Автор: Голод П.И. Климык А.У.
Теги: математика теория групп
Текст
П.И.Голод, А. У.Климык
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИММЕТРИИ
В книге рассмотрены методы теории групп и алгебр Ли, конечных и
дискретных групп, а также других алгебраических структур, составляющих
современный математический аппарат теории симметрии в физике, и широко
используемый в квантовой теории поля, теории элементарных частиц и ядра,
теории твердого тела, квантовой химии. Излагаются основы теории аффинных
алгебр и их представлений, теория представлений квантовых групп и алгебр.
Для научных работников в области теоретической и математической физики,
аспирантов и студентов физических и математических факультетов
университетов.
Содержание
Предисловие 5
Глава 1. Основные сведения 9
§ 1. Элементарные понятия теории групп 9
§ 2. Расширения групп 25
§ 3. Симметрическая и знакопеременная группы . . 36
§ 4. Топологические группы 50
§ 5. Группы пространственных симметрии 63
§ 6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 90
Глава 2. Группы Ли 113
§ 1. Элементы анализа на многообразиях 113
§ 2. Группы Ли. Матричные группы 139
§ 3. Локальное исследование групп Ли 149
§ 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли 170
§ 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли . . 183
Глава 3. Представления групп и алгебр 198
§ 1. Основные понятия теории представлений .... 198
§ 2. Представления групп Ли. Общие свойства .... 222
§ 3. Представления компактных групп 233
§ 4. Представления конечных групп 247
§ 5. Представления группы SUB) 271
§ 6. Индуцированные представления * . . . 299
§ 7. Разрешимые и нильпотентные группы 338
Глава 4. Полупростые и аффинные алгебры Ли . 346
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли 346
§ 2. Классификация полупростых алгебр Ли 366
§ 3. Вещественные формы 376
§ 4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро . . . 392
§ 5. Представления полупростых алгебр Ли 415
§ 6. Представления аффинных алгебр Ли 425
4 Содержание
Глава 5. Квантовые группы и алгебры 435
§ 1. Алгебры Хопфа 435
§ 2. Квантовая алгебра Uq(sl2) 449
§3. G-осцилляторная алгебра и алгебра Ug(sh) - • • • 465
§ 4. Алгебра функций на квантовой группе SLg{2) . 478
§5. Представления квантовой группы SLgB) .... 485
§ 6. Анализ на квантовой группе SUq{2) 494
§ 7. Переход от SLgB) к Ug(sl2) 504
§ 8. Квантовые сферы и копредставления на них . . . 508
Библиография 515
Предметный указатель . . 523
Светлой памяти выдающегося ученого
академика АН Украины Михаила Кравчука,
посвящаем
Предисловие
Идея симметрии, без сомнения, одна из наиболее глу-
глубоких и плодотворных во всем естествознании. Родившись
в глубокой древности как учение о соизмеримости и пропор-
пропорциях, она незримо или явно присутствовала почти во всех
натурфилософских теориях античности и средневековья. Од-
Однако вплоть до середины XIX столетия учение о симметрии
можно рассматривать лишь как философскую идею или ми-
мировоззренческий принцип, а не как самостоятельную науку
в современном понимании. Ситуация изменилась после откры-
открытия Эваристом Галуа роли групп перестановок в определении
условий разрешимости в радикалах алгебраических уравне-
уравнений произвольных степеней, а точнее почти сорок лет спус-
спустя, после опубликования Камиллом Жорданом книги под на-
названием «Трактат по теории перестановок и алгебраических
уравнений», в которой теория Галуа была изложена с глубо-
глубоким проникновением в суть проблемы и многими примерами.
Новая математическая теория привлекла всеобщее внимание
и очень быстро развилась в самостоятельную научную дис-
дисциплину со множеством приложений.
Феликс Клейн, по-видимому, был первым, кто установил
связь между группами перестановок и симметриями выпук-
выпуклых многогранников. Ему же принадлежит идея, что понятия
группы преобразований можно положить в основу всех раз-
разновидностей геометрий, выявив таким способом своеобразие
каждой из них. Так был построен мост между чисто алгебра-
алгебраической наукой — теорией групп и симметриями геометри-
геометрических объектов. Под влиянием работ Феликса Клейна и Со-
фуса Ли утвердилось понимание того, что симметрия — это,
в первую очередь, совокупность операций, сохраняющих опре-
6 Предисловие
деленные алгебраические или геометрические соотношения
и эта совокупность в большинстве случаев обладает струк-
структурой группы. Таким образом, идея симметрии получила ма-
математическое оформление и обрела адекватный язык.
Проникновение теоретико-группового мышления в физи-
физику началось в конце XIX - начале XX столетия. Два за-
замечательных достижения в двух различных областях естес-
естествознания — классификация кристаллографических групп
Федоровым и Шенфлисом и теория относительности Эйнштей-
Эйнштейна-Пуанкаре, — положили начало этому процессу. И сегодня
без преувеличения можно сказать, что теоретико-групповые
методы доминируют в арсенале математических средств со-
современной физики, демонстрируя свою эффективность и уни-
универсальность в самых различных областях — от биофизики
и квантовой химии до теории элементарных частиц и астро-
астрофизики.
Соображения симметрии выступают, с одной стороны,
как вспомогательные при решении сложных задач в пределах
уже известных законов природы, а с другой — как принци-
принципиально важный (если не основной) эвристический принцип
при построении моделей новых явлений, в большинстве слу-
случаев недоступных непосредственному восприятию и находя-
находящихся за пределами сложившейся интуиции. Для иллюстра-
иллюстрации последнего утверждения приведем пример теории элек-
электрослабых взаимодействий —- наиболее яркого достижения
квантовой теории поля и физики элементарных частиц за по-
последние 30 лет. В основе этой теории лежит идея симметрии
относительно калибровочной группы SUB) x U(l), а также
некоторый механизм ее нарушения. Присоединив сюда тре-
требование перенормируемости теории, мы получим три фунда-
фундаментальных принципа (симметрия - механизм нарушения -
перенормировка), достаточных для построения физической
теории, описывающей большой комплекс явлений микромира
и свойств Вселенной на ранних стадиях эволюции.
Сфера контактов физики и теории групп постоянно рас-
расширяется. Если в начале 60-х годов владение теоретико-
групповым аппаратом означало знакомство с основными
определениями, элементами теории конечномерных представ-
представлений конечных групп и матричных групп Ли, а также
Предисловие 7
с теорией тензорного умножения этих представлений, то на
современном этапе взаимосвязь с теоретической физикой про-^
исходит на верхних этажах грандиозного строения теории
групп и алгебр. Привлекаются тонкие факты структурной те-
теории неклассических алгебр Ли, теория когомологий групп
и алгебр Ли. Широкое распространение получили супергруп-
супергруппы и супералгебры, бесконечномерные аффинные алгебры,
экзотические дискретные группы, а также самые современ-
современные достижения — квантовые группы и алгебры. Чтобы мо-
молодому человеку, готовящемуся стать физиком-теоретиком,
включиться в исследовательскую работу, выйти на передо-
передовые рубежи современной науки, необходимо пройти длинный
путь от первых определений до новейших достижений. Наша
цель — помочь ему в этом. Поэтому материал книги в зна-
значительной мере учебный и подобран так, чтобы усвоив основ-
основные понятия теории групп, накопив в достаточном количестве
факты на основе рассмотрения конкретных групп и их пред-
представлений, подойти к переднему краю — теории аффинных
алгебр и квантовых групп. Объем книги не дает возможнос-
возможности изложить систематически весь математический аппарат
теории симметрии. Поэтому мы рассчитываем, что читатель
будет использовать дополнительную литературу.
В мировой литературе существует много книг на тему
симметрии, теории групп и ее применения в физике, химии
и других областях естествознания. Стоит заметить, что пер-
первая в мировой литературе книга по общей теории групп была
издана в 1916 году в Киеве. Это монография «Абстрактная
теория групп», написанная молодым выпускником Киевско-
Киевского университета О.Ю.Шмидтом. Она появилась вследствие
работы в Киеве научного алгебраического семинара под ру-
руководством Д. А. Граве, в работе которого принимали учас-
участие такие известные впоследствии ученые, как Б.Н.Делоне,
А. М. Островский, М. Г. Чеботарев и др. Участником этого се-
семинара был и М. Ф. Кравчук — ученый-подвижник, приложив-
приложивший немало усилий для того, чтобы наука стала достоянием
общечеловеческой культуры. М. Ф. Кравчук не занимался не-
непосредственно теорией групп, но его знаменитые многочлены
(многочлены Кравчука) неожиданно возникли в теории пред-
представлений симметрических и ортогональных групп.
8 Предисловие
Наша книга адресована в первую очередь физикам-
теоретикам и специалистам по математической физике. На-
Написана она математическим языком, хотя достаточно часто
мы апеллируем к интуиции и образному восприятию, свойст-
свойственному физикам. Надеемся, что она найдет своего читателя
и среди математиков, интересующихся проблемами матема-
математической физики.
Авторы благодарны многим ученым, общение с которыми
повлияло на их научные вкусы, а следовательно и на содержа-
содержание этой книги. В первую очередь мы благодарим академика
АН Украины О. С. Парасюка, стимулировавшего в свое время
наш интерес к занятиям теорией симметрии. Выражаем бла-
благодарность участникам семинара по математическим проб-
проблемам квантовой теории поля, который в течение многих лет
работает в Институте теоретической физики АН Украины, где
проблемы симметрии и теории представлений групп постоян-
постоянно находятся в центре внимания. Благодарим Ю.Бернацкую
за помощь в подготовке рукописи.
Глава 1
Основные сведения
§ 1. Элементарные понятия теории групп
1.1. Группы и подгруппы. Конечное или бесконеч-
бесконечное множество G элементов произвольной природы называют
группой, если в G определена бинарная операция (ее чаще все-
всего называют умножением), для которой выполняются следу-
следующие условия:
а) Операция определена для каждой пары элементов из G,
и если элементам g\ и gi ставится в соответствие эле-
элемент g3, то ga принадлежит G. Мы будем писать gig2=g3-
б) Для любых трех элементов gi, g2 и gs из G выполняются
соотношения giCgigs) = {gig2)g3- Это свойство называют
ассоциативностью групповой операции.
в) В G существует элемент е, называемый единицей груп-
группы, такой что ge = eg = g для всех gEG.
г) Для каждого элемента g ? G существует обратный эле-
элемент g~* E G, то есть такой, что gg~x = g~xg = e.
Групповая операция, удовлетворяющая перечисленным
условиям, естественным образом определяет два отображе-
отображения. Первое из них f:GxG —> G является отображением
декартового произведения двух экземпляров группы в груп-
ПУ: figiigz) — gi{&' Второе отображение j: G -> G каждому
элементу g сопоставляет обратный к нему: j(g) = g~l.
Подмножество Н элементов группы G называют подгруп-
подгруппой, если оно является группой относительно введенной в G
операции, то есть если е Е Н, hih2 € Н и h~x E H для всех hi,
/l2,/l ИЗ Н.
10 Глава 1
Результат группового умножения в общем случае зави-
зависит от порядка следования сомножителей. Если для любых
элементов gi и g2 имеем gig2 — g2gi, то группу называют
коммутативной или абелевой. Часто в абелевых группах опе-
операцию обозначают знаком плюс: gi+ g2 = g3 и называют сло-
сложением.
Если число элементов группы конечно, то группу назы-
называют конечной, а число элементов в ней — порядком группы.
Порядок конечной группы G обозначают через ord G. Беско-
Бесконечные группы могут быть исчислимыми или континуальны-
континуальными.
Важными являются группы преобразований некоторого
множества объектов в себя. Групповой операцией в них явля-
является последовательное выполнение преобразований. Если пре-
преобразовываемое множество наделено некоторыми физически-
физическими, геометрическими или другими свойствами, сохраняемы-
сохраняемыми при групповых преобразованиях, то о группе говорят, что
она является группой симметрии этого множества.
1.2. Примеры групп. С групповыми структурами мы
сталкиваемся повсеместно. Законы сложения или умножения
чисел, правила сложения векторов и умножение матриц явля-
являются групповыми операциями. Рассмотрим наиболее употре-
употребимые примеры групп.
1. Множество IK вещественных чисел — абелева группа
относительно сложения; число ноль является единицей этой
группы. Множество Z целых чисел — дискретная подгруппа
группы IK.
2. Множество положительных чисел 1К+ является группой
относительно умножения чисел. Единицей этой группы явля-
является число 1.
3. Абелевой группой является линейное пространст-
пространство IK" = IK x IK x ... х IK. Любое линейное (векторное) про-
пространство является в первую очередь непрерывной абелевой
группой относительно сложения векторов. В ней введено ум-
умножение элементов на числа. Группы, в которых определено
умножение на числа, называют группами с мультипликато-
мультипликаторами.
§1. Элементарные понятия теории групп 11
4. Большим классом групп являются группы линейных
невырожденных преобразований линейных пространств. Та-
Такие группы называются линейными. Фиксация базиса в ко-
конечномерном векторном пространстве устанавливает изо-
изоморфизм этого пространства с пространством Жп или С™,
а группы линейных преобразований становятся матричными
группами.
4а. Группа линейных однородных невырожденных пре-
преобразований пространства Жп состоит из всех веществен-
вещественных невырожденных матриц порядка п и обозначается че-
через GL(n,M).
46. Множество всех линейных неоднородных преобразо-
преобразований g(a,b), а,Ъ Е Е, а ф 0, вещественной оси, действующих
согласно формуле g(a, Ь)х — ах + Ъ, х ? Ж, образует группу аф-
аффинных преобразований однородного пространства Ж. Элемен-
Элементы этой группы зависят от двух непрерывных параметров.
Групповым умножением является последовательное выполне-
выполнение двух преобразований:
^@1,61)^@2,62K: = CHU2X + аф2 + 6i = 5@102,0162 + h)x.
Обратный элемент имеет вид g~1(a,b) = g(o-1,— 6/а). Эта
группа не является абелевой.
Если пространство наделено дополнительными структу-
структурами (например, метрикой), то интересными являются линей-
линейные группы, сохраняющие эти структуры. Группы, сохраня-
сохраняющие метрику, называются группами изометрий.
4в. Пусть в пространстве Ж" задана билинейная симмет-
симметрическая положительно определенная форма (скалярное про-
произведение)
(х,у) = xiyi + х2у2 +¦¦¦+ хпуп-
Такое пространство называют евклидовым и обозначают че-
через Еп. Линейные преобразования пространства Еп, сохра-
сохраняющие скалярное произведение, называют ортогональными;
они образуют группу О(п). Преобразования из О(п), сохраня-
сохраняющие ориентацию пространства Еп, называют вращениями.
12 Глава 1
Они образуют группу, обозначаемую через SO(ri). Вращения
пространства ?^ (плоскости) задаются матрицами
(cos (p — sin (p \
, 0 ^ tp < 2тг.
sin (р cos (р J
Соответствующая группа SOB) абелева.
4г. Группа О(п) естественно расширяется до группы не-
неоднородных преобразований пространства Еп. Ее называют
группой движений пространства Еп. Элементами этой группы
являются преобразования вида
х -> gx + a, g ? О(п), а е Еп.
Ее обозначают через /О(и) или Е(п).
4д. Дополнив группу Ю(п) преобразованиями растяже-
растяжения х —> рх, р > 0, получаем группу преобразований подобия.
В свою очередь эта группа является подгруппой аффинной
группы пространства Ж™. Аффинные преобразования имеют
вид
4е. Конформными преобразованиями в пространстве Еп
называют гладкие отображения хг -> х\ = /,B:1,2:2,••• ;Хп),
вследствие которых скалярное произведение умножается на
некоторую функцию, то есть
(х',у') = <г(х,у)(х,у).
Группа конформных преобразований плоскости бесконеч-
бесконечномерна. Ее элементами являются пары функций, осуществля-
осуществляющих отображение 2:1 -» х\ = /1B:1,2:2), 2:2 -> х'2 = /2B:1,2:2)
и удовлетворяющих условию Коши-Римана
dfi _ 0/2 9/i _ 0/2
дх\ дх2' дх2 дх\'
Во всех других случаях, то есть в пространствах J5n,
п > 2, конформные преобразования зависят от конечного чис-
числа параметров и сводятся к линейным преобразованиям в про-
пространстве Еп+2.
§ 1. Элементарные понятия теории групп 13
5. Рассмотрим множество С'п комплексных чисел zj,
I = 0,1,2,..., п — 1, являющихся решениями алгебраического
уравнения zn = 1. Очевидно, что z,- = ехр Щ^ = (ziI. Поэ-
Поэтому это множество является группой относительно умноже-
умножения чисел. Это пример так называемой циклической группы.
В общем случае циклической называют группу, порожденную
одним элементом а:
В ней а* Ф а*, если j ф г, г < п, j < п и а" = е. Если
число п простое, то С„ не имеет собственных подгрупп (то
есть подгрупп, отличных от {е} и Сп). Если п не является
простым числом, то каждому делителю числа п соответству-
соответствует подгруппа в С„. Числу т, являющемуся делителем числа п,
соответствует подгруппа элементов (ат)к, к — 0,1,... , ^ — 1.
Эта подгруппа циклична. Если G — группа (не обязательно
абелева) и а — элемент из G, то говорят, что а имеет по-
порядок п, если а порождает циклическую группу порядка п.
Если а имеет порядок 2, то а = а. Для элементов порядка п
имеем а = а"".
Рассматривают также бесконечные циклические группы.
Они состоят из элементов е,ап,а"п, п = 1,2,... Если эле-
элемент а группы G порождает подгруппу бесконечного порядка,
то говорят, что а имеет бесконечный порядок.
Группу С'п — I ехр Щ^ > можно реализовать как подгруп-
подгруппу
<
I
cosM
?
в 50B). Очевидно, что имеет место взаимно однозначное со-
соответствие между элементами групп СЦ и числами zi G С'п.
Здесь мы имеем дело с изоморфизмом групп, который рас-
рассматривается дальше.
6. Элементы группы С„ переводят правильный п-уголь-
ник в себя. Но эта группа не исчерпывает все симметрии
правильного n-угольника. Полная группа симметрии обозна-
обозначается через ?)„. Кроме вращений gi € С„ на углы 2nl/n
14
Глава 1
она содержит зеркальные отображения относительно плос-
плоскости, перпендикулярной плоскости n-угольника, и проходит
через противоположные вершины или через середины про-
противоположных сторон в случае четного п и через вершины
и центр n-угольника в случае нечетного п. Порядок группы Dn
равен 2п. Группу ?)„ называют группой диэдра.
6а. Группа D2 является группой симметрии отрезка —
вырожденного диэдра. Она порождается элементом а поряд-
порядка 2, соответствующим вращению на угол 180° в плоскос-
плоскости {ж, у} и зеркальным отображением а относительно плос-
Рис. 1
Рис. 2
кости, проходящей через середину отрезка АВ. Группа D2
имеет четыре элемента и ее можно реализовать как группу
диагональных 2x2 матриц
/1 0\
z={o ij'a=:
-1 (
о -
-1 (
о
В физических приложениях группа ?J — это группа симмет-
симметрии молекулы воды (см. рис. 1).
66. Группа ?K является группой симметрии правильного
треугольника (см. рис. 2). Эта группа содержит циклическую
§ 1. Элементарные понятия теории групп 15
подгруппу Сз — {е, гBтг/3), г(—2тг/3) = г2Bж/3)}, состоящую
из вращений г(в) на соответствующие углы в. Действие эле-
элементов этой подгруппы можно представить как циклическую
перестановку букв А, В, С:
е: ABC -> ABC,
г(-2тг/3): ABC -> В С А.
Группа ?K также содержит отображения относительно плос-
плоскостей, которые пересекают треугольник по отрезкам AN,
ВК, СМ. Они задаются перестановками
аА:АВС^АСВ,
ав:АВС^СВА,
ас : ABC -^ В АС.
Полная информация о группе D3 дается таблицей умножения
ее элементов (см. табл. 1). Такие таблицы имеют название
таблиц Кэли, по имени английского математика прошлого сто-
столетия A821-1895), одного из основателей теории групп.
Из табл. 1 видно, что для задания группы D3 достаточно
задать подгруппу С3 и один из элементов а ? {<га,(гв,<гс}',
остальные элементы являются произведениями г(±2тг/3)сг.
Кроме того, для каждого а имеет место соотношение
"Нг) —Иг)-
Подгруппы Н, для которых выполняются соотношения
подобного типа, то есть gHg С Н для каждого элемента g
из группы G, называют инвариантными подгруппами или нор-
нормальными делителями. О них речь пойдет дальше.
1.3. Задание группы порождающими элементами
и соотношениями. Множество Е элементов группы G на-
называют системой порождающих элементов для группы G, ес-
если всякий элемент g G G является произведением конечного
числа элементов, каждый из которых является или элементом
из Е или обратным к элементу из Е. Очевидно, что множество
16
Глава 1
всех элементов группы образует систему порождающих эле-
элементов. Однако интерес представляют минимальные системы
порождающих элементов.
Таблица 1 (Таблица Кэли)
е
(тв
(тс
е
е
'(-?)
сгс
гт
е
ос
(ТА
(тв
«•(-?)
'(-?)
е
г»)
.с
ее
е
'<«
о^в
ев
(ТС
(ТА
г{-4)
е
гт
ос
.с
СТА
'(-W
е
Чтобы минимальная система порождающих элементов
определяла группу, задают соотношения, которым удовлетво-
удовлетворяют эти элементы. Минимальную систему таких соотноше-
соотношений называют определяющими соотношениями.
Группу с заданными порождающими элементами и опре-
определяющими соотношениями обозначают символом (...|...),
где слева от вертикальной линии стоят порождающие элемен-
элементы, а справа — определяющие соотношения. Например, цик-
циклическую группу С„ можно записать в виде
п = {а\ап=е),
§ 1. Элементарные понятия теории групп 17
а группу диэдра — в виде
?)„ = {а, а | а" = е, а2 — е, аа = ста).
Задача 1. Покажите, что группа G = (о, 6|о" = е, 6т = е, аЪ = 6а)
коммутативна и имеет тп элементов.
Можно показать, что группа SL(n,Z) всех матриц ("J})
с целочисленными элементами и единичным определителем
порождается двумя матрицами
A={l о)' В={-1 -l)
с определяющими соотношениями
Л4 = Е, В3 = ?, Л2Б = БЛ2,
где Е — единичная матрица.
Бесконечная циклическая группа Соо записывается в ви-
виде Соо = {а\ ), то есть она имеет один порождающий эле-
элемент, который не удовлетворяет никаким соотношениям. Об-
Обобщением группы Соо является группа Fn = (ai,a2,¦¦¦ ,an| )>
порождаемая п элементами, не имеющими определяющих со-
соотношений. Элементами группы Fn являются произвольные
конечные произведения элементов сц,а2,--- ,ап, взятых про-
произвольное число раз и в произвольном порядке. Группу Fn
называют свободной.
Группа
F'n = (аи а2,... , ап \ atuj = a jut)
коммутативна. Ее называют свободной коммутативной груп-
группой.
1.4. Изоморфизмы и гомоморфизмы. Инвариант-
Инвариантные подгруппы. Группы G и G' называют изоморфными
(обозначают G ~ G'), если существует взаимно однозначное
отображение ip группы G на группу G', сохраняющее группо-
групповую операцию, то есть такое, что для всех gi,g2 G G имеем
= <f(glg2)-
18 Глава 1
Отображение tp называется изоморфизмом групп G и G'. Изо-
Изоморфные конечные группы имеют одинаковое число элемен-
элементов. Более того, изоморфные группы фактически совпадают
как абстрактные группы. Изоморфными являются группы Ж
и Ж+ (изоморфизм задается функцией <р{х) — ех), С'„ и С'„
(см. п. 1.2).
Рассматривают также изоморфизмы группы G в груп-
группу G'. В этом случае G отображается на часть группы G'.
Изоморфизмы группы G на себя называют автоморфиз-
автоморфизмами этой группы. Множество всех автоморфизмов груп-
группы G образует группу, обозначаемую через Aut G. Умножени-
Умножением в этой группе является последовательное выполнение ав-
автоморфизмов.
Пример 1. Пусть
G = {а, Ь | а2 = е, Ь3 = е, ab = Ьа, аЬ2 = Ь2а).
Тогда G = {е, в, Ъ, b2, ab, аЪ2}. Переобозначим элементы груп-
группы G, положив z = ab2. Тогда
z2 = a2b3b = Ъ, z3 = ab3 = a, z4 = Ъ2, z5 = аЪ, ze =a =Ъ3 = е.
Таким образом, группа G изоморфна циклической группе Св-
Отображение ¦ф группы G в группу G' называют го-
гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую операцию, то
есть 4>{g\L>{g2) = 4>{g\g2) Для всех gi,g2 6 G. В отличие от
изоморфизма гомоморфизм может быть не взаимно однознач-
однозначным.
Пусть Go — подмножество всех элементов группы G, пе-
переходящих при гомоморфизме ф в единицу е' груп-
группы G': Go = {g С G | ф^) = е'}, a G[ — подмножество элемен-
элементов из G', на которое отображается группа G: G\ = ф(С).
Подмножество Go называется ядром гомоморфизма ф и обо-
обозначается через кег^>. Подмножество G[ называется образом
гомоморфизма и обозначается через Im^). Если рассматрива-
рассматривается гомоморфизм G на G', то Сг = G'.
Теорема 1. Подмножества Go и G'x являются подгруп-
подгруппами соответственно в G и G'. Для любых go б Go и g б G
элемент ggog~1 принадлежит Gq.
§ 1. Элементарные понятия теории групп 19
Доказательство. Доказательство этой теоремы прос-
простое. Приведем его как пример подобных доказательств. По-
Покажем сначала, что Go — подгруппа. Действительно, ес-
если ^(gi) = е', 4>{g2) = е', то ipigigz) = ip(giL>(g2) - e'e' = е'.
Это значит, что gig2 € Go- Закон ассоциативности в Go вы-
выполняется автоматически, поскольку он выполняется во всей
группе G. Для произвольного g € G имеем ip(g) = ^(ge) =
— Ф{ё)Ф(е)^ то есть ^(е) = е'. Таким образом, е G Go- По-
Поскольку е' = ip(e) = ipigg'1) = ipigjipig*1), то для вся-
всякого g&G имеем ^(g-1) = [^(g)]- Таким образом, если
g € Go, то ^(g~x) = е' и g G Go- Мы доказали, что Go —
подгруппа. Аналогично устанавливается, что G[ — подгруп-
подгруппа. Последнее утверждение теоремы проверяется следующим
образом. Если go G Go, g G G, то
А это означает, что ggog G Go- Теорема доказана.
Пример 2. Группу всех невырожденных линейных преобра-
преобразований пространства R" обозначают через GL(n,M), а ее под-
подгруппу, состоящую из матриц с единичным определителем, —
через БЬ(п,Щ. Сопоставление матрицы с ее детерминантом —
гомоморфизм группы GL(rc,R) на мультипликативную группу
вещественных чисел Ro = R\{0}. Подгруппа SL(n,M) является
ядром этого гомоморфизма.
Пример 3. Функция <р(х) = е21 осуществляет гомоморфизм
аддитивной группы R вещественных чисел в мультипликативную
группу комплексных чисел Со = С\{0}. Образом этого гомомор-
гомоморфизма является группа U(l) — {z € С | \z\ = 1}, изоморфная груп-
группе 5ОB), а ядром — подгруппа Z целых чисел.
Пусть gi — фиксированный элемент группы G. Элемен-
Элементы g € G и giggi1 называют сопряженными. Отображе-
Отображение tpgl: g -> giggi является автоморфизмом группы G. Та-
Такие автоморфизмы называют внутренними.
Задача 2. Покажите, что образом отображения <pgi является вся
группа G.
Множество внутренних автоморфизмов группы G обра-
образует группу относительно умножения (композиции) отобра-
20 Глава 1
жений, причем v»eiV>84 = <Pglg2- Эту группу обозначают че-
через IntG. Очевидно, что IntG является подгруппой в груп-
группе AutG всех автоморфизмов группы G. Если группа G
коммутативна, то Int G состоит из одного элемента.
Если Н — подгруппа в G и g € G, то gHg — также
подгруппа. Ее называют сопряженной к Н. Как отмечалось
выше, если gHg~1 С Н для произвольного gEG,roH называ-
называют инвариантной подгруппой или нормальным делителем. Ис-
Используя эту терминологию, последнее утверждение теоремы 1
можно сформулировать так: ядро гомоморфизма ф: G —> G'
является инвариантной подгруппой в G. Очевидно, что вся-
всякая подгруппа коммутативной группы инвариантна.
Задача 3. Покажите, что если Я — инвариантная подгруппа в G,
то gHg~1 — Н для всех g€G.
Задача 4. Покажите, что Int G ¦— инвариантная подгруппа в Aut G.
1.5. Смежные классы и теорема Лагранжа. Фак-
Фактор-группа. Пусть Н — подгруппа в группе G. Все мно-
множество G можно разбить на подмножества, объединяя в каж-
каждое из них элементы, отличающиеся друг от друга на правый
множитель из подгруппы Н. Подмножество элементов gH =
= {gh | h G H}, где g — фиксированный элемент группы G,
называется правым смежным классом группы G по подгруп-
подгруппе Н. Аналогично определяются левые смежные классы: Hg =
= {hg\h € Н}. Элементы класса называются его представи-
представителями. Подгруппа Н сама является смежным классом.
Поскольку при ghi = gh2 имеем /ii = h2, то все правые
смежные классы имеют одинаковое количество элементов,
совпадающее с количеством элементов в подгруппе Н. Пра-
Правый смежный класс имеет такое же количество элементов,
что и левый.
Утверждение 1. Левые [правые) смежные классы или
не пересекаются, или совпадают.
Доказательство. Пусть ge Hg! и g? Hg2. Тогда су-
существуют такие элементы hi и h2 из Н, что g ~ h^g^ ¦=. h2g2.
Таким образом, g\ = h^1fi2g2 = h'g2, h' G H. Это означает,
4Togi вместе со всем классом Hgi принадлежит к Hg2. Кроме
§ 1. Элементарные понятия теории групп 21
Toro,g2 = h^higi = h"g\, h" € H, что значит, чтоЯ^г С
Поэтому Hgi = Hgi. Аналогично утверждение доказывается
для правых смежных классов.
Обращая все элементы из правого класса giH, полу-
получаем элементы вида ftgj, h G Н, принадлежащие лево-
левому классу Hg^1. Наоборот, обращая все элементы из лево-
левого класса Hg2, получаем элементы правого класса g^H. Эти
простые рассуждения доказывают взаимно однозначное соот-
соответствие между правыми и левыми смежными классами, по-
построенными по фиксированной подгруппе Н. Однако правые
классы не обязательно совпадают с левыми, то есть, вообще
говоря gH ф Hg.
Если же разбиение на смежные классы осуществлено
по инвариантной подгруппе, то получаем совпадение правых
и левых классов: gH = Hg, а само множество классов допус-
допускает групповую операцию. Действительно, если gihi и
элементы из смежных классов, то
gihi ¦ g2h2 = gig2g21hig2h2 =
В этом случае пишут g\HgtH = g\giH. Ассоциативность этой
операции очевидна. Подгруппа Н играет роль единицы, а об-
обратным элементом к g\H является g[xH. Полученная груп-
группа G', групповыми элементами которой являются смежные
классы, построенные по инвариантной подгруппе, называется
фактор-группой группы G по Н и обозначается через G/H.
Очевидно, что отображение g -> gH является гомоморфиз-
гомоморфизмом группы G на группу G/H, ядро которого совпадает с Н.
Известная теорема о гомоморфизмах утверждает, что всякий
гомоморфизм ф группы G в группу G' превращается в изомор-
изоморфизм фактор-группы G/kerip на группу 1тф CG'.
Если группа G конечна, то количество смежных классов
по Н называется индексом подгруппы Н в G и обозначается
через [G: Н].
Теорема 2 (Лагранжа). Порядок и индекс подгруппы Н
являются делителями порядка группы G и
= [G:H]-ordH.
22 Глава 1
Доказательство. Поскольку смежные классы не пересе-
пересекаются, то всю группу можно представить как их объедине-
объединение:
G~H\Jg1H\J...\JgkH.
Поэтому ord G = fc • ord Н, где к = [G: Н]. Теорема доказана.
Из теоремы Лагранжа вытекает такое следствие: если по-
порядком группы G является простое число р, то G — цикли-
циклическая группа. Действительно, если р — порядок группы G,
a g — нетривиальный элемент в G, то циклическая подгруппа,
порожденная элементом g, совпадает со всей группой. Таким
образом,
G={e,g,gt,...,fr1}~CP.
Из теоремы Лагранжа также вытекает, что подгруппа ин-
индекса 2 инвариантна. Действительно, если G разбивается на
два смежных класса, одним из которых является Н, а дру-
другим — ее дополнение gH или Hg, то gH = Hg. Таким обра-
образом, gHg~1 = Н, то есть Н — инвариантная подгруппа.
1.6. Однородные пространства. Классы сопряжен-
сопряженных элементов. Пусть G — группа преобразований мно-
множества X. Каждой точке а ? X соответствует орби-
орбита б{а) = {х € X | х = ga, g?G} = Go. Группа G действует
транзитивно на каждой из своих орбит. Это значит, что для
любых точек 6 и с из б(а) найдется элемент gd G, такой
что gb — с. Действительно, если Ь = g^a, с =¦ gia, то таким эле-
элементом g является gig\X- Следствием транзитивного действия
группы G на орбитах является то, что орбиты или совпадают,
или не пересекаются. Множество X является объединением
орбит. Множество X, состоящее из одной орбиты, называют
однородным пространством. Примером однородного простран-
пространства является сама группа G относительно правого или левого
умножения.
Пусть Н ¦— подгруппа группы G. Пространство правых
смежных классов группы G по Н обозначают через G/H и на-
называют фактор-пространством. Равенство go(gH) = gagH
определяет действие группы G на G/H. Аналогично опреде-
определяется действие G на фактор-пространстве левых смежных
классов: go(Hg) = 1
§1. Элементарные понятия теории групп 23
Покажем, что действие группы G на однородном про-
пространстве X эквивалентна ее действию на одном из фак-
фактор-пространств. Пусть а ? X. Стабилизатором точки а
назовем множество Н = {h ? G | ha = а}. Легко проверить,
что Н — подгруппа в G. Для каждой точки Ь ? X множес-
множество {g ? G | ga = b} является смежным классом goH, где go —
фиксированный элемент, для которого goa = b. Этим уста-
устанавливается взаимно однозначное соответствие между X
и G/H, при котором преобразование х -> gx на X переходит
в преобразование g0H -> ggoH на G/H.
Легко видеть, что если Н — стабилизатор точки а ? X,
то стабилизатором точки b = goa является подгруппа goHgo1.
Таким образом, если G транзитивно действует на X, то стаби-
стабилизаторы точек из X сопряжены друг к другу. Это значит, что
существует взаимно однозначное соответствие между класса-
классами эквивалентных множеств, на которых действует группа G,
и классами сопряженных подгрупп группы G.
Пусть Н — подгруппа в G и Хц = {gHg~11 g ? G} —
класс сопряженных с нею подгрупп. Формула g{H') = gH'g~1
задает действие группы G в Хн- Очевидно, что G действует
транзитивно в Хц. Стабилизатор N точки Н ? Хц называют
нормализатором подгруппы Н. Другими словами, нормализа-
нормализатор N подгруппы Н — это множество элементов g ? G, для
которых gHg = Н. Ясно, что Хц ~ G/N.
Множество элементов g ? G, таких что ghg~1 = h для
всех h ? Н, называют централизатором подгруппы Н. Цен-
Централизатор — подгруппа в G. Централизатор подгруппы Н
является также подгруппой ее нормализатора. Централизатор
всей группы G называют ее центром. Центр коммутативной
группы G совпадает с G.
Задача 5. Покажите, что централизатор является инвариантной
подгруппой нормализатора.
Пример 4. При действии группы SO(n) унимодулярных
ортогональных преобразований n-мерное евклидово пространст-
пространство расслаивается на сферы с центром в начале координат. На-
Начало координат является отдельной орбитой. На каждой из
сфер группа SO(n) действует транзитивно. Стабилизатором точ-
точки @,0, ,0,1) сферы Sn~1 единичного радиуса является под-
подгруппа SO(n - 1). Поэтому имеем S ~ SO(n)/SO(n - 1).
24 Глава 1
Пример 5. Центральная симметрия и тождественное преобра-
преобразование образуют группу из двух элементов. Под действием этой
группы сфера 5" расслаивается на пары симметрически распо-
расположенных точек. Множество этих пар называют проективным про-
пространством и обозначают через Р™. Элементами этого простран-
пространства можно считать прямые, проходящие через начало координат.
Важными однородными пространствами являются клас-
классы сопряженных элементов. В этом случае группа G дейст-
действует в пространстве X, совпадающем с G. Действие задается
формулой go go = ggog'1- Если go фиксировано, a g пробе-
пробегает G, то получаем орбиту G(go), совпадающую с классом
сопряженных элементов. Группа G расслаивается на классы
сопряженных элементов. Единица группы е образует класс со-
сопряженных элементов, состоящий из одного элемента.
Подгруппу Hg0 элементов группы G, перестановочных
с go, называют централизатором элемента go. Поэтому класс
сопряженных элементов G(go) как однородное пространство
отождествляется с фактор-пространством G/Hg0. Отсюда вы-
вытекает, что если группа G конечна, то ее порядок ord G де-
делится на число элементов в классе сопряженных элементов.
Ясно, что разные классы сопряженных элементов могут иметь
разное число элементов.
Утверждение 2. Пусть G — конечная группа, а С\,
вч,... ,GT — все ее классы сопряженных элементов. Тогда
(а) произведение GiGj = {ж,-жл-|ж,- G <?,-, Xj e 6j\ произволь-
произвольных классов 6i и Gj является объединением сопряжен-
сопряженных классов;
(б) Если х G G-k и hijk — количество возможных записей
вида х = XiXj, xi G 6u Xj ? 6j, mo h^k не зависит от
выбора х в 6k-
Доказательство. Пусть Xk G бк и хк € 6i6j. Тогда
хк — XiXj , где Xi G 6{, xj G 6j и для каждого ge 6k имеем
Gk Э gxkg'1 = gxig-1 ¦ gXjg-1 G ffiffj. A.1)
Значит, все элементы из вк принадлежат GiGj. Из A.1) так-
также вытекает, что hijk не зависит от ж* G &к- Утверждение
доказано.
§2. Расширения групп 25
Утверждение 2 записывают в виде равенства
т
^¦=$>iifctffc, A.2)
fc=i
называемого формулой умножения классов сопряженных эле-
элементов.
Пример 6. Рассмотрим группу
G8 = {а,Ь\а2 = ^о^Ьо = Ь).
Она имеет восемь элементов е, a, а, а2,6, b~1,ab7 ab3 и разбивается
на пять классов сопряженных элементов:
О1 = {е}, 6г = {а2}, бз = {а,а}, 64 = {b.b'1}, €ъ = {аЬ,аЬ3}.
Таблица умножения классов Gj имеет вид
dGx = Gx6i = 6i, i = 1,2,3,4,5; в\ = Ci;
d G2 = 626i = 6i, i = 3,4,5; 6l
§ 2. Расширения групп
2.1. Расширения групп. Прямые произведения.
Если Go и d — две группы, то нас интересует построение
новой группы, которая имеет инвариантную подгруппу, изо-
изоморфную группе Go, и которая в случае конечных групп име-
имеет порядок, равный произведению порядков групп Go и Gi.
Группу G называют расширением группы Gi с помощью груп-
группы Go, если существует гомоморфизм <pi группы G на груп-
группу Gi, ядром которого является Go- Другими словами, G яв-
является расширением группы G\ с помощью группы Go, если
существует последовательность гомоморфизмов
О * "• > 1т1,
26 Глава 1
где первый гомоморфизм является вложением Go в G как под-
подгруппы, а второй — факторизацией: G -> Gi ~ G/Go-
Примером простейшего расширения является прямое про-
произведение групп Gi и G0:G = Gi®Gq. Элементами груп-
группы G = Gi <g> Go являются пары (gi,gb), a их произведения
вычисляются по правилу
Группа Go вкладывается в G в виде множества элемен-
элементов (e,go), a G\ — в виде множества элементов (gi,e). Об-
Образы этих вложений будем обозначать также через Go и G±
соответственно. Очевидно, что (gi,e)(e,g'o) = {e,^)(gi,e) —
— (gi'go), то есть элементы подгруппы Go коммутируют
с элементами подгруппы G\. Из этого факта следует инва-
инвариантность обеих подгрупп.
Очевидным образом определение прямого произведения
распространяется на случай конечного числа множителей.
Теорема 1. Если группа G содержит две инвариантные
подгруппы Gi и Gq, такие что1
d П Go = И, GiGo = G,
то она изоморфна прямому произведению групп Gi и Go, то
есть G ~ Gi ® Go.
Доказательство. Сначала заметим, что условие инва-
инвариантности подгрупп Gi и Go эквивалентно соотношению
коммутативности gig0 = gogi для произвольных gi G G\
и go ? Go. Действительно, в силу инвариантности G\ и Go
имеем
VV =go1(gi1gogi) G Go,
= (go1gi1go)gi G Gi.
Ho Gi П Go = {e}. Поэтому g0~1gi1gogi =e, то есть gogi = gigo-
Если G = GiGo, то любой элемент g ? G или принадлежит од-
одной из подгрупп Gi, Go, или имеет вид произведений g = gigo,
1Если А и В — подмножества группы G, то под АВ понимают мно-
множество всех элементов ab, а С A, b G В.
§2. Расширения групп 27
g\ € G\, go G Go- Представление элемента g в виде g = gig0 —
— Sogi единственно, поскольку из равенства g[g^ = gi'go вы-
вытекает, что go (go') = (gi')^ 6 d П Go = {e}, то есть
что g[ = gi, g^ = g^. Таким образом, имеем возможность лю-
любому элементу g = gigo сопоставлять пару (gi,go) € G± x Go,
а произведению элементов g = gig0 и g1 = g^ — произведе-
произведение пар (gi,gb)(ei>eo) = (gifiiiShgo)- Из сказанного выше вы-
вытекает, что это соответствие является изоморфизмом групп G
и G\ ® Go- Теорема доказана.
Пример 1. Пусть Gi — группа матриц размерности то, a Go —
размерности п. Тогда группа G матриц g = diag(gi,gfe), g\ G Gi,
g2 € G2, размерности то + п является прямым произведением
групп Gi и Go-
Пример 2. Пусть Gi и Gi такие как в примере 1, a gi = (g?s),
gi) = (g*i) — матрицы из G\ и Gi, соответственно. Образуем
матрицы
g = gl ® gO S (gjrfc)(st)) = (g^gfcf)
размерности mn. Тогда группа G' матриц g* изоморфна прямому
произведению Gi ® Go. Таким образом, группа G из примера 1
и группа G' изоморфны. Группу G' называют также тензорным
произведением матричных групп Gi и Gi.
Можно показать, что справедлива такая теорема.
Теорема 2. Каждая нетривиальная конечная коммута-
коммутативная группа разлагается в прямое произведение цикличес-
циклических групп, порядки которых являются простыми числами.
Заметим, что если операцией в группе является сложе-
сложение, то прямое произведение групп называют прямой сум-
суммой. Примером могут служить прямые суммы векторных
пространств.
2.2. Полупрямые произведения. Рассмотрим более
общий случай расширения групп. Пусть заданы две группы Gi
и Go и гомоморфизм gi —> gi группы Gi в группу автомор-
автоморфизмов AutGo группы Go- Образуем множество G упорядо-
упорядоченных пар:
G = {(gi,ft)la G Gi, go G Go}
28 Глава 1
и зададим в нем операцию умножения формулой
Тогда
Поскольку эти два выражения одинаковы, то введенная опе-
операция ассоциативна. Для каждого элемента {g\,go) ? G су-
существует обратный:
Таким образом, G — группа. Отождествим G\ и Go соответ-
соответственно с подгруппами элементов (gi,e) и (е,go) в G. Тог-
Тогда G] П Go = {e}, GiGo = G. Кроме того,
(ё"ье)(е,5ь)(яГ1'е) = (ёъЫС^ГЛе) = (e,gi(go)),
то есть Go — инвариантная подгруппа в G, G\ ~ G/Go и авто-
автоморфизмы ^i действуют в Go как внутренние автоморфизмы
группы G. Таким образом, G — расширение группы G\ с по-
помощью группы Go- Ее называют полупрямым произведением
групп G\ и Go и обозначают через G\ x Go.
Теорема 3. Если группа G содержит две подгруппы G\
и Go, такие что
d П Go = {е}, GiG0 = G,
и подгруппа Go инвариантна, то G изоморфна полупрямому
произведению групп G± и Go, то есть G ~ G\ x Go.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 1 и мы его опускаем.
§2. Расширения групп 29
Пример 3. Группа диэдра Dm является полупрямым произве-
произведением циклических групп Ст и Сз: Dm = Сг » Ст.
Пример 4. Группа GL(n, С) всех невырожденных комплекс-
комплексных матриц размерности п — полупрямое произведение подгруп-
подгруппы SL(n, С) и инвариантной подгруппы XI, А ф 0, всех диагональ-
диагональных матриц.
Пример 5. Группа ISO(n) всех движений n-мерного евкли-
дового пространства, сохраняющих ориентацию, — полупрямое
произведение группы вращений вокруг фиксированной точки и ин-
инвариантной подгруппы параллельных переносов.
Теорема 4 (Шура). Пусть G — конечная группа,
a Go — инвариантная подгруппа в G порядка j. Пусть
[G: Go] = п, причем п и j не имеют общих нетривиальных
делителей. Тогда в G существует подгруппа G\ порядка п,
такая что G является полупрямым (или прямым) произведе-
произведением подгрупп Gi и Go.
За доказательством этой теоремы читатель отсылается
к монографии [36].
2.3. Построение расширений. Пусть Gn — группа,
порожденная элементами а и Ь с определяющими соотношени-
соотношениями а" = Ь2 и ЬаЬ~г = а:
Gn = (а,Ь\ап = Ь2, ЬаЬ'1 = а).
Из условия ЬаЬ~г = о вытекает, что bdnb~1 = a~n. Отсюда
и из равенства а" = Ь2 выводим, что Ь2 = а~п, то есть Ь4 =
= а2п — 1. Каждый элемент g из Gn однозначно записывается
в виде
g=aTba, CKr^2n-l, s = 0,l.
Таким образом, группа Gn имеет порядок An. Подгруп-
Подгруппа Н = (а | а2п — 1) имеет индекс 2 в Gn и поэтому является
инвариантной. Однако группу Gn нельзя представить в виде
полупрямого произведения подгруппы Н и другой подгруп-
подгруппы, поскольку Gn имеет только один элемент Ь2 порядка 2
и Ъ2 G Я.
Из рассмотренного примера вытекает, что полупрямыми
произведениями не исчерпываются расширения групп. Кроме
30 Глава 1
того, фиксированная группа может иметь неэквивалентные
расширения. Ниже рассмотрим, как осуществляются расши-
расширения в общем случае.
Если расширение уже осуществлено, то есть на основании
групп G\ и Go построена группа G, в которой Go является
инвариантной подгруппой, то каждый элемент g G G зада-
задает внутренний автоморфизм ipg: g1 —> gg'g~1 в G. Вследствие
инвариантности подгруппы Go автоморфизм фе суживается
на подгруппу Go, то есть мы имеем гомоморфизм группы G
в AutGo- При этом элементам go е Go соответствуют внут-
внутренние автоморфизмы Go, определяемые самой группой Go-
Поэтому определен гомоморфизм фактор-группы G/Go ~ G\
в Aut Go/ Int Go, где Int Go — подгруппа внутренних автомор-
автоморфизмов группы Go- Таким образом, чтобы построить груп-
группу G как расширение группы Gi, необходимо иметь некото-
некоторый гомоморфизм ф: G\ -> Aut Go / Im Go, и разным гомомор-
гомоморфизмам будут соответствовать разные расширения.
