-2;
4=2
продолжая таким образом дальше, приходим к следующей общей
теореме: всякая функция, выражаемая с помощью степенного
ряда, имеет внутри промежутка сходимости производные лю-
бого порядка, и эти производные можно получить почленным диф-
ференцированием данного ряда1).
3. Действия над степенными рядами. Свойствами степенных
рядов, выраженными в предыдущих теоремах, объясняется тот факт,
что со степенными рядами можно оперировать так же, как с целыми
рациональными функциями. Само собой понятно (см. стр. 430), что
сложение и вычитание степенных рядов производятся путем сложения
и вычитания соответствующих коэффициентов. Подобным же образом
очевидно, что умножение степенного ряда на постоянный множитель
производится, как и у всякого сходящегося ряда, путем умножения
каждого члена в отдельности на этот множитель. Умножение и деле-
ние двух степенных рядов требуют уже несколько более детального
рассмотрения, которое дается в Дополнениях к этой главе. Здесь
я только отмечу без доказательства, что два степенных ряда
ОО оо
и g (х) = 2 bkxk
4=0 й-0
перемножают, как целые рациональные функции. Точнее это правило
выражается следующей теоремой:
*) В качестве явного выражения n-й производной получаем
/(л)(х)= J k(k-l) ... (k-n + -[)ckxk~n
k = n
или, в несколько иной форме,
k=n 4=0
Эти две формулы часто применяются.
464 ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [4
Произведение двух написанных выше степенных рядов выра-
жается в общей части интервалов сходимости обоих рядов
в виде нового степенного ряда
СО
2 ckxk,
k-0
коэффициенты ck которого даются формулами:
со = ао^о>
С1 =«0^1 ~Ьа1^0’
с2 = а<$2 Ч- а1^1 Ч~ а2^0’
ck ~ аФк + аА-1 + • • • ~Ьй4^0'
(доказательство дано в Дополнениях к этой главе, § 1).
4. Теорема об однозначности разложения в степенной ряд.
Для теории степенных рядов имеет важное значение следующий факт:
если относительно двух степенных рядов
СО оо
2 akXk и 2 ькхк
4 = 0 4=0
известно, что они сходятся в общем промежутке, содержащем точку
х = 0 внутри себя, и в этом промежутке представляют одну и ту же
функцию /(х), то они тождественны, т. е. при любом п имеет
место равенство ап=Ьп. Иными словами:
Если функция f (х) разложима в степенной ряд, то это
возможно только единственным образом. Короче: разложение
функции в степенной ряд однозначно.
Для доказательства этого факта достаточно только заметить, что
разность этих двух рядов, т. е. степенной ряд
ф (*) = 2 ckXk
4=0
с коэффициентами ck=.ak — bk, имеет во всем промежутке значе-
ние 0, т. е. представляет функцию ф (х) = 0. Следовательно, при
х = 0 значение последнего степенного ряда равно нулю, т. е. с0 = 0,
и потому а() = Ь,у Дифференцируя этот степенной ряд внутри про-
межутка сходимости и замечая, что производная ф' (х) также
всюду равна нулю, мы получаем, что и степенной ряд
2 kckxk~x
4-1
постоянно равен нулю, откуда, в частности, при х = 0 следует, что
с1 = 0 или а1 = Ь1. Мы можем продолжать, таким образом, повторно
§ 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
465
дифференцировать и, полагая затем х = 0, находим, что все коэф-
фициенты ck исчезают, а это и нужно было доказать.
Добавим еще, что из наших рассуждений можно извлечь следую-
щий вывод.
Если продифференцировать ряд
ОО
/(х)= 5 аьх*
й=0
k раз и затем положить х — 0, то мы тотчас же получим
т. е. всякий степенной ряд, сходящийся не только при х = 0, яв-
ляется рядом Тэйлора для представляемой им функции. Однозначность
разложения выражается теперь в том, что коэффициенты разложения
однозначным образом определяются заданием функции.
§ 6. Разложение заданных функций в степенные ряды.
Метод неопределенных коэффициентов. Примеры
Всякий степенной ряд представляет внутри своего интервала схо-
димости непрерывную функцию, имеющую непрерывные производные
любого порядка. Рассмотрим теперь обратную задачу: о разложении
заданных функций в степенные ряды. В принципе для этого всегда
можно воспользоваться формулой Тэйлора, но в отдельных случаях
часто возникают затруднения при нахождении n-й производной и при
оценке остаточного члена. Во многих случаях можно гораздо проще
достигнуть цели, если поступить следующим образом: полагаем гипо-
тетически
ОО
/(х)= 5
fe=0
где ck — неизвестные пока коэффициенты; затем определяем коэффи-
циенты ск на основании известных нам свойств функции /(х) и
после этого доказываем сходимость найденного ряда. Этот ряд
представляет тогда некоторую функцию от х, и остается только
убедиться в том, что эта функция совпадает с f(x). На основании
доказанной однозначности разложения в степенной ряд мы уверены,
что никакой другой степенной ряд, кроме найденного, не может
дать требуемого разложения.
Мы сейчас рассмотрим несколько примеров применения этого
метода. По существу, мы уже в шестой главе получили разложения
для arctg х и 1п(1-|-х) таким путем, который относится по идее
к содержанию настоящей главы. Нам были известны геометриче-
ские ряды (бесконечные геометрические прогрессии), выражающие
30 Р. Курант
466 ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [1
производные от этих функций, и эти ряды мы там просто по-
членно интегрировали.
1. Показательная функция. Поставим себе задачу найти функцию f (х),
для которой f'(x)~f(x) и /(0) = 1. Представляем /(х) предварительно
в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами:
/ (*) = «о + ci-* + С2-*2 +..
дифференцируя почленно, получаем
f (х) = С] 2с2х 4~ ЗсзХ2 -|- ...
Так как, по условию, эти два ряда должны совпадать, то непосредственно
получаем для всякого n > 1 уравнения
Заметив, что из условия / (0) = 1 следует, что коэффициент с0 должен
иметь значение, равное 1, мы можем последовательно определить все коэф-
фициенты и получаем степенной ряд
у у2 уЗ
/W = i + ^ + <r + l + ...
Этот степенной ряд сходится при всех значениях х, что легко видеть
с помощью признака сходимости Даламбера, и представляет поэтому функ-
цию / (х), для которой действительно выполнены условия f (х) = f (х) и
f (0) = 1. (При этих рассуждениях мы сознательно избегали пользоваться
известными нам фактами разложения в ряд показательной функции.) Что
эта функция / (х) совпадает с показательной функцией ех, непосредственно
следует из того, что и ех удовлетворяет тем же условиям. В самом деле,
составим отношение
дифференцируя его, получаем
следовательно, функция <р(х) является постоянной, и она должна равняться 1,
так как при х = 0 она имеет значение 1. Тем самым доказана тождествен-
ность нашего степенного ряда с показательной функцией. (Ср. совершенно
аналогичное рассуждение в гл. III, § 7, n° 1).
2. Биномиальный ряд. Вернемся теперь к биномиальному ряду (гл. VI,
§ 3, п° 3); мы его теперь выведем проще, с помощью метода неопределен-
ных коэффициентов. Для того чтобы разложить в ряд функцию / (х) —
= (1-|-х)а, полагаем
/ (х) = (1 + х)а = с0 + <4* + с2х2 + ...
Заметим теперь, что наша функция, очевидно, удовлетворяет соотношению
(14-х)/' (х) = af (х) = У ackxk.
fe-o
С другой стороны, дифференцируя почленно ряд для / (х) и умножая его
па множитель (1ф-х), получим
(1 -j-х) f (х) = Ci -j- (2с2 4* Ci) х 4- (Зс3 4~2с2) х2 4- • •
21 § 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
467
Так как оба ряда для (1 4-х) /' (х) должны быть тождественны, то путем
сравнения коэффициентов получаем соотношения:
CtCg = С], CtCj = 2с2 , CtC2 == Зсз 4*2с2, • • •
Но с0— 1, так как при х = 0 наш ряд должен иметь значение 1, и мы полу-
чим, таким образом, для коэффициентов последовательно выражения:
. „ г _ «(«—1) . а(а—1)(а —2)
Ч — <-2 — ---2----’ Сз
3-2
S/a\ k
и, как легко вывести, вообще
_а(а—1) ... (а — й-|-2)(а—k 4~ 1) /а\
Ck ~ ~ W‘
Подставив эти значения для коэффициентов, мы действительно получаем
биномиальный ряд
(14-х)« =
Остается исследовать сходимость этого ряда и показать, что он действи-
тельно представляет функцию (14~х)“. Признак сходимости Даламбера
показывает, что при |х | < 1 ряд сходится, а при | х | > 1 расходится, если
только а не является целым положительным числом; действительно, отно-
сл+| а — п л
шение — = —-т-г- х, а абсолютное значение этого выражения при неог-
Сп п г 3
раниченном возрастании п стремится к |х|. Следовательно, при |х| < 1
наш ряд представляет функцию f (х), удовлетворяющую соотношению
(1 4~х)/'(х) = а/(х), что непосредственно следует из закона образования
коэффициентов. Кроме того, /(0) = 1. Но эти условия характеризуют нашу
функцию /(х) как функцию тождественную с функцией (1 4*х)“ В самом
деле, для отношения
имеем
(14**)“/' (xj-afl + xr’/fx)
ф (х) _ _____
следовательно, <р (х) есть постоянная, равная притом единице, так как
q>(0) = 1. Таким образом, доказано, что при | х| < 1
ОО
(14-х)“ =
&=о
а это и есть биномиальный ряд.
Приводим без доказательства точные условия сходимости этого раз-
ложения в биномиальный ряд. Если показатель степени а есть целое поло-
жительное число или нуль, то ряд обрывается, и поэтому разложение
имеет место при всех значениях х (элементарная формула бинома). При
всех других значениях а ряд абсолютно сходится при | х | < 1 и рас-
ходится при |х| > 1. При х = 1 имеем в случае a >0 абсолютную сходи-
мость, в случае —1 < a < 0 условную сходимость, а в случае a < —1
расходимость. Наконец, при х = —1 ряд абсолютно сходится, если а 0,
и расходится, если a < 0. Что при a > 0 ряд сходится равномерно относи-
тельно х в замкнутом промежутке —1 <4 х <4 0> легко получается из выводов
Дополнений к гл. VI, § 2.
30*
468 ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ [3
Отметим следующие частные случаи 'биномиального ряда: геометри-
ческий ряд
у-^==(14-х)-1==1—х4~х2 —х34-х4—4- ...= ^(—1)*Х*;
k «о
ряд
—L-р = (1 + х)-2 = 1 - 2х + Зх2 - 4x3 + _ ... =
который можно также получить, дифференцируя геометрический ряд; а
также и ряды
/Г + ^ = (1+х^=1+4х-А_хз + 214^хЗ-^^х4+- ....
1 -3-5
L— = (1 +x)-’/j = 1 — 4-X 4- — X2
-4-х 2 2-4 2-4-6
1-3-5-7
2-4-6-8
Если возьмем первые два или три члена в этих рядах, то получим часто
применяющиеся приближенные формулы.
3. Ряд для arcsin х. Этот ряд проще всего получить, разлагая выраже-
1
ние урн-/2 по Ф°РмУле бинома в ряд
(1_/2)--Л=1+4-/2-|-4^^+ ...
и интегрируя. Этот ряд сходится равномерно при 111 < q < 1. Интегрируя
его почленно в пределах от 0 до х, мы непосредственно получаем раз-
ложение
1 х3 1 .3 хз
arcsinx = x+T.x+1^-.-y+ ....
которое справедливо при |х|<1. При |х|>1 этот ряд расходится, как
легко видеть с помощью признака Г '
для arcsin х справедлив и при х= ±1.]
Вывести это разложение с помощью формулы Тэйлора было бы значи-
тельно менее удобно ввиду трудности оценки остаточного члена. _______
4. Разложение в степенной ряд функции arsh х = In (х -|- УЛ -J- х2).
Этот ряд получается совершенно аналогичным путем: разлагаем производ-
ную от этой функции как частный случай биномиального ряда:
1 - 1 , . 1-3 , 1-3-5 . ,
=1-----X2 +------X4----------Xе 4----...
/14--*2 2 2-4 2-4-6
Даламбера. [Можно доказать, что ряд
и затем почленно интегрируем. Таким образом получаем разложение в ряд
1 х3 . 1-3 х5
arsh х — х 2 ’ 3 2 • 4 ’ 5
промежуток сходимости которого есть интервал —1<х<1.
6) § 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 469
5. Пример умножения рядов. Разложение функции
In (1 + х)
1 -(-*
дает простой пример применения правила умножения степенных рядов.
Действительно, достаточно только перемножить логарифмический ряд
у2 уЗ у4
1п(1+х)=л-^-+А--^-+- ...
с геометрическим рядом -у-г-— = 1—х4~х2— x3-j-x4--------1- ..., и мы по-
1 । х
лучим при |х| < 1 замечательное разложение:
In (1 4-х) _
14-х
=х-(1+4)л2+(1+4+’у)хз—(1+4+1+т')х4+—•••
6. Пример почленного интегрирования ряда. Эллиптический инте-
грал. Формула для периода колебания маятника (стр. 345) подстановкой
sin = sin у sin <р приводится к виду Т = 4 — К, где (см. стр. 284)
Л/2
f __Ё1—
J /1 — A2 sin2 <р
sin2 — < 1
2
Для вычисления этого эллиптического интеграла разлагаем сначала подын-
тегральную функцию, как частный случай биномиального ряда:
. * = 1 4~ — A2 81п2ф-4- ——- A4 sin4 Ф+ A6 sin® q>4- ...
/1 —A2 sin2 <₽ 2 1 2-4 2-4-6
Так как A2 sin2 ф С А2, то этот ряд сходится равномерно при всех значе-
ниях ф, и его можно почленно интегрировать:
Л/2
f dtf_______________
J Yl — A2 sin2 ф
Л/2 л/2
J Лр 4- -- A2 J sin2 ф </ф 4
о о
л/2
A4 J 81п4фйф4-...
о
Встречающиеся здесь интегралы были уже раньше вычислены (см. гл. IV,.
§ 4, стр. 263). Подставляя их значения, получаем
Л/2
f__________dtf_______
J 'Kl — A2 sin2 ф
Дальнейшие примеры разложения в ряд даны в Дополнениях к этой главе
(стр. 480 и 489).
470
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Упражнения
Определить интервалы сходимости рядов 2 апхП,
Л = 1
рых ап даны в упражнениях 1—20.
коэффициенты кото-
1 1 8 1 п an-f-b 2 - 9 1 1 In (а 4-1) ' У п 10 1 . ^.Уп. In In (10л) . 1 11. —. 5- —»-• п _ "2 /л 6 —. 12. сп, с > 0. ! 13. cVn. 7- с4-п 14. с,пл. Разложить в степенной ряд каждую УУУ. Ifi <n’)2 16' <2«>1' 17.Д+1Д. п2 — п ,8- 14-с« ’ с>0- 19 1 +±=122. Уп п 20. , \ я1+1/л из функций, данных в упр. 21—26.
21. ах. 24. coszx.
x4-ln (1 —х) __ , .
22. !-------• 25. sinsx.
х2
23. sin2 х. 26. arcsin х\
27. Пользуясь одним из частных случаев биномиального ряда, вычи-
слить У 2 с четырьмя десятичными знаками.
28. Для следующих интегралов получить приближения в виде рядов
(разложить сперва в степенной ряд подынтегральную функцию и этот ряд
.затем интегрировать):
1 1
' Г sin X , f In (14-х)
а) ------ах; в) —б) * * * * 11—- ах;
J X J X
о о
1/2 10
Г dx . . f dx
J У1 — х4 J /14-х4
0 5 1
29. С помощью умножения степенных рядов получить разложения
в ряд следующих функций (вплоть до членов с х4):
arcsin х '
УГУх ’
a) eAsinx;
в)
б) (1п(1+х)]2; г) sin2x.
30*. Методом перемножения степенных рядов доказать, что:
а) ехУ = ех+у; б) sin 2х = 2 sin х cos х.
31. Интервал сходимости степенного ряда апх” есть |х|<р, а ин-
тервал сходимости ряда У, Ьпхп есть |х| < рь причем р < рР Каков
интервал сходимости ряда У, Уп + Ьп) хп7
32. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найти функ-
цию f (х), удовлетворяющую следующим условиям:
а)/(0) = 3; б) /'(х)=/(х)4-х.
1J § 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ 47Г
[33. Дано: функция / (л) разлагается в степенной ряд в промежутке
| х | < р. Доказать теорему:
а) Если f (х) есть четная функция, то этот степенной ряд содержит
только члены с четными степенями х.
б) Если f (х) — нечетная функция, то ее разложение в ряд по степе-
ням х содержит только нечетные степени аргумента.]
§ 7. Степенные ряды с комплексными членами
1. Введение комплексных членов в степенные ряды. Сходство
между некоторыми степенными рядами для функций, которые на
первый взгляд совершенно различны между собой, побудило Эйлера
установить чисто формальным образом связь между ними. Он нашел
эту связь, допуская, что переменная х может принимать и комплекс-
ные, в частности чисто мнимые, значения. Мы вначале поступим без-
заботно таким же образом и убедимся в плодотворности такого приема.
Первое поразительное соотношение такого рода получим, заменяя
в степенном ряде для ех величину х чисто мнимой величиной ± /ф,
где ф — действительное число. Принимая во внимание основное соот-
ношение для мнимой единицы I, именно I? =—1, из которого
вытекает, что Z3 —— Z, Z4 = 1, i5 = i ..., и отделяя в полученном
ряде действительную часть от мнимой, непосредственно имеем
или, в другой записи,
е(’ч> == соэфЦ- Z sin ф, е_1'ч,=со5ф — гэ!пф.
Это в высшей степени важные формулы Эйлера, носящие пока
чисто формальный характер. Вторая из них получается из первой
заменой ф на —ф. Формулы Эйлера находятся в согласии с форму-
лой умножения комплексных чисел, записанных в тригонометрическом
виде:
(cos ф 4- I эшф) (cos ф Ц— Z sin ф) == cos (ф + Ф) +г’sin (ф 4~Ф)-
В силу первой формулы Эйлера это равенство принимает следую-
щий вид:
ei(f . — е1 <ч>+Ф).
Оно, стало быть, просто показывает, что тождество ех • еу — ех+у
сохраняет силу и для чисто мнимых значений х = /ф, у — /ф.
Если в степенных рядах для cos х и для sin х заменить аргу-
мент х чисто мнимой величиной 1х, то сразу получим степенной ряд
для ch х и умноженный на Z степенной ряд для sh х:
cos lx = ch х, sin lx = Z sh x
472 ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ (1
ИЛИ
chx = cosZx, shx = ysin/x.
Из формул Эйлера elx = cos х -f-1 sin х, e~ix = cos х — i sin x на-
ходим выражение тригонометрических функций sinx и cosx через
показательные функции:
eix_g-ix glx ig-lx
sin X =--2^----, COS X =----------.
Эти выражения напоминают известные' нам выражения гиперболиче-
ских функций через показательные
shx^-<y~\ Chx = <±^
и получаются из- последних заменой х на ix:
sinx — Д-shZx, cosx = chZx.
t
Соответствующие формальные соотношения можно, конечно, вы-
вести и для функций tgx, thx, ctgx, cthx, связанных равенствами
thx = -j-tgZx, cthx = Zctgix.
Наконец, аналогичные соотношения можно вывести также для обрат-
ных тригонометрических и обратных гиперболических функций. Так,
например, из равенства
t _ eix — e~lx e2lx — 1
У gX {(g^ +g-lx)~ i(e2ix + x)
непосредственно находим
«их — Ч'О'
T=7F‘
Логарифмируя это равенство, имеем
1 . I -4- iy 1 , 1 4- iy
х =г -st In . ! . ИЛИ arctg у — -7-7- ill 1 1 / .
2г 1 — ty ь х 21 1 — iy
Заменив здесь у более привычным х, получаем равенство
, 1 , 1 -4- ix
arctg х = -кг In г 1 . ,
ь 2г 1 — ix
устанавливающее замечательную связь между arctg х и логарифмом.
1 1 I X
Если в известный ряд для -g- In х подставим вместо х величину 1х,
то действительно получим знакомый степенной ряд
.rctgx = ±((.+I^+<^+...) = x-4 + ^-+...
2) § 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ 47З
Все эти соотношения носят пока чисто формальный характер и
нуждаются, конечно, в более точном выяснении их смысла. В бли-
жайшем пункте мы наметим, как это можно сделать, опираясь на
теорию функций. В дальнейшем, однако, нам понадобится только
формула Эйлера ei<<> = cos(p4-isin(p, а для обоснования этого соот-
ношения можно обойтись без подробного анализа с помощью теории
функций; достаточно просто рассматривать символ ег<₽ как формаль-
ную сокращенную запись выражения cos ф + i sin ф. Тогда формула
, е1ф е»(ч>+Ф) является простым следствием элементарных
тригонометрических теорем сложения. Далее, для того чтобы
сделать соотношение ехе? — ех+? справедливым и для любых ком-
плексных значений аргумента, мы, оставаясь на формальной точке
зрения, вводим новое определение: ех = еЦсоэяЧ- * sin Л) при х =
— £4~rq (£ и я — действительные числа).
2. Краткие указания из области теории функций комплекс-
ной переменной. Хотя указанная чисто формальная точка зрения
сама по себе безупречна, все же хочется в предыдущих формулах
видеть нечто большее, чем чисто формальные определения. Стремление
к этой цели приводит к общей теории функций, как сокращенно
называют теорию так называемых аналитических функций комплексной
переменной. В теории функций можно взять за исходный пункт уста-
новление общей теории степенных рядов с комплексными перемен-
ными и комплексными коэффициентами. Построение такой теории
степенных рядов действительно не представляет никаких затруднений,
если ввести сначала понятие о пределе в области комплексных чисел,
и выполняется почти точно тем же самым путем, как и для действи-
тельных чисел. Так как нам в дальнейшем не придется этим поль-
зоваться, то я приведу здесь только несколько теорем, не приводя
доказательств. Оказывается, что для степенных рядов в комплексной
области имеет место следующая теорема, представляющая непосред-
ственное обобщение теоремы § 5, п° 1, стр. 460:
Если степенной ряд сходится при комплексном значении
х = £, то он сходится абсолютно при всяком значении х, дли
которого |х |<|£|; если, ряд расходится при некотором значе-
нии х=£, то он расходится также при всяком значении х,
для которого | х | > | £ |. Степенной ряд, который сходится не
только при х = 6 и не является повсюду сходящимся, имеет
круг сходимости, т. е. существует такое число р> 0, что при
| х | < р ряд абсолютно сходится, а при | х | > р ряд расходится.
Это число р называется радиусом сходимости степенного
ряда.
Коль скоро установлено понятие о функции комплексного аргу-
мента х, выражаемой с помощью степенного ряда, и установлены
правила действий над этими рядами, то функции ех, sinx, cosx,
arctg х и т. д., как функции комплексного аргумента х, просто
определяют с помощью тех же степенных рядов, которыми они
474
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
выражаются для действительных значений х. Тогда все данные выше
формальные соотношения становятся просто очевидными.
Поясним на двух примерах, какую пользу приносит рассмотрение
комплексных переменных для понимания элементарных функций. Гео-
метрический ряд для функции , а также степенной ряд для
arctg х перестают быть сходящимися при переходе через границы
интервала —1 х 1, хотя обе эти функции не обнаруживают на
концах промежутка сходимости никаких особенностей и при всех
действительных значениях х они и все их производные непрерывны.
^Что ряды для । jy2 и 1п(1—х) при переходе через точку х = 1
перестают сходиться, нам, напротив, вполне понятно, так как при
этом значении те функции обращаются в бесконечность.j Но то, что
ряд для arctg х и ряд (—l)*x2ft для у
k-0
1 II-.,
j—Y при । х I > 1 пере-
стают быть сходящимися, становится сразу ясным, если рассматривать
также и комплексные значения х. Дело в том, что при x — i функ-
ции, выражаемые этими рядами, обращаются в бесконечность и,
следовательно, не могут уже быть представлены с помощью сходя-
щегося ряда; поэтому теорема о круге сходимости сама по себе
исключает возможность сходимости рядов в области действительных
чисел вне промежутка |х|<^1.
Второй пример представляет рассмотренная нами раньше (стр. 386)
функция /(х) = е"1!*2 при х^=0, /(0) = 0, которая, несмотря на ее
регулярный характер, не разлагается в ряд Тэйлора. Но дело в том,
что функция перестает быть непрерывной в окрестности нулевой
точки, как только станем рассматривать чисто мнимые значения
x = Z£. Функция переходит тогда в е1№ и при >0 неограниченно
возрастает. Поэтому понятно, что для нее не может существовать
разложения в степенной ряд по степеням х.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
§ 1. Умножение и деление рядов
1. Умножение абсолютно сходящихся рядов. Пусть даны два
-абсолютно сходящихся ряда:
ОО оо
2 = А и 2 h=в.
й=0 й=0
Положим
сп — а(Рп + а Аг-1 + а2^л-2 + • • • ап- А + atfio-
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
475-
Мы утверждаем, что ряд
СО
2 ей — + (а(А + а1^о) + (а(А + аФ1 4” а2^о) + • •
й-0
абсолютно сходится и его сумма равна АВ.
[Каждое выражение, заключенное в скобки, рассматривается каю
один член.]
Одновременно с данными рядами рассмотрим соответствующие
им ряды из абсолютных величин их членов:
2 I ай I — и
й=0
21М=в.
й — 0
Введем обозначения для частичных сумм всех четырех рядов:
п п
+ — 2 а»> — 2 ^й>
/г —О й«0
п п
Л=2К1. Я, = 2|М-
й-0 й-0
Для доказательства теоремы рассмотрим ряд, который получается*
из ряда 2 ck’ если опустить в нем все скобки:
й-0
2аА— а0^) + а0^1 + аА+' а0^2 4“ аА + a2fy) + • • •’ (О'
и ряд, составленный из абсолютных величин этого последнего ряда:
2 I a4A I — I aolA 1 + 1 aolA I + I а11А 1 + I aolA 1 +
+ 1 а1||^1 | + | а2,А 1 + • • • (2)
Членами ряда (1) являются произведения каждого из членов ряда А
на каждый член ряда В. Эти произведения расположены в таком
порядке: на первом месте стоит а0Ь0, затем произведения, в которых
сумма индексов сомножителей равна 1, далее все произведения, для
которых l-\-k — 2, затем с суммой 3 и т. д. Все произведения
с данной суммой, индексов, скажем — р\
а0^р + а1^р-1+а2^р-г+ • • • + ар-А + а/Д)’
расставлены в порядке возрастания индексов при а.
476
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Для наглядности выпишем в развернутом виде произведение частич-
п п
ных сумм Ап = 2 «£ и вп = 2 bk обоих данных рядов:
i=i fe-i
•^л^л
4- a<Pi 4~ °i^2 4~ °2^2 4- • • • 4- °п^2 4-
+ ao^4-flA4-fl2^4* • • •
Группы членов ряда с суммой индексов Z4~&=1- 2, 3, ... распо-
ложены по прямым, параллельным диагонали квадрата этой таблицы.
Аналогичную формулу-таблицу можно написать для произведения АпВп
ряда абсолютных величин (2).
Возьмем теперь частичную сумму Sm ряда абсолютных величин (2),
и пусть последний член этой суммы (член с номером т) находится
в группе членов с суммой индексов l->rk = n. Из формулы-таблицы
(точнее, из соответствующей таблицы для абсолютных величин)
ясно, что
Sm<AnBn<AB.
t
и, стало быть, частичные суммы Sm ряда (2) абсолютных величин
ограничены; следовательно, ряд (2) сходится и ряд (1) сходится
абсолютно.
Для того чтобы найти сумму ряда (1), воспользуемся тем, что
его члены можно расположить в любом порядке и какие угодно
группы членов можно заключить в скобки (переместительное свойство
абсолютно сходящихся рядов и сочетательное свойство любых сходя-
щихся рядов, стр. 434—437). Расположим члены ряда (1) не по диаго-
налям написанной выше таблицы, а следующим образом: оставим на
первом месте член а0Ь0; в качестве второго члена напишем сумму
(а(Д-НгА4~°1^0)> чт0 вместе с а0&0 дает частичную сумму (ao4~ai)X
X (^о4-^1) — в качестве третьего члена напишем (а0/>24-аА4~
4~ а2^2 4- a2^i 4- а2^о)- чт0 в сумме с первыми двумя членами дает А2В2;
затем объединим 7 членов вида а(Ьц в один (четвертый) член, что
в сумме с предыдущими дает А3В3, и т. д. Весь ряд примет следу-
ющий вид:
а<Л)4-(А^1—ао^о) 4~ (^2^2—A^i) 4-1 • •4_(-^л^л—^л-1^л-1)4_- • •»
его частичные суммы образуют последовательность
а(А)' ^1^1’ -^2^2....^п^п' • • • >
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
477
предел которой АВ и есть сумма как преобразованного ряда, так и
ряда (1).
СО
Ряд У cft получается из абсолютно сходящегося ряда (1) заклю-
чением в скобки групп соседних членов, стало быть, он тоже абсо-
лютно сходится и имеет ту же сумму АВ. Наше утверждение доказано.
2. Умножение и деление степенных рядов. Главное примене-
ние эта теорема находит в теории степенных рядов. Из нее непо-
средственно следует, что произведение двух степенных рядов
СО оо
2 akxk и 2 bkxk
выражается в общей части интервала сходимости этих рядов в виде
ОО
степенного ряда 2 коэффициенты которого даются формулой
й=0
Сй — Й(А ~Ь + • • • + ай^0-
Что касается деления степенных рядов, то частное двух данных выше
ОО
рядов также можно представить в виде степенного ряда У, qkxk, если
й=0
только постоянный член Ьо делителя не равен нулю. (В противном
случае такое выражение, вообще говоря, невозможно, потому что
при х = 0, благодаря обращению делителя в нуль, ряд не мог бы
сходиться; между тем, с другой стороны, всякий ряд, расположен-
ный по степеням х, должен сходиться при х = 0.) Коэффициенты
степенного ряда
можно последовательно определить, если заметить, что непременно
СО оо со
2^- P/=2«Z
й=0 й=0 й=0
откуда вытекают следующие равенства:
ао — ?<А)>
ai= <7(A4-?i^0'
а2 — 4^2 4“
ak — ЧоЬк-\- qlbk_1-{- . . . -\-qkb0.
Из первого уравнения получаем q0, из второго уравнения находим qx,
из третьего, пользуясь найденными значениями, находим q2 и т. д':
Для того чтобы строго обосновать возможность выражения частного
478
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
двух степенных рядов в виде третьего степенного ряда, требуется
еще исследовать, сходится ли полученный формально степенной
ряд 2 4kx^ и в каком промежутке он сходится. Это общее иссле-
дование, результаты которого дальше не используются, мы опустим
и только сообщим факт, что ряд действительно сходится, если только х
изменяется в достаточно малом интервале, в котором делитель не
обращается в нуль, и как делимое, так и делитель являются сходя-
щимися рядами.
3. Числа Бернулли и их производящая функция. Простейший
пример деления на степенной ряд представляет важная сама по себе
задача о разложении функции ех~_ р в степенной ряд вида
х
ех— 1
____1___
1+^+i+-
(Коэффициенты искомого ряда обозначены не просто через Bk, а через
-
, так как при таком обозначении их вычисление получается
проще и изящнее.) Имеем равенство
(В0 + ^х + ^х2+...+^^4--.-)Х
(1* 1*2 \
1 + ~2Г + тг + • •'+ (й + 1)! + •••)=!.
справедливое при достаточно малом [ х и для определения коэффи-
циентов Bk получаются последовательно уравнения:
Во = 1. ^Д>+тт--гг=0’
и вообще при всяком k 1 (собираем коэффициенты при хк)
1 Q _|______1_ ।_____1______Ё1. I _1______1_ — о
(*4-1)! 0 ‘ А! 1! (6—1)! 2! ‘ ‘ ' 1! А!
Помножив это уравнение на (й -4- 1)!, получим
Это — рекуррентная формула, дающая возможность вычислить Bk*
когда все предшествующие коэффициенты уже вычислены.
Коэффициенты Вк называются числами Бернулли, а функция
разложение которой в степенной ряд имеет своими коэффициентами
эти числа, называется производящей функцией чисел Бернулли.
Числа Бернулли рациональны, так как закон их образования содер-
жит только рациональные действия.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII 479
Подставляя в рекуррентную формулу последовательно k — 1, 2,
3, 4, . .. иВ0=1, получим:
l + 2Bi = 0,
1 + 351 + 352 = 0,
1 + 451 + 652 + 453 = 0,
1+551+1052+1053 + 554 = 0,
Из этих уравнений находим первые десять чисел Бернулли:
50=1, 51 = —1/2, 52=1/6, 53 = 0, 54 = —1/30, 55 = 0,
56=1/42, 57 = 0, 58 = —1/30, 59 = 0, 5[0 = 5/66, ...
Естественно, возникает предположение, что все числа Бернулли с не-
четным индексом, кроме 5( ——1/2, равны нулю. Докажем, что это
действительно так. Для этого в определяющем равенстве
7+=1+s1« + S4rJ:*
перенесем член Вгх = — у х в левую сторону:
х
6х—\
х
т
._,....цию, стоящую слева, можно преобразовать так:
х х
х
ех — 1
ех— 1
ех/2 -\-е~х12 х х
+2_е-х/2 —
а это — функция четная. Следовательно (см. упр. 33, стр. 471), ее
разложение в ряд по степеням х может содержать лишь четные сте-
пени х, откуда и вытекает, что все числа Бернулли с нечетным
индексом, кроме 5Р равны нулю. Вместе с тем в процессе доказа-
тельства получено разложение функции ^-cth-^- в степенной ряд:
СО со
й=»2 /2 = 0
В Дополнениях к гл. IX, § 1, п°2, будет показано, что это разло-
жение, а также разложение в ряд функции __у имеют место в про-
межутке — 2л < х < 2л.
480
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
4. Степенные ряды для гиперболического и тригонометри-
ческого тангенса. До сих пор не были даны разложения в степенной
ряд для некоторых элементарных функций, например для th х и
tgx. Дело в том, что закон следования коэффициентов этих рядов
совсем не простой. Теперь мы уже можем выразить эти коэффициенты
через числа Бернулли. Начнем с того, что подставим х = 2г в ряд
для -^-cth-^-. Тогда получится разложение
й=0
справедливое, очевидно, при | z | < л. Подставляя в эту формулу
z = Zx, так что z cth z = Zx cth Zx = x ctg x, получим
“ k
xctgx ==£(-|x|<x
4=0
Из ряда для z cth z можно вывести степенной ряд для th z, пользуясь
формулой
n ,, „ ch2 .г-4-sh2 г ,, , ,,
2 cth 2г = —г -т~;--------= cth г -4- th г,
sh г ch г 1
откуда вытекает
th г = 2 cth 2г — cth г.
В результате получается
Й = 1
= г у г3 4- jg- г5 !-•••. | г | < -2 •
(Коэффициент, соответствующий k — 0, обращается в нуль.)
Аналогично из тождества 2 ctg 2х — ctg х — tg х получается tg х —
— ctgx — 2ctg2x, и с помощью этой формулы из рядов для xctgx
и для 2xctg2x выводится ряд для тригонометрического тангенса:
tgX = 2(—I)*-1 B2kx^ = x + ±x3 + Ах*+ ...,
*=i
справедливый при | x | < л/2. (Этот ряд можно также получить из
ряда для th г с помощью формулы tgx = 4-thZx.^
[Впоследствии (стр. 540) будет показано, что числа B2k имеют
при А^-1 знак (—1)А-1; следовательно, ряды для г cth г и th г
имеют чередующиеся знаки коэффициентов, ряд для xctgx (после
постоянного члена 1) — только отрицательные коэффициенты, а ряд
для tgx — одни положительные коэффициенты.]
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
481
§ 2. Предельные переходы, связанные с показательной функцией
1. Равномерность предельного перехода (1 + х/п)" —> ех. При
любом заданном положительном числе а предельный переход
(1при п->оо в интервале оказывается
(X' п
1 ———>е~х.
Достаточно доказать первую часть этого утверждения, так как до-
казательство второй части приводится тем же самым путем. Для этого
исходим из формулы
lim (1 -ф- = е,
л-»о
которая имеет следующий смысл: для любого наперед заданного по-
ложительного сколь угодно малого числа 6 можно выбрать достаточно
малое число k так, чтобы при 0 < h k имело место соотношение
е(1-6)<(1 + /г)1/л<е(1+6).
Но при h — х/n, очевидно,
(1 + Тт)" =(1 + 1 + Л),/Л)Х •
Полагаем а[п — k; тогда k зависит только от а и п, но не зависит
от х и с возрастанием п стремится к нулю; для всего интервала
имеем х/п = а вместе с тем для любого сколь угодно малого
6, 0<6< 1, при выборе достаточно большого числа п, скажем при
n>N = N(&),
e(l-6)<(l+A)I/ft <е(1+6),
а следовательно, и
ex(i - 6Г < (1 + fi)x/h = (1 + < ех (I +6)Л
безразлично, где бы ни взять точку x~nh в нашем интервале. Но
при 0 < х а
(1+6Г<(1+б)а и (1 - 6Г>(1 - б)а;
следовательно, имеем:
+6)°,
Н(1-6)а-1]<[1+-^)Л —ех<^[(1+д)а-1] при « > W (д).
Эти неравенства и доказывают равномерность предельного перехода,
так как (1—6)а и (1-^-6)" лежат сколь угодно близко к 1, если й
выбрано достаточно малым. В самом деле, мы видим на основании
этих неравенств, что если задать любое малое положительное число,
31 Р. Курант
482
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
то при выборе достаточно большого п выражение Ц1 -J-—j —
может быть сделано меньше этого числа, независимо от положения
точки х в интервале 0 х а.
2. Замечание по поводу интегрирования и дифференцирова-
ния показательной функции. Доказанная равномерность дает нам
право применить следующее рассуждение, полезное как иллюстрация
доказанных выше теорем об интегрировании. Имеем
о
этот интеграл легко вычисляется путем замены переменной и — 1 -|- tin.
Теперь, в силу равномерной сходимости подынтегральной функции
к е*, мы имеем право выполнить переход к пределу при ге—>оо под
знаком интеграла и получаем
J е‘ dt = ex — 1,
о
т. е. формулу интегрирования для показательной функции.
ОО
3. Доказательство формулы J ех‘dx = у У л. Дадим еще
о
другое, более глубокое применение этого свойства, пользуясь по-
лученным при выводе формулы Валлиса (гл. IV, § 4, п° 7) результатом
л/2
Л = /» J cos^+i*dx = /h 3.5->IV«
0
и понятием несобственного интеграла1). Введя в только что напи-
санную формулу и = sinx в качестве новой переменной интеграции,
получаем du = cos х dx и
') В указанном месте, на которое сделана ссылка, вычисляется интеграл
Я/2
J sin2,I+1xrfx, но преобразование х = л/2— t приводит его к виду
о
Л/2
J соз2л+1/<й. (Прим, перев.)
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
483
Полагая u — t[]fn, находим
V п
о
Теперь мы пишем, разумея под А определенное постоянное положи»
тельное число, меньшее Уп:
Jn = KA + Rn,
где
A Vn
О А
Далее отметим соотношение
1 — а < е~а
(а > 0),
которое получается применением теоремы о среднем значении (диф-
ференциального исчисления) к функции е~ах в интервале
е~а— е° — е~а— 1 = — ае~а® > — а.
В частности, при а = —имеем:
t2
е
п
п
Предполагаем, что А > 1; тогда при t > А непременно е~р < е~*,
и мы прлучаем для /?„ оценку
Vn
0 < Rn < / «~‘2
А
V п
< j e~l dt = е~А — е^х,
А
т. е. во всяком случае 0 < /?„ < е~А. Теперь переходим к пределу
при га—>оо. В силу доказанного в п° 1 свойства равномерности ин-
А
теграл КА переходит при этом в J е~‘2 dt, и мы, таким образом,
о
непосредственно получаем
А
0 < -1 Ул — f е~*2 dt = lim (J„ — К— lim Rn •< e~A.
£ Л->ОО л->оо
Теперь мы можем неограниченно увеличивать положительное
число А <Уп, которое мы до сих пор считали неизменным; при
31*
484
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
ЭТОМ 71 —> ОО
формулу
и е~А стремится к нулю. Следовательно, мы получаем
lim
А~>оо
J е~р e-pdt = ^Y л,
о о
которую мы хотели доказать; эта формула может быть записана
также в виде
-f-oo
j e~pdt = Yn,
так как е~р является четной функцией.
§ 3. Бесконечные ряды и несобственные интегралы
Бесконечные ряды и введенные при их изучении понятия находят
простые применения и аналогии в теории несобственных интегралов
(см. гл. IV, § 8). Ограничимся здесь случаем сходящегося интеграла
с бесконечным промежутком интегрирования, например интегралом
00
вида J f(x)dx. Если разделить промежуток интегрирования на части
о
с помощью последовательности чисел хо = О, хр х2, ..., хл, моно-
тонно стремящейся к бесконечности, то можно интеграл представить
в виде
00
J/(x)dx = a1H-a2+ • ••.
о
причем каждый член бесконечного ряда в правой части есть интеграл,
а именно:
х, х2
= j f (х) dx, а2= j* f (х) dx, ...
О х,
При этом совершенно безразлично, как мы выбрали точки хк. Мы
видим, таким образом, что понятие сходящегося несобственного ин-
теграла можно самым различным образом свести к понятию беско-
нечного ряда.
Особенно удобно выбрать точки xk таким образом, чтобы подын-
тегральная функция имела в каждом частичном интервале постоянный
ОО
знак. Ряду 2 I ak I соответствует тогда интеграл от абсолютной ве-
к = \
личины нашей функции
СО
J I/(x)\dx.
О
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
485
Мы естественно приходим, таким образом, к следующему новому по-
СО
нятию: несобственный интеграл J f(x)dx называется абсолютно
о
00
сходящимся, если интеграл J |/(x)|rfx сходится. В противном
о
оо
случае первоначальный интеграл J f(x)dx, если он сходится, назы-
о
вается условно сходящимся.
Некоторые из рассмотренных нами раньше интегралов (стр. 290, 484):
00 00 00
/ ^-X,dx.
0 0 о
— абсолютно сходящиеся.
Напротив, интеграл
со А
f slnxdx = lim (^Ldx,
v X А~>со J - X
О О
изученный на стр. 292—293, представляет простой и важный пример условно
сходящегося интеграла. Чтобы убедиться в сходимости этого интеграла
(независимо от прежнего доказательства), разобьем промежуток интегриро-
вания от 0 до Л на частичные интервалы точками деления х^ — kx (k = О,
1, 2, ..., т), где т есть наибольшее натуральное число, для которого тл^А.
А
Тем самым интеграл J dx разбивается на члены вида
о
ka
f sinx , .
ak — J —— dx (k = 1, 2, 3........m)
(k-V) л
и остаточный член вида
А
п f sinx . ,п .
КА — ----dx (0 < А — тл < л).
тх
Ясно, что знаки чисел идут чередуясь, так как sin х попеременно поло-
жителен и отрицателен в следующих друг за другом частичных промежутках.
К тому же | ak+i | < | |; действительно, выполняя преобразование х — £ — л,
имеем
йл (й + 1)л
Г dx== Г Ising—л)|
J X J § — л ь
(й-1)л kx
(ft + l)n (*+1)л
У <9 п у S
kn kn
486
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Отсюда (по признаку Лейбница) вытекает, что ряд ак сходится. Кроме
ft=o
того, абсолютная величина остаточного члена
(т+1) л
Г I sin х I .
------- dx <
А
f sinx ,
------dx
(zn+l) я
1 г
тл J '
тя
тя
тя
Следовательно, остаточный член стремится к нулю при А -> оо. Совершим
теперь предельный переход А -> со в равенстве
А
f ---- бХ “ Я. -|- -f* До “I” • • • 4“ 4“
I X 1 1 2 1 3 1 *пг'А
О
В левой части получается несобственный интеграл j dx, а
о
правая
часть имеет своим пределом ряд ак, сходимость которого была
ьо
что доказана. Стало быть, наш несобственный интеграл сходится. Но
мость его не абсолютна. Действительно,
kn fen
, , f I sinx I , f I sinx| , 2
I I _ I J----------L Av J—----L dx = -r—;
J КЛ КЛ
(£-1) Л
только
сходи*
(Й-1)Л
так как ряд — 11 + -д—...
ряд), то расходится и ряд 2 I ak I-
расходится (гармонический
§ 4. Бесконечные произведения
Мы подчеркнули уже в предварительных замечаниях к этой главе
(стр. 427), что бесконечные ряды представляют собой только один
(правда, особенно важный) из способов выражения величин или функ-
ций с помощью бесконечных процессов. В качестве примера других
процессов подобного рода рассмотрим здесь бесконечные произведения,
не приводя доказательств.
В гл. IV, § 4, мы познакомились с формулой Валлиса:
л__2_ 1 1 Д £ £
2— 1'3'3'5 5'7
которая выражает число л/2 в виде «бесконечного произведения».
Под бесконечным произведением
П ак = ага2а3а4 ...
ft=i
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
487
разумеют предел последовательности частичных произведений
йр аха2, аха2а3, a1a2a3ai,
если этот предел существует.
Множителями alt а2, а3, ... такого произведения могут, конечно,
быть и функции от переменной х. Особенно интересный пример
представляет разложение в бесконечное произведение функции sinnx,
которое мы выведем в § 4, п°7, следующей главы (стр. 518):
sinnx = nxll-----р-111—-grin—-grl
В теории чисел играет очень важную роль разложение в бесконечное
произведение «дзета-функции». Придерживаясь обозначений, принятых в тео-
рии чисел, обозначим независимую переменную через s и определим эту
функцию при s > 1 выражением
СО
Us) = 2 TF’
п=*\
Мы знаем (гл. VIII, § 2, п° 3), что при s > 1 ряд, стоящий в правой
части, будет сходящимся. Если р есть любое число, большее единицы,
то путем разложения в геометрический ряд непосредственно получаем ра-
венство
----1--= 1 _L _1_____1--1__1___i_
. 1 ' ps p2S p2S ' ‘’
Подставим в эту формулу вместо р последовательно все простые числа
Р\, Ръ Рз> • • • в порядке их возрастания и полученные равенства перемножим
между собой; тогда в левой части получим произведение вида
1 1
' \-р2°"‘
Если перемножим между собой ряды, стоящие в правой части, не до-
казывая законности этого приема, и вспомним, что, по известной элементар-
ной теореме, всякое целое число п > 1 можно представить одним и только
одним способом в виде произведения степеней различных простых чисел,
то увидим, что в правой части как раз и получается функция g (s), и мы
приходим к замечательному разложению в бесконечное произведение:
? . 1 1 1
г ($) ----------------------------.. ,
i-P2S ^-PsS
Эта формула, вывод которой мы здесь лишь вкратце наметили, дейст-
вительно представляет разложение функции £($) в бесконечное произведе-
ние, так как существует бесконечное множество простых чисел.
В общей теории бесконечных произведений обычно исключают
тот случай, когда произведение аха2 ... ап с возрастанием п стре-
мится к нулю. В частности, стало быть, ни один из множителей ап
не должен равняться нулю. В соответствии с этим для сходимости
произведения необходимо, чтобы множители ап с возрастанием п
488 ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
стремились к 1. Поэтому мы имеем право допустить (отбрасывая
в случае надобности конечное число множителей, что в вопросе
о сходимости значения не имеет), что ап > 0. Тогда справедлива
следующая теорема: необходимым и достаточным условием
СО
сходимости бесконечного произведения где afc>0, является
со
сходимость ряда У In ak.
*=1
п
В самом деле, очевидно, что частичные суммы У Jn ak =
= In {аха2 . . . ап) этого ряда стремятся к пределу в том и только
в том случае, если частичные произведения . ап имеют по-
ложительный предел.
Обыкновенно при исследовании сходимости бесконечного произ-
ведения полагают и пользуются следующим достаточным
признаком. Произведение
СО
П (1 ~ьа»)
Л = 1
сходится, если ряд
СО
2S I «л I
сходится и ни один из множителей (1 -J- ak) не равен нулю. Для до-
казательства мы имеем право, опуская в случае надобности конечное
число членов, допустить, что все | aft | < 1/2. Тогда 1—| ап | > ’/2.
По теореме о среднем значении имеем
In (1 4- h) — In (1 -|- h) — In 1 = /г > где 0<f><l.
Следовательно,
со
и, стало быть, из сходимости ряда У | ak | вытекает сходи-
й=1
ОО
мость ряда У In (1
k=i
Этот признак сразу устанавливает сходимость приведенного выше
разложения в бесконечное произведение функции sinnx при всех
значениях х, кроме х = 0, ±1, ±2, .... где множители произве-
дения обращаются в нуль.
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
489
С помощью этого признака можно также доказать
бесконечного произведения
сходимость
Д >-л-'
(*> 1)
1 _____
l—p-s ~
1 2
что при р 2 и s > 1 имеем 0 < —=—г- < —т-.
г ps — 1 ps
р пробегать последовательность простых чисел;
для дзета-функции. Действительно, легко видеть, что
== 1 Н---д1 1 и
1 ps — 1
Заставим теперь
тогда ряд должен сходиться, так как все его члены положи-
ОО
тельны и составляют только часть членов сходящегося ряда .
*=1
Тем самым доказана сходимость бесконечного произведения для дзета-
функции.
§ 5. Дальнейшие примеры бесконечных рядов
(различные разложения в степенной ряд)
В качестве примеров на метод неопределенных коэффициентов при-
ведем следующие ряды:
arcsinx , 2 , . 2-4 = .
г = х-1-------х3-1-----х5Ч-..., (1)
/1-х2 ^33-5 v '
. .ч9 х2 , 2 х4 . 2 • 4 Xе .
(arcsinx)2 = — + у2“+з75“3—r ’ <2>
cos (ц arcsin х) — 1 — х2 -|-
-И2%~22) Х4- rtlzWzf) ? + _ . . (3)
из ряда (3) путем дифференцирования получается ряд
ц(м2-22) , ц(ц2—22)(ц2 —42)
"1" • Л —Т— ————————— — д,
3! 5!
sin (ц arcsin х) ц
/1—х2 1ГХ
Далее имеем ряд
sin(ц arcsinх) = х — — —- х3 +
1! о!
,• ц (ц2 - I2) (и2 - З2)
“1----------5! Х
из которого дифференцированием получаем ряд
cos (ц arcsin х) ц2—I2 щ,2—Р) (и2 —З2) 4
/1 —х2 21 41
490
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Все эти разложения имеют место при | х | < 1. Если в ряды (3)
и (4) подставим arcsin х — (р, так что x = sin<p, то получим разло-
жение cospxp и sinpxp по степеням sinq>. Эти ряды обрываются, т. е.
превращаются в многочлены, если ц — целое число, а именно: ряд (3)
обрывается, если ц— четное, и ряд (4) — если ц— нечетное целое
число или нуль.
Эти ряды получаются следующим образом: сначала пишут для
функции у = /(х), которую желают разложить, степенной ряд с не-
ОО
определенными коэффициентами у — 2 ckxk’ затем устанавливают для
k-=0
функции f (х) дифференциальное уравнение и условия в точке х = 0.
С их помощью определяют коэффициенты и доказывают сходимость
полученного таким образом степенного ряда; остается, наконец, до-
казать, что сумма ряда q>(x) тождественна с / (х).
Рассмотрим сперва функцию
Ее производная
, 1 , х arcsin х
у =------------г
1—х2 /(1— х2)3
следовательно, у удовлетворяет дифференциальному уравнению
у'(1—х2) — ху—1=0 и условию /(0) — 0. Подставляя степенной
СО
ряд 2 ckxk вместо х в дифференциальное уравнение и располагая
ft=0
левую часть по степеням х, находим, что ряд
(ci— 1) + (2^2—со)хЧ~(^сз— йс^х2-)- ..• +
+ 1(^ + 2) Ck+2 — (&-(- 1) Cfc] xk + 1 + . . .
должен обращаться в нуль при всех значениях х; следовательно, все
его коэффициенты должны равняться нулю, откуда последовательно
определяются все значения с0, clt с2, ... Действительно, замечая, что
с0 = 0, так как f (0) = 0, получаем, что с0 = с2 = с4 — ... — 0 и
. 2 2 4 2 4 6 х
= 1, с3 = у, с5 = -у • у, с7 = у • -у • у, ...; таким образом, мы
получаем ряд
, , I 2 , . 2-4 е ,
ф(х) — X -|~ у X3 -|- у-у х5 -|~ ...,
сходимость которого при | х | < 1 непосредственно вытекает из при-
знака сходимости Даламбера.
Остается еще показать, что найденная функция ф(х) совпадает
с функцией
... arcsin х
f(x) = -=
/1 — X2
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIH
491
Функция ф (х), конечно, удовлетворяет условиям ф (0) = О и
(1 — х2) ф' (х) — хф (х) — 1 = 0, что следует из способа получения
выражающего ее ряда. Для функции и — У1 — х2 ф (х) производная
xq>
/1—X2
и' = У1 — X2 ф'
, откуда и (0) = 0 и и' (х) =
из второго условия путем интегрирования находим и (х) = и (0) -|-
-|- arcsin х, а отсюда на основании первого условия следует и (х) =
= arcsin х. Тем самым доказано равенство
Ф(х)==
arcsin х
и справедливость формулы (1).
Так как
arcsin х ld,.,9
r__ —— —(arcsin х)2,
/1—x2 2 dx
то . путем почленного интегрирования формулы (1) в пределах от 0
до х получаем формулу (2).
Для функции f (х) = cos (р arcsin х) находим
f (х) —---г ~sin(рarcsinх);
г 1 X2
следовательно, (1 — х2) /' (х)2 = р2 [ 1 — / (х)2]; дифференцируя это
уравнение и опуская множитель 2/'(х), получаем
(1-х2)у"-ху'+р2у = о. (*)
Кроме того, /(0) = 1 и f'(0) = 0. Обратно, если нам относи-
тельно некоторой функции известно, что она удовлетворяет этим
трем условиям, то мы можем заключить, что непременно у(х) =
— cos (р arcsin х). В самом деле, умножая (*) на 2/'(х), получаем
дифференциальное уравнение 2 (1 — х2) У'У"— 2x//2-J- 2ц2//' = 0,
которое можно также записать в виде
{(1 - х2)/'2 - ц2 (1 - У2)} = 0.
Отсюда следует, что (1 —х2) //2 — р2(1 —у2) = const; но левая часть
при х = 0 равна нулю, так как f (0) — 1 и у'(0) = 0; стало быть,
(1 — х2) у/2 — р2(1—У2) = 0. Вводя вместо х новую переменную t
с помощью подстановки cos t — f (х) или t = arccos f (x), после не-
больших преобразований получим дифференциальное уравнение
откуда, принимая вб внимание условие У(0)= 1, т. е. /(0) = 0, на-
ходим искомый результат: /(х) = + р arcsin х и f (х) — cos (р arcsinх).
492
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Положим теперь /(х) = с0 4- х4*с2х2подставим в левую
часть уравнения (1 — х2) f"—xf 4* р2/ = 0, расположим по степе-
ням х и приравняем нулю коэффициенты, тогда получим:
2^4“ Н2со == 0»
3.2сз4-(Ц2-12)с1 = 0,
4 Зс44-(р2 — 22)с2 = 0,
(п 4- 2) (ге 4- 1) сл+2 4- (И2 — »2) сп = 0,
Из этой рекуррентной формулы и условий с0 = 1 и сг = 0 по-
следовательно находим коэффициенты:
а 1 ц2 । Р2 (ц2 — 22)
С2т-1 — С0— 1’ С2~ 2”> с4 — Ч---------4!------- •••
Таким образом, мы получаем ряд (3), сходимость которого при
| х | < 1 вытекает из признака Даламбера. По доказанному выше
функция, выражаемая этим рядом, должна быть тождественна
с cos (р arcsin х).
Совершенно аналогичным путем получим с помощью того же
дифференциального уравнения (*) при других начальных условиях:
/ (0) = 0 и /'(0) = р — разложение (4) для функции sin (р arcsin х).
Упражнения
1. Доказать, что степенной ряд для 'И 1—х еще сходится при х = 1.
2. Доказать, что для всякого положительного числа е существует мно-
гочлен от х, представляющий —х в промежутке 0 х 1 с ошибкой,
меньшей по абсолютной величине чем е.
3. Доказать, что для всякого положительного е существует многочлен
от t, представляющий | Z | в промежутке —1 < i < 1 с ошибкой, меньшей
чем е.
4. Доказать сходимость следующих бесконечных произведений:
СО СО со
•> П[*+(4)']= »> П(>-4) "г- '<'<>•
л=1 л=2 л = 1
5. Методами, данными в тексте, доказать, что
6. С помощью тождества
СО со
СО
JJ 4"~j расходится.
Л = 1 '
где Ph есть k-e простое число,
доказать, что число простых чисел бесконечно.
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
493
7. Доказать тождество
ОО
Д(14-Х2*) = -у-1у При |Л|<1.
ЬО
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
00
0°
177. Доказать, что если сходится ряд 2 то сходится и ряд V -£>
*=1 *-1
178. Пусть в], а2, а3, .... а^, ... есть монотонно возрастающая после-
п 1 ,
довательность с положительными членами. При каком условии ряд-----I-
а1
1 । 1
Ч---------------1- ... сходится?
со
179*. Если ряд 2 ah с убывающими положительными членами сходится,
то Пт (пап) = 0. Доказать эту теорему.
Л->00
00
180. Показать, что ряд sin расходится.
k = l
СО
181*. Доказать, что если ряд 2 ак сходится, a b{, b2, Ь3, ... есть огра-
k=i
СО
ниченная монотонная числовая последовательность, то и ряд 2 akbk схо-
дится.
182*. Доказать, что если ряд 2 ak колеблется между конечными гра-
ницами, а последовательность bit b2, .... bk, ... монотонна и стремится
к нулю, то ряд 2 akf>h сходится.
183. Исследовать, сходятся или расходятся следующие ряды:
V V 1)ЙС08(^) VcosAG
D 2-^; д) е) .
184. Найти суммы следующих рядов, полученных изменением порядка
членов ряда 1 — 1/2 + 1/3— 1/4-J-1/5—1/6+ ... для In2:
,4 1 1 1 । 1 1 1 । 1 1 1 , .
а) 1—J-4-+3— у—ё+у-то-^2+-------•••
б) 2~~4~-б+ + + •••
494
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
185. При каких значениях а сходятся следующие ряды:
. . 1,1 1,1 1 ,
а)
б) 1+- ----------------L_i_4—...?
} ~ 3“ 2“ ~ 5“ ~ 7“ 4“ ~
186. Выяснить, сходятся или расходятся следующие ряды:
. . , 1 1,1,1 1 , 1 , 1 1 . .
а) !+ 2~ з’ + т+б’-б"+7+ 8~
Mil1 2 > 1 . 1 2 I 1 । 1 2 I , '
б) 1 + t+z+~5~ б’+т+т“э" ++—•••
187. Показать, что:
ОО
а) ряд 2А;.-у сходится;
А = 1
V In (Л 4-1) — In Л
б) ряд 2j — ------- сходится;
к = 2
1-2-3 ... (fe —1)6
(а4-1)(«4~2) ••• («+*)
сходится, если а> 1, и расходится,
если а < К
188*. Методом сравнения с рядом X} Ц- доказать следующий признак
ka
k-i
абсолютной сходимости:
\Та”
Если при всех достаточно больших значениях п —"
(с > 0), то ряд V аь сходится абсолютно; если —Ц—я <1 —е (е > 0)
in л
при всех достаточно больших п, то ряд 2 ak не может сходиться абсо-
лютно.
189. Показать, что ряд ^1 — сходится.
190. Методом сравнения с рядом V!--------i----доказать следующий при-
k (In k)a
знак сходимости:
Ряд 2 I ak I сходится или расходится, смотря по тому, становится ли
отношение
1п( 1 )
\ " I а» I /
In In п
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII 495
при всех достаточно больших значениях п больше, чем 1-1-е, или меньше,
чем 1 — е (в > 0).
191. Из признака сходимости, данного в упр. 188, вывести признак схо-
димости Коши с корнем п-й степени.
192*. Доказать следующий признак сходимости, пользуясь сравнением
рядов:
1) Если ряд Ьь с положительными членами сходится и, начиная с не-
которого номера, всегда
I ал + 1 I < ^л + 1
I ап I Ьп
то ряд У, абсолютно сходится.
2) Если ряд 2 (с положительными членами) расходится и начиная
с некоторого номера, всегда
I an+i I> ^л+1
I ап I ®л
то ряд 2 аь не может сходиться абсолютно.
193. Вывести признак сходимости Даламбера путем сравнения с геоме-
трическим рядом.
ОО
194*. Путем сравнения с рядом — доказать признак сходимости
*=1 R
Раабе:
Ряд 2 I ak I сходится, если выражение
\ I ^Л + 1 I /
становится больше, чем 1 в, и расходится, если это выражение становится
меньше, чем 1 — в (в > 0), при всех достаточно больших п.
195. Методом сравнения с рядом V!-----------доказать следующий при-
k (In k)a
знак сходимости:
Ряд 2 I ak I сходится, если выражение
• ( | On I , 1
п In п , 1 , — 1---
\ I «л + 1 I п
становится больше, чем 1 в, и расходится, если это выражение становится
меньше, чем 1—в (в > 0), при всех достаточно больших п.
196. Доказать признак сходимости Гаусса:
Если
ап I __ 1 । ।
«л + 1 I 71 П1+8’
где | Rn | ограничен и в > 0, то ряд 2 I ak I сходится, если ц > 1, и расхо-
дится, если н < 1.
197. Исследовать на сходимость или расходимость следующие ряды:
а , а (а 4-1) , а(а-|-1)(а-|-2) , .
} ₽->"₽(₽ 4-!)-+-₽ (Р4-1)(Р 4.2) ">"•••’
м 1 . а'Р । а(а4-Р-Р(Р + 1) , а(«4-1)(а + 2)-Р(Ж)(Р+2) ,
0^^l.v-r i.2.y(y4-1) -I- 1 .2.3-y(y + 1) (Y4-2)
496
ГЛ. VIII. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
198. а) Показать, что ряд —? сходится равномерно при х 1 -f~ в
к-1
(в > 0).
ОО
„ VI In Л
б) Показать, что ряд производных— V сходится равномерно при
ы
х > 1 4" 8 (е > 0).
СО
199*. Показать, что ряд \ --- (а > 0) сходится равномерно на от-
резке в-<х^2я — в.
200. Ряд
х — 1,1 / х — 1 \з 1 / х — 1 \5
т+т'т'у 5 u+d
сходится равномерно на отрезке в^х^Л7.
201. Найти области сходимости следующих рядов:
»>да ’-да-
202*. Доказать, что если ряд сходится при х = х0, то он сходится
при всяком х > х0; если он расходится при х = х0, то он расходится при
всяком х < х0. Таким образом, существует такой «рубеж сходимости» с,
что при всяком значении х > с ряд сходится, а при всяком значении х < с
ряд расходится. -
гаю о V1 ak VI йъ In k
203. Если ряд V сходится при х = х0, то ряд— ьх—, полу-
ченный из него почленным дифференцированием, сходится при всяком
х > х0.
