В. В. Прасолов
История математики
Часть 2
Москва Издательство МЦНМО 2019


УДК 51(091) ББК 22.1г П70
Прасолов В. В.
П70 История математики. Часть 2. — М.: МЦНМО, 2019. — 304 с.: ил.
ISBN 978-5-4439-1275-2, 978-5-4439-1277-6 (часть 2).
Вторая часть книги «История математики» посвящена периоду с начала XVIII века до конца XIX века. История описана посредством научных биографий математиков, что позволяет лучше понять взаимные связи между разными областями исследований одного и того же человека.
Для школьников, студентов и преподавателей — математиков и физиков, а также для всех интересующихся историей науки.
ББК 22.1г
©
ISBN 978-5-4439-1275-2 © Прасолов В. В., 2019.
ISBN 978-5-4439-1277-6 (часть 2) © МЦНМО, 2019.


Оглавление
Глава 6. XVIII век
Муавр (6). Саккери (7). Дж.Риккати (8). Мэчин (9). Коутс (9). Джулио Фанья- но (10). Беркли (10). Тейлор (11). Н. Бернулли (12). Гольдбах (13). Стирлинг (13). Мопертюи (14). Маклорен (15). Д. Бернулли (16). Байес (17). Крамер (18). В. Риккати (19). Эйлер (19). Бюффон (39). Симпсон (40). де Гюа де Мальв (40). Клеро (41). Джованни Фаньяно (42). Стюарт (42). Даламбер (43). Ланден (45). Монтюкла (45). Ламберт (45). Безу (47). Мальфатти (49). Вандермонд (49). Варинг (51). Бринг (51). Лагранж (52). Лексель (56). Вессель (57). Монж (57). Тенсо (59). Лаплас (60). Маскерони (62). Люилье (63). Лежандр (64). Карно (67). Мёнье (68). Парсеваль (68). Руффини (68). Пфафф (69). Фарей (70). Фурье (70). Арган (73). Уоллес (73). Жергонн (74). Ланкре (74). Мольвейде (74). Бойяи (74). Пуансо (75).
Глава 7. Первая половина XIX века
Гаусс (77). Вронский (93). Крелль (94). Швейкарт (94). Пуассон (94). Больцано (95). Брианшон (96). Бессель (96). Дюпен (97). Горнер (98). Бине (98). Понселе (98). Коши (101). Мёбиус (105). Лобачевский (107). Ом (112). Грин (112). Шаль (113). Данделен (114). Тауринус (115). Родриг (116). Ламе (117). Штейнер (117). Бобилье (119). Штаудт (119). Остроградский (121). Плюккер (122). Плато (124). Абель (125). Бойяи (128). Штурм (130). Якоби (131). Буняков- ский (135). Дирихле (135). Гамильтон (139). Грейвс (141). Де Морган (141). Миндинг (141). Киркман (142). Листинг (143). Грассман (143). Пирс (145). Ли- увилль (145). Куммер (148). Галуа (149). Гессе (151). Лоран (152). Ванцель (152). Каталан (152). Шлефли (152). Сильвестр (153). Буль (155). Вейерштрасс (155). Френе (158). Брио (158). Аронгольд (158). Буке (159). Серре (159). Бонне (159). Стокс (160). Сальмон (161). Пюизё (161). Гейне (162). Чебышев (162). Кэли (164). Бертран (167).
Глава 8. Вторая половина XIX века
Эрмит (168). Эйзенштейн (170). Кронекер (171). Бетти (173). Кодацци (174). Кирхгоф (175). Бриоски (175). Кельвин (175). Фаа-ди-Бруно (176). Риман (176). Смит (184). Крофтон (185). Петерсон (185). Кристоффель (186). Кремона (186). Максвелл (187). Дюбуа-Реймон (187). Тейт (187). Раус (188). Дедекинд (188). Доджсон (191). Липшиц (192). Руше (192). Силов (192). Клебш (193). Фукс (194). Лагерр (196). Венн (197). Джевонс (198). Матьё (198). Казорати (198). Бельтра- ми (198). Вейнгартен (200). Бугаев (201). Коркин (201). Гордан (202). Хилл (202). Жордан (203). Рох (205). Ганкель (206). Гиббс (206). Петерсен (206). Прим (207). Люка (207). Ли (208). Вебер (210). Дарбу (211). Сохоцкий (212). Шварц (212). Паш (214). Гейзер (215). Люрот (215). Нётер (216). Клиффорд (216). Кантор (217). Дини (220). Бэклунд (220). Миттаг-Леффлер (220). Бертини (221). Золотарёв (222). Арцела (223). Киллинг (223). Шуберт (224). Брунс (225). Фреге (225). Кортевег (225). Фробениус (226). Кемпе (229). Клейн (229). Ковалевская (232). Грам (233). Хевисайд (233). Штикельбергер (234). Гарнак (234). Шоттки (235).


4
Оглавление
Вейр (235). Фраттини (235). Бёрнсайд (236). Линдеман (236). Машке (237). Риччи (237). Лоренц (238). Шёнфлис (238). Пуанкаре (238). Веронезе (246). Мангольдт (246). Меллин (247). Капелли (247). Стилтьес (248). Марков (248). Бьянки (249). Дик (249). Пикар (250). Герц (252). Ляпунов (252). Пирсон (252). Пеано (253). Гурса (253). Чезаро (253). Гурвиц (254). Йенсен (255). Гёль- дер (255). Пик (256). Морли (257). Вольтерра (257). Бендиксон (258). Ген- зель (258). Энгель (259). Штуди (259). Роджерс (259). Гильберт (259). Туэ (263). Сегре (264). Пенлеве (264). Спирмен (265). Паде (265). Минковский (266). Кюршак (267). Шлезингер (267). Осгуд (267). Боль (268). Виртингер (268). Вессио (268). Кастельнуово (269). Адамар (269). Фредгольм (270). Де Фриз (271). Таубер (271). Валле-Пуссен (272). Кузен (272). Вороной (273). Хаусдорф (273). Картан (275).
Литература
Предметный указатель Указатель имён ....
278
281
293


Глава 6 XVIII век
XVIII век в математике — это век Эйлера и французских математиков: Лагранжа, Лежандра, Лапласа.
XVIII век в математике был веком активной разработки и исследования обширных новых территорий анализа. Математики не справлялись с наплывом новых идей и не могли должным образом заботиться о строгости доказательств. Развивались новые области, возникшие из анализа: обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия.
Поначалу при работе с бесконечными рядами (даже расходящимися) не соблюдались никакие предосторожности. Получаемые при этом неверные результаты считались парадоксами и никак не объяснялись. Неверные результаты получались не только для расходящихся рядов, но и для условно сходящихся. Очень много дискуссий и споров вызвал ряд 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + ... С одной стороны, его сумма равна 0, поскольку она равна (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + ... С другой стороны, она равна 1, поскольку
1- (1-1) -(1-1)- (1-1) -... = 1.
А если эту сумму мы обозначим S, то получим S = 1 - S, поэтому S = По-другому последний результат можно получить, поло-
1
жив х = 1 в разложении y+x ~ * ~~ х + *2 ~~ *3 ^видо Гранди (1671—1742) полагал, что эти рассуждения доказывают, что мир мог быть создан из ничего.
В XVIII в. было много попыток геометрической интерпретации комплексных чисел, но они не пользовались успехом — комплексные числа не становились более приемлемыми. В XVIII в. никто всерьёз не заботился о логической обоснованности действительных и комплексных чисел.
В начале XVIII в. интенсивно обсуждался вопрос о форме Земли. Ньютон на основании своих теоретических рассуждений сделал вы¬


6
Глава 6. XVIII век
вод, что экваториальный радиус на ^|q больше полярного. (В действительности это на 30 % больше правильного значения.) Затем в 1720 г. Жак Кассини (1677—1756) сделал измерения и пришёл к обратному выводу: полярный радиус на ^ больше экваториального. В 1730-е годы Французская академия наук отправила две экспедиции — одну в Лапландию, под руководством Мопертюи (в этой экспедиции был также Клеро), а другую в Перу. Мопертюи пришёл к
выводу, что экваториальный радиус на больше полярного. Этот результат был менее точен, чем результат Ньютона.
Абрахам де Муавр (1667—1754)
После отмены Нантского эдикта, когда во Франции возобновились преследования протестантов, Муавр был вынужден покинуть Францию и с 1688 г. жил в Лондоне.
В1697 г. Муавр опубликовал рекуррентное правило образования коэффициентов разложения в бесконечный ряд выражения
(az + bz2 +с*3+ ...)",
в том числе и для рациональных п. Но доказательство он привёл только для натуральных п.
Формула Муавра впервые появилась в статье 1707 г., посвящённой решению некоторых специальных уравнений. Формулу из этой статьи можно записать в виде
1 пГ. — , 1 пГ. :
sma = ^ V smпа +1 cosпа + 2 vsmna~lcosna-
Эта формула легко выводится из формулы (sin а + i cos a)n = sin па + + i cos па, которую сейчас обычно называют формулой Муавра. Эту формулу впервые получил не Муавр, а Эйлер.
Муавр обратил внимание, что уравнение деления дуги гиперболы на п равных частей чрезвычайно похоже на уравнение деления на п равных частей дуги окружности.
С 1718 г. Муавр опубликовал несколько работ по теории вероятностей. Развивая закон больших чисел Якоба Бернулли, он получил локальную и интегральную предельные теоремы. Впоследствии эти теоремы снова открыл Лаплас, и их называют предельными теоремами Муавра—Лапласа. Муавр вывел нормальный закон распределения. В связи с исследованиями азартных игр Муавр подробно изучил свойства рекуррентных последовательностей в нескольких работах


Глава 6. XVIII век
7
(1718—1730). В частности, Муавр строил общее решение однородного линейного разностного уравнения с помощью корней соответствующего алгебраического уравнения; он разобрал примеры, когда это уравнение имеет равные действительные корни и даже два комплексных корня.
Муавр разработал метод производящих функций для решения следующей задачи: какова вероятность того, что на тг рулетках с / секторами (с номерами от 1 до /) в сумме получится р + 1? Моно-
2 j./
мы функции /(г) = 1 + г + г2 + г3 + ... + rf~l = "i_r соответствуют / различным секторам рулетки, а искомый ответ —это коэффициент при мономе степени р + 1 — тг функции g(r) = (/(г))п.
В1730 г. Стирлинг сообщил Муавру о найденном им ряде для п!, и в том же году Муавр дал более простой вывод этого ряда, причём впервые указал закон образования его коэффициентов, в которые входят числа Бернулли. Муавр также привёл асимптотическое равенство n! ~ V2nnrine~n, которое получается, если ограничиться первыми тремя членами ряда. Это равенство часто называют формулой Стирлинга, хотя у Стирлинга этой формулы нет.
В1733 г., незадолго до смерти, итальянский монах-иезуит Сакке- ри опубликовал книгу «Евклид, очищенный от всех пятен» (Euclides ab omni naevo vindicatus). Сначала он доказал три утверждения:
• если сумма углов одного треугольника меньше 180°, то сумма углов любого треугольника меньше 180°;
• если сумма углов одного треугольника равна 180°, то сумма углов любого треугольника равна 180°;
• если сумма углов одного треугольника больше 180°, то сумма углов любого треугольника больше 180°.
В исследованиях Саккери важную роль играл четырёхугольник ABCD, в котором углы Ли В прямые, AD = ВС (рис. 6.1). Четы-
Джироламо Саккери (1667—1733)
D
С
г;
л
в
Рис. 6.1


8
Глава 6. XVIII век
рёхугольник такого вида получил название четырёхугольника Сак- кери, хотя идея рассмотрения такого четырёхугольника восходит к Насир ад-Дину ат-Туси. Можно доказать, что ZC = ZD. Если оба эти угла прямые, то выполняется пятый постулат Евклида. Саккери рассматривает два случая: 1) эти углы тупые; 2) эти углы острые.
При гипотезе тупого угла Саккери быстро приходит к противоречию. При этом он использует другие аксиомы Евклида, в частности, аксиому о том, что прямую можно сколь угодно продолжать. (В сферической геометрии такой аксиомы нет, и в сферической геометрии гипотеза тупого угла выполняется.) Он показывает, что в случае гипотезы тупого угла любые две прямые пересекаются, поэтому выполняется пятый постулат Евклида (действительно, пятый постулат заключается в том, что при определённых условиях прямые пересекаются). А если выполняется пятый постулат, то справедлива гипотеза прямого угла.
При гипотезе острого угла Саккери доказывает, что две прямые расположены одним из трёх способов:
• они пересекаются;
• они имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они удаляются друг от друга;
• в одном направлении они бесконечно сближаются, а в другом бесконечно расходятся.
Третий случай показался ему странным и противоречащим природе прямой линии, и он сделал (неверный) вывод, что гипотеза острого угла ложна. Такое доказательство не удовлетворило и его самого, поэтому он продолжил рассуждения. Саккери рассмотрел множество точек, равноудалённых от прямой (эквидистанту). Он понимал, что в случае гипотезы острого угла эта линия не является прямой. Но он ошибся в вычислении дуги эквидистанты: у него получилось, что она меньше расстояния между основаниями перпендикуляров, проведённых к прямой. А с другой стороны, эти перпендикуляры расходятся, поэтому получилось противоречие.
Саккери получил гораздо больше следствий из гипотезы острого угла, чем его предшественники. Но он не понимал, что доказал важные теоремы новой геометрии (геометрии Лобачевского).
Джакопо Франческо Риккати (1676—1754)
В 1723 г. Риккати впервые поставил вопрос: найти все т, при которых уравнение
dy + y2dx = axmdx


Глава 6. XVIII век
9
допускает разделение переменных. Как выяснилось, переменные

разделяются, если т — у, где к — целое число. Эти значения нашли сам Риккати и несколько других математиков; первым этот результат опубликовал Даниил Бернулли (1724). Это уравнение обычно называют специальным уравнением Риккати. Уравнение
^ = а(х)у2 + Ь(х)у + с(х) называют общим уравнением Риккати.
Джон Мэчин (1680—1751)
Астроном из Лондона Джон Мэчин предложил оригинальный способ вычисления числа п. Этот способ основан на использовании дуги, тангенс которой рационален и в то же время некоторое её кратное мало отличается от Пусть tg(/?=pHtgn</> = q. Тогда
„ (п \ 1-<? я . . 1 -<2 1-<2
4 - nyJ = и ^ = пу + arctg = пarctgp + arctg^.
1 120 В частности, если п = 4ир = ^, то q = yjp и
я . 1 1
^ =4arctgд - arctgp.
Последняя формула получила название формула Мэчина. С её помощью Мэчин быстро вычислил 100 десятичных знаков числа п.
Роджер Коутс (1682—1716)
В 1709—1713 годах Коутс (Коте) помогал Ньютону в подготовке второго издания «Математических начал натуральной философии». Ньютон доверил ему написать обширное предисловие к новому изданию.
Коутс опубликовал только одну статью. Эта статья в «Philosophical Transactions» за 1714 г. (вышла из печати в 1717 г.) посвящена логарифмической функции, которую он вводит как решение функционального уравнения /(хп) = п/(х). В этой статье содержится также соотношение In (cos х + isinx) = ix, равносильное знаменитой формуле Эйлера. В этой же статье Коутс приводит метод нахождения рациональных приближений как подходящих непрерывных дробей.
Из-за преждевременной смерти Коутса многие его важные результаты остались неопубликованными. В частности, он получил раз¬


10
Глава 6. XVIII век
ложение ап — хп на квадратичные множители вида а2 — 2a cos —- +
+ х2 и аналогичное разложение ап + хп. Коутс первым получил разложение числа е в непрерывную дробь. Он первым сформулировал и геометрически обосновал правила дифференцирования тригонометрических функций (синуса, тангенса, секанса).
Коутс заметил, что когда прямая вращается вокруг точки, среднее гармоническое точек пересечения этой прямой с кривой степени п движется по некоторой прямой Z. Для кривой степени 2 (коники) эта прямая I — поляра точки относительно коники.
Джулио Карло де Тоски ди Фаньяно (1682—1766)
В 1695 г. Иоганн Бернулли поставил задачу о нахождении кривых, сумма или разность дуг которых равна дуге окружности или отрезку прямой. Этой задачей заинтересовался любитель математики граф Фаньяно. Он исследовал дуги эллипсов, гипербол и лемнискат и открыл формулы сложения этих дуг (1716); это были первые теоремы сложения эллиптических интегралов. Фаньяно нашёл алгебраический способ деления на п частей квадранта лемнискаты Бернулли для п — 2- 2т, п = 3-2тип = 5- 2т, где т — натуральное число. В память об этих открытиях на надгробии Фаньяно изображена лемниската.
Фаньяно известен также своими исследованиями геометрии треугольника. Он доказал, что если X — центр масс треугольника ABC,
то ХА2 + ХВ2 + ХС2 = | (ДВ2 + ВС2+ СА2).
В 1750 г. Фаньяно собрал свои работы и издал их в двухтомной книге «Математические произведения» (Produzioni matematiche). Эйлера в 1751 г. попросили написать рецензию на эту книгу. Эйлер заинтересовался результатами Фаньяно о сложении эллиптических интегралов и разработал общую теорию таких интегралов.
Джордж Беркли (1685—1753)
В 1734 г. Беркли выпустил памфлет «Аналитик» (The Analyst: а Discourse addressed to an Infidel Mathematician) с остроумной и во многом справедливой критикой принципов анализа; он подверг критике как подход Ньютона, так и подход Лейбница. Метод анализа он считал несогласным с логикой: его можно рассматривать только как некую догадку, но не как метод научного доказательства. Невозможно понять, что такое приращение текущих величин


Глава 6. XVIII век
11
в самом начале их зарождения или исчезновения: «Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками (ghosts) исчезнувших величин?» (цит. по: Дж. Беркли. Сочинения. М.: Мысль, 1978. С. 426). Невозможно представить себе мгновенную скорость, т. е. скорость в данное мгновение и в данной точке. В предложенном Ньютоном выводе флюксии степенной функции хп Беркли усматривал нарушение логики: сначала составляется отношение приращения функции (х + о)п — хп к приращению аргумента о, а затем принимается, что приращение исчезает. Но если при выводе предложения принималось некое допущение, а в конце это допущение отвергается или заменяется противоположным, то в^ё рассуждение теряет силу. И как вообще можно говорить об отношении между вещами, не имеющими величины?
Правильность результатов, получаемых с помощью анализа, Беркли объясняет наличием в аналитических рассуждениях двух противоположных и взаимно уничтожающихся ошибок. Такое же мнение высказал Лагранж в 1761 г.
Критику Беркли приходилось учитывать, и многие пытались применить в анализе строгие методы древнегреческих математиков.
Брук Тейлор (1685-1731)
Основное сочинение Тейлора — «Прямой и обратный метод приращений» (Methodus Incrementorum Directa et Inversa, 1715). В нём получена общая теорема о разложении функции в степенной ряд (ряд Тейлора). За три года до этого Тейлор сообщал её в письме Джону Мэчину. Специальный вид своего ряда, ошибочно называемый рядом Маклорена, Тейлор тоже привёл, но не дал ему никакого применения.
Тейлор исходит из интерполяционной формулы Ньютона, выведенной для конечного приращения h = пАх:
f(-1 I М fr-Л I h(h-Ax) A2f(a)
f(a + h)-f(a)-h-Kr + —T^ д^2“ + -
h(h - Дх)№ - 2Дx)...(h - (п - 1)Дх) Anf(a) •"+ 1 • 2 •• п Ахл ’
где
Д/(а) = /(а + Ах) - /(а),
А 2/(а) = A(A(f(a))=f(a + 2Ax) — 2 f(a + Ax) + f(a)


12
Глава 6. XVIII век
и т. д. Тейлор делает предельный переход Ах —► 0 и, не заботясь о том, что число членов разложения неограниченно возрастает, делает вывод, что для любой функции /(х) имеет место разложение
,п ч , h2d2f(a) ,
/(а -Ь /1) - /(а) + h—fa~ + 2\~^Г~ + •••
Книга Тейлора привлекла внимание к дальнейшей разработке теории конечных разностей. В этой же книге получены правило дифференцирования обратной функции и формула замены переменных, введено интегрирование по частям, на языке механики и геометрии получено дифференциальное уравнение малых колебаний струны. Тейлор нашёл решение уравнения малых колебаний струны и получил выражение основной частоты колебаний струны через натяжение и линейную плотность. Тейлор ввёл также понятие особого решения дифференциального уравнения. Так он назвал решение, которое не получается подстановкой некоторого значения константы в выражение для общего решения дифференциального уравнения. Особое решение — это огибающая семейства общих решений.
В том же 1715 г. издана книга Тейлора «Линейная перспектива» (Linear Perspective), в которой разработаны основные принципы перспективы.
Николай Бернулли (1687—1759)
Николай Бернулли — племянник Якоба и Иоганна Бернулли. Переписываясь с Лейбницем в 1712—1716 г., он показал, что последовательность (1 + х)п расходится при х > 0.
В письме 1743 г. к Эйлеру Николай Бернулли пишет, что с рядами нельзя обращаться как с многочленами бесконечной степени; в частности, нельзя рассматривать суммы корней этих «многочленов», как делал Эйлер. Он также обращал внимание, что для вычислений нельзя использовать расходящиеся ряды. Эйлер же настаивал, что расходящийся ряд имеет определённое значение, соответствующее значению того алгебраического выражения, из которого этот ряд получен. (Эйлер здесь подразумевал степенные ряды.) Эйлер утверждал, что такое определение суммы расходящегося ряда ещё ни разу не привело его к противоречию. Николай Бернулли на это возражал, что двум разным выражениям может соответствовать один и тот же ряд, поэтому сумма ряда может быть не единственной. Но это не убедило Эйлера, поскольку Бернулли не привёл кон¬


Глава 6. XVIII век
13
кретного примера. Такой пример был найден лишь 40 лет спустя после этого спора. Пусть п > т. Тогда при х = 1 степенной ряд
1 + ... +Х 1 X Л т I п n+rn I 2т ■
X+х+... +хп-1 = TTF = 1 ~ *т + *п ~ Хп+т+х2т +...
превращается в1-1-Ы — 1 + 1 — 1 +...
Николай Бернулли изучал ортогональные траектории и построил ортогональные траектории к некоторым семействам кривых. В 1721 г. он обнаружил равенство смешанных частных производных второго порядка. Внёс существенный вклад в изучение уравнения Риккати.
Христиан Гольдбах (1690—1764)
В письме к Эйлеру (1742) Гольдбах высказал следующую до сих пор не доказанную гипотезу: любое чётное натуральное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел (гипотеза Гольдбаха). Гольдбах высказал также гипотезу, что любое нечётное натуральное число, начиная с 7, является суммой трёх простых чисел. Эта гипотеза слабее, поскольку любое нечётное натуральное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы числа 3 и чётного числа, которое не меньше 4. Слабая гипотеза Гольдбаха доказана в 2013 г. Харальдом Гельфготтом.
В1752 г. также в письме к Эйлеру Гольдбах предположил, что любое нечётное натуральное число можно представить в виде 2п2 + р, где р — простое число. В том же году Эйлер проверил эту гипотезу вплоть до 1000, а в следующем—до 2500. Но в 1856 г. эта гипотеза была опровергнута: числа 5777 и 5993 нельзя представить в таком виде.
Джеймс Стирлинг (1692—1770)
В 1717 г. при содействии Ньютона Стирлинг опубликовал книгу «Ньютоновы кривые третьей степени» (Lineae tertii ordinis Newto- nianae), в которой он не только снабдил доказательствами теоремы Ньютона, но и внёс существенные дополнения общего характера. Стирлинг нашёл, что число коэффициентов уравнения кривой степени п (рассматриваемых с точностью до пропорциональности)
равно |(п2 + 3п), а затем указал, что это число равно числу точек, определяющих кривую степени п. Стирлинг определил возможное


14
Глава 6. XVIII век
число бесконечных ветвей кривых чётной и нечётной степени, а также асимптот. К 72 видам кубических кривых, найденных Ньютоном, он добавил 4 новых.
В 1719 г., также при содействии Ньютона, опубликовал статью «Ньютонов метод разностей» (Methodus differentialis Newtoniana illustrata). В ней он применил интерполяционный метод Ньютона к улучшению сходимости некоторых рядов. С высокой точностью
00 1
произвёл суммирование ряда ]>] —, но не заметил, что полученный
п=1 П П2 п
им результат соответствует Дал вывод одной из интерполяционных формул Ньютона, которую Ньютон привёл без доказательства.
В 1730 г. опубликовал «Метод разностей, или трактат о суммировании и интерполяции» (Methodus differentialis, sive Tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum), где предложил ряд (расходящийся) для п!, но не указал закон образования его коэффициентов. Из этого ряда легко выводится формула Стирлинга, впервые полученная Муавром (у самого Стирлинга этой формулы нет). Стирлинг, занимаясь интерполяцией ряда для м!, вычисляет
10 десятичных знаков числа (§) !•
В комбинаторике известны числа Стирлинга первого и второго рода. Числа Стирлинга зависят от двух параметров — п и fc. Число первого рода — это количество перестановок множества из п элементов, имеющих к циклов. Число второго рода — количество неупорядоченных разбиений множества из п элементов на к непустых подмножеств. Эти числа возникли у Стирлинга при работе с рядом для факториала.
Пьер Луи де Мопертюи (1698—1759)
В1729 г. Мопертюи опубликовал статью об особых точках алгебраических кривых.
В 1736—1737 г. он возглавлял экспедицию в Лапландию, целью которой было выяснить, каким эллипсоидом вращения является Земля: вытянутым или сплющенным. Ньютон считал, что сплющенным, а последователи Декарта —что вытянутым. Экспедиция подтвердила мнение Ньютона.
В 1746 г. Мопертюи стал первым президентом Берлинской академии. В этом же году он сформулировал и высказал принцип наименьшего действия, опубликовав его в 1750 г. Он надеялся, что этот принцип может объединить все законы природы.


Глава 6. XVIII век
15
Колин Маклорен (1698—1746)
Маклорен в книге «Органическая геометрия, или Общее описание кривых линий» (Geometria organica, sive Descriptio linearum curvarum universalis, 1720), которую он написал в 19 лет, доказал, что наибольшее число двойных точек кривой степени п равно
(п — 1)(п — 2)
2
Он также ввёл величину, которую назвал deficiency (позднее она стала называться родом кривой): наибольшее число двойных точек, (п — 1)(п — 2)
т. е. ^j минус настоящее число двойных точек. Когда эта
разность равна нулю, кривую называют уникурсальной. В той же книге сказано, что кривая степени п и кривая степени т пересекаются не более чем в тп точках. Современный вид этому утверждению придал Эйлер, включивший в рассмотрение мнимые и бесконечно удалённые точки. Это утверждение в 1748 г. пытались доказать Эйлер и Крамер, но без особого успеха. В 1764 г. доказательство получил Безу, но только для случая простых (некратных) точек пересечения. Полное доказательство, включающее и кратные пересечения, получил в 1873 г. Жорж Альфан (1844—1889).
Маклорен встретился со следующим затруднением. С одной стороны, |п(п + 3) точек определяют кривую степени п, поэтому естественно ожидать, что две разные кривые степени п не могут иметь
^п(гг + 3) общих точек. С другой стороны, две кривые степени тг пересекаются в п2 точках, т. е. общие тг2 точек могут принадлежать разным кривым степени п. Но п2 > |п(п + 3) при п > 3, а при п = 3 оба эти числа совпадают.
«Трактат о флюксиях» (Treatise on Fluxions, 1742) был отчасти ответом на критику Беркли. Маклорен предложил в нём строгое обоснование метода флюксий с помощью классического метода исчерпывания, не используя бесконечно малых. В этой книге Маклорен предложил также новый вывод ряда Тейлора: подразумевая возможность почленного дифференцирования ряда, он применил метод неопределённых коэффициентов. Маклорен при этом отметил, что это только новый вывод, а сама теорема уже доказана Тейлором (почти 30 лет назад). Ещё до Маклорена эту же теорему опубликовал Стирлинг: в 1717 г. для многочленов, а в 1730 г. для общих функций. Маклорен с помощью своего ряда получил уже известные в то время разложения для ах, sin ~ и cos


16
Глава 6. XVIII век
В этой же книге Маклорен привёл новое доказательство формулы для суммирования рядов, уже ранее доказанной Эйлером и получившей название ряд Эйлера—Маклорена. Кроме того, в этой книге содержится интегральный признак сходимости рядов.
Уже после смерти Маклорена в качестве приложения к его «Трактату об алгебре» (Treatise on Algebra, 1748) был издан его труд об общих свойствах геометрических кривых. Там он доказал следующую теорему, ставшую ему известной (без доказательства) из посмертного наследия Коутса. Пусть прямая, вращающаяся вокруг точки Р, пересекает кривую степени тг в точках Аъ..., Ап. Тогда точка М, для которой
РМ = РА1+'"^Р\9 перемещается по прямой. Для коники эта прямая — поляра точки Р. Если точка Р выбрана в качестве начала координат на вращающейся прямой, то координата точки М — это среднее гармоническое координат точек Аъ..., Ап. Маклорен доказал также, что если вершины четырёхугольника и две точки пересечения его противоположных сторон движутся по кубической кривой, то касательные, проведённые через две противоположные вершины, пересекаются в точке, лежащей на кривой. Кроме того, если п-угольник движется так, что каждая из его сторон проходит через некоторую фиксированную точку, а все вершины, кроме одной, движутся по кривым, степени которых равны тъ ...,тп_ъ то свободная вершина движется по кривой степени 2т1т2...тп_1, а если все фиксированные точки лежат на одной прямой, то степень кривой уменьшается до т^.-.тпп-г.
Даниил Бернулли (1700—1782)
Даниил Бернулли — сын Иоганна Бернулли. С1725 г. по 1733 г. работал в Санкт-Петербурге. В это время он ввёл определение частоты осцилляций системы и показал, что движение струны раскладывается в композицию бесконечного числа гармонических колебаний. В отношении математики эти годы были наиболее продуктивными, потому что в Базеле, куда Бернулли вернулся, он сначала преподавал ботанику, потом психологию и лишь с 1750 г. он смог преподавать физику.
В 1729 г. в письме к Гольдбаху Даниил Бернулли ввёл число е как предел lim f 1 + .Он получил его как значение х, при кото-
п—* оо V П J
ром достигает максимума функция х1^х. В том же письме приведено


Глава 6. XVIII век
17
представление числа е в виде ряда:
,.1.1.1, е ТТ 2Т 3Т
В 1738 г. Бернулли опубликовал трактат «Гидродинамика», где вывел уравнение Бернулли, выражающее зависимость между давлением и скоростью идеальной жидкости на данной глубине. Дифференциальных уравнений в этой книге ещё нет (их позднее получил Эйлер).
В 1747—48 годах Бернулли представил решение уравнения колебаний струны в виде тригонометрического ряда.
С 1738 г. по 1778 г. Бернулли опубликовал 7 мемуаров, содержащих решения важных проблем теории вероятностей и статистики. Впервые в теории вероятностей применил дифференциальное уравнение. Опубликовал первую таблицу нормального распределения.
В 1755 г. Бернулли предложил решение уравнения струны в виде тригонометрического ряда. Он утверждал, что любая плоская кривая может быть выражена тригонометрическим рядом, с чем не согласились ни Даламбер, ни Эйлер.
Томас Байес (1701-1761)
В посмертно изданной статье Байеса (An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances, 1764) содержатся идеи, которые впоследствии привели к понятиям априорной и апостериорной вероятности. В этой статье Байес изучает следующий воображаемый опыт. Точка падает на квадрат ABCD со стороной, равной 1 (рис. 6.2). Опыт производится п раз, из них р раз точка падает правее случайной прямой so и q раз левее (положение точки о на отрезке АВ равновероятно). Предполагается, что вероятность падения точки в любую точку квадрата одна и та же. Тогда вероятность того,
С 5 D
с Ъ
ВО а
Рис. 6.2


18
Глава 6. XVIII век
что точка о лежит на отрезке Ьс (О < с < Ъ < 1), равна
ъ
JV(1 -x)qdx
f хр (1 -x)qdx
Сейчас формулой Байеса обычно называют дискретный вариант этой формулы:
£ P(B\Aj)P(Aj)
j = 1
Такой формулы у Байеса нет. Но у него есть формула
Р(В)=Р(А)Р(В|А).
Габриэль Крамер (1704—1752)
Крамер первым разработал общий алгоритм решения систем линейных уравнений. Он изложил свой метод в мемуаре «Об ис- чезании неизвестных величин» (De Tevanouissement des grandeurs inconnues) и в 1744 г. представил его в Парижскую академию наук. Этот мемуар не был опубликован.
Затем Крамер подробно описал свой метод в книге «Введение в анализ алгебраических кривых» (Introduction a l’analyse des lignes courbes algebriques), изданной в Женеве в 1750 г. Крамер замеча-
п2 4- Зп „
ет, что кривая степени п определяется —~— параметрами. Поэто-
п2 + 3п
му через —^— данных точек можно провести кривую степени п. При тг = 2 получаем, что конику можно провести через 5 данных точек. Для нахождения коэффициентов уравнения коники, проходящей через 5 данных точек, получаем 5 линейных уравнений для 5 неизвестных. В приложении к книге приведено правило Крамера решения этой системы уравнений. В приложении приводится также доказательство (с помощью исключения неизвестных) того, что две кривые степени тип пересекаются не более чем в тп точках.
При изучении особых точек Крамер использует параллелограмм Ньютона. Так же как и Маклорен, Крамер обратил внимание на парадокс, связанный с числом точек пересечения двух кривых и числом точек, определяющих кривую (см. с. 15). Этот парадокс часто называют парадоксом Крамера.


Глава 6. XVIII век
19
В письме к Джованни Кастильону (1708—1791) Крамер поставил задачу: вписать треугольник в данную окружность так, чтобы его стороны проходили через три данные точки Сзадача Крамера—Ка- стилъона). Кастильон решил эту задачу через 25 лет после смерти Крамера. У этой задачи есть обобщения, связанные с многоугольниками, вписанными в конику.
Винченцо Риккати (1707—1775)
Сын Джакопо Риккати. Между 1757 и 1767 годами опубликовал несколько работ, в которых исследовал гиперболические функции и применил их для решения кубического уравнения. Нашёл формулы сложения для гиперболических функций, их производные и их связь с экспонентой.
Леонард Эйлер (1707—1783)
Биография
Эйлер родился в Швейцарии, недалеко от Базеля. В 1720 г. он начал обучение в университете в Базеле. Эйлер изучал книги по математике, следуя советам Иоганна Бернулли, который по субботам в домашней обстановке пояснял ему трудные места. В 1725 г. старшие сыновья Иоганна Бернулли, Николай (1695—1726) и Даниил, получили приглашение в только что основанную Санкт-Петербургскую академию наук. В 1727 г. Эйлер переехал в Петербург, получив приглашение по рекомендации братьев Бернулли. В 1733 г. Даниил Бернулли вернулся на родину, и Эйлер занял его место на кафедре математики, вскоре ему поручили также руководство отделом географии. Эйлер сразу же начал учить русский язык, в отличие от большинства его коллег по академии.
В 1736 г. опубликовано двухтомное сочинение Эйлера «Механика» (Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita). Основой для развития механики Эйлер считал систематическое применение дифференциального и интегрального исчисления. Его предшественники (в том числе и Ньютон) использовали подход на основе синтетической геометрии. Во втором томе Эйлер решает ряд задач из дифференциальной геометрии, относящихся к поверхностям и геодезическим. Спустя почти 30 лет, в 1765 г., опубликована вторая книга Эйлера по механике, «Теория движения твёрдых тел» (Theoria motus corporum solidorum...). В ней Эйлер выводит уравнения движения твёрдого тела и рассматривает один случай, когда решение


20
Глава 6. XVIII век
этих уравнений можно выразить в эллиптических интегралах; ещё два случая интегрируемости нашли Лагранж (1788) и Софья Ковалевская (1888). Большой труд Эйлера посвящён кораблестроению. В первом томе Эйлер исследует общую теорию равновесия и устойчивости плавающих тел. Во втором томе общая теория применяется к частному случаю — к кораблям. Эйлер изобрёл лопастное колесо и гребной винт, которые в то время воспринимались чисто теоретически, потому что не было необходимых для их использования двигателей. Эйлер вывел основные уравнения гидростатики и гидродинамики. Он написал несколько трактатов по теории музыки.
В1738 г. Эйлер ослеп на правый глаз (из-за инфекционной болезни; рассказ Фусса о том, что Эйлер заболел из-за перенапряжения, неправдоподобен).
После смерти Анны Иоанновны, недолгого царствования младенца Ивана IV и дворцового переворота, приведшего к власти Елизавету Петровну, для иностранцев в России ситуация была неблагоприятная. В 1741 г. по приглашению прусского короля Фридриха Великого Эйлер переехал в Берлин, где оставался до 1766 г., но и в это время он посылал сотни своих работ в Санкт-Петербургскую академию. Среди причин переезда Эйлер указывал также на страх перед частыми в Санкт-Петербурге пожарами (Эйлер жил в деревянном доме). Этот страх был обоснованным. В 1771 г., после возвращения в Россию, во время страшного пожара, уничтожившего более 500 домов, слепой Эйлер едва не погиб; его спас из горящего дома, рискуя собственной жизнью, ремесленник из Базеля.
Президентом Берлинской академии наук с 1746 г. был Мопертюи. В Берлине Эйлер разработал основы вариационного исчисления (уравнения Эйлера—Лагранжа). В 1748 г. опубликовано двухтомное «Введение в анализ бесконечных» (Introductio in analysin infinitorum). В 1757 г. в письме Гольдбаху Эйлер рассказывает о задаче, связанной с шахматами: «Найти обход конём всех клеток шаматной доски (по одному разу), начинающийся в любой заданной клетке». Для её решения Эйлер строит замкнутый обход, заканчивающийся там же, где начинается. В оптике Эйлер предложил идею исправления хроматической аберрации в телескопах рефракторного типа посредством использования линз из стекла и воды (имеющих разное преломление); эта идея была реализована посредством использования линз из стекла двух разных видов.
В 1766 г. по просьбе Екатерины II он вернулся в Петербург, хотя и опасался, что суровый климат повредит его зрению (в Берлине у него на левом глазу появилась катаракта). И действительно, в


Глава 6. XVIII век
21
1771 г. он полностью ослеп в результате осложения после операции катаракты. По-видимому, одной из существенных причин отъезда из Берлина послужило то, что прусский король так и не назначил его президентом академии, хотя его научные заслуги были гораздо выше, чем у Мопертюи, в 1752 г. попросившего об отставке, потому что его престиж упал в ходе диспута о принципе наименьшего действия (отставку он получил в 1759 г.). Но король обожал французов (место Эйлера в академии после его отъезда занял Лагранж1) и не хотел, чтобы президентом академии стал швейцарец. Эйлер с 1753 г. исполнял обязанности президента академии. В 1763 г. по приглашению короля приехал Даламбер, которого король очень хотел сделать президентом академии. Даламбер же надеялся убедить короля отдать это место Эйлеру. С королём-франкофилом у Эйлера были непростые отношения. Эйлер долго не мог получить обещанное королём возмещение расходов по переезду из Петербурга в Берлин; король запретил офицеру своей армии жениться на дочери Эйлера; на просьбу назначить 29-летнего сына Эйлера профессором король ответил, что тот слишком молод, и назначил на это место 18-летнего сына Кастильона. (Сын Эйлера Иоганн Альбрехт был талантливым математиком, он получил 8 международных академических премий — всего в полтора раза меньше своего отца.) Но отъезд Эйлера для короля был весьма нежелателен. Он с презрением относился к простым и прямым манерам Эйлера, но не мог не ценить заслуг Эйлера в поднятии уровня Берлинской академии. На неоднократные письма Эйлера с просьбами разрешить ему уехать в Петербург король ответил только, чтобы он перестал ему их писать. И даже согласившись в конце концов на отъезд Эйлера, он мелочно запретил отъезд одного из его сыновей как военнообязанного.
В 1768—1769 г. выходит двухтомная «Универсальная арифметика» в русском переводе, а в 1770 г. публикуется оригинальная немецкая версия.
В 1769—1771 г. выходит «Диоптрика» (Dioptricae) в трёх томах, в основном написанная ещё в Берлине. Эта книга надолго стала основным учебником по геометрической оптике. Эйлер излагает оптику посредством дифференциального и интегрального исчисления.
Последние 17 лет своей жизни Эйлер интенсивно работал слепым; в этом ему помогала феноменальная память, позволявшая
1«Место одноглазого геодезиста занял геодезист с двумя глазами» —так шутил прусский король.


22
Глава 6. XVIII век
проделывать в уме сложные вычисления. За это время он написал более 400 статей.
Работы Эйлера по физике столь же многочисленны и фундаментальны, как и работы по математике. Написанные им учебники использовались в течение столетий. Помимо учебников Эйлер ежегодно издавал 800 страниц оригинальных исследовательских статей.
В начале сентября 1783 г. Эйлер занимался математическим обоснованием полёта братьев Монгольфье на воздушном шаре, совершённого в июне того года. 7 сентября, обсудив расчёт орбиты планеты Уран, открытой двумя годами ранее, Эйлер, как сказал Кондорсе, «перестал вычислять и жить» в возрасте 76 лет.
От большинства знаменитых математиков того времени Эйлер отличался тем, что никогда не ввязывался в споры, связанные с приоритетом.
Помимо необычайной памяти Эйлер отличался и редкостной способностью сосредотачиваться: «Ребёнок на коленях, кошка на спине —так писал он свои бессмертные произведения» (цит. по: Фрейман Л. С. Творцы высшей математики. М.: Наука, 1968. С. 182).
Анализ
По написанным Эйлером учебникам анализа учились несколько поколений математиков. Значительная часть изложенных в них результатов принадлежала самому Эйлеру. Сначала в 1748 г. было издано «Введение в анализ бесконечных» (в двух томах), затем «Дифференциальное исчисление» (Institutiones calculi differentialis, 1755) и наконец «Интегральное исчисление» (Institutionum calculi integra- lis, 1768—1770) в трёх томах. Эти книги содержат огромное количество сложнейших примеров различных преобразований функций, рядов, интегралов, дифференциальных уравнений; Эйлер виртуозно обращался с такими преобразованиями. Эйлер выделил понятие аналитической функции как функции, представимой рядом, но не выделил понятие непрерывной функции: он ошибочно полагал, что разрывные функции —это те, которые нельзя представить одним аналитическим выражением. Но у Эйлера иногда уже встречается представление о функции как просто некотором соответствии.
В 1729 г., обобщая полученное в 1722 г. Гольдбахом выражение для Эйлер пришёл к интегралу J(— lnx)ndx = Г(п + 1). Этот
интеграл (гамма-функция]) равен п\ при натуральном п. Эйлер ввёл


Глава 6. XVIII век
23
1
также бета-функцию В(р + l,q + 1) = J хр(1 — xq) dx и доказал со-
о
-ч Г(р)Г(д) я „
отношения B(p,q) = и Г(п)Г(1 - тг) = sin(n7r). В той же
статье 1729 г. Эйлер обратился к вопросу о дифференциалах дробного порядка, которым занимался в своё время Лейбниц. Исходя
dnzm ml _ из формулы = (т - п) {*т п> веРн°й для натуральных пит,
dnzm Г(т + 1)
Эйлер положил по определению — flm-li + i)%Ш ® г* он получил другое интегральное представление гамма-функции:
00
Г(п) = J е~ххп_1йх. о
В 1734 г. Эйлер доказал, что результат дифференцирования по нескольким переменным не зависит от порядка дифференцирования. (Этот факт обнаружил Николай Бернулли в 1721 г.)
В том же году Эйлер рассмотрел ряд для синуса как многочлен бесконечной степени и записал выражение сумм степеней корней этого «многочлена» через коэффициенты, применив те же самые формулы, что и для обычных многочленов. В результате он по-
00 2 00 (—1)” лучил (правильные) формулы для сумм £ Е го„ , т>з>
00 I 00 (-1)" П=0 П==0
S гоТп4, 2 ТГТГп5> ••• Это доказательство вызвало справед-
П=0 ^ + ' п=0
ливые возражения Даниила и Николая Бернулли. В той же статье Эйлер получил бесконечное произведение для sinx, рассматривая синус как многочлен и раскладывая этот многочлен на линейные множители, соответствующие его корням:
sinss = zn(l-jrf^).
В 1732 г. Эйлер привёл следующую формулу суммирования рядов (в том числе и расходящихся). Пусть X — общий член ряда, S — сумма первых х членов. Тогда
с-Гуи X 1 dX 1 d3X 1 d5X
Ь J Л ах + 2 + 12 dx 720 dx3 30240 dx5
В частности, для гармонического ряда X = поэтому


24
Глава 6. XVIII век
где у — константа (постоянная Эйлера), которую можно определить следующим образом:
эта постоянная затем неоднократно встречалась в его исследованиях. Положив х = 10, Эйлер вычислил 16 десятичных знаков этой постоянной. В 1736 г. Эйлер сообщил эту формулу суммирования Стирлингу. Тот ответил, что его формула для суммы логарифмов является частным случаем этой формулы и что эта формула есть в уже печатающейся книге Маклорена. Книга Маклорена «Трактат о флюксиях» была опубликована в 1742 г.; в ней содержался новый вывод этой формулы, получившей название ряд Эйлера—Маклорена. Общее выражение для коэффициентов этого ряда Эйлер получил не сразу. Он привёл его в книге «Дифференциальное исчисление» (1755), несколько глав которой посвящено этому ряду; коэффициенты выражаются через числа Бернулли. В этой книге Эйлер применяет ряд Эйлера—Маклорена, чтобы вычислить ещё одним способом
сумму ряда .
Ряд Эйлера—Маклорена, вообще говоря, расходится, но он может давать очень хорошие приближения, если ограничиться частичными суммами с подходящим числом членов. Этот ряд возникает следующим способом. Пусть надо вычислить сумму S(n) =/(0) + + /(1) + ... + /(п). Ясно, что /(п) = S(n) — S(n — 1). Воспользуемся разложением в ряд:
Введя оператор D = это выражение можно записать в следующем виде:
S(x- 1)
т. е.
d
т. е. (1 — е D)S = f, откуда S = (1 — е D) lf. Но
Поэтому, интерпретируя D 1f как J /(х) dx, получаем:
X . 00 п
S(x) = //(Odt+i/W + ^^/^W.


Глава 6. XVIII век 25
Это нужно понимать следующим образом:
n 1 00 D
S(n)-S(r)=J №dt+ i[/(n) - /(г)] + 2 ^и^Чп) -/^-«(г)].
г к—2
Полагая г = 0, получаем формулу Эйлера—Маклорена:
п п Л 00 в
i—О о к=2
OO-i 2
^ 1 7Г
В1735 г. Эйлер вычислил сумму ряда 2., £2 — ~Z"> которую до него
fc=i К
пытались вычислить многие математики. Его доказательство основано на равенстве
00 2
Эйлер также вычислил суммы ][] т- для п = 4, 6, 8, 10 и 12. В1739 г.
к=1
о° 2
он получил общую формулу J] 7^7 — Стг2п, гДе С — рациональное
fc=i Л
число, выражающееся через числа Бернулли.
В 1736 г. в книге «Механика» Эйлер высказал и применил теоре-
д f
му о дифференцировании однородной функции /: = nf, где
п — степень функции.
В 1737 г. Эйлер доказал, что числа е и е2 иррациональны. В том
00 1
же году он установил тождество для дзета-функции £(n) = тх-
1 fc=1 С(п) = П(1-^г) 5 где произведение берётся по всем простым р.
Для ряда ]>] - Эйлер получил асимптотическое равенство ^
** 1п^ 5] ^ и Тем самым доказал, что этот ряд расходится. В 1749 г.
Эйлер обнаружил следующее функциональное уравнение для дзета- функции:
С(1 - п) = 21-nrc“ncos^r(n)£(n).
Доказательство Эйлера было неполным. Полное доказательство получил Риман в 1859 г., не зная об открытии Эйлера.


26 Глава 6. XVIII век
Между 1743 и 1746 годами Эйлер разработал представление о логарифме в комплексной области как о бесконечнозначной функции (в современных обозначениях эта функция имеет вид
z —> In \z\ + i(arg(z) + 2nri),
где n —любое целое число).
В 1744 г. в письме к Гольдбаху Эйлер привёл первое разложение функции в тригонометрический ряд:
п х . , sin 2л: , sin3x .
2^ ~ 2 = Sm х 2 3
В1751 г. Эйлера попросили написать рецензию на книгу Фаньяно «Математические произведения». Он заинтересовался результатами Фаньяно о сложении эллиптических интегралов и разработал общую теорию таких интегралов. Эллиптический интеграл —это интеграл вида J К(х, у/Р{х)) dx, где R — рациональная функция, а Р — многочлен степени 3 или 4 без кратных корней. Общую теорему сложения эллиптических интегралов Эйлер получил в 1768 г. Для
U dz
эллиптического интеграла а (и) = Г . . . ...: - теорема сложе-
0 V 1 + т%2 + п%Л
ния, доказанная Эйлером, выглядит так. Пусть а(ш) = а(и) + a(v), т. е. интеграл от 0 до w равен сумме интеграла от 0 до и и интеграла от 0 до и. Тогда w следующим образом выражается через и и и:
и\! 1 + ти2 + пи4 + vy/l + ти2 + пи4
w~ ^ п. •
1 — nuzvz
При п = 0ит = -1 мы получаем формулу sin(u + v) = sin и cos v +
, . f dz
+ sm V COS и, ПОСКОЛЬКУ = arCSin U.
о y/l-z2
Числа Эйлера E2k — это коэффициенты разложения
Л 00 р „2 к
cosz ^ (2/с)! '
Эйлер исследовал это разложение в книге «Дифференциальное исчисление» (1755). Он установил связь этих чисел с вычисленными
им суммами 1 - —^ ^ ^ - ...
В 1775 г. Эйлер ввёл дзета-функцию от двух переменных:
?($1,52)=
п1>п2> 0 1 2


Глава 6. XVIII век
27
Sj,s2 € Z, sx > 2, s2 S? 1. Он доказал для неё несколько тождеств, в частности, С (2,1) = С(3). g2 _
Эйлер получил разложения в непрерывные дроби чисел е и
(первое из них было получено ещё Коутсом).
Эйлер ввёл обозначение е для числа е сначала в 1731 г. в письме к Гольдбаху, затем в книге «Механика» (1736) и в других книгах.
Дифференциальные уравнения
В первой своей работе по дифференциальным уравнениям «Новый метод сведения бесчисленных дифференциальных уравнений второго порядка к дифференциальным уравнениям первого порядка» (Nova methodus innumerabiles aequationes differentiales secundi gradus reducendi ad aequationes differentiales primi gradus, 1728) Эйлер обобщил понятие однородности. В этой работе он применил замену с помощью показательной функции.
Особенно много результатов по интегрированию дифференциальных уравнений Эйлер получил с помощью метода интегрирующего множителя, который он разрабатывал с начала 1730-х годов.
В мемуаре «Об интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков» (De integratione aequationum differentialium altio- rum graduum, 1743) Эйлер изложил приём решения линейного однородного уравнения любого порядка п с постоянными коэффициентами
dy dny
Ay + Bte + -+Nd^ = 0-
Положив у = ерх, Эйлер пришёл к характеристическому уравнению
А + Bp + Ср2 + Dp3 + ... + Npn = 0.
Если все корни характеристического уравнения некратные, то общее решение исходного уравнения является линейной комбинацией функций вида ePlX,...,ePnX, где ръ ...,рп — корни характеристического уравнения. В мемуаре «Дальнейшее развитие метода интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков» (Methodus aequationes differentiales altiorum graduum integrandi ulte- rius promota, 1753) Эйлер изложил способ решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, основанный на применении интегрирующего множителя. Но уже ранее (1750) Даламбер опубликовал другой метод, основанный на сведении неоднородного уравнения к системе линейных уравнений первого порядка.


28
Глава 6. XVIII век
В 1747 г. Эйлер перенёс свой метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на системы уравнений.
В 1752 г. Эйлер вывел уравнения движения твёрдого тела с неподвижной точкой (точкой опоры). В матричном виде эти уравнения можно записать так: L — Ico + со х Iсо, где L — скорость изменения момента вращения, I — тензор инерции, со — вектор угловой скорости. Тензор инерции симметричен и положительно определён, поэтому его можно привести к диагональному виду, и это упрощает запись уравнений. Но Эйлер ещё не владел этой техникой, и он записывает уравнения в общем виде, не занимаясь их упрощением. Эйлер получил решение уравнений инерционного (т. е. без силы тяжести) движения твёрдого тела в случае, когда центр тяжести тела совпадает с точкой опоры (случай Эйлера интегрируемости уравнений движения твёрдого тела).
В1755 г. Эйлер описал закон движения жидкости (как несжимаемой, так и сжимаемой) с помощью системы уравнений с частными производными. Эйлер не учитывал вязкость; соответствующее исправление внесли Навье и Стокс 70 лет спустя.
В трёхтомной книге «Интегральное исчисление» Эйлер изложил много разных методов интегрирования отдельных классов нелинейных дифференциальных уравнений. В то время интегральное исчисление включало не только вычисление интегралов, но и решение (интегрирование) дифференциальных уравнений. Основная часть этой книги посвящена именно дифференциальным уравнениям.
В первом томе (1768) Эйлер занимается интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений, прежде всего разделением переменных (т. е. приведением уравнения к виду f(x)dx = = giy)dy).
Во втором томе (1769) Эйлер рассмотрел, в частности, гипергео- метрическое дифференциальное уравнение
d2y dy
х(1 - х) + [с — (а + b + 1)х] — aby = 0
и получил его решение в виде гипергеометрического ряда
_ а • Ъ g(g + 1 )b(b + 1) 2 , fl(a + l)(a + 2)b(b + 1 )(b + 2) 3 y“li"l-cXi" 1 • 2 • c(c + 1) + 1 • 2 • 3 • c(c + l)(c + 2) * +•••
Эйлер также получил некоторые соотношения для гипергеометри- ческой фунции, задаваемой гипергеометрическим рядом.
В третьем томе (1770) содержится первый систематический обзор теории дифференциальных уравнений в частных производных.


Глава 6. XVIII век
29
В 1766 г. Эйлер предложил новый метод решения уравнения коле-
- д2У о д2У „
бании струны —2 = а ^2 • Сделав замену и = х +at, v = х — at, он
д2у
получил уравнение = 0. Для сведения нелинейных уравнений первого порядка к линейным Эйлер использовал преобразование
d(z-px-qy) = -xdp-ydq (р = ff, <? = f0>
получившее название преобразование Лежандра, хотя Лежандр рассматривал его позже Эйлера. Эйлер решает уравнение
(х + ^)2э^ + т(х + ^Ш + 1^)+П2: = 0’
получившее впоследствии название уравнение Эйлера—Пуассона.
В работах, изданных посмертно, Эйлер применил непрерывные дроби к решению уравнения Риккати.
Вариационное исчисление
Эйлер разработал общий метод решения вариационных задач в 1726—1744 годах. В 1726 г. он поставил задачу о брахистохроне в сопротивляющейся среде. В 1728 г. Эйлер вывел дифференциальное уравнение геодезической линии на поверхности. В статье «Общее решение изопериметрической проблемы, поставленной в самом широком смысле» (Problematis isoperimetrici in latissimo sensu accepti solutio generalis, 1732) впервые появляется общая постановка вариационной задачи.
В1744 г. Эйлер в отдельном издании собрал почти все свои исследования о вариационном исчислении. Эйлер свёл решение задачи об экстремуме интеграла J Z(x,y,y')dx к решению дифференциального уравнения Zy — = 0 (уравнение Эйлера—Лагранжа).
До Эйлера уже было рассмотрено несколько частных задач, но именно Эйлер разработал общую теорию вариационного исчисления.
Пытаясь упростить решение вариационных задач, Эйлер искал метод, который позволил бы непосредственно применить к ним аппарат дифференциального исчисления. При этом он пришёл к необходимости доказать соотношение f'y dy' + у' dfy = 0. Лагранж доказал это соотношение, применив интегрирование по частям, и написал об этом Эйлеру в 1755 г. В письмах Лагранжа Эйлер нашёл то, что уже давно искал. Эйлер сразу же подготовил две работы, но не спешил их публиковать, чтобы не лишить заслуг 20-летнего Лагранжа.


30
Глава 6. XVIII век
Комплексные числа
В XVIII в. правила обращения с отрицательными и особенно с комплексными числами ещё не были полностью выяснены, возможность использования отрицательных чисел оспаривали многие математики. Даже Эйлер делал ошибки при обращении с комплексными числами. Например, в книге «Алгебра» он писал, что произведение двух мнимых чисел может быть положительным, например, V—Ta/—4 = д/4 = 2; затем он, правда, добавил, что у/4 = ±2.
Изучая логарифмы комплексных чисел, Эйлер не сразу понял, что в комплексной области логарифм — многозначная функция. Но постепенно он построил теорию логарифмов в комплексной области.
В письме к Николаю Бернулли в 1742 г. Эйлер впервые высказал общее утверждение, что любой многочлен с действительными коэффициентами раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами, т. е. корни такого многочлена имеют вид а + bi, где а и Ъ — действительные числа.
В 1714 г. Коутс опубликовал теорему, которая в современных обозначениях формулируется так: iip = ln(cos ip -I- i simp). Много лет спустя это соотношение переоткрыл Эйлер (знаменитая формула Эйлера). В письме Иоганну Бернулли в 1740 г. Эйлер сообщал, что функции 2cosx и е1Х + е~1Х — решения одного и того же дифференциального уравнения, поэтому они должны совпадать. В 1743 г. Эйлер опубликовал это наблюдение вместе с аналогичным выражением для синуса.
В 1776 г. Эйлер разработал метод вычисления определённых интегралов с помощью комплексной переменной.
В 1777 г. Эйлер вывел так называемые условия (соотношения) Коши—Римана, но их уже ранее (в 1752 г.) открыл Даламбер.
Теория чисел
Долгое время теоремы из теории чисел, сформулированные Ферма, оставались без доказательств и без приложений. Лишь Эйлеру удалось доказать многие из этих теорем, что пробудило интерес других математиков к теории чисел.
Интерес Эйлера к теории чисел во многом связан с Гольдбахом, который в то время тоже работал в России, но не в Петербурге, а в Москве. Именно в письме к Эйлеру (1742) Гольдбах высказал свою знаменитую гипотезу о том, что любое натуральное число п ^ 6 можно представить в виде суммы трёх простых чисел (проблема


Глава 6. XVIII век
31
Гольдбаха, вместе с гипотезой Римана она составляет 8-ю проблему Гильберта). В 1729 г. Гольдбах в письме спрашивает Эйлера, что он думает по поводу утверждения Ферма о том, что все числа вида 22" + 1 являются простыми. Эйлер отвечает, что сомневается в этом (в 1732 г. он доказал, что число 22,3 +1 делится на 641). Ещё через полгода Эйлер пишет, что на него произвело большое впечатление утверждение Ферма о том, что любое натуральное число является суммой четырёх квадратов (а также трёх треугольных чисел, пяти пятиугольных и т.д.). После этого интерес Эйлера к различным задачам из теории чисел уже не пропадал. Эйлер доказал утверждение Ферма, что любое простое число вида 4п 4-1 представляется в виде суммы двух квадратов, причём единственным образом.
В 1736 г. Эйлер получил доказательство малой теоремы Ферма: если число р простое и а не делится на р, то ар_1 — 1 делится на р. Эйлер применяет метод математической индукции: он доказывает, что если аР — а делится на р, то (а 4-1 )р - (а 4-1) делится на р; это следует из того, что если число р простое, то биномиальные коэффициенты Ср делятся на р при 0 < к < р. В 1758 г. Эйлер обобщил малую теорему Ферма, введя так называемую функцию Эйлера ip (п) (количество чисел, взаимно простых спи меньших п); он доказал, что если числа а и п взаимно простые, то а^(п) - 1 делится на п.
В 1737 г. Эйлер написал статью о непрерывных дробях, в которой указал на связь периодических неперерывных дробей с квадратными уравнениями и квадратичными иррациональностями. Например, если
1
х = а + —,
Ъ 4- ■
Ь + ...
1 ъ , L , ъ2 п .
то х — а = поэтому х = а — В той же статье
Эйлер получил непрерывную дробь для числа е:
е — 1 I
2 1 1 + :
6+-
10 +
14+-
18+...
Эйлер активно применял математический анализ (особенно бесконечные ряды) для решения задач теории чисел. В 1737 г. он полу-


32
Глава 6. XVIII век
чил знаменитое тождество
лежащее в основе всей аналитической теории чисел.
Исходя из замечания Ферма, Эйлер воссоздал метод бесконечного спуска и доказал Великую теорему Ферма сначала для п = 4 (1738), а затем и для п = 3 (1755). Случай п — 3 потребовал новых идей, Эйлеру пришлось изучить арифметику чисел вида а + Ъ\П^3, где а и Ъ — целые числа.
В 1744 г. Эйлер дал первую, ещё не полную, формулировку квадратичного закона взаимности. Полную формулировку он привёл в 1772 г. Доказать квадратичный закон взаимности Эйлер не смог. Первым доказательство получил Гаусс в 1796 г.
В 1747 г. в письме Гольдбаху Эйлер сообщил, что нашёл доказательство того, что любое простое число вида 4п 4-1 является суммой двух квадратов целых чисел. В 1749 г. Эйлер представил это доказательство Берлинской академии.
В 1747 г. Эйлер доказал рекуррентную формулу для суммы делителей числа л, сначала по индукции, а затем методами математического анализа.
В первом томе «Введения в анализ бесконечных» (1748) целая глава отведена непрерывным дробям. Там, в частности, показано, что любая периодическая непрерывная дробь (с числителями, равными 1) есть корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Двадцать лет спустя Лагранж доказал, что верно и обратное: любая квадратичная иррациональность выражается непрерывной дробью такого вида. В этой же книге Эйлер продолжил исследование с помощью бесконечных произведений представлений натуральных чисел в виде суммы слагаемых и доказал, что количество разбиений числа к на различные слагаемые равно количеству разбиений числа к на нечётные слагаемые.
В1751 г. (опубликовано в 1754 г.) Эйлер доказал, что любое положительное рациональное число является суммой квадратов четырёх рациональных чисел. Он хотел доказать это для целых чисел, а не для рациональных, но не смог. Доказательство для целых чисел получил Лагранж в 1770 г., а в 1773 г. Эйлер существенно упростил это доказательство.
В 1752 г. Эйлер доказал, что многочлен Р(х) с целыми коэффициентами не может при всех целых х принимать простые значения.


Глава 6. XVIII век
33
При этом он указал многочлен х2 — х + 41, принимающий простые значения при х — 1,2,3,..., 40.
В статье 1765 г. Эйлер назвал уравнение у2 = ах2 + 1 уравнением Пелля. Сам Джон Пелль (1611—1685) ничего не публиковал об этом уравнении, но оно исследуется в книге швейцарского математика Иоганна Рана (1622—1676). Пелль обучал его математике и принимал участие в написании книги. По-видимому, Эйлеру была известна степень участия Пелля в исследовании этого уравнения. Эйлер дал решение уравнения Пелля с помощью цепных дробей. Он также рассмотрел общее неопределённое уравнение второй степени и свёл его к уравнению у2 = ах2 + Ъ.
В1773 г. Эйлер определил понятие первообразного корня (независимо от Ламберта, сделавшего это в 1769 г.). Эйлер ввёл этот термин и дал первое доказательство существования первообразного корня для любого простого числа (в доказательстве были пробелы). Первообразный корень по модулю р — это число а, степени которого дают все возможные ненулевые остатки при делении на р.
Геометрия
В 1728 г. Иоганн Бернулли поставил перед Эйлером задачу об уравнении геодезической и в следующем году получил от Эйлера письмо с дифференциальным уравнением геодезической. В ответном письме Бернулли привёл найденное им уравнение, по форме отличное от уравнения Эйлера. Однако Бернулли подготовил и опубликовал изложение своего метода лишь в 1742 г. Эйлер первым опубликовал в 1732 г. дифференциальное уравнение геодезической линии на поверхности. Он разработал вариационное исчисление, но его методам недоставало общности. Общие методы разработал Лагранж (1762).
В 1736 г. Эйлер решил задачу о семи кёнигсбергских мостах. В этой задаче требуется выяснить, можно ли пройти по всем семи мостам (рис. 6.3), проходя по каждому мосту только один раз. Эйлер пишет, что эта задача относится к тому, что Лейбниц называл geometriam situs (или analysis situs) — геометрия положения, т. е. область геометрии, изучающая только взаимное расположение и не использующая расстояния и вычисления с расстояниями. Эйлер рассмотрел также более общую задачу, когда река разделяется на несколько русл и мосты расположены произвольным образом. Задачу о кёнигсбергских мостах Эйлер решал следующим образом. Помимо мостов он рассмотрел области А, В, С и D (рис. 6.3; по-


34
Глава 6. XVIII век
Рис. 6.3
пасть из одной области в другую можно только по мосту). Обход можно записать в виде последовательности, в которой чередуются области и мосты. В обходе, при котором каждый мост проходится ровно один раз, область, в которую ведёт к мостов, где к — нечётное число, должна встречаться (к + 1) /2 раз (если число к чётное, то область должна встречаться к/2 раз, но в задаче о кёнигсбергских мостах есть области только с 3 и 5 мостами). В область А ведёт 5 мостов, а в области В, С и D — по 3 моста, поэтому область А должна встретиться 3 раза, а области В, С и D — по 2 раза. Всего области встречаются 9 раз, поэтому между ними 8 мостов. Получено противоречие, потому что мостов у нас 7. Эйлер показал, что если областей с нечётным числом мостов не больше двух, то требуемый обход возможен, а если больше двух, то невозможен.
В 1744 г. в книге, посвящённой вариационному исчислению, в качестве первого примера минимальной поверхности привёл катеноид (поверхность, полученная при вращении цепной линии).
В первом томе «Введения в анализ» (1748) Эйлер впервые внёс полную ясность в вопрос о знаках тригонометрических функций любого аргумента (до него ошибки с этими знаками в учебниках были очень частыми). Во втором томе он разработал аналитическую геометрию конических сечений. В этой книге Эйлер вывел также формулу для радиуса кривизны кривой (формула для радиуса кривизны в полярных координатах содержалась ещё в учебнике Лопиталя). Эйлер изучает аффинные преобразования, которые ввёл Клеро. Он записывает формулы ортогонального преобразования одной прямоугольной системы координат в другую; в этих формулах появляются так называемые углы Эйлера. Эти углы играют важную


Глава 6. XVIII век
35
роль в книге Эйлера «Теория движения твёрдых тел» (1765) при описании вращательного движения.
Во втором томе «Введения в анализ» Эйлер нашёл следующее условие того, что алгебраическая кривая имеет п осей симметрии.
Пусть z = у/х2 + у2 и cos 5 = Рассмотрим, например, случай п = 5.
Легко проверить, что
х5 - 10х3у2 + 5ху4 COS 55= р .
Z
Чтобы алгебраическая кривая имела 5 осей симметрии, она должна задаваться уравнением /(х,у) = 0, где / рационально выражается через х2 + у2 и х5 - 10х3у2 + 5лу4.
Приложение «О поверхностях» во «Введении в анализ» было первым систематическим изложением аналитической геометрии в пространстве. Эйлер исследовал квадратичные поверхности. При этом он открыл гиперболический параболоид.
В 1750 г. Эйлер в письме Гольдбаху сообщил теорему о том, что сумма числа вершин V выпуклого многогранника и числа его граней F превышает на 2 число рёбер Е: V + F = Е + 2; опубликована эта теорема в 1758 г. В формулировке и доказательстве этой теоремы у Эйлера были существенные пробелы. Он не описывает чётко, к какому классу объектов применима эта теорема, а говорит просто о телах, ограниченных плоскими гранями. Понятия выпуклого многогранника в то время ещё не было. Доказательство Эйлер проводит по индукции, удаляя на каждом шаге одну вершину. Но если действовать так, то для некоторых многогранников могут возникнуть ситуации, когда ход рассуждений Эйлера нарушается. При этом, однако, можно доказать, что всегда можно выбрать вершину, для которой рассуждения Эйлера применимы, но этих дополнительных рассуждений у Эйлера нет. Первое строгое доказательство теоремы Эйлера получил Лежандр в 1794 г.; он спроецировал многогранник на сферу и воспользовался формулой площади сферического многоугольника.
Около 1620 г. очень близкие к теореме Эйлера утверждения обнаружил Декарт. (Они остались в неопубликованных записках, с которыми познакомился Лейбниц, а затем были утеряны.) Декарт знал: 1) выражение 2к(У — 2) для суммы всех плоских углов многогранника; 2) соотношение между числом плоских углов Р, вершин и граней многогранника: Р = 2F + 2V — 4. Как из 1, так и из 2 теорема Эйлера легко выводится (но сам Декарт этого не сделал). Если просуммировать углы всех граней многогранника, то для суммы плоских


36
Глава 6. XVIII век
углов многогранника получаем выражение 2п(Е — F). Приравнивая 2тг(Е — F) и 2n(V — 2), получаем теорему Эйлера. А для того, чтобы получить теорему Эйлера из равенства Р = 2F -I- 2V — 4, достаточно заметить, что Р = 2Е.
Эйлер нашёл формулы, выражающие объём тетраэдра через его рёбра или через три ребра с общей вершиной и углы между ними.
В 1750 г. Эйлер доказал следующее тождество для четырёхугольника ABCD:
АВ2 + ВС2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4 PQ2,
где P и Q — середины диагоналей.
В 1755 г. Эйлер при исследовании движения жидкости применил те же конформные отображения, что и Даламбер. В 1769 г. он показал, что семейства кривых, пересекающихся под прямым углом, можно получить как линии уровня вещественной и мнимой части комплексной аналитической функции. Далее Эйлер показал, что дробно-линейные преобразования переводят окружности и прямые в окружности и прямые. Конформные отображения Эйлер применил и в картографии.
В работе о кривизне поверхностей (1760, опубликована в 1767) Эйлер изучил кривизны сечений, проходящих через нормаль к поверхности. Он доказал, что сечения с наибольшим и наименьшим радиусами кривизны взаимно препендикулярны. Эйлер получил следующее выражение для радиуса г кривизны произвольного сечения через наибольший радиус сечения /, наименьший радиус сечения g и угол <р между плоскостью произвольного сечения и плоскостью наибольшего сечения:
г= ш
f + g~ (J-g)cos2tp’
В 1813 г. Дюпен преобразовал эту формулу к более удобному виду:
11 9 1.9
- = у COS ф + - Sin (/?.
В1765 г. Эйлер доказал аналитически, что ортоцентр, центр масс и центр описанной окружности треугольника лежат на одной прямой (прямая Эйлера).
В 1770 г. (опубликовано в 1772 г.) он ввёл и изучил понятие развёртывающейся поверхности, т. е. поверхности, которую можно наложить на плоскость без складок и разрывов.
В 1775 г. (опубликовано в 1782 г.) он ввёл соприкасающийся репер пространственной кривой и доказал первую из формул Френе.


Глава 6. XVIII век
37
В 1776 г. им было доказано, что любое движение сферы с неподвижным центром (сохраняющее ориентацию) является вращением вокруг оси.
В работе, представленной Петербургской академии наук в 1777 г., но опубликованной лишь в 1795 г., Эйлер нашёл эллипс наименьшей площади, содержащий вершины данного треугольника, и вычислил его площадь. Впоследствии этот эллипс получил название эллипс Штейнера.
Многочлены
В 1732 г. Эйлер показал, что решение уравнений второй, третьей и четвёртой степеней сводится к решению уравнений первой, второй и третьей степеней, которые он назвал aequatio resolvents (разрешающие уравнения), откуда происходит название резольвента. Эйлер получил резольвенту кубического уравнения х3 = ах + Ъ с помощью подстановки х = У~А + Ув, а уравнения четвёртой степени хЛ = ах2 + Ьх + с — с помощью подстановки х = У~А + Ув + Vc. В 1762 г. для уравнений пятой степени Эйлер использовал подстановку
x = w +Afyv +В У'и2 + С yfu3 + D
он считал весьма правдоподобным, что уравнение любой степени можно решить с помощью подстановки аналогичного вида. Впоследствии Абель доказал, что если уравнение пятой степени разрешимо в радикалах, то его корни имеют именно такой вид; подстановка Эйлера играет важную роль в доказательстве Абеля.
Эйлер одновременно с Даламбером предложил правильную формулировку основной теоремы алгебры: «Любой многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных или квадратичных многочленов с действительными коэффициентами». Почти одновременно с Даламбером Эйлер попытался доказать основную теорему алгебры. В отличие от Даламбера, доказательство которого было аналитическим, Эйлер хотел получить почти чисто алгебраическое доказательство (но он пользовался тем, что многочлен нечётной степени имеет корень). В 1746 г. он представил Берлинской академии свои «Теоремы о мнимых корнях уравнений» (Theoremata de radicibus aequationum imaginariis). Впоследствии Гаусс писал об этом доказательстве, что недопустимо предполагать существование каких-то «мнимых величин», отличных от а + Ьл/—1, и при этом производить над этими «тенями теней», о которых мы ровно ничего не знаем, арифметические дей¬


38
Глава 6. XVIII век
ствия по тем же правилам, как с обычными числами. (Другими словами, ошибка Эйлера была в том, что он предполагал, что корни многочлена существуют и с ними можно производить обычные арифметические действия; после этого с помощью арифметических действий он доказывал, что корни имеют вид а 4- Ьд/—Т.)
В 1764 г. Эйлер разработал следующий метод нахождения общего корня двух уравнений, который он изложил на примере многочленов х3 4- рх2 4- qx + г и х2 + Рх + Q. Если эти многочлены имеют общий корень а, то х3 + рх2 4- qx + г = (х — а)(х2 4- ах -1- Ь) и х2 + Рх + Q = (х — а)(х 4- А). Поэтому существуют такие многочлены х 4- А и X2 -f ах + Ь, что
(х3 4- рх2 4- qx 4- r)(x 4- А) = (х2 4- Рх + Q)(x2 4- ах 4- Ь).
Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях даёт систему четырёх линейных уравнений с тремя неизвестными а, Ъ и А. Исключение этих неизвестных даёт многочлен, получивший впоследствии название результант.
Исчисление конечных разностей
Интерес Эйлера к исчислению конечных разностей связан с задачами интерполяции, задачами суммирования функций и теорией рекуррентных последовательностей. Эйлер использовал исчисление конечных разностей при разработке методов приближённого интегрирования дифференциальных уравнений (Эйлер заменяет дифференциальное уравнение разностным) и создании основ вариационного исчисления. Эйлер даже пытался построить само дифференциальное исчисление на основе исчисления конечных разностей.
Первые главы книги «Дифференциальное исчисление» (Instituti- ones calculi differentialis, 1755) целиком посвящены исчислению конечных разностей; одна глава посвящена приложению конечных разностей к суммированию рядов. В этой книге Эйлер впервые дал последовательное изложение основ исчисления конечных разностей.
Комбинаторика. Логика
В1741 г. Эйлер начал заниматься задачей о разбиении натурального числа п на т < тг слагаемых при различных условиях. Этой задаче Эйлер посвятил несколько статей. При этом Эйлер развил метод производящих функций, позволяющий определить комбинаторные функции как коэффициенты разложений производящих функ¬


Глава 6. XVIII век
39
ций в формальные ряды; первым метод производящих функций применил Муавр. Пусть р(п)—число разбиений числа п, т.е. количество способов записать п в виде суммы натуральных чисел без учёта порядка слагаемых. Тогда
„IР (п)хП = (1 -х)(1 -х2)(1 -х3)... •
Аналогично (1 + х)(1 + х2)(1 + х3)... — это производящая функция для числа разбиений на неравные слагаемые.
Очевидное тождество
(l+xXl+^Xl+x3)..^1"*21"*4 —
1-Х 1 —х2 1 —х3 (1 —х)(1 —х3)(1 —X5)...
показывает, что количество разбиений числа п на различные слагаемые равно количеству разбиений числа п на нечётные слагаемые. В это же время Эйлер заметил, но пока не доказал, что
n(l-Xfc) = l-X-X2+X5+X7-X12—х15+х22+х26—х35-х40+х51 + ...,
k=1
Зк2±к
где степени мономов — пятиугольные числа, т. е. числа вида —^— (теорема Эйлера о пятиугольных числах). Эту теорему Эйлер доказал в 1750 г.
Эйлер в письме Гольдбаху (1751) привёл следующую формулу для количества способов разбиения п-угольника на треугольники диагоналями:
2 • 6 • 10 •• (4п — 1)
Fn 2• 3-4-... • (гг — 1) *
Это так называемое (п — 2)-е число Каталана; эти числа названы в честь бельгийского математика Каталана. В письме Эйлер приводит также производящую функцию для последовательности этих чисел.
Эйлер занимался также задачей о числе способов обойти без повторений все клетки шахматной доски (1759).
Во втором томе «Писем к немецкой принцессе о разных физических и философских материях» (1768) Эйлер изложил интерпретацию силлогистики Аристотеля на схемах с кругами (круги Эйлера).
Жорж-Луи Леклерк де Бюффон (1707—1788)
В 1735 г. Бюффон опубликовал отчёт об опыте с бросанием иглы на кафельный пол и подсчётом того, сколько раз игла пересекала


40
Глава 6. XVIII век
края плиток. Он придумал этот опыт с целью доказать преимущество «анализа» над «геометрией» в теории вероятностей. Впоследствии Лаплас заметил, что опыт с бросанием иглы на плоскость, на которой проведены параллельные прямые на одинаковых расстояниях, позволяет экспериментально вычислить число п. Задача о бросании иглы стала исходным пунктом развития геометрической теории вероятностей.
Томас Симпсон (1710—1761)
Метод приближённого вычисления интегралов, известный под названием формула Симпсона, как пишет сам Симпсон, он узнал от Ньютона. Наоборот, метод Ньютона приближённого вычисления корней в его современном виде (хп+1 =хп — f(x^)l f'(xn)) предложен Симпсоном в статье 1740 г.; сам Ньютон в этом методе не использовал дифференциальное исчисление.
Жан Поль де Гюа де Мальв (1713—1785)
В1741 г. де Гюа де Мальв выпустил в Париже книгу «Применения анализа Декарта» (Usages de l’Analyse de Descartes). В ней он высказал и применил идею, что бесконечно удалённые точки и обычные точки равноправны и их можно получать друг из друга проектированием. Де Гюа де Мальв доказал, что если кубическая кривая имеет три точки перегиба, то они лежат на одной прямой. Он приблизился к понятию кривой Гессе, рассматривая «результант», получаемый им для определения точек перегиба, как кривую и находя с её помощью точки перегиба исходной кривой. В этой книге введён термин особая точка.
Декарт сформулировал без доказательства следующее утверждение (правило знаков Декарта): количество положительных (соответственно отрицательных) корней многочлена не превосходит числа перемен (соответственно повторений) знака в последовательности коэффициентов. В 1741 г. де Гюа первым опубликовал доказательство правила знаков Декарта, причём он привёл сразу два доказательства. В первом доказательстве он доказывает, что добавление отрицательного корня многочлена, т. е. умножение многочлена на Ос + р), где р — положительное число, не изменяет числа перемен знака, а число повторений знака увеличивает на 1. Аналогично добавление положительного корня не изменяет числа повторений знака, а число перемен знака увеличивает на 1.