Пусть задана семья автоморфизмов фех группы Go как
функция на группе Gi. Как и раньше, отождествим множест-
множество G с декартовым произведением множеств Gi и Go, то есть
элементами в G являются пары (gi, go). Группу Go отождеств-
отождествляем с подмножеством элементов вида (e,go), наделив его опе-
операцией (e,go)(e,go) — (e>SoSo)- Определяем также произведе-
произведение (gi,gb)(e,go) = (ЯиЯоёо)- Используя автоморфизм фе1, за-
задаем сопряжение на образе группы Go при вложении Go -> G:
(gi,c)(e,gb)(gi,e)~1 = (e,^(gb))-
Произведение элементов (g1,e) и (gi,e) зададим в виде
где x(Si>si) — функция на G\ х G\ со значениями в Go, свой-
свойства которой описаны ниже. Используя равенство
§2. Расширения групп 31
задаем групповую операцию умножения в множестве
Q = G\ ® Go формулой
(Si. fib) (Si. So) =
Из условия ассоциативности групповой операции получа-
получаем ограничение на функции ipgl и x(gi,g[)'-
или
а также
Два расширения группы <?i группой Go называют экви-
эквивалентными:
[G0->G^ Gi] ~ [Go ->G'-> Gi],
если группы G и G' изоморфны. Поскольку фактор-груп-
фактор-группы G/Go и G'/Go совпадают, то группы G и G' могут
различаться только тем, что в них по-разному выбраны пред-
представители смежных классов, соответствующие элементам
группы Gi: gi ->• (gi, e) G G, gi -> (gi, ?(gi)) G G'. To есть изо-
изоморфизм <p': G -* G' фиксируется функцией ?(gi): Gi -> Go
и на элементы группы G он действует по формуле
Если функции ф,х« ф', х' соответствуют эквивалентным
расширениям, то они связаны соотношениями
32 Глава 1
Бели среди эквивалентных расширений можно найти такое,
для которого x(giigi) = е? то группа G\ вкладывается в G как
подгруппа и группа G является полупрямым произведением
групп Gi и Go (см. п. 2.2). Полученное расширение называется
разложимым. Тогда ipgl = gi, где gi определено в п. 2.2.
Пусть C(Go) — центр группы Go. Если значения функ-
функции xigiigz) лежат в C{G0), то согласно соотношению B.1)
отображение 1р осуществляет гомоморфизм группы Gi в груп-
группу автоморфизмов AutGo группы Go- В этом случае расшире-
расширение называют центральным, а функции xieiigz) — коциклами
на группе G\ со значениями в C(Go).
Если *i(gi,g2) и xiigugi) — два коцикла, задающие цен-
центральные расширения, то их произведение также является ко-
коциклом, то есть он удовлетворяет равенству B.2). Таким об-
образом, множество коциклов, задающих центральные расшире-
расширения с фиксированной функцией гр, образуют абелеву группу,
обозначаемую через Z2(Gi,C(Go))-
Коциклы, задающие эквивалентные расширения, отлича-
отличаются один от другого множителем вида
CteftW^teteir1)^)-1, B-з)
где ?(gi) — функция из Gi в C(Go). Коциклы вида B.3) назы-
называются кограницами; они образуют подгруппу J52(Gi,C(Go))
в абелевой группе Z2(Gi,C(G0)). Неэквивалентные расшире-
расширения сопоставляются с элементами фактор-группы
ff2(GbC(G0)) - Z^G^CiG^/B^GuCiGo)),
которую называют второй группой когомологий группы G±.
В общем случае, когда значения функции x(gi,g2) принад-
принадлежат неабелевой группе Go, множество всех расширений при
фиксированной функции гр (если они существуют) также сопо-
сопоставляется с группой H2(Gi,C(Go))- Действительно, соотно-
соотношение B.1) при фиксированной функции -ф определяет класс
функций xigiigi), отличающихся одна от другой функцией
(множителем) /3{gi,g2J со значениями в центре группы Go-
§ 2. Расширения групп 33
Уравнение B.2) налагает на эту функцию условия коциклич-
ности
х P(gi,g2g3)~1 =e.
Если обозначить через e(G0,Gi,ip) множество неэквива-
неэквивалентных расширений группы C?i группой Go при фиксирован-
фиксированной функции -ф: G\ —> AutGo, то приведенные рассуждения
можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 5. Множество S(G0,Gi,i>) допускает тран-
транзитивное действие абелевой группы H2(Gi,C(G0))- Други-
Другими словами, или (o(Go,Gi,^) является пустым множеством,
или существует взаимно однозначное соответствие между
множеством e(G0,Gi,ip) и группой H2(Gi,C(G0)), причем
это соответствие зависит от выбора начального элемента
Чтобы завершить классификацию расширений, мы долж-
должны найти условия, при которых расширения существуют. Как
уже отмечалось, автоморфизмы ipgl как функция на группе Gi
определяют функцию xigii gi) c точностью до элементов цент-
центра группы Go, то есть фактически определяют не саму функ-
функцию x{gi>g2), а ее образ в группе AutG0. Условие ассоциатив-
ассоциативности автоморфизмов ^>я, приводит к соотношению
X{gl,g2g3)x(g2,g3)g0X(g2,g3)~1X(gl,g2g3)~1 =
из которого вытекает, что равенство B.2) выполняется с точ-
точностью до элементов центра, то есть
. B.4)
Функция u(gi,g2,g3) является 3-коциклом, то есть удовлетво-
удовлетворяет уравнению
X U(g1,g2,g3g4)ij>g41{w{g1,g2,g3)~1)u(g2,g3>g4)~1 = С B.5)
34 Глава 1
В этом можно убедиться, применив оператор 6 к левой части
тождества B.4).
Множество отображений ш: Gi х Gj x d -»• C(G0), удов-
удовлетворяющих условию коцикличности B.5), образует абелеву
группу, обозначаемую через Z3(Gi,C(G0)).
Если функция w(gi,g2,(&) не равна тождественно едини-
единице, то говорят, что она является препятствием к расширению.
Если w(gi,g2,g3) имеет вид
\ B.6)
где ft: Gi x Gi -> C(Go)> то такое препятствие можно устра-
устранить, переобозначив функцию
X(gi,g2) -> хЧё'ь
Множество коциклов вида B.6) образует подгруппу
B3(Gi,C(G0)) в группе Z3(G1,C(G0))- Поэтому препятстви-
препятствиями, которые нельзя устранить, являются элементы фактор-
факторгруппы
H3(G1,C(G0)) = Z3(G1,C{Go))/B3(G1,C(Go)).
Таким образом, тривиальность группы H3(Gi,C(Go))
обеспечивает существование расширений группы Gi груп-
группой Go- В случае, когда группа Go имеет тривиальный центр,
каждой функции ф: Gi —> Aut Go соответствует одно и только
одно (с точностью до эквивалентности) расширение. Действи-
Действительно, в этом случае H3(Gi, {e}) = {е} и препятствий для
расширения не существует. Кроме того, H2(Gi, {e}) = {е}
и поэтому существует единственное расширение.
2.4. Разрешимые, нильпотентные и простые груп-
группы. Коммутативные группы представляют собой простей-
простейший (за своим строением) класс групп. Обобщением комму-
коммутативных групп являются группы, которые строятся из ком-
коммутативных групп путем расширения.
Цепочка подгрупп
G~G1DG2D...DGn = {e}, B.7)
§ 2. Расширения групп 35
для которых Gt+i — инвариантная подгруппа в Gi,
1 ^ i 4i n — 1, называют нормальным рядом группы G. Фак-
Фактор-группы Gi/G2,G2/G3,---, Gn-i/Gn называют фактора-
факторами нормального ряда. Группа, имеющая нормальный ряд, все
факторы которого коммутативны, называется разрешимой.
Пример 6. Подгруппа Н всех верхних треугольных матриц
группы GL(n, С) разрешима.
Задача 1. Постройте нормальный ряд подгруппы примера 6 с ком-
коммутативными факторами.
Имеет место такая теорема [36].
Теорема 6. Если конечная zpynnaG имеет порядокpnqm,
где р и q — простые числа, то G разрешима. Конечная груп-
группа, порядок которой не делится на квадрат простого числа,
разрешима.
Приведем без доказательства основные свойства разреши-
разрешимых групп.
а) Подгруппы разрешимых групп разрешимы.
б) При гомоморфизмах разрешимые группы отображаются
на разрешимые группы.
в) Расширение разрешимой группы с помощью разреши-
разрешимой группы — разрешимая группа.
Если G имеет нормальный ряд B.7), такой что груп-
группы Gt+i/Gi являются центрами групп G/Gi, то она называ-
называется нилъпотентной.
Можно показать, что нильпотентная группа разрешима.
Подгруппа и фактор-группа нильпотентной группы нильпо-
тентны.
Пример 7. Подгруппа N всех верхних треугольных матриц
группы GL(n, С) с единицами на главной диагонали нильпотентна.
Подгруппа Н примера 6 не является нильпотентной.
Задача 2. Постройте нормальный ряд группы N примера 7, удов-
удовлетворяющий условия определения нильпотентной группы.
Группа, не имеющая инвариантных подгрупп, называет-
называется простой. Группу называют полупростой, если она не имеет
36 Глава 1
нетривиальных разрешимых инвариантных подгрупп. Г. Фит-
тинг доказал такую теорему (см., например, [36]).
Теорема 7. Если конечная группа не является разреши-
разрешимой или полупростой, то она является расширением полупро-
полупростой группы разрешимой группой.
Заметим, что каждая группа имеет максимальную разре-
разрешимую инвариантную подгруппу, которая определяется одно-
однозначно. Ее называют радикалом группы. Согласно теореме 7
фактор-группа по ее радикалу — полупростая группа.
§ 3. Симметрическая и знакопеременная
группы
3.1. Перестановки. Симметрическая группа. Важ-
Важное значение в теории групп имеет группа перестановок. Мно-
Много теорем (абстрактной) теории были сначала открыты имен-
именно для этой группы.
Перестановкой (подстановкой) называют взаимно одно-
однозначное отображение упорядоченного множества объектов
или символов на себя. Пусть имеем m объектов (символов),
занумерованных числами натурального ряда. Тогда переста-
перестановка р — это отображение
р: A, 2, ... , т) -+ (*!, г2, • • • , гт),
где числа г* разные и принадлежат множеству A, 2, ... , т).
Перестановку р можно сопоставить с таблицей
C-1)
В этой таблице можно произвольно размещать столбцы, сохра-
сохраняя при этом соответствие Аг —>• гд.. Поскольку перестановки —
это отображения, то композиция отображений (то есть их по-
последовательное выполнение) удовлетворяет условию ассоци-
ассоциативности и является групповой операцией умножения. Если
перестановки р^ и рг заданы таблицами C.1), то, приведя (пу-
(путем перестановки столбцов) первую строку первой таблицы
PlP2 = [з 2
§3. Симметрическая и знакопеременная группы 37
к совпадению со второй строкой второй таблицы и вычерки-
вычеркивая одинаковые строки, получим перестановку, задаваемую
произведение р\рг перестановок ру и р2. Например,
1 2 3 4\ (\ 2 3 4\ _
1 А) \А 3 1 2) ~
_ /4 3 1 2\/1 2 3 4\ _ А 2 3 4\
~ \А 1 3 2) \А 3 1 2)~ \А 1 3 2) "
Очевидно, что для каждой перестановки р существует пере-
перестановка р~1ш-
1 _ fi\ г2 • • • im\
V1 2 ••¦ m/
то есть такая, что рр~х = Р~хр = е, где е — тождественная
перестановка.
Таким образом, мы определили группу всех перестановок
т объектов. Ее называют симметрической группой и обозна-
обозначают через Sm. Очевидно, что порядок группы Sm равен т!
3.2. Циклы и транспозиции. Циклом или цикличес-
циклической перестановкой называют перестановку, которая часть
объектов оставляет неизменными, а остальные ji,j?,..., jk
переставляет циклически, то есть ji\ переводит в ji2, ji2 —
в 3ia, ¦ ¦ ¦ > Зк — в з\ (множество ii,J2, • ¦ - ,Зк совпадает с мно-
множеством jiltji2, - -. ,jik)- Такую перестановку обозначают че-
через (jiiiji2i--- >3ik)i опуская неподвижные индексы. Напри-
Например, перестановка
'12 3 4 5 6 7
8 6 4 5 2 7
циклична и обозначается B, 8, 3, 6). Иногда запятые будем
опускать и писать B836).
Два цикла группы Sm называют независимыми, если в них
нет общих переставляемых индексов. Ясно, что при умноже-
умножении независимых циклов порядок множителей не влияет на
результат.
Очевидно, что всякая перестановка единым образом раз-
разлагается в произведение попарно независимых циклов. Практи-
Практически разложение на циклы осуществляется следующим об-
образом: начинаем с произвольного переставляемого символа
38 Глава 1
и последовательно записываем за ним символы, в которые он
переходит, пока не вернемся к начальному символу. Потом та-
такую же операцию повторяем с оставшимися символами. Раз-
Разложение завершается тогда, когда в перестановке остаются
только неподвижные символы. Например,
1 2 3 4 5 6 7 8\ (
Ь 2 8 7 6 1 4 Ь) = A' 5'
6)C' 8)D'
Циклы длины 2 называются транспозициями. При транс-
транспозициях меняются местами два символа, а остальные оста-
остаются неподвижными. Любой цикл, а следовательно, любая пе-
перестановка может быть разложена в произведение транспози-
транспозиций. Например,
(гь 12,--. , ik) = {ч, »2)(*i, *з) •-¦ (*i, «'*)•
Такое разложение неоднозначно. Но во всех разложениях чис-
число транспозиций одно и то же и на единицу меньше, чем длина
цикла (предполагается, что в разложении нет транспозиций,
произведение которых дает тождественную перестановку.
Группа Sm задается своими порождающими элемента-
элементами — транспозициями pi = (г, г + 1), i = 1, 2,... ,т — 1,
и определяющими соотношениями. Можно показать, что
Sm = (pi,P2, • • • ,Pm-i |pi = e; pipj = pjpi для |г - j\ > 1;
Pi+iPiPi+i =PiPi+iPi)-
3.3. Классы сопряженных элементов. Разложим
перестановку р Е Sm в произведение независимых циклов:
Р = (ii, i2, ¦¦¦, ik){ji, J2,... ,j9)...
Легко проверить, что сопряженная перестановка р' = 9Р9",
Я G Sm, разлагается в произведение независимых циклов та-
таким же образом:
Р' = (Фг), я{гт),¦¦¦ , q{ik)){q(h), Q(h),¦¦¦ , п(з*))¦¦¦ ,
где через q(in) и q(jn) обозначены символы, в которые пере-
переходят in и jn при действии перестановки д. Таким образом,
§ 3. Симметрическая и знакопеременная группы 39
длины циклов в разложении перестановок р м р' одинаковы.
Наоборот, если перестановки р и р' из Sm разлагаются в про-
произведения независимых циклов одинаковых длин, то они со-
сопряжены. Например, если р и р' — перестановки из Se вида
р = A, 3)B, 4, 5, 6), р' = E, 6)A, 4, 3, 2),
тор' = дрд~1, где
_ Л 3 2 4 5 б\ _ Л 2 3 4 5 б\
9 ~\5 6 1 43 2/\5 * 643 2)'
В общем случае это утверждение доказывается аналогично.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Классы сопряженных элементов в симмет-
симметрической группе Sm нумеруются разбиениями числа т в сум-
сумму положительных целых чисел. Разбиениям, отличающимся
только порядком слагаемых, соответствует один и тот же
класс.
3.4. Теорема Кэли. Важное значение в теории групп
имеет такая теорема.
Теорема 2. Любая конечная группа изоморфна некото-
некоторой подгруппе симметрической группы.
Доказательство. Пусть G — конечная группа порядка п.
Запишем ее элементы в фиксированной последовательности е,
giig2i • ¦ ¦ ign-i и произвольный элемент gi сопоставим с пере-
перестановкой
=р=(е ё
\gi gi
р =р=( ё1 ё2 "•• ёп'
\gi gigl gig2 ¦¦¦ gign-l
элементов группы G. Докажем, что множество таких переста-
перестановок образует группу и эта группа изоморфна группе G. Для
этого рассмотрим произведение
PkPi=\ ё1 ё2 ••• g"n-1
\gk gkgl gkgl ¦ ¦ • gkgn-
-С
Гп-l "\
gn-l) '
gl gi ¦¦¦ gn-l
gigl gig2 ¦¦¦ gign
40 Глава 1
Выполняем перестановку столбцов в таблице рк так, что-
чтобы ее первая строка совпадала со второй строкой таблицы р,-.
Тогда
= ( gi gigl gig2 ¦"
\gkgi gkgigl gkgig2 - • • gkgig
Sign-l \
kgign-l) '
Таким образом,
e
n-i \
ign-l) '
p (
\gkgi gkgigl gkgigl ¦ ¦ ¦ gkgig
то есть pkPi = PgkPgi = Реке1- Таким образом, отображение
gi -> pgi является гомоморфизмом групп. Поскольку gkgi ф gi,
если gk ф е, то его ядро состоит из единичного элемента. Поэ-
Поэтому этот гомоморфизм осуществляет изоморфизм группы G
на соответствующую подгруппу группы Sn. Теорема доказа-
доказана.
3.5. Знакопеременная группа. Строение (структу-
(структура) групп определяется ее подгруппами. Важную подгруппу
в Sm образуют перестановки, разлагающиеся в произведение
четного числа транспозиций. Опишем эту подгруппу. Для это-
этого рассмотрим многочлен
А(х1,х2,... ,хт) =
Перестановки аргументов этого многочлена могут изменять
его знак или оставлять его неизменным. В первом случае го-
говорят, что соответствующая перестановка является нечетной,
а во втором — четной. Легко проверить справедливость сле-
следующих утверждений:
1. Транспозиция является нечетной перестановкой.
2. Произведение двух четных или двух нечетных пере-
перестановок является четной перестановкой. Произведение
четной и нечетной перестановок является нечетной пе-
перестановкой.
3. Цикл, содержащий к символов, имеет четность (—1)*+1.
§ 3. Симметрическая и знакопеременная группы 41
Из этих утверждений вытекает, что множество всех чет-
четных перестановок из Sm образует подгруппу, которую назы-
называют знакопеременной группой и обозначают через Ат. Груп-
Группа Аз коммутативна, а группы Ат, га ^ 4, некоммутативны.
Утверждение 1. Подгруппа Ат является инвариантной
подгруппой индекса 2 в симметрической группе Sm.
Доказательство. Поскольку ррор~х — четная переста-
перестановка для произвольных р G Sm и ро 6 Ат, то Ат — инва-
инвариантная подгруппа в Sm. Поскольку транспозиция (iuiz) —
нечетная перестановка, то смежный класс Am(ii,i2)
(или (ii,i2)Am) состоит только из нечетных перестановок. Ес-
Если р — любая перестановка, то среди перестановок р и p(«'i, г'г)
одна перестановка четна а другая - нечетна. Поскольку р =
— [p(*i>*2)](*i»*2)j T0 любую перестановку можно отнести или
к Ат, или к Am(ii,i2)- Другими словами, смежные классы Ат
и Am{ii,i2) исчерпывают всю группу Sm:
Sm = Am U Am{i1,i2) = Ат U (h,i2)Am-
Это значит, что Ат имеет индекс 2 в Sm. Утверждение дока-
доказано.
Группа Ат порождается циклами длины 3. Действитель-
Действительно, согласно определения любой элемент g € Ат является
произведением четного числа транспозиций. Если среди них
существуют транспозиции, имеющие общий символ, напри-
например (а, Ь) и (а, с), то их произведение является циклом дли-
длины 3: (а, 6) (а, с) = (с, а, 6). Если транспозиции не имеют об-
общих символов, то
(а, 6)(с, d) = (а, Ь)(Ь, с)(Ь, с){с, d) = (о, Ь, с){Ь, с, d).
3.6. Простота знакопеременной группы. Напом-
Напомним, что простой называется группа, не имеющая инвариант-
инвариантных подгрупп. Докажем такую теорему.
Теорема 3. При т ^ 5 знакопеременная группа Ат
проста.
Доказательство. Предположим, что в Ат существует
инвариантная подгруппа Н, отличная от {е} и всей груп-
группы Ат-, и рассмотрим несколько возможных случаев.
42 Глава 1
Случай 1: подгруппа Н содержит элемент h = (a, b, с),
являющийся циклом длины 3. Рассмотрим сопряженный эле-
элемент
t^ht = F, q)(a, р)(а, Ь, с)(а, р)(Ь, q),
где р и q — символы, переставляемые элементами группы Ат.
Простые расчеты дают t^ht = (с, р, q), то есть цикл (с, р, q)
тоже лежит в Н. Поскольку р и q— произвольные символы, то
таким образом можно получить и цикл (с, г, q). Произведение
этих двух циклов
(с, г, q)(c, p, q) = (p, q, r)
есть произвольный цикл длины 3. Таким образом, в этом слу-
случае подгруппа Н совпадает с Ат.
Случай 2: подгруппа Н содержит элемент h с циклом дли-
длины s ^ 4, то есть разлагается в произведение независимых
циклов
h = (*i, г2, • - • , i,)(ji, h, ¦ ¦ ¦ , jr) ¦ ¦ ¦
Пусть t = ($i, ii, г'з). Образуем произведение t~1hth~1:
В результате несложных вычислений получаем t~1hth~1 =
= («ъ h, h)- Таким образом, подгруппа Н содержит цикл дли-
длины 3, и поэтому этот случай сводится к случаю 1.
Случай 3: подгруппа Н содержит элемент h, разлагаю-
разлагающийся в произведение независимых циклов, среди которых
два или больше циклов имеют длину 3:
h = (гь г2, г'3)(л, j2, Зз) • • •
Положив t = (is, ji, 32) и вычислив элемент t~1hth~1, получа-
получаем
t^hthT1 = (j3, *i, ji, гз, h) € H.
Таким образом, этот случай сводится к случаю 2.
Случай 4: подгруппа Н содержит элемент, являющийся
произведением независимых цикла длины 3 и циклов длины 2.
§3. Симметрическая и знакопеременная группы 43
Квадрат этого элемента является циклом длины 3, и поэтому
этот случай сводится к случаю 1.
Случай 5: подгруппа Я содержит элемент, являющийся
произведением независимых циклов длины 2 в количестве не
меньше четырех, то есть
h = (ai, а2)(а3, а4)...(а„_3, an_2)(an-i, an).
Пусть t = (au а„-з)(ап-2, an-i). Тогда
t~lht = (d, an_i)(a2, а„_3)(аз, а4). ¦ - (а„-2, а„).
Домножая полученный элемент справа на h, получаем
t~xhth = (d, an_3, an)(an-2, a2, an-i),
то есть ситуация сводится к случаю 3.
Случай 6: подгруппа Н содержит элемент h вида h =
= (а, Ь)(с, d). Поскольку согласно предположения т ^ 5, то
кроме символов a, d, с, d множество, на котором действуют пе-
перестановки, содержит в крайнем случае еще один символ /.
Зададим элемент t = (а, Ь, /) и вычислим произведения t~1ht
и Ы~гЫ:
Ы = t^ht = (Ь, /)(/, d) G Я, hh' = (a, f, b) G Я.
Отсюда следует, что подгруппа Я содержит цикл длины 3. То
есть ситуация снова сведена к случаю 1. Теорема доказана.
Как показано ниже в п. 3.7а, знакопеременная группа Aj
имеет нетривиальную инвариантную подгруппу и поэтому не
является простой.
3.7. Группа перестановок и симметрии правиль-
правильных многогранников. Обширный и очень важный класс
групп (как конечных, так и бесконечных) составляют груп-
группы симметрии геометрических фигур. Некоторые из них уже
рассматривались выше. Имеем в виду группы симметрии пра-
правильных многоугольников (группы диэдра) и непрерывную
группу симметрии окружности.
Среди групп симметрии пространственных тел важное
место занимают группы симметрии правильных (выпуклых)
44 Глава 1
многогранников. Такие группы состоят из вращений, в ре-
результате которых многогранник совмещается сам с собой,
а также из зеркальных отображений (несобственных враще-
вращений).
С каждым многогранником ассоциируется дуальный к не-
нему многогранник, вершины которого являются центрами гра-
граней данного многогранника. Очевидно, что дуальные много-
многогранники имеют одну и ту же группу симметрии. Существу-
Существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр,
икосаэдр и додекаэдр. Поскольку куб и октаэдр, а также ико-
икосаэдр и додекаэдр взаимно дуальны, то в список групп сим-
симметрии правильных многогранников входят три группы:
группа тетраэдра Т,
группа куба (октаэдра) К,
группа икосаэдра (додекаэдра) У.
Рассмотрим каждую из этих групп отдельно, определив
предварительно топологическую характеристику выпуклых
многогранников — характеристику Эйлера х~-
X = (число вершин) — (число ребер) + (число граней).
Характеристика Эйлера произвольной выпуклой фигуры сов-
совпадает с характеристикой Эйлера сферы и равна двум (тео-
(теорема Эйлера).
3.7а. Группа симметрии тетраэдра. Вращательны-
Вращательными симметриями изображенного на рис. 3 тетраэдра О1О2О3О4
являются вращения вокруг осей OiO,', i = 1,2,3,4, на уг-
углы 2тг/3 и 4тг/3 = —2тг/3, а также вращения вокруг осей Ох,
Оу, Oz на угол тг. Занумеруем оси О{О{>, которые являют-
являются большими диагоналями куба, числами 1, 2, 3, 4. Тогда
вращения вокруг любой из них на заданные углы приводят
к циклическим перестановкам оставшихся осей. Например,
если riB7r/3) — вращение вокруг оси O\Ov на угол 2тг/3,
§3. Симметрическая и знакопеременная группы
45
то ему соответствует цикл B, 3, 4), а вращению ri(—2тг/3) —
цикл B, 4, 1). И далее:
г2Bтг/3) -
гзBтг/3) -
г4Bтг/3) -
+ C,4,
41,2,
+ A,2,
1),
4),
3),
Ы-
гз(-
-2тг/3)
-2тг/3)
г4(-2тг/3)
-»
-4
-»
C,
A,
A,
1,4),
4,2),
3,2).
Вращения гх(п), гу(п), г2(тг) вокруг осей Ox, Oy, Oz на угол тг
сопоставляются с произведениями транспозиций:
гх(тг)->A,2)C,4),
Три последних преобразования, дополненные тождественным
элементом, образуют группу, изоморфную группе диэдра D2.
Легко проверить, что это инвариантная подгруппа в группе Т
вращательных симметрии тетраэдра. Таким образом,
Т~С3х?>2, ordT = 12,
46
Глава 1
где С3 — циклическая группа порядка 3. С другой сторо-
стороны, группа Т реализуется как группа четных перестановок
осей OiOv, i - 1,2,3,4- То есть
Группа Т, дополненная несобственными симметриями —
зеркальными отображениями относительно плоскостей, про-
проходящих через ребро и середину противоположного ребра,
является полной группой симметрии тетраэдра. Обозначим
ее через Т. Зеркальному отображению относительно плос-
плоскости ОгОцОг'Оц соответствует транспозиция A, 2). Поэто-
Поэтому Т = Т U A,2)Т ~ 54.
3.76. Группа симметрии куба (октаэдра). Если
центр каждой грани куба выбрать за вершину выпуклого мно-
многогранника, то этим многогранником будет октаэдр. То есть
октаэдр и куб являются двойственными многогранниками. Их
группы симметрии совпадают (см. рис. 4).
Рис. 4.
Очевидно, что группа вращательных симметрии куба со-
содержит подгруппу Т, а также вращения вокруг осей Ох, Оу,
§3. Симметрическая и знакопеременная группы 47
Oz на углы тг/2 и Зтг/2 и вращения на угол тг вокруг шес-
шести осей, проходящих через середины противоположных ребер.
Сопоставим эти преобразования с перестановками больших
диагоналей куба, которые, как и раньше, занумеруем числа-
числами 1, 2, 3, 4:
гж(тг/2) -* A,2,3,4), гж(Зтг/2) -> A,4,3,2),
гу(тг/2) -> A,2,4,3), гу(Зтг/2) -> A,3,4,2),
rz(n/2) -> A,4,2,3), гг(Зтг/2) _» A,3,2,4),
-*A,4), гв(тг)->B,4),
Эти сопоставления показывают, что группа вращательных
симметрии куба (октаэдра) К изоморфна симметрической
группе 54: К ~ 54. Поэтому ord If = 24.
Дальнейшее расширение группы К можно осуществить,
удвоив ее подобно к предыдущему случаю за счет инверсий.
Полная группа симметрии куба К = К х Сг имеет 48 элемен-
элементов.
3.7в. Группа симметрии икосаэдра (додекаэдра).
Икосаэдр (двадцатигранник), изображенный на рис. 5, имеет
12 вершин и 20 ребер. Грани являются правильными треуголь-
треугольниками. В каждой вершине сходится пять таких треуголь-
треугольников. Дуальным к икосаэдру является додекаэдр, имеющий
12 граней и 20 вершин.
Вращения вокруг осей, проходящих через противополож-
противоположные вершины икосаэдра, на углы тг/5, 2тг/5, Зтг/5, 4тг/5 явля-
являются симметриями икосаэдра. Симметриями также являются
вращения на углы 2тг/3 и 4тг/3 вокруг осей, проходящих через
центры противоположных граней, а также вращения на угол
тг вокруг осей, проходящих через середины противоположных
сторон. Вместе с тождественным преобразованием это дает
60 элементов. То есть порядок группы вращательных симмет-
симметрии икосаэдра равен 60.
Существует взаимно однозначное соответствие между
элементами группы Y и шестьюдесятью четными переста-
перестановками пяти объектов. Этими объектами являются тройки
ортогональных медиан икосаэдра. Чтобы получить их, соеди-
48
Глава 1
ним середины противоположных ребер икосаэдра и множест-
множество пятнадцати медиан разобьем на пять подмножеств, объеди-
объединяя в них тройки взаимно ортогональных медиан. Эти тройки
называют ортогональными триадами.
Рис. 5.
Покажем, что самосовмещения (вращательные симмет-
симметрии) икосаэдра приводят к четным перестановкам на мно-
множестве ортогональных триад. Для этого заметим, что че-
через середины ребер, выходящих с фиксированной вершины,
проходят медианы, принадлежащие к разным ортогональ-
ортогональным триадам, поскольку угловое расстояние между сере-
серединами смежных ребер (относительно центра многогран-
многогранника) меньше от тг/4. Ортогональные медианы строятся
с помощью пятиугольника, натянутого на пять ребер, вы-
выходящих с одной вершины. Медианы, проходящие через
середины ребер, одно из которых выходит из вершины,
а другое является противоположной стороной пятиугольника,
ортогональны.
Занумеруем середины ребер, как показано на рис. 5, и со-
сопоставим вращательным симметриям икосаэдра перестанов-
перестановки чисел 1, 2, 3, 4, 5. Порождающие элементы циклических
подгрупп Сб, связанных с вершинами Oi, i = 1,2,3,4,5,6, со-
§ 3. Симметрическая и знакопеременная группы 49
поставляются с циклическими перестановками:
Oi ->• A,2,3,4,5), О2 -> A,4,3,5,2), О3 -* A,3,2,5,4),
О4 -> A,5,2,4,3), Ов -> A,3,5,4,2), О6 -> A,4,2,3,5).
Циклическим подгруппам Сз, связанным с центрами граней
икосаэдра, сопоставляются циклы
E,3,1), A,4,2), B,5,3), C,1,4), D,2,5),
C.4,2), D,5,3), E,1,4), A,2,5), B,3,1).
Подгруппы Сг, соответствующие осям, проходящим через се-
середины противоположных граней, сопоставляются с произве-
произведениями транспозиций. А именно, поворотам вокруг осей пер-
первой триады соответствуют перестановки
B,3)D,5), B,5)C,4), B,4)C,5),
для второй триады —
для третьей —
для четвертой —
для пятой —
Установленное соответствие элементов группы У четным пе-
перестановкам пяти объектов задает изоморфизм между груп-
группами КиЛ5:У~ А5. Поэтому ord Y = ord A5 = 60.
Группу Y можно расширить до полной группы симмет-
симметрии икосаэдра У, добавив «диаметральное» отображение а —
инверсию относительно центра икосаэдра: <т2 = е. Группа У
50 Глава 1
имеет порядок 120. Заметим, что группа У не изоморфна
симметрической группе 5s, хотя эти группы имеют одина-
одинаковые порядки. Действительно, во-первых, «диаметральному»
отображению не соответствует никакая перестановка медиан
и, во-вторых, хотя группа S5 (как и У) имеет инвариантную
подгруппу А5 ~ У, никакой инвариантной подгруппы поряд-
порядка 2 она не содержит.
§ 4. Топологические группы
4.1. Топологические пространства. Абстрактные
группы — это множества, в которых единственной структу-
структурой является бинарная операция. В конкретных ситуациях,
в частности в физических теориях, возникают группы с до-
дополнительными соотношениями для элементов, отличными за
своей сущностью от тех, которые вытекают из групповой опе-
операции. Дополнительной структурой в группе может быть то-
топология, то есть структура, с помощью которой придается
точный смысл таким понятиям, как окрестность элемента,
предел, непрерывность, связность и т. д.
Топология на множестве X фиксируется путем выделе-
выделения системы Е подмножеств, для которых выполняются такие
условия:
1) Пустое множество и множество X принадлежат Е.
2) Объединение произвольного числа подмножеств систе-
системы Е является множеством из Е.
3) Пересечение конечного числа подмножеств системы Е
принадлежит Е.
Множество X, на котором фиксирована топология, на-
называется топологическим пространством, а его элементы —
точками этого пространства. Элементы системы Е называют-
называются открытыми подмножествами. Окрестностью точки х 6 X
называют любое открытое подмножество, содержащее эту
точку.
Множества, являющиеся дополнительными к открытым
подмножествам пространства X, называются замкнутыми.
§4. Топологические группы 51
Для каждого множества U С X существует наименьшее за-
замкнутое множество U, содержащее U; оно называется замы-
замыканием множества U.
Если на множестве X топология задана так, что каждое
подмножество из X принадлежит системе Е открытых мно-
множеств, то соответствующее пространство называют дискрет-
дискретным.
В топологическом пространстве X можно определить по-
понятие предела последовательности. Точка х 6 X является пре-
пределом последовательности {хп} в топологии Е, если для вся-
всякой окрестности U точки х найдется номер m ? Z+, такой что
все элементы последовательности, начиная с хт, лежат в этой
окрестности. Последовательность, имеющая предел, называ-
называется сходящейся.
Ниже мы в основном будем иметь дело с топологически-
топологическими пространствами, в которых для любых двух разных то-
точек существуют их окрестности, которые не пересекаются.
Это условие называется аксиомой отделимости, а соответ-
соответствующие пространства — отделимыми или хаусдорфовыми.
В хаусдорфовых пространствах каждая сходящаяся последо-
последовательность имеет только один предел. Справедливо и об-
обратное утверждение: если каждая сходящаяся последователь-
последовательность имеет только один предел, то пространство хаусдор-
фово.
Важный класс топологических пространств составляют
метрические пространства. Метрическое пространство —
это множество, на котором определена неотрицательная функ-
функция (метрика) р(х,у), имеющая такие свойства:
1) р{%->у) ^ 0, причем р(х,у) = 0 тогда и только тогда,
когда х — у;
2) р(х,у) =р(у,х);
3) р(х,у) + p{y,z) ^ p(x,z) (свойство треугольника).
Топология на пространстве X с метрикой р(х, у) задается
системой открытых подмножеств, которыми являются конеч-
конечные и бесконечные объединения открытых шаров
Ку,г = {х€ Х\р{х,у) < г}, у€Х, r? R+.
52 Глава 1
Естественным образом в метрическом пространстве опре-
определяются такие важные понятия, как фундаментальная по-
последовательность, равномерная сходимость и др. Мы не бу-
будем углубляться в эти вопросы, отсылая читателя к кни-
книгам [44, 48].
Пример 1. Определим топологию в множестве R всех вещест-
вещественных чисел, выбирая в качестве открытых множеств конечные
и бесконечные объединения ограниченных открытых интервалов.
Множество R, наделенное этой топологией, называется числовой
прямой (одномерным пространством). Пространство Е является
также метрическим пространством с метрикой р(х, у) =s= \x — у\.
Отображение одного топологического пространства в дру-
другое (или самого в себя) называют непрерывным, если образами
открытых множеств являются открытые множестве- Из опре-
определения предела последовательности вытекает, что непрерыв-
непрерывные отображения переводят сходящиеся последовательности
в сходящиеся.
Взаимно непрерывное и взаимно однозначное отображе-
отображение одного топологического пространства на другое называют
гомеоморфизмом. Сами пространства в этом случае называют
гомеоморфными.
4.2. Топологические группы. Группу G, являющу-
являющуюся топологическим пространством, называют топологичес-
топологической или непрерывной группой, если групповые операции непре-
непрерывны в топологии этого пространства. Непрерывность груп-
групповых операций означает непрерывность отображения /: Gx
xG -» G, где f(gi,g2) = gig2, и отображения j:G-*G, где
j(g) = g~l. Непрерывность отображения / означает, что для
каждой окрестности Uglg2 точки g%g2 найдутся окрестнос-
окрестности Ugl и Ug2 точек gx и g-2, такие что UglUg2 С Uglg2. Не-
Непрерывность отображения j означает, что для каждой окрест-
окрестности Ug-i точки g~l найдется окрестность Ug точки g, такая
что U'1 С Ug-i, где под U~l понимается множество всех эле-
элементов gi1, gi G Ug.
На языке сходящихся последовательностей непрерыв-
непрерывность групповых операций означает, что из сходимости после-
последовательностей {gn} и {g'n} соответственно к элементам gug1
вытекает сходимость последовательности {gngn} K элемен-
§4. Топологические группы 53
ту gg1, а также сходимость последовательности {g^1} к эле-
элементу g~l.
Из определения топологической группы вытекает, что
для всякого элемента g0 топологической группы G левый
сдвиг g —> gog (соответственно правый сдвиг g —»¦ ggo) явля-
является гомеоморфизмом группы G на себя. Поэтому в тополо-
топологической группе топологию достаточно задавать полной сис-
системой открытых множеств, содержащих единичный элемент
(то есть окрестностями единичного элемента). Окрестности
другого элемента g 6 G получаются умножением окрестнос-
окрестностей единичного элемента справа (или слева) на g. Объединяя
окрестности всех элементов группы в одну совокупность мно-
множеств, получаем набор всех открытых множеств топологичес-
топологического пространства G.
Подгруппой топологической группы G называют такое ее
подмножество, которое является подгруппой в алгебраичес-
алгебраическом смысле и топологическим подпространством. Топология
в подгруппе Н индуцируется топологией группы G таким об-
образом, что открытые множества в Н являются пересечениями
открытых множеств в G с множеством Н. Как правило, требу-
требуется чтобы подгруппа была замкнутым подмножеством в G,
хотя иногда рассматривают и открытые подгруппы. Всюду
ниже, если явно не указано иное, под подгруппой топологи-
топологической группы будем понимать замкнутую подгруппу.
Фактор-группой топологической группы G по ее инвари-
инвариантной подгруппе Н называют фактор-группу G/H в понима-
понимании определения в п. 1.5 с топологией, индуцированной топо-
топологией группы G. В этой топологии открытыми множествами
в G/H являются множества {gH \ g б U}, где U пробегает
все открытые множества в G. Фактор-группа топологической
группы с этой топологией является топологической группой.
Пример 2. Аддитивная группа К вещественных чисел с вве-
введенной в примере 1 топологией является топологической группой.
Фактор-группа K/Z группы Ш по подгруппе целых чисел также яв-
является топологической группой.
Пример 3. Введем в группу GL(n, С) координаты, считая, что
координатами матрицы g = (gij) являются числа Xij = gij — 6ц,
где Sij = 0 при i ф з и Sij = I при i = j. Это отождествляет груп-
54 Глава 1
пу GL(n, С) с метрическим пространством С" , из которого выбро-
выброшено множество, задаваемое уравнением det g = 0, и превращает
ее в топологическое пространство. Если xtj и уу — координаты
матриц gi и gi, то координаты Zij матрицы gig2 выражаются че-
через Xij и yij формулой
Zij = Xij + Уц + ^2 xikykj.
fc=l
Отсюда видно, что координаты Zij непрерывно зависят от коор-
координат элементов gi и g2 и поэтому GL(n, С) — топологическая
группа.
Под изоморфизмом топологических групп понимают опре-
определенный в п. 1.4 изоморфизм групп, который является гомео-
гомеоморфизмом соответствующих топологических пространств.
Отображение топологической группы G на топологическую
группу G' называют гомоморфизмом топологических групп,
если оно является гомоморфизмом в понимании изложенного
в п. 1.4 и непрерывным отображением G на G' и если пол-
полными прообразами открытых подмножеств из G' являются
открытые подмножества в G.
4.3. Связность. Для топологических групп важными
являются понятия связности и односвязности (или многосвяз-
ности) группового пространства, а также понятия о накры-
накрытии и универсальном накрытии неодносвязных групп. Как
мы увидим ниже, эти понятия являются только первыми сту-
ступенями в изучении топологической структуры непрерывных
групп. Они будут углублены и развиты на примерах групп Ли,
которые являются частным, но в то же время распространен-
распространенным классом топологических групп.
Топологическое пространство (топологическая группа)
называется связным, если его нельзя представить в виде объ-
объединения двух непустых непересекающихся подмножеств, ко-
которые являются одновременно открытыми и замкнутыми.
Если пространство X связно, то единственными открыто-
замкнутыми множествами в нем являются пустое множество
и все пространство X.
Если хо — некоторая точка топологического простран-
пространства X, то существует максимальное связное подмножест-
§4. Топологические группы 55
во Хо С X, содержащее эту точку. Множество Хо всегда за-
замкнуто; его называют связной компонентой точки xq. Оче-
Очевидно, что оно также является связной компонентой любой
другой точки, принадлежащей Хо.
Если связной компонентой в пространстве X является
каждая его точка, то его называют вполне несвязным.
Замечание. Дискретное пространство является вполне не-
несвязным. Но эти два понятия не тождественны. Например, адди-
аддитивная группа рациональных чисел вполне несвязна, но она не яв-
является дискретным пространством.
Кроме чисто топологического понятия связности, приве-
приведенного выше, существует понятие линейной связности. Топо-
Топологическое пространство (топологическая группа) называется
линейно связным, если две любые его точки можно соединить
непрерывным путем. Напомним, что непрерывным путем на-
называют непрерывное отображение ip замкнутого интервала /
числовой прямой (для определенности пусть J = [0,1]) в дан-
данное топологическое пространство.
Утверждение 1. Каждое линейно связное топологичес-
топологическое пространство является связным.
Доказательство. Действительно, если ip: I —»¦ X — не-
непрерывный путь, то его значения tp(t), t 6 /, образуют в про-
пространстве X связное множество, поскольку оно является обра-
образом связного множества I. Концы пути tp, то есть точки tp(O)
и (рA), принадлежат этому же связному множеству. В линей-
линейно связном множестве любые две точки можно считать кон-
концами некоторого непрерывного пути, связывающего их. Поэ-
Поэтому все точки линейно связного пространства принадлежат
к одной связной компоненте. Утверждение доказано.
В случае многообразий (в частности, групп Ли) имеет
место и обратное утверждение, то есть в этом случае понятия
связности и линейной связности совпадают. В общем случае
это не так.
Утверждение 2. Связная компонента Go единицы то-
топологической группы G — инвариантная подгруппа.
Доказательство. Если Go — связная компонента еди-
единицы, то для произвольного а € Go множество a-1Go связно
56 Глава 1
и содержит единицу. То есть a~1Go С Go или а~1Ь е Go для
произвольных а и 6 из Go- Таким образом, Go — подгруп-
подгруппа. Поскольку правое и левое умножения являются непрерыв-
непрерывными отображениями, то для произвольного g 6 G множест-
множество gGog~1 связно и содержит единицу. Поэтому gGog~1 С Go-
Утверждение доказано.
Поскольку связная компонента единицы Go является ин-
инвариантной подгруппой топологической группы, то можно
рассмотреть фактор-группу G/Go- Элементами этой группы
являются правые смежные классы G,- = giGo, которые в то
же время являются связными компонентами группы G. Каж-
Каждая связная компонента имеет такой вид. Отсюда следует, что
фактор-группа является вполне несвязной группой.
4.4. Фундаментальная группа и накрытия. Если
группа G связна, то ее дальнейшая топологическая структу-
структура (а также структура связных компонент несвязной груп-
группы) описывается фундаментальной группой, или, как ее еще
называют, первой гомотопической группой соответствующего
топологического пространства. Элементами фундаментальной
группы являются классы эквивалентных (гомотопных) замк-
замкнутых путей, начинающихся и заканчивающихся в фиксиро-
фиксированной точке топологического пространства. Два пути в то-
топологическом пространстве X называют эквивалентными (го-
(гомотопными), если они имеют общие концы и один из путей
можно непрерывно деформировать в другой так, что во вре-
время деформации концы остаются неподвижными. Под дефор-
деформацией пути ip: I —»¦ X мы понимаем семью отображений ipt
интервала / в топологическое пространство X, непрерывно
зависящую от t 6 [0,1] и такую, что при t = 0 отображе-
отображение щ: I —> X совпадает с путем ip, а отображение (pi: I —»¦ X
является деформированным путем. Для всех путей (pt име-
имеем tpt(O) = р@) и tpt(l) = <p(l)- Определенное таким образом
соотношение гомотопической эквивалентности разбивает мно-
множество путей на гомотопные классы. Гомотопический класс,
содержащий путь ip, обозначаем через [ip]. Если ip и ip' — эк-
эквивалентные пути, то [ф\ = [(р'].
Пусть конец пути ip\ является началом пути у>2- Тог-
Тогда для таких путей можно определить их произведение как
§4. Топологические группы 57
путь, проходящий от начала первого пути к концу второго
пути. Пусть (fi задается функцией gi{t) со значениями в про-
пространстве X, а путь у>2 — функцией g2(?), t € [0,1], и пусть
gi(l) = ёг@). Тогда путь у>3 = ?>i ° ?>2 задается функцией
&<t) =
Обратным элементом к пути <р является путь, задаваемый
функцией g(l — t), то есть путь, проходящий в противопо-
противоположном направлении.
Определив закон умножения путей <р, получаем закон ум-
умножения соответствующих гомотопических классов [ф\:
[<Pi][H = [ipi о <Рг] = [<Рз]- D-1)
Пусть хо — некоторая точка в X. Легко видеть, что
множество классов замкнутых путей, начинающихся и за-
заканчивающихся в точке жо, образует группу относительно
операции D.1). Эту группу называют фундаментальной или
первой гомотопической группой (а иногда группой Пуанкаре)
пространства X в точке хо и обозначают через tti(X, жо). Еди-
Единицей этой группы служит класс путей, стягивающихся не-
непрерывными деформациями в точку х0-
Группа tti(X,Хо) явно зависит от выбора точки Xq € X.
Если «/о — Другая точка пространства X, которую можно свя-
связать с точкой хо непрерывным путем ip (точки Хо и j/o принад-
принадлежат к одной и той же компоненте линейной связности про-
пространства X), то очевидно, что группы ni(X,xq) и п\(Х,уо)
изоморфны, причем изоморфизм задается формулой
При изучении топологических групп естественно рассматри-
рассматривать группу 7Ti (Go, e), которая является топологическим инва-
инвариантом связной компоненты единицы группы G. Очевидно,
что фундаментальные группы всех других компонент груп-
группы G изоморфны к 7Ti(Go,e). Учитывая этот факт и упрощая
обозначения, будем писать 7ri(G) вместо ni(Go,e).
58 Глава 1
Если группа vri (G) содержит только один элемент, то есть
все замкнутые пути, лежащие в линейно связной компонен-
компоненте Go, непрерывными деформациями стягиваются в точку е,
то топологическую группу G называют односвязной. Из при-
приведенных выше определений вытекает, что односвязные топо-
топологические группы не обязательно связны.
Пример 4. Аддитивная группа К вещественных чисел с при-
примера 2 связна и односвязна.
Пример 5. Мультипликативная группа Ко всех вещественных
чисел, кроме нуля, наделенная топологией числовой прямой, явля-
является топологической группой. Она односвязна, но не связна. Эта
группа состоит из двух связных компонент R+ (подгруппы поло-
положительных чисел) и К_ (множества отрицательных чисел).
Пример 6. Группа K/Z с примера 2 изоморфна группе 17A)
комплексных чисел z, таких что \z\ = 1. Функция /(ж) = ехр27пж
осуществляет гомоморфизм топологической группы К на груп-
группу 17A), задавая в последней топологию. Топологическая груп-
группа U(l) связна, но не односвязна. Ее фундаментальная груп-
группа 7пA7A)) изоморфна группе целых чисел.
