/
Автор: Хамермеш М.
Теги: физика математика теоретическая физика естественные науки теория групп
Год: 1966
Текст
М.Хамермеш
ТЕОРИЯ ГРУПП
и ее применение к физическим проблемам
Книга, как видно из ее названия, посвящена физическим приложениям теории
групп. В основе книги лежат лекции, прочитанные автором, американским
физиком Мортоном Хамермешем, для сотрудников одного из крупных научных
центров США—Аргоннской национальной лаборатории.
Автор последовательно и ясно изложил основы теории групп и ее важнейший
для приложений раздел—теорию представлений. Подробно рассмотрены
применения теории групп к многочисленным физическим задачам (симметрия
кристаллов и молекул, магнитная симметрия, атомные спектры, физика ядра и
элементарных частиц и др.). Вводимые понятия и представления и получаемые
результаты иллюстрируются многочисленными примерами, даются интересные
задачи и упражнения.
Книга рассчитана прежде всего на студентов и аспирантов,
специализирующихся в различных областях теоретической физики; она будет
полезной также для научных работников — физиков и химиков, желающих
овладеть теорией групп. Наконец, книга привлечет внимание и математиков,
интересующихся физическими приложениями теории групп.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие автора 7
Введение 9
Глава 1. Элементы теории групп 13
§ 1. Соответствия и преобразования 13
§ 2. Группы. Определения и примеры 19
§ 3. Подгруппы. Теорема Кэли 28
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа 35
§ 5. Классы сопряженных элементов 38
§ 6. Инвариантные подгруппы. Фактор-группа. Гомоморфизм 44
§ 7. Прямые произведения 47
Глава 2. Группы симметрии 49
§ 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры 49
§ 2. Эквивалентные оси и плоскости. Двусторонние оси 56
§ 3. Группы, элементами которых служат чистые повороты: группы 60
поворотов вокруг оси, группы диэдров
§ 4. Закон рациональных индексов 65
§ 5. Группы, элементами которых служат чистые повороты. Правильные 68
многогранники
§ 6. Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты. Присоединение 72
отражений к группе Сп
§ 7. Присоединение отражений к группам Dn 11
§ 8. Полные группы симметрии правильных многогранников 81
§ 9. Обзор точечных групп. Другие системы обозначений 83
§ 10. Группы магнитной симметрии (цветные группы) 86
Глава 3. Представления групп 91
§ 1. Линейные векторные пространства 91
§ 2. Линейная зависимость; размерность 93
§ 3. Базисные векторы (оси координат); координаты 95
§ 4. Отображения; линейные операторы; матричные представления; 98
эквивалентность
§ 5. Представления групп 101
§ 6. Эквивалентные представления; характеры 102
§ 7. Построение представлений. Сложение представлений 104
§ 8. Инвариантность функций и операторов. Классификация собственных 110
функций
§ 9. Унитарные пространства; скалярное произведение; унитарные матрицы; 113
эрмитовы матрицы
§ 10. Операторы: сопряженный, самосопряженный, унитарный 116
§11. Унитарные представления 117
§ 12. Гильбертово пространство 118
§ 13. Разложение представлений; приводимость; неприводимые 119
представления
§ 14. Леммы Шура 124
§ 15. Соотношения ортогональности 127
§ 16. Критерии неприводимости. Разложение представлений 130
§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра 133
§ 18. Разложение функций по базисным функциям неприводимых 138
представлений
§ 19. Представления прямых произведений 141
Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии 142
§ 1. Абелевы группы 142
§ 2. Неабелевы группы 147
§ 3. Таблицы характеров для кристаллографических точечных групп 154
Глава 5. Различные операции с представлениями групп 157
§ 1. Произведение представлений (кронекеровское произведение) 157
§ 2. Симметризованные и антисимметризованные произведения 161
§ 3. Сопряженное представление. Комплексно сопряженное 163
§ 4. Условия существования инвариантов 165
§ 5. Вещественные представления 167
§ 6. Разложение кронекеровского произведения. Ряд Клебша—Гордана 176
§ 7. Коэффициенты Клебша — Гордана 178
§ 8. Просто приводимые группы 180
§ 9. 3j символы 186
Глава 6. Физические приложения 191
§ 1. Классификация уровней энергии 191
§ 2. Теория возмущений 193
§ 3. Правила отбора 197
§ 4 Связанные системы 212
Глава 7. Симметрическая группа 217
§ 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы 217
§ 2. Формула Фробениуса для характеров симметрической группы 225
§ 3. Графические методы. Решеточные перестановки. Схемы Юнга. 236
Таблицы Юнга
§ 4. Графический метод нахождения характеров 240
§ 5. Рекуррентные формулы для характеров. Правила ветвления 249
§ 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса 253
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы & Символы Яманучи 257
§ 8. Метод Хунда 274
§ 9. Групповая алгебра 283
§ 10. Операторы Юнга 288
§11. Построение произведения волновых функций с заданной симметрией. 293
Условия циклической симметрии Фока
§ 12. Внешние произведения представлений симметрической группы 297
§ 13. Внутренние произведения. Ряд Клебша—Гордана для симметрической 303
группы
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы. 308
Свойства симметрии. Рекуррентные формулы
Глава 8. Непрерывные группы 327
§ 1. Краткий обзор результатов, полученных для конечных групп 327
§ 2. Бесконечные дискретные группы 329
§ 3. Непрерывные группы. Группы Ли 332
§ 4. Примеры групп Ли 337
§ 5. Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные группы 341
§ 6. Однопараметрические группы. Инфинитезимальные преобразования 344
§ 7. Структурные константы 350
§ 8. Алгебры Ли 352
§ 9. Структура алгебр Ли 356
§ 10. Структура компактных полупростых групп Ли и их алгебр 362
§ 11. Линейные представления групп Ли 365
§ 12. Инвариантное интегрирование 867
§ 13. Неприводимые представления групп Ли и алгебр Ли. Оператор 371
Казимира
§ 14. Многозначные представления. Универсальная накрывающая группа 373
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия 377
§ 1. Группа вращений в двумерном пространстве 377
§ 2. Трехмерная группа вращений 381
§ 3. Непрерывные однозначные представления трехмерной группы 390
вращений
§ 4. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов 395
(однозначные представления)
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов с различной 402
симметрией
§ 6. Двузначные представления группы вращений. Двумерная унитарная 410
унимодулярная группа
§ 7. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов. Двузначные 420
представления кристаллографических точечных групп
§ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения. 433
Коэффициенты Клебша — Гордана
Глава 10. Линейные группы в n-мерном пространстве; неприводимые 443
тензоры
§ 1. Тензоры, преобразующиеся по группе GL(n) 443
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров, преобразующихся по группе 445
GL(n)
§ 3. Размерность неприводимых представлений группы GL(n) 451
§ 4. Неприводимые представления подгрупп группы GL(n): SL(n), U(n), 456
SU(n)
§ 5. Ортогональная группа в n-измерениях. Свертка. Тензоры с нулевым 461
следом
§ 6. Неприводимые представления группы О(п) 464
§ 7. Разложение неприводимых представлений группы Щп) на 470
представления группы О+(п)
§ 8. Симплектическая группа Sp(n). Свертка. Тензоры с нулевым следом 475
§ 9. Неприводимые представления группы Sp (n). Разложение 481
неприводимых представлений группы U (п) на представления ее
симплектической подгруппы
Глава 11. Применение теории групп к задачам атомной и ядерной физики 485
§ 1. Классификация состояний систем тождественных частиц по группе SU 485
(п)
§ 2. Разложение момента количества движения. Разложение представлений 486
группы SU (п) на представления группы О+ C)
§ 3. Принцип Паули. Атомные спектры в схеме связи Рассела—Саундерса 495
§ 4. Старшинство в атомных спектрах 498
§ 5. Атомные спектры в схеме jj-связи 505
§ 6. Структура ядра. Изотопический спин 509
§ 7. Ядерные спектры в схеме L — S-связи. Супермультиплеты 512
§ 8. Модель оболочек в схеме L — S-связи. Старшинство 520
§ 9. Модель оболочек в схеме jj-связи. Старшинство в схеме jj-связи 525
Глава 12. Проективные представления. Малые группы 537
§ 1. Проективные представления конечных групп 537
§ 2. Примеры проективных представлений конечных групп 543
§ 3. Проективные представления групп Ли 549
§ 4. Проективные представления псевдоортогональных групп 559
§ 5. Проективные представления галилеевой группы 566
§ 6. Неприводимые представления группы параллельных переносов 569
§ 7. Малые группы 571
Литература 579
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Хотя физическим применениям теории групп посвящена обширная
литература1), она далеко не исчерпала все те вопросы, которые при-
привлекают физиков и математиков. В последние годы методы этой теории
стали «обычным вооружением» физиков-теоретиков, а число работ,
основанных на применениях теории групп, и число физиков, владею-
владеющих этими методами, неуклонно возрастает. Разные физики, однако,
по-разному оценивают важность и трудность разделов теории групп,
и ни одна книга не может удовлетворить всех заинтересованных
лиц. Среди книг, выпущенных в последние годы за рубежом, одной
из наиболее оригинальных по выбору материала и наиболее удачных
по изложению является книга известного американского физика
Мортона Хамермеша. Эта книга пользуется большой популярностью;
сейчас она становится доступной и в русском переводе.
В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда
лет читал для сотрудников одного из крупнейших физических науч-
научных центров США — Аргоннской национальной лаборатории.
Книга написана физиком и предназначена в первую очередь для
физиков. Поэтому в ней не надо искать математической строгости,
зато в ней ясно изложены основы теории и описаны многие ее при-
приложения. Так как методы теории групп стали весьма эффективным
и удобным средством решения широкого круга различных физических
задач, связанных с теми или иными проявлениями симметрии, то
книга будет полезна физикам почти всех направлений.
Круг рассмотренных вопросов весьма обширен: сюда входят
основные понятия теории, ее элементарные теоремы, их приложения
к точечным группам симметрии, теория представлений групп, осо-
особенно подробно изложена симметрическая группа (группа перестано-
перестановок), основные результаты теории непрерывных групп, тензорные
представления, понятия о проективных представлениях и многочислен-
многочисленные физические приложения (симметрия кристаллов и молекул, магнит-
магнитная симметрия кристаллов, классификация уровней энергии квантово-
механических систем, правила отбора, расщепление атомных уровней
') Довольно полный список монографий и основных обзорных и ори-
оригинальных статей как иностранных, так и советских авторов дан в конце
книги.
Предисловие к русскому изданию
в полях внутри кристалла, классификация состояний системы тожде-
тождественных частиц в атомной физике, некоторые вопросы ядерной
спектроскопии).
Читателю-физику не приходится преодолевать длинную цепь
определений и теорем, оставаясь в неведении относительно того, где
и каким образом можно будет воспользоваться приобретенным богат-
богатством. Каждое вводимое автором понятие и каждый получаемый или
формулируемый им результат, как правило, подкрепляются много-
многочисленными примерами. Нередко, для того чтобы подчеркнуть
достоинства того или иного метода, одна и та же проблема решается
разными способами. Активному усвоению излагаемого материала
немало способствуют также и многочисленные задачи и упражнения.
Читателю-математику доставит удовольствие увидеть, «как рабо-
работает» теория групп, и узнать в аппарате, использованном физиками
для решения различного рода задач, знакомые ему теоретико-группо-
теоретико-групповые методы.
В последнее время теория групп стала еще более популярной
в связи с успехами в области систематизации элементарных частиц,
поскольку полученные важные результаты основывались на при-
применениях теории групп Ли. Соответствующие разделы книги Хамер-
меша могут служить хорошим введением для тех, кто интересуется
этими вопросами.
В книге, конечно, охвачено далеко не все (именно это и делает
ее удобочитаемой). В ней нет группы Лоренца, в ней нет специаль-
специальных функций, придирчивый читатель найдет и другие пропуски.
Некоторые из них можно восполнить по списку литературы, добав-
добавленному переводчиком.
Читатель, внимательно изучивший то, что содержится в книге
Хамермеша, будет вполне подготовлен как к пониманию того, каким
образом используются методы теории групп в современной физике,
так и к их применению в собственных изысканиях.
Я- Смородинский
Ю. Данилов
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга представляет собой попытку показать, что теоретики*
групповые методы могут служить не только предметом рассмотрений,
доступных немногим посвященным, но и удобным средством иссле-
дования. Я пытался излагать содержание статей и книг так, чтобы
сделать материал как можно более доступным. Для понимания боль*
шей части текста не требуется никаких предварительных знаний
теории групп, но предполагается, что читатель знает квантовую
механику.
В основу этой книги положены лекции, которые в разное время
читались в Аргоннской национальной лаборатории. Основная часть
материала о кристаллографических группах и полях в кристаллах
излагалась в курсе лекций, прочитанном в 1953 г. Некоторые
из вопросов, относящиеся к ядерной физике, разбирались на лекциях
в 1955 г. В лекциях 1957 г. рассматривалась группа Лоренца.
В настоящей книге содержится лишь введение в круг вопросов, свя-
связанных с группой Лоренца, поскольку я почувствовал, что этот
предмет нельзя излагать должным образом без подробного рассмо-
рассмотрения квантовой теории поля.
Большая часть окончательного варианта рукописи была написана
в Цюрихе в 1958—1959 гг. Я весьма благодарен руководителям
Аргоннской национальной лаборатории, предоставившим мне воз-
возможность сосредоточить все усилия на завершении работы над этой
книгой. Я выражаю также свою благодарность совету Лондонского
королевского общества за разрешение воспроизвести таблицы
(в гл. 10 и 11), первоначально опубликованные в Proceedings of
the Royal Society.
Эту книгу я посвящаю моей жене Маделине, которая перепечатала
всю рукопись и исправила много стилистических и технических
ошибок.
Мортон Хамермеш
ВВЕДЕНИЕ
Цель этой книги — изложить те аспекты теории групп, которые
необходимы при рассмотрении физических задач. С самого начала
следует сказать, что все излагаемые нами результаты можно получить,
не используя абстрактные методы теории групп. Однако на самом
деле эти иные «простые» методы, представляют собой не что иное,
как некоторые из теоретико-групповых методов, заново открытые
физиками. В простых задачах теоретико-групповой подход также
прост; в более же сложных задачах использование его мощных
средств может значительно уменьшить затраты труда. Не следует
отрицательно относиться к теоретико-групповому формализму как
таковому: коль скоро физические идеи не упускаются из виду, этот
формализм представляет ценность. В нашем изложении «интуитивные»
методы будут рассматриваться наряду с более абстрактными.
Я надеюсь, что изучение теории групп позволит читателю соста-
составить представление о том обширном круге физических задач, где
важную роль играют понятия симметрии и инвариантности. Мы
увидим также, что многие из понятий, которые мы считали не свя-
связанными между собой, например четность, тензорные свойства,
спинор, момент количества движения и т. д., допускают единое рас-
рассмотрение с теоретико-групповых позиций.
Прежде чем приступать к изложению теории групп, рассмотрим
несколько простых примеров.
Уравнение Шредингера для одномерной задачи можно записать
в виде
и"+[1— V (*)]« = 0, A)
где X— собственное значение, и — собственная функция и V (х) — по-
потенциал. В случае одномерной задачи решения должны быть невы-
невырожденными, т. е. каждому собственному значению X должно соот-
соответствовать лишь одно решение и (х). Предположим теперь, что наш
потенциал V(х) есть четная функция от х
V(x) = V(-x). B)
Заменяя х на —х, мы видим, что если и(х) есть решение, соответ-
соответствующее собственному значению X, то это же справедливо и для
Введение
и(—л;). В таком случае отсутствие вырождения приводит к требо-
требованию
и (— х) — си (л;),
где с—некоторая константа:
и {х) = си (— х) — с2и (х), с = ± 1. C)
Таким образом, собственные функции и{х) либо четны, либо нечетны.
Формулировку наших результатов можно обобщить следующим
образом.
В уравнении ?и = 0, где L—'линейный оператор, свойства сим-
симметрии L (в нашем случае оператор L не изменялся при замене х
на —- х) приводят к классификации решений и по тем же свойствам
симметрии.
Отметим также, что свойстза симметрии системы (т. е. ее гамиль-
гамильтониана) приводят к правилам отбора:
J unxum dx = 0,
если функции «„ и ит — обе четные или обе нечетные; интеграл
будет отличен от нуля лишь в том случае, если ип и ит—функции
различной симметрии.
Этот простой пример подводит нас к общему вопросу. Какие
свойства собственных функций следуют из инвариантности гамильто-
гамильтониана относительно различных операций симметрии?
В качестве другого примера рассмотрим движение электрона
в сферически симметричном поле [потенциал V(г) зависит только
от г]. Инвариантность гамильтониана относительно вращений при-
приводит к тому, что собственные функции имеют вид
Л (г) КГ (8. Ф),
где Yf — сферические функции. Каждое собственное значение энергии
характеризуется азимутальным квантовым числом / и имеет 2Z —[— 1
соответствующую ему собственную функцию (m = l, I— 1 —/).
Классификацию собственных функций производят в соответствии
с тем, как они ведут себя при вращениях. Если V(г) имеет весьма
специальный вид, например
то может случиться так, что решения с различными значениями /
совпадают. Такое усилившееся вырождение, как показал Фок, про-
происходит из-за того, что гамильтониан оказывается инвариантным
относительно более широкого класса операций симметрии, чем просто
вращения в трехмерном пространстве. Аналогичный эффект, имеющий
такое же объяснение, может встретиться в случае гармонического
Введение 11
осциллятора. Например, решения могут совпадать при специальном
выборе констант в гамильтониане. В таких случаях мы говорим
о «случайном» вырождении. Под этим понимают, что вырождение
не является следствием свойств симметрии гамильтониана, а связано
со специальным выбором гамильтониана; такое вырождение можно
снять, не изменяя свойств симметрии гамильтониана.
Другим примером служит движение электрона в поле с периоди-
периодическим потенциалом (внутри металла). Периодичность потенциала
позволяет нам сделать заключения о собственных функциях, совпа-
совпадающие с содержанием теоремы Блоха. Классификация уровней
энергии электрона в кристалле будет отличаться от классификации
их в свободном атоме из-за отсутствия сферической симметрии.
Для нахождения собственных колебаний молекулы приходится
решать секулярное уравнение. За исключением простейших молекул,
решение этого уравнения представляет собой весьма трудную задачу.
Свойства же симметрии молекулы можно использовать для того,
чтобы свести секулярное уравнение к уравнению, решить которое
более просто. Точно так же свойства симметрии молекулы дают
возможность произвести классификацию ее уровней энергии и вывести
правила отбора для различных процессов.
Для системы тождественных частиц гамильтониан инвариантен
относительно любой их перестановки. В задачах атомной физики это
обстоятельство приводит к классификации уровней энергии по спину.
В задачах ядерной физики, если протон и нейтрон рассматривать
как различные зарядовые состояния одной и той же частицы (нуклона),
мы получаем дополнительную классификацию уровней энергии по
«зарядовому» квантовому числу.
Наконец, поведение волновых функций при вращениях можно
использовать при рассмотрении задач о сложении моментов коли-
количества движения и об угловой корреляции между частицами, испускае-
испускаемыми в последовательных процессах. Мы кратко упомянули некото-
некоторые возможные приложения соображений симметрии и теории групп.
Позднее мы рассмотрим их подробно.
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 1. Соответствия и преобразования
Мы все знакомы с понятием соответствия, или отображения.
Имеется множество объектов, которые мы назовем точками. Число
их может быть конечным. В этом случае их можно перечислить и
называть, например, так: „точки а, Ь, с"—для множества из трех
объектов — или же: „точки ри ..., рп" (либо точки 1, 2 п) —
для множества из п объектов. Они могут образовывать счетное
множество (например, точки, помеченные целыми числами 1, 2 и
т. д.) или же составлять континуум (все точки плоскости XY). Под
отображением множества точек на себя мы подразумеваем, что нам
задан рецепт, согласно которому мы каждой точке р этого множе-
множества ставим в соответствие ее образ — некоторую точку р' из того же
множества. Мы говорим, что р' есть образ р при отображении М.
Символически это записывается в виде
м
р—*-р', или р' = Мр. A.1)
Можно сказать, что формулы A.1) эквивалентны следующему утвер-
утверждению: „Оператор М, действуя на объект р, переводит его
в объект р'и. Для конечного множества точек отображение можно
описать путем перечисления всех точек и их образов; например, для
множества из трех точек а, Ь, с мы говорим: отображение М пере-
переводит точку а в ее образ Ь, точку b— в ее образ а и точку с —
в ее образ с. Все это можно записать с помощью символов:
с->с
A.2)
Другим возможным отображением М' могло бы быть отображение
а—> i
Ь-
i с-
¦а
¦а )
A.3)
Для бесконечного множества точек описать отображение путем пере-
перечисления невозможно. Вместо этого мы задаем функциональный
14
Глава 1. Элементы Теории ВруйЛ
закон (или рецепт) для отображения М. Например, можно рассма-
рассматривать множество точек на оси X и отображение М, задав для него
закон:
т. е. каждую точку, чтобы получить ее образ, следует сдвинуть на
две единицы вправо.
Если Мр = М'р для всех точек р, то два отображения М и М'
некоторого множества точек совпадают. Обратно, если М=М', то
Мр = М'р для всех точек р. Одним частным, причем важным видом
отображения является тождественное отображение I, которое
каждую точку множества переводит в себя: 1р = р. Отображения
можно выполнять последовательно: если Ж переводит/? в //(/?' = Мр)
и М' переводит р' в р" (р" = М'р'), т. е.
р№ = М'р' = М'(Мр). A.4)
то мы запишем такое отображение в виде
р" = М'Мр. A.4а)
Иначе говоря, существует одно-единственное отображение (его мы
обозначаем М'М), которое приводит к тому же результату, что и
последовательное выполнение отображений М и М'. Если при выпол-
выполнении последовательности отображений Ми М2 и т. д. мы введем
соответствия
то
р'" = М3 (М2р') = М3 (М2 (MlP)) = MZM2 (MlP) = M3M2MlP,
т. е. отображения удовлетворяют ассоциативному закону.
В нашем примере с тремя точками [формулы A.2) и A.3)] ото-
отображение М'М означает
¦а-
• с-
A.5)
Если бы мы выполняли отображения в обратном порядке, мы
получили бы отображение ММ':
A.5а)
так что ММ' Ф М'М. Таким образом, композиция, или произведе-
произведение, отображений приводит к результату, который, вообще говоря,
§ 1. Соответствия и преобразования
15
зависит от порядка выполнения отображений. Отображения являются
некоммутативными операциями.
Нас будут интересовать только взаимно однозначные отображе-
отображения, или преобразования, т. е. такие отображения, при выполнении
которых никакие две точки множества не имеют одинаковых образов
и каждая точка р' множества служит образом одной (и только
одной) точки р. Отображение М в A.2) было взаимно однозначным,
в то время как отображение М' в A.3) взаимно однозначным не было.
Если задано некоторое взаимно однозначное отображение, то можно
найти обратное отображение, которое уничтожает действие первого.
Например, если преобразование М переводит р в р' (р' = Мр), то
обратное преобразование М~1 переводит р в р (р — М~1р'). В этом
случае
р' =
откуда
так что
A.6)
¦М~1Мр,
Например, преобразованием, обратным преобразованию
а-
М =
является
следовательно, в этом случае преобразование М совпадает со своим
обратным.
Легко найти преобразование, обратное произведению преобразо-
преобразований. Для отображений М и М', фигурирующих в A.4),
так что
(М'Му1 = М~1М'~1. A.7)
Словами это можно выразить так: преобразование, обратное про-
произведению преобразований, получится, если выполнять обратные
преобразования в обратном порядке. Ниже приводятся примерь?
преобразований.
16
Глава 1- Элементы теории групп
Примеры
1. Перестановки. Множество из п ящиков (точек) перенумеро-
перенумеровано числами от 1 до п. Каждый ящик содержит какой-то один
предмет. Затем предметы из одних ящиков перемещают в другие так,
что снова в каждом из п ящиков находится по одному предмету.
Например, если предмет раньше находился в ящике 1, а теперь он
находится в ящике 3, мы скажем, что 3 есть образ 1 при таком пре-
преобразовании. Рассмотрим конкретный пример множества из 4 ящиков.
Предметы в этих ящиках были переставлены между собой так, что
содержимое ящика 1 перешло в ящик 4, содержимое ящика 2 —
в ящик 3, содержимое ящика 4 — в ящик 2 и содержимое ящика 3 —
в ящик 1. Это отображение записывается в виде
Можно сказать, что наше преобразование сводится к переходу от
одного упорядоченного расположения чисел 1 4 к другому
упорядоченному расположению. Такие преобразования называются
перестановками. Одно из общепринятых обозначений для переста-
перестановок состоит в том, что под каждым предметом подписывают его
образ при этом преобразовании. В этих обозначениях наш пример
следовало бы записать так:
П234\
(,4312/'
Числа в верхней строке мы записали в естественном порядке, но
это не обязательно; ту же перестановку можно было бы записать
и в виде
/1324\ /4213\
Ul32/ ИЛИ B341J'
Поскольку соответствия между предметом и его образом сохраняются
одними и теми же, эти различные способы записи представляют одну
и ту же перестановку.
Нашим примером служит перестановка четырех символов, поэтому
мы говорим, что она является перестановкой степени 4. Мы мог-
могли бы выполнить и другие перестановки четырех символов, напри-
например точка 1 могла бы иметь в качестве образа точку 1, 2, 3 или 4.
Тогда для выбора образа точки 2 осталось бы только три возмож-
возможности, что в свою очередь оставило бы только две возможности
§ I. Соответствия и преобразования 17
для выбора образа точки 3, и, наконец, имелась бы только одна
возможность для выбора образа точки 4. Таким образом, сущест-
существует 4 • 3 • 2 • 1 = 4! = 24 перестановки степени 4. Аналогично, число
перестановок п символов, т. е. число перестановок степени п, равно п\
2. Параллельные переносы. Точки прямой обозначены коорди-
координатой х. Преобразование состоит в сдвиге каждой точки на две
единицы вправо:
х -> х' = х + 2.
3. Проективные преобразования прямой. Проективные преоб-
преобразования точек оси X определяются с помощью соотношения
TAead-ЬсфО.
Задача. Двойное отношение четырех точек на прямой определяется
как
(х{ — х2)/(х3 — х2)
— xt) '
где хи х2, х3, х4 — координаты четырех точек. Покажите, что двойное
отношение инвариантно относительно проективного преобразования,
т. е. двойное отношение, вычисленное для образов точек, имеет тот же
вид, что и для исходных точек.
Примеры (продолжение)
4. Перестановки степени п можно также рассматривать как спе-
специальные линейные преобразования в п-мерном пространстве.
Точка, v-я координата которой есть xv, отображается в точку, у ко-
которой pv-n координата (относительно тех же координатных осей)
есть xv, где pv — образ v при перестановке. Перестановка имеет
вид
'1 2 ... п
Рг ¦¦¦ Рп)
соответствующее ей преобразование координат задается формулами
x'r=*v
х'„ =
18 Глава 1. Элементы теории групп
Для частного случая, рассмотренного в примере 1, соответствующее
преобразование координат имело бы вид
лз — Л1>
5. Линейные преобразования в п-мерном пространстве. Преоб-
Преобразования, рассмотренные в примере 4, являются частными случаями
линейных преобразований в «-мерном пространстве. При фиксиро-
фиксированной системе координат линейное преобразование отображает точку
с координатами (хх хп) в точку с координатами (х[ х'Х
где величины х' задаются соотношениями
л
х-= 2*//*/ (/=1 п). A.8)
В этих линейных уравнениях п2 коэффициентов пц образуют квад-
квадратную таблицу — матрицу а преобразования. У преобразования
A.8) будет обратное, если определитель матрицы а отличен от
нуля, т. е. если а — невырожденная матрица. Если вслед за пре-
преобразованием A.8) мы выполним второе преобразование
п
то результирующим преобразованием (произведением преобразований)
будет преобразование
х'{ = | bijX'. = S Ьц | a]kxk = S (,| Ь{.а.к) х, A.9)
Из A.9) мы видим, что одно преобразование, позволяющее совер-
совершить переход непосредственно от х и х", задается равенствами
п
1 ft-1
Где
п
§ 2. Группы. Определении а примеры 19
Равенство A.10) задает правило, по которому следует комбиниро-
комбинировать элементы матриц b и а.чтобы получить произведение матриц с:
с = Ьа. A.11)
Последнее равенство служит символической записью я2 равенств
A.10). Соотношение A.8) можно также записать в символическом
виде. Координаты хи .... хп можно рассматривать как элементы
матрицы, имеющей п строк и один столбец,:
х =
A.12)
Точно так же можно записать и х'. Тогда равенство A.8) примет
вид
х'=ах. A.13)
а для обратного преобразования будем иметь
х = а-1х/, A.13а)
где а — матрица коэффициентов обратного преобразования.
§ 2. Группы. Определения и примеры
Под группой преобразований О мы понимаем совокупность преобра-
преобразований заданного множества точек, которая удовлетворяет следую-
следующим условиям:
1) содержит тождественное преобразование;
2) вместе с каждым преобразованием М содержит также и об-
обратное ему преобразование М~ ;
3) если содержит преобразования М и М', то содержит также
и их произведение ММ'.
Евклидовы движения (движения твердого тела) в обычном про-
пространстве образуют группу; множество всех п\ перестановок п то-
точек образует группу; движения равностороннего треугольника, сов-
совмещающие его с самим собой, образуют группу и т. д.
Если точкам множества и преобразованиям не придавать ника-
никакого конкретного наглядного смысла, то Л понятия группы преоб-
преобразований мы придем к понятию абстрактной группы.
Абстрактная группа О — это множество элементов а, Ь, с
и т. д., для которых закон композиции, или „умножение", задан так.
20 Глава 1. Элементы теории групп
что „произведение" ab любых двух элементов вполне определено и
удовлетворяет следующим условиям 1): »
1) если а и b — элементы множества, то и ab также принадле-
принадлежит этому множеству;
2) умножение ассоциативно, т. е. a(bc) = (ab) с;
3) множество содержит элемент е, называемый единицей, такой,
что ае = еа = а для любого элемента а из множества;
4) если элемент а принадлежит множеству, то существует эле-
элемент b такой, что ab = ba = e. Элемент b называется обратным
для элемента а и обозначается b = a~l.
Хотя групповую операцию мы часто называем „умножением", из
этого отнюдь не следует, что эта операция является обычным ум-
умножением. Множество рациональных чисел (за исключением нуля)
образует группу по обычному умножению. Совокупность целых чи-
чисел (положительных, отрицательных и нуля) образует группу, если
групповой операцией служит обычное сложение. Даже в этих при-
примерах мы пользуемся не абстрактной группой, а каким-либо конк-
конкретным примером („реализацией") абстрактной группы. Структура
абстрактной группы определяется заданием результата „умножения"
каждой упорядоченной пары элементов либо путем перечисления,
либо же путем указания функционального закона без какой бы то
ни было конкретизации природы элементов.
Говорят, что два элемента а и b группы коммутируют друг
с другом, если
ab = ba, A.14)
т. е. если их произведение не зависит от порядка сомножителей.
Из аксиом группы мы видим, что единичный элемент е коммути-
коммутирует со всеми элементами группы. Если все элементы некоторой
группы коммутируют друг с другом', то говорят, что эта группа
коммутативная, или абелева. Для абелевых групп в качестве
символа для обозначения групповой операции по традиции исполь-
используют знак »-{-"• В таких группах „произведение" элементов а и b
записывается в виде а-\-Ь (или Ь-\~а), символ 0 используется для
') На самом деле приводимые ниже аксиомы избыточны; аксиомы 3 и 4
можно заменить более слабыми требованиями:
3') множество содержит элемент е, называемый левой единицей, такой,
что еа —а для любого элемента а из множества;
4') если а принадлежит множеству, то существует элемент Ь, такой,
что Ьа = е, где е—левая единица, определенная в 3'. Элемент b называется
левым об ратным для элемента а относительно левой единицы е.
Читателю, для которого сказанное представляет интерес, следовало бы
доказать, что левая единица е в аксиоме 3' является также и правой еди-
единицей, т. е. ае = а, и определяется единственным образом и что элемент b
в аксиоме 4' является также и правым обратным для элемента a(ab=e)
и по элементу а определяется однозначно. Таким образом, аксиомы 3 и 4
следуют из более слабых требований 3' и 4'.
§ 2. Группы. Определения и примеры 21
обозначения единичного элемента, а элемент, обратный для эле-
элемента а, записывается в виде (—а) и называется противоположным.
Число элементов в группе называется порядком группы.
Выбрав произвольный элемент а группы О, мы можем составить
произведения а с самим собой, например произведение
аа,
которое обозначим а1. Точно так же под а" мы будем понимать
элемент, получившийся при перемножении я элементов, каждый из
которых равен а. Вводя символ а~1 для элемента, обратного а, мы
имели в виду именно эти обозначения. Например,
а~1 • а = е = а0.
Аналогично можно определить отрицательные степени а
а-т = (а-1)т = (ат)~\ A.15)
причем последний шаг в этих преобразованиях вытекает из A.7).
Говорят, что а — элемент бесконечного порядка, если все степени
элемента а различны. Если же дело обстоит иначе, то, возводя эле-
элемент а последовательно в степени 1, 2, ... и т. д., мы найдем два
целых числа г и s (r > s) таких, что
аГ — as.
Умножив на a~s, получим
ar~s — e, /¦ —s>0.
Предположим, что и — наименьшее целое положительное число такое,
что а" равно единице, т. е.
аа = е, «>0, A.16)
и если аь = е, k > 0, то k^n. Мы говорим, что элемент а есть
элемент порядка п.
Если а — элемент /г-го порядка, то все элементы
а° = е, а, а2 ап~1 A.17)
различны (ибо если ar = as, то ar~s=e, причем г—s < я). Сле-
Следовательно, любая другая степень элемента а равна одному из эле-
элементов, перечисленных в A.17). Всякое целое число к можно запи-
записать в виде
k — sn-\-t, 0<*<K,
откуда
а* = asn+t = аэпа{ = {anf a' — а1.
Из этого рассуждения мы видим, что если «ft = e, то k кратно п.
Группа порядка 1 содержит один элемент —единицу е: ее = е.
Группа порядка 2 содержит два различных элемента. Одним из
них должна быть единица е. Второй элемент назовем а. Тогда
22 Глава 1. Элементы teopuu групп
аа(==а?) не может совпадать с элементом а, так как из а2—а
следует, что а = е. Поэтому должно выполняться равенство я2 —е,
т. е. элемент а совпадает со своим обратным элементом а = а~х.
Ниже приводятся примеры групп второго порядка.
Примеры
1. Элементами служат целые числа 0 и 1. Групповой операцией
является сложение по модулю 2, т. е. мы складываем элементы и
берем остаток от деления их суммы на 2:
= 0, 0 + 1 = 1 + 0=1, 1 + 1=0.
2. Элементы группы — преобразования точек трехмерного про-
пространства. Элемент е—тождественное преобразование, элемент а —
преобразование, заменяющее каждую точку ее зеркальным отраже-
отражением в некоторой данной плоскости (например, в плоскости YZ),
так что а изменяет знак координаты х каждой точки.
3. То же, что и в примере 2, но теперь а—инверсия относи-
относительно начала координат (т. е. а заменяете, у, z на —х, —у, —z).
4. То же самое, но на этот раз а — поворот на 180°, например
вокруг оси Z.
5. То же самое, но теперь а — инверсия относительно единичной
сферы: точка, сферические координаты которой равны г, 0, ф, ото-
отображается в точку 1/г, 6, ф.
6. Элементы группы — целые числа 1 и —1, групповая опера-
операция — обычное умножение.
7. Элементы—перестановки двух символов:
Мы рассмотрели семь различных реализаций абстрактной группы
порядка 2. Все эти группы имеют совершенно одинаковую структуру.
Такие группы называются изоморфными.
В общем случае мы скажем, что две группы О и О' изоморфны
(G «s О'), если их элементы можно поставить во взаимно однознач-
однозначное соответствие, сохраняющееся при выполнении групповой опера-
операции. Рассмотрим, например, группы 1, 6 и 7, указанные выше. Со-
Сопоставим их элементы следующим образом:
Группа
Группа
1:
6:
0
1
1
—1
(-1
1 + 1=0,
Группа 7:
§ 2. Группы. Определения и примеры 23
Если элемент, соответствующий элементу а (а принадлежит
группе О), обозначить через а' (а' принадлежит группе G'), т. е.
штрих над символом элемента будет означать элемент, поставленный
ему в соответствие, то группы О и G' окажутся изоморфными, если
а'Ь' = (ab)'.
Заметим, что а'Ь' означает произведение а' и Ъ' относительно
групповой операции в группе О', в то время как аЪ означает про-
произведение а и Ъ относительно групповой операции в группе О.
Например, групповыми операциями в трех перечисленных выше груп-
группах были сложение, умножение и последовательное выполнение пре-
преобразований соответственно.
Если две группы изоморфны, то их структура одинакова; символы
и слова могут отличаться, но как абстрактные группы они совпа-
совпадают.
Рассмотрим далее абстрактную группу порядка 3. Различные эле-
элементы ее назовем а, Ъ и е. Произведение ab не может быть рав-
равным а (или Ь), так как из этого следовало бы, что b = e (или
а = е). Поэтому ab должно быть равным е. Аналогично усматри-
усматриваем, что аР — Ь. Таким образом, группа порядка 3 состоит из эле-
элементов a, a2, az—e. Она служит примером циклической группы,
состоящей из степеней одного элемента.
Вот некоторые реализации этой группы:
1) вращения равностороннего треугольника ABC в его плоскости,
совмещающие треугольник с самим собой;
2) повороты трехмерного пространства на углы 0, 120 и 240°
вокруг оси Z;
3) кубичные корни из единицы с обычным умножением в роли
групповой операции.
Дня групп более высокого порядка такой процесс перечисления
всех элементов группы был бы чрезвычайно затруднительным. По-
Поэтому групповую операцию удобно задавать в виде групповой таб-
таблицы. Обозначим все строки и столбцы квадратной таблицы так же,
как и элементы группы. В этой таблице мы запишем на пересечении
/г-й строки и m-го столбца произведение элемента, символом кото-
которого помечена «-я строка, и элемента, символом которого помечен
/и-й столбец:
24
Глава I. Элементы теории групп
Вот как, например, выглядит таблица для группы порядка 2:
или кратко
Для группы порядка 3 имеем
\ е а Ь(=а2)
е
а
е2
ае
е
=
=
е
а
еа
а2
а
=
=
а
е
е
а
е
е
а
а
а
е
е
а
Ъ
е
а
b
а
Ъ
е
b
е
а
Обычно мы будем опускать первую строку и первый столбец,
так как они только повторяют обозначения строк и столбцов. Заме-
Заметим, что групповая таблица в наших примерах симметрична относи-
относительно главной диагонали. Так будет в том и только в том случае,
если группа абелева. Кроме того, мы видим, что в каждом столбце
(и в каждой строке) все элементы группы встречаются один и только
один раз. Это объясняется тем, что если все элементы группы умно-
умножить слева (или справа) на некоторый фиксированный элемент а,
то все получающиеся при этом произведения должны быть различ-
различными: если аЪ = ас, то Ъ = с.
Для абстрактных групп порядка 4 существуют две различные
структуры:
А)
аг = Ь, ab = c = а3,
а*=Ь2 = е.
т. е. мы имеем циклическую группу а, а2, а3, а* =
Б)
fl2 = J2 = С2 = е<
ab = с, ас = Ъ, be = a.
е
а
b
с
а
b
с
е
Ь
с
е
а
с
е
а
b
е,
а
Ь
с
а
е
с
Ъ
Ъ
с
е
а
с
b
а
е
§ 2. Группы. Определения и примеры 25
Эту группу называют четверной группой Клейна и часто обозна-
обозначают символом V.
Из симметрии таблиц видно, что обе группы абелевы.
Задачи. 1. Покажите, что А) и Б) образуют единственные возможные
структуры для группы порядка 4.
2. Покажите непосредственными выкладками, что всякая группа по-
порядка 4 должна быть абелевой.
3. Приведите пример реализации каждой из групп порядка 4.
Рассмотрим еще несколько примеров групп.
Примеры
1. Элементы группы — целые числа
..., —3, —2, —1, 0, 1, 2
Групповая операция — обычное сложение. Сумма любых двух
целых чисел есть снова целое число, 0 играет роль единичного эле-
элемента, а элементом, обратным п, служит элемент — п. Это группа
бесконечного порядка. Единичный элемент 0 имеет порядок, равный
единице; все остальные элементы — бесконечного порядка.
2. Элементы группы — рациональные числа. Групповая операция —
сложение.
3. Элементы группы—комплексные числа. Групповая операция —
сложение.
Заметим, что неотрицательные целые числа не образуют группы
относительно сложения. „Произведения" содержатся в этом множе-
множестве, множеству принадлежит и единичный элемент @), но обратные
элементы множеству не принадлежат.
4. Элементы группы — четные числа. Групповая операция — сло-
сложение. Это группа бесконечного порядка. Заметим, что группа 1 изо-
изоморфна группе 4. Каждому элементу я группы 1 можно поставить
в соответствие элемент 2га группы 4. Этот пример показывает, что
одна группа может быть изоморфна другой группе, составляющей
лишь часть первой (разумеется, для групп конечного порядка такого
положения быть не может).
5. Элементы группы — степени числа 2. Групповая операция —
обычное умножение, т. е.
.... 2~2, 2~\ 2°, 21, 22
Если элемент я группы 1 сопоставить элементу 2" группы 5, то ста-
станет видно, что эти две группы изоморфны.
6. Элементы группы—все рациональные числа, за исключением
нуля. Групповая операция—умножение.
26 Глава 1. Элементы теории групп
7. Элементы группы—все вещественные числа, за исключением
нуля. Групповая операция—умножение.
8. Элементы группы—все комплексные числа, за исключением
нуля. Групповая операция —умножение.
9. Элементы группы—корни й-й степени из единицы. Групповая
операция—умножение. Эти корни равны
e2nmi/n> т = 0, 1 Я—1.
Это — циклическая группа, все ее элементы совпадают со степенями
числа е2п1/п. Очевидно, что существует только одна структура цикли-
циклической группы порядка п, т. е. все циклические группы порядка п
изоморфны друг другу, ибо если элементы двух циклических групп
одного порядка являются степенями элементов а и b соответственно,
то изоморфизм можно задать, сопоставляя элементы
Этот пример показывает также, что существуют группы любого ко-
конечного порядка п. Кроме того, если имеется циклическая группа
бесконечного порядка, т. е. Группа с элементами
то она изоморфна группе 1. Отсюда следует, что существует только
одна структура для циклической группы счетного порядка.
10. Элементы группы—перестановки степени п
1 2 ... п
Pi Рг •¦¦ Рп
Эту группу, называемую симметрической группой степени и, мы
обозначим символом Sn. Легко найти число элементов в группе Sn:
вместо 1 можно подставить любой из символов от 1 до и; после
того как это сделано, вместо 2 можно подставить любой из оста-
оставшихся и — 1 символов и т. д. Таким образом, порядок симметри-
симметрической группы Sn равен и!.
Рассмотрим перестановку степени 8
12 3 4 5 6 7 8'
2 3 15 4 7 6
Выбрав сначала символ 1, мы видим, что эта перестановка пере-
переводит 1 в 2. Затем мы отыскиваем число 2 в верхней строке и ви-
видим, что рассматриваемая перестановка переводит 2вЗ,аЗ—в 1,
замыкая цикл, который мы запишем в виде A23). Выберем теперь
в верхней строке какой-нибудь другой символ, например 8. Наша
перестановка переводит 8 в 8, образуя цикл (8). Продолжая этот
§ 2. Группы. Определения и примеры 27
процесс, мы найдем циклы D5) и F7). Нашу перестановку можно
записать по-другому в виде
A23) D5) F7) (8).
Заметим, что циклы не имеют общих символов. Цикл A23) можно
рассматривать как сокращенную запись следующей перестановки сте-
степени 8:
12 3 4 5 6 7
,23 15 476
Наши обозначения можно еще больше сократить, если не указы-
указывать символа 8, остающегося на месте, и записывать нашу первона-
первоначальную перестановку в виде
A23) D5) F7), A.18)
но степень перестановки следует иметь в виду. Поскольку циклы не
имеют общих элементов, они коммутируют друг с другом, например
A23) D5) = D5) A23),
поэтому порядок, в котором мы записываем циклы, несуществен.
Кроме того, записывая отдельный цикл, мы можем начинать с любого
элемента в цепочке:
A23) = B31) = C12).
Цикл длины 2 называется транспозицией. Всякий цикл можно за-
записать в виде произведения транспозиций (имеющих общие элементы).
Например,
A23) = A3) A2),
или в общем случае
A2 ... й) = Aй) ... A3) A2).
Цикл из 3 символов записывается в виде произведения 2 транс-
транспозиций, цикл из п символов—в виде произведения я—1 транс-
транспозиции.
Продолжая аналогичным образом, можно разложить всякую пере-
перестановку в произведение транспозиций. В нашем примере
A23) D5) F7) = A3) A2) D5) F7). A.19)
В A.18) число переставляемых символов равно 7, а число неза-
независимых циклов равно 3. Разность между этими числами 7—3 = 4
называется декрементом перестановки. Читатель должен самостоя-
самостоятельно доказать, что если декремент перестановки четен (нечетен),
то разложение этой перестановки в произведение транспозиций будет
содержать четное (нечетное) число сомножителей. Перестановки с чет-
четным (нечетным) декрементом называются четными (нечетными) пере-
перестановками.
28 Глава 1. Элементы теории групп
Покажем теперь, что, умножив данную перестановку на произ-
произвольную транспозицию, мы изменим декремент на ± 1, т. е. перейдем
от четной перестановки к нечетной или же наоборот. Рассмотрим
транспозицию (ab), на которую мы умножаем данную перестановку.
Разложим эту перестановку на независимые циклы. Предположим,
что а и Ъ попали в один и тот же цикл:
(а ... xb ... у).
Тогда
(ab) (а ... хЬ ... у) = (а ... х)(Ь ... у),
так что декремент уменьшится на 1. Наоборот, если а и Ь находятся
в разных независимых циклах, мы видим (проводя рассуждения
в обратном порядке), что умножение на (ab) увеличивает декремент
на 1. Произведение двух четных (или нечетных) перестановок дает
четную перестановку. Произведение нечетной и четной перестановок
дает нечетную перестановку. Перестановка, обратная четной (нечет-
(нечетной) перестановке, четна (нечетна). Нечетные перестановки степени га
не образуют группы (так как их произведения являются четными пере-
перестановками). Четные же перестановки степени и образуют группу —
знакопеременную группу Лп, состоящую из п !/2 элементов.
11. Элементы группы — множество всех целых положительных
чисел. Рассмотрим перестановки, в которых меняется местами любое
конечное число символов. Множество перестановок, построенных
таким способом, называется счетной симметрической группой.
12. Элементы группы — невырожденные матрицы га X и. Группо-
Групповая операция—матричное умножение.
13. Элементы группы — невырожденные матрицы, имеющие опре-
определитель, равный ±1. Групповая операция — матричное умножение.
Такая группа называется унимодулярной.
14. То же, что в примере 13, за исключением того, что теперь
определители равны +1. Такая группа называется специальной уни-
унимодулярной.
§ 3. Подгруппы. Теорема Кэли
Если из элементов группы О мы выберем некоторое подмноже-
подмножество &в, то, чтобы показать, что е№ содержится в G, мы восполь-
воспользуемся обозначением &€<zO. Если подмножество $в образует группу
(относительно той же групповой операции, которая используется
в О), то говорят, что ?}в является подгруппой группы О. Всякая
группа имеет две тривиальные подгруппы: группу, состоящую из одного
лишь единичного элемента, и саму группу О в целом. Эти подгруппы
называются несобственными. Одна из главных задач теории групп
состоит в отыскании всех остальных (собственных) подгрупп данной
группы О,
§ 3. Подгруппы. Теорема Кэли 29
Следует особо подчеркнуть, что J?? образует группу относи-
относительно той же групповой операции, что и О. Рациональные числа
образуют группу О относительно сложения. Положительные рацио-
рациональные числа образуют группу О' относительно умножения, но О'
не является подгруппой группы О, несмотря на то, что элементы О'
образуют подмножество элементов группы О.
Чтобы удостовериться в том, что некоторое подмножество е%?
элементов группы О является подгруппой, мы проверяем, выпол-
выполняются ли следующие требования:
1) произведение любой пары элементов подмножества е%? принад-
принадлежит ?}?',
2) вместе с каждым своим элементом &€ содержит обратный ему.
Другие требования группы выполняются в силу того, что ?ffi со-
содержится в группе О. Например, ассоциативный закон выполняется
в О и тем самым выполняется в <st6. Группа G содержит единичный
элемент, а из требований 1 и 2 следует, что и ??6 содержит его.
Для конечной группы (или любой группы, все элементы которой
имеют конечный порядок) необходимо, чтобы выполнялось только
требование 1. В этом случае' для каждого элемента а из ?№ най-
найдется некоторая степень а (также принадлежащая д%?), например а",
такая, что аап~х = а" = е, в результате чего требование 2 становится
следствием требования 1.
В общем случае для бесконечных групп необходимо выполнение
обоих требований. Например, целые положительные числа относи-
относительно сложения удовлетворяют первому, но не удовлетворяют вто-
второму требованию и поэтому не образуют подгруппы всех целых чисел
по сложению.
Знакопеременная группа Лп является подгруппой симметрической
группы Sn, действующей на те же символы (oindSn). При /г = 3
группа S3 состоит из 'элементов е; A23), A32); A2), A3), B3),
а группа Лг содержит элементы е; A23), A32).
Если ?f6 — подгруппа группы О и К — подгруппа группы д%?,
то К — подгруппа группы О. Это отношение транзитивности наводит
на мысль q последовательностях подгрупп, каждая из которых со-
содержит все подгруппы, предшествующие ей в этой последователь-
последовательности. Например, в качестве О можно взять группу всех целых чисел
относительно сложения, в качестве i$—группу всех четных чисел от-
относительно сложения, в качестве К — группу всех чисел, кратных
числу 22=4, относительно сложения, затем группу всех чисел, крат-
кратных 23, и т. д.:
О: ... —2, —1, 0, 1, 2
&€'. ... —4, -2, 0, 2, 4
К: ... —8, -4, 0, 4, 8, ...
и т. д,
30 Глава 1. Элементы теории групп
Каждая группа содержит все последующие подгруппы, пере-
перечисленные ниже ее, т. е.
кроме того, в рассматриваемом случае все эти группы изоморфны:
Таким образом, группа может быть изоморфной одной из своих
собственных подгрупп, но для групп конечного порядка это не-
невозможно.
В рассмотренном выше случае группы S3
Ss => Лг => е,
где е есть группа, состоящая из одного единичного элемента. Для
всех групп конечного порядка последовательности, подобные той,
которая приведена в этом частном примере, начинаются с группы О
и завершаются группой, содержащей лишь элемент е. Другие
последовательности в группе 53 имели бы вид
53 => &?х => е,
S3 => 3@2 = е>
S33|?33 e,
где подгруппа @%?\ содержит два элемента: е и B3), подгруппа J??2
содержит е и A3) и подгруппа &€г содержит е и A2)-
Группа О' может быть изоморфной одной или более подгруппам
другой группы О. Например, группа S2 — группа перестановок двух
символов — изоморфна подгруппам $&\, 3@ъ и *3€ъ группы S3.
Отсюда, очевидно, вытекает, что
В общем случае группа Sn_1 изоморфна я подгруппам группы Sn,
которые получаются, если фиксировать по очереди символы
1, 2 п. Мы можем заметить, что элементы группы О, которые
принадлежат одновременно двум подгруппам F1 и F2 группы О,
образуют множество D (пересечение подгрупп /^ и F2), которое
является подгруппой группы О, ибо если а и Ь принадлежат D,
то а и b также принадлежат Fx и F2. Поэтому элементы аЪ и а
принадлежат Fx и F2 и, следовательно, принадлежат множеству D,
так что D удовлетворяет тем требованиям, которые мы предъявляем
к подгруппе. Поскольку каждая подгруппа группы G содержит еди-
единицу е, пересечение любого числа подгрупп (т. е. совокупность
элементов, принадлежащих всем рассматриваемым подгруппам) обра-
образует подгруппу, которая содержит по крайней мере единицу.
§ 3. Подгруппы. Теорема Кэли 31
Симметрические группы Sn особенно важны, потому что на самом
деле ими исчерпываются все возможные структуры конечных групп.
Это доказывается теоремой Кэли.
Теорема. Всякая группа О порядка п изоморфна некоторой
подгруппе симметрической группы Sn.
Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, мы
хотим указать на некоторые следствия из нее. Из теоремы Кэли
вытекает, что число возможных неизоморфных групп порядка я
конечно, ибо эти группы изоморфны подгруппам группы Sn.
Поскольку Sn—конечная группа, она имеет лишь конечное число
подгрупп, чем и доказывается наше утверждение. Это важный
результат, поскольку он по крайней мере ограничивает задачу на-
нахождения независимых структур группы порядка п. Переходим к тео-
теореме Кэли. Пусть аъ аъ .... ап — элементы группы О. Возьмем
любой элемент Ь; произведения его и каждого из элементов группы G
имеют вид Ъаъ Ьа2, .. ., Ьап, причем все эти произведения различны,
так как bai = buj означает, что al = aj. Таким образом, эти произ-
произведения bat задают элементы группы О в некотором новом порядке.
Поставим в соответствие каждому элементу b перестановку яь,
I аг ... ап
b -> nb = .
\bai ¦¦¦ ban
n предметов аи .... an. Другому элементу с группы О сопоставим
перестановку яс:
с-+пс — усах _ Спг
По тому же правилу элементу cb ставится в соответствие переста-
перестановка
сЬ \ cbax . . . cban
Для доказательства изоморфизма требуется показать, что лсЬ есть
произведение перестановок яс и яь.
Как мы уже видели, при описании перестановки существенно
только соответствие между предметом и его образом. Порядок же,
в котором мы записываем символы, подлежащие перестановке,
несуществен. Поэтому яс можно также записать и в виде
Ьах ... Ъап
сфа{) ... с фап)
32 Глава Т. Элементы теории групп
Взяв произведение образов элементов cub
Ъах ... ЬаЛ1 ах ... с
cbax . .. cbanj\bal ... baj'
получим
/ а\ ¦ ¦ ¦ ап\
\ cbax . . . cban ) сЬ'
Перестановка пе, сопоставленная единичному элементу е группы G,
есть тождественная перестановка
Точно так же
так что перестановки, поставленные в соответствие элементам О,
образуют некоторую подгруппу в Sn, и теорема доказана.
Перестановки, поставленные в соответствие каждому элементу
группы, —это именно те перестановки, которые мы получили бы
из рассмотрения групповой таблицы. Например, в случае четверной
группы V структурная таблица имеет вид
е
а
Ъ
с
е
е
а
b
с
а
а
е
с
b
b
b
с
е
а
с
с
Ъ
а
е
Чтобы найти перестановку, соответствующую, например, элементу а,
мы запишем в верхней строке символы
eabc,
а под ними выпишем символы в том порядке, как они расположены
в строке, где мы производим умножение на а слева, т. е.
aecb.
Тогда
/eabc
{
Если мы обозначим элементы е, а, Ь, с числами 1, 2, 3, 4, то
перестановки, соответствующие элементам е, а, Ь, с, запишутся
§ 3. Подгруппы. Теорема Кэли 33
в виде
1234\
/1234
/1234
*=Ui2j=<i3><24>-
/1234 ,
__ л^\ С23")
Построенные таким способом группы перестановок обладают неко-
некоторыми характерными особенностями:
1) они являются подгруппами порядка п симметрической группы Sn;
2) эти перестановки, за исключением тождественной, которая
не переставляет ни один из символов, не оставляют ни одного сим-
символа на его прежнем месте, ибо перестановка пь переводит at
в элемент bat, который равен at только в том случае, если b — еди-
единичный элемент.
Перестановки группы Sn, обладающие этими двумя свойствами,
называются правильными перестановками. Подгруппы, содержащие
только правильные перестановки, имеют и другие свойства, являю-
являющиеся следствиями первых двух. Если две перестановки Я! и я2
переводят один и тот же символ, например 3, в один и тот же
символ, например 4, то перестановка я^, которая также при-
принадлежит этой группе, должна была бы оставлять 3 и 4 без изме-
изменений. С другой стороны, поскольку я1 ф я2, перестановка я^^1
не может быть тождественной перестановкой и поэтому переставляет
местами какие-то символы. Но это противоречит нашему предыдущему
результату о том, что все такие перестановки (за исключением
тождественной) не оставляют на месте ни одного символа. Так как
существует и перестановок и букв, мы приходим к выводу, что
символ 1 каждой из перестановок группы переводится в некоторый
другой символ A, . . ., п). (То же применимо к каждому из остальных
символов.) Например, в группе V перестановка пе переводит 1 в 1,
яа переводит 1 в 2, пь переводит 1 в 3 и пс переводит 1 в 4.
Другое интересное свойство подгруппы правильных перестановок
состоит в следующем. Рассмотрим любую из перестановок пь и раз-
разложим ее на независимые циклы. Мы утверждаем, что все циклы
должны быть одинаковой длины. Если бы разложение пь содержало
два цикла различной длины /ь 12 Aг < /2), то перестановка я^, также
принадлежащая группе, оставляла бы неизменными все символы
в первом цикле, но не оставляла бы неизменными все символы
34 Глава I. Элементы теории iptjnn
во втором цикле. Это противоречит нашему определению подгруппы
правильных перестановок. В правильной подгруппе не может со-
содержаться, например, такая перестановка:
A2) C45),
так как квадрат ее равен перестановке
Наше утверждение иллюстрируется на примере четверной группы
Клейна. Каждая из ее перестановок есть произведение двух незави-
независимых циклов длины 2.
Циклическая группа порядка 4 дает нам правильную подгруппу
группы 54 следующего вида:
е; A234); A3) B4); A432).
Первый элемент имеет 4 цикла длины 1, второй и четвертый имеют
один цикл длины 4, а третий имеет два цикла длины 2.
Для нахождения возможных структур группы можно использовать
теорему Кэли. Например, предположим, что и — простое число.
В этом случае группа порядка я изоморфна правильной подгруппе
группы Sn. Так как перестановки правильные, то в их разложении
на независимые циклы все циклы должны быть равной длины.
Поэтому длина цикла должна быть делителем и. Так как п — простое
число, длины циклов могут быть равны только и или 1 (для тожде-
тождественной перестановки). Поэтому правильная подгруппа является
просто циклической группой, содержащей перестановку A2 . .. п)
и ее степени. Тем самым мы показали, что если порядок п группы —
простое число, то группа — циклическая. Другое доказательство
этого результата мы приведем в этой же главе позднее. Наш резуль-
результат позволяет решить задачу об отыскании возможных структур
групп простого порядка.
Воспользуемся теперь теоремой Кэли для отыскания возможных
структур группы порядка 4. В соответствии с теоремой наша задача
эквивалентна нахождению правильных подгрупп группы S4. Пере-
Перестановки такой подгруппы должны содержать либо один цикл
длины 4, либо два цикла длины 2 (разумеется, тождественная пере-
перестановка содержит 4 цикла длины 1). Предположим сначала, что
одна из перестановок является циклом длины 4, например A234).
Возведя ее в степени 1, 2, 3 и 4, получим перестановки A234),
A3)B4), A432), е, т. е. совокупность четырех элементов. Это —
циклическая группа порядка 4. Далее предположим, что не существует
циклов длины 4, а имеются только перестановки с двумя циклами
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа 35
длины 2. Квадрат таких перестановок равен е, и существует ровно
три такие перестановки:
A2) C4); A3) B4); A4) B3),
которые вместе сен образуют четверную группу.
Задачи. 1. Укажите элементы правильной подгруппы группы S6, изо-
изоморфной циклической группе порядка 6.
2. Воспользуйтесь теоремой Кэли, чтобы найти возможные струк-
структуры групп порядка 6.
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа
Абстрактные группы порядков 1, 2, 3 не имеют собственных
подгрупп. Циклическая группа порядка 4 имеет подгруппу порядка 2,
состоящую из элементов а1 и е, так как (а2) (а2) — аА = е. Четверная
группа имеет три собственные подгруппы порядка 2:
а, е; Ь, е; с, е,
все эти подгруппы изоморфны. Заметим, что порядок подгруппы,
равный 2, является делителем порядка группы, равного 4. Сейчас
мы покажем, что этот результат (принадлежащий Лагранжу) выпол-
выполняется и в общем случае.
Порядок подгруппы конечной группы есть делитель порядка
группы.
Пусть группа О порядка g содержит подгруппу ffl> порядка h.
Если S6 исчерпывает собой группу G, то ,j%?=G, и результат
тривиален (заметим, что здесь знак равенства означает, что два
множества содержат одни и те же элементы). Если же это не вы-
выполняется, то пусть а есть элемент группы О, не содержащийся в Ш'.
Обозначив элементы ?fB через
е, Н2, #з Hh<
образуем произведения
ае = а,
Эту совокупность произведений обозначим символом а?№. Все про-
произведения aHv различны, так как если
то
36 ' Глава 1. Элементы теории групп
Точно так же ни одно из них не содержится в $@, так как если
то
и а принадлежало бы $6', вопреки нашему предположению. Мы по-
получили два множества $в и а?№, каждое из которых содержит h
различных элементов, принадлежащих О. Если на этом группа G
не исчерпана, мы продолжаем действовать гак же, как и прежде,
выбирая некоторый элемент b в О, который не содержится ни в е%'7,
ни в а?Ю. Множество Ы?6 дает h новых элементов группы О, так
как если
bHv = aHVL,
то
и b принадлежало бы а<$?в, что противоречит нашему предположе-
предположению. Продолжая этот процесс, мы можем исчерпать группу О, пред-
представив ее в виде суммы конечного числа различных множеств, каждое
из которых состоит из h элементов:
Таким образом, порядок g группы О есть кратное порядка h ее
подгруппы $6, т. е.
g = mh, A.21)
где m называется индексом подгруппы 3@ в группе G. Множества
элементов вида аЗЮ в A.20) называются левыми смежными клас-
классами &€ в G. Они, безусловно, не являются подгруппами, так как
не содержат единичного элемента. Разумеется, доказательство можно
было бы проводить, умножая <?№ справа. Это привело бы к разло-
разложению О на правые смежные классы по подгруппе <Ш
Q = m-\-S€a'-\-&eb'-\- ... -\-&€k'. A.20a)
Из равенства A.21) мы видим, что группа, порядок которой есть
простое число, не может иметь собственных подгрупп.
Взяв любой элемент а (порядка К) в группе О, мы можем по-
построить циклическую группу, образуя последовательные степени а.
') Знак „плюс" в равенстве A.20) означает суммирование множеств:
множество G содержит все элементы, принадлежащие &&, все элементы, при-
принадлежащие а&е, и т. д. В рассматриваемом случае множества &е, а&е,...
не имеют общих элементов. Вообще говоря, сумма двух множеств А и В
есть множество всех элементов, которые содержатся по крайней мере
в одном из множеств А или В.
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа 37
Циклическая группа {а} : а° — е, а, а2, . . ., аЛ, образованная эле-
элементом а, называется периодом элемента а. Это наименьшая под-
подгруппа группы О, содержащая элемент а. Из A.21) следует
также, что h есть делитель числа g, так что порядки всех элемен-
элементов конечной группы должны быть делителями порядка группы.
Из этого мы заключаем, что группа простого порядка должна быть
циклической и может быть образована по любому своему элементу,
отличному от единицы. Это обстоятельство дает нам ответ на задачу
о нахождении структуры группы порядка 5: она образуется из эле-
элемента а такого, что а5 = е, и аналогичный ответ для групп порядка
7. 11, 13 и т. д.
Ниже приводятся примеры разложения группы на смежные классы.
Примеры
1. Пусть О — группа целых чисел по сложению, е%? — группа
чисел, делящихся на 4, по сложению. Тогда
так что индекс подгруппы &€ в G равен 4. Здесь смежный класс
A-\-&№) представляет собой множество целых чисел вида 4«-)-1
(я — целое число). Два элемента а и Ъ группы О принадлежат одному
и тому же смежному классу, если а—b делится на 4.
2. Пусть G = S3 и е%? — подгруппа, содержащая е и A2). Тогда
S3 = 3€ + A3) &в + B3) &е = 3€ + Ж A3) + т B3).
Задача. Циклические перестановки четырех символов образуют
подгруппу $? в St. Разложите 54 на левые смежные классы по &S. Срав-
Сравните это разложение с разложением на правые смежные классы.
Теорему Лагранжа можно использовать для того, чтобы найти
возможные структуры групп заданного порядка. Для примера най-
найдем все структуры групп порядка 6. Так как порядок равен 6,
порядок каждого из ее элементов является делителем 6, т. е. равен
1, 2, 3 или 6. Если группа содержит элемент а порядка 6, то она
является циклической группой а, а2 а6 = е. Чтобы найти другие
возможные структуры, предположим, что группа не содержит эле-
элемента порядка 6, но имеет элемент а порядка 3. Таким образом,
эта группа содержит подгруппу а, а2, а3=е. Если группа содержит
еще и другой элемент Ь, то она содержит шесть различных элемен-
элементов е, а, а2, Ъ, Ьа, Ьа2. Порядок элемента b равен 2 или 3. Если
порядок элемента b равен 3, т. е. Ь3=е, то элемент Ь2 должен быть
одним из перечисленных выше 6 элементов. Равенство Ь2=е выпол-
выполняться не может (поскольку мы предположили, что порядок Ь равен 3),
38 Глава 1. Элементы, теории групп
из равенства же Ь2 — Ь, Ьа или Ьа2 следует, что b — е, а или а2
соответственно, что противоречит нашим предположениям о том, что
элемент Ъ отличается от этих элементов. Кроме того, так как Ь2 = а,
то Ьа = е, а из того, что Ь2—а2, следует Ьа2 = е; и в том и в дру-
другом случае это противоречит сделанным нами предположениям. Таким
образом, порядок элемента b не может быть равным 3 и мы должны
иметь: Ь2 = е. Произведение ab не может быть равным е, а, а2
или Ь. Если ab = ba, то
(abJ = (ab) (ab) = (ab) ba = ab2a = а2,
(abf=a2(ab) = b; (abf = a, (abM = ba\ (abf=e.
Следовательно, группа содержала бы элемент ab порядка 6, вопреки
нашему предположению. (То же можно проделать короче: порядок а
равен 2, порядок b равен 3 и ab = ba, т. е. а ц b коммутируют.
Возводя ab в различные степени, мы видим, что порядок эле-
элемента ab равен наименьшему кратному порядков элементов а и Ь.)
Остаются равенства
b2 = e, ab^= ba2.
Из ab=ba2 следует, что (abJ—{ab) Ьа2=е.
Это последнее предположение не приводит к противоречиям.
Найденную таким образом группу порядка 6 можно кратко охарак-
охарактеризовать так: она образована всеми возможными произведениями
элементов а и Ь, причем
a?-—b2 = (abf = e.
Легко построить групповую таблицу
е
а
а2
Ъ
Ьа
Ьа2
а
а2
е
Ьа
Ьа2
Ь
а2
е
а
Ьа2
b
ba
b
ba2
ba
e
a2
a
ba
b
ba2
a
e
a2
ba2
ba
b
a2
a
e
Эта группа изоморфна группе S3,
Задача. Найдите возможные структуры групп порядка 8.
§ 5. Классы сопряженных элементов
Говорят, что элемент Ъ в группе О сопряжен элементу а, если
в группе О можно найти элемент и такой, что
= &. . A.22)
§ 5. Классы сопряженных элементов 39
Иногда говорят, что b есть трансформация элемента а элементом и.
Выбрав и — е, мы видим, что элемент а сопряжен самому себе. Точно
так же, если элемент b сопряжен а и с сопряжен Ь, то с сопряжен а,
так как если
c = vbv~l, b = uau~l,
то
с = vuau~lv~x = (vu) a (vu).
Далее, из A.22) следует, что а = и~1Ь(и~1)~1, поэтому если элемент b
сопряжен а, то элемент а сопряжен Ь. Таким образом, мы имеем
отношение между элементами, которое удовлетворяет всем требова-
требованиям, предъявляемым к отношению эквивалентности (символ =):
1) asa;
2) если а^Ь, то Ь^а;
3) если a = Z> и А=с, то а=с.
Отношением эквивалентности можно воспользоваться для того,
чтобы разбить некоторое множество на непересекающиеся классы —
в нашем случае для того, чтобы разбить группы на классы сопря-
сопряженных элементов. В абелевой группе каждый элемент сам по себе
образует класс, так как bab" =a при любых а и Ь. Во всякой
группе единичный элемент е образует класс. Заметим, что все эле-
элементы, принадлежащие одному и тому же классу, имеют одинаковый
порядок: если ah = e и b = uau~l, то
bh = (иаи~1)н = иаи~1 иаи~1 ... = uah и = иеи~х = е.
Сопряженные преобразования. Для группы преобразований по-
понятие сопряженных элементов имеет простой физический смысл.
Предположим, что а — отражение в плоскости Р и с — вращение
вокруг некоторой оси. Так как а оставляет каждую точку х пло-
плоскости Р неизменной, ах = х. Тогда
{сас~1) {сх) = сах = сх.
Таким образом, преобразование сас~г оставляет множество точек сх
неизменным. Иначе говоря, сас~1 есть отражение в плоскости, кото-
которая получится из плоскости Р, если последнюю подвергнуть пово-
повороту с. Аналогично, если а означает вращение вокруг некоторой
оси, то сас~х означает вращение на тот же угол вокруг оси, полу-
получающейся из первой при преобразовании с.
Предположим, например, что группа содержит элемент а, который
представляет собой поворот на угол ф вокруг прямой I. Пусть с — не-
некоторое другое преобразование той же группы, например параллель-
параллельный перенос. Тогда с переводит прямую I в какую-то другую
40 Глава 1. Элементы теории групп
прямую /'. Преобразование сас~1 обладает следующими свойствами: с
переводит прямую /' в прямую /; кроме того, а есть вращение на
угол ф вокруг /, оно оставляет точки прямой / неподвижными; на-
наконец, с переводит / снова в /'. В результате точки прямой /'
остаются неподвижными; следовательно, сас~х есть поворот (на
угол ф) вокруг прямой /'.
Сопряженные перестановки. Применим теперь понятие сопря-
сопряженных элементов к перестановкам. Предположим, что а—это
перестановка
1 ... п
и b — перестановка
I I ... п\ i ax ... an
U • • ¦ *,
Тогда
Сравнивая ЪаЪ с а, видим, что для того, чтобы получить bab~l,
мы применяем перестановку b к верхней и нижней строкам переста-
перестановки а порознь. Пусть, например,
/1234\ /1234N
Применим перестановку b к верхней строке перестановки а (при
этом 1234 перейдет в 2134) и к нижней строке перестановки а (при
~x
этом 4321 перейдет в 4312); таким образом, bab~x имеет вид
2134N /1234
Этот метод равным образом применим и в том случае, если пере*
становки заданы в виде циклов; например, а = A2) C45) и Ь =
= B4135). В этом случае *а*~1 = C4) E12). Мы видим, что со-
сопряженные перестановки имеют одинаковую структуру с точки зрения
их разложений на циклы, так что перестановки, относящиеся к за-
заданному классу, либо все четны, либо все нечетны. Например,
в группе 53 элемент е образует класс, состоящий лишь из одного
элемента. Кроме того, один класс образуют элементы A2), A3), B3).
Элементы A23), B13) также образуют класс. Таким образом, груп-
§ 5. Классы сопряженных элементов 41
па S3 содержит три класса сопряженных элементов. В группе <S4
различными являются классы:
1. е;
2. A2). A3), A4), B3), B4), C4);
3. A2) C4). A3)B4), A4) B3);
4. A23), A32), A24), A42), A34), A43), B34), B43);
5. A234), A243), A324), A342), A423), A432).
Задача. Разбейте элементы группы 5Б на классы сопряженных эле-
элементов.
Общий метод должен быть ясен из процедуры, которой мы поль-
пользовались в примере с группой 54. Перестановки группы Sn действуют
на совокупность п символов. Представим себе, что мы разложили
перестановки на независимые циклы. Пусть число циклов, состоящих
из 1 символа, равно vb число циклов, состоящих из 2 символов,
равно v2 число циклов из п символов равно \п. Поскольку
полное число символов равно га, должно выполняться равенство
Vi + 2v2+ ... + ravn = ra. A.23)
О перестановке, которая при разложении на независимые циклы
имеет V! циклов длины 1, v2 циклов длины 2, .... vn циклов длины п,
говорят, что она обладает циклической структурой (lV|, 2\ . . ., п*п),
или кратко (v). Как мы уже видели, все перестановки группы Sn,
обладающие одинаковой циклической структурой (v), образуют класс
сопряженных элементов в Sn. Каждое решение уравнения A.23)
в целых положительных числах vx vn задает в Sn некоторый
класс. Следовательно, число классов в точности равно числу таких
решений. Если ввести обозначения
A.24)
то
К + h -Ь ••• + hn = га и Я,! > %2 > • • • > Я.я > 0. A.25)
Представление числа п в виде суммы п целых чисел такое, как
в A.25), называется разбиением числа п. Из A.23)—A.25) следует,
что каждое решение уравнения A.23) (в неотрицательных целых
числах) соответствует разбиению числа п вида (Xj Хп). Обратно,
42 Глава 1. Элементы теории групп
если разбиение задано, как это сделано в A.25), то существует
соответствующая ему структура разложения на циклы, а именно:
v2 — k2 — А,3. A.26)
Обычно у нас нет необходимости записывать те слагаемые А, в A.25),
которые равны 0. Например, разбиение числа 5
B2100),
т.е. 5 = 2 +2 + 1 + 0 + 0 = А.1 + А,2 + ••• +^5- записывают
в виде B21), или еще более кратко в виде B21). Согласно равен-
равенствам A.26), соответствующая такому разбиению структура разло-
разложения на циклы имеет-вид
Vi = Кг — А,2 = 2 — 2 = 0,
V2 = Аз — Лз = 2 — 1 = 1,
v3 == Я,3 == 1.
т. е. состоит из одного цикла длины 2 и одного цикла длины 3.
Аналогично, в случае группы 56 разбиению C13) отвечает набор
V! = 2, v2 = 0, v3 = 0, v4 = 1,
вследствие чего циклическая структура, соответствующая разбие-
разбиению C13), состоит из двух циклов единичной длины и одного цикла
длины 4.
Транспозиция в группе 5„ содержит один цикл длины 2 и (га—2)
цикла единичной длины, поэтому разбиение, соответствующее такой
циклической структуре, имеет вид (и — 1, 1).
Мы видим, что задача о нахождении числа классов сопряженных
элементов в группе Sn сводится к задаче о разбиении числа п.
Перечислим такие разбиения и укажем полное число г всех классов
для нескольких первых симметрических групп:
5,:
S2:
S3:
S4:
(i);
B).
C).
D).
r=\.
(i2);
B1).
C1).
г = 2,
(i3);
B2),
r = ;
B12),
(I4); r = 5.
Обратите внимание на порядок, в котором мы записываем разбиения.
Разбиение, у которого Хх максимально, записывается первым. Если
§ 5. Классы сопряженных элементов 43
же два разбиения имеют одинаковые Хг Xt, то первым записы-
записывается то из них, у которого Я.г+1 больше.
Задача. Продолжите таблицу до и = 5, 6 и 7. Для п = 5 укажите
циклическую структуру, соответствующую каждому разбиению.
Важной характеристикой служит число перестановок группы Sn
в данном классе сопряженных элементов. Это число «(v) легко найти
следующим способом. Класс перестановок с циклической структу-
структурой (v) содержит перестановки, в которых имеется \х циклов из
одного символа, v2 циклов из двух символов, ..., \п циклов из п
символов. Представим себе, что структура перестановки выписана,
но входящие в нее символы не указаны:
(¦)•••(•) (••)(¦•)•••(••) (...)...(...)¦¦¦ и т. д.
Vt ЦИКЛОВ V2 ЦИКЛОВ V3 ЦИКЛОВ ДЛИНЫ 3
длины 1 длины 2
Всего имеется п мест в различных ячейках, по которым требуется
разместить п символов от 1 до га. Это можно проделать п ! спосо-
способами. Однако при этом возникнут повторения. Например, если сим-
символы 1 и 2 входят в циклы, состоящие каждый из одного символа,
то A) B) означает то же самое, что и B) A). Все Vi циклов из
одного символа можно переставлять между собой (ух ! способами),
все v2 циклов из двух символов можно переставлять между собой v21
способами и т. д., вследствие чего данная перестановка будет повто-
повторена V) I V21 • • • vn ! раз. Кроме того, такой цикл из двух символов,
как A2), может встречаться и в виде B1), а такой цикл из трех
символов, как A23), может встречаться в виде B31) или же C12)
и т. д. Таким образом, каждая перестановка повторяется lvi2v» . . .
. . . nv" раз. Поэтому число различных перестановок в группе Sn,
имеющих циклическую структуру (v), равно
«(v) = v ^ v • 0 -27>
v,1.2 2-v2!-3 3-v3!... nn-\n\
Задача. Найдите число перестановок в каждом классе сопряженных
элементов группы 55.
Важно помнить, что то, что мы делали выше, применимо только
к полной симметрической группе Sn. Например, в группе <S4 все
перестановки
A2) C4), A3) B4), A4) B3)
44 Глава 1. Элементы теории групп
принадлежат одному и тому же классу, потому что группа 54 со-
содержит перестановку Ъ — B3) такую, что
6A2) C4)/Г1 = A3) B4).
Если же мы рассмотрим четверную группу V, то перечисленные
выше перестановки уже не будут принадлежать одному и тому же
классу в V, так как группа V не содержит транспозиций. В самом
деле, группа V — абелева, каждый из ее элементов образует класс.
Задача. Образуя последовательные произведения перестановок
A234) E678) и A537) B846),
покажите, что при этом порождается группа порядка 8. Разбейте эле-
элементы этой группы на классы сопряженных элементов. Покажите, что
эта группа (группа кватернионов) изоморфна группе с элементами
1, -1, /, -i, J, —], k, -k;
р= p = k* = — \, ij=k, jk = i, ki = j.
§ 6. Инвариантные подгруппы. Фактор-группа.
Гомоморфизм
Взяв за исходную подгруппу ?}6 группы О, мы можем образовать
множество элементов ае?6а~х, где а —произвольный элемент группы О.
(Под а?}6а~1 мы подразумеваем множество элементов aha~l, где h
пробегает все элементы подгруппы <Ш.) Эта совокупность эле-
элементов (или комплекс) в свою очередь является подгруппой группы О
(проверка этого предоставляется читателю). Говорят, что эта под-
подгруппа сопряжена подгруппе <з/в в группе G. Выбирая из G раз-
различные элементы а, мы можем получать различные сопряженные
подгруппы. Может случиться так, что при всех а
ата-^ = 3в, A.28)
т. е. все подгруппы, сопряженные ?Ю в группе О, совпадают с под-
подгруппой SJ6. В этом случае мы скажем, что Ш — инвариантная
подгруппа {самосопряженная подгруппа, нормальный делитель)
в группе О. Соотношение A.28) означает, что при заданном эле-
элементе hx в подгруппе <$№ мы можем при любом а найти некоторый
элемент h2, такой, что
ah\a~x = h2, или ah1
Последнее равенство можно записать в виде
A.29)
§ 6. Инвариантные подгруппы. Фактор-группа. Гомоморфизм 45
Эта запись приводит ко второму определению инвариантной под-
подгруппы: подгруппа Ц6 инвариантна в группе G, если левые и пра-
правые классы смежности, образованные по любому элементу а группы G,
совпадают. Пользуясь A.29), можно сказать, что подгруппа <Ш,
ваятая в качестве единицы, коммутирует со всеми элементами группы О.
Из утверждений, следующих за равенством A.28), мы видим также,
что из A.28) вытекает следующий результат: если hx принадлежит $6,
то и все элементы а/г^ принадлежат 3$. Иными словами, под-
подгруппа е%? группы О инвариантна тогда и только тогда, когда она
содержит элементы группы G в виде полных классов, т. е. для
любого класса в группе G справедливо утверждение: подгруппа SK1
содержит либо все элементы, входящие в этот класс, либо не со-
содержит ни одного из них. Единичный элемент и вся группа G
являются тривиальными инвариантными подгруппами группы G. Группа,
которая не имеет инвариантных (собственных) подгрупп, называется
простой. Группа называется полупростой, если ни одна из ее инва-
инвариантных подгрупп- не является абелевой. Очевидно, что все под-
подгруппы абелевой группы инвариантны.
Инвариантные подгруппы обладают некоторыми весьма примеча-
примечательными свойствами. Если подгруппа <%?6 инвариантна в G, то
, A.30)
поскольку произведение &€&€ означает не что иное, как совокуп-
совокупность элементов, входящих в ??в. Таким образом, произведение двух
смежных классов инвариантной подгруппы снова является смежным
классом. Точно так же заметим, что
36 {аШ) = {.&€а) Ж = (аЖ) Ж = а {Ж Ж) = аЖ, A.31)
поэтому умножение любого смежного класса подгруппы §6 на $6
дает в результате тот же самый смежный класс. В этом умножении
смежных классов инвариантная подгруппа Ж играет роль единичного
элемента. Далее, если у нас имеется некоторый смежный класс аЖ,
то мы можем найти обратный ему смежный класс (относительно
нашего нового „умножения смежных классов"), а именно смежный
класс а~1Ж, который содержит элемент а-1:
{а-1 Ж) {аЖ) = а-хЖа&{! = а,-1а&вЖ = Ж. A.32)
Если мы будем рассматривать смежные классы подгруппы <§Ю
в качестве элементов, а произведение определим как результат умно-
умножения таких смежных классов, то смежные классы инвариантной
подгруппы образуют группу, которая называется фактор-группой и
обозначается G/S6. Порядок ее равен индексу подгруппы в№
в группе G.
Найдем сопряженные подгруппы для подгруппы е%? [е, A2) C4)]
в группе S4. Подгруппа <§№ не инвариантна, так как она не со-
46 Глава 1. Элементы теории групп
держит всех элементов третьего класса, указанного для группы 54
в § 5 настоящей главы. Когда мы образуем произведения а36а~1
с элементами а из группы S4, у нас должны получиться циклические
структуры, которые должны совпадать с циклическими ¦ структурами
элементов подгруппы 36. Таким образом, сопряженными подгруп-
подгруппами являются подгруппы:
36 : e, A2) C4),
Ж: е, A3) B4),
Ж': е, A4) B3).
Каждая из них получается 8 раз:
36 при а = е, A2), C4), A2) C4), A3) B4), A4) B3), A324), A423);
36' при а = A4), B3), A32). A24), A43), B34), A243), A342);
36" при а = A3), B4), A23), A42), A34), B43), A234), A432).
С другой стороны, подгруппа
V: е, A2) C4), A3) B4), A4) B3)
инвариантна в группе 54, поскольку содержит элементы из 54 в виде
полных классов.
Задачи. 1. Не перечисляя всех подгрупп, найдите сопряженные под-
подгруппы для 53 в группе 54; для 52 в группе 54; для циклической группы
[е, A23), 132)] в группе S4.
2. Докажите, что подгруппа индекса 2 должна быть инвариантной.
3. Покажите, что все подгруппы группы кватернионов инвариантны.
В циклической группе О четвертого порядка {а, а2, а3, а4 = ё)
подгруппа 36 (е, а2) инвариантна (группа G — абелева!). Фактор-
Факторгруппа 0/36 содержит два элемента
Е = (е, а2), Л = (а, а3),
причем А2 = Е.
Ранее мы ввели понятие изоморфизма для групп, обладающих
одинаковой структурой. Между элементами а группы О и элемен-
элементами а' группы G' было установлено взаимно однозначное соответ-
соответствие, такое, что (ab)'=a'b'. Под гомоморфным отображением
группы О на группу О' мы понимаем аналогичное соответствие, ко-
которое сохраняет произведение, но теперь уже несколько элементов
группы G могут иметь один и mom же образ в группе О'.
Пусть, например, G — циклическая группа порядка 4 и пусть
группа G' состоит лишь из единичного элемента. Мы отобразим все
элементы группы G в единичный элемент группы О'. Аналогично,
7. Прямые произведения 47
если G'—группа порядка 2 с элементами Ь и Ь2 = е, мы получим
гомоморфизм группы G в G', если отобразим
(а2, е) в Ь2 = е и (а, я3) в ft.
При гомоморфном отображении группы G на группу G' образом
единичного элемента е из группы G является единичный элемент е'
группы G'', ибо если aft — я (откуда следует, что ft есть единица
в группе О), то а'Ь' = а'', из чего следует, что Ь' есть единица
в группе О'. Если совокупность элементов Oj, я2, ..., яй группы G
отображается в е', то, выбрав какой-нибудь другой элемент ft
в группе О, мы найдем h различных элементов Ьаъ ba2 bah
в группе О, которые отображаются в один и тот же элемент ft'
группы Q', так как фа)' = ftV = ftV = b'. Таким образом, в каждый
элемент группы & отображается одинаковое число элементов
группы G. Если элемент а отображается в е', то это же справед-
справедливо и для Я, что можно проверить, взяв образы правой и ле-
левой частей равенства аа~1 = е. Поэтому те элементы группы G,
которые отображаются в е', образуют группу, на самом деле инва-
инвариантную подгруппу группы G, ибо если элемент а отображается
в е', то это же выполняется и для всех элементов, принадлежащих
тому же классу, что и элемент я, так как
(иаи-1)' = и'а' {и- >)' = и V (к')" = е'.
Обозначив эту инвариантную подгруппу символом е%?, мы обнаружим,
что любой класс смежности Яа%? отображается в один элемент
группы G', так как
{а&в)' = а'&в' = я V = я'.
Таким образом, мы видим, что группа G' изоморфна фактор-
факторгруппе QI ?Ю.
§ 7. Прямые произведения
Говорят, что группа О является прямым произведением своих
подгрупп е%?ь <Ш2 еЖ'„, если
1) элементы различных подгрупп коммутируют;
2) каждый элемент g группы G можно представить одним и
только одним способом в виде
g = hlhi ... hn,
где hx принадлежит ^вх, ..., a hn принадлежит Жп.
Предполагается, что ни одна из подгрупп не состоит из одного
лишь единичного элемента. В сокращенных обозначениях мы запи-
записываем О в виде
48 Глава I. Элементы теории групп
Подгруппы e%?i, ??6<i, .... (Ш„ называются прямыми сомножи-
сомножителями группы G.
Из условий 1 и 2 следует, что общим элементом для подгрупп ?ffll
является только единичный элемент. Точно так же из этих условий
следует, что все ?f6\ являются инвариантными подгруппами в группе G.
Согласно условию 2, любой элемент g группы G можно записать
в виде
g = h1h2 ... hn,
где, согласно условию 1, все h, коммутируют друг с другом. Пред-
Предположим, что h'i принадлежит подгруппе 36^ Тогда любой элемент,
сопряженный h'i, имеет вид
gh'ig = (А,А2 ... й«) h\ {hxh2 ... hn)-1 = hih'ihf A.34)
и также принадлежит ?№i- [Те сомножители в A.34), которые при-
принадлежат другим подгруппам, отличным от е%?(-, сокращаются после
коммутации.] Таким образом, подгруппа S6t содержит элементы
группы О в виде полных классов и поэтому инвариантна в О.
В качестве примера разложения группы на прямые сомножители
рассмотрим циклическую группу О порядка 6 (а6 = е). Ее можно
записать в виде прямого произведения подгрупп
А: е, а2, о4,
В: е, а3.
Имеем •
О = АХВ.
Каждый элемент группы О представим лишь одним способом в виде
произведения элемента из А на элемент из В (проверка предо-
предоставляется читателю!).
В нашей книге нам также придется иметь дело с прямым произ-
произведением G X О' двух групп. Чтобы получить его, образуем все пары
(а, а'),
где элемент а принадлежит G, а элемент а' принадлежит G'. Произ-
Произведение пар определяется соотношением
(а, а')ф, b') = (ab, a'br). A.35)
Если е и е' — единичные элементы групп G и G', то пары (а, е')
образуют подгруппу Г, изоморфную группе G, а пары (е, а') обра-
образуют подгруппу Г', изоморфную группе G'. Группа, состоящая из за-
заданных выше пар, является прямым произведением Г и Г' в соответ-
соответствии с определением, данным ранее. Обычно мы будем говорить
просто, чго эта группа есть прямое произведение групп G и О'.
Очевидно, что порядок прямого произведения двух групп равен про-
произведению их порядков.
ГЛАВА 2
ГРУППЫ СИММЕТРИИ
§ 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры
Обширный класс групп, играющих важную роль в физике и хи-
химии, составляют так называемые группы симметрии. В этой главе мы
обсудим их несколько подробнее для того, чтобы создать необходи-
необходимую основу для последующих рассмотрений и как-то конкретизиро-
конкретизировать понятия, введенные в гл. 1.
Классификация уровней энергии многоатомной молекулы связана
с симметрией последней. С симметрией молекулы связана также за-
задача о нахождении спектра колебаний молекулы. Симметрия внешних
макроскопических форм кристаллов связана с лежащей в их основе
симметрией микроскопической структуры. Классификация энергети-
энергетических уровней электрона в кристалле оказывается связанной с сим-
симметрией поля в кристалле. Для всех этих задач представляется су-
существенным прежде всего дать систематическое перечисление возмож-
возможных типов симметрии, которыми может обладать молекула или кристалл.
Симметрию некоторого тела описывают, задавая совокупность всех
тех преобразований, которые сохраняют расстояния между всеми
парами точек тела и совмещают тело с самим собой. Любое такое
преобразование называется преобразованием симметрии. Ясно, что
такая совокупность преобразований образует группу — группу сим-
симметрии данного тела. Все преобразования, сохраняющие расстояние,
можно получить из преобразований трех основных типов:
1) поворотов на некоторый угол вокруг какой-нибудь оси;
2) зеркального отражения в некоторой плоскости;
3) параллельного переноса (трансляции).
Последний элемент симметрии — трансляция—может встретиться
только в том случае, если тело имеет бесконечную протяженность
(например, бесконечная кристаллическая решетка). Следует отметить,
что когда трансляционную симметрию используют в физических рас-
рассуждениях, то подразумевают, что удаленные точки тела не влияют на
решение задачи, так как при таком подходе конечное тело с необ-
необходимостью заменяется своей бесконечной экстраполяцией. Например,
в теории твердого тела следует затем отдельно рассмотреть проблему,
связанную с состоянием поверхности.
Для тела конечной протяженности (молекулы или макроскопиче-
макроскопического образца какого-нибудь минерала) возможны лишь два первых
50 Глава 2. Группы симметрии
типа симметрии. В самом деле, все преобразования, принадлежащие
группе симметрии конечного тела, должны оставлять неподвижной
по крайней мере одну точку тела. Иначе говоря, все оси поворо-
поворотов и все плоскости отражений должны пересекаться (по крайней
мере) в одной точке. Ясно, что последовательные повороты вокруг непере-
непересекающихся осей или отражения в непересекающихся плоскостях будут
приводить к переносам и непрерывному смещению тела. Группы сим-
симметрии конечных тел (которые должны оставлять по крайней мере
одну точку тела неподвижной) называются точечными группами.
В этой главе мы ограничимся рассмотрением точечных групп конеч-
конечного порядка.
Прежде всего предположим, что тело совмещается с самим собой,
если мы поворачиваем его на угол ф = 2л/га (п — целое число) вокруг
некоторой оси. Такая ось называется поворотной осью п-го порядка.
Если п — 1, то совмещение тела с самим собой происходит после по-
поворота на угол 2л, что является тождественным преобразованием. Опе-
Операцию поворота на угол 2л/га мы будем обозначать символом Сп. По-
Последовательные выполнения этого преобразования Сп, Сп и т. д.
(т. е. повороты на угол 4л/га, бл/га и т. д.) должны также совмещать
тело с самим собой. Если число п делится на целое число /, то
(СпУ = Сп/г B.1)
Например, ось 6-го порядка в тоже время служит осью 2-го и 3-го
порядков. Ось характеризуется наибольшим числом п (или наимень-
наименьшим углом ф). Также ясно, что п последовательных поворотов на
угол 2л/« вокруг одной и той же оси возвращает нас в исходное по-
положение и приводит к тождественному преобразованию. Таким обра-
образом,
Спп = Е, B.2)
где для тождественного преобразования мы ввели символ Е (Einheit).
Поскольку очень важно иметь наглядное представление о том, что
происходит при выполнении преобразований симметрии, мы, чтобы
помочь читателю, будем приводить многочисленные схемы. Один тип
схем приведен на фиг. 1. Вертикальная прямая служит осью 3-го
порядка, проходящей через центр (неподвижную точку) О молекулы.
На то, что это ось 3-го порядка, указывает маленький треугольник а
на конце этой оси". Аналогично, на ось 2-го порядка указывал бы
ромб ¦ на конце оси, на ось 4-го порядка — квадрат ¦ и т. д. Если
в точке Р находится какой-нибудь атом молекулы, то наличие оси 3-го
порядка означает, что тождественные с ним атомы располагаются
в точках Р', Р", где ОР — ОР' = ОР". Аналогично, если атом на-
находится в точке Q, то такие же атомы должны находиться в точках Q'
и Q". Для особых положений, таких, как R на оси вращения, образ
точки совпадает с точкой /?.
§ 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры
51
Такой метод изображения для молекул вполне достаточен. Когда же
мы занимаемся рассмотрением внешней симметрии кристаллов, возни-
возникает несколько иная задача. Площади граней кристалла данного ве-
вещества могут меняться в широком диапазоне в зависимости от условий,
в которых был выращен кристалл. Главным содержанием всех ис-
исследований по морфологии кристаллов является закон постоянства
углов в кристалле: углы, которые образуют друг с другом грани
кристалла, для данного кристалла являются неизменными. Это
означает, что кристалл характеризуется направлениями нормалей к гра-
граням кристалла и углами, которые эти нормали образуют друг с другом
Р"
9''
V9"
К
Фиг. 1.
Заметим, что расстояние от „центра" до граней кристалла неодина-
неодинаково для всех образцов. Итак, простейший метод описания кристалла
состоит в том, что на поверхности единичной сферы указываются
полюсы многогранника, т. е. точки, в которых нормали к граням
кристалла пересекают поверхность сферы. Для получения формы
кристалла по его полюсной диаграмме нам нужно лишь провести ка-
касательные плоскости к единичной сфере во всех полюсах и получить
замкнутый многогранник.
Чтобы представить полюсную фигуру в двух измерениях, восполь-
воспользуемся стереографической проекцией. На фиг. 2 мы соединяем по-
полюс Р на единичной сфере с южным полюсом S. Точка пересечения Р'
прямой PS с плоскостью экватора является стереографической про-
проекцией точки Р. Чтобы показать полюсы на стереографической про-
проекции, проведем окружность экватора АВ и отметим проекцию по-
полюсов незаштрихованными маленькими кружками (фиг. 3). Заметим,
что все точки северной полусферы проектируются на внутренность
экваториального круга, а точки, лежащие на экваторе, проектируются
на границу этого круга. Если бы мы точки южной полусферы рас-
рассматривали точно таким же образом, то их проекции расположились бы
Глава 2. Группы симметрии
вне единичного круга, а проекция южного полюса 5 ушла бы в бе-
бесконечность. Чтобы избежать несимметричного подхода к рассмотре-
рассмотрению двух половинок сферы, мы будем пользоваться полюсом 5 для
проектирования точек верхней полусферы; точки же, лежащие на
нижней полусфере, будут проектироваться из северного полюса N.
Чтобы различать эти случаи, можно либо воспользоваться двумя раз-
различными кругами (по одному для каждой полусферы), либо же, как
сделаем мы, отмечать проекции полюсов нижней полусферы крести-
крестиками. Например, на фиг. 3 точка Т является образом точки нижней
Фиг. 3.
Фиг. 4.
полусферы, а точка U' и 13" (кружок с крестом) означают, что
имеются два полюса (по одному на каждой полусфере), каждый из
которых является зеркальным отражением другого в плоскости эква-
экватора.
Из-за наличия оси 3-го порядка изображением точек Р, Р' и Р"
на фиг. 1 служат три точки, лежащие на одной параллели так, как
показано на фиг. 2. Стереографическая проекция тех же самых точек
изображена на фиг. 4.
§ 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры 53
Если к сфере на фиг. 2 мы проведем касательные плоскости
в точках Р, Р" и Р'", то получим треугольную пирамиду с верши-
вершиной, лежащей на оси 3-го порядка. Если к указанным точкам мы
добавим тройку полюсов Q, Q" и Q'", лежащих на экваторе, мы по-
получим треугольную призму. Чтобы замкнуть многогранник, нам пона-
понадобится еще одна тройка точек R, R" и R'" на нижней полусфере.
Заметим, что одних только точек Р и R достаточно для получения
замкнутого многогранника, но для получения более сложных фигур
мы можем добавлять тройки таких точек, как точки Q. Чтобы из-
избежать таких случаев, когда фигура будет обладать симметрией более
высокой, чем симметрия с осью 3-го порядка, мы должны быть уве-
уверенными в том, что между положениями точек Р и R не существует
никакого простого соотношения. Убедиться в этом легче, если рас-
рассматривается задача о симметрии молекулы, поскольку в этом случае,
как видно из фиг. 1, мы можем изменять расстояние от атома до оси.
Следует заметить, что первая операция симметрии — вращение —
такова, что может перемещать тело как абсолютно твердое из началь-
начального положения в конечное. Вторая основная операция — отраже-
отражение в плоскости — носит иной характер. Она не отвечает никакому
физически возможному перемещению тела как единого целого. Фи-
Фигуры, которые могут быть наложены друг на друга только после зер-
зеркального отражения, называются энантиоморфными.
Для обозначения отражения в плоскости мы воспользуемся сим-
символом о. Поскольку два отражения в одной и той же плоскости
возвращают нас в исходное положение, имеем
о2 = ?, B.3)
из чего следует, что отражение в плоскости есть элемент порядка 2.
Если будет необходимо как-то выделить плоскость отражения, мы
будем указывать ее с помощью индекса. В общем случае мы будем
иметь одну ось вращательной симметрии, причем вращательная сим-
симметрия будет основным видом симметрии тела. Если дело обстоит
именно так, мы будем обозначать отражение в плоскости, перпенди-
перпендикулярной этой главной оси, символом ah (h — горизонтальный), а сим-
символом ov мы будем обозначать отражение в плоскости, проходящей
через эту ось (v — вертикальный).
Совместное применение рассмотренных нами двух основных опе-
операций (поворот вокруг оси и отражение в перпендикулярной ей пло-
плоскости) приводит к преобразованию симметрии, которое мы назовем
зеркально-поворотной симметрией (Drehspiegelung). Говорят, что
тело обладает зеркально-поворотной осью л-го порядка, если оно
переходит в себя при операции, состоящей из поворота на угол 2л/«
вокруг этой оси и отражения в перпендикулярной к ней плоскости
(фиг. 5). Эту операцию мы обозначим 5„. Очевидно, что
Sn = Cnoh = ohCn, B.4)
54
Глава 2. Группы симметрии
причем мы заметим, что поворот вокруг оси и отражение в перпен-
перпендикулярной ей плоскости коммутируют друг с другом. Из соотно-
соотношений B.2) — B.4) мы получим
F'„)п = (СЛ)" = (СпУ
откуда при четном п следует, что
B.5)
однако при нечетном п
Таким образом, в случае нечетного га, если тело обладает симмет-
симметрией Sn, то оно также обладает симметриями oh и Сп в качестве
независимых элементов симметрии.
Фиг. 5.
Чрезвычайно важным представляется случай зеркально-поворот ной
оси 2-го порядка: S2 есть поворот на угол я вокруг некоторой оси,
после которого выполняется отражение в плоскости, перпендикулярной
этой оси. Результат этой сложной операции, которую мы назовем
инверсией, состоит в том, что каждая точка Р тела переходит в точ-
точку Р', которая является ее образом при инверсии относительно фи-
фиксированной точки О: точки Р и Р' расположены на прямой POP'
по разные стороны от точки О и на одинаковом расстоянии от этой
точки. Обозначив инверсию символом /, получим
/ = 52 = С2ай. B.6)
Из B.6) следует, что
C2 = Ioh, оп = 1С2. B.6а)
Все три элемента симметрии /, ah и С2 коммутируют. Если любые
два из этих элементов принадлежат группе симметрии, то и третий
элемент также принадлежит ей.
§ 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры
55
Рассмотрим теперь несколько простых свойств последовательных
отражений в различных плоскостях или поворотов вокруг различных
осей. Прежде всего заметим, что произведение поворотов вокруг двух
осей, проходящих через точку О, есть снова поворот вокруг неко-
некоторой оси, проходящей через О. Рассмотрим, далее, произведение
отражений в двух плоскостях, пересекающихся по некоторой прямой.
Пусть на фиг. 6 прямые v и v' будут следами двух плоскостей,
а точка О— следом линии пересечения этих плоскостей. Пусть ф —
угол между плоскостями. Отражая точку сначала в плоскости vf,
Фиг. 6.
Фиг. 7.
а затем в плоскости v, мы видим, что точка Р переходит в точку Р',
а затем в точку Р", где ОР = ОР' = ОР". По построению угол
между ОР и ОР" равен 2<р. Таким образом,
ow= С Bф), B.7)
где СBф) — поворот на угол 2ф вокруг линии пересечения плоскостей
в направлении от v' к v. Точно так же oV'Ov есть поворот на тот же
самый угол вокруг той же оси, но в противоположном направлении.
Из сказанного видно, что преобразования av и ov не коммутируют,
за исключением частных случаев, когда ф —я/2 и их произведение
равно С2, и тривиального случая ф = я, когда o4, = ov. Умножая
равенство B.7) слева на av, находим
<V = оч,С Bф). B.7а)
Таким образом, произведение поворота на данный угол вокруг не-
некоторой оси и отражения в плоскости, проходящей через эту ось,
есть отражение во второй плоскости, проходящей через ту же ось.
56 Глава 2. Группы симметрии
и образующей с первой плоскостью угол, равный половине угла
поворота. Мы снова получаем три взаимно независимых элемента
симметрии. Из наличия любых двух элементов симметрии [av, oy
и СBф)] следует наличие третьего.
Другое важное свойство показано на фиг. 7: отрезок ОР верти-
вертикальный, Оа и Ob лежат в горизонтальной плоскости. Рассмотрим
результат последовательного выполнения поворотов на угол я сначала
вокруг Оа, а затем вокруг Ob. Поворот вокруг Оа оставляет Оа
на месте и перемещает точку Р в положение Р' {ОР = ОР'). Если
затем мы совершим поворот на угол я вокруг Ob, то точка Р'
возвратится обратно в точку Р, так что произведение этих поворотов
должно быть каким-то поворотом вокруг прямой POP'. Точка а,
которая оставалась неподвижной при первом повороте, теперь перейдет
в положение а' на фиг. 7. Таким образом, последовательное выпол-
выполнение поворотов на угол я вокруг двух осей, образующих между
собой угол ф, дает в результате поворот на угол 2ф вокруг оси,
перпендикулярной к первым двум. В частности, если оси X и К
являются поворотными осями 2-го порядка, то и ось Z является
поворотной осью 2-го порядка.
§ 2. Эквивалентные оси и плоскости.
Двусторонние оси
Перечислив возможные точечные группы симметрии, мы найдем,
каким образом эти группы можно разбить на классы. Один важный
способ получения сопряженных преобразований уже упоминался в § 5
гл. 1. Теперь мы рассмотрим его подробно. Если, как это изобра-
изображено на фиг. 2, мы имеем вертикальную ось 3-го порядка и если
прямая ОР есть ось «-го порядка, ,то ОР" и ОР'" также должны
быть осями га-го порядка. Все повороты на один и тот же угол
вокруг этих трех осей принадлежат к одному и тому же классу.
Все оси (или плоскости), которые можно совместить с помощью
какой-либо операции, принадлежащей группе, называются эквива-
эквивалентными осями (или плоскостями). Повороты на один и тот же
угол вокруг эквивалентных осей принадлежат одному и тому же
классу. То же правило применимо и к зеркально-поворотным опе-
операциям вокруг эквивалентных осей.
Этот результат ничего не дает нам в частном случае поворотов
или зеркальных поворотов вокруг одной и той же оси. Чтобы понять,
как мы действуем в этом случае, рассмотрим еще раз, что мы делали
при получении эквивалентных осей. Когда мы описываем поворот
вокруг некоторой оси, мы прежде всего задаем направление оси
и указываем положительное направление вращения, например, с по-
помощью правила правой руки. Если на фиг. 8 ось А'А можно перевести
в положение В В с помощью одного из поворотов, принадлежащих
§ 2. Эквивалентные оси и плоскости. Двусторонние оси 57
группе симметрии, то направления поворотов вокруг эквивалентных
осей будут связаны между собой так, как показано на фигуре.
С другой стороны, если при действии некоторого поворота из числа
входящих в группу ось А' А переходила бы не в ось В'В, а в ось ВВ',
то схема преобразования имела бы вид, приведенный на фиг. 9.
68
Глава 2. Группы симметрии
В обоих случаях поворотами вокруг оси В'В, сопряженными с данным
поворотом вокруг оси А'А, служат повороты на равные углы в про-
противоположных направлениях. Рассмотрим теперь фиг. 10. Предполо-
Предположим, что в группе существует какой-то поворот р, который пере-
переводит А'А в АА', например поворот на угол л вокруг прямой CR
Фиг. 11.
(так что р2 = ?, р = р~1). Если поворот C(q>) на угол <р вокруг
оси А'А переводит точку Р в Р', то трансформация поворота С(ф)
поворотом р, а именно поворот рС(<р)р, переводит точку Р в точку Q"
и представляет собой некоторый поворот вокруг оси А'А на угол <р
в обратном направлении. Чтобы увидеть это, выполним поворот рС(ф)р
постепенно: например, поворот р переводит точку Р в точку Q,
затем поворот C(q>) переводит Q в Q' и, наконец, р переводит Q'
в Q". Коль скоро в группе имеется некоторый поворот, который
ось А'А переводит в АА', мы говорим, что А'А есть двусторонняя
ось. Как видно из фиг. 10, повороты вокруг А'А на равные углы
§ 2. Эквивалентные оси и плоскости. Двусторонние оси
59
в противоположных направлениях сопряжены друг с другом. Если А' А
является осью симметрии «-го порядка, то повороты С\ и Cn~k = CJ*
сопряжены друг с другом. Итак, мы получаем результат, состоящий
в том, что для двусторонней оси любое вращение и обратное ему
вращение принадлежат одному и тому же классу.
Предположим далее, что имеется плоскость симметрии, перпенди-
перпендикулярная АА', а именно плоскость экватора на фиг. 11. Если по-
поворот С(ф) переводит точку Р в Р', то трансформация этого поворота
GhC(($)a^1 отражением aft задает следующую последовательность опе-
операций: a^ = ak переводит Р в Q, затем С(ф) переводит Q в Q'
и, наконец, ah переводит Q' в Р', так что
что очевидно из высказанного нами ранее утверждения о том, что oh
коммутирует с С(ф). Операция oh меняет направление оси на про-
противоположное и в то же время изменяет направление вращения так,
60 Глава 2. Группы симметрии
как это следует из правила правой руки, в результате чего мы полу-
получаем тот же самый поворот, что и прежде, и ось А'А не является
двусторонней (см. фиг. 11).
С другой стороны, предположим, что существует плоскость сим-
симметрии, проходящая через ось АА' (перпендикулярно плоскости
страницы) так, как это изображено на фиг. 12. Операция av не меняет
направления оси (она переводит А'А в А'А), но меняет направление
вращения. На фиг. 12 С(ф) переводит Р в Р', преобразование же
oC^of переводит Р сначала в Q, затем Q в Q' и, наконец,
Q' в Q", так что
avC (Ф) а; > == а С (ф) av = C{— <р). B.9)
В этом случае ось А'А двусторонняя.
После этих предварительных замечаний мы можем перейти к нашей
задаче. Наши операции симметрии можно разделить на два типа:
чистые повороты и зеркальные повороты (включающие как частные
случаи отражение и инверсию). Сначала мы построим точечные группы,
которые содержат только повороты.
§ 3. Группы, элементами которых служат чистые повороты:
группы поворотов вокруг оси, группы диэдров
В этой категории групп прежде всего рассмотрим случай, когда
у нас имеется только одна поворотная ось симметрии. За эту главную
ось выберем ось Z. Число элементов в такой группе равно порядку
оси. Если ось имеет порядок я, мы будем обозначать группу сим-
симметрии символом Сп.
I. Группы, имеющие только одну поворотную ось п-го по-
порядка: Сп.
Группа G\ содержит только тождественное преобразование Е
и соответствует полному отсутствию симметрии. Все группы этого
типа циклические, и каждый элемент такой группы сам по себе
образует класс. Чтобы представить себе наглядно этот тип симметрии,
изобразим ряд эквивалентных точек на стереографической проекции.
Для п=\, 2, 3, 4 и 6 эти точки указаны на фиг. 13—17.
Следует особо подчеркнуть, что на фиг. 13—17 показан только
один набор эквивалентных полюсов. Очевидно, что этих полюсов
недостаточно для того, чтобы ограничить объем кристаллов. (Чтобы
ограничить некоторый объем, необходимо по крайней мере четыре
грани.) Изображение полного набора полюсов, обладающего тре-
требуемой симметрией (но не обладающего симметрией более высокого
порядка) привело бы к чрезвычайному усложнению наших схем. На
фиг. 18 показан полный набор полюсов для кристалла с симме-
симметрией Gx. Строить изображения молекулярных конфигураций, обла-
§ 3. Группы чистых поворотов, группы диэдров
61
дающих нужным типом симметрии, несколько легче, так как мы можем
варьировать расстояния от атомов до центра и пользоваться ядрами
разных сортов. На фиг. 19 и 20 показаны молекулы, обладающие
Фиг. 15.
группами симметрии С2 и ^-з- Молекула, содержащая четыре различных
ядра, не лежащих в одной плоскости, „принадлежала" бы группе Gx
(т. е. не обладала бы никакой симметрией). На фиг. 19 изображена
молекула Н2С=СС12 в виде конфигурации, части которой повернуты
друг относительно друга, обладающая группой симметрии С2- (Если бы
эта молекула была плоской, рла обладала бы, как мы увидим далее,
более высокой симметрией.) На фиг. 20 изображена закрученная
в пространстве молекула Н3С—СС13, которая „принадлежит" группе G-6
(т. е. обладает группой симметрии Gz).
Введем теперь в рассмотрение еще и другие поворотные оси
симметрии. Прежде всего мы наложим ограничение, состоящее в том,
что разрешается существование не более одной поворотной оси,
порядок которой больше 2. Например, если мы берем в качестве
исходной группы Gn, то мы можем добавить только одну ось 2-го
порядка. Кроме того, эта ось должна быть расположена под прямым
62
Глава 2. Группы симметрии
углом к оси «-го порядка, в противном случае мы могли бы полу-
получить и вторую ось я-го порядка с помощью поворота на угол я
вокруг оси 2-го порядка. Итак, единственная возможность — это
Н
с? ' C1
Фиг. 19. Фиг. 20.
добавить еще одну ось 2-го порядка, перпендикулярную оси «-го по-
порядка. Если же теперь мы составим произведения этих операций
симметрии, то получится совокупность, состоящая из п осей 2-го по-
порядка, расположенных в горизонтальной плоскости, и мы получим:
II. Группы, имеющие ось п-го порядка и систему осей 2-го
порядка, расположенных под прямым углом к ней: группы
диэдров Dn.
Эти группы содержат 2« элементов. Главная ось («-го порядка)
двусторонняя, так что повороты Сп и С^ попадают в один и тот же
класс. На фиг. 21 изображена горизонтальная плоскость с одной
осью 2-го порядка а; ось «-го порядка перпендикулярна плоскости
страницы. Предположим сначала, что «=2. Применение преобра-
преобразований С2 к оси а приводит всего лишь к изменению ее направле-
направления. Но если Са означает поворот на угол я вокруг оси а, то про-
произведение С2Са = Сь, где Сь — поворот на угол я вокруг оси b
на фиг. 21. Таким образом, группа D2 имеет три взаимно перпен-
перпендикулярные оси 2-го порядка. Все эти оси двусторонние. Группа
является абелевой группой порядка 4 и изоморфна четверной группе
Клейна. Иногда для обозначения этой группы пользуются символом V.
При п >> 2 группа диэдра Dn не является абелевой.
Случай я = 3 представлен на фиг. 22. Если к оси а применяют
преобразования С3 и Сз, то появляются эквивалентные оси b и с.
Группа D3 содержит 6 элементов Е, С3) Сз и 3 поворота вокруг
осей 2-го порядка. Имеются три класса:
Е\ ¦ Сз, Сз; Сд, Cj), Cc.
§ 3. Группы чистых поворотов, группы диэдров
63
Случай ге = 4 изображен на фиг. 23. Повороты вокруг осей
4-го порядка, будучи примененными к оси а, порождают только одну
новую ось Ь, эквивалентную оси а. Произведение С4Са представляет
собой поворот вокруг оси а' 2-го порядка, расположенной посере-
посередине между осями аи*. Применяя к а' преобразование С4, мы
-—а
Ч.
Фиг. 21.
Фиг. 22.
Фиг. 23.
получаем ось Ь'. Итак, при « = 4 оси 2-го порядка распадаются
на две системы эквивалентных осей. Группа D4 имеет 8 элементов,
принадлежащих следующим 5 классам:
Е; С4
Г2-
Теперь должен быть ясен и результат в общем случае. Группа Dn
содержит 2га элементов. Если « четно (п = 2р), то преобразование Е
и CJ = Сг каждое образует класс. Это оставляет еще (п — 2) = Bр — 2)
поворотов вокруг осей «-го порядка, которые парами распадаются
на классы, что дает всего (р — 1) классов. Повороты вокруг осей
2-го порядка распадаются на классы, в каждый из которых входит
р элементов. Общее число классов равно /? —|— 3 = (« —)— 6)/2.
Если п нечетно (/г = 2/7 —)— 1), то все оси 2-го порядка экви-
эквивалентны, так что все B/?-j-l) поворота вокруг осей 2-го порядка
попадают в один класс. Элемент Е образует класс сам по себе, что
же касается поворотов вокруг оси «-го порядка, то они образуют
(« — 1)/2 = р классов. Общее число классов равно р-\-2 — («-f-3)/2.
Задача. Покажите, что группа диэдра Dn порождается двумя элемен-
элементами а и Ь, такими, что
а" = Ь2 = (abK = е.
Полюсные фигуры для групп D2 = V, D3, D4 и D6 показаны
на фиг. 24—27. Пример группы D2 можно было бы получить, за*
менив атомы хлора на фиг. 19 атомами водорода (в результате чего
получилась бы молекула С2Н4) и сделав равными все расстояния
между атомами углерода и водорода. Примером группы D3 могла бы
служить молекула С2Н6 в конфигурации, изображенной на фиг. 28.
Фиг. 24.
Фиг. 26.
Фиг. 27.
Фиг. 28.
§ 4. Закон рациональных индексов . 65
(Угол поворота групп СН3 относительно друг друга не должен быть
равен 60°, так как возникающая при этом симметрия была бы более
высокого порядка, чем симметрия группы D3.)
§ 4. Закон рациональных индексов
Теперь мы исчерпали все возможные точечные группы, содержа-
содержащие только повороты и имеющие самое большее одну ось, порядок
которой больше 2. Читатель, может быть, заметил, что мы дошли
лишь до ге = 6, причем случай ге = 5 не рассматривали. Причина
этого состоит в том, что для молекул случаи, которые мы опустили
из рассмотрения, являются исключительными. В случае же кристаллов
несуществование осей 5-, 7-, 8-го и т. д. порядков следует из эмпи-
эмпирического „закона рациональных индексов". Рассмотрим различные
грани и ребра кристаллического многогранника. Возьмем любые три
ребра, не лежащие в одной плоскости, и выберем в качестве системы
координатных осей прямые, параллельные им и проходящие через
одну точку (начало координат). Любая грань многогранника будет
отсекать на этих осях отрезки, равные и, v и w. Закон рациональ-
рациональных индексов гласит, что для любых двух граней кристалла
и' v' w' ,п , „ч
Т: V : ~5Г = "• : : "з. B.Ю)
где пх, п2 и га3— целые числа. Заметим, что параллельное переме-
перемещение какой-либо плоскости или использование вместо величин
отрезков, отсекаемых гранью на осях, обратных величин, ничего не
изменяет в соотношении B.10). В этом законе нашли свое выраже-
выражение результаты измерений, проведенных на кристаллах. Следует
проверить, является ли этот закон непротиворечивым с точки зрения
математики. Плоскости граней, рассмотренные в соотношении B.10),
образуют новые ребра, которые также можно использовать в каче-
качестве осей. Для этих новых осей мы можем воспользоваться плоско-
плоскостями, образованными старыми осями, чтобы получить соотношение,
аналогичное соотношению B.10). Для непротиворечивости мы должны
потребовать, чтобы рассматриваемые отношения снова были целыми
числами. Полное доказательство в случае трех измерений весьма
длинно. Вместо него мы набросаем в общих чертах, как протекает
наиболее характерная часть доказательства в более простом двумер-
двумерном случае. Пусть ОО' и ОО" на фиг. 29 будут прямыми, парал-
параллельными ребрам кристалла, a SR и ТО' —две грани кристаллической
решетки. На ОО' и ОО" эти плоскости отсекают отрезки, которые
должны удовлетворять соотношению
и[и' _ .
v/v' ~ т'
66
Глава 2. Группы симметрии
где г — рационально. Из чертежа
sin ОТО' __ v' sin OSR
sin 00'Т ~ и' ' sin ORS
v
и
Если теперь мы воспользуемся осями PR и РО' и рассмотрим
грани 00' и 00", то отношение индексов примет вид
sin PTO sin PRO'
PS/PR __ PS/PT
PT/PO' ~~ PR/PO' " sin PST sin PO'R
__ sin ОГО' sin ORS _ v'ju'
~~ sin OSR sin OOT -~ t»/«
Доказательство непротиворечивости в сущности является доказатель-
доказательством теорем о двойном отношении в проективной геометрии.
Фиг. 29.
Пользуясь законом рациональных индексов, мы докажем теперь,
что при п !J> 5 единственно возможным порядком поворотной (или
зеркально-поворотной) оси является я = 6. Предположим, что вер-
вертикальная ось на фиг. 30 есть ось я-го порядка, причем rai>5.
В этом случае, начав с полюса 1, мы можем образовать набор,
состоящий самое малое из пяти полюсов. Все эти полюсы лежат
на одной параллели. Радиусы, проведенные из центра сферы в по-
полюсы, служат нормалями к граням кристалла. Все радиусы образуют
с вертикалью один и тот же угол 6. Пусть щ, щ, п3, п4, п5 — еди-
единичные векторы, направленные по этим нормалям. Проекции всех
этих векторов на вертикальное направление одинаковы и равны cos 6.
Их проекции на горизонтальную плоскость имеют одинаковую вели-
величину sin 9, и угол ф между соседними проекциями равен 2п/п, как
это показано на фиг. 30. (Для зеркально-поворотной оси нормали,
например, 1 и 3 изменят свое направление, однако для нашего дока-
доказательства это несущественно.)
§ 4. Закон рациональных индексов
67
Любые две грани кристалла определяют ребро кристалла, кото-
которое лежит в плоскости как той, так и другой грани и поэтому пер-
перпендикулярно к нормалям, приведенным к каждой плоскости. Таким
образом ребро, образованное гранями, проходящими через полюсы 1
и 2, имеет направление, задаваемое векторным произведением щ X п2.
Выберем в качестве осей ребра кристалла
пх X п2, п2 X n3,
X п3.
Применим теперь к граням кристалла, проходящим через полюсы
4 и 5 (или к параллельным им плоскостям), закон рациональных
Фиг. 30.
Фиг. 31.
индексов. На фиг. 31 показано, что если п есть единичный вектор,
перпендикулярный грани кристалла F, то отрезок, отсекаемый
гранью F на оси v равен 1/v • п. Мы будем оперировать с величи-
величинами, обратными длинам отрезков, отсекаемых гранями на осях,
поэтому нам потребуются произведения
п4 • щ X п2, п4 • п2 X п3, п4 • пх X Щ
и аналогичные произведения для вектора п5. Значения всех этих
величин можно получить из фиг. 30. Легко видеть, что отрезки,
отсекаемые на осях, имеют общий множитель sin2 9 cos 9, который
сокращается, когда мы переходим к отношениям. Закон рациональ-
рациональных индексов в этом случае означает, что
sin Зг|э — sin 2-ф — sin ф _ sin 2ф — sin ф — sin ф < . и .
sin 2^ — sin if — sin ijj ' sin 3i[i — sin 2я^ — sin ^ ' ' '
68 Глава 2. Группы симметрии
где a, b и с — целые числа, или же
sin Зф — sin 2ф — sin ф
sin2ij) — sin ф —sin ф '
sin 3t|> — sin 2ф — sin ф _ 2 cos Eф/2) sin (ф/2) — 2 sin (ф/2) cos (ф/2) _
sin 2ф — sin i|> — sin ф 2 cos (Зф/2) sin (ф/2) — 2 sin (ф/2) cos (ф/2)
_ cos Eг|)/2) — cos (-ф/2)
cos (Эф/2) — cos (ф/2) ~~
sin3(ib/2) , , n ,
= , ,.,L = 1 + 2 cos \b — r,
sin (г))/2) ' T
где г—рациональное число.
Отсюда следует, что cos \|з = cos Bл/я) — рациональное число.
При «3> 5 единственно возможным решением служит число ге = 6
(cos я/3 = 1/2). Тем самым наша теорема доказана.
§ б. Группы, элементами которых служат чистые повороты.
Правильные многогранники
Обратимся теперь снова к группам, содержащим только повороты.
Наш следующий шаг состоит в рассмотрении групп, имеющих больше
одной оси я-го порядка (п > 2). Среди всех этих осей га-го порядка
выберем две, которые образуют друг с другом наименьший угол.
Точки, в которых оси пересекаются с единичной сферой (полюсы),
представлены на фиг. 32. Предположим, что точки Ро и Рх являются
полюсами наиболее близких друг к другу осей. Иначе говоря, пред-
предположим, что дуга большого круга Р0Рг—самая короткая из дуг
большого круга, соединяющих любые два полюса осей га-го порядка.
Если теперь мы произведем поворот вокруг оси Ро га-го порядка,
ТО из оси Рх мы получим новые оси п-го порядка, число которых
§ 5. Группы чистых поворотов. Правильные многогранники 69
равно (п— 1), причем одна из них проходит через точку А и пока-
показана на фиг. 32. Сферический угол ф между дугами P0Pi и Р0А
равен 2п/п, а Р0Р1 = Р0А. Совершив поворот на угол i|> вокруг
оси А, мы получим из Ро другую ось ге-ro порядка, проходящую
через Д, Все точки Ръ Ро, А, В и т. д., получающиеся при этой
процедуре, лежат в одной плоскости, и поэтому фигура должна
замкнуться снова в точке Рх. (В противном случае мы получили бы
ось ге-ro порядка, расположенную ближе к оси Рх, чем ось Ро.)
Теперь, вращая вокруг оси PQ, получим новую ось из оси Р1 и будем
продолжать так, пока не получим второй правильный сферический
многоугольник. С помощью этого процесса мы покроем всю поверх-
поверхность единичной сферы одинаковыми правильными сферическими
многоугольниками. Таким образом мы получим правильный сфери-
сферический многогранник с F гранями, V вершинами и Е ребрами.
Каждая грань такого многогранника представляет собой правильный
сферический многоугольник с s сторонами. Число ребер, сходящихся
в одной вершине, равно п. Так как каждое ребро имеет по одной
вершине на каждом из двух своих концов, число ребер E = nV/2.
Так как каждое ребро принадлежит двум граням, имеем соотноше-
соотношение E=Fs/2. Объединяя эти результаты, получаем Fs = nV. Пло-
Площадь многоугольника с 5 сторонами на единичной сфере равна сумме
углов многоугольника минус (s — 2) п. Для нашего правильного
многоугольника площадь равна sBn/n)— (s — 2) я. Умножив эту
величину на число граней F, мы получаем полную поверхность еди-
единичной сферы, равную 4я. Таким образом,
или
?L_*L + F = 2. B.11)
Воспользовавшись полученными ранее соотношениями, мы можем
переписать B.11) в виде
V— E-{-F=2. B.12)
Это и есть теорема Эйлера, которая в форме B.12) пригодна для
любой сети на поверхности сферы. Перепишем B.11) в виде
-i.
B.13)
Мы видим, что величина 2sjn должна быть больше s —2 и поэтому
(так как п > 2) допустимые значения s ограниченны.
При ге = 3, s<6: s = b дает F = A\ s = 4 дает F = 6; s = 5
требует, чтобы F= 12.
При и = 4, $<4:s = 3 приводит к F = 8,
70 Глава 2. Группы симметрии
При я = 5 возможно лишь s = 3 и F=20.
При ге^>6 решений не существует.
Мы получаем следующие возможные случаи:
п
3
3
4
3
5
s
3
4
3
5
3
F
4
6
8
12
20
тетраэдр,
куб,
октаэдр,
додекаэдр,
икосаэдр.
Первые два многогранника имеют одинаковые элементы симмет-
симметрии: четыре оси 3-го порядка, которые соединяют вершины 1, 2,
3 и 4 тетраэдра с противоположными гранями так, как это показано
для вершины 1 на фиг. 33. Начав с полюса на одной из граней
кристалла, мы обнаружим, что повороты вокруг этих осей поро-
порождают семейство из 12 полюсов, так что число элементов в этой
группе равно 12. Повороты вокруг любой из этих осей переводят
три остальные оси друг в друга, откуда следует, что все четыре
оси эквивалентны. Оси односторонние, в силу чего мы получаем
два класса по четыре элемента в каждом: С3D); СзD). Если мы
совершим поворот вокруг оси 1 так, что 2—>3, 3->4, 4-^-2,
а затем произведем поворот вокруг оси 2, который приведет к ото-
отображению 3—у 4, 4->1, 1—>3, то произведение этих поворотов
будет осуществлять отображение 2->4, 4->2, 3->1, 1->3 и по-
поэтому будет представлять собой поворот на угол я вокруг прямой,
соединяющей середины противоположных ребер 24 и 13. Таким
способом мы найдем три оси 2-го порядка, эквивалентные друг
другу. Эти оси 2-го порядка образуют класс, состоящий из 3 эле-
§ 5. Группы чистых поворотов. Правильные многогранники
71
ментов. И гак, группа Т тетраэдра имеет 12 элементов, принадлежа-
принадлежащих 4 классам:
Т:Е; С2C); С3D); С32D),
где число в скобках означает число сопряженных элементов в классе.
Другой способ изображения этих осей показан на фиг. 34.
Заметим также, что группу Т можно получить из группы V,
присоединяя к последней ось 3-го порядка, расположенную симме-
симметрично относительно трех осей 2-го порядка группы V. По этой
причине для обозначения группы Т иногда пользуются символом
С „ —¦> С,. —j С,.
Рассмотрим далее октаэдр. На этот раз мы начинаем с 3 взаимно
перпендикулярных осей 4-го порядка. Взяв произведения поворотов
вокруг этих осей, получим полную вращательную симметрию куба,
как показано на фиг. 35. Всего имеется 4 оси 3-го порядка (про-
(пространственные диагонали), 3 оси 4-го порядка (соединяющие сере-
середины противоположных граней) и 6 осей 2-го порядка (соединяющих
середины противоположных ребер).
Применив повороты 3-го и 4-го порядков к любой из осей
2-го порядка, мы можем получить все оси 2-го порядка. Поэтому
все 6 осей 2-го порядка принадлежат одному и тому же классу.
Легко видеть, что все оси двусторонние, кроме того, все оси
3-го порядка эквивалентны друг другу и оси 4-го порядка также
эквивалентны друг другу. Итак, группа О имеет 24 элемента, рас-
распределенных по 5 классам:
О: Е; С2F); С3, Cf(8); СА, CfF); С\(Ъ).