204. Если ак > 0 и ряд V ак сходится, то lim V акхк = 5 ак-
205. Если ак > 0 и ряд 2 ак расходится,
206*. Доказать- теорему Абеля:
то lim V akxk — со.
x-j-l+o"
Если ряд акхк сходится при х — X, то он сходится равномерно на
отрезке О^Х'^Х.
207*. Если ряд 2 акХк сходится, то lim 2 акхк = 2 ак^к-
208. Найти рациональные функции, представленные следующими рядами
Тэйлора:
a) x-j-x2 — х3 — х*4-х54-хЯ —-(--j- ...;
б) 1 4-2х — 4х3 — 5х* 4~7xs 4~8х7-j- -}-
209. Показать, что:
. 1 , 2 , 3 .
а) 2Г+зГ+4Г+ ••• =1:
1 _|_ 1 3 I 1 -3’5-7 । 1
' 2'+'2-4-6'2-4-6-8-10-1"’”—2
СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VHI
497
210. Пусть z = r0'0 = r(cosO4~/sinO). Исходя из разложения
1
1 — z
показать, что
*=о
и
1 —г cos 9
1 — 2r cos 0 4-г2
rk cos й9
Л-0
г sin О
т----о-----а-! 5----7 ,fk Sin Й9.
1 — 2г cos 9 + г2 АЛ
k~Q
ГЛАВА IX
РЯДЫ ФУРЬЕ
Наряду со степенными рядами особенно важную роль как в чисто
математических дисциплинах, так и в приложениях играет другой
класс бесконечных рядов, а именно так называемые' ряды Фурье,
членами которых являются тригонометрические функции, а сумма
ряда представляет периодическую функцию.
§ 1. Периодические функции
1. Общие замечания. Во многих приложениях мы встречаемся
с периодическими функциями времени, т. е. такими функциями, ход
изменения которых закономерно повторяется через определенные про-
межутки времени. У большинства машин периодические явления обу-
словливаются ритмом вращения махового колеса; примером может
служить переменный ток от динамо-машины. Периодические функции
встречаются во всех колебательных процессах. Периодическая функ-
ция с периодом 21 характеризуется следующим равенством,
имеющим место при всех значениях х:
/ (х-J-2/) = / (х);
число 21 (I #= 0) называется периодом функции.
Для представления периодических функций часто бывает удобно изоб-
ражать независимую переменную х не в виде точки на числовой прямой,
а в виде точки на окружности. Если функция f (х) имеет, скажем, период 2л,
т. е. если для каждого значения х имеет место равенство
/ (х2л) = / (х),
и если рассматривать х как центральный угол в круге радиуса I, отсчи-
тываемый от некоторого начального неподвижного радиуса, то периодич-
ность функции f (х) выражается просто в том, что каждой точке окруж-
ности соответствует одно и только одно значение функции (например, в ма-
шине явление однозначно определяется положением махового колеса).
Важно заметить, что если функция f (х) имеет период 21, то она .
имеет и период (—2Z), так как / (х — 2/) = /(х—21 -|- 21) = f (х),
а также период 4Z, так как /(x-f-4Z) = /(x-|-2Z) = /(x), и (—4Z).
Легко понять, что эта функция имеет также периоды ±6/, ±8/, ...
Не исключено также (хотя это и не обязательно), что /(х) может
иметь и периоды более короткие, чем 21, например I или Z/5. Гео-
I] § 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 490
метрически периодичность выражается в том, что в любых двух
смежных промежутках длины 2/ график функции имеет в точности
один и тот же вид. Другой наглядный образ мы получим, если бу-
дем аргумент х истолковывать как время (и в соответствии с этим
иногда писать t вместо х) и будем рассматривать функцию /(х)
как описание периодического процесса, или, как принято говорить,
колебательного процесса, или, короче, колебания. Тогда период
21 — Т называется периодом колебания.
Если произвольная функция f (х) задана только в определен-
ном интервале, скажем —Z<^x<(Z, то ее всегда можно про-
должить, как периодическую функцию-, для этого надо только оп-
ределить /(х) вне данного интервала равенством / (х -|- 2nl) = f (х),
где п означает произвольное (положительное или отрицательное) це-
лое число. Однако следует заметить, что если функция / (х) непре-
рывна на отрезке — Z х Z, но / (—1)4= f (I), то периодическая
функция, полученная в результате продолжения, будет иметь конеч-
ные разрывы в точках ±Z, ±3Z......вообще в точках х = (2п—1)1,
где п — любое целое число, положительное или отрицательное (ср.
рис. 126 и 127 на стр. 514, 516, raeZ = n). Кроме того, продолженная
функция уже не будет однозначной в точках х = ±Z, ±3Z, .... так
как, согласно нашему определению, /(3Z) = /(/-(-2Z) = /(Z) и в то
же время должно быть /(3Z) = /(—Z-]~4Z) = /(—I). Этого затруд-
нения можно избежать, подвергая продолжению не функцию /(х),
заданную в замкнутом промежутке — Z<^ х Z, а функцию, задан-
ную в одном из полуоткрытых промежутков —Z<^x<Z либо
— Z<x-^Z; это значит, что мы отбрасываем либо первоначальное
значение /(Z), либо первоначальное значение /(—Z).
Отметим здесь же следующее общее предложение, касающееся
периодических функций. Интеграл от периодической функции не из-
меняет своего значения, если промежуток интегрирования как целое
сместить на отрезок, равный периоду Т = 21:
₽ P+2Z
j f(x)dx = J f (x)dx (1)
a a+2Z
при любых значениях аир. Действительно, произведем замену пере-
менной х = %— 21, dx = dl,-, так как /(х) = /(£— 21) = /(£), то
₽ P+2Z P+2Z
j/(x)dx= j = J f(x)dx.
a a+2l a+2Z
Отсюда вытекает еще один факт. Интеграл от периодической
функции, распространенный на промежуток от а до a \-21, длина
которого равна периоду, имеет одно и то же значение при любом
значении а, т. е. независимо от того, какую точку взять за начало
промежутка интегрирования.
32*
500
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
[1
Для доказательства перепишем формулу (1), представив интеграл
в ее левой части как сумму трех интегралов:
0+2/ P+2Z Р P+2Z
J / (х) dx 4- | / (х) dx J / (х) dx = J / (х) dx,
а а+21 P+2Z а+21
а+21 р
откуда | / (х) dx 4- J / (х) dx = 0, и окончательно
a P+2Z
а+21 р+21
J f (х) dx = j / (х) dx (2)
а ₽
при любых значениях аир, что и требовалось доказать. В частно-
сти, если в (2) подставить последовательно р = — I—а, р =— I и
Р = 0, получим
а+21 l-a I 21
j f(x)dx = j f(x)dx = j f(x)dx — j f(x}dx.
а — Z—а —I 0
Если вспомнить геометрический смысл интеграла, то содержание фор-
мул (1) и (2) становится наглядно ясным на рис. 120.
Простейшими периодическими функциями являются a sin сох и
а cos сох или, более общо, а sin со (х — £) и a cos со (х — £), где а > 0,
со > 0 и £ — постоянные. Ниже мы увидим, что из этих функций
как элементов строятся самые общие периодические функции. Про-
цессы, изображаемые этими функциями, называются простыми или
гармоническими колебаниями или еще синусоидальными колеба-
ниями^. Период колебания Т = 2л/®. Число ® = 2л/7’ называется
круговой частотой или угловой частотой колебания; оно равно
числу колебаний за время 2л, так как 1/Т (или просто частота)
*) Каждая из функций asin<o(x—g) и acos<o(x — £) сама по себе (при
всех значениях а и g) представляет класс всех синусоидальных колебаний;
оба выражения равносильны, так как asin<o(x — g) = acos<o|x — (^ + ^)|•
ч
§ 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
501
есть число колебаний в единицу времени. Число а называется амп-
литудой колебания; оно указывает наибольшее значение, которое
может принимать функция cz sin со (х— £) или a cos со (х — £). Число
со (х — |) называется фазой, а число со£ — начальной фазой или
сдвигом фазы.
Г рафик функции у = a sin а (х — £) можно получить из графика у = sin х
следующим образом. Сжимаем его в <о раз вдоль оси х, растягиваем в а раз
параллельно оси у [точнее, делим абсциссы всех точек кривой у = sinx
на со и умножаем их ординаты на а], а затем смещаем полученную кри-
вую на расстояние § в положительном направлении оси х (ср. рис. 121).
[Выполнив те же операции над кривой у = cosx, получим график функции
у = a cos со (х — 5).]
Пользуясь формулами сложения тригонометрических функций,,
можно гармонические колебания представить и в следующем виде:
a sin ш (х — £) — a cos сох -|- р sin сох, a cos со (х — £) = р cos сох —
— a sin сох, где а = — a sin со£,, p = acosco£. Обратно, всякая функ-
ция вида
a cos сох-f-р sin сох
представляет гармоническое колебание a sin со (х — £) с амплитудой
а = ]/"а2 р2 и начальной фазой со£, определяемой из уравнения
а — — asinco£, p = czcosco£. Из формулы
a cos сох -|- р sin сох = a sin со (х — £)
видно, что сумма двух (или более) гармонических колебаний одной
и той же круговой частоты со представляет собой новое синусои-
дальное колебание с той же круговой частотой со.
502
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
Р
2. Наложение гармонических колебаний. Обертоны. Биения.
Хотя гармонические колебания часто встречаются, однако большин-
ство периодических явлений (ср. гл. V, § 4, п° 3) носит более сложный
характер, представляя собой наложение (суперпозицию) синусоидаль-
ных колебаний. Математически это просто означает, что движение,
например расстояние точки от своего положения покоя, выражается,
как функция времени, в виде суммы некоторого числа простейших
периодических функций, т. е. гармонических колебаний. Синусои-
дальные волны этой функции налагаются тогда геометрически одна
на другую или, как говорят, суперпонируются. При таком наложе-
нии мы будем предполагать, что частоты (а стало быть, и периоды)
налагаемых колебаний все различны, потому что суперпозицию двух
гармонических колебаний одной й той же круговой частоты © мы
уже изучили в п° 1,—она дает опять-таки гармоническое колеба-
ние, но с измененной амплитудой и начальной фазой.
Рассмотрим простейший пример наложения двух гармонических
колебаний с круговыми частотами (Oj и со2- Существует коренное раз-
личие между тем случаем, когда отношение этих двух частот ра-
ционально, и тем случаем, когда это отношение иррационально, или,
как говорят, между случаями, когда частоты соизмеримы или несо-
измеримы. Рассмотрим сначала первый случай и возьмем, например,
вторую круговую частоту в два раза больше первой: ®2 = 2®г Тогда
период второго колебания Т2 будет равен как раз половине пе-
риода Тг первого колебания, ибо Т2 = 2л/2®1 = 7’1/2, и, стало быть,
второе колебание имеет не только период Т2, но и двойной период
7\ = 2Т2, так как ход изменения функции, конечно, повторяется по
истечении двойного периода. Следовательно, функция, полученная в
результате суперпозиции, будет тоже иметь период Тх. Первое ко-
лебание называется основным колебанием, а второе колебание, имею-
щее удвоенную частоту и вдвое меньший период колебания, чем пер-
вое, называется первым гармоническим обертоном по отношению
к основному колебанию или первой гармоникой.
Аналогичное положение будет, если присоединить еще одно про-
стое колебание с частотой ®3 = 3®!. И здесь описывающая колеба-
ние функция sin Зсорс, имея период 7’3 = 2л/3со1 ==7’1/3, будет не-
пременно повторяться по истечении периода 7’1 = ЗТ^. Это третье
колебание называется вторым обертоном или второй гармоникой
по отношению к основному колебанию. Подобным же образом можно
присоединить третий, четвертый...... (п—1)-й обертоны с часто-
тами (1)4 = 4®!, ®5 = 5®!...........®я = п®1 и с произвольными началь-
ными фазами; каждый из этих обертонов непременно повторяет ход
своего изменения с периодом 7’1 = 2л/®1, и, стало быть, всякая функ-
ция, полученная наложением некоторого числа простых колебаний,
являющихся обертонами по отношению к заданной основной круго-
вой частоте ®], сама будет периодической функцией с периодом
.Tj = 2л/®г
2] § 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 503
Налагая друг на друга гармонические колебания, начиная с ос-
новного колебания и кончая (п—1)-м обертоном, получим периоди-
ческую функцию вида
п
S (х) — а + 2 cos kax + Ьк sin kax).
Постоянная а, добавленная с целью несколько увеличить общность-
формулы, не нарушает периодичности, так как она является перио-
дической функцией любого периода. Так как эта функция S (х) со-
держит 2«+1 постоянных коэффициента, которыми можно свободно
распоряжаться, то существует возможность построить этим путем
функции с весьма сложными графиками, очень мало напоминающими
исходную синусоиду.
Рисунки 122—124 дают об этом более наглядное представление, чем
может дать словесное описание. Пропорции на рис. 122 соответствуют зна-
чению о=1.
Кривые на рис. 124 являются графиками частичных сумм S3 (х), S6 (х),
S6 (х) и S7 (х) тригонометрического ряда
sinx । о sin2x , sin3x , о sin6x , sin7x , sin9x (
j г 2 2 H § H2 § I 7 I § b •••
Термин гармонические обертоны или высшие гармоники взят
из акустики; известно, что если основному колебанию с круговой
частотой ® соответствует основной тон определенной высоты, то-
первой, второй, третьей и т. д. гармоникам соответствует после-
довательность обертонов к основному тону, а именно: октава, ок-'
тава +квинта,' двойная октава (октава -|- октава) и т. д. [Если, на-
пример, основной тон — dop то первый обертон — do2, второй обер-
тон— $о/2, третий обертон — do3 и т. д.]
Вообще при суперпозиции колебаний, частоты которых стоят
друг к другу в рациональных отношениях, круговые частоты со-
ставляющих колебаний могут быть представлены как целые кратные
одной основной круговой частоты.
Явление совершенно иного типа представляет сложение двух ко-
лебаний с несоизмеримыми круговыми частотами (Oj и ®2. ® этом
случае процесс, возникающий при наложении гармонических коле-
баний, уже не будет периодическим. Мы не имеем возможности за-
няться здесь рассмотрением связанных с этим математических вопро-
сов. Заметим лишь, что такие функции имеют все же всегда при-
ближенно периодический характер; они являются, как принято гово-
рить, почти периодическими функциями. Как раз в последнее
время 'такие функции стали предметом особенно обстоятельных иссле-
дований.
Наконец, последнее замечание по поводу сложения гармониче-
ских колебаний относится к явлению так называемых биений. Пусть
происходит наложение двух колебаний с одинаковой амплитудой 1
504
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
р
Рис. 123.
Рис. 124,
2|
§ 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
505
и круговыми частотами СО] и со2; для простоты примем, что и начальные
фазы одинаковы (обобщение на случай разных фаз предоставим чи-
тателю). Тогда задача состоит просто в изучении поведения функ-
ции
у = sin sin(i)2x («>1 > <d2 > 0).
По известной формуле тригонометрии
~ со । — (Оо , to t 4- ^2
у = 2 cos ——%—- х • sin ——- х.
Явление, описываемое этой функцией,
щим образом: происходит колебание
и с периодом м , но амплитуда
можно рассматривать следую-
с круговой частотой ——-
колебания не постоянна. На-
периодически изменяется и имеет более продолжительный период
4<о „
—----Эта точка зрения особенно полезна и наглядна в том слу-
чае, когда обе круговые частоты относительно велики, а их
разность очень мала по сравнению с ними. Эти ритмические коле-
бания амплитуды называются биениями. Явление биений знакомо,
главным образом, из акустики и, возможно, также из радиотехники.
В радиотехнике передаваемые частоты (Oj и со2 электромагнитных
волн обычно во много раз превышают частоты звуковых колебаний,
между тем как разность o)j — со2 попадает в область акустических
частот. Эти биения преобразовывают в звуковые колебания, воспри-
нимаемые человеческим ухом, в то время как первоначальные коле-
бания недоступны для слуха.
Пример биений изображен графически на рис. 125.
-506 ГЛ, IX. РЯДЫ ФУРЬЕ (1
§ 2. Применение комплексной записи
1. Общие замечания. Исследование колебательных процессов и
периодических функций формально упрощается, если пользоваться
комплексными числами и пару тригонометрических функций cos сох
и sin сох объединять в выражение вида coscox-(- Z sin сох = ei,JlX (ср.
гл. VIII, § 7). При этом следует помнить, что одно равенство между
комплексными величинами равносильно двум равенствам между дей-
ствительными величинами и что полученные результаты надо всегда
истолковывать и осмысливать в действительной области.
Заменяя везде тригонометрические функции показательными по
формулам
2 cosx = eixe~ix, !2l sinx = eix—e~ix,
мы приходим к выражению гармонических колебаний с помощью
комплексных функций el<s>x и e~iax или (при наличии начальной фазы
соЕ, =1= 0) с помощью функций
aeio>(x-& и ae~ia>(x~i\
где а, со и оЕ, (амплитуда, круговая частота и начальная фаза) —
действительные величины. Реально происходящие колебания полу-
чаются из этого комплексного представления как его действительная
и мнимая части. Удобство комплексной формы записи для многих
целей вызвано тем, что производные от комплексной показательной
функции, описывающей колебательный процесс, получаются формально
по знакомым правилам дифференцирования так, как будто бы I было
действительной постоянной. Это выражается следующей формулой
— a[cos®(x —|)H-Zsino(x —1)] =
= aa [— sin (о (х — У + i cos ® (x — £)] =
= iaa [cos co (x — g) -f-1 sin (o (x — £)]
..или
-i- aela^x~^ = laaeiu>^x~^. (1)
dx
Комплексный способ записи тригонометрических функций можно
применить и под знаком интеграла. [Так, например, формуле диф-
ференцирования (1) соответствует формула интегрирования
j ае1а^х~^dx = —ei<A^x~^-\-С,
где С — произвольная комплексная постоянная интегрирования. Пра-
вило интегрирования оказалось формально таким же, как у дей-
2]
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ЗАПИСИ
507
ствительной показательной функции.] Соответственно этому вводим
следующее определение:
J / (х) eiax dx — J / (х) cos сох dx + i J f (x) sin cox dx.
В частности,
f inx d ( u ПРИ целом n' положительном или отрицательном,.
£ (2л при п =0,
откуда
t . , (0 при пфт, если т — п — целое число,
eimxe-lnx dx _ I f
(2л при n = m.
Этот результат в случае пфт при целых значениях т и п пред-
ставляет собой не что иное, как некоторое объединение соотношений
ортогональности, выведенных на стр. 247 для тригонометрических
функций.
2. Применение к изучению переменного тока. Проиллюстрируем эти
вопросы на важном примере. Для большей ясности будем обозначать аргу-
мент, время, не через х, а через t. Представим себе электрическую цепь
с омическим сопротивлением R и самоиндукцией L, к которой приложена
внешняя электродвижущая сила (напряжение, вольтаж) Е. В случае постоян-
ного тока величина Е постоянна и сила тока J определяется законом Ома:
E = RJ.
Если же речь идет о переменном токе, то Е, а следовательно, и сила тока J
являются функциями времени t и закон Ома принимает следующий обоб-
щенный вид (см. стр. 211):
В простейшем случае, изучением которого мы здесь ограничимся, внеш-
няя электродвижущая сила Е есть простое гармоническое колебание круговой
частоты со. Но вместо того, чтобы брать это колебание в виде a cos at или
a sin st, мы формально объединим эти две возможности в комплексной записи:.
Е = Eoela>t — Еа (cos at -|- i sin at),
где действительное число Ео (> 0) обозначает амплитуду. С этой «комплекс-
ной электродвижущей силой» мы будем оперировать так, как будто бы I:
было действительным параметром, и по ней найдем «комплексную силу
тока» J. Смысл того соотношения между комплексными величинами Е и J,
которое мы при этом получим, таков: сила тока, соответствующая электро-
движущей силе Ео cos st, есть действительная часть комплексного числа J,
а сила тока, соответствующая э. д. с. £0 sin at, равна мнимой части J (т. е.
коэффициенту при I). Комплексную силу тока J нетрудно вычислить, если
исходить из гипотезы, что сила тока есть тоже гармоническое колебание:
с круговой частотой со, и искать J в виде следующего выражения:
J = aeiat = a (cos at I sin st).
508 гл. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ (3
Тогда для производной от J получится формально выражение
= iwj,ela>t — <аа (— sin at -|- i cos at).
Подставляя показательные выражения для J и ~~ в обобщенную форму
закона Ома и сокращая на el<s>t (общий множитель всех членов), получим
уравнение Ео — Liaa = /?а, откуда
а==_____Е<>
R-t-iaL
так что
Е = (R + iaL) J = WJ.
Величину W = R -|- iaL удобно назвать комплексным сопротивлением цепи:,
тогда последнее равенство можно рассматривать как закон Ома для перемен-
ного (синусоидального) тока в комплексной записи. Он звучит совершенно
так же, как и для постоянного тока: сила тока равна электродвижущей
силе, деленной на сопротивление.
Запишем комплексное сопротивление W в показательной и тригоно-
метрической форме:
W = R + iaL — welf> = w (cos 6 i sin 6),
где w = | W |; тогда
w = /R2 + c02£2i tg6 = 4£.,
A
« выражение для комплексной силы тока получит следующий вид:
т__ Е ___ E9el<i>t _ Еа
W ~ we* ~w
Согласно этой формуле, действительная сила тока имеет ту же круговую
частоту (и тот же период), что и напряжение; амплитуда силы тока равна | а |
и выражается через амплитуду Еа напряжения так:
Кроме того, сила тока запаздывает в фазе на 6/и по сравнению с электро-
движущей силой. Сила тока достигает своего максимума, а также своего
минимума не в тот же момент времени, что напряжение, но на 6/® позже.
В электротехнике величина w = К/?2 -|-®2£2 носит название импеданса или
полного сопротивления цепи для переменного тока круговой частоты ®.
3. Комплексная запись суперпозиции гармонических коле-
баний. До сих пор комплексное обозначение применялось для совмест-
ной записи двух гармонических колебаний. Однако в комплексной
форме можно представить и одно-единственное гармоническое коле-
бание, а также и суперпозицию гармонических колебаний вида
п
S (х) = а 4” 2 (,ak cos + bk s*n
41
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ЗАПИСИ
509
где для простоты положено со = 1. Для этого надо лишь подставить
в S (х) выражения
cos kx = -^(elkx^-e-ikx) и sin kx = ^-(е1кх— е~1кх).
и наша сумма примет следующий вид:
п
S(x) = 2 аке1кх,
k = -n
причем комплексные коэффициенты ак связаны с действительными
числами a, ак и Ьк равенствами:
ak = «* + «-ь а = а0, bk = i{ak — а_к).
Обыкновенно полагают а — а0 = а0/2 с той целью, чтобы равенство
ак — ак 4-a_ft формально включало и случай k = 0.
Обратно, всякое выражение вида
2 eikx
k = — n
можно рассматривать как наложение гармонических колебаний, запи-
санных в комплексной форме. Для того чтобы результирующее коле-
бание было действительным, требуется лишь, чтобы ак-\-а_к было
действительным, а ак — а_к чисто мнимым числом, т. е. ак и а_к
должны быть сопряженными комплексными числами.
4. Вывод одной тригонометрической формулы. Комплексная форма
записи дает возможность очень просто доказать одну формулу, которая
в дальнейшем понадобится. Это тригонометрическая формула сум-
ма рования
, . 1 . . о , . sin (п 4-1/2) a
оп (а) =.-^—|— cos a -|- cos 2a -|- ... -|- cos па =--—>—,
2sln-|
справедливая при всех значениях а, за исключением значений 0, ± 2л, ± 4л,.. .
Для доказательства заменим все косинусы их выражениями через пока-
зательные функции и тем самым приведем нашу сумму к виду
п
<’«(«) = у =
* = -п
= А (е~1па
~ 2
_|_е-/(я-1)а
+ ... +е-1а
+ 1+?а + е2'а+ ... +?"“).
В правой части в скобках перед нами геометрическая прогрессия со знаме-
нателем q = eia=f=\. По известной формуле для суммы членов геометри-
ческой прогрессии имеем
I е(п+1) 1а_g-nla
°и ~ 2~ ela— 1 ’
510
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
Умножив числитель и знаменатель на е ia^, получим
1 е,(»+1/2)а — g-Z(n+i/2)a sin (п 4-1/2) а
(Я) = J-------ei-a/2_g--fa72----- -----------------
о «
2sin^
и данная выше формула доказана.
Упражнения
N
1. Построить кривые у = sin^x ПрИ дг _ 3 5, 5
Л = 1
2. Построить кривые у = при N — 3, 6, 8.
72 = 1
3. Вычислить сумму sin а-ф-sin 2а + ... -|- sin па.
4. Положим sm (а) = °0 (а) +04 (Я^+ j'' + (я) , где а„ (а) = у 4-
4- cos а 4~ cos 2а 4* ... -|- cos па. Доказать, что
1
sm (а)
(т 1)а
2
. а
sin у
(Выражение sm (а) называется ядром Фейера и играет большую роль в даль-
нейшем развитии теории рядов Фурье.)
5. Показать, что
л
J Sm (a) da = 1,
-Л
где $т(а) есть ядро. Фейера из упр. 4.
§ 3. Ряд Фурье
Функция
п
Sn (лг) = а 4- 2 (ай cos kx bk sin kx),
k=i
являющаяся результатом суперпозиции гармонических колебаний, со-
держит 2п-4~1 произвольных постоянных а, ак, Ък. (Для простоты
полагаем ®==1.) В комплексной записи эта функция имеет сле-
дующий вид:
п
sn(x)= 2
£ = — п
с 2п-4“1 комплексными постоянными ак. (Мы уже видели, и это
вскоре подтвердится, что удобно положить а = ай = а0/2.)
§ 3. РЯД ФУРЬЕ
511
Возникает вопрос; нельзя ли так выбрать эти 2л 4-1 коэффи-
циентов, чтобы сумма S„ (х) давала в интервале — л х л при-
ближение к заданной функции / (х), и если это возможно, то как
найти коэффициенты? Более того, сама собой напрашивается сле-
дующая гипотеза: возможно ли, совершая предельный переход п —>со,
отождествить lim 5л(х) с «произвольной» в некотором смысле функ-
л->оо
цией /(х)? Функция /(х), естественно, должна быть подчинена
надлежащим условиям непрерывности, которые будут сформулиро-
ваны ниже.
Другими словами, ставится вопрос (как это сделал Фурье при
изучении физических проблем теплопроводности): возможно ли раз-
ложить заданную функцию / (х) в бесконечный ряд
ОО
/(x) = -y-4-2(«»cosAx4-^sinAx) (1)
ы
или, в комплексной записи,
оо
/(х)= 2 <Wikx? (2)
k = —оо
При этом суммирование от —оо до 4-00 означает следующее: сна-
чала производится суммирование от —п до п > 0 (или, более общо,
от —п до т), а затем совершается предельный переход при п->4-схэ
(при одновременном стремлении п->со и дг->оо).
Предположим на время, что это разложение функции f (х) дей-
ствительно возможно и что ряд сходится равномерно в интервале
— л<х<л. Тогда нетрудно выразить коэффициенты
ak, bk (в комплексной записи aft) через функцию /(х). Помножим
гипотетическое разложение (1) на cosnx и проинтегрируем по х
от —л до л. В силу соотношений (1)
при целых т и п
г Г °-
sin/их sin пх dx = <
J I л,
“Л v
л
[ sinmx cos пх dx = О,
-Л
г (О,
cos тх cos пх dx = {
• * I л,
-л '
и мы сразу получаем
л
ап — ± J f (х) cos пх dx,
-л
-(3), выведенных на стр. 247,
если т + п,
если т = п #= О,
если т #= п,
если /п=п=£0,
п — 0, 1, 2, ...
512
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
Аналогично, умножая (1) на sinnx и
получим
Л
bn— J /(x)sinnxdx,
-л
интегрируя по х от — л до л,
п= 1, 2, 3, ..
В случае комплексной записи ряда помножим разложение (2)
на е~‘пх и проинтегрируем от —л до л. Пользуясь соотношениями
(стр. 507)
Г • и
eimxe-inx dx = {
J I 2л
при
при
пфт,
п — т.
если т и п — целые числа, находим
л
= i / f(x)e~inxdx.
— Л
п — 0, ± 1, ± 2, ...
Эти формулы дают определенную последовательность так назы-
ваемых коэффициентов Фурье для всякой функции f (х), опреде-
ленной и непрерывной на отрезке — л х <; л либо имеющей лишь
конечное число разрывов первого рода (конечных скачков) на этом
отрезке. Если функция f (х) задана, то мы можем формально записать
бесконечный ряд Фурье:
оо 4-оо
-у-4“ (flft cos 4-sin kx) — akeikx,
k = 1 Л =» —оо
и перед нами задача: выделить простые классы функций /(х), для
которых этот ряд Фурье действительно сходится и представляет эту
функцию. Значение такого представления как для теоретических ис-
следований, так и для приложений исключительно велико.
Для того чтобы сформулировать результат, который мы намерены
доказать, введем следующее определение. Функция /(х) называется
кусочно гладкой в некотором интервале, если она сама кусочно
непрерывна в этом интервале (т. е. непрерывна в нем, не считая
конечного числа разрывов первого рода) и к тому же имеет кусочно
непрерывную первую производную f (х).
Функцию f (х), первоначально заданную в интервале —л<^х<С\л,
мы будем считать продолженной периодически во внешнюю область
этого интервала.
Во всякой точке, в которой функция / (х) делает конечный
скачок, мы припишем ей значение, равное полусумме ее левого и
I) § 4. ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ 513
правого предельных значений, т. е., если потребуется, изменим зна-
чение функции в этой точке разрыва. Стало быть, полагаем
/(*) = | 1/(* — 0) + /(х + 0)1,
где f (х— 0) и /(х + 0) — это просто пределы, к которым стре-
мится f (t) при t—>х соответственно слева и справа от точки х.
В любой точке х, в которой /(х) непрерывна, это равенство, оче-
видно, выполняется само по себе.
Наша цель — доказать следующую теорему:
Если кусочно гладкая функция /(х) удовлетворяет напи-
санному выше соглашению, то ее ряд Фурье сходится и пред-
ставляет эту функцию в любой точке х.
Затем будет доказана следующая теорема:
Во всяком замкнутом интервале, в котором функция f (х)
(периодически продолженная) не только кусочно гладкая, но и
непрерывная, ее ряд Фурье сходится равномерно.
И, наконец:
Если кусочно гладкая функция f (х) не имеет разрывов, то>
ее ряд Фурье сходится абсолютно.
Доказательства этих теорем мы отложим до § 5 (стр. 522).
Здесь мы только подчеркнем, что класс функций, разложимых в ряд
Фурье согласно этим теоремам, допускает очень высокую степень
произвольности; и вовсе не обязательно, чтобы такая функция зада-
валась единым аналитическим выражением.
В следующем параграфе мы покажем на ряде примеров плодо-
творность разложения в ряд Фурье.
§ 4. Примеры разложения в ряд Фурье
1. Предварительные замечания. Мы будем предполагать, что
наши функции /(х) имеют период 2л, й возьмем в качестве основ-
ного интервал от —л до л. Если функция /(х) задана первона-
чально только в интервале —л < х < л, то она должна быть про-
должена периодически налево и направо согласно § 1 (стр. 499).
Прежде чем приступить к рассмотрению примеров, сделаем одно
простое замечание. Если f (х) — четная функция, т. е. /(—х) =
= / (х), то / (х) sin kx является, очевидно, нечетной функцией,
a f (х) cos kx — четной, так что
я я
bk = -^- J /(x)sin£xdx = 0, ак = J / (х) cos kx dx.
-я о
Стало быть, для четной функции получается ряд из одних косинусов
постоянного члена cos Oxj . Если же f (х) — нечетная
33 ₽. Курант
514
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
Р
функция, т. е. /(—х) = —/(х), то
Л
л
if 2 I
ak = — f (х) cos kx dx = 0, bk = — J /(x)sinAxdx.
-л 0
Следовательно, ряд Фурье для нечетной функции содержит одни
синусы.
Если функция f (х) задана первоначально только в промежутке
0 < х < л, то ее можно продолжить на интервал — л < х < 0
по желанию либо как четную функцию, либо как нечетную [и уж
затем продолжить периодически с периодом 2л на всю ось х].
Соответственно этому такую функцию можно представить в проме-
жутке 0<х<л как рядом косинусов, так и рядом синусов.
2. Ряды Фурье для функций ф(х)=х и ф(х)=х2 в интервале
— л < х < л. Для нечетной функции ф (х) = х
я
2 Г
О-ь — 0, bh = — х sin kx dx',
о
по правилу, приведенному на стр. 250,
л , Г ( coskx\ sin kx \"1Я . л
Т = [х (-----------И ----------)]о = (-1)*+1 т.
Таким образом, периодическая
— л < х < л имеет выражение
Фурье
о / Sinx
ф(х)=2^ —-----
функция ф (х), которая в промежутке
ф (х) = х (рис. 126), разлагается в ряд
sin 2х , sin Зх , \
—2 I 3- Н
знакомый уже нам ряд Лейбница
(стр. 366)
Функция ф(х), представленная выше
рядом синусов, не является (как це-
лое) непрерывной функцией: в точ-
ках х = kx, k = ±1, ±3, ±5, ... она
имеет разрывы первого рода и со-
вершает в них скачки величиной 2л.
В этих точках разрыва каждый член
ряда обращается в нуль, а потому
и сумма! ряда тоже равна нулю. Следовательно, в точках разрыва сумма
ряда равна среднему арифметическому левого и правого пр'едельных значе-
ний функции.
Пусть £—какое-либо фиксированное число между —л ил; если
в ряде синусов для функции ф (х) заменим х на х — £, то получится
3] § 4. ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ 515
следующий ряд:
4-(л- *)-2(Sin(X~€) sin2(x —g) । sin3(x —g) j j =
2 2 2 2
=----р sin g cos л-|—р cos g sin x~\~~^- sin 2g cos 2л — -% cos 2g sin 2л —
2 2
—X- sin 3g cos 3л + v cos 3g sin 3л +
и о
который можно тоже расположить в виде ряда Фурье с коэффициентами
(—1)" (—1)и-1
ай — 0, <гл = 2 п sin nt,, bn = 2 -—-----cos ng,
стремящимися к нулю при п->оо. Этот ряд представляет функцию, имею-
щую описанные выше разрывы в точках. х = g + л, g ± Зл, ... и только
в этих точках.
Для четной периодической функции <р (х), которая в промежутке
— л < х < л имеет выражение <р (х) = х2, находим:
л
<2# = ~ I х2 cos kx dx — (—l)ft ~ (A > 0),
Л J «
0
23X2 A О
<2q — 3 • bh — 0
и, стало быть, получаем разложение
. . л2 .1 cos х cos 2х , cos Зх , \
4>(%) = -т-4(-р-------------1---з—-+
Так как в промежутке —л<х<л имеем <р(х) = х2, то, дифференцируя
этот ряд почленно и деля на 2, получим формально вновь ряд для пери-
одической функции ф (х), которая в промежутке — л < х < л обращается
в ф (х) = х.
3. Ряд Фурье для функции xcosx, — л < х < л. Для этой нечетной
функции имеем
л л
2 Г if
ak = 0, bh = — х cos x sin kx dx —— x [sin (A-f-1) x -|- sin (k—l)x]«/x.
о о
Пользуясь формулой
J x sin mx dx — (—l)m+1 (m = 1, 2, ...),
о
найденной в предыдущем пункте (мы заменили в ней k на т), вычи-
сляем
(_1)*+2 (_1)й 2А _
** - тр—- <-’> Т2“=т (k - 21 31 • • )1
А 2 f -и 1 f • О 1
Ьх—— х cos х sinx dx — — . xsin2xdx = — -н-.
3,1 л-j 2
о о
33*
516
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
14
Так мы получаем разложение в ряд в промежутке — л <. х < л:
х cos х = — -у sin х 4- 2 V \2-— sin kx.
й = 2
Сложив этот ряд почленно с рядом для ip (х) — х из п° 2, получим для про-
межутка — л < х < л следующий ряд:
. 3 . I sin 2х sin Зх . sin 4х , \
л(1+созх)=2-з1пл + 2^Г2^-^з^+зТ^-Н-
рассмотренная в п°2 (рис. 126), и скачки обеих функций в этих точках
имеют одинаковую абсолютную величину 2л, но различные знаки. Напротив,
функция, полученная периодическим продолжением значений функции
х (1 cos •*) в интервале — л < х < л за граничные точки этого интервала,
в&оду непрерывна и имеет всюду непрерывную производную; дело в том,
что при периодическом продолжении функции, непрерывной в интервале
— л < х < л, разрывы возникают лишь в том случае, если значения функ-
ции на границах этого интервала различны, а функция л (1-|-cos л) и ее
производная принимают в точках х — — л и л = л равные значения, а именно
значения 0; это вызывается наличием множителя 1 cos х, который обра-
щается в нуль вместе со своей производной в точках — лил.
4. Функция /(х) = |х| в интервале —л < х < л. Это — четная функ-
л
2 Г
ция; следовательно, й* = 0, а а* = — л cos kx dx. Этот интеграл вычи-
о
сляем по правилу интегрирования произведения:
л
Г- , , Г sin kx .1 cos kx \1Я cos йл—1 , , „
x cos kx dx — x —г------1------Г5— =-------m---- при k =h- 0.
J L k \ k2 Jj0 k2 r i-
o
61
§ 4. ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ
517
Следовательно,
0,
4
А2я ’
если
если
Постоянный член равен а0/2, где а.
-о —
k 4= 0 четно,
k нечетно.
= я. Следовательно,
я
о
j.. . л 4 { cos х . cos Зх . cos 5х . \
/W = 2--т1-р-Н---------32---1--52---h
Подставив сюда значение х — 0, получаем замечательную формулу
— _ i_i_ J—I—L_i_
8 1 п- 32 -Г 52 • • •
5. Еще один пример. Функ-
ция / (х) определена в проме-
жутке — л < х < л так:
—1 при — л < х
0 при
при 0_
7
-Л
'2я
О
0,
х = 0,
'л
Рис. 128.
1
изображена на рис. 128.
. . ... _ ___ ось х. Она
Это — нечетная .функция, и для нее а* = 0,
я
. 2 Г . . .
Ой = — sin Ах dx =
о
Поэтому ряд Фурье для этой функции таков:
,, . 4 / sin х . sin Зх . sin 5х . \
f W = Т (—+-3-+-5-+ • • • )•
При х = л/2 отсюда как частный случай опять получается ряд Лейбница.
Ряд Фурье, для этой функции /(х) можно формально получить из ряда
для | х | почленным дифференцированием.
6. Функция /(x) = |sinx|. Четную функцию /(x) = |sinx| можно
разложить в промежутке — я < х < л в ряд Фурье по косинусам. Для этой
функции коэффициенты
я
и продолжена периодически на
всю
О,
4
nk ’
если
если
k четно,
k нечетно.
я
а^ = ~ J sin х cos Ах dx =.-i J [sin (А
о • о
_ 1 Г cos(A-[-l)x । cos (А — 1) х Iя
я[ А —|—1 А—1 ]0
х — sin (А — 1) х] dx =
0
— 4
(А2—1)л
при
при
[При k = 1 знаменатель под символом двойной подстановки
в нуль, но отдельное вычисление подтверждает, что и а1 — 0.]
Следовательно,
k нечетном,
k четном.
обращается
а
,. . 2 4 Vi cos 2пх
= я 1 4Й^-~Г-
« = 1
В промежутке — л < х < я сумма этого ряда равна | sin х |.
518
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
17
7. Ряд Фурье для функции /(х) = cosрх. Разложение котангенса
на элементарные дроби. Выражение синуса в виде бесконечного про-
изведения. Пусть в интервале —л<х<л функция /(x) = cospx, где р
не является целым числом. Так как f (х)— четная функция, то опять
bk = 0 и
я л
л f if
-2-n^=J cos px cos kx dx = -% [cos (p -|- A) x -(-cos (p— k)x}dx =
о о
1 / sin (p-I-А) л , sin (p— А) л \ p(—1)*
= 2 [ и + А-------1---—k------) = sin
Следовательно,
2p sin рл I 1 cos x , cos 2x
COS pX =
при — л < X < л.
Эта функция при периодическом ее продолжении остается непрерывной
при переходе через точки х = ± л. Если в найденном разложении положим
х = л, разделим обе части равенства на sin рл и затем вместо р будем
писать х, то получим формулу
. 2х ( 1 , 1 , 1 , \
с g л \ 2х2 + х2 — I2 X2 — 22 + • /’
представляющую так называемое разложение котангенса на элементар-
ные дроби', это очень важная формула, часто встречающаяся в анализе.
Запишем теперь этот ряд в виде
с tg лх---—
а лх
2х / 1
Л \ I2 — X2
1
22— х2
Если | х | -С q < 1
2
нои величине меньше чем —
1, то n-й член ряда в правой части равенства по абсолют-
п2___________________. Следовательно, ряд равномерно
сходится в этом интервале, и мы имеем право его почленно интегрировать.
Таким образом (после умножения на л), цолучаем в левой части
х
f / . j. 1 \ ., , sin лх
о
а в правой части
1п(1-к)+|п(1-$-)+ •••
Потенцируя; получим
п п
lim 2 1п (’ ~f) 2
sin лх ”->°о *=1 4 ' * =
------= е = hm е
ЛХ л->со
следовательно,
Л х^\(л
sm лх = лх 11--р- 111 —
, sin Л<2 , sin лх
lim In---------= In----------,
’) Формула доказана здесь в предположении, что | х | < q < 1, но можно
доказать, что формула справедлива для любых значений х.
9) § 4. ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ 519
Таким образом, мы получили известное разложение синуса в бесконеч-
ное произведение1). Из этой формулы при л =1/2 получаем формулу
Валлиса:
л тг 2* 2* 2 2 4 4
Т — 11 2k — 1 ’ 2*4-1 — Т ’ Т "З 5" • • •’
ы
что согласуется с результатом, полученным на стр. 264.
8. Дальнейшие примеры. С помощью небольших вычислений по образцу
тех, которые здесь были проведены, получаем еще следующие примеры
разложения в ряд Фурье.
Функция f (х), определенная при — л < х < л равенством f (х) = sin р.х,
разлагается в ряд
. 2з1пцл / sinx 2sin2x , 3sin3x . \
/(x) = sinp.x =-----—
Из этого ряда при х — л/2, пользуясь соотношением sin рп = 2 sin ц -^-Х
л
Xcosp.-^-. можно получить разложение секанса на элементарные дроби,
д. 1
т. е. разложение функции-------; это разложение, если в нем затем вме-
cosJ?
сто р/2 писать х, имеет вид
л . V (—1)*(2*—1)
л sec лх =------ = 4 У х- ' ,---Д.
cos лх 4х2 — (2k — I)2
й = 1
Ряды для гиперболических функций ch iix и sh цх (—л < х < л) имеют
вид
. 2ii , /1 cos х , cos 2х cos Зх , \
л \ 2ц2 ц24~12 Ц24~22 р24- 32 1 )
, 2 , / sin х 2sin 2х , 3 sin Зх , \
sh цх = — sh цл „ 2--- 4--------- --------р ....
л \ ц2 4~ I2 р.2 4~ 22 Ц2 4~ З2 )
[9. Заключительные замечания. Разложение в ряд Фурье
функции произвольного периода. Когда в начале § 3, стр. 511,
исходя из суперпозиции Sn(x) гармонических колебаний, мы поста-
вили вопрос о возможности разложения периодической функции /(х)
в бесконечный ряд Фурье, то только для упрощения было положено
(о = 2л/7’=1, и, значит, период Т — 2л. В естествознании и тех-
нике часто встречаются функции f (t) с произвольным периодом Т,
а стало быть, произвольной круговой частотой со = 2л,/Т. Ясно, что
для такой функции следует ожидать разложения в ряд Фурье вида
ОО
(ak cos kat 4- bk sin kat).
‘) Эта формула интересна прежде всего в том отношении, что из нее
непосредственно можно усмотреть, что функция sin лх обращается в нуль
при х = 0, ±1, ±2, ...; в этом смысле она соответствует разложению на
множители целой рациональной функции, когда известны все ее корни.
520
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
19
Эту общую задачу можно привести к уже изученному (пока
формально) частному случаю, когда период равен 2л, преобразова-
(Тх \
"2л") =
— g(x). Функция g(x) тоже периодическая, но уже с периодом 2л,
так как
gU+-2«)=/(-r-^±^) = /O+7-)=/(^) = gW.
Пусть теперь g{x) разлагается в ряд Фурье:
ОО
g-(x) = -y-+^ (akcoskx + bks\nkx),
й-1
где, согласно § 3,
л
ак = J g (x) cos kx dx (& = 0, 1, 2, ...),
— л
л
bk=~- ^g(x)sinkxdx (А = 1, 2,...).
-л
Вернемся теперь к переменной t, подставляя обратно х = at =
= 2лЦТ. Тогда g (х)— f \t), и мы получаем разложение
/ (0 = -у~ + («» cos kat Н- Ьк sin kat) =
к-1
а0 . VI / 2л& . , . 2лkt \
= ^-+24 r*cos_7—ЬМ<П—)- (А)
к-1
Коэффициенты этого ряда можно выразить непосредственно через
f (t); для этого надо преобразовать интегралы в формулах для ак
и Ьк заменой х = at = 2nt/T, t=Txj2n., dx = adt. Получим:
Tp
ак=-^- J f (f) coskat dt (A = 0, 1, 2, ...),
гр (B)
bk—-^r J f(t) sin kat dt (A = l, 2, ...).
-гр
Вместо промежутка интегрирования от —Т/2 до Т/2 можно взять
промежуток интегрирования от 0 до Т.
Из способа получения этих результатов видно, что вопрос о
доказательстве для периодических функций f(f) произвольного
§ 4. ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬВ 521
периода теорем, сформулированных в § 3, стр. 513, разрешится сам
собой, как только будет дано доказательство этих теорем для
функций периода 2л (а это будет сделано в следующем § 5).
Форма (А) ряда Фурье с коэффициентами в форме (В) удобна, если
независимая переменная t означает время. Если же независимой пере-
менной периодической функции / (х) является пространственная
координата х (если изучается, например, зависимость отклонения
точки струны в определенный момент времени от абсциссы этой точки
в состоянии покоя), то период функции f (х) обозначают обычно
через 2Z; тогда соответствующая форма ряда Фурье и выражений
для его коэффициентов получается из (А) и (В) простой заменой
буквы t буквой х и подстановкой Т = 21 и со = 2л/7’ = пЦ. Выпол-
нив это, получим
ОО
z z х а0 । V1 I knx , , . knx \
/W = -f- + 2< cos—----|-*ftsin——j,
&=1 '
г-де
i
ak=j- J f (x) cosdx (£ = 0, 1, 2, ...),
-I
I
= /(x)sin-^-dx (A = l, 2, ...).
—i
При всех формах записи ряда Фурье, если разлагаемая в ряд
функция четная, то bk = 0 при всех k и ряд содержит одни коси-
нусы, а формула для ак упрощается: можно интегрировать по поло-
вине периода от 0 до Т/2 (соответственно от 0 до /), но зато нужно
удвоить коэффициент перед интегралом. Если разлагаемая в ряд
Фурье функция нечетная, то ак = 0 (А = 0, 1, 2, ...) и ряд состоит
из одних синусов; формулы для bk упрощаются: можно интегриро-
вать по полупериоду от 0 до Т/2 (соответственно от 0 до Z), но
зато нужно удвоить коэффициент перед интегралом.]
Упражнения
1. Найти разложения в ряд Фурье для периодических функций с перио-
дом 2л, определенных в промежутке — л < х < л следующими выражениями:
•а) еах\ б) (х2— л2)2; в) sin ах (1-f-cosx);
г) f(x) = l при а<х<6, /(х)=0 при —л<х<а, /(х)=0
при b < х < л.
2. Функция f(t)— периодическая с периодом 1; в интервале О^х <1
ОО
. ... . л . z. 1 1 V sin2пл/
она дана равенством /(/) = £ Доказать, что /(0«-т---z. -------•
П
522
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
[1
3. Многочлены Вп (х) (многочлены Бернулли) определяются следующими
соотношениями: а) В0(х) = 1; б) В'п (х) = пВп1 (х); в) J Вп (х) dx = О
о
при п > 0. Найти В{ (х), В2 (х), В3 (х), В4 (х).
Примечание. Числа Вп (0) рациональны; это знакомые числа Бернулли
Вп- Вп = Вп (0) (см. стр. 478).
4. Вывести следующие разложения в ряд Фурье для многочленов Бер-
нулли:
В, (О =
п-1
sin 2rat
п
3
2л3
п-1
sin 2пл/ I
n3 (
(0 = -^-
5. Доказать,
6. Доказать,
7. Доказать,
П—1
что
1
cos 2nnt I
п2
л2
“"б”’
В4 (О =
S( cos 2лл/
( п4
п-1
1 1 I 1 1 I
что I3 З3 ' 53 73 '
что: а) 1 + gj- + -gj + 7г + •
_ л3
“ IT’
— £1-
~ 8 ’
1
л 1 _ л4
п* ~ 90 '
6)1 22 + 32 42 + • • • — 12 ’
. . _ _1_ I _1___1_ j___ 7л2
В' 24 ' З4 44 л 720 ‘
„ sin 2лх
8. Исходя из тождества cos лх = , вывести бесконечное про-
, 2 sin лх г
изведение для косинуса.
§ 5. Доказательство разложимости функции
в ряд Фурье
Займемся теперь доказательством теорем, сформулированных
в § 3 и поясненных примерами в § 4.
1. Сходимость ряда Фурье для кусочно гладкой функции. Мы
уже знаем, что если в интервале —л < х < л задана любая кусочно
непрерывная функция / (х) (т. е. функция, непрерывная во всех
точках этого интервала, за исключением, быть может, конечного
числа разрывов первого рода), то можно вычислить коэффициенты
Фурье для /(х) по формулам
Л
= -1- J / (() cos kt dt,
-Л
л
= 4 j f W sin kt dt.
- Л
1] § 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАЗЛОЖИМОСТИ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ 523
и с этими коэффициентами можно формально выписать ряд
(ak cos kx + bk sin kx).
k=\
Этот ряд называется рядом Фурье для функции f (х), независимо от
того, сходится он или нет. Мы будем предполагать, что f (х) перио-
дически продолжена за граничные точки интервала — л < х < л на
всю ось х, и докажем теперь следующую теорему:
Если функция f (х) кусочно гладкая и ее значение в каждой
точке разрыва х выражается равенством f (х) = [/ (х — 0) +
+ /(х4-0)], то ряд Фурье для / (х) всюду сходится и пред-
ставляет эту функцию1).
Для доказательства этой теоремы рассмотрим частичные суммы
п
5я(*) = -у-+2 (a* cos Ах+ sin Ах).
*=i
Вместо коэффициентов мы подставим сюда их интегральные выраже-
ния, записанные выше, а затем поменяем порядок интегрирования и
суммирования; тогда Sn(x) примет следующий вид:
? ( л
Sn (х) = -^- /(0 ' у+ 2 (cos cos ^x+sinkt sin —
—л А=1
„ п 1
= ± J /(О' 4 + S cosfe(^ — х)\dt-
-Я Л-1 J
Сумму в фигурных скобках мы заменим сжатым выражением с помощью
формулы суммирования, выведенной в § 2, п° 4, стр. 509:
•л
—л
dt,
и, наконец, сделаем замену переменной t — х = х, dt — dx\ тогда,
принимая во внимание периодичность подынтегральной функции,
) Заметим кстати, что эту теорему можно доказать и для еще более
общих классов функций. Однако и сформулированный здесь результат
достаточен для приложений.
524
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
II
получим / 1 \
\x sin n + - т
6\(х)=^ Л* + х)-------------- т~'
-л-х Slny
1 Г sin (” + г)т
= -ОН- / (Х + Х)------------- dx-
Исходя из этой формы записи частичной суммы, мы и сумеем
доказать, что Sn(x) стремится к /(х), но для этого нам понадо-
бится следующая лемма.
Лемма. Если функция s(x) кусочно непрерывна в интервале
я х Z>, то интеграл ь
1 = J s(/)sinZ/d/ (1)
а
стремится к нулю при безграничном возрастани к.
В ходе доказательства мы вправе считать s(x) непрерывной
функцией во всем интервале, так как в противном случае можно
провести все рассуждения для каждого частичного интервала, в кото-
ром s(x) непрерывна, раздельно.
Как и в аналогичном рассуждении (стр. 485 и след.), заметим,
что при положительном Z промежуток интегрирования можно разбить
на частичные интервалы длины h = n/k так, что в последовательных
интервалах функция sin W поочередно положительна и отрицательна.
[Только частичные интервалы, прилегающие к границам а и b про-
межутка интегрирования, могут быть короче чем й=л/Х.] При
достаточно больших значениях Z доли, вносимые в интеграл смеж-
ными частичными промежутками, почти взаимно компенсируются,
потому что, в силу непрерывности s(x), значения этой функции
в двух таких соседних промежутках мало отличаются друг от друга.
Для того чтобы использовать это обстоятельство, преобразуем инте-
грал I заменой переменной / = где h = n/k; тогда dt = dx и
sin kt =— sinX-r, и мы получим
b-h b-h
I — — J s (т + h) sin kx dx = — J s (t-}~ ti) sin kt dt. (2)
a-h a-h
(Мы заменили букву т, обозначающую переменную интегрирования,
буквой Л) Теперь мы оба выражения (1) и (2) для I сложим;
в итоге получится
a b-h
21 =— | s (tti) sin kt dtJ [s(0 — s (/ + /?)] sin kt dt -f-
а-Л a b
-|- J s(f)sinkt dt.
b-h
1)
§ 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАЗЛОЖИМОСТИ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ 525
Обозначим через М какую-либо верхнюю грань для абсолютной
величины six'), так что во всем промежутке интегрирования | s (х)| М;
тогда из последнего выражения сразу вытекает следующее неравен-
ство:
b-h
21 /1 < 2Mh + J |s(0 — s(t-}-h)\dt.
a
Так вот, пусть задано любое положительное число е; если выбрать
А. столь большим, что во всем промежутке a-^t -^.b— h выражение
|s(7)— остается меньшим, чем e/(Z> — а), и к тому же
Mh = Мп/к < е/2, то будем иметь 111 < е, а стало быть, поскольку
е может быть выбрано сколь угодно малым, lim/ = 0.
Х->оо
Если предположить, что s (х) не только непрерывна, но имеет к тому
же кусочно непрерывную производную s' (х), то доказательство этой леммы
получается совсем просто с помощью интегрирования по частям. Действи-
тельно,
ь
s (0 sin /.i dt —
а
s (a) cos t.a — s (b) cos l.b
г
—|— J s'(t) cos M dt
a
а теперь сразу видно, что при безграничном возрастании Л правая сторона
стремится к нулю.
Для доказательства основной теоремы нам понадобится еще инте-
гральная формула
справедливая при любом положительном целом п. Но эту формулу
легко вывести с помощью той же формулы суммирования косинусов,
которой мы уже раз пользовались в начале этого пункта. Имеем
Доказательство теоремы. Нашей целью является дока-
зать, что
lim S„(x) = 1im —
Л->00
dt = f (х).
526
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
Начнем с того, что разобьем промежуток интегрирования [—л, л]
на две части: [—л, 0] и [0, л]. Построим вспомогательную функцию
s (z) = /(% + О-/(х+0)
о • z
2 sin -%
(О смысле символа /(x-j-О) см. стр. 513.) Эта функция кусочно
непрерывна в интервале 0 t л; это очевидно для полуоткрытого
промежутка 0</<^л, а (правосторонняя) непрерывность s(t) при
t = 0 вытекает из предположенного существования правосторонней
производной
Нт /(х + 0-/(л + 0)
/-»+о *
2 sin ~
t
lim
/->40
/(л + 0-/(х+0)
2 sin 4
~ lim + 0 +°)
/_>,+0 2 sin
Следовательно, при безграничном возрастании Z — 1/2 интеграл
Л Л Л
I f s(Osin^~ f/(x + 0 1 f/(z + O)^L^rf/
о о sin у S sin-g-
стремится к нулю. Следовательно,
л л
1 .* 1 1 I х / I sin X/ ,, ।, 1 Г . . । sin X/ f.
11ГП 2л /(x + z)--------j-dt= hm -и- /(x-j-O)------=
sin 4 X + si'
_ /(x+0)
Л
I sin kt
lim --------i-dt.
2 sin 4
Выше было доказано, что при % = «-]-1/2
Л
Г sin X/ ,у л
J у—Tdt=^
о 2siny
Стало быть,
lim Х[/(х + О^Л=4/(х + 0). (*)
о sin у
2)
§ 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАЗЛОЖИМОСТИ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ 527
Тем же способом получим
А, = «4-1/2
о
lim i f f(x-\-t)
X->oo J
— Л
для интервала — л t 0
sin U ,, 1 , .
----Г dt = -^f(x — 0).
sinT
при
Складывая оба результата, имеем окончательно
л
lim S„(x)= lim{ f {x^f) dt =
n->oo A,->oo sin-g-
= I [f (x - 0) + f (X 4- 0)] = / (x).
I si n x
Формула (*) дает возможность вычислить интеграл Дирихле ——— dx,
о
сходимость которого была доказана на стр, 292—293. Положив в (*) х = 0 и
t п
8Шу л sin 77
/ (/) =—-—, получим lim —7—dt = л/ (-1-0). Сделаем замену пере-
1 A->oo J t
0
Ал
менной М = и, dt = ^~; тогда имеем lim J du — nf (4~0)> но здесь
t оо
SIH у 1 л .
/ (4- 0) = f (0) = Um —j— = тг • Следовательно, sin “ du = .
/_>о г2 j и г
о
2. Неравенство Бесселя. Коэффициенты Фурье любой функции,
кусочна непрерывной в интервале — л х <С л, удовлетворяют сле-
дующему фундаментальному неравенству, называемому неравенством
Бесселя: при всех значениях п
п л
| S (4 + | J (/ (*)]2 dx.
А = 1 -л
Подчеркиваем, что здесь предположено только, что /(х) кусочно
непрерывна, и вовсе не требуется, чтобы /(х) была кусочно гладкой.
Доказательство неравенства Бесселя получается из очевидного
факта, что выражение
[/(%) — S*(x)№ =
п
f (х) — -у- — {ак cos kx 4- Ьк sin kx)
2
dx 0.
(А)
528
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
12
Для этого надо только раекрыть квадратные скобки под знаком
интеграла и воспользоваться соотношениями ортогональности и фор-
мулами для коэффициентов Фурье.
[Выполним эти вычисления:
л
J [/ W — Sn (х)]2 dx =
— Л
л л л
= f [f(x)]2dx — 2 J/(x)Sn(x)rfx4- j [Sn(x)]2 dx. (В)
-л • -я -я
Второй и третий интегралы в правой части можно выразить через коэффи-
циенты ап и Ьп. Имеем:
л л
J f (*) Sn (x)dx = %^ J f (x) dx +
-л -л
Л
an J f (x) cos nx dx
-n
f (x) sin nx dx
n
= -J-\a2n+b^,
Й=1
n
2
(ak cos kx-\-bk sin kx)
dx =
2 jj л 5
— J ^ + ^1 J (4 cos2 Ax 4-6* sin2
-Л 4 = 1 -Л
kx') dx.
Интегралы от попарных произведений, полученные при развертывании квад-
рата суммы, обращаются в нуль в силу соотношений ортогональности
(стр. 247), и мы их не выписали. Оставшиеся интегралы
Поэтому
Л Л
J cos2 kx dx = J sin2 kx dx = л.
— Л — Л
? 2 n
J [S„ (x)]2 dx = ~ 4- л (a\ 4-4).
-Я 4 = 1
Подставив полученные результаты в (В), имеем
J I/ (х) - Sn (х)]2 dx = J [/(.r)]2dx-^--% (а2 4-&2).
-я -л 4=1
3] § 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАЗЛОЖИМОСТИ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ 529
В силу (А) это выражение неотрицательно, а отсюда сразу вытекает не-
равенство Бесселя.]
3. Более подробное исследование характера сходимости ряда
Фурье. В окрестности тех точек, в которых функция f (х) имеет
разрыв, ее ряд Фурье сходится неравномерно; действительно, со-
гласно гл. VIII, § 4, п° 3, равномерно сходящийся ряд непрерывных
функций обладает непрерывной суммой. Однако существует следую-
щая теорема:
Если кусочно гладкая периодическая функция не имеет раз-
рывов, то ее ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно.
Если же кусочно гладкая функция имеет конечные разрывы, то
сходимость ее ряда Фурье равномерна во всяком замкнутом
интервале, не содержащем точек разрыва функции.
Для доказательства этой теоремы мы воспользуемся неравенством
Бесселя и, кроме того, еще одним простым алгебраическим неравен-
ством
|Р?Ку(Р2 + 92).
которое получается сразу из очевидного неравенства (| р | — | q | )2 0.
А отсюда вытекает, что
I ak I = 4 I k^k I < 4 Ц+(йа*)2]
и аналогично
i^k|[4+w]-
(а)
Приступая теперь к доказательству теоремы, предположим сна-
чала, что кусочно гладкая функция /(х) непрерывна. Ее производная
5’(х) = /'(х) является кусочно непрерывной функцией, а коэффи-
циенты Фурье для этой функции g’(x), ck (при косинусах) и dk (при
синусах), выражаются так:
Л л
со=4 fgdx=4 f/(—л)]=°
Jl> «II J dt
-я' —л
в силу непрерывности продолженной
имеющей период 2л. При k 1
периодической функции /(х),
Л
ск = 4 J f' (X) cos kx dx =
-л
= — f (x) cos kx
SI J '
sin kx dx = kbk.
34 P. Курант
530 ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ (3
Аналогично вычисляется и dk. Итак,
со = О, ck — kbk, dk =— kak при
Неравенство Бесселя, записанное для функции g(x), имеет сле-
дующий вид:
+ 4) = ^k2 (al + 4) < J (x)]2 dx‘
k=\ k = \ -л
00
Отсюда вытекает сходимость ряда 2 » а следовательно,
л=1
оо
и ряда У [1 k2 (4 + 4) + -£г\-
* = i
Вернемся теперь к ряду Фурье для функции /(х). На основании
неравенств (а) абсолютная величина, его общего члена
| ak cos kx + Ьк sin kx | + | ak | +1 bk | + + у k (а* + 4)>
т. е. не превышает общего члена сходящегося ряда с постоянными
положительными членами. Стало быть, ряд Фурье для функции f (х)
сходится абсолютно и равномерно.
Между прочим, такими же рассуждениями можно показать, что для вся-
кой периодической функции, имеющей непрерывную производную (h—1)-го
порядка и по крайней мере кусочно непрерывную производную h-ro порядка,
п
сумма 2 ^2Л(4+4) остается ниже некоторой фиксированной границы.