Понятие накрытия и накрывающего пространства играет
важную роль в различных направлениях математики. Рима-
нова поверхность многозначной аналитической функции, на
которой функция становится однозначной, — пример накры-
накрывающего пространства для области аналитичности функции,
дополненной полюсами и точками ветвления конечного по-
порядка. В теории топологических групп, в частности в теории
групп Ли, понятие о накрытии используется для классифи-
классификации локально-изоморфных групп, а также для построения
универсальной накрывающей группы.
Топологическое пространство X называют накрывающим
для пространства X, если вместе с X определено непрерывное
отображение р: X -? X, такое что для каждой точки х € X
существует ее окрестность U, полный прообраз p~(t/) С X
которой распадается на конечное или бесконечное семейство
открытых подмножеств пространства X, которые попарно не
пересекаются и каждое из которых гомеоморфно при отобра-
отображении р окрестности U. Отображение р называют накрыва-
накрывающим отображением или накрытием. Количество компонент
§4. Топологические группы 59
в множестве p~1{U) называют числом листов или кратнос-
кратностью накрытия, а пространство X — базой накрытия.
С помощью накрывающего отображения р можно осу-
осуществлять поднятие путей из пространства X в X; пу-
пути ip: I —»¦ X, начинающемся^ в точке хо, сопоставляется
единственный путь ф: I ->¦ X, начинающийся в точке хо,
где р{х0) = х0. Будем считать, что пространства X и X
линейно связны. Поднятие путей позволяет сопоставлять фун-
фундаментальные группы 7Ti(X,x0) и -ki(X,x0) накрывающего
пространства X и базы X. Справедливо такое утверждение.
Теорема 1. Накрывающее отображениер: X —> X инду-
индуцирует изоморфизмр» группы ni(X,xo) на некоторую подгруп-
подгруппу pi(X,p(x0)) группы т(Х,х0). При этом изоморфизме обра-
образы групп iri(X,xi), p(xi) = xq, принадлежат к одному классу
сопряженных подгрупп в
Доказательство (набросок). Пусть (р — замкнутый
путь в X, проходящий через точку хо- Его образ роф является
замкнутым путем в X, проходящим через точку хо — Р&о)-
В частности, образом пути, гомотопического нулевому, явля-
является нулевой путь в X. Поэтому
Р.п1(Х,х0)=р1(Х,р(х0)) D-2)
— подгруппа в ni(X,х0). Пусть х0 и a?i — две точки линей-
линейно связного пространства X, такие что р(хо) = pBi) = xq-
Их можно связать путем j, начинающимся в хо и заканчива-
заканчивающимся в xi. Образ пути 7 при отображении р является за-
замкнутым путем в X, то есть соответствующий гомотопичес-
гомотопический класс принадлежит группе iri(X,x0). Поэтому подгруп-
подгруппы D.2) и
сопряжены:
Pl(X,p(x0)) =
Теорема доказана.
60 Глава 1
Задача 1. Покажите, что кратность накрытия р равна индексу
подгруппы pi(X, p(xo)) в группе 7п(Х,а:о).
Если группа vri (X, х0) содержит только один элемент, то
пространство X односвязно и накрытие р: X —> X называют
универсальным.
В случае топологических групп топологическое простран-
пространство G, накрывающее линейно связную группу G, само явля-
является топологической группой. В этом случае говорят о накры-
накрытии одной топологической группы другой.
Теорема 2. Пусть р — накрывающее отображение ли-
линейно связного топологического пространства G на линей-
линейно связную топологическую группу G. Тогда в пространст-
пространстве G можно так ввести закон умножения, что G становится
топологической группой, а отображение р — гомоморфизмом
группы G на группу G.
Доказательство этой теоремы можно найти в [48].
Если накрытие р из теоремы 2 универсально, то группу G
называют универсальной накрывающей для G.
Пример 7. Отображение р: R —> 17A), где р(х) = exp 27ria;, яв-
является накрывающим отображением односвязнои топологической
группы К на многосвязную топологическую группу 17A).
Пример 8. Отображение p(z) = z" является n-кратным на-
накрытием мультипликативной группы Со комплексных чисел без
нуля.
Пример 9. Если G — топологическая группа, a D — ее дис-
дискретная инвариантная подгруппа, то гомоморфизм G —> G/D яв-
является накрывающим отображением.
Пример 10. Пространство R" — топологическая группа отно-
относительно сложения векторов. Пусть D — решетка в Ш", порожден-
порожденная единичными ортами ei,e2,... ,е„. Тогда D — инвариантная
подгруппа в К" и
Un/D ~5'x...xS1=T"
— n-мерный тор, совпадающий с прямым произведением абелевых
топологических групп S1 ~ 17A) Отображение R" -» Rn/D ~ Тп
накрывающее.
§ 4. Топологические группы 61
Теорема 3. Пусть G — линейно связная топологическая
группа, накрывающая топологическую группу G. Тогда ядром
гомоморфизма р: G -ь G является дискретная подгруппа, при-
принадлежащая центру группы G.
Доказательство. Поскольку р — гомоморфизм, то его
ядро Г — инвариантная подгруппа. Из определения накры-
накрывающего отображения вытекает, что Г — дискретная под-
подгруппа. Для каждого fc € Г рассмотрим непрерывное отобра-
отображение группы G в Г, сопоставляя элемент g € G с элемен-
элементом gkg~1 ? Г. Пусть Uk — окрестность элемента к в G, такая
что С/* П Г = {к}, a Ue — окрестность единичного элемента,
такая что UekU*1 С 17*. Поскольку Г — инвариантная под-
подгруппа, то gkg~1 = к для всех g € Ue- Элементы из G, переста-
перестановочные с элементом к, образуют подгруппу G", которая, как
мы только что показали, содержит окрестность единицы Ue.
Поскольку G — связная группа, имеем G' = G. Теорема до-
доказана.
4.5. Расслоения. Понятие расслоения обобщает как
понятие накрытия, так и понятие прямого произведения то-
топологических пространств.
Расслоением называют тройку (Х,р,В), где X — топо-
топологическое пространство расслоения (иногда его называют
тотальным), р — отображение пространства X в топологи-
топологическое пространство В, называемое базой расслоения. Рассло-
Расслоения будем обозначать греческими буквами ?, т],... Напри-
Например, т) — (Х,р,В). Множество р~1(Ь) С X, Ь € В, называют
слоем над точкой Ь. Интуитивно расслоение можно предста-
представить себе как объединение слоев, параметризованных точка-
точками базы В и «склеенных» топологией пространства X.
Пример 11. Накрывающее пространство X вместе с проекци-
проекцией р и пространством X образуют расслоение rj — (Х,р,Х). Слой
над любой точкой является дискретным пространством.
Введенное определение расслоения достаточно общее. По-
Поэтому оно слишком аморфно. Более узким, но достаточно
широко употребляемым является понятие локально-триви-
локально-тривиального расслоения. Таким расслоением называют четверку
объектов (X,p,B,F), где первые три объекта такие же как.
62 Глава 1
и раньше, a F — топологическое пространство, характеризу-
характеризующее отображение р~х и называемое типовым слоем расслое-
расслоения. Требуется, чтобы для каждой точки Ь € В существовала
окрестность U С В, такая что множество #-1 (t/) было гомео-
морфно прямому произведению FxU. Если через ip обозна-
обозначить гомеоморфизмp~1(U) -» FxU, то локально-тривиальное
расслоение можно характеризовать диаграммой
p-^U) -A FxU
U <F=* U
где U •<=> U означает отождествление U с U.
Векторное расслоение — это локально-тривиальное рас-
расслоение, каждый слой которого имеет структуру векторного
пространства. То есть -q = (Х,р, В, V), где V — к-мерное век-
векторное пространство (вещественное или комплексное). Кроме
того, требуется, чтобы для каждой точки Ь € В сужение ото-
отображения у>: p~1(U) -* V х U на элементы р~1(Ь) было изо-
изоморфизмом соответствующих векторных пространств.
Тривиальным примером векторного расслоения являются
прямые произведения линейных пространств. Если V — одно-
одномерное векторное пространство, то соответствующее рассло-
расслоение называетсяликейкыж.
Пример 12. Расслоение (=(Fx B,p,B,F), тотальным про-
пространством которого является прямое произведение двух про-
пространств, а отображение р — проекция на второй сомножитель, на-
называют тривиальным расслоением, или расслоением-произведением
с базой В и слоем F.
Пример 13. Расслоенным пространством является любая то-
топологическая группа G, в которой фиксирована некоторая за-
замкнутая подгруппа Н. Соответствующее локально-тривиальное
расслоение т] = (G,p,G/H,H) имеет базой В однородное про-
пространство G/H, а отображением р — каноническую проек-
проекцию р: G -> G/H. Слоем над каждой точкой х € G/H являет-
является подгруппа Нх, изоморфная подгруппе Н. Кроме того, локаль-
локально G ~ (G/H) х Н.
§5. Группы пространственных симметрии 63
Если в вещественном (или комплексном) пространстве V
фиксирован базис ei, ег, - -. , е„, то тем самым определен изо-
изоморфизм V -» Шп (или V -» С"). Тогда окрестность U вмес-
вместе с отображением (гомеоморфизмом) ip: p"x{U) —» Шп x U
(или ip: р~х(и) —> С" х U) называют локальной координатной
картой векторного расслоения.
Одним из наиболее важных классов расслоений является
класс так называемых расслоений Стинрода; их также назы-
называют расслоениями со структурной группой или косыми про-
произведениями.
Расслоения Стинрода — это такие локально-тривиальные
расслоения, в которых дополнительно задано эффективное
действие топологической группы на его слоях. В примере 13
описано одно из таких расслоений. Его структурной группой
является группа Н, а тотальным пространством — топологи-
топологическая группа G.
§ 5. Группы пространственных симметрии
5.1. Введение. Реальные физические процессы проис-
происходят в трехмерном евклидовом пространстве. Поэтому ес-
естественно, что как непрерывные, так и дискретные группы
преобразований этого пространства возникают в физических
теориях как группы симметрии. Это в первую очередь отно-
относится к группе вращений и ее конечным подгруппам, а также
к группам трансляций на плоскости и в пространстве.
В современной физике важное значение имеют про-
пространственно-временные преобразования Лоренца и Пуан-
Пуанкаре. Группы этих преобразований являются фундаментом
релятивистской физики. Инвариантность (симметрия) физи-
физических законов относительно группы Лоренца и Пуанкаре вы-
выражает принцип относительности — один из самых универ-
универсальных законов природы.
Более узкую сферу применений имеют пространственно-
временные преобразования, дополняющие группу Пуанкаре до
полной группы конформных преобразований четырехмерного
пространства-времени. Эти преобразования также целесооб-
64 Глава 1
разно рассмотреть, поскольку существует целый ряд явлений,
в которых наблюдается точная конформная симметрия. Кроме
того, в некоторых физических моделях выполняется асимпто-
асимптотическая конформная симметрия. Это значит, что конформ-
конформная инвариантность имеет место только для граничных зна-
значений параметров, характеризующих теорию. В этих случаях
важными являются исследования нарушения симметрии.
5.2. Группа ортогональных преобразований трех-
трехмерного пространства. Евклидово пространство Еп —
это вещественное га-мерное векторное пространство с симмет-
симметрической положительно определенной невырожденной
билинейной формой (скалярным произведением) (х, у). За-
Зафиксировав в Еп ортонормированный относительно этого
скалярного произведения базис ei,e2,... ,е„, можно лю-
любой вектор х ? Еп задавать набором вещественных чи-
чисел Xi,X2,--- ,хп: х = J^a^e,-. При этом скалярное произве-
дение приобретает стандартный вид:
п
(х, у) = J^ SijXiJJj = Ххух + Х2У2 + ¦¦¦ + Хпуп,
а линейным преобразованиям пространства Еп соответству-
соответствуют численные матрицы g = {gij) 6 Mat(ra, R). В частности,
ортогональным преобразованиям, то есть преобразованиям,
сохраняющим скалярное произведение (х, у), соответствуют
ортогональные матрицы, образующие группу О(п). Таким об-
образом,
О(п) = {ge Mat(n, &)\gTg= 1„}, E.1)
где индекс Т означает транспонирование, а 1П — единич-
единичная матрица порядка га. Группа О(п) является топологичес-
топологической группой, поскольку она является замкнутой подгруппой
топологической группы GL(n, Ж), что вытекает из определе-
определения E.1).
В случае трехмерного пространства условие ортогональ-
ортогональности g7g = I3 содержит шесть независимых уравнений, за-
задающих многообразие размерности 3 в пространстве Ж9. Точ-
Точками этого топологического многообразия являются элементы
группы ОC).
§5. Группы пространственных симметрии 65
Если g ? 0C), то detg = ±1. Учитывая непрерывную за-
зависимость определителя матрицы от матричных элементов,
приходим к заключению, что многообразие группы 0C) не
является связным, а состоит из двух компонент. Компонен-
Компоненту, для которой detg = 1, обозначают через 0+C) = 50C),
а соответствующие преобразования пространства Е3 называ-
называют вращениями, или собственными ортогональными преобра-
преобразованиями. Для другой компоненты имеем detg" = — 1. Ее
обозначают через 0_C), а соответствующие преобразова-
преобразования называют несобственными. Множество ?0C) является
подгруппой в 0C), поскольку оно замкнуто относительно
умножения матриц и содержит тождественное преобразо-
преобразование е = 13- Имеем 0C) = 50C) U (-еMОC). Подгруп-
Подгруппа 50C) инвариантна в 0C). Фактор-группа ОC)/5ОC) со-
состоит из двух элементов и изоморфна центру Z2 = {е, —е}
группы 0C).
Группа 50C), действуя в пространстве Е3 ортогональ-
ортогональными преобразованиями, расслаивает его на сферы
S2R = {(х1,х2,х3) | х\ + х\ + х\ = Я2}, 0 < R < оо.
Пусть хо — точка сферы 5д с координатами xi = х2 = О,
х3 = R- В любую точку сферы 5д можно попасть из точки х0
с помощью последовательного действия на хо двумя однопа-
раметрическими преобразованиями
( 0 sin#\ /cos(p -sinip 0s]
0 10], rz(ip) = I sirup cos(p 0
-sin6» 0 cose/ \ 0 0 l
то есть
rz(ip)ryF)x.o = (R sin в cosy), Rsinesmip, RcosO). E.2)
Поскольку rz(ip)x0 = x0, 0 ^ ф < 2тг, то точка rz(ip)ryF)rz(il>)xo
не зависит от ip и совпадает с точкой E.2). Произведе-
Произведение rz((p)ryF)rz(ip) однозначно задает почти каждый элемент
группы 50C), параметризуя его тремя углами (р,6,ф, назы-
называемыми углами Эйлера. Соответствующую параметризацию
66 Глава 1
группы 50C) называют параметризацией Эйлера. Имеем
g=rz{v)ry{O)rz{*)= E.3)
/cos ^з cos 6 cos $—sin ^з sin $ — cos ^з cos б sin $ —sin ^з cos $ cos^3sin6\
= ( sin ^з cos б cos $—cos^jsin^ — sin ^з cos б sin $+cos ^з cos $ sin^sinfl J.
—sine cos ф sinfl sin ф cos в )
Углы Эйлера выражаются через матричные элементы
матрицы g = (gij) по формулам
cos в - g33, cos <p - ё13 , cos ф = ~ g31
Отсюда следует, что в случае, когда g33 = ±1, взаимно од-
однозначное соответствие между элементами группы S0C)
и углами Эйлера tp, в, ip нарушается.
Возвратимся к параметризации сферы Sf = S2 угла-
углами (р и в. Поскольку однопараметрическая подгруппа rz(ip),
О ^ ф < 2тг, изоморфна группе 50B), то, сравнивая форму-
формулу E.2) с разложением E.3) и припоминая определение смеж-
смежных классов, получаем, что сферу S2 можно отождествить
с множеством правых (или левых) смежных классов груп-
группы S0C) по подгруппе S0B). То есть S2 ~ S0(S)/S0B). Шь
скольку подгруппа S0B) не является инвариантной в 50C),
то соответствующее фактор-пространство S2 не является
группой.
5.3. Теорема Эйлера. Докажем теорему Эйлера, со-
согласно которой любое собственное ортогональное преобразо-
преобразование (вращение) является вращением вокруг фиксированной
оси на угол, выражаемый через след соответствующей матри-
матрицы. Эта теорема в сущности является утверждением о канони-
канонической форме ортогональной матрицы. Ее доказательство ба-
базируется на свойствах собственных чисел матрицы g б 50C).
Теорема 1. Любое вращение g трехмерного простран-
пространства является вращением на угол а вокруг оси 1, проходящей
через начало координат в направлении собственного векто-
вектора л?х преобразования g с собственным значением А = 1, при-
причем 2 cos a = Trg— 1, где Tug — след преобразования g.
§5. Группы пространственных симметрии 67
Доказательство. Выбрав координаты xi,x2,x3 про-
пространства Е3, представим вращение g в виде матрицы, ко-
которую будем обозначать той же буквой g. Характеристичес-
Характеристическое уравнение для вычисления собственных значений матри-
матрицы g = (gij) e SOC) имеет вид
А3 - A2 Trg+ А(тц + m22 + т33) -detg= О,
где тпц — алгебраические дополнения к элементам ga. По-
Поскольку g~x = g7, то тпц — gu det g. Поэтому характеристи-
характеристическое уравнение сводится к уравнению
(A-l)(A2-A(Trg--l) + l) = 0.
Следовательно, оно всегда имеет решение А = 1. Два других
решения имеют вид
Ali2 = \{Trg- 1) ± i [l - (|(Trff - I))']
и при Trg ф 3, —1 они комплексны. Ясно, что Ai = A2
и |А?| = 1, причем Ai = expia, где cos a = |(Trg-- 1). Легко
видеть, что —1 ^ Trg- ^ 3. Случай TYg- = 3 возможен только
для единичной матрицы, а Trg- = —1, если g— диагональная
матрица со значениями 1, —1, —1 на диагонали.
Собственному значению А = 1 соответствует веществен-
вещественный собственный вектор vi ? Е3. Выберем координаты х'г,
х'2, х'3 в пространстве ?$ так, чтобы направление оси Ох'3
совпадало с вектором Vi и чтобы комплексные координа-
координаты ? = х[ + ix'2 и ^ = х[ — ix'2 в перпендикулярной плоскос-
плоскости соответствовали собственным векторам va, и v^2. В этих
координатах преобразование g диагонализируется и прини-
принимает вид g1 — diag(eia,e~la,l). В вещественных координат-
координатах а^,ат2,атз преобразование g представляется матрицей
/cosa —sina 0\
rz(a) = sin a cos a 0 I € SO{2).
V 0 0 1/
Это значит, что преобразование g является вращением вокруг
оси 1, совпадающей с направлением вектора vi. Теорема дока-
доказана.
68 Глава 1
В доказательстве теоремы начальные координаты
х=(ж1,Ж2,жз) связаны с координатами х! = (xl1,x'2,x3) орто-
ортогональным преобразованием х' = gix. Поэтому g— gi1rz(a)gi,
и теорему Эйлера можно сформулировать так. Любое преобра-
преобразование g G 50C) подобно к вращению вокруг оси Ох3, причем
преобразование подобия переводит ось Ох3 в ось 1.
5.4. Конечные подгруппы группы SO(S). Конеч-
Конечные подгруппы группы вращений играют важную роль
в атомной физике, кристаллографии и теории твердого тела.
Их классификация дается такой теоремой.
Теорема 2. Полный список конечных подгрупп группы
вращений 50C) состоит из пяти типов групп и с точнос-
точностью до сопряжения исчерпывается группами Сп, D'n, п — 2,
3,4,... , Т, К, Y, где Сп — циклическая группа вращений во-
вокруг некоторой оси 1 на углы 2пт/п, m = 0,1,... , п — 1, D'n —
группа тех же вращений, дополненная вращениями на угол тг
вокруг п осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной к оси 1,
и образующих одна с другой угол п/п, и Т, К, Y — группа-
группами симметрии соответственно тетраэдра, куба (октаэдра)
и икосаэдра (додекаэдра).
За доказательством этой теоремы отсылаем читателя
к книге [13]. Заметим, что в ее доказательстве существенно
используется теорема Эйлера.
5.5. Универсальное накрытие группы SOC) груп-
группой SUB). Напомним, что комплексная п х n-матрица и
называется унитарной, если и* и = 1П, где звездочка обозна-
обозначает эрмитово сопряжение. Очевидно, что |detu| = 1.
Группу унитарных комплексных п х n-матриц обозна-
обозначают через U(n). Множество матриц и Е U(n), для кото-
которых detu = 1, образует подгруппу в U(n), обозначаемую че-
через SU(n).
Группа SUB) состоит из матриц
а,/? еС, |о|2 + |/8|2 = 1.
§5. Группы пространственных симметрии 69
Положив а = оц + ic*2, /3 = /3i + i/?25 для вещественных пара-
параметров oti, (*2,01,@2 имеем соотношение
Это значит, что групповое многообразие топологической груп-
группы SUB) гомеоморфно сфере S3 и поэтому связно и односвяз-
но.
Группа SUB) естественным образом действует в про-
пространстве С2 двух комплексных переменных z\ и z2:
(zi, zi) -*¦ (zi, z2) I _ I = (azi - /Jz2, jSzi + az2) E.4)
Поскольку точки (zi,z2) и (Azi,Az2) нельзя связать преобра-
преобразованием E.4), то пространство С2 не является однородным
относительно действия группы SUB). Однородным будет про-
проективное пространство СР1, элементами которого являются
комплексные прямые (Xzi,Xz2), A E С, проходящие через на-
начало координат.
Локальной координатой пространства СР1 в окрестности
точки (О,Z2)C(CP1 является комплексный параметр ? = Z\fzi,
а в окрестности точки (zi,0) 6 СР1 — параметр ? = z2/zi.
Левое действие группы SUB) на пространстве СР1 в терми-
терминах локальной координаты ? ? С задается дробно-линейным
преобразованием
.= *t, «= _
3? P
E.5)
а)
Можно определить также правое действие
Пространство СР1 компактно и гомеоморфно двумерной
сфере S2. Фиксируем радиус сферы, положив R = |. Тогда
стереографическая проекция (см. рис. 6) связывает коорди-
70
Рис. 6.
наты точки на сфере S2 с параметром ? ? С:
х =
Дробно-линейные преобразования комплексного параметра ?
индуцируют преобразования точек на сфере, а следовательно,
и ортогональные преобразования пространства Е3, в которое
вложена сфера S2. Декартовые координаты
Xi = R sin в cos ip, X2 = R sin в sin ip, x3 = R cos в,
где cos# =
(Kl2 -
-, ip — arg?, преобразуются линейно орто-
ортогональной матрицей
аР+а/3
3 /
E.7)
§5. Группы пространственных симметрии 71
Отображение р: и -»• g(u) G SOC), задаваемое форму-
формулой E.7), является гомоморфизмом накрытия. Прообраз лю-
любой матрицы g б SOC) состоит из двух унитарных мат-
матриц, отличающихся знаком: p~x(g) = ±ы, то есть ядро го-
гомоморфизма р содержит два элемента: е и —е, образующие
центр группы SUB). Поскольку топологически SUB) ~ S3
и топологическое пространство S3 односвязно, то отображе-
отображение р: SUB) —»• SOC) является универсальным накрытием.
Накрытие р позволяет понять геометрию группы SOC).
Действительно, при отображении р диаметрально противопо-
противоположные точки и и — и на сфере S3 ~ SUB) сопоставляются
с одной точкой в SOC). Отождествляя ее с прямой, проходя-
проходящей через точки и и —и в Ж4, получаем соответствие между
топологическим пространством SOC) и пространством пря-
прямых в Е4, проходящих через начало координат, то есть с про-
проективным пространством
р: SUB) -» ШГ ~ SO{3).
Пространство ЮР ~ SOC) не является односвязным.
Его фундаментальная группа ?ri(IKP3) = ^1A50C)) изоморф-
изоморфна группе Zii состоящей из двух элементов. Нетривиальность
группы тг^^С^З)) легко объяснить геометрически. Заметим
сначала, что все замкнутые пути в SUB) ~ S3, стягивае-
стягиваемые в точку, переходят при отображении р снова в замкну-
замкнутые пути, стягиваемые в точку. Нетривиальный замкнутый
путь в S0C) может возникнуть только из незамкнутого пути
в пространстве 5С/B), начинающегося в точке е и заканчива-
заканчивающегося в точке —е, например, из пути ег(т), задающегося
отображением
(¦ШТ _ ч /cos 2тгт - sin 2тгт (Л
О "-йгт) "^ \^^г cos2rr О
U е / \ О О 1)
Образом этого пути является замкнутый путь в S0C), по-
поскольку его концы е и —е отображаются в единицу груп-
группы S0C). Путь р(а(т)) является нестягиваемым в точку
в SOC). Действительно, все его непрерывные деформации,
согласно теореме Эйлера, сводятся только к замене аргумен-
аргумента тригонометрических функций в матрице E.7) некоторой
72 Глава 1
гладкой функцией а(т), где а@) = 0 и аA) = 2тг, а также
к преобразованию подобия. В пределах таких деформаций не-
невозможно преобразовать путь р(сг(т)) в точку.
Класс [р(ст(т))] является порождающим элементом фунда-
фундаментальной группы iti(SOC)). Но путь р(ет(т)), пройденный
дважды, то есть [р(с(т))]2, является образом замкнутого пути
в SUB) и поэтому стягивается в точку. Таким образом, мы
показали, что
in(SOC)) = {[e],[pMr))]}~Z2.
5.6. Группа SOo(l,2) и ее двулистное накрытие.
Вещественное векторное пространство V, в котором скаляр-
скалярное произведение не является положительно определенным,
называют псевдоевклидовым, а группу линейных преобразо-
преобразований, сохраняющих это скалярное произведение, — псевдо-
псевдоевклидовой.
В трехмерном случае псевдоевклидово скалярное произ-
произведение (с точностью до знака) сводится к следующему
2
(х,у) = хоуо - 5Z
где
(е„, е„) = 6^, {Ь^) = В = diag(l, -1,-1).
Линейные преобразования, сохраняющие это скалярное произ-
произведение, образуют группу ОA,2). Матрица g ? ОA,2) удов-
удовлетворяет соотношению псевдоортогональности
^Вё=В, E.9)
где индекс Т обозначает транспонирование. Это соотношение
развертывается в шесть независимых квадратных уравнений,
фиксирующих групповое многообразие ОA,2) как алгебраи-
алгебраическое многообразие, вложенное в пространство Ж9. Поэтому
это многообразие имеет размерность 3.
§5. Группы пространственных симметрии 73
Из E.9) вытекает, что для матриц g e 0A, 2) име-
имеем detg = ±1. Поэтому группа 0A, 2) состоит из двух под-
подмножеств 0+A, 2) = 50A, 2) и 0-A, 2), для которых соот-
соответственно detg =1и detg = — 1. Одно из уравнений систе-
системы E.9) имеет вид
ёоо - eoi ~ ёог = 1-
Поэтому |gbo| ^ 1, то есть или gbo ^ 1, или goo ^ 1. Исходя
из этого получаем, что каждое из множеств 0+A,2), 0_A,2)
разбивается на два непересекающихся связных подмножест-
подмножества. Следовательно, группа 0A,2) состоит из четырех связных
компонент. Компонента, для которой goo ^ 1 и detg- = 1, яв-
является подгруппой. Ее обозначают через 50оA,2).
В физических приложениях группа 0A,2) возникает как
подгруппа группы преобразований Лоренца (см. ниже п. 5.7),
оставляющая без изменения одну из пространственных коор-
координат. При этом координата х0 играет роль времени t (точ-
(точнее, Хо = ct, где с — скорость света).
Пространство К3 с билинейной формой E.8) будем обо-
обозначать через M\t2- Действуя в пространстве М^г, груп-
группа 50оA,2) расслаивает его на следующие орбиты:
1) верхние полы -ff+)Jn двуполостных гиперболоидов, за-
задаваемые уравнениями
хо ~ х\ ~ х\ = "А гп>0, хо > 0;
2) нижние полы Hlm двуполостных гиперболоидов:
х\-х\-х\— т2, т > 0, х0 < 0;
3) однополостные гиперболоиды Г^, задаваемые уравне-
уравнениями
хо ~ xi - х\ = ""Л т>0;
4) нижнюю и верхнюю полы К% изотропного конуса К2,
задаваемого уравнением
xl-x\-x\ = Q, (хо,Х!,х2)ф @,0,0);
5) точку О = @,0,0).
74 Глава 1
Перечисленные орбиты (как однородные пространства)
эквивалентны следующим фактор-пространствам:
Я|,т a SO0{l,2)/SO{2), Г2т ~ 5О0A,2)/5ОA,1),
K%~SOo{l,2)/N,
где JV — нильпотентная подгруппа, состоящая из матриц
2 \
-а 1/
Эти матрицы оставляют неподвижной точку хо = A,1,0) G К2.
Рассмотрим верхнюю полу Н\ т двуполостного гипербо-
гиперболоида. Это многообразие (как и Н2. т) является гиперболи-
гиперболической плоскостью. Если параметризовать его, положив
Хо = т ch т, Х\ = т sh т cos у?, Жг = m sh т sin у?,
т ^ 0, 0 ^ у? < 2тг,
то соответствующая риманова метрика, являющаяся сужени-
сужением на Н\ т псевдоевклидовой метрики, имеет вид
rfs2=m2(rfT2+sh2Trfyp2)-
Осуществим стереографическую проекцию гиперболои-
гиперболоида Н\ т на плоскость Е2 = {{xi,x2)}, проходящую через точ-
точку хо = гп и на которой фиксирована комплексная структу-
структура. Для удобства положим m = ^ Тогда, как легко видеть
с рис. 7,
^ = — = th ^e v. E.10)
Кроме того, |^|2 < 1, то есть стереографическая проекция,
задаваемая формулой E.10), отображает верхний гиперболо-
гиперболоид Н%т на внутренность единичного круга D2 в комплекс-
§ 5. Группы пространственных симметрии
75
х2
Рис. 7.
ной плоскости. Риманова метрика в этом круге принимает
конформный вид
2 _
|2'
E.11)
а кривизна к, вычисленная по формуле Гаусса к = —\о *х
хД 1п<7, постоянна и равна тп~2 = 4.
Внутренность единичного круга является однородным
пространством относительно дробно-линейных преобразова-
преобразований
? -)• ?„ = "^ + ^, |а|2 - \C\2 = 1. E.12)
Множество таких преобразований образует группу, гомо-
гомоморфную группе матриц
,1) = {v = g Q , где |а|2 -
76 Глава 1
Ядро этого гомоморфизма составляют матрицы е и —е, об-
образующие центр группы SUA,1). Сам открытый единич-
единичный круг гомеоморфен как однородное пространство фактор-
пространству 517A,1)Д/A), где подгруппа U(l) состоит из
диагональных матриц diag(eiv>/2,e~iv>/2).
Дробно-линейные преобразования E.12) индуцируют пре-
преобразования координат точек на гиперболоиде Н\ т, а следо-
следовательно, псевдоортогональные преобразования g(v) € SOo A5 2)
пространства MiJ:
g(v) =
/3 i(aJ3 - а/3)
Ъф I(a2+/32+a2+^2) i(a2-/32-a2-J32)
|(a2 - 02 + а2
E.13)
Сужению преобразований E.12) на окружность S1 = {? 11?| =1}
соответствуют преобразования точек конуса К2 матрицей g(v).
Соответствие р: v —> g{v), задаваемое формулой E.13),
является отображением накрытия. Прообраз p~1(g) элемен-
элемента g G 50оA,2) состоит из двух матриц v и —г; из груп-
группы SUA,1), то есть накрытие р: SUA,1) -> 5О0A,2) являет-
является двулистным (но не универсальным). Ниже в п. 5.8 мы по-
покажем, что фундаментальная группа 7ri(St/(l, 1)) изоморфна
группе Ъ целых чисел, и построим ее универсальное накры-
накрытие.
5.7. Группа Лоренца и ее накрывающая груп-
группа SLB, С). Группа Лоренца ОA,3) является группой псев-
псевдоортогональных преобразований четырехмерного простран-
пространства Минковского M\t$. Как и ее подгруппа ОA,2), она со-
состоит из четырех связных компонент, отличающихся одна от
другой знаком определителя матрицы g = (g^v) G O(l,3),
fj,,u = 0,1,2,3, и знаком матричного элемента goo- Нас инте-
интересует связная компонента единицы группы Лоренца, которая
обозначается через 5О0A,3).
Действуя в пространстве Mi,3, группа 5О0A,3) рас-
расслаивает его на орбиты. Аналогично предыдущему случаю,
§ 5. Группы пространственных симметрии 77
орбитами являются такие многообразия:
1) верхние и нижние полы двуполостных гиперболоидов
Н±,т = {ж G Mi,3\xl~x\-x\-x\ = m2, ±х0 ^ т}, т > 0;
2) однополостные гиперболоиды
Г3т = {хе М1>3 | xl - х\ - х\ - х\ = -m2}, m > 0;
3) верхняя и нижняя полы изотропного конуса
К3± = {х G Mi,3 | xl - х\ - х% - х\ = 0, ±х0 > 0};
4) точка х = @,0,0,0).
Как однородные пространства, перечисленные выше мно-
многообразия гомеоморфны соответственно фактор-пространст-
фактор-пространствам
Я|,т ~ 5О0A,3)/5ОC), Г^ ~ SOb(l,3)/SO(l,2),
где 2?B) — подгруппа в 500A,3), состоящая из всех матриц,
оставляющих неподвижной точку A,1,0,0) G Mij3 (эта под-
подгруппа эквивалентна группе изометрий евклидовой плоскос-
плоскости).
Реализуем SOqA, 3) как группу преобразований евклидо-
евклидовой плоскости. Для этого конус К3 сопоставим с замкнутым
подпространством РК3 проективного пространства РМ^з-
Точками пространства РК3 являются образующие кону-
конуса К3. Легко видеть, что РК3 ~ S2 ~ СР1. Локальные коорди-
координаты в окрестности точки х = {х0,0,0, х3} пространства РК3
удобно ввести, рассмотрев сечение конуса К3 плоскостью, за-
заданной уравнением Хо + #з = 1- Многообразие, возникающее
на сечении, называют орисферой. Оно несет на себе (локально)
геометрию евклидовой плоскости и может быть параметризо-
параметризовано комплексным параметром f = х + \у. Точкам х G РК3
сопоставим координату ? согласно формуле
«S-«f-«S-«S = O. E.14)
78
Глава 1
Это отображение обобщает стереографическую проекцию на
плоскость сферы S2 и гиперболоида Н\т = Н2. Действи-
Действительно, положив хо = ^ в E.14), получаем формулу E.6),
а при хз = —\ — формулу E.10). Сфера S2 и гиперболоид Н2
рассматриваются при этом как соответствующие сечения ко-
конуса К3.
Псевдоортогональным преобразованиям координат xh
пространства Mlj3 соответствуют дробно-линейные преобра-
преобразования переменной ?:
Эти преобразования образуют группу, называемую группой
Мебиуса. Она изоморфна группе
PSLB,Q~SLB,C)/Z2,
где SLB,Q = [g= (°fy \аб -0у = l}, Ъ = {e, -e}.
С помощью E.14) и E.15) находим отображение
р: SLB,<C) -> 50o(l,3), являющееся расширением на всю
группу SLB, С) приведенных выше отображений р: SUB) ->
-> SO{3) и р: SU A,1) -> SO0(l,2). Матрица p{g),g= (°^) G
G SLB, С), имеет вид
p(g) =
f (И2 + \Р\2 + |7|2 + И2) Re(«/3 + -уё)
lm{ciy + 0B)
+ W2 ~ Ы2 -
ЪпE0 + Щ \
Im^ ~ aS)
Re(aS -
Jm(a0
\{\a\2
-\6?_-\p?)
-06)
Im(aj - 06)
- \0\2 ~ |7|2 - l*|2)
E.16)
Отображение р является накрытием группы 50оA,3) груп-
группой SXB,C). Ядром этого гомоморфизма есть центр Z2 =
= {е, -е} группы SL{2, С).
§ 5. Группы пространственных симметрии 79
Утверждение 1. Любой элемент g G SLB,C) одно-
однозначно представляется в виде произведения g = k-a(r)-n(z),
гб!+,геС, где
Следовательно, группа SLB, С) как топологическое простран-
пространство гомеоморфна декартовому произведению SUB) х К+ х К2.
Доказательство. Приравнивая матрицу g — ( ° ^ ) G
G SXB, С) к произведению k-a(r)-n(z), получим четыре урав-
уравнения для вычисления параметров и, v, r, z. Простые вычисле-
вычисления дают однозначные решения:
г = №2 + Н2)-1'2, v = Рг,
u = 8r, z = (сф + -у8)г2. E.17)
Утверждение доказано.
Из утверждения 1 и из того, что
n1(SLB,Q) = 7пE3) х т(Ш+) х тпСК2) = {е},
вытекает, что группа SXB,C) односвязна. Следовательно, на-
накрытие р: SLB,C) -> 500A,3) является универсальным.
Гиперболоид Н\т ниже будем обозначать через Н3. На
нем реализуется трехмерная гиперболическая геометрия. Ес-
Если параметризовать его параметрами г, в, ip (т ^ 0, 0 ^ в < 7Г,
О ^ <р < 2тт), положив
Хо = га ch г, Х\ — тп sh r sin в cos ip,
Х2 = m sh r sin # sin tp, X3 = m sh r cos #,
то для римановой метрики на JT3 получаем
ds2 = m2(dT2 + sh2 Td62 + sh2 r sin2 Odxp2). E.18)
Отображение
где у( =
80 Глава 1
отображает гиперболоид Н3 на внутренность В3 шара радиу-
радиуса 1. Действительно, если ж2 — ж2 — х\ — х\ = т2, то
|у|2= 2 2 + 2 = ^0^ПЬ
В координатах у,- метрика E.18) приобретает конформ-
конформный вид
dg = . (ад
Дальнейшее изучение геометрии пространства Н3 удобно
вести с помощью кватернионной техники. Для этого каж-
каждой точке пространства Ж ставим в соответствие кватерни-
кватернион у = у! + \у2 +JJ/3- Отображение
E-20)
переводит В3 в верхнее полупространство К+3 = Ж2 х Ж+,
точки которого описываем с помощью кватернионов
?eC, z > 0.
Чтобы убедиться в этом, достаточно свести кватернион E.20)
к каноническому виду:
9 |у|2 + 1 - 2г/3
Отсюда видно, что z = A - |у|2)/(|у|2 + 1 - 2у3) > 0.
Метрика E.19) при отображении E.20) переходит в мет-
метрику
^W + ^ч-^
z2
сохраняя конформный вид.
Утверждение 2. Дробно-линейные преобразования E.15)
продолжаются до конформных преобразований пространст-
пространства Ш.+3 в виде
'y), E.22)
§5. Группы пространственных симметрии 81
которые действуют транзитивно на К+3, сохраняя метри-
метрику E.21).
Доказательство. При вычислениях поле комплексных
чисел будем считать подпространством в алгебре кватерни-
кватернионов, то есть для любого ? G С будем пользоваться прави-
правилом ?j = j?. Приведя кватернион E.22) к канонической фор-
форме qg = xg + iyg + jzg, получаем
Из второй формулы вытекает инвариантность пространст-
пространства К^. при преобразованиях E.22). Учитывая соотношение
($73 + бГ^а + 7) = Ы
вычисляем разницу
Ь~%= (ЯР + S)-1 (qa + 7) - {ад1
Для абсолютных значений \qg— g^| получаем
Пусть q1 = q+dq. Тогда |d<7^| = |</K+?| 2\dq\. Отсюда вытекает
инвариантность метрики E.21). Утверждение доказано.
Легко видеть, что стационарной подгруппой точки q0 = j
является SUB) и матрицы вида
(еС, г > 0, E.23)
действуют просто транзитивно (эффективно) на верхнем по-
полупространстве Е+, а именно, матрица E.23) отображает
82 Глава 1
точку j в точку пространства Ж\ с координатами x,y,z,
где х + iy = ?, z = г2. Таким образом, пространство IR+ вмес-
вместе с метрикой E.21) можно отождествить с гиперболическим
пространством Н3 ~ SLB,<C)/SUB) или с подгруппой мат-
матриц
(ее называют борелевской подгруппой), на которой задано
транзитивное (правое) действие группы SLB, С), определя-
определяемое формулой
где zg и ^ вычисляют согласно формуле E.17). Это транзи-
транзитивное действие совпадает с дробно-линейным преобразова-
преобразованием E.22).
5.8. Группа SLB,WL) и ее универсальное накры-
накрытие. Рассмотрим в SXB,C) подгруппу вещественных мат-
матриц
SL{2, Ж) = I gR = (пс d j , где а, Ь, с, d G К и ad - be = 1 i.
При отображении р образом матрицы gR является эле-
элемент подгруппы SO'0{\,2) С 50оA,3) псевдоортогональных
преобразований подпространства М{ 2 С Mi,3, точки кото-
которого имеют координаты х = (жо,Ж1,0,жз). Очевидно, что
это подпространство изоморфно подпространству М^г =
= {х? Mi,3 | ж3 = 0}, рассмотренному в п. 5.6. Изоморфизм
соответствующих псевдоортогональных групп SO'0{\,2)
и 50оA,2) очевиден, и он индуцирует изоморфизм накры-
накрывающих групп SLB, К) и SUA,1), являющихся подгруппа-
подгруппами в SLB, С). Этот изоморфизм задается с помощью матри-
чы h = -^ ( _\ -'). Если е= (« ь) G 5LB,R), то
, (a + d + iib-c) с + b + i(a - d)\
hgh-1=v=\\ )
2\c + b-i{a-d) a+d-i{b-c)J
§5. Группы пространственных симметрии 83
Матрице ft, как элементу группы SLB,C), соответствует
дробно-линейное преобразование, отображающее единичный
круг D2 в верхнюю полуплоскость Е+ комплексной плоскос-
плоскости:
При этом риманова метрика E.11) принимает вид
E.24)
Верхнюю полуплоскость вместе с метрикой E.24) будем
отождествлять с гиперболической плоскостью и обозначать
через Н2. Очевидно, что Н2 является однородным простран-
пространством относительно дробно-линейных преобразований
с
и эти преобразования оставляют инвариантной метрику E.24).
Легко видеть, что стационарной подгруппой точки i =
= у/—1 ? Н2 является подгруппа К матриц
О ^ в < 4тг.
\-sinf cosfy
Матрицы вида
действуют просто транзитивно (эффективно) на пространст-
пространстве Н2, то есть каждой точке w — х + iy ? Н2 соответствует
одна матрица п(г,ц), такая что n(r,/j.)i = w. Это матрица,
в которой у = г2, х — fir. Поэтому существует проекция
тг: SLB,R) -*¦ Н2 ~ #VSXB,E).
Ее явный вид вытекает из такого утверждения.
84 Глава 1
Утверждение 3. Любой элемент gR группы SLB,R)
можно представить в виде произведения
r о
При этом
г — (b2 + d2)'1!2, x = (ab + cd)r2, cos | = dr, sin | = br.
Это утверждение доказывается прямыми вычислениями.
Проекция тг задает в многообразии группы SLB,W)
структуру расслоения, базой которого является гиперболичес-
гиперболическая плоскость Н2, а слоем над каждой точкой — группа К,
то есть окружность. Это расслоение однородно относительно
правого умножения в группе.
Обозначим через UH2 расслоение касательных к Н2 век-
векторов длины 1 относительно метрики E.24). В локальных ко-
координатах элементы пространства UH2 имеют вид
Bусовв, 2ysm6, w = х + iy) 6 UH2.
Изометрия E.25) распространяется на пространство UH2
и действует там согласно формуле
Bу cos в, 2у sin в, w = х + iy) —>
-» [ 2у' cos в', 2у' sin в', х' + iy' = wf + c,),
\ wb + dj
где
'dy1
?/' cos 0' = ?/ f Щ- cos 6» + ^ sin 6») .
y' sin 6»' = ?/ Ш- cos 6» + ^ sin 6» j . E.27)
§5. Группы пространственных симметрии 85
Легко видеть, что группа PSLB,R) ~ 5LB,E)/{e,-e}
транзитивно действует на UH2 и стабилизатор любой точки
совпадает с единичным элементом этой группы. Следователь-
Следовательно, мы можем отождествить UH2 и PSLB, Ж) как топологи-
топологические пространства. С другой стороны, сопоставляя форму-
формулы E.27) преобразований касательного пространства с преоб-
преобразованиями элемента к(в) ? К в разложении E.26), видим,
что расслоение г) = {SLB,R),w,H2} отображается на рассло-
расслоение UH2 и это отображение является двукратным накрыти-
накрытием. В терминах расслоения т] групповая операция в SLB, Ж)
задается в виде
где Argw — главное значение аргумента w. —тг < Argw < тг.
Обозначим через SLB, R) универсальную накрывающую
для группы SLB,WL). Очевидно, что SLB, R) накрывает так-
также и группу PSLB, Ш) ~ UH2. Учитывая пример в п. 4.4,
видим, что 7Ti(UH2) ~ Z (где Z — аддитивная группа целых
чисел), и универсальная накрывающая SLB, Ж) имеет струк-
структуру линейного расслоения над Н2, которое является три-
тривиальным, и как топологическое пространство эквивалент-
эквивалентно прямому произведению Ш. х Н2. Следовательно, элемента-
элементами g€ 5LB, Ш) следует считать пары (в,ги), в ? R, w е Н2,
операция умножения для которых определяется по правилу
Центр Z группы SLB, Ж) изоморфен группе целых чисел,
а именно
Z= {Bтгп, -v/^lnGZ}.
Универсальную накрывающую SLB, Ж) можно также
описать в терминах центральных расширений, используя ре-
результаты § 2 этой главы.
86 Глава 1
5.9. Группа Пуанкаре и группа конформных пре-
преобразований в пространстве Минковского. Неоднород-
Неоднородные преобразования пространства Минковского М^з
х -> gx + Ъ, E.28)
где g ? 0A,3), b G Mi>3, образуют группу, известную
под названием группы Пуанкаре (не смешивать с фунда-
фундаментальной группой топологического пространства, которую
тоже иногда называют группой Пуанкаре). Будем обозна-
обозначать ее через РA,3). Элементами этой группы являются па-
пары (g,b), а групповое умножение осуществляется за прави-
правилом (gi,bi)(g2,b2) = (glg2,g1b2 + bi). Отсюда видно, что
группа Пуанкаре имеет структуру полупрямого произведения
группы псевдоортогональных преобразований 0A,3) на груп-
группу трансляций ТD). Подгруппа трансляций является абелевой
группой, изоморфной пространству М^з, и на ней псевдоор-
псевдоортогональная группа действует линейными изометриями.
Как уже отмечалось в разделе 1, группа неоднородных
преобразований (движений) евклидового или псевдоевкл идо-
вого пространства, дополненная растяжениями
х -> рх, р G K+, E.29)
называется группой преобразований подобия. Определим в про-
пространстве Mi;3 также отображения инверсии относительно
единичной гиперсферы Н3 = {х G Mi,3 | х% — х\ — х\ —
— ж3 = х =1}:
х -> Jx = 4- E-30)
Очевидно, что J2 является тождественным преобразованием.
Группу, порожденную инверсией J и всеми преобразо-
преобразованиями подобия, называют полной конформной группой про-
пространства Mi;3. Ее обозначают через СA,3). Среди преобра-
преобразований, принадлежащих к этой группе, выделим подгруппу
преобразований, сопряженных к трансляциям:
с(Ь)х = Л(Ь) J-Xx = х + ж2Ь
2(Ь,
где?(Ь) € ТD), t(b)x = x+b, (b,x) =
§5. Группы пространственных симметрии 87
Поскольку группа СA,3) порождается инверсией E.30)
и преобразованиями подобия E.28) и E.29), а последние оче-
очевидно являются конформными, то конформность любых дру-
других преобразований этой группы будет доказана, если мы по-
покажем конформность преобразования E.30).