Группа икосаэдра К, которая получается согласно составленной
нами таблице возможных случаев и при максимальном п и при макси-
мачьном числе граней F, на представляет интереса с точки зрения
72
Глава 2. Группы симметрии
физики, поскольку у кристаллов не встречается осей 5-го порядка и
не известны примеры молекул, обладающих такой симметрией.
Группа Y есть группа, состоящая из 60 поворотов вокруг осей сим-
симметрии икосаэдра, у которого имеется 6 осей 5-го порядка, 10 осей
3-го порядка и 15 осей 2-го порядка.
Подводя итоги, можно сказать, что, присоединяя оси высших
порядков, мы получаем три новые группы поворотов:
III. T, О, Y.
Полюсные фигуры для групп Г и О представлены на фиг. 36
и 37. По поводу всех этих полюсных фигур мы должны заметить,
что одного набора эквивалентных полюсов может оказаться недо-
недостаточно для того, чтобы замкнуть многогранник или однозначно
фиксировать тип симметрии. В таких случаях следует вводить до-
дополнительно второй набор эквивалентных полюсов.
Задачи. 1. Покажите, что все элементы группы О порождаются пово-
поворотами вокруг осей 4-го порядка.
2. Перечислите все подгруппы группы О. Какие из них инвариантны?
§ 6. Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты.
Присоединение отражений к группе Gn
Теперь, когда мы располагаем всеми возможными группами сим-
симметрии, содержащими только повороты, мы должны добавить к ним
элементы второго типа, т. е. зеркальные повороты. Пусть 5 — зер-
зеркальный поворот, входящий в число элементов группы. Произведе-
Произведение 5 на любой поворот есть снова зеркальный поворот. Произве-
Произведение двух зеркальных поворотов есть поворот. Заметим прежде
всего, что чистые повороты образуют подгруппу &€ группы G.
§ 6. Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты. 73
Кроме того, эта подгруппа должна иметь индекс 2 и поэтому является
инвариантной подгруппой. Иными словами, мы утверждаем, что ка-
каждый зеркальный поворот St, принадлежащий рассматриваемой группе,
содержится в смежном классе S3&, образованном с помощью любого
из зеркальных поворотов. В самом деле,
si = (ss-l)si=s(s-1si),
и S~ Sit будучи произведением двух зеркальных поворотов, есть
поворот и в силу этого принадлежит <=%?. Порядок фактор-группы
G/SP всегда равен 2.
Затем мы поступим следующим образом. Выберем в качестве под-
подгруппы $в любую из групп чистых поворотов. Вводя зеркальный
поворот 5, мы не допускаем возникновения новых поворотов (по-
(поскольку в силу приведенных выше рассуждений они уже должны со-
содержаться в $в~). Какие возможности имеются у нас для выбора 5?
Одна возможность состоит в том, что S2 — E, отсюда получим два
решения: 5 = 0, S — I. Таким образом, мы можем добавить либо
отражение, либо инверсию. Если же S2 ф Е, то преобразование S2
должно быть одним из элементов подгруппы ©%?, отличных от еди-
единичного. Ось зеркального поворота должна быть одной из осей по-
поворотов, принадлежащих группе <=%?. Если элементом §? является Сп,
то единственный остающийся выбор состоит в том, чтобы S2 = Cn,
так как если мы возьмем
О — 1>л ,
то
или
присоединяя к группе <Щ1 вместо 5 преобразование
S'=SCnP,
мы получили бы
(S'J = E.
Если бы мы выбрали
S2 = С2р+1
то вместо S могли бы ввести дополнительно в $6 преобразование
и получить
S'f C
Итак, мы имеем три возможности для введения зеркального пово-
поворота: а, / и 5, причем 52 = СД.
74 Глава 2. Группы симметрии
Присоединение отражений к группе Оп
Случай 1. Присоединяем элемент S2 = Cn.
При ге=1 S2 = ?, и мы имеем случаи 2 и 3.
При п — 2 S2 = C2, S = SA. Мы получаем абелеву группу $4,
содержащую 4 элемента, принадлежащих 4 классам.
При ге = 3 S2 = C3, S = S6. Мы снова получаем абелеву
группу $6 из 6 элементов, образующих 6 классов.
При я ^ 4 мы получили бы зеркально-поворотную ось, порядок
которой больше 6, что было исключено заранее.
Случай 2. Присоединяем о. Если мы не намереваемся вводить
новые повороты, то плоскость отражения должна быть либо пер-
перпендикулярна главной оси, либо же проходить через нее.
а. Если к группе Qn мы присоединим ал, то получающаяся при
этом группа называется группой 6?лЛ. Все такие группы абелевы и
содержат In элементов в 2« классах. Если п четно, группа со-
содержит преобразование
вследствие чего тело, группу преобразований которого мы рассма-
рассматриваем, обладает центром симметрии. При п=\ группа GXh со-
содержит два элемента Е и о; эту группу обычно обозначают симво-
символом Gs. При таком подходе мы получаем новые группы
/Э /Э /7> /7> (Ъ
^s< У21г' <--3/г> <-Ч/р L/6ft-
б. Если к группе Сп мы присоединим av, то, комбинируя av
с поворотами вокруг вертикальной оси, мы получили бы систему
из п вертикальных плоскостей. Исключая из рассмотрения случай
ге=1, который приводит к группе Gs, мы получаем новые группы,
которые обозначим
^2к> ^Зг>> ^iv< ^6v
Группа Gnv содержит 2« элементов. Как было показано ранее, на-
наличие преобразования av делает оси поворотов двусторонними.
Если же п нечетно («== 2/?-|-1), то все плоскости эквивалентны
и все отражения попадают в один класс. В то же время повороты
вокруг двусторонних главных осей приводят к {р -\-1) классу:
Сгр+i, Cty+i при k=\, 2 р. Всего мы получаем р-\-2
б
р ty р
= (п-|-3)/2 классов. Если п четно (п—2р), то отражения образуют
два класса по р элементов в каждом. Повороты дают класс Е,
класс С2 и (р—1) класс С\р, С^р при ft=l, 2 (р—1).
Всего мы получаем р -f- 3 = (я -)- 6)/2 класса.
Случай 3. Присоединяя, наконец, инверсию / к группе Gn, мы
получаем лишь одну новую группу, а именно группу G\. Это—группа Q^
(или 1>2), состоящая из двух элементов Е и /.
Фиг. 38.
76
Глава 2. Группы симметрии
Вывод. Присоединение к группам Сп отражений приводит
к группам
Полюсные фигуры показаны на фиг. 38—49. Примером могла бы
служить молекула транс-ClBrHC—CHBrCl, изображенная на фиг. 50.
Cl
г»
\,
CI
Фиг 50.
Любая плоская нелинейная молекула, все атомы которой различны
(например, молекула NOC1), обладает группой симметрии (?2/г На
фиг. 51 показана плоская молекула транс-С2Н2С12, обладающая груп-
группой симметрии G2h- Примерами групп симметрии Q2v (фиг. 52) служат
молекулы Н2О, SO2, H2S; примерами групп G3v (фиг. 53) служат
молекулы NH3, CHjCl, PCl3.
Задача. Какая группа получится, если к группе бг присоединить
инверсию /?
§ 7. Присоединение отражений к группам Dn 77
§ 7. Присоединение отражений к группам Dn
Аналогичным образом мы поступим и с группами Dn. Рассмотрим
присоединение к такой группе плоскости отражения. Если мы вклю-
включаем в группу oft, то произведение аА и поворота вокруг любой
оси 2-го порядка дает отражение в вертикальной плоскости, прохо-
проходящей через эгу ось. Таким образом, добавление одной горизон-
горизонтальной плоскости симметрии порождает п вертикальных плоскостей
отражения с п соответствующими операциями av. Новая группа Dnh
содержит An элементов: 2ге чистых вращений, принадлежащих группе
Dn, п отражений av в п вертикальных плоскостях и п зеркальных
поворотов Cnnah. Заметим, что операции аА коммутируют со всеми
элементами группы. Поэтому (см. § 7 гл. 1) мы можем записать
группу Dnh в виде прямого произведения групп Dn и Gs:
[Если п четно (п—2р), то эта группа содержит инверсию, и мы
можем записать также, что ?>2р, а —?*2р X Сг.] Число классов
в группе Dnh ровно вдвое больше числа классов в группе Dn: сна-
сначала мы получаем все классы группы Dn, а затем те классы, кото-
которые возникают при умножении каждого элемента на аЛ. Так же как
при рассмотрении группы Dn мы находим, что если п нечетно, все
отражения принадлежат одному и тому же классу, если же п четно,
они образуют два класса. Зеркальные повороты Сrph и С~ aft рас-
распадаются на классы парами. Новыми являются группы
?W Daft, Dih, Deh.
Полюсные фигуры представлены на фиг. 54—57.
Показанная на фиг. 58 плоская молекула N2O4 обладает группой
симметрии D2ll, форма молекулы С2Н6, у которой атомы водорода
находятся „в противостоянии" и которая представлена на фиг. 59,
принадлежит группе D3h, молекула бензола С6Н6 обладает симме-
симметрией D6/l и показана на фиг. 60.
Плоскость отражения можно присоединить к группе Dn еще и
другим способом: мы можем добавить вертикальную плоскость отра-
отражения, которая делит пополам угол между двумя соседними осями
2-го порядка. Коль скоро мы добавили одну вертикальную плоскость,
вращения вокруг осей 2-го порядка тотчас же порождают совокупность
из п вертикальных плоскостей отражения. Полученная при этом группа
является группой Dnd (d означает диагональ) и содержит 4я элемен-
элементов. Из этих An элементов 2я являются чистыми вращениями, при-
принадлежащими группе Dn. Кроме того, мы получаем п зеркальных
отражений od в п вертикальных плоскостях. Остальные п элементов
представляют собой зеркальные повороты вида 5гя+1 вокруг главных
Глава 2. Группы симметрии
осей, где й = 0, 1, 2, ..., (п — 1). Простейший способ доказатель-
доказательства этого утверждения состоит в рассмотрении полюсных фигур
(фиг. 61 и 62). Итак, главная ось является не просто осью враще-
вращения ге-ro порядка, а зеркально-поворотной осью 2га-го порядка.
В результате рассматриваемые нами группы можно построить лишь
при ге = 2 или 3. (При я>3 порядок зеркально-поворотной оси
был бы больше 6, а этот случай был отброшен нами .еще ранее).
Двумя вновь полученными группами являются группы D2d и D3d
(фиг. 61 и 62).
Задача. Покажите, взяв произведение ad и поворотов, что главная
ось группы Dn(i есть зеркально-поворотная ось 2п-го порядка.
Все оси 2-го порядка эквивалентны, поскольку каждую такую
ось можно совместить с соседней ей осью с помощью отражения
в плоскости, проходящей посередине между ними. Точно так же
эквивалентны все плоскости отражения. (Примените к ним вращения
вокруг осей 2-го порядка.)
Фиг. 58.
Фиг. 59.
Фиг. 60.
80
Глава 2. Группы симметрии
Наконец, зеркальные повороты 5гп+ и 5гп + сопряжены, так как
Таким образом, в общем случае при четном п(п = 2р) группа D2pid
имеет п -\- 3 = 1р -\- 3 класса: Е; вращение С%Р = С2 вокруг главной
оси; (/?—1) класс, состоящий из пар С2р, С2р при А=1, 2
р — 1; класс, состоящий из 2р вращений вокруг горизонтальных
осей 2-го порядка; класс, состоящий из 2р отражений ad; p клас-
классов, состоящих из пар зеркальных поворотов Sln+\ 5^B*+1) при
k — 0, 1, 2, ..., р— 1. При нечетном п(п — 2р -\-Т) группа
Dnd содержит инверсию /, и поэтому мы можем записать ее в виде
прямого произведения
Таким образом, эта группа имеет B/> + 4) класса, что ровно вдвое
больше числа классов в группе D2p+i- Новые классы в группе D2p+i:(i
получаются из классов группы D2p+\ умножением на /.
Фиг 63.
„Повернутая" форма молекулы С2Н6, показанной на фиг. 63,
обладает группой симметрии D3d.
Теперь мы могли бы попытаться присоединить к группе Dn инвер-
инверсию или зеркальный поворот. Если мы присоединим /, то получится
прямое произведение Dn X Gi, которое, как мы показали, совпадает
с группой Dnh, если п четное, и с группой Dnd, если п нечетное.
Аналогично, присоединение к группе зеркального поворота новых
групп не дает.
§ 8. Полные группы симметрии многогранников
81
§ 8. Полные группы симметрии правильных
многогранников
Последний шаг в нашем перечислении точечных групп состоит
в присоединении зеркальных поворотов к группам Т, О и Y.
Предположим, что мы хотим присоединить к группе Т какую-
нибудь плоскость отражения. Поскольку отражения в этой плоскости
не должны приводить к появлению новых осей вращения, эта пло-
плоскость должна либо проходить через два противоположных ребра
С3
\
С3
с2
/1
А
а
/
/
1
г
Фиг.
й
у
66
куба (см. фиг. 34), либо быть параллельной двум его граням и про-
проходить посередине между ними.
Использование первой возможности приводит к группе Тd с харак-
характерными осями и плоскостями симметрии, представленными на фиг. 64
и 65. Группа Td обладает всеми видами симметрии, присущими тет-
тетраэдру. Причина, по которой эту группу обозначают символом Td,
состоит в том, что добавляемая нами плоскость делит пополам угол
между двумя горизонтальными осями 2-го порядка. Так же как и
в случае группы D2d, это означает, что оси вращения 2-го порядка
стали зеркально-поворотными осями 4-го порядка, как это показано
на фигурах. Плоскости симметрии проходят через оси 3-го порядка,
вследствие чего эти оси являются двусторонними. Все плоскости
отражения эквивалентны, и все зеркально-поворотные оси 4-го порядка
эквивалентны. Поэтому 24 элемента группы Td оказываются распре-
деленнгми по 5 классам:
7V Е; С3, С32(8); 54. 5^F); Si = C2C); о„F).
Использование второй возможности приводит к группе Th с харак-
характерными осями, показанными на фиг. 66. Индекс h означает, что
соответствующая плоскость расположена горизонтально относительно
82
Глава 2. Группы симметрии
осей 2-го порядка, однако эга плоскость делит пополам угол между
двумя осями 3-го порядка и тем самым превращает их в зеркально-
поворотные оси 6-го порядка. Поскольку группа содержит S6, она
содержит и /, и, следовательно, можно записать, что
Поэтому группа Th содержит 24 элемента, принадлежащих 8 классам,
которые получаются из классов группы Т. Другие возможные варианты
присоединения новых элементов уже включены в группу Th и Td.
В случае группы О положение присоединяемой плоскости отра-
отражения ограничено так же, как в случае группы Т. Но на этот раз
добавление одного типа плоскости тотчас же порождает другой тип.
Так же как и в случае группы Th, С3-оси становятся 5б-осями, и
группа включает в себя инверсию /. Следовательно, группу Oh можно
представить в виде 0^ = 0 X.Gi- и группа Ой становится группой
§ 9. Обзор точечных групп 83
всех преобразований симметрии куба (фиг. 67). Эта группа содержит
48 элементов, распределенных по 10 классам (что вдвое превышет
число классов в группе О):
ОА: Е; С2F); C8l Cl(8); С4. С? F); С?C);
/; о„F); 56. 5|(8); С4аЛ, С^аЛF); одC).
Наконец, мы можем присоединить инверсию / к группе Y, в ре-
результате чего получим
кА=кхе,.
Эта группа является полной группой симметрии икосаэдра. Мы не
будем рассматривать ее более подробно, поскольку она не предста-
представляет интереса для физики.
В силу того что группа Td обладает полной симметрией тетраэдра,
к ней относятся все тетраэдрические молекулы, такие, как СН4 и СС14.
Молекула метана изображена на фиг. 68. Гексафторид урана UF6
обладает группой симметрии Oh и представлен на фиг. 69.
§ 9. Обзор точечных групп. Другие системы обозначений
Мы нашли все возможные точечные группы. Лишь 32 из них
находятся в соответствии с законом рациональных индексов. При
рассмотрении различных систем мы уже приводили свойства этих
групп, указывая каждый раз число элементов в группе.
I. Триклинная система
1. е,A); 2. е,B).
II. Моноклинная система
3. e2hD); 4. е2B); 5. е,B).
III. Ромбическая система
6. D2A(8); 7. D2~VD); 8. 62vD).
IV. Тригональная система
9. D3AA2); К). D3F); 11. ^(б); 12. $„F); 13. еаC).
V. Тетрагональная система
14. D4AA6); 15. D4(8); 16. 64,(8); 17.6^(8); 18. С4D).
VI. Гексагональная система
19. DG/JB4); 20. D6A2); 21. etoA2); 22. 6^A2);
23. С6F).
VII. Кубическая система
24. ОлD8); 25.0B4); 26.7^B4); 27.ГлB4); 28.7A2).
84 Глава 2. Группы симметрии
Из числа оставшихся групп группы 29 [G3hF)] и 30 [DM{\2)\
обычно включают в систему VI, а группы 31 [14DI и 32 [D2d(8)] —
в систему V.
Заметим, что в каждой системе группы, перечисленные первыми,
обладают наибольшей симметрией. В системах IV—VII симметрия
первой группы в системе носит название „голоэдрической" (обла-
(обладающей полным набором кристаллических граней). После эгой группы
идут три группы, у которых число элементов в 2 раза меньше (геми-
эдрия). Что же касается пятой группы в системе, то она имеет лишь
четвертую часть от числа элементов первой группы (тетартоэдрия).
Обозначения, которыми мы пользовались при рассмотрении точеч-
точечных групп, принадлежат Шенфлису. Было предложено много различ-
различных обозначений. Они все обладают некоторыми преимуществами
и кое-какими недостатками.
Второй системой обозначений является система, которую мы будем
называть системой Шубникова. В этих обозначениях наличие пово-
поворотной оси я-го порядка указывается символом п. Так, группа Сх
обозначается 1, С2 — 2 и т. д. Зеркально-поворотные оси обозна-
обозначаются черточкой над соответствующим символом, так что группа
Oi^$2 будет теперь обозначаться 2, группа $4 будет обозначаться 4
и т. д. Наличие плоскости симметрии указывается буквой т, так что
группа Gs=3.QXh будет обозначаться просто т, поскольку ее един-
единственным элементом симметрии является отражение.
Если точечная группа содержит более одного элемента симметрии,
то каждый из них указывают с помощью специального символа,
кроме того, указывают их взаимное расположение. Чтобы показать,
что два элемента симметрии параллельны (например, ось вращения
и плоскость симметрии, проходящая через эту ось), между их сим-
символами ставят точку. В этих обозначениях группа С2г, запишется
в виде 2.т.
Двоеточие используется для того, чтобы указать, что два эле-
элемента симметрии перпендикулярны. Например, 3 : 2 означает, что
группа содержит ось 3-го порядка и ось 2-го порядка, расположен-
расположенные под прямым углом друг к другу. Эта группа в обозначениях
Шенфлиса есть в точности группа D3. Аналогичным образом сим-
символ 3 : т указывает на то, что имеется какая-то плоскость симме-
симметрии, перпендикулярная оси 3-го порядка, т. е. эта группа есть
именно та группа, которую мы называем E3/г
Наклонная черта означает, что группа содержит две оси, рас-
расположенные друг относительно друга не под прямым углом. Так,
3/2 означает, что в группе имеется ось 3-го порядка и ось 2-го по-
порядка, образующие друг с другом некоторый угол, отличный от 90°.
Из фиг. 34 и приведенных выше соображений ясно, что это — группа Г.
Чаще всего кристаллографы пользуются интернациональной
системой обозначений. В этом случае черта над символом озна-
Таблица 1
Шенфлис
Шубников
Интернациональные обозна-
обозначения
<?,
1
1
2
Г
G2h
1:m
2/m
e2
2
2
D2h
от- 2: m
mmm
D2
2:2
222
2-m
mm2
^ 2mm
Шенфлис
Шубников
Интернациональные обозна-
обозначения
т-3:т
Ът1
=6 2т
D3
3:2
32
e3v
3 ¦ от
3m
6
3
3
3
m-4: m
4/mmm
?>4
4:2
422
= 42
4-m
4mm
e4h
4:m
4/m
4-m
42m
§4
4
4
6?4
4
4
Шенфлис
Шубников
Интернациональные обозна-
обозначения
т ¦ 6: т
6/mmm
#6
6:2
622
= 62
6- т
6mm
6: m
6/m
D3d
6- m
3/?г
3: m
6
бе
6
6
Oh
6/4
m3>m
0
3/4
432
==43
3/4
43m
6/2
m3
2"
3/2
23
Глава 2. Группы симметрии
чает, что берется произведение соответствующей операции и про-
пространственной инверсии. Например, 1 означает группу Qt. Сим-
Символ т используют для обозначения плоскости симметрии, так что
группа Gs в этих обозначениях запишется как т. Заметим,
что 2 означало бы то же, что т. Группа S6 в этих обозначениях
запишется в виде 3, а группа Gih— в виде 6.
Наклонная черта между символами указывает на то, что группа
содержит плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения.
Например, группа Qih записывается в виде 2/т, группа Gih—
в виде 4//и. Плоскости симметрии, не перпендикулярные оси враще-
вращения, записывают без каких бы то ни было дополнительных пометок.
Группа G3v обозначается через Ът, однако группы GAv и G6v запи-
записываются как Атт и бтт, ибо все вертикальные отражения в пер-
первой группе входят в один класс, в то время как в двух других
группах они принадлежат двум различным классам.
Группы D4h и D6h обозначаются символами 4/ттпг и 6/ттт,
поскольку они обладают плоскостью симметрии, перпендикулярной
оси вращения, остальные отражения принадлежат двум классам.
Группа D2=K обозначается символом 222, поскольку она со-
содержит одну (главную) ось 2-го порядка и два поворота на 180°,
которые не принадлежат одному и тому же классу. Аналогично
группы D4 и D6 записываются в виде 422 и 622. С другой стороны,
группа ?>3 имеет обозначение 32, так как все повороты на 180°
принадлежат одному и тому же классу.
Для справок мы укажем в табл. 1 обозначения 32 точечных
групп во всех трех системах обозначений.
Задача. Объясните смысл символа т • 6: т. Почему именно эту
группу мы называем группой D6ft? Объясните смысл символов 3, 23 и
тЗт в интернациональной системе обозначений.
§ 10. Группы магнитной симметрии
(цветные группы)
Мы рассматривали точечные группы симметрии главным образом
для описания внешней симметрии кристаллов. При описании микро-
микроскопических свойств мы должны были бы рассматривать симметрию
распределения атомов (или ионов) в кристалле. Когда мы поступаем
именно так, симметрия, которую мы описываем, является симметрией
усредненного по времени распределения вещества в кристалле. В этом
случае мы уже можем считать, что точечные группы описывают воз-
возможную точечную симметрию усредненной по времени плотности
заряда р в равновесном состоянии кристалла. В этом равновесном
состоянии можно также задать и усредненную по времени плотность
§ 10 Группы магнитной симметрии 87
тока j. Поскольку в состоянии равновесия источники или стоки за-
заряда должны отсутствовать, плотность тока j должна удовлетворять
уравнению div j -= 0. Дчя большинства веществ j = 0, по в ферро-
ферромагнетиках или антиферромагнетиках j Ф 0.
Если в каждой точке мы изменим направление j на противопо-
противоположное, то состояние равновесия остается состоянием равновесия.
Рассмотрим теперь новую операцию симметрии R, которая изменяет
знак j в каждой точке пространства, но не действует на прост-
пространственные координаты (R—оператор „обращения времени"). Эле-
Элемент R имеет порядок 2 (R2 = Е) и коммутирует со всеми простран-
пространственными вращениями и отражениями.
Теперь мы можем рассмотреть возможные точечные группы сим-
симметрии кристаллов, у которых j Ф 0. Такие группы могут содержать
обычные вращения и операции зеркального поворота А, но, кроме
того, они могут содержать и элементы вида RA, т. е. комбинации
геометрического преобразования А и оператора R, изменяющего
направление тока j на обратное. Все 32 найденные нами ранее группы
являются допустимыми группами симметрии при j Ф 0. Теперь же мы
хотим найти новые группы симметрии, содержащие по крайней мере
один элемент вида RA. Сразу видно, что простым присоединением
элемента R к одной из обычных точечных групп такие группы по-
получить нельзя. В самом деле, если группа содержит элемент R, то
это означает, что j — — j, так что всюду j = 0. Поэтому наши новые
группы должны содержать один или более элементов RA, но не
должны содержать элемент R.
Прежде чем приступить к нахождению всех таких новых групп,
рассмотрим еще одну интерпретацию их. Предположим, что грани
кристалла можно окрасить в белый (W) или черный (В) цвет и что
R—операция, изменяющая цвет (W на В, а. В на W). В дополнение
к операциям А геометрической симметрии, которые приводят к сдвигу
граней кристалла, но не меняют их цвета, рассмотрим теперь эле-
элементы RA. Например, если А—поворот, который переводит грань F
в грань F', то RA переведет F в F' и сделает цвет грани F' про-
противоположным цвету грани F. Потребуем также, чтобы ни одна
грань не была окрашена в оба цвета, так что сам элемент R не должен
принадлежать группе. Такие группы мы назовем ^цветными группами".
Заметим прежде всего, что если группа О содержит элемент
M — RA, то порядок А не должен быть нечешым, так как среди
всех степеней М, которые содержит О, находился бы элемент R.
Следовательно, среди элементов группы не может быть элементов
вида RC3 или RS3.
Группе О не могут одновременно принадлежать элементы А и
М = RA, так как в противном случай в G содержался бы и эле-
элемент МА~ ==R. В соответствии с этим результатом мы будем обо-
обозначать элементы группы через Ak (?=1, 2 т), M. — RA,
Глава 2. Группы симметрии
(i — tn-\-l, /rt-)-2 ri), где все геометрические операции А раз-
различны. Ясно, что если заменить R единицей, то п элементов Аь
(k=l, ..-, m) и At {i — tn-\-\ п) образовали бы одну из
32 точечных групп. Следовательно, элементы Ak образуют в группе G
некоторую подгруппу S&, которая является одной из 32 точечных
групп.
Дачьше мы могли бы поступить следующим образом. Возьмем
любую из точечных групп О. Найдем подгруппу gf6 с элементами Ak.
Умножим все элементы А1 множества О—$в (т. е. все элементы
группы О, которые не принадлежат подгруппе $6) на R, после
чего получим Ml = RAi. Если элементы Mt и Ak образуют группу,
то это одна из групп того типа, который мы ищем. Такой метод
был бы чрезвычайно утомительным. Но проблема в целом решается,
так как сейчас мы докажем следующее утверждение.
Чтобы элементы Mt и Ak образовывали группу, необходимо и
достаточно, чтобы подгруппа effl в группе О имела индекс 2.
Если подгруппа $в имеет в группе G индекс 2, то
где At — один из элементов множества О — §в, Наше новое мно-
множество G' записывается в виде
Так как
то G' — группа.
Наоборот, если элементы Ak и Mt = RAt образуют группу G',
то в результате умножения т элементов из ??6 на любой из эле-
элементов Mt мы получим т различных элементов типа М-г Если же
элементы М1 мы умножим на любой из них, то получим п различных
элементов типа Ak. Итак, ?f6 имеет в G' индекс 2, а следовательно,
&6 и в О имеет индекс 2.
Наш метод нахождения новых групп сводится к следующему.
Мы выделяем произвольную точечную группу G. В группе О выби-
выбираем любую подгруппу <??6 индекса 2. Элементы множества G — Ж
умножаем на R. Тогда группа G' = $6-\-R{G — Ж) есть новая
группа.
Все возможные подгруппы $6 индекса 2 для каждой из 32 точеч-
точечных групп G перечислены в табл. 2. Каждая из них приводит к ка-
какой-то новой группе (магнитному классу) G'. Мы пользуемся интер-
интернациональными обозначениями, которые особенно полезны при рас-
рассмотрении магнитных класфв. Черта под символом означает, что
следует взять произведение соответствующего элемента и оператора
обращения времени R,
Таблица 2
а
1
I
2
т.
2/m
2/m
2/m
222
2mm
2mm
mm in
mmm
mmm
3
32
3m
6
6m2
6m2
6m2
4
4
42
42
4/m
4/m
4/m
4mm
4mm
42m
42m
_
1
1
1
2
m
1
2
2
m
222
2mm
2/m
—
3
3
3
6
3m
32
2
2
4
222
4
4
2/m
4
2mm
4
222
G'
_
1
2
m
2/m
2/m
2/m
222
2mm
2mm
mmm
mmm
mmm
—
32
3m
6
6m2
6m2
6m2
4
4
42
42
4/m
4/m
4/m
4mm
4mm
42m
42m
G
42m
4/mmm
4/mmm
4/mmm
4/mmm
4/mmm
6
3
3m
3m
Col
62
62
6/m
6/m
6/m
6mm
6m in
6/mmm
6/mmm
6/mmm
6/mmm
6/mmm
23
m3
43m
43
m3m
тЗт
тЗт
S€
2mm
42
4mm
mmm
42m
4/m
3
3
3
3m
32
6
32
6
Col
3/m
6
3m
62m
3m
62
6mm
6/m
—
23
23
23
43
43m
m3
G'
42m
4/mmm
4/mmm
4/mmm
4/mmm
4/mmm
6~~
3
3m
3m
3m
2
62
6/m
6/m
6/m
6mm
ftmtn
6/mmm
6/mmm
6/mmm
6/mmm
6/mmm
—
m3
43m
3
тЗт
тЗт
тЗт
90 Глава 2. Группы симметрии
Мы нашли 58 новых групп, что вместе с 32 точечными группами
дает нам 90 „групп магнитной симметрии". В основу нашего рассмо-
рассмотрения было положено распределение плотности тока j, но мы могли бы
с равным основанием рассматривать и распределение намагничен-
намагниченности \i. (Единственная особенность, которую следует иметь в виду,
состоит в том, что \i—аксиальный вектор, a j—полярный вектор.)
Группы магнитной симметрии (и основанные на них пространственные
группы) находят применение в анализе аитиферромагнитных структур.
Эти группы допускают обобщения несколькими способами. На-
Например, можно задать п различных независимых признаков, прини-
принимающих два значения, и ввести п операторов Rt, таких, что Rt из-
изменяет значение /-го признака, причем все Rt коммутируют как друг
с другом, так и со всеми геометрическими операциями. Мы можем
также рассматривать и признак, принимающий п значений (много-
(многоцветные группы) и ввести оператор R, такой, что R" = E (R ком-
коммутирует со всеми геометрическими операциями), потребовав, чтобы
элементы вида Rm в группу не входили. Обширную работу в этой
области проделали кристаллографы русской школы.
Задачи. 1. Выведите вес возможные точечные группы симметрии
в двух измерениях.
2. Выведите все возможные двуцветные точечные группы в двух
измерениях.
ГЛАВА 3
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
Во введении мы кратко остановились на том, каким образом
симметрия гамильтониана физической системы приводит к классифи-
классификации собственных функций (собственных векторов) этой системы.
В настоящей главе мы вновь обратимся к этой задаче и разовьем
математический аппарат для ее полною решения.
§ 1. Линейные векторные пространства
Наше интуитивное представление о векторном пространстве осно-
основано на наглядном образе направленных прямых в плоскости или
в трехмерном пространстве. Векторы в таком пространстве описы-
описывают, задавая их величину и направление. Векторы можно умножать
на любое вещественное число. Проведя любые два неколлинеарных
вектора на плоскости (или любые три некопланарных вектора в трех-
трехмерном пространстве), мы вводим координатные оси в таком про-
пространстве. В этом случае векторы можно описывать с помощью коор-
координат относительно некоторых выбранных осей.
Для приложений в физике наше интуитивное представление тре-
требуется обобщить. Рассмотрим множество объектов х, у эле-
элементы которого можно „умножать" на произвольное комплексное
число а или „складывать" друг с другом, получая при этом ¦эле-
¦элементы того же самого множества. Такое множество называется линей-
линейным векторным пространством L.
Если х и у принадлежат L, то
ах и х + у = у-f-х C.1)
также принадлежат L. „Умножение" и „сложение" должны удовле-
удовлетворять следующим условиям:
(а+[5)х = ах + |3х, C.2)
(сф)х = а(|5х), C.2а)
1х = х, C.26)
C.2в)
92 Глава 3. Представления групп
Пространство L содержит нулевой вектор (нуль-вектор) 0 такой, что
= х для всех х. C.2 г)
Таким образом линейное векторное пространство L образует абелеву
группу относительно операции „сложения", и его элементы можно
умножать на комплексные числа.
Если мы ограничимся вещественными множителями, то получим
вещественное пространство. Примерами таких пространств служат
описанные ранее плоскость и трехмерное пространство.
Исходя из интуитивных представлений, можно говорить о векто-
векторах на комплексной плоскости, исходящих из начала координат.
Умножение вектора х на комплексное число а увеличивает длину
вектора х в |а| раз и поворачивает его на угол, равный аргу-
аргументу числа а.
Множество всех матриц п X п образует линейное векторное про-
пространство. Сумма двух матриц х и у (с матричными элементами xlk
и yik) есть матрица x-f-y (с матричными элементами xlk-\- yik).
Матрица ах имеет матричные элементы axik. Все элементы нуле-
нулевой матрицы равны нулю.
Бесконечные последовательности
х = (*„ х2, ...) = (*/) (/-1 сю), C.3)
образуют линейное векторное пространство, причем
х-Ь У = (*;-+¦ Уг)> ах = (ах;).
Множество всех многочленов относительно „переменной" ? вида
х = хо-\-х&, C.4)
где х0, х1 — комплексные числа, образуют линейное векторное про-
пространство, в котором
ах =
х + У = (*о
Непосредственным обобщением последнего примера служит век-
векторное пространство всех многочленов степени, меньшей или рав-
равной п относительно переменной ?:
х = х0 + *,? + *2?2 + ¦ • • + xff = S х?. C.5)
г=0
В частности, п можно устремить к бесконечности. При этом полу-
получится векторное пространство многочленов вида
со
х=2 4г. С3-6)
/¦-О
§ 2. Линейная зависимость; размерность 93
Можно также рассматривать пространства, в которых векторами
являются функции вещественной (или комплексной) переменной г.
Например, можно взять пространство всех функций вида
x = x1-irx2ez, C.7)
либо пространство всех функций вида
х = хх cos z-\- x2sinz, C.8)
либо же пространство
z), C.9)
где /] и /2 — заранее заданные функции от z. В качестве общего
случая можно рассмотреть пространство функций
Х=2*гЛB). (З.Ю)
где /j, f2, ..., fn(z) — заданные функции от z. В соотношении
C.10) п можно снова устремить к бесконечности.
Обобщение можно продолжить и рассмотреть пространство всех
функций / (z) вещественной (или комплексной) переменной z, опре-
определенных в некоторой области значений переменной z и удовлетво-
удовлетворяющих некоторым условиям непрерывности, интегрируемости и т. д.
Например, можно рассмотреть пространство всех непрерывных функ-
функций вещественного переменного z в интервале от 0 до 1 или про-
пространство всех функций с интегрируемым квадратом, т. е. функций
/ (z), для которых
сходится.
Задача. Покажите, что функции с интегрируемым квадратом обра-
образуют линейное векторное пространство.
§ 2. Линейная зависимость; размерность
Линейная комбинация векторов Х[, х2 хя — это вектор
х вида
- • • • Ч-а«*я. (З.П)
где щ, ..., ап — комплексные числа.
Говорят, что векторы хь х2, ..., хп линейно зависимы, если
нулевой вектор можно представить в виде линейной комбинации
94 Глава 3. Представления групп
х1 х„ (тривиальный случай с^ —а2 — ... =а„ —0 исклю-
исключается)
-f ••¦ +аяхл = О. C.12)
Если уравнение C.12) не имеет нетривиальных решений, мы говорим,
что векторы Xi, x2 х„ линейно независимы.
Теперь мы хотим построить системы линейно независимых век-
векторов в нашем пространстве. Прежде всего мы попытаемся сделать
это с помощью одного вектора х. Если
для всех векторов пространства, то х = 0, и мы получаем нулевое
пространство, состоящее из одного только нулевого вектора. Если же
пространство содержит вектор хг Ф О, мы пытаемся найти второй
вектор х2 такой, что
а1х1 + «2Х2 = О
только в том случае, если
Продолжая эту процедуру, мы приходим к определению размер-
размерности пространства Ln. В п-мерном векторном пространстве Ln
можно найти п векторов щ, щ пп, которые будут линейно
независимы, в то время как п-\- 1 вектор в этом же пространстве
всегда линейно зависим.
На плоскости два коллинеарных вектора линейно зависимы.
Если же два вектора неколлинеарны, они линейно независимы.
Но любые три вектора на плоскости линейно зависимы, поэтому
плоскость является двумерным векторным пространством.
Пространство всех матриц п X п имеет размерность я2. Чтобы
показать это, рассмотрим матрицу е(^*\ все элементы которой равны
нулю, за исключением элемента (jk). Этот элемент положим равным
произвольному, отличному от нуля, числу а^*'. Заставляя J и k
пробегать значения от 1 до я, мы получаем набор, состоящий из п2
линейно независимых матриц. В то же время набор, состоящий из
любого большего числа матриц, будет линейно зависимым.
Пространство многочленов, задаваемых соотношением C.4), дву-
двумерно; например, многочлены 1 и ? линейно независимы, всякие же
три многочлена линейно зависимы. (Мы всегда можем найти нетри-
нетривиальное решение уравнения ак.-\- by -\-yz = Q, так как его можно
представить в виде двух уравнений:
относительно трех неизвестных а, E, у.) Аналогично, пространство,
определяемое соотношением C.5), (п~\- 1)-мерно.
§ 3. Базисные векторы 95
Векторное пространство, задаваемое формулой C.6), бесконечно-
бесконечномерно, так как бесконечный набор многочленов 1, ?, 'Q, • •• линейно
независим.
Задачи. 1. Чему равна размерность векторных пространств, задавае-
задаваемых формулами C.7)—C.10)?
2. Рассмотрите вопрос о размерности пространства функций с инте-
интегрируемым квадратом.
§ 3. Базисные векторы (оси координат); координаты
Говорят, что любые п линейно независимых векторов и^ . . ., и„
в «-мерном пространстве Ln образуют систему базисных векторов,
или базис (систему координат), в Ln.
Если векторы щ, .... ип образуют базис в Ln, то можно дока-
доказать, что всякий вектор х, принадлежащий Ln, можно представить
в виде линейной комбинации векторов и,-.
Уравнение
должно иметь нетривиальное решение (я-f-l вектор в «-мерном про-
пространстве!). В этом уравнении E=^0, так как если бы [5 — 0, мы
получили бы нетривиальное решение уравнения
вопреки предположению о том, что векторы щ образуют базис. Так
как р Ф 0, наше уравнение можно разрешить относительно х
(+ +) + .. +хпип5=х1и1. C.13)
Таким образом, произвольный вектор х можно записать в виде ли-
линейной комбинации базисных векторов щ. Коэффициенты xt в линей-
линейной комбинации C.13) называются координатами вектора х отно-
относительно базиса (или системы координат) Uj, •-., и„.
Матрицы e(-'*), описанные выше, образуют базис в пространстве
матриц п X п. Матрица х с элементами x]k выражается через эти
базисные векторы в виде
так что координатами х относительно этого базиса служат числа
J
Многочлены 1 и ? образуют систему базисных векторов для
двумерного пространства, определяемого соотношением C.4). Вектор х
96 Глава 3. Представления групп
из этого соотношения относительно указанного базиса имеет коорди-
координаты х0, xv
Координатами многочлена х в формуле C.6) относительно базиса,
образуемого линейно независимыми многочленами 1, ?,, ?2 служат
элементы бесконечной последовательности (х0, х1г . ¦.).
Задача. Найдите систему базисных векторов для пространств, задан-
заданных соотношениями C.7) — C.10), и укажите координаты произвольного
вектора относительно найденного базиса.
Следует отчетливо представлять себе, что базисные векторы за-
задаются неоднозначно и на самом деле их можно выбрать бесконеч-
бесконечным числом способов. На плоскости любые два неколлинеарных
вектора образуют базис. В пространстве многочленов вида Xq-^-x^,
кроме базиса A, ?), можно выбрать базис A +?, 1 —0 либо A -\-а^,
1—а?). гДе а ?= 0, либо же вообще (а + р?, Y + °0. если только
и1 = а-т-р? и u2 = Y + °S линейно независимы (аб—fly Ф 0).
Один и тот же вектор х будет иметь различные координаты
относительно различных систем базисных векторов. Сам вектор х
имеет внутренний смысл, в то время как описание его с помощью
координат изменяется при переходе к другим осям координат. На-
Например, многочлен
х =
= ~1^гр7-(а + Р0 4 a6_PY (Y + fiO
имеет относительно трех систем координат, о которых упоминалось
выше, координаты
S — pf «6 —Py /
Коль скоро найден один какой-нибудь базис Ui, • • •, ия, мы легко
можем получить все возможные системы базисных векторов. Каждый
вектор выражается в виде линейной комбинации векторов щ, . . ., ил
[см. C.13)]. Например, п векторов и( \х'п можно записать в виде
я
К = S "ipi = "ijUj V = 1 я). C-14)
где при выполнении последнего преобразования нами введено согла-
соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Векторы \x't обра-
образуют базис, если они линейно независимы, что будет в том и только
в том случае, если определитель матрицы коэффициентов а,ц отличен
§ 3. Базисные векторы 97
от нуля. Коэффициенты образуют матрицу а. Новые векторы и^ в ра-
равенстве C.14) образуют базис, если матрица а неособенная (опреде-
(определитель =?0). Все возможные базисы в Ln получаются из некоторого
одного базиса, если матрица а пробегает все множество неособенных
матриц я-го порядка.
Если от базиса, построенного из векторов u[t перейти к базису,
образованному векторами и'., то координаты х1 фиксированного век-
вектора х изменятся и станут равными х'(:
x = xiul = x'ln'l. C.15)
Воспользовавшись равенством C.14), получим
а так как векторы и^ линейно независимы, то
Xj = x'ialJ=^aJix'i, C.16)
где а — матрица, транспонированная по отношению к матрице а, т. е.
ап = аИ. C.17)
Если векторы u(- (и'Л и совокупность координат xi (xfy рассматривать
как матрицы с п строками и одним столбцом, соотношения C.14) и
C.16) можно записать в матричной форме:
u' = au, C.14а)
х = ах'. C.16а)
Матрица, транспонированная по отношению к произведению матриц,
задается формулой
ab = ba, C.18)
т. е. оказывается равной произведению транспонированных матриц,
взятых в обратном порядке. Матрицей, транспонированной по отно-
отношению к матрице х, состоящей из одного столбца, является матрица х,
имеющая одну строку и п столбцов:
Х23(*1 Хп).
В этих обозначениях C.15) можно переписать в виде
x = xu = xV. C.15а)
Из соотношения C.16а) получаем
х' = а-1х. C.166)
Глава 3. Представления групп
Правильность формулы C.15) можно легко проверить:
откуда
х' —ха,
x'u' = xa~1au = xu.
Задачи. 1. Докажите, что многочлены
f'n = e~l IF$"eS л = 0, 1, 2, ... C.19)
образуют базис в векторном пространстве всех многочленов [формула
C.6)]. Найдите коэффициенты разложения многочленов f'n по базисным
функциям /„ = ?".
2. То же проделайте для многочленов
f'n = 4гп Ш — 1)л]. C.20)
§ 4. Отображения; линейные операторы;
матричные представления; эквивалентность
Отображение векторного пространства L на себя можно опреде-
определить так же, как в гл. 1. Отображение Т каждому вектору х ставит
в соответствие некоторый новый вектор у, принадлежащий L,
У = Т\. C.21)
Если отображение Т взаимно однозначно, то существует обратное
отображение Т~ такое, что
х = Г~1у. C.22)
Отображение Т можно рассматривать как оператор, который дей-
действует на векторы х пространства L и преобразует их в векторы у,
также принадлежащие пространству L. Если это отображение взаимно
однозначно, то существует обратный оператор Т~1. Для каждого
вектора х пространства L
т. е.
1=11 3=1, (O.Z6)
где оператор 1 есть тождественный оператор, оставляющий все век-
векторы неизменными.
Говорят, что Т — линейный оператор, если
z, C.24)
C.24а)
§ 4. Отображения; линейные операторы 99
Следует подчеркнуть, что в определении операторов не указы-
указывается никакой системы координат. Поэтому операторы имеют вну-
внутренний смысл.
Если выбрать некоторый конкретный базис аг в пространстве L,
то действие оператора Т в соотношении C.21) можно описать, сказав,
что координаты yt образа являются некоторыми функциями коорди-
координат xt:
У1 = Т,(х1 хя) (/=1 я). C.25)
Если отображение взаимно однозначно, то эти уравнения можно раз-
разрешить относительно xh выразив последние через у,-:
xt = TT1(yl уп) (*=1 п). C.25а)
Необходимое и достаточное условие того, чтобы отображение
было взаимно однозначным, состоит в отличии от нуля якобиана
C-26)
Функции Ti и TJ связывают координаты хь и уь относительно за-
заданного базиса VLt. Если же мы переходим к новому базису \i'r то
связь между новыми координатами х'. и y'L можно установить, поль-
пользуясь формулами C.16а) и C.166):
y'i = Zr/y, = ~auTj(*i О = ~*tFjЫК ~апЛ)- С3-27)
В случае невырожденного линейного оператора Т связь между
координатами x-t и yt выражается проще. Применяя к равенству C.13)
оператор Т, получаем
у = Тх = Т (х,щ) = хгТщ. C.28)
Равенство C.28) показывает, что координаты вектора у относи-
относительно базисных векторов v(- = 74i,- me же, что и координаты век-
вектора х по отношению к базисным векторам щ. Векторы vt являются
линейными комбинациями векторов ut, т. е.
V/==7'u/ = uyr/i, C.29)
где Tji — комплексные числа, образующие матрицу Т. Подставляя
в C.28), находим, что при фиксированном базисе, состоящем из
векторов иг,
l, C.30)
а поскольку векторы и;- линейно независимы, то
yj = TJixi, C.31)
или, в матричных обозначениях,
у = Т*. C.32)
100 Глава 3. Представления групп
Матрица Т в C.32) является матрицей, представляющей ли-
линейный оператор Т относительно базиса и?. Если мы перейдем к но-
новому базису и'г заданному равенством C.14а), то с помощью C.16а)
и C.166) обнаружим, что
у' = а~1у = а~1Тх = а~1Тах'. C.33)
Таким образом, матричное представление линейного оператора Г в но-
новом базисе tt't имеет вид
Т/ = а~1Та. C.34)
По определению, матрица, получаемая из матрицы А трансформа-
трансформацией (неособенной) матрицей S, есть матрица
A^SAS. C.35)
Таким образом, C.34) означает, что Т' получено из Т трансформа-
трансформацией матрицей а.
Отсюда следует, что матричные представления (в различных ба-
базисах) одного и того же фиксированного линейного оператора Т по-
получаются друг из друга трансформацией некоторой матрицей. Ма-
Матрицы, связанные друг с другом таким соотношением, называются
эквивалентными. Поэтому матричные представления линейного опе-
оператора Т относительно различных базисов являются эквивалентными
матрицами.
Можно также рассматривать взаимно однозначные отображения
одного пространства L на другое пространство V'. (Очевидно, что
если отображение взаимно однозначно, то эти два пространства имеют
одинаковую размерность.) При таких отображениях оператор 5 дей-
действует на векторы х пространства L и преобразует их в векторы х'
пространства U:
х' = 5х, x = 5"V.
Если линейный оператор Т определен в пространстве L, то отобра-
отображение 5 индуцирует в L' линейный оператор Т':
T' = STS~\ C.36)
Оператор 7" вполне определен: 5 переводит векторы х' простран-
пространства U в векторы х пространства L, Т преобразует векторы х, при-
принадлежащие L, в векторы у, принадлежащие L, и, наконец, 5 пере-
переводит векторы у пространства L в векторы у' пространства L'. Таким
образом, Т' переводит векторы х', принадлежащие Z/, в векторы у'
из того же L'. Оператор 7" получается из Г трансформацией с по-
помощью оператора 5.
§ 5. Представления групп 101
Задачи. 1. Покажите, что в пространстве многочленов C.5) rf/rf? есть
линейный оператор. Выберите базис и укажите матрицу, представляющую
этот оператор по отношению к выбранному базису. Имеет ли эта матрица
обратную?
2. Рассмотрите соответствующую задачу для оператора rf/rf? в про-
пространстве C.6).
3. Преобразование Фурье функции f (х) есть функция
+ СО +СО
g{k) = Bn)-V2 J f(x)e-ikx dx; /(*) = Bя)~1/2 J g(k)eikxdk. C.37)
— CO —00
Покажите, что оператор A/0 (д/дх), действующий в пространстве функ-
функций / (х), индуцирует в пространстве функций g (k) оператор умножения
на k.
§ б. Представления групп
Совокупность операторов А, В, . .. в векторном пространстве L
образует группу, если эти операторы удовлетворяют аксиомам, изло-
изложенным в гл. 1. В этом случае под произведением операторов А
и В понимают такой оператор С, что
С\ = А(В\) для всех х из L. C.38)
Единичным элементом группы служит тождественный оператор, оста-
оставляющий все векторы в L без изменений. Все операторы группы
имеют обратные.
Если мы, пользуясь оператором S, отобразим пространство L на
другое пространство V', мы получим изоморфную группу операторов,
которые действуют в пространстве L' и получаются из операторов
А, В, ... трансформацией с помощью оператора S:
A' = SAS'\ Bf = SBS~1 C.39)
Если произвольную группу О отобразить гомоморфно в группу
операторов D (О), действующих в векторном пространстве L, мы
скажем, что группа операторов D@) есть представление группы О
в пространстве представления L. Если размерность пространства L
равна п, говорят, что размерность представления равна п (или же
что представление п-мерно). Оператор, соответствующий элементу R
группы О, обозначим через D(R). Если R и 5 — элементы группы О,
то
= D(R)D(S), C.40)
C.40a)
?>(?)=!. C.406)
102 Глава 3. Представления групп
Линейное представление — это представление линейными опе-
операторами. За редким исключением, мы будем ограничиваться рас-
рассмотрением только таких линейных представлений. (Предполагается,
что все представления, которые будут встречаться, линейны, если
только противоположное особо не оговорено.)
Если в л-мерном пространстве L выбрать базис, то линейные
операторы представления можно описывать с помощью представляю-
представляющих их матриц. В этом случае мы получим гомоморфное отображение
группы О в группу л X я матриц D(O), т. е. матричное предста-
представление группы О. Из C.40), C.40а) и C.406) мы видим, что эти
матрицы невырождены и что
при t = J]
при t + j\ (*.У=1 п); C.41)
lj^iDlk{R)Dkj{S)^Dik{R)Dkj{S). C.41а)
k
Если рассматривается несколько различных представлений, мы будем
отличать их с помощью верхних индексов: D'j1) (R). Другое обозна-
чение имеет вид | .; | . Размерность jx-ro представления обозначим r|u
или [ц].
Если гомоморфное отображение группы О в D (О) приводит к изо-
изоморфизму, говорят, что такое представление „точно"; в этом случае
порядок группы матриц D (О) равен порядку g группы О. В общем
случае в группе О существует несколько элементов, которые отобра-
отображаются в единичную матрицу D(E)= 1. Как мы уже видели в гл. 1,
совокупность §С элементов группы О, отображающихся в 1, обра-
образует в О инвариантную подгруппу. Группа матриц D (R) образует
точное представление фактор-группы О\Ш. Отсюда следует, что
если найдено представление для фактор-группы по некоторой
инвариантной подгруппе, то мы автоматически получаем представле-
представление и для всей группы О. В этом представлении все элементы, при-
принадлежащие одному смежному классу группы О по е№, отобра-
отображаются в одну и ту же матрицу.
§ 6. Эквивалентные представления; характеры
Если мы изменим базис в л-мерном пространстве L, то матрицы
D(R) заменятся матрицами, которые получатся из D(R) трансфор-
трансформацией некоторой матрицей С [см. C.34)]. Матрицы
D' {R) = CD(R)C^ C.42)
также задают представление группы О, которое эквивалентно пред-
представлению D(R).' Из наших предыдущих рассуждений ясно, что экви-
§ 6. Эквивалентные представления; характеры 103
валентные представления имеют одинаковую структуру, несмотря на
то что матрицы выглядят по-разному.
Мы хотим найти величины, которые характеризуют внутренние
свойства D(R), т. е. остаются инвариантными при изменении системы
координат. Один такой инвариант найти легко, так как, взяв сумму
диагональных элементов матрицы, мы получим
2 (cd (Я) с-% = 2 clkDkl (я) сп1 = 2 а*А/ (Я) - 2 я** (Я).
i Ш ft/ ft
C.43)
Поэтому сумма диагональных элементов, или след, матрицы D (R)
инвариантна относительно преобразования осей координат. Если мы
рассматриваем представления групп, то след 2 &и (Ю называется
характером элемента R в представлении D и обозначается
^iDii(R). C.44)
Мы видим, что эквивалентные представления имеют один и тот же
набор характеров. Чтобы как-то выделить то или иное представле-
представление, мы будем пользоваться верхними значками. Таким образом,
Х^'(Я) (или [ц.; R]) означает характер R в представлении ц.
Если рассмотреть два сопряженных элемента S и R группы
Q (S^URU'1), то
= D (U) D (R)
Так как D(U)—допустимое преобразование координатных осей
в нашем пространстве, мы видим, что
или
Иначе говоря, характеры сопряженных элементов в группе Q всегда
одинаковы. Следовательно, если мы описываем группу, >перечисляя
характеры ее элементов в некотором данном представлении, то всем
элементам, принадлежащим одному данному классу, приписывается
одно и то же число (характер). Если для классов в группе О ввести
обозначения К\, /С2, • . • и т. д., то представление можно будет oni-
сать с помощью набора характеров %ъ ..., xv. гДе v — число клас-
классов в группе О. Далее, если имеется несколько различных пред-
представлений, то характеры таких представлений мы будем различать по
верхнему значку; например, %^ есть характер класса К\ в предста-
представлении |j,. Таким образом, каждое представление дает нам набор из v
чисел, которые можно рассматривать как вектор в v-мерном про-
пространстве, а именно: вектор хй с компонентами xjf. • • •. ХЙ.
104 Глава 3. Представления групп
§ 7. Построение представлений. Сложение представлений
Прежде чем приступать к дальнейшему последовательному раз-
развитию теории, взглянем на рассматриваемую задачу с несколько иной
точки зрения. Теория в том виде, как она излагалась до сих пор,
следует с необходимостью, если исходить из теории абстрактных
групп. В физических же задачах мы отправляемся не от абстрактной
группы, а от группы преобразований конфигурационного простран-
пространства некоторой физической системы. Например, группы симметрии,
о которых шла речь в предыдущей главе, были группами преобразо-
преобразований в трехмерном пространстве. Элементы такой группы сами
образуют представление этой группы в трехмерном пространстве.
Например, операцией С (9) служило преобразование
х'х = хх cos 0 — х2 sin 9,
2cos9, C.45)
хз — хз-
Операцией / было преобразование
х[ — — xv х'2 = — х2, x'z = — х3. C.46)
Одна из наших задач состоит в том, чтобы научиться строить
представления произвольно взятой группы. Другая — в том, чтобы
понять, какая связь существует между теорией представлений и физи-
физикой. Предположим, что нам задана некоторая группа О преобразо-
преобразований (например, группы симметрии, которые мы рассматривали
в предыдущей главе) или какое-то представление, вроде тех, что
были рассмотрены ранее в этой главе. Имея преобразование Т, при-
принадлежащее группе преобразований Q [или группе преобразований,
образующих матричное представление D (О)], новые представления
можно строить следующим образом. Преобразование Т переводит х
в *':
х' = Тх.
Сопоставим преобразованию Г линейный оператор От, действующий
на функции ф(х)- Если задана произвольная функция ф(х), то дей-
действие оператора От на ф состоит в том, что эта функция преобра-
преобразуется в функцию
такую, что
если х' = Тх. C.47)
Иначе говоря, преобразованная функция ф'^Огф принимает в точке х',
являющейся образом точки х, такое же значение, какое исходная
функция ф принимала в точке х. То же можно сказать и так: точка Р
§ 7. Построение представлений 105
(с координатами х) при преобразовании Т переходит в точку Р' (с коор-
координатами х'), перенося вместе с собой то численное значение, кото-
которое функция ф имела в точке Р. Например, если Т есть преобразо-
преобразование х' = х-\-а (одно измерение!), то ф'(х) получается из ty(x),
если сдвинуть график функции ф (х) на а единиц вправо; таким
образом,
ф'(*) = Ф(*—*)•
Соотношение C.47) можно переписать в виде
C.48)
или
От$(х) = ур(Т~1х). C.48а)
Если после преобразования Т мы проделаем преобразование 5
такое, что
x" = Sx',
то оператор Os, соответствующий этому преобразованию, определяется
так же, как оператор От в C.48); действуя на любую функцию ср,
этот оператор переводит ее в новую функцию Oscp такую, что
Если ф есть функция ф', определенная в C.47), то
C.49)
OsOTty (STx) =
С другой стороны,
и мы можем определить оператор OST как такой оператор, для
которого
О") C.50)
Сравнивая с C.49), мы видим, что
OST = OSOT, C.51)
откуда следует, что операторы удовлетворяют тем же соотношениям,
что и элементы группы. Каждому элементу 5 соответствует опера-
оператор Os, действующий на функции ф. Элементу 5~! соответствует
оператор
1. C.51а)
Если мы можем найти некоторое представление для операторов, то
тем самым мы автоматически получаем представление группы О.
106 Глава 3. Представления групп
Чтобы посмотреть, как этот метод действует в простом случае,
рассмотрим группу симметрии Gt с двумя элементами Е и /; Е —-то-
—-тождественное преобразование х' — Ех — х, /—инверсия х' — 1х ——х
(все в трехмерном пространстве!). Выберем какую-нибудь функ*
цию ф(х). Из C.48) видим, что
ф (х) = О?ф (Ех) = О?ф (х),
0ф(*) ( }
т. е. ОЕ — тождественный оператор. Аналогично
ф(*) = О/ф(/*) = О/1|)(—*). C.53)
или
О;ф (х) = ф (— х), C.53а)
откуда следует, что оператор / меняет знак у аргумента х в функ-
функции ф. Равенства C.52), C.53) и C.53а) означают, что функции
О?ф( + х), О;ф( + х) выражаются в виде линейных комбинаций функ-
функций ф(х) и ф(— х):
О?ф (— *) = 0 • ф (х) + ф (- х);
C.54)
ф(— х),
О/ф (— х) = ф (х) + 0 • г]) (— х).
Если ввести обозначения
то равенства C.54) запишутся в виде
Операторы ОЕ и О7 преобразуют функции /г в те же самые функ-
функции ft; можно записать, что
2
f) f . Х^ f pi t п\ а 1 о\ сх кк\
RJ I jLl J 1*-^ Н\*^) \ь ^ 1, L)i \О .ОО)
откуда, сравнивая C.55) с C.54а), мы видим, что
01 ГО 11
0J. C-56)
Легко проверить, что матрицы C.56) образуют двумерное предста-
представление группы:
0 П ГО 11 Г1
§ 7. Построение представлений 10?
Предположим, что в качестве ф(х) выбрана четная функция
ф(х) = ф(—х).
В этом случае мы получили бы только два соотношения
О?ф = ф, О7ф = ф,
т. е. оба оператора переводят четную функцию ф в функцию, отли-
отличающуюся от нее лишь множителем (который к тому же равен 1).
Поэтому имеется только одна базисная функция / — ф, и наше пред-
представление одномерно:
DA)(?) = (l), DA)(/) = (l), C.57)
где A) есть матрица 1X1. единственный элемент которой равен
единице.
Если бы в качестве ф была выбрана нечетная функция
ф(*) = —ф(—*).
мы точно так же получили бы лишь два соотношения:
О?ф = ф, О7ф = — ф.
Здесь снова оба рассматриваемых оператора преобразуют функцию ф
в функцию, отличающуюся от нее только численным множителем,
поэтому имеется только одна базисная функция / = ф и наше пред-
представление вновь одномерно:
DB)(?) = (l), DB) (/) = (— 1). C.58)
Предположим теперь, что в качестве исходных выбраны две функ-
функции: четная функция f1 и нечетная функция /2. В этом случае
0,/, = /,. otfa = -u C-59)
Можно принять явно извращенную точку зрения и считать, что
функции /j и /2 преобразуются в линейные комбинации функций /(
и /2. В этом случае мы сказали бы, что получено двумерное пред-
представление:
C)[ ] C) [ °] C.60)
Сравнивая с двумя предыдущими случаями, мы видим, что на самом
деле каждая из функций /, и /2 в отдельности переходит в функции
вида аД и a/2 (a—численный множитель) соответственно. До сих
пор мы лишь рассматривали совместно две функции fx и /2, каждая
108
Глава 3. Представления групп
из которых преобразуется в функцию, отличающуюся от исходной
лишь численным множителем. Матрицы D можно записать в виде
0
О
DC>@ =
О
D
0 1
m • C-
2)(/)J
Чтобы рассмотреть крайние случаи, предположим, что мы выбрали
три четные функции ф], ф2> Фз> которые линейно независимы (на-
(например, х2, у2, z2). В этом случае мы получили бы трехмерное
представление D такое, что
C.62)
Точно так же, если бы мы выбрали в качестве ф2 четную функцию,
а в качестве ^ и ф3— нечетные функции, мы получили бы пред-
представление
1
0
0
0
1
0
0
0
1
= D(/) =
Jj
0
0
0
D(l)
0
0
0
L
=
— 1
С
1
0
_0
0
) 1
0
1
0
0
0
1
0
0
0 0—1
0
0
2)(
0
О
о
о
о
о
о
о
DB)(E)_
О
о
Z C.63)
Чтобы рассмотреть последний пример, обратимся снова к C.56).
Если бы мы выбрали за исходные линейно независимые функции ф
и ф (ни одна из которых не является только четной или только не-
нечетной), мы бы получили набор из четырех функций:
и, таким образом, нашли четырехмерное представление D':
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1_
D'(/) =
0
1
0
_0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0_
C.64)
Процесс, которым мы пользовались в этих трех примерах, носит
название сложения представлений. В каждом из рассмотренных слу-
случаев матрицы состоят из матриц меньшего порядка, расположенных
§ 7. Построение представлений 109
вдоль главной диагонали и окаймленных нулями, причем разбиение
большой матрицы на меньшие имеет одинаковый вид для всех ма-
матриц В общем случае, если имеется один набор функций /lt ...,/„
таких, что
ORf, = S f}D()\ (Я) (/ = 1 п) C.65)
(этим определяется представление DAJ(О)), и второй набор функций
/л+1» > fn+m> не являющихся линейными комбинациями функций
/i, ...,/„ и таких, что
д+т
Ол/,= 2 /Д2](Я) (/ = «+1 я + да). C.65а)
то C 65) и C 65а) можно рассматривать как линейные преобразова-
преобразования в объединенном наборе, состоящем из (п-\-'т) функций. Соот-
Соотношение C 65), записанное как преобразование совокупности всех
функций при (= 1, выглядело бы так:
Используя в качестве базиса полный набор функций, мы получили бы
представление D (R) размерности (п~\-т) такое, что
п т
столбцов
откуда
В соответствии с такой терминологией C.61) означает
C 62) означает
а C 63) означает
D = DB) + DA) + DB) = DA) + 2D<2).
Очевидно, что перестановка слагаемых в суммах представлений до-
допустима, так как она сводится к перенумерации базисных функций.
110 Глава 3. Представления групп
Теперь должен быть ясен и общий метод построения представле-
представлений. Мы начинаем с того, что выбираем произвольную систему ли-
линейно независимых функций и к каждой из этих функций применяем
все операторы OR, соответствующие элементам R группы преобра-
преобразований О. В результате мы получаем набор функций, которые (хотя
они и могут быть линейно зависимыми) можно линейно выразить
через п из них: ф,, \|J, ¦¦-, фя. Если теперь применить к таким
функциям какой угодно оператор OR, то получающуюся при этом
функцию можно представить в виде линейной комбинации тех же
самых п функций:
В этом представлении элементу R группы преобразований соответ-
соответствует матрица D(R). Нужно еще показать, что мы получили именно
гомоморфизм О в D(G). Из C.51) и C.66) имеем
п
n
Ryv = os 2
r=i Ln-i
Ho
2
Ц, 0 = 1
= 2 4>o I 2 D0ll {S) D^ (Л) 1 . C.67)
2
0=1
откуда
или
§ 8. Инвариантность функций и операторов.
Классификация собственных функций
Изучим теперь более подробно операторы 0R, которые были
введены нами ранее. Оператор 0R, будучи примененным к функ-
функции ф(х), переводит ее в функцию, названную нами Одт|>, такую, что
0Rty(x') = ty(x), если x' — Rx, C.47)
т. е.
Одф (Rx) — 1|з (х) для всех х,
или
Ax) для всех х. C.68)
§ 8. Инвариантность функций и операторов 111
Последняя форма записи наиболее полезна: OR, действуя на ф, при-
приводит к замене х на R~ х. Может представиться случай, когда Одф
совпадает с ф, т. е.
Одф(х) = ф(х), C.69)
так что
ф(х)==ф(/Г'х), или ф(Ях) = ф(->0, C.69а)
и функция ф в точке Rx, являющейся образом точки х при преоб-
преобразовании R, принимает то же значение, что и в точке х. В этом
случае мы говорим, что функция ф инвариантна относительно опе-
оператора OR или, более кратко, относительно преобразования R. На-
Например, функция ф(х) = х*-f- у1 инвариантна относительно инверсии;
функция гр == jc2 —|— у*2 инвариантна относительно вращений. Чтобы
проверить, инвариантна ли некоторая функция, мы заменяем аргу-
аргументы х на их образы Rx и смотрим, получается ли при этом снова
то же выражение.
Мы уже отмечали, что операторы OR линейны:
OR [ф (х) + Ф (х)] = Одф (х) + ОдФ (х). C.70)
Из C.68) очевидно, что
Од[ф(х) • ф(х)] = ORq(x) ¦ Одф(х). C.71)
Если имеется оператор Н (х), который, действуя на функцию ф(х),
преобразует ее в функцию
то
Ой [Я (х) ф (хI = Ойф (х) = ф (/Г1*) = Я (/Г1*) ф (/Г'х),
ORH(x) OR]OfAi(x) = Н(R-'x) О/?ф(х) = Н'(х) О/?ф(х),
где
или
Преобразованный оператор Н' в точке Rx оказывает то же дей-
действие, что и оператор Н в точке х. В общем случае операторы Н
и Н' в наперед заданной точке х не совпадают. Если же
так что
Н (Rx) = Я (х)
-H(x)
C.73)
112 . Глава 3. Представления групп
то говорят, что оператор Н (х) инвариантен относительно преоб-
преобразования R [оператор Н (х) коммутирует с оператором OR\.
Задачи. 1. Покажите, что оператор д дх\-\-д 1дх\ инвариантен от-
относительно преобразований C.45) и C.46).
2. Оператор преобразования Фурье F определяется следующим об-
образом:
+ ОО
Г
*ф (х).
Покажите, что F— линейный оператор. Покажите, что оператор
Н (х) = V2 + х2
коммутирует с F.
Теперь мы уже в состоянии рассмотреть вопрос о связи того,
что мы делаем, с физикой.
Рассмотрим собственные функции задачи
Яф„ = еф„. C.74)
Пусть данному собственному значению е отвечает п линейно незави-
независимых собственных функций i|)v. Если гамильтониан Н инвариантен
относительно преобразования симметрии R, то, применяя к C.74)
оператор OR, мы получим
OR [Н%] = ORHO-/O^V = Н [ОЛ] = ?ОЛ C.75)
и Одфу есть собственная функция, принадлежащая тому же самому
собственному значению е. Но тогда ORtyv можно представить в виде
линейной комбинации
О*Фу= 2ФЛу(Л). C.76)
Выполняя эту процедуру для всех операторов из группы симметрии
гамильтониана, мы получаем л-мерное представление D^V{R). Если
5 — другое преобразование, принадлежащее той же группе сим-
симметрии, то
2
ц-1
os (одчд = os
2
= 2 ^ ID (S) D (R)]kv = 2 №* (.SR), C.77)
§ 9. Унитарные пространства 113
откуда следует, что преобразованию симметрии SR соответствует
матрица
Собственные функции каждого вырожденного уровня образуют
базис некоторого представления группы симметрии. Если мы сможем
найти какой-либо способ охарактеризовать возможные представления
группы симметрии, то мы сможем классифицировать и собственные
функции.
§ 9. Унитарные пространства;
скалярное произведение; унитарные матрицы;
эрмитовы матрицы
В квантовых теориях мы сопоставляем парам векторов („векторам
состояний") некоторые численные величины. Чтобы привести теорию
представлений в более тесное соприкосновение с физикой, определим
метрику в л-мерном пространстве L. Для этого каждой паре векто-
векторов х и у пространства L мы сопоставляем комплексное число (х, у).
Комплексное число (х, у) называется скалярным произведением х
и у. Требуется, чтобы оно удовлетворяло следующим условиям:
(х, у) = (у, х)* C.78)
[где * означает переход к комплексно сопряженному числу],
(х, ау) = а (х, у), C.78а)
(х, + х2, у) = (х„ у) + (х2. у), C.786)
(х, х)>0 C.78в)
и (хх) = 0 только в том случае, если х = 0. [Полагая у = х в C.78),
можно показать, что (х, х) вещественно, поэтому C.78в) имеет
смысл.] Величина (х, х) есть квадрат длины вектора х. Простран-
Пространство L, в котором определено скалярное произведение, называется
унитарным пространством.
Скалярное произведение (х, у) есть функция, определенная для
любой пары векторов х, у пространства L и принимающая комплекс-
комплексные значения. Вводя определение скалярного произведения, мы не
упоминали ни о каком базисе в L. Поэтому скалярное произведение
(х, у) является внутренним свойством векторов х и у, не зависящим
от базиса.
114 Глава 3. Представления групп
Задачи. 1. Докажите неравенство Шварца
1(х, у)|2<(х, х)(у, у), C.79)
где знак равенства ставится только в том случае, если х и у линейно
зависимы. Что означает неравенство C.79) в случае обычных геометри-
геометрических векторов в трехмерном пространстве?
2. Определим в пространстве функций с интегрируемым квадратом
скалярное произведение функций / и g в виде
(/, g) = J
g (г). C.80)
Покажите, что скалярное произведение C.80) конечно для всех функ-
функций /Kg этого пространства.
Любую функцию, удовлетворяющую условиям C.78)—C.78в),
можно использовать, чтобы определить в пространстве L скалярное
произведение. Различные определения скалярного произведения
в одном и том же пространстве L порождают различные унитарные
пространства.
Векторы в унитарном пространстве можно нормировать (при-
(приводить к единичной длине), умножая их на некоторое комплексное
число; для любого х, если
х'= * х, то (х'. хО=1. C.81)
У (х, х)
Один из способов задания скалярного произведения (х, у) со-
состоит в том, чтобы записать его в виде функции координат хг и yt
векторов х и у по отношению к некоторому базису. Если базис-
базисными векторами являются векторы иг, то скалярное произведение
определяется заданием чисел
mv = A1,, иу). C.82)
Из C.78) мы видим, что
т{. = т)г C.83)
Числа т,ц, определяемые соотношением C.82), образуют матрицу
m — метрическую матрицу. Согласно C.83), имеем
m^m1-, C.83а)
= m'Jt. C.84)
Матрица т* называется сопряженной с матрицей m (или „эрмитово
сопряженной", или „транспонированной комплексно сопряженной").
Из C.84) мы видим, что
(АВ)+ = В+А+г C.85)
§ 9. Унитарные пространства 115
Матрица А, совпадающая со своей сопряженной матрицей, называется
самосопряженной или эрмитовой. В соответствии с C.83а) метри-
метрическая матрица m должна быть эрмитовой.
Разложим векторы х и у по базису uit пользуясь соотношениями
C.13), C.78), C.78а), C.786) и C.82):
(х, y) = (^u/f y-aj) = x*yjmi] = x+my, C.86)
где х и у — матрицы, состоящие из одного столбца, и х+ — матрица,
сопряженная с х. Величина х+ту, где т — эрмитова матрица, на-
называется эрмитовой квадратичной формой. Условие C.78в) тре-
требует, чтобы (при у = х)
х+тх>0. C.87)
Квадратичные формы, удовлетворяющие такому условию, называются
положительно определенными. Таким образом, скалярное произ-
произведение должно быть положительно определенной эрмитовой квад-
квадратичной формой относительно координат xt и yt. Говорят, что
матрица m такой формы есть также положительно определенная
эрмитова матрица.
Два вектора х и у в унитарном пространстве ортогональны
(или перпендикулярны), если
(х, у) = 0. C.88)
Если имеется некоторый базис v; в унитарном пространстве L, мы
всегда можем (образуя линейные комбинации векторов vt) построить
новую систему базисных векторов и;, из которых все имеют еди-
единичную длину и взаимно перпендикулярны, т. е.
(ut.Uj) = 6tJ. C.89)
Базисные векторы vit образуют ортонормированный базис.
Задача. Постройте в двумерном пространстве с базисными векто-
векторами V! и v2 линейные комбинации Uj и щ, образующие ортонормиро-
ванный базис.
Если базис ортонормирован, метрическая матрица C.82) сводится
просто к единичной матрице, и скалярное произведение (х, у) в C.86)
принимает простой вид
(х, у)= 2х>, = х+у, C.90)
причем
(х, х)= 2|*il2. C.91)
116 Глава 3. Представления групп
Если мы, пользуясь формулой C.14), перейдем от одного орто-
ортонормированного базиса и, к другому базису \i't, то новый базис и'{
будет также ортонормированным, если
C.92)
т. е. если
аа+=1 = а+а, а+^а. C.93)
так как преобразование а имеет обратное преобразование а.
Говорят, что матрица А унитарна, если
А+ = А. C.94)
Таким образом, преобразование от одного ортонормированного ба-
базиса к другому совершается с помощью унитарной матрицы.
Задача. Докажите, что строки (столбцы) унитарной матрицы орто-
нормированы.
§ 10. Операторы: сопряженный, самосопряженный, унитарный
Оператор Г+, сопряженный с линейным оператором Г, опре-
определяется с помощью соотношения
(Тх, у) = (х, Г1 у) для всех х, у. C.95)
Воспользовавшись C.31) и C.90), найдем, что в ортонормированном
базисе
(Гх, у) = т])х)у1 )f)
(х, T+y) = x]T+jt
и, поскольку Xj и У! произвольны, из C.95) следует
(r% = fj/, или Т+ = ?*. C.96)
т. е. матрица, представляющая сопряженный оператор Г+ в ортонор-
ортонормированном базисе, является комплексно сопряженной транспониро-
транспонированной по отношению к матрице, представляющей оператор Т.
Задача. Докажите, что матрица, представляющая сопряженный опе-
оператор Г*" относительно базиса с метрической матрицей т, равна т~1Тт.
§ 11. Унитарные представления 117
Оператор является самосопряженным, или эрмитовым, если он
совпадает со своим сопряженным
(Гх, У) = (х, Ту) для всех х, у.
или
Tf = T. C.97)
В ортонормированной системе координат эрмитов оператор пред-
представляется эрмитовой матрицей.
Оператор U называется унитарным оператором, если
(Ux, Uy) = (x, у) для всех х, у, C.98)
т. е. если скалярное произведение образов векторов x'—Ux и
у' = Uy такое же, как и скалярное произведение х и у для всех
векторов х и у. Оператор U относительно ортонормированного ба-
базиса представляется унитарной матрицей
U+U = UUf=l. C.99)
§ 11. Унитарные представления
Если операторы представления группы Q унитарны (или если
матрицы представления—унитарные матрицы), представление назы-
называется унитарным представлением.
В § 6 настоящей главы мы видели, что существует бесконечно
много представлений группы О, эквивалентных любому заданному
представлению D (О). Поскольку унитарные матрицы обладают осо-
особенно полезными свойствами (см., например, задачу в конце § 9
настоящей главы), представляется важным выяснить, эквивалентно ли
данное представление D (О) некоторому унитарному представлению.
В общем случае это неверно. Но можно доказать, что для конеч-
конечных групп О всякое представление эквивалентно унитарному
представлению.
Для произвольной пары векторов х, у можно построить выра-
выражение
{*¦ У} = ^]?(Я(Я)х. D(R)y). C.100)
ЯСС?
Суммирование в C.100) проводится по всем элементам R группы О.
Величина (х, у}, определенная соотношением C.100), удовлетворяет
всем требованиям для скалярного произведения. Кроме того, для
любого элемента «S и О
{D(S)x, D(S)y} = ^^(D(R)D(S)x, D(R)D(S)y) =
Rao
= ^yi(D(RS)x,D(RS)y). C.101)
sczo
118 Глава 3. Представления груПН
Но при фиксированном 5, если R пробегает по всем элементам Q,
эти же значения принимает и RS, поэтому выражения в правых ча-
частях C.100) и C.101) тождественны и
(D(S)x, D(S)y} = {x, у}. C.102)
Иначе говоря, операторы нашего представления унитарны относи-
относительно скалярного произведения {х, у} [но не по отношению к (х, у)].
Рассмотрим далее систему векторов иг, ортонормированных по
отношению к исходному скалярному произведению, и вторую систему
векторов Уг, ортонормированную относительно нового скалярного
произведения:
(UJt VLJ)=.6iJ={vl, Vj]. C.103)
Определим оператор Т, который переводит векторы иг в векторы v?:
v, = Tut. C.104)
Так как
Тх = Tx{at = xiTui — .v^v,,
то
{Тх, Гу}=*;У/ = (х, у). C.105)
Рассмотрим теперь эквивалентное представление, определяемое фор-
формулой
D'(S)=T~1D(S)T, C.106)
и найдем, что
(T~lD(S)Tx, T~1D(S)Ty)={D(S)Tx, D(S)Ty} [из C.105I,
= {Tx, Ту] [из C.102)], C.107)
= (х, у) [снова из C.105)].
Последнее равенство показывает, что определенное в C.106) экви-
эквивалентное представление D'(О) унитарно. Поэтому для конечных
групп всегда можно так выбрать представление, чтобы оно было
унитарным. Для бесконечных групп мы рассмотрим позднее вопрос
о том, какой смысл следует придавать суммированию по всем эле-
элементам группы, которое производится в C.101).
§ 12. Гильбертово пространство
В § 9 настоящей главы мы определили унитарные пространства,
вводя в линейном векторном пространстве скалярное произведение.
После того как это сделано, можно определить расстояние |х—у|
между двумя векторами (точками, функциями) из соотношения
х—у|2 = (х —у, х —у). C.108)
§ 13. Разложение представлений
119
Говорят, что последовательность векторов х„(га=1, 2,
сходится к вектору х из L, если
lim |
в->оо
= 0,
со) в L
C.109)
т. е. если для любого е>0 существует целое число п(г) такое,
что |хт — х|<е для /я>л(е).
Говорят, что последовательность векторов х„ сходится или
является фундаментальной последовательностью, если
Mm |xm — х„|=0. C.110)
т, п ->со
Пространство L называется полным, если всякая фундаменталь-
фундаментальная последовательность сходится к некоторому вектору в L, т. е.
если из C.110) вытекает существование вектора х в L, для кото-
которого выполняется C.109).
Полное унитарное пространство называется гильбертовым
пространством. Унитарные пространства конечной размерности
с необходимостью полны.
При рассмотрении бесконечномерных представлений мы будем
ограничиваться представлениями линейными операторами в гиль-
гильбертовом пространстве. При этом мы налагаем требование, чтобы
эти линейные операторы были непрерывными, т. е. если
|х„ —х|->0.
то C.111)
| Лх„ —Лх|->0.
§ 13. Разложение представлений; приводимость;
неприводимые представления
В § 7 настоящей главы мы обсудили вопрос о сложении пред-
представлений. Теперь же мы хотим рассмотреть обратный процесс. Если
задано некоторое представление D, можно ли описать его с помощью
более „простых" представлений? Грубый критерий простоты состоит
в том, что эти представления должны иметь настолько малую раз-
размерность, насколько это возможно. Например, если все матрицы
трехмерного представления D имеют вид
~at V
! и
C.112)
-0 0 gt_
то их произведения будут иметь такой же вид, а именно:
' а1а2 + bxc2 axb2 + bxd2 \ ахе2 + bj2 -f- exg2
сха2 + dxc2 cxb2 -j- dxd2 j cxe2 -\-dxf2-{- fxg2
0
0
C.112a)
120 Глава 3. Представления групп
Мы видим, что матрицы в левом верхнем углу образуют двумерное
представление:
[а, Ь,~\
' , C.1126)
матрицы же в правом нижнем углу образуют одномерное предста-
представление:
Ш- C.112b)
Когда так происходит, мы говорим, что первоначальное представле-
представление приводимо.
Вид матриц представления может быть не таким простым, как
в C.112), но если можно найти преобразование базиса, которое все
матрицы представления приводит к виду (эквивалентному) C.112),
мы говорим, что такое представление приводимо. В общем случае, если
можно найти некоторый базис, в котором все матрицы D(R) «-мер-
«-мерного представления можно привести одновременно к виду
D(R) =
A(R)
0 1 D<2> (R)
C.113)
где DA> (R) — матрицы m X m, DB> (/?) — матрицы (n — m) X (« — tn),
A (R) — прямоугольная матрица с m строками и (п — m) столбцами,
а 0 означает матрицу, состоящую из (п — т) строк и т столбцов,
у которой все элементы равны 0, мы скажем, что представление D (R)
приводимо. Ясно, что произведение матриц
~D<*> (/?) D<» (S) J D<» (#) A (S) + A (R) D<2> (S)
D (RS)=D (R) D (S) = !
0 I DB) (/?) DB) E)
имеет тот же вид, что и C.113), и поэтому матрицы
образуют m-мерное представление, а матрицы
DB> (RS) — D<2> (R) D<2> (S)
задают (п — т)-мерное представление.
Этот процесс можно продолжить следующим образом. Преобра-
Преобразуем базис в m-мерном пространстве DA) и попытаемся привести
все матрицы D^ (R) к виду, указанному в C.113), т. е.
D^R \ A'(R) 1
0
§ 13 Разложение представлений
121
где матрица D<3) р-мерна, а матрица DD) (m — /?)-мерна, и ту же
процедуру применим и к матрицам DB) (/?) Очевидно, что этот про-
процесс заканчивается, после чего мы получаем все матрицы предста-
представления D в виде
D<2> (Я) ¦
D<3> (R)
0
0
0
0
О
C 114)
где k наборов матриц D(l) (/?) ... D(l) (/?)... D(ft) (/?) образуют не-
неприводимые представления размерностей mlln= 2 тг
Внутренний критерий приводимости можно сформулировать так.
В случае C 112) рассмотрим те векторы, которые принадлежат дву-
двумерному подпространству первых двух компонент Матрица C 112),
примененная к векторам х, у которых х3 = 0, дает вектор
ахг-\-Ьх2 1
= | cx1-\-dx2 .
О J
снова принадлежащий подпространству х3 — 0 Иначе говоря, это дву-
двумерное подпространство инвариантно относительно всех преобразо-
преобразований группы С другой стороны, векторы, у которых ^ = ^2 = 0,
преобразуются в векторы
а
с
0
b
d
0
е
f
g -
' 0 "
0
-х3.
Г ехг '
= Аз
L gx3.
в силу чего (дополнительное) одномерное пространство третьей ком-
компоненты неинвариантно.
122
Глава 3. Представления групп
В случае C.113) подпространство первых т компонент инва-
инвариантно:
'D<»>(/?)| A{R)
0
0
0
в то время как дополнительное (п — т)-мерное подпространство не-
неинвариантно:
¦DM{R)\A(R) 1Г0- Г A(R)(x)
О
Точно так же в случав C.114) mj-мерное подпространство пер-
первых тх компонент инвариантно.
В общем случае, если существует некоторое подпространство
размерности т < п, которое инвариантно относительно всех преобра-
преобразований группы, представление приводимо. В этом подпространстве
можно выбрать т новых базисных функций %,..., <рт и дополнить
эту систему с помощью (п — т) других базисных функций Фт+1 ц>п
так, чтобы получить п базисных функций для всего «-мерного про-
пространства. В таком базисе матрицы представления будут иметь вид
матриц C.112).
Представление неприводимо, если не существует собственного
инвариантного подпространства.
Мы скажем, что представление вполне приводимо, если можно
найти базис, в котором все матрицы представления имеют вид C.113),
но с Л(/?) = 0, т. е.
О
(/?)
О ()]
В этом случае и m-мерное подпространство D^ и (га — т)-мерное
подпространство DB) инвариантны. Иначе говоря, базисные функ-
функции ф1, ...,фт преобразуются между собой, а базисные функции
Фт+ь •••» Фл преобразуются между собой, так что преобразования
группы не связывают между собой эти две системы функций. Про-
Пространство L разлагается в прямую сумму пространств ?A) и Z.B)
а представление D есть сумма представлений DA> и DB>
. C.116)
Этот процесс в точности обратен тому процессу сложения предста-
представлений, которым мы воспользовались в § 7 настоящей главы. Пред-
Представим Себе на минуту, что мы рассматриваем вполне приводимые
представления. В таком случае представления DA) и DB) можно
§ 13 Разложение представлений
123
подвергнуть изучению, чтобы выяснить, не являются ли они в свою
очередь приводимыми. Заметим, что D'1' и D^ можно рассматривать
в отдельности, поскольку соответствующие подпространства можно
рассматривать независимо друг от друга Таким образом, преобразо-
преобразование координат вида
О"
о
m
п — m
действует только в подпространстве представления D' и оставляет
неизменными матрицы DB). Продолжая эту процедуру, мы сможем
в конце концов представить D в виде
О
О ?>B) (/?)
О
О
О
D*{R) _
C 117)
т е
где все D — неприводимые представления. В таком случае мы ска-
скажем, что D разлагается в прямую сумму
Далее, среди неприводимых представлений D ' может быть несколько
представлений, эквивалентных друг другу (разумеется, для этого они
должны иметь одинаковые размерности) Эквивалентные неприводи-
неприводимые представления различными не считаются, и для их обозначения
можно использовать один и тот же символ. Таким образом, некото-
некоторое неприводимое представление D может входить в представле-
представление D несколько раз Символически мы выражаем это обстоятель-
обстоятельство в виде
О = ajD^ + • • • + arDM = 2 a D(v\ C 118)
V V
где av — целые положительные числа
Большей частью мы будем рассматривать вполне приводимые
представления и термин приводимое будем использовать в смысле.
разложимое в прямую сумму представлений.
124 Глава 3. Представления групп
Если матрицы представления унитарны (унитарное представление),
то из приводимости следует полная приводимость: если матрицы D(R)
в C.113) унитарны, то Л(/?) = 0. В § 11 настоящей главы мы пока-
показали, что для конечных групп представления всегда можно выбрать
так, чтобы они были унитарными, поэтому в случае конечных групп
приводимые представления всегда разлагаются в сумму представлений.
§ 14. Леммы Шура
Теперь мы приступаем к общим теоремам. Цель этих теорем
состоит в том, чтобы найти некоторые простые критерии неприво-
неприводимости представления и указать некоторые ограничения, налагаемые
на число неэквивалентных представлений. Мы начнем с того, что
докажем две фундаментальные леммы (леммы Шура).
Предположим, что имеется набор, состоящий из п функций
\pv (v = 1 п), служащих базисом некоторого представления
группы О. Тогда для всех R из О
= 2ФА(Я)- (ЗЛ19)
Если это представление приводимо, то, по определению, мы можем
найти m функций <рг, не обращающихся тождественно в нуль (пг < п),
которые будут линейными комбинациями функций \pv.
Vpl (ЗЛ20>
р
таких, что
0лФ, = 2ф*Я;«(Я) (ЗЛ21)
k
для всех R из О. Пользуясь формулами C.119)—C.121), получаем
%p p apl =
Р о, р
•= S фЛ (/?) = SVo* *>«(*>• (ЗЛ22)
к а, к
Таким образом,
S % Dop (R) apl = 2 %%k D'kl (R). C.123)
Так как ф0 линейно независимы,
или
D(R)A = AD'(R) C.125)
для всех R из О. Таким образом, если D приводимо, мы можем
найти ненулевую матрицу А такую, что равенство C.125) будет
выполняться при всех R из О.
§ 14. Леммы Шура 125
Наоборот, если справедливо C.125), т. е. если существует ма-
матрица А такая, что
D(R)A = AD' (Я),
где D' (R) — совокупность матриц порядка т < п, то
Умножим на ф0 и просуммируем
2 % Dap (R) apl = ^OR (фЛ,) = 2 %aak D'kl (/?).
Таким образом, т функций
т/ ?А тр pi
р
образуют базис представления D', и D приводимо. Если предполо-
предположить, что представление D неприводимо, то единственный способ
избежать противоречия состоит в том, чтобы положить А = 0, т. е.
сделать все элементы А равными нулю. Итак, наш результат можно
сформулировать следующим образом:
Лемма I. Если D и D' — два неприводимых представления
группы О, имеющие различные размерности, то из того, что
матрица А удовлетворяет условию
D (R) А — AD' (R) C.125)
для всех R из G, следует Л = 0.
Рассмотрим далее частный случай, когда п = т. Если выпол-
выполняется C.125), мы повторяем те же самые рассуждения и получаем
2 °R (Фрвр,) = 2 {%%,) D'kl (R), ft = 1 я.
Здесь п функций 2 Фрарг должны быть линейно независимыми, иначе D
р
было бы приводимым. Но это означает, что определитель матрицы А
не равен нулю, и матрица А имеет обратную матрицу. Поэтому
из C.125) следует, что
и эти два представления эквивалентны. Если же D и D' неприво-
димы и неэквивалентны, то единственный способ избежать противо-
126 Глава 3. Представления групп
речия состоит в том, чтобы положить А = 0. Поэтому для этого
частного случая наш результат можно сформулировать так:
Лемма 1а. Если D и D'—неприводимые представления группы О,
имеющие одинаковую размерность, и если матрица А удовлетво-
удовлетворяет условию
D(R)A = AD'(R) C.125)
при всех R из О, то либо О и D' эквивалентны, либо А = 0.
Наконец, рассмотрим какое-нибудь одно неприводимое предста-
представление группы О.
Лемма II. Если матрицы D(R) образуют неприводимое пред-
представление группы О и если
= D(R)A C.126)
для всех R из О, то А == const • 1.
Иначе говоря, если некоторая матрица коммутирует со всеми
матрицами неприводимого представления, то такая матрица должна
быть кратна единичной матрице.
Рассмотрим уравнение
Лх — Хх, C.127)
где х — некоторый вектор в пространстве. Решения этого уравнения
дают собственные значения и собственные векторы матрицы А. Если
х—собственный вектор, принадлежащий собственному значению X,
то, пользуясь C.126), мы найдем, что D(R)x есть также собствен-
собственный вектор, принадлежащий X. Таким образом, подпространство
собственных векторов матрицы А, принадлежащих данному X, инва-
инвариантно относительно всех преобразований группы О. Но это озна-
означало бы, что D приводимо, если только рассматриваемое подпро-
подпространство не есть все пространство или нулевой вектор. Из первой
возможности следует, что А имеет только одно собственное значе-
значение X, т. е. А = Х-\, из второй — что Л = 0.
Эта лемма весьма удобна как критерий неприводимости. Если
задано некоторое представление D, мы пытаемся найти матрицу А
такую, чтобы выполнялось соотношение C.126). Если можно пока-
показать, что А кратна единичной матрице, то D неприводимо.
Задача. Воспользуйтесь леммой II для того, чтобы доказать, что
все неприводимые представления абелевой группы одномерны.
§ 15. Соотношения ортогональности 127
§ 15. Соотношения ортогональности
Теперь мы воспользуемся этими леммами, чтобы доказать наши
общие теоремы. Предположим, что в лемме II нам задано неприво-
неприводимое представление размерности п группы О, порядок которой
равен g. Образуем матрицу
А = %D(S) XD(S-\ C.128)
s
где X—произвольная матрица, а сумма 2 берется по всем эле-
s
ментам группы О. Мы утверждаем, что А удовлетворяет условиям
леммы II, так как
D (R) А = 2 D (R) D (S) XD (S'1) =
s
= 2 D (R) D (S) XD (S~l) D (/Г1) ¦ D (/?)==
C.129)
Заметим теперь, что когда 5 пробегает при фиксированном R все
элементы группы, произведение RS (вспомните групповую таблицу)
также пробегает все элементы группы, и, следовательно,
2 D (RS) XD ({RS} -') = 2fl (S) XD E) C.130)
s s
и
D(R)A — AD(R). C.131)
Но тогда, по лемме, Л —Я- 1. Значение постоянной Я, будет зави-
зависеть от нашего выбора произвольной матрицы X. Выберем матрицу X
так, чтобы все ее элементы были равны нулю, за исключением Xlm— 1.
Константу к обозначим Xlm. Тогда из C.128) получим
SD«E)Dmy(S-1)= hmbij. C-132)
о
или, если представление D унитарно,
?^E)D'ym(S) = X/meiy. C.133)
3
Чтобы вычислить Xlm, положим / = / и просуммируем по I:
IiIin()mi() lm ^1
S i S
= S?>«i(?) = S*mI = «*«!• C-134)
6 S
128 Глава 3. Представления групп
Таким образом,
*.»m = -f*«m C-135)
Д5-1) = ^-6гт6гу> C.136)
или, если D унитарно,
2 Dn(<S) D)m E) = "f 6гт V C-137>
Теперь мы аналогичным образом построим матрицу А, удовле-
удовлетворяющую условиям леммы I. Если заданы любые два неэквивалент-
неэквивалентные неприводимые представления D^ и D'2> группы О (размерности
которых равны «j и п?, то положим
A = '2>DB)(S)XDm(S-1\ C.138)
s
где X — произвольная матрица. Тогда
DB) (/?) А =
). C.139)
Итак, в силу леммы I, Л-=0. Выбирая X так же, как и раньше,
находим
S;() для всех г. у, /, щ; C.140)
s
или, если DA) и D( J унитарны,
2М?% 0. C.141)
2
Равенства C.136) и C.140) [или C.137) и C.141)] означают сле-
следующее. Если мы рассматриваем все неэквивалентные неприводимые
представления группы О, то величины ufj(R) при фиксированных
\i, i, j образуют вектор в ^-мерном пространстве такой, что
У DW(R) DS);(/?-i)= -f ^6и(,ш, C.142)
R Ч
или, если представление унитарно,
У Df (/?) D%(R) = j-6MV bij 6lm. C.143)
§ 15. Соотношения ортогональности 129
Итак, каждое неприводимое представление D^ дает нам а^ век-
векторов D\j(R) (i, y'=l, ..., Пц), ортогональных друг к другу
и к векторам D^n\(R), построенным для всех неэквивалентных пред-
представлений. Поскольку число взаимно ортогональных векторов в ^-мер-
^-мерном пространстве не может превышать g, мы получаем результат,
состоящий в том, что
I>nl<g- C.144)
и
Иначе говоря, число неэквивалентных неприводимых представлений
конечной группы конечно. Пока у нас нет гарантии того, что по-
полученные таким образом взаимно ортогональные век юры заполняют
все ^--мерное пространство, но позднее мы докажем, что дело об-
обстоит именно так, т. е. в C 144) стоит знак равенства.
Исходя из C.142) или C.143), мы можем вывести аналогичные
соотношения ортогональности и для характеров. Если в C.142) по-
положить / = / и j—m, то получим
€^(R)D(^R-1) = f- 6,v6?,- = f <Vve,y. C.145)
Просуммируем теперь по всем / и у:
2x((iWv)(/r') = ?V C.146)
или
если представления унитарны. С этого момента и далее мы ограни-
ограничимся рассмотрением з'нитарных представлений.
Здесь следует быть осторожным. Вспомним, что все этементы,
принадлежащие заданному классу сопряженных элементов в О, имеют
один и тот же характер. Пусть К\ Кь — k классов группы О,
и пусть число элементов в классе К1 равно gt. Тогда для всех
элементов класса Kt характер в [Л-представлении будет один
и тот же:
Таким образом, равенство C.147) принимает вид
SxW-^^V (ЗЛ48)
При заданном ц числа %f]g'l' образуют вектор в А-мерном простран-
пространстве (где k — число классов в О). Векторы, построенные указанным
способом из неэквивалентных неприводимых представлений, ортого-
130 Глава 3. Представления групп
нальни (и ни один из этих векторов не равен нулю). Поэтому
число неэквивалентных неприводимых представлений группы должно
быть меньше или равно числу классов сопряженных элементов
в группе. Позднее мы докажем, что и здесь имеет место равенство.
Задача. Покажите, что элементы, обратные элементам, входящим
в класс Ki, образуют класс К\. Для произвольных неприводимых пред-
представлений выведите уравнение
W-tfV C.148а)
§ 16. Критерии неприводимости. Разложение представлений
Характеры неприводимых представлений обычно называются при-
примитивными характерами или простыми характерами. Рассмот-
Рассмотрим теперь произвольное представление D. Согласно C.118), D можно
выразить через неприводимые представления в виде
где av — целые числа ^0. Вычислим след от правой и левой частей
этого равенства для элемента R, принадлежащего классу /С/ группы О:
Xi-S^f. (ЗЛ49)
V
Характер it приводимого представления D называется составным
характером. Из C.149) мы видим, что составной характер является
линейной комбинацией простых характеров с положительными цело-
целочисленными коэффициентами. Умножив C.149) на f}f>*gt и просум-
просуммировав по /, получим
у *j\\*-) i\j о* --—— т. rt s (У V'M1/ V\*/ ^^ / i П (Г Л ; О*/У
-i-J/./ f-i&t — Z4uvZJ5fJlj f,[ —ZJ "v° uv — ° a'
i v i v
ИЛИ
Таким образом, чтобы найти, сколько раз данное неприводимое пред-
представление входит в D, мы пользуемся соотношением C.150). Заметим,
чтэ если два представления имеют одинаковые совокупности харак-
характеров, они эквивалентны, так как, согласно C.150), коэффициенты а„
одинаковы для обоих представлений.
§ 16. Критерии неприводимости 13!
Если равенство C 149) умножить на комплексно сопряженное
равенство, взятое с коэффициентом g(, и просуммировать по /, то
получим
2 ХД& = 2 а а 2 ?Д W = 2
i ц v <
%vg6
ц, v
15D
В частности, если представление неприводимо, то все коэффициенты а„
равны нулю, за исключением одного, который равен единице; поэтому,
если исходное представление неприводимо, его характеры должны
удовлетворять соотношению
^gAt,\i = g. C 152)
что дает нам очень простой критерий неприводимости.
Крайне полезными средствами при решении вопроса о неприво-
неприводимости представления служит равенство C 151) и его частный слу-
случай—равенство C 152). Если каким-либо образом найдено некоторое
представление группы О, мы вычисляем составной характер %t и вели-
величину
Если эта величина равна единице, то представление неприводимо
Предположим, что
2
Поскольку а^ — целые числа, единственно возможное решение состоит
в том, чтобы ар — аа=\ для двух различных неприводимых пред-
представлений D и D . Аналогично, если
то представление D есть сумма трех различных неприводимых пред-
представлений, каждое из которых встречается ровно один раз На языке
теории характеров мы сказали бы, что составной характер %{ есть
сумма простых характеров:
X| = x<p) + Xlr) + Xit). РФОФХ C.153)
с коэффициентами, равными единице. Если
132 Глава 3. Представления групп
то либо
X/^Xf-т-хГ + Х^ + Х'Л рфафхфц, C.154)
либо
Х, = 2Х*>. C.154а)
Очень полезно также следующее обобщение этих результатов. Если
нам задано два представления D и Д группы О с составными харак-
характерами %i и ф; соответственно, то мы можем прежде всего попытаться
применить к каждому характеру в отдельности соотношение C.151),
чтобы выяснить, сколько различных простых характеров он содержит.
Затем мы могли бы попытаться узнать, имеют ли хг и <р( какие-либо
общие простые характеры. Мы отправляемся от равенств, подобных
равенству C.149):
где а , b — целые положительные числа. Умножим %1 на (p^gJg и
просуммируем по i:
f ъф;=2fl A 2 f W'=2 *v*Av=2 «А (з ¦ 155)
I H,v I \x, v v
[здесь мы воспользовались равенством C.148)]. Если сумма 2av*v
равна нулю, то рассматриваемые два представления не имеют общих
неприводимых компонент. Если
то они имеют ровно одну общую неприводимую компоненту и
в каждое представление эта компонента входит только один раз.
При
2 avbv > 1
число возможных случаев быстро возрастает, но получить полезную
информацию все еще представляется возможным.
Задача. Выведите для произвольных представлений соотношения:
(ЗЛ50а)
24 (ЗЛ51а)
2f *Ф''-2'А. C.155а)
§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра 133
§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра
Теперь мы можем вернуться назад и завершить доказательства
наших теорем. Прежде всего покажем, что в C.144) стоит знак
равенства. Чтобы проделать это, рассмотрим одно специальное пред-
представление группы G —регулярное представление, которым мы вос-
воспользовались в гл. 1 при обсуждении теоремы Кэли. Если элементы
группы мы обозначим 5j Sg, то умножение их слева на неко-
некоторый элемент Sv приводит к перестановке элементов Бг Sg.
Рассматривая 5j, ..., Sg как координаты в ^-мерном пространстве,
мы можем представить элемент 5V с помощью некоторой переста-
перестановки g координат. Так, если SvSi = Sj.(l=^ 1, .... g), то
В этом (регулярном) представлении диагональные элементы всех
матриц равны нулю, за исключением элемента Sv, такого, что
т. е. за исключением единичного элемента Е. Таким образом, в случае
регулярного представления
О при R Ф Е,
при R = E. <
Выражая регулярное представление через неэквивалентные непри-
неприводимые представления, получаем
X, = Se?xi?). C.149)
V
Рассмотрим класс, содержащий единичный элемент. Для этого класса
у. = /j — g, в то время как в v-м неприводимом представлении
x(v> = nv. Таким образом,
Коэффициенты av задаются равенством C.150), в котором вклад
в сумму дает только член с 1=1:
Равенство C.158) означает, что число, показывающее, сколько раз
каждое неприводимое представление содержится в регулярном
представлении, равно размерности представления. Подставляя
в C.157), получаем
? = 2<, C.159)
134 Глава 3. Представления групп
что и доказывает нашу теорему. Подставляя C.158) в C.149), мы
находим
— V. я v(v). ^Г v(v)v(v) /Q 1 cm
V V
Если /=1 (класс, содержащий ?), то %t = g. Во всех же осталь-
остальных классах ^ = 0, откуда
[О при 1Ф\,
Заметим, что процедура, которой мы сейчас пользуемся, является
дополнением к тому, что мы делали ранее при доказательстве соот-
соотношения ортогональности [равенство C.148)]. Тогда при фиксиро-
фиксированном v величины g'l2yi{y] образовывали вектор в fe-мерном простран-
пространстве (k равно числу классов). При различных v(v — 1 г) векторы
были ортогональны, вследствие чего г <^ k. Теперь же равенство
C.161) наводит на мысль о том, что при фиксированном I мы можем
построить векторы /^ в r-мерном пространстве (т. е. для заданного
класса мы выписываем характеры г различных неприводимых пред-
представлений и образуем из них вектор). Равенство C.161) означает,
что ортогональность этих векторов имеет место только в том случае,
когда один из классов состоит из единичного элемента. Если бы
равенство C.161) можно было обобщить на случай любой пары
классов, мы смогли бы заключить, что k^r, и этот вывод вместе
с нашим предыдущим результатом о том, что r^.k, и доказывал бы,
что г = к, т. е. что число неэквивалентных неприводимых предста-
представлений равно числу классов в группе. Приведем теперь план доказа-
доказательства.
Исходя из группы О, мы можем построить систему, называемую
алгеброй. Величины, входящие в алгебру, имеют вид
2<*лЯ. C.162)
R
где коэффициенты aR — любые комплексные числа. Под суммой двух
таких величин мы понимаем
R R R
а под их произведением подразумеваем
2 aRR- %bsS= 2влМ5 2B
r s r, s r \ s
Например, в группе Ct с элементами Е и / мы вводим алгебру
величин
- a2f.
§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра 135
Тогда
BЕ -f 41) + (Е — 6/) = (ЬЕ — 21),
BЕ + 4/) (Е — 61) = 2?2 — 12?/ + 4/? — 24/2 =
= 2? -12/4-4/ —24? = — 22? —8/.
Пусть i4'j'), .... A(g\ — элементы в классе К[ группы G. Построим
величину
, 2 C.165)
Если перемножить величины <?Сv относящиеся к двум различным
классам
«I «}
<йя|еЯГ|=21 ЪА1)А\{\ C.166)
' i = l m-l
то сумма в правой части вновь будет состоять из полных классов,
так как, трансформируя &%" .д^Г •¦ с помощью любого элемента группы,
мы лишь изменяем порядок слагаемых. Поэтому
e2r/e2ry = Se/y,e2r,. C.167)
где cljl — целые положительные числа. Рассмотрим какое-нибудь
неприводимое представление группы О. Если взять сумму всех матриц,
соответствующих элементам ?-го класса, то получится матрица, ко-
которую мы обозначим Dt. Эта матрица коммутирует со всеми
матрицами выбранного представления, так как
0*= 2 D(#). C.168)
rck1
трансформация матрицы Dt изменяет только порядок слагаемых
в этой сумме. Но это и означает, что Dt коммутирует со всеми ма-
матрицами представления и, согласно лемме II,
Переходя в этом равенстве к характерам, получаем
gtXt = h* = hti- C.169)
где п — размерность неприводимого представления. Итак,
C.170)
136 Глава 3. Представления групп
Перейдем теперь к матрицам в равенстве C.167):
Д/Ду = 2*/уА. C-171)
или
М7 = 2с*;Л- C.172)
Пользуясь C.170), получаем
— 2u °1'1
Xj 1Л f lJl Xj '
или
gigff.ilj = Xj 21 Ctflgftf C ¦ 173)
Все характеры относятся к данному неприводимому представлению.
Что же касается коэффициентов g и Сщ, то они являются свой-
свойствами группы и не зависят от представления. Равенство C.173)
полезно при проверке вычислений характеров.
Если два элемента группы О сопряжены друг с другом, то обрат-
обратные им элементы также сопряжены друг с другом. Например, если
задан класс Ki, то существует другой класс Ki1, состоящий из эле-
элементов, обратных элементам класса К,. Заметим, что Ki и Ki- имеют
одинаковое число элементов: gi = gr- Если взять произведение
этих двух классов Ki и Kv (где Kv состоит из элементов, обрат-
обратных элементам Kt), то мы получим единичный элемент Е ровно
gt раз. При у Ф i' произведение KtKj не содержит единичного эле-
элемента группы, т. е.
О при / ф /',
. ., C.174)
g, при J = i'.
Перепишем теперь C.173). Чтобы указывать на некоторое конкрет-
конкретное представление, введем верхний индекс:
g g )C(-V)X(^' = 2 с g )C(V>)C(V)-
Просуммируем это выражение по всем v от 1 до г:
•'" v-l
cingig^n — [здесь мы воспользовались соотноше-
соотношением C.161)]
C.175)
§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра
137
Тогда из C.174) получим
V)y(V) _
0 при j Ф I',
при у = г>
или
C.176)
C.177)
v-1
Для унитарного представления
записать в виде
=/*, так что C.177) можно
V»(V
v=l
v)*
У
J
C.178)
Равенство C.178) показывает, что k r-мерных ненулевых векторов
)^v) взаимно ортогональны, вследствие чего k^.r, и мы завершили
доказательство нашей теоремы:
Число неэквивалентных неприводимых представлений группы
равно числу классов сопряженных элементов в этой группе.
Наши результаты можно резюмировать следующим образом.
Выпишем таблицу характеров (табл. 3). Тогда из равенства C.148)
и C.178) (для унитарных представлений) будет следовать, что ска-
скалярное произведение любых двух строк или любых двух столбцов
(взятых с весами gt) равно нулю. Кроме того, из C.173) вытекает,
что произведение любых двух чисел, стоящих в одной строке, выра-
выражается в виде линейной комбинации элементов той же строки, причем
коэффициенты от строки не зависят.
П(Я)
*,
(и)
v(*)
Xi
K2 .
Хз** •
Таблица
.. Ki ... i
• • xfJ ... ?
•
138 Глава 3. Представления групп
§ 18. Разложение функций по базисным функциям
неприводимых представлений
Как уже указывалось раньше в этой главе, мы можем получить
некоторое представление группы О, исходя из любой функции ф
и применяя к ф все преобразования группы О. В этом случае ф сама
будет одной из базисных функций или будет линейно выражаться через
базисные функции. Это утверждение остается справедливым, если
разложить полученное представление на неприводимые компоненты.
Поэтому мы приходим к выводу, что любая функция ф представима
в виде суммы функций, которые могут служить базисными функциями
в различных неприводимых представлениях:
ф2 2^
V /-1
(Заметим, что функцией ф наиболее общего вида будет такая функ-
функция, для которой получающиеся функции ОЛф линейно независимы.
В этом случае мы получаем регулярное представление, которое мы
рассматривали ранее.)
Напомним определение функций ф^>, задаваемых уравнением C.66).
Базисные функции v-ro неприводимого (унитарного) представления
удовлетворяют уравнениям
<W = 2 ^D(J) (Я). C.66)
Говорят, что функция фМ принадлежит 1-й строке v-ro неприводи-
неприводимого представления. Попытаемся теперь найти условие, которому
должна удовлетворять данная функция для того, чтобы она могла
принадлежать /-и строке данного представления. Иначе говоря, если
задана некоторая функция ф<*), мы хотим сопоставить ей (nv — 1)
других функций таких, чтобы весь набор функций удовлетворял
уравнению C.66). Умнож-ш C.66) на D№*(R) и просуммируем по всей
группе:
2 Ч*/
R ] R
=-?. V ф(у>5, .6 .6 =-?фМб .6 . C.180)
В частности, при m = t, n = v
Ц)Ояф) = ?щ>\, C.181)
V
§ 18. Разложение функций 139
полагая / = I, получаем
^ DM* (/?) 0Лфр) = JL фм C.182)
« v
Уравнение C.182) является необходимым условием, которому должны
удовлетворять функции ф^). Покажем также, что это условие доста-
достаточно, т. е. если функция фМ удовлетворяет уравнению
= ~ Ф?» (ЗЛ83)
то мы можем найти (rav— 1) «партнеров» таких, что вся совокупность
функций будет удовлетворять уравнению C.66). Чтобы определить
набор функций, воспользуемся уравнением C.180), где [Д, = v,
В частности, при l—k мы вновь получаем C.183). Таким образом,
уравнение C.184) позволяет удовлетворительным образом определить
nv функций ф(у) через функции ф^>, если уравнение C.183) для
функций фМ выполняется. Покажем теперь, что функции ф^>, опре-
определяемые согласно уравнению C.184), удовлетворяют уравнению C.66),
т. е. образуют базис v-ro неприводимого представления. Чтобы
доказать это, подставим C.184) в правую часть C.66):
= 0*. Os 2 D%* (R) ОЛф^ - O^(v). C.185)
R
Возвратимся теперь к равенству C.179) и спросим себя, как найти ф'^1,
если функция ф нам задана. Иначе говоря, как разложить данную
функцию в сумму функций, каждая из которых принадлежит опре-
определенной строке некоторого неприводимого представления? В C.180)
положим т — 1:
140 Глава 3. Представления групп
Таким образом, оператор
^^i,f{RHR (ЗЛ87)
R
есть проекционный оператор, т. е.
P^f^^f^tj- C-188)
Итак, применяя оператор PW к равенству C.179), по!учаем
(ЗЛ89)
По аналогии со сказанным выше мы утверждаем, что некоторая
функция «принадлежит v-му неприводимому представлению», если
она является суммой функций, принадлежащих различным строкам
этого представления, т. е.
Vv)= S**V)- C.190)
Просуммировав по / соотношение C.186), получим
\^ * ?
суммирование жг по i от 1 до «v [с учетом C.190)] даст нам
М* (R) О„фМ = — Lf). C.192)
R
Мы видим, что
R
есть проекционный оператор, т. е.
^'фМ = ф(^. C.194)
Из C.179) и C.190) следует
Ф=2ФМ. C.195)
V
где
фм = /^>ф. C.196)
§ 19. Представления прямых произведений 141
§ 19. Представления прямых произведений
В § 7 гл. 1 мы ввели понятие прямого произведения. Говорят,
что группа О есть прямое произведение двух своих подгрупп Gt
и О2 (О — Gt X G2), если все элементы Gl коммутируют со всеми
элементами G2, только единичный элемент принадлежит одновре-
одновременно Gl и G2 и всякий элемент группы О выражается в виде
произведения элемента подгруппы Gl на элемент подгруппы О2.
Несколько примеров прямых произведений было приведено в гл. 2.
Если группу G можно представить в виде прямого произведения
двух групп Gl и G2, то характеры неприводимых представлений
группы G легко находятся по характерам неприводимых представле-
представлений групп Gj и О2. Пусть tff (i — 1, . . ., дA) и (р^> (у = 1, . . ., «v) —
системы функций, образующие базисы неприводимых представлений
групп G1 и G2 соответственно. Тогда п nv функций ф'/^ф'/' образуют
базис неприводимого представления группы G. Элементы и пред-
представления групп Gl и G2 мы отмечаем с помощью индексов 1 и 2.
Тогда
О ^)=S^)D(«Ji(/?,). C.197)
Е C.198)
W Й @ ^У) №) О-199)
(ЛО МУ) (/?2), C.200)
или сокращенно
tf» х v) (/?i/?z) _ DM (/?i) x дм (/?2) C.200a)
Чтобы найти характер /?2/?2, мы должны просуммировать диагональ-
диагональные элементы в равенстве C.200):
C.201)
И гак, чтобы найти характеры неприводимых представлений прямого
произведения групп Gx и G2, мы берем произведения характеров
Gx и G2.
ГЛАВА 4
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ
Теперь мы применим теоремы гл. 3 к точечным группам симме-
симметрии, выведенным в гл. 2. Мы рассмотрим различные методы оты-
отыскания неприводимых представлений этих групп. Одна из наших
задач состоит в том, чтобы ознакомиться с практическим примене-
применением различных теорем о представлениях.
§ 1. Абелевы группы
Задача нахождения неприводимых представлений для абелевых
групп проста. Ясно, что, поскольку число классов в абелевой группе
равно порядку группы, все неприводимые представления должны
быть одномерными. Но в таком случае матрица и характер совпа-
совпадают, и мы имеем дело просто с умножением чисел. Далее, по-
поскольку порядок любого элемента конечен, характеры всех элемен-
элементов группы являются корнями из единицы. Например, если порядок
элемента А равен 2, т. е.
Л2 = ?,
то
D(A) = %(A)=±1.
Если
А3 = Е,
то
D (А) = х (А) = е2я11/3 A=1, 2, 3).
Вообще, если порядок А равен А, АН = Е, то
D (А) = х (А) = е2*1"» (/=1 К). D.1)
Если группа циклическая, то она порождается некоторым эле-
элементом A (Ag = Е), так что
%(А) = е2*"/е A=1 g). D.2)
а характеры всех элементов получаются путем возведения в степень
числа х(А). Например,
§ 1. Абелевы группы 143
Рассмотрим сначала циклические группы.
G\. Эго тривиальная группа, состоящая только из единичного
элемента Е (т. е. система несимметрична). Имеется одно неприво-
неприводимое представление:
G2- Эта группа порождается одним элементом С?, С2 = Е. В этом
случае
D(C2) = X(Q-=e2lt"/2 a=L 2).
Характеры этих двух неприводимых представлений приведены
в табл. 4.
В рассматриваемом случае (одномерное представление) характеры
совпадают с матрицами.
Таблица 4
A;
В;
и
z
X,
У
Е
1
1
С2
1
Мы ввели следующее обозначение для представлений: одномер-
одномерные представления обозначаются символами А или В в зависимости
от того, симметрична или антисимметрична базисная функция отно-
относительно вращения вокруг главной оси. Главную ось мы выбрали
вдоль оси z. В качестве базисных функций для любой из групп 6п
можно взять функции
1Ь = е«Ф (/==1 п). D.3)
Каждая из этих функций ф задает одномерное представление,
поскольку вращение вокруг оси z приводит просто к умножению
такой функции на численный множитель. Например, для представле-
представления А группы E2 возможными базисными функциями являются
1, z, f(z), f(x2, у2) и т. д.
Для представления В можно взять
Применим к базисным функциям ф операторы OR. (На протяжении
этой главы для обозначения оператора мы часто будем пользоваться
обозначением самого элемента R группы.) Тогда
С2е1ч = е' (Ч"1) = — е'Ф.
Другая возможность состоит в том, чтобы взять нечетные степени х
или у. Характеры представлены в табл. 4, где мы указали пред-
представления, которым принадлежат координаты х, у, г; например,
144 Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии
z принадлежит симметричному представлению А, в то время как х
и у принадлежат антисимметричному представлению В. Этой инфор-
информацией мы будем пользоваться позднее при рассмотрении правил
отбора. Представления, которым принадлежат х, у, z, будут опре-
определять правила отбора для электрических дипольных переходов.
Мы покажем, как получать правила отбора для других мультиполей
из информации, содержащейся в таблице характеров.
Нам известны две другие группы, -изоморфные группе (?2, а именно
Gs и Qt. Все эти группы должны иметь одинаковые неприводимые
представления. Чтобы информацию об изоморфных группах предста-
представить в компактном виде, мы объединяем их характеры так, как это
показано в табл. 5. В группах, содержащих инверсию, одномерное
представление, которое является симметричным (или антисимметрич-
антисимметричным) относительно инверсии, имеет индекс g (gerade — четное)
или и (ungerade — нечетное), который ставится у символов А к В.
Gi-
G2:
Ag A; z
Au', x, y, z B; x, у
es-.
A'; x, у
A"; z
Таблица
E
E
E
1
1
5
I
cs
on
1
-1
Аналогично, в группе, содержащей ан, симметрия или антисим-
антисимметрия относительно отражения указывается одним или двумя штри-
штрихами соответственно. В группе Gs координаты х к у симметричны
относительно отражения (в плоскости XY) и поэтому принадлежат
представлению А'; в то же время координата z антисимметрична
относительно отражения и принадлежит представлению А". В группе Gt
координаты х, у и z антисимметричны относительно инверсии и
принадлежат Аа.
Заметим, что соотношения ортогональности [равенства C.147)
и C.178)] выполняются.
Представляют интерес теоремы последней главы о разложении
произвольной функции по функциям, принадлежащим различным
неприводимым представлениям. Например, функция fix, у, г), со-
согласно C.192), будет принадлежать представлению Ag группы Gt, если
D.4)
fix, y, zL-/(—*, -у, -г) = 2/(*. у, z),
fix, y, z) = f(—x, —y, —.
§ 1. Абелевы группы 145
в то же время g(x, у, z) принадлежит представлению Аа, если
2g.
g(x, у, z) = — g(—x, — у, —z).
Таким образом, для группы Ql теорема о разложении утверждает,
что произвольную функцию можно представить в виде суммы функ-
функций, которые либо четны, либо нечетны относительно инверсии.
Аналогичные утверждения применимы и к группам Qs и С2. Для С2
наш результат можно сформулировать также и следующим образом.
Азимут ф пробегает значения ог 0 до 2л. Любую функцию f (ц>)
можно продолжить периодически вне указанной области. В разложе-
разложении Фурье
/(ф)=2«^"ф D.6)
— оо
сумму можно разбить на члены с четным и нечетным п соответ-
соответственно, т. е.
/(ф) = 2«2^2/тф + 2«2т+1^Bт+1)ф. D.7)
Первый член в D.7) четен относительно операции С2, второй член
нечетен.
Рассмотрим далее группу С?з- Имеется три одномерных предста-
представления с базисными функциями ellf A=1, 2, 3) соответственно или
же с функциями г, el<f, e-lf. В этом случае
Сзе*ф_еМ<Р-2я/3)_е-2
Таблица 6
A;z
Е; х ± iy
Е
1
Г 1
{.
с,
1
е
е2
С2
1
Е2
Е
Характеры представлены в табл. 6. Все соотношения ортогональ-
ортогональности сводятся к равенству
Оно является частным случаем теоремы о том, что сумма корней
и-й степени из единицы равна нулю.
146 Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии
Для обозначения двумерных представлений мы всюду будем
пользоваться символом Е. Фигурная скобка, стоящая перед двумя
последними строками табл. 6, и то, что мы рассматриваем их так,
как если бы они были одним двумерным представлением, требует
пояснения. Эти два одномерные представления являются комплексно
сопряженными. В квантовой механике (при отсутствии магнитных
полей) гамильтониан инвариантен относительно обращения времени,
и функция, комплексно сопряженная по отношению к некоторой
собственной функции, является собственной функцией при той же
энергии. Таким образом, несмотря на то что группа С3 имеет только
одномерные представления, симметрия относительно обращения вре-
времени означает, что мы имеем дополнительный оператор, оставляющий
гамильтониан инвариантным. Этот оператор меняет местами базисные
функции указанных двух представлений, вследствие чего два рас-
рассматриваемых комплексно сопряженных представления физически
соответствуют двукратно вырожденному уровню.
Аналогично можно рассмотреть и циклические группы E4, §4,
е6 и «g.
Рассмотрим далее абелеву группу С?2й. Она содержит 4 элемента
и поэтому имеет 4 неприводимых представления. Квадрат любого
элемента равен единичному элементу Е, вследствие чего все харак-
характеры равны ±1. Произведение любых двух отличных от единичного
элементов порождает третий элемент, поэтому либо все характеры
равны -f-1, либо два характера равны 1 и два равны —1. Харак-
Характеры представлены в табл. 7. Изоморфные группы Qiv и D2^V
имеют одинаковые таблицы характеров.
Ag
Au; г
Bg
в„; х, у
Е
1
1
1
1
Таблица
с2
1
1
—1
—1
о,
1
—1
—1
1
7
'
1
1
1
-1
Задачи. 1. Приведите примеры функций, принадлежащих представле-
представлениям Ag и Bg группы 6\н- Проведите классификацию сферических функ-
функций Pf (8) е11Щ по представлениям группы 62h-
2. Для групп 6з и §4 найдите неприводимые представления, которым
принадлежат выражения, квадратичные относительно х, у и г.
3. Классифицируйте компоненты аксиального вектора по представле-
представлениям группы 6^
§ 2. Неабелевы группы 147
§ 2. Неабелевы группы
Перейдем теперь к неабелевым группам. Рассмотрим сначала
группу E3о (и изоморфную ей группу D3). Группа G3v содержит
6 элементов, принадлежащих 3 классам. Поэтому существуют 3 не-
неприводимых представления размерности пи п2, п3, причем
Единственное решение этого уравнения имеет вид щ = п2— 1, «3 = 2.
Таким образом, мы имеем два одномерных представления и одно
двумерное представление. Простейший метод нахождения этих пред-
представлений состоит в том, чтобы в качестве исходных взять уже най-
найденные ранее представления группы С3, являющейся подгруппой
группы G3v. Так как 0^ = ?, то собственные значения av равны ± 1.
Следовательно, взяв базисную функцию ф представления А группы б?3,
мы можем получить либо
либо
Так мы получаем два одномерных представления группы С3г/, харак-
характеры которых приведены в табл. 8.
Таблица 8
Аи
А
Е; х.
:
г
У
Е (
1
I
2
"з. С|<2>
1
1
—1
МЗ)
1
—1
0
Равенство C.178) выполнено:
2*,|Х||2=1 •AJ + 2AJ + 3(±1J = 6 = ^, ^
2 в-д'^хГ = U1 1)+2(Ы)+зA)A) о ¦
Характеры двумерного представления можно найти, пользуясь
соотношением C.178); для двумерного представления %{Е) = 2. При-
Применение соотношения C.178) к первым двум классам дает
D.9)
тьему
D.10)
точно так же применение этого соотношения к первому и третьему
классам дает
148 Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии
Уравнение C.178) удовлетворяется и при /
/42 I Л \2_L_/О\2 fi g /1
j:
g2
(lJ_j_(_1J_|_@J = 2 = -^-. D.11)
Таким образом, в табл. 8 представлены характеры группы Qiv. Числа,
стоящие в скобках в верхней строке, задают величины gt—число
элементов в классе Кь.
Другой метод, также позволяющий получить матрицы двумерного
представления Е, исходит из базисных функций е± 'ф комплексно
сопряженного представления группы G3. Выберем в качестве пло-
плоскости отражения для одной из операций av плоскость ZX (угол ф
огсчитывается от оси л;). Тогда
ave± (ф = е+ "Р,
и матрицы Сз и Сз диагональны. Матрицы остальных отражений
можно получить из произведений с^Сз и с^Сз. Следовательно, матрицы
двумерного представления Е будут иметь вид:
с
"е2
0
е2
0"
е
е
0
Для матриц трех рассматриваемых представлений можно проверить
соотношение C.143). Возьмем представление А1 и элемент ij пред-
представления Е. Тогда при всех I и J
(Я)
R
(R) - 1 + е + е2 = 0. D.12)
Затем мы возьмем А2 и Е и получим тот же результат. Взяв пред-
представление Е и положив i === у = I и / = /тс:=: 2, получим
2 Dn (R)D*22(R) = 1 • l-t-e-e2*-f e2-e*=l+e-f e2 = 0. D.13)
Чтобы найти функции, принадлежащие представлению Л2, можно
воспользоваться следующим методом, который хотя и приводит к длин-
длинному окольному пути, но может быть поучительным. Если разло-
разложить /2(ф) в ряд Фурье, то симметрия относительно С3 и Сз требует,
чтобы в разложении были только те члены, аргумент которых кра-
кратен 3, т. е.
§ 2. Неабелевы группы 149
Антисимметрия относительно av требует, чтобы ао = О, а3 =— а3
и т. д. Следовательно, представлению Л2 принадлежат такие функ-
функции, как sin3cp [в общем случае 2 ап sinCmp)J.
В гл. 2 мы обращали внимание на то, что av меняет направление
вращения вокруг оси z. Поэтому z-компонента аксиального вектора
будет принадлежать представлению Л2. Типичной функцией такого
сорта, если выразить ее через координаты двух точек х, у, z и х'',
у', z', была бы функция ху' — ух' или 5ш(ф--ф'). Заметим, чго
функция, зависящая о г разности двух азимутов, инвариантна относи-
относительно вращений вокруг оси z.
Метод, примененный нами для группы E3г/, можно также исполь-
использовать и при рассмотрении групп GAv, G6v.
Задача. Найдите матрицы неприводимых представлений группы Qlv.
Найдите функции, принадлежащие каждому из этих представлений.
Существует еще один метод, который можно применять для нахо-
нахождения характеров. Его мы подробно продемонстрируем для группы QZv.
Установим прежде всего так же, как мы делали эго раньше, что
размерности трех неприводимых представлений равны «1 = я2=1,
и3=2. Затем для нахождения соотношений между характерами дан-
данного представления воспользуемся соотношением C.173). Коэффи-
Коэффициенты clj4, сходящие в C.173), определяют из C.171). Обозначим
классы группы QZv через
Ki:E; К2:С3, С3; Кз ¦ а*C).
Применим к ^\ соотношение C.171):
еГ2 = С3 + С1; ЛГ\ = {С3 + С%? = 2Е + Сг + С1 = 2ЛГ1 + ЛГ2.
D.15)
откуда с221 = 2, Cr,22z=z^- Аналогично
так что с3з1 = 3, ?332 = 3. Наконец,
<Ж2^Сг = е^з<^2 = (Сз + Сз) (av + <V + °v) =
= 2(ав + огвГ + ав.) = 2вГ3. D-17)
так что с2зз = с32з = 2.