* = 1
Этот факт дает определенное суждение о порядке убывания коэффициентов
Фурье данной функции. Для такой функции сходятся абсолютно и равно-
мерно не только ее собственный ряд Фурье, но и ряды Фурье для ее произ-
водных до (h—1)-го порядка включительно.
Для того чтобы доказать вторую часть теоремы, относящуюся
к кусочно гладким функциям, имеющим разрывы, рассмотрим сначала
такого рода функцию ф(х) частного вида.
Пусть функция ф (х) в интервале —л<х<л обращается
в ф(х) = х, а вне этого интервала продолжена периодически на всю
ось х. Согласно стр. 514 ряд Фурье этой функции имеет следую-
щий вид:
„ / sinx sin2x . sin3x . \
2 | —I з Н • • •)•
Этот ряд не может быть равномерно сходящимся. В самом деле,
в противном случае этот ряд, как равномерно сходящийся ряд не-
прерывных функций, должен был бы представлять непрерывную функ-
цию, но это, очевидно, неверно, так как функция ф(х) при переходе
слева направо через границы'интервала делает скачок вниз, равный 2л.
Следовательно, мы не можем ожидать, чтобы ряд сходился равно-
3] § 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАЗЛОЖИМОСТИ ФУНКЦИИ в РЯД ФУРЬЕ 531
мерно вплоть до границ интервала, но тем важнее отметить
следующий факт: наш ряд равномерно сходится во всяком
интервале — I х </ I, для которого 0 < Z < л, т. е. имеет
место равномерная сходимость, если мы только исключим сколь
угодно малый интервал вокруг точек разрыва.
Доказательство будем вести с помощью следующего искусствен-
ного приема'). Заметим, что функция cos у , положительная в интер-
вале — Z</x</Z, всюду в нем не меньше положительного числа
cos у — &• Умножив абсолютное значение разности между /и-й и п-й
частичными суммами предыдущего ряда (т > п), т. е. выражение
। с („ч _ с zvV| _ 91 sin(n+l)x __ sin (пД- 2) х ._
3„(X), —n_|_1 n_^_2 +
_j_ sin mx
~~ m
на cos у, с помощью известной тригонометрической формулы
2sinwcosxi = sin(M4-T>)-j-sin(M — и) получим под знаком абсолют-
ной величины
Соединяя вместе члены,
чим под знаком абсолютной
имеющие одинаковые числители, полу-
величины выражение
{п + 1) (п + 2) (п + 2)(п + 3) + (т — I) т
так как cosy^-fe и | sin и 1-^1, то имеем следующую оценку:
। । z И |1| 1 । । 1
1 т п 1 k L п + 1 т (п + 1) (п + 2) (т — 1) т
’) На эту мысль наводит следующее соображение: функция 2у cos у,
периодически продолженная вне интервала —л/2 + у </л/2, остается непре-
рывной, и, следовательно, по доказанной первой части теоремы ее ряд
Фурье должен сходиться равномерно и представлять эту функцию. Но этот
ряд получится из ряда Фурье для 2у путем умножения на cos у. Полагая
у = л/2 и производя умножение, мы как раз и приходим к сказанному
в тексте.
34*
532
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
[3
Но выражение, стоящее в правой части, уже не зависит от х и при
выборе достаточно больших значений тип может стать меньше
любого наперед заданного числа, так
ОО
как ряд S А(Н-1) СХ0ДЯ'
s=i
щийся, а это и означает, что наш ряд Фурье равномерно сходится
в интервале —/<^х<^/.
Из доказанного еще ни в коем случае не вытекает, что этот ряд
действительно представляет нашу функцию, ибо для этого заключе-
ния мы в предыдущем номере пользовались равномерной сходимостью
во всем интервале —л-^х-^л. Чтобы преодолеть это небольшое
затруднение, заметим, что ряд, получающийся из данного путем по-
членного интегрирования от 0 до х:
cos х— 1
Р
cos 2х — 1
22
cos Зх — 1
32
1,1 \ о / COS X cos 2х , cos Зх
2Г + "32 | —р | gj
всюду равномерно сходится и, на основании предыдущего пункта,
упр. 76, стр. 522 и стр. 515, представляет функцию х2/2. Теперь
воспользуемся теоремой предыдущей главы, заключающейся в том, что
равномерно сходящийся ряд можно почленно дифференцировать во
всяком интервале, в котором ряд, полученный дифференцированием,
равномерно сходится. На основании этой теоремы наш ряд действи-
тельно представляет во всяком интервале — / х Z, где I < л,
производную l-yl , т. е. функцию у = х, и мы получаем, таким
образом, разложение
, , . „/sinx sin2x , sin3x А
Ч’(х) = 2(-1-------2---1---5-----• • J.
имеющее место всюду в интервале, за исключением точек х = л
и х — — л. В этих же точках функция равна нулю, так как каждый
член ряда равен нулю. Таким образом, периодическая функция, выра-
жаемая этим рядом, графически изображается линией, представленной
на рис. 126 (стр. 514), причем в точках разрыва приходится рас-
сматривать как значение функции не предельное значение справа или
предельное значение слева, а среднее арифметическое этих значений.
Мы получили, таким образом, разложение в ряд Фурье для прерыв-
ной функции частного вида. Теперь мы можем (см. § 4) путем парал-
лельного перенесения графика функции или системы координат поме-
стить точку разрыва в любую точку интервала. В самом деле, функция
. . „ I sin(x — £)
ф (х — £) = 2 (----
sin 2 (х — s) , sin 3 (х — '£)
3
2
§ 6. ПРИБЛИЖЕНИЕ В СРЕДНЕМ
533'
продолженная на всю ось х, непрерывна всюду, за исключением то-
чек (2k— l)n + i, где k— целое число. При переходе слева направо
через эти точки функция претерпевает скачок от значения л к зна-
чению — я, а в самих этих точках принимает значение нуль.
Пусть теперь f (х)—произвольная кусочно гладкая функция, имею-
щая в интервале —только точки разрыва |2, • • •>
и пусть скачки, которые претерпевает эта функция при переходе
через эти точки слева направо, соответственно равны др д2, .. ., дт;
тогда функция
£2)+ +-^-Ф(х-и
будет непрерывной и кусочно гладкой функцией и, следовательно,
разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье. Ряд Фурье для
функции f(x) мы можем теперь непосредственно получить, приба-
вляя к полученному ряду почленно ряды Фурье для функций
— ф-ф(%4-л — £j)......—ф-ф(х-|-л — £т). Таким образом, тео-
^«1 V V
рема полностью доказана.
Этот результат в большинстве случаев вполне достаточен для
математических исследований и для приложений. Однако я хотел бы
в заключение отметить, что изучение рядов Фурье продвинуто гораздо
дальше. Условия разложимости, которые нами здесь установлены,
являются достаточными, но отнюдь не необходимыми условиями.
Можно представить с помощью рядов Фурье классы функций, имею-
щих разрывы значительно более сложного характера. Этим вопросам
и вообще вопросу о разложимости функции в ряд Фурье посвящена
большая специальная литература. В качестве замечательного резуль-
тата такого рода исследований укажу лишь на тот факт, что суще-
ствуют непрерывные функции, ряд Фурье которых не сходится ни
в каком интервале, как бы мал этот интервал ни был. Этот резуль-
тат, конечно, нисколько не опровергает полезности рядов Фурье;
наоборот, его следует рассматривать как свидетельство того, что
абстрактное понятие непрерывной функции таит в себе такие возмож-
ности, которые непосредственно совсем нельзя предвидеть, на что,
впрочем, указывает также пример непрерывной, но нигде не диффе-
ренцируемой функции.
§ 6. Приближение в среднем с помощью
тригонометрических многочленов
При рассмотрении рядов Фурье, как и вообще бесконечных рядов
и других бесконечных процессов, надо всегда иметь в виду, что смысл
каждого такого разложения заключается в аппроксимировании (при-
ближенном выражении) разлагаемой функции с помощью конечного
выражения. Разложение в бесконечный ряд означает, что конечная.
534 гл. JX- РЯДЫ фурье
сумма, получающаяся при обрывании ряда на п-м члене, представляет
приближение к разлагаемой функции, и притом приближение, кото-
рое можно довести до какой угодно степени точности путем выбора
достаточно большого значения п.
Поставим себе следующую задачу. Среди всех тригонометриче-
ских многочленов я-го порядка
п
Sn(x) = y (aft cos kx + 0* sin kx)
k=i
требуется найти, путем соответствующего выбора коэффициентов ак
и 0А, тот многочлен, для которого выражение
л
57 j [f(x) — Sn(x)]'2dx =
2
ga
2
(ак cos kx ₽* sinfex) dx,
-Л
ы
так называемая средняя квадратичная ошибка, имеет наименьшее
значение. Говорят, что определенный таким образом многочлен дает
наилучшее приближение в среднем к функции f (х).
Это требование и это название можно обосновать следующими
соображениями. Чем меньше значение интеграла, тем меньше в сред-
нем должна быть и подынтегральная функция, т. е. расхождение
между Sn(x) и /(х), хотя малое значение интеграла, конечно, прин-
ципиально не исключает возможности того, чтобы в тесной окрест-
ности отдельных точек существовали значительные расхождения между
этими функциями.
Поставленную задачу о наилучшем приближении в среднем можно
решить непосредственно: раскрываем квадрат под знаком интеграла
и интегрируем почленно получающуюся при этом конечную сумму.
Мы имеем под знаком интеграла следующее выражение:
п
If (х)]2 — aof (х) — 2 S cos kx + м (*)sin й%) +
А = 1
п ' 2
-у- + (аА cos kx -j- 0* sin kx) .
*=i
-Заметим, что выражения
[ f (х) cos kx dx == ak,
-я
+л
J f (x) sin kx dx = bk
— Л
§ 6. ПРИБЛИЖЕНИЕ В СРЕДНЕМ
535
как раз являются коэффициентами Фурье для функции f (х), и, вы-
полняя почленно интегрирование, учитывая соотношения ортогональ-
ности (стр. 247), придем к равенству
тЛ
j [/ (х) — Sn (X)]2 dx =
-Л
а2 п П 1
= J [/W]2^ + ^-!-J+2(a2fc + ₽2A)-a0a0-22(aftaft+₽ft^)>
— Л * = 1 * = 1 J
+Л л
= j + -|(а0 — flo)2 + ^[(«* — fl*)2-H₽* — £*)2] -
-л *“1
Из этого равенства сразу ясно, что интеграл,
части, будет иметь наименьшее значение, если
стоящий в левой
ак— ак< ₽* — ^ft-
Таким образом, получаем следующий результат. Наилучшее при-
ближение в среднем к функции /(х) с помощью тригонометриче-
ского многочлена и-го порядка дает частичная сумма ряда Фурье
S„ (х) = -^- (ak cos kx 4- bk sin kx).
Само наименьшее значение средней квадратичной ошибки равно
2^ J [/(х) — S„ (х)]2 rfx =
-Л
(*)<
Этот результат обнаруживает, что если хотят повысить точность
приближения в среднем путем повышения порядка п, то нет надоб-
ности изменять найденные уже коэффициенты, а нужно только опре-
делить появляющиеся новые коэффициенты многочлена.
Из последнего равенства, левая часть которого всегда больше
или равна нулю, мы уже вывели выше неравенство Бесселя:
2 п 1
4 + + / \fW?dx.
к«1 -л
536
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
Это неравенство показывает, что состоящая из неотрицательных сла-
гаемых сумма в его левой части не превосходит не зависящей от п
+л
грани J [/(x)]2dx, Поэтому сумма в левой части с возраста-
-Я
нием п стремится к определенному пределу, который к тому же не
оо
•больше указанного интеграла; иными словами, ряд -у"+2
сходится, и его сумма удовлетворяет неравенству
л
J l/(x)]2dx.
-Л
Это неравенство тоже носит название неравенства Бесселя. Но можно
утверждать и больше. Допустим для упрощения, что функция / (х)
разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье; тогда подынте-
гральная функция в левой части равенства (*) при достаточно боль-
шом значении п может быть сделана, равномерно относительно х,
сколь угодно малой; следовательно, и значение интеграла можно сде-
лать сколь угодно малым, и мы получаем поэтому вместо неравен-
ства Бесселя равенство
2 оо
-t+S«+^)=s J
и-1 -л
Это равенство, которое называют соотношением полноты [или замк-
нутости] системы тригонометрических функций, выполняется, впрочем,
и для значительно более общих классов функций /(х), например для
любых кусочно непрерывных функций. (Доказывать это здесь не
будем.)
Этому соотношению полноты можно легко придать еще несколько
более общий вид. Если функции /(х) и ф(х) имеют соответственно
коэффициенты Фурье ak, bk и ак, то соотношение, полноты для
функции /(х)4-ф(х) имеет следующий вид:
ОО
' (а° =
ы
л
= / .{[/(-О12 + 2/(х)ф(х) + [ф(х)]21 dx,
-Л
§ 6. ПРИБЛИЖЕНИЕ В СРЕДНЕМ
537
а для функций f (х) и <р(х):
Вычитая два последних соотношения из первого, получаем следующее
равенство:
оо
+ J /(x)<p(x)dx,
й — 1 —л
которое является обобщенным соотношением полноты для пары
функций.
Упражнения
1*. Исходя из разложения котангенса на элементарные дроби (стр. 518),
вывести степенной ряд (по степеням х) для функции nxctgnx. Сравнивая
полученный ряд с рядом, данным на стр. 480, показать, что
V 1______(2л)2ш
kim ' 2-(2т)! 2т'
2. Показать, что
У 1 (-1)”,~1(22”,-1)л2,л
(2£—l)2m 2 (2т)! ’ 2Я1‘
3. Показать, что
у (—1/ = (—1)”'(22т —2)л2и
k2m ~ 2-(2т)!
4. Доказать,
что:
In х
, л2
dx =-----х-
о
In х , я2
12
538
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
5. Пользуясь разложениями синуса и косинуса в бесконечные произве-
дения, показать, что:
ч , / sin х \ V (—,b
а) ln (—) = - 1 -~-(2ky.k. ' x2k’
Л=1
I v (—(22й —1)B2* ,b
6) In cos x = - ----~X'
*=i
6. Пользуясь бесконечными произведениями .для синуса и косинуса, вы-
числить:
2. 1 А £ 10 10 14 *
а) 1 ’ 3 ' 5 ' 7 ’ 9 ’ 11 ' 13
. 2 4 8 10 14 16
2 ’ 3 ’ 3 ’ 9 ' 9 ’ 15 ' 15 ’''
7. Разложить гиперболический котангенс на элементарные дроби.
ДОПОЛНЕНИЯ к ГЛАВЕ IX
§ I. Многочлены Бернулли и их приложения
1. Определение и разложение в ряды Фурье. При выводе фор-
мулы Тэйлора в гл. VI, § 2, п° 2, существенную роль играли сле-
дующие многочлены от х с параметром
Ря(х)=-^^, »>1.
Всякий многочлен Рп+1 является первообразной функцией от Рп, т. е.
Рп+\(.х) — Рп{х) и, кроме того, Pn(Q = Q', этими соотношениями
последовательность многочленов Рп(х) однозначно определяется. Ана-
логичные исходные соотношения приводят к построению другой по-
следовательности многочленов — многочленов Бернулли', мы сейчас
дадим их определение, а затем разложение их в ряды Фурье. Вместо
интервала от х до £ мы в данном случае возьмем промежуток от 0
до 1 и определим многочлены Бернулли на отрезке 0 х 1 сле-
дующими рекуррентными соотношениями:
1
фо(х) = 1, ф'.(х) = фя_, (х), |фп(х)йх = 0 при и > 0.
о
^Функции, определенные этим путем, являются, очевидно, многочле-
нами степени п. От упомянутой выше последовательности многочле-
нов Рп они отличаются тем, что от них требуется обращение в нуль
ле на верхней границе основного интервала, а в некоторой проме-
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
539-
жуточной его точке. Легко вычислить несколько первых многочле-
нов Бернулли:
<Ро(х)= 1,
. ч 1
< Р! (х) = X — -g- .
< Р2(*) = у X2 —+
< Рз (*) = ъ *3 — у *2 + -jy
Ф4 (*) = 24 -к4 12 х3 + 24 х2 ’720 ’
При п > 1
1
ЧД1)—ф,/0) = / <р'(0^ = о.
о
Стало быть, многочлены <рп (х) при п > 1 можно продолжить на вск>
ось х как непрерывные периодические функции ф„(х) периода 1,
между тем как периодическая функция ipj (х), являющаяся продолже-
нием многочлена <pj (х), имеет конечные разрывы в точках х = k,
й = 0, ±1, ± 2, .. . Она может быть получена из функции ф(х),
рассмотренной в гл. IX, § 4, п° 2, и изображенной на рис. 126
(стр. 514), сокращением размеров вдоль обеих осей в 2л раз и по-
следующим сдвигом (вправо или влево) на 1/2. Нетрудно найти ее
разложение в ряд Фурье:
, . , 1 I sin 2лх , sin 4лх , sin блх . \
= 1--h—2—+—з-------------h •••)•
Согласно соотношениям, определяющим многочлены Бернулли, после-
довательное интегрирование ряда для (х) дает следующие ряды
Фурье для функций ф„(х):
П “
, , , , 2 V1 cos 2nkx
Фв(*)= (—I)2 "(2^ 2j—----------- при четном и,
*=i
. , ч , —о— 2 V Sin2nfex
Ф« (*)=(—!) 2 -(2^ Zj—---------- ПРИ нечетном в.
*=i
^Постоянные интегрирования определяются из третьего определяющего со-
1
отношения многочленов Бернулли: J <pn (х) dx = 0 при п > O.j
о
В первоначальном промежутке от 0 до 1 эти периодические,
функции фя (х) совпадают с многочленами Бернулли (х).
540
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
Функция фя (х) является четной функцией при четном п и нечет-
ной функцией при нечетном я, или, что то же самое,
ф„ (— х) = (—1)п фя(х).
Постоянные члены последовательных многочленов Бернулли об-
разуют замечательную последовательность рациональных чисел:
Л« = Фл(°)-
[при п > 1 Ьп = фп (0) = фя (0), так как фя (х) — непрерывная функция,
__1+1 ’
между тем как bt = ср! (0) = —1/2, a (0) = —2 - о.
Следовательно, b0 = 1, Ьх = — 1/2, а из разложений в ряд Фурье
сразу получается:
Ьп — 0 при нечетном я = 3, 5, ....
&« = (—*)Т+ пРи четном п=:2- 4> •••
Й = 1
Из этих формул видно, что при п = 2т знаки чисел Ь2т чере-
дуются, начиная со знака плюс у Ь2.
В литературе встречаются и другие определения многочленов
Бернулли, отличающиеся несущественно от приведенного здесь.
Многочлены Вп(х), введенные в упражнениях 3 и 4 на стр. 522,
связаны с многочленами <р„ (х), введенными в этом параграфе, соот-
ношением
Вп (x) = nl<p„(x).
Введенные на стр. 478 числа Бернулли Вп = Вя(0) = п\Ьа, где
^л=<Рл(°)-
Из формулы для Ьп при четном п = 2т получается
эта формула дает явное выражение дзета-функции Римана £($) (см.
стр. 487) при целых значениях s = 2m через числа Ь2т, которые
считаются известными. В частности [при т — 1 и т = 2 имеем
Z>2 = <p.2(0)= 1/12 и Z>4 — <р4 (0) = — 1/720], отсюда, получаются сле-“
дующие замечательные формулы:
1 4- —-4- —4- —= —
1 -Г 22 -Г 32 “Г 42 ' 6 ’
141-4- 1 1 —
1 24 4~ зг4- 4Г.4- • • ’ — 90 •
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
541
Заметим кстати: при и->со числа Ьп стремятся к нулю, а числа
| В2т | — к бесконечности. Действительно, начнем с того, что
ОО со
fr=l Л=1
Поэтому 2 (2л) 2т < | Ь2т |-< 4 (2л) 2т. Так как 2л > 1, то
(2л)~2т—>0 при т—>оо, а отсюда вытекает, что bim —>0; с другой
стороны, ^2т+1==^ ПРИ любом /п>0. Следовательно, числа Ьп—>0.
Далее, имеем
| В2т | = (2/и)! | Ь2т | > 2 (2/п)! (2л)-2т,
а правая сторона этого неравенства стремится, как мы уже знаем,
к бесконечности. Стало быть, |В2т|—>оо.
2. Производящая функция многочленов Бернулли. Произво-
дящей функцией многочленов Бернулли называется функция
ОО
z) = 2ф„(/)2л;
л=0
это. степенной ряд, расположенный по степеням г, коэффициентами
которого являются многочлены Бернулли. На основании их разложе-
ний в ряды Фурье, для многочленов Бернулли получается следующая
оценка:
I I. /м I 2 V 1 / 2 V 1 _______ Л2 / 4
I ’Рл КН I Ч (2л)” 21 kn (2п)л 2d № 3 (2л)л (2л)л ’
*-1 *=1
Поэтому абсолютная величина
/ I z 1 \п
меньше чем 4 -L—!- . Из
\ 2л /
СО
4 ВИДНО- что этот
л-1
ней мере при | z | < 2л, т.
чем 2л при всех значениях t.
n-го члена степенного ряда для F(t, z)
сравнения с геометрическим рядом
степенной ряд по z сходится по край-
е. его радиус сходимости не меньше
Согласно общей теории степенных рядов (см. стр. 460 и след.),
ряд для F(t, z) сходится равномерно при всех | z | г < 2л и при
всех значениях t', стало быть, его можно в этой области интегриро-
вать почленно. Его можно также и дифференцировать почленно при
условии, что ряд, полученный дифференцированием, тоже равномерно
сходится.
542
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
Эти свойства дают возможность вывести явное замкнутое выра-
жение для производящей функции F(t, z). Почленное дифференци-
рование по t дает
00 оо
±F(t, z)^^'n(t)z- = ^n_,(t)z^
/2 = 1 /2 = 1
ОО со
= z Ф«-1 (ОгП~г = z Ф,л (0 zm = zP (f, •?)•
/2=1 /п=0
Итак, ряд, полученный дифференцированием, имеет тот же вид, что
и исходный ряд, и, стало быть, без сомнения, равномерно сходится,
так что почленное дифференцирование оправдано. Отсюда вытекает,
что F(t, z) удовлетворяет дифференциальному уравнению
при всяком фиксированном значении z, для которого | z | г < 2л.
Как известно (см. стр. 207), все решения этого уравнения выра-
жаются формулой F=cezt, где с—постоянная, но здесь ее значе-
ние еще может быть функцией от z’. c = c(z). Для определения с
проинтегрируем ряд для F(t, z) по t от 0 до 1:
1 1
J F(t, z)dt — c^ ezt dt = с —~г =
о о
1 ОО со 1
= J ^zn$n(t)dt=\ + ^zn ^n(t)dt = l.
О /2=0 /2 = 1 О
Вспомним, что
J фл (/) dt = 0 при п > 0. Следовательно,
F(t, z)
zezt
ez— 1
Если в этой формуле положить t = 0, то получим знакомую нам
(стр. 478) производящую функцию чисел Бернулли и ее разложение
в степенной ряд (в нынешних и в прежних обозначениях):
оо оо
F <»• *) = =1 + S = S тт *"
а=1 л=0
Из сказанного выше ясно, что это разложение справедливо при
| z | < 2л. В Дополнениях к гл. VIII, § 1, п° 3, из этого ряда выве-
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
543
дено разложение в степенной ряд для у ctht Ч~~|~ которое,
очевидно, тоже справедливо при | z | < 2л.
[С другой стороны, если рассматривать эти функции и их разложения
в степенные ряды в комплексной области, то увидим, что знаменатель ег — 1
обращается в нуль при z = 2ni, ибо е2я/ = cos 2л -|- i sin 2л == 1, а стало быть,
полученные ряды не могут сходиться при z = 2xi. Следовательно, степенные
•S' Z Z
ряды для 22 । и-для -g- cth-g- имеют радиус сходимости г— 2л, а в дей-
ствительной области — интервал сходимости от — 2л до 2л.]
3. Формула суммирования Эйлера. В гл. VI, § 2, п° 3, мы
вывели формулу Тэйлора с помощью обобщенного правила интегри-
рования произведения. Совершенно аналогичным путем мы выведем
одну важную формулу Эйлера, применяя этот метод к многочленам
Бернулли, точнее, к их периодическим продолжениям ф„ (х), вместо
(х_______________i\n
многочленов -----. При этом мы заменим промежуток от х до £
промежутком от 0 до 1. (Это не означает уменьшения общности,
так как первый промежуток переходит во второй, если преобразовать
переменную t в 5 по формуле
Здесь удобно исходить из формулы
1 1 1
J /(x)dx = р(х)ф0(х)йх = /(х)ф1 (x)|J—J f(х)Ф1(х)dx,
0 0 о
в которой мы воспользовались правилом интегрирования произведе-
ния, имея в виду, что ’lr(x) является первообразной функцией для
ф0(х). Так как ф1(1)==1/2, а Ф1 (0) = — 1/2, то
1 1
J f (х) dx = i- [f (1) + f (0)] - J f (X) Ф! (X) dx,
о 0
откуда
i i
^(/о + /1)= J/(x)dx + J f' (Х)Ф1 (x)rfx,
о 0
где /о = /(О) и /! = /(!). Эта формула дает явное выражение для
1
отклонения полусуммы, стоящей в левой части, от J f(x)dx.
о
Так как такую же формулу можно написать для каждого интер-
вала между двумя последовательными целыми числами, то, в силу
544
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
периодичности функции ф] (х), получим более общую формулу:
п п
fo + /1 + /2 Н- • • • + /п-i fn =5= J f (.х) dx J f (х)ф1(х)йх.
о о
Точно так же для промежутка от р до q, где р и q—целые числа,
имеем
/₽ + /р+1+ /р+г+ ••• +/9-i —
<i ч
= J/(x)rfx — — /,) + |/'(х)Ф1(х)йх. (А)
р ' р
Эта формула дает точное выражение для разности между суммой,
стоящей слева (общей площадью
ступенчатой фигуры, рис. 129), и
первым интегралом в правой части
(площадью криволинейной тра-
пеции, ограниченной кривой у —
=/(х)). Это и есть первая и самая
простая запись формулы сумми-
рования Эйлера.
Сама собой напрашивается
мысль о преобразовании в последней
Ч
формуле интеграла J //(х)ф1 (Jc)dx
р
с помощью обобщенного пра-
вила интегрирования произведения
(стр. 255). Так как ф„ (х) является
первообразной функцией для
фп_1 (х), то, заканчивая готовую часть членом, содержащим ф2А, по-
лучим
J f (х) Ф1 (х) dx = [f (х) ф2 (х) — f" (х) ф3 (х) Н-...
р
... 4- /(2А-1) W ф2й (X)]’ - J (х) ф2й (X) dx.
р
При п > 1 фл (q) = фл (р) = ф„ (0) — Ьп, а при нечетном п числа
Ьп = 0; поэтому
ч k
J f (X) ф! (X) dx = 2 b2n [fn~^ (q) - fn~" (р)] + Rk,
р л—1
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
545
где добавочный (или остаточный) член Rk выражается интегралом
ч
Rk = -^ fk4x)^2k{x)dx.
р
Если в готовой части написать еще один член, то она не изменится,
так как этот член будет
- fk} (х) Ч>2*+1 (х) |’ =Ь2к+1 [/(2*> (р) - fm (9)] = О,
и только остаточный член получит новое выражение:
q
R„ = J/M+I)(x)fe+1(x)rfx.
р
Формула суммирования Эйлера примет теперь следующий вид:
q
fP + fPi:l + ••• + f9-i = J/(x)rfx-l[/(9)-/(p)] +
p
k
+ 2 t>2n [/2n-1)(?) - /2л-1)(p)] 4-Rk,
n = l
где Rk может быть записан в одном из двух видов, данных выше.
4. Приложения. Формула Эйлера находит применения двух раз-
личных видов. Во-первых, бывает, что Rk—>0 при k—>оо; в этом
случае бесконечный ряд
ОО
5М/<2л-1)(?)—/(2я-1)(р)]
71 = 1
сходится, и формула суммирования дает важное вспомогательное
средство для представления суммы соответствующего бесконечного
ряда в замкнутом виде либо также средство для разложения некото-
рых функций в ряд. Во втором, к тому же более частом, случае Rk
не стремится к нулю, так что упомянутый выше бесконечный ряд
в большинстве случаев не сходится. Однако встречается такая ситуа-
ция, когда значения | Rk | сперва убывают и при надлежащим обра-
зом выбранных значениях k становятся очень малы и лишь позднее
(т. е. при больших k) начинают быстро возрастать. В этом случае
формула суммирования полезна для приближенных вычислений; не
давая возможности достигнуть какой угодно степени точности, как
при пользовании сходящимся рядом, она позволяет все же вычислить
значение левой части с погрешностью, не превышающей | Rk |,
а этого часто вполне достаточно. Ниже даны примеры обоих случаев.
35 Р. Курант
546
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
а) Сходящиеся разложения. Рассмотрим сначала функцию
f(x) — exx для любого фиксированного z. Положим р = 0, q=\,
и пусть k — любое целое число; тогда формула суммирования
1 k
f0^= J / (х) dx - j [/ (1)-/ (0)] + 2 b2n + Rk
0 л-I
принимает следующий вид:
*
1 — ±(^_1)+2&2п2г2»-1(^_ !)+/?* =
z
ez— 1
k
1—4+У
«=1
где
Так
1
Rk = — J ^^Фг* (х)dx-
О
как I Ф2* W I < (см- стР- 541)> то
| Rk | < | z |2* e|z|—= 4e|z|f-
1 k 1 1 1 (2л)2й к
так что >0 при | z | < 2л. Стало быть, при этих значениях z
можно позволить индексу k в формуле суммирования стремиться
к бесконечности, и в результате получится разложение функции
gZ j- в ряд Тэйлора:
СО
7^7 = 1-Т^ + 2^2"-
Это разложение мы уже получили двумя другими путями на стр. 478
и 542. Отметим, что мы еще раз убеждаемся, что интервал сходи-
мости равен 2л.
б) Суммы одинаковых степеней натуральных чисел. Рекур-
рентные формулы для чисел Бернулли. Еще более простой пример
сходящейся формулы суммирования Эйлера представляет тот случай,
когда ряд в ее правой части обрывается после конечного числа
членов. Это, в частности, произойдет, если /(х) есть многочлен,
скажем, степени г {г 1), так что /<г+1)(х) и все дальнейшие произ-
водные тождественно равны нулю.
Итак, полагаем / (х) = хг, где целое г 1, и выбираем р = 0,
q = т и k —g—. Под знаком суммы в правой части формулы
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
547
Эйлера участвуют члены с производными только нечетных порядков
и с коэффициентами Ь2п; не изменяя этим результата, добавим члены
того же вида с производными четных порядков и коэффициентами
63, Ь5, .... #2л+1> •••• которые, как известно, равны нулю. В силу
того, что —у [/(?) — /(Р)] = —у [/(«) —/(0)1 =—у/(т) =
— [/(0) (т) — /(0) (0)], формула Эйлера примет в нашем случае сле-
дующий вид:
0г+ 1Г + 2Г+ ... 4-(т — 1)г =
т 1k
= / ХГ dX + J Ь1 I/"’’ W - (°)] +
0 i = l
Так как то 2А г —I— 1 и /(2*)(х) = 0, а стало быть,
Rk — 0. Равны нулю и все члены суммы в правой части формулы
Эйлера с производными порядка г +1 и выше. Но равен нулю и
член Ьг+1 в силу того, что /(г) (х) = const. Кроме
того, /(г-1)(0) = 0 при г = 1, 2, 3, .... г. Поэтому формула Эйлера
получает здесь такой вид:
(Г+Г+2'4- ... +(«-1)г=щ+^Л1)(т).
/=1
Дальнейшие вычисления упростятся, если вместо чисел Ьп ввести
числа Бернулли Вп, определенные на стр. 478 и связанные с ними
соотношением Вп = п\Ьп (см. стр. 540). Теперь формула Эйлера дает
1'Ч-2Г4-3'Ч- ... +(щ —1)Г =
г+1 Т
==7+т + 2тГг(г-1)---(г-/+2)тГ’г+1 =
4 — 1
- ^r+1 -L- У —1 (r+l)r(r-l)...(r-Z+2)
“ r-4-1 '44 Г-+-1 г!
i^-1
i-0
Окончательное выражение правой части можно записать символи-
чески так:
_^[(/й + В/+1-Вг+1],
35*
548
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
где словом «символически» хотят отметить, что выражение (m-\-B)r+l
надо понимать не буквально, а со следующей оговоркой: раскрыть
его по формуле бинома, а затем заменить каждую «степень» Bk
соответствующим числом Бернулли
Полученную формулу можно рассматривать и как рекуррентную
формулу для вычисления чисел Бернулли Вг, когда все предшествую-
щие бернуллиевы числа уже известны. Она дает, следовательно,
метод вычисления Вг без явного использования многочленов Бернулли.
При т = 1 рекуррентная формула принимает свой самый простой вид:
^[(1+в/+1-2Г+1]=о
или
(1 +B)r+1 — Br+1 = 0 при г>1.
На стр. 478 эта формула была получена другим путем.
в) Постоянная Эйлера и формула Стирлинга. Применение
второго вида получим, пользуясь формулой суммирования Эйлера
в ее простейшей форме (А) (стр. 544) и полагая в ней /(х)=1/х,
р = 1, q = n. Тогда
я п
тр! (х) dx _
X2
1 1
п
или, в другой записи,
1 । J__[пп —1 . J______Г (*).
2 ^ 3 ‘ ‘ +/г " — 2 2п J х2 Х'
Так как | ф1 (х) 1 /2 при всех значениях х, то в интегральном
члене подынтегральная функция по абсолютной величине всегда меньше
чем 1/х2, а интеграл J сходится. Следовательно, интеграл в пра-
1
вой части тоже сходится при п —> оо, и
lim
П->со
1_
2 J х2
где С — знакомая нам уже постоянная Эйлера (см. стр. 444), при-
ближенное значение которой есть 0,5772 . ..
Мы, стало быть, получили два результата: во-первых, при п—>оо
порядок роста гармонического ряда тот же, что и логарифма (этим
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
549
фактом нам уже приходилось пользоваться), а во-вторых, мы имеем
теперь явную оценку разности
ST-ln»-c=«.=i+Jn#i^-
k = l п
Отметим, что при ге—>оо порядок малости Rn относительно 1/га
не ниже единицы. Теперь мы уже в состоянии вычислить постоянную
Эйлера С с погрешностью, не превышающей 0,00005; для этого
достаточно положить п = 3. Наши оценки для многочленов Бернулли
показывают, что | /?3 | лежит ниже указанной грани.
Более важное приложение получается, если положить в той же
простейшей форме (А) формулы Эйлера /(%) —1пх, р = 1 и q — ti.
Имеем
л п
In 1 + In 2+ ... —j— In (га— 1)= f In x dx-In ra —f dx —
J ~ tj X
1 1
n
==n\nn — га 4~ 1 — yInra J —dx.
i
Прибавив к Обеим частям этого равенства In п, получим
In п ! = In 1 -Ц-In 2 4- ... -ф- In п — (п 4-у) In п, — n-^-Rn,
где «остаточный член»
п
1
Методом интегрирования по частям его можно привести к следую-
щему виду:
Л п
Rn=i+pkw+j $^-dx=iг ^Ldx.
L V L. £ J JC
1 1
Если заставить n стремиться к бесконечности, то в правой части
получится сходящийся несобственный интеграл, так как абсолютная
величина его подынтегральной функции меньше чем 1/х2. Стало быть,
Ra стремится к определенному пределу а, в силу чего получаем
следующий результат:
lim Г1п п ! — (п In п 4~«1 = а.
л->со L \ / J
Потенцируя, получаем
п 1
lim „ —- — еа — В, (*)
„Л]/ ил —Л Г X /
;i->co Т1 Г П, в
550
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
где р есть определенная положительная постоянная. Для определения
постоянной р воспользуемся формулой Валлиса (стр. 265) в следую-
щем ее виде:
.. ' (rn!)222m
lim — г— —
П->со (2т)! У т
Подставим в дробь, стоящую в формуле (*) под знаком предела,
сначала п == т, затем п — 2т и разделим квадрат первого выраже-
ния на второе; получим
/ т! V / (2т)2т/2т <?~2т\ _ (т!)222т у
тт ]Лт е~т / \ (2т)! / (2т)\У т
Предел левой части равен р2: р = р, а предел правой части равен
(по формуле Валлиса) ]Л2л. Следовательно, р = )Л2л. Таким обра-
зом, мы вновь получили уже знакомую нам формулу Стирлинга-.
п ! — спппе~п У2лп,
где сп —> 1 при п > оо и даже лежит очень близко к 1 при всех
значениях п, что читатель может сам легко проверить с помощью
надлежащей оценки Rn.
г) Асимптотическое вычисление суммы ряда. Формула Стир-
линга для приближенного вычисления факториалов больших чисел
имеет большое значение в теории вероятностей, но это лишь одно
из ее многочисленных приложений. Заметим, что здесь налицо именно
та ситуация, которая была выше описана как характеристическая
для этого вида приложений формулы Эйлера: какое бы значение k
ни выбирать в формуле Эйлера, невозможно вычислить п! при данном
значении п ни точно, ни даже с какой угодно точностью, так как
степень точности ограничена множителем сп\ тем не менее возможно
получить вполне достаточные приближения для «!, даже'пользуясь,
как мы это и делали выше, простейшим видом формулы Эйлера.
Формула Стирлинга в ее логарифмической записи представляет
простой пример асимптотического разложения. Говорят, что ряд
СО
2 fn (х) (вообще расходящийся) является асимптотическим разложе-
л=1
нием функции F(x) или что ряд является полусходящимся с сум-
мой F (х), если для всякого фиксированного k
k
lim fn{x) — F{x)
Формула суммирования Эйлера без остаточного члена представляет
во многих случаях асимптотическое разложение конечной суммы,
стоящей в ее левой части (роль х там играет q). Полусходящиеся
ряды часто дают полезные численные приближения (при больших
значениях х).
ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
551
В заключение скажем несколько слов еще об одном приложении,
имеющем значение в теории функций и в теории чисел, о ^-функции
Римана (см. стр. 487), которая определена при s > 1 как сумма ряда
ОО
C(s)=l + •••
Вычисление этой ^-функции теоретически можно проводить с помощью
одного лишь этого ряда, но при значениях $, близких к 1, ряд
сходится слишком медленно для эффективного вычисления; например,
для вычисления £(2) с точностью до 0,0001 потребуется 100 членов.
Можно, однако, воспользоваться формулой Эйлера для выражения
n-й частичной суммы, а затем устремить п к бесконечности в обеих
частях формулы, фиксируя при этом значение k. Простая оценка
интеграла для остаточного члена Rk (уже при относительно малых
значениях k) показывает, что его абсолютная величина достаточно
мала, чтобы обеспечить табулирование функции £($) с большой точ-
ностью.
Задача. Вычислить этим методом значение С(3/2) с тремя деся-
тичными знаками и произвести оценку остаточного члена.
§ 2. Интегрирование ряда Фурье
Одним из замечательных свойств рядов Фурье является то, что
их можно интегрировать почленно. Вообще, как мы уже знаем,
правомерность почленного интегрирования функционального ряда
обеспечивается его равномерной сходимостью; в противном случае
почленное интегрирование может привести к ложным результатам.
Однако для рядов Фурье существует своя специальная теорема:
Если функция f (х) кусочно непрерывна на отрезке —л^х^л
и если этой функции соответствует ряд Фурье
СО
-у-+ («* cos kx + bk sin kx),
»=i
то этот pnu можно интегрировать почленно no любому про-
межутку от g до х, лежащему на отрезке —л</х </л, так что
| f (х) dx = | dx +
5 I *=i
J ak cosAxdx-f-J ^sinAxrfx
1 5 ' .
Более того, при всяком фиксированном значении g ряд, стоящий
справа, сходится равномерно относительно х.
Замечательно, что в условии этой теоремы не только не тре-
буется равномерная сходимость ряда Фурье для f (х), но даже не
предполагается, что он вообще сходится.
552
ГЛ. IX. РЯДЫ ФУРЬЕ
Для доказательства этой теоремы построим вспомогательную
функцию
X
-я
Это кусочно гладкая функция, а из интегральной формулы для а0
вытекает, что F(n) — F(—л) —0; функцию F(x) можно поэтому
продолжить периодически и непрерывно на всю ось х. Следова-
тельно, ряд Фурье
СО
у А)+ У] (ЛА cos kx -|- Bk sin kx),
k =1
принадлежащий функции F (x), сходится равномерно и его сумма
равна F (х). Исследуем теперь коэффициенты Ак и Вк. Для этого
преобразуем формулы для этих коэффициентов по правилу интегри-
рования произведения:
л л
л 1 j /±\ lj jл. 1 С a /j\ sin kt ji bъ
Аь—— F (/) cos kt dt =---------f(f)—т—dt =---------— »
д Jt J Л J z 4 ' Я k
-Л -Л
л л
f F (,t) sin kt dt f f(t)^^-dt==
K 31 J 31 J J x ' R R
, -Я -Л
Стало быть, при любых значениях £ и х из интервала —л<^х<^л ряд
ОО
F(x)— /?Q) = [Л/г(соБ&х— cos (sinkx — sin &£)] =
k =i
oo
= (sin kx — sin kz)) — (cos kx — cos
jfe = i
сходится равномерно относительно x. Заменив здесь F (х) его выра-
жением J [/ (х) — -у-] dx, получим
-л
X X
J f (x)dx— — j dx
6 i
а это и требовалось доказать.
Нетрудно убедиться, что если функция /(х), кусочно непрерыв-
ная на отрезке —л<(х<^л, периодически продолжена на всю ось х,
то ее ряд Фурье можно интегрировать почленно по какому угодно
промежутку.
ГЛАВА X
ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
До сих пор мы занймались исключительно функциями одной не-
зависимой переменной. Теперь мы перейдем к рассмотрению функций
многих независимых переменных. Даже практические приложения
анализа вынуждают нас сделать этот шаг. Действительно, почти во
всех взаимосвязях, встречающихся в природе, изучаемые функции
зависят не от одного аргумента; напротив, они обычно определяются
двумя, тремя или большим числом независимых переменных. Так,
например, объем данной массы идеального газа можно рассматривать
как функцию одного лишь аргумента, давления, если температура
поддерживается постоянной, и только в этом случае. Как правило,
температура тоже изменяется и объем газа зависит от двух перемен-
ных— давления и температуры; поэтому объем газа является функ-
цией двух независимых переменных.
Но и с чисто математической точки зрения существует настоя-
тельная необходимость в подробном изучении функций многих не-
зависимых переменных. При этом можно будет использовать в полной
мере то, что мы узнали до сих пор, так что во многих случаях
потребуются лишь несложные дополнения.
Большей частью достаточно рассматривать функцию только двух
независимых переменных х и у, поскольку для распространения
результатов на функции трех и более аргументов не возникает необ-
ходимости в существенно новых рассуждениях. Поэтому для упроще-
ния формулировок и записей мы и ограничимся случаем двух не-
зависимых переменных во всех вопросах, где существо дела не
потребует особого рассмотрения для большего числа аргументов.
Систематическое изложение дифференциального и интегрального
исчисления функций многих переменных невозможно в пределах этого
тома, оно будет дано во втором томе этого курса. Здесь мы можем
дать читателю только предварительный очерк некоторых из числа
важнейших новых понятий и операций. Мы будем часто полагаться
на наглядные соображения, откладывая полные доказательства до
второго тома.
§ 1. Понятие функции многих переменных
1. Функция многих переменных и область ее определения.
Уравнения вида
« = х2-}-у2, и = х — у, и = ху или и—]/'!—х2 — у2
554 гл. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [1
приводят в соответствие паре значений (х, у) значение функции и.
В первых трех примерах это соответствие установлено для любой
системы значений (х, у), в последнем же примере соответствие имеет
смысл только для таких пар значений (х, у), для которых х2-|-у2<Д.
Во всех этих примерах величина и называется функцией незави-
симых переменных или аргументов х и у. Этим способом выра-
жения пользуются вообще всякий раз, когда каждой паре значе-
ний (х, у) из некоторого заданного множества приводится в соответствие,
с помощью какого-либо правила, значение и в качестве зависимой
переменной, и пишут и = f(x, у), обозначая символом f правило или
закон соответствия. Это взаимоотношение между х, у и « может быть
задано либо с помощью формулы, определяющей функцию, как
в приведенных выше примерах, либо посредством словесного описа-
ния, как, например: «« есть площадь прямоугольника со сторонами
х и у», либо как результат физических наблюдений, как, например,
при измерении магнитного склонения для различных географических
долгот и широт. Существенным является только наличие соответ-
ствия. Аналогично величина и называется функцией трех незави-
симых переменных х, у, z или и — f (х, у, z), если каждой тройке
значений (х, у, z) из некоторого множества таких троек соответ-
ствует значение и, определяемое известным законом; подобным же
образом определяется в общем случае и функция u=f (хр х2....х„)
от п независимых переменных.
Множество значений, которые может принимать пара (х, у),
называется областью определения или областью задания функ-
ции u = f(x, у). Для целей этой главы мы ограничим наше внимание
простейшими типами области задания. Мы будем предполагать, что
пара (х, у) ограничена либо так называемой прямоугольной областью'.
a-^x^b, c^y<^d,
или же круговой областью, определяемой неравенством вида
(х — а)2 + (у — t>)2 С г2.
Для функции трех переменных и = f(x, у, Z) мы тоже будем рас-
сматривать только прямоугольные области:
a<Cx<;Z>, с<СУ<^-
или сферические области:
(х — а)2 + (у — д)2 (z — с)2 < г2.
Когда число независимых переменных больше трех, то геометри-
ческая интуиция перестает служить, но и в этом случае часто про-
должают пользоваться геометрическим способом выражения. Так, для
функции и = f(xx, х2, ..., х„) от п переменных хр х2, ..хя мы
будем рассматривать области вида
fliCxiC&p a2<x2<£2, .... a„<x„<Z>„,
3] § 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 555
называемые прямоугольными областями, или же области вида
(*1 _ Д1)2_|_ (х2 _ а2)2 . _|_ (хп _ дл)2 r2f
называемые сферическими областями.
2. Простейшие типы функций. Среди функций многих пере-
менных, как и среди функций одного аргумента, простейшими явля-
ются целые рациональные функции или многочлены. Самый общий
многочлен первой степени (целая линейная функция) имеет следую-
щий вид:
и = ах -|- by -|- с,
где а, Ь, с — постоянные. Общий вид многочлена второй степени
таков:
и ах2 —|— Ьху —|— су1 —|— dx —еу —|— f,
а общий вид целой рациональной функции любой степени есть сумма
членов вида атпхтуп, где числа атп — произвольные постоянные.
Дробно-рациональной функцией называется частное двух много-
членов. К этому классу принадлежит, например, дробно-линейная
функция
-ах + Ьу+с
а1л:4- biy -f-ci
Допуская кроме рациональных действий еще и действие извлече-
ния корня, мы переходим от рациональных функций к явным алгебраи-
ческим функциям', такова, например, функция
и — ~|/~ Х~У | 1/~ <Х + У)г
V х + у V x^-j-xy •
Точное определение термина «алгебраическая функция» будет дано на
стр. 579.
Построение более сложных функций от нескольких переменных
почти всегда производится с помощью хорошо известных функций
одного аргумента, например:
z/ = sinxy или и = 1п (у2 -f- cos
(См. также о сложных функциях § 4, п° 1, стр. 567.)
3. Геометрическое изображение функций. Подобно тому, как
функцию одной переменной изображают с помощью кривой, ее гра-
фика, функции двух переменных стараются изобразить геометрически
с помощью поверхностей', в дальнейшем мы будем рассматривать
лишь такие функции, которые действительно возможно изобразить
таким способом. Такое изображение осуществляется очень просто:
строят прямоугольную систему координат в пространстве с координа-
тами х, у, и и относят каждой точке (х, у) области определения G
55б гл. х. Очерк теории Функций многих переменных [з
функции точку Р(х, у, и) с третьей координатой « = f(x, у). Когда
точка (х, у) пробегает область G, то соответствующая точка Р
описывает в пространстве некоторую -поверхность. Эту поверхность
и принимают за геометрическое изображение функции.
Обратный подход присущ аналитической геометрии: в этой науке
каждой поверхности в пространстве относят функцию двух перемен-
ных. Таким образом, между такими поверхностями и функциями двух
переменных устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Так, например, функции
и — 1 — х2 — у2
соответствует полусфера радиуса 1 с центром в начале координат.
лежащая над плоскостью х, у. Функции и — х2 + у2 соответствует
параболоид вращения-, это поверхность, описываемая параболой
и=х2 при ее вращении вокруг оси и (рис. 130). Функции и—х2—у2
соответствует гиперболический параболоид, изображенный на рис. 131;
функции и = ху соответствует гиперболический параболоид, получаю-
щийся из того, который изображен на рис. 131, поворотом вокруг
оси и на 45° и сокращением в 2 раза всех размеров, параллельных
оси и. Линейная функция и = ах-|-by-|- с изображается плоскостью
в пространстве.
Если в выражении функции « = f (х, у) отсутствует одна из независимых
переменных, например у, так что и зависит только от х-. u = g(x), то изо-
бражением функции в пространстве х, у, и является цилиндрическая по-
верхность, получающаяся, если провести прямые, параллельные оси и, через
все точки кривой и = g (х), лежащей в плоскости и, х.
31
§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
557
Однако это изображение с помощью прямоугольных координат
в пространстве обладает двумя недостатками. Во-первых, как только
имеют дело с тремя или большим числом независимых переменных,
наглядное представление уже не может помочь. Во-вторых, даже
в случае двух независимых переменных часто удобнее проводить все
рассуждения, оставаясь в плоскости х, у: ведь на плоскости можно
без затруднений чертить и производить геометрические построения.
С этой точки зрения следует предпочесть другой способ геомет-
рического изображения функции — метод линий уровня. В пло-
скости х, у выделяют все
точки, в которых функция
« = f (х, у) принимает по-
стоянное значение, скажем
Рис. 133.
Рис. 132.
и — k. Геометрическое место таких точек и представляет собой так
называемую линию уровня, соответствующую данному постоянному
значению функции. Эту линию уровня можно также получить, пере-
секая поверхность и = f (х, у) плоскостью u = k, параллельной плос-
кости хОу, и проектируя линию пересечения ортогонально на плос-
кость хОу.
Система этих линий уровня, снабженных пометками соответствую-
щих значений klt k2, ... уровня (высоты) k, дает представление
о ходе изменения функции. Обычно уровню k дают последовательно
значения, составляющие арифметическую прогрессию, например k—nh,
где п=1, 2, ... Тогда расстояние между линиями уровня с сосед-
ними номерами п позволяет судить о крутизне поверхности u=f (х, у),
ибо между двумя соседними линиями значение функции изменяется на
одну и ту же величину. Поэтому там, где линии уровня подходят
близко друг к другу, функция круто поднимается или падает; там же,
где расстояние между линиями уровня с соседними номерами п велико,
558 ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ |1
поверхность носит пологий характер. Именно по этому принципу
строятся карты рельефа геологического или топографического ведом-
ства.
По этому методу линейная функция и— ах-}-by-}-с изображается систе-
мой параллельных прямых ах-}-by-}-с = k в качестве линий уровня. Для
функции и — х2 4- у2 системой линий уровня является семейство концентри-
ческих окружностей х2-|-у2 = А (рис. 132). Функция и = х2— у2, изобра-
жаемая гиперболическим параболоидом (рис. 131), имеющим в начале коор-
динат седловую точку, изображается также системой линий уровня, состоящей
из гипербол, как показано на рис. 133.
Метод изображения функции и — f (х, у) системой линий уровня
имеет еще и то преимущество, что он может быть также распро-
странен и на функции трех независимых переменных и — f (х, у, z).
Вместо линий уровня фигурируют тогда поверхности уровня
f(x, у, z)^=k, где k—постоянная, которой можно приписать любую
подходящую последовательность значений. Например, функция « —
= х2 -f- у2 z1 изображается системой поверхностей уровня, состоя-
щей из концентрических шаровых поверхностей с центром в начале
координат.
Упражнение
Для каждой из следующих функций построить линии уровня, соответ-
ствующие значениям'« = —2, —1, 0, 1, 2, 3:
а) и — х2у; г) и = у2;
б) м = л24-у2—1; д)ц = у(1_—1 V
\ Л ~г У /
в) и = у2 — х2;
§ 2. Непрерывность
1. Определение. Как и в случае функций одной переменной,
основное требование, предъявляемое к функции двух переменных,
чтобы ее можно было изобразить геометрически описанным выше
путем, приводит к аналитическому условию непрерывности. И здесь
понятие непрерывности вводится, аналогично прежнему, с помощью
следующего определения:
Функция /(х, у), определенная в области G, называется
непрерывной в точке (£, т]) этой области, если во всех точках
(х, у), близких к точке (£, т]), значение функции f(x, у) лишь
мало отличается от /(£, д), и притом сколь угодно мало,
коль скоро точка (х, у) лежит достаточно близко от (|, д).
Точнее: функция f(x, у), определенная в области G, непре-
рывна в точке (£, 1]) этой области, если для всякого заданного
положительного числа е возможно найти такое положительное
расстояние 6 = 6(e) (вообще говоря, зависящее от е и стремя-
щееся к нулю вместе с е), что для всех точек (х, у) области G,
11 § 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 559
отстоящих от (£, т]) меньше чем на б, т. е. для всех точек
области, удовлетворяющих условию
(Х-^ + (у-Т])2<д2,
выполняется неравенство
\f{x, у) —/(£, Я)|<е.
Другими'словами, неравенство
\f(l + h, тЦ-А)-/^, Я)|<е
должно выполняться для всякой пары значений (A, k), для которой
й24-/г2<62, а точка т) + ^) принадлежит области G.
Если функция непрерывна во всякой точке области G, то говорят,
что она непрерывна в области О.
Условие й2-|- k2 < б2, налагаемое в определении непрерывности
на расстояние между точками (£, т]) и (х, у), можно заменить сле-
дующим равносильным условием:
Всякому е > 0 должны соответствовать такие два положи-
тельных числа 6j и б2, что
\f&+h, Л)| <е,
коль скоро | h | < 6i и | k | < 62-
Оба условия действительно равносильны: если выполняется первое
условие, то выполняется и второе при di — 62 = б/]Л2 ; обратно,
если удовлетворяется второе условие, то удовлетворяется и первое,
если взять в качестве 6 меньшее из чисел б! и б2.
Следующие свойства непрерывных функций почти очевидны:
Сумма, разность и произведение непрерывных функций также
непрерывны. Частное непрерывных функций непрерывно всюду,
где делитель отличен от нуля. Непрерывная функция от непре-
рывных функций сама также непрерывна (ср. стр. 568). В част-
ности, целые рациональные функции (многочлены) всюду непре-
рывны, а дробно-рациональные функции непрерывны всюду, где
знаменатель отличен от нуля.
Полезно заметить себе и следующий очевидный факт:
Если функция f(x, у) непрерывна в области G и отлична
от нуля во внутренней точке Р этой области, то вокруг
точки Р можно выделить такую окрестность, целиком лежа-
щую в G, в которой f(x, у) нигде не обращается в нуль. В каче-
стве такой окрестности можно взять, например, достаточно малый
круг с центром в точке Р. Действительно, если функция имеет
в точке Р значение а, то, в силу непрерывности функции, точку Р
можно окружить столь малым кругом, что значения f (х, у) внутри
круга отличаются от а меньше чем на «/2 и, стало быть, не равны
нулю.
580
ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[2
2. Примеры разрывов непрерывности. У функций одного ар-
гумента мы встретились с тремя видами разрывов: бесконечными раз-
рывами, конечными скачками (разрывами первого рода) и точками,
в которых функция не стремится к пределу (с одной стороны либо
с обеих сторон). У функций двух или большего числа независимых
переменных такая простая классификация невозможна. Положение
осложняется здесь еще и тем, что нарушение непрерывности может
происходить не только в уединенных точках, но и вдоль целых
линий.
. 1
может служить функция и —---------, для которой
прямая
ь'2
Примером
х = у является линией бесконечных разрывов. При приближении к этой пря-
мой значения функции безгранично возрастают: по положительным значе-
ниям, если приближаться к ней с одной стороны, и по отрицательным зна-
чениям — с другой стороны. Функция ------гу- имеет ту же самую прямую
(х У)
разрывов, но она стремится к -|-оо, безразлично, с какой бы стороны
ни приближаться к этой прямой. Функция —=—:—=- имеет лишь одну точку
-Г + У
бесконечности х = 0, у — 0.
и. 1
Функция и~ sin-~- не стремится ни к какому пределу при стрем-
У х2 -|- у2
лении точки наблюдения к началу координат; изображающая ее поверхность
получается вращением графика функции a = sin-^, х > 0, вокруг оси и
(ср. стр. 76).
Поучительный пример разрыва другого типа дает рациональная функция
2ху , п
и= г' 2 . Функция первоначально не определена в точке х = 0, у = 0,
х ~г У
и мы дополним ее определение, полагая и. (0,0) = 0. Эта функция имеет
в начале координат весьма своеобразный тип разрыва. Если положить х = 0,
т. е. двигаться вдоль оси у, то функция обращается в функцию одной пере-
менной и (0, у) = 0, которая при всех значениях у имеет постоянное значе-
ние 0. Вдоль оси х функция переходит в и (х, 0) = 0. Итак, функция и (х, у)
является в начале координат непрерывной функцией от х, если у сохраняет
постоянное значение 0, и непрерывной функцией от у, если х сохраняет по-
стоянное значение 0. Однако если рассматривать эту функцию в ее зависи-
мости от обеих переменных х и у, то она имеет разрыв в точке х = 0,
у = 0. В самом деле, в любой точке прямой у=х значение функции и = 1,
так что сколь угодно близко от начала координат можно найти точки, в ко-
торых функция ц (х, у) принимает значение 1. Стало быть, функция имеет
разрыв в начале координат, и нет возможности дополнить ее определение
в начале координат так, чтобы она стала непрерывной.
Более подробное исследование приводит к следующему. На прямой
, , „ . 2 tg а
у = xtga, образующей угол а с осью х, функция и = = 2 sin a cos a=
= sin2a. Отсюда видно, что поверхность, изображающая функцию и = ^^уг' >
может быть получена вращением вокруг оси и прямой, постоянно перпен-
дикулярной к этой оси. Эта прямая, совпадавшая первоначально с осью х,
при своем вращении одновременно поднимается или опускается так, что
углу поворота а соответствует высота sin 2a над плоскостью х, у. При воз-
1] § 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, 561
растании угла а до 45° прямая поднимается до высоты 1, затем опускается
до совпадения (при а = 90°) с осью у, затем она продолжает опускаться
до глубины —1 (при а = 135°), после чего начинает подниматься и при
а = 180° возвращается к начальному положению — оси х. Поверхность, по-
лучающаяся при описанном здесь движении прямой, называется цилиндроидом;
она встречается в механике.
Последний пример показывает, что функция и (х, у) может быть
непрерывной функцией от х при любом постоянном значении у и не-
прерывной функцией от у при любом постоянном значении х и
в то же время быть разрывной функцией, если рассматривать ее за-
висимость от переменных х и у в их совокупности. В определении
непрерывности существенно то обстоятельство, что значение функции
в точке Q должно отличаться сколь угодно мало от ее значения
в точке Р, коль скоро Q достаточно близка к точке Р; недо-
пустимо ограничивать положение точки Q относительно Р еще и
каким-либо другим условием, помимо малости расстояния PQ.
Упражнения
1. Исследовать непрерывность функции и. — —* . Построить ли-
V х2 4- у2
нии уровня и = k (k = —4, —2, 0, 2, 4). Изобразить на графике зависимость и
от одного лишь х при постоянном у = —2, —1, 0, 1, 2. Аналогично изобра-
зить и как функцию от одного у при х — 0, ±1, +2. В заключение изобра-
зить графиком зависимость и от одного лишь г при постоянном значении 9
(г, 0 — полярные координаты на плоскости х, у).
2. Показать, что следующие ниже функции непрерывны:
a) sin (л-2 -j- у);
sin ху
У'х2 + уЛ ’
В)
х3 4- у3
*2 + у2 :
г) х2 In (х2 4-у2).
3, Выяснить, являются ли непрерывными следующие функции и, если
нет, в каких точках они имеют разрывы:
у
a) sin —;
х
б)
X3 4- у2
х2 4-у2 ’
в)
х3 4- у2
х3 4~ у3 ’
хз4~у2
*24-У ’
§ 3. Производные от функции многих переменных
1. Частные производные и их геометрическое истолкование.
Если в функции нескольких аргументов дать определенные численные
значения всем независимым переменным, кроме одной, и предоставить
изменяться этой единственной независимой переменной, скажем х,
то наша функция становится функцией от одной (оставшейся) пере-
менной. Рассмотрим, например, функцию u = f(x, у) от двух аргу-
ментов х и у и припишем аргументу у определенное значение
У = Уо = с- Полученную при этом функцию u=f(x, у0) можно
просто изобразить геометрически, пересекая поверхность « = /(х, у)
36 Р. Курант
562 гл. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(1
плоскостью у = у0 (СР- рис- 134 и 135). Эта линия пересечения и
имеет в плоскости у = у0 уравнение и = f (х, у0). Возьмем теперь
обычным путем производную от функции u = f(x, у0) в точке х — х0
(предполагаем, что производная существует). Эта производная назы-
вается частной производной от f (х, у) по х в точке (х0, у0).
Рис. 135.
Согласно известному определению производной, частная производная
по х есть следующий предел:
lim /(Хо4- /г, у0) —/(х0, у0) .
л->о й
Если точка (х0, у0) лежит на границе области задания функции и = f (х, у),
то предельный переход должен совершаться таким образом, чтобы точка
(х0 -|- h, у0), оставалась постоянно в этой области.
Геометрически эта частная производная дает тангенс угла между
прямой, проходящей через точку (х0, у0) параллельно оси х, и ка-
сательной к кривой и = / (х, у0), у = у0 в упомянутой точке. Стало
быть, она дает меру крутизны поверхности u = f(x, у) по на-
правлению оси х [т. е. по направлению, параллельному оси х].
Для частных производных существует несколько различных обо-
значений, из которых укажем следующие:
Если желательно в самом обозначении подчеркнуть, что частная
производная есть предел отношения приращений, то ее обозначают
символом
df д ,
йГ или
При этом пользуются круглой буквой д вместо обыкновенной d,
применяемой в обозначении производной от функции одного аргу-
1] $ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 563
мента, желая этим показать, что речь идет о функции от многих
переменных, которую дифференцируют по одной из них.
Иногда удобно пользоваться символом D, введенным Коши
(ср. стр. 116):
но мы будем лишь изредка пользоваться этим обозначением.
Точно таким же путем определяют частную производную от
f(x, у) по у в точке (х0, у0) соотношением
+ А Л) = V =
>«)=«, (*о- j»)=“;('« Joi-
Эта частная производная по у дает наклон касательной к линии
пересечения поверхности и = / (х, у) с плоскостью х = х0 относи-
тельно прямой, проходящей через точку (х0, у0) параллельно оси у.