Напомним, что конформными называются такие преоб-
преобразования псевдориманового пространства, при которых мет-
метрика, преобразуясь, умножается на скалярную функцию, то
есть ds2 —» ds' = a(x)ds2. Поскольку в случае пространст-
з
ва Mit3 имеем ds2 = dx2, — dx\ — dx\ — dx\ = J] b^dx^dx^,
то конформность преобразований х^ —» х'ц означает, что
? ьр»7Г~гГ- = °&)ь°е, а>Р = О'1-2'3-
Проверим это свойство для инверсий. Для этого заметим, что
дифференциал отображения E.30) имеет вид
2 ? Ъарх"х»,
( х2
3
J = x~4b
Отсюда имеем 5] ^„J'JJJ'p = x~4bap. Следовательно, кон-
формность доказана.
Известная теорема Лиувилля утверждает, что преобразо-
преобразованиями из группы СA,3) исчерпываются все конформные
преобразования пространства Mi>3 (см. [21]).
5.9а. Конформная компактификация пространст-
пространства Mi,3- Группа ОB,4). Преобразования E.30) не яв-
являются хорошо определенными для всех точек простран-
пространства, поскольку не ясно, что будет образом точки х = 0.
Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к аналогии
с дробно-линейными преобразованиями E.15), которые явля-
являются конформными преобразованиями на плоскости и так-
также порождаются преобразованиями подобия (как и в случае
комплексной плоскости они совпадают с аффинными преоб-
преобразованиями) и инверсией. В случае E.15) инверсия явля-
является хорошо определенным преобразованием, поскольку мы
88 Глава 1
рассматриваем переменную f как локальную координату
комплексного пространства F(K3) ~ 52 ~ СР1, а поэтому
отображение J: f -» 1/f, J@) = оо, связывает диаметрально
противоположные точки на S2.
Рассмотрим пространство Мг,4 с соответствующим псев-
псевдоевклидовым скалярным произведением и с конусом К5
в нем:
к5 = {у ем2А\у%- у\ -у\-у\ -у25 + у26=о}.
Из пространством Мг,4 мы ассоциируем проективное
пространство ЕР5. Четырехмерное замкнутое пространст-
пространство ?(К5) С ЕР5, точками которого являются образующие
конуса, известно под названием квадрики Елейна. Пусть
Уа — Уа/Уб, в = 0,1,2,3,5, — проективные координаты в про-
пространстве ЕР5, обслуживающие окрестность U[, которому
принадлежат прямые, имеющие нулевую проекцию на под-
подпространство Mit4 = {у € Л^2,4 \Уб — 0}. Обозначим через (р'г
отображение U{ —t К5, соответствующее этим координатам,
то есть (fii^y) = {уо/Уб, yi/Уб, 2/2/2/6, Уз/Уб, Уь/уе]- Сузив
отображение (р'г на пересечение F(K5) (~\Ui, легко видеть, что
Стереографическая проекция tpx гиперболоида Г4 из точ-
точки у = {0,0,0, 0, —1} на подпространство М^з задается фор-
формулой
Композиция отображений (р\ и ipi задает отображение Ф1 =
= <Pi ° <Pi, определенное в открытом множестве Ut = {Ay €
6 Р(Кб) | у5 + уъ ф 0} и действующее по формуле
*i(Ay) = ШЫ + Уь)} = Ы. E.31)
Эта формула определяет параметризацию окрестности U\
на квадрике Клейна. Аналогично параметризуются и другие
окрестности. Например, для точек, принадлежащих окрест-
окрестности ?/г={Ау G ?(К5)\у6 — уь ф 0}, параметры задаются
с помощью отображения Ф2: f/г -> 1R4:
*г(Ау) = {
§5. Группы пространственных симметрии 89
Окрестности U3, Щ и соответствующие отображения Ф3, Ф4
имеют вид
^з = {Ау 6 Р(К5) \уо + у3ф 0}, Фз(Ау) = {„„/(»> + ys)},
v = \,2, 5, 6,
U4 = {Ау 6 ?(К5) | у0 - уз ф 0}, Ф4(Ау) = {у„/(уо - у3)}.
Легко видеть, что объединение окрестностей Ui, г = 1,2,
3,4, накрывает все пространство ?(К5) и каждая из этих
окрестностей отображается в пространство Минковского.
Компактное пространство ?(КЬ) будем называть конформ-
конформной компактификацией пространства M\t3 и обозначать че-
через Mfg-
В пространстве Р(М2>4) естественно действует груп-
группа P0B,4)~0B,4)/Z2, где Z2 = {е,-е}. При этом под-
подпространство F(K5) = Mf3 остается инвариантным. Груп-
Группа РОB,4), действующая в пространстве М?3, и будет кор-
корректно определенной группой конформных преобразований.
Перечислим подгруппы в 0B,4), соответствующие
преобразованиям E.28)-E.30). Преобразованиям Лоренца
з
х^ -* X! gta>xi> соответствуют матрицы diag(g-, 1,1), g =
«/=0
— (gfiv) e 0A,3), а трансляциям хчх + b — матрицы
где b = {bo,bi, 62,63} — вектор-строка, bT — тот же вектор,
записанный как столбец, иЬ2 = H^ — b\ — b\ — Ь\. Растяжению
(дилатации) х^ —t e~axfi соответствует матрица
fh о о
О ch a sh а
sha cha)
Преобразование инверсии представляется матрицей
J = diag(l, 1,1,1,1,-1).
90 Глава 1
§ 6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли
Наряду с группами важную роль в теории симметрии иг-
играют такие алгебраические объекты, как ассоциативные ал-
алгебры и алгебры Ли.
6.1. Алгебры. В линейных (векторных) пространст-
пространствах заданы две алгебраические операции — сложение и умно-
умножение на числа. Алгеброй называют линейное пространство,
в котором кроме сложения и умножения на числа определена
операция умножения элементов пространства, причем умно-
умножение и сложение удовлетворяют законам дистрибутивности
а(аЪ + /Зс) = ааЬ + Рас, (аЬ + @с)а = aba + flea,
где а,/3 — числа, а а,Ь,с — элементы алгебры.
Если линейное пространство алгебры рассматривается
над полем вещественных (комплексных) чисел, то алгебру на-
называют вещественной (комплексной). Алгебры бывают конеч-
конечномерными и бесконечномерными. Если умножение в алгебре
коммутативно, то есть аЬ = Ьа для любых элементов а и Ь
алгебры, то алгебру называют коммутативной. Если в алгеб-
алгебре А существует элемент е, такой что ае = еа — а для любых
элементов a ? А, то е называют единицей алгебры А, а ал-
алгебру А — алгеброй с единицей. Если для любых трех эле-
элементов а, Ь, с алгебры А выполняется условие ассоциативнос-
ассоциативности (ab)c = a(bc), то А называют ассоциативной алгеброй.
Пример 1. Множество всех комплексных чисел — веществен-
вещественная ассоциативная алгебра с единицей.
Пример 2. Множество Mat(n, С) всех комплексных квадрат-
квадратных матриц размерности п — ассоциативная алгебра относительно
обычных сложения и умножения матриц. Эта алгебра некоммута-
некоммутативна.
Пример 3. Множество C°°(R") всех комплексных бесконечно
дифференцируемых функций иа R" образует комплексную комму-
коммутативную ассоциативную алгебру относительно обычных сложения
и умножения функций.
Линейное подпространство В алгебры А называют подал-
подалгеброй в А, если В является алгеброй относительно заданного
§6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 91
в А умножения, то есть произведение элементов из В принад-
принадлежит В.
Пример 4. Множество всех многочленов от xi,xt,... ,хп —
подалгебра в Coo(Rn).
Если В — подалгебра алгебры А и для всех a ? А, Ь ? В
элемент аЬ (элемент Ьа) лежит в В, то В называют левым
(правым) идеалом. Если же для всех a ? А, Ь ? В как ab, так
и Ьа принадлежит В, то В — двусторонний идеал (или прос-
просто идеал) алгебры А. Алгебру, не имеющую нетривиальных
идеалов, называют простой.
Пример 5. Алгебра Mat(n, С) простая.
Пусть Л] и Аг — алгебры. Отображение (р из А\ в Аъ
называют гомоморфизмом, если ip сохраняет линейные опера-
операции и умножение, то есть если для всех а, Ь <Е А\ и для всех
чисел а,/3 имеем
ip(aa + 0b) = aip(a) + fiip(b), ip(ab) = ip(a)(p(b).
Если гомоморфизм tp алгебры А\ на алгебру Лг взаимно одно-
однозначен, то он называется изоморфизмом. Изоморфизм алгеб-
алгебры А на себя называют автоморфизмом А. Множество всех
автоморфизмов алгебры А образует группу, обозначаемую че-
через Aut А. Взаимно однозначное отображение ip алгебры в себя
называют антиавтоморфизмом, если
ip(aa + fib) = aip(a) + fiip(b), ip(ab) = ip(b)ip(a).
Задача 1. Покажите, что при гомоморфизме единица переходит
в единицу, подалгебра — в подалгебру, левый (правый, двусторонний)
идеал — в левый (правый, двусторонний) идеал.
Пусть ip — гомоморфизм алгебры А\ на алгебру Аъ. Тог-
Тогда ядро К — kery> (то есть множество элементов а из А\,
таких что ip(a) = 0) — двусторонний идеал в А\. Естествен-
Естественным образом в фактор-пространстве Ах/К вводится умноже-
умножение смежных классов, превращающее А\/К в алгебру. Алгеб-
Алгебры А\/К и Аъ изоморфны.
Если В — левый идеал в алгебре А, то фактор-простран-
фактор-пространство А/В также является алгеброй. Ее называют фактор-ал-
фактор-алгеброй. Для правых идеалов В рассматривают фактор-алгеб-
фактор-алгебру В\А, состоящую из правых смежных классов.
92 Глава 1
Пример 6. Важной ассоциативной (но не коммутативной) ал-
алгеброй является алгебра* кватернионов, которую обозначают че-
через Н. Элементами этой алгебры являются объекты д, имеющие
вид д = a,i+ia,2 +}аз +ко4, где <zi,а2,аз,аи — вещественные числа,
a i,j, к — так называемые мнимые или кватернионные единицы,
умножение которых задается соотношениями
U = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j, i2 = j2 = k2 = -1.
Кватернионы 1, i, j, к образуют базис алгебры Н, а приведенные
формулы умножения задают ее структурные константы.
Кватернионную алгебру можно строить по принципу удвоения
алгебр с инволюцией (сопряжением). Если А — алгебра с инволю-
инволюцией, то в линейном пространстве, являющемся прямой суммой
двух экземпляров пространства А, то есть состоящем из пар (о, Ь),
а, Ъ € А, определяем операцию
(о, Ь)(с, d) = (ас — db, be + da),
где черта над элементом обозначает сопряжение в алгебре А. Отно-
Относительно этой операции пространство пар (о, Ь) является алгеброй,
называемой удвоением алгебры А. Очевидно, что алгебра А явля-
является подалгеброй в удвоенной алгебре, а элемент A,0) — единицей
в ней. Пусть е = @,1). Тогда произвольный элемент (о, Ь) можно
записать в виде суммы о + eb. Причем согласно введенной опера-
операции е2 = @,1J = (-1,0) = -A,0).
Удвоением поля вещественных чисел является алгебра (поле)
комплексных чисел С, а удвоением алгебры С — алгебра кватерни-
кватернионов И. Первое утверждение очевидно, а для доказательства вто-
второго достаточно в каждом элементе а + eb удвоенной алгебры за-
записать комплексные числа через мнимую единицу, то есть поло-
положить а = ai + ia2, b = 03 + icu и обозначить е через j, a ie через к.
Тогда элемент g = о + eb принимает канонический кватернионный
вид q = oi + io2 + }аз + ka<|.
В удвоенной алгебре сопряжение определено по формуле
а + eb = a—be. В случае кватернионов q = а\ — тг— ja3—ka4. Легко
видеть, что qq = qq = a\ -l-al+al+ai — вещественное положитель-
положительное число. А поэтому определена норма кватерниона |g| =
Согласно определения |д| = 0 тогда и только тогда, когда q = 0.
Каждый ненулевой кватернион q имеет обратный д = 9/|?|2, то
есть алгебра Н является алгеброй с делением.
§6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 93
Алгебра кватернионов Н допускает матричную реализацию
(изоморфизм в алгебру матриц)
О 1\
U о]'
О
Если q = а + jb, a = ai + \аг, b = аз + ia*, то q отображается
в матрицу
Пусть А — конечномерная алгебра с базисом е\, е2,... , е„.
Каждый элемент алгебры А является линейной комбинацией
элементов ei,e2,... ,е„. Умножение для базисных элементов
задается формулой
где c*j- — числа. Эти числа называют структурными констан-
константами алгебры А. Базис и структурные константы полностью
определяют алгебру.
Пусть ai,a2,... ,ап — элементы алгебры А, а В — мно-
множество линейных комбинаций всех возможных произведений
элементов а15 а2,... , а„, взятых произвольное количество раз.
Очевидно, что В — подалгебра в А. Если В совпадает с А,
то oi, п2, • •. , ап называют порождающими элементами алгеб-
алгебры А. Как и в случае конечных групп, для порождающих эле-
элементов задают определяющие соотношения, которые вместе
с порождающими элементами определяют алгебру.
6.2. Алгебры Грассмана. Важным примером ассоци-
ассоциативных алгебр являются алгебры Грассмана. Ассоциативную
алгебру с единицей называют алгеброй Грассмана, если в ней
существует система порождающих элементов а\,... , ап, удов-
удовлетворяющих соотношениям
{ai,aj} = ataj + а^щ = 0, г, j = 1,2,... ,п, F.1)
и если любое другое соотношение для этих элементов явля-
является их следствием. Эту алгебру обозначают через Г„ или
94 Глава 1
через rn(ai, аг,..., От»)- Порождающие элементы алгебры Г„,
удовлетворяющие соотношениям F.1), называют каноничес-
каноническими. Можно показать, что всякая система канонических по-
порождающих элементов алгебры Г„ содержит п элементов. Ес-
Если же порождающие элементы алгебры Г„ не обязательно ка-
каноничны, то их количество не меньше п.
Соотношения F.1) называют антикоммутаторами эле-
элементов а, и a,j. Из них вытекает, что af = счпг = О для i = 1,
2,...,п.
Из определения алгебры Грассмана следует, что Г„ имеет
базис, состоящий из единицы и элементов
at, i = 1,2,... ,п,
i,j = 1,2,... ,п, i <j,
i,j,k - 1,2,... ,n, i < j < k, F.2)
a1a2...an-
Таким образом, любой элемент а € Гп можно представить
в виде
«»i»2...»*aii««-2---au. F.3)
где a,li2...ifc — числа. Поскольку а.о,- = —aja,, то чис-
числа ailti2,...,ik должны быть кососимметричными по индек-
индексам «1, г'г,... , ik или же суммирование должно вестись по тем
значениям индексов, для которых i'i < «2 < ••• < ik-
Если в F.3) aili2...ik = 0 при к <р и при к = р существу-
существует ненулевой коэффициент, то говорят, что элемент а имеет
степень р и пишут cleg a = р. Можно показать, что степень
элемента не зависит от выбора канонических порождающих
элементов.
Пусть Г„ — подпространство в Гп, состоящее из всех
элементов а, для которых deg a^-p. Ясно, что
причем подпространство Г„ одномерно. Поскольку
ab e r(f+9>, если a € Г<*>, Ь е
§ 6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 95
то все Гп являются идеалами в Г„. Алгебра Г„ не имеет
односторонних идеалов.
Идеал Г„' состоит из всех нильпотентных элементов ал-
алгебры Г„, то есть из элементов а € Гп, для которых ак =0 при
некотором целом положительном к. Фактор-алгебра Г„/Г„'
изоморфна полю комплексных чисел, если алгебра Г„ комп-
комплексная, и полю вещественных чисел, если алгебра Г„ ве-
вещественна. Для определенности будем считать, что алгебра Гп
вещественна. Изоморфизм Г„/Г„ ~ К определяет гомомор-
гомоморфизм (р: Г„ —> К. Если элементы a G Г„ представлены в ви-
виде F.3), то (р(а) = ао- Это единственный ненулевой гомомор-
гомоморфизм алгебры Гп в К.
Пусть теперь ф — гомоморфизм алгебры Грассмана Гп
на алгебру Грассмана Г8, s ^ п, а N — ядро этого гомомор-
гомоморфизма. Можно показать (см., например, [7]), что в Гп можно
выбрать такую систему канонических порождающих элемен-
элементов oi, а2,... , ап, что N как идеал в Г„ порождается элемен-
элементами с+1, as+2,... , ап, а элементы V'(ai), ^(a2), - - -, i>(as) яв-
являются каноническими порождающими элементами в Г8.
Элемент F.3) алгебры Гп, для которого отличными от
нуля являются коэффициенты а^2...г)г с четными (нечетны-
(нечетными) к, называются четным (соответственно нечетным). Мно-
Множество четных и нечетных элементов из Гп будем обозначать
соответственно через Г° и Г'. Множество FJ, является линей-
линейным подпространством, а множество Г° — подалгебра в Г„.
Подалгебра Г° не зависит от выбора канонических порожда-
порождающих элементов. Множество Г^ этого свойства не имеет. По-
Поэтому его также обозначают через Fj,(oi,O2,... ,о„), указы-
указывая, относительно каких канонических порождающих элемен-
элементов оно взято. При любом выборе канонических порождающих
элементов справедливы следующие свойства:
1) Если а,Ье Г*, то ab-ba? Г°;
2) Если a G Г*, b е Г», то ab € Г^;
3) Г„ = Г
Можно показать, что любое подпространство Fj,, имеющее эти
свойства, является пространством нечетных элементов алгеб-
96 Глава 1
ры Гп относительно некоторой системы канонических порож-
порождающих элементов.
Пусть в — автоморфизм алгебры Гп, такой что
а) 02 = 1;
б) ва = а тогда и только тогда, когда a G Т°п.
Доказывается, что собственное подпространство автоморфиз-
автоморфизма в, соответствующее собственному значению -1, является
подпространством нечетных элементов алгебры Г„ относи-
относительно некоторой системы канонических порождающих эле-
элементов. Автоморфизмы с такими свойствами называются ав-
автоморфизмами четности.
Сформулируем теорему о канонических порождающих
элементах алгебры Грассмана. Ее доказательство можно най-
найти в [7].
Теорема 1. Пусть ai,u2,...,an — система кано-
канонических порождающих алгебры Г„. Элементы bi,l>2,-.- ,bn
из Г^(а1,а2,... ,ап) являются каноническими порождающими
тогда и только тогда, когда
3=1
причем det||^ji||^O и degCj^3. Произвольный набор di,
d.2,... ,dn из Гп является системой канонических порождаю-
порождающих элементов тогда и только тогда, когда
где bi,l>2,...,bn — канонические порождающие элементы,
принадлежащие Fj,(ai, а-ц, ¦¦¦, ап), и р е rj,(ai,a2,.-. ,а„).
Из этой теоремы вытекает, что при фиксирован-
фиксированном р е rjj(ai,a2, ... , ап) пространство элементов аA + р),
где а пробегает rj,(ai,a2,... ,an), совпадает с множеством
нечетных элементов относительно некоторой системы кано-
канонических порождающих элементов и, наоборот, всякое мно-
множество нечетных элементов относительно некоторой системы
канонических порождающих элементов получается таким об-
образом.
§6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 97
6.3. Алгебры Клиффорда. Примерами ассоциатив-
ассоциативных алгебр, играющих важную роль в спинорном исчислении,
являются алгебры Клиффорда. Они сопоставляются с псевдо-
псевдоевклидовыми векторными пространствами.
Пространство К" с билинейной симметрической формой
(Х,У) = xlVl + . . . + ХрУр - Хр+1ур+1 - ... - Хр+дУр+q,
где р + q = n, называют псевдоевклидовым пространством
сигнатуры (р, q) и обозначают через Epq или Mpq. Простран-
Пространство Mii3 называют пространством Минковского. Выберем
в Epq единичные орты ei,e2,..., еп. Для них
{ei, е,-) = О, i Ф j;
(е,-,е,-) = 1, l^i^p; F.4)
Каждому орту е^ поставим в соответствие элемент а,
и в соответствии с F.4) будем требовать выполнения соот-
соотношений
{at, aj} = aiuj + ajai = 0, i ф j,
o? = l, i=l,2,...,p, i F.5)
Вещественную ассоциативную алгебру с единицей, порожден-
порожденную элементами oi, аг, •.., ap+q, удовлетворяющими соотно-
соотношению F.5), называют алгеброй Клиффорда пространства Epq,
если любое другое соотношение между a,i,a2,... ,ap+g явля-
является следствием соотношений F.5). Эта алгебра обозначает-
обозначается через Cliff(-Epg). Базис алгебры Cliff(jE'pg), p + q = n, име-
имеет 2" элементов. Он совпадает с множеством элементов F.2).
Как и в случае алгебры Грассмана, алгебра CIifF(JE7P4) яв-
является прямой суммой подпространства CIiff1(J57Pe) нечетных
элементов и подалгебры Cliff0(Epq) четных элементов.
Алгебра Клиффорда ClifF(?1ii3) пространства Минковско-
Минковского порождается четырьмя элементами, обозначаемыми че-
через 7о, 71,72,7з- Для них
7i7j+7j7i = 0, гфз; <)g = 1, 7? = т| = ll = -1- F-6)
98 Глава 1
Реализацией этих соотношений могут служить матрицы Ди-
Дирака
(О <хо\ /О -<т,-Л
п » 7i= n , 3 = 1,2,3, F.7)
где сто — единичная 2х2-матрица, a ctj — матрицы Паули
/О -Л
Выбираем такой базис подалгебры Cliff0 (Ei^) четных эле-
элементов алгебры Клиффорда CIiflF(jE7i,3):
1, 7i7o, 727o, 7з7о, ~7i72, ~7з71, 7г7з, 7о717г7з- F.9)
Введем обозначения 7170 = Si, 7270 = ?2, 7з7о = ?3. ТогДа
базис F.9) можно записать в виде
1, Ei, ?2, ?3, S1E2, E3S1, ЕгЕз, Е1Е2Е3. F.10)
Легко посчитать, что
EiEj + Ej-E,- = 0, i^j; E? = El = E| = 1. F.11)
Формулы F.10) и F.11) задают алгебру Клиффорда СЫТ(?з,о),
называемую алгеброй Паули. Следовательно, подалгебра
С1УГ°(?'1)з) изоморфна алгебре Паули.
Задача 2. Покажите, что матрицы F.8) удовлетворяют соотноше-
соотношениям F.11).
Подалгебра Cliff0 (?з,о) четных элементов алгебры Паули
натягивается на базисные элементы
1, EiE2, E3E1, Е2Е3. F.12)
Обозначим их соответственно через l,i,j,ij. Если принять у
за к, то легко проверить, что l,i,j,k удовлетворяют соотно-
соотношениям для кватернионных единиц (см. пример 6). Следова-
Следовательно, подалгебра СНй°(?з,о) изоморфна алгебре Клиффор-
Клиффорда Cliff(?12,o), которая в свою очередь изоморфна алгебре ква-
кватернионов. Подалгебра СШТ°A?2,о) коммутативна и изоморфна
полю комплексных чисел.
§6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 99
г 6.4. Алгебры Ли. Примерами неассоциативных ал-
алгебр являются алгебры Ли. Как правило, алгебры Ли будем
обозначать прописными готическими, а их элементы — за-
заглавными латинскими буквами.
Произведение элементов X и Y алгебры Ли обозначают
через [X, Y] и называют коммутатором этих элементов. Тре-
Требуют, чтобы коммутатор был антисимметричным (то есть,
чтобы [X, Y] = — [У,Х]) и удовлетворял тождеству Якоби
[X, [Y, Z]} + [Z, [X, У]] + [Y, [Z, X}] = 0. F.13)
Таким образом, алгебра Ли — это линейное пространство,
в котором каждая пара элементов X и Y сопоставляется
с элементом [X,F], называемым коммутатором X и Y, при-
причем коммутатор удовлетворяет условию антисимметричнос-
антисимметричности, тождеству Якоби, а также линейности
[аХ + CY, Z] = а[Х, Z] + /3[У, Z],
где а и /3 — числа. Линейность — это записанная для ал-
алгебр Ли дистрибутивность.
На алгебры Ли распространяются определения п. 6.1. Ал-
Алгебры Ли бывают вещественными и комплексными. Алгеб-
Алгебра Ли коммутативна, если [X, Y] = 0 для всех элементов X
и Y. Для алгебр Ли имеет смысл понятие только двусторон-
двустороннего идеала. Подалгебра Ли () алгебры Ли д является идеалом,
если [X, Y] € \) для всех X е \) и Y е 0. Очевидным образом
для алгебр Ли определяют гомоморфизм, изоморфизм и авто-
автоморфизм. Фактор-пространство алгебры Ли по идеалу являет-
является алгеброй Ли, называемой фактор-алгеброй Ли.
Если Хг,Хъ, • • • ,Хп — базис алгебры Ли, то соотношения
%к F.14)
fc=i
определяют структурные константы с^ этой алгебры. Струк-
Структурные константы вещественных алгебр вещественны.
Условие антисимметричности [XrF] = — [Y,X] коммута-
коммутатора означает, что структурные константы алгебры Ли удов-
удовлетворяют условию
4 = -4. F.15)
100 Глава 1
При i = j имеем с^- = 0. Тождество Якоби эквивалентно
соотношению
Любой набор чисел с*-, i,j,k = 1,2,... ,п, удовлетворя-
удовлетворяющий соотношениям F.15) и F.16), определяет алгебру Ли,
для которой эти числа являются структурными константа-
константами. Комплексные (или вещественные) алгебры Ли с одина-
одинаковыми структурными константами изоморфны. Перевыбор
базиса в алгебре Ли изменяет ее структурные константы.
Пример 7. Если в ассоциативную алгебру ввести коммута-
коммутатор [о, Ь\ — аЬ — Ьа, то она превращается в алгебру Ли. Покажите,
что так определенный коммутатор удовлетворяет тождеству Яко-
Якоби F.13).
Пример 8. Множество Mat(n,C) из примера 2 превращается
в алгебру Ли, если коммутатор задать формулой [X, Y] = XY —
— YX. Эту алгебру обозначают через gl(n, С), п = 1,2,... Алгеб-
Алгебры Ли gl(n, С), п = 1,2,..., и их подалгебры называют линейными
алгебрами Ли.
Пример 9. Множество кососимметрических вещественных
матриц из gl(n,C) — подалгебра Ли в g[(n,C). Множество всех
косоэрмитовых матриц из fll(n, С) — подалгебра Ли в gl(n, С).
Пример 10. Матрицы Паули F.8) удовлетворяют соотноше-
соотношениям
[ст,-, ст/t] = акты - CTfcfft = 2iemm,
где еш — полностью антисимметричный тензор, причем em = 1-
Поэтому на них натягивается трехмерная алгебра Ли А = {acri +
+ (Зсг2 + "усгз | ct, C, 7 6 С}. Это алгебра Ли всех косоэрмитовых бес-
бесследовых матриц размерности 2.
Пример 11. Рассмотрим в алгебре Ли дГ(п, С) подмножест-
подмножество р„_1 всех матриц вида
F.17)
гдеХ„_1 6 дЦп — 1,С), О — строка длины п—1 с нулевыми элемен-
элементами, ах —. столбик сп-1 комплексным числом. Легко проверить,
§6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 101
что Pn-i — подалгебра Ли в дЦп, С). Матрицы F.17) обозначаем
через (Х„-1,х). Ясно, что
Отсюда видно, что подмножество gl(n — 1,С) матриц (Xn_i,O) —
подалгебра Ли в pn-i, а подмножество t матриц @,х) — идеал
в pn-i.
Говорят, что алгебра Ли g является прямой суммой сво-
своих подалгебр д; и д", если д; и д" — идеалы в д и линейное
пространство алгебры 0 является прямой суммой линейных
подпространств д' и д" (то есть д = д' + д" и д' U д" — {0}).
Ясно, что тогда dimg = dimg' + dimg". Из того, что д; и д" —
идеалы в д, вытекает, что для всех X € д' и Y е д" име-
имеем [X, Г] =0.
Пусть д' и д"—две алгебры Ли. Совокупность g пар (X, Y),
X € д; и Y G д", является прямой суммой пространств д; и д".
Для таких пар задаем коммутатор формулой
где справа стоят коммутаторы алгебр Ли д; и д". Этот комму-
коммутатор превращает д в алгебру Ли, называемую прямой суммой
алгебр Ли д' и д". Ясно, что д; и д" — идеалы в д. Анало-
Аналогичным образом определяется прямая сумма большего числа
алгебр Ли.
Пример 12. Пусть g — алгебра Ли матриц ( * ? J, X 6 дГ(р,С),
)- Тогда g является прямой сУммой идеалов gl(p,C)
Говорят, что алгебра Ли g является полупрямой суммой
своих подалгебр Ли д; и д", если линейное пространство алгеб-
алгебры д является прямой суммой подпространств д' и д" и одна
из этих подалгебр является идеалом в д.
Пример 13. Алгебра Ли pn_i примера 11 является полупрямой
суммой своих подалгебр Ли gt(n — 1, С) и t.
Пусть g — вещественная алгебра Ли с базисом Х±,
Хг,... , Xn, a gc — комплексное n-мерное линейное простран-
пространство с этим базисом. Поскольку задана операция комму-
коммутирования для базисных элементов, то по линейности она
102 Глава 1
продолжается на все элементы из дс. Таким образом, дс
превращается в комплексную алгебру Ли. Ее называют комп-
лексификацией алгебры Ли д.
Каждую комплексную алгебру Ли 0 с базисом Xi,
Хг,..- ,Хп, можно рассматривать как вещественную алгеб-
алгебру Ли дд удвоенной размерности с базисом Xi, X2, ¦ ¦ ¦ , Хп,
iXi,iX2, ... , iXn, где i — мнимая единица. Если в g комму-
коммутационные соотношения задаются формулой F.14), то в дд
имеем
fc=i fc=i
fc=i fc=i
Пусть gc — комплексная алгебра Ли, а Хг,Х2,. - - , Xn —
такой ее базис, для которого структурные константы с^- ве-
вещественны. Обозначим через g вещественное линейное про-
пространство с базисом Xi, Х2, -.., Хп. Поскольку с^- е Е,
то [Xi,Xj] G g для всех г и j. Поэтому g — вещественная
алгебра Ли. Ее называют вещественной формой комплексной
алгебры Ли дс. Ясно, что дс является комплексификацией ал-
алгебры Ли д.
Неизоморфные алгебры Ли могут иметь одну и ту же
комплексификацию. Другими словами, комплексная алгебра
Ли может иметь разные (неизоморфные) вещественные фор-
формы. Они получаются путем выбора разных базисов, для кото-
которых структурные константы вещественны.
6.5. Градуированные и тензорные алгебры. Пусть
I — множество индексов, в котором определена операция сло-
сложения. Примером такого множества может служить множес-
множество целых неотрицательных чисел 0, 1, 2,... с обычной опе-
операцией сложения или множество, состоящее из двух чисел О
и 1 с операцией сложения
0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0+1 = 1 + 0 = 1.
Алгебру (ассоциативную или неассоциативную) А называют
градуированной, если ее можно представить в виде прямой
§ 6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 103
суммы подпространств Ai, i € I:
Ai, F.18)
так что при а, 6 Ai и а,- € Aj имеем didj € At+j. Такое пред-
представление алгебры А в виде суммы F.18) называют градуиро-
градуированием. Элементы подпространств Ai называют однородными
степени г. Каждый элемент а € А однозначным образом пред-
представляется в виде а = 5] а>> а« е ^«> причем только конечное
t
число слагаемых отлично от нуля.
Пример 14. Алгебра Грассмана Г„ градуирована. Ее градуи-
градуировка задается формулой Г„ = Г° -t-Pj,. Градуирование такого типа
называют .^-градуированием.
Пример 15. Алгебра Клиффорда Cliff(J5p,) градуирована. Ее
градуировка задается разложением Cliff(J5p,) = ClifF°(J5p,) +
+ Cliff1 (Epq).
Важными примерами градуированных алгебр являются
тензорные алгебры. Они строятся таким образом. Пусть А —
линейное пространство (для определенности считаем, что
оно вещественно). Можно рассмотреть тензорные произведе-
произведения A®i = A2, A® A® A = А3, ..., которые также являют-
являются линейными пространствами. Элементами этих пространств
являются соответственно произведения a <S> b, a ® b ® с, ...
и их линейные комбинации. Поле вещественных чисел Ш обо-
обозначаем через А0 и образуем прямую сумму линейных про-
пространств А0, А = А1, А2, ... Получим бесконечномерное ли-
линейное пространство
3-(А) = А0 © А1 © А2 © ... . F.19)
Элементы подпространств Ап, п = 0,1,2,..., называют одно-
однородными. Согласно формуле
(oi ® о2 ® ... ® a,i){b\ ®Ь2® ...®bj) =
= at ® а2 <8> ¦.. <8> at ® Ьх ® Ь2 ® ... ® bj, F.19')
где ак € А и br G А, вводим умножение для однородных эле-
элементов и по линейности распространяем эту операцию на все
104 Глава 1
элементы из &(А). В результате ?f{A) превращается в неком-
некоммутативную ассоциативную алгебру, называемую тензорной.
Поскольку при 7 G Аг и 6 G А* имеем -уб G А%+?, то форму-
формула F.19) задает градуирование в &{А).
Пусть ei,e2,...,en — базис пространства А. Тогда
одночлены
ей ®ei2®...®eifc, I ^ ip ^ п,
образуют базис пространства Ак. Единица и объединение этих
базисов для алгебр А1, А2, ... образуют базис тензорной ал-
алгебры !?(А). Ее элементами являются конечные линейные
комбинации базисных элементов.
6.6. Алгебра внешних форм. С тензорными алгебра-
алгебрами связан ряд других ассоциативных алгебр. Важной являет-
является алгебра внешних форм. Пусть V — линейное пространст-
пространство (для определенности считаем его вещественным) и У —
пространство линейных однородных функций (форм) на V.
Пусть а и /3 — элементы из V. Тензорным произведением
этих форм является билинейная форма а®/3, действующая на
паре векторов a,bsV согласно правилу
Подобным образом определяются полилинейные формы на V.
Если цишг — полилинейные формы степеней соответствен-
соответственно р и q, то их тензорное произведение ljx ® lj2 является поли-
полилинейной формой степени p+q, осуществляющей отображение
пространства V х V х ... х V (декартово произведение р + q
экземпляров пространства V) в Ш по формуле
,... ,ар; bb... ,bg) =
,... ,bg).
Пусть ei,e2,--.,en — базис пространства V, а е1,
е2,... ,еп — дуальный базис в V, то есть такой, что е*(е,) =
= <$*¦ = 6ij. Тогда любая полилинейная форма а степе-
степени р (р-линейная форма) задается набором чисел ai,,-2...,p,
§6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 105
1 ^ ik ^ Щ являющихся значениями этих форм на последова-
последовательностях e,,,ei2,... ,е*р базисных векторов. Действитель-
Действительно, так как ai = Х]<4 е*> то
fc
a(ai,a2)... ,ap) =
Следовательно, можно утверждать, что формы е'1®
®е*2 ® ... ® ?*р являются базисом в пространстве J?P(V,M)
р-линейных форм и что это пространство изоморфно тензор-
тензорному произведению V ® ... ® V = (V)р. Поэтому простран-
пространство полилинейных форм является тензорной алгеброй.
Выделим в пространстве полилинейных форм на V
подпространство кососимметрических форм. Напомним, что
р-линейное отображение и>: УхУх...хУ->Е называют ко-
сосимметричным, если для любой перестановки s ? Sp имеем
u(s(al,a2,-.. ,ap)) = e{s)u(a1,a2,... ,ap),
где e(s) — ±1 в зависимости от четности или нечетности
перестановки s. Подпространство кососимметрических форм
на V степени р будем обозначать через AP(V), а его элемен-
элементы будем называть внешними формами на V степени р или
внешними р-формами. Нетрудно подсчитать, что dimAp(V) =
= nl/pl(n — рI, где п — dim V.
оо
В тензорной алгебре ??(V) = ф ??Р(У,Ж) определим ли-
р=0
нейный оператор асимметризации А, действующий в S?V{V, Щ
согласно формуле
(Ла)(а!,а2,... ,ар) = ^ e(s)a(s(a1;a2,... ,ap)). F.20)
Легко видеть, что А2 = А и Л(^?Р(У,Ж)) = AP(V). Сле-
Следовательно, оператор А является проектором на подпро-
подпространство внешних форм. Кроме того, ядро N(V) отображе-
отображения А является двусторонним идеалом S'iy'). Фактор-алгеб-
Фактор-алгебру &(V')/N{y') называют внешней алгеброй пространства V
и обозначают через A(V). Имеем
A(V) = Ш © А\У) © A2{V) © ... © An(V),
106 Глава 1
где п = dimV. Операцией в A.(V) есть операция внешнего ум-
умножения, которая является «проекцией» на подпространство
кососимметрических форм операции тензорного умножения.
Если и)\ G Ap(V) и о>2 € AQ(V), то их внешнее произведение
обозначают через Ш1ЛШ2 и
то есть
(шх Л w2)(ai,а2,... ,Яр,&р+1,...,ар+д) =
4
F.20')
В частности, если и = cei Л аг Л... Л ар, где aj G Л1 (У) = К',
то
ш(ах, а2, • •. ,ар) = det ((ai(a,))?i=1).
Из формулы F.20') вытекает антикоммутативность внешнего
умножения:
WlAW2 = (-1)PQLJ2 Л O7i,
где шх G Лр(У) и ш2 G A«(V). Таким образом, Л(У) яв-
является алгеброй Грассмана. Иногда ее называют алгеброй
Грассмана внешних форм. Если в пространстве V фиксиро-
фиксирован базис ei,e2,... ,е„, то порождающими элементами алгеб-
алгебры Л(У) являются линейные формы е1, е2,... , е", образующие
дуальный базис в V'.
6.7. Универсальные обертывающие алгебры ал-
алгебр Ли. Пусть д — алгебра Ли. Образуем тензорную алгеб-
алгебру &(д). Для любых элементов X и Y из д зададим элементы
X®Y-Y®X-[X,Y] F.21)
алгебры ^{д) и породим ими двусторонний идеал J в
Для этого элементы F.21) умножаем слева и справа на эле-
элементы из !?(д). Идеал J состоит из всех возможных линей-
линейных комбинаций полученных элементов. Универсальной обер-
обертывающей алгеброй Щд) алгебры Ли д называют фактор-ал-
фактор-алгебру ST(g)/J.
§6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 107
Пусть Xi,X2,--. ,Хп — базис в д. Тогда элементы2
, Х^Хг3...Хгк, l^ip^n, k = 0,1,2,...
(мы опустили знак тензорного произведения) образуют базис
в ??(д). Рассмотрим элементы
XhXi2...Xik + J F.22)
универсальной обертывающей алгебры И(д). Вследствие F.21)
получаем
XiXj +J= {XiXj + J) + ]Г ar(Xr + J),
r
где ar — числа, значения которых для нас не важны. Поэтому
элемент F.22) можно свести к виду
* + J), 7* eg8, s<k, F.23)
где с точностью до порядка (»i,t2,... ,ik) = (h,J2,--- ,jk)
и j\ ^ 32 ^ ••- ^ jh- Такую же операцию можно приме-
применить к элементам js G 0s. Продолжив этот процесс, приходим
к такому заключению. Элемент F.22) представляется в виде
суммы элементов
xhxh ¦ ¦ • xiv + J> h ^ h ^ • • • ^ 3t ^n, r ^ fc.
Можно показать (см., например, [18]), что элементы
Xj1Xj2...Xjh+J, jx ^j2 ^ ••• ^ Зк ^п, к- 0,1,2,...
линейно независимы в Щд) и поэтому образуют базис в этой
алгебре. Его называют базисом Пуанкаре-Биркгофа-Витта.
При рассмотрении представлений алгебр Ли элементам
из J соответствуют нулевые операторы, а поэтому часто счи-
считают, что универсальная обертывающая алгебра натягивается
на элементы
XhXh...Xh, ji^J2^---^jk<:n, k = 0,1,2,...,
F.24)
2 При fc = 0 этот элемент совпадает с числом 1.
108 Глава 1
как на базис. Умножение этих элементов задается согласно
формуле F.19') и дальнейшим сведением к линейной комби-
комбинации элементов F.24) путем описанной выше операции.
Иной базис алгебры il(g) состоит из симметрических эле-
элементов
e(ii,32, ¦ ¦ ¦ ,3к) = 5Z ^(ii.-.i*)' Л ^ J2 < • - - < h ^ n,
где Sk — группа перестановок к элементов и
Важное значение для теории представлений имеет центр 3
алгебры Щд). Он состоит из элементов С G Щд), перестано-
перестановочных со всеми элементами из Щд).
6.8. Супералгебры Ли. Поскольку в физике прихо-
приходится рассматривать операторы, удовлетворяющие соотноше-
соотношениям, которые в одних случаях выражаются через коммута-
коммутатор, а в других — через антикоммутатор, то вводят алгебры,
в которых умножение задается с помощью коммутатора и ан-
антикоммутатора.
Пусть д — вещественное или комплексное линейное про-
пространство. Выберем в д базис и разделим его на две части
Введем для базисных элементов операции
т
§ХР, F.25)
*'ijYr, F.26)
Ь'цХ, F.27)
s=l
и распространим их по линейности на все пространство д.
§ 6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 109
Мы хотим, чтобы пространство д было алгеброй относи-
относительно этих операций. Для этого, как и в случае алгебр Ли,
они должны удовлетворять дополнительным условиям. Если
под [•,•] понимать обычный коммутатор [X,Y] = XY — YX,
а под {-,-} — обычный антикоммутатор {X,Y} = XY + YX,
то легко проверить, что для Xi,X2, ¦ • ¦ ,Хт выполняется тож-
тождество Якоби F.13), а для Xi к Yj — тождества
[Хи [Х3, Yk]] + [Yk, [Xi, Xj]] + [Xj, [Yk, Xt]\ = 0, F.28)
[Xit {Yj,Yk}] + {[Yj,Xi],Yk} + {[Yk,Xi],Yj} = 0, F.29)
[Yt, {Yj,Yk}] + [Yk, {Yi,Yj}] + [Yj, {Yk,Yi}] = 0. F.30)
Линейное пространство д, в котором согласно форму-
формулам F.25)-F.27) введена операция, удовлетворяющая тож-
тождеству Якобн (дляХ\, Х2, ..., Хт), тождествам F.28)-F.30)
и равенствам
[Xi, Xj] = -[Xj,Xi], [Xi, Yj] = -[Yj,Xi], F.31)
rv \r i fv v \ fa qo\
{Yi, Ij) = \lj, Jfi/j (O.6Z)
называют супералгеброй Ли. Числа cfj, d\j и b*j из фор-
формул F.25)—F.27) называют структурными константами этой
алгебры.
Пусть д° — подпространство в д, натянутое на Х\,
Х2,...,Хт, ад1 — подпространство, натянутое на Y\,
У2,.-.,У„. Тогда
Из формул F.25)-F.27) вытекает, что это разложение явля-
является градуированием алгебры д. Элементы из д° называют
четными, а из д1 — нечетными. Как четные, так и нечетные
элементы называют однородными. Из F.25) и F.31) вытекает,
что д° является алгеброй Ли.
Пример 16. Пусть g — пятимерное линейное пространство
с базисными элементами Xq,X+,X-,Y+,Y~. Соотношения
[Хо, Х±] = ±Х±, [Х+, Х-] = 2Х0,
110 Глава I
(берутся только верхние или только нижние знаки) превращают
его в супералгебру Ли, обозначаемую через osp(l 12).
Поскольку супералгебра Ли является (неассоциативной)
алгеброй, то для нее справедливы определения п. 6.1. Следова-
Следовательно, для супералгебр Ли существуют понятия изоморфиз-
изоморфизма, гомоморфизма, подалгебры (суперподалгебры Ли), идеала,
прямых и полупрямых сумм. Рекомендуем читателю сформу-
сформулировать соответствующие определения.
Пусть a(Z) — функция четности на однородных элемен-
элементах из д, то есть a(Z) — 0 при Z € д° и a{Z) = 1 при Z е д1.
Она определяет на д линейный оператор Р, действующий на
однородные элементы согласно формуле PZ = (—l)a^Z. Лег-
Легко проверить, что Р — автоморфизм супералгебры Ли д.
Далее в этом пункте операции [•, •] и {•, •} из F.25)-F.27)
будем записывать одним символом [•, •]. При этом для однород-
однородных элементов соотношения F.31) и F.32) принимают вид
[X, Y] = (_1)«(-*>«'(П+1[у; х], F.33)
а тождество Якоби и тождества F.28)-F.30) — вид
+ [Y, [Z, X]] (-1)°(*>°(П = о, F.34)
где а(-) — функция четности. Для однородных элементов
справедливо тождество
a([X,Y])=a(X)+a(Y). F.35)
Так же как и в случае алгебр Ли, тождество Якоби, тож-
тождества F.28)-F.30), а также соотношения F.31) и F.32) мож-
можно записать в терминах структурных констант. Чтобы сделать
это, обозначим вторую часть Yi,Y2,... ,Yn базисных элемен-
элементов соответственно через Xm+i, Хт+2,.. -, Xm+n, а соотноше-
соотношения F.25)-F.27) (используя только символ [•, ¦]) запишем в ви-
виде [Xi,Xj] — $^cij-^fc- Ясно, что константы <Ц}- и Ь|л- из F.26)
и F.27) равны введенным константам с^- при определенных
значениях индексов. Обозначая а(Хв) через a(s), соотноше-
соотношения F.28)-F.32) для базисных элементов Xi,X2,... ,Xm+n
§6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли 111
в терминах констант с^- можно записать в виде
В зависимости от того, каким является линейное про-
пространство д, супералгебры Ли бывают комплексными и ве-
вещественными. Как и в случае алгебр Ли, вещественную су-
супералгебру Ли 0 можно комплексифицировать. Комплексные
супералгебры Ли имеют вещественные формы, которые могут
быть неизоморфными.
Пример 17. Пусть g = g° + g1 — вещественная супералгебра
Ли. Обозначим через gi = g°+ig1 множество линейных комбинаций
Ясно, что gi — вещественное линейное пространство. Исходя из
операции коммутирования и антикоммутирования [•, •] в д, вводим
эти операции в gi согласно формуле
[Xt. + iYuX2 + iY2] = [XUX2] - [YUY2] + i([XuYa] + [Yi,X2]).
Непосредственно проверяется, что условия F.33)-F.35) выполня-
выполняются и gi превращается в вещественную супералгебру Ли. Супер-
Супералгебры Ли g и gi являются, вообще говоря, неизоморфными ве-
вещественными формами одной и той же комплексной супералгеб-
супералгебры Ли.
В п. 6.4 мы видели, что в каждую ассоциативную алгебру
можно ввести структуру алгебры Ли. Подобное утверждение
имеет место и для супералгебр Ли. Пусть 0 = 0°+01 — .^-гра-
.^-градуированная ассоциативная алгебра. Тогда
sVc0°, bVcs1, eVcB1, bVcb0
и g° — подалгебра в д. Очевидным образом в 0 задается функ-
функция четности а(Х). Вводим в д операцию
[X,Y] = XY~ (-1)Q<X
112 Глава 1
где X к Y — однородные элементы. Она превращает д в су-
супералгебру Ли. Операция
[X,Y] = (-1)°(х)а(у)ху - YX,
где X и Y — однородные элементы, также превращает g в су-
супералгебру Ли.
Глава 2
Группы Ли
Непрерывные группы пространственно-временных сим-
симметрии, рассмотренные в гл. 1 (такие как группы 50C),
50B,1), группа движений евклидового пространства, груп-
группы Лоренца и Пуанкаре), кроме алгебраической групповой
операции умножения и структуры топологического простран-
пространства имеют еще и другие свойства, благодаря которым их
можно исследовать методами дифференциальной геометрии
и анализа. Эти дополнительные свойства концентрируют-
концентрируются в понятии группы Ли, которое рассматривается в этой
главе.
Теория групп Ли существенно опирается на теорию глад-
гладких многообразий и тесно переплетается с дифференциальной
геометрией. Поэтому в современных монографиях эти три ма-
математические дисциплины излагаются параллельно. Послед-
Последнее время сюда также включают и глобальную теорию га-
мильтоновых систем, тесно связанную с анализом на много-
многообразиях, геометрией и теорией групп Ли.