Все остальные Сщ равны нулю. Подставим теперь эти коэффи-
коэффициенты в C.173).
i = j = 2:
4Х| = «B« -I- 2jc2); X2 = « либо Х2 = — ~. D.18)
150 Глава 4. Неприводимые представления Точечных групп симметрии
g%23 = яCя + 6х2). D.19)
= 2, /=3:
?2*3X2X3 = Xi 2 c23/g-/X(. D.20)
2
6Х2Хз = 6«Хз. Хз
В случае одномерного представления характеры не могут быть рав-
равными нулю (матрицы должны быть неособенными). Поэтому при «= 1
и мы получаем два решения Ах и Л2. Если при п = 2 мы возьмем
решение Хг —2, то получим, что %з —2. Но для неприводимого
представления
2
тогда как это решение давало бы
Другое решение %3=0, Х2 = —«/2 = —1 дает
2 = 1 BJ+2 (-lJ-f 3 @J = 6 =
Этот метод нахождения характеров требует значительных затрат
труда. Им широко пользовался Бете1).
Тетраэдрическая группа Т содержит 12 элементов в 4 классах,
так что существует 4 неприводимых представления, для которых
n\ + n% + nl + nl= 12.
Единственное решение имеет вид п1 = п2 = п3—\, я4 = 3, т. е. три
представления одномерны и одно — трехмерно. (Трехмерные предста-
представления мы будем обозначать символом F. Иногда для этой цели мы
будем использовать и символ Т.) Напомним, что группа Т получается
из группы V = D2 за счет присоединения к последней вращений
вокруг пространственных диагоналей, которые служат поворотными
осями 3-го порядка (см. фиг. 34). Поэтому представления группы Т
можно получить, исходя из представлений группы V. При действии
какого-нибудь вращения вокруг оси 3-го порядка полностью сим-
симметричная функция, образующая базис представления А1 группы V,
может умножаться на 1, е или е2. (Напомним, что мы хотим полу-
получить одномерные представления, так что базисная функция должна
быть собственной функцией для С3.) Таким образом, мы получаем
три различных одномерных представления, как показано в табл. 9.
') В е t h е Н., Ann. Phys., 3, 133 A929).
§ 2. Неабелевы группы 15!
Таблица 9
T:
А
F /
Е 1
F; х, у, z
Е
1
1
1
3
С2C)
1
1
1
—1
С3D)
1
е
е2
0
С! D)
1
62
е
0
С другой стороны, если взглянуть на те базисные функции, которые
мы нашли для других трех представлений группы V, а именно х,
у и z, то можно заметить, что при вращениях вокруг пространствен-
пространственных диагоналей они преобразуются друг в друга. Таким образом,
эти три одномерные представления группы V объединяются в одно
трехмерное представление группы Т. Характеры представления F
можно найти из соотношений ортогональности. Так как %(Е) — 3,
то ортогональность векторов-столбцов в табл. 9 требует, чтобы
Матрицы представления F записаны с помощью базисных функ-
функций х, у, z. Эти матрицы являются всего лишь обычными трехмер-
трехмерными матрицами для различных вращений.
Задачи. 1. Постройте матрицы представления Р группы Т.
2. Найдите функции, принадлежащие представлению Е группы Т.
Рассмотрим, наконец, группу Td (и изоморфную ей группу О).
Эта группа содержит 24 элемента в 5 классах, поэтому существует
5 неприводимых представлений и
Единственным решением служит набор чисел nl = n2=l, п3—2,
д4 = д5 = 3. Группа Td получается из группы Т путем присоединения
отражений в плоскостях, проходящих через противоположные ребра
куба, как показано на фиг. 64. Каждая из этих плоскостей содержит
две оси 3-го порядка. Базисная функция представления А группы Т
может быть либо симметричной, либо антисимметричной относи-
относительно ad, и поэтому для Td мы получаем два одномерных представле-
представления Ах и Л2. Пара комплексно сопряженных представлений Е группы Т
обладает базисными функциями, преобразующимися друг в друга при
отражении в плоскости, проходящей через ось 3-го порядка, и,
Следовательно, мы получаем двумерное представление Е группы Td.
152 Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии
Рассмотрим, наконец, трехмерное представление F группы Т. Если
мы возьмем базисные функции х, у, z и применим к ним отражение
в плоскости х = у, то
что даст нам матрицу а:
0 1 О
1 О О
L0 0 1
откуда Х(о)—1. [Все отражения принадлежат очному и тому же
классу, так что у_ (ad) = 1 для всех ad.] Если же теперь в качестве
базисных функций представления F группы Т мы возьмем компо-
компоненты аксиального вектора, то при чистых вращениях группы Т они
будут вести себя как компоненты полярного вектора (для чистых
вращений их трансформационные свойства совпадают). Но отражение
в плоскости х — у меняет знак z-компоненты аксиального вектора,
в то время как две другие компоненты преобразуются друг в друга,
так что
Мы получаем, таким образом, два различных трехмерных представле-
представления Т7! и F2 группы Td. Характеры элементов 54 можно определить
из ортогональности векторов-строк в табл. 10.
Td:
Ах
А2
Е
/V, х, у, z
F,
Е
1
1
2
3
3
С, (8)
1
1
—1
0
0
С,C)
1
1
2
-1
—1
Таблица
<Jd(8)
1
—1
0
1
\
10
S4F)
1
\
0
1
1
Задачи. 1. Постройте матрицы для представлений Е, Z7, и F2
группы Td.
2. Пользуясь соотношениями C.154) и C.156), найдите характеры
представлений группы Т.
В сущности мы получили простые характеры для всех кристалло-
кристаллографических точечных групп. Для справок все эти данные в компакт»
HQM виде приведены в табл. 12—22.
§ 2. Неабелевы группы
153
С помощью наших методов можно с легкостью рассматривать
и такие группы (как, например, группы G5v и S8), которые иногда
встречаются в молекулярных проблемах, но не входят в число кри-
кристаллографических групп.
Мы не приводим таблицы для тех кристаллографических групп,
которые можно представить в виде прямых произведений, т. е
для групп
W X W.
—@6 X
Oh=O
Причина, по которой мы не останавливаемся на рассмотрении этих
групп, состоит в том, что, как это уже указывалось в предыдущей
главе, характеры неприводимых представлений этих прямых произ-
произведений можно получить из представлений групп, являющихся со-
сомножителями. Таким образом, все группы, которые получаются при
образовании прямого произведения с группой Ct, имеют вдвое большее
число классов. Каждое из представлений исходной группы приводит
Таблица II
А'
А"
е {
<
1
Е
1
1
1
1
1
1
С3
1
1
е
е2
е
е2
С2
1
1
Е2
е
е2
е
1
—1
1
1
—1
—1
1
—1
е
е2
—г
—Е2
1
J
е2
е
-е2
—е
к двум представлениям прямого произведения, одно из которых симме-
симметрично относительно инверсии/, а другое антисимметрично. Те же заме-
замечания остаются в силе и для прямых произведений с группой Gs. Для
примера мы приводим таблицу характеров для группы G3fl (табл. 11).
Задача. Постройте таблицу характеров для группы Se.
§ 3. Таблицы характеров для кристаллографических
точечных групп
Таблица
А
12
Е
1
ее.
е2
А А'ъ
Аи; х, у, z В; х
:
z
У
Таблица
с,-.
А'; х, у
А"; г
Е
Е
Е
1
1
13
I
с2
а
1
—1
e2h-.
e2v
Л ' 9 Л
В и, х, у Вх;
Z
У
X
V^D2
А
в3; х
Вп z
В2; у
Е
Е
Е
1
1
1
1
Таблица
С2
с2
сг
1
—1
1
—1
сй
ov
Су
1
—1
—1
1
14
1
сх
1
1
—1
—1
Таблица 15
A; z
В
Е; x±iy
S4:
А
В; z
(
Е; x±iy I
Е
Е
1
1
1
1
С4
s4
1
-1
— i
С2
s\
i
i
j
-i
г3
С4
S3
1
—1
1
i
Таблица 16
е3:
А; г
E;x±iy \
Е
1
1
1
С3
1
е
С2
1
е2
е
,-2я</3
Аи
А
Ё,х
Z
у
D3:
Л,
А2\ z
Е; х, у
Е
Е
1
1
2
Таблица
С, B)
С, B) С
1
1
—1
17
~" C
1
—1
0
A; z
В
E>
E2\ x±iy
\
{
E
1
1
1
1
1
1
Ce
1
—1
Ш2
— в
CO
— Ш2
Г2
1
1
— @
Ш2
Ш2
— Ш
@ =
C3
1
—1
1
1
—1
—1
g2nt/6
Таблица
С4
1
1
ш2
— <fl
— ш
18
С5
1
—1
— ш
со*
— а2
со
eiv-.
Аь- z
А2
В\
в2
Е; х,у
Ах
А2; z
Вх
в2
Е; х, у
D2d:
Ах
А2
Вх
В2; z
Е; х, у
Е
Е
Е
1
1
1
1
2
С2
С2
с2
1
1
1
1
-2
С4B)
С4B)
S4B)
1
1
-1
—1
0
Таблица
о B) с
С2B) С
С, B) а
1
19
/B)
2'B)
*B)
1
-1 -1
1
j
0
-1
1
0
Таблица 20
А
А2; z
Bi
В2
Е2
Еь х, у
C6v-
А{, г
А
в2
Bi
Ех
Ег\ х, у
Dzh-
А[
А2
Х[
А'2; z
Е'; х, у
Е"
Е
Е
Е
1
1
1
1
2
2
с\
С1
«й
1
1
j
—1
2
—2
С\{1)
СбB)
SlB)
1
1
1
1
—1
—1
СбB)
С6B)
S6B)
1
1
—1
—1
—1
1
С2C)
МЗ)
С2C)
1
—1
1
—1
0
0
С2, C)
<v C)
МЗ)
1
—1
—1
1
0
0
Г:
А
* !
Р\ х, у, z
Е
1
1
1
3
С2C)
1
1
1
-1
Таблица
С3D) С
1
е
е2
0
21
2D)
1
е2
е
0
Таблица 22
0:
л.
А2
Е
Рг F2
Fb х, у, z
Td:
А,
А2
Е
х, у, z
F,
Е
Е
1
1
2
3
3
С3(8)
С3(8)
1
1
]
0
0
siC)
1
1
2
—1
—1
С2F)
°d(&)
1
1
0
1
—1
С4F)
S4F)
1
—1
0
—1
1
ГЛАВА 5
РАЗЛИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ
С ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ ГРУПП
§ 1. Произведение представлений
(кронекеровское произведение)
В гл. 3 мы рассмотрели сложение представлений группы G,
позволяющее получать новые представления. Другим методом полу-
получения новых представлений, имеющим основное значение в физи-
физических приложениях, является построение произведения предста-
представлений {кронекеровского произведения}. Этот метод схож с методом,
применявшимся в § 19 гл. 3 для получения неприводимых предста-
представлений прямого произведения двух групп.
Предположим, что мы нашли все неприводимые представления
группы G. Пусть D — неприводимое представление в я^-мерном
пространстве векторов х (имеющих относительно некоторого базиса
компоненты хх х„ ) и пусть D(v) — другое неприводимое пред-
представление в «v-MepHOM пространстве векторов у (с компонентами
} (R)Xj (/ = 1 %), E.1)
Перемножив эти два соотношения, получим
Величины xlyk можно рассматривать как компоненты вектора
в (иц X «v)-MepHOM пространстве произведений. Равенство E.2) уста-
устанавливает соответствие между каждым элементом R группы G и
некоторым преобразованием в этом пространстве:
где
X ?>(v (R)\klJl = D%\R) ¦ DfliR). E.4)
158 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Матрицы D%*)](R) образуют некоторое представление группы G:
%*f (RS) = DtJ (RS)D[V (/?5)=S DfJ(R) D%) (S) 2 D$
a 3
2 W () $ ] [$ E) Dg> (S)] = 2 *$ (Я) ОД E). E.5)
a|3 a|3
т. e.
Представление E.4) называется кронекеровским произведением пред-
представлений Оы и D(v).
Равенство E.6) дает нам также общее правило для выписывания
кронекеровских произведений матриц. Если Ль А2, ¦¦¦—матрицы
я-го порядка и Въ 52, ... —матрицы от-го порядка, то кронеке-
ровскими произведениями (Л] X ^i). (^2 X В2), .. • будут матрицы
порядка йот, у которых
(Av X Bv)lk, n = (Av)tj{Bv)kl. E.4а)
Так же, как и в равенстве E.6), имеем
(А, X Si) • (А2 X Да) = (АХА2) X (А^г). E.6а)
или вообще
(Л1ХД1)-(Л2ХВ2)...(Л,ХД,) =
= (ли2 • • • Л) х (ад • • • 5,). E.66)
Приведенное выше определение дано в терминах абстрактных
векторных пространств. Мы в большей степени приблизимся к физи-
физической постановке задачи, если сформулируем наше определение еще
раз, пользуясь волновыми функциями физической системы. В § 7
гл. 3 мы сопоставляли каждому преобразованию R оператор OR
(Од есть преобразование аргументов волновой функции):
OR^{x) = ^(R~1x). C.68)
Совокупность преобразований R, оставляющих инвариантным гамиль-
гамильтониан Н, образует группу G такую, что
ORHO^=H C.73)
для всех элементов R из G. Если ф — собственная функция гамиль-
гамильтониана Н, принадлежащая данному собственному значению А,, то О^ф
есть также собственная функция, отвечающая тому же собственному
значению Я,. Если нет „случайного" вырождения, то совокупность п^
собственных функций ф^) (i=l я\ принадлежащих данному
§ 1. Произведение представлений 159
собственному значению А,ц, образует базис неприводимого предста-
представления группы симметрии О гамильтониана:
Точно так же совокупность nv вырожденных собственных функций ф(у),
принадлежащих собственному значению A,v, образует базис неприводи-
неприводимого представления D(v):
ОЯФ1У) = S Ф№> (Л) • E.7а)
k
Из E.7) и E.7а) следует
°r DW) = 2 4>fq4v)O(/y (Я) D<v/ (Я) = ? ^Vfev)^f}»(/?), E.8)
так что произведения ф^>ф<?> образуют базис произведения предста-
представлений Dw X D(v).
Обозначения с двойными индексами весьма сложны. Чтобы при-
привыкнуть к ним, мы приведем в явном виде результаты для простого
случая, когда я|Л = яу=2. В этом случае
W
Из E.9) получаем
^(R). E.10)
Коэффициент при ф^ср^ в разложении OR (ф^ф^) равен
), откуда
(D(.) x D(v) (R) ) = Dft) (/?) D(v)
()
(v) (/?) ) = D(») {R) D(v)
D(v) (/?) )й1 n = D(») {R) D(v) (/?)i
160 Глава S Различные операции с представлениями групп
Аналогично находим
, E11)
Wtf (R) ?) v) (/?) 4- ^^Z^g) (/?) D2v) (Я), E 12)
E13)
Из равенств E 10)—E 13) следует, что матрица, соответствующая
элементу R группы О, в произведении представлений имеет вид
D%\R)D\f(R)
D{&}(R)D{2V(R)
E 14)
где строки и столбцы занумерованы в лексикографическом по-
порядке: 11, 12, 21, 22 Мы предполагали, что все произведения функ-
функций линейно независимы, ибо в противном случае мы должны были бы
объединить соответствующие члены и получить представление мень-
меньшей размерности Итак, мы предполагаем, что ц- и v-представления
имеют различную размерность или же (если n = v) что функции ф и ф
независимы друг от друга
Обозначим характеры произведения представлений через
Как видно из частного случая E 14) или из общего равенства E 4),
х<* х v> (Я) = 2 W (R) D{]) (R) - х(д) (Я) • X(V) (R) E 15)
», ;
Таким образом, характер элемента в произведении представлений
равен произведению характеров этого элемента в представлениях-
„сомножителях"
Задача Покажите, что кронекеровское произведение унитарных пред-
представлений есть унитарное представление.
§ 2. Симметризованные и антисимметризованные произведения 161
§ 2. Симметризованные и антисимметризованные
произведения
В предыдущем параграфе предполагалось, что |i=?v. Пргдположим
теперь, что (i = v и ф(^> и cpW — незавлсимые совокупности функций.
Рассмотрим сначала для простоты случай, когда Пц = nv=2. Перепи-
Перепишем равенства E.10)—E.J3), опуская верхние значки (i = v:
Or (Ф1Ф1) = Ф1Ф1 I Ai (R)? + Ф1Ф2А1 (R) Aa (R) +
-i (R) Dn (R) + ф2ф2 [D21 G?)]2, E.16)
Dl2 (R) + ф1ф2?)и (/?) D22 (R) +
E.17)
(R)D2l(R), E.18)
= 4>i<Pi [D12 (/?)]2 + ф1ф2О12 (/?) D22
E.19)
Если сложить и вычесть E.17) и E.18), то эти четыре равенства
запишутся в виде
1) Ai
+ i|?p2[D21(/?)P, E.20)
= 2Ф1Ф1 Ai (Л) А
+ 01W2 + Ф2Ф1) [Ах
+ 2ф2ф2Д21(/?)О22(/?), E.21)
-i|?Pi) = (Ф1Ф2-Ф2Ф1) [?>п W Аг (Л)-Аг (Я) An (ЯI, E.22)
д (Ф2Ф2) = Ф:Ф11 As (Я)J + ОЬФг + 4?Pi) ^>i2 (Я) -D22 (Я) +
E.23)
Заметим, что E.22) содержит только антисимметричную комбинацию
Ф1Ф2—ФгФь в то время как соотношения E.20), E.21) и E.23) свя-
связывают между собой три симметричные комбинации
162 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Мы заключаем, что произведение представления (размерности > 1)
на себя всегда разлагается в сумму симметричного и антисимметрич-
антисимметричного произведения представлений. Теперь докажем это в общем ciy-
чае. В равенстве E.8) положим (i = v:
О (фМф^Л = 2 ^'(p^'D^ (/?) D^(R). E.24)
ik
Переставим между собой j и /:
OR Л№>ф'^Л = 2 ф^'ф^'Д1!' (R) Dh1] (/?). E.25)
2
Складывая и вычитая E.24) и E.25), получаем
о R fflwp+4f ?/>) = S
Ik
E-26)
Квадрат представления D , т. е. произведение D^ X D^\ всегда
(за исключением тривиального случая яц=1) разлагается в сумму
симметричного произведения представлений [D' X D^\, задаваемого
равенством E.26), и антисимметричного произведения представлений
{Dw X D^}, задаваемого равенством E.27):
Эти представления в свою очередь могут быть приводимыми. Матрицы
симметричного и антисимметричного произведения представлений имеют
следующий вид:
j\ E.29)
{Dw X D^ (R))klt tJ = I \Dft (R) DW (R) - Df (R) Df) (/?)]. E 30)
Размерности этих представлений равны соответственно
2"rtn^n+1) и ¦%
§ 3. Сопряженное представление 163
Для характеров симметричного и антисимметричного произведения
представлений введены соответственно обозначения
В нашем частном случае из равенств E.20) — E.23) имеем
[XXX (Л)] = [ Ai (Я)Р + Du (Я) D22 (Л) + D12 (Я) D21 (/?) 4- [D22(Я)]г=
[ A (Я)+A2 (Я)]2+-j 11Ai (^)l2+A2 (Л) D2i (Л) +¦
1 Юн («) + O22 (/?)]2 + \ \DU
KxW^+xC/?2)] E.31)
{X X X («)} = I Кх(Я)J-Х(Я2)]- E.31a)
Точно так же в общем случае из равенств E.26) и E.27) получаем
[ххх (/?)] = -j 2 [А* (Л) яУ/- (Л) + А, (Я)
4 Г2 D«
4 Г I
E.32)
\ E.33)
Заметим, наконец, что если |i = v н i|j^) = <p^), то антисимметричные
произведения E.27) тождественно равны нулю и мы получаем лишь
симметричное произведение представлений E.29).
§ 3. Сопряженное представление.
Комплексно сопряженное представление
В этом параграфе мы рассмотрим другие методы получения новых
представлений. Предположим, что D{R)—неприводимое представле-
представление группы О. Если каждую матрицу представления мы заменим
матрицей, обратной транспонированной по отношению к ней, то снова
получим некоторое представление, поскольку
D (RS) = [D (Я5)] = [DE)D{R)]~l = D'] {R)D~l(S). E.34)
164 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Это представление называется сопряженным представлением D:
D (/?)== D'^R). E.35)
Если перейти от матриц представления D(R) к комплексно со-
сопряженным матрицам [т. е. к матрицам, элементы которых комплексно
сопряжены по отношению к элементам матриц D(R)], мы получим
комплексно сопряженное представление D*(R):
D*(RS) = D*(R)D*(S). E.36)
Задача. Докажите, что представления D, D и D* либо все приводи-
приводимые, либо все неприводимые.
Характеры сопряженного представления равны:
хИ. E.37)
или
Х, = Х,- E.38)
где Кг—класс элементов, обратных элементам из класса Kt. Харак-
Характеры комплексно сопряженного представления D* комплексно сопря-
сопряжены с характерами представления D. В терминах сопряженного
представления соотношения ортогональности C.146) и C.148а) для
характеров можно записать в виде
V E-39)
; E.40)
соотношение полноты C.177) принимает вид
, E.41)
а равенства C.150а), C.151а) и C.155а), которые используются при
разложении представления на неприводимые, выглядят следующим
образом:
()% E-42)
§ 4. Условия существования инвариантов 165
§ 4. Условия существования инвариантов
Если неприводимое представление D(R) унитарно, то скалярное
произведение векторов в гильбертовом пространстве представления
инвариантно, так как
(Dy, Dx) = (y. DTDx) = (y, x). E.45)
Кроме того, в этом случае скалярное произведение дает нам эрмитов
инвариант. Для конечных групп [а также для любой группы, для
которой выполняется C.101)] мы всегда можем сделать представле-
представления унитарными.
Если сопряженное представление D и комплексно сопряженное
представление D* эквивалентны, т. е. если
D~1(R)^D*(R), E.46)
или
D(R)»D*~\r), E.46а)
то существует матрица F такая, что
D*{R) = F~XD~'
или
Df(R) = FD~1(R)F~\ E.47)
Df(R)FD(R) = F. E.48)
Тогда скалярное произведение
(У, Fx) E.49)
инвариантно относительно всех преобразований группы О:
(Dy, FDx) = (y. DfFDx) = (y, Fx). E.50)
Если в равенстве E.48) перейти к сопряженным величинам, получим
Df(R)FfD(R) = F\ E.48а)
так что скалярное произведение
(у, Ffx) E.49а)
также инвариантно. Комбинируя друг с другом инварианты E.49)
и E.49а), находим два эрмитовых инварианта:
E.51)
Оба эти инварианта не равны тождественно нулю, так как из их
равенства нулю следовало бы, что /7 = 0.
166 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Наоборот, если существует неособенная матрица F такая, что
скалярное произведение (у, Fx) инвариантно:
(у, Fx) — (Dy, /7Dx) = (y, DfFDx),
то
и сопряженное представление D и комплексно сопряженное пред-
представление D* эквивалентны. Таким образом, необходимым и доста-
достаточным условием существования эрмитова инварианта является
эквивалентность представлений D и D*.
Для неприводимого представления не может существовать
более одного инварианта вида E.49). Если, кроме E.49), инвариантно
также и скалярное произведение (у, Нх), то
FH~X = {DfFD) (D///?*) = D+FH'W1. E.52)
Матрица FH~ коммутирует со всеми матрицами неприводимого
представления Df, откуда по лемме Шура следует, что матрица F
кратна Н.
В случае неприводимого представления два инварианта E.51) не
могут быть независимыми, и (с точностью до постоянного множителя)
матрица F должна быть эрмитовой.
Мы показали, что если представления D и D* неэквивалентны
(они будут эквивалентными, если D «Df ), то мы не можем по-
построить эрмитов инвариант. Мы покажем, однако, что это можно
саелать, взяв прямую сумму представлений D и Df . Пусть непри-
неприводимое представление D действует в пространстве х, неприводимое
представление Df —в пространстве у. (Ясно, что оба пространства
имеют одинаковую размерность я.) Тогда
x' = Dx, / = Df~V E.53)
и величина у*х оказывается инвариантной относительно всех пре-
преобразований группы:
/V = (Df~ly)f фх) =* iD~x Dx = /*, E.54)
§ S. Вещественные представления 167
Точно так же инвариантна и величина xfy. Следовательно, мы нашли
два эрмитовых инварианта:
А — j (у*х -+- xfy),
E.55)
Возьмем прямую сумму пространств х и у и образуем векторы
У j ¦ E.56)
имеющие In компонент. Вектор ф при преобразовании из группы О
переходит в вектор
/ Dx \
ф' = ( +-1 ]• E.57)
Две эрмитовы матрицы
О fl ГО —1Е1
0 | . E.58)
где Е означает единичную (п X га)-матрицу, даюг нам два эрмитовых
инварианта:
Ф+/(ф = (ф, /1Ф) и Ф+/2Ф- E.59)
Этот результат не противоречит доказанной нами ранее теореме,
поскольку пространство представления E.56) приводимо.
Задача. Покажите, что для представления E.57) сопряженное и ком-
| плексно сопряженное представления эквивалентны. Покажите, что пере-
] ход от векторов ф к векторам а|/ задается либо матрицей fh либо ма-
матрицей /2, указанными в E.58).
§ 5. Вещественные представления
В этом параграфе мы хотим исследовать условия, при которых
неприводимые представления группы О можно привести к вещест-
вещественному виду, т. е.
Dij{R) = Dtij{R). E.60)
Мы будем предполагать, что все представления унитарны (для конеч-
конечных групп это заведомо выполняется), так что
Df(R)D(R)=l, E.61)
или
D~l(R)==D(R) = D*(R), E.61а)
т. е. сопряженное и комплексно сопряженное представления совпадают.
168 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Если представление D вещественно, то
D (R) = D* (R)
и характер %(R) веществен. Наоборот, если характер %(R) вещест-
вещественный, то, поскольку
tr [?>• (/?)] = [tr D (R)]* == [x (/?)]', E.62)
характеры представления D* будут совпадать с характерами пред-
представления D, и представление D будет эквивалентно своему ком-
комплексно сопряженному представлению D*. Если характер %(R) ком-
комплексный, то D и D* неэквивалентны. Это единственный случай,
когда имеет место неэквивалентность.
В силу сказанного неприводимые представления группы О можно
подразделить на три типа:
1) D вещественно (т. е. представление D можно привести к ве-
вещественному виду),
2) D эквивалентно D*, но представление D нельзя привести
к вещественному виду,
3) D не эквивалентно D*.
Если характер %(R) веществен, так что мы имеем дело со слу-
случаями 1 и 2, то D эквивалентно D* и, следовательно, из E.61а) мы
получим
D~l(R). E.63)
Взяв след от матриц, найдем
(')- E.64)
Кроме того, из E.63) вытекает, что существует такая неособенная
матрица 5, что
SD{R)S-l = D-1(R) = D*(R), E.65)
D(R)SD(R) = S. E.66)
Поскольку предполагается, что представление унитарно, матрица 5
также унитарна. Таким образом, существует билинейная форма
xSy, E.67)
которая инвариантна относительно всех преобразований
x' = D(R)x, E.68)
так как
Ъ (R) xSD (R) у = хб (R) SD (R) у = xSy.
Наоборот, если такая билинейная форма существует, то для всех R
§ 5. Вещественные представления 169
Так как представление D неприводимо, а матрица 5 не равна
тождественно нулю, из леммы Шура следует, что матрица 5 неособен-
неособенная. Поэтому равенство E.65) выполняется, и представление D экви-
эквивалентно D*. Мы заключаем отсюда, что в случае 3, когда харак-
характер %(/?) комплексный, не существует билинейной формы, инвариант-
инвариантной относительно преобразований E.68).
В случаях 1 и 2 выполняется равенство E.66). Транспонированное
равенство имеет вид
D (R) SD (R) = 5.
а равенство, в котором все величины заменены на обратные, записы-
записывается в виде
D~l (R) S^D'1 (R) = S-
Перемножив эти равенства, получим
или
D(R)S-1S = S'1SD(R). E.69)
Так как представление D(R) неприводимо, матрица S~ S должна
быть кратна единичной матрице Е:
S~1S = cE, E.70)
5 = с5. E.70a)
Равенство, транспонированное по отношению к E.70а), имеет вид
5 = с5, E.706)
откуда
S = cS = c(cS) = c2S,
и
С2=1, С=±\.
Мы заключаем, что если характер i(R)—вещественный [случаи A)
и B)], то существует инвариантная билинейная форма, у которой
унитарная матрица 5 симметрична или кососимметрична:
5 = 5 или 5 = — 5. E.71)
Так как
det5 = det5, det(— 5) = (— 1)" detS,
где п —размерность представления, мы видим, что знак минус в E.71)
может встречаться лишь в случае представлений четной размерности.
170 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Если в E.71) выбран знак плюс, мы имеем дело со случаем 1:
матрица 5 унитарна и симметрична. Тогда существует унитарная сим-
симметричная матрица В такая, что
B2 = S. E.72)
Так как
В^В =1 и В = В,
имеем
U —Л . В = В • E.73)
Подставляя E.72) в E.65) и используя E.73), получаем
BD (R)B~l = B~XD* (*) В = 5*D* (R) В'~х
Y- E.74)
Последнее равенство показывает, что представление D{R) преобра-
преобразуется к вещественному виду матрицей В. Поскольку матрицы В
и D(R) унитарны, матрицы
также унитарны. Поэтому они образуют вещественное ортогональ-
ортогональное представление группы О:
D'(R)Df(R) = E. E.75)
Мы не будем останавливаться на рассмотрении более сложного слу-
случая 2. Вместо этого мы приступим к поискам простого критерия,
с помощью которого мы могли бы различать три типа представлений.
Этот критерий выражается формулами, содержащими суммы, взятые
по характерам, поэтому мы будем предполагать, что такие суммы
имеют смысл. (Это безусловно так в случае конечных групп.)
Матрица
S=^iD(R)XD(R), E.76)
о
где X — произвольная матрица, удовлетворяет равенству E.66) и дает
нам инвариантную билинейную форму E.67). В случае 3, когда ин-
инвариантной билинейной формы не существует, матрица 5 должна
быть нулевой матрицей при любом выборе матрицы X:
|]Dop(#)DY6(/?) = 0 при всех а, р, у, 6. E.77)
Положив p = Y и просуммировав по р, получим
о = S 2 Д«р (#) ор5 (Я) = 2 »аь (я2),
§ 5. Вещественные представления 171
в силу чего в случае 3
2/?2 0. E.78)
2
о
Эги результаты для всех трех случаев можно объединить в одно ут-
утверждение:
-|- 1 Для случая 1,
S=cS,
— 1 для случая 2, E.79)
О для случая 3.
Из E.76) и E.79) следует
2 2 D (Я) X Dy6 (Я) = с 2 2 D (R) X D 6 (Я),
G ffy G f>Y ' т
так что
2 D (Я) Dy6 (R) = с 2 Dya (R) D 6 (Я). E.80)
G G
В частности, положим a = Y. Р = & и просуммируем по а и E:
G a[i G a|3
ИЛИ
G О
В случаях 1 и 2 мы имеем соотношение E.64):
а соотношение ортогональности C.146) дает нам
2х№х№=^, E.83)
о
в то время как в случае 3 представление D неэквивалентно пред-
представлению D, вследствие чего
2х(Я)Х(#) — 0. E.83а)
а
Объединяя эти результаты с соотношением E.82), получаем
-j- 1 для случая 1,
— 1 для случая 2, E.84)
j 0 для случая 3.
Вигнер называет представления типа1, которые можно преобразовать
к вещественному виду, целыми представлениями. Для таких пред-
представлений с(д)=1; для полуцелых представлений, типа 2. которые
172 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
нельзя преобразовать к вещественному виду, но которые эквивалентны
представлениям, комплексно сопряженным с ними, с = — 1 Наконец,
для представлений типа 3, которые неэквивалентны представлениям,
комплексно сопряженным по отношению к ним, с = 0.
Равенство E.84) дает нам простой критерий для трех типов пред-
представлений. В частности, представление можно привести к веществен-
вещественному виду только в том случае, если сумма характеров квадратов
элементов группы равна -\-g.
Пусть t,(S) — число решений уравнения
#2 = S. E.85)
Объединяя в E.84) те члены, для которых R2=zS, получаем
)(S) = c™.g. E.86)
Воспользовавшись соотношением полноты C.177) и заметив, что
мы решим E.86), откуда
2с(д)х(|1)E). E.87)
и
Равенство E.87) устанавливает замечательную теорему.
Теорема. Число решений R уравнения R2 = S (т. е. число
квадратных корней из элементов S) дается формулой E.87),
в которой с — 0, если характер % (S) комплексный. Если же
характер х<|1)E) — вещественный, то с'^ = -\-\ либо с^ = — 1
в зависимости от того, эквивалентно представление D веществен-
вещественному представлению или нет.
В частности, выбрав в качестве элемента S единицу Е, мы най-
найдем, что число решений уравнения R2 = E равно
C(?) = 2c"V E.88)
т. е. число таких решений получится, если взять сумму размерностей
всех неприводимых представлений типа 1 и вычесть из нее сумму
размерностей всех представлений типа 2.
Матрица
2
о
§ 5. Вещественные представления 173
коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления D(R),
так как
D~l (А) 2 D (R2) D (А) = 2 D'1 (A) D (R2) D (А) =
о о
'1 (Л) О (Я) D (Л)] [/Г1 (A) D (R) D (А)} =
1i() ^i() E.89)
о о
[Поскольку D(R) пробегает всю группу О, то и D (A)D(R)D(A)
также пробегает всю группу О.] По лемме Шура
а
должна быть кратна единичной матрице:
2 ?> (#2) = А,Я. E.90)
о
Взяв след правой и левой частей равенства и воспользовавшись E.84),
получим
С g — ЛЯ^,
где «й — размерность представления, так что E.90) принимает вид
о
Умножим равенство E.91) на D^'(A):
E.92)
о **
и вычислим след
У Х(д)(ЛЯ2) = 4^" *W (Л>- E-93>
о
Положим Л = 52 и просуммируем по 5:
E.94)
R S S
Еще раз воспользовавшись соотношением E.84), получим
174 Глава 5. Различные операции г представлениями групп
Если ц{Т) — число решений уравнения
T, E.95)
то
\ч(Т)%М(Т)=( „ ¦ E.96)
Т Ц
Воспользовавшись еще раз соотношением полноты, мы решим это
уравнение и получим
2^ E.97)
В частности, при Т — Е
2 PI2- E.98)
т. е. число решений уравнения S2R2 — E (или S2 = R2) равно числу
неприводимых представлений с вещественными характерами, умно-
умноженному на g.
Этот процесс можно повторить. Перемножив уравнения типа E.91),
выписанные для s элементов /?j, R2, ..., Rs, мы получим
^] E. E.99)
Вычислив след обеих частей E.99), найдем
(^f) E.Ю0)
Тем же самым методом, как и раньше, мы получим теперь, что число
решений уравнения
R\Rl ... Rl = E E.101)
равно
Задачи. 1. Построить таблицу характеров для группы кватернионов
(см. задачу на стр. 44). Покажите, что ее двумерное представление имеет
тип 2. Проверьте различные теоремы этого параграфа для группы ква-
кватернионов.
2. Укажите, к какому типу A, 2 или 3) относятся представления кри-
кристаллографических точечных групп.
Если равенство E.87), определяющее Z(S), возвести в квадрат,
положить
§ 5. Вещественные представления 175
и просуммировать по S, то мы получим
2 [С (S)]2 = 2 c(|lVv 2 х(д> (S) x(v) E-1)=
Ц, V Д
Этот результат совпадает с E.98). Равенство E.102) означает, что
сумма квадратов числа квадратных корней из всех элементов группы О
равна числу простых вещественных характеров, умноженному на g.
Последний результат можно представить и в более удобном виде.
Мы знаем, что элементы R~ , обратные элементам /?, принадлежа-
принадлежащим классу Ki, образуют класе Kv. При i = j соотношение пол-
полноты C.177) имело вид
W *V E-103)
Просуммировав по /, получим
^tfSV E.104)
В соответствии с равенствами F.83) и (б.83а) величина, стоящая
в скобках в левой части этого равенства, равна g, если характер %№)
вещественный, и равна нулю, если характер x(|i) — комплексный.
Таким образом, левая часть этого равенства равна числу веществен-
вещественных характеров, умноженному на g. Сумма, стоящая в правой части
этого равенства, равна числу классов I, совпадающих с классами /'.
Такие классы называются амбивалентными классами. Равенство
E.104), таким образом, означает, что число вещественных характеров
равно числу амбивалентных классов. Комбинируя это утверждение
с E.102), получаем следующую теорему.
Теорема. Сумма квадратов числа квадратных корней из всех
элементов группы равна порядку группы, умноженному на число
амбивалентных классов.
Заметим также, что если все классы группы О амбивалентны,
то все характеры должны быть вещественными. Так будет в случае
симметрической группы Sn, поскольку любая перестановка и ей
обратная имеют одинаковую структуру разложения на циклы. Таким
образом, все характеры симметрической группы вещественны.
Задача. Найдите число амбивалентных классов в каждой из кри-
кристаллографических точечных групп и сравните его с числом веществен-
вещественных характеров по таблице характеров. Перечислите точечные группы,
у которых все классы амбивалентны,
176 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
§ 6. Разложение кронекеровского произведения.
Ряд Клебша — Гордана
В § 1 настоящей главы мы определили кронекеровское произве-
произведение двух представлений. В теории связанных систем и при выводе
правил отбора эти произведения играют основную роль. В этом
параграфе мы получим математическое обоснование для таких при-
приложений.
В общем случае произведение двух неприводимых представлений
группы О приводимо. Чтобы разложить произведение представлений
на неприводимые, мы воспользуемся соотношением E.15)
Х<м"х v>(/?) = Х°*}(/?) ¦ X(v)(/?). E-15)
и соотношением E.42)
^*чЧ)%1аЧ*). E'42)
которое показывает, с какой кратностью (aa) данное неприводимое
представление D содержится в представлении [)^xv\ Из этих двух
равенств мы получаем
а° = j 2 ^w W *(v) <*> х@) (*)• E-105)
о
Этому соотношению можно придать различные полезные формы.
Прежде всего возьмем кронекеровское произведение представле-
представлений D и D ' и спросим, какова кратность, с которой единичное
представление содержится в Dw X D^v). Поскольку все характеры
единичного представления DA) равны единице, это число равно
2x(|1)(/?Wv)(fl) <W EЛ06)
где последнее равенство следует из соотношения ортогональности.
Таким образом, произведение представлений D<]X) и D(v) содержит
(с кратностью, равной единице) единичное представление в том и
только том случае, если (i = v. Этот результат можно сформулиро-
сформулировать и в терминах базисных функций. Базисная функция (единственная)
единичного представления инвариантна относительно всех преобра-
преобразований группы О. Равенство E.106) означает, что мы можем соста-
составить инвариантную линейную комбинацию произведений волновых
функций тогда и только тогда, когда представления D(u) и D{v)
сопряжены (ц == v). Если представления унитарны, то D = D*. В этом
случае мы можем сказать, что их произведение содержит единичное
§ 6. Разложение кронекеровского произведения 177
представление в том и только в том случае, если представления,
являющиеся сомножителями, комплексно сопряжены друг с другом.
Далее, если в E.105) Da заменить представлением Da, мы получим
E.107)
что дает кратность, с которой D входит в D ^ X О •
Числа аа в E.105) служат коэффициентами в разложении про-
произведения D^ X D на неприводимые представления:
E.108)
Разложение E.108) называется рядом Клебша — Гордана.
Если представления унитарны, то х = %*, и E.105) принимает вид
2 X(W (Л) Xм (Я) Х*(а) W- E• 105а)
о
Обозначение
d(m.) x D(v) = 2 (|1VO) ?)(«> E.108а)
ст
является более наглядным, чем обозначения, использованные в равен-
равенствах E.105) или E.108); здесь (fxva) означает кратность, с которой
представление D^ входит в кронекеровское произведение предста-
представлений Dw и D(v). Ясно, что (fiva) = (v(ia).
Задачи. 1. Докажите, что кратности, с которыми
D(a) содержится в D^ X -D(v>,
Л(д) содержится в D(v) X -D(<1),
Div) содержится в D(a) X Dw,
равны между собой. Покажите, что если все характеры группы G веще-
вещественны, то символ (ц-vo) в E.108а) полностью симметричен.
2. Найдите условия, при которых кронекеровское произведение
D(|l) X D(v) неприводимо.
3. Докажите, что кронекеровское произведение двух неприводимых
представлений размерности я, и п2 (пх > п2) не может содержать пред-
представлений размерности меньшей, чем я,/п2.
4. Найдите коэффициенты ряда Клебша — Гордана для произведения
двумерного представления группы кватернионов на себя.
5. Покажите, что если характеры представлений D^ и D(v' веще-
вещественны, а характер представления D(a)—комплексный, то О*' X O(v>
должно содержать D^a> и D* с одинаковой кратностью.
178 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
§ 7. Коэффициенты Клебша — Гордана
В предыдущем параграфе мы рассмотрели задачу о нахождении
таких неприводимых представлений, которые содержатся в кроне-
керовском произведении двух неприводимых представлений. В сле-
следующей главе мы покажем, каким образом ряд Клебша — Гордана
позволяет нам найти правила отбора.
Для физических приложений еще большее значение имеет задача
о нахождении базисных функций тех представлений, которые содер-
содержатся в кронекеровском произведении. Нам заданы яц базисных
функций ^^(J=l, •¦•, п \ неприводимого представления D^\O)
и «v базисных функций i|)<v> (/«=1, •¦•, п\ неприводимого предста-
представления D^V)(G). Требуется найти п% функций Ч^' (s=l пЛ,
которые являются линейными комбинациями произведений ф(м'ф(^) и
образуют базис неприводимого представления D(k)(G). Функции Ч^
представляют собой систему партнеров, принадлежащих предста-
представлению D* (О). Из последнего параграфа мы знаем, что такая система
существует лишь в том случае, если представление D(X) содержится
в произведении D(ll) X D^\ т. е. если (ц\Х) Ф 0. С другой стороны,
если (цуХ) > 1, мы можем образовать несколько независимых систем
партнеров Wf\ [На самом деле, найдется ((ivA,) „правильных линей-
линейных комбинаций" произведений функций.] Чтобы различать между
собой эти различные системы партнеров, мы будем применять обо-
обозначение Wfx^\ s=\ nv \=1 (M-vA,). Функции Ч^тя.)
будут линейными комбинациями произведений i№'(p<v>:
^т*) = фу^(цу, vZ|Xv> E.109)
(Условимся о суммировании по повторяющимся латинским буквам,
суммирование же по греческим буквам всегда будем указывать в явном
виде.) Коэффициенты (\xj, vl\hxks) в E.109) называются коэффи-
коэффициентами Клебша — Гордана. (Другие их названия: коэффициенты
Вигнера или коэффициенты векторного сложения. Поскольку эти
названия используются для групп частного типа, мы предпочитаем
более общее название.)
Общее число функций Ч^ **¦) должно быть равно общему числу
произведений функций i№\pjv>
S(HvA.)«fc = ^v. E.110)
поэтому коэффициенты Клебша — Гордана (\ij, vl\Xx}s) образуют
матрицу порядка п„пу. Равенство E.109) является не чем иным, как
§ 7. Коэффициенты Клебша — Гордана 179
описанием связи между двумя различными базисами W( т*' и ф'^'ф^'
пространства представления кронекеровского произведения. Другой
способ описания этой связи состоял бы в выражении произведений
ф . cpjv' в виде линейных комбинаций функций Ч-^ т^
lV) (б л 09а)
Это соотношение является обратным по отношению к соотношению
E.109), так что
A'х[У | цу, vf) (цу, v/1 A,V) = &и\г;Д-. E.111)
2 (цУ. v;' \Xxxs)(kxis\nj, \l) = 6jj.6w E.111a)
Задача. Пользуясь равенствами E.109), E.109а) и линейной незави-
независимостью базисных функций, выведите соотношения E.111) и E.111а).
Чтобы упростить нашу задачу, предположим, что мы имеем дело
исключительно с унитарными представлениями. В этом случае E.109)
означает переход от одной ортонормированной системы ф^'ф^) к дру-
другой Ч1"^ Tw с помощью унитарной матрицы (цу, v/1 Ят?$), так что
(%xks\ixj, v/) = (ny, \l\Xxxsf, E.112)
(li/, vlll'x'^sj^j, W|A,v) = 6JJt,uv.ftw,, E.1116)
2(цУ'. vr|^v)(ny, v/|^5)* = 6/r6H.. E.111b)
Подействуем теперь на равенство E.109) оператором OR, соот-
соответствующим элементу R группы О:
О
где матрицы D^ x^(R) должны выбираться по некоторой фиксиро-
фиксированной схеме; в частности, мы можем (и будем) выбирать их так,
чтобы при всех х% они были одинаковыми, т. е.
Воспользуемся равенствами E.7) и E.7а)
) = ч/(*х>я?х) (R) = tfVflp- vA IXVO I>№ (R),
E.113)
) e Or [*yy;>] (w, v/1 a,V) = o^'o^ H- w | я,V) =
= Ф^Ф^У (Я) 47 W (W- v/1 X,V). E.113a)
180 Глава 5. Различные операции с представлениями групп.
Поскольку произведения ф^У^ образуют систему линейно незави-
независимых функций,
D(« (/?) ?)<;/ (R) (ц/. v/1 а,V) = (ц*. v* | a, V') D&*> (/?). E.114)
Равенство E.114) можно переписать в нескольких видах, удобных
для приложений. Применяя равенство E.111), мы можем перенести
коэффициенты Клебша — Гордана в левую часть, в результате чего
(hWvt | yd, vk) Df} (R) D$ (R) (lij, vZ1Я.v) =
^h,bx^ibts,. E.115)
Равенство E.115) означает, чго матрицы D (R) X D(V)(R) кронекеров-
ского произведения можно с помощью трансформирования матрицей
(\ij, \l\X\s) коэффициентов Клебша — Гордана представить в кле-
точно-диагональном виде. Первый множитель в левой части можно
также записать в виде (ц/, vft \ к i\'t) . Пользуясь соотношением E.111а),
мы можем перенести коэффициенты Клебша — Гордана в правую
часть E.114), что приведет к соотношению
Dfj (R) D<? (/?) - 2 (I* v/г | кv') D$y (R) (Й,V | pj, vZ), E.116)
задающему обратное преобразование от клеточно-диагонального вида
к кронекеровскому произведению.
Умножив на D(s x^> (R), мы можем перенести матрицу предста-
представления из правой части E.114) в левую. Точно так же в равенстве
E.116) мы могли бы воспользоваться соотношениями ортогональности,
чтобы перенести все матрицы в одну часть равенства. Однако мы
видим, что такая операция приводит к уравнениям, несимметричным
по ц, v, X.
§ 8. Просто приводимые группы
Мы можем получить коэффициенты сложения, обладающие более
высокой симметрией, если будем выбирать группы специального вида.
Прежде всего предположим, что характеры всех неприводимых пред-
представлений группы О вещественны. Отсюда следует, что каждое
представление эквивалентно своему комплексно сопряженному и что
представлений типа 3 (см. § 5 гл. 5) нет. Все неприводимые пред-
представления группы О — целые или полуцелые. Этому условию удовле-
удовлетворяет весьма широкий класс групп: группа вращений, группа ква-
кватернионов, большинство кристаллографических точечных групп и все
симметрические группы Sn. Действительно, мы увидим позднее, что
все неприводимые представления симметрической группы Sn можно
выбрать так, чтобы они были вещественными, в результате чего мы
получим лишь целые представления.
§ 8. Просто приводимые группы 181
Вторая трудность в общем случае возникает вследствие того, что
коэффициент (jlivA) может быть больше единицы. Это обстоятельство
делает определение коэффициентов Клебша — Гордана неоднозначным,
поскольку мы можем выбирать произвольные линейные комбинации
2c^4f4 E.117)
оставляя представление по-прежнему приведенным к клеточно-диаго-
нальному виду. Если бы каждое представление D ' входило в кро-
кронекеровское произведение с кратностью, самое большее равной еди-
единице, то коэффициенты Клебша — Гордана были бы менее неопре-
неопределенными. Из E.117) мы видим, что в этом случае мы могли
бы заменять функции Ч^ ' лишь функциями cj.Wj . Поскольку мы
рассматриваем унитарные представления, это означало бы, что \ск\ = 1.
Поэтому единственным произволом в коэффициентах Клебша — Гор-
Гордана был бы фазовый множитель, одинаковый для всех коэффициен-
коэффициентов с одинаковыми ц, v, X.
При рассмотрении симметрической группы мы покажем, что кое-
какие результаты можно получить, несмотря на эту вторую трудность.
Мы будем считать, что в этой главе действуют оба ограничения,
о которых только что говорилось.
Мы скажем, что группа просто приводима (SR-группа), если:
а) каждый элемент группы О эквивалентен обратному,
б) кронекеровское произведение двух неприводимых представле-
представлений группы О содержит каждое неприводимое представление не более
чем один раз.
Условие «а» означает, что все классы группы О амбивалентны,
все характеры вещественны и все неприводимые представления группы О
целые или полуцелые (cM = -f-l или с'^' = —1).
Симметрические группы S3 и 54, группа кватернионов, двумерная
унитарная уиимодулярная группа и трехмерная группа вращений
являются 5/?-группами.
Условие «б» существенно для физических приложений. Из него
следует, что «правильные линейные комбинации» произведений бази-
базисных функций определены с точностью до фазового множителя и
что решение физической задачи однозначно определяется из сообра-
соображений симметрии.
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма. Кронекеровское произведение двух целых или двух полуце-
полуцелых представлений 5/?-группы содержит лишь целые представле-
представления; кронекеровское произведение целого и полуцелого предста-
представления содержит лишь полуцелые представления.
182 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Унитарная матрица 5^, преобразующая представление D^ в его
комплексно сопряженное
V>°V = 0'(|i). C.65)'
удовлетворяет равенству
Зй=сМ5й. E.79)
где с(ц' = +1, если представление Dw целое, и с(ц) = —1, если
D(tl) полуцелое [условие «а»]. Аналогично
Объединяя эти равенства и пользуясь соотношением E.66), полу-
получаем
E.118)
(SJ"xSv) = ^c(v)(S|1X5v). E.119)
Таким образом, унитарная матрица S = SilX $v преобразующая
кронекеровское произведение М = D^' X D в комплексно сопря-
сопряженное, симметрична, если оба представления D и D целые или
полуцелые, и антисимметрична, если одно из представлений целое,
а другое полуцелое:
SMS'^M*, S=±S. E.120)
Обозначим символом U унитарную матрицу коэффициентов Клебша —
Гордана. Тогда
U MU-1 = Мг, U* М*и~х* = М*, E.121)
где Мт—приведенная форма кронекеровского произведения М. Из
условия «б» следует, что Мт имеет вид
E.122)
где Db D2 Ds — неэквивалентные неприводимые представления.
Из E.121) имеем
M = U^MrU. E.123)
Объединяя этот результат с E.120), получаем
M*.
M; E124)
§ 8. Просто приводимые группы 183
или
SrMrSj1 = М"г, SrMr = M'rSr. F.125)
где
Sr^U'SU'1. E.126)
Воспользуемся соотношениями E.120), E.126) и унитарностью
матрицы U, тогда
Sr=*Q-1$U'' = f/*SL/-1 = ±U*SU-1 = ±Sr. E.127)
Разобьем матрицу Sr так же, как матрицу Мг в E.122), и обо-
обозначим подматрицы символом Stj (t, j = 1 s). Равенство E.127)
означает
S}l^±gtJ. E.128)
Из равенства E.125) получим
StjDj—DiSij. E.129)
При / Ф j представления Di и Dj неэквивалентны, в силу чего
из E.129) и лемм Шура следует, что 5у = 0 при i Ф j'. Таким
образом, матрица Sr имеет тот же к леточно-диагональный вид E.122),
что и матрица Мт. Из E.129) при / = У имеем
—D], E.130)
из E.128) получаем
SU=±SU. E 131)
Таким образом, каждая из подматриц Dt матрицы Мг преобразуется
в комплексно сопряженную матрицей Su, которая симметрична, если
оба представления целые или оба представления полуцелые, и антисим-
антисимметрична, если одно представление целое, а другое полуцелое.
Коэффициенты (|nvA.) ряда Клебша — Гордана должны быть больше
или равны 0. Для любой группы числа №) равны либо ±1, либо 0.
Таким образом,
(Hv^J > cWcWcM (jivA,). E.132)
Знак равенства в E.132) выполняется лишь в том случае, когда
либо (|J.vA,) = O, либо (|мЛ)=1 и c^c^'cW = 1. Суммируя по всем
неприводимым представлениям, получаем
2 (M-vA,J > 2 с^сМсЫflivA,), E.133)
где знак равенства имеет место лишь в том случае, если при всех
IX, v и X либо (укхХ) — 0, либо (nvA-)—1 и c^c^'cW = 1. Но из
нашей леммы еле чует, что именно так и происходит в случае SR-
групп. Поэтому знак равенства в E.133) является необходимым и
достаточным условием для того, чтобы группа была 5/?-группой
184 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Для любой группы G правую часть неравенства E.133) можно
переписать с помощью E.105а) и E.87) в виде
J_ ^ ^ C(H)CWC(J.)X(H) (fl)
- EЛ34)
Еще раз воспользовавшись соотношением E.105а), для левой части
неравенства E.133) получим
RR'
Суммы по ц, v, X можно вычислить в отдельности с помощью
соотношения полноты E.41), откуда
где gR—число элементов в классе, содержащем элемент R. Под-
Подставляя в неравенство E.133) выражения E.135) и E.134), получаем
-J; E.136)
таким образом мы доказали следующее:
Неравенство E.136) выполняется для любой конечной группы.
Знак равенства имеет место в том и только в том случае, если
группа просто приводима.
Согласно нашей лемме, в случае S/?-rpynn кронекеровское произ-
произведение D№ X ?>ад любого представления на себя содержит лишь
целые представления. Это произведение всегда можно разложить на
симметричную и антисимметричную части:
D(tl) X Dw = [D(tl) X Dw] + [Dw X D(tl)}. E.28)
Если D' — целое представление,то неприводимые представления,
содержащиеся в [D(|i) X O(|l)]. называются четными представле-
представлениями, а неприводимые представления, содержащиеся в {D(tl) X D(n)),
называются нечетными представлениями. Наоборот, если D(tl) —
полуцелое представление, то представления, содержащиеся в его
дцмцетризованном квадрате, называются нечетными, а те из них,
§ 8. Просто приводимые группы 185
которые содержатся в антисимметризованном квадрате, назы-
называются четными. Теперь докажем следующую теорему.
Теорема. Представление 5/?-группы не может быть одновре-
одновременно четным и нечетным.
Для доказательства теоремы воспользуемся равенствами E.32)
и E.33):
HW X XW (R)] = j [(xw (R) )* + XW (Я2)]. E.32)
1 n
Условие того, что два представления не имеют общих неприво-
неприводимых частей, имеет вид
2 Х(а> (#) х(Р) (Я) = 0, E-44)
R
где, кроме того, сумма никогда не может быть меньше нуля. Поль-
Пользуясь соотношениями E.32), E.33), E.44) и определениями четных
и нечетных представлений, мы обнаружим, что наша теорема экви-
эквивалентна утверждению:
Zi\\X (Rjj+c % [R )\[\% (R)) —c X ЧЯЛ^0 E.137)
R
при всех \i и v, либо
2 21(ХМ (Я)J + ^>Х№И] [(X(v) (Я) Г - c(vVv) И1 = 0. E.137а)
Воспользуемся формулой E.87), в которой положим S — R2:
и преобразуем вторые члены, стоящие в сомножителях равенства
E.137а). К первым членам, стоящим в скобках, применим соотноше-
соотношение полноты E.41):
Тогда левая часть E.137а) преобразуется к виду
] • EЛ38)
R '
186 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Но из определения ?($) следует
2 К (S)]3 = 2 К (S)]2 С E) = 2 1С (S)]2 б5, Л, = 2 1С (Я2)]2. E.139)
5 5 5, Л R
Наша предыдущая теорема [соотношение E.136), в котором стоит
знак равенства, поскольку мы рассматриваем 5/?-группу] утверждает,
что E.138) обращается в нуль, а это и требовалось доказать.
Теорема отнюдь не утверждает (и это следует особо подчерк-
подчеркнуть), что всякое целое представление либо четно, либо нечетно.
Может случиться, что какое-нибудь конкретное целое представле-
представление не содержится в квадрате ни одного представления. Такое пред-
представление не является ни четным, ни нечетным.
Задача. Рассмотрите группу О, состоящую из восьми элементов: 1,
— 1, х, —х, у, —у, г, —г с таблицей умножения
*2=_y2 = l, z2 = — 1, ху = — yx = z,
хг = — zx—y, zy = —yz = x.
Какая связь существует между »той группой О и группой кватернио-
кватернионов? Постройте таблицу характеров группы О. Покажите, что двумерное
представление группы G целое, но не содержится в квадрате никакого
представления.
§ 9. Зу-символы
В этом параграфе мы будем пользоваться обозначениями, вве-
введенными Вигнером, в основе которых лежат обозначения для трех-
трехмерной группы вращений. Неприводимые представления мы будем
обозначать символами /ь /2 и т. д., а строки и столбцы матриц —
греческими буквами. Мы будем придерживаться соглашения о сумми-
суммировании по повторяющимся греческим индексам. Во всех же осталь-
остальных случаях суммирование будет указываться в явном виде. Размер-
Размерность представления D * будем обозначать символом [/J.
В § 7 настоящей главы разложение кронекеровского произведе-
произведения можно было производить как по представлениям, комплексно
сопряженным с неприводимыми представлениями, так и по самим
неприводимым представлениям. Определим унитарную матрицу U
с матричными элементами
которая разлагает кронекеровское произведение представлений D
и D('2) в сумму представлений D*^J'\ Величина
E.141)
называется Ъ]-символом.
§ 9. Sj-символы 187
В этих обозначениях можно переписать все равенства § 7 на-
настоящей главы. Вместо E.1116) и E.111в) мы получаем условия
унитарности:
ж
l i X ? 3'-^
Равенства E.115) и E.116) заменяются равенствами
л
h
а равенство E.114) — равенством
/л л %(Л)О^(Я)=о^(Л)(л л Уз
\Xj Х2 Из/ ' 2 ' ' V^l ^2 ^8,
Поскольку представления унитарны, мы можем, умножив E.145) на
D(J'\(R), перенести все матрицы представлений в левую часть этого
равенства:
(J\ h
Перейдя в равенстве E.146) к сопряженным величинам, используя
унитарность представлений и заменяя R'1 на R, получаем
ЗУ-символ полагается равным нулю, если {j\J2Jz) — Q> поэтому нет
необходимости указывать пределы суммирования по j. Полагая в E.142)
У = У = Уз, и' = х = %3 и суммируя по х3, получаем
л/ 1/ / \ 1/ Л/
Выберем это обозначение, специально приспособленное для трех-
трехмерной группы вращений, и положим (—1J'=1, если j — целое
188
Глава 5. Различные операции с представлениями групп
представление, и (— 1J; =
Тогда мы можем записать
1, если j — полуцелое представление.
'к
:(-1J
Щ
E.148)
поскольку по лемме § 8 настоящей главы 3/-символ обращается
в нуль, если
Можно также условиться, что (—1)-'=1, если j— четное представ-
представление, и (—1У = —1, если j — нечетное представление. Если же
j — представление, не являющееся ни четным, ни нечетным, то (— 1)^
можно произвольно положить равным 1. При полуцелом j можно
произвольно положить (—l)-' равным i или —i, но после того, как
выбор произведен, значение (— 1)-^ всюду должно быть одним и
тем же.
Приведенное кронекеровское произведение коммутирует с любой
диагональной матрицей, в которой все диагональные элементы, соот-
соответствующие данному неприводимому представлению, одинаковы.
Поэтому Зу'-символ можно умножать на величину (?>(ji, j2, /3), зави-
зависящую от j\, j2, у'3, но не зависящую от щ, х2, х3. Если представ-
представление должно быть унитарным, то |сор=1.
Воспользуемся соотношениями ортогональности C.137), чтобы
преобразовать E.144) к виду
(^ h Jfj(J; B C) E.149)
Замена коэффициентов Клебша—Гордана Зу'-символами с множителем
[Л]''2 позволяет нам сделать это равенство симметричным относи-
относительно матриц представлений. Полагая в E.149) хг = Я,г, находим, что
и т. д., E.150)
'к Л Л\2= Ik к к\2 = (к к к
. Л1 Л>о Л>7 / V Лд Л1 Ло / \ Л-Q /Vi /Vo
т. е. что абсолютное значение Зу-символа не изменится, если пере-
переставить столбцы.
Докажем далее, что всегда можно так выбрать фазовые множи-
множители со^уУз). что
J\ Зч Зъ \ , <ч /,+ /,+ /, (J2 J\ Зз
щ
. . . I и h L\
, E.151)
= (-
откуда с помощью соотношения E.148) получим
'3\ к З'Л (к к З'Л (к к Зч
E.152)
§ 9. 3'1-символы ¦ 189
Иначе говоря, фазовые множители всегда можно выбрать так, чтобы
3/-символы не изменялись при четной перестановке столбцов и
умножались на коэффициент (—iy>+-;2+-/' (равный + 1) при нечетной
перестановке.
Чтобы получить равенства E.151) и E.152), выберем какой-нибудь
конкретный набор и10, и20, и30, для которого Зу'-символ
Л Л Л
и10 и20 х30
не обращается в нуль. Из E.150) мы видим, что для этой тройки %
не будут обращаться в нуль и Зу-символы с переставленными столб-
столбцами. Выберем теперь фазовый множитель ю (/1/2/3) так, чтобы 3/-сиывол
Л h h
%i0 х20 >с30
был вещественным и положительным. Выберем, далее, фазовый мно-
множитель @G*2/1/3) так- чтобы выполнялось первое из равенств E.151).
Это всегда возможно, если j\=hji> поскольку в этом случае множи-
множитель со (/2/1/3) не зависит от cu(/,/2/3). Если же _/1=/2, то первое
из равенств E.151) означает просто
Л ¦
т. е. представление /3 содержится в симметричном квадрате пред-
представления /], если представление /з+2/j четно, и содержится
в антисимметричном квадрате j\, если у3 —|— 2у'г нечетно. Аналогично,
мы можем сделать так, чтобы выполнялось второе равенство E.151)
[а следовательно, и E.152)] при х10, и20, и3о- Но в этом случае,
если в E.149) вместо %1 подставить %ю, мы увидим из симметрии
левой части равенства, что равенства E.151) и E.152) будут выпол-
выполняться при всех кг, Х2, Я.З- Эти равенства сохранятся, если все
3/-символа умножить на фазовые множители со(/]/2/3), полностью
симметричные по j\, /2, /3.
Далее мы рассмотрим E.144) в частном случае, когда /2 есть
единичное представление. Обозначим это представление /2 = 0, а его
единственную строку (и столбец) обозначим индексом х2 = 0. Кронеке-
ровское произведение представлений D(Jl) и D(o) содержит только
представление D(/l), так что в этом случае из E.144) следует:
190 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
т. в. унитарная матрица
О j
o х)"
которую мы будем называть lj-символом, преобразует представле-
представление D1 в комплексно сопряженное:
<5154>
Перейдя в E.154) к комплексно сопряженным величинам, получим
Для этого частного случая условия унитарности E.142) и E.142а)
сводятся к условиям
W- E.155а)
Равенство E.151) сводится к равенству
/ \
E.156)
которое является лишь иной формой утверждения E.79): матрица,
преобразующая представление в комплексно сопряженное, симметрична
либо антисимметрична в зависимости от того, является ли это пред-
представление целым или полуцелым.
Фактическое вычисление Зу-символов (или коэффициентов Клебша—
Гордана) зависит от конкретной структуры группы. Мы остановимся
на этом вопросе при рассмотрении представлений отдельных групп.
ГЛАВА б
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Классификация уровней энергии
Мы уже в некоторых случаях отмечали связь между представле-
представлениями групп и квантовомеханическими задачами. Если мы изучаем
какую-нибудь атомную систему, то мы прежде всего должны найти
группу симметрии ее гамильтониана, т. е. совокупность преобразова-
преобразований, которые оставляют этот гамильтониан инвариантным. Наличие
у системы группы симметрии обусловливает возможность вырожде-
вырождения. Если ф — собственная функция, соответствующая энергии е, то
функция Одг[) также будет принадлежать энергии е (R — произволь-
произвольный элемент группы симметрии О). Этот уровень энергии оказыва-
оказывается вырожденным, если Од$фС$ при всех R. Собственные функции,
принадлежащие данной энергии е, образуют базис некоторого пред-
представления группы О. В большинстве случаев это представление будет
неприводимым. Только в редких случаях при весьма специальном
выборе параметров мы получим „случайное" вырождение, при котором
системы функций, принадлежащие различным неприводимым пред-
представлениям, будут отвечать одной и той же энергии. Ясно, что
партнеры, образующие базис для одного из неприводимых пред-
представлений группы О, должны соответствовать одному и тому же
значению энергии, поскольку операции группы симметрии преобразуют
их друг в друга. Но каждая из двух различных систем партнеров i[>/
и <p^v)> даже если они служат базисами одного и того же неприво-
неприводимого представления группы G(jj, = v), в результате преобразований
переходят снова только в себя, и из соображений симметрии отнюдь
не следует, что они соответствуют одному и тому же значению
энергии.
Поэтому мы можем предположить, что в общем случае совокуп-
совокупность собственных функций, принадлежащих данной энергии е, явля-
является совокупностью партнеров и образует базис одного из неприво-
неприводимых представлений группы симметрии. Уже одно это многое говорит
нам о той степени вырождения, которую следует ожидать. Например,
если мы рассматриваем систему, обладающую группой симметрии О,
то из таблицы характеров (см. табл. 22) можно увидеть, что уровни
энергии этой системы могут быть только одно-, дву- и трехкратно
вырожденными. Однократно вырожденные уровни будут двух типов
в зависимости от того, принадлежат ли они представлениям А1 или А2.
192 Глава 6. Физические приложения
Собственные функции простых уровней этих двух типов отличаются
своим поведением при операциях С4 и С2. Все двукратно вырожден-
вырожденные уровни будут одного типа и принадлежат двумерному пред-
представлению Е. Наконец, трехкратно вырожденные уровни могут быть
двух различных типов, соответствующих представлениям Fx и F2.
Если отвлечься от возможности случайного вырождения, то перечис-
перечисленные типы являются единственно возможными типами уровней. Хотя
обозначения, которыми мы будем пользоваться, могут показаться
странными (на самом деле мы делаем в точности то же самое, что
делается в обычных квантовомеханических рассмотрениях), мы будем
каждой собственной функции ф'- приписывать два квантовых числа
ц и I, чтобы описать ее поведение при операциях, принадлежащих
точечной группе симметрии. Точно так же, как мы увидим позднее,
когда группой симметрии будет служить полная группа вращений,
мы будем приписывать функции фт квантовые числа / и т, чтоб^
охарактеризовать ее поведение при вращении и инверсии (функция
считается соответствующей /ге-й строке 1-го неприводимого пред-
представления).
Итак, для системы с симметрией О может оказаться типичной
следующая схема уровней:
г. (Е) (Е)
* * [_, . (П . (П п t
'' ' '"'' ' ¦*" '""""' —-—— _ /(/"*») . (р. ) ( р". "\
' А,;
Е;
• : А,-
На этой схеме мы начертили два уровня, принадлежащих Л^пред-
ставлению. Из того, что они изображены в виде уровней с разл \ч-
/Л \ /А \
ными энергиями, следует, что функции ф- 1 и ф; " ллнейно незави-
независимы. Если бы эти функции были линейно зависимы, им должна
была бы отвечать одна и та же энергия. Аналогично для двух уров-
уровней, обозначенных буквой Е, функции ty\ и i[>2 являются партнерами,
преобразующимися по представлению Е и соответствующими, таким
§ 2. Теория возмущений 193
образом, одной и той же энергии. Функции ф'х?) и Ф^е) также явля-
являются партнерами, но функции ф и ф не связаны между собой никакой
линейной зависимостью.
§ 2. Теория возмущений
Невозмущенный гамильтониан Но был инвариантен относительно
своей группы симметрии О. Предположим теперь, что на систему
наложено некоторое возмущение V. Возмущенный гамильтониан
будет иметь группу симметрии, которая должна быть некоторой под»
группой группы О. Если возмущение V обладает симметрией, кото-
которая по крайней мере не ниже симметрии гамильтониана Но, то
группа О будет по-прежнему группой симметрии полного гамиль-
гамильтониана Н. В этом случае возмущение не изменит возможных типов
уровней. В самом деле, расщепления вырожденных уровней прои-
произойти не может. Рассмотрим, например, какой-нибудь уровень е и
его собственные функции ф^). Поскольку возмущение V инвариантно
относительно всех операций группы О, функция
принадлежит t-Pi строке ц-го неприводимого представления. Но мы
можем утверждать, что недиагональные элементы
матрицы возмущения равны нулю, а все диагональные элементы равны
между собой, из-за чего и не происходит расщепления уровней.
Докажем наше утверждение в более общем случае, поскольку это
понадобится нам в дальнейшем. Мы утверждаем, что скалярное про-
произведение двух функций, не принадлежащих одной и той же строке
одного и того же неприводимого представления, равно нулю. Обо-
Обозначим эти функции фФ-) и ф<У>. Унитарные операторы группы сим-
симметрии не изменяют скалярного произведения, поэтому
Ы R
7
- 7 2 (^ if
Ы
ы
194 Глава 6. Физические приложения
Положив ц —v, г —у, найдем, что скалярное произведение
(f/*>, <pf) F.2)
не зависит от i. В частном случае
мы получим тот же результат. Следует обратить особое внимание
на то, что этот уровень не может расщепиться ни в каком прибли-
приближении. Ибо если бы он расщепился, то это означало бы, что исход-
исходное представление, вопреки нашему предположению, было приводимым.
Если произойдет случайное вырождение, мы будем предполагать,
что г-я система партнеров (образующих базис r-го неприводимого
представления) обладает энергией Ет и что энергии Ет случайно
совпадают друг с другом. Если на систему наложено какое-то сим-
симметричное возмущение V, то оно в лучшем случае может уничтожить
это случайное вырождение. Если представление D такого уровня
является суммой неприводимых представлений, каждое из которых
входит в эгу сумму ровно один раз, то в этом случае теория воз-
возмущений несложна, ибо, согласно F.1), отличными от нуля будут
только диагональные элементы представления, а согласно F.2), они
будут одинаковыми для всех партнеров:
Если же одно и то же неприводимое представление входит в пред-
представление D несколько раз, то появляются недиагональные элементы
вида
Чтобы получить собственные функции нулевого порядка в этом
случае, мы должны решить секулярное уравнение для всех функций,
принадлежащих одной и той же строке одного и того же неприво*
димого представления. Сделать это нетрудно. Например, если какое-
нибудь неприводимое представление встречается дважды, нам при-
придется найги только определитель матрицы 2X2, так как для всех I
строк представления мы получим одно и то же секулярное уравнение.
Если возмущение V обладает более низкой симметрией, чем
гамильтониан Но, то полный гамильтониан Н будет обладать группой
симметрии G', являющейся некоторой подгруппой группы G. Пред-
Предположим, что нам дано некоторое представление D(G) группы О.
Мы тотчас же получаем некоторое представление ее подгруппы G',
выбирая среди матриц D(G) те, которые соответствуют элементам G'.
Даже в том случае, когда представление D (G) группы G неприво-
димо, представление подгруппы О', получаемое нами по этому методу
[назовем его D'(О')\, может оказаться приводимым. Иначе говоря,
§ 2. Теория возмущений 195
несмотря на то, что мы не можем найти подсистему базисных векто-
векторов представления D(O), которая бы оставалась инвариантной отно-
относительно всех преобразований группы G, может случиться так, что
мы сумеем найти какое-нибудь подпространство, инвариантное отно-
относительно всех преобразований подгруппы G'. Если сказанное пере-
перевести на язык физики, то это означает, что, несмотря на то что
собственные функции, принадлежащие энергии е, образуют базис
неприводимого представления группы G, это представление для под-
подгруппы G' может оказаться приводимым. В этом случае возмуще-
возмущение V расщепит уровень. Проиллюстрируем этот метод на несколь-
нескольких примерах.
Предположим, что группой симметрии невозмущенного гамиль-
гамильтониана служит группа (?4. Как показано в гл. 4, все неприводимые
представления этой группы одномерны, но пара комплексно сопря-
сопряженных представлений Е отвечает одному и тому же уровню. Если
мы наложим возмущение, обладающее симметрией группы С?2, то
вырожденный Е-уровень расщепится на два уровня, принадлежащих
представлению В группы С?2-
Предположим далее, что группой симметрии G является группа QZv.
Уровни классифицируют по представлениям Ль Л2, Е группы QZv.
Уровни последнего типа двукратно вырождены. Если группа сим-
симметрии G' полного гамильтониана есть группа Gs, то вырождение
исчезает. Чтобы найти те представления группы Qs, которые содер-
содержатся в представлении Е группы G3v, выпишем часть таблицы харак-
характеров группы G3v, соответствующую операциям подгруппы Gs:
E; x, у
и воспользуемся соотношением C.150), чтобы найти, какие неприво-
неприводимые представления группы Qs содержатся в Е. Для представле-
представления А' группы Qs найдем:
л — ГО
для представления А":
поэтому Я-уровень группы GZv расщепится на уровни типа А' и А"
группы Gs.
В качестве еще одного примера предположим, что группой сим-
симметрии О является группа Т тетраэдра. Рассмотрим уровень,
196
Глава 6. Физические приложения
принадлежащий представлению F. Этот уровень будет трехкратно
вырожденным. Характеры равны
С2C)
—1
С, D)
О
С2, D)
О
Предположим, что возмущение таково, что полный гамильтониан
обладает группой симметрии D2^V. Из приведенной выше таблицы
отберем характеры для элементов подгруппы V:
¦ЧХ
—1
—1
Из соотношения C.150) и таблицы характеров группы V (см. табл. 14)
находим
йл, = Т
-1A)- 1A) -1A)]- О,
1 ( 1 \ 1 / 1 \ 1 /\ \\ 1
Итак, представление F группы Т содержит представления Вх, В2
и В3 группы V.
Далее, в случае представления F группы Т предположим, что
полный гамильтониан обладает группой симметрии 6?3- Выпишем ту
часть таблицы характеров, которая относится к подгруппе (?3:
Пользуясь соотношением C.150) и таблицей характеров для группы С?3.
найдем
«л =4 [3AL-0A)+ оA)] = 1.
Таким образом, F-уровень группы Т расщепляется на А- и ^-уровни
группы С?3.
Наконец, предположим, что полный гамильтониан обладает сим-
симметрией 62:
1 Е I С2
3 —1
§ 3. Правила отбора 197
Из C.160) получим
Итак, /^-уровень расщепляется на три невырожденных уровня, один
из которых принадлежит представлению А, а два других — предста-
представлению В группы (?2.
Задача. Рассмотрим систему, обладающую симметрией группы О.
Предположим, что на эту систему наложено возмущение, которое пони-
понижает ее симметрию до симметрии: а) группы Т, б) группы D3, в) группы V
с тремя осями 2-го порядка, соединяющими середины противоположных
ребер (см. фиг. 35), г) группы V с двумя из трех осей 2-го порядка, соеди-
соединяющими середины противоположных ребер (см. фиг. 35), д) группы 64.
В каждом случае найдите, как уровни, принадлежащие представле-
представлениям Е, Fi и F2 группы О, расщепляются в результате наложенного
возмущения.
§ 3. Правила отбора
В § 1 настоящей главы мы рассмотрели классификацию уровней
энергии по неприводимым представлениям группы симметрии невоз-
невозмущенного гамильтониана. Коль скоро схема уровней получена, мы
должны задать себе вопрос, каковы правила отбора для оптических
переходов между различными (вырожденными) уровнями, или, в более
общем виде, мы должны задать себе вопрос, какие элементы матрицы
возмущения V обращаются в нуль.
Если случайного вырождения нет, то собственные функции каждого
уровня образуют базис одного из неприводимых представлений
группы симметрии. Матричный элемент величины /, соответствую-
соответствующий переходу между состояниями, принадлежащими ц- и v-пред-
ставлениям группы симметрии, будет иметь вид
/7; = J W№?> ^ = (Ф?°. /<P<,V)> F -3)
где ф^) принадлежит /-Й строке ^-представления, a <p(.v> принадлежит
/-й строке v-представления. Равенство F.1) означает
<р^>) = 0, если \хф\ или 1ф/. F.4)
Если в равенстве F.4) мы выберем в качестве (^-представления
единичное представление (в случае единичного представления мы
должны взять ц=«»1), то функцию v|)^ можно выбрать равной кон-
константе (константа инвариантна относительно всех преобразований
198 Глава 6. Физические приложения
точечной группы и вследствие этого принадлежит единичному пред-
представлению). Тогда F.4) перепишется следующим образом:
\ (pWdx — Q, если только \ф1. F.5)
Пользуясь теоремой о разложении C.193), можно сказать, что
для любой функции
J фЛт = J ф<» dx= ir J 2 ОЛ* rfr. F.6)
R
где фA) означает ту часть функции ф, которая принадлежит еди-
единичному представлению.
Равенство F.5) легко вывести независимо для случая, когда
v-представление одномерно. Интеграл от функции ф по всему про-
пространству не изменится, если мы преобразуем функцию ф в Олф,
где R—любое вращение или отражение. Таким образом, для всех R,
принадлежащих группе О,
f ф dx = J
Для одномерного представления Одф = гф, где г — некоторый число-
числовой множитель, откуда следует, что
Г фйт = г J фйт = 0,
если только г не равно 1 для всех R. Следовательно,
если только v ф 1. Обобщение последнего доказательства на случай
представлений большей размерности утомительно, в то время как
доказательство, приведенное выше, носит весьма общий характер.
Теперь мы можем результат F.1) сформулировать еще и следую-
следующим образом: произведение ф'/'^орМ содержит часть, остающуюся
инвариантной относительно всех операций группы О тогда и только
тогда, когда n = v, i — j- Что касается интеграла F.3), то можно
сказать, что /?J = 0, если только /q/yv) не содержит функции, при-
принадлежащей /-й строке ^-представления. Если функция / является
скаляром, то она принадлежит единичному представлению. Если мы
рассматриваем дипольный момент системы, то / имеет три компоненты
и т. д. Во всяком случае, функция (или функции) /, фигурирующая
§ 3. Правила отбора
199
в интеграле F.3), является базисной функцией (базисными функциями)
одного или нескольких неприводимых представлений группы О.
Предположим, что / пробегает систему функций щ?, образующих
базис р-представления группы О. В этом случае переход между
ц- и v-уровнями будет запрещен лишь при условии, что ни одно
из произведений 0(Р»ф(у) или ни одна линейная комбинация таких
произведений не принадлежит [х-представлению. Если jj,-представле-
jj,-представление не содержится в произведении представлений D и D , то
соответствующий переход запрещен.
Пользуясь E.15) при вычислении характера каждого элемента
в произведении представлений, разложим это произведение на не-
неприводимые представления и подсчитаем, используя C.150), сколько
раз каждое неприводимое представление входит в него. [После
выполнения этих двух этапов вычислений мы получим коэффициенты
ряда Клебша — Гордана E.108).] При построении полной таблицы
правил отбора более удобно следовать именно этому методу, нежели
объединять эти два этапа и пользоваться соотношением E.105).
Проиллюстрируем метод на примере группы Qiv. При рассмотрении
этого первого примера мы перепишем еще раз таблицу характеров
(см. табл. 17), но в последующих примерах приводить таблицу мы
не будем. К таблице характеров присоединим характеры всех произ-
произведений представлений:
А,; г
R» Аг
Rx, Ry; E; х, у
АХА
АХ Л
АХ-Е
А X А
АХ?
ЕХЕ
Е
1
1
2
1
1
2
1
2
4
С3B)
1
1
—1
1
1
—1
1
—1
1
1
—1
0
1
—1
0
1
0
о
МЗ)
= А
= А
= Е
= А
= Е
= А1+Аг + Е
F.7)
Ясно, что ббльшую часть результатов можно получить, обозревая
эту таблицу. Во-первых, произведение единичного представления
и любого другого представления дает только последнее представле-
представление (так как фA)ф(у)== <p(v)y Во-вторых, произведение двух одно-
одномерных представлений есть представление одномерное и должно
быть неприводимым. Единственным приводимым произведением пред-
представлений в рассматриваемой таблице является произведение Е X ?•
20O Глава 6. Физические приложения
Это представление четырехмерно, сумма квадратов модулей его
характеров равна DJ-j-2(lJ= 18. Из C.151) имеем
или
с единственным решением
так что
?• X ?• = Лх + Л2-|-?•. (.6.8)
Тот же результат можно получить и из C.150):
F'8a)
«я = -g" КО D) B) + B) A) (-1) + C) @) @)] = 1.
Равенство F.8) означает, что если мы возьмем произведения
функций одной системы партнеров, принадлежащих представлению Е,
и функций другой системы партнеров, принадлежащих тому же
представлению Е, то мы получим четыре функции, образующие
базис представления Е X Е- Можно найти такую линейную комбина-
комбинацию этих произведений функций, которая принадлежит представле-
представлению Ах; другая линейная комбинация будет принадлежать представле-
представлению Л2 и две линейные комбинации, образующие систему партнеров,
будут принадлежать представлению Е. Заметим, что в таблице
характеров z принадлежит представлению Ах, а х и у, образующие
систему партнеров, принадлежат представлению Е. Тройка функций
Р = (Рх, Ру, Pz) называется (полярным) вектором, если эти функции
преобразуются как компоненты радиуса-вектора г = (х, у, г). Таким
образом, для любого вектора Р компонента Pz принадлежит пред-
представлению Аъ а компоненты Рх и Ру, составляющие систему парт-
партнеров, принадлежат представлению Е. Если заданы два (полярных)
вектора Р и Q, мы имеем две системы партнеров, принадлежащих
представлению Е: Рх, Ру; Qx, Qy. Произведение представлений
В Х.Е имеет в этом случае базисные функции
В этом простом примере линейные комбинации, принадлежащие
представлениям Ах, А2, Е, можно найти, рассматривая таблицу.
Тем не менее мы получим этот результат непосредственно, чтобы
§ 3. Правила отбора
201
получше ознакомиться с произведением представлений. В § 2 гл. 4
мы выписали матрицы группы Qiv в представлении Е:
E
Оп
О 1
з
е О
о*
V'
1 Ге2 01 ГО 11 ГО el ГО е2!
' [о ej' [l Oj' [# oj' |e oj' F"9)
где базисными функциями были функции либо e'f и e~lf, либо
x-\-ty и х—iy, либо Рх-\-1Ру и Рх— iPy. Воспользуемся теперь
соотношением E.4), чтобы найти матрицы произведения представлений:
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
Е
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
10 0 0
"е2
0
0
_0
0
0
е2
0
1
0
0
Ov
0
0
1
0
0
0
1
0
"
0
1
0
0
0~
0
0
е_
е~
0
0
0
с\
0 0 0
1 0 О
о о
о о
1 О
О е2
F.10)
оу
0 0 0
О 0 1
,2 —
О
е
1 О О
0 0 0
где строки и столбцы расположены в лексикографическом порядке.
Заметим, что во всех матрицах связаны только компоненты 11 и 22
и компоненты 12 и 21. В силу этого матрицы приводимы. Матрицы,
связывающие компоненты 11 и 22, являются матрицами представле-
представления Е, и поэтому произведения
принадлежат представлению Е. Взяв их линейные комбинации, мы
сможем также утверждать, что
принадлежат Е. Если взглянуть на матрицы, связывающие компо-
компоненты 12 и 21 [базисные функции (Pt-]~iPy) (Qx — iQy) и
(Рх — iPy)(QxJTiQy)]' T0 можно заметить, что для представлений
Е, Сз,
они имеют вид
202 Глава 6. Физические приложения
а для представлений а„, av\ av«—вид
0 П
1 О)'
Взяв в качестве новых базисных функций линейные комбинации
(Рх + iPy) (Qx - lQy) + (Рх - iPy) (Qx + iQy) - 2 (PXQX + PyQy)
и
(Px H- iPy) (Qx — iQy) — (Px — iPy) (Qx + iQy) = 21 (PyQx — PxQy),
можно разложить эти произведения на неприводимые компоненты.
Таким образом,
PxQx+PyQy
принадлежит представлению А1г
PxQy-PyQx
принадлежит представлению Л2;
есть скалярное произведение полярных векторов Р и Q (компонента z
инвариантна относительно всех операций группы С?3г/) и, следова-
следовательно, является инвариантом (скаляром). Величина PxQy — PyQx
является z-компонентой векторного произведения PXQ- Векторное
произведение преобразуется как радиус-вектор при вращениях, но не
меняет знака при инверсии. Величины такого типа называются аксиаль-
аксиальными векторами. Мы можем сказать, таким образом, что z-компо-
нента любого аксиального вектора принадлежит представлению А2
группы G3v.
По таблице характеров мы замечаем, что z (а следовательно,
и Рг) принадлежит представлению А1. Произведение представлений
А1Х Е = Е, поэтому типичными партнерами, принадлежащими произ-
произведению А1 X Е, будут +z (либо ±Рг, либо ±QZ), умноженные
на х и у (либо на Рх, Ру, либо на Qx, Qy). В результате мы обна-
обнаружим, что xz, yz принадлежат представлению Е, то же отно-
относится и к
PXPZ, PyPz; PXQZ, PyQ,-
Следовательно, х- и у-компоненты векторного произведения Р X Q
принадлежат представлению Е так же, как и х- и у-компоненты
любого аксиального вектора. Часто аксиальный вектор обозначают
симзолом /? (/^—означает вращение — типичный аксиальный вектор),
§ 3. Правила отбора 203
В таблице характеров мы будем относить компоненту Rz к пред-
представлению Л2, в то время как компоненты Rx и Ry будут принад-
принадлежать представлению Е.
Рассмотрим теперь правила отбора в случае той же самой группы
симметрии Giv- Матричные элементы задаются интегралами F.3).
Если f = (х, у, г), мы получим правила отбора для электрического
дипольного излучения. Рассмотрим интегралы
J ^n)*fqj(v) dx< (б.П)
где i пробегает значения от 1 до п^, a j — от 1 до nv. Переход
будет запрещен (для электрического дипольного излучения) лишь при
условии, если все эти интегралы обращаются в нуль. Далее мы сде-
сделаем следующее. Из таблицы нам известно, что г принадлежит пред-
представлению Ах группы Qiv. Поэтому система функций Z(p{jUj = 1 п\
образует базис произведения Ах X ?>'v)- Если Ах X <D(V) не со-
содержит D^1, то все интегралы F.11) обращаются в нуль. Анало-
Аналогично, х и у принадлежат представлению Е, поэтому системы функ-
функций дгф'У), yqW (У = 1 п\ образуют базис представления Е X D(v)-
Если Е X O(v) не содержит D<>1\ то все эти интегралы (матричные
элементы х и у) обращаются в нуль. Следовательно, переход между
уровнем, принадлежащим представлению D , и уровнем, принадле-
принадлежащим представлению D(tl), будет запрещен (для электрического ди-
дипольного излучения), если ни Л, X D{v\ ни Е X D(v) не содержат
представления D . Из таблицы F.7) найдем
Л,Х^41 = ^1. А1ХА2 = А2, АгХЕ = Е,
ЕХАХ = Е, ЕХА2 = Е, ЕХЕ^А^Аг + Е. ( }
Переходы А1-++А2 запрещены.
Магнитный дипольный момент является аксиальным вектором,
поэтому магнитные дипольные переходы будут запрещены, если ни
ни EXD(V) не содержат представления Dw. Из F.7) имеем
А2ХА1 = А2, А2ХА2 = Аи А2ХЕ = Е,
FЛЗ)
Поскольку пары Л,-*->Л,, А2*^>-А2 не встречаются, магнитные ди-
дипольные переходы между двумя состояниями, принадлежащими пред-
представлению Ах (или Л2), запрещены.
Следует отметить, что в случае, когда группой симметрии служит
группа чистых вращений, нет никакого различия между аксиальными
и полярными векторами, и правила отбора для электрического и
магнитного дипольных излучений совпадают.
204 Глава 6. Физические приложения
В качестве второго примера найдем правила отбора для электри-
электрического (и магнитного) дипольного излучения для системы с симмет-
симметрией Т. Все компоненты вектора принадлежат представлению F
(см. табл. 21). Поэтому мы составляем произведение 'представлений
F X A, FXE, FXF и, пользуясь соотношением E.15), вычисляем
характеры:
F
F
F
X
X
X
T
A
E
F
i
E
3
CO CO
9
C2C)
—1
—1
—1
4D)
0
0
0
0
4D)
0
0
0
0
С помощью этой таблицы характеров и соотношения C.150) получим
FXA = F, FXE=2F, F X F = A + E-\-2F. F.14)
Следовательно, запрещенными являются переходы
В качестве последнего примера рассмотрим группу симметрии D2d.
Из таблицы характеров мы видим, что Рх и Ру являются партнерами,
принадлежащими представлению Е, a Pz принадлежит представле-
представлению В2. Произведения компонент полярных векторов такие, как
PxQz. PyQz, ™бо PZQX, PzQr либо PZQX~PXQZ, PyQz-PzQy,
образуют пары партнеров, принадлежащих представлению Е X В2 = Е.
Итак, для любого аксиального вектора компоненты Rx и Ry обра-
образуют пару партнеров, принадлежащих представлению Е. С другой
стороны, компонента Rz принадлежит представлению А2. (Это можно
усмотреть из геометрических соображений с помощью методов гл. 2.
Рассмотрим какое-нибудь вращение вокруг оси г. Что произойдет
с этим вращением, если мы сначала произведем поворот на 180°
вокруг некоторой горизонтальной оси или же совершим отражение
в какой-нибудь вертикальной плоскости? Другой метод, который
надлежит испробовать читателю, состоит в разложении матриц пред-
представления Е X Е на неприводимые компоненты, что было продемон-
продемонстрировано нами на примере группы QSv.)
Чтобы найти правила отбора для электрического дипольного излу-
излучения, мы должны определить, какие представления содержатся в про-
произведениях представлений В2 и Е со всеми представлениями группы D2d:
*• ">
§ 3. Правила отбора 205
Зачеши, что в таких группах, как группа D2J, где имеется вы-
выделенная ось (направление оси z), матричные элементы Рг отли-
отличаются от матричных элементов Рх и Ру. Эго различие напоминает
различие между я- и а-компонентами в обычной спектроскопии. Для
компоненты Рг разрешенными переходами оказываются переходы
в то время как для Рх и Ру разрешенными оказываются переходы
Аъ А2, Вх, В2-^>-Е.
В случае магнитного дипольного излучения Rz принадлежит пред-
представлению А2, a Rx и Ry—представлению Е. Для Rz
поэтому разрешенными переходами являются
Л1-е->Л2, В^^В^ E-^t-E.
Для Rx, Ry, а также для Рх и Ру разрешенными являются переходы
Аь А2, Вь В2+->Е.
Задача. Найдите правила отбора для электрических и магнитных ди-
польных переходов, если группой симметрии является а) группа О3<?>
б) группа О.
Пользуясь результатами, полученными в случае „б", укажите разре-
разрешенные переходы для схемы уровней, приведенной в § 1 настоящей главы.
При вычислении матричных элементов, аналогичных матричным
элементам F.3), мы фактически имеем дело с произведением пред-
представлений, состоящим из трех сомножителей. Функция / в F.3)
может пробегать по базисным функциям 0/f некоторого неприводи-
неприводимого представления (например, р-представления). Совокупность функ-
функций ф(.'а)* совпадает во всех рассматриваемых случаях с совокупностью
функций \|з<Я, поэтому если мы возьмем все произведения, состоя-
состоящие из трех функций ^^б'Р'ф'У', то получим какое-то представление,
которое следует обозначить Dw X D{p) X D(v\ До сих пор наш ме-
метод сводился к тому, чтобы установить, содержит ли произведение
D X ?) представление D . Но произведение трех представлений
можно разлагать в любом порядке. Окончательный результат должен
всегда получаться один и тот же. Иначе говоря, мы могли бы сна-
сначала взять произведение D(Ml) X O(v) и посмотреть, содержится ли
206 Глава 6. Физические приложения
в нем представление D . (Если подынтегральное выражение состоит
из нескольких сомножителей, число их может быть произвольным,
то общий метод состоит в том, чтобы взять произведение предста-
представлений, отвечающих сомножителям, DA) X DB) X ?>C) X • • • и по-
посмотреть, содержит ли оно единичное представление.) Например,
в случае группы D2d мы образуем произведения, перечисленные
в табл. 23.
Таблица 23
A, X A, = A, A,
XA2 = A2 A, X B, = B,
XA2 = A, (/42XS, = B2)
B,XB,=A,
( A, X fl2
в,хв2
\A,XE
1 AtXE
| В, ХЕ
1 S2X E
(EXE
= ?1
= e 1
= E\
= e 1
= А, + А2 + В,+Вг)
Чтобы найти правила отбора для электрического дипольного излу-
излучения, мы отыскиваем в разложении произведений представления В2
(матричный элемент Pz) или Е (матричный элемент Рх и Ру).
В табл. 23 переходы первого типа заключены в овальные рамки,
а переходы второго типа — в прямоугольные рамки.
Разумеется, результаты получаются те же, что и раньше.
Задача. Примените этот метод к нахождению правил отбора для ди-
дипольного излучения в случае симметрии, группы Т.
До сих пор мы тщательно следили за тем, чтобы все наши функ-
функции были независимыми. Например, когда мы записывали матричные
элементы
J qfFftfpdx,
то подразумевали, что v ф ц., или же, если ц,- и v-представления
были одинаковыми, считали, что функции i|) и <р образуют две неза-
независимые системы партнеров. Функции i|) и <р одинаковы для диаго-
Таблица 24
Е
ЕХЕ
[ЕХЕ)
{ЕХЕ}
2
4
3
1
—1
1
0
1
0
0
1
—1
§ 3. Правила отбора 207
нальных матричных элементов оператора /. В этом случае мы должны
рассматривать симметризованные кронекеровские произведения, обсу-
обсуждением которых мы занимались в § 2 гл. 5. Чтобы проиллюстри-
проиллюстрировать, чем отличаются друг от друга различные типы произведений,
возьмем для примера группу G$v. Характеры различных кронекеров-
ских произведений приведены в табл. 24. Чтобы продемонстриро-
продемонстрировать, как мы получаем такую таблицу, рассмотрим элемент С3.
Найдем
так что
lxXx(Q]
Для элемента ov характер
но
и, следовательно,
Разлагая произведения на неприводимые представления, имеем
ЕХЕ = Ау + А2 + Е, [EXE] = A,XE, {Е X Е] = А2. F.16)
Наконец, если мы положим ц = v, а функции i|i и ф будут од-
одними и теми же функциями (что будет иметь место в случае диаго-
диагональных матричных элементов), то все антисимметричные произведе-
произведения будут тождественно равны нулю и мы получим только симме-
симметричные произведения представлений. Например, х и у в группе GSv
являются партнерами, принадлежащими представлению Е. Взяв произ-
произведения х и у, мы не сможем построить базис произведения пред-
представлений Е X Е, а вместо этого получим базис для симметричного
произведения представлений [Е X Е]. Независимыми будут только
три произведения: х2, ху и у2. Ранее при рассмотрении правил
отбора для магнитного дипольного излучения [см. F.13)] мы обна-
обнаружили, что два различных состояния, принадлежащих представле-
представлению Е, оказались связанными посредством компоненты Rz, принад-
принадлежащей представлению А2. Для матричных диагональных элементов
дело обстоит иначе. Другими словами, все интегралы
J ^p*f$
для функции /, принадлежащей представлению А2, равны нулю, ибо
если мы сначала образуем произведения i|^?>*\|j(?), то получим симме-
симметричное произведение представлений \Е X ?], которое [см. ниже
208 Глава 6. Физические приложения
F.17)] не содержит представления А2. Этот результат формулируют
и по-другому: единичное представление не содержится в произведе-
произведении [Е X Е] X А2, хотя оно и содержится в произведении Е\Еу^А2.
Когда функции i|) и <р одинаковы, мы вынуждены пользоваться сим-
симметричным произведением [Е X Е]. Раньше мы действовали в ином
порядке: взяв сначала произведения f^p, получали представление
Е X, А2 — Е. (Так как А2 и Е — различные представления, то этот
наш шаг был, безусловно, верен.) Затем делалась попытка объеди-
объединить Е X А2 = Е с представлением, базисными функциями которого
служат ф'^'*, в результате чего мы имеем Е X Е = Ах -\- А2 -\- Е. Но
этот шаг уже неверен, ибо функции, получающиеся от произведения
Е X ^2> связаны с базисными функциями пред:тавления Е и резуль-
результат должен быть симметризован. Проиллюстрируем сказанное на
примере группы Gzv-
Для первого уровня возьмем функции
ф)=е/ф и
для второго —
ф(Я) — e-2l<f
и выберем функцию f = Rz, принадлежащую представлению А2.
Если мы будем действовать так же, как и раньше, т. е. рассмотрим
переходы между этими двумя уровнями, то подынтегральные выра-
выражения наших матричных элементов будут иметь вид
Rze±3lv и Rze±l<f.
Чтобы получить интеграл, не обращающийся в нуль, мы должны
суметь найти какую-нибудь линейную комбинацию этих четырех
произведений функций, которая принадлежала бы единичному пред-
представлению Л]. Это достигается с помощью антисимметричной ком-
комбинации /?г sin Згр. Если же мы возьмем диагональные элементы для
первого уровня, то подынтегральные выражения будут равны Rz и
Rze±2i<f, и мы не сможем составить функцию, принадлежащую еди-
единичному представлению.
Общий метод нахождения правил отбора для диагональных ма-
матричных элементов состоит в том, что строят симметричное произ-
произведение \D{W X О(д)] для каждого неприводимого представления
группы симметрии, после этого смотрят, какие произведения содер-
содержат то представление, которому принадлежит /.
Для группы G3v мы находим следующие симметричные произве-
произведения:
[А1ХА1] = А1, [А2ХА2] = АХ, [ЕХЩ = А1-\-Е. F.17)
Электрический дипольный момент принадлежит представлению Л, -j-E.
Так как представление Ах и (или) представление Е входят каждый
§ 3. Правила отбора
209
раз в правую часть равенств F.17), мы заключаем, что ни один из
диагональных элементов электрического дчпольного момента в нуль
не обращается. Магнитный дипольный момент принадлежит предста-
представлению А2-\-Е. Так как представление А2 и (или) представление Е
встречаются только в произведении [ЕХ.Е], мы приходим к выводу
о том, что диагональные элементы магнитного дипольного момента
обращаются в нуль для состояний типа Аг и А2.
Пользуясь табл. 19, для группы D2d находим
D2d I E I C2 I S4B) I C2B) I odB)
—1
1
1
[А, X А,] = [А2 X А2] = [В, X Вг] = [В2 X В2] = Л„
FЛ8)
Электрический дипольный момент принадлежит представлению В2-\-Е;
единственным необращающимся в нуль диагональным элементом
является диагональный элемент для состояния типа Е. Магнитный
дипольный момент принадлежит представлению А2-\-Е; все его диа-
диагональные элементы равны нулю.
Задача. Найдите правила отбора для диагональных элементов элек-
электрического и магнитного дипольных моментов, если группой симметрии
является а) группа Did; б) группа О.
Рассмотрим далее правила отбора для электрического квадруполь-
ного момента. Тензор второго ранга в трехмерном пространстве
есть, по определению, любая совокупность девяти величин Ац
(/, /=1,2, 3), которые при вращениях и отражениях преобразуются
как произведение компонент двух независимых векторов. Так, если
преобразование координат имеет вид
то
Ъ
F-19)
F.20)
и компоненты тензора второго ранга должны преобразовываться сле-
следующим образом:
А'ц = 2 aikanAkl. F.21)
k, i
Говорят, что тензор симметричен, если
Ац = Ап. F.22)
210 Глава 6. Физические приложения
Симметричный тензор второго ранга в трехмерном пространстве
имеет шесть независимых компонент. Типичный симметричный тензор
получается из произведений координат х, у, г:
х2 ху хг
ху у1 уг
. xz yz z2 J
Тензор квадрупольного момента симметричен, но обладает еще и
дополнительным свойством, состоящим в том, что его след равен
нулю, т. е.
поэтому независимых компонент (сферических функций с / = 2) у него
только пять. Чтобы найти правила отбора для электрических квадру-
польных переходов, мы должны сначала распределить компоненты
соответствующего симметричного тензора по различным неприво-
неприводимым представлениям группы симметрии.
Так же как в нашем первом примере, мы вновь выберем группу G^v-
Поскольку z принадлежит представлению Ах, г2 будет также при-
принадлежать представлению Аг. Произведения zx и гу являются парой
партнеров, принадлежащих представлению АХХ Е = Е. Произведе-
Произведения х2, ху, у2 образуют базис симметричного произведения предста-
представлений [Е X Е] == Ах -\-Е. Легко видеть, что х2^- у2 принадлежит Av
ax2 — у2 и ху составляют пару партнеров, принадлежащих предста-
представлению Е. Итак, компоненты симметричного тензора распределяются
по представлениям следующим образом:
[ Azz \
Аг: \ к А,: ни одной компоненты;
I Axx-f-Ayy j
р. л А • А А А
*-• nyz> "-xz> nxx уу ху
След тензора квадрупольного момента равен нулю, т. е.
Но поскольку компоненты Azz и Avx~\- Ayy независимо принадлежат
представлению Ах, то на результате это не скажется. Чтобы найти
правила отбора для квадрупольных переходов, мы должны знать,
содержатся ли представления Ах и (или) Е в произведении D X D '.
Если речь идет о диагональных элементах, то нужно уметь отвечать
на этот же вопрос и для симметричного произведения [D X D ].
Для группы GZv имеем
Д,ХА = 4 А1ХА2 = А2, А.ХЕ^Е,
E, F.23)
§ 3. Правила отбора 211
Мы отыскиваем представления А1 и (или) Е в правой части равенств
F.23) и обнаруживаем, что электрические квадрупольные пере-
переходы Л1-*->Л2 запрещены. Точно так же для диагональных эле-
элементов мы образуем симметричные произведения
[Л1ХЛ1] = Л1) [А2ХА2\ = АЬ [ЕХЕ\ = А1 + Е F.24)
и обнаруживаем, что ни один из диагональных элементов в нуль
не обращается.
Далее мы рассмотрим группу D2d. Так как z принадлежит пред-
представлению В2, то z1 принадлежит В2у(В2 — Ах. Функции гх и zy
являются партнерами, принадлежащими представлению В2Х Е = Е.
Функции х2, ху и у2 принадлежат симметричному произведению
Легко указать, к каким представлениям относятся те или иные функ-
функции: х2-\-у2 принадлежит Ль ху принадлежит В2, х2 — у2 принад-
принадлежит В1. Таким образом, компоненты тензора распределяются по пред-
представлениям следующим образом:
л \А« \ л
Ai. \ к А2: компонент нет;
I Ахх -г луу J
^i: ^хх Ауу; В2: Аху; Е: Axz, Ayz.
Условие равенства нулю следа тензора и в этом случае не влияет
на наши результаты. Для переходов, которые должны происходить
между уровнями, принадлежащими ц- и v-представлениям, произве-
произведение О(д) X O(v) должно содержать по крайней мере одно из пред-
представлений Аи Въ В2 или Е. Из табл. 23 видно, что переходы
Л1-*->Л2, В^ <-> В2 запрещены. Из F.18) вытекает, что вследствие
симметрии диагональные элементы должны обращаться в нуль.
Больший интерес представляет группа Т. Здесь х, у, z—парт-
z—партнеры, принадлежащие представлению F. Произведение [/""X F\ имеет
характеры, равные 6, 2, 0, 0, так чго [F X F] = A-\~E~\-F. Выписывая
матрицы произведения [F X F], мы могли бы найти функции, принад-
принадлежащие различным неприводимым представлениям, но эти же функции
можно легко получить, заметив следующее. Мы видим, чтол;2-(- y2-\-z2
принадлежит представлению Л, х2 -\-гу2~\-г2г2 и х2-j-е2у2 + ez2
принадлежит Е, а ху, xz и yz принадлежит F. Поэтому компо-
компоненты тензора квадрупольного момента по представлениям распреде-
распределяются следующим образом:
212 Глава 6. Физические приложений
След тензора квадрупольного момента равен нулю; на сей раз это
обстоятельство имеет значение: функция, которую мы приписали пред-
представлению А, на самом деле равна нулю. Поэтому при нахождении
правил отбора мы должны отыскивать в произведении представле-
представлений представления Е и (или) F (но не А). Имеем
АХА = А, АХЕ — Е, AXF=F.
ЕХ? = ?Х2Л, EXF = 2F, F.25)
Запрещены переходы А-*-+А.
Для диагональных элементов получаем
[АХА] = А. {ЕХЩ = А+Е, [FXF]=A + E+F, F.26)
вследствие чего диагональный элемент для состояния типа А равен нулю.
Задача. Найдите правила отбора для квадрупольных переходов, если
группой симметрии является а) группа D3j; б) группа О.
Применявшиеся нами методы можно обобщить и на случай тен-
тензоров более высокого ранга. Мы еще вернемся к этой задаче позднее,
после того как рассмотрим группы вращений.
§ 4. Связанные системы
Развитые нами соображения о произведении представлений можно
применять также и к связанным системам. Начнем с двух независи-
независимых систем с радиусами-векторами гиг соответственно. Гамиль-
Гамильтонианы обеих систем записываются в одном и том же виде и инва-
инвариантны относительно одной и той же группы. Если мы будем рас-
рассматривать какой-нибудь оператор, принадлежащий группе симметрии,
и окажется, что этот оператор действует на координаты первой си-
системы, мы будем обозначать его OR (оператор принадлежит группе О),
если же оператор действует на координаты второй системы, мы будем
обозначать его О^ (принадлежит группе О). Элементы R и R будут
обозначать одно и то же геометрическое преобразование, применяемое
к системам 1 и 2 соответственно. Если мы рассматриваем отдельно
систему 1, то ее состояния можно классифицировать по ее группе
симметрии. Ее волновые функции мы будем обозначать ф^. Анало-
Аналогично волновые функции системы 2 мы обозначим \|^>. Если системы
не связаны, то полная энергия равна сумме энергий отдельных систем,
а гамильтониан Н = Н1-\- Н2 остается инвариантным относительно
всех операций О„ О^-. (Эти произведения элементов группы О и эле-
§ 4. Связанные системы 213
ментов группы О образуют группу — прямое произведение групп
ОХО- Следует обратить внимание на то, что оператор R действует
на координаты первой системы, а оператор S действует только на
координаты второй системы.) Если же теперь эти системы будут свя-
связаны друг с другом, мы добавим к гамильтониану члены, зависящие
от расстояния между этими двумя системами. Такие операторы, как
О „Of , не оставляют этот член, учитывающий взаимодействие, инва-
риантным, за исключением того случая, когда S = R, т. е. кргда
обе системы подчинены одной и той же операции симметрии. Таким
образом, при наличии взаимодействия группа симметрии полного гамиль-
гамильтониана состоит из произведений вида 0R0j, где R и R — одна и
та же геометрическая операция, применяемая к координатам систем 1
и 2 соответственно. (Эта группа изоморфна группе О, состоящей из
элементов R.) Предположим, что не связанные между собой системы
находятся в состояниях с собственными функциями ф^> и \|j(.v>. Вклю-
Включение взаимодействия снижает группу симметрии от совокупности
всех операций О 0§- до некоторой подгруппы операций 0R0^_
Таким образом, наша задача схожа с задачами о возмущениях, рас-
рассмотренными в § 2 настоящей главы, где возмущение приводило
к ограничению группы симметрии до одной из ее подгрупп. Произ-
Произведения волновых функций фгф/ > образующие базис неприводимого
представления группы, состоящей из всех элементов RS (поэтому
эти произведения и должны принадлежать одному и тому же выро-
вырожденному состоянию), также дают нам некоторое представление под-
подгруппы, состоящей из элементов RR. Но это представление будет
приводимым, и вырожденные состояния будут расщепляться за счет
взаимодействия. Выберем матрицы представления одинаковыми и для
группы О и для группы О, так что Dfk\R) — D{^ (R). Тогда
WiJft)^; (Л). F.27)
Мы видим, что F.27) формально совпадает с произведением пред-
представлений, в котором функции i|) относятся к одной и той же си-
системе. Чтобы найти те типы состояний полной системы, которые со-
содержатся среди произведений ф'^^(У), мы должны (так же, как это
делалось раньше) разложить произведение представлений D<M-) X O(v)
на неприводимые.
В этом случае мы применяем к конечным группам симметрии
тот же метод, который обычно применяют к группе вращений. Если
рассматривается группа вращений (т. е. электроны находятся в цен-
центральном поле атома, где группой симметрии является полная группа
вращений), то отдельные электроны распределяются по моментам
214 Глава 6. Физические приложений.
количества движения (неприводимым представлениям) llt 12 и т. д.
Если имеются члены, описывающие взаимодействие, нам требуется
найти, как произведение функций распадается на линейные комби-
комбинации, принадлежащие различным значениям полного момента коли-
количества движения L (т. е. различным неприводимым представлениям
полного гамильтониана).
Рассмотрим, например, электрон в атоме, находящемся в кри-
кристалле. Если мы пренебрежем взаимодействием между электронами
в атоме и предположим, что поле, создаваемое ионами решетки,
велико, то состояния отдельных электронов будут классифициро-
классифицироваться по представлениям группы симметрии поля внутри кристалла.
Будем обозначать представления для отдельных электронов малыми
буквами а, е, /, а большие сохраним за представлениями всей системы.
Предположим, что группой симметрии является группа G3v. Пусть
первый электрон находится в состоянии, принадлежащем предста-
представлению а, а второй — в состоянии, принадлежащем представлению е.
Состояние всей системы в целом будет в этом случае принадлежать
представлению а X в — Е. (Эгот результат в какой-то мере анало-
аналогичен результату для группы вращений, когда /j = 0, так чго Z, —/2.
Однако ясно, что это характерно для всех уровней, принадлежащих
одномерным представлениям конечных групп симметрии.) Если оба
электрона находятся в состояниях, принадлежащих представлению е,
то вся система в целом будет принадлежать представлению «Х« =
= А\-\-А2-\-Е. Схема уровней энергии могла бы быть такой, как
показано в табл. 25.
Таблица 25
Сильное поле внутри кристалла
Ориентация отдельных Взаимодействие
электронов в кристалле ориентированных
электронов
ч
\
Ч V
Здесь мы не учитываем тождественность частиц (принцип Паули).
Наши результаты остаются справедливыми, если одночастичные со-
состояния, от которых мы отправляемся, не одинаковы для обеих систем.
§ 4. Связанные системы • 215
Мы могли бы также попытаться найти для взаимодействующих
систем волновые функции, принадлежащие данной строке данного
неприводимого представления. Иначе говоря, мы можем задать вопрос:
какие линейные комбинации произведений ф^)ф(У> определяют W^}
(К этому сводится задача о нахождении коэффициентов Клебша —
Гордана для кристаллографических точечных групп.) Для конечных
групп эти вычисления просты (на самом деле мы уже проводили эти
вычисления). Напомним, что мы находили произведение любых двух
представлений группы симметрии. Затем мы разлагали это произве-
произведение и получали те линейные комбинации произведений функций,
которые принадлежат различным неприводимым представлениям.
Например, для группы QZv мы получили, что ^1X^4i=^4i. В на-
наших последних обозначениях это произведение запишется в виде
ajXfl^ — Л]. В терминах базисных функций получим
ЧГ[Ы = ф<в'»ф<4 F.28)
Точно так же а1Хе = Е, следовательно,
WF> = y['^> и ч№> = №Ще). F.29)
Наконец мы получили соотношение
для этого мы нашли произведение представлений F.10) и разложили
его на неприводимые компоненты. В наших новых обозначениях этот
результат будет выглядеть так:
\ F.3D
ф?>фТ. F.32)
Аналогичным образом для группы Т мы находим нужные линейные
комбинации произведений функций, принадлежащие представлению
F (стр. 211). Так, мы находим, что
принадлежит представлению Ах и, следовательно,
чГ->=J_ (ф(/ v/)+«/)+ф(/
216 Глава 6. Физические приложения
Кроме того, имеем
l
F.34)
Так как
то существуют две системы функций (для связанных систем), при-
принадлежащие представлению F. (Такая ситуация не встречается для
двух частиц в случае центрального поля; при данных 1Х и /2 каждое
значение момента количества движения L встречается только один
раз. Если же мы имеем больше двух частиц, то возникает та же
проблема.) Все, что мы можем сделать, состоит в задании двух систем
партнеров, принадлежащих представлению F. В этом случае соб-
собственные комбинации нулевого порядка следует находить, решая секу-
лярное уравнение, как мы уже указывали в § 2 настоящей главы.
Таким образом, получим:
ЩЩ\ или $р$р,
или ^Щр. F.36)
или
Задача. Рассмотрите для группы симметрии D2(i все комбинации
индивидуальных состояний двух частиц. Выразите собственные функции
состояний связанных систем через волновые функции отдельных частиц.
ГЛАВА 7
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА
Симметрическая группа Sn — группа всех перестановок п симво-
символов — имеет фундаментальное значение как для математики, так и
для физики. Для математика решение задачи о нахождении неприво-
неприводимых представлений группы Sn является одним из классических
примеров использования алгебраических методов. Несмотря на все
усилия, которые были затрачены на исследование групп перестановок,
их и поныне можно еще использовать как средство для получения
новых замечательных комбинаторных формул. Разбиение тензоров на
классы неприводимых тензоров относительно любой группы линейных
преобразований в случае п измерений проводится легко, коль скоро
известны представления симметрических групп. В физике, если мы
рассматриваем систему, состоящую из п тождественных частиц, группа
симметрии гамильтониана такой системы будет содержать группу Sn.
Классификация атомных и ядерных состояний существенно зависит
от свойств группы Sn.
В данной главе мы найдем характеры и матрицы неприводимых
представлений группы Sn. К этой задаче мы будем подходить, исполь-
используя несколько различных методов. Некоторые из них отличаются
чрезвычайной мощностью (и выглядят очень „учено"!), другие же
изобретены физиками и используются ими вместо хорошо известных
математических методов.
§ 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы
В § 5 гл. 3 мы указывали, чго если нам удается найти простые
характеры для инвариантной подгруппы группы О, то мы можем
сразу же вывести и некоторые простые характеры самой группы О.
Однако этот результат не особенно нам полезен. При п > 4 сим-
симметрическая группа Sn имеет только одну инвариантную подгруппу:
знакопеременную группу oln индекса два. Из двух одномерных пред-
представлений фактор-группы Sjjln мы выводим два очевидных одно'
мерных представления Sn: единичное (симметричное) представление
с характером (матрицей), равным единице для всех элементов группы Sn,
и антисимметричное представление с характером, равным -|-1 для
218 Глава 7. Симметрическая группа
четных и —1 для нечетных перестановок. Все другие неприводимые
представления являются точными. Нам требуется установить некото-
некоторую связь между простыми характерами группы О и простыми харак-
характерами любой из ее подгрупп. Эгу цель можно достичь с помощью
теоремы Фробениуса, к выводу которой мы теперь и присту-
приступаем.
Пусть группа О порядка g имеет какую-то подгруппу Н порядка h.
Предположим, что нам задано некоторое представление D(Q) группы О.
Выбрав из матриц D(G) те, которые соответствуют элементам под-
подгруппы Н, мы тотчас же получаем представление подгруппы Н.
Представление подгруппы Я, которое мы получим таким способом
[будем называть его D' (Н)\, может оказаться приводимым, даже если
представление D (О) является неприводимым представлением группы О.
Иными словами, даже в том случае, когда мы не сумеем найти под-
подмножества векторов базиса представления D(G), которое оставалось бы
инвариантным относительно всех преобразований D(G), мы, быть
может, сумеем найти такое их подмножество, которое окажется инва-
инвариантным относительно части этих преобразований D'(Я). (Такое
превращение неприводимого представления в приводимое при пониже-
понижении симметрии, т. е. при переходе к подгруппе первоначальной
группы симметрии, и послужило основой для применения теории
групп к задачам теории возмущений в гл. 6.)
Постави 1 теперь вопрос, обратный вопросу предыдущего абзаца.
Может случиться так, что найти неприводимые представления для
подгруппы Я окажгтся легче, чем для группы О (поскольку порядок
подгруппы Я меньше порядка группы О). Можно ли вывести харак-
характеры группы О из характеров ее подгруппы Я?
Разобьем элементы группы О на классы К{, число элементов
в классе K-v равно gt. Обозначим простые характеры группы О
через %f\ а соответствующие представления—через D(M"'(O). Далее,
два элемента подгруппы Я, которые первоначально находились в од-
одном и том же классе Kt в группе О, могут не принадлежать одному
и тому же классу в группе Я, поскольку элемент, который осу-
осуществляет преобразование, может не принадлежать подгруппе Я;
следовательно, некоторые элементы в классе Kt в группе О не при-
принадлежат подгруппе Я. С другой стороны, два элемента, которые
оказываются в одном и том же классе в подгруппе Я, непременно
принадлежат одному и тому же классу в группе О. При образовании
подгруппы Я из группы О было выбрано только ht элементов из
общего числа их gt\ h. из этих элементов принадлежит классу Kt,
hi2 —классу Ki2 и т. д. в подгруппе Я. Обозначим простые харак-
характеры группы Н символами <р^', а соответствующие представления —
символами Л(М"'(Я). Ранее мы уже видели, что если исходить из D^ (G)
и рассматривать только элементы R, входящие в подгруппу Я, то
§ 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы 219
получится некоторое представление (вообще говоря, приводимое)
подгруппы Н:
/У(д)(Я) = 2я,пАМ(Я); R принадлежит Н, G.1)
V
где a^v — целые положительные числа.
Если по крайней мере один элемент класса Kt группы О при-
принадлежит подгруппе Я, то из G.1) мы получаем
' гГ = 2 о^1 = | %№ = • • • • <7-2>
Предположим, что ни один элемент класса Кj группы О не при-
принадлежит подгруппе Н. Умножая G.2) на xf* и суммируя по ц,
находим
2 tf \f] = o=2 «jW G.3)
|t (i,~V t
для всех классов Kt группы G, которые содержат по крайней мере
один элемент, принадлежащий подгруппе Н, и для всех классов Ki ,
на которые распадаются элементы, попадающие в подгруппу Н. Но
это означает, что для всех классов подгруппы Н
kv) = Q. G.3а)
Теперь умножим это равенство на h^fi'lh и просуммируем по к
(т. е. по всем классам подгруппы Н), Из соотношений ортогональ-
ортогональности получим
2у^ = 0 для всех р, G.4)
или
2 в jf =0 для всех р. G.4а)
Равенство G.4а) применимо ко всякому классу в группе О, ни один
элемент которого не принадлежит подгруппе Н. Обратимся теперь
к рассмотрению тех классов группы О, у которых по крайней мере
один элемент принадлежит Н. Умножим G.2) на ht ф^* и просумми-
просуммируем по всем классам подгруппы Н:
Ча^ЕА^ХУ». G-5)
где суммирование распространяется на все классы подгруппы Н.
Умножим теперь соотношение G.5) на gffjf1" и просуммируем по ц:
2 a tf - 2 h. Ф(°>* 2 gp.thf=
= 2 \^«=г2А^'.
220 Глава 7. Симметрическая группа
где последняя сумма берется по всем классам Ktx подгруппы Н,
которые возникают из классов /С; группы О. Переходя к комплексно-
сопряженным величинам, получаем
Равенства G.2), G.4а) и G.6) содержат полную формулировку нашей
теоремы. Числа a v в G.2) были целыми положительными числами,
в силу чего левая часть равенства G.6) есть составной характер ф<°)
группы О. Если нам известен любой простой характер подгруппы Н
(т. е. ф^'), то равенство G.6) означает, что сумма, стоящая в его
правой части, должна быть составным характером группы О. Более
того, равенство G.4а) означает, что полученный таким способом
составной характер будет равен нулю для всех классов группы О,
которые не содержат ни одного элемента, принадлежащего под-
подгруппе Я.
Очень важный частный случай равенства G.6) состоит в следую-
следующем. Существует один простой характер, который мы знаем для
любой группы, а именно характер единичного представления:
%1°) = 1 для всех I.
Полагая ф<а)=1 для всех 1Х в равенстве G.6), получаем
J^I = Va „(ц) G7)
ч
т. е. величины ghjgft образуют составной характер группы О.
Равенство G.7) можно применять к любой подгруппе Н группы О.
Чтобы получить ht и g";, требуется произвести лишь несложный под-
подсчет. Несколько позднее в этой главе мы покажем, как можно вос-
воспользоваться равенством G.7) для получения формулы Фробениуса,
которая выражает в замкнутом виде все простые характеры симме-
симметрической группы. В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением
простого рекуррентного метода, основанного на соотношении G.6).
Мы найдем простые характеры группы Sn, применяя равенство G.6)
к характерам группы 5Я_1# Так же как и в § 5 гл. 1, мы будем
обозначать через (la2p3v . . .) класс перестановок, имеющих а циклов
длины 1, р циклов длины 2, у циклов длины 3 и т. д. Для любой
группы Sn мы знаем два простых характера: симметричный характер,
равный -J-1 для всех перестановок, и антисимметричный характер,
равный 4-1 для четных и —1 для нечетных перестановок (при усло-
условии, если только п > 1).
§ 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы
221
При я = 1, 2 тривиальные результаты состоят в следующем:
1
5,:
,0)
S,:
A)
1
1
(Р)
1
1
1
B)
1
—1
где число элементов в классе указано рядом с символом разбиения
числа. В случае группы S3 нам известна лишь часть таблицы, изо-
изображенная здесь:
S*:
x(l)
%{2)
1
(I3)
1
1
3
B,
1
—1
1)
2
C)
1
1
Разумеется, последний характер легко написать, если воспользоваться
соотношениями ортогональности. Воспользуемся, тем не менее, равен-
равенством G.6). Поскольку класс C) группы 53 не имеет элементов,
принадлежащих ее подгруппе S2, его составной характер равен нулю.
Начнем с ф<') (т. е. с характера хA) в группе 52). В этом случае G.6)
дает нам следующий результат:
Mi') 2*1 ' М2,1) 2 ' 3
Мы получаем составной характер 3, 1, 0. Далее,
откуда следует, что х'1' входит в х только один раз. Вычитая,
получаем характер 2, 0, —1. Этот характер простой, поскольку
222
Глава 7. Симметрическая группа
Следовательно, наша таблица для группы S3 имеет вид
1 3 2
(Р) B, 1) C)
г
A)
уC)
1
1
2
1
—1
0
1
1
1
Рассмотрим теперь 53 как подгруппу группы SA. Нам известна сле-
следующая часть таблицы характеров группы 54:
5,:
Множители ghjgft, входящие в соотношение G.6), равны 4, 2,
О, 1, 0. Возьмем сначала фО (т. е. характер ^') для группы 53) и
получим составной характер ф: 4, 2, 0, 1, 0. В этом случае
? 1
Xю
%B)
1
(I4)
1
1
6
B, P)
1
—1
3
B2)
1
1
8
C,
1
1
1)
6
D)
1
—1
и, следовательно, ф содержит два простых характера, каждый из ко-
которых входит по одному разу. Составной характер ф содержит ха-
характер хA) с коэффициентом, равным 1, поскольку
Вычитая хA). получаем характер хD): 3, 1, —1, 0, —1. Это простой
характер, так как
$4)J
Возьмем, далее, q/2> (т. е. х'2' Для группы 53) и получим характер ф:
4, —2, 0, 1,0. В этот составной характер хB) входит один раз,
поскольку
1 • 1 + 6-0-(—1)] = 1.
§ 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы
223
Вычитая хB). получаем простой характер хE>: 3, —1, —1, 0, 1.
Наконец, возьмем ф'3> (т. е. х<3) Для группы S3) и получим ф: 8, О, О,
— 1, 0. Проделав вычисления, найдем
в силу чего характер ф есть сумма трех различных простых характе-
характеров. Полученный ранее характер х'4> в характер ф входит один раз,
так как
Аналогично, хE) входит в ф только один раз. Вычитая хD) и хE) из \р,
получаем характер х'3': 2, 0, 2, —1, 0, который является простым
характером, поскольку
lL(y,f)y = — [1 . 22 + 3 • BJ-f 8 • (—IJ] = 1.
Мы получили полную таблицу характеров группы SA (табл. 26).
Таблица 26
16 3 8 6
(I4) B, I2) B2) C, 1) D)
1
1
2
3
3
1
—1
0
1
—1
1
1
2
—1
—1
1
1
-1
0
0
1
—I
0
—1
1
хE)
Применим теперь этот же метод к группе S5, рассматривая группу 54
как ее подгруппу. Относительно группы S5 мы располагаем следую-
следующей информацией:
1 10 15 20 20 30 24
(I5) B, I3) B2, 1) C, I2) C, 2) D, 1) E)
B)
1
—1
1
-1
1
—1
Множители ghjgft в равенстве G.6) равны 5, 3, 1, 2, 0, 1, 0. Ха-
Характер фA) группы 54 приводит к тому же набору чисел, что и со-
составной характер ф группы S5, а именно:
"" ¦" " "" 121 = 2:
224 Глава 7. Симметрическая группа
и поэтому v|) содержит два различных простых характера. Характер \|)
содержит хA). поскольку
•5-*-и
вычитая хA), мы получаем простой характер хC): 4, 2, 0, 1, —1, 0, —1.
Аналогичным образом мы находим из ф<2> простой характер хD): 4,
—2, 0, 1, 1, 0, —1.
Исходя из ф<3), ф<4>, фE> соответственно, мы образуем составные
характеры:
10, 0, 2, —2, 0, 0, 0: У — Ф, = 2,
15, 3, —1, 0, 0, —1, 0: ^А(|J = 3,
15, —3, —1, 0, 0, 1, 0: "
Характер х'3* входит во второй характер только один раз; точно так же
Х'4) входит в третий характер только один раз. Вычитая эти хара-
характеры х^3) и Х'4>> получаем составные характеры:
ХE)_|_ХF), 10_ Oj 2, —2, 0, 0, 0,
хE)+хG). 11, 1, _1, _!, 1, _1, 1,
Х(б)+ХG). n> _lt _!_ _!_ _lf u lf
каждый из которых содержит два простых характера. Из последних
двух характеров находим
ХE)_ХF). 0> 2, о, 0, 2, —2, 0,
комбинируя с первым характером, получаем
ХE): 5, 1, 1, —1, 1, —1, 0,
Х<6>: 5, —1, 1, —1, —1, 1, 0.
Затем мы находим
ХG): 6, 0, —2, 0, 0, 0, 1.
Полная таблица характеров приведена в табл. 27.
В случае S6 решение задачи становится громоздким. Наши труд-
трудности на самом деле проистекают из того факта, что мы использо-
использовали только подгруппу 5Л_Х группы Sn. В последующих параграфах
§ 2. Формула Фробениуса
225
x(l)
zB)
xE)
X<6>
xG)
1
(I5)
1
1
4
4
5
5
10
B, I3)
1
—1
2
2
i
—i
0
15
B2, 1)
1
1
0
0
1
1
-2
20
C, 12)
1
1
1
1
1
-1
0
20
C, 2)
1
j
j
1
1
-1
0
7 аблица
30 24
D, 1)
1
j
0
0
—1
1
0
27
E)
1
1
—1
-1
0
0
1
мы покажем, каким образом общую задачу можно свести к задаче,
решение которой осуществляется по раз и навсегда установленному
алгоритму.
Задача. Воспользуйтесь методом, изложенным в этом параграфе, для
получения таблицы характеров группы 5б.
§ 2. Формула Фробениуса для характеров
симметрической группы
В § 1 настоящей главы мы получили следующий результат.
Дана группа О порядка g, имеющая gt элементов в классе К\.
Если некоторая подгруппа Н группы О имеет порядок h и содержит hx
элементов из класса /Q, то совокупность чисел
= 4% G.7а)
образует составной характер группы О.