Будем теперь рассматривать точку (х0, у0), которая до сих пор
считалась неподвижной, как переменную точку и, в соответствии
с этим, опустим индексы 0. Другими словами, будем представлять
себе, что дифференцирование выполнено в каждой точке области
определения функции f (х, у). Тогда обе частные производные сами
окажутся функциями от х и у:
/ х / х д/(х, у) , . . , . df (х, у)
их{х, У) = /х(х’ У)=" дх и иу(х, y) = fy(x, у) = .
Например, функция и = х2 У2 имеет частные производные их = 2х и
иу = 2у, потому что при дифференцировании по х член у2 рассматривается
как постоянный и имеет производную, равную нулю, а при дифференциро-
вании по у член х2 имеет равную нулю производную. Аналогично функция
и = х3у имеет частные производные их = Зх2у и иу = х3.
Таким же образом дается определение частных производных при
любом числе п независимых переменных:
df(x}, х2, .... х„) _ . f(xt 4-h, х2.xn) — f(xi, хг, ..., х„) _
дх, h ~
= Л, (*1- Х2....DxXXV Х2- • • • ’ *„)•
конечно, в предположении, что предел существует.
Ясно, что можно также составить частные производные высших
порядков от / (х, у), дифференцируя вновь частные производные
«первого порядка» fx(x, у) и /у(х, у) по каждой из независимых
переменных и повторяя последовательно и дальше этот' процесс.
В какой последовательности дифференцируют по разным переменным,
отмечают порядком указателей или же порядком символов дх и ду
36*
564 гл. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
в «знаменателе» слева направо. Таким образом, для частных про-
изводных второго порядка установлены следующие символы:
d / df \ __ d2/ _z _____ rj2 f d / df \_____ d2f ___ . ____ „2 г
дх \dx ) дх2 J хх xxJ ’ ду \ дх ) дх ду J ху xyJ'
d I df \__ d2f ___ , ____£j2 f d / df \ — d2f _____ , — -f
dx \ dy ) dy dx J yx yxJ ’ dy \ dy J dy2 J yy yy > •
По тому же правилу обозначают частные производные третьего по-
рядка:
d f d2/ \ dy = д (d2f\ d2f
дх \дх2 ) дх3 J ххх’ ду \ d.v2 / дх2 ду J хху>
d I d2f d3f
дх \дх ду ) дх ду дх ' ХУХ ' А’
и вообще производные порядка п:
дх \ дхп 1 / дхп хП>
д (dn-yf\ dnf ,
I а П — 1 I ~~ л П — 1 У Xn~^V И Т- Д’
dy \дх ] дхп 'dy х у
2. Фактическое вычисление частных производных. В заклю-
чение решим несколько примеров на фактическое вычисление частных
производных. Согласно определению, все независимые переменные,
за исключением той, по которой производится дифференцирование,
должны сохранять постоянные значения. Поэтому надо просто все
другие аргументы рассматривать как постоянные и выполнять диф-
ференцирование по тем же правилам, по которым дифференцируют
функции от одной независимой переменной.
Примеры.
1. Функция f (х, у) — ху.
Первые производные: fx = у, fy — х;
вторые производные: fxx = 0, fxy — fyx = 1, fyy = 0.
2. Функция f (х, у) = Ух2-\-у2.
_ XV
Первые производные: = — /v = —
Ух24-у2 у УУ-фу2
Наша функция равна полярному радиусу г — Ух2-^-у2 точки (х, у).
Следовательно, частные производные от полярного радиуса по х и по у таковы:
dr х dr у „
^“ = — = cos <р, = у- = sin <р, где ф есть полярный угол точки (х, у),
т. е. угол, образуемый радиусом-вектором этой точки с полярной осью, или,
что то же самое, с положительным направлением оси х.
2)
§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
565
Вторые производные:
Vr2 I ,,2
2
fXX —
fху — f ух
- 2 у2
— == y<x2+yV
sin <р cos ф
г
sin2 <р
г
/>У
ху
]/'(Х2 + у2)3
-________У2
Ух2 4~ у2
;2 4- у2 “ |/'(.v2..r>,2)3
,2
2
cos2<p
/(*. У- г)
3. Функция — обратный полярный радиус в пространстве:
1 1
/л24-у24-г2 ~ г '
Первые производные:
У'(^2 + у2+^2)3
У
г3
У
г3
z _
Г(х24-у24-^7“"
г3
Вторые производные:
4+-тг-
J_ , зу2 ______________________
^•3 1' ^*5 * J ZZ '”1 ^»б ’
f -f f -f - —
J yz--J zy-- ’ J ZX--J XZ--- •
/уУ
_ 1 , Зг2
J ZZ -
Отсюда видно, что функция f
1
,2
1
= — удовлетворяет урав--
нению
ZZ — гз
3 , .3(л-2 + у3 + ^2) 9
при всех значениях x, у, z, кроме 0, 0, 0; это выражают еще и так: функ-
ция / (х, у, г) = 1/г является решением «дифференциального уравнения»
f хх + /уу + fzz — О-
4. Функция / (х, у) = —Хг г_(ЛГ-вУ/4У.
ГУ
Первые производные:
• Z ... 1 —(х—а) я_(^_йу/4у _/ 1 , (х — а)2 \ u-a)g/4y
fx~Vy Ъ~е ' Г
566
ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[3
Вторые производные:
f — I —* I (х а^1 2 \ р - (х-«W
^хх~\Чуб' 4у* I
у ___ f __х а _______ (х а)3 \ - pt--ap/4v
^у-/уг-^4 у6/2
f ___13 1 ____3 (х а)2 । (х а)* \ — (х—а^/Ау
/уу U у% 4 у% 16/Л Г
•Стало быть, функция f удовлетворяет уравнению
f хх — /у = О
при всех значениях х и у.
3. Некоторые факты (без доказательств). Как и в случае од-
ной независимой переменной, существование частных производных
является специальным свойством функции!). Счастливым для прило-
жений обстоятельством является то, что все практически важные
функции обладают этим свойством, за исключением, быть может,
отдельных особых точек.
В отличие от функций одной переменной, из существования част-
ных производных не вытекает непрерывность функции многих пере-
„ j. 2ху
менных. Это ясно показывает пример функции и — х2„-2 , уже рас-
смотренной на стр. 560. Эта функция всюду имеет частные произ-
водные, и все же она имеет разрыв в начале координат. Однако из
существования у функции многих переменных ограниченных частных
производных действительно вытекает непрерывность функции. Это
свойство выражается следующей теоремой:
Если функция f(x, у) имеет частные производные f х и fv
всюду в области G и эти производные удовлетворяют всюду не-
равенствам'.
|Л(*. У)|<М, |/у(х, у)|<Л1,
где М не зависит от х и у, то f (х, у) непрерывна в области О.
В частности, если fx и /у непрерывны в G, то они непременно
и ограничены, так что функция /(х, у) тоже непрерывна в области О.
Доказательство этой теоремы будет дано в т. II.
Читатель, вероятно, заметил, что во всех рассмотренных при-
мерах было fxy ~ fyx. Другими словами, результат дифференцирования
не зависел от того, совершалось ли дифференцирование сперва по х,
а затем по у или наоборот. Это не было случайностью, и, действи-
тельно, существует следующая теорема:
1) Однако выражение «дифференцируемость» здесь неприменимо. У функ-
ций многих переменных этот термин означает больше, чем одно только
существование частных производных; но об этом будет речь во втором томе.
1) 4. СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 567
Если «смешанные» частные производные fxy и fyx от функ-
ции f(x, у) непрерывны в области О, то равенство
/ух = / ху
выполняется всюду внутри области-, другими словами, порядок
дифференцирования по х и по у безразличен.
Применяя эту теорему к fx и fy, затем к fxx, fxy и fyy и т. д.,
найдем, что
/хху /хух ' f ухх' f хуу ' /уху == /уух’
/ххуу == /хуху = /хуух = /ухху /ухух = /уухх и т- Д’
и, вообще, справедливо следующее предложение:
При повторном (многократном) дифференцировании функции
двух переменных можно как угодно изменять порядок диффе-
ренцирования, если только полученные в результате производ-
ные являются непрерывными функциями.
Доказательство этой теоремы будет дано в т. II.
Упражнения
1. Найти частные производные первого порядка от следующих функций;
з -_______ , __________
а) /х1 2 + у2; г) - е) 1пУ14-х2 + у2.
V 1 +* + у2+.г2
б) sin (х- — у);
в) д) у sin (xz);
2. Найти все частные производные первого и второго порядка от сле-
дующих функций:
а) ху; в) tg (arctg х arctg у); д) ехУ.
б) In (ху); г) ху;
3. Найти такую функцию f (х, у), которая является функцией от суммы
(х2 + у2) и является в то же время произведением вида ф (х) ф (у); другими
словами, решить уравнения
f (х, у) = Ф (х2 + у2) = ф (х) ф (у),
которым удовлетворяют искомые функции /, ф и ф.
§ 4. Сложные функции и их дифференцирование (правило
цепочки). Преобразование независимых переменных.
Дифференцирование обратных функций
1. Сложные функции. Часто бывает так, что функция и от не-
зависимых переменных х, у задается в следующем виде:
« = /(&• П. • •
где аргументы т], ... функции f являются в свою очередь функ-
циями от х и у;
£=ф(Х. у), т)==ф(х, у), ...
568 ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [2
Тогда говорят, что величина
u = П. •••) = / [ф<Х У)- Ф(Л У). ...] = /7(х, у)
задана как сложная функция от х и у.
Например, функция
и = ех’у (х 4" У)3
может быть записана как сложная функция так:
и = гЦ3 = f (§, ту), £ = х2у, п = х 4- у.
Точно так же и функцию
и = In (х 4~ 1) arccos У4 — х2 — у2
можно записать как сложную функцию в следующем виде:
и = т] arccos g = / (g, т]), 1 = У4 — х2—у2, т] = 1п(х4~1)-
Для того чтобы уточнить понятие сложной функции, предположим
сначала, что функции £ = <р(х, у), т] = ф(х, у), . .. определены
в некоторой области О независимых переменных х, у. Тогда каждой
точке (х, у) области Q соответствует точка (|, т], ...) в «прост-
ранстве» с координатами £, т], . . . Когда точка (х, у) пробегает
область О, то точка (£, т], .. .) будет пробегать некоторую область В
переменных |, т], .... а в этой области В определена функция
f (£, г]..). В конечном итоге функция и — /[<р(х, у), ф(х, у), . . .]=
= /7(х, у) определена в области G.
Обращаясь к нашим примерам, находим в первом примере, что § и ц
определены при всех значениях х и у; f (g, т]) тоже определена при всех
тц стало быть, за область G можно принять всю плоскость х, у. Во вто-
ром же примере область В ограничена неравенством так как
функция arccos j определена лишь при таких значениях %. С другой стороны,
и область G ограничена неравенствами х4~1>0 и х24~У2<^4, так как
£ и I], как функции от х, у, определены только при этих условиях. Кроме
того, область G должна быть ограничена еще и условием х24~у2>3, для
того чтобы точка (д, т]) лежала в области В: | Стало быть, область G
состоит из той части кольца 3^x24~y2jC4, которая лежит, справа от
прямой х — — 1.
Непосредственным следствием наших определений является сле-
дующая теорема о сложных функциях:
Если функция u = f(i), rj, . . .) непрерывна в области В,
а функции ф(х, у), т] = ф(х, у), ... непрерывны в О, то
сложная функция и — Е(х, у) непрерывна в области G.
Читатель в состоянии сам доказать эту теорему.
2. Правило дифференцирования сложной функции (правило
цепочки). Начнем со сложной функции простейшего вида u=f (£, т], ...),
где т], ... зависят лишь от одной независимой переменной х:
^ = <р(х), Т] = Ф(*)-----
Для дифференцирования такой функции существует важная теорема,
известная под названием правила цепочки:
2] § 4. СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ бб?
Если функция и = f (£,, т], ...) имеет непрерывные частные
производные первого порядка в области В, а функции £ = ф(х),
т] = ф(х), .. . имеют непрерывные первые производные в области О,
которая здесь является отрезком а<^х^Ь, то функция
а = /(ф(х), ф(х), . ..) = /7(х) имеет в О непрерывную производ-
ную по х, причем
F'W = /^'(x)+/^'(x)4- ... =/й'+/ХН- •••
В этой формуле и Д являются сокращенными записями:
А = Д(ф(*)- 1>(4 •••)- fn = f1l(4>(x), ф(х), ...).
Докажем эту теорему. Для упрощения записи примем, что f
является функцией трех аргументов: g, л- £. Обозначим через х0
произвольную фиксированную точку интервала a Д х Ь, через
£о- По- £о — соответствующие значения £0 — ф (х0), л0=Ф (аг0). £о=Х Оо)-
а через %,, л- £ — значения ф(х), ф(х), %(х), соответствующие пере-
менной точке х = х0-}~ h. Напишем прежде всего тождество
Л(х) — F(x0) = /(|, л- О — Ж- По- Ъ>) =
==[/(!. П. O-/CU П. £)]-H/(U Д Но- £)] +
+ !№ По- 0-/(U По- £о)1-
В правой части в каждой квадратной скобке только один из аргу-
ментов изменяет свое значение. Поэтому к каждому выражению,
заключенному в квадратные скобки, можно применить теорему о сред-
нем значении для функций одной переменной. В итоге получим
F(x)— F(x0) =
= (НШ1 И- С) + (П-По)А(Во. Д £) + (£-UA(lo- По- О-
где £ — некоторое промежуточное значение между |0 и л — между
Ло и л- а £—между и Затем, опять по теореме о среднем зна-
чении, имеем:
£ — Во = Ф (*) — Ф (*о) = (х — *о) ф' (Xi),
Л — По = Ф (х) — ф (х0) = (х — х0) ф' (х2),
В — Во = X (х) — х (х0) = (х — х0) %' (х3),
где хР х2 и х3 — некоторые промежуточные значения между х0 и х.
Подставляя выражения этих разностей в предшествующее равенство
и деля его на х—х0, получим - = Д (|, л- £)ф'(*1) +
4-Д(Во- Д В) Ф' (х2) 4- А (ёо- По- Ох'(^з)- Заставим теперь х стре-
миться к х0. В силу непрерывности функций ф(х), ф(х), х(х) вели-
чины |, л. £ стремятся к пределам |0, Ло- соответственно. Тем
более стремятся к последним £, л. Промежуточные значения хр
570 гл. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ р
х2, х3 стремятся к х0. Так как все функции, участвующие в правой
части последнего равенства, непрерывны, то
lim = р' <хо)=А (&>• По- Со) ф' (х0)+Д (Со- По- Со) Ф'(*о) +
+ /№• По- Со)х'(^о)-
Тем самым искомая формула для F' (х) доказана.
Непрерывность производной F' (х) вытекает из выведенной фор-
мулы, так как ц>', ф' и непрерывны по условию теоремы, а Д,
/ и Д являются непрерывными функциями от непрерывных функций.
Эту теорему можно распространить на сложные функции от двух
или большего числа независимых переменных следующим образом:
Если функция u — f(l„ т), ...) имеет непрерывные частные
производные первого порядка в области В, а функции £ = <р(х, у),
ц = ф(х, у), ... имеют непрерывные частные производные первого
порядка в G, то функция u — F(x, у) = /(ф(х, у), ф(х, у), ...)
имеет непрерывные частные производные по х и по у в области О,
и эти производные получаются по формулам
?х = ЛФлН- f•••' Д = Афу + ДФу + •••
Эти формулы можно записать и в следующем виде:
Д = + «у = «Uy + «T|1ly+ • •
Для того чтобы установить справедливость этих формул, введем
временно обозначения: £(х) = ф(х, у0), /г(х) = ф(х, у0)...где у0
есть какое-либо выбранное постоянное значение переменной у.
По определению частных производных имеем g' (х) = фх (х, у0),
h’ (х) = фх(х, у0), .... Точно так же, если ввести обозначение Н(х) —
= F (х, у0), то Н' (х) = Fx (х, у0). По только что доказанной теореме
мы можем теперь найти производную по х от функции и = Н (х) —
= /(|. П. •••) = 7teW. й(х), ...]:
Н' (*о) = hg' (хо) + f^r (ХО) + ...
Возвращаясь к прежним обозначениям, имеем
Рх (*о- Уо) = fc<f>x (хо< Уо) + / А Уо) + • •
Вторая формула доказывается таким же путем.
Для вычисления частных производных высших порядков надо
только вновь дифференцировать правые части наших формул по х
и по у, рассматривая Д, Д, ... как сложные функции. Для функ-
ции и = /(£, т])=:/[ф(х, у), ф(х, у)] мы таким путем получим:
“хх = + 2Д,Ж + АЛ + f^xx + f^xx'
иху ~ /йФхФу + fiv (фл-Фу + ФуФЛ + /ччФ^Фу Н" f^xy + ДФху
« = Д ,ф2 -|- 2 Д ф ф -4- f ф2 —I- Дф + / Ф •
УУ •'К'у ' J УТУ ' J пп Д • J ' •'vyy
4)
5 4. СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
571
3. Примеры. 1) м = с08<
Мы здесь положим g = х tg у, ц = у cos х, так что = tg у,
X
cos2 у’
т]^= — у sinx, т]у= cos х. Так как и=4+Т|, то ил — — е^+Г1, и, следователь-
но, их = ех tg у+у cosх (tg у - у sin х), = ----------f-cosx).
2) В качестве примера сложной функции, зависящей в конечном итоге
от одной независимой переменной, возьмем
« = [« (*)]* w = Г = f (Г 4-
Здесь £ == g (х), к] = h (х). Сразу получаем по правилу цепочки
-g- = АГ +ЛрГ = nV-1 V + Г1 in g Т)' =
= te (Х)]А(ЛГ) [л (х) (X) In g (х)].
Эту формулу мы уже вывели на стр. 229 с помощью искусственного
приема.
Заметим еще, что в этих примерах можно выполнить дифференцирова-
ние и прямым путем, не прибегая к правилу цепочки, подобно тому как
это было сделано в примерах на стр. 564—566.
4. Введение новых независимых переменных. Особенно важный
тип сложной функции возникает в процессе введения новых незави-
симых переменных (замены независимых переменных). Пусть, например,
и = f (£, 1]) — заданная функция аргументов £ и т], которые мы
истолковываем как прямоугольные координаты в плоскости £, т]. Если
повернуть координатные оси в плоскости g, т) на угол в, то получим
новую систему координат х, у. Связь между координатами обеих
систем выражается уравнениями:
%, = х cos 0 — ysin0, т) = х sin 6-|-у cos 0
или
х — | cos 0-{-л sin 0, у =— £ sin 0 i] cos 0.
Теперь функция и — f (£, 1]) может быть выражена как функция
новых переменных х, у:
« = /(^. r|)=F(x, у).
Правило цепочки сразу дает
• = «£ cos 0-(-и.,) sin 0, Uy = — sin 0cos 0.
Стало быть, частные производные преобразуются по тем же фор-
мулам, что и независимые переменные. Это верно и для поворота
координатных осей в пространстве.
Другой важный пример преобразования независимых переменных
представляет переход от прямоугольных координат к полярным коор-
динатам г, 0. Этот переход совершается по формулам:
x = rcos0, y = rsin0,
г = /х2 4~ У2. 0 = arctg -у.
572 ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ |5
Для произвольной функции и = / (х, у), обладающей непрерыв-
ными частными производными первого порядка, получим:
u = f(x, y) = /(rcos0, rsin0) = F(r, 0),
in x V n sin 0
«x = urrx + «90Х = «r — — «9 У2 = 11 r COS 0 — И0 —— ,
in У । x • n । cos 0
"/== Vy + M90y = Ur у «9 yr = ur Sln 0 + «0 —fT-
Из этих формул вытекает важное и часто применяемое равенство:
4 + “у = йг + -^-«9-
5. Дифференцирование обратных функций. Переходя к общей
ситуации, рассмотрим две непрерывные функции:
| = ф(х, у), т] = Ф(*. у).
имеющие непрерывные производные в области G плоскости х, у.
Каждой точке (х, у) в G эти функции приводят в соответствие точку
£ = ф (х, у), т] = ф (х, у) в плоскости |, г]. Когда точка (х, у) про-
бегает область G, то соответствующая ей точка (£, г]) пробегает
некоторую область В в плоскости |, т]. Возможно, конечно, что
несколько различных точек (х, у) приведут к одним и тем же зна-
чениям для г], так что различным точкам (х, у) будет соответство-
вать лишь одна точка (|, л). Мы будем предполагать, что этого
не бывает и что, напротив, всякой точке Q (1, г]) в области В соот-
ветствует точно одна точка Р(х, у) в области G. На установленное
нами соответствие можно поэтому смотреть с двух разных, но равно-
правных точек зрения: можно говорить, что точке Р соответствует Q,
а можно также сказать, что точке Q соответствует Р. Вторую точку
зрения можно выразить и по-иному: всякой точке (£, т|) в области В
соответствует одно значение х и одно значение у, а именно коор-
динаты точки Р, а это значит, что существуют две функции
x = g(l, П). >’= П).
определенные в области В, которые представляют преобразование
(соответствие), обратное по отношению к преобразованию £ = ф (х, у),
Т1 = ф(х, у).
Часто бывает, что вычислить функции g(c,, г]) и h (£, Д) вовсе
не легко, хотя они и существуют. Поэтому практически важно полу-
чить средство для вычисления частных производных g%, gv h%,
непосредственно по частным производным ф^., фу, ф^., фу, не вычис-
ляя самих функций g и h. Для этой цели заметим, что если выбрать
какую-либо точку Q(£, г]), вычислить соответствующую ей точку'
Р (g (В> Л)> h (£, т|)) в О, а затем найти точку в В, соответствующую
точке Р, а это будет точка ф (g (|, л), й(£, т])), ф (§"(£, Д),/г(£, i])),
§ 4. СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
573
то мы просто вернемся к точке Q. Стало быть, равенства
| = ф(£(|. П). 1])), т] = Ф(«(!. П). т]))
являются тождествами относительно | и т]. Но если тождественное
соотношение дифференцировать по любой содержащейся в нем пере-
менной, то получится вновь тождество, как это непосредственно вы-
текает из определения. Поэтому, дифференцируя последние два то-
ждества по £ и г], получим следующие тождества относительно Т]:
f 1 = Фл^ + <₽А. f о = + фуйл,
1 о = Фл-^-НФА, i1 =Ф^11+Фуйт1-
Эти тождества можно рассматривать как две системы линейных
уравнений для нахождения неизвестных g%, h^\ gv h^. Обозначим
через D общий определитель обеих систем:
D_ Фл Фу = 1у
~ Фл-Фу ~ Пл Пу
Мы предполагаем, что D 0. Тогда
Ф'у Фл Фу Фл
= ту* 5"’
или
Пу Пл 5 У ЬЛ
— тг • yi — р-; хт| — -р-' Уч=тг •
Вот мы и выразили частные производные от обратной системы функ-
ций через частные производные от исходной системы функций.
Определитель
dl dl
дх ду
D= л л
dr) дт)
дх ду
называется функциональным определителем или якобианом системы
функций т] по системе переменных х, у или, лучше, якобианом
преобразования £ = £(%, у), т] = г](х, у). Он встречается так часто,
что для него установили специальный символ:
п— d& П)
д(х, у) '
Упражнения
1. Вычислить частные производные первого порядка от функций:
а) /=-— * •=•; в) / = х2 + у In (1-4-х2у2 4-г2);
У х2 4- у2 4- 2ху cos z
б.) / = arcsin : г) / = arctg Vx 4- у г.
574
ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. Вычислить производные по х от функций:
Г / 1 \ 1!х Д ^!х
а)/ = х^ = х(^>; б)/=[(-) J .
3. Доказать, что если f (х, у) удовлетворяет «уравнению Лапласа»
d2f , d2f
дх2~г~ ду2
то и функция <р (х, y) = f ^2_^y2
нению.
4. Доказать, что функции
—У_- \
х2 4- у2 /
удовлетворяет этому урав-
а) /(х, у) = In/х2 4~ у2, б) g(x, у, z) = —?=======,
у х2 + у2 + z2
в) h (х, У, Z, W) = —s-j-=-j-5-j-5
' J x2 4- у2 + z24-w2
удовлетворяют соответствующим уравнениям Лапласа:
а) /хх + /уу = 0, 6) й'л-хЧ’Дуу+ =
в) v 4" ^уу + лгг 4- л ww = о.
5. Дана функция г = г2 cos 0, где г и 0 — полярные координаты, а) Найти
zx и zy в точке 0 = л/4, г = 2. б) Выразить zr и г9 через zx и ау
6. Преобразование 'g = а 4- ах 4- Ру. г) = b — ₽х 4- ау, где a, ft, а, р — по-
стоянные и«244! = 1, переводит функцию и (х, у) в функцию U(g, г,).
Доказать, что
UliU^ — UU = иххиуу - иху
7. Вычислить якобианы следующих преобразований:
а) ё = ах4*Лу, т] = сх4'<?у; б) г = 'Их2 4~ у2. 0 = arctg
в) i = х2, г] = у2.
8. Даны два последовательных преобразования: х = х (и, у), у = у (и, v),
затем и — и (g, т]), v —v (g, rj). Доказать, что
д(х, у) _ д(х,. у) д(и, у)
д (£, Л) ~ д (и, v) ' д (В, л) ’
9. В качестве следствия из результата упр. 8 доказать, что
д(х, у) 1
д (и, у) д (и, у) ’
д(х, у)”
10. Пользуясь результатом упр. 9, вычислить якобианы преобразований,
обратных преобразованиям, данным в упр. 7.
§ 5. Неявные функции
Теперь мы можем восполнить пробел, оставшийся в технике диф-
ференцирования не только функций нескольких переменных, но даже
и функций одной переменной. Речь идет о дифференцировании не-
явных функций. Для того чтобы подойти к понятию неявной функ-
ции, мы начнем со знакомого понятия об обратной функции для
1]
§ 5. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
575
функции у = /(х). Эта обратная функция получается, если решить
уравнение у — /(х) = 0 относительно х. Рассмотрим теперь задачу
о решении более общих уравнений вида F(x, у) = 0 относительно х
или у, а также аналогичных уравнений, где функция F зависит от
нескольких независимых переменных.
Уже из курса аналитической геометрии читателю известно, что
кривые часто задают не уравнениями вида у = /(х) или х = ф(у),
а уравнением вида F(x, у) = 0, связывающим переменные
х и у. Таковы уравнения окружности х2Ц-у2— /?2 == 0, эллипса
+ -^5---1=0 и лемнискаты (х2 у2)2 — 2«2 (х2 — у2) = 0. Для
того чтобы получить у как функцию от х или х как функцию от у,
надо решить уравнение F(x, у) = 0 относительно у или относи-
тельно х. Так вот говорят, что уравнение F(x, у) = 0 определяет у
как функцию от х или х как функцию от у неявно или в неявном
виде, а решив это уравнение, получим функцию у = / (х) или х = ф(у)
в явном виде. В приведенных только что примерах и во многих
других уравнение Р (х, у) — 0 удается решить и функцию у = / (х)
или х = <р(у) выразить явно с помощью элементарных функциональ-
ных символов. В других случаях решение уравнения может быть
получено в виде бесконечного ряда или другого предельного про-
цесса, т. е. в этих случаях решение y-f(x') или х = ф(у) можно
получить приближенно с какой угодно точностью.
Однако для многих целей более удобно исследовать функцию,
пользуясь ее неявным определением F (х, у) = 0, вместо того, чтобы
прибегать к точному или приближенному решению уравнения.
Не следует думать, что всякое уравнение F(x, у) = 0 опреде-
ляет в неявном виде функцию у = /(х) или х = ф(у), какова бы ни
была функция F(x, у). Это ошибочная мысль. Напротив, легко при-
думать такие примеры функций F(x, у), для которых уравнение
Р(х, у) = 0 не имеет решения в виде функции одной переменной.
Так, например, уравнению х2-]-^ —0 удовлетворяет лишь одна пара
значений х = 0, у —0, а уравнение х2 —у2 —|— 1 = 0 вовсе не имеет
(действительных) решений. Необходимо поэтому исследовать, при
каком условии уравнение Р (х, у) = 0 определяет в неявном виде
функцию у — f (х), и выяснить свойства этой функции. В этом месте
мы не можем заняться таким исследованием; мы здесь удоволь-
ствуемся геометрической картиной, которая наглядно подскажет тре-
буемые результаты, а строгие доказательства отложим до второго
тома.
1. Геометрическое истолкование неявных функций. Для того
чтобы геометрически уяснить себе этот вопрос, изобразим функцию
и==Л(х, у) поверхностью в трехмерном пространстве. Найти значе-
ния (х, у), удовлетворяющие уравнению F(x, у) = 0,— это то же
самое, что найти значения (х, у), удовлетворяющие двум уравнениям
и—Р(х, у) и и = 0, т. е. найти сечение поверхности u — F{x, у)
576 гл. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (2
плоскостью и=0 (плоскостью х, у). Может случиться, что не суще-
ствует ни одной такой точки; тогда нет и пересечения, и уравнение
F(x, у) = 0 не имеет решения и не определяет никакой функции
y = f(x) или х = ф (у).
Предположим теперь, что существует точка (х0, у0), удовлетво-
ряющая уравнению F (х, у) = 0. Это значит, что точка (х0, у0, 0)
является общей точкой поверхности u=F(x, у) и плоскости хОу.
Представим себе теперь касательную плоскость к поверхности
u~F(x, у) в точке (х0, у0, 0). [Точное определение касательной
плоскости к поверхности будет дано во втором томе; здесь имеется
в виду лишь наглядное представление о ней,] Существуют две воз-
можности: касательная плоскость совпадает с плоскостью хОу или
нет. Первый вариант возможен лишь в том случае, если обе кривые
и — f (х0, у), х = х0 и и — f(x, у0), у = у0 имеют в точке (х0, у0, 0)
касательные, лежащие в плоскости хОу, а это будет, если
Fx(x0, Уо)==° и Fy(x0’ Уо) —°- Если же Fx(x0’ Уо)¥=° или
Fy(x0, Уо) =£ 0, то касательная плоскость не совпадает с пло-
скостью хОу.
Рассмотрим первый случай: Fx(x0, у0) = Ру(х0, уо) = О. Можно
показать на примерах, что в этом случае нет уверенности в суще-
ствовании решения вида у = / (х) или х — ф (у).
Например, при F (х, у) — 1 — У1 — х2 — у2 соответствующая поверх-
ность «=1— У" 1—х2— у2 есть нижняя половина шаровой поверхности
радиуса 1 с центром в точке (0, 0, 1). Она имеет с плоскостью хОу общую
точку (0, 0), и в этой точке частные производные Fx (0, 0) и Fy (0, 0) равны
одновременно нулю. Ясно, что (0, 0) есть единственная точка плоскости
ху, ^удовлетворяющая уравнению F (х, у) = 0. Для другой функции
F (х, у) = ху тоже имеем F (0, 0) = 0 и одновременно Fx (0, 0) = Fy (0, 0)=0.
На этот раз все точки оси х и все точки оси у удовлетворяют уравнению
F (х, у) = 0; однако в окрестности начала координат нет единственного ре-
шения вида х = <р (у) или у — f (х).
Вывод таков: если Fx(x0, Уо)= Fy(x0, у0) — 0> то нельзя быть
уверенным в существовании решения.
Остается второй случай: Fx(x0, у0) =£ 0 или Fy(x0, у0) #= 0, и
тогда касательная плоскость в точке (х0, у0, 0) не совпадает с пло-
скостью хОу и пересекает ее по прямой линии. В этом случае на-
глядное представление подсказывает, что и поверхность u — F(x, у),
тесно примыкая к своей касательной плоскости, тоже пересекает
плоскость хОу по однозначно определенной кривой. Как далеко эта
кривая простирается, нас теперь не интересует, но естественно ожи-
дать, что какая-то часть ее в окрестности точки (х0, у0) может быть
представлена уравнением вида у — f (х) или х — ф (у).
2. Дифференцирование неявных функций. Остановимся на том
случае, когда одна из частных производных не обращается в точке
(х0, Уо) в нуль; для конкретности пусть Fy(x0, у0) =£ 0. Наглядное
представление, что гладкая поверхность u = F(x, у) должна Пересе-
2] § 5. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 577
каться по гладкой кривой с плоскостью хОу, которая ее не касается
в их общей точке (х0, уй, 0), наводит на следующую теорему:
Если функция Р(х, у) имеет непрерывные производные Рх
и Fy и если точка (х0, у0) удовлетворяет уравнению F(x, у) = 0,
так что F(x0, Уо) = О, между тем как Fy(x0, у0) =А 0, то вокруг
точки (х0, у0) можно выделить такой прямоугольник
У1«^У<:У2> что в интервале ху^х уравнением F(x, у) = 0
определяется однозначная и непрерывная функция y = f(x), зна-
чения которой лежат в интервале yj У У2; эта функция
принимает при х — х0 значение у0 = /(х0) и в каждой точке
интервала хг х хг удовлетворяет тождественно уравнению
F[x, /(х)1 = 0.
Кроме того, функция у = /(х) имеет непрерывную проь
изводную.
Эту теорему можно действительно строго доказать, и это будет
сделано во втором томе. Здесь мы, допуская справедливость этой
теоремы, добавим следующее:
Производная от функции y = f(x'), определенной в неявном
виде уравнением F(x, у) = 0, дается формулой
у' = /'(х) = -^.
ГУ
Эта формула получается сразу с помощью правила цепочки. Дей-
ствительно, ~ F [х, / (х)] = Fx-^ + Fy = Рх 4- Pyf. Однако
так как выражение F [х, / (х)] тождественно равно нулю, то его
производная тоже равна нулю; стало быть, Fx F f' — 0, откуда
и вытекает доказываемая формула.
Можно вычислить и у"; для этого рассматриваем правую часть
формулы для у' как сложную функцию, дифференцируем ее по пра-
виду цепочки, а затем заменяем у через----=4- так:
„ Fу (Fхх -]- FХуу') Fx (Fух -f- Fyyy')
У р2
у
р р2____________________OF F F Л_ р р2
__ . XX у ху‘ х‘ У У ‘ уу‘ X
F3
У
Продолжая так дальше, можно вычислить и у'", yIV и т. д.
Даже в том случае, когда уравнение F (х, у) = 0 легко решить
относительно у, часто много легче найти производную от неявной
функции по приведенной формуле, чем раньше решить уравнение,
а .затем дифференцировать явное выражение функции.
37 Р. Курант
578 ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
|3
В качестве примера рассмотрим уравнение окружности
F (х, у)=х24-у2 — 1 =0.
Имеем
У
, Fx
У—Г
гу
Это нетрудно проверить. Решая уравнение окружности относительно у, полу-
чим два решения: у = ]/1 — х2 (для верхней полуокружности) и у = —]^1—х2
(для нижней). Для верхней полуокружности у' = х , а для нижней
у 1 л
/ х
у = ^.2=—==-, так что в обоих случаях у'=—л/у.
В качестве второго примера рассмотрим F (х, у) = ех+У 4- у — х = 0.
Этому уравнению удовлетворяет точка х0=1/2, у0 = —1/2. Вычисление
дает ЛЛ(1/2, —1/2) =0, Fy (1/2, —1/2) = 2. Следовательно, уравнение имеет
решение у — f (х), но вычисление явного выражения этой функции не про-
сто. Тем не менее находим
, Fx
ГУ
ех+У — 1
ех+у 1 •
Пользуясь этим выражением для производной, можно найти, например,
экстремумы функции у — f (х), хотя бы и не зная ее явного выражения.
Необходимым условием экстремума является у' = 0, т. е. е^+У —1=0,
откуда у = — х. Подстановка у = — х в уравнение F (х, у) = 0 дает
1 — 2х = 0, а стало быть, х=1/2, у = —1/2. Вычислив значение f"(x)
при х = 1/2, обнаруживаем, что оно отрицательно, так что функция у — f (х)
имеет в точке х= 1/2 максимум у = — 1/2.
3. Дифференцирование неявной функции многих переменных.
Теорему о неявной функции можно обобщить на функции многих
переменных следующим образом:
Пусть F(x, у, .... z, и) есть непрерывная функция своих
аргументов х, у.....z, и, имеющая непрерывные частные про-
изводные Fx, Fy, .... Fz, Fa. Пусть система значений х0,
у0, .... zQ, и0 удовлетворяет уравнению F = 0, так \что F (х0,
у0....z0, и0) = 0, между тем как Fa (xg, у0......z(t, и0) =# 0.
Тогда можно выделить интервал и1-^гй вокруг и0 и об-
ласть О, содержащую (х0, у0, ..., z^), таким образом, что
уравнением F(x, у, .... z, «) = 0 определяется однозначная
функция и=/(х, у, ..., 2); эта функция удовлетворяет в каждой
точке области О уравнению
F[x, у.....z, f(x, у, .... z)] = 0,
и для нее
«6 = /(*о. Уо...zo)-
Кроме того, функция и = f (x, у.......z) является непрерыв-
ной функцией независимых переменных х, у.......z и имеет
§ 5. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
579
по ним непрерывные частные производные, определяемые урав-
нениями’.
Fх F uf X ==
^ + ^=0,
^ + ^=0.
За доказательством существования и непрерывности функции и
мы опять отошлем читателя ко второму тому. Формулы же для
частных производных fx, fy.....fz легко получаются с помощью
правила цепочки.
Попутно заметим, что понятие неявной функции дает возможность
дать общее определение термина «алгебраическая функция». Функ-
ция u — f(x, у, .... z) называется алгебраической функцией не-
зависимых переменных х, у......z, если эта функция и может быть
определена неявно уравнением Р(х, у, ..., z, и) = 0, где Р есть
многочлен от переменных х, у, .... z, и, т. е. если и удовлетво-
ряет «алгебраическому уравнению». Функции, не удовлетворяющие
никакому алгебраическому уравнению, называются трансцендентными
(стр. 39).
В качестве примера на дифференцирование неявной функции многих
переменных возьмем уравнение эллипсоида
По данному выше правилу получаем частные производные:
_ 2х 2и _____________ с2 х _________2у 2и ______ с2 у .
их~— ~иУ~~Т^:~с2'
дифференцируя полученные выражения вновь по х и по у, мы вычислим
частные производные второго порядка:
с2 1 . с2 х ______ с2а2и2 с4х2
Мдглг а2 и "i- а2 и2 Ujc aiu3 ’
с2 х с* ху
иху — -^---^-иу—— ’
С2 1 | с2 у с2Ь2и2 -|- с4у2
иУУ — — ~Ь2 -^-Г иУ — ^3 •
Упражнения
1. Доказать, что данные ниже уравнения имеют единственные решения
ДЛЯ у в окрестности указанных точек:
а) х2 ху 4" У2 = 7 в окрестности ТОЧКИ (2, 1);
б) х cos ‘ху = 0 » » (1, л/2);
в) ху 4- In (ху) =1 » » (1,1);
Г) х5 4- у5+ху = з » » (1, 1).
2. Найти первые производные от неявных функций, заданных в упр. 1,
в указанных там точках.
37*
580
ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
п
3. Вычислить вторые производные от неявных функций упр. 1 в ука-
занных там точках.
4. Найти максимумы и минимумы функции у = f (х), определенной
неявно уравнением х2 -ф- ху -|- у2 = 27.
5. Показать, что уравнение х -ф- у -\-z = sin (xyz) имеет единственное
решение z — f (х, у) в окрестности точки (0, 0, 0), т. е. единственное реше-
ние, принимающее при х = 0 и у = 0 значение г = 0. Найти частные про-
изводные этого решения в указанной точке.
§ 6. Двойные и повторные интегралы
1. Двойные интегралы. Рассмотрим функцию и = f(x, у), опре-
деленную и непрерывную в прямоугольнике R (а <£, c<Jy<^d)
и принимающую только положительные значения. Мы желаем при-
писать некоторый объем части трехмерного пространства, ограни-
ченной прямоугольником R, поверх-
ностью и = f(x, у) и четырьмя плос-
костями х—а, x = b, у = с, y — d,
перпендикулярными к плоскости х, у.
К тому же объем должен быть опре-
делен таким образом, чтобы он удов-
летворял некоторым элементарным
условиям: 1) если трехмерная область
есть прямоугольный параллелепипед,
т. е. если функция и = £ = const,
то объем должен быть равен про-
изведению площади основания на
высоту, V — (Ь—a)(d— с) k\2)если
разбить прямоугольник R, проведя надлежащие прямые, на меньшие
прямоугольники /?1 и /?2, то объем тела с основанием R должен
быть равен объему тела с основанием Rx плюс объем тела с осно-
ванием /?2; 3) если тело с основанием Rx полностью включает тело
с основанием /?2, то объем первого тела должен быть не меньше объема
второго.
Эти соображения приводят к методу определения объема V,
являющемуся распространением метода определения площади в гл. II
(стр. 103 и след.). Разбиваем прямоугольник R прямыми, параллель-
ными его сторонам, на меньшие прямоугольники Rv R2...........RN,
площади которых обозначим через ASP А32..........ASV. В каждом
прямоугольнике Rj функция u — f(x, у) имеет наименьшее значе-
ние m.j и наибольшее значение Mj. Поэтому прямоугольный парал-
лелепипед с основанием Rj и высотой Mj полностью включает часть
нашего тела, имеющую вид столбика с основанием Rj, а эта часть
содержит внутри себя прямоугольный параллелепипед с основанием Rj
и высотой nij (рис. 136). Отсюда видно, что объем рассматриваемого
элементарного столбика лежит между nij^Sj и Mj А3;-, а стало быть.
1] § 6. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 581
искомый полный объем V должен удовлетворять неравенству
2 rn, AS- < V < 2 М-
J=1 7 = 1
Предположим теперь, что число V частичных прямоугольников
безгранично возрастает, и притом так, что длина наибольшей диаго-
нали стремится к нулю. Естественно ожидать, как подсказывает на-
глядное представление, что обе суммы ^nijASj и ^MjASj будут
сходиться, и притом к одному и тому же пределу. Этот-то предел
мы и назовем объемом V.
Читатель, наверное, заметил, что мы выполнили прямое обобще-
ние рассуждения, проведенного в гл. II, стр. 103. Общий предел
сумм ^ntjASj и 2 MjASj называют двойным интегралом функ-
ции и = f (х, у) по прямоугольнику R и обозначают его символом
/ J /(*• y)dS-
R
Сразу ясно, что если выбрать в каждом прямоугольнике R] по
точке (gz, г]^) и вычислить соответствующее значение / (By. т]у-) функ-
ции и, то
Л'
f f/o. y)dS = lim У/(£у, T1/)A5Z,
'т? ; = 1
так как лежит между суммами 2 tnj ASj и 2 ASj,
стремящимися к интегралу как к своему общему пределу.
Проще всего выполнить разбиение прямоугольника R на элемен-
тарные прямоугольники Rj следующим способом. Сторону прямо-
угольника, для которой делят на п отрезков длиною
Ах ——-— каждый, а сторону делят на т отрезков дли-
. d — c
ною Ау = ———, затем проводят через точки деления прямые,
параллельные оси у и оси х соответственно. Площадь каждого
прямоугольника R}- будет тогда ASj = Ах Ау. Затем в каждом
прямоугольнике Rj выбирают по точке (£•, г]7) и составляют сумму
2/(£,•> П/) AS,. = 2/a? П/)А^Ау.
J i
Когда пит одновременно безгранично возрастают, эта сумма стре-
мится к двойному интегралу как к своему пределу. Этот способ
разбиения подсказывает еще одно обозначение двойного интеграла:
J J / (*. У) dx dy.
R
582 гл. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [1
Такое обозначение со времен Лейбница вошло во всеобщее упо-
требление.
Доказательство того, что предел построенной выше суммы суще-
ствует, если функция и— f (х, у) непрерывна в R, можно выполнить
тем же методом, который был применен в Дополнениях к гл. II
(стр. 159 и след.). Однако мы здесь сформулируем без доказатель-
ства следующее более сильное предложение:
Если функция /(х, у) непрерывна в R всюду, за исключением
возможных конечных разрывов (скачков) на конечном числе
гладких кривых вида y = f(x) и х — <р(у), то двойной ин-
теграл
J f y)dS
R
существует.
(Напомним, что кривые вида y = f(x) или х=<р(у) называются
гладкими, если функции /(х) и <р(у) имеют непрерывные производ-
ные.) Доказательство этой теоремы мы откладываем до второго тома.
Оно основывается на том факте, что при безграничном возрастании
числа элементарных прямоугольников суммарная площадь всех тех
прямоугольников, которые имеют общие точки с лициями разрывов,
стремится к нулю. Поэтому, хотя для таких прямоугольников значе-
ния Mj и /Пу могут сильно отличаться друг от друга, но в суммы
^mj&Sj и эти прямоугольники вносят лишь малый вклад,
стремящийся к нулю.
Опираясь на эту теорему, можно дать определение объема тел,
имеющих своим основанием весьма сложные области О плоскости хОу
и ограниченных поверхностью и — f(x, у) и боковой цилиндрической
поверхностью с образующими, параллельными оси и. Действительно,
пусть область О ограничена конечным числом кривых вида х = <р(у)
или у — f (х) с непрерывными производными <р' (у) и f' (х), и пусть
/(х, у) непрерывна в О. Заключим область О в прямоугольник R
и в точках прямоугольника R, не принадлежащих области О, мы
припишем функции f(x, у) значение нуль. За объем тела, имеющего
основанием область О плоскости х, у и ограниченного поверхностью
U — f(x, у), мы примем теперь двойной интеграл J J /(х, у) dS (по
R
прямоугольнику R). Этот двойной интеграл обычно обозначают так:
J J / (*. У) dS.
о
Из определения двойного интеграла непосредственно вытекают
некоторые простые, но важные его свойства. Мы здесь только сфор-
мулируем соответствующие теоремы; читатель в состоянии доказать
их самостоятельно.
2] § 6. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 583
1) Если функции /(х, у) и g{x, у) интегрируемы по прямо-
угольнику R (т. е. для них существует двойной интеграл по R),
то и функция f(x, y)±g(x, у), а также функция cf{x, у),
где с — постоянная, интегрируемы по R, причем
j j [/ (х, у) ± g (х, у)] dS = j j / (х, у) dS ± j j g (х, у) dS
R R R
J | cf{x, y) dS = c J J / (x, y)dS.
R R
2) Если /(x, y)^>g’(x, у) e R, mo
j / f(x, y)dS^. j j g (x, y) dS.
R R
3) Если область R есть сумма {объединение) областей R}
и R2, то
J j/(х, y)dS = J j/(x, y)dS+- J j/(x, y)dS.
2. Приведение двойного интеграла к повторному простому
интегралу. Мы имеем теперь определение двойного интеграла, era
геометрическое истолкование как объема, а наш опыт с простым
интегралом подсказывает обширную перспективу его практических
приложений, но мы все еще не обладаем методом вычисления таких
интегралов. В этом пункте мы покажем, что вычисление двойного
интеграла можно привести к последовательному вычислению двух
простых интегралов.
Пусть функция u—f{x, у) определена и непрерывна в прямо-
угольнике R {а <Jx с у Если зафиксировать какое-либо
значение х0 в интервале а х Ь, то функция / (х0, у) будет не-
прерывной функцией оставшейся переменной у. Следовательно, суще-
ствует интеграл
d
j /(х0, y)dy,
С
и он может быть вычислен методами, изложенными в предшествую-
щих главах. Этот интеграл имеет определенное значение при любом
выбранном нами значении х0; другими словами, этот интеграл является
функцией ф (х0) величины х0 или, если опустить ненужный уже теперь
индекс 0 при х,
d
j f(.X, у)</у = ф(х).
584 ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
12
Пусть, например, f (х, у) = х2у3, O^x^l, 0<Jy<3. При всяком
фиксированном значении х из интервала 0 х < 1 интеграл j* х2у3 dy =
О
з
= х2 J у3 dy = х2 X2;
является функцией от х. Или же,
4
то J еху dy = у (е4х — ех).
1
стало быть, его можно вычислить, и он
если f(x,y) = exy, 1.<х^2, 1 у < 4.
Итак, найдена функция ф(х); можно доказать, что она непре-
рывна,— это является простым следствием равномерной непрерывности
функции /(х, у). Но коль скоро ф(х) непрерывна, ее можно инте-
грировать от а до Ь, и таким образом получится «повторный ин-
теграл»
ь ь/d \
| Ф (х) dx — J I J / (х, у) dy I dx.
а а 'с /
Можно проделать этот процесс в обратном порядке: сперва вычислить
ъ
функцию от у, определенную интегралом J /(х, y)dx, при фикси-
а
рованном у, а затем эту функцию интегрировать по у от с до rf;
тогда получится другой повторный интеграл:
d , ь ч
j I j / (х, У) dx I аУ-
с \а ]
Эти два повторных интеграла получены последовательным вычисле-
нием двух простых обыкновенных интегралов, изученных нами в пре-
дыдущих главах. Важность повторных интегралов вытекает из следую-
щей теоремы:
Для непрерывной функции f(x, у), а также для функции
f(x, у), имеющей (самое большее) конечные разрывы (скачки)
на конечном числе гладких кривых, двойной интеграл равен ка-
ждому из повторных интегралов'.
Ь , d ч d / Ъ ч
j j/(х, y)dS— j I J f(x, y)rfy|rfx= j I J f(x, y)rfxjrfy.
Я a \c / c \a j
Мы ограничимся наглядным рассмотрением того случая, когда
функция /(х, у) непрерывна. В нашем первоначальном рассмотрении
двойного интеграла как объема тела, имеющего основанием прямо-
2l
§ 6. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
585
угольник и ограниченного сверху поверхностью
и — /(х, у), мы получили этот объем, разбивая тело на вертикаль-
ные столбики и заставляя затем стремиться к нулю диагонали прямо-
угольников, являющихся основаниями этих столбиков. Вместо этого
можно наше тело разбить на слои (пластинки) толщины k — ——с-
плоскостями y = c-\-vk (v=0, 1, 2....т), параллельными плоскости
и,х (эти плоскости пересекают плоскость х, у по прямым и = 0,
у = c-^-vk, v = 0, 1, 2......т) (см. рис. 137). Эти плоскости раз-
резают тело на т слоев, которые становятся при возрастании т все
более тонкими и общий объем которых равен объему всего тела,
т. е. двойному интегралу. Но объем каждого слоя, очевидно, при-
ближенно (но, как правило, конечно, неточно) равен произведению
толщины k слоя на площадь его левой грани, т. е.
ь
k J /(х, c-|-v/e)dx.
а
Если воспользоваться знакомым уже обозначением
ь
<Р (У) = J / (.X, У) dx,
а
то объем слоя получит приближенное выражение (с —vA), а иско-
мый объем всего тела
171-1
v 2 (с+v^)-
V=0
586
ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
13
При т —>с-э эта сумма имеет своим пределом
а
j <p(y)dy.
С
Поэтому разумно ожидать, что объем тела или двойной интеграл
в точности равен этому интегралу:
d d > ь v
J ф (У) dy = j I J / (x, у) dx | dy,
c c \a /
а это и есть высказанное выше утверждение. Аналогичное рассужде-
ние приводит к наглядному оправданию второго утверждения, что и
другой повторный интеграл равен двойному интегралу:
ь , d ч
J | | /(х, y)rfy|dx— [ J /(х, y)dS.
а \с ) R
3. Примеры и замечания. Поясним применение повторного инте-
грала к вычислению двойного интеграла примерами.
Для функции и = f (х, у) — х3у в прямоугольнике R (0 < х < 1, 0 <
<. у < 2) имеем
1,2. 1 1
J Jx3ydS=| Н x*ydy\dx= J [^y-]2dx= J 2x3 dx = [у -*4]1 = у *
'r 0 >0 / О О
Этот пример интересен тем, что он принадлежит к общему классу
функций, интегрирование которых упрощается на основании следую-
щей теоремы:
Если функция u = f(x, у) в прямоугольнике R (а-^х^Ь,
c-^.y^d) может быть представлена в виде произведения функ-
ции одного только х на функцию одного лишь у.
f(x, У) = ф(*)Ф(У).
то двойной интеграл этой функции по прямоугольнику R равен
произведению двух простых интегралов’.
ь а
j J Ф(х)ф(у)</$= J <p(x)dx- J ф(у)«/у.
Я ас
В самом деле, при интегрировании по у функцию <р(х) можно
рассматривать как постоянную и вынести за знак интеграла, а затем,
41
§ 6. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
587
d
при интегрировании по х, J ф (у) dy есть постоянное число; следо-
с
вательно,
b , d
в
а
прямоугольнике
b/d ч d Ь
= j 1ф(*) j ф(у)с?урх = j ty(y)dy j q>(x)dx.
а \ с / с
Пример другого типа — функция и = sin (х -f- у)
; х л/2, 0 < У < л/2). Имеем
Л/2 .л/2
о
Л/2
cos х) dx = [— cos х sin x]J =
и
Рис. 138.
4. Вычисление двойного интеграла по
непрямоугольной области. Начнем с кон-
кретной задачи. Вычислим объем V верти-
кальной призмы, имеющей основанием треугольник плоскости х, у
между осями х и у и прямой линией х-|-у = 1 и усеченной сверху пло-
3 х
скостью ч=~2—~2—У (грань CED на рис. 138).
Начнем с того, что дополним треугольник АОВ (основание усе-
ченной призмы) до квадрата Q: О х 1, 0 у 1 и продолжим
функцию u=f(x, у) на весь квадрат Q, полагая f (х, у) = 0 вне
треугольника АОВ. Тогда при всяком значении х из интервала [0, 1]
функция /(х, у) отлична от нуля лишь при 0<(у<; 1 —х. Поэтому
588
ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[4
Прием, которым мы воспользовались в решении этой задачи,
можно обобщить на любую функцию u — f(x, у), определенную
в области G плоскости х, у, ограниченной кривыми у = ср(х), у —
— ф(х) и прямыми х — а, х = Ь. Предполагаем, что а < # и
Ф (х) Ф (х) в промежутке а х Ь, причем равенство <р (х) — ф (х)
возможно лишь в отдельных точках. Итак, предположим, что область Q
(рис. 139 и 140) задана неравенствами и <р(х)<;у<^ф(х).
Дополним область G до прямоугольника R (о х b, с у <0.
полностью содержащего область G, и в той части /?, которая лежит
вне G, положим / (х, у) = 0. Тогда
d Ф (х)
J /(x, y)dy = j /(х, y)dy
c q> (л)
при всяком значении х из интервала а х Ь, а потому
ь , а
J / f(x, y)dS= j j/(x, y)dS= j ( j /(x, y)dyjrfx =
a R a \c /
b z Ф(х) х
= J I j f(x, y)dy j dx.
a \cp (x) )
Итак, для области G такого вида, как изображенная на рис. 139
или на рис. 140, двойной интеграл выражается через повторный так:
Ь / ф(лг) х
j J f(x, y)dS = j I J /(x, y)rfyjdx.
G a '(p (x) /
y2 u?
В качестве примера найдем объем V эллипсоида-^--]—=^--|—— 1 = 0.
Заметим, что V есть объем тела, ограниченного плоскостью х, у и верх-
4) § 6. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 589
ней половиной эллипсоида, уравнение которой есть и = f (х, у) =
1 —— ^2? • Функция f (х, у), очевидно, определена лишь во вну-
тренней области эллипса, так что область G определяется неравенством
Для вычисления повторного интеграла сначала находим
ф (л) b /1 - х2/а2 __________
j/(x,y)dy= j
4>W — bVl—x2/a2
b /l-jrs/e2 ___________
= 7 J /‘(ЧН’4’-
-b V\-x2la2
Первообразную функцию мы получим, пользуясь формулой (стр. 245)
I У а2 — х2 dx — —arccos V а2 — х2 + С,
в которую надо подставить у вместо х и
1 — -^2- вместо а. Поэтому
Ф tx)
J /(х’
. j с
УИУ= —
о
Ь2
2
1------1 arccos
а2/
г -4
ЬУ\—х21а2
y=b V 1-х2/а2
y=-bVl -х2!а2
1 — j (arccos 1 — arccos (—1)) -f- 0 =
cb
T
It x2 \ Я , Л Хг \
l1—^)(°-я>=2СЧ1_^)
Итак,
a
С { x^ \ Г x^ ”|^ 2
= ясЬ 1-----------j- dx = neb x----------=в -5- nabc,
J \ a ! L 3a2 Jo 3
0
а следовательно, объем эллипсоида
„ 4
У = — nabc.
О
590 ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (5
5. Двойной интеграл в полярных координатах. В нашем опре-
делении двойного интеграла разбиение области на прямоугольники
было, конечно, выбрано просто по той причине, что такое разбиение
более удобно при пользовании прямоугольными координатами. Мы
знаем, однако, что существует много приложений, для которых по-
лярные координаты более подходят, чем прямоугольные.
При рассмотрении функции /(г, 0), где г и 0 — полярные коор-
динаты, более всего подходит разбиение не на прямоугольники,
а на фигуры, ограниченные дугами окружностей г — const и отрез-
ками полупрямых 0 = const. Итак, предположим, что наша функция
/(г, 0) задана в такой области О, определенной неравенствами а
а<^0<^р. (Если функция /(г, 0) задана первоначально
в области G' не такого типа, то мы дополним область G' до объем-
лющей ее области G желательной формы и полагаем f (г, 0)=О
в точках, лежащих вне О'.) Интервал а г b делим на части
точками деления г0 = а, гг, г2, ..., гп = Ь и интервал «<^0<О—
точками деления 0о = а, 0Р 02, .... 0т = р и строим соответствую-
щие дуги окружностей и полупрямые, выходящие из полюса (начала
координат), тем самым разбивая область О на частичные области От-
того же вида, площади которых обозначим через В каждой
элементарной области G^ выберем по точке (рг, Д;) и составим сумму
3/(Рр а затем заставим п и т безгранично возрастать.
Эта сумма будет опять-таки иметь своим пределом объем тела
с основанием G, ограниченного сверху поверхностью u=f(r, 0), и
этот предел можно обозначить символом двойного интеграла
J J/(r, 0)dS.
а
До сих пор мы не встретили ничего существенно нового. Теперь
важно научиться вычислять эти интегралы либо приведением к пов-
торным интегралам, либо к интегралам в прямоугольных координатах.
Построим систему декартовых прямоугольных координат в новой
плоскости, плоскости г, 0, и оси этой системы координат будем
называть осью г и осью 0. Для каждой точки области G с поляр-
ными координатами г, 0 мы построим соответствующую ей точку
плоскости г, 0 с прямоугольными координатами г, 0. Область G:
а^г<^.Ь, а<;0<^р отобразится на плоскости г, 0 в виде прямо-
угольника О', в котором декартовы координаты г, 0 подчинены
тем же неравенствам а г Z>, a 0 р, и каждая элементарная
область Gij1. rt_x 0(_j 0 0,- отобразится в виде малого
прямоугольника 0'^.. Однако площадь прямоугольника G'^
не равна площади Д5г?- элементарной области GZ;-. Отношение этих
площадей легко найти. Площадь прямоугольника Д$^. = (г£—
6] § 6. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 591
X (0;—0y-i)> а площадь криволинейной области выражается
формулой
В каждой элементарной области нам надо выбрать по точке;
выберем точку Рг = -тг (Zi + rz_j), = -g- (Oy-f-0y-i) Тогда, по опре-
делению,
j J/(r. 0)<ZS = lim^/(pz, b^Si}.
о
Но
S/(pz, ^y)Aszy=2/(pz. ^y)P/rfs;y,
а сумма в правой части этого равенства есть как раз та сумма, ко-
торую составляют при определении двойного интеграла от функции
/(г, 0)г по прямоугольнику G' в плоскости г, 0. Поэтому, когда
разбиение делается все более мелким, так что число частичных обла-
стей безгранично возрастает, а линейные размеры каждой из GZ;- стре-
мятся к нулю, то сумма стремится к двойному интегралу и
J J f (г, &)dS — j J f(r, 0) г dS' = J J /(г, 0) r dr dQ =
a o' o'
» Z ₽ X ₽ Z Ь ч
= J I j /(г, 0)г tze ) dr = f ( J f(r, d)rdr | rf0.
a \a / a \a /
В качестве примера вычислим в полярных координатах объем V шара
радиуса а. Верхняя полусфера имеет уравнение и = У а3 — х2 — у2 =
_ У а2— г2, 0<г<а, Ох0Х2л. Имеем
2л / а \ 2л
A-y = J I | /а2 —г2 rdrjde = | [_ 1. (а2 _ Г2)3/2р =
о \о /о
о
4
и, стало быть, V = у яа3.
СО
6. Вычисление несобственного интеграла J e~x*dx. Формулы
—СО
предшествующего п° дают новый способ для вычисления площади бесконеч-
592
ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[7
ной полосы между осью х и кривой у — е~х, —со < х < оо. Соответствую-
щий интеграл часто встречается в теории вероятностей. Этот интеграл осо-
бенно интересен, как пример успешного вычисления определенного интеграла
(в данном случае несобственного, от —оо до -|-оо) от функции, первооб-
разная которой неизвестна (ее первообразная не выражается через элемен-
тарные функции).
Рассмотрим сначала двойной интеграл 1а от функции е~^+уг'> = е~т*
по кругу 0 г а. Его легко вычислить:
Квадрат — а х а, — а < у а содержит внутри себя круг 0<г < а и
сам содержится в круге 0<г<2а, а подынтегральная функция е~х2~у
всюду положительна; следовательно,
Но рассматриваемый двойной интеграл можно записать и в таком виде:
а стало быть,
Заставим теперь а стремиться к бесконечности, и мы сразу получим равенство
ОО
J е~х2 dx = У~л.
— ОО
Так как подынтегральная функция четная, то это вполне согласуется с ре-
ОО
зультатом, полученным другим путем на стр. 484, где
о
7. Статические моменты и центр массы плоской фигуры. Мо-
менты инерции. В гл. V (стр. 327) мы узнали, что статиче-
ский момент относительно оси х системы точек Pv Р2.................Рп
с координатами (хр yj, (х2, у2)....(хл, уп) и массами т}, т2.......тп
п
равен 2 ткУк и что ордината т) ее центра массы (центра тяжести)
* = 1
выражается формулой
п. п
П = лГ Е где М = £ тк.
7]
§ 6. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
593
Мы узнали также аналогичные выражения для статического момента
системы точек относительно оси у и для абсциссы центра масс. Мы
обобщим теперь эти понятия на массы, распределенные равномерно
по плоской области G. Предположим, что масса распределена с плот-
ностью 1 по области G; это значит, что всякая частичная область
области G, имеющая площадь AS, обладает также и массой AS. Тогда
полная масса области G численно равна площади фигуры G:
НИ
о
Разобьем фигуру G на частичные области Gj, G2, .... Gn с площа-
дями ASP AS2......ASn и в каждой части Gft выберем по точке
Лл)' Если вообразить, что вся масса ASft частичной области Gft
сосредоточена в точке (£А, т]й), то статический момент полученной
системы точек относительно оси х будет Su^S^, а ордината центра
массы будет
2 Лд. ^Sk _ 2S Лд.