Глава 6. XVIII век
41
Алексис Клод Клеро (1713—1765)
Клеро написал работу о кривых четвёртого порядка в 12 лет. Особенно его интересовали кривые в пространстве (долгое время их называли кривыми двоякой кривизны). В 16 лет он написал о них книгу «Исследования о кривых двоякой кривизны» (Recherches sur les courbes a double courbure). В 18 лет Клеро был избран в Парижскую академию наук.
Книга «Исследования о кривых двоякой кривизны» была опубликована в 1731 г. Она положила начало трём геометрическим дисциплинам: аналитической геометрии в пространстве, дифференциальной геометрии и начертательной геометрии. Клеро свободно и в полном объёме оперирует пространственными координатами. В статье 1731 г. Клеро первым получил уравнение плоскости в трёхмерном пространстве, записанное в координатах x,y,z.
В работе «О кривых, которые получают, пересекая какую-либо кривую поверхность плоскостью, известной по положению» (Sur les courbes que Гоп forme en coupant une surface courbe quelconque, par un plan donne de position, 1731) доказал, что все кубические кривые можно получить центральным проектированием из пяти расходящихся парабол. Эту теорему о проективной классификации кривых третьей степени сформулировал Ньютон, но не доказал её. В этой же работе рассматривается важный класс преобразований плоскости — аффинные преобразования.
В 1733 г. Клеро доказал, что для точек геодезической линии на поверхности вращения произведение радиуса параллели на синус угла геодезической с меридианом постоянно (теорема Клеро).
В 1734 г. изучал дифференциальное уравнение у — ху’ 4- /(уО, получившее название уравнение Клеро. Это уравнение имеет общее решение вида у = сх 4- / (с) и особое решение — огибающую семейства общих решений; особое решение получается, если избавиться от с в системе уравнений у = сх + / (с) и х + /'(с) = 0.
В 1735—1737 годах Клеро был членом лапландской экспедиции Мопертюи, целью которой было изучение формы Земли. Клеро занимался также теоретическим исследованием этой проблемы и посвятил ей книгу «Теория формы Земли, извлечённая из принципов гидростатики» (Theorie de la figure de la Terre, tiree des principes de Phydrostatique, 1743).
В 1739 г. независимо от Эйлера доказал, что результат дифференцирования по нескольким переменным не зависит от порядка дифференцирования.


42
Глава 6. XVIII век
В 1739—1740 г. доказал существование интегрирующего множителя для дифференциального уравнения первого порядка.
В «Началах геометрии» (Elemens de geometrie, 1741) для изложения теории параллельных вместо пятого постулата Евклида принял предположение о существовании прямоугольника. (Из этого предположения и других аксиом Евклида пятый постулат можно вывести.)
В1745 г. начал заниматься задачей трёх тел, в частности, задачей об орбите Луны. При этом он сначала пришёл к выводу, что закон обратных квадратов Ньютона неверен. Расхождение между видимым движением Луны и вычисленным по закону всемирного тяготения было столь значительным, что многие учёные высказывали сомнения в точности этого закона. В ноябре 1747 г. Клеро объявил в Парижской академии, что закон обратных квадратов неверен; Даламбер и Эйлер поддержали это мнение. Но уже весной 1748 г. Клеро понял, что расхождение связано не с самим законом обратных квадратов, а с приближениями, которые делаются при вычислениях. В мае 1749 г. Клеро объявил в академии, что если использовать более точные приближения, то видимое движение согласуется с законом обратных квадратов. Эйлеру не удалось повторить эти вычисления. Свои результаты Клеро изложил в книге «Теория Луны, выведенная из единственного начала притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояний» (Theorie de la Lune, deduite du seul principe de l’attraction reciproquement proportionnelle aux quarres des distances, 1752).
В 1754 г. Клеро получил интегральное представление коэффициентов тригонометрического ряда.
Джованни Франческо де Тоски ди Фаньяно (1715-1797)
Сын Джулио Карло де Тоски ди Фаньяно. В1775 г. он поставил задачу (задача Фаньяно): в данный остроугольный треугольник вписать треугольник минимального периметра. Аналитически доказал, что это будет треугольник с вершинами в основаниях высот (ортотреугольник). Доказал также, что биссектрисы ортотреугольника лежат на высотах исходного треугольника.
Мэтью Стюарт (1717—1785)
В книге «Общие теоремы, полезные для высших областей математики» (Some General Theorems of Considerable Use in the Higher


Глава 6. XVIII век
43
Parts of Mathematics, 1746) содержится так называемая теорема Стюарта: если точка D лежит на стороне ВС треугольника ABC, то
AD2 =AC2j£+AB2^-BD-CD.
Жан Лерон Даламбер (1717—1783)
В 1743 г. вышел «Трактат о динамике» (Traite de Dynamique), в котором Даламбер предложил так называемый принцип Даламбера, позволяющий сводить задач динамики к задачам статики. В этом трактате Даламбер доказал также, что собственное движение пространства, имеющее неподвижную точку, является поворотом вокруг некоторой прямой. В том же трактате Даламбер рассмотрел примеры решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
В1746 г. Даламбер выразил механико-геометрическую формулировку уравнения колебаний струны, предложенную Тейлором, следующим уравнением в частных производных:
d2y(t,x) 2d2y(t,x) at2 ~а эх2 ‘
Так впервые было получено одномерное волновое уравнение (уравнение Даламбера). Даламбер дал решение этого уравнения в виде у (t, х) = / (at + х) + g(at - х).
По поводу решения этого уравнения между Даламбером, Эйлером и Даниилом Бернулли завязался спор. Бернулли представил общее решение волнового уравнения в виде тригонометрического ряда. Даламбер полагал, что при решении дифференциальных уравнений можно допускать только функции, разлагающиеся в ряд Тейлора, а Эйлер полагал, что дифференциальное и интегральное исчисление можно применять к совершенно произвольным функциям. Кроме того, Эйлер разложил в тригонометрические ряды некоторые рациональные функции. Разгорелся спор по поводу того, любую ли нечётную периодическую функцию можно представить тригонометрическим рядом, состоящим из синусов. Бернулли утверждал, что можно, а Эйлер и Даламбер в это не верили.
Даламбер одновременно с Эйлером предложил правильную формулировку основной теоремы алгебры: «Любой многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных или квадратичных многочленов с действительными коэффициентами». В 1746 г. Даламбер предложил первое доказатель¬


44
Глава 6. XVIII век
ство этой теоремы, но его рассуждения в нескольких местах не были строгими. Например, он без обоснования пользовался тем, что алгебраическая функция раскладывается в сходящийся ряд.
Даламбер в 1747 г. показал, что алгебраические операции с комплексными числами не дают ничего нового — получаются комплексные числа, а не какие-то другие числа. Он рассмотрел также выражение (a + bi)h+gl.
В 1750 г. Даламбер первым опубликовал метод решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Это метод основан на сведении неоднородного уравнения к системе линейных уравнений первого порядка. Позднее Даламбер указал, что сумма общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения с теми же коэффициентами является общим решением неоднородного уравнения.
В1752 г. Даламбер исследовал движение тела в однородной невесомой идеальной жидкости. В связи с этим у него возникла следующая задача: найти функции р(х,у) и q(x,y), для которых dq = = М dx + N dy и dp = N dx — М dy. Из этих уравнений следует, что
др _ dq др _ dq
дх ~~ ду’ ду ~~ дх'
Эти уравнения теперь называют уравнениями Коши—Римана. Да¬
ламбер показал, что р и q — вещественная и мнимая часть комплексной функции. Таким образом, он фактически получил так называемые условия Коши—Римана аналитичности функции комплексного переменного. Даламбер показал, что аналитическая функция комплексного переменного задаёт конформное отображение, т. е. отображение, сохраняющее углы между кривыми.
Даламбер предложил основать анализ на понятиях предела и производной. В 1754 г. он написал статью о пределах для «Энциклопедии» Дидро. В этой статье дано более чёткое, чем предыдущие, основание теории пределов, и производная функции определена как предел отношений. Размышления о пределах привели его к признаку сходимости рядов, который теперь называют признаком Даламбера.
В 1754 г. Даламбер получил интегральное представление первых двух коэффициентов тригонометрического ряда; в том же году Клеро получил такое представление для всех коэффициентов.
Печально знаменита ошибка Даламбера в статье «Орёл и решка» в 4-м томе «Энциклопедии» (1754). По его мнению, вероятность


Глава 6. XVIII век
45
выпадения орла два раза подряд при двух бросках монеты равна -
(а не ^). Даламбер считал, что если при первом броске выпала решка, то второй бросок делать незачем. А ещё возможны броски орёл- орёл и орёл-решка, поэтому всех возможных случаев три, а не четыре.
Джон Ланден (1719—1790)
В 1775 г. Ланден получил соотношение между дугой гиперболы, дугой эллипса и дугой окружности. Для этого он применил преобразование (преобразование Ландена), переводящее друг в друга эллиптические интегралы первого рода с различными параметрами (модулями). Это же преобразование позднее независимо от Ландена обнаружил Гаусс. В формулировке Гаусса это преобразование мож-
п/2
но записать следующим образом: интеграл J . ,
о у a2 cos у + Ъ2 sin не изменится, если заменить а на среднее арифметическое чисел
а и Ь, а Ъ — на их среднее геометрическое, т. е. положить аг =
и Ьг = Vab.
Жан Этьен Монтюкла (1725—1799)
Монтюкла известен своими фундаментальными исследованиями по истории математики. Первая его работа, опубликованная в 1754 г., посвящена истории квадратуры круга. В 1758 г. он опубликовал «Историю математики» (Histoire des mathematiques) в двух томах. Первый том охватывает период с древности до 1600 г., а второй посвящён XVII в. Второе издание «Истории математики» вышло в 1799—1802 годах. Монтюкла готовил к публикации третий и четвёртый тома, посвящённые XVIII в. (третий — чистой математике, оптике и механике, а четвёртый — астрономии, математической географии и навигации), но не успел их завершить. После смерти Монтюкла их подготовил к публикации Лаланд.
Иоганн Ламберт (1728—1777)
В 1758 г. Ламберт исследовал периодические десятичные дроби: доказал периодичность разложения несократимой дроби, знаменатель которой содержит простые делители, отличные от 2 и 5, а также рациональность любой периодической дроби. Затем, применяя


46
Глава 6. XVIII век
малую теорему Ферма, доказал несколько теорем о числе цифр периода.
В1759 г. Ламберт издал книгу о центральной проекции (Die freye Perspective...). Второе издание (1774) дополнено разделом о геометрических построениях с помощью одной линейки и построениях с помощью линейки и неподвижного круга.
В 1766 г. Ламберт доказал иррациональность чисел п и е (иррациональность числа е уже была доказана Эйлером в 1737 г., но иррациональность числа п Ламберт доказал первым). Доказанное им утверждение более общее: числа ех и tgx иррациональны при
рациональных х (так как tg — = 1, то число ^ должно быть иррациональным). Доказательство основано на разложении и tgx в
цепную дробь. Ламберт высказал предположение, что я и е транс- цендентны.
Книгу «Теория параллельных прямых» (Die Theorie der Parallel- linien) Ламберт написал в 1766 г., но опубликована она была лишь посмертно в 1786 г., потому что автор не был вполне удовлетворён ей. В этой книге Ламберт был очень близок к построению геометрии Лобачевского. Ламберт исходил из четырёхугольника с тремя прямыми углами и рассматривал для четвёртого угла три гипотезы: 1) угол прямой; 2) угол тупой; 3) угол острый. По поводу гипотезы тупого угла он, как и Саккери, показал, что её можно привести к противоречию. При этом он, по-видимому, первый заметил, что гипотеза тупого угла (если исключить и аксиому Евклида о том, что прямую можно неограниченно продолжать) справедлива на сфере, когда в качестве прямых берутся большие окружности (т. е. сечения сферы плоскостями, проходящими через её центр).
Ламберт не нашёл противоречия в гипотезе острого угла, но остался убеждён в невозможности геометрии, в которой она выполняется. Это не помешало ему обнаружить, что во втором и третьем случае площадь треугольника пропорциональна избытку или соответственно недостатку суммы его углов по сравнению с двумя прямыми углами. Он даже доказал, что при обоих предположениях площадь многоугольника пропорциональна аналогичным образом определяемому угловому дефекту (Саккери сделал это только для треугольника).
Понимая, что вторая гипотеза имеет место на сфере, Ламберт даже высказал предположение, что третья гипотеза может иметь место на мнимой сфере (сфере мнимого радиуса), поскольку при R = ic выражение для площади сферического треугольника


Глава 6. XVIII век
47
R2((a + /3 + у) — тг) переходит в выражение для площади треугольника, когда имеет место третья гипотеза:
(ci)2(a + /3 + у - п) = с2(тг - (а + /3 + г)).
Ламберт заметил, что в третьем случае должна существовать абсолютная единица длины. Для этого он взял четырёхугольник ABGD с прямыми углами А, В и D и равными сторонами АВ и AD (рис. 6.4). Длине этих сторон можно сопоставить угол G. Абсолютная единица длины получится, если положить, например, ZG = 80°. Некоторое время Ламберт полагал, что абсолютная единица длины логически абсурдна, но потом решил, что это не так.
G
Рис. 6.4.
В 1769 г. Ламберт сформулировал теорему о существовании первообразного корня. Эту теорему доказал Эйлер в 1773 г.
В 1770 г. Ламберт обобщил методы решения треугольников на четырёхугольники.
Гипотеза Ламберта о том, что предположение об остром угле приводит к теоремам, которые будут иметь место для фигур на сфере мнимого радиуса, побудила его написать в 1786 г. статью о тригонометрических функциях мнимых углов. Так Ламберт другим путём пришёл к гиперболическим функциям, которые незадолго до этого были уже исследованы Винченцо Риккати.
Этьен Безу (1730—1783)
Основные исследования Безу связаны с исключением неизвестных из систем уравнений. В четырёхтомном «Курсе математики для гардемаринов» (Cours de mathematiques, a l’usage des gardes du pavilion et de la marine, 1764—69) он предложил следующий метод


48
Глава 6. XVIII век
исключения х из уравнений /Ос) = а0хп 4- агхп 1 4- ... 4 ап = 0 и g(x) = Ь0хп + b^-1 4-... -f bn = 0. Рассмотрим разности
b0fM-a0g(x),
(Ъ0х 4- Ьх)/(дс) - (а0х 4- a^gCx),
(Ь0х2 4- Ъгх 4- Ь2)/(х) - (а0х2 4- ajjc 4- a2)g(x)
и т. д. Каждая из этих разностей является многочленом степени не выше п — 1. Приравнивая эти разности нулю, получаем систему линейных уравнений для 1,х,х2, ...,xn_1.
Эйлер надеялся, что с помощью предложенных им резольвент можно решить уравнение пятой степени. Но в 1762 г., продолжая исследования Эйлера, Безу выяснил, что резольвента уравнения степени п имеет степень 2 • 3 •... • (п — 1). Это не позволяло надеяться решить с помощью резольвенты уравнение степени п ^ 5.
В 1764 г. Безу доказал так называемую теорему Безу: степень уравнения, полученного при исключении неизвестных из нескольких уравнений, равна произведению степеней этих уравнений. В частности, две кривые, степени которых равны пит, пересекаются в тп точках (включая бесконечно удалённые точки). Печатно первым это утверждение высказал Маклорен (1720), но без учёта бесконечно удалённых точек, т. е. он утверждал, что число точек пересечения не превосходит тп. Это утверждение содержится и в рукописи Ньютона, относящейся к 1667 г., но Ньютон никогда его не публиковал. Эйлер ввёл в формулировку бесконечно удалённые и мнимые точки. Он и Крамер независимо доказали, что две кривые степени тип пересекаются не более чем в тп точках, но утверждение для нескольких уравений впервые доказал именно Безу. Разработанные ранее методы решения систем нескольких уравнений основывались на последовательном решении пар уравнений. Это и усложняло вычисления, и давало разные результаты в зависимости от последовательности (к искомому решению добавлялись разные множители). Безу разработал способ, позволяющий получать решение сразу, но и при этом способе при исключении неизвестных полученное уравнение может отличаться от искомого некоторым дополнительным множителем.
В 1779 г. Безу издал книгу «Общая теория алгебраических уравнений» (Theorie generale des equations algebriques), в которой собрал несколько своих статей, посвящённых решению систем алгебраических уравнений. В этой книге доказана теорема Безу для полных уравнений, т. е. для уравнений, в которых присутствуют моно¬


Глава 6. XVIII век
49
мы всех степеней, не превосходящих степени уравнения. Основная часть книги посвящена исследованию ситуации в случае неполных уравнений, когда отсутствуют некоторые мономы.
Джанфранческо Мальфатти (1731—1807)
В 1802 г. Мальфатти первым решил следующую задачу: вписать в треугольник три круга так, чтобы они попарно касались и каждый из них касался двух сторон треугольника (рис. 6.5). Решение
Мальфатти было аналитическим; в 1826 г. Штейнер предложил синтетическое решение.
Мальфатти предположил, что эти круги (круги Мальфатти) имеют максимальную площадь среди троек непересекающихся кругов, расположенных внутри треугольника. В 1930 г. выяснилось, что эта гипотеза неверна для некоторых треугольников, а в 1967 г. — что она неверна для всех треугольников.
Александр-Теофиль Вандермонд (1735—1796)
Математикой Вандермонд начал заниматься в 35 лет (до этого он играл на скрипке), причём все его результаты были получены в течение трёх лет.
В 1771 г. Вандермонд рассмотрел определитель порядка 3
1
1
1
«1
«2
«3
4
4
Определитель такого вида порядка тг встречается довольно часто; он получил название определитель Вандермонда, хотя общий случай рассмотрел лишь Коши (1815).
В «Мемуаре об исключении» (Memoire sur l^limination, 1772) Вандермонд разработал основы теории определителей, которые до


50
Глава 6. XVIII век
него использовались только для решения систем линейных уравнений. Он ввёл двойную индексацию элементов определителя (по строкам и по столбцам), сформулировал теорему о перемене знака определителя при перестановке двух строк или столбцов и вывел из неё, что определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
В 1770 г. Вандермонд представил в Парижскую академию наук «Мемуар о решении уравнений» (Memoire sur la resolution des equations), который был опубликован лишь в 1774 г., уже позже «Размышлений об алгебраическом решении уравнений» Лагранжа, в которых та же тема была разработана несколько более подробно. Важным отличием от работы Лагранжа было исследование многочленов деления круга хп — 1. Вандермонд показал, как с помощью резольвент Лагранжа (которые он ввёл независимо от Лагранжа) можно решить в радикалах степени меньше 11 уравнение *-—j = 0, т. е. х10 + х9 + ... + х + 1 = 0. Это был первый нетривиальный случай. Для уравнений меньшей степени можно было воспользоваться подстановкой у = х + х-1; решение уравнения х6 + х5 + ... + х + 1 = 0 (т.е. построение правильного 7-угольника) эта подстановка сводит к решению уравнения третьей степени, а решение уравнения х8 + х7 + ... + х + 1 = 0 (построение правильного 9-угольника) — к решению уравнения четвёртой степени. Но в случае правильного 11-угольника такая подстановка приводит к уравнению степени 5.
Пусть х0,..., хп_г — корни многочлена хп + о^х"-1 + ... + ап, ап — корень степени п из единицы. Резольвентами Лагранжа называют выражения
г (хо, ап)=х0 + апхг +... +
Вандермонд упорядочил корни уравнения х10 + х9 + ...+х + 1 = 0 (они являются корнями степени 11 из единицы) так, чтобы каждый следующий корень был квадратом предыдущего: х0 = аи, хг = а2р х2 = а\19 х3 = a\v х4 = а!* = a\v ..., х9 = a\v и рассмотрел резольвенту Лагранжа, соответствующую такому упорядочению корней:
Кац, а10) = ап + а10а^ + а\0а\х + + а410а5п + ... + а910а6п.
С помощью резольвент г(а11,а10),г(а21,а10), ...,г(а™,а10) Вандермонд выразил аи через радикалы степени меньше 11.
Впоследствии Гаусс получил более глубокие результаты о многочленах деления круга.


Глава 6. XVIII век
51
Эдвард Варинг (1736—1798)
Опубликованная в 1770 г. книга Варинга «Алгебраические размышления» (Meditationes algebraicae) внесла большой вклад в теорию симметрических функций. Варинг выразил явно суммы п-х степеней корней многочлена через его коэффициенты и наоборот (формулы Варинга). Почти полутора веками ранее (1629) Жирар получил такие выражения при тг ^ 4. Кроме того, Варинг получил способ выражения любой рациональной симметрической функции через суммы степеней и через элементарные симметрические функции. Он также использовал симметрические функции для нахождения многочленов, корни которых определённым образом выражаются через корни данного многочлена.
В 1770 г. Варинг высказал утверждение, что любое натуральное число является суммой не более чем 9 кубов, суммой не более чем 19 четвёртых степеней и т.д. (имеется в виду, что для каждого натурального п существует такое наименьшее к = /с(п), что любое натуральное число является суммой п-х степеней в количестве не более к). Доказательство этого утверждения, получившего название проблема Варинга, он не привёл. Эту гипотезу доказал Гильберт в 1909 г.
В 1779 г. Варинг опубликовал интерполяционную формулу. Несколько лет спустя (в 1795 г.) эту же формулу опубликовал Лагранж, и теперь её называют интерполяционной формулой Лагранжа.
Эрланд Самуэль Бринг (1736—1798)
В 1786 г. шведский любитель математики Бринг (профессор истории) показал, что с помощью преобразования Чирнгауза общее уравнение пятой степени можно привести к трёхчленному виду х5 + рх + q = 0, решая при этом только уравнения степени 2 и 3. Непосредственное применение преобразования Чирнгауза в данной ситуации требовало решения уравнения степени 6, но Бринг заметил, что решение этого уравнения сводится к решению уравнений степени 2 и 3.
Сначала открытие Бринга не вызвало интереса, и в 1834 г. его повторил английский математик Джордж Джеррард (1804—1863). Но после того как математики занялись решением уравнений 5-й степени с помощью трансцендентных функций, выяснилось, что уравнение пятой степени в форме Бринга чрезвычайно удобно для этих целей. Именно эту форму использовал Эрмит, в 1858 г. полу¬


52
Глава 6. XVIII век
чивший решение уравнения пятой степени в эллиптических модулярных функциях.
Джузеппе Лодовико Лагранжиа, дед отца которого приехал в Турин из Франции, родился в Турине и жил там до переезда в Берлин в 1766 г., где он сменил Эйлера на посту директора математического класса. В 1772 г. он был избран иностранным членом Парижской академии наук. В 1787 г. Лагранж переехал в Париж. Лагранж с сожалением сказал как-то, что Ньютон — счастливый человек, потому что Вселенная только одна, и Ньютон уже открыл её математические законы.
В 1759 г. Лагранж получил решение линейного неоднородного разностного уравнения
по аналогии с решением дифференциального уравнения. В 1775 г. он исследовал разностное уравнение порядка п (в 1766 г. другим способом это уже сделал Лаплас).
В 1759 г. указал на ошибку Эйлера, который считал, что если
вания локального максимума. В «Теории аналитических функций» (Theorie des fonctions analytiques, 1797) Лагранж показал, что достаточное условие существования локального экстремума такое:
При развитии методов вариационного исчисления Эйлер пришёл к необходимости доказать соотношение &у1 + у' dfy = 0. Лагранж доказал это соотношение, применив интегрирования по частям, и оно послужило исходным пунктом в его исследованиях по вариационному исчислению. Лагранж изложил свой метод в письме к Эйлеру в 1755 г. Первая работа Лагранжа по вариационному исчислению опубликована в 1762 г. Для решения задачи об экстремуме интеграла Лагранж предлагает по аналогии с теорией экстремума в дифференциальном исчислении найти производную рассматриваемого выражения и приравнять её нулю. Важный шаг состоял в том, что он ввёл новый символ 5, чтобы отличать варьирование от дифференцирования. Лагранж более просто вывел уравнение Эйлера и получил его обобщение. До Лагранжа удавалось решать только
Жозеф Луи Лагранж (1736—1813)
Ду + М 00 У = N Ос)


Глава 6. XVIII век
53
задачи с закреплёнными концами, а он получил соотношение для концов кривой, что дало возможность решать задачи с подвижными концами.
В1760 г. (опубликовано в 1762 г.) методом вариационного исчисления получил уравнение в частных производных для минимальных поверхностей.
В серии работ, начиная с 1766 г., Лагранж продолжил исследования Эйлера о решении неопределённых уравнений второй степени. Как и Эйлер, он показал, что решение таких уравнений сводится к решению уравнения х2 — ау2 — Ъ. Лагранж в 1768 г. (опубликовано в 1773 г.) первым доказал (используя непрерывные дроби), что уравнение Ферма—Пелля х2 — ay2 = 1 всегда имеет решение в натуральных числах (здесь а — натуральное число, не являющееся полным квадратом). При исследовании уравнения х2 — ay2 = b он обнаружил, что хотя делитель числа х2 — ау2 не всегда можно записать в таком же виде, его всегда можно записать в виде Ъх2 =Ь 2сху ± dy2, где ±bd — с2 = а2. Гаусс впоследствии назвал выражение ±bd — с2 дискриминантом квадратичной формы Ъх2 ± 2сху ± dy2. Лагранж ввёл понятие эквивалентности квадратичных форм (в частности, число представляется квадратичной формой тогда и только тогда, когда оно представляется эквивалентной ей формой) и доказал, что число классов эквивалентности форм с одним и тем же дискриминантом конечно.
В 1748 г. Эйлер доказал, что любая периодическая непрерывная дробь (с числителями, равными 1) есть корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В 1768 г. Лагранж доказал, что верно и обратное: любая квадратичная иррациональность выражается непрерывной дробью такого вида. В1767 г. Лагранж ввёл в рассмотрение непрерывные дроби со знакопеременными знаменателями.
В 1768 г. Лагранж доказал, что сравнение степени п по модулю простого числа р имеет не более п решений, не сравнимых по модулю р. (При этом он не вводил явным образом понятие сравнения.)
В 1769 г. Лагранж доказал теорему о сложении эллиптических интегралов прямым методом; несколько ранее её доказал Эйлер, но его подход не был прямым и основывался на различных догадках.
В 1770 г. (опубликовано в 1772 г.) Лагранж доказал, что любое натуральное число представляется в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. В 1771 г. первым доказал теорему Вильсона: число п простое тогда и только тогда, когда (п — 1)! + 1 делится на п. Варинг анонсировал эту теорему в 1770 г. как сформулированную его учеником Джоном Вильсоном (1741—1793).


54
Глава 6. XVIII век
В «Размышлениях об алгебраическом решении уравнений» (Reflexions sur la resolution algebrique, 1770) Лагранж проанализировал способы решения кубических уравнений и уравнений четвёртой степени, чтобы понять, как работают эти методы и могут ли они дать ключ к решению уравнений более высокой степени. Лагранж выяснил, что все существовавшие методы решения уравнений в радикалах сводятся к нахождению рациональных функций корней хъ ...,хП9 которые принимают при всех перестановках корней к < п различных значений. Он показал, что если функция </? (х1?..., хп) при всех перестановках корней принимает ровно к значений, то она удовлетворяет уравнению степени к, коэффициенты которого являются симметрическими функциями от корней исходного многочлена, а потому рационально выражаются через его коэффициенты. Например, пусть хъх2их3 — корни многочлена х3+ах2 + Ъх + с = 0. Составим выражение t = хг + ах2 + а2х3, где а3 = 1иа/1, Легко проверить, что при всех перестановках корней функция в = t3 принимает только два значения, поэтому она является корнем квадратного уравнения, коэффициенты которого рационально выражаются через а, Ъ и с. Это даёт решение кубического уравнения. Для уравнения степени п можно составить аналогичное выражение t = Xi + ах2 + ... + anxn, где а — примитивный корень степени п из единицы. Такое выражение получило название резольвента Лагранжа. Исследования Лагранжа показали, что вопрос о решении уравнения в радикалах сводится к изучению группы перестановок корней этого уравнения и её подгрупп. Лагранж показал, что количество различных значений, которые функция от п переменных принимает при перестановках этих переменных, является делителем числа гг!; на языке групп перестановок эту теорему формулируют так: порядок подгруппы перестановок корней является делителем порядка группы перестановок (теорема Лагранжа).
В 1772 г. Лагранж обобщил ряд Тейлора на функции многих переменных.
В 1773 г. Лагранж получил решение уравнений движения твёрдого тела, подверженного силе тяжести, в случае, когда тело имеет ось вращения и точка опоры лежит на оси вращения. (В уравнениях движения твёрдого тела участвуют только моменты инерции тела, поэтому условие Лагранжа заключается не в том, что тело имеет ось вращения, а лишь в том, что два момента инерции тела равны.)
Работа, написанная в 1773 г., посвящена аналитической геометрии тетраэдра. Лагранж вычисляет длины рёбер, площади граней, высоты и объём тетраэдра, координаты вершин которого заданы.


Глава 6. XVIII век
55
Затем он находит радиус описанной сферы и радиус вписанной сферы. При вычислении площади грани Лагранж воспользовался формулой
(*1 + У\ + Zl)(*2 +У2 + - (*1*2 + У1У2 + ZlZ2)2 =
= (У1*2 “ 21Уг)2 + (zi*2 - *1 zi)2 + (*1/2 - ХгУг)2’
получившей название формула Лагранжа.
С 1772 г. по 1785 г. Лагранж занимался исследованием и нелинейных уравнений первого порядка общего вида f(x,y,z,p,q) = О,
dz dz
где р = —, q = —. В 1774 г. независимо от Лапласа (сделавшего это
в 1773 г.) он решил дифференциальное уравнение в частных производных
р(х, y)g + Q(x,y)g= R(x, у, z).
В 1775 г. Лагранж предложил метод вариации постоянных для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами.
В предисловии к «Аналитической механике» (Mecanique analy- tique, 1788) Лагранж писал, что в его сочинении совершенно отсутствуют какие бы то ни было чертежи, потому что излагаемые им методы требуют только алгебраических операций. Лагранж намеревался сделать механику разделом анализа. Это была первая книга по механике, в которой интенсивно применялось вариационное исчисление.
В 1795 г. в «Элементарных лекциях по математике» (Lesons ё1ё- mentaires sur les mathematiques) опубликовал интерполяционную формулу, которая теперь носит его имя (интерполяционная формула Лагранжа), хотя задолго до этого она уже была опубликована Варингом (1779).
Лагранж пытался построить анализ, не опираясь на понятие предела. В «Теории аналитических функций» он попытался построить анализ на основе разложения функции в ряд Тейлора и алгебраических операций с этим рядом. Для такого подхода он использовал термин алгебраический анализ. Этот термин и сам подход надолго стали весьма популярными. Основной объект книги — аналитические функции; Лагранж называет так функции, задаваемые единым аналитическим выражением посредством переменных, констант, а также алгебраических и трансцендентных операций.
В этой книге Лагранж впервые поставил вопрос об оценке точности приближения функции суммой конечного числа членов ряда


56
Глава 6. XVIII век
Тейлора и вывел формулу Тейлора с остаточным членом:
/(2+х) =/(*) + Xf'(*) + fj/"(z) + • • • + ^т/(п) (*) + о^Т)Т/(п+1) о* •+“)>
где 0 < и < х. Как частный случай, он получил теорему о конечном приращении, которую записал в следующем виде: f(z + х) = /(х) + + xf'(z + и), где 0 ^ и ^ х. Остаточный член Лагранж рассматривал только как средство оценки приближения: он не сомневался в том, что ряд Тейлора функции к ней, как правило, сходится.
В той же книге Лагранж рассмотрел задачу об условном экстремуме, когда аргументы функции связаны какими-либо дополнительными соотношениями, и применил к её решению метод неопределённых множителей (метод множителей Лагранжа).
Лагранж систематически изучил особые решения дифференциальных уравнений и их связь с общими решениями. Он разработал метод нахождения особого решения по общим решениям посредством исключения констант. Если общее решение имеет вид V (х, у, а) = О, то метод Лагранжа состоит в том, чтобы вычислить dy dy
-р, положить т- = 0 и избавиться от а в полученной системе из
dx
двух уравнений. То же самое можно сделать, положив = 0.
Андрей Иванович Лексель (1740—1784)
Андерс Лексель родился в Швеции. В 1768 г. он получил приглашение в Санкт-Петербург, где его стали называть Андреем Ивановичем.
В 1774 г. Лексель обобщил методы решения треугольников на произвольные многоугольники, выведя соотношения между углами и сторонами многоугольников. Эти исследования вскоре продолжил Люилье.
В 1781 г. Лексель доказал, что геометрическим местом вершин сферических треугольников с общим основанием и фиксированной площадью являются дуги двух малых окружностей.
В 1782 г. Лексель доказал аналог теоремы Птолемея для сферического четырёхугольника, вписанного в малую окружность: произведение синусов половин диагоналей равно сумме произведений синусов половин противоположных сторон. Он получил формулы для радиуса вписанной и описанной окружностей сферического треугольника. Он также получил формулу, выражающую площадь вписанного сферического четырёхугольника через его стороны. Эта формула является аналогом формулы Брахмагупты.


Глава 6. XVIII век
57
Лексель произвёл расчёт орбиты небесного тела, обнаруженного в 1781 г. Гершелем, и показал, что это тело — планета, а не комета, как думали сначала. Это была планета Уран. Расчёты Лекееля показали, что на движение Урана что-то оказывает дополнительное влияние, и он решил, что это влияние обусловлено какой-то другой, ещё более удалённой от Солнца планетой.
Каспар Вессель (1745—1818)
Норвежский математик Каспар Вессель первым предложил полное геометрическое истолкование комплексных чисел и основных действий над ними. В 1797 г. он выступил в Датской королевской академии с изложением своих идей, а его статья на эту тему опубликована в 1799 г. Его целью было создание удобного аппарата для решения геодезических задач. Вессель также первым систематически разработал векторное исчисление на плоскости.
Вессель первым определил сложение и умножение векторов, в том числе и в трёхмерном пространстве. Он попытался обобщить комплексные числа так, чтобы аналитически представить векторы в трёхмерном пространстве. Он заметил связь произведения таких векторов с вращениями пространства, но построить обобщение комплексных чисел ему не удалось.
Работа Весселя, написанная по-датски, оставалась почти неизвестной математикам до того, как сто лет спустя, в 1899 г., был опубликован её перевод на французский язык. Более влиятельной оказалась работа Аргана, повторившего в 1806 г. то, что сделал Вессель.
Гаспар Монж (1746—1818)
В 1777 г. Монж независимо от Эйлера ввёл понятие развёртывающейся поверхности и написал работу о таких поверхностях (опубликована в 1785 г.), в которой координаты в трёхмерном пространстве описываются уже вполне по-современному. В этой работе он решил несколько задач, простых, но важных для систематического изложения аналитической геометрии в пространстве. Например, он вывел уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой; при этом уравнение плоскости записывается в современном виде. Кроме того, он нашёл длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой.
Монж является творцом начертательной геометрии. В 1795 г. он прочитал в основанной им Нормальной школе курс лекций об ор¬


58
Глава 6. XVIII век
тогональном проектировании на две плоскости. Стенографическая запись этого курса была опубликована в том же году. В 1799 г. эти лекции были опубликованы в виде книги под названием «Начертательная геометрия» (Geomdtrie descriptive). Монж решил все основные задачи на точки, прямые и плоскости, и даже систематически применил этот метод к пространственным кривым и поверхностям. Цель Монжа — изобразить некоторым способом положение точки в пространстве, а затем таким же способом изобразить прямые и кривые в пространстве. Для этого он рассматривает проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости. Монж разрабатывает также способы нахождения длины отрезка, заданного двумя проекциями. Благодаря лекциям Монжа проекции и геометрические преобразования начали играть важную роль в геометрии.
Разрабатывая способы построения касательных плоскостей, Монж доказал, что пары внешних касательных к трём окружностям (лежащим в одной плоскости) пересекаются в трёх точках, лежащих на одной прямой (теорема Монжа). Для доказательства Монж ввёл шары, экваторами которых служат данные окружности, и провёл плоскость, касающуюся этих шаров внешним образом. Эта плоскость касается трёх конических поверхностей, касающихся пар шаров.
Монж разработал основы геометрической теории уравнений в частных производных. Этой теории посвящены «Мемуар об интегральном исчислении уравнений в частных дифференциалах» (Мё- moire sur le calcul integral des equations aux differences partielles, 1784) и две книги «Приложение анализа к геометрии» (Une application d’analyse a la gёomёtrie, 1795) и «Приложение алгебры к геометрии» (Application de Palgebre a la gёomёtrie, 1805), которые впоследствии вошли в книгу «Приложение анализа к геометрии» (Application d’analyse а la gёomёtrie, 1807). В работах, законченных к 1784 г., Монж выводил дифференциальные уравнения семейств поверхностей, а затем обратными рассуждениями получал интегралы дифференциальных уравнений. В них же Монж разработал метод характеристик и, опираясь на геометрические соображения, показал, что интегрирование уравнений в частных производных первого порядка сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для дифференциального уравнения первого порядка
F(x,y,z,p,q) = 0,
dz dz
где р = —, q = —, полный интеграл (т. е. семейство решений этого уравнения) /(х, у, z, а, /3) = 0 представляет собой двухпараметриче¬


Глава 6. XVIII век
59
ское семейство поверхностей. Например, для уравнения
z2(p2 + q2 +1) = а2, т.е. Z2((g)' + (g)2 +1) = а2,
полный интеграл имеет вид (х — а)2 + (у — /З2) + z2 = а2. Действительно, дифференцируя последнее уравнение по х, находим р — g = = -—-. Аналогично q = -—-. Следовательно, z2(p2 + q2 + 1) = а2.
Z Z
Поверхности, для которых /3 = ip (а), где ip — произвольная функция, Монж назвал огибаемыми. Уравнение огибающей поверхности получается исключением параметра а из системы уравнений
^ £
/О, у, Z, а,<р(а)) = 0, — = 0.
Кривые, по которым пересекаются две бесконечно близкие поверхности семейства, т. е. кривые, вдоль которых огибаемые касаются огибающей, Монж назвал характеристиками. Они лучше всего характеризуют огибающую интегральную поверхность, являясь её образующими. Огибающую семейства характеристик Монж назвал ребром возврата огибающей поверхности. Для нахождения уравнений характеристик Монж получил систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Монж исследовал уравнения поверхностей с различными свойствами радиусов кривизн. В частности, он получил уравнение поверхности, радиусы кривизны которой равны и противоположны по знаку. Он обратил внимание, что это уравнение совпадает с уравнением минимальной поверхности, которое получил ранее Лагранж методом вариационного исчисления. Поэтому поверхность такого вида обладает следующим свойством: если на данной поверхности взять любой контур, то из всех поверхностей, проходящих через этот контур, именно данная поверхность имеет минимальную площадь.
Шарль Тенсо (1748—1822)
Ученик Монжа Тенсо доказал, что углы а, /3, у наклона плоскости к координатным плоскостям связаны соотношением
cos2 а + cos2 /3 4- cos2 у = 1.
Он доказал также пространственное обобщение теоремы Пифагора: квадрат площади плоской фигуры равен сумме квадратов площадей её ортогональных проекций на три взаимно перпендикулярные плоскости. (В случае, когда фигура — треугольное сечение этих вза¬


60
Глава 6. XVIII век
имно перпендикулярных плоскостей, такая теорема встречается в записках Декарта, относящихся к 1619—1621 годам.)
Пьер Симон Лаплас (1749—1827)
Наполеон в 1799 г. назначил Лапласа министром внутренних дел, но этот пост он занимал недолго, так как, по мнению Наполеона, внёс в управление «дух бесконечно малых» (т. е. мелочность).
Для Лапласа математика была лишь средством решения задач из физики. В своих работах он часто пропускал сложные математические рассуждения, заменяя их словами «Легко видеть, что...» или «Очевидно, что...».
В 1766 г. Лаплас исследовал разностное уравнение порядка п.
В статье1 1772 г. изложена его теорема о выражении определителя в виде суммы произведений миноров на их алгебраические дополнения (теорема Лапласа).
Лаплас рассматривал вековое уравнение
au-x
a12
a1 n
a21
a22 — x ••
a2n
= 0
&nl
an2
Q-Tin ~ X
для симметрической матрицы (а*; =а;1). Такое название связано с тем, что это уравнение возникло при изучении вековых неравенств в движении планет.
В 1773 г. решил дифференциальное уравнение в частных производных
р(х, у) + Q(x, у) = R(x, у, z).
Независимо от него это уравнение чуть позже решил Лагранж (1774).
В цикле работ, начавшемся в 1782 г. и завершившемся «Аналитической теорией вероятностей» (ТИёопе analytique des probabil^s, 1812), Лаплас разработал метод решения линейных разностных и дифференциальных уравнений, основанный на замене неизвестной функции y(s) интегралами вида J <p(x)xsdx или J (p(x)e~sx dx, где ip(x) — новая неизвестная функция. Это — знаменитое преобразование Лапласа. Его применение основано на том, что задача сначала решается для образа функций при преобразовании Лапласа, а затем применяется обратное преобразование.
1Recherches sur le Calcul integral et sur le systeme du Monde // Memoires de l’Academie royale des sciences de Paris. P. 267—376.


Глава 6. XVIII век
61
Лаплас очень много занимался теорией вероятностей. Основные его работы на эту тему относятся к 1744—1786 годам. В мемуаре 1774 г. повторил и развил результаты Байеса (по-видимому, не зная их). Лаплас исследовал задачу о вероятности того, что сумма независимых случайных величин с заданным законом распределения находится в заданных пределах. В1773—1774 г. ввёл уравнения в конечных разностях с двумя переменными и применил их к решению задач теории вероятностей. В1779 г. разрабатывал теорию производящих функций.
В «Аналитической теории вероятностей», изданной в двух книгах, Лаплас подытожил свои достижения и результаты своих предшественников. В первой книге изучаются производящие функции и различные аппроксимации выражений, встречающихся в теории вероятностей. Во второй книге приведено определение вероятности как отношения количества благоприятных случаев к общему количеству равновозможных случаев. Там же содержится правило Байеса, определение математического ожидания, предельные теоремы Муавра—Лапласа о сходимости биномиального распределения к нормальному. Лаплас впервые ввёл в теорию вероятностей уравнения в частных производных. В предисловии ко второму изданию «Аналитической теории вероятностей» (1814) Лаплас писал, что будущее мира полностью определяется настоящим и, обладая математическими познаниями о состоянии мира в данный момент, можно предсказать будущее. В 1814 г. Лаплас издал «Опыт философии теории вероятностей» (Essai philosophique sur les probabilites).
В двухтомном сочинении «Изложение системы мира» (Exposition du systeme du monde, 1796) Лаплас без формул и чертежей описал результаты своих исследований, которые он потом подробно изложил в четырёхтомной «Небесной механике» (Traite de mecanique celeste, 1799—1805). Излагая картину мира, Лаплас ни разу не упоминает о боге. Говорят, что на замечание Наполеона по этому поводу Лаплас ответил: «Государь, я не нуждался в этой гипотезе». Лаплас дал глубокий анализ всех известных движений тел Солнечной системы на основе закона всемирного тяготения и доказал её устойчивость. Это опровергало мнение (которое разделял и Ньютон), что для поддержания устойчивого состояния Солнечной системы требуется вмешательство посторонних сверхъестественных сил. Во втором томе (1799) исследуется форма Земли и других планет. Там впервые появился термин геодезическая линия применительно к земной поверхности, чем и объясняется такое название. В этой же книге


62
Глава 6. XVIII век
появилось уравнение Лапласа
d2v d2v д2у _ п
дх2 + ду2 + dz2 ”и’ которому удовлетворяет потенциал вне притягивающего тела. Там же впервые появились многочлены Лежандра (их часто называли коэффициентами Лапласа).
После доклада Коши, посвящённого сходимости рядов, Лаплас поспешил домой и тщательно проверил сходимость всех рядов, встречающихся в его «Небесной механике». К счастью, все они оказались сходящимися.
Лаплас распространил понятие особого решения дифференциального уравнения на уравнения высшего порядка и на уравнения от трёх переменных.
Лаплас предложил названия определённый интеграл (1779) и пределы интегрирования (1783).
Лоренцо Маскерони (1750—1800)
В 1790 г. Маскерони представил изученный Эйлером интегральный логарифм бесконечным рядом
Г dz , i_ л , \пх , (In*)2 , (lnx)3 ,
J i^-r + ln(-ln*) + —+ ^2Г + -з^г + ...
о
и показал, что постоянная у, входящая в это разложение, — это постоянная Эйлера. Для у Маскерони получил также выражение 1 00 В
у = ^ S 2^ и показал, как эта постоянная возникает в разложе-
г ех dx г dx г dx ниях в ряд интегралов типа J J ^(Гпх) ‘ ® связи с этим
у иногда называют постоянной Эйлера—Маскерони.
п .. г sin zdz
Ввел в рассмотрение интегральный синус I и интегралъ-
00 , о z
г cos zdz ныи косинус J —-—.
В книге «Геометрия циркуля» (Geometria del compasso, 1797) разработал общую теорию построений одним циркулем, повторив забытую работу датского математика Георга Мора. Маскерони доказал, что все задачи на построение, решаемые с помощью циркуля и линейки, можно решить с помощью одного циркуля. В книге «Задачи для землемеров» (Problemi per gli agrimensori con varie soluzioni, 1793) решил многие задачи на построение с помощью одной линейки.


Глава 6. XVIII век
63
Симон Антуан Жан Люилье (1750—1840)
В1787 г. в книге «Элементарное изложение начал высших исчислений» (Exposition elementaire des principes des calculs superieurs) Люилье ввёл обозначение предела lim. Эта книга получила премию на конкурсе Берлинской академии. В ней вводятся стандартные
df
ныне понятия производной и предела. Впервые символ ^ рассматривается не как дробь, а как единое целое.
В 1789 г. Люилье существенно дополнил результаты Лекселя, относящиеся к обобщению методов решения треугольников на произвольные многоугольники. Он распространил эти результаты на пространственные многоугольники.
В 1799 г. Люилье доказал (в терминах площадей граней и углов между плоскостями граней) утверждение, равносильное тому, что сумма векторов внешних нормалей к граням многогранника, равных по модулю площадям граней, равна нулю.
В 1809 г. в книге «Начала геометрического и алгебраического анализа» (Elements d’analyse geometrique et d’analyse algebrique) Люилье впервые привёл уравнение прямой в виде х cos а + у sin а — р = = 0.
В 1811 г. Люилье обратил внимание на то, что теорема Эйлера о многогранниках не всегда верна. Он указал три типа многогранников, для которых она неверна:
• многогранники, у которых есть неодносвязные грани (т. е., например, грани в виде кольца, рис. 6.6);
• многогранники с тоннелями, т. е. имеющие форму не сферы, а, например, тора (рис. 6.7);
• многогранники, внутри которых есть другие многогранники (рис. 6.8).


64
Глава 6. XVIII век
Люилье установил, что если многогранник имеет С кольцевых граней, Т тоннелей и содержит внутри Р многогранников, то V — Е + + F = 2 — 2Т + 2Р + С, где V, Е, F — число вершин, рёбер, граней.
Люилье получил формулу, выражающую площадь сферического треугольника через его стороны. Эта формула является аналогом формулы Герона, а также частным случаем формулы, выражающей площадь вписанного сферического четырёхугольника через его стороны, доказанной Лекселем.
Адриен-Мари Лежандр (1752—1833)
Многочлены Лежандра Р2п (х) появились в статье «Recherches sur Pattraction des spl^roides homogenes», написанной в 1782 г. и опубликованной в 1785 г.; эта статья посвящена притяжению тел вращения. Многочлены fyn+l (х) появились в его статье 1790 г. на ту же тему. В статье, написанной в 1784 г., Лежандр получил некоторые свойства этих многочленов, в частности, их ортогональность: 1
/ Р2пМР2тпМ dx = 0 при пфт. Формулу
р ГдЛ — _J_ d (* - 1)
2 Пп\ dxn
получил Родриг в 1816 г.
В статье 1785 г. по теории чисел (Recherches d’analyse indёter- ттёе) сформулировал теорему о том, что любая арифметическая прогрессия, первый член которой взаимно прост с разностью, содержит бесконечно много простых чисел; эту теорему позже доказал Дирихле. В этой же статье он пытался доказать квадратичный закон взаимности, но в его доказательстве были пробелы, устранить которые он смог только в 1808 г., уже после того, как появилось доказательство Гаусса.
Лежандр много занимался изучением эллиптических интегралов, т. е. интегралов вида J R(x,y)dx, где R — рациональная функция, у = у/см, a G —многочлен степени 3 или 4. Основные результаты его исследований опубликованы в 1792 г. Прежде всего он показал, что любой эллиптический интеграл можно привести к так называемой форме Лежандра, т. е. можно считать, что
у = у/ (1 -х2)(1 — fcx2). Затем он показал, что любой эллиптический интеграл можно выразить через интегралы следующих трёх
/dip
—===== (эллиптический интеграл первого рода), V 1 - к2 sin2 ip


Глава 6. XVIII век
65
Е=J \/\—k2 sin2 ip dip (второго рода) и Н=J
dip
(1+с sin2 <р) yjl-k2 sin2 ip
(третьего рода). Для интегралов первого рода Лежандр получил теорему сложения: F(ip) ± FC0) = F(/i), где
(для jи Лежандр получил и явное выражение). Лежандр получил теорему сложения и для интегралов второго рода. Кроме того, Лежандр рассмотрел различные преобразования эллиптических интегралов и, в частности, обобщил преобразование Ландена.
Лежандр хотел возродить преподавание евклидовой геометрии во Франции, и в связи с этим ему пришлось заняться пятым постулатом. Он пытался доказывать его разными способами. Различные «доказательства» пятого постулата он включал в многочисленные издания своего учебника по геометрии, впервые вышедшего в 1794 г. Одно из доказательств было следующим. Рассмотрим треугольник ABC с угловым дефектом 5 = п — (а + /3 + у). Отразим точку А относительно середины отрезка ВС. Треугольник А'ВС имеет такие же углы, как и треугольник ABC, поэтому его угловой дефект также равен 5. Проведём через точку А' прямую, которая пересекает лучи АВ и АС в точках В' и С7, см. рис. 6.9. (Отметим,
что ошибка Лежандра была как раз в этом месте, потому что в геометрии Лобачевского через данную точку внутри угла не всегда можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла.) Легко проверить, что угловой дефект треугольника, составленного из нескольких треугольников, равен сумме угловых дефектов этих треугольников. Поэтому угловой дефект треугольника AB'Cf больше 25. Продолжая такие же построения треугольников, получим, что угловой дефект может быть сколь угодно большим, но он не может быть больше л.
/
С
Рис. 6.9


66
Глава 6. XVIII век
В другом доказательстве Лежандр исходил из предположения, что данный треугольник всегда можно преобразовать в треугольник с такой же суммой углов, но меньшей площади.
Лежандр занимался проблемой пятого постулата 20 лет. Он ввёл понятие углового дефекта треугольника и пытался использовать его для доказательства пятого постулата. Лежандр (как и многие другие до него) доказал, что если сумма углов какого-либо треугольника равна двум прямым, то это верно и для любого треугольника, и в этом случае верен пятый постулат.
В учебнике Лежандра по геометрии (Elements de geometrie, 1794) впервые была строго доказана теорема Эйлера о выпуклых многогранниках: V — Е + F = 2, где V — число вершин, £ — число рёбер, F — число граней. Лежандр расположил многогранник так, чтобы он содержал центр сферы, и спроецировал его вершины и рёбра на сферу. Затем он записал выражение для площади каждого из полученных сферических многогранников: аг -1-... + ап — (п — 2)тс, где аг, ...,ап — углы сферического n-угольника (предполагается, что радиус сферы равен 1). После этого он приравнял сумму площадей этих многогранников площади сферы: — ][](п; — 2)тг = 4п.
Ясно, что '£ai = 2Vn и ^rij = 2Е, поэтому 2(У — Е 4- F)n = 4п, т. е. V — Е + F = 2.
В 1798 г. Лежандр опубликовал «Опыт теории чисел» (Essai sur la th6orie des nombres) — первое полное изложение результатов по теории чисел, полученных как его предшественниками, так и отчасти им самим. В этой книге приведена современная формулировка квадратичного закона взаимности, введён символ Лежандра. Во втором издании этой книги (1808) Лежандр исследовал функцию я(х) (число простых чисел, не превосходящих х) и предложил следующую асимптотическую формулу:
я(х)*1п:с- 1,08366- Он пытался доказать эту формулу аналитическими методами.
Независимо от Гаусса Лежандр разработал метод наименьших квадратов, и именно ему принадлежит первая публикация этого метода (1806), но Гаусс, опубликовавший его в 1809 г., применял этот метод раньше Лежандра.
Лежандр издал свои исследования эллиптических интегралов в трёх томах «Упражнений по интегральному исчислению» (Exercices de calcul irt^gral, 1811, 1817 и 1819). Второе издание этой книги вышло также в трёх томах под названием «Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах» (Тгакё des fonctions elliptiques et


Глава 6. XVIII век
67
integrates Euteriennes, 1825, 1826 и 1830). Терминология в то время ещё не установилась, и под эллиптическими функциями Лежандр подразумевал эллиптические интегралы. Лежандр исследует дуги кривых, выражающихся эллиптическими интегралами (эллипса, лемнискаты и гиперболы), и доказывает для этих дуг различные теоремы сложения. Лежандр излагает своё решение задачи о геодезических на эллипсоиде вращения, полученное им в 1806 г. (для произвольного эллипсоида эту задачу решил Якоби). Ко времени публикации второго издания Якоби и Абель уже более глубоко проникли в теорию эллиптических интегралов и особенно эллиптических функций, чем Лежандр, посвятивший 40 лет изучению эллиптических интегралов. Их заслуги Лежандр отметил в предисловии к третьему тому.
В 1823 г. Лежандр доказал, что уравнение х5 + у5 = zs не имеет решений в натуральных числах.
Лежандр сформулировал понятие трансцендентного числа.
Лазар Карно (1753—1823)
Карно возродил классические результаты Паппа о двойном отношении и о гармонических четвёрках точек, впервые дополнив их введением знака (у Паппа двойное отношение не имело знака). Он доказал инвариантность этого отношения для четвёрок точек, полученных при сечениях четырёх прямых пучка различными секущими, и использовал это для доказательства гармонических свойств полного четырёхсторонника.
В геометрии известны следующие теоремы, доказанные Карно.
• Алгебраическая сумма расстояний от центра описанной окружности треугольника до сторон равна R + г (сумме радиусов описанной и вписанной окружностей).
• Перпендикуляры, проведённые из точек Аъ В1иС1к сторонам ВС, СА и АВ треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
АгВ2 +ВгС2 + СгА2 = АгС2 + СгВ2 + ВгА2.
• Пусть кривая степени п пересекает каждую из сторон треугольника ABC в п точках, и пусть аг (Ъг и сг) — произведение расстояний от точки Л (В и С) до точек пересечения кривой со стороной АВ (ВС и СА), а2 (Ъ2 и с2) — произведение расстояний от точки Л (В и С) до точек пересечения кривой со стороной СА (АВ и ВС). Тогда axbjCj = а2Ъ2с2.


68
Глава 6. XVIII век
Жан-Батист Мёнье де ла Плас (1754—1793)
Мёнье был учеником Монжа. В работе о кривизне поверхностей (1776 г., опубликована в 1785 г.) он доказал, что радиус кривизны сечения, проходящего через касательную к поверхности, равен R sin ip, где R — радиус нормального сечения, a ip — угол между данным сечением и нормальным сечением. В этой же работе он рассмотрел задачу об отыскании среди всех поверхностей, проходящих через данный контур, поверхности наименьшей площади. Сейчас такие поверхности называют минимальными. Для минимальных поверхностей Мёнье получил условие, что сумма главных кривизн равна нулю, и вывел из него геометрически дифференциальное уравнение в частных производных, которое ранее (в 1760 г.) Лагранж получил методом вариационого исчисления. Интегрируя это уравнение, в качестве примера минимальных поверхностей Мёнье получил геликоид (винтовую поверхность) и катеноид.
Мёнье решил задачу о нахождении всех поверхностей, для которых в каждой точке радиус наибольшего нормального сечения равен радиусу наименьшего нормального сечения. Решая соответствующее дифференциальное уравнение, доказал, что любая такая поверхность сферическая.
Марк-Антуан Парсеваль (1755—1836)
Первоначальная версия теоремы Парсеваля с неполным доказательством появилась в «Мемуаре о рядах и о полном интегрировании линейного дифференциального уравнения второго порядка с частными производными» (Memoire sur les series et sur l’integration complete d’une equation aux differences partielles lineaires du second ordre, a coefficents constants, 1799); улучшенная версия появилась в 1801 г. Эта теорема утверждает, что если подстановка л:=cos и+i sin и в ряды М = £ апхП ит = £ Ъпхп даёт М = р + iq и т = г + is, то
2 П
+ а2Ъ2 + а3Ъ3 + а4Ь4 + ... = -jprdu.
о
Паоло Руффини (1765—1822)
Руффини, опираясь на разработанный Лагранжем метод резольвент, пытался доказать, что общее уравнение степени выше 5 нельзя решить в радикалах. В 1799 г. он опубликовал книгу «Общая теория уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраиче¬


Глава 6. XVIII век
69
ского решения уравнений выше четвёртой степени» (Teoria generate delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto). Изложенное в этой книге доказательство он неоднократно пытался улучшить в последующих работах (1801—1813), но полного доказательства так и не получил. В его доказательстве остался пробел, устранённый впоследствии Абелем.
Руффини воспользовался тем, что если уравнение разрешимо в радикалах, то выражение корня этого уравнения в радикалах можно записать некоторым специальным образом, с помощью резольвенты с рациональными коэффициентами. Но он не дал полного обоснования этого утверждения.
В доказательстве Руффини идеи, связанные с подстановками, уже ранее разработанные Лагранжем, объяснены вполне отчётливо. Руффини, в отличие от Лагранжа, рассматривает композиции подстановок. Он первым ввёл понятия порядка элемента, сопряжённости, разложения подстановки в произведение циклов. Руффини доказал, что порядок подстановки равен наименьшему общему кратному длин непересекающихся циклов, входящих в её разложение; он также доказал несколько теорем о строении группы подстановок из 5 элементов.
Но основные принципы теории полей у Руффини ещё не были разработаны, и именно их и не хватает этому доказательству.
В 1809 г. Руффини описал правило деления многочлена на одночлен, в 1819 г. переоткрытое Горнером и получившее название схема Горнера (см. с. 98). В Китае это правило было известно гораздо раньше.
Работа Руффини о неразрешимости уравнения пятой степени была написана очень непонятным языком и не получила признания. В 1810 г. была назначена комиссия, которая должна была решить, верно ли его доказательство. В эту комиссию входили Лагранж и Лежандр. Но эта комиссия так ничего и не решила.
Иоганн Фридрих Пфафф (1765—1825)
В 1815 г. Пфафф представил в Берлинскую академию статью, в которой он привёл преобразование дифференциального уравнения первого порядка в частных производных в дифференциальную систему. Эта теория уравнений в полных дифференциалах послужила началом развития теории интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. На эту важную статью, несмот¬


70
Глава 6. XVIII век
ря на весьма положительный отзыв Гаусса, не обращали внимания до того, как Якоби в 1827 г. опубликовал статью о методе Пфаффа.
В своей статье Пфафф решил задачу интегрирования уравнения
pm=F{x 1, Х2,..Хт, z, Pi, р2, ..., pm_i), где pi = dz/dxb для т>2. Пфафф свёл её сначала к задаче интегрирования уравнения в полных дифференциалах
т-1
dz- Y, pidxi-F(x1,x2,...,xm,z,p1,p2,...,pm_1)dxm = 0
i=1
с 2т переменными, а затем к общей задаче интегрирования уравнения в полных дифференциалах
п
2 А; {хъх2,..хп) dXi = 0.
i=l
Пфафф ввёл названия гипергеометрическое уравнение и гипергео- метрический ряд.
В связи с исследованиями Пфаффа по дифференциальным уравнениям Кэли в 1852 г. ввёл понятие пфаффиан — квадратный корень из определителя кососимметрической матрицы чётного порядка (этот определитель всегда является полным квадратом). У самого Пфаффа описано построение пфаффиана, но без указания на связь с кососимметрическими матрицами.
Джон Фарей (1766—1826)
По профессии Джон Фарей был геологом. Его имя вошло в историю математики благодаря короткой заметке, опубликованной в 1816 г. В этой заметке определена последовательность Фарея для каждого натурального числа п; она получается, если расположить в порядке возрастания все несократимые дроби, заключённые между 0 и 1, знаменатели которых не превосходят п. «Забавное свойство», которое обнаружил Фарей, заключается в том, что каждый член этой последовательности равен дроби, числитель которой равен сумме числителей двух соседних с ним членов, а знаменатель — сумме знаменателей.
Фарей не знал доказательства этого свойства; первое доказательство опубликовал Коши в том же 1816 г.
Жан Батист Жозеф Фурье (1768—1830)
Фурье не был первым, кто начал заниматься тригонометрическими рядами, которые впоследствии были названы в его честь. Ин¬


Глава 6. XVIII век
71
тегральные представления коэффициентов тригонометрических рядов получили в 1754 г. Даламбер (первые два коэффициента) и Клеро (в общем случае). В 1777 г. интегральное представление коэффициентов разложения в ряд по косинусам получил Эйлер.
В 1807—1811 г. Фурье написал свой классический труд «Аналитическая теория теплоты» (Theorie analytique de la chaleur), который был опубликован лишь в 1822 г. В этой книге Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности
д^Г ,д^Г ,с?Т_ т 2 дх2 + ду2 + dz2 ~ к dt>
где Г — температура, а к — коэффициент, зависящий от свойств тела, и проинтегрировал его при различных граничных условиях. Интегрирование основано на нахождении частных решений, сумма которых даёт решение; для этого применяется разложение функций
В РЯДЫ* д2Т дТ
Фурье сначала рассматривает уравнение = ^2— со следующими начальными условиями: Г(0, t) = Т(Z, t) = 0 для некоторого фиксированного I и всех t > 0 и Г(х, 0) = /(х) при 0 <х<1. Он ищет решение с разделяющимися переменными, т.е. T(x,t) = </?(х)я/>(0. Для такой функции уравнение теплопроводности можно записать в
¥>"(*) V>'(t) * *
виде = \р^ • Тогда обе части постоянны; обозначим эту по¬
стоянную -А. Мы приходим к двум уравнениям: ipff{x)-\-Xk2^{x)=0 и 'ф'it) + Ая/ЧО = 0. Решения первого уравнения имеют вид </?(х) = = bsin(V^Afcx + с). Из условия (0) = 0 следует, что с = 0, а из условия (/?(0 = 0 следует, что д/Я = для некоторого натурального v. Таким образом,
T(jf,t)= 2 bve-^2n2‘k2l2)t sin^.
V = 1
Из начального условия Г(х, 0) = /(х) следует, что
00
£Г \ V-1 1 УПХ
/00 = 2и К sm —t—.
V = 1
Фурье находит выражение коэффициентов bv через функцию /(х), что и завершает решение уравнения теплопроводности:
bv = “ //(Ю sinvsds
2
о
(аналогичные выражения получали и его предшественники).


72
Глава 6. XVIII век
В связи с этим решением уравнения теплопроводности возник вопрос: какие именно функции представимы рядом Фурье. Фурье установил некоторые условия, достаточные для представимости функции рядом Фурье. Он утверждал, что любая функция раскладывается в ряд Фурье; своё утверждение он подтвердил многочисленными примерами, но не доказал его.
В случае распространения тепла в бесконечном теле ряды Фурье неприменимы из-за их периодичности; в этом случае Фурье применил предельный переход к ряду Фурье и представил решение интегралом, который впоследствии получил название интеграл Фурье. Точно так же, как функцию /(х) можно представить рядом Фурье, её можно представить интегралом Фурье:
00
/00 = J (а (Я) cos Ax + b(A) cos Ax) d А,
о
00 00
где а(А) = — J /(£) cos At dt и b(A) = — J /(t)sinAtdt.
-00 -00
Для развития математики наиболее ценным оказалось не решение конкретной физической задачи (распространение тепла), а инструменты, введённые Фурье для решения этой задачи — ряды Фурье и интегралы Фурье.
В работах Фурье встречаются определители и матрицы бесконечного порядка; они были нужны для вычисления коэффициентов ряда Фурье.
В 1822 г. Фурье предложил интегральную формулу для операции дифференцирования дробного порядка и (положительного или отрицательного) :
3?г/(*) = ^ / /(a) da J ри cos [р(х- а) + |ия] dp.
-00 -00
Фурье обобщил правило знаков Декарта так, чтобы оно давало возможность оценить количество вещественных корней многочлена /00, лежащих в данном интервале [а, Ь]. Для этого он рассмотрел знаки членов последовательности
При х = — оо знаки в этой последовательности чередуются, а при х = +оо знаки в этой последовательности не меняются. Фурье показал, что когда х меняется от — оо до +оо, число перемен знака


Глава 6. XVIII век
73
уменьшается при прохождении вещественного (возможно, кратного) корня или пары комплексных сопряжённых корней, поэтому количество вещественных корней, заключённых между а и Ъ, не превосходит разности перемен знака в последовательности при х = а и при х = Ъ. В1829 г. Штурм предложил некоторую другую последовательность, для которой число корней, заключённых между а и Ь, в точности равно разности перемен знака.
Жан Робер Арган (1768—1822)
Независимо от Весселя, работа которого оставалась почти неизвестной, Арган разработал геометрическую интерпретацию комплексных чисел и операций над ними. Работа Аргана, опубликованная анонимно в 1806 г., оставалась незамеченной до тех пор, пока Жергонн не опубликовал её в четвёртом томе основанного им журнала (1813/14). После этого развернулась полемика по поводу истолкования мнимых чисел, и сочинение Аргана получило широкую известность. Термин диаграмма Аргана стал общепринятым.
В 1813 г. Арган опубликовал доказательство основной теоремы алгебры, полученное им в 1806 г. В этом доказательстве были некоторые пробелы, но именно Арган первым сформулировал эту теорему для многочленов с комплексными коэффициентами.
Ввёл термин модуль комплексного числа.
Уильям Уоллес (1768—1843)
Открытия Уоллеса хорошо известны в элементарной геометрии, но под другими именами. Прямая Симеона, к которой Роберт Сим- сон (1687—1768) никакого отношения не имеет, впервые появилась в статье Уоллеса, опубликованной в 1799 г.
Другая теорема, доказанная Уоллесом, такова: «Описанные окружности четырёх треугольников, образованных четырьмя прямыми, пересекаются в одной точке». Эта точка пересечения получила название точка Микеля в честь французского математика Августа Микеля (1816—1851), опубликовавшего эту теорему в 1838 г.
Уоллес был одним из первых английских математиков, принявших распространённый в континентальной Европе подход к анализу, восходящий к Лейбницу.
Уоллес изобрёл пантограф — инструмент для рисования фигур, подобных данной.


74
Глава 6. XVIII век
Жозеф Диас Жергонн (1771—1859)
В 1810 г. Жергонн основал журнал «Annales de mathematiques pures et appliquees», который стал известен как «Анналы Жергонна». Жергонн больше всего интересовался геометрией, и в его журнале печаталось много статей по геометрии.
В 1816 г. он получил новое решение задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трёх данных окружностей.
С 1824 г. по 1827 г. Жергонн опубликовал несколько статей, в которых он ввёл принцип двойственности в проективной геометрии. Ввёл термин поляра. Термин полюс ввёл Франсуа-Жозеф Сервуа (1767—1847); он же ввёл термины коммутативность и дистрибутивность.
В геометрии известна точка Жергонна; так называют точку пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания сторон и вписанной окружности.
Мишель Анж Ланкре (1774—1807)
В 1806 г. в «Мемуаре о кривых двоякой кривизны...» (Memoire sur les developpoides des courbes planes, des courbes a double courbure et des surface developpables) ввёл кривизну и кручение пространственной кривой, определив их как бесконечно малые углы поворота нормальной и соприкасающейся плоскостей.
Карл Брандан Мольвейде (1774—1825)
В 1808 г. Мольвейде опубликовал тригонометрические формулы
а + Ь _ cos*T- а-Ъ _ sin~T
с sin £ с cos £
2 2
Эти формулы получили название формулы Мольвейде. Первая из этих формул несколько в другой форме доказана во «Всеобщей арифметике» Ньютона. Обе формулы Мольвейде содержатся в книге «Анализ треугольников» (Analysis triangulorum, 1746) Фридриха Вильгельма фон Оппеля (1720—1769).
Фаркаш Бойяи (1775—1856)
Отец Яноша Бойяи, друг Гаусса, вместе с которым он учился в Гёттингене.


Глава 6. XVIII век
75
Книга Фаркаша Бойяи «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики» (Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos methodo intuitiva introducendi, 1832) содержит такое определение равенства плоских фигур: две фигуры равны, если их можно разрезать на попарно равные части. Такие фигуры стали называть равносоставленными. Пауль Гервин в 1832 г. доказал, что два многоугольника равносоставлены тогда и только тогда, когда они равновелики. В приложении к этой книге опубликовано сочинение Яноша по неевклидовой геометрии.
Луи Пуансо (1777-1859)
В книге «Многоугольники и многогранники» (Sur les polygones et les polyedres, 1809) Пуансо заново открыл два звёздчатых многогранника, обнаруженных ещё Кеплером (Пуансо об этом не знал), а также два новых звёздчатых многогранника, двойственных по отношению к ним, и показал, что для двух из этих многогранников формула Эйлера неверна.
В 1834 г. Пуансо дал геометрическую интерпретацию вращения твёрдого тела в случае Эйлера —одном из случаев, когда уравнения движения можно проинтегрировать. При этом он ввёл понятие эллипсоида инерции и мгновенной оси вращения. В интерпретации Пуансо эллипсоид вращения катится по фиксированной плоскости. Этот случай интегрируемости уравнений вращения тела часто называют случаем Эйлера—Пуансо.


Глава 7
Первая половина XIX века
В конце XVIII в. многие математики считали, что развитие математики близко к завершению и скоро уже не будет никаких существенно новых открытий. В 1781 г. Лагранж писал Даламберу, что если не будут открыты новые идеи в математике, то кафедра геометрии в Академии скоро может стать такой же, как кафедры арабского языка в университетах. Эйлер и Даламбер соглашались с Лагран- жем, что математика почти исчерпала свои идеи, и они не видели на горизонте никаких великих умов. Ещё ранее, в 1754 г., Дени Дидро (1713—1784) высказывал мнение, что скоро в математике наступит застой и она останется в том виде, в каком её оставили Бернулли, Клеро, Даламбер и Лагранж. Но в математику пришли Гаусс, Абель, Якоби, Галуа, и разговоры про застой в математике больше не возобновлялись.
В начале XIX в. постепенно устранились последствия ожесточённого спора между Ньютоном и Лейбницем. Из-за этого спора английские математики долгое время отказывались читать работы, в которых использовались обозначения Лейбница. Но в 1812 г. в Кембридже было основано «Аналитическое общество», чтобы изучить обозначения Лейбница. Вскоре после этого обозначение Лейбница dy
^ стали использовать вместо обозначения Ньютона у, и книги и статьи, написанные в континентальной Европе, стали доступны английским студентам.
Одна из центральных тем математики XIX в. —римановы поверхности. В первой половине века появилась задача обращения абелевых интегралов, которая постепенно привела к формированию понятия римановой поверхности.
В первой половине XIX в. постепенно сформировалось понятие группы. Важной областью исследований стали алгебраические числа. Была открыта и начала изучаться неевклидова геометрия.