В этом параграфе мы покажем, как, исходя из G.7), можно пол-
полностью решить задачу о нахождении неприводимых представлений
симметрической группы. Идея решения (также принадлежащая Фро-
бениусу) состоит в следующем. Равенство G.7) задает характер %(Я)
для каждой выбранной нами подгруппы Н группы О (=5„). Рассмо-
Рассмотрим любое разбиение (А.) = (^1, Х2 кп) числа п
КЖ> ••• >*-« — 0. G.8а)
В соответствии с разбиением (к) можно построить некоторую под-
подгруппу группы О. Разобьем символы 1, ..., п на отдельные классы
226 Глава 7. Симметрическая группа
в соответствии с указанным разбиением (X); первый класс будет со-
содержать Я,! символов, второй класс —А>2 символов и т. д. (выбор сим-
символов внутри каждого класса несуществен). Построим теперь симме-
симметрическую группу из символов первого класса и назовем ее G^. То же
проделаем для каждого из остальных классов. Возьмем, далее, прямое
произведение всех полученных групп (напомним, что они не имеют
общих символов). Это прямое произведение имеет вид
QW^Gh XQhX ••• XQin G.9)
и является подгруппой группы Sn; пользуясь равенством G.7), мы
можем получить составной характер группы Sn, который обозначим фМ.
Аналогичные операции можно проделать с каждым разбиением (X)
числа п. Поскольку число разбиений числа п равно числу классов
в группе Sn, мы получаем при этом составные характеры группы Sn,
число которых равно числу классов в группе Sn. Мы докажем, что
фМ — линейно независимые векторы. В силу этого они должны давать
все простые характеры группы Sn, если брать их соответствующие
линейные комбинации. Мы также приведем окончательный результат,
полученный Фробениусом, —замкнутую формулу, дающую все простые
характеры группы Sn.
Чтобы воспользоваться формулой G.7), нам необходлмо вычислить
величины hh h и gt. Предположим, что мы хотим построить харак-
характер, соответствующий разбиению (к). Из G.9) следует
А = А,!!. А,2! .. . кп\. G.10)
Рассмотрим далее класс Kt группы Sn. Класс Kt можно описывать,
задавая структуру его разложения на циклы (la, 2 , 3Y, .. .). Этот
символ означает, что перестановки, принадлежащие классу Ки со-
содержат а циклов длины 1, р циклов длины 2, у циклов длины 3 и
, т. д., где
Y+ ... =я. G.11)
Число перестановок в классе Л"; было найдено в гл. 1 [формула
A.27)]:
! ' GЛ2)
Величина hx есть число элементов в группе Q(i), которые обладают
структурой разложения на циклы (la, 2P, 3V . . .). Чтобы какой-либо
элемент группы О(Ц обладал этой структурой, он должен содержать
а циклов длины 1, р циклов длины 2,
у циклов длины 3 и т. д.
§ 2. Формула Фробениуса 227
Такой элемент можно построить согласно формуле G.9), если мно-
множитель в прямом произведении, взятый из группы G\t, содержит
щ циклов длины 1, Pj циклов длины 2,
Yj циклов длины 3 и т. д.;
множитель, взятый из группы О^2, имеет
а2 циклов длины 1, р2 циклов длины 2,
Y2 циклов длины 3 и т. д.
и, наконец, множитель из группы О> имеет
ап циклов длины 1, ря циклов длины 2,
уп циклов длины 3 и т. д.
при условии, если
п п п
2<х; = а, 2Pi = P. 2Yi = Y и т. д. G.13)
Так как группа О\ состоит из перестановок Xt символов, имеем
a/ + 2fc4-3Y<+ ... =lt. G.14)
Число перестановок в группе G» , имеющих структуру разбиения на
циклы вида
A\ 2*1, Ъ\ . ..)
при фиксированных alt p;, yt равно
Выбрав любое решение уравнений G.13) и G.14), получим
я
TF W
¦*¦¦- Г! „.| оР/ 0.1
элементов класса (la, 213, 3Y, ...). Суммируя по всем решениям, на-
ходлм
228
Глава 7. Симметрическая группа
Подставляя в формулу G.7) соотношения G.10), G.12) и G.15), имеем
^ - gh— Zi ola! P!PI •••• </Л^
«V 3/.
Прежде чем переходить дальше, мы хотим проиллюстрировать наш
метод на одном частном случае. Рассмотрим группу 54 и построим
подгруппу, соответствующую разбиению B2). В этом случае
= О2 X О2.
Образуем симметрическую группу, действующую на элементы 1 и 2,
и умножим ее на симметрическую группу, действующую на элементы 3
и 4: е, A2), C4), A2) C4). Порядок этой подгруппы группы S4
равен /г —2!-2! = 4. Рассмотрим различные классы в группе SA.
Классы D) и C1) не содержат членов, которые входили бы в группу
0B2), вследствие чего формула G.7) для этих классов дает нуль.
Класс B2) группы S4 входит в группу 0B2) один раз, класс B12) вхо-
входит в эту группу дважды, класс (I4) —один раз, в силу чего мы по-
получаем составной характер
(И), B12), B2), C1), D),
6, 2, 2, О, О.
Величины ф(^ служат коэффициентами в некотором полиноме, к по-
построению которого мы сейчас приступим. Предположим, что мы рас-
рассматриваем класс (la2p3v . ..) в группе Sn. Многочлен
относительно переменных xl хп можно разложить так, чтобы
он имел вид
2 .-x^*-*V 2
§ 2. Формула Фробениуса 229
Соберем теперь все коэффициенты, стоящие при данном одно-
одночлене
Х1 Л2 ' • • Хп ¦
Тогда рассматриваемое выражение можно переписать в виде
Все одночлены, которые получаются из одночлена
при перестановке переменных, имеют одинаковые коэффициенты.
Поэтому мы можем расположить показатели \it в порядке убывания
их величины и отождествить их с членами разбиения (к). Затем,
пользуясь соотношением G.16), получаем
B
У
__L_
р,!...ря!
По всем
перестановкам
(X.) По всем
перестановкам
Сумма берется по всем разбиениям (к) и всем различным одно-
одночленам, получающимся при перестановке переменных хх хп.
Введем теперь новые переменные s/.
*r = S*5 (/• = ! n). G.18)
Для каждого класса / со структурой разложения на циклы
Aа, 2 , 3V, . . .) мы зададим еще третий набор переменных, а именно
левую часть равенства G.17):
sw = s*s$..., G.19)
где (I) — класс вида (la, 213, 3Y, . . .). Тогда G.17). можно переписать
в виде
^W^ v^/ ^^л Art К /т d f\\
5,д === /1 ф,.ч ^у Aj ... X ", ^/ .?\)j
* (М По всем перестановкам
230
Глава 7. Симметрическая группа
Переменные sr, задаваемые формулами G.18), представляют собой
п функций от п независимых переменных xt. Переменные sr функцио-
функционально независимы; их якобианом служит определитель
1
2X!
3*2
1
2x2
3X2
1
2x3
3X2
1
1
х2
X2
Х2
1
Х3
..л-1
я|Д.(*/-*А G.21)
<]
Последний результат получается, если заметить, что этот определи-
определитель представляет собой полином общей степени
+ 2+ ... +(я_1) = я±11.
Этот определитель обращается в нуль, если совпадают любые две
переменные, и, следовательно, содержит все возможные множители
(хг—xj), у которых i ф _/; поскольку таких множителей имеется
п(п—1)/2, мы получаем равенство G.21) (знак в этом равенстве
находят путем вычисления коэффициента при
х
%~2
х
°п\
Так как якобиан J не равен тождественно hjmio, величины sr можно
ввести в качестве новых независимых переменных. Кроме того,
величины 5(г), задаваемые равенством G.19), линейно независимы
(ибо если бы они были линейно зависимыми, то из этого вытекала бы
функциональная зависимость между величинами sr, которые, как мы
только что доказали, являются независимыми переменными). Те же
рассуждения показывают, что величины
У х*"' ххп
По всем перестановкам
соответствующие различным разбиениям (к), также линейно не-
независимы. Таким образом, если (I) пробегает с классов в группе Sn,
мы получаем с равенств, аналогичных равенству G.20) и выражаю-
выражающих с линейно независимых величин s^ через с линейно независимых
величин
Zi х,1 ... хпп.
По всем перестановкам
Матрица преобразования, позволяющего перейти от одной линейно
независимой системы величин к другой, невырождена. Поэтому
столбцы этой матрицы, которые являются не чем иным, как характе-
характерами дй) при фиксированном (к), должны быть линейно независимыми.
§ 2. Формула Фробениуса
231
В силу этого с простых характеров должны выражаться в виде
линейных комбинаций характеров qA'.
Для вывода общих утверждений мы использовали п перемен-
переменных xt. Единственное требование, которое следует соблюдать при
практических расчетах, состоит в том, что число переменных х дол-
должно быть не меньше числа частей в разбиении (к).
Применим равенство G.20) к группе Si. Тогда
(/) = (И): s{lt) = (sxy = B х,L = 2 х\ + 4 2 х\х2 +
4- 6 2 х\х\ + 1 2 2 Х\Х2Х2, + 24 2 •*1-*:2Л:3Л;4'
где под 2 *! и т- д- подразумевается суммирование по всем пере-
перестановкам индексов, в результате которых получаются различные
одночлены. Аналогично,
@ = B12): sm = s2 (stf = {х\ + . . . + xl) (x, + • • • + *nJ -
+ 2
@ = B2):
Пользуясь этими равенствами, образуем матрицу из величин ф|У
и транспонируем ее так, чтобы разбиения (к) означали строки,
а разбиения (/) — столбцы:
(/) = (I4I
1
4
6
12
24
B12N
1
2
2
2
0
B2K
1
0
2
0
0
C1)8
1
1
0
0
0
D)s
1
0
0
0
0
G.22)
(I) = 4
C1)
BJ
B1J
AL_
Теперь мы могли бы так же, как в § 7 настоящей главы, найти
по этой матрице простые характеры /(').
Задача. Примените этот метод к группе S5 и получите харак-
характер ф^'; воспользуйтесь табл. 27 для того, чтобы выразить ф^ в виде
линейных комбинаций простых характеров группы S5.
232 Глава 7. Симметрическая группа
Формула G.20) позволяет нам найти полный набор составных
характеров tpM для группы Sn. Фробениус пошел дальше и получил
аналогичную формулу, которая дает непосредственно все простые
характеры у^К). Для этой цели мы воспользуемся определителем такого
типа, который уже встречался в равенстве G.21), а именно:
= 2bpPxr1x?-2---xm-ixl G-23)
где Р есть любая перестановка переменных х{ и 6Я= ±1 в зависи-
зависимости от того, является ли перестановка Р четной или нечетной.
Заметим, что D(xt) есть знакопеременная функция от xt, меняющая
знак при перемене местами любых двух переменных. Величины s^
в равенстве G.20) являются относительно xt симметричными много-
многочленами [см. G.18) и G.19)], поэтому произведение s^D(Xi) меняет
знак при любой перестановке двух переменных. Если выписать раз-
разложение sU)D(Xi) в виде суммы одночленов х\х xv^, то ока-
окажется, что нет членов, имеющих одинаковые степени по любым
двум переменным, поскольку перестановка таких переменных в выра-
выражении s^D(Xi) привела бы к перемене знака всех членов разло-
разложения, в то время как перестановка одночленов не приводит к изме-
изменению знака. Таким образом, эти одночлены должны иметь нулевые
коэффициенты. В силу сказанного переменные в одночленах можно
перегруппировать так, чтобы сначала шли члены наиболее высокой
степени, затем члены меньшей степени и т. д. Поэтому величину
S(i)D (xt) можно записать в виде
swD (*,) = jg х$ ЪЬрРх^хУ т-2 ..: ф. G.24)
Первая сумма берется по всем разбиениям (X) числа п, вторая —
по всем перестановкам переменных xlt .... хт. Ясно, что коэффи-
коэффициенты х(л' являются линейными комбинациями функций ф|У. Теорема
Фробениуса утверждает, что величины х|У в G.24) представляют
собой в точности простые характеры группы Sn.
Мы приведем много примеров, поясняющих смысл соотноше-
соотношения G.24), но сначала мы изложим доказательство этой теоремы.
Величины Хо) будут простыми характерами, если [см. C.152)]
$*№|Х{$>|8=*. G-25)
где g — порядок группы Sn, a g(l) — число элементов в классе (/).
§ 2. Формула Фробениуса
Так же как мы вводили переменные xh введем теперь второй
набор переменных yt и положим, по определению,
//-=SyJ. G.18а)
t{l) = Mtl ... для @ = (la, 23, 3Y, . . .)• G.19a)
Образуем сумму
Пользуясь соотношениями G.12), G.19) и G.19а), получаем
(О
a. p, ...
a + 2|3+ ... =n
Просуммируем теперь по и от 0 до со:
По всем разбиениям
всех я
Подставим выражения G.18) и G.18а) для sr и tT:
г-1 I, / = 1 т~\
— Х^}) = 1П
I. j-l I, )-
Итак, правая часть равенства G.27) равна
1
П 0 - -V,)
Докажем теперь, что
т
П
G.28)
G.29)
где D—определитель, заданный G.23), а 11/A—xrys) \—определи-
\—определитель, rs-элемент которого равен 1/A —xrys). Эгот определитель
234
Глава 7. Симметрическая группа
имеет вид
A—
-1
G.30)
Вычитая из /-й строки первую, получаем
. _i ., . _1 х* ¦#¦
Множит»ль (xt—хг) является общим для всех элементов г-й строки,
множитель A—x1yj)—общим для всех элементов j'-ro столбца.
Вынося эти множители, находим
1
У!
1
У2
1 ..
У\
— Х3у2
Вычтем теперь первый столбец из остальных:
У] У1 _,. У1~Ух
1 — х[Уj 1 — х.у1
1
1 —
Множитель (yj — у{) вновь оказывается общим для всех элемен-
элементов у'-го столбца, а множитель A—х^^) — для всех элементов
г-й строки, поэтому определитель можно представить в виде
(х^—ху) ... (xm — *i)(y2 — Уд ••• (Ут —
X
--«л)
X
1
У\
о
1
I — х2у, 1— ^2у2
У, 1
1 —
§ 2. Формула Фробениуса
235
t, J-l, ..., m
1*2 —-
Ш1—^Ш
y=l 1=2
/, j-2, ..., m
G.31)
Повторяя этот процесс по индукции, получаем формулу G.29). Умно-
Умножив обе части равенства G.27) на D(x,) D{yj) и воспользовавшись
соотношением G.29), найдем
Но
(О, п-
поэтому
v = 0
G.32)
Все показатели v должны быть различными, поскольку эта функция
меняет знак при любой перестановке двух переменных. Индексы можно
расположить в порядке убывания; 2 означает сумму по всем пере-
р
становкам переменных х и у, а 6Р равно-)-1, если перестановки х
и у имеют одинаковую четность, и —1 в противном случае. Поскольку
показатели v теперь расположены в убывающем порядке, мы можем
положить \i = Xi-\-m—/ и получить следующее выражение:
ч D(x \t
S(DU \xd)) l(D
t
i) — ZiZi °
(О
G.33)
Подставляя сюда выражение G.24) и аналогичное выражение для у
и сравнивая коэффициенты при одночленах, содержащих хъ ..., хт.
Ух ут, находим
G.25а)
(D
236 Глава 7. Симметрическая группа
это и доказывает, что формула G.24) даег нам независимые простые
характеры. Равенство G.25) оставляет еще одну возможность: вели-
величина /W можег отличаться от простого характера знаком, но при
использовании наших результатов мы покажем, что знак выбран пра-
правильно.
Формула G.24) выглядит весьма сложной (такова она и на самом
деле!), и поэтому мы, исходл из нее, разрабатываем методы, более
удобные в работе.
§ 3. Графические методы. Решеточные перестановки.
Схемы Юнга. Таблицы Юнга
Прежде всего рассмотрим единичный элемент группы Sn, т. е.
класс A)=.{\п). В этом случае левая часть равенства G.24) равна
просто
Возьмем сначала D(xt) и умножим последовательно п раз на Е-*-/-
Поскольку произведение на каждом этапе является знакопеременной
функцией, любой одночлен, имеющий два равных показателя степени,
должен входить в это произведение с нулевым коэффициентом. Таким
образом, 5C(i«) будет коэффициентом в G.24) при члене
В качестве исходной мы выбрали функцию
(*/)= ZibpPxx xi ... х,„_ {х,„-
р
Если умножить ее на ^х^ то один из показателей степени увели-
увеличится на единицу. Но если на каком бы то ни было этапе вычисле-
вычислений два показателя становятся равными, соответствующий член должен
обратиться в нуль. Поэтому ясно, что, поскольку на каждом этапе
мы увеличиваем степень полинома на единицу, мы всегда должны
увеличивать степень переменной х, по крайней мере столь же быстро,
как и степень переменной х2 и т. д. Наша конечная цель состоит
в том, чтобы увеличить степень хх на Х1, степень хг на Kt. В про-
процессе выполнения этой задачи (каждый раз мы увеличиваем показатель
степени только у одной переменной) мы должны быть уверенными
в том, что число операций умножения, произведенных над xlt больше
числа операций умножения, произведенных над х2, или равно ему
и т. д. Общее число способов, которыми можно достичь нашей цели,
равно X(i«). т- е. размерности представления (К).
Предположим, например, что нам требуется найти размерность не-
неприводимого представления группы S4, соответствующего разбиению
§ 3. Графические методы 237
(К) = B, I2). В этом случае мы должны увеличить показатель сте-
степени переменной хг на 2, а показатели степени х2 и х3— на 1. Иначе
говоря, мы должны прийти к выражению x2xx2xz, умножая каждый
раз только на один из л;-ов и следя все время за тем, чтобы вели-
величин X! было больше, чем х2 и х3, и т. д. Это можно проделать сле-
следующими способами:
Эти упорядоченные расположения неизвестных носят название реше-
решеточных перестановок выражения х2х2х3. Существует три таких пе-
перестановки, поэтому размерность представления, соответствующего
разбиению B, I2), равна 3. Будем теперь вместо хх говорить „точки
в первой строке", вместо х2 —„точки во второй строке" и т. д. В ре-
результате мы хотим получить некоторый граф с двумя точками в пер-
первой строке (xf\ и одной точкой во второй и третьей строках (х2хЛ,
причем число точек увеличивается каждый раз на единицу и так, что
на любом этапе построения в каждой строке точек не меньше, чем
в последующих строках (такие графы называются правильными гра-
графами). Наглядно граф, который мы хотим получить, можно изобра-
изобразить так:
или
с
Разбиение B, I2)
G.35)
(во второй схеме вместо точек использованы квадраты). Размещая
объекты (точки или квадраты) по одному на схеме и убеждаясь каж-
каждый раз в том, что число объектов в первой строке больше числа
объектов во второй строке или равно ему и т. д. (т. е. убеждаясь
в том, что граф правилен на каждом этапе построения), мы получаем
в результате все точки (или квадраты) графа. Такая процедура на-
называется правильным размещением {узлов, точек, квадратов).
В нашем примере, если объекты нумеровать в порядке их появления
на графе, мы получим следующие возможные случаи:
12 13 14
3 2 2 G.36)
4 4 3
По сути дела, графы G.36) означают то же, что и выражения G.34):
первый граф означает, что берется „первая строка, первая строка,
вторая строка, третья строка", т. е. ххххх2х3 и т. д.
238
Глава 7. Симметрическая группа
С помощью той же процедуры мы можем найти размерности всех
неприводимых представлений группы S4. Каждому разбиению числа 4
соответствует некоторый граф:
C
B.
D):
. 1):
B2):
12):
????
ППП
ПП
?D
DD
П
?
(I4):
G.37)
Возможные способы построения этих графов с помощью правильного,
размещения отдельных узлов сводятся к следующим:
C, 1):
B2):
B, I2):
(I4):
п=\.
ШШВ
\lM\
п — Ъ, G.38)
Результаты, приведенные в G.38), указывают на внутреннюю связь
между сопряженными, или ассоциированными, разбиениями, т. е.
такими двумя разбиениями, которые получаются друг из друга заме-
заменой строк на столбцы: например, D) и (I4), C, 1) и B, I2). С другой
стороны, разбиение B2) является самосопряженным, при замене
строк столбцами оно преобразуется в себя. Из G.38) мы видим, что
размерности представлений, соответствующих сопряженным разбие-
разбиениям, равны.
§ 3. Графические методы ' 239
В качестве другого примера найдем размерность представления
группы S7, соответствующего разбиению D, 2, 1):
1234 1235 1236 1237 1236 1237
A) 56 C) 46 E) 45 G) 45 F) 47 (8) 46
7 7 7 6 5 5
B)
A2)
A8)
B4)
B8)
C5)
1234
57
6
1246
37
5
1257
36
4
1346
27
5
1356
27
4
1467
25
3
1235
D) 47
6
1247
A4) 36
5
1267
B0) 35
4
1347
B6) 26
5
1357
C0) 26
4
п-
1245
(9) 36
7
1256
A5K4
7
1345
B1) 26
7
1356
B7) 24
7
1367
C2) 25
4
=г35
A0)
A7)
B2)
B9)
C3)
1245
37
6
1257
34
6
1345
27
6
1357
24
6
1456
27
3
(И)
A9)
B3)
C1)
C4)
1246
35
7
1267
34
5
1346
25
7
1367
24
5
1457
26
3
1247
A3K5
6
1256
A6K7
4
1347
B5) 25
6
G.
Задача. Постройте схемы, аналогичные схемам G.38) и G.39), для
всех представлений группы S6.
Таблицы G.39) служат примером таблиц Юнга—графов задан-
заданной формы (определяемой разбиением), в разных клетках которых
размещены числа от 1 до п. Если клетки заполнены в соответствии
с нашим правилом правильного размещения, то таблица называется
стандартной таблицей. Число стандартных таблиц в точности
равно размерности представления. Стандартные таблицы можно опре-
определенным образом упорядочить, выписывая все числа подряд, т. е.
рыписывая сначала первую строку, затем вторую и т. д., а потом
240 Глава 7. Симметрическая группа
располагая записанные так таблицы в порядке, обратном лексикогра-
лексикографическому: например, таблица
1367
25 -> 1367254
4
будет идти после таблицы
1367
24-> 1367245.
5
Позднее мы еще вернемся к стандартным таблицам и покажем, каким
образом они позволяют нам строить базисные функции для непри-
неприводимых представлений.
§ 4. Графический метод нахождения характеров
Тот же графический метод, которым мы пользовались для нахо-
нахождения размерности неприводимых представлений, можно применять
и для вычисления характеров. Мы снова будем исходить из равен-
равенства G.24). Чтобы найти характер %ft), мы должны вычислить коэф-
коэффициент при
в выражении
D(Xi)s(l).
Запишем (/) в циклической форме Aг, /2, .. .) и будем умножать
D (xt) последовательно на
чх=Ъ*1? *ч=ЪхЬ.
Мы исходим из выражения
D (*,) = 2 ЬрРх'Г'х?'2 ... хт_ гх°т
р
и пытаемся вычислить коэффициент при
Если какие-нибудь два показателя в некотором члене равны, то
коэффициент при нем (на любом этапе вычислений) равен нулю. Пред-
Предположим, что /j—это цикл длины 1 (как это было в только что
разобранном нами случае). Тогда, умножая D{xj) на 2 xi> мы обна-
обнаружим, что единственный член, который не равен нулю, получается
§ 4. Графический метод нахождения характеров 241
в результате умножения на хх. Поэтому мы помещаем одну точку
в первой строке. Представим себе, что /j = 2. В этом случае мы
должны умножать на 2 х]- Существует два отличных от нуля члена:
это те, которые получаются от умножения на х\ и х\. Первый из них
приводит к члену х^ + 'х™ ... xm_v показатели степени которого
все еще расположены в убывающем порядке. Второй приводит к члену
х^~1х™х^~г . . . xm_v у которого показатели степени оказываются
неупорядоченными. Среди перестановок ?ibPP найдется такая пере-
р
становка, которая расположит показатели степеней в порядке их убы-
убывания, а именно транспозиция A2), изменяющая знак, в результате
чего мы получим — х^1х^~1х^~3 . . . хт_1. Этот результат можно
сформулировать следующим образом: мы добавим одну точку ко вто-
второй строке, затем одну точку — к первой и поменяем знак. При 1г = 3
мы нашли бы
L3 • - • лт~1<
m-1 vm —2 vm y-m—4
1 А2 Л3 А4
Отбирая из перестановок 2 &рР те, которые располагают показатели
р
степени в порядке убывания, получаем
vm+1vm-2 v y-m + 1 vm — \ vm—b v
Л) л2 ... л A л2 л ... л
Эти три результата соответствуют следующим возможностям:
а) размещению трех точек в первой строке,
б) размещению одной точки во второй строке и двух точек в пер-
первой строке,
в) размещению по одной точке в каждой из первых трех строк.
Тот же метод применяют и при 1Х > 3. Мы видим, что если сово-
совокупность, состоящую из /[ точек, размещают на нечетном числе строк,
то знак не меняется (четное размещение), но если точки размещены
на четном числе строк, то знак меняется (нечетное размещение).
Этот результат становится еще более наглядным, если отбросить
общий множитель х™-1 . . . xm_v после чего указанным нами трем
возможным случаям будут соответствовать выражения х\, —х\х,2,
х1х2х3. Можно сказать, что точки мы размещали следующим обра-
образом: добавляли точки к любой строке до тех пор, пока число точек
не стало больше числа точек на предыдущей строке на единицу,
затем перешли к предыдущей строке и повторили всю процедуру и
т. д. После того как все точки добавлены, должен получиться граф
242 Глава 7. Симметрическая группа
допустимого вида. Знак будет плюсом (минусом), если число соответ-
соответствующих строк нечетное (четное).
Рассмотрим теперь любой последующий этап в процессе умноже-
умножения. Предположим, что после добавления точек для 1Ъ 12, ... мы
пришли к характерному (допустимому) результату:
+ (xm~lxm~2 х )xvixvi xvq xvm
-l \хг х2 ... xml)x1 x2 ... xq<4 . . . xm'.
Если этот результат относится к числу допустимых, то должно выпол-
выполняться неравенство v1^-v2^> ... ^-vm. Если теперь мы будем умно-
умножать на *г=2Л/1 что соответствует циклу длины г, то необходимо
будет учесть действие умножения на х''. Если какие-нибудь два пока-
показателя становятся равными, то результат равен нулю. Предположим,
что
Vi + (m — р + 1) > v? + (m — q) + г > vp + (m — p).
В этом случае мы получаем результат
± хУ1+т-1 .. . xvp-i+m-p+lxvp+m-p .. . х\+т-"+т . . . xvm =
1 р—I p q m
+ vv.+m-l vD_, + m-p+l v +m-q+r vn+m-p
m-l m-p+1 m-p m-p-1
l ¦ ¦ ¦ Xp-l Xq Xp
• • • *>¦
Найдется и соответствующий член, в котором переменные хх, . . ., хт
расположены в естественном порядке, его знак определяется числом
переменных хр хд, показатели которых изменились: плюс (минус)
в том случае, если (q — р) нечетно (четно). Таким членом, выписан-
выписанным в новом порядке, будет член
(± lf'+'W-1 • • • СГЧт~* • • • *™-К' • • •
На языке графов можно сказать, что мы .добавляли точки к q-R строке
до тех пор, пока число их не стало на единицу больше числа точек
в предыдущей строке (т. е. х°ч перешел в xvtf-1+ ), а затем повто-
повторили ту же процедуру с предыдущей строкой и т. д., убедившись
в том, что окончательным результатом размещения всех г точек
является правильный граф. Этот процесс называется правильным
размещением г точек. Общее правило состоит в следующем.
Чтобы найти характер в представлении (К) класса (Г), имеющего
циклы длины llt l2 строим граф разбиения (X) с помощью по-
§ 4. Графический метод нахождения характеров 243
следовагельных правильных размещений точек, число которых равно/1(
12 и т. д. Характер хй;1 равен числу способов, которыми можно по-
построить граф, содержащий четное число отрицательных размещений
минус число способов, при которых граф содержит нечетное число
отрицательных размещений.
ера найдем уф }'.
граф разбиения C, 1):
В качестве первого примера найдем уф }'. Прежде всего начертим
G.42)
i i
Выполним правильные размещения 2, 1 и 1 точек. Эти операции можно
проделывать в любом порядке. Разместим, например, сначала две
точки (обозначим их символом 1), затем одну точку B) и еще одну
точку C). Две точки можно расположить двумя способами:
а) шшп или б) гапа (М2а)
Правильное размещение точки B) приводит к следующим вариантам:
aj ШЕЮ а2) ШШШ б) 0GDD G.426)
Ясно, что точка C) помещается в оставшееся свободное место:
а2) ИШШ б) 0GDH] G.42в)
\3\ I 'I
В вариантах „а^ и „а2" две точки 1 расположены в одной строке,
поэтому эти варианты не содержат нечетных размещений. В случае „б"
точки 1 располагаются в обеих строках, и поэтому вариант „б" со-
содержит одно отрицательное размещение. Таким образом, мы полу-
получаем + 1 из „aj", +1 из „а2" и — 1 из „б"
X{23:iI2))==+l + l-l = l. G.43)
Порядок, в котором выполняются размещения, не существен (хотя
разумный выбор его может значительно сократить вычисления). На-
Например, предположим, что сначала размещается одна точка A), затем
две точки B) и затем одна точка C). Первую точку A) надлежит
поместить в левый верхний угол:
244
Глава 7. Симметрическая группа
Добавим теперь две точки B). Первую точку B) мы не можем по-
поместить во вторую строку, поскольку наше правило требует, чтобы
мы продолжали заполнение строки до тех пор, пока не будут исполь-
использованы все точки либо же число точек не станет на единицу больше,
чем число точек в предыдущей строке. Следовательно, единственным
правильным размещением является
пиши
?
и, помещая сюда третью точку, мы получаем
Мы имеем только один вариант без отрицательных размещений, по-
поэтому
7C, 1) — 11
i'j- Граф разбие-
разбиеЙ' ij
В качестве следующего примера найдем
ния B, I5) имеет вид
т
з
з
Одно расположение состоит из одной точки A), четырех точек B),
одной точки C) и одной точки D). Единица должна быть в левом
верхнем углу. Тогда единственное правильное размещение четырех
двоек дает нам
Тройку и четверку можно вписать двумя способами. В любом случае
четыре двойки занимают четное число строк (нечетное размещение),
так что
уB, 1») — _ 2
§ 4. Графический метод нахождения характеров 245
Попытаемся найти ЗС&,2). Граф разбиения (8, 2) имеет вид
DDDDDDDn
СП
Если разместить пять единиц в первой строке, то получится сле-
следующее:
ШШИШШППП
?D
Если теперь мы будем размещать пять двоек, то мы нарушим наше
правило, ибо мы должны начать со второй строки и продолжать за-
заполнять ее до тех пор, пока число занятых клеток не станет больше
числа заполненных клеток в первой строке. Следовательно, этот
метод не позволяет построить граф с помощью правильных размеще-
размещений. Другой способ состоит в том, чтобы поместить первую единицу
во второй строке, а остальные четыре единицы—в первой:
ШШ00ПППШ
ГЛГ~1
Но и тогда мы не сможем правильно разместить пять двоек, чтобы
образовать граф. Поэтому не существует способов образования
графа с помощью правильных размещений, вследствие чего
7(8, 2) _. г,
ЛE2) —"•
В качестве последнего примера найдем XmJs'i!1 Граф разбие-
разбиения B0, 2, 1) имеет вид:
?????DnnDDDDDDDDDDDD
Будем производить заполнение в следующем порядке: 1 точка, 8 то-
точек, 14 точек. Единица отправляется в левый верхний угол. Тогда,
если расположить 8 двоек в первой строке, то мы не сможем
правильно расположить тройки. Точно так же, если мы начнем с двоек
во второй строке и поместим две из них там, а остальные шесть —
в первой строке, то п}сгая клетка в третьей строке будет мешать
правильному размещению троек. Следовательно, мы должны сначала
поместить двойку в третьей строке, затем две двойки — во второй
246
Глава 7. Симметрическая группа
и пять двоек — в первой. Четырнадцать троек заполнят первую строку,
и мы получим правильное размещение:
Оно содержит лишь положительные размещения, поэтому
уB0, 2, 1) _ _|_ 1
ЛA4, 8, 1) ' '
Задачи. 1. Вычислите следующие характеры:
4' 2)
2»)
r\ D, 3, I
T> C, 22,:
Y02, l2)
X(8) ¦
YF, 2, V)
ЛE, 4, 1) >
е)
ад i v
„(8, I2)
XC, 23, ]
2. Докажите следующую теорему.
Теорема. Характер класса (я) в неприводимых представлениях
группы Sn, соответствующих разбиениям (р, 1*), где p-\-q = n, равен
(—1)? для # = 0, 1, ..., (п—1). В остальных неприводимых представле-
представлениях характер этого класса равен нулю.
[Указание. Попытайтесь построить правильное размещение п точек
для различных разбиений; проверьте условия четности и нечетности раз-
размещения.]
3. Выведите следующие формулы:
XA«,2P,3V ...)-a
(я-2, I2
X P
(я-2, I)
X(ia, 2P, 3V ...)"
(а —1)(а —2)
2
-Р;
Попробуйте обобщить эти формулы.
Неприводимое представление, соответствующее разбиению (п),
является единичным представлением, т. е. для всякого класса (/)
Так как его граф состоит из одной строки, то имеется лишь один
способ построения этого графа с помощью правильных размещений.
Неприводимое представление, соответствующее разбиению A"),
является знакопеременным представлением:
§ 4. Графический метод нахождения характеров
247
если (/) — класс четных перестановок, и
если (/) — класс нечетных перестановок. Доказательство этого очень
схоже с доказательством приведенной выше теоремы. В данном
случае существует только один столбец, и имеется лишь один
способ правильного построения графа. Каждый цикл, содержащий
четное число символов (нечетная перестановка), приводит к появле-
появлению множителя —1. Утверждение теоремы вытекает из того, что
четные (нечетные) перестановки содержат четное (нечетное) число
циклов четной длины.
Ранее мы обращали внимание на сопряженные, или ассоциирован-
ассоциированные, разбиения. Два разбиения (к) и (X) сопряжены друг с другом,
если схема одного из них получается из схемы другого заменой строк
на столбцы. Представления, соответствующие сопряженным разбие-
разбиениям, также называются сопряженными представлениями. Докажем
теперь, что характеры класса в сопряженных представлениях равны,
если класс четный, и имеют противоположные знаки, если класс не-
нечетный, т. е.
Существует много способов доказательства соотношения G.44).
Метод, который избираем мы, представляет ценность с той точки
зрения, что приучает нас мыслить в терминах графов и схем. Предпо-
Предположим, что мы строим некоторый граф с помощью правильных раз-
размещений и приходим к графу:
\ a i ь i с
_|__ Д. _ X -J
Возможные правильные размещения трех точек во второй строке
указаны на схеме, клетки заполняются в следующем порядке: а, Ь, с.
На сопряженной схеме то же расположение в порядке с, Ь, а будет
вновь правильным.
Предположим, далее, что мы достигли следующего этапа в по-
построении графа:
???????
???D
G.45)
248
Глава 7. Симметрическая группа
и правильно разместили 8 точек, как показано на схеме:
G.45a)
На сопряженной схеме размещение тех же точек, но в обратном
порядке, вновь будет правильным:
?????
ппппп
па:--
" а:-
G.456)
?¦:
Обратим внимание на форму добавки к нашей головоломке с зиг-
зигзагом. Добавка всегда имеет форму
Б
Никогда не бывает добавок таких форм:
Иначе говоря, каждая точка находится либо в той же строке, либо
в том же столбце, что и предшествующая ей. Общее число различ-
различных строк и столбцов, занимаемых г точками при правильном раз-
размещении, равно /¦ —|— 1, ибо первая точка начинает заполнение и
строки и столбца, а последующие точки (как мы уже указывали)
располагаются либо в той же строке, либо в том же столбце, что
§ 5. Рекуррентные формулы для характеров 249
и предшествующие им. Но из G.45а) и G.456) мы видим, что
в случае сопряженных разбиений размещения означают, что строки
заменяются столбцами, и наоборот. Таким образом, если г нечетно
(/- —j— 1 четно), то общее число строк и столбцов в схеме четно, и,
следовательно, размещения на сопряженных графах либо оба поло-
положительны, либо оба отрицательны. Если же г четно (/"-)-1 нечетно),
то размещение на графе, отвечающем разбиению (X), отрицательно,
если размещение на графе, отвечающем разбиению (X), положительно,
и наоборот. Таким образом, каждому способу построения графа (X)
для класса (/) соответствует некоторый способ построения графа (X).
В случае четных классов число циклов с четным г четно, и поэтому
оба метода приводят к одному и тому же числу, равному -)-1 или
—1. Если класс нечетный, то число циклов с четным г нечетно,
поэтому мы получаем -f-1 в одном случае и —1 в другом случае.
§ 5. Рекуррентные формулы для характеров.
Правила ветвления
Если требуется построить подробные таблицы характеров сим-
симметрических групп, то можно также пользоваться и рекуррентными
формулами, так что характеры группы Sn можно определять по уже
известным характерам для симметрических групп меньшего порядка.
Рекуррентные формулы выводят из равенства G.24):
V>(*,)= Ц Х$ 2 ЬрРхУ^ху^ ... ху G.24)
где (I) —разбиение числа п.
Предположим теперь, что мы рассматриваем класс группы Sn+n
который получается при добавлении к разбиению (/) одного цикла
длины г: (k) = ((/), г). В этом случае
»
Но
mD(xt) = g х<$ | ЬрРх^+т-1х^+т'" ... *>. G.24а)
G.46)
поэтому
Вычислим теперь коэффициенты при одинаковых одночленах в левой
и правой частях равенства G.47) и получим
41 = Ъ' ± Х(@ • где (*) = (@. г), G.48)
(Я.)
250 Глава 7. Симметрическая группа
a 2j означает суммирование по всем разбиениям (Я), которые мы
сейчас охарактеризуем. Из G.47) ясно, что мы берем набор пока-
показателей
&! + !» —1, А,2-|-1и —2 lm G.49)
и по очереди увеличиваем один из них на г. Мы хотим, чтобы
возникающая при этом последовательность получалась из последо-
последовательности
— 2 Hm G.50)
с помощью некоторой перестановки. Если это так, то у}Ь) будет
входить в равенство G.48), а знак его будет определяться тем,
получаются ли последовательности G.49) и G.50) друг из друга чет-
четной (-J-) или нечетной (—) перестановкой. Поскольку на практике
мы исходим из разбиения (ц) и последовательности G.50), то из
каждого члена последовательности G.50) мы по очереди вычитаем г
и то, что при этом получается, сравниваем с G.49). Чтобы стандар-
стандартизировать нашу процедуру, мы всегда будем выбирать т равным
числу частей в разбиении (|i), хотя возможны и другие выборы т.
Рассмотрим, например, характер ХЙ'K2' Р)- Мы хотим выразить его
через характеры х[л' группы S10, где класс (/) получается из (k)
выбрасыванием одного цикла длины 2 (г — 2). Выбираем т = 5 и
выписываем последовательность G.50):
8, 6, 5, 2, 1.
Вычтем теперь по очереди из каждого числа по 2 и запишем полу-
получающиеся при этом последовательности. Для экономии труда заме-
заметим, что при нашем выборе т следует отбросить любую последо-
последовательность, содержащую отрицательные числа. Кроме того, если
два числа в последовательности, получившейся после вычитания 2,
равны, из нее уже не может получиться последовательность G.49)
и ее также следует отбросить. Наши последовательности имеют вид
6, 6, 5, 2, 1;
8, 4, 5,- 2, 1;
8, 6, 3, 2, 1;
8, 6, 5, 0, 1;
8, 6, 5, 2, —1;
поэтому мы можем исключить из рассмотрения первую и последнюю
последовательности. Расположим числа в оставшихся последователь-
последовательностях в порядке убывания. Будем помечать последовательность зна-
§ 5. Рекуррентные формулы для характеров 251
ком -f- или — в зависимости от того, будет ли необходимая для
этого перестановка четной или нечетной:
—8, 5, 4, 2, 1;
+8, 6, 3, 2, 1;
—8, 6, 5, 1, 0.
Поскольку эти последовательности являются последовательностями
типа G.49), мы получим значения X, вычитая из первого числа
m — 1=4, из второго т — 2 = 3 и т. д.
—4, 2, 2, 1, 1;
+4, 3, 1, 1, 1;
—4, 3, 3, 0, 0.
Окончательно наша рекуррентная формула будет иметь следующий вид:
7D, 3», 1») „D, 2\ Р) I уЦ, 3, 1») 7D, 3') (J 5П
В качестве второго примера найдем рекуррентную формулу, позво-
позволяющую выразить Хмл6'4M) через yW Величины ц равны 7, 6 и 5,
fft = 3, так что последовательность G.50) имеет вид 9, 7, 5. Вычтем
по очереди из каждого числа по 4:
5,7,5" 9. 3. 5; 9. 7. 1-
Переставим члены последовательностей в порядке убывания: —9, 5,
3; -f-9, 7, 1 и вычтем 2, 1, 0, в результате чего получим —7, 4,
3; -f, 6, 1, откуда
vG, 6, 5) уG, 6, 1) vG, 4, 3)
Чрезвычайно важен случай, когда мы отбрасываем цикл длины 1
(/-=1). В этом случае мы должны последовательно вычитать из
каждого члена последовательности G.50) по 1 и то, что получится,
отождествить с G.49). На этот раз члены не могут располагаться
в беспорядке (единственный непригодный для нас результат может
заключаться в том, что два члена станут равными), и мы получаем
возможность оперировать непосредственно с величинами X и [i.
В результате сравнения мы получаем правило ветвления
где суммирование проводится по всем получающимся разбиениям,
которые правильны (т. е. таким, для которых ц.г — 1 ^ Мт+0-
252 Глава 7. Симметрическая группа
Предположим, что мы отбрасываем второй цикл длины 1. Повторяя
наши рассуждения, получаем
уМ — У y(^i ^-2----L- У а yCi й'"' i1*-1--)
G.53)
где #Г5 — 2, если только г и s не являются последовательными целыми
числами и [ir не равно ц.Л, в противном случае arj=l.
Последнее выражение чрезвычайно громоздко. Гораздо удобнее
изображать его графически. Чтобы перевести эту рекуррентную
формулу на язык графов, рассмотрим сначала случай G.52). Пред-
Предположим, что при построении графа разбиения (ц) с помощью пра-
правильного размещения узлов, соответствующего классу ((/), 1), мы
отбрасываем при последнем правильном размещении (одного узла)
цикл длины 1. Перед этим последним шагом мы уже построили
разбиения (я) числа п — 1 с помощью правильного размещения, и
теперь для того, чтобы построить разбиение (|i), мы пытаемся раз-
разместить последний узел. Это последнее размещение положительно.
Число способов, которыми можно построить разбиение (л), равно
характеру класса (/) для этого разбиения числа л—1. Поэтому харак-
характер класса ((/), 1) в разбиении (\х) равен сумме характеров класса (/)
во всех правильных графах, получаемых из (\х) (правильным) выбрасы-
выбрасыванием одной точки. Например, из схемы
DDDDDS
????
можно удалить любую из точек (одну), помеченных крестиком, и
поэтому
„F, 4», 3, 2) — „E, -Р, 3, 2) I 7F, 4, 3', 2) I „F, 4!, 2') | уF, 4>, 3, 1) (J 54а~)
Л((«, 1) 1A) I 1A) I Ц1) П^ А(/) • VI .ч^а;
Выбрасывание двух циклов длины 1, которое привело к выражению
G.53), графически можно описать как два последовательных пра-
правильных удаления по одному узлу. Из нашей схемы можно усмотреть и
причину того, почему выражение G.53) столь сложно. Мы удаляли
по одному узлу сначала из строки 1, затем из строки 3, или наобо-
наоборот, в результате чего получающееся разбиение входит в сумму
дважды. Если же взять строки 2 и 3, то сначала мы должны про-
произвести выбрасывание из строки 3, а затем из строки 2, в силу чего
это разбиение войдет в сумму лишь один раз.
§ 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса 253
Выбрасывание цикла длины 2 означает правильное удаление 2
точек. Чтобы удаляемая полоска была правильной, она должна иметь вид
DD или ? G.55)
где первая полоска положительна, а вторая отрицательна (четное
число строк). Таким образом, в разбиении
?????
ОПИИ
ипшш
можно удалить лишь косо заштрихованные полоски из 2-х клеток,
так что
vE, 42, 2) „E, 42) I vE, 4, 22) vE, З2, 2) G Кр.\
При отбрасывании цикла длины 3 правильными полосками являются
? да с
DDD ПП ?_ ? G.57)
+ +
Вообще для цикла длины г существует 2Г~Х различных полосок.
Задача. Воспользуйтесь рекуррентными методами для вычисления
а) Х(^L>222/> если известны Х(г]'; б) y$if'z\y если известны yjfc).
§ 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса
Последний метод вычисления характеров состоит в непосредственном
использовании формулы Фробениуса G.24). Проиллюстрируем этот
метод на нескольких простых примерах, которые понадобятся нам
впоследствии. Согласно G.24), % =х|Чч и X==xf n-2\ равны со-
соответственно коэффициентам при х^1х^. . . х^™ в выражениях
D{xx *„,)(*,+ ...+*„,)" G.58)
где
hl = ki-\-m~t. G.60)
254
Глава 7. Симметрическая группа
Начнем с G.58). Каждый член в разложении D(xi) имеет вид
± *?'...
G.61)
где числа k образуют некоторую перестановку целых чисел m—1,
m—2, ..., О, знак Ч1ена определяется тем, будет ли эта переста-
перестановка четной или нечетной. Чтобы получить из G.61) требуемое
выражение, мы должны умножить G.61) на
я!
так что искомый коэффициент равен
1
(ft)
(h1-k1)\...(hm-km)\ '
где сумма берется по всем перестановкам чисел m — 1,
сумма является разложением определителя
tQ = nl
1
1
1
1
[fi2 — (m — 1)J!
1
_1_
г — (т — 2)]\ ¦¦¦ TJ
1 1
[hm — (т — 2)]! ' " " hm\
Вынося множитель l/(Aj!. ¦ -hm\), получаем
„ _ п\ у
Л0— A,lA2!...Aml A
h2(h2—\) ... (hi—i
X
G.62)
G.63)
0. Эта
G.64)
hx (Л, — 1) ... {hx—
h2{h2—\) ... {h2—fft-f-3) ... h2
Am(Am-l)...(Am-i»+2) hm{hm~\).. .{hm-m+2>) ... hm
G.65)
Столбцы определителя G.65) представляют собой многочлены сте-
степени т—1, т — 2, ..., 0 со старшим коэффициентом, равным еди-
§ 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса
255
нице. Следовательно, вычитая подходящим образом столбцы друг
из друга, мы можем привести G.65) к виду
п\
М...л„1
л?-1
.m-2
... hi 1
...hi 1
... hm 1
или
п\
B Iм)'
применим G.66) к G.59):
Ход*,1...*„1Д(*"--.- *J>
Чтобы вычислить
G.66)
х = («-
Нам потребуется величина
¦_ л(я—1) х
>— 2 у
Из G.66) и G.67) имеем
(hi-\)D{hu h2 hi —2 hm)
G.68)
G.69)
Знаменатель в G.69) является знакопеременной функцией от ht [ср.
замечания, сделанные по поводу G.23)]. Сумма в числителе также
является знакопеременной функцией от ht. [Проверка того, что
числитель содержит все множители {ht—hj), предоставляется чи-
читателю.] Следовательно, их отношение должно быть симметричным
Полиномом второй степени относительно hf.
2 h2 А,-2 AJ =
^ + F]. G.70)
Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях равенства G.70),
мы можем определить А, В, С, F. Прежде всего рассмотрим члены,
в которые hx входит в степени т-\-\ или т, а степень h2 больше
256 Глава 7. Симметрическая группа
или равна m—2. В левой части такие члены встречаются только
при /== 1:
(Aj — 2)m'1 (h1 — 2)m~2 ,
MV~O m_i m_2 -|A3m ... Am_,j, G.71)
Аг А2
где I A™ ... Am_i| — определитель, который получается после вы-
вычеркивания из определителя D(h) первых двух строк и столбцов.
Разлагая G.71), получаем
Й! (Л, — 1) [h?~2 [h?-1 — 2 (от — 1) А'*" • • ¦} —
X (А™ .. . A«_il. G.72)
В правой части G.70) эти члены входят лишь в
[Af-'A?-2 —Af-2A?][i4A2 + fiAiA2 + CAi+ •••JX '
Х|йзт~3 ... Am_i|. G.72a)
Сравнивая коэффициенты, получаем
Л=1. Б = 0, С = — Bот — 1). G.73)
Постоянная F есть коэффициент при hf~lh?~ . . . hm_\ в правой
части G.70). Этот одночлен в левой части G.70) получается только
из главной диагонали определителя. В 1-й слагаемом диагональный
член равен
hf-'hf-2 ...hi{ht- 1) (А, - 2f~l . . . hm.lt
так что коэффициент при АГ^'а™ •.. Лш_] равен
2 (от — 0 (от — / — 1) -j- 2 (от — 0 = 2 (от — О2
-l). G.74)
Пользуясь G.69) и G.70), находим
Подставим теперь Аг из G.60) и получим
m m
G.75)
ьг. G.76)
Задача. Воспользуйтесь соотношением G.66), чтобы найти неприво-
неприводимое представление группы S19, соответствующее разбиению D, З2).
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы
257
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы Sn.
Символы Яманучи
Обратимся теперь к задаче построения матриц неприводимых
представлений группы 5„. Мы будем следовать статье Яманучи*).
Рассмотрим неприводимое представление D (R), характеризуемое
разбиением (А,). Будем предполагать, что нам известны неприводимые
представления группы Sn_l—группы перестановок символов 1, 2, ...
.. ., п— 1. Все перестановки группы Sn, которые содержатся в этой
подгруппе Sn_lt обладают тем свойством, что оня оставляют без
изменений последний символ га. Поэтому всякий элемент R группы Sn,
который содержится в Sn_u имеет вид ((/), 1) и, следовательно, мы
имеем право применять правило ветвления G.52). Равенство G.52)
можно выразить на языке представлений: для элементов R, содер-
содержащихся в Sn_i, матрица представления D(R) равна сумме матриц
представлений Dr (/?), где DT — неприводимое представление группы
5„_ь соответствующее разбиению {%г, Х2 %г — 1, .... А,ш). В ма-
матричных обозначениях это запишется так:
Dr(R)
G.77)
'V-l '
r+l
для любой перестановки /?, оставляющей без изменения последний
символ п. Например, в разбиении, указанном в G.54), любая пере-
перестановка первых 18 символов имеет матрицу представления
D (R) = D, (R) + D3 (Я) + D, (R) + D, (R),
G.78)
где, например, Dx есть матрица, в представлении, характеризуемом
разбиением E, 42, 3, 1). Представление можно выбрать так, чтобы
матрица D(R) имела клеточно-диагональный вид, причем на главной
диагонали будут стоять матрицы Dr. Индекс г позволяет нумеровать
набор строк (столбцов), в которых стоит матрица Dr
/П
3
3
4
4
5
Ь
G.79)
Для тех элементов R, которые оставляют без изменения два сим-
символа п — 1 и гаи, следовательно, принадлежат 5„_2, матрица Dr
') Yamanouchl, Phys. Math. Soc. Japan, 19, 436 A937).
258
Глава 7. Симметрическая группа
распадается дальше [см. G.53)] на сумму представлений Drs, соот-
соответствующих правильным разбиениям
2 Ю-
К-1 К
1 Ю-
G.80)
Неприводимые представления, получающиеся при этом, бывают трех
типов:
1) Drr(Xr >Я,г+1 + 2) встречается один раз,
2) DTS=Dsr встречается дважды, если Хг— 1 ^%т+1 и Xs— 1 ^-Xs+1,
3) Drs встречается, a Dsr нет; это происходит в том случае, если
s = r — 1 и ХГ_1=^ХГ.
Например, рассмотрим еще раз разбиение, указанное в G.54).
Для перестановок R, оставляющих на месте последние два символа,
получаем
D = D
D
13
D
,5
D3
D
34
35
D4
G.81)
(Заметим, что матрица D32 типа 2.) Для таких перестановок мы раз-
разбиваем г на rs, и матрица имеет вид
G.82)
Матрицы любой перестановки в группе Sn_2 имеют вид G.82);
пунктиром показаны матрицы G.79), отвечающие элементам группы
Sn-\- В G.82) мы снова выбрали базис так, чтобы представить
матрицу в клеточно-диагональном виде.
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы Sn 259
Теперь мы хотим построить матрицу представления тех элемен-
элементов R группы 5„, которые не содержатся в Sn_lt т. е. таких
элементов, которые переставляют последний символ п. Для этого
нам потребуется лишь матрица транспозиции (п—1, п), которую мы
обозначим через U, ибо
(/, п) = (л— 1, п)A, п—\)(п — \, п). G.83)
Транспозиция G, га—1) принадлежит группе Sn_l, поэтому ее
матрица известна. Зная матрицу U, мы можем построить матрицу
для любой транспозиции (/, п), а следовательно, и матрицу для
любой перестановки. Матрица V произвольной перестановки из
группы 5Л_2 имеет вид, показанный в G.82):
Vrs,Pq = Vrs,rs6rs,pr G.84)
Поскольку транспозиция (га— 1, п) коммутирует со всеми эле-
элементами группы Sn_2> то
VU — UV G.85)
или
Vrs,rsVrs,Pq = Urs,PqVM,m G 86)
для всех элементов* группы 5„_2. Матрицы Vrsrs и VPq, Pq служат
неприводимыми представлениями группы Sn_2, которые эквивалентны
лишь при pq = rs или pq = sr. Следовательно, по лемме Шура,
Urs< pg = 0, за исключением случая, когда pq — rs пли pq = sr и
Vts, rs = ars, rsErs, rs> Urs, sr = °rs, srErs, sr> G.87)
где ElmpQ—единичная матрица, стоящая на пересечении /fft-строк
и рд'-столбцов в G.82), а величины а — константы.
Если потребовать, чтобы представление было унитарным, то из
вида матрицы U можно усмотреть, что если rs имеет тип 1 или 3, то
K,,J2=1. G 88)
а если rs имеет тип 2, то
Чтобы найти матрицу U транспозиции (п— 1, п), нам необходимо
знать лишь константы а. Их можно найти следующим образом.
Ранее мы показали [см. C.168)—C.170)], что если просумми-
просуммировать матрицы неприводимого представления по всем элементам
класса К, то получится матрица, кратная единичной:
G.90)
260 Глава 7. Симметрическая группа
где Е — единичная матрица, пк — число элементов в классе К, %к —
характер этого класса и /0 — размерность представления. Применим
этот результат к классу транспозиций. Для группы Sn
_ п(п 1) % р — гр ,~ пь
К] °
где | — величина, определенная соотношением G.68) и вычисленная
в G.76). Точно так же, если рассмотреть неприводимые представле-
представления Dr группы Sn_l и Drs группы 5Я_2, то получим
2.?/(г)(/У) = 1Л. S.f/(w)(^ = 6rAe. G-92)
где ЕГ и Ers — единичные матрицы представлений Dr и Drs, а \г и \rs
определяются так же, как и |. Из G.91), G.92) мы находим, что
матрица
*2 U Цп) = 2 U (/у) - f/ (//) = Л„ G.93)
клеточно-диагональна, причем на ее диагонали [см. G.79I стоят под-
подматрицы
& — 1г)Е„. G.93а)
Повторяя эту процедуру и используя оба выражения G.92), получим,
что матрица
Я-2
2 U(t, n— 1) = ЛЛ_! G.94)
также клеточно-диагональна, причем на ее диагонали [см. G.82)]
стоят подматрицы
(?,-?„)?»,«• G.94а)
Умножив G.93) на U (п—1, л), мы получим
л-1
AnU(n— 1, я)=2^(Л n)U(n—\, n) =
я-2
= 2^ С n)U(n — 1, л) 4-Б. G.95)
Но
;, п)и (п — 1, я) =
1-1
Г л~2 1
= (/(я —1, л) К/(л — 1, «)Jf/(/, л)(/(я —1, л) =
L '-1 J
л-2
= У(я—1, л) 2^(*. я —l) = i/(« —1, «)ЛЛ_!, G.95а)
<i
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы Sn 261
следовательно,
Anl)(n — \, n) — U(n-\, п)Ап_1=Е. G.96)
Возьмем теперь из этого равенства матричный элемент (pq, rs) и
воспользуемся соотношениями G.93а) и G.94а). Из рассмотрения
элемента rs, rs мы получим
(I ~ У Urs> „ - UTSi „ (\r - \TS) = Ersi „. G.97)
а из рассмотрения элемента rs, sr следует
Подставляя соотношения G.87), находим
°rs,rs=l_2lr + trs ' G-99)
аГЛ4Г = 0, если | — |г — ^+^г ф 0. G.100)
Воспользуемся теперь соотношением G.76). Уменьшим Хг в Dr на I,
тогда
l-lr = Xr~r. G.101)
Для представлений типа 1 (r — s) нам необходимо знать \т — \тт.
В Drr величина Хг уменьшается на 2, так что
lr — Irr = К ~ ! — г
оп>тг=\. G.102)
При г Ф s
lr-lrs = K — s. G.103)
поэтому для представлений типа 2
"^^^^-J+i-r-11^- GЛ04)
Заметим, что
Ъ tar == 6i &5Г>
в результате чего условие G.100) выполняется автоматически. На-
Наконец, для представлений типа 3, для которых s — r — 1, Xr_-[ = Xr,
мы находим из G.104):
orS:rs = —l. G.105)
Матрица U(n—l, n) очень проста. Из G.102) вытекает, что ее
подматрица (rr, rr) — единичная; из G.105) следует, что диагональ-
диагональные элементы подматриц (rs, rs) типа 3 равны —1. Согласно G.104),
в случае подматриц (rs, rs) типа 2 диагональные элементы равны
единице, деленной на целое число, а диагональные элементы подмат-
подматриц (sr, sr) отличаются от диагональных элементов подматриц (rs, rs)
лишь знаком. Все эти элементы стоят на диагонали матрицы G.82).
Из условия унитарности G.89) видим, что в случае типа 2 мы по-
получаем внедиагональную подматрицу, кратную единичной матрице,
U = ± Vl — о2 Е —оЕ С
rs, sr У rs, rs rs, sr rs,sr-rs,sr' ч
262 Глава 7. Симметрическая группа
число orSfSr вещественно, так как |а„, „| < 1. Выбор знака в G.106)
произволен, его можно изменить на противоположный трансформи-
трансформированием клеточно-диагональной матрицей, у которой диагональные
элементы в подматрице (rs, rs) равны —1, а остальные диагональные
элементы равны -\-1. Мы выбираем знак „-)-". Определим целое число
*rs,rs = t^; = K-K + s-r. G.Ю7)
так что
Матрица U содержит, таким образом, на главной диагонали лишь
рациональные числа; вне диагонали могут стоять квадратные корни
Yj2rs rs — 1 ¦ Поскольку матрица U унитарна и вещественна, то
LJU — ?, но для транспозиции U2 = E, так что U = U, и матрица
оказывается симметричной
<W = <V.«- GЛ09)
Целое число xrSt rs ^ т„ = Хг — %s -f- s — г имеет простой гео-
геометрический смысл. На схеме Юнга мы движемся из квадрата г,
делая шаги по горизонтали и вертикали до тех пор, пока не до-
достигнем квадрата s; irs есть полное число сделанных шагов. Шаги
считаются положительными, если их делают влево или вниз, и отри-
отрицательными, если их делают вправо или вверх. Величина тГЗ назы-
называется аксиальным расстоянием от г до s. При заданном п
число xrs будет максимальным, если Xi = n—1, Я2=1 или Хг — 2,
%i= ... =^„_1 = 1. В этом случае xrs — ii—1.
Пользуясь матрицей U(п — 1, п) и матрицами G.82) для элемен-
элементов 5n_j, мы можем с помощью умножения найти матрицы, отвечаю-
отвечающие элементам группы Sn. Весь процесс можно повторить для транс-
транспозиции (я—2, п—1) и элементов Sn_2 и получить по индукции
следующий результат.
Все матрицы неприводимых представлений группы Sn можно по-
построить с помощью вещественных чисел. Диагональные элементы
рациональны, внедиагональные элементы содержат квадратные корни
из целых чисел, не превышающих и2—2«.
В этом процессе последовательной редукции матриц группы Sn
мы исходим из данного разбиения и удаляем один узел. Эту проце-
процедуру мы повторяем до тех пор, пока вся схема не оказывается
исчерпанной. Рассмотрим схему
?? GЛ
?
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы Sn 263
Предположим, что мы удалили один узел из третьей строки, так что
г = 3; после этого мы получим матрицу Dr, соответствующую раз-
разбиению
ппп
?D
Если теперь мы удалим один узел из первой строки, так что s=l,
мы получим матрицу Drs, соответствующую схеме
??
?D
Удаляя далее один узел из второй строки (t = 2), мы получаем ма-
матрицу Drst, соответствующую схеме
Если теперь мы удалим по очереди один узел из строки 1 и строки 2,
то получатся схемы
Ясно, что подматрица Drstuv, которую мы получаем на последнем
этапе, содержит одну строку и один столбец. В силу самого метода
построения базисная функция, соответствующая этой строке (столб-
(столбцу), обладает тем свойством, что является базисным вектором не-
неприводимого представления C21) группы 56, представления C, 2)
группы S5, представления B2) группы 54, представления B, 1)
группы S3, представления (I2) группы S2 и представления A) группы Sx.
Эту базисную функцию ф можно обозначать, указывая те строки,
из которых по очереди отброшены узлы. В нашем случае ее можно
было бы обозначить ср[3, 1, 2, 1, 2, 1]. Последовательность
[3, 1, 2, 1, 2, 1]
называется символом Яманучи (F-символом). Следует заметить,
что существует простая связь между символами Яманучи и стандарт-
стандартными таблицами Юнга. В нашем примере мы сначала удалили узел
из строки 3. Был удален символ 6, после чего у нас осталась
группа S5. Затем мы удалили один символ из строки 1 и получили
группу S4. Ясно, что этим символом был символ 5. Таким образом,
наша первоначальная таблица имела вид
264 Глава 7. Симметрическая группа
Следует также заметить, что наш символ Яманучи состоит из трех
единиц, двух двоек и одной тройки, что полностью согласуется
с ^ = 3, Я2=2, Я3= 1. Кроме того, если мы прочтем числа в сим-
символе справа налево, то заметим, что они образуют решеточную пе-
перестановку цифр 1, 2 и 3. Итак, существует взаимно однозначное
соответствие между символами Яманучи, решеточными перестанов-
перестановками и стандартными таблицами. Например,
12 3 12 6
4 5 -> [322111]; 3 5 ->[123211].
6 4
Для каждого разбиения (К) мы получаем набор символов Яманучи,
число которых равно размерности представления D . Если (Я) =
= (^j, ..., Km), Xm > 0, то допустимыми являются К-символы
[г„, гп_г г2, 1],
где Г; — целые числа от 1 до от (целое число k встречается Xk раз).
Если мы будем читать эти символы справа налево, то получим ре-
решеточную перестановку
l\ 2*2 otV
Теперь мы можем выразить результат действия перестановки
(л — 1, л) с помощью функций ф. Получим
(И — 1, Л)ф[Г, Г, Г„_2, ..., 1] == + ф [Г, Г, Гп_2 1],
(Я — 1, Л)ф[Г, Г — 1, Гп_2 1]= ( ¦ }
= — ф[Г, Г — 1, Г„_2 1],
если символ [г—1, г, г„_2, •••, 1] недопустим, и
(л—1, и)ф[г, s, гя_2, .... 1] =
= а„ф[г, s. гп_2 1J4-V1 — (arsJ((>[s, г, гп_2 1],
если оба символа допустимы и s Ф г.
Наиболее удобный способ упорядочить К-символы состоит в том,
чтобы расположить их в порядке, обратном лексикографическому.
Так, для схемы G.110) допустимые К-символы имеют вид:
322111,
312121,
213211,
132121,
321211,
232111,
213121,
123211,
321121,
231211,
211321,
123121,
312211,
231121,
132211,
121321.
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы Sn
265
Преимущество этого способа упорядочения состоит в том, что он
помогает нам наглядно представить построение матриц при переходе
от Sn к Sn+1. Первые пять символов служат базисными функциями
неприводимого представления (^)^(З, 2) группы 55, соответствую-
соответствующего схеме
DDD,
?Q
получающейся после того, как мы отбросили символ 6 из строки 3.
В этом представлении матрицы перестановок группы 55 служат под-
подматрицами нашего представления группы 56. Далее, если мы пройдем
цифры 3 и 2 в первых трех символах и цифры 2 и 3 в символах
с номерами 6—8, мы придем к одинаковым последовательностям,
соответствующим схеме
группы 54. Построим матрицу для перестановки E6) в этом пред-
представлении (Я) = C21). Пользуясь соотношениями G.102), G.104),
G.105) или G.111), получаем матрицу
322111
321211
327727
372277
372727
232111
231211
231121
213211
213121
211321
132211
132121
123211
123121
121321
I
— ^
— |
VT
2
VJ
2
VJ
1
4
1
4
V5
г vj
V3
2
VTs
4
2
~ 2"
2
Vis
4
vje
4
V3"
2
VJ
2
1
4
J_
S
\1
2
V3
2
~2~
1
1
2
G.112)
Перестановки группы 55 (т. е. перестановки, оставляющие на
месте цифру 6) будут иметь матричные элементы только внутри
266 Глава 7. Симметрическая группа
пунктирных квадратов на главной диагонали. Их матрицы уже из-
известны из рассмотрения группы 55. Матрицы перестановок (/6)
с t < 5 можно получить трансформированием матрицы (i5), принад-
принадлежащей группе S5, матрицей G.112) перестановки E6).
Выбрав за исходную группу St, мы можем постепенно построить
вещественные ортогональные матричные представления группы пере-
перестановок. Мы приводим таблицы этих представлений до группы S5
включительно (табл. 28). Вследствие симметрии мы указываем лишь
те элементы, которые расположены на главной диагонали и над ней.
Кроме того, мы выписываем матрицы только для транспозиций;
остальные представления можно получить перемножением этих матриц.
Задача. Пользуясь таблицами (табл. 28), постройте матрицы для пе-
перестановок B3), D5) и E6) в представлениях (А,) = D, 2) и (З2)
группы S6.
Уже сам факт, что все неприводимые представления симметриче-
симметрической группы можно привести к вещественному виду, позволяет нам
доказать удивительную теорему. Так как все неприводимые предста-
представления группы Sn вещественны, все величины о в E.88) равны -(-1,
так что
?(?) = SV G.113)
где ?(?)—число решений R уравнения
Я2 = Е. G.113а)
Иначе говоря, для группы Sn сумма размерностей всех неприводи-
неприводимых представлений равна числу квадратных корней из единичного
элемента. Чтобы удовлетворить уравнению G.113а), элемент R дол-
должен содержать лишь циклы длины 1 и 2, т. е. структура разбиения
на циклы элемента R- должна иметь вид (la2p), где а-)-2р = я.
Число элементов в классе Aа2р) равно
в силу чего общее число решений уравнения G.113а) равно
3
2
о, 3
a+23-n
Подставляя это выражение в G.113), получаем соотношение
[л/21
^= 2 ^r=S2pp!(r_2p)!; GЛ14)
а+2р-л
где [и/2]—наибольшее целое число, не превышающее числа га/2.
Таблица 28
S,:
S2:
S3:
S4:
1
Ортогональные
?
?D
П
?
ППП
ППП
?D
?
ПППП
П
П
1
11
21
111
321
211
121
1111
4321
матрицы
[1]
[1]
e
[1]
[1]
e
[1]
e
1 0
1
[1]
e
[1]
неприводимых
представлений групп перестановок
для всех элементов
для всех элементов
Ш)
[-1]
для всех элементов
Ш)
[-1]
-
A2)
1 0
—1
для всех элементов
Ш)
[-1]
B3)
" 1 Уз ~
2 2
1
" _
A3)
- 1 Уз-
2 2
1
2 _
Продолжение
ППП
пп
п
п
2111
1211
1121
2111
1211
1121
3211
3121
1321
3211
3121
1321
-1
е
0
1
о-
0
1
-1
A2)
о о-
1 0
—1
A3)
2
_1_
2
C4)
3
\_
3"
A4)
V2_
3
_5
6
1
e
0
1
0
0
1
A2)
0 0
—1
о
—1
—1
C4)
0 0
2j/~2
A4)
б
5
3
6
J_
2
A3)
/3
4г о
—1
_
з
V2
B4)
/2
3
5
6
3
6
B4)
6
5
6
1/6
3
V2
3
Продолжение
ПП
пп
2211
2121
is.: ????? 11Ш
21111
12111
ппоп 112П
11121
21111
12111
11211
11121
1
е
0
1
1
A2)
0
—1
B3)
A3)
[1]
е
1 О О (П
1 О О
1 О
1
2 2
_1_
для всех элементов
C4)
1 О
A4)
A2)
1ООО
10 0
1 О
—1
О
1
A4)
О
3
5
6
3
Кз
6
A3)
10 О
1 О
__1_
2
B4)
0 О
1 У2_
3" 3
ъ_
6
о -
3
Уз
6
J_
2
П О
1
B3)
О
О
2
1
О
О
/3
2
J_
2
Продолжение
C4)
D5)
21111
12111
11211
11121
21111
12111
11211
11121
1 0
1
3
_
- J
4
0
/8
3
1
3
/15
12
12
п
- 0
0
1_
B5)
/30
12
/2"
12
5
6
1 у I
5
n
4 4"
7 °
l
/To" ~
4
/6
12
/3"
6
1
2"
n
0
0
1 _
1
4
C5)
/15" /30
12
12
/2
6
з
¦тг О
1_
A5)
/15" /30"
/10
12
11
12
12
/2
12
5
6
4
/6
12
/3
6
Продолжение
A2)
22111
21211
ППП 21Ш
пп
12211
12121
0 0
1 0
—1
22111
21211
21121
12211
- 1 V2
3 3
5
'6
12121
0 0"
0 0
0 0
1 0
—1
A4)
V6
3
_У_
3
5~
1
2"
0
с
с
1
2
-1 0
1
0
) 0
0
Уз
2
1
Y _
A3)
0
Уз
2
1
1 0
1
~Y
0
0
0
1
~~ 2
B3)
0
Уз
2
1
2
0
0
0
1
т
о -
0
0
Уз
2
1
0
0
0
Уз
2
1
Y
1
3
B4)
УТГ V&
3 3
5 КЗ
6 6
1
2
0
0
0
1
0
0
0
/з
2
1
Y
Продолжение
22111
21211
21121
12211
12121
22111
91911
21121
12211
11211
C4)
1 21/Т п
3 3°
1 0
3
1
5 8/2"
27 27
23
27
-
0
п
0
1
0
п
0
0
—1
1
C5)
о 1
2/2
0 9
1
3
0
1
3
D5)
0 0
0
1 2/2
3
1
3
0
п
2/2"
3
0
1
3"
3
0
1
3"
0
о
2/2"
3
0
1
3"
1
3
1 /2
3 9
19
54
B5)
/2 /6"
9
19
54
9
23/3
54
1
2
A5)
/б"
9
23/3"
54
1
2
4
9
8/2"
27
4/6"
27
37
54
4
9
8/2"
27
4/6"
27
37
54
4/3" ~
9
4/6"
27
0
5/3"
54
1
2
4/3 |
9
4/6"
27
0
5/3
54
1
2
Продолжение
?ПС
?
32111
31211
31121
13211
13121
11321
32111
31211
31121
13211
13121
11321
0
1
0
0
—1
A2)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B3)
3 3
_1_
3
I О О
—1 О
—1 _
C4)
0 0 0 0
0 о
1 уТ
0
1
0
0
—1
0
0
0
1
3
0
0
0
3
т
—1
0
0
0
1
2
0
0
0
/3"
2
1
2
0
0
0
0
0
— 4- о
D5)
О О
о о
о о
о
4
О О
•4 °
274 Глава 7. Симметрическая группа
Сумма, стоящая в правой части равенства G.114), легко вычисляется
при любом п. Сравнивая ее с суммой C.159), которая в случае сим-
симметрической группы Sn имеет вид
1У=я!( G.115)
и
мы получаем неравенство
Г~Т~
/ G.116)
Г~Т~
У п\
Величины п^ задаются равенствами G.66) и G.60). Подставляя
эти выражения в G.114), мы получаем замечательную формулу сум-
суммирования
[я/21
-m — 1, \2 + щ— 2 Xm) 1
(. + )(, + —2I ... Я.т!
(А) р=0
§ 8. Метод Хунда
Метод рассмотрения симметрической группы, предложенный Хун-
дом !), является физическим вариантом математического метода, осно-
основанного на рассмотрении групповых алгебр.
Предположим, что мы имеем дело с некоторой системой эквива-
эквивалентных частиц. (Под термином „эквивалентный" мы подразумеваем,
что гамильтониан задачи, который может по отношению ко всей
задаче в целом быть некоторой аппроксимацией, инвариантен при
перестановке координат таких частиц. Термин „тождественный" озна-
означает, что мы уверены при настоящем уровне наших знаний в том,
что точный гамильтониан инвариантен при перестановке частиц.)
Если нам задана любая собственная функция фA, .... п), принад-
принадлежащая некоторому данному собственному значению гамильтониана,
то любая из п\ перестановок координат частиц будет приводить
к собственной функции, принадлежащей той же энергии. (В записи
функции ф символ 1 означает все координаты первой частицы и
т. д.) Таким образом, переставив между собой координаты двух
первых частиц в ф, мы можем получить линейные комбинации
. 2 л)+Ч>B, 1 п) = (в + A2))фA, 2 я),
, 2 л)-фB, 1 л) = (е — A2))фA, 2 п), ( ' }
которые также являются собственными функциями и соответственно
симметричны и антисимметричны по частицам 1 и 2. Оператор
1) Н u n 4 F., Zs. Phys., 43, 788 A927).
§ 8. Метод Хунда 275
перестановки ^ —|— A2) называется самметризатором, а оператор
е — A2) — антисимметризатором частиц 1 и 2. Продолжая этот
процесс, мы можем попытаться построить из исходных собственных
функций ф функции, симметричные (антисимметричные) относительно
наборов, состоящих из большего числа частиц. Оператор, симметри-
зующий ф относительно некоторого набора частиц, имеет вид
2 Я, G.119)
р
где суммирование производится по всем перестановкам частиц Р,
принадлежащим рассматриваемому набору. Точно так же антисим-
мегризагор для этого набора имеет вид
2i()pP. G.119а)
р
Применяя к ф операторы, подобные операторам G.119) и G.119а),
мы можем попытаться построить вырожденные собственные функции,
обладающие различной симметрией. Чтобы указать свойства симме-
симметрии функции, мы будем помещать частицы, относительно которых
функция антисимметрична, в фигурные скобки, а частицы, по кото-
которым функция симметрична, — в квадратные скобки. Если символы,
обозначающие какие-либо частицы, стоят вне этих скобок, tj о сим-
симметрии по координатам этих частиц ничего не предполагается. На-
Например, функция
ф({1 2 3} [4 5] 6 7) G.120)
антисимметрична по частицам 1, 2, 3; симметрична по частицам 4, 5;
по поводу же ее симметрии либо антисимметрии по частицам 6 и 7
никаких утверждений не делается. Более того, a priori мы не рас-
располагаем никакими сведениями о том, симметрична или антисимме-
антисимметрична функция по любым частицам, которые не входят в одни и
те же скобки.
Во всяком случае, исходя из нашей первоначальной собственной
функции, мы можем выполнить перестановки и составить линейные
комбинации, чтобы построить эквивалентные собственные функции,
обладающие определенной симметрией. Например, взяв за исходную
функцию фA п), можно попытаться симметризовать ф по всем
частицам, применяя симметризатор G.119) ко всем п частицам.
Мы получим эквивалентную собственную функцию
ф([1 23 ... л]). G.121)
Может представиться случай, когда первоначальная функция фA, ..., я),
из которой мы исходили, такова, что функция G.121) тождественно
равна нулю. Так произойдет в том случае, если исходная функция ф
антисимметрична по любой паре частиц. Если ф([1 2 ... л])^01
276 Глава Т. Симметрическая группа
мы попытаемся симметризовать i|) по любым п — 1 частицам, напри-
например применим к исходной функции i|) симметризатор по всем частицам,
за исключением га-й, затем ко всем частицам, кроме (я—1)-й и т. д.
Если все получающиеся при этом функции обращаются тождественно
в нуль, мы попытаемся симметризовать г|э по (п — 2) частицам и т. д.
Если после этих тяжких трудов мы обнаружим, что не можем про-
провести симметризацию ни по одной паре частиц, то это должно озна-
означать, что наша исходная функция была полностью антисимметрична
по всем п частицам. Вполне аналогично мы могли бы попытаться
антисимметризовать нашу исходную функцию i|)(l n) по всем
частицам с помощью оператора G.119а) для всех п частиц. Если
получающаяся при этом функция ф({1 я}) тождественно равна
нулю, мы попытаемся антисимметризовать исходную функцию по (я—1)
частицам. Если, продолжая этот процесс, мы обнаруживаем, что не
можем антисимметризовать ty ни по одной паре частиц, то наша
исходная функция была полностью симметричной.
Для примера рассмотрим случай трех частиц. Начнем с собствен-
собственной функции г|зA, 2, 3). Применим симметризатор и получим г|з([1 2 3]).
Если эта функция не равна тождественно нулю, мы скажем, что i|)
обладает симметрией типа 5C). Если i|)([l 2 3]) = 0, то мы по-
попытаемся симметризовать исходную функцию по двум частицам и
получим, например, функции
Ч»С11 213) и ф([1 3]2).
Если обе эти функции не обращаются тождественно в нуль, мы ска-
скажем, что vj) обладает симметрией типа 5B-|-1). Если же они обе
равны тождественно нулю, то функция i|) антисимметрична по трем
частицам и обладает симметрией типа 5A -f- 1 -j- 1). Точно таким же
образом можно было бы попытаться антисимметризовать функцию г|э.
Получились бы следующие результаты:
г|)({1 2 3}) — антисимметрия типа /1C),
2K) — антисимметрия типа ЛB-)-1),
2 3) — антисимметрия типа А(\ -f-1 -f-1).
В общем случае мы поступаем точно так же. Мы пытаемся сим-
симметризовать исходную функцию по возможно большему числу частиц.
Если максимальное число частиц, по которым мы можем симметри-
симметризовать функцию т]) (не получая при этом функцию, тождественно рав-
равную нулю), равно Я1( мы можем переобозначить координаты так,
чтобы эти частицы имели номера 1, .... К^, и получить собственную
функцию т|)([1 2 .. . kt] .. . п). Оставим теперь эти частицы и попы-
попытаемся симметризовать по возможности ббльшую группу оставшихся
частиц. Продолжая этот процесс, мы, в конце концов, придем к экви-
§ 8. Метод Хунда 277
валентной собственной функции, имеющей в нормальной форме
E-форме) вид:
G.122)
где
V-1
Под нормальной формой мы подразумеваем следующее: мы не можем
применять перестановки и составлять линейные комбинации для по-
построения из -ф функции, симметричной относительно более чем %х
частиц. Если же мы занимаемся перестановкой частиц Хг-\- 1, . . ., л,
то мы не можем построить функцию, симметричную относительно
более чем Х2 частиц и т. д. Если в G.122) внутри круглых скобок
несколько символов фигурируют в конце отдельно, например
г|)([ ], [ ] . . . л — 2, п — 1, л),
то по этим отдельным символам функция должна быть антисимме-
антисимметричной. Говорят, что функция G.122) принадлежит симметрии типа
S(/4 + /t,+ ... + KJ. G.123)
Заметим, что имеется полное соответствие между типами симметрии
и схемами Юнга, которыми мы пользовались ранее.
Аналогичным образом мы можем привести функцию \|) к нормаль-
нормальной антисимметричной форме (Л-форме)
••• HiHHi+1 Hi+ H2} ¦••). G.122а)
принадлежащей антисимметрии типа
G.123а)
Следует подчеркнуть, что к заданной функции г|) мы можем при-
применять любой из двух процессов. Иначе говоря, любая данная соб-
собственная функция принадлежит какому-то определенному типу сим-
симметрии 5(^4-... -|-Ят) и какому-то определенному типу антисиммет-
антисимметрии Л(|д.1-|- ... -(-Ц/). Если мы сделаем предположения о том, что
иного вырождения, кроме того, которое происходит из-за эквивалентно-
эквивалентности частиц, нет, то вырожденные (эквивалентные) собственные функции
должны обладать одним и тем же 5-типом или Л-типом. Любую соб-
собственную функцию, принадлежащую данному собственному значению,
можно представить в виде линейной комбинации базисных функций
определенного 5-типа либо Л-типа. (В сущности, к этому сводится
сделанное нами ранее утверждение о том, что вырожденные функции
278 Глава 7. Симметрическая группа
образуют базис некоторого неприводимого представления группы сим-
симметрии.)
Докажем теперь несколько простых теорем о симметризации.
Лемма. Если собственная функция
ф({12 ••• ЯЦЯ+1 Я+ц] ...) G.124)
антисимметрична по частицам 1, 2, . . ., Я и симметрична по части-
частицам Я+ 1, Я+2 Я-|-ц (характер ее зависимости от осталь-
остальных частиц не принимается во внимание), то, выполнив переста-
перестановку частиц 1, 2, ..., Я, —|— (X и составив линейные комбинации,
мы можем построить одну из функций (но не обе)
Ф({1 2 ... Я, Я+1}[Я + 2 Ъ + \х] ...).
Х({1 2 ... Я — 1}[Я, Я+1 Я+ц] ...). ( • }
Для построения ф нам необходимо лишь произвести перестановку
частиц 1,2 Я, Я-)- 1. Для построения % нам необходимо лишь
произвести перестановку частиц Я, Я-j-l К~\-ц.
Доказательство. Будем вместо 1, 2, ..., Я писать а, р, ... и
вместо Я-f-l A.-j-M' писать х, у Оператор
к
е-%(ах), G.126)
ct-l
будучи применен к т]), дает нам функцию, антисимметричную по
1, 2, . . ., Я, х. Чтобы доказать это, применим все транспозиции
указанных символов к функции
— 2 (a*)U({l 2 ••• W+1 А. + И] ¦ • •)•
a-l J
Тогда
(PY) «—S(a*)U = (PY)[«-(P*)—(Y*)~ S (ax)] ф.
L a-l J L a^=p,Y J
Так как
имеем
(PY) Ге — (P*)-
L
2 (a*)] (PY) ф = - [в - S (ах)] ф.
§ 8. Метод Хунда 279
Точно так же, поскольку
- 2 (ах) ф =
а-1 J
получаем
фх) \е - 2 (ах) ф = (рх) Ге - (р*) - 2 (а*I Ф =
L 1 J L ИЦ J
= Г(р*) — е—2 (ал?) (арЛ ф.
L а^=3 J
Таким образом,
(Р*)Г«—2(а*)]Ф =
= [- е + (Р*)] Ф — f 2 (а*)) (сф) ф = - Ге - 2 (<**I ф.
Может случиться, что при данном выборе х функция
тождественно равна нулю. Покажем теперь, что если мы будем вы-
выбирать х различными способами (т. е. х = X -\- 1, . . ., X -\- ji), то либо
все получающиеся при этом функции обратятся в нуль, либо ни одна
из них в нуль не обратится. Действительно, если при некотором х
функция
Г2 е ~ 2 (<**)] Ф = О,
то, применяя транспозицию (ху), мы получим
= (ху) Ге — 2 (ах)} (ху)(ху)ф =
= (ХУ) Г« — 2 («*)] (ху) Ф = Ге — 2 (ауI Ф
при любом у.
Точно так же, применяя к ф оператор
Я.+И
2 (ах) , G.127)
Xl J
мы получим функцию, симметричную по а, Х-\-1, ..., А.—|— jx. С по»
мощью процедуры, аналогичной той, которой мы пользовались, пока*
жем, что либо все функции
U+JS^ojoU
280 Глава 7 Симметрическая группа
тождественно равны нулю, либо ни одна из них не равна тожде-
тождественно нулю (а = 1, .... X).
Далее покажем, что два типа функций, получающиеся при дей-
действии на ф операторов G.126) и G.127), не могут одновременно
быть равными тождественно нулю. Действительно, если
\е — 2 (<**)] Ф = 0
при всех х и
при всех а, то, суммируя первую функцию по х, а вторую по а и
складывая, мы получили бы, что (Я,-(-(х)ф = О, откуда следовало бы,
что первоначальная функция ф была тождественно равна нулю.
Наконец, покажем, что обе формы не могут существовать одно-
одновременно— одна из них должна быть тождественно равной нулю.
Действительно, в противном случае функцию
Х({12 — Я, — 1} [А.. А.+ 1 ^ + Ш •¦•)
можно представить в виде линейной комбинации функций, получаю-
получающихся из
Ф({1 2 ... Л, Х+ЩХ+2 Я,+ |х] ...)
применением перестановок Р (действующих на символы 1, ....
и взятием линейных комбинаций, т. е.
Х({12 ... А.— 1} [Я.. Я.+ 1 Я, + |х] ...) =
2 2 ... X, Я + 1} [Х-\-2 A,+ (i] . . .). G.128)
Но тогда ясно, что по крайней мере два символа из числа симво-
символов X, Х-\-1, . . ., Я, —(— р,, заключенных в квадратные скобки в левой
части G.128), должны попасть внутрь фигурных скобок в правой
части того же равенства после того, как перестановку Р применят
к ф. Иначе говоря, каждый член в сумме 2> стоящей в правой
р
части, антисимметричен по крайней мере по двум символам из числа
X, Я, —|— 1, .... Х-\-\х. Применим теперь симметризатор, действующий
на частицы X, А,-(-1, ..., А,-(-[х, к обеим частям равенства G.128).
Слева мы получим п\%, а справа—нуль.
Применяя эту лемму, мы сможем перехоздть от 5-форм к Л-фор-
мам, и наоборот. Предположим, например, что у нас имеется некая
нормальная 5-форма \|) ([123] [45]). Так как эго нормальная 5-форма,
то она должна быть антисимметричной при перестановке частиц 4
(или же 5) и по крайней мере одной из частиц 1, 2, 3. Поэтому мы
§ 8. Метод Хунда 281
можем антисимметризовать ее, например, по частицам б и 3, и полу-
получить ф ([12] 4 {35}). Поскольку наша исходная функция ф была
симметричной по частицам 1, 2, 3 и 4, 5, мы не можем проводить
антисимметризацию более чем по двум частицам, по одной частице из
каждой пары квадратных скобок в 5-форме). По лемме мы можем
получить:
1) ф([1 2 4]{3 5}) или 2) фA B 4) {3 5)).
Если бы первая альтернатива была возможной, то, воспользовавшись
еще раз леммой, мы смогли бы получить:
а) ф([1 2 3 4] 5) или б) ф([1 2] C 4 5}).
Случай „а" невозможен, поскольку из исходной 5-формы следует,
что мы не можем проводить симметризацию более чем по трем части-
частицам, а случай „б" невозможен, поскольку из исходной 5-формы сле-
следует, что мы не можем проводить антисимметризацию более чем по
двум частицам. Таким образом, из симметрии типа SC + 2) мы можем
образовать с помощью перестановок и линейных комбинаций только
антисимметрию типа Л B 4-2+1). Заметим, что эти разбиения со-
сопряжены. Прежде чем применять этот результат, докажем следую-
следующую теорему:
Теорема. Нормальную 5-форму типаф([1 2 ... г] [г + 1 2г])
можно привести к Л-форме ф({1#] [2Ь] . . . [rs))t где а, Ъ, . . ., s
взяты из множества г+1, ••-, 2г.
Так как мы исходим из 5-формы, функция должна быть анти-
антисимметричной при перестановке символа 1 и какого-то символа из
второй пары квадратных скобок, вследствие чего мы можем образо-
образовать функцию
2 ... г] [г+1 2г]).
Попытаемся продолжить этот процесс антисимметризации по двум
частицам, беря по одному символу из первых квадратных скобок и
по одному — из вторых. Предположим, что, выбрав р пар, мы обна-
обнаружили, что не можем продолжать этот процесс дальше. Это озна-
означает, что функция симметрична по 2г — 2р символам, остающимся
в скобках. На этом этапе мы имеем
Применяя нашу лемму к члену, стоящему в квадратных скобках, и
к каждому члену в фигурных скобках по очереди, мы увидим, что мо-
можем из каждой пары фигурных скобок брать по одному символу и
возвращать его обратно в квадратные скобки. Но тогда мы получим
282 Глава 7. Симметрическая группа
функцию ф, симметричную по 2г — 2р + Р = 2г — /? символам.
За исключением того случая, когда р = г, т. е. когда ф превра-
превращается в функцию
{){] .. {rs}),
это противоречит нашему предположению о том, что мы исходим
из 5-формы. Заметим, что если мы переставим две группы частиц,
то у ф появится множитель (—1)'.
Наш предыдущий результат о переходе от 5-формы к Л-форме
можно обобщить. Функцию типа
можно с помощью перестановок и линейных комбинаций превратить
в функцию типа
где разбиения (К) и ([i) сопряжены. Суть доказательства содержится
в нашем предыдущем примере. Чтобы пояснить это доказатель-
доказательство, приведем второй пример. Возьмем за исходную нормальную
форму ф([1 2 3 45] [6 7 8] 9). Действуя на частицы справа, мы обнару-
обнаружим, что наша лемма позволяет нам образовать лишь функцию
ф([1 2 3 4 5] [6 7] {8 9}). Применим теперь лемму к [1 2 3 4 5] и {8 9).
Мы не можем образовать [1 2 3 4 5 8] 9, так как это нарушило бы
нормальность формы, поэтому выводим один символ из квадратных
скобок и получаем
ф([ 1234] [67] {589}).
Мы видим, что произвели антисимметризацию по множеству, состоя-
состоящему из символов, взятых по одному из каждой пары квадратных
скобок нашей исходной нормальной 5-формы, поэтому вводить еще
какие-нибудь символы в {5 8 9} мы не можем. Оставив член в фигурных
скобках, мы повторим весь процесс, оперируя над членами [12 3 4] [6 7].
До сих пор мы переставляли лишь 5, 8, 9. Если бы мы могли обра-
образовать [1 2 3 4 6] 7, то, применяя перестановку, обратную по отноше-
отношению к нашей предыдущей операции над 5, 8, 9, мы получили бы
результат, противоречащий нормальности нашей формы. Следова-
Следовательно, мы снова берем по одному символу из каждой пары квад-
квадратных скобок и получаем
ф([1 2 3]6{4 7) E 8 9}).
Тот же процесс мы повторяем и с членом [1 2 3] 6 и получаем,
наконец,
фA 2{3 6) {4 7} {5 8 9}),
так что
5E + 3 + 1)-»-Л C + 2+ 2+1 + 1).
§ 9. Групповая алгебра 283
Ясно, что нормальные формы S(к) являются базисными функциями
неприводимого представления (X). Тип симметрии любой заданной
функции определяется заданием либо ее 5-нормальной формы S(X),
либо заданием ее Л-нормальной формы А (\х), где (X) и (ц) — сопря-
сопряженные разбиения. Говорят, что функции ф и ф имеют взаимно
обратный, или сопряженный, тип симметрии, если их 5-формы
(либо Л-формы) соответствуют сопряженным разбиениям.
Задача. Докажите, что члены с различными типами симметрии не ком-
комбинируются, т. е. если г|з и ср обладают различными типами симметрии и
функция / симметрична по всем частицам, то
du = 0.
§ 9. Групповая алгебра
Несмотря на то что метод Хунда прост, он не очень эффективен
при конструировании функций наперед заданного типа симметрии.
Чрезвычайно мощный метод рассмотрения симметрической группы,
который, как мы увидим в одной из следующих глав, позволяет нам
также находить представления групп линейных преобразований в «-мер-
«-мерном пространстве, был разработан Юнгом и Фробениусом. Этот метод
основан на общей процедуре анализа структуры конечной алгебры.
Понятием групповой алгебры мы воспользовались в § 17 гл. 3, но боль-
большую часть теорем о представлениях мы доказывали другими методами.
В гл. 3 мы избегали этого алгебраического метода, поскольку боль-
большинство физиков без всяких к тому оснований настороженно отно-
относятся к этому жаргону и формализму. В данном параграфе мы изложим
этот метод в общих чертах. Для придания некоторым из наших
утверждений большего правдоподобия мы будем ссылаться на резуль-
результаты гл. 3, а для того, чтобы избежать излишней абстрактности
в изложении, мы воспользуемся в качестве примера симметрической
группой.
Начнем с симметрической группы и рассмотрим перестановки как
операторы, действующие на функцию п переменных фA, ..., п).
В результате транспозиции (if) мы получаем некоторую новую функцию
t J я) = Ф0 J I я). G.129)
Так как транспозиции порождают группу. Sn, равенство G.129)
говорит нам о действии любого оператора перестановки на функ-
функцию ф. Если ф! Фя — независимые функции, зависящие от одного
набора переменных, то в качестве ф мы можем выбрать произведе-
произведение функций
ф!A)ф2B) ... ф„(в),
284 Глава 7. Симметрическая группа
где 1 п означают п различных наборов переменных. Тогда
(/У)Ф,A) ... фДО •¦• Фу (Л ••¦ Ф„(») =
= ф1A) . . . фДу) . . . Ф,.@ . . . Фя(п). G.129а)
Применяя операторы перестановки R к функции ф общего вида,
мы получим совокупность, состоящую из п\ линейно независимых
функций /?ф. Если теперь мы составим линейные комбинации этих
функций, то получим векторы
* = 2*д(ЯФ) G.130)
R
в векторном пространстве, имеющем размерность п\. Коэффициенты xR
являются координатами функции х относительно базиса, образован-
образованного функциями Rty.
Если оператор перестановки 5 применить к функции х в G.130),
мы получим новую функцию
х' = 5д; = 5 2 xR (/?ф) = 2 xRS (/?ф) = 2
R R R
Положив SR = T и R = S~1T, будем иметь
т s т
а сравнивая с
' 24
найдем
4 = ^-у G.131)
Формула G.131) сопоставляет каждой перестановке 5 некоторое
линейное преобразование в «!-мерном векторном пространстве. (В § 17
гл. 3 мы рассматривали только такие векторы х, которые имеют
ровно одну ненулевую компоненту, и получали регулярное предста-
представление группы.) Ясно, что оператор asS будет представлен линейным
преобразованием
х' = а<,х , G.131а)
s гз
а сумма S-\-U двух операторов перестановки—преобразованием
j^-V'r+Vr' G.1316)
откуда следует, что оператор общего вида
5= 2«SS
§ 9. Групповая алгебра 285
будет представлен преобразованием
х1 = ^ се х = ^Р (х лХ i^y t ооч
s Ь S T R TR
Рассматривая выписанные только что соотношения, мы замечаем,
что наличие функции ф, являющейся тем объектом, на который мог
бы действовать оператор, было несущественным для результатов.
Из элементов R любой группы порядка g мы можем построить
^¦-мерное линейное векторное пространство векторов
*== 2*/?Я. G.130а)
R
где xR — координаты вектора х относительно базиса, который полу-
получается, если в качестве базисных векторов взять сами элементы
группы. Вектор z — ах-\-$у имеет компоненты
zR — o.xR-\-pyR. (/.loo)
Произведение двух векторов также принадлежит рассматриваемому
векторному пространству:
x=2iXRR, у=2у^,
R S
z=z(xy)= 2 xRysRS = 2 B х -i3>s]71 = 2 B xsy -1 \т>
i\t S T \ S j i \ S /
так что
= 2д; -1Ус = 2*«У-1 G.134)
Линейное векторное пространство, замкнутое относительно некото-
некоторого закона умножения, называется алгеброй. В нашем случае,
поскольку закон умножения берется из закона композиции группы,
который ассоциативен, групповая алгебра А является ассоциатив-
ассоциативной алгеброй.
Линейное преобразование G.132) даег нам некоторое представле-
представление групповой алгебры А. Это представление регулярное.
Любое представление группы О автоматически дает некоторое
представление алгебры А. Если
то
D(s) = ^asD(S). G.135)
s
Наоборот, любое представление алгебры А задает некоторое пред-
представление группы О. Кроме того, если одно из этих представлений
286 Глава 7. Симметрическая группа
приводимо (или неприводимо), то этим же свойством обладает и
другое представление.
Из гл. 3 мы знаем, что регулярное представление G.132) вполне
приводимо и содержит каждое неприводимое представление с крат-
кратностью, равной размерности этого представления.
Под подалгеброй В алгебры А мы понимаем линейное вектор-
векторное пространство, содержащееся в Л и замкнутое относительно умно-
умножения, заданного в алгебре А.
Если подалгебра В обладает тем свойством, что для любого и из
В и любого элемента 5 всей алгебры А элемент su снова принад-
принадлежит В, то В называется левым идеалом.
В случае регулярного представления G.132) левый идеал З'х
является инвариантным подпространством, поскольку sJ3*i = З'х для
любого элемента 5 алгебры А. Так как регулярное представление
вполне приводимо, пространство А должно быть прямой суммой
левых идеалов, т. е.
A = J3?l-lrJ2'i, G.136)
где
S&x = &x. S^2 = ^2. G.137)
Всякий элемент алгебры А однозначно представляется в виде суммы
элемента, принадлежащего J?,, и элемента, принадлежащего J?2;
единственным элементом, принадлежащим одновременно J^ и З'ъ
является 0. Матрицы D(s) регулярного представления приводятся
к виду
DW^Dt^ + D^s), G.138)
где Dt (s) — матрица линейного преобразования, индуцированного
в J3?i умножением слева на элемент s.
Единичный элемент е группы О принадтежит групповой алгебре А
и обладает тем свойством, что
es~se = s G.139)
для всех элементов 5 алгебры А. Если А представляется в виде
прямой суммы двух левых идеалов, как в формуле G.136), то еди-
единичный элемент е можно единственным образом представить в виде
суммы
в = 0,4-62. G.140)
где ех принадлежит J?x, а е2 принадлежит Л?г. Аналогично любой
элемент s алгебры А однозначно представляется в виде
s = s,-fsj. G.141)
Подставляя G.140) и G.141) в G.139), получаем
s = s14 S2 = se = s (ei + e2> — se\ + se2- G.142)
§ 9. Групповая алгебра
287
Так как J^ и 3'2— левые идеалы, то sex принадлежит .g^, a se2
принадлежит Л?2, так что
— se2.
G.143)
Если 5 принадлежит „g^, то s = sx, s2 = 0, и соотношения G.143)
означают, что для всех s из „2^
; = st?j,
В частности, для s =ех
Аналогичным образом для 5 из Л?2 получаем
s = se2> sex = Ot e2 = e\t e2ex — Q.
G.144)
G.144a)
G.1446)
Элемент ех является идемпотентом, т. е. е\ = ех\ кроме того,
идеал J?, порожден элементом ех, так как при всех 5 из А эле-
элемент sex принадлежит J3?x. Если 5 принадлежит JS*lt то se^^s. To
же замечание справедливо и для е2 из J?2- Кроме того,
= е2ех = 0.
Разложение единичного элемента G.140) на части, принадлежа-
принадлежащие JS'x и „g^. Дает нам образующие элементы левых идеалов ??х
и ^2 (разложение Пирса).
В свою очередь левые идеалы З'х и J3*2 могут содержать под-
подалгебры, которые будут левыми идеалами. Если идеал Л? не содер-
содержит собственных подидеалов, то он является некоторым неприводи-
неприводимым представлением алгебры А. Такой идеал называется минималь-
минимальным. Продолжая этот процесс, мы приходим, в конце концов,
к представлению алгебры А в виде прямой суммы минимальных
левых идеалов:
••• +-2V G.145)
Левый идеал J^i порождается идемпотентом eh и
e?=re/. e^j^O при 1ф].
G.146)
Из наших предыдущих рассуждений ясно, что образующие элементы
et мы находим, разлагая единичный элемент е на его компоненты
в пространствах j^ J2*k:
е^ех + е2+...+ек. G.147)
288 Глава 7. Симметрическая группа
Идемпотент е называется примитивным, если его нельзя разло-
разложить в сумму идемпотентов, удовлетворяющих условиям G.146). Мы
предоставляем читателю простое доказательство следующей теоремы.
Теорема. Если е — примитивный идемпотент, то левый идеал
J^=:Ae минимален. Наоборот, если ?? — минимальный левый
идеал, то любой элемент, порождающий „2й, примитивен.
Эти рассуждения можно продолжить и вывести все теоремы гл. 3,
но вместо этого мы обратимся теперь к нашей задаче для частного
случая симметрической группы.
§ 10. Операторы Юнга
Из последнего параграфа мы знаем, что всякий идемпотент et
порождает левый идеал J?^, задающий некоторое представление,
содержащееся в регулярном представлении. Более того, поскольку
(отличные от нуля) численные коэффициенты несущественны, элемент et,
удовлетворяющий соотношению е^ = аег, будет также пригоден для
нашей цели, поскольку eja — идемпотент.
Рассмотрим, в частности, элемент
Р=2Я, G.148)
R
где сумма берется по всем перестановкам группы Sn. Так как для
любой перестановки 5 произведение
то отсюда следует, что Р является образующим элементом. Если Р
умножить слева на величину
то получим
Таким образом, левый идеал АР, порожденный элементом Р, состоит
из кратных Р. Идеал АР представляет собой одномерное вектор-
векторное пространство. Умножение слева на перестановку 5 не изме-
изменяет элемента аР, поэтому в нашем представлении каждому эле-
элементу группы ставится в соответствие число 1; это представление
является единичным представлением.
§ 10. Операторы Юнга 289
Точно так же элемент
R
является с точностью до множителя идемпотентом, так как
R
откуда
Элемент Q порождает одномерный идеал, состоящий из кратных Q.
Умножив слева на элемент группы S, получим знакопеременное пред-
представление.
Чтобы найти другие непривод 1мые представления, воспользуемся
рассмотренными нами ранее в этой главе таблицами Юнга.
Для каждого разбиения (к) числа п начертим схему Юнга.
В клетки этой схемы впишем в произвольном порядке числа 1,
2 л, в результате чего получим некоторую таблицу Юнга. После
того как таблица фиксирована, рассмотрим два типа перестановок.
Горизонтальные перестановки р—это перестановки, при которых
меняются местами только символы, стоящие в одной строке. Верти-
Вертикальные перестановки q меняют местами только символы, стоящие
в одном столбце. Образуем величины
P = 2j°—«симметризатор», G.149)
р
Q = 2 bqq — «антисимметризатор», G.150)
ч
где б?—четность перестановки q, а сумма берется по всем гори-
горизонтальным перестановкам данной таблицы в G.149) и по всем вер-
вертикальным перестановкам в G.150).
Оператор Юнга
Y = QP G.151)
существенно идемпотентен и порождает левый идеал, доставляющий
нам некоторое неприводимое представление группы Sn. Представле-
Представления, получаемые этим методом, для различных схем неэквивалентны.
Различные таблицы с одной и той же схемой приводят к эквива-
эквивалентным неприводимым представлениям.
Если мы всегда будем выбирать стандартные таблицы § 3 настоя-
настоящей главы, то при этом мы будем получать полное разложение регу-
регулярного представления группы Sn.
Эти утверждения допускают изящное прямое доказательство, на
котором мы не будем останавливаться, поскольку оно в одном и том
же виде приводится во многих учебниках. Вместо этого мы покажем,
к каким результатам оно приводит в нескольких простых случаях.
290
Глава 7. Симметрическая группа
При ге= 2 задача тривиальна. Величины
соответствующие схемам
A2) и е--A2),
существенно идемпотентны:
[е ± A2)] [е ± A2)]=ге2 ± 2еA2) + A2)A2) = 2[е ± A2)].
Разложение единичного элемента на идемпотенты имеет вид
g + A2) е-A2)
е — 2 • ~2 •
Первый образующий элемент задает единичное представление, вто-
второй— знакопеременное представление. Каждое из них входит в регу-
регулярное представление с коэффициентом, равным единице.
Случай п = 3.
Таблица
с, задает единичное
с определяющим элементом, равным -^
представление.
Таблица
с определяющим элементом, равным
порождает зна-
копеременное представление.
Элемент е —)— A2) и в этом случае существенно идемпотентен.
Посмотрим, какой левый идеал он порождает. Умножим e-f-A2)
слева на каждую из перестановок:
A3) [« + A2)] = A3) +A23) = A23) [« + A2)],
A2)]=B3) + A32) =
Мы видим, что элемент е + A2) порождает трехмерный левый идеал
3?х с базисными векторами е+A2), A3) + A23), B3)+ A32).
§ 10. Операторы Юнга 291
Так как
е [е + A2)]+
то величина [е—A2)] порождает левый идеал „g^, такой, что
Левый идеал 3 имеет базисные векторы е — A2), A3)—A23),
B3)—A32). Из G.144а) следует, что
Идеалы J2?\ и J?2 не минимальны, 3\ содержит идемпотент
¦^-N /?, а J?2 содержит идемпотент -^2jf>gR. Таким образом, J2?x
задает единичное и какое-то двумерное представление, в то время
как _2 задает знакопеременное представление и некоторое двумер-
двумерное пред;тавление. Получающееся при этом разложение единичного
элемента имеет вид
Если вместо получения единичного разложения мы продолжим
вычисления по нашему рецепту, то получится стандартная таблица
LULL]
Гз1
для которой
Я = е + A2), Q = e — A3) и Y = QP = e +A2) — A3) — A23).
Другая стандартная таблица
приводит к
Р' = е-\-(\Ъ), Q' = e — A2) и У =Q'P' = e — A2) + A3) — A32).
Мы получаем следующее разложение единичного элемента:
Задача. Проверьте, что операторы К/3 и К'/З идемпотентны и что У У
- Y'Y = 0.
292 Глава 7. Симметрическая группа
Случай й = 4.
Таблица
дает единичное представление.
Таблица
дает знакопеременное представление.
Для схемы
???
D
стандартная таблица
ШЕИ
имеет
Q1 = e— A4) и Y1=Q1P1.
Стандартная таблица
ГЛГгта
имеет
Q2 = e— A3) и
Стандартная таблица
имеет
Я8 = « + A3) + A4)-ЬC4)+A34) + A43).
¦ Q8 = e—A2) и K3 =
//. Построение произведения волновых функций 293
Для схемы
стандартная таблица
имеет
Я4=[*+A2I [* +C4)]. <24 = 1«-ОЗ)Ие-B4I и Y^Q.P,.
Стандартная таблица
I 'I
имеет
Я5 = [« +A3I [е +B41), Q8 = [«-A2I [в-C4)] и K5 = Q5P5.
II
Задача. При л = 4 найдите разложение единицы по операторам Юнга.
§ 11. Построение произведения волновых функций с заданной
симметрией. Условия циклической симметрии Фока
Предположим, что у нас имеется система, содержащая п экви-
эквивалентных частиц, и что типичная собственная функция, принадле-
принадлежащая энергии Е, имеет вид
\|)=sa(l)oB)«;C) ... г(п).
Мы предполагаем, что все одночастичные функции в произведении
различны и ортонормированы (поскольку они являются решениями
одного и того же уравнения Шредингера). Позднее мы изучим случай,
когда число одночастичных состояний ограниченно. Так как частицы
эквивалентны, мы можем строить базисные собственные функции
с помощью перестановок и составления линейных комбинаций. Мы
хотим построить базисные функции для различных неприводимых
представлений группы Sn. Решение этой задачи было дано в § 10
настоящей главы. Чтобы получить базисные функции соответствую-
соответствующего неприводимого представления, мы применяем к функции опера-
операторы Юнга, отвечающие всем стандартным таблицам данной схемы.
294
Глава 7. Симметрическая группа
Случай « — 2.
Нормированная функция для таблицы
имеет вид
y=[u(\)vB)+uB)v(l)].
а базисная функция для таблицы
имеет вид
1
1
в B)
»B)
Случай п = 3.
Полностью симметричная функция имеет вид
[A)»B)
+ и C) v B) да A) + и B) г> C) да A) 4- «C) v A) да B)],
а полностью антисимметричной функцией является определитель
иA) и B) иC)
/2 = "^ «0) «B) »C)
даA) да B) даC)
Чтобы найти базисные функции двумерного представления, восполь-
воспользуемся операторами К и К' § 10 настоящей главы и получим
/4 =1 lu(
Задача. Пользуясь операторами Юнга § 10 настоящей главы, по-
постройте линейные комбинации произведения волновых функций четырех
частиц и составьте таблицу базисных функций неприводимых предста-
представлений группы S4.
§ 11. Построение произведения волновых функций 295
Мы предполагали, что все одночастичные волновые функции и,
v, . ¦ . различны. В этом случае мы имели возможность, применяя
подходящие операторы, получать все возможные типы симметрии.
Во многих физических задачах число различных одночастичных со-
состояний ограниченно. Например, если рассматривать спиновую функ-
функцию много электронной системы как составленную из произведений
одночастичных функций, то возможны лишь два спиновых состояния.
Точно такие же ограничения применимы и к системам тождественных
частиц со спином, отличным от 1/2- Дтя нуклонов возможны лишь
четыре одночастичных состояния (спин и изотопический спин). Если
число одночастичных состояний ограниченно, могут появляться не все
неприводимые представления. Мы кратко остановимся на этом здесь
и вновь вернемся к этой задаче при рассмотрении физических при-
приложений.
Предположим, что мы имеем систему из га эквивалентных частиц.
Если возможно одно одночастичное состояние, то необходимо, чтобы
произведение волновых функций, которое мы выбираем за исходное,
имело вид
иA)иB) ... и(я). G.152)
Эта волновая функция уже полностью симметрична, так что един-
единственным представлением, которое может появиться, является пред-
представление, соответствующее разбиению (га).
Предположим, что возможны два одночастичных состояния, миг».
Начнем с произведения функций
иA) . . . й(иI)(т+1) • .. v(n), G.153)
или (в обозначениях метода Хунда) с
ф([1 ... m][m+l га]). G.153а)
Допустимые неприводимые представления можно получить двумя
способами. Мы видим, что нельзя построить таблицы, где число строк
больше двух, так как любой ангисимметризатор, действующий на
более чем две частицы, обращает функцию G.153) в нуль. По сути
дела те же соображения применимы и к функции G.153а) в методе
Хунда.
Аналогичным образом мы не сможем получить разбиение более
чем с k строками, если число различных одночастичных состояний
равно k. (В ядерных задачах для зарядово-спиновой функции встре-
встречаются разбиения, у которых имеется самое бопьшее четыре строки.)
При построении координатных волновых функций с определенной
симметрией для га-электронной задачи Фок использовал метод, за-
заключающийся в наложении на функцию ф следующих условий:
1) антисимметрии по первым k аргументам (k ^> га/2),
296
Глава 7. Симметрическая группа
2) антисимметрии по остальным п
3) циклической симметрии:
k аргументам,
— 2j(»0 Ф = 0.
G.154)
Легко показать, что функция \|) с антисимметрией в смысле Хунда
типа A (k-\-{n — k\) удовлетворяет этим трем условиям. Соответ-
Соответствующая ей таблица имеет вид
•
•
•
•
•
•
к
к+ 1
•
•
•
•
л
G.154а)
Ясно, что функция ф, имеющая нормальную форму A(k-\-{n — k}),
удовлетворяет условиям 1 и 2. Оператор G.154) совпадает с опера-
оператором, который фигурировал у нас в G.126). Как мы там показали,
этот оператор, будучи применен к ф, дает функцию, антисиммет-
антисимметричную по /с —|— 1 аргументам 1, 2, ..., k, п. Так как функция ф
имеет нормальную форму A (k-\-{n — k)), где k^-n/2, то полу-
получающаяся функция должна быть тождественно равна нулю.
Условия Фока можно сформулировать и в общем случае. Функ-
Функция ф обладает определенной симметрией (т. е. является базисной
функцией одного из неприводимых представлений группы Sn), если
1) она антисимметрична относительно набора, состоящего из Хг
аргументов, антисимметрична относительно другого набора, состоя-
состоящего из Х2 аргументов, и т. д.,
2) в разбиении (X)
Т *^-> 1 *^-> *^ О 1Я Т П
/\*1 szZ* Л>0 ^zs' • • • ^?* /\/1 • • • И 1. Д.
функция ij) удовлетворяет условиям циклической симметрии
\е— 2 (cuc)lip = O, G.155)
[^ а принадлежит к^ J
где х принадлежит Xj при всех комбинациях Xt и Xj, при которых
j
И снова соображения, вытекающие из формулы G.126), показы *
вают, что функция, имеющая нормальную форму A (Xi-(-Х2-j- .. .)>
§ 12. Внешние произведения представлений 297
удовлетворяет условиям Фока. Операторы G.155), будучи применены
к \|), порождают функции вида
Поскольку функция ф имела нормальную форму, все эти функ-
функции тождественно равны нулю.
Приведенные выше общие условия оказываются весьма полезными
при выяснении симметрии какой-нибудь конкретно заданной функции.
Задача. Докажите, что оператор Юнга К для табл. G.154а) аннули-
аннулируется оператором G.154) циклической симметрии, т. е.
«—S ("О к = °-
Точно так же докажите, что оператор Юнга для таблицы общего вида
аннулируется операторами циклической симметрии G.155).
§ 12. Внешние произведения представлений
симметрической группы
В случае симметрической группы кронекеровские произведения
представлений обычно называются внутренними произведениями,
поскольку они являются произведениями двух представлений, ка-
каждое из которых соответствует одним и тем же частицам. Напри-
Например, ранее мы научились для трех частиц строить такие внутренние
произведения, как Da X D , где в качестве и а и р, например, слу-
служит разбиение B,1) для частиц, помеченных символами 1, 2, 3.
Кроме того, мы научились разлагать внутреннее произведение на
неприводимые компоненты. Например, для только что упомянутого
случая
1
Это внутреннее произведение (ряды Клебша — Гор дана) мы рассмо-
рассмотрим подробнее в следующем параграфе.
В случае симметрической группы для многих физических задач
оказывается важным другой тип произведения. Представим себе, что
у нас имеется две отделенные друг от друга системы, первая из
которых состоит из частиц 1, 2, 3, а вторая содержит частицы 4,
5, 6. Считается, что все частицы эквивалентны. Предположим сна-
сначала, что наши системы не взаимодействуют друг с другом. В этом
случае мы бы классифицировали состояния первой системы по непри-
неприводимым представлениям группы 53, действующей на частицы 1, 2, 3;
точно так же состояния второй системы мы бы классифицировали
по представлениям симметрической группы, действующей на частицы
298 Глава 7. Симметрическая группа
4, 5, 6. Таким образом, мы могли бы получить двукратно вырожден-
вырожденный уровень системы 1, соответствующий схеме
с базисными функциями
и двукратно вырожденный уровень системы 2 со схемой
вп
и базисными функциями
Когда же две системы взаимодействуют между собой, то состоя-
состояния объединенных систем надлежит классифицировать по представле-
представлениям симметрической группы, действующей на все шесть частиц.
В этом случае мы скажем, что имеем дело с внешним произведе-
произведением (обозначается 0) двух представлений
B,1)8B,1).
которое следует разложить на неприводимые представления группы S6.
Следует заметить, что если ограничиться перестановкой символов 1,
2, 3 между собой и перестановкой символов 4, 5, 6 между собой,
то внешнее произведение будет неприводимым представлением той
подгруппы группы S6, которая при этом получается. Но если мы
будем переставлять все шесть частиц, то внешнее произведение будет
разлагаться по представлениям группы S6. Итак, чтобы найти общее
число базисных функций внешнего произведения, мы можем рассу-
рассуждать следующим образом. Из шести частиц выберем три частицы,
чтобы построить первую систему, а остальные три частицы объеди-
объединим во вторую систему. Это можно проделать Се =20 способами.
При каждом выборе мы получаем две базиг.ные функции для каждого
представления, так что общее число произведений функций равно
2 X 2 У 20 = 80. Результат разложения, правило которого мы сей-
сейчас дадим, выглятит так:
, I2). G.15E)
§ 12. Внешние произведения представлений 299
Подсчитав размерности представлений справа, найдем
9+10+5+2A6)+ 10 + 5 + 9 = 80.
Такой подсчет служит полезной проверкой в разложениях подобного
рода. Приведем теперь без доказательства общее правило. Чтобы
найти компоненты внешнего произведения, начертим схему для одного
из сомножителей. В схемы других сомножителей впишем один и
тот же символ, например а,' во все клетки первой строки, один и
тот же символ Ь во все клетки второй строки и т. д. Будем теперь
дописывать букву а к первой схеме. Будем расширять ее всеми воз-
возможными способами, но так, чтобы выполнялось правило: никакие
две буквы а не входят в один и тот же столбец, а получающийся
при этом граф должен быть правильным. То же проделаем и с сим-
символом Ь. Введем еще одно ограничение: после того как все символы
добавлены к схеме, при чтении добавленных символов справа налево
в первой строке, затем во второй строке и т. д. мы должны полу-
получить решеточную перестановку букв а, Ь, . . . и т. д.
Чтобы пояснить этот метод, рассмотрим разложение G.156). Нач-
Начнем с первой схемы.
и впишем буквы в клетки второй схемы
а а
Расширим сначала первую схему, присоединив к ней две буквы а.
Возможны следующие случаи:
• • а а * * а • • а ••
(?) . B) . а C) • D) • а
а а
(заметим, что случай
а
не является допустимым). Теперь присоединим к схеме букву Ь.
300 Глава 7. Симметрическая группа
Из A) получим
• • а а • • а а.
• b •
6
(Заметим, что случай
• • а а Ь
•
не является допустимым, так как перестановка baa не является ре-
решеточной.)
Из B) найдем
• • а • • а
• а Ь • й
Ь
Из C) будем иметь
• • а • • а
• Ь •
а о
6
Из D) получим
• • • •
• а • а
а Ь а
Ь
что подтверждает формулу G.156).
§ 12. Внешние произведения представлений
301
Часто равенства типа G.156) записывают не в разбиениях,
а в схемах:
?
?
B
?
+вв
0
D
G.156а)
Мы привели общее правило без доказательства, ибо в физиче-
физических приложениях внешние произведения настолько просты, что ре-
результаты можно получать и с помощью элементарных методов.
Легко найти внешнее произведение любого представления (к)
с представлением, соответствующим горизонтальной полоске. Рас-
Рассмотрим сначала внешнее произведение
D ® П
На функции 1|зA) и <рB) не было наложено никаких условий сим-
симметрии, так что при перестановке частиц мы можем получить и сим-
симметричные и антисимметричные комбинации
Таким образом,
D <8) D = DD +
G-157)
Рассмотрим далее внешнее произведение (к) и A):
Р
ID
?
H (x)
Так как на волновую функцию одной добавленной частицы не нало-
наложено никаких условий симметрии, мы можем построить функции,
антисимметричные по всем частицам любого столбца (А,) плюс доба-
добавленная частица, либо же мы можем поместить эту частицу в первую
строку (X). Таким образом,
Ю-
G-158)
302 Глава 7. Симметрическая группа
Во внешнем произведении (А,)®B)
DDDD
DDD
DD ® ПП
а
а м
волновая функция для двух частиц в схеме
ПП
симметрична по этим двум частицам, но никаких условий симметрии
относительно перестановок этих двух частиц с частицами, входя-
входящими в (А,), на нее не наложено. Поэтому мы можем дополнить
схему (к) двумя клетками всеми возможными способами при условии,
что эги клетки не попадают в один и тот же столбец.
Аналогично мы видим, что внешнее произведение (к) и горизон-
горизонтальной полоски (т) получается присоединением клеток (т) к (X)
всеми возможными способами с тем ограничением, что никакие две
клетки не должны попасть в один и тот же столбец. Если мы поме-
поменяем ролями строки и столбцы и перейдем к сопряженным предста-
представлениям (стр. 247), мы тотчас же получим правило вычисления произ-
произведения (к) ® (lm) : m клеток добавляются к (к) всеми возможными спо-
способами, но так, чтобы никакие две клетки не попали в один и тот же
столбец.
Этим способом мы вычислим следующие внешние произведения:
ОО ® 00 = 0000 + §ПП + Щ G.160)
DO® у = yULJ + HD G.161)
О ПО
О <> D _П,П , ПП G.162)
D ® D ~ D П DO
Теперь мы можем последовательно вычислять более сложные внеш-
внешние произведения. Последовательные внешние произведения можно
вычислять в любом порядке
{к) (g, (ц) ig (v) = [(к) <g (pC)] (g) (v) =
= [(H) (8 (v)] 8) W = К*,) ® (v)] ® (|x); G.163)
§ 13. Внутренние произведения 303
имеет место дистрибутивный закон
{%) ® [((х) + (V)] = (к) ® ((х) + (*) 2> (v). G.164)
Таким образом, из G.159) получаем
(I) ® B,1) = (I) ® [B) g) A)] — (Ь) ® C) =
G.165)
Во все выражения в правой части G.165) добавлены горизонтальные
полоски. Этим приемом мы пользовались ранее, и поэтому внешнее
произведение
(*,) 2B,1)
мы можем вычислить.
Задачи. 1. Вычислите внешние произведения
а) ?? <> ?? б) ПП я Ш
пп ® а а ® d
2. Обобщите рекуррентный метод на случай (Л)®B,2) и (Л)®C,1).
Попытайтесь вывести общее правило для вычисления внешних произве-
произведений.
§ 13. Внутренние произведения.
Ряд Клебша—Гордана для симметрической группы
В гл. 6 мы рассмотрели разложение произведений неприводимых
представлений данной группы G. В случае симметрической группы
такие кронекеровские произведения называются внутренними произ-
произведениями, чтобы их можно было отличать от рассмотренных нами
в предыдущем параграфе внешних произведений. В гл. 6 мы пока-
показали, как можно производить разложение с помощью таблицы харак-
характеров группы; при этом мы получаем некоторую разновидность раз-
разложения Фурье. Хотя этот метод прямой, он не приводит к общим
формулам. Мы знаем, что дпя группы вращений ряд Клебша — Гор-
Гордана (векторная модель) дает весьма общий результат:
иг
DlXDl'= 2 DL. G.166)
L-\l-l'\
Представляет интерес вопрос о том, существуют ли ана логичные
общие формулы для симметрической группы. Следует ожидать, что
эти формулы будут гораздо сложнее, чем G.166); симметриче-
симметрическая группа представляет собой гораздо более сложную струк-
структуру, чем группа вращений, несмотря на то (или именно вслед-
вследствие того), что последняя является непрерывной группой. Следует
304
Глава 7 Симметрическая группа
также отметить, что, имея в виду пример 4 в § 1 гл. 1, группу Sn
можно рассматривать как подгруппу группы линейных преобразова-
преобразований в «-мерном пространстве.
Таблица 29
Ряд Клебша — Гордана
я=4
(ЗД) X B2)
(ЗД) X B2)
B2) ХB2)
¦ (ЗД)
(ЗД)
B2)
X
X
X
(ЗД)
B2)
B2)
D)
1
1
(ЗД)
1
1
B2)
1
1
BД2)
1
1
(I4)
1
(I4) BД2) B2) C,1) D)
DД) X DД)
D,1) X C,2)
D,1) X (ЗД2)
C,2) X C,2)
C,2) X (ЗД2)
(ЗД2)Х (ЗД2)
E)
1
1
1
DД)
1
1
1
1
1
1
C,2)
1
1
1
1
1
2
(ЗД2)
1
1
1
1
2
1
B2Д
1
1
1
1
2
BД3)
1
1
1
1
(I5)
1
DД) X BД3)
D,1) X B2Д)
D.1) X (ЗД2)
C.2) X B2Д)
C,2) X (ЗД2)
(ЗД2)Х (ЗД2)
A«) B,1») B*,1) C,1*) C,2) D,1) E)
Прямой метод разложения внутренних произведений (ряд Клебша —
Гордана) был предложен Мурнаганом и Гамба. Мы не станем опи-
описывать их метод, а лишь укажем несколько общих формул и приве-
приведем таблицы (табл. 29) всех нетривиальных внутренних произведений
вплоть до я = 5:
(я— 1,1)Х(я—1,1) = (я) + (я — 1.1) +
+ (я —2,2) + (я—2,12), G.167)
(я— 1.1) X (я— 2,2) = (га — 1,1) +(л — 2,2) + («— 2,12) +
+ (л—3,3) + (л —3. 2. 1) (л>4), G.168)
(л— 1,1) X («— 2,12) = (л — 1,1) + (я_ 2,2)+ (я — 2,12) +
+ (га —3, 2, 1) + (л—3,13), G.169)
(я —2.2)Х(я —2,2) = (я) + (я—1,1) + 2(я —2,2)+(я —2,1«) +
+ (л — 3,3) + 2 (я — 3, 2, 1) + (я — ЗД3) + (я - 4,4) +
+ (*-4, 3,1) +(я-4,22). GЛ70)
§ 13. Внутренние произведения 305
Таблицы дают коэффициенты в разложении внутренних произве-
произведений. Для произведений, стоящих слева, коэффициенты относятся
к разбиениям, выписанным над столбцами; для произведений, стоя-
стоящих справа, коэффициенты относятся к разбиениям, указанным внизу
под столбцами. Показаны не все возможные случаи. Не указанные
случаи легко получить с помощью простых теорем о сопряженных
разбиениях, которыми мы пользовались раньше и которые приводим
здесь еще раз для удобства. Из G.44) мы знаем, что
WXA") = W, G.171)
где (к)—разбиение, сопряженное с разбиением (к). Кроме того,
{(Ь) X (ц)} X (v) = (I) X {(Ц) X (v)} = {(к) X (v)) X (|х). G.172)
Полагая (v) = (l"), получаем
(Я.) X (Ц) = (к) X (Ц) = W Х(И). G-173)
Из второго равенства, заменив (к) на $), находим
WXM^WXM. G.174)
В гл. 6 мы также показали, что если (к) X (ц) содержит (v), то (X,) X (v)
содержит (ц), и (ц) X (v) содержит A). В самом деле, во всех трех
случаях коэффициент в разложении есть не что иное, как коэффи-
коэффициент единичного представления (га) в (А,) X (ц) X (v). Итак, мы видим,
что (к) X (М1) содержит единичное представление (с коэффициентом,
равным единице) в том и только в том случае, если (А,)=(ц), а (Я.)Х(М')
содержит знакопеременное представление A") (с коэффициентом, рав-
равным единице) в том и только в том случае, если (к) = (ц).
Уже при га = 5 табл. 29 показывает, что задачи, возникающие
в связи с рассмотрением симметрической группы, могут оказаться
совсем непохожими на задачи, связанные с группой вращений; неко-
некоторые представления входят в разложение кронекеровского произве-
произведения двух представлений с коэффициентом, большим единицы. Как
мы увидим позже, в случае группы вращений с таким явлением можно
столкнуться лишь при рассмотрении произведений трех сомножителей
(см. также § 8 гл. 5).
Внутренние произведения можно вычислять и графическими мето-
методами. Гамба и Радикати сложным путем получили графический метод
для частного случая (к) X («— 1, 1). Мы приведем гораздо более
простой вывод этого метода и укажем, как можно его обобщить.
Из задачи 3 § 4 настоящей главы мы знаем, что
306 Глава 7. Симметрическая группа
Чтобы найти коэффициент а^, с которым представление (ц) входит
в (^) X (« — 1, 1), воспользуемся равенствами E.107), G.12) и G.175)-
a, P, v. • • •
a+2p+ ... =п
(ц)
а!
a, p, y, ...
a+2p+ ... =п
G.176)
Сумма, стоящая с коэффициентом (—1), тотчас же вычисляется с по-
помощью соотношения ортогональности и оказывается равной —6^.
В сумме с коэффициентом а мы применяем к xw и Х(ц) правила вет-
ветвления:
а VW vO-0 =
= 2
l
(а-1)!2Рр! ... ЛA«2Р...)ЛA«2Р...)
афЪ, Р, V. •••
а-(-2р+ ... -л
= 2
(а—1) 2р
. о, э, v, • •¦
а+2|3ч ... -л
V y(V) V у(ц') _
:= У
a!2fi! ( ) <)
а', р, y, ••• (Г) (И')
а'+2р+ ... -л-1
где мы ввели обозначение a—l=a'. Разбиения (л') и ((х') полу-
получаются из разбиений (к) и (ц) правильным удалением одной клетки.