Первый параграф этой главы посвящен изложению основ-
основных понятий теории гладких многообразий и дифференциаль-
дифференциальной геометрии. Изложение сжато и конспективно. Читателям,
желающим глубже овладеть современным языком и методами
анализа на многообразиях, рекомендуем обратиться к специ-
специальным монографиям на эту тему, например, к [50, 55, 63].
§ 1. Элементы анализа на многообразиях
1.1. Гладкие многообразия. Многообразие размер-
размерности п представляет собой пространство, которое локаль-
локально выглядит как пространство Мп. Соответственно локаль-
локальный анализ на многообразиях совпадает с анализом функ-
114
Глава 2
ций многих комплексных переменных в открытых областях
пространства М". Точное определение такое: топологичес-
топологическим многообразием или локальным евклидовым пространст-
пространством называют хаусдорфово топологическое пространство М,
каждая точка которого имеет окрестность U, гомеоморфно
отображаемую на открытое подмножество пространства Мп.
Гомеоморфизм ср: U -> Мп называют координатным ото-
отображением. Параметры {t1,*2,... ,tn] — (р(х), являющие-
являющиеся образами точки х € U при отображении ip, называют
локальными координатами этой точки. Иногда их называ-
называют координатными функциями и указывают соответству-
соответствующий аргумент: х -> {t1(x),i2(x),... ,tn(x)}, или сокращен-
сокращенно х -> {tl(a;)}. Пару (U, ip) называют локальной картой или
локальной системой координат.
Рис. 8.
Локальные карты (U, tp) и (U',(pr) называют гладко со-
согласованными, если для точек х, принадлежащих пересече-
пересечению U П [/', переход от координат {?*} = ip(x) к координа-
координатам {t1'} = ip'(x) и обратно осуществляется к раз дифферен-
§ 1. Элементы анализа на многообразиях 115
цируемыми функциями, то есть функции
{t'\ f\... , ttn] = v'ov-\t\ t2,... , t»),
являются дифференцируемыми функциями п переменных
класса Ск,к = 0,1,2,... ,оо. В дальнейшем в большинстве
случаев будем иметь дело с дифференцируемостью класса С°°
и под термином «дифференцируемость» будем понимать (если
не оговорено противное) бесконечную дифференцируемость.
Дифференцируемость класса С°° принято называть гладкос-
гладкостью и мы будем употреблять этот термин как синоним. По-
Понятие согласованности карт объяснено на рис. 8.
Если функции {t'1,t'2,...,t'n}=<pl о yj-1 (t1,t2,.•-,*")
и обратные к ним функции являются аналитическими функ-
функциями многих вещественных переменных (то есть соответ-
соответствующие ряды Тейлора имеют ненулевой радиус сходимос-
сходимости), то согласованность локальных карт называют аналити-
аналитической (класса Cw).
Гладкой (аналитической) структурой на топологическом
многообразии М называют такую совокупность локальных
карт {([/м, ум) IV е Щ, что
a) U Ufl = M;
б) для любых fiviv отображения
?>м ° V*1 ¦ <РЛи» П Uv) -> w(?/M П Uv)
принадлежат классу С°° (соответственно являются ана-
аналитическими отображениями);
в) совокупность {(Ufijip^lfi € 9DT} = si максимальна, то
есть любая карта (U, ip), гладко (аналитически) согласо-
согласованная с каждой картой множества si, также принадле-
принадлежит этому множеству.
Совокупность si = {?^»?>мI/* е ®*Ь Удовлетворяющая
условиям (а)-(в), называется максимальным атласом много-
многообразия М.
116 Глава 2
Для комплексно-аналитической структуры на топологи-
топологическом многообразии М размерности 2п требуется, чтобы ко-
координатные функции х —? {tl(x)}, х б М, принимали значе-
значения в пространстве С™ и чтобы отображения у?м о ip~x из С™
в С™ были голоморфными (комплексно-аналитическими).
Ориентация на гладком многообразии задается дополни-
дополнительным условием согласованности карт и фиксацией право-
правосторонней (левосторонней) системы координат в одной из них.
Ориентированным многообразием называют связное гладкое
многообразие, наделенное атласом карт, согласованным так,
что или U П V — 0, или U П [/' ф 0 и
det Dj^J > 0, {tT} = <р'(х), {*»'} = V{x), xeUnV.
Многообразие с границей — это хаусдорфово топологичес-
топологическое пространство М, имеющее точки двух типов, причем точ-
точки первого типа (внутренние) принадлежат окрестностям, ко-
которые гомеоморфно отображаются на открытые подмножест-
подмножества пространства Ж", а точки второго типа образуют границу
многообразия и принадлежат окрестностям, гомеоморфным
окрестностям ноля пространства
+ — {t )!>••• ,t \t > [)}.
Пример 1. Пространство R" является тривиальным приме-
примером многообразия. Координатное отображение является тождест-
тождественным отображением.
Пример 2. Произвольное векторное пространство V является
многообразием. Фиксация базиса {ei, ег,... , е„} задает координат-
п
ное отображение: х = J2 v'ei -> {v*}i a следовательно, и структуру
«=i
гладкого многообразия на V.
Пример 3. Сфера 5" в пространстве R"+1 задается алгебраи-
алгебраическим уравнением
Открытая область Ui = {х G 5" | xn+i > —1} и стереографическая
проекция х -У {t'(x)} = {a:j/(l + a;n+i)} с точки х0 = @,0,... , -1)
§1. Элементы анализа на многообразиях 117
на подпространство R" = {х е R"+11 xn+i — 0} образуют локаль-
локальную карту на S". Другая локальная карта — это область Ui =
= {х е 5" | хп+1 < 1} и стереографическая проекция с точки х{, =
= @,0,... , 1). Очевидно, что эти карты аналитически согласованы.
Пример 4. Лист Мебиуса является примером неориентиро-
неориентированного многообразия с границей. Рассмотрим прямоугольник П
на плоскости R2: П = {B:1,2:2) G R2 | \xi\ ^ а, \х2\ ^ 1}, и отож-
отождествим точки (а,Х2) и (—0,-2:2). Полученное многообразие с гра-
границей локально устроено как произведение окружности на отре-
отрезок, но направление отрезка меняется на противоположное при
обходе окружности на полный оборот. Лист Мебиуса не ориенти-
ориентирован, поскольку две допустимые локальные координатные систе-
системы (fi1: х —> {а, 2:2} и (fi2 '¦ х ~* {а\ Ж2}5 гДе о и а' — угловые пере-
переменные на окружности, согласованы так, что а' = а — тг, х'2 = —2:2
и поэтому определитель матрицы перехода от координат {0,2:2}
к координатам {а',х'2} равен —1:
det
1.2. Дифференцируемые отображения. Рассматри-
Рассматривая наборы из т. вещественных дифференцируемых (ана-
(аналитических) функций, заданных на открытых множествах
пространства Кп, приходим к понятию дифференцируемого
(аналитического) отображения из пространства Кп в Мт. Это
понятие легко обобщается на отображения одного многообра-
многообразия в другое.
Пусть М и N — дифференцируемые многообразия раз-
размерностей пит соответственно, а Ф — отображение мно-
многообразия М в многообразие N (N может совпадать с М).
Будем называть Ф дифференцируемым (аналитическим) ото-
отображением в окрестности точки Хо Е М, если его представи-
представители в локальных картах, то есть функции {Ф1, Ф2,... , Ф} =
= -фофоф-1, задают дифференцируемое (аналитическое) ото-
отображение из пространства М" в пространство Мт. При этом
имеется в виду, что локальная карта (U, ip) обслуживает об-
область определения отображения Ф, а карта (V,ip) — область
значений на многообразии N.
118 Глава 2
Отображение Ф будем называть дифференцируемым (ана-
(аналитическим) в некоторой области U С М, если оно дифферен-
дифференцируемо (аналитично) в окрестности каждой точки х б UCM.
К отдельному случаю дифференцируемого отображения при-
приводят вещественные функции на многообразии, то есть ото-
отображения /: М -> Ш, для которых локальные представители
f(<p-\t\t\... ,tn)) = hv,v){t\t\... ,tn)
являются дифференцируемыми функциями многих перемен-
переменных во всех картах (U, ф) максимального атласа на М.
Пространство к раз дифференцируемых функций на М
обозначают через Ск(М), к = 1,2,... ,оо. Через Си(М) обо-
обозначают пространство вещественных аналитических функ-
функций. Иногда используют обозначение С^(М) = Ck(U) для
подпространства функции из Ск(М), суженных на подмно-
подмножество и с м.
В линейных пространствах Ск(М) (и в СШ(М)) можно
ввести различные алгебраические операции. Простейшая из
них операция умножения функций превращает эти простран-
пространства в коммутативные ассоциативные алгебры.
Дифференцируемое отображение называют диффеомор-
диффеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение
дифференцируемо. Если для многообразий М и N такое ото-
отображение существует, то мы называет их диффеоморфными
и пишем М ~ iV.
Локальной характеристикой гладкого отображения Ф яв-
является матрица, в которой на пересечении г"-й строки и j-ro
столбца стоит производная ^-. Она называется матри-
dt3
цей Якоби гладкого отображения. Если п = т, то опреде-
определитель этой матрицы называют якобианом. Если квадратная
матрица Якоби невырождена в некоторой точке хо ? М, то
верна теорема об обратной функции, которую можно найти
в стандартных курсах анализа функций многих переменных.
1.3. Касательные векторы. Касательное расслое-
расслоение. Понятие касательного вектора — одно из наиболее важ-
важных в теории гладких многообразий и дифференциальной гео-
геометрии. Интуитивно оно возникает при рассмотрении кривой
§ 1. Элементы анализа на многообразиях 119
на многообразии, проходящей через фиксированную точку,
если учитывать только точки кривой, лежащие в непосред-
непосредственной близости от этой точки.
Гладкой кривой на многообразии М называют гладкое
отображение т -> х(т) некоторого интервала /сМ (замкну-
(замкнутого, полузамкнутого или открытого) вещественной оси в М.
(Сравните с определением гладкого пути в топологическом
пространстве в § 4 гл. 1.) Будем считать, что интервал /Cl
содержит точку г = 0 и что ж@) = хо- В локальных ко-
координатах х -> {?*(:*;)} кривая т -* х(т) задается набором
функций 1р(х(т)) = {^(т), *2(т),... , *"(т)}. Кривые т -> х{т)
и т -> j/(t), проходящие через точку х0 = ж@) = у@), назы-
называют эквивалентными, если производные от их локальных ко-
координатных функций совпадают в этой точке, то есть
Хотя в определении эквивалентности и используются коорди-
координатные функции, однако сама эквивалентность не зависит от
их конкретного выбора.
Учитывая важность понятия касательного вектора, при-
приведем три независимых определения для него.
Определение 1. Класс эквивалентных кривых, проходя-
проходящих через точку Хо € М, называют касательным вектором
к многообразию в этой точке. Множество всех классов экви-
эквивалентности образует касательное пространство к многооб-
многообразию М в точке Хо, обозначаемое через ТХо(М).
Комментируя это определение, заметим, что линейные
операции на классах эквивалентных кривых определены фак-
фактически на их локальных представителях, то есть на функ-
функциях ip(x(-r)) = {^(т),... ,in(r)}, для которых ip(x0) =
= {0,... ,0}. С этой точки зрения в определении 1 сильно экс-
эксплуатируется локальная система координат и оно не является
удобным при вычислениях.
Определение 2. Касательным вектором к кривой
т -> х{т) в точке Хо = х@) называют линейный непрерывный
120 Глава 2
функционал АХо на пространстве C°°(UXo), действующий на
функции / е C°°(UXo) по формуле
хо ~ &F МТ>> т=0 * AЛ)
При таком определении касательный вектор отождеств-
отождествляется с операцией взятия производной в направлении данной
кривой. Очевидно, что класс эквивалентности кривой опреде-
определяет один и тот же функционал. Поэтому определения 1 и 2
согласованы. Структура линейного пространства на множест-
множестве функционалов — касательных векторов, заданных форму-
формулой A.1), очевидна.
В фиксированной локальной системе координат, в кото-
которой кривая задается набором функций т -»• {?г(т)}, дейст-
действие A.1) функционала АХо принимает вид
^[ дПт) dT J • (L2)
8=1 \ V ' / Т=О
Формула A.2) устанавливает взаимно однозначное соответ-
соответствие между функционалами АХо и наборами чисел
, г = 1,2,..., п.
г=О
Эти числа являются локальными координатами касательно-
касательного вектора. При замене локальных координат на многообра-
многообразии {**(ж)} -»• {i'1(t1(a;),i2(a;),... ,tn(x))} они преобразуются
по стандартному правилу
) ' ( ^j , A.3)
=Xo
которое берут за основу при определении вектора в класси-
классическом тензорном анализе.
Третье определение касательного вектора связано с поня-
понятием векторного поля и не использует понятия гладкой кри-
кривой.
§ 1. Элементы анализа на многообразиях 121
Определение 3. Касательным вектором к многообра-
многообразию М в точке х0 называют линейный непрерывный функци-
функционал АХо в пространстве С°°([/го), удовлетворяющий условию
Axo(h ¦ /2) = (A,0/i)/2(ar0) + fi(xo)(AxJ2). A.4)
Очевидно, что для функционала из определении 1 усло-
условие A.4) выполняется. Общим для них есть то, что на по-
постоянных функциях f(x) = с имеем АХос = 0. Действитель-
Действительно, для функционала АХо, определенного условием A.4), име-
имеем Ахо(с-с') = (AXoc)d + c(AXod). С другой стороны, условие
линейности приводит к равенству Ахо(с • d) = c(AXod). Для
¦согласования этих условий необходимо положить Ахос = 0.
Условий линейности и соотношения A.4) достаточно для
вычисления действия функционала АХо, заданного определе-
определением 3, на функции / € С°°(М) в локальных координатах.
Чтобы найти соответствующую формулу, представим функ-
функцию из пространства С°°(М) в окрестности точки х0 соот-
соответствующим рядом Тейлора:
f{x) = f(x0) ?
?* ё - t>(xo))Rij(x). A.5)
Действуя на A.5) функционалом АХо, определенным услови-
условием A.4), получаем
где аг(хо) = Axo(tl(x)). Таким образом, касательный век-
вектор в смысле определения 3 задается в фиксированной сис-
системе координат набором чисел {аг(жо)}. Как и в предыду-
предыдущем случае, эти числа (координаты касательного вектора)
при замене координат {t*(a;)} —? {t'*(x)} преобразуются по
формуле A.3). Каждому набору {а*(жо)} соответствует кри-
кривая т —> х(т), локальными координатами которой являются
122 Глава 2
функции ?*(ж(т)) = tx(x0) + а*(хо)т, а следовательно, и каса-
касательный вектор в смысле определений 1 и 2.
Из формул A.2) и A.6) видно, что выбором локальных
координат мы фиксируем базис в пространстве ТХо(М), а сле-
следовательно, и структуру гладкого многообразия там. Элемен-
Элементами этого базиса являются функционалы X,, действующие на
_—JL
с
Совместно с пространством Тхо (М) будем рассматривать
дуальное к нему пространство Т*0(М), называемое кокаса-
телъным пространством. Элементами пространства Т*0(М)
являются вещественные линейные функции (формы) от
векторного аргумента АХо е ТХ0(М); если аХоеТ*о(М),
то аХ0(АХ0)ЕШ.
Множество всех касательных к многообразию М векто-
векторов образует топологическое пространство
Т(М) = М ТХ(М). A.7)
В этом пространстве задана проекция р: Т(М) -> М, являю-
являющаяся отображением, сопоставляющим каждому вектору точ-
точку, в которой он касается многообразия. То есть простран-
пространство Т(М) имеет структуру векторного расслоения, базой
которого является многообразие М, а слоем над точкой х —
касательное пространство ТХ(М). Кроме этого, в простран-
пространство Г(М) можно ввести структуру гладкого многообразия.
Объясним это подробнее. Локальными картами на Т(М) бу-
будем считать пары
(Р^), ?„), где p-HU») = U ТХ(М) С Г(М),
а отображение tp^ является распространением на р-1(С/м) ко-
координатного отображения <рц:
Vr'-p-HUJ -у V»W х Кп С М2п.
При этом, если Ах € Т(М), то ф,,(Ах) - (ip^x), а*(х)),
где а* (ж) — локальные координаты касательного вектора
§ 1. Элементы анализа на многообразиях 123
в точке х. С учетом формулы A.3) легко видеть, что кар-
карты (p~1(f//1), <Рц), fJ. G 9Л, гладко согласованы. Образом
множества p~1(f//J) при отображении ф^ является открытое
множество в Е2п. Имея на p~1(f//J) топологию прямого про-
произведения p~1(f//J) ~ и^ х ТХ(М), можем утверждать, что
отображение <рA является гомеоморфизмом. Таким образом,
в наличии все условия для определения структуры гладкого
многообразия на Т(М).
Расслоенное пространство Т(М) вместе со структурой
гладкого многообразия на нем называют касательным рас-
расслоением над М.
Аналогично определяется структура гладкого многообра-
многообразия на
т*(м) = у глм),
хем
которое вместе с проекцией р*: Т* (М) —> М называют ко-
касательным расслоением. Координатное отображение <р^,
как и в предыдущем случае, определено на подмножест-
подмножествах p*~1{Up) U Т*{М) и ставит в соответствие каждой ли-
нейной форме ах е Т*{М) координаты точки х и коорди-
координаты формы ах, то есть ее значения на базисных векто-
векторах Xi е ТХ(М):
1.4. Векторные поля и дифференциальные фор-
формы. Гладкое векторное поле на многообразии М опреде-
определяем как дифференцирование коммутативной алгебры функ-
функций С°°(М). Более точно векторным полем будем называть
линейное непрерывное отображение А: ССО(М) —>• С°°(М),
удовлетворяющее условию
A{fi ¦ h) = (Ah) ¦ h + /i • (Ah). A.8)
Сравнивая A.8) с условием A.4) в определении каса-
касательного вектора, видим, что в каждой фиксированной точ-
точке х = хо значение векторного поля А является касательный
вектор АХо е ТХо(М), такой что AXof = (Af)(x0). С этой
124 Глава 2
точки зрения векторное поле, ^заданное в открытой облас-
области U С М, задает отображение A: U -»¦ Т(М), такое что ком-
композиция ро А является тождественным отображением на U.
Такие отображения называют сечениями расслоения Т(М).
В локальных координатах х -»¦ {t*(x)} векторные поля
имеют вид дифференциальных операторов первого порядка
и действуют на функции f(x) G C°°(U) по формуле
Координатное представление векторного поля в виде A.9) лег-
легко получить, исходя из того, что его значение в каждой точке
является касательным вектором. Функции а*(ж) = A(tl(x))
являются координатными функциями векторного поля А.
Линейное пространство гладких векторных полей на мно-
многообразии М будем обозначать через У(М). В этом простран-
пространстве естественно определена операция левого умножения на
функции, то есть пространство !?(М) является левым мо-
модулем над алгеброй гладких функций ССО{М)'. Пространст-
Пространство !?{U) векторных полей, заданных в области U С М, яв-
является левым модулем над алгеброй C°°(U). Векторные по-
ля Xi — -^т(ж), как видно из формулы A.9), составляют базис
dt%
этого модуля.
Так как векторные поля — это отображения простран-
пространства С°°(М) в себя, то определено произведение векторных
полей как композиция отображений, а также их коммута-
коммутатор: [A, B]f = A(Bf) — B(Af). Относительно этой операции
пространство У{М) является бесконечномерной алгеброй Ли.
В локальных координатах векторное поле С, являю-
являющееся коммутатором векторных полей А — ^2аг(х)—j-—
A.10)
и В = J2bl(x)—Q—, имеет вид
,• dt\x)
§ 1. Элементы анализа на многообразиях 125
Линейной дифференциальной формой A-формой) называ-
называют непрерывное /-линейное отображение пространства &(М)
в пространство функций С°°(М). /-Линейность дифференци-
дифференциальной формы а означает, что
) = fia(A) + f2a(B),
Очевидно, что в каждой фиксированной точке х = хо
дифференциальная форма а задает линейную функцию
а*о ? Т*О(М)' такую что аХо(АХо) - а(А)(х0). Поэтому диф-
дифференциальную 1-форму в открытой области U С М можно
определить как гладкое отображение
для которого композиция р* о а является тождественным ото-
отображением на U. Другими словами, 1-формы являются сече-
сечениями расслоений Т*(М).
Пространство дифференциальных 1-форм на М обознача-
обозначают через А1(М). Очевидно, что А1(М) является левым моду-
модулем над С°°(М), a A1(f/) является левым модулем над C°°(U).
Пусть (U, ф) — некоторая локальная карта на М. Как отме-
чалось, векторные поля Xi = —?— образуют базис левого
dt'(x)
модуля y(f/). Дуальный базис в A1(f/) образуют формы вг,
для которых
(
Любая форма a G A1(f/) в этом базисе имеет вид
*(*)**• "*(*) е С7°°(М).
Дифференциальной формой степени к (к-формой) на-
называется /-полилинейное кососимметрическое отображение
к экземпляров пространства У(М) в пространство функ-
функций С°°(М). В каждой фиксированной точке х = xq диффе-
дифференциальная форма и> степени к задает полилинейную фор-
126 Глава 2
МУ wxoi являющуюся элементом внешней алгебры касатель-
касательного пространства ТХо(М): шХо 6 Ак(ТХо(М)) и для которой
шХо(АХо,ВХо, ...)= ш(А, В,... )(х0).
Поэтому дифференциальную fc-форму можно определить как
гладкую функцию, ставящую в соответствие точке многооб-
многообразия элемент внешней алгебры, или, более строго, как глад-
гладкое отображение
w:M-> U Л»(ТХ(М)),
х€М
где U Лк(Тг(М)) — расслоение внешних fc-форм над много-
образием М.
В пространстве дифференциальных форм естественно
определена операция внешнего умножения как антисимметри-
антисимметризация тензорного произведения форм. Относительно этой опе-
операции дифференциальные формы образуют градуированную
алгебру Грассмана, обозначаемую через Л(М):
Л(М) = Л°(М) ф А1(М) ф ... ф ЛП(М),
где Л°(М) = С°°{М).
Внешнее дифференцирование. Определим в. градуи-
градуированной алгебре Л(М) линейное отображение d: Л*(М) ->
—>• Л*+1(М), повышающее степень дифференциальной формы
и являющееся антидифференцированием в этой алгебру. По-
Последнее означает, что для а € Л*(М) и /3 € Л(М) имеем
d(a A/3) = da AP+(-l)ka A d/3. A.11)
Дифференциальная форма da = d(a) — это форма степени fc+1,
значения которой на векторных полях А\, А2,... ,-Afc+i вы-
вычисляются по формуле
da{A1,A2,... Дк+1) =
t=i
х
A.12)
§ 1. Элементы анализа на многообразиях 127
где штрихи возле некоторых аргументов формы а означают,
что эти аргументы следует опустить. Рассмотрим несколько
частных случаев.
1. Пусть к = 0. Тогда Л°(М) = С°°(М) и согласно A.12)
имеем
df(A) = Af(x). A.13)
"
~ г)
В локальных координатах, когда А = ? а1 (ж)—"—, имеем
i=i ей'(ж)
1=1
В частности, если подействовать оператором d на координат-
координатные функции tl(x), то получим формы dt1, канонически сопря-
сопряженные с векторными полями Хг = d/dtl(x). Действительно,
согласно A.13) имеем dt%(Xj) = Xjtx{x) = 5]. Таким образом,
dtl = в1, то есть формы {dt1,dt2,...,dtn} образуют базис мо-
модуля A1(f7). Совместно с функциями / <Е C°°{U) они порожда-
порождают алгебру A(f/). Любая дифференциальная форма w € Ap(f7)
представляется в виде
Ш= Yl "iii*~iPdtil А dft2 А " •" А dti"' "W..ip 6
2. Пусть к = 1 и а е А1(М). Согласно A.12) имеем
da{Ai,Ai) = Aia(A2) - Aia(A~i) - a{[Al,A2\). A.14)
В локальных координатах, когда а = J^aj<ftl, для базисных
i
векторных полей Xi имеем
3. Пусть к = 2 и ш е Л2(М). Согласно A-12) имеем
А2,Л3) = Л1о;(Л2, А3) + А2и(А3, Ах) + A3w(A1,A2) -
-w([A1,A2],A3)-oj{[A2,A3],Ai)-oj([A3,A1],A2). A.15)
128 Глава 2
В локальных координатах, когда w = ? Wijdt1 f\dP', для базис-
ных векторных полей X,- получаем
Из формулы A.12) вытекает соотношение A.11) (доста-
(достаточно доказать его в случае, когда а 6 Л1(М), и для функ-
функций / 6 C^iM)) и важное свойство нильпотентности опе-
оператора d: d2 = 0. Соотношение A.11), свойство нильпотент-
нильпотентности и правило действия на скалярную функцию A.13)
однозначно определяют оператор d.
Операция свертки с векторным полем. Определим
на Л(М) линейное отображение тд, зависимое от вектор-
векторного поля и понижающее степень формы: т^: Л*(М) -»
-»¦ Л*=-1(М). Если w e Л*(М), то
(тди)(А1,А2,... Лк-i) =си(А,А1,А2,... ,;4j.-i).
Для / е Л°(М) положим rj/ = 0. Действуя на линейную фор-
форму а е Аг(М), оператор г^ переводит ее в функцию rja =
= а(Л)(ж). В частности, r^d/ = df(A) = (Af)(x).
Оператор г^ называют оператором свертки с векторным
полем. Его характеристической особенностью является пра-
правило действия на внешнее произведение двух дифференциаль-
дифференциальных форм:
тА{а Л /3) = (тАа) Л/3+ (-1)*а Л {тл0),
где к — степень формы а. Очевидным является свойство ниль-
нильпотентности оператора гА: (г jJ = 0, вытекающее непосред-
непосредственно из определения.
1.5. Интегральные кривые и потоки векторных
полей. Гладкое векторное поле А на многообразии М в каж-
каждой локальной карте определяет автономную динамическую
систему уравнений первого порядка, а именно,
Щ = АГ(х) = а*AЧх),1?(х),...,ГЧх)). A.16)
jj 1. Элементы анализа на многообразиях 129
Решение этой системы с начальным условием t*(ar)|T=o =
= tf(xo) определяет гладкую кривую г -» х(т), проходя-
проходящую через точку х0 и заданную набором координатных функ-
функций {t1(x(r)),i^(x{T)),... ,tn{x(r))). Касательными вектора-
векторами к этой кривой при различных г е [а,Ь] С К являются
значения векторного поля А(х(т)). Такую кривую называют
интегральной кривой (или траекторией) векторного поля А.
Векторное поле на многообразии является глобальным
объектом. При определенных условиях глобальный смысл
можно придать и его интегральной кривой, гладко сшивая ре-
решения систем типа A.16), определяющие интегральную кри-
кривую в различных локальных картах. Процедура построения
глобальной траектории векторного поля базируется на неко-
некоторых свойствах решения системы A.16), сформулированных
в следующей теореме.
Теорема 1. Пусть А — векторное поле на М. Для любой
точки хо ? М существует такая окрестность U этой точки
и е > 0, что
(а) существует единственное решение системы A.16) для
всех т 6 [—е,е], которому соответствует гладкая кри-
кривая т —>• х(т), проходящая через точку Xq = х@);
(б) определена однопараметрическая семья диффеоморфиз-
диффеоморфизмов Фт: U -)¦ М, для которой Фо(жо) = хо, Фт(ФДя)) =
= ФТ+<Т(х), если \т\ < е, \а\ < е и \т + а\ < е, а х(т)
и Фо.(ж(г)) принадлежат окрестности U.
Доказательство. Утверждение (а) является прямым
следствием стандартной теоремы о существовании едино-
единого решения системы обычных дифференциальных уравне-
уравнений в пространстве Шп. Поскольку на многообразии коор-
координатное отображение <р: U —> Ж" является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом, то функции -г -» {tx{T),t2(T),... ,tn(r)} (являющиеся
решениями системы A.16) с начальным условием {?'@)} =
= (р(хо)) являются координатами кривой г —> х(т) =
= y?~(t1(-r),t2(-r),-.. ,tn(-r)), проходящей через точку х0.
Для упрощения будем говорить, что кривая г -»¦ х(т) являет-
является решением системы A.16).
130 Глава 2
Решения системы A.16) гладко зависят от начальных
условий. Поэтому соответствие хо —> х(т) при каждом фик-
фиксированном г можно рассматривать как гладкое отобра-
отображение окрестности U в себя. Обозначим это отображение
через Фх: Фх(жо) = х(т). Ясно, что Фо — тождественное ото-
отображение. Рассмотрим кривую г —> Фт(Фсг(жо)), являющую-
являющуюся решением уравнения A.16) с начальным условием х@) =
= Фст(ж0). Кривая т -» Фт+<т(х0) также является решени-
решением этой системы уравнений с тем же начальным условием.
Если \т\ < е, |ег| < е и \т + ег| < е, то вследствие един-
единственности решения имеем Фт(Ф(Т(хо)) = Фт+<т(хо)- Ясно
также, что Фст(Ф-г(ж0)) = Ф<т+Т(хо)- С этих правил ком-
композиции вытекает, что Ф_х = Ф, то есть отображение
Фх: U —>• U является диффеоморфизмом. Теорема доказа-
доказана.
Семейство отображений Фт: U —> U, \т\ < е, называ-
называют локальным потоком векторного поля А. Локальную кри-
кривую г -> х(т) можно продолжить за пределы исходной
окрестности U, применяя теорему существования и единст-
единственности решений в окрестростях точек ха = х(та), которые
могут принадлежать пересечениям U П Ua. Продолжая этот
процесс насколько возможно, получаем семейство отображе-
отображений Фт-, действующих в области D С М и г е (а,Ь) э (-е,е)-
Поток Ф-г называют максимальным, если он не является су-
сужением некоторого потока того же векторного поля, опреде-
определенного в более широкой окрестности U' D D и при больших
значениях |т|.
Однопараметрической группой гладких преобразований
многообразия М называют семейством диффеоморфиз-
диффеоморфизмов Фт: М -> М, определенных при всех значениях г € К
и такую, что
(а) отображение Ф: ffi х М —> М, переводящее пару (г, ж)
в Фт(ж), является бесконечно дифференцируемым по
обеим аргументам;
(б) Ф-г+,7 = ФтоФг = ФгоФт при всех г,сг е Ж;
(в) Фо — тождественное отображение.
§1. Элементы анализа на многообразиях 131
Однопараметрическая группа преобразований порожда-
порождает векторное поле Лф на многообразии М, определяемое
формулой
dr
т=0
Поле Лф называют генератором или инфинитезимальным по-
порождающим оператором однопараметрической группы Фт. Ес-
Если для некоторого векторного поля л его локальный поток Фт
удается расширить до однопараметрической группы гладких
преобразований многообразия М, то говорят, что существует
глобальный поток. Это не всегда возможно.
Задача 1. Покажите, что для векторного поля А = х2 — на прямой
ох
глобального потока не существует.
Задача 2. Докажите, что гладкое векторное поле на компактном
многообразии всегда является генератором однопараметрической группы
преобразований.
1.6. Поведение векторных полей и дифференци-
дифференциальных форм при диффеоморфизмах. Пусть Ф — диф-
диффеоморфизм многообразия М в себя или в другое многообра-
многообразие N. Каждый такой диффеоморфизм индуцирует линейное
отображение ЮФ касательных пространств:
Г>Ф:Гго(М)->ТФ(го)(ЛГ),
называемое дифференциалом отображения Ф. Если АХо — ка-
касательный вектор к кривой т ->• х(т) в точке х0 — х@) е М,
то БФ-АХо = Ау0 — касательный вектор к кривой г ->¦ у(т) =
= Ф(ж(т)) в точке J/0 = Ф(?о) € N, то есть
(D* ¦ Axo)f(y) = A^fWx)). A.17)
В локальных координатах х -»¦ {t1(x),i2(x),... ,tn(x)}
в окрестности UXo С М и в локальных координатах у ->
-> {^Ы.^Ы,—.«""(»)}, У € U'ya С N, формула A.17)
132 Глава 2
имеет вид
т п
¦??•4
Ъ) df(y) \
V=VO
то есть координаты касательного вектора Л*о выражаются
через координаты вектора АХо по формуле
х=х0
хорошо известной в классическом векторном анализе.
Векторные поля А и В, заданные на многообразиях М
и N = Ф(М), соответственно, называются Ф -связными (пи-
(пишут В — Аф), если значение поля В в любой точке у =
= Ф(ж) <Е Л^ получается из значения поля А в точке х <Е М
отображением Х)Ф, то есть
А%(х) = ВФ{Х) = ЮФ-АХ или (В/)(Ф(я)) = 1(/-Ф)(ж). A.18)
Если Ф — отображение многообразия М в себя, то форму-
формулы A-18) описывают связь значений векторного поля в раз-
различных точках.
Утверждение 1. Если Ф — гладкое отображение мно-
многообразия М в многообразие N (или в себя) и АХ,А2 € ??{М),
А*,А% еУ(ЛГ), то
A2]. A.19)
Доказательство. Согласно формуле A.18)
Af(A*f№x)) = A*(A*f о Ф){Х) = MMf о
откуда
([if, Л»]/)(Ф(х)) = [Ii, А2](/ о Ф){х).
§ 1. Элементы анализа на многообразиях 133
Воспользовавшись определением A-17) дифференциала ото-
отображения Ф, получаем конечный результат:
Утверждение доказано.
Пусть далее Ф — диффеоморфизм многообразия М в себя.
Сопоставим ему линейное преобразование тг(Ф) в пространст-
пространстве С°°(М), действующее по формуле
п(Ф)Пх) = №(х)). A.20)
Если Ф = Фт — локальный поток некоторого векторного по-
поля В, то согласно определения имеем
в =
ат
Векторные поля являются линейными операторами в С°°(М).
Поэтому линейный оператор A.20) индуцирует преобразова-
преобразование подобия в пространстве ?Г(М), обозначаемое через я\»(Ф).
Если А ? ?Г{М), то
тг*(Ф) • А = 7г(Ф) о Л о я^Ф).
Если Фг — локальный поток векторного поля В, то опе-
оператор
в dr
т=0
называют производной Ли в пространстве векторных полей.
Легко показать, что
Линейные дифференциальные формы — это отображения
пространства Е?{М) в пространство функций С°°(М). Поэто-
Поэтому оператор тг*(Ф) в пространстве Аг(М) имеет вид
134 Глава 2
то есть форма а* = тг*(Ф)а действует на векторное по-
поле A ? !?(М) согласно формуле
аф(Л)=тг(Ф)а(тг,(ф-1)Л).
Эта формула распространяется на формы произвольной сте-
степени. Если и) Е Ак(М), то
(п*(Ф)ч>)(А1,А2,...,Ак) =
= ^(ФММФ-1)^, • • • , МФ-1)^). A-21)
Оператор <Г- =
называют производной Ли в про-
в dr
т=0
странстее к-форм. Легко показать, что
u А2,... , Ак) = Вы(Ах, А2,... , Аи) -
к ~ ~ ~ ~
. A-22)
В градуированной алгебре Л(М) оператор if- является
дифференцированием степени 0. Это значит, что
Л и>2) = ^fiw! Л и>2 + wi Л ^?~ai2. A.23)
Свойство A.23) вытекает непосредственно из определения
производной Ли в пространстве дифференциальных форм.
Для применений полезной является формула, связываю-
связывающая оператор !?%, с оператором внешнего дифференцирования
в
и оператором свертки:
5Гш = тёА + &гё. A.24)
Справедливость этой формулы достаточно проверить на
функциях и линейных формах. Ее распространение на формы
высших степеней осуществляется с помощью формулы A.23).
Для / е С°°(М) имеем с одной стороны ??^f = Bf, а с дру-
другой — Tg/ = 0, (-rgd)/ = Tgd/ = Bf. Таким образом, соот-
соотношение A.24) выполняется в пространстве функций.
§ 1. Элементы анализа на многообразиях 135
Пусть а е АХ(М). Тогда
((rgd + dTS)a)(A) = da(B, A) + d{a{B)){A) =
Таким образом, соотношение A.24) выполняется в простран-
пространстве линейных форм.
1.7. Интегрирование дифференциальных форм.
Для начала определим интеграл от линейной формы a ? Л1(М)
вдоль кривой т —> х(т), т ? [0,1]. Будем считать, что кри-
кривая, пробегая все свои точки, не выходит за пределы локаль-
локальной карты (U, ф). С кривой будем ассоциировать касательное
к ней векторное поле Ах(т), имеющее в локальных координа-
координатах х -> {?'(ж)} вид
~ ^dt'(x(r)) д
Разобьем отрезок [0,1] точками т0 = 0,т\,т2,... ,глг, на бо-
более мелкие отрезки Д* = [Tk,Tk+i] и каждый из них со-
сопоставим с касательным вектором Ак = \&к\Ах(тку Фор-
Форма а = Y^Gii^dt1 принимает на этом векторе значение
т=тк
где ?!(т) = *1(ж(т)). Составим сумму
N п
т=тк
являющуюся интегральной суммой для гладкой функции
f(r) =a(Ax{T)) =.^а.(а;
136 Глава 2
Естественно определить интеграл от форм а вдоль кри-
кривой т -> х(т) как границу интегральной суммы A.25):
Г N }
J a= Vha^ $>(Л*) = J ^Ах{т))йт. A.26)
fc=0
х(т) |Д*|-+0 fc=0 О
Для определения интеграла от линейной формы вдоль
кривой, значения которой выходят за пределы одной карты,
необходимо рассмотреть отрезки кривой т -> х(т) в пределах
отдельных карт. Если {ха(т)} = {ж(т)|т е [0,1]} П [/„, то
отрезком кривой будем называть отображение а —> xa(cr) ?
? {ха(т)}, a ? [0,1]. Проведя интегрирование в пределах каж-
каждой карты согласно формуле A-26) и сложив результаты, по-
получим интеграл вдоль кривой т —> х(т).
Перейдем к построению интеграла от &-формы по fc-мер-
ным подмножествам в многообразии М. При построении мно-
многомерного интеграла в роли элементарной области интегриро-
интегрирования удобно брать так называемый fc-мерный сингулярный
куб. Сингулярным к-кубом называют гладкое отображение Фк
прямого произведения к единичных отрезков [0,1]с1в мно-
многообразие М:
Фк: 1к -> М, 1к = {(Т1,та>... ,тк) е Шк\0 ^ п ^ 1}.
Через каждую точку х € Фк{1к), принадлежащую образу
отображения Фк, проходит пучек кривых
т ->жт(т) = Фк(т1,т2,... ,тт_ьтт + т,тт+1,... ,тк),
m = 1,2,... , к.
Каждой кривой этого пучка соответствует векторное поле
Amf = AXm{T)f = ^ I dT I \щ^\
*=1 \ / T=0 \ V '/ X=Xm(O)
A.27)
Интеграл от fc-форм u> по сингулярному кубу ФкAк) ес-
естественно определить как fc-кратный интеграл от функ-
функции и(А1,А2,... ,Ак):
/г ~ ~ ~
о» = / и)(АиА2,... , Ак)йтхйт2 ...йтк,
где поля Ат, 7тг = 1,2,... , к, определены формулой A.27).
§ 1. Элементы анализа на многообразиях 137
Если
^2 i h A...Adtik,
«1<«2< —<•*
TO
«1<«2<<»*
**(/*) «1<«2<—<»*/*
A.28)
/Vv..,tffc\
где символ I ~ —¦ I означает один из миноров матри-
матрицы Якоби отображения Фк. Формула A.28) используется для
вычисления интегралов от fc-форм.
1.8. Когомологии де Рама. Дифференциальные фор-
формы, для которых dui = 0, называют замкнутыми. Множес-
Множество замкнутых форм степени к обозначают через Zk(M).
Дифференциальные формы, полученные дифференцировани-
дифференцированием форм низших степеней, называют точными формами. По-
Поскольку d2 = 0, то каждая точная форма замкнута. Простран-
Пространство точных форм степени к на многообразии М обозначают
через Вк(М).
Если две замкнутые дифференциальные формы фиксиро-
фиксированной степени отличаются на точную форму, то говорят, что
они принадлежат к одному когомологическому классу. Мно-
Множество классов когомологически эквивалентных дифферен-
дифференциальных форм степени к образуют абелеву группу отно-
относительно сложения, обозначаемую через Нк(М) и называе-
называемую к-й группой когомологии де Рама многообразия М:
Hk{M) = Zk(M)/Bk(M).
п
Множество Н*(М) — ф Н (М) называют кольцом когомоло-
fc-o
гий де Рама. (Структура кольца возникает за счет операции
внешнего умножения дифференциальных форм.)
Группы когомологии де Рама — важные топологичес-
топологические характеристики гладких многообразий. Нетривиальность
этих групп означает, что многообразие существенно отлича-
отличается от евклидового пространства.
138 Глава 2
В открытых областях пространства R" существуют за-
замкнутые формы, не являющиеся дифференциалами от форм
меньшей степени. Известным примером является следующая
форма степени п:
п+1
x dt1 Л ... Л dt1'1 Л dti+1 Л ... Л ?Un+1,
определенная в пространстве Мп+1\{0}. Эта форма инвари-
инвариантна относительно ортогональных преобразований из груп-
группы О(п + 1) и при сужении на сферу Sn пропорциональна ин-
инвариантной форме объема на Sn.
Классическая лемма Пуанкаре — это утверждение о три-
тривиальности групп когомологий всего пространства Шп или его
открытых звездных областей. Напомним, что открытое мно-
множество U в Ж" называется звездным относительно точки О,
если вместе с точкой х оно содержит весь отрезок Ох.
Лемма Пуанкаре. Каждая замкнутая дифференциаль-
дифференциальная форма на открытом звездном множестве в Шп является
точной.
Доказательство базируется на свойствах оператора П,
отображающего пространство Ак (Шп) в пространство Л* (Шп)
и имеющего вид
Лш(х) = к I
где Tjr — оператор свертки с векторным полем X — ^х'-^-т.
j ox
Оператор П можно определить только в звездной области (или
во всем пространстве Шп) и для него выполняется соотноше-
соотношение
d(Uu>) + H(dw) — w,
откуда для замкнутых форм имеем d(Hu)) = и), то есть каждая
форма и> является дифференциалом от формы IIw.
§ 2. Группы Ли. Матричные группы 139
§ 2. Группы Ли. Матричные группы
2:1. Определение групп Ли. Группой Ли (вещест-
(вещественной или комплексной) называют группу G, элементами
которой являются точки аналитического многообразия (ве-
(вещественного или комплексного соответственно), а групповые
операции (операция умножения и операция взятия обратного
элемента) согласуются с аналитической структурой. Послед-
Последнее означает, что задающее групповое умножение отображе-
отображение f:GxG-*G, где f(gi,g2) = gig2, а также отображе-
отображение j: G —>¦ G, где j(g) = g~*, являются аналитическими ото-
отображениями.
Пусть G — вещественная группа Ли. Поскольку G — мно-
многообразие, то это означает, что каждому элементу g G G со-
сопоставляется набор параметров — локальных координат точ-
точки g:
Параметры tl(g), i = 1, 2, ... , п принимают значения в неко-
некоторой окрестности D пространства Кп, если элемент g пробе-
пробегает открытую окрестность U в группе G. Окрестность U С G
вместе с гомеоморфным отображением ip: g -> {tl(g)} образу-
образуют локальную карту на группе G.
При наличии локальных координат аналитичность груп-
групповой операции означает аналитичность координат произве-
произведения двух элементов относительно координат множителей,
а также аналитичность координат элемента g~x относительно
координат {t%(g)}, то есть аналитическими являются функции
= f(t4gi),t2(gl),... ,tn(gl);
рассматриваемые как функции многих вещественных пере-
переменных.
Примером локальной параметризации группы Ли являет-
является параметризация группы SO(B) углами Эйлера, приведенная
140 Глава 2
в § 3 гл. 1. В этом случае отображение <рх ортогональной мат-
матрице g — (gkj) € SOC), в которой |^зз| Ф 1» сопоставляет три
угла Эйлера:
1-Sf:
зз
Другая локальная карта (С^Уг) обслуживает окрест-
окрестность единицы группы SOC):
при этом cos#'=g32, cos<p'= g22 , ros?// = g33 . 06-
V1 -g32 V1 ~ S32
ратное отображение (p^1 сопоставляет набору углов {<р', в', ф'}
матрицу
/cos ip'
ё{<р',в',ф') = sinV'
V О
О
cos в' -
sin в' cos 0'
Связь параметров {(р',в',ф'} с углами Эйлера в общей области
определения осуществляется аналитическими функциями.
Очевидно, что группы Ли являются топологическими
группами и благодаря локальным гомеоморфизмам tp они
несут на себе локально-компактную топологию пространст-
пространства К". Поэтому все факты о топологических группах, изло-
изложенные в §4 гл. 1, относятся и к группам Ли.
2.2. Матричные группы Ли. Большой класс групп
Ли составляют группы линейных преобразований векторных
пространств. Если в пространстве зафиксирован базис, то
линейные преобразования, являющиеся элементами той или
иной группы, задаются невырожденными матрицами. Отдель-
Отдельные примеры матричных групп рассмотрены в гл. 1. Здесь мы
значительно расширим этот список, рассмотрев, в частности,
§ 2. Группы Ли. Матричные группы 141
полную линейную группу, ортогональные, псевдоортогональ-
псевдоортогональные, унитарные и симплектические группы.
2.2а. Полная линейная группа. Множество невы-
невырожденных линейных преобразований n-мерного веществен-
вещественного пространства Vr образует группу GL(Vr), изоморфную
вследствие существования базиса, группе GL(n, Ж) невырож-
невырожденных вещественных матриц порядка п. Группа GL(n,M)
является открытым подмножеством в пространст-
пространстве Mat (n, Ш) ~ Шп и состоит из двух открытых областей,
в одном из которых определитель матриц g ? GL(n, К) по-
положителен, а в другой — отрицателен. Матричные элемен-
элементы матрицы g — ее естественные локальные координаты,
определенные на всей группе GL(n, Ш). С этой точки зре-
зрения GL(n, Ж) — тривиальный пример аналитического много-
многообразия. Операция умножения матриц определяет структуру
группы Ли на нем, поскольку матричные элементы произве-
произведения матриц являются билинейными функциями от матрич-
матричных элементов сомножителей, а матричные элементы обрат-
обратной матрицы — рациональными функциями.
Аналогично определяется группа GL(n, С), являющаяся
комплексной группой Ли, то есть комплексно-аналитическим
многообразием с соответственно согласованной групповой
операцией.
2.26. Ортогональная группа. Группа 0{п) определе-
определена в главе 1 как топологическая группа и алгебраическое мно-
многообразие, заданное в пространстве Mat (n, Ш) системой соот-
соотношений ортогональности
О(п) = {g<E Mat(n,m\grg= e}, B.1)
где е — единичная матрица.
Покажем, что О(п) является компактной группой Ли, то
есть что алгебраическое многообразие B.1) является компакт-
компактным аналитическим многообразием и операция умножения
матриц согласована с аналитической структурой. Параметри-
Параметризуем окрестность единицы группы О(п) с помощью отобра-
отображения Кэли [54]:
\ B.2)
142 Глава 2
Такое отображение существует для тех матриц g, для которых
det (e+g) ф 0. Такие матрицы составляют окрестность Ue еди-
единицы группы О(п). Образом ортогональной матрицы при ото-
отображении B.2) является кососимметрическая матрица. Дей-
Действительно,
tT(g) = (е
Кроме того, е + t(g) = е + (е — g)(e + g)~* = 2(e + g)~x, отку-
откуда следует невырожденность матрицы e + t(g), а следователь-
следовательно, существование обратного отображения tp~x: t(g) —>¦ g =
= (е — t(g))(e + tig))'1. Таким образом, tp является гомео-
гомеоморфизмом окрестности Ue С О(п) на открытое множество
пространства кососимметрических матриц. Локальными ко-
координатами элемента g ? Ue являются матричные элемен-
элементы ttj(g) матрицы t(g) — параметры, принимающие значения
в открытой области пространства jjm(m-1)/2. бсли g1 g [/e,
то образуем окрестность U' = g4Je и определим гомеомор-
гомеоморфизм у?': U' -> шт(т-1)/2, такой что
= 4>ig) = t(g), g?Ue. B.3)
Таким образом параметризуем любую окрестность, не являю-
являющуюся окрестностью единицы, а следовательно, и всю группу.