Глава 7. Первая половина XIX века
77
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855)
Биография
У Гаусса был знающий и заботливый учитель Бюттнер, быстро распознавший одарённость своего ученика. Ассистентом Бюттнера в эти годы был Мартин Бартельс (1769—1836), впоследствии профессор Казанского университета, где он работал вместе с Лобачевским. В1791 г. Гаусс, как одарённый и многообещающий юноша, был представлен герцогу Брауншвейгскому, и тот пожаловал Гауссу стипендию в 10 талеров в год. Впоследствии большую поддержку Гауссу оказывал фон Циммерман, личный доверенный герцога.
С 1795 г. Гаусс изучал математику в университете в Гёттингене (вопреки желанию герцога, который хотел, чтобы он учился в местном Гельмштедтском университете). Первого большого успеха Гаусс достиг, когда ему не было ещё 19 лет: он доказал, что правильный 17-угольник можно построить циркулем и линейкой. В то же время Гаусс занимался теорией арифметико-геометрического среднего. В университете единственная прочная дружба, о которой известно, завязалась с Фаркашем (Вольфгангом) Бойяи; переписка между ними продолжалась 50 лет. По свидетельству Бойяи Гаусс был очень скромен, с ним можно было общаться годы, не подозревая о его исключительности. Часто они гуляли часами, каждый занятый своими мыслями, не обмениваясь ни словом. В Гёттингене Гаусс подготовил трактат «Арифметические исследования»; это основная работа Гаусса по теории чисел. (Гаусс называл теорию чисел «царицей математики».) В 1798 г. Гаусс по неизвестным причинам покинул университет, не получив диплома, и вернулся в Брауншвейг. По желанию своего герцога он в 1799 г. представил докторскую диссертацию в Гельмштедтский университет; степень ему была присуждена без обычного устного экзамена (защиты диссертации). Диссертация называлась «Новое доказательство теоремы о том, что каждая целая рациональная алгебраическая функция одного переменного может быть разложена на действительные множители первой или второй степени». Речь идёт о доказательстве теоремы, которую часто называют основная теорема алгебры. Более половины диссертации составляла критика предыдущих доказательств этой теоремы. Все они действительно содержали серьёзные пробелы, поэтому доказательство Гаусса было не просто новым. Впрочем, в нём тоже были пробелы, хотя и устранимые.
Вскоре после защиты диссертации Гаусс обращается к астрономии. 1 января 1801 г. итальянский астроном Джузеппе Пиацци


78
Глава 7. Первая половина XIX века
открыл новую малую планету Церера. Только 9° её орбиты были известны в тот момент, когда 11 февраля того же года она исчезла «в тени Солнца». Астрономы готовились к тому, чтобы вновь её обнаружить, когда она снова появится в конце 1801 или начале 1802 г. Было опубликовано несколько прогнозов её орбиты, в том числе и прогноз Гаусса. Его прогноз существенно отличался от других прогнозов, но именно он оказался правильным: планета была вновь обнаружена в точках, очень близких к орбите, предсказанной Гауссом. Этот успех принёс Гауссу много почестей. При вычислениях Гаусс использовал разработанный им метод наименьших квадратов; он описывает его как «тот принцип, что сумма квадратов разностей между наблюдёнными и вычисленными величинами должна быть минимальна». Независимо от Гаусса этот метод разработал Лежандр, и именно ему принадлежит первая публикация этого метода, но Гаусс применял его раньше Лежандра. В связи с методом наименьших квадратов Гаусс вводит экспоненту е~х (нормальное распределение) как наиболее естественный закон распределения ошибок.
В 1807 г. Гаусс переехал в Гёттинген, получив должность директора обсерватории. В 1818—1832 годах Гаусс много занимался большим проектом геодезического исследования Ганноверского королевства. В первые годы Гаусс лично руководил этим проектом, продолжавшимся примерно 20 лет. Много лет Гаусс лично занимался геодезическими измерениями и их обработкой; главным средством обработки геодезических наблюдений для Гаусса был метод наименьших квадратов. Геодезические измерения были затруднены во многих местах Ганноверского королевства; для контроля сети мелких треугольников был измерен огромный треугольник, проведённый по вершинам гор Хохенхаген, Инзельберг, Броккен. Об этом измерении Гаусс упомянул в своей работе по геометрии искривлённых поверхностей в связи с геодезическими треугольниками, сумма углов которых может отличаться от 180°. Для этого треугольника он вычислил необходимые поправки. По этому поводу он писал в 1827 г. Ольберсу: «В практическом отношении это, однако, совершенно неважно, потому что на самом деле даже для самых больших треугольников, которые можно измерять на Земле, эта неравномерность в распределении незаметна, но честь науки требует ясного понимания природы этой неравномерности». Но в самой статье эти соображения не высказаны отчётливо, поэтому появилась легенда, будто Гаусс проделал эти чрезвычайно трудоёмкие и дорогостоящие измерения лишь для того, чтобы выяснить, является наше простран¬


Глава 7. Первая половина ХГК века
79
ство евклидовым или неевклидовым. Но письмо Гаусса показывает, что он хорошо понимал, сколь малы размеры этого треугольника по сравнению с межзвёздными расстояниями, и потому ошибка измерения много больше гипотетического отклонения суммы углов треугольника от 180°. Деятельность Гаусса по геодезическим исследованиям, в процессе которой он изобрёл новый измерительный прибор гелиотроп, позволяет считать его одним из великих геодезистов, надолго установившим новые стандарты наблюдений и их обработки.
В1832 г. Гаусс начал исследования магнитного поля Земли. Вскоре, в 1833 г., вблизи астрономической обсерватории в Гёттингене была построена магнитная обсерватория. Гаусс вместе со своим помощником Вильгельмом Вебером составил атлас земного магнетизма и изготовил телеграфный аппарат.
В последние годы жизни Гаусс полюбил преподавание и чтение лекций гораздо больше, чем в ранние годы (в молодости Гаусс часто говорил о своём отвращении к преподаванию). В числе его последних студентов был Дедекинд. Большинство лекций Гаусса было по астрономии; часто читал он лекции о методе наименьших квадратов.
Гаусс одним из первых понял и оценил исследования Лобачевского по неевклидовой геометрии. В начале 1840-х годов Гаусс в связи с интересом к работам Лобачевского начал изучать русский язык. В письме к своему ученику и другу Генриху Шумахеру Гаусс жаловался, что выбор русской литературы в местной библиотеке крайне скуден.
В январе 1854 г. у Гаусса нашли расширение сердца, и это означало, что долго он не проживёт. Затем на некоторое время его здоровье улучшилось, и именно в этот период Риману была дана возможность прочитать лекцию «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии». Риман прочитал её, выполняя обычное требование при получении разрешения читать лекции в Гёттингенском университете. Из трёх тем, которые Риман представил на выбор, Гаусс указал на вторую, а не на первую, чем нарушил обычай и ожидания Римана. Очевидно, Гаусса особенно интересовала эта тема. Вебер сообщает, что Гаусс шёл с лекции домой в возбуждении и очень её хвалил.
«Арифметические исследования»
Гаусс подготовил к изданию свой трактат «Арифметические исследования» (Disquisitiones Arithmeticae) в 1800 г. в возрасте 20 лет


80
Глава 7. Первая половина ХГХ века
и издал его при поддержке герцога Брауншвейгского в Лейпциге в 1801 г. Основные идеи Гаусса в этом трактате: теория сравнений; введение алгебраических чисел; теория квадратичных форм как основа диофантова анализа. В этом трактате содержится также построение правильного 17-угольника.
Первые три раздела трактата представляют собой систематическое введение в элементарную теорию чисел на основе теории сравнений чисел по некоторому модулю. Сама идея сравнения была не нова: она встречается у Эйлера, Лагранжа и Лежандра. Например, теорема о том, что сравнение степени п по простому модулю р имеет не более п различных (не сравнимых по модулю р) решений, была доказана Лагранжем (1768); у Гаусса она доказана в пункте 43. Заслуга Гаусса в том, что он ввёл общепринятые обозначения и систематически использовал сравнения.
В пункте 42 неожиданно появляется так называемая лемма Гаусса: если многочлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1 разлагается в произведение многочленов со старшими коэффициентами 1 и рациональными коэффициентами, то все эти рациональные коэффициенты целые. Такими же рассуждениями можно доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами разлагается в произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами, то он разлагается и в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами.
В третьем разделе Гаусс исследует вычеты степеней данного числа по простому модулю. Он это делает с помощью малой теоремы Ферма, используя понятие первообразного корня, введённое Эйлером. Число а называется первообразным корнем, если числа а,а2,а3,... дают (по модулю р) все целые числа, взаимно простые с р. Гаусс доказывает существование первообразного корня, т. е. доказывает, что мультипликативная группа поля вычетов по модулю р циклическая; это доказательство, как позже заметил Галуа, переносится на случай любого конечного поля. Используя первообразный корень а, Гаусс определяет индекс е числа Ъ относительно а следующим образом:
а6 = Ь (mod р).
Гаусс сравнивает индексы с логарифмами.
Четвёртый раздел посвящён сравнениям второй степени. Его центральная тема — квадратичный закон взаимности. Этот закон обнаружили неутомимый вычислитель Эйлер и независимо от него Лежандр, но ни Эйлер, ни Лежандр не смогли его доказать. Что¬


Глава 7. Первая половина XIX века
81
бы сформулировать квадратичный закон взаимности, введём так
квадратичный вычет по модулю р (т. е. сравнение х2 = q (mod р) имеет решение), и равен -1 в противном случае. Тогда для любых нечётных простых чисел р и q имеет место равенство
(Гаусс использовал другую формулировку, и у него нет выражения «квадратичная взаимность».)
Гаусс получил первое строгое доказательство квадратичного закона взаимности в 1796 г. В «Арифметических исследованиях» он приводит другое доказательство. Впоследствии он опубликовал ещё четыре других доказательства, а ещё два доказательства остались неопубликованными. Гаусс называл квадратичный закон взаимности золотой теоремой (theorema aureum) и жемчужиной арифметики.
Четвёртый раздел завершается сведением произвольных сравнений второй степени ах2 4- Ъх 4- с = 0 (mod р) к сравнениям вида х2 = А (mod р). Гаусс даёт краткий обзор работ Эйлера и Лежандра на эту тему, отмечая, что первое полное доказательство получено им.
Пятый раздел — центральный в книге. В нём развивается теория бинарных квадратичных форм, т. е. выражений вида ах2+2Ъху 4су2, где а, Ъ и с — целые числа. Одна из основных проблем в этой теории — найти все возможные способы представить данное число данной формой. Сначала Гаусс повторяет и суммирует результаты Лагранжа. Лагранж назвал эквивалентными формы, которые получаются заменой х = ах' 4- /Зу', у = ух' 4- 5 у', где а, /3, у и 5 — такие целые числа, что а5 - /Зу = 1. Гаусс называет такие формы «собственно эквивалентными». Помимо них он рассматривает и случай, когда а5 - /Зу = — 1; такие формы он называет «несобственно эквивалентными». Введение несобственно эквивалентных форм понадобилось Гауссу для того, чтобы определить композицию классов эквивалентных форм; впоследствии эта идея композиции оказалась важной для алгебраической теории чисел.
Для эквивалентных форм множества чисел, представимых ими, совпадают. Лагранж показал, что для фиксированного дискриминанта D — Ъ2 — ас можно выбрать конечное число форм с дискриминантом D так, что любая форма с дискриминантом D будет эквивалентна одной из выбранных форм. Понятие эквивалентных
называемый символ Лежандра который равен +1, если q —


82
Глава 7. Первая половина XIX века
форм послужило отправной точкой в исследованиях Гаусса. Главной формой с дискриминантом D Гаусс называет форму х2 - Dy2. Гаусс определил композицию (произведение) форм и доказал, что композиция переносится на классы эквивалентных форм, причём класс главной формы относительно такого умножения ведёт себя как единичный элемент. Фактически Гаусс проверил для операции композиции свойства групповой операции. Это был первый нетривиальный пример коммутативной группы, встретившийся в математике. Гаусс понимал, что полученная им группа не обязательно циклическая, но разлагается в прямую сумму циклических групп. Эту теорию Гаусс использовал для доказательства теорем о представлении чисел формами. В частности, с её помощью он получил новое доказательство квадратичного закона взаимности.
В1830—1835 г. Гаусс занимался вычислением числа классов форм с данным отрицательным дискриминантом. Он получил верный ответ и у него была схема доказательства, но он не опубликовал эти результаты, оставшиеся лишь в записках. Первое опубликованное доказательство принадлежит Дирихле.
Гаусс начал строить аналогичную теорию для тернарных квадратичных форм, т. е. квадратичных форм от трёх переменных. При этом он доказал теорему о представимости каждого числа в виде суммы трёх треугольных чисел (это утверждал Ферма, но первое доказательство получил Гаусс). Для тернарных форм помимо проблемы о представлении данного числа данной формой появляется проблема о представлении данной бинарной формы данной тернарной формой.
В пятом разделе впервые вводится термин детерминант (для формы ах2 + 2Ъху + су2).
В шестом разделе, в частности, описано решение систем линейных уравнений методом исключения (метод Гаусса).
Седьмой раздел посвящён теории деления круга на п равных частей. Для этого Гаусс рассматривает многочлен деления круга хп — 1
~~-'i = хП~1 + хП~2 + •••+* + 1 и сводит задачу к случаю, когда п простое. Гаусс доказывает, что для простого п многочлен деления круга неприводим, т.е. его нельзя представить в виде произведения двух многочленов положительной степени с рациональными коэффициентами. Затем он доказывает, что если гг — 1 = PiP2---> ГДе рър2,... — простые числа, то многочлен деления круга раскладывается на рг множителей степени -—-, коэффициенты которых опре-
Р\
деляются решением уравнений степени рг; каждый из этих множи¬


Глава 7. Первая половина ХГХ века
83
телей, в свою очередь, раскладывается на р2 множителей степени
-—-, коэффициенты которых определяются решением уравнений
Р1Р2
степени р2, и т.д. Например, при п — 17 многочлен деления круга раскладывается на 2 множителя степени 8, коэффициенты которых находятся решением квадратных уравнений с рациональными коэффициентами. Каждый множитель степени 8 раскладывается на 2 множителя степени 4, коэффициенты которых находятся решением квадратных уравнений, коэффициенты которых, в свою очередь, рационально выражаются через коэффициенты полученных многочленов степени 8, и т.д. Ключевой момент в этой теории — использование первообразных корней. Окончательный результат: правильный п-угольник, где п — простое число вида 2Т + 1, можно построить циркулем и линейкой. Гаусс добавляет, что было бы бесполезно пытаться разделить круг в случаях п = 7,11,13,19,..., но что рамки трактата не позволяют ему доказать это. Ни в одной из работ Гаусса нет никакого указания на полное доказательство этого утверждения.
Основная идея Гаусса при доказательстве возможности построения правильного семнадцатиугольника — специальная нумерация
корней степени 17 из единицы. Пусть е = cos Щ + i sin Щ — один
из этих корней, g — такое целое число, что числа l,g,g2,g3, дают разные остатки при делении на 17 (например, g = 3). Поло-
+i k i 7
жим сок = egk. Тогда cok+i = е^ = egkgl = (o>fc)gZ. Числа хг = j] co2i и
7 i=О
х2 = X] w2i+i удовлетворяют квадратному уравнению х2 + х — 4 = 0.
1=0 з з
Числа у 1 = co4i и у2 — S ^41+2 удовлетворяют квадратному урав-
1=0 1=0 з з
нению у2-хгу +1 = 0, а числа у3 = £ <ом+1 и у4 = £ co4i+3 удовле-
i=0 i=0
творяют квадратному )фавнению у2 — х2у + 1 = 0. Наконец, числа
о 2гг
zl = со0 + а)8 = 2 cos -yf и z2 = со4 + со12 удовлетворяют квадратному
уравнению z2 — yxz + у3 = 0, поэтому их можно построить с помощью циркуля и линейки.
При разработке теории деления круга Гаусс фактически доказал разрешимость в радикалах уравнений с циклической группой Галуа, и в этом доказательстве уже неявно присутствуют многие составляющие теории Галуа. В1826 г. Абель перенёс методы Гаусса на случай уравнений с коммутативной группой Галуа.


84
Глава 7. Первая половина XIX века
Гаусс делает намёк на то, что аналогичная теория есть и для деления лемнискаты. Гаусс, по-видимому, разработал также и эту теорию, но не опубликовал её. Впоследствии это сделал Абель.
^v—i f к 27zk
Гаусс упоминает о суммах вида 2-1 cos Этими суммами
Гаусс занимался и позже; они оказались важными для теории чисел и получили название гауссовых сумм. Легко доказать, что гауссова сумма равна ±у/р, но вычислить знак перед Jp очень трудно. Этим вычислением Гаусс упорно занимался 4 года и завершил его уже после публикации «Арифметических исследований».
«Арифметические исследования» чрезвычайно трудны для чтения. Они оказали большое влияние на дальнейшее развитие теории чисел во многом благодаря толкованию, которое дал Дирихле в своих лекциях по теории чисел. (Для Дирихле книга Гаусса была настольной, он изучал её с религиозным рвением.)
«Теория биквадратичных вычетов»
С 1808 г. по 1832 г. Гаусс изучал кубический и биквадратичный законы взаимности. Результаты этих исследований, относящиеся к биквадратичному закону взаимности, изложены в мемуаре «Теория биквадратичных вычетов» (Theoria residuorum biquadraticorum), первая часть которого опубликована в 1828 г., а вторая —в 1832 г. В работах по биквадратичному закону взаимности Гауссу понадобилось разложение простого числа вида 4n + 1 в произведение комплексных чисел вида а + bi с целыми а и Ъ. Такие числа рассматривали Эйлер и Лагранж, но именно Гаусс выяснил, почему они важны. В связи с этим числа вида a + bi с целыми а и b получили название гауссовы целые числа.
Арифметику чисел вида а + bi, где а и b — целые числа, Гаусс исследовал во второй части мемуара. Он определил, что такое простые и составные числа такого вида, ввёл для них алгоритм Евклида, доказал однозначность разложения целого числа на простые множители, построил для таких чисел аналог теории степенных вычетов, доказал аналог малой теоремы Ферма, ввёл понятие первообразного корня и развил теорию индексов. Он также сформулировал для таких чисел квадратичный закон взаимности.
Гаусс писал, что для изучения кубических вычетов надо будет рассмотреть числа вида а + Ьр, где р3 = 1, р Ф 1.
Гаусс сформулировал биквадратичный закон взаимности, но не доказал его. Доказательства кубического и биквадратичного зако¬


Глава 7. Первая половина XIX века
85
нов взаимности Якоби сообщил на своих лекциях в Кёнигсберге, а Эйзенштейн первым опубликовал, из-за чего у них возник спор о приоритете.
Комплексные числа и основная теорема алгебры
В 1742 г. Эйлер высказал мнение, что любой многочлен с действительными коэфициентами можно представить в виде произведения линейных и квадратичных многочленов с действительными коэффициентами. Н. Бернулли и Гольдбах пытались привести контрпримеры, но Эйлер опроверг их. Тем не менее Н. Бернулли и Гольдбах не поверили в предположение Эйлера. Даламбер и Эйлер приводили доказательства этого утверждения, получившего название «основная теорема алгебры», но их доказательства были неполными. В 1772 г. Лагранж попытался заполнить пробелы в доказательстве Эйлера, но без особого успеха. Его основная ошибка, как и у его предшественников, была в том, что он без обоснования предполагал существование поля разложения многочлена.
Первое полное (хотя и не совсем строгое с современной точки зрения) доказательство основной теоремы алгебры для многочленов с действительными коэффициентами получил Гаусс в 1799 г., в своей диссертации. Ход его рассуждений следующий. Пусть дано уравнение
хт + Axm_1 + Вхт~2 + ... = О,
где А,В,... —действительные числа. Требуется доказать, что это уравнение имеет корень. Разложим многочлен
X = хт + Ах"1'1 + Вхт~2 + ...
на действительную и мнимую части: Х = Т + iU; обе они представ- ляются в полярных координатах. Достаточно доказать, что кривые Т = 0 и U = 0 пересекаются. Гаусс это делает, изучая свойства этих кривых. В доказательстве Гаусс избегает комплексных чисел.
Гаусс неоднократно возвращался к основной теоремы алгебры. Его второе доказательство (1815) по существу алгебраическое. Для этого доказательства он ввёл результант многочлена. Единственный факт не из алгебры, которым пользуется в этом доказательстве Гаусс, это то, что если вещественный многочлен в двух точках принимает значения разного знака, то между этими точками есть корень этого многочлена. Рассуждения Гаусса во многом похожи на рассуждения Эйлера, Лагранжа и Лапласа, но он нигде не пользуется предположением о существовании поля разложения.


86
Глава 7. Первая половина ХГХ века
Третье доказательство использует то, что мы теперь называем интегралом Коши.
Четвёртое доказательство по методу является вариацией первого, но лишь в этом доказательстве Гаусс впервые рассматривает многочлен с комплексными, а не вещественными коэффициентами.
В XVIII в. и в начале XIX в. комплексные числа, которыми по необходимости приходилось пользоваться, представлялись во многом загадочными и даже сомнительными. Это было связано с отсутствием надлежащей интерпретации комплексных чисел. Первым интерпретацию комплексных чисел как точек плоскости предложил не Гаусс, но именно публикация Гаусса на эту тему оказалась наиболее влиятельной. В 1797 г. Вессель предложил геометрическую интерпретацию комплексных чисел как векторов и интерпретировал операции сложения и умножения комплексных чисел. Его работа оставалась незамеченной до 1897 г., когда был опубликован её перевод на французский. Похожую, хотя и несколько иную, интерпретацию предложил в 1806 г. Арган. В 1832 г. (во второй части мемуара «Теория биквадратичных вычетов») Гаусс опубликовал представление чисел а + Ы как точек плоскости и описал действия с ними. В действительности в 1815 г. он всё это уже хорошо представлял. Гаусс писал, что геометрическая интерпретация полностью устанавливает интуитивный смысл комплексных чисел. Он ввёл термин комплексные числа вместо мнимые числа.
В 1837 г. Гамильтон опубликовал работу, в которой интерпретировал комплексные числа как пары вещественных с соответствующими операциями. В том же году Гаусс написал Фаркашу Бойяи, что он ещё в 1831 г. знал о таком представлении, но ничего не публиковал на эту тему. С интерпретацией комплексных чисел как пар вещественных познакомил математиков именно Гамильтон.
В 1811 г. в письме к Бесселю по поводу интеграла J dx/x Гаусс пишет об интегралах с комплексными пределами. Он утверждает, что если функция не обращается в бесконечность, то интеграл от такой функции не зависит от выбора пути. Значение интеграла J dx/x от 1 до а + Ы не зависит от пути, если этот путь не обходит вокруг точки 0. Если же путь обходит вокруг точки 0, то нужно добавить ±2тп. Зависимость интеграла от пути в комплексной области на конкретных примерах изучал в 1815 г. Пуассон. Эти результаты он опубликовал в 1820 г. Но, как и у Гаусса, это были отдельные примеры. Общую теорию интегралов с комплексными пределами построил Коши в 1846 г.


Глава 7. Первая половина XIX века
87
Эллиптические интегралы. Гипергеометрическая функция
Первым арифметико-геометрическое среднее ввёл Лагранж (его публикация относится к 1784—1785 г.); оно ему понадобилось для приближённого вычисления некоторого эллиптического интеграла. Гаусс ввёл арифметико-геометрическое среднее независимо от Лагранжа, во время учёбы в Гёттингене.
Арифметико-геометрическое среднее двух чисел тип определя-
^ Т-r тк + Пк
ется следующим образом. Положим т1 — т,п1— п, тк+1 = —^— и пк+1 = Vmknkl последовательности чисел тк и пк имеют один и тот же предел, который и называют (следуя Гауссу) арифметикогеометрическим средним чисел типи обозначают agM(m,n).
Гаусс обнаружил соотношение
Гаусс много занимался исследованием лемнискаты и эллиптической функции, получаемой при обращении интеграла, выражающего длину дуги лемнискаты. Лемниската интересна тем, что она приводит к эллиптической функции с наиболее простой решёткой периодов, состоящей не из произвольных параллелограммов, а из квадратов. У этой функции один период чисто вещественный и один чисто мнимый; обозначим их 2со и 2ico. Гаусс заметил, что
Ни один из результатов Гаусса об эллиптических интегралах не был опубликован при его жизни, и он публично не оспаривал приоритета Абеля и Якоби. Но в письме Бесселю (1828) Гаусс сетовал: «Г-н Абель избрал совершенно тот же самый путь, который я предложил в 1798 г., поэтому неудивительно большое совпадение результатов. К моему удивлению, это распространяется также и на форму и отчасти на выбор обозначений, так что многие его формулы кажутся точной копией моих. Во избежание всякого недоразумения я отмечаю, однако, что я не помню, чтобы я когда-нибудь делился этими вещами с кем бы то ни было».
О гипергеометрической функции, введённой и исследованной Эйлером, Гаусс написал две статьи, из которых опубликовал только одну (1812). Гипергеометрическая функция определяется разложе¬
agM(l 4- х, 1 х) п ^ ^ 1 — х2 cos2 <р


88
Глава 7. Первая половина XIX века
нием в степенной ряд
Р(а Я г гЛ-1 I а'Рх I аС« + 1)-Р^ + 1),.2 |
Ma,p,r,*J-l+ ьгх+ 1-2-г(г + 1) * +••■
Гаусс отмечал, что едва ли можно назвать какую-либо изучавшуюся аналитиками функцию, которую нельзя было бы свести к этому ряду. В первой статье Гаусс выводит основное функциональное уравнение
dF(a,/3,y,x) а- /3
dx
-(a + 1,/3 + 1,у + 1,х).
Из него следует много других уравнений такого же типа. Вторую статью Гаусс начинает с уравнения
afiF - (у — (a + /3 4- 1)*)^; - =0-
Гаусс получил 15 уравнений, связывающих функцию F(a, /3, у, х) с функциями F(a ±1, /3 ± 1, у ± 1, х). Например, одно из этих уравнений
Г (Г “ 1 “ (2Г ~ « - /3 - 1 )x)F(a, /3, у, х) +
+ (г - а) (у - /3)xF(a, /3,7 +1, х) - у-(7 -1) (1 - x)F(a, /3, у -1, х) = 0.
Эти уравнения позволяют получить соотношение с рациональными коэффициентами между любыми тремя функциями вида
F(a ± т, /3 =Ь п, у ± р, х),
где т, пир — целые числа.
В статье о гипергеометрическом ряде Гаусс устанавливает первые общие критерии сходимости степенных рядов. Он первым достаточно глубоко исследовал сходимость бинома (1 + х)п, который является частным случаем гипергеометрического ряда.
Дифференциальная геометрия
В 1822 г. Гаусс решил задачу об изометрическом отображении (наложении, или разворачивании) одной поверхности на другую. Для этого Гаусс ввёл на поверхности первую квадратичную форму, которая выражает квадрат элемента длины на поверхности. Гаусс отмечает, что координаты в каждой точке поверхности можно выбрать так, что первая квадратичная форма в окрестности этой точки имеет вид Я(x,y)(dx2 + dy2) (изотермические координаты).


Глава 7. Первая половина ХГХ века
89
Работа Гаусса по дифференциальной геометрии «Общие исследования искривлённых поверхностей» (Disquisitiones generates circa superficies curvas) опубликована в 1828 г. Гаусс занимался измерительными работами, связанными с описанием и оценкой ганноверских владений. Для этого он стал исследовать геометрию поверхностей. Для поверхности в пространстве Гаусс рассмотрел отображение в единичную сферу, сопоставляющее каждой точке вектор нормали к поверхности в этой точке. Сейчас такое отображение называют гауссовым сферическим отображением. Сферическое отображение Гаусс использовал для того, чтобы определить важнейшую характеристику поверхности в точке — кривизну. Пусть при сферическом отображении область U на поверхности переходит в область g(L0 на сфере. Тогда кривизна поверхности в точке Р — это предел отношения
площадь g(L0 площадь U 9
когда область U сжимается к точке Р. Площадь здесь рассматривается ориентированная, с учётом знака. Например, кривизна сферы положительна, а кривизна седла (однополостного гиперболоида) отрицательна. До Гаусса точно так же определял кривизну поверхности Родриг в 1815 г.
Эту кривизну теперь называют гауссовой кривизной поверхности в точке Р. Гауссова кривизна —это произведение двух главных кривизн, введённых Эйлером. После долгих вычислений Гаусс получил результат, удививший его: кривизна зависит только от коэффициентов первой квадратичной формы. Таким образом, кривизна зависит только от внутренней геометрии поверхности, т. е. только от таких величин, которые можно измерить на самой поверхности, не выходя в объемлющее пространство. Гаусс назвал эту теорему Theorema Egregium (выдающаяся теорема). Исследования Гаусса показали, что можно изучать внутреннюю геометрию поверхностей — их можно рассматривать без объемлющего пространства.
Гаусс указывает на тот факт, что полная кривизна геодезического треугольника (т. е. интеграл гауссовой кривизны по геодезическому треугольнику) равна тому, на сколько сумма его углов превосходит 180°. Бонне в 1867 г. обобщил это утверждение, рассматривая вместо геодезических треугольников замкнутые кривые общего вида; вместо суммы внешних углов геодезического треугольника при этом берётся интеграл геодезической кривизны по кривой. В такой общей формулировке это утверждение известно теперь под названием теорема Гаусса—Бонне.


90
Глава 7. Первая половина XIX века
В статье 1828 г. Гаусс доказал, что множество концов дуг одинаковой длины на геодезических, исходящих из одной точки поверхности, — это кривая, пересекающая все эти геодезические под прямым утлом (лемма Гаусса).
В лекциях 1851 г. Гаусс говорил о многомерной геометрии; в то время это понятие только начинало формироваться. Он рассматривал аффинные подпространства в многомерных пространствах, называя их многообразиями — Mannigfaltigkeit. Возможно, это повлияло на формирование концепции многомерного многообразия у Римана.
Теория вероятностей
Гаусс создал теорию ошибок, разрабатывая новые методы расчёта орбит. В 1809 г. в книге по небесной механике1 он доказал, что в классе одновершинных симметричных дифференцируемых распределений у (х — х0) существует единственное распределение, при котором оценка параметра сдвига х0 по принципу наибольшего правдоподобия совпадает со средним арифметическим, — нормальное (гауссово) распределение. В качестве следствия Гаусс получил, что плотность вероятности данного набора наблюдений достигает максимального значения при условии, что сумма квадратов уклонений наблюдённых значений от «истинного» значения измеряемой величины обращается в минимум. Так Гаусс обосновал принцип наименьших квадратов. Гаусс не считал принцип наибольшего правдоподобия наилучшим, поэтому он дал ещё одно обоснование принципа наименьших квадратов: в классе линейных оценок наименьшими дисперсиями обладают оценки, определяемые по методу наименьших квадратов.
Первая публикация, в которой принцип наименьших квадратов был явно сформулирован, принадлежит Лежандру (1805), но Лежандр его никак не обосновывал. Кроме того, в неопубликованных записках Гаусс применял метод наименьших квадратов задолго до появления публикации Лежандра.
Неевклидова геометрия
В рукописях Гаусса содержатся идеи, близкие к идеям Лобачевского и Бойяи, но он не решился опубликовать их, опасаясь быть непонятым. Уже в 1792 г. Гаусс начал сомневаться в доказуемости
1Теория движения небесных тел, вращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum).


Глава 7. Первая половина ХГХ века
91
пятого постулата Евклида и верить в возможность существования геометрии, отличной от евклидовой. Около 1816 г. он уже владел тригонометрией неевклидова (гиперболического) пространства.
В 1818 г. математик-любитель Швейкарт передал Гауссу через их общего знакомого, астронома Герлинга, работу о неевклидовой геометрии, которую он написал в 1816 г., продолжая исследования Ламберта. Швейкарт писал, что есть две геометрии: евклидова геометрия и «астральная» геометрия, в которой сумма углов треугольника меньше двух прямых. Швейкарт доказал несколько теорем астральной геометрии. Гаусс ответил Герлингу, что он согласен с теоремами Швейкарта.
Неопубликованные записки Гаусса относятся в основном к двум областям: эллиптическим функциям и неевклидовой геометрии. С1794 г. Гаусс пытался доказать пятый постулат. Он пришёл к выводу, что если площадь треугольника может быть сколь угодно велика, то пятый постулат верен. Но он не считал возможным принять аксиому о неограниченности площади треугольника. С 1813 г. Гаусс разрабатывал новую геометрию, которую он сначала назвал ан- тиевклидовой, затем астральной, и наконец — неевклидовой. Он пришёл к убеждению, что пятый постулат нельзя вывести из других аксиом Евклида.
Свои исследования по неевклидовой геометрии Гаусс не публиковал, но охотно обсуждал с близкими друзьями. В их числе были отец Яноша Фаркаш Бойяи, с которым они вместе учились в Гёттингене, и общий учитель Гаусса и Лобачевского Бартельс. Сохранилось письмо Гаусса Бойяи-старшему, в котором он писал о пятом постулате; с Бартельсом он также переписывался. Весьма вероятно, что идеи Гаусса оказали влияние на Яноша Бойяи и на Лобачевского.
В 1817 г. Гаусс писал астроному Ольберсу: «Я прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка» (цит. по: Гаусс. Отрывки из писем... // [12]. С. 103). Позднее он писал Тауринусу, что находит неевклидову геометрию вполне самосогласованной. Эта геометрия зависит от параметра, и чем этот параметр больше, тем ближе эта геометрия к евклидовой. Теоремы в этой геометрии кажутся парадоксальными. Например, какими бы большими ни были стороны треугольника, его площадь ограничена. Единственное, что может показаться неприемлемым, это существование абсолютной единицы длины. Но даже и это Гаусс не считает невозможным. В 1829 г. Гаусс пишет Бесселю, что его убеждённость в невозможности априорного обоснования геомет¬


92
Глава 7. Первая половина ХГК века
рии стала ещё сильнее, но он, скорее всего, не будет публиковать свои идеи, «опасаясь воплей беотийцев».
В 1841 г. Гаусс познакомился с немецким изданием «Геометрических исследований по теории параллельных линий» Лобачевского. В 1844 г. он сообщает Герлингу, что разыскал все сочинения Лобачевского, кроме «Новых начал геометрии с полной теорией параллельных», напечатанных в «Казанском вестнике» в 1829—1830 г.
До самой смерти Гаусс не сделал ни одного печатного или публичного устного заявления о возможности неевклидовой геометрии или о работах Лобачевского, Бойяи и Швейкарта. Он просил Таури- нуса не предавать гласности своё наиболее подробное высказывание о неевклидовой геометрии.
Работы Лобачевского и Бойяи в течение 30 лет не привлекали внимания. После смерти Гаусса были опубликованы его записки по неевклидовой геометрии и переписка на эту тему. Авторитет Гаусса привлёк внимание к неевклидовой геометрии.
В записках Гаусс делает предположение, что площадь треугольника, ограниченного тремя параллельными прямыми, равна £, и после этого (не позже 1819 г.) выводит формулу площади треугольника с углами А, Б и С следующим образом. Пусть площадь треугольника, ограниченного двумя лучами, угол между которыми равен (/?, и параллельной этим лучам прямой, равна /(180° — (/?). Рис. 7.1 показывает, что /(180° — (/0 + /(</0 = t. Далее, рис. 7.2 показывает, что /(180° — <р — я/0 + /(</0 + /0/0 = £. Следовательно, /((/?) + /(я/0 = = / (у? + я/0. Единственное непрерывное решение этого уравнения имеет вид /((/0 = const •</?. Кроме того, когда —» 0, мы получаем
треугольник, ограниченный тремя параллельными прямыми, по-
ipt
этому /(180°) = £. Следовательно, /(</0 = ^80° * ^ис* ^ показывает>
Рис. 7.1.
Рис. 7.2.
Рис. 7.3.


Глава 7. Первая половина XIX века
93
что а = /(А) = /3 = /(В) = и у = /(С) = щ?. Поэтому
площадь треугольника с углами А, В и С равна
180 ° —(А + В + С)
180° t-
Гауссу были известны и некоторые другие формулы неевклидовой геометрии. Например, формулу для угла параллельности вывели все трое: Гаусс, Лобачевский, Бойяи.
Топология
В записках Гаусса, относящихся к 1794 г., содержатся таблицы с диаграммами узлов. Для кодирования узлов Гаусс нумеровал перекрёстки и записывал последовательность номеров перекрёстков, встречающихся при обходе узла. Гауссовы диаграммы сейчас активно используются при построении инвариантов узлов.
В тетради, относящейся к электродинамике, Гаусс в 1833 г. ввёл коэффициент зацепления двух замкнутых кривых и представил его в виде интеграла.
Юзеф Гёне-Вронский (1776—1853)
При участии в восстании Костюшко Юзеф Гёне попал в плен и ему пришлось служить в русской армии до 1797 г. В 1800 г. он вступил в Польский легион во Франции и с 1810 г. жил в Париже; с этого же года он стал использовать псевдоним Вронский.
В 1810 г. Вронский ввёл ряды, которые он назвал универсальными. Они давали представление функции F (х) в виде ряда
FM = А0^о W + ^1^1 W +^2^2 W + ...,
где Г^(х) — некоторые функции от х. Вронский получил общее правило выражения коэффициентов А{ такого ряда через функциональный определитель, который имеет вид
к
к
/2 • /2 •
•• fn
■■ f
Jn
fin-1)
fin-1)
J 2
f(n-1)
Jn
Впоследствии этот определитель получил название вронскиан. Он играет важную роль в теории дифференциальных уравнений.


94
Глава 7. Первая половина ХГХ века
Вронский вообще занимался поисками универсальных формул решения любых уравнений, как алгебраических, так и дифференциальных. В 1812 г. он опубликовал книгу «Общее решение уравнений всех степеней» (Resolution generate des ёquations de tous les degres).
В 1827 г. Вронский опубликовал таблицу логарифмов, проявив исключительную изобретательность — семизначную таблицу логарифмов он уместил на одной странице размером 17 на 22 см.
Август Леопольд Крелль (1780—1855)
В 1826 г. Крелль основал «Журнал чистой и прикладной математики» (Journal fiir die reine und angewandte Mathematik). В первом томе этого журнала было опубликовано 5 статей Абеля, статья Якоби и несколько статей Штейнера. В третьем томе появляются работы Дирихле, Мёбиуса и Плюккера.
Фердинанд Карл Швейкарт (1780—1857)
В 1816 г. Швейкарт написал работу о неевклидовой геометрии, продолжая исследования Ламберта, и в 1818 г. передал её Гауссу через их общего знакомого — астронома Герлинга. Швейкарт писал, что есть две геометрии: евклидова геометрия и «астральная» геометрия, в которой сумма углов треугольника меньше двух прямых. В астральной геометрии сумма углов треугольника уменьшается при увеличении его площади; высота равнобедренного прямоугольного треугольника увеличивается при увеличении его боковых сторон, но при этом стремится к конечному пределу (в геометрии Лобачевского этот предел часто называют константой Швейкарта). Швейкарт не искал противоречия в астральной геометрии, он принял новое предположение и делал из него выводы. Гаусс ответил Герлингу, что он согласен с теоремами Швейкарта.
Неевклидовой геометрией активно занимался также племянник Швейкарта Тауринус.
Симеон Дени Пуассон (1781—1840)
В 1809 г. Пуассон показал, что любым двум первым интегралам уравнения движения можно сопоставить ещё один первый интеграл — их скобку Пуассона. Скобка Пуассона играет важную роль в гамильтоновой механике.
В 1813 г. он указал, что внутри притягивающего тела нужно заменить уравнение Лапласа АУ = 0, которое справедливо только вне


Глава 7. Первая половина XIX века
95
притягивающего тела, на уравнение AV = —4пр (уравнение Пуассона).
В 1820 г. представил решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге в виде интеграла, получившего название интеграл Пуассона.
В книге «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах» (Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et en matiere civile, 1837) Пуассон продолжил исследования Лапласа. Именно здесь впервые появилось распределение Пуассона. Оно описывает вероятность того, что к раз произойдёт случайное событие, вероятность р которого очень мала, но число
Хке~х -
испытании п очень велико; эта вероятность равна --^у—, где А —пр.
У предшественников Пуассона понятие случайной величины связывалось с результатами измерений. Именно Пуассон первым рассмотрел общее понятие случайной величины, не обязательно связанной с ошибками измерений. Пуассон ввёл понятие закон больших чисел; он понимал этот закон как приближённое равенство среднего арифметического большого числа случайных величин среднему арифметическому их математических ожиданий, но доказать это утверждение не смог. Пуассон доказал лишь обобщение теоремы Я. Бернулли для случая независимых испытаний, в которых событие происходит с вероятностями, зависящими от номера испытания.
Пуассон обнаружил свойство устойчивости распределения Коши и само это распределение за 20 лет до Коши.
С его именем связана также формула суммирования Пуассона
00 00
£ /(«)= £ /№),
п=-оо к=— оо
где / — преобразование Фурье функции /, т. е.
00
/(v)= / f(x)e~2nivxdx.
-00
Бернард Больцано (1781—1848)
Чешский философ и богослов Больцано в 1817 г. опубликовал брошюру, посвящённую доказательству того, что непрерывная функция на отрезке, принимающая в его концах значения разного знака, принимает нулевое значение. Больцано попытался построить


96
Глава 7. Первая половина XSX века
анализ без использования бесконечно малых. В этой брошюре дано близкое к современному определение непрерывности, а также определение производной. Кроме того, там определяется последовательность Коши и приводится критерий сходимости последовательности, ныне приписываемый Коши (у Коши он появился независимо от Больцано 4 года спустя), и теорема о существовании точной верхней грани ограниченного множества (эквивалентная формулировка: из ограниченной бесконечной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность; в таком виде эта теорема получила название теорема Больцано—Вейерштрасса).
Больцано ввёл понятия, впоследствии ставшие важными в топологии: окрестность, изолированная точка.
Книга «Парадоксы бесконечного» (Paradoxien des Unendlichen) была опубликована в 1851 г., через 3 года после смерти Больцано. Эту книгу Больцано начал писать в 1847 г. В ней впервые определяется множество (Menge); Больцано приводит пример взаимно однозначного соответствия между элементами бесконечного множества и элементами его собственного подмножества.
В неопубликованных записках Больцано есть пример непрерывной функции, не дифференцируемой ни в одной точке.
Шарль Жюльен Брианшон (1783—1864)
В 1806 г. Брианшон доказал теорему о шестиугольнике, описанном вокруг конического сечения, двойственную теореме Паскаля: диагонали шестиугольника, описанного вокруг коники, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона). При этом он опирался на полярное соответствие относительно конического сечения, сделав тем самым первый шаг к установлению общего принципа двойственности, тогда ещё неизвестного.
Фридрих Вильгельм Бессель (1784—1846)
Бессель известен прежде всего как астроном; в 1838 г. он открыл параллакс и использовал его для определения расстояния до одной из звёзд.
В1817 г. ввёл функции Бесселя, изучая движение трёх тел под действием общей гравитации. Функции Бесселя — это канонические решения уравнения Бесселя
а)


Глава 7. Первая половина XIX века
97
Число а называют порядком, и обычно рассматривают функции целого порядка п = а. Функцией Бесселя первого рода порядка п называют ограниченный при х = 0 интеграл Jn(x) уравнения (1), а функцией Бесселя второго рода порядка п называют неограниченный при х = 0 интеграл Yn(x) того же уравнения.
В1824 г. Бессель исследовал эти функции более подробно, изучая возмущения в движении планет. Функции Бесселя относятся к классу цилиндрических функций. Ранее цилиндрические функции встречались у Д. Бернулли, Эйлера, Лагранжа.
Шарль Дюпен (1784—1873)
Дюпен был морским инженером и участвовал в дальних плаваниях, поэтому публикация его результатов надолго задерживалась. Его работы опубликованы в двух книгах: «Развитие геометрии» (D6veloppements de geometrie, 1813) и «Приложения геометрии и механики» (Applications de geometrie et de mecanique, 1822).
Многие исследования Дюпена связаны с линиями кривизны. Так называют кривые на поверхностях, касательные к которым в каждой точке направлены по одному из двух главных направлений кривизны.
Ещё в 1800 г., в возрасте 16 лет, Дюпен, рассматривая огибающую семейства шаров, касающихся трёх данных шаров, пришёл к понятию циклиды Дюпена — поверхности, оба семейства линий кривизны которой являются окружностями.
Около 1807 г. он доказал теорему Дюпена: поверхности триор- тогональной системы пересекаются по линиям кривизны. В частности, линии кривизны эллипсоида — это пересечения эллипсоида с семейством софокусных с ним поверхностей второго порядка.
Для изучения кривизны нормальных сечений поверхности он ввёл индикатрису Дюпена, которая описывает локальное строение поверхности с точностью до членов второго порядка и позволяет наглядно представить и проанализировать поведение кривизны нормального сечения поверхности при вращении секущей плоскости вокруг нормали.
Эйлер получил следующее выражение для радиуса г кривизны произвольного нормального сечения через наибольший радиус /, наименьший радиус g и угол у между плоскостью произвольного сечения и плоскостью наибольшего сечения:


98
Глава 7. Первая половина ХГХ века
В 1813 г. Дюпен преобразовал эту формулу к более удобному виду:
1 1 2 ,1.2 - = у COS + - Sin if.
Формула Дюпена показывает, что часто бывает удобно заменить ра-
1
диус кривизны к на кривизну
Уильям Джордж Горнер (1786—1837)
Горнер в 1830 г. разработал следующий алгоритм вычисления значения многочлена Р(х) = а0 4- агх + а2х2 +... + апхп при заданном х. Запишем этот многочлен в виде
Р(х) = а0 + х(аг + х(а2 + ... + х(ап_г + апх)...)).
Пусть Ъп = ап, Ьп_! = ап_! + Ъпх, ..., bf = а{ + bi+1x, ..., Ь0 = а0 + Ьхх. Тогда Ь0 — это и есть искомое значение многочлена. Этот алгоритм получил название схема Горнера, хотя он задолго до Горнера применялся китайскими и арабскими математиками, а в Европе задолго до Горнера этот алгоритм опубликовал Руффини.
Такой же алгоритм можно применить для деления с остатком многочлена Р(х) = а0хп + а-^х71'1 + ... + ап_гх + ап на бином х - с. Пусть b0 = а0, bt = at + сЬ^_2. Тогда в результате деления получается многочлен b0xn_1 + Ъ1хп~2 + ... + Ъп_2х + Ъп_ъ а в остатке получается Ьл.
Жак Филипп Мари Бине (1786—1856)
Бине исследовал основы теории матриц. В 1811 г. он получил некоторые тождества для определителей матриц небольшого порядка. В 1812 г. открыл правило умножения матриц. В 1812 г. одновременно с Коши получил тождество, выражающее определитель произведения прямоугольных матриц как произведение сумм определителей (формула Бине—Коши).
Жан-Виктор Понселе (1788—1867)
В 1810 г. Понселе окончил Политехническую школу, где преподавали Монж, Карно и Брианшон. Как офицер наполеоновской армии, с 1813 по 1814 год он находился в плену в Саратове. В это время он вспоминал математику и сделал фундаментальные открытия в геометрии. Возвратившись из плена, Понселе мало занимался геометрией, обратившись к прикладным вопросам. Он является одним


Глава 7. Первая половина XIX века
99
из основоположников строительной механики, которой занимался гораздо больше, чем чистой математикой. На Всемирной выставке 1851 г. Понселе был избран председателем жюри секции машин и инструментов для промышленности.
В 1822 г. Понселе опубликовал «Трактат о проективных свойствах фигур» (Traite des proprietes projectives des figures); термин проективная геометрия происходит от названия этой книги. 40 лет спустя он опубликовал книгу «Приложения анализа и геометрии» (Applications d’analyse et de geontetrie) в двух томах (1862 и 1864). Обе эти книги основаны на его исследованиях, проведённых в русском плену.
Новизна подхода Понселе была в том, что он мало интересовался метрическими свойствами фигур. Его больше интересовали проективные свойства фигур, т. е. свойства, сохраняющиеся при проекциях. Понселе ясно показал, что следует выделить проективные свойства фигур, и определил проективную геометрию как науку о проективных свойствах фигур. В проективной геометрии он разработал теорию инволюций и гармонических наборов точек, но не теорию двойного отношения. Понселе не дал чёткого определения мнимых точек, но был первым, кто систематически пользовался ими. Он ввёл циклические точки —мнимые точки на бесконечно удалённой прямой, в которых пересекаются любые две окружности, и доказал, что фокусы конического сечения можно рассматривать как точки пересечения касательных к нему, проведённых из циклических точек.
Понселе дал общее определение полюса и поляры относительно коники (рис. 7.4) и показал, что свойство быть полюсом и поля-
Рис. 7.4.
рой —проективное. Он доказал, что если три точки лежат на одной прямой, то их поляры пересекаются в одной точке, и наоборот: если три прямые пересекаются в одной точке, то их полюсы лежат на одной прямой. Понселе полагал, что основой принципа


100
Глава 7. Первая половина ХГХ века
двойственности является полярное соответствие. Но при таком подходе требовалась вспомогательная коника. Жергонн (1825) настаивал, что принцип двойственности общий, и он не требует вспомогательной коники. Он также заметил, что принцип двойственности имеет место и в трёхмерном пространстве. Там точке двойственна плоскость, а прямой двойственна прямая. Принцип двойственности Жергонна был более глубокий: он считал, что прямые и точки — равноправные, взаимозаменяемые понятия. Жергонн начал рассматривать кривые, двойственные к кривым высших степеней. Сначала он допустил ошибку, на которую ему указал Понселе. Причина этой ошибки была в том, что Жергонн решил, что двойственная кривая имеет ту же степень, что и исходная кривая.
Понселе пользовался тем, что любая пара, состоящая из коники и прямой, проективно эквивалентна паре, состоящей из окружности и бесконечно удалённой прямой. При таком подходе очень просто определяются полюс и поляра относительно коники: всё сводится к случаю, когда в окружность вписан прямоугольник (его центр — полюс бесконечно удалённой прямой). Понселе объяснял, как это нужно понимать в том случае, когда прямая пересекает конику, вводя идеальные хорды. Основной его принцип (принцип непрерывности) при этом был такой: если какое-либо утверждение верно, когда некоторые величины произвольно меняются в некоторых пределах, то оно (возможно, после несложной переформулировки) верно всегда. Если же какие-то части фигур исчезают, то утверждение верно для остающихся частей. Понселе никогда не формулировал принцип непрерывности отчётливо, и этот принцип часто подвергался справедливым нападкам.
В трактате 1822 г. Понселе доказал много важных теорем. Например, он доказал, что если существует многоугольник, одновременно вписанный в одну данную конику и описанный около другой данной коники, то таких многоульников бесконечно много (теорема Понселе). Кроме того, он доказал, что все построения циркулем и линейкой можно выполнить одним циркулем, если задана окружность с отмеченным центром.
Для обсуждения рукописи трактата Понселе (опубликованого в 1822 г.) в 1820 г. была создана комиссия в составе Араго, Пуассона и Коши (председатель). Отчёт писал Коши, и Понселе опубликовал этот отчёт в качестве приложения к трактату. По поводу принципа непрерывности Понселе Коши писал, что применение его к кривым второго порядка даёт верные результаты, но в анализе этот принцип, как хорошо известно, неприменим. Коши объяснил, как можно


Глава 7. Первая половина XSX века
101
истолковать идеальные объекты Понселе, введя комплексные координаты. В целом комиссия весьма одобрительно отозвалась о трактате Понселе.
Мемуар о двойственности Понселе представил в 1824 г. Но Коши написал на него рецензию лишь в 1828 г., и публикация затянулась до 1829 г. А к тому времени некоторые ключевые идеи уже опубликовал Жергонн.
Интересы Понселе постепенно переместились в механику машин, где он также достиг выдающихся результатов.
Огюстен Луи Коши (1789—1857)
Коши был человеком строго клерикально-роялистских взглядов. После революции 1830 г. он вместе с Бурбонами отправился в изгнание. В 1838 г. он вернулся в Париж, но не мог занимать никакой государственной должности из-за отказа принести присягу новому режиму; он стал преподавателем в одной иезуитской коллегии. В1848 г. после новой революции он получил место в Сорбонне, хотя присяги так и не принёс.
В 1811 г. Коши получил новое доказательство теоремы Эйлера о многогранниках, основанное на проецировании многогранника на одну из его граней. В том же году он доказал, что выпуклый многогранник —жёсткая фигура, т.е. он полностью задаётся своими гранями.
В 1812 г. одновременно с Бине получил формулу, выражающую определитель произведения прямоугольных матриц в виде суммы определителей (формула Бине—Коши).
В 1814 г. представил в Академию мемуар, посвящённый вычислению определённых интегралов от вещественных функций с помощью интегралов от комплексных функций. В этом мемуаре появились формулы, которые впоследствии привели Коши к теории вычетов. В нём встречаются соотношения Коши—Римана. Коши доказывает, что интеграл аналитической функции по прямоугольному контуру равен нулю, и вычисляет интеграл по прямоугольному контуру в случае, когда функция имеет простейшую особенность — полюс. Он применяет это для вычисления некоторых определённых интегралов функций действительного переменного.
На основе неопубликованного мемуара 1814 г. Коши впоследствии подготовил и опубликовал два мемуара: «Об определённых интегралах, взятых между мнимыми пределами» (Memoire sur les integrates definies, prises entre des limites imaginaires, 1825) и «Об


102
Глава 7. Первая половина ХГХ века
определённых интегралах» (Memoire sur les integrates definies, 1827). В этих мемуарах Коши начал развивать общую теорию аналитических функций комплексного переменного и их интегрирования с помощью вычетов. К понятию вычета он пришёл, рассматривая разность между интегралами, взятыми по двум путям, которые имеют общие концы, но между которыми может быть заключён полюс функции. ъ
В мемуаре 1825 г. Коши определяет интеграл J f(z) dz как инте-
а
грал вдоль кривой, идущей из а в Ь, и доказывает, что если в некотором прямоугольнике функция конечна и непрерывна, то для любой кривой с концами а и Ь, расположенной в этом прямоугольнике, интеграл один и тот же. При доказательстве Коши пользуется производной f\z) и даже непрерывностью производной, но в формулировке ничего об этом не говорит. Он был убеждён, что любая непрерывная функция дифференцируема, а производная функции может быть разрывной лишь в тех точках, в которых разрывна сама функция. По-видимому, это было связано с тем, что под функцией Коши понимал некоторое аналитическое выражение, представленное формулой. Затем Коши изучает, что происходит, когда между путями есть особая точка — сначала простой полюс, затем кратный полюс. В 1827 г. вместо прямоугольных контуров Коши начинает рассматривать окружности.
В 1815 г. Коши рассмотрел определитель матрицы Якоби1 порядка 3; привёл выражение объёма параллелепипеда в виде определителя матрицы, элементы которой — координаты векторов рёбер.
В том же году был издан «Мемуар о числе значений, которые может принимать функция, если переставлять всеми способами содержащиеся в ней величины» (Memoire sur le nombre des valeurs qu’une fonction peut acquerir lorsqu’on у permute de toutes les manieres possibles les quantites qu’elle renferme), который Коши написал в 1812 г. В этой работе он доказал, что если число значений равно р, а число аргументов равно гг, то р равно либо 1, либо 2, либо больше или равно п. Другими словами, индекс подгруппы симметрической группы Sn может быть 1, 2 или больше или равен п. В этой работе Коши строго доказал свойства определителей, установленные Ван- дермондом для матриц малого порядка, и рассмотрел определитель Вандермонда произвольного порядка п (сам Вандермонд рассматривал такие определители только порядка 3). В1844—46 годах Коши
1Якоби впервые рассматривал такие определители, получившие название якобианов, в 1829 г., а подробно — в 1832 и 1833 г.


Глава 7. Первая половина ХГХ века
103
публикует целую серию статей и заметок о группах, состоящих из перестановок. Наиболее известна следующая теорема Коши: если порядок группы делится на простое число р, то в ней есть подгруппа порядка р (без доказательства это утверждение приводит Галуа). Коши доказал также, что любая чётная перестановка является произведением 3-циклов; множество элементов группы, перестановочных с данным элементом, образует подгруппу (теперь эту подгруппу называют централизатором этого элемента). В 1815 г. Коши определил симметрические функции, позже получившие название функций Шура.
В том же году Коши доказал, что любое натуральное число можно представить в виде суммы п-угольных чисел в количестве не более п; без доказательства это утверждал Ферма.
В 1821 г. Коши опубликовал «Курс анализа. Часть 1. Алгебраический анализ» (Cours cTAnalyse de TEcole Royale Polytechnique. lre Partie. Analyse Algebrique). Под алгебраическим анализом он понимал исследование элементарных функций, в том числе и в комплексной области, и теорию бесконечных рядов. Название также отражает стремление Коши к алгебраизации математики (в этой книге, как и у Лагранжа, нет рисунков). Уже давно известный материал Коши впервые излагает на основе чётких определений предела и непрерывности. Он подробно излагает учение о сходимости бесконечных рядов, даёт критерии сходимости. Исследуя степенной ряд апхп, Коши устанавливает, что этот ряд сходится
или расходится в зависимости от того, меньше или больше модуль числа х, чем 1/А, где А —верхний предел последовательности \J\an\. Коши доказывает, что в комплексной плоскости степенной ряд имеет круг сходимости. Главный недостаток этой книги — отсутствие понятия равномерной сходимости на отрезке, что привело к неверному утверждению, будто сумма сходящегося в каждой точке ряда непрерывных функций непрерывна.
В «Курсе анализа» Коши доказал, что непрерывная функция ip (х), удовлетворяющая функциональному уравнению + у) = </?(*) +
+ У (.у), имеет вид ip(x) = Ах, где А — некоторая константа.
Обоснованию исчисления бесконечно малых посвящён и «Конспект лекций по анализу бесконечно малых» ^sume des lemons donnees a l’Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinit6simal, 1823). Здесь впервые появляются знаменитые е и 5, с помощью которых впоследствии Вейерштрасс дал общепринятое ныне определение непрерывности функции. Но сам Коши определяет непрерывность функции следующим образом: функция непрерывна, если бесконеч¬


104
Глава 7. Первая половина ХГХ века
но малое изменение переменной всегда приводит к бесконечно малому изменению самой функции. Интеграл непрерывной функции /(х) определяется как предел интегральных сумм. Коши разбивает отрезок [х0,Х] точками х1,...,хп_1 и рассматривает интегральную
п
сумму ^ (х* — Xi-Jfix^) (полагая хп = X). Он доказывает, что ко-
i=1
гда п —> оо и все разности xf — х(_г стремятся к нулю, интегральная сумма стремится к пределу (не зависящему от выбора разбиения). Он отметил также, что значения функции /(х) можно брать не только в левых концах отрезка, но и в любых точках отрезка. Но ограничение, что функция /(х) непрерывна, оказалось слишком неудобным, и впоследствии появились определения Римана, Лебега и других, пригодные не только для непрерывных функций.
Коши определил главное значение интеграла следующим образом. Пусть функция /(х) не ограничена в точке £, где а < £ <Ъ. Тогда главное значение интеграла функции /(х) на отрезке от а до Ъ — это предел
rZ-e ь
liml / /(x)dx+ / /(x)dx
е~* ^ а %+е
Это определение, долгое время не привлекавшее внимания, оказалось впоследствии очень важным, например, в теории интегральных уравнений.
В этой книге Коши привёл пример бесконечно дифференцируемой функции е-1/* , не равной своему ряду Тейлора. До этого примера математики (в частности, Лагранж) обычно верили, что бесконечно дифференцируемая функция сходится к своему ряду Тейлора.
Во второй части этих лекций (1824) Коши доказал существование решения уравнения ^ = /(х,у), принимающего при заданном х0 заданное значение у0. Доказательство проводится с помощью ломаных, аппроксимирующих решение. Доказательство того, что ломаные сходятся к решению (при условии, что функции /(х, у) д/ (х, у )
и ——— непрерывны), аналогично доказательству существования определённого интеграла в первой части лекций. В мемуаре 1835 г. Коши приводит другое доказательство на основе сходимости рядов. Для этого он строит в явном виде мажоранты решений (обычно в качестве мажорирующего ряда используется некоторая геометрическая прогрессия), в связи с чем второй метод Коши часто называют методом мажорант. Нахождение решения дифференци¬


Глава 7. Первая половина XIX века
105
ального уравнения с заданными начальными условиями получило название задача Коши.
С 1826 по 1830 г. чрезвычайно продуктивно работающий Коши издавал собственный ежемесячный математический журнал «Exercices de Matlrematiques», единственным автором которого был он сам (обычно в номере было 32 страницы).
В 1829 г. Коши показал, что квадратичную форму от многих переменных можно привести к диагональному виду ортогональным преобразованием. Он также доказал, что корни векового уравнения действительны (Лагранж и Лаплас доказали это в некоторых частных случаях, которые представляли для них интерес).
В1831 г. Коши доказал, что функция, голоморфная в окрестности точки z = а, представляется степенным рядом от z — а, сходящимся внутри наибольшего круга, в котором эта функция голоморфна.
С 1831 по 1853 г. Коши опубликовал около 10 мемуаров, посвящённых математической обработке наблюдений и теории вероятностей. В1853 г. Коши доказал центральную предельную теорему, а также пришёл к распределению Коши, за 20 лет до этого исследованному Пуассоном.
В1844 г. Коши доказал, что голоморфная функция, ограниченная по модулю на всей плоскости, постоянна. Этим он обобщил теорему Лиувилля (доказанную ранее в том же году) о том, что голоморфная двоякопериодическая функция постоянна. Сейчас теоремой Лиувилля обычно называют именно теорему, доказанную Коши.
В 1846 г. Коши доказал, что интеграл голоморфной функции не зависит от выбора пути. При доказательстве он использовал интегральные теоремы Гаусса и Грина. Гаусс доказал эту теорему в 1811 г., но сообщил её только в письме к Бесселю.
В 1853 г. показал, что непрерывная функция комплексного переменного дифференцируема только тогда, когда выполняются условия Коши—Римана.
Август Фердинанд Мёбиус (1790—1868)
Мёбиус в «Барицентрическом исчислении» (Der barycentrische Calctil, 1827) ввёл барицентрические (однородные) координаты. Если на плоскости фиксирован треугольник ABC, то любую точку D плоскости можно задать как центр масс (барицентр) вершин этого треугольника с какими-то массами (которые могут быть отрицательными и равными нулю). При умножении всех масс на одно и то же число точка не меняется, поэтому координаты однородные в том


106
Глава 7. Первая половина ХЗХ века
смысле, что они определены с точностью до пропорциональности. В таких координатах уравнение алгебраической кривой однородное.
Мёбиус ввёл знаки не только для отрезков, но и для площадей и объёмов. Он показал, что в качестве барицентрических координат точки D относительно треугольника ABC можно взять площади треугольников DBC, ADC и ABD; для точек внутри треугольника эти площади положительные, а для точек вне треугольника площади нужно брать со знаком.
Мёбиус заметил, что точки, для которых сумма барицентрических координат равна нулю, бесконечно удалённые. Проективные преобразования — это линейные преобразования однородных координат.
Заканчивая работу над книгой, Мёбиус узнал о работах французских математиков, сопоставляющих точке прямую и наоборот. Он предложил делать это следующим образом: рассмотреть две плоскости и сопоставить прямой на одной плоскости, заданной в однородных координатах уравнением ах + by+ cz = 0, точку с однородными координатами [а : b : с] на другой плоскости.
В 1828 г. Мёбиус обнаружил, что существуют пары тетраэдров ABCD и A1B1C1D1, которые вписаны друг в друга, т. е. точки А и А1 лежат в плоскостях B1C1D1 и BCD соответственно и т.д. Такие пары тетраэдров называют тетраэдрами Мёбиуса. Мёбиус также доказал, что если семь из восьми вершин двух тетраэдров лежат в соответствующих плоскостях граней, то восьмая вершина также лежит в соответствующей плоскости грани.
В 1831 г. Мёбиус систематически изучил так называемую функцию Мёбиуса ju(n) и связанные с ней формулы обращения. Эта функция определяется следующим образом: /Д1) = 1; /х(п) = 0, если п делится на полный квадрат, отличный от 1; /х(п) = (—1)к, если п является произведением к различных простых чисел. Формула обращения Мёбиуса выглядит следующим образом: пусть a(n) = J] b(d), тогда b(n) = ][]/i(n/d)a(d). d|n
d|n
В 1855 г. в работе «Теория кругового сродства в чисто геометрическом изложении» (Die Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung) Мёбиус построил общую теорию круговых преобразований, переводящих окружности в окружности, после того как Лиувилль в 1850 г. доказал, что конформные преобразования пространства являются аналогом не конформных, а круговых преобразований плоскости. Круговые преобразования теперь обычно называют преобразованиями Мёбиуса.


Глава 7. Первая половина ХГХ века
107
В1863 г. Мёбиус получил классификацию поверхностей, вложенных в трёхмерное пространство (без самопересечений). Он обсуждал, что нужно понимать под отображением поверхностей, переводящим окрестность точки в окрестность её образа, и полагал, что это определение можно сделать точным, используя бесконечную последовательность разбиений поверхностей на конечное число многоугольников.
В неопубликованных записках Мёбиуса, относящихся к 1858 г., встречается понятие неориентируемости и пример неориентируе- мой поверхности—лист Мёбиуса. Неопубликованные записки Листинга на ту же тему были сделаны на несколько месяцев раньше. Листинг опубликовал свою работу в 1861 г., а Мёбиус лишь в 1865 г. (но в 1861 г. Мёбиус подавал работу, содержащую описание листа Мёбиуса, на конкурс Парижской академии; эта работа не была удостоена премии). В статье 1865 г. Мёбиус описал задание ориентации поверхности, разбитой на многоугольники: он описал, как задаётся ориентация на границе многоугольника, и считал ориентации соседних многоугольников согласованными, если на общей части их границ ориентации противоположны. В качестве примера неориен- тируемой поверхности привёл лист Мёбиуса.
Мёбиус первым ввёл в рассмотрение уникурсалъные кривые, координаты которых задаются рациональными функциями параметра. Название связано с тем, что такую кривую можно нарисовать на плоскости, не отрывая пера. В частности, Мёбиус получил рациональные параметризации конических сечений.
Николай Иванович Лобачевский (1792—1856)
В начале 1800-х годов математики были убеждены, что евклидова геометрия — правильная идеализация свойств физического пространства, хотя Ньютон в «Началах натуральной философии» отмечал, что абстрактное математическое пространство отлично от воспринимаемого нашими чувствами пространства. Предпринимались попытки построить арифметику, алгебру и анализ, логические обоснования которых были шаткими, на основе евклидовой геометрии. Юм считал, что законы евклидовой геометрии не обязаны быть физическими истинами, но его влияние было не так велико, как влияние Канта. Кант считал законы евклидовой геометрии априорными синтетическими истинами и утверждал, что физический мир евклидов. Общим мнением было, что евклидова геометрия единственна и необходима. Но с самого начала мате¬


108
Глава 7. Первая половина ХГХ века
матики были недовольны сложной и неочевидной формулировкой пятого постулата и пытались либо заменить его на более очевидное утверждение, либо вывести его из остальных аксиом и постулатов Евклида.
Пятый постулат из «Начал» Евклида сыграл важную роль в развитии геометрии. Его формулировка гораздо сложнее формулировок остальных постулатов и аксиом, поэтому многие математики, начиная с древних времен, пытались доказать пятый постулат, т. е. вывести его как теорему из остальных аксиом Евклида. Но все эти попытки оказались неудачными. В предлагаемых доказательствах либо обнаруживались ошибки, либо пятый постулат неявно заменялся другой эквивалентной ему аксиомой, например:
• множество всех точек плоскости, расположенных по одну сторону от прямой и равноудаленных от неё, есть прямая, параллельная данной (Посидоний, I в. до н. э.);
• если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (Прокл, 410—485);
• две сближающиеся прямые не могут начать расходиться (Омар Хайям, 1048-1131);
• существует треугольник, подобный, но не равный другому треугольнику (Саккери, 1667—1733);
• существует хотя бы один прямоугольник (Клеро, 1713—1765);
• существует хотя бы один треугольник, у которого сумма углов не меньше 180° (Лежандр, 1752—1833);
• через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность (Фаркаш Бойяи, 1775—1856).
Ответ на вопрос о возможности доказательства пятого постулата был получен лишь в XIX в. Огромную роль в решении этой проблемы сыграл Николай Иванович Лобачевский.
Вся сознательная жизнь Лобачевского, родившегося в Нижнем Новгороде, связана с Казанью и Казанским университетом. Сначала он учился в Казанской гимназии, потом поступил в Казанский университет. Большое влияние на Лобачевского оказал Бартельс, учитель и друг Гаусса. В 1816 г. Лобачевский стал профессором Казанского университета, а с 1827 г. до 1846 г. был ректором.
Лобачевский, как и многие его предшественники, пытался доказать пятый постулат Евклида методом от противного. Не используя пятый постулат, можно доказать, что через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, не пересекающую данную. Из пятого постулата можно вывести, что такая прямая только одна. Лобачевский же предположил, что таких прямых мож¬


Глава 7. Первая половина XIX века
109
но провести несколько, и, исходя из этого, стал пытаться получить утверждение, противоречащее другим аксиомам или выведенным из них теоремам. Если бы такое утверждение удалось получить, то это означало бы, что предположение неверно, а потому через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную. Таким образом, пятый постулат был бы доказан.
Но Лобачевский не получил утверждений, противоречащих другим аксиомам. Он понял, что пятый постулат не следует из других аксиом Евклида, а из полученных им утверждений складывается стройная и глубокая теория. Из этого Лобачевский сделал фундаментальный вывод: можно построить другую геометрию, отличную от геометрии Евклида. Впоследствии эта геометрия получила развитие в трудах Бельтрами, Пуанкаре и Клейна. Важнейшую часть этой геометрии составляют доказанные Лобачевским утверждения, поэтому её часто называют геометрией Лобачевского. Другое её название — гиперболическая геометрия. Она во многом отличается от евклидовой геометрии. Так, в геометрии Лобачевского нет подобных, но не равных друг другу треугольников; нет ни одного прямоугольника; сумма углов любого треугольника меньше 180°; площадь треугольника не может быть сколь угодно велика.
Сообщение об открытии новой геометрии Лобачевский сделал в феврале 1826 г. на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета. Этот доклад вошёл в первую публикацию Лобачевского по неевклидовой геометрии — статью «О началах геометрии» (Казанский вестник, 1829—1830). Затем в «Учёных записках Казанского университета» Лобачевский опубликовал работы «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836) и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1835—1838). В1840 г. в Берлине вышла книга Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных линий» на немецком языке. В1855 и 1856 г. Лобачевский издал в Казани на русском и французском языках книгу «Пангеометрия».
Независимо от Лобачевского к аналогичному открытию пришёл венгерский математик Янош Бойяи, но он опубликовал свои результаты лишь в 1832 г. В рукописях Гаусса содержатся идеи, близкие к идеям Лобачевского и Бойяи, но он не решился опубликовать их, опасаясь быть непонятым.
Построение своей геометрии Лобачевский начал следующим образом. Проведём из точки А перпендикуляр AD к прямой ВС


110
Глава 7. Первая половина ХГХ века
(рис. 7.5). Прямая АЕ, перпендикулярная к прямой AD, не пересекает прямую ВС. Между прямыми вида AF, пересекающими прямую ВС, и прямыми вида AG, не пересекающими эту прямую, есть граничная прямая АН. Лучи АН и DC Лобачевский называет параллельными, а угол HAD называет углом параллельности и обозначает его П(р), где р = AD — расстояние от точки Л до прямой ВС. Пятый постулат Евклида эквивалентен предположению о том, что угол параллельности прямой, а предположение Лобачевского заключается в том, что угол параллельности острый.
Прежде всего Лобачевский доказывает, что при таком предположении сумма углов треугольника меньше п. Затем он приступает к исследованию угла параллельности и показывает, что функция П(р) убывает с увеличением р и изменяется от — до 0, когда р изменяется от 0 до оо.
Лобачевский доказывает, что в треугольнике серединные перпендикуляры к сторонам либо попарно не пересекаются, либо все пересекаются в одной точке, а если два перпендикуляра параллельны, то все они параллельны друг другу. В связи с этим он рассматривает орицикл — кривую, для которой серединные перпендикуляры ко всем её хордам попарно параллельны (рис. 7.6). Таким образом, орицикл — это кривая, перпендикулярная семейству параллельных прямых на плоскости. Орицикл можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса.
Аналогично орициклу определяется орисфера — поверхность, перпендикулярная семейству параллельных прямых в пространстве. Лобачевский показал, что геометрия на орисфере евклидова.
В
/
орицикл
Рис. 7.5.
Рис. 7.6.


Глава 7. Первая половина XIX века
111
После этого Лобачевский получает для треугольников своей геометрии аналоги формул обычной тригонометрии. Сначала для функции ПО) Лобачевский получает следующее выражение: П(х) = = 2arctge“*/fc, где к — некоторая постоянная. Эта постоянная — абсолютный отрезок, который можно выбрать в качестве выделенной единицы длины. Таким образом, есть семейство разных геометрий Лобачевского, зависящее от к. Эта зависимость аналогична тому, что геометрия на сфере зависит от радиуса сферы.
В формулы для треугольников в геометрии Лобачевского длины сторон входят как аргументы функции П(х). Например, в прямоугольном треугольнике гипотенуза с, катет а и противолежащий ему угол А связаны соотношением tgn(c) = tgn(a) sin А.
Лобачевский вычислил длину окружности и длину дуги орицикла, а также выражение для длины дуги произвольной кривой и площади произвольной фигуры на плоскости; затем выражение для площади поверхности и объёма тела. Приравнивая разные выражения площади или объёма одной и той же фигуры, Лобачевский вычисляет некоторые новые, не вычисленные до него интегралы.
Для выяснения того, какой именно геометрией является геометрия Вселенной, Лобачевский предложил следующую схему астрономических наблюдений. Если геометрия Вселенной неевклидова, то при наблюдении из точки А параллакс звезды, находящейся на перпендикуляре AS к плоскости эклиптики, не может быть сколь угодно малым: он ограничен снизу числом ~ — П(а), где а—диаметр орбиты Земли (рис. 7.7; на этом рисунке прямая I параллельна прямой AS). Взяв наименьший из всех параллаксов звёзд, доступных наблюдению, мы можем оценить снизу единицу длины к
Рис. 7.7.


112
Глава 7. Первая половина ХГХ века
и оценить отклонение параметров треугольников в геометрии Лобачевского от треугольников в евклидовой геометрии. Полученные Лобачевским оценки отклонений оказались слишком малыми, чтобы их можно было измерить.
Лобачевский приводил следующий довод в защиту непротиворечивости своей геометрии. Она основана на формулах для треугольников, которые сводятся к обычным формулам сферической геометрии при замене а, Ь, с на ia, ib, ic. Поэтому любое противоречие в его геометрии приводило бы к противоречию в сферической геометрии, а это означало бы противоречие в евклидовой геометрии.
При жизни Лобачевского его работы по неевклидовой геометрии были оценены только Гауссом, по рекомендации которого в 1842 г. Лобачевский стал членом-корреспондентом Гёттингенского учёного общества. Но публично с оценкой новой геометрии Гаусс не выступил.
В1834 г. Лобачевский открыл метод приближённого вычисления корней алгебраического уравнения. Независимо от него этот метод открыли Данделен и Карл Генрих Греффе (1799—1873).
Мартин Ом (1792-1872)
Брат Георга Ома, в честь которого названа единица измерения сопротивления. В 1835 г. Мартин Ом ввёл термин золотое сечение.
Джордж Грин (1793—1841)
Английский математик-самоучка Грин работал на мельнице. Интегральную теорему, носящую его имя, он опубликовал в брошюре, изданной им за свой счёт в 1828 г. В этой работе Грин ввёл термин потенциал и исследовал общие свойства потенциала. В этой же работе введена функция Грина (функция Грина G(x,s) для дифференциального оператора L позволяет находить решение уравнения Lu(x) =/(*) в виде и(х) = / G(x,s)/(s) ds).
Для оператора Лапласа
д vu.uu.uu.
д^ + д^+ а?
Грин вывел формулу
/Я(uAv ~ vAu)dxdydz = ff (и^ - u^j ds.


Глава 7. Первая половина ХГХ века
113
Эта работа оставалась незамеченной, пока в 1850 г. на неё не обратил внимание лорд Кельвин (Уильям Томсон).
В том же самом 1828 г. эту формулу доказал Остроградский.
Мишель Шаль (1793-1880)
В 1831 г. Шаль доказал, что любое собственное движение в про- странстве является винтовым движением, т. е. композицией поворота вокруг некоторой прямой и переноса вдоль этой прямой. Шаль получил также классификацию движений плоскости: сохраняющее ориентацию движение является либо поворотом, либо параллельным переносом, а меняющее ориентацию движение является скользящей симметрией.
В 1837 г. Шаль опубликовал «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов» (Apergu historique sur Forigine et le developpement des nrethodes en geometrie). В этом трактате он впервые выявил роль Евклида, Паппа, Дезарга и других математиков в создании проективной геометрии. Трактат содержит также много оригинальных результатов (они занимают более половины книги).
В 1850 г. Шаль заметил, что две прямые на евклидовой плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда бесконечно удалённые точки этих прямых гармонически сопряжены относительно циклических точек.
В 1852 г. Шаль опубликовал «Трактат по высшей геометрии» (Traite de gёomёtrie зирёпеиге). В этой книге он ввёл двойное отношение и инволюции (проективные преобразования прямой, квадрат которых тождествен). В книге «Трактат о конических сечениях» (Traite des sections coniques, 1865) он применил эту технику к коническим сечениям.
Шаль строил проективную геометрию на основе понятия двойного отношения четырёх точек, лежащих на одной прямой. (Сам он использовал термин ангармоническое отношение, потому что случай, когда это отношение равно —1, соответствует тому, что древнегреческие геометры называли гармоническими четвёрками точек.) Шаль показал, что двойное отношение сохраняется при проекциях. Он рассматривал величины направленных отрезков и чётко использовал принцип знаков, поэтому его построение проективной геометрии, во многом схожее с построением Штейнера, было более совершенным.