Но теперь мы видим, что каждое произведение в 2 2 имеет в точ-
U') ai'>
ности такой вид, какой необходим для того, чтобы можно
было применять соотношение ортогональности для п — 1 частицы, что
и даетб^ц'. Итак, кронекеровское произведение (л.) X (я — 1. 1) будет
содержать (ц), если удаление одной клетки из (к) и удаление одной
клетки из (ц) приводит к одному и тому же разбиению числа ге— 1.
Мы можем высказать и более простое утверждение: кронекеровское
произведение (А,) X (« — 1, 1) содержит (\х), если удаление одной
клетки из (А,) и добавление одной клетки к получающемуся раз-
разбиению дает нам (ji). Объединяя сказанное с результатом, полученным
для множителя (—1), можно утверждать: разбиение (л) входит в (Я,)Х
X (я—1, 1) с коэффициентом N—1, где Л/-— число различных Хь.
Все представления (|i), графы которых получаются из графа (к) вы-
выбрасыванием одной клетки, входят в это произведение с коэффи-
коэффициентом 1.
§ 13. Внутренние произведения 307
Например,
??? х ?? . ??? + |р
Этот графический результат содержит все формулы от G.167)
до G.169) в качестве частных случаев.
Использованный выше метод можно обобщить на любое произ-
произведение (к) X (М*). Для которого мы знаем явные выражения
характеров /W одного из сомножителей через а, р, ... (в виде
полиномов). Рассмотрим, например, кронекеровские произведения
(п — 2, I2) X (Д-) и (п — 2, 2) X (А-). В задаче 3 § 4 настоящей главы
мы нашли
GЛ79)
Перепишем эти полиномы, разложив их по полиномам системы
1, а, <х(а —1), а(а —1)(а —2)
2р, 22р (р — 1), 23р (р _ 1) (р _ 2), ....
3Y. 32y (Y — 1), 33Y (Y — 1)(Y~ 2), ... и т.д.
Два выписанных полинома содержат 1, а, а (а — 1) и 2р. Вычислив
G.176) (где разность а — 1 заменена соответствующим полиномом),
мы получим члены, содержащие множители 1 или а (которые мы
только что вычислили), один член с множителем а (а— 1) и другой —
с множителем 2р. Они вычисляются отдельно. Множитель а (а—1)
дает в «(ц) вклад
\
а, й, у, ...
а+2р+ ... =п
\ у№> yU) (
(а —2I2рВ1 ХAа2Р...ГAа2Р...у V
а>1, 3, Yt ...
а+2|3+ ... —п
Применим теперь к /W и %М правило ветвления для двух последо-
последовательных выбрасываний одной клетки G.53):
V !У у\1') V у(ц') „ =
(i«-22P) ^JA(i«-22l5)
(a —
1, 3. V. •••
а +2р
308 Глава 7. Симметрическая группа
где (V) и (|д/) разбиения, получающиеся из (К) и (ц) при двух по-
последовательных выбрасываниях одной клетки. В произведении 2 -J
(V) (ц')
мы вновь можем применить соотношение ортогональности (Д1Я группы
•S,,_2) к каждому члену и, таким образом, вычислить а'.
Аналогично вклад множителя 2E в а^) равен
2л а\2^-\Ъ —1I
а, р>0, y, ¦•¦ '
а+2р+ ... =л
G-182)
Применим теперь к (к) и (jx) правило ветвления для случая правиль-
правильного удаления цикла длины 2 [см. обсуждение, предшествовавшее
формуле G.56)], что даст нам
V I
а
а^Р-ЧВ —1)! -()
а, |3>0, у, ... • У1 ' • ¦ (I') (ц<)
2|3+
= S
а, Э', V. ••¦ Н ¦¦" (V) (ц')
а+2|3'+ ... =л-2
Разбиения (V) и (ц') в G.183) получены из (X) и (fi) с помощью
правильного выбрасывания цикла длины 2. Характер входит со зна-
знаком плюс, если удаляется положительная (горизонтальная) полоска,
и со знаком минус, если удаляется отрицательная (вертикальная) по-
полоска. Формулу G.183) можно получить вновь, используя соотно-
соотношение ортогональности для Sn_2.
Общий метод должен быть ясен из приведенных выше примеров.
Задачи. 1. Завершите вычисления этого параграфа и получите ряд
Клебша — Гордана для произведений
а) (п — 2, 12) X W, б) (п - 2, 2) X (I).
2. Покажите, что формулы для случаев „а" и „б" в задаче 1 можно
получить друг из друга с помощью соотношения G.167). [Указание. По-
Постройте тройное произведение (X) X (я —1. 1) X (я — 1, 1)-]
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана
для симметрической группы. Свойства симметрии.
Рекуррентные формулы
В этом параграфе мы хотим рассмотреть две задачи:
а) вывод свойств симметрии коэффициентов Клебша — Гордана
для симметрической группы,
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы 309
б) вывод рекуррентных формул для коэффициентов Клебша —
Гордана.
При рассмотрении первой задачи нашей целью будет получение
соотношений, аналогичных тем, которые были найдены в § 9 гл. 5
[формула E.151)] для просто приводимых групп. Воспользоваться ме-
методом § 9 гл. 5 мы не можем, поскольку при п > 4 симметрическая
группа не является просто приводимой. Кронекеровское произведение
двух неприводимых представлений в общем случае будет содержать
представления с коэффициентом, большим единицы, т. е. (Я/xv) > 1.
Но симметрические группы являются членами одного специального
класса групп: все их представления можно выразить в вещественном
виде (§ 7 настоящей главы). Для таких групп различие между коэф-
коэффициентами Клебша — Гордана и (Зу)-коэффициентами в E.140) сво-
сводится к тривиальному множителю [у3], поскольку каждое представле-
представление совпадает со своим комплексно сопряженным. Поэтому мы будем
действовать так же, как и в § 7 гл. 5.
Для любой группы, обладающей лишь вещественными неприво-
неприводимыми представлениями, все матрицы представлений DfJ(R) веще-
вещественны, а матрицы D^(R) вещественны и ортогональны:
D\K)(R)Dt),(R) = bjr. G.184)
Мы будем придерживаться соглашения о суммировании по повторяю-
повторяющимся латинским индексам так же, как мы делали это в § 5 настоя-
настоящей главы.
Запишем коэффициенты Клебша —• Гордана § 5 настоящей главы
в виде
(H/,v/|A.v) = .S^ G.185)
и обозначим размерность ^-представления через п^. В этих обозначе-
обозначениях равенство E.114) выглядит следующим образом:
D?! (R) d?? (R) S^ = d№ (R) S>T, G.186)
где матрицы D( h (R) так же, как и в § 7 гл. 5, выбраны оди-
одинаковыми для всех эквивалентных представлений, содержащихся
в Dw X D{v):
D^\R) = DlX\R). G.187)
Уравнения G.186) для коэффициентов Клебша — Гордана предста-
представляют собой линейные уравнения с вещественными коэффициентами,
и поэтому коэффициенты Клебша — Гордана можно выбрать
310 Глава 7 Симметрическая группа
вещественными. Таким образом, матрица коэффициентов Клебша —
Гордана будет вещественной ортогональной матрицей:
SK О ? Д Д Д /»7 1QQ\
I Jk^l' jk °Ы°Х.Х °li't (I.lOO)
2i"i jkSt j'k' = ^n'^kh'' G.188a)
Теперь мы можем переставить сомножители в G.186) и получить
E 115) и E 116):
О Л> Г\ / D\ Г) {D\ Q К ,^__ ГЛ\ К' i D\ Л А 'А /7 1 ОП\
t iR*-^ i 1 \Д ) *-¦' к\ V*\ / *-' 5 / 2 ~"~ * ' " s \*\ ) ^Я,? '"Т т ^'/¦? 'у 1/.1ОУ)
dT3 (R)D{m (R) = 2 55'Тл^Fча) (/?)StT^I. G.190)
Поскольку D{ \R) — ортогональная матрица, перенос ее в левую часть
равенства G.186) приводит к выражению
DyWD?;(R)D%WS?*l = tf>K. G.191)
аналогичному E.146). Мы можем также воспользоваться соотношением
ортогональности, чтобы перенести D(K) в левую часть равенства G.186)
и получить
2 С?! (R) D?hR)Dl:j(R) = g 2 SJ'W, G.192)
что аналогично E.149). Если теперь положить s = t, j = i, l = k и
переставить сомножители в левой части, то вместо E.150) мы будем
иметь соотношения симметрии
2j [St xik\ — 2j L5« *tA = 2j Is» vit\ =и т. д. G.193)
V
Наличие в соотношениях G.193) сумм не позволяет нам продвинуться
еще дальше, как мы это делали в § 9 гл. 5, (ввести фазы и нало-
наложить на коэффициенты Клебша — Гордана условия симметрии). Однако
мы все же в состоянии сделать это, ибо теперь (k\xv) > 1, и мы ничем
не ограничены в изменениях фазовых множителей наших базисных
функций. Как мы уже указывали в § 8 гл. 5 [равенство E.117)],
мы можем осивить матрицу коэффициентов Клебша—Гордана веще-
вещественной и ортогональной, не меняя при этом матриц представле-
представления D{K>(R)y если возьмем любые линейные комбинации базисных
функций wiA14
iF/K)==vc /ЧГЮ G194)
j V?, '
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гороана бля симметрической группы 311
коэффициенты с г которых образуют вещественную ортогональную
матрицу
2с ,с ,,=Ь , п. G.195)
т^ Х1ХК ТЛ ХХХК
Покажем теперь, как этой дополнительной свободой в выборе базис-
базисных функций можно воспользоваться для того, чтобы наложить усло-
условия симметрии на коэффициенты Клебша — Гордана.
Перенеся в правую часть G.186) множитель D$(R), получим
'(R)S7^=Sy^D^s(R)DTi(R). G.196)
Для разложения произведения
D(s%(R)D(kvl)(R)
воспользуемся уравнением, аналогичным уравнению G.190). Найдем
dfj (R) s)Xxi?i = 2 ^-^КЧ-М (/?) sTe]). G.197)
Последний множитель в правой части можно перенести влево, в ре-
результате чего получим
Of! (R) S)XW?, = 5,^КЧ Wi (/?). G.198)
Из G.198) мы видим, что матрица М с элементами
MJt = S?W% GЛ99)
удовлетворяет уравнению
DT/ (R) MJt = MlVDf\ (R), G.200)
так что
DMM = MD(e). G.200a)
По лемме Шура, М есть нулевая матрица, если представления О(й)
и Dfe) неэквивалентны (цфе), и кратна единичной матрице, если
ц = е. Поэтому выражение G.199) можно переписать в виде
Для упрощения последующих выкладок мы ввели в G.201) множи-
множитель, содержащий размерности представлений. Матрица m(t^)v квад-
А, [1
ратная, так как ((-ivA,) = (A,vjx). Верхние значки указывают, что мат-
матрица m зависит о г A,, (i, v и что мы переставили первый и в ropotj
столбцы в коэффициентах Клебша — Горданз.
312 Глава 7. Симметрическая группа
В G.201) перенесем в правую часть второй множитель:
}
V
Равенство G.202) с фиксированной матрицей т(адг, определяемой
соотношением G.201), выполняется при всех s, j и I. Умножим G.202)
на аналогичное равенство для S^^Yп-к и найдем
6 ,_^mmvm(^)\ G.203)
Так как коэффициенты Клебша — Гордана вещественны, матрица /и'
вещественна и ортогональна, и ее можно использовать для преобра-
преобразования базиса представления [ср. G.194)].
Весь наш вывод можно повторить, перенеся DfJ(R) в правую
часть G.186). Проделав это, получим равенства
G.201а)
б , = 2«*|iV«*?V • G.203a)
Рассмотрим сначала случай, когда кф\1ф\. Предположим, что
коэффициенты Клебша — Гордана заданы при некотором выборе ба-
базиса. Тогда G.201) определяет матрицу rn{l'^v, которой мы восполь-
воспользуемся для преобразования базисных функций Ч*}- ^
—
при всех J. G.204)
Это преобразование индуцирует преобразование
2 Отт.т 5; »si->Sj xsi при всех у, s, /, G.204aj
т ^ и
и
Так что в новом базисе равенство G.202) имеет вид
. п.205)
§ 14, Коэффициенты Клебша — Гордана длн симметрической группы 313
Независимо мы можем воспользоваться для преобразования базисных
функций Ч?) v матрицей mkllv, определяемой соотношением G.201а).
Новые, коэффициенты Клебша—Гордана будут в этом случае удо-
удовлетворять соотношению
Поскольку мы предположили, что цфvф'k, порядок множителей
и т. д. в произведениях функций несуществен. Поэтому можно сде-
сделать так, чтобы
•Ss lji=Ss xij,
5^v _ 5м.т^ G.2056)
С, л . _— О Л ,
<>l js *JI SJ •
Равенства G.205) — G.2056) заменяют собой равенство E.151), выве-
выведенное для просто приводимых групп в § 9 гл. 5.
Теперь мы должны рассмотреть особые случаи. Предположим
сначала, что Хфц — \. Мы все еще можем выполнить первое пре-
преобразование базиса G.204а) и получить
. = >=!?.. G.206)
V пд
но второе преобразование базиса не является более независимым и
уничтожает действие первого преобразования. Действительно, этс
второе преобразование не является необходимым. Так как |i —v,
то симметрия коэффициентов Клебша — Гордана при перестановка
второго и третьего столбцов определяется тем, содержится ли про-
произведение функций XYS x' в
XDoo] или {Dw
Таким образом, наш первый шаг должен был бы состоять в том,
чтобы указать, какие компоненты W\ *¦ входят в симметризованный,
а какие в антисимметризованный' квадрат представления D(>i). Таким
образом,
Й = \Л G.206а/
где 6t =4-1, если компоненты ^ к' содержатся в симметризоваи-
А.
ном произведении, и 6t s= — 1, если эти компоненты содержатся
314 Глава 7. Симметрическая группа
в антисимметризованном произведении. Матрицу от ^tl следует опре-
определять после того, как это установлено. Так как X ф ц, порядок
сомножителей в произведении ф^Нр^О несуществен, поэтому можно
положить
Srjkis. G.2066)
Комбинируя соотношения G.206), G.206а) и G.2066), получаем полный
набор соотношений симметрии:
„Ал.цм- o|J.T,?4i сЦТ,цХ-
*!±J JJ1 JJS
G-206B)
Рассмотрим, наконец, случай, когда Я = |Х —v. Имеем:
S^1)) = \sTKfj, G.207)
где бт =-(-1, если произведения функций 4fs x' содержатся в сим-
метризованном квадрате, и бт =—1, если они содержатся в анти-
симметризоваыном квадрате. В этом случае линейные уравнения G.191)
для коэффициентов Клебша — Гор дана имеют вид
D?? (/?) Dfj (R) tit! {R) S^fi = S^fb G.191a)
или
[Atik, sji(R) -WiAi] S?*)) = 0. G.1916)
Коэффициенты в уравнении G.1916) симметричны относительно одно-
одновременной замены t*-*-l, s*^>-j. Поэтому если S5 Xji есть решение,
то и Sj ^si есть решение. Сумма и разность этих двух решений
также являются решениями, и самое большее из них равно нулю.
Поэтому ясно, что мы можем всегда сделать так, чтобы
5Х а С ^ A 9П7'Л
s il ^^ ^тЧ*^/ si» yt ,Z\JI a)
где ет — ±1. Комбинируя равенства G.207) и G.207а), получаем
систему соотношений симметрии
G.2076)
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы 315
Эги свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана имеют
место для любой группы, обладающей только целыми (веществен-
(вещественными) представлениями.
В случае симметрической группы мы воспользуемся ортогональ-
ортогональным представлением Юнга — Яманучи, полученным в § 7 настоящей
главы. Базисные функции этого представления мы обозначим [Xi],
где X означает разбиение, a i — символ Яманучи (К-символ), нуме-
нумерующий строки представления (X). Если в аргумент входят несколько
независимых функций, принадлежащих одной и той же строке пред-
представления (X), мы будем отличать их, ставя штрих над К-символом.
Имеется несколько частных случаев, для которых можно легко
найти коэффициенты Клебша—Гордана.
Во-первых, мы знаем, чго произведение (X) X (и) содержит еди-
единичное представление с коэффициентом, равным единице, в том и
только в том случае, если (X) = (jx). Разложение полностью симмет-
симметричной функции по произведениям [Xi] [Xj]' почти очевидно. Базис-
Базисные функции являются компонентами в унитарном векторном прост-
пространстве представления, а скалярное произведение вектора на себя
дает инвариант, т. е. полностью симметрично. Таким образом,
[(га), 1] = -7LY[W][W, G.208)
или
iff 1 б G.209)
где га^ — размерность представления (X). То, что выражение G.208)
полностью симметрично, также легко проверить непосредственно,
применив к нему произвольную перестановку R:
R 2 [Ail [Xi]' = 2 [XJ] [Xk]' D)t (/?) DKki (R) =
i I, j, k
= 2 IM [Xk]' 2 D)t (R) D\t (/?) =
Во-вторых, мы знаем, что произведение (X) X (X) содержит ан-
антисимметричное представление A ). Определим базисную функцию
\Xi] так, чтобы она была базисной функцией представления (X), та-
таблица которого получается из таблицы [Xi] при перестановке столбцов
и строк. Например,
124 136
[Xi] = 35 [Xi] = 25
6 4
316 Глава 7. Симметрическая группа
Как мы указывали в § 7 настоящей главы, можно ограничиться
транспозициями рядом стоящих символов. Легко видеть, что при та-
таких перестановках
D\r = D\. при 1ф], G.210)
D\7 = -D)l. G.210а)
Кроме того, заметим, что недиагональные элементы Dij{i=f=j) от-
отличны от нуля лишь в том случае, если К-символы для / и j по-
получаются друг из друга транспозицией двух соседних чисел, вхо-
входящих в К-символ. Например, транспозиция B3), примененная
к функции [Kt], выписанной выше (К-символ [321211]), приводит
к матричному элементу ]Аз/2, соответствующему функции с К-сим-
волом [321121]. Определим теперь некоторую диагональную матрицу
с диагональными элементами Л; следующим образом.
Л/" = +1 в зависимости от того, получается ли К-символ i из
К-символа, у которого все числа, означающие номера частиц, рас-
расположены в естественном порядке с помощью четного или нечетного
числа транспозиций. Полностью антисимметричная функция имеет
вид
[(Г). 1] = -т= У Л^ [It] [It]', G.211)
у ч Y
или, через коэффициенты Клебша — Гордана,
S<\H)$ = -±=ANlk. G.211а)
У п%
Имеется несколько видов симметрии, которые являются харак-
характерной особенностью симметрической группы. Их получают с по-
помощью рассуждений, схожих с теми, которые позволили получить
G.211) и G.211а). Мы знаем, что
поэтому между базисными функциями (X) и (к) существует взаимно
однозначное соответствие. Из G.211а) и G.205а) имеем
оЪ.A") e(l")U 1
Kl I 1 Ik • I.
откуда
f^P ) G.212)
§ 14. Коэффициенты Клебша —Гордана для симметрической группы 317
Выразим функцию \yl\ через функции (а) X (Р) [вспомните G.174)]:
1 = 2 Sjfflul №*]'==
[Y'l = S57|| Л^ [аУ] [РА]'. G.214)
где мы сначала воспользовались соотношением G.213), а затем за-
заметили, что [A"), 1][A"), 1]—полностью симметричная функция.
Коэффициенты Клебша — Гордана можно перенести в левую часть
равенства, в результате чего получим
[ay] [pft]' = ЛХ S йШ W. G.215)
V,/ ¦*
Кроме того, имеем
2$ G.215а)
2
V.'
так что, сравнивая коэффициенты при ортонормированных базисных
функциях в двух последних равенствах, находим
Sfjl=A°.AlSjfk. G.216)
Другие формы этого соотношения симметрии мы получим, заменяя
представления сопряженными с ними представлениями или же по-
повторяя все рассуждения и беря в качестве исходного соотношение
вида
2
Мы найдем следующие соотношения симметрии:
G.216а)
gJ^jJ G.2166)
Соотношения симметрии G.205), G.205а) и G.2056) и G.216),
G.216а) и G.2166) позволяют нам сократить работу, связанную
с нахождением коэффициентов Клебша—Гордана. Если расположить
разбиения в порядке убывания от (га) до A"), то нам понадобятся
лишь коэффициенты для тех произведений (X) X (М*)> где (ц) распо-
расположено после разбиения (X), но не дальше, чем самосопряженные
разбиения числа п.
Теперь мы хотим убедиться в том, что этот метод заменяет хо-
хорошо известные рекуррентные формулы, существующие для группы
318 Глава 7. Симметрическая группа
вращений. При рассмотрении этой задачи нет необходимости указы-
указывать в явном виде ту систему функций Ч;^т>.\ которой мы пользуемся.
Поэтому вместо того, чтобы прибегать к обозначениям G.189), мы
можем записать преобразование D°XO в клеточно-диагональном
виде
2 Sl^Daac(R)D%(R)Slkfg = Dlk(RNyK. G.217)
a, e,c,g
Для строк различных представлений нам требуются более под-
подробные обозначения, и поэтому мы будем при записи коэффициен-
коэффициентов Клебша — Гордана пользоваться двойными индексами, напри-
например Sfjabef- Первая буква в каждой паре индексов означает первый
символ из числа входящих в К-символ, а вторая буква означает
остальные символы, входящие в К-символ. В эгих обозначениях
G.217) можно записать следующим образом:
V cV" Р п° пР с'- а Р nY х /т о 1 -7 \
Zi ^ijabefL>ab,cd^ef..gh^hlcdgh = L>i],kfi\k- (/.21/a)
ab,cd
ef.gh
Сначала мы ограничимся перестановками, входящими в симметриче-
симметрическую группу и действующими на п — 1 символ, т. е. перестанов-
перестановками, оставляющими на месте последний символ. Для таких пере-
перестановок G.77) в наших новых обозначениях запишется в виде
D\ca = Dlfac G.218)
где аа—представление симметрической группы, действующей на
га — 1 символ, которое получается из а выбрасыванием последнего
символа из строки а схемы. (Это не что иное, как правило вет-
ветвления.) Подставляя в G.217а) вместо величин D их выражения
вида G.218), получаем
abed liabef bdDftPacbegS kledgh — Djfiik\l G.219)
либо
2 Sy.a ^DaaD®eSla ^ = Dy'6 6 . G.219a)
«/¦ft
Для симметрической группы степени га — 1 мы можем написать также
уравнение вида G.217а):
db.fh
где штрихи служат напоминанием о том, что эти разбиения являются
разбиениями числа п — 1, а нижние значки служат (га — 1)-местными
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы 319
К-символами, соответствующими вторым индексам в G.217а). Пере-
Перенеся некоторые члены в G.220) в правую часть, получим
bdDfil= 2j Ъ р ь fLJpqbq d h- G.220a)
У',Р,Ч
Подставим G.220а) в G.219а), выбрав а' = аа, p' —pe, и найдем
У cV a P <?У'аа$еГ)Ч' ^'аа^еЯ^ а $ ГЛ'А Л G 9914
м ijcioef рот pq a d h kladeh jl ik vK ^ /
ab, d, ef, li
У',Р,Ч
Сначала перенесем последний множитель вправо:
У о Y a P -^Y'®"(fieFfi' Я^'аа^е ^ DYtC^ ^ ^
b, f I
затем мы можем еще раз перечести вправо последний множитель:
у cY я Р CYaaPe?)Y' __ у ?)Y/С Y a PcY'aaPe /7 999')
bff.P ijabef pb} pq ifd,h Jl lladeh qdh'
Теперь мы можем определить матрицу
'У
"У/- G-223)
Равенство G.222) означает, что
или
MDy'=Dy.\M. G.224)
Применяя леммы Шура, получим, что матрица М = 0, если y't^Y;.
или кратна единичной матрице, если у'= 7/! следовательно,
t a е\-
или же, перенося второй множитель в правую часть, получим
У//. G.226)
Уравнение B.226) означает, что матрица
К
Y a p|
/ а е\
320
Глава 7. Симметрическая zpyhna
позволяет нам получать коэффициенты Клебша — Гордана для я,
зная коэффициенты Клебша — Гордана для п—1. Таким образом,
G.226) заменяет соответствующую рекуррентную формулу для группы
вращений. Изучим свойства матрицы К. По аналогии с G.226) за-
запишем:
| У' а
перемножим это уравнение и G.226) и просу? мируем по ab и ef:
Zj '¦Vj'abe/dijabef — Zj
b, ef a, e
i a e
fV ex
[i' a
X
Применяя к обеим частям равенства условие унитарности, получаем
yy И — ^^ \^i a
или же, полагая у = у и y=Y-.. находим
Y a p
I a e
К
t' a e
G.228)
Вал<но отметить, что равенство G.228), заключающее в себе
первое условие унитарности матрицы К, относится только к тем у,
которые отщепляются от одного и того же представления yh дей-
действующего на п — 1 символов. Чтобы доказать, что матрица К уни-
унитарна, мы должны вывести второе условие, соответствующее равен-
равенству G.188а). Умножим теперь G.226) на аналогичное выражение
у а р
dij'b''
и просуммируем но Y. '. J-
у»1 /'
= ^j Sjjlbe/Sjjl'b'e'f —baa-bbb'bee-bff>, G.229)
Y><. У
где при выполнении последнего преобразования мы воспользовались
условием унитарности G.188а). Умножим теперь обе части равенства на
A b
aa'
1
1
VI
Vi
-VI
. —
—
4
5
ab' ac' ai' ae' af
VIVl
К 72 I7 24
VI
his;
I-IS
У 12
У 72 У 24
1 ГТ
4 J7 48
Vi
1
— 2"
I
~ 2
1
2
1
2
0=124
3
5
fta' bb' be' bd'
1
1
~~~У 72 ~~У 24
ГТ ГТ
У 72 I7 35
~У 36
VI
-VWi
У 72 ""
v-r
-to
4 У 32 У 96
-VWl
1
"
1
~ 2"
1
"
oe' */-
yl
У 24
1
~T
с =125
3
4
ca' cb' cc'
1
/6"
1
-/я /I
У 24 У 36
—
~У 12
~У 24 ~У 72
Vi
i/5 !
I7 24 6
У 48 ~У 96 У 32
-/и
1
1
erf' ее' е/'
У 36 У 72
У ?~У 12
У 72
1
2
</а'
—п/ 5
К 72
-VI
Vk
1
2
d=134
2
rfft' dc' dd'
1
/6
1
de' d/'
/T- /r
К 72~К 24
_^У 36
~V 36
~У 12
/A-
~Vi
-to
Vi
-g-
/i
1-12
1
2
~У 24
his;
-/я
i
2
1
T
ea' e
his;
his;
i
2
« = 13
2
4
/T
~K 24
VI
VI
vT
l
IT
i/^
Г 96
~~ 2"
—
ее'
1
1
Кб"
his
ef
У 36~У 72
-У7!
/I
1
6"
-VI
VI-
Vх-
V 12
У 72
1
4
~У
1
2
/a' fb'
VI
his;
1
"
/=145
2
3
/c' /d'
,zVl-
4 /
К 72
VI
1-12
~Yt2
VI
" ~~ 2"
1
2
Таблица 30
/e' //'
1
/6
1
-Vi
/и
/A
1
4
Vi
1
2
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической группы 321
и просуммируем по Ь, /, Ь'', /':
[7][7M
Y,U L J L J ft.
У. I. J
ft. /
Это—в точности второе условие унитарности матрицы К. Таким
образом, у нас имеются условия унитарности G.228) и G.230), не-
необходимые для определения матрицы К. До сих пор мы ограничи-
ограничивались перестановками, не меняющими положение последнего символа.
Применим G.190) к транспозиции (я, п—1). (При этом возникает
необходимость введения тройных нижних значков: первые два служат
первыми двумя символами в К-символе, а третий означает остальные
Символы, входящие в К-символ.) Поскольку транспозиция (я, п — 1)
воздействует лишь на первые два символа в К-символе, то появляются
лишь матричные элементы вида DaabrjCdr. Кроме того, из G.111) мы
знаем, что матричные элементы для транспозиции (я, я— 1) имеют вид
где /^ — величина, обратная аксиальному расстоянию а—Ъ [в G.111)
вместо / мы использовали символ о], а
Подставим G.231) в уравнение
2 SijtobrefsD^br, cdrDefs, gfis = zll Dljt, kltSkltc<irglts> G.232)
aft, ef k, I
322
Глава 7. Симметрическая ipynna
получим
A АД/
G-232а)
или
cY я р
ijtcdrghs
gh~l "tjtcdrhgsfcd?hg~T~
, cY a 3 a S , cV a 3 „a 3 __
' ljtdcrghs°dcJ gh <^ t jtdcrhgs° dcs hg
^Y cY a 3 | „Y cY a
^ О ijtcdrghs ~1~ e /y°;//<;,
Подставляя в это соотношение матрицы К из G.226), находим
У ,гс^ _
с
/С
i с g
J 1
itdrhsSlj
G-233>
Поскольку коэффициенты Клебша — Гордана для п — 1 частиц
известны, равенство G.233) и условия унитарности, наложенные
на К, позволяют найти матрицу К и определить с помощью соот-
соотношения G.226) коэффициенты Клебша — Гордана.
Фактическое вычисление рекуррентной матрицы К чрезвычайно
трудоемко, но все же гораздо проще, чем непосредственное вычисле-
вычисление коэффициентов Клебша — Гордана. В процессе отыскания ма-
матрицы К уравнение G.233) будет иметь (Yap) решений, если мы
придем к рассмотрению случая (Yap) > 1. Общего критерия для отбора
решений не существует.
При малых значениях п коэффициенты Клебша — Гордана можно
вычислять либо непосредственно, либо же, что даже еще легче,
из матрицы К- Мы не станем выписывать никаких общих формул,
полученных для матриц К, а вместо этого приведем один из более
простых результатов. Внутреннее произведение (л — 1, 1)Х(# — 1. 1)
содержит перестановку (л —1,1) с коэффициентом единица. Если
обозначить базисную функцию, имеющую символ / во второй строке
схемы, через fl (или Ft), то
Таблица 31
Таблица характеров для симметрических групп
Разбиение
C)
B, 1)
A3)
Класс
1
A8)
1
2
1
з
A, 2)
1
0
I
2
C)
1
1
1
Разбиение
D)
C, 1)
B*)
B, I2)
(I4)
Класс
1
(К)
1
3
2
3
1
6
(Is, 2)
1
1
0
—1
1
8
A, 3)
1
0
—1
0
1
3
B2)
1
1
2
—1
1
6
D)
1
—1
0
1
—1
я=5
Разбиение
E)
D, 1)
C, 2)
C, I2)
B2, 1)
B, 1')
(I5)
Класс
1
A»)
1
4
5
6
5
4
1
10
(Is, 2)
1
2
1
0
—1
—2
—1
20
(Р, 3)
1
1
—1
0
j
1
1
15
A, 2!)
1
0
1
—2
1
0
1
30
A, 4)
1
0
]
0
1
0
-1
20
B, 3)
1
—1
1
0
—1
1
—1
24
E)
1
—1
0
1
0
—1
1
Продолжение
Разбиение
F)
E, 1)
D,2)
D, 1»)
(З2)
C, 2, 1)
B3)
C, 1»)
B2, I2)
B, 1«)
(I6)
Класс
1
(I6)
1
5
9
10
5
16
5
10
9
5
1
15
A<, 2)
1
3
3
2
1
0
—1
—2
—3
—3
—1
40
(Is, 3)
1
2
0
1
—1
—2
—1
1
0
2
1
45
(Р, 2»)
1
1
1
—2
1
0
1
—2
1
1
1
90
(I2, 4)
1
1
—1
0
—1
0
1
0
1
—1
—1
120
A, 2, 3)
1
0
0
—1
1
0
—1
1
0
0
—1
144
A. 5)
1
0
—1
0
0
1
0
0
—1
0
1
15
B')
1
1
3
—2
—3
0
3
2
—3
I
—1
90
B, 4)
1
—1
1
0
—1
0
j
0
1
—1
1
40
(З2)
1
—1
0
1
2
—2
2
1
0
—1
1
120
F)
1
—1
0
1
0
0
0
J
0
1
—1
Продолжение
Разбиение
G)
F, 1)
E,2)
E, I2)
D,3)
D, 2, 1)
(З2, 1)
D, I')
C, 2*)
C, 2, V)
Bз, 1)
C, I4)
B2, 13)
B, I5)
(I7)
Класс
1
1
6
14
15
14
35
21
20
21
35
14
15
14
6
1
21
(I5, 2)
1
4
6
5
4
5
1
0
1
—5
—4
—5
—6
—4
—1
70
(К, 3)
1
3
2
3
—1
—1
—3
2
—3
2
—1
3
2
3
1
105
(Is, 2»)
1
2
2
—1
2
—1
1
—4
1
—1
2
—1
2
2
1
210
(Is, 4)
1
2
0
1
—2
—1
—1
0
1
1
2
—1
0
—2
—1
420
(Is, 2, 3)
1
1
0
—1
1
—1
1
0
—1
1
—1
1
0
—1
1
504
(I2, 5)
1
1
—1
0
—1
0
1
0
1
0
—1
0
—1
1
1
105
A, 2=)
1
0
2
—3
0
1
—3
0
3
1
0
3
—2
0
j
630
A, 2, 4)
1
0
0
—1
0
1
J
0
—1
1
0
—1
0
0
1
280
A. 3»)
1
0
—1
0
2
—1
0
2
0
—1
2
0
—1
0
1
840
О, 6)
1
0
—1
0
0
1
0
0
0
—1
0
0
1
0
—1
210
B2, 3)
1
—1
2
—1
—1
—1
1
2
1
—1
—1
—1
2
—1
1
504
B, 5)
1
—1
1
0
—1
0
1
0
—1
0
1
0
—1
1
J
420
C, 4)
1
—1
0
1
1
—1
—1
0
1
1
—1
—1
0
1
—1
720
Р)
1
—1
0
1
0
0
0
—1
0
0
0
1
0
]
1
326 Глава 7. Симметрическая группа
При малых п таблицы коэффициентов Клебша — Гордана можно
выписать в явном виде, не затрачивая при этом слишком много труда.
Например, полная таблица для произведения B, 1)ХB, 1) = C)-|-
-(-B, 1) + A3) выглядит так:
[211]. [211]' [211] .[121]' [121] .[211]' [121]. [121]'
[321]
[211]
[121]
[111]
0
1//2
0
1//2
1//2
0
-HY2
0
-1//2
0
-1//2
0
0
-MY*
0
G.235)
Как пример более сложного случая мы приведем таблицу коэф-
коэффициентов Клебша — Гордана для
C, 12)ХC, 12) = E)-f-D, 1) + 2C, 2) + C, 12) +
+ 2B2,
(табл. 30). В качестве двух систем функций для произведения C, 2)
были выбраны частные решения рекуррентных уравнений. Вместо
них можно взять любые две независимые линейные комбинации.
ГЛАВА 8
НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
§ 1. Краткий обзор результатов,
полученных для конечных групп
До сих пор мы ограничивались рассмотрением одних лишь конеч-
конечных групп, т. е. групп, состоящих из конечного числа элементов.
Рассмотренные нами точечные группы симметрии были конечными
подгруппами группы зеркальных поворотов в трехмерном простран-
пространстве, а найденные нами представления были конечными подгруппами
матричной группы в «-мерном пространстве. Группы симметрии многих
физических систем состоят не из конечного, а из бесконечного числа
элементов. Например, кристаллическая ргшетка остается неизменной
при действии бесконечного (со3) набора трансляций. Гамильтониан
электрона, находящегося в центральном поле, инвариантен относи-
относительно всех вращений. Таким образом, задачи физики приводят
к необходимости изучения теории представлений групп с бесконечным
числом элементов.
Для рассмотрения таких бесконечных групп имеется еще и другая
причина. Отыскивая представления точечных групп, мы нашли гомо-
гомоморфное отображение элементов точечной группы Н в группу
Н' матриц я-го порядка. Но точечная группа Н является подгруппой
группы О зеркальных поворотов. Поэтому если мы найдем какое-
нибудь представление группы G с помощью матриц G' п-го порядка,
то мы тем самым получим некоторое представление ее подгруппы Н
в виде подгруппы Н' группы G'.
Наша задача состоит в том, чтобы перенести на бесконечные
группы те теоремы о представлениях конечных групп, которые были
нами уже выведены. Чтобы облегчить рассмотрение возникающих при
этом проблем, мы сначала дадим краткий обзор результатов по ко-
конечным группам в таком виде, в котором эти результаты легко будет
обобщить и на бесконечные группы.
Конечная группа Q порядка g состоит из g элементов R^ Rg.
Мы можем рассматривать эти g элементов группы как совокупность
„точек"—групповое многообразие. Кроме того, мы можем пере-
перенумеровать точки некоторого множества целыми числами от 1 до g
и каждой точке в таком пространстве сопоставить некоторый элемент
группы; например, точке, обозначенной числом а, мы поставим в со-
соответствие элемент группы Ra (иначе говоря, перенумеруем элементы
группы с помощью параметра, принимающего g значений). Если
328 Глава 8. Непрерывные группы
в произведении Rf,Ra число а фиксировано, а элемент Rb пробегает
всю группу G, то произведение Rc также пробегает всю группу.
Суть таблицы группового умножения состоит в том, что она указы-
указывает при всех значениях а и Ь значение параметра с, которому
соответствует произведение RbRa — Rc. Можно сказать, что груп-
групповая таблица определяет функцию
с = ф(а, Ь). (8.1)
Параметр, соответствующий произведению элементов группы, есть
функция параметров, соответствующих сомножителям.
На групповом многообразии мы можем задавать функции. Так,
каждому элементу Ra (или каждому значению а дискретного пара-
параметра) мы можем ставить в соответствие некоторое число / (/?а),
или же /(й). В этом случае наши функции будут определены
в g точках (ранее мы называли такие функции векторами в нашем
^•-мерном пространстве). Например, при рассмотрении теории пред-
представлений величины
при фиксированных ц, I, j были функциями, заданными на групповом
многообразии. Точно так же при заданном \i характеры
Порождали функции класса Х(>г)(й)> заданные на групповом Много-
Многообразии. Характеры обладали особым свойством: определяемая ими
функция принимала одно и то же значение на всех элементах, при-
принадлежащих одному и тому же классу. Таким образом, функция ^
есть функция класса, т. е. такая функция, что
(8.2)
при всех а и Ь.
В § 11 гл. 3 мы доказали, что всякое представление конечной
группы эквивалентно некоторому унитарному представлению. Кроме
того, мы смогли показать, что любое представление конечной группы
вполне приводимо и выражается через неприводимые унитарные пред-
представления. Неприводимое унитарное представление D^ размерности п^
задает на групповом многообразии п2 унитарно-ортогональных функ-
функций Dj] (a) (t, у=1 tip). Функции, определяемые различными
неэквивалентными неприводимыми представлениями, взаимно орто-
ортогональны:
2rtf f ^^S (ЗЛ43)
§ 2. Бесконечные дискретные группы 329
Точно так же для характеров неэквивалентных неприводимых пред-
представлений выполнялось соотношение
а а
Кроме того, мы показали, что функции D/y(а) образуют полную
систему, т. е. любую функцию f(a), заданную на групповом много-
многообразии, можно разложить по функциям uf] (а). Аналогично, любую
функцию класса g(a) можно разложить по полной системе функций
класса %^(а).
При выводе соотношений, о которых шла речь выше, мы в двух
местах пользовались тем, что рассматривали именно конечную группу.
Во-первых, суммирование по группе означало сложение конечного
числа величин. Если же мы имеем дело с бесконечной дискретной
или непрерывной группой, нам еще следует понять, как заменить ко-
конечную сумму бесконечной или же интегралом. Во-вторых, при вы-
выводе соотношений ортогональности C.139) и в § 11 гл. 3 [равен-
[равенство C.101)] мы использовали результат, состоящий в том, что если
f (R)—функция, определенная на групповом многообразии, то
2/ (Я) =2/E/?), (8.3)
R R
где S — произвольный элемент группы. Это утверждение, очевидное
для конечной группы из ее групповой таблицы, требует дополни-
дополнительных пояснений для того, чтобы его можно было применять к бес-
бесконечным или непрерывным группам, если нам придется доказывать
соотношения ортогональности.
§ 2. Бесконечные дискретные группы
Рассмотрим прежде всего бесконечные дискретные группы. Эле-
Элементы группы Ra перенумерованы с помощью индекса а, прини-
принимающего целочисленные значения, например 1, 2 оо. Группо-
Групповое многообразие представляет собой счетное множество „точек" Ra.
Наши элементы мы могли бы перенумеровать либо с помощью всех
целых чисел (положительных, отрицательных и нуля), либо с по-
помощью элементов любого счетного множества. (Под счетным множе-
множеством мы понимаем множество, которое можно поставить во взаимно
однозначное соответствие с множеством положительных целцх чисел.)
Так, запись
0 1—1 2 —2 ...
1 I I I I и т.д.
12 3 4 5 ...
устанавливает соответствие между множеством всех целых чисел и
множеством положительных целых чисел. Закон композиции RbRq = Rr
330 Глава 8. Непрерывные группы
дает нам функцию, которая позволяет найти параметр элемента группы,
служащего произведением двух элементов, по значениям параметров
сомножителей, т. е.
с = ф(а, Ь). (8.1)
Например, совокупность преобразований координат
Rn:x' = x + n, (8.4)
где п—целое число, образует группу. Преобразованием, обратным
преобразованию Rn, служит (/?„)" =/?_„, единичный элемент отве-
отвечает нулевому значению параметра. Эта группа абелева:
с = <р(а, Ь) = ц,ф, а) = а-\~Ь. (8.5)
Этой группе преобразований изоморфна группа всех целых чисел
с обычным сложением в качестве закона композиции.
Дискретные бесконечные группы обладают одной особенностью:
чтобы перенумеровать их элементы, нам всегда достаточно одного
дискретного параметра. Рассмотрим, например, группу линейных пре-
преобразований вида:
х' = х-\-т )
Rmn: , , f m, n — целые числа. (8.6)
При такой записи единичный элемент имеет вид RM; элементом, об-
обратным элементу Rmn, будет (Rmn)~ =/?_„,__„, а произведением
.RmnRm,n, будет элемент Rm+m, „ „,. Однако ясно, что кажущуюся
зависимость от двух параметров легко исключить. В рассматриваемом
случае точками группового многообразия служат точки двумерной
решетки:
—2,1 —1,1 <-0, 1 «-1,1 2,1
у t t
—2,0 —1,0 0,0 ->1,0 2,0
у t
—2,-1 —1,-1 -*0, — 1 ->1,—1 ->2, — 1
Но те же элементы мы можем перенумеровать с помощью целых
положительных чисел следующим образом:
0,0 1,0 1,1 0,1 —1,1 —1,0 —1,-1 0,—1 1,-1 2,-1
^v ^W ^W ^^ ^u df df ^U
12 3 4 5 6 7 8
и т. д.
и закон композиции задать заново уже с прмощыо только одного
нового параметра,
1,-1
У
9
2,-
У
10
§ 2. Бесконечные дискретные группы 331
Другим примером служит группа преобразований
Rr: x' = rx, (8.7)
где г — некоторое положительное рациональное число. Можно уста-
установить взаимно однозначное соответствие между рациональными чис-
числами и целыми положительными числами. Запишем, например, рацио-
рациональное число г в виде г = ш/п, где тип— взаимно простые
целые положительные числа. Затем мы перечислим все г, для кото-
которых т-\~п — 2, т.е. т=\, л = 1, г = 1. Условие т -4- л = 3 даст
1 2
числа у, у (сначала мы выбираем ге числа, у которых т меньше),
i л 13.
затем условие т -+-« = 4 даст числа -=-, у (мы опускаем из рас-
рассмотрения любую пару чисел т, л, имеющих общий делитель, по-
поскольку соответствующее им г должно было бы встретиться раньше,
когда т и л были взаимно простыми) и т. д. Аналогичным образом
мы всегда можем перенумеровать произвольную дискретную беско-
бесконечную группу с помощью целых положительных чисел.
Другими примерами дискретных бесконечных групп служат группы
преобразований
х' = х\ |
\ п — целое число,
X = ГХ
г—рациональное число, отличное от нуля.
У' = /"У J
Мы должны указать еще одну особенность таких счетных групп.
Рассмотрим группу преобразований
х' = х-\- л, л —целое число.
Если присоединить к этой группе преобразование х'— — х и обра-
образовать все произведения элементов расширенной группы, мы получим
группу преобразований
х'= ± х~\-п.
Элементы этой новой группы можно по-прежнему нумеровать целыми
положительными числами, если в процессе нумерации ставить после
каждого преобразования х' = х~\-п преобразование х' = — х-\-п.
Можно сказать, что дискретное множество содержит столько дырок,
что всегда есть место, куда можно добавить один, два или даже
счетное множество элементов, и тем не менее множество останется
счетным. Мы увидим, что в этом отношении непрерывные группы
сильно отличаются от бесконечных дискретных групп.
332 Глава 8. Непрерывные группы
§ 3. Непрерывные группы. Группы Ли
Говорят, что группа непрерывна, если на элементы группового
многообразия наложено какое-либо обобщенное определение „бли-
„близости", или непрерывности. Мы требуем, чтобы „малое изменение"
одного из сомножителей в произведении приводило к малому изме-
изменению произведения. В своем наиболее общем виде, в обсуждение
которого мы не будем вдаваться, это требование приводит к опре-
определению топологической группы, т. е. группы, групповое многооб-
многообразие которой образует топологическое пространство. Мы огра-
ограничимся более простым случаем, когда элементы группового много-
многообразия можно задавать либо с помощью конечного числа непрерывно
изменяющихся параметров, либо с помощью некоторого набора функ-
функций. Например, совокупность преобразований
х' — ах-\-Ь (8.8)
образует группу. Два параметра а и b изменяются непрерывно от
— оо до -f-oo. Мы говорим, чго такая группа является двупарамет-
рической непрерывной группой. В общем случае элементы г-пара-
метрической непрерывной группы задаются с помощью г непре-
непрерывно изменяющихся вещественных параметров alt ..., ап так что
элементы такой группы можно представить в виде R{al, ..., ar)=R(a).
Группы, элементы которых можно задавать с помощью конечного
числа непрерывно изменяющихся параметров, называются конечными
непрерывными группами. Пределы, в которых изменяются пара-
параметры, заранее не указываются. Параметры могут изменяться от —со
до -f-oo или же быть ограниченными некоторой конечной областью.
Если область изменения параметров конечна, то групповое много-
многообразие называют компактным.
Для /--параметрической группы непрерывность выражается через
расстояния в пространстве параметров. Два элемента группы R (а) и
R(ar) расположены „близко" друг от друга, если расстояние
г "IV.
мало. Если элементы группы заданы с помощью набора функций из
некоторого функционального пространства, то „близость" групповых
элементов выражается с помощью расстояния в этом функциональном
пространстве (см. § 1 и 12 гл. 3).
Условия того, что элементы R(a) образуют непрерывную группу,
такие же, как и в случае конечных групп. Во-первых, должна су-
существовать такая совокупность значений параметров а0, что
R (а°) R(a) = R (а) R (а0) = R (а) (8.9)
§ 3. Непрерывные группы. Группы Ли 333
для всех а. Элемент R(a°) является единичным элементом группы.
В общем случае мы будем в своих рассуждениях для удобства по-
полагать а°=0. Далее, для любого значения а мы можем найти не-
некоторое значение а, такое, что
R(a)R(a) = R(a)R(a) = R(O). (8.10)
В таком случае элемент R (а) есть элемент, обратный элементу R(a):
R(a)=[R(a))-1. (8.11)
Произведение двух элементов рассматриваемого множества должно
также принадлежать этому множеству. Если значения параметров а и b
заданы, мы можем найти совокупность значений параметров с, такую,
что
= R(b)R(a). (8.12)
Параметры с являются вещественными функциями вещественных
параметров а и д:
с* = Фа(«1 at\ bx br), k=\ r, (8.13)
или в общем виде
с = ф(а; b). (8.13a)
До сих пор условия, налагаемые на некоторое множество для того,
чтобы оно было группой, были такими же, как и для конечных или
счетных групп, но теперь мы дополнительно потребуем, чтобы пара-
параметры произведения были аналитическими функциями параметров со-
сомножителей, т.е. функция в равенстве (8.13а) должна иметь произ-
производные всех порядков по каждому из своих аргументов. Точно
так же мы потребуем, чтобы параметр а в формуле (8.10) был ана-
аналитической функцией параметра а. В результате мы получим г-пара-
метрическую группу Ли.
Если мы говорим, что у нас имеется /--параметрическая группа,
мы подразумеваем под этим, что все г параметров существенны.
Это означает, что нельзя найти такой набор непрерывных параметров
щ ат, удовлетворяющий условию т < г, который оказался бы
достаточным для однозначного задания элементов группы. Если бы
задание r-параметрической группы с помощью т элементов было
возможным, это означало бы, что некоторый набор численных зна-
значений параметров аи ..., ат однозначно определяет какой-то эле-
элемент группы, так что г параметров ах, ..., аГ, которые задают
тот же элемент группы, должны быть связаны с параметрами а со-
соотношениями вида
<ii = ©,(<*! аТ) ол = (оЛ1(а1 аг), (8.14)
334 Глава 8 Непрерывные группы
где величины со означают некоторые функции от а. Дтя любого за-
заданного набора значений а любое решение уравнений (8.14) позво-
позволяет получить совокупность величин а, которые задают тот же эле-
элемент группы. Таким образом, если параметры несущественны, мы
имеем бесконечно много непрерывно изменяющихся значений пара-
параметров flj, . . ., ап которые соответствуют одному и тому же элементу
группы. В качестве тривиального примера рассмотрим преобразования
х'= х-\-а-\-Ь. Два параметра а и b не являются существенными,
так как мы можем найти один параметр с, который, изменяясь не-
непрерывным образом, задает все преобразования этой группы. Так,
при заданном значении с любые значения а и Ь, удовлетворяющие
равенству а~\-Ь — с, приводят к одному и тому же преобразованию.
Следовательно, в действительности эта группа однопараметрическая.
Нас будут интересовать в основном группы преобразований, и
мы все наши результаты запишем еще раз специально для этого слу-
случая. Здесь r-параметрическая группа Ли преобразований — это
группа преобразований
*;=/,(*,, .... хп; а, аТ) (/ = 1 я). (8.15)
или в векторных обозначениях
*' = /(*; а), (8.15 а)
где функции fi являются аналитическими функциями параметров а,
Предполагается, что г вещественных параметров aj существенны.
Если эти параметры не являются существенными, то, как было по-
показано ранее, в окрестности любого набора значений ах, .... аг этих
параметров можно найти другие наборы параметров, задающих то же
самое преобразование. Иначе говоря, если параметры несущественны,
то найдутся такие значения параметров а1-^-е1, .... cr-f-er, где гк
означают произвольно малые величины, зависящие от Cj an что
/,(*;<*) = /,(*. а+ е) (8.16)
при всех значениях х. Разлагая по малым функциям ек, получаем
г
О = 2j гк (а) , '——-f- Члены более высокого порядка по ек
*-i * (8.17)
(/=1 я).
Если функции tk устремить к нулю, их отношения в пределе будут
стремиться к некоторому набору функций от а, поэтому мы можем
записать [поскольку члены более высокого порядка в (8.17) обра-
обратятся в нуль], что
т
У, Ik W 1) ' = О ПРИ всех хна (i=sl п), (8.18)
ft-i *
§ 3. Непрерывные группы. Группы Ли
335
где %k(a) — совокупность г функций от а. Параметры аъ .... аг
существенны тогда и только тогда, когда нельзя найти г функций
Xft(a), которые удовлетворяли бы равенству (8.18) при всех значе-
значениях i, х и а.
Преобразования должны удовлетворять всем аксиомам группы.
Так, если задано некоторое преобразование, отвечающее совокуп-
совокупности параметров а [формула (8.15а)], мы можем найти совокуп-
совокупность параметров а такую, что
*" = /(*'; о) = /(/(*; а); а) = х.
(8.19)
Это означает, что уравнения (8.15) можно разрешить относительно
переменных хр выразив последние через х'г Условие разрешимости
состоит в том, что якобиан должен быть отличен от нуля:
dfx
дхп
дхх
дх„
?=0.
(8.20)
Если последовательно выполняются два преобразования из мно-
множества
X'l = fl(Xl Xn> а1 аг)'
х"—t tx' х'- Ъ Ъ\
xi—Ji\x\ хп> °\ °rh
(8.21)
то мы требуем, чтобы результирующее преобразование также было
элементом множества. Иначе говоря, должен существовать такой на-
набор значений параметров съ .... сг, что
x"i=fi{xx хп' ci сг)-
Параметры с должны быть функциями параметров а и Ь:
аг\ Ьъ .... Ьг).
(8-22)
(8.23)
Мы предполагаем, что функции фй аналитические и функции а в ра-
равенстве (8.19) аналитические функции от а. Кроме того, должен
существовать набор значений параметров о0, соответствующий тож-
тождественному преобразованию
(8.24)
общих рассуждениях мы будем полагать ап равным нулю,
336 Глава 8 Непрерывные группы
Аксиомы группы налагают сильные ограничения на функции /(.
Записав подробно все утверждения, содержащиеся в соотношениях
(8.21)—(8.23), получим
*;' = /,(*'; *) = /,(/,(*; а) fп{х; а); Ь) =
= fi (х; с) = /г(х; ф(а; Ь)); (8.25)
следовательно, в сокращенных обозначениях запись
/(/(*; в); &) = /(*; Ф (в;*)) (8.26)
означает тождество относительно х, а и Ь.
Соотношение (8.15) можно рассматривать с другой точки зрения,
что позволит понять различие между конечными и бесконечными не-
непрерывными группами. Взяв соотношения (8.15), мы можем продиф-
продифференцировать функции х' по х и получить систему уравнений, из
которой можно исключить конечный набор параметров а. После
этого мы получим конечную систему дифференциальных уравнений
с частными производными относительно х', которая не будет уже
содержать никаких произвольных элементов. Кроме того, общее ре-
решение этой системы дифференциальных уравнений с частными про-
производными будет зависеть в точности от г произвольных постоянных,
т. е. мы снова возвращаемся к (8.15). Рассмотрим, например, непре-
непрерывную группу
я
*| = 2!в<у*у+в| (*=i «)•
Так как эти преобразования линейны, все вторые производные
функций х'. обращаются в нуль, так что наша система дифферен-
дифференциальных уравнений с частными производными имеет вид
Jxi dxi
= 0 (i, j, ft=l п)
и не содержит произвольных элементов. Если решения конечной си-
системы дифференциальных уравнений с частными производными, не
содержащих произвольных элементов, зависят от конечного числа
параметров и образуют группу, мы скажем, что эта группа есть ко-
конечная непрерывная группа. Случай, когда указанные условия не вы-
выполняются и мы получаем бесконечную непрерывную группу, со-
состоит в следующем. Наши дифференциальные уравнения имеют вид
дх'
^=° «Ф^=\ я).
\1х решения записываются в виде
fi'i = F((xl'j (/=1, ...,*),
4. Примеры групп Ли 337
Очевидно, что эти решения образуют группу, но функции Ft про-
произвольны, в силу чего мы не можем задавать преобразования с по-
помощью конечного числа параметров.
§ 4. Примеры групп Ли
Прежде чем продолжить наше рассмотрение, остановимся на не-
нескольких примерах непрерывных групп.
Примеры
1. х' = ах, а 4- 0:
Единичный, элемент: с=1.
Элемент, обратный элементу а: а = —.
Произведение элементов: с — Ьа.
Это однопараметрическая абелева группа, с—аналитическая функция
от а и Ь.
2. х'' = а^х + «2. Oi =? 0:
Единичный элемент: aj = lt а2 = 0.
Элемент, обратный элементу а: ах =—, fl2— ~°2 ¦
Произведение элементов: ^ = 6^, с2 = Ь2-\-Ь1а2.
Это двупараметрическая неабелева группа.
3. Линейная группа в случае двух измерений GL{2):
х' = а1х~\-а2у,
у' == аъх + «4^-
«1 «2
«3 «4
Ф0.
Все четыре параметра существенны. [Докажите это, пользуясь кри-
критерием (8.18).] Если х к у рассматривать как компоненты вектора г,
то преобразования можно записать в матричных обозначениях:
Линейная группа в двух измерениях изоморфна группе матриц 2X2
с матричным умножением в качестве закона композиции.
[1 (Л
Единичный элемент: А = п « == 1-
Обратный элемент: А = А~ .
Произведение элементов: С = ВА,
338 Глава 8. Непрерывные группы
Линейная группа в случае двух измерений является четырехпарамет-
рической неабелевой группой.
4. Линейная группа в случае п измерений QL(n):
x' = ^iauxJ (l=\ га), \аи\фЪ,
или в матричных обозначениях
Здесь оказываются применимыми результаты примера 3. Линейная
группа в случае п измерений неабелева (га > 1). Число существенных
параметров равно га2. Параметры могут меняться неограниченно,
вследствие чего группа GL(ri) не является компактной.
5. Специальная линейная группа (унимодулярная группа)
в случае двух измерений SLB):
Эту группу можно получить из примера 3, если потребовать, чтобы
определитель преобразования был равен единице: ахаА — а2аг=\.
Это ограничение приводит к одному функциональному соотношению
между четырьмя параметрами. Таким образом, мы получаем трехпара-
метрическую группу. Групповые свойства сохраняются, поскольку
преобразование с определителем, равным единице, имеет обратное
преобразование с определителем, также равным единице, а произве-
произведение двух унимодулярных преобразований есть снова унимодуляр-
ное преобразование.
6. Унимодулярная группа в случае п измерений SL(n):
Будем рассматривать лишь те из преобразований примера 4, у кото-
которых определитель равен единице. Число существенных параметров
равно га2 — 1.
7. Группа одномерных проективных преобразований:
a3x-\-at '
Задача. Рассмотрите группу примера 7 и найдите параметры обрат-
обратного элемента и произведения элементов. Сколько существенных пара-
параметров имеет эта группа?
Примеры {продолжение)
8. Двумерная ортогональная группа 0B):
Рассмотрим только те преобразования примера 3, которые оста>
вляют инвариантной форму х2-\-у2:
х'2 + У'2 =
§ 4. Примеры групп Ли 339
На четыре параметра наложено три функциональных соотношения,
вследствие чего мы имеем однопараметрическую группу. Это группа
вращений вокруг оси z. Преобразования группы можно записать
в виде
х' = хсо$<(>— ysinq) 1
у =х sincp -f-у совф J
где ф—угол поворота вокруг оси z. Группа абелева; угол, соот-
соответствующий произведению двух преобразований, равен сумме углов,
отвечающих каждому из сомножителей в отдельности.
9. Трехмерная ортогональная группа 0C):
Рассмотрим только такие преобразования трехмерной линейной группы,
которые оставляют инвариантной форму х2 -f~ у2 -)- z2. Это условие
инвариантности накладывает на девять параметров шесть условий.
Таким образом, мы получаем трехпараметрическую группу.
10. п-мерная ортогональная группа О(п):
Из всех преобразований полной линейной группы будем рассматри-
/1
вать лишь те, которые оставляют инвариантной форму 2 х<1-- Тем
1-1
самым мы накладываем п -\- (я/2) (п — 1) условий на п2 параметров,
в результате чего получаем п(п —1)/2 существенных параметров.
До сих пор мы рассматривали лишь вещественные преобразования
вещественных переменных. Если в примере 4 мы будем считать, что
Х( — комплексные переменные, а пц — комплексные коэффициенты,
то число существенных (вещественных) параметров станет равным 2/г2
(поскольку вещественная и мнимая части коэффициентов пц являются
независимыми параметрами).
11. Двумерная унитарная группа U B):
*{ = ап*, + а1а*2,
, х, а—комплексные числа, det^^O.
Х2 — а21Х1 ~1 а21Х1*
Потребуем, чтобы выражение \хг \2-\-\ Х2\2 было инвариантно от-
относительно преобразований группы. Тогда
ID I I 19 1 l iO i I i9 1 * i * r\
—t— fl л -,.l~ I I ft л 1 I ft I* ¦ I /7 /J I /7 /7 — I I
J I W'n 1 I -1 у I ** "I О I 1 I ^^00 I ™«-^ 1 j Vv ч * Cv 1 q 1 ^ Oi ^^OQ ~"—'— ^ •
Итак, мы имеем четыре функциональных соотношения (последнее
соотношение в действительности представляет собой два соотноше-
соотношения) между восемью параметрами, поэтому группа зависит от четырех
существенных вещественных параметров. Этот результат представляет
собой просто подробно записанное условие унитарности матрицы
АА+ = 1.
340 Глава 8 Непрерывные группы
12. п-мерная унитарная группа (/(«):
Условие унитарности налагает п-\-2п{п—1)/2 условий на 2я2
вещественных параметров, в результате чего остается п2 веществен-
вещественных существенных параметров. Так как условия унитарности требуют,
чтобы 2|а2;12==1> мы видим, что | аГ1 |2 -^ 1 при всех значениях I
и у. Таким образом, параметры группы U («) изменяются в о/рани-
ченных пределах и унитарная группа компактна. Следовательно, все
Р'(х')
Фиг. 70.
подгруппы унитарной группы (такие, как вещественная ортогональная
группа О(п) и унитарная унимодулярная группа) также компактны.
13. Группа евклидовых движений в трехмерном пространстве:
3
Здесь мы требуем, чтобы форма 2 (-^ — xf^J оставалась инва-
инвариантной. Группа зависит от шести существенных параметров. Она
представляет собой комбинацию групп вращений и трансляций
в трехмерном пространстве.
14. Если группу, приведенную в примере 13, объединить с пре-
преобразованиями вида х'1=^ах1 и образовать все произведения, мы
получим семипараметрическую группу преобразований подобия.
15. Если объединить группу примера 13 со всеми преобразова-
преобразованиями обратными радиусами (см. фиг. 70), мы получим десятипара-
метрическую группу конформных преобразований: Р(х) -> Р' (xf), где
ОР • ОР' = г2; центром сферы х0, у0, z0 может быть любая точка
пространства, а радиус г сферы принимает все значения, большие
нуля.
§ 5. Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные группы 341
§ 5. Изоморфизм. Подгруппы.
Смешанные непрерывные группы
Пользуясь этими примерами, мы можем рассмотреть некоторые
из понятий, обсуждавшихся ранее для конечных групп. Преобразова-
Преобразования л-параметрической непрерывной группы являются функциями п
переменных xt и г параметров ак. Структура такой группы не за-
зависит от числа переменных хь а зависит только от числа парамет-
параметров ак и функций ф в формуле (8.23). Две группы могут быть изо-
изоморфными, несмотря на то что число переменных у них различно,
если только число параметров и закон композиции параметров в обеих
группах одинаковы. Тривиальным примером служит изоморфизм двух
следующих групп:
(х' = ах,
х' = ах и { ,
I у' = ау.
Если же мы возьмем двумерную унимодулярную группу (три па-
параметра)
х' = ах-\-Ьу,
то можно определить новую переменную | = х/у, для которой
Мы получим при этом группу одномерных проективных преобразо-
преобразований.
, Рассмотрим теперь понятия сопряженных элементов, классов,
подгрупп и инвариантных подгрупп. Группа примера 2:
Ra: x' =
— это двупараметрическая неабелева группа. Какие элементы группы
сопряжены с данным элементом Ra? Чтобы ответить на этот вопрос,
мы фиксируем элемент Ra и образуем произведение RbRaRb1, где /?&
пробегает всю группу:
Rb: x' = blX + b2% Rbh x'=-^(x—b2),
x' = -L(x- b2), x" = alX' + a2 = ^ (x - b2) + a2,
>" = blX"+ b2 = bx [^ (x - b2) + a2] + b2 =
= п\Х -\-Ь2-\- афх — афг.
342 Глава 8. Непрерывные группы
Итак, элементом RbRaRi> является преобразование
х' = агх -\- Ь2 -\- афх — афг.
Если фиксировать п\ и а2 и изменять Ьх и Ь2, то коэффициент при х
останется равным ах, а свободный член будет принимать все воз-
возможные значения. Таким образом, преобразования х' = ахх -f- a2
с фиксированным коэффициентом ах образуют класс. При каждом
значении ах мы получаем класс сопряженных элементов. В рассма-
рассматриваемой группе классы образуют множество мощности континуума.
Группа параллельных переносов х' = х-\-а2 является однопара-
метрической абелевой подгруппой рассмотренной выше группы. По-
Поскольку коэффициент при х у всех переносов одинаков, подгруппа
состоит из одного класса исходной группы и в силу этого инвари-
инвариантна. С другой стороны, однопараметрическая абелева подгруппа
х' = ахх не инвариантна.
Унимодулярная группа в случае п измерений оказывается инва-
инвариантной подгруппой линейной группы, так как определитель произ-
произведения матриц ASA~ совпадает с определителем матрицы 5.
Двумерная унимодулярная группа содержит двухпараметрическую
подгруппу
х'= ах-\-Ьу, у' = —у.
Эта подгруппа неабелева и не инвариантна. Унимодулярная группа
содержит также однопараметрическую подгруппу
х' = ах, / = —У,
которая является абелевой, но не инвариантна, и однопараметрическую
группу вращений, которая также абелева, но не инвариантна.
Задача. Докажите приведенные выше утверждения о подгруппах
унимодулярной группы.
Мы уже видели, что подгруппы можно получать, требуя инва-
инвариантность некоторой функции, зависящей от координат. Например,
потребовав инвариантность функции х2-\-у2, мы получили из дву-
двумерной линейной группы подгруппу ортогональных преобразований.
Тот же результат остается в силе и в «-мерном случае. Если мы
образуем из координат двух точек плоскости х, у и |, т) выраже-
выражение хг\ — у| и потребуем, чтобы это выражение оставалось инвари-
инвариантным при линейных преобразованиях, мы получим
х'ц' - y'V = {ах + by) (с| + Л]) — (сх + dy) (а? + Ьх\) =
у1), если ad— ?c=l. (8.27)
§ 5. Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные группы 343
Итак, выражение хц—у? инвариантно при преобразованиях, удо-
удовлетворяющих условию ad — be— 1, т. е. преобразованиях унимоду-
лярной группы.
Задача. Рассмотрите четырехмерную линейную группу. Если для лю-
любых двух точек х и g потребовать инвариантность билинейной формы
jcig2 — jc2Ei + -*:зЕ4 — -*ч?з. то мы получим некоторую подгруппу линейной
группы. Сколько параметров характеризует эту подгруппу? Получите
общий результат для 2я-мерного случая. [Этой подгруппой является
симплектическая группа Sp Bл).]
Часто встречаются группы, в которых, чтобы однозначно задать
все элементы, кроме непрерывных параметров, требуется еще и ди-
дискретный параметр. Такие группы называются смешанными непре-
непрерывными группами. Например, группа О
х' = ± х-{-а
(ранее мы рассматривали ее для случая, когда коэффициент а при-
принимал целочисленные значения) является смешанной непрерывной
группой с одним непрерывным параметром, если а изменяется не-
непрерывно от —оо до -j-oo. Групповое многообразие состоит из двух
несвязных частей. Преобразования х'= х-\-а образуют подгруппу Н,
любое преобразование которой можно получить непрерывным изме-
изменением параметра а от 0 (тождественное преобразование) до его ко-
конечного значения. Получить преобразования х' =—-х-\-а из тожде-
тождественного преобразования путем непрерывного изменения параметра
нельзя. Эти преобразования составляют ту часть преобразований
группы G, которые не входят в подгруппу Н и получаются, если
взять произведение подгруппы и инверсии /: х''==— х. Итак,
G =
Н есть инвариантная подгруппа группы G, порядок факторгруппы
равен двум.
Точно так же ортогональная группа состоит из двух частей,
а именно из преобразований с определителем Д=1 и преобразований
с определителем А = —-1. Совокупность первых преобразований
образует подгруппу О+ (п) ортогональной группы (собственные вра-
вращения). Эти преобразования можно получить, двигаясь по непрерыв-
непрерывной траектории из единичного элемента. Эта подгруппа инвариантна
относительно полной группы вращений. Обращаем внимание на то,
что в случае непрерывных групп не существует способа объединения
различных их частей в единое целое так, чтобы все элементы можно
было задавать, пользуясь лишь одним непрерывным параметром.
В континууме нет дыр, в которые мы могли бы поместить дополни.»
тыльные элементы,
344 Глава 8. Непрерывные группы
§ 6. Однопараметрические группы.
Инфинитезимальные преобразования
В равенстве (8.23) мы выразили параметры с произведения преоб-
преобразований через параметры а и Ь сомножителей. Из этого соотно-
соотношения параметры а должны выражаться через Ъ и с, а параметры Ь
должны выражаться через а и с. Для этого требуется, чтобы ни
один из якобианов \d(fk/dal\ и {дср^дЬ^ не обращался в нуль. Точно
так же соотношение (8.26) выражает условия, которые следует на-
наложить на функции ft, задающие преобразования, если последние
Фиг. 71.
должны образовывать группу. В том виде, как оно записано, соот-
соотношение (8.26) есть тождество по х, а и Ь. Но его также можно
выразить в виде тождества по х или х' и любых двух из трех па-
параметров а, Ь, с.
Преобразование x' = f(x; а) переводит все точки пространства
из их начального положения х в конечное положение х'. Было бы
более естественно рассматривать постепенное перемещение точек про-
пространства по мере того, как мы изменяем непрерывным образом па-
параметры от их начальных значений о = 0. Такая точка зрения при-
приводит к понятию инфинитезимальных преобразований. Этот метод мы
продемонстрируем сначала для однопараметрической группы с одной
переменной х (см. фиг. 71). Предположим, что преобразование с па-
параметром а переводит точку х в положение х'. Соседнее значение
параметра a-\-da будет переводить точки х в точки x'-\-dx' (так
как / — аналитическая функция параметра а). Но мы также можем
найти значение параметра 6а, очень близкое к нулю (т. е. преоб-
преобразование, очень близкое к тождественному), которое переводит х'
в xr-\-dx'. Итак, мы имеем на выбор два пути из х в x'-\-dx'\
либо
x'-\-dx' = f(x; a-{-da), (8.28)
либо
*' = /(*; a), x' + dx' = f(x', бе). (8.29)
Разлагая в ряд последнее равенство, получаем
dx'=(df{f'a)) .Ьа = и(х')Ьа. (8.30)
' \ "а /а=0 '
§ 6. Однопарйметрические группы 345
Уравнение (8.23) означает
= (p(a; 6а), (8.31)
так что
или
6a = \\>(a)da. (8.33)
Подставляя (8.33) в (8.30), имеем
dx' = и (х1) \j) (a) da, (8.34)
J±L. = Ma)da. (8.34a)
Соотношение (8.34a) проинтегрируем от а = 0 до а. Начальное
значение л' есть х. Обозначив через U (х') интеграл от \ju{x'),
Получим
а
U (xr) — U(x)=jq> (a) da. (8.35)
о
Если ввести новые переменные y = U(x) и положить
а
J" ф (a) da = t,
о
то соотношение (8.35) будет иметь вид:
y' — y = t. (8.36)
Но, как мы уже видели в случае конечных групп, преобразование
координат или введение новых переменных приводит лишь к транс-
трансформации всех элементов группы одним и тем же преобразованием.
Мы показали таким образом, что однопараметрическая непрерывная
группа эквивалентна группе трансляций и должна быть абелевой. За-
Заметим, чт»к смешанной группе этот результат не применим, поскольку
последний шаг в нашем доказательстве делался в предположении, что
рассматриваемый элемент группы связан с единичным элементом не-
непрерывной траекторией. (Мы разобрали простейший случай одной
переменной, но легко дать доказательство для однопараметрической
группы с любым числом переменных.)
Задача. Проведите доказательство для преобразований с двумя пере»
менными.
Мы провели доказательство для однопараметрической группы пре'
образований. Результаты, относящиеся к структуре группы, не за-
зависят от ее конкретной реализации. Таким образом, мы показали,
346 Глава 8. Непрерывные группы
что для однопараметрической группы Ли всегда можно ввести кано-
канонический параметр t такой, что
Л й + 'а). 837
Аналогичным образом разложим теперь наши функции в общем случае:
*; = /i(*i *я: «, «,) ('=1 я), (8.38)
*; + dx[ = /, (*; *;; вв, 6а,); (8.38а)
= S «„(,')ба„ (8.39)
= (p/(a1, .... ar; 6^ 6а,.), (8.40)
при а = 0, ®/m@) = 6te. Выразив величины 6a через da из соотно-
соотношения (8.41), получим
г
где матрицы f и 8 удовлетворяют условиям
?0=1, ф„(О)=в«. (8.42а)
Подставляя полученное выражение для 6аА в (8.39), найдем
dxft= 2 uik(x')%l(a)dal, (8.43)
ft, i-i
или
¦& = 11««(*)Ф«(а). (8-44)
*-i
Переменные л' в (8.44) можно рассматривать как функции пара-
параметра а. Координаты х служат начальными значениями координат х'
при а = 0.
Если изменяется только один из параметров (остальные равны
нулю), возникает некоторая однопараметрическая подгруппа и какое-то
инфинитезимальное преобразование. Любое инфинитезимальное пре-
преобразование представляет собой линейную комбинацию г линейно не-
независимых инфинитезимальных преобразований. Если мы рассмотрим
§ 6. Однопараметрические группы 347
изменение функции F(х) при инфинитезимальном преобразовании (8.38),
то обнаружим:
г ,' п \ т
uu{x)-g-)F = ^balXlF. (8.45)
\t-i Ч i-i
Операторы
/р<*>-ЕГ (8'46)
называются инфинишезимальными операторами группы. Операторы
мало отличаются от тождественного оператора. Если в качестве функ-
функции F выбрать одну из переменных xt, то
=г 1
L
так что мы снова возвращаемся к (8.39).
Заметим, что если пренебречь членами более высокого порядка
относительно бесконечно малых величин 6а, то инфинитезимальные
преобразования будут коммутировать друг с другом. В самом деле,
результат последовательного выполнения двух инфинитезимальных
преобразований просто совпадает с суммой этих двух преобразова-
преобразований (если мы пренебрежем членами более высокого порядка).
В качестве примера рассмотрим группу
х'' = ах-\-Ь.
Параметры единичного элемента равны: а=1, ? = 0. Инфинитези-
Инфинитезимальные преобразования имеют вид:
х' = A -f- 6а) х + 6* = х Н- х ¦ 6а -j- б*;
dx = х • Ьа-\-ЬЬ.
Таким образом, инфинитезимальными операторами группы служат
операторы
v д v д
*i = *dJ и Х* = -5х-'
Заметим, что коммутатор
[Xv АГ2] = ХхХ% — Х2Хх = — -gj = — Хг
348 Глава 8. Непрерывные группы
не приводит к новому оператору, а является лишь одним из инфи-
нитезимальных преобразований фуппы.
В качестве другого примера рассмотрим группу
х' = ах.
У единичного элемента а = 6 = 1. Инфинитезимальные преобразова-
преобразования имеют вид:
х' = A + Ьа) х = х + х • 6а,
вследствие чего инфинитезимальными операторами группы служат
операторы
\г д „. д
1 дх 2 у ду
И в этом случае мы замечаем, что коммутатор [Хг, Х2] не дает
ничего нового, так как
В случае однопараметрической группы
х' = ах,
у'=х->.
¦* а *
Единичный элемент имеет параметр с=1; инфинитезимальное пре-
преобразование имеет вид
х' = A + Ьа) х = х -)- х • Ьа,
у' = A -f- ба) у = A — 6а) у = у — у • 6а,
а инфинитезимальным оператором служит оператор
v д д
Рассмотрим, далее, двумерную линейную группу
х'=ах-\-Ьу,
Параметры единичного элемента принимают значения а = й'=1 и
&==с = 0. Инфинитезимальные преобразования записываются в виде
х' = A -f- 6а) х -\- ЬЪу — х -f- х • Ьа + у ¦ ЬЪ,
у =
§ 6. Однопараметрические группы 349
Четырьмя инфинитезимальнымн операторами группы служат операторы:
,, д „. д ,, д ,, d
Если составить коммутаторы инфинитезимальных операторов, то
окажется:
[Хъ Х2] = - Х2, [Хь Х3] = Х3, [Хх, Х4] = О,
[Х2, Л5] = ХЛ — Хх, [Х2, Х4] = — Х2, [Хг, Хц] = Х3.
Мы видим, что все коммутаторы можно представить в виде линейных
комбинаций самих инфинитезимальных операторов.
Для двумерной группы вращений
х' = х cos ф — у sin ф,
у' = х sin ф-f- у cos ф
мы получаем инфинитезимальные преобразования, разлагая синусы и
косинусы по ф вблизи ф = 0:
х' = х — у • бф,
Инфинитезимальным оператором является оператор
У4-.
т. е. оператор момента количества движения.
Ортогональные преобразования можно охарактеризовать как пре-
преобразования, у которых матрица А, транспонированная по отношению
к матрице А преобразования, совпадает с обратной матрицей
АА = \.
Собственные вращения имеют определитель, равный единице,
вследствие чего матрица инфинитезимальных вращений имеет вид
где 1 означает единичную матрицу, а все элементы матрицы В на-
находятся в окрестности нуля. Условие ортогональности требует, чтобы
1 = АА = A + В) A + В) « 1 + В -f- В,
или
350 Глава 8. Непрерывные группы
Отсюда матрица В должна быть кососимметрической матрицей с тремя
независимыми компонентами:
0 -? -л
5=1 -С 0 I
т, -I 0J
Инфинитезимальные вращения имеют вид
dX = yl — 211,
где ?, ц, С — константы.
а инфинитезимальными операторами служат
v д д v д д v д д
1 J)i ' to ' ^ дг дх ' 6 * дх ду
— компоненты оператора момента количества движения по трем коор-
координатным осям. Коммутаторы этих инфинитезимальных операторов
приводят к хорошо известным соотношениям
[Xlt X2]=zX3, [X2, A] = <Yb [Х3, ЛГг] = ЛГ2.
§ 7. Структурные константы
Теперь мы покажем, что свойство, обнаруженное на этих кон-
конкретных примерах, является общим: коммутаторы инфинитезимальных
операторов линейно выражаются через инфинитезимальные операторы.
В (8.38) мы начали с того, что потребовали, чтобы преобразова-
преобразования / образовывали группу с г существенными параметрами. Это
означает, что uik в (8.39) линейно независимы. Затем, воспользо-
воспользовавшись законом композиции параметров [соотношение (8.41)], мы
получили формулы (8.44), которые выпишем здесь еще раз, причем
вместо х' будем использовать переменные х:
дх. A=1 п),
% (хЯ=1г) (8.47)
Здесь мы ввели соглашение о суммировании по повторяющимся
индексам. Уравнение (8.47) описывает движение точки х из ее на-
начального положения х@) (когда а = 0). Если же из уравнений (8.47)
требуется получить уравнения (8.37), задающие преобразования с про-
произвольными начальными условиями, то должны выполняться следую-
следующие соотношения:
^ ^ (8.48)
§ 7. Структурные константы 351
или
И/v -з з—Н-^„ -з Ф^» -л—=0. (8.48а)
Величины uix представляют собой функции от х, а через перемен-
переменные х они зависят от а. Поэтому
диы duiK dxi duiK
—— = 2L L — —u.ty (8.49)
где при выполнении последнего преобразования мы воспользовались
формулой (8.47). Подставляя (8.49) в (8.48а), имеем
диы dui. ,
' ¦ -¦¦ , = 0. (8.50)
Из (8.42а) следует, что гр^©^ = 6^, откуда
ди1х дща
u
где
Если соотношение (8.51) продифференцировать по ар и применить
к нему оператор (дхх/дар)(д/дхх), который действует только на пере-
переменные х, мы получим
дс*
-^Чх=0. (8.53)
Так как функции иы(х) линейно независимы, мы заключаем, что
величины с*а не зависят от а и являются константами. В этом случае
соотношения (8.51) и (8.52) принимают вид
1^^ ^ЬЛ,- (8-52а)
Эти условия вытекают из нашего требования, чтобы уравнения (8.47)
были интегрируемы. Инфинитезимальные операторы, имеющие, по
определению, вид
352 Глава 8. Непрерывные группы
обладают тем свойством, что их коммутаторы
[Хр, Ха] = ХрХа - ХаХр (8.54)
удовлетворяют соотношениям
v v д д д д
[Хр, Ха] - «/р ^-и]а-щ — uja щ ulp -д— =
ди1я <>ujp I _д_
Р дх( Ui° dxt J dxj '
Воспользовавшись формулой (8.51а), получим
Кр.^.] = ^в/х-я7 = ^х- (8-55)
Соотношение (8.55) означает, что все коммутаторы линейно выра-
выражаются через инфинитезимальные операторы. Коэффициенты с?д на-
называются структурными константами группы Ли. Очевидно, что
Если (8.55) подставить в тождество Якоби
\\Хр, Хо], *,] + [[*„. Хх\, Хр] + [[ХХ, Хр\, Ха] = 0, (8.57)
мы найдем
Повторим кратко все, что мы сделали. Отправляясь от группы пре-
преобразований (8.38), мы получили уравнения (8.47), затем соотно-
соотношения (8.51а), (8.52а) и, наконец, соотношения для структурных
констант (8.56) и (8.58). Ли получил замечательный результат, со-
состоящий в том, что эту процедуру можно выполнять в обратном по-
порядке, т. е. если мы найдем константы, удовлетворяющие усло-
условиям (8.56) и (8.58), то сможем найти функции и и \|), удовлетворяющие
соотношениям (8.51а) и (8.52а), а затем сможем найти функции, ко-
которые являются интегралами уравнений (8.47) и образуют группу.
§ 8. Алгебры Ли
Воспользовавшись соотношением (8.46), можно записать уравне-
уравнение (8.47) в следующем виде:
^ = %k{a)Xvxt, ^(О)^б^. (8.47а)
Любое преобразование группы можно получить, если изменять пара-
параметры ак вдоль некоторой прямой
aK = sKt (Я.= 1 г), (8.59)
§ 8. Алгебры Ли 353
где sx—вещественный вектор. При т = 0 мы получаем тождествен-
тождественное преобразование. Разные значения т задают различные операторы
преобразования 5(т):
xl(x) = S(x)x,(fi), 5@) = 1. (8.60)
Подставляя выражения для ак и X/ в (8.47а), получаем
или
4^-^@) = 5^(Spt)^S(T)^@), (8.61а)
откуда следует, что оператор преобразования S(x) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
При т=0
4Н-овяЛ (8-62)
таким образом, разложение в ряд Тейлора оператора 5(т) имеет вид
S(t) = 1 + ts/x+ •••• (8.63)
т. е.
*,(*) = (!-И*х*х + ...)*i@). (8.63a)
Из уравнения (8.616) мы видим, что инфинитезимальный оператор
s^Xn однозначно определяет операторы преобразования S (т), в то
время как уравнение (8.63) показывает, что оператор S(х) одно-
однозначно определяет инфинитезимальный оператор s^Xx.
Если теперь мы рассмотрим второй вектор tx, задающий инфини-
тезимааьиый оператор t^Xk, то соответствующие операторы пре-
преобразования Т(х) будут удовлетворять уравнениям, аналогичным
уравнениям (8.61) — (8.63). Произведение 5(т)Г(т) можно разложить
в ряд Тейлора
A + iV^-t- ...)A + т/хГх+ ...) =
= 1 + т(*и + у*х+ .... (8.64)
Отсюда следует, что произведение S(x)T(x) соответствует инфини-
тезимальному оператору
(sH+QXn,
т. е. сумме инфинитезимальных операторов, соответствующих S(t)
и Т(х). Коммутатор операторов S(x) и Т(х) есть оператор пре-
преобразования
S-\x)T-\x)S(x)T(x),
354 Глава 8. Непрерывные группы
который допускает разложение в ряд Тейлора
A-<мя*я+ ...H-^Л+ ...H+w^+ --ОХ
v+ ...)=1 + т2[5и^и, №1 + ...; (8.65)
таким образом, инфинитезимальный оператор коммутатора преобра-
преобразований S(x) и Т(х) является коммутатором инфинитезимальных
операторов, соответствующих S (х) и Т(х). [Из разложения (8.65) мы
видим, что в дифференциальном уравнении для коммутатора следует
использовать переменную т2.] Если операторы S (х) и Т(х) коммути-
коммутируют, то их коммутатор обращается в тождественный оператор, а для
соответствующих инфинитезимальных операторов выполняется соотно-
соотношение
Эти результаты позволяют описывать различные свойства группы
Ли с помощью инфинитезимальных операторов. Если группа G абе-
лева, так что все ее элементы коммутируют друг с другом, то
0 (и, А,= 1 г),
или же, если воспользоваться структурными константами,
с^ = 0 (х, к, р-= 1, ....г). (8.66)
Если Н — /^-параметрическая подгруппа группы О, мы можем
выбрать р инфинитезимальных операторов, соответствующих элемен-
элементам подгруппы Н. Тогда г—р остальных инфинитезимальных опе-
операторов будут отвечать элементам, входящим в О - Н Так как
Н есть группа, то коммутаторы инфинитезимальных операторов
Х1 Xр должны выражаться только через операторы Хг Xр,
так что
сРх = О (и, А.= 1, ..../>; р = р+1 г). (8.67)
Если подгруппа Н инвариантна a S — произвольный элемент, при-
принадлежащий Н, то элемент T~lST также принадлежит Н для любого
элемента Т всей группы О. Но тогда подгруппе Н принадлежит
и элемент S~1T~1ST. Из разложения (8.65) мы видим, что комму-
коммутатор [sxXK, tKXk] должен выражаться в виде линейной комбинации
инфинитезимальных операторов одной лишь подгруппы Н. Таким
образом, для инвариантной подгруппы
^ = ° (Kz=l Р> Р = Р+1 О- (8.68)
Если группа О является прямым произведением Н и О — Н, то
сиХ = 0 для к=1 Р'< Р = -Р-г-1 г
и для и = р-\-1 г; р=1 Р- (8.68а
§ 8. Алгебры Ли 355
Группа О будет простой (не будет иметь собственных инвариант-
инвариантных подгрупп), если условию (8.68) нельзя удовлетворить ни при
каком выборе базиса Хр. Точно так же группа О будет полупростой
(не будет иметь абелевых инвариантных подгрупп), если равенствам
с^ = 0 (и, А,, р=1 р) (8.686)
и равенствам (8.68) нельзя удовлетворить ни при каком выборе
базиса Хр.
Структура абстрактной группы Ли полностью содержится в соот-
соотношении (8.23), задающем закон композиции вещественных пара-
параметров а, и bt сомножителей, по которому находят вещественные
параметры с,- произведения. При реализации абстрактной группы Ли
в виде группы преобразований переменные xt могли бы быть веще-
вещественными или комплексными, в силу этого инфинитезимальные опе-
операторы также могли бы быть комплексными. Но любые соотношения,
коюрые описывают структуру группы, должны содержать лишь
вещественные коэффициенты. Поэтому и структурные кон:танты с?А
должны быть вещественными числами.
Мы нашли, что для /--параметрической группы преобразований
существует г линейно независимых инфинитезимальных операто-
операторов Хр. Из эгих операторов можно составить линейные комбинации
и получить r-мерное векторное пространство. Если мы рассматри-
рассматриваем задачи, связанные со структурой группы Ли, нам следует
выбирать только линейные комбинации с вещественными коэффи-
коэффициентами. Мы должны рассматривать, таким образом, вещественное
векторное просфанство величин ^арХр, гл-е ар — вещественные
р
числа. Соотношение (8.55) задает в этом пространстве «произве-
«произведение», так как структурные константы вещественны. Если теперь
отвлечься от конкретной реализации группы Ли, то станет ясно, что
/•-параметрической группе Ли отвечает вещественное г-мерное вектор-
векторное пространство величин "^а-рХр, замкнутое относительно умно-
р
жения, определяемого с помощью соотношений (8.55)—(8.57). Это
и есть алгебра Ли группы Ли.
Вещественная алгебра Ли состоит из величин А, В, . . . , из кото-
которых можно образовать линейные комбинации аА-\~ЬВ с веществен-
вещественными коэффициентами. Произведение элементов А я В равно [А, В]
и содержится в том же вещественном векторном пространстве.
Произведение удовлетворяет соотношениям (8.56)—(8.57):
[А, В]= -[В, А], (8.56а)
[А, [В, С] ] + [В, [С, А] ] = [С, [А, В] 1 = 0. (8.37а)
356 Глава 8. Непрерывные группы
Все элементы А можно выразить через систему г базисных векто-
векторов Хр:
А = %арХр. (8.69)
р
Если мы составим линейные комбинации величин А и В с ком-
комплексными коэффициентами и определим произведение [Л-f /9, С]
так, чтобы оно было равно [A, C\-\-i[B, С], мы получим комплекс-
комплексное расширение вещественной алгебры Ли. Комплексное расшире-
расширение может оказаться удобным в работе, однако утверждения относи-
относительно структуры группы Ли следует делать исключительно на основе
вещественной алгебры Ли.
Можно также сформулировать и обратную задачу. Дана веще-
вещественная алгебра Ли с заданными структурными константами си0
[удовлетворяющими условиям (8.59)]; построить группу Ли, которая бы
имела данную алгебру своей алгеброй Ли. Если сформулировать ее
в терминах преобразований, то эта задача сводится к тому, чтобы
найти путем интегрирования конечные преобразования, исходя
из наперед заданных соотношений коммутации для инфинитезималь-
ных операторов. Мы сформулируем результат без доказательства.
Всякой алгебре Ли соответствует некоторая группа Ли; структур-
структурными константами группа Ли определяется лишь локально (т. е.
в окрестности единичного элемента).
Терминология, применяемая в теории группы, используется также
и в теории алгебр Ли. Так, если выполняется условие (8.66), гово-
говорят, что алгебра Ли О абелева. Если выполняется условие (8.67),
алгебра Н называется подалгеброй алгебры О. Алгебра Н назы-
называется инвариантной подалгеброй, если выполняется условие (8.68).
Если выполняется условие (8.68а), алгебра Ли О будет прямой
суммой алгебр Н и О — Н. Точно так же алгебра Ли О простая,
если нельзя выполнить условий (8.68), и полупростая, если нельзя
удовлетворить условиям (8.68) и (8.686).
§ 9. Структура алгебр Ли
Вывод всех возможных структур алгебр Ли представляет собой
чрезвычайно сложную математическую проблему. Укажем лишь на
некоторые стороны этой процедуры.
Проблема состоит в том, чтобы при каждом значении г найти
все возможные вещественные решения уравнения (8.58)
удовлетворяющие условию (8.56)
<й = -сар- (8-56)
§ 9. Структура алгебр Ли 357
Трудность этой задачи обусловлена тем, что система уравнений (8.58)
квадратична относительно неизвестных. Кроме того, многие решения
будут эквивалентны друг другу, ибо если мы заменим базис Хр
базисом
X'(,=:apvXv (8.70)
(матрица apv неособенная), то получим новые структурные кон-
константы с'* которые также будут удовлетворять условиям (8.56)
и (8.58):
поэтому
Си — П. CL С**" (S 71^
ро jix pv оА v\' ч '
Умножив на матрицу, обратную матрице а, получим
Задача. Докажите, что операторы Х'р, заданные соотношением (8.70),
удовлетворяют условиям (8.56) и (8.58).
При г = 1 все элементы алгебры Ли кратны одному и тому же
базисному вектору X, вследствие чего все коммутаторы обращаются
в нуль. Соответствующая группа Ли есть однопараметрическая абе-
лева группа.
При г = 2 мы имеем два базисных элемента Хх, Х2 и ком-
коммутатор
[Хх, Х2\ = аХх-^ЬХ2.
Если а — Ь — 0, то
В этом случае алгебра абелева и совпадает с прямой суммой алгебр,
порожденных элементами Хх и Х2- Если же, например, а Ф 0, то
базисные элементы можно заменить элементами
для которых
'2\ = Х\.
358 Глава 8. Непрерывные группы
Мы видим, что подалгебра, порождаемая элементом Х\, инвариантна
и абелева, и поэтому содержащая ее алгебра Ли не является полу-
полупростой. Итак, при г = 2 мы не получаем полупростых алгебр Ли.
Примером группы Ли преобразований, соответствующей алгебре Ли,
у которой
[*,. *2] = 0,
служит группа
х' = х-\-а, у' — у-\-Ь.
Она является прямым произведением однопараметрических групп и
в соответствии с § 6 настоящей главы ее всегда можно представить
в виде группы трансляций в двумерном пространстве. Ясно, что для
r-мерной алгебры Ли, у которой
[Х„ Xj] = 0
при всех / и у, группа Ли (локально) изоморфна г-мерной группе
трансляций. Группой преобразований, у которой алгебра Ли удовле-
удовлетворяет соотношению коммутации
является группа
х' = ах-\-Ь.
В этом случае
v д v д
1 дх 2 дх
Трансляции х' = х-\-Ь, которые порождаются оператором Xlt обра-
образуют абелеву инвариантную подгруппу.
Задача. Проинтегрируйте уравнения (8.47а) для последнего из рас-
рассмотренных случаев и получите снова конечные преобразования группы.
Наш элементарный подход чрезвычайно осложняется уже при
/• = 3, потому что уравнение (8.58) приводит к трем квадратичным
соотношениям, которым должны удовлетворять структурные кон-
константы. Но этим простым методом можно еще пользоваться. В урав-
уравнении (8.71а) положим о —}х и просуммируем по ц:
величины с^х преобразуются так же, как вектор при изменении
базиса. Матрица apv — произвольная неособенная матрица, поэтому
мы всегда можем преобразовать вектор с^ так, чтобы одна его
компонента была равна единице, а остальные — нулю. Единственным
случаем, когда такое преобразование невозможно, является случай,
9. Структура алгебр Ли 359
когда векгор с^ равен нулю. Итак, мы всегда можем выбрать базис
так, чтобы либо а) с^=1, с^ = 0, \ф 1, либо б) с^ —0 при
всех v.
Подставив эги значения констант в (8.71а), мы найдем, что для
случая «а» квадратные уравнения сводятся к линейным, причем
С2з== C3i == C2i ~ 0- Учитывая эти результаты, мы из уравнений с^к = О
при v = 2 и 3 получим, что с2.А = Сд2 = 0. Таким образом, Х3 ком-
коммутирует с А\ и A'j и порождает абелеву инвариантную подгруппу;
отсюда следует, что в этом случае группа Ли не является полу-
полупростой. Мы получаем две возможные структуры:
[Хх, Х2] = [Х2, Х3] = [Х3. Х,\ = 0, (8.73)
\ХЪ Х2] = Хг, [Х2, Х3) = [*3, Х,\ = 0. (8.74)
Для случая «б» уравнения (8.71а) вырождаются в тождества. Произ-
Производя остальные вещественные линейные преобразования, найдем,
помимо структур, уже полученных нами раньше, структуры только
двух независимых между собой типов:
[ХиХг] = Х3, [X2,X3] = Xlt [Х3, Хг] = *2, (8.75)
[*„ Х2] = Х3. lX2,X3]^-Xlt [X3,XX\^-X2. (8.76)
Обе алгебры простые.
Задачи. 1. Доведите до конца намеченный выше вывод и покажите,
что при г = 3 существуют только четыре независимые структуры для
вещественной алгебры Ли.
2. Покажите, что вещественная алгебра Ли
[*,, Х2] = Х3, [Хг, Х3] = - Хи [Х3, Xt] = X2 (8.76а)
имеет ту же структуру, что и алгебра (8.76).
3. Докажите, что алгебры (8.75) и (8.76) простые.
Группой Ли, имеющей структуру (8.75), является вещественная
ортогональная группа 0C) в трехмерном пространстве. Эта группа
оставляет инвариантной квадратичную форму л:2-)-у2-}-z2. Ее инфи-
нитезимальные операторы имеют вид
(8.77)
Группа вещественных линейных преобразований, оставляющих
инвариантной квадратичную форму л:2-}-у2—z2, имеет структуру (8.76).
360 Глава 8. Непрерывные группы
Ее инфинитезимальные операторы записываются следующим образом:
• г д , д ,г д , д
x z + y X X + Z
Эта группа представляет собой двумерную „группу Лоренца".
Особенно важно подчеркнуть, что мы рассматриваем исключи-
исключительно вещественные алгебры Ли. Если же мы перейдем к комп-
комплексным расширениям, то алгебры, задаваемые соотношениями (8.75)
и (8.76), будут иметь одинаковую структуру. Например, если мы
заменим оператор Х2 оператором —1Х2, а оператор Х3 операто-
оператором — 1Х3, то уравнения (8.76а) превратятся в уравнения (8.75).
Аналогично, если в (8.78) заменить z на iz, мы получим инфините-
инфинитезимальные операторы (8.77). Это подстановка приводит к замене
квадратичной формы х2-\-у2—z2 на квадратичную форму x2-\-y2-\-z2.
Такое введение мнимой переменной в качестве „временной координаты"
является общепринятым при рассмотрении групп Лоренца, однако оно
может привести к ошибочным заключениям по поводу структуры
группы. Параметры вещественной ортогональной группы 0C) изменя-
изменяются в ограниченной области, так что групповое многообразие
в этом случае компактно, в то время как параметры „группы Ло-
Лоренца" (8.78) изменяются неограниченно.
В качестве другого примера различия между вещественной алгеб-
алгеброй Ли и ее комплексным расширением рассмотрим прежде всего
группу 0D) вещественных ортогональных преобразований в четырех-
четырехмерном пространстве. Эта группа вещественных линейных преобра-
преобразований оставляет инвариантной квадратичную форму x2-\-y2~\-z2-\-t2.
Шесть инфинитезимальных операторов можно выбрать в виде
d
шут;
ч =
\Alt
Hi.
\А2,
Из.
Л2 =
В2 =
а торы,
= А3,
= А3,
Bi\ =
В2] =
fill-
В,] =
= X
= 3»
д
dt
~z~Sx' 3 ~
(9 „ _
получим соотношения
И2
[В2
[А,
в3,
—
в2,
. Лз
. В3]
!¦ В2
1 . ... Л f Л Л 1
1 — Л1> 1лз> ли
l = ^i. [S3. fill
1 г Л D 1 , /ч
J "~~~ 1 3* 3J ^**
[Аи В3\ = -В2
И2, В3]^=Ви
Из, ?2] = — В,
~di
= А2,
= А2,
d
dy
d
dz '
5.79)
(8.80)
(8
(8.
(8,
(8
(8.
.80a)
,806)
.80в)
.80r)
.80д)
§ 9. Структура алгебр Ли 361
которые описывают структуру соответствующей этой группе алгебры
Ли. Если с помощью линейного преобразования перейти к базису,
состоящему из операторов
/ A-i + Bi г/ A — Bi /с с 1 \
то соотношения коммутации примут вид
[Jlt J2]=Ja, [У2, У31 = Л. Ыэ. Jil^J* (8-82)
[Ки К2]=К3. 1К2, К3] = К1, [К3, Кг]=К2, (8.82а)
[У,., К,] = 0. (8.826)
Следовательно, группа 0D) локально изоморфна прямому произведе-
произведению двух групп, каждая из которых изоморфна группе 0C).
Рассмотрим далее группу Лоренца вещественных преобразований,
оставляющих инвариантной квадратичную форму х2 -(- у2 -f- z2— t2.
В качестве инфинитезимальных операторов можно выбрать операторы
. д д . д д . д д
А — /у , .,.. \i _____ ?\ — V- , .,.. __^ f , .,.. Д ... \i __^^ у __^^ •
1 dy ' йг J иг djc d * dx dy
Структура соответствующей алгебры Ли задается соотношениями
[А„ А2\ = Аг, [А2, Л3] = Л„ Из, А1] = А2, (8.84)
[BltB2]=-A3, [В2,В3]=-Аи [В3,В1]=-А2, (8.84а)
[Л„ В,] = И2, 52] = И3, В3] = 0. (8.846)
[Л„ В2]=В3, [Аг, В3]=~В2, (8.84b)
И2> 5,1 = —?»3. И2, 581=-5ь (8.84г)
Из, 51] = 52. И3, 521 = —5,. (8.84д)
Если теперь мы попытаемся воспользоваться подстановкой (8.81),
то окажется, что на этот раз алгебра Ли не распадается в прямую
сумму. И действительно, в последней главе при рассмотрении группы
Лоренца мы дадим прямое доказательство простоты этой группы.
Задача. Рассмотрите группу Лоренца с двумя „пространственными
переменными" и двумя .временными переменными", т. е. группу вещест-
вещественных преобразований, оставляющих инвариантной форму х2-\-у2—z2—t2.
Найдите аналоги соотношений (8.79) и (8.80), (8.80а) — (8.80д). Покажите,
что ее алгебра Ли представляет собой прямую сумму двух алгебр Ли,
каждая из которых имеет структуру (8.76).
362 Глава 8. Непрерывные группы
Если бы нам разрешалось делать комплексные подстановки, то
подстановка Bi-^-iBi привела бы к тому, что соотношения (8.84),
(8.84а) — (8.84д) полностью совпали с соотношениями (8.80), (8.80а) —
(8.80д). Для группы Лоренца операторы
К t =4^*1 (8.85)
удовлетворяли бы соотношениям (8.82), (8.82а) и (8.826). Ясно, что
все три только что рассмотренные вещественные алгебры Ли имели бы
одно и то же комплексное расширение, хотя их структуры совершенно
различны.
Заметим также, что группа 0D) компактна (см. пример 12 в § 4
настоящей главы), в то время как параметры группы Лоренца меня-
меняются неограниченно.
§ 10. Структура компактных полупростых
групп Ли и их алгебр
В этом параграфе мы сформулируем без доказательств теоремы,
которые позволят нам найти структуру полупростых групп Ли. Мы
уже использовати термин „компактная группа" при описании групп Ли,
параметры которых изменяются в ограниченных пределах. Само груп-
групповое многообразие (т. е. совокупность всех элементов группы Ли)
называется в этом случае компактным. В общем случае множество М
компактно, если всякое бесконечное подмножество в М содержит
последовательность, которая сходится к некоторому элементу мно-
множества М. Например, любая область конечной протяженности
в евклидовом пространстве компактна (теорема Больцано — Вейер-
штрасса). С другой стороны, область евклидова пространства, про-
простирающаяся до бесконечности, не компактна, поскольку бесконечная
последовательность точек рх, р2, . .., у которой одна или более из
координат р1 стремится к бесконечности, сходиться не будет.
Можно доказать, что непрерывная функция, заданная на компактном
множестве, ограничена. (Этот факт можно использовать в качестве
еще одного определения компактности.) После этого можно построить
надлежащее определение интегрирования на множестве. Если пара-
параметры группы Ли изменяются неограниченно, легко построить пример
непрерывных функций от параметров, которые не будут ограниченными.
Алгебра Ли компактной группы Ли также называется компактной.
В предыдущем параграфе мы нашти, что при г = Ъ компактная
группа 0C) и некомпактная группа Лоренца (8.78) имеют одинако-
одинаковые комплексные расширения. Далее мы обнаружили, что комплекс-
комплексные расширения вещественных алгебр Ли групп, оставляющих ин-
инвариантными формы х2~\-у2~{-z2-\-t2, x2-\-y2-\-z2—t2 и x2-\-y2—z2—t2,
совпадают, но компактна лишь первая из групп. Эти примеры явля-
§ 10. Структура компасных йолупросТых групп Ли 363
ются частными случаями общего результата: каждая комплексная
полупростая алгебра Ли имеет ровно одну компактную веществен-
вещественную форму.
Каждому элементу А алгебры Ли мы можем сопоставить некото-
некоторое линейное преобразование. Дяя любого элемента S коммутатор
[A, S] оказывается вновь элементом алгебры, в результате чего мы
определяем оператор рА, который, будучи применен к элементу S,
порождает вектор
S [A,S]. (8.86)
Если мы выберем некоторый базис, в котором А — а^Х^, S =
то найдем матрицу оператора рА в этом базисе:
Ха =
Если теперь мы будем применять оператор рв, соответствующий
элементу В, то получим
PbPaS = [В, [A, S])
След преобразования рврА равен
где
g =g" =d3 caa. (8.90)
sliv svn ца vp ч '
Равенство (8.89) позволяет нам сопоставить любым двум элементам
алгебры некоторую симметричную билинейную форму, которую мы
назовем скалярным произведением (А, В) элементов А и В:
(A, B) = g^av. (8.91)
Если от одного базиса мы перейдем к другому с помощью преобразо-
преобразования (8.70), то, пользуясь соотношениями (8.71а) и (8.90), найдем
С = Wap = Vapa Pv. (8 -92)
так что g^lv преобразуется как симметрический тензор ранга два,
а скалярное произведение (8.91) остается инвариантным. Таким об-
образом, в нашем векторном пространстве g^y играет роль метриче-
метрической матрицы. Пользуясь (8.58), можно показать, что величины
антисимметричны относительно любой перестановки индексов.
364 Глава 8 Непрерывные tpynnu
Задача. Докажите, что величины c^v антисимметричны относительно
любой перестановки индексов.
Поскольку g^ — вещественная симметрическая матрица, ее всегда
можно привести к диагональному виду с помощью вещественных пре-
преобразований, т. е. путем некоторой замены базиса [(8.70) и (8.92)].
При этом специальном выборе базиса матрица g^ имеет вид
?nv = eAv. (8.93а)
где
L = -{-l при ц=1 k, е^ = —1 при ц —
е^ = 0 при ц = /-[-1 г.
Если матрица g^ неособенная (det g=?0), ее канонический вид (8.93)
не содержит нулей, и мы имеем k диагональных элементов, равных -j-1,
и г—k диагональных элементов, равных —1. Теорема Картана
гласит следующее.
Чтобы алгебра Ли была полупростой, необходимо и достаточно,
чтобы detg'^O.
Это условие можно сформулировать по-другому. Если detg" = O,
го уравнения g^vav = 0 имеют нетривиальное решение. Для такого
вектора А и любого Ь^ мы получаем g^ajf^ = 0, откуда следует,
что (А, Я) = 0 при всех В.
Поэтому критерий Картана можно сформулировать следующим
образом.
Алгебра Ли полупроста в том и только в том случае, если не
существует элемента А этой алгебры, который был бы ортогонален
всей алгебре [в смысле скалярного произведения (8.91)].
Если матрица g^v отрицательно определена, то в ее диагональ-
диагональной форме (8.93) все диагональные элементы будут равны —1. Можно
доказать следующее.
Полупростая алгебра Ли компактна в том и только в том случае,
если матрица g отрицательно определена [т. е. (А, А) < 0 для
каждого элемента А алгебры].
Заметим, наконец, что для компактной полупростой алгебры Ли
можно выбрать базис так, чтобы g^v = — 6^. В этом базисе в со-
соответствии с (8.93) структурные константы с? будут антисимметрич-
антисимметричными относительно любой перестановки индексов.
Фактический анаяиз структуры компактных полупростых алгебр
Ли выходит за рамки этой книги, однако краткий перечень результа-
результатов, приведенных здесь, должен помочь читателю проследить за
подробным изложением в книгах Понтрягина и Рака.
§ 11. Линейные представления групп Ли 365
§ 11. Линейные представления групп Ли
Линейные представления групп Ли определяются так же, как
линейные представления конечных групп (см. гл. 3). Каждому эле-
элементу R группы мы ставим в соответствие некоторый линейный
оператор D(R). Операторы D(R) действуют на векторы ф в конечно-
конечномерном евклидовом или гильбертовом пространстве, в котором задано
положительно определенное скалярное произведение (ф], ф2). Эти
операторы должны удовлетворять обычным требованиям:
>2), (8.94)
D(?)=l. (8.94a)
Потребуем теперь, чтобы операторы D (/?) были ограниченными
операторами [т. е. чтобы скалярное произведение (Д(/?)ф, ф) было
конечным для всех ф] и чтобы скалярное произведение (?>(/?) ф, ф)
было непрерывной функцией параметров элемента группы R.
К решению задачи о нахождении представлений группы Ли можно
приступить либо непосредственно, либо же вместо этой задачи рас-
рассмотреть тесно связанную с ней задачу о нахождении представлений
ее алгебры Ли. В последнем случае каждому элементу А алгебры
мы ставим в соответствие линейный оператор D (А) в гильбертовом
пространстве и требуем, чтобы
D{A-\-B)~D{A)-\-D{B), (8.95)
D(aA) = aD(A), (8.95a)
D([A, B]) = D(A)D(B) — D(B)D(A)=[D(A), D(B)]. (8.956)
Но на самом деле для нас представляет интерес лишь нахождение
представлений группы Ли, а представление ее алгебры мы исполь-
используем как промежуточный этап. Поэтому мы должны изучить пред-
представления алгебры Ли и показать, как их можно обобщить, чтобы
получить представление группы Ли, удовлетворяющее наложенным
выше требованиям.
Для однопараметрической подгруппы Ли мы можем ввести кано-
канонический параметр t так, чтобы
Оператор представления, соответствующий элементу R(t), мы будем
обозначать тем же символом, что и элемент, и уравнение (8.37) рас-
рассматривать как операторное уравнение. Если уравнение (8.37) про-
продифференцировать по tlt а затем положить ^ = О, t2 = t, то получим
1J- =*?- .R(t) = RR(t). (8.96)
dt dt t_n ч ' w N '
366 Глава 8 Непрерывные группы
Оператор
Я = 4г =КтШ=± (8.97)
в пространстве представления связан с инфинитезимальным операто-
оператором группы Ли, порожденным оператором R(t) [см. (8.62)]. Пред-
Предположим, что
11 in ——, ф
существует для системы векторов ф, которая всюду плотна в гиль-
гильбертовом пространстве, так что оператор R (по непрерывности)
вполне определен. Тогда уравнение (8.96) имеет смысл, и его можно
использовать, чтобы выразить оператор R(t) через R:
R{t) = eRt. (8.98)
Если мы хотим продолжить построение представлений алгебры Ли,
то должны потребовать, чтобы операторы, соответствующие элемен-
элементам группы Ли [их можно находить с помощью формулы (8.98)],
были ограниченными операторами.
Представление группы Ли унитарно, если операторы R (t) уни-
унитарны:
(ЖОФ. Я@ф) = (Ф. Ф)- (8.99)
Дифференцируя по t и полагая t = 0, находим
(/?ф, ф) -|- (ф, R(fi) = 0
при всех ф и ф, так что
/? + /?+ = 0. (8.100)
Итак, унитарные операторы, служащие представлениями элементов
группы, оказываются связанными с антиэрмитовыми операторами
в представлении алгебры Ли. Если ввести обозначение R = iH, то
Н — Hf R (f\ — pllit (8 1 п0я\
Например, для группы 0C)—трехмерной ортогональной группы —
операторы представления ее алгебры Ли должны удовлетворять со-
соотношениям (8.75):
Если положить lXp = Jp, то
[Ju J2] = U3, [J2, Jz] = Ul, [J3, ]x\ — tJ2. (8 101)
Если операторы J^ эрмитовы, то представление группы Ли будет
унитарным. Как мы увидим дальше, все представчечия группы 0C)
эквивалентны унитарным представлениям, гак что в этом случае
удобно перейти к эрмитовым операторам 7„.
§ 12. Инвариантное интегрирование 367
§ 12. Инвариантное интегрирование
Чтобы определить характеры и вывести соотношения ортогональ-
ортогональности, мы должны получить дтя непрерывных групп аналог формулы
(8.3). При выводе формулы (8.3) существенным было то обстоятель-
обстоятельство, что всем элементам R конечной группы мы приписывали рав-
равные веса. В силу этого, если мы суммировали какую-нибудь функ-
функцию по некоторому подмножеству Ш, величина ^ / (R) была,
очевидно, равна 2lf{S~ /?), где STt означает совокупность элемен-
тов, получающихся из подмножества Ш при левом сдвиге с помощью
элемента 5. Выбрав в качестве подмножества Ш всю группу Q, по-
получим из равенства
yZif(R) = ^if(S'1R), (8.102)
!Ш SW
что
2/(/?)=¦= 2/(S/?)- (8-3)
а а
В случае группы Ли мы должны чем-то заменить утверждение
о том, что вес, приписанный элементу А, равен весу, приписанному
элементу ВА, получающемуся из А при левом сдвиге. Каждому
набору элементов, принадлежащих окрестности А, мы хотим поставить
в соответствие некоторый 'объем (меру) dxA так, чтобы мера dxBA
совокупности элементов, которые получаются из первоначальных
элементов при левом сдвиге с помощью элемента В, была равна dxA:
dxBA = dxA. (8.103)
Как только введена лево-инвариантная мера, из нее тотчас же
следуют аналоги формул (8.102) и (8.3):
\dxAf(A) = ^ dxBAf(B~1A)= J dxAf{B~lA), (8.104)
>ш вхч вт
\dxAf(A)=--\dxAf{B-'A). (8.104а)
а а
Значения параметров множества Ш, принадлежащего окрестности
элемента А, близки к значениям параметров элемента А. Если па-
параметры элемента А мы обозначим символом а(ах, ..., аТ), то
совокупность элементов множества Ш будет в пространстве пара-
параметров занимать объем da. Если над этим множеством мы произ-
произведем левый сдвиг с помощью элемента В, параметры которого
равны Ь, то параметры множества ВШ, возникающего в результате
этой операции, будут принадлежать окрестности величин ck = (fk(a, b),
задаваемых соотношением (8.23). Итак, параметры множества Bf1
368
Глава 8. Непрерывные группы
будут занимать в пространстве параметров объем dc, величину ко-
которого можно вычислить с помощью соотношения (8.23). Чтобы
сделать одинаковой меру элементов группы 9К и ВШ, введем функ-
функцию плотности р(а) такую, что
— p (с) dc = dxBm-
(8/105)
Функцию плотности р найти легко. В окрестности единицы можно
произвольным образом задать значение р@). Левым сдвигом с по-
помощью элемента В множество, принадлежащее окрестности единицы,
переводится в область пространства параметров, расположенную
в окрестности значения параметра Ь. Из (8.23) следует
(8.106)
(8.107)
Поэтому элементарные объемы db и da в пространстве параметров
оказываются связанными между собой соотношением
v^ Г ^Фй (ai Ь) 1
= /А 7&Г, da,.
.^J L fa/ Ja=,o
db =
Обозначим
тогда
(а; Ь)
Pr(a; b)
а-0
a = 0
(а; Ь)
даг
а=0
дуг (<г> b)
daT
!=0
р(*)=
,@)
= J(b)da. (8.108)
(8.109)
(8.110)
Игак, значения функции плотности р(?) дяя всех b получаются
левым сдвигом с помощью элемента В. Наше определение непроти-
непротиворечиво, ибо если мы от элементарного объема, расположенного
в окрестности любого значения параметра а, переходим к другому
значению параметра с с помощью преобразования с параметром Ь,
т. е.
с = у(а; Ь),
то эту операцию мы можем проводить в два этапа: сначала выпол-
выполнить преобразование, обратное преобразованию с параметром а (что
вернет нас в начало координат), а затем—преобразование с пара-
параметром с, которое и приведет нас в точку с. Так как наше опре-
определение выполняется на каждом этапе, то оно же о,сга,ется непроти-
непротиворечивым и для всего процесса в целом(
§ 12 Инвариантное интегрирование 369
Приведем несколько простых примеров вычисления функции
плотности р(а). В группе х' = х-|-а
с==ф(а; Ь) = а + Ь, д(р{а'Ь) =1
да а-0
так что функция плотности является константой. При интегрировании
функции /(а) по группе мы должны вычислять интеграл
Jdaf(a).
Рассмотрим далее группу х' = ах:
дц> (а; Ъ
с = ф (а; Ь) = ab\
Функция плотности имеет вид р ф) =\/Ь. Тот же результат полу-
получается и для группы
х' = ах.
В самом деле, из наших рассуждений видно, что функции плотности
для изоморфных групп всегда совпадают.
Еще одним примером служит группа х' = ахх -f- a2, для которой
п
Функция плотности имеет вид р(^)=1/&!. При интегрировании тре-
требуется вычислить
В случае двумерной группы вращений с = а~\-Ь (параметром
служит угол поворота), вследствие чего плотность постоянна. Для
интегрирования по группе нужно взять интеграл
Задача Вычислите функцию плотности для двумерной линейной
группы.
В нашем определении функции плотности для случая группы
х'~а1х-\-а2 имеется одна тонкость. Плотность мы определили так,
что если с = ц>(а; Ь), то p(c)dc =-p(a)da. В основу нашего опре-
определения, если рассматривать его с точки зрения групповых операций,
были положены левые сдвиги с помощью элемента группы Ъ. Най-
Найденная нами плотность имела вид l/«j. Предположим теперь, что
370 Глава 8 Непрерывные группы
вместо нашего первого определения мы задали функцию плотности,
пользуясь правыми сдвигами, т. е. полагая p(c)dc — p(a)da, где на
этот раз с = (рф; а). Проделать это легко. Мы получим р(а)=1/а1.
Иначе говоря, если функция плотности определена так, что мера
инвариантна относительно левых сдвигов, то эта мера не будет
инвариантной относительно правых сдвигов. Таким образом, в общем
случае мы найдем для группы лево-инвариантную и право-инва-
право-инвариантную меру, причем эти две меры не совпадают друг с другом.
Для компактных групп эти две меры совпадают,- и поэтому мы
можем задать на группе одну инвариантную меру. Чтобы доказать
это, рассмотрим некоторое множество Ш в окрестности единицы.
Совершим левый сдвиг с помощью элемента В, в результате чего
каждый элемент А множества Ж перейдет в ВА, а множество Tt
в целом перейдет в множество BTt в окрестности элемента
В. Произведем, далее, правый сдвиг с помощью элемента В~г,
в результате чего элемент В А перейдет в элемент А' — ВАВ~ ,
а множество ВШ перейдет в множество BTtB~1. Множество ВТ1В~*
вновь расположено в окрестности единицы, и параметры элемента А'
получаются из параметров элемента Л линейным преобразованием D (В).
Таким образом, каждому элементу В группы ставится в соответствие
линейное преобразование D(B). Из того, что А' = ВАВ~1, мы видим,
чго матрицы D(B) образуют некоторое представление группы.
Два определения меры будут совпадать, если объемы в прост-
пространстве параметров, занимаемые множеством ВШВ~ и Ш, равны.
Так будет только в том случае, когда абсолютное значение опреде-
определителя матрицы D(B) равно единице. Докажем теперь, что если
группа компактна, то этот определитель равен единице. Если элемент В
имеет конечный порядок, так что В —?, то
[D (В))т = D (Вт) = 1
и
| det D (В) | = 1.
Если же элемент В является элементом бесконечного порядка, то
рассмотрим последовательность элементов В"(д=1, 2, . . .). Если
группа компактна, то эта последовательность элементов имеет пре-
предел р, принадлежащий групповому многообразию. Функция deiD(B)
непрерывна на компактной группе и поэтому ограниченна, из чего
следует, что и detD(p) ограничен. Кроме того, det D (р)=?0, так как
матрицы представления неособенные. Если
| det D (В) | > 1,
последовательность
| det D (?") | = | det D (В) |\ (8.111)
§ 13. Неприводимые представления групп Ли и алгебр Ли 371
которая должна стремиться к detD(p), будет на самом деле стре-
стремиться к бесконечности. Если же
|detDE)|<l,
то последовательность (8.111) будет стремиться к нулю и не будет
сходиться к |detD(p)|. Следовательно, для компактной группы
|detD(B)| = l.
§ 13. Неприводимые представления групп Ли
и алгебр Ли. Оператор Казимира
Если ограничить наше рассмотрение компактными группами Ли,
то инвариантное интегрирование, введенное в предыдущем параграфе,
позволит нам перенести на случай компактных групп Ли все теоремы,
которые были выведены в гл. 3 для конечных групп. Интеграл от
непрерывной функции по компактной группе вполне определен, и для
доказательства того, что всякое представление компактной группы
эквивалентно некоторому унитарному представлению, мы можем по-
повторить доказательство, данное в § 11 гл. 3. Доказательства соот-
соотношений ортогональности и теорем о характерах проводятся так же,
как и для конечных групп. Наконец, можно доказать, что всякое
представление компактной группы разлагается в сумму неприводимых
представлений, каждое из которых имеет конечную размерность, и
что риулярное представление содержит все неприводимые предста-
представления.
Для некомпактных групп возникают различного рода трудности.
Например, группа трансляций х'=х-\-а обладает представлением
1
Но ij- (8Л12)
которое, очевидно, является приводимым, но не разлагается в сумму
представлений Те же трудности будут возникать и в том случае, когда
группа Ли содержит инвариантную абелеву подгруппу. Для полу-
полупростой группы Ли можно доказать, что всякое ее представление
конечной размерности вполне приводимо.
В процессе нахождения неприводимых представлений полупростой
ал!ебры Ли чрезвычайно полезной оказывается теорема Казимира.
Д 1я таких алгебр метрическая матрица g^y [см. (8.90)] невырождена
и имеет обратную g^v:
^p?pv = V (8Л13)
которая, кроме того, симметрична. Если обозначить символами ЛГA
операюры, соответствующие базисным элементам ал1ебры, то опера-
оператором Казимира, по определению, будет огеэатор
a. (8.114)
372 Глава 8 Непрерывные tpynhbl
Если составить коммутатор оператора С с произвольным опера-
оператором представления, то получим
[С, Xx] = ge°[XpX0, Xx] = g^Xp[Xa, Xx]-\-ge°[Xp, Хх]Х
Из (8 93) имеем
caT = ^4af (8.116)
так что
[С. Xx] = ge°g^cV0X[XpXK+XKXp).
Так как cvox = — covx, то множитель перед скобками антисиммет-
антисимметричен относительно любой перестановки индексов р и X. Скобки
симметричны по р и А,, так что произведение должно обращаться
в нуль:
[С, Хх] = 0, (8.116)
т. е. оператор С коммутирует со всеми операторами представления.
Если теперь мы рассмотрим какое-нибудь неприводимое предста-
представление, то оператор С будет коммутировать со всеми операторами
представления и, по лемме Шура, будет кратен единичному оператору.
Таким образом, для данного неприводимого представления оператор
Казимира С характеризуется некоторым вполне определенным числом,
которым можно пользоваться, чтобы задавать это неприводимое
представление.
Для компактных групп в специально подобранном базисе g"p0=—6pa,
и оператор Казимира запишется в виде
С=2^р- (8.117)
р
Для группы вращений О C), если в качестве инфинитезимальных
операторов выбрать операторы J^, определяемые соотношением (8.101),
оператором Казимира будет оператор
С = Л+Л-\-Л. (8 118)
т. е. квадрат „полного момента количества движения". Он коммути-
коммутирует с операторами У^ J2, J$, а его значение характеризует непри-
неприводимое представление.
В общем случае, чтобы охарактеризовать полностью неприводимое
представление, требуется больше операторов. Например, для группы
0D) [см. (8.82)] два оператора
F = 24' O = S< (8.119)
§ 14. Многозначные представления 373
коммутируют со всеми операторами. Через операторы А^ и В^ эти
операторы выражаются следующим образом:
^=24+2 В\, G = S^A' (8.120)
Задачи. 1. Постройте оператор Казимира для группы, заданной урав-
уравнениями (8.76).
2. Найдите аналоги операторов F и О в соотношениях (8.120) для
группы Лоренца, определенной соотношением (8.83), и для группы, оста-
оставляющей инвариантной форму х2-\-у2 — z2— t2.
Число операторов, необходимых для задания полной системы,
равно рангу алгебры, который определяется следующим образом.
Для произвольного элемента А находим все независимые решения
уравнения
[А, Х] = 0. (8.121)
Это уравнение всегда имеет по крайней мере одно решение: X — А.
После этого мы варьируем элемент А, чтобы свести до минимума
число независимых решений уравнения (8.121). Это минимальное
число / называется рангом алгебры, и для задания неприводимого
представления требуется / операторов типа оператора Казимира.
§ 14. Многозначные представления.
Универсальная накрывающая группа
При определении представлений непрерывной группы мы требовали,
чтобы матричные элементы представления были непрерывными функ-
функциями на групповом многообразии. Среди непрерывных функций, за-
заданных на группе О, могут быть и многозначные функции. При этом
возникает возможность появления многозначных представлений. Пред-
Представление группы О называется m-значным, если каждому элементу
группы соответствует m различных операторов Dl(R) Dm(R),
причем для того, чтобы представление было непрерывным, необхо-
необходимо рассматривать все эти операторы одновременно.
Разумеется, каждому элементу конечной или дискретной группы
мы также могли бы поставить в соответствие несколько операторов,
однако отсутствие каких бы то ни было требований непрерывности
позволило бы нам разбить элементы группы на отдельные множества,
в которых на каждый элемент группы приходится ровно один оператор.
Возьмем непрерывную группу и рассмотрим на ней непрерывную
функцию f(R). (В частности, такая функция / (R) может быть мат-
матричным элементом какого-нибудь представления.) Будем теперь дви-
двигаться из некоторой точки R по некоторой кривой в групповом
многообразии: каждому значению вещественной переменной т мы со-
сопоставим некоторую точку g(i) группового многообразия, причем
374 Рлава 8. Непрерывные группы
g(x) — непрерывная функция от х. При т—0 g(O) = R, поэтому
наша кривая начинается в точке R. Будем рассматривать замкнутые
кривые, т. е. такие кривые, у которых g(\) = R. Нас б^дут инте-
интересовать значения, которые принимает функция f[g(x)] вдоль замк-
замкнутой кривой. Может представиться случай, когда при изменении
параметра т от 0 до 1 непрерывно изменяющаяся функция / не воз-
возвращается к исходному значению. Проведем все возможные замкну-
замкнутые кривые ^(т). Если, возвращаясь к элементу R, мы найдем т
различных значений функции /, мы скажем, что функция / т-значна.
Ясно, что всегда можно выбрать функцию / так, чтобы она была
однозначной, так как можно выбрать ее в виде /(/?)= 1 для всех R.
Но пас интересует именно максимально возможная многозначность
непрерывных функций на группе. Это число является свойством груп-
группового многообразия или (для групп Ли) пространства параметров.
Если замкнутую кривую ^(т) можно непрерывной деформацией стянуть
в точку R, то заданная на ней функция / должна после обхода кри-
кривой возвращаться к исходному значению. Если это происходит при
любом выборе замкнутой кривой на группе, то групповое многообра-
многообразие односвязно, а всякая непрерывная функция на такой группе дол-
должна быть однозначной.
Замкнутую кривую g(x) можно непрерывным преобразованием
стянуть в точку/?, если существует последовательность кривых g(x, X),
где g — непрерывная функция переменных х и к, такая, что
^ (т. 0) = ?(т) и g(x, 1) = /?.
Точно так же две кривые gl (т) и ^2(т) можно непрерывно дефор-
деформировать друг в друга, если
^i(x) = fir(x, 0) и ?2(т) = ?(т, О-
Если имеется т замкнутых кривых, которые нельзя деформировать
друг в друга, то многообразие т-связно, и могут существовать
m-значные непрерывные функции.
При более подробном рассмотрении отдельных непрерывных групп
нам придется рассматривать и вопрос об их связности. Пока же мы
приведем несколько простых примеров, чтобы проиллюстрировать
только что данные определения. Двумерная группа вращений пара-
параметризуется с помощью угла поворота ф, поэтому ее групповое мно-
многообразие состоит из точек, лежащих на окружности, т. е. является
сферой в двумерном пространстве. Функция
где I — вещественное число, является непрерывной функцией, опре-
определенной на этой группе. Если число / целое, функция / однозначна;
если /—рациональное число и равно ijt, где s и t— взаимно про-
простые числа, функция / будет ^-значна; если же / — иррациональное
§ 14. Многозначные представления 375
число, функция / бесконечнозначна. Пространство, состоящее из точек
окружности, бесконечносвязно. Такие кривые, как
замкнуты и их можно стянуть в точку. Кривая
Ф = g (т) = 2лт
представляет собой однократную замкнутую петлю, и ее уже нельзя
стянуть в точку непрерывной деформацией. Последовательность зам-
замкнутых кривых
представляет собой последоватетьность замкнутых кривых, состоящих
из п петель, которые нельзя деформировать друг в друга.