Нетрудно показать аналитическую согласованность коорди-
координат B.3) при разных g1. Операция умножения ортогональных
матриц согласована с аналитической структурой на многооб-
многообразии О(п) вследствие тех же рассуждений, что и в случае
группы GL(n, К).
Групповое многообразие О(п) определено как замкнутое
множество в линейном пространстве Mat(n, К). Если скаляр-
скалярное произведение определим как
(gi,g2) - Тг g!g?, gug2 € Mat (n, К),
то пространство Mat (п, Ш) принимает структуру евклидового
пространства, изоморфного Еп . Поскольку для ортогональ-
ортогональных матриц имеем Тг gg7 = п, то группа О(п) является за-
замкнутым подмножеством на сфере Sn -1 С Еп радиуса у/п
и поэтому компактным многообразием.
§2. Группы Ли. Матричные группы 143
2.2в. Псевдоортогональная группа О(р, q). Если
в вещественном пространстве Vr скалярное произведе-
произведение .В(х, у) не положительно определенно и в каноническом
базисе ei,e2,..- ,е„ имеем B(ei,ej) = bij, где
В = (bij) = diag A,1, -.. , 1,-1,-1,...,-!), p + q = n,
v я
n
то -B(x, y) = X^ bijx'yi и естественным образом определяет-
определяется псевдоортогональная группа О(р,q):
) = {g<E Mat(n,R)\gTBg= В}. B.4)
Как и в случае ортогональной группы, имеем det g = ±1
для g € O(j>, q). Преобразования с единичным определителем
образуют инвариантную подгруппу индекса 2, обозначаемую
через SO(p,q).
Отображения B.2) распространяются на матрицы
g € O(p,q) и осуществляют гомеоморфизм окрестности Ue =
= {g € О(р, q) | det (e + g) Ф 0} на открытое подмножество
матриц t(g), удовлетворяющих условию ^-симметричности
tT(g)B = -Bt(g). B.5)
Матричные элементы матрицы t(g) являются локальными па-
параметрами в окрестности Ue С O(p,q). Аналитичность много-
многообразия О(р, q), а также согласованность операции умножения
матриц с аналитической структурой доказываются по той же
схеме, что и в предыдущем случае.
2.2г. Симплектическая группа Sp(n, M). Пусть
в вещественном пространстве Vr = V^n четной размернос-
размерности 2п задана невырожденная кососимметрическая билиней-
билинейная форма П(х,у), то есть такая, что П(х,у) = —Щу,х). (Ее
иногда называют кососкалярным произведением.) Простран-
Пространство Уд" вместе с формой П(х,у) называют линейным сим-
плектическим пространством.
В случае евклидового пространства существует орто-
нормированный базис, в котором скалярное произведение
144 Глава 2
принимает каноническую форму. Аналогичное утвержде-
утверждение, известное под названием теоремы Дарбу, имеет место
и для линейного симплектического пространства.
Симплектическим базисом пространства Vjj" называют
набор In векторов е^ ,е\ , i = 1,2,... ,щ для которых
П(в«,вМ) = ЩеР,е«>) = 0, fi(ef ,ef) = 6ij.
Другими словами, каждый вектор симплектического базиса
косоортогонален ко всем базисным векторам кроме одного,
с которым он канонически сопряжен. В симплектическом ба-
базисе кососкалярное произведение имеет вид
П(х,у) = ? J^zy, J = (Jij) = ( °п 1п) , B.6)
Ti V-1" °"/
где 1„ и 0„ — единичная и нулевая п х п матрицы, соответ-
соответственно.
Линейные преобразования пространтсва V^n, сохраняю-
сохраняющие кососимметрическое скалярное произведение П(х, у), на-
называют симплектическими преобразованиями. Они образуют
группу, называемую симплектической. Ее обозначают че-
через Sp(VJin). Существование симплектического базиса позво-
позволяет изоморфно отобразить пространство V^n в R2n, а груп-
группу Sp{V^n) в матричную группу Sp(n, Ж):
Sp (n, Ж) = {g <E Mat Bn, R) | g7' Jg = J}, B.7)
называемую вещественной линейной симплектической груп-
группой.
Утверждение 1. Определитель матрицы g E Sp(n, Ш.)
равен единице.
Доказательство. Образуем кососимметрическую фор-
форму ш = CtACtA...Ail, являющуюся n-кратной внешней степе-
степенью билинейной кососимметрической формы П. Размерность'
пространства кососимметрических форм максимального ран-
ранга в пространстве V^n равна единице. Поэтому
w(xi,x2,... ,x2n) =cA(xi,x2,... ,х2п),
§ 2. Группы Ли. Матричные группы 145
где с — константа, а А — кососимметрическая форма объема,
принимающая на векторах xi,X2,... ,х2п значения
A(xi,x2,-.. ,x2n) = det
При линейных преобразованиях пространства х —»gx.,
g G Sp (n, Ш), имеем
X(gx1,gx2,... ,gx2n) = (det g)A(xi,x2,... ,x2n)-
Если преобразование g симплектическое, то оно сохранает
форму U, а следовательно, и форму ы. Поскольку формы w
и А пропорциональны, то
c(det g-)A(xl5х2,... ,х2п) =
= w(xi,x2,... ,x2n) =сА(хьх2,... ,х2п),
откуда следует, что det g = 1. Утверждение доказано.
Вещественная симплектическая группа Sp (n, Ш) являет-
является группой Ли. Действительно, параметризация окрестности
единицы Ue = {g e Sp (n, Ш.) \ det (е + g) Ф 0}, как и в преды-
предыдущем случае, осуществляется с помощью отображения Кэ-
ли B.2). Образ этого отображения t(g) принадлежит линейно-
линейному пространству матриц, для которых выполняются соотно-
соотношения
tT(g)J = -Jt(g). B.8)
Матричные элементы Uj(g) матрицы t(g) являются локальны-
локальными координатами в окрестности Ue С Sp(n, Ш). Доказатель-
Доказательство аналитичности многообразия Sp (n, Ж) и аналитичности
групповых операций осуществляется по предыдущей схеме.
2.2д. Унитарная группа U(n). Пусть в комплексном
линейном пространстве Vc = Vg задано эрмитово скалярное
произведение, то есть «полуторал иней ная» комплекснозначная
форма Н(х,у), такая что
а) Щах, 0у) = аДЯ(х, у), а, C 6 С,
146 Глава 2
б) Я(х~у7 = Я(у,х),
в) Я(х,х) > 0, если х ф О.
Пространство У<?' B котором задана форма Я(х,у), на-
называется эрмитовым или унитарным. В таком пространст-
пространстве существует ортонормированный базис ei,ег,. -. , еп, такой
что Я(е,-,ел) = Stj. В этом базисе эрмитово скалярное про-
произведение имеет канонический вид: Я(х, у) = ^2SijXlyL Ли-
нейные преобразования пространства V?, сохраняющие эрми-
эрмитово скалярное произведение, образуют группу U(V?), назы-
называемую унитарной группой пространства V?- При фиксации
базиса пространство Vg изоморфно отображается в простран-
пространство С™, а группа U(Vg) — в матричную группу
Щп) = {и е Mat (n, С) | и* и = е}, B.9)
где и* = пТ. Очевидно, что | det и\2 = 1 для и е U(n).
Специальная унитарная группа SU(n) состоит из унитар-
унитарных матриц с единичным определителем. Она является инва-
инвариантной подгруппой в U(n), причем U(n)/SU(n) ~ U(l).
Группа U(n) является компактной группой Ли. Это не-
непосредственно вытекает из определения этой группы. Дейст-
Действительно, если в пространстве Mat(n,C) определить эрми-
эрмитово скалярное произведение H(gi,g2) = Tr gigfc, то легко
видеть, что группа U(n) — замкнутое подмножество на сфе-
сфере 52n -1 = {g ? Mat (и, С) | Tr gg* = n) в этом пространстве,
а поэтому является компактным множеством.
То, что U(n) — группа Ли, можно доказать многи-
многими методами. Один из простейших — воспользоваться ото-
отображением Кэли. Образ отображения Кэли унитарной мат-
матрицы является антиэрмитовой матрицей. Действительно,
если g e U(n), то
Г (и) = (е + и*)-\е - и*) = (е - «"^««-^е + и'1)-1 =
= (и - е)(е + и) = -t(u).
Как и в случае ортогональных матриц, det (е + t(u)) ф О,
а поэтому существует обратное преобразование t —> u(t) =
§ 2. Группы Ли. Матричные группы 147
= A — t)(l + t)~x. Таким образом устанавливается гомеомор-
гомеоморфизм окрестности единицы Ue = {и 6 U(n) | det (e+t(u)) ф 0}
на открытое множество линейного пространства антиэрмито-
антиэрмитовых матриц, имеющего размерность п2. Локальными коорди-
координатами матрицы и б Ue являются матричные элементы tij(u)
матрицы t(u).
Заметим, что доказательства того, что матричные груп-
группы 0(n), O(p, q), Sp(n, Ш.) и U(n) являются группами Ли,
есть по существу иллюстрация к фундаментальной теореме
Картана:
Теорема Картана. Если подмножество С некоторой
группы Ли G является одновременно группой и замкнутым
подмножеством топологического пространства G, то G' —
евклидово подмногообразие в G, а следовательно, замкнутая
подгруппа Ли.
Доказательство этой теоремы базируется на взаимосвязи
группы Ли с алгеброй Ли, а также на свойствах экспоненци-
экспоненциального отображения. Об алгебрах Ли, группах Ли и экспонен-
экспоненциальном отображении речь пойдет в следующих параграфах.
Группы 0{п), O(p,q), Sp(n,R), U(n) и другие подобные
им группы являются подгруппами и замкнутыми подмножес-
подмножествами в группе Ли GL(n,M) или в группе Ли GL{n,C). Поэ-
Поэтому согласно теореме Картана они являются группами Ли.
2.2е. Псевдоунитарная группа U(p, q). Диагональ-
Р 9
ная матрица В = diag A,1,... ,1, —1, —1,... , —1), р + q = п
определяет псевдоэрмитово скалярное произведение в V? и со-
соответствующую группу преобразований, сохраняющую это
скалярное произведение. Это — псевдоунитарная группа
U{p,q) = {u? GL(n,Q |и*Ви = В},
являющаяся вещественным аналитическим многообразием
(а следовательно, группой Ли) размерности п2, вложенным
2
в комплексное пространство С™ .
2.2ж. Комплексная ортогональная группа О(п, С).
Эта группа совпадает с
О(п, C) =
148 Глава 2
Заметим, что все группы О(р, q; С), р+ q — п, изоморфны
между собой (и следовательно, изоморфны группе О(п, С)).
Действительно, преобразования ei -> ei,... ,ер -> ер, ep+i ->
-> iep+i,... ,ep+e -> iep+g ортогонального базиса пространст-
пространства Vg? приводят к преобразованию В —ь Е матрицы Бик со-
соответствующему изоморфизму групп.
2.2з. Компактная симплектическая группа Sp (n).
Эту группу можно определить как группу линейных преобра-
преобразований кватернионного пространства Ип = Н х ... х Н, со-
сохраняющих положительно определенную полуторалинейную
кватернионную форму. Пусть р = (р\,Р2,--- ,Рп) и q =
= (<7ъ<?2>--- iQn) — кватернионные векторы из пространст-
пространства Ип. Положим
(P,q)=?i9i+P2«2 + •••+?„ 9«, B.Ю)
где черта сверху означает кватернионное сопряжение: р = р0 —
— ipi—jP2— 1фз- Тогда кватернионные матрицы, сохраняющие
форму B.10), образуют группу
Sp (n) = {g e Mat (n, И) | gg* = e}.
Если реализовать единичные кватернионы матрицами
. М о\ . /о Л /о
то тогда Sp(n) — подгруппа в GLBn,С). Кроме того, сопря-
сопряжение кватернионной матрицы g —> g* можно представить
в виде
Очевидно, что матрица J' эквивалентна матрице J в опре-
определении симплектической группы. Поэтому Sp(ri) является
подгруппой в Sp(n,C). С другой стороны, учитывая то, что
кватернионы образуются путем удвоения комплексных чисел,
то есть qj = Zj + Wjj, р] = Щ — vjj, форму B.10) записываем
в виде
t=l t=l
§3. Локальное исследование групп Ли 149
или, определив векторы у = (ui,... ,«„,«!,... ,vn) б С?п,
х=BЬ... ,zn,W!,... ,wn) 6 С2", в виде
(р,Ч) = #(х,У)+П'(У,х).Ь B.11)
где Н(х,у) — эрмитова, а П'(у,х) = (у, J'x) — симплекти-
ческая формы. Очевидно, что форма ?1' эквивалентна форме Q.
Сохранение формы B.11) означает сохранение отдельно эрми-
эрмитовой и симплектической форм. Отсюда делаем заключение,
что
Sp (n) = UBn) Л Sp (n, С).
2.2и. Некомпактные симплектические группы
Sp (n, т). Эти группы определяются как группы преобразо-
преобразований кватернионного пространства Hn+m, сохраняющих ин-
индефинитную форму
(Р> Ч)' = PlQl + ¦ ¦ ¦ + PnQn - Pn+l9n+l - ... - Pn+mQ
n+m-
Рассуждения, аналогичные проведенным выше, позволяют
утверждать, что
Sp(n,т) = UBn,2т) П Sp(n + т,С).
§ 3. Локальное исследование групп Ли
3.1. Структурные дифференциальные уравнения
групп Ли. Будем исследовать свойства функций /*(gi,g2) =
= /*('J'(gi)»'J'(ss))» являющихся координатами произведения
элементов gi и g2 в локальной карте окрестности единицы
и определяющих там структуру группы Ли. В частности, най-
найдем дифференциальные уравнения на эти функции и условия
существования решений этих уравнений.
Локальные координаты ?*(g) будем выбирать так, что-
чтобы tl(e) = 0. Условия аналитичности функции fl(gi,g2) озна-
означают сходимость по совокупности переменных {f'(gi)}
и {^'(й)} соответствующих рядов Тейлора в некоторой
150 Глава 2
окрестности нуля пространства К" х Кп:
C.1)
Отсутствие в C.1) слагаемых, пропорциональных
и ^(©)**(©) во втором порядке, а также слагаемых tJ(gi)x
x*fc(gi)*'(gi) и *'(©)**(fejt'te) в третьем порядке и т.д. ото-
отображает тот факт, что
Аа,е) = f(gi), Г(е,а) = «•"(&)•
Аналитичность координат элементов g' относительно
координат {<г(^)} означает сходимость ряда
Условие ассоциативности налагает определенные ограни-
ограничения на коэффициенты
ajk =
g\=g2=e
Чтобы их получить, запишем условие ассоциативности
f(f(gug2),gs) = f(gi,f(g2,gs)) в локальных координатах,
оставляя в разложениях слагаемые до третьего порядка вклю-
включительно. Получаем соотношение
~ "««If») = Aim + Pkml ~ fklm ~
Просуммируем правую и левую части этого соотношения по
всем четным перестановкам индексов т,к,1 и от получен-
полученной суммы вычтем результат суммирования по нечетным пе-
перестановкам. Правая часть равенства при этом превратится
§3. Локальное исследование групп Ли 151
в ноль, а слева будем иметь выражение, которое можно запи-
записать в виде
п
Е Е И™ - <ок, - «?*) = о, (з.з)
3=1 (m,k,l)
где, кроме суммирования по j, ведется суммирование по цик-
циклической перестановке s индексов m,k,l.
Положим aljm — агт^ = cljm. Тогда соотношение C.3) мож-
можно записать в виде
в котором узнаем тождество Якоби для структурных кон-
констант алгебры Ли (см. § 6 гл. 1). Определенные выше числа cjm
называют структурными константами группы. Как показано
ниже, именно они определяют групповой закон умножения на
многообразии G.
Каждый элемент g g G определяет два аналитических
отображения Lg: G -+ G и Rg: G -> G группы Ли G в себя:
Lex (g) = eve, Rgi (g) = ggi >
называемые соответственно левым и правым сдвигами на
группе. Очевидно, что они являются диффеоморфизмами и по-
поэтому соответствующие дифференциалы этих отображений
в фиксированной системе координат задаются невырожден-
невырожденными матрицами
C-5)
л*»Ы -* '.ЛГ = №fei; aa))- C-е)
Утверждение 1. Функции /*(gi,g2)> задающие в локаль-
локальных координатах g -> {^(g), ... ,tn(g)} групповую операцию
152 Глава 2
умножения на многообразии G, удовлетворяют системе диф-
дифференциальных уравнений
C.7)
а также системе
C.8)
где Vj(g) = Ц(е, g) и Uj(g) = Ц(ё, е).
Доказательство. Уравнения на функции fl(gi,g2) легко
получить, если рассмотреть малые отклонения этих функций
от ноля, возникающие за счет того, что аргументы мало отли-
отличаются от обратных. Пусть g^ — такой элемент, координаты
которого имеют вид t'(g^) = **(&)+?% гДе ?* — произвольные,
но малые (за абсолютным значением) числа. Тогда
/ (g2 182) = 2>
С другой стороны,
?*+,
dP(giig2) dtk(g2)
Приравнивая правые части полученных равенств и учиты-
учитывая произвольность ?*, получаем уравнение C.7). Аналогично,
рассматривая малые отклонения от ноля функций Pig-iig^1)
и /*(/(^>й)> /terSfe*1))» выводим уравнение C.8). Утверж-
Утверждение доказано.
Уравнение C.7) вместе с матричными функциями Vj(g)
играют важную роль в локальной теории групп Ли. Если
существуют решения этих уравнений, то это означает, что
групповая операция умножения определена в крайнем случае
§3. Локальное исследование групп Ли
153
в окрестности единицы. Необходимые и достаточные условия
существования локального решения (условия интегрируемос-
интегрируемости) системы уравнений в частных производных первого по-
порядка хорошо известны [27]. Их формально можно записать
как равенство вторых производных от искомого решения:
gl,g2) d2f(gl,g2)
понимая под этим равенством дифференциальное соотноше-
соотношение для правой части уравнения на функции fl(gi,g2)-
Учитывая конкретный вид уравнения C.7), записываем
условия интегрируемости в виде
и
Lk(f(gi,g2))
C.9)
где
= Lk(g,e) =
dfk(g,g2)
dtl{g2)
g2=e
то есть матрица (Lk(g)) обратна к матрице (Vk(g)). Равенст-
Равенство C.9) должно выполняться тождественно относительно пе-
переменных tl(g2) и fl(gi,g2), а это значит, что правая и левая
части равенства являются постоянными:
Рассматривая левую часть в C.10) при g = e, вычислим
константы C|g. Из равенства C.7) после дифференцирования
по t'(gi) при g2 = e получаем
gi~g2=e
154 Глава 2
Таким образом, Ця = а*, — аг1в = —с)в, то есть числа ??1я в усло-
условии интегрируемости C.10) с точностью до знака совпадают
со структурными константами группы.
Условие интегрируемости C.10) следует рассматривать
как уравнение на функции Vj(g). Нахождение этих функций
по данным структурным константам является первым эта-
этапом в построении локальной группы Ли. Второй этап состоит
(согласно классической схеме Ли) в интегрировании уравне-
уравнений C.7). Заметим, что уравнения C.7) вместе с условиями
интегрируемости составляют содержание первой и второй те-
теорем Ли [48, 67].
Уравнения C.10) приобретают дифференциально-геомет-
дифференциально-геометрическое содержание, если записать их в форме, которую им
придал Маурэр:
f)v? Я1/* , ™
Qtk Qtj % 2~< slK з к УкУз>-
Введем локальные дифференциальные формы а/= j
з
Тогда условие C.11) можно записать в виде
&J = -1 ]Г с',и;8 Л J. C.12)
8,1
Дифференциальным формам wl, а также условиям интегриру-
интегрируемости в виде C.12), можно придать глобальный смысл. Это
сделано в следующем пункте.
3.2. Алгебра Ли группы Ли. Поскольку группы Ли
являются гладкими (аналитическими) многообразиями, то
их исследуют методами дифференциальной геометрии. Ка-
Касательное пространство, векторные поля и дифференциаль-
дифференциальные формы, связность, псевдориманова метрика — вот ос-
основные элементы понятийной системы дифференциально-
геометрического анализа. В случае групп Ли касательное
пространство наделено дополнительной структурой — би-
билинейной антисимметрической операцией, удовлетворяющей
тождеству Якоби, то есть оно является алгеброй Ли. Левый
§3. Локальное исследование групп Ли 155
(или правый) сдвиг на группе позволяет выделить в множест-
множестве гладких векторных полей конечномерное пространство ле-
воинвариантных (правоинвариантных) полей, являющееся за-
замкнутым относительно операции коммутирования векторных
полей, то есть оно также является алгеброй Ли. Эти алгеб-
алгебры Ли изоморфны, а изоморфизм осуществляется дифферен-
дифференциалом левого (правого) сдвига. Соответствующие матрицы
в локальных координатах задаются формулами C.5) и C.6).
3.2а. Касательное пространство к группе Ли.
В случае групп Ли наиболее удобным является определение 2
касательного вектора нз § 1.
Пусть т —»• g(r) — гладкая кривая на группе Ли G,
проходящая через единицу группы, и пусть g@) = e. Пусть
C°°(G) — пространство гладких функций на G, a C°°(Ue) —
его локализация на окрестность единицы Ue. Тогда касатель-
касательный вектор Ае в точке е € G — это линейный непрерывный
функционал на пространстве С°°({7е)> действующий согласно
формуле
дт . C.13)
т=0
В локальных координатах g -»• {tz(g)} формула C.13) приоб-
приобретает вид
df(g)
где числа a*(e) = dt*(g(T))/dT\T=o являются координатами
касательного вектора. Они однозначно фиксируют функцио-
функционал Ае в соответствующей локальной системе координат.
Ниже мы будем иметь дело, как правило, с касательными
векторами в единице группы и поэтому индекс е, указыва-
указывающий на это, будем опускать. Вместо этого будем приписы-
приписывать кривой индекс, указывающий на соответствующий ка-
касательный вектор, то есть кривую будем задавать как соот-
соответствие т -+ Яд(т). Очевидно, что каждому касательному
вектору соответствует класс эквивалентных кривых.
Касательное пространства к группе G в точке g = е —
это множество всех касательных векторов C.13). Будем обо-
обозначать его через Te(G). При фиксации локальных координат
156 Глава 2
пространство Te(G) изоморфно отображается на простран-
пространство К", элементами которого являются последовательнос-
последовательности (о1,... , а"). Согласно общей теории гладких многообразий,
Те также можно трактовать как множество классов эквива-
эквивалентных гладких кривых на G, проходящих через точку е € G.
3.26. Присоединенное представление группы G.
Каждый элемент g ? G задает отображение группы G в се-
себя: g\ —»• ggig~1- Это отображение является диффеоморфиз-
диффеоморфизмом, оставляющим неподвижной единицу группы. Диффе-
Дифференциалом этого отображения является линейное невырож-
невырожденное преобразование пространства Te(G). Оно обозначается
через Adg или Ad^:
(AdgA)f = A'f = ?f(ggA(T)g-l)\T=0. C.14)
Легко проверить, что отображение g —»• Adff явля-
является гомоморфизмом группы G в группу GL(Te) линей-
линейных преобразований пространства Те. Его ядром является
центр группы G. Этот гомоморфизм называют присоеди-
присоединенным представлением группы G, а линейное преобразова-
преобразование А —>¦ AdgA — присоединенным действием элемента g € G.
В локальных координатах {t*(g)} с помощью разложе-
разложений C.1) и C.2) получаем
-§-nggA{r)g-l)\T=0 = о* + ? ((«1, - a}k)tk(g) + ...)al.
fc,j,...=i
Отсюда для матрицы оператора Ad^ имеем разложение
в ряд Тейлора
(Adg)) = 6) + J2 4jtk(g) + ¦¦¦ C.15)
fc=i
3.2в. Структура алгебры Ли в касательном про-
пространстве. Линейный оператор Ad^ гладко (аналитически)
зависит от g € G, а следовательно, от параметров а 6 К, если g
пробегает значения кривой а -> geicr) с касательным векто-
вектором В 6 Te(G). Производная операторной функции
§3. Локальное исследование групп Ли 157
по параметру ег при ег = 0 существует и также является ли-
линейным преобразованием пространства Te(G). Обозначим это
преобразование через ad В, указывая на зависимость от каса-
касательного вектора к кривой ег —> ?в(ег):
d
Действие оператора ad В на вектор А определяет в ка-
касательном пространстве Te(G) билинейную операцию между
векторами В и А. Результат этой операции обозначают че-
через [В,А], то есть В: А -» (&йВ)А = [В,А]. Касательный
вектор С = [В, А] является функционалом, действующим на
функции / € C°°(Ue) по формуле
[B,A]f=((adB)A)f =
! • (зле)
1G=0
С помощью разложения C.15) легко получить действие
оператора ad В на вектор А в локальных координатах:
3=1 k,j=l
откуда видно, что [А, В] = — [В, А] и выполняется тождест-
тождество Якоби
[[А,В],С] + [[В,С], А] + [[С, Л], В] =0.
Таким образом, мы показали, что пространство Te(G)
вместе с операцией А, В -» (ad A)B = [А, В] является алгеб-
алгеброй Ли. Ее называют алгеброй Ли группы Ли G и обозначают
через 0e(G).
Установленная связь между группой Ли G и ее алгеб-
алгеброй Ли 0e(G) дает возможность описывать те или иные свой-
свойства группы в терминах ее алгебры Ли. Например, ясно, что
абелевой группе Ли соответствует коммутативная алгебра Ли.
Если Н — подгруппа Ли в группе Ли G (то есть является под-
подгруппой абстрактной группы G и топологической группой),
то ве{Н) — подалгебра Ли в ge(G). Если Н — инвариантная
подгруппа Ли, то есть gHg'1 С Я, g e G, то 0е(Н) — идеал
в 0e(G).
158 Глава 2
Утверждение 2. Пусть Ф — гомоморфизм группы Ли G
в группу Ли G'. Тогда его дифференциал ?>Ф осуществляет
гомоморфизм алгебры Ли Qe(G) в алгебру Ли ge(G)'.
Доказательство. Напомним, что гомоморфизм Ф
групп Ли — это гомоморфизм абстрактных групп и аналити-
аналитическое отображение соответствующих многообразий.
Пусть ?>Ф: Te(G) -»• Te>(G') — дифференциал отображения Ф.
Тогда согласно определения
(?>Ф о (AdKA))f = ^
Если g = ёв(а), то Ф(^в(<т)) = (Ф#)в<(<т), где В' = D$ о В.
Учитывая это, имеем
(?>Ф) о [В, А] = (?>Ф) о ((ad В)Л) =
Утверждение доказано.
3.2г. Присоединенное представление алгебры Ли
и билинейная форма Киллинга. Определенные выше опе-
операторы Ad^ и ad Л в касательном пространстве Te(G) играют
важную роль в изучении структуры групп и алгебр Ли. Не-
Непосредственно с определений этих операторов вытекает, что
(Ad^)(ad AKAdJ1) = ad (Ad^). C.17)
Действительно,
)|
)| _
где А' —
§3. Локальное исследование групп Ли 159
Перепишем соотношение C.17) в виде (Adg)(adA) =
l»= ad(Ad^)(Ad^) и подействуем правой и левой частями это-
этого равенства на произвольный вектор В € Qe(G). Получаем
Adg[A,B] = [AdgAjA&gB].
Это соотношение означает, что преобразование Adg является
автоморфизмом алгебры Ли Qe(G).
Линейный оператор ad Л можно построить не только в ка-
касательном пространстве к группе Ли, айв любой абстрактной
алгебре Ли д, где операция Ли А, В -»• [А, В] задана a priori.
Сопоставим элементу А ? g линейный оператор ad А, дейст-
действующий по формуле
(ad А) В = [А, В].
Из тождества Якоби следует, что
ad[A,B] = (ad^)(adJ5) - (adВ)(adЛ),
то есть отображение А —>¦ ad Л является гомоморфизмом аб-
абстрактной алгебры Ли g в алгебру линейных преобразований
пространства д. Этот гомоморфизм называют присоединенным
представлением алгебры Ли д .
Используем соответствие А —»• ad Л для того, чтобы опре-
определить инвариантную билинейную форму в пространстве д.
Симметрическая билинейная форма
B(X,y) = Tr(adX)(ady), Х,Уед,
на пространстве д называется формой Киллинга.
Для формы В(Х, У) выполняется соотношение «инвари-
«инвариантности» относительно присоединенного представления Z —>
-»• ad Z алгебры д. То есть,
B((ad Z)X, Y) + В(Х, (ad Z)Y) = 0. C.18)
Соотношение C.18) является прямым следствием тождества
Якоби и свойств следа.
Если g является алгеброй Ли группы G, то определен опе-
оператор Ad^. В этом случае C.18) является следствием настоя-
настоящего свойства Ad-инвариантности
B(AdgX, AdgY) = B(X, Y). C.19)
160 Глава 2
Последнее свойство легко получить, воспользовавшись фор-
формулой C.17).
Если в алгебре Ли g (не обязательно связанной с груп-
группой Ли) фиксировать базис Х\,...,Хп, а следовательно,
и структурные константы c*-fc, то для векторов X = ^ar'Xj
г
и Y = ^2ylYi из g получаем
i
b(x,y) =
где gij = 2Lc«c'ifc- Тензор g,j называют метрическим тензо-
k,i
ром алгебры Ли д.
3.3. Алгебра Ли векторных полей. Среди вектор-
векторных полей на группе Ли размерности п существует п линейно
независимых полей, допускающих глобальный поток и замк-
замкнутых относительно операции коммутирования. Это левоин-
вариантные (правоинвариантные) векторные поля.
Левоинвариантное векторное поле определяется как ото-
отображение Af. C°°(G) -> C°°(G), действующее на функ-
функции F ? C°°(G) согласно формуле
ALF(g) = ?
UT х=0
где, как и в предыдущем пункте, т —> ?д(т) — кривая, про-
проходящая через единицу группы и имеющая касательным век-
вектором вектор А.
В локальных координатах {tl(g)} имеем
dF(ggA(T)) df(g,gA(T)) dP(gA(T))
'АКТ)
т=0
Заметим, что /'(#,?д(т)) = ^UigigAir))), где штрих означа-
означает, что элемент ggA(t) не обязательно принадлежит локальной
карте окрестности единицы. Учитывая сказанное и используя
обозначение C.5), приводим предыдущую формулу к виду
C.20)
§3. Локальное исследование групп Ли 161
Правоинвариантное векторное поле Ar определяется ана-
аналогично; это отображение Ar: C°°(G) -* C°°(G), действую-
действующее на функции F € C°°(G) согласно формуле
ARF(g) = ?F(gA(T)g) .
пТ -г=0
В локальных координатах оно имеет вид
Матрицы L){g) = L)(g,e) и R)(g) = R)(e,g) в фор-
формулах C.20) и C.21) являются локальными представителя-
представителями глобальных объектов — дифференциалов левого и право-
правого сдвигов на группе. Учитывая это, определим левоинвари-
антные (правоинвариантные) векторные поля как Ф-связные
поля, причем в роли отображения Ф будет служить диффео-
диффеоморфизм левого (правого) сдвига, то есть левоинвариантным
полем назовем векторное поле, для которого выполняются
соотношения
AL(F о Lgl)(g) = ((DLgl )AL)F(glg). C.22)
Аналогичное соотношение имеет место для Ar. Мы имеем
AL(g) = (DLg)A, AR{g) = (DRg)A.
Выражение C.22) является глобальным вариантом фор-
формулы C.20). Касательный вектор A G Те, заданный в локаль-
локальных координатах набором чисел а1,а2,... ,а", называют на-
направляющий! вектором соответствующего поля.
Левоинвариантное векторное поле в классическом пони-
понимании — это набор функций а\ (g) на группе G, для которого
выполняется соотношение
Именно такое свойство имеют коэффициенты дифференци-
дифференциального оператора в формуле C.20). Действительно, принимая
162 Глава 2
во внимание, что
L){glg) = Lfag; e) = J2Lk(eig; ёЩ(в; е),
к
для функций 52 L^gig)^ = a* (gig) получаем закон преоб-
i
разования классического левоинвариантного векторного поля.
Аналогичные определения имеют место для правоинвариант-
ного векторного поля.
Утверждение 3. Коммутатор левоинвариантных (пра-
воинвариантных) векторных полей Аь и Bi с направляющи-
направляющими векторами А и В из Te(G) является левоинвариантным
(правоинвариантным) векторным полем Cl с направляющим
вектором С = [А, В].
Доказательство. Вычислим коммутатор векторных по-
полей Al и Bl в фиксированных локальных координатах:
- ±
Заменяя производные от матричных элементов матри-
матрицы (Llj(g)) производными от обратной матрицы и используя
условие интегрируемости C.10), получаем
[AL,BL] =
где левоинвариантное поле Сь имеет направляющий вектор С
с координатами с* = 53С}*°Л'^*- Таким образом, локальный
вариант утверждения 3 доказан.
Для глобализации соотношения C.23) воспользуемся опре-
определением левоинвариантного поля как Ф-связного поля. Тогда
согласно C.22) имеем
AL(BL(f о Lgl))(g) = (DLgl)AL((DLg)BLf)(glg),
откуда получаем
[AL,BL}(foLgl)(g) = ((DLgl)[AL,BL])f(glg).
§3. Локальное исследование групп Ли 163
То есть коммутатор Z^-связных полей является /^-связным
полем. Утверждение доказано.
Из утверждения 3 вытекает, что лееоинеариантные
(правоинвариантные) векторные поля образуют алгебру Ли
(обозначим ее через fl(G)), изоморфную алгебре ge(G) в каса-
касательном пространстве. Если в Te(G) зафиксировать базис,
состоящий из векторов Xj, XiF — (dF(g)/dtt(g)) , то соот-
соответствующие векторные поля
образуют базис в алгебре левоинвариантных векторных по-
полей, ограниченных на окрестность Ue С G. Глобальные век-
векторные поля получаются действием дифференциала левого
сдвига: Xj = (DLg)Xi. Дуальный базис образуют дифферен-
дифференциальные формы w*: w*(Xj) = ?*•. В локальных координа-
координатах g -» {**(#)} они имеют вид
и совпадают с формами, определенными в п. 3.1. Воспользо-
Воспользовавшись формулой A.14) для внешнего дифференцирования
линейной формы, легко показать, что условия интегрируемос-
интегрируемости C.12) в форме Маурэра-Картана эквивалентны соотноше-
соотношению C.23).
Заметим, что если Ф — гомоморфизм группы Ли G
в группу Ли G', то согласно A-19) его дифференциал ?)Ф ин-
индуцирует гомоморфизм алгебр Ли левоинвариантных (право-
инвариантных) векторных полей.
3.4. Однопараметрические подгруппы. Как отме-
отмечалось в §1, каждое векторное поле определяет на многооб-
многообразии динамическую систему. Это касается и левоинвариант-
левоинвариантных (правоинвариантных) векторных полей. Динамическая
система, соответствующая левоинвариантному векторному
полю, в локальных координатах g-t {t'(g)} имеет вид
C.24)
164 Глава 2
и однозначно фиксируется выбором вектора А~(ах,а2,...,ап)
в касательном пространстве Te(G). Решение этой системы
определяет кривую т ->• g{r), проходящую через единицу
группы, если за начальное условие положить нулевые значе-
значения параметров i*: t*(e) = t*(g(O)) = 0.
Однопарамешрической подгруппой в группе Ли G называ-
называют гомоморфизм Ж ->• G аддитивной группы Ли Ж в группу G.
Следующее утверждение является вариантом теоремы 1 из § 1
в случае группового многообразия.
Утверждение 4. Решением системы C.24) с началь-
начальным условием ?*(е) = ** (#(())) = 0 продолжается на все т еШ
и определяет однопараметрическую подгруппу в G, то есть
такое отображение gA:R-t G, для которого
gA{r)gA{a) = gA(cr)gAM = gA(cr + т), а, т € К. C.25)
Доказательство. Установим сначала закон компози-
композиции C-25) в локальных координатах окрестности единицы
при \т\ < е/2, \а\ < е/2. Для этого запишем уравнения для
функций t^g^gir)) и Г(е(
d.i((s,ss srdti(g(a)g{T))dt4g(T))_
; e)ak = X)XU^)e<r))e*'
±ё{ё{а + т)) = J-t
Видим, что функции tl^g{a)g[T)) и tx(g{a + т)) удов-
удовлетворяют одинаковым уравнениям с одинаковыми началь-
начальными условиями: tt(g{a)g{0)) = tl(g(o-)). Вследствие единст-
единственности решения уравнений C.24) эти функции совпадают.
Поэтому t*{g{ar)g{T)) — **(^(<7 + г)). Аналогично выводит-
выводится совпадение t*(g(r)g(cr)) и t*(g{T + а)) как функций пара-
параметра а € (—е,е), удовлетворяющих одинаковым уравнениям
с начальным условием t*(^'('r)^@)) = t*{g{T)). Таким образом
§3. Локальное исследование групп Ли 165
убеждаемся, что групповой закон C.25) выполняется в неко-
некоторой окрестности единицы группы. На остальную часть зна-
значений параметра т кривая ?а(т) продолжается с сохранением
группового свойства с помощью формул
N / \N
g\^j =g{T)g(a),
C.26)
где число N подбирается так, чтобы \t/N\ < е/2, \cr/N\ < е/2
и чтобы значения, принимаемые кривой g{T/N), принадле-
принадлежали окрестности Ue С G. Используя формулы продолже-
продолжения C.26), получаем групповой закон умножения для произ-
произвольных вещественных т и а. Утверждение доказано.
Задача. Докажите, что правоинвариантное поле Ац = (DRg)A
с направляющим вектором А определяет ту же самую однопараметри-
ческую подгруппу, что и поле Ai, = (DLg)A.
Имея соответствие между касательным вектором и одно-
параметрической подгруппой как представителем класса эк-
эквивалентных кривых, проходящих через единицу группы, ес-
естественно поставить вопрос о соответствии операций, то есть
вопрос о том, как найти кривую, соответствующую касатель-
касательному вектору С = [-4,5] в терминах кривых gA(T) и ^в(т).
Утверждение 5. Касательным вектором к кривой
g{-r)=gA{.o-)gB{v)gA-1{.v)g]31(o-), a = (sign т)л/Й, C.27)
является вектор С — \А,В\.
Доказательство. Очевидно, что кривая g(r) проходит
через единицу группы. Для локальной координаты tl(g(T))
имеет место разложение в ряд Тейлора
(Дальнейшие члены разложения не влияют на касательный
вектор, поскольку 4*(?д@)) = ?*(ёв@)) = 0.) Вычислим коор-
координаты касательного вектора к кривой g(r), считая, что т > 0
166 Глава 2
(производная справа):
d<T
J dr
т=+о
Такой же результат получаем для производной слева. Таким
образом, мы показали, что кривая g{r) является непрерывной
вместе с первой производной и что касательный к ней вектор С
имеет координаты с* = 53 с^п-'б*. Утверждение доказано.
3,к
Суммируя изложенное в этом и предыдущем пунктах, да-
дадим три эквивалентные определения алгебры Ли группы Ли G.
Определение 1. Алгебра Ли группы Ли G — это каса-
касательное пространство к группе в единице, наделенное опера-
операцией C.16).
Определение 2. Алгебра Ли группы Ли G — это про-
пространство левоинвариантных (правоинвариантных) вектор-
векторных полей вместе с операцией коммутирования векторных
полей.
Определение 3. Алгебра Ли группы Ли G — это мно-
множество классов эквивалентных кривых, наделенное операци-
операцией C.27).
3.5. Алгебры Ли матричных групп Ли. В §2 дан
достаточно богатый список матричных групп Ли. Здесь мы
проиллюстрируем схему построения алгебр Ли на примере
этих групп.
Напомним, что матричные группы Ли — это подгруппы
в GL(n, Ш) или в Gi(n,C). Их групповые многообразия явля-
являются аналитическими подмногообразиями, вложенными в ли-
2 2
нейные пространства Mat (n, Ж) ~ М" или Mat (n, С) ~ С" .
Касательное пространство к любой из них является линейным
матричным подпространством в Mat(n, Ш) или в Mat(n,C),
замкнутым относительно соответствующей операции Ли, то
есть является подалгеброй Ли в ge(GL(n,M)) или в ge(GL(n, С)).
§3. Локальное исследование групп Ли 167
Определим структуру алгебры Ли в касательном про-
пространстве Те группы GL(n,R). Локальными координатами
матрицы g 6 GL(n,R) естественно считать ее матричные
элементы, то есть t**(g) = gij. Если gA: К ->• GL(n,R) —
некоторая кривая в GL(n,M) и gA{0) = е, то матрица А =
= -r-gA{T)\-r=o является касательным вектором к ней. Присо-
Присоединенное представление в касательном пространстве дейст-
действует как преобразование подобия
AdgA=gAg~1.
Отсюда получаем, что билинейная операция Ли в касательном
пространстве является обычным коммутатором матриц:
(adB)A = [В, А] = ВА- АВ.
Левоинвариантное векторное поле, соответствующее ка-
касательному вектору А в локальных координатах g ~> t%i(g) =
= gij, имеет вид
к
».J
т=0
C.28)
Сравнивая эту формулу с формулой C.20), видим, что левый
сдвиг в касательном пространстве осуществляется умножени-
умножением слева на матрицу g, то есть
DLg -A = gA.
Коммутатор левоинвариантных векторных полей на груп-
группе GL(n,M) имеет вид
168 Глава 2
Поскольку левоинвариантное векторное поле на матрич-
матричной группе имеет вид C.28), то отвечающая ему динамичес-
динамическая система сводится к матричному уравнению
^l=g{r)A. C.29)
Его решение при начальном условии #@) = е имеет вид
/ \ i л\ тА
fx{ т" 1 —*- Р"уп I *г А 1 — f>
О V / — CJv|J 1 / л\ I с- j
где
е -е + т +~ +— +... ,
и этот матричный ряд сходится относительно любой муль-
мультипликативной нормы (то есть нормы, для которой ||АВ|| ^
^ \\A\\ • ||2?||). С другой стороны, уравнение C.29) является
системой уравнений для матричных элементов матрицы g{r),
причем линейной и с постоянными коэффициентами. Поэтому
решение существует и единственно. Таким образом, однопара-
метрическими подгруппами в GL(n,R) и GL(n,<C) являются
матричные экспоненциальные функции т —»¦ ехр(тЛ) и только
они.
Каждая однопараметрическая подгруппа, принимающая
значения в некоторой группе G С GL(n,<C), является автома-
автоматически однопараметрической подгруппой и в GL(n, С), а по-
поэтому также имеет вид г -» ехр(тХ), где X 6 Te(G) С
С Mat (п, С).
Приведем список матричных алгебр Ли, являющихся ал-
алгебрами Ли матричных групп из § 2:
1) gI(n,C) и gl(n, Ш) — все комплексные и вещественные
матрицы порядка п соответственно.
2) sl(n,C) и sl(n,M) — все комплексные и вещественные
матрицы порядка п с нулевым следом соответственно.
Пусть Ок{п) — одна из матричных групп, сохраняю-
п
щих билинейную форму К(х,у) = ?) Кцхху^ в простран-
§3. Локальное исследование групп Ли 169
стве Ш", где К — или единичная матрица, или матри-
матрица В = diag A,... ,1, —1,... , — 1), или матрица J. Тогда
Ок(п) = {ge GL(n,R) \gTKg = К}.
Однопараметрическая подгруппа т —» ехр(тХ) тогда и только
тогда является е однопараметрической подгруппой в Ок{п),
когда
{ехр{тХ))тК ехр(тХ) = К
для любого теМ. Дифференцируя это соотношение по т и по-
полагая т — 0, получаем
ХТК + КХ = 0. C.30)
Исходя из этого соотношения, продолжим описание алгебр Ли
матричных групп Ли:
3) so(n) — все вещественные кососимметричные матрицы
порядка п.
4) so(p, q) — все матрицы вида X = ( т J, где А и D —
вещественные кососимметричные матрицы порядков р
и q соответственно, а В — произвольная вещественная
матрица.
5) sp(n,M) — все матрицы вида X — ( _^т J, где Л —
произвольная вещественная матрица порядка п, а В
и С — вещественные симметричные матрицы.
Для матриц, принадлежащих к алгебре Ли группы псев-
псевдоунитарных преобразований, аналогом соотношения C.30)
является
Х*К + КХ = 0. C.30')
Поэтому
6) и(р, q) — все матрицы вида X = ( ?, ^ ), где А и D —
косоэрмитовые матрицы порядков р a q соответственно,
а В — произвольная р х q матрица.
7) u(n) — все косоэрмитовые комплексные матрицы поряд-
порядка п.
170 Глава 2
8) so(n,C) — все кососимметричные комплексные матри-
матрицы порядка п.
9) sp(n,C) — все матрицы вида X = ( т ), где А —
произвольная комплексная матрица порядка п, а В
и С — комплексные симметричные матрицы.
10) sp(n) — все матрицы вида X = ( _= -г ), где А — комп-
комплексная косоэрмитова матрица порядка п, а В — сим-
симметричная матрица.
§ 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли
4.1. Экспоненциальное отображение. Решение
системы C.24) непрерывно зависит от координат а* векто-
вектора A Е Te(G). Поэтому однопараметрическая подгруппа т —»
-»¦ ?д(т)> являющаяся решением этой системы, определяет
отображение касательного пространства Te(G) в многообра-
многообразие G. Это отображение обозначают символом ехр и называют
экспоненциальным отображением. Если учесть наличие алгеб-
алгебраической операции в касательном пространстве, то можно
говорить об отображении алгебры Ли ne(G) в группу Ли G:
exp:0e(G)->G; ехр(гЛ) = gA(r). D.1)
Чтобы определение D.1) было адекватно свойствам одно-
параметрической подгруппы, необходимо показать, что?д(т)
зависит фактически от произведения тА. Для этого рассмот-
рассмотрим однопараметрическую подгруппу т -> gAicrr), где а —
фиксированный параметр. Касательным вектором к ней явля-
является вектор а А. Вследствие единственности однопараметри-
однопараметрической подгруппы с заданным касательным вектором имеем
равенство ?д(<тт) — gaAix). Переставляя а и т и пола-
полагая «7 = 1, получаем
exp(ryl) = gA(T) = gTA{l). D.2)
При этом продолжение параметра однопараметрической под-
подгруппы до значения, равного единице, осуществляется с по-
§ 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли 171
мощью' соотношения
Теорема 1. В некоторой окрестности Uo начальной
точки пространства ge(G) отображение exp: 0e{G) -» G яв-
является диффеоморфизмом.
Доказательство. Бесконечная дифференцируемость зна-
значений, пробегаемых однопараметрической подгруппой т -»
""* ёл(т) = &га{1) относительно координат вектора А, оче-
очевидна. Найдем дифференциал отображения exp: ge(G) -» G
в окрестности ноля пространства Qe(G). Представителями
классов эквивалентных кривых в Qe{G), проходящих через
ноль, выбираем прямые т —» тА. Касательные к ним совпада-
совпадают с касательными к кривым т —» ?д(т). А это значит, что
дифференциал экспоненциального отображения D exp: ge(G) ->
-+ 0e{G) является тождественным преобразованием в точ-
точке 0 € 0e(G). Таким образом, отображение exp: 0e(G) —»¦ G
дифференцируемо и невырождено в точке ноль, то есть яв-
является диффеоморфизмом. Теорема доказана.
Обратное отображение ехр", существующее согласно те-
теореме 1, будем обозначать через In. Оно определено в окрест-
окрестности Ue = exp Uo единицы группы G. Если в алгебре ge{G)
фиксировать базис, то в окрестности Ue возникает естествен-
естественная система локальных координат (expUo,v°lu), где отобра-
отображение (р: 0e{G) —> Ш." сопоставляет вектор А € Qe{G) с его
координатами о*. Эта система координат называется канони-
канонической.
Группа Ли называется экспоненциальной, если каноничес-
каноническая система координат покрывает всю группу. Экспоненци-
Экспоненциальными являются все связные односвязные нильпотентные
группы Ли.
Ниже мы получим явный вид функций /*(gi,g2)> задаю-
задающих групповой закон умножения в канонической системе ко-
координат. Здесь же приведем одно простое, но важное свойство
экспоненциального отображения.