114
Глава 7. Первая половина ХГХ века
Шаль показал, что любую конику можно задать следующим образом. Фиксируем точки A,B,C,D. Тогда множество точек Р, для которых постоянно двойное отношение прямых РА, РВ, PC, PD, — это коника, проходящая через точки А, В, C,D (рис. 7.8). Шаль использовал также другое задание коники (вероятно, независимо от Штейнера). Рассмотрим три точки Л, В, С и ещё две точки О и О'. Через точку О проводится произвольная прямая Z, а через точку О' проводится прямая V так, что двойное отношение прямых ОА, ОВ, ОС, I равно двойному отношению прямых O'А, О'В, O'C, V. Тогда точки пересечения прямых I и V заметают конику. (Эта коника проходит через точки А, В, С, О и О', рис. 7.9.) В отличие от Штейнера, изучая коники, Шаль рассматривал не только вещественные элементы, но и мнимые.
В1864 г. Шаль дал правильный ответ на вопрос Штейнера: сколько коник касается пяти данных коник? Штейнер считал, что их 7776, но правильный ответ другой: 3264.
Жерминаль Пьер Данделен (1794—1847)
Бельгийский математик Данделен в «Мемуаре о некоторых замечательных свойствах параболической фокали» (Memoire sur quelques proprietes remarquables de la focale parabolique, 1822) доказал, что фокусы конического сечения можно определить как точки касания плоскости сечения со сферами (для параболы —с одной сферой), вписанными в конус (рис. 7.10). Директрисы конического сечения являются линиями пересечения той же плоскости с плоскостями окружностей, по которым сферы касаются конуса.
В1826 г. Данделен обобщил эту теорему, заменив конус на гиперболоид вращения; он также связал шестиугольники Паскаля и Бри-


Глава 7. Первая половина ХГХ века
115
Рис. 7.10.
аншона с шестиугольниками, составленными из образующих гиперболоида.
В том же году он разработал способ приближённого вычисления корней алгебраических уравнений. Позже этот метод независимо открыли Лобачевский (1832) и Греффе (1837), и он получил название метод Лобачевского—Греффе.
В 1827 г. изучал стереографическую проекцию сферы на плоскость.
Франц Адольф Тауринус (1794—1874)
Племянник Швейкарта Тауринус опубликовал две книги, в которых развивал идеи своего дяди: «Теория параллельных прямых» (Theorie der Parallellinien, 1825) и «Элементарная геометрия» (Geo- metriae prima elementa, 1826). Во второй книге Тауринус допускает, что существует геометрия, в которой сумма углов треугольника


116
Глава 7. Первая половина ХГХ века
меньше двух прямых углов. Он называет эту геометрию логарифми- ко-сферической. Он признаёт, что отсутствие противоречий в этой геометрии означает, что она внутренне согласованна.
Тауринус применил тригонометрический подход, развивая идею Ламберта о сфере мнимого радиуса. Он взял известные формулы для треугольника на сфере радиуса к:
а Ъ с . . Ъ . с .
cos -г = cos 7 cos f + sin у sin у cos A, к к к к к 9
соsA = — cos Б cos С + sin В sin С cos у
к
и формально заменил к на ik. В результате он получил формулы для треугольников в новой геометрии (эти формулы действительно имеют место для треугольников в геометрии Лобачевского). Тауринус показал, что эти формулы согласуются с астральной геометрией его дяди и даже выразил с их помощью константу Швейкарта через к.
Но в действительности Тауринус хотел доказать пятый постулат. В первой из своих книг он привёл 10 причин, по которым астральная геометрия не может быть геометрией пространства. Его доводы были неубедительны. Например, он полагал, что если астральная геометрия верна, то евклидова геометрия должна быть неверна, с чем он не мог согласиться. Гаусс счёл работы Тауринуса неполными и противоречивыми.
Бенжамен Оленд Родриг (1795—1851)
В 1815 г. в работе «Исследования по аналитической теории линий и радиусов кривизны поверхностей» (Recherches sur la theorie analytique des lignes et des rayons de courbure des surfaces...) Родриг получил ряд результатов и формул, связанных с линиями кривизны, в частности так называемые формулы Родрига
дп _ т _дГ_ ди1' “ ‘ ди{ 9
выражающие частные производные вектора нормали п к поверхности по главным направлениями и1 и и2 через частные производные радиус-вектора г и главные кривизны кг и к2.
С помощью сферического отображения поверхности Родриг ещё до Гаусса рассмотрел отношение площадей соответствующих бесконечно малых областей на сфере и на поверхности и получил величину, названную впоследствии гауссовой кривизной. Родриг доказал,


Глава 7. Первая половина ХГХ века
117
что гауссова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн.
В 1816 г. Родриг получил формулу
РМ= 1 <№-!)*]
2 Пп\ dxn
для многочленов Лежандра.
В 1840 г. Родриг получил формулу для композиции вращений трёхмерного пространства.
Родриг нашёл также производящую функцию для числа перестановок п элементов, имеющих данное число инверсий.
Габриэль Ламе (1795—1870)
С 1820 по 1832 г. Ламе преподавал в Санкт-Петербурге.
В книге «Исследование различных методов решения геометрических задач» (Examen des differentes methodes employees pour resoudre les problemes de geometrie, 1818) он впервые решил многие
задачи аналитической геометрии. В этой книге впервые встречает-
х у Z
с я уравнение плоскости в виде - + + - = 1.
В 1840 г. Ламе впервые применил криволинейные координаты в пространстве, исследуя задачу о распространении тепла. Записал уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах и решил полученное уравнение с помощью разделения переменных.
В 1859 г. ввёл так называемые функции Ламе.
Доказал, что уравнение х7 4- у7 = z7 не имеет решений в натуральных числах.
Доказал также, что число делений в алгоритме Евклида не больше количества цифр наименьшего из чисел, умноженного на 5.
Якоб Штейнер (1796—1863)
Якоб Штейнер родился в семье швейцарского пастуха, и только в 14 лет научился писать; с 17 лет учился в школе Песталоцци. Штейнер полагал, что геометрию лучше всего изучать, размышляя о воображаемых образах. Он отвергал не только применение алгебры и анализа, но и чертежи.
В1827 г. Штейнер показал, что четыре высоты тетраэдра принадлежат одному гиперболоиду.
Основной труд — «Систематическое развитие зависимости геометрических образов друг от друга» (Systematische Entwickelung


118
Глава 7. Первая половина ХГХ века
der Abhangigkeit geometrischer Gestalten von einander, 1832). Образом первой степени является, в частности, пучок прямых. Штейнер определяет конику как множество точек пересечения соответственных прямых в двух проективных пучках прямых. В своих доказательствах он часто использовал двойное отношение. Существенным недостатком работ Штейнера было то, что у него не было чёткого применения принципа знаков и мнимые элементы он не использовал.
Штейнер дал определение двойственной коники как семейства прямых и общее определение двойственной кривой как семейства касательных. В этом смысле теореме Паскаля двойственна теорема Брианшона.
В 1822 г. Понселе доказал, что все построения циркулем и линейкой можно выполнить одной линейкой, если задана окружность с отмеченным центром. В 1833 г. Штейнер получил более изящное доказательство этого факта. В предисловии к книге о построениях одной линейкой Штейнер написал, что он доказал гипотезу, высказанную французским математиком.
В 1840 г. Штейнер вычислил объём тела, состоящего из точек, удалённых от данного многогранника на расстояние не больше h.
В 1842 г. Штейнер опубликовал работу о геометрических максимумах и минимумах. Там, в частности, элементарными методами исследована изопериметрическая задача. Штейнер привёл пять разных доказательств, но все они предполагали, что решение изопериметрической задачи существует. В одном из этих доказательств вводится симметризация Штейнера — замена многоугольника (или многогранника) на симметричный относительно прямой многоугольник (или симметричный относительно плоскости многогранник) с соответственно равными сечениями всеми прямыми, перпендикулярными оси (плоскости) симметрии.
Дирихле много раз пытался убедить Штейнера, что его доказательство неполно, но Штейнер с этим не соглашался, и лишь несколько лет спустя написал, что для завершения доказательства нужно предположить, что существует наибольшая фигура. Существование наибольшей фигуры доказал Вейерштрасс в своих лекциях 1870 г. Прямое решение изопериметрической задачи, без обращения к существованию наибольшей фигуры, получили Каратеодори и Штуди в совместной работе (1909). Шварц (1884) получил строгое решение изопериметрической задачи в трёхмерном пространстве.
Штейнер задался вопросом, существует ли отличная от квадрики поверхность, все плоские сечения которой — коники? В сечении


Глава 7. Первая половина ХГХ века
119
могут получаться пары коник, но не могут получаться прямые или кубические кривые. В 1844 г., будучи в Риме, он придумал пример такой поверхности; её называют римской поверхностью или поверхностью Штейнера.
В1853 г., исследуя двойные касательные к кривым четвёртой степени, Штейнер ввёл так называемые системы Штейнера S(t,fc,n). Система Штейнера —это такой набор fc-элементных подмножеств (блоков) в п-элементном множестве, что любое t-элементное подмножество содержится ровно в одном блоке. Аффинная и проективная плоскости над полем из q элементов являются примерами систем Штейнера типа S(2,q,q2) и S(2,q + l,q2 + q + 1); блоками при этом являются прямые. Штейнер рассматривал только случай k = t +1. До Штейнера, в 1847 г., системы Штейнера ввёл Киркман.
Штейнер решил задачу о нахождении эллипса наименьшей (наибольшей) площади, описанного около треугольника (вписанного в треугольник); эти эллипсы теперь называют эллипсами Штейнера.
Этьен Бобилье (1798—1840)
Бобилье показал, что точки касания кривой степени п с касательными, проведёнными из фиксированной точки, лежат на кривой степени п - 1, которую он назвал полярой этой точки.
Карл Георг Христиан фон Штаудт (1798—1867)
В1845 г. фон Штаудт доказал теорему о числах Бернулли (теорема фон Штаудта—Клаузена) и обнаружил важное свойство числителей этих чисел, выраженное в виде сравнения по модулю.
Большим недостатком работ Шаля и Мёбиуса по проективной геометрии было то, что в них двойное отношение определялось как произведение двух отношений длин отрезков. Тем самым проективная геометрия становилась зависящей от евклидовой геометрии — от метрики, а постепенно становилось ясным, что проективные свойства более фундаментальные, чем метрические. Так возник вопрос о том, как освободить проективную геометрию от метрических понятий при синтетическом построении геометрии. Штаудт предложил решение этой проблемы в книге «Геометрия положения» (Geometrie der Lage, 1847). Его целью было избежать использования понятия длины в проективной геометрии, в частности, в определении двойного отношения. Для этого он ввёл геометрически координаты на проективной прямой, на которой фиксированы точки


120
Глава 7. Первая половина ХГХ века
0, 1 и оо. Например, точки с координатами 2 и | строятся так, как показано на рис. 7.11. На рисунке а) это построение показано с помощью параллельных прямых, а рисунок б) — это тот же самый рисунок с проективной точки зрения.
М N
Ш\
011 2 00 0112 00 2 2
(а) (б)
Рис. 7.11.
Логический недостаток работы Штаудта был в том, что он использовал понятие параллельных прямых, которое не является про- ективно инвариантным. Этот недостаток устранил впоследствии Клейн. Другой недостаток—неявное использование непрерывности. Геометрическая конструкция Штаудта позволяла построить только точки с рациональными координатами, а точки с иррациональными координатами нужно было находить предельным переходом. Впоследствии Дарбу показал, что функция (которая используется для введения координат) действительно получается непрерывной (это следует из того, что при положительных значениях она положительна).
Штаудт заметил, что соотношение, которое коника устанавливает между полюсами и полярами, более фундаментальное, чем сама коника, и эту полярность можно использовать для определения коники: коника —это множество тех точек, которые лежат на своих полярах.
В «Геометрии положения» Штаудт выяснил, для каких многогранников выполняется теорема Эйлера о многогранниках. Они должны обладать двумя свойствами: 1) из любой вершины можно попасть в любую другую вершину по рёбрам; 2) любой замкнутый несамопересекающийся путь, проходящий по рёбрам, разделяет многогранник на две части. Он привёл следующее доказательство того, что для любого многогранника, обладающего этими свойствами, выполняется теорема Эйлера. (Мы изложим его, пользуясь современной терминологией.) Рассмотрим многогранник, у которого


Глава 7. Первая половина ХГХ века
121
V вершин, Е рёбер и F граней. Выберем какое-нибудь максимальное дерево, целиком состоящее из рёбер этого многогранника. На рисунке 7.12 рёбра, входящие в такое дерево, выделены жирным.
Рис. 7.12.
Согласно свойству 1) это дерево связно, поэтому оно содержит V — 1 рёбер. Затем отметим внутри каждой грани точку и соединим две такие точки пунктирной линией, если эти точки лежат в смежных гранях, не разделённых жирным ребром (рис. 7.12). Из свойства 2) следует, что этот граф связен. Более того, этот граф тоже является деревом, потому что если бы он содержал цикл, то исходное максимальное дерево не было бы связно по свойству 2). А так как это дерево имеет F вершин, то оно имеет F — 1 рёбер. Любое ребро многогранника либо входит в максимальное дерево, либо пересекает пунктирное ребро. Поэтому (V — 1) + (F — 1) = Е, т. е. F — Е + V = 2.
Во второй своей большой работе «Вклад в геометрию положения» (Beitrage zur Geometrie der Lage), вышедшей тремя выпусками в 1856, 1857 и 1860 г., Штаудт показал, что мнимые точки, которые до него вводились аналитически, можно определить синтетически с помощью эллиптических инволюций на прямой, т. е. инволютив- ных проективных преобразований прямой, не имеющих действительных неподвижных точек.
Михаил Васильевич Остроградский (1801—1862)
В 1828 г. Остроградский одновременно с Грином доказал , интегральную теорему.
В 1834 г. в «Мемуаре об исчислении вариаций кратных интегралов» (Memoire sur le calcul des variations des integrates multiples, издан в 1835 г.) он впервые получил выражение для вариации интеграла любой кратности, причём не только в случае фиксированной


122
Глава 7. Первая половина ХГХ века
границы, но и в общем случае, когда допускается варьирование границы. Если эту вариацию приравнять нулю, то получится так называемое уравнение Эйлера—Остроградского.
В 1838 г. для линейной однородной системы дифференциальных уравнений у/(х) = А(х)у(х), где Л —квадратная матрица, Остроградский одновременно с Лиувиллем доказал формулу
В отличие от Штейнера, применявшего синтетический подход к геометрии, Плюккер предпочитал аналитический подход, и это было причиной их постоянных конфликтов.
Первый том его книги «Аналитико-геометрические исследования» (Analytisch-geometrische Entwicklungen) был опубликован в 1828 г., а второй — в 1831 г. Во втором томе, используя однородные координаты, Плюккер дал определение бесконечно удалённой прямой и круговых (циклических) точек.
Плюккер рассматривал коники как огибающие семейства прямых. Он искусно использовал манипуляции с коэффициентами, входящими в уравнения коник и их пучков. Например, теорему Паскаля о шестиугольнике, вписанном в конику, Плюккер доказывает следующим образом. Пусть точки А, В, С и D лежат на конике, заданной уравнением / = 0; для каждой прямой PQ можно рассмотреть линейное уравнение lPQ = 0, задающее эту прямую. Уравнение коники можно представить в виде AZabZcd + IxIbcIad = 0* Если на той же конике лежат ещё и точки Е и F, то уравнение коники можно представить многими способами, в частности,
Следовательно, ^iIabICd ~ ^afUd = (vJ-ef ~ Из послед-
него равенства следует, что точки пересечения прямых АВ и ED, CD и AF, ВС и EF лежат на одной прямой, а именно на прямой, заданной уравнением jU2Zef ~ Mi he = 0.
Сопоставляя прямой, заданной уравнением игхг+и2х2+и3х3=0} точку с однородными координатами (иг : и2 : и3), Плюккер обосновал принцип двойственности Понселе—Жергонна; эти координаты получили название тангенциальных. Аналогично Плюккер
где W (х) — определитель Вронского этой системы.
Юлиус Плюккер (1801—1868)


Глава 7. Первая половина ХГХ века
123
ввёл координаты плоскости в пространстве и обосновал принцип двойственности в пространстве, при котором точке соответствует плоскость.
В 1835 г. Плюккер опубликовал книгу «Система аналитической геометрии» (System der analytischen Geometrie), значительная её часть посвящена кубическим кривым. В ней он показал, что любая кривая степени п на проективной плоскости имеет в общем случае 3п(п — 2) точек перегиба. Точка перегиба —это точка, в которой касательная имеет касание 3-го, а не 2-го порядка. Выражение «в общем случае» здесь означает, что кривая не имеет особых точек (кратных точек и точек возврата). В этой книге строится система Штейнера S(2,3,9), задолго до того, как более общие системы обсуждал Штейнер (1853).
В 1839 г. Плюккер опубликовал «Теорию алгебраических кривых» (Theorie der algebraischen Curven). Это одна из первых книг, в которых алгебраические кривые рассматриваются на проективной плоскости, причём для простоты вычислений эта плоскость предполагается комплексной. Плюккер вводит тангенциальное уравнение кривой: он рассматривает уравнение <p(u1}u2,u3) = О, определяющее однопараметрическое семейство прямых, заданных в тангенциальных координатах, как уравнение кривой, огибающей это семейство. Название «тангенциальное» связано с тем, что кривая определяется не своими точками, а касательными. Степень уравнения, которое задаёт кривую поточечно, называется порядком кривой, а степень тангенциального уравнения называется классом кривой. Плюккер показал, что на комплексной проективной плоскости порядок кривой, её класс, число двойных точек и число точек возврата связаны определёнными формулами, получившими название формулы Плюккера. При этом Плюккер не рассматривал кривые, которые имеют особенности более сложные, чем двойные точки и точки возврата. Из этих формул Плюккер вывел, что кубическая кривая в общем случае имеет 9 точек перегиба; до него было лишь известно, что не более трёх из этих точек перегиба вещественные. Из формул Плюккера следует также, что к кривой с d кратными точками и с точками возврата из каждой точки можно провести n(n — 1) — 2d — Зс касательных.
Первоначальный подсчёт Жергонна количества касательных, которые можно провести из данной точки, был заведомо ошибочным (на что обратил внимание Понселе), потому что у Жергонна это количество (равное степени двойственной кривой) получилось больше степени кривой, а двойственная к двойственной кривой


124
Глава 7. Первая половина ХГХ века
совпадает с исходной. Плюккер нашёл объяснение этому. Например, на кубической кривой есть 9 точек перегиба, которые дают 9 точек возврата на двойственной кривой. Они уменьшают степень двойственной кривой на 27. Кривая, двойственная к кривой степени п без точек возврата и двойных точек, имеет степень п(п — 1). На кривой степени п есть 3п(п — 2) точек перегиба, что даёт 3п(п - 2) точек возврата на двойственной кривой. Это уменьшает степень двойственной к двойственной кривой с п(п — 1 )(п(п - 1) - 1) до п(п — l)(n(n — 1) — 1) — 9п(тг — 1), но ещё не даёт правильный ответ п. Ещё нужно учесть, что могут быть двойные касательные: каждая двойная касательная к исходной кривой даёт двойную точку двойственной кривой. Чтобы получить правильный ответ, нужно вычесть п(п — 2)(п2 — 9). Поэтому Плюккер решил, что каждая кривая степени п без особых точек должна иметь |п(п - 2)(п2 - 9) двойных касательных, что и объясняет парадокс. В частности, любая квартика должна иметь ровно 28 двойных касательных. Это доказал Гессе в 1848 г. Плюккер же показал, что все 28 бикасательных к квартике могут быть вещественными.
В1837 г. Плюккеру пришлось сменить основную область деятельности, потому что его работы по аналитической геометрии были плохо приняты; в Германии в то время был более принят синтетический подход, развиваемый Штейнером. Плюккер был профессором не только математики, но и физики и занимался экспериментальной физикой, в частности, он был одним из тех, кто открыл катодные лучи.
В 1846 г. Плюккер ввёл однородные координаты в пространстве.
Плюккер первым стал рассматривать в качестве элементов пространства вместо точек другие геометрические образы, например, прямые или окружности.
Шесть однородных координат р^=х^ - прямой в пространстве, проходящей через точки (jcf) и (у), получили название координат Плюккера, хотя они были введены ранее Грассманом (1844). Координаты Плюккера связаны квадратичным соотношением.
Жозеф Антуан Фердинан Плато (1801—1883)
В 1840 г. слуга Плато пролил масло в сосуд с разбавленным спиртом, и Плато заметил, что капли масла приняли шарообразную форму. После этого он проделал несколько экспериментов, изучая форму капли масла, когда сосуд вращался. Затем он использовал смесь мыльной воды и глицерина, в которую макал проволочные контуры.


Глава 7. Первая половина ХГХ века
125
Он заметил, что в результате образуются минимальные поверхности. В связи с этим задачей Плато называют нахождение минимальной поверхности с заданной границей (или доказательство существования такой поверхности).
Нильс Хенрик Абель (1802—1829)
Абель родился в семье бедного норвежского пастора. Первая опубликованная статья Абеля посвящена функциональным уравнениям; к этой теме он часто потом возвращался. В 1824 г. Абель опубликовал в виде брошюры1 сжатое доказательство невозможности решения общего уравнения 5-й степени в радикалах. Эта работа привлекла внимание, и Абелю была предоставлена стипендия для продолжения образования за границей. С осени 1825 г. до весны 1826 г. Абель жил в Берлине и познакомился там с Креллем, начинавшим издавать свой знаменитый журнал. В первом же томе этого журнала (1826) опубликовано несколько статей Абеля. Одна из них посвящена доказательству невозможности решения в радикалах общего уравнения степени выше четвёртой. Летом 1826 г. Абель посетил Италию, а конец этого года он провёл в Париже. Там он представил Парижской академии наук мемуар, содержащий теорему Абеля об абелевых функциях, обобщающую теорему сложения для эллиптических интегралов. Эта работа сначала не была оценена, но уже после смерти Абеля за неё была присуждена Большая премия Парижской академии наук. Летом 1827 г. Абель вернулся в Норвегию, остановившись по дороге в Берлине. На родине он оказался в бедственном положении без работы. Подрабатывая уроками, Абель продолжал исследования по теории эллиптических функций и алгебраических уравнений. В конце 1828 г. Абель заболел туберкулёзом, а в начале 1829 г., незадолго до получения приглашения на работу в Берлин, он умер.
В 1823 г. Абель опубликовал статью, в которой впервые решается интегральное уравнение. Интегральное уравнение Абеля имеет
вид гр(а) — J ^fo)^s ^ ^ — заданная функция, а (/?—неизвестная
о
функция. Задача о нахождении кривой (в вертикальной плоскости), по которой должна падать тяжёлая точка, чтобы время падения с высоты а было равно гр^а), приводит к уравнению Абеля сп = 1/2.
1Memoire sur les 6quations a^briques ou on d6montre Pimpossibilite de la resolution de l’equation gёnёrale du cinquieme degre.


126
Глава 7. Первая половина XIX века
Одна из статей Абеля, опубликованных в первом томе журнала Крелля (1826), посвящена доказательству невозможности решения в радикалах уравнения пятой степени. При этом предполагается, что коэффициенты уравнения — независимые переменные, т. е. доказывается невозможность решения уравнения в общем виде. Задачу о разрешимости уравнений с конкретными коэффициентами впоследствии исследовал Галуа.
Другая статья посвящена исследованию биномиального ряда
(1+,)-= 1 + f х + +...
При этом Абель изучает и сходимость степенных рядов общего вида. Он доказывает теоремы о круге сходимости и о непрерывности суммы сходящегося степенного ряда. Абель вводит понятие равномерной сходимости ряда и исправляет ошибку Коши, о которой шла речь на с. 103.
При исследовании рядов Абель ввёл так называемое преобразование Абеля, оказавшееся очень полезным:
п п—1
Е аА = Е Cot£ - ai+i)Bi + апВп,
k i~0 i=о
где Bfc = Е bi-
1=0
Мемуар1, в котором Абель обобщил теорему сложения эллиптических интегралов (теорема Абеля), в 1826 г. был представлен в Парижскую академию, но рецензенты (Лежандр и Коши) не сумели оценить его значение, и он была опубликован лишь в 1841 г. На эту тему Абель подготовил статью2 и за три месяца до смерти представил её в журнал Крелля; она была опубликована уже после смерти Абеля. Пусть R{w,z) — рациональная функция, f{w,z) — многочлен. Абелев интеграл — это интеграл вида j R(w,z)dz, где z и w связаны соотношением f(w,z) = 0. Пусть w = g(z,a1,a2, ...,ам) рационально зависит от параметров аъа2, Рассмотрим все точки пересечения кривых f(w,z) = 0иш = g(z,alfa2, ...,ам) для фиксированных параметров. Просуммируем абелев интеграл по всем точкам пересечения; получится функция от параметров. Теорема Абеля утверждает, что эта функция равна сумме рациональной функции и логарифмов рациональных функций, умноженных на кон¬
1Мёшо1ге sur une ргорпё1ё gёnёrale d’une classe tres ёгепс1ие de functions transcen- dantes.
2Оёшоп80гайоп d’une ргорпё1ё gёnёrale d’une certaine classe de fonctions transcen- dantes.


Глава 7. Первая половина ХГХ века
127
станты. Абеля больше интересовали не сами интегралы, а обратные к ним функции.
В 1827 и 1828 г. в журнале Крелля выходят две части «Исследований по эллиптическим функциям» (Recherches sur les fonctions elliptiques), содержащие, в частности, решение задачи о делении лемнискаты. Абель первым рассматривает функцию, обратную эл-
r dx
липтическому интегралу первого рода J ■ - -, и показывает, что
v/4(*)
это —двоякопериодическая функция. Это был очень важный шаг: постепенно эллиптическим функциям стали уделять гораздо больше внимания, чем эллиптическим интегралам. Вторая часть «Исследований» посвящена делению лемнискаты на равные дуги с помощью циркуля и линейки и преобразованиям эллиптических функций. В «Арифметических исследованиях» Гаусса есть замечание, что разработанная им теория деления окружности на п равных частей может быть применена не только к круговым функциям, но и к
функциям, которые зависят от интеграла Г Именно таким
VI-х4
интегралом выражается длина дуги лемнискаты. Абель установил, что для тех же чисел п, для которых Гаусс доказал возможность деления окружности на п равных частей, на равные части можно разделить лемнискату. Доказательство Абеля существенно опирается на то, что решётка периодов эллиптической функции, связанной с лемнискатой, квадратная, т.е. она инвариантна относительно умножения на i. Теорию эллиптических кривых, решётки периодов которых отображаются в себя при умножении на некоторое комплексное (не целое) число, называют комплексным умножением.
В 1829 г. в журнале Крелля опубликован «Мемуар об одном особом классе алгебраически разрешимых уравнений» (Memoire sur une classe particuliere d’equations resolubles algebriquement). В нём Абель перенёс методы Гаусса, разработанные для решения уравнений деления круга, на случай уравнений с коммутативной группой Галуа. Эти уравнения характеризуются следующими свойствами:
1) 	каждый корень х{ уравнения выражается в виде рациональной функции от фиксированного корня, т.е. х{ = б^х^); 2) рациональные функции в( таковы, что б^буО^)) = бДв* (*],)). При этом Абель показал, что любая конечная коммутативная группа представляется в виде прямой суммы циклических подгрупп. Он также ввёл понятие области рациональности, являющееся аналогом современного понятия поля. Именно в связи с этой работой коммутативные группы стали называть абелевыми.


128 Глава 7. Первая половина ХГХ века
Абель доказал, что если интеграл Г dx, где R(x) —мно-
J y/ROc)
гочлен степени 2п, а р (х) — многочлен степени п — 1, выражается в элементарных функциях, то \/к(х) раскладывается в периодическую непрерывную дробь. Наоборот, если >jR(x) раскладывается в периодическую непрерывную дробь, то можно подобрать многочлен р (х) так, чтобы интеграл Г dx выражался в элементар¬
ных)
ных функциях.
Янош Бойяи (1802—1860)
Фаркаш Бойяи, отец Яноша, учился вместе с Гауссом и был его другом в студенческие годы. Впоследствии они переписывались, но больше никогда не встречались.
Десять лет Янош служил военным инженером и в 1833 г. вышел в отставку по инвалидности. Во время учёбы в колледже он заинтересовался пятым постулатом Евклида. Сначала он пытался доказать пятый постулат, а потом в 1820 г. занялся построением геометрии, в которой пятый постулат не выполняется. Отец, узнав о таких намерениях, пытался отговорить Яноша, ссылаясь на то, что он сам очень долго и интенсивно пытался получить доказательство пятого постулата, проводя ночи без сна, но ничего не добился. Янош на это отвечал в 1823 г., что он собирается вскоре опубликовать свои результаты и что он создал новый мир из ничего. Отец смягчился и предложил опубликовать эти результаты, если они действительно важные, в виде приложения к книге по геометрии, которую он давно уже писал. Познакомившись с результатами Яноша, Фаркаш сначала не хотел их признавать, потому что в формулах встречалась произвольная константа. Фаркаш считал, что это может привести к противоречию, если окажется, что константа не произвольная, а принимает два различных значения одновременно. В конце концов он всё-таки согласился издать это как приложение к своему двухтомному сочинению, опубликованному в 1832 г. Приложение Яноша (Appendix) занимало 28 страниц.
Бойяи начинает с нового определения параллельных прямых. Пусть точка В не лежит на прямой I; проведём из этой точки перпендикуляр ВА к прямой L Рассматривая предельное положение луча ВР, когда точка Р движется по прямой I в одном направлении, можно найти луч ВМ, который не пересекает прямую Z, но все


Глава 7. Первая половина ХГХ века
129
лучи с началом В, расположенные внутри угла MBA, пересекают прямую L При движении точки Р по прямой I в противоположном направлении получим второй луч BN (рис. 7.13). При этом /.MBA = ZNBA = 5. Если 5 = 90°, то выполняется пятый постулат, поэтому Бойяи предполагает, что 5 < 90°. Прямые ВМ и BN Бойяи называет параллельными прямой I.
Бойяи доказал, что для любой точки А прямой I существует единственная точка В на параллельной ей прямой т, для которой отрезок АВ образует равные односторонние углы с прямыми I и т (рис. 7.14). Это позволяет построить кривую L на плоскости и поверхность F в пространстве следующим образом. Зафиксируем прямую I на плоскости и точку А на ней, затем проведём все прямые, параллельные I (в одном направлении), и на каждой из этих прямых отметим соответствующую точку В. Так получается кривая L; если проделать то же самое в пространстве, то получается поверхность F. Эти кривая L и поверхность F — орицикл и орисфера, которые рассматривал и Лобачевский. Бойяи, как и Лобачевский, делает следующее замечательное наблюдение: на поверхности F геометрия евклидова.
Затем Бойяи возвращается к свойствам угла 5 и довольно сложными рассуждениями, использующими и орицикл L, получает формулу, связывающую угол 5 и длину отрезка АВ. Эта формула позволила ему получить много других результатов. Он получил выражение длины окружности через радиус и различные формулы, связывающие углы треугольника и его стороны. В отличие от евклидовой геометрии, в геометрии Лобачевского углы треугольника определяют его стороны.
Бойяи доказал также, что площадь треугольника пропорциональна угловому дефекту.
Книга Фаркаша Бойяи с приложением Яноша, посланная Гауссу, затерялась в хаосе, вызванном эпидемией холеры. Затем был послан
А
Р
Рис. 7.13.
Рис. 7.14.


130
Глава 7. Первая половина ХГХ века
другой экземпляр. Сочинение Яноша произвело на Гаусса большое впечатление, и он написал в 1832 г. Герлингу: «Я считаю младшего Бойяи гением первой величины». Но Фаркашу Гаусс ответил совсем по-другому: «Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну с того, „что я эту работу не должен хвалить44, то ты, конечно, на мгновение поразишься, но иначе не могу; хвалить её значило бы хвалить самого себя: всё содержание сочинения, путь, по которому твой сын пошёл, и результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими собственными достижениями, которые частично имеют уже давность в 30—35 лет... Я имел намерение со временем изложить всё это на бумаге... Я чрезвычайно поражён, что эта работа с меня снимается, и я в высшей степени рад, что именно сын моего старого друга меня предупредил таким замечательным образом» [12].
В1844 г. отец и сын Бойяи услышали о работах Лобачевского, но не смогли их найти. В 1848 г. Фаркаш написал Гауссу и тот ответил, что лучше всего попытаться найти книгу Лобачевского на немецком языке, опубликованную в 1840 г. Эту книгу они вскоре нашли. Кое- что у Яноша было сделано лучше, но в основном результаты Лобачевского были глубже и яснее.
Особое внимание Янош Бойяи уделял теоремам абсолютной геометрии, т. е. теоремам, которые верны как в евклидовой, так и в гиперболической геометрии. Например, он формулирует теорему синусов так, что она верна в обеих геометриях (и даже в сферической геометрии):
О : ОЪ : Ос — sin А : sin В: sin С, где Qa — длина окружности радиуса а.
Жак Шарль Франсуа Штурм (1803—1855)
В 1829 г. Штурм построил для каждого многочлена / последовательность многочленов для которой число корней
многочлена /, заключённых между а и b (а < Ь), в точности равно ш(а) — w(b), где ш(х) — число перемен знака в последовательности /WJjM, ...,/п(х). Аналогичная последовательность многочленов, построенная Фурье, позволяла получить лишь оценку числа корней, а не их точное число.
В 1836 г. Штурм опубликовал два больших мемуара: «Мемуар о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка» (Мё- moire sur les ёquations differentielles lineaires du second ordre) и «Об


Глава 7. Первая половина ХГХ века
131
одном классе уравнений с частными производными» (Memoire sur une classe d’equations a differences partielles). Первый мемуар посвящён качественному исследованию поведения решения Хх(х) уравнения
d ,dXx(x)
dx
удовлетворяющего условию
[K(X,x)dXxW/dx-\
[ Ш \„«=hm-
Здесь доказана теорема сравнения Штурма: если есть два уравнения, причём G2(x) ^ Gx(x) и Кг ^ К2 > 0, то между любыми последовательными нулями решения Хг (х) первого уравнения лежит по крайней мере один нуль произвольного решения Х2(х) второго уравнения (или решения Хг и Х2 пропорциональны). Во втором ме- муаре исследованы собственные значения и собственные функции некоторого дифференциального уравнения второго порядка. В этих мемуарах заложены основы теории Штурма—Лиувилля. Штурм в основном исследовал качественное поведение собственных функций. Для уравнения
е(*е)-<* = °
Штурм нашёл число корней решения в данном интервале. Нули двух вещественных линейно независимых решений линейного дифференциального уравнения второго порядка разделяют друг друга (перемежаются). Если решения осциллируют в интервале (а,Ь), то при уменьшении К и G они будут осциллировать быстрее (число нулей увеличится).
Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)
В 1826 г. Якоби написал письмо Гауссу о своих результатах о кубических вычетах, которые он получил под влиянием результатов Гаусса о квадратичных и биквадратичных вычетах, а в 1827 г.— письмо Лежандру о новых идеях по поводу эллиптических функций.
В 1827 г. в связи с исследованием задачи Пфаффа Якоби изучил свойства определителя кососимметрической матрицы. Этот определитель всегда равен квадрату многочлена, называемого пфаф- фианом. Якоби вычислил пфаффиан для матриц порядка 4 и 6. Пфаффиан как некий многочлен Пфафф умел вычислять, но на связь пфаффиана с определителем кососимметрической матрицы


132
Глава 7. Первая половина ХГХ века
первым указал Якоби. Он также отметил, что определитель кососимметрической матрицы нечётного порядка всегда равен нулю. К задаче Пфаффа Якоби возвращался и в 1837 г.
В 1827 г. Якоби показал, как квадратичная форма от трёх переменных приводится к диагональному виду (т. е. к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами) ортогональным преобразованием.
В 1829 г. Якоби нашёл производящую функцию для обращения детерминанта.
В том же году он опубликовал книгу «Новые основания теории эллиптических функций» (Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum). В этой книге он вводит тэта-функции, теорию которых он разрабатывает и в последующих трудах. Тэта-функции Якоби определяет сначала как бесконечные произведения, а затем получает их разложения в ряд. Якоби получает представление эллиптических функций в виде отношения тэта-функций. Вводит также три эллиптические функции Якоби. Книга Якоби показывает, что эллиптические функции естественно рассматривать в комплексной области.
В 1832 г. в одной из статей появляется якобиан (определитель матрицы Якоби, составленной из частных производных) как множитель:
dZ1dS2...dZn=(Yl±^^---^)dv1dv2...dvn.
В 1832—1834 г. Якоби занимался обращением системы абелевых интегралов, что привело его к введению тэта-функций многих переменных и впоследствии способствовало возникновению и развитию теории абелевых функций.
В 1834 г. он показал, что две квадратичные формы можно одновременно привести к диагональному виду, если одна из них положительно определена. В той же работе Якоби нашёл условия на коэффициенты преобразования, сохраняющего квадратичную форму вида х\ + х\ + ... + х2, т.е. условия ортогональности матрицы преобразования. Здесь же Якоби вычислил объём поверхности сферы в n-мерном пространстве. Это были одни из первых обращений к многомерной геометрии, хотя и ещё пока без явных геометрических образов.
В том же году Якоби доказал, что если однозначная функция одной комплексной переменной имеет два периода, то отношение периодов не может быть вещественным.
В 1835 г. в работе, посвящённой методу Безу исключения неизвестной из двух уравнений, приведено тождество Якоби для опреде¬


Глава 7. Первая половина ХГХ века
133
лителя, составленного из элементов присоединённой матрицы (без доказательства).
В 1835 г. Якоби опубликовал работу «О четырёхкратно-периоди- ческих функциях двух переменных» (De functionibus duarum variabi- lium quadrupliciter periodicis). В ней он поставил вопрос: может ли функция одного переменного иметь три периода, которые нельзя свести к двум? Якоби показывает, что такое допущение приводит к тому, что среди периодов этой функции должны быть сколь угодно малые по модулю. Якоби считает это абсурдным, а потому он
* ~ г (a + bx)dx
считает абсурдной попытку обращения интеграла J -^===-, где
Р5 (х) — многочлен 5-й степени без кратных корней, потому что обратная функция должна была бы иметь 4 различных периода. Впоследствии это нашло объяснение: обратная функция многозначная, а не однозначная (в отличие от случая эллиптических интегралов).
В лекциях 1836—1837 г. Якоби рассказал доказательство биквад- ратичного закона взаимности, основываясь на теории деления круга. Но первым опубликовал доказательство Эйзенштейн в 1844 г.; он применил теорию комплексного умножения специальных эллиптических функций. В 1839 г. Якоби сформулировал закон взаимности для степеней 5, 8 и 12; он утверждал, что у него есть доказательство, но никогда не публиковал его. Общий закон взаимности для остатков Z-x степеней доказал Эйзенштейн в 1850 г.
Работа 1837 г. «К теории вариационного исчисления и дифференциальных уравнений» (Zur Theorie der Variations-Rechnung und der Differential-Gleichungen) посвящена вариационному исчислению. В дополнение к классическому уравнению Эйлера—Лагранжа Якоби вывел дифференциальное уравнение, названное его именем, и с его помощью установил новое необходимое условие для экстремали, реализующей минимум интеграла (условие Якоби). Это условие гарантирует отсутствие на экстремали сопряжённых точек. Он сформулировал вариационный принцип, исключив из него время (принцип Якоби). В этой форме вариационный принцип определяет только траекторию, но не время, за которое она пробегается. Он поставил вопрос: как описать самые общие канонические преобразования, т. е. преобразования, при которых канонические
дН дН
дифференциальные уравнения ра = — -— и qa = -— снова Перехода vpa
дят в канонические, и получил первый ответ на этот вопрос.
Эллиптические функции Якоби в его лекциях 1837—1838 г. выражаются через четыре вспомогательные функции (тэта-функции


134
Глава 7. Первая половина ХГХ века
Якоби). Это даёт новый подход к определению эллиптических функций, не связанный с обращением эллиптических интегралов. Якоби применяет тэта-функции и в теории чисел, в частности, он доказывает теорему о количестве представлений числа в виде суммы двух квадратов.
В1838 г. Якоби ввёл для точки, лежащей на геодезической, понятие сопряжённой ей точки и сформулировал условие, когда геодезическая является кратчайшей, а в 1839 г. проинтегрировал уравнение геодезических на эллипсоиде.
В работе «О функциональных определителях» (De determinantibus functionalibus, 1841) он систематически исследовал якобиан системы из п функций от п переменных, уже ранее встречавшийся у Коши и у самого Якоби, и доказал, что если эти функции функционально зависимы, то якобиан тождественно равен нулю. После этой работы Якоби обозначение д для частной производной, иногда встречавшееся и у других авторов, постепенно стало общепринятым. В этой работе и в работе «Об образовании и свойствах определителей» (De formatione et proprietatibus determinantium), опубликованной в том же году, развил учение об определителях и получил первые результаты по теории инвариантов, например, о том, что определитель det(ay) является инвариантом системы п линейных форм fi = a{jXj от тг неизвестных относительно группы SL (п) (группы матриц с определителем 1).
В 1841 г. привёл без доказательства тождество для функций Шура (тождество Якоби—Труди). В 1864 г. его ученик Никола Труди (1811—1884) дал полное доказательство этого тождества.
В 1842 г. доказал, что образ на сфере нормальных направлений для замкнутой кривой делит сферу на две части равной площади (теорема Якоби).
В 1842—1843 г. прочитал в Кёнигсберге курс лекций, опубликованный в 1866 г. Клебшем под названием «Лекции по динамике» (Vorlesungen tiber Dynamik). Якоби разработал общие методы интегрирования уравнений с частными производными и вариационного исчисления. Он предложил вместо решения уравнений динамики искать достаточно общее решение гамильтонова уравнения в частных производных. С помощью этого метода Якоби первым решил задачу о нахождении геодезических на поверхности трёхосного эллипсоида. В связи с этими исследованиями Якоби уравнения Гамильтона часто называют уравнениями Гамильтона—Якоби. При исследовании уравнений динамики Якоби использовал обнаруженное им тождество для скобки Пуассона; аналогичные тождества для


Глава 7. Первая половина ХГХ века
135
векторного произведения и в алгебрах Ли также называют тождествами Якоби. В 1843 г. Якоби нашёл 12-й интеграл в задаче трёх тел (11 интегралов к тому времени уже были известны).
В 1845 г. опубликовал мемуар о решении обыкновенных дифференциальных уравнений методом множителей.
В 1850 г. Якоби подтвердил предположение Плюккера, показав,
п(п—2)(п2—9)
что кривая степени п^З имеет ^ двойных касательных.
Занимаясь изучением фигур равновесия вращающейся жидкости, показал, что при определённых условиях ими являются трёхосные эллипсоиды (эллипсоиды Якоби); случай эллипсоидов вращения был известен ещё Маклорену.
Ввёл класс ортогональных многочленов (многочлены Якоби), обобщающих многочлены Лежандра.
В 1843 г. Якоби стал профессором Берлинского университета. В мае 1848 г. он стал членом оппозиционного конституционного клуба и даже высказывался, что его не пугает и перспектива республики. После победы реакции оклад Якоби был урезан и его даже попытались перевести из Берлина назад в Кёнигсберг. Якоби умер от оспы в 1851 г.
Разработанный Якоби способ приведения квадратичной формы к каноническому виду опубликован посмертно.
Виктор Яковлевич Буняковский (1804—1889)
В1859 г. в монографии о неравенствах для интегралов1 Буняковский опубликовал неравенство
(Jf(x)g(x) dxj < Jf2(x) dxf g2(x) dx,
впоследствии названное неравенством Коши—Буняковского—Шварца. У Коши аналогичное неравенство было только для чисел, а не для интегралов, а у Шварца это неравенство появилось на 25 лет позже.
Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805—1859)
Дирихле постоянно изучал книгу Гаусса «Арифметические исследования» и первым сделал основные идеи этой книги доступными широкому кругу математиков, изложив их в своих лекциях по тео¬
2Sur quelques inegalto concernant les ii^grales ordinaires et les integrales aux diffёrences finies // Мёш. Acad. Sci. St.-Petersbourg. Ser. 7. T. 1, № 9.


136
Глава 7. Первая половина ХГХ века
рии чисел. Многие работы Дирихле непосредственно связаны с исследованиями Гаусса.
В1825 г. Дирихле попытался доказать, что уравнение х5 + у5 = z5 не имеет решений в натуральных числах. Если решение существует, то одно из чисел х, у hz делится на 5 и одно чётно. В случае, когда число, делящееся на 5, чётно, Дирихле удалось доказать, что решений нет. Его статью рецензировал Лежандр, и ему удалось доказать, развив далее рассуждения Дирихле, что решений нет и в том случае, когда чётное число и число, делящееся на 5, —это разные числа. Таким образом, теорема Ферма при п = 5 была полностью доказана.
В 1829 г. Дирихле получил условие сходимости тригонометрического ряда и доказал теорему о представимости функции рядом Фурье: если функция ограничена, имеет конечное число максимумов и минимумов и конечное число точек разрыва первого рода, то существует ряд Фурье, который сходится к этой функции в точках непрерывности, а в точках разрыва сходится к полусумме односторонних пределов. При доказательстве Дирихле для функции /(х) рассматривал интеграл J/(/3)S*1^^ d/З. Поэтому функция точнее го¬
воря, функция
sin (n+l)x JL ..
v 2' _ V» ikx
= Е
е
sm = ,
2 к——и
получила название ядро Дирихле.
В той же статье о рядах Фурье Дирихле рассматривал функцию, принимающую при всех рациональных значениях аргумента одно значение с, а при иррациональных—другое значение d (функция Дирихле).
Дирихле дал современное определение функции в 1837 г. в другой статье о рядах Фурье.
В 1837 г. доказал высказанное Эйлером и Гауссом предположение, что для взаимно простых чисел а и Ь в арифметической прогрессии ах + Ь встречается бесконечно много простых чисел. В этой работе, с которой фактически начинается аналитическая
у (пЛ
теория чисел, он применил ряды вида L(s, %) — ^ —г~ (гДе X (п) “
п
некоторая числовая функция), получившие название ряды Дирихле; в дальнейшем он также активно использовал эти ряды. При этом основная трудность заключается в том, чтобы доказать, что 1(1, %) Ф 0. Для этого Дирихле воспользовался тем, что L( 1, %) является множителем в выражении числа классов бинарных форм с за¬


Глава 7. Первая половина ХГХ века
137
данным дискриминантом, а число таких классов конечно и не равно нулю. В1840 г. Дирихле распространил теорему об арифметической прогрессии на квадратичные формы: любая квадратичная форма, три коэффициента которой не имеют общего делителя, представляет бесконечно много простых чисел. В1841 г. он перенёс её на целые комплексные числа.
Приложения в теории чисел анализа (Эйлер) и эллиптических функций (Якоби) не были систематическими, они получались как побочный продукт. Первое систематическое использование анализа в теории чисел — теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Доказательство Дирихле обобщало доказательство Эйлера бесконечности числа простых чисел в последовательности 1,2,3,...
В 1838 г. Дирихле нашёл различные выражения для числа классов форм с заданным положительным дискриминантом. Затем в работе «Исследования о различных приложениях анализа бесконечно малых к теории чисел» (Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitesimale a la theorie des nombres, 1839) нашёл число классов форм с заданным отрицательным дискриминантом. (Эту задачу решил до него Гаусс, не опубликовавший свои результаты.) Доказательство основано на применении рядов Дирихле.
В1838 г. Дирихле ввёл понятие асимптотического закона (асимптотического приближения) и установил несколько асимптотических законов для теоретико-числовых функций.
В 1839 г. разработал методы вычисления кратных интегралов и применил их к задаче о гравитационном притяжении эллипсоида для точек как внутри, так и вне его. Занимаясь задачей Лапласа о доказательстве устойчивости Солнечной системы, предложил способ, позволяющий избежать рядов, в которых отбрасываются квадратичные члены и члены более высокой степени. Это привело его к задаче Дирихле для гармонических функций с заданными граничными условиями.
Начиная с 1840 г. Дирихле разрабатывал теорию алгебраических чисел высших степеней. В мемуаре «К теории комплексных единиц» (Zur Theorie der complexen Einheiten, 1840) он описал структуру группы единиц в кольцах целых алгебраических чисел. Эта структура следующая. Пусть поле порождено числом в, и среди п чисел, с ним сопряжённых, есть гг вещественных чисел и 2г2 невещественных. Тогда группа единиц обладает базисом, который содержит гг + r2 — 1 элементов бесконечного порядка, а остальные базисные элементы — корни из единицы. В этих исследованиях Дирихле при¬


138
Глава 7. Первая половина ХГХ века
менил способ доказательства утверждений о существовании без прямого построения требуемых величин и без указания метода построения. Этот способ впоследствии получил название принцип Дирихле (в теории дифференциальных уравнений с частными производными есть другой принцип Дирихле, см. ниже). Такой способ доказательства использовали и до Дирихле. Например, у Гаусса принцип Дирихле используется в пункте 45 «Арифметических исследований» при доказательстве того, что в каждой геометрической прогрессии 1, а, а2, а3,... есть член, отличный от 1, сравнимый с 1 по модулю р, взаимно простому с а.
В 1850 г. опубликовал статью «О приведении положительных квадратичных форм с тремя неопределёнными целыми числами» (Uber die Reduction der positiven quadratischen Formen mit drei unbe- stimmten ganzen Zahlen), в которой введена область Дирихле точки целочисленной решётки на плоскости. Это была фактически первая содержательная работа по геометрии чисел.
В 1852 г. первым проинтегрировал уравнения гидродинамики, занимаясь задачей о движении сферы в несжимаемой жидкости.
«Лекции по теории чисел» (Vorlesungen uber Zahlentheorie) Дирихле издал Дедекинд в 1863 г., уже после его смерти, со своими добавлениями. В этой книге Дирихле упростил многое из «Арифметических исследований» Гаусса—доказательства квадратичного закона взаимности, классификацию квадратичных форм. Дирихле приводит и свои результаты, полученные аналитическими методами: вычисление числа классов форм с заданным ненулевым детерминантом и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. Дирихле также доказал следующую теорему об аппроксимации: для любого вещественного в и любого натурального N существуют целые h и к (0 < к ^ N), для которых \кв — h\ <
В лекциях Дирихле по теории дифференциальных уравнений с частными производными, опубликованных в 1876 г., разработан так называемый принцип Дирихле, позволяющий сводить решение уравнения Лапласа в области G с заданными граничными условиями к нахождению минимума интеграла
После критики Вейерштрасса этому принципу перестали доверять, и лишь Гильберту удалось его строго обосновать.
Дирихле первым обратил внимание, что сходимость ряда может быть условной, и на примерах показал, что члены условно сходяще¬


Глава 7. Первая половина ХГХ века
139
гося ряда можно переставить так, что его сумма окажется равной любому наперёд заданному значению.
Уильям Роуэн Гамильтон (1805—1865)
Ирландский математик и астроном сэр Уильям Роуэн Гамильтон родился в 1805 г. в Дублине. В1823 г. он поступил в Тринити-колледж в Дублине, по окончании которого ему предложили стать профессором астрономии в Дублинском университете и Королевским астрономом Ирландии. Большую известность Гамильтону принесло теоретическое предсказание двух ранее неизвестных явлений в оптике, вскоре после этого обнаруженных экспериментально. В 1837 г. он стал президентом Ирландской королевской академии.
В 1834 и 1835 годах Гамильтон опубликовал две работы по механике, в которых разработал так называемую гамильтонову механику. Он перешёл от скоростей qa к компонентам импульса ра, и в результате уравнения механики приобрели следующий вид:
. =_дН_ • _ дН
Ра dqa ’ Яа дра’
где Я —полная энергия. Эти уравнения получили название уравнений Гамильтона или канонических уравнений. Иногда их называют уравнениями Гамильтона—Якоби (работы Якоби относятся к 1842-1843 г.).
В 1837 г. Гамильтон опубликовал работу, в которой комплексные числа вводились как пары действительных чисел, а операции задавались аксиоматически. Он подчёркивал, что сумма а + bi вовсе не такая же, как 2 + 3, и что а нельзя сложить с bi; знак суммы здесь исторически случаен. В том же году Гаусс написал Фар- кашу Бойяи, что он ещё в 1831 г. знал о таком представлении, но ничего не опубликовал на эту тему. С интерпретацией комплексных чисел как пар вещественных познакомил математиков именно Гамильтон. Этому открытию поначалу не придали большого значения. Всех математиков, кроме Гаусса, Яноша Бойяи и Лобачевского, геометрическая интерпретация комплексных чисел вполне устраивала. И лишь после того как неевклидова геометрия стала достаточно широко известна, математики заинтересовались интерпретацией комплексных чисел как пар вещественных чисел.
Гамильтон вскоре осознал возможности, которые давало его открытие. В1841 г. он пришёл к рассмотрению наборов (а1?..., ап), где а{ — вещественные числа. Именно на этой идее основан наиболее общепринятый подход к понятию многомерного пространства.


140
Глава 7. Первая половина ХГХ века
С особым увлечением Гамильтон занимался тройками действительных чисел; ему хотелось получить трёхмерный аналог комплексных чисел. Эти напряженные занятия привели к тому, что 16 октября 1843 г., во время прогулки, Гамильтон почти воочию увидел символы i, j, к и соотношения i2 = j2 = k2 = ijk = -1, определяющие искомое умножение, но в четырёхмерном, а не в трёхмерном пространстве. Элементы этого пространства он назвал кватернионами. Последние 25 лет своей жизни Гамильтон занимался почти исключительно кватернионами и их применениями в геометрии, механике, астрономии. Он забросил свои блестящие исследования по физике и изучал, например, возведение кватернионов в кватер- нионную степень. О кватернионах он напечатал книги «Лекции о кватернионах» (Lectures on Quaternions, 1853) и «Начала теории кватернионов» (Elements of Quaternions, 1866; не только название, но и структура книги похожи на евклидовы «Начала») и более 100 статей. Занимаясь кватернионами, Гамильтон дал определение скалярного и векторного произведения векторов в трёхмерном пространстве.
Гамильтон доказал, что умножение кватернионов ассоциативно (именно он ввёл этот термин); он же первым отметил, что умножение чисел Кэли (октав) неассоциативно.
Гамильтон ввёл важный дифференциальный оператор
Г7_ ' д , * д , 7 д
V —1~—Ь 1 т—Ь к—, дх J ду dz
Назвал он его «набла», потому что символ V похож на древнееврейский музыкальный инструмент с таким названием. V/ — это градиент функции /. Для векторной функции и скалярная составляющая Vu — это дивергенция (со знаком минус), а векторная составляющая —ротор.
Теорема Гамильтона—Кэли впервые доказана Гамильтоном для кватернионов, а для матриц порядка 2 и 3 сформулирована и доказана Кэли.
В 1843 г. ввёл термины вектор (от латинского vector—«перено- ситель») и ассоциативный (сочетательный).
В 1855 г. обнаружил обход додекаэдра, проходящий ровно один раз через каждую вершину. В связи с этим граф называют гамильтоновым, если существует обход, проходящий ровно один раз через каждую вершину (а эйлеров граф — это граф, для которого существует обход, проходящий ровно один раз через каждое ребро). За несколько месяцев до Гамильтона задачу описания всех многогранников, допускающих такие обходы, поставил Киркман.


Глава 7. Первая половина ХГХ века
141
Джон Грейвс (1806—1870)
В 1844 г. в письме Гамильтону Грейвс описал 8-мерную алгебру, элементы которой он называл октавами. Гамильтон отметил, что эта алгебра не ассоциативна. В 1845 г. краткое описание этой алгебры опубликовал Кэли, и с тех пор элементы этой алгебры называются числами Кэли.
Огастес де Морган (1806—1871)
В 1838 г. в одной из статей де Морган ввёл термин математическая индукция и определил этот метод, ранее употреблявшийся без чёткого обоснования.
В «Формальной логике, или Исчислении необходимых и вероятных заключений» (Formal Logic or The Calculus of Inference, Necessary and Probable, 1847) де Морган исходил из того, что логика должна служить точному выражению мыслей и устранять неясности и двусмысленности, присущие обыденной речи. Для устранения неопределённое™ в логике, связанной с отрицанием, де Морган вводит понятие «целого» или «универсума», выбираемого в зависимости от предмета исследования.
Законы де Моргана — это логические правила, которые выражают конъюнкцию через дизъюнкцию и наоборот посредством отрицания:
не (А и В) = (не А) или (не В);
не (А или В) = (не А) и (не В).
Де Морган ввёл общее понятие отношения и операций над отношениями.
Фердинанд Готлибович Миндинг (1806—1885)
Российский математик немецкого происхождения, с 1844 г. профессор Дерптского университета. cos
В 1830 г. Миндинг доказал, что величина — = , где ^ — кри¬
визна, а (/?—угол, образованный соприкасающейся с кривой плоскостью и касательной плоскостью к поверхности, относится к внутренней геометрии поверхности. Позднее эту величину Бонне назвал геодезической кривизной (1848).
В 1838 г. Миндинг указал наложение катеноида на прямой геликоид, а в 1839 г. почти полностью описал условия, при которых одну поверхность можно получить изгибанием из другой поверхно¬


142
Глава 7. Первая половина ХГХ века
сти; он упустил лишь возможность особого решения уравнения в полных дифференциалах. Условия наложимости Миндинг получил, последовательно вводя величины, названные впоследствии дифференциальными параметрами Бельтрами (Бельтрами применял их в своих работах 25 лет спустя). Миндинг доказал, в частности, что для двух поверхностей постоянной кривизны условие равенства их гауссовых кривизн является достаточным условием наложимости, причём наложение может осуществляться бесконечным числом способов, зависящим от трёх параметров. Миндинг нашёл уравнения поверхностей вращения постоянной кривизны. Он доказал, что поверхность, получаемая при вращении трактрисы вокруг её асимптоты, имеет постоянную кривизну. Впоследствии Бельтрами назвал эту поверхность псевдосферой.
В1840 г. Миндинг нашёл тригонометрические соотношения в треугольнике, образованном геодезическими на поверхности постоянной кривизны. Он обнаружил, что тригонометрия на псевдосфере получается из тригонометрии на сфере заменой обычных тригонометрических функций на гиперболические. Но Миндинг не обратил внимания, что это может иметь отношение к геометрии Лобачевского. Первым это заметил Бельтрами, что позволило ему построить в 1868 г. первую модель геометрии Лобачевского на псевдосфере.
Миндинг привёл и другие примеры кривых, при вращении которых получаются поверхности постоянной отрицательной кривизны. Он показал, что по поверхности постоянной кривизны нарисованная на ней фигура может скользить, не меняя свою форму.
Томас Пенингтон Киркман (1806—1895)
В 1846 г. Киркман решил (и опубликовал) комбинаторную задачу о системах Штейнера. Штейнер поставил эту задачу 6 лет спустя. При решении этой задачи Киркман построил конечные проективные плоскости.
В 1850 г. он опубликовал комбинаторную задачу о 15 школьницах: «Пятнадцать школьниц прогуливаются по трое семь дней. Требуется упорядочить их так, чтобы никакие две не гуляли вместе более одного раза».
В 1855 г. на несколько месяцев раньше Гамильтона поставил задачу: для каких многогранников существует цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз (гамильтоновы графы)?
В 1884 г. Киркман написал статью об узлах. Затем вместе с Тейтом составил таблицу узлов с 8, 9 и 10 перекрёстками.


Глава 7. Первая половина XIX века
143
Иоганн Бенедикт Листинг (1808—1882)
В книге Листинга «Предварительные исследования по топологии» (Vorstudien zur Topologie, 1847) впервые был опубликован термин топология (в его переписке этот термин впервые встречается в 1836 г.). В предисловии к этой книге Листинг писал: «Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел или их совокупности в пространстве, независимо от отношения мер и величин». В этой книге Листинг рассматривает некоторые примеры узлов, первым введя это понятие в научную литературу.
В1858 г. (раньше Мёбиуса) Листинг открыл лист Мёбиуса и опубликовал его описание в работе, посвящённой обобщению теоремы Эйлера о многогранниках1 (1862). В этой работе он рассматривал невыпуклые многогранники, поверхность которых не гомеоморфна сфере.
Герман Грассман (1809—1877)
Грассман до конца жизни оставался учителем гимназии в своём родном городе Штеттине. Несколько раз он пытался получить университетскую должность, но безуспешно. Гамильтон, прочитав книгу Грассмана, назвал его величайшим немецким гением. По поводу той же книги через 30 лет после её публикации издатель писал Грас- сману: «Вашей книги в продаже больше нет. Так как её почти никто не покупал, то 600 экземпляров были использованы в качестве макулатуры, а оставшиеся несколько экземпляров распроданы все, кроме одного, который остаётся в нашей библиотеке». Следующая книга Грассмана, как считал он сам, пользовалась ещё меньшим успехом. Идеи Грассмана получили распространение лишь к концу его жизни. Сам он в это время уже потерял контакты с математиками и утратил интерес к геометрии. Последние годы жизни Грассман занимался преимущественно санскритом. Он сделал перевод древнеиндийской «Ригведы» (более 1000 страниц) и составил к ней словарь (около 2000 страниц). За эти труды Американское общество востоковедов избрало его своим членом. В современных исследованиях «Ригведы» их часто цитируют. В 40-е годы XIX в. математики оказались неподготовленными к восприятию идей Грассмана.
xDer Census raumlicher Complexe oder Verallgemeinerung des Euler’schen Satzes von den Polyedern.


144
Глава 7. Первая половина ХГХ века
Свою первую книгу он послал Гауссу и получил в ответ записку, в которой Гаусс благодарил его и писал, что подобными вещами он занимался полвека тому назад и кое-что недавно опубликовал на эту тему. Мёбиус, в ответ на просьбу Грассмана написать рецензию на его книгу, сообщил ему, что не понимает философской части книги и поэтому не может прочитать её до конца. Получив премию за развитие идей Лейбница, Грассман обратился к министру культуры с просьбой предоставить ему университетскую должность, и его работы послали на рецензию Куммеру. В рецензии было сказано, что в них недостаёт ясности. На просьбу Грассмана ответили отказом. В 60-е и 70-е годы XIX в. многие математики своими путями приходят к идеям, аналогичным идеям Грассмана.
В 1832 г. Грассман фактически пришёл к векторной записи законов механики; это сильно упрощало многие расчёты. Он обратил внимание на коммутативность и ассоциативность сложения векторов и выделил эти свойства в явном виде. Впоследствии Грассман излагал свою теорию в весьма общем виде, для произвольных систем, обладающих определёнными свойствами. Это сильно затрудняло понимание его книг; почти никто, кроме него, ещё не осознавал значения коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности в алгебре.
Первое издание книги «Учение о протяжённости» (Die lineale Ausdehnungslehre...) вышло в 1844 г. В этой книге Грассман ввёл общее понятие п-мерного пространства со всеми его атрибутами: он дал определение подпространства и линейной зависимости векторов. Грассман определил геометрическое произведение двух векторов как параллелограмм, натянутый на эти векторы. Равновеликие и одинаково ориентированные параллелограммы, параллельные одной плоскости, он считал эквивалентными.
Грассман рассматривал п-компонентные гиперчисла, ввёл для них внутреннее произведение (то же самое, что скалярное произведение векторов) и внешнее произведение (умножение в алгебре Грассмана). Подход Грассмана впоследствии привёл, в частности, к теории тензоров.
До середины XIX в. математики почти не занимались вопросом логического обоснования теории целых чисел; законы сложения и умножения многими считались очевидными и не требующими обоснования и аксиоматизации. Первые серьёзные шаги в этом направлении сделал, по-видимому, именно Грассман. В 1861 г. он, развивая идеи Лейбница (который первым поставил задачу дедуктивного построения арифметики на основе аксиом), дал опреде¬


Глава 7. Первая половина ХГХ века
145
ление сложения и умножения целых чисел и доказал их основные свойства (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность) посредством только одной операции х —► х + 1 и принципа полной математической индукции. К двум аксиомам Лейбница он добавил ещё две аксиомы, определяющие умножение: т • 1 = т и m(n-f 1) — тп + т.
В 1862 г. вышло второе издание книги «Учение о протяжённости». В этой книге содержится построение алгебры Грассмана. Расстояние от точки с координатами (jcx, ...,хп) до начала координат он определил формулой \[Щ+77T+jc|, а угол между отрезками, соединяющими начало координат с точками Схъ..., хп) и (ylf..., уп), — формулой
*1У1 + ---+*пУп
arccos . ■ —■-jzni'. ■ ■■■„
^ + ...+*Уу12 + ...+у„2
В качестве аналога вращений вокруг начала координат Грассман рассмотрел линейные преобразования с определителем 1, сохраняющие квадратичную форму х2 + ... + х2. По аналогии с произведением двух векторов он ввёл геометрическое произведение г векторов в п-мерном пространстве. Это произведение он рассматривал как геометрический объект, координатами которого являются миноры порядка г матрицы размера г х п, составленной из координат данных векторов.
Во втором издании «Учения о протяжённости» впервые дано исчерпывающее перечисление случаев, которые могут встретиться при рассмотрении задачи Пфаффа (1814) о том, как может быть упрощено выражение X1dx1 + X2dx2 + ... + Xndxn.
Бенджамин Пирс (1809—1880)
Американский алгебраист Пирс в 1870 г. в работе «Линейная ассоциативная алгебра» (Linear Associative Algebra) получил классификацию алгебр размерности не выше 5. Появление этой работы связано с его интересом к кватернионам. При этом он дал общее определение конечномерной ассоциативной алгебры, ввёл два понятия: нильпотентных и идемпотентных элементов.
Жозеф Лиувилль (1809—1882)
С 1829 по 1837 г. Лиувилль разрабатывал так называемую теорию Штурма—Лиувилля. Штурм и Лиувилль исследовали общее линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Штурм изу¬


146
Глава 7. Первая половина ХГХ века
чил свойства его собственных значений и собственных функций, а Лиувилль изучил разложение произвольной функции в ряд по собственным функциям. Основные результаты Лиувилля опубликованы в 1836 и 1837 г.
В1832—33 годах Лиувилль нашёл критерий, когда интеграл Jу dx от алгебраической функции может быть выражен в конечном виде через элементарные функции. Он доказал, что в таком случае этот интеграл имеет следующий вид:
J у dx = t +Ainu+ Blnv + ...+Klnw}
где t, u, v,..., w — алгебраические функции от x, a A, B,..., К — постоянные. В1841 г. Лиувилль нашёл условия разрешимости в квадратурах уравнения Риккати.
В 1832 г. Лиувилль опубликовал три работы по дробному дифференциальному исчислению. Его подход был следующий. Для дифференцирования Dm целого порядка т справедлива формула Dmeax = = атеах. Лиувилль распространяет её на дифференцирование произвольного порядка v: Dveax = aveax; для функции /(х), представлен- 00 00
ной рядом /(х) = 2 cneQnX, Re ап > 0, он полагает Dvf (л:) = ][] спа*еапХ.
п=О п—0
В 1836 г. Лиувилль начал издавать один из ведущих математических журналов — «Журнала чистой и прикладной математики» (Journal de matlrematiques pures et appliquees), который часто называли журналом Лиувилля.
В 1838 г. он доказал, что функциональный определитель любого канонического преобразования (т. е. преобразования, переводящего уравнения Гамильтона в уравнения такого же вида) равен ±1. Другими словами, гамильтонова динамика сохраняет объём.
В 1840 г. он доказал, что число е не может быть корнем квадратного или биквадратного уравнения с целыми коэффициентами.
В 1842 г. Лиувилль начал читать неопубликованные записки Галуа. В 1843 г. он сообщил Парижской академии, что обнаружил очень важные результаты в работах Галуа, и пообещал опубликовать их со своими комментариями. В1846 г. впервые опубликовал в своём журнале работы Галуа, остававшиеся в безвестности до того, как Лиувилль понял их значение. Но свои комментарии, заполнявшие пробелы в доказательствах Галуа, он так и не опубликовал.
В1844 г. Лиувилль опубликовал первый пример трансцендентного числа с доказательством его трансцендентности. При этом он построил бесконечное множество трансцендентных чисел. Более по¬


Глава 7. Первая половина ХГХ века
147
дробная статья о трансцендентных числах опубликована в 1851 г. Признак трансцендентности числа, установленный Лиувиллем, основан на том, что алгебраические числа не допускают слишком хороших приближений рациональными числами. Точнее говоря, если а — корень неприводимого уравнения степени п, а р и q — взаимно простые числа, то
где число А не зависит от q. С помощью этого признака Лиувилль
00 1
показал, что для любого натурального I > 1 число ^ ^ трансцен- дентно. п=1
В 1844 г. распространил термин геодезическая на любые поверхности (до этого Лаплас применял его к земной поверхности, а ещё его применяли к поверхностям второго порядка).
В 1844 г. доказал, что голоморфная двоякопериодическая ограниченная функция постоянна. В том же 1844 г. Коши обобщил эту теорему и доказал, что ограниченная на всей плоскости голоморфная функция постоянна. (Коши представил свою теорему на следующем же заседании Парижской академии после того, на котором Лиувилль представил свою.) Обычно именно теорему, доказанную Коши, называют теоремой Лиувилля. Лиувилль широко использовал свою теорему на лекциях по теории эллиптических функций (1847).
В1847 г. прочитал лекции по теории двоякопериодических функций всего для двух слушателей (Борхардта и Иоахимсталя). Подробная программа этих лекций была опубликована в 1851 г. в «Comptes rendus», поэтому его трактовка не осталась незамеченной современниками. Это был новый подход: объектом изучения стал весь класс двоякопериодических мероморфных функций. Именно эти функции получили название эллиптических (обращениями эллиптических интегралов являются лишь эллиптические функции второго порядка, т. е. имеющие в параллелограмме периодов два простых полюса или полюс второго порядка).
В 1850 г. Лиувилль доказал, что конформные преобразования пространства переводят сферы в сферы, а также доказал теорему о строении конформных преобразований в пространстве: они представляются в виде композиции движения, подобия и инверсий. Это существенно более жёсткие условия, чем для конформных преобразований плоскости.
В 1857—1860 г. установил много теоретико-числовых тождеств.


148
Глава 7. Первая половина ХГХ века
Лиувилль выделил класс поверхностей (поверхности Лиувилля), для которых элемент длины можно привести к виду
ds2 = (у(и) + 'ip(v))(du2 + dv2).
К таким поверхностям относятся поверхности вращения и поверхности второго порядка. На поверхностях Лиувилля геодезические можно найти в квадратурах.
Эрнст Эдуард Куммер (1810—1893)
Одними из первых работ Куммера были исследования гипергео- метрических рядов, которые привели его к важным результатам в теории дифференциальных уравнений. В 1836 г. Куммер показал, что каждому решению F(a,l3,y,x) гипергеометрического уравнения можно сопоставить 24 функции, которые также являются решениями (исходная функция входит в число этих 24 функций). Например, одна из таких функций имеет вид
(1 - x)r~a~^F(y - а,у — /3,у,х).
Куммер ввёл идеальные числа при доказательстве Великой теоремы Ферма, которой он начал заниматься с 1837 г. В 1843 г. он был уверен, что получил доказательство гипотезы Ферма о неразрешимости в натуральных числах уравнения хр + ур = zp, основанное на свойствах чисел вида а0 + ага + ... + а^а^1, где а0, ...,ар_х — рациональные числа, а — примитивный корень степени р из единицы. Но Дирихле указал, что это доказательство основано на ошибочном предположении, что для кольца Z[a] имеет место единственность разложения на простые множители. В действительности же это верно лишь для некоторых р, а в общем случае произведение двух чисел может делиться на простое число, хотя ни одно из них на него не делится. Это обстоятельство делало сомнительной возможность построения арифметики кольца Z[a]. Куммеру удалось частично спасти положение, введя новые объекты, которые он назвал идеальными простыми множителями; эти идеальные множители Куммера впоследствии привели к понятию идеала в кольце. Статьи Куммера на эту тему опубликованы в 1847 г.
В1860 г. Куммер разработал общую теорию прямолинейных конгруэнций.
В 1864 г. при исследовании общих систем лучей построил некоторую специальную поверхность четвёртой степени, получившую название поверхность Куммера.


Глава 7. Первая половина XIX века
149
Эварист Галуа (1811—1832)
Галуа дважды провалился на экзамене по математике в Политехническую школу. Представленная им в 1829 г. Парижской академии работа по теории алгебраических уравнений была направлена на рецензирование Коши, и он её потерял. В 1829 г. опубликована статья Галуа о непрерывных дробях. Осенью 1829 г. Галуа поступил в Нормальную школу, которая в то время была учебным заведением более низкого уровня, чем Политехническая. Его работа по теории алгебраических уравнений, представленная на конкурс Парижской академии в 1830 г., снова была потеряна. В конце того же года Галуа исключили из школы за республиканские выступления. В июне 1831 г. его судили за дерзкие высказывания в адрес короля Луи-Фи- липпа, но оправдали, учтя юный возраст. Через месяц его снова арестовали как одного из вожаков манифестации молодёжи. В конце 1831 г. Галуа приговорили к шести месяцам тюрьмы. Вскоре после выхода из тюрьмы Галуа был убит на дуэли. В ночь перед дуэлью Галуа переработал рукопись, которую он ещё раз готовил для Академии, и переслал её своему другу О. Шевалье. Эту основную работу Галуа опубликовал Лиувилль в 1846 г.
В статье о непрерывных дробях, опубликованной в 1829 г., Галуа получил критерий чистой периодичности непрерывной дроби, представляющей квадратичную иррациональность.
В статье «Из теории чисел» (Sur la Лёопе des nombres, 1830) Галуа рассматривает полиномиальные сравнения
F(x) = 0 (mod р),
не имеющие целых корней. Он пишет, что корни этого сравнения нужно рассматривать как воображаемые символы и роль этих символов часто бывает столь же полезной, как роль воображаемого У“1 в обычном анализе. Галуа, по сути дела, рассматривает конструкцию присоединения к полю корня неприводимого уравнения, причём он явно выделяет требование неприводимости, и доказывает несколько теорем о конечных полях.
Основная работа Галуа — «Мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (Мётопге sur les conditions de resolubil^ des equations par radicaux, издано в 1846 г.). Сначала он определяет область рациональности и указывает, что можно изменять область рациональности, присоединяя новые числа. Для определения группы Галуа уравнения он доказывает теорему о примитивном элементе: для неприводимого уравнения можно выбрать рациональное


150
Глава 7. Первая половина ХГХ века
выражение V от корней уравнения так, что все корни рационально выражаются через V. После этого Галуа замечает, что любое уравнение зависит от такого вспомогательного уравнения, что все корни этого нового уравнения являются рациональными функциями друг друга. Сейчас такие уравнения называют нормальными. Затем Галуа доказывает, что если V является корнем неприводимого уравнения и V' — тоже корень этого уравнения, то уравнение, имеющее корень /(V), имеет также корень f (У'). Эта лемма является основой для определения группы Галуа. Для любого уравнения существует группа перестановок его корней (группа Галуа), обладающая следующими свойствами: 1) любая функция корней, инвариантная относительно перестановок этой группы, принадлежит области рациональности; 2) любая рациональная функция от корней инвариантна относительно этих перестановок. Затем Галуа рассматривает разложение группы на правые и левые смежные классы по подгруппе и приводит условие разрешимости уравнения в радикалах. После этого он приводит две формы критерия разрешимости уравнения простой степени: 1) неприводимое уравнение простой степени разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда все функции, инвариантные относительно перестановок, рационально известны; 2) неприводимое уравнение простой степени разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда при знании двух каких- нибудь его корней все остальные выводятся из них рационально. В этом же письме сформулированы глубокие результаты из теории абелевых и модулярных функций. Основная модулярная функция j (w) — это отношение двух периодов эллиптического интеграла
г dz
у/(1- z2)( 1 - k2z2)
рассматриваемая как функция модуля w = /с2. Модулярные функции—это мероморфные функции в верхней полуплоскости, инвариантные относительно модулярной группы, т. е. группы преобразований z aZtj, где числа а, Ъ, с, d целые и ad — be = 1. Поэтому
CZ т CL
модулярные функции относятся к автоморфным функциям; модулярная функция — простейший пример автоморфной функции. Любая модулярная функция алгебраически выражается через основную модулярную функцию j (со). Модулярное уравнение — это полиномиальное соотношение, связывающее j(co) и j(nco). Галуа получил некоторые результаты о структуре группы Галуа модулярного уравнения.


Глава 7. Первая половина ХГХ века
151
Когда Галуа начал строить общую теорию полей, он заметил, что доказательство Гаусса существования первообразного корня буквально переносится на любое конечное поле и позволяет доказать, что мультипликативная группа конечного поля циклическая.
Работы Галуа показали, что решение старого важного вопроса о разрешимости уравнения в радикалах сводится к исследованию нового объекта —группы. Галуа умело пользовался такими сложными понятиями, как нормальная подгруппа, разрешимая группа, простая группа. Он сформулировал следующие утверждения:
1) минимальная некоммутативная простая группа —это группа А5 порядка 60;
2) группа дробно-линейных преобразований с коэффициентами в поле вычетов по модулю р неразрешима при р > 3;
3) группа из п. 2 не имеет подгрупп индекса р при р > 11;
4) неприводимое уравнение простой степени разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа метациклическая.
Людвиг Отто Гессе (1811—1874)
В1842 г. при изучении кривых третьей и четвёртой степени ввёл понятие гессиана (для функции и кривой). Гессиан функции / — это определитель
fxx
fv
Н(Л =
fyx
fyy
fyz
/«
fzy
fzz
Гессе сделал доказательство формул Плюккера более понятным, переписав его в однородных координатах и применив для этого гессиан кривой, который нужен для поиска точек перегиба. Для кривой / = 0 степени п гессиан кривой задаётся уравнением Н(/) = 0; он имеет степень 3(п — 2). Точки перегиба кривой —это точки пересечения кривой и её гессиана. Всего получаем 3п(п — 2) точек перегиба на кривой без особых точек. (Гессиан проходит через все особые точки кривой.)
В1848 г. Гессе доказал, что каждая гладкая кривая степени 4 имеет 28 двойных касательных. (Такое предположение высказал Плюккер, но без достаточного обоснования.)
Гессе показал, что для любой формы её гессиан является инвариантом относительно группы линейных преобразований, определитель которых равен 1.