2 М '
Заставим теперь п безгранично возрастать, а самый большой попе-
речник частичных областей Gk стремиться к нулю; тогда сумма будет
иметь своим пределом двойной интеграл, и мы получим следующие
выражения:
[ f ydS
Tx=HydS, л =
J ' 1 м м
а
Эти выражения мы принимаем в качестве определений статического
момента Тх фигуры G относительно оси х и ординаты т] ее центра
массы. Аналогично статический момент области G относительно оси у
и абсцисса £ ее центра массы даются формулами:
Ту = хdS, -А, где Af=JJ</S.
а ' а
В качестве примера вычислим статический момент полукруга G (—
0<4У~С1Н2—х2) относительно оси х;
= /-'.<«_,=>.<,-4 [^-4]’ =2r..
38 Р- Курант
594
ГЛ. X. ОЧЕРК ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[8
а так как М = J J dS = у л/?2, то ордината центра тяжести
о
2
— /?3
Тх 3 4/?
Исходя из определения моментов инерции /х и /у системы мате-
риальных точек относительно оси х и Оси у:
п п
/х = ^ткуРь. Iy = ^mkx\,
придем, с помощью аналогичного рассуждения, к формулам для мо-
ментов инерции плоской области G относительно осей х и у:
a а
(предполагается, что масса распределена по области Q с поверхност-
ной плотностью 1).
Значение момента инерции, как уже было отмечено в гл. V
(стр. 330), основывается на том, что при вращательном движении
момент инерции играет ту же роль, которую играет масса в посту-
пательном движении. Если, например, материальная фигура G вра-
щается вокруг оси х с постоянной угловой скоростью ®, то ее кине-
1 Г 2
тическая энергия равна y'
8. Дальнейшие приложения. Читатель не должен думать, что
рассмотренные в этой главе приложения двойного интеграла исчерпы-
вают его возможности. С помощью двойного интеграла вычисляется,
например, площадь куска кривой поверхности, а именно: если поверх-
ность задана уравнением z— f(x, у), где функция f(x, у) определена
в области G и имеет в этой области непрерывные частные производ-
df
ные
дх
df
ду ’
и
то площадь F куска этой поверхности, имеющего
своей проекцией на плоскость (х, у) область G, выражается формулой
о
Мы не затронули и многих других интересных тем. Дальнейшее раз-
витие теории и приложений двойного интеграла, а также понятие
тройного интеграла и многое другое выходит за рамки этой книги
и должно быть отложено до второго тома.
§ 6. ДВОЙНЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
595
Упражнения
1. Вычислить следующие повторные интегралы. [Они, как это принято,
записаны упрощенно, без скобок, так что дифференциал, стоящий на первом
месте, относится ко внутреннему интегралу, т. е. интегралу, записанному
на втором месте.]
a b а b
a) J J ху (х2 — у2) dy dx; г) J J хеху dy dx;
0 0 0 0
пл 1 Vl- X1
б) J J cos (x 4- у) dy dx; д) J J y2 dy dx-,
oo oo
e 2 22—x
в) J J -^dydx; e) J J у dy dx.
11 0 0
2. Определить объем тела, ограниченного плоскостью х, у и параболо-
идом 2 = 2 — х2 — у2.
3. Найти объем тела, ограниченного двумя цилиндрическими поверхно-
стями: х2 4* с2 — 1 и у2 4"г2 = 1-
4. Вычислить с помощью двойного интеграла объем меньшей из двух
частей, на которые шар радиуса R рассекается плоскостью, отстоящей на
расстоянии h < R от центра шара.
5. Для следующих ниже фигур найти площадь, центр тяжести, статиче-
ские моменты относительно осей х и у и моменты инерции относительно
осей х и у: _________ х
а) полукруг 0 у < V R2 — х2; б) прямоугольник 0 < х < а, 0 у <6;
в) прямоугольник — а х а, — Ъ <^у ^Ъ; г) эллипс | у | b
д) треугольник с вершинами в точках (0, 0), (а, 0), (0, Ь).
ГЛАВА XI
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ. ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАНИЯ
Мы уже встречались в различных вопросах с дифференциальными
уравнениями, т. е. с такими уравнениями, из которых требуется опре-
делить неизвестную функцию и которые содержат не только эту
функцию, но и ее производные или дифференциалы.
Простейшей задачей такого рода является неопределенное интегри-
рование, т. е. задача нахождения по данной функции f (х) ее перво-
образной функции. Эта задача заключается в определении функции /'(х),
удовлетворяющей дифференциальному уравнению у'—f (х) — 0. Далее,
в гл. III, § 7 (стр. 207), мы решили дифференциальное уравнение
у' — ау и показали, что все решения этого уравнения выражаются
формулой у — сеах при любом значении постоянной с. Затем в гл. V
(стр. 337 и след.) мы видели, что проблемы механики приводят
к дифференциальным уравнениям и вообще оказывается, что многие
области чистой математики и большинство областей прикладной
математики нуждаются в изучении и решении дифференциальных урав-
нений.
Дифференциальные уравнения для определения неизвестных функ-
ций от одной независимой переменной называются обыкновенными',
этим термином отмечается, что они содержат только «обыкновенные»
производные от функций одной независимой переменной. Во многих
ветвях анализа и его приложений большую роль играют и диффе-
ренциальные уравнения с частными производными, служащие для
нахождения функций от нескольких независимых переменных; эти
уравнения содержат кроме независимых переменных и зависящих
от них функций еще и частные производные от искомых функций.
До сих пор мы в тексте встречались почти исключительно с обыкно-
венными дифференциальными уравнениями, если не считать гл. X;
только дифференциальное уравнение для производящей функции много-
членов Бернулли (стр. 542) было, в сущности, дифференциальным
уравнением с частными производными.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший
порядок содержащихся в нем производных. Так, у' =ау есть диф-
ференциальное уравнение первого порядка; дифференциальное урав-
нение движения точки вдоль кривой ms = F (стр. 336), дифферен-
циальные уравнения падения материальной точки (при разных законах
$ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 597
сопротивления воздуха, стр. 337) mx — mg—rx и tnx=mg—гх2. диф-
ференциальное уравнение упругого колебания тх — — kx (стр. 339) —
это все обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.
Двухмерное уравнение Лапласа ^т4“5р" = 0 (УПР- 3, стр. 574),
а также трехмерное и четырехмерное уравнения Лапласа gxx -|- gyy 4~
4-^„==0 и hxx 4- Луу -|- h№ hww = 0 (там же, упр. 4) являются
дифференциальными уравнениями с частными производными второго
порядка.
В этой главе мы, не вдаваясь в их общую теорию, рассмотрим
лишь некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Главное внимание мы уделим дифференциальным уравнениям простей-
ших колебательных процессов; они поучительны в теоретическом
отношении и исключительно важны для приложений.
Необходимо запомнить следующие понятия и определения. Реше-
нием дифференциального уравнения называется всякая функция, кото-
рая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, удовлетворяет
ему при всех рассматриваемых значениях независимой переменной (или
независимых переменных). Вместо термина решение часто пользуются
выражением интеграл дифференциального уравнения, во-первых,
потому, что сама задача является обобщением задачи интегрирования
функций, а во-вторых, потому, что решение действительно нередко
находят путем интегрирования функций или, как принято говорить,
путем квадратур.
§ 1. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка,
решаемые с помощью квадратур
Вспомним задачу интегрирования функции, т. е. нахождение реше-
ния дифференциального уравнения - = /(х); ответ гласит: у =
= J f(x)dx-{-c. Вспомним также, что у дифференциального урав-
нения у' = ау искомая функция у = сеах. В обоих случаях диффе-
ренциальное уравнение имеет не одно-единственное решение и не
конечное число различных решений. Напротив, как мы видим на этих
примерах и как убедимся дальше, всякое дифференциальное уравнение
первого порядка имеет бесчисленное множество решений, которые
выражаются следующим образом. Существует «общее решение-» у(х,с)
дифференциального уравнения, которое зависит не только от незави-
симой переменной х, но еще и от произвольного параметра с, назы-
ваемого постоянной интегрирования', подставляя вместо с конкрет-
ные частные значения, получим различные частные решения. Обшее
решение объединяет, таким образом, все частные решения. Решить
598 гл. :п. сведения о дифференциальных уравнениях (1
или интегрировать дифференциальное уравнение первого порядка озна-
чает найти его общее решение1).
Существует небольшое число типов дифференциальных уравнений
первого порядка, которые можно решить с помощью квадратур (хотя
в большинстве случаев эти интегрирования не могут быть выполнены
с помощью символов элементарных функций).
1. Уравнения с отделяющимися переменными. Если возможно
дифференциальное уравнение путем умножения (или деления) на какое-
либо выражение привести к виду
у В(У) ’
где известная функция А зависит только от х, а В — только от у,
то оно называется дифференциальным уравнением с отделяющимися
переменными. Последнее уравнение можно записать и в такой форме:
А (х) dx-\-B (у) dy = О,
и тогда говорят, что переменные уже отделены. Интегрируя почленно,
получаем
J А (х) dx + | В (у) dy = с,
где каждый символ интеграла означает здесь какую-либо первообраз-
ную для своей подынтегральной функции, ас — постоянную инте-
грирования.
Если обозначить эти первообразные функции, считаемые извест-
ными, через Аг (х) и Вг (у), то получим равенство
A W +А (у) = с,
которое можно считать общим решением дифференциального уравнения
(в неявном виде), потому что, если представить его себе решенным
относительно у, то общее решение получится в явном виде. Ясно,
что решение получено путем квадратур.
_ _ , у dy у
Пример 1. Решим уравнение у' — — или Отделение пере-
де ах х
dy dx , I V I
менных дает —— —--, откуда получаем решение In — = с.
ух х
) Некоторые дифференциальные уравнения имеют кроме общего реше-
ния еще и так называемые особые решения. О них будет сказано в т. II,
гл. VI, § 5. Особым решением дифференциального уравнения называется
такое, его решение, которое не входит в состав общего решения, т. е. не
получается из последнего ни при каких значениях постоянной интегрирова-
ния. [Прим, перев.)
2]
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
599'
лением переменных:
у 2
Пример 2. Дифференциальное уравнение у' = тоже решается отде-
лу dx 1 1 , „
Интегрируя, получаем — — =— ——|-С,
(общее решение).
откуда
Пример 3. Рассмотрим уравнение
уу'4-ху2 =
Приведем его к виду
у dy -J- х (у2 — 1) dx =± 0 или — —l~x dx = 0.
Теперь переменные отделены. Интегрируя, получим
yln| у2—1 i-x2 = c, или |у2 — 1 | е*2 = <?2е = | С1 |,
или также (у2—1)^ = 0].
Упражнения
Решить дифференциальные уравнения:
1. sin х cos у dx + cos х sin у dy = 0.
2. (14-y2)xdx-|-(14-x2)dy = 0.
3. ye2z dx — (1 e2x) dy = 0.
4. (1 4- y2) dx — (2y 4- Vl 4- y2) (1 4- x)3/2 dy = 0.
2. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
[Сначала дадим определение однородной функции измерения т. Функ-
ция двух переменных ф(х, у) называется однородной функцией изме-
рения т, если при любом значении t
Ф (tx, ty) = tmq (х, у).
Примеры однородных функций: sin-j (нулевого измерения), ах-\-Ьу
и У ах2 4-Ьху Ц- су1 (первого измерения), х24~У2 и x2tgy (второго
измерения).
„ , М(х, у).
Дробь -д., ; , у которой числитель и знаменатель — однород-
/V (X, у)
ные функции одинакового измерения т, можно представить как функ-
цию от, одной только дроби у/х. Действительно, положим t—1/х.
Тогда (И(1, у/х) = х~тМ (х, у) и 7V(1, у'х) = x~mN (х, у). Следо-
Al (х, у) А1(1, у/х) х .
вательно, Ny/x) = g (У/х) и является однородной
функцией измерения 0.]
Однородным дифференциальным уравнением первого порядка на-
зывается дифференциальное уравнение вида
М(х, y)dx4~Af(x, y)dy = Q,
600 ГЛ. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [2
где М и N — однородные функции от х и у одинакового измере-
ния. Из него можно выразить производную
dy М (х, у)
dx N (х, у) ’
а так как дробь в правой части есть функция одного только отно-
шения у/х, то однородное дифференциальное уравнение первого по-
рядка может быть записано и в следующем виде:
dx J \ х /
Это уравнение можно упростить методом замены переменной. Вве-
дем новую неизвестную функцию z = у/х, так что у = xz и
у' = xz' -|- Z", преобразованное дифференциальное уравнение будет
xz' + z = f(z)
или
dz ,, ,
X—- = f (Z) Z.
dx J '
Получилось уравнение с отделяющимися переменными. Отделив пере-
менные, получим
dz _______________________________ dx
— z ~ ~х~'
(Предполагаем, что f(z) — 2=#0 и х=£0.) Интегрируя, получим
где с — произвольная постоянная. Интеграл в левой части, который
можно теперь считать известной функцией от z, обозначим через
q>(z), т. е. пусть <p(z) — одна из первообразных; последнее равен-
ство запишется так:
<p(z) = In | X |-|- С ИЛИ ф (у/х) = In | X | + с.
Его можно рассматривать как общее решение (в неявном виде). Если
удастся отсюда выразить у через х, то общее решение получится
в явном виде.
Примеры. 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
dy __ £.
dx х ' у '
Замена зависимой переменной z = у/х, у = zx приводит уравнение к виду
dz , ,1 dz 1
dx' ' z dx z
откуда (после отделения переменных)
. dx
z dz -----
x
3J
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
601
Интегрирование дает
г2 . . , , с
2 ^1-^1 “Ь *2"'
(Здесь удобно произвольную постоянную обозначить через с/2.) Так как
г = у/х, то
у2 = х2 (2 In | х | с)
и у = ±х]/21п |х | 4-с.
2. Решим уравнение первого порядка
(2}Лгу — x)dy4~ydx = 0. (А)
Это однородное дифференциальное уравнение, так как выражения
М (х, у) = у и W(х, у) = 2]/ху— х являются однородными функциями оди-
накового (первого) измерения. Однако здесь легче прийти к цели, если вы-
dy dx
разить не—а —у—:
r dx dy
dx
~dy
, dx
и ввести вместо х новую переменную v = х/у, так что х = vy и = v 4*
4-у 4*. Преобразованное уравнение будет
ау
. dv n-i/— dv , n,r- „
v-f-y -~— = v — 2yv или у —;—\-2vv = 0.
1 dy J dy ' ’
Отделение переменных дает
-4=+^-=о,
2/у 1 у
откуда, интегрируя, получим:
Vv 4-In |у I = с
и окончательно _
Л+1п|у| = С.
Упражнения
Решить следующие однородные дифференциальные уравнения:
1. у2 dx 4- х (х — у) dy = 0.
2. ху dx -j- (х2 4- У2) dy = 0.
3. х2 — у2 4- 2хуу‘ = 0.
4. (х 4- у) dx 4- (у — х) dy = 0.
5. (х2 4- ху) у' = х /х2— у2 4- ху 4- У2.
3. Общее линейное дифференциальное уравнение первого по-
рядка. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида
у'4-а(х)у = 6(х). (а>
Термином «линейный» здесь отмечается, что уравнение линейно, т. е.
первой степени, относительно совокупности символов у и у'. В гл.
602 гл. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [3
§ 7, n°n° 1 и 6, мы полностью решили линейное уравнение первого
порядка с постоянными коэффициентами, т. е. тот частный случай
этого уравнения, когда а (х) = а — const и b (х) = b = const. Однако
уравнение (а) можно полностью решить и в общем случае, если а(х)
и &(х) — непрерывные функции от х, причем решение приводит к
показательной функции и к квадратурам (хотя выполнение этих квад-
ратур с помощью элементарных функций большей частью и невоз-
можно).
Сначала рассмотрим частный случай, когда &(х) = 0. Дифферен-
циальное уравнение (а) можно тогда записать (предполагаем, что
у Ф 0) в виде
у- = — а (х) или = — а (х) dx,
откуда, интегрируя, получаем
In | у | = — J а (х) dx = — (х)+In | с |,
где ах (х) — какая-либо из первообразных функций для а (х), а по-
:тоянную интегрирования здесь целесообразно записать в виде In | с |,
'де с — произвольная постоянная. Потенцирование дает
| у | = | с | и у = ce~a>i-x>. (р)
Эта формула дает и при с = 0 решение уравнения (а), а именно
у» = 0.
Пусть теперь Ь{х) не равно нулю. Введем новую неизвестную
функцию «(х) с помощью формулы
у==и(х)
это преобразование получено заменой в общем решении (р), най-
денном для частного случая, когда &(х) = 0, постоянной с неизвест-
ной функцией «(х) и называется в силу этого изменением или ва-
риацией постоянной. Так как а'х (х) = а (х), то
у' = и' (х) —и (х) (х) = и' (х) е~а^х'>—а (х) и (х) e-a> W,-
и для искомой функции «(х) получается дифференциальное урав-
нение
и'(х) е~а'(Х> = Ь(х) или du = b (х) еа^х'> dx,
•откуда
и (х) = J b (х) еа' dx -|- с,
причем символ интеграла обозначает здесь только какую-либо одну
из первообразных функций для своей подынтегральной функции, а
с — произвольная постоянная интегрирования. Выражение для и(х)
лостроено из известных функций а (х) и b (х) исключительно с по-
4| § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 60S
мощью квадратур, т. е. процессов обыкновенного интегрирования, и
с участием показательной функции. Для первоначальной неизвестной
у получается следующее выражение:
у(х) = b (х) ea-fx> dx-\~ ,
где а1(х)= j одна из первообразных функций для а (х).
Это и есть общее решение дифференциального уравнения (а); оно
содержит одну произвольную постоянную с. В построении преобра-
зования у— и (х) е~а'участвовала произвольная первообразная а} (х);
поэтому могло бы показаться, что различный выбор этой первооб-
разной, определенной лишь с точностью до постоянного слагаемого,
мог бы внести в окончательное решение для у еще одну произволь-
ную постоянную. Но этого не будет. Действительно, если в оконча-
тельной формуле для у(х) заменить а1 (х) через а1(х)-|-с1, то после
упрощения получится прежнее выражение, только лишь с заменой с
на се~с'.
Пример. Решим дифференциальное уравнение у' -|-ху х = 0. Сна-
чала приведем его к виду
у'4-ху = —х,
Г Г х2
так что а(х)=х, Ь (х) = — х. Имеем I a(x)dx = х dx — + С; при-
мем (х) = х2/2. Теперь
J b (х) еа‘dx = — J хе*!/2 dx = — (одна первообразная),
и по формуле общего решения
у (х) = е~х2/2 [—ех‘/2 с] = се~х2/2 — 1.
Правильность результата легко проверить дифференцированием.
Упражнения
Решить следующие линейные дифференциальные уравнения первого по-
рядка:
1. У' + У cos х — cos х sin х.
3. х(х—1)у'+(1—2х)у4-х2 = 0.
5. (1+х2)у'+ху = т-1р-.
6. (1 + у2) dx = (arctg у — х) dy.
2. y'_-^L_ = ^(x+ 1)"..
4. Уравнение Бернулли. Теперь
общее дифференциальное уравнение
4. у'-----у = х4.
рассмотрим несколько
более-
у’ + а (х) у == b (х) у",
(₽)>
где п— любое постоянное число; оно известно под названием урав-
нения Бернулли. Линейное уравнение является его частным случаем
604 гл. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [4
при п = 0. Если п—1, то получается уравнение с отделяющимися
переменными
-57 = (х) — а (х)] у или -у- = [* (х) — а (х)] dx,
которое интегрируется сразу. Поэтому будем предполагать, что п4=\.
Уравнение Бернулли можно решить тем же методом, что и ли-
нейное уравнение. Сперва решаем более простой его частный случай,
когда Z>(x)=O, а именно уравнение
у' + а(х)у = 0.
Его общее решение уже было найдено в предыдущем п°:
y=ce-«iW, (у)
где д1(х)= J a(x)dx есть какая-либо первообразная функция для
а (х). Затем для решения общего уравнения, т. е. уравнения, в ко-
тором 6(х)=£0, применяем уже знакомый нам метод изменения посто-
янной, а именно вводим новую искомую функцию v(x) по формуле
y = v(x')e~a^x'>;
эта формула подсказана найденным выше общим решением (у) для
частного случая уравнения Бернулли и получается из (у) заменой
постоянной с новой неизвестной функцией п(х). Дифференцируя фор-
мулу преобразования, имеем
у' — v'e~a'№ — v (х) e~atW д' (х) = v'e~a‘W — a(x)v (х) е~а>
После подстановки этого выражения и выражения для у в ура-
внение (р) получим для определения п(х) следующее дифференци-
альное уравнение:
е-а,(х) = ь (х) [п (х)]и e~nadx\
в котором переменные можно сразу отделить:
п-л dv — b (х) e(1-«)aiW dx.
Интегрируя, получим
1 — I b (х) йх-|- с,
где под символом интеграла мы здесь подразумеваем лишь какую-либо
одну первообразную. Подставляя сюда вместо v его выражение че-
рез у, v = yea^x\ получим
у’~«=(1 — Г f b{x)e^-^a^dx + c\,
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 695
где Д1(х) есть одна из первообразных для функции а(х), а с — про-
извольная постоянная.
Метод изменения (вариации) постоянной очень важен и может быть
применен во многих случаях.
Пример. Рассмотрим уравнение у' — ху = х3у2. Здесь а (х) = — х,
Ь (х) = х3. Следовательно, j* а (х) dx = — J х dx — — х2/2 -f- с, так что мож-
но принять at (х) = —х2/2, и формула преобразования искомой функции
будет
у = v (х) ех2<2.
Теперь у' — ху = v'ex'^2 -\-vex2^x — xvex2^ = v'ex^2, и преобразованное
уравнение получит такой вид:
ех2/2 _ A.3v2gx! или
dx v2
Интегрируя, получим
= J х3/'2 dx = (х2 — 2) ех2/2 + е,
откуда
(х2 — 2) ег!/2 с
и
ех’/2 _ 1
У (2-х2)ех2/2-с (2-x2) + Cle-x2/2'
где С] = — с есть произвольная постоянная. Этот результат можно полу-
чить просто подстановкой в готовую формулу, выведенную выше, но про-
следить метод решения на конкретном примере значительно более поучи-
тельно.
Упражнения
Решить следующие дифференциальные уравнения в упр. 1 — 7:
1. ху' -|~У = У2 In х.
2- уу'4—g-y2 = sinx (двумя способами: а) как уравнение Бернулли;
б) с помощью замены искомой функции).
3. Зу2у' -I- у3 = х—1 (двумя способами).
4. (х3у34-х2у2 ху -J* О У “Ь (х3у3 — х2у2 — ху 4- 1) ху' = 0.
5. (х3 4- у3) dy — Зх2у dx. 6. у (In х — In у) dy — х dx = 0.
7. (1 4- ех>У) dx 4- еху (1 - dy = 0.
8. Показать, что дифференциальное уравнение вида
у/ = ф( ,д^ + »У+с \
\ а\х 4- + ci /
где a, —постоянные, можно преобразовать в однородное, если
a6i — а,Ь 4=0, следующим способом: надо ввести новую неизвестную функ-
цию и новую независимую переменную:
Я = ах 4-*у 4~ с, |==а1х4-*1у4-с1.
606 гл. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [1
Если же abi — a^b—О, то введением новой искомой функции г] = ах-|-6у
уравнение преобразуется в новое уравнение, с отделяющимися переменными.
9. Применить метод, указанный в предыдущем упражнении, к уравнениям:
a) (2x + 4y+3)y' = 2y + % + l;
б) (Зу — 1х 3) у' — Зу — 1х 7.
10. Решить дифференциальное уравнение у'Ц-у2 = 1/х2.
§ 2. Дифференциальное уравнение второго порядка;
его общее решение и частные решения.
Неполные уравнения второго порядка
1. Общее решение и частные решения дифференциального
уравнения второго порядка. Начальные условия. В задачах меха-
ники и физики чаще всего встречаются обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения второго порядка, в которых независимой переменной
служит время t. Поэтому мы в дальнейшем будем обозначать неза-
висимую переменную через t, а искомую функцию через х. В гл. V,
§ 4 (стр. 337—339), мы уже имели дело со следующими уравнениями
второго порядка:
mx = mg— гх, mx = mg— гх2, тх =—kx, s = f(s).
Все эти уравнения были решены полностью: для первых трех реше-
ние удалось выразить через элементарные функции, а решение по-
следнего уравнения было выражено в квадратурах, т. е. с помощью
интегралов от заданных функций. Во всех этих задачах найденное
для искомой функции выражение x(t) содержит помимо независимой
переменной еще и два совершенно произвольных параметра С] и с2.
Это общее положение. В отличие от дифференциального уравнения
первого порядка, общее решение которого содержит одну произволь-
ную постоянную, для всякого дифференциального уравнения второго
порядка существует «.общее решение» x(t, ср с2), содержащее две
произвольные постоянные сг и с2, именуемые постоянными интегриро-
вания. Подставляя вместо сг и с2 какие-либо определенные значения,
получим каждый раз определенное частное решение, и притом любое
частное решение может быть получено из общего решения подста-
новкой вместо Cj и с2 подходящих частных значений. Таким образом,
общее решение есть множество всех частных решений.
Этот факт вполне понятен (в частности, на задачах, рассмотрен-
ных в’ гл. V, § 4). Нельзя ожидать, что одно только дифференциаль-
ное уравнение физического процесса само по себе определит пол-
ностью его течение. Напротив, представляется естественным, что
в определенный момент времени, скажем в момент t — Q, можно,
выбрать произвольно начальное положение х (0) = х0 и начальную ско-
рость х (0) = хп (короче говоря, начальное состояние); другими сло-
вами, в момент времени f = 0 материальная точка может быть при-
ведена в движение из любого начального положения с любой начальной
21
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
607
скоростью. И уже когда это выполнено, можно ожидать, что движе-
ние будет вполне определено. Две произвольные постоянные и с2
как раз и служат для того, чтобы выделить то частное решение,
которое соответствует выбранным начальным условиям, и этих по-
стоянных ровно столько, сколько для этого требуется. В § 4, п° 4
(стр. 617), на примере дифференциального уравнения колебаний будет
показано, что это частное решение определяется начальными данными
однозначно, и там же мы узнаем, как его выделить.
2. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка.
Понижение порядка. Дифференциальное уравнение второго порядка
непременно должно содержать вторую производную х и может еще
содержать независимую переменную t, искомую функцию х и ее пер-
вую производную х. Таким образом, самое общее дифференциальное
уравнение второго порядка имеет следующий вид:
F(t, х, х, х) = 0.
Если в этом уравнении не участвуют явно какие-либо из величин t,
х, х (независимая переменная, искомая функция, ее первая произ-
водная), то оно называется неполным.
Неполное дифференциальное уравнение второго порядка можно
всегда преобразовать в дифференциальное уравнение первого порядка
простым приемом: надо принять первую производную х за новую
неизвестную функцию. Этот метод называется методом понижения
порядка.
а) Очень просто это сделать, если в уравнении не участвует явно
искомая функция х. (Присутствуют ли t и х, безразлично для успеха
преобразования.) Уравнение имеет тогда вид P(t, х, х) = 0. Примем
v = x за новую неизвестную функцию; теперь x = v и уравнение
принимает вид F(t, v, п) = 0. Это д. у. (дифференциальное уравне-
ние) первого порядка, которое стараются решить изложенными выше
методами. Пусть найдено его общее решение <р(Л v, с2) = О, содер-
жащее, как полагается, одну произвольную постоянную сР Подставив
сюда вместо v его выражение v = х, получим новое д. у. первого
порядка ф(Л х, (?1) = 0. Его общее решение даст искомую функ-
цию x(t) в явном или неявном виде, причем появится вторая произ-
вольная постоянная с2.
Пример 1. Решим д. у. 2ахх= 1.
Это неполное д. у. второго порядка: в нем нет искомой функции х (нет
здесь явно и независимой переменной i; это не влияет на метод решения,
но упрощает, конечно, его ход). Вводим новую неизвестную функцию x = v;
теперь х = v. Дифференциальное уравнение принимает вид
2av^=l.
at
608 гл. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [2
Это д. у. первого порядка с отделимыми переменными: 2av dv — dt. Инте-
грируя, получаем
av2 = или Vow — ± .
Подставив сюда v = х, имеем новое д. у. первого порядка
У а ~ ± или У и dx = ±Уtсх dt,
и новое интегрирование дает
У а (х + с2) = ± 4- <* + ci>’/s-
О
Это общее решение удобнее записать в другой форме, возведя обе части
в квадрат:
а(х + с2)2 = 1(/ + С1)з.
Пример 2. (1 4-х2) у" -\-ху' = 0.
Здесь х — независимая переменная; в уравнении не присутствует явно
искомая функция у. Вводим новую неизвестную функцию у' — р, для которой
получается д. у. первого порядка
(14-х2) р' 4-хр = 0.
Переменные легко отделяются:
dp х dx
р ~ 14-х2’
и, интегрируя, имеем
In | р | = — И (i 4- х2) 4- In I Ct I,
откуда
। p 1=и p = - Ci .
У1 + х2 /14-х2
(Нет нужды писать ± Cj, потому что Cj—произвольная постоянная, спо-
собная принимать как положительные, так и отрицательные значения.) Но
р = у'; следовательно, имеем опять д. у. первого порядка
dy _ Cj
dx ’Kl 4-х2 ’
откуда у = arsh х 4~Ca- Это и есть общее решение исходного д. у. вто-
рого порядка.
б) Пусть теперь д. у. второго порядка не содержит явно незави-
симой переменной t, а искомая функция х в нем присутствует. Урав-
нение имеет следующий вид:
F (х, х, х) = 0.
(Содержит ли уравнение х или нет, безразлично для успеха метода
решения.) Введем и здесь x — v в качестве новой искомой функции,
так что х — V. Но здесь мы сталкиваемся с затруднением; при введении
новой искомой функции предполагается, что прежняя искомая фупк-
2] § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 609
ция тем самым убирается, а здесь уравнение принимает вид
F (х, V, v) = 0, в котором наряду с новой неизвестной функцией v
осталась и прежняя х. Это затруднение преодолевается следующим
приемом. Представляем себе, что v зависит от t не прямо, а через
посредство х, так что v есть сложная функция: г» = г/(х), где
... , • dv
х — х(г); поэтому v = v x = —^-v, и исходное д. у. приводится
к такому виду:
F(x, г», vu') — О,
в котором v служит искомой функцией, а прежняя функция х играет
роль независимой переменной. Его общее решение должно содержать
одну произвольную постоянную Ср т. е. будет выражаться так:
ф (х, v, Cj) == 0.
Подставив сюда v — х, получим новое д. у. первого порядка:
ф (х, х, cj — 0,
общее решение которого будет содержать помимо сх еще одну про-
извольную постоянную с2.
Пример 1. Возьмем д. у. второго порядка х = /(х), которое было
уже решено другим путем в гл. V (стр. 339) при изучении движения мате-
риальной точки по заданной кривой. Полагая x = v, откуда x — vv', при-
водим д. у. к виду
dv
В этом д. у. первого порядка переменные сразу отделяются:
v dv = f (х) dx,
Г Ci
а следовательно, -g- = I f (х) dx = fi (х) -у, где (х) обозначает одну
из первообразных функций для f (х). Разрешаем .это уравнение относительно v:
v = V2fx (х) + сР
Заменяя v его выражением v = х, имеем новое д. у. первого порядка:
_ , , Г dx .
Его общее решение есть : = J । -f-c2, причем символ интеграла
означает здесь одну из первообразных для своей подынтегральной функции.
Это решение содержит две произвольные постоянные и является решением
исходного д. у. второго порядка.
Пример 2. уу" = 1 — (у')2-
На этот раз через х обозначена независимая переменная, а искомая
функция есть у. В этом д. у. отсутствует независимая переменная х. Вводим
„ .. , , d2y dp dp dy dp
в качестве новой искомой функции р = у ; тогда = — = — = ~~ р.
39 Р- Курант
610
ГЛ. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
[1
Преобразованное дифференциальное уравнение будет
dp , , pdp dy
УР -т- = 1 — Р или 7е—
dy г 1 — р1 2 у
Интегрируя, получим
1П | у | = — А 1П | 1 — р2 | И | Ci | ,
а после потенцирования
С1
ci
, откуда 11 — р21 = —
У2
у Тн-/>21
С2 С2
т. е. либо 1 — р2 — —г, либо р2 — 1 = —.
* у2 г у2
Vy2—cl
В первом случае р = ±-------
у dy
ние переменных дает ± — — = dx,
______ /у2 -А
± У у2 — с2 = х -j- с2. Отсюда у2 — с2 = %2
Во втором случае последовательно имеем:
У у2
ИЛИ
/у2 —с?
---------; отделе-
У
интегрированием получаем
dy
dx
dy
У dy
или ± —. = dx; ±
У /у2-Ы
и, наконец, у2 с2 = х2 Ц- 2с2х -|- <%
Оба случая можно объединить в одной формуле:
dx
и
Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения второго
порядка.
Упражнения
Решить дифференциальные уравнения:
1. у" + (.у')2 + 1 =0. 2. (14-х2)у"+2ху' = 0.
3. (1 — У) у" + 2у' = 0. 4. хх = 2 (л:)2.
5. (1 — t2) s — ts = 2. 6. ay" = у'.
7. Определить движение материальной точки по оси х под действием
силы, притягивающей ее к началу координат и обратно пропорциональной
квадрату расстояния от начала.
§ 3. Дифференциальное уравнение колебаний в механике
й физике
1. Простейшие механические колебания. Простейший тип меха-
нических колебаний мы уже рассмотрели в гл. V, § 4. Речь шла
о материальной точке массы т, способной двигаться вдоль оси х и
связанной с точкой покоя х = 0 упругой силой. По условию вели-
2) § 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ 611
чина возвращающей упругой силы пропорциональна отклонению х и,
стало быть, равна (—kx), где k — положительная постоянная, а зна-
ком минус подчеркивается, что сила всегда направлена к началу коор-
динат. Теперь мы предположим, что существует еще сила трения,
пропорциональная скорости точки х и направленная в сторону, ей
противоположную; следовательно, сила трения измеряется выражением
(—гх), где «коэффициент трения» г — положительная постоянная.
Допустим, наконец, что на точку действует еще внешняя сила, за-
данная как функция f (t) времени t. Тогда, по основному закону
Ньютона, произведение массы т на ускорение х должно быть равно
упругой силе, сложенной с силой трения и внешней силой, т. е.
должно быть равно их равнодействующей. Это выражается следую-
щим уравнением:
тх -|- гх + kx = f (t),
которое и описывает движение материальной точки. Это дифферен-
циальное уравнение называется уравнением колебаний, хотя процесс,
описываемый этим уравнением (см. стр. 616), далеко не всегда является
колебательным.
Дифференциальное уравнение (любого порядка)
dnx dn~^ х dx
dtn dtn * dt
называется линейным. Если коэффициенты а0, at, а2.ап — постоянные
числа, то оно называется линейным дифференциальным уравнением (л. д. у.)
с постоянными коэффициентами. Ясно, что уравнение колебаний есть л. д. у.
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Член f(t) (внешняя сила) называется правой частью уравнения
колебаний или возмущающим членом. Если внешняя сила отсутствует,
т. е. f(t)=Q, то движение точки называется свободным движением
или свободным колебанием, а дифференциальное уравнение назы-
вается однородным или уравнением без правой части. Если же
внешняя сила /(/) не равна нулю при всех значениях t, то движение
точки называется вынужденным, а дифференциальное уравнение —
неоднородным или уравнением с правой частью.
2. Электрические колебания. Механическая система описанного
выше простого типа может быть фактически реализована лишь при-
ближенно. Например, теория малых колебаний маятника есть лишь
приближенная теория. Колебания магнитной стрелки, вибрации центра
телефонной (микрофонной) мембраны и другие механические колеба-
ния тоже можно заменить описанной схемой только с некоторым
приближением. Существуют, однако, процессы другого типа, которые
с гораздо большей точностью соответствуют нашему дифференциаль-
ному уравнению. Это явления, происходящие в электрическом колеба-
тельном контуре.
39*
612 ГЛ. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Р
Рассмотрим колебательный контур, изображенный схематически
на рис. 141, обладающий индуктивностью L, сопротивлением R и
емкостью С. Кроме того, пусть на контур действует внешняя электро-
Рис. 141.
движущая сила <р (Y), заданная как функция вре-
мени t, например напряжение, подаваемое генера-
тором переменного тока, или напряжения, воз-
буждаемые электромагнитными волнами. Для того
чтобы вывести дифференциальное уравнение про-
цесса, происходящего в контуре, обозначим напря-
жение (разность потенциалов) на обкладках конден-
сатора через Е, а заряд конденсатора через Q.
Эти величины связаны соотношением CE — Q.
Сила тока J, которая тоже будет, как и напря-
жение Е, функцией времени t, определяется как изменение заряда
в единицу времени, т. е. измеряется скоростью уменьшения заряда
конденсатора: J= — Q = — СЁ. Согласно закону Ома, произведе-
ние силы тока на сопротивление равно суммарной электродвижу-
щей силе, т. е. равно в данном случае напряжению на обкладках
конденсатора минус электродвижущая сила самоиндукции LJ (она
действует в противоположном направлении) плюс внешняя электро-
движущая сила ф(0- В итоге получается уравнение
RJ = E— Л/-]-ф(О, или —RCE=E-\-LCE-\-y(t),
или, окончательно, уравнение
ЛД + /?Д + ^Д = --^Ф(О, (1)
которому должно удовлетворять напряжение в контуре, как функция
времени. Получилось дифференциальное уравнение точно того же
типа, что и для механических колебаний в п° 1. Что касается коэф-
фициентов уравнения, то вместо массы здесь индуктивность, вместо
коэффициента трения—сопротивление, вместо коэффициента-упру-
гости — величина, обратная емкости; внешней же силе соответствует
здесь внешняя электродвижущая сила (помноженная на постоянный
коэффициент). Если внешняя электродвижущая сила равна нулю, то
дифференциальное уравнение будет без правой части.
Из уравнения (1) можно вывести дифференциальное уравнение и
для силы тока J. Для этого умножим (1) на (—С) и продифферен-
цируем его по времени. Так как —CE = J, —СЁ — j и —СЁ = Ё
то для /, как функции времени, получается дифференциальное уравнение
LJ+ RJ-+- -^г/ = ф(/).
От уравнения для напряжения Е оно отличается лишь правой частью,
а в случае свободного движения, когда ф(£) = 0, оно с ним совпа-
дает полностью.
2] § 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕЗ ПРАВОЙ ЧАСТИ 613
§ 4. Решение линейного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами без правой части.
Свободное движение
1. Общая теорема о решениях л. д. у. без правой части.
Всякое линейное дифференциальное уравнение без правой части
(О х (О х 4~ ^2 (О х=== Q (А)
обладает следующим замечательным свойством: если, функции xx(t)
и x2(t) являются решениями уравнения (А), то и выражение
x = cxxx(t)-\-c2x2(t) (В)
будет решением этого уравнения при всех значениях постоян-
ных Cj и с2.
Доказательство. Тот факт, что xx(t) и x2(t) являются
решениями, выражается следующими тождествами:
ао (f) xi 4~ ai (О xi 4~ а2 (0 xi = о»
а0 (О Х2 4~ а1 (t) х2 "Ь а2 (О х2 = О-
Подставим теперь функцию (В) в левую часть дифференциального
уравнения (А):
d2 d
а° ~d№ (Cl%l + С2*2> + (0 -Ц (4*1 4- 4*г) 4~ а2 (О (4*1 + С2*г) =
= О0 (^) (С1%! 4~ 4*г) 4~ а1 W (4*1 4“ с2*г) 4“ а2 (0 (4*1 4“ с2*г) ~
= С1 [й0 (t) Х14- (t) %! 4- а2 (f) xj 4-
4" с2 lao (0 *2 4- а1 (О *2 4“ а2 (О *2] = О-
Левая часть оказалась тождественно равной нулю, что и доказывает
наше утверждение. Доказанная теорема поможет нам в следующем п°
построить общее решение л. д. у. типа (А), но с постоянными
коэффициентами.
Эта теорема справедлива для л. д. у. без правой части любого
порядка, что читатель без труда сам докажет.
2. Формальное решение. Для дифференциального уравнения без
правой части с постоянными коэффициентами (стр. 611)
тх 4“ гх 4- kx = О
легко получить решение, имеющее вид показательной функции х = еи.
[На мысль искать решение в такой форме наводит тот уже изве-
стный нам факт (см. стр. 207), что линейное уравнение без правой
614
ГЛ. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Р
части первого порядка х-|-ах = 0 имеет частное решение e~at именно
такого вида.] Для этой цели надо попытаться так подобрать постоян-
ную X, чтобы выражение х = е~и удовлетворяло уравнению. Под-
ставив это выражение и его производные по t, х = %ем и х — №еи,
в дифференциальное уравнение и сократив на общий множитель е'л,
получим для определения X квадратное уравнение
/пХ2 rX k = 0.
Корни этого уравнения
Хд —— — 4mk, Ц = ------------J— V г1 — 4mk.
J 2т 1 2m ’ 2 2т 2т '
Из способа их получения вытекает, что каждая из функций хх (t) = ек^
и x2(t) = является, по крайней мере формально, решением диф-
ференциального уравнения; это можно проверить и прямой подста-
новкой. При этом возможны три различных случая.
а) г2 — 4mk > 0. В этом случае корни Кх и Х2 действительны,
различны и оба отрицательны. Как было сказано, мы имеем пока
два отдельных решения: = и x2(t) = е'-^. На основании
доказанной выше теоремы, с помощью этих двух решений можно
сразу построить такое решение дифференциального уравнения, кото-
рое содержит две произвольные постоянные сх и с2, а именно:
х = сххх (t) -j- <?2х2 (0 = схе^ с2е^(.
Что это выражение действительно является решением, легко прове-
рить и непосредственно: надо только дважды его дифференцировать
и подставить в дифференциальное уравнение. С другой стороны, в п° 4
(стр. 617) будет доказано, что это выражение представляет собой
самое общее решение нашего дифференциального уравнения, т. е.
всякое решение может быть получено из этого выражения путем под-
становки вместо С; и с2 подходящих численных значений.
б) г2 — 4mk — 0. Квадратное уравнение имеет один двойной корень
Х =— 2^-. Стало быть, мы пока располагаем только одним
решением Xj (/) = е 2т . Однако простое рассуждение наводит в этом
случае на другое решение. Пусть квадратное уравнение имеет два
различных корня X и Хр Xj#=X. Тогда выражение
e'',z — е'л
тоже
Л । — Л
будет решением нашего дифференциального уравнения. Заставим
теперь Xj стремиться к X; тогда lim —= —^-eu = teu, и
естественно ожидать, что полученная функция teu будет решением
дифференциального уравнения без правой части, если X есть двойной
корень квадратного уравнения. Но легко проверить, что в этом
2]
§ 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕЗ ПРАВОЙ ЧАСТИ
615
случае функция
__Z_ t
х2 (Z) = te 2т
удовлетворяет дифференциальному уравнению. Действительно,
х2 = (1 — -f-tje'2^ , — е~^‘ \
1 \ 2т j 1 \ 4m2. т)
подставив эти выражения в левую часть дифференциального уравне-
ния, получим после упрощений
t ( г2 \
тх2 rx2 -|- kx2 — е 2т Zl— -^-+/г1-=0,
так как r2 — 4mk.
Итак, имеем два решения: хг (t) = e 2m и х2 (f) — te 2т* , и
с их помощью получаем для дифференциального уравнения без пра-
вой части такое решение:
__r_ t t
х = Cjg 2т + c2te 2т ,
которое содержит две произвольные постоянные: и с2.
в) г2 — 4/wA < 0. В этом случае можно положить г2 — 4mk —
= — 4m2v2, и два решения дифференциального уравнения получаются
в следующей комплексной форме:
t+ivt
Xj (f) = e 2m и x2(t) = e 2m
С помощью формул Эйлера e±lvt — cosvt ± zsinvZ эти комплекс-
ные решения можно записать так:
-J- t
xx(t) — e 2т (cosvZ + zsin vZ) = «! (Z) +lu2(t),
x2(t) = e 2m (cosvZ— z sin vZ) = (Z)— /«2(0
и отделить вещественную часть от мнимой:
rt rt
ux(t) = e 2m cosvZ, zz2(Z) = e 2m sinvZ.
С другой стороны,
„ (0 + x2 (0 ,, _ Xi (t) — x2 (t)
“i W ~ § “2 W--------2i
Из последних выражений видно, что действительные функции иг (Z)
и «2 (0 являются решениями дифференциального уравнения. Предла-
гаем читателю в качестве простого, но полезного упражнения про-
верить это прямой подстановкой в дифференциальное уравнение.
616 гл. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [3
С прмощью двух решений и} (f) и и2 (0 можно составить общее
решение
х = CjUj (f)-j-с2и2 (t) — е 2т (q cosv^ + c2sinvO.
содержащее две произвольные постоянные сг и с2. Это решение
можно записать и в другой форме:
х — ае 2т cos v (t — 6),
если положить c1~acosvi>, c2==csinv6. В этой записи решения
произвольными постоянными являются а и б.
Напомним, что это решение нам уже знакомо для частного слу-
чая г = 0 из гл. V, § 4 (стр. 339).
3. Физическое истолкование решения. В первых двух случаях
(когда г > 2 mk или г — 2 пг/е) решение выражается показа-
—— t
тельной функцией или функцией te 2т , график которой при боль-
ших значениях t мало отличается от графика показательной функции,
или же линейной комбинацией этих функций. В этих случаях процесс
является затухающим и не имеет колебательного характера: при воз-
растании времени t отклонение х от точки покоя асимптотически
приближается к нулю, не совершая колебаний вокруг значения х = 0.
Действие трения или затухания в этих случаях настолько велико, что
упругая сила не может его преодолеть и не в состоянии вызвать
колебательное движение.
Совершенно иное течение имеет процесс в третьем случае, когда
г<2]/пгЛ, когда трение г столь мало, что появляются комплекс-
ные корни %! и Z2. Тогда общее решение дается формулой
х = ае 2ш cos v (t — 6),
которая дает теперь затухающие колебания. Эти колебания можно
представить себе образно как гармонические колебания с круговой
/~k г2
—— 4^Г’ н0 с «амплитудой», убывающей по пока-
зательному закону ае 2т 1, вместо того чтобы быть постоянной, как
при настоящих гармонических колебаниях. Это убывание «амплитуды»
тем быстрее, чем больше показатель затухания г/2т. В физиче-
ской литературе показатель затухания обычно называют логарифми-
ческим декрементом затухающего колебания. Этим термином хотят
отметить, что логарифм «амплитуды» убывает со скоростью г[2т.
Процесс такого затухающего колебания изображен на рис. 142. Вели-
чину Т = 2n/v называют условным периодом колебания, а величину
vd — начальной фазой. В том частном случае, когда г — 0, получаются
§ 4. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕЗ ПРАВОЙ ЧАСТИ
617
настоящие гармонические колебания с круговой частотой v0 ——
собственной частотой незатухающей колебательной системы.
4. Выделение частного решения, удовлетворяющего заданным
начальным условиям. Единственность решения. Остается еще
показать, что найденное решение, содержащее две произвольные
постоянные и с2, можно приспособить к любому заданному началь-
ному состоянию, а также доказать, что оно исчерпывает все множе-
ство решений дифференциального уравнения. Пусть требуется найти
такое решение, которое в момент
чальным условиям х (0) = х0, х (0)
быть заданы совершенно произ-
вольно. Тогда в первом случае из
п° 2 надо положить
С1 —F с2 = Х0< СА1 с2^2 = х0-
Из этих двух линейных уравнений
для неизвестных сг и с2 получаются
единственные значения:
„___^гхо ха „________ха— ^1хь
Х2 —Л, ’ 2~~ Л2 — ’
так как определитель системы
%2 — ^1
Во втором случае тот же при<
времени t = 0 удовлетворяет на-
= х0, причем числа х0 и х0 могут
дает два линейных уравнения:
С1 = х0’ ’2тС1~^~С2 — х°’
из которых Cj и с2 тоже определяются однозначно.
Наконец, в третьем случае для определения постоянных а и б
получается следующая система уравнений:
a cosvd = х0, alvsinvd — cos vd] = х0,
из которых для неизвестных а и 6 опять получается единственная
система значений:
Тем самым действительно выяснено, что полученное общее реше-
ние можно в любом из трех возможных случаев приспособить к про-
извольно заданному начальному состоянию. Остается доказать, что
других решений не существует, а для этого достаточно обнаружить,
что заданному начальному состоянию не могут соответствовать два
различных решения.
618 гл. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Доказательство поведем от противного. Предположим, что суще-
ствуют два решения u(f) и v(t), для которых
и (0) = х0, и (0) = х0 и v (0) = х0, v (0) = х0.
Тогда разность этих решений тг» — u(t)— v(t) тоже будет решением
дифференциального уравнения, и это решение будет соответствовать
начальному состоянию те»(О) = О, те»(О) = О, т. е. начальному состоя-
нию покоя; это значит, что решение те» (7) соответствует такому на-
чальному состоянию, при котором в момент t — 0 материальная точка
находится в своем положении покоя со скоростью, равной нулю.
И мы должны доказать, что при таких начальных условиях она ни-
когда и не придет в движение. Для этой цели помножим дифферен-
циальное уравнение
mw 4- гте» Ч- k-w = 0
на 2те»; так как 2те»те» =-^-те»2, a 2те»те» = те»2, то в результате по-
лучится
(тате»2) (!ш2) Ч~ 2гте»2 = 0.
Проинтегрируем теперь это равенство почленно от момента t — 0 до
t = x\ принимая во внимание начальные условия те»(О) = О, w(0) = 0,
получим
т
/и [те» (т)]2 Ч~ k [те» (т)]2 Ч- 2г | [те» (Z)]2 dt = 0.
о
Но это равенство содержало бы противоречие, если бы те» было от-
лично от нуля в какой-либо момент времени т > 0; действительно,
тогда левая часть была бы положительной величиной, так как т, k
и г по условию положительны, между тем как правая часть есть
нуль. Следовательно, те» = «(^) — т»(/) постоянно равно нулю, и един-
ственность решения доказана.
Упражнения
Для дифференциальных уравнений в упр. 1—5 найти общее решение,
а затем частное решение, соответствующее начальным условиям х (0) — 0,
х(°) = 1.
1. х — За -(- 2х = 0.
2. х За 2а = 0.
3. 2а 4- А — А = 0.
4. а Ч- 4а Д- 4а = 0.
5. 4а 4- 4а -j- а = 0.
6. Найти общее решение дифференциального уравнения
А 4--Т 4-А = о,
1] § 5. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 619
а также его частное решение, соответствующее начальным условиям
х(0) = 0, х(0) = 1. Определить круговую частоту v, условный период Г,
амплитуду а и начальную фазу v6 этого решения.
7. Найти решение уравнения 2х -f-2х -|- х = 0, соответствующее началь-
ному состоянию х(0) = 1, х (0) = — 1. Вычислить амплитуду а, начальную
фазу vS и круговую частоту v этого решения.
Найти общее решение каждого из следующих дифференциальных урав-
нений:
8. ^_6^+94 = О.
dt3 dt2 1 dt
d3y d2y rfy „
dx3 dx2 ' dx
d4y _ d2y
dxi dx2'
§ 5. Линейное уравнение с правой частью.
Вынужденное движение
1. Общие замечания. Прежде чем перейти к решению проблемы
при наличии внешней силы f (t), т. е. к интегрированию линейного
уравнения с правой частью, сделаем несколько важных замечаний.
Во-первых, если w(Z) и v (£)—два решения уравнения с правой
частью, то их разность и (t) — tv — v удовлетворяет соответствую-
щему уравнению без правой части; это сразу обнаруживается путем
подстановки этой разности в дифференциальное уравнение. Обратно,
если u(t) есть решение уравнения без правой части, a v (^ — реше-
ние уравнения с правой частью, то tv(t) = u-]-v является тоже ре-
шением уравнения с правой частью. Стало быть, из одного-един-
ственного (частного) решения уравнения с правой частью можно
получить все его решения путем прибавления к этому частному ре-
шению общего решения уравнения без правой части (так называемой
дополнительной функции). Следовательно, остановка только за тем,
чтобы найти одно лишь решение уравнения с правой частью. Физи-
чески это означает, что если имеется одно вынужденное движение,
вызванное внешней силой, и на него налагается произвольное сво-
бодное движение (это и выражается прибавлением общего решения
уравнения без правой части), то получится процесс, удовлетворяющий
тому же уравнению с правой частью, которому удовлетворяет перво-
начальное общее вынужденное движение. При наличии трения нала-
гающееся свободное движение всегда со временем затухает (под влия-
нием множителя е 2т ). Поэтому для данного вынужденного движе-
ния с трением безразлично, какое на него налагается свободное
движение; со временем процесс все более и более приближается
к одному и тому же установившемуся состоянию.
620 ГЛ. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [1
Во-вторых, если сила f (t) разложена на составляющие, то и
действие силы можно разложить на части, соответствующие этим ее
составляющим. Это означает следующее: если
/(0 = /1(0 + /2(0
и если X] = X! (0 есть решение дифференциального уравнения
тх -J- rx + kx — (t), а х2 = х2 (f) есть решение уравнения
тх -|- rx + kx = /2 (0> то сумма х (f) — хг (t) -4- х2 (t) является ре-
шением уравнения тх rx + kx = f (t). Конечно, соответствующее
утверждение остается справедливым, если возмущающий член / (t)
состоит из любого числа слагаемых. Этот простой, но важный факт
носит название принципа суперпозиции действия сил. Что касается
доказательства, то оно легко получается лри одном взгляде на диф-
ференциальное уравнение. Указанное свойство дает возможность путем
разбиения функции f(t) на два или большее число слагаемых заме-
нить дифференциальное уравнение несколькими более простыми, ко-
торые часто легче решить.
Важнее всего тот случай, когда внешняя сила f(t) периодическая.
Такую периодическую внешнюю силу, если она является ку-
сочно гладкой (стр. 523), можно разложить в ряд Фурье, а стало
быть, ее можно аппроксимировать с какой угодно точностью с по-
мощью суммы конечного числа членов вида ancosnat-\-bnsinnat.
Поэтому достаточно будет найти решение нашего дифференциального
уравнения для того случая, когда его правая часть имеет вид
a cos at и Z>sin«tf,
где а, Ь и со — какие угодно постоянные.
Вместо того чтобы работать с этими тригонометрическими функ-
циями, можно получить решение дифференциального уравнения проще
и изящнее, если воспользоваться комплексной записью. Полагаем
/ (t) = ceia>t, и принцип суперпозиции показывает, что достаточно
найти решение дифференциального уравнения
тх 4- rx-\- kx = сеia>t,
где с — любое действительное или комплексное число. Смысл такой
записи заключается в том, что это уравнение объединяет два диффе-
ренциальных уравнения с действительными коэффициентами. Пусть
для простоты с — любое действительное число. Тогда, разбивая пра-
вую часть на два члена, пользуясь формулой Эйлера eiat = cos at -j-
-f-isincitf, видим, что наше комплексное дифференциальное уравне-
ние равносильно двум действительным дифференциальным уравне-
ниям
тх 4- гх 4- kx = с cos at и тхгхkx = с silicon
2]
§ 5. ЛИНЕЙНОЕ уравнение с правой частью
621
в том смысле, что решения xx(t) и x2(t) этих двух действительных
уравнений объединяются в решение Xj (t) ix2 (f) комплексного диф-
ференциального уравнения. Обратно, если получено решение ком-
плексного дифференциального уравнения, то его действительная часть
даст Xj (/), а его мнимая часть даст функцию х2 (t).
2. Решение уравнения с правой частью вида сеы. Частное
решение уравнения тх -f- гх -4- kx — ceiat мы будем искать с помощью
естественной гипотезы, подсказанной опытом. При этом будем счи-
тать с действительным числом и предположим сначала, что г 4= 0.
Наша гипотеза заключается в том, что существует такое движение,
которое следует за периодической внешней силой в том же ритме и
выражается функцией вида
х = aeia>t,
и требуется лишь определить не зависящий от времени множитель о;
точнее: требуется узнать, при каком значении множителя о эта функ-
ция будет решением. Подставляя в дифференциальное уравнение
функцию х = aeiat и ее производные х — iooeia>‘ и х = — <в2оегга/ и
сокращая на общий множитель elat, получим уравнение
— та2о + irao ka = с,
откуда
с
— та2 -|- «га -|- k
Обратно: ясно, что при этом значении коэффициента о функция oeiat
действительно является решением дифференциального уравнения с пра-
вой частью cel<i,t. Таким образом, комплексное решение такого вида
найдено. Для того чтобы разобраться в смысле полученного резуль-
тата, надо будет еще выполнить некоторые преобразования.
Комплексный коэффициент о мы запишем в следующем виде:
с k — та2 — ira
ГГ-- --------------- - С ________________ rrfp — l№>
(k —та2) 4-ira (А —/м)2)2+г2<о2
причем положительный «коэффициент искажения» а и сдвиг
фазы (об выражаются через известные величины т, г, k так:
„ 1 . , га
а — - ; tg «о =---------,
У (А — та2)2 г2а>2 й — та>2
созб)б = (/г— та2) a, sinab — raa.
С помощью этих новых обозначений найденное решение записы-
вается так:
х = сае2ш<-‘~6\
и смысл его таков: сила с cos at вызывает движение cacosa(t— б),
а сила csinco£ вызывает движение casin<o(^ — б).
622 ГЛ. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [3
Итак, мы видим, что действие силы, т. е. процесс, вызванный
внешней силой, есть функция того же вида, что и сама сила,
а именно незатухающее колебание. Это колебание отличается от ко-
лебания, совершаемого силой, тем, что амплитуда помножена на ко-
эффициент искажения а, а фаза сдвинута (отстает) на угол иб. Ко-
нечно, тот же результат можно получить и не прибегая к комплексной
записи, но ценой большей затраты труда на вычисления.
Согласно общим замечаниям, сделанным в п° 1, с нахождением
одного частного решения задача интегрирования дифференциального
уравнения завершена, так как, прибавляя к найденному частному ре-
шению общее решение соответствующего л. д. у. без правой части,
получим самое общее решение нашего уравнения с правой частью,
т. е. самое общее вынужденное колебание.
Резюмируем еще раз полученный результат.
Общее решение дифференциального уравнения тх Д- rx kx =
= се‘">‘ есть х — caeia,'1~^-\-c1u1 (0 + с2и2 (/), где с1и1 (Z)-f- c2u2(f)
есть общее решение дифференциального уравнения без правой части
тх rx Д- kx = 0, а величины а и 6 определяются по формулам:
а = 1 ; cos соб = (k — та2) a, sin соб = гаа. г
У (k — та2)2 + r2a2
Постоянные с1 и с2, входящие в состав дополнительной функции,
дают возможность выделить решение, удовлетворяющее произвольным
начальным условиям, т. е. при любых наперед заданных значениях х0
и х0 можно так подобрать значения и с2, чтобы было х(О) = хо
и х (0) = х0.
3. Кривая резонанса. Для того чтобы составить себе наглядное
представление о полученном решении и о его значении в приложе-
ниях, исследуем коэффициент искажения а как функцию «возбу-
ждающей частоты» (о:
/ ч 1
а = ф (со) — г . . ... .
V\k — mm2)2 + г2т2
К такому исследованию нас побуждает то обстоятельство, что на за-
данную колебательную систему, т. е. на систему, характеризуемую
заданными постоянными значениями k, т, г, могут действовать пе-
риодические «возбуждающие силы» ceiat самой разнообразной ча-
стоты со и поэтому важно выяснить зависимость вынужденного коле-
бания от возбуждающей частоты. Для более удобного описания хода
изменения функции а = ф(<о) введем величину а0 —У к/т; а0 есть
круговая частота тех свободных колебаний, которые совершала бы
наша система, если бы трение г равнялось нулю, или, говоря короче,
собственная круговая частота нашей системы, лишенной зату-
3] § 5. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 623
хания (ср. стр. 616—617). Действительная частота свободных коле-
баний этой системы, в силу наличия трения г, равна не со0, а
причем предполагается, что 4km— г2 > 0, ибо в противном случае
бессмысленно говорить о частоте свободных колебаний системы, так
как она не может совершать свободных колебаний.
Когда возбуждающая частота со стремится к бесконечности, то
функция а = ф(со) приближается асимптотически к нулю, причем по-
рядок ее убывания такой же, как величины 1/со2. С другой стороны,
Ф (0) = 1/k; другими словами, возбуждающая сила частоты нуль и
амплитуды 1, т. е. постоянная сила величины 1, вызывает опреде-
ленное отклонение колебательной системы, равное l/k. Производная
ф' (со) может обращаться в нуль в области со > 0 лишь при тех зна-
чениях со, которые обращают в нуль производную от подкоренного
выражения (k— may2)2 -f- г2со2; стало быть, ф'(со) обращается в нуль
при значении со = сох > 0, удовлетворяющем уравнению
— 4/nco (k — may2) -|- 2г2со = 0.
Такое значение, очевидно, существует в том и только в том случае,
если 2km— г2 > 0, и тогда
»=/
Так как функция ф(со) всюду положительна, при малых положитель-
ных значениях со монотонно возрастает, а в бесконечности исчезает,
то значение C0j дает максимум функции а = ф (со). Круговая частота сог
называется резонансной частотой системы.
Подставляя в функцию значение со = соь найдем величину макси-
мума. Это максимальное значение
Ф =---------/- а 1 •
V т 4т2
Это значение тем больше, чем меньше г. При г = 0, т. е. при от-
сутствии трения, функция ф(со) обращается при со = C0j в бесконеч-
ность; этот случай — предельный, и он позднее будет рассмотрен
особо.
График функции а— ф(со) называется кривой резонанса колеба-
тельной системы. Тот факт, что при со = со2 (при малом трении г
это происходит вблизи собственной частоты системы соо) искажение
амплитуды а=ф(со) особенно велико, является математическим выра-
жением явления резонанса, которое при неизменных значениях т
и k тем резче выражено, чем меньше коэффициент трения г.
624 ГЛ. XL СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ [3
На рис. 143 изображено семейство кривых резонанса; все они соответ-
ствуют одним и тем же значениям /п = 1 и й = 1, а стало быть, и <оо = 1,
но построены для различных значений г. На рисунке видно, что при малых
значениях г ясно выраженный резонанс (четкий максимум) происходит
вблизи <о=1; в предельном случае г = 0 вместо максимума был бы при
<о=1 бесконечный разрыв. При возрастании г максимум смещается влево,
и при г = р^2" получается «ц = 0; в этом случае точка, в которой кривая
Рис. 143.
имеет горизонтальную касательную, достигла оси <р, а максимум исчез. При
г>/2 производная <р' (<о) вовсе не обращается в нуль, кривая резонанса
уже не имеет максимума, и резонанса не возникает.
Вообще, если параметры т, k, г удовлетворяют условию
2km — г2 О,
то система не дает резонанса. В случае знака равенства, т. е. когда
r = y2km, кривая резонанса начинается при ©] = 0 с начальной
ординаты <р (0) = 1 /k; в этой точке (0, 1/k) она имеет горизонталь-
ную касательную, а затем медленно снижается до нуля.