В качестве другого примера мы покажем, что л-мерное евклидово
пространство односвязно. Любую замкнутую кривую, проходящую
через начало координат, можно записать в виде г = г(т), где г —
радиус, идущий из начала координат в точку кривой, и г @)=г A)=0.
Семейство кривых
г(т, Ь) = A—Ь)г(т)
состоит из замкнутых кривых, деформируемых непрерывно от г(т)
при X =-= 0 до точки г = 0 при А,= 1. Заметим также, что выбрасы-
выбрасывание отдельных точек из пространства не изменяет связности (если
размерность пространства больше единицы).
Если между точками двух пространств можно установить взаимно
однозначное соответствие, эти пространства обладают одинаковой
связностью. Если точки R' выражаются через точки R с помощью
функции R' = h(R), то кривая R — g(x) определяет собой соответ-
соответствующую кривую R' = h[g{x)].
Задача. Покажите, что при я > 2 я-мерная сфера 2 -*? = 1 одно-
/-1
связна. [Указание. Воспользуйтесь стереографической проекцией для
установления взаимно однозначного соответствия этой сферы с (п — 1)-мер-
ным евклидовым пространством.]
Если групповое многообразие /я-связно, можно ожидать, что не-
некоторые из неприводимых представлений будут /и-значными. Соотно-
Соотношения ортогональности и свойства характеров были получены при
неявном предположении о том, что мы имели дело с однозначными
представлениями, и перестают быть верными, если некоторые из
них многозначны. С другой стороны, этими многозначными пред-
представ тениями нельзя просто пренебречь, поскольку они играют важную
роль во многих физических задачах. Эта трудность преодолевается
376 Глава 8 Непрерывные группы
за счет рассмотрения универсальной накрывающей группы. Можно
показать, что для любой многосвязной группы О найдется односвяз-
ная группа G (универсальная накрывающая группа группы G) такая,
что G можно гомоморфно отобразить на G. Группа G содержит ди-
дискретную инвариантную подгруппу N такую, что G изоморфна G/N.
Например, если группа G—двумерная группа вращений, то О —
группа вещественных чисел х, в которой законом композиции служит
обычное сложение. Все числа х сдвигают на величину, кратную 2я,
чтобы привести их к интервалу 0—2я. Гомоморфизм задается ото-
отображением
х -> ф = х — 2я Г-^-1, — oo<x<-f-oo, 0<ф<2я,
где [х/2я] — наибольшее целое число, не превосходящее #/2я. Функ-
Функции eil(f на G однозначны.
Всякое неприводимое представление группы G (однозначное или
многозначное) служит однозначным представлением группы G. Чтобы
найти все неприводимые представления группы G, исследуем группу G-
Для односвязной группы G все представления однозначны, и поэтому
соотношения ортогональности и полноты выполняются.
ГЛАВА 9
АКСИАЛЬНАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ
СИММЕТРИЯ
Два вида симметрии — аксиальная и сферическая — принадлежат
к числу наиболее важных видов симметрии, встречающихся в физи-
физических задачах. Для рассмотрения таких задач мы должны найти
представления двумерной и трехмерной вещественной ортогональ-
ортогональной группы.
§ 1. Группа вращений в двумерном пространстве
Рассмотрим группу вращений вокруг некоторой фиксированной
оси (оси г), т. е. двумерную группу чистых вращений Ст. При-
Припишем каждому преобразованию некоторое значение одного непре-
непрерывного параметра ф—угла поворота, измеряемого, например, от оси х:
х' = х cos ф — у sin ф,
. , (9.1)
у = xsm(f-\-y соБф
Как было показано в гл. 8, эта группа абелева, элемент объема
в этом случае равен dq>, а инфинитезимальный оператор записы-
записывается в виде
, _ _д д __ д
z ~~ X ду У дх ~~ ду "
Так как группа абелева, все ее неприводимые представления одно-
одномерны, и поэтому матрицы представлений и характеры совпадают.
Отсюда следует, что для любых двух углов ф! и ф2 характеры
должны удовлетворять соотношению
(9.2)
Если потребовать, чтобы представление было непрерывным, то решение
этого функционального уравнения должно иметь вид
eim<f. (9.3)
Если же, кроме того, мы хотим, чтобы представление было одно-
однозначным, должно иметь место равенство %Bл) = %@), откуда выте-
вытекает, что т = 0, 1, 2 и т. д. [Если мы допускаем 2-, 3- -знач-
ные представления, то мы могли бы получить также и решения
378 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
X (ф) — eim<v®, etm(fi3 и т_ д длл двумерной группы вращений все
эти представления допустимы. Однако если исходить из некоторой
трехмерной физической задачи и ог нее перейти к подгруппе вра-
вращений в двумерном пространстве, мы найдем лишь однозначные и
двузначные представления.] Эти же результаты получаются и с по-
помощью обычного квантовомеханического метода, использующего инфи-
нитезимальный оператор д/д(р. Так как представление одномерно, мы
должны иметь
откуда и следует (9.3).
Соотношение ортогональности принимает вид
J dcpx*(m)(cp) ХС"Г)(Ф) = 2лЬтт.. (9.4)
о
Обращаясь к теории рядов Фурье, мы видим, что характеры одно-
однозначных представлений образуют полную систему; других неэквива-
неэквивалентных неприводимых представлений, которые были бы однозначны,
не существует. Базисной функцией для представления D(m) служит
функция
(> l
Всякую однозначную (периодическую) функцию можно разложить
¦в ряд по этим базисным функциям. Заметим, что характеры пред-
представлений D'm* и D*~m) комплексно сопряженные. Поэтому мы должны
'объединить их в одно двумерное представление (см. стр. 146).
Если мы рассмотрим какую-нибудь линейную молекулу в том
Приближении, в котором ядра составляющих ее атомов считаются
расположенными неподвижно на оси молекулы, то электроны будут
двигаться в аксиально симметричном поле этих ядер. Электронные
состояния такой молекулы классифицируют по неприводимым пред-
представлениям группы аксиальной симметрии. Состояния с квантовым
числом Л — |т | = 0 называются 2-состояниями; состояния с Л=1
называются П-состояниями; состояния с Л = 2—А-состояниями и
т. д. Поле, образуемое ядрами, не только аксиально симметрично,
но также и инвариантно относительно отражения (av) в любой пло-
плоскости, проходящей через ось молекулы. Таким образом, группой
симметрии, представляющей интерес с физической точки зрения,
является группа GmV. Эту группу можно получить из группы От,
присоединив к последней отражение о"о в плоскости xz. (Обратим
внимание на то, что эта процедура совпадает с процедурой, исполь-
использованной нами в гл. 4.) Отражение меняет знак угла ф, так чго
(9.5)
§ 1. Группа вращений в двумерном пространстве 379
Таким образом, при Л Ф 0 представления D(A) и D("A) объединяются
в одно двумерное неприводимое представление. Группа G(X>V уже
не будет абелевой. Повороты на углы ф и —(р образуют класс.
При Л Ф 0 матрицы Л-предсгавления (если воспользоваться базис-
базисными функциями e±iA<f) имеют вид
eiAf 0 1 [0
о е-\ [
Для других отражений матрицы получаются из матриц (9.6) транс-
трансформированием с помощью соответствующего вращения. Поскольку
все вертикальные плоскости отражения эквивалентны (их можно
совместить, повернув на подходящий угол), все отражения принад-
принадлежат одному и тому же классу и имеют один и тот же характер.
Кроме того, из (9.6) мы видим, что
При Л = 0 отражение не меняет вида базисной функции, но, поскольку
преобразование (avJ — тождественное, отражение av может привести
лишь к умножению базисной функции на ±1. Итак, одномерное
S-представление группы Сш приводит к возникновению двух одно-
одномерных представлений группы CMV, а именно 24 и 2~, которые
инвариантны относительно вращения и четны и нечетны соответ-
соответственно относительно отражения. Характеры представлений даны
в табл. 32.
Таблица 32
A,
A.
Ex,
Ег,
2'
П:
Л:
: г;
¦ R.
(x,
x* + y>; z>
y); (xz, уг); (Rx, Ry)
— y2, xy)
E
1
1
2
2
С(ф)
1
1
2 cos ф
2 cos 2ф
1
1
0
0
Если линейная молекула симметрична относительно своего центра
масс (например, в том случае, когда мы имеем двухатомную моле-
молекулу, у которой оба атома одинаковые), то потенциал, действующий
на электроны, также будет инвариантным относительно отражения
в плоскости, которая проходит через центр масс и перпендикулярна
оси молекулы (аЛ). В этом случае мы получаем группу Dooft. По-
Поскольку первоначальная группа содержит поворот на 180° вокру
380
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
вертикальной оси, присоединение к ней отражения в горизонтальной
плоскости приводит к инверсии. Мы можем записать, что
или
"оой"
После этого таблица характеров для группы Dcah (табл. 33) легко
получается из табл. 32. В этой таблице состояния, четные относи-
относительно инверсии, обозначены символом g; состояния, нечетные отно-
относительно инверсии, обозначены символом и. Элементы /С(ср) пред-
представляют собой зеркальные повороты 5(ф); элементы /av — повороты
на 180° вокруг горизонтальных осей.
Таблица 33
°сой
1-
2-
пе
п«
Лг
х2-\-у2; z2
г
Rz
zRz
(Rx, Ry)\ (хг, yz)
(x, у)
(л:2 —у2; ху)
Е
1
1
1
1
2
2
2
2
С(ф)
1
1
1
1
2 cos ф
2 cos ф
2 cos 2ф
2 cos 2<p
ov
1
1
—1
—1
0
0
0
0
1
1
-1
1
-1
2
—2
2
—2
/С(Ф)
1
—1
1
—1
2cos?
—2 cos ф
2 cos 2ф
—2 cos 2ф
1
—1
—1
1
0
0
0
0
В табл. 32 и 33 показано распреде1ение компонент электриче-
электрического дипольного и квадрупольного моментов по различным непри-
неприводимым представлениям. Чтобы указать, к каким неприводимым пред-
представлениям относятся те или иные компоненты аксиального вектора,
рассмотрим в качестве прототипа аксиального вектора векторное
произведение. Его ^'-компонента Rz имеет вид ху'—х'у, или
sin(гр' — ф). Из второй записи этой компоненты мы видим, что
компонента Rz инвариантна относительно поворотов вокруг оси z и
меняет знак при отражении в вертикальной плоскости. Из первой
формы записи Rz мы видим, что эта компонента инвариантна отно-
относительно инверсии. Компоненты Ry и Rx векторного произведения
по осям у и х имеют вид xz' — zx' и yz' — zy'. Они содержат
базисные функции e±i(f и поэтому связаны друг с другом либо пово-
поворотом вокруг оси z, либо отражением в вертикальной оси. Так как
обе компоненты содержат произведения двух координат, они инва-
инвариантны относительно инверсии. Таблица характеров составлена
на основании именно таких рассуждений.
§ 2. Трехмерная группа вращений 381
Теперь с помощью метода, применявшегося в гл. 4, можно полу-
получить правила отбора для различных типов переходов.
Задача. Найдите правила отбора для электрического и магнитного
дипольного и электрического квадрупольного переходов для групп сим-
симметрии emv и Dxjah.
§ 2. Трехмерная группа вращений
Как мы увидели в предыдущей главе, трехмерная группа 0C)
вещественных ортогональных преобразований является трехпарамет-
рической группой. Это — группа всех преобразований с веществен-
вещественными коэффициентами, оставляющих инвариантной форму x2~\-y2-{-z2.
Матрица А ортогонального преобразования должна удовлетворять
условию
АА=\, (9.7)
где А — матрица, транспонированная по отношению к матрице
A {Atj = Ajt). Заметим, что вещественная ортогональная матрица
унитарна. Так как определитель транспонированной матрицы det Л
совпадает с определителем матрицы А, из (9.7) получаем, что
(det ЛJ = 1, или det Л = ± 1. (9.8)
Мы ограничимся рассмотрением собственных ортогональных преобра-
преобразований О C), для которых det А = -\- 1. (Они соответствуют чистым
вращениям.) Рассмотрим задачу о нахождении собственных значений
и собственных векторов матрицы А. Мы попытаемся найти вектор и
и константу X такие, чтобы действие преобразования А на вектор и
ограничивалось умножением этого вектора на к, но не изменяло его
направления:
з
Аи = 1и, 2А-/«/=Ц (/=1,2,3). (9.9)
У-1
Условие того, что эти уравнения имеют нетривиальное решение, дает
нам уравнение для собственных значений
del (Л — >-1) = 0.
Это уравнение, если записать его подробно, будет кубическим (отно-
(относительно к) с вещественными коэффициентами (так как матрица А
вещественная). В силу этого его корни (собственные значения) либо
вещественны, либо два из них комплексно сопряжены. Кроме того,
поскольку матрица А унитарна,
{и, ц) = {Аи, Ац) = (кц, ки) = \Х\Чц, и),
382 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
откуда |Я,|=1. Итак, для любого вещественного ортогонального
преобразования с определителем -f-1 собственными значениями служат
числа
^)=1, J^W, Я/3) = е-'* @<Ф<л). (9.10)
Соответствующие им собственные векторы обозначим иA), иB), иC).
Первый из них удовлетворяет уравнению
которое означает, что вектор совершенно не изменяется при действии
преобразования А и поэтому соответствует направлению оси вращения.
Собственные векторы взаимно ортогональны и нормированы:
иA)) = Ьи. (9.11)
Так как Л«A)=«A), то
откуда
-(Л — Л)иA> = 0.
или
4"+ (Ли — Л31) и'з1» = 0,
(А21 -Аа)иР +(Л2з-Лз2)й(з1) = 0, @.12)
(Ли - Ли) а^+ (Ла2 - Л23) $ = 0.
Решая эти уравнения, получаем
и[1): 41': «з' = (Л23 — Л32): (Л31 - Ли): (Лц — Ли). (9.13)
Задача. Докажите, что у собственного ортогонального преобразова-
преобразования (вещественного или комплексного) в нечетномерном пространстве
всегда имеется ось (т. е. некоторая прямая, все точки которой остаются
неподвижными).
Равенство (9.13) позволяет по коэффициентам преобразования найти
направление оси вращения. Собственный вектор иA) всегда можно
выбрать так, чтобы он был вещественным. Угол ф также можно найти,
зная матрицу А, так как сумма собственных значений равна следу
матрицы А:
Лц + ^22+ Л33 = 1 + e'f +¦ е~1ч> = 1 + 2 cos ф. (9.14)
В силу того, что
Л«'А = е'* аB). AWr^AuW = e-l<f u^*,
имеем
«<3> = «<2>\ (9.15)
§ 2. Трехмерная группа вращений
383
Если в качестве базисных векторов выбрать (комплексные) векторы
иA), и<2), uSz\ матрица А станет диагональной матрицей:
(9.16)
1
0
0
0
е'ф
0
0
0
е
Матрицу, преобразующую матрицу А к диагональному виду Л, можно
найти из следующих соображений. Будем исходить из уравнения для
собственных значений
(9.17)
Введем матрицы У и Л:
(9.18)
Тогда Л есть диагональная матрица (9.16), а матрица U есть
матрица, столбцами которой служат собственные векторы. Из (9.11)
мы видим, что матрица U унитарна. Подставив (9.18) в (9.17),
получим
а умножив это соотношение на матрицу, обратную V (так как мат-
матрица U унитарна, обратная матрица существует), найдем
Отсюда следует, что матрица Ujk приводит матрицу А к диаго-
диагональному виду Л. Наши новые базисные векторы мA>, и<2), иC)
комплексны. Поскольку нас интересуют преобразования веществен-
вещественных координат, удобно перейти к вещественным базисным векторам.
(Разумеется, это означает, что теперь наша матрица преобразования
уже не будет диагональной.) Этот переход можно выполнить с по-
помощью унитарной матрицы V
0 О
_1_ J_
/2 /2
1 —I
_ /г"
(9.19)
384
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Преобразование
0
0
0
1
V2
0 "
i
V2
i
V^2
v-1
'I
0
0
AV
0
el
0
запишется
0 ~
ф о
e-'f
в
0
0
0
-0
виде
0
1
7f
0
СОЭф
sin CD
0 ~
7?
0 *
— з1пф
COS CD _
= R. (9.20)
В последнем преобразовании мы с легкостью узнаем поворот вокруг
первой оси на угол ф. Таким образом, параметр ф, фигурирующий
в собственных значениях, является углом поворота. Преобразова-
Преобразование UV приводит матрицу Л к ее окончательному виду. Из (9.19)
имеем
/
UV—
(9.21)
Преобразование UV является произведением двух унитарных преобра-
преобразований и поэтому унитарно. Кроме того, из (9.21) и (9.15) видно,
что преобразование UV вещественно, поэтому матрица UV веще-
вещественна и ортогональна. Итак, мы показали, что любую веществен-
вещественную матрицу с параметром (углом) ф можно с помощью некоторого
вещественного ортогонального преобразования (т. е. поворотом) пре-
преобразовать в любую другую матрицу с тем же параметром ф. Пово-
Повороты на один и тот же угол вокруг любой оси эквивалентны и при-
принадлежат к одному и тому же классу.
Направление оси вращения и угол ф представляют собой три
параметра, с помощью которых можно охарактеризовать поворот.
В качестве параметров можно взять компоненты и^ф, «У'ф, и^ф
вектора, длина которого равна ф, а направление совпадает с напра-
направлением оси вращения. Параметры группы вращений являются, таким
образом, точками внутри сферы радиусом я с центром в начале коор-
координат. Каждой точке внутри этой сферы соответствует поворот вокруг
направления радиуса-вектора, проведенного из центра, на угол, равный
расстоянию от этой точки до центра сферы. Направление вращения
будем выбирать, пользуясь правилом правой руки. За исключением
угла ф = л, эти параметры однозначно определяют вращение. Что же
§ 2. Трехмерная группа вращений 385
касается двух диаметрально противоположных точек, то они задают
одно и то же вращение. Поэтому мы должны представлять себе эту
сферу так, словно ее прошили насквозь, и точки, принадлежащие
противоположным концам диаметра, совпали.
Функцию плотности для интегрирования по группе можно вычислить
тем способом, который рассматривался в предыдущей главе. Нашими
параметрами служат три декартовых координаты точек внутри сферы
радиусом л, или же сферические координаты этих точек. Область
изменения параметров конечна, поэтому плотности, определяемые
с помощью левых и правых сдвигов, должны совпадать. Параметры
тождественного преобразования имеют значения 0, 0, 0. Если мы
рассмотрим параметры |, ц, Z, в окрестности тождественного пре-
преобразования, то матрица поворота, соответствующего этим бесконечно
малым значениям параметров, будет иметь вид
1 -С
I 1 -
¦Л I
(9.22)
Теперь мы хотим найти параметры поворота, который получится,
если после такого инфинитезимального поворота произвести пово-
поворот на какой-нибудь угол ср. В таком случае мы найдем якобиан
новых параметров по параметрам |, т), ?, и получим функцию плот-
плотности. Поскольку все оси вращения эквивалентны, ясно, что функция
плотности может зависеть только от угла ф. Поэтому наше вращение
можно выбрать в виде простого вращения R, указанного в (9.20).
Тогда преобразование RS запишется в виде
1 —5 п
?cos ф —|— т| sinip cos ф — ^ sin ф —|соэф — sin ф
?sin<p— г|соэф Б
. (9.23)
Так как параметры ?, т), ? малы, будем всюду удерживать только их
первые степени. Для нахождения угла ф' преобразования RS вос-
воспользуемся формулой (9.14):
(9.24)
Формула (9.13) позволит нам найти ось вращения:
и!1)' = — 2| cos ф — 2 sin ф; и^~>' =?зшф — Г|A -(- cos ф);
(9 25)
U.W = — Г1 Б^Пф — 5A -г-СОБф).
Вектор иA)' следует нормировать на единицу. Его длина по фор-
формуле (9.25) с точностью До членов первого порядка включительно
386 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
равна 2|cos ф-f-2 sin ф, поэтому нормированный вектор иA)' имеет
компоненты
1 g . т] A + созф) т] . ? (l + cosq>)
2 ~т~ 2 sin? ' 2^2 sin?
Объединяя эти результаты с (9.24), находим параметры произведе-
произведения RS (с точностью до членов первого порядка):
1 2 sin<p
Якобиан преобразования равен
1 О О
J =
ф A-f СО8ф) ф
V П _; П
2A—cos ф) '
_Ф_ ф A +СО8ф)
2 2 slncp
откуда функция плотности р(ф) равна
Р(ф) A
(9.26)
Чтобы проинтегрировать какую-нибудь функцию по группе, мы
должны составить интеграл
J q>* rfcp dU [A A - cos Ф)] / (Ф, О) =
— 2 j d(pdQf((p, Q)(l — совф), (9.27)
где Q означает направление оси вращения. Все повороты на один
и тот же угол ф принадлежат одному и тому же классу. Поэтому,
если мы имеем дело с функцией класса, и в частности с характером
представления, наш интеграл можно записать просто в виде
я
8я Г d(f% (ф) A — cos ф). (9.27а)
о
Полный «объем» группы равен
я
8я Г dtp A — cos ф) = 8я2.
Соотношение ортогональности для характеров неприводимых пред-
представлений группы вращений можно записать следующим образом:
я
JL J Лр A - cos Ф) XW (Ф) X(v)(Ф) = V (9-28)
о
§ 2. Трехмерная группа вращений
387
В гл. 8 мы установили, что группа О+ C) простая. Этот результат
можно представить себе с помощью следующего наглядного метода.
Пространством параметров группы О C) служит внутренность сферы
радиуса л. Равные и противоположно направленные векторы, исхо-
исходящие из центра сферы, соответствуют поворотам на один и тот же
угол в противоположных направлениях. Если группа О+ C) содержит
Фиг. 72.
собственную инвариантную подгруппу, то эта подгруппа должна
содержать какое-то вращение, отличное от тождественного, например
вращение, обозначенное цифрой 1 на фиг. 72. Но если инвариантная
подгруппа содержит вращение 1, то она должна также содержать
и все вращения, получающиеся из 1 с помощью трансформаций,
т. е. все векторы, концы которых расположены на пунктирной
Фиг. 73.
сфере. В силу сказанного инвариантная подгруппа содержит вектор 2
(обратный вектору 1), а также некоторую окрестность вектора 2.
Если мы образуем произведение вектора 1 и векторов, концы кото-
которых лежат в окрестности вектора 2 на пунктирной сфере, мы
получим элементы подгруппы, сколь угодно близкие к тождествен-
тождественному преобразованию (центру сферы). Вращения, получаемые из этих
элементов с помощью трансформаций, заполняют некоторую малую
сферу, центр которой совпадает с центром исходной. Образуя произ-
произведения других вращений, мы заполним всю сферу, поэтому инва-
инвариантная подгруппа совпадает с О f C).
388
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Связность группы О+ C) также можно найти, исходя из этих
наглядных представлений. Чтобы найти связность пространства пара-
параметров, мы должны найти число различных типов замкнутых путей,
которые нельзя непрерывно деформировать друг в друга. Как пока-
показано на фиг. 73, замкнутые пути первого типа можно стянуть в точку.
Фиг. 74.
(Во избежание недоразумений мы изображаем все кривые в виде
плоских кривых.) Второй тип замкнутых кривых представлен прямой,
расположенной вдоль некоторого диаметра сферы (фиг. 74). Так как
точки Р и Р' изображают одну и ту же точку, эта кривая замкнута.
Если мы пытаемся непрерывно деформировать эту кривую, то ока-
оказывается, что любое смещение одного «конца» к точке Q приводит
Фиг. 75.
к сдвигу «другого конца» в точку Q', расположенную диаметрально
противоположно точке Q и отождествленную с ней. Все остальные
замкнутые кривые совпадают с кривыми этих двух типов (гомотопны
им). Например, замкнутую кривую, у которой в двух местах про-
происходит перескок в диаметрально противоположные точки, можно
стянуть в точку, как показано на фиг. 75. Точно так же нетрудно
видеть, что гомотопны все замкнутые кривые с нечетным числом
точек перескока в диаметрально противоположные точки. Гомо-
Гомотопными оказываются и все замкнутые кривые с четным числом
точек перескока. Таким образом, групповое многообразие двусвязно,
и мы можем иметь (не более чем) двузначные представления.
До сих пор мы выбирали параметры так, чтобы они находились
во взаимно однозначном соответствии с вращениями, Однако во многих
§ 2. Трехмерная группа вращений
389
случаях это не обязательно, и более удобны другие параметры.
Преобразование (вращение), которое переводит точки трехмерного
пространства из некоторого начального в некоторое конечное
положение, удобно описывать с помощью углов Эйлера a, (J, у.
На фиг. 76 оси координат OX, OY и OZ закреплены неподвижно.
Фиг. 76.
Преобразование можно представить как результат выполнения трех
последовательных простых операций:
1. Поворот на угол а вокруг оси OZ (угол а положителен,
если точки положительной полуоси ОХ движутся к положительной
полуоси OY, и изменяется в пределах от —я до -j- тг). В результате
этого поворота точки, первоначально расположенные на оси OY,
переходят в линию узлов OL.
2. Поворот на угол р вокруг прямой OL, в результате которого
точки полуоси OZ будут двигаться к прямой ОМ, как показано
на фигуре; угол р изменяется от 0 до л. После выполнения этой опе-
операции точки, лежавшие на оси OZ, перейдут в точки OZ'.
3. Поворот на угол у вокруг прямой OZ'. Условие для выбора
знака угла то же, что и в первой операции, и снова —л-^у^л.
Соответствие между этими параметрами и вращениями не является
однозначным; например, при fS = 0 мы получаем поворот вокруг
оси Z на угол а+у-
Обозначим преобразование символом R(a, C, у) и покажем, что
его можно описывать, задавая повороты вокруг осей OY и OZ.
Нашей первой операцией был поворот вокруг оси OZ, который мы
назовем R^. Обозначим второй поворот на угол р вокруг реи OL.
390 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
символом /?р. Этот поворот является некоторой трансформацией
поворота /?„ на угол р вокруг оси OY. В самом деле,
R$ = RaR&Ra •
так что
Точно так же если R'f — поворот на угол у вокруг оси OZ\
a Ry — поворот на угол у вокруг оси OZ, то
Поэтому, кроме приведенного выше, можно дать еще одно описание
поворота R (а, р, у):
1. Поворот системы координат вокруг оси OZ на угол Y-
2. Поворот вокруг оси OY на угол р.
3. Поворот вокруг оси OZ на угол а.
Как обычно, мы сопоставляем преобразованию R(x' = Rx) опера-
оператор OR такой, что
откуда
OR („, р, У)/ (*) - ЛЯ <- Y. - Р. - а) х]. (9.29)
Задана. Найдите матрицу преобразования R (а, E, у).
§ 3. Непрерывные однозначные представления
трехмерной группы вращений
По сути дела непрерывные однозначные представления группы
вращений хорошо нам известны под другим названием. Рассмотрим
уравнение Лапласа
V2 0. (9.30)
Лапласиан инвариантен относительно вращений, поэтому если \]) — ре-
решение этого уравнения, то OR\\i также будет его решением. Рас-
Рассмотрим такие решения ф, которые являются однородными полиномами
степени I относительно х, у, г. Так как вращение R представляет
собой линейное преобразование переменных х, у, z, ORty также будет
однородным полиномом степени /. Итак, однородные полиномы сте-
степени /, удовлетворяющие уравнению Лапласа, при вращениях пре-
преобразуются друг через друга и поэтому образуют базис некоторого
представления группы вращений. Чтобы найти размерность предста-
представления, базис которого образуют однородные полиномы степени /,
§ 3. Непрерывные однозначные представления группы вращений 391
мы должны найти число независимых полиномов. В самом общем
случае полином степени / по х, у, z можно записать в виде
P = ?icab{x + iy)a{x — iy)b *-*-". (9.31)
а, Ь
Если этот полином должен быть решением уравнения Лапласа V2P = О,
то
2
а, Ь
и его коэффициенты должны будут удовлетворять рекуррентной фор-
формуле
4(a+lH+l)ce+ltS+1 + (J — a-b)(l-a-b-l)cab = 0. (9.32)
Из формулы (9.32) мы видим, что при фиксированной разности между
индексами а—b коэффициенты саЬ оказываются связанными друг
с другом. Все такие коэффициенты можно выразить через какой-
нибудь один коэффициент того же типа. Так как разность а—b
может принимать все значения от —/ до +/, существует 2/ —|— 1
линейно независимых решений уравнения Лапласа, имеющих вид одно-
однородных полиномов 1-й степени. Если перейти к сферическим коорди-
координатам г, 6, ф, то полином степени I запишется в виде произведения г1
на функцию от 6 и ф. Эгими функциями, зависящими от углов,
являются хорошо известные сферические функции, которые мы запи-
запишем в виде
Ylm (9, Ф) = у^-Plm О)elm<* (m = ~l -f-0
и при m^-0
^^^ (9.33,
где
Ni _ Г (/-«)! 2/4-1]'/»
m~l(l + m)\ 2 J
— нормирующий множитель, подобранный так, чтобы
л
\{PlnJ sinG rf8 = l. (9,33а)
о
392 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Ниже приводятся нормированные сферические функции Plm(l—Qt..., 4):
Р°о=1;
P20=-j/!DCOs2e—i), p5 = ]/^|smecose,
5 on , 3
4~cos e+"8
15
4~
P\ = 3 -2^2. G cos3 6 — 3 cos 9) sin 9,
О
Из (9.33) мы видим, что
Pl0 = Nl0, Р« = 0 при тфО. (9.34)
При заданном / сферические функции образуют базис B/-f-1)-мер-
ного представления Dw группы вращений. Строки матрицы предста-
представления занумерованы индексом т, который пробегает значения от —/
до -\-1. В качестве параметров, позволяющих задавать вращения,
будем использовать углы Эйлера и элементы группы вращений будем
записывать в виде R (а, р, у). Так, R (а, 0, 0) будет означать поворот
на угол а вокруг оси Z. Вращения этого частного вида не меняют
угол в, а угол ф заменяют углом Ф + а. Поэтому из уравнения (9.29)
имеем
I Рт
Or (а, 0, 0)Ущ — Од (а_ о, 0)
¦ eim{<f-a)^e-imaYlm. (9.35)
V 'in.
В общем случае
-• Оя (а, ft Y)KL (в, ф) = S Ylm. (в, ф) D%.m (а, р, у), (9.36)
та'
§ 3. Непрерывные однозначные представления группы вращений 393
где Dm'm(a, р, у)— матрица, отвечающая вращению R (а, р, у)
в представлении D , базис которого образуют сферические функции
порядка /. Из (9.35) и (9.36) мы видим, что матрицы представления,
отвечающие вращениям вокруг оси Z, диагональны:
Dw(a, 0, 0) =
, 0, 0) = е a6m
- e-tla
„lla
(9.37)
Мы хотим доказать, что заданные выше представления D( непри-
водимы. Для этого нам необходимо лишь показать, что любая мат-
матрица, коммутирующая со всеми матрицами представления, должна
быть кратна единичной матрице. Это легко доказать, рассматривая
диагональные матрицы (9.37) и матрицу R@, p, 0) поворота на угол р
вокруг оси Y. Рассмотрим точки плоскости ZX. Для них азимут ф
равен нулю. Поворот R@, p, 0) переводит точку 9, 0 в точку 9 + р, 0.
Поэтому, воспользовавшись еще раз формулой (9.29), получим
OR (о, ft 0)Р1т (в) = Рт (в — р) =
Если положить 9 = 0, то
/>*,»<—р)= 2*
т'
2
т'
(в)
@, Р, 0). (9.38)
@, Р. 0) Р1т. @).
Воспользовавшись соотношениями (9.34), найдем
. р.
(9.39)
(9.40)
Поскольку функция Рт (—-р), вообще говоря, не равна нулю, мы
заключаем, что элементы, стоящие в (т = 0)-й строке матрицы
D(;)@, p, 0), отличны от нуля.
Если матрица А коммутирует с матрицей D(''(a, 0, 0), опреде-
определяемой (9.37), то
(a, 0. 0)]mm,=[rt\a, 0, 0)А]тт„
Л,о — 1т'а a — ima Л ,
тт'с —е птт >
поэтому матрица А должна быть диагональной матрицей, т. е.
394 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Если А коммутирует с D("@, р, 0), то
[AD{l)@, p, 0)]0ft = [D(/)@, p, 0)А]№ при всех k,
или
во°й(°. P. O) = Z>ig(O. р, 0)ай.
Так как
@, р, 0) ф 0 при всех А,
то
ak == а0
0.
Это означает, что все диагональные элементы матрицы А равны, и
матрица А кратна единичной матрице. Таким образом, всякое пред-
представление Dw A = 0, 1, 2, . . .) неприводимо. Кроме того, размер-
размерности этих представлений различны, в силу чего они не эквивалентны.
Так как характер вращения зависит исключительно от угла пово-
поворота и не зависит от направления оси вращения, мы можем найти
характеры, пользуясь простой матрицей (9.37). Из (9.37) видно, что
Проверим, что соотношение ортогональности (9.28) выполняется:
У- г%ФA-со5фM'п(г+'/г),у";9(Г+1/^ =
я J ^ч Y/ sin2q)/2
я
!J()(' + -g-)<p==e/r. (9.42)
Покажем теперь, что представления Dw образуют полную систему,
т. е. не может быть никаких других независимых неприводимых
представлений, которые были бы непрерывными и однозначными.
В противном случае характер нового представления х(ф) был бы
ортогонален ко всем х(г)(ф):
соэф)х(г) (ф)х(ф) = 0 ПРИ всех Л
о
или же, если взять разности для последовательных значений /,
я
[ d(p(l — созф)[х(г|1) (ф) — Х(/) (фI X (ф) — ° ПРИ всех/.
§ 4. Расщепление атомных уровней 395
Но
Х<°> (ф) = 1 и х{'+1) (ф) —1A) (ф) = 2 cos Ар,
поэтому при всех значениях I мы получили бы
я
J dcp [A — cos ф) х (ф)] cos /ф = 0.
о
Итак, коэффициенты Фурье функции A — cos ф) х (ф) должны были бы
обратиться в нуль. Поскольку на отрезке от 0 до л функции cos/ф
образуют полную систему, из этого следовало бы, что характер х(ф)
равен нулю. Таким образом, мы показали, что представления D@), DA)
и т. д. образуют полную систему (однозначных) неприводимых пред-
представлений. Любое однозначное представление можно записать в виде
суммы представлений D('. Для дальнейшего заметим также, что
Dw(a, p. Y) = ?W@, 0, YHW(O. P, 0)?>(/)(а, 0. 0).
D%m (a, р, у) = e-lm'yD$m @, p, 0) e~ima, (9.43)
и для получения полной матрицы нам остается лишь найти D^'m @, р, 0).
Отметим также связь сферических функций Ym с коэффициентами
представления:
Ощч. е, v)Ym F. Ф) = 2 Ylm. (9, Ф) D%.m (Ф> 0, у) = К1» @. - у).
да'
где первое равенство есть равенство (9.36), а второе получается
с помощью (9.29). Из (9.33) и (9.34) получим
Итак,
^ ' & (Ф- 9. Y) =
пг'
Умножив это равенство на Dkm(<f>, 6, у) и просуммировав по т,
найдем
A @ Ф) ^(Ф- е- Y). (9.44)
§ 4. Расщепление атомных уровней в полях
внутри кристаллов (однозначные представления)
Прежде чем переходить к рассмотрению двузначных представле-
представлений группы вращений, мы хотим применить полученные нами резуль-
результаты к задаче о расщеплении атомных уровней в полях внутри кри-
кристаллов. (Позднее эту же задачу мы рассмотрим и для двузначных
396 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
представлений.) Прежде всего заметим, что гамильтониан электрона
в центральном поле атома инвариантен не только относительно всех
вращений, но и относительно инверсии в начале координат. Иначе
говоря, группой симметрии электрона в атоме служит группа 0C),
получающаяся за счет присоединения инверсии / к группе чистых
вращений. Так как /2 = Е, то матрица представления, отвечающая
инверсии /, может быть только единичной матрицей, умноженной
на -f-1 или —1. Так же как в гл. 4, каждое представление группы
чистых вращений приводит к двум представлениям полной группы
зеркальных поворотов. Вместо представления D мы получаем теперь
два представления D и D' ~\
D{l+)(IR(a, р, у)) = D{l+)(R(а, р, у)) =
= D(l~}(R(a, р, y)) = —D{l~')(IR(a, p, у)). (9.45)
Представления D , в которых инверсии / соответствует матрица -}-1,
называются положительными представлениями. Представления D* ~\
в которых инверсии / соответствует матрица —1, называются отри-
отрицательными представлениями. Аналогично, уровни, принадлежащие
представлению D(l+\D{ ~}), называются положительными (отрицатель-
(отрицательными) уровнями. Итак, однозначными представлениями полной группы
вращений служат представления
0+, (Г; 1 + , 1~; 2+, 2"; и т. д.
Каждый уровень свободного атома будет принадлежать одному
из неприводимых представлений полной группы вращений (если нет
случайного вырождения). Если же атом поместить в кристалл, то
поле внутри кристалла, т. е. электрическое поле, которое создают
в том месте, где находится атом, другие атомы в кристалле, вызовет
возмущение в движении электронов. Электрическое поле будет обла-
обладать симметрией одной из кристаллографических точечных групп.
В силу этого мы сталкиваемся с задачей теории возмущений, анало-
аналогичной той, которая ранее была изучена в гл. 6.
В рассматриваемом теперь случае уровни невозмущенной системы
классифицируются по представлениям полной группы вращений.
Например, уровень, принадлежащий /"""-представлению, будет иметь
B/-f-1)-кратное вырождение. Если атом поместить в кристалл, этот
уровень расщепится на уровни, принадлежащие различным неприво-
неприводимым представлениям кристаллографической точечной группы. Так же
как в гл. 6, мы прежде всего найдем характеры элементов кристал-
кристаллографической точечной группы в /^-представлении. Затем, пользуясь
уравнением C.150), найдем кратность, с которой каждое неприводи-
неприводимое представление кристаллографической точечной группы содержится
§ 4. Расщепление атомных уровней
397
в ^-представлении, и тем самым определим, как расщепляется наш
уровень в поле внутри кристалла.
Так как кристаллографические точечные группы могут содержать
повороты только на углы я, 2л/3, л/2 и я/3, сначала вычислим харак-
характер %A) (ф) для этих элементов, пользуясь тождеством (9.41).
Поскольку
sin (я/я) '
мы видим, что случай / = п повторяет результат для / = 0, поэтому
мы должны затабулировать характеры только для 0^/<л. Эти
результаты представлены в табл. 34. Заметим также, что
где т—любое целое число.
0
1
Таблица
3 4
1 —1
1 О
1 1
1 2
—1
1 _i _2 _1
Сначала рассмотрим кристаллографическую группу, состоящую
только из чистых поворотов. Для примера возьмем группу октаэдра О.
Из табл. 35 видим, что группа О содержит классы
Е; С3(8);
С2F); С4F).
п
Элементы С4 и С2 в группе О неэквивалентны, однако в полной
группе вращений они эквивалентны, ибо представляют собой пово-
повороты на один и тот же угол л. Воспользуемся табл, 34 для нахож-
нахождения характеров этих элементов в_ представлении D(l\ а затем
равенством C.150), чтобы найти представления группы О, на кото-
которые разлагается представление D(l) (табл. 35). Заметим, что характеры
в табл. 35 обладают целым рядом общих свойств. Поскольку
группа О содержит повороты С2, С3, С4, а наименьшее общее крат-
кратное чисел 2, 3 и 4 равно 12, мы видим из табл. 35, что при /=12
характеры всех вращений равчы -(- 1. Кроме того, тождественному
преобразованию будет отвечать характер
398
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Таблица 35
Характеры классов группы О в
B/+1)-мерном представлении DW
группы вращений
J E С3 С\ С2 С4
0 111 11
1 з 0—1—1 1
2 5—11 1—1
3 7 1-1—1—1
4 9 0 1 11
5 П —1 _1 —1 1
6 13 1 1 1—1
12 25 1 1 11
Разложение представления ?>О
на неприводимые представления
группы 0
А
Ft
E + F,
A2 + Ft+F2
At+E + Fi+F2
E + 2Fl+F2
Ar + At + E + F^IF,
2Ai -f A2 -f- 2E + 3F, + 3F2
Число
уровней
1
1
2
3
4
4
6
11
Поэтому при /=12 характеры оказываются суммой двух слагаемых:
1) всех характеров, равных +1, т. е. характеров единичного пред-
представления, и 2) характера %(?') = 24 (порядок группы О); все же
остальные характеры равны нулю. Это — регулярное представление,
которое мы обозначали символом reg. Как было показано в § 17,
гл. 3, каждое неприводимое представление содержится в регулярном
представлении с кратностью, равной размерности этого неприводи-
неприводимого представления. Поэтому для группы О регулярное представле-
представление
reg = ^i4--^2-
Аналогично при l=\2m получаем взятое m раз регулярное
представление плюс единичное представление. При &< 12
D(Ura+*) = m(reg) + D(*). (9.47)
Из равенства (9.46) мы видим также, что поскольку число 12 кратно
числам 2, 3 и 4, то
(9.48)
следовательно,
По этой причине результаты в табл. 35 необходимо приводить лишь
до I = 5. Например, для /=10 имеем
§ 4. Расщепление атомных уровней 399
откуда
DA0) = A14-Л2+2Е + 2^ + 3^.
Другой интересный результат состоит в том, что ни одно предста-
представление не может входить в D(l\l < 12) с кратностью, большей той,
с которой оно входит в регулярное представление. Этот результат
следует из равенства (9.48) и того факта, что сумма представлений
имеет только положительные коэффициенты.
Уровни, принадлежащие различным представлениям DA\ обычно
обозначают буквами S, P, D к т. д., для / = 0, 1, 2 и т. д. Из
табл. 35 мы видим, что Р-уровни не расщепляются при действии
группы симметрии О. (Физически это очевидно, поскольку коорди-
координаты х, у и z эквивалентны относительно преобразований кубической
симметрии.) При I ^> 2 все уровни расщепляются в поле внутри
кристалла.
До сих пор мы не рассматривали инверсий. Если мы возьмем
полную группу зеркальных поворотов, нашими представлениями будут
представления О+, О~ и т. д. Так как группа О не содержит
инверсии /, представления Df/±) будут разлагаться таким же образом.
Предположим теперь, что мы рассматриваем группу Oh=O y,Gt
(кубическая голоэдрическая симметрия). В группе Oh каждое пред-
представление группы О разобьется на два представления, согласно тому,
какое значение мы выберем для %(/): -f-1 или —1. В данном слу-
случае мы еще можем воспользоваться всеми результатами табл. 35.
При этом следует лишь считать, что все положительные (отрицатель-
(отрицательные) состояния группы зеркальных поворотов отвечают положитель-
положительным (отрицательным) представлениям кристаллографической точечной
группы. Например, в группе Oh
DD+) = А+ _j_Е+ + р+ + p+t jf-) = Е'-\~ f 2".
Теперь мы можем наметить ход вычислений в общем случае.
Если кристаллографическая группа содержит инверсию /, нам нужно
рассматривать только такую ее инвариантную подгруппу, которая не
содержит инверсии /, а затем сопоставить положительные (отрица-
(отрицательные) состояния полной группы вращений положительным (отри-
(отрицательным) представлениям кристаллографической группы. Например,
если мы рассматриваем расщепление уровней в поле внутри кри-
кристалла, обладающего симметрией группы Tk — T X Gi> то необходимо
рассматривать только группу Т. Так как в полной группе вращений
все оси двусторонние, элементы С3 и С\ группы Т име.ют в D{1)
один и тот же характер. Результаты для этого случая представлены
в табл. 36. Заметим, что в группе Т представление В в действи-
действительности оказывается суммой двух одномерных представлений- и
роэтому входит в регулярное представление только один раз, Далее
400
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Таблица 33
Характеры классов группы Т в
Bг+1)-мерном представлении оО
группы вращений
' Е С2 С3 С3
0 1111
13—10 0
2 5 1—1—1
3 7—11 1
4 9 10 0
5 И _1 _1 —1
6 13 1 1 1
Разложение представления О(')
на неприводимые представления
группы Г
А
F
E + F
A + 2F
A + E + 2F
E + 3F
2A + E + 3F = A + reg
Число
уровней
1
1
2
3
4
4
6
мы получаем равенство, аналогичное (9.48). Для группы Т это равен-
равенство имеет вид
DW+DE-0 = reg_ (949)
Сравнивая таблицу для группы Т с таблицей для группы О, мы
видим, что результаты для группы Т можно было бы получить из
результатов для группы О, если считать, что представление Ах сов-
совпадает с представлением Л2, а представление F1 совпадает с пред-
представлением F2-
Наконец, как указано в табл. 22, группа Td изоморфна группе О,
поэтому результаты, полученные для группы О, можно применять и
к группе Td. Мы нашли, таким образом, расщепление атомных уро-
уровней во всех кристаллах кубической системы (см. § 9 гл. 2).
Рассмотрим далее гексагональную систему (систему VI в § 9 гл. 2).
Голоэдрическая группа
поэтому нам необходимо затабулировать только группу D6. (Изоморф-
(Изоморфные группы C6v и ?Kл имеют одинаковые представления.) Элементы
Се, Сг, Су представляют собой повороты на угол я и в полной
группе вращений принадлежат одному классу; С\ — поворот на угол
2я/3. Результаты приведены в табл. 37. Группы
не нужно рассматривать специально; так как эти группы абелевы,
каждое B/—}— 1)-мерное представление группы зеркальных поворотов
распадается на 21 -\- 1 простое одномерное представление.
§ 4. Расщепление атомных уровней
401
Таблица 37
Характеры классов гексаго-
гексагональной группы D6 в
{11 + 1)-черном представле-
представлении dW группы вращений
IE Cg Cg Cg C2 C2/
0 1 1 1 111
13—1 0 2—1—1
2 5 1—1 111
3 7—1 1—1—1 —1
4 9 10—211
5 и _i _i —1 —1 —I
6 13 1 1 1 1 1
Разложение представления DW на неприводимые
представления гексагональной группы
As
Л,+?,+?,
хт.\ ~т— tiл —г" Do ~\ ¦" 1 —г™ ^•Е'Ч
Л 1 R 1 R 1 0/7 1 О с
Число
уровней
1
2
3
5
6
7
9
Далее рассмотрим тетрагональную систему (систему V в § 9 гл. 2).
Голоэдрическая группа
Рассмотрим группу D4 (наши результаты будут также применимы и
к изоморфным ей группам Civ и D2d). В результате мы получим
табл. 38. Группы
е4Л=е4хе< и е4
абелевы, поэтому каждый уровень расщепится на простые уровни.
Таблица 38
Характеры классов
тетрагональной группы ?)«
в Bг+1)-мерном
представлении D\i
группы вращений
' Е С4 С4 С2 С2'
0 11111
13—1 1—1—1
2 5 1—1 1 1
3 7—1—1 —1 —1
4 9 1111
Разложение представления оО на неприводимые
представления тетрагональной группы
Ах
А2 + Е
Ai + Bt + Bi + B
А2 + В1+В2 + 2Е
2Al + Ai + Bl+Ba + 2E=Al+teg
Число
уров-
уровней
1
2
4
5
7
402 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Наконец, в случае ромбической системы (системы III в § 9 гл. 2)
рассмотрим абелеву группу V; каждый уровень полностью расщеп-
расщепляется на 2/+1 простых уровней.
Теперь читатель уже должен суметь самостоятельно рассмотреть
те или иные интересующие его группы с помощью изложенного нами
метода.
Задача. Постройте таблицу, которая показывала бы, каким образом
уровни полной группы зеркальных поворотов расщепляются в поле кри-
кристалла с симметрией группы D
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов
с различной симметрией
В гл. 6 мы уже рассмотрели задачу о нахождении собственных
волновых функций в нулевом порядке теории возмущений. Та же
задача возникает и теперь, и если в разложение представления D^
ни одно представление не входит с кратностью, большей единицы,
полное решение этой задачи можно получить, исходя из соображе-
соображений симметрии. Если же одно и то же неприводимое представление
кристаллографической группы входит m раз в разложение предста-
представления D''\ то для нахождения собственных волновых функций нуле-
нулевого порядка мы должны решить секулярное уравнение порядка т.
Рассмотрим на примерах метод нахождения собственных функций
в нулевом порядке теории возмущений для электрона в полях внутри
кристаллов с различной симметрией. (Часть этой работы в точности
повторяет то, что мы делали при классификации компонент диполь-
ного и квадрупольного моментов по представлениям кристаллографи-
кристаллографических групп.)
Выберем волновые функции свободных атомов в вещественном виде
Тогда все отражения сводятся просто к умножению такой функции
на ± 1. Поворот на угол я вокруг оси X меняет ф на —q>, а угол б —
на угол я— 9. Из определения функции РтФ) мы видим, что эта
операция приводит к умножению Р1т на (—\)'~т
Р1т(п-в) = {-\I-тР1тф). (9.50)
Эта операция оставляет cos /иф без изменения, a sin /иф умножает
на (— 1)т. Во всяком случае, поворот на угол я вокруг оси X не
приводит к возникновению связей между различными волновыми
функциями,
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов
403
Рассмотрим сначала тетрагональные группы на примере группы D4.
Все элементы этой группы можно получить из поворота С4 вокруг
оси 4-го порядка Z и поворота С2 вокруг оси 2-го порядка X. Как
мы видели выше, С2 не связывает различные волновые функции.
Поворот С4 не меняет угол б, но заменяет функцию . тц> функ-
функцией . m((f-\- л/2). Таким образом, при четном т это преобразование
может привести самое большее к перемене знака. Если же т нечетно,
то это преобразование переводит функции cos mq> и sin/иф друг
в друга.
Функция Р'о инвариантна относительно поворота С4, поворот же С2
умножает ее на (—1)'. Поэтому Ро принадлежит представлению Ах
(см. табл. 19) при четном I и представлению А2 при нечетном /. Тот
же результат остается в силе и для
так как
Функция
У2 P^cos4|i<p (|i = l, 2, ...).
(ф -f- -к\ =
cos
cos
также не изменяется при преобразовании С4; преобразование С2 умно-
умножает ее на (—1)'+1. Поэтому эта функция принадлежит представле-
представлению А2 при четных I и представлению Ах при нечетных /. Продол-
Продолжая эти рассуждения, мы получаем табл. 39, в которой указано,
Таблица 39
Собственные функции неприводимых
представлений тетрагональной группы
Представления
нечетные /
л.
Вг
В2
Е
четные 1
л,
в2
в,
Е
Собственные функции
ж 2 Р cos ^4u 1 2^ го
V2 Я^+28!пDм + 2)Ф
404 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
каким образом волновые функции распределяются по различным пред-
представлениям тетрагональной группы. Воспользуемся таблицей и выпи-
выпишем в явном виде собственные функции для нескольких первых зна-
значений /:
/ = 0. Ац Р°о 1=1. А2: Яо
э р] os m
sin т
1 = 2. Ау. Р\ 1 = Ъ. А2: Pi
В2: уТЯг cos 2ф Вх:
Вг: j/T Р\ sin 2ф В2: уТ' Pi sin
Е: /гФ
Е- (9.51)
Ах: Яо./2 Р4
Л2:
5Ь- /2~ Яг sin 2ф
^Зф.
При / < 3 каждое неприводимое представление встречается в раз-
разложении только один раз, следовательно, собственные волновые
функции в нулевом порядке теории возмущений для этого случая
мы уже получили. При / = 3 представление ?)C) содержит пред-
представление Е дважды. Таким образом, собственные функции в нулевом
порядке теории возмущений для представлений Аъ В\ и В2 — это
те функции, которые приведены в (9.51), но для представления Е
нам придется решать секулярное уравнение. Заметим, что только
соэф и соэЗф (втф и БтЗф) оказываются связанными друг с другом,
поскольку они принадлежат одной строке представления. Решение
секулярного уравнения предоставляется читателю в качестве задачи.
Задача. Решите секулярное уравнение и найдите собственные функ-
функции в нулевом порядке теории возмущений для ?-уровней при / = 3.
Наш основной результат состоит в том, что собственные функ-
функции в нулевом порядке не будут более полностью определяться
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов 405
соображениями симметрии. Эти функции зависят от природы возму-
возмущающего поля. При 1 = 4 мы точно так же должны были бы решать
секулярное уравнение для Л^уровнл и Е-уровня.
Далее, найдем собственные функции для кристалла, обладающего
гексагональной симметрией, например симметрией группы D6. Мы
рассуждаем так же, как в случае тетрагональной группы.
За исключением тех случаев, когда пг кратно 3, cosmcp и sin/иф
на этот раз оказываются связанными между собой. Собственные
функции различных представлений группы D6 даны в табл. 40. Мы
снова выпишем эти функции для нескольких первых значений /:
/ = 0. Ai:
1 = 2. An
E2:
En
P°o
Pi
V2.
V2-
pi cos
/=
1. A2:
En
3. A2:
Bn
B2:
E2:
Pi
V2 f
Pi
VT/
У 2 1
sin
ЭЗСО5
^sin
-,3cos
2 sin
En Y2 P3!™*^ (9-52)
A. An P\
B2:
Bn
г* t Г7Г r>4 COS r. TAK"r>4C0S .
?2: У 2 Pj,. 2Ф, У 2 Р4ч,4Ф
?i: ' " " ' sin
При 1 = 4 мы должны были бы решать секулярное уравнение для
?2-уровней.
Угловое распределение плотности заряда для вырожденного со-
состояния находят, вычисляя сумму квадратов модулей волновых функ-
функций при различных значениях т, соответствующих данному состоя-
состоянию. Таким образом, плотность заряда оказывается равной сумме всех
сферических функций, принадлежащих заданному значению /, и вслед-
вследствие этого сферически симметрична. В поле внутри кристалла
уровни, принадлежащие данному I, расщепляются, в силу чего рас-
распределение заряда перестает быть сферически симметричным. Асим-
Асимметрия распределения заряда связана со структурой кристалла.
406
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрии.
В случае тетрагональной группы симметрия кристалла сказывается
прежде всего на Р-состоянии. Для Л2-уровня заряд сосредоточен
вдоль оси Z (главной оси), так как плотность его изменяется как
cos2 8; для ?-уровня плотность изменяется как sin2 8 и заряд сосре-
сосредоточен в плоскости XY. В свободном атоме оба эти состояния
будут иметь одну и ту же энергию, но неэквивалентность оси Z и
осей X и Y в кристалле снимает вырождение. В D-состоянии мы
Таблица 40
Собственные функции неприводимых
представлений гексагональной группы
Представления
нечетные /
Аг
Вх
Вг
Е2
Ei
четные /
Ai
А,
в2
Bi
Е2
Ei
Собственные функции
Я& J/T Я^ cos бцф
V2 Р'6I sin бцф
^2>бД+зс°з(б!х + 3)ср
V2 P^+3SinF(i + 3)q>
^2Я^±2^FЙ±2)Ф
^"^±^„№±1L,
получим В2- и Вх-уровни, для которых плотность заряда изменяется
как sin4 6 cos2 2ф и sin4 6 sin2 2ф соответственно. В обоих случаях заряд
сосредоточен в плоскости XY, но для В2-уровня плотность выше
вдоль осей кристалла X я Y, а. для fij-уровня — вдоль прямых
Ф = 45° и 135°. Аналогичные соображения применимы и к распре-
распределению плотности заряда в случае гексагональной симметрии кри-
кристалла. Этот вид симметрии прежде всего отчетливо проявляется
в уровнях, возникающих из /^-состояния свободного атома. Волновые
функции для Вх- и ?2"УР0ВНей сосредоточены в основных гексаго-
гексагональных плоскостях, но в случае Бгуровня плотность изменяется
как соз2Зф и максимальна при ф = шт/3, в то время как для Б2"УРОВНЯ
плотность изменяется как sin23cp. Кроме того, вся картина распре-
распределения плотности для ?2"УР0ВНЯ сдвинута на 30° относительно кар-
картины распределения плотности для В-^-уровня.
Рассмотрим, наконец, случай кубической симметрии (группа О)
Существенная особенность этой симметрии состоит в эквивалентность
координат х, у и z. Метод нахождения функций нулевого порядка,
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов 407
принадлежащих различным неприводимым представлениям, заклю-
заключается в следующем. При данном I выразим функции
Г1РтФ)С°3п /Пф
в виде многочленов относительно х, у и z. Произведем все возмож-
возможные перестановки переменных х, у и z. Многочлены, которые при
этих перестановках преобразуются друг в друга, принадлежат одному
и тому же неприводимому представлению. При 1 = 0 мы имеем много-
многочлен Ро=1, принадлежащий единичному представлению Ах. При
1=\ (Р-состояние) многочлен rPlQ = z преобразуется в многочлены х
и у при перестановках координат, откуда следует, что Р-уровень
полем внутри кристалла не расщепляется. Чтобы решить вопрос, при-
принадлежит ли эта система многочленов представлениям Fx или F2, рас-
рассмотрим действие на нее операции С4 (поворота на угол я/2 вокруг
оси Z), которая приводит к замене х на у, у на — х, z на z. Харак-
Характер равен 1, поэтому эти многочлены принадлежат /^-уровню. При
1 = 2 мы начнем с многочлена
^(e) = /J(|,2-4).
В результате перестановок получим многочлены
j(dJf— 1) И j(dy*—l).
Оба эти многочлена можно представить в виде линейных комбинаций
2 2 9 2
многочленов гР2СОз2ф и г Pq-
— 1 = 3 sin2 9 cos2 ф — 1 = -| sin2 б -f--| sin2 б cos 2ф — 1 =
Ф-(|со529-|).
Точно так же, если начать с
г Р\ cos ф, или zx,
то в результате перестановок получаются многочлены ху и yz, которые
пропорциональны соответственно
5т29 5т2ф(=Р25т2ф) и sin9cos6sinq>(=5Pisin<p).
Применив операцию С4, получим
С4 (ху) = — ху, С4 (xz) = yz, C4 (yz) = — xz,
откуда следует, что характер С4 равен —1 и рассматриваемые функ-
функции принадлежат /ууровню,
Таблица 41
Уровень
DY
Ог
?г
Ga
oY
Представ-
Представление
Е
Р2
А2
/=\
Ai
Е
Собственнее функции кр!сталла
BY), = ^
BуJ = У2Я2соз2ф
BеI = /2~Я| э!п2ф
BеJ = ^2 Я^соэф
Bе)з = К2Я281пф
(ЗР) = /2"Р^з1п2ф
(Зв), = Я§
C6J = V2 ()/|- Р\ cos Зф - -|/| Р\ cos Ф)
C6K = У2 (-|/| Я| sin Зф + |/| Я? sin Ф)
(Зе), = /2"/^соз2ф
(ЗеJ = /2 ("|/1 Я^ cos 3Ф + j/| P? cos Ф)
0еK = V? (У 4 ^3 sin Зф - "|/| Pf sin Ф)
D«) = у ~ Р40+ ]/ -U Р^ cos 4ф
DуI = ^2~Р^соз2ф
DyJ = Yh P° ~ Y^ P*cos ^
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов
409
Продолжение
Уровень
о6
Ое
Предста-
Представление
F
F
Собственные функции кристалла
D6I = /2'P<sln4?
D6J = Y\ p\ C0S<P - ]/j pt cos Зф
DSK=Y\p*sin ф+Y\p*sin Зф
DeI = Vr2/^sin2?
DеJ = "|/"-J- Р\ cos Ф + |/-J. P\ cos Зф
DeK=|/-f Pjsintp-j/^. P|sln3q>
Мы составили таблицу функций в нулевом порядке при / = 4
(табл. 41). Обозначения уровней в кристалле и собственных функций
заимствованы у Бете.
В случае кубической симметрии вновь проявляется влияние струк-
структуры кристалла на плотность заряда. Так, D-электрон атома в кри-
кристалле кубической симметрии будет находиться либо в ^-состоянии,
либо в /^-состоянии в зависимости от того, какое из этих состоя-
состояний имеет меньшую энергию. Если таким состоянием окажется ?-со-
стояние, то угловое распределение плотности заряда будет иметь вид
Эта плотность заряда достигает своего максимального значения на
осях 4-го порядка. Вдоль осей 3-го порядка (cos 9=1/1/3 , ф=я/4)
она будет обращаться в нуль. С другой стороны, если электрон
находится в /?2'состоянии> его плотность заряда должна быть допол-
дополнением к плотности заряда для ^-состояния (поскольку их сумма
должна быть сферически симметричной), поэтому плотность заряда
в ^-состоянии будет равна нулю вдоль координатных осей и достигать
максимального значения вдоль осей 3-го порядка.
Задачи. 1. Найдите волновые функции в нулевом порядке при I = 3 для
кристаллов кубической симметрии.
2. Опишите плотность заряда для состояний кристалла кубической сим*
метрии, возникающих из /'¦'Состояния свободного атома.
410 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
§ 6. Двузначные представления группы вращений.
Двумерная унитарная унимодулярная группа
Как мы показали, представления D группы вращений образуют
полную систему, если потребовать, чтобы наши матрицы были одно-
однозначными функциями параметров группы. Но мы знаем, что суще-
существуют системы функций, у которых трансформационные свойства
при вращении отличаются or свойств сферических функций, образу-
образующих базисы представлений D . Наши представления были получены
при рассмотрении функций от пространственных координат х, у, z.
Нам часто приходится иметь дело с физическими системами, которые
обладают дополнительными внутренними степенями свободы (спином).
При вращении в пространстве изменяются не только пространствен-
пространственные, но и внутренние координаты такой физической системы. Если
мы совершим поворот на угол 6ф вокруг оси Z, любая функция ф,
зависящая от пространственных координат и внутренних переменных,
изменится на бесконечно малую величину 6ф (пропорционально 6ф).
Таким образом,
(9.53)
где Jz—эрмитов инфинитезимальный оператор поворота вокруг оси Z.
Точно так же мы введем инфинитезимальные операторы Jx и Jy, со-
соответствующие вращениям вокруг других координатных осей. Соот-
Соотношения коммутации для операторов /v задаются формулами (8.101).
Как доказывается в учебниках квантовой механики, из этих соотно-
соотношений коммутации следует, что собственные значения операторов Jv
образуют систему чисел, изменяющихся от — J до -f- j с шагом 1,
и что j должно быть либо целым, либо полуцелым. Представления,
которые мы до сих пор рассматривали, соответствуют целым j (мо-
(момент количества движения равен целому числу). Теперь мы хотим
рассмотреть другой случай, когда число базисных функций непри-
неприводимого представления четно. Начнем с простейшего случая j = -9"i
поскольку, как мы видели при рассмотрении связанных систем, все
остальные случаи можно получить, составляя произведения пред-
представлений.
Рассмотрим какое-нибудь представление, пользуясь двумя ком-
комплексными переменными и, v. При пространственных вращениях пере-
переменные и и v переходят в линейные комбинации
и' = au-\-bv, v' — cu-{-dv. (9.54)
Коэффициенты преобразования зависят от того конкретного враще-
вращения, которое рассматривается. С физической точки зрения мы хотим,
§ 6. Двузначные представления группы вращений 411
чтобы плотность вероятности | и |2-{-1 ^ I2 была инвариантна, вслед-
вследствие чего для нас представляют интерес только унитарные преобра-
преобразования. Кроме того, заметим, что если взять две пары функций
«1, г>! и «2> V2< каждая из которых преобразуется по (9.54), то в ре-
результате такого преобразования функция uxv2 — u2i>i будет просто
умножаться на (ad—be). Таким образом, функция uxv2—u2v1 обра-
образует базис одномерного представления группы вращений, которое
должно совпадать с полученным нами ранее представлением D@).
Поскольку базисная функция представления Z3( ' инвариантна отно-
относительно пространственных вращений, мы видим, что следует наложить
требование ad — be — 1. После этого мы получим группу двумерных
унитарных унимодулярных преобразований—группу с[12- [Другое
обозначение этой группы SU B).] Для таких преобразований
l. ccfA/l,
0, ad — be = 1. (9'55)
Разрешив последнее уравнение относительно d и подставив получен-
полученное значение в остальные соотношения, найдем
. а*с аа*с , , ,* , *
d = -gr, -р be = 1, c = — b*. d = a*.
Мы пришли к рассмотрению группы ЯХг преобразований
и' = au-V-bv
и* , * (aa* + bb*=\), (9.56)
v' == — b*u -f- a *v v ' ' K '
которая обладает тремя независимыми вещественными параметрами.
Теперь мы должны найти неприводимые представления унитарной
группы и затем показать, как эти представления группы c\i2 позволяют
получать представления группы вращений.
Одно представление группы °[i2 дают нам матрицы (9.56), а именно
представление самими матрицами группы c\i2. Образуя симметричные
произведения этого представления с самим собой, мы можем строить
другие представления. Симметричные произведения и2, uv, v2(=:x1,
х2, х3), будучи однородными многочленами относительно и и v,
при преобразованиях (9.56) преобразуются друг через друга. Из
(9.56), взяв произведения, находим:
х[ = а2х1 + 2abx2 + Ь2х3,
х'2 = — ab*xx + (аа* — bb*) x2-\-a*bxy (9.57)
'ъ = Ъ*гхх — 1а*Ь*х%
412 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Перепишем эти равенства, выразив их через хх + х3, х2-
х[—хг3:= (а2 — ^2) *, + 2 (ab + а*Ь*) х2 + {b2 — а*2) х5 =
= i (а2 — **2 + б2 — а*2) (jf! + *з) + 2 (ой + а*Г)
{ab—a*b*)x2-{- (9.58)
+ 2" О*2 — a*2 + ^ — b2) (*i — лг3),
*? =» -S- (a*^ — a^*) (-^l + -^з) + (aa* — bb*) x2 —
-~1
Пусть теперь
х = -2(х1—х?), у = -gr- (*! + х3). г = х2,
тогда
+ i- (а2 — ?*2 + й8 — а*2) у + (в* + «***) г.
/ = — |(й2 + Г2 — ^ — й*2)л;+ (9.59)
+ 4 №+Ь*2 + Ь2 + й*2) y-i{ab~ a*b*) z,
z'= — (a*b + й?*) * + / (a*b — аи*) >> + (aa* — ??*) z.
Нам удалось сопоставить каждой матрице группы ЯХг некоторое
преобразование переменных х, у, z. Кроме того, мы видим, что все
коэффициенты в (9.59) вещественны. Если обе части равенств (9.59)
возвести в квадрат, почленно сложить и воспользоваться соотноше-
соотношениями (9.55), то получим
х'2 _|_ у'* + г'2 == х2 + у2 + z2;
следовательно, преобразование (9.59) есть вещественное ортогональ-
ортогональное преобразование переменных х, у и z (с определителем, равным
единице) и поэтому представляет собой чистое вращение. Итак, если
нам задано какое-нибудь унитарное унимодулярное преобразование
(9.56), мы можем воспользоваться преобразованием (9.59), чтобы
найти связанное с этим преобразованием трехмерное вращение. Теперь
§ 6. Двузначные представления группы вращений
413
покажем, что таким способом все вращения можно сопоставить
каким-то унитарным преобразованиям. Вращения характеризуются
углами Эйлера а, р, у. Если мы выберем унитарное преобразование
с параметрами
то соотношения (9.59) сведутся к соотношениям
— ysina, у'= х sina+ у cosa, z' = z, (9.60)
о
т. е. выбранное нами преобразование будет поворотом R (а, 0, 0)
на угол а вокруг оси Z:
[cosa —sina СП
sina cosa 0 I. (9.61)
0 0 lj
Если выбрать параметры
0
то преобразование (9.59) примет вид
z'= zcosfi — xsinp, x'= zsinf,-{-xcosp, y' = y, (9.62)
т. е. это преобразование представляет собой поворот R@, p, 0) на
угол р вокруг оси Y:
cosp 0 sinp-|
0 1 0 I (9.63)
.— sinp 0 cospj
Итак, вращению общего вида
Я (а, р, y) = R(y, 0, 0)Д@, р, 0)Я(а, 0, 0)
мы ставим в соответствие унитарное преобразование
S-j Sin-j
i|- cosj-
'V/2
0
0
P
COS 7j-
— sin-|
sin j1
COSTJ
е1а/2
0
(9.64)
или
i
cosie(i/2)(a+Y)
— sin-j
sin |-
/?(a, p, y). (9.65)
Мы получили в результате гомоморфное отображение унитарной
группы 1.2 на группу вращений. Мы должны еще ответить на во-
вопрос, сколько элементов группы ^ отображается в единицу группы
414 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
вращения. Из (9,65) мы видим, что в единичный элемент группы
вращений отображаются две унитарные матрицы
-и
Г—1
Поэтому эти два элемента образуют инвариантную подгруппу группы
112- и произведения этих элементов и любого элемента группы Я!2
отображаются в один и тот же элемент группы вращений. Таким
образом, каждому элементу группы вращений соответствуют два
элемента унитарной группы, которые отличаются лишь тем, что все
их коэффициенты имеют противоположные знаки. Элементы группового
многообразия группы °[\,2 находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии с точками поверхности сферы в четырехмерном пространстве
|йр4-|?|2=1. (9.56)
Поскольку сфера односвязна (см. задачу в § 14 гл. 8), групповое
многообразие группы <U.2 односвязно. с\12 имеет только однозначные
представления (см. § 14 гл. 8) и служит универсальной накрываю-
накрывающей группой группы О+ C).
Если мы получим какое-нибудь представление группы ЯЬ. то
матрицы этого представления будут связаны с соответствующим
элементом группы вращений. Поскольку квадрат элемента
Г-1 <
L о -]
унитарной группы равен
п-
отвечающая ему матрица в любом представлении должна быть равна
единичной матрице, взятой со знаком плюс или минус, т. е. в любом
представлении унитарной группы
Если в рассматриваемом представлении
D(-I) = D(
то для любого элемента и унитарной группы
§ 6. Двузначные представления группы вращений 415
поэтому каждый элемент группы вращений оказывается поставленным
в соответствие единственной матрице. Такие однозначные предста-
представления группы вращений должны совпадать с найденными нами ранее
представлениями D(l). Если же в каком-либо представлении унитар-
унитарной группы
то для каждого элемента и унитарной группы
и каждому вращению оказываются поставленными в соответствие две
матрицы. Эти двузначные представления группы вращений не являются
представлениями в собственном смысле и к ним неприменимы выве-
выведенные нами ранее соотношения ортогональности. Как мы увидим
далее, при рассмотрении двузначных представлений группы вращений
мы на самом деле переходим к унитарной группе (для которой это
представление однозначно) и изучаем ее вместо группы вращений.
Наша первая задача состоит в том, чтобы найти все неприводимые
представления унитарной группы. Метод построения представлений
снова заключается в том, что мы образуем симметричные произведе-
произведения так же, как мы делали это в частном случае в начале этого
параграфа. Взяв переменные и и v и преобразовав их по форму-
формулам (9.56), рассмотрим совокупность произведший
\ v2*, (9.66)
или
UZ7 а=-'• -'+1 J~1' J) (9-67)
где J принимает целые или полуцелые значения. [Числовые множители
в (9.67) подобраны так, чтобы представления были унитарными.]
При фиксированном J однородные полиномы fm преобразуются друг
через друга, если переменные и и г» подвергать линейным преобразо*
ваниям (9.56). Поэтому эти полиномы образуют базис B/-J- 1)-мер»
ного представления унитарной группы. Например, при j = 1/2 имеем
и нашим двумерным представлением унитарной группы является
совокупность матриц (9.56). При /=1 имеем
и мы получаем трехмерное представление (9.57). Представления уни-
унитарной группы будем обозначать символами D(-" (а, Ь), где а и b —
коэффициенты в формуле (9.56), характеризующие элементы группы
416 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
{aa*-\-bb* =¦ 1). Чтобы найти матрицы этого представления, применим
к fm преобразование (9.56), которое обозначим R(a, b):
- ft("' b)f"=
) о—).
(9.68)
Воспользовавшись разложением по формуле бинома, получим
R(a b)f = V 1 _ g+/n)l
x vi _m_v.
\i к (/-г м)! (y — m)\ ..
¦** U ~т m — |i)l|*!(/ — tn — v)!v!
n, v-o
X a'+m-W(-Z>f "m~v^'-^V+v. (9.69)
Нам нет необходимости указывать верхние пределы изменения ц и v,
поскольку факториалы в знаменателе обратят результат в нуль, если
мы выйдем за надлежащие пределы. Выразим теперь правую часть
этого равенства через функции fm. Пусть
v = j — ц — т!',
тогда
2у—ц — \ = j-\-m', (i + v = J — m'
и
или
— /я'—
X ai+m-»a'i-m'-W{-b'f-m**. (9.71)
Заметим, что базисные функции /т независимы и
1 „,
следовательно, сумма 2 I /m I2 инвариантна относительно унитарных
m
преобразований, и наши представления унитарны.
# 6. Двузначные представления группы вращений 417
Явное выражение (9.71) для матриц D^m(a, b) чрезвычайно
сложно. В частном случае при m'~J множитель (у—ш' — \х)\
в знаменателе обращает в нуль все члены, за исключением члена
с |х = 0
(9.73)
Из (9.73) видно, что матричные коэффициенты D/m(a, b) в общем
случае отличны от нуля.
В частном случае a=^ela^2, b = О, в соотношении (9.71) остается
только член с \х — 0, и мы получаем
D(JXn{e'al\ Q) = bm.melma. (9.74)
Пользуясь матрицами частного вида (9.73) и (9.74), можно пока-
показать, что представления D{})(a, b) неприводимы. Метод остается та-
таким же, как тот, которым мы пользовались в случае представле-
представлений D(/) группы вращений. Если матрица А коммутирует с диаго-
диагональной матрицей D(i)(elal2, о), то она должна иметь только
диагональные элементы: ¦
Если А коммутирует с унитарной матрицей D (а, Ь) общего вида,
то, взяв компоненту jm произведений AD и DA, получим
ujD{/1 — DiPmam при всех т.
Из (9.73) следует, что
D(/> + О,
поэтому
ат = а}- при всех т.
Мы показали, таким образом, что матрица, коммутирующая
со всеми матрицами нашего представления, кратна единичной матрице.
В силу этого представления D(i\a, b) неприводимы. При различных У
размерности представлений D;> будут различными, поэтому эти
представления неэквивалентны.
Чтобы найти характеры различных представлений D (а, Ь), заме гим,
что всякую унитарную унимодулярную матрицу можно унитарным уни»
модулярным преобразованием привести к диагональному виду и что
собственные значения такой матрицы представляют собой пары ком-
комплексно сопряженных чисел. Таким образом, каждая унитарная уни-
модулярная матрица эквивалентна одной из матриц вида
gia/2 q
О
0 1
418 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
и в любом представлении имеет тот же характер, что и эта матрица.
Из (9.74) имеем
где а изменяется от 0 до 2л.
Представления D{i)(a, V) образуют полную систему неприводимых
представлений группы °ц2. Характер любого другого представления
(после умножения на функцию плотности группы) должен быть орто-
ортогонален всем характерам (9.75). Взяв разности, найдем
x<o)(eta/2f o)=l, x(I/2>=-2cos-|-, хA) — Х<0) = 2 cos a,
xW.)_xA/l) = 2cos^- и т. д.
Эти функции образуют на отрезке от 0 до 2л полную систему, по-
поэтому никаких других независимых представлений быть не может.
Представления D (а, Ь) унитарной группы дают нам предста-
представления группы вращений. Пользуясь (9.65) и (9.70), получаем
?>$»(«*, P. Y) = Я(т'
М-
v [U + m)\ U - т)! U + т') I (у- m')|]7i
А (У + т — ц)!ц!(У —/и'— ц)!(/и' —м-fn)! Л
X eim аешУ (cos -|j (sin I") •
Если требуется, мы можем исключить из формулы (9.71) и (9.76)
множитель (—1)ш ~т, перейдя с помощью трансформации матрицей
6m'm(—l)m к эквивалентным представлениям.
Характеры элементов группы вращений можно получить из част-
частного их вида (9.75), где a = g>, p^Y^O1
ilElZ±|)i. (9.77)
При целом j эти характеры совпадают с характерами представле-
представлений D{1\ полученными ранее, так что представления D*-" при целом j
совпадают с представлениями Dw. При полуцелом j каждому вра-
вращению сопоставляются две матрицы представления +D (а, р, у).
§ 6. Двузначные представления группы вращений 419
Важно иметь в виду, что представления D(j) всегда являются одно-
однозначными представлениями унитарной группы. Двузначные предста-
представления группы вращений для полуцелых J возникают вследствие
того, что каждому вращению соответствуют две унитарные матрицы
представления, отличающиеся только знаком. Двузначность предста-
представления обусловлена существом дела. Если R и 5 — два вращения,
то мы можем записать лишь
Du\R)Du\S)=±DiJ\RS) (j=j, 4 и т. д.) (9.78)
и не можем выбрать знак единственным образом. В качестве примера
рассмотрим группу, состоящую из тождественного преобразования Е
и поворота С2 на угол я вокруг оси Z. Тождественному преобразо-
преобразованию Е соответствуют две унитарные матрицы
1 01 Г—1 0
и
[0 1
в то время как, согласно (9.61), повороту С2 соответствуют матрицы
Г/ 01 Г-/
_о -i\ и L о
Если матрицы представлений выбрать в виде
01
то
D (E) D (C2) = pQ _°J = D (EC2) = D (C2),
no
pJ j(^) -D(?). (9.78a)
Знак „ + " в (9.78) существен, и произвольным выбором исключить
эту неопределенность нельзя.
Переходя к группе зеркальных поворотов, мы включаем в группу
вращений инверсию /. В случае унитарной группы соответствующий
процесс можно осуществить лишь при условии, что мы будем рас-
рассматривать ее как абстрактную группу и присоединять к ней эле-
элемент / такой, что I2 равен единичному элементу унитарной группы,
причем i коммутирует со всеми элементами унитарной группы.
В любом представлении унитарной группы матрица, соответствующая
элементу I, должна быть равна единичной матрице, взятой со знаком
плюс или минус. То же справедливо и для /. Заметим, что соответ-
соответствие 1—>1 является единственным случаем, когда элементу группы
420 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
зеркальных поворотов сопоставлен единственный элемент (расши-
(расширенной) унитарной группы. При целом j мы получим те же резуль-
результаты, что и раньше. Вращению R соответствует матрица предста-
представления D(;'(/?); если элементу /(/) соответствует матрица A), то
матрица DUi(Rf) совпадает с матрицей представления DU\R); если же
этементу / (/) соответствует матрица (—1), то матрица D(j\R[)
совпадает с матрицей —D("(/?) (в соответствии с проведенным нами
рассмотрением положительных и отрицательных представлений). Од-
Однако при полуцелом j представлением элемента R будет служить
пара матриц ± D{J)(R), в результате чего при любом выборе матрицы,
соответствующей элементу /, мы получим
DU)(RI)= ± DU)(R).
§ 7, Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов.
Двузначные представления
кристаллографических точечных групп
Теперь мы должны рассмотреть ту же задачу о возмущении, ко-
которую мы изучали в случае целых представлений. Как расщепляется
уровень какого-нибудь атома, когда симметрия понижается до сим-
симметрии одной из кристаллографических точечных групп? Мы не мо-
можем применять в этом случае те методы, какие мы применяли раньше,
ибо соотношения ортогональности применимы только к однозначным
представлениям. Прежде всего мы должны найти двузначные пред-
представления кристаллографических групп так же, как мы нашли дву-
двузначные представления полной группы вращений.
Метод, который обычно излагается для нахождения двузначных
представлений кристаллографических групп, носит весьма искус-
искусственный характер. Попытаемся показать, что он правдоподобен.
Когда мы хотим найти двузначные представления группы С2
[см. (9.78)], мы рассматриваем группу CL состоящую из четырех
унитарных матриц, т. е.
E R C2 C2R
1 01
О lj'
-1 01
0 -1 ' 10 -
2r
— / 0,
0 , I • (9-79)
и находим ее представления. Всякое представление, в котором эле-
элемент R имеет тот же характер, что и элемент Е, будет однозначным
представлением группы (?2. Если же характер элемента R равен ха-
характеру элемента Е, взятому со знаком минус, то мы имеем дело
§ 7. Расщепление атомных уровней 421
с двузначным представлением группы б?2. Чтобы получить все пред-
представления группы С2, нам необходимо найти представления группы Сг
унитарных матриц, которые указаны в (9.79). Этот метод нахожде-
нахождения представлений точечной группы правилен, но обладает тем недо-
недостатком, что мы теряем интуитивное представление об элементах
группы как q геометрических операциях. Поэтому мы пытаемся фор-
формально рассматривать группу, состоящую из четырех операций (9.79),
как совокупность геометрических преобразований. Из (9.79) мы видим,
что C~2 = R; последовательные повороты на угол л вокруг заданной
оси не приводят к тождественному преобразованию. К обычной группе
вращений мы формально добавляем элемент R, соответствующий по-
повороту на угол 2л вокруг оси, и образуем все возможные произве-
произведения элемента R с элементами группы вращений. При этом мы
получаем то, что называется двойной группой, соответствующей
первоначальной группе вращений.
В качестве другого примера рассмотрим группу D2. Эта группа
абелева, она содержит четыре элемента СЛ, Су, Сг, Е, принадлежа-
принадлежащих четырем классам. Чтобы найти все представления группы D2
(целые и полуцелые), мы должны перейти к той подгруппе группы ^з,
которая соответствует ?>2. Эту подгруппу D\ можно найти из (9.61)
и (9.63):
Р С С С
xf \ • S Z\ IS У\ >/ х\
nr:j [:лг:я пи cat-'-я ^
Заметим, что группа D2 неабелева:
\~1 (Л
СА=[ о
Кроме того,
^2 г> ri р
поэтому последовательные повороты на угол 2л вокруг любой оси
приводят к элементу R, который мы будем рассматривать как пово-
поворот на угол 2л. Из (9.80) также можно видеть, что R2 = E. Таким
образом, двойную группу D2 можно считать группой вращений,
в которой мы возвращаемся к тождественному преобразованию лишь
после поворота на '4л. Теперь мы получим все представления дрой-
ных групп, соответствующие различным точечным группам.
Чтобы найти все представления групп Gn, мы перейдем к двойным
группам Gn, содержащим 2га элементов
/-> А л« D Г1 D Г^ D О" D Г^п Р
Ьл, ^л "л— "> ^пК, Ь„/< Ь„/< — L,n С.
422 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Двойные группы 6„ являются циклическими абелевыми группами,,
порожденными элементом Сп с периодом, теперь уже равным In.
Так как б'„ абелева группа, она имеет 2я одномерных представлений..
Базисными функциями различных представлений группы Qn служат
функции
/2 З/2A/2) (9.81)
Применяя Сп к любой из базисных функций, получаем
С«е/тф_=е-2я/т/ле/тф_ (9.82)
При целом m
к-.пе — е ,
так что мы приходим к однозначным представлениям, перечисленным
в таблицах гл. 4. При полуцелом m имеем
s~,n imty . tmq>
ь„е — — е ,
что приводит к двузначным представлениям группы Gn.
В случае группы Сг базисные функции 1 и eirf задают однознач-
однозначные представления. Для функций е"^2 и е~'Ф/2 находим
Двузначные (комплексно сопряженные) представления имеют вид
Е R С2 C2R
1 _i / _/ (9.83)
Е'< , -1 _/ /
Штрих означает двузначное представление. Отметим одно общее
свойство: в однозначном представлении любой элемент 5 и элемент SR
имеют одинаковые характеры, в любом же двузначном представлении
характеры этих элементов имеют противоположные знаки. Таким
образом, характеры двузначных представлений автоматически оказы-
оказываются ортогональными характерам однозначных представлений. Точно
так же можно рассмотреть группы Сз> Ga и G&-
Задача. Найдите двузначные представления группы 6Ъ.
При рассмотрении однозначных представлений точечных групп мы
обращали внимание на двусторонность осей. Если имелась ось 2-го по-
порядка (вращение U2), перпендикулярная оси «-го порядка, то эле-
элементы С\ и С„~к принадлежали одному и тому же классу, потому что
§ 7. Расщепление атомных уровней 423
Тот же результат мы получали и тогда, когда плоскость отражения
проходила через ось и-ro порядка. (Этот случай сводится к преды-
предыдущему, так как av = IU2 и avCkna^1 = fU2CifU2=^C"~k, поскольку
операция / коммутирует со всеми элементами группы.) В двойных
группах элементом, обратным элементу U2, оказывается не ?/2, a U2R,
вследствие чего элементом, эквивалентным С\, является элемент
В группах Dn ось Z двусторонняя, поэтому элементы Сп и С"~
принадлежат одному и тому же классу. Если же мы рассмотрим
двойную группу D'n, то элементы Скп и Cn~kR окажутся в одном
классе, а элементы С%~~ и CnR — в другом. Итак, вообще говоря,
двойная группа имеет вдвое больше элементов, принадлежащих вдвое
большему числу классов. Число классов не удваивается в одном част-
частном случае: если п четно, то С„12 (поворот на угол л) образует
в группе Dn класс, состоящий только из этого элемента, и, следо-
следовательно, порождает в двойной группе D'n единственный класс C"J2>
С'„ R. Наличие оси 2-го порядка при четном п приводит к тому, что
число классов в двойной группе оказывается меньше удвоенного числа
классов в первоначальной группе.
Остановимся на группе D2, которую мы уже рассматривали раньше.
В этом случае все оси двусторонние, поэтому двойная группа D2
имеет восемь элементов, принадлежащих 5 классам:
Е; R; Cx, CXR; С„, CyR; Сг, CZR.
Существует пять неприводимых представлений группы D2, и
Из этих представлений мы уже нашли однозначные, в которых эле-
элементам Е и R ставится в соответствие одна и та же матрица. Таких
представлений было четыре, причем все они были одномерными.
Таким образом, остается одно новое двузначное представление, раз-
размерность которого равна 2:
Его матрицы указаны в (9.80). Характеры приводятся в таблице:
с с г
ьг °у °г
Е R CXR CyR CZR
Е'
(9.84)
—2 0 0 0
424 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Отметим еще одно общее свойство двузначных представлений. Так как
D (SR) = — D (S),
то
Поэтому если элементы S и SR принадлежат одному и тому же
классу, характер %(S) должен быть равен нулю. Это будет выполняться
для любого поворота на угол л вокруг двусторонней оси. Базисными
функциями двумерного представления Е' являются функции e±irf^.
Группа ?>3 имеет 6 элементов, принадлежащих 3 классам. Двой-
Двойная группа ?>з имеет 12 элементов, которые принадлежат 6 классам:
Е; R; С3, ClR; C§. C3R; Сх{Ъ); С,Я C).
Поскольку эта группа не содержит поворотов на угол я вокруг дву-
двусторонней оси Z, мы удваиваем и число элементов и число классов
и получаем три новых (двузначных) представления размерности 1, 1,2.
В одномерном представлении
но, поскольку элементы С\ и C2R принадлежат одному и тому же
классу,
откуда
Точно так же, поскольку
C2X=R и х (/?) = —1.
мы получаем
что дает нам два комплексно сопряженных одномерных представле-
представления. Так как у нас имеется лишь одно двумерное представление, его
характеры должны быть вещественными. Например, для элемента Сх
матрица представления имеет собственные значения + /, кратность
каждого из них равна 1, откуда следует, что %(Сх) — 0. Так как
d=R, то собственные значения С3 равны — 1, е±ы/3. В веществен-
вещественное представление должна входить пара собственных значений е±1л1г,
из чего следует, что
§ 7. Расщепление атомных уровней
425
Характеры двузначных представлений группы
*{
Е R C\R
СхC) СХЯC)
даны в таблице:
(9.85)
1—1—1 1 i —i
1—1—1 \ —i i
2—2 1—1 О О
Другой метод состоит в использовании соотношения C.173). Если
классы группы D'3 мы перенумеруем в том же порядке, в каком это
сделано в табл. (9.85), го
= С\
Л + 2Е
откуда
'3 *^ 3
с334 = 1 и с331 = 2.
Пользуясь соотношением C.173), находим
Так как
получаем
Х4 = — Хз и Xi = «.
При я=1 выполняются равенства
=2 и
: — 1 или Хз = о" •
Поскольку значение 7г исключается (в одномерном представлении
характер х должен быть корнем из единицы), то оба одномерных
представления имеют
Хз= —1-
При п=2 получаем равенства
так что
Хз =1 или хз = -
Значение —2 исключается, поскольку сумма квадратов характеров
была бы в этом случае больше порядка группы. Таким образом, мы
снова получаем те же результаты, пользуясь методом, отличным от
предложенного ранее. Применим теперь этот метод к группам Di и Д}-
426
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Двойная группа D\ имеет 16 элементов, принадлежащих 7 классам:
Cv B)
CrRB)
Группа Д, имеет 8 элементов, принадлежащих 5 классам. Мы полу-
получаем два двумерных двузначных представления. Так как все оси дву-
двусторонние, имеем
Е
R
с,
ClR
с4
C4R
ri
с4
c\r
CiB)
С2/?B)
Кроме того,
откуда
2C\R =
сзз5~ 1> C33i == 2.
Так как х5 —О, при и = 2 мы получаем
что дает нам два представления.
Аналогично в случае группы
надлежащих 9 классам:
мы имеем 24 элемента, при-
приR
ClR
ri
ClR
г5
C6R
м
c\r
ClR
С2C)
С2 R C)
Cv C)
Cv R C)
Группа же D6 имеет 12 элементов, принадлежащих 6 классам. По-
Поскольку в этом случае имеются три двузначных представления и
«2+«^+«2= 12, они все имеют и = 2 В этом случае снова
ПРИ « = 2 Х24=Х6+2. Но Х6 = -Х4.
откуда х2,+ Х4 = 2 и х4=1 или %4 = — 2.
е^зе^4 = а^7 + е^з- Поскольку Х7 = °. мы получаем Х3Х4 = %3
при и = 2, откуда х4=1, если только Хз Ф О-
^ = ^4+2^,. В этом случае х^ = Х4+2; Х3= ± /з" при
Х4=1; Х4 = ~ 2 при Хз=0-
Таким образом, мы получим три представления, которые приве-
приведены в табл. 42.
Двойная группа Т' имеет 24 элемента, принадпежащих 7 классам:
Е | R | С3 D) | С3Я D) | Cjj D) | C\r D) | С2 C), C2R C).
В то же время группа Т имеет 12 элементов, принадлежащих 4 клас-
классам, вследствие чего мы получаем три новых двузначных предста-
представления. Так как комплексные представления появляются парами, то
Таблица 42
Таблица характеров двузнгачных представлений кристаллографических
точечных групп
а)
D'2
E'
E
2
R
-2
cx
CXR
0
cy
CyR
0
cz
Cz*
a
б)
E'2
E
1
1
2
R
—1
—1
2
C3
C2/?
_1
—1
1
Г2
°3
C3«
1
1
—1
CxC)
i
— i
0
CXRC)
/
i
0
в)
E[
E'2
E
2
2
—2
—2
c4
2
—2
r3
U4
C4«
—2
2
C2B)
С2ЛB)
0
0
с
c2
2' B)
-«B)
0
0
С2
°4
С24Л
0
0
E2
E
2
2
2
R
—2
2
2
Г C2
Ф Cpi
Уз l
— ]A3" 1
0 —2
Г5
с6л
-Уз
Уг
0
C6R
—1
1
2
Г3
ClR
0
0
0
С2C)
C2R C)
0
0
0
Сг, C)
С2,ЛC)
0
0
0
Д)
т'
Е'
и ^
2
2
2
—2
2
—2
С8D)
1
Е
е2
C3Rd)
—1
— е
— е2
С|D)
—1
— е2
— е
Cl«D)
1
е2
ё
С,C)
С2^ C)
0
0
0
428
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
е)
0'
E[
E'2
G'
E
2
2
4
R
—2
—2
—4
C3D)
C|«D)
1
1
J
СзD)
C3# D)
—1
—1
1
C4C)
C\R C)
V2
-V2
0
^C)
С4ЛC)
0
Продо
0
0
0
лжение
C2{6)
:2r F)
0
0
0
по крайней мере одно из этих представлений должно иметь веще-
вещественные характеры. Если элемент С3 в двумерном представлении
должен иметь вещественный характер, то мы должны выбрать соб-
собственные значения еы>3 и е~1п/3 так, что %(С3)=\. (Если бы мы
выбрали два раза по —1, то сумма квадратов характеров была бы
больше порядка группы.) С\ приводится к диагональному виду одно-
одновременно с С3. Поэтому
и характеры равны 2; —2; 1; —1; —1; 1; 0. Простейший способ
получения остальных двух представлений состоит в том, чтобы обра-
образовать произведения только что найденного представления и одно-
одномерных представлений, характеры которых равны соответственно 1;
1; е; е; е2; е2; 1 и 1; 1; е2; е2; е; е; 1. В результате мы получим
совокупность характеров 2; —2; е; —е; —е2; е2; 0 и 2; —2; е2;
— е2; —е; е; 0.
Задача. Пользуясь соотношением C.173), найдите характеры двузнач-
двузначных представлений группы Т'.
Двойная Группа О' имеет 48 элементов, принадлежащих 8 классам:
С2F)
C2R F)
Группа О имеет 24 элемента, принадлежащих 5 классам, поэтому
существует три двузначных представления, и
и2 -U п2 4- и2 = 24
Два из Этих представлений двумерные, третье — четырехмерное. По-
Поскольку существует лишь одно четырехмерное представление, его
Характеры должны быть вещественными. В любом представлении
г/ „„_ л# (\ */ ft/ И V —г- V
Л7 — Л8 — и" Хб —" Л5 и л,4 — ЛЗ-
R
СзD)
СзЯD)
С4C)
2
С4/? C)
сиз)
§ 7. Расщепление атомных уровней 429
Сумма квадратов характеров неприводимого представления должна
быть равна порядку группы, в силу чего
42 Н- (—4J -J- 16x§ -h 12Х§ = 48,
или
4x1+3x1 = 4.
Если матрица С4 приведена к диагональному виду, то 4 диагональных
элемента следует выбирать среди собственных значений
е± 1ЛЦ и е±3/я/1
Единственный способ получить вещественный характер, не нарушая
последнего выписанного нами соотношения, состоит в том, чтобы
взять в качестве диагональных элементов все четыре собственных
значения. В этом случае %(С^\ = %5 = 0, следовательно, %23=1,
Хз = ± 1 • Но С3 имеет собственные значения
поэтому следует так выбрать из них четыре элемента матрицы С3,
чтобы ее след был вещественным. Если мы возьмем пару е±(л/3
дважды, то Хз будет иметь слишком большую величину и не будет
удовлетворять условию ^3=± 1. Мы должны выбрать числа —1,
—1; e±in/3t чт0 даст ^3— — 1. Итак, мы получаем систему харак-
характеров: 4; —4; —1; 1; 0; 0; 0; 0. Чтобы найти двумерные предста-
представления, воспользуемся теоремой, согласно которой их характеры
должны быть ортогональны характеру только чго полученного четырех-
четырехмерного представления. Поскольку в этих представлениях
Х(?) = 2, х (/?)=-2,
имеем соотношение
4 • 2 + (-4) (-2)-16хз = 0,
откуда
Хз=1-
Далее, приравняем сумму квадратов характеров порядку группы, т. е.
откуда
Для удобства двузначные представления точечных групп даны
в табл. 42.
Теперь мы можем решить задачу о расщеплении уровней в поле Н
внутри кристалла для случая, когда рассматриваемый уровень при-
430
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
надлежит двузначному представлению группы вращений. Прежде всего
ясно, что в разложении будут присутствовать только двузначные
представления кристаллографической группы, поскольку одно- и дву-
двузначные представления всегда имеют ортогональные характеры. Для
нахождения характеров элементов двойной группы в полуцелых пред-
представлениях D(;) мы воспользуемся формулой (9.77). Для тетраго-
тетрагональной двойной группы D'4 из (9.77) получим
Угол
Ф = л: х5 = Хе = Ул = 0;
sln(y + 72)n/2
sin я/4
при y=o-
(mod4),
3 7
при у = т, т
— У% при
(mod 4),
Х4 = — ХЗ-
(9.86)
Поскольку единственными независимыми характерами являются %j
и у_3, нам необходимо при разложении записывать только их. Резуль-
Результаты, полученные с помощью (9.86) и табл. 42 в, представлены
в табл. 43.
Таблица 43
Характеры классов группы D^ в B/ + 1)-мерном
представлении группы вращений
j К, Кг
1 2 V2
4
I 6 -V2
1 8 0
4Л -4- У 8Л -f iy + 1 То же, что
для у
Разложение представления
d(J) на неприводимые
представления группы D*
Е[ + %
Е[+2Е'2
2Е[ + 2Е'2
2Л(?[ + 4)+Члены
для У
Число
уровней
1
2
3
4
Для гексагональной группы D§ характеры классов в полуцелых
представлениях D*;) равны соответственно:
§ 7. Расщепление атомных уровней
431
Угол
= л:
я
Ф Т *
= Xs = Хэ = О:
Хз:
sin л/6
3 при
0 при
3~ при
=у, |- (mod6),
ss (m
2я
sin я/3
= -§•. ¦§¦ (mod6);
(9.87)
1 при /==-?¦ (mod 3),
о
— 1 при /ss-jj- (mod 3),
О при y = 4j-(mod3);
Ха== Хз>* Xfi== Xv
В разложение мы должны включать только Xi. Хз и У.4- Воспользо-
Воспользовавшись снова таблицей характеров для группы Dq (табл. 42г), мы
получим результаты, перечисленные в табл. 44.
Для кубической двойной группы О' характеры имеют следующие
значения:
Угол
Ф=л: х7 = Х8 =
1 при /== j (mod 3),
2я/3
sin
^|-1 при ys=_(mod3),
О при y = -j(mod3); (9.88)
при / = -y(mod4),
2 '
sin(y +'/2) л/
sinn/4
3 7
О при yss-к-, -т*-(mod 4),
~ Хз-
-/2 при у = |(mod 4);
'^1 Х5-
Результаты соответствующих разложений приведены в табл. 45.
Таблица 44
Характеры классов группы Г>6 в B у 1 1)-мсрном
представлении группы вращений
j
1
2
3
~2
5
о
7
7
9
7
И
2
А",
2
4
6
8
10
12
2У+1
IV" JV"
Л2 Лз
у"з 1
1/Т -1
0 0
— Уз 1
-КЗ" -1
0 0
То же, что для ]'
Разложение представле-
представления DU) на неприводимые
Е[ + 4
Е'1 + Е!2 + Е'3
е[ + 2е;+е:л
Е'1 + 2Е'2 + 2Е>
2Е'1 + 2Е2' + 2Е^
-f~ Члены для j'
Число
уровней
1
2
3
4
5
6
1
Таблица 45
Характеры классов группы О1
в B./+ 1)-мерном представлении
группы вращений
г If If If
j Л] t\2 Лз
\ 2 1 J/T
•| 4-10
4 6 о -/2
Т 8 10
о
-i. '10—1 /2
2
т 12 ° °
12Л + /
Разложение представления ?>(¦/)
на неприводимые представления
группы О'
о'
?] + 2О'
Е[-\- Е'2-\-2О'
E[-\-E2-\-2G' + Члены
для /, в которых ?| и Е2
переставлены местами
2Л (?j -f ?2 + 2G') 4- Члены
для у'
Число
уровней
1
1
2
3
3
4
4 4" Число
уровней
для У
8Л 4- Число
уровней
для ]'
§ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения 433
Задача. Выпишите разложения двузначных представлений группы
вращений для кристаллов, обладающих симметрией групп ?>3 и Т.
§ 8. Связанные системы.
Сложение моментов количества движения.
Коэффициенты Клебша — Гордана
Когда физик рассматривает задачу о связи двух подсистем, гамиль-
гамильтонианы которых инвариантны относительно группы вращений, он
складывает „моменты количества движения" этих подсистем, чтобы
получить момент количества движения всей системы. Мы намере-
намереваемся преж'де всего показать связь между этим методом, использую-
использующим алгебру Ли, и нашим методом, использующим группу Ли.
Так же как и в § 4 гл. 6, рассмотрим две подсистемы, обозна-
обозначенные цифрами 1 и 2; у каждой из них в отдельности гамильтониан
инвариантен относительно группы вращений. Каждому вращению Rx
первой системы сопоставлен некоторый оператор Од, в гильбертовом
пространстве системы 1, и аналогично каждому вращению S2 второй
системы сопоставлен некоторый оператор О$2 в гильбертовом про-
пространстве системы 2. Для операторов O#, получим соответствующие
им инфинитезимальные операторы Jj (Jlx, Jly, Jlz), действующие на
векторы в гильбертовом пространстве системы 1. Точно так же для
системы 2 найдем инфинитезимальные операторы J2 {J<гx^ Лу Лг)-
Каждый набор операторов удовлетворяет правилам коммутаций
V«x.J«y] = l-r«z. \hrJnz\ = UnX, [Jnz,Jnx\ = 4,r (9.89)
Кроме того, поскольку операторы Jj и J2 действуют на функции
различных переменных,
[Jj, J2] = 0. (9.90)
Если мы рассмотрим одновременно две не связанные между собой
системы, то их гамильтониан будет инвариантным при любом комби-
комбинированном вращении Z?^, где R и S—вращения различных систем.
Гильбертово пространство представления будет произведением про-
пространств подсистем (т. е. будет состоять из произведений функций
для подсистем). Операторы OrPs2, действующие в этом простран-
пространстве, будут давать неприводимое представление такого прямого произ-
произведения. Положив S равным тождественному преобразованию, мы
сможем получить иифинитезимальные операторы J,, а положив R
равным тождественному преобразованию, найдем JLj. Игак, для
434 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
мого произведения имеем шесть независимых инфинитезимальных опе-
операторов Jx, J2. Если системы связаны друг с другом (к гамильто-
гамильтониану добавлены члены, зависящие от расстояния между системами 1
и 2), то полный гамильтониан не будет более инвариантным при
раздельных вращениях систем 1 и 2. Группа симметрии понизится и
вместо прямого произведения R^S2 будет равна произведению RiR2
(системы 1 и 2 поворачиваются на один и тот же угол). Вместо
операторов О^О^2 мы должны теперь рассматривать подгруппу опера-
операторов Oijftfa. Для этой подгруппы прямого произведения существуют
только три инфинитезимальных оператора
J = J! + J2. (9.91)
Операторы Jj и J2 удовлетворяют соотношениям (9.89) и (9.90), и
поэтому операторы J должны удовлетворять соотношениям (9.89).
Если гильбертовы пространства 1 и 2 соответствуют неприводимым
представлениям, то наша задача сводится к тому, чтобы найти, какие
неприводимые представления J содержатся в произведении этих про-
пространств.
Аналогично, если мы связываем г систем, то тем самым совер-
совершаем переход от прямого произведения Of>(Ds, ¦ ¦ ¦ От к О^р^ . . .
... 0$ и от Зг инфинитезимальных операторов J^ J2 Jr
к трем операторам
г
J= 2 h- (9-92)
Как показано в § 13 гл. 8, собственные значения операторов Кази-
Казимира J2, J? Jr характеризуют неприводимые представления. При
заданных собственных значениях операторов Jt Jr собственные
значения оператора J2 вычисляют так, как это обычно делается
в учебниках по квантовой механике.
Пользуясь характерами
j
Х<^(ф)= 2 eim<s>> (9.77)
m--J
нетрудно найти ряд Клебша—Гордана для группы вращений. Харак-
Характер прямого i
влений равен
тер прямого произведения D(J'^ X ?>(Л) двух неприводимых предста-
предста, ф2) = 2 е'т'ф1 2
§ 8 Связанные системы Сложение моментов количества движения 435
В связанных системах мы должны рассматривать только те элементы,
для которых ф1 = ф2 = ср, так чго
= S 2 е'Жф= 2 ХШ(Ф)- (9.93)
J-\h-h\ M= J J=\h-hl
Ряд Клебша — Гордана поэтому имеет вид
ошхош= J'% Du). (994)
J-\J,-Jl\
В произведение двух неприводимых представлений каждое неприво-
неприводимое представтение входит самое большее один раз. Группа враще-
вращений просто приводима (см. § 8 гл 5)
В физических приложениях используют главным образом коэф-
коэффициенты Клебша — Гордана для группы вращений Эти коэффициенты
являются коэффициентами в разложении базисных функций Wju пред-
представления D(y) по произведениям ф^ф^ базисных функций неприво-
неприводимых представлений D и D В § 7 и 9 гл. 5 мы рассмотрели
общую задачу о симметрии коэффициентов Клебша — Гордана Общая
формула этих коэффициентов для группы вращений (коэффициенты
векторного сложения) была выведена многими способами. Приводимый
здесь метод является самым простым из всех методов.
Вместо того чтобы работать с группой вращений, рассмотрим ее
универсальную накрывающую группу—унимодулярную унитарную
группу 1J.2- Из § 6 настоящей главы видно, что рассмотрение группы "U2
дает нам всю необходимую информацию о группе вращений. Если
две переменные и1, щ преобразуются по формулам
(9.56)
или (в матричной форме)
\иЛ Г а Ъ Л
[J [ J (9-95)
436 Глава 9 Аксиальная и сферическая симметрия
го система функций
^YuS^W <» = -'• ^+1 j~x'j) (9-67>
образует базис неприводимого представления D . Рассмотрим теперь
две переменные х1 и х2, которые преобразуются следующим образом;
х[ — a*xl-f b"xv х2 = - Ьх1-\-ах^ (9.96)
x' = m*x. (9.96a)
Так как
тУт = 1,
то
откуда
х'— т~хх. (9.97)
Переменные хх, х2 преобразуются по сопряженному представлению
(комплексно сопряженное представление; см. § 3 гл. 5). В некото-
некоторых учебниках говорят, что контравариантные переменные х пре-
преобразуются контрагредиентно переменным а, а другие переменные,
преобразующиеся так же, как переменные и [см. (9.56)], называются
когредиентыо (или ковариантно) преобразующимися.
Из (9.56) и (9.97) мы видим, что
х'и'= хт~1ти = хи, (9.98)
следовательно,
XU = XjKj -{- Х2М2
инвариантно. Заметим также, что если переменные (иь м2) заменить
переменными (м2, —иг), то (9.56) перейдет в преобразование (9.96).
Перейдем от переменных (и1, и2) к конгравариантным перемен-
переменным (м2, —«i) с помощью преобразования
О П
\ (9Л00)
Если у нас имее!ся еще один набор ковариантных переменных (t^, v2),
то произведение
0 1
§ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения 437
будет инвариантно относительно преобразования ш. Из (9.99) и (9.100)
мы видим, что матрица g играет роль метрической матрицы.
Рассмотрим теперь функции, аналогичные функциям /ш из (9.67)
(для них J — j\ и J—j2):
(9.102)
/»,)! (У.-яцI "тг К(Л + м2)!(Л-
Для любых значений J от | _/\ — /21 до уг —f- у2 построим многочлены
(9.103)
где X, и х2—пара контравариантных переменных. Степень много-
многочлена Лу равна 2у\ по переменным их и м2 (такая же, как и сте-
степень функции фМ; степень же Лу по переменным v1 и v2 равна 2у2
(такая же, как степень функций фЛ). Степень этого многочлена по
контравариантным переменным х1 и х2 равна 2У. Согласно (9.98)
и (9.101), величины, стоящие в (9.103) в скобках, инвариантны отно-
относительно преобразований, принадлежащих группе CU2, в силу чего
полином Aj инвариантен. Если разложить Лу по степеням хх и х2,
то получим
S д|. (9.104)
j
где
(9.105)
Коэффициенты Wm являются полиномами по аъ и2, г^, г;2. Сравним
с инвариантной величиной
= ^>! 2 ( + ^П)
= BУ)! 2 ^^л. (9.Ю6)
Поскольку и коэффициенты W^ в (9.104) и Ч^ в (9.106) преобра-
преобразуются контравариантно по отношению к XJM, то и те и другие
преобразуются одинаковым способом, в силу чего коэффициенты Wm
438 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
образуют базис представления DiJ). Чтобы вычислить WJM, разложим
пользуясь формулой бинома:
1 + J1-J
— У С— l\k (Ji + h — J \(„ 7, \h-^h-J->¦
(9-107)
X, [i, v
X
/iH#+l^/2/i++^/1 + /2bx./jvx^
и введем новое суммирование по переменным /?ij—/j—А, — ц,
Л Я, — v. Тогда
X u{*+m4i?-mtv{*-hm'v?-m*xJl+mt+m'x{-m'-m'. (9.108)
Воспользуемся теперь соотношениями (9.102) и (9.105) и найдем
Л +ЛI (Л-Л
Положив mx-\-m2 = M, получим коэффициент при XJM в (9.109)
х
§ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения 439
где
!(Л-
—•/ — Л.)! (Л — Я — /и,)!
Преобразование, позволяющее перейти от произведений Ф^'^т
к базисным функциям WJM, становится унитарным за счет введения
в (9.110) нормирующего множителя pj такого, что
есть унитарное преобразование, удовлетворяющее условию
|РУ|2 2 \cJmimJ=\. (9.113)
Поскольку число pj от М не зависит, мы можем вычислять его,
выбирая М в (9.113) наиболее удобным образом. Положим в (9.113)
Ж = У и воспользуемся выражением (9.111). В коэффициентах cJmm
факториал
(y'i— I — m{)l
обратит в нуль все члены, для которых X > j1 —mx, а факториал
(J-j1 + X — m2y. = (l — {j\~-m1})l
обратит в нуль все члены, у которых X < (у,—пг^). В результате
останется один член, у которого k = j1—ml, и коэффициент cJmm
примет следующий вид:
У — г_пЛ-
B/J! 1'А
440 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
В этом частном случае
^& I mitn% I
nil, ™г
B7)] у /Л+«1 \/Л + 'Иг\ eg П5Ч
Пользуясь соотношением
Г(г)ГA-г) = 1^. (9.116)
эту сумму можно упростить. Будем рассматривать все факториалы
как Г-функции. Тогда
х\ х\
у )— у!(дг —у)! ~ у!Г(л-
я sin я (л: —у+ 1) Г(у-д-)
sin я (х -\- 1) я у! Г (— х)
Воспользовавшись этим результатом, перепишем (9.115) в виде
V \,j |2 = (_гO,+л-/BуI
^ Гт,т,| (у_у14-/,IG-Л+ЛI
X У (Vrn'Mf71"/1"»)- ^9Л18)
Применяя формулу бинома, получаем
а, |3
откуда
(Т)=
а, |3
Р
§ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества движения 441
Применяя это соотношение к (9.118), находим
С ,„, ,2_ (-1)/1+л-уBУ)! Г -2У-2
ТП\, ТП2
j-f /П2 — J
B7)!
+Л+/+П ,9120)
h
где при выполнении последнего преобразования мы снова воспользо-
воспользовались (9.117). Из (9.113) имеем
)П'А ,0191ч
Коэффициенты Клебша—Гордана равны
причем ру задается формулой (9.121), а с^; m —формулой (9.111).
Выписанные только что формулы чрезвычайно сложны, но в не-
некоторых частных случаях они значительно упрощаются.
a) J=j\-\-j2- В (9.111) остается лишь член с Х = 0, и
•-["i
(J + М)\ (J — М)\
i + «01 (У| - л»»)! (Л + «*) 1
BУ)!
(J\mxj2m2 \J=jx+ J2, M) =
2Л
J2 —тг
г — М
; (9.123)
б) J=ji — у2- В (9.111) остается лишь член с Я —/2—т2, и
у _ , 1\/>+таГ U\ + mi)\(]{ — m{)\ Г/а
m'm= V ' L (Л + m2)I (Л — ma)\ (J + M)\ (J — M)\\ '
p =
(9.124)
При y2 =
= J\ —
442
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
поэтому эти два частных случая дают нам полную систему коэффи-
коэффициентов.
Коэффици
1
1
h 2
енты
/
Клебша -
1
2;, +1
,/ Л-я
К 2/, +
-Гордана
\
1
при
/ ¦'1
/
/
Уг — '/г
1
— «2,4-1
2Л + 1
у, 4" т\
2/, 4-1
Свойства коэффициентов Клебша — Гордана подробно изучены и
составлены их таблицы.
Мы обнаружили, что к комплексно сопряженному представлению
можно прийти подстановкой их->и2, щ^> — их. При этой под-
подстановке
Vm->{-\)'-m?_m, (9.125)
и функции ^_ преобразуются по представлению Z)'7' . Из (9.125)
и E.140) мы находим соотношение между Зу-коэффициентами и коэф-
коэффициентами Клебша — Гордана:
h h h
= (_1)Л-т»B>/д-|_1) h(j\mj2m2\j3, —из). (9.126)
Свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана можно найти
из последнего равенства и результатов § 9 гл. 5.
ГЛАВА 10
ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ В я-МЕРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ; НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРЫ
В этой главе мы введем определение тензоров, преобразующихся
по любой группе О линейных преобразований в «-мерном пространстве.
Тензоры ранга г образуют векторное пространство размерности пт
и являются базисом некоторого представления группы G. Пользуясь
операторами перестановки (симметризаторами Юнга), мы можем раз-
разложить это представление на неприводимые представления группы G.
Для некоторых подгрупп общей линейной группы GL(ri) таких,
как ортогональная группа 0{п) и симплектическая группа Sp{n),
можно определить процесс свертки тензора, что позволит провести
дальнейшее разложение.
Методы, применяемые в этой главе, тесно связаны с рассмотре-
рассмотрением симметрической группы в гл. 7. Во многих случаях результаты
гл. 7 будут сформулированы повторно в новой терминологии.
§ 1. Тензоры, преобразующиеся по группе GL(n)
В § 1 гл. 5 мы рассмотрели, как строится произведение пред-
представлений. Предположим, что нам задана группа G линейных пре-
преобразований в «-мерном пространстве Rn (группа О, в частности,
может быть точным представлением некоторой абстрактной группы).
Вектор х в пространстве Rn имеет компоненты хх xn. Пре-
Преобразование а группы G преобразует вектор х в вектор х':
х' = ах, x'l=aijXj (г'=1 «). A0.1)
Рассмотрим теперь «2 величин xtyj (/, /=1 «), которые
можно составить из произведений компонент двух векторов х и у
в Rn. Если преобразование A0.1) применяется к векторам в /?л, то
совокупность величин x^j подвергается преобразованию
Мы видим, что п2 величин xtyj преобразуются в соответствии с пре-
преобразованием аХа — кронекеровским квадратом преобразования а.
Совокупность «2 величин Ftj, преобразующихся по закону
образует тензор $?.. второго ранга.
444 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Группа G преобразований в я-мерном пространстве Rn индуци-
индуцирует группу преобразований аХа в га2-мерном пространстве тензо-
тензоров $f.. . В заданном базисе тензор Ж.. описывается своими п2 ком-
компонентами Ftj.
Компонентами тензора второго ранга служат га2 величин xtyj,
образованных из компонент любых двух векторов х и у, принадле-
принадлежащих Rn. В частности, в качестве вектора х можно выбрать вектор,
[х-я компонента которого равна 1, а все остальные компоненты
равны 0, и, аналогично, выбрать вектор у, у которого v-я компонента
равна 1, а все остальные равны нулю. Тензор второго ранга ^(ху),
построенный из этих двух векторов, имеет одну ненулевую компоненту:
Заставляя |i, v пробегать значения 1, 2, .... п, мы получим
п2 независимых тензоров второго ранга. Все тензоры второго
ранга Ж., можно выразить в виде линейных комбинаций базисных
тензоров ^(ху).
Мы еще раз подчеркиваем, что тензоры sF.. преобразуются
по группе О, так как закон преобразования A0.3) определяется
соотношением A0.1). Если мы выберем другую группу линейных
преобразований в я-мерном пространстве, то получим другое про-
пространство тензоров второго ранга.
Точно так же можно определить тензор л-го ранга, преобразую-
преобразующийся по группе G. Если векторы х подвергать преобразованию A0.1),
то пг величин х^хФ . . . xir) (/„ = 1, . ¦ ., п, р = 1 г), обра-
зованных из г векторов х^1*, хB\ .... х^г), принадлежащих /?„,
преобразуются следующим образом:
х?УхРУ ... х[гУ = а, . а, , ... а. . *]>х® . . ¦ xlp. A0.5)
'i 's lr i;i 2;2 1т'т >\ 'г 'г
Тензор r-го ранга Ж —это величина, которая в данном
базисе описывается пг компонентами Ft i ... i и преобразуется как
произведение г векторов:
Р'и , =а{ ,а ... a .F, , ,. A0.6)
Иными словами, преобразование а в Rn индуцирует преобразование
а X а X • • • X а (г сомножителей) в пространстве тензоров г-го
ранга.
Сначала в качестве группы G мы выберем общую линейную
группу GL(n) всех невырожденных линейных преобразований в га-мер-
га-мерном пространстве. Позднее в этой главе мы рассмотрим некоторые
подгруппы GL(ji).
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров 445
Задачи 1. Покажите, что всякий тензор r-то ранга можно линейно
выразить через произведения, построенные из г вектороз в Rn.
2. Покажите, что матричные элементы преобразований тензоров
/"-го ранга представляют собой однородные многочлены степени г отно-
относительно матричных элементов преобразований группы G.
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров,
преобразующихся по группе GL (й)
Начнем с тензоров второго ранга. В § 2 гл. 5 было показано,
что кронекеровский квадрат а X а приводим. Переставляя индексы
/j, /2 тензора Ftj,, мы получаем тензоры
которые образуют базис симметричного и антисимметричного произ-
произведения представлений соответственно. Таким образом, перестановка
индексов и взятие линейных комбинаций разлагает пространство
тензоров второго ранга на два инвариантных подпространства.
Метод, которым мы воспользовались в этом простом случае,
можно описать следующим образом. Каждой перестановке р, при-
принадлежащей симметрической группе S2, мы сопоставили оператор р,
действующий на тензоры второго ранга Fij2. Оператор р, применен-
примененный к тензору F, дает тензор pF, где
' 2'
Оператор р действует на индексы 1, 2. Рассмотрим, например,
тензор Fit/2 при /г = 4. Компонента тензора FSi имеет индексы
/1 = 3, /2=4. Оператор перестановки р при р = A2) переводит 1г
в /2, а /2 в 1\> т- е- переводит 3 в 4, а 4 в 3:
Точно так же для компоненты F^ с индексами ^ = 2, 12^=3 имеем
Для компоненты F^ с индексами 1Х = /2 = 3 получаем
(Р^)зз = -^зз
Симметрические и антисимметрические тензоры
Fixi2 ± Z7/^,
можно записать в виде
446 Глава 10 Линейные группы в п-мерноч пространстве
где е—тождественный оператор Применяя операторы е ± р, мы
получаем разложение пространства тензоров Fhi2 на инвариантные
подпространства Но, как мы видели в § 1, 2 гл. 7, эти операторы
являются симметризаторами Юнга, порождающими неприводимые
представления группы S2
Оператор р коммутирует с преобразованиями A0.3) в про-
пространстве тензоров:
\ь\>№1и. (Ю.8)
или в сокращенной записи
р(аХа)/7 = (аХа)р/7. A0.8а)
Причина этого состоит в том, что произведение а1 я . бисимме-
трично: если к 1Ъ 12 и j\, j2 применяется одна и та же перестановка,
то произведение не изменяется.
Закон преобразования для тензоров г-го ранга задается соотно-
соотношением
К I I = ai , п, , ¦ ¦ ¦ пг , F, , ]• A0-6)
которое мы будем сокращенно записывать в виде
^=
Каждой перестановке
1
принадлежащей симметрической группе Sr, мы ставим в соответствие
(Ю.9)
r
оператор р, действующий на индексы тензора Ft i ...
или сокращенно
Тогда
= (F')P (i) = аР и) р u)Fp (!) —
где при выполнении второго преобразования мы использовали A0.9),
а при выполнении последнего — тот факт, что преобразование тен-
тензора бисимметрично:
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров
44?
Соотношение A0.10) показывает, что операторы перестановок р
коммутируют со всеми бисимметричными преобразованиями в про-
пространстве тензоров. Поэтому те тензоры r-го ранга, которые обла-
обладают какой-либо особой симметрией, будут при преобразованиях A0.6)
переходить в тензоры с такой же симметрией. В силу этого все
пространство тензоров r-го ранга разлагается на подпространства,
состоящие из тензоров с симметрией определенного типа.
Чтобы получить тензоры r-го ранга, обладающие симметрией
определенного типа, мы применим к тензору общего вида Ft ...,-
симметризаторы Юнга (см. § 10 гл. 7). Каждой схеме Юнга
х . . . Хк] здесь 2
— г
соответствует некоторый особый тип симметрии тензоров ранга г.
Чтобы указывать тип симметрии тензора, мы будем записывать его
индексы в клетках схемы Юнга. Например, при л = 2 симметриче-
симметрический тензор запишем в виде
* Г~.—[I | я
а антисимметрический тензор — в виде
При л — 3 существует три класса симметрии:
что соответствует разбиениям [3], [21] и [111]. Тензор r-го ранга
с симметрией, описываемой разбиением [Хг ... кк], имеет вид
<2
'А, +А2
'А,
448 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Тензоры эгого типа симметрии порождаются за счет применения
к тензору общего вида r-го ранга оператора Юнга
где Р—оператор горизонтальных перестановок в схеме, a Q—опе-
Q—оператор вертикальных перестановок (см. § 10 гл. 7). Следовательно,
тензор F будет ангисиммегрическим по всем индексам, которые стоят
в одном столбце. Любая компонента тензора, для которой некоторый
индекс в одном столбце встречается дважды, должна быть равна нулю.
Чтобы проиллюстрировать этот метод получения тензоров задан-
заданной симметрии, мы начнем с тензора Qi^i,^ и построим тензор
Оператор Юнга для этой схемы имеет вид Y = QP, где
Р = [е + A2)] [е + C4)], Q = [е - A3)] [е - B4)].
Поэтому
и
--(QPO) —О —О — О А-О. . , . -4-
'hhhlt 'i«j's'4 's'i'i'4 <i'4<3'i ' t;'ihh ¦
Г71ГГ"|
i \ f | /**> j^\ S~> | S~S I
'V1V4 'j'i'i'« '44'з'а ' /4л;,/2 •
1 /~^ /^ /^ ^
Задачи. 1. Найти тензор
получающийся из тензора Gt (- t (- общего вида.
2. Пользуясь результатами § 10 гл. 7, разложить тензор Gl r-1 (- об-
общего вида в сумму тензоров с симметрией определенного типа.
В случае общей линейной группы GL(n) на элементы матрицы а^
не наложено никаких ограничительных условий, поэтому единствен-
единственным процессом разложения пространства тензоров служит исполь-
используемый нами процесс симметризации. Тензоры /•-го ранга заданной
симметрии образуют базис неприводимого представления группы GL(ri),
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров 449
иначе говоря, они являются неприводимыми тензорами, преобра-
преобразующимися по группе GL(ri). Позднее мы увидим, что для неко-
некоторых подгрупп группы GL(n) возможно и дальнейшее разложение.
Какие типы симметрии реализуются при заданных значениях п
и г? Если схема Юнга содержит более чем п строк, то по крайней
мере один индекс должен повторяться в первом столбце, так что все
тензоры симметрии этого типа должны быть тождественно равны
нулю. Поэтому можно ограничиться схемами, число строк в которых
равно самое большее и, и записывать разбиения в виде
[Я,, ... Хя\,
где
Если схема содержит больше чем п строк, то некоторые из чисел X
равны нулю и при выписывании разбиения их можно опускать.
Кроме того, можно показать, что реализуется всякая схема, число
строк которой меньше или равно п, т. е. что существуют ненулевые
тензоры с симметрией всех таких типов. Рассмотрим схему Юнга Т
с числом строк т-4^п. Будем исходить из тензора О, все компо-
компоненты которого, за исключением одной, в некотором базисе равны
нулю:
вг~ .= 1
A0.12)
Индексы этого тензора упорядочены в соответствии со схемой Юнга Т.
Когда мы применяем симметризатор Y —QP к схеме Т, оператор Р
оставляет тензор A0.12) без изменений (с точностью до множителя).
Оператор Q переставляет индексы в каждом столбце в отдельности.
Поэтому (с точностью до числового множителя) компоненты тензора
F = YO равны: -)-1 для индексов, получающихся из индексов тен-
тензора A0.12) при четных перестановках, —1, если индексы получены
нечетной перестановкой, и 0—в других случаях. Таким образом,
все неприводимые подпространства для схем, у которых т^п, реа-
реализуются.
Трансформационные свойства тензора общего вида r-го ранга
A0.6) были такими же, как и у произведения компонент г векторов
A0.5). Для симметрических и антисимметрических тензоров г-го ранга
можно построить простые тензоры из произведений компонент век-
векторов. Чтобы получить полностью симметрический тензор r-го ранга,
450
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
выберем все векторы х(/> в A0.5) равными одному и тому же век-
вектору х. В эгом случае мы получим симметрический тензор с компо-
компонентами х. xi ... х( . Собирая вместе все множители с одним и
тем же значением индекса, мы сможем переписать компоненты в виде
х^х . . . хапп, где
^1 |" ^2~Т~ ' ' • ~~I ^п == ^*
Например, при г —2 мы получаем компоненты x2L (i=\, .... и) и
х х (i <Г / I = 1 п 1)
Антисимметрический тензор второго ранга можно построить из
двух векторов хA) и хB>. Выпишем матрицу
4?
4?
A0.13)
Минор, содержащий две строки
— h h —
служит компонентой (/j, i2) антисимметрического тензора
Frr
\ii\
Аналогично, компоненты полностью антисимметрического тензора
§ 3. Размерность неприводимых представлений группы GL(n) 451
r-го ранга можно образовать из миноров порядка г матрицы
A0.14)
xf> . . .
При г = п мы получаем тензор с одной независимой компонентой —
полностью антисимметрический тензор л-го ранга. Преобразование а
в пространстве Rn приводит к умножению этого тензора на deta.
Если ограничиться подгруппами, содержащими только унимодулярные
матрицы, то антисимметрический тензор [хA) . . . x<">] оказывается
инвариантным при всех преобразованиях и кратным единичному ан-
антисимметрическому тензору п-го ранга
-f-1, если /j/2 ••• in -—четная перестановка
чисел 1 п.,
i ...i =< —1. если lxi2 ... in — нечетная перестановка A0.15)
чисел 1 п,
\ 0, если какой-либо индекс повторяется.
Компоненты тензора е// . * имеют одни и те же числовые зна-
значения в любом базисе.
Задачи. 1. Покажите, что тензоры [хA) ... х'г)] образуют базис для
антисимметрических тензоров r-го ранга.
2. Покажите, что тензоры xL xl ... х( образуют базис для сим-
симметрических тензоров r-го ранга.
§ 3. Размерность неприводимых представлений
группы QL (га)
В этом параграфе мы найдем число независимых компонент тен-
тензоров, обладающих симметрией определенного типа. Прежде чем
приводить общую формулу, рассмотрим несколько простых примеров.
При г = 3 тензоры
симметричны по всем трем индексам, вследствие чего мы получаем
одну независимую компоненту при любом выборе индексов ilt /2. h
независимо от их порядка. В качестве типичной независимой компо-
компоненты выберем компоненту, индексы /,, /2, /3 которой отвечают
452 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
стандартной таблице (см, § 3 гл. 7), т, е. упорядочим индексы так,
чтобы /i^f2"C^3- Например, при д=1 существует только одна
компонента
г тгпгл
При п = 2 индексы I могут быть равны только 1 или 2, и четырьмя
независимыми компонентами будут
Эту процедуру легко обобщить на случай полностью симметрического
тензора г-го ранга для произвольного п. Выберем независимые ком-
компоненты так, чтобы они соответствовали стандартной таблице, т. е.
чтобы «i^/2"C ¦¦• ^C^r- Тогда
/j</2+1</3+2< ••• </, + /¦ —1
суть различные целые числа из набора 1,2 («+'" — *)¦ В силу
этого число независимых компонент равно числу способов, которыми
можно выбрать г различных чисел из набора 1, 2 {п-\~ г — 1),
т.е. числу сочетаний из п-\-г — 1 по г;
При и = 2, г = 3 получим число компонент, равное ( „ ) = 4,
что согласуется с приведенным выше подсчетом.