152
Глава 7. Первая половина ХГХ века
Пьер Альфонс Лоран (1813—1854)
В 1843 г. Лоран обобщил теорему Коши о разложении аналитической функции на кольце в степенной ряд (ряд Лорана): он доказал, что функция / {%), не имеющая особых точек внутри кольца а < \ z \ < Ь, разлагается в ряд по положительным и отрицательным степеням 2. (Эта теорема была получена Вейерштрассом ещё в 1841 г., но он до 1894 г. не публиковал свои работы начала 40-х годов.)
Коши дважды предлагал Академии опубликовать работу Лорана, и Академия дважды отвергла эту работу. В результате она была утеряна и известна только из сообщения Коши.
Пьер Лоран Ванцель (1814—1848)
В1837 г. Ванцель доказал, что задачи удвоения куба и трисекции угла неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Вопрос о разрешимости задачи квадратуры круга оставался открытым до 1882 г., когда Линдеман доказал трансцендентность числа п, усовершенствовав метод Эрмита, которым он доказывал трансцендентность числа е.
Эжен Шарль Каталан (1814—1894)
В 1838 г. бельгийский математик Каталан ввёл числа Каталана как количество способов разделить многоугольник на треугольники непересекающимися диагоналями. Точно так же определял эти числа Эйлер задолго до него.
В 1842 г. Каталан доказал, что единственной линейчатой минимальной поверхностью, отличной от плоскости, является геликоид (винтовая поверхность).
В 1844 г. он сформулировал следующую гипотезу (гипотеза Каталана): при т,п > 1 уравнение хт — уп = 1 имеет единственное решение в натуральных числах (х = 3, т = 2, у = 2, п = 3); другими словами, 8 и 9 — единственные последовательные степени. Гипотеза доказана в 2003 г.
В 1855 г. исследовал так называемую минимальную поверхность Каталана, которая содержит циклоиду в качестве геодезической.
Людвиг Шлефли (1814—1895)
В 1851 г. Шлефли закончил обширное исследование о многомерных пространствах (многообразиях), которое публиковалось снача¬


Глава 7. Первая половина ХГХ века
153
ла лишь частично, а полностью не было опубликовано до 1901 г. В этой работе Шлефли определил многомерные многогранники, доказал обобщённую теорему Эйлера. Он также исследовал правильные многогранники и доказал, что в размерности 4 есть ровно 6 типов правильных многогранников, а при п ^ 5 в п-мерном пространстве есть только три типа правильных многогранников. Для исследования правильных многогранников он ввёл символ Шлефли.
Шлефли также определил п-мерную сферу и вычислил её объём. Он предложил рассматривать сферическое трёхмерное пространство как сферу в 4-мерном пространстве. Шлефли знал, как найти объём тетраэдра не только в сферической, но и в гиперболической геометрии. Когда он занимался этим в 1852 г., он не знал о соответствующих результатах Лобачевского об объёме тетраэдра в гиперболической геометрии.
В 1858 г. Шлефли доказал, что конфигурация 27 комплексных прямых на кубической поверхности содержит 45 компланарных троек и 36 так называемых двойных шестёрок. Он рассмотрел кубические поверхности в вещественном пространстве с точки зрения того, какие из плоскостей, в которых лежат компланарные тройки, составленные из этих 27 прямых, будут вещественными, а какие — мнимыми. При этом он выделил 5 классов вещественных кубических поверхностей.
Шлефли получил интегральное представление функций Бесселя и гамма-функции.
В 1870 г. при исследовании эллиптических модулярных функций он ввёл модулярное уравнение Шлефли.
Среди неопубликованных результатов Шлефли — описание фундаментальной области модулярной группы в 1867 г., за 10 лет до Дирихле, и /-функций (инвариантов классов) за 20 лет до Вебера.
Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897)
Сильвестр, родившийся в Лондоне, в 1841 г. переехал в Америку, а в 1883 г. вернулся в Англию. В 1878 г. основал «American Journal of Mathematics» — первый математический журнал в США.
В 1840 г. он представил результант двух многочленов степени тип в виде определителя матрицы порядка п + т (матрица Сильвестра).
В 1850 г. он ввёл понятие и термин минор и термин матрица, в 1851 г. доказал теорему об определителе матрицы, составленной из миноров (тождество Сильвестра).


154
Глава 7. Первая половина ХГХ века
В1851 г. открыл дискриминант кубического уравнения и первым использовал термин дискриминант для такого же рода выражений для уравнения четвёртой степени и более высоких степеней. Дискриминант Сильвестр связал с кратными корнями многочлена.
В1852 г. им было доказано, что квадратичная форма ортогональной заменой координат приводится к диагональному виду (сумме квадратов с положительными или отрицательными коэффициентами). В этой же работе доказан закон инерции квадратичных форм (число положительных коэффициентов квадратичной формы, приведённой к диагональному виду, не зависит от замены координат, приводящей форму к диагональному виду). Сильвестр доказал также, что квадратичная форма положительно определена (т. е. приводится к сумме квадратов с положительными коэффициентами) тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы этой квадратичной формы положительны (критерий Сильвестра).
Сильвестр внёс существенный вклад в разработку теории элементарных делителей Я-матриц.
В 1853 г. Сильвестр, развивая метод Штурма для оценки количества корней многочлена в данном интервале, указал матрицу, сигнатура которой равна количеству вещественных корней многочлена.
В 1881 г. Сильвестр уточнил оценку Чебышева для числа простых чисел: вместо оценки 0,922 < < 1Д05 он получил оценку
0,95695 < —г—< 1,04423.
9 xlnx *
В 1893 г. Сильвестр предложил доказать, что если на вещественной плоскости отмечено конечное число точек, не лежащих на одной прямой, то найдётся прямая, проходящая ровно через две отмеченные точки (другими словами, если на любой прямой, проходящей через две отмеченные точки, лежит ещё одна отмеченная точка, то все отмеченные точки лежат на одной прямой). Это утверждение было доказано лишь в 1940-е годы. По-видимому, Сильвестр исходил из конфигурации точек перегиба кубической кривой на плоскости с комплексными координатами. Эти девять точек как раз образуют такую конфигурацию: они не лежат на одной прямой, но на любой прямой, проходящей через две точки, лежит ещё одна из этих точек. Сильвестр фактически предложил доказать, что в такого рода конфигурациях координаты всех точек не могут быть вещественными.
При изучении разбиений чисел Сильвестр ввёл термин граф; он также ввёл все основные термины теории инвариантов: инвариант, ковариант, дискриминант.


Глава 7. Первая половина XIX века
155
Джордж Буль (1815—1864)
В 1844 г. Буль опубликовал статью, в которой изучал действия с некоммутирующими операторами с целью создания общих методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Это была первая попытка систематического анализа линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами операторными методами.
В 1854 г. опубликовал книгу «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятности» (An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities). Буль внёс ясное осознание абстрактности исчисления и того, что исчисление определяется теми законами, которым подчинены операции. Буль сопоставил логическим символам количественные символы, принимающие значения 0 и 1. Он указал на аналогию между алгебраическими символами и теми, которые представляют логические формы. Это положило начало алгебре логики, получившей название алгебра Буля.
Карл Вейерштрасс (1815—1897)
Долгое время Вейерштрасс работал учителем в гимназии. В1854 и 1856 г. он опубликовал две статьи об абелевых функциях и об обращении гиперэллиптических функций, которые привлекли большое внимание, после чего его пригласили в Берлин.
Вейерштрасс дал современное определение непрерывности функции, предела, сходимости ряда, равномерной сходимости.
В 1841 г. он доказал теорему о разложении функции в ряд Лорана, но своевременно не опубликовал её. (Лоран представил свою работу в 1843 г.) В неопубликованной работе 1842 г. предложил идею аналитического продолжения степенных рядов, впоследствии игравшую важную роль в его построении теории аналитических функций. (Независимо от Вейерштрасса к этой идее пришёл Пюи- зё, опубликовавший способ аналитического продолжения рядов в 1850 г.) В 1842 г. независимо от Коши доказал методом мажорант существование аналитического решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того (этого нет у Коши), применил идею аналитического продолжения функции для представления решения дифференциального уравнения вне области сходимо¬


156
Глава 7. Первая половина ХГХ века
сти ряда, первоначально задававшего решение. Эти исследования были опубликованы лишь в 1894 г.
Теорема Вейерштрасса о разложении целой1 функции в произведение доказана им в 1840-е годы, но опубликована лишь в 1876 г. Он доказал, что если а( — нули целой функции G, то
G(z)=zk П(1-
где Yi(z) — многочлены (а экспоненциальный множитель вводится для обеспечения сходимости). Эту теорему Вейерштрасс использовал для построения функции <j{z) в теории эллиптических функций. В той же статье 1876 г. доказано, что мероморфная функция — отношение двух целых функций. В 1877 г. Миттаг—Леффлер обобщил эту теорему: функция, мероморфная в некоторой области, является отношением двух функций, голоморфных в этой области. Вейерштрасс доказал, что целая функция, отличная от многочлена, в окрестности точки z = оо бесконечно много раз сколь угодно близко подходит к любому заданному значению; эту теорему дополнил Пикар.
Понятием равномерной сходимости Вейерштрасс владел к 1842 г. Он очень осторожно обращался с бесконечными рядами, и понятие равномерной сходимости играло у него важную роль; на нём основывались многие из его доказательств.
Вейерштрасс определяет аналитическую функцию как множество степенных рядов, которые получаются из одного степенного ряда посредством аналитического продолжения вдоль различных кривых. Он строил теорию комплексных функций на основе разложений в ряды и аналитического продолжения.
Вейерштрасс оспаривал правомерность применения вариационного принципа Дирихле. Он отмечал, что если мы ищем минимум функционала, определённого на дифференцируемых функциях, то найденная функция может не быть дифференцируемой. Это ставило под сомнение доказательство Римана существования функций на римановых поверхностях.
В 1861 г. Вейерштрасс разработал в своих лекциях общую теорию алгебр, но опубликовал свои исследования лишь в 1884 г. Он доказал, что любая коммутативная алгебра без нильпотентных элементов является прямой суммой нескольких полей R и С.
1 Целая функция —это функция, голоморфная на всей комплексной плоскости. Бесконечность при этом может быть особой точкой.


Глава 7. Первая половина ХГХ века
157
В 1863 г. доказал, что комплексные числа — единственное конечномерное коммутативное расширение вещественных чисел.
В 1868 г. Вейерштрасс дал необходимое и достаточное условие подобия матриц, используя понятие элементарных делителей.
В1872 г. построил пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции (до Вейерштрасса пример такой функции построил Больцано, но не опубликовал его).
В 1875 г. доказал, что риманова поверхность рода больше 1 допускает лишь конечное число конформных отображений на себя. Это доказательство было опубликовано лишь в 1895 г. До этого появились доказательства Макса Нётера (1882) и Гурвица (1893).
В 1879 г. получил одно из необходимых условий существования экстремума функционала, основанное на функции Вейерштрасса, сопоставляемой функционалу.
В 1880 г. ввёл понятие существенно особой точки.
Теорему о приближении многочленами, доказанную в 1885 г., Вейерштрасс сформулировал как теорему о представлении функции: непрерывную функцию на отрезке не всегда можно представить степенным рядом, но всегда можно представить в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов.
В1885 г. дал более простое доказательство теоремы Линдемана о трансцендентности числа п (1882). Отметил, что если со— алгебраическое число, не равное нулю, то sin со — трансцендентное число.
Исследования Вейерштрасса по теории сходимости рядов, распространившиеся через его лекции, оказали большое влияние на строгость доказательств в анализе. Это хорошо видно при сравнении первого издания «Курса анализа» Жордана со вторым и третьим.
При исследовании эллиптических функций ввёл так называемую функцию Вейерштрасса
PO)-z2 +(mn2oo)((z_ma)i_nW2)2 (та>1 + п&>2)2 )’
которая имеет периоды сог и о>2. В каждой точке тсог 4- псо2 эта функция имеет полюс второго порядка, а в остальных точках ана- литична.
Вейерштрасс доказал, что алгебраическая теорема сложения возможна только для эллиптических функций и их вырождений, т. е. для рациональных функций и рациональных функций от экспоненты (теорема Вейерштрасса).


158
Глава 7. Первая половина ХГХ века
Жан Фредерик Френе (1816—1900)
В 1847 г. Френе вывел деривационные формулы для репера, связанного с кривой в пространстве; эти формулы включают кривизну и кручение кривой. Статья Френе «О кривых двоякой кривизны» (Sur les courbes a double courbure) опубликована в 1852 г. (в то время кривыми двоякой кривизны называли кривые в пространстве). Одновременно и независимо эти формулы получил Серре. Часто их называют формулами Френе, но правильнее называть формулами Серре—Френе (такое название тоже достаточно распространено). Формулы Серре—Френе связывают направляющие косинусы касательной, главной нормали и бинормали к кривой и их производные по длине дуги кривой. Сейчас эти формулы обычно записывают не для направляющих косинусов, а для единичных векторов t, п и Ь, направленных по касательной, главной нормали и бинормали к кривой:
dt , dn db
ds=kn’ d7 = -fct+"b> Ts=-*n-
Здесь k — кривизна кривой, а к — кручение.
Шарль Врио (1817-1882)
Основные работы Врио выполнены совместно с Буке, с которым он подружился ещё в школе. В 1850-е годы они написали трактат по эллиптическим функциям. Они, в частности, доказали, что две эллиптические функции, имеющие одинаковые периоды, связаны полиномиальным соотношением.
Брио и Буке исследовали дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие неподвижную особую точку в начале координат. Они исследовали также типичные формы дифференциального уравнения первого порядка. С этими исследованиями связано так называемое уравнение Брио—Буке
у),
где т — натуральное число.
Зигфрид Генрих Аронгольд (1819—1884)
В 1849 г. Аронгольд начал исследования по теории инвариантов. Он внёс значительный вклад в изучение инвариантов тернарных кубических форм.


Глава 7. Первая половина ХГХ века
159
Специальные дифференциальные уравнения в частных производных с линейными коэффициентами, к которым он пришёл во время этих исследований (1851), получили его имя. Аронгольда интересовали уравнения, инвариантные относительно замен (подстановок) коэффициентов.
Жан-Клод Буке (1819-1885)
Основные работы Буке были выполнены совместно с его соавтором Ш. Врио.
Жозеф Альфред Серре (1819—1885)
Серре одновременно с Френе получил формулы для репера, движущегося вдоль кривой в пространстве 0формулы Серре—Френе). Статья Серре «О некоторых формулах, относящихся к теории кривых двоякой кривизны» (Sur quelques formules relatives a la theorie des courbes a double courbure) опубликована в 1851 г., а статья Френе опубликована в 1852 г. (в разных томах одного и того же журнала).
В свои лекции по алгебре в Сорбонне Серре включал всё больше и больше теории Галуа. Теория Галуа стала общедоступной для алгебраистов только после публикации двухтомного «Курса высшей алгебры» (Cours d’algebre зирёпеиге, 1849) Серре.
Двухтомные курсы Серре по алгебре и по анализу оказали в своё время большое влияние и с интересом читаются даже сейчас.
Пьер Оссиан Бонне (1819—1892)
В1867 г. в «Мемуаре о теории поверхностей, наложимых на данную поверхность» (Мёпклге sur la theorie des surfaces applicables sur une surface donnee) Бонне заполнил пробел в описании необходимых и достаточных условий того, что одну поверхность можно наложить на другую, полученных Миндингом в 1839 г. Этот пробел был связан с возможностью особого решения уравнения в полных дифференциалах. В том же мемуаре обобщил теорему Гаусса о геодезическом треугольнике, доказав её для простого гладкого контура С, ограничивающего область Е регулярной поверхности. Согласно теореме Гаусса—Бонне


160
Глава 7. Первая половина ХГХ века
С
Рис. 7.15.
т. е. сумма полной кривизны области Е и интеграла геодезической кривизны 1/Pg по контуру С равна 2 п (рис. 7.15).
В этом же мемуаре Бонне впервые опубликована теорема о том, что первая и вторая квадратичные формы определяют поверхность с точностью до движения. Но эта теорема была ранее доказана в неопубликованной диссертации Петерсона «Об изгибании поверхностей» (1853).
Бонне ввёл понятие геодезической кривизны. Независимо от Миндинга он доказал инвариантность геодезической кривизны при изгибаниях поверхности.
В 1859 г. Бонне получил решение задачи о нахождении всех поверхностей с заданным линейным элементом. Его подход использовал изотермические и тангенциальные координаты.
Джордж Габриэль Стокс (1819—1903)
В 1845—1846 годах Стокс изучал движения несжимаемой жидкости и вывел уравнение, получившее название уравнение Навъе— Стокса. В 1851 г. исследовал движение маятника в жидкости, получил закон падения круглого тела в вязкой жидкости (закон Стокса).
В1854 г. Стокс предложил на экзамене теорему, которую в 1850 г. сообщил ему в письме лорд Кельвин: интеграл ротора векторного поля по поверхности равен интегралу этого векторного поля по краю поверхности, т. е.
JJ V х Fd£= j> Fdr.
s as
С тех пор это утверждение и его многомерное обобщение получило название теорема Стокса.


Глава 7. Первая половина XIX века
161
Джордж Сальмон (1819—1904)
Весьма популярны были учебники ирландского математика Сальмона «Конические сечения» (A Treatise on Conic Sections, 1848), «Высшие алгебраические кривые» (A Treatise on Higher Plane Curves, 1852), «Введение в современную высшую алгебру» (Lessons Introductory to the Modern Higher Algebra, 1859) и «Аналитическая геометрия трёх измерений» (A Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions, 1862), содержащие обширный материал. В книге «Высшие алгебраические кривые» Сальмон доказал, в частности, что определитель композиции двух линейных преобразований равен произведению их определителей.
В 1849 г. Сальмон доказал, что на гладкой кубической поверхности в комплексном пространстве расположено ровно 27 прямых. (В том же году Кэли тоже установил, что на гладкой кубической поверхности есть прямые, но не нашёл их число.)
Виктор Александр Пюизё (1820—1883)
Основная работа Пюизё — статья «Исследования об алгебраических функциях» (Recherches sur les fonctions a^briques, 1850). В ней он сформулировал понятие алгебраической функции и детально изучил поведение алгебраической функции в окрестности особой точки. Получил разложение по степеням (z — а)1^ алгебраической функции в окрестности точки ветвления а. Коши обсуждал этот результат в статье 1851 г. На примере алгебраических функций Пюизё рассмотрел способ аналитического продолжения степенных рядов. (Этот способ был известен Вейерштрассу в 1842 г., но он не опубликовал его своевременно.) Пюизё фактически полностью выяснил структуру многолистной римановой поверхности, определяемой алгебраическим уравнением f(u,z) = 0; для этого он изучил, что происходит при обходе вокруг точек ветвления. Дал общее определение периодов абелевых интегралов и изучил свойства периодов для ультраэллиптических интегралов.
Пюизё разъяснил, чем точка ветвления отличается от полюса, и дал определение существенно особой точки — полюса бесконечного порядка.
Продолжение основной работы под названием «Новые исследования об алгебраических функциях» (Nouvelles recherches sur les fonctions algebriques) опубликовано в 1851 г. Здесь Пюизё доказал, что однозначная алгебраическая функция рациональна. Он доказал


162
Глава 7. Первая половина ХГХ века
также, что для любого значения многозначной функции можно выбрать путь, идя по которому мы попадём в любое другое значение этой функции (на языке римановых поверхностей это означает, что риманова поверхность неприводимой алгебраической функции связна).
В этих работах Пюизё рассматривал непрерывные деформации путей, обходящих вокруг точки ветвления. Он, в частности, отмечает, что если сначала проходится некоторый путь, а затем тот же путь проходится в обратном направлении, то такой составной путь непрерывно деформируется в точку. Это постепенно подготавливало введение фундаментальной группы.
Генрих Эдуард Гейне (1821—1881)
В 1872 г. Гейне сформулировал понятие равномерной непрерывности и доказал, что функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна. (Это доказывал ранее Дирихле в лекциях 1854 г.)
При этом Гейне доказал и использовал тот факт, что из счётного покрытия отрезка можно выбрать конечное подпокрытие. Как самостоятельную важную теорему это утверждение сформулировал и доказал (тоже для счётных покрытий) Борель в 1894 г. Доказательство это не очень сложное, но главное было в том, чтобы осознать важность этой теоремы, которая впоследствии привела к понятию компактности множества. Для произвольного (не обязательно счётного) покрытия эту теорему доказали Кузен (1895), Шёнфлис (1900) и Лебег (1898, опубликовано в 1904).
Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894)
В 1849 г. Чебышев в мемуаре «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» изучал свойства функции п (х), равной количеству простых чисел, не превосходящих х.
Он доказал, что если функция имеет предел при х —> оо, то
этот предел равен 1. Но существование предела Чебышев доказать не смог; это сделали независимо Адамар и Валле-Пуссен в 1896 г. Другой важный шаг в этом направлении Чебышев сделал в 1852 г. в мемуаре «О простых числах» (Memoire sur les nombres premiers). Он доказал теорему об асимптотике числа простых чисел, не превосходящих данного числа:
0,92129 < < 1,10555.
5 xlnx 9


Глава 7. Первая половина ХГХ века
163
Поводом для написания этого мемуара послужил так называемый постулат Бертрана, сформулированный им в 1845 г.: для любого натурального п > 3 существует простое число, которое больше п и меньше 2п — 2. Найденные оценки позволили Чебышеву доказать постулат Бертрана.
В 1853 г. Чебышев доказал, что интеграл J хт(а -f ЪхпУ dx выражается в элементарных функциях только в том случае, когда одно из
т + 1 m +1 , чисел —-—, — h р или р натуральное.
В 1854 г. опубликован мемуар «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (Theorie des nrecanismes connus sous le nom de paraltelogrammes). Именно здесь поставлена и решена задача о полиномах Р(х) данной степени, наименее уклоняющихся от нуля при -1 < х ^ 1. Эти многочлены получили название многочленов Чебышева.
В1855 г. опубликована работа «О непрерывных дробях» — первая из серии работ, посвящённых общей теории ортогональных многочленов. Ортогональные многочлены появляются в этой работе как знаменатели подходящих дробей для цепных дробей вида
1
Ьо
z а° Ь\
z — ал
z — а2 — ...
Чебышев первым ввёл общее понятие ортогональной системы многочленов.
В1857 г. в Академию представлена вторая из его работ о функциях, наименее заслоняющихся от нуля: «Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближённым представлением функций» (Sur les questions de minima qui se rattachent a la representation approximative des fonctions). Здесь Чебышев рассматривает наилучшие приближения произвольными функциями.
Абель доказал, что если интеграл Г dx, где R(x) — мно-
J у/Шх)
гочлен степени 2п, а р (х) — многочлен степени п — 1, выражается в элементарных функциях, то y/R(x) раскладывается в непрерывную периодическую дробь. Наоборот, если ^R(x) раскладывается в непрерывную периодическую дробь, то можно подобрать многочлен р (л:) так, чтобы интеграл J ^х выражался в элемен¬
тарных функциях. Но этот критерий не был эффективным, потому


164
Глава 7. Первая половина ХГХ века
что при последовательном вычислении частных дробей разложения ^/RM в непрерывную дробь нельзя быть уверенным, что периодичность не начнётся дальше. Для случая, когда R(x) — многочлен степени 4 с рациональными коэффициентами, в 1861 г. Чебышев предложил (без доказательства) алгоритм, позволяющий за конечное число шагов решить вопрос о возможности выразить интеграл
в элементарных функциях.
В1866 г. Чебышев доказал, что если а—любое вещественное иррациональное число, то при любом вещественном b существует бесконечно много пар целых чисел х и у (где у Ф 0), удовлетворяющих неравенству
ly-aj-bKjjL
В 1867 г. в статье «О средних величинах» Чебышев опубликовал неравенство Бьенэме—Чебышева
Р{|£-Я£|</3}>1-££/02
и закон больших чисел в форме Чебышева. (Ирене-Жюль Бьенэме (1796—1878) опубликовал это неравенство в том же году.)
В 1878 г. опубликовал работу «О кройке одежды» (Sur la coupe des vetements), посвящённую проблеме «одевания поверхностей». В этой работе впервые были введены сети Чебышева.
В 1887 г. в статье «О двух теоремах относительно вероятностей» доказана центральная предельная теорема. При доказательстве Чебышев использовал разработанный им метод моментов случайных величин.
Чебышев занимался и теорией шарнирных механизмов. Он изобрёл шарнирный механизм, преобразующий вращательное движение в движение, приближающее прямолинейное. (Инверсор Поссе- лье позволяет преобразовать вращательное движение в прямолинейное точно, а не приближённо.)
Артур Кэли (1821—1895)
В1841 г. Кэли определил понятие инварианта однородной формы степени п. В этом же году он начал публикацию серии статей, в которых исследовал алгебраические аспекты проективной геометрии.
В том же году он получил соотношения между попарными расстояниями между тремя точками на прямой, четырьмя точками на


Глава 7. Первая половина XSX века
165
плоскости и пятью точками в трёхмерном пространстве в виде равенства нулю определителей симметрических матриц порядка 4, 5 и 6. Кэли представил каждую из этих матриц в виде произведения двух матриц. Для многомерных пространств такие соотношения обобщил Менгер (определитель Кэли—Менгера).
В 1843 г. Кэли публикует «Главы из аналитической геометрии п измерений» (Chapters in the analytical geometry of n dimensions), где вводит понятие n-мерного пространства с помощью п-мерной системы координат. В том же году выходит трактат Грассмана, в котором он даёт бескоординатное определение.
В 1845 г. Кэли ввёл принятое ныне обозначение определителя в виде квадратной таблицы с вертикальными чертами по бокам.
В 1845 г. Кэли публикует работу «Об эллиптических функциях Якоби» (On Jacobi’s elliptic functions), в которой вводит 8-мерную алгебру без делителей нуля над полем R. Элементы этой алгебры получили названия октавы или числа Кэли. (До Кэли эту алгебру описал Грейвс в письме к Гамильтону, но он не опубликовал свои результаты.)
В 1849 г. Кэли установил, что на любой кубической поверхности есть прямые, но не выяснил, сколько именно их. В том же году Сальмон установил, что их ровно 27. В1871 г. Клебш привёл пример поверхности, на которой все эти прямые вещественные.
В1851 г. Кэли обобщил понятие детерминанта и ввёл гипердетерминанты.
В 1854 г. в статье «О группах, зависящих от символического уравнения вп = 1» (On the theory of groups, as depending on the symbolic equation Qn = 1) впервые ввёл абстрактное понятие конечной группы. Кэли рассматривает два способа задания группы: таблицей умножения, а также образующими и соотношениями. Сначала эта работа не имела влияния. В этой же статье Кэли ввёл понятие групповой алгебры, т.е. алгебры, элементы которой—линейные комбинации элементов группы (с вещественными или комплексными коэффициентами). В 1878 г. он написал ещё 4 статьи о группах, и они уже имели большое влияние, потому что значение групп было постепенно к тому времени осознано. В одной из этих статей Кэли доказал, что любая конечная группа является подгруппой группы подстановок (теорема Кэли).
С 1854 по 1878 г. Кэли публикует серию статей, посвящённых изучению однородных многочленов от двух, трёх и многих переменных. В частности, он показал, что для бинарной формы ах\ + + 4Ъх\х2 4- 6сх2х2 + 4dx^3 + ех\ над С полной системой инвари-


166
Глава 7. Первая половина ХГХ века
антов относительно группы SL(2) являются g2 = ае — 4bd + 3с2 и а Ъ с
, т. е. любой инвариант полиномиально выражается
сопоставив
bed с d е через них.
В1858 г. в «Мемуаре о теории матриц» (A Memoir on the Theory of Matrices) Кэли вводит понятие матрицы, определяет сложение матриц, умножение матриц по аналогии с композицией линейных замен переменных. Обобщая одну из теорем Гамильтона о кватернионах, Кэли формулирует теорему о том, что каждая матрица аннулирует свой характеристический многочлен (теорема Гамильтона— Кэли) и доказывает её для матриц порядка 2 и 3. Кэли строит реализацию кватернионов как комплексных матриц второго порядка,
,7 (a + di Ь + аЛ
кватерниону а + Ы + cj + dk матрицу I ^ ^ a —dir
умножение кватернионов соответствует умножению таких матриц.
В 1853 г. Лагерр дал определение угла на основе проективных свойств. Идею Лагерра обобщил Кэли в «Шестом мемуаре о формах» (A Sixth Memoir upon Quantics, 1859). Он ввёл так называемую проективную метрику, используя некоторый фиксированный образ второго порядка (по терминологии Кэли — абсолют). Для определения расстояния между точками Р и Р' Кэли использовал точки пересечения прямой РР' с абсолютом. Кэли рассмотрел случай, соответствующий сферической геометрии, когда абсолют задан уравнением х2 4- у2 + z2 = 0, и случай, соответствующий евклидовой геометрии, когда коника состоит из двух циклических точек. Кэли показал, что движения евклидовой плоскости — это проективные преобразования, сохраняющие абсолют. Метрические свойства фигуры — это её свойства по отношению к абсолюту. Кэли писал, что метрическая геометрия — это часть проективной геометрии, а проективная геометрия—это вся геометрия. Клейн обобщил идею Кэли, включив в этот круг идей неевклидову геометрию (в этом случае абсолют — вещественная коника).
В 1874 г., исходя из задачи об описании молекул углеводородов, Кэли пришёл к задаче о перечислении деревьев с вершинами степени 1, 2, 3 или 4. Он нашёл число таких графов с числом вершин не больше 11. Ранее он построил производящую функцию для корневых деревьев. В 1889 г. Кэли предложил формулу пп~2 для числа деревьев с п занумерованными вершинами; доказал её при п = 6. Полное доказательство получил Хайнц Прюфер (1896—1934) в 1918 г.


Глава 7. Первая половина ХГХ века
167
Жозеф Бертран (1822—1900)
В 1845 г. Бертран в связи с задачей о числе различных значений, принимаемых функцией при перестановках переменных, предположил, что при п > 3 между числами п и 2п — 2 всегда найдётся простое число (постулат Бертрана). В 1850 г. постулат Бертрана доказал Чебышев. В связи с той же задачей Бертран сформулировал проблему Бертрана об описании подгрупп небольшого индекса в группе перестановок и в знакопеременной группе.
Кривые Бертрана — это две пространственные кривые, имеющие во всех своих точках общие главные нормали. Такие кривые исследованы Бертраном в «Мемуаре о теории кривых двоякой кривизны» (Memoire sur la theorie des courbes a double courbure, 1850). Формулы Серре—Френе существенно упростили задачу о нахождении этих кривых.
В книге «Исчисление вероятностей» (Calcul des probabilites, 1889) привёл следующую задачу: «В круге случайным образом выбирается хорда. Какова вероятность, что её длина превосходит сторону равностороннего треугольника, вписанного в круг?» Бертран показал, что эта задача допускает много разных ответов в зависимости от того, как понимать выражение «случайным образом» (парадокс Бертрана).


Глава 8
Вторая половина XIX века
Центральная тема математики XIX века — римановы поверхности. Во второй половине века интерес сместился от теории абелевых функций к аналитической теории дифференциальных уравнений, выявившей связь дифференциальных уравнений с римановыми поверхностями.
Продолжила развиваться теория групп, от конечных групп перешли к непрерывным группам. Группы преобразований занимают важное место в геометрии. Появляется интерес к инвариантам преобразований.
Возникли новые области математики: теория множеств и топология.
Были построены модели геометрии Лобачевского, и она получила признание. В связи с этим усилился интерес к аксиоматизации различных областей математики.
Шарль Эрмит (1822—1901)
В 1843 г. Эрмит распространил на абелевы функции теоремы деления аргумента в эллиптических функциях, доказанные Абелем и Якоби.
В 1848 г. Эрмит доказал, что двоякопериодическую функцию можно представить в виде отношения периодических целых функций. (Двоякопериодическая функция, отличная от константы, имеет полюсы, поэтому она не является целой функцией.)
В 1850 г. Эрмит первым поставил проблему определения границ минимумов положительно определённых квадратичных форм. Пусть т(/) — минимум положительно определённой квадратичной формы /00 в пространстве размерности п по ненулевым точкам целочисленной решётки. Постоянная Эрмита уп — это максимум отношения где d(/) — определитель квадратичной формы /(х).
В настоящее время точное значение уп известно лишь при п ^ 8 и


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
169
п = 24. К проблеме Эрмита относится также нахождение локальных
m(/) q
максимумов отношения -^==. Задача Эрмита равносильна задаче
о плотнейших решётчатых упаковках n-мерных шаров одинакового радиуса.
В 1854—56 годах Эрмит ввёл понятие эрмитовой формы — ком- плексной билинейной формы £(х,у), для которой В (у,х) = В(х,у), и разработал полную теорию приведения знакоопределённых форм такого вида. Такие формы он применил для получения новых доказательств теорем Штурма и Коши об отделении корней алгебраических уравнений. При этом выражения для числа корней получились более удобными, чем у Штурма и Коши. Эти результаты Эрмита имеют много общего с чуть более ранними результатами Сильвестра (1853).
В 1858 г. Эрмит доказал, что уравнение пятой степени можно решить с помощью модулярных функций. Это решение основано на том, что общее уравнение пятой степени можно привести к виду х5 — х — а = 0 (уравнение пятой степени в форме Бринга). Используется также уравнение для умножения аргумента модулярной функции на 5, которое получил ещё Якоби (1829). Эрмит привёл это уравнение к форме Бринга. Исследования, связанные с решением уравнения пятой степени, Эрмит продолжил в 1865—66 г.
В 1859 г. Эрмит предложил обобщение интерполяционного многочлена Лагранжа, а именно многочлен, который в заданных точках принимает не только заданные значения, но и заданные значения производных до некоторого порядка (для каждой точки своего). Этот многочлен получил название интерполяционный многочлен Эрмита.
В1864 г. им были введены ортогональные многочлены, получившие название многочлены Эрмитаг. Эти многочлены определяются следующим образом: Н0(х) = 1, Нг(х) = 2х,
iM = 2хНп(х) - 2пНп_1(х)
при гг ^ 1. В 1867 г. Эрмит установил связь этих многочленов с разложением функции Сх2 — I)-1/2 в непрерывную дробь.
В 1873 г. Эрмит указал алгоритм разложения в непрерывную дробь экспоненциальной функции. В 1894 г. Паде обобщил этот алгоритм на произвольную функцию при построении аппроксимаций Паде—Эрмита.
xSur un nouveau developpement en serie de fonctions // C. R. Acad. Sci. Paris. T. 58. P. 93-100.


170
Глава 8. Вторая половина XSX века
В1873 г. Эрмит доказал, что число е трансцендентной Он считал, что получить подобное доказательство для числа п будет непросто. Но в 1882 г. Линдеман, усовершенствовав метод Эрмита, доказал трансцендентность числа тг.
Эрмит доказал более точное неравенство, чем Чебышев: для дан¬
ных а и Ъ существуют целые х и у, для которых \х — ау — Ь\ <
Фердинанд Готтхольд Макс Эйзенштейн (1823—1852)
Биквадратичный закон взаимности, обнаруженный Гауссом, относится к гауссовым целым числам а + bi, где а и Ъ — целые. Если тг и Я —простые гауссовы целые числа, не делящиеся на 2, то
С ^0 4 —это то из чисел ±1, ±i, для которого выполняется сравнение = tt(N7C_1)/4 (mod Я), где Nn — норма числа тг. Пусть
п = Я = 1 (mod 2 + 2i). Тогда биквадратичный закон взаимности формулируется следующим образом:
В лекциях 1836—1837 годов Якоби рассказал доказательство биквад- ратичного закона взаимности, основываясь на теории деления круга. Но первым опубликовал доказательство Эйзенштейн в 1844 г.; он применил теорию комплексного умножения специальных эллиптических функций. Эйзенштейн доказал также кубический закон взаимности, а затем и закон взаимности восьмой степени. При доказательстве кубического закона взаимности он изучил арифметику кольца Z[p], где р3 = 1, р в частности, он изучил группу единиц этого кольца. В своих исследованиях Эйзенштейн использовал теорию идеалов, разработанную Куммером. Эйзенштейн предложил также аналитические доказательства биквадратичного и кубического законов взаимности, основанные на свойствах эллиптических функций. В 1850 г. он опубликовал доказательство общего закона взаимности для остатков l-х степеней (закон взаимности Эйзенштейна). В 1839 г. Якоби формулировал закон взаимности для степеней 5, 8 и 12; он утверждал, что у него есть доказательство, но никогда не публиковал его.
(у Чебышева вместо у ^ была оценка ~).
1Snr la fonction exponentielle // С. R. Acad. Sci. T. 77. P. 18—24, 74—79, 226—233, 285-293.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
171
В 1847 г. вышел сборник его работ по эллиптическим функциям. Он пришёл к рядам, с помощью которых Вейерштасс позднее ввёл свою функцию р(я). Эти ряды получили название ряды Эйзенштейна: G = У\ т гг, п ^ 3.
Эйзенштейн определил целое алгебраическое число как корень многочлена хп + а^”-1 + ... + ап с целыми коэффициентами. Он доказал, что сумма и произведение целых алгебраических чисел — целые алгебраические числа. Независимо от него к этому определению пришли Дирихле и Эрмит.
Эйзенштейн предложил доказательство квадратичного закона взаимности, основанное на тождестве
Х=1 ^ Х=1 ^
где р и q — различные нечётные простые числа, а квадратные скобки обозначают целую часть числа. Это тождество имеет простое геометрическое доказательство: нужно взять прямоугольник на целочисленной решётке со сторонами р и q и провести его диагональ (рис. 8.1).
Эйзенштейн умер в возрасте 29 лет от туберкулёза.
/
X
Рис. 8.1.
Леопольд Кронекер (1823—1891)
В 1853 г. Кронекер доказал, что корень любого уравнения с рациональными коэффициентами, группа Галуа которого является циклической, рационально выражается через некоторый корень из единицы; основной инструмент доказательства — резольвенты Лагранжа. В1877 г. он обобщил это утверждение на абелевы расширения поля рациональных чисел (расширения с абелевыми груп¬


172
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
пами Галуа), но полного доказательства не опубликовал. Другими словами утверждение Кронекера можно сформулировать так: абелевы расширения поля рациональных чисел —это в точности подполя поля деления круга. Долгое время считалось, что первое полное доказательство этой теоремы дал Вебер в 1886 г., но в 1981 г. в нём обнаружилась ошибка. Первое полное доказательство дал Гильберт в 1896 г., хотя он считал его просто новым, но не первым. Теорема Кронекера—Вебера —это первая теорема теории полей классов.
Jugendtraum1 Кронекера — показать, что расширения мнимого квадратичного поля могут быть представлены аналогично теореме Кронекера—Вебера с помощью эллиптических функций. С этой задачей связана 12-я проблема Гильберта: найти аналитические функции, порождающие все конечные расширения любых полей алгебраических чисел.
В 1858 г. Кронекер, применив теорию групп, упростил решение уравнения пятой степени с помощью эллиптических модулярных функций, полученное Эрмитом.
В 1870 г. Кронекер перенёс результаты Куммера о полях деления круга на произвольные поля алгебраических чисел. При этом он дал определение абстрактной конечной абелевой группы, включив в него существование базиса, т. е. представление конечной абелевой группы в виде прямой суммы циклических групп. До этого в 1869 г. ученик Гаусса Эрнст Шеринг (1833—1897) нашёл базис для наиболее известных в то время конечных абелевых групп — классов эквивалентности бинарных квадратичных форм с данным дискриминантом D.
В 1866 г., занимаясь теорией определителей, ввёл символ Кронекера 5^, равный 1 при i — j и 0 при i Ф j.
В1870 г., анализируя второе доказательство Гаусса основной теоремы алгебры, Кронекер построил поле разложения любого многочлена как поле вычетов по некоторому неприводимому многочлену, не прибегая при этом к существованию поля действительных или поля комплексных чисел.
В 1882 г. Кронекер дал полное построение теории дивизоров в поле, полученном из поля Q присоединением независимых переменных и алгебраических величин над полученным полем рациональных функций. Кронекер отмечает, что присоединение независимых переменных равносильно присоединению независимых
1Юношеская мечта (нем.).


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
173
трансцендентных чисел. Задача, решённая Кронекером, сложнее задачи построения теории дивизоров в полях алгебраических чисел, решённой к тому времени Дедекиндом и Золотарёвым.
В1882 г. Кронекер предложил алгоритм разложения многочлена с рациональными коэффициентами на неприводимые множители над полем рациональных чисел.
В 1884 г. Кронекер обобщил теорему аппроксимации Дирихле. Он доказал, что если в — иррациональное число, то дробные части чисел пв всюду плотны на интервале [0,1], т. е. для любых а, О ^ а ^ 1, и£>0 существует натуральное число к, для которого \{кв} — а\<е.
Кронекер считал, что вся математика должна быть сведена к арифметике. Он первым усомнился в допустимости неконструктивных доказательств существования, потому что считал, что любое математическое рассуждение должно использовать только целые числа и состоять из конечного числа шагов. В связи с этим он говорил: «Бог создал целые числа, всё остальное —дело рук человека». Из-за таких убеждений он активно выступал против принципов теоретико-функциональной школы Вейерштрасса и теоретико-мно- жественного подхода Кантора.
Энрико Бетти (1823—1892)
В 1851 г. Бетти начал публиковать свои работы по теории Галуа. Он одним из первых доказал утверждения, которые Галуа сформулировал без доказательства. В частности, он доказал, что группа Галуа замкнута относительно умножения.
В1854 г. Бетти показал, что корни уравнения пятой степени можно выразить с помощью интегралов, связанных с эллиптическими функциями.
Бетти подружился с Риманом в 1858 г. во время своего визита в Гёттинген. Их знакомство продолжилось в 1863 г., когда Риман приехал в Италию на лечение. В работе «О пространствах произвольного числа измерений» (Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni, 1871) Бетти изложил идеи Римана о «связностях» многомерных многообразий. В этой работе, посвящённой прежде всего топологии п-мерных подмногообразий Sn в m-мерном евклидовом пространстве, появились числа Бетти рк (этот термин впоследствии предложил Пуанкаре, изучавший топологию по этой работе). Бетти считал, что к-мерный порядок связности равен рк + 1, если существуют рк замкнутых (т. е. без края) к-мерных подпространств,


174
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
которые не образуют границы связной (fc + 1)-мерной области, а если добавить ещё одно к-мерное подпространство, то оно вместе с данными рк подпространствами (или частью их) уже образует такую границу. Например, на торе две замкнутые кривые а и /3 (рис. 8.2) не образуют границы двумерной области, но если к ним добавить третью кривую, то появится двумерная область, граница которой лежит на этих трёх кривых. Следует отметить, что числа Бетти, которые изначально ввёл Бетти, были на 1 больше принятых ныне чисел Бетти. Например, согласно первоначальному определению Бетти 1-мерное число Бетти тора было равно 3, а сейчас считается, что оно равно 2.
Определение границы у Бетти было недостаточно чётким, что вызвало справедливую критику Альберто Тонелли (1849—1920) в 1875 г. Тонелли также обнаружил, что требование связности области размерности к 4-1 в многообразии Sn, граница которой рассматривается, нужно было исключить.
Бетти использовал гомологические понятия, чтобы обобщить интегрирование на n-мерные многообразия.
Дельфино Кодацци (1824—1873)
В 1857 г. Кодацци показал, что треугольники на псевдосфере описываются гиперболическими тригонометрическими формулами, известными в неевклидовой геометрии. (Непонятно, осознал ли он связь с неевклидовой геометрией.) Это наблюдение помогло Бельтрами построить первую модель геометрии Лобачевского.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
175
Кодацци не ссылается на Миндинга. О псевдосфере он узнал из пространных комментариев Лиувилля, подготовившего переиздание книги Монжа «Приложения анализа к геометрии» (1850).
Тема конкурса, объявленного Парижской академией наук на 1859 г., была такая: «найти все поверхности с заданным линейным элементом». Кодацци представил свою работу (опубликована она была лишь в 1883 г.), в которой он получил необходимые и достаточные условия, когда одну поверхность можно отобразить на другую; также в ней содержались так называемые уравнения Майнарди— Кодацци, или уравнения Петерсона—Кодацци. Эти два уравнения (одно для f = l, другое для i = 2) связывают коэффициенты первой и второй квадратичных форм и имеют следующий вид:
+ ГПЬП + Г?1Ь22 = + Г?2Ь11 + Г?2Ь21-
Здесь by — коэффициенты второй квадратичной формы, Г~ — символы Кристоффеля (они выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы).
До Кодацци эти уравнения получили Петерсон в 1853 г. и Гаспаре Майнарди (1800—1879) в 1856 г.
Густав Роберт Кирхгоф (1824—1887)
В 1847 г. при изучении электрических цепей методами теории графов Кирхгоф неявно ввёл понятие дерева.
Формула Кирхгофа выражает решение неоднородного волнового уравнения через интеграл (запаздывающий объёмный потенциал).
Франческо Бриоски (1824—1897)
В1858 г. в статье «О методе Кронекера решения уравнения пятой степени» (Sul metodo di Kronecker per la risoluzione delle equazioni di quinto grado) Бриоски решил уравнение пятой степени с помощью эллиптических модулярных функций. В 1888 г. Машке решил уравнение шестой степени специального вида в гиперэллиптиче- ских функциях. Бриоски вскоре показал, что любое уравнение шестой степени сводится к уравнению такого вида.
Уильям Томсон, лорд Кельвин (1824—1907)
В письме к Стоксу Кельвин привёл теорему, получившую впоследствии название теоремы Стокса.


176
Глава 8. Вторая половина XIX века
Франческо Фаа-ди-Бруно (1825—1888)
В 1855 г. Фаа-ди-Бруно получил обобщение формулы производной сложной функции на производные высшего порядка. Эта формула была записана в виде определителя; она получила название формула Фаа-ди-Бруно. (Но первым формулу производной тг-го порядка сложной функции опубликовал французский математик Луи Арбогаст (1759—1803) в учебнике анализа в 1800 г.).
Георг Фридрих Бернхард Риман (1826—1866)
В гимназии учитель давал Риману разные книги по математике. «Теорию чисел» Лежандра Риман вернул ему через неделю со словами: «Это замечательная книга. Я выучил её наизусть».
В 1846 г. Риман в Гёттингенском университете слушал лекции Гаусса о методе наименьших квадратов. Затем в Берлинском университете он слушал лекции Дирихле по теории чисел, по теории интегралов и по дифференциальным уравнениям в частных производных; лекции Якоби по аналитической механике и по высшей алгебре; лекции Эйзенштейна по теории эллиптических функций. В 1849 г. Риман вернулся в Гёттинген и изучал там физику (в том числе и экспериментальную) и философию.
При жизни Римана наиболее важной его работой считалась «Теория абелевых функций» (1857). Ценилось решение старых проблем, а не создание новых направлений.
В 1862 г. Риман заболел плевритом. Быстро ухудшающееся здоровье накладывало ограничения на его занятия. С этого времени по рекомендации врачей он проводил в Италии больше времени, чем в Гёттингене. Риман установил математические и личные контакты с Бетти, который в 1858 г. приезжал на несколько дней в Гёттинген и который, как и Риман, интересовался вопросами топологии.
Римановы поверхности
Диссертация Римана «Основы общей теории функций одной комплексной переменной» (Grundlagen fair eine allgemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grosse, 1851) богата новыми идеями. Подход Римана к теории аналитических функций отличается от подходов Коши и Вейерштрасса идеей отображения, чуждой им. Риман определяет аналитические функции как удовлетворяющие некоторым дифференциальным уравнениями, позднее названным условиями Коши—Римана. Эти условия были известны


Глава 8. Вторая половина XIX века
177
ещё Даламберу и Эйлеру, но именно Коши и особенно Риман подчёркивали, что из них можно вывести всё необходимое.
В диссертации Риман разработал теорию многозначных комплексных функций, введя римановы поверхности, на которых эти функции однозначны. Введению этого понятия очень помогла ри- манова идея представления функции как отображения.
Риман называет поверхность односвязной, если любой замкнутый путь разбивает эту поверхность на части. Он определяет порядок связности поверхности как наибольшее число замкнутых кривых, которые можно провести на поверхности, не разбивая её на части. Порядок связности — это удвоенный род поверхности.
Эти определения односвязности и порядка связности гомологические; они оказали влияние на последующее формирование основных понятий теории гомологий — цикла и границы. В неопубликованных записках, относящихся к 1852 или 1853 г., Риман вводит число связности многомерного многообразия как число гомологически независимых циклов. Риман не учитывал ориентации, т. е. он фактически рассматривал числа Бетти по модулю 2. Риман не проводит различия между гомотопными и гомологичными кривыми; те и другие появляются у него в разных определениях одного и того же понятия. Впервые их различие показал Пуанкаре (1905).
Для построения функций на поверхности Риман применяет вариационный принцип (впоследствии он назвал его принцип Дирихле, поскольку похожую процедуру Дирихле использовал в своих лекциях). В конце диссертации с помощью принципа Дирихле доказана теорема о том, что ограниченные односвязные области на комплексной плоскости конформно отображаются друг на друга. В 1870 г. Вейерштрасс отметил, что в применении принципа Дирихле у Римана есть существенный пробел.
Риман выделил точки ветвления как специальный вид особых точек в дополнение к уже хорошо известным полюсам. В диссертации доказана также так называемая теорема Римана об устранимой особенности.
Рецензию на диссертацию Римана писал Гаусс. Когда Риман зашёл к нему, Гаусс ещё не дочитал диссертацию, но сказал, что уже много лет сам готовил статью на ту же тему. (Многим математикам довелось услышать или прочитать подобные отзывы от Гаусса.)
«Теория абелевых функций» (Theorie der Abel’schen Functionen, 1857) содержит развитие идей и методов диссертации 1851 г. в применении к теории алгебраических функций и их интегралов и к проблеме обращения. Риман показал, что род р римановой поверх¬


178
Глава 8. Вторая половина XJX века
ности, число листов п и число w точек ветвления связаны соотношением w — 2п = 2р — 2. В1893 г. Гурвиц получил обобщение этой формулы на случай, когда риманова поверхность накрывает не сферу, а произвольную риманову поверхность (формула Римана—Гурвица).
В этой работе содержатся идеи бирациональной эквивалентности. Риман описал классы бирациональной эквивалентности кривых рода р. При р > 1 это множество зависит от Зр — 3 комплексных параметров, а при р — 1 — от одного.
Риман получил классификацию абелевых интегралов. На рима- новой поверхности функции f(w,z) рациональная функция R(w,z) является однозначной функцией, но интеграл от неё может быть многозначной функцией (интеграл по замкнутой кривой может быть отличен от нуля —это так называемые периоды интегралов, или, что то же самое, периоды соответствующих дифференциалов; Риман называл их «модулями периодичности»). Риман показал, что есть три рода абелевых интегралов. Абелев интеграл называется интегралом первого рода, если он конечен на всей римановой поверхности; число линейно независимых интегралов первого рода равно роду р поверхности. Интеграл второго рода имеет простой полюс в некоторой точке z0; для фиксированной точки z0 число линейно независимых интегралов второго рода равно р + 1. Разность двух интегралов второго рода, имеющих общий полюс первого порядка, является интегралом первого рода. Интеграл третьего рода имеет две логарифмические особенности; число линейно независимых интегралов третьего рода с фиксированными особыми точками равно р + 1. Любой абелев интеграл является конечной суммой интегралов этих трёх родов. Риман связал работы Абеля и Якоби, рассматривавших вещественные функции, с работами Вейерштрас- са, рассматривавшего комплексные функции.
Для периодов голоморфных абелевых дифференциалов на римановой поверхности рода g Риман получил следующие соотношения Сбилинейные соотношения Римана). Пусть A1?...,Ag и B1,...,Bg — периоды1 по циклам, изображённым на рис. 8.3. Тогда
j = 1
Кроме того, если А',..., Afg и В',..., B'g — периоды другого дифферен-
g
циала, то (AjB] ~ Ар = 0.
j=1
хТо есть интегралы дифференциала по этим одномерным циклам.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
179
Ai А2 Ag
Рис. 8.3.
В «Теории абелевых функций» Риман также доказал, что размерность пространства мероморфных функций на поверхности рода р, имеющих простые полюсы в т заданных точках, не меньше т — р 4-1 (неравенство Римана). Густав Рох, ученик Римана, в 1864 г. уточнил этот результат, выяснив, чему равна разность между размерностью пространства мероморфных функций и т — р + 1. Он доказал следующее равенство: размерность пространства мероморфных функций на поверхности рода р, имеющих простые полюсы в т заданных точках, равна т — р + q + 1, где q — количество линейно независимых абелевых дифференциалов, обращающихся в нуль в т заданных точках (теорема Римана—Роха).
Сфера Римана не встречается ни в одной из его опубликованных работ. Она появилась в его лекциях в зимнем семестре 1858/59 года. Риман описывает стереографическую проекцию плоскости на сферу и отмечает, что это — конформное отображение.
В1857 г. Риман решил задачу Якоби об обращении произвольного интеграла алгебраической функции; для этого он применил тэта- функции от многих переменных.
Риманова геометрия
В 1854 г., чтобы получить возможность читать лекции в университетах Германии, Риман представил три темы для диссертационной (пробной) лекции и последующего диспута. По традиции выбиралась тема, предложенная первой. Но Гаусс, к огорчению Римана, выбрал тему «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии», предложенную второй. Лекция была рассчитана на философов, потому что её нужно было читать на факультете философии, к которому относилась кафедра математики. Поэтому в ней было мало формул, которые помогли бы математикам её понять.
Диссертационная лекция Римана «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen), представленная в 1854 г., опубликована лишь по¬


180
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
смертно (в 1868 г.). В этой работе Риман вводит многообразия (Мап- nigfaltigkeit — этот термин восходит к Гауссу). Многообразия — это многомерные пространства. Гаусс показал, как измерять расстояния вдоль кривых на поверхностях в пространстве, и Риман переносит это на многомерные пространства. Для измерения расстояний на многообразиях нужно научиться измерять только бесконечно малые расстояния. Риман отмечает, что сумма углов треугольника на поверхности нулевой кривизны равна п, на поверхности постоянной положительной кривизны больше п, а на поверхности постоянной отрицательной кривизны меньше п. Риман рассматривает внутреннюю геометрию пространства, т. е. не обращается к тому пространству, в которое оно может быть вложено.
Риманова метрика, позволяющая вычислять длины кривых на многообразиях, — это обобщение того, что Гаусс делал для двумерных поверхностей. Она вводится через секционные кривизны в двумерных подпространствах. Любая секционная кривизна вычисляется через П^П2 ^ базисных секционных кривизн. Риман ввёл тензор римановой кривизны, выразив его через символы Кристоффеля.
Риман выделяет многообразия постоянной кривизны, для которых секционная кривизна во всех направлениях постоянна. Для элемента длины пространства постоянной кривизны К он приводит формулу
УХА2 i + f2>r
Эта формула задаёт постоянную отрицательную кривизну внутри многомерного шара и, в частности, внутри круга, но Риман не описывает это как модель неевклидовой геометрии, хотя отсюда до модели остаётся сделать полшага. При построении моделей геометрии Лобачевского Бельтрами и Клейн опирались на диссертационную лекцию Римана.
Риман вводит нормальные координаты, названные впоследствии его именем, в которых квадрат элемента длины в двумерном случае имеет вид
ds2 = (dx2 + dy2) -I- a(ydx — xdy)2;
здесь ни dx2 + dy2, ни (ydx — xdy)2 не меняются при ортогональных преобразованиях. Нормальные координаты были им введены и в многомерном случае.
Впоследствии риманову геометрию разрабатывали Бельтрами, Кристоффель, Липшиц.


Глава 8. Вторая половина XIX века
181
Анализ
В 1847 г. Риман вывел следующую формулу для интегирования дробного порядка г (т. е. дифференцирования порядка —г):
Одной из трёх диссертационных лекций, подготовленных Ри- маном в 1854 г., была лекция по теме «О представимости функций тригонометрическими рядами» (Uber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe). Она тоже была опубликована лишь в 1868 г. (посмертно). Коэффициенты ряда Фурье представляются интегралами, поэтому Риману пришлось пересмотреть определение интеграла. Коши определял интеграл для непрерывной функции. Его определение было непригодно, когда точек разрыва функции бесконечно много. Но именно этот случай был интересен Риману. В итоге он пришёл к определению интеграла по Риману. Интегральные суммы он рассматривает такие же, как
и Коши: 2 f(^i)Axh где Axt — длина отрезка разбиения, точ¬
ка этого отрезка. Функция интегрируема, если существует предел интегральных сумм, когда длины отрезков разбиения стремятся к нулю. Риман доказал следующий критерий интегрируемости. Пусть со( — разность между верхней и нижней гранью значений функции на i-м отрезке. Функция интегрируема тогда и только тогда, когда для любого е > О существует 5 > О, для которого со* Axf < £, если Axt < 5 для всех i. Впоследствии Лебег доказал, что это условие эквивалентно тому, что мера Лебега множества точек разрыва равна нулю. Риман привёл пример функции, которая имеет бесконечно много точек разрыва, но при этом интегрируема.
Кроме того, в этой работе он подчеркнул разницу между абсолютно и условно сходящимися рядами; ряды Фурье, в отличие от степенных рядов, обычно бывают условно сходящимися. В 1853 г. Риман доказал, что члены условно сходящегося ряда можно переставить так, чтобы новый ряд имел любую заданную сумму или расходился. (Эта теорема опубликована в 1867 г.)
Риман поставил вопрос о стремлении к нулю коэффициентов ряда Фурье и решил его для функций, интегрируемых в смысле Римана.
Интересно, что статья Дирихле по теории рядов Фурье, которую несомненно читал Риман, опубликована в том же томе журнала Крелля, что и статья Лобачевского о воображаемой геометрии.
X
с
п-1
;=о


182
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
Аналитическая теория дифференциальных уравнений
В статье 1857 г. Риман исследовал новым методом гипергеомет- рический ряд, ранее уже изученный Гауссом. Его метод применим к любой функции, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению с алгебраическими коэффициентами, т. е. к уравнению вида
dmw dm~1w , _ dm~2w „
~Pi +P2+ •••+p™w’
где коэффициенты p2, p2,..., pm —- алгебраические функции от z. При этом у Римана возникло понятие монодромии и он занимался задачей о построении дифференциального уравнения для P-функций с заданной группой монодромии. Гильберт расширил эту задачу на дифференциальные уравнения степени п и уточнил формулировку, включив её под номером 21 в список своих проблем; её обычно называют проблемой Римана—Гильберта.
Риман исследовал гипергеометрические функции как частный случай введённых им P-функций, обладающих тремя следующими свойствами:
• Функция имеет три точки ветвления а, b и с, причём каждая ветвь конечна над любой другой точкой ветвления.
• Любые три ветви Р\ Р" и Р"' связаны соотношением с/Р/ + + с"Р" + с!пР,п = 0 с постоянными коэффициентами.
• Существуют константы а и а', называемые экспонентами, связанные с точкой ветвления а, для которых Р можно записать в виде линейной комбинации двух ветвей Р(а) иР(а) в окрестности точки а. При этом функции (z — а)“аР(а) и (z — а)~а Р(а) однозначные и не обращаются в точке а ни в нуль, ни в бесконечность. Аналогичное условие выполняется для точек b и с с константами /3, /3' и г, у'.
Риман дополнительно предполагает, что ни одно из чисел а — а', /3 — /3' и у — у1 не является целым иа + а/ + /3 + /3/ + у + у/ = 1. Риман
(а Ъ с\
обозначал такую фунцию Р< а /3 у а если (а,Ъ,с) = (0, оо, 1),
U' Р' г') д
то использовал сокращённое обозначение ^ уА- Риман
показал, что поведение P-функции при аналитическом продолжении полностью определяется поведением при обходе вокруг точек ветвления. Если взять две линейно независимые ветви Р* и Р", то при обходе вокруг точки а они перейдут в Р' = ахР* + а2Р" и


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
183
в Р" = а3Р' + а4Р". Матрица А =
(«1 а2Л а4)
описывает поведение
P-функции в точке а. Аналогично определяются матрицы В и С. При этом ABC — единичная матрица, поскольку обход вокруг а и Ъ можно рассматривать как обход вокруг с в противоположном направлении. Для гипергеометрического уравнения Риман вычислил группу, порождённую матрицами А, В и С. Эту группу впоследствии (в 1870 г.) Жордан назвал группой монодромии.
Аналогично определяется группа монодромии линейного дифференциального уравнения произвольного порядка. В неособой точке решения однородного линейного дифференциального уравнения п-го порядка образуют n-мерное пространство, и при обходе вокруг точки ветвления каждое решение преобразуется в другое решение, линейно выражающееся через исходные решения. Матрица монодромии — это матрица линейного преобразования пространства решений. А группа монодромии — это группа всех таких преобразований пространства решений при обходе вдоль замкнутых путей.
Исходным пунктом статьи «О числе простых чисел, не превосходящих данной величины» (Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grofie, 1859) послужило тождество Эйлера
где р пробегает все простые числа. Функцию, которую определяет каждая из частей этого тождества, Риман обозначил £(s). Показатель он считал комплексной переменной s = cr + it. Сходимость обеих частей равенства имеет место при а > 1, но Риман нашёл представление функции £(s), имеющее смысл при всех 5. Он вывел функциональное уравнение для дзета-функции
которое было найдено эмпирически ещё Эйлером, но потом почти забыто.
Риман показал, что дзета-функция имеет единственный полюс в точке 5 = 1, «тривиальные» нули в точках s = —2, —4, —6,... и, кроме того, нули в полосе 0 ^ сг ^ 1, симметричные относительно прямой
Теория чисел
С(1 - S) = 2(2тгГ5 cos уГ(5)С (S),
1


184
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
Риман высказал предположение, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой сг = Гипотеза Римана до сих пор не доказана. Гильберт включил её в свой список наиболее важных проблем математики (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха составляют 8-ю проблему Гильберта). Риман доказал, что для числа простых чисел имеет место асимптотический закон п(х) ^ Li(x),
* л
Jut
Более того, порядок разности Li(x) — п(х) зависит
2
от расположения нетривиальных нулей дзета-функции: если верна гипотеза Римана, то |Li(x) - п(х)\ < с <fx In х, где с —константа. Доказательства Римана в этой статье не были полными; в 1890 г. Парижская академия объявила конкурс, предложив заполнить пробелы в доказательствах Римана; эту премию получил Адамар.
Среди утверждений Римана, которые он не стал подробно доказывать, было такое: количество нулей дзета-функции, мнимые части которых заключены между 0 и Г, приблизительно равно
Т 1 _Т Т_
2п 2п 2 п’
причём относительная ошибка этого приближения имеет порядок 1/Г. Это утверждение доказал Мангольдт в 1905 г.
Генри Джон Стивен Смит (1826—1883)
В 1861 г. Смит доказал, что прямоугольную матрицу с целыми коэффициентами можно представить в виде PEqQ, где Р и Q — квадратные целочисленные матрицы с определителем ±1, на диагонали матрицы Eq ранга q стоят числа du, причём du делит di+l i+l и da = 0 только при i > q, а вне диагонали стоят нули (нормальная форма Смита).
В 1867 г. Смит нашёл количество способов представить данное число в виде суммы к квадратов. Для этого он продолжил исследования Якоби, Эйзенштейна и Лиувилля на эту тему и разобрал остававшиеся случаи к = 5 и fc = 7.
В 1875 г. (за 8 лет до Кантора) Смит описал канторово множество.
В 1876 г. вычислил определитель Смита, т. е. определитель матрицы порядка п, на пересечении строки г и столбца s которой стоит наибольший общий делитель чисел г и s; этот определитель равен (/?(1)<£(2)(^(3)...(/?(п), где ip (г) — количество чисел, взаимно простых с г и не превосходящих г.


Глава 8. Вторая половина XIX века
185
Морган Крофтон (1826—1915)
Формула Крофтона заложила основы интегральной геометрии. Пусть пг(ц>,р) — количество точек пересечения кривой у и прямой на плоскости, заданной углом наклона у и ориентированным расстоянием р от начала координат (рис. 8.4). Тогда длина кривой у
равна | JJ nr((p,p)dydp.
Карл Михайлович Петерсон (1828—1881)
Петерсон, сын латышского крестьянина, окончил Дерптский университет. В диссертации «Об изгибании поверхностей» (1853), опубликованной лишь через сто лет, он доказал теорему о том, что первая и вторая квадратичные формы определяют поверхность с точностью до движения. Первое доказательство этой теоремы опубликовал Бонне в 1867 г. В своей диссертации Петерсон дополнил также уравнение Гаусса, связывающее коэффициенты первой и второй квадратичных форм ещё двумя независимыми уравнениями (см. с. 175). Эти уравнения получили название уравнений Майнарди—Кодацци в честь итальянских геометров, которые нашли их независимо в 1857 и 1868 г. соответственно. В книгах на русском языке их часто называют уравнениями Петерсона—Кодацци. Петерсон доказал, что если коэффициенты двух квадратичных форм (первая из них должна быть положительно определённой) связаны такими соотношениями, то существует поверхность, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами, причём они определяют поверхность с точностью до движения в пространстве.


186
Глава 8. Вторая половина XIX века
Элвин Бруно Кристоффель (1829—1900)
В 1858 г. Кристоффель ввёл понятие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения и применил вронскиан (см. с. 93) к исследованию линейной зависимости функций /ъ/2,
В 1867 г. Кристоффель получил формулу для конформного отображения f(z) верхней полуплоскости lm z > 0 на многоугольник с вершинами Ак и углами пак при этих вершинах в виде интеграла:
f{z) = с / П (f “ акУк~1 & + сг;
Zq к=1
при этом z0, с, сг — некоторые константы, Ак = /(afc) для к = 1,..., п. Независимо от него в 1869 г. эту же формулу получил Шварц (формула Кристоффеля—Шварца).
В1869 г. Кристоффель рассмотрел условия совпадения римановой геометрии, определяемой дифференциальной квадратичной формой gij dxt dxj, и геометрии, определяемой другой формой hy dx{ dxj. Это обобщало задачу наложения поверхностей. Условие совпадения геометрий выражалось в терминах символов Кристоффеля. Для дифференциальной квадратичной формы gy dxt dxj символ Кристоффеля Гk у равен
lfdgft dSjk 2 V dXj dxt dxk J *
Луиджи Кремона (1830—1903)
Преобразования, которым посвящена работа «О геометрических преобразованиях плоских фигур» (Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane, 1863), впоследствии названы кремоновыми. Кремоново преобразование — это бирациональное преобразование проективного пространства, т. е. в проективных координатах оно задаётся рациональными функциями, причём обратное преобразование тоже задаётся рациональными функциями. Простейшее бирациональное преобразование — инверсия относительно окружности. При бирациональных преобразованиях степень кривой не сохраняется, но, как показал Кремона, сохраняется род алгебраической кривой.
Кремоновы преобразования используются для разрешения особенностей плоских и пространственных кривых.


Глава 8. Вторая половина XIX века
187
Джеймс Клерк Максвелл (1831—1879)
Уравнения Максвелла впервые появились в книге «Трактат об электричестве и магнетизме» (A treatise on electricity and magnetism, 1873). В этой книге Максвелл часто использовал кватернионы. Он отделял в кватернионах скалярную и векторную составляющие и разработал элементы векторного анализа. Формально векторы как самостоятельный объект, не связанный с кватернионами, начали рассматривать Гиббс и Хевисайд в начале 1880-х годов. Векторы как полезный инструмент первыми приняли физики, а потом уже и математики.
Поль Давид Густав Дюбуа-Реймон (1831—1889)
В 1873 г. Дюбуа-Реймон построил непрерывную функцию, ряд Фурье которой расходится на всюду плотном множестве точек. Это опровергало предположения Дирихле и Римана о том, что для сходимости ряда Фурье достаточно непрерывности функции.
В 1889 г. Дюбуа-Реймон впервые дал определение эллиптического уравнения второго порядка в частных производных; впоследствии это понятие уточнялось.
Питер Гатри Тейт (1831—1901)
В книге «Элементарный трактат о кватернионах» (An elementary treatise on quaternions, 1867) и написанной совместно с Филипом Келландом (1808—1879) книге «Введение в кватернионы» (Introduction to quaternions, 1873) Тейт разработал применение кватернионов
(и вообще векторов) в физике. Тейт разработал также применение
д д д
оператора ^ = ^ + + введённого Гамильтоном.
В1867 г. совместно с Томсоном (лордом Кельвином) издал «Трактат о натуральной философии» (Treatise on Natural Philosophy). Ньютонова и лагранжева механика преобразованы в нём в динамику энергии; принцип экстремальности энергии для всей системы заменил непосредственное действие сил между частями системы; сила предстала как градиент энергии. Такую же переформулировку уже сделал Гамильтон в 1834—35 г., но она получила распространение только после трактата Тейта и Томсона. Томсон был противником применения векторов и кватернионов в физике, поэтому в «Трактате» векторы не упоминаются.


188
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
Тейт, Томсон и Максвелл начали заниматься теорией узлов, ошибочно полагая, что она может применяться к теории атомов. В1876 г. Тейт начал интенсивно заниматься классификацией узлов. Он ввёл в рассмотрение альтернированные узлы (при обходе некоторой диаграммы альтернированного узла перекрёстки мы проходим поочерёдно, то сверху, то снизу). К1877 г. он получил таблицу узлов, диаграммы которых имеют не более 7 перекрёстков. Эта таблица правильная, хотя у Тейта не было способа доказывать, что узлы разные. Тейт сформулировал несколько гипотез об узлах, которые не удавалось доказать до 1980-х годов (до появления полинома Джонса).
Эдвард Джон Раус (1831—1907)
В 1877 г. Раус доказал теорему, позволяющую находить в регулярном случае для многочлена с действительными коэффициентами число корней, имеющих положительную действительную часть (т. е. лежащих в правой полуплоскости). Эта теорема важна для проблем устойчивости. В1895 г. Гурвиц предложил другой подход к теореме Рауса.
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831—1916)
Дедекинд разработал теорию делимости алгебраических чисел общего вида и опубликовал её как приложение ко второму изданию «Лекций по теории чисел» Дирихле (1871), которое он редактировал. Дедекинд ввёл понятие числового поля (поля, состоящего из алгебраических чисел) и понятие кольца. Целые алгебраические числа любого числового поля образуют кольцо. Вместо идеальных чисел Куммера Дедекинд ввёл специальные множества алгебраических чисел, которые в честь идеальных чисел он назвал идеалами. Идеал в поле алгебраических чисел К, порождённый числами alf...,an, состоит из чисел вида Х1а1 + ... + Апап, где Al5...,An — целые алгебраические числа из поля К. Идеал называют главным, если он порождён одним числом. С помощью идеалов Дедекинду удалось перенести методы Куммера на общий случай. Анализируя работы Куммера, Дедекинд обратил внимание на то, что Куммер не определяет, что такое идеальные числа; он определяет только делимость на идеальные числа. Дедекинд ввёл также классы идеалов. Он доказал, что любой идеал в кольце целых алгебраических чисел единственным образом представляется в виде произведения простых идеалов.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
189
В 1858 г. Дедекинд начал разрабатывать новое определение иррациональных чисел на основе дедекиндовых сечений. Он опубликовал эту теорию в 1872 г. в работе «Непрерывность и иррациональные числа» (Stetigkeit und irrationale Zahlen). Эта работа существенно способствовала арифметизации анализа.
В теории идеалов Дедекинд применил теоретико-множествен- ный и аксиоматический методы. Эти методы были в то время новы. Дедекиндовы сечения тоже определяются с помощью этих методов. Дедекинд заметил, что каждое рациональное число г разбивает множество (Q) на два подмножества: множество А, содержащее числа, которые меньше г, и множество В, содержащее числа, которые больше г; при этом само число г можно отнести к А или к В. Разбиение такого типа Дедекинд определил аксиоматически, не прибегая к числу г: это такое разбиение множества Q на два подмножества Л и В, что любое число из А меньше любого числа из В. Такое разбиение Дедекинд назвал сечением. Не все определённые таким образом сечения соответствуют рациональным числам. Дедекинд вводит для чисел-сечений отношение порядка и арифметические действия. Построенное таким образом поле R обладает свойством полноты: любое его сечение порождается некоторым числом из R.
Кантор неоднократно обсуждал с математиками, можно ли установить взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и квадрата. Все были уверены, что нельзя, потому что две независимых переменных нельзя свести к одной. После того как Кантору удалось построить такое соответствие, возникла проблема: как же определять размерность? В 1877 г., обсуждая с Кантором эту проблему, Дедекинд предложил подход, основанный на непрерывности: если между точками двух множеств разной размерности установлено взаимно однозначное соответствие, то оно должно быть разрывным.
В 1877 г. Дедекинд получил аналитическую формулу для числа классов идеалов поля алгебраических чисел. При этом он использовал аналог дзета-функции, представленной рядом Дирихле. Дзета-
функция Дедекинда C^(s) поля К равна (дг^/)~)7, гДе суммирование
ведётся по идеалам I в кольце целых чисел поля К, N (/) — норма идеала I.
В1877 г. Дедекинд прояснил связь между модулярными функциями и модулярной группой преобразований, порождённой преобразованиями Z'-^z + lnz'-^—l/z. Он разделил верхнюю плоскость на классы эквивалентности относительно действия этой группы (фун¬


190
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
даментальные области), а затем построил функцию J, инвариантную относительно модулярной группы. Для этого он взял фундаментальную область, ограниченную прямыми Rez = и окружностью |г| = 1, две половины фундаментальной области отобразил на верхнюю и нижнюю полуплоскость так, что ось у отобразилась на вещественную ось, а затем распространил отображение с фундаментальной области на всю верхнюю полуплоскость.
При изучении модулярных функций Дедекинд ввёл функцию
00
tj(t) = е71'4/12 fl (1 — е2я‘пт),
Л=1
которую впоследствии назвали эта-функцией Дедекинда. Она определена в верхней полуплоскости Im т > 0. Под действием образующих модулярной группы она преобразуется следующим образом:
г/(т +1) = еот/12т}(т), г] = (-1т)1/2т}(т).
Дедекинд получил и общую формулу преобразования эта-функции под действием любого элемента модулярной группы; в эту формулу входят так называемые суммы Дедекинда
Дедекинд доказал закон взаимности для этих сумм:
12hks(h, k) + 12khs(k, h) = h2 + к2 — 3 hk + 1.
В третьем (1880) и в четвёртом (1894) изданиях лекций Дирихле по теории чисел Дедекинд существенно переработал свои добавления, в которых он дал определение идеала в кольце целых алгебраических чисел.
Как для идеалов, так и для сечений Дедекинд использовал одну и ту же схему: сначала он находил основные определяющие свойства некоторых объектов (сечения, порождённого рациональным числом, или множества целых чисел, делящихся на некоторое число), затем брал эти свойства в качестве аксиом и получал новый объект (множество всех сечений или множество всех идеалов). При этом новый объект обладал нужными свойствами: в случае сечений — полнотой, а в случае идеалов — однозначным разложением на множители. Такую же схему Дедекинд впоследствии применил при построении арифметики полей алгебраических функций. Вместе с


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
191
Вебером в мемуаре «Теория алгебраических функций одной переменной» (Theorie der algebraischen Functionen einer Veranderlichen, 1882) он дал конструкцию римановой поверхности, не использующую предположения о непрерывности и разложимости в ряд. Это позволило получить чисто алгебраическое доказательство теоремы Римана—Роха. Дедекинд и Вебер руководствовались давно замеченной аналогией между полями алгебраических чисел и полями алгебраических функций, т. е. между теорией алгебраических чисел и алгебраической геометрией. Последовательность их построений по сравнению с тем, что было у Римана, противоположна: сначала они строят поле функций, отвечающих римановой поверхности, развивают для этого поля теорию, аналогичную теории алгебраических чисел, и только потом с помощью этой теории строят точки римановой поверхности. Для определения точки используется то, что каждой точке можно сопоставить значение функции в ней, т. е. точку можно определить как гомоморфизм из поля функций в поле С, пополненное точкой оо.
В 1888 г. Дедекинд построил теорию целых чисел, сформулировав полную систему аксиом арифметики (содержащую, в частности, точную формулировку принципа полной математической индукции). Эта теория, основанная на канторовой теории множеств и на отображениях множеств, была слишком сложной. Более подходящим оказался аксиоматический подход Пеано, опубликованный в 1889 г.; Пеано при этом опирался на работу Дедекинда.
Чарльз Доджсон (1832—1898)
Чарльз Доджсон более известен под псевдонимом Льюис Кэрролл.
В 1866 г. он получил следующую формулу для вычисления определителя |А| матрицы А: \А\ • Ajjj = ЗДесь — минор,
полученный вычёркиванием из матрицы А первых и последних строк и столбцов, А[ — минор, полученный вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.
Именно Чарльз Доджсон опубликовал в 1867 г. первое доказательство теоремы Кронекера—Капелли в книге «Элементарная теория определителей» (An Elementary Treatise on Determinants). Эту теорему он формулировал так: «Для того чтобы система п неоднородных уравнений с т неизвестными была совместна, необходимо и достаточно, чтобы порядок наибольшего отличного от нуля минора был одинаков в расширенной и нерасширенной матрице системы».