4] § 5. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ 625
4. Более подробное исследование процесса колебания. Про-
веденное исследование еще не может нас удовлетворить. Для того
чтобы, действительно уяснить себе процесс вынужденного колебания,
необходимо подчеркнуть еще один пункт. Частное решение сае1®^-®
следует рассматривать лишь как предельное установившееся со-
стояние, к которому с течением времени все более и более прибли-
жается общее решение
х (f) = caeiaU~6> Cj«! (О -|- c2«2 (О-
так как свободное движение CjWj (0 4~ С2И2 налагающееся на чистое
вынужденное колебание, затухает со временем. Этот процесс затуха-
ния протекает тем медленнее, чем меньше г, и тем быстрее, чем г
больше.
Допустим, например, что в начале движения, при t — 0, система
находилась в покое, т. е. х (0) = 0 и х (0) = 0. Из этих условий
определяются постоянные сг и с2, и сразу ясно, что они не равны
одновременно нулю. И даже в том случае, если возбуждающая
частота <о приблизительно или точно равна с»!, так что должен бы
быть резонанс, то относительно большая амплитуда cq = ф(а>1) не обна-
ружится с самого начала, она будет замаскирована функцией c1ul(t)~y
4- с2и2 (t) и проявится позднее, после некоторого затухания этой
функции, а это произойдет тем медленнее, чем меньше г.
Для незатухающей системы, т. е. при г=0, наше частное реше-
I ие вообще отказывается служить, если при этом возбуждающая
частота со равна собственной частоте ®0 = ]/k/m, так как в этом
случае <р (<л>0) обращается в бесконечность. Это значит, что уравнение
тх 4- kx = се1'”"1 не имеет частного решения вида ае1^*. Но в этом
случае можно получить частное решение нашего уравнения, имеющее
вид x = ateia^. Подставив в уравнение эту функцию и ее производ-
ные
х = ае 0 (1-4-и х =; оа f2zo)o— Zcoq),
получим после сокращения на е1а>^
a (2immQ — matff 4- kf) — с,
а так как та^ = к, то отсюда
с
о =-?п----•
2i та0
Таким образом, когда возникает резонанс в системе без затухания,
мы получаем частное решение
X = giOfjt ___
21тыа 2i У кт
40 Р. Курант
626
ГЛ. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
(5
Это значит, что если правая часть уравнения есть действительная
функция f(t) — c cos®0Z, то х
ct t
то х —-------== cos conr.
4V km °
ct
2 V km
sin aot, если же f (f)=c sin &ot,
Найденное теперь частное решение представляет собой функцию,
которую тоже можно назвать колебанием, но с «амплитудой», воз-
растающей пропорционально времени. Налагающееся на него свобод-
ное колебание в этом случае не затухает, так как отсутствует трение;
но оно постоянно сохраняет свою первоначальную амплитуду, и его
значение становится все менее и менее существенным по сравнению
с возрастающей амплитудой чистого вынужденного колебания. Сле-
довательно, истинный смысл обращения в бесконечность резонансной
функции а —ф(со) для системы без трения раскрывается в том факте,
что в этом случае чистое вынужденное решение колеблется между
положительными и отрицательными границами, абсолютная величина
которых возрастает со временем.
5. Замечания по поводу регистрирующих приборов. Исследование,
проведенное в п° 4, имеет исключительное значение для разнообразнейших
приложений в физике и технике. При работе со многими приборами, напри-
мер с гальванометрами, сейсмографами, с электрическими колебательными
контурами в радиоприемных устройствах, с микрофонными мембранами и
т. д., возникает задача об автоматической записи колебания какой-либо
величины х под действием внешней периодической силы. Во всех таких
случаях величина х, как функция времени t, удовлетворяет, по крайней мере
в первом приближении, нашему дифференциальному уравнению колебаний.
Периодическую внешнюю силу с периодом Т можно разложить в ряд
Фурье вида
“ и i
. /(0= Ц W Т
1= —со
или, лучше, приближенно представить ее, с достаточной точностью, триго-
N и —t
неметрическим многочленом 2 У Iе Т
Согласно принципу суперпозиции (стр. 620), частное решение х (t) нашего
дифференциального уравнения можно тоже представить в виде бесконечного
ряда
о° и — t
X(t)= у cte т
1~ —00
(вопросов сходимости мы здесь поднимать не будем) или приближенно с по-
мощью конечного выражения
Il yr t
x[t) = У, <ty? Т
1--N
5]
§ 5. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
627
Используя полученные ранее
(стр. 621) результаты, имеем тогда
.. 2лг
— т
°1 = У1а1е
где
«/ = —~ -------------> tg —=г- S,
1 Да /2 4Я2 \2 I 2,2 4Я2 Г
2nlr
ZT. 4л2/2 \ '
ту-™—)
Итак, действие произвольной периодической внешней силы на нашу
систему можно описать следующим образом. Возбуждающую силу разлагают
на гармонические компоненты, выражаемые отдельными членами ряда Фурье;
каждая компонента вызывает в системе свое колебание со своим искаже-
нием амплитуды и своим сдвигом фазы, а затем эти возбужденные колеба-
ния складываются. Если нас интересуют только искажения амплитуд, то изу-
чение кривых амплитудного резонанса дает полную картину того, каким
образом движение регистрирующего прибора отражает внешнее возбуждение.
Влияние возбуждающих гармоник с большими номерами I и большими
2л , -
частотами <»[ = -у I едва заметно скажется на отклонении х прибора. На-
против, все возбуждающие частоты, лежащие вблизи резонансной (круго-
вой) частоты Го], очень сильно отразятся на отклонении х. Что касается
смещений фаз, то они играют в приложениях второстепенную роль (потому,
например, что их не воспринимает наше ухо); впрочем, их можно исследо-
вать путем, аналогичным методу исследования искажений амплитуд.
При конструировании'физических измерительных или регистрирующих
приборов можно распоряжаться параметрами m, г, k в широких границах.
Их стараются выбрать так, чтобы форма кривой резонанса возможно лучше
соответствовала потребностям измерения. В этом вопросе решающую роль
играют два требования.
Во-первых, желательно добиться возможно большей чувствительности
прибора, т. е. больших значений величины а = <р (со), для интересующего
экспериментатора интервала значений возбуждающей частоты со. Как мы
видели, для малых значений <в величина а пропорциональна 1/А, так что
число 1/А может служить мерой чувствительности прибора при небольших
значениях возбуждающей частоты. Стало быть, чувствительность прибора
можно увеличить путем уменьшения параметра А, т. е. путем ослабления
упругой связи.
Во-вторых, существенную роль играет требование свободы от относи-
тельных искажений отдельных гармоник. Допустим, что возбуждающая
сила приближенно представлена, с достаточной точностью, тригонометри-
ческим многочленом
" il^t
f(t)= Sv
1--N
Тогда мы будем говорить, что прибор регистрирует возбуждающую силу
f (t) без относительных искажений отдельных гармоник, если для всякой
2д
частоты о N коэффициент искажения а = <р (о) имеет приблизительно
одно и то же значение. Это требование совершенно необходимо, если за-
ключения о ходе возбуждающего процесса хотят извлекать непосредственно
из поведения прибора. Так, например, граммофон или радиоприемник должен
воспроизводить высокие и низкие ноты музыкального произведения, не иска-
жая их относительной силы звука. Требование отсутствия относительного
40*
628 ГЛ. XI. СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
искажения гармоник невозможно, конечно, выполнить точно, так как никакая
часть кривой резонанса не проходит точно горизонтально. Однако можно
стараться так подобрать параметры т, г, k прибора, чтобы не было замет-
ного резонанса и чтобы резонансная кривая имела в точке ® = 0 горизон-
тальную касательную, и тогда функция а = <р (<в) будет приблизительно
постоянна при малых значениях со. Мы уже знаем, что этого можно добиться
при значениях т, г и k, удовлетворяющих условию
2km — г2 = 0.
Взяв какие-либо постоянные значения т и k и изменяя г, можно удовлет-
ворить этому требованию подбором надлежащего трения г (или включением
в колебательный контур подходящего сопротивления). Кривая резонанса
показывает, что начиная от частоты 0 до частот, близких к круговой ча-
стоте ю0 незатухающей системы, прибор регистрирует почти без относи-
тельного искажения и что при о) > м0 затухание значительно. Отсюда видно,
что добиться отсутствия относительного искажения в заданном интервале
частот можно следующим образом: сначала выбрать т настолько малым и k
настолько большим, чтобы собственная частота соо незатухающей системы
превышала наибольшую из интересующих нас возбуждающих частот, а затем
включить трение г, удовлетворяющее уравнению 2km — г2 = 0.
В последних параграфах мы изучили колебательные явления про-
стейшего типа. Во втором томе мы еще вернемся к дифференциаль-
ным уравнениям и тогда же рассмотрим колебательные процессы
более общего характера.
Упражнения
В каждом из упражнений 1—5 найти решение дифференциального урав-
нения, удовлетворяющее начальным условиям х (0) = 0, х (0) — 0. Для урав-
нений 1—4 найти также амплитуду и начальную фазу установившегося вы-
нужденного колебания, а также значение <о, при котором эта амплитуда
наибольшая.
1. х Зх 4~ 2х = cos at.
2. х + х х = cos at.
3. x 4- x 4- x = sin at.
4. 2x 4- 2x 4- x — cos at.
5. x 4- 4x 4- 4a = cos at.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XI
1. Найти все кривые, у которых отрезок касательной имеет постоянную
длину а. (Отрезком касательной называется ее отрезок между точкой каса-
ния и осью х.)
2. Найти все кривые, пересекающие под прямым углом семейство кри-
вых у — секх, где с — параметр семейства, т. е. каждому значению с соот-
ветствует одна кривая данного семейства.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XI 629»
3. Если s обозначает длину дуги провисающей нити, отсчитываемую от
той ее точки, где касательная горизонтальна, то форма нити определяется
дифференциальным уравнением
d d I. dy\
-т—Ins =-r- In-j^ .
dx dx \ dx j
„ , x — x0 ,
Зная это, показать, что уравнение нити есть у — а сп—-—— с.
4. Решить дифференциальное уравнение электрической цепи (без емкости)-
LJ -ф- RJ — Ев sin at,
где L, R, Ео, а — постоянные.
5. Материальная точка М массы т падает вдоль оси х по направлению-
к началу координат, которое притягивает ее с силой, пропорциональной ее
массе т и обратно пропорциональной кубу расстояния между ними. Найти
закон движения и время падения (т. е. время достижения начала координат),,
если при t — 0 было х = а и скорость v = 0.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА
В гл. I мы исходили из допущения, что действительные числа образуют
совокупность, в которой обычные действия арифметики можно выполнять
тю тем же правилам, что и над рациональными числами. Здесь мы тщательно
исследуем это допущение. Арифметические действия над рациональными
числами мы будем считать данными. Нашей целью является выполнить
абстрактное аналитическое расширение системы рациональных чисел с тем,
чтобы построить более широкую систему действительных чисел, и добиться
этого, не опираясь в доказательствах на интуицию. Наши определения должны
быть формулированы таким образом, чтобы из них вытекала, как их логи-
ческое следствие, приложимость обычных правил арифметики ко всем дей-
ствительным числам в такой же мере, как они применимы к рациональным
числам.
Введение иррациональных чисел будет выполнено в тесной связи с тща-
тельным рассмотрением понятия предела; при этом будет повторено в пере-
работанном виде исследование, проделанное в Дополнении I к гл. I (стр. 80
и след.). Единственное отличие новой точки зрения от прежней состоит
в том, что теперь мы будем исходить из логического отвлеченного понятия
действительного числа, между тем как прежде свойства действительных
чисел предполагались известными.
1. Определение действительного числа с помощью гнезда интер-
валов ’)• Иррациональные числа и вообще действительные числа были опре-
делены в гл. I, § 1 стр. 23, с помощью десятичных дробей, причем рациональ-
ные числа представлялись конечными или периодическими десятичными
дробями. Записывая такую десятичную дробь, скажем а = 0, ajfl2a3 ..., мы
хотим сказать, что число, представленное этой дробью и обозначенное
через а, лежит между рациональным числом ал = 0, а,а2 ... ап и рациональ-
ным числом ал4_10-в. Таким образом, число а определено с помощью по-
следовательности все более суживающихся интервалов, каждый из которых
содержится в предшествующем, причем n-й интервал имеет длину 10_”.
Для нашей нынешней цели было бы неудобно ограничиваться такими
специальными последовательностями интервалов, в которых длина n-го ин-
тервала равна 10~”- Мы начнем со следующего общего определения.
Рациональным (замкнутым) интервалом [а, Ь} мы будем называть сово-
купность всех рациональных чисел х, удовлетворяющих неравенствам
а < х < Ь, где а < Ь, причем а и b — рациональные числа. Положительное
число Ь — а называется длиной интервала. Мы будем говорить, что интервал
[с, а’] содержится в интервале [а, Ь], если а<с < d i. Бесконечная по-
следовательность рациональных интервалов [аь [а2, Ь2], ... называется
') Мы делаем попытку ввести в русскую математическую литературу
вместо длинного выражения «стягивающаяся последовательность вложенных
интервалов» термин гнездо интервалов (nest of intervals), общепринятый
в математической литературе на английском языке; этим термином поль-
зуется и автор книги- (Ппим. перев.)
11
ПРИЛОЖЕНИЕ
631
гнездом интервалов, если каждый интервал [ап, Ьп] содержит интервал
[ап+1, следующий непосредственно за ним, а длина Ьп— ап стремится
к нулю. Это значит, что для всякого наперед заданного сколь угодно малого
положительного числа е существует такое натуральное число N (е), что
длина Ьп — ап меньше, чем е, при всех индексах п, превосходящих N.
Число е должно быть, конечно, рациональным, так как никакие другие числа
еще пока не введены.
Исходя из наглядного представления гнезда интервалов и вспоминая,
в частности, как с помощью гнезда интервалов можно выделить точку на
числовой оси (это показано на стр. 25), естественно прийти к мысли, что
возможно дать определение произвольного действительного числа посред-
ством гнезда интервалов. Это надо понимать так. Действительное число за-
дается тем бесконечным процессом приближения, который определяется
гнездом интервалов. Гнездо, общий член которого есть интервал [ап, Ьп},
дает для подлежащего определению числа а тот факт, что это действитель-
ное число лежит между и Ь\, оно лежит также между а2 и Ь2, между
а3 и Ь3 и т. д. Таким образом, гнездо интервалов дает нам два рациональ-
ных числа, сколь угодно близких друг к другу, между которыми лежит
определяемое действительное число.
Существенный шаг, который мы теперь делаем, состоит в том, что мы
оставляем мысль получить объективное определение иррациональных чисел.
Мы отказываемся от попытки охарактеризовать иррациональные числа как
данные математические объекты со специфическими свойствами. Мы не
говорим, что иррациональное число есть такой-то и такой-то математический
объект; вместо этого мы довольствуемся тем процессом приближения, ко-
торый дается гнездом интервалов, и рассматриваем каждый такой процесс
как определяющий действительное число. Если существует рациональное
число а, содержащееся во всех интервалах [ап, Ьп}, то действительное число,
определяемое гнездом \ап, Ь„], считается тождественным с числом а.
Это определение включает рациональные числа в систему действительных
чисел.
Таким образом, на слова «иррациональное число» или, более общо,
«действительное число» можно смотреть просто как на обозначение гнезда
интервалов !). Только это имеют в виду, когда утверждают, что иррацио-
нальное число дается или определяется гнездом интервалов. На практике
это сводится к тому, что всякое действие над действительными числами
является действием над гнездами интервалов. Это приводит к тому, что
возможность производить вычисления с действительными числами зависит
логически от действий над рациональными числами.
Необходимо выработать подход для определения сложения, умножения
и других действий над действительными числами с помощью гнезд интер-
валов. При этом правилам действий должны быть даны такие формулировки,
чтобы обычные законы вычислений сохраняли силу. Кроме того, должно
быть обеспечено, что не возникнет противоречий с правилами вычислений
над рациональными числами.
Прежде всего мы покажем, что наше определение действительных чисел
подсказывает расположение действительных чисел по величине. Это само
по себе обеспечит достаточную основу для аксиоматического построения
понятия предела и более полного его понимания. Когда это будет достиг-
нуто, мы вернемся к вопросу о правилах вычисления с действительными
числами.
') Процессами такого типа часто пользуются, когда желают дать точную
формулировку математических понятий. Например, при введении бесконечно
удаленных точек в проективной геометрии эти точки не трактуют как опре-
деленные математические объекты сами по себе; просто говорят, что беско-
нечно удаленная точка дается пучком параллельных прямых.
632
ПРИЛОЖЕНИЕ
[2
2. Расположение действительных чисел по величине. Пусть два
числа а и у заданы гнездами интервалов [ап, bn] = 1п и [cn, dn} = jn. Тогда
возможны следующие три случая.
1) Начиная с некоторого номера п = па и дальше всякий интервал jn
лежит справа от 1п, т. е. при п = па и, конечно, при всяком п > п0 имеем
Ьп < сп- Тогда говорят, что у больше, чем а, и пишут: у > а.
2) Если, напротив, начиная с некоторого номера п0 и дальше in лежит
справа от jn, то говорят, что а > у. В этом случае при п па всегда dn < ап.
3) Не имеет места ни одна из описанных двух ситуаций. Тогда говорят,
что оба гнезда интервалов 1п и jn определяют одно и то же число: а = у.
Таким образом, два гнезда интервалов определяют одно и то же число в том
и только в том случае, если интервалы 1п и jn всегда частично перекры-
ваются, т. е. если одновременно an£^dn и Ьп~^-сп, другими словами, если
оба интервала 1п и ]п имеют при всяком п общие рациональные точки.
Из этого определения, в частности, вытекает, что если одно из двух гнезд
интервалов получается из другого опущением конечного или бесконечного
числа составляющих интервалов, то оба гнезда определяют одно и то же
действительное число.
Все эти правила для сравнения двух действительных чисел по величине
нетрудно понять с точки зрения наглядного смысла гнезда интервалов.
Отметим теперь несколько простых фактов о неравенствах между дей-
ствительными числами. Они пригодятся в дальнейшем.
Сначала сделаем следующее замечание. Пусть число а задано гнездом
интервалов [а„, Ьп], а число у — гнездом [cn, dn]; тогда, если окажется, что
начиная с некоторого номера п = п0 и далее выполняется неравенство an^dn,
то уже можно заключить, что а< у.
Действительно, если а = у, со это соотношение удовлетворяется на осно-
вании определения равенства действительных чисел, а если а < у, то, начиная
с некоторого номера, имеем Ьп < сп, а стало быть, подавно ап < dn. Но и
обратно, если начиная с некоторого номера и далее ап < dn, то либо Ьп сп
для тех же значений п, и тогда, согласно определению, а = у, либо же для
какого-либо значения п будет Ьп < сп, так что а < у.
Точно таким же путем убеждаемся, что выполнение условия сп Ьп при
всех достаточно больших значениях п эквивалентно соотношению а^у.
Из сказанного ясно, что если а есть действительное число, определен-
ное гнездом интервалов [ап, &п], то ап < a -sj bn. Этот факт оправдывает наше
правило сравнения чисел, так как он показывает, что всякое действительное
число в самом деле содержится в любом интервале определяющего его гнезда.
Если а и р — два действительных числа и а < р, то (замкнутым) интер-
валом или (числовым) отрезком [а, р] называют совокупность всех действи-
тельных чисел g, удовлетворяющих соотношению a р. Этот интервал
называют рациональным интервалом, если его «конечные точки» аир
являются рациональными числами. Если а < g < р, т. е. знаки равенства
не допускаются, то говорят, что действительное число g лежит внутри
интервала. Если действительное число £ лежит внутри интервала [а, 6], то
этот интервал называют окрестностью числа д.
Всякий интервал содержит внутри себя рациональные числа. В самом
деле, пусть гнезда интервалов [ап, Ьп] и [cn, dn] определяют числа аир.
Так как а < р, то существует такое число п0, что ЬПа < сп. Следовательно,
а < р. Ясно, что рациональное число г = (Ьп> -|- сп^ лежит
внутри интервала [а, р].
Отсюда вытекает следующий вывод: если [а, р] является окрестностью
действительного числа у, то [а, р] содержит рациональную окрестность
числа у. Чтобы найти такую окрестность, надо только выбрать такие два
рациональных числа а и Ь, что а<а<у<&<р. Нетрудно также убедиться,
что если а < р, то можно найти такие рациональные окрестности [а, Ь] для
31 ПРИЛОЖЕНИЕ 633
числа а и [с, </] для ₽, что b < с, т. е. такие рациональные окрестности,
которые не имеют общих точек.
Определением основных действий над действительными числами мы
займемся только в п° 8 (стр. 638). Предварительно мы проанализируем
понятие предела с помощью изложенных здесь идей.
3. Принцип точки сгущения ’). Определение действительного числа
с помощью гнезда интервалов образует существенную основу доказательства
принципа точки сгущения Вейерштрасса. Сначала сделаем несколько заме-
чаний о самом понятии точки сгущения.
Пусть дано бесконечное множество М действительных чисел, причем
допускается, чтобы одно и то же число встречалось в этом множестве
несколько раз и даже бесконечное число раз. (Таким является, например,
множество!, 1, 1, ...) Если число £ обладает тем свойством, что всякая
его окрестность содержит бесконечное количество чисел, принадлежа-
щих множеству М, то g называется точкой сгущения множества М.
Само название напоминает о геометрической связи между числами и точками.
Так как всякая окрестность действительного числа £ содержит рациональную
окрестность, то достаточно сформулировать изложенное определение в тер-
минах только рациональных окрестностей.
Бесконечное множество чисел не обязательно имеет точку сгущения.
Например, множество целых чисел не имеет такой точки. Точка сгущения
множества не обязательно является элементом множества. Например, мно-
жество 1, 1/2, 1/3, .... 1/п, ... имеет точку сгущения 0, но из определения
множества видно, что 0 не является его элементом. Множество, содержащее
все свои точки сгущения, называется замкнутым. Множество всех чисел х,
удовлетворяющих условию 0 < х < 25, не замкнуто, так как две из его
точек сгущения, 0 и 25, не принадлежат ему. Напротив, условие 0 < х <; 25
определяет замкнутое множество. Множество является замкну-
тым интервалом.
Множество может иметь и бесконечное число точек сгущения. Напри-
мер, всякое действительное число является точкой сгущения множества
рациональных чисел. В самом деле, пусть а — любое действительное число,
которое можно представить себе заданным гнездом интервалов [ап, 6П];
тогда всякая окрестность числа а содержит бесконечное множество интер-
валов [а„, Ьп], а стало быть, и бесконечное множество рациональных
чисел ап, Ьп.
Принцип точки сгущения, который мы сейчас докажем, заключается
в следующем:
Всякое ограниченное бесконечное множество действительных чисел,
т. е. всякое бесконечное множество действительных чисел, лежащее
в определенном интервале, имеет по крайней мере одну точку сгущения.
Доказательство будет достигнуто, если нам удастся построить гнездо
интервалов, определяющее такое действительное число, которое обладает
свойством точки сгущения данного ограниченного множества.
Прежде всего заметим, что мы вправе считать, что данное множество
содержится в рациональном интервале; действительно, если первоначально
указанный интервал не является рациональным, то его можно заменить более
широким интервалом с рациональными граничными точками. Разобьем теперь
этот рациональный интервал на два равных частичных интервала; из них
по крайней мере один содержит бесконечное количество чисел множества,
так как в противном случае первоначальный интервал содержал бы лишь
конечное число точек множества, что противоречит условию. Возьмем тот
частичный интервал, который содержит бесконечное число элементов
') Этот п° и следующие три пункта являются, в сущности, повторением
содержания стр. 80—86 Дополнения I к гл. I.
634
ПРИЛОЖЕНИЕ
14
множества, или, если оба частичных интервала обладают этим свойством, возь-
мем один из них и разобьем его тоже на два субинтервала. Как и при первом
разбиении, по крайней мере один из них содержит бесконечное число точек
множества. Этот субинтервал или один из двух, если каждый из них содержит
бесконечно много чисел множества, разделим опять на два интервала и т. д.
В итоге построено гнездо интервалов [ап, Ьп}, так как каждый такой интер-
вал содержится в предшествующем, а длина n-го интервала равна длине
первоначального интервала, деленной на 2”. Это гнездо интервалов опре-
деляет действительное число g. Покажем, что g является точкой сгущения
множества.
Рассмотрим любую рациональную окрестность (г, s) числа g, так что
г < g < s. Тогда существует такое число nt, что при всяком п > пх должно
быть г < ап, и такое число п2 (возможно, и отличное от nJ, что при п > п2
будет bn < S. В результате, если одновременно п > nt и п> п2, то интер-
вал \ап, Ьп\ будет содержаться внутри [г, з]. Само построение нашего гнезда
интервалов \ап, Ьп] показывает, что всякий интервал гнезда содержит бес-
конечное число точек данного множества, а стало быть, и любая рациональ-
ная окрестность (г, s) числа g содержит бесконечное количество точек
множества. Но это устанавливает бесспорно, что число g является точкой
сгущения- множества.
4. Верхняя и нижняя точки сгущения. Верхний и нижний пределы.
В том построении, которое привело нас к точке сгущения ограниченного
бесконечного множества, мы могли бы ввести следующее соглашение: всякий
раз, как при очередном делении интервала каждая из его половин содержит
бесконечное число точек множества, следует выбирать правую половину,
т. е. ту, граничные точки которой помечены большими числами. При таком
соглашении полученное гнездо интервалов даст вполне определенную точку
сгущения р множества. Это число р есть наибольшее из чисел, являющихся
точками сгущения множества.
Такой вывод вытекает из того обстоятельства, что справа от любого
интервала [ап, Ьп] описанного выше гнезда может содержаться лишь конеч-
ное число точек множества. Если у есть любое число, превышающее р,
а номер п достаточно велик, то Ьп < у- Только конечное число элементов
множества может быть больше чем Ьп. Следовательно, у не может быть
точкой сгущения, так что р есть в самом деле наибольшее число, являющееся
точкой сгущения. Оно называется верхней точкой сгущения или верхним
пределом (lim) множества.
Если в основу описанного построения мы положим другое соглашение:
из двух частичных интервалов, содержащих каждый по бесконечному числу
точек множества, всегда выбирать левый, т. е. тот, концы которого поме-
чены меньшими числами, то тот же путь приведет нас к нижней точке
сгущения, или нижнему пределу (lim) множества.
Верхний предел р и нижний а не обязательно принадлежат множеству.
Например, у числового множества а2п = 1/п, а2п_1 = \— \/п имеем а = 0,
Р = 1, но числа 0 и 1 не являются элементами этого множества.
В данном только что примере множество не содержит ни одного числа,
большего единицы. Мы говорим, что в этом множестве число 1 является
не только верхним пределом, но и точной верхней границей G множества.
Общее определение этого понятия таково: число G называется точной
верхней границей числового множества, если множество не содержит
ни одного числа, превышающего G, а для всякого числа, меньшего чем G,
существует по крайней мере один элемент множества, превосходящий
это число G.
Важно четко различать верхний предел и точную верхнюю границу мно-
жества. Возьмем, например, множество чисел 1, 1/2, 1/3, ... Точная верхняя
граница есть 1, а верхний предел есть 0, так как 0 есть единственная точка
сгущения этого множества.
5]
ПРИЛОЖЕНИЕ
635
Теперь мы покажем, что всякое числовое множество, ограниченное
сверху, имеет точную верхнюю границу. Числовое множество называется
ограниченным сверху, если существует такое число М, которое превосходит
все числа множества. Ясно, что если множество содержит наибольший
элемент G, то это число G и есть точная верхняя граница множества.
Но множество, ограниченное сверху, не должно обязательно иметь наиболь-
ший элемент, как это видно на примере множества ап — 1 — 1/n (п = 1, 2,...).
Так вот мы утверждаем, что если это числовое множество не имеет
наибольшего элемента, то верхний предел р множества является и его
точной верхней границей.
Для доказательства предположим, что множество содержит число х > ₽.
Рассмотрим все элементы множества, не меньшие чем х; таких может быть
лишь конечное число, так как в противном случае интервал [х, Л1] содер-
жал бы бесконечное число элементов множества, а стало быть, содержал бы
хотя бы одну точку сгущения множества, а это противоречит предположе-
нию, по которому р есть верхний предел множества. Среди конечного числа
элементов множества, не меньших чем х, был бы один наибольший, который
был бы вместе с тем наибольшим элементом всего множества. Этот вывод
противоречит условию. Следовательно, если множество не содержит наиболь-
шего элемента, то ни один элемент множества не превосходит его верхнего
предела. Но число Р удовлетворяет и второму условию, содержащемуся
в определении точной верхней границы. Действительно, пусть у есть любое
число, меньшее чем Р; тогда интервал [у, AI] является окрестностью числа р.
А так как р есть точка сгущения множества, то эта окрестность содержит
бесконечное число точек множества, и все они больше чем у.
Аналогично определяется и точная нижняя граница g числового мно-
жества как такое число, которое не превышает ни одного элемента мно-
жества и обладает тем свойством, что всякое число, большее чем g, пре-
восходит по крайней мере один элемент множества. Всякое множество,
ограниченное снизу, имеет точную нижнюю границу, которая является либо
наименьшим элементом множества, либо его нижним пределом.
5. Сходящиеся числовые последовательности. Мы будем рассматри-
вать последовательности действительных чисел аь а2, .... всегда предполагая,
что они ограничены. Принцип точки сгущения показывает, что числовое
множество аь а2, ... имеет по крайней мере одну точку сгущения. Числовая
последовательность называется сходящейся, если она имеет только одну
точку сгущения а; это число а (единственная точка сгущения) называется
тогда пределом последовательности; этот факт записывают так:
lim ап — а.
Этому определению предела можно придать и следующую эквивалентную
форму:
Числовая последовательность а,, а2, ... имеет предел а в том и
только в том случае, если всякая окрестность числа а содержит все
члены ап последовательности, за исключением, быть может, конечного
их числа.
Эквивалентность обоих определений доказывается следующим рассужде-
нием. Если ограниченная последовательность ап имеет одну лишь точку
сгущения а, то вне любой окрестности числа а может оставаться только
конечное число членов. Обратно, если всякая окрестность числа а содержит
все члены ап с возможным исключением только конечного их числа, то
последовательность ап ограничена, а стало быть, имеет хотя бы одну точку
сгущения а. Однако другой точки сгущения последовательность иметь не
может. В самом деле, если бы существовала другая точка сгущения а',
отличная от а, то можно было бы выделить для каждого из чисел а и а'
свою окрестность так, чтобы эти две окрестности не имели общих точек
•636
ПРИЛОЖЕНИЕ
(6
и каждая из этих окрестностей содержала бы бесконечное число членов
лоследовательности. Но это противоречило бы условию, что вне любой
окрестности числа а может лежать лишь конечное число членов после-
довательности.
Последовательность, не имеющую предела, не следует рассматривать
как нечто аномальное. Напротив, скорее наличие предела является в не-
котором смысле явлением исключительным. Например, последовательность,
члены которой заданы формулами = 1 — 1/n, а2п — 1/п, где п — 1, 2, ..
имеет две точки сгущения, а именно 0 и 1.
На стр. 82—83 было показано, что множество всех положительных
рациональных чисел можно перенумеровать в виде последовательности, но
при этом полностью нарушается расположение этих чисел по величине.
Там же было показано, каким путем проще всего это сделать. Выше уже
.говорилось, что для множества всех рациональных чисел всякое действи-
тельное число является точкой сгущения.
Понятие сходящейся последовательности позволяет вывести из принципа
точки сгущения очень важное следствие:
Если бесконечное числовое множество М имеет число g своей точ-
кой сгущения, то из множества М можно выделить такую последова-
тельность его элементов а,, а2, ..., которая сходится к пределу £.
Для доказательства предположим, что число g задано гнездом интерва-
лов [ап, Ьп], где ап < g < Ъп. Так как g является точкой сгущения, то [a,,
•содержит бесконечное число точек множества М. Выберем одну из них и
обозначим ее через ар Отрезок [а2, Ь2] тоже содержит точки множества М.
Выберем одну из них, отличную от аь и обозначим ее через а2 и т. д. Про-
должая этот процесс неограниченно, получим ограниченную последователь-
ность аь а2, ..., которая имеет число g своей точкой сгущения и не может
иметь другой точки сгущения. Следовательно, она сходится к пределу g.
Обращаем внимание читателя на следующие простые, но важные тео-
ремы о сходящихся последовательностях:
Если последовательность аь а2, ... сходится к пределу а, то и вся-
кая выделенная из нее бесконечная частичная последовательность схо-
дится к тому же пределу а. Например, подпоследовательность аь а3,
а5, ... тоже имеет а своим пределом.
Это сразу вытекает из простого замечания, что всякая точка сгущения
частичной последовательности должна быть также точкой сгущения перво-
начальной последовательности. Действительно, частичная последовательность
ограничена, а стало быть, имеет по крайней мере одну точку сгущения;
этой точкой может быть только а.
Если две последовательности ар а2, ... и р2, ... имеют один и
тот же предел у, то «.смешанная-» последовательность ар а2, ₽2, а3,
Рз, ... сходится к тому же пределу у.
Доказательство. Любая окрестность числа у содержит все числа ап
и все числа р„, за исключением, быть может, конечного числа членов обеих
последовательностей. Следовательно, она содержит все члены смешанной
последовательности, исключая, быть может, конечное их число. Это и дока-
зывает теорему.
6. Ограниченные монотонные последовательности чисел. Числовая
последовательность аь а2, ... называется монотонной, если при всех значе-
-ПИЯХ п
либо ап^ап+|, либо ап^ап+1.
В первом случае последовательность называют монотонной неубывающей,
во втором — монотонной невозрастающей.
Докажем теперь важную теорему: всякая ограниченная монотонная
последовательность сходится.
7] ПРИЛОЖЕНИЕ 637
Мы можем ограничиться доказательством этой теоремы для неубываю-
щей последовательности. Для другого случая доказательство совершенно
аналогично. Так как всякая ограниченная последовательность имеет по край-
ней мере одну точку сгущения, то остается только показать, что наша мо-
нотонная последовательность не может иметь больше одной. Предположим
теперь, что существуют две такие точки а и а', и пусть а < а'. Числа а
и а' окружим (каждое порознь) окрестностями Ua и Ua,, не имеющими
общих точек. Каждая из этих окрестностей должна содержать бесчисленное
множество членов ап последовательности. Возьмем один из членов, содер-
жащихся в t/0>; пусть это будет аг. Пусть теперь as есть первый из членов
последовательности с номером s > г, лежащий в Ua. Такой член непременно
имеется, так как Ua содержит бесконечное множество членов последова-
тельности. Но все члены, лежащие в Ua, меньше любого члена из Ua,. Сле-
довательно, ar > as, хотя г < S. Это противоречит условию, что последова-
тельность является неубывающей. Стало быть, последовательность имеет
единственную точку сгущения, т. е. сходится.
Прибавим еще следующее замечание: если последовательность а(, а2, ...
является неубывающей и ограниченной, то lim а >. а при любом N. Дело
л-х» ” '*
в том, что членов ая, меньших чем aN, может быть лишь конечное число:
такими могут быть только члены ар а2, ..., aN_v Следовательно, предел
будет не меньше чем aN. Таким же путем можно убедиться, что предел
невозрастающей последовательности не превышает любого члена последо-
вательности.
7. Критерий сходимости Коши для последовательностей с рацио-
нальными членами. В этом месте еще невозможно дать общий критерий
сходимости для любой последовательности действительных чисел, так как
еще не определено вычитание действительных чисел. Поэтому мы здесь
докажем критерий сходимости для рациональных последовательностей,
а к общему случаю вернемся в п° 9 на стр. 642.
Итак, докажем следующий критерий сходимости:
Последовательность рациональных чисел а1я а2, а3, ... сходится
в том и только в том случае, если для веяного сколь угодно малого
положительного числа е можно найти такое число N (г), что при вся-
ком п> N и всяком т> N
I С1п ат | < е.
Сначала покажем, что если это неравенство выполняется для всех до-
статочно больших индексов т и п, то последовательность сходится *). До-
кажем, что последовательность ограничена. Для этого зададим частное зна-
чение в = 1. Тогда при некотором достаточно большом значении п и при
всех достаточно больших значениях т имеем
I ^л ат I < В
Отсюда видно, что все члены ат (с возможным исключением конечного их
числа) лежат на отрезке [а„—1, дга-["1]. Стало быть, можно выбрать такой
отрезок, который будет содержать все члены ат без исключения. Принцип
точки сгущения утверждает, что последовательность имеет по крайней мере
одну точку сгущения. Остается показать, что больше одной быть не может.
Предположим, напротив, что существуют две точки сгущения а и а',
’) Обращаем внимание на то обстоятельство, что члены последователь-
ности вь а2, ..., согласно условию, рациональны, чего нельзя сказать о пре-
деле а.
638 ПРИЛОЖЕНИЕ |8
причем а < а'. Построим вокруг а и а' две окрестности, не имеющие об-
щих точек, [с, d] и [с', d'}, так что
с < а < d < с' < а' < d'.
Так как а и а', согласно предположению, являются точками сгущения, то
[с, d] содержит бесконечное множество точек ап, а [с', d'] содержит беско-
нечное множество точек ат. Следовательно, для бесконечного числа значе-
ний т и п будет
I ат I С d > 0.
Но это противоречит условию, что при всех достаточно больших значениях
тип
I ati I <
Следовательно, последовательность имеет одну и только одну точку сгуще-
ния, а стало быть, сходится.
Теперь мы покажем, что если последовательность а,, а2, ... сходится
к пределу а, то для всякого е > 0 и при всех достаточно больших значе-
ниях тип будет
I ап ат I < е-
Возьмем окрестность [с, d} числа а, длина которой d — с < е. Тогда можно
найти такое число N, что при всяком п > N члены ап будут лежать в [с, d}.
Если nn>N и m>N, 70 члены ап и ат лежат в [с, d], Отсюда вытекает,
что
| ат | <с d с £.
8. Определение основных действий над действительными числами.
Пока мы имеем только определение действительных чисел с помощью гнезд
интервалов и их расположение по величине. Только что доказанная теорема
дает простое средство для определения арифметических действий над дей-
ствительными числами.
Пусть действительное число а задано гнездом интервалов [ап, Ьп]. Так
как эти интервалы образуют гнездо, числа ап составляют монотонную не-
убывающую последовательность, а числа Ьп — монотонную невозрастающую
последовательность. Эти последовательности ограничены; это видно из того;
что всякое ап не превышает bt, а всякое Ьп больше at или равно ему. Стало
быть, эти последовательности сходятся. К тому же каждая из них имеет
пределом действительное число а. В самом деле, любая окрестность числа а
содержит все интервалы [ап, Ьп], за исключением, разве, конечного их числа,
и, значит, содержит все члены каждой из последовательностей ап и Ьп,
опять-таки не считая, быть может, конечного их числа. Поэтому можно ска-
зать, что всякое действительное число может быть представлено как
предел последовательностей рациональных чисел.
Желая построить определение какого-либо арифметического действия
над двумя действительными числами аир, мы выбираем две последователь-
ности рациональных чисел ап и Ъп, имеющие пределами соответственно числа
аир. Выполняем желаемое действие над парами чисел ап и Ьп и получаем
таким путем новую последовательность. Доказав затем, что эта последова-
тельность имеет предел, мы скажем, и это будет наше определение, что
предел новой последовательности есть результат действия над числами
а и р.
Пусть даны любые два действительных числа а и р, и пусть lim ап = а
и lim bn = р. Рассмотрим последовательности ап -J- Ьп, ап — Ьп, апЬп и 1/дп.
8]
ПРИЛОЖЕНИЕ
639
Если удастся доказать, что эти последовательности сходятся, то получим
возможность установить следующие определения:
«+₽ = Нт
/2->СО
а₽ = Нт (апЬп),
п->со
а —₽ = Пт (ап — Ьп),
1 1- 1
— = lim —.
а п -> со лп
Сходимость этих последовательностей мы докажем с помощью критерия
сходимости Коши.
Из сходимости последовательности а2, а3, ... вытекает, что если
е — любое заданное положительное число, то при достаточно больших зна-
чениях пит, скажем при /2 > TV, и т > А\, выполняется неравенство
I ап em I < е/2,
а из сходимости последовательности b2, b3l ... вытекает, что при доста-
точно больших пят, скажем при п > N2 и т > N2, будет
I Ьп Ьт | < е/2.
Обозначим через N (е) большее из двух чисел Л', и N2; тогда при п > N (е)
и m > Л' (е) будем иметь
I («л + ьп) — (ат + Ьт) К | ап — ат | + | Ьп — Ьт | < е/2 4- е/2 = е
И
I (ап — Ьп) — (ат — Ьт) |<| an — am\+\bn — bm\ <е/24-е/2 = е.
Стало быть, согласно критерию Коши, последовательности ап-\-Ьп и ап — Ьп
сходятся.
Для того чтобы доказать, что последовательность апЬп сходится, заме-
тим сначала, что числа ап и Ьп образуют ограниченные множества, т. е.
существуют два таких положительных рациональных числа А и В, что при
всех значениях п
I ап | < А, | Ьп | < В.
Но тогда
1 апЪп ат^т I ~ I ап (Ьп Ьт) 4“ Ът (ап — | </
'4 I &п I 1 Ьп Ьт 14~ | Ьт | | I 'А/ А I Ьп Ь1п \ 4- В \ ап пт |.
Из сходимости последовательностей аь а2. ... и Ь2, ... вытекает, что
для любого заданного е> 0 можно найти такие числа и N2, что
| ап — ат | < е/2В, когда п> Nx и т > /Vb
и
Стало быть, если оба числа п и т превосходят большее из двух чисел Л4
и Л4, то последние два неравенства выполняются одновременно, и тогда
I апЬп ятЬт | < A -g-^- 4- В — е.
Итак, согласно критерию Коши, последовательность апЬп сходится.
Предположим теперь, что а ф 0 и lim ап = а. Требуется доказать, что
л->оо
последовательность 1/ап сходится. Сперва необходимо показать, что если
номер п достаточно велик, то [ ап\ больше некоторого положительного
числа р, не зависящего от п. Возьмем рациональную окрестность числа а.
640
ПРИЛОЖЕНИЕ
[8
не содержащую числа 0; это возможно, так как и 0. Начиная с некото-
рого п = п0, в дальнейшем все члены последовательности alt а2, ... лежат
в этой окрестности. Это значит, что при п > па будет | ап | > р, где р есть
абсолютная величина рационального числа, соответствующего той границе
интервала, которая ближе к началу 0. На сходимость последовательности
1/аь 1/а2, ... не повлияет, если мы опустим первое п0 членов; допустимо
поэтому считать, что при всех значениях п
\ап\>Р>^-
Заметим теперь, что
I 1 _ I I _ I ат ап I _ I flm — Дд I | лт — ап |
I Дд ат I I апат I I Дд I' I ат I Р2
Пусть задано любое е > 0. Из сходимости последовательности дь а2. ...
вытекает, что при подходящем выборе числа
I Д/д — Дд I < ер2,
коль скоро п > N и т > N, так что
I J_____1_ I ер2
I Дд ат I Р2
Тем самым доказано, что последовательность 1/ал сходится, если а, т. е.
lim ап, отлично от нуля.
д-»оо
Любое действительное число можно, очевидно, представить как предел
различных последовательностей рациональных чисел. Можно было бы поэтому
опасаться, что данные выше определения арифметических действий не при-
водят к однозначным результатам. Предположим, например, что действи-
тельные числа я и’Р имеют одно представление а = Hm ап, ₽ = lim bn и дру-
л->оо д-»оо
гое представление а= lim д„, |3 = lim Ьп. Тогда позволительно думать, что,
Д-»оо д-»оо
например, последовательности ап Ьп и ап Ьп могут иметь различные пре-
делы. (Что они действительно имеют пределы, было выше доказано!) Мы
теперь докажем, что это затруднение не возникает, а именно покажем, что
если
lim ап = lim ап и lim bn = lim Ьп,
/г-»оо п-»оо л->оо п->оо
то
lim (ап ± Ьп) = Ит (вп * ^)- lim (.апЬп) = lim
и если lim an = lim a'n =£ 0, to
/2 -> co n->co
.. 1 r 1
lim —— hm —7-.
«->oo an «->co an
Доказательство очень просто. Мы уже знаем (см. п° 5), что если Нт ап —
«->00
= lim ап—а, то смешанная последовательность Ьь ... имеет
я->оо
тот же предел а. Аналогично, если Нт Ьп = Ит Ь„ = ₽, то последователь-
п -> оо п -> оо
ность bp b2t b2, ... сходится к пределу р. Ссылаясь на эту же теорему
8]
ПРИЛОЖЕНИЕ
641
и на другие теоремы, доказанные выше, находим, что следующие смешан-
ные последовательности:
st <^2 ^2» Л2 ^2» * * *♦
^2^2’ ^2^2’ • • •»
1 1 1 1 z лч
—, —7-» —, —7-,... (если а 5^ 0)
й^1 а<2 й<2
сходятся. В п° 5 было доказано, что всякая подпоследовательность, выделен-
ная из данной сходящейся последовательности, сходится к тому же пределу.
Отсюда вытекает, что последовательности
Я; ± bv а2 ± b2, ... и в] ± &], я2 ± Ь2, ...,
являющиеся подпоследовательностями одной и той же сходящейся последо-
вательности, должны сходиться к одному и тому же пределу. Аналогично
последовательности
я2&2, ... и аф2, ...
имеют общий предел. Точно так же, если a =t(), то последовательности
11 11
—, —, ... И — , -у,...
iZj ^2 ^2
сходятся к общему пределу.
Полученные сейчас результаты позволяют поставить другой важный
вопрос, связанный с нашими определениями арифметических действий.
Класс действительных чисел содержит все рациональные числа. В ходе
наших определений арифметических действий над действительными числами
мы тем самым попутно определили те же действия и для рациональных
чисел. Но ведь мы начали с предположения, что действия над рациональ-
ными числами известны. Поэтому мы обязаны проверить, что новые опре-
деления не приводят к противоречию с известными ранее действиями над
рациональными числами. Мы должны показать, что если lim ап = а и
Л->оо
lim Ьп = b являются рациональными числами, то
z;->oo
lim (яп ± bn) = а ± b, lim (anbn) = ab,
Л->О0
и если я 0, то
lim — = —.
п->оо Яп Я
Прежде всего заметим, что рациональное число я есть предел последо-
вательности я, я, ... В качестве двух последовательностей яь я2, ... и
bi, Ьг, ... можно взять последовательности а, а, ... и Ь, Ь, ... Тогда тео-
ремы, на которые мы уже ссылались выше, дают:
lim (ап ± bn) = lim (я ± b) = а ± b, lim (anbn) — lim (ab) = ab,
п->оо П->со п->сс /2->О0
.. 1 ..11
hm »—= hm — = —,
п-»оо .ап П-+СО а а
а это и требовалось доказать.
41 Р. Курант
642
ПРИЛОЖЕНИЕ
[9
Едва ли необходимо упоминать, что из л наших определений вытекает
справедливость для множества действительных чисел всех правил вычисле-
ния, которые действуют в системе рациональных чисел. Стоит только при-
менить эти правила к рациональным числам, образующим наши последова-
тельности. Докажем, например, распределительный закон: а(₽-|-у) = ар-|-ау.
Пусть а — lim ап, 0= lim bn, у= Нт сп. Тогда левая сторона доказы-
/2—>ОО /1->ОО п->оо
ваемого тождества будет lim [ап (Ьп -|-ся)], а правая сторона будет
л-»оо
lim {апЬп-\- апсп}. Но для рациональных чисел распределительный закон
л->оо
справедлив; поэтому обе последовательности совпадают, и их пределы равны.
9. Общая формулировка критерия сходимости Коши. Вернемся
к вопросу о критерии сходимости Коши, уже доказанному в п° 7 для рацио-
нальных последовательностей. Теперь, когда арифметические действия,
в частности вычитание, уже установлены для действительных чисел, этот
критерий сходимости можно уже сформулировать в общем виде для дейст-
вительных чисел. Последовательность а1( а2, аз, .сходится в том и
только в' том случае, если для всякого заданного числа е > 0 можно
найти такой номер N = N(y), что при всех значениях тип, одновре-
менно превосходящих этот номер N,
I — «т I < е.
Доказательство совершенно такое же, как в п° 7, и нет надобности его
повторять.
Большое теоретическое значение имеет следующее обстоятельство.
В самой формулировке критерия сходимости Коши содержится средство
оценки погрешности. В самом деле, когда последовательность задана и
число W (е) известно, то можно сразу утверждать, что предел последова-
тельности лежит между числами ая — s и а„-|-е при всяком п > N (у).
В этом отношении критерий Коши выгодно отличается от критерия сходи-
мости монотонных последовательностей. Последний доказывает существо-
вание предела, но не дает средств для его вычисления. Поэтому при дока-
зательства? сходимости, выполненных с помощью этого критерия, прибли-
женное вычисление предела неизбежно требует специальных дополнительных
рассуждений.
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
1. Гиперболические функции (стр. 643).
2. Сходимость последовательностей и рядов (стр. 643).
3. Дифференцирование (стр. 644).
4. Интегрирование (стр. 646).
5. Равномерная сходимость и изменение порядка предельных операций
(стр. 652).
6. Пределы некоторых выражений (стр. 652).
7. Некоторые определенные интегралы (стр. 653).
8. Теоремы о среднем значении. Интерполяция (стр. 654).
9. Разложения в ряд Тэйлора и в ряд ФурЬе (стр. 655).
10. Максимумы и минимумы (стр. 657).
11. Плоские кривые (стр. 657).
12. Длина дуги, площадь, объем (стр. 658).
1. Гиперболические функции (стр. 212—218)
sh х = (ех — е~х).
ch х = у (0х + е~х).
,, sh х
thx = ——
ch х
.ь 1
cth х = —г—
th х
ех_е-х
ех -\-е~х'
рх + е~х
ех — е~х '
ch2 л- — sh2x = 1.
ch2 x = --Jr»—•
1 —th2 x
ch (x ± y) = ch x ch у ± sh x sh y.
ch 2x = ch2 x -|- sh2 x.
ch2 x = (ch 2x +1).
sh2 х — ...1-------г.
cth2 х — 1
sh (х ± у) — sh х ch у ± ch x.sh у.
sh 2х — 2 sh х ch х.
sh2 х = (ch 2х — 1).
arsh x = In {x -|- V%2H-1}. arch x = In {x Yx2 — 1},
Arch x = ± arch x, arch x ~ | Arch x |.
, 1 . 1 -4- x tii ., If x-4—1
arth x = tv In -r-*—» x < 1. arcthx=—In----—r,
2 1—x ' 2 x — 1
x > 1.
|x| > 1.
2. Сходимость последовательностей и рядов
А. Бесконечные числовые последовательности (стр. 56)
Критерий сходимости. Коши (стр. 58). Числовая последовательность ап
сходится в том и только в том случае, если для всякого числа е > 0 суще-
ствует такой номер N, что
I ап ат I <
коль скоро п > N и т > К.
41’
644 СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
Действия над пределами (стр. 61—62). Если существуют lim ап и
Л->оо
Ит Ьп, то
П->оо
lim (ап ± bn) — lim ап ± lim bn', lim (ап • bn) = lim а„ • Нт Ьп;
/7->со П~^со П~><х> П~^со П~>со П~>со
Кт ап
Пт — == * если Ит Ьп Ф 0.
/7->СО &П Кт ЬП П-><Х>
п-^со
Б. Бесконечные ряды (стр. 427 и след.)
Критерий сходимости Коши (стр. 428). Ряд ап сходится в том и
только в том случае, если для всякого положительного числа е существует
такой номер N, что
I ап + ап +1 + • • • + ат I < Е-
коль скоро т > п > N.
Обратить внимание! Все следующие ниже признаки сходимости до-
статочны, но не необходимы.
Принцип сравнения рядов (стр. 438). Ряд ап абсолютно сходится,
если существует такое число N, что при всех значениях п > N | ап |<Ьп,
а ряд 2 Ъп сходится абсолютно.
Признаки сходимости Даламбера и Коши (стр. 439). Ряд ап абсо-
лютно сходится, если существуют такой номер N и такое число q (0<g<l),
что при всех п> N
| -a"+1 I < q или V| | < q.
I ап I
В частности, если существует такое число k< 1, что
I I п____
lim — — = k или lim V} ап | = k,
п-^еа I Лп I Л->оо
то ряд 2 ап сходится абсолютно.
Ряд ап расходится, если существует такое число k > 1, что
lim I a"+1 I = k или lim a„ I = k.
n->oJ an |
, Признак сходимости Лейбница (стр. 431). Ряд 2 ап сходится, если
знаки его членов чередуются и | ап | стремится монотонно к нулю.
8. Дифференцирование
А. Общие правила. (Основные понятия стр. 114 и след.)
{/ (х) ± g (X)}' = /' (х) ± g' (X). {/ (X) g (X)}' = f (х) g (x) 4- f (x) g' (x).
(Zlxiy = /(x)_g(x)--/(x)g4x) g {x) о (стр. 166-168).
\g(x)/ {g(x)}= v F ’
{f (x) g (x-))w = /"> (x) g (X) + ( " j f(n~^ (X) g' (x) +
+ ( 2 ) ^”-2> (x) + ... -f-/ (x) g(/!) (x) (правило Лейбница, стр. 229).
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
645
Правило дифференцирования, сложной функции (правило цепочки):
Если f (х) = g [<р (х)], то
d2f _ d2g ( Ар V
dx2 dtp2 \ dx }
df dg dy
dx dy dx
dg d2y
dy dx2
и т. д. (стр. 181 и след., 229).
Если и = f (g, т), g, ...), где g = g (x, у), г] = д (х, у), ..., то
их = Д^.г +/дЛх + ДСх +
ихх = f 1^Х + f тщЧг + fiyfix + •
+ УЪг&Лг + 2Д^х?х + • • •
-\-f£>xx +/дт1хх + Д£хх + •••
и аналогичные формулы для иху и иуу (стр. 570).
Неявные функции. Если F (х, у) = 0,
dy = Fx
dx Fy ’
d2y FxxF*-2FXyFxFy + FyyF2x
dx2
(стр. 577).
Функции, заданные в параметрическом виде. Если х = х(/), у = у (0. то
dy
dy _ dt
dx ~ dx
~dF
Обратные функции'.
dy 1
dx dx
~dy
Если g = ф (x, у), T] = ф (x, у), to
дх фу дх Фу ду фх ду
dg D ’ dr] D ' dg D ’ dr]
где
n d (g, Л) yx фу I
о-тет” 0, 4, 1 = »Л-М-
(стр. 306).
(стр. 174).
(функциональный определитель или якобиан) (стр. 573).
<P.r
D ’
Б. Производные от простейших функций (стр. 120—121, 168—170,
178—179, 197 и след., 214—216)
(хп)г = пхп~х.
(sin х)' = cos х. (arcsin х)' = ' 2-
1
(cos х)' = — sin х. (arccos х)' — —
646
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
(tg хУ = = sec2 х‘ (arctg хУ ТО •
(ctg X)' = - -----cosec2 х. (arcctg x)' = - .
(sh x)' = ch x. (arsh x)' = -р=====-.
(ch x)' = sh X. (arch x)' = -|- (x > 1).
(th хУ = ciO = Sech2 X' (arth ХУ = Т-=х2 (|лг|<1).
(cthx)' =—s[J-^ == — cosech2x. (arcth x)' = 2 (I-*|>1).
(logex)'=^?log0e = 7^—. (ax)' = ax In a.
Л л III U
(ln|x|)' = l. (^)' = ^.
(Uvy = u*(^+v’ln «),
4. Интегрирование
А. Общие правила. (Основные понятия, стр. 104 и след.)
b с с b а
| f (х) dx + J f (xj dx = J / (х) dx. J f (x) dx = — J f (x) dx.
a b a a b
b b b
I {/ (•*) + g (*)} dx = j f (x) dx + j g (x) dx.
a a a
b b
J cf{x)dx-=c J f(x)dx (стр. 107 и след., 170).
a a
Оценка интегралов. Если f (x) > g (x), to
ь b
J /(x)dx> J g(x) dx. (стр. 153).'
a a
Метод замены переменной (метод подстановки) (стр. 237—242):
J / (х) dx = J f [<р (и)] Ф' (u) du.
ь р
J f(x)dx—j f [ф (и)] ф' (u) du, где а = Ф (а), Ь = ф (₽).
а а
Метод интегрирования произведения (интегрирования по частям)',
j f (х) g' (х) dx — f (x) g (x) — j f (x) g (x) dx (стр. 248)
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
647
а
b
или
J / (*) Ф (*) dx = f (х) гр, (х) — j f'(x) гр, (х) dx, (стр. 250),
где гр, (х) есть одна из первообразных для ф (х).
6 ьь
J f(x)g' (x)rfx = /(x)£(x)| — j f (х) g (x) dx
a a
ИЛИ
b b
j" f {X) Ф (x) dx = f (x) Ф, (x) | — j f (x) Ф, (x) dx.
a a
* Обобщенное правило интегрирования произведения (стр. 256):
J f (х) ф (х) dx = f (х) Ф, (х) — f (х) Ф2 (х) 4- /" (х) Фз (х)-f-
+ •••+(-1)» /«> (X) ф„+1 (X) - (-1)« J /«+» (X) фп+1 (X) dx.
а
где Фй (х) есть первообразная от Ф*_, (х), и соответствующая формула для
определенного интеграла (стр. 256). *
Связь между дифференцированием и интегрированием (стр. 137 и
след.):
X
-^f(u)du = f(x).
а
Формула Ньютона — Лейбница (стр. 144):
f /(х) dx — F (х) I = F (Ь) — F {а),
J 1а
где F (х) — какая-либо первообразная'для f (х).
Несобственные интегралы (стр. 285—295):
Если f (х) всюду непрерывна, за исключением точки х = Ь, в которой
ь
она обращается в бесконечность, то f (х) dx сходится (абсолютно), если
в окрестности точки х — Ь
где k < 1 (стр. 288).
|/U)I<
М
(Ь — x)k
Если /(х) всюду непрерывна при х~^а, то
лютио), если при х А
,J f (*) dx сходится (абсо-
а
М
где k > 1 (стр. 290).
648
СВОДКА важнейших теорем и формул
Б. Неопределенные интегралы от некоторых функций
Во всех формулах этого раздела надо в правой части прибавить
постоянную интегрирования С.
Г хя+1 Г
хп dx = —-т-. In х dx = х In х — х.
J «4-1 J
-^-=1п|х|. Jllnxdx = ±(Inx)2.
f „ ах Г 1 , ,, ,
ах dx — ;---dx = In In x .
J In a J x In x 11
f xa+l I 1 \
J a-H «4-1/ r
J sin x dx = — cos x. J sh x dx = ch x.
J cosxdx = sinx. J chxdx = shx.
J tgxdx =— In | cos x|. J thxdx = lnchx.
ctgx dx = In | sin x|. cth x dx — In | sh x |.
J arcsin x dx = x arcsin x 4- Kl — x2. J arccos x dx—x arccos x——x2.
J arctg xdx = x arctg x—^-ln (1 4-x2).
J arcctg x dx = x arcctg x 4- у In (1 4- x2).
J arsh x dx = x arsh x— V4 4-x2. J arch x dx = x arch x — Vx2— 1.
J arth x dx = x arth x 4* ту In | 1 — x21.
J arcth xdx = x arcth x 4- ту In | x2 — 11.
f dx , I, x I f dx . I.. x I
J sinx I 2 I J shx I 2 I
f zSr =In Itg (т+f) I* j tht =2 arctg (th -J) =2 arth (*т)-
f ———------= In I tg x |. f ~ ь~~"й— = In I th x |.
J sinxcosx 1 J shxchx 1
dx
sin2 x
. f dx
ctg x. —гъ—
J sh2 x
♦к Г dx . Г dx
cthx. -----5— = tgx. -гъ—=thx.
J cos2 x 6 J ch2 x
J sin2 x dx = (x — sin x cos x).
J cos2 x dx — (x 4- sin x cos x).
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
649
Г__________dx_____________1 /а_. \
J a2 sin2 х b2 cos2 х ab aTC & \ Ь &х]’
Г dx 1 I а .
J a2 sin2 х — b2 cos2 х ab \b s
a, b =/=0.
dx
Va2 — x2
1 .. x 1 , a — x
-----arth — = -j-— In —:— , если
a a 2a a x
1 .. x 1 , x — a
----arcth — = 7Г- In —:—, если
a a 2a x-f- a
-4-arcsin ~ -I- C,
a f dx -
— arccos — -j- Cj. xYx2 a2
a 1 1
I x | > a, a> 0.
1 a „
-----arcsin —4- C,
a----x 1
1 1 a I z-
4----arccos—НС..
' a x 1 1
x dx
Va2-\-x2
Ya2 — x2
Ya2— x2 .
dx
Ya2+~x2
= arsh + C = In (x + /x2 + «2 } 4-Cj.
dx
Yx2 — a2
arch + C = In {x-^-'Kx2 — a2 J-j-C].
J /x2 -|-a2 dx — -^ a2 arsh ^/x2 -|-a2 .
1 tt_ x -{- b
r— arth —— .
Yb2~c Vb2 — c
/б2 — c — x — b
Yb2 — c H-x+6
если с < 62, т. e. x2 -(-26x = 0 имеет действительные корни.
f dx - 1 x + 6
J x2+2bx-j-c ~ yc — b2 аГС g Vc — b2 '
если c> b2, t. e. x2-|-26x-|-c = 0 имеет мнимые корни.
—---1--In
2/62 —c
650
СВОДКА важнейших теорем и формул
<?аА' sin Ьх dx — ^2- еах (a sin Ьх — b cos bx).
еах cos bx dx = еах (a cos bx 4- b sin bx).
аг-\-Ъ*
. п , 81ПЛ+1Л
sm" х cos х dx =----.
Рекуррентные формулы (стр. 261 и след.):
j п , 1 я —1 . । П 1 | п 2 •
I cos х dx = — cos xsinx 4------cos ' xdx.
J n ‘nJ
I sin"xdx = —- sin"-1 x cosx 4-——— sinn-2xtfx.
J n ri J
J xn cos x dx = xn sin x — n J x"-1 sin x dx.
Jx"sinxrfx =—хл cosx4-n J x"-1 cos xdx.
f , m n sin"!+1xcos'i-1x , n— 1 f . m „П J
I sinra x cos x dx =-----;------------:— sin " x cos" ‘xdx.
J m-\-n 1 m -|-n J
J (In x)n dx = x (Inx)n — n J (In x)n~1 dx.
J xnex dx = x»ex — nJ xn~ *ex dx.
J xa (In x)n dx = £—-------J xa (In х)л-1 dx (a^= — 1).
f dx _______________x_________2n— 3 Г dx
J (14-х2)л ~ 2(n—1)(1+^2)"-1 +2(n —1) J (1 4-л2)л-1 ‘
В. Интегрирование отдельных классов функций
а) Интегрирование рациональных функций приводится разложением
на элементарные дроби к следующим трем основным типам (стр. 267—274):
Г dx _ _ 1______________________1 .