Утверждение 1. Отображение exp: ge(G) —» G имеет
свойство натуральности {функториальности). Это значит,
172 Глава 2
что если задан гомоморфизм Ф: G ->• G' групп Ли, индуцирую-
индуцирующий гомоморфизм ?>Ф: ge{G) -» ge(G') алгебр Ли, то диаграм-
диаграмма
0e(G) ^ Be(G')
ехр ехр
G -*-» G'
коммутативна.
Доказательство. Пусть A e ge{G) и т -»¦ gA(r) =
= ехр(т\А) — однопараметрическая подгруппа, соответствую-
соответствующая вектору А. Если Ф — гладкое отображение, то (?)Ф)А —
касательный вектор к кривой т -» Ф(ехр(гА)), являющейся
однопараметрической подгруппой в G', поскольку Ф — гомо-
гомоморфизм. Вследствие единственности однопараметрической
подгруппы с заданным касательным вектором получаем
Ф(ехр(тА)) = ехр(т(Г>Ф)А),
что и требовалось доказать.
Утверждение 1 играет важную роль в теории линейных
представлений групп Ли. Построение представлений — это по-
построение гомоморфизма группы G в группу GL(V) линейных
преобразований некоторого линейного пространства V. Вслед-
Вследствие утверждения 1 представления групп Ли в значительной
мере сводятся к представлениям ее алгебры Ли, то есть к по-
построению отображения ЮФ: ge{G) -> ge(GL(V)) = gl{V). Экс-
Экспоненциальное отображение матричной алгебры gl(V) ~ 0l(n)
в случае конечномерных представлений имеет вид обычной
экспоненциальной функции от матричного аргумента. То
есть, если (?)Ф)А = A G gl(n), то
Ф(ехр А) — ехр А = е* = 1 + А+ ~-^ + ...
В частности, в случае присоединенного представления, ког-
когда g -» Adg, geGnX-^ ad X,Xe 0e(G), имеем формулу
D.3)
§ 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли 173
4.2. Формула Кемпбелла-Хаусдорфа. Как отмеча-
отмечалось в предыдущем пункте, алгебра Ли Qe(G) вместе с фик-
фиксированным базисом в ней и отображением In: G -»¦ ge(G)
образует локальную карту в некоторой окрестности единицы
группы G. Здесь мы опишем групповую операцию умножения
в терминах алгебраической операции коммутирования в ал-
алгебре Ли 0e{G).
Пусть элементы А и В алгебры 0e(G) такие, что
(ехрА)(ехр??) € ехр{70 С G. Тогда согласно теореме 1 сущест-
существует элемент С € 0e(G), такой что (ехрА)(ехр??) = ехрС,
или, с учетом отображения In = exp,
С = In (exp А) (ехр В). D.4)
Эта формула, если ее записать в фиксированном базисе
пространства 0e(G), то есть выразить координаты вектора С
через координаты векторов А и В, является групповым за-
законом умножения в окрестности Ue = exp ?/0 единицы груп-
группы G. Выражение для элемента С в виде бесконечного степен-
степенного ряда от некоммутирующих элементов А и В известно
под названием формулы Кемпбелла-Хаусдорфа. Вычислим не-
несколько первых членов этого ряда и приведем без доказатель-
доказательства полную формулу в виде, приведенном Б. Б. Дынкиным.
Пусть F(g) — аналитическая функция на G. Тогда
F(gexp(TA)) — аналитическая функция от г и для нее имеет
место разложение в ряд Тейлора по степеням г, 0 ^ т ^ 1:
F(gexp(rA)) = ?; ^ak. D.5)
*=о
Коэффициенты а* в этом ряде вычисляются по формуле
^=o = (AkLF)(g),
где AL — левоинвариантное векторное поле, соответствующее
вектору А. Учитывая это, записываем формулу D.5) в виде
F(gexp{rA)) = ?) frtfxJW D-6)
fc=o '
174 Глава 2
Для функции F(exp(rA) exp(aB)) разложение в степен-
степенной ряд относительно переменных т и а имеет вид
? ^. D.7)
Если ехр(тА) ехр(т??) е ехр?70 С G, |т| ^ 1, то существует
аналитическая кривая т —»• С(т) в ge(G), такая что
ехр(тА) ехр(тВ) = ехр(С(т)).
Наша цель — найти эту кривую. Поскольку С@) = 0, то раз-
разложение функции С(т) в степенной ряд имеет вид С(т) —
= тСх + т2С2 + т3Съ + ..., где Си г = 1,2,..., — фиксиро-
фиксированные векторы в 0е(С).
Для функции F(exp С(т)) имеет место «формула Тейлора»
F(expC(r)) = ? ^((tCi + т2С2 + т3С3 + ...&F)(e), D.8)
к=0
где сумма (rCi + т2С2 + т3Сз + ...)t представляет собой
левоинвариантное векторное поле, соответствующее векто-
вектору С(т) е Te(G). Положим в D.7) а = т и сравним это ра-
равенство с D.8). В результате получаем соотношения для вы-
вычисления полей d:
Ci А (Г< Г< \ Г< Г* \ \ А/^З 1/лЗ , пЗ\
2t О О
откуда имеем С2 = \[Al,Bl] и
C3 = ±(A\BL + BLA\ + ALB2L + B2LAL) -
- \{ALBLAL - BLALBL).
§ 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли 175
Последнее выражение можно свести к сумме двойных комму-
коммутаторов
±[BL, [BL,AL]
и тем самым показать, что С3 является левоинвариантным
векторным полем, которому однозначно соответствует каса-
касательный вектор С3 € fle(G). Поэтому правую часть соотноше-
соотношения D.4) можно записать в виде
1п(ехрА ехрВ) = А + В + h[A,B] +
+ i [А, [А, В]] + ^ [В, [В, А]] + .... D.9)
Из формулы D.9) вытекает, в частности, что функ-
функции /'(gi,©), задающие групповой закон умножения элемен-
элементов g\ = exp А и g2 = exp В в канонической системе коорди-
координат, принимают вид
' - а* + 6* + \^сУка?Ьк +
1 V^ I W r" I nJnkhl 4- * V I W
12 2-й [ Zy ci*c*i J a a ° + 12 2s I Zy c*«
J,fc,J \ 8 I j,k,l \ 8
+...
и зависят только от структурных констант группы.
Из формул D.6) и D.7) вытекает, что элемент exp A € G
сопоставляется с оператором левого сдвига в пространстве
функций на группе и на аналитических функциях он экви-
эквивалентен экспоненциальному ряду по степеням дифференци-
дифференциального оператора At,. Ниже мы будем работать с такими ря-
рядами формально, не затрагивая вопросов о сходимости, но бу-
будем помнить, что сходимость можно достичь на пространстве
аналитических функций CW(G).
Формальное выражение для векторного поля С?, соответ-
соответствующего вектору С = 1п(ехрЛ ехрБ), через векторные по-
поля Ai и Сх можно получить, воспользовавшись разложением
176 Глава 2
в ряд функции In г в окрестности точки z = 1:
где внутреннее суммирование в последней части этой цепоч-
цепочки равенств ведется по всем наборам (к) = (&i,&2,... ,&m)
и (/) = (Z1,Z2).-- j'm) целых неотрицательных чисел, удовле-
удовлетворяющих условиям ki + lt > 0, i! = 1,2,... , то.
Формула D.10) дает мало информации о зависимости опе-
оператора Сх от Ai и Вь- Более информативным является пред-
представление Сх в виде суммы однородных многочленов от не-
коммутирующих переменных. Определим такой многочлен:
D-n)
где внутреннее суммирование такое же, как в D.10), но с до-
дополнительным условием ki + li + ... + кт -f lm = п. Легко
проверить, что при п = 1,2,3 из формулы D.11) получают-
получаются выражения для С\, Съ и Сз, выведенные выше. Ряд Сь =
оо ^
= /L Fn(AL,BL),rji,e Fn(AL,BL) заданы формулой D.11), на-
п=1
зывают рядом Кемпбелла-Хаусдорфа.
Формула D.11) также имеет недостатки, уменьшающие
ее эффективность. Во-первых, в ряде D.11) есть подобные чле-
члены. Во-вторых, и это главное, эта формула написана для ассо-
ассоциативной алгебры векторных полей, и неизвестно, как запи-
записать ее аналог для алгебры Ли ge(G). Возможность сведения
многочленов в формуле D.11) к сумме n-кратных коммутато-
коммутаторов векторных полей требует дополнительного исследования.
§ 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли 177
Такие исследования были проведены Б. Б. Дынкиным в 1947 г.
Он получил формулу
С = С(А,В) = f) I ? (Jfc + *S), D-12)
n=l k+l=n
где
_
w ~
^ (-l)m+1 (ad A)*' (ad BI' ... (ad ВI--' Л
1!+...+!™-!=»
Формулу D.12) называют формулой Кемпбелла-Хаусдорфа
в форме Дынкина. Она имеет смысл как для^элементов А и В
алгебры Be(G), так и для векторных полей Ai и Вь-
Для практических вычислений ряды в формуле D.12) не
очень удобны, но эта формула важна в принципиальном плане,
поскольку доказывает существование групповой структуры
в окрестности единицы, исходя только из структуры алгеб-
алгебры Ли в касательном пространстве.
4.3. Дифференциал экспоненциального отображе-
отображения. В теореме 1 мы исследовали дифференциал экспонен-
экспоненциального отображения в нулевой точке пространства Te{G).
В этом пункте мы вычислим дифференциал в произвольной
точке X G Te(G), используя формулы D.6) и D.9).
Пусть г -» Х(т) — кривая в пространстве Te(G),
проходящая через точку X, X — Х{0), и пусть У =
= dX(т)Iйт\т=о — касательный вектор к этой кривой. При
произвольном вещественном а, 0 ^ а ^ 1, осуществим экс-
экспоненциальное отображение значений кривой Х(т) в группу.
Получим семью точек g(a, т), зависимую от двух параметров:
g(a,r) = ехр(<тХ(т)) = exp(tr(X + тУ + ...)).
178 Глава 2
Соответсвие т —> ехр(егХ(т)) является кривой в группе G,
проходящей через точку g(a) = g{a, 0) и имеющей касатель-
касательным вектором в этой точке элемент А(а) € Tg^(G):
A(a)F =-^F(exp(aX(r)))W=o.
Дифференциал левого сдвига DLg отображает про-
пространство Tgl(G) в пространство Tggl(G), в частности,
DLg{a)-i: Tg{tT){G) -4 Te{G). Положим
DLg{a)-iA(a) = B(a) € Te(G). D.13)
Покажем, что
^M = Ad,M-1r. D.14)
Действительно, согласно определения дифференциала ле-
левого сдвига имеем
B(a)F = ^Fte*)-1 ехр{аХ(т)))\т=0 =
Производную от функционала В(а) вычислим согласно опре-
определения:
= lim ~±-(В{(т + Аа) - B(a))F,
da
(В(а + Аа) - B(a))F = -^F(exp(-(a + Аа)Х) х D.15)
от
х ехр((<т + Аа)Х(т)) ехр(-аХ(т)) ехр(аХ)\т=0
(последнее равенство является следствием формулы D.9), со-
согласно которой касательным вектором к кривой
т ->¦ (expt{Zx +tZ2 + ...))(expr{Z[ + rZ'2 +...))
при г = 0 является вектор Zx + Z[).
Согласно определения дифференциала правого и левого
сдвигов формулу D.15) можно записать в виде
(В(а + Аа) - B(a))F = (DLg-4lT+AlT))(DRg{lT))C(Aa)F,
§ 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли 179
где касательный вектор С(Дсг) е Te(G) является функциона-
функционалом, действующим на функции / € C°°(G) по формуле
C(A*)F = Jj-F((exp((<r + А*)Х(т)))(ехр(-<гХ(т))))\Т=0.
Если взять предел До- -4 0 и воспользоваться форму-
формулой D.6), то получим
Принимая во внимание, что lim
= Ad^o-j-i, убеждаемся в справедливости формулы D.14).
Будем смотреть на D.14) как на уравнение, которому
удовлетворяет касательный вектор В(а). Согласно определе-
определения D.13), В@) = 0. Поэтому
1
ВA) = J Adg{arlYdcT =
о
Возвращаясь к формуле D.13), получаем
Поскольку АA) € Tg^(G) — касательный вектор к кри-
кривой т -4 ехрХ(т) в точке g(l) — expX, a Y — касательный
вектор к кривой т —> Х(т) и точке X € Te(G), то АA) =
= (D(expX))Y, то есть
180 Глава 2
4.4. Группы Ли в целом. Как уже отмечалось, экс-
экспоненциальное отображение и формула Кемпбелла-Хаусдорфа
определяют структуру группы Ли в некоторой окрестности
единичного элемента в терминах алгебраической операции
коммутирования, определенной в касательном пространст-
пространстве. С другой стороны, при построении алгебры Ли по груп-
группе Ли мы использовали закон умножения в как угодно малой
окрестности единицы. Эти построения приводят нас к поня-
понятию локальной группы Ли, включающем в себя некоторую
окрестность ноля V в пространстве Е" и гладкое отображе-
отображение /: V х V -+ Еп, такое что f(x,f(y,z)) = f(f(x,y),z),
f@,x) = f(x,0) = х, а также отображение j: V -ь E", для
которого f(j(x),x) = f(x,j(x)) = 0.
Каждую группу Ли можно сопоставить с бесконечно боль-
большим числом локальных групп Ли. Для этого достаточно выде-
выделить некоторую окрестность единицы V С G, обслуживаемую
локальной картой (U, ф) и такую, что V • V С U, V-1 С U,
и отождествить ее с помощью гомеоморфизма у> с окрест-
окрестностью ноля (p(V) в пространстве Ш.п. Групповая операция
и отображение j, сопоставляющее каждому элементу его об-
обратный, задают в окрестности V структуру локальной группы.
Очевидно, что алгебры Ли, построенные для разных локаль-
локальных группы Ли, ассоциирующихся с заданной группой (для
различных окрестностей), совпадают.
Структура локальной группы Ли существует для вся-
всякой алгебры Ли (над вещественным или комплексным полем,
а также над другими полями нулевой характеристики). Дей-
Действительно, пусть V — некоторая окрестность ноля в ал-
алгебре Ли д, в которой сходится ряд Кемпбелла-Хаусдорфа
(о сходимости этого ряда см. в [9, 53]). В силу существова-
существования базиса в алгебре Ли, окрестность V будем отождеств-
отождествлять с окрестностью ноля в пространстве R". Тогда отобра-
отображение f:Vy.V-? E", действующее по формуле f(X, Y) =
= 1п(ехрХ ехрУ), X, Y € V, а также отображение j: V -»• д,
действующее как j(X) = —X, определяют структуру локаль-
локальной группы Ли в алгебре д.
Группы Ли G и G' называют локально-изоморфными, ес-
если существуют открытые окрестности V и V единиц е и е'
§ 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли 181
соответственно, и аналитический диффеоморфизм Ф окрест-
окрестности V на V, для которых выполняются условия:
а) если gi,g2,gig2 € V, то $(gig2) =
б) если g'1,g2,g'1g2 € V, то Ф-Vi^) =
Будем отождествлять понятия локального изоморфизма гло-
глобальных групп с понятием изоморфизма соответствующих ло-
локальных групп.
Утверждение 2. Две группы G uG' локально изоморфны
тогда и только тогда, когда изоморфны их алгебры Ли д ид'.
Доказательство. Пусть Ф' — изоморфизм алгебр Ли д
и д'. Пусть V — окрестность единицы группы G, в кото-
которой определено отображение ехр = In. Тогда отображе-
отображение Ф = ехроФ' о In является диффеоморфизмом окрестнос-
окрестности V на некоторую окрестность единицы V' в группе G'.
Поскольку ряд Кемпбелла-Хаусдорфа для функции \n(gig2) =
= ln(exp-X"i expX2) является рядом многократных коммута-
коммутаторов, то Ф'(ln(g1g2)) — 1п(ехрФ'(Х1) ехрФ'(Х2))- Отсюда сле-
следует условие (а) в определении локального изоморфизма. Усло-
Условие (б) доказывается аналогично.
Для доказательства обратного утверждения предполо-
предположим, что группы G и G' являются связными и односвязны-
ми. Тогда локальный аналитический гомоморфизм Ф: G —v G'
можно продолжить до гомоморфного непрерывного отображе-
отображения глобальных групп. Этот факт для топологических групп
утверждается в [67], теорема 3 на стр. 74. (Его иногда называ-
называют теоремой о монодромии.) Используя утверждение 2 из § 3,
устанавливаем, что дифференциал ?>Ф осуществляет гомомор-
гомоморфизм алгебр Ли односвязных групп G и G'. Проводя такие же
рассуждения для отображения Ф", доказываем изоморфизм
алгебр Ли g и д1.
Если группы G и G' не являются односвязными, то пе-
переходим к накрывающим группам G и G" и доказываем изо-
мо?физм соответствующих алгебр Ли. Алгебры Ли групп G
и G (С и G') изоморфны, поскольку дифференциал отобра-
отображения накрытия является невырожденным в единице группы.
Утверждение доказано.
182 Глава 2
Выделим отдельным утверждением теорему о монодро-
мии, которую мы фактически использовали в приведенном
доказательстве: всякий локальный гомоморфизм (в частности,
изоморфизм) связной односвязной группы Ли G в произвольную
группу Ли G' однозначно продолжается до глобального гомо-
гомоморфизма G в G'.
Связь между алгебрами Ли (или локальными группами)
и группами Ли в целом описывается фундаментальной теоре-
теоремой Картана, называемой также третьей теоремой Ли.
Теорема 2. Каждая конечномерная алгебра Ли g явля-
является алгеброй Ли некоторой группы Ли.
Доказательство этой теоремы опирается на некоторые до-
дополнительные свойства алгебр Ли, в частности, на теорему Ле-
ви-Мальцева (см. §1 в гл. 4). Доказательство Картана дано
в [48], а также в [9]. Более простое доказательство опирается
на теорему Адо, утверждающую, что каждая конечномерная
алгебра Ли имеет точное конечномерное линейное представ-
представление. Это доказательство можно найти в книгах [18] и [53].
Утверждение 3. Каждой алгебре Ли g соответствует
единственная связная односвязная группа Ли G, для которой g
является ее алгеброй Ли. Все связные группы Ли Go, такие
что ge(Go) = g, имеют вид G/T, где Г — дискретная инвари-
инвариантная подгруппа» принадлежащая центру группы G.
Доказательство. Пусть Go — группа Ли, имеющая ал-
алгеброй Ли алгебру д, существование которой гарантирует-
гарантируется теоремой 2. Будем считать ее связной (если это не так,
то под Go будем понимать ее связную компоненту едини-
единицы). Пусть G — ее универсальная накрывающая. Проекция
р: G -* Go является гомоморфизмом групп Ли. Его ядро —
дискретная инвариантная подгруппа Г , принадлежащая цент-
центру группы G (см. п. 1.4 гл. 1). Таким образом, каждая груп-
группа Ли Go, имеющая д своей алгеброй Ли, представляется в ви-
виде G/Г. Если G и G' — две односвязные группы Ли с одной
и той же алгеброй Ли, то согласно утверждению 2 они ло-
локально изоморфны. Локальный изоморфизм Ф продолжается
§ 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли 183
до глобального гомоморфизма 4>i: G -? G', а обратное ото-
отображение также продолжается до глобального гомоморфиз-
гомоморфизма Фг = G' -> G. Отображения ФхФ2 и Ф2Ф1 являются тождест-
тождественными отображениями в окрестности единицы. Посколь-
Поскольку G и G' связны, то эти отображения продолжаются как
тождественные на всю группу. Поэтому Ф2 = Ф^1 и груп-
группы G и G' изоморфны. Теорема доказана.
В заключение этого пункта приведем без доказательства
теорему о соответствии между подалгебрами и подгруппами,
индуцируемую экспоненциальным отображением.
Теорема 3. Пусть G — группа Ли, а Н — подгруппа Ли
в G. Алгебра Ли I) группы Н является подалгеброй в алгебре
Ли g группы G. Каждая подалгебра в g является алгеброй Ли
только одной связной подгруппы Ли в G.
§ 5. Дифференциальная геометрия на
группах Ли
5.1. Аффинная связность и геодезические на глад-
гладком многообразии. Операция левого (правого) сдвига на
групповом многообразии наделяет его содержательной гео-
геометрией. Благодаря сдвигам группа Ли становится простран-
пространством с аффинной связностью. Прежде чем изучать груп-
группы Ли с этой точки зрения, напомним основные понятия тео-
теории таких пространств.
Говорят, что на многообразии М задана аффинная связ-
связность, если каждому векторному полю А ставится в соответ-
соответствие оператор V_j в пространстве векторных полей ?7"(М),
такой что выполняются условия
VA*+ftS = f^A + /aVjj, V^(/B) = (Af)B + /VjB,
E.1)
где /i,/2,/ e C°°(M) и А, В е &(М). Оператор V^j можно
применять не только к векторным полям, но и к дифферен-
дифференциальным формам и другим геометрическим объектам. Его
184 Глава 2
называют оператором ковариантной производной относитель-
относительно векторного поля А.
Рассмотрим оператор Уд- в некоторой окрестности U С М,
точки которой имеют координаты х -» {Р(х)}. Пусть вектор-
векторные поля Xi = —?— составляют базис левого модуля f?(U)
dt'(x) п
над алгеброй функций C°°(U) и пусть А = ^2 аг(х)—=-—
~ п ¦ Я i=1 dtv(x)
и В = ^2 Ь*(ж)—"— — произвольные векторные поля
в окрестности U. Используя свойства оператора V^ из усло-
условия E.1), вычислим результат действия оператора Vjj на век-
векторное поле В:
.
Из этой формулы видно, что оператор V^ определен, если
задано его действие на базисные векторные поля Xi. Функ-
Функции Г^- на U С М, определяемые из формулы
однозначно фиксируют оператор V^ в локальной системе ко-
координат. Их называют коэффициентами аффинной связности.
Использовав их, придадим формуле E.2) стандартный вид ко-
ковариантной производной векторного поля В относительно по-
поля А:
«•«• E3)
Если сделать замену локальных координат {t*(x)} —»
{t'*(x)}, то в новых координатах коэффициенты аффинной
§ 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли 185
связности будут иметь вид
т" 4l 9f"» *"(*) ***(*) ij
э2р(х) &(*)
?j dtim(x)dt'*(x) тЦх)' K '
Из этой формулы видно, что совокупность функций Г^-(ж) не
образует тензорного объекта.
Если Ф — диффеоморфизм многообразия М в себя, то
формула
определяет новую аффинную связность V* на М. Коэффици-
Коэффициенты этой связности выражаются через коэффициенты связ-
связей" (ж)
ности V формулой типа .E.4), где производные —н—^ заме-
заменены на производные . .
Аффинная связность V называется инвариантной отно-
относительно Ф, если V* = V. В этом случае диффеоморфизм Ф
называют аффинным преобразованием.
Если на многообразии определена аффинная связность, то
можно говорить о параллельном переносе касательного векто-
вектора вдоль кривой.
Пусть т —> х(т) — гладкая кривая на М, а А — касатель-
касательное к нему векторное поле (то есть такое, значение которого
в каждой точке кривой является касательным вектором Ах^
к ней: AX{T)F = (AF)(x(r)) = dF^r))). Пусть В - другое
векторное поле. Множество векторов В(т) = Вж(т), BX(T)F =
= (BF)(x(t)), называют параллельным вдоль кривой т -»
-? х(т), если
(VSB)xlT) - 0. E.5)
Пользуясь формулой E.2) и учитывая, что а*(ж(т)) =
дё(х{т)) ._ _.
= — , условие параллельности E.5) в локальных коор-
186 Глава 2
динатах перепишем в виде
g ,^'«r))^)=O. E.6,
«,3=1
Решение системы уравнений E.6) определяет отображение
вектора Вхо ~ {Ь*(ж@))} в вектор Вх(т) ~ {^(х(т))}- Единст-
Единственность решения и гладкая зависимость от начальных усло-
условий означают, что это отображение можно трактовать как
изоморфизм касательных пространств ТХо(М) и ТХ(Т){М).
Этот изоморфизм называют параллельным переносом каса-
касательного пространства вдоль кривой т —» х(т) и обозначают
через РТ:
Если на многообразии существует аффинная связность,
а следовательно, и условия параллельности касательных век-
векторов, то можно определить геодезические. Кривую т —» 7(т)
на многообразии М называют геодезической, если семейство
касательных к ней векторов параллельно вдоль этой кри-
кривой. Из условия параллельности E.6) сразу следует уравне-
уравнение для геодезических в локальных координатах. Действи-
Действительно, положив 7*(т) = **G(т))> Ьк(х(т)) = —-—-,
чаем
«\.7=1
Утверждение 1. Пусть М — гладкое многообразие
с аффинной связностью. Пусть хо Е М — фиксированная
точка, а АХо — ненулевой элемент касательного простран-
пространства ТХо(М). Тогда существует единственная максимальная
геодезическая т -» j(t) на М, проходящая через точку х0 =
= 7@) в направлении вектора АХо ¦
§ 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли 187
Доказательство. Систему уравнений E.7) заменим на
эквивалентную ей систему уравнений первого порядка
dT V"
]- = -У T*.tf(T) 1\т) 7n(r))o*(r)o>(r)
Теорема о существовании и единственности решения диф-
дифференциальных уравнений первого порядка, примененная
к этой системе при начальных условиях 7*@) = ^*(жо)>
к = 1,2,... ,га, а*@) = а*(ж0), где а*(ж0) — координаты ка-
касательного вектора АХв, обеспечивает существование геоде-
геодезической, о которой говорится в утверждении, при \т\ ^ <р.
Осуществляя процедуру продолжения решения (которая уже
была использована при построении максимального потока век-
векторного поля в п. 1.5), находим максимальную геодезическую.
Утверждение доказано.
Геодезической, проходящей через точку жо в направ-
направлении А, будем приписывать указывающий на это индекс,
то есть будем писать т —> ~ya(t). Как и для однопарамет-
рических подгрупп, для геодезических выполняется соотно-
соотношение 7л(т) = 7тлA) и имеет место непрерывная зависи-
зависимость ее значений от вектора А € ТХо(М). Поэтому можно
определить непрерывное отображение А —» 7лA) некоторой
окрестности ноля пространства ТХо (М) на некоторую окрест-
окрестность Uxo в многообразии М. Это отображение является
диффеоморфизмом в окрестности ноля и называется экс-
экспоненциальным отображением. Оно обозначается через Ехр
(или Ехр^) и во многом похоже на отображение ехр, опреде-
определенное в случае групп Ли.
На многообразии с аффинной связностью определены еще
два важных объекта. Это — тензорное поле кручения Т, зада-
задающее билинейное отображение Т: ^"(М) х ^"(М) -
Т(А, В) = VjB - VSA - [А, В], E.8)
и тензорное поле кривизны R, которое паре векторных по-
полей ставит в соответствие линейный оператор в пространст-
188 Глава 2
ве &(М):
R(A,B) = VAVe - VSVX - V№ E.9)
Пусть Xi, Х2, ¦.. , Хп — базис в левом модуле &(U) век-
векторных полей, заданных в некоторой окрестности U С М.
(Заметим, что векторные поля X,- не обязательно совпадают
с операторами производной —Ц-—, как это было выше.) Исхо-
dt'(x)
дя из равенства
определим функции с^-(ж). Тогда объекты V, Т и R можно «ло-
«локализовать», то есть задать наборами функций Г^-, Т- и R^t
в окрестности U С М:
п п
fc=i
Определенные таким образом функции не являются незави-
независимыми. Для них выполняются два соотношения, непосредст-
непосредственно вытекающие из определений E.8) и E.9):
гк _ т-А _ г<к _
ij — 4j l ji
tn=l tn=l
E.10)
Функции c*j-, T-j, R$jt, а также соотношения E.10) между ни-
ними существенно зависят от выбора базисных векторных по-
полей Х{. Формулы упрощаются, если Xi = —?¦—. Но такой
dt'(x)
базис не всегда удобен. В частности, на групповом многооб-
многообразии естественным является базис, состоящий из левоинва-
риантных (правоинвариантных) векторных полей. Для такого
§ 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли 189
базиса структурные функции с^-, как показано в § 3, являются
постоянными.
Аффинную связность называют симметричной, если от-
отвечающий ей тензор кручения равен нулю. Симметрич-
~ Г д 1
ная связность в базисе {Xi} = < —:— ? задается коэф-
l dt%{x) >
фициентами связности, симметричными по нижним ин-
индексам: Г^- = r*f. Это непосредственно следует из форму-
формулы E.10).
5.2. Псевдоримановы и римановы многообразия.
Псевдоримановой структурой (метрикой) на многообразии М
называют билинейное отображение Ь: S?(M) x ?7"(М) -*С°°(М),
удовлетворяющее условиям
а) b(f1AJ2B)=f1f2b(A,B),
б) Ь(А,В) = Ь(В,А).
Если __ отображение b положительно определено, то есть
Ь(А, А) > 0 и Ь(А, А) = 0 тогда и только тогда, когда А = 0, то
такую структуру (метрику) называют римановой. Очевидно,
что в каждой точке хо € М отображение Ь индуцирует не-
невырожденную симметричную билинейную форму (скалярное
произведение) на касательном пространстве ТХв(М):
Ь(АХВ,ВХО) = Ь(А,В)(хо), АХв,ВХо Е ТХВ(М). E.11)
В каждой локальной карте псевдориманова структура
задается симметричным тензорным полем типа @,2). Ес-
Если {а*(х)} и {Ьг(х)} — координатные функции векторных по-
полей А к В в некоторой локальной карте, то
t,3
Функции bij(x) являются координатными функциями метри-
метрического тензора.
Псевдоримановым многообразием называют связное глад-
гладкое многообразие с псевдоримановой структурой на нем. Если
структура риманова, то многообразие называют римановым.
190 Глава 2
Риманова структура на многообразии индуцирует риманову
структуру на подмногообразиях. Аналогичное утверждение
для псевдоримановой структуры неверно, поскольку сигнату-
сигнатура квадратичной формы E.11) различна на различных под-
подпространствах в ТХо(М).
Аффинная связность и псевдориманова структура опреде-
определяются независимо. Но во многих случаях желательно, чтобы
они были согласованы между собой. Условие согласованности
означает, что параллельный перенос, определяемый аффинной
связностью, должен сохранять скалярное произведение в ка-
касательных пространствах, то есть
Ь(АХв1ВХв) = Ъ(РТ о АХВ,РТ о Вхо). E.12)
Если кривая т -» х(т), вдоль которой осуществляется парал-
параллельный перенос, является интегральной кривой векторного
поля С, то условие согласованности E.12) можно записать
в дифференциальной форме:
V5 о Ь(А, В) = СЬ(А, В) - b(V6A, В) - Ь(А, V6B) = 0. E.13)
Утверждение 2. На псеедориманоеом многообразии су-
существует только одна аффинная связность, являющаяся сим-
симметричной, и параллельный перенос сохраняет скалярное про-
произведение в касательных пространствах.
Доказательство. Из условия согласованности в фор-
форме E.13) получаем
АЬ(В,С) = Ь(УЛВ,С)
Осуществим в этой формуле циклическую^ перестановку
букв А, В, С к образуем сумму АЬ(В, С)+ВЬ(С, А)~СЬ[А, В).
Используя соотношение V^B = VgA + [А, В], являющееся
следствием условия симметричности Т(А,В) — 0 и форму-
формулы E.8), выключим из образованной суммы слагаемые, со-
содержащие ковариантные производные V^ и Vg. Получим со-
соотношение
2b(VxB, С) = АЪ(В, С) + ВЪ(С, А) - СЪ(А, В) +
+ Ъ(А, [В, С]) + Ь{В, [С, А)) - Ъ(С, [А, В]). E.14)
§ 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли 191
Поскольку форма Ь невырождена, то из этого соотношения вы-
вытекает, что может существовать только одна кавариантная
производная V^j, а следовательно, одна аффинная связность,
удовлетворяющая условию E.13) и равенству Т(А,В) = 0.
Утверждение доказано.
Возьмем в качестве векторных полей А, В, С в форму-
формуле E.14) базисные поля Xi = —9-—, Xj, Xk и найдем явное
dtl(x)
выражение для коэффициентов аффинной связности, удовле-
удовлетворяющей условиям утверждения 2:
3 ~2h \dtiw вею «*(«)J' E-15)
где f: blkbkm - S'm.
К—X
Аффинная связность, определяемая формулой E.14), ко-
коэффициенты которой в локальных координатах выражаются
через метрический тензор формулой E.15), называется псев-
дориманоеой (римановой) связностью.
5.3. Аффинная связность на группах Ли. Аффин-
Аффинную связность на групповом многообразии определим та-
таким образом, чтобы геодезические, проходящие через еди-
единицу группы и имеющие своими направляющими векторами
элементы касательного пространства Te(G), совпадали с со-
соответствующими однопараметрическими подгруппами. Осу-
Осуществим построение таких аффинных связностеи сначала ло-
локально в фиксированной системе координат.
Пусть g -> {t'(g)} — локальные координаты в окрестнос-
окрестности единицы группы G и {а*} — координаты некоторого каса-
касательного вектора А € Te(G). Однопараметрическая подгруп-
подгруппа т —> gA^T) получается как решение динамической системы
где (LXj(g)) — матрица дифференциала левого сдвига на эле-
элемент g. Чтобы кривая т -> gA^) была геодезической некото-
192 Глава 2
рой связности, необходимо, чтобы функции tk(gA(r)) удов-
удовлетворяли уравнению E.7). Согласовывая уравнения E.7)
и E.16), получаем соотношение
dt'(g(r))
~ Ё
которое следует рассматривать как уравнение на Коэффици-
Коэффициенты связности Г*г
Из уравнения E.17) можно получить два выражения для
коэффициентов Г*,:
E.18)
Каждое из них определяет аффинную связность в окрестности
единицы группы G. Обозначим соответствующие связности
через V+ и V"". Покажем, что они левоинвариантны. Дейст-
Действительно, вычисляя коэффициенты Г^'г в точке gig, получаем
dt4g) d^r+<k i
,
r
dt*(g) ms
& dP(glg)dtl(glg) dtk(g) '
что и доказывает левоинвариантность аффинных связнос-
тей V± в локальной системе координат.
Левоинвариантные аффинные связности на группе Ли
описываются в следующем
Утверждение 3. Существует взаимно однозначное со-
соответствие между элементами множества левоинвариант-
ных аффинных связностей на группе Ли G и элементами мно-
множества билинейных отображений а на ge(G) со значениями
§ 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли 193
в Qe(G). Если о. — кососимметричное отображение, то гео-
геодезические относительно соответствующей связности явля-
являются однопараметрическими подгруппами в G.
Доказательство. Напомним, что связность V левоин-
вариантна, если V(DLg)A(DLg)B = (DLg)(X/AB), где DLg —
дифференциал левого сдвига. Из этого определения видно, что
поле V^ Bl левоинвариантно, если такими являются поля Al
и Bl- Справедливо и обратное утверждение: если ковариант-
ная производная одного левоинвариантно поля относительно
другого является левоинвариантным полем, то соответству-
соответствующая аффинная связность левоинвариантна. Учитывая это,
определим на группе G левоинвариантную связность Va фор-
формулой
Xb a(A,B), Аь = (DLg)A, BL = {DLg)B.
E.19)
Поскольку левоинвариантные векторные поля составляют ба-
базис левого модуля S?(G), то формула E.19) вместе с соотно-
соотношением E.1) задает ковариантную производную (связность)
для всех векторных полей из S?(G).
Каждому вектору А Е Qe{G) соответствует однопарамет-
рическая подгруппа т —> ^д(т) и векторы А(т) (являющиеся
значениями векторного поля Al в точках ?д(т)), касательные
к ней. Если билинейная форма а кососимметрична, то
V^ AL = (DLg)a(A, A) = 0. E.20)
Это значит, что однопараметрическая подгруппа т
является геодезической для связности V". С другой сто-
стороны, пусть т —> 7.4 (т) — геодезическая левоинвариантной
связности с направляющим вектором A G ge(G) и 7л@) = е.
Вследствие левоинвариантности кривые т -> "уа{о~ + т)
и т -»• "Уа{<гIа{т) также являются геодезическими, прохо-
проходящими через точку "Уа{<?) и имеющими своим касатель-
касательным вектором в этой точке вектор (DLyA(a))A. Соглас-
Согласно утверждения 1 о единственности геодезической имеем
равенство 7а(оЧ-т) = 7a(o'Oa(t")- To есть геодезическая
т -> 7а(т) является однопараметрической подгруппой, совпа-
совпадающей с подгруппой т —> ?д(¦*¦)• Утверждение доказано.
194 Глава 2
Пусть а{А,В) = [А,В]. Тогда VJ BL = [AL,BL]. Вычис-
ляя коммутатор векторных полей в локальной системе коор-
координат, убеждаемся, что коэффициенты этой связности совпа-
совпадают с rij'*(g-), то есть V" = V+.
Отображению а = 0 соответствует связность V", для ко-
которой V~jj Bl = 0 для любой пары левоинвариантных век-
векторных полей Al и Bl- Легко убедиться, что коэффициенты
связности V~ совпадают с функциями Г^'1(#).
Тензорные поля кручения и кривизны для связностей V+
и V~, вычисленные на левоинвариантных векторных полях,
имеют вид
T^{AL,B?) = ±[AL,BL], R^A^Bl) = 0.
Кроме связностей V* естественно рассмотреть также сим-
симметричную левоинвариантную связность V0 = ^(V+ 4- V~),
определяемую кососимметричной формой а(А,В) = =АА,В\.
На левоинвариантных векторных полях имеем
V°AlBl = \[AL,BL), T°(AL,BL) = 0,
B°(AL,BL)CL = -±[[AL,BL],CL].
Вычисляя тензор кривизны в базисе левоинвариантных век-
торных полях Х,, для которых [Xi,Xj] = Y^, cijXki получаем
Таким образом, левоинвариантная симметричная связность
на группе Ли порождает ненулевой, но постоянный тензор
кривизны.
5.4. Инвариантная метрика и инвариантный ин-
интеграл на группе Ли Билинейная форма Киллинга на ал-
алгебре Ли ge(G) продолжается с помощью левых (правых) сдви-
сдвигов до двусторонне инвариантной метрики на группе Ли. Ес-
Если группа Ли полупроста (см. гл. 4), то согласно критерию
§5. Дифференциальная геометрия на группах Ли 195
Э. Картана [9] форма Киллинга невырождена и такая метрика
будет псевдоримановой. В случае компактных полупростых
групп Ли форма Киллинга знакоопределена и поэтому соот-
соответствующая ей метрика риманова.
Пусть B(X,Y) — билинейная форма Киллинга в про-
пространстве ge(G) полупростой группы Ли G. Псевдориманову
метрику зададим на левоинвариантных векторных полях, по-
положив _
b(XL,YL) =-B(X,Y), E.22)
где Хь—DLgX и Yl—DL^Y. В системе координат окрестнос-
ти единицы в базисе векторных полей вида X,- = 53 -^i (s) —¦ —
j=i dtJ(x)
поле метрического тензора задается функциями
^ E.23)
fc,i=i
n
где gij = 53 cfmc^ — метрических тензор в алгебре Ли де (G).
s,m=l
Метрика E.22) левоинвариантна по определению. Пока-
Покажем, что она также правоинвариантна. Действительно,
b(XR,YR) = b(DRgX,DRgY) =
= b{DLgDLg-iDRgX,DLgDLg-iDRgY) =
Поскольку форма Киллинга Ad-инвариантна, то Ь(Хд,Уд) =
= b(XL,Yz) — — B(X,Y), откуда видно, что метрика правоин-
правоинвариантна.
Метрика E.22) согласована с симметричной левоинвари-
антной аффинной связностью V0, о которой говорилось в пре-
предыдущем пункте. Действительно, вследствие Ad-инвариант-
Ad-инвариантности формы Киллинга имеем
= -\(b{[Z,X],Y) +B(X,[Z,Y]) - 0. E.24)
196 Глава 2
Если учесть, что Z^Xz^Yl) = —Zz,B(X,Y) = 0, то увидим,
что равенство E.24) совпадает с условием согласованнос-
согласованности метрики с аффинной связностью. Таким образом, связ-
связность V0 является псевдоримановой относительно псевдори-
псевдоримановой структуры E.22).
Для построения инвариантного интеграла на группе Ли
рассмотрим левоинвариантные (или правоинвариантные) диф-
дифференциальные формы и*, дуальные к левоинвариантным
векторным полям Хг = DLgXi ({ЛГ«} — базис в алгеб-
ре Ли ge(G)). В локальной системе координат ш* = ?)
3-1
Определим левоинвариантную форму объема Ць(ё)> положив
ць (g) - иI Л J2 Л ... Л шп. E.25)
В локальных координатах формула E.25) принимает вид
//?(g) = det Vigidt1 Adt2A...Adtn. E.26)
Правоинвариантная форма объема dn(g) строится как
внешнее произведение линейных правоинвариантных диффе-
дифференциальных форм и в локальных координатах имеет вид
цн(g) = det U(g)dt1 Л dt2 Л ... Л dtn,
где матрица U(g) соответствует правому сдвигу на группе
и определена в § 3.
Форма объема E.25) определяет левоинвариантный ин-
интеграл на группе G. Его характеристическая особенность со-
состоит в том, что объем любого сингулярного куба Фп: 1п —> G
(или объединения кубов) сохраняется при левых сдвигах, то
есть
Величину т?(Фп(/")) называют мерой Хаара множества
Ф"(/п) cGb честь венгерского математика, доказавшего су-
существование инвариантного интеграла на локально-компакт-
локально-компактных группах.
§ 5. Дифференциальная геометрия на гриппах Ли 197
Полупростые группы Ли являются псевдоримановыми,
а поэтому на них существует форма объема, имеющая в ло-
локальных координатах вид
do = тДдёЩш1 A dt2 Л... Л dtn, E.27)
где Ь = bij(g).
П
Если учесть, что bij(g) = ? Vlk{g)VHg)gki, то легко ви-
fe,i=i
деть, что с точностью до константы формулы E.26) и E.27)
совпадают. Но поскольку псевдориманова метрика E.22) дву-
сторонне инвариантна, то такое же свойство имеет и форма
объема E.27).
Группы, на которых мера Хаара двусторонне инвариант-
инвариантна, называются унимодулярными. Среди таких групп Ли —
полупростые группы, группы G, для которых AdG — ком-
компактная группа, связные нильпотентные группы.
Глава 3
Представления групп и алгебр
§ 1. Основные понятия теории представлений
1.1. Определение представлений. Симметрии, с ко-
которыми мы встречаемся в физике, химии и других естест-
естественных науках, реализуются через преобразования величин,
в большинстве случаев обладающих свойством линейности, то
есть их можно складывать и умножать на числа. Реализация
группы или алгебры линейными преобразованиями называет-
называется линейным представлением этой алгебраической структуры
(точное определение будет дано ниже). Например, преобразо-
преобразования электромагнитного поля при переходе из одной инерци-
альной системы отсчета к другой — одно из возможных ко-
конечномерных представлений группы Лоренца; преобразования
спиноров — решений уравнения Дирака —- другое представле-
представление той же группы. Симметрии квантовой системы, реализу-
реализуемые линейными преобразованиями векторов состояния (вол-
(волновых функций), преобразования векторов смещений атомов
относительно их равновесных положений элементами группы
симметрии многоатомной молекулы — все это примеры ли-
линейных представлений.
Приложения теории представлений групп, алгебр и дру-
других алгебраических структур самые разнообразные. Всю
квантовую механику с математической точки зрения можно
рассматривать как теорию представлений перестановочных
соотношений между основными квантовыми наблюдаемыми.
Теория представлений используется в теории динамических
систем, является содержательной частью функционального
анализа и спектральной теории линейных операторов и имеет
множество приложений в теории специальных функций и ав-
томорфных форм.
Представления, с которыми мы будем иметь дело, ре-
реализованы, как правило, в конечномерных или бесконеч-
§ 1. Основные понятия теории представлений 199
номерных банаховых или гильбертовых пространствах. Рас-
Рассматривают представления и в боле& общих пространствах,
например, в пространствах обобщенных функций, конечно-
нормированных пространствах, модулях и т. п. Основные опре-
определения, приведенные ниже, легко обобщаются на эти случаи.
Напомним, что комплексное линейное пространство й назы-
называется банаховым пространством, если каждому элементу f € $)
сопоставляется неотрицательное число ||f||, такое что
а) ||f || ^ 0 и |f || = 0 тогда и только тогда, когда f = 0;
б) ||fi+fa||<||fi|| + ||fa||;
в) ||Af|| = |A|||f|| для всех Л 6 С,
(число ||f|| называется нормой элемента f) и пространство Sj полно
относительно сходимости по норме, то есть каждая его фундамен-
фундаментальная последовательность имеет предел.
Классическим примером банахова пространства явля-
является пространство С(Ш) непрерывных ограниченных функ-
функций одного переменного. Норма в С(К) задается форму-
формулой II/H = sup |/(х)|.
хек
Комплексное линейное пространство $) называется гиль-
гильбертовым, если каждой паре элементов fi,fi G f) ставится
в соответствие комплексное число (fi,f2), называемое скаляр-
скалярным произведением элементов fi и f2, такое что
а) <f1,f2> = <f2,fi>,
б) <fi,af2 + РU) = a(fi,f2) + /3 <fi,f3) a,Pe С,
в) (f, f) ^ 0 и (f, f) = 0 тогда и только тогда, когда f = 0,
и ij полно относительно сходимости по норме ||f|| =
Из этого определения видно, что гильбертово пространст-
пространство является одновременно и банаховым. Типичным примером
гильбертова пространства является пространство комплекс-
нозначных функций одного переменного, для которых сущест-
существует интеграл / |/(х)]2 dx < оо. Это пространство обозначают
200 Глава 3
через Ь2(Ш). Скалярное произведение в нем задается форму-
формулой
<fl,f2)=ffl(x)Mx)dx.
и
Пусть Sj — конечномерное или бесконечномерное комп-
комплексное линейное пространство. В бесконечномерном случае
предполагаем, что оно банахово. Обозначим через L(Sj) мно-
множество ограниченных линейных преобразований (операторов)
пространства Sj. Ясно, что L(Sj) — линейное пространство.
Более того, оно является ассоциативной алгеброй с единицей,
причем единица — это тождественное отображение, которое
обозначаем через Е. Операция [А, В] = АВ — ВА, А,ВЕ L(Sj),
превращает L(Sj) в алгебру Ли. Множество обратимых огра-
ограниченных операторов на S) образует группу, обозначаемую че-
через GL(Sj).
Линейным представлением (или просто представлением)
группы G в пространстве Sj называют гомоморфизм группы G
в группу GL($j). Другими словами, представление — это ли-
линейное отображение Т: G -»• GL(S)), для которого выполня-
выполняются условия
ngig2)=T(gl)T(g2) T{e)=E. A.1)
Очевидно, что Tig'1) = Т^.
Всюду в этой книге будут рассматриваться представле-
представления в линейных пространствах над полем комплексных чисел.
Можно рассматривать представления над полем веществен-
вещественных чисел, однако такие представления теряют ряд свойств,
которыми обладают представления в комплексных простран-
пространствах.
Если G — топологическая группа, то естественно тре-
требовать непрерывности отображения Т. Поскольку для огра-
ограниченных операторов в банаховом пространстве определена
норма
то непрерывность отображения Т означает непрерывность его
нормы ||T(g)|| как функции на группе G.
§ 1. Основные понятия теории представлений 201
Как для всякого гомоморфизма, для отображения Т опре-
определено ядро
kerT = {g€ G \T(g) = Е} = Н,
которое является инвариантной подгруппой. Очевидно, что
всем элементам из gH = Hg с фиксированным g отвечает
один и тот же оператор T(g). Множество смежных классов gH
образует фактор-группу G/H. Соответствие gH -»• T'(gH) =
= T(g) является ее представлением. Справедливо и обратное:
если Н — инвариантная подгруппа в G и gH —> T'(gH) —
представление фактор-группы G/H, то соответствие g —»
-» T(g) = T'(gH) является представлением группы G. Эти
рассуждения подытожим в следующем утверждении.
Утверждение 1. Пусть Н — инвариантная подгруппа
группы G. Всякое представление группы G, ядро которого со-
содержит Н, определяет представление фактор-группы G/H.