192
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
Рудольф Отто Сигизмунд Липшиц (1832—1903)
В своей работе 1829 г. Дирихле обещал рассмотреть случай разложимости функции в ряд Фурье, в котором не предполагается конечность числа разрывов и числа максимумов и минимумов, но так ничего и не опубликовал на эту тему. В1864 г. Липшиц опубликовал работу, частично восполняющую этот пробел; при этом он близко подошёл к введению нигде не плотных и всюду плотных множеств.
В1868 г. с помощью первого метода Коши (метода приближения решения дифференциального уравнения ломаными) Липшиц доказал существование решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в более общих, чем у Коши, предположениях. Для
dVi
системы = &(уъу2, —,УП) эти условия имеют вид
\Шъ •••>Уп) -fity'v -^)1 <fcilji -у[\ + - + К\Уп-Уп\> где къ ...,кп — положительные числа (условия Липшица). Попытки ослабить эти условия впоследствии показали, что от них нельзя отказаться без нарушения единственности решения. (Условия Липшица гарантируют единственность решения. Для существования решения достаточно непрерывности функций / — это доказал Пеано в 1890 г.)
В 1870 г., чуть позже Кристоффеля, Липшиц решил задачу о совпадении двух римановых геометрий.
В 1886 г. Липшиц показал, что ортогональные преобразования п-мерного пространства представляются преобразованиями в алгебрах Клиффорда, имеющими вид х —> аха~1, где х = ^х1е{. Полученные представления группы ортогональных матриц впоследствии получили название спинорных представлений.
Эжен Руше (1832—1910)
В 1862 г. опубликовал теорему: если две комплексные функции f(z) и g(z) голоморфны внутри замкнутого контура С, на котором l&teOI < 1/001, то f(z) и f(z) + g(z) имеют одинаковое число нулей внутри С (теорема Руше).
Очень популярны были учебники и задачники по геометрии, написанные Руше и Шарлем Комберуссом (1826—1897).
Людвиг Силов (1832—1918)
Норвежский математик Силов в 1872 г. опубликовал 10-страничную статью «Теоремы о группах подстановок» (Theoremes sur les


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
193
groupes de substitutions), в которой появились три теоремы Силова. Ранее Коши доказал, что группа, порядок которой делится на простое число р, содержит элемент порядка р. Силов доказал (для групп подстановок), что если рп — наибольшая степень простого числа р, делящая порядок группы G, то:
• G содержит подгруппу порядка рп;
• G содержит 1 + fcp таких подгрупп;
• любые две такие подгруппы сопряжены.
Между 1873 и 1881 годами Силов и Ли подготовили к изданию полное собрание сочинений Абеля.
Альфред Клебш (1833—1872)
Клебш первым сформулировал теорему Абеля для кривых. Он также перенёс на кривые риманово понятие абелева интеграла по римановой поверхности. Клебш показал, что род кривой инвариантен при бирациональных преобразованиях плоскости. Он доказал, что кривую рода 1 можно бирационально преобразовать в кубику (то, что кривую рода 0 можно бирационально преобразовать в прямую, доказал Люрот).
В1862 и 1863 годах Клебш опубликовал два мемуара о дифференциальных уравнениях, в которых разработал два метода решения задачи Пфаффа. Эти результаты Клебша Софус Ли применил для классификации контактных преобразований.
В 1865 г. Клебш доказал, что если уравнение f(z, w) = 0 задает кривую рода 1, то z и w можно рационально выразить через двоякопериодическую функцию одной переменной.
Для алгебраических кривых в 1865 г. Клебш ввёл термин род. В 1868 г. по аналогии с кривыми он определил род алгебраической поверхности в трёхмерном проективном пространстве и показал, что род не меняется при бирациональных преобразованиях поверхностей. В двух работах 1870 и 1875 г. Нётер развил это понятие и показал, что есть и другие инварианты бирациональных преобразований поверхностей. Род алгебраической поверхности, введённый Клебшем, получил впоследствии название геометрический род. В начале XX в. для алгебраических поверхностей было предложено другое обобщение рода кривой — арифметический род.
С 1863 г. по 1868 г. Клебш тесно сотрудничал с Горданом. Коэффициенты Клебша—Гордана, как теперь называют коэффициенты разложения тензорного произведения двух неприводимых представлений на неприводимые слагаемые, в случае представлений ор¬


194
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
тогональной группы введены ими в совместной работе по теории инвариантов.
Кэли в 1849 г. установил, что на любой кубической поверхности есть ровно 27 прямых. В 1871 г. Клебш привёл пример поверхности, на которой все эти прямые вещественные. Эту поверхность можно задать системой двух уравнений: хг + х2 + х3 + х4 4- х5 = О,
+ х2 + *з + Х4 + Х5 = 0 (в частности, каждая из 120 перестановок координат переводит эту поверхность в себя).
Лазарус Иммануэль Фукс (1833—1902)
В1865,1866 и 1868 г. Фукс опубликовал три статьи под названием «О теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами» (Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coefficienten). Он рассматривал линейные дифференциальные уравнения
dny dn~1y dy
1^+Pi1^ + ...+pn-i1-x+Pny = o,
где pi,..., pn — однозначные мероморфные функции от комплексной переменной х, и описал среди них класс уравнений, все решения которых имеют только конечные полюсы и, возможно, логарифмические точки ветвления. Этот класс уравнений получил название фуксовых уравнений. Он включает, в частности, гипергеометриче- ское уравнение. Общее уравнение n-го порядка фуксова класса с особыми точками аъа2> имеет вид
dny Fp-iMd^y *2(p-i)(*) dn~2y Vi)Wy_
dxn + гр dxn~l <ф2 dxn~2 'ф'1 ’
где гр = (х — а!)...(х — ар), Fm — многочлен степени не выше т.
Фукс разработал основы теории линейных дифференциальных уравнений в комплексной области. Он доказал, что особыми точками решения линейного дифференциального уравнения могут быть только особые точки его коэффициентов (для нелинейных уравнений это неверно). Поэтому особыми точками линейного дифференциального уравнения Фукс называет точки, в которых хотя бы одна из функций рг, ...,рп имеет полюс.
В окрестности неособой точки х0 существует однозначное конеч-
dy dn~ly
ное решение, которое задается значениями у, ..., в Т04" ке х0. Таким образом, в окрестности неособой точки решения образуют п-мерное пространство. В связи с этим Фукс в 1866 г. ввёл тер¬


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
195
мин фундаментальная система решений дифференциального уравнения; так он назвал базис этого n-мерного пространства решений.
Для анализа поведения решений в окрестности особой точки а Фукс рассматривает в неособой точке z, близкой к точке а, фундаментальную систему решений иг(z), u2(z), ...,un(z). При обходе вокруг точки а эта фундаментальная система решений переходит в новую фундаментальную систему решений, линейно выражающуюся через исходную. Собственные значения Аъ..., Ап матрицы перехода не зависят от выбора фундаментальной системы решений. Если все собственные значения различны, то в качестве фундаментальной системы решений в окрестности точки а можно выбрать функции
1с
Uj = О - a)K>4>j(z)9 где fc; = a (г) — однозначная функция в окрестности точки а. Если А;—корень кратности т7, то в качестве фундаментальных решений, соответствующих А;, можно взять
ип=(%-а)ккрп(.г),
u;-2=(z-a)fcj(y)2i(z)+¥’22(z)ln(z-a)),
u;3=(z-a)^(</)31(z)+(/)32(z)ln(z-a)+(/733(z)(ln(z-a))2),
ujm=(.z-d)k<(ipm.1(.z)+ipm.2{.z)ln(.z-a)+...+iprnjmj(.z){ln{z-a)')mi 1).
Таким образом, в случае, когда матрица монодромии имеет кратные собственные значения, в решении появляются логарифмические члены.
При изучении поведения решений в окрестности особой точки Фукс ввёл характеристическое уравнение (англ. indicial equation). Он показал (1866), что если все корни этого уравнения различны и их разности не являются целыми числами, то существуют п линейно независимых сходящихся решений. В 1873 г. Фробениус исследовал случай, когда среди разностей есть целые числа, в частности случай кратных корней.
В1870 г. Фукс исследовал периоды гиперэллиптических интегралов с точки зрения теории фуксовых уравнений. Для периодов эллиптического дифференциала СО — ■■■ он вывел следу-
д/лс(дс — 1)(дс — Я)
ющее уравнение, получившее название уравнение Пикара—Фукса:
- _ ч (I ТС; d ТС; ТС;
A(A_1)dAr + {2A_1)dT + Т = 0;
1 Я
здесь пг (А) = 2 J со и тг2 (А) = 2 J со — периоды дифференциала со.
о о


196
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
В 1875—78 годах Фукс продолжил исследования Шварца, выяснившего, когда гиперэллиптическое уравнение имеет алгебраические решения. Фукс исследовал общее линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Он показал, что дифференциальные уравнения, все решения которых алгебраические, относятся к классу фуксовых уравнений, и поставил задачу об описании всех дифференциальных уравнений с алгебраическими решениями, но не смог её решить. Эта задача впоследствии оказалась очень важной. Фукс смог описать только дифференциальные уравнения, все решения которых рациональные: корни характеристического уравнения (для каждой особой точки) должны быть целыми.
В 1880—81 годах Фукс изучал обращение интегралов линейных дифференциальных уравнений второго порядка, обобщая проблему обращения Якоби. В связи с этими работами Пуанкаре ввёл понятие фуксовой группы.
Фукс изучал, как найти матрицу, связывающую две системы решений дифференциального уравнения вблизи двух различных точек.
В 1884 г. Фукс занимался нелинейными дифференциальными уравнениями. В этом случае особенности решений не обязательно являются особенностями коэффициентов, поэтому возникают подвижные особенности. Фукс описал нелинейные дифференциальные уравнения, точки ветвления которых неподвижны. Единственное уравнение первого порядка, у которого неподвижны все алгебраические особые точки и точки ветвления, — это уравнение Риккати
dw Л . . , д 2
где А0, А1 и А2 — однозначные функции от z.
В 1886 г. Фукс исследовал особые точки дифференциального уравнения первого порядка. Он ввёл понятие точек неопределённое™ для решений дифференциального уравнения, значение в которых зависит от пути подхода к точке. Точкой неопределённо- сти является, в частности, существенно особая точка. Но наиболее сложная ситуация возникает в точке ветвления, в сколь угодно малой окрестности которой есть другая точка ветвления.
Эдмон Никола Лагерр (1834—1886)
Для геометрии евклидовой плоскости важное значение имеют две точки, лежащие в комплексной проективной плоскости. Эти точки имеют однородные координаты (1 : =Ы : 0). В этих точках,


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
197
называемых циклическими, любая окружность пересекает бесконечно удалённую прямую. В 1850 г. Шаль заметил, что две прямые на евклидовой плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда бесконечно удалённые точки этих прямых гармонически сопряжены относительно циклических точек. В 1853 г. Лагерр обобщил это наблюдение и дал определение угла на основе проективных свойств: он показал, что угол между двумя прямыми выражается через двойное отношение их бесконечно удалённых точек и циклических точек. Формула Лагерра выглядит следующим образом. Пусть А и В — бесконечно удалённые точки данных прямых, I и J — цик-
„ , 1 * (AI АП
лические точки. Тогда угол между прямыми равен ml : gj J.
Идею Лагерра впоследствии обобщил Кэли.
Многочлены Лагерра введены в 1879 г. как решения дифферен-
00 -х
J6
— dx
о
и получил расходящийся ряд, первые члены которого дают хорошее приближение этого интеграла. Он также получил разложение этого интеграла в сходящуюся непрерывную дробь, подходящие дроби которой включают многочлены Лагерра. Таким образом, ещё до Стил- тьеса, Лагерр первым начал изучать аналитическую теорию непрерывных дробей. Он доказал соотношение ортогональности для этих многочленов и то, что любую функцию можно разложить в ряд типа Фурье по этим многочленам.
Джон Венн (1834—1923)
Венн, в отличие от Буля и Джевонса, решал не только логические уравнения, но и логические неравенства. При решении логических задач Венн использовал не только алгебраические методы, но и диаграммы, называемые теперь диаграммами Венна. Аппарат диаграмм Венн изложил в статье «О диаграммном и механическом представлении предложений и рассуждений» (On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings, 1880). Он использовал эти диаграммы для решения задач, в которых число классов не больше 5. Для решения задач, в которых число классов п > 5, Венн использовал таблицы, состоящие из 2п клеток (таблицы Венна). Эйлер тоже пользовался такими диаграммами для иллюстрации логических задач, хотя у него не было столь разработанного аппарата, как у Венна. Название диаграмма Эйлера—Венна тоже достаточно распространённое.


198
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
Уильям Стенли Джевонс (1835—1882)
В 1870 г. Джевонс построил логическую машину, внешне похожую на пианино. Клавиатура использовалась для ввода аргументов, а таблица истинности задавалась с помощью брусков на передней панели.
Эмиль Матьё (1835—1890)
В двух статьях 1861 и 1873 г. описал 5 спорадических простых групп, получивших название группы Матьё. Эти группы обозначают Мц, М12, М22, М23 и М24, потому что они описываются как подгруппы в группах перестановок 11, 12, 22, 23 и 24 элементов. Порядки этих групп довольно велики— от 7920 до 244823040. Эти группы были первыми известными спорадическими простыми группами. Остальные спорадические простые группы были открыты между 1965 и 1975 г. 2
В 1890 г. изучал уравнение = (а + bcos2z)u, описывающее
колебания эллиптической мембраны (уравнение Матьё).
Феличе Казорати (1835—1890)
В 1868 г. Казорати опубликовал доказательство следующей теоремы: аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает значение, сколь угодно близкое к любому заданному значению. В том же году доказательство опубликовал Сохоц- кий, а в 1876 г. доказательство опубликовал Вейерштрасс. Эту теорему обычно называют теоремой Казорати—Вейерштрасса или теоремой Сохоцкого—Вейерштрасса.
Эудженио Бельтрами (1835—1900)
Бельтрами исследовал, когда геодезические на поверхности можно представить прямыми линиями на плоскости. Он выяснил, что это можно сделать тогда и только тогда, когда поверхность имеет постоянную кривизну. Это побудило его внимательно изучить поверхности постоянной отрицательной кривизны.
В1864 г., отыскивая для квадратичных форм дифференциальные инварианты, ввёл два вида таких инвариантов, обобщающих параметры Ламе и получивших впоследствии название дифференциальных параметров Бельтрами. Эти инварианты — скалярный квадрат вектора градиента скалярного поля и дивергенция (оператор Ла¬


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
199
пласа) градиента скалярного поля, выраженные в метрике внутренней геометрии поверхности.
В начале 1867 г. Бельтрами пришёл к выводу, что геометрия Лобачевского реализуется в круге радиуса а с формально заданной на нём метрикой
г2
ds2 = (а2 -X2,- х2)2 ((а2 ~ Х2} dxi + 2х1х2 dxi dx2 + (а2 - *?)
Ему хотелось придать этому более реалистическую интерпретацию, и в 1868 г. в «Опыте интерпретации неевклидовой геометрии» (Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea), отправляясь от работ Миндинга, Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского локально выполняется на поверхности постоянной отрицательной кривизны (ранее исследованной Миндингом); одна из таких поверхностей (псевдосфера) получается при вращении трактрисы вокруг её асимптоты. Для этого Бельтрами сначала вычислил квадрат расстояния между бесконечно близкими точками плоскости Лобачевского в координатах и, и, равных расстояниям от точки до двух взаимно перпендикулярных прямых, а затем вычислил кривизну и убедился, что она постоянна. Координаты u9v получили название белътрамиевых координат. Рассматривая точки евклидовой плоскости с координатами, численно равными бельтрамиевым координатам плоскости Лобачевского, Бельтрами получил вторую интерпретацию плоскости Лобачевского. При этом вся плоскость Лобачевского отображается внутрь круга. Впоследствии (в 1871 г.) Клейн описал вторую модель Бельтрами на языке проективной геометрии. Прямые в этой модели —хорды окружности. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского было сведено к доказательству непротиворечивости евклидовой геометрии. В том же 1868 г., познакомившись с диссертационной лекцией Римана, Бельтрами построил модель п-мерной геометрии Лобачевского.
В работе 1868 г. Бельтрами построил обе модели геометрии Лобачевского — проективную и конформную, но не описал движения в этих моделях в столь удобном виде, как это впоследствии сделали Клейн (для проективной модели) и Пуанкаре (для конформных моделей в круге и в верхней полуплоскости).
Основное наблюдение Бельтрами заключалось в следующем. Рассмотрим проекцию сферы радиуса R из центра на плоскость, удалённую от центра сферы на расстояние а. Зададим на плоскости новое расстояние как расстояние между соответствующими точками сферы. Квадрат элемента длины (т. е. квадрат нового расстояния


200
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
между двумя точками на бесконечно малом расстоянии) в этом случае равен
j 2 _ Р2 (fl2 + у2) — 2uv du dv + (а2 -I- и2) dv2
dS ~K (а2 + u2 + у2)2 *
В этой формуле действительный радиус R можно заменить на мнимый радиус iR, и тогда получится формула
j 2 _ р2 (fl2 — у2) + 2uy du dv + (а2 — u2) du2
dS ~К (а2 — и2 — и2)2 *
Эта формула имеет смысл не на всей плоскости, а лишь внутри круга радиуса а. Внутри этого круга мы получаем геометрию Лобачевского. Геодезические в этой модели задаются линейными уравнениями, т. е. являются отрезками прямых.
Бельтрами не нашёл формулу расстояния между двумя произвольными точками и не выяснил, как в его интерпретации устроены движения плоскости Лобачевского. Но ответы на эти вопросы уже можно было найти в «Шестом мемуаре о формах», изданном Кэли ещё в 1859 г.
О неевклидовой геометрии Бельтрами узнал из переводов на французский язык сочинений Лобачевского «Геометрические исследования» (1866) и Бойяи «Appendix» (1867). На Бельтрами большое влияние оказало также представление Римана о геометрии многообразий.
В 1889 г. Бельтрами привлёк внимание к забытой работе Саккери.
Юлиус Вейнгартен (1836—1910)
В работе «Об одном классе поверхностей, наложимых друг на друга» (Uber eine Klasse auf einander abwickelbarer Flaachen, 1861) Вейнгартен нашёл выражения производных вектора нормали к поверхности через производные радиус-вектора поверхности (деривационные формулы Вейнгартена):
FM-GL FL-EM
Пи EG - F2 Гц EG- F2 Гу’
FN — GM FM-EN
Пи EG — F2 Г“ EG- F2 Гу*
Здесь используются коэффициенты первой (£, F, G) и второй (L, М, N) квадратичной формы.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
201
Вейнгартен разработал теорию W-поверхностей, для которых существует функциональная связь между главными радиусами кривизны. Опираясь на эту теорию, занимался проблемами наложимости поверхностей. До Вейнгартена единственным известным классом поверхностей, изометричным данной поверхности, были развёртывающиеся поверхности, изометричные плоскости. В 1863 г. Вейнгартен построил класс поверхностей, изометричных данной поверхности вращения.
Николай Васильевич Бугаев (1837—1903)
Бугаев хотел разработать в теории чисел столь же общие методы, как в математическом анализе. Его работы в этом направлении связаны с числовыми производными и интегралами по делителям. На основе понятия числовой производной и формул обращения он предложил систематическое построение арифметических тождеств.
Александр Николаевич Коркин (1837—1908)
В1872,1873 и 1877 г. появились совместные работы Коркина и Золотарёва о минимумах положительно определённых квадратичных форм. Их интересовало минимальное значение, которое достигается данной квадратичной формой, когда в неё подставляются целые числа, не равные нулю одновременно. Для форм с заданным определителем D можно найти максимум этих минимальных значений; формы, для которых минимальное значение достигает максимума (хотя бы локального), Коркин и Золотарёв назвали предельными.
Первые исследования Эрмита дали для наименьшего значения формы с определителем D от п переменных грубую оценку
(!Гц'2^
Эрмит поставил задачу отыскания точной оценки. Эту задачу, поставленную Эрмитом, Коркин и Золотарёв решили для форм от 4 и 5 переменных. Для п = 4 и п = 5 они получили оценки \/4D и VSD соответственно; они также нашли все предельные формы, для которых эти оценки достигаются.
Положительно определённую форму f(x1}...,xn) можно представить как квадрат длины вектора хгег + ... + хпеп, поэтому наименьшее значение квадратичной формы —это квадрат растояния от начала координат до ближайшей точки целочисленной решётки,


202
Глава 8. Вторая половина XIX века
заданной векторами е1,...,еп. Эта геометрическая интерпретация показывает связь задачи о нахождении максимума минимальных значений форм и задачи о наиболее плотной решётчатой упаковке шаров.
В1873 г. Коркин совместно с Золотарёвым построил решётку Г8 в 8-мерйом пространстве; её существование в 1867 г. неконструктивно установил Смит.
Пауль Альберт Гордан (1837—1912)
С 1863 г. по 1868 г. Гордан тесно сотрудничал с Клебшем. Коэффициенты Клебша—Гордана, как теперь называют коэффициенты разложения тензорного произведения двух неприводимых представлений на неприводимые слагаемые, в случае представлений ортогональной группы (для сферических гармоник) введены ими в совместной работе по теории инвариантов.
В 1868 г. Гордан доказал существование конечной полной системы инвариантов для бинарных форм любых степеней. В 1870 г. он доказал, что любая конечная система бинарных форм имеет конечную полную систему инвариантов. Доказательства Гордана были конструктивными, хотя и приводили к сложным вычислениям; уже для форм степени 7 в XIX в. не удалось провести эти вычисления.
Затем Гордан нашёл полную систему инвариантов для тернарных квадратичных форм, для тернарных кубических форм и для систем двух и трёх тернарных квадратичных форм. Но вопрос о существовании конечной полной системы инвариантов в общем случае оставался открытым до появления работ Гильберта, получившего в 1888 г. простое, но не конструктивное доказательство. По поводу этих работ Гордан сначала говорил: «Это не математика, это теология». Потом он несколько изменил своё мнение: «Я убедился, что теология тоже имеет свои преимущества».
Джордж Уильям Хилл (1838—1914)
В конце 1870-х годов Хилл опубликовал две статьи по теории движения Луны. Он открыл новое периодическое решение задачи трёх тел (до этого периодическое решение задачи трёх тел получил Лагранж в 1772 г.). С работы Хилла 1877 г. по теории движения Луны начинается изучение дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В 1886 г. при изучении движения Луны он


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
203
получил уравнение
00 Л
в0 + 2 Yt @2г cos(2rz) J w(z) = 0
r=1 J
и разработал метод решения этого уравнения с помощью определителей бесконечного порядка. Уравнением Хилла теперь называют уравнение вида u/'fe) + p(z)w(z) = 0, где p(z) — периодическая функция.
Камилл Жордан (1838—1922)
В 1865 г. вышла первая работа Жордана по теории Галуа «Комментарии к мемуару Галуа» (Commentaire sur le Мётоке de Galois), в 1869 г. вышло её продолжение, а в 1870 г. вышел «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» (Traite des substitutions et des equations algebriques), представивший теорию Галуа в систематическом изложении. Здесь есть определения нормальной подгруппы, простой группы, разрешимой группы. Изложена доказанная Жорданом в 1869 г. теорема о группах, составляющая часть теоремы Жордана—Гёльдера. Впервые появляются понятия изоморфизма и гомоморфизма групп. В этой книге Жордан определяет жордано- ву нормальную форму матрицы, доказывает возможность и единственность приведения матрицы к такой форме; он ввёл её, чтобы упростить изучение линейных подстановок. Впервые рассматриваются матричные группы с коэффициентами из конечного поля. Эти группы Жордан рассматривает как группы перестановок. Он рассматривает классические группы: общую линейную, унимоду- лярную, ортогональную и симплектическую. В «Трактате о подстановках» Жордан ввёл термин монодромия. Привёл более точную формулировку и доказательство теоремы Кэли (1854) о том, что любую группу порядка п можно представить как подгруппу группы перестановок п символов. В этой книге Жордан показал, что уравнение любой степени можно решить, используя модулярные функции. Жордан тщательно изучил свойства транзитивности и примитивности для групп перестановок. Он доказал, что знакопеременная группа Ап простая при п > 4.
Поставленную Гауссом задачу нахождения необходимых и достаточных условий наложимости двух гибких и нерастяжимых поверхностей друг на друга без складок и разрывов Жордан в работе «О деформации поверхностей» (Sur la deformation des surfaces, 1866) распространил на растяжимые поверхности. Жордан рассматривал
ш"(г)+Г


204
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
только ориентируемые поверхности (с краем). Он доказал, что две гибкие и растяжимые поверхности наложимы друг на друга без складок и разрывов тогда и только тогда, когда число контуров, ограничивающих части, одно и то же и максимальное число замкнутых несамопересекающихся и попарно непересекающихся контуров, которые можно провести на каждой из этих поверхностей, не разделяя их на две части, одно и то же для обеих поверхностей. В другой работе того же 1866 г. «О контурах, проведённых на поверхностях» (Des contours traces sur les surfaces) поставил вопрос о контурах на поверхностях, переводимых друг в друга непрерывной деформацией на поверхности. В этой работе он ввёл понятие гомотопии путей. Жордан рассматривал свободные гомотопии, а не гомотопии петель с началом и концом в фиксированной точке, которые нужны для определения фундаментальной группы. Он рассматривал композицию контуров, писал о том, что контур, пройденный в каком-то направлении, и тот же самый контур, пройденный в обратном направлении, взаимно уничтожаются; определил образующие и соотношения в фундаментальной группе ориентируемой поверхности с краем. Но саму фундаментальную группу он не определял, потому что в то время ещё не было абстрактного понятия группы и рассматривались только группы перестановок.
В работе «Исследования о полиэдрах» (Recherches sur les poly- edres, 1866) Жордан перенёс формулу Эйлера на невыпуклые многогранники (выразил V — Е + F через род поверхности).
В1869 г. доказал (для п = 3) теорему: для любого п конечная подгруппа G в группе линейных преобразований п-мерного пространства обладает абелевым нормальным делителем, индекс которого в G ограничен константой, зависящей только от п (теорема Жордана о конечных линейных группах).
В1869 г. Жордан ввёл понятие композиционного ряда, т. е. последовательности подгрупп, каждая из которых нормальна в предыдущей, причём между ними нельзя вставить промежуточную группу с сохранением этого свойства. Он показал, что в композиционном ряду индексы подгрупп не зависят от выбора этого ряда. В 1889 г. Гёльдер ввёл понятие факторгруппы и показал, что от выбора композиционного ряда не зависят не только индексы подгрупп, но и факторгруппы (теорема Жордана—Гёльдера).
В 1874 г. Жордан построил аналог формул Серре—Френе для кривой в п-мерном пространстве; с каждой точкой такой кривой он связал репер. В том же году начал разрабатывать дифферен¬


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
205
циальную геометрию m-мерных поверхностей в гг-мерном пространстве.
В1877 г. заметил, что все решения данного линейного дифференциального уравнения алгебраические тогда и только тогда, когда группа монодромии конечна. Поэтому для перечисления различных типов таких уравнений порядка т достаточно перечислить конечные группы в группе матриц порядка т. Жордан нашёл 5 типов таких групп при т — 2 (циклические и диэдральные группы любого порядка и группы тетраэдра, октаэдра и додекаэдра) и 11 типов групп при т — 3.
В1881 г. Жордан обнаружил, что доказательство теоремы Дирихле о функциях, допускающих разложение в ряд Фурье, остаётся верным для функций, представимых в виде разности двух ограниченных неубывающих функций. В связи с этим он ввёл понятие функций ограниченной вариации и доказал, что они представимы в виде разности двух ограниченных неубывающих функций. Этот класс функций оказался очень удобным во многих отношениях.
Теорема о том, что замкнутая непрерывная плоская кривая разделяет плоскость на две области (теорема Жордана), доказана им (с некоторыми пробелами) в добавлении к 3-му тому «Курса анализа для Политехнической школы» (Cours d’analyse de TEcole Polytechnique, 1887); это добавление озаглавлено «Заметка о некоторых положениях теории функций».
В 1892 г. Жордан ввёл измеримость (по Жордану) и связанную с ней меру (меру Жордана).
Густав Рох (1839—1866)
В 1857 г. Риман доказал, что размерность пространства меро- морфных функций на поверхности рода р, имеющих простые полюсы в т заданных точках, не меньше т — р + 1 (неравенство Римана). Густав Рох, ученик Римана, в работе «О числе произвольных констант в алгебраической функции» (Uber die Anzahl der willktir- lichen Constanten in algebraischen Functionen, 1864) уточнил этот результат, выяснив, чему равна разность между размерностью пространства мероморфных функций и числом т — р + 1. Он доказал следующее равенство: размерность пространства мероморфных функций на поверхности рода р, имеющих простые полюсы в т заданных точках, равна т — р + q + 1, где q — количество линейно независимых абелевых дифференциалов, обращающихся в нуль в т заданных точках (теорема Римана—Роха). Эта теорема связывает


206
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
топологический род римановой поверхности с чисто алгебраическими свойствами поверхности.
В 26 лет умер от туберкулёза.
Герман Ганкель (1839—1873)
В 1861 г. в работе «Об особом классе симметрических определителей» (Uber eine besondere Klasse der symmetrischen Determinanten) изучал определители матриц специального вида, получивших впоследствии название ганкелевых матриц. Ганкелевой называют матрицу \\а^ ||q-1, где ai;- =si+j для некоторых комплексных чисел s0,sl9... • • *,s2n—2m Сумма ряда 50*-1 +sxz~2 + s2z~3 + ... является рациональной функцией тогда и только тогда, когда бесконечная ганкелева матрица, построенная по числам s0,sl}..., имеет конечный ранг.
Джозайя Уиллард Гиббс (1839—1903)
Гиббс одновременно с Хевисайдом объединил векторные исчисления Гамильтона и Грассмана и придал векторной алгебре современный вид. В начале 1880-х годов разработал векторный анализ, ввёл термины скалярное произведение и векторное произведение и обозначения для скалярного и векторного произведений: А • В и Ах В.
Юлиус Петер Христиан Петерсен (1839—1910)
Статья Петерсена «Теория регулярных графов» (Die Theorie der regularen graphs, 1891) — это первая важная работа по теории графов. Петерсен доказал в ней, в частности, что если из каждой вершины графа выходит ровно три ребра (такой граф называют кубическим) и любое ребро принадлежит некоторому циклу (граф, любое ребро которого принадлежит некоторому циклу, называют графом без мостов; мост связного графа — это ребро, при удалении


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
207
которого граф перестаёт быть связным), то существует такой набор рёбер, что каждая вершина графа принадлежит ровно одному из этих рёбер.
Граф Петерсена (рис. 8.5) появился в работе 1898 г. как пример наименьшего кубического графа без мостов, не допускающего раскраску рёбер в три цвета.
Фридрих Эмиль Фриц Прим (1841—1915)
Многообразие Прима — это абелево многообразие, которое строится по морфизму алгебраических кривых; первоначально этим морфизмом было неразветвлённое двулистное накрытие над римановой поверхностью. Дифференциал Прима римановой поверхности—это дифференциал на универсальном накрывающем пространстве над этой поверхностью, преобразующийся согласно некоторому комплексному характеру фундаментальной группы (каждый элемент фундаментальной группы задаёт преобразование накрытия; под действием этого преобразования дифференциал Прима умножается на значение характера на этом элементе фундаментальной группы). Дифференциалы Прима введены в 1869 г.
Эдуард Люка (1842—1891)
В 1874 г. Люка доказал следующую теорему, которую часто называют теоремой Гаусса—Люка: корни производной P'(z) многочлена P(z) принадлежат выпуклой оболочке корней многочлена P(z). Гаусс в 1836 г. доказал следующую теорему: корни многогочлена P'(z) (отличные от кратных корней многочлена P(z)) являются положениями равновесия поля сил, которое создаётся одинаковыми частицами, расположенными в корнях многочлена P(z); каждая частица создаёт силу отталкивания 1 /г, где г —расстояние до этой частицы.
В1876 г. Люка предложил способ доказательства простоты чисел Мерсенна 2Р - 1. В 1930-е годы Деррик Генри Лемер (1905—1991) усовершенствовал этот тест следующим образом. Рассмотрим числа S2 = 4, S3 = 14, S4 = 194, ..., Sn = — 2. Число 2Р - 1, где р > 2 —
простое число, является простым тогда и только тогда, когда оно делит Sp. Люка доказал, что S127 делится на 2127 — 1, и поэтому число 2127 - 1 простое. В течение 75 лет это число оставалось самым большим известным простым числом.


208
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
В 1878 г. Люка доказал следующую теорему об остатках от деления биномиального коэффициента на простое число р. Пусть т = = т0 4- тгр 4-... 4- тк_грк~г и п = п0 + пгр + ... + пк_грк~г —записи чисел тип в р-ичной системе счисления. Тогда
(т) = Д(™.) (m°dP)'
Софус Ли (1842-1899)
В1870 г. Клейн и Ли посетили Париж и встретились там с Дарбу, Шалем и Жорданом. В Париже Ли познакомился с теорией групп и с теорией Галуа. Жордан убедил Клейна и Ли в важности теории групп. Клейн и Ли начали заниматься теорией групп и написали совместно несколько статей.
В Париже Ли открыл контактные преобразования. Первая его работа по этой теме опубликована в 1871 г. Ли рассматривал пространство сфер, точками которого являются сферы в трёхмерном пространстве, и преобразования пространства сфер, переводящие касающиеся сферы в касающиеся сферы.
Помимо преобразований пространства сфер, переводящих касающиеся сферы в касающиеся сферы, можно рассмотреть более общие контактные преобразования, которые переводят касающиеся поверхности в касающиеся поверхности. В1875 г. Ли дал следующее определение контактных преобразований: если Z9Xl9...9Xn9Pl9... ...,РП —это 2п 4- 1 независимых функций от 2п 4- 1 независимых величин z9xl9 ...9xn9pl9 ...9рп9 для которых тождественно выполняется соотношение
dZ- Y,pidXi = р {dz - £ Pidx^\ i=1 V i=l J
(где p не обращается в нуль), то преобразование, заданное формулами z' — Z, х' — Х9 р7 = Р, называется контактным. Пример контактного преобразования — полярное соответствие.
Контактные преобразования для трёхмерного пространства устроены следующим образом. Плоскость, проходящая через точку (x,y,£), задаётся уравнением z/ — z = р(х7 — х) 4- q(y7 — у). В качестве координат в пространстве, точками которого являются па¬
ры «точка; плоскость, проходящая через эту точку», можно взять (х, у, z, р9 q). Данную точку можно представить как двумерное многообразие в этом пространстве, состоящее из пар «данная точка; плоскость, проходящая через данную точку»; данную кривую — как


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
209
множество пар «точка данной кривой; плоскость, содержащая касательную в данной точке»; данную поверхность — как множество пар «точка данной плоскости; касательная плоскость в этой точке». Для бесконечно близких точек каждого из этих двумерных многообразий выполняется соотношение dz — pdx — qdy = 0. Контактные преобразования переводят в себя дифференциальное уравнение dz — pdx — qdy = 0. При этом поверхность в общем случае переходит в поверхность, а в вырожденных случаях —в точку и кривую; касающиеся поверхности переходят в касающиеся поверхности. Примером такого преобразования является взаимно однозначное соответствие между пространством сфер и пространством прямых, при котором касающиеся сферы соответствуют пересекающимся прямым. При этом соответствии два семейства прямых на однополостном гиперболоиде соответствуют циклиде Дюпена.
Ли применил контактные преобразования к исследованию уравнений с частными производными.
Ли начал изучать дифференциальные уравнения с частными производными, надеясь найти для них теорию, аналогичную теории Галуа для алгебраических уравнений. Он изучил контактные преобразования и их применения к способу Якоби, позволяющему строить новые решения дифференцильного уравнения, исходя из некоторого решения. Это привело его к рассмотрению композиций таких преобразований, но не в группе Ли, а скорее в алгебре Ли. В1873—74 годах Ли начал разрабатывать теорию непрерывных преобразований групп, позднее названных группами Ли. Это он делал уже независимо от своей первоначальной задачи.
В 1872 г. Ли ввёл понятие интегрального подмногообразия и определил решения дифференциального уравнения первого порядка с частными производными как семейство интегральных подмногообразий. Это расширило понятие решения.
Ли исходил из того, что если дифференциальное уравнение
инвариантно относительно r-параметрической группы преобразований, то семейство интегральных кривых этого уравнения также инвариантно относительно этой группы. Он заметил, что большинство обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих интегрирование в квадратурах, инвариантны при определённых преобразованиях, и методы интегрирования состоят в использовании этого свойства. Ли поставил перед собой задачу развить


210
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
общую теорию интегрирования для всех обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих конечные или инфините- зимальные преобразования. Различные методы интегрирования уравнений в квадратурах оказались обозримыми с единых позиций группового подхода. Ли получил описание всех уравнений, допускающих конечномерные непрерывные группы преобразований, и методов их интегрирования. В 1875 г. Ли вводит понятие разрешимой непрерывной группы (сначала он называл эти группы интегрируемыми).
В 1877 г. он применил контактные преобразования для исследования задачи Пфаффа и преобразований дифференциальных выражений.
Клейн направил Фридриха Энгеля на помощь Ли, в одиночестве работавшему в Христиании. Там они работали совместно в 1884—1885 годах. Затем Ли в 1886 г. переехал в Лейпциг, и их сотрудничество продолжалось 9 лет. Их совместная работа «Теория групп преобразований» (Theorie der Transformationsgruppen) в трёх томах публиковалась с 1888 по 1893 г.
С начала 1880-х годов Ли разрабатывал теорию бесконечномерных групп (бесконечномерные группы Ли).
В последние годы жизни Ли исследовал интегральные инварианты.
Генрих Мартин Вебер (1842—1913)
Вместе с Дедекиндом в мемуаре «Теория алгебраических функций одной переменной» (1882) Вебер дал алгебраическую конструкцию римановой поверхности, не использующую предположения о непрерывности и разложимости в ряд (см. с. 191).
В1886 г. Вебер дал доказательство следующего утверждения Кронекера (сам Кронекер доказал его только для расширений с циклической группой Галуа): любое конечное расширение поля рациональных чисел, имеющее абелеву группу Галуа, содержится в некотором круговом поле (теорема Кронекера—Вебера). Но, как выяснилось почти через сто лет, в 1981 г., в этом доказательстве был существенный пробел. В1907 г. (уже после доказательства Гильберта — первого полного доказательства теоремы Кронекера—Вебера) Вебер дал другое доказательство этой теоремы. Теорема Кронекера—Вебера привела к появлению теории полей классов (теории расширений полей алгебраических чисел, имеющих абелеву группу Галуа). В 1898 г. Вебер ввёл понятие поля классов как расширения К


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
211
поля к алгебраических чисел, обладающего некоторыми свойствами (поле классов сопоставляется полю к и некоторой группе).
В 1893 г. Вебер дал абстрактное определение поля с целью абстрактной формулировки теории Галуа.
Первое издание знаменитой книги Вебера Lehrbuch der Algebra вышло в двух томах в 1895—96 г., третий том (изданный отдельно в 1898 г.) — это расширенная версия изданной ранее, в 1891 г., книги «Эллиптические функции и алгебраические числа» (Elliptische Functionen und algebraische Zahlen). Значительная часть третьего тома посвящена решению уравнения пятой степени в модулярных функциях. Второе издание вышло в трёх томах (1898—1908). Основная часть всей книги Вебера посвящена нахождению корней многочленов; по мнению Вебера, цель алгебры —решение уравнений. Единственная алгебраическая структура, изучаемая в книге, — группы.
Жан Гастон Дарбу (1842—1917)
Интеграл Дарбу появился в работе о дифференциальных уравнениях второго порядка (1870). В 1875 г. Дарбу определил верхнюю и нижнюю интегральные суммы: ^А^Дх, и ^т^Дл:*, где Mt и т{ — верхняя и нижняя грани функции на i-м отрезке. Функция интегрируема, если разность между верхней и нижней интегральной суммой стремится к нулю, когда разбиение измельчается.
В 1875 г. Дарбу доказал, что если в каждой точке отрезка существует конечная производная данной функции, то производная принимает все промежуточные значения, хотя при этом производная не обязательно непрерывна (теорема Дарбу).
В 1876 г. Дарбу подготовил мемуар о задаче Пфаффа (опубликован в 1882 г.). В этом мемуаре доказана теорема о приведении к каноническому виду симплектической формы. Замкнутую невырожденную (кососимметрическую) 2-форму в некоторой локальной системе координат можно представить в виде dp1Adq14-...+dpn Adqn. Этим кососимметрические формы существенно отличаются от симметрических (квадратичных) 2-форм: квадратичную форму можно привести к диагональному виду только в одной точке, а не в целой окрестности. В симплектической геометрии нет локальных инвариантов; в римановой геометрии кривизна является локальным инвариантом, препятствующим приведению римановой метрики к сумме квадратов дифференциалов координат в некоторой окрестности.


212
Глава 8. Вторая половина XIX века
В 1876 г. Дарбу исследовал аппроксимации Паде экспоненциальной функции.
В 1887—1896 г. подготовил четырёхтомное сочинение «Лекции по общей теории поверхностей» (Legons sur la tlteorie §ёпёга1е des surfaces et les applications geometriques du calcul infin^simal). В нём Дарбу систематически применял метод подвижного репера к теории поверхностей в трёхмерном пространстве; метод подвижного репера впоследствии разрабатывал Э. Картан. В 1898 г. вышло продолжение этого сочинения «Лекции об ортогональных системах и криволинейных координатах» (Lemons sur les systemes orthogonaux et les coordonnees curvilignes).
Юлиан Васильевич Сохоцкий (1842—1927)
В 1868 г. Сохоцкий защитил магистерскую диссертацию «Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями». В этой работе доказана теорема о поведении аналитической функции в окрестности существенно особой точки, которую он формулирует следующим образом: «Если данная функция /(*) в некоторой точке z0 обращается в оо бесконечного порядка, то непременно в этой же точке функция f(z) должна принимать всевозможные значения». Современная формулировка этой теоремы такова: для любого w существует последовательность точек zn, сходящаяся к существенно особой точке, для которой lim f(zn) — w. В том же году эту теорему
п—>00
доказал Казорати, а в 1876 г. её изложил Вейерштрасс.
В докторской диссертации «Об определённых интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды» (1873) Сохоцкий разработал теорию сингулярных интегральных уравнений, содержащих главные значения интегралов в смысле Коши.
В 1873 г. (за 35 лет до Племеля) опубликовал формулы Племеля, выражающие граничные значения интеграла типа Коши.
Герман Амандус Шварц (1843—1921)
В 1864 г. Шварц получил формулу для отображения полуплоскости на любой треугольник в виде интеграла. В 1867 г. эту формулу Кристоффель независимо от Шварца обобщил на случай многоугольника (формула Кристоффеля—Шварца). Занятия задачей о конформных отображениях многоугольников, стороны которых — дуги окружности, привели Шварца к открытию принципа симметрии (принцип Римана—Шварца; Риман использовал этот принцип


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
213
задолго до Шварца), который он опубликовал в 1869 г. Если функция голоморфна в области, пересекающей вещественную ось, и на вещественной оси вещественна, то значения в сопряжённых точках сопряжены. При дробно-линейном преобразовании, переводящем вещественную ось в окружность, симметричные относительно вещественной оси точки соответствуют инверсным относительно окружности. В работах 1869 и 1873 годов Шварц получил дифференциальное уравнение для конформного отображения многоугольника, ограниченного дугами окружностей, на полуплоскость. В этом уравнении фигурирует так называемый шварциан (производная Шварца). Производная Шварца функции f(z) равна
/'"(*) з г /" (*) Л2 г г (*) у If гм \2
f'(z) 2Vf'(z)) I f(z)) 2 V/'(*)J *
Производная Шварца инвариантна относительно дробно-линейных
преобразований: шварциан функции g(z) = ^ равен шварци-
ану функции f(z). Шварц отмечал, что такая производная встречается у Лагранжа и Куммера; встречается она и в лекциях Римана.
В1864 г. Шварц обобщил теорему о проекциях (1853) Карла Вильгельма Польке (1810—1876) и упростил её доказательство. Теорема, доказанная Шварцем, получила название теорема Польке—Шварца: любой выпуклый четырёхугольник на плоскости может служить параллельной проекцией тетраэдра, подобного произвольному данному тетраэдру.
В 1865 г. открыл так называемую минимальную поверхность Шварца (её граница — четыре ребра правильного тетраэдра). В1875 г. получил явную формулу, описывающую минимальную поверхность, проходящую через заданную незамкнутую кривую и имеющую вдоль этой кривой заданные касательные плоскости.
Доказательство Римана теоремы о конформных отображениях опиралось на принцип Дирихле, сводивший решение краевых задач для уравнений с частными производными к вариационным задачам отыскания минимумов некоторых функционалов в определённых классах функций. Принцип Дирихле не был обоснован, поскольку не было доказано существование такого рода минимумов. Поэтому нужно было доказать теорему Римана, не опираясь на принцип Дирихле. Такое доказательство предложил Шварц в 1869 г.
В1869 г. доказал так называемую лемму Шварца. Пусть функция f(z) аналитична в единичном круге, по модулю не превосходит 1 и /(0) = 0. Тогда |/(z) I ^ \z\ внутри единичного круга и |/Ч0)| ^ 1. В 1916 г. Пик доказал инвариантное обобщение леммы Шварца.


214
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
В 1872 г. Шварц выяснил, когда гипергеометрическое уравнение имеет алгебраическое решение, т. е. когда число ветвей решения конечно. Он рассматривал отдельно два случая: алгебраическое решение только одно; есть два линейно независимых алгебраических решения. Второй случай приводит к треугольникам, которыми можно замостить сферу, плоскость или плоскость Лобачевского. Треугольник с нулевыми углами на плоскости Лобачевского соответствует модулярной функции. В той же работе он выяснил, для каких на- бров натуральных чисел (а, /3, у) (2 ^ а ^ /3 ^ у) разрешимо уравнение fa + gP = hr, где f,g,h — многочлены. Ответ такой: для наборов (2,2,у), (2,3,3), (2,3,4) и (2,3,5); многочлены, удовлетворяющие этому уравнению, тесно связаны с правильными многогранниками.
В 1878 г. Шварц доказал, что риманова поверхность рода g > 1 имеет лишь конечное число бирациональных автоморфизмов. Затем в 1893 г. Гурвиц доказал, что порядок группы автоморфизмов не превосходит 84(g — 1).
В 1880 г. Шварц привёл пример последовательности многогранных поверхностей, вписанных в цилиндр так, что максимальный диаметр их граней стремится к нулю, а их суммарная площадь может стремиться к любому числу, которое больше площади поверхности этого цилиндра. Этот пример показывает, что при определении площади поверхности нужно соблюдать осторожность.
В 1884 г. Шварц получил первые строгие доказательства изопе- риметрических свойств круга и шара: фигура наибольшей площади, ограниченная кривой данной длины, — это круг, а тело наибольшего объёма, ограниченное поверхностью данной площади, — это шар.
В 1885 г. доказал неравенство для интегралов:
Но ещё раньше, в 1859 г., это неравенство доказал Буняковский. Это неравенство часто называют неравенством Коши—Буняковского— Шварца (у Коши неравенство было для чисел, не для интегралов).
В «Началах» Евклида далеко не всё выводится непосредственно из аксиом; часто он пользуется «очевидными» утверждениями, не перечисленными в списке аксиом. Особенно это относится к тому, что связано с непрерывностью. Например, Евклид пользуется тем, что если точка А окружности Sl лежит внутри окружности S2, а точ¬
Мориц Паш (1843—1930)


Глава 8. Вторая половина XIX века
215
ка В окружности Sj —вне окружности S2, то окружности и S2 пересекаются. Наиболее существенный пробел в аксиомах Евклида связан с упорядочением точек на прямой (понятие «лежать между»). Другое трудное для Евклида понятие—движение; явно он это понятие нигде не использует, но иногда использует его неявно.
Книга Паша «Лекции о новой геометрии» (Vorlesungen tiber neue- re Geometrie, 1882) — это первая книга, в которой предложено тщательное разрешение трудностей подобного рода; это первое приближение к современному аксиоматическому построению геометрии. Паш нашёл у Евклида много неявных предположений, на которые до этого не обращали внимания.
В этой книге вводится одна из аксиом порядка, получившая название аксиома Паша: «Если прямая пересекает сторону АВ треугольника ABC и не проходит через точку С, то она должна пересекать либо отрезок АС, либо отрезок ВС». Сначала Паш приводит 8 аксиом, которые нужны для построения геометрии на прямой, затем ещё 4 для построения геометрии на плоскости (аксиома Паша — четвёртая из них), потом приводит аксиомы стереометрии.
Паш отвергал идею сведения геометрии к аналитической геометрии, считая методы последней противоположными основным концепциям геометрии. Он имел в виду, что методы доказательств в аналитической геометрии арифметические, а в геометрии такие доказательства применяются редко.
Карл Фридрих Гейзер (1843—1934)
В 1869 г. Гейзер прояснил связь между 28 двойными касательными к кривой четвёртой степени и 27 прямыми на кубической поверхности. Рассмотрим проекцию кубической поверхности К на некоторую плоскость из некоторой точки О е К. Проекции точек X Е К, в которых прямая ОХ касается поверхности К, образуют кривую четвёртой степени. Одна из 28 двойных касательных к этой кривой соответствует касательной плоскости к поверхности К в точке О, а остальные 27 двойных касательных соответствуют прямым на поверхности К.
Якоб Люрот (1844—1910)
В 1876 г. Люрот доказал, что любое промежуточное поле между полем к и его простым трансцендентным расширением к(х) имеет вид fc(/(jc)), где / — некоторая рациональная функция (теорема


216
Глава 8. Вторая половина XIX века
Люрота). На геометрическом языке эта теорема относится к рациональным кривым. Плоская неприводимая кривая F (х, у) = 0 называется рациональной, если почти все её точки представляются рациональными параметрическими уравнениями: х = /(t), у = git). Но при этом каждая точка кривой может получаться при нескольких значениях t. Согласно теореме Люрота, изменив параметризацию, можно добиться того, чтобы почти каждая точка кривой получалась при одном значении t.
Макс Нётер (1844—1921)
Макс Нётер —отец Эмми Нётер. Он построил общую теорию комплексных алгебраических поверхностей (1870—1875), начал разрабатывать теорию бирациональных преобразований поверхностей, обобщил теорему Римана—Роха на алгебраические поверхности (1886).
В 1873 году Нётер доказал следующее утверждение для алгебраических кривых. Пусть кривые fix, у) = 0и g(x,y) = 0 пересекаются в конечном числе точек. Уравнение любой кривой, проходящей через эти точки, можно представить в виде afix,y) + bg(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда выполняются некоторые сформулированные им условия, получившие название условия Нётера.
Уильям Кингдон Клиффорд (1845—1879)
В «Предварительном очерке бикватернионов» (Preliminary sketch of biquaternions, 1873) Клиффорд исследовал геометрию трёхмерного эллиптического пространства. Он определил поляры и полярные плоскости относительно абсолюта и прямые, взаимно полярные относительно абсолюта. Для каждых двух прямых есть два общих перпендикуляра, на которых реализуется наибольшее и наименьшее расстояние между этими прямыми. Клиффорд выделил случай, когда можно провести бесконечно много общих перпендикуляров равной длины. В этом случае две данные прямые и их поляры являются прямолинейными образующими одной квадрики. Такие прямые получили название параллели Клиффорда.
Клиффорд был одним из немногих математиков того времени, усвоивших оба подхода к векторам: Гамильтона и Грассмана. В «Приложениях расширенной алгебры Грассмана» (Applications of Grassmann’s extensive algebra, 1878) он видоизменил умножение в алгебре Грассмана и получил так называемую алгебру Клиффорда.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
217
Для этого он рассмотрел линейные комбинации векторов еъ...,еп и произведений eixei2...eir, которые в случае, когда все сомножители различны, определяются так же, как и внешние произведения Грассмана, а когда среди сомножителей есть одинаковые, произведение не равно нулю, а вычисляется по правилу е2 = — 1.
Георг Кантор (1845—1918)
Георг Кантор родился в Санкт-Петербурге в датско-еврейской семье. Вскоре он переехал с родителями в Германию. К математике он обратился под влиянием Вейерштрасса.
В1870 г. Кантор доказал единственность представления функций рядами Фурье: если два тригонометрических ряда вида
|b0 + ^](an sin пх + Ъп cos пх)
сходятся для всех х и имеют одну и ту же сумму, то эти ряды имеют одинаковые коэффициенты. Эту трудную задачу безуспешно пытались решить до него многие математики. Кантор сразу же заметил, что утверждение остаётся верным, если отказаться от сходимости или совпадения сумм рядов в конечном числе точек. В1872 г. Кантор доказал, что можно отказаться от сходимости или совпадения сумм рядов даже в бесконечном числе точек, но это бесконечное множество точек прямой должно обладать определённым свойством. Для описания этого свойства Кантор вводит понятие предельной точки: точка называется предельной точкой множества Р, если любая её окрестность содержит бесконечно много точек множества Р. Множество всех предельных точек множества Р Кантор называет первым производным множеством и обозначает Р'\ например, для конечного множества производное множество пусто. Для Р' тоже можно рассмотреть производное множество и т. д. Кантор доказал, что можно отказаться от сходимости или совпадения сумм рядов в любом множестве точек Р, для которого некоторое производное множество Р(п) пусто. Множество, совпадающее со своим производным множеством, Кантор назвал совершенным.
Встретившиеся в ходе этих исследований сложные бесконечные множества точек вызвали у Кантора интерес к тому, что такое множество.
В1873 г. Кантор доказал, что рациональные числа можно занумеровать натуральными числами. В том же году в письме к Дедекинду Кантор поставил вопрос, можно ли таким же образом занумеровать вещественные числа, и через несколько недель получил отрицатель¬


218
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
ный ответ. Этот результат он опубликовал в 1874 г. вместе с доказательством того, что алгебраические числа (корни многочленов с целыми коэффициентами) можно занумеровать. Так было получено второе после Лиувилля доказательство существования трансцендентных чисел. Здесь у Кантора впервые появляется идея взаимно однозначного соответствия, но пока ещё неявно.
В 1874 г. Кантор занялся вопросом о существовании взаимно однозначного соответствия между точками прямой и n-мерного пространства. Он обсуждал эту проблему со многими математиками, и все они были уверены, что это невозможно, потому что две независимые переменные нельзя свести к одной. Долгое время Кантор тоже был уверен, что такого соответствия быть не может, но спустя три года он построил такое соответствие. По этому поводу Кантор писал Дедекинду: «Я это вижу, но я в это не верю».
В 1878 г. издана работа «К учению о многообразиях» (Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre). В ней введено понятие мощности множества и доказано, что непрерывные многообразия разной размерности имеют одну и ту же мощность. В этой работе Кантор высказал предположение, что между мощностью счётного множества и мощностью множества вещественных чисел нет промежуточных мощностей (континуум-гипотеза).
В 1879 г. в работе «Об одной теореме из теории непрерывных многообразий» (Uber einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannig- faltigkeiten) Кантор сделал неудачную попытку доказать, что не существует взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения многообразий разной размерности (инвариантность размерности).
В том же году в первой из серии статей под названием «О бесконечных линейных точечных многообразиях» (Uber unendliche li- neare Punktmannigfaltigkeiten) Кантор вернулся к свойствам производных множеств. Он ввёл понятие всюду плотного множества и доказал, что для всюду плотного множества все производные множества не пусты.
Начиная с 1882 г. Кантор пытался доказать, что если множество А равномощно части множества В, а множество В равномощно части множества А, то множества АиВ равномощны (теорема Кантора—Бернштейна). Доказательство получил его студент Феликс Бернштейн (1878—1956) в 1897 г.
В 1883 г. опубликована статья «Основы общего учения о многообразиях» (Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre). В ней Кантор вводит понятие вполне упорядоченного множества


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
219
(так называют упорядоченное множество, любое подмножество которого содержит наименьший элемент). Для определения вещественных чисел Кантор использовал сходящиеся последовательности рациональных чисел, которые он называл фундаментальными последовательностями. Кантор пишет, что в области бесконечного понятие количества распадается на два понятия — понятие мощности, независимое от придаваемого множеству порядка, и понятие количества, связанное с некоторым порядком множества, благодаря которому оно становится вполне упорядоченным множеством. В связи с этим для бесконечных множеств Кантор вводит трансфинитные кардинальные числа (мощности множеств) и трансфинитные ординальные числа (порядковые типы вполне упорядоченных множеств).
В1883 г. в примечаниях к пятой статье из серии «О бесконечных линейных точечных многообразиях» Кантор привёл пример совершенного множества, не являющегося всюду плотным ни в одном сколь угодно малом интервале (канторово множество). Оно было построено как множество чисел
Cl Со Cv
3 +^ + -+з^ + -> где коэффициенты cv произвольно принимают значения 0 и 1.
В 1884 г. шестую статью из серии «О бесконечных линейных точечных многообразиях» Кантор завершает обещанием вскоре доказать, что по порядку бесконечности вещественные числа непосредственно следуют за натуральными (континуум-гипотеза). Напряжённые безуспешные попытки Кантора доказать континуум- гипотезу вызвали первое из его серьёзных нервных расстройств. Оно усугублялось нападками Кронекера. До Кантора математики отказывались признавать актуальную бесконечность. Идеи Кантора о трансфинитных ординальных и кардинальных числах Кронекер встретил враждебно и более 10 лет нападал на них. Даже после смерти Кронекера из-за этих нападок математики с недоверием относились к работам Кантора.
В 1891 г. Кантор применил диагональный метод для доказательства того, что мощность любого множества меньше мощности множества всех его подмножеств. В1899 г. он обнаружил, что эта теорема приводит к следующему парадоксу: если X — это множество всех множеств, то множество всех подмножеств множества X не может иметь мощность больше мощности множества X, потому что X содержит все множества. Кантор разрешил этот парадокс так: набор всех множеств не является множеством.


220
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
В 1895 г. Кантор вводит понятие алефа — кардинального числа (мощности) бесконечного вполне упорядоченного множества. В частности, К0 — наименьшее трансфинитное кардинальное число, мощность счётного множества.
Улисс Дини (1845-1918)
В конце 1870-х годов Дини доказал теорему о неявной функции.
В 1880 г. он получил так называемый признак Дини сходимости ряда Фурье в терминах сходимости определённых интегралов: если 2тг-периодическая интегрируемая на отрезке [0,2тт] функция /(х) в точке х0 удовлетворяет условию
Г 1
J X (/(*0 + X) + /(*0 - *) - 2S) dxcco
о
при фиксированном S и некотором 5, то ряд Фурье функции /(х) в точке х0 сходится к S.
Альберт Виктор Бэклунд (1845—1922)
Шведский математик Бэклунд в 1875 г. в связи с изучением поверхностей постоянной отрицательной кривизны предложил способ построения точных решений некоторых нелинейных уравнений математической физики. Этот способ получил название преобразование Бэклунда. Оно появилось в результате попытки Бэклунда обобщить контактные преобразования, введённые Ли. В 1876 г. Бэклунд доказал теорему о том, что любое контактное преобразование является продолжением контактного или точечного преобразования (диффеоморфизма) первого порядка.
Гёста Миттаг-Леффлер (1846—1927)
Шведский математик Миттаг-Леффлер в 1882 г. основал журнал Acta mathematica.
В статье «Аналитическое представление функции рационального характера с произвольно выбранной граничной точкой» (От den analytiska framstallningen af en funktion av rationell karaktar med en godtyckligt vald granspunkt, 1876) и в её продолжении (1884) доказал, что можно построить мероморфную функцию с предписанными главными частями Gn(z) лорановских разложений в предписанных полюсах zn, если выполняется условие lim zn — оо; каждая из


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
221
таких функций /(z) представляется в виде
00
/(*) = ¥>(*)+ 2 [Gn(20+РпШ,
П=1
где — некоторая целая функция, a Pn (2?) — многочлены, обеспе¬
чивающие сходимость разложения.
В 1899 г. при исследовании аналитических продолжений функций ввёл понятие звезды (звездообразной области). Звезда элемен-
00
та функции f(z) = J] ck(z — a)k состоит из тех точек комплексной
к—О
плоскости, в которые можно аналитически продолжить / (я) по лучу с началом в точке а. Звезда получается следующим образом: луч вращается вокруг точки айв каждый момент на нём отмечается ближайшая особая точка zx; в звезду входят точки полуинтервала [а,гх).
В 1905 г. Миттаг-Леффлер разработал один из методов суммирования расходящихся рядов: в качестве суммы расходящегося ряда
00 00 и
Yt ик можно взять предел lim если этот предел суще-
к=о +
ствует. При этом он ввёл в рассмотрение функцию
00 ь
£p(z) = fc?oni + fc/p)
(1функция Миттаг-Леффлера), часто используемую в интегральных представлениях и преобразованиях аналитических функций.
Эудженио Бертини (1846—1933)
В 1877 г. Бертини получил классификацию инволютивных бира- циональных автоморфизмов проективной плоскости.
Основные исследования Бертини относятся к линейным системам на алгебраических многообразиях. Они изложены в его книге «Введение в геометрию проективных гиперпространств» (Introduzione alia geometria proiettiva degli iperspazi, con appendice sulle curve algebriche e loro singolarita, 1907). Линейная система — это семейство эффективных линейно эквивалентных дивизоров на алгебраическом многообразии, параметризованное проективным пространством. Дивизор —это формальная конечная сумма nwW, где nw — целое число, a W — подмногообразие коразмерности 1 (т. е. размерности на 1 меньше, чем у основного много¬


222
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
образия). Дивизор называется эффективным, если все числа nw неотрицательные. Два дивизора линейно эквивалентны, если их разность — главный дивизор, т. е. дивизор нулей и полюсов некоторой мероморфной функции /. Мероморфной функции / соответствует главный дивизор (/) = YnWn, где Wn — множество нулей (при п > 0) или полюсов (при п < 0) порядка \п\.
Неподвижная компонента линейной системы —это эффективный дивизор, который можно вычесть из всех дивизоров линейной системы, и в результате получатся эффективные дивизоры. Например, для линейной системы, соответствующей пучку кривых А/ + jug = 0 на плоскости (/ и g — многочлены одной степени), неподвижная компонента — это кривая h = 0, где h — наибольший общий делитель многочленов / и g.
Базисное множество линейной системы — это множество точек, принадлежащих всем подвижным частям подмногообразий W, относящихся к этой линейной системе. Например, для пучка кривых А/ + /ig = 0 базисное множество — это множество общих точек кривых /' = 0 и g' = 0, где /' = //h и g' = g/h (h — наибольший общий делитель многочленов / и g).
Для линейных систем без неподвижных компонент Бертини доказал две теоремы.
1. Почти все дивизоры являются неприводимыми многообразиями.
2. Почти все дивизоры не имеют особых точек вне базисного множества этой линейной системы и множества особых точек многообразия.
Егор Иванович Золотарёв (1847—1878)
О совместных работах Коркина и Золотарёва по проблеме нахождения минимумов квадратичных форм (1872,1873 и 1877) см. на с. 201.
В 1872 г. Золотарёв предложил весьма оригинальное доказательство квадратичного закона взаимности. Это доказательство основано на следующем наблюдении: чётность перестановки элементов поля вычетов по модулю р, заданной отображением х —> кх, равна
символу Лежандра
В 1876 г. Золотарёв построил арифметику полей алгебраических чисел для самого общего случая. Независимо от Дедекинда он разработал теорию идеальных чисел. Его целью было выяснить дели¬


Глава 8. Вторая половина XIX века
223
мость одного алгебраического числа на другое, не производя деления. Он также доказал теорему единственности разложения на простые идеальные множители. Эти исследования он продолжил, рассмотрев случай приводимых многочленов; эти работы были опубликованы уже после гибели Золотарёва (он попал под поезд и умер от заражения крови).
Для случая, когда R(x) — многочлен степени 4 с рациональными коэффициентами, в 1861 г. Чебышев предложил (без доказательства) алгоритм, позволяющий за конечное число шагов решить
вопрос о возможности выразить интеграл Г * + а dx в элементар-
y/RM
ных функциях. В 1872 г. Золотарёв обосновал алгоритм Чебышева, а затем обобщил его на случай, когда коэффициенты многочлена R(x) — действительные числа.
В1877 г. опубликована работа «Приложения эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее отклоняющихся от нуля». Золотарёв ставит и решает четыре задачи. В первой и второй речь идёт о многочленах, а в третьей и четвёртой — о рациональных функциях. В 1878 г. Золотарёв с помощью эллиптических функций решил задачу о нахождении для данного а многочлена
хп - псгхп~1 + р2хп~2 + ... + рп,
наименее уклоняющегося от нуля в интервале [—1,1] (при <т = О ответом является многочлен Чебышева).
Чезаре Арцела (1847—1912)
В 1893 г. Арцела доказал теорему существования равномерно сходящейся подпоследовательности в последовательности равномерно ограниченных и равномерно непрерывных функций. При этом он обобщил более слабую теорему, доказанную в 1883 г. Джу- лио Асколи (1843—1896).
Вильгельм Киллинг (1847—1923)
Киллинг ввёл алгебры Ли независимо от Ли в 1884 г. (Ли ввёл их около 1870 г. в работах по дифференциальным уравнениям). Алгебра Ли сопоставляется каждой группе Ли. Например, группе невырожденных матриц сопоставляется алгебра с операцией умножения [А,В]=АВ-ВА.
Киллинг исходил из неевклидовой геометрии. Он изучал пространственные формы, т. е. геометрии с некоторыми специальны¬


224
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
ми свойствами, связанными с инфинитезимальными изометриями. Киллинг свёл эту геометрическую задачу к классификации всех конечномерных алгебр Ли. В то время он ещё не знал, что Ли уже ввёл определение алгебр Ли.
Киллинг получил классификацию полупростых алгебр Ли и опубликовал её в четырёх статьях между 1888 и 1890 годами. Наиболее замечательно его открытие исключительных простых алгебр Ли G2, F4, Е6, Е7 и Е8, показавшихся ему сначала досадной помехой, от которой он тщетно пытался избавиться. Ему не удалось построить представления исключительных алгебр (это сделал Э. Картан в 1894 г.).
Основной инструмент его классификации — подалгебры Карта- на и матрица Картана, которые первым ввёл Киллинг. Киллинг также ввёл идею системы корней полупростой алгебры Ли. Но многие утверждения Киллинга в его работах были доказаны с существенными пробелами, которые впоследствии устранил Картан. Поэтому многие идеи Киллинга оказались связаны с именем Картана.
Для изучения алгебр Ли Киллинг ввёл специальную симметрическую билинейную форму В (х, у) на алгебре Ли; эта форма получила название форма Киллинга. По определению В Qt, у) — это след произведения операторов ad(x) и ad (у) в алгебре Ли, заданных формулой ad(x)Os) = [x,z~\.
Киллинг ввёл термин характеристическое уравнение для матрицы. К этому термину его привели исследования собственных значений линейного оператора в инфинитезимальной группе.
Герман Шуберт (1848—1911)
Развивая метод Плюккера подсчёта числа параметров алгебраических кривых, Шуберт начал разрабатывать исчислительную геометрию для кривых в книге «Исчислительная геометрия» (Kalkul der abzahlenden Geometrie, 1879). Эти методы он перенёс на многомерную геометрию. В частности, он вычислил размерность многообразия всех m-мерных подпространств в п-мерном пространстве (многообразие Грассмана) и размерности многообразий подпространств, имеющих пересечения данных размерностей с фиксированной системой вложенных друг в друга подпространств (эти многообразия получили название многообразий Шуберта). Принципы подсчёта параметров, которым Шуберт не дал достаточного обоснования, с помощью топологических методов обосновал Ван дер Варден (1929).


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
225
Эрнст Генрих Брунс (1848—1919)
В 1887 г. Брунс доказал, что у уравнений движения п притягивающихся тел нет первых интегралов, алгебраически выражающихся через координаты и скорости тел, помимо энергии, момента и углового момента. В 1896 г. Пуанкаре дополнил эту теорему: использование интегрирования не добавляет новых интегралов.
Готлоб Фреге (1848—1925)
Фреге —один из создателей современной символической логики. В 1879 г. опубликована первая из его основных книг, «Исчисление понятий, или подражающий арифметике формальный язык чистого мышления» (Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachge- bildete Formelsprache des reinen Denkens). Он построил логическую систему, внутри которой рассуждения можно чётко представить. В книге «Основания арифметики» (Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung uber den Begriff der Zahl, 1884) Фреге представил аксиоматическую теорию арифметики. Он показал, что все предыдущие определения чисел содержали логические ошибки, смешивая «число» и «множественность». Более подробно аксиоматическую теорию арифметики Фреге собирался изложить в книге «Основные законы арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik), задуманной им в трёх томах. Он издал только два тома — в 1893 г. и в 1903 г. В первом томе Фреге изложил формальную логическую систему, содержащую больше правил вывода, чем в «Основаниях арифметики». Когда второй том уже был сдан в печать, Фреге получил письмо от Бертрана Рассела, указавшего, что парадокс Рассела приводит к противоречию в системе аксиом Фреге, т. е. эта система аксиом несовместная. Фреге изменил одну аксиому и привёл новую систему аксиом в приложении ко второму тому. Но при таком изменении многие доказательства теорем из первого тома тоже нужно было менять. Более того, как выяснилось уже после смерти Фреге, его новая система аксиом тоже оказалась несовместной.
Дидерик Иоганнес Кортевег (1848—1941)
В 1894 г. де Фриз защитил диссертацию об уравнении волны в мелкой воде, которую он написал под руководством Кортевега. В 1895 г. Кортевег и де Фриз написали совместную статью, в которой получили решение этого уравнения. Интереса к этой тематике


226
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
долго не было, но 70 лет спустя, когда была обнаружена бесконечная серия первых интегралов этого уравнения и оно оказалось вполне интегрируемым гамильтоновым уравнением, эта тема стала очень популярной в математике.
Уравнение Кортевега—де Фриза имеет вид
ди s ди . д3и ~
— - 6и— + т“о = 0. dt дх дх3
Фердинанд Георг Фробениус (1849—1917)
В 1873 г. Фробениус получил результаты Фукса более простым способом, который с тех пор стал распространённым в теориии обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Метод Фробениуса основан непосредственно на разложении в степенной ряд. В другой статье, тоже опубликованной в 1873 г., Фробениус ввёл понятие неприводимого дифференциального уравнения; так он назвал уравнение, которое не имеет общих решений с уравнением меньшего порядка. В частности, дифференциальное уравнение, все решения которого алгебраические, приводимо, потому что его решения являются корнями полиномиального уравнения, которое является дифференциальным уравнением нулевого порядка. Фробениус показал, что если гипергеометрическое уравнение приводимо, то гипергеометрический ряд, входящий в одно из его решений, должен быть полиномом.
В 1877 г. Фробениус доказал теорему об условиях полной интегрируемости систем уравнений Пфаффа. На геометрическом языке это то же самое, что условия, при которых заданное на дифференцируемом п-мерном многообразии поле fc-мерных подпространств в касательных пространствах является касательным полем некоторого слоения с fc-мерными слоями. Если к-мерные касательные пространства заданы как общие нули 1-форм со1,..., сот (т = п — к), то условие полной интегрируемости заключается в том, что существу-
т
ЮТ 1-формы СОр, ДЛЯ которых dcOa — Л СОр.
/8=1
В1878 г. Фробениус доказал, что есть только две коммутативные ассоциативные конечномерные алгебры с делением над полем вещественных чисел: вещественные числа и комплексные числа. А если убрать свойство коммутативности, то к этим двум алгебрам добавятся кватернионы.
В том же году Фробениус разработал значительную часть теории матриц на языке билинейных форм. Доказал, что невырожденная


Глава 8. Вторая половина XIX века
227
кососимметрическая билинейная форма имеет чётный ранг г и все такие формы приводятся к виду
г
Z(*2i—1У2;-*2;.У21—i)-
;=i
В1879 г. ввёл понятие ранга матрицы. Он также ввёл понятие ранга квадратичной формы, привёл в завершённый вид теорию элементарных делителей для матриц. Для рангов произведений матриц доказал неравенство Фробениуса: сумма рангов матриц АВ и ВС не превосходит суммы рангов матриц ABC и В.
В 1879 г. в совместной работе с Штикельбергером «О группах с коммутирующими элементами» (Uber Gruppen von vertauschbaren Elementen) ввёл абстрактное определение конечной абелевой группы. В этой работе доказано существование базиса абелевой группы, т. е. существование разложения абелевой группы в прямую сумму циклических групп; доказана единственность такого разложения.
В 1880 г. доказал следующую теорему: множество простых чисел р, по модулю которых неприводимый многочлен / с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 раскладывается в произведение многочленов, степени которых равны п1,п2, ...,пг, имеет плотность N/|Gal(/)|, где N — количество элементов группы Галуа Gal(/), которые представляются в виде произведения циклов длины пъп2,...,пг (теорема плотности Фробениуса). При доказательстве этой теоремы ввёл автоморфизм Фробениуса, который задаётся возведением корней многочлена в степень р.
В 1880 г. Фробениус строго изложил метод суммирования расходящихся рядов средними арифметическими первого порядка, а именно, доказал теорему, высказанную в качестве гипотезы ещё
Лейбницем: если ^(s0 + sx + ... ^-s^) -»М при п —> оо, то
(1 -x)(s0 + 51x + 52x2 + ...) -*М
при х —>1 — 0.
В 1881 г. исследовал аппроксимации, впоследствии получившие название аппроксимаций Паде; получил соотношение между тремя соседними членами таблицы Паде.
В 1884 г. Фробениус доказал теоремы Силова для абстрактных групп. (Сам Силов доказал их для групп, состоящих из перестановок.) Доказательство Фробениуса основано на классах сопряжённости. Фробениус понимал, что если теоремы Силова верны для групп, состоящих из перестановок, то в силу теоремы Кэли они верны и для абстрактных групп. Но он считал, что использование перестановок


228
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
чуждо духу теорем Силова, и поэтому от перестановок нужно избавиться.
В двух работах 1896 г. Фробениус построил теорию характеров конечных групп. Первая из них называется «О характерах групп» (Uber Gruppencharaktere). Характеры впервые возникли у Дирихле при доказательстве теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. Общее определение характера для абелевых групп дал Дедекинд: характер —это функция % на группе со значениями в комплексных числах, обладающая свойством ^(A)j(£) = #САВ). Фробениус обобщил понятие характера для произвольных групп и разработал общий метод вычисления характеров конечной группы. Вторая работа называется «О простых множителях группового детерминанта» (Uber die Primfaktoren der Gruppendeterminante). Она является продолжением предыдущей работы. В ней Фробениус решил следующую задачу. Рассмотрим группу G с элементами gi = e,g2, и сопоставим этой группе матрицу с элементами
Шу = tk, где g{gj = gk (tl9 ...,tm — коммутирующие независимые переменные). Определитель этой матрицы называется групповым детерминантом. Фробениус разложил этот многочлен на неприводимые множители; при этом каждый неприводимый множитель соответствует неприводимому представлению группы G. До Фробениуса такое разложение получил Дедекинд для группы перестановок S3.
Работы 1896 г. о характерах групп ещё не были связаны с теорией представлений групп. Понятие представления группы Фробениус ввёл в 1897 г. в работе «О представлении конечных групп через линейные подстановки» (Uber die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen).
В1898 г. в работе «О соотношениях между характерами группы и характерами её подгрупп» (Uber Relationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen) Фробениус ввёл понятие индуцированного представления и доказал теорему об изоморф- ности пространств сплетающих операторов для индуцированного представления и для ограничения представления на подгруппу (теорема двойственности Фробениуса). Пусть Н — подгруппа в группе G. Представление группы G в пространстве V индуцировано представлением её подгруппы Н в пространстве W с V, если пространство V является прямой суммой пространств sW, где суммирование ведётся по смежным классам s группы G по подгруппе Н. При этом представление группы Н в пространстве W получается из представления группы G в пространстве V ограничением на подгруппу Я.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
229
Индуцированные представления давали один из методов вычисления характеров группы. Ещё один метод вычисления характеров групп Фробениус разработал в статье «О композиции характеров группы» (Uber die Komposition der Charaktere einer Gruppe, 1899). Эти работы заложили основы теории представлений групп. В 1900 г. Фробениус полностью описал характеры симметрической группы Sn, а в 1901 г. — знакопеременной группы Ап, состоящей из перестановок чётного порядка.
Около 1910 г. Фробениус начал изучать положительные и неотрицательные матрицы (элементы которых соответственно положительны или неотрицательны). Он ввёл понятие неразложимой матрицы и в 1912 г. доказал теорему о каноническом виде неотрицательной неразложимой матрицы. Эта теорема называется теоремой Перрона—Фробениуса, потому что Оскар Перрон (1880—1975) в 1907 г. доказал для положительных матриц некоторые свойства наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего ему собственного вектора, фактически являющиеся частью теоремы, доказанной Фробениусом.
Альфред Кемпе (1849—1922)
В то время, когда для паровой машины начали использовать шарнирные механизмы, считалось, что никакой шарнирный механизм не может строить прямую линию. В 1874 г. это опроверг французский инженер Шарль Поселье (1832—1919). А в 1876 г. Кемпе доказал, что для любой алгебраической кривой существует шарнирный механизм, строящий эту кривую.
В 1879 г. Кемпе опубликовал доказательство теоремы о четырёх красках, которое оказалось неверным. Но в его рассуждениях были важные идеи, использованные Аппелем и Хакеном при доказательстве этой теоремы, которое они получили в 1976 г.
Феликс Клейн (1849—1925)
В 1870 г. Клейн вместе с Софусом Ли, с которым они дружили, посетили Париж. Там они познакомились с работами французских математиков по теории групп, которая играла важную роль в их дальнейших исследованиях.
Клейн изучил сочинения Бойяи и Лобачевского и теорию Кэли, который указал, как в проективную геометрию можно ввести метрику, используя двойное отношение. В статье 1871 г. Клейн по анало¬


230
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
гии с тем, как Кэли вводил метрику в случае сферической и евклидовой геометрии, определил расстояние в модели геометрии Лобачевского в круге, предложенной Бельтрами. В этом случае абсолют — граница круга. Клейн показал, как вывести основные формулы геометрии Лобачевского с помощью проективной геометрии. Помимо формулы для расстояния он вывел формулу для углов.
Модель геометрии Лобачевского в единичном круге, в которой расстояние между точками Ли В определяется как
\АХ\ a \AY\
ln \ВХ\ ■ \BY\
где X и Y — точки, в которых прямая АВ пересекает границу круга (рис. 8.6), получила название модель Клейна. Клейн указал на то, что движениями в этой модели являются проективные преобразования, отображающие единичный круг на себя (при проективных преобразованиях сохраняется двойное отношение, участвующее в определении расстояния). Прямыми в этой модели являются хорды круга.
Рис. 8.6.
В той же статье Клейн показал, что евклидову и неевклидовы геометрии можно рассматривать как проективную геометрию с дополнительной коникой (учитывая только преобразования, сохраняющие эту конику). При этом рассматриваются проективные преобразования вещественной проективной плоскости, но их нужно продолжить на комплексную плоскость, потому что нужно проследить за их действием на коники, не всегда имеющие вещественные точки. В однородных координатах невырожденная коника приводится либо к виду х2 + у2 + z2 = 0, либо к виду х2 + у2 — z2 = 0; ещё нам будет интересна вырожденная коника х2 + у2 = 0, z = 0. Коника х2 + у2 + z2 = 0 не имеет вещественных точек; проективные преобразования, сохраняющие её, — это движения в эллиптической


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
231
геометрии (т. е. в геометрии, которая получается из сферической геометрии при отождествлении каждой пары диаметрально противоположных точек). Коника х2 + у2 — z2 = 0 вещественная; если ограничиться внутренней частью этой коники, то проективные преобразования, сохраняющие её, — это движения в гиперболической геометрии. Вырожденная коника х2 + у2 = 0, z = 0 состоит из двух мнимых точек, лежащих на бесконечно удалённой прямой. Если ограничиться точками проективной плоскости, отличными от бесконечно удалённых, то проективные преобразования, сохраняющие эту конику (пару точек), —это преобразования подобия, т. е. движения евклидовой плоскости, к которым добавлены гомотетии. В статье 1873 г. Клейн показал, как эти рассуждения перенести с размерности 2 на произвольную размерность п.
В 1872 г. Клейн по рекомендации Клебша был назначен профессором университета в Эрлангене. По этому случаю Клейн прочитал лекцию «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований» (Vergleichende Betrachtungen tiber neuere geometrische Forschungen), впоследствии получившую название эрлангенская программа. Основная идея этой лекции в том, что каждую геометрию можно охарактеризовать группой преобразований, и геометрия занимается инвариантами этой группы преобразований. Все теоремы геометрии, соответствующей какой-либо группе, остаются теоремами геометрии, соответствующей подгруппе этой группы. Клейн сместил внимание с самих фигур на их преобразования и на свойства фигур, сохраняющиеся при преобразованиях. Он ввёл названия для параболической, гиперболической и эллиптической геометрий. Эллиптическую геометрию Клейн определил посредством отождествления диаметрально противоположных точек на сфере.
В 1875 г. Клейн начал заниматься задачей о нахождении всех конечных групп движений сферы. Например, для группы икосаэдра орбита точки общего положения состоит из 60 точек, но для вершин орбита состоит из 12 точек, для центра грани —из 20 точек, а для середины ребра —из 30 точек. Клейн указывает формы /, Я и Г степени 12, 20 и 30, нулями которых являются эти орбиты. Между тремя формами /5, Я3 и Т2 степени 60 должно быть линейное соотношение, потому что форма, нули которой заданы, определена с точностью до умножения на константу. Клейн нашёл это соотношение: Т2 + Я3 — 1728/5 =0 и применил его, чтобы другим способом выяснить, какие решения гипергеометрического уравнения являются алгебраическими (ранее эту задачу решил Шварц).