J (х — а)п п — 1 {х — а)л-1
________dx___________ 1 Г du ч
(х24-2*х + с)л — (с — ft2)"-1/2 J (1 4-u2)" ’
где
с —*2 >0,
х-\-Ь
Vc^b^’
и
СВОДКА важнейших теорем и формул 651
а интеграл в правой части вычисляется по последней рекуррентной формуле,
данной выше;
______х dx ___________1 ________1__________Г dx
(х^+2Ьх + с)я ~ 2 (л — 1) ’ (x24-2ix4-c)"-1 ~ J (х2 + 2Ьх + с)п '
, • 27 1—
Sin X == ,, , COS X = i . ..
где интеграл в правой части того же типа, что и в предыдущей формуле.
В последующем R обозначает рациональную функцию от своих
аргументов.
6) J R (sin х, cos х) dx (стр. 277).
Подстановка: tg^- = 7, так что
</х- j _^^2.
Если же R есть четная функция
сообразнее следующая подстановка:
, . , и2
K = tgx, sm2 х = -ni, <
или R зависит только от tgx, то целе-
. du
dx —
cos2x = TT^’
в) J R (ch x, sh x) dx (стр. 278).
x
Подстановка: 7 = th-Fr, так что shx = T--75-,
z 1---I*
J 2dt
dX~ 1—72'
r) J Rte^dx.
Подстановка: t = emx, dx = .
mt
д) J /?(х, VI — x2) dx (стр. 278).
Подстановка:
ch х — —!— »
х 1 — 72 ’
14-72’ r - 14-;
e) J /?(х, Vхг — l)dx (стр. 278).
Подстановка:
47 d/
dx~ (1 -H2)2 '
t
l±f, = dx-^ *dt
1—72’ ' 1—72 ’ (1 —72)2
ж) J R (x, V\ + x1) dx (стр. 278).
Подстановка:
7 = x+/x2 + l. x=^-!-, /x2 + 1=-L±
3) J /?(х, Уахг + 2Ь x + c) dx (стр. 279).
/2 Д- 1
—Г А dt
, dx
652
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
ах-\~Ь
Замена переменной % — 2===- приводит этОт интегРал к одному
из трех последних типов.
и) J R (х, У ах + Ъ, У ex -|- d) dx (стр. 280).
Подстановка: g = У cx-j-d, х — — (g2 — d), dx = dg.
к) J Л {x, ) dx (cTp‘ 280)’
Подстановка:
ax-\-b
cx-j-d ’
dgn-6
eg"—a
ad — be
(cy-a?
, dx —
rtf-'dl.-
5. Равномерная сходимость и изменение порядка
предельных операций
Определение равномерной сходимости ряда (стр. 452).
Ряд, сходящийся равномерно в замкнутом интервале и имеющий своими
членами непрерывные функции, представляет в этом интервале непрерывную
функцию (стр. 454).
Если | (а) К ап и ряд 2 ап сходится, то ряд 2 fn (х) сходится
равномерно (и абсолютно) (стр. 453).
Изменение порядка суммирования и дифференцирования (стр. 457—458).
Всякий сходящийся ряд непрерывных функций можно дифференцировать
почленно, если полученный при этом ряд сходится равномерно.
Изменение порядка суммирования и интегрирования (стр. 454—456).
Всякий равномерно сходящийся ряд непрерывных функций можно инте-
грировать почленно. Полученный ряд тоже сходится равномерно.
6. Пределы некоторых выражений
Формула Стирлинга (стр. 422):
п > оо у2п п"+‘/2е~ п
Бесконечное произведение Валлиса (стр. 263—265):
л ТТ ( 2п 2п \ _ ,. (п!)2 22Л
2 — И \ 2n—1 ’ 2п4" 1 /’ ГЯ-п™оо(2п)!Гп ’
(О бесконечных произведениях см. стр. 486—489.)
ех = lim (1 + — 'j (стр. 205).
US) = 2 = Ц , S > 1 (стр. 487),
п = 1 р $
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ 653
где р пробегает все простые числа.
sin лх = лх 1У (1 — (стр. 518).
Л = 1
Порядок величины функций (стр. 218—222):
lim ----= со, если с > 0 (стр. 220).
X ->оо
,. 1пх п
lim —— = 0, если а > 0 (стр. 220).
л-> со X1
lim | х |а In | х | = 0, если а > 0 (стр. 222).
х ->0
7. Некоторые определенные интегралы
Если тип — целые числа, то
л
Г . , (0 при т п,
sin тх sin пх dx = 1
J (л при т = п, п Ф 0.
— Л
л
J sin тх cos пх dx = 0.
-л
л
г , (0 при т =4 п.
cos тх cos пх dx = -j
J 1л при т = п, п =/= 0.
—л
(См. соотношения ортогональности тригонометрических функций, стр. 247.)
J е dx — -—1- (стр. 484,592).
о
ОО
f sinx , л z п т“7\
J —— dx = -2 (СТР- 527)-
о
Определение гамма-функции (стр. 291—292):
ОО
Г(х)=| e~ttx~xdt (х>0). Г(ж) = (ж—1)Г(х—1).
о
Если п— целое положительное число, то
Г (п) = (/г-1)!
654 СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
8. Теоремы о среднем значении. Интерполяция
Теорема Ролля (стр. 128). Если <р (х) непрерывна на [а, 6] и дифферен-
цируема в (а, Ь) и к тому же <р (а) = <р (6), то существует по крайней мере
одна точка § между а и Ь, в которой <р' (g) = 0.
При a=i = 0 можно сказать так: между двумя корнями функции <р(х)
имеется по крайней мере один корень ее производной.
Теорема о среднем значении [дифференциального исчисления) (стр. 130).
Если f (х) непрерывна на [л, x-j-h] и дифференцируема всюду в (х,х
то существует такое число 9, что
/(х + А^~/(х) = f (х.+ 0А), 0 < 9 < 1.
Теорема Ролля является ее частным случаем при f (х) = f(x-^h).
Обобщенная теорема о среднем значении (теорема Коши) (стр.
162, 229):
f(b)-f(a) f'(j)
g(b) — g (a) g' (I) ’
где есть промежуточное значение между а и Ь.
Формула Тэйлора (стр. 366—3?0):
/(x + A) = /(x)+^//W + ^-/" (х)+ ... 4--^/»>(х) + Л„
с остаточным членом (стр. 369 и след.)
h
Rn = И J(/г- + т)dx = (nAl\1)i /(л+1)(* + 0Л) =
о * .
= “^Г_(1_0)П/("+У(х + ел)
Теорема о среднем значении (интегрального исчисления) (стр. 154);
ь
J f (х) dx=(b — a)f (I), где а < g < Ь.
а
b i>
J f (x) p (x) dx = f (t) J -p (x) dx, если p(x) не изменяет знака в [а, А].
а а
Интерполяция (стр. 394—400)
Интерполяционная формула Лагранжа (стр. 399). Многочлен f (х)
степени п, принимающий в n-pl точках хв, xt, ..., х„ заданные значения
f (х0), f (Х|), .... f (хп), выражается формулой
< (х! = Ф (х) 4__________к_______________к 4- f(Xn} I
7 ' ’ 44 1 I (X — Xq) Ф' (Xq) ~ (X —Х!)Ф'(Х1) ^(х-х„)ф' (X„) J*
где
Ф(Х) = (Х — Х0)(Х— хО ... (X — хп).
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
655
9. Разложения в ряд Тэйлора и в ряд Фурье
А. Степенные ряды. (Определение, стр. 459)
а) Общие сведения о степенных рядах.
со
Всякий степенной ряд 2 апх" имеет радиус сходимости р; ряд схо-
л=0
дится, если | х | < р, и его сходимость равномерна и абсолютна во всяком
интервале | х | т], где •>] < р; во всех Точках, для которых | х | > р, ряд
расходится (стр. 461).
Если в формуле Тэйлора для функции f (х) остаточный член стремится
к нулю при л~>со, то функция / (х) разлагается в степенной ряд Тэйлора
{стр. 372):
h № hn ,
/(х + Л) = /(х) + н/'(^) + -2Г/"М+ ... +-£г/я)(х)+ •••
или, в частности (при х = 0 и замене h через х),
1* 1*2 1*^ / \
/(х) = /(0)+^-/'(0)+ —/"(0)+ +~г/я)(0)+ ...
в окрестности точки х = 0.
б) Степенные ряды для некоторых функций (стр. 362—365, 373—377,
479—480):
1*2 1*3 у* 4 1
1п(1+^) = х-^- + ^--^- 4—... +(-1)'1-1^-+ ...
при — 1 < X < 1.
1*3 1*5
sinx = x-|r+^-+...+(-ir^5JW!+
1*2 1*4 .1*2^
cos л = 1—-------ь .,. + (—I)'2 , при всех
' ' значениях х
^3 ^.5 у2п 4-1
,shx = x4-^p+-gj-4- ... + •••<
сНх=1+2Г+^г+...+^+...
(—l)v~l -22V(22(3~1)B2v x*-1 при -f<x<J,
v-l
xctgx =
22vB2v
(2v)t
при — Л < X < Л,
656
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
где В21г обозначают числа Бернулли (стр. 478).
,1 х3 , 1 • 3 х3 . 1 • 3 • 5 х7
arcsin х— хф- 2 • 3 + 2 4 • 5 + 2.4.6 ' 7 + •••-
u 1 х3 . 1 • 3 х3 1 • 3 • 5 х7 .
arsh х — х 2 ’ 3 ""I" 2 • 4 ’ 5 2-4-3 ' 7 ""
X3 , X3
arctg х = х — -3-+-5-----h •••
х*
arth х = х + -д—'“"д' + • • • ПРИ I х | < 1-
при
<х<1.
Биномиальный ряд'.
(l+x)«=zl+«x+-a(a~1)
, a(a —1)(а —2) ... (а —/г4-1) ,
л! х + ...
при — 1 < х < 1;
если а > —‘ 1, то и при х = 1;
если а > 0, то и при х = — 1
В частности,
7—г— = 1 — х-|-х2 — х3 -|-..., —г—р—-т- = 1 — 2х -4-Зх2 — 4х3 -I-...,
J -|-Х 1 1 (1 Х)2 1 1 ’
1/-Г-,— I,1 1 2 1 !-3 1-3-5 ,,
/1+а г+2Х 2 4 Х 2 4 3 х 2-4-G-8 Х +
Эллиптический интеграл (стр. 469):
Л/2
f rf<P
J Y1 — № sin2 <p
Л f 1 I ( 1 V A2 , ( 1'3\2 M , ( 1 -3-5 \2 1
= 2Ч1+Ы * +(гт) k +(-2ТГТ.) k + ••• f при l*l<1-
Б. Ряды Фурье (стр: 522—533)
Если функция f (х) кусочно гладка на интервале — я < х < л, т. е.
если ее первая производная кусочно непрерывна на этом интервале, то
ряд Фурье
СО
f (а) = Y 2 (av cos vx -|- bv sin vx)
V = 1
с коэффициентами
+ Л +«
av = -i- J f (t) cos vt dt, 6V = -Lj f(t) sin vtdt
-Я -Я
сходится абсолютно на всем интервале. Если f (х) имеет на — л < х я
конечное число скачков (разрывов первого рода), а в остальных точках
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
657
имеет кусочно непрерывную производную /' (х), то ряд сходится равномерно
на всяком частичном интервале, не содержащем разрывов функции fix').
Во всякой точке х, где f (х) непрерывна, сумма ряда равна значению f (х),
а во всякой точке разрыва функции f (х) сумма ряда Фурье равна сред-
нему арифметическому левого и правого предельных значений функции,
(стр. 522—527).
Соотношение полноты тригонометрических функций (стр. 536):
2 оо +л
(av + *v) = J (/(•«) )2 dx-
v=l -л
Комплексная запись (стр. 512):
+ СО
/ (х) = 2 av«tvx- где
V— —СО
= 1л J f ® е lV‘dt'
-л
10. Максимумы и минимумы
Нижеследующее правило годится для экстремумов функции /(х),
лежащих внутри рассматриваемого интервала (стр. 189 и след.).
Для того чтобы функция у = f (х) имела экстремум в точке £, в которой
она имеет производную f (§), необходимо, чтобы было f' (g) = 0. Если это
условие выполнено, то f (х) имеет в точке g экстремум, если первая не
исчезающая в этой точке производная четного порядка; если же она нечет-
ного порядка, то в точке § нет экстремума функции. В первом случае
экстремум будет максимумом или минимумом, смотря по тому, имеет ли
первая не исчезающая в точке g производная отрицательный или положи-
тельный знак (стр. 384).
11. Плоские кривые
В этом разделе буквы g, г] обозначают текущие координаты (на каса-
тельной, на нормали, на эволюте, на эвольвенте).
Уравнение кривой:
а) У = f (а); б) F (х, у) = 0; в) х = <р (£), у = ф (О-
Уравнение касательной в точке (х, у) кривой (стр. 306, 577):
а) т] — У ==(g —х) f’(x); б) (g —х)ЛА. + 0] —у)Л=0;
В) {?-<Р(0}Ф,(0-{п-Ф(0}<Р,(0 = о.
Уравнение нормали в точке (х, у) кривой (стр. 307, 577):
а) § — х + (т] — у) f (х) = 0; б) (g — х) Fy — (т] — у) Fx = 0;
в) U — <Р (С} <Р' (0 + h — Ф (0} Ф' (0 = 0.
Кривизна (стр. 325):
a) k =------; б) k = - Fxx^ ~ 2F**F*Fy + FyyF* ;
(1+/2)4 (^ + 6)3/’
Радиус кривизны (стр. 326):
P= RT‘
42 P. Курант
658
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ
У
а) 1 = х — у'
Эволюта (геометрическое место центров кривизны) (стр. 327, 351—357):
п = уЧ—рг—;
Fj + F*
р р2____‘)Р р р р р2 ’
‘ хх у ху‘ х1 у уу х
РхЛ-Fy
*) = У + Ру ---9-----------------9* •
' f Р Р2____ VP Р Р Р р2
‘ XX у ху X у ‘ уу X
ф2 4- ib2 , • ф2 -4- тЬ2
в) 5 = ф—ф- .--t-;/- . Л = М3 -f~ Ф . ~ л • •
фф — фтр ф Ф — Ф'Ф
Эвольвента (стр. 354):
§ = х + (а — л) х, я = У + (а — л) у,
где а — произвольная постоянная, а л — переменная длина дуги, отсчиты-
ваемая от любой выбранной точки кривой.
Точки перегиба (стр. 188, 310). Необходимое условие точки перегиба:
а) у" = 0; б) ^-ЗД + ^ = 0;
в) ху — ху = 0.
Угол между двумя кривыми (стр. 308):
g' — f FxGx + FyGy
------r—r; б) cos о = — ~—-------;
!+/£ Vf2x + F* /O^+Gy
a) tg® =
xxt + у У1
+ У2 У*? + У?
Условие ортогональности двух кривых:
*)f'g' = — 1; б) FXGX + FyGy = 0; в) xxt -j-yy] = 0.
Условие касания двух кривых:
a)/' = g'; б) FxGy — FyGx = 0; в) лу, — = 0.
Две • кривые у = f (х) и у = g (х) имеют в точке х касание л-го по-
рядка, если
f (х) = g (л), / (лг) = g' (х)./(Л) (л) = g(n) (х),
/Л+1) (л) g<«+1> (х)
в) cos со =
(стр. 577).
(стр. 381—383).
12. Длина дуги, площадь, объем
А. Длина дуги (стр. 319—324)
Пусть плоская кривая задана уравнениями:
а) У = f (х)-, б) Р (х, у) = 0; в) х = ф (/), у = ф (/);
г) (в полярных координатах) г = г(9).
Формулы для длины дуги:
х, /, ________
а) л — J У^1 -|- у/2 dx\ в) л = J V-v2 -}- у2 di',
•^0 ^0
X] ©J
6) S = J ~ Уp2-^p2 dx; г) л = j Vr2 + r'2 dQ.
x. y e.
СВОДКА ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ И ФОРМУЛ 659
Б. Площадь плоской фигуры
а) Площадь 5 криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (л),
осью х и двумя ординатами х = а н х = Ь, есть (если f (х)>0 на [а, &])
ь -ь
5=| уй?х= J f(x)dx (стр. 103—106).
а а
б) Площадь плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой, заданной
параметрическими уравнениями х == х (1), у = у (0, причем кривая описы-
вается один раз, когда t пробегает интервал Имеем х(/0) = х(/,),
у (ta) — у (Zj). Предполагается, что кривая сама себя не пересекает. Площадь
этой фигуры (стр. 317)
6 Л б
5 = — J у (0 х (0 dt = J х (0 у (0 dt = 1 J (ху — ух) dt,
б б б
причем результат получится положительным, если контур фигуры, пробе-
гается в положительном направлении, и отрицательным — в противополож-
ном случае. (Об ориентации площади см. стр. 312.)
в) Площадь, ограниченная дугой кривой г = г(0) (в полярных коорди-
натах) и двумя радиусами-векторами 6 = 0О и 0 = 0!, выражается формулой
9.
5 = -g- г2 d0 (стр. 319).
9»
В. Объем
Объем V тела, ограниченного куском поверхности г — f (х, у), пло-
скостью хОу и цилиндрической поверхностью с образующими, параллель-
ными оси г, есть
У = J J /(х, y)dxdy,
о
где G —область плоскости х, у, вырезанная боковой (цилиндрической) по-
верхностью тела (стр. 582).
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ГЛАВА I
§ 1, стр. 28.
1. г), д). Показать, что х удовлетворяет уравнению вида х6 -j-rajx5
... -j- а6 = 0, где ..а6 — целые числа; доказать, что корни этого урав-
нения либо целые, либо иррациональные числа.
2. Использовать иррациональность числа sin 60° = )^3/2.
(Ь\2 ас_________Л2
x-f- — I -]-------.
7. Если а > 0 и Ьг — ас < 0, то уравнение ах2 -j-2bx с = 0 может иметь
действительные корни в том и только в том случае, если 62 — ас = 0; затем
воспользоваться упр. 6.
8. Косинус угла между двумя прямыми по абсолютной величине 1.
9. Воспользоваться неравенством Шварца.
10. Возвести обе стороны в квадрат, а затем воспользоваться неравен-
ством Шварца. Сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины
третьей стороны.
§§ 2, 3, стр. 41.
2. а), г), д), ж) нечетные; б) четная.
3. б), в), з) монотонны; а), г), д), м), н) четны; г) и д) тождественны.
§ 4, стр. 46.
l(n4-l)(2n + l)(2n4-3).
в) Разложить (1 1)”
a) га (га 4-1) («4-2).
до k = п. Отв. —в)
л + 1
, „ п (п + 2)
ДО А = га. Отв. (^)г .
5. Третьего порядка; 193. 7. -g-(2га34-Зга2— llra-f-30).
2.
3.
по формуле бинома Ньютона.
б) Сложить выражения -4---т-4—г- от k = 1
к ft -4— i
„ 1 1 ь ,
Сложить выражения -г----от k = 1
кг («4-1)
4.
§ 5, стр. 55.
1. а) 1; б) 333; в) 333 333.
2. а) 0; б) оо; в) 6; г) га0/60'.' Д) 1/3.
4. 19. 5. а) 6; б) 10; в) 14.
6. а) 25; б) 2500; в) 250000.
9. а) 0; б) нет; в) да; д) 30.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
661
15. Самое большое из чисел alt а2, а*.
16. 2. 17. Воспользоваться известным пределом -^-->0.
§ 6, стр. 67.
1. Для всякого заданного положительного числа М, как бы оно ни было
велико, существует такое п, что | ап | >
2. Существует такое положительное число е, что, как бы велик ни был
номер N, найдутся такие индексы тип, большие чем N, для которых
I ап ат I е-
5. Погрешность меньше чем ’> е~ 2,71828.
§ 7, стр. 71.
1. а) 6; б) 15; в) 1/2; г) 3.
3. Пределы а) и б) не существуют; предел в) существует и равен 1.
§ 8, стр. 78.
3‘ а) 60 ’ 600 ’ 6000’ б) 10(1+2II—1|) и т> д’;
. 1 1 1 1 . ч 1
В) 120(1 +|ё|3) И Т’ А>’ Г' 100’ 10 000’ 10е’ д) 10
а) 1/600, е/6; б) 1/400, е/4; в) 1/77 600,
4. <
д) 1/Ю0/ е.
5. а), б), в), г), ж) непрерывны;
Д)
е)
з), л), н)
и), к)
м)
имеет
»
разрыв
»
при
2>
х>
»
х>
х = 2 и л==4;
л = 3‘
х— (л 4-1/2) л;
х = пл;
х = пл,
л #=0.
е/776;
г)
1 1
100’ 1000 '
1/10 000, е2;
Дополнение I к главе I, стр. 93.
1. а) Верхняя граница — 324/5», нижняя = 0, верхний предел нижний = 0, = 0.
б) » » =1/2*, » = — 1», верхний предел нижний = 0», = 0».
в) » » =9/10», » = — 2/3», верхний предел - нижний = 1/2, = 1/2.
г) » » =19/10», » = — 1/3», верхний предел нижний = 3/2, = 1/2.
д) » » = 2», » = 0, верхний предел нижний = 0. = 1,
Величины, помеченные звездочкой, принадлежат последовательности.
2. Точками а = х0, х2, .... хп = Ь разделить интервал на конечное
число частичных интервалов столь малых, что | f (х) — f (х) | < е, если х
и х лежат в одном и том же частичном интервале. Каждую пару смежных
точек х = Х[, у — f (xt) соединить отрезком прямой.
k k
3. Выражение -^[х — х^ |—g-|x — лг| зависит от х линейно в ин-
тервале [л/_], xi], а вне этого интервала оно имеет постоянное значение.
Составить сумму подходящих выражений такого типа.
«62
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Отв. -j-1-х —-|-|х —2|+I* —3|——5|.
4-а4:б)7гЬ-’и>0:в)|-
Дополнение II к главе I, стр. 97.
6);=2ac„o„s(0~!o); ? r=='^s(0a-9o)-
2. а) г = а;
3. cos 20 = cos2 0 — sin2 0, sin 20 = 2 sin 0 cos 9;'
cos 30 = 4 cos3 0 — 3 cos 0, sin 30 = 3 sin 0 — 4 sin3 0;
cos 50 = 16 cos5 0 — 20 cos3 9 -|- 5 cos 9,
sin 50 = 16 sin5 0 — 20 sin3 9-|-5 sin 0.
4. a) — 6Z; 0 = л, г = 3; 0 = л/2, г = 2; 0 = Зл/2, г = 6; б) 1 4- /3"4-
-|-i(1 —/7); 0 = л/4, г = 4/7; 0 = —л/3, г = ±-; 0 = —л/12, г = 2/7;
в) 2; 0 = л/4, г = /7; 0 = 7л/4, г = /2; 9 = 2л, г=2; г) 2 —2«/3; 0=5л/6,
г = 2; 0 = 5л/3, г = 4; д) ±1; 9=0, г= 1; 0=0, г= ±1; е) ± /—Lr4 Q;
_ __1L2 Г 2 /
..1, г=1; (=1, г = ±1; ж) + l +
2 4 /7 4
х = /2; 0 = -|, г = /7; з) -/18(/34-г)/2; 0 = 7л/4, г = 3/7; 0 = 7л/6,
r = (3/2)‘/s = /18; и) 1, (-1 ±//3)/2; 0 = 0, г = 1; 0 = 0, 2л/3, 4л/3,
х = 1; к) /7 {//7+ 1 + Z //7— 1); 0 = л/2, г = 16; 9 = л/8, г = ± 2.
5. Показать, что е/г удовлетворяет уравнению хп —1=0, затем разло
жить многочлен хп — 1 на множители.
Смешанные упражнения к главе I, стр. 97.
1. Воспользоваться § 5, п° 7.
2. 39 = 1 • З3 4-1 З2 -+• 1 • 3 4-0, откуда- искомый ответ 1110.
3. а) 10 011100; б) 2130.
4. а) 758; б) 5954; в) 10000; г) 0,2; д) 0,023; е) 0,24972497 ...
5. а) 1,41 </2 < 1Д2; б) 2,65.
с ч ^.-3-/5 -34-/5 ч
6. а) х<------g---, х>------/j---; б) при всех значениях х; в) х<
<-3 — 2/7; —34-2/7<х<3 —2/7; х>34-2/7; г) х> —2.
7. Возвести обе части в квадрат; знак равенства только при а = Ь.
8. Использовать упр. 7; равенство только при а = Ь.
9. а) Сложить три неравенства: a2-\-b2^.2ab, 624~с2^>26с, с2 4~ а2>2са.
•б) Перемножить три неравенства: /аб , с /бе , С + а > /еа.
в) Сложить неравенства типа a2b2 -j-b2c2 2Ь2ас.
10. Применить неравенство Шварца к двум тройкам чисел: х,, х2, xs
и 1, 1, 1.
И. Из соотношения (а, — aj) (Ь, — bj)^O получается а^-Ь-а/Ь^
/> afij -\-ajb[, сложить неравенства такого типа для всех целых значений
.индексов I и j от 1 до п.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
663
12. а) Раскрыть (1 — 1)" по формуле бинома Ньютона, д) В тождестве
(1 -f-х)" (1 4--*1я = (1 +^)2л раскрыть степени двучлена (1-|-х) по фор-
муле бинома Ньютона, а затем отобрать члены с хп.
14 ”2 (п +1)2
4
15. а) Установить тождество = у -
и просуммировать его от А=1 до Л=л. Отв. ± -
7n2 + 21zi4-8
в) 36 (л 4-1) (л 4-2) •
16. а) у (л2 — п 4- 2); б) (5л3 — 18л2 4- л — 30).
17 я> я(я2 + 5). л (л —5) (5л24-11л 4-26)
!7. a) g . б) §4
18. Предполагая, что формула верна при л = т, помножить ее на (а 4* Ь)
и тем самым доказать ее для л = л»4_1- Проверить, что формула верна
при л = 1 и л = 2.
19. а) 1; б) 1/4; в) со.
25. в) Если ,л> л, то | ат - ая | = ^-^4-^-^ 4. ... =
= 1—_______________________L...1 \ -
(«4-1)1 \ т Л4-2 ' (л4-2)(л-|-3) (л-1-2) ... т)
1 I! 1 . 1 ______1 \
< (Л4-1)! \ + Л4-1 (Л4-1)2 + " + (л4-1)т-л-1 )<
1 1 1
< (л4-1)! . 1 < л-л! •
л4-1
г) Тем же путем, что и в).
П П П т
26. Пусть = тогДа e»d» = 2 HlW*
v=0 т=0 v, r=0
Полагая т 4~v — имеем
2л л
|Х=л+1 г-0
л О
у У (-1)
1л 1Л т!(ц—т)! *
|Х=0 г=0
Теперь У - -—ту
г ЛЛ т! (ц — т)!
г=о
== 0, если ц > 0, так что
I £л^л 11 —
мп
V 21
2л р!
ц=л+1
2Л+1 /1 д_ 2 , 22 2n+1 1
< (л 4-1)! ( (л 4-1)2 + •••/< (л 4-1)! ’“ 2“
л4-1
Так как 2"/л+->0 при л-> оо, то cndn-> 1 и lim dn = 1/г.
л->оо
2л+1
(л— 1) - л! ”
-664
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
27. а) Члены последовательности монотонно возрастают и ограничены
сверху числом 2, так как если ая < 2, то ап+1 = /2-|- ап < /4 = 2. б) Пусть
lim ап = а. Тогда, выполняя’предельный переход в равенстве a„+l = V 2-|-ал,
П -> оо
получим а = У 2 -f- а, откуда а = 2.
33. а) 1; б) 1; в) 1/г.
35. а) 1/11; б) 1/1001; в) е/(1 -f-e).
36. а) 4е/(1-|-2е); б) е/7; в) arccos (1—е).
39. Воспользоваться тем фактом, что если число х рационально, то п! х
будет четным целым числом при всех достаточно больших значениях п.
40. а) Имеет разрывы при х=±л, ±2л, ...; б) имеет разрывы при
х = 0, ± л, ±2л, ...; в) имеет разрывы при х = 0, ±1, ±2,...; г) раз-
рывна при всех значениях х.
42. Да; рассмотреть знаки при х = 0 и при х = л/5.
44. Пусть е—любое положительное число; тогда |/(х')— f (х”) | < е,
если только | х'—х" | <д. В частности, I /(*')—f (х") | < е, когда |х'— а | <д
и | х" — а | < д, а это и есть критерий сходимости Коши.
45. а) (х2 у2 — Ьх)2 = а2 (х2 -f- у2); б) Зх2 — 4х— 4-(-4у2=0; в) х3 =
— у2 (2а — х); г) х3 4- У3 = Заху.
47. а) Окружность с центром в точке у и радиусом 4/3. б) Окруж-
А2Р — a k | а— р|
ность с центром в точке ------=- и радиусом R — ~—------, если k ф 1;
Az — 1 | — 1 I
если же А —1, то—прямая, проходящая через середину отрезка, соединяю-
щего точки а и ₽, и перпендикулярная к этому отрезку, в) Рассмотреть отдельно
три возможных случая: к<Л, A = l, k > 1.
48. «Неравенство треугольника»: сумма двух сторон треугольника больше
третьей стороны.
49. Сумма площадей квадратов, построенных на диагоналях параллело-
грамма, равна сумме площадей квадратов, построенных на всех его сторонах.
ГЛАВА II
§ 2, стр. 113.
1. Воспользоваться формулами § 2 и основными правилами. Отв. 23-|-.
О
2. Найти точки пересечения прямой и параболы; искомая площадь равна
разности площадей двух криволинейных трапеций: одна из них ограничена
10 V5
сверху прямой, другая — параболой. Отв. ——.
О
3. /5/6. 4. 1 (а2 + 46)’^.
5. a) .4—- t(l 4-fe)I+a — (1 -|-a)1+a]; б) — (cosaa— cos aft);
1 —p* Cl Cl
в) — (sin aft — sin aa).
n 4~ 1
§ 3, n°n° 3, 4, стр. 122.
. 1 , 2x , 4x _ cos x.
’ a) (x-j-1)2’ ~ (x2-|-2)2 ’ B) — (2xz -|-1) 2; r> —
д) 3 cos 3x; e) — a sin ax; ж) 2 sin x cos x; з) — 2 cos x sin x.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
665
1 ч
2. а) - —; б)--------------в)
л’ л4
1 х 3 1/- ч
—а—; Д) - Их; е)
3/х2 1
"Ч----4
iVx’
3. а) у' = — 6х2-|-10х— 7;
= 6х5-12ГГ-х3+12х; г) z
б) /'(x) = 3cosx— 2 sinx; в)
= -Ц- х‘/з -]- + 12х2.
О о
1
5 _ ’
5/хб
ф' (х) =
§ 3, п° 6, стр. 126.
1. / (1) = 1, /' (1) = 8, /" (1) = 36, /1V (1) = 96, /v (1) = 120, (1) = о
при и > 5, ибо /v (х) = 120 и /Л) (х) = 0 при п > 5.
2. 0. 3. со.
§ 3, стр. 135. ______________
Xj —|- Ху у' Хо ~j" Х,Х, —X2
1. а) § имеет любое значение; б) § = ——I в) £ = I/ -----------------------
д) ---------------з--------) •
§ 4, стр. 146.
2. а) 1/2; б) 1/2. [В обоих примерах воспользоваться соответствующей
первообразной функцией, найденной при решении упр. 1.]
§ 5, Стр. 149.
1. л/4 а; 0,785.
; г)^ = Ка6.
§ 7, стр. 158.
,.6)Е=^±>;
з. а> z« = 1 и- i/й при Условии’что > 0; lim 7«=а- б> = гп»
l-j-l/n п п-»оо П-f-l
(0, если —1<«</1,
оо, если а > 1.
б
4. | А (х) — /(x)K-j^- J | f (х -1-1) — f(x)\dt. Воспользоваться равно-
-б
мерной непрерывностью функции f (х) на а<х<6. Можно также писать
г с х+д
F (Х) ~ 26
где с — фиксированное число.
5. Выразить интегралы как пределы сумм, разбивая промежуток а < х < b
на равные частичные промежутки, и к этим суммам применить неравенство
Шварца (стр. 28). Другой способ: интегрировать неравенство [/(х)-(-
+ иД(х)]2>0 от а до b и воспользоваться упр. 4, стр. 28.
666
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Дополнения к главе II, стр. 163.
1. Построить функцию <р (х) так: <р (х) = /' (х) всюду, где f (х) 0, и
Ф(х)=0 во всех остальных точках интервала. Пусть ф(х) = f (х)— <р(х);
тогда ф (х) < 0. Рассмотреть J <р (х) dx н | ф (х) dx.
а а
Смешанные упражнения к главе II, стр. 163.
52. f (х) = sin -1 -
1 1
— COS — При X ф 0.
sin ---(1 + —) cos ~ при х Ф 0; /' (0) не суще-
X у X / X
u /(*) —/(0)
приращении v при аг-»О имеет верх-
53. f (х) = (1 4-2л)
ствует, но отношение
ний предел 1 и нижний предел —1.
/21X2 1
54. /"(х)=-г ——sinx ——j-cosx при xiO; /"(0) = ——.
у X Л / X о
55. Воспользоваться теоремой о среднем значении.
56. Воспользоваться теоремой о среднем значении.
f (х 4-Л)_f (х)
57. Рассмотреть функцию <р(х)= —— '~ь— Доказать, что при
малых фиксированных значениях h эта функция принимает значения как
большие, так и меньшие, чем ц; следовательно, <р (х) = ц при некотором
значении х. Затем применить теорему о среднем значении.
58. Составить уравнение касательной у — g (х); применить теорему
о среднем значении к функции f (х) — g' (х) и воспользоваться результа-
том упр. 55.
59. Составить уравнение у = g (х) хорды, соединяющей две точки кри-
вой с абсциссами х = х{ и х = х2; рассмотреть вспомогательную функцию
Л(х) = /(х)— £ (х), h" (х) = /" (х) > 0. Если бы где-либо на интервале
Xi<;x<;x2 было h (х) > 0, то существовала бы точка g, в которой
Л' (g) = 0, h (g) > 0; теперь применить теорему упр. 58.
60. Воспользоваться результатом упр. 59. 61. 0,006.
62. а) —; б) —= sec2 х.
2 /х cos2x
63. Воспользоваться формулами интегрирования упр. 62; а) 2; б) 1.
а
66. Пусть ц = J и (f) dt. Составить уравнение у = g (х) касательной
о
к кривой у = /(х) в точке х = ц. Тогда /(х)$>£(х) при всех значениях х
(ср. упр. 58). Положить х = и (t) и интегрировать.
67. Обозначим численные величины скорости н ускорения через v и w
и предположим, что все время движения | w | < 4, т. е. —4 < w < 4. Инте-
грируя неравенство и> < 4 от 0 до t и неравенство —4 < w от t до 1, полу-
чим: v < 4t и v < 4 — 4t. Но тогда путь
1 i/2 1
$ = J v dt < J 4t dt J (4 — 4t) dt = 1,
0 0 1/2
т. e. пройденное расстояние было бы меньше единицы.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
667
ГЛАВА 111
§§ 1, 2, стр. 172.
1. а) л; 6) 175сх6; в) 2 (*4-сх); г)
2х2(а₽ — а6)4-2х(су — ас)2 (бу — ₽с) . 4л (1 4-х*) .
(ах24-2рл + у)2 ’ ; (1 —х2)2(14-х2)2 ’ ’
2. а) /='(л-) = «пА/!4-(«„_|4-пл„)хп-14-[а„_24-(/г—1)(лЛ_,4-па„)]Х
Ххп~2 + ...; б) Г(х) = -^2- хп + (ап-,— папх,‘~1 -j-
-4- -^-(n-l)«„_,
с°
3. а) 2 cos 2х; б) —
„ sinх . cosx
д) ——Г-
1 4- sin 2х ’ В) х + cos2 х ’ г) 1 — sin 2х
4. sec3 х 4- sec х tg2 х. 5. cosec3 х 4- cosec х cig2 х.
„ лх2 . , , _ ах3 , . „ , , „
6. —л—h bx 4” с. 7. ——[— Лх2 4- сх 4“ •
£ о
8. х94-л7+л5 + л34-л: + с. 9. “ Ч—тг-й-Ч-^-д-) + с-
»|»|| 1 2л2 1 Зл3 ) 1
уЗ 1
10. -=----(-с. 11. в sinx— 6ctgx4-c-
О X
3 5
12. -g-x2 — 7 cos х— 2^2- —
9tgx4~c- 13. secx4-c.
| 3, стр. 181.
n r-
। vz zo\__4 x' (16)__- 3 Vх 4
1. У (»)-4, x (16)- 4 . 3. nx(14-x)2
4. C0Sr^.- — 2 V x sin x cos x. 5. >_.-—7=— •
2/x Vx(l—У4)2
„ (1 — tg x) 4~ 3x (1 4- tg2 x) n arccos x — arcsin x
6. ------- ----------------. 7. ------------------♦
зУх2(1 — tgx)2 yi—x2
8 2
(1 4- x2) (1 — arctg x)2
_______1______ arcsin x
У1 — x2 arctg x (J + x2) (arctg x)2
'j 1
10. — . ....„-H----------—==. 11. 0,785.
1 -rx (arccos x)2 У1 — x2
$ 4, стр. 186.
1. 3 (x 4-1)2. 2. 6 (3x 4-5). 3. 15хи (3x« — 6x3 — 1) (x« — 3xs — I)4.
< -Tnhr • * ir=S¥- &
7 1 & x2 (am — bl) 4~ ^x (an — cl) 4~ (bn — cm)
Ух2 — l(x 4- Vx2 — 1) 2 У (ax2 4- bx 4- c) (lx2 4- mx 4- n)3
668
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
е
9. —у (1—х)2^3. 10. sin2x. 11. 2х cos (х2).
О
12.
14.
16.
17.
,1 1 И
XSin —-----COS —5- .
X2 X X2 )
15. (2х 3) cos (х2 -f- Зх -J- 2).
(1_х 2)cos2(A±|)
Зх2
sin х cos х
Y1 4~sin2x
2
У1_(34-Хз)2 •
sin х _( — 1
| sin x | — ( 1
всюду, где sinx>0,
всюду, где sin x < 0.
Производная не существует
при х = Ал (А = 0, ±1, ±2, ...). Этот результат находится в согласии с тем
фактом, что arcsin (cos х) есть периодическая функция с периодом 2л и
в основном интервале [—л, л]
arcsin (cos х) =
-g 4- х< если — л х <: о,
л г, ~
2— х, если 0 < х < л.
18 . Данная функция у = sin(arccos'К 1—х2) определена при |х|<1;
у' = cos (arccos У1 — х2) (-. - 1 --— =
____ . ( V I —(1—х2) / 2/1—х2
xYl—х2 х { 1, если 0 < х < 1. „
— -——г = ( , . п При х = 0 производная не
|x|yi—х2 1*1- (—1, если —1 < х < 0. н
существует. Функция sin (arccos У1 — х2) — sin (arcsin |х|) = |х|, (—1<х<1).
„ з_
19 .-^-(х/24-х-/2). 20. 1X5cos(x4-7) [sin(x4-7)]/5-1.
21.
22.
23.
24.
аа sin х
Yl — (a cosx 4- by
[arcsin (a cos х 4~ 6)]а-1-
24 sec5 х — 20 sec3 х 4- sec x.
cos x (cosec2 x — 6 cosec4 x).
24 sec5 x — 20 sec3 x 4- sec x — cos x.
§ 5, стр. 196.
1. а) Максимум при x=—Y 2, минимум прих=уг 2, точка перегиба x=0.
б) Максимум при х = 2/5, минимум при х = 0, точка перегиба х — —1/10.
в) Максимум при х=1, минимум при х = —1, точки перегиба х = 0,
4 4
г) Максимум при х= у 3, минимум при х — —у 3, точки перегиба х = 0,
±У6±УЗЗ. д) Максимумы при x=(«4"v) я’ МИНИМУМ ПРИ х = пл, точка
, 2л 4-1
перегиба х —---J— л.
2. Максимум при х =— Y — р, минимум при х = Y — р, точка перегиба
х = 0. Нет ни максимума, ни минимума, если р 0. Все корни действительны,
если q2 4- 4/>3 < 0; два комплексных и один действительный корень, если
724~4/?3 > 0.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
669
3. Точка (0; 1). 4. Уравнение искомой прямой у — у0 =— 1/ — (х— х0).
Г Ло
5. 4]/~2лг. 6. Точка, делящая отрезок АВ в отношении Ь. 7. Квадрат.
8. Прямоугольник с вершинами в точках х— ± , х = ± .
9. Прямоугольный треугольник, т. е. с2 = а2 -{-Ь2.
10. Сторона прямоугольника, противоположная прямой g, должна быть
на расстоянии (У^вг2й2й) от центра.
11. Цилиндр, высота которого равна диаметру его основания.
13. Угол падения должен быть равен arcsin (п sin , где <р — прело-
мляющий угол призмы.
п
14. х = — а*. 15. Найти минимум функции хр — рх. 16. Найти мини-
fe=i
2
му мы функций х — sin х и sin х— — х в интервале х < л/2. Другой спо-
, , sin х
coo: показать, что функция ——— монотонна в этом интервале.
Л-1
1g ( Д14~а2 4~ ••• ~Ьад-1 \ л J
V аха2 ...an_t
§ 6, стр. 206.
1. 0,693. 2. In х. 3. —3—. 4. .
xlnx y i _|-х2
_____1 — 2x cos x ]^1 In x 6 x _ 1
2x /1-l-Inx (K1 —|—In x — sin x) ' x2 +1 3 (2 +x) ’
7 V7x24-1 / 14x___________1_________2x3 \
/77Д2У'хг+Л \3(7x2 + 1) 4(x —2) (x4 + l)/
11. x=l/X при условии, что X =f= 0; если Х = 0, то максимума нет.
12. ааХах (In а)2.
. п sin Л' Пп . f r. ,. 2 Si n X 1 n X )
13. as 1 > In a < cos x (In x)2 ----->.
§ 7, стр. 212.
1. а) Фиксировать x и дифференцировать по у, затем положить у рав-
ным нулю, б) Вычислить f (х) сперва для рационального х, а затем, поль-
зуясь непрерывностью, — для иррационального х.
2. Дифференцировать по у, а затем положить у = 1. 3. 2315 лет.
4. а) у = b -f- Сеах\ б) у = —Сеах, если а 4= 0;
у = Ьх С, если а — 0;
в) у = (Ьх С) еах; г) у — — есх 4- Сеах, если с #= а; если же
с —а, см. в). [Дифференциальные уравнения в) и г) решаются заменой
переменной у = zeax, где z — новая искомая функция.]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
670
fi 8, стр. 218.
1. sh а— sh b = 2 ch —j— sh ° g * J
. . . , л , a-\-b , а — b
ch a ch b — 2 ch —— ch —;
, , n a + b . a — b
ch a — ch b = 2 sh —g— sh ——•
„ ,. . th a ± th b ... .. 1 ± cth a cth b
2 .th(a±6)= 1±П1д1Бр cth(a±.&) = —h--±cthfc ; ch2a =
= ch2a4~sh2a; ch 2a = 2 ch2 a — 1; ch 2a = 1 4-2 sh2 a; sh ^- = -c --a2~ 1 ;
rh2 !L - cha + 1
2 - 2
о „th A' + cth X
3 . a) sh x4- ch x; 6)--j—; в) (1 -f- sh 2x) cth (x 4- ch2 x);
. 1____1___1 . a sh x , 2
r) Vx^—l^ Ух^+1 ’ Д /a2ch2x4-f ’ e) 1—x2'
4 . sh b — sh a.
$ 9, стр. 223.
1. а) Выше, чем xN; б) ниже, чем xe; в) того же порядка, что 1; г) выше,
1 1
N 2'+е
чем х; д) и е) выше, чем х ; ниже, чем х ; ж) того же порядка,
что н х; з) выше, чем xN\ и) ниже, чем х®.
р
2. а) Выше, чем еах и (In х)“; того же порядка, что ех ; б) ниже, чем
ew и ехй\ в) ограничена; г) того же порядка, что еах; ниже, чем еха; выше,
чем (In х)“; д), е), ж) ниже, чем erjX н ех°; выше, чем (1п х)“; з) выше,
чем ex ; ниже, чем e ; выше, чем и (In x)u; и) того же порядка,
что In х; ниже, чем еах и еха.
3. а) Того же порядка, что х^; б) ниже, чем (1/х)8; в) того же порядка,
что и х; г) того же порядка, что х; д) такого же порядка, как х^*;
е) как х3''2; ж) выше, чем xN\ з) выше, чем х1-е; ниже чем х; и) ниже,
чем (1/х)8.
4. Да; 0. 5. 0; 1. 6. lim / (х)/х = f (0) = 0. 8, 9. Воспользоваться упр. 7,
• х->0
Дополнения к главе Ш, стр. 230.
1. Г te [Л te)]) {§' [Л te)] h' (х))2 4- f' te [Л te)]} g" I* te)] [*' te)]2 +
+//tetete)l]^tete)]A"te).
„ , sin x( Sinx . . \ 4 0 . In cosx \
2. а) Х8,ПД—— 4-ln x> cos xj; 6) (cos x)tg x tg2 x 4- -г J;
u' (x) v' (x) In I a (x) j
B' и (x) In v (x) v (x) [In v (x)]2
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
671
3.
а) е** [ab? + 3nan-'x2 4-3n (п — 1) ап~2х 4- п (п — 1) (п — 2) а"“3];
(п-1 \
У-!--!пЛ
AJ v /
v=l /
в) ( р— {cos х — 32m cos Зх} при п = 2т,
~—{32,л+1 sin Зх-т-sinx} при п = 2пг-|-1;
г) р- [(т -)- /г)21 sin (m 4~ k) х — (т — k)21 sin (т — k) х]
при п = 21,
I(m + k)2l+l cos (m + k) x — (m —k)2l+1 cos (m — k) x]
при zz =27 4- 1;
~/2/<n \
ex ( Х(-1)А(2а)22Й Cos2x +
*=o /
(2/4-1 \
S h1"2*
*X=O /
n
= 5 2 ex cos (2x na).
где tga = 2. Сжатые выражения для сумм, служащих множителями при
cos 2х и sin 2х, получают, вычисляя (14~2г’)я двумя способами: по формуле
Муавра и по формуле бинома Ньютона — и приравнивая действительные и
мнимые части обоих результатов.
6
“Ж)*1+*>'•
4. Пусть у = arcsin х. Тогда
dny = dn~l I _1____X
dxn ~ dxn~l \/Г=~х2/
_ dn~2 / х
dxn~2 \(1— х2)’\
К этому последнему выражению применить правило Лейбница
= 3(и —2)
ал~4
. dxn-4
(1 — х2)6/2
и последовательно повторять этот процесс:
= 1-3.5 ... (2А —1)(п —2)(п —4) ... (п —2А4-2)Х
dn~2* / х
j-n-2fe I 2fe+T
к(1-Л 2
-х«о
672
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Если n = 2m, то =0; если л = 2я + 1, то , „ =
dx ur-o dxn |х_0
= I2 • З2 • 52... (2/и — I)2.
т-1
[Sr (arcsin Х)2]Л_0= 2 ( 2* +1 ) 12,32 • • • (2*-1)2-12-32 - (2т-2й-3)2;
^2т+1
dx2"1*1
(arcsin х)2 = 0.
-х=о
5. Дифференцировать (1 -|- х)" дважды и
затем положить х = 1.
Смешанные упражнения к главе III, стр. 230.
68. a) (2^ + ctgxps2x+lnsl,ljr;
\ COS2 х ь )
б) 4 (X + 2)3 (х2 +1 )5/г ---------—(х + 2)4 (X2 +1 )5/' +
3]/(1 —х2)2
4—у X (х2 + 1)-^ (хЦ-2)4
в) — х sin х 4- cos х 4- Зх2 sin х + х3 cos х--I—Х cos х .
' 1 ' 1 sinx 1 sin2x
69. Знаменатель не должен обращаться в нуль ни при каком действи-
тельном значении х; рассмотреть его дискриминант. Числитель производной
тоже не должен обращаться в нуль. Искомые условия таковы: ас — Ь2 > 0,
а > 0, ab — <20 = 0, а 4 0 или а = b = 0, а #= 0, с =f= 0.
70. Максимум при х = —1/е, минимум при х = 1/<?, точки перегиба
в точке (0; 1) и в точке, удовлетворяющей уравнению In (х2 2)2 -|-= 0.
74. Пусть Т есть треугольник заданной площади, имеющий наименьший
периметр, и пусть b — какая-либо из его сторон. Если сохранять b постоян-
ной, то Т будет треугольником с данным основанием Ь и заданной площадью,
имеющим наименьший периметр. Следовательно, Т должен быть равнобед-
ренным, и две его. стороны, отличные от Ь, должны быть равны. Но b есть
любая из сторон треугольника, и, стало быть, Т — равносторонний тре-
угольник.
Для аналитического решения достаточно рассматривать только равно-
бедренные треугольники с данной площадью S. Пусть координаты вершин
2 ____________________________________________________________________
будут (—х, 0). (х, 0) и (0, S/x); тогда периметр равен 2х— ]/х4S2.
Приравнять нулю первую производную и найти вторую производную.
75. На основании упр. 71 достаточно рассматривать только равнобедрен-
ные треугольники.
76. На основании упр. 72 достаточно рассматривать только равнобед-
ренные треугольники.
77. а) Производная от функции (1 -|- х) ех всегда положительна при х > 0;
поэтому свое наименьшее значение эта функция принимает при х — 0,
а именно 1. б) Интегрировать неравенство а) от 0 до х. в) Интегрировать
неравенство б) от 0 до х.
[п I /1 __Al
78. Пусть f (0) =-----; тогда f (0) = f (1) = 1. Найти
[ев« + (1-0)йЯ/<?
Г (0) и показать, что либо f (0) = 0, либо /' (0) = 0 точно при одном зна-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
673
чении 0 в интервале от 0 до 1. Во втором случае показать, что f (0) нигде
не обращается в 1 при 0 < 0 < 1. Затем вычислить f (0); она окажется рав-
ной положительному числу, помноженному на выражение
6» —----bf__
Р
О,
ьр аЧ—.ьЧ.= Г bpxp-'\tfi-p — Xq-P]dx<
ч J .
ь
которое отрицательно, если а^Ъ. Следовательно, /(0)<1.
79. Знак равенства будет в том и только в том случае, если f (0) = 0,
т. е.-если а = Ь.
82. Найти минимумы функции а-6^6-1 [0а-['(I—0)А] в интервале
О < 6 < 1.
85. а) Выше; б) тот же самый; в) ниже; г) выше.
87. Интегрировать левую часть, просуммировать, а затем опять диффе-
ренцировать.
89. По правилу Лейбница
бГхя+1
Z'2.
90. Исключить мя+1 из указанных двух формул: пип_г = и'п; одну из ре-
куррентных формул дифференцировать и воспользоваться полученным здесь
соотношением.
л. , ч „ . п(п—1) , п(п — 1)(и — 2) (п — 3) „ , ,
91. ип (х) = хя -—g—— Xя~2 -[--------2 ’vхя~4 4- ...
92. Применить правило Лейбница к выражениям:
Э) ^2-[(Х2“1)(Х2“-1)Л]:
j«+2 + l
б) “ 1)Л “ 12 (Г‘ + П Х ~ 1Л:
ил ил *
в) приравнять друг другу два выражения для P'n+i из а) и б).
93 Р (х) = ^я)1 Гхп n (n D хя~2 ]
я(' 2я (л !Г L 2(2л —1) +
. л(л —1)(л —2)(л —3) -I
2 • 4 • (2п — 1) (2п — 3) ~ '"J’
94. Тот же ответ, что в упр. 93.
р
95. По формуле бинома Ньютона 2 ^n, — [х-|-(1 — х)]₽ = 1. Далее,
л=0
дифференцируя k раз функцию
р
(а + х)₽=
ляЛ \ п }
г
и разделив потом на &!, получим
р
п = й
43 Р. Курант
674
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Теперь помножим на xk и положим а—1—х, после чего получим
Р\
k J
xk - 2 G)(«)(1 x)P Пхп ~ S (k)Ля-p (x)_
n = k tl = k
ГЛАВА IV
В задачах на неопределенные интегралы постоянные
интегрирования опущены.
§§ 2, 3, стр. 247.
1. yZ. 2. -|Z. з. |(14-хЗ)3\ 4. 1(1пх)2.
(п.— 1) (In х)п~г
6. Привести знаменатель к виду (Зх—1)24~1. Отв. arctg (Зх—1).
7. Ш [^- + / l +
8- 9^Л7=2-9-ГчТ’ Отв. 2х-1 In 12-|-Зх|.
Z -|- OX Z -j— ох о
9. arcsin х — У1 — х2. 10. 1п(х4-1 +У54-2х+х2).
11. arcsin jLil. 12. — In (х2 — х 1) 4—>= arctg %х * .
2 2 КЗ КЗ
13. 2 arch^KzJL_i_/х2 — 4х 4-1.
КЗ
14. — - /2 4- 2х — Зх2Ч-arcsin Зх -1.
3 ' ЗУ3 /7
2 . 2x4-1 2 , 2х —1
15. —arctg—4^* 16- —?= arctg —=т.
У~3 6 Кз /3 /3
17. i— arctg —-£~Ь а, .. если Ь — а2 > 0; -
/6 —a2 yb — а2
- arth —л + а ... если ь — а? <о.
У а2 — b у а2 — b
если b — а2 = 0;
у4 уЗ у2
18. -4-------4---х-----X-In] х-1|.
О Z
19. sin3 х cos4 х = sin х cos4 x (1 — cos2 x) = sin x cos4 x — sin x cos6 x.
„ cos5 x , cos7 x
Отв.-------=--------=—.
20. 21.1(1-х2Г-1(1-х2)Ч
22. -i- arcsin x 1- x УI — x2. 23. r.2/32.
24 1+(-!>” 25 2 26 _J_______________L_
«4-1 • X ‘ 2(14-a2) 2(14-62)"
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
675
27. |(а3-63) +у02- *2) + («-*) + In -2—1.
28. 4 (1— cos-^-1. 29. Ср. упр. 8, стр. 113. Отв. —i—г-
\ Z / п Ц-. 1
$ 4, n°n° 1-3, стр. 253.
1. Принять / = х, g' = ф = -^7. Отв.---------hlntg-^.
sin2 х sin х ° 2
2. Положить f = х2, ср = хе~х\ ф1 = —е~х\ Отв. — 4 (х2 -|-1) е~х\
А л
Можно сделать предварительно подстановку — хг — t, — 2х dx — dt, после
чего интегрирование произведения упрощается.
3. (X2 sin X2 -|- COS X2).
4. а) Подстановка 1—х4 = t, —4х3 dx = dt. Отв. . -------L
4(1 —х4) '
+ 4 1П| 1-*41 + С- б) Положить /=4-’ Л"4х4Р ’ 'Р|=Т~Й-
яга-) +11" 11 — I + с, _ _2+щ±_Т)+± 11^., + с,;
-2-+с, = с.
5. ех (х2— 2х-|-2). 6. (х2 — 2) sin х -f-2x cos х.
_ 4л (-1)«
„2
8. 0; этот результат можно предвидеть без вычислений, если заметить,
что подынтегральная функция нечетная.
А 1 , 1 <А Хт+' , Х’П+1
9. — ГС—S77T In X-—jrrv 19. In X----------.
(п—1)хя 1 (п — 1)2хл 1 т1
1 Г 2 21
11 . |хф1п х)2-± 1пх + ||.
§ 4, п° 5, стр. 2§0.
1. (27х4 — 27х3 + 36х2 + 90х — 73) — £^(12x3 — 9х2 + 8x4-10).
о - 9/0 1 1\ 1 — cos (6%-|-2) п 18х2-4-6л—13 . /г . оч
2. sin2 (3% 4-1) —---1—Отв.---------------sin (6_r-j-2)—
—6х74 1 c°s (6x+2)+4x3+4%2_ x-
3. CQS2(flxH-&) = -+COS(^ + 2ft)
4. sh2 {ax + ft) = -C---(2aX1
5. ax2 4- b = t, x dx =
2a
I t — b Л . dt
----------1 sm t 7Г-.
\ a У 2a
Итак, j (x3 —x)sin(4x24-^)c/x=i
43*
676
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
6. По 1-му способу: (ахЬ)т а----т(ах-\-Ь)т ТХ
(ах+Р)^* 1 2 I ( 1Гт,дСТ (а* + Р)я+>п+1
(п4-1)(п + 2)а2^”'^' ’ (n+l)(n+2)...(n + m4-l)am+‘*
гт о я (a-x~Wn+1t, . (ах-4-t>)m+2 очЛ-1 I
По 2-му способу: Ц—Ц-4——(ах+Р)"—. . , о. „яа(ах4~Р)л * +
J 1 (т +1) а л 1 (ОТН~1) (ffl-j-2) а2 1 1
_1_ ( П«__________v ~ "I________\_______. п | ап
’ (m + l)(m+2) ... (т + п + 1)ал+1
7. (х2 — 7х +1) (2х — 7)
з ‘2 з ’ з ‘22 з'з’з'2’
8.
a.r (4х—Гр'3
I-4
5х4 (-4 }---|-20х3
А. . 42
3 3
(4х—1)"/з
5 8 11
3 3 3
120х
(4х_1)’7-
_5 1 11 14 17
3 ‘ 3 ’ 3 ’ 3 3
3 ’ 3
(4х —1)2%
И_ J4 I7 * 20 •
3 3’3 3
§ 4, стр. 266.
, 1 , . 1.0(3
1. -gg-sin 4х—j sin 2хх.
rf 1 . е i 3 . . . 15 .0(3
2. -топ sin ох -4- тг sin 4х -+ -^7- sin 2х -4- тя- х.
192 1 64 1 64 1 16
3. Положить х = cos t, dx — — sin t dt.
Отв. (4-х4 — -4гХ2—A-^xKl—x2-}-i arcsin x.
\6 24 16J 1 16
4 и 5. Положить x2 = t, 2x dx = dt, a затем воспользоваться обобщен-
ным правилом интегрирования произведения.
§ 5, стр. 275.
ч I М Is I 3 I 3.
А I х-Н I -t~x+l ' 2(х-|-1)2'
4. у — A-ln 1x4-1 l + ^g-ln |3х — 5|.
в 1 , . 4/ 14-х2 . —1 . ,4/~ 1 +^2
5‘ 2(х—1)+ П У (1—х)2 • 6‘ 2(х — 1) V 1(1—х)2’
7- 1п у 1 4-~ In (х2 + х +1) + arctg ?£±±.
У|х—1| 6 /3/3
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
677
8. 1п^|х + 1 I -1
О
1 . 2х — 1
т=- arctg---7=—.
^з Кз
1 »____Q
9. In -=-------НпV1 + xi + Т arctg х.
10. -|1п|х + 2| + |-1п|л—1|—|ln|x+l |.
О О Z
п. _^. + inj/’|А±1-1 -iarctgx
12- 1 arctg л + In х2 + +1 -4-1 arctg (2л + Кз~) +
3 12 х2 — уЗл-р! 6
4-1 arctg (2х — КТ).
t„ 1 , х— 1 , /Т х Зл’4-2 3
13. — In-----1- -— arctg—т=г. 14.-------—-------arctg х,
6 х-4-1 3 УТ 2х(х24-1) 2
§ 6, стр. 281.
6- p=- arctg 1^2.
5. In
tgf+Л
tgf-1
_ 1 . tg х
7. -s— arctg. .
/2 K /2
• t 2 tg x
arctg—£=-.
KT
9. 7;—1--1—In cos x. 10. —Irin
2cos2x 1
tgy-i4-K2
tgy-l-K2
1 , 2совл — 1
---7=T arctg —:-------
2K3 Кз
1 । соз2л — созл-4~1
4 (cos2 x 4- cos x4- I)3
12. IxK-v2 —4 — 2 arch у. 13. л K44~9x2 -J-larsh-g-x.
14. 2 arctg 1/ ——p.
15. lK(At24-4x)3— (л +2)Ух24-4л4-4archill.
678
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
16.
17.
18.
^Х — /1 — X -I-In
2/2
In X
/1+х—/\—х
/т+++/т—г
(^-/|)(ю-,+/|)
(>^+/4)+~-/|)
-+/i~л
1 г_______________________________________ .___________.
-%arch (2х — 2а +1) + /(х — а)2 + (х — а) — 2/х—а .
9 _________
,9-
§ 8, стр. 295.
1. Расходится. 2. Сходится. 3. Сходится. 4. Сходится. 5. Расходит
6. Сходится. 7. Сходится. 8. Расходится. 9. Сходится. 10. Сходите
11. Сходится.
14. а) При 0 < s < 1; б) при 0 < s < 2. 15. Да, сходится.
Дополнительные упражнения к главе IV, стр. 296.
1. Положить arcsinx = /, dx — cost dt. Отв. 2. earcsin-r (х + /П—x2).
2. -2 cos9 x—cos7 x.
3. x[(lnx)2 — 21ПХ4-2]. 4. 2-|n-2~7cosx .
5. Положить /1 — e~2x — t. Отв. x — У1 — c-2x+ ln (1 + У1 — е2л)-
6. 0. 7. 0. 10. 0.
12. Рассмотреть функцию 1/х на отрезке 1 < х^ 2. Разбить этот отрезок
на п равных частей и составить нижнюю сумму, как в гл. И, § 1 (стр. 103
и след.). Она окажется равной ап. Теперь пусть л->се. Отв. In 2.
13. Сравнить члены выражения Ьп со значениями функции f (х) =
— ' ------при х = 0, 1/п, 2/п, ..., —-5-. Отв. я/2
/1—X2 п
14. Вычислить
lim In
п->оо
" Г п\ 1 г / 1 \
"1/ —^ = Hm — Inl-f-lnll----------1-4-
V пп «I \ п) '
+1п ••• +,п
на основании определения определенного интеграла.
15. 1/(1+а).
16. Положить /(х) = (х—1)п, <р(х) = (х + 1)п или /(х) = (х + 1)л.
17. Разложить дробно-рациональную функцию
________________1________________
х(х + 2) (х+ 4).. ,(х+ 2п)
на элементарные дроби, а затем положить х= 1.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
679
Смешанные упражнения к главе IV, стр. 299.
96. 41 х'а/'2 — 4 */б +• 4- X1' + х’12 — — Зх7’ + 4х
— 2 In (1 + х7‘) — 4 In (1 + х7'2) — 4/3 arctg (х7-2 — ~ j.
97. ±(1 + ^)7<-| (1 + ^)4
98. _ 6 V(1 + х)2 П + + x+f /1
,з ,6 ________.
+4 1 /а+х)5] •
99. Положить х + | = t; 1 In +1.
100. — arccos-V*
п хп
101. Jr[lnx-(;)ln(x + l) + ("jln(x + 2)-+ ... ±
± ( "Ьп (х4-я)1.
\ п ) J
102.
103.
105.
108.
(п — 1) (п — 3) ... 1 л
------z о.--------------если п четн
п(п — 2) ... 2 2
(я — 1) (п — 3) ... 2
' я(я-2~.ГЗ~ ’ еСЛИ /гнечетно-
212 104 (2я)! . +
1 3 • 5 • 7 • 9 • 11 • 13 ’ 22"(я!)2 2
22/г(^)2 106 —.