При г = 3 мы рассмотрим далее симметрию типа
Для разбиения [21] в симметрической группе S3 существуют две
стандартные таблицы
В тензор
вместо любого из индексов tv l2, /3 мы можем подставить любое из
чисел 1, 2, ...,«. Их следует расположить в естественном порядке.
§ 3. Размерность неприводимых представлений группы GL(n) 453
Если ij = а < /2 — ^ <С 'з^1 с> то стандартные компоненты имеют вид
\a\\c\
Аналогичным образом мы можем поступить и в том случае, если не-
некоторые из чисел I совпадают. При стандартном расположении лю-
любого набора чисел /j, t2, i3 они не должны убывать при дви-
движении по строке слева направо и должны убывать при движении
по столбцу сверху вниз. (Так как тензор антисимметричен по аргу-
аргументам, стоящим в одном столбце, компоненты с двумя равными
индексами в одном столбце обращаются в нуль.) Если все индексы
различны, то при каждом выборе трех различных чисел 1Ъ t2, i3 из
набора 1, 2 п мы получим две стандартные таблицы, что при-
приводит к числу независимых компонент, равному
2-
E)-
Если два индекса равны (например, 112 или 122), мы получим одну
стандартную таблицу
(U 12
U ИЛИ2
Таким образом, мы получаем п(п—1) независимых компонент этого
типа. Компоненты, у которых все три индекса равны, должны обра-
обратиться в нуль. Поэтому размерность пространства тензоров
равна
^« —д_ _
Наконец, для антисимметрических тензоров
существует одна стандартная таблица при каждом выборе индексов,
и в ненулевой компоненте все индексы должны быть различными.
454 Глава 10 Линейные группы в п-мерном пространстве
Таким образом, размерность пространства антисимметрических тензо-
тензоров третьего ранга равна ("). Аналогичные рассуждения показы-
показывают, что размерность пространства антисимметрических тензоров
r-го ранга равна I I.
Задача. Используйте этот метод для отыскания размерности про-
пространства тензоров
F
Перечислите набор независимых компонент для случаев п = 3; п = 4.
Второй метод, который особенно полезен при малых значениях г,
основан на разложении внешних произведений (см. § 12 гл. 7). Ком-
Компоненты xt вектора х в пространстве Rn образуют тензор первого
ранга, соответствующий схеме Юнга
?
Произведения компонент xi и компонент у у второго вектора обра-
образуют внешнее произведение
п® п
которое можно разложить следующим образом:
Q, 00.16)
т. е. на симметрический и антисимметрический тензоры второго ранга.
Число компонент в левой части соотношения A0 16) равно га2, что
совпадает с суммой размерностей ra(/z-f-1)/2-(-п(п—1)/2 двух не-
неприводимых представлений, стоящих справа от знака равенства.
Рассмотрим далее произведения компонент симметрического тен-
тензора второго ранга и компонент какого-нибудь вектора:
DD ® D = ??? + [=Р A0.17)
Число независимых компонент в левой части этого равенства равно
п • [п(п-\- 1)/2]. Стоящий справа симметрический тензор третьего
§ 3. Размерность неприводимых представлений группы QL(n) 455
ранга имеет I ~]Т ) независимых компонент. Вычитая из первого
числа второе, найдем, что пространство тензоров
D
преобразующихся по группе GL(ti), имеет размерность
NW\ = 2 6 — 3 ' A0-18)
что согласуется с нашими прямыми подсчетами. Чтобы обозначать
размерность пространства тензоров с симметрией [Хг ... Хп\, мы
пользуемся символом
Аналогично из внешнего произведения
». 1] (Ю.19)
находим
(п + р1)(п\§. A0.20)
Наиболее мощный метод отыскания размерности "Мщ состоит
в использовании правила ветвления, аналогичного правилу ветвления
для симметрической группы (см. § 5 гл. 7). Мы кратко наметим ход
рассуждений и сформулируем результаты.
Группа GL(n) содержит много подгрупп, которые изоморфны
группе GL(n—1). Такие группы мы, например, получим, если огра-
ограничимся теми преобразованиями из GL(ri), которые оставляют ком-
компоненту хп неизменной. Неприводимое представление группы GL (га)
будет разлагаться в сумму неприводимых представлений подгруппы
GL(n — 1). Предположим, что неприводимое представление группы
GL(n) соответствует схеме Юнга [A,t ... Хп]:
???0S
Ifxl
Независимые компоненты тензора—это те компоненты, которые со-
соответствуют стандартной таблице. Если индекс п встречается в стан-
стандартной таблице, он может появиться только в последней ячейке
каждого столбца схемы, как это указано на фигуре крестиками.
Иначе говоря, индекс п. может появиться только в тех ячейках, ко-
которые входят в „избыток" каждой строки по сравнению с последую-
последующей. Когда мы переходим к подгруппе GL(n — 1), индекс п может
456 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
исчезнуть из таблицы. В этом случае мы получаем все возможные
схемы с (п,— 1) символами, которые можно получить из первоначаль-
первоначальной схемы. Таким образом, неприводимое представление группы GL(n),
соответствующее схеме
[^i ... К\.
разлагается в сумму неприводимых представлений группы GL(n—1),
соответствующих схемам
[К • • • 4-J.
где
\ > Ц > \ > Ц > .. . > Хя_, > %'п_х > \я. A0.21)
Приравнивая размерность представления группы GL(n) сумме раз-
размерностей представлений в полученном разложении, найдем рекур-
рекуррентную формулу
....Ч-. 2 "
••• кп-1
где сумма взята по всем наборам Х^ ^я-i* УД°влетВ0Ря101Цим
соотношениям A0.21).
Для симметрических тензоров имеем рекуррентную формулу
•• +""Ч]. (Ю.23)
а для антисимметрических тензоров —
%П = "~1"[Л + #'Ч'-1Г A0.24)
Дпя получения общего выражения для размерности "A^^j можно вос-
воспользоваться правилом ветвления. В результате получим
NW = В(я-1, я-2 0) • A °-25)
где lj = X]-\- п—у и D—определитель, заданный соотношением G.23).
§ 4. Неприводимые представления подгрупп
группы GL(n): SL{n), U(n), SU (n)
В этом параграфе мы покажем, что неприводимые представления
группы GL(n) остаются неприводимыми, когда мы переходим к не-
некоторым ее подгруппам.
Элементы матриц неприводимого представления группы GL(n)
тензорами г-ro ранга будут однородными многочленами сте-
степени г относительно элементов atj матрицы преобразования а
[см. A0.1)]. Если представление подгруппы Н такими матрицами
оказывается приводимым, то его матрицы с помощью подходящей
замены базиса можно привести к виду C.113). Это преобразование
§ 4. Неприводимые представления подгрупп группы GL(n) 457
базиса не будет приводить матрицы всех преобразований группы GL(ri)
к такому же виду, так как мы исходим из неприводимого предста-
представления группы GL(n). При преобразовании базиса матричные эле-
элементы остаются однородными многочленами степени г относительно а,].
Таким образом, представление будет приводимым для подгруппы Н,
если некоторый набор однородных многочленов Pv(a.) степени г
обращается в нуль при всех преобразованиях а из Н, но не обра-
обращается в нуль при всех а из GL(n).
Группа GL(n) состоит из всех невырожденных линейных пре-
преобразований с комплексными коэффициентами. Предположим, что
Н — подгруппа группы GL'(n) вещественных линейных преобразо-
преобразований. Приводимость преобразований группы GL'(п) означает, что
набор полиномов Pv(a) обращается в нуль при всех вещественных
значениях своих аргументов а,ц. Но из теорем, которые можно найти
во всех учебниках алгебры, следует, что если набор многочленов
обращается в нуль при всех вещественных значениях своих аргу-
аргументов, то он должен обращаться в нуль и при всех значениях аргу-
аргументов вообще. Поэтому если какое-то представление оказывается
приводимым для GL' (я), то оно должно быть приводимым и для
группы GL(n). Обратно, неприводимое представление группы GL(n)
остается неприводимым, если мы ограничимся вещественными пре-
преобразованиями.
Рассмотрим далее унимодулярную группу SL(ri). Любую матрицу а
группы GL(n) можно записать в виде
a = ab,
где
detb=l,
если положить
a = (deta)v".
Таким образом, каждой матрице а из GL(ri) соответствует некоторая
матрица b из SL(n). Предположим, что многочлены Pv обращаются
в нуль при преобразованиях унимодулярной группы: Pv(b) = 0 при
всех b из SL(n). При любых преобразованиях а, принадлежащих GL(ri),
где b принадлежит SL(n). Следовательно, Pv(a) = 0. Отсюда выте-
вытекает, что из приводимости представления группы SL(n) следует его
приводимость для GL (и). Обратно, неприводимое представление
группы GLQi) остается неприводимым и для SL(n).
Задача. Докажите, что неприводимое представление группы QL (л)
останется неприводимым, если мы перейдем к подгруппе вещественных
унимодулярных преобразований SL' (п).
458 Глава 10 Линейные группы в п-мерном пространстве
Те же результаты можно получить, рассматривая представления
алгебры Ли группы GL(n). Инфинитезимальными матрицами GL(n)
являются матрицы, все элементы которых равны нулю, кроме эле-
элемента, стоящего на месте (if) и равного единице. Базис алгебры Ли
образует набор элементов ХцA, j=l п), удовлетворяющих
соотношениям коммутации
[Хи, Xkl]=6jkXn-6nXkj. A0.26)
Элементы Хц можно представить дифференциальными операторами:
Алгебра Ли состоит из всех элементов
ч
Для группы GL'Qi) коэффициенты а^ должны быть вещественными.
В случае группы GL(n) коэффициенты а^ могут принимать любые
комплексные значения. Предположим, что представление
есть представление, в котором базисным элементам Xц соответствуют
матрицы DlJ. Тогда общему элементу алгебры будет отвечать мат-
матрица
Если представление приводимо для GL' («), то можно найти базис,
в котором матрицы
имеют вид C.113) при всех вещественных значениях а1}. Иначе го-
говоря, если представление приводимо для GL'(n), то некоторый набор
линейных форм относительно сс;у обращается в нуль при всех веще-
вещественных значениях a{j. Но если это так, то эти линейные формы
должны обращаться в нуль при любых комплексных значениях а^,
и представление оказывается приводимым и для GL(n). Обратно,
если представление неприводимо для группы GL(ji), то оно должно
быть неприводимым для QL'(п).
Задача. Путем рассмотрения представления алгебры Ли докажите,
что неприводимое представление группы GL (п) остается неприводимым
для групп SL (п) и SL' (п). (Указание. Покажите, что условие унимоду-
лярности приводит к еще одному линейному соотношению между коэф-
коэффициентами ау.)
§ 4. Неприводимые представления nodipynn группы ОЦп) 459
Унитарная группа U {п) определяется условием
UUf=l.
Элементы ее в окрестности единицы имеют вид
U=l— IS,
где 5 — инфинитезимальная матрица. Из условия UUf=\ находим,
что 5 — 5+ = 0. Таким образом, инфинитезимальными матрицами
группы U(п) служат эрмитовы матрицы. Выберем в качестве базис-
базисных элементов алгебры Ли п2 элементов:
k=hj; Х(кп: 1 для элементов (kj) и (Jit);
все остальные элементы равны 0.
Х'{к}): I для элемента {kj), —/ дтя эле-
элемента (jk), все остальные элементы A0.28)
равны 0.
k = j; X**kk): 1 на месте (kk), все остальные
элементы равны 0.
Элементами алгебры Ли группы U(я) служат все линейные ком-
комбинации базисных элементов A0.28) с вещественными коэффициен-
коэффициентами. Комплексные коэффициенты дают нам алгебру Ли для группы
GL(n). Повторяя рассуждения, которые проводились для GL'(п), мы
видим, что неприводимое представление группы GL(n) остается не-
неприводимым для U(n).
Задача. Докажите, что неприводимые представления группы GL (п)
остаются неприводимыми при переходе к унитарной унимодулярной под-
подгруппе SU (п). [Указание. Используйте результат, состоящий в том, что из
неприводимости представления группы GL (л) следует его неприводимость
для SL (л). Затем от SL (п) переходите уже к SU (п).)
Из изложенных выше рассуждений мы знаем, что неприводимые
представления групп SL(n), U (я) и SU (п)—это те представления,
которые были найдены в § 2 настоящей главы. Однако для указан-
указанных подгрупп группы GL(ri) эти представления могут и не быть
независимыми.
Схема Юнга [Iя] имеет одну стандартную таблицу, и соответствую-
соответствующее неприводимое представление группы GL(n) одномерно. В каче-
качестве базисного вектора этого представления можно взять тензор
[х'1* . . . х(л>] из § 2 настоящей главы. Если мы совершаем преобразо-
преобразование с матрицей а, этот тензор умножается на det a.
460 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Задача. Докажите последнее утверждение, выписывая преобразова-
преобразование антисимметрического тензора [xfI^ ... x'"'j.
Аналогично для схемы Юнга [2Л] существует одна стандартная
таблица
и один независимый базисный элемент. Это представление одномерно.
Если мы выполняем преобразование с матрицей а, то тензор умно-
умножается на (detaJ.
В общем случае ддя схемы [sn] представление одномерно, и тен-
тензор умножается на (detaI*, если мы производим преобразование
с матрицей а.
Предположим, что имеется представление группы GL(ri) со схе-
схемой [Xi ... Х„]. Если к схеме добавить столбец из п клеток, то един-
единственным набором индексов, расположенных в стандартном порядке,
который можно вписать в этот дополнительный столбец, будет набор
1, 2, ..., п. Таким образом, число стандартных таблиц для нового
представления
l^ + i, V-H К + П
то же, что и для представления [Х^ . .. Хп]. Единственное измене-
изменение в матрицах представления состоит в том, что они умножаются на
общий множитель deta. Точно так же если мы добавим s столбцов
длины п к схеме [Яц ... Хп], то новая схема [A^-f-s, X2-\- s, .... Xn-\-s\
будет иметь то же число стандартных таблиц, что и схема [ХХХ2 ... А.я].
Матрицы этого нового представления отличаются от матриц предста-
представления [Хх ... Хп] на множитель (det аI*.
Если мы рассматриваем унимодулярные подгруппы OL(ri) такие,
как SL(ri) или SU (п), то det а = 1 и представления, соответствую-
соответствующие схемам [^ ... Хп] и [A^-f-s, A.2 + s, .. ., A.n-j-s], эквивалентны.
В случае унимодулярных групп необходимо рассматривать только
такие схемы, у которых число строк меньше п:
[ХгХ2 ... XJ^^-X», Х2 — %п Яя_!— 1п]. A0.29)
Существует еще одно соотношение эквивалентности, которое встре-
встречается в случае унимодулярных групп. Схема \\п~ \ имеет п стан-
стандартных таблиц. Число базисных функций для этого представления
§ 5. Ортогональная группа в п-измерениях
461
в точности то же, что и для представления со схемой [1]. При уни-
модулярных преобразованиях эти два представления эквивалентны:
Задача. Покажите, что для унимодулярных преобразований
Общий результат мы сформулируем без доказательства. Для уни-
унимодулярных преобразований
[Pi,Pi2 ... 1„}^1К -К К - Vi. • • •• К ~Ч- (Ю.ЗО)
Схема, показанная сплошными линиями на этой диаграмме, эквива-
эквивалентна пунктирной схеме, дополняющей ее до прямоугольника.
В частности,
§ 5. Ортогональная группа в п-измерениях.
Свертка. Тензоры с нулевым следом
Если мы от линейной группы OL(n) перейдем к ее ортогональной
подгруппе О (га), то представления с помощью тензоров, обладающих
симметрией заданного типа, не будут более неприводимыми. Причина
этого состоит в том, что, кроме операции симметризации, которой
мы пользовались при построении неприводимых представлений группы
GL(n), появляется новая операция свертки, которая коммутирует
с ортогональными преобразованиями.
Предположим, что рассматривается пространство тензоров г-го
ранга с компонентами Ft t i . В случае линейной группы OL(n)
единственными операциями, которые коммутируют с кронекеров-
ской г-й степенью преобразования а, являются перестановки тензор-
тензорных индексов. В § 2 настоящей главы мы воспользовались операто-
операторами перестановок для того, чтобы разложить пространство тензо-
тензоров г-го ранга на подпространства тензоров заданной симметрии.
В случае ортогональных преобразований
aiJalk = aJlaki=b]k. A0.31)
462 Глава 10. Линейные группы 6 п-мернйм пространстве
Если, например, приравнять первые два индекса тензора Ft i ...j
и просуммировать по всем значениям ix = i2, то мы получим след
тензора по первым двум индексам
/^l,-^»....!,-*/,,/,,,,!, ...,,. (Ю.32)
Процесс свертки дает новый тензор (г — 2)-го ранга. Операция
свертки коммутирует с преобразованием тензора:
F'ili%...ir = aii)aliJt...alrJFJij2...lr, A0.6)
Операцию свертки можно применять к любой паре индексов. В силу
этого существует г (г — 1)/2 следов ^"^(а < fS; а, р=1 г)
тензора r-го ранга.
Выберем теперь из пространства тензоров r-го ранга подпро-
подпространство тензоров, у которых след по любым двум индексам равен
нулю. Из A0.33) мы видим, что это подпространство инвариантно;
тензоры r-го ранга, у которых след равен нулю, переходят друг
в друга при преобразованиях, индуцированных группой О (я). В самом
деле, можно показать, что всякий тензор Fi ... i допускает одно-
однозначное разложение на тензор F0, у которого след равен нулю, плюс
тензор вида
члН
•
Чтобы показать это, рассмотрим подпространство 2 всех тензо-
тензоров Ф. Условие „ортогональности" тензора F этому подпространству,
(F, O)=Fii..,ii!$ii...ir = 0 для всех Ф, A0.35)
означает, что след тензора F по любым двум индексам должен быть
равен нулю. [Выберем тензоры Ф так, чтобы только слагаемое OA2j
было отлично от нуля. В этом случае условие A0.35) приводит
к соотношению
Поскольку компоненты тензоров G' произвольны, мы должны иметь
§ 5. Ортогональная группа в п-измерениях 463
Аналогично, выбирая Ф так, чтобы только слагаемое О ^ было от-
отлично от нуля, докажем, что след тензора F по любой паре индек-
индексов (ар) равен нулю.] Таким образом, совокупность тензоров F0,
у которых след равен нулю, образует подпространство, ортогональ-
ортогональное подпространству 2, а все пространство разлагается в прямую
сумму этих двух подпространств
Пространство 2, определенное в A0.34), есть инвариантное под-
подпространство. В самом деле, каждое из слагаемых в отдельности при
ортогональных преобразованиях переходит в слагаемое того же вида
а> ; at i . .. at ,¦ (б,- t О,- > ) =
= *',',*'./, • • • «'Л- >, = *',',°?» V <l0-37>
Таким образом, разложение A0.36) остается инвариантным при орто-
ортогональных преобразованиях.
Мы приведем пример разложения A0.36) при г = 2. Для тен-
тензора Ftj второго ранга имеем
ц \ / \ц j u] = Ф^ + F°u- (Ю.38)
Тензор
имеет след, равный нулю. Ранг тензора
равен
г —2 = 0.
При г = 3 запишем тензор Fi^i, в виде
° llk + J.,,6,,,, A0.39)
и потребуем, чтобы тензор F0 имел след по любой паре индексов,
равный нулю.
След по паре индексов A2): Fuit = nHis-\-Ki,-\-Lit.
След по паре индексов A3): Fuj = #/2 + nKi2-\-L{l.
След по паре индексов B3): Ftsu == Hit
464
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Решая эти уравнения, получаем
^-^]. (Ю.40)
Задача. Найдите выражение для составляющей /"> тензора четвертого
ранга Fi ( t it через компоненты этого тензора.
§ 6. Неприводимые представления группы О (га)
Заметим теперь, что перестановка индексов переводит один тен-
тензор, след которого равен нулю, в другой тензор, обладающий тем
же свойством. Поэтому, чтобы получить тензоры с симметрией задан-
заданного типа, у которых след равен нулю, за исходное следует брать
подпространство тензоров r-го ранга с нулевым следом и приме-
применять к ним симметризаторы Юнга. Действуя таким образом, мы
приходим к неприводимым представлениям группы О (я).
Итак, неприводимое представление группы О (га) оказывается свя-
связанным со схемой Юнга [A,j ... Хп], где Д-i-{-А,2 + ••¦ + ^п==/>-
Однако не все схемы Юнга являются допустимыми. Для целого класса
схем тензоры, след которых равен нулю и которые имеют опреде-
определенный тип симметрии, тождественно равны нулю. Общая теорема
гласит следующее.
Теорема. Тензоры с нулевым следом, соответствующие схемам
Юнга, имеющим сумму длин первых двух столбцов больше га,
должны быть тождественно равны нулю. Иначе говоря, тензоры
т
h
A0.41)
где а-(-6>га, должны иметь вид A0.34).
Мы не будем приводить доказательства в общем случае. Вместо
Этого мы дадим доказательство в некоторых простых частных случаях.
§ 6. Неприводимые представления группы 0(п) 465
Начнем с л = 2. Симметрический тензор
* mm
имеет а-\-Ь = 2. Так как это число не превышает я = 2, можно
построить тензор, у которого след равен нулю и который обладает
такой симметрией. Независимыми будут компоненты Fn и F12. Осталь-
Остальные компоненты выражаются через них:
^22 = ^11 и ^21 = ^12-
Для схемы
а-{-Ь = 2. Поэтому тензоры данного типа, у которых след равен
нулю, существуют. В самом деле, так как этот тензор антисимметри-
антисимметричен по I и у, его след должен быть равен нулю.
При г = 3 тензор с нулевым следом
имеет независимые компоненты Fm, Fm. Другие стандартные ком-
компоненты задаются соотношениями
^Ш-Г" ^122 = 0» ^112 + ^222 = 0.
Так как я = 2, все тензоры, отвечающие разбиению [111], равны
нулю.
Тензор
р
имеет только две ненулевые компоненты:
Fu и Fn.
2 2
Но если мы потребуем, чтобы след тензора был равен нулю, то
получим уравнения
2
466 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Таким образом, тензоры
с нулевым следом обращаются в нуль тождественно в соответствии
с общей теоремой (а -|- Ъ = 3 > 2). Мы также видим, что те же
рассуждения применимы к тензорам
с нулевым следом и с любым числом дополнительных индексов
в первой строке схемы Юнга. При каждом фиксированном наборе
значений дополнительных индексов приведенные выше рассуждения
показывают, что тензор равен нулю, если следы по паре индексов
(ij) и (jk) равны нулю.
Из общей схемы A0.41) мы видим, что число независимых тен-
тензоров, полученных с помощью свертки по паре индексов, очень мало.
Так как тензор F антисимметричен по 1Х ia, то след по /v и I
будет одним и тем же (за исключением, быть может, различия в знаке)
для всех элементов iv первого столбца. Таким образом, при свертке
нам необходимо выбирать один произвольный индекс в каждом столбце
(например, можно произвести свертку только по парам индексов
в первой строке схемы).
При п = 3 рассмотрим тензоры [22] с нулевым следом, у которых
a-f-* = 4>3. Условия обращения следа в нуль могут быть двух
типов:
2 /¦'.. = 0, где кф1, и 2Л*=0.
i ki i kk
В случае условий первого типа, когда k и / заданы, I может при-
принимать единственное значение, не равное k, /, откуда мы получаем
такие уравнения, как
Fn = Q, F22 — 0 и т. д.
23 23
Для условий второго типа находим уравнения
22 +зз u 22
U U 22 22 33 33
Так как тензор антисимметричен по аргументам одного столбца, эти
уравнения можно переписать в виде
Fn + Fn = 0, Fn + Fn=O. Fn-\-F32=0.
22 33 22 33 33 33
§ 6. Неприводимые Представления ipynhu V(n)
467
Их единственным решением являются
Fn = Fn = /*22 = 0.
22 33 33
Таким образом, мы обнаруживаем, что тензоры с нулевым следом,
отвечающие схеме Юнга [22], тождественно равны нулю, что согла-
согласуется с общей теоремой.
Задача. Примените этот метод при п = 3, чтобы показать, что тен-
тензоры с нулевым следом, отвечающие схеме Юнга [31], обращаются в нуль
тождественно.
Проделайте то же для тензоров, отвечающих схеме Юнга [221], при
я = 3 и л = 4. Чю произойдет при п = 5?
Из предыдущей общей георемы мы заключаем, что допустимыми
являются лишь те схемы, для которых сумма длин первых двух столб-
столбцов меньше или равна п. Допустимые схемы можно разбить на пары
сопряженных схем Т и V следующим образом: длина первого столбца
в схеме Т меньше или равна я/2, а-^.п/2, длина первого столбца
в схеме Т равна п — а, а все остальные столбцы в схемах Г и Г
имеют одинаковую длину. Так как для допустимой схемы
имеем
п —
и (п — а
ге.
Отсюда следует, чго схема Т' допустима, если допустима схема Т.
Например, при /t = 3 схемы
ппппп ппппп
?
[5]
Т
[51];
V
п п
п
[1] [11]
TV
A0.42)
сопряжены. (Вообще разбиения [г] и [г, 1] сопряжены.)
При п=^5 сопряжены схемы
пппппп
[6]
т
пппппп
п
п
[6111];
г
пппп
п
[41]
т
ппп
[411]
V A0.43)
468 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
При ге = 4 сопряжены схемы
?шш
????
[5] [511]
Т V A0.44)
Однако при четных значениях п имеем
Г Г A0.45)
Если п четно (n = 2v) и a=l/2n = v, то схемы Г и Т' совпа-
совпадают. Говорят, что Г—самосопряженная схема.
Таким образом, чтобы описать схему Т, можно воспользоваться
символом (щ, ц2 M-v). гДе На ^- М-2 ^- • • • <> I-V причем некото-
некоторые из чисел ц могут быть нулями. Схема Т содержит m-j-Hj-f-
-f- . .. -f-p,v= r индексов. Схема Т' содержит больше индексов,
если только схема Т не является самосопряженной.
Все допустимые схемы для заданного значения п можно исчерпать,
полагая г = 0, 1, 2 ... и отбирая все неотрицательные числа fi,
удовлетворяющие уравнению
И1 + И2+-.. +|iv=r. A0.46)
Здесь « = 2v, если п четно, и « = 2v-j-l, если п нечетно. Для
каждого решения уравнения A0.46) мы получаем схему Т и строим
сопряженную ей схему Т'. Если п нечетно, то каждая схема полу-
получается только один раз. Если п четно и схема Т содержит v = «/2
строк, то схема Т' совпадает с Т.
Инвариантное подпространство, определяемое допустимыми схе-
схемами, непусто. С помощью метода, аналогичного методу, использо-
использовавшемуся в § 2 настоящей главы [уравнение A0.12)], можно построить
тензоры с нулевым следом для любой допустимой схемы.
До сих пор мы рассматривали полную ортогональную группу О(п).
Если мы ограничимся собственной ортогональной группой О+ (п),
для которой det a = -f-1, то представления, соответствующие сопря-
сопряженным схемам Т и V', становятся эквивалентными. При нечетном и
представление, соответствующее самосопряженной схеме Т, распа-
распадается на два неэквивалентных неприводимых представления.
В качестве простого примера заметим, что при ге = 3 схема Г = [1]
описывает векторы, а схема r=[llj описывает кососимметрические
§ 6. Неприводимые представления группы 0(п)
469
тензоры. При собственных ортогональных преобразованиях оба типа
величин преобразуются одинаковым образом, так что схемы Т и Т'
эквивалентны. При несобственных преобразованиях (инверсиях) тен-
тензоры, отвечающие схеме 71 —[1], меняют знак (полярные векторы),
в то время как для схемы Т' = [11] тензоры знака не меняют (акси-
(аксиальные векторы).
Для физических приложений представляет интерес только случай
нечетного п, когда неприводимые представления группы О+ («) можно
полностью описать с помощью символа (щ, ц2 'p.v).
При п = 3 v=l, поэтому неприводимые представления группы
О+ C) описываются одним значком (\i{). Базисными функциями служат
симметрические тензоры Щ-го ранга с нулевым следом. Если речь
идет о представлениях группы GZ.C), то размерность пространства
тензоров, отвечающих схеме [Хг], будет равна
h
Условие обращения в нуль следа тензора дает к1(к1 — 1)/2 соотно-
соотношений. Из этого следует, что число независимых функций для ((д,х) равно
2 — ^ ' '
Базисными функциями являются сферические функции порядка Щ.
Поэтому величины, преобразующиеся так же, как сферические функции
порядка (ij, будут неприводимыми тензорами [преобразующимися по
группе ОьC)].
Задача. Докажите, что сферические функции порядка I образуют
базис представления (/) группы О+ C).
Таблица 46
Неприводимые представления группы 0+ E)
@0)
A0)
B0)
(И)
C0)
B1)
D0)
C1)
N
1
5
14
10
30
35
55
81
(HiHj)
B2)
D1)
C2)
D2)
C3)
D3)
D4)
N
35
154
105
220
84
231
165
470
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
При ге = 5 v = 2, из чего следует, что неприводимые предста-
представления групп О+E) (табл. 46) характеризуются двумя целыми числами
|Xj и [i2, причем
И-1 > М-2-
Размерность представления (М1И2) задается формулой
^ + i). A0.47)
Таблица 47
Неприводимые представления группы 0+ G)
@00)
A00)
B00)
(ПО)
C00)
B10)
(Ш)
D00)
C10)
B20)
B11)
D10)
C20)
C11)
B21)
D20)
D11)
C30)
N
1
7
27
21
77
105
35
182
330
168
189
819
693
616
378
1911
1560
825
C21)
B22)
D30)
D21)
C31)
C22)
D40)
D31)
D22)
C32)
D41)
D32)
C33)
D42)
D33)
D43)'
D44)
N
1617
294
3003
4550
2079
1386
3003
7722
4095
2310
8008
9009
1386
10296
6006
9009
4719
При ге = 7 v = 3, откуда следует, что неприводимые предста-
представления группы О+G) (табл. 47) характеризуются тремя целыми
числами |ij, p,2, р,3> для которых выполняется неравенство
1^1 > Й2 > ЙЗ-
§ 7. Разложение неприводимых представлений
группы U (и) на представления группы О+(»)
В § 5 настоящей главы мы разложили пространство тензоров г-го
ранга в прямую сумму двух подпространств: пространства тензоров F0
с нулевым следом и пространства 2 тензоров Ф, имеющих вид A0.34).
§ 7. Разложение неприводимых представлений группы U(n) 471
Оба подпространства были инвариантными относительно ортогональ-
ортогональных преобразований. В § 6 настоящей главы мы применили симмет-
ризаторы Юнга к тензорам Ft ... / с нулевым следом, чтобы по-
получить неприводимые представления группы О+ (я). Инвариантное же
подпространство 2 тензоров Ф не является неприводимым. При-
Применяя операцию свертки, можно разложить тензоры Ф; ... / в прямую
сумму:
Ф=/71 + Ф', A0.48;
где/71—то подпространство в 2, у тензоров которого все „следы
по двум парам индексов" равны нулю:
F...t...i.,.k...k... = 0
при всех расположениях повторяющихся индексов t и k, а Ф' есть
сумма членов вида
\'PVv^* •" Wa+. - Vi'0+. - W, + . - 'v-.'v-И - V <10-49>
С помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям, изложенным
в § 5 настоящей главы, можно показать, что формула A0.48) задает
разложение пространства 2 в прямую сумму инвариантных подпро-
подпространств F1 и Ф'. Следовательно, тензоры F разлагаются в прямую
сумму
/^/я+^ + Ф'- A0.50)
Тензоры F1 имеют вид
где тензоры G имеют ранг v=r — 2 и след, равный нулю. Таким
образом, неприводимые представления группы U (п) тензорами г-го
ранга содержат представление группы О+(п) тензорами (г—2)-го
ранга с нулевым следом. Далее, применяя симметризаторы Юнга, мы
можем получить неприводимые представления группы О+ (п). Этот
процесс свертки можно продолжить, в результате чего произвольный
тензор Ft ... i можно будет записать в виде суммы членов
V-r••*'..'.'.%¦¦¦'«. Bs+t;=/-)- A0-52)
где тензор Ф/ „.; имеет нулевой след.
Если мы берем за исходные тензоры r-го ранга, обладающие
наперед заданной симметрией, то процесс повторной свертки при-
приведет к разложению их на тензоры с нулевым следом ранга г, г — 2,
f — 4 ц т. Ц,
472 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Прежде чем рассматривать этот процесс разложения, покажем
на примере, как используются повторные свертки. Рассмотрим пол-
полностью симметрические тензоры r-го ранга, которые можно образо-
образовать из компонент At вектора А. Пусть
Допустимые тензоры третьего ранга имеют вид
, A0.53)
где во второй член следует включить множитель А2, так как должны
получиться однородные выражения степени 3 относительно компо-
компонент вектора А. Кроме того, второе выражение A0.53) несиммет-
несимметрично, в то время как след тензора AtAjAk должен быть симметричен
по индексам. Симметризуем второе выражение, заменив его на
А2(Лг6д + ЛД, + ЛАу). A0.54)
След по индексам (lj) тензора A0.54) равен («-)-2)А2ЛА; след по
индексам (lj) тензора А1А^Ак равен А2ЛА. Поэтому симметрический
тензор третьего ранга с нулевым следом имеет вид
- A2 (AfiJk + Afikl + Akbtj). A0.55)
симм
т ви
F=AiAJAkAl,
При г = 4 допустимые симметрические тензоры, образованные из
компонент вектора А, имеют вид
...). (Ю.56)
Ф' = (А2J F,Д, + б1Ав„ + buf>fk).
Тензор с нулевым следом запишется в виде
)/7 — (я+2)Ф + Ф'. A0.57)
Задача. Найдите тензор 5-го ранга с нулевым следом, образованный
из компонент вектора А. Выведите общую формулу для тензора произ-
произвольного ранга г.
Разложение представления [Хх, .... Хп] групп U(п) на предста-
представления (\ilt ..., цу) группы О+(«) означает, что тензор F с сим-
симметрией [кг ... кп] записывается как сумма членов A0.52), где
тензор Ф имеет симметрию [щ ... nv]. Так как каждый из множи-
множителей 6; / ' в A0.52) обладает симметрией схемы [2], можно сказать,
Uy Uy v *
что тензор F с симметрией [Aj ... Хп] получается из тензора Ф
§ 7. Разложение неприводимых представлений группы U(n) 473
с симметрией [щ ... p,v], если взять внешнее произведение последнего
тензора с тензорами, каждый из которых обладает симметрией [2]:
[кх ... Хп] содержится в [щ .. . nv] ® [2] ® . . . ® [2]. A0.58)
« сомножителей
Для специального случая s= 1 [уравнение A0.34)] получаем такие
схемы (цг p,v), для которых произведение
[ц, . . . Щ,] <g [2] A0.59)
содержит [Я,! ... Х„]. Разложение внешних произведений было про-
проделано нами в § 12 гл. 7. Для специального случая A0.59) схема
(ji,, ..., nv) получается из схемы [^ ... Хп] путем правильного
удаления двух клеток. Например, при [А.] = [4] правильное удаление
двух клеток оставляет [j-i'l^l^]. Вторичное удаление двух клеток
оставляет [ц"] = [0]. Таким образом, представление группы U(я),
отвечающее схеме [4], разлагается на представления
[4] = D00. . .)+B00. . .) + @00. . .), A0.60)
если мы переходим к группе О+ (я). [Многоточие в A0.60) озна-
означает нули, так как символы (^ |XV) должны содержать v членов.]
Для представления [21] группы U (п) после правильного удале-
удаления двух клеток остается [1]. Соответствующее разложение имеет вид
[21] = B1) + A0). A0.61)
Для представления [22] группы U(ri) после правильного удале-
удаления двух клеток остается [2], а после второго правильного удаления
остается [0], поэтому
[221 = B2) + B0) + @0). A0.62)
Задача. Разложите тензоры с симметрией [21] так, как указано
в уравнении A0.61).
То же проделайте для тензоров с симметрией [22].
Для бблыиих схем процедура становится сложной. Схемы, у ко-
которых сумма длин первых двух строк превышает п, не имеют тензора
с нулевым следом. В этом случае надо принимать во внимание экви-
эквивалентность сопряженных схем.
Вместо того чтобы попытаться дать общий вывод, мы приводим
таблицы разложений при л = 5 и п = 7 (табл. 48 и 49). Большинство
результатов можно получить с помощью простого метода, приведен-
приведенного выше.
Таблица 48
Разложение представлений группы U E)
Оь E)
т
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U E)
[0]
[1]
[2]
[И]
[3]
[21]
[4]
[31]
[22]
[211]
[41]
[32]
[311]
[221]
[2И1]
[42]
[411]
[33]
[321]
[3111]
[43]
[421]
[331]
[«И]
[322]
[3211]
[44]
[431]
[425]
[4211]
[441]
[432]
[1311]
[4221]
[442]
[4411]
[4321]
[4222]
@0)
A0)
B0)
(П)
C0)
B1)
D0)
C1)
B2)
B1)
D1)
C2)
C1)
B2)
B0)
D2)
D1)
C3)
C2)
C0)
D3)
D2)
C3)
D0)
C2)
C1)
D4)
D3)
D2)
D1)
D4)
D3)
D2)
D1)
D4)
D3)
D2)
D0)
на
@0)
(Ю)
(Ю)
B0)
B0)
B0)
(И)
B1)
C0)
B1)
B1)
(И)
D0)
C1)
C1)
C1)
B1)
D1)
D1)
C2)
C1)
C0)
B2)
D2)
D2)
C2)
C2)
D3)
D2)
D0)
C2)
D3)
C3)
D1)
C1)
представления
@0)
(И)
@0)
C0)
B1)
(И)
(Ю)
C1)
B1)
(И)
B2)
(Ю)
C2)
C2)
C1)
B0)
B2)
B1)
D0)
C3)
D0)
C1)
D2)
D1)
C3)
C1)
D2J
D1)
C3)
B2)
A0)
A0)
B2)
(И)
B1)
C0)
C1)
B1)
(И)
B1)
B0)
B2)
D1)
C1)
C0)
D1)
C3)
C2)
B2)
C2)
C2)
C22)
B0J
(
B0J
B0)
B1)
B2)
(И)
A0)
(И)
B0)
C2)
B2J
B1J
C2)
C2J
C1J
C0)
D0)
C1)
C1J
@0)
группы 0
Э+E)
HiH>)
@0)
(И)
A0)
C0)
@0)
C1J
B0J
(И)
B2)
C1)
B2)
B1J
C1)
B1)
C0)
B1J
B2)
@0)
C0)
C0)
B1)
(Ю)
B2J
(И)
B2J
ь E)
A0)
B1)
B1)
B2)
B0)
B0J
B1J
B0) (И)
A0)
B1J (Ю)
(И)
@0)
B0) A1)
1
5
15
10
35
40
70
105
50
45
224
175
126
75
24
420
280
175
280
70
560
700
315
160
210
175
490
1050
560
450
980
1120
720
480
1176
700
1024
200
§ 8. Симплектичвская группа Sp(n)
Таблица 49
Разложение представлений группы U G) на представления
группы 0+ G)
(для г<6)
г
0
1
2
3
4
5
6
ид)
14
[0]
[1]
[2]
["]
[3]
[21]
[111]
[4]
[31]
[22]
[211]
[41]
[32]
[311]
[221]
[2111]
[42]
14П]
[33]
[321]
[222]
[3111]
[2211]
[21111]
@00)
A00)
@00)
(НО)
A00)
A00)
A11)
@00)
A10)
@00)
(ПО)
A00)
A00)
A11)
A00)
A11)
@00)
(ПО)
(ПО)
A10)
@00)
A11)
(ПО)
A11)
B00)
C00)
B10)
B00)
B00)
B00)
B11)
B10)
B10)
B10)
B10)
BП)
B00J
B11)
C10)
B00)
B00)
B11)
B11)
B10)
0+G)
D00)
C10)
B20)
C00) D10)
C00) C20)
C11)
B21)
B20) C10) D00) D20)
C10) D11)
C30)
B11) B20) C10) C21)
B20) B22)
(ЗИ)
B21)
N\K]
1
7
28
21
84
112
35
210
378
196
210
1008
882
756
490
224
2646
2100
1176
2352
490
840
588
140
§ 8. Симплектическая группа Sp (»).
Свертка. Тензоры с нулевым следом
Ортогональная группа в «-мерном пространстве О(п)—это группа
линейных преобразований а, оставляющих инвариантным скалярное
произведение
•• +хпу„. A0.63)
Если рассматривать О (я) с более общих позиций, то можно было бы
определить ее как группу линейных преобразований, оставляющих инва-
инвариантной положительно определенную симметрическую билинейную
форму. Путем подходящей замены базиса такую форму можно за-
записать в каноническом виде A0.63).
476 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Симплекшическая группа в п измерениях Sp (n) есть совокуп-
совокупность всех линейных преобразований а, относительно которых инва-
инвариантна невырожденная кососимметрическая билинейная форма.
Иначе говоря, невырожденная билинейная форма
\xy)=gtkxlyk (gik = — gki), A0.64)
являющаяся косым произведением векторов х и у, остается неиз-
неизменной при преобразованиях а группы Sp(ri). Матрица
G = (***)
в уравнении A0.64) кососимметрична:
G = — G. A0.64а)
Взяв определители матриц в соотношении A0.64а), получим
detG = (— l)"detO.
Если п нечетно, detG = O и билинейная форма A0.64) выро-
вырождена. Поэтому симплектическую группу можно определять только
для четномерных пространств (« = 2v, v — целое). Условие, что
форма A0.64) инвариантна относительно преобразования а, имеет вид
aGa = G. A0.65)
Базис в л-мерном пространстве можно всегда выбрать таким обра-
образом, чтобы косое произведение A0.64) имело простой канонический
вид. Начнем с произвольного ненулевого вектора е, в «-мерном про-
пространстве. Так как косое произведение A0.64) невырождено, можно
найти вектор у такой, что {ъ\у} ф 0. Умножив у на некоторое число,
получим вектор ег, для которого {eier} = 1. Теперь мы располагаем
уже двумя векторами ei и ег, удовлетворяющими условиям
= 1. A0.66) 4
Векторы еь ег линейно независимы: если Я^ + цег = 0, то, взяв
косое произведение этой линейной комбинации с векторами ei и ег
по очереди, обнаружим, что Я, = ц = 0.
Векторы г пространства /?„, которые удовлетворяют двум линей-
линейным (независимым) уравнениям
{eiz} = 0, {erz}=0, A0.67)
образуют (п — 2)-мерное линейное подпространство в /?„. Всякий
вектор х из Rn можно записать в виде
rer + z. A0.68)
где вектор г удовлетворяет A0.67). В самом деле, пользуясь A0.66)
и A0.67), получаем
*, = {хег}. *,,= —{хе,}.
§ 8 Симплектическая группа Sp(n)
477
Повторим наши рассуждения для (я — 2)-мерного подпространства.
По индукции мы заключаем, что можно выбрать симплектический
базис из векторов е: ev, ev, (ra = 2v) такой, что
Компоненты вектора х в этом базисе равны ха, ха, (а= 1, .... v).
Вычисляя косое произведение A0.64) в этом базисе, находим
Ы = (*у:у*)+(хууЛ)+ +(*y w)
A0.70)
или
1 при t = a, J = a,
-1 при i = a', J = a, A0.71)
0 в остальных случаях.
Матрица J = (е(;) канонического вида A0.71) удовлетворяет уравнению
12 1 р о . х лп 79)
Вид матрицы A0.71) зависит от порядка, в котором мы записываем
индексы а, а':
J —
0 II
i
— 1 0i
о.
'— 1 0
0 1
— 1 0_
Порядок
индексов 1, 1% 2, 2', ,.., v, v',
i1
! l
—l
—l
Порядок
индексов 1, 2,
— 11
— 1
A0.73)
1.2 v, V', ....2', 1'.
478 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Определитель, построенный из компонент п вектороз хО, .... х<л),
можно выразить через косые произведения. Чтобы показать это, рас-
рассмотрим величину
A0.74)
где суммирование распространяется по всем перестановкам р верхних
значков (т. е. по всем перестановкам векторов хA> х(л)).
а &р — четность перестановки р. Записывая косые произведения через
компоненты векторов с помощью соотношения A0.71), мы замечаем,
что выражение A0.74) принимает вид
Л *llXX XX
Сумма
отлична от нуля только в том случае, если все индексы lt, .... in
различны. Дтя любого набора различных сх 1п эта сумма равна
6Я • [х'1) . . . х<">],
где бя — четность перестановки я, которая переводит 1, 2, ..., п
в 1Ъ ..., /„, а [хA) ... х(л)] — определитель из компонент вектороа
х'1) х(л). Поэтому выражение A0.75) равно
Произведение е,- i . . . ei i отлично от нуля только в том случае,
если каждая пара индексов принимает значения а, а' или а', а. Член
еп,е22, ... evy, равен -f-1. Перестановка местами пар индексов дает
по-прежнему +1. Соответствующая перестановка я четна, вследствие
чего 6=1. Замена еаа, на еа,а приводит к тому, что значение про-
произведения теперь уже равно —1. Но такая замена соответствует не-
нечетной перестановке я, у которой 6Я = —1. Таким образом, каждое
ненулевое слагаемое в этой сумме вносит вклад, равный 1. Число
таких слагаемых равно 2v-v!, так что выражение A0.76) равно
. . . х<")], и мы получаем следующий результат:
[Х<и ,.. х<»4 = —!— ^6р (х«хB)) . . . {x^-DxC)}. A0.77)
е
§ 8. Симплектическая группа Sp(n) 479
При выполнении линейного преобразования а в пространстве Rn опре-
определитель [хA) . . . х(л>] умножается на deta. Но если а — симплекти-
ческое преобразование, то оно оставляет косые произведения в правой
части A0.77) неизменными и поэтому не должно изменять определи-
определитель [х^ . . . х'")]. Следовательно, для матрицы симплектического
преобразования а определитель deta—1—симплектические пре-
преобразования унимодулярны. Здесь уже нет необходимости прово-
проводить различие между собственными и несобственными преобразова-
преобразованиями, как мы делали для группы О (и).
Метод получения неприводимых представлений симплектической
группы Sp(n) очень схож с тем методом, которым мы воспользова-
воспользовались для получения неприводимых представлений ортогональной
группы О(п).
Если мы от линейной группы GL(ri) переходим к ее симплекти-
симплектической подгруппе Sp(n) в четномерном пространстве (w = 2v), то
представления группы GL(n) с помощью тензоров заданной симметрии
становятся приводимыми. Стало быть, кроме операции перестановки
тензорных индексов, мы должны выполнять операцию свертки, ко-
которая коммутирует с симплектическими преобразованиями.
Рассмотрим пространство тензоров ранга г с компонентами
Ft ... i . Для симплектических преобразований а, пользуясь преобра-
преобразованием A0.65) в каноническом базисе, получим
ii = 4)- A0.78)
Из тензора Ft t ...i , умножая его на е^ / и суммируя по ц и i2,
можно построить след по паре индексов A2):
tf,4.../r = ev/Wl...v A0.79)
В результате операции свертки получается тензор (г — 2)-го ранга.
Свертка коммутирует с симплектическими преобразованиями. Если
а —симплектическое преобразование, то
F't i i =ai iai j ¦¦¦ ai jFj i j> A0-6)
р/(Щ p F' в n n n n F
Ч -'г~ V, W, -lr~~ V2 Mi V» Va " " " У, V.'i -h~
= a ... a Ff) =Ffr (. A0.80)
lsh lrh h •" h з ••• lr
Процесс свертки A0.79) можно применять к любой паре индексов,
в результате чего мы получим г (г—1)/2 следов F(a^} тензора r-го ранга.
Выберем такие тензоры r-го ранга, у которых следы по всем
парам индексов равны нулю. Равенство A0.80) показывает, что
480 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
подпространство таких тензоров с нулевым следом инвариантно относи-
относительно преобразований, индуцированных группой Sp (п.). Каждый тен-
тензор Ft ... t можно однозначно разложить на тензор F° с нулевым
следом плюс тензор вида
Доказательство в этом случае полностью совпадает с доказательством,
приведенным в § 5 настоящей главы. Мы получаем разложение про-
пространства тензоров в прямую сумму инвариантных подпространств:
Ftl...tr = Otl...tr+F°il...ir. A0.82)
Инвариантность подпространства 2 тензоров Ф, имеющих вид
A0.81), доказывается аналогично A0.37). При симплектических пре-
преобразованиях каждый член в сумме A0.81) переходит в член того же
вида
Метод отыскания тензора с нулевым следом аналогичен тому,
который использовался при рассмотрении группы О(п). Например,
при г = Ъ запишем тензор Fijj, в виде
Fin=F°iit +Htcn +Ki*tt +LtBn- (Ю.84)
Требование обращения в нуль следа тензора F° приводит к урав-
уравнениям:
След по паре индексов A2): F^ = пН1ъ—Ki,—Цг.
След по паре индексов C1): Ff^=—Ht2-{-nKt2—Lt2.
След по паре индексов B3): Ff^=—Я/,—Ktl-\-nLtl.
Решая их, найдем
„_!,_2 ]• A0.84а)
§ 9 Неприводимые представления группы $р(п) 481
§ 9. Неприводимые представления группы Sp (»).
Разложение неприводимых представлений
группы U(n) на представления ее симплектической подгруппы
Точно так же, как в случае ортогональной группы, перестановка
индексов переводит один тензор с нулевым следом в другой тензор
с нулевым следом. Если принять за исходное инвариантное под-
подпространство тензоров F® r-го ранга с нулевым следом, то, применяя
симметризаторы Юнга, мы сможем разложить его на подпространства
тензоров с нулевым следом, обладающих симметрией определенного
типа. Действуя так, мы придем к неприводимым представлениям
группы Sp (п.).
Каждому неприводимому представлению группы Sp (я) соответ-
соответствует схема Юнга [^j ... Хп], где ^i + ^2+ • • • -\~%.п = г- Однако
не все схемы допустимы. Мы докажем, что тензоры с нулевым сле-
следом, соответствующие схемам Юнга, число строк в которых больше
v = n/2, тождественно равны нулю. Чтобы доказать эту теорему, по-
покажем, что тензоры, соответствующие схемам, содержащим больше
чем /г/2 строк, должны иметь вид A0.81). Нам необходимо рассма-
рассматривать только индексы в первом столбце схемы. Поэтому мы пред-
предположим, что тензор Ft ... tm антисимметричен по индексам /] . .. lm,
где m.>v = w/2. Как мы показали в § 2 настоящей главы, такой
тензор является суперпозицией тензороввидаA0.14), т. е. [х<:). . .х<т>].
Добавим к этому множеству векторные переменные y(m+i), ..., у(«)
¦ и построим определитель
[х(*> ... x<m)y<m+1> ... у(")]. A0.85)
Компоненты тензора
будут коэффициентами при одночленах
1тЛ-\ 1п
Из соотношения A0.77) определитель A0.85) можно записать
в виде суммы членов, в которых векторы х*1' xW, yC"+i), ..., у(")
взяты попарно, а в полученном тензоре произведена свертка. По-
Поскольку т > v, по крайней мере одно косое произведение в каждом
члене, стоящем в правой части соотношения A0.77), должно содер-
содержать только векторы х, что приводит к появлению множителя
е, . x^xW, в результате чего такой член будет иметь вид A0.81).
Vp la (р
Следовательно, если т > v, то след тензора равен нулю. [На самом
деле мы доказали даже нечто большее: число сомножителей в пра-
правой части A0.77), в которых векторы х входят парами, должно быть
по крайней мере равно (т —v), вследствие этого каждый член в пра-
правой части A0.77) имеет по крайней мере (т—v) множителей е^.]
482
Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
Из этой теоремы следует, что мы можем ограничиваться схемами,
содержащими самое большее v строк.
Тип симметрии для неприводимых представлений группы Sp (n)
будем обозначать символом (аг ... av), где aL ^>> а2 ^> • • • ^> crv ^> 0.
Базисом этого неприводимого представ тения служат тензоры с нуле-
нулевым следом, симметрия которых задается символом [о1 ... ov]. Раз-
Размерность представления (а, ... av) группы Sp(n) задается формулой
N (a) - JJ •
v — i -f 1
X
i — ft)
(k — /)Bv-f2 — / — k)
A0.86)
Некоторые наиболее простые неприводимые представления группы
Sp(n) при и = 4, 6 и 8 см. в табл. 50.
Таблица 50
Неприводимые представления группы Sp (ri)
11 = 4
г
0
1
2
3
4
(<Tl72)
@0)
A0)
B0)
(И)
B1)
B2)
1
4
10
5
16
14
г
0
1
2
3
4
5
6
@,<J203)
@00)
A00)
B00)
(ПО)
B10)
A11)
B20)
BИ)
B21)
B22)
N (а)
1
6
21
14
64
14
90
70
126
84
л=8
т
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(a,CF2CF3<J4)
@000)
A000)
B000)
A100)
B100)
A110)
B200)
B110)
A111)
B210)
B111)
B220)
B211)
B221)
B222)
N (<j)
1
8
36
27
160
48
308
315
42
792
288
825
792
1056
594
Подпространство S тензоров Ф [соотношение A0.85)] инвариантно
относительно симплектических преобразований, но не является
неприводимым. Так же как в § 7 настоящей главы, мы можем
Таблица 51
Разложение представлений группы U(n) на представления группы Sp(n)
г
0
1
2
3
4
!М
[0]
[1]
[2]
[И]
[21]
[22]
[211]
(о)
@0)
A0)
B0)
@0) A1)
A0) B1)
@0) A1) B2)
B0) A1)
я =-6
г
0
1
2
3
4
5
6
IM
[0]
[1]
[2]
[И]
[21]
[III]
[22]
[211]
[221]
[2111]
[222]
[2211]
[21111]
@00)
A00)
B00)
@00) (ПО)
A00) B10)
A00) (III)
@00) (ПО) B20)
B00) (ПО) B11)
A00) B10) A11) B21)
A00) A11) B10)
B00) B11) B22)
@00) (НОJ B20) B11)
B00) A10)
л = 8
Г
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Щ
[0]
[1]
[2]
[И]
[21]
[111]
[22]
[211]
[1111]
[221]
[2111]
[222]
[2211]
[21111]
[2221]
[22111]
[211111]
[2222]
[22211]
[221111]
[2111111]
{О)
@000)
A000)
B000)
@000) A100)
A000) B100)
A000) A110)
@000) A100) B200)
B000) A100) B110)
@000) A100) A111)
A000) B100) A110) B210)
A000) B100) A110) B111)
B000) B110) B220)
@000) A100J B200) B110) A111) B211)
B000) A100) B110) A111)
A000) B100) A110) B210) B111) B221)
A000) B100) (ШОJ B210) B111)
A000) B100) A110)
@000) A100) B200) A111) B211) B222)
B000) A100) B110J A111) B220) B211)
@000) A100J B200) B110) A111)
B000) A100)
484 Глава 10. Линейные группы в п-мерном пространстве
провести повторную свертку и разложить тензор в сумму членов вида
е ... е, Ф B*+ « = /¦)¦ A0.87)
где след тензора Ф* t равен нулю.
Если взять за исходные тензоры г-го ранга с определенной сим-
симметрией, то процесс свертки приведет к разложению пространства
этих тензоров на тензоры с нулевым следом ранга г, г — 2, г — 4
и т. д., которые обладают определенной симметрией. Разложение
представления [A,j ... Хп] группы U(п) на неприводимые представле-
представления (Oj ... ov) группы Sp (n) означает, что тензор F с симметрией
[Я,1 ... кп] записывают в виде суммы членов A0.87), где тензор Ф
имеет симметрию [^ ... 0V]. Так как каждый из сомножителей
е , в A0.87) обладает симметрией [11], мы видим, что тензор F
Ч «v
с симметрией [Хг ... %п\ получается из тензора Ф с симметрией
[0, ... ov], если взять внешнее произведение s сомножителей, каждый
из которых обладает симметрией [11]:
[кх ... к„] содержится в [0j ... av]®[ll]® .. ¦ ®[11]. A0.88)
s сомножителей
Для специального случая s= 1 [уравнение A0.85)] мы получаем такие
схемы [о1 ... av], для которых внешнее произведение
[0, ... 0V]®[11] A0.89)
содержит [^! ... %„]. Далее мы можем воспользоваться результатами
§ 12 гл. 7 относительно внешних произведений. Для A0.89) схема
@! ... av) получается из [^ ... кп] правильным удалением анти-
антисимметричной пары [11]. После того как это сделано, проводится
второе правильное удаление пары [11] и т. д.
Схема [11] разлагается на схемы A1)-)- @0). Для схемы [22] полу-
получается разложение B2) +A1)+@0). Для разложений \Хг . .. А,я],
содержащих более /г/2 строк, этот процесс становится сложным. Мы
не будем рассматривать общий метод, а приведем таблицы разложе-
разложений для простейших случаев (табл. 51).
ГЛАВА 11
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
К ЗАДАЧАМ АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ
ФИЗИКИ
§ 1. Классификация состояний систем
тождественных частиц по группе SU(n)
Одна из главных задач атомной физики и физики ядра состоит
п определении уровней энергии системы тождественных (эквивалент-
(эквивалентных) частиц. Поскольку точно решить эту задачу для системы взаи-
взаимодействующих частиц мы не можем, приходится прибегать к мето-
методам теории возмущений. Мы предполагаем, что каждая частица
системы движется в некотором усредненном потенциальном поле.
Далее мы находим собственные состояния частицы в таком усреднен-
усредненном поле и выбираем базисные функции для всей задачи в целом
в виде произведений таких одночастичных собственных функций.
В этом случае возмущение будет состоять из какой-то части поля
одной частицы плюс взаимодействие между частицами. Если частицы
тождественны, то оператор взаимодействия будет симметричным по
всем частицам. Следовательно, его матричный элемент, вычисленный
с помощью базисных функций, будет сильно зависеть от симметрии
этих функций относительно перестановки частиц.
Для большей общности мы начнем с предположения о том, что
уже располагаем решением одночастичной задачи, гамильтониан кото-
которой инвариантен относительно группы преобразований G. Функции,
соответствующие данному собственному значению ё-^ одночастичной
задачи, образуют базис некоторого представления D(;) группы О.
Если размерность представления D(-" равна п, то одной и той же
энергии е'-" будут соответствовать п базисных функций i|)b ..., ф„.
Предположим, что мы имеем систему, состоящую из г тождественных
частиц и что в нулевом приближении каждая из частиц обладает
энергией ё-1\ В нулевом приближении любое произведение волновых
функций
1
будет соответствовать одной и той же энергии г • е'А Возмущение
снимет это вырождение. Поскольку полный гамильтониан задачи сим-
симметричен относительно перестановок тождественных частиц, собст-
собственными функциями в нулевом порядке теории возмущений буду.т-те
линейные комбинации произведений волновых функций, которые обла-
обладают симметрией определенного типа. Задача построения таких
ций была решена в гл. 7.
486 Глава 11. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
Другая точка зрения состоит в следующем. Рассмотрим одноча-
стичную волновую функцию ф как вектор в «-мерном пространстве,
натянутом на базисные векторы фх ф„:
Ч>= 2 «Л. 2М2=1- (Н.1)
Если базисные векторы ф,- подвергнуть унитарному преобразованию,,
так что
мы получим другой базис того же самого векторного простран-
пространства. Кроме того, унитарные преобразования можно сделать унимо-
дулярными, если вынести фазовый множитель е'6. Этот фазовый
множитель оказывается общим для всех функций ф^ поэтому он не
меняет ни одного матричного элемента. В результате мы можем счи-
считать, что пространство, натянутое на функции ф! ф„, дает нам
базис (точного) представления унитарной унимодулярной группы SU (п).
Если мы имеем систему, состоящую из г тождественных частиц, то
произведения ф, A) ... ф, (г) образуют базис представления
1 т
группы SU (/г) посредством тензоров r-го ранга. В этом случае наша
задача заключается в том, чтобы построить неприводимые предста-
представления группы SU (и) посредством тензоров r-го ранга с определен-
определенной симметрией. Эту задачу мы решили в гл. 10.
Из приведенных выше соображений следует, что пространство
тензоров г-го ранга играет две роли:
1) оно служит пространством представления группы SU («);
2) оно служит пространством представления группы О. Если про-
пространство тензоров г-го ранга разложить на подпространства тензо-
тензоров r-го ранга, обладающих определенной симметрией, то мы найдем
неприводимые представления группы SU (п). В то же время каждое
из этих подпространств дает нам некоторое представление группы О.
Одна из главных задач, стоящих перед нами, состоит в том, чтобы
разложить неприводимые представления группы SU (п.) по неприво-
неприводимым представлениям группы О.
§ 2. Разложение момента количества движения.
Разложение представлений группы SU(n)
на представления группы О+ C)
Простейшим примером приведенных выше рассуждений является
Случай, когда гамильтониан отдельной частицы инвариантен относи-
относительно группы О+ C) — трехмерной группы вращений. В этом случае
энергии е(^ отдельных частиц, соответствующие различным непри-
неприводимым представлениям D(;) группы О+ C), хорошо разделяются.
§ 2. Разложение момента количества движения 487
Волновая функция отдельной частицы представляет собой вектор в
B/ -j- 1)-мерном пространстве неприводимого представления D(y\ натя-
натянутом на базисные векторы
Ь (i = —J, —У+1 У—1. У).
Оператор Л--f- J'y -f- Уг принимает на всех векторах этого пространства
фиксированное значение _/(_/ —{— 1), и мы можем, например, выбрать tyt
так, чтобы J^i = t\^i. Из произведений векторов ф мы хотим по-
построить н приводиуые тензоры [относительно группы St/B./-j-1)] и
определить, какие представления D(;) группы О4 C) содержатся в них.
Наиболее простой метод заключается в следующем. Тензор пер-
первого ранга соответствует схеме Юнга [1]. Он дает нам неприводимое
представление [1] группы SUBj-\-\) и неприводимое представле-
представление D(;) группы О+ C). При г = 2 мы получаем неприводимые пред-
представления [2] и [11] группы 5f7 Bу —(- 1). Разложение этих предста-
представлений на представления группы О+ C) легко проводится с помощью
результатов, полученных в § 8 гл. 9 относительно коэффициентов
Клебша — Гордана. Если в соотношении (9.116) положить _/1 = у2 = У,
то
~J (щхх + u2x2)J (vxxx ~j- v2x2)J. A1.3)
Если поменять местами переменные «]<—>vx, u2-^^-v2, то Aj в резуль-
результате умножится на (—\J)~J. Таким образом, если число 2/ — J
четно, то тензор второго ранга, образованный из произведений ф; ф(. t
симметричен, если же число 2J—J нечетно, то тензор антисиммет-
антисимметричен. Следовательно, при целом j представление
DD
содержит
J=2j, 2У —2, .... О, A1.4)
в то время как представление
?
?
Содержит
У=2У—1. 2У—3 1. A1.4а)
При полуцелом j представление
па
имеет
У=2У. 2у 2 1, (Ц.5)
488 Глава П. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
а представление
D
D
имеет
У=2у —1. 2J — '6 0. A1.5а)
Заметим, в частности, что функция, имеющая У=0, является
симметрическим тензором при целом j и антисимметрическим тензором
при нечетном j. Разложение этой функции по ф; получится, если
в A1.3) положить у'=0:
в силу чего нормированная функция при У=0 имеет вид
Для тензоров более высокого ранга мы продемонстрируем наш
метод сначала при j =1/2. Так как /г = 2у" —j— 1 = 2, схемы Юнга
могут содержать самое большее две строки. Далее, из A0.29) сле-
следует
\K4 = \b\—K 0].
Комбинируя этот результат с A1.5), видим, что представление [2]
имеет У=1, в то время как представление [11] = 0 имеет У=0.
Схема [21] эквивалентна схеме [1], так что У= 1/2. Точно так же
любая схема [a-f-1, a]s=[l] содержит У— 1/2. Если мы возьмем
внешнее произведение
?? ® D = ??? + f
то в левой части будем иметь произведения функций с у = 1 и
у =1/2. Получающиеся при этом значения У равны 1/2 и 3/2. Вто-
Вторая схема в правой части имеет У= 1/2, откуда следует, что схема
[3] содержит У=3/2. Повторяя эти рассуждения для произведения
[3]® [l] = [4]-t- [31]
J — о о
§ 2. Разложение момента количества движения 489
мы получаем, что схема [4] имеет У = 2, а в общем случае схема
2 содержит J = (k1—А,2)/2-
Мы уже знаем, что при у=1 (я = 2у -)- 1 = 3)
представление Q (У= 1) имеет размерность 3;
представление LJlJ (У=2, 0) имеет размерность 6;
представление М (У = 1) имеет размерность 3;
представление ? (У=0) имеет размерность 1, так как ге=3.
Затем мы образуем прямое произведение
Комбинируя в левой части j=\ и /=1, мы получаем /=2, I, 0.
В правой части представление [111] имеет У=0, так что предста-
представление [21] содержит У =2, 1. Кроме того, разлагая внешнее про-
произведение
?О ® ? = DDD + РР,
/: 2, 0 1 У=2, 1
получаем У=1, 1, 2, 3, так что представление
DDD = [3]
содержит У=3, 1. Взяв прямое произведение
Е » пп - DDD + nD-
г-j (&> LJLJ — г—| + LJ =
мы получим слева j=\, / = 2, 0, откуда У= 1, 1, 2, 3, так что
представление
Р
Таблица 52
Внешние
произведения
[i]®[ii]
[1] ® [2]
[1] ® [21]
[1] <g> [3]
[1] ® [31]
[1] <8> [32] (==[31])
У = 1
Значения момент
1
количества движения
S
1
1
1
1
1
Р
1
1
2
2
1
2
2
D
2
1
1
2
2
3
3
F
3
1
1
1
2
2
О
4
.
1
1
1
Разложение внешнего
произведения
[21],
[3],
[31],
[4],
[41],
[42],
[0]
[21]
[2],
[31]
[31],
[3],
[1]
[2]
[21]
Таблица 53
Конфигурация (j)r. Разложение
момента количества движения
т
0
1
2
3
4
5
6
1
J '
\ц
[0]
[1]
[2]
[И] = [1]
[3]
[21]
[111] г [10]
[4]
[31]
[22] = [2]
[211] = [1]
[41]
[32] = [31]
[311] = [2]
[221] =: [1]
[42]
[4П] = [3]
[33] = [3]
[321] = [21]
[222] ^ [0]
1, SUC)
J
0=S
1 =Р
0,2 = 5D
I =P
\,3 = PF
\,2 = PD
0=S
0, 2, 4=SDO
1, 2, 3 = PDF
0,2 = 5Л
1 =P
1, 2, 3, 4 = PDFG
1, 2, 3 = PDF
0,2 = 5Л
1 =P
0, BJ, 3, 4 = SD2FG
\,3 = PF
1,3 = PF
\,2 = PD
0 = 5
"(EM,
1
3
6
3
10
8
1
15
15
6
3
24
15
6
3
27
10
10
8
1
§ 2. Разложение момента количества движения
491
Таблица 54
Конфигурация (j)r. Разложение
момента количества движения
т
0
1
2
3
4
М
[0]
[1]
[2]
["]
[21]
[22]
[211]
J
0
3
2
1, 3
0, 2
13 5 7
2 ' 2 ' 2 ' 2
0, BJ, 4
1, 2, 3
лг([М)
1
4
10
6
20
20
15
содержит У=3, 2, 1. Из прямого произведения
???
находим, что
DDD ® ? = ???? +
DDDD-I4]
содержит J — 4, 2, С.
Этот рекуррентный метод, использующий равенства A1.4), A1.5)
и формулы для разложения внешних произведений, позволяет нам уз-
узнать, какие значения момента количества движения J отвечают любому
представлению группы SU (« = 2_/-(- 1). Этот метод мы проиллюстри-
проиллюстрируем на примере 7=1. Выпишем последовательность внешних произ-
произведений в первом столбце таблицы, соответствующие им значения
момента количества движения — во втором и само разложение-внеш-
разложение-внешнего произведения — в третьем (табл. 52). Воспользуемся соотноше-
соотношениями эквивалентности для схем Юнга
[1гХ2 ...Хп] ~
А.я.Я.2 — К
К-1 — КЪ (Ю.29)
Ь,—У A0.30)
при /г=2у-)-1=3. Комбинируя результаты, представленные
в табл. 52, мы находим, какие значения момента количества движения
отвечают представлению [X].
Таблица 55
Конфигурация (j)r. Разложение момента
количества движения
0
1
2
3
4
-
5
6
7
8
9
10
[X]
[0]
[1]
[2]
[И)
[3]
[21]
[4]
[31]
[22]
[211]
[41]
[32]
[311]
[221]
[2Ш1
[42]
[411]
[33]
[321]
[3111] .
[43]
[421]
[331]
[4111]
[322]
[3211]
[44]
[431]
[422]
[4211]
[441]
[432]
[4311]
[4221]
[442]
[4411]
[4321]
[4222]
s
7 = 0
1
•
1
.
1
1
.
2
.
1
1
.
1
•
3
.
.
1
1
1
3
.
.
2
1
4
2
4
1
4
3
2
2
6
.
4
2
p
l
•
•
1
.
1
.
2
•
2
2
2
3
1
1
2
4
3
4
1
4
6
5
2
2
3
1
9
3
6
5
9
7
5
5
7
10
1
D
2
1
1
.
1
2
2
2
2
1
3
4
2
3
1
7
3
1
6
2
7
10
4
3
5
4
6
12
10
6
11
14
10
8
15
7
14
5
J =
f
3
.
1
1
1
.
3
1
2
4
3
4
2
1
5
6
5
6
2
7
11
7
3
4
5
4
16
7
9
11
16
12
9
12
11
18
3
= 2,
a
4
1
1
1
2
2
2
1
4
4
2
2
1
8
4
2
6
2
8
12
5
3
5
4
8
15
11
8
14
17
12
9
18
9
18
5
SUE)
H
5
.
1
1
2
•
1
3
3
3
1
5
5
3
5
1
8
10
6
3
3
3
4
15
7
8
11
16
11
8
13
11
15
3
/ h
6 7
1
1
1
1
3
2
1
1
6
3
2
3
1
6
9
3
2
3
2
7
12
8
5
12
13
9
6
15
7
13
3
¦ L
8
. 1
1
2
1
1
3
3
2
2
5
6
3
1
1
1
3
10
4
4
8
10
6
4
9
7
9
1
M
9
1
1
3
1
.
1
4
4
1
1
1
4
6
4
2
7
7
4
2
9
4
5
1
лг с
1С
1
1
1
1
2
2
1
2
4
1
1
4
4
2
1
4
3
3
? 0
11 12
1
1
1
2
2
1
3
2
1
4
1
1
1
. 1
1
1 1
1
1 1
1
JV(IM)
1
5
15
10
35
40
70
105
50
45
224
175
126
75
24
420
280
175
280
70
560
700
315
160
210
175
490
1050
560
450
980
1120
720
480
1176
700
1024
200
§ 2. Разложение момента количества движения
493
Разложения для j = 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2 приведены в табл. 53-58.
В этих таблицах мы привели разложения лишь для разбиений
с Д-i <^ 4 при целом j и A,j -^ 2 при полуцелом j.
Таблица 56
Конфигурация (f)r. Разложение момента
количества движения
г
0
1
2
3
4
5
6
[М
[0]
[11
[2]
[И]
[21]
[111]
[22]
[211]
[221]
[2111]
[222]
[2211]
[21111]
1 3
2"' 2 '
@J
(lJ-
/IV /I)
Ы ' \2)
~2' Ы
(IK, 2,
(ОJ, 1,
D)
, BK
BJ,
Mi
/^
D)
(ЗM,
BN,
1
0
5
7
1, 3,5
0, 2, 4
"• Ш"
3 5
2 ' 2 '
. 3, D)з,
_C)э, D)
2) ' (Т
П2 15
DJ, E)
CK, D)-
. 2, 3, 4,
9
9
2
5, FJ
\ (бJ,
tol to
17
' 2
D)'
3, (бJ,
, (бJ,
5
11
2"'
, 8
6, 7
)\(
11
• т
GJ,
(бK,
13
2
т
»
9
7,
-Г'
13
2
8
1
6
21
15
70
20
105
105
210
84
175
189
35
При составлении таблиц для больших значений J следует исполь-
использовать прямой метод разложений разбиений вида [1Г], подробно опи-
описанный в § 5 настоящей главы.
Задача. Составьте таблицу разложений для j = 3/2.
Таблица 57
Конфигурация (J)r. Разложение момента
количества движения
У = 3, SU G) для г < 4
г
0
1
2
3
4
W
10]
[1]
[21
[И]
[3]
[21]
[111]
14]
[31]
[22]
[211]
у = 0 123456789 10 11 12
1
... 1
1 ¦ 1 • 1 • 1
•1-1-1
. 1 • 2 1 1 1 1 • 1
• 1 2 2 2 2 1 1 1
1-111.1
2-213131211.1
•33545442211
2 • 4 1 4 2 3 1 2 • 1
• 3 2 4 3 4 2 2 1 1
1
7
28
21
84
112
35
210
378
196
210
Таблица 58
Конфигурация (j)r. Разложение момента
количества движения
j=j,SU (8) для г < 4
г
0
1
2
3
4
[Ц
[0]
[1]
[2]
[И]
[21]
[111]
[22]
[211]
[1111]
1
2 '
2'Ы
о3,
I3,
'¦(у)'
3
2 '
24, З2,
23, З5,
> 1
5
2'
4=,
4"
0.
1,
0,
2/
7
2
52,
55,
22,
J
0
7
1
3, 5, 7
2, 4, 6
•Ш
9 11
' 1' Т
б5, 72, 83,
б4, 74, 82,
42, 5, 6, 8
13
2
9,
92
Г1-
15
2
Ю2,
, ю,
15 17 19
2 ' 2 ' 2
12
11
1
8
36
28
168
56
336
378
70
§ 3. Принцип Паули 495
§ 3. Принцип Паули. Атомные спектры в схеме связи
Рассела—Саундерса
Прежде чем применять результаты предыдущего параграфа к физи-
физическим задачам, следует ввести еще одно условие. Принцип Паули
гласит, что полная волновая функция системы электронов должна
быть антисимметричной относительно любой их перестановки. То
же утверждение остается в силе для любой системы тождественных
частиц с полуцелым спином [т. е. частиц, у которых спиновые вол-
волновые функции образуют базис неприводимого представления D{i)
группы О+ C) с полуцелым j]. Полная волновая функция для си-
систем тождественных частиц с целым спином должна быть симмет-
симметричной относительно любой их перестановки.
В случае многоэлектронных атомов в нулевом приближении мы
рассматриваем одночастичные состояния в некотором усредненном
центральном поле. Состояние одного электрона характеризуется кван-
квантовыми числами п, I, ml% ms. Первое квантовое число задает энер-
энергию, числа / и т1 нумеруют базисные функции представления D()
группы вращений, связанной с орбитальным (внешним) движением,
а число т5 нумерует базисные функции представления D('/j) группы
вращений, связанной с внутренним движением (спином). Возмущение
состоит из кулоновского взаимодействия между электронами и чле-
членов, зависящих от спинов электронов.
Для легких атомов члены, зависящие от спинов электронов, вно-
вносят в энергию малый вклад по сравнению с вкладом от кулоновского
отталкивания. Приближенный метод, в основу которого положено это
предположение, носит название схемы связи Рассела — Саундерса
(L — S-связи). В схеме L — 5-связи мы рассматриваем орбитальные
волновые функции и спиновые функции электронов отдельно. Если
имеется г электронов в одночастичных состояниях с моментом количества
движения /, то произведение орбитальных волновых функций при пре-
преобразованиях группы SUBl-\- 1) будет вести себя как тензор r-то ранга.
Так как кулоновское отталкивание симметрично относительно коор-
координат всех электронов, энергия кулоновского взаимодействия будет
сильно зависеть от симметрии координатной волновой функции. Итак,
соответствующие задаче линейные комбинации являются неприводи-
неприводимыми тензорами r-го ранга. Мы видим, что в общем случае состоя-
состояния с более высокой орбитальной симметрией будут обладать боль-
большей энергией: если волновая функция симметрична относительно неко-
некоторой пары частиц, то кулоновское отталкивание между ними будет
значительным; если же волновая функция антисимметрична относи-
относительно какой-нибудь пары частиц, то кулоновское отталкивание
между ними будет малым.
В то же время мы должны комбинировать внутренние (спиновые)
волновые функции электровоз г. Для одного электрона водндвые
496 Глава 11 Применение теории групп к атомной и ядерной физике
функции образуют базис некоторого представления группы SU B),
поскольку у'= 1/2, 2у" —|— 1 =2 Для г электронов мы должны соста-
составить тензоры r-го ранга определенной симметрии.
Наконец, чтобы получить полную волновую функцию, мы должны
перемножить пространственные и спиновые волновые функции. Но по
принципу Паули полная волновая функция должна быть полностью
антисимметричной. Из результатов, полученных в гл. 7, мы знаем,
как образовать такие произведения: схемы Юнга для пространствен-
пространственной и спиновой функций должны быть сопряженными [ср. выражение
G.211)].
Для спиновых волновых функций мы воспользуемся результатами,
полученными в § 2 настоящей главы для у =1/2. Схема Юнга со-
содержит самое большее две строки (^j-|-X2= r), и результирующий
момент количества движения равен
1
A1.7)
Иначе говоря, схема Юнга для г электронов с полным спином 5
имеет вид
A1.8)
Размерность (мультиплетность) представления равна 25 —|— 1.
Поскольку пространственные волновые функции должны отвечать
сопряженной схеме Юнга (с переставленными строками и столбцами),
то схемы для орбитальных функций могут иметь в каждой строке
самое большее по две клетки. Для орбитальных волновых функций
в задачах атомной физики можно ограничиться разбиениями с Я,] <^2.
Начнем с конфигурации (р)г. В этом случае 1=1. Общее число
различных орбитальных состояний, допустимых для отдельной частицы,
Таблица 59
Уровни электронной конфигурации (р)г
г=1
г = 2
г = 3
Орбитальный момент
количества движения
[1]? = 1
[2] L = 2,0
[21] L = 2,1
[13]Z. = O
Спин
[l]S=-2-
[12]5 = 0
[2] 5=1
121] S = I
Мультиплет
2р
'5, 'D
зр
2Р, 2D
§ 3. Принцип Паули
497
равно 2/ —1— 1 =3. Внутренней волновой функции (с s = 1/2) соответ-
соответствуют два основных состояния. Таким образом, возможно всего
шесть различных состояний, и /^-оболочка заполнится при г = 6.
Все эти результаты содержатся в таблицах предыдущего параграфа.
Мы воспользовались соотношением A1.7) для полных спиновых функ-
функций и табл. 53 для полных орбитальных волновых функций. Резуль-
Результаты приведены в табл. 59.
Нам нет необходимости брать значения г > 3 (т. е. рассматривать
больше чем половину состояний, относящихся к данной оболочке),
ибо остальную часть таблицы можно получить, если воспользоваться
соотношениями эквивалентности A0.29) и A0.30). Например, при г = 4
[22]== [2] и L — 2, 0;
схеме [22] отвечает 5 = 0. Таким образом, мы получаем те же
результаты, что и при г = 2
[2] • [I]2.
Для конфигурации (d)r с /=2 мы воспользуемся табл. 55 для
/=2. Эта оболочка содержит 10 состояний. Полученные уровни
приведены в табл. 60.
Таблица 60
Уровни электронной конфигурации (d)r
г = 1
г = 2
, = 3
г = 4
г = 5
Орбитальный момент количества движения
[1]
[2]
[Р]
[21]
[I3]
[I4]
[212]
[22]
[1*]
[21»]
[221]
. = 2
L = 4, 2,
Z. = 3, 1
Z. = 5, 4,
Z. = 3, 1
Z. = 2
Z- = 5, 4,
? = 6, D)
Г Q
L = 4, 3,
Z. = 6, 5,
0
3, BJ, 1
(ЗJ, 2, (IJ
2, 3, BJ, (ОJ
2, 1
DJ, (ЗJ, BK, 1, 0
Спин
I J "о"
[I2] 5 = 0
[2] 5=1
[21] 5 = 1
[3] S = |
[4] 5 = 2
[31] S= 1
[22] 5 = 0
[5] 5 = |
[41]-S=|
[32] 5 = 1
Мультиплет
2D
'S, 'Д 'G
3Р, 3F
ip B?)N2 2/^
2G, 2H'
<P, <F
•s
498 Глава 11. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
Задачи. 1. Пользуясь табл. 57, составьте таблицу уровней для конфи-
конфигурации (// (I = 3).
2. Рассуждения, к которым мы здесь прибегали, можно применить и
к классификации вращательных состояний двухатомных молекул, у кото-
которых оба атома одинаковы. Воспользуйтесь этими соображениями для
классификации состояний орто- и параводорода, а также орто- и пара-
дейтерия. Напишите функцию распределения для этих молекул в их
основном электронном и колебательном состоянии.
Следующий шаг в теории возмущений состоял бы во включении
в гамильтониан членов, зависящих от спина. В этом случае произве-
произведение представлений DJ и Ds распадется на представления DJ.
Члены, зависящие от спина, приводят к расщеплению мультиплетов.
§ 4. Старшинство') в атомных спектрах
Для конфигурации (р)Г схема симметрии [X] и момент количества
движения L полностью характеризуют состояние: при заданной сим-
симметрии мультиплет встречается только один раз. Иначе обстоит дело
с конфигурацией (df. Для трех частиц существуют два ^-состоя-
^-состояния, обладающих одинаковой симметрией [21]. Многие мультиплеты
встречаются по нескольку раз при одной и той же схеме [X], когда
г = 4, 5. Для классификации этих состояний было бы удобно иметь
какое-нибудь дополнительное квантовое число. Мы хотели бы найти
некоторую группу О, которая содержалась бы в группе SU {21-\-\)
и включала бы группу вращений О+C) в качестве своей подгруппы.
Тогда состояние характеризовалось бы своей схемой симметрии [Х\
для группы SUB1-\-\), неприводимым представлением группы О,
которому оно принадлежит, и своим моментом количества движе-
движения L. Такую группу О можно найти, но получающаяся при этом
классификация состояний оказывается полезной только при условии,
если гамильтониан возмущения коммутирует (или приближенно ком-
коммутирует) с преобразованиями группы О, Если это условие выпол-
выполнено, то параметр, задающий неприводимое представление группы О,
даег нам дополнительное квантовое число, имеющее физический смысл.
Для спектров многоэлектронных атомов такой подгруппой группы G
служит группа O+BZ-f-l).
Прешоложим, что у нас имеется система двух электронов в кон-
конфигурации (ГJ. Орбитальные волновые функции ф^>, фФ двух элек-
электронов являются векторами в B^-f-1)-мерном пространстве предста-
представления D{1) группы вращений. Произведения функций ф'/Vf образуют
') Этот термин используется при переводе английского слова ..senio-
fjty".—Прим. перев.
§ 4. Старшинство в атомных спектрах 499
базис некоторого представления унитарной группы SUBl-\-l) и
в то же время образуют базис некоторого представления группы
вращений ОьC). При j = l (целое число) равенство A1.6) показы-
показывает, что симметрическая билинейная форма (скалярное произве-
произведение) /
W
приводит к сложению моментов количества движения двух частиц и
к полному моменту количества движения L = 0. В пространстве тен-
тензоров трехмерные вращения будут индуцировать линейные преобра-
преобразования, но функция х?l=q, определяемая соотношением A1.9), оста-
останется неизменной. Существует, однако, гораздо более широкая группа
преобразований, которые оставляют инвариантным скалярное произ-
произведение A1.9). Скалярное произведение A1.9) является симметри-
симметрической билинейной формой, заданной на векторах B/ —[— 1)-мерного
пространства. Поэтому оно инвариантно относительно ортогональных
преобразований группы О+ B/ —|— 1), которую мы рассматривали
в гл. 10. Операция A1.9), которая связывает орбитальные функции
двух электронов и приводит к полному моменту количества движе-
движения Z, —0, понижает ранг тензора ф^фф на 2. Эга операция инва-
инвариантна относительно преобразований группы О+B/-|-1). Опера-
Операция A1.9) взятия скалярного произведения представляет собой не
что иное, как операцию свертки, введенную нами в § 5 гл. 10.
Мы видим теперь, что произведения функций ф'.^ф'?' служат про-
пространством представления для трех групп:
SU B/-f 1)idO+ B/ + 1)idO+ C).
Произведения ф^'фФ можно сначала разложить на неприводимые пред-
представления [2] и [11] группы SU B1-\- I). Для функций, относящихся
к представлению [2], мы можем воспользоваться операцией свертки A1.9)
и разложить пространство этих функций на две части: на тензоры
нулевого ранга (ф'1) • ф<2)) и тензоры второго ранга с нулевым следом.
В § 5 гл. 10 эти части обозначались Ф и Fu. Таким образом, пред-
представление [2] группы SUBl-\-l) разлагается на представления @0)
и B0) группы O+B/-f 1).
Скалярное произведение A1.9) симметрично и приводит к Z. = 0.
Соответствующая спиновая функция для двух электронов должна быть
антисимметричной и обладать симметрией схемы [11] с 5 = 0. Поэтому
процесс свертки A1.9) связывает два электрона, в результате чего
возникает '^-состояние.
Следующий этап классификации состоит в разложении предста-
представлений группы О' BZ-J-1) ча представления группы вращений О+ C),
500 Глава 11. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
Разложение момента количества движения
SLJ B1 + 1) -> О+ B/ + 1) -> О+ C)
выполняется без особого труда: представление [2] содержит L=2l,
21 — 2, ..., 2, 0. Подпространство @0) содержит только L—2,
поэтому подпространство B0) содержит /. = 2/, 2/ — 2 2. Функ-
Функции, принадлежащие представлению [11], при свертке обращаются
в нуль. Следовательно, они принадлежат представлению A1) группы
О+ B/ —(— 1). Возможными значениями для L служат
1=21— 1, 21 — 3 3, 1.
Мы получаем следующую классификацию для двух частиц:
Si/B/+l) O+B/-f-l) O+C)
12] B0) 1 = И, 21-2 2;
[2] @0) L = 0;
[11] (И) L = 2l — 1, 2/ —3 3. 1.
Рассмотрим далее систему четырех электронов в конфигура-
конфигурации (IL. Операция A1.9), будучи примененной к функциям
порождает члены вида
(ф('). фB>) ф^фН). A1.11)
Они соответствуют комбинации волновых функций двух электронов,
находящихся в '^-состоянии, с тензором второго ранга, образован-
образованным из функций другой пары электронов. Если мы снова прибегнем
к свертке, то получатся члены вида
(фA) -фB))(фC) . ф<4)), A1.12)
т. е. комбинация '^-состояний, представляющая собой тензор нуле-
нулевого ранга и обладающая L = 0.
Если в качестве исходного взять неприводимое представление [22]
группы SLJ B1-\- 1), то свертка приведет к разложению его на пред-
представления @0), B0) и B2) группы О+ B/ —|— 1). Функции, принадле-
принадлежащие представлению @0), имеют вид A1.12). Функции, принадле-
принадлежащие представлению B0), имеют вид A1.11) и являются произведе-
произведением тензора с нулевым следом, построенным из функций двух
электронов, и тензора ^-состояния другой пары. Разложение
момента количества движения следует из этих утверждений и
результатов, полученных для двух частиц. Функции предста-
представления @0) должны иметь L = 0. Функции представления B0)
имеют Z = 2/. 2/ — 2 2. Чтобы найти разложение момента
Таблица 61
r = 0
r=l
r = 2
r = 3
r = 4
»" = 5
Орбитальный момент
количества движения
[I] (HiHa)
[0] @0)
[1] (Ю)
[2] @0)
B0)
[И] (П)
[21] (Ю)
B1)
[111] A1)
[1111] A0)
[211] (И)
B1)
[22] @0)
B0)
B2)
[11111] @0)
[2111] (И)
B0)
221 A0)
B1)
B2)
Старшинство
V
0
l
0
2
2
1
3
2
1
2
3
0
2
4
0
2
2
1
3
4
Полный момент
количества движения L
0
2
0
4, 2
3, 1
2
5, 4, 3, 2, 1
3, 1
2
3, 1
5, 4, 3, 2, 1
0
4, 2
6, 4, 3, 2, 0
0
3, 1
4, 2
2
5, 4, 3, 2, 1
6, 4, 3, 2, 0
Спин \l) S
[0
A
[И
[И
[2
[21
[21]
[3
it
31
22
22
22
[5
[41
[41
[32
[32
[32
т
0
0
\
4
1
2
1
1
0
0
0
г-
!
со|см
!
i
Мультиплет
•5
Ю
'5
'?>, 'G
3Р, 3F
2D
2Р, 2?>, г/7, Ю, 2Н
4Р, «/=•
3Р, з/7
3Р, 3?>, 3/\ 3G, 3И
'S
'?>, 'G
'S, '?>, 'Л 'G, '/
6S
4Р, ¦'Z5'
4?>, 4G
Ю
Ф, 2D, 2F, Ю, 2Н
2S, 2D, 2F, Ю, Ч
Таблица 62
Орбитальный момент
количества движения
[Л] (Ц,Ц2Иа)
Стар-
Старшинство
v
Полный момент количества движения ?
Спин [Л] S
Г = 0
/¦ = 1
/¦ = 2
/¦ = 3
/- = 4
/¦ = 6
[0] @00)
[1] A00)
[2] @00)
B00)
[П] (НО)
[21] A00)
B10)
[111} (Ш)
[22] @00)
B00)
B20)
[211] (ПО)
B11)
[1111]== [111] A11)
[221] A00)
BЮ)
B21)
[2111] (Ш)
B11)
[11111] = [11] (ПО)
[222] @00)
B00)
B20)
B22)
[2211] (ПО)
B11)
B21)
Щ\Щ (Ш)
B10)
[1«] г [1] A00)
{2221] A00)
B10)
B21)
B22)
122111] (Ш)
B11)
B20)
1211111] (НО)
B00)
[17] = [0] @00)
О
1
О
2
2
О
2
4
2
4
3
3
5
3
О
2
4
6
2
4
5
3
3
1
3
5
6
3
4
4
2
2
О
О
3
о
6, 4, 2
5, 3, 1
8, 7, 6, 52, 42, 3, 22, 1
6, 4, 3, 2, О
О
6, 4, 2
10, 82, 7, б2, 52, 43, 3, 23, О
5, 3, 1
9, 8, 72, б2, 53, 43, З3, 22, I2
6, 4, 3, 2, О
8, 7, 6, 52, 42, 3, 22, 1
11, 10, 92, 82, 74, б4, 55, 44, З5, 23, 1Э
6, 4, 3, 2, О
9, 8, 72, б2, 53, 43, З3, 22, I2
5, 3, 1
О
6, 4, 2
10 82, 7, б2, 52, 43, 3, 23, О
12, 10 92, 82, 72, б4, 52, 44, З3, 22, 1, О2
5, 3, 1
9 8, 72, б2, 53, 43, З3, 22, I2
11, 10 92, 82, 74, б4, 55, 44, 3=, 23, Р
6, 4, 3, 2, О
8, 7, 6, 52, 42, 3, 22, 1
3
3
8, 7, 6, 52, 42, 3, 22, 1
11, 10, 92, 82, 74, б4, 55, 44, З5, 23, I3
12, 10, 92, 82, 72, б4, 52, 44, З3, 22, 1,02
6, 4, 3, 2, О
9, 8, 72, б2, 53, 43, З3, 22, I2
10, 82, 7, б2, 52, 43, 3, 23, О
5, 3, 1
6, 4, 2
О
[0]0
[1] |
[11] О
[11] О
[2] 1
[21] \
[21] \
[3
22]
22
22
31
31
[4]
!
0
0
0
1
1
2
[32] ^
[32] ^
[32] 1
з
з
2
4
33] О
ЗУ -
33
33
1
[43] ^
[43] \
[43] -1
[43] \
[52] 4
[52] 4
[52] 4
[6i] 4
pi] 4
Таблица 62
Орбитальный момент
количества движения
[Л] (Ц,Ц2Иа)
Стар-
Старшинство
v
Полный момент количества движения ?
Спин [Л] S
Г = 0
/¦ = 1
/¦ = 2
/¦ = 3
/- = 4
/¦ = 6
[0] @00)
[1] A00)
[2] @00)
B00)
[П] (НО)
[21] A00)
B10)
[111} (Ш)
[22] @00)
B00)
B20)
[211] (ПО)
B11)
[1111]== [111] A11)
[221] A00)
BЮ)
B21)
[2111] (Ш)
B11)
[11111] = [11] (ПО)
[222] @00)
B00)
B20)
B22)
[2211] (ПО)
B11)
B21)
Щ\Щ (Ш)
B10)
[1«] г [1] A00)
{2221] A00)
B10)
B21)
B22)
122111] (Ш)
B11)
B20)
1211111] (НО)
B00)
[17] = [0] @00)
О
2
4
2
4
3
3
5
3
О
2
4
6
2
4
5
3
3
1
3
5
6
3
4
4
2
2
О
О
3
О
6, 4, 2
5, 3, 1
8, 7, 6, 52, 42, 3, 22, 1
6, 4, 3, 2, О
О
6, 4, 2
10, 82, 7, б2, 52, 43, 3, 23, О
5, 3, 1
9, 8, 72, б2, 53, 43, З3, 22, I2
6, 4, 3, 2, О
8, 7, 6, 52, 42, 3, 22, 1
11, 10, 92, 82, 74, б4, 55, 44, З5, 23, 1Э
6, 4, 3, 2, О
9, 8, 72, б2, 53, 43, З3, 22, I2
5, 3, 1
О
6, 4, 2
10 82, 7, б2, 52, 43, 3, 23, О
12, 10 92, 82, 72, б4, 52, 44, З3, 22, 1, О2
5, 3, 1
9 8, 72, б2, 53, 43, З3, 22, I2
11, 10 92, 82, 74, б4, 55, 44, 3=, 23, Р
6, 4, 3, 2, О
8, 7, 6, 52, 42, 3, 22, 1
3
3
8, 7, 6, 52, 42, 3, 22, 1
11, 10, 92, 82, 74, б4, 55, 44, З5, 23, I3
12, 10, 92, 82, 72, б4, 52, 44, З3, 22, 1,02
6, 4, 3, 2, О
9, 8, 72, б2, 53, 43, З3, 22, I2
10, 82, 7, б2, 52, 43, 3, 23, О
5, 3, 1
6, 4, 2
О
[0J0
[1] |
[11] О
[11] О
[2] 1
[21] \
[21] \
[3
22]
22
22
31
31
[4]
!
0
0
0
1
1
2
[32] 1
[32] ^
[32] 1
3
з
2
33] О
ЗУ -
33
33
1
[43] ^
[43]
[43]
[43]
[52]
[52]
[52]
[61]
[61]
"
1
2
If
4
3
2
3
2
4
5
2
504 Глава II. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
количества движения для представления B2), мы воспользуемся
тем, что подпространства @0), B0) и B2) в совокупности образуют
пространство представления [22] группы SU B1-{- I). Так как зна-
значения момента количества движения, содержащиеся в представле-
представлении [22], можно найти с помощью методов, изложенных в § 2
настоящей главы, значения L для представления B2) можно найти
путем вычитания.
Обращаем внимание на то, что в этом примере тензоры четвер-
четвертого ранга с симметрией схемы [22] были разложены по предста-
представлениям группы O+B/-j-l), причем та часть разложения, которая
соответствовала представлению @0), состояла из тензоров ранга
v = 4— 4 = 0, та часть, которая соответствовала представлению B0),
состояла из тензоров ранга г> = 4 — 2 = 2, а та часть разложения,
которая соответствовала представлению B2), состояла из тензоров
ранга v=4 с нулевым следом. Тензоры @0) уже встречались, когда
число частиц было равно нулю (единичное представление). Тензоры B0)
встречались ранее при рассмотрении конфигурации двух частиц. Наи-
Наименьшее число частиц, при котором может встретиться тензор с нуле-
нулевым следом, называется старшинством этого тензора. Тензоры @0)
имеют старшинство г>=0, тензоры B0)—старшинство v=2, тен-
тензоры B2) — старшинство г> = 4.
В общем случае тензоры г-го ранга, соответствующие разбиению
[А,! ... X2[+i\,
допускают разложение на тензоры типа (fij цг) с нулевым сле-
следом, ранг которых v-4^r. При четном г наименьшее возможное стар-
старшинство есть г> = 0, что соответствует неприводимому представлению
@0 . . .) группы О+B/-)-1); при нечетном г наименьшее возможное
старшинство равно v=l, что соответствует неприводимому предста-
представлению A0 . . .) группы О+ B/ —|— 1). Разложение представлений
можно при каждом / выполнять с помощью методов, изложенных
в § 7 гл. 10, и табл. 48 и 49. Для разложения
О+B/ + 1)->О+ C)
мы пользуемся таблицами § 2 настоящей главы.
Для конфигурации (р)г /=1, и группа О+B/-|-1) есть просто
трехмерная группа вращений. Полное разложение в этом случае пред-
представлено в табл. 59.
Для конфигурации {d)T мы комбинируем результаты, приведенные
в табл. 48 и 60.
При /-=1:
[1], ?, = 2 —>A0), таким образом, представление A0) сд-
держщ- 4 = 2,.
§ 5. Атомные спектры в схеме jj-связи 505
При г = 2:
[2], Z. = 4, 2, 0-> B0) + @0), так что представление B0)
содержит /. = 4,2.
[11], Z. = 3, 1—>A1), так что представление A1) содержит
? = 3,1.
При /- = 3:
[21], L = 5, 4, 3, 22, 1->B1) + A0). Так как представле-
представление A0) содержит L=2, представление B1) содержит L — 5,
4, 3, 2, 1
[13] = [12]->(Ц).
Этим способом мы получаем разложение представлений
Результаты для конфигурации (d)T, приведенные в табл. 61, пока-
показывают, что уровни конфигурации (d)r однозначно определяются схе-
схемой [к], старшинством v и моментом количества движения L,
Табл. 62 для конфигурации (// получена тем же методом.
В случае конфигурации (/)г сложения квантовых чисел, названных
нами старшинством, недостаточно для однозначного определения уров-
уровней. Можно найти некоторую подгруппу группы О+ G), которая со-
содержит трехмерную группу вращений, и, таким образом, получить
дальнейшее уточнение классификации, но мы этого делать не будем.
Задачи. 1. Проведите вычисления, необходимые для заполнения
табл. 62.
2. Для электронов в конфигурации A)г символ (ц}, ..., цг) может
содержать только величины ц(. = 0, 1, 2. Пусть а—число двоек в сим-
символе, a p — число единиц. Докажите, что
, 2S A1.13)
где v — старшинство, а 5 — спин.
§ б. Атомные спектры в схеме //-связи
В тяжелых атомах, когда вклад в энергию взаимодействий, зави-
зависящих от спина, становится существенным, мы можем получить луч-
лучшее описание, если вместо схемы связи Рассела—Саундерса вос-
воспользуемся схемой у'у-связи.
В схеме у'у-связи мы вначале комбинируем одноэлектронную
орбитальную волновую функцию с внутренней (спиновой) волновой
506 Глава 11. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
функцией электрона. Эти функции образуют базис представлений Dil)
и D^2) группы вращений. Разложим произведение D(l) X D('M на
неприводимые представления D группы вращений (/ = I ± '/г)-
Вследствие сильного спин-орбитального взаимодействия одночастич-
ные функции с различным моментом количества движения j отвечают
хорошо разделенным уровням энергии. Одночастичные волновые функ-
функции, соответствующие некоторой заданной энергии, образуют базис \\jj,
ф. i> .... ф ,+1, ф_у представления D ' группы вращений.
Если в конфигурации (j)r находится г эквивалентных электронов,
то полную волновую функцию мы должны составлять из произве-
произведений
Но поскольку теперь мы рассматриваем полные волновые функции
для тождественных частиц, принцип Паули требует, чтобы мы взяли
только полностью антисимметрический тензор [V].
Разложение момента количества движения для антисимме-
антисимметрического тензора [1Г] проводится непосредственно, но вычисле-
вычисления чрезвычайно громоздки. Так как этот тензор антисимметри-
антисимметричен, единственными ненулевыми компонентами будут те, для кото-
которых все ix, .... ir различны. Поскольку индекс i у функции ф
указывает строку представления D , которой принадлежит »|i( (т. е.
значение JW в состоянии i|;W\, сумма (различных) индексов г,-}-... -\-tf
указывает строку представления, которой принадлежит произведение
ф(') ... фМ (т. е. значение •/^1)+ • ¦ • -j-^1* в этом состоянии). Чтобы
найти значения J для конфигурации (j)r, мы просто выписываем все
возможные наборы индексов tlt ..., ir, удовлетворяющих условию
т
h > h > • • • > ir> и берем сумму 2 V Если наибольшая сумма
есть Уь то разложение произведения [D(;)f должно содержать пред-
представление DJl группы вращений, причем для 2^-j-l базисных функ-
функций этого представления
^j /v = J\, Jx — 1, .... — Ji,
Вычеркнув эти значения из таблицы сумм, мы переходим к наиболь-
наибольшему из оставшихся значений 2V Продолжая этот процесс, мы
находим разложение момента количества движения. Проиллюстрируем
этот метод на нескольких примерах.
При у' = 3/2 возможны четыре состояния (четыре значения индек-
индексов). Мы должны дойти лишь до г = 2. При r=l, J —3/2.
При /- = 2 возможные значения lx, i2 и 1Х -\-12 мы сведем в табл. 63.
Наибольшее значение суммы 2 Ч Равн0 2. Вычеркиваем из таблицы
Таблица 63
h
3
2
3
2
3
2
1
2"
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
3
~~
<!+<»
2
1
0
0
— 1
— 2
Таблица 64
I,
5
2
5
2
5
2
5
2
'•
3
2~
1
2
1
2
3
2
'•
1
2
1
~"~
3
2
5
2
1
~~
3
2
5
2
3
2
5
2
5
2
2'v
9
2
7
2
5
2
3
2
5
2
3
2
1
"
1
2
1
2
3
2
'¦
3
2
3
2
3
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
~~2~
3
2
3
2
1
~ 2
3
2
5
~~ 2
3
2
5
2
5
2
3
~ 2
5
2"
5
2
5
2
2'v
3
2
1
2
1
2
1
2
3
2
5
1
to:
3
2
5
2
7
~~ 2
9
2
508 Глава 11. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
значения суммы, равные 2, 1,0, —1, —2. После этого остается
единственная сумма, равная 0. Таким образом, конфигурация C/2J
содержит /= 2, 0.
Для конфигурации E/2/ имеем
г = 2, У=4, 2, 0.
При г=3 представим в виде таблицы все возможные наборы индек-
индексов /j, 1г, ^з и их суммы *1-Мг~Мз (табл. 64). Наибольшее значе-
Таблица 65
Разложение полного момента количества движения
в конфигурации (j)T
j
j
j
j
3
~ 2
5
~ 2
7
~~ 2
9
~ 2
r-1
2
r=l
2
о
r=l
2
3
4
r = l
2
3
4
5
21
2 '
12,
25
T'
17
2
10,
21
2 '
15
T"'
8,
15
' 2 '
9, (8)
19
2 '
Ы
j
3
?
2, (
- 5
?
4, 2,
9 5
2 ' 2
7
?
6, 4, 2,
11 9
2 ' 2 '
6, 5, DJ
9
?
8, 6, 4,
13 11
"?"' ?
г, 7, (бK,
/17\2
\~?/ '
(IV (
)
0
3
2
0
7 5
2 ' 2 '
, BJ, 0
2, 0
/9\2
"' \?J
5, DK,
' 15\2
CT) '
5\2 3
2) ' 2
3
?
7 5
' 2 ' 2
3, BJ,
П3\г /
^tJ I
1
1 2
3
' 2'
@J
11 \*
9 / *
§ 6. Структура ядра. Изотопический спин 509
ние суммы 2'v равно 9/2, поэтому представление содержит У =9/2.
Вычеркиваем суммы, равные 9/2, 7/2, 5/2, ..., —7/2, —9/2. Наи-
Наибольшее из оставшихся значений равно 5/2, поэтому представление
содержит /=5/2. Вычеркиваем суммы, равные 5/2, 3/2, ..., —5/2.
Наибольшее из оставшихся значений равно 3/2, следовательно,
в представлении содержится /=3/2. Вычеркнув суммы, равные 3/2,
1/2, —1/2, —3/2, мы исчерпываем таблицу. Таким образом, кон-
конфигурация E/2K содержит /=9/2, 5/2, 3/2.
Существует простой способ проверки правильности разложе-
разложения момента количества движения. Тензор, обладающий симметрией
схемы [1Г] относительно группы SU By -f-1), имеет I 1 неза-
независимых компонент (столькими способами можно выбрать г индексов
'i > h > ¦•¦ > lr из 2/+1 значений у, у — 1, ..., — у). Так как
размерность представления D(J) группы вращений равна 2/+1,
мы должны иметь
() A1.14)
J в [1Г]
В рассматриваемом примере
Результаты вплоть до у = 9/2 приведены в табл. 65.
Задачи. 1. Докажите, что наибольший момент количества движения
в конфигурации (j)r равен
Л,акс = у12/-Г+1].
2. Докажите, что в конфигурации (/)г не может быть момента коли-
количества движения / = /макс — 1, а максимальная кратность для момента
количества движения
J = JMaKC — 2 равна 1,
= /макс — 3 рав.на 1,
= Л«акс — 4 равна 2,
= /макс — 5 равна 2,
= /макс — 6 равна 4.
§ 6. Структура ядра. Изотопический спин
При рассмотрении ядер можно применять методы теории возму-
возмущений, аналогичные тем, которые использовались в многоэлектронной
задаче. Но для ядер задача осложняется, так как система состоит
510 Глава П. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
из частиц двух сортов: нейтронов и протонов. (Кроме того, мы не
располагаем точными сведениями о взаимодействии частиц внутри ядра.
Информацию о гамильтониане для ядра получают из сравнения вы-
вычисленной и полученной экспериментально структуры ядра.) Масса
протона и нейтрона (приблизительно) одинакова, они обладают оди-
одинаковым спином E=1/2) и переходят друг в друга при р-распаде.
Нейтрон не имеет заряда, заряд же протона равен -\-е, поэтому ку-
лоновские силы действуют только на протоны. Однако по сравнению
со специфическими ядерными силами кулоновские силы малы. Кроме
того, имеющиеся в нашем распоряжении экспериментальные данные
показывают, что специфические ядерные силы, действующие между
двумя частицами внутри ядра, не зависят от того, являются ли эти
частицы нейтронами или протонами, т. е. ядерные силы не зависят
от заряда. Поэтому удобно рассматривать нейтроны и протоны как
состояния некоторой одной фундаментальной частицы, которую мы
назовем нуклоном.
Нуклон может находиться в любом из двух зарядовых состоя-
состояний, которые мы обозначим символами ф^ и ф_1/2 для нейтронного
и протонного состояний соответственно. Эти состояния являются соб-
собственными состояниями оператора ^
h\ = ~2 ^'/г (нейтР°н)>
! A1.15)
'ЕФ_1А = — T^-i/, (ПРОТОН)-
Применяя оператор t^ к зарядовой функции, мы определяем, отве-
отвечает ли это состояние протону или нейтрону. Оператор t^ можно
записать в виде матрицы 2X2:
(П.15а)
Чтобы иметь возможность учитывать переходы протона и нейтрона
друг в друга при р-распаде, мы должны иметь операторы вида
0 1\ /0 0\
о о)' (i о)" A1л5б>
Операторы A1.15а) и A1.156) задают алгебру, которая формально
совпадает с алгеброй операторов момента количества движения Jx,
Jy, Jz. Поскольку мы имеем дело с двумерным пространством, со-
состояния ф образуют базис некоторого представления, аналогичного
представлению D('/2> группы вращений. Пространство представления.
§ б Структура ядра Изотопический спин 511
натянутое на функции ф+,,, называется пространством изотопи-
изотопического спина. Мы имеем операторы t\, tn и t\, свойства которых
аналогичны свойствам операторов момента количества движения Jx,
Jy, Jz. Если у нас имеется система нескольких нуклонов, то оператор
П=2 4" (иле)
представляет собой инфинитезимальный оператор одновременного
„поворота вокруг оси ? в пространстве изотопического спина" всех
частиц. Аналогичным образом можно определить и операторы Тц
и Т%.
Для системы двух нуклонов функции ф,. A) ф,. B) соответствует
нейтронное состояние обоих нуклонов и
Таким образом, для этого состояния 7\ = 1. Функция ф_,. A)ф„ B)
описывает систему двух протонов, и Tg = — 1. Функции ф,. A)ф_,, B)
и ф_,. A)ф,, B) описывают состояния, содержащие один протон и
один нейтрон, причем 7^=0. Мы видим, что
Tt=±(N-Z), A1.17)
где N и Z — число нейтронов и протонов в системе соответственно.
Общее число нуклонов в системе равно N-\-Z. Если рассматриваются
ядерные силы, то значение Tg не существенно.
Для системы тождественных нуклонов мы должны построить со-
состояния, обладающие определенной симметрией относительно пере-
перестановки тождественных частиц. Для двух частиц первые две из
названных выше функций оказываются симметричными относительно
перестановки нуклонов 1 и 2. Остальные две функции можно ском-
оинировать так, чтобы получились симметричные и антисимметричные
комбинации
Поскольку кулоновскими силами мы пренебрегаем, на энергии системы
может сказаться лишь симметрия волновых функций. Мы видим, что
для двух нуклонов число симметричных состояний равно трем, в то
время как число антисимметричных состояний равно одному. Первый
тип симметрии соответствует разбиению [2] размерности 3, второй —
разбиению [11] размерности 1.
По аналогии с полным спином S мы вводим изотопический спин
(изобарический спин, изоспин) Т такой, что число B7"-}- 1) опреде-
определяет содержание мультиплета для состояний, обладающих заданной
512 Глава 11. Применение Теории групп к атомной и ядерной физике
зарядовой симметрией. Для двух нуклонов мы имеем
12]: Г=1, Г?=1, 0, —1;
[11]: Г = 0. П=0. (ИЛ&-
Симметричное состояние, у которого Г—1, представляет собой
изобарический триплет. Все три состояния с 7\— 1, 0, —1
(N — Z—2, 0, —2) обладают одинаковой энергией. Аналогично
для трех нуклонов имеем
[3]: Г=|, 27+1 = 4, yt=|, l.-i. --|.
N — Z = 3, 1, —1, —3;
A1.19)
[21]: T = j, 2Г+1=2, rt=-i.--i,
Л/ —Z= 1, —1.
Первый из этих зарядовых мультиплетов содержит четыре изобара,
второй —два.
Результаты для любого числа нуклонов совпадают с соотве
ствующими результатами для спина /== 1/2. Для состояния со схемо
зарядовой симметрии [kfa] изотопический спин
§ 7. Ядерные спектры в схеме Z, —S-связи. Супермультиплеты
Если ядерные силы слабо зависят от спинов, то так же, как и
в атомных задачах, мы можем записать волновую функцию в виде
произведения орбитальной функции и функции, зависящей от спино-
спиновой и зарядовой переменных. Гамильтониан взаимодействия симмет-
симметричен относительно пространственных координат нуклонов, поэте
орбитальные волновые функции надлежит комбинировать так, чх~л
получить полную орбитальную волновую функцию с определена
симметрией. Энергия состояния весьма чувствительна к малейше
отклонениям от этой симметрии. Поскольку ядерные силы в оснор:и
являются силами притяжения, энергия уменьшится, если симме'1
орбитальной волновой функции возрастет. Поэтому можно ожида
что состояние, у которого орбитальная функция обладает наивдки
симметрией, будет обладать наинизшей энергией. Поскольку п_ '•
волновая функция системы тождественных нуклонов в силу принт- •
Паули должна быть полностью антисимметричной, мы должнь ч
строить зарядово-спиновые функции с определенной симметрией
взяв произведение орбитальной функции и зарядово-спиновой функ-
функции, схема симметрии которой сопряжена со схемой симметрии пер-
§ 7. Ядерные спектры в схеме L—S-связи. Супермультиплеты 513
вой функции, получить полную волновую функцию. Поскольку энергия
состояния определяется только орбитальной функцией, в то время
i как содержание мультиплета зависит от зарядово-спиновой функции,
каждый уровень энергии будет супермулыпиплетом.
В случае одного нуклона возможны четыре зарядово-спиновых
состояния. Если описывать состояния различными значениями г.ели-
ч;ш tz, и sz, то получатся четыре базисные функции
**.* *%.-*¦ *-*.%• *-%.-*• AL20)
Симметрия состояний для одного нуклона описывается разбиением [1];
для этого состояния 7=1/2, 5=1/2, поэтому для данного мульти-
мультиплета 27 + 1 = 2, 25 +¦ 1 = 2.
Для двух нуклонов существует шестнадцать зарядово-спиновых
состояний. Если симметрия зарядово-спиновой функции определяется
разбиением [2], то либо и спиновая функция и зарядовая функция
симметричны, так что 27-f-1 = 3, 2S-J-1—3, либо они обе анти-
антисимметричны, и 27-f-1 = 1, 2S+1 = 1. Таким образом, схема
Юнга [2] содержит зарядово-спиновые мультиплеты типа A1) (заря-
(зарядовый синглет и спиновый синглет) и типа C3) (зарядовый триплет
и спиновый триплет). Аналогичным образом, антисимметричная заря-
дово-спиновая функция типа [11] должна быть произведением заря-
зарядовой и спиновой функций противоположной симметрии и поэтому
содержать мультиплеты типа A3) (зарядовый синглет и спиновый
триплет) и C1) (зарядовый триплет и спиновый синглет).
Схеме Юнга [I4] соответствуют четыре нуклона в полностью анти-
антисимметричном зарядово-спиновом состоянии. Поскольку все четыре
набора индексов должны быть различными, каждая из функций A1.20)
будет фигурировать только один раз, так что 7 = 5 = 0. Таким
образом, схеме [14]^[0] отвечают мультиплеты A1) (зарядовый син-
синглет и спиновый синглет). Точно так же схема [I3] эквивалентна
схеме [1], ей отвечает затем мультиплет B2).
/ Зарядово-спиновые функции для трех нуклонов мы можем найти,
с; ."тавляя внешнее произведение и разлагая затем его для различ-
различных 5 и 7:
Разбиению [1] соответствуют мультиплеты B2), в то время как раз-
З'-ргие [2] содержит мультиплеты A1) и C3). Левая часть равенства
>'1Г.'21) равна
• [1] B2) & [2] (A1)+C3)).
'излагаем это произведение и находим
il] B2)® [2] (И)-*B2) 1
[1]B2)® [2]C3)->B2) + B4) + D2) + D4) jl3l + l21l-' (H-2U;
514 Глава 11 Применение теории групп к атомной и ядерной физике
Аналогичным образом получим разложение
?
?
?
A1 22)
A1 23)
Вычитая из A1.23) произведение [1] B2), структура которого нам
известна, найдем, что разбиение [21] содержит мультиплеты B2),
B4) и D2) Вычитая этт последний результат из A1.21а), найдем
структуру разбиения [3] В итоге мы получаем структуры мульги-
плетов для трех частиц (габл 66)
Таблица 66
[3]
[21]
B2)
1
1
B74 1, 2S + 1)
B41 D2)
0
1
0
1
D4)
1
0
Размернос1Ь
20
20
С помощью такого же процесса последовательного разложения
произведений мы перейдем от /- = 3 к г = 4 При г = 4 возможны
схемы Юнга [4], [31], [22] и [211] (не считая схемы [14] = 0)
Чтобы воспользоваться меюдом последовательного разложения произ-
произведений, мы составляем внешнее произведение [1] B2) со всеми
структурами, представленными в табл 66, и получаем табл. 67
Поскольку разбиению [I4]rsa0 отвечает мультиплет A1), мы находим
Таблица 67
[11
[11
[11
[1]
[1]
B2) $
B2) E
B2) <$
B2) <?
B2) <$
5 [3]
Ь [31
5 [21]
5 [21]
* lV]
B2)
D4)
B2)
/24\
(i)
B2)
(ii)
1
0
1
0
1
A3)
C1)
1
0
1
1
1
BГ
A5)
E1)
0
<y
0
1
0
4-1,2
ГЗ)
1
1
1
2
1
S + I)
C5)
E3)
0
1
0
1
0
E5)
0 ]
1
0 1
0 1
0
[4] + [31]
\ [31]+ [22]+ [211]
[211] +[I4]
^ / Ядер .ые спектры в схеме L—S-связи. Супермультипле1ы 515
из последней- строки этой • таблицы мультиилетную структуру раз-
разбиения [211].
Разложение полностью симметричной структуры [4] можно полу-
получить с помощью следующей теоремы.
Теорема. Чтобы найти полностью симметричную зарядово-спиновую
функцию, следует составить прямое произведение зарядовой и спиновой
функций, обладающих одинаковой симметрией. Таким образом, зарядово-
спиновая функция для разбиения [я] представляет собой сумму произве-
произведений
[я] ® [я], [/2—1, 1J ® [я — 1, 1] и т. д.
Последовательность этих произведений заканчивается произведением
[v + 1, v] ® [v + 1, v],
если п = 2v -)- 1 нечетно, и произведением
[v, v] ® [v, v],
если п = 2v четно.
Значения спина S (или изотопического спина Т) для таких простых
структур заряда и спина задаются соотношениями A1.4) и A1.5), из кото-
которых находим: при я четном (я = 2v) зарядово-спиновая функция типа [я]
содержит мультиплеты следующей структуры:
Bv + l, 2v + l)Bv —I, 2v —1) E5), C3), A1);
при я нечетном (n = 2v }-\) зарядово-спиновая функция типа \п\ со-
содержит мультиплеты, обладающие следующей структурой-
Bv + 2, 2v + 2), Bv, 2v) D4), B2). у
Итак, структура разбиения [4] имеет вид E5) —|— C3) —j— A1).
Комбинируя этот результат с первой строкой в табл. 67, находим,
что разбиение [31] содержит
13 \
35
Используя полученные результаты, мы можем затем определить
структуру разбиения [22] (табл. 68).
Таблица 68
IM
[4]
[31]
[22]
[211]
(U)
1
0
1
0
О3)
Ml/
0
1
0
1
2Г+ 1
О
0
0
1
0
25+1)
C3)
1
1
1
1
'35\
0
1
0
0
E5)
1
0
0
0
Размерность N
35
45
20
15
о
о
СЧ
S 3
8 S
^ о о о
сч сч ¦* ¦*
I
= я
s
§
S3 SS S р 8
я я я я я
-
о.
о."
lo |сч га |сч —< |см 1—¦ |сч
ю]сч га |сч — |сч со |сч
ю |сч ю |сч ю |сч со |<м
га со
i- |сч ю |сч га |сч со |сч г- |c~i <-< |сч
t^ |сч ю |сч га |сд ю |сч ^н |сч со |сч
1-- |СЧ О- |е» (^ |сч Ю|О) Г^ |(N Ю |СЧ
О^ — сч
— Юм
—. —' ю
га ¦—¦
—1 со ~н t^
5 21 Й ~
s s s S? s 2°,
1— '—' Ю '— тр
о
О
о
СЧ
S 3
8 S
^ о о о
СЧ СЧ ¦* ¦*
I
= Я
сою ю.
я я я я
о.
о."
|сч
со |сч со |сч
(М СО (М —•СМ
S сч ^ |сч со |сч - |сч со |сч
О) ^н СЧ
СО СО О)
О *—'
г— Ю <-1
—. —' ю
со '—'
—1 СО ~н t^
5 21 8 ~
а 1 5 2.
Продолжение
w
[611]
[53]
[521]
[44]
[431]
[422]
И
[81]
[72]
[711]
[63]
[621]
[54]
[531]
[522]
[10]
[91]
[82]
[811]
[73]
[721]
[64]
[631]
[622]
[55]
[541]
[532]
(P, P', P")
C32)
D11)
C21)
D00)
C10)
B20)
/9 9 9\
\2 2 2}
(~7 7\
\2 2 2)
/9 5 5\
\2 2 2)
/7 7 5\
\2 2 2)
/9 3 3\
I 2 2TJ
(" 2)
\2 TTJ
\1ППГ)
/5 5 J_\
\2 2 2)
E55)
E44)
E33)
D43)
E22)
D32)
EП)
D21)
C31)
F00)
D10)
C20)
C3)
C3)
C3)
(H)
(Э
(И)
B2)
B2)
B2)
B2)
B2)
B2)
B2)
B2)
B2)
A1)
C3)
(П)
C3)
C3)
C3)
(ID
C3)
(ID
/13\
C3)
C3)
E5)
E5)
» E5)
C3)
©
©
D4)
D4)
D4J
D4)
D4J
D4J
D4)
D4K
D4J
C3)
E5)
(ЗЗJ
E5)
E5J
J55)
C3J
455)
C3)
/17
G1
2 E5
2 E5)
G7)
2 IK
\3
E5)
Gl
C3)
F6)
F6)
F6)
F6)
F6)
F6)
F6)
F6)
F6)
E5)
G7)
E5)
G7)
G7)
477
E5)
3 /77
E5)
/ 1
)(ll
/13\ /35\
\3lj \53J
/17\ /35\
G1) E3)
5\ /15\ /3.
/ \51/ [&
Q ©
) <«»¦ (S
¦ B) <«>
(S)
B7--fl, 2S 1 1)
/39\ /574
Ы \75J
Y C71 E7)
3J \73j l75j
/37\
Ы
JC7
(88) A0, 10)
<88) D2)
2 (88) D2)
(88) Q)
f24) B&)
\42J 162J
2 /24\2 /26
/24\ /26\
\42J 162J
/24\2 /26
\42J \02
/24v /26\
\42J \G2)
O(
Й
'Э (
©
) \64
©
,. /28
1 1,82
(«)
) E5)
68\ / 8, I0\
86) \I0, 8J
/46\ /48\ /68\ / 6, 10\
\64/ 184J 186J \10, 6)
68\
86j
/46\2 /48\ / 4, 10\ /68\
\64J 184J Uo, 4,1 186J
1 184J \8б]
' 2, 10\ /46\ /48\
v10, 2) \64j \8A)
1 \64J \84J
G7) (99) A1, 11)
(99) (I3^
2 G7J (99)
•<"»©
/13. /15
' \3M l=i
¦<">©
, 11\ /35\
, lj V53J
(S) (
C
(S)(
)(s:
©
)G5
/35\
\53J
/39\
93)
2 A3) H (U) f1S
\41 I \ 41 1 171 1 \91
\ol/ \O1/ \/ 1/ Wl
2(з
3! A5^ f1'
l) \,5U U
) E3
57\ /79\ / 9, 1П
75j \97) 111, 9)
/35\ /37\ /57\ /59\ /79\ /7, 1I\
\S3) \73J l75J Ы Ы 111, 7j
57\ /79\
75/ 197J
2 /37\ /39\ /57\2 /59\ / 5, 11\ /79\
I73) l93J \75J \95J 111, 5) \97J
Ы i75J 195J l97J
/35\ /37\2 /39\ / 3, 11 \ /57\ /59\
\53j \73j \93J 111, 3) [75) \95J
) ёK G3J (и) GIJ (S)
0 Q
/57\
G5)
\ /35\2 /37\2 /39\ /57\
j \53J \73j l93J \75'
) G3) G5)
Размер-
Размерность ЛГ
189
280
256
105
175
84
220
440
540
280
480
420
280
360
160
286
594
770
396
750
640
540
630
270
196
384
300
Продолжение
w
[611]
[53]
[521]
[44]
[431]
[422]
(9]
[81]
[72]
[711]
[63]
[621]
[54]
[531]
[522]
[10]
[91]
[82]
[811]
[73]
[721]
[64]
[631]
[622]
[55]
[541]
[532]
(P, P', P")
C32)
D11)
C21)
D00)
C10)
B20)
/9 9 9\
\2 2 2J
(I7 7)
\2 2 2)
/9 5 5\
[~2 2 ~2)
\2~YYj
/9_3 3\
\2 2 2J
A11)
\2 2 2)
/9 1 I \
(m)
(ill)
\2 2 2}
/5 5 1\
\2 2 2}
E55)
E44)
E33)
D43)
E22)
D32)
E11)
D21)
C31)
F00)
D10)
C20)
C3)
C3)
C3)
(ID
/i3\
Uij
A1)
B2)
B2)
B2)
B2)
B2)
B2)
B2)
B2)
B2)
(П)
C3)
(П)
C3)
C3)
C3)
(ID
C3)
(ID
/13^
C3)
C3)
E5)
E5)
» E5)
C3)
Q
Gl)
D4)
D4)
D4J
D4)
D4J
D4J
D4)
D4K
D4J
C3)
E5)
(ЗЗJ
E5)
E5J
.E5)
C3J
455)
C3)
2 E5
2 E5)
G7)
(Э
U
E5)
("
C3)
F6)
F6)
F6)
F6)
F6)
F6)
F6)
F6)
F6)
E5)
G7)
E5)
G7)
G7)
477
E5)
Q
©
) C3)
\53J
/35\ /57\
\53J \75)
/35\2 /37\
Uo 70
B7--Г- 1, 25 1 1)
/39\ /57\
l93J G5J
MSI®®
П9\ /37\
191j \73J
2 C5Y /3'
E5)
(88) A0, 10)
(88) (
\
2 (88)
(88) (
(Э
/24\ /
D2) (
B4V
\42J
D2)
24\ /46\
42J \64J
/24\ /i6\
142J \62J
42) (S) (
[б2/ \82J
2 /26\ /46
U2J \64
26\ /28\
62J \82J
/26\2 /28
\02/ \82
/26\ /46\
\62J 164/
3E5)
/68\ / 8, 10\
V86J \I0, 8J
/46\ /48\ /68\ / 6, I0\
\64J 1,84J 186J llO, 6J
68\
86J
/46\2 /48\ / 4, 10\ /68\
\64J \84) \W, 4j \86j
j (84J \86J
/ 2, 1O\ /46\ /48\
\1O, 2J U4J \84J
\ /46\2 /48\
j \64J \84J
G7) (99) A1, 11)
(99) (
2G7J
(99) (
2 {^
2 G7)
3 G7) C?
E5)
( ]
/1
IS
/1,
u
2 G7)
'")
3\ /15
U \5I
i\ /15
?) (S)
<»> ©
13^ /35\
31 \53^
Й (S)
/15\ /35
Ulj Us
/15\ /19\
15IJ Ul)
E1) G1
/15\ /35\
(si) E3)
/35\ /39\
V53J \93J
ra q (.?. 'ii
(S) Q (Й) 0 Q (
/57N /79\
Ы 197J
2 /37\ /39\ /57\2 /59\ / 5,
l73/ \93J \75J \95J Ul,
у /37\ /57\2 /59\ /79\
j ^73J l,75J Ы 197/
/35\ /37\2 /39\ / 3, 11\ /5
\53J M 193J 111, З; 1.7
\ /35\3 /37\2 /39\ /57\2 /59
) E3) G3) (93) G5) l95
\73J \75J
/57\
Ы
\ /17\ /19\ /35\2 /37\2 /39\ /57\
) G1) (9
\ /17, /Iе
ij U3j \73j l93j l75l
'V (*7\ E7)
i) \73) 175J
7, 1I\
11, 7J
11\ /79^
5J \97J
7\ /59\
С 1 1 QC |
0/ \<Ю/
Размер-
Размерность ЛГ
189
280
256
105
175
84
220
440
540
280
480
420
280
360
160
286
594
770
396
750
640
540
630
270
196
384
300
520 Глава 11. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
Продолжая этот процесс, мы сможем построить зарядово-спино-
вые функции при. г — 5, если добавим одну частицу к структурам,
полученным при г = 4, и т. д.