232
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
В серии статей 1875—1879 годов Клейн занимался изучением связи группы икосаэдра, общего уравнения пятой степени и преобразований эллиптических функций. Впоследствии он изложил эти и другие результаты своих исследований в книге об икосаэдре1 (1884).
Бутылка Клейна впервые появилась в книге Клейна «Риманова теория алгебраических функций и их интегралов» (Uber Riemann’s Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale, 1882) в главе, посвящённой классификации замкнутых поверхностей. Клейн пишет, что об этой поверхности можно составить себе представление, если вывернуть кусок каучуковой трубки и заставить его пересечься с самим собой таким образом, чтобы при соединении его концов его внешняя сторона соединилась бы с внутренней.
В 1882 г. Клейн разработал понятие римановой поверхности в более общем виде, чем это было у Римана: двумерная поверхность с локальной комплексной координатой. В 1891 г. он рассматривает фундаментальную область — многоугольник на плоскости Лобачевского, из которого риманова поверхность получается некоторым отождествлением сторон.
Клейн одновременно с Пуанкаре разработал основы теории ав- томорфных функций. Клейн предложил другой подход к построению автоморфных функций, основанный на задаче Дирихле и свойствах конформного отображения. Результаты своих исследований он изложил в двух двухтомных трактатах, написанных совместно с Фрике: «Лекции по теории эллиптических модулярных функций» (Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, 1890 и 1892) и «Лекции по теории автоморфных функций» (Vorlesungen iiber die Theorie der automorphen Funktionen, 1897 и 1912).
Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891)
В 1871 г. Ковалевская приехала в Берлин. Ей не разрешили посещать лекции, поэтому Вейерштрасс давал ей частные уроки.
В работе «К теории дифференциальных уравнений в частных производных» (Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen, 1874) Ковалевская доказала весьма общую теорему существования аналитических решений системы уравнений с частными производными, в которых старшие производные независимых функций выражены через аналитические функции от независимых переменных, от искомых функций и их производных более низких порядков.
1Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen vom funften Grade.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
233
В 1874 г. Ковалевская получила докторскую степень в Гейдельбергском университете. Но несмотря на это и на то, что у нее была рекомендация Вейерштрасса, она не могла получить работу в университете. Ей могли только предложить преподавать арифметику в начальной школе для девочек. Только в 1884 г. благодаря усилиям Миттаг-Леффлера Ковалевская смогла начать преподавать в университете Стокгольма.
Работа Ковалевской «Задача о вращении твёрдого тела около неподвижной точки» (Sur le probleme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe) в 1888 г. получила премию на конкурсе Парижской академии наук. Рассматривая время t как комплексное переменное, Ковалевская решила найти все те случаи, когда решения уравнений движения твёрдого тела, рассматриваемые не только на вещественной оси, но и на всей комплексной плоскости, являются однозначными мероморфными функциями от t. Оказалось, что, кроме известных случаев Эйлера и Лагранжа, есть ещё только один (случай Ковалевской), характеризуемый тем, что два главных момента инерции равны удвоенному третьему, причём центр тяжести тела лежит в плоскости равных моментов. В случае Ковалевской, как и в случаях Эйлера и Лагранжа, удаётся найти ещё один дополнительный первый интеграл, помимо классических, поэтому в случае Ковалевской уравнения движения тоже решаются в квадратурах.
Йорген Педерсен Грам (1850—1916)
Наиболее известен Грам в связи с процессом ортогонализации Грама—Шмидта (ортогонализация — это замена произвольного набора линейно независимых векторов на набор попарно ортогональных векторов) и матрицей Грама, возникающей при ортогонализации (матрица Грама составлена из попарных скалярных произведений векторов). Ортогонализация описана в статье Грама, опубликованной в 1883 г. Но, по-видимому, первым применил ортогонали- зацию Лаплас, встречается она и в работе Коши 1836 г.
Оливер Хевисайд (1850—1925)
Одновременно с Гиббсом в первой половине 1880-х годов Хевисайд объединил векторные исчисления Гамильтона и Грассмана и придал векторной алгебре современный вид. Хевисайда прежде всего интересовали приложения векторов в теории электричества.


234
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
Хевисайд разработал операционное исчисление для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, возникающих в теории электрических цепей. Первая из его статей на эту тему опубликована в 1881 г., а в 1892 г. его статьи были изданы в двух томах. Во всех случаях операторное решение у Хевисайда имеет вид С = E/Z, где Z — некоторая функция оператора дифференцирования р = d/dt. Хевисайд всегда полагает Е = О при t < 0, поэтому вместо функции Е он рассматривает произведение ЕН, где Я (t) — так называемая функция Хевисайда, которая равна 1 при t ^ 0 и равна 0 при t < 0.
Людвиг Штикельбергер (1850—1936)
В 1890 г. Штикельбергер нашёл разложение на простые идеалы гауссовой суммы, соответствующей произвольному мультипликативному характеру, определённому над конечным полем. В частном случае такое разложение получил Куммер в 1847 г.
Аксель Гарнак (1851—1888)
В 1876 г. Гарнак доказал, что число компонент связности вещественной гладкой кривой степени d не превосходит g + 1, где
(d — l)(d — 2) w ^
g = ^ — Р°Д этои кривои. Он также указал способ по¬
строения кривых с максимальным числом компонент связности для каждого d.
В 1887 г. доказал, что если функция fix) гармоническая в fc-мерном шаре радиуса R с центром х0, то
Rk~2 щТ^/(Хо) < /(х) < Rk~2 (^=7Й/(Хо)’
где г = \х — x0\<R (неравенство Гарнака для гармонических функций). Из этого неравенства следуют теоремы Гарнака.
1. Если последовательность функций, гармонических в ограниченной области G и непрерывных в замыкании области G, равномерно сходится на границе области G, то она равномерно сходится в области G к гармонической функции.
2. Если монотонная последовательность гармонических функций в ограниченной области G сходится в одной точке области G, то она сходится во всех точках области G к гармонической функции, и эта сходимость равномерная на любом замкнутом подмножестве bG.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
235
Фридрих Герман Шоттки (1851—1935)
В 1875 г. Шоттки открыл автоморфные функции, впоследствии исследованные Клейном и Пуанкаре.
Шоттки первым начал систематически исследовать конформные отображения неодносвязных областей, ограниченных несколькими кривыми; в основном он рассматривал область, ограниченную одной внешней окружностью и несколькими окружностями внутри её. В 1877 г. в статье «О конформном отображении многосвязных плоских поверхностей» (Uber die conforme Abbildung mehrfach zusammenhangender ebener Flachen) Шоттки выяснил, что для возможности конформного отображения многосвязных областей друг на друга (в отличие от односвязных) необходимы дополнительные ограничения. В случае областей, ограниченных р кривыми (р ^ 2), конформый класс характеризуется Зр — 3 действительными параметрами, которые получили название модулей этого класса.
Подсчёт параметров показывает, что если род кривой больше 3, то не любая матрица соответствующего размера, удовлетворяющая билинейным соотношениям Римана, может быть матрицей периодов некоторой кривой. В 1888 г. Шоттки получил соотношение для элементов матрицы периодов кривой рода 4. Проблема описания всех матриц, которые могут быть матрицами периодов некоторой кривой, получила название проблема Шоттки.
В 1904 г. Шоттки доказал, что если функция f(z) = с0 + сг% + ... голоморфна в круге |z| < R и не принимает в нём значений аг и а2, то в любом круге \z\ < Rl9 где R1 < R, модуль \f(z)\ ограничен числом, зависящим только от аъ а2, с0 и R1 (теорема Шоттки).
Эдуард Вейр (1852—1903)
Чешский математик Вейр в 1875 г. доказал, что любое решение y(z) уравнения Риккати выражается через три решения уг(г), y2(z) иузО):
(Уг ~ Уз)У2 ~ С(У2 ~ Уз)Уг У (У\ ~~ Уз) ~С(У2~~ Уз) ’ где С — произвольная константа. Доказательство основано на том, что двойное отношение любых четырёх решений — константа.
Джованни Фраттини (1852—1925)
В1885 г. ввёл подгруппу, получившую название подгруппа Фраттини. Фраттини определил эту группу так: она состоит из тех эле¬


236
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
ментов, которые можно исключить из любой содержащей их системы образующих группы (оставшиеся элементы при этом должны по-прежнему порождать всю группу). Конечная группа нильпотент- на тогда и только тогда, когда её коммутант содержится в подгруппе Фраттини. Сама подгруппа Фраттини для любой конечной группы нильпотентна. Сейчас подгруппу Фраттини обычно определяют как пересечение всех максимальных подгрупп, если они существуют (если максимальных подгрупп в группе нет, то сама она является своей подгруппой Фраттини). Максимальная подгруппа — это собственная подгруппа, не содержащаяся ни в какой другой собственной подгруппе.
Уильям Бёрнсайд (1852—1927)
В 1893 г. Бёрнсайд опубликовал первую из серии статей о том, существуют ли конечные простые группы данного порядка или удовлетворяющие некоторым условиям на подгруппы (в этой статье он доказал, что знакопеременная группа А5 — это единственная простая группа, порядок которой является произведением четырёх простых чисел, не обязательно различных). В 1897 г. опубликована его книга «Теория групп конечного порядка» (Theory of Groups of Finite Order).
В1902 г. высказал предположение, что любая конечно порождённая группа, все элементы которой имеют конечный порядок, конечна. Эта гипотеза остаётся недоказанной.
В 1904 г. Бёрнсайд доказал, что любая группа порядка pmqn разрешима. Он высказал гипотезу, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима; эту гипотезу в 1962 г. доказали Фейт и Томпсон.
Фердинанд фон Линдеман (1852—1939)
В 1882 г. Линдеман, усовершенствовав метод Эрмита, доказал трансцендентность числа п. Он доказал даже более общее утверждение: для ненулевого алгебраического числа z число ez трансцендентное. (В частности, ет = — 1, поэтому число п трансцендентно.) Теорема Линдемана позволила наконец доказать, что решение задачи квадратуры круга с помощью циркуля и линейки невозможно. Более того, решение задачи квадратуры круга невозможно и с помощью алгебраических кривых.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
237
Генрих Машке (1853—1908)
В 1888 г. Машке показал, что уравнения шестой степени специального вида можно решить с помощью гиперэллиптических функций, а затем Бриоски показал, что любое уравнение шестой степени можно свести к уравнению такого специального вида.
В1899 г. опубликовал теорему: если порядок конечной группы G не делится на характеристику поля К, то конечномерные представления группы G над полем К вполне приводимы (теорема Машке).
Грегорио Риччи-Курбастро (1853—1925)
В течение 10 лет (1884—1894) Риччи разрабатывал то, что он назвал абсолютным дифференциальным исчислением в дифференциальной геометрии (теперь это обычно называется ковариантным дифференцированием). Цель Риччи была в том, чтобы перенести на римановы многообразия обычные процедуры дифференциального исчисления так, чтобы они были инвариантны относительно замен координат. Для этого Риччи применил методы теории инвариантов к римановой метрике — квадратичной форме, выражающей квадрат элемента длины между бесконечно близкими точками многообразия. Первоначально абсолютное дифференциальное исчисление предназначалось для исследования инвариантов дифференциальных форм. Наиболее подробно эта теория изложена в совместной статье Риччи и его студента Леви-Чивита1, опубликованной в 1900 г. Впоследствии (1917) Леви-Чивита ввёл понятие параллельного переноса на римановом многообразии, что позволило сделать геометрически наглядными первоначальные формальные теорети- ко-инвариантные построения Риччи.
В 1903 г. Риччи ввёл тензор Rki, который получается свёрткой из тензора Римана:
Лк = К*.,-
т
Этот тензор получил название тензор Риччи.
В 1916 г. абсолютное дифференциальное исчисление Риччи оказалось необходимым математическим аппаратом для создания общей теории относительности Эйнштейна.
1Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications // Math. Ann. V. 54, № 1-2. P. 125-201.


238
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
Хендрик Антон Лоренц (1853—1928)
В 1892 г. Лоренц заметил, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований
На то, что преобразования Лоренца образуют группу, первым обратил внимание Пуанкаре в заметке «О динамике электрона» (Sur la dynamique de l’electron, 1906).
В 1891 г. Шёнфлис независимо от Евграфа Степановича Фёдорова (1853—1919) и одновременно с ним установил, что в трёхмерном пространстве существует ровно 230 кристаллографических групп. У них обоих были ошибки, но перед публикацией они совместными усилиями избавились от этих ошибок (у Фёдорова были пропущены 2 группы и одна группа встречалась дважды, а у Шёнфлиса были пропущены 4 группы и одна группа встречалась дважды).
В 1895 г. Шёнфлис начал заниматься теорией множеств и топологией. Он доказал топологическую инвариантность размерности квадрата, ввёл понятия замкнутой кривой и простой замкнутой кривой. В работе 1899 г. он изучил трансфинитные числа и объяснил их значение для доказательства теоремы о возможности выбрать конечное покрытие из бесконечного покрытия отрезка открытыми множествами.
Шёнфлису принадлежит также следующее уточнение теоремы Жордана о кривой: замыкание одной из двух частей, на которые замкнутая несамопересекающаяся кривая разбивает плоскость, го- меоморфно кругу.
Автоморфные функции и римановы поверхности
В серии работ 1880—1884 годов Пуанкаре разработал теорию ав- томорфных функций. Автоморфные функции — это однозначные ме- роморфные функции, инвариантные относительно действия некоторой фуксовой группы—дискретной подгруппы S в группе дробнолинейных преобразований. Пуанкаре предложил способ представления автоморфной функции в виде отношения двух рядов, которые строятся по группе S.
Артур Шёнфлис (1853—1928)
Анри Пуанкаре (1854—1912)


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
239
Пуанкаре обнаружил, что автоморфные функции определены не на всей плоскости, а только внутри круга. Это привело его к мысли о связи автоморфных функций и дробно-линейных преобразований с геометрией Лобачевского. В 1882 г. Пуанкаре построил новую модель геометрии Лобачевского в круге, описав движения в геометрии Лобачевского как дробно-линейные преобразования, отображающие круг на себя. Впрочем, эта модель, за исключением столь удобного описания движений, во всём остальном была известна Бельтрами.
Пуанкаре применил эту модель геометрии Лобачевского для исследования автоморфных функций. Он писал, что фуксовы функции для геометрии Лобачевского — это то же самое, что двоякопериодические функции для геометрии Евклида. Дробно-линейным преобразованием круг можно отобразить на верхнюю полуплоскость (состоящую из комплексных чисел с положительной мнимой частью), поэтому в верхней полуплоскости тоже есть аналогичная модель Пуанкаре. Обе модели Пуанкаре конформные (углы в геометрии Лобачевского совпадают в них с обычными углами), в отличие от модели Клейна (движениями в модели Клейна являются проективные преобразования, а они не сохраняют утлы). В 1883 г. Пуанкаре описал действие группы PSL2(C) на модели трёхмерного гиперболического пространства в верхнем полупространстве.
Автоморфные функции тесно связаны с линейными дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Эта связь основана на том, что линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка можно сопоставить группу S, состоящую из дробно-линейных преобразований. Это делается следующим образом. Возьмём два линейно независимых решения г?! и г\2. При обходе вдоль некоторого замкнутого пути рни переходят в rj' = arjг -I- Ъг)2 и r\'2 = cr]1 + dr\2. Отношение %’ = получается из отношения z = — дробно-линейным ^ Ъ arh + Ъг)2 az + Ъ ^ 7)2 *
преобразованием: z = -"- ■-■■j- = cz + d ' Такие ДР°бно-линеиные
преобразования образуют группу, которую Пуанкаре назвал группой дифференциального уравнения. Он показал, что автоморфные функции позволяют решать линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с алгебраическими коэффициентами.
Исследования по теории автоморфных функций привели Пуанкаре к теореме об униформизации алгебраических кривых, которая заключается в следующем. Алгебраическую кривую f(u,v) = О можно параметризовать мероморфными функциями </?(*) и я^(х), т. е. еслии = (рМ и v = гр(х),то/(^(х),/0(х)) = О.


240
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
В статье 1884 г. Пуанкаре наметил доказательство теоремы уни- формизации. Это доказательство было с очень большими пробелами (полное доказательство теоремы униформизации Гильберт включил в свой список проблем под номером 22). Было построено инъективное отображение двух пространств одной и той же размерности, и из этого делался вывод, что отображение сюръективно. Одним пространством были дифференциальные уравнения на кривой рода р с заданным числом к точек ветвления, а другим пространством — фуксовы группы; оба пространства были некоторым образом параметризованы. Про эти пространства было даже не очень понятно, являются ли они многообразиями.
Полное доказательство теоремы униформизации Пуанкаре получил, применив метод исчерпывания и универсальные накрытия, в 1907 г. одновременно с Кёбе. (Построение универсального накрытия для римановой поверхности Пуанкаре разработал в 1883 г.; эту идею он развил в работе 1907 г.).
Теорему униформизации можно сформулировать по-другому: на любой абстрактной римановой поверхности S существует многозначная мероморфная функция /: S —► D, где D — сфера Римана, плоскость или открытый единичный круг, для которой обратная функция if = f~l однозначна и непрерывна. Такая формулировка объясняет название. Действительно, пусть z — F(p) — произвольная мероморфная функция на римановой поверхности S и t = /(р), т. е. р = if(t). Этой функции можно сопоставить z = F((/?(t)) — однозначную мероморфную функцию от t, т. е. однозначную мероморф- ную функцию на сфере Римана, плоскости или открытом единичном круге. В связи с этим функцию / называют униформизующей, т. е. превращающей в однозначную.
Качественная теория дифференциальных уравнений
Мемуар Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (Мёпклге sur les courbes definies par une equation differentielle) был опубликован в четырёх частях (1881,1882,1885 и 1886). В этом мемуаре Пуанкаре начал разрабатывать качественную теорию дифференциальных уравнений в вещественной области. Он ввёл понятие предельный цикл и доказал теорему Пуанкаре—Бен- диксона о поведении траекторий: любая ограниченная полутраек- тория (положительная или отрицательная) либо стремится к положению равновесия, либо наматывается на предельный цикл, либо наматывается на сепаратрису или несколько сепаратрис, соединя¬


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
241
ющих положения равновесия, либо сама является положением равновесия или замкнутой траекторией. Для дифференциального уравнения на сфере Пуанкаре доказал, что число узлов и фокусов равно числу сёдел плюс два. Затем он исследовал дифференциальные уравнения и на других поверхностях, в частности на торе. В 1885 г. Пуанкаре доказал, что сумма индексов особых точек векторного поля на поверхности рода р равна 2 — 2р.
В 1890 г. опубликован мемуар «О проблеме трёх тел» (Sur 1е probleme des trois corps et les equations de la dynamique). В этом мемуаре Пуанкаре продолжил разрабатывать качественную теорию дифференциальных уравнений. Он разработал теорию периодических решений дифференциальных уравнений, открыл новый подход к задачам динамики. В процессе работы над этим мемуаром Пуанкаре допустил серьёзную ошибку, исправляя которую, он первым дал математическое описание хаоса. Ошибка заключалась в том, что он доказал, что кривая самопересекающаяся, а решил, что она замкнутая; на аналитическом языке эта ошибка заключалась в том, что он посчитал некоторые расходящиеся ряды сходящимися. Мемуар, содержащий ошибку, был удостоен премии в честь 60-летия короля Швеции и Норвегии Оскара II. Пуанкаре оплатил перепечатывание исправленного мемуара, что стоило существенно больше, чем полученная им премия.
В этом мемуаре вместо потока в трёхмерном пространстве Пуанкаре предложил рассматривать отображение первого возвращения на поверхность, трансверсальную потоку (отображение Пуанкаре); замкнутой траектории соответствует либо неподвижная, либо периодическая точка отображения Пуанкаре — если /п(*о) = х0, то траектория замыкается после п попаданий на сечение Пуанкаре.
К качественной теории дифференциальных уравнений относится и трактат «Новые методы небесной механики» (Les methodes nouvelles de la mecanique celeste) в трёх томах. Опишем кратко основные результаты, полученные в этом трактате.
Том 1 (1892). Пуанкаре исследует поведение периодических решений при малых возмущениях (теория бифуркаций), применяет к задаче трёх тел метод Пуанкаре нахождения периодических решений разложением в ряд по степеням малого параметра. Пуанкаре доказывает неинтегрируемость задачи трёх тел: он доказывает, что не существует аналитического первого интеграла, независимого от классических интегралов и однозначного в переменных действие- угол. Идея доказательства в том, что сложное поведение возмущённой системы несовместимо с интегрируемостью, поскольку суще¬


242
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
ствование каждого дополнительного первого интеграла накладывает на поведение решений жёсткие ограничения. В конце тома Пуанкаре исследует асимптотические решения, поскольку метод возмущений приводит к расходящимся рядам.
Том 2 (1893). Пуанкаре излагает методы Гильдена, Ньюкома, Линдштедта и других астрономов. В предисловии он пишет: «Я стараюсь разъяснить, в чём состоит различие в понимании слова „сходимость" между геометрами и астрономами, каким образом астрономы могут пользоваться рядами, которые геометры называют расходящимися, и как можно к таким рядам применять обычные правила анализа». Он излагает методы теории возмущений, позволяющие представить решение задач небесной механики в виде бесконечных тригонометрических рядов. При этом появляется проблема малых знаменателей. Она относится к изучению движения планет с почти соизмеримыми частотами движения. В ряды теории возмущений в знаменатели входят выражения псог + та>2 (с целыми т и п, отличными от нуля), которые при почти соизмеримых частотах со1 и со2 становятся малыми и приводят к расходимости рядов.
Том 3 (1899). Пуанкаре исследует интегральные инварианты и их применения к доказательству устойчивости по Пуассону; периодические решения второго рода (решения первого рода рассмотрены в первом томе); двоякоасимптотические решения и их связь с устойчивостью по Ляпунову.
В1912 г. Пуанкаре сформулировал и частично доказал утверждение, возникшее у него при исследовании гамильтоновых систем; оно получило название последняя геометрическая теорема Пуанкаре. Пусть отображение кольца на себя сохраняет площади (или допускает положительный интегральный инвариант), причём все точки каждой граничной окружности сдвигаются в одном направлении, но сами граничные окружности вращаются в противоположных направлениях. Тогда существуют две неподвижные точки. Доказательство получил Джордж Биркгоф в 1913 г.
Топология
В мемуаре «Analysis situs» (1895) и пяти дополнениях к нему1 (1899—1902) Пуанкаре фактически создал комбинаторную топологию. В 1895 г. он ввёл фундаментальную группу многообразия,
1 [14]. Т. 2. С. 457-734.


Глава 8. Вторая половина XIX века
243
привёл несколько примеров трёхмерных многообразий с предписанной фундаментальной группой.
Пуанкаре уже неоднократно сталкивался с необходимостью рассматривать многомерные многообразия. Многообразия он определял не аксиоматически, а конструктивно. Один из его подходов — многообразие определяется как множество нулей отображения, ранг якобиана которого в каждой точке максимально возможный; условие на ранг Пуанкаре использовал для задания локальной параметризации многообразия. Связное ограниченное многообразие без края Пуанкаре называет замкнутым. Второй подход—покрытие многообразия конечным числом параметризованных окрестностей.
Пуанкаре определил индекс пересечения циклов дополнительной размерности и доказал двойственность чисел Бетти (pf = pn_f).
Пуанкаре привёл несколько примеров построения трёхмерных многообразий посредством отождествления граней полиэдра. Он объяснил, что многообразие получается тогда и только тогда, когда линк каждой вершины — сфера, и пояснил, как это проверить с помощью формулы Эйлера. Другой способ построения — факторизация R3 по действию разрывной группы (аналогия с фуксовыми группами).
По образующим и соотношениям для фундаментальной группы можно построить соотношения одномерных гомологий и определить первое число Бетти. (Сейчас это часто формулируют так: первая группа гомологий получается из фундаментальной группы абе- лианизацией, но Пуанкаре не рассматривал гомологии как группу; он просто сопоставлял соотношению в фундаментальной группе соотношение в гомологиях между циклами.)
В первом дополнении (1899) Пуанкаре исправил определение гомологий (сначала он не учитывал кратности симплексов, входящих в цепи). Здесь он ввёл барицентрическое подразделение симплици- ального разбиения, двойственное разбиение и матрицу инцидентности.
Во втором дополнении (1900) Пуанкаре разработал комбинаторный подход к вычислению гомологий. К числам Бетти он добавил новые инварианты — коэффициенты кручения. Для этого он заметил, что коэффициенты, с которыми берутся симплексы при вычислении гомологий, не обязательно должны быть делимыми (как вещественные числа или рациональные). Можно, например, рассматривать целые коэффициенты. Тогда при вычислении гомологий могут появляться элементы конечного порядка, которые описываются


244
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
коэффициентами кручения. Для коэффициентов кручения Пуанкаре тоже доказал двойственность. Пуанкаре приводит алгоритм вычисления чисел Бетти и коэффициентов кручения полиэдра. Во втором дополнении Пуанкаре высказал неверную гипотезу, что трёхмерное многообразие с тривиальными числами Бетти и без кручения гомеоморфно сфере. В то время у него уже были примеры трёхмерных многообразий с одинаковыми гомологиями, но разными фундаментальными группами. В этом же дополнении Пуанкаре ввёл джойн двух полиэдров для доказательства двойственности Пуанкаре.
В третьем и четвёртом дополнении (оба 1902) Пуанкаре разработал методы вычисления гомологий алгебраических поверхностей (двумерных комплексных многообразий, заданных уравнением /(*, у, z) = 0).
В пятом дополнении (1904) Пуанкаре привёл пример трёхмерного многообразия с тривиальными гомологиями и нетривиальной фундаментальной группой — группой икосаэдра (сфера Пуанкаре). Этот пример Пуанкаре строил посредством диаграммы Хегора. Пуанкаре исправил свою гипотезу: замкнутое односвязное трёхмерное многообразие гомеоморфно сфере (гипотеза Пуанкаре). В пятом дополнении есть элементы теории Морса: сечения многообразия 1-параметрическим семейством параллельных гиперплоскостей, перестройка сечения при прохождении критической точки. Намечена классификация двумерных поверхностей методами теории Морса.
Пуанкаре обобщил теорему Эйлера о многогранниках: он доказал, что эйлерова характеристика % (М) (альтернированная сумма количеств граней разной размерности) равна альтернированной
п
сумме чисел Бетти ]£](—1 )1р1. Для обобщения теоремы Эйлера он
i=0
без доказательства использовал, что для двух конечных клеточных разбиений многообразия существует общее для них измельчение. Для доказательства того, что гомологии не зависят от выбранного клеточного разбиения, Пуанкаре также использовал существование общего подразбиения.
Лере написал по поводу «Analysis situs»: «Думали, что когомологии были совершенно новым понятием, но лишь до того дня, когда
Э. 	Картан объяснил их суть, исходя из одной страницы у Пуанкаре, до того не понятой».
В 1895 г. Пуанкаре разработал интегрирование на многообразиях. Он подошёл к понятию дифференциальной формы на многообразии и доказал лемму Пуанкаре. В 1917 г. Гурса сформулировал эту


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
245
лемму на языке дифференциальных форм: если дифференциал формы равен нулю, то она является дифференциалом другой формы. Но он не заметил, что требуются ограничения на область определения дифференциальной формы. Для форм, определённых на всём пространстве Мп, лемма верна, но для формы, определённой в Rn без начала координат, Э. Картан в 1922 г. привёл контрпример. Пуанкаре ввёл понятие периодов интеграла и доказал, что максимальное число линейно независимых периодов не превосходит числа Бетти; для размерности 1 и коразмерности 1 это было известно самому Бетти.
В 1905 г. Пуанкаре показал различие понятий гомотопных (получающихся друг из друга непрерывной деформацией) и гомологичных (являющихся двумя краями одной поверхности) кривых; до этого эти понятия часто путали, считая их эквивалентными.
В 1905 г. Пуанкаре доказал теорему о существовании замкнутой геодезической на выпуклой поверхности. Для этого он рассмотрел семейство замкнутых кривых, делящих поверхность на две части равной полной кривизны, и доказал, что в этом семействе есть кривая наименьшей длины и эта кривая является геодезической.
Теория вероятностей
В книге «Исчисление вероятностей» (Calcul des probabilites, 1896) Пуанкаре исследовал причину равной вероятности различных исходов при игре в рулетку и равномерного распределения малых планет по долготе. По его мнению, для случайного события характерно то, что малые причины ведут к существенному изменению результата действия; такой вид случайности относится к равномерному распределению. Пуанкаре отметил, что при нормальном распределении малые причины ведут к малым изменениям результата действия.
Теория чисел и алгебраическая геометрия
В 1901 г. Пуанкаре опубликовал мемуар «Об арифметических свойствах алгебраических кривых»1 (Sur les proprietes arithntetiques des courbes algebriques). В нём он, в частности, занимался классификацией кривых с точностью до бирационального преобразования. Пуанкаре сформулировал и частично обосновал гипотезу о конечности числа образующих рациональных точек кривой рода 1. Для завершения доказательства нужно было обосновать отсутствие бес-
414]. Т. 2. С. 901-960.


246
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
конечно делимых точек. Это сделал Морделл в 1922 г. с помощью понятия высоты точки. Пуанкаре указал, что естественным обобщением группы точек для кривых рода больше 1 является группа классов дивизоров.
В1910 и 1911 годах Пуанкаре опубликовал две статьи об алгебраических кривых на алгебраических поверхностях. Он доказал, что на комплексной алгебраической поверхности S существует q-мер- ная алгебраическая система линейно неэквивалентных алгебраических кривых, где q — размерность пространства замкнутых голоморфных дифференциальных 1-форм на S.
Джузеппе Веронезе (1854—1917)
С именем Веронезе связана поверхность Веронезе в 5-мерном пространстве с координатами (и^, ...,ш5), заданная параметрически: wx = и2, w2 — uv, w3 = v2, и>4 = и, w5 = v. Отображение Веронезе — это отображение (и, и) •-* (ш15..., ш5), заданное этими формулами. Поверхность Веронезе тесно связана с кониками на плоскости: при отображении Веронезе коника
аи2 + Ъии + cv2 + du 4- еи + / = 0
переходит в сечение поверхности Веронезе гиперплоскостью
aw1 + bw2 + cw3 + dw4 + ew5 + / = 0.
В алгебраической геометрии обычно рассматривают многомерное обобщение отображения Веронезе, заданное в однородных координатах формулами vt i = u1q...u1£, где i0 + ... + in = m. Эти формулы задают отображение проективного пространства размерности п в
проективное пространство размерности j - 1.
В 1891 г. Веронезе ввёл и исследовал неархимедовы геометрии, в которых длина отрезка не удовлетворяет аксиоме Архимеда. (Для данной величины имеет место аксиома Архимеда, если для любых двух значений а и Ъ этой величины, для которых а < Ъ, существует натуральное число т, для которого та > Ь.)
Ганс Карл Фридрих фон Мангольдт (1854—1925)
В 1894 г. Мангольдт доказал основную формулу Римана, связанную с дзета-функцией:
00 л
J(х) = Li(x) -XILi(xp) - 1п2 + J t(t2 _ (*> 1).
Р JC


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
247
Для этого он доказал некоторую промежуточную формулу для функции ^(х), которая сейчас более известна:
I Г \ V1 Хр , V1 х 2п С (0) г ^ Л\
В 1905 г. Мангольдт доказал следующее утверждение Римана из статьи о дзета-функции, которое тот оставил без подробного обоснования: количество нулей дзета-функции, мнимые части которых
Т Т Т
заключены между 0 и Г, приблизительно равно ^ In ^ причём относительная ошибка этого приближения имеет порядок
Роберт Ялмар Меллин (1854—1933)
В 1896 г. Меллин изучал интегральное преобразование
00
М(р) = f f (0tp_1 dt, p = cr + it,
о
которое теперь носит его имя, и доказал его свойства взаимности. Он распространил это преобразование на функции нескольких переменных и применил его к решению дифференциальных уравнений в частных производных.
Альфредо Капелли (1855—1910)
В1884 г. Капелли опубликовал работу по теории нильпотентных групп. В 1885 г. Фраттини использовал рассуждения Капелли в работе, в которой определены подгруппы Фраттини; это рассуждение получило название аргумент Фраттини.
В 1879 г. Фробениус определил ранг системы линейных уравнений как наибольший порядок ненулевого минора. В1886 г. Капелли и Джованни Габриэри (1849—1931) опубликовали «Курс алгебраического анализа» (Corso di analisi algebrica). Там доказано, что система линейных уравнений ранга к эквивалентна треугольной системе с к ненулевыми членами на диагонали, ранг матрицы по строкам равен рангу по столбцам. Кроме того, система уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов уравнения равен рангу расширенной матрицы, к которой добавлены постоянные члены. Последнее утверждение получило название теорема Кронекера—Капелли; оно содержится в лекциях Кронекера по теории определителей 1883—1891 г.


248
Глава 8. Вторая половина XIX века
В статьях 1887 и 1890 г. получил тождества для дифференциальных операторов (тождества Капелли). Дифференциальные операторы не коммутируют, т. е. это тождества для некоммутативных определителей — определителей матриц с некоммутативными элементами. Тождества Капелли тесно связаны с представлениями алгебры Ли всех матриц порядка п\ фактически он нашёл образующие центра обёртывающей алгебры для этой алгебры.
Томас Стилтьес (1856—1894)
Голландский математик Стилтьес с 1886 г. работал во Франции. В 1894 г. он опубликовал работу о непрерывных дробях для аналитических функций, в которой исследовал сходимость таких непрерывных дробей. Он исследовал соотношения между корнями многочленов, которые являются числителями и знаменателями подходящих дробей Pn(z)/Qn(z). В этой же работе он ввёл интеграл, названный его именем, в связи с решением задачи о моментах: по заданным моментам всех порядков найти распределение массы тела. Эта проблема возникла при изучении двух функций — пределов последовательностей ^2n(Z)/Q2n(Z) и P2n+i(z)/Q2n+i(z). Интеграл Стилтьеса J /(х) du (х) обобщает интеграл Римана, реализуя идею интегрирования функции /О) относительно другой функции и(х). При и(х) = х он превращается в интеграл Римана. Работы Стилтьеса по непрерывным дробям привели к появлению спектральной теории операторов.
Андрей Андреевич Марков (1856—1922)
В магистерской диссертации «О бинарных квадратичных формах положительного определителя» (1880) Марков рассмотрел вопрос о нахождении минимумов для неопределённых квадратичных форм от двух переменных. Коркин и Золотарёв, занимавшиеся задачей о нахождении минимумов для положительно определённых форм, обратили внимание на следующую разницу между случаями положительно определённых форм и неопределённых форм: для положительно определённых форм есть формы с минимумами, сколь угодно близкими к максимальному значению минимума, а для знакопеременных форм ситуация следующая: если отбросить форму, для которой минимальное значение максимально и равно М, то для остальных форм максимальное минимальное значение уже будет отлично от М. Марков занялся вычислением сначала второго по ве¬


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
249
личине максимального значения и формы, на которой оно достигается, затем третьего и т. д. Эти последовательные максимальные значения оказались связанными с непрерывными дробями и с целочисленными решениями уравнения х2 4- у2 4- z2 = 3xyz; это уравнение получило название уравнение Маркова. В последующих работах Марков рассмотрел эту задачу для форм с тремя и четырьмя переменными.
В 1898 г. Марков упростил доказательство центральной предельной теоремы, данное Чебышевым, и сделал это доказательство строгим; он также уточнил формулировку центральной предельной теоремы.
В статье «Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга» (1907) Марков разработал раздел теории вероятностей, предметом которого служат зависимые случайные величины. Он распространил предельные теоремы на последовательности зависимых случайных величин. В этих исследованиях он пришёл к новым объектам, которые теперь называют цепями Маркова.
Луиджи Бьянки (1856—1928)
В 1898 г. Бьянки получил классификацию вещественных трёхмерных алгебр Ли.
В 1902 г. он доказал два тождества для тензора Римана. Одно из этих тождеств имеет вид
Rijk,l + Rikl,j + Rilj,k — ^
(тождество Бьянки).
В 1918 г. Бьянки доказал, что если обыкновенное дифференциальное уравнение порядка п допускает достаточно регулярную r-мерную разрешимую группу симметрий, то посредством квадратур её решение сводится к решению уравнения порядка п — г.
Вальтер фон Дик (1856—1934)
В1882 г. Дик дал современное определение абстрактной группы, систематически изучил представление группы образующими и соотношениями, указал представление фундаментальной группы клеточного комплекса образующими, соответствующими рёбрам, и соотношениями, соответствующими двумерным клеткам.
В работах 1884—1889 годов Дик показал, что эйлерова характеристика п-мерной сферы равна 2 при чётном п и 0 при нечётном п; эй-


250
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
лерова характеристика n-мерного проективного пространства равна 1 при чётном п и 0 при нечётном п (проективное пространство он определял посредством отождествления диаметрально противоположных точек сферы). В 1884 г. Дик предложил следующий способ построения трёхмерных многообразий. Из сферы S3 вырезаются 2fc пар замкнутых ориентируемых поверхностей рода pi,p2, и
границы каждой пары каким-то образом отождествляются.
В1888 г. Дик показал, что связная сумма трёх проективных плоскостей гомеоморфна связной сумме проективной плоскости и тора; на этом основана классификация неориентируемых двумерных поверхностей.
Имя Дика связано также с путём Дика. Так называют ломаную в положительном квадранте, идущую из точки (0,0) в точку (2п, 0) и составленную из векторов (1,1) или (1, —1).
Дик ввёл понятие ориентируемости для многомерных многообразий.
Эмиль Пикар (1856—1941)
В заметке «Об одном свойстве целых функций» (Sur une propriёtё des fonctions entieres, 1879) Пикар доказал, что для любой целой функции f(z), отличной от константы, уравнение f (z) = А имеет решение для любого комплексного числа А за исключением, быть может, одного. Это число А называют пикаровским исключительным значением; например, А = 0 для f(z) = ez. При доказательстве Пикар использовал теорию Эрмита модулярных функций. Для ме- роморфной функции Пикар доказал, что таких исключительных
значений не более двух. Например, для функции y (а ф Ь) исключительными значениями являются а и Ь. В том же 1879 г. в заметке «Об аналитических функциях, однозначных в окрестности существенно особых точек» (Sur les fonctions analytiques uniformes dans le voisinage d’un point singulier essentiel) Пикар доказал, что в любой окрестности существенно особой точки z0 функции /(z) уравнение f(z) — А, где Л—любое комплексное число (конечное или бесконечное), имеет бесконечное множество корней; исключение возможно лишь для двух значений А.
В начале 1880-х годов Пикар заметил (как и Макс Нётер десятью годами ранее), что на алгебраической поверхности F интегралы мероморфной дифференциальной формы без полюсов первого порядка по одномерным циклам равны нулю для почти всех поверхностей. Для доказательства этого утверждения он построил рас¬


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
251
слоение F —> СР1, общий слой которого — ориентируемая поверхность рода р, а несколько вырожденных слоёв имеют род меньше р. Используя монодромию уравнения Пикара—Фукса для периодов абелева интеграла, он показал, что в общем случае все 1-циклы гомологически сводятся к одному с помощью монодромии. Затем, опираясь на то, что в каждом особом слое по крайней мере один цикл вырождается в точку, показал, что такие исчезающие циклы гомологически тривиальны в F, поэтому все 1-циклы гомологичны нулю.
В 1884 г. Пикар доказал, что пространство всюду регулярных одномерных дифференциальных форм на римановой поверхности конечномерно. Впоследствии эти исследования привели к введению понятия группы Пикара алгебраического многообразия.
В 1890 г. Пикар применил метод последовательных приближений, чтобы доказать существование решения обыкновенного дифференциального уравнения.
«Курс анализа» (Traite d’analyse) Пикара был издан в трёх томах (1891—96). Во втором издании третьего тома (1908) подробно изложена теория Пикара—Вессио. Пикар разрабатывал эту теорию с 1883 до 1898 г., а Вессио — с 1892 до 1910 г. В теории Пикара—Вессио для линейного дифференциального уравнения
+A1(t)^if + ... + An_i(t)^- + An(t) = 0
строится группа преобразований и по этой группе выясняется, когда уравнение разрешимо в квадратурах. Пусть хъ ...,хп — фундаментальная система решений этого уравнения. На таких фундаментальных системах действует группа линейных преобразований: х{ = Y aijxj • Эта группа играет такую же роль, как группа перестановок п элементов в теории разрешимости алгебраических уравнений степени п. Рассматриваются рациональные функции от хъ ...,хп, от их производных по t и от t. Среди них выделяются функции, инвариантные относительно линейных преобразований. Простейшие инвариантные функции —это функции А2(0,...,An(t). Они занимают особое место среди всех инвариантных функций: через них, их производные и t рационально выражается любая инвариантная функция. Каждому линейному дифференциальному уравнению ставится в соответствие подгруппа группы линейных преобразований. Основной результат теории Пикара—Вессио заключается в том, что уравнение интегрируемо в квадратурах тогда и только тогда, когда эта группа разрешима.


252
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
Генрих Герц (1857—1894)
Герц ввёл неголономные механические системы. В неголоном- ной системе конечное состояние зависит от промежуточной траектории в пространстве параметров. Неголономная система не может описываться консервативной потенциальной функцией (например, закон обратных квадратов, как для гравитации, задаёт голономную систему).
Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918)
В1892 г. Ляпунов защитил диссертацию «Общая задача об устойчивости движения». В ней появились первый и второй методы Ляпунова исследования устойчивости неподвижной точки. Ляпунов заменой переменных сводит произвольное решение к нулевому, а нулевое решение называет устойчивым, если для любого е > 0 и для любого момента времени t0 существует г) > 0, для которого любая траектория, выходящая из г/-окрестности нуля, остаётся в г-окрест- ности нуля при t>t0. Ляпунов вводит также понятие асимптотической устойчивости, когда добавляется условие, что любая траектория, выходящая из достаточно малой окрестности нуля, стремится к нулю. Для исследования устойчивости Ляпунов разработал два метода. Первый метод связан с интегрированием системы дифференциальных уравнений, а второй метод качественный, основанный на так называемой функции Ляпунова.
В 1900 и 1901 г. вышли две статьи Ляпунова с доказательством центральной предельной теоремы новым методом в более общих условиях.
Карл Пирсон (1857—1936)
Пирсон внёс большой вклад в математическую статистику. Он разработал статистическую теорию принятия решений и статистическую теорию проверки гипотез с помощью критерия хи-квадрат. Экспериментальные данные иногда плохо соответствуют нормальному распределению. Пирсон исследовал распределения, отличные от нормального. Для выбора распределения нужно было разработать какой-то критерий. Для изучения графиков этих распределений Пирсон использовал моменты J f(x)xn dx и испробовал несколько критериев до того, как в 1900 г. предложил критерий хи- квадрат (критерий согласия Пирсона). В современных обозначени-


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
253
fQ g\2
ях X2 — X] —£—> гДе О — наблюдаемое значение, Е — ожидаемое значение.
В1901 г. Пирсон разработал анализ главных компонент как один из способов уменьшить размерность пространства данных, потеряв при этом наименьшее количество информации.
Джузеппе Пеано (1858—1932)
В 1888 г. Пеано опубликовал книгу «Геометрическое исчисление» (Calcolo Geometrico secondo TAusdehnungslehre di H. Grassmann, preceduto dalle operazioni della logica deduttiva), в которой впервые дано определение векторного пространства.
В 1891 г. он опубликовал знаменитые аксиомы, определяющие натуральные числа в терминах множеств (аксиомы Пеано). Он опирался на книгу Грассмана по арифметике и на аксиоматику Дедекинда, опубликованную в 1888 г.
В 1890 г. Пеано дал пример кривой, заполняющей квадрат (кривая Пеано), т. е. непрерывное отображение отрезка на квадрат. Ранее предполагалось, что такого отображения не существует (отображение, построенное Кантором, не является непрерывным).
В1890 г. Пеано доказал, что если функция /(х, у) непрерывна, то
дифференциальное уравнение ^ = /(х, у) имеет решение в некоторой окрестности. Пеано привёл пример, когда решение не единственно: ^ = у2/3 с начальным условием у (0) = 0. При более сильных условиях на функцию / существование и единственность решения в некоторой окрестности были ранее доказаны Коши и затем Липшицем.
Эдуард Гурса (1858—1936)
В 1917 г. Гурса первым сформулировал обобщённую теорему Стокса: J со = J dco. Он также сформулировал лемму Пуанкаре на
дТ т
языке дифференциальных форм: если dco = 0, то со = dr]; но при этом не заметил, что требуются ограничения для области определения формы (контрпример привёл Э. Картан в 1922 г.).
Эрнесто Чезаро (1859—1906)
В 1890 г. Чезаро предложил метод суммирования расходящихся рядов в связи с проблемой умножения рядов по правилу Коши. Ряд


254
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
ап называется суммируемым к S методом Чезаро порядка к, если
71=0
S
<к
lim = S, где S* и А£ определяются как коэффициенты разложе-
п
00 - 00 00 - ний Y, Sknxn = Ц апхп И Ц Акпхп = fc+1- При fc = 0 это
п=О U п=О n=0
обычная сходимость ряда, при к = 1 это сходимость к S последова-
1 П-1
тельности - XI Sm, где Sm = а0 + ... + ат.
т—0
В «Лекциях о внутренней геометрии» (Lezioni di geometria intrin- seca, 1896) ввёл понятие внутренней геометрии. В этой книге введены также кривые Чезаро.
Адольф Гурвиц (1859—1919)
В 1891 г. Гурвиц доказал теорему об аппроксимации. Если £ — иррациональное число и с ^ д/5— любое положительное действительное число, то существует бесконечно много рациональных чи¬
сел p/q, для которых
*-£ <?
^2 • Если же с > д/5, то существует иррациональное число £, для которого указанное неравенство выполняется только для конечного множества рациональных чисел p/q.
В 1891 г. Гурвиц исследовал пространство мероморфных функций на римановой поверхности, которые являются разветвлёнными п-листными накрытиями с г точками ветвления над сферой.
В 1893 г. он доказал, что порядок группы автоморфизмов римановой поверхности рода g > 1 не превосходит 84(g — 1). (Ранее в 1878 г. Шварц доказал, что такие группы автоморфизмов конечны.) В этой же статье доказана формула Римана—Гурвица для разветвлённых накрытий римановых поверхностей, связывающая род накрывающей поверхности, род накрываемой поверхности, число листов накрытия и кратности точек ветвления.
В1895 г. Гурвиц предложил другой подход к теореме Рауса и указал для многочлена с вещественными коэффициентами последовательность определителей, который положительны тогда и только тогда, когда вещественные части всех корней многочлена отрицательны. Этот критерий важен в теории устойчивости.
В 1896 г. Гурвиц изучил структуру кольца целых кватернионов, в частности, единицы этого кольца.
В1897 г. Гурвиц перенёс идею усреднения по действию конечной группы на бесконечную группу ортогональных преобразований.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века 255
Для этого он заменил конечную сумму интегралом по инвариантной мере.
В 1898 г. Гурвиц доказал, что алгебра над полем вещественных чисел, для которой существует невырожденная квадратичная форма Q, удовлетворяющая тождеству Q(xy) = Q(x)Q(y), — это либо вещественные числа, либо комплексные числа, либо кватернионы, либо октавы. Он также доказал, что многочлен
(*? + ...+*£)(:tf + -+y„)
можно представить в виде суммы квадратов т многочленов только при т — 1, 2, 4 или 8.
В1901 г. Гурвиц получил новое решение изопериметрической задачи на плоскости при помощи рядов Фурье.
Йохан Йенсен (1859—1925)
В 1899 г. Йенсен доказал соотношение, связывающее значение мероморфной функции в центре круга с её значениями на границе круга, её нулями и полюсами. Пусть / (г) —функция, мероморфная в круге \z\ ^ R, ап и Ьт — нули и полюсы этой функции внутри круга. Если /(0) Ф 0, то
2п
In 1/(0) I = ± J In\f(Rei<f) | d ^ £ In ^ - £ln
В 1906 г. Йенсен доказал неравенство для выпуклых функций в интегральной форме:
/(7 A(t)x(t) dt) < J A(t)/(x(t))dt,
где Я(t) ^ 0 при t € D и J Я(t) dt = 1. Неравенство в дискретной фор-
D
ме доказал Гёльдер в 1889 г.
Отто Людвиг Гёльдер (1859—1937)
В 1882 г. Гёльдер предложил метод суммирования расходящихся
00
рядов. Ряд ][] ап суммируется методом Гёльдера порядка к к сум- п—0 п “Ь
ме S, если lim = S, где Щ=У]акиН^ = — —:—2—.
п-оо n °(cir0 " П + 1


256
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
В 1889 г., исследуя сходимость рядов Фурье, он обнаружил следующее неравенство. Пусть а{ и Ъ( — комплексные числа, р > 1 и i + i = l. Тогда
(неравенство Гёльдера). В несколько иной форме это неравенство обнаружил ранее (в 1888 г.) Роджерс.
В 1889 г. Гёльдер ввёл понятие факторгруппы и доказал, что в композиционном ряду (т. е. в последовательности подгрупп, каждая из которых нормальна в предыдущей, причём между ними нельзя вставить промежуточную группу с сохранением этого свойства) от выбора композиционного ряда не зависят не только индексы подгрупп (это доказал Жордан в 1869 г.), но и факторгруппы. В таком виде это утверждение получило название теоремы Жордана—Гёльдера.
Георг Александер Пик (1859—1942)
Формула Пика опубликована в 1899 г. (в связи с приложениями геометрии к теории чисел): площадь многоугольника с вершинами
в узлах решётки равна L + ^ — 1, где L — число узлов решётки внутри многоугольника, В — число узлов на сторонах многоугольника.
В 1916 г. Пик доказал инвариантное обобщение леммы Шварца. Пусть w = /(z) — регулярная аналитическая функция, отображающая единичный круг \z\ < 1 в себя. Будем рассматривать этот единичный круг как модель Пуанкаре геометрии Лобачевского, и пусть d{zl,z2) — расстояние в геометрии Лобачевского. Тогда d(wl9 w2) ^ ^ d(zi,z2'), т. е. (неевклидово) расстояние между образами точек не превосходит расстояния между точками. Для бесконечно близких
\dw\ \dz\ /
точек это неравенство имеет вид ^ ^ . |2, где dw=f (z) dz.
1 \w\ 1 \z\
В 1916 г. Пик нашёл необходимое и достаточное условие разрешимости задачи интерполяции /(Zj) — в классе аналитических функций в единичном круге, ограниченных по модулю единицей, для конечного числа точек z{. Этим условием является неотрица-
1 — wi Wj
тельная определённость матрицы с элементами ау = \-z%' (мат_ рицаПика). 1 }
В 1942 г. Пик был заключён в концентрационный лагерь и через три недели умер.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
257
Франк Морли (1860—1937)
В 1898 г. одновременно и независимо Морли и Йоханнес Петерсен (Ельмслев) доказали следующее утверждение (теорема Петерсена—Морли). Пусть а, b и с —попарно не параллельные прямые в пространстве, о! — общий перпендикуляр к прямым Ь и с и т. д., а" — общий перпендикуляр к прямым а и а' и т. д. Тогда прямые а", Ъ" и с" имеют общий перпендикуляр.
В1899 г. Морли доказал теорему о трисектрисах: точки пересечения трисектрис произвольного треугольника являются вершинами правильного треугольника (рис. 8.7).
Вито Вольтерра (1860—1940)
В 1887 г. Вольтерра разработал теорию функционалов — функций, зависящих от непрерывного множества значений другой функции. Он дал определение непрерывности функционала, ввёл понятие производной и дифференциала, определил функционал от кривой.
Вольтерра первым разработал общую теорию интегральных уравнений. Его основные работы на эту тему написаны в 1896 и 1897 г. Между 1884 и 1896 годами Вольтерра опубликовал серию работ по интегральным уравнениям. Интегральное уравнение Вольтерры для неизвестной функции ^(х) (с заданным ядром К(х,у) и заданной функцией /(*)) имеет вид
ъ
у (х) = J К (х, у) <р (у) dy + / (х).
а
Здесь ядро удовлетворяет следующему условию: К(х, у) = 0 при У>х.
Между 1925 и 1929 годами Вольтерра разработал теорию взаимодействия популяций животных или растений. Он исследовал мо¬


258
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
дель «хищник—жертва», описываемую так называемыми уравнениями Лотки—Вольтерры:
dN, dN2
~dT = (£i- YiN2)Ni (жертва), = (-£2 + y2N1)N2 (хищник).
При помощи интегрирования этих уравнений Вольтерра доказал существование периодических флуктуаций, период которых зависит от Yi и у2'
Ивар Отто Бендиксон (1861—1935)
В 1901 г. Бендиксон исследовал поведение интегральных кривых дифференциальных уравнений первого порядка. Незадолго до него Пуанкаре получил качественное описание: интегральная кривая, которая не заканчивается в особой точке, имеет предельный цикл. Бендиксон не только дал более строгое доказательство при более слабых предположениях (используя последовательные приближения), но и получил количественный критерий отсутствия замкнутых траекторий. Бендиксон дал полное описание предельных множеств и соответствующего поведения траекторий.
Курт Гензель (1861—1941)
В 1897 г. метод Вейерштрасса разложения в степенные ряды алгебраических функций привёл Гензеля к открытию р-адических чисел. Они являются пополнением рациональных чисел, отличным от вещественных чисел. Запишем рациональное число в виде рп|, где а и b — целые числа, не делящиеся на р; тогда р-адическая норма этого числа равна р-п. Таким образом, в р-адической метрике два рациональных числа близки, если числитель их разности делится на большую степень числа р. Между полем р-адических чисел и функциональным полем есть аналогия: делители р и z — с играют аналогичные роли. Теорию р-адических чисел Гензель детально разработал в книгах «Теория алгебраических чисел» (Theorie der algebraischen Zahlen, 1908) и «Теория чисел» (Zahlentheorie, 1913).
Гензель получил с помощью р-адических чисел много результатов в теории чисел и в теории квадратичных форм, но их реальные возможности раскрыл лишь Хассе в 1924 г. Он показал, что на квадрике есть точка с рациональными координатами тогда и только тогда, когда на ней есть точка с вещественными координатами и точки с координатами во всех р-адических полях.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
259
Фридрих Энгель (1861—1941)
В1884—85 годах Энгель ездил в Христианию (Осло) к Софусу Ли для совместной работы. После переезда Ли в Лейпциг их сотрудничество возобновилось. Совместные исследования Ли и Энгеля по теории групп преобразований были изданы в трёх томах.
Около 1887 г. Энгель доказал, что если для конечномерной алгебры Ли все операторы ad(x), заданные формулой ad(x)(y) = [х,у], нильпотентны, то такая алгебра Ли разрешима.
В 1890 г. обнаружил, что не все преобразования группы SL(2, С) порождаются инфинитезимальными преобразованиями. (Универсальная накрывающая этой группы Ли не является матричной группой.)
Эдуард Штуди (1862—1930)
В1904 г. Штуди сделал доклад о метрике Фубини—Штуди на международном математическом конгрессе. В том же году эту метрику независимо ввёл Фубини (об этом упомянуто в примечании к докладу Штуди). Метрика Фубини—Штуди — это метрика на комплексном проективном пространстве. Она задаётся формулой
j 2 \z\2\dz\2 - {z,dz)(z}dz)
ds = № *
где ds — расстояние между точками z и z + dz.
Леонард Джеймс Роджерс (1862—1933)
В 1888 г. Роджерс доказал неравенство, близкое к неравенству Гёльдера. Эту работу Роджерса Гёльдер использовал в 1889 г. при доказательстве своего неравенства.
В 1894 году Роджерс открыл так называемые тождества Роджерса-Рамануджана, непрерывные дроби Роджерса—Рамануджана и преобразования Роджерса в теории разбиений, комбинаторике и гипергеометрических рядах. Тождества Роджерса переоткрыли Рамануджан в 1913 г. (без доказательства) и Шур в 1917 г. В 1919 г. Роджерс и Рамануджан опубликовали совместную статью с новым доказательством этих тождеств.
Давид Гильберт (1862—1943)
В1888 г. Гильберт исследовал, всегда ли можно представить многочлен от п вещественных переменных, принимающий неотрица¬


260
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
тельные значения при всех значениях переменных, в виде суммы квадратов многочленов. Он доказал, что это можно сделать всегда при п = 1, а также при п = 2 для многочлена степени 4. Но затем в 1893 г. Гильберт доказал (неконструктивно), что неотрицательный многочлен степени 6 от двух переменных уже не всегда представляется в виде суммы квадратов многочленов. После этого возник вопрос о представлении неотрицательного многочлена в виде суммы квадратов рациональных функций, и эту проблему Гильберт впоследствии включил в свой список проблем под номером 17. В1927 г. Э. Артин доказал, что в виде суммы квадратов рациональных функций неотрицательный многочлен представляется всегда.
В работах «О теории алгебраических форм» (Uber die Theorie der algebraischen Formen, 1888, опубликовано в 1890) и «О полной системе инвариантов» (Uber die vollen Invariantensysteme, 1893) Гильберт доказал конечность числа образующих кольца инвариантов форм произвольной степени от произвольного числа переменных. Над этой проблемой бились многие математики, но они пытались получить конструктивное доказательство. Наивысшим достижением до Гильберта было доказательство Гордана для форм от двух переменных. Первая работа Гильберта долго не публиковалась, потому что её публикации противился Гордан — ведущий эксперт по теории инвариантов, но Клейн настоял на публикации.
В первой работе Гильберт доказал теорему о базисе и с её помощью получил простое и короткое доказательство, но оно не было конструктивным. Во второй работе Гильберт получил конструктивное решение. При этом именно первая работа оказала большее влияние на дальнейшее развитие математики. В первой работе доказаны фундаментальные алгебраические теоремы. Прежде всего, фактически доказана теорема о нётеровости (если воспользоваться современной терминологией) кольца многочленов над нётеро- вым кольцом (теорема Гильберта о базисе); доказана теорема о конечности цепи сизигий конечно порождённого градуированного модуля над кольцом многочленов над полем (теорема Гильберта о сизигиях); для такого модуля доказана теорема о существовании многочлена Гильберта. Во второй работе доказана теорема Гильберта о нулях и градуированный вариант леммы Нётер о нормализации.
В1891 г. Гильберт совместно с Гурвицем доказал, что любая кривая рода 0 и степени п бирационально эквивалентна (над полем рациональных чисел) кривой степени п — 2. Тем самым, любая кривая рода 0 бирационально эквивалентна прямой или конике.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
261
В 1891 г. в работе «О вещественных ветвях алгебраических кривых» (Uber die reellen Ztige algebraischer Kurven) Гильберт исследовал первый нетривиальный случай — кривые 6-й степени. Для них по теореме Гарнака наибольшее число компонент равно 11; кривые с наибольшим возможным числом компонент называют М-кри- выми. Гильберт сформулировал две гипотезы о расположении компонент М-кривых 6-й степени. Он получил оценки на число вложенных друг в друга ветвей кривых и привёл примеры кривых с наибольшим возможным числом вложенных друг в друга ветвей. Кроме того, Гильберт получил оценки на число ветвей алгебраических кривых в пространстве.
В1892 г. Гильберт доказал теорему о неприводимости многочленов с целочисленными коэффициентами: если /(х, t) — неприводимый многочлен с целыми коэффициентами от двух переменных, то существует бесконечно много целых чисел t0, для которых многочлен /(х, t0) от одной переменной х неприводим.
«Доклад о числах» (Zahlbericht, 1897) — книга Гильберта по алгебраической теории чисел, связанная с работами Куммера, Кронекера, Дедекинда и Вебера. В ней Гильберт начал разрабатывать теорию полей классов (теорию конечных расширений полей алгебраических чисел, имеющих абелеву группу Галуа). В этой книге Гильберт дал первое систематическое изложение теории алгебраических чисел. В ней он углубил аналогию между полями алгебраических чисел и функциональными полями, придав новую форму символу норменного вычета и сформулировав общий закон взаимности по аналогии с теоремой Коши о вычетах. Теорема Гильберта 90 получила новую интерпретацию после введения в 1950-е годы когомологий Галуа: Hl(G,K*) = 1, где К/к — нормальное расширение числовых полей с группой Галуа G (тривиальность первой группы когомологий). Теорема 91 о существовании относительных единиц была первым из многочисленных обобщений теоремы Дирихле о единицах. Теоремы 92—94 привели впоследствии к важным результатам в теории полей классов. В третьей части, посвящённой квадратичным полям, вводится символ Гильберта—локальная норма вычета символа. Теорема 131 —первое опубликованное полное доказательство теоремы Кронекера—Вебера (любое абелево расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле). В опубликованном ранее доказательстве Вебера была ошибка, обнаруженная лишь в 1981 г.; Гильберт считал, что он всего лишь получил ещё одно доказательство этой теоремы. Последняя, пятая, часть посвящена куммеровым числовым полям (куммерово поле


262
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
получается присоединением к рациональным числам всех корней из единицы степени I и корня степени I из некоторого элемента полученного поля, не являющегося i-й степенью). Теорема 163 —закон взаимности Гильберта (формула произведения для локальных символов Гильберта).
Первое издание книги Гильберта «Основания геометрии» (Grund- lagen der Geometrie) вышло в 1899 г.; впоследствии эта книга много раз переделывалась при переизданиях. В этой книге Гильберт разработал современную версию аксиоматического метода. Система аксиом Гильберта проще предшествующих ей и весьма близка к евклидовой. Гильберт говорил, что нужно сделать так, чтобы вместо точек, прямых и плоскостей можно было говорить о столах, стульях и пивных кружках. Он имел в виду, что нужно очистить рассуждения от слов, которые могут непреднамеренно придавать какой- то дополнительный смысл. В книге об этом написано более мягко: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем А, В, С, ...; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем а, Ь, с, ...; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем а, /3, у, ...» Гильберт рассматривал не только евклидову геометрию, но и геометрии с другими координатами; он показал, что теорема Паппа выполняется только тогда, когда числовая система, в которой лежат координаты, коммутативна относительно умножения, а теорема Де- зарга может выполняться и для некоммутативных систем. Гильберт показал, что в проективной геометрии на плоскости теорема Де- зарга выполняется тогда и только тогда, когда эту плоскость можно вложить в пространство. Эта работа выделила основания геометрии как самостоятельную область исследований. Гильберт исследовал зависимость теорем Дезарга и Паппа от других аксиом; например, что получится, если взять их в качестве аксиом.
Лежандр без использования аксиомы параллельных доказал две теоремы: 1) сумма углов треугольника не превосходит 180°; 2) если сумма углов одного треугольника равна 180°, то сумма углов любого треугольника тоже равна 180°. Но его доказательство существенно использовало аксиому Архимеда. Студент Гильберта Макс Ден показал, что вторую теорему можно вывести и без аксиомы Архимеда, а первая теорема без аксиомы Архимеда неверна.
В августе 1900 г. на втором математическом конгрессе в Париже Гильберт предложил 10 проблем. В печатном виде их список был расширен до 23; содержащая их статья опубликована в 1901 г. Гильберт выделил задачи, на которые следует направить свои усилия


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
263
математикам в грядущем столетии. Это имело заметное влияние на развитие нескольких областей математики.
В 1901 г. Гильберт доказал, что принцип Дирихле, основанный на нахождении точной нижней грани значений интеграла, можно применять для положительных подынтегральных функций, т. е. доказательства Римана теорем существования функций на римановых поверхностях можно исправить.
В 1901 г. Гильберт доказал, что в трёхмерном пространстве не существует аналитической поверхности без особенностей, изомет- ричной всей плоскости Лобачевского.
В 1905 г. Гильберт решил проблему Римана о том, что задание группы монодромии, согласованной с поведением решений в особых точках, достаточно для полного восстановления уравнения.
Исследования Фредгольма по теории интегральных уравнений, опубликованные в 1900 г., заинтересовали Гильберта, и он с 1904 г. по 1910 г. опубликовал 6 статей по интегральным уравнениям, а в 1912 г. опубликовал на эту тему книгу. Это послужило основой для его работы с бесконечномерными пространствами, позже названными гильбертовыми. Гильберт построил теорию квадратичных форм от бесконечного числа переменных и применил её к интегральным уравнениям. В статье 1906 г. Гильберт обнаружил оператор с непрерывным спектром.
В1906 г. Гильберт ввёл так называемый инвариантный интеграл Гильберта в вариационном исчислении.
В 1909 г. он решил общую проблему Варинга (доказал, что любое натуральное число представляется в виде суммы ограниченного числа fc-x степеней).
Книгу «Основания математики» (Grundlagen der Mathematik) в двух томах (1934 и 1939) Гильберт написал совместно с Паулем Бер- найсом (1888—1977). Их намерением было разработать теорию доказательств, позволяющую непосредственно проверять непротиворечивость математики. В работе Гёделя 1934 г. было уже показано, что это невозможно. Но сама теория доказательств в этой книге разработана.
Аксель Туэ (1863—1922)
В 1906 г. 1уэ ввёл последовательность нулей и единиц, которая строится следующим образом. Начав с нуля, будем на каждом шаге дописывать булево дополнение к получившейся последовательности: 0, 01, ОНО, 01101001 и т.д. Туэ применил её для изучения


264
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
комбинаторики слов. В 1921 г. М. Морс открыл её заново, найдя ей применение в дифференциальной геометрии, поэтому она получила название последовательности Туэ—Морса.
В1909 г. Туэ усилил теорему Лиувилля о том, что алгебраические числа не допускают хорошего приближения рациональными числами. Он доказал, что если /(х, у) — однородный многочлен с целыми коэффициентами, неприводимый над рациональными числами, степени больше 2, а с —ненулевое число, то уравнение /(х,у) = с имеет конечное число решений в целых числах. Теорему Туэ последовательно усиливали Карл Зигель (1921) и Клаус Рот (1955).
В 1914 г. Туэ сформулировал проблему распознавания равенства слов для конечно представимых полугрупп.
Коррадо Сегре (1863—1924)
В 1896 г. Сегре обнаружил инвариант поверхности при бирациональных преобразованиях; этот инвариант в другом виде уже появлялся в работе Иеронима Георга Цейтена (1839—1920) в 1871 г. (инвариант Цейтена—Сегре).
С именем Сегре связано вложение Сегре: вложение произведения проективных пространств Рп х Рт в проективное пространство PN размерности N = пт + п + т; паре точек с однородными координатами (щ) и (vj) сопоставляется точка с однородными координатами (Шу), где wtj = ЩУ]. Образ Рп х Рт при этом вложении — многообразие Сегре.
Поль Пенлеве (1863—1933)
В1887 г. Пенлеве доказал, что решение дифференциального уравнения первого порядка, алгебраического относительно неизвестной функции и её производной, не может иметь подвижных трансцендентных точек ветвления и существенно особых точек. Для уравнения -j— = f(w,z), где функция / алгебраическая относительно w и
однозначная относительно z, все точки неопределённое™, в частности существенно особые точки решения, — это неподвижные точки, которые задаются самим уравнением. Это верно и для уравнения F(z, w, ц/) = 0, где функция F алгебраическая относительно w' и w и однозначная относительно z. В 1900 г. Пенлеве разработал метод, позволяющий находить необходимые условия отсутствия подвижных особых точек нелинейных дифференциальных уравнений, и приём, позволяющий доказывать достаточность этих условий.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
265
В 1902 г. Пенлеве нашёл типы уравнений, к которым сводятся нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка, имеющие лишь неподвижные критические точки. Но из-за ошибки в вычислениях он пропустил три типа уравнений наиболее общего вида {Pw, Pv и Ру/). В1906 г. его ученик Бертран Гамбье (1879—1954) исправил этот пробел в рассуждениях Пенлеве. Большинство из 50 канонических типов уравнений, полученных Пенлеве и Гамбье, уже были известны ранее, но 6 типов оказались новыми. Уравнения этих 6 типов теперь называют уравнениями Пенлеве.
Чарльз Эдвард Спирмен (1863—1945)
В 1901 г. Спирмен разработал факторный анализ. Факторный анализ применяется для изучения взаимосвязей между значениями переменных; он позволяет уменьшить количество используемых данных с наименьшей потерей информации. При этом предполагается, что известные переменные зависят от меньшего числа неизвестных переменных. Основные понятия факторного анализа — это фактор (скрытая переменная) и нагрузка (корреляция между одной из исходных переменных и фактором). Для выделения факторов ковариационная матрица приводится к диагональному виду и её собственные значения располагаются в порядке убывания. Наиболее значимые факторы —это собственные векторы ковариационной матрицы, соответствующие самым большим собственным значениям.
В 1904 г. Спирмен ввёл коэффициент ранговой корреляции как меру зависимости двух случайных величин X и У, основанную на анализе независимых результатов наблюдений {ХЪУ{)9..., (ХП,УП).
Анри Эжен Паде (1863—1953)
В 1892 г. Паде защитил диссертацию «О приближении функции рациональными дробями» (Sur la representation approchee d’une fonction par des fractions rationnelles), в которой он начал исследовать так называемые аппроксимации Паде, т. е. приближение функций, заданных степенными рядами, рациональными функциями (отношениями многочленов). Пусть f(t) = с0 + сгЬ + c2t2 + ... Ра-
Р
циональную функцию Rm n = где Рт и Qn — многочлены, сте- пени которых равны тип, называют аппроксимацией Паде, если


266
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
рт (t) ,
fit) — т = 0(tm+n+ ) при t —► 0. Последовательность дробей Rmn
'-с п )
называют таблицей Паде. Паде установил связь между аппроксимациями Паде и непрерывными дробями.
Герман Минковский (1864—1909)
В 1883 г. Парижская академия присудила премию за сочинения на тему «Теория разложения целых чисел на сумму пяти квадратов» Смиту и Минковскому. Тема была выбрана по ошибке, потому что эта задача уже была решена Смитом в статье 1867 г. Работа Минковского произвела на жюри большое впечатление, и автору даже простили то, что он, вопреки правилам, представил работу на немецком языке. Минковский исследовал представление форм с меньшим числом переменных формами с большим числом переменных и получил решение конкурсной задачи на основе разработанной им общей теории.
Цикл исследований Минковского по геометрии чисел начинается статьёй 1894 г. В 1889 г. он доказал, что выпуклая симметричная относительно начала координат область в п-мерном пространстве, объём которой больше 2п, содержит точку с целыми координатами, отличную от начала координат (лемма Минковского). Это утверждение играет ключевую роль во всей геометрии чисел. В 1896 г. Минковский издал первый том книги «Геометрия чисел» (Geometrie der Zahlen), в которой систематизировал полученные им результаты. Второй том вышел в 1910 г., уже после смерти Минковского. В этой книге доказано также неравенство Минковского для неотрицательных чисел хи у{ и р > 1:
Пусть К0 и Кг — выпуклые тела в n-мерном пространстве. Для Я е [0,1] можно определить их сумму Минковского = (1 — ЯЖ0 + + ХКг — множество точек, делящих отрезки с концами в К0 и в Кг в отношении Я к (1 — Я). Сумма Минковского выпуклых тел —выпуклое тело. В1887 г. Герман Брунн (1862—1939) доказал, что / (Я) = = Vvo№) — вогнутая функция от Я. В 1896 г. Минковский уточнил и дополнил это утверждение, получившее название теорема Брунна—Минковского.
В 1903 г. Минковский рассмотрел задачу о существовании замкнутой выпуклой гиперповерхности F, у которой гауссова кривизна Ki%) является заданной функцией единичного вектора внешней


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
267
нормали £. Он доказал, что решение существует и единственно с точностью до параллельного переноса (функция КЧ£) при этом должна удовлетворять некоторому интегральному соотношению). Но это доказательство не позволяло ничего сказать о регулярности поверхности F даже для аналитической функции !£(£)• Регулярное решение получил А. В. Погорелов в 1971 г.
В 1909 г. в работе «Пространство и время» (Raum und Zeit) Мин- ковский предложил новую точку зрения на пространство и время, которая позволила лучше понять специальную теорию относительности. Он объединил пространство и время, которые ранее считались независимыми, в единое четырёхмерное пространство с неевклидовой метрикой, получившей название метрика Минковского. Этими идеями Эйнштейн воспользовался впоследствии, разрабатывая общую теорию относительности.
Йожеф Кюршак (1864—1933)
В1913 г. Кюршак, исходя из примера р-адических чисел, ввёл общее понятие нормированного поля и разработал теорию нормирований. Доказал существование пополнения поля относительно данного нормирования.
Людвиг Шлезингер (1864—1933)
В1912 г. Шлезингер, изучая системы дифференциальных уравнений с неподвижными особыми точками, сформулировал проблему изомонодромных преобразований для некоторого матричного фук- сова уравнения. Решил в частном случае 23-ю проблему Гильберта, связанную с доказательством существования линейного дифференциального уравнения с предписанной группой монодромии. В этой статье введены преобразования Шлезингера и уравнение Шлезингера.
Уильям Фогг Осгуд (1864—1943)
В 1900 г. Осгуд доказал теорему о том, что внутренность любой односвязной однолистной области, граница которой содержит больше чем одну точку, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга. Это утверждение без доказательства высказал Риман в 1851 г.