(2я4-1)!’ 16
Г
х° (In х)т dx — —
107. 4т-
1 (In х)т
J ха (In х)т 1 dx.
109.
Хп^ах
хпеах sin bx dx = —b (a sin bx — b cos bx) —
й2 + ^2
------L9 f xtt leax sin bx dx ----------------- - f xn 1eax cos bx dx.
a2-]- b2 J a2 -j- b2 J
f x,leax
110. xneax cos bx dx — —, , ,; (acosbx + b sin bx) —
J a2 + o2
-----f x” 'eax cos bx dx------------- f x" 1eax sin bx dx.
a2 + b2 J a2 -f- b2 J
f eax
111. eax sh bx dx — (b ch bx — ashbx).
f eax
112. I eax ch bx dx = -rz------ (b sh bx — a ch bx).
j • b‘ — a2
114. Воспользоваться обобщенным правилом интегрирования произведе
ния, полагая <р (х) = Рп (х).
115. Воспользоваться результатом упр. 114.
680
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
116. Применить обобщенное правило интегрирования произведения, по-
лагая f (х) = Рп (х) и <р (х) = Рп (х), и воспользоваться результатом упр. 16,
стр. 297.
117. Положить /(х) = хп, <р(х) = Рп(х) и применить обобщенное пра-
вило интегрирования произведения, а также результат упр. 16. стр. 297.
Отв.
2п+‘ (л!)2
(2п+1)! '
дится.
122.
123.
127.
128.
129.
118. Сходится. 119. Сходится.
120. Сходится, если п>—1; расходится, если — 1.
121. Сходится, Гесли п > —1, т > —1; в противном случае расхо-
Сходится, если п > 0, nt>—1; в противном случае расходится.
Сходится. 124. Расходится. 125. Сходится. 126. Сходится.
Сходится, если п > 0; расходится, если п < 0.
Сходится, если т > п — 1; расходится, если т-^п— 1.
Сходится. [Подынтегральная функция всюду положительна, непре-
рывна и
5
ограничена (она < 1). Интеграл I (g) = J
о
dx
1 4~ х4 sin2 х
монотонно
возрастает вместе с g. Поэтому достаточно доказать, что он ограничен.
Пусть па < g < (п + 1) л. Тогда
dx
1 х4 sin2 х
dx
1 -j- х4 sin2 x ’
о
При
й > 1 интеграл
(й + 1)я (й + 1)я
f rfx f ______________________________dx
J 1 x4 sin2 x < J 14- й4л4 sin2 x
йя na
dt
1 4- й4л4 sin21
dt
1 4- й4л4 sin21
я/2
(замена переменной x = ka 4-1). При "0 < t - j- имеем sin t / (см. упр. 16
Я/2
на стр. 197); поэтому ak < 2 | arctg й2л2 < J- . -J = A.
0
2я
Следовательно, < ttU- при й> 1. В частности, аг —
л
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
681
к к
п о 1 1 f dx 1 f dx „ л
Далее, при 2 имеем = -тх- < тг —х- Стало быть,
2й2 2 J k2 2 J Xs
*-1 к-1
к (л+1)я я' п
' 1 f dx „ f dx V 1 Г dx 1 /, 1 \ „ 1
ак < 2 J x2 и J 1 + x4 sin2 x~ < 2 J x2 ~ 2 V n}< 2
к — 1 2n к = 2 1
Стало быть, интеграл I (?) < = л1, т. е. он ограничен, и
J сходится,
о
Этот пример еще раз показывает, что J
о
в том случае, если подынтегральная функция (даже если она
жительна) не стремится к нулю при х->оо. Что /(х) = -=—:
может
сходиться и
всюду поло-
—. о 1 не
-х4 sin2 х
стремится к нулю, видно из того, что /(пл) = 1 при любом целом п.
(Ср. стр. 294, интегралы Френеля.)]
130. Расходится, так как
х dx
1 4- х2 sin2 х
А
f xdx
J 1 +x2
о
11П (1 + Д2).
131. Сходится, если p < —2 и P —1 < a < —1 или если p > 0 и —1 < a<
CO Л OO
< Л — 1; во всех остальных случаях интеграл расходится. J = J J •
о о я
ОО
(* х& dx
Предположим, что р<0. Тогда ----------й—5— сходится лишь при a < —1,
J 14-xPsin х
я я
Г Xй dx , Г х“ dx
между тем как ---------5—т— ведет себя, как ----------х~х-> т- е- если
J l-|-xpsin2x J 14-Х0+2
о ’ о 1 .
₽-4-2>0, то сс> —1, что приводит к противоречию. Если же р —|—2 < 0, то
a — Р— 2 > —1.
л
Г • х& dx
Пусть теперь р > 0. Тогда -----'—й5— сходится лишь при а>—1.
J 1-|-ХРз!п X
С другой стороны,
(ft-t-l)n (ft-t-1) я (й+1) я
Г ________(£л)а dx________ j* х“ dx Г (й-|~1)“ла</х
J 1 -4- (Й4- I)*3 лР sin2 х J l-|-xPsin2x < J 1 4* (йл)Р sin2 х
«я 1 ' ' ' кл ' ка 1 ' '
682
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Левая сторона
(£-|-1)а ла+1
V1 +
неравенства равна —______ а правая равна
у 1 (й1)0
Стало быть>
«4
ctk 2
ха dx
1 sin2 х
0.
2
Г х& dx
Отсюда вытекает, что -----------л—±—
J 1 -|-ATSiir X
л
сходится в том и только в том слу-
чае, если а—р/2 <—1.
со со оо ар
132. f /(«-х)-/(М dx = [ dx_ f ZMdx== f £&_dx=
J X J X J X J x
a aa ар aa
c₽
. , p . f f(x)— L . „
= LIn-^--f- ----—---dx. Показать, что этот последний интеграл стре-
ла
мится к нулю при а -> 0.
г, f f (ах)— f (Вл) .
134. Рассмотреть I —— х—~ и преобразовать его тем же ме-
а
тодом, что и в упр. 132.
135. В формуле Г (п) = J е~Чп~^ dt сделать замену переменной а) t=x2;
о
б) t = In
ГЛАВА V
§ 1, стр. 310.
1. (л2 + у2)2 = а2 (л2 — у2)2.
2. х = (/? г) cos 0 — г cos ~-^-г 9, у = (/?-|-г) sin 0— г sin Q.
3. х = 2R cos 0 (1 — cos 0) -j- R. у = 2R sin 0 (1 — cos 0).
4. x — (R — r) cos 0 -f-r cos Г 0, у = (R — r) sin 0 — r sin - Г 0,
10. a = arctg
n f (Veg' + xaf) — g' (gf — fg')
(f')2+(g')2
.. _ g' (yog' + xof') + f (gf — fg')
y (f')2+(g')2
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
683
12. а) Сама окружность С. б) Кардиоида, описываемая при катании по
неподвижной окружности с диаметром ОА подвижной окружности с равным
по величине диаметром; точка возврата кардиоиды находится в А.
[13. Пусть г = /(Ф)— уравнение кривой в полярных координатах с по-
люсом О; Р(г, Ф) и Q(rb Ф+ДФ)— близкие точки на кривой. Из &OPQ
по сторонам ОР = г и OQ = r1=r-|-Ar и углу POQ = ДФ определить
tg OPQ. Если ф есть угол между радиусом-вектором ОР и вектором PQ
секущей, а ц — угол между ОР и касательной в точке Р, то tgф = —tgOPQ,
a tgp =Alimotg<₽-]
§§ 2, 3, стр. 333.
1. | 2. 3. -^-(03 - 03). 4. 6я/?2. 5. 6№.
6. л^1 + 4£-). 7. 4L(a2_|_/>2_|_x2).
8. .£ = /? + $ (1— +з2^г)(1 —
/ / 4 \з 8
1°. у (-9+*) - 27- И-6/?.
12. а) 4(arsh 0 + 0/ТТЛ2); б) _ е'«8»);
2 т
в) 8fl(l-cos|); г) д Л (03_03) + 0_0О].
1 3/
13. a) -g (1 + 4х2)/г; наименьшее значение 1/2 в точке х — 0;
б) (a2 sin2 ф + b2 cos2 ф); если а > Ь, то наименьшее значение Ь/а
в точках ф = 0 и ф = л; наибольшее значение а/b в точках ф = л/2 и
Ф = Зл/2. _
14. р = 1//Е
[16. Перейти к параметрическому представлению кривой в прямоуголь-
ных координатах: х = f (0) cos 0, у = f (0) sin 0.]
17. Объем л/?2 (Л2— Aj)—у 02— ^1)’ Площадь 2л (/г2 — Z^)/?.
18. Если р — радиус окружности и г — расстояние ее центра от оси вра-
щения, то объем тора равен 2л2гр2, а площадь его поверхности 4л2гр.
19. k = ns.
20. у = —arch—-f-1^1 — х2 + const; s = ln(—
x — es, y = — arche-^ + yi—e2i+const.
684
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
21. Пусть ds — дифференциал дуги данной кривой, I — ее полная длина,
S — ограниченная ею площадь- и k — ее кривизна; пусть ds', I', S', k' — соот-
ветствующие величины для параллельной кривой. Тогда
k
ds' = (1 4- pk) ds, k' = T—:—
' 1 ' 1 pk
S’ = S lp-\- ftp2, I' = l 4-2n/>.
22 a) r- <sintPa — sin Ф1) (cos q>2—cosy,)
’ S <₽2 — Ф1 ’ Ф2 — Ф1
где у, и <p2 — полярные углы концов дуги;
й _____ х2 sh х2 — хг sh х, — ch x2 -J- ch a,
' s sh x2 — sh Xi ’
__ 2 (x2 — x,) sh 2x2 — sh 2a,
~ 4 (sh x2 — sh Xj) ’
где (а,, у,) и (a2, y2) — граничные точки дуги.
9
23. (tf + ₽2)(*-a) + 4(₽3-a3).
О
24. a) sh a2 —sh a, 4~y (sh3A2—sh3A]); 6) (a24-2) sh x2—(a3 4-2) sh А,—
— 2x2 ch a2 -1-2xt ch Aj, если 0 a, -t2.
§ 4, стр. 351.
2. Горизонтальный. 3. и = -- ~ah-> t = — -i-ks2.
1 /vSVq Vq 2
4. a) x=4 arctge*—n = n — 4 arctg e-*; а = л.
5. 9 < - (>» уУ 18 ]/+ у У.);
в)/2ц«(|_±);.)/».
6. е = at, г = -г—-i—где а = V^k . Период равен =
2nk Vk
(1 — е)2 /Г ‘
Смешанные упражнения к главе V, стр..360.
136. а) л5 у5 = 5ах2у2; б) х — а arccos — — (а—у)2,
138. а) а2 + у2 = /й2а24-62у2; б) а2 + у2 ==/й2а2 — 62у2;
в) х (а2 + у2) ру2 = 0; г) а — 0.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
685
141. § = — т , т] = у ± — - J
Чр //>2 + у2 V>+y2
141а. £ = х (Z) т - V^(Z) . п = у (Z) ± —.
V X2 + у2 у х2 _|_ у2
149 5°2 143 я& (2а + ^) (а — ЬУ2
1 2 ' 2а2
4b(a-j-b) Л а \
144. 1-!--- 1 — СОЗ.ттг t .
а \ r 2Ь )
145. Выбрать оси так, чтобы кривая касалась оси х в начале координат;
выразить ординату у как функцию угла, образуемого касательной в точке
(х, у) с осью х.
146. a) Z3/12; б) Z3/3; в) и г) z(-yg- + rf2)’
147. г = Cectg а'в. 148. (х — с)2 + у2 = k2.
150. (х—Cj)-py2 = с|. 151. у = a ch —•
152. Длина прямолинейного отрезка, соединяющего точки (r^, Qk) и
(г*т о 0^+1) кривой, равна
/(Q+1 — ''а)2 + 2r*rft+1 [ 1 — cos (0* + j — Ofc) ],
и длина вписанной в кривую ломаной равна
л-1
S VI (Д^)2 + Vbi (А9а)2 + rkrk+l (Д0*)4 -/?*] ,
k=o
где все | Rk I ограничены. Заставляя наибольшую из разностей Д0А стре-
миться к нулю, получим для длины дуги выражение
& _________________
00
153. Пусть уравнение кривой г = /(0). Обозначим через а угол между
полярной осью и касательной к кривой в ее точке (г,'0), а через и угол
между радиусом-вектором точки касания и той же касательной. Тогда
а = ц 4- 0, а кривизна (см. стр. 325)
_ da rfp dd _ / du , 1 \ ds
— ds ~~ ds ' ds ~~ \ d$ ' ) ‘ dO'
Подставляя сюда-^-
—77г + Г2 и -утг-, которую можно найти
<Z0} ' <Z0
дифференцированием формулы tgp = -^- (ynn 13 на стр. 311), получим
~dd
686
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ГЛАВА VI
§ 1, стр. 366.
1. 0,28. 2. 0,182. 4. Невозможно; ряд непригоден для этих значений.
§ 2, стр. 372.
2,_L_: l-g-x^.
1 —X X
1
1 . ft .. (1+.т)^-1
1 -|-х ’ х
§ 3, стр. 377.
! ! । 1 л < ^2
2 8 /(1 4- Ох)3 8 8 /(1 4- Ох)3 32 *
2. 1,5; ошибка не превышает 8,4%.
з. 14-1х, | х | < 0,3. 4. 14-1х-1х2, -^--Ю-3.
О О У 01
5. а) 14- — , — 1V10-2;
' ‘ п 2п \п )
б) 1+- + — 1)(~~2)-10-3.
1 п ' 2п \п ) 6п \п ) \ п )
6. 0,0100. 7. а) 0,9999; б) 5,0133; в) 9,8489.
9уб у-8
8. 0,515. 9. X3 — 4-4-±^ 4-А. (—128 cos 20х).
о 4D о!
.3x2 7у4 3 гб
10. 1-2—|—g—Ь -4- -gf (243 cos ЗОх 4~ cos Ох).
11 L v2_____L v-4_L v-6
u. 2 X 12 X 45 X
— 16 (17 4- 248 tg* Ox 4- 756 tg4 Ox 4- 840 tg6 Ox 4- 315 tg» Ox).
12. x4-lx34-A.v5+
4-16 (17 4- 248 tg* Ox 4- 756 tg4 Ox 4- 840 tg6 Ox 4- 315 tg8 Ox).
.3.
4-16 (17 4- 248 tg* Ox 4- 756 tg4 Ox 4- 840 tg8 Ox 4- 315 tg8 Ox).
M.l-x^ix4-^,-^2.
15. i4-lx*4-AX4_4
y6
4~ -gj- (720 sec7 Ox — 840 sec5 Ox 4- 182 sec3 Ox — sec Ox).
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
687
П. 6 *+ 360 *3+ 1512о
18. х — -j-л2+ -g- -*3+-jj (j [—50 24 In (1 0л) ].
19. 1 х -J- х' — л4-|—=у- ₽sin0x (cos5 0л — 10 cos3 0л cos 0л —
— 10 sin 0л cos3 0л + 15 sin 0л cos 0л -J- 6 sin2 0л cos 0л).
20. л +1 л3, 0 <л <-^.
3 4
21. а) у = л2 + л4 -|-2л6 -f-...; б) у = 1 — л2 — л4 — 2л6 — ...;
в) у = л3 -|- л9 -J- ...
§ 4, стр. 381.
1. пап~'1. 2. 1/6. 3. 1/30. 4. 2. 5. 1.
6. Переписать данное выражение в виде с(2л/’с1§5л. Отв. 1/5.
7. 1/2. 8. 1/3. 9. Найти предел логарифма этой функции. Отв. 1.
10. е. 11. 2. 12. —2.
§ 5, стр. 385.
1. 2. 2. 4. 3. а = 8/3, b = 16/3, с = — 5/3, k = — 5/3.
4. В точке (0,0) третьего порядка и нулевого порядка; в точке (1/2, 1/2)
нулевого порядка. 5. Третьего порядка в точке (0, 0).
7. Поместить начало координат в точку Р, а ось л направить по каса-
тельной к кривой в точке Р. Обозначим координаты точки Q через (л, у). .
V Х%
Тогда центр окружности К лежит на оси у в точке т] = —1~2)Г'’ пРименитЬ
результат упр. 6.
8. Оси координат выбрать, как в упр. 7; лусть угловой коэффициент
касательной к кривой в точке Q есть у'. Тогда обе нормали пересекаются
. л т у" (0) , ,
на оси у в точке т] = уТеперь пишем у — —л2 -f-... и совер-
шаем предельный переход л—>0.
(1 I у'2^2
9. В точке Р, где р = —~у"----- имеет максимум или минимум, непре-
менно у"' = 3-У . Выбрать оси, как в упр. 7; тогда yw(0)=0, так что
1+/ !
уравнение кривой в окрестности точки л — 0 будет у — х2 -|- ал4 -[-...
Уравнение соприкасающейся окружности будет у = л2 -f- bx* ..., и,
следовательно, касание не ниже третьего порядка.
10. Минимум в точке л = 0.
Смешанные упражнения к главе VI, стр. 400.
19 / Jr3 х5 \2
157. л2 — 'з’л?4+45л6+ (sin^)2 = ^x — —— x7R j =
1 2
= л2 — -g- л4—|—jg-л6л8/У, где R и Р' остаются ограниченными при л->0.
688
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
X3 2
158,х+-*-4-^х3+.
Х I Х 7„
X----ЭТ---------—ёТ-А'/? ,
sinx 31 1 5! . 1 , ,
» л-- Г” “л"-I
COS X-------------------------------X.<XL v6e-13 1
1 21 ~* 41 6
2
+ —=-х5 -\-х7Т, где R, S, Т ограничены при х->0.
1О
. X2 X4 ------/, X2 . X4 _ „ \’/г
159. 1 3------д^-— ...; Vcos х = (J—2г4~4| as7? J =
— 2! + 4! ) 8 ( 21 + 4! Х R) ~Ц 2! +
+ -----x6R^ S = 1 — ---^--j-A6?’, где R, S, Т ограничены при х -> 0.
1СА \ i а2 х4 2х6 , х2 . х4 х6
160. а) 1 g 45 945 •••• 6) 1 12 +1440 23 712 +’,,:
у-2 5 61 у2 уЗ
b)1+-2-+24X4+wx‘+ ...; г) 1+а4-~-^-+...;
д)₽+^х + ,х24-|₽х3+ ...; е) -2^5+...
, 1 х3 1-3 х3 . 1-3-5 х7 .
161. А |- 2 3 + 2'2.2!' 5 ' 23-зГ ’ 7 +
162 V / V / 2/7 W 2т ~ 2/7 \________1_________а2т+2
' t-Av-o’ Я / (277 + 1)(2t-2a + 1) J 22т
1А1 л V/ nV 1 -3-5 ... (2v — 1) x2v+1
163. .) 2<-D —2-4-6...2V----------2Т+Т;
№0
б) у <-})v *2v+1 - Rx V (~l)v A2v+1
vl 2v-H’ (2v4-l)! ‘ 2v4-l ‘
164 а) (2«)!а2я+‘ x2«+> x2«+*
1 ’ 22«(n!)2(2n4-l) ’ ' n!(2n-H)’ B' (2« + l)! (2n-j-1) ’
167. a) — e/2; 6) lle/24; в) 0; г) e~'le; д) 1.
169. а) Минимум при х = 0; б) максимумы и минимумы в точках,
в которых tg — = —, по одной точке в каждом промежутке —----п<
Л Л / | 1 \
г+т)
< а < ------——, п— +1, ±2, ...; максимумы и минимумы чередуются.
(я— 2")Я
ГЛАВА VII
§ 1, стр. 408.
1. а) 3,14; б) 3,1416. 2. 0,89. 3. 0,93.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
689
§ 2, стр. 414.
1. Ошибка <0,03 метра; <0,007%. 2.0,693. 3.1,609438. 4.3,14159.
§ 3, стр. 422.
1. 1,0755. 2. 4,4934. 3. 1,475. 4. 0; 1,90; —1,90. 5. 1,045.
6. Привести уравнение к виду х = 14-0,Зх3 — 0,1л:4; 1,519.
7. —1,2361; 3,2361; 5,0000.
Смешанные упражнения, к главе VII, стр. 425.
170. 5,881а. 171. 11. 172. 0,82247. 173. 0,175; 0,302; 3,490.
174. Так как график In (а 4-х) обращен выпуклостью вверх и а > 0, то
л+ 1/2
1п(а4-1)4- ... 4-1п(а4-л)> J ln(a4-x)dx =
1/2
= [п 4- i 4- a j In (п 4- у 4- a j — (а 4- у j In (а 4- j) — п
ИЛИ
/ 1 \«+l/2+a
а(а4-1) ... (а-4-n) > аА_-------- „+1/2-е п> k(a)nlna,
(“+2)
где k (а) есть положительное число, зависящее от а. Далее,
ап 1 \а_ j а (а 4-1) 1
an_j \ ‘ п / \ п) 2 ”п2 I- а3 ’
где R остается ограниченным при п->са. Следовательно, при достаточно
больших значениях п имеем ап<ап_1, и последовательность монотонно
убывает.
175. с 4-(л + ~|-) 1п п — 4-у) In/г/.
i=i
ГЛАВА VIII
§ 1, стр. 437.
, „ 1.1.1
1. Воспользоваться тождеством , — -г-
й (к 4~ 1) « «4*1
2. Разложить —-—. . о,- на элементарные дроби, затем подста-
х (х 4~ 1) (х ~г^)
вить последовательно х=1, х = 2, ..., x — k и полученные равенства
сложить.
4. Сходится при a > 0.
5. Пусть 2a* = s- Тогда | sn — $| < е, каково бы ни было положи-
4-1
тельное число е, если п превышает некоторый номер т. Написать
тождество
si + ... 4-Яд, = xt4- ... +sm N — Щ 4-S/y
/V I* ДГ N — m
и совершить предельный переход N ->оо.
6. Да, сходится. 7. Расходится.
44 Р- Курант
690
ОТВЕТЫ-П УКАЗАНИЯ
§ 2, стр. 444.
1. Сходится.
2. Доказать сначала, что
и! , 2
«С при п > 2. Ряд сходится.
3. Расходится. 4. Ср. гл. III, § 9, стр. 218. Расходится.
5. Учесть, что (In л)1п ” = я'11 ln ", a In In п > 2 при больших значениях п.
Сходится.
6. Сходится. 7. 1/(/г-]-1)2.
8. Погрешность равна -^^-(1 + + 3) + •••)<
(п + 1)! \ « + 1 (« + 1)2 / («4-1)1 1 п-п\
«4-1
9. Погрешность равна ----——;—I-------——;—1- ... <--------—-г- 4-
(п + 1)л+1 («4-2)п+2 (/г + 1)Пт1
_____1_____1— I________
(л4-1)л+2__(/г + 1)л+3
1
п(я + 1)"
10. Погрешность равна
«4-1 । « + 2 ,
2Л4-1 * 2л + 2 ‘
Но при п > 1
3
п + 2<|-(«4-1).
3 ( 3 \2
«4~3 < ту (« 4~2) (л-|-1), ..
Следовательно, погрешность меньше
ОО
f dx
12. Сходится. 13. Сравнить с интегралом --------.
J л(1пх)°
• оо
14. Сравнить с интегралом -----—-------.
J Л In Л (In In х)а
16. Воспользоваться неравенством Шварца.
3/1+3 я + 1 Зд
17 1L1 2 I 2 Vl oV 1 V 1
1,11 2 3 + • • • 3/i+3~2jv— 3 2^ 3? “ у’ далее
v=l v=l v=/i+2
воспользоваться формулой (стр. 444)
1 + ^+'-з4- +~ = 1п«+С+е„,
где lim ел = 0.
д->оо
18. Взять сумму от v = 1 до v = mn:
v=l v^=kn v«l fea=l v—m+1
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
691
§§ 3, 4, стр. 458.
( о,
3. а) lim /„(л) = 4
я-400 I 1»
б) lim /Л (*) = { ,
Л->0О I 1,
если х = О,
если хУ=0;
если х = О,
если х О
(а > О).
Сходимость не равномерна, однако
1 1
Hm | fn (х) dx = f Um f„ (x) dx.
О, если |л| < 1,
4. lim fn(x) =
п-ых>
1/2, если | X | = 1,
1, если |-х| > 1.
2л___________
9. Рассмотреть lim V1 — х2п при
л->со
2л
— 1 < х < Ц- 1 и dim — у2П
/2-» ОО
при — 1 < у < + 1.
10. Пусть е > О! Разбить интервал точками ха = а, л,, ..., хт — Ь на
частичные интервалы, длины которых меньше чем е/ЗЛ4. В каждой точке xi
можно выбрать ид- столь большим, что | /й (.сд) — fm (хг) | < е/3, когда п > nt
и т > nL. Пусть N—наибольшее из чисел п0, щ, ..., пт. Затем дока-
жем с помощью теоремы о среднем значении, что в каждом частичном
интервале выполняется неравенство l/nGO— /т W I < е. когда п и т
оба > N.
§§ 5, 6, стр. 470.
Указание к упр. 1—20. В большинстве этих примеров приводит к успеху
признак Даламбера, но в упр. 12—15 более уместен признак Коши с ра-
дикалом.
1. |.с|<1. 2. |л|<1. 3. |.с|<1. 4. |х| < 1. 5. |х| < 1.
6. —оо < х < со. 7. | .с | < 1. 8. |х|<1. 9. |’х | < 1.
10. |х| <1. 11. |х|<1. 12. |х|<1/с. 13. |л| < 1. 14. | х| < 1.
15. — со < х < + оо. 16. | х | < 4. 17. | х | < 1. 18. | х | < 1, если с < 1;
I х | < с, если с > 1.
19. | х | < 1. 20. Заметим, что ; | х | < 1.
Я 1 _f___ И
Л-0
1 X
00
ХП _ 1 VI хк
'£2" 2 3 4 п-4-2 ---- х2 k ‘
ft-2
1 1 VI (—I)®-1 22*-1
23. Привести к виду sin2Jt = ——-% cos 2х; —----(2k) I----х‘
k-i
оо
24. 1 + £
*-1
(—1)* 22*"1
(2*)1
х2й
44*
692
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ьз
ЧОП105’1’32*-6-22*)-
1 х9. 1 • 3 х15 .
2 ‘ 3 -г 2 -4 5
а, У (х3)2*-1 1-3... (2А — 3)
2k — 1 2-4 ... (2k — 2)
4=2
1,4142.
1 । 1 1
3-3! 5-5! 7-1
1 । J__X_L_±
З2 42 а 52
1. 1 25—1 , 20—1
“ t ’ 10 106 24 • 109 +
о । х3 л. , , , Их4
Х'Н—3-; б) х2 —л3-)—;
л2 , 13л3 . 19л4 . , х4
Г)х2-Т-
2 320 3 • 212
г)
29. а)
в)
31. I х | < р.
32. /(л) = 4ех — х—1.
1
п<^.
Дополнения к главе VIII, стр. 492.
1. Оборвать ряд на л-м члене; тогда
1 । 1 2 1 -3 , 1-3 ...(2/1 —3) „ ..
2Х + 2-4 Х + 2-4-6 Х ”• + 2 • 4 ... 2п Л<1 -г<1-
Положить л = 1; все частичные суммы не превосходят единицы.
2. Воспользоваться утверждением упр. 1. Показать, что ошибка будет
наибольшей при л — 1 и что ее можно сделать меньшей чем е.
3. 111 = Уt2 = У1 — (1 — Z2); теперь положить л = 1 — t2 в упр. 2.
6. Если бы простых чисел было только конечное число, то это тождество
было бы верно при любом положительном а, в частности и при s = 1.
(Умножение абсолютно сходящихся рядов.)
7. Сперва доказать методом математической индукции, что
(1-х)П(1+х2% 1-X2".
4=0
Смешанные упражнения к главе VIII, стр. 493.
178. Если Ит ап 1, то общий член ряда не стремится к нулю. Если
ап > с > 1, то ряд надо сравнить с рядом -i-.
т
179. При любом е сумма ak<e,, коль скоро п и т достаточно велики.
4 = л
m
Но л*>(от—п) ат или тат < е-(-пат. Сохраняя п неизменным, выберем т
k = n
настолько большим, что пат < е; для всякого такого т будет тат < 2е.
180. Применить теорему упр. 179.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
693
181. Обозначим через s„ частичные суммы ряда У аь, через s — его-
k=i
сумму, и пусть on = sn — s- Тогда
т т т
2 = 2 а4-1)*4~ 2®*^*— *4+1)— ®л-1*л +
k~n k — n k=n
При всяком достаточно большом k | ok | < е и
т т
У ak^k <е 2 I ^k — t>k+i Ц-е| bn | e | bm+l | <
4 = n k = n
< e |6Я bm+y | + e | | -}- e | Z»m+1 U
Это, в свою очередь, меньше чем 4Ве, где В есть верхняя граница | Ь1г |;
ОО
стало быть, ряд У сходится.
4 = 1
182. Доказательство ведется, как в упр. 181:
т т т
^akbk= 2 (s4 — sk-i)bk= 2 sk(l>k — *4+1) — sn-1bn +smbm+l;
k~n k — n k — n
далее использовать монотонность последовательности bn, тот факт, что Ьп -> О
и что | Sk | < М при всех значениях k.
183. а), б), г), е) Сходится; в) сходится, если 0=^=2пл; д) сходится, если
0=^=(2« +1) л.
184. a) yln2; б) = 1п2. 185. а) а=1; б) а>1.
186. а) Расходится; б) сходится.
188. Если I ап I < , при всех достаточно больших п, то
„1+В
In — > (1 -f-е) In п или —' > 1 + е.
| а„| 1 In п
Доказать обратное предложение: из неравенства —~ > + е вытекает-
lan I < г, р • Аналогично доказывается второе утверждение.
п +Е
189. Применить теорему из упр. 188.
190. Метод доказательства такой же, как в упр. 188.
191. Признак Коши с корнем n-й степени можно записать так: если
--!—> е, то ряд сходится; если - ' < —е, то ряд расходится. Но-
п------------------------п
. 1,1
In —г in—;-г
I I _ n_____\att I
Inn Inn ' n
694
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
192. Если I -1 < —'?+‘ при всяком N, то
I ап | Ьп
I л I << ^n + l I п I - ^и + 1 п I _ i - - I aN I t
I an+l I < —т I an I < —J l I “л-l I < ... < —т---------“n + i.
u ti n n — \ UN
следовательно, из сходимости ряда 2 вытекает сходимость ряда У | ak |.
Аналогично доказывается случай расходимости.
194. Применить признак сходимости упр. 192, взяв для сравнения ряд
ОО
. Если ряд | ak | сходится, то
fe=i k
I _£«_!> h _L i-и — j-A
I an+i | \ * n / + n + n2 ’
где a > 1. Тогда
»( |anli — l)>a-f-A> 14-e.
\|Ля+.1| ) n
Доказать затем обратное предложение: из неравенства п (,-----> 1 -|-е
\1«л-н1 /
вытекает сходимость ряда У, | ak |. Аналогично для случая расходимости.
195. Если ряд ак сходится, то
a
I ап I (1
Т^ТТ > I1'
где а> 1. Тогда
L + _^_ + _A_
п 1 nitin 1 п21пл
л Inn f- l '
\ |«л+11
1 —
Надо еще доказать обратное предложение, и доказательство признака сходи-
мости будет завершено. Аналогично для случая расходимости.
197. а) Сходится, если р— a > 1; расходится, если р— а<1.
б) Сходится, если у>а-|-Р; расходится, если yCa-f-P.
198. а) Если xj>l-l-e, то А << —1— Аналогично для б).
kx Л1+Е
199. Частичные суммы ряда У cos kx равномерно ограничены при
/ [ (;-ikx
всяком х на отрезке е<л<2л — е. I Написать созЛл=---------------------- и
п
п
Затем доказать для равномерной сходи-
Л=0
мости теорему,
200. Если
аналогичную упр. 182.
х лежит на отрезке е
2е • . 2
1 о У 1 л/ 1 •
.. X— 1
N, то у — —г—г лежит на
* V - 1 - 1
отрезке —!-{
201. а) —1 < х < 1; б) —4 < х < 4; в) х > 1; г) х > 0; д) при любом х;
е) ни при каком х; ж) х > 1; з) —1 < х < 1.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
695
202. Если ряд V—— сходится, то надо писать У — =
пх
я=1 П=1
СО
у /_Е«_. 1
\ пх“ Пх~х° /
и воспользоваться теоремой упр. 181 или 182. Если же
ряд У расходится, то ряд У не может сходиться при х < х&
на основании только что доказанного.
203.
„ ak in k
Записать так: V —.—
kx
VT вй In k
kXa kx~x‘
204. Очевидно,
oo N
5 abx* >
ft=0 £ = 0
co oo
2 akxk < 2 ak при x < 1. С другой стороны,
4 = 0 4 = 0
co N N
так что lim 2 акхк lim 2 akxb — 2 aft' Следо-
*-»l 4=0 *->!4 = о 4=0
вате ль но, lim 2 akxk 2 а'л'
•*->' 4=0 4=0
205. Как в упр. 204, lim 2 аьх>г 2 ак< и’ стало быть, этот предел
•*->’ 4 = 0 4=0
равен со.
оо со
ь ( X \к
акхк = V акХК 1-^-1 • Затем доказать для равномер-
4=0 4=0
ной сходимости теорему, аналогичную упр. 181, а именно: если ряд
со
2 ^4 сходится и если последовательность Ьо (л), 6, (л), ..., Ьп (х), ... моно-
4=0
тонна при всяком х и равномерно ограничена при всяком х на некотором
ОО
отрезке, то ряд 2 akbk (х) сходится равномерно на этом отрезке.
4 = 0
ОО
207. Это вытекает из равномерной сходимости ряда 2 akxk на отрезке
fe = 0
со
ибо, в силу этого, сумма ряда 2 акХк непрерывна при
Йо
208 al jHLi-fh- 61 1 х2
&> 1-j-x2 ’ S) (1— x+x^-'
209. а) Этот ряд равен значению --------—) при л = 1. б) Ряд равен
ах у х j
1Z+ х — 1 -“ X
значению выражения------------------ при х=1.
696
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ГЛАВА IX
§§ Ь 2, стр. 510.
3. Искомая сумма равна
мнимой части выражения
2 е1ка.
т. е.
(п 4-1) а па
sin sin -g-
а
sinT
on (a) = ia - e~nia]: 2 (?“ - 1).
4. Воспользоваться формулой
я
5. Вычислить -i- J Oh (a) da, а затем воспользоваться выражением sm (а)
-я
через Oh (а).
§§ 3, 4, стр. 521.
eao_g-ao Г j (—1)*
ba) -----л---- -27 + 2l^+^<ecosZ!X-ftsin^) ’
k=l
oo
б) -уу л* — 48 cos kx;
4-1
, sinan V, „ЬГ 1 , 1 2 "] . . ,
B) a ) [й2 —(а-4-1)г+ Л2 — (a — l)2 Л2—a2 J *Sin kX'
k = \
«если а не является целым числом; sin (а — 1) хsin ахsin (а-|- 1) х,
если а — целое число;
. b — а , 1 VI/ sin kb — sin Ла , cos kb — cos Ла . , \
г) —5--------7, --------г-----cos kx----------r-----sin kx .
' 2л 1 л \ Л Л )
4=1
2. Применить преобразование x = — л 4-2 л/ к функции ф(л) из § 4,
п° 2, стр. 514. [Можно также воспользоваться формулами для коэффициентов
Фурье, данными на стр. 521, при I = 1.]
1 1 3 1
3. В1(х) = х—1; В2(л)=х2-л+^-; В3 (х) - х2 - f х2 + у х;
В4(х)=х4-2х2+х2-А-.
4. В] (I) уже дано в упр. 2. Остальные разложения получаются после-
довательным интегрированием на основании соотношения б) из упр. 3. Надо
будет еще доказать, что постоянные интегрирования равны нулю.
5. Подставить t = 0 в выражения для В2 (0 и В^ (t), полученные в упр, 3 и 4.
6. . Подставить t ~ 1 /4 в выражения, полученные для В3 (/) в упр. 3 и 4.
ОО
8. соэлх^Д А-—Л.
4=0 I г+т) 7
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
697
§§ 1—6, стр. 537.
6. а) УТ; б) /3.
7’ сП1ЯЛ лх ~ л (l2 + x2 + 22-|-х2 + 32-[-х2 +••’
ГЛАВА X
§ 2, стр. 561.
3. а) Имеет линию разрывов х = 0. б) Имеет разрыв в точке х = у = 0ч
в) Линия разрывов у = — х. г) Линия разрывов у = — х2.
§ 3, стр. 567.
2. а) ^- — у,
дх J
df_ = ±_ d2f
ду у ’ дх2
df _ 1 -|-л:2
ду (1 —ху)2
d2f 2 (1 + х2) х
ду2 ~~ (1— ху)3
^L — x &L—&L — H d2f -1. м df — Т
ду ' дх2 ~ ду2 ’ дхду ’ ' дх "Т*
1 - d2f 02/ 1 . „.df 1 + у2
х2 ‘ дхду ’ ду2 у2’ ’ дх (1—ху)2 ”
d2f _ 2(1 + у2) у d2f _ 2 (х -[- у)
дх2 (1 — ху)3 ’ дх ду (1 — ху)3 *
г) ~ = уху~\ ^- — ху 1пх, 44 = у (У — 1) ху~2,
. дх х ду дх2 2 у ’
d2f^xy 1(l-f-ylnx), 44 =-*у (1п-*)2; Д) ~^-=УхУ
Ухду ду2 дх
%- = ху 10 х . = уху-2^ (уху + у - 1),
ду дх2 J 1 z
-4 jf— = ху ~хе^хУ} (1 _|_ у 1п х уХУ ]п х) 44 — ху (In х)2 /хУ^ (1 + хУУ^
дхду 1 ду2
3. Дифференцировать уравнение <р (х2 + у2) = ф (х) ф (у) по х и по у>
Исключить ф' (х2 -|- у2), а затем положить у — 1; интегрировать полученное.;
равенство. Отв. f (х, у) — аеь (-х‘+у‘">.
§ 4, стр. 573.
2. a) =^- = xJf'¥xx[lnx-|-(lnx)2 4- —1; б) (2 ln-.fr-*-1).\
дх [ х] дх хй+ ’
5. zx — 3, Zy—1; zr = zx cos 0 -}-z ysin 0, ?e = —zxr sin 0-]-гуг cos0..
7. a) ad—be; 6) 1/r; в) 4xy.
§ 5, стр. 579.
2. a)—5/4; б) — л/2; в) —1; г) —1. 3. a) —21/32; б) л; в) 2; г) —1.9/3.,
4. При х = — 3 максимум у — 6, при х = 3 минимум у = — 6. [Максимум?,
и минимум принадлежат разным ветвям двузначной функции у (х).]
5. zx (0, 0) = — 1, Zy (0, 0) = — 1.
698
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
§ 6, стр. 595.
а2Ьг eab 1
1. а) (а2 — Ь2)- б) —4; в) In 2; г) ---------------- -- а; д) src/16; е) 4/3.
о и и
2. 2л.
3. Воспользоваться тем, что тело симметрично; 1/16 объема имеет осно-
ванием треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1) в плоскости хОу и
ограничена сверху поверхностью х2-(-г2=1. Объем равен 16/3.
4. 1 л(/? —й)2(2/? + й).
О
5.
Площадь Центр тяжести Статический момент относительно Момент инерции относительно
а) («^) оси X 9 оси у 0 ОСИ X Л/?‘ 8 оси у л/?4 8
б) ab 1 ab2 й2^ 1й63 4- а3Ь О
в) 4аЬ (0, 0) 0 0 4я»з 3 4й36
г) лаЬ (0, 0) 0 0 nab2 ~Т~ ла3&
д) 1 . 2 аЬ (уа' Ть) 1 Z.9 -х- ab2 6 ^а2Ь О ab3 12 а3Ь 12
ГЛАВА XI
§ 1, п° 1, стр. 599.
£
1. cos х cos у = с. 2. у = tg In _
3. y = cVAl + e2x 4. In [(1 -J- у2) (j, -j- /1 + /)] + 2 (1 4-л)~1/2 = с.
§ 1, п° 2, стр. 601.
1. у = сеу!х. 2. у2 (2х2 -f- у2) = с2.
3. х2 — 2сх-}-у2 = 0 (семейство окружностей).
4. arctg -|- с = In Ух2 + У2 или. в полярных координатах, г = ев+с
(логарифмические спирали).
5. с + In | х | == arcsin —-— Ух2—у2.
§ 1, п°3, стр. 603.
1. у = C£-S,n ^-{-sin х—1. 2. у= (х-{- 1)" (ех4- с).
3. у = сх (х — 1) 4- х. 4. у = i хъ 4- сх2.
О
5. у = г с=^ 4-------—. 6. х = arctg у — 1 4- се~ис^ »
/14-№ 14-х» 5 &
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
699
$ 1, п°п° 1—4, стр. 605.
1. \/у = In л + 1 4* сх-
2. у2 = sin х— cos x-j-ce~x. Преобразование y2 = z.
3. у3 — х— 2-\-се~ . 4. у2 = с2е ху .
5. у3 — 2х3 = су.
Г v dv
6. In | у | = <р (х/у) 4- с, где <р (о) = д _^2 (°Дна 113 первообразных).
7. уех!у 4- х = с.
8. Если abi — ахЬ 0, то
rfi] = а 4-й/ _ a4-fapQ]/g)
rfg a^bty fli 4-М (W ’
это — однородное уравнение. Если же abt—a}b = 0 или -^- = ~=zk, то
а
^ = а + Ь %L = a + b ф( .Ь^ + С А,
dx dx 1 \ Ci )
а
это — уравнение с отделяющимися переменными.
9. а) 4х 4- 8у 4- 5 = се^х 8у; б) х = с —(Зу — Тх) — In (Зу — Тх).
10. Ввести l/y = z в качестве новой неизвестной функции, и уравнение
станет однородным. Общее решение
= 1 1 — схУ5
$ 2, стр. 610.
1. е у = С] sec (х 4- с2). 2. у = a arctg х 4- с2.
3. X — I -fj-: ;--—:-----------|~С2. 4. X =-------тД----.
J 2 In | у — 1|4-C| Cit-j-c?
5. $ = (arcsin t)2 4- Ci arcsin 14- c2. 6. у = c, -{-c2ex^a.
7. t c2 = — УC[S2 — 2ks--------— arcsin ~\/~4n~.
Ci1 Ci r 2k
§§ 3, 4, стр. 618.
1. x = Cie1 4- c2e2t-, x — e2t— e*. 2. x = Cie~lc2e 2/; x=c-<— e~2t.
3. x = c1e//24-c2e-/; x — ^-(e‘/2 — e~*}. 4. x — Cie~2t -j-c2te~2t;
5. x = cie~t!2c2te~^2-, x — te t/2.
6. x = e~tl2 (c! cos 14- c2 sin = ae~t/2 cos (t — 6);
2 _tl2 . /3 , /3 T 4jl 2 . n
/3 2 2 /3 /3 /3
700
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
7. х = УТе //2cos-i (f +-g-); а = У2, 6 = --^-; v = j.
8. Понижение порядка: — у; у = e31 (ct -j- c2t)', x = e3t (£i 4- CaO+^s-
_ dy xn [ УЗ . . УЗ \
9. — z~ e' I Ci cos —x 4- c2 sin —=— x I;
r/2 l Уз . Уз \
у = e 1 I Ci cos —— x 4- c2 sin x I -|- c3.
v
10- -^2- = z=-Ciex + c2e~x; у = Ciex+ c2e~x + c3x + ct.
§ 5, стр. 628.
. e * 2e~'lt . (2 — a>2) cos + 3o sin «у
‘ ~ l+®2 + 44-Ф2 ’ (1 4- w2) (4 + a2) ’
1 x . 3® .
—, tg wo =---------, ® — 0.
У(1 4-w2) (44-®2) 2 —®2
e_//2 f(®2 — 1) cos---t----— (®2 4-1) sin —— A
о _____\_____________2_______У 3_________ 2 / ,
1 — w2 4- ю4 "i
. (1—a2) cos at 4- ® sin at 1 . ® 1
4----------'------!------: « = ----, tg ®6 = —:---, a = —=?.
1 — «24.(34 У1 _ фа _|_ Q4 & 1—®2* У2
e~/'’2(a cos 14—7=- ® (2®2 — 1) sin ? A
1 2 УЗ 2 )
1— ft)2 4-W* +
, (1—a2)sina£— «cosat x . '
+ ---------i l_ <024.(34-: “• ‘g®5- ®> как в УПР- 2-
— e~t/2 ^(1 — 2®2) cos 14- (1 4- 2®?) sin
4. Г+4®4
. (1 — 2a2) cos at 4- 2a sin at 1 x . 2a n
4- ---------------; a — — , tg ®6 =----------, ® = 0.
I4-4®4 У14-4а* 1—2®2
[a2 — 4 2t ) , (4 — ®2) cos at 4- 4a sin at
•e V (®2 + 4)2 ~ a2 4* 4 ) (®24-4)2
Дополнительные упражнения к главе XI, стр. 628.
1. х4~ с = Vа2 — у2 — a In . 2. i ky2 4-х — с.
У
Еп А —Г *
4 / — г . ° — si n (at — <р) 4—г ' ~ е , где tg ф = aL/R.
У/?24-®2£2 Уя24-®2/.2
kt2 а2
5. х2=а2-----время падения равно
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная величина 22
Алгебраическая функция 37—39, 555, 579
Алгебраическое уравнение 579
Амплитуда 339, 501, 506
«Амплнтуда> 505, 616, 626
Аналитическая функция 473
Аппроксимирование 362, 533
Аппроксимирующий полином 369. 372
Аргумент 31, 554
— комплексного числа 96
Арифметическая прогрессия 46, 99
Аркус 96
Асимптотически равно 422
Асимптотическое вычисление 550
— разложение 550
Астроида 311, 333, 334
— обобщенная 357
Бернулли многочлены 522, 538
— —, производящая функция 541
— —, разложение в ряды Фурье 522, 539
— числа 478, 522, 540
----, производящая функция 478, 542
Бесконечная производная 123—124
Бесконечное произведение 486—489
----для дзета-функцни Римана 487
----косинуса 522, 696
----синуса 518
----Л 263—265, 425, 519, 550
Бесконечности точка 33, 75
Бесконечный промежуток интегрирования
289
— разрыв 33, 75; линии б. р. 560
----подынтегральной функции 285—289
----производной 123, 124
Биения 503—505
Бином Ньютона 63, 99, 228, 367
Биномиальные коэффициенты 43, 46, 98
396
----обобщенные 377
Биномиальный ряд 376, 386, 388—389
Валлнса формула 263—265, 425, 519, 550
Вариация’ произвольной постоянной 60Я
604
Вейерштрасса принцип точки сгущения 80
— теорема 389—392
Возбуждающая сила 627
— частота 622, 627
Возмущающий член 611
Выпуклость и вогнутость кривой 187—189
Гамма-интеграл, гамма-функцня 291, 485
Гармоники высшие нлн обертоны 503
Гармонический ряд 429, 443
Гармоническое колебание 500—505
----, комплексная запись 506
Геометрическая прогрессия 52, 362
---- бесконечная см. Геометрический ряд
Геометрический ряд 53, 362, 434. 439, 450,
453, 461, 468
Гипербола 33, 198, 213, 216, 217
Гиперболические функции 212—218
----, дифференцирование 214
----, интегрирование 236, 244
----комплексного аргумента 471, 472
----, разложение в степенной ряд 375.
479, 480, 543
----, — в ряд Фурье 519
----, связь с тригонометрическими 471—
472
Гипоциклоида 311, 357
Главные значения обратных тригономет-
рических функций 177—179
Гнездо интервалов 630—631
Граница точная верхняя н нижняя -85, 86
Графическое изображение функции 31
— интегрирование 146—149
Гульднна правило 329
Движение вынужденное 611, 619
—, дифференциальное уравнение 336, 337.
339, 343, 609, 611
— по заданной кривой 339—341
— свободное 611, 613
Двойной интеграл 580—583
----в полярных координатах 590—59!
----по непрямоугольной области 587
----, приведение к повторному 583—586
Действительные числа и бесконечные де-
сятичные дроби 23—26
------гнезда интервалов 630—631
----, действия над ними 638—642
Декартов лист 311, 333
Дзета-функция Римана 487, 540, 551
----, разложение в бесконечное произ-
ведение 487, 489
Дирихле интеграл, вычисление 527
----, сходимость 292—293
----, — условная 486
Дифференциал 132, 133
—, инвариантность 184, 185
—, применение к приближенным вычис-
лениям 409
Дифференциалы высших -порядков 133, 134
Дифференциальная кривая 124
Дифференциальные уравнения, классифи-
кация 596, 597
----1-го порядка 597-Т-606
--------- Бернулли 603
—--------линейные 601
--------- однородные 599
---------с отделяющимися переменны-
ми 598
----2-го порядка 606—628
—--------линейные 611
—----------без правой части 611, 613—
618
-----------с правой частью 611, 619—622
---------неполные 607—610
Дифференцирование 117; основные прави-
ла 122, 166—168
702
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дифференцирование интеграла по верхне-
му пределу 137—139
— логарифма 198
— неявных функций 576—580
— обратных функций 174, 572, 573
— почленное ряда 457, 462
— рациональных функций 168
— сложной функции 181—183
— степенной функции 120, 158, 183, 184
— тригонометрических функций 121, 170
— функций многих переменных 561—573
Дифференцируемость 117
— и непрерывность 122—124, 226—228
Длина дуги кривой 319—324
Дополнительная функция 619
Замена переменной в дифференциальном
уравнении 600, 605
----в интеграле неопределенном 237—240,
242—246
---------несобственном 293—295
---------определенном 239, 240—242
Замкнутости соотношение 536
Затухание 616
Затухающие колебания 616
Затухающий процесс 616
Знакочередующийся ряд 431, 432
Индукция полная 43—46
Интеграл двойной см. Двойной интеграл
— дифференциального уравнения 597
— неопределенный 136—143
— определенный 102—108
----, вычисление с помощью первообраз-
ной 143, 144
•*“ —- доказательство существования 159-»
161
----как функция верхнего предела 136
----, оценки 153—155
----, приближенное вычисление 403—409
— повторный 580, 583
— •-> преобразование в обыкновенный 265—
267
Интегрирование в конечном виде в эле-
ментарных функциях 234, 282, 283
— графическое 146—148
—, общие правила 107, 108, 170 171
— подстановкой 237—243
— почленное рядов 454, 455, 469
-------степенных 462
-------фурЬе 551, 552
— произведения 248—251
----, обобщенное правило 255—258
— радикальных выражений 278—280
— рациональных функций 267—274
— тригонометрических и гиперболических
выражений 275—278
— численное 403—409
Интервал (промежуток) 30
— сходимости 461
Интерполирующий многочлен 394
Интерполяционная формула Лагранжа 399
----Ньютона 395—399, 405
Итерации метод 417—420
Кардиоида 310, 334
Касание кривых 381—383
Касательная 114, 118, 309
—, направляющие косинусы 307
Касательных формула 404
Катеиоид 332
Квадратура 597
Колебание функции 159
Колебания 500—505
— вынужденные 619—626
— гармонические 500
—, дифференциальное уравнение 338, 610
Колебания затухающие 616
—, комплексная запись 506—509
— механические (упругие) 338, 610
— свободные 613—618, 622, 623
—, суперпозиция 502, 508
— электрические 507, 508, 611
Комплексная • запись колебаний 506—509
— переменная 473
Комплексные числа 95—97
Корень многочлена простой и кратный
173
Корни n-й степени из единицы 96
Коши критерий сходимости 58, 84, 92, 428,
446, 637, 642
— обозначение производных 116, 563
— остаточный член 371, 387
— теорема о среднем 162, 229, 380
Коэффициентов неопределенных метод 228,
273, 465—467, 490, 492
Кратность корня многочлена 173, 271
Кривизна плоской кривой 324—327; окруж-
ность кривизны 327, 383, 399; радиус к.
326; центр к. 327
Кусочно гладкая функция 512, 513, 523,
529, 533
— линейная ф. 93, 391
— монотонная ф. 226
— непрерывная ф. 512, 524, 530
Лагранжа интерполяционная формула 399
— обозначение производной 115
— остаточный член 371, 372, 387
— теорема о конечном приращении 129
Лапласа дифференциальные уравнения
574, 597
Лежандра многочлены 232
Лейбница обозначение для двойного ин-
теграла 581
— неопределенного интеграла 142
------определенного интеграла 104, 106
------производной 115, 126, 128
— признак сходимости 431
— ряд для Л 366, 427, 514
— формула для n-й производной 228, 229
Лемниската 94, 319, 333
Логарифм натуральный 43
— —, вычисление 413
---. дифференцирование 198
---, интегрирование 249
--- как интеграл 197
------предел 204—205
---. монотонность 200
---, порядок роста 220, 221
---, разложение в степенной ряд 362, 365
---, теорема сложения 199
---при любом основании 40, 93, 203
Логарифмическая функция 40, 43, 93. 200
Ложного положения метод 416
Маклорена формула 366
Максимумы и минимумы 189—192; приме-
ры 192—196; достаточное условие 384
Маятник обыкновенный 345
— циклоидальный 346
Многозначные функции 31—33, 177, 179
Многочлен (полином) 37
—, дифференцирование 168, 169
—, зависящий от двух переменных 555
— интерполирующий 394—397
— , непрерывность 78. 91
— приближающий 369
— , формула Тэйлора 366, 367
Модуль системы логарифмов 204
Момент инерции 329, 330, 594
— статический 327—329, 592—593
Монотонная последовательность 60, 84, 636
— функция 34, 36, 90, 91, 163, 173
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
703
Монотонности критерий 118, 132
Муавра формула 96
Начальные условия 337, 607, 617
Неопределенные выражения 378—381
Непрерывность суммы равномерно сходя-
щегося ряда 453, 454
— функции 31, 34 , 73—78, 86—91
— — двух переменных 558, 559
---равномерная 74, 75, 87—89
Неравенство Бесселя 527—529, 536
— Йенсена 231
— Шварца 27, 28
---для интегралов 159
Несобственные интегралы 285—295, 484
Нечетная функция 35, 471, 513, 514, 521
Неявные функции 574—576
Нормаль плоской кривой 307
Нули функции кратные 378
Ньютона метод (метод касательных) 415,
420
Ньютона — Лейбница формула 143
Область 554, 555
— определения функции многих перемен-
ных 554
Обратная функция 35, 36
---, дифференцирование 173—176
---от монотонной функции 90, 91
Обратные гиперболические функции 214—
216, 242, 468
— тригонометрические функции 176—179,
252, 253, 283, 365. 468, 472, 489—492
Общее решение дифференциального урав-
нения 597, 606, 619
Объем 580
— тела вращения 329
Ограниченная последовательность 56, 82
--- монотонная 84
Ограниченное бесконечное множество 83
Однозначность разложения в ряд 464
Окрестность 30, 189, 369, 632
Опорная прямая 314, 358
Ориентированная площадь 312, 359
Ортогональность системы тригонометриче-
ских функций 247, 507
Остаточный член интерполяционной фор*
мулы 397, 398
---формулы Тэйлора 363—365, 368—370,
371
Отделение переменных 598
Ошибка средняя квадратичная 534
Падение по заданной кривой 342—344
— свободное 337
Парабола 33. 37, 87, 88, 321
— кубическая 33
— полукубическая 124, 303, 307, 333
— третьего порядка 37
Параболоиды 556, 558, 595
Параметрическое задание кривой 302—311
Первообразная функция 140—143
Перегиба точка 188
Переменная 30, 31
— зависимая или функция 31, 554
— интегрирования 108
— независимая 31, 554
Перестановка членов ряда 434—436
Период 498
— колебания 339. 345, 500
---маятника 346, 411
------ циклоидального 347
Периодические функции 498
Площадь кривсГлинейной трапеции 103,
104
— в полярных координатах 318. 319
— замкнутой кривой 313—318, 357—359
Площадь неограниченной области 287
—, ориентация (знак) 311—313
— поверхности 594
---вращения 329
Подпоследовательность 83, 87, 636
Подстановки метод 237—247
Подэра 311
Показательная функция 40, 92
---, дифференциальное уравнение 207
— —. дифференцирование 202
— “jKaK обратная функция логарифма
------предел 204—205
---комплексного аргумента 471
---, порядок роста 219, 220, 222
---, разложение в степенной ряд 373,
374, 460, 466
Полноты соотношение 536
Полярные координаты 94
Понижения порядка метод 607
Порядок дифференциала 133, 134
— дифференциального уравнения 596
— касания 381—383
— малости 222
— производной 125
— роста 218—222
Последовательность 43
— сходящаяся, расходящаяся 56, 80, 635
— функций 446, 447
---равномерно сходящаяся 448, 452
Постоянные интегрирования 137, 140, 143,
597, 606
Предел верхний и нижний 85, 634, 635
— односторонний, левый и правый 68
— последовательности 46, 56, 80, 635
---функций 446, 447
— функции непрерывной переменной 68—
73
Пределы интегрирования 136
Предельная кривая и предельная .функ-
• ция 446. 447
Преобразования переменной метод 237—247
Приближающий многочлен 369, 372
Приближение (аппроксимирование) 362,
363
— в среднем с помощью тригоиометриче*
ских многочленов 533—537
— дифференцируемой функции линейной
132
— функции многочленами 362—372
Признаки сходимости несобственных ин*
тегралов 288, 290
---рядов 431, 432. 438—444
Производная как скорость 119
--- угловой коэффициент касательной
114—118
— кривая см. Дифференциальная кривая
— левая и правая 117, 118
—от функции, заданной параметрически
306
Производные высших порядков 124—126/ -
обозначения Лейбница 128: формула
Лейбница 228
Прямоугольников формула 404
Радиан 39
Разложение иа элементарные дроби 270,
518, 519
— функции в степенной ряд 372, 373—377,
465—469; однозначность 403
Разрыв бесконечный 33, 75, 224, 378, 379
---подынтегральной функции 285—289
— конечный (первого рода) 75, 225, 499,
512—514
---подынтегральной функции 285
— — производной 123, 226, 227
Разрывов линии 560, 582, 584
704
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Разрывы функции двух переменных 560, 561
Расходимость см. Сходимость
Рациональные функции 37, 168, 267—274, 555
Резонанс 623
Резонанса кривая 622—624
Рекуррентные формулы для интегралов
261—263
— — для многочленов Лежандра 232
— — для чисел Бернулли 478, 548
Ролля теорема 128
----обобщенная 129
Ряды 53, 427—478, 489—493
—, действия над ними 430, 474—477
— знакочередующиеся 43, 432
—, изменение порядка членов 434—436
— и несобственные интегралы 442, 443
—, умножение и деление рядов 474—477
— функций 445—458
----равномерно сходящиеся 448—458
Сгущения точка 80, 81, 85, 633, 634
Седловая точка 558
Сигнум, sgn х 69
Симпсона формула 405
Скорость 119, 335
— угловая 330, 594
Сложная функция 181—185, 567
Соприкасающаяся окружность 383
Соприкасающиеся параболы 382
Спираль архимедова 333, 334
— логарифмическая 334
Спрямляемость 320
Среднее арнфметическн-геометрическое 65
— арифметическое 65
— геометрическое 65
Степенная функция 91; графики 38, 52
----общая 92, 93, 204
----, дифференцирование 120, 145, 183, 204
----, интегрирование ПО, 157, 205
Степенные ряды 459—474
----в комплексной области 471, 473, 474
----, интегрирование и дифференцирова-
ние 462
----, однозначность разложения в с. р.
464
----, примеры 373—377, 465—469, 489—492
----, сходимость 460, 461
----, умножение и деление 477, 478
Стирлинга формула 422—425, 548, 549, 550
Стягивающйеся промежутки 58, 630
Сумма сходящегося ряда 428
Суммирования формула Эйлера 543—551
Суперпозиция гармонических колебаний
502, 508, 509
— действия сил 620
Сходимости интервал 461
— круг и радиус 473
Сходимость бесконечного произведения 487
— несобственного интеграла 286—290
----абсолютная и условная 484—486
—• последовательности 56—60, 80—84, 635
— ряда 428—430
----абсолютная и условная 430—437
Теорема о среднем дифференциального
исчисления 129—132
,------интегрального исчисления 154, 155
-------Боннэ 297, 298
-------Кошн 162, 229, 230
Теоремы о среднем, связь между ними 161
Тор, объем и площадь поверхности 334
Трактриса 334
Трансцендентная функция 39, 579
Трапеций формула 404
Тригонометрические функции 39, 40, 69, 70
— —, выражение через показательные
функции мнимого аргумента 471, 472
Тригонометрические ^функции, дифференци-
рование 121, 170
-----, интегрироваине 112, 172, 238
-----обратные см. Обратные т. ф.
, разложение в степенные ряды 375, 376
-----, рациональное выражение черрз tg-^
275; через tg х 280, 281
Тэйлора ряд 372, 465-^469
— формула с остаточным членом 366—372
Угловая точка 123, 226, 308, 316
Угол между двумя кривыми 308
Уровня линии 557, 558
— поверхности 558
Ускорение 125, 335
Фаза 501
Факториал 43; ф. и гамма-функция 292
—, оценка (формула Стирлинга) 422—425, 549
Френеля интегралы 294
Функции многих переменных 553
-----, геометрическое изображение 555—
558
-----, дифференцирование 561—571
—----, интегрирование 580—592
-----, непрерывность 558, 559
—, не интегрирующиеся с помощью эле-
ментарных в конечном виде 282
Функциональный определитель 573
Функция 31
— индекса 42, 43
Фурье коэффициенты 512
— ряды 510, 552
-----, почленное интегрирование 551, 552
-----, сходимость 513, 522—527
Центр массы 3g, 332, 335, 592
Цепная линия 321, 332
Цепочки правило 181—183, 229
— —'для функции многих переменных 567
Циклоида 304 , 331, 356
Цилиндрическая поверхность 556, 595
Частичная последовательность 83, 87, 636
Частичные суммы 53, 428
Частные производные 561—566
-----смешанные, их равенство 567
— решения дифференциального уравнения
597, 606
Частота 339, 500, 617, 622, 623
Четная функция 35, 471, 513, 521
Число е 43, 201, 202, 204, 205
-----, вычисление 374
-----, доказательство иррациональности 64,
. 373, 374
— Л 64, 181, 263, 366, 517
-----, вычисление 412, 413
Числовая функция 42, 43
Эвольвента 354, 355 ’
— окружности 356
Эволюта 327, 351—357
— циклоиды 356
— эллипса 356
Эйлера постоянная 444, 548
— формулы для тригонометрических
функций 471, 472
Экстраполяция 399
Экстремумы 189
Эллипс 302, 317, 332, 334. 356, 595
Эллипсоид 579, 588
Эллиптические интегралы 282—284, 289,
296, 332, 333, 469
— функции 283
Эпициклоида 310, 35Z, 360
Якобиан 573
КР. К V P A Н Т
урс
дифференциального
и интегрального
исчисления
том 1