В общем случае схема симметрии зарядозо-спиновой функции
будет содержать четыре строки Wk\k5kA]. Пользуясь соотношениями
A0.29) и A0.30), мы обнаружим, что эта схема эквивалентна схеме
[А,; Ц Ц 0], у которой
А.; = А,,— \, Я.$ = Я,2 — \, к'3 = к3 — \ A1.24)
— приведенные числа разбиения. Величины А/ полностью характе-
характеризуют симметрию зарядово-спиновой функции. Вместо этих чисел
можно использовать числа Р, Р', Р"', определяемые соотношением
A125)
Так как к'г ^> к'2 ^ А,^, имеем Р^ Р' ',>> Р'. Числа Р и Р' должны
быть положительными. Смысл квантовых чисел Р, Р', Р" заключается
в следующем: Р—это наибольшее значение компоненты Т* изотопи-
изотопического спина в супермультиплете; Р' — это наибольшее значение
компоненты спина Sz в состоянии, в котором Т^ = Р (в то же время
число Р представляет собой наибольшее значение компоненты спина Sz
в супермультиплете, а Р' — наибольшее значение компоненты изото-
изотопического спина Т^ в состоянии с Sz = P); наконец, число Р" озна-
означает наибольшее значение суммы
г
V s 'Yu>
i-i
для состояния с Т^ = Р и SZ = P' (либо же SZ = P, а Т$ = Р').
Задачи. 1. Докажите последние утверждения.
2. Докажите, что число Р-\-Р'-j-P"-\-A/2) г всегда четно и поло-
положительно.
В заключение мы приводим табл. 69, в которой перечислены
содержания всех зарядово-спиновых мультиплетов для г ^10.
§ 8. Модель оболочек в схеме L — 5-связи.
Старшинство
Чтобы получить полную волновую функцию системы, зарядово-
спиновые функции, полученные в предыдущем параграфе, следует
комбинировать с орбитальными функциями. Чтобы удовлетворить прин-
принципу Паули, оба эти сомножителя должны иметь сопряженные схемы
§ 8. Модель оболочек в схеме L—S-связи. Старшинство 521
симметрии. Поскольку схема Юнга для зарядово-спиновой функции
имеет самое большее четыре строки, схема Юнга для орбитальной
функции может иметь самое большее четыре столбца.
Модель оболочек для ядра в схеме L — S-связи весьма сходна
с соответствующей моделью для атома, рассмотренной нами в § 3
настоящей главы. Одночастичные волновые функции вычисляются
в некотором усредненном центральном поле и нумеруются кванто-
квантовыми числами пи/. Волновая функция отдельного нуклона пред-
представляет собой вектор в B/-f- 1)-мерном пространстве. Если в со-
состоянии (п, I) имеется г нуклонов, то орбитальная волновая функция
-'D~
-'S.
-/ 0 1
Be6 Lie He*
Фиг. 77.
будет тензором r-го ранга. Чтобы получить функции, обладающие
определенной симметрией, мы должны разбить пространство тензо-
тензоров r-го ранга на его компоненты, отвечающие неприводимым
представлениям группы SUBl-\-l). Разложение момента количества
движения проводится так же, как в § 2 и 3 настоящей главы.
Проиллюстрируем этот метод для / = 1. Максимальное число частиц
в />-оболочке ядра в конфигурации (р)г равно 4B/—f-1)= 12. Все
результаты приведены в табл. 53 и 54. При г = 0 или 12 мы полу-
получаем nS-ypoBeHb (L = 0, S = T — 0). При г=\ схема симметрии
для орбитальной функции и зарядово-спиновой функции имеет вид [1],
и мы получаем уровень 22Р.
Результаты для г = 2 представлены в табл. 70. Вследствие того
что ядерные силы являются силами притяжения, состояния с более
Таблица 70
Орбитальный момент
количества движения
Щ
[2]
[11] = [1]
L
S.D
Р
W
[П]
[2]
Зарядово-спииовый
(Я, Pi, Р")
A00)
A11)
мультиплет
BГ+1,
A3)
(И)
25+1)
C1)
C3)
Таблица 71
Структура ядерной конфигурации (/>)г
т
0
1
2
3
4
5
6
Орбитальный
\Ч
[01
ill
[2]
[111=1И
[31
[21]
[111] = [0)
[41
[221 = [2|
|211] = [1)
[411
[321 = [31]
[311] = [2|
[2211 = [1]
142]
|411] = [3]
I33J =|3J
[321] = [21]
12221 = 101
момент количества движения
L
S
Р
SD
Р
PF
PD
S
SDO
PDF
SD
Р
PDFO
PDF
SD
Р
SD'FO
PF
PF
PD
S
101
HI
[HI
[21
|Ш1 = [1)
[21]
[3]
[11111 = [01
[211]
[22]
|31]
|21U] = [11
[221] = [211
131Ц
132]
[2211]== [Щ
|ЗШ1 = |2]
|222| =. [2]
[321]
[33J
Зарядово-спиновый мультиплет
(Я, Р', Р")
@00)
/1 1 IN
\2 2 2)
A00)
A11)
/11 1 \
\2 T ~~2~)
A ! 1\
\2 2 2)
I 3 3 3\
V2 2 2/
@00)
A10)
B00)
B11)
/1 1 Ь
V2 2 2/
V2 2 2)
A00)
A11)
A1-1)
B10)
C00)
BГ+1,25+1)
(И)
B2)
A3) C1)
A1) C3)
B2)
B2) B4) D2)
B2) D4)
A1)
A3) C1) C3)
A1) A5) E1) C3)
A3) C1) C3) C5) E3)
B2)
B2) B4) D2)
B2) B4) D2) D4)
B2) B4) D2) B6) F2) D4)
A3) C1)
<") C3)
(П) C3)
A3) C1) C3J A5) E1) <35) E3)
A3) C1) C5) E3) A7) G1)
Таблица 72
Состояния, возникающие при заполнении ядерной d-оболочки (г<;4)
г
0
1
2
3
4
Орбитальный
IM
10]
1П
PI
111]
C1
[211
A111 = 111!
D1
1311
[221
12111
|Ш1] = [1]
момент количества движения
@0)
A0)
@»)
B0)
СП)
A0)
C0)
A0)
B1)
(И)
@0)
B0)
D0)
(П)
B0)
C1)
@0)
B0)
B2)
A1)
B1)
A0)
\ц
s
D
S
OD
FP
D
IOFS
D
HOFDP
FP
S
QD
LIHQD
FP
QD
Km2GF2DP
S
GD
1OFDS
FP
HQFDP
D
Зарядово-спиновый мультиплет
\к\
Щ
14
КЩ
[21
[liij^lil
[21|
131
[11111 = 10)
[2Щ
[22]
[31]
[41
(Р, Р', Р")
@00)
,\ 1 1\
V2 2 2/
A00)
A11)
A1-1)
\2 2 2/
A11)
\2 2 2)
/3 3 3\
\2 2 2)
@00)
(ПО)
B00)
B11)
B22)
B74-2,25+2)
A1)
B2)
С3)
\31 )
A1) C3)
B2)
<^D224)
B2) D4)
(И)
Г(з?)<->
(П)C3)(^)
(.1) (»)(»)
A1) C3) E5)
524 Глава 11. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
высокой орбитальной симметрией будут обладать меньшей энергией.
Кроме того, можно заметить, что энергия возрастает с увеличением L.
Схема уровней ядерных /?-оболочек при г = 2 представлена на фиг. 77.
Спиновые мультиплеты выписаны в явном виде. Что же касается заря-
зарядовых мультиплетов, то они указаны точками над соответствующими
значениями Т%. Например, 13?>-уровень табл. 70 на схеме обозначен
как 3?>-уровень ядра Li6; 33Я-уровень показан как 3Р-уровень ядер Be6,
Li6 и Не6. Дальнейшее расщепление уровней мы получим, включив
возмущения, обусловленные спин-орбитальными взаимодействиями.
Кулоновское взаимодействие приведет к тому, что горизонтальные
линии на схеме приобретут наклон вправо.
Структуры ядерных конфигураций для г = 0, 1, .... 6 приве-
приведены в табл. 71.
Задача. Начертите схему уровней для конфигураций (рK и (р)*.
Таблица 73
Состояния, возникающие при заполнении ядерной /-оболочки (г<4)
г
0
1
2
3
4
Орбитальный момент количества
движения
[Ц
[0]
[1]
[2]
[И]
[3]
[21]
[111]
[4]
[31]
[22]
[211]
[1111]=» [111]
@00)
A00)
@00) B00)
A10)
A00) C00)
A00)B10)
A11)
@00) B00) D00)
(ПО) B00) C10)
@00) B00) B20)
A10) B11)
A11)
Зарядово-спиновый мультиплет
[I]
[0]
[1]
[11]
[2]
[Ш]-[1]
[21]
[3]
[Ш1] «[0]
[2П]
[22]
[31]
[4]
(Р, pi, P")
@00)
12 2 2)
A00)
A11)
A1 М
\2 2 1)
/3 1 1\
\2 2 1)
C 3 3\
\2 2 2)
@00)
A10)
B00)
B11)
B22)
BГ+ 1.2S+1)
(П)
B2)
/13\
\31 )
A1) C3)
B2)
<*>(?)
B2) D4)
(И)
(й)<*>
(П)('=)C3,
(SW5)
(И) C3) E5)
§ 9. Модель оболочек в схеме jj-связи 525
Те же соображения остаются в силе и при рассмотрении конфи-
конфигураций нуклонов в d-, /-, . .. оболочках. Так же как и в атомных
спектрах, полученную классификацию можно усовершенствовать, введя
в рассмотрение группу O+B/-f-l). Все рассуждения почти дословно
совпадают с рассуждениями, проведенными в § 3 настоящей главы.
Единственное отличие состоит в том, что в результате свертки тен-
тензоров, приводящей к общему моменту количества движения /, = 0
(моменты количества движения каждого из нуклонов равны /),
их орбитальная функция приобретает симметрию схемы [2]. Соответ-
Соответствующая зарядово-спиновая функция обладает симметрией [11] и со-
содержит мультиплеты A3) и C1). Результаты для d- и /-оболочек
при г<!4 представлены в табл. 72 и 73. В этих таблицах объеди-
объединены результаты, приведенные в табл. 61 и 62, л результаты, ука-
указанные в табл. 69.
§ 9. Модель оболочек в схеме //-связи.
Старшинство в схеме //-связи
Схема //-связи в теории ядра аналогична той аппроксимации,
которая использовалась в § 5 настоящей главы для атомов. Отдель-
Отдельные нуклоны движутся в некотором усредненном поле. Предпола-
Предполагается, что спин-орбитальное взаимодействие велико, поэтому уровни
энергии отдельного нуклона можно характеризовать с помощью кван-
квантовых чисел п, I, J, nij, где j = l-\- 1/2 или /==/— 1/2. Если в си-
системе имеется г нуклонов, то зарядовое состояние ядра будет описы-
описываться зарядовыми функциями, которые мы построили в § 6 настоящей
главы. Эти функции нумеруют, используя для этого значения изото-
изотопического спина Т. Если г нуклонов эквивалентны (т. е. если они
принадлежат одной /г//-оболочке), то спин-орбитальную функцию си-
системы получают, образуя произведения г одночастичных функций.
Одночастичные функции дают базис некоторого представления группы
SU{2J-\-\). Спин-орбитальные волновые функции, обладающие сим-
симметрией какого-нибудь определенного типа, образуют базис непри-
неприводимого представления группы SU Bj -\-\). Чтобы получить полную
волновую функцию, мы должны умножить спин-орбитальную функ-
функцию на зарядовую функцию, обладающую сопряженной симметрией.
Таким образом, номерами спин-орбитальных функций будут служить
значения изотопического спина Т. Поскольку схема Юнга для заря-
зарядовой функции имеет самое большее две строки, схема Юнга для
спин-орбитальной функции не содержит разбиений, у которых kt > 2.
Кроме того, число строк в схеме Юнга для спин-орбитальной функ-
функции не превышает 2/+1. Например, при г = 5 могут существовать
спин-орбитальные функции, для которых схема Юнга имеет вид
[^] = [221]. В этом случае у зарядовой функции схема имеет вид
[?] = [32], так что Т= 1/2.
Разложение представлений группы SpBj-\-l) на представления группы О+ C)
Таблица 74
j
в) У= j
Г
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(а)
@0)
A0)
B0)
(И)
B1)
B2)
@00)
A00)
B00)
(ПО)
B10)
A11)
B20)
B11)
B21)
B22)
@000)
A000)
B000)
A100)
B100)
A110)
B200)
B110)
A111)
B210)
B111)
B220)
B211)
B221)
B222)
Разложение момента количества движения
0
3
Y
13
2
I 5 7
221
24
0
5
2
135
24
1 3 5 /7\2 9 11 13
2 2 2 V 2 J 2 2 2
3 9
2 2
0223425628
1 2 32 4 5 6 7
1 3 Eу/7у/9у(Пу 13 15 17
2 2\2J\2J\,2J\2J 2 2 2
13245679
0
7
2
1357
246
1 3 /5\2/7\«/9\2/11\2/13\2 15 17 19
2 2 \2"j \2) \YJ \ 2 j \~Т) 2 " 2
3 5 9 11 15
HITT
О2 23 З2 44 52 б4 72 83 9 10212
Р 22 З4 43 54 б3 73 82 921011
2458
/ 1 у / 3 у ( 5 \5 / 7 \7 / 9 у j 11 \7 / 13 \7 / 15 \» ( 17 у ( 19 у 1 21 у 1 23 \* 25 27
Ш Ш IT] iTj Ш Ш i"J l~2~j lXj 1 2 j Ш I 2 J 2 2
1 / 3 у ( 5 \2 / 7 \з / 9 \3 / 11 \3 113 \3 / 15 \2 / 17 у 1 19 \2 21 23
Y[Tj \T) [Yj [YJ [Tj [-Tj [Т) \T) VY) TT
I4 22 37 45 57 66 77 84 96 103 IP 122132 15
0212 25 35 47 56 67 76 ge 94 Ю4 Ц2 12213 14
/ 1 у ( 3 у I 5 у 1 7 у 1 9 у 1 11 у ( 13 \8 / 15 у ( 17 \в / 19 \» 121 \4 ( 23 \3 / 25 \3 27 29 31
Ш V 2 J \2) \2) \2) [ 2 j [ 2 J V 2 J I 2 J I 2 J 1 2 J [ 2 j [ 2 J 2 2 2
0 1 23 З2 45 б3 б573 84 93 Ю3 IP 122 13 14 16
Разложение представлений группы SpBj-\-l) на представления группы О+ C)
Таблица 74
j
в) У= j
Г
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(а)
@0)
(Ю)
B0)
(И)
B1)
B2)
@00)
A00)
B00)
(ПО)
B10)
A11)
B20)
B11)
B21)
B22)
@000)
A000)
B000)
A100)
B100)
A110)
B200)
B110)
A111)
B210)
B111)
B220)
B211)
B221)
B222)
0
3
Y
13
9
I 5 7
2 21
24
0
5
2
135
24
1 3 5 /7 \2 9 11 13
2 2 2 \2J 2 2 2
3 9
2 2
0223425628
1 2 З2 4 5 6 7
ттттщ
13245679
0
7
2
1357
246
1 3 EуGу/9у(П\
2 2 Ы Ы Ы [ 2 j
3 5 9 11 15
П1ТТ
О2 23 З2 4" 52 б4 72 83 9 10212
Р 22 З4 43 54 б3 73 82 921011
2458
Разложение i
2 13 15 17
2 2 2
2/13\2 15
[т) т-
/11 \7 /13\
[Tj [Tj
142237455765 778495 1O311
0212 25 35 47 56 б7 76 86 94 104
J12213215
IP 1221314
0 1 23 З2 45 53 б573 84 93 103 IP 122 13 14 16
ломента количества движения
17 19
2" 2
7 /15 у (Пу( 19 у B1у/ 23 у 25 27
[Т> [TJ [ 2 J [TJ [ 2 J 2 2
15\2/m2/19\2 21 23
Tj [TJ [TJ ~T"
8 /15 у ( 17 у 119 \« [1\yi 23 \3 / 25 \s 27 29 31
[tj [tj [tj [tj [tj [tj t 2 2
Таблица 75
a) J = Y
6)^4
2
T
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
Классификация
[0]
[1]
[2]
[1]
[21]
[1111-11]
[22]
[211]
[ПИ] = [0]
[0]
[1]
[2]
[HI
[21]
[111]
[22]
[211]
[ПП] = [11]
[221]
[21111]
[11111] = [1]
r
0
1
T
0
1
1
2
3
2
0
1
2
0
1
2
0
1
1
T
3
2
0
1
2
1
2"
3
2
5
2
состояний ядерно!
(О)
@0)
(Ю)
B0)
@0)
(И)
(Ю)
B1)
(Ю)
@0)
(И)
B2)
B0)
(И)
@0)
@00)
A00)
B00)
@00)
(ПО)
A00)
B10)
A00)
A11)
@00)
(ПО)
B20)
B00)
(ПО)
B11)
@00)
(ПО)
(ЮО)
B10)
(HI)
B21)
A00)
BЮ)
A11)
A00)
(s, t)
@, 0)
B,0)
@, 0)
B, 1)
Н)
К)
@,0)
B, 1)
D, 0)
B,0)
B, 1)
@,0)
@, 0)
(•¦т)
B, 0)
@, 0)
B, 1)
И)
/ 1 \
(•4)
И)
@, 0)
B, 1)
D, 0)
B, 0)
B, I)
D, 1)
@,0)
B, 1)
(••т)
И)
К)
И)
И)
И)
И)
К)
i конфигурации (у)г
Разложение момента
количества движения
0
3
2
1 3
0
2
3
2
1 5 7
2 2 2
3
2
0
2
2 4
• 1 3
2
0
0
5
2
1 3 5
0
2 4
5
2
1 3 5 /7\2 9 11 13
2 2 2 \2) 2 2 2
5
2
3 9
2 2
0
2 4
0 22 3 42 5 б2 8
1 3 5
2 4
1 2 З2 4 5 6 7
0
2 4
5
2
1 3 5 /7\2 9 11 13
2 2 2 \2/ 2 2 2
3 9
2 2
1 3 /5\2 /7\2 /9\2 /11\2 13 15 17
Т ~2 \2) \2) \2) \ 2 ) 2 2 2
5
2
1 3 5 /7\2 9 11 13
2 2 2 \2) 2 2 2
3 9
2 2
5
2
Таблица 75
a) J = Y
6)^4
2
T
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
Классификация
[0]
[1]
[2]
[1]
[21]
[1111-11]
[22]
[211]
[ПИ] = [0]
[0]
[1]
[2]
[HI
[21]
[111]
[22]
[211]
[1111] = [11]
[221]
[21111]
[11111] = [1]
r
0
1
T
0
1
1
2
3
2
0
1
2
0
1
2
0
1
1
T
3
2
0
1
2
1
2"
3
2
5
2
состояний ядерно!
(О)
@0)
A0)
B0)
@0)
(И)
(Ю)
B1)
A0)
@0)
(И)
B2)
B0)
(И)
@0)
@00)
A00)
B00)
@00)
(ПО)
A00)
B10)
A00)
A11)
@00)
(ПО)
B20)
B00)
(ПО)
B11)
@00)
(ПО)
(ЮО)
B10)
A11)
B21)
A00)
BЮ)
A11)
A00)
(s, t)
@, 0)
B,0)
@, 0)
B, 1)
Н)
К)
@,0)
B, 1)
D, 0)
B,0)
B, 1)
@,0)
@, 0)
(•¦т)
B, 0)
@, 0)
B, 1)
И)
/ 1 \
(•4)
И)
@, 0)
B, 1)
D, 0)
B, 0)
B, I)
D, 1)
@,0)
B, 1)
(••т)
И)
К)
И)
И)
И)
И)
К)
i конфигурации (у)г
Разложение момента
количества движения
0
3
2
1 3
0
2
3
2
1 5 7
2 2 2
3
2
0
2
2 4
• 1 3
2
0
0
5
2
1 3 5
0
2 4
5
2
1 3 5 /7\2 9 11 13
2 2 2 \2) 2 2 2
5
2
3 9
2 2
0
2 4
0 22 3 42 5 б2 8
1 3 5
2 4
1 2 З2 4 5 6 7
0
2 4
5
2
1 3 5 /7\2 9 11 13
2 2 2 \2) 2 2 2
3 9
2 2
1 3 /5\2 /7\2 /9\2 /11\2 13 15 17
Т ~2 \2) \2) \2) \ 2 ) 2 2 2
5
2
1 3 5 /7\2 9 11 13
2 2 2 \2) 2 2 2
3 9
2 2
5
2
Продолжение
в) ;=-?
г
6
0
1
2
3
4
5
Ш
[222]
[2211]
[21111]
[111111] = [0]
[0]
[1]
[2]
[П]
[21]
[111]
[22]
[211]
[1111]
[221]
[2111]
[11111] з-[Ш]
т
0
1
2
3
0
1
"
0
1
I
2"
3
2
0
1
2
1
2
3
2
5
2
@)
B00)
B11)
B22)
@00)
(ПОJ
B20)
B11)
B00)
ПО
@00)
@000)
A000)
B000)
@000)
A100)
A000)
B100)
A000)
A110)
@000)
A100)
B200)
B000)
A100)
B110)
@000)
A100)
A111)
A000)
B100)
A110)
B210)
A000)
B100)
A110)
B111)
A000)
(s, t)
B, 0)
D, 1)
F, 0)
@,0)
B, 1J
D, 0)
D, 1)
B, 0)
B, 1)
@,0)
@,0)
(¦4)
B, 0)
@, 0)
B, 1)
(•4)
К)
(••*)
К)
@,0)
B, 1)
D,0)
B,0)
B, 1)
D, 1)
@,0)
B, 1)
D,2)
И)
К)
И)
И)
И)
И)
И)
И)
Н)
Разложение момента
количества движения
1 3 5
1 2 З2 4 5 6 7
1 З2 4 5 6 7 9
0
B 4J
0 22 3 42 5 б2 8
1 2 З2 4 5 6 7
1 3 5
2 4
0
0
7
13 5 7
0
2 4 6
7
2
1 3 /5\2 G\* /9\2 / 11 \2 /13 \2
2 2 Ы Ы \2) \~Т) \Т)
7
2"
3 5 9 11 15
2 2 2 2 2
0
2 4 6
О2 23 З2 44 52 б4 72 83 9 102 12
13 5 7
2 4 6
I2 22 З4 43 54 б3 73 82 92 10 11
0
2 4 6
2 4 5 8
7
1 3 /5\2 /7\а /9\2 ММ2 / 13\2
2 2 \2) \2) \2) \2 ) 1 2 J
3 5 9 11 15
2 2 2 2 2
ЙI (!)' Ш W (!)' (Щ
/ 15\в / 17 \s /19\4 /21 \3 /23 V
[т) \т) {-г) \т) \т)
7
2
1 3 /5\2 /7\2 /9\2 /11 \2 /13\=
TYlTj It) Ы Ы Ы
3 5 9 11 15
I1ITT
1 /3\2 /5\2 /7\3 /9\3 / 11 Л3 /
т1т) Ы Ы Ы Ы 1
m1 (^ (f) (f)
7
2
15
2
15
2
17
2
17
т
(т)'
25
2
15
2
13 \3
т)
27
2
17
2
В
19
2
19
2
19
2
Продолжение
в) ;=-?
г
6
0
1
2
3
4
5
Ш
[222]
[2211]
[21111]
[111111] = [0]
[0]
[1]
[2]
[П]
[21]
[1П]
[22]
[211]
[1111]
[221]
[2111]
[11111]*-[111]
т
0
1
2
3
0
1
"
0
1
I
2"
3
2
0
1
2
1
2
3
2
5
2
@)
B00)
B11)
B22)
@00)
(ПОJ
B20)
B11)
B00)
ПО
@00)
@000)
A000)
B000)
@000)
A100)
A000)
B100)
A000)
A110)
@000)
A100)
B200)
B000)
A100)
B110)
@000)
A100)
A111)
A000)
B100)
A110)
B210)
A000)
B100)
A110)
B111)
A000)
(s, t)
B, 0)
D, 1)
F, 0)
@,0)
B, IJ
D, 0)
D, 1)
B, 0)
B, 1)
@,0)
@,0)
(¦4)
B, 0)
@, 0)
B, 1)
(•4)
К)
(••*)
К)
@,0)
B, 1)
D,0)
B,0)
B, 1)
D, 1)
@,0)
B, 1)
D,2)
И)
К)
И)
И)
И)
И)
И)
И)
Н)
Разложение момента
количества движения
1 3 5
1 2 З2 4 5 6 7
1 З2 4 5 6 7 9
0
B 4J
0 22 3 42 5 б2 8
1 2 З2 4 5 6 7
1 3 5
2 4
0
0
7
13 5 7
0
2 4 6
7
2
1 3 /5\2 Gу /9\2 /11 \ =
2 2 Ы Ы Ы 1 2 j
7
2"
3 5 9 11 15
2 2 2 2 2
0
2 4 6
О2 23 З2 44 52 б4 72 83 9 102
13 5 7
2 4 6
I2 22 З4 43 54 б3 73 82 92 10
0
2 4 6
2 4 5 8
7
1 3 /5\2 /7\а /9\2 /11\2
2 2 Ы Ы Ы 1 2 J
3 5 9 11 15
2 2 2 2 2
Ф1 (!)' № Ш' (!)'
/15\6 /17\5 /19\4 /21 у
[т) \т) {-г) \т)
7
2
1 3 /5\2 /7V /9\2 /11 у
2 2 Ы Uj UJ 1 2 )
3 5 9 11 15
II1TT
* ©' A)' A)' DI (-
/17\2 /19\ /21 \ /23\
\Т) \Т) \Т) { 2 j
7
2
/13\2
\2 )
12
11
B3 \'
\ 2 )
№'
т)'(
15
2
15
2
17
2
17
т
(т)'
25
2
15
2
13 \3
т)
27
2
17
2
В
19
2
19
~2~
19
2
Продолжение
г
6
7
[222]
[2211]
[21111]
[111111] Bi [И]
[2221]
[22111]
[211111]
[1111111] =5 [1]
т
0
1
2
3
1
Т
3
2
5
2
7
2
(о)
A110)
B000)
B110)
B220)
@000)
A100J
B200)
B110)
(ПИ)
B211)
B000)
A100)
B110)
A111)
@000)
A100)
A000)
B100)
A110)
B210)
BШ)
B221)
A000)
B100)
(НЮJ
B210)
BШ)
A000)
B100)
(Ш0)
A000)
(¦s. t)
И)
B, 0)
D, 1)
F, 0)
@, 0)
B, IJ
D,0)
D, 1)
D, 2)
F, 1)
B, 0)
B, 1)
D, 1)
D, 2)
@, 0)
B, 1)
(l. ^)
К)
К)
К)
И)
G>т)
И)
К)
/о 3\2
гт)
E> т)
E,1)
И)
D)
И)
Разложение момента
количества движения
3 5 9 11 15
2 2 2 2 Т
13 5 7
I2 22 З4 43 54 б3 73 82 92 10 11
I4 22 З7 45 57 б6 77 84 9е 103 И3 122 132 15
0
B 4 бJ
02 2з з2 44 52 б4 72 83 9 102 12
I2 22 З4 43 54 б3 73 82 92 10 11
2 4 5 8
02 12 25 35 47 5е б7 76 86 94 104 И2 122 13 14
13 5 7
2 4 6
I2 22 З4 43 54 б3 73 82 92 10 11
2 4 5 8
0
2 4 6
7
Т
1 3 /5\2 Gу /9\2 /11 \2 / 13\2 15 17 19
2 2 Ш [Т) [-2) { 2 ) \~Т) Т Т Т
3 5 9 11 15
2 2 2 2 2
AYCY(^YGY(9Y(UYA3YA5Y
Ы Ы \2) Ш Ы [ 2 ) [ 2 j \Т)
( 17 Y ( 19 \4 / 21 Y ( 23 \2 25 27
12 J ItJ ItJ uJ 2 t
1 /з\2 /5\2 тз /9\з /in3 /m3 (i5_y
т (t) It) ItJ w ItJ 12 J 12 J
/ 17 \2 19 21 23
ItJ t 2 2
/ 1 \ 1 1 e\ \ n 1 Г \ Й / *7 \ 7 / d \ 7 /11 \ 8 /1*^\8 /14\7
/1 \" / л \ 1 j \ 1 / \ / У \ ' / 1J. \ / 1O\ / 1O\
/17\6 / 19 \6 /21\4 /23 \3 /25\3 27 29 31
ItJ ItJ ItJ ItJ 12 J 2 2 2
7
2
1 3 /5\2 /7\2 /9\2 /11\2 /13y 15 17 19
т т It) ItJ ItJ ItJ {2 J 2 2 2
/3 5 9 11 15 у
\2 2 2 2" 2 J
(tJ (tL (fN (tO (t) (t) (t) (t)
/ 17 \5 / 19 у / 21 у / 23 у 25 27
It) It) It) ItJ tt
i № № AГ D)" № (")' (f)!
/17 у 19 21 23
iTj 2 2 2
7
2
1 3 /5\2 /7\2 /9\2 /11\2 /13 у 15 17 19
2 т ItJ ItJ ItJ ItJ ItJ 2 2 2
3 5 9 11 15
2 2 2 2 2
7
2
Продолжение
г
6
7
[222]
[2211]
[21111]
[111111] Bi [И]
[2221]
[22111]
[211111]
[1111111] =5 [1]
т
0
1
2
3
1
Т
3
2
5
2
7
2
(о)
A110)
B000)
B110)
B220)
@000)
A100J
B200)
B110)
(ПИ)
B211)
B000)
A100)
B110)
A111)
@000)
A100)
A000)
B100)
A110)
B210)
BШ)
B221)
A000)
B100)
(НЮJ
B210)
B111)
A000)
B100)
(Ш0)
A000)
(¦s. t)
И)
B, 0)
D, 1)
F, 0)
@, 0)
B, IJ
D,0)
D, 1)
D, 2)
F, 1)
B, 0)
B, 1)
D, 1)
D, 2)
@, 0)
B, 1)
(l. ^)
К)
К)
К)
И)
G>т)
И)
К)
гт)
E> т)
E>т)
И)
D)
И)
Разложение момента
количества движения
3 5 9 11 15
2 2 2 2 Т
13 5 7
I2 22 З4 43 54 б3 73 82 92 10 11
I4 22 З7 45 57 б6 77 84 9е 103 И3 122 132 15
0
B 4 бJ
02 2з з2 44 52 б4 72 83 9 102 12
I2 22 З4 43 54 б3 73 82 92 10 11
2 4 5 8
02 12 25 35 47 5е б7 76 86 94 104 И2 122 13 14
13 5 7
2 4 6
I2 22 З4 43 54 б3 73 82 92 10 11
2 4 5 8
0
2 4 6
7
Т
1 3 /5\2/7\2 /9\2 /11 \2 / 13\2 15 17 19
2 2 [2 J [ 2 J Ш { 2 ) [ 2 J 2 2 Т
3 5 9 11 15
2 2 2 2 2
(±YCYAYGY (9Y (UY A3Y A5Y
Ы Ы Ы ш Ы [ 2) [ 2 j \т)
( 17 Y ( 19 \4 / 21 Y ( 23 \2 25 27
12 J ItJ ItJ uj 2T
1 /3\2 /5\2 /7\3 /9\з /11 \3 /13\3 /15\2
т (т) 1т) It) It) ItJ ItJ ItJ
/ 17 Y 19 21 23
\Tj T 2 2
/ 1 \ 1 1 e\ \ n 1 Г \ Й / *7 \ 7 / d \ 7 /11 \ 8 / 1 Q \ 8 /14\7
/1 \" / л \ 1 j \ 1 / \ / У \ ' / 1J. \ / lO \ / Ю \
/17\6 / 19 \6 /21\4 /23\3 /25\3 27 29 31
ItJ ItJ ItJ ItJ ItJ t 2 2
7
2
1 3 /5\2 /7\2 /9\2 /11\2 /13 \* 15 17 19
ттЫ It) ItJ ItJ ItJ tt 2
/3 5 9 11 15 \2
\2 2 2 2" 2 J
(tJ (tL (fN (tO (t) (t) (t) (t)
/17 \6 /19 у B1 Y B3 Y 25 27
It) ItJ It) It) tt
1 № A)" (!)* D)" D)" (")' (f Г
/I7\2 19 21 23
iTj 2 2 2
7
2
1 3 /5\2 /7\2 /9\2 /11\2 /13\2 15 17 19
т т ItJ ItJ ItJ ItJ ItJ 2 2 2
3 5 9 11 15
2 2 2 2 2
7
2
Продолжение
т
8
[1]
[2222]
[22211]
[221111]
[2111111]
[ШШП] = [О]
г
0
1
2
3
4
(о)
@000)
A100)
B200)
A111)
B211)
B222)
B000)
A100)
B110J
A111)
B220)
B211)
@000)
A100J
B200)
B110)
(ПИ)
B000)
A100)
@000)
@,
B,
D,
D,
F,
(8,
B,
B,
D,
D,
F,
F,
@,
B,
D,
D,
D,
B,
B,
@,
t)
0)
1)
0)
2)
1)
0)
0)
1)
1J
2)
0)
1)
0)
1J
0)
1)
2)
0)
1)
0)
0
2
О2
2
О2
0
1
2
4 6
23 З2
4 5 8
I2 25
44
3=
52
47
Разложение
количества
б4 72 83 9
56 б7 7е 8е
1 23 З2 45 53 65 7» 84 ?
3 5 7
4 6
(I2 22 31
2
I4
О2
0
B
О2
I2
2
I
2
0
4 5 8
22 З7
12 25
4 бJ
23 З2
22 З4
4 5 8
3 5 7
4 6
4:
45
35
44
4з
5<
57
47
52
54
б3 73 82 9
6е 77 84 96
5е б7 7е 86
б4 72 83 9
б3 73 82 92
момента
движения
102 12
94 104 И2
122 13 14
з 103 И2 122 13 14 16
2 10 ИJ
103 И3 12-
94 Ю4 И2
102 12
10 11
132 15
122 13 14
§ 9. Модель оболочек в схеме jj-связи 535
Разложение момента количества движения конфигурации (у'/ было
приведено в § 2 настоящей главы (см. табл. 54, 56 и 58).
Понятие старшинства в схему у'у-связи можно ввести так же, как
оно было введено в § 4 настоящей главы. Чтобы иметь возможность
характеризовать уровни, возникающие в некоторой заданной конфи-
конфигурации ядра, нам требуются какие-то дополнительные квантовые
числа. Для этого мы пытаемся найти группу G, которая была бы
подгруппой группы 5t/By'-(- 1) и содержала бы в качестве подгруппы
группу О+C). После этого уровни можно было бы характеризовать,
задавая разбиение [X], момент количества движения У и то неприво-
неприводимое представление группы G, которому принадлежит рассматривае-
рассматриваемый уровень.
Предположим, что у нас имеется два нуклона в конфигурации (уJ.
Спин-орбитальные функции
этих двух нуклонов являются векторами в нечетномерном простран-
пространстве (размерности 2у —|— 1) представления D1' группы вращений.
Произведения функций i^'H^2) образуют базис некоторого предста-
представления унитарной группы SU Bу + 1) и в то же время образуют базис
некоторого представления группы вращений О+ C). Соотношение A1.6),
выписанное для полуцелого у, показывает, что антисимметрическая
билинейная форма (косое произведение)
-26>
приводит к сложению моментов количества движения двух частиц и
результирующему моменту ./=0. Трехмерные вращения индуцируют
в пространстве этих тензоров линейное преобразование, но не изме-
изменяют функцию 4^=0 в формуле A1.26). Однако существует и более
широкая группа О преобразований в By-f- 1)-мерном пространстве,
оставляющих функции A1.26) инвариантными. Косое произведе-
произведение A1.26) представляет собой антисимметрическую билинейную форму,
заданную на векторах нечетномерного пространства. Поэтому оно
инвариантно относительно симплектических преобразований Sp By-f-1),
рассмотренных нами в гл. 10. Операция A1.26), служащая для полу-
получения косого произведения, есть в точности свертка, введенная нами
в § 8 гл. 10.
Косое произведение A1.26) антисимметрично и имеет /—0. Соот-
Соответствующая зарядовая функция для двух нуклонов должна быть сим-
симметричной (отвечать разбиению [2]), так что Т=1,
536 Глава И. Применение теории групп к атомной и ядерной физике
Разложение представлений
561B/4-1)->5/7B;+ 1)->О+C)
проводится методами, аналогичными методам § 4 настоящей главы и
использующими результаты гл. 10 о симплектической группе.
При у = 3/2 разложение момента количества движения
SpD)-*¦ О+ C) получают из табл. 50 и 54. При г—\ схеме Юнга
[^]=[1] отвечает У=3/2 (см. табл. 54), а схема [1] содержит
@^2) = A0) (см. табл 50), так что представление A0) группы SpD)
содержит J=3/2. При г = 2 схема Юнга 111] содержит 7=0, 2
(см. табл. 54) и (о^Ог)—@0), A1) (см. табл. 50). Поскольку представле-
представление @0) группы 5р D) содержит J=0, представление A1) содержит
7=2. Продолжая аналогичным образом, получаем разложение
5/>D)->О+C) (см. табл. 74).
Задача. Получите самостоятельно результаты, приведенные в табл. 74
для J = 3/2 и ; = 5/2.
Комбинируя результаты, приведенные в табл. 74, с результатами,
представленными в табл. 50, мы приходим к классификации спин-
орбитальных функций. Соответствующая зарядовая функция полностью
определяется заданием величины изотопического спина Т. Предста-
Представления группы SpBj-j-l) характеризуются символами (ого2 ... oj),
где ог<^2. Поскольку схема Юнга для такого символа содержит два
столбца, ее можно описывать, задавая сумму и разность длин этих
двух столбцов. Запишем длины этих двух столбцов в виде A/2)s ± t.
Старшинство s представляет собой наименьшее число частиц, для
которого может встретиться представление группы SpBj~\-l); кван-
квантовое число t называется приведенным изотопическим спином.
Результаты всех вычислений представлены в табл. 75.
Задача. Выведите результаты, содержащиеся в табл. 75 при / = 3/2,
./ = 5/2.
ГЛАВА 12
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
МАЛЫЕ ГРУППЫ
В предыдущих главах мы рассматривали представление групп
линейными операторами, действующими на векторы в гильбертовом
пространстве. Каждому элементу g группы О мы ставили в соот-
соответствие линейный оператор D (g) и требовали, чтобы
D(g{)D(g2) = D(g3), если g1g2 = g3. A2.1)
Операторы D(g) представления действуют на векторы \|) в гиль-
гильбертовом пространстве. Однако в квантовой механике чистое состоя-
состояние физической системы описывается не нормированным вектором i|),
а лучом еф, где е — произвольный фазовый множитель (|е|=1).
Поэтому каждому элементу g группы симметрии G мы должны поста-
поставить в соответствие оператор D(g), действующий на лучи в гиль-
гильбертовом пространстве и осуществляющий отображение одних лучей
в другие. Таким образом, с каждым элементом группы g мы связы-
связываем некоторый процесс „сдвига", в результате которого каждое
физическое состояние системы переходит в другое возможное физиче-
физическое состояние этой же системы. В силу сказанного нам не следует
a priori считать, что операторы представления удовлетворяют усло-
условиям A2.1). Вместо этого мы должны лишь потребовать, чтобы
D(gi)D(g2) = eD(g3), если glg2 = gz, A2.2)
где е — фазовый множитель, зависящий от gx и g%. Такие предста-
представления называются проективными представлениями; представле-
представления же, определяемые условием A2.1), называются векторными
представлениями. В этой главе мы рассмотрим задачу о нахождении
проективных представлений произвольной группы. Одновременно мы
будем изучать условия, при которых проективное представление A2.2)
можно заменить векторным представлением A2.1).
§ 1. Проективные представления конечных групп
Примечательно, что задача нахождения проективных представле-
представлений конечных групп была сформулирована и полностью решена задолго
до создания квантовой механики. В серии своих статей Шур изложил
общий метод нахождения неприводимых представлений конечных групп
538 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
с помощью дробно-линейных преобразований (проективных пре-
преобразований).
Под проективным представлением мы понимаем следующее.
Каждому элементу А, В, .. . конечной группы мы ставим в соот-
соответствие некоторое дробно-линеиное преобразование
v >
где матрица D(A) коэффициентов ац неособенная. Дробно-линей-
Дробно-линейные преобразования задают представление группы Я, если
{А}(В) = {АВ}. A2.4)
Размерность такого представления равна порядку п матриц D (А).
Преобразования A2.3) можно рассматривать как линейные пре-
преобразования
я
Л-=2ЗД ('=1 »). A2.5)
где
xt = ZL (i=\ ft —1) A2.5а)
Уп
являются однородными координатами.
Из A2.3) или A2.5а) мы видим, что умножение элементов пц
на один и тот же общий множитель не изменяет преобразования {Л}.
Если выписать матрицы, соответствующие соотношению A2.4), то ока-
окажется, что
D(A)D(B) = (uAtBD(AB), A2.6)
где соЛ| в — некоторый набор множителей, зависящих от выбора
матриц D(A) и D(B). Наоборот, если нам дана некоторая система
неособенных матриц, удовлетворяющих условию A2.6), то мы можем
найти соответствующее этой системе представление A2.4) посредством
дробно-линейных преобразований. Таким образом, задача нахождения
представлений некоторой группы с помощью дробно-линейных пре-
преобразований эквивалентна нахождению представлений этой группы
с помощью линейных преобразований D(A), удовлетворяющих усло-
условию A2.6).
Представление A2.6) мы будем называть проективным предста-
представлением, соответствующим данной системе множителей co^iB.
В частности, если все множители (aAi B равны единице, то условие A2.6)
будет определять обычные представления, которые мы будем назы-
называть векторными представлениями.
Если матрицы двух представлений отличаются друг от друга
только множителем
A2.7)
§ 1. Проективные представления конечных групп 539
то они соответствуют одному и тому же набору дробно-линейных
преобразований {А}, {В}, ..., и называются ассоциированными.
Понятия эквивалентности представлений и их приводимости остаются
такими же, как раньше. Проективное представление D' (А) экви-
эквивалентно представлению D{A) [формула A2.6)], если для всех А,
принадлежащих Н, существует неособенная матрица 5 такая, что
D'(A) = SD(A)S~l.
В этом случае
'' ' A2.8)
т. е. эквивалентные представления принадлежат одной и той же
системе множителей. Если можно найти матрицу S, которая все ма-
матрицы представления D'(А) позволяет записать в виде
D[(A) 0 1
0 DjJ' A29)
то представление D{A) приводимо и разлагается в прямую сумму
проективных представлений D\-\-D2. Из A2.8) и A2.9) видим, что
система множителей о)л_ в одна и та же для D(A), D'(A), D[{A)
и D'2(A).
Проективное представление A2.6) неприводимо, если не суще-
существует эквивалентного представления вида A2.9).
Элементы v>AiB системы множителей в A2.6) нельзя выбирать
произвольно. Представим себе, что конечная группа Н состоит из
h элементов
Н0 = Е, Нг, .... Hh_v
Если матрицы D(Hj) задают некоторое проективное представление
группы Н, соответствующее системе множителей соЛ| в, то для любых
трех элементов Р, Q, R группы Н
( ' 0)
<°Р, Q^PQ, R = WP, QR«>QR (P. Q- R=H0 Hh-\)- С1 2- ! 0
Таким образом, ассоциативный закон группового умножения приводит
к тому, что /г2 множителей сод в должны удовлетворять А3 уравне-
уравнениям A2.11).
Наоборот, покажем теперь, что дня каждой системы, состоящей
из /г2 отличных от нуля множителей а>А в, которые удовлетворяют
540 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
условиям A2.11), найдется проективное представление группы Я,
принадлежащее этой системе множителей сол> в. Чтобы доказать это,
введем в рассмотрение h независимых переменных хн , хн хн
и построим матрицу X размером йХй с матричными элементами
Xp,q = <»pq-Kqxpq-> (P-Q = Ho Нн-гУ О2-12)
Каждой строке и каждому столбцу матрицы X соответствует неко-
некоторый элемент группы Ht. Очевидно, что матрицу X можно запи-
записать в виде
Х= 2 D(R)xR, A2.13)
где сумма берется по всем элементам R группы Н. Матрицу D(R)
можно найти из соотношения A2.12), полагая л:й= 1, а все осталь-
остальные переменные — равными нулю. Покажем, что матрицы D(R) удо-
удовлетворяют условию A2.6).
Пусть ун , ун , . . ., ун — второй набор независимых пере-
переменных. Определим h переменных ZH , zHl, .... zH с помощью
соотношений
zP= 2 ®R,sxRys> A2.14)
RS-'P
где суммирование распространяется на все элементы R и S, для
которых RS = P. Будем обозначать матрицу A2.12) Y или Z, если
вместо переменных xR взяты переменные yR или ZR. Матричный
элемент произведения XY, стоящий на месте (Р, Q), равен
R
Но из равенства A2.11) для элементов (PR*1), (RQ~l),Q, мы имеем
VpR-1, RaRQ-K Q = aPR~\ RQ-MPQ~\ Q1
вследствие чего формула A2.15) принимает вид
Сравнивая сумму в формуле A2.16) с суммой, стоящей в равенстве
A2.14), мы видим, что первая сумма равна гр(.-\, так что
или же
XY = Z. A2.17а)
Подставляя вместо X, Y и Z их выражения A2.13) и A2.14), по-
получаем
2 D (Я) D E) xRys = 2 D (T) zT = 2 ©д, sD (Я$) *йVs- (J2-!8)
Л, S Г Я. 5
§ 1. Проективные представления конечных групп 541
Приравняв коэффициенты при произведениях независимых перемен-
переменных xRys, найдем, что матрицы D(R) и D(S) порядка h удо-
удовлетворяют соотношению
D(R)D(S) = u>RtSD{RS). A2.19)
Из A2.12) и A2.13) следует, что матрица D(R) содержит только
один ненулевой элемент в каждой строке и каждом столбце и по-
поэтому является неособенной матрицей. Итак, матрицы D(R), обра-
образованные с помощью соотношений A2.12) и A2.13), определяют
представление, принадлежащее данной системе множителей соА> в.
Таким образом, мы показали, что необходимое и достаточное условие
существования представлений, принадлежащих некоторой системе
множителей &А> в, состоит в том, чтобы А2 чисел &At в удовлетво-
удовлетворяли /г3 уравнениям A2.11).
Уравнения A2.11) имеют бесконечное множество решений. Если
®а,в есть решение, а сн , сН{, .... сн —любые отличные от
нуля константы, то
<*'ав = ^<*л.в A2.20)
есть также решение уравнений A2.11). Решения сод в и а>'А в, для
которых можно найти константы с так, чтобы выполнялось равен-
равенство A2.20), называются ассоциированными, или эквивалентными,
системами множителей. Если мы найдем представление D(A), при-
принадлежащее системе множителей соЛ) в, то матрицы
A2.21)
будут удовлетворять соотношению
D' (A) D' (В) = cAcBuAi BD (AB) =
^ A2.22)
АВ
Таким образом, если две системы множителей эквивалентны, то пред-
представления, принадлежащие одной из них, определяются непосред-
непосредственно из представлений, принадлежащих другой, с помощью
соотношения A2.20). Говорят, что представления, принадлежащие
неэквивалентным системам множителей, являются представлениями
различного типа.
Разобьем теперь все решения уравнений A2.11) на классы экви-
эквивалентных систем множителей. Число таких классов конечно. Взяв
от правой и левой частей равенства A2.19) определители и положив
det D (R) = dR,
542 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
получим
Если константы сА в равенстве A2.20) выбрать так, чтобы ^ = й~1/Л
(т. е. чтобы константа сА была бы одним из h решений уравнения
cAh — d\ то из системы множителей со„ 5 можно получить эквива-
эквивалентную систему
R,S Crs R.S-
для которой, согласно A2.23),
K,s)*=l. A2.24)
Таким образом, класс эквивалентных систем множителей должен
содержать систему множителей, у которой К1 величин сол гВ являются
корнями /z-й степени из единицы. Поэтому число классов не может
превышать числа hh\ из чего следует, что число классов конечно.
Обозначим га классов через Ко, Кг, .... Кт_х, причем Ко —
класс, содержащий систему множителей coAi в = 1. Если системы
множителей of-JpB и efijpB являются решениями уравнений A2.11) и
принадлежат классам К^ и Кц, то их произведения (^в'(Л'а'в также
будут удовлетворять A2.11). Класс Kv, к которому принадлежит
это новое решение, не зависит от конкретного выбора решений (d^B
и (d?>в в классах К% и К , а определяется самими классами. Это
обстоятельство мы записываем в виде
и замечаем, что
Тем самым мы определили умножение классов, причем оно оказалось
коммутативным. Кроме того, легко видеть, что если
то
Класс Ко служит единичным элементом. Наконец, очевидно, что такое
умножение классов ассоциативно, и поэтому классы Кй, К\ Кт-\
образуют абелеву группу порядка га, которая называется мульти-
мультипликатором группы Н.
Шур развил общие методы нахождения мультипликатора и по-
построения неприводимых проективных представлений обширных клас-
§ 2. Примеры проективных представлений конечных групп 543
сов конечных групп. Доказательство Шура слишком длинно, чтобы
его можно было привести здесь. Вместо этого мы проиллюстрируем
его метод в некоторых простых случаях.
§ 2. Примеры проективных представлений
конечных групп
Циклическую группу, порожденную элементом А порядка п,
А° = Е, А, А2 Ап~\
можно задать с помощью определяющего отношения
Л" = ?. A2.25)
Для проективного представления матрица D{A) должна удовле-
удовлетворять условию
[D(A)]" = (al. A2,26)
Если вместо матрицы D(A) взять матрицу
мы получим векторное представление
Таким образом, в случае циклических групп мультипликатор состоит
из единичного элемента Ко, и все проективные представления экви-
эквивалентны обычным векторным представлениям. Все неприводимые
представления одномерны.
Пусть абелева группа Н есть прямое произведение двух цикли-
циклических групп, порожденных элементами А порядка п и В порядка п'
соответственно. Определяющие отношения, характеризующие группу,
имеют вид
Ап = Е, Вп'=Е, АВ = ВА. A2.27)
Матрицы представления будут удовлетворять равенствам
]"~al, [D(B)]n' =b\, D(A)D(B) = cD(B)D(A), A2.28)
с константами а, b, с. Константы а и b можно включить в мат-
матрицы D{A) и D(B). Тогда у нас останется только последняя кон-
константа в равенствах A2.28) — константа с. Так как матрицы D(A)
и D{B) входят в обе части последнего из уравнений A2.28), то
константа с не может измениться при изменении этих матриц. Однако
мы должны найти, какие ограничения накладывают на константу с
условия A2.28). Умножив последнее уравнение справа на D(B),
получим
D (A) [D (В)]2 = cD (В) [D (A) D (В)} = с2 [D (В)}2 D (А).
544 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Повторяя этот процесс еще раз, находим
D (A) [D (В)]3 = с3 [D (В)]3 D (А)
и, наконец,
D (A) [D (В)}"' = с"' [D (В)]"' D (А),
или
с"'=1. A2.29)
Точно так же, умножая повторно слева на D(A), будем иметь
с"=1. A2.29а)
Таким образом, константа с должна быть одновременно и корнем
я-й степени из единицы и корнем я'-й степени из единицы. Если
d — наибольший общий делитель чисел я и я', то она должна удо-
удовлетворять соотношению
cd=\. A2.296)
Если числа я и я' взаимно простые, то rf=l, а в силу этого
и с = 1. В этом случае все представления эквивалентны векторному
представлению и все неприводимые представления одномерны. Так,
например, происходит в случае, когда я==3, а п' = 2.
Если п — п' = 2, мы получаем четверную группу Клейна
А2 = Е, В2 = Е, С = АВ = ВА. A2.30)
Приведенное выше рассуждение показывает, что с2= 1, с=±1.
При с = -)-1 операторы удовлетворяют соотношениям
[D (Л)]2 = [D E)]2 = 1, D(A)D(B) = D(B)D(A), A2.31)
и мы получаем обычные одномерные неприводимые представления.
Если же с = —1, имеем
[D (Л)]2 = [D (В)]2 = 1, D(A)D(B) = — D(B)D(A). A2.32)
Если выберем
D(Q = tD(A)D(B),
то
[D (С)]2 = — [D (Л) D E)] [D (Л) D (В)] =
Квадраты матриц 1>(Л), DE) и ?>(С) равны единичной матрице,
сами матрицы антикоммутируют друг с другом. Неприводимое пред-
представление задается матрицами Паули.
Задача. Докажите, что размерность неприводимого представления
в случае A2.32) равна двум.
§ 2. Примеры проективных представлений конечных групп 545
Группы диэдра Dn порождаются двумя элементами А и S, удо-
удовлетворяющими соотношениям
Ап = Е, S2 = E, SAS = A~\ A2.33)
Обозначим матрицы представления, соответствующие элементам А и
S, через В я Т. Эти матрицы удовлетворяют соотношениям
Bn = bl, Т2 = П, ТВТ^сВ'1. A2.34)
Константы but можно включить в матрицы В и Т (В' = Ь~ В,
Т =t~ l). После этого наши уравнения примут вид
Вп=\, Т2=1. ТВТ = сВ~1. A2.34а)
Возводя последнее из уравнения A2.34а) в ге-ю степень и пользуясь
первыми двумя, находим, что с"=1, т. е. константа с должна быть
корнем я-й степени из единицы. Пусть с = ет, е = ехрBя//я). Если
матрицу В умножить на гт', то первые два уравнения A2.34а) оста-
останутся верными, а последнее заменится на следующее:
Если п нечетно, то т! всегда можно подобрать так, чтобы т — 2/и'=0
или т — 2га' = п. Тогда *
и мы получим только обычные векторные представления. Когда же п
четно, то мы можем вообще исключить с, если га четно, или заме-
заменить с на е, если га нечетно. Таким образом, при четном п имеется
два класса /Со и /Ci- В классе Ко константа с=1, и соотношения
между операторами представлений имеют вид
?"=1, Г2=:1, ТВТ = В~Х. A2.35)
Мы получаем обычные неприводимые векторные представления.
В случае же класса К\ константа с = е, и соотношения между опе-
операторами представлений имеют вид
Вп—\, Т2=1, ТВТ = гВ'х (я —четное). A2.36)
При п = 2 мы получаем четверную группу, уже рассмотренную нами
выше. Легко показать, что неприводимые представления A2.36)
двумерны.
Задача. Покажите, что неэквивалентные неприводимые представле-
представления A2.36) имеют вид
Гег 0 1 ГО 11
Чо ..-]• т=1 о]' (Ш7)
где /-=1,2,..., п/2.
546 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Симметрическая группа Sn порождается (я—1) транспозициями
7'1 = A2), 72^B3) 7-я_, = (я-1, я),
которые удовлетворяют соотношениям
Г? = ?, (TjTj+lf = E, TrTs^TsTr, A2.38)
/=1, .... я—1,
j=\ «—2,
г=\, 2 я —3,
s — r-\-2, .... я —1.
Наоборот, можно показать, что абстрактная группа, определяемая
соотношениями A2.38), изоморфна группе Sn.
Предположим, что у нас имеется некоторое проективное пред-
представление группы Sn, в котором элементам Tt сопоставлены мат-
матрицы At. Соотношения между операторами представления, соответ-
соответствующие A2.38), запишутся в виде
A] = ail, A2.39)
(AjAj+1)* = bjl, A2.39а)
ArAs = crsAsAn A2.396)
где at, bj, crs—константы, отличные от нуля. Константы crs появ-
появляются только при я ,> 4 и не изменяются при умножении матриц Аг
на число [это видно из соотношений A2.396)]. Таким образом, кон-
константы crs определяются дробно-линейными преобразованиями.
Из A2.396) мы получаем
ArAsAr := CrsAs,
Возводя в квадрат и пользуясь A2.39), находим
<&=1. A2.40)
Индексы г, r-\-\, s, s+1, которые встречаются в перестановках
Тт и Ts из равенств A2.38), все различны. Если взять другую пару
перестановок 7>, Ts>, у которых индексы г', r'-\-\, s'', s'+l все
различны, то найдется перестановка Т, переводящая индексы г,
г+1, s, *+1 в индексы г', г'-j-l, s', s'-\-l, так что
TTrT-l = Tr., TTST~1 = TS'. A2.41)
Если в представлении перестановке Т сопоставлен оператор А, то
соответствующие соотношения для операторов представления имеют
вид
^ = сАГ', AAsA~l = dAs>, A2.41а)
§ 2. Примеры проективных представлений конечных групп 547
где с и d— константы, отличные от нуля. Из соотношения A2.396)
следует
AArA~x AAsA~l = crsAAsA~lAArA~\
Пользуясь равенствами A2.41а), получаем
cdAr'As' — cdcrsAs'Ar', или Ar>As' = crsAS'Ar'.
Сравнивая с A2.396), т. е. с равенством
AfAs' = Crl s'Asi Ar',
находим
Crs = Cr's' •
Таким образом, согласно соотношению A2.40), все константы crs
одинаковы и равны ±1. Полагая _/=+1, имеем crs = j для всех
г и s.
Из A2.39а) имеем
AjAJ+lAj = bjAjliA^Ajli.
Возводя в квадрат это равенство, получаем
п Ь 1
a)aJ+1 = , A2.42)
aiaj+x
3 3
a
Поскольку матрицы At можно умножать на произвольные кон-
константы, константы ai в A2.39) можно выбирать произвольным обра-
образом. Мы произведем выбор этих констант двумя различными, но
эквивалентными способами.
Во-первых, положим
в, = в2=...==в„_1 = у. A2.43)
Из A2.42) следует, что bj—±l. Матрицы Вь ..., Вп_х опреде-
определим с помощью выражений
В, = Л„ B2 = jbxA2, 53 = *1Мз. ВА = ]ЪффъА^ . . . A2.44)
и обнаружим, что они удовлетворяют соотношениям
В) = Д, (BjBJ+if = Jl, BrBs = jBsBr. A2.45)
Во-вторых, положим
в1 = в2=:...=ся_1 = 1 A2.43а)
и введем матрицы Clt .... Сп_х:
СХ = АХ, Сг = Ь1А2, С8 = й,й,Лз. C^bybfaA) A2.44а)
548 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
которые удовлетворяют соотношениям
С?=1, (С/?,Ч1K=1, CTCs = jCfT. A2.45а)
При у = —|— 1 обе системы сводятся к системе A2.39), и мы по-
получаем класс Ко векторных представлений группы перестановок. При
/= — 1 мы получаем класс Кг проективных представлений со сле-
следующими соотношениями между операторами представления:
в] = -1, (BjBJ+1f = -l, BrBs = -BsBT, A2.46)
или
] 31. CrCs = -CsCr. A2.46а)
Две последние системы соотношений взаимозаменяемы. Если все ма-
матрицы Bt умножить на Y—1 > т0 получившиеся при этом матрицы
будут удовлетворять соотношениям A2.46а).
При я < 4 константы crs в соотношения A2.38) не входят. В силу
этого при я<4 симметрическая группа имеет лишь обычные неприво-
неприводимые векторные представления, которые мы нашли в гл. 7. При я^>4
существуют дополнительные неприводимые представления, операторы
которых удовлетворяют соотношениям A2.46). Шур показал, что при
ге^-4 число таких неэквивалентных неприводимых представлений
второго типа равно числу разбиений числа я на неравные целые числа:
n = Vl + v2 + ... +vm (v,>va> ... >vn>0). A2.47)
Разбиению A2.47) соответствует неприводимое представление раз-
размерности
Jvi v« v,!v2! ... vm!ll va+vp v ;
где [(я — /и)/2] означает наибольшее из целых чисел, не превышаю-
превышающих (я — т)/2 [целую часть числа (п — га)/2]. При я = 4 имеем два
новых неприводимых представления размерности /4 = 2 и /31=4.
При я = 4 соотношения A2.46а) записываются в виде
A2.49)
Представление размерности 2 получится, если положить
q _ 0 С = g — — а С = "I/ — о Л/ — о , A2.50)
где
0 1\ /0 —Л /1 О'
j 0J, ау = (. J. а.=
— матрицы Паули.
§ 3. Проективные представления групп Ли 549
За .полной теорией мы отсылаем читателя к третьей статье Шура,
содержащей много замечательных результатов, позднее переоткрытых
заново независимо от него.
Задача. Предположив при п = 4 существование неприводимого дву-
двумерного представления A2.46а), докажите, что оно имеет вид A2.50).
§ 3. Проективные представления групп Ли
Состояния квантовомеханической системы описываются единичными
векторами ф в гильбертовом пространстве. [Для гильбертова про-
пространства задано скалярное произведение (<р, ф), причем это произ-
произведение положительно определено, т. е. ||<p||=(<p, ф) > 0 для любого
ненулевого вектора в таком пространстве. В частности, [)\р||= 1 для
единичных векторов ф.] Каждому единичному вектору ф соответствует
единственное физическое состояние системы. Обратное неверно. Дан-
Данное физическое состояние описывается любым вектором из набора W
единичных векторов еф, где е — комплексное число и |е| = 1. Взаимно-
Взаимнооднозначное соответствие существует между физическими состояниями
и лучами W. Любой вектор, лежащий на луче *?, может служить
представителем этого луча.
Вероятность перехода между физическими состояниями, соответ-
соответствующими лучам Ф и W, задается величиной |(ф, ф)|2, где ф—любой
вектор, принадлежащий лучу Ф, а ф — любой вектор, принадлежащий
лучу W. Поэтому мы можем задать скалярное произведение лучей,
которое не будет зависеть от конкретного выбора векторов ф и ф:
(ф,ЧГ) = |(ф. ф)|; A2.51)
вектор ф принадлежит Ф, вектор ф принадлежит W.
Каждому преобразованию, входящему в группу симметрии физи-
физической системы, соответствует некоторое взаимно однозначное ото-
отображение множества состояний этой системы на себя. Каждый луч W
отображается в какой-то луч W:
W->W. A2.52)
Поскольку новое описание должно приводить к тем же резуль-
результатам наблюдений, что и первоначальное, при таком отображении
сохраняются вероятности переходов
|(Ф', Ч")|2= |(Ф, Ч0|2. A2.53)
Замечательный результат, впервые полученный Вигнером, состоит
в том, что соответствие между лучами A2.52) всегда можно заменить
некоторым соответствием между векторами: на лучах ? и ?' можно
550 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
выбрать представляющие их векторы ф и i|/ так, чтобы отображение,
переводящее вектор ф в i|/,
1|)->1|/ = ?Лр, A2.54)
удовлетворяло условию
U{^ + ^) = U(f-{-U^, A2.55)
и, кроме того, либо условию
а) (СЛр, сУ\р) = (ф, -ф), A2.56а)
либо условию
б) (?Лр, 6/ф) = (\р, ф). A2.566)
Иначе говоря, отображение лучей можно заменить аддитивной опера-
операцией, определенной на векторах гильбертова пространства. Здесь могут
представиться два взаимоисключающих случая. Оператор U является
либо „а" линейным и унитарным, либо „б"—линейным и антиунитар-
антиунитарным. Причин для выбора a priori одной из двух альтернатив „а"
или „б" не существует.
Оператор U пока еще не определен однозначно, поскольку умно-
умножение на произвольный фазовый множитель е не изменяет предыду-
предыдущих результатов. Поэтому оператор U можно рассматривать как
представителя луча операторов zU. Такого представителя U мы
можем выбрать любым удобным для нас способом.
Если г и 5 — два элемента группы симметрии G квантовомехани-
ческой системы, то каждому из них мы ставим в соответствие неко-
некоторый оператор U (г) и U(s). Произведению этих элементов rs, ко-
которое также принадлежит группе G, будет соответствовать оператор
U{rs). Однако те требования, которые были наложены выше, при-
приводят лишь к соотношению
U(r)U(s) = a(r, s)U(rs), A2.57)
где | со| ===== 1 и фазовый множитель со зависит от элементов г и s
группы О. Соотношение A2.57) совпадает с A2.6), которое опреде-
определяло проективные представления конечных групп.
Мы хотим теперь рассмотреть непрерывные группы и, в частности,
группы Ли. В гл. 8 мы показали, что пространство параметров группы
Ли в общем случае состоит из нескольких несвязных частей, одна из
которых содержит единичный элемент е группы G. Можно доказать,
что для элементов г группы О, принадлежащих той же части, что
и единичный элемент е (т. е. для таких элементов, которых можно
достичь, идя по непрерывному пути из ё), имеет место лишь альтер-
альтернатива „а" в равенстве A2.56), в силу чего оператор U (г)—унитар-
(г)—унитарный. Элемент г, принадлежащий любой окрестности единицы е, можно
§ 3. Проективные Представления групп Ли 551
записать в виде квадрата некоторого элемента s, т. е. r — s2. Из
A2.57) следует
^ A2.58)
Поскольку квадрат унитарного или антиунитарного оператора есть
унитарный оператор, мы заключаем, что оператор U(г) является уни-
унитарным для любого элемента г из окрестности единицы. Наконец,
всякий элемент г, принадлежащий той же части пространства пара-
параметров, что и единичный элемент, можно представить в виде произ-
произведения г1г2 •••/¦„ элементов, принадлежащих некоторой заданной
окрестности единицы. Поскольку каждый из операторов U(r{) уни-
унитарный и произведение конечного числа унитарных операторов уни-
унитарно, мы заключаем, что U(г) есть унитарный оператор.
Преобразования, входящие в часть пространства параметров, содержа-
содержащую единичный элемент, образуют подгруппу. Наше рассмотрение будет
ограничено такой подгруппой G'. Для любых элементов г и s, при-
принадлежащих О', операторы U (г) и U (s) унитарны и удовлетворяют
равенствам A2.55) и A2.56а). До сих пор мы не накладывали на опе-
оператор U (г) никаких условий непрерывности, когда элемент г пробегал
группу О. Можно показать, что в окрестности единицы е операторы
представления U(г) можно выбрать так, чтобы они были непрерыв-
непрерывными, т. е. для любого е > 0 и любого вектора \р существовала не-
некоторая окрестность У1 элемента г такая, что
||С/(г)Ч>-С/E)ф||<е A2.59)
для элементов s, принадлежащих ?Я. Из этого результата следует, что
множитель со (г, s) в соотношении A2.57) представляет собой непре-
непрерывную функцию элементов г и s. Для доказательства непрерывно-
непрерывности со (г, s) следует воспользоваться тождеством
со (г,
+ [U {г') — U (r)] U E)ф ==[©(/¦'', 5') —со (г, s)]U(r's')$. A2.60)
Мы заключаем, что элемент г группы О' в окрестности единицы
можно представить непрерывными унитарными операторами U (г) и что
множитель со (г, s) в A2.57) есть непрерывная функция. Функция со (г, s)
называется локальным множителем. Ее можно записать в виде
со (г, s) = e'&C-.*>, A2.61)
где Е, — вещественная непрерывная функция от г и s, которую мы
назовем локальным показателем.
Операторы U (г) можно умножать на любую функцию ф(г), ко-
которая непрерывна и имеет модуль, равный единице. Операторы
U' (г) = ср (г) U (г) = eli С) • U (г), A2.62)
552 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
где ?(л)—вещественная непрерывная функция, будут также непре-
непрерывными. Если соотношение A2.62) подставить в A2.57), то получим
U' (г) U' (s) = ф (г) ф (s) U (r) U(s) = <( (г) ф (s) со (г, s) U (rs) =
так что
*/' (г) У (s) = &' (г, 5) W (rs), A2.63)
^Pco(r,s). A2.64)
Эта процедура вполне аналогична соответствующей процедуре для
конечных групп. [Ср. с равенствами A2.21) и A2.22).] Множители
со (г, s) и о/(г, s) являются эквивалентными локальными множи-
множителями. Локальные показатели |(л, s) и |'(г, ^) связаны между
собой соотношением
Г(г, s) = ?(r. s) + S(r) + a5)-C(«). A2.65)
Выберем оператор U (е) так, чтобы он был тождественным опе-
оператором. Если в соотношении A2.57) положить r = s = e, то
U(e)U(e) = (u(e, e)U(e),
откуда
со (е, е)=\ и 1(е, е) = 0.
Если в соотношении A2.57) положить s = e, то
U(r)U(e) = &{r. e)U(r),
откуда
<о(/\е)=1, |(г, е) = 0. A2.66)
Точно так же
®(«. г)=1. |(«,г) = 0. A2.66а)
Пользуясь соотношением A2.57) и ассоциативным законом
находим
ю(г, s)(o(r5, ^) = о)(г, sOw(s, 0. A2.67)
или же
(s, t). A2.67a)
Если гильбертово пространство представления A2.57) конечно-
конечномерно, то операторы U (г) будут унитарными матрицами п X >i.
Если ввести обозначение
dett/(r) = D(r),
то определитель ?>(/¦) будет непрерывным и
§ 3. Проективные представления групп Ли 553
Взяв определитель от обеих частей равенства A2.57), найдем
D(r)D{s) = einlC-' ^D(rs), A2.68)
где п — размерность представления. Если положить
U'(r)= U{r\, A2.69)
[D(r)]lln
и разделить соотношение A2.57) на A2.68), то окажется
U'(r)U'(s)=U'(rs). A2.70)
Таким образом, конечномерные проективные представления всегда
эквивалентны векторным представлениям. При выводе этого резуль-
результата мы исходили из предположения о том, что элементы г и s
находятся вблизи единицы е. В выражении A2.69) мы должны
выбрать какой-то вполне определенный корень я-й степени из D(r).
Результат A2.70) остается верным, коль скоро мы продолжаем
находиться в окрестности единицы. Если пространство параметров
группы односвязно, то любую замкнутую кривую в этом простран-
пространстве можно стянуть в точку. В этом случае корень [D(r)]lln может
быть задан однозначным образом вдоль любого пути. Если элемент г
описывает замкнутый путь, то [D(r)\ возвращается к своему
первоначальному значению. Для трехмерной группы вращений это
рассуждение не проходит. Ее пространство параметров двусвязно,
и в случае четного п мы вместо A2.70) получаем следующий
результат:
U' (r) W (s) =±U' {rs). A2.70а)
Два локальных показателя ?, и |', которые удовлетворяют соот-
соотношению A2.65), называются эквивалентными
1 = 1'. A2.71)
Если |==|', то ?' = ?. Если | = |' и ?' = !", так что
I' (г, s) = % (г, s) + С, (/-) + & (s) - С, (rs),
то
Г (Л s) = I (л s) + Ci (г) + С2 (г) + Si (s) + ?2 (s) - d (rs) - ?2 (rs) =
= 6 (Л 5) + С (г) + С (s) -Z(rsy
где
С (/•) = ?, (/¦)-^(О.
следовательно,
Таким образом мы получаем разбиение локальных показателей на
классы эквивалентности.
554
Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Если |j и 12 —локальные показатели, то и величина | = а|5
с вещественными коэффициентами аир есть также локальный
показатель. Кроме того, очевидно, что класс, которому принадлежит
локальный показатель |, не зависит от конкретного выбора |,
и |2 из тех классов, которым принадлежат эти локальные пока-
показатели. Таким образом, неэквивалентные классы локальных пока-
показателей образуют линейное векторное пространство с вещественными
коэффициентами. Размерность этого векторного пространства опре-
определяет число существенно различных типов проективных представле-
представлений. Если его размерность равна нулю, то все локальные показатели
эквивалентны локальному показателю | = 0, в силу чего все проек-
проективные представления сводятся к векторным представлениям.
Рассмотрим далее однопараметрическую подгруппу группы Ли G.
Из § 11 гл. 8 мы знаем, что можно ввести канонический параметр 0
так, чтобы
г@) =
A2.72)
Унитарный оператор U(r), соответствующий элементу г = гф),
обозначим через t/(8). Инфинитезимальным эрмитовым оператором и,
порождающим оператор U(Q), является оператор
ш —
<Шф)
--
е=о
A2.73)
Если элементы г и s в соотношении A2.57) соответствуют значе-
значениям параметра 0t и 02, то A2.57) можно записать в виде
A2.74)
Продифференцировав по
ь 82)
= й)(е1, 02)С/@1
j и положив Ql = 0, получим
СУ@)Но)(О b)
Из A2.66а) следует
со @, 82) = 1, со (9Ь 92) =
dm . dc
так что
Полагая 0! = 0, находим
' 02).
8,-0
§ 3. Проективные представления групп Ли 555
Таким образом, / есть чисто мнимая непрерывная функция от 0,
причем /@) = 0. Отбрасывая индекс у величины 02 и полагая / = lg,
получаем следующее дифференциальное уравнение для t/@):
A2.75)
Вводя унитарный оператор
U' @) = ехр
A2.76)
находим
^~=iuU'. A2.77)
Интегрирование этого уравнения приводит к оператору
U'{Q) — eiu9, A2.78)
удовлетворяющему соотношению
Ur(Q1)U'(Q2) = U'(Ql-{-Q2). A2.79)
Таким образом, в случае однопараметрической подгруппы проективно
представление всегда можно заменить эквивалентным ему векторным
представлением. Этот результат аналогичен результату, полученному
нами для циклических групп в § 1 настоящей главы.
Можно показать, что построение канонических показателей
возможно, т. е. для любого показателя !'(/", s) мы можем найти экви-
эквивалентный показатель ?(/-, s), который будет равен нулю, если эле-
элементы г и s принадлежат одной и той же однопараметрической под-
подгруппе.
Группа Ли с я параметрами порождается инфинитезимальными
операторами своих п однопараметрических подгрупп. В гл. 8 мы по-
показали, что п инфинитезимальных операторов Xt (j=l, ..., п) об-
образуют базис алгебры Ли этой группы. Закон умножения для этой
алгебры задается соотношениями
[Х(, Х}.] = с^Хк, A2.80)
где вещественные числа с], являются структурными константами
группы. Конечными преобразованиями однопараметрической подгруппы,
порожденной оператором Xt, являются преобразования ехр (QXt).
В гл. 8 мы показали, что представления группы О можно найти из
представлений ее алгебры Ли путем интегрирования. Если в вектор-
векторном представлении базисным элементам Xt соответствуют эрмитовы
операторы D,-, то эти операторы удовлетворяют соотношениям ком-
коммутации
556 Глава 12 Проективные представления Малые группы
В этом случае операторами конечных преобразований будут унитар-
унитарные операторы exp (iQDt).
Действие фазовых множителей со (г, s), входящих в проективные
представления группы, будет проявляться в добавлении констант к со-
соотношениям коммутации A2 81) Эрмитовы операторы Dt для унитар-
унитарного проективного представления будут удовлетворять соотношениям
l[Dt, Dyj = cf Dk + $u • 1. A2 82)
1де E(; суть п(п—1)/2 вещественных констант. Из соотношения
A2 82) мы видим, что Р,, =— Ру, Если операторы Dt заменим опе-
операторами
Dt — Di-\-ai • 1 (at вещественные), A2.83)
то операторы конечных преобразований exp (id D() заменятся операто-
операторами
т. е умножатся на фазовые множители Действие на соотношение
A2 82) сдвига A2 83), приводящего к переходу от одного набора
фазовых множителей для конечных преобразований к другому эквива-
эквивалентному набору, сводится к замене этого соотношения соотношением
i[D'i,D'j\ = ckljD'k-ir^j.\, A2 82a)
где
Два набора констант р„ и р' , связанных между собой равенством
A2.84), эквивалентны Соответствующие им представления переходят
друг в друга при преобразовании A2 83)
Константы р;/ в соотношении A2.82) в общем случае не являются
независимыми. Если мы запишем тождество Якоби (8.57) для опера-
операторов D,, D; и Dk,
[D,. [D]t D,]] + [D;, \Dk, D,]] + [Dft, [Dt, D;] ] = 0, A2 85)
и воспользуемся соотношениями коммутации A2 82), то получим
условия
Если наборы констант р^1' и p(t2' удовлетворяют условиям A2 86), то
константы
P^=«iP(/j+«2P?) A287>
также будут удовлетворять условиям A2 86) Таким образом, допу-
допустимые наборы констант р(; образуют векторы в некотором веще-
§ 3. Проективные представления групп Ли 557
ственном векторном пространстве размерности, меньшей или равной
п(п—1)/2. Все проективные представления A2.82) будут эквива-
эквивалентны векторным представлениям, если допустимые наборы констант
Рг;- эквивалентны нулевому вектору, т. е. в том случае, если размер-
размерность векторного пространства наборов констант р1;- равна нулю.
Рассмотрим сначала несколько простых примеров. Все структур-
структурные константы с|. для «.-параметрической абелевой группы равны
нулю. Инфинитезимальные операторы удовлетворяют соотношениям
[Xh Xj\--=Q (i, y=l. ..., я). A2.88)
Соответствующие соотношения A2.82) для операторов представления
имеют вид
l[Dt, D;]==p/r 1. A2.89)
Поскольку структурные константы обратились в нуль, равенство
A2.86) не налагает никаких ограничений на константы р/;-. Размер-
Размерность векторного пространства наборов констант р^ равна п(п — 1)/2.
Любой вектор $у может входить в соотношение A2.89). Константы,
отличающиеся от данной константы р^. множителем, равным целому
положительному числу, соответствуют эквивалентным представлениям,
так как
/[mDh mDj] = m2p,7 • 1, A2.90)
и эрмитов оператор mDi будет задавать конечные преобразования
откуда следует, что представления отличаются лишь изменением мас-
масштаба по переменной 9. Векторным представлениям соответствует
только нулевой вектор Р^- —0.
Для группы вращений в случае трех измерений эрмитов оператор
момента количества движения удовлетворяет соотношениям
i\jx, уу1=ч+Рг-1. i[Jy, уг] = л+Р.-1.
i[J2, У,] = У, + р,.1. A2.91)
Величины р эквивалентны нулю, так как преобразование A2.83)
•^Л-г-Р,-!
приводит соотношения A2.91) к виду
i[/x, 4] = /z, i[j'y,fz] = j'x, l[j',,j'x] = Jy. A2.92)
Таким образом, мы получаем еще одно доказательство того, что все
проективные представления трехмерной группы вращения эквива-
эквивалентны векторным представлениям.
558 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Вместо того чтобы рассматривать величины fi^, мы можем ввести
некоторую функцию, определенную для всех элементов алгебры Ли.
Элементы алгебры Ли являются линейными комбинациями с вещест-
вещественными коэффициентами базисных элементов X1
а = а,пХт, Ь = ЬтХт, A2.93)
а операторы представления, соответствующие эгим элементам, имеют
вид
A = amDm, B = bmDm. A2.94)
Для элементов а и b соотношение A2.80) записывается в виде
1«.»] = <йМЛ О2-95)
соотношение A2.82) приводит к равенствам
i[A. B\ = c*mafimDk+tlmapm ¦ 1 ^c^mafimDk +F{a, b) ¦ 1. A2.96)
где
a). A2.97)
В частности, если
а = Х{ и b = X]t
то
F(Xt, Xj) = hj. A2.98)
Если операторы Dm заменить эквивалентными операторами
D'm= Dm-\-a.m • 1,
то операторы А и В, определяемые A2.94), изменятся соответ-
соответствующим образом. Равенство A2.96) будет иметь вид
ПА', В'\ = с*тарт1Ук + \Р(а, b) -a^mafin] ¦ 1 =
где
F'(a, b) = F(a, b)—akc*ma/>m. A2.100)
Переход от одного представления к другому представлению, экви-
эквивалентному ему, описывается переходом от F (а, Ь) к F' (а, Ь), где
ak —произвольные вещественные константы. Если эти константы ak
можно выбрать так, чтобы F' (а, Ь) = 0 для всех а и Ь, то пред-
представление будет эквивалентно векторному представлению.
Выражение A2.100) можно упростить следующим образом. Рас-
Рассмотрим линейную функцию Л, определенную на алгебре Ли так, что
A(Xi) = ai. A2.101)
Тогда
А (в) = 0,^. A2.102)
§ 4. Проективные представления псевдо-ортогональных групп 559
Воспользовавшись соотношениями коммутации A2,95), получим
Л ([a, b\) = akc*ma/>m. A2.103)
Сравнивая с A2.100), имеем
¦ F'(a, b) — F(a, b) — A([a, b]). A2.104)
Таким образом, две системы показателей будут эквивалентны, если
разность между соответствующими функциями F'(а, Ь) и F (а, Ь)
есть линейная функция от коммутатора [а, Ь\.
Условия, налагаемые на функцию F, соответствующие условиям
A2.86), мы найдем, записав тождество Якоби
[А, [В, С]] + [В, [С, А]\ + [С, [А, 5Ц=0
и воспользовавшись соотношениями коммутации A2.96). Результат
имеет вид
F(a, [*. e])~\-F(p. [С a})+F(c, [a, b]) = 0. A2.105)
§ 4. Проективные представления
псевдо-ортогональных групп
Вещественные однородные линейные преобразования, которые
оставляют инвариантной вещественную невырожденную квадратичную
форму относительно п вещественных переменных х, A=1, ..., п),
A2.106)
называются псевдо-ортогональными преобразованиями. Подходя-
Подходящей заменой базиса форму F можно привести к главным осям:
F (х)=^х\- ? *? = еЛ**,**' С12-107)
e( = -f-l при 1=1 р,
е, = —1 при /== jo-f- 1 п.
Группа псевдо-ортогональных преобразований W
x' = Wx, x'l = wlkxk (/==1 я), A2.108)
оставляющих инвариантной форму Fp, обозначается G%: Из A2.107)
мы видим, что группы Орп и Опп~" являются одной и той же группой.
Если р = п, то форма положительно определена, и группа О"
есть ортогональная группа в я-мерном пространстве—группа Оп.
560 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
В случае р Ф п мы получаем группы, аналогичные группе Лоренца
(для которой п = 4, р = Ъ).
Преобразования группы О„, которые можно получить из тожде-
тождественного преобразования путем непрерывного изменения, образуют
подгруппу Gf, собственных псевдо-ортогональных преобразований.
Преобразование W принадлежит подгруппе Gf, если определитель
этого преобразования равен 1 и если минор, содержащий р первых
его строк и столбцов, положителен.
Задача. Докажите предыдущее утверждение.
Мы можем также рассматривать группы 1рп неоднородных псевдо-
псевдоортогональных преобразований
x' = Wx+u, x'l=.-ml]xj-\-ui (i=l п), A2.109)
где и — произвольный вещественный вектор (сдвиг). Если преобра-
преобразование W оставляет инвариантной форму Fp(x), задаваемую равен-
равенством A2.107), то преобразование A2.109) оставляет инвариантной
форму Fp(\—у), где х и у—произвольные векторы. Если мы огра-
ограничим преобразования W до группы G'f, то группа 1рп окажется
суженной до своей собственной подгруппы !„'.
Если после преобразования A2.109) выполняется еще одно пре-
преобразование
x" = WY-ftt',
то результирующее преобразование имеет вид
х" = W (Wx + и) + и' = W'Wx ¦+- (и' + W'u).
Таким образом, если обозначить через (W, и) преобразование A2.109),
то групповое умножение в группе /> будет задано формулами
(W', u')(W. u) = (W'W, W'u+u'). A2.110)
Этот закон комбинирования элементов группы удобно интерпрети-
интерпретировать как матричное умножение матриц (rt-j-l)-ro порядка: пре-
преобразованию (W, и) мы сопоставляем матрицу
'W и\
A2.111)
§ 4. Проективные представления пеевдо ортогональных групп 561
где последний столбец состоит из компонент вектора и, после кото-
которых следует 1 Элемент A, 0) является единичным элементом
в группе 1рп.
Задачи. 1. Проверьте закон группового умножения A2.110) для
матриц A2111).
2. Покажите, что преобразование, обратное преобразованию (W, и),
имеет вид (W~l, — W~la).
3. Покажите, что сдвиги A, и) образуют в группе 1рп инвариантную
подгруппу Тп и что фактор-группа
/р
« и
Мы хотим построить алгебры Ли групп Орп и 1рп. Наиболее просто
это делается с помощью матриц A2 111) „Вращения" в плоскости ij
образуют полный набор однопараметрических подгрупп группы Орп
„Вращение" W(iJ) в плоскости ij есть некоторое преобразование,
действующее на переменные xt и х,
(суммирования нет!)> A2Л12)
xj = wnxi~{-w]Jxj,
хг = хг для г Ф I, у,
,2 , ,г 2 , 2 A2.113)
Если
то преобразование W " есть вращение:
х\ = xt cos 6 -f- х sin 0,
;cos«, A2.114)
x'r = xr для г Ф i, j.
Соответствующая матрица A2.111) имеет вид
["V l]1 A2.115)
562 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
где сама матрица
записывается так:
I J
1
1
cos Э ... sin 9
... —sin 9 ... cos 9
A2.116)
1
Чтобы найти соответствующую инфинитезимальную матрицу, вычислим
dW^/dQ при 9 = 0:
-)- 1 на месте (ij),
Матрица w<-iJ) =
Если
dW
W)
rf9
имеет ¦
— 1 на месте (у7), A2.117)
О на всех остальных местах.
то „вращение" W{ J> представляет собой преобразование Лоренца:
х\ = xt ch G — Xj sh G.
x'j = ~ x,sh9-f*ych9, A2.118)
x'r = xr при г Ф1, j,
и соответствующая инфинитезимальная матрица имеет — 1 на месте
{ij) и (//); все остальные ее элементы равны нулю.
Оба случая можно охватить, если выбрать инфинитезимальные
матрицы в виде
(¦к»( iJ))kl = — tfiifijk -+- zfijfiik — — Sifijk + gjfiik • A2.119)
где
gn = efiif gugim = blm, gilgn = n. A2.120)
Обозначим элемент алгебры Ли, отвечающий матрице ??>''¦", через atj.
Пользуясь соответствующими матрицами A2.119), мы можем вычи-
вычислить коммутатор [пц, аы]
ал = — аи (l,j,k,l=l п).
A2.121)
§ 4. Проективные представления псевдо-ортогоналъных групп 563
Элемент (г, п-\-\) инфинитезимальной матрицы сдвига вдоль оси I
равен единице, все остальные элементы равны нулю:
('A))« = в,А»+1- A2 122)
Обозначим соответствующий элемент алгебры Ли через bl Сдвиги
коммутируют друг с другом, так что
[blt 6*1 = 0 для всех I и k. A2.123)
Пользуясь формулами A2 119) и A2 122), находим
\airbk\ = glkbl~glkbr A2 124)
Равенство A2 121) полностью описывает алгебру Ли группы G"n.
Добавляя к этому равенству условия A2 123) и A2 124), мы полу-
получаем алгебру Ли группы 1рп.
Умножив равенство A2 121) на gjk и воспользовавшись A2 120),
получим
g}k[air аы] = (п~2)аа A2.125)
jkjk = Q в силу того, что элементы gJk симметричны, a aJk анти-
антисимметричны) Аналогично, из A2 124) находим
g}k\al).bk\={n-\)bl. A2 126)
Рассмотрим сначала однородные группы Gpn. При ге— 2 алгебра Ли
имеет единственный элемент а12 Группа циклическая, и все ее пред-
представления являются векторными представлениями. При п > 2 вос-
воспользуемся соотношением A2.125), чтобы преобразовать функцию F,
определенную формулой A2 97):
(n — 2)F{atJ, akl)=F{[grhair, ah}]. akl) =
F([ah}, akl], grhair) =
alr> [ahJt akl\)
Подставляя вместо коммутаторов их выражения из равенств A2 121),
получаем
(n—2)F(atJ, akl) = grh [grkF(aJh, au)~glkF{ajh, a
— grlF(aJk,
tr, ahl)—ghkF(air,
— gnF(air, ahk)).
Слагаемые, стоящие на первом и седьмом, а также на четвертом и
шестом местах, взаимно уничтожаются, после чего остается варажение
Thaln аы) - glkF{grha]h, an) +
in 4k)- A2.127)
564 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Зададим на алгебре Ли линейную функцию, полагая
A(ast) = grhF(asr, aht). A2.128)
Тогда, согласно равенству A2.121),
(л - - 2) F (аф akl) = gjkA (аа) — gikA (ajt) + gaA (aJlt)—g}l\ {aik) =
A2.129)
Таким образом, F(uij, aw) есть линейная функция от коммутатора
[atj, akl) и поэтому тождественно равна нулю.
Далее мы рассмотрим неоднородные группы 1рп при п > 2. Прежде
всего воспользуемся соотношением A2.126), чтобы преобразовать
выражение для функции Р(а^, bk):
(n-l)F(atJ, bk) = ghlF(aiJ, [akl, bh])=*
}, akl], bh) + F{akl, [au, bh]\
Затем воспользуемся равенствами A2.121) и A2.124) и представим
те коммутаторы, которые встречаются в качестве аргументов функ-
функции F, в виде линейных комбинаций соответствующих элементов:
ilt bh) —glkF (ajh
k, bh)-g)lF{aik, ^
f bt)—g,hF{akl,
Слагаемые, стоящие на третьем и пятом, а также на четвертом и
шестом местах, взаимно уничтожаются, после чего остается выражение
(n — l)F(.atJ. bk) = gjkF(guan, bh) - gikF (ghlajh bh). A2.130)
Если мы зададим линейную функцию Л для базисных элементов b-t
так, что
*л). A2.131)
то из равенства A2.124) получим
(n~l)F(au, bk) = gjkh{bi)-gikh{bj) = A.{[alJ, bk\). A2.132)
Поскольку F{a^, bk) есть линейная функция ог коммутатора [а/;-, bk\,
имеем
F(atJ. bk)~0.
Наконец, мы должны показать, что
F(pt, йу) = О.
Линейная функция Л уже задана формулами A2.128) и A2.131),
поэтому мы можем линь проверить, выполняется ли соотношение
§ 4. Проективные представления псевдо-ортогональных групп 565
F{blt bj)^O или нет. Воспользуемся соотношением коммутации
A2.124) и преобразуем функцию F(bit bj):
(n—l)F(bt, bj)^ghkF([aih, bk], bj) =
bj, bk], aUl)}.
Слагаемое, стоящее на втором месте, равно нулю, так как [bj, bk] = 0.
Воспользуемся соотношением коммутации A2.124) для слагаемого,
стоящего на первом месте, и получим
(п - 1) F{bt, bj) = ghk {ghjF (blt bk) - gljF (bk, bk)) =
= F(bt, bj)-gi]ghkF(bh, bk) = FiPi, bj)
[gkkF (bh, bk) = 0, так как этот член есть произведение симметрич-
симметричного множителя ghk и антисимметричного множителя F (bh, bk)]. Таким
образом,
(n — 2)F(blt bj) = O,
и при п> 2
F(fit b}) = 0. A2.133)
Мы показали, что при п > 2 все проективные представления
группы 1Р„ эквивалентны векторным представлениям. Так же как и в
случае группы вращения, представления могут быть многозначными.
При п = 2 алгебра Ли группы /? определяется соотношениями
[а12, Ь2] = гфъ A2.134)
Тождество Якоби в этом частном случае не дает ничего нового.
Если операторы представления обозначить А12, В1 и В2, то их ком-
коммутаторы запишутся в виде
i [А12, В2] = г2Вх + Р" ¦ 1. A2.135)
I \О\, О2\ = р " I ,
где р, р', р" — вещественные константы. Воспользуемся изменением
фазы A2.83) и введем операторы
rV D _|_ Р < О' D __ Р 1 /1 О 1361
е2 6]
ТОГД.Ч
*[Л12, в[\ = — ?iB'2' i [A 12, B2] = e2fii' A2.137)
566 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
однако в равенстве
1[В[, J32] = P- 1 A2.138)
еще остается произвольная константа р. Итак, при п — 2 существует
одномерное многообразие неэквивалентных проективных представле-
представлений. В случае р = О мы получаем векторные представления группы /f •
§ 5. Проективные представления галилеевой
группы
Галилеева группа G — это группа преобразований, с помощью
которой осуществляется переход от одной инерциальной системы
отсчета к другой. Такие системы отсчета можно получать друг из
друга путем параллельного переноса, сдвига по времени, поворота
в пространстве. Наконец, они могут двигаться с постоянной скоростью
друг относительно друга. Таким образом, преобразования Галилея
изменяют радиус-вектор х на радиус-вектор х' и время t на время f',
где
xWx+W + a.
В формулах A2.139) W означает собственное ортогональное прео-
преобразование в трехмерном пространстве, v — вектор скорости (постоян-
(постоянный), и— вектор, описывающий параллельный перенос системы коор-
координат, и т — сдвиг по времени. Чистыми преобразованиями Галилея
называются преобразования вида
' A2.140)
t = t.
Поскольку вращения W описываются тремя параметрами, вектор v —
тремя параметрами, вектор и—тремя параметрами и сдвиг по вре-
времени т—одним параметром, то группа Галилея О есть 10-парамет-
рическая группа Ли. Если обозначить элемент группы О, задавае-
задаваемой A2.139), через (W, t, v, u), то закон группового умножения
запишется в виде
(W, х', х', W)-{W, х, v, u) =
= (WW, т+т', W"v + v', w'u + u'+Vt). A2.141)
Его можно представить с помощью умножения матриц 5X5 вида
W v и
0 1т
LQ Q 1
A2.142)
§ 5. Проективные представления галилеевой группы 567
Единичным элементом группы О служит элемент A, 0, 0, 0). Элемент,
обратный элементу (W, т, v, u), имеет вид
(W~\ — т, — W~\, — Г {u — vt})-
Инфинитезимальные матрицы выглядят следующим образом:
5 к' к -
О О Ф , A2.143)
0 0 0.
где 5 — кососимметрическая матрица порядка 3X3, к' и к—про-
к—произвольные векторы-столбцы, ф — вещественное число. Обозначим
через пц элементы базиса алгебры Ли, элементы bt имеют тот же
смысл, что и в предыдущем параграфе, dt — чистые преобразования
Галилея и / — сдвиг по времени. Соотношения между коммутаторами
имеют вид
/ 1 ) ]к~^па1ь> A2.144)
\аи, Ьн]=Ь}^,—Ь1кЬ,, \Ъ„ й,] = 0; A2.145)
1в/;.^1 = У|-У/. [dt. dj] = O; [dlt bj] = O; A2.146)
[в//. /1=0, \blt /]=0. [^./1=6,. A2.147)
Задача. Проверьте соотношения A2.144) — A2.147).
При рассмотрении проективных представлений галилеевой группы
мы можем воспользоваться результатами предыдущего параграфа для
случая ге = 3. Повороты плюс параллельные переносы и повороты плюс
чистые преобразования Галилея образуют подгруппы группы О, изо-
изоморфные группе Оз. Из результатов последнего параграфа вытекает,
что'мы всегда можем подобрать функцию F, определяемую A2.97),
так, чтобы
F(au, akl) = F(aip bk) = F(aip dk) t j
= F(dlt dj) = O. A2.148)
Из равенства A2.125) при ге = 3 и g]k = b]k следует
«« = [«/*. ««I. A2.149)
так что
F(an. /) = /*([«„, аы\, /) =
. /D +
w) = 0, A2.150)
568 Глава. 12. Проективные представления. Малые группы
поскольку, согласно соотношению A2.147), аргументы функции равны
нулю. Аналогичным образом из A2.126) получаем
2bi = [aik, bk\, A2.151)
следовательно,
И снова, воспользовавшись тождеством Якоби A2.105) для функции F
и соотношением A2.147), находим
F(blt /) = 0.
Аналогично,
Единственной оставшейся величиной после всех преобразований бу-
будет F(bit dk). Из A2.126) имеем
2F(bl, dk) = F(\al]y b,\, dk) =
= F([au, dk\, b} + F{[dk, bj[, atJ).
С помощью соотношения A2.146) получаем
2F(bit dk) = bjkF{dh bj)-blkF(dj. bj) =
= F(dit bk)-bikF(dj, bj) =
= - F(bk, dt)-bikF{dj, bj). A2.152)
Переставив индексы ink, приходим к соотношению
2F(bk, di) = ~F(bi, dk)-blkF{dJt bj).
а подставляя в правую часть результат преобразований A2.152),
находим
P(bt. dk) = ~j6tkF(dj, bj) = y6ik, A2.153)
где
y==-lF(dj, bj) A2.154)
— константа. При уфО мы не можем исключить эту константу из
соответствующих соотношений для операторов
ЧВ„ Dft] = Y6,ft.l. A2.155)
Таким образом, совокупность классов эквивалентности для группы
Галилея одномерна.
§ 6 Неприводимые представления группы параллельных переносов 569
§ 6. Неприводимые представления группы
параллельных переносов
Грз'ппы, которые мы рассматривали в предыдущих параграфах,
включали в себя галилееву группу, группу /з евклидовых движений (по-
(поворотов и переносов) в случае трех измерений и неоднородную группу
Лоренца /4. Во всех этих группах параллельные переносы образуют
абелеву инвариантную подгруппу Тп, поэтому простейший метод на-
нахождения представлений полной группы состоит в том, что сначала
рассматривают представления группы Тп параллельных переносов.
Т„ есть группа преобразований вида
x' = x + u, x'v = xv-\-uv (v=l п). A2.156)
Мы ограничимся тем, что найдем неприводимые унитарные век-
векторные представления группы Тп. Если оператор представления,
соответствующий параллельному переносу и, если оператор D(u), то
D(u)D(u') = D(u-r-u')- A2.157)
Поскольку группа параллельных переносов Тп абелева, все ее не-
неприводимые векторные представления одномерны. Если ф— базисная
функция неприводимого унитарного представления, то
О(и)ф = е«(и>ф, A2.158)
где вещественное число 6 зависит от вектора переноса и. Если пх —
единичный перенос вдоль оси хх, то
Если ихП\ — перенос на величину их вдоль оси хх, то
Продолжая те же рассуждения для х^, х3 хп, находим
п
?(и)ф = е/к-иф, причем и = 2 uvnv, A2.159)
v=l
где к—вещественный вектор.
Таким образом, неприводимое унитарное представление группы Тп
характеризуется вещественным вектором к в д-мерном пространстве.
Такое представление мы будем указывать, записывая базисную функ-
функцию в виде ф(к) или фк. Общее представление группы Тп будет
прямой суммой представлений A2.159) для различных векторов к.
В частности, мы можем реализовать представления в пространстве
функций ф(г), задавая операторы D(u) так, чтобы
D (и) ф (г) = ф (г + и), A2.160)
570 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
откуда при
i|>k (г) = е'к-г
получим
и)==е<к-"фкО>)- A2.161)
Разложение функции ф(г) по базисным функциям фк(г) есть не
что иное, как преобразование Фурье
ф(г)= J dkakelkr = J dkamMO A2.162)
. A2.162a)
Выбрав другой подход, мы можем рассмотреть эрмитовы ин-
финитезимальные операторы pv представления, которые удовлетворяют
соотношениям [pv, /v] = 0. Так как все операторы pv коммутируют,
мы можем определить систему собственных функций фк таких, что
где к — любой вещественный вектор.
При рассмотрении пространственных групп в кристаллах мы
обнаружили, что группа непрерывных параллельных переносов Т3
заменяется дискретной группой параллельных переносов вдоль трех
направлений, не лежащих в одной плоскости. Параллельные переносы,
описывающие решетку, задаются векторами
а = пхйх -f- /г2а2 + п3&3 {щ, я2, п3 = 0, ±1, ...). A2.163)
где векторы лх, а2, а3 некопланарны. Группа абелева и поэтому имеет
только одномерные неприводимые векторные представления. При-
Приведенное нами выше рассуждение показывает, что для каждого веще-
вещественного вектора к мы получаем одномерное представление
Однако в рассматриваемом случае в силу дискретности группы пред-
представления, соответствующие различным векторам к, могут оказаться
эквивалентными. Два вектора к и к', которые отличаются на величину
b==/»ib! -j- m2b2 4-/и3Ьз (Щ, Щ, /»з —0. ^Ь • • ¦)• A2.164)
где
п„ а2 X а
A2Л65)
§ 7. Малые группы 571
приводят к эквивалентным представлениям, поскольку
Векторы bj, b2 и b3 являются векторами базиса обратной решетки,
а вектор b называется вектором обратной решетки. Чтобы найти
полный набор неэквивалентных представлений, мы находим набор
таких векторов к, длина каждого из которых меньше или равна
длине любого вектора k-)-b. Найденные таким образом векторы к
заполняют первую зону Бриллюэна.
Базисные функции i|)k можно реализовать в виде функций от
координат
^к, A2.166)
где период функции фк(г) совпадает с периодом решетки
A2.167)
Заставляя вектор к пробегать первую зону Бриллюэна, мы получаем
полный набор функций.
Задача. Начертите первую зону Бриллюэна для плоской решетки,
у которой угол 6 между векторами at и а2 равен 90°. То же сделайте
для случая | ai | = | а2 | и 6 = 120°.
§ 7. Малые группы
Рассмотрим группу преобразований 1рп
х'=Гх+и, A2.109)
(W, и') (W, u)=*=(W'W, W'u-f-u'), A2.110)
которые оставляют инвариантной форму Fp(x — у), где
A2.107)
В этом случае билинейная форма („скалярное произведение")
я
{х, У} =2
2
остается инвариантной при однородных преобразованиях №:
{Wx, Wy) = {x, у}. A2.168)
Если мы, найдя некоторое представление группы 1рп, ограничимся
затем рассмотрением подгруппы Тп, то найденное представление
распадется в прямую сумму одномерных представлении группы fn.
572 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Рассмотрим какое-нибудь неприводимое представление группы Т„,
которое содержится в представлении группы if,:
?)(и)ф(ко. ?) = е<^"К|)(к0, С). A2.169)
где t, — некоторый дополнительный набор индексов, которые могут
понадобиться для того, чтобы как-то обозначать базисные функции
представления группы 1рп. Базисная функция ф(к0, Q задает одномер-
одномерное подпространство представления группы /J,'. Применим к обеим
частям равенства A2.169) оператор D(W), который соответствует
„повороту" (W, 0). Так как
, u) = (l, Wa)(W, 0),
то
Положив Wfu = u', с учетом A2.168) получим
О"'» ф(к„, СI =
p] A2.170)
Таким образом, D(W)i|)(k0, 0 принадлежит тому подпространству
представления группы Тп, которое соответствует векгору Wk0.
Вектор Wk0 получается из компонент вектора к0 при преобразова-
преобразовании W. В соответствии с A2.168)
{41%, Гко) = {ко, к0).
Следовательно, если пространство некоторого неприводимого пред-
представления группы 1рп содержит представление группы Тп, соответ-
соответствующее вектору к0, то оно должно содержать также и представле-
представления группы Тп, соответствующие всем векторам к, имеющим ту же
„длину", что и вектор к0, т. е. всем векторам к, для которых
{к, к] = {к0, ко)
и которые могут быть получены из вектора к0 при преобразованиях W.
Рассмотрим теперь подгруппу Око, которая состоит из всех „по-
„поворотов" Wk0, оставляющих без изменения вектор к0:
^коко = ко. A2.171)
Группа Gko называется группой волнового вектора к0, или малой
группой.
7. Малые группы
Из A2.170) мы видим, что функции D(Wko)ф(ко, С) также при-
принадлежат вектору к0. Рассмотрим это подпространство и найдем
неприводимое представление малой группы Gko:
A2.172)
где индексы т| нумеруют базисные функции неприводимого пред-
представления группы О((о.
Покажем теперь, что неприводимые представления всей группы /„
автоматически определяются путем выбора некоторых неприводимых
представлений A2.172) малой группы
Пусть Wk— „вращение", которое переводит вектор к0 в вектор к:
к. A2.173)
Для каждого вектора к, который удовлетворяет условию
{к, к} = {к0, к0},
мы выбираем одно преобразование W\. Любой другой поворот, пере-
переводящий вектор к0 в вектор к, можно записать в виде W^W^. Опре-
Определим наборы базисных функций для каждого вектора к, соответ-
соответствующие базисным функциям г|)(к0, С):
4>(k, 0 = ?>(UW(k0, 0- A2Л74)
Если поворот W переводит вектор к в вектор к', то
так что преобразование U^k''WlFk принадлежит группе Око и
W = WvWbaWk\ A2.175)
где Wu, — некоторый элемент группы Gko.
Но теперь представление элемента W полностью определено:
^ (ко, 0 =
¦n
'. r{)[D(WK)]nl;
A2.176)
674 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Равенства A2.176), A2.170) и
полностью определяют неприводимое представление группы /„.
Задача. Докажите, что выбор вектора к0 при вычислении малой
группы несуществен. Покажите, что представления, полученные из малой
группы Gk, где к = И^кд, эквивалентны представлениям, полученным из
малой группы Gko.
Для евклидовой группы в случае трех измерений „скалярным
произведением" {х, у) служит обычное скалярное произведение х • у.
Вектор к0 может быть преобразован путем поворота W во все век-
векторы к, имеющие ту же самую длину ко • ко = ко- Малая группа Gko
есть группа поворотов вокруг направления вектора к0. Так как эта
группа абелева, она имеет только одномерные представления. Индекс ?
принимает единственное значение j0. Это значение либо целое, либо
полуцелое.
Для группы Лоренца имеем
[х. x)=x\-\-x\+x\ — x\ = gljxixr
f-r-1, /=1, 2, 3, A2.177)
где x4==ct. Преобразование xf=W\ оставляет форму {х, х} инва-
инвариантной:
{W W} = {%, x},
WxgWx = xgx, A2.178)
Взяв от обеих частей равенства A2.178) определитель, найдем, что
det W= ±1. Собственными преобразованиями Лоренца являются такие
преобразования, для которых detW = -(-l.
Выписав компоненту D.4) равенства A2.178), получим
или
«й—<<—«&—<в&=1. A2.179)
Перейдя в равенстве A2.178) к обратным величинам и заменив
l тношению
A2.178а)
преобразование W~l на преобразование W, мы придем к соотношению
§ 7. Малые группы 575
Взяв компоненту D,4), получим
та24 _ w^ _ wi^ _ W2^ _ i # A2.179а)
Из последнего равенства мы видим, что
^44^ 1 : ^44^+ * ИЛИ 'да44^~1- A2.180)
Преобразования Лоренца, у которых г2L4 ^-j-1, называются орто-
хронными. Собственные ортохронные преобразования Лоренца
удовлетворяют условиям
detr = -fl, та»44 >- -I-1. A2.181)
и их можно получить из тождественного преобразования пугем не-
непрерывного изменения последнего. Такие преобразования образуют
группу, которую мы обозначим G4 .
Говорят, что вектор х времени-подобный, если
{х, х} <0; A2.182)
пространственно-подобный, если
{х, х} >0; A2.182а)
и нулевой, если
{х, х}=0. A2.1826)
Скорость материальной частицы должна быть меньше скорости света с,
вследствие чего ее пространственные и временное смещения Axt и
Д^ должны удовлетворять условию
<с2(А02. A!
Таким образом, пространственно-временнбе смещение материальной
частицы есть времени-подобный вектор.
Говорят, что времени-подобный вектор положителен (обращен
в будущее, лежит в положительной поле светового конуса),
если х4 > 0, и отрицателен (обращен в прошлое, лежит в от-
отрицательной поле светового конуса), если х4 < 0.
Говорят, что нулевой вектор лежит на положительной поле
светового конуса, если лг4 > 0, и на отрицательной поле свето-
светового конуса, если х4 < 0.
Покажем теперь, что собственные ортохронные преобразования
Лоренца переводят положительные времени-подобные (или нулевые)
векторы в положительные времени-подобные (или нулевые) векторы,
т. е. если х\ -\- х\ + х\ < х\ и xi > 0, то и вектор х', получив-
получившийся после преобразования, удовлетворяет тем же условиям.
Первая часть утверждения следует из условия {х', х'} = {х, х}.
Четвертая компонента вектора х' имеет вид
576 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Неравенство Шварца, примененное к первым трем слагаемым в пра-
правой части A2.184), дает
I ^41*1 + ^42*2 + ^43*3 I2 <
< « + w\2 + О (х\ + х\ -+- xf) < « - 1) х\ < w\Ax]. A2.185)
Это неравенство показывает, что последнее слагаемое в A2.184)
больше суммы первых трех слагаемых. Таким образом, х'А имеет
тот же знак, что и w^x^. Если w^^>l, то х\ имеет тог же знак,
что и хА.
При отыскании неприводимых представлений собственной орто-
хронной группы Лоренца мы выбираем некоторый вектор к0 и на-
находим неприводимые представления малой группы Оц,. Существует
четыре главных типа представлений:
1) вектор к0 времени-подобный, {к0, к0) < 0;
2) вектор к0 есть нулевой веетор, {к0, к0} = 0, но к0 ф 0;
3) ко = О;
4) вектор к0 пространственно-подобный, {к0, к0} > 0.
Тип 1. Взяв вектор к0, мы получаем функции, соответствующие
всем векторам k=Wk0. Как показано выше, если компонента kOi
положительна (отрицательна), то компонента k4 положительна (отри-
(отрицательна). Эги два случая мы будем отличать с помощью нижних
значков 1+ и 1_. Если {к0, к0} = — т2, то мы можем найти преоб-
преобразование W такое, что вектор к = Wk0 будет иметь kl — k2 — k3 = 0
и k\=m2. Если к0 — положительный времени-подобный векгор, то
k4 = -(- ]/от2; если же к0—отрицательный времени-подобный вектор,
то &4= — )/от2. Построим малую группу для вектора вида @, 0, 0, /е4).
Эта малая группа будет группой тех преобразований Лоренца W,
которые оставляют неизменной четвертую компоненту вектора, т. е.
группой Оз вращений в трехмерном пространстве. Неприводимые
представления такой малой группы нам известны: они являются пред-
представлениями Z)(/> с целым или полуцелым /. Для каждого значения J
мы получаем неприводимое представление малой группы и соответ-
соответствующее неприводимое представление группы Лоренца. Константы
&4= + У^т2 и j определяют массу и спин системы.
Неприводимые представления имеют один и тот же вид для
всех значений (к0, к0}. Это можно показать с помощью изоморфизма
(автоморфизма)
W-+W, и->сш (а — вещественно),
(Г„)^(Га„) A2Л86>
7. Малые группы
577
Это преобразование есть изоморфизм, поскольку
(W, n')(W, n) = (W'W, Ги+ui
(W, an')(W, аи) = (W'W,
Итак, если нам задано любое представление D(W), D{\\) группы.
то операторы
D(W), D'(u)
также задают некоторое представление. Но
D'(u)*(ko, О = ?»(аи)ф(ко. 0 = ^'{к»'аи)Ф(к0, 0 = *'{ak°'u}4>(k0, Q.
Таким образом, новое представление соответствует вектору ak0, об-
обладающему тем свойством, что
{ak0, ak0} = a2 {k0, k0} и (akoL = ak04.
Tan 2. Здесь мы снова имеем два подслучая: 0+, когда компо-
компонента /г04 положительна, и 0_, когда компонента k04 отрицательна.
Масса покоя т частицы равна нулю. Рассуждения, приведенные при
рассмотрении типа 1, показывают, что представления одинаковы при
всех значениях k04. Мы всегда можем найти некоторое преобразова-
преобразование W, чтобы рассматриваемый нами типичный вектор к имел вид
(О, 0, 1, 1). Малая группа 0^ является совокупностью преобразова-
преобразований W, оставляющих вектор к = @, 0, 1, 1) неизменным. Эти пре-
преобразования могут быть трех типов:
1) группа вращений в плоскости A, 2)
cos Э
sin0
О
О
— sinB О О
cos Э О О
О 1 О
О 0 1
A2.187)
2) преобразование
Тг(а) =
1 О
О 1
а О
а О
а
О
а
О
A2.187а)
578
Глава 12. Проективные представления. Малые группы
3) преобразование
1
0
0
0
0
1
b
b
1
0
— b
b*
2
b1
1
0
b
b*
2
4-
A2.1876)
где а и b — произвольные вещественные числа. Преобразования 7\
и Г2 образуют однопараметрическую абелеву группу. 7\ (а) и Т2{Ь)
коммутируют, и мы получаем, что малая группа изоморфна группе
евклидовых движений в двумерном пространстве.
Этот результат легко получается, если заметить, что рассматри-
рассматриваемая нами группа является трехпараметрической подгруппой одно-
однородной группы Лоренца. Затем мы пытаемся найти те инфинитези-
мальные матрицы, которые оставляют вектор к инвариантным,
а именно матрицы:
«12. «14+ «34> fl24 + fl34> A2.188)
порождающие три описанные выше подгруппы.
Тип 3. Если ко = О, то базисные функции инвариантны относи-
относительно всех преобразований. Малая группа есть группа собственных
,з
ортохронных однородных преобразований Лоренца 0$ .
Тип 4. В качестве типичного представителя выберем вектор
ко = A, 0, 0, 0). Малой группой является группа, оставляющая не-
неизменной первую координату. Следовательно, эта группа есть
группа О\ преобразований Лоренца с двумя пространственными и
одной временнбй координатой.
Физический смысл, по-видимому, имеют только представления
типа 1 и типа 2.
Задача. Покажите, что инфинитезимальные матрицы A2.188) поро-
порождают конечные преобразования A2.187).
ЛИТЕРАТУРА
1. Boer ner H., Group Representations, Berlin, 1955.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, М., 1963.
3. Littlewood D. E., The Theory of Group Characters, Oxford, 1950.
4. Lomont J. S., Applications of Finite Groups, New York, 1959. (В кни-
книге приведена подробная библиография.)
5. Любарский Г. Я., Теория групп и ее применение в физике, М., 1958.
6. П о н т р я г и н Л. С, Непрерывные группы, М., 1954.
7. Van der Waerden В. L., The Group-Theoretic Method in Quantum
Mechanics, Berlin, 1932. (Имеется перевод: В а н-д ер-В а р д ен Б. Л.,
Метод теории групп в квантовой механике, Харьков, 1938.)
8. Weyl H., Theory of Groups and Quantum Mechanics, Princeton, 1931.
9. Weyl H., The Classical Groups, Pflncet&n, 1946. (Имеется перевод:
В е й л ь Г., Классические группы, их инварианты и представления, М.,
1947.)
10. Wigner E. P., Group Theory and it* Application to the Quantum Me-
Mechanics of Atomic Spectra, New HWk, 1959. (Имеется перевод: Виг-
н е р Е., Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории
атомных спектров, М., 1961.)
Глава 2
К § Ю. При выводе групп магнитной симметрии мы следуем статье
Б. А. Тавгера и В. Н. Зайцева [ЖЭТФ, 30, 564 A956)]. См. также книги
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (Статистическая физика, М., 1964; Электро-
Электродинамика сплошных сред, М., 1963).
Глава 5
К § 5. В основу рассмотрения вещественных представлений положена
классическая статья Шура и Фробениуса [Schur, Frobenius, Berliner
Berichte, 186 A906)].
К § 8. Wigner E. P., Amer. Journ. Math., 63, 57 A941).
К § 9. W i g n e r E. P., On the Matrices which Reduce the Kronecker
Products of Representations of S. R. Groups, Princeton, 1951.
Глава 7
К § 1—5. Литтлвуд [3].
К § 6—7. Yamanouchi Т., Proc. Phys.-Math. Soc, Japan, 19, 436
A937). ¦ '
580 Литература
Формула G.114) в литературе ранее не приводилась, хотя она непосред-
непосредственно следует из цитированной выше статьи Шура и Фробениуса.
К § 8. HundF., Zs. Phys, 43, 788 A927).
К § 9—10. Б е р н е р [1], В е й л ь [9].
К § 11. Фок В. А., ЖЭТФ, 10, 961 A940). Демков 10. Н„ ЖЭТФ, 34,
491 A958).
К § 12. Литтлвуд [3].
К § 13. Приводимый нами графический метод вычисления внутренних
произведений представляет собой обобщение и упрощение метода, предло-
предложенного в статье Гамба и Радикати [Gamba, Radicati, Rend. Acad.
Lincei, VIII, 14, 632 A953)].
К § 14. Содержание параграфа составляет неопубликованная работа
Кросби и Хамермеша [С г о s b i e E. A., H a m e r m e s h M., Bull. Amer.
Phys. Soc, 1, 209 A956)].
Глава 8
К § 1—14. Л. С. Понтрягин [6]. Racah Q., Group Theory and Spec-
troscopy, Notes from Princeton, 1951.
К § 13. Casimir H. B. Q., Proc. Roy. Acad. Amster., 34, 844 A931);
RacahG., Rend. Acad. Lincei, VIII, 8, 108 A950).
Глава 9
К § 7. Bethe H. A., Ann. Phys., 3, 133 A929).
К § 8. Метод вычисления коэффициентов Клебша — Гордана принадле-
принадлежит Ван-дер-Вардену. Метод нормировки предложен Людвигом (L u d w i g
G., Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin, 1954).
Глава 10
К § 1—4. Бернер [1], Вейль [9].
К § 5—10. Вейль [9].
К § 7. Таблицы заимствованы из работ Яна [Jahn H. A., Proc. Roy.
Soc, A201, 516 A950)] и Флауэрса [Flowers В. Н., Proc. Roy. Soc, A210,
497 A952)].
К § 9. Таблицы заимствованы из статьи Флауэрса [Flowers В. Н.,
Proc. Roy. Soc, A212, 248 A952)].
Глава 11
К § 2. См. литературу к гл. 10.
К § 4. R а с a h G., Phys. Rev., 76, 1352 A949).
К § 7. Wigner E. P., Phys. Rev., 51, 106 A937); Hund F., Zs. Phys,
105, 202 A937).
К § 7—9. Таблицы заимствованы из указанных выше работ Яна и
флауэрса.
Литература 581
Глава 12
К § 1 и 2. Schur I., Journ. Reine und Ang. Math., 127, 20 A904); 132,
85 A907); 139, 155 A911). См. Вейль [8].
К § 3. Связь, существующая между отображениями лучей и векторов,
была впервые обнаружена Вигнером, но доказательство, приводимое в его
книге, неполно. См. Hagedorn R., Nuovo Cimento, Suppl., 1, 73 A959).
К § 3—5. В а г gmann V., Ann. Math., 59, 1 A954).
К § 5. Векторные представления галилеевой группы были рассмотрены
в работе: Inonu E., Wigner E. P., Nuovo Cimento, 9, 705 A952). См.
также HamermeshM., Ann. Phys., 9, 518 A960).
К § 6—7. Bouckaert, Smoluchowski, Wigner, Phys. Rev., 50,
58 A936); Seitz F., Ann. Math., 37, 17 A936). Вывод пространственных
групп см. в статьях: Seitz F., Zs. Krist., 90, 289 A935); 91, 336 A935);
94, 100 A936).
К § 7. Обзор работ И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка по представ-
представлениям однородной группы Лоренца см. в работе М. А. Наймарка [Усп.
мат. наук, 9, вып. 4, 19 A954)]. Классификация представлений неоднород-
неоднородной группы Лоренца была проделана Вигнером [Wigner E. P., Ann. Math.,
40, 149 A939)].
Весьма доступный обзор, включающий рассмотрение полной группы Ло-
Лоренца, см. в статьях Ю. М. Широкова [ЖЭТФ, 33, 861, 1196, 1208 A957);
см. также журнал Nucl. Phys., 15, 1, 13 (I960)].
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ')
1. Bar gmann V., Irreducible unitary representations of the Lorentz group,
Ann. of Math., 48, 568 A947).
2. Б е й м а н Б. Ф., Лекции по применению теории групп в ядерной спект-
спектроскопии (перевод с английского), М., 1961.
3. Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А.,
Представления групп, Усп. мат. наук, 11, № 6 G2), 13 A956).
4. Виленкин Н. Я-, Смородинский Я. А., Инвариантные разложе-
разложения релятивистских амплитуд, ЖЭТФ, 46, № 5, 1793 A964).
б. Гельфанд И. М., Наймарк М. А., Унитарные представления клас-
классических групп, Труды Математического института им. В. А. Стеклова.
т. 36, М.—Л., 1950.
6. Петров А. 3., Новые методы в общей теории относительности, М., 1966.
7. Ж е л о б е н к о Д. П., Лекции по теории групп Ли, Дубна, 1965.
8. М а к к и Г., Бесконечномерные представления групп (периодический
сборник переводов иностранных статей), Математика, 6, № 6, 57 A962),
9. Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958.
10. «Полупростые группы и систематика элементарных частиц», сборник ста-
статей, т. 1, 2, Дубна, 1965.
') Составлена переводчиком. — Ред.
582 Литература
11. S a 1 a m, Introduction in the Group Interpretation of Particles, в книге
«Theoretical Physics», Trieste, 1963.
12. С м op о ди н ск ий Я. А., Унитарная симметрия элементарных частиц,
Усп. физич. наук, 84, 1, 3 A964).
13. de Swart J. J., The octet model and its Clebsch — Qordan Coefficients,
Rev. Mod. Phys., 35, № 4, 916 A963).
14. Виленкин Н. Я-, Специальные функции и теория представлений групп,
М., 1965.
15. Мурадян Р. М, Кадышевский В. Г., Смородинский Я. А.,
SU F)-симметрия в сильных и электромагнитных взаимодействиях эле-
элементарных частиц, ОИЯИ, Р-2061, Дубна, 1965.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие автора 7
Введение 9
Глава 1. Элементы теории групп 13
§ 1. Соответствия и преобразования 13
§ 2. Группы. Определения и примеры 19
§ 3. Подгруппы. Теорема Кэли 28
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа 35
§ 5. Классы сопряженных элементов 38
§ 6. Инвариантные подгруппы. Фактор-группа. Гомоморфизм 44
§ 7. Прямые произведения 47
Глава 2, Группы симметрии 49
§ 1. Элементы симметрии. Полюсные фигуры 49
§ 2. Эквивалентные оси и плоскости. Двусторонние оси . . 56
§ 3. Группы, элементами которых служат чистые повороты:
группы поворотов вокруг оси, группы диэдров 60
§ 4. Закон рациональных индексов 65
§ 5. Группы, элементами которых служат чистые пово-
повороты. Правильные многогранники 68
§ 6. Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты.
Присоединение отражений к группе 6п 72
§ 7. Присоединение отражений к группам Dn 77
§ 8. Полные группы симметрии правильных многогранников 81
§ 9. Обзор точечных групп. Другие системы обозначений . . 83
§ 10. Группы магнитной симметрии (цветные группы) .... 86
Глава 3. Представления групп 91
§ 1. Линейные векторные пространства 91
§ 2. Линейная зависимость; размерность 93
§ 3. Базисные векторы (оси координат); координаты .... 95
§ 4. Отображения; линейные операторы; матричные предста-
представления; эквивалентность 98
584 Оглавление
§ 5. Представления групп 101
§ 6. Эквивалентные представления; характеры 102
§ 7. Построение представлений. Сложение представлений . . 104
§ 8. Инвариантность функций и операторов. Классификация
собственных функций ПО
§ 9. Унитарные пространства; скалярное произведение; уни-
унитарные матрицы; эрмитовы матрицы 113
§ 10. Операторы: сопряженный, самосопряженный, унитарный 116
§ 11. Унитарные представления 117
§ 12. Гильбертово пространство 118
§ 13. Разложение представлений; приводимость; неприводимые
представления 119
§ 14. Леммы Шура 124
§ 15. Соотношения ортогональности 127
§ 16. Критерии неприводимости. Разложение представлений . 130
§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра 133
§ 18. Разложение функций по базисным функциям неприводи-
неприводимых представлений 138
§ 19. Представления прямых произведений 141
Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии 142
§ 1. Абелевы группы 142
§ 2. Неабелевы группы 147
§ 3. Таблицы характеров для кристаллографических точеч-
точечных групп 154
Глава 5. Различные операции с представлениями групп 157
§ 1. Произведение представлений (кронекеровское произве-
произведение) 157
§ 2. Симметризованные и антисимметризованные произведе-
произведения 161
§ 3. Сопряженное представление. Комплексно сопряженное
представление 163
§ 4. Условия существования инвариантов 165
§ 5. Вещественные представления 167
§ 6. Разложение кронекеровского произведения. Ряд Клеб-
ша — Гордана 176
§ 7. Коэффициенты Клебша — Гордана 178
§ 8. Просто приводимые группы 180
§ 9. ЗУ-символы 186
Глава в. Физические приложения 191
§ 1. Классификация уровней энергии 191
§ 2. Теория возмущений 193
Оглавление 585
§ 3. Правила отбора 197
§ 4. Связанные системы 212
Глава 7. Симметрическая группа 217
§ 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы . 217
§ 2. Формула Фробениуса для характеров симметрической
группы 225
§ 3. Графические методы. Решеточные перестановки. Схемы
Юнга. Таблицы Юнга 236
§ 4. Графический метод нахождения характеров 240
§ 5. Рекуррентные формулы для характеров. Правила вет-
ветвления 249
§ 6. Вычисление характеров по формуле Фробениуса .... 253
§ 7. Матрицы неприводимых представлений группы Sn. Сим-
Символы Яманучи 257
§ 8. Метод Хунда 274
§ 9. Групповая алгебра 283
§ 10. Операторы Юнга 288
§ 11. Построение произведения волновых функций с заданной
симметрией. Условия циклической симметрии Фока . . 293
§ 12. Внешние произведения представлений симметрической
группы 297
§ 13. Внутренние произведения. Ряд Клебша — Гордана для
симметрической группы 303
§ 14. Коэффициенты Клебша — Гордана для симметрической
группы. Свойства симметрии. Рекуррентные формулы . 308
Глава 8. Непрерывные группы 327
§ 1. Краткий обзор результатов, полученных для конечных
групп 327
§ 2. Бесконечные дискретные группы 329
§ 3. Непрерывные группы. Группы Ли 332
§ 4. Примеры групп Ли 337
§ 5. Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные
группы 341
§ 6. Однопараметрические группы. Инфинитезимальные пре-
преобразования 344
§ 7. Структурные константы 350
§ 8. Алгебры Ли 352
§ 9. Структура алгебр Ли 356
§ 10. Структура компактных полупростых групп Ли и их
алгебр 362
§ 11. Линейные представления групп Ли 365
§ 12. Инвариантное интегрирование 867
Оглавление
§ 13. Неприводимые представления групп Ли и алгебр Ли.
Оператор Казимира 371
§ 14. Многозначные представления. Универсальная накрываю-
накрывающая группа 373
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия 377
§ 1. Группа вращений в двумерном пространстве 377
§ 2. Трехмерная группа вращений 381
§ 3. Непрерывные однозначные представления трехмерной
группы вращений 390
§ 4. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристал-
кристаллов (однозначные представления) 395
§ 5. Построение собственных функций для кристаллов с раз-
различной симметрией 402
§ 6. Двузначные представления группы вращений. Двумерная
унитарная унимодулярная группа 410
§ 7. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристал-
кристаллов. Двузначные представления кристаллографических
точечных групп 420
§ 8. Связанные системы. Сложение моментов количества
движения. Коэффициенты Клебша — Гордана 433
Глава 10. Линейные группы в я-мерном пространстве; неприводи-
неприводимые тензоры 443
§ 1. Тензоры, преобразующиеся по группе GL(n) 443
§ 2. Конструирование неприводимых тензоров, преобразую-
преобразующихся по группе GL{n) 445
§ 3. Размерность неприводимых представлений группы GL (п) 451
§ 4. Неприводимые представления подгрупп группы GL (п):
SL (п), U (n), SU{n) 456
§ 5. Ортогональная группа в n-измерениях. Свертка. Тен-
Тензоры с нулевым следом 461
§ 6. Неприводимые представления группы О(п) 464
§ 7. Разложение неприводимых представлений группы U (п)
на представления группы О+ (п) 470
§ 8. Симплектическая группа Sp (n). Свертка. Тензоры с ну-
нулевым следом 475
§ 9. Неприводимые представления группы Sp («). Разложе-
Разложение неприводимых представлений группы U («) на пред-
представления ее симплектической подгруппы 481
Глава П. Применение теории групп к задачам атомной и ядерной
физики 485
§ 1. Классификация состояний систем тождественных частиц
по группе SU (я) 485
Оглавление 587
§ 2. Разложение момента количества движения. Разложе-
Разложение представлений группы SU (п) на представления
группы О4" C) 486
§ 3. Принцип Паули. Атомные спектры в схеме связи Рас-
Рассела — Саундерса 495
§ 4. Старшинство в атомных спектрах 498
§ 5. Атомные спектры в схеме у'у-связи 505
§ 6. Структура ядра. Изотопический спин 509
§ 7. Ядерные спектры в схеме L — S-связи. Супермульти-
плеты 512
§ 8. Модель оболочек в схеме L — S-связи. Старшинство . . 520
§ 9. Модель оболочек в схеме у'у-связи. Старшинство в схеме
у'у-связи 525
Глава 12. Проективные представления. Малые группы 537
§ 1. Проективные представления конечных групп 537
§ 2. Примеры проективных представлений конечных групп . 543
§ 3. Проективные представления групп Ли 549
§ 4. Проективные представления псевдо^ортогональных групп 559
§ 5. Проективные представления галилеевой группы .... 566
§ 6. Неприводимые представления группы параллельных пе-
переносов 569
§ 7. Малые группы 571
Литература 579