268
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
Пирс Георгиевич Боль (1865—1921)
Латвийский математик Боль в 1893 г., ещё до появления теории почти периодических функций, привёл следующий пример почти периодической функции: ^(t) = /(аг1, ...,ant), где аъ ...,ап — некоторые числа, а /{хъ ...,хп) — функция, имеющая период 2п по каждой переменной.
В 1900 г. Боль первым доказал теорему Брауэра о неподвижной точке непрерывного отображения шара в себя.
Вильгельм Виртингер (1865—1945)
В1904 г. Виртингер применил для доказательства изопериметри- ческого неравенства следующее неравенство (неравенство Виртин- гера). Пусть / — непрерывно дифференцируемая функция с перио-
2п 2п 2п
дом 2тг, для которой J /00 dx = 0. Тогда J //2(х) dx ^ / /2(х) dx.
0 0 0
В 1905 г. Виртингер разработал метод вычисления фундаментальной группы дополнения узла по его диаграмме, но не публиковал его. В 1925 г. Э. Артин опубликовал этот метод Виртингера.
В 1936 г. Виртингер доказал неравенство, относящееся к многомерной комплексной геометрии (неравенство Виртингера). В п-мерном комплексном пространстве с координатами z1 = хг + iyl9 ...
..., zn = хп + iyn рассмотрим форму (/? = где со = dxl A dy1 + ... ... + dxn A dyn. Представим теперь п-мерное комплексное пространство как 2п-мерное вещественное пространство и выберем в нём 2fc линейно независимых векторов Е>ъ...,Е>2к- Тогда |</>(£i, не превосходит объёма параллелепипеда, натянутого на векторы £ 1,..., £2ъ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда подпространство, натянутое на эти векторы, является комплексным подпространством.
Эрнст Вессио (1865—1952)
В 1892 г., продолжая исследования Пикара, Вессио доказал, что линейное дифференциальное уравнение интегрируемо в квадратурах тогда и только тогда, когда сопоставляемая ему группа линейных преобразований разрешима. Из этого следует, что общее линейное уравнение порядка п не интегрируемо в квадратурах, потому что ему сопоставляется полная линейная группа.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века 269
Гвидо Кастельнуово (1865—1952)
Основные работы Кастельнуово относятся к алгебраической геометрии. Известны неравенства Кастельнуово—Севери для алгебраических кривых и критерий Кастельнуово линейности алгебраической системы на кривой. Совместно с Энриквесом Кастельнуово получил бирациональную классификацию алгебраических поверхностей. Кастельнуово доказал теорему Римана—Роха для поверхностей и получил критерий рациональности поверхности.
Жак Саломон Адамар (1865—1963)
В1892 г. Адамар доказал теорему о лакунах: если номера nl9 п2,...
00
всех отличных от нуля коэффициентов степенного ряда ^ anzn удо-
п=О
влетворяют условию nfc+1 >(14- в)пк, где в > О, то функцию f(z) нельзя аналитически продолжить за границу круга сходимости этого ряда.
В1893 г. Адамар доказал неравенство для определителя матрицы
п п
порядка п: \А\2 sh где st = ][] aij^ij (неравенство Адамара). В той
i=i j=1
же статье он ввёл матрицы Адамара, элементы которых равны ±1 и любые две строки ортогональны. Для матриц Адамара неравенство Адамара обращается в равенство, и для матриц Адамара достигает максимума абсолютное значение определителя матрицы с элементами ±1.
В 1893 г. Адамар доказал формулу Римана для дзета-функции. Пусть
£(t)=r(f+i)(s-i)7rs/2as),
где s = | 4- it. Тогда £ (5) = £ (0) [”[ Г1 — \ где произведение берёт-
а V CL J
ся по нулям дзета-функции (у Римана эта формула приведена без достаточного обоснования сходимости произведения).
В 1896 г. Адамар одновременно с Валле-Пуссеном и независимо от него доказал асимптотический закон распределения простых чисел, заполнив пробелы в доказательстве Римана. После работ Мангольдта для этого оставалось доказать, что вещественная часть нетривиального нуля дзета-функции не равна 1 (ранее было известно, что вещественная часть нуля заключена между 0 и 1). Именно это и сделали Адамар и Валле-Пуссен.


270
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
В 1896 г. Адамар доказал теорему о трёх кругах: если функция fiz) голоморфна в кольце гг < \z\ < г2 и непрерывна в замыкании этого кольца, то функция 1пМ(г), где М (г) — это максимум функции |/0)| при \z\ = r, является выпуклой функцией от In г.
В 1898 г. Адамар исследовал геодезические на поверхностях отрицательной кривизны. Эта работа заложила основы символической динамики.
«Лекции по элементарной геометрии» (Lemons de gёomёtrie ele- mentaire) Адамара, изданные в двух томах — «Планиметрия» (1898) и «Стереометрия» (1901), с замечательно подобранными задачами, сыграли важную роль в математическом образовании.
В 1902 г. Адамар ввёл вполне геодезические подмногообразия, для которых любая геодезическая в подмногообразии является геодезической и во всём многообразии.
В 1922 г. Адамар ввёл понятие корректно поставленной задачи для уравнения с частными производными: решение корректно поставленной задачи существует и единственно и, кроме того, решение непрерывно зависит от начальных данных.
Эрик Ивар Фредгольм (1866—1927)
Предварительную версию своих результатов по теории интегральных уравнений Фредгольм опубликовал в 1900 г., а более полную — в 1903. Гильберт расширил теорию Фредгольма, чтобы включить теорию собственных значений, что привело непосредственно к теории гильбертовых пространств.
Интегральное уравнение Фредгольма для неизвестной функции ц>(х) (с заданным ядром К(х,у) и заданной функцией fix)) имеет вид
ъ
<р{х) = J K(x,y)<p(y)dy + f(x).
а
Уравнение называется однородным, если fix) = 0. Теоремы Фредгольма (альтернатива Фредгольма) переносят на такие уравнения свойства неоднородных систем линейных уравнений.
1. Либо данное неоднородное уравнение имеет единственное решение для любой функции fix) (из некоторого достаточно широкого класса), либо соответствующее однородное уравнение имеет ненулевое решение.
2. Если для уравнения Фредгольма имеет место первый случай альтернативы, то он имеет место и для транспонированного урав¬


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
271
нения (полученного при замене К(х,у) на К(у,х))
ъ
z(x) = f K(y,x)z(y)dy + f(x).
а
Данное однородное уравнение и транспонированное к нему имеют одно и то же конечное число линейно независимых решений.
3. 	Во втором случае альтернативы необходимым и достаточным условием существования решения неоднородного уравнения является выполнение равенства
ъ
J f(x)z(x) dx = О
а
для любого решения z(x) транспонированного однородного уравнения.
Густав де Фриз (1866—1934)
В 1894 г. под руководством Кортевега защитил диссертацию, содержащую уравнение Кортевега—де Фриза.
Альфред Таубер (1866—1942)
Для расходящихся рядов часто бывает возможно определить их
сумму некоторым способом. Например, если для любого числа х,
00
заключённого между 0 и 1, сходится степенной ряд J] akxk = S(x) и
fc=0
существует предел lim S(x) = S (односторонний предел при х —► 1,
Х-+1-0 оо
х < 1), то говорят, что расходящийся ряд J] ак суммируем методом
к=О
Абеля к сумме S. По теореме Абеля ряд, сходящийся к сумме S, суммируем методом Абеля к сумме S. Обратное утверждение неверно. В 1897 г. Таубер доказал, что обратное утверждение (ряд, суммируемый методом Абеля к сумме S, сходится к сумме S) становится
верным, если ап = о (т. е. пап —> 0 при п —> оо). Таубер также до¬
казал, что если ряд суммируем методом Абеля к сумме S, то условие
п 1 п
5] как = о(п) (т. е. - ][] как -* 0) является необходимым и достаточ-
к=О П к=О
ным условием сходимости ряда к сумме S.
Умер в концлагере.


272
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
Шарль Жан де ла Валле-Пуссен (1866—1962)
В 1896 г. Валле-Пуссен одновременно с Адамаром и независимо от него доказал асимптотический закон распределения простых чисел, заполнив пробелы в доказательстве Римана.
В1908 г. предложил один из методов суммирования расходящихся рядов.
В 1911 г. Валле-Пуссен открыл новые достаточные условия сходимости ряда Фурье: ряд Фурье, соответствующий функции /(х), сходится в любой точке х, для которой
имеет ограниченную вариацию в некотором интервале (0,/х).
При исследовании интеграла Лебега Валле-Пуссен ввёл понятие характеристической функции подмножества (1916); характеристическая функция равна 1 в каждой точке подмножества и 0 в остальных точках.
В 1895 г. Кузен решил для простейших областей в пространстве п комплексных переменных две проблемы, названные впоследствии по его имени.
Первая (аддитивная) проблема Кузена. Дано покрытие комплексного многообразия М открытыми множествами Ua, и на каждом множестве Ua задана мероморфная функция fa, причём функции fap = fa— fp голоморфны на пересечениях множеств Ua и Up. Требуется построить мероморфную функцию / на всём многообразии М, для которой функции f — fa голоморфны на Ua для всех а. Другими словами, требуется построить глобальную мероморфную функцию с локально заданными особенностями.
Вторая (мультипликативная) проблема Кузена. Дано покрытие комплексного многообразия М открытыми множествами Ua, и на каждом множестве Ua задана мероморфная функция fa (не обращающаяся тождественно в нуль ни на какой связной компоненте множества Ua), причём функции fap = fafp1 голоморфны на пересечениях множеств иаи Up и нигде не равны нулю. Требуется построить мероморфную функцию / на всём многообразии М, для которой функции ff~l голоморфны и нигде не равны нулю на Ua для всех а.
о
Пьер Кузен (1867-1933)


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
273
В 1895 г. Кузен доказал теорему о возможности выбрать конечное подпокрытие для произвольного (не обязательно счётного) покрытия отрезка. Годом ранее Борель доказал эту теорему для счётного покрытия отрезка, а в 1898 г. Лебег ещё раз доказал то же утверждение для произвольного покрытия.
Георгий Феодосьевич Вороной (1868—1908)
В 1896 г. Вороной предложил новое обобщение непрерывных дробей, которое в приложении к числам, зависящим от корней уравнения третьей степени, обладает свойством периодичности. Эти дроби он использовал для построения алгоритма вычисления основных единиц общего кубического поля.
В 1902 г. Вороной ввёл один из методов суммирования расходящихся рядов.
В работе, опубликованной в двух частях в 1908 и 1909 г., Вороной связывает с решёткой, определяющей класс положительных квадратичных форм, её область Дирихле—Вороного, т. е. множество точек пространства, более близких к данному узлу решётки, чем ко всем остальным. Эти области являются многогранниками. Дирихле их ввёл в 1850 г. для двумерных целочисленных решёток, а Вороной — для многомерных.
Феликс Хаусдорф (1868—1942)
С 1901 г. по 1909 г. Хаусдорф доказал несколько теорем об упорядоченных множествах и ввёл понятие частично упорядоченного множества (множества, на котором задан некоторый порядок).
В 1906 г. Хаусдорф доказал, что 1п(еиеи) для некоммутирующих и ии выражается через коммутаторы элементов и и и. Первым задачу о вычислении этого выражения (формула Бейкера—Кэмпбелла— Хаусдорфа) поставил Джон Эдвард Кэмпбелл (1862—1924) в 1897 г. Явное выражение первым получил Дынкин в 1947 г.
В1914 г. Хаусдорф опубликовал книгу «Основы теории множеств» (Grundzuge der Mengenlehre), в которой разработал основы теории топологических и метрических пространств. В этой книге дано общее определение топологического пространства как множества с операцией замыкания. Замыкание можно определять с помощью различных конструкций, например, метрики или окрестностей. Определение метрического пространства Хаусдорф даёт в


274
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
общепринятом ныне виде: множество, на котором задано расстояние (неотрицательная симметричная функция р(х,у), которая удовлетворяет неравенству треугольника
Р (*, У) + Р (У, z) ^ р (х, z)
и обращается в нуль только при х = у). Хаусдорф приводит несколько возможных аксиом отделимости. Вторая из них-—у любых двух точек есть непересекающиеся окрестности. Топологические пространства с таким свойством теперь называют хаусдорфовыми.
В этой книге введена метрика Хаусдорфа — расстояние между множествами. Расстояние между множествами X и Y — это наибольшее из двух чисел: наибольшее из расстояний от точки х е X до множества Y и наибольшее из расстояний от точки у е Y до множества X.
В этой книге содержится также так называемый парадокс Хаусдорфа. Если из двумерной сферы S2 удалить некоторое счётное множество точек, то оставшееся множество можно разбить на три множества Л, В и С так, что множества Л, В, С и В и С попарно можно совместить движением. Из этого примера следует, что на сфере нельзя определить сразу для всех подмножеств меру, инвариантную относительно движений и конечно аддитивную. Банах и Тарский использовали идеи построения примера Хаусдорфа для своего разбиения шара на части, из которых можно сложить два таких же шара.
В 1918 г. ввёл понятие размерности по Хаусдорфу. Эта размерность метрическая, а не топологическая, потому что в определении участвует метрика. Размерность по Хаусдорфу может быть дробной. Пусть N (г) —наименьшее количество шаров радиуса г, которыми можно покрыть множество X. Множество X имеет размерность d по Хаусдорфу, если N(r) растёт как l/rd при г —»0.
В 1919 г. Хаусдорф доказал, что числовой образ оператора—выпуклое множество. Числовой образ оператора А в эрмитовом пространстве — это множество всех комплексных чисел вида (Av,v), где и пробегает все векторы единичной длины. Понятие числового образа оператора ввёл Тёплиц в 1918 г.; он же доказал, что внешняя граница числового образа оператора —выпуклая кривая.
В 1921 г. Хаусдорф предложил метод суммирования расходящихся рядов, обобщающий методы суммирования Эйлера, Гёльдера и Чезаро.
Покончил с собой перед отправкой в концлагерь.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
275
Эли Жозеф Картан (1869—1951)
Эли Картан —отец Анри Картана. В 1894 г. он завершил классификацию полупростых алгебр Ли над комплексными числами, начатую Киллингом. Киллинг обнаружил, что возможны некоторые исключительные алгебры Ли, но не доказал, что они существуют. Построил их именно Картан. Он также дал строгие доказательства многих результатов Киллинга. Картан установил, что условием полупростоты алгебры Ли является невырожденность квадратичной формы Картана—Киллинга, а условием разрешимости — тождественное обращение этой формы в нуль. Для классификации он использовал так называемую подалгебру Картана: множество всех элементов, перестановочных с элементом общего вида (регулярным элементом). Позже Картан получил классификацию полупростых алгебр Ли над вещественными числами и нашёл все неприводимые представления простых алгебр Ли. Затем он обратился к представлениям полупростых алгебр Ли.
Между 1894 и 1904 годами Картан разработал приложения алгебры Грассмана к теории внешних дифференциальных форм. В1899 г., основываясь на алгебре Грассмана, дал определение дифференциальной формы на многообразии. Это определение было подготовлено работами Пуанкаре по интегрированию на многообразиях. Определил дифференциал (внешнюю производную) дифференциальной формы.
В 1896 г. вышла первая работа Картана по интегральным инвариантам.
В 1897 и 1898 г. вышли работы Картана об ассоциативных алгебрах. Он ввёл при этом следующие понятия для алгебр: прямая сумма, идеал, радикал, простая алгебра и полупростая алгебра (алгебра называется простой, если она не содержит нетривиальных идеалов, и полупростой, если она не содержит ненулевых нильпотент- ных идеалов). Картан получил следующую классификацию конечномерных ассоциативных алгебр над R и С: 1) любая алгебра раскладывается в прямую сумму нильпотентной и полупростой; 2) полупростая алгебра раскладывается в прямую сумму простых; 3) простая алгебра —это алгебра матриц с элементами из алгебры с делением. Все такие разложения и представления единственны с точностью до изоморфизма.
С1904 г. по 1909 г. Картан написал несколько статей о бесконечномерных обобщениях групп Ли — псевдогруппах Ли (они не являются группами, потому что не всегда определено произведение их


276
Глава 8. Вторая половина ХГХ века
элементов; но в малой окрестности единичного элемента произведение определено). Псевдогруппы Ли связаны с уравнениями в частных производных. Картан получил классификацию псевдогрупп Ли.
В 1910 г. Картан начал разрабатывать метод подвижного репера, развивая идеи Дарбу. Он вывел формулы преобразования репера в бесконечно близкий к нему репер в однородном пространстве и применил метод подвижного репера для изучения подмногообразий в однородных пространствах. При этом у него появились первые элементы проективной дифференциальной геометрии: проективная нормаль к кривой, проективная длина дуги и проективная кривизна кривой.
В1913 г. Картан построил теорию линейных представлений комплексных простых групп Ли. Он доказал, что любое представление комплексной полупростой группы Ли вполне приводимо и что неприводимое линейное представление комплексной полупростой группы Ли полностью определяется старшим весом этого представления. При изучении представлений групп ортогональных матриц Картан разработал теорию спиноров. Спиноры сыграли фундаментальную роль в квантовой механике. В 1938 г. Картан вернулся к теории спинорных представлений и посвятил ей книгу «Теория спиноров» (La Theorie des spineurs).
В1914 г. Картан получил классификацию вещественных простых групп Ли. Она гораздо сложнее классификации комплексных групп Ли, потому что у каждой комплексной группы Ли есть несколько вещественных форм (неизоморфных вещественных групп, ком- плексификации которых изоморфны). Картан доказал, что вещественная компактная группа Ли полупроста тогда и только тогда, когда квадратичная форма Картана—Киллинга отрицательно определена. Ввёл псевдоримановы пространства, метрика которых не является положительно определённой; показал, что некомпактные вещественные полупростые группы Ли являются псев- доримановыми пространствами относительно метрики Картана— Киллинга. В том же 1914 г. Картан построил теорию линейных представлений вещественных простых групп Ли и нашёл все неприводимые линейные представления этих групп. В 1929 г. Картан существенно упростил решение задачи классификации, используя разработанную им теорию симметрических римановых пространств.
В 1922 г. Картан привёл контрпример к лемме Пуанкаре (на современном языке: если dco = 0, то со = drj) в М3 \ 0. Лемма Пуанкаре верна только при ограничении на область определения формы.


Глава 8. Вторая половина ХГХ века
277
В1923 и 1924 годах Картан ввёл понятия пространств аффинной, конформной и проективной связности. Эти исследования впоследствии привели к общему понятию связности в расслоении.
В 1924 г. Картан ввёл группу голономии для риманова многообразия. Касательное пространство в некоторой точке можно перенести вдоль замкнутой кривой, вернувшись в исходную точку. При этом получится какое-то изометрическое отображение этого пространства на себя, не обязательно тождественное. Группа всех таких преобразований — это и есть группа голономии.
В 1925 г. Картан заметил, что двусторонняя симметрия корней группы Ап связана с принципом двойственности в проективной геометрии, и разработал принцип двойственности в пространствах, группами преобразований которых являются группы Dn (гг Ф 4) и Е6, и принцип тройственности для группы преобразований D4. Двойственность и тройственность связаны с тем, что диаграммы Дынкина групп Ап, Dn (п Ф 4) и Ев обладают двусторонней симметрией, а диаграмма Дынкина группы D4 — трёхсторонней.
В 1926 г. Картан начал изучать симметрические римановы пространства и к 1932 г. получил их классификацию. Риманово пространство называют симметрическим, если для каждой его точки 5 определена симметрия относительно этой точки и эта симметрия является изометрией. Симметрия относительно точки 5 определяется следующим образом: соединяем точку s с некоторой точкой х кратчайшей геодезической, проводим из точки 5 геодезическую той же длины в противоположном направлении и отображаем точку х в конец этой геодезической.
В 1927 г. Картан упростил доказательство того, что n-мерное вещественно аналитическое риманово многообразие можно локально
n(n + 1)
вложить в евклидово пространство размерности —^— с сохранением метрики, полученное Морисом Жане (1888—1983) в 1926 г.
В 1930 г. Картан доказал, что любая вещественная группа Ли гомеоморфна прямому произведению максимальной компактной подгруппы на евклидово пространство. При изучении инвариантов компактных вещественных простых групп Ли ввёл многочлен Ybktn~k, где bk — число Бетти; этот многочлен Картан назвал мно-
k
гочленом Пуанкаре.


Литература
[1] Акивис М.А., Розенфельд Б.А. Эли Картан (1869—1951). М.: МЦНМО, 2007.
[2] Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963.
[3] Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М.: ГИФМЛ, 1960.
[4] История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. Том третий. Математика XVIII столетия. М.: Наука, 1972.
[5] Кантор Г. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985.
[6] Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 1. М.: Наука, 1989.
[7] Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 2. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
[8] Математика XIX века / Под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича.
Книга 1. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. М.: Наука, 1978.
Книга 2. Геометрия. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1981.
Книга 3. Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. М.: Наука, 1987.
[9] Монж Г. Приложение анализа к геометрии. М.; Л.: ОНТИ, 1936.
[10] Монж Г. Начертательная геометрия. Издательство АН СССР, 1947.
[11] Научное наследие П. Л. Чебышева. Вып. 1. Математика. Издательство АН СССР, 1945.
[12] Об основаниях геометрии: Сборник классических работ по геометрии Лобачевского / Под ред. А. П. Нордена. М.: ГИТТЛ, 1956.


Литература 279
[13] Паплаускас А. Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. М.: Наука, 1966.
[14] Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука, Т. 1 (1971), Т. 2 (1972), Т. 3 (1974).
[15] Риман Б. Сочинения. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948.
[16] Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. Харьков: НТИ Украины, 1937.
[17] Чебышев П. Л. Избранные труды. Издательство АН СССР, 1955.
[18] Fellmann Е. A. Leonhard Euler. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser,
2007.
[19] Forsyth A. R. Theory of differential equations. V. 1—6. Cambridge, 1890-1906.
[20] Gray J. Linear differential equations and group theory from Riemann to Poincare. Birkhauser, 2000.
[21] Gray J. Worlds out of nothing. A course in the history of geometry in the 19th century. Springer, 2007.
[22] History of topology / Ed. I. M. James. Elsevier, 1999.
[23] Iwasaki K., Kimura H., Shimomura Sh., Yoshida M. From Gauss to Painleve: A modern theory of special functions. Braunschweig: Vieweg, 1991.
[24] Kline M. Mathematical thought from ancient to modern times. New York: Oxford Univ. Press, 1972.
[25] Kleiner I. A History of Abstract Algebra. Boston: Birkhauser, 2007.
[26] Landmark Writings in Western Mathematics 1640—1940 / Ed. I. Grattan-Guinness. Amsterdam: Elsevier, 2005.
[27] Laugwitz D. Bernhard Riemann (1826—1866). Tbrning Points in the Conception of Mathematics. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser,
2008.
[28] Lemmermeyer F. Reciprocity laws: from Euler to Eisenstein. Berlin; Heidelberg: Springer, 2000.
[29] Leonhard Euler: Life, Work and Legacy / Ed. Robert E. Bradley, C. Edward Sandifer. Amsterdam: Elsevier, 2007. (Studies in the History and Philosophy of Mathematics; V. 5).


280
Литература
[30] Muir Т. The theory of determinants in the historical order of development. London: Macmillan. V. 1. General and special determinants up to 1841 (1906); V. 2. The period 1841 to 1860 (1911); V. 3. The period 1861 to 1880 (1920); V. 4. The period 1880 to 1900 (1923).
[31] Stedall J. From Cardano’s Great Art to Lagrange’s reflections: filling a gap in the history of algebra. Ziirich: European Math. Soc., 2011. (Heritage of European Mathematics).
[32] Varadarajan V.S. Euler Through Time: A New Look at Old Themes. Providence, RI: AMS, 2006.
[33] Weil A. Number Theory. An approach through history from Hammurapi to Legendre. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1984.


Предметный указатель
27 прямых на кубической поверхности, 153,161,165,194, 215
28 двойных касательных, 124, 151, 215
р-адические числа, 258, 267 Theorema Egregium, 89
абелев интеграл, 126,178 абелева группа, 127 абсолют, 166, 230 абсолютная
— геометрия, 130
— единица длины, 47 автоморфизм Фробениуса, 227 автоморфные функции, 232, 235,
238
аксиома
— Архимеда, 246, 262
— Паша, 215 аксиомы
— арифметики, 191, 225, 253
— геометрии, 215, 262 алгебра
— ассоциативная, 145, 275
— Буля, 155
— Грассмана, 145
— Клиффорда, 192, 216
— Ли, 223,249, 259
исключительная, 224, 275
полупростая, 275
— полупростая, 275
— простая, 275 алгебраический анализ, 55 алгебраическое число, 188
— целое, 171 алгоритм
— Евклида, 117
— Кронекера, 173 алеф, 220
альтернатива Фредгольма, 270 анализ главных компонент, 253 аналитическая
— геометрия, 57,117
— теория непрерывных дробей, 197
аналитическое продолжение, 155, 161
ангармоническое отношение, 113 апостериорная вероятность, 17 аппроксимации
— Паде, 212, 227, 265
— Паде—Эрмита, 169 аппроксимация, 138,173, 254 априорная вероятность, 17 арифметико-геометрическое
среднее, 87 арифметический род, 193 асимптотическое приближение, 137
ассоциативность, 140,141,145 астральная геометрия, 91 аффинное преобразование, 34,
41
бельтрамиевы координаты, 199 бесконечно удалённая точка, 40 бета-функция, 23 билинейные соотношения Римана, 178 бирациональные
преобразования, 178,186,193, 216, 221, 245, 260, 264, 269 брахистохрона, 29 бутылка Клейна, 232


282
Предметный указатель
вариационное исчисление, 29, 52, 55
вековое уравнение, 60,105 вектор, 140,187 векторное
— произведение, 140, 206
— пространство, 253 вероятность, 44 вложение Сегре, 264 внутренняя геометрия, 254 вполне геодезическое
подмногообразие, 270 вронскиан, 93,186 всюду плотное множество, 192
гамма-функция, 22 гармонический набор точек, 99 гауссова кривизна, 116 гауссово сферическое отображение, 89,116 гауссовы
— суммы, 84
— целые числа, 84 геликоид, 68
геодезическая, 33, 41, 61,147
— кривизна, 141,160 геодезические на эллипсоиде, 67,
134
геометрическая теория вероятностей, 40 геометрический род, 193 геометрия
— внутренняя, 89,141
— Лобачевского, 8, 46,109,116, 129,142
— многомерная, 90,132,139,144, 152,165
— проективная, 99
— чисел, 138, 266 гессиан, 151
гиперболическая геометрия, 109, 130, 231
гиперболические функции, 19, 47 гиперболический параболоид, 35
гипергеометрическая функция, 28, 87,148 гипергеометрический ряд, 28, 70 гипергеометрическое уравнение, 28,70
гипердетерминант, 165 гипотеза
— Бёрнсайда, 236
— Гольдбаха, 13
— Каталана, 152
— Мальфатти, 49
— Пуанкаре, 244
— Римана, 184 главная форма, 82
главное значение интеграла, 104 главный идеал, 188 гомологии, 177, 243 гомологичные кривые, 245 гомоморфизм, 203 гомотопия, 204 гомотопные кривые, 245 граф, 154,166
— гамильтонов, 140,142
— Петерсена, 207
— эйлеров, 140 группа, 82,151,165
— абстрактная, 172, 227, 249
— Галуа, 150
— голономии, 277
— единиц, 137
— Ли, 209
простая, 276
— Пикара, 251
— подстановок, 69
— простая, 198 групповая алгебра, 165
двойная
— касательная, 135
— точка, 15
двойное отношение, 67,113,119 двойственность, 100,122
— Пуанкаре, 243, 244
— Фробениуса, 228


Предметный указатель
283
дедекиндово сечение, 189 деление
— круга, 82
— лемнискаты, 84,127 дерево, 175
деривационные формулы Вейнгартена, 200 детерминант, 82 джойн, 244 дзета-функция, 25, 26
— Дедекинда, 189
— Римана, 183, 246, 269 диагональный метод Кантора,
219
диаграмма
— Аргана, 73
— Венна, 197
— гауссова, 93 дивизор, 172, 221, 246 дискриминант, 154
— квадратичной формы, 53 дистрибутивность, 74,145 дифференциальная форма, 244,
275
дифференциальные параметры Бельтрами, 142,198 дифференцирование дробного порядка, 72,146,181
жёсткость многогранников, 101 жорданова нормальная форма, 203
задача
— Аполлония, 74
— Дирихле, 137
— Коши, 105
— Крамера—Кастильона, 19
— Плато, 125
— Пфаффа, 145
— трёх тел, 42,135, 202, 241
— Фаньяно, 42 закон
— больших чисел, 95,164
— взаимности
биквадратичный, 133,170
Гильберта, 262
кубический, 170
общий, 170
Эйзенштейна, 170
— инерции, 154
— распределения простых чисел, 184, 269, 272
законы
— взаимности, 84
— Моргана, 141 замыкание, 273 звезда, 221
звёздчатый многогранник, 75 золотое сечение, 112
идеал, 148,188 идемпотентный элемент, 145 изомонодромные преобразования, 267 изоморфизм, 203 изопериметрическая задача, 118, 214, 255, 268 изотермические координаты, 88 инвариант, 154
— Цейтена—Сегре, 264 инвариантная мера, 255 инволюция, 99 индекс, 80
индикатриса Дюпена, 97 индуцированное представление, 228 интеграл
— Дарбу, 211
— Коши, 86
— Лебега, 272
— Пуассона, 95
— Римана, 181
— Стилтьеса, 248
— Фурье, 72
интегральная геометрия, 185 интегральное
— подмногообразие, 209
— уравнение, 125


284
Предметный указатель
интегральные уравнения, 257, 263, 270 интегральный
— косинус, 62
— логарифм, 62
— синус, 62 интегрирование
— в конечном виде, 146
— по частям, 12 интегрирующий множитель, 27,
42
интерполяционная формула Лагранжа, 51, 55 интерполяционный многочлен
— Лагранжа, 169
— Эрмита, 169 интерполяция, 256 инфинитезимальная изометрия,
224
исключение неизвестных, 47 исчезающие циклы, 251 исчислительная геометрия, 224
канонические преобразования, 133
кардинальное число, 219 катеноид, 34, 68 квадратичный закон
взаимности, 32, 64, 66, 80-82, 171, 222 квадратура круга, 236 кватернион, 140,187 класс кривой, 123 ковариант, 154 ковариантное
дифференцирование, 237 когомологии, 244 комбинаторная топология, 242 коммутативность, 74 комплексное умножение, 127,133 комплексные числа, 30, 44, 57,
73, 86,139 композиционный ряд, 204 композиция форм, 82
конечное поле, 149 константа Швейкарта, 94 контактные преобразования, 208, 209, 220 континуум-гипотеза, 218, 219 конформное
— отображение, 36, 44,157
— преобразование, 147 координаты
— барицентрические, 105
— однородные, 105
— Плюккера, 124
— тангенциальные, 122 коэффициент зацепления, 93 коэффициенты
— Клебша—Гордана, 193, 202
— кручения, 243 кремоново преобразование, 186 кривая Пеано, 253 кривизна, 36, 74, 98
— гауссова, 89
криволинейные координаты, 117 кривые Бертрана, 167 кристаллографическая группа, 238 критерий
— Коши, 96
— Сильвестра, 154
— согласия Пирсона, 252
— хи-квадрат, 252 круги
— Мальфатти, 49
— Эйлера, 39
круговые преобразования, 106 кручение, 74
кубическая кривая, 14, 40,41 лемма
— Гаусса, 80, 90
— Минковского, 266
— Пуанкаре, 244, 253, 276
— Шварца, 213, 256 лемниската, 10, 67, 87 линейная система, 221


Предметный указатель
285
линия кривизны, 97,116 лист Мёбиуса, 107,143 логарифмическая функция, 9, 26, 30
малая теорема Ферма, 31 малые знаменатели, 242 математическая индукция, 141 математическое ожидание, 61 матрица, 153,166
— Адамара, 269
— ганкелева, 206
— Грама, 233
— ортогональная, 132
— Пика, 256
— положительная, 229
— Сильвестра, 153 мера, 274
— Жордана, 205 метод
— Гаусса, 82
— Лобачевского—Греффе, 115
— мажорант, 104,155
— множителей Лагранжа, 56
— наименьших квадратов, 66, 90
— подвижного репера, 212, 276 метрика
— Минковского, 267
— Фубини—Штуди, 259
— Хаусдорфа, 274 метрическое пространство, 273 минимальная поверхность, 34,
53, 59, 68
— Каталана, 152
— линейчатая, 152
— Шварца, 213 минор, 153 мнимая сфера, 46 многогранник, 153 многообразие, 180, 243
— Грассмана, 224
— постоянной кривизны, 180
— Сегре, 264
— Шуберта, 224
многоугольные числа, 103 многочлен
— деления круга, 82
— неприводимый, 82
— Пуанкаре, 277 многочлены
— Лагерра, 197
— Лежандра, 62, 64,117
— ортогональные, 163,169
— Чебышева, 163
— Эрмита, 169
— Якоби, 135 множество, 96
— вполне упорядоченное, 218
— всюду плотное, 218
— канторово, 184, 219
— компактное, 162
— совершенное, 217 модель
— геометрии Лобачевского, 180, 199, 230, 239
— Клейна, 230
— Пуанкаре, 239
модуль комплексного числа, 73 модулярная
— группа, 150,153,189
— функция, 150,153,189 модулярное уравнение, 150 моменты, 164, 248 монодромия, 182,183,195, 203,
251, 263, 267 мост графа, 206 мощность множества, 218
начертательная геометрия, 57 неархимедова геометрия, 246 неголономная система, 252 неевклидова геометрия, 75, 90, 94,112
некоммутативные определители, 248
неотрицательный многочлен,
260


286
Предметный указатель
непрерывная дробь, 9,10, 29, 31, 32, 53,128,149, 248, 259, 266, 273
непрерывность, 103
— равномерная, 162 неприводимое
дифференциальное уравнение, 226
неприводимость, 149 неравенство
— Адамара, 269
— Бьенэме—Чебышева, 164
— Виртингера, 268
— Гарнака, 234
— Гёльдера, 256, 259
— Йенсена, 255
— Коши—Буняковского— Шварца, 135, 214
— Минковского, 266
— Римана, 179
— Фробениуса, 227
— Чебышева, 170 нильпотентный элемент, 145 нормальная подгруппа, 151 нормальная форма Смита, 184 нормальное распределение, 6, 78 нормальные координаты
Римана, 180 нормирование, 267
область
— Дирихле, 138
— Дирихле—Вороного, 273 обозначение предела, 63 обращение абелевых
интегралов, 132 огибающая плоскость, 59 однородные координаты, 124 односвязная поверхность, 177 октавы, 141,165 оператор набла, 140 определение функции, 136 определённый интеграл, 62 определитель
— бесконечного порядка, 72
— Вандермонда, 49,102
— Смита, 184 ординальное число, 219 ориентируемость, 250 орисфера, 110,129 орицикл, 110,129 ортогонализация
Грама—Шмидта, 233 ортогональные многочлены, 64 ортотреугольник, 42 основная теорема алгебры, 37, 43, 73, 77, 85 особая точка, 14, 40 особое решение дифференциального уравнения, 12, 41, 56, 62 остаточный член в форме Лагранжа, 56 отображение
— Веронезе, 246
— Пуанкаре, 241
пантограф, 73
параболическая геометрия, 231 парадокс
— Бертрана, 167
— Крамера, 18
— Хаусдорфа, 274 параллели Клиффорда, 216 первая квадратичная форма, 88 первообразный корень, 33, 47,
80, 83
период абелева интеграла, 161 периодические дроби, 45 перспектива, 12 поверхность
— Веронезе, 246
— Лиувилля, 148
— постоянной кривизны, 142
— Штейнера, 119 подалгебра Картана, 224, 275 подгруппа Фраттини, 235, 247 поле, 211


Предметный указатель
287
— нормированное, 267
— разложения многочлена, 172 полюс, 74, 99
поляра, 10,16, 74, 99,119 полярное соответствие, 96 порядок кривой, 123 последняя геометрическая теорема Пуанкаре, 242 последовательность
— Туэ—Морса, 264
— Фарея, 70 постоянная
— Эйлера, 24, 62
— Эйлера—Маскерони, 62
— Эрмита, 168 построения
— одним циркулем, 62,100
— одной линейкой, 46, 62,118
— правильных многоугольников, 83
постулат Бертрана, 163,167 потенциал, 112
почти периодическая функция, 268 правило
— знаков Декарта, 40, 72
— Крамера, 18 предел, 44
пределы интегрирования, 62 предельная точка, 217 предельные теоремы Муавра—Лапласа, 6 предельный цикл, 240, 258 преобразование
— Абеля, 126
— Бэклунда, 220
— Ландена, 45
— Лапласа, 60
— Лежандра, 29
— Меллина, 247
— Чирнгауза, 51 преобразования
— Лоренца, 238
— Мёбиуса, 106
признак
— Даламбера, 44
— Дини, 220 принцип
— Даламбера, 43
— двойственности, 74, 96
— Дирихле, 138,177, 213, 263  вариационный, 156
— Дирихле для дифференциальных уравнений, 138
— наименьшего действия, 14
— непрерывности Понселе, 100
— Римана—Шварца, 212
— Якоби, 133 проблема
— Бертрана, 167
— Варинга, 51, 263
— Гильберта
12-я, 172
17-я, 260
21-я, 182
22-я, 240
23-я, 267
8-я, 31,184
— Гольдбаха, 31
— Римана, 263
— Римана—Гильберта, 182
— Шоттки, 235 проблемы
— Гильберта, 262
— Кузена, 272 проективная
— геометрия, 74, 99,113,119,166
— дифференциальная геометрия, 276
производная, 44
— Шварца, 213
производящая функция, 7, 38, 39, 61
простая группа, 151 прямая
— Симеона, 73
— Эйлера, 36


288
Предметный указатель
псевдогруппа Ли, 275 псевдосфера, 142 путь Дика, 250 пфаффиан, 70,131 пятый постулат Евклида, 8, 42, 65, 91,108
равномерная сходимость, 126 равносоставленные фигуры, 75 радиус кривизны, 34
— сечения, 68
развёртывающиеся поверхности, 57
разделение переменных, 28 размерность, 189, 218
— по Хаусдорфу, 274 разрешимая группа, 151
— Ли, 210
разрешимость в радикалах, 83, 151
ранг матрицы, 227 распределение
— гауссово, 90
— Коши, 95,105
— нормальное, 90
— Пуассона, 95
расходящийся ряд, 197, 221, 227, 242, 253, 255, 271-274 ребро возврата, 59 резольвента, 37, 48
— Лагранжа, 50, 54, 68 результант, 38,153 рекуррентные
последовательности, 6 риманова
— метрика, 180
— поверхность, 177,191, 210, 232 римская поверхность, 119
род кривой, 15,193 ряд
— Дирихле, 136
— для факториала, 14
— Лорана, 152,155
— Маклорена, 11,15
— расходящийся, 12
— Тейлора, 11,15
— тригонометрический, 17, 26,
42-44
— Фурье, 70,136,181,187, 205, 217, 255, 272
— Эйлера—Маклорена, 16, 24 ряды Эйзенштейна, 171
связность в расслоении, 277 секционная кривизна, 180 сети Чебышева, 164 символ
— Кристоффеля, 186
— Кронекера, 172
— Лежандра, 66, 81
— Шлефли, 153 симметризация Штейнера, 118 симметрическая группа, 102 симметрические функции, 51 симметрическое пространство,
277
система
— линейных уравнений, 82
— Штейнера, 119,123,142 скалярное произведение, 140,
206
скобка Пуассона, 94 случай
— Ковалевской, 233
— Лагранжа, 54
— Эйлера, 28
— Эйлера—Пуансо, 75 сопряжённая точка на
геодезической, 134 спектр оператора, 263 спинор, 276
спинорное представление, 192 спорадические простые группы, 198
сравнения, 80
стереографическая проекция, 115,179 сумма


Предметный указатель
289
— Дедекинда, 190
— Минковского, 266 сфера
— Пуанкаре, 244
— Римана, 179
сферическая геометрия, 56, 64, 66
схема Горнера, 69, 98 сходимость
— равномерная, 156
— ряда, 88,103,126,157
— тригонометрического ряда, 136
— условная, 138
таблица
— Венна, 197
— Паде, 266 тензор
— кривизны, 180
— Римана, 249
— Риччи, 237 теорема
— Абеля, 126,193
— Адамара
о лакунах, 269
о трёх кругах, 270
— Безу, 48
— Больцано—Вейерштрасса, 96
— Брауэра, 268
— Брианшона, 96
— Брунна—Минковского, 266
— Вильсона, 53
— Гамильтона—Кэли, 140,166
— Гаусса—Бонне, 89,159
— Гаусса—Люка, 207
— Гильберта
90, 261
о базисе, 260
о неприводимости, 261
о нулях, 260
— Дарбу, 211
— Дюпена, 97
— Жордана, 205, 238
— Жордана—Гёльдера, 203, 204, 256
— Кантора—Бернштейна, 218
— Карно, 67
— Клеро, 41
— Коши, 103
— Кронекера—Вебера, 172, 210, 261
— Кронекера—Капелли, 191, 247
— Кэли, 165
— Лагранжа, 54
— Лапласа, 60
— Лиувилля, 105,147, 264
— Люрота, 216
— Машке, 237
— Монжа, 58
— Морли, 257
— о конечном покрытии отрезка, 273
— о конечном приращении, 56
— о неявной функции, 220
— об арифметической прогрессии, 136
— обращения Якоби, 132
— Парсеваля, 68
— Перрона—Фробениуса, 229
— Петерсена—Морли, 257
— Пифагора пространственная, 59
— плотности Фробениуса, 227
— Польке—Шварца, 213
— Понселе, 100
— Птолемея, 56
— Пуанкаре—Бендиксона, 240
— Рауса, 188
— Рауса—Гурвица, 254
— Римана об устранимой особенности, 177
— Римана—Роха, 179,191, 205, 216
— Руше, 192
— сложения эллиптических интегралов, 26
— сравнения Штурма, 131


290
Предметный указатель
— Стокса, 160,175, 253
— Стюарта, 43
— Ферма
Великая, 148
— Фробениуса, 226
— Шоттки, 235
— Эйлера  о выпуклых
многогранниках, 66
о многогранниках, 35, 63,
101,120
о пятиугольных числах, 39
— Якоби, 134 теоремы
— Гарнака, 234
— Силова, 193, 227 теория
— алгебр, 156
— вероятностей, 6,17, 61
— вычетов, 102
— Галуа, 146,159,173, 203, 211
— графов, 206
— доказательств, 263
— инвариантов, 134,154,158, 166, 202, 260
— конечных разностей, 12
— Морса, 244
— ошибок, 90
— Пикара—Вессио, 251, 268
— полей, 151
— полей классов, 210
— Штурма—Лиувилля, 131,145 тетраэдры Мёбиуса, 106 тождества
— Капелли, 248
— Роджерса—Рамануджана, 259 тождество
— Бьянки, 249
— Сильвестра, 153
— Эйлера, 32
— Якоби, 135
для определителя, 133
— Якоби—Труди, 134
топологическое пространство, 273
топология, 96,143 точка
— ветвления, 161,177
— Жергонна, 74
— Микеля, 73
— неопределённое™, 196
— существенно особая, 157,161 трансцендентное число, 67 трансцендентность числа
— я, 236
— е, 170
трансцендентные числа, 146 тригонометрический ряд, 70 трисектриса, 257 тэта-функция, 132,133,179
угловой дефект, 46
— треугольника, 66 углы Эйлера, 34
угол параллельности, 110 узел, 93,142,143,188, 268 уникурсальная кривая, 15,107 униформизация, 239 упаковка шаров, 169, 202 уравнение
— Абеля, 125
— Бернулли, 17
— Бесселя, 96
— Брио—Буке, 158
— Даламбера, 43
— движения жидкости, 28
— Клеро, 41
— колебаний струны, 29, 43
— Кортевега—де Фриза, 226
— Кортевега—де Фриза, 271
— Коши, 103
— Лапласа, 62
— малых колебаний струны, 12
— Маркова, 249
— Матьё, 198
— Навье—Стокса, 160
— Пелля, 33


Предметный указатель
291
— Пенлеве, 265
— Пикара—Фукса, 195
— Пуассона, 95
— пятой степени, 169,172,173, 175, 211, 232
в форме Бринга, 51
— Риккати, 9,13, 29,146,196, 235
— струны, 17
— теплопроводности, 71
— Ферма—Пелля, 53
— функциональное, 103
— Хилла, 203
— шестой степени, 175, 237
— Эйлера—Лагранжа, 29
— Эйлера—Остроградского, 122
— Эйлера—Пуассона, 29
— Якоби, 133 уравнения
— в частных производных, 28
— Гамильтона, 139
— Гамильтона—Якоби, 134,139
— движения твёрдого тела, 28
— канонические, 139
— Лотки—Вольтерры, 258
— Майнарди—Кодацци, 175,185
— Петерсона—Кодацци, 175,185
— Пикара—Фукса, 251 условие Якоби, 133 условия
— Коши—Римана, 30, 44,105,176
— Липшица, 192
— Нётера, 216 усреднение, 254 устойчивость, 188, 252, 254
— асимптотическая, 252 устойчивость Солнечной
системы, 61
факторгруппа, 256 факторный анализ, 265 форма Киллинга, 224 формула
— Байеса, 18
— Бейкера—Кэмпбелла— Хаусдорфа, 273
— Бине—Коши, 98,101
— Брахмагупты, 56
— Герона, 64
— Кристоффеля—Шварца, 186, 212
— Крофтона, 185
— Лагерра, 197
— Лагранжа, 55
— Люилье, 64
— Муавра, 6
— Мэчина, 9
— обращения  Мёбиуса, 106
— Пика, 256
— Римана—Гурвица, 178, 254
— Симпсона, 40
— Стирлинга, 7,14
— суммирования Пуассона, 95
— Фаа-ди-Бруно, 176
— Эйлера, 9, 30, 75, 204 формулы
— Варинга, 51
— Мольвейде, 74
— Плюккера, 123,151
— Родрига, 116
— Серре—Френе, 158,159, 204
— Френе, 36,158 фуксова группа, 196 фуксовы уравнения, 194 фундаментальная
— группа, 162, 242, 268
— область, 153,190
— последовательность, 219
— система решений, 195 функции
— Бесселя, 96,153
— Ламе, 117
— Шура, 103,134 функционал, 257 функция
— Вейерштрасса, 157  для функционала, 157
— Грина, 112
— Дирихле, 136


292
Предметный указатель
— Мёбиуса, 106
— Миттаг-Леффлера, 221
— ограниченной вариации, 205, 272
— производящая, 166
— Хевисайда, 234
— Эйлера, 31
хаос, 241
характер группы, 228 характеристики, 59 характеристическая функция, 272
характеристическое уравнение, 27, 224
хаусдорфово пространство, 274
централизатор, 103 центральная предельная теорема, 249, 252 цепи Маркова, 249 цепная линия, 34 циклида Дюпена, 97, 209 циклические точки, 99,113,122 цилиндрические функции, 97
частично упорядоченное множество, 273 четырёхугольник Саккери, 8 числа
— Бернулли, 24, 25
— Бетти, 173,174
— Каталана, 39,152
— Кэли, 141,165
— Стирлинга, 14
— Эйлера, 26 число
— е, 16, 27
— классов форм, 82,137 числовое поле, 188 числовой образ оператора, 274
шарнирный механизм, 229 шварциан, 213
эйлерова характеристика, 244, 249
эквивалентные формы, 53, 81 эквидистанта, 8
элементарные делители, 154,157 эллипс Штейнера, 37,119 эллиптическая геометрия, 231 эллиптические
— интегралы, 10, 26, 53, 64, 87, 126
в форме Лежандра, 64
— функции, 87,127,132,147,157, 158
эллиптическое уравнение, 187 Эрлангенская программа, 231 эрмитова форма, 169 эта-функция Дедекинда, 190
ядро Дирихле, 136 якобиан, 102,132,134


Указатель имён
Абель (Niels Henrik Abel, 1802-1829) 37, 67, 69, 76, 83, 84, 87, 94,125-128, 163,168,178,193, 271 Адамар (Jacques Salomon Hadamard, 1865—1963) 162,184, 269-270, 272 Альфан (Georges Henri Halphen, 1844—1889) 15 Аполлоний Пергский (Apollonius, 262—190 до н. э.) 74 Аппель (Kenneth Appel, 1932—2013) 229 Арбогаст (Louis Arbogast, 1759—1803) 176 Арган (Jean-Robert Argand, 1768—1822) 57, 73, 86 Аристотель (Aristotle, 384—322 до н. э.) 39 Аронгольд (Siegfried Heinrich Aronhold, 1819—1884) 158-159 Артин (Emil Artin, 1898—1962) 260, 268 Арцела (Cesare Arzela, 1847—1912) 223 Асколи (Giulio Ascoli, 1843—1896) 223 Байес (Thomas Bayes, 1701—1761) 17-18, 61 Банах (Stefan Banach, 1892—1945) 274
Бартельс (Johann Christian Martin Bartels, 1769—1836) 77, 91,108 Безу (Etienne Bezout, 1730—1783) 15, 47-49
Бельтрами (Eugenio Beltrami, 1835—1900) 109,142,174,180,198-200, 230, 239
Бендиксон (Ivar Otto Bendixson, 1861—1935) 240, 258 Беркли (George Berkeley, 1685—1753) 10-11,15 Бернайс (Paul Bernays, 1888—1977) 263
Бернулли Даниил (Daniel Bernoulli, 1700—1782) 9,16-17,19, 23,43, 97 Бернулли Иоганн (Johann Bernoulli, 1667—1748) 10,12,16,19, 30, 33 Бернулли Николай (Nicolaus Bernoulli, 1687—1759) 12-13,19, 23, 30, 85 Бернулли Якоб (Jacob Bernoulli, 1654—1705) 6, 7,10,12, 24, 25, 95 Бернштейн (Felix Bernstein, 1878—1956) 218 Бертини (Eugenio Bertini, 1846—1933) 221-222 Бертран (Joseph Bertrand, 1822—1900) 163,167
Бессель (Friedrich Wilhelm Bessel, 1784—1846) 86, 87, 91, 96-97,105,153 Бетти (Enrico Betti, 1823-1892) 173-174,176,177, 243-245, 277 Бёрнсайд (William Burnside, 1852—1927) 236 Бине (Jacques Philippe Marie Binet, 1786—1856) 98,101 Биркгоф (George David Birkhoff, 1884—1944) 242 Бойяи Фаркаш (Farkas Bolyai, 1775—1856) 74-75, 77, 86, 91,108,128,139 Бойяи Янош (J&nos Bolyai, 1802-1860) 74, 90, 92, 93,109,128-130,139, 200, 229
Боль Пирс Георгиевич (1865—1921) 268 Больцано (Bernard Bolzano, 1781—1848) 95-96,157


294
Указатель имён
Бонне (Pierre Ossian Bonnet, 1819—1892) 89,141,159-160 Борель (Emile Borel, 1871-1956) 162, 273 Брауэр (Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881—1966) 268 Брахмагупта (Brahmagupta, 598—670) 56 Брианшон (Charles Julien Brianchon, 1783—1864) 96, 98,115,118 Бринг (Erland Samuel Bring, 1736—1798) 51-52,169 Брио (Charles Briot, 1817-1882) 158,159 Бриоски (Francesco Brioschi, 1824—1897) 175, 237 Брунн (Hermann Brunn, 1862—1939) 266 Брунс (Ernst Heinrich Bruns, 1848—1919) 225 Бугаев Николай Васильевич (1837—1903) 201 Буке (Jean-Claude Bouquet, 1819—1885) 158,159 Буль (George Boole, 1815—1864) 155,197 Буняковский Виктор Яковлевич (1804—1889) 135 Бьенэме Огёпёе-Jules Bienayme, 1796—1878) 164 Бьянки (Luigi Bianchi, 1856—1928) 249 Бэклунд (Albert Victor Backlund, 1845—1922) 220 Бюффон (Georges-Louis Leclerc de Buffon, 1707—1788) 39-40 Валле-Пуссен (Charles-Jean de La Vallee Poussin, 1866—1962) 162, 269, 272 Вандермонд (Alexandre-Theophile Vandermonde, 1735—1796) 49-50,102 Ванцель (Pierre-Laurent Wantzel, 1814—1848) 152 Ван дер Варден (Bartel Leendert van der Waerden, 1903—1996) 224 Варинг (Edward Waring, 1736-1798) 51, 53, 55 Вебер (Heinrich Martin Weber, 1842-1913) 153,172,191, 210-211, 261 Вейерштрасс (Karl Theodor Wilhelm Weierstraft, 1815—1897) 96,103,118,138, 152,155-157,161,173,176-178,198, 212, 217, 232, 233, 258 Вейнгартен (Julius Weingarten, 1836—1910) 200-201 Вейр (Eduard Weyr, 1852-1903) 235 Венн (John Venn, 1834-1923) 197 Веронезе (Giuseppe Veronese, 1854—1917) 246 Вессель (Caspar Wessel, 1745-1818) 57, 73, 86 Вессио (Ernest Vessiot, 1865—1952) 251, 268 Вильсон (John Wilson, 1741—1793) 53 Виртингер (Wilhelm Wirtinger, 1865—1945) 268 Вольтерра (Vito Volterra, 1860—1940) 257-258 Вороной Георгий Феодосьевич (1868—1908) 273 Вронский (Jozef Hoene-Wronski, 1776—1853) 93-94 Габриэри (Giovanni Gabrieri, 1849—1931) 247
Галуа (Evariste Galois, 1811-1832) 76, 80, 83,103,126,127,146,149-151,159, 171-173, 203, 208-211, 227, 261 Гамбье (Bertrand Gambier, 1879—1954) 265
Гамильтон (William Rowan Hamilton, 1805—1865) 86,134,139-140,141-143, 165,166,187, 206, 216, 233 Ганкель (Hermann Hankel, 1839—1873) 206


Указатель имён
295
Гарнак (Axel Harnack, 1851—1888) 234, 261
Гаусс (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 32, 37,45, 50, 53, 64, 66, 70, 74, 76, 77-93, 94,105,108,109,112,116,127-131,135-139,144,151,159,170,172,
176,177,179,180,182,185, 207 Гейзер (Carl Friedrich Geiser, 1843—1934) 215 Гейне (Heinrich Eduard Heine, 1821—1881) 162 Гельфготт (Harald And^s Helfgott, p. 1977) 13 Гензель (Kurt Hensel, 1861—1941) 258 Герц (Heinrich Hertz, 1857-1894) 252 Гессе (Ludwig Otto Hesse, 1811-1874) 124,151
Гёльдер (Otto Ludwig Holder, 1859-1937) 203, 204, 255, 255-256, 259, 274 Гиббс (Josiah Willard Gibbs, 1839-1903) 187, 206, 233 Гильберт (David Hilbert, 1862-1943) 51,172,182,184, 202, 210, 240, 259-263, 270
Гольдбах (Christian Goldbach, 1690-1764) 13,16, 20, 22, 26, 27, 30, 32, 35, 39, 85
Гордан (Paul Albert Gordan, 1837-1912) 193, 202, 260 Горнер (William George Horner, 1786—1837) 69, 98 Грам (Jorgen Pedersen Gram, 1850—1916) 233 Гранди (Luigi Guido Grandi, 1671—1742) 5
Грассман (Hermann Grafimann, 1809—1877) 143-145, 206, 216, 217, 224, 233, 253, 275
Грейвс (John Graves, 1806-1870) 141,165
Греффе (Karl Heinrich Graffe, 1799-1873) 112,115
Грин (George Green, 1793-1841) 105,112-113,121
Гурвиц (Adolf Hurwitz, 1859-1919) 157,178,188, 214, 254-255, 260
Гурса (Edouard Goursat, 1858—1936) 244, 253
Даламбер (Jean Le Rond d’Alembert, 1717—1783) 17, 21, 27, 30, 36, 37, 42,
43-45, 71, 76, 85,177 Данделен (Germinal Pierre Dandelin, 1794—1847) 112,114-115 Дарбу (Jean Gaston Darboux, 1842—1917) 208, 211-212, 276 Дедекинд (Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831—1916) 79,138,173,188-191, 210, 217, 218, 222, 228, 253, 261 Декарт фепё Descartes, 1596—1650) 14, 35, 40, 60, 72 Ден (Max Dehn, 1878-1952) 262 Джевонс (William Stanley Jevons, 1835—1882) 197,198 Джеррард (George Birch Jerrard, 1804—1863) 51 Дидро (Denis Diderot, 1713—1784) 76 Дик (Walther von Dyck, 1856-1934) 249-250 Дини (Ulisse Dini, 1845-1918) 220
Дирихле (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805—1859) 64, 82, 84, 94,118, 135-139,148,153,156,162,171,173,176,177,181,187-190,192, 205, 213, 228, 261, 263, 273 Доджсон (Charles Dodgson, 1832—1898) 191


296
Указатель имён
Дюбуа-Реймон (Paul David Gustave du Bois-Reymond, 1831—1889) 187
Дюпен (Charles Dupin, 1784—1873) 36, 97-98, 209
Евклид (Euclid, 325—265 до н. э.) 8, 214
Ельмслев (Johannes Hjelmslev, 1873—1950) 257
Жане (Maurice Janet, 1888—1983) 277
Жергонн (Joseph Diaz Gergonne, 1771—1859) 73, 74,100,101,122,123 Жирар (Albert Girard, 1595-1632) 51
Жордан (Camille Jordan, 1838-1922) 157,183, 203-205, 208, 238, 256
Зигель (Carl Ludwig Siegel, 1896—1981) 264
Зсшотарёв Егор Иванович (1847—1878) 173, 201, 202, 222-223, 248
Йенсен (Johan Jensen, 1859—1925) 255
Казорати (Felice Casorati, 1835—1890) 198, 212
Кантор (Georg Cantor, 1845-1918) 173,184,189,191, 217-220, 253
Капелли (Alfredo Capelli, 1855-1910) 191, 247-248
Каратеодори (Constantin Caratheodory, 1873—1950) 118
Карно (Lazare Carnot, 1753—1823) 67, 98
Картан Анри (Henri Cartan, 1904—2008) 275
Картан Эли (Elie Joseph Cartan, 1869-1951) 212, 224, 244, 245, 253, 275-277
Кассини (Jacques Cassini, 1677—1756) 6
Кастельнуово (Guido Castelnuovo, 1865—1952) 269
Кастильон (Giovanni Salvemini di Castiglione, 1708—1791) 19
Каталан (Eugene Charles Catalan, 1814—1894) 39,152
Келланд (Philip Kelland, 1808-1879) 187
Кельвин (William Thomson, 1st Baron Kelvin, 1824—1907) 113,160,175,187 Кемпе (Alfred Kempe, 1849—1922) 229 Кеплер (Johannes Kepler, 1571—1630) 75 Кёбе (Paul Koebe, 1882-1945) 240 Киллинг (Wilhelm Killing, 1847-1923) 223-224, 275, 276 Киркман (Thomas Penyngton Kirkman, 1806—1895) 119,140,142 Кирхгоф (Gustav Robert Kirchhoff, 1824—1887) 175 Клебш (Alfred Clebsch, 1833-1872) 134,165,193-194, 202, 231 Клейн (Felix Klein, 1849-1925) 109,120,166,180,199, 208, 210, 229-232, 235, 239, 260
Клеро (Alexis Claude Clairaut, 1713-1765) 6, 34, 41-42, 44, 71, 76,108 Клиффорд (William Kingdon Clifford, 1845-1879) 192, 216-217 Ковалевская Софья Васильевна (1850—1891) 20, 232-233 Кодацци (Delfino Codazzi, 1824-1873) 174-175,185 Комберусс (Charles de Comberousse, 1826—1897) 192 Коркин Александр Николаевич (1837—1908) 201-202, 222, 248 Кортевег (Diederik Johannes Korteweg, 1848—1941) 225-226, 271 Коутс (Roger Cotes, 1682-1716) 9-10,16, 27, 30
Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789—1857) 30, 44, 49, 62, 70, 86, 95, 96, 98, 100,101,101-105,126,134,135,147,149,152,155,161,169,176,181,192,193, 212, 214, 233, 253, 261


Указатель имён
297
Крамер (Gabriel Cramer, 1704-1752) 15,18-19, 48 Крелль (August Leopold Crelle, 1780—1855) 94,125-127 Кремона (Luigi Cremona, 1830—1903) 186
Кристоффель (Elwin Bruno Christoffel, 1829—1900) 175,180,186,192, 212 Кронекер (Leopold Kronecker, 1823-1891) 171-173,175,191, 210, 219, 247, 261 Крофтон (Morgan Crofton, 1826—1915) 185 Кузен (Pierre Cousin, 1867-1933) 162, 272-273
Куммер (Ernst Eduard Kummer, 1810-1893) 144,148,170,172,188, 213, 234, 261
Кэли (Arthur Cayley, 1821-1895) 70,140,141,161,164-166,194,197, 200, 203, 229, 230
Кэмпбелл (John Edward Campbell, 1862—1924) 273 Кюршак (Jozsef Ktirschak, 1864—1933) 267 Лагерр (Edmond Nicolas Laguerre, 1834—1886) 166,196-197 Лагранж (Joseph Louis Lagrange, 1736—1813) 5,11, 20, 21, 29, 32, 33, 50, 51, 52-56, 59, 60, 68, 69, 76, 80, 81, 84, 85, 87, 97,103-105,133,169,171, 202, 213, 233
Лаланд (Joseph Jerome Lefrangois de Lalande, 1732—1807) 45 Ламберт (Johann Heinrich Lambert, 1728—1777) 33, 45-47, 91, 94,116 Ламе (Gabriel Lame, 1795-1870) 117,198 Ланден (John Landen, 1719—1790) 45, 65 Ланкре (Michel Ange Lancret, 1774—1807) 74
Лаплас (Pierre-Simon Laplace, 1749—1827) 5, 6, 40, 52, 60-62, 85, 94, 95,105,
112.117.137.138.147.199, 233
Лебег (Henri Leon Lebesgue, 1875-1941) 104,162,181, 272, 273 Леви-Чивита (Tullio Levi-Civita, 1873—1941) 237
Лежандр (Adrien-Marie Legendre, 1752—1833) 5, 29, 35, 62, 64-67, 69, 78, 80, 81, 90,108,117,126,131,135,136,176, 222, 262 Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646—1716) 10,12, 23, 33, 35, 73, 76, 144,145
Лексель Андрей Иванович (1740—1784) 56-57, 63, 64 Лемер (Derrick Henry Lehmer, 1905—1991) 207 Лере (Jean Leray, 1906—1998) 244
Ли (Sophus Lie, 1842-1899) 193, 208-210, 220, 223, 224, 229, 259 Линдеман (Ferdinand von Lindemann, 1852—1939) 152,157,170, 236 Липшиц (Rudolf Otto Sigismund Lipschitz, 1832—1903) 180,192, 253 Листинг (Johann Benedict Listing, 1808—1882) 107,143 Лиувилль (Joseph Liouville, 1809—1882) 105,106,122,131,145-148,149,175, 184, 218, 264
Лобачевский Николай Иванович (1792—1856) 8, 46, 77, 79, 90-93,107-112,
115.129.142.168.174.180.181.199, 200, 214, 229, 230, 232, 239, 263 Лопиталь (Guillaume de L’Hopital, 1661—1704) 34
Лоран (Pierre Alphonse Laurent, 1813—1854) 152,155 Лоренц (Hendrik Antoon Lorentz, 1853—1928) 238


298
Указатель имён
Люилье (Simon Antoine Jean L’Huilier, 1750—1840) 56, 63-64 Люка (Edouard Lucas, 1842—1891) 207-208 Люрот (Jacob Ltiroth, 1844-1910) 193, 215-216 Ляпунов Александр Михайлович (1857—1918) 242, 252 Майнарди (Gaspare Mainardi, 1800—1879) 175,185 Маклорен (Colin Maclaurin, 1698—1746) 11,15-16,18, 24, 25, 48 Максвелл (James Clerk Maxwell, 1831—1879) 187,188, 238 Мальфатти (Gian Francesco Malfatti, 1731—1807) 49 Мальв (Jean Paul de Gua de Malves, 1713—1785) 40
Мангольдт (Hans Carl Friedrich von Mangoldt, 1854—1925) 184, 246-247, 269
Марков Андрей Андреевич (1856—1922) 248-249
Маскерони (Lorenzo Mascheroni, 1750—1800) 62
Матьё (Emile Mathieu, 1835—1890) 198
Машке (Heinrich Maschke, 1853—1908) 175, 237
Меллин (Robert Hjalmar Mellin, 1854—1933) 247
Менгер (Karl Menger, 1902—1985) 165
Мёбиус (August Ferdinand Mobius, 1790—1868) 94,105-107,119,143,144 Мёнье (Jean-Baptiste Meusnier, 1754—1793) 68 Микель (Auguste Miquel, 1816—1851) 73
Миндинг Фердинанд Готлибович (1806—1885) 141-142,159,160,175,199 Минковский (Hermann Minkowski, 1864—1909) 266-267 Миттаг-Леффлер (Gosta Mittag-Leffler, 1846—1927) 156, 220-221, 233 Мсшьвейде (Karl Brandan Mollweide, 1774—1825) 74 Монж (Gaspard Monge, 1746-1818) 57-59, 59, 68, 98,175 Монтюкла (Jean-Etienne Montucla, 1725—1799) 45
Мопертюи (Pierre Louis Moreau de Maupertuis, 1698—1759) 6,14, 20, 21,41
Mop (Georg Mohr, 1640—1697) 62
Морган (Augustus De Morgan, 1806—1871) 141
Морли (Frank Morley, 1860-1937) 257
Mope (Marston Morse, 1892—1977) 244, 264
Муавр (Abraham de Moivre, 1667—1754) 6-7,14, 39, 61
Мэчин (John Machin, 1680—1751) 9,11
Навье (Claude-Louis Navier, 1785—1836) 28
ат-Туси Насир (Nasir al-Din al-T\isi, 1201—1274) 8
Нётер Макс (Max Noether, 1844-1921) 157,193, 216, 250
Нётер Эмми (Emmy Noether, 1882—1935) 216, 260
Ньютон (Isaac Newton, 1643—1727) 5, 6, 9-11,13,14,18,19, 40-42, 48, 52, 61, 74, 76,107 Ом (Martin Ohm, 1792-1872) 112 Осгуд (William Fogg Osgood, 1864—1943) 267 Паде (Henri Е^ёпе Pad<§, 1863-1953) 169, 212, 227, 265-266 Папп Александрийский (Pappus, 290—350) 67 Парсеваль (Marc-Antoine Parseval, 1755—1836) 68 Паш (Moritz Pasch, 1843-1930) 214-215


Указатель имён
299
Пеано (Giuseppe Реапо, 1858—1932) 191,192, 253
Пелль (John Pell, 1611-1685) 33, 53
Пенлеве (Paul Painleve, 1863—1933) 264-265
Перрон (Oskar Perron, 1880—1975) 229
Петерсен (Julius Peter Christian Petersen, 1839—1910) 206-207
Петерсон Карл Михайлович (1828—1881) 160,175,185
Пик (Georg Alexander Pick, 1859—1942) 213, 256
Пикар (Emile Picard, 1856-1941) 156,195, 250-251, 268
Пирс (Benjamin Peirce, 1809—1880) 145
Пирсон (Karl Pearson, 1857—1936) 252-253
Плато (Joseph Antoine Ferdinand Plateau, 1801—1883) 124-125
Племель (Josip Plemelj, 1873—1967) 212
Плюккер (Julius Plticker, 1801—1868) 94,122-124,135,151, 224
Польке (Karl Wilhelm Pohlke, 1810-1876) 213
Понселе (Jean-Victor Poncelet, 1788—1867) 98-101,118,122,123
Поселье (Charles Peaucellier, 1832—1919) 229
Прим (Friedrich Emil Fritz Prym, 1841—1915) 207
Прюфер (Heinz Prtifer, 1896—1934) 166
Птолемей (Claudius Ptolemy, 85—165) 56
Пуанкаре (Henri Poincare, 1854-1912) 109,173,177,196,199, 225, 232, 235, 238, 238-246, 253, 258, 275-277 Пуансо (Louis Poinsot, 1777—1859) 75
Пуассон (Simeon Denis Poisson, 1781—1840) 29, 86, 94-95,100,105,134 Пфафф (Johann Friedrich Pfaff, 1765-1825) 69-70,131,145,193, 210, 211, 226 Пюизё (Victor Alexandre Puiseux, 1820—1883) 155,161-162 Рамануджан (Srinivasa Ramanujan, 1887—1920) 259 Ран (Johann Rahn, 1622—1676) 33 Рассел (Bertrand Russell, 1872—1970) 225 Payc (Edward John Routh, 1831—1907) 188, 254 Риккати Винченцо (Vincenzo Riccati, 1707—1775) 19, 47 Риккати Джакопо (Jacopo Francesco Riccati, 1676—1754) 8-9,13,19, 29 Риман (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826—1866) 25, 30, 44, 79, 90,101, 104,105,156,173,176-184,186,187,191,192,199, 205, 212, 213, 216, 232,
235, 246-249, 254, 263, 267, 269, 272 Риччи (Gregorio Ricci-Curbastro, 1853—1925) 237 Роджерс (Leonard James Rogers, 1862—1933) 256, 259 Родриг (Benjamin Olinde Rodrigues, 1795—1851) 64, 89,116-117 Pot (Klaus Friedrich Roth, 1925—2015) 264 Pox (Gustav Roch, 1839-1866) 179,191, 205-206, 216, 269 Руффини (Paolo Ruffini, 1765-1822) 68-69, 98 Руше (Eugene Rouche, 1832—1910) 192 Саккери (Giovanni Saccheri, 1667—1733) 7-8, 46,108, 200 Сальмон (George Salmon, 1819—1904) 161,165 Севери (Francesco Severi, 1879—1961) 269


300
Указатель имён
Сегре (Corrado Segre, 1863—1924) 264
Сервуа (Fran^ois-Joseph Servois, 1767—1847) 74
Серре (Joseph Alfred Serret, 1819-1885) 158,159,167, 204
Силов (Ludvig Sylow, 1832-1918) 192-193, 227
Сильвестр (James Joseph Sylvester, 1814—1897) 153-154,169
Симпсон (Thomas Simpson, 1710—1761) 40
Симеон (Robert Simson, 1687—1768) 73
Смит (Henry John Stephen Smith, 1826—1883) 184, 202, 266
Сохоцкий Юлиан Васильевич (1842—1927) 198, 212
Спирмен (Charles Edward Spearman, 1863—1945) 265
Стилтьес (Thomas Stieltjes, 1856—1894) 197, 248
Стирлинг (James Stirling, 1692—1770) 7,13-14,15, 24
Стокс (George Gabriel Stokes, 1819—1903) 28,160
Стюарт (Matthew Stewart, 1717—1785) 42-43
Тарский (Alfred Tarski, 1901-1983) 274
Таубер (Alfred Tauber, 1866-1942) 271
Тауринус (Franz Adolph Taurinus, 1794—1874) 91, 92, 94,115-116
Тейлор (Brook Taylor, 1685-1731) 11-12,15, 43, 54-56
Тейт (Peter Guthrie Tait, 1831-1901) 142,187-188
Тенсо (Charles d’Amondans de Tinseau, 1748—1822) 59-60
Томпсон (John Thompson, p. 1932) 236
Тонелли (Alberto Tonelli, 1849—1920) 174
Труди (Nicola Trudi, 1811-1884) 134
Туэ (Axel Thue, 1863-1922) 263-264
Уоллес (William Wallace, 1768-1843) 73
Фаа-ди-Бруно (Francesco Faa di Bruno, 1825—1888) 176
Фаньяно Джованни (Giovanni Francesco Fagnano dei Toschi, 1715—1797) 42
Фаньяно Джулио (Giulio Carlo Fagnano dei Toschi, 1682—1766) 10, 26, 42
Фарей (John Farey, 1766-1826) 70
Фейт (Walter Feit, 1930-2004) 236
Ферма (Pierre Fermat, 1601—1665) 30-32, 46, 53,103
Фёдоров Евграф Степанович (1853—1919) 238
Фраттини (Giovanni Frattini, 1852—1925) 235-236, 247
Фреге (Gotdob Frege, 1848—1925) 225
Фредгольм (Erik Ivar Fredholm, 1866—1927) 263, 270-271
Френе (Jean Frederic Frenet, 1816-1900) 36,158,159,167, 204
де Фриз (Gustav de Vries, 1866—1934) 225, 271
Фробениус (Ferdinand Georg Frobenius, 1849—1917) 195, 226-229, 247
Фубини (Guido Fubini, 1879—1943) 259
Фукс (Lazarus Immanuel Fuchs, 1833-1902) 194-196, 226, 238-240, 243, 251, 267
Фурье (Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768—1830) 70-73 Фусс Николай Иванович (1755—1826) 20 Хакен (Wolfgang Haken, p. 1928) 229


Указатель имён
301
Хассе (Helmut Hasse, 1898-1979) 258 Хаусдорф (Felix Hausdorff, 1868—1942) 273-274 Хевисайд (Oliver Heaviside, 1850-1925) 187, 206, 233-234 Xerop (Poul Heegaard, 1871—1948) 244 Хилл (George William Hill, 1838-1914) 202-203 Цейтен (Hieronymus Georg Zeuthen, 1839—1920) 264 Чебышев Пафнутий Львович (1821—1894) 154,162-164,167,170, 223, 249 Чезаро (Ernesto Cesaro, 1859—1906) 253-254, 274 Шаль (Michel Chasles, 1793-1880) 113-114,119,197, 208 Шварц (Hermann Amandus Schwarz, 1843—1921) 118,135,186,196, 212-214, 231, 254, 256
Швейкарт (Ferdinand Karl Schweikart, 1780—1857) 91, 92, 94,115,116
Шеринг (Ernst Schering, 1833—1897) 172
Шёнфлис (Arthur Schoenflies, 1853—1928) 162, 238
Шлезингер (Ludwig Schlesinger, 1864—1933) 267
Шлефли (Ludwig Schlafli, 1814-1895) 152-153
Шмидт (Erhard Schmidt, 1876—1959) 233
Шоттки (Friedrich Hermann Schottky, 1851—1935) 235
Штейнер (Jakob Steiner, 1796-1863) 37, 49, 94,113,114,117-119,122-124,142
Штикельбергер (Ludwig Stickelberger, 1850—1936) 227, 234
Штуди (Eduard Study,1862-1930) 118, 259
Штурм (Jacques Charles Francois Sturm, 1803—1855) 73,130-131,145,154,169 Шуберт (Hermann Schubert, 1848—1911) 224 Шур (Issai Schur, 1875-1941) 259
Эйзенштейн (Ferdinand Gotthold Max Eisenstein, 1823—1852) 85,133,
170-171,176,184
Эйлер (Leonhard Euler, 1707-1783) 5, 6, 9,10,12,13,15-17,19-39, 41-43, 46-48, 52, 53, 57, 62, 63, 66, 71, 75, 76, 80, 81, 84, 85, 87, 89, 97,101,120,122, 133,136,137,140,143,152,153,177,183,197, 204, 233, 243, 244, 274 Эйнштейн (Albert Einstein, 1879—1955) 237, 267 Энгель (Friedrich Engel, 1861—1941) 210, 259 Энриквес (Federigo Enriques, 1871—1946) 269
Эрмит (Charles Hermite, 1822-1901) 51,152,168-170,171,172, 201, 236, 250 Якоби (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804—1851) 67, 70, 76, 85, 87, 94,102, 131-135,137,139,168-170,176,178,179,184,196, 209


Научно-популярное издание
Виктор Васильевич Прасолов
История математики Часть 2
Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-08-04
Подписано в печать 07.06.2019 г. Формат 60 х 90 Мб- Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 19. Тираж 2000. Заказ 433.
Отпечатано в ФГУП «Издательство «Наука»
(Типография «Наука»)
121099, Москва, Шубинский пер., д. 6.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (495) 745-80-31. E-mail: biblio@mccme.ru