Обратно, всякое представление фактор-группы G/H опреде-
определяет представление группы G, ядро которого содержит под-
подгруппа Н.
Это утверждение часто используется в эвристических
соображениях при перечислении представлений конечных
групп.
Если ядро гомоморфизма Г состоит из единичного эле-
элемента, то представление называется точным.
Размерность пространства f), в котором действует пред-
представление Т, называют размерностью этого представления
и обозначают dim Т. Различают конечномерные и бесконеч-
бесконечномерные представления.
Пример 1. Каждая линейная группа имеет представление Г,
которое задается формулой T(g) = g. Его называют векторным
или самопредставлением.
Пример 2. При фиксированном А соответствие х —> еХх явля-
является представлением аддитивной группы вещественных чисел R,
а соответствие х —> хх — представлением мультипликативной
группы положительных чисел R+. Мультипликативная группа Со
отличных от нуля комплексных чисел является прямым произве-
произведением группы R+ и тора 17A): z = \z\eiargz. При каждом А 6 С
202 Глава 3
и к 6 Z соответствие
z-> |z|Aexp(ifcargz),
— представление группы Со.
Пример 3. Пусть C(R) — пространство непрерывных функ-
функций на вещественной оси. В нем определено представление груп-
группы К, задаваемое формулой
Пример 4. Формула T(g) = detg задает одномерное представ-
представление групп GL(n, С).
Пример 5. Соответствие
— двумерное представление группы Со.
Пример 6. Множество Но ненулевых кватернионов q = о+Ы+
+ej+dk, где а, Ь, с, d ? R, — некоммутативная группа относительно
умножения. Соответствие
q —> I __ _ I , z — а + Ы, w = c + di,
— представление этой группы. Кватернионным единицам i, j, k при
этом представлении соответствуют матрицы
О -0- (.! ;)¦ 0 !)¦
Пример 7. Пусть g{h,a) 6 ISO(n), где h e SO(n) и а 6 R".
Соответствие
g(h,a)-+h
задает n-мерное представление группы ISO(n), тривиальное на ин-
инвариантной подгруппе, состоящей из параллельных переносов.
Пример 8. Из примеров 2 и 4 вытекает, что при Л 6 С и к ? Z
формула
T(g) = |detgf exp(ifcarg(detg))
задает представление группы GL(n, С).
§1. Основные понятия теории представлений 203
Пример 9. Пусть Т — конечномерное представление груп-
группы SO(n). Если g(h, а) — элемент группы ISO(n) (см. пример 7),
то
— представление группы ISO(n). Таким образом, представления
группы SO(n) поднимаются до представлений группы ISO{n).
Пусть g — алгебра Ли или ассоциативная алгебра. Пред-
Представлением алгебры g называют гомоморфизм Т: g -*• L(Sj),
где L(Sj) рассматривается соответственно как алгебра Ли
или как ассоциативная алгебра. Другими словами, соответ-
соответствие а —> Т[а) является представлением алгебры д, если оно
линейно, то есть
Т(аа + рЬ) = аТ(а) + рТ(Ь), а, /? G С, a,b?g,
и сохраняет операцию коммутирования
Т([а,Ъ]) = [Т(а),Т(Ъ)] = Т(а)Т(Ъ) -Т(Ъ)Т(а)
в случае алгебры Ли и операцию ассоциативного умножения
Т(аЬ) = Т(о)Т(Ь)
в случае ассоциативной алгебры.
Часто приходится рассматривать представления алгебр Ли
и ассоциативных алгебр неограниченными операторами. Опре-
Определения этих представлений совпадает с приведенным вы-
выше, если заменить пространство L(Sj) ограниченных операто-
операторов пространством ?(^) операторов, определенных на всюду
плотном в Jfj подпространстве. Ясно, что представления не-
неограниченными операторами возникают в бесконечномерном
случае.
Очевидным образом (путем замены инвариантной под-
подгруппы двусторонним идеалом) для алгебры Ли и ассоциатив-
ассоциативной алгебры можно переформулировать утверждение 1.
Пусть в пространстве Sj зафиксирован базис ei,e2,...
Для каждого оператора T(g) представления Т группы G имеем
204 Глава 3
Функции t{j(g) аргумента g называют матричными элемен-
элементами представления Т. Если пространство Sj гильбертово
и в нем зафиксирован ортонормированный базис {е,}, то мат-
матричные элементы представления Т определяются формулой
В случае конечномерного представления фиксация бази-
базиса ej, i = 1,2,... ,п, влечет отождествление группы
с группой комплексных матриц размерности п:
Тогда представление Т является гомоморфизмом группы G
в группу GL(n,С). Такое представление иногда называется
матричным.
1.2. Неприводимые и неразложимые представле-
представления. Конечномерное представление называют приводимым,
если в пространстве представления Sj существует хотя бы од-
одно нетривиальное инвариантное подпространство S)i, то есть
такое, что Т(а)х G Sji при всех х G #1 и всех а из группы или
алгебры. Если такие подпространства отсутствуют, то пред-
представление неприводимо. Ясно, что одномерные представления
неприводимы.
Если все операторы Т{а) приводимого представления рас-
рассматривать только на инвариантном подпространстве Sjx, то
получим новое представление 7\ в пространстве .fji, которое
называют подпредставлением представления Т. Из инвари-
инвариантности f)i вытекает, что операторы Т(а) переводят смеж-
смежные классы х+fji в смежные классы Т(а)х+^х. Этим опреде-
определяется представление Т2 в фактор-пространстве S)/S}i. Его на-
называют фактор-представлением представления Т по Т\. Если
в 5э выбрать базис ei,e2,..- так, чтобы первыми были базис-
базисные векторы подпространства 9)\, то представление Т в этом
базисе будет задаваться матрицами блочного вида
Ша) А(а)\
V 0 Т2{а))-
A.2)
Если в 5э существует дополнительное подпространство Sfo
к S)i, которое инвариантно относительно операторов Т(а),
§1. Основные понятия теории представлений 205
то получаем реализацию представления Т2 в виде подпред-
ставления. В этом случае говорят,;что Т является пря-
прямой суммой подпредставлений Т\ и T2:T = Ti+T2- Ясно,
что если Т = Т\ + Т2, то базис в 5э можно выбрать так, чтобы
матрицы представлений имели вид A.2) с А(а) = 0. Если пере-
перевыбором базиса невозможно превратить А(а) в нулевой блок,
то Т ф Ti + Т2. В этом случае говорят, что Т — неразложимое
представление.
Пусть Т разлагается в прямую сумму представлений Т\
и Т2: Т = Т\ + Т2. Если Т\ и (или) Т2 — приводимые пред-
представления, то процесс разложения можно продолжить. Если
в конце концов представление Т разлагается в прямую сумму
неприводимых представлений Т = Т\ + ... + Тк, то оно назы-
называется вполне приводимым. Если при разложении на каком-то
шаге получим неразложимое представление, то все представ-
представление Т также называют неразложимым.
В случае бесконечномерных представлений под непри-
неприводимостью понимают отсутствие инвариантных подпрост-
подпространств, замыкание которых не совпадает со всем пространст-
пространством 55- Очевидным образом на этот случай распространяются
понятия приводимости, подпредставления, фактор-представ-
фактор-представления и другие.
Определенная выше неприводимость в случае бесконечно-
бесконечномерных представлений называется пространственной непри-
неприводимостью. Представление Т называют оператпорно непри-
неприводимым, если для любого оператора А, перестановочного со
всеми операторами Т(а), имеем А = ХЕ, где A G С и Е —
единичный оператор. (В случае представлений алгебр беско-
бесконечномерными операторами на А накладывается дополнитель-
дополнительное условие AD С D, где D — линейное подпространство,
на котором определены операторы представления.) Существу-
Существуют и другие определения неприводимости бесконечномерных
представлений. Все они совпадают для унитарных представ-
представлений.
Пример 10. Матричное представление вида
группы Со вполне приводимо, если Ъ = 0, н неразложимо, если Ъ
206 Глава 3
Пример 11. Самопредставление группы верхних треугольных
матриц размерности п, п > 1, приводимо и неразложимо.
1.3. Унитарные и контраградиентные представле-
представления. Если пространство представления Т группы G гиль-
гильбертово, а соответствующее скалярное произведение инвари-
инвариантно относительно операторов представления, то есть
(Tte)x,Tte)y) = (x,y>, A.3)
то это представление называют унитарным. Если через T*(g)
обозначить сопряженный к T(g) оператор, то равенство A.3)
означает, что
T\g) = T~\g) = T(g~l).
Матрицы унитарных представлений в ортонормированием ба-
базисе унитарны. Поэтому их матричные элементы удовлетво-
удовлетворяют условиям
Y1 ** Wikig) = Yltk* (e)*kj(g) =
к к
(черта над tjk(g) означает комплексное сопряжение).
Унитарные представления — важный и наиболее изучен-
изученный класс представлений групп. Они естественным образом
возникают во многих приложениях: квантовой механике, те-
теории поля, теории динамических систем. Унитарные пред-
представления групп обладают рядом дополнительных свойств, ко-
которые облегчают их изучение. Некоторые из них приведем
ниже.
Утверждение 2. Конечномерное унитарное представ-
представление группы вполне приводимо, то есть разлагается в прямую
сумму неприводимых представлений.
Доказательство. Пусть Sji — инвариантное подпро-
подпространство унитарного представления Т группы G в гильберто-
гильбертовом пространстве $). Ортогональное дополнение к нему Sj1- =
= Ф 0 .fji также инвариантно. Действительно, если у € $)±
и g ? G, то для всех х G Sji имеем
§ 1. Основные понятия теории представлений 207
А поскольку T(g~1)x. G #1, то (T(g-~1)x,y) = 0. Поэтому
(x,T(g-)y) = 0 для всех х G ?ь то есть T(g)y 6 5эх- Это
доказывает инвариантность Sjx. Таким образом, Т разлага-
разлагается в прямую сумму подпредставлений, реализуемых в $)i
и 5эх. Если в f)i или 5эх существуют другие инвариантные
подпространства, то процесс разложения можно продолжить
и получить разложение представления в прямую сумму не-
неприводимых представлений. Утверждение доказано.
Для бесконечномерных унитарных представлений утверж-
утверждение 2 в общем не верно. Однако можно построить тео-
теорию разложений унитарных бесконечномерных представле-
представлений в непрерывную сумму (интеграл) неприводимых компо-
компонент. При этом вместо разложения гильбертовых пространств
в прямую сумму подпространств используется их разложение
в непрерывную сумму (интеграл) гильбертовых пространств,
которые не являются подпространствами в обычном смыс-
смысле этого слова. За деталями этой теории отсылаем читателя
к монографии [32]. Некоторые примеры разложений унитар-
унитарных представлений в непрерывные суммы их неприводимых
компонент будут рассмотрены ниже.
Как следует из определения, унитарность представле-
представления — это свойство инвариантности скалярного произведе-
произведения. Если мы имеем представление в банаховом пространстве,
то естественно возникает вопрос возможности построения
такого инвариантного скалярного произведения. Процедура
построения такого скалярного произведения называется уни-
тпаризацией представления. Конечно, не все представления до-
допускают унитаризацию. Однако для компактных топологичес-
топологических групп справедливо
Утверждение 3. Всякое представление компактной
группы в гильбертовом пространстве можно унитаризовать.
Доказательство. Пусть (х,у) — скалярное произведе-
произведение в гильбертовом пространстве .fj, которое не сохраняет-
сохраняется при действии операторов представления T(g) компактной
группы G. Непосредственно проверяется, что эрмитова форма
= J
(T(g)x,T(g)y)dg,
208 Глава S
где dg — инвариантная мера на G, является новым (положи-
(положительно определенным) скалярным произведением на $j. Это
скалярное произведение инвариантно относительно T(g). Дей-
Действительно, поскольку dg — инвариантная мера на G, то
>; = f(nggi)x,T(ggl)y)dg =
G
= J{T(g)X,T(g)y)dg=(x,y).
G
Утверждение доказано.
Рассмотрим понятие контраградиентного представления.
Пусть 5э — линейное топологическое пространство, например
банахово. Обозначим через Sj* пространство линейных непре-
непрерывных функционалов на 5э- Значение элемента / е $)* на век-
векторе х ? $j будем обозначать через {/, х). Пусть в простран-
пространстве Sj определено представление Т группы G ограниченными
операторами T(g). При фиксированном g ? G каждому f С $j*
сопоставляем функционал /', действующий по формуле
(/',х> = (f,T(g)x).
Соответствие / —> /' линейно. Поэтому оно определяет линей-
линейный оператор T'(g) в пространстве $)* : f = T'(g)f. Очевидно,
что
T\glg2) = (т(а)т(й))' = T'(g2)T'(gl).
Поэтому вместо операторов T'(g) естественно рассмотреть
операторы T(g) — T'^), определяемые формулой
Поскольку T(gig2) = T(gi)T(g2), то соответствие g ->• T(g)
является представлением группы G в пространстве #*, назы-
называемое контраградиентпным к представлению Т.
Если f) — гильбертово пространство, то Sj* можно отож-
отождествить с пространством $э (согласно теореме Рисса об
общем виде линейного функционала в гильбертовом простран-
пространстве [4]). Тогда представления Т и Т действуют в одном
§ 1. Основные понятия теории представлений 209
и том же пространстве. Пусть {ej} — базис пространства f),
a tij(g) — матричные элементы оператора T(g) в этом базисе.
Если {fj} — дуальный базис, то есть такой, что (?,е,-) = Sij,
то матричные элементы tij(g) оператора T(g) в базисе {?}
связаны с матричными элементами Uj(g) в базисе {е,-} соот-
соотношением
Uiis) = ^(ё-1)- A-4)
Если Т — унитарное представление, то T(g~x) = T*(g),
что для соответствующих матричных элементов, вычислен-
вычисленных в ортонормированием базисе, означает, что
tijig-1) = tjiig). A.5)
Комбинируя формулы A.4) и A.5) получаем
Утверждение 4. Если в гильбертовом пространстве Sj
унитарного представления Т зафиксирован ортпонормирован-
ный базис, то матрицы представления Т, контраградиентно-
го к Т, получаются из матриц представления Т комплексным
сопряжением.
Пример 12. Пусть L2(G,d,Lg) — пространство квадратично
интегрируемых функций на локально компактной группе G. Пред-
Представление группы G операторами левого сдвига
TL(gl)f(g) = Ln f{g) = Hg^g) A.6)
в гильбертовом пространстве L?{G,d.Lg) унитарно. Унитарным бу-
будет также представление в пространстве L2(G,dRg) операторами
правого сдвига
TR{gl)f{g) = Rglf(g) = f(ggi). A-7)
Пример 13. Представление группы Лоренца на компонентах
спиноров Дирака является прямой суммой двух конечномерных
взаимно контраградиентных представлений.
1.4. Сплетающие и инвариантные операторы. Эк-
Эквивалентность представлений Пусть Т\ и Тг — пред-
представления группы G в банаховых пространствах f)i и fJ со-
соответственно. Линейный непрерывный оператор А из 5э1 в Йг
210 Глава 3
называется сплетающим представления 1\ и Т2, если для каж-
каждого g ? G выполняется равенство
AT1(g)=T2(g)A. A.8)
Количество линейно независимых сплетающих операторов на-
называется индексом сплетения.
Если i3i = Фг и Т\ — Тг, то оператор А, для которого вы-
выполняется равенство A.8), сплетает представление Г с собой.
Такой оператор называют инвариантным относительно Т.
Пример 14. Если Г = Ti + Г2, где Г, действует в .Qi,« = 1,2,
то оператор проектирования пространства .fj = .Qi ©*J на 55f спле-
сплетает Г и TV.
Пример 15. Пусть х — циклический вектор представле-
представления Г в гильбертовом пространстве $). Это означает, что на
векторы T(g)x, j?G, натягивается линейное пространство, за-
замыкание которого совпадает с 9). Каждому вектору у € Sj поста-
поставим в соответствие функцию fy(g) = {x,T(g)y) на G. Отображе-
Отображение Ах: у —> /у сплетает Г с представлением R группы G правыми
сдвигами в пространстве непрерывных функций на G: R(go)F(g) =
= F(ggo). Действительно,
[AxT(g0)y]{g) = [АЛТЫуШ = (x,T(g)T(go)y) =
= <x,Ttego)y> = /у to) = R(go)fy(g) =
Пример 16. Оператор Av (где ip — функция на топологичес-
топологической группе G с инвариантной мерой), действующий в пространстве
непрерывных функций на G как свертка:
(Avip)(g) = у
инвариантен относительно правых сдвигов на G. Действительно,
если правые сдвиги обозначить через R: R(go)ip(g) = ij)(ggo), то
вследствие инвариантности меры получаем
Таким образом, AvR(g0) — R{go)Av.
§1. Основные понятия теории представлений 211
Пример 17. Пусть X — пространство, на котором действует
группа G, a dx — инвариантная мера на X. Пусть ядро К(х,у),
х,у € X инвариантно относительно действия G на X: K(gx,gy) =
= К(х, у). Тогда интегральный оператор
= J K{x,y)f{y)dy
инвариантен относительно действия G на X. Например, на сфе-
сфере Sn~1 инвариантными относительно группы SO(n) являются
операторы вида
J
где (х,у) = xiyi + ... + хпуп, а на гиперболоиде Нр,ч — {х €
6 W+4 | {х,х)р,, = х\ + ... + х%- х2р+1 -...- x2p+q = 1} инвари-
инвариантными относительно группы SOo(p,q) являются операторы
(А/)(х)= | A:({x,y)p,,)/(y)dy.
Утвер1кдение 5. Ядро her A = {v G .fji | Av = 0} спле-
сплетающего оператора А для представлений Т\ и Ti является
инвариантным подпространством для представления Т\, а его
образ Imi = {w G йг | w = Av} — инвариантным подпро-
подпространством для представления Тг-
Доказательство. Действительно, если Av = 0, то
ATi(g)x = Ti{g)Av = 0, то есть Ti(g-)v G ker А. С другой сто-
стороны, если w = Av G 1тЛ, то T2(g-)w = T2(g)Av = AT\(g)v,
то есть T2(g-)w G 1тЛ. Утверждение доказано.
Из доказанного утверждения вытекает
Следствие 1. Собственные подпространства Sjx С Sj
оператора А, коммутирующего со всеми операторами пред-
представления Т, инвариантны относительно этого представле-
представления.
Доказательство. Для доказательства достаточно заме-
заметить, что Р)а является ядром оператора А — ХЕ, который ком-
коммутирует со всеми операторами T(g), поскольку А с ними
коммутирует.
212 Глава 3
Пример 18. Бели К(х, у) — ядро, инвариантное относительно
действия группы G, то множество йа решений уравнения
X
инвариантно относительно действия группы G на X, если мера dx
инвариантна.
Бели оператор А, сплетающий представления Т\ и Тг, об-
обратим, то
В таких случаях представления 2\ и Т2 называют эк-
эквивалентными и пишут Т\ ~ Т2. Очевидно, что соотноше-
соотношение эквивалентности рефлексивно (если 2\ ~ Т2, то Т2 ~ Т\)
и транзитивно (из эквивалентностей Т\ ~ Т2 и Т2 ~ Т3 следу-
следует Xi ~ Тз). Поэтому множество всех представлений разбива-
разбивается на классы эквивалентных представлений.
Если эквивалентные представления Ti и Тг унитарны
и операторы А и Л" изометпричны (то есть сохраняют ска-
скалярное произведение векторов), то Т\ и Тг называют унитар-
унитарно-эквивалентными представлениями.
1.5. Лемма Шура и ее следствия. Важную роль
в теории конечномерных представлений играют утверждения
о свойствах операторов, сплетающих конечномерные неприво-
неприводимые представления, известные как лемма Шура и ее след-
следствия.
Утверждение 6 (Лемма Шура). Оператор А, спле-
сплетающий неприводимые конечномерные представления Т\ и Тг
группы G, либо нулевой, либо обратим.
Доказательство. Пусть Т\ и Тг — неприводимые пред-
представления группы G в конечномерных пространствах .fti и 5эг
соответственно и пусть оператор A: Sji ->• 5эг удовлетворяет
условию T2(g)A — ATi(g), g G G. Тогда согласно утвержде-
утверждения 5 ядро оператора А является инвариантным подпростран-
подпространством в $)!¦ Но поскольку i3i неприводимо, то либо ker A = фъ
либо ker Л = {0}. Первый случай означает, что А — нуле-
нулевой оператор, а второй — что отображение А инъективно, то
§1. Основные понятия теории представлений 213
есть из xi ф х2 следует, что Ах.\ ф Ах.2- Если А — ненуле-
ненулевой оператор, то для доказательства его обратимости рассмот-
рассмотрим Im А С fJ. Поскольку образ оператора А — инвариантное
подпространство в неприводимом пространстве fJ5 то Im A =
= fJ- Это свойство вместе с инъективностью отображения А
означает его обратимость. Утверждение доказано.
Следствие 2. Если два неприводимые конечномерные
представления группы G эквивалентны, то оператор эквива-
эквивалентности определяется однозначно с точностью до постоян-
постоянного множителя. Оператор, коммутирующий со всеми опера-
операторами конечномерного неприводимого представления, кратен
единичному оператору.
Доказательство. Пусть, как и раньше, 7\ и Т2 — не-
неприводимые конечномерные представления и пусть T2(g) —
= ATi(g)A~1 для всех g ? G. Пусть В — другой обратимый
оператор, сплетающий представления Ti и Т%. Очевидно, что
все операторы вида В — \А также сплетают представления Т\
и Т2. Пусть А = Ai — одно из решений алгебраического урав-
уравнения det(J? — АЛ) = 0. Тогда оператор B — XiA вырожден (не
имеет обратного) и согласно лемме Шура он тождественно ра-
равен нулю. Таким образом, В = Х\А. Первое утверждение до-
доказано. Второе утверждение непосредственно следует из пер-
первого, если положить А = Е. Следствие доказано.
Лемма Шура и следствие 2 справедливы не только для
групп, но и для других алгебраических систем, например, для
ассоциативных алгебр и алгебр Ли.
Следствие 3. Неприводимые конечномерные представ-
представления коммутативной группы одномерны.
Доказательство. Каждый оператор T(g0) такого пред-
представления перестановочен со всеми операторами T(g). Поэто-
Поэтому T(g0) = XgQE. Такое равенство справедливо для всех эле-
элементов группы. А поскольку представление неприводимо, то
оно одномерно.
Пример 19. Представление из примера 5 приводимо.
Задача 1. Постройте оператор, приводящий представление приме-
примера 5 к диагональному виду.
214 Глава 3
Пример 20. Самопредставление группы SOB) приводимо; оно
приводится к виду
(cosy sinyA /exp»V 0 \
— sin ip cos ipj \ 0 exp(—iip)J '
Задача 2. Постройте матрицу, осуществляющую эквивалентность
этих представлений группы SOB).
Следствие 4. Пусть Т — конечномерное представление
группы G, кратное неприводимому представлению Т1г то есть
записывающееся в соответствующем базисе в блочном виде
(О 0\
О Ti ... О О
О?0 ... О
Тогда операторы А, перестановочные со всеми оператора-
операторами T(g), g&G, в этом же базисе имеют блочный вид
ХпЕ Х12Е ... Х1пЕ\
А21-Б X22E ...
А„2-Б ... Х„пЕ)
где Е — единичные матрицы размерности
A.9)
Представление Т из следствия 4 запишем в виде nXi, что
означает прямую сумму Ti + ... + Т\ (Ti повторяется п раз).
Подобный смысл имеет запись Т = niTi + П2Т2 + ... + rifcTfc.
Число щ (г = 1,2,... ,к) называют кратностью неприводи-
неприводимого представления Ti в Т.
Следствие 5. Пусть конечномерное представление Т
имеет видТ = mTi+n2T2+.. .+nkTk, где Ti; i = 1,2,... ,fc, —
неприводимые попарно неэквивалентные представления. Про-
Пространство fj представления Т можно записать в виде fj =
= fji + ... + ф/ь где Sji — пространство представления щТ{.
§ 1. Основные понятия теории представлений 215
Операторы А, перестановочные с операторами представле-
представления Т, имеют блочно-диагональный вид:
А =
Mi о ••• о
О А2 ... О
A.10)
\0 0 ... AkJ
где Ai — оператор типа A.9) в пространстве fjj.
Задача 3. Пусть Т — матричное конечномерное неприводимое
представление группы G. Задано естественное действие операторов T(g)
на переменные х = {х\, хг, ..., хп), п = dimT. Всякая квадратная мат-
матрица А размерности п определяет билинейную форму
aijXiVj.
Покажите, что если эта форма инвариантна относительно представле-
представления Т, то:
1) матрица А невырождена;
2) матрица А определена с точностью до скалярного множителя;
3) матрица А симметрична или кососимметрична.
Лемма Шура справедлива и для бесконечномерных уни-
унитарных неприводимых представлений групп [33]: ограничен-
ограниченные операторы, перестановочные со всеми операторами не-
неприводимого унитарного представления, кратны единичному
оператору.
1.6. Теорема Бернсайда. Важную роль в теории
представлений групп и алгебр играет теорема Бернсайда.
Теорема 1. Пусть А — ассоциативная алгебра, а Т —
ее конечномерное неприводимое представление в пространст-
пространстве fj. Тогда алгебра операторов Т(а), a ? А, совпадает со мно-
множеством всех линейных операторов в $j.
Доказательство. Выберем базис еь... ,е„, п = dim Г,
в 5э и запишем операторы Т(а) в матричной форме. Для прос-
простоты соответствующие матрицы тоже обозначим через Т(а).
Нужно доказать, что множество матриц Т(а), а е А, совпада-
совпадает с множеством всех квадратных матриц размерности п.
216 Глава 3
Пусть T(a)ei = ?°i«ej- Через aj обозначим i-й стол-
5
бец матрицы Т(а), то есть вектор &i — (а,ц,... ,а„*), а че-
через (ai,... ,а/ь) — fcn-мерный вектор, координаты которого
состоят из координат векторов ai,... ,afc. Для доказательст-
доказательства теоремы необходимо показать, что когда а пробегает всю
алгебру А, векторы (ai,... ,an), п = dim Г, пробегают все
п2-мерное векторное пространство.
Из неприводимости представления Т и равенства Г(а)е,- =
= $3ai»ei следует, что векторы ai = (а,ц,... ,ani) пробе-
з
гают все n-мерное векторное пространство. Предположим,
что (ai,... ,&к) пробегает все fcn-мерное векторное простран-
пространство, и покажем, что тогда (ai,... ,а*+1.) пробегает все
(к + 1)п-мерное векторное пространство. Из этого будет вы-
вытекать утверждение теоремы.
Для некоторых матриц Т(а) все координаты столб-
столбцов ai,... , а* равны нулю. Покажем, что среди них существу-
существует хотя бы одна матрица Т(а), для которой а*+1 ф (О,... ,0).
Действительно, предположим, что такой матрицы не сущест-
существует. Тогда если две матрицы Т(а) и Т(Ь) имеют одина-
одинаковые первые к столбцов, то (к + 1)-е столбцы у них сов-
совпадают, то есть a/t+i является функцией от ai,... ,а*. Эта
функция линейна. Поэтому существуют матрицы В\,... ,Вь,
такие что а*+1 = J?iai + ... + Вк&к для всех а ? А. Посколь-
Поскольку Т(Ьа) = Т(Ь)Т(а), то (ba)fc+i = TF)afc+1 (где b и а —
матрицы операторов Т{Ъ) и Т(а) соответственно) и потому
Отсюда и из того, что (ai,... , а*) пробегает fcn-мерное линей-
линейное пространство, следует, что T(b)Bj = BjT(b), j = 1,... , fc.
Поэтому согласно следствия 2 леммы Шура имеем Bj = XjE.
То есть
+ A2a2 + ...
и эта зависимость между столбцами выполняется для всех а? А.
§ 1. Основные понятия теории представлений 217
Поскольку T(a)ei = X)ai«ei> то
з
T(a)(Aiei + A2e2 + ... + Afcefc) = ^ aj,k+\ej = ек+1
для всех a 6 Л, то есть на е*+1 натягивается одномерное ин-
инвариантное подпространство. Это противоречит условию тео-
теоремы, и наше утверждение о векторе а*+1 доказано.
Пусть J — множество всех элементов а Е А, для кото-
которых ai = а2 = ... = а* = 0. Легко видеть, что AI С J, то есть
/ — левый идеал в А. Пусть f)o = T(I)ek+i, где через T(I)ek+i
обозначено множество векторов T(b)e/.+i, b ? I. Тогда
Г(ЛMэо = T(AI)ek+1 = T(I)ek+1 = So,
то есть 55о — инвариантное подпространство. Согласно дока-
доказанному выше йо Ф {0}. Поэтому йо = S, то есть T(I)ek+i =
= й- Это означает, что когда а пробегает I, то a/t+i пробегает
все n-мерное векторное пространство. Таким образом, если а
пробегает А, то (ai,a2,-.. ,&k+i) пробегает (к + 1)п-мерное
векторное пространство. Теорема доказана.
Часто теорему Бернсайда формулируют так: если мат-
матричная алгебра (то есть алгебра квадратных матриц задан-
заданной размерности) неприводима, то она является алгеброй всех
матриц этой размерности.
Следствие 1. Если Т — неприводимое конечномерное
представление группы G в пространстве Sj, то линейная обо-
оболочка операторов T(g), g e G, совпадает с алгеброй всех ли-
линейных операторов в 5э-
Следствие 2. Пусть А — алгебра всех операторов
в п-мерном линейном пространстве Sj. Тогда любое неприводи-
неприводимое конечномерное представление этой алгебры эквивалентно
ее самопредставлению.
1.7. Характеры представлений. Теория представле-
представлений имеет дело с классами эквивалентных представлений. По-
Поэтому естественно иметь такую характеристику представле-
представлений, которая не зависела бы от выбора представлений в дан-
данном классе эквивалентности. Такой характеристикой в случае
218 Глава 3
конечномерных представлений является характер представ-
представления.
Характером конечномерного представления Т груп-
группы G называют функцию хТ{ё) Ha G, совпадающую со сле-
следом ТгТ(йГ):
dimT
XT(g) = Tr T(g) = ? tnn(g), A.11)
n=l
где матричные элементы представления взяты отно-
относительно любого базиса. Поскольку Тг(АВ) = Тт(ВА),
то Tr (AT(g)A~1) = Tr T(g), то есть характеры эквивалент-
эквивалентных представлений совпадают. Перечислим очевидные, но
важные свойства характеров.
1) Характеры обладают свойством инвариантности x(eigx
xgj) = x{g)- Другими словами, характеры постоянны
на классах сопряженных элементов группы G.
2) Значение характера на единичном элементе равно раз-
размерности представления: ХТ(е) = dimT.
3) Если представление Г приводимо и Г = Ti +... + Тп, то
4) Если представление Т унитарно, то xT(g *) = ХТ(ё)-
5) Если представление Т контраградиентно конечномерно-
конечномерному представлению Г, то xT(g) = XT(.g)-
При помощи характеров перечисляются неприводимые
конечномерные представления. Особенно важна их роль в тео-
теории представлений конечных групп. Соответствие между не-
неприводимыми представлениями и характерами устанавлива-
устанавливается следующей теоремой, доказательство которой дано в § 3.
Теорема 2. Неприводимое конечномерное представление
компактной (а следовательно, и конечной) группы G опреде-
определяется своим характером однозначно с точностью до эквива-
эквивалентности.
§ 1. Основные понятия теории представлений 219
Определение характера формулой A-11) теряет смысл
в случае бесконечномерных представлений групп, поскольку
для операторов T(g) практически всегда сумма диагональных
матричных элементов расходится. Однако во многих случаях
характер можно определить как обобщенную функцию на груп-
группе.
Пусть G — группа Ли, a C%°(G) — пространство бес-
бесконечно дифференцируемых функций на ней с компактным
носителем. Назовем характером представления Г линейный
функционал х на пространстве C%°(G), такой что
(Х,<р) =Tr T(V), A.12)
где T() J()T() fc
G
В случае конечномерных представлений формула A.12)
приобретает вид (х,у>) = fxT{g)<P(g) dLg, где xT{g) — обыч-
обычный характер, определяемый формулой A.11).
Для полупростых групп Ли Хариш-Чандра доказал такое
утверждение (см., например, [77]):
Теорема 3. Если Т — неприводимое унитарное пред-
представление полупростой группы Ли G, то его характер опре-
определен как линейный функционал на алгебре C?°(G) и имеет
вид
(X,<fi) = / XT(g)<p(g) dig,
где xT{g) — измеримая локально суммируемая функция на G.
1.8. Тензорные произведения представлений.
Тензорное произведение представлений Xi и Ti действует
в тензорном произведении соответствующих линейных про-
пространств. Напомним определение тензорного произведения
пространств. Пусть 55i и йг — линейные конечномерные про-
пространства. Если х е Si и у е 5Э2> то образуем из них упоря-
упорядоченную пару, которую обозначим через х®у. К множеству
всевозможных пар х ® у, х ? 55i, у € 5Э25 присоединим их
формальные конечные линейные комбинации. В построенном
таким образом линейном пространстве потребуем выполнения
220 Глава 3
двух условий (тождеств):
= а/3(х®у), а,/ЗеС, A.13)
(xi + х2) ® (yi + у2) = xj ® ух + х2 ® yi + xi ® у2 + х2 ® у2.
A.14)
Формальные линейные комбинации упорядоченных пар х ® у
с последующими отождествлениями согласно условий A.13)
и A.14) образуют линейное пространство, называемое тен-
тензорным произведением пространств 55i и 5э2. Его обозначают
через Й1 ®5эг-
Пусть {ej} — базис пространства 55i, a {fj} — базис про-
пространства 5э2. Если х = ^2 хгвг и у = ^2yifj, то
« з
х ® у = ^2 x'yi e,-
Множество векторов {е^ ® fj} образует базис пространст-
пространства 55i ® иг- Очевидно, что
dimE5i ®S2) = (dim 55i)(dim^2).
Конструкция тензорного произведения обобщается на
случай бесконечномерных пространств. При этом, однако,
возникают естественные ограничения на допустимые линей-
линейные комбинации пар х®у. В частности, если 55i и 5э2 — гиль-
гильбертовы пространства со скалярными произведениями (х, x')i
и (у,у'J соответственно, то в множестве пар х ® у, х е f)i,
У G 5Э25 определено скалярное произведение, вычисляемое по
правилу
<х®у,х'®у'> = frx'h^y'h. A.15)
Пусть W — линейное пространство конечных линейных ком-
комбинаций пар х®у, х е Й1, у G 5эг> Для которого выполняются
условия A.13) и A.14). Пространство W не будет полным от-
относительно нормы
§ 1. Основные понятия теории представлений 221
Стандартная процедура пополнения превращает W в пол-
полное гильбертово пространство, обозначаемое через fji <8> fj2
и называемое тензорным произведением гильбертовых про-
пространств fji и fJ- Его элементами являются линейные (ко-
(конечные и бесконечные) комбинации
^2 c«ie* ® ^i' для которых ^2 \c,j\2 < оо.
Пусть Ti и Х2 — представления группы С? в конечномер-
конечномерных или гильбертовых пространствах 55i и йг соответствен-
соответственно. Тензорным произведением Xi ® Х2 представлений Ti и Т2
называют представление группы С? в пространстве f)i ® 5э2>
действующее на пары х ® у по формуле
(Ti ® Г2) (g)(х ® у) = Гх(g)x ® Г2(Я)у. A.16)
(На линейные комбинации элементов х®у формула A.16) рас-
распространяется по линейности).
Тензорное произведение представлений группы G явля-
является частным случаем тензорного произведения представле-
представлений двух различных групп. Пусть Xi и Г2 — представления
групп Gx и С?2 соответственно. Тогда формула
№ ® Т2) (й,Ы(х ® У) =
задает представление прямого произведения Gi ®C?2-
Теорема 4. Всякое неприводимое представление Т груп-
группы G — C?i ® С?2 эквивалентно тензорному произведению не-
неприводимых представлений Ti и Гг групп Gi и С?2 соответ-
соответственно.
Доказательство этой теоремы изложено, например, в кни-
книге [44].
Если Xi и Ti — неприводимые представления группы G,
то представление Xi <g> Г2 в большинстве случаев приводи-
приводимо (исключение составляют одномерные представления). Раз-
Разложение этого представления на неприводимые — непрос-
непростая задача. В дальнейшем мы будем решать ее для конкрет-
конкретных групп и конкретных представлений. Что касается общих
222 Глава 3
утверждений, то приведем здесь один результат, касающийся
конечномерных представлений комплексных групп Ли.
Для комплексных групп Ли естественно определяется по-
понятие голоморфного (комплексно-аналитического) представле-
представления. Конечномерное представление Т называется голоморф-
голоморфным, если матричные элементы tnm(g) этого представления
являются голоморфными функциями комплексных парамет-
параметров группы. Очевидно, что определение голоморфности не за-
зависит от выбора базиса в пространстве представления.
Аналогично определяется понятие антиголоморфного
представления. Каждому голоморфному представлению Т со-
соответствует антиголоморфное представление Т; матричные
элементы операторов T(g) получаются из матричных элемен-
элементов tmn(g) комплексным сопряжением.
Теорема 5. Всякое неприводимое конечномерное пред-
представление комплексной связной группы Ли G эквивалентно
тензорному произведению двух неприводимых представлений,
одно из которых голоморфно, а другое — антиголоморфно.
Доказательство теоремы изложено в [23].
Последнее утверждение этого пункта касается характе-
характеров тензорных произведений. Пусть t\m(g) и t\t{g) — мат-
матричные элементы конечномерных представлений Xi и Тг груп-
группы G в базисах {ej,} и {е|} соответственно. Матричные эле-
элементы представления Т\ ® Тъ в базисе {ej, ® е|} имеют вид
Отсюда видно, что
то есть характер представления Т\ ® Тг равен произведению
характеров представлений Ti uTi.
§ 2. Представления групп Ли. Общие
свойства
2.1. Непрерывность и дифференцируемость пред-
представлений. Группа Ли является аналитическим многообра-
§ 2. Представления групп Ли. Общие свойства 223
зием. Поэтому, кроме непрерывности, отображение g —t T(g)
обладает рядом дополнительных свойств по сравнению с об-
общим случаем топологических групп. Если G — группа Ли, то
образ отображения Т: G -»• GL(fi) является конечномерной
подгруппой Ли T[G) в группе линейных ограниченных опера-
операторов. Естественно определить для подгруппы T(G) понятие
касательного пространства и алгебры Ли. В связи с этим воз-
возникает необходимость дифференцировать операторы T(g) по
параметрам однопараметрических подгрупп т —> g(r). Произ-
Производная от вектора v(r) = T(g(r))f не обязательно существует,
если f G $3 — произвольный вектор. Иллюстрацией этого яв-
является пример 3 в § 1. Представление Т группы Ж задано опе-
операторами сдвига в пространстве непрерывных ограниченных
функций вещественного переменного: [T(a)f](x) = f(x + a).
Оно непрерывно, однако производная оператора Т(а) является
оператором дифференцирования
d r
da
а=0
д_
дх
и поэтому определена лишь на дифференцируемых функциях.
В общем случае также можно указать подпространство в про-
пространстве представления, на котором операторы T(g) можно
дифференцировать по параметрам, от которых зависит эле-
элемент g, и определить представление соответствующей алгеб-
алгебры Ли.
Теорема 1. Каждому непрерывному представлению Т
группы Ли G в банаховом пространстве $) соответствует
представление ее алгебры Ли д, определенное на всюду плот-
плотном линейном подпространстве векторов
= I V>(g)T(g)vdLg = T(v?)v, v € в, B.1)
G
где ip(g) пробегает пространство бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых с компактным носителем функций на группе G, a d^g —
левоинвариантная мера на G.
Доказательство. На векторах B.1) определено действие
операторов Т(Х), X G д. Действительно, пусть т -»• gx(т) —
224 Глава 3
гладкая кривая с касательным вектором X € 0. Тогда
[T(gx(r))f](<p) = J <p(g)T{gx(T)g)vdLg =
G
= J<P(gx4T)g)T(g)vdLg,
G
откуда видно, что вектор T(gx(r)){ бесконечно дифференци-
дифференцируем по параметру т и поэтому определен оператор Т(Х):
T(X)f=J -^tpig-
T(g)vdLg. B.2)
т=0
Поскольку функция -^-{gx1{j)g)\ = [Xmp\(g) остается бес-
конечно дифференцируемой и с компактным носителем на
группе G, то T(X)f e fjg', где fjg" — линейная оболочка
векторов вида B.1). Это означает, что пространство fjg" ин-
инвариантно относительно всех операторов Т(Х), X G д. Для
доказательства плотности подпространства SJq" в простран-
пространстве Sj выберем последовательность гладких функций {tpa},
таких что tpQ(g) ^ 0, f<pQ(g)dLg = 1, если g e Ua, и (ра = О,
если g$Ua, где {Ua} — последовательность вложенных друг
в друга окрестностей единицы группы G. Из непрерывности
представления Т следует, что для любой выпуклой окрестнос-
окрестности Wv С S) произвольного вектора v € $3 существует окрест-
окрестность Ua, такая что
Очевидно также, что T((pa)v E Wv. Выбирая последователь-
последовательность стягивающихся к v окрестностей Wv, видим, что по-
последовательность векторов T(ipa)v сходится к вектору v. Это
доказывает полноту и завершает доказательство теоремы.
Линейная оболочка fy'j? векторов B.1) называется про-
пространством (или областью) Гординга. При ее образовании
подразумеваем, что вектор v пробегает все пространство Sj,
а функция <р — все пространство C™(G) бесконечно диффе-
дифференцируемых с компактным носителем функций на G.
§ 2. Представления групп Ли. Общие свойства 225
Утверждение 1. Если Т] — элемент дуального к $j про-
пространства $з*, a f G SJq1, то матричный элемент
является бесконечно дифференцируемой функцией на группе G.
Доказательство. Легко следует из формулы B.1). Пусть
g -> {tl(g)\i = 1»2,... ,n} — некоторая локальная парамет-
параметризация группы G. В случае конечномерного представления
операторные функции T(g) = Tit1, t2,... , tn) бесконечно диф-
дифференцируемы на всем пространстве $j. Доказательство этого
утверждения предоставляется читателю.
2.2. Соответствие между представлениями групп
и алгебр Ли. Аналитические векторы. В предыду-
предыдущем пункте мы оговорили условия, при которых представле-
представлению группы Ли соответствует представление ее алгебры Ли.
А именно, было установлено, что если X G g является каса-
касательным вектором к кривой gx(T~), то на плотном множест-
множестве S$q определен оператор
Т(Х) =
dT(gx(T))
dr
T{gx{r))-E
= fen -х^ч-// . B.3)
т=0
Дифференцируя оператор T{gx{j))T{Y)T{g^[T)) по т
при т = 0, несложно установить, что
T([X,Y]) =T(X)T(Y) -T(Y)T(X) = [T{X),T{Y)\.
Операторы T(X), X € q, называются инфинитезималъными
операторами представления Т группы G или операторами
представления алгебры Ли Q.
Если размерность связной компоненты единицы груп-
группы G (и следовательно, размерность ее алгебры Ли д) рав-
равна п, то для восстановления конечномерного представле-
представления группы G по представлению ее алгебры Ли достаточ-
достаточно знать п базисных инфинитезимальных операторов Т{Х\),
Т{Х2),--. ,Т(Хп). Действительно, для элемента
п
g(h,t2, ...,tn) = exp^2 UXi eUecG
226 Глава 3
из некоторой окрестности единицы Ue имеем
/ " \ "
Т ехр ? tiXi = ехр ? UT(Xt) B.4)
\ t=i / »=i
(смотри утверждение 1 в §4 гл. 2). Экспоненциальные ряды
в правой части сходятся и определяют представление окрест-
окрестности Ue. Поскольку сдвигами этой окрестности можно по-
покрыть всю группу (или ее накрытие), то формула B.4) вос-
восстанавливает представление группы G либо расширяет его до
представления накрывающей группы G'.
Для многих групп имеем G — ехр д. Такие группы на-
называются экспоненциальными. Для них формула B.4) задает
представление всей группы G.
Пример 1. Пусть G — линейная группа Ли, а д — ее ал-
алгебра Ли. Напомним, что операторы Ad g, g G G, действующие
в линейном пространстве алгебры д согласно формуле (Adg)X =
= gXg~x, образуют присоединенное представление группы G. Ему
соответствует присоединенное представление алгебры Ли д, обозна-
обозначаемое через ad и действующее в g по формуле (adY)X — \
Каждой алгебре Ли д соответствует связная группа Ли G,
для которой g является ее алгеброй Ли. Если Т — конечномер-
конечномерное представление алгебры Ли Q, то рассматривая множество
операторов Т(Х), X Е Q, как алгебру Ли, можно построить со-
соответствующую ей группу Ли, являющуюся представлением
группы Ли G. Поэтому каждому конечномерному представле-
представлению алгебры Ли соответствует представление ее группы Ли
(или ее накрывающей) в том же пространстве.
Очевидно, что соответствующие друг другу конечномер-
конечномерные представления группы Ли G и ее алгебры Ли g имеют
одинаковые свойства. Например, они одновременно приводи-
приводимы или неприводимы, вполне приводимы или неразложимы,
соответствующие пары представлений одновременно эквива-
эквивалентны или неэквивалентны.
Записывая условие унитарности представления Т груп-
группы G для однопараметрической подгруппы ^(т) и дифферен-
дифференцируя полученное равенство
§2. Представления групп Ли. Общие свойства 227
по г при т = О, получаем, что для соответствующего пред-
представления алгебры Ли g условие унитарности имеет вид
Т(Х)* = -Т(Х), Хе&.
Контраградиентные представления Т иГ алгебры Ли g связа-
связаны формулой
т(X) = -(Т{Х)У, хей,
где индекс t означает транспонирование.
Рассмотрим, как строятся тензорные произведения ко-
конечномерных представлений алгебр Ли. Для этого достаточно
перейти от тензорного произведения представлений группы
Ли G к соответствующему представлению ее алгебры Ли д.
Положим в A.16) g = gx(t)> где gx(t) — однопараметрическая
подгруппа вСскасательным вектором X, продифференциру-
продифференцируем обе части по t и положим t = 0. В результате получаем,
что оператор (Ti®T2)(X), X € S}, действует на векторы х®у
по формуле
№ ® Т2)(Х)(х ® у) = Ti(X)x ® у + х ® Т2(Х)у.
В случае бесконечномерных представлений соответствие
между представлениями групп и алгебр Ли усложняется, так
как алгебра Ли представляется неограниченными операто-
операторами, определенными на плотном линейном подпространст-
подпространстве $)$?, а на нем экспоненциальный ряд из правой части фор-
формулы B.4) не обязательно сходится. Векторы, на которых
такие ряды имеют ненулевой радиус сходимости, называют
аналитическими. Дадим точное определение.
Пусть Т — непрерывное представление группы Ли G в ба-
банаховом пространстве Sj. Вектор f € Sj называется аналити-
аналитическим вектором, если f(g) = T(g)? является аналитической
вектор-функцией на группе G. В частности, это означает, что
если g = ехр(тХ), то ряд
п=О
228 Глава 3
имеет ненулевой радиус сходимости по параметру т, то есть
^|Mn<oo при |г|<е.
п=0
Подпространство всех аналитических векторов простран-
пространства $з обозначим через 5уы. Легко показать, что оно инва-
инвариантно относительно представления алгебры Ли д. Доказа-
Доказательство плотности $ju в $з принадлежит Л. Гордингу и, как
в предыдущем случае, основано на представлении аналити-
аналитических векторов в виде B.1), но теперь <p(g) — аналитичес-
аналитические быстро убывающие функции на G. Существование таких
функций следует из теории уравнения «теплопроводности» на
группе. Под уравнением «теплопроводности» понимают пара-
параболическое уравнение
Щ^ ) B.5)
1=1
где Xi — базисные левоинвариантные векторные поля на
группе. Аналитичность решений уравнения B.5) следует из
общей теории параболических систем.
Представление Т связной группы Ли G однозначно вос-
восстанавливается по представлению ее алгебры Ли д в простран-
пространстве Sju. В самом деле, представление алгебры Ли q продолжа-
продолжается до представления ее универсальной обертывающей U(q).
Зная это представление, можно вычислить все производные
функции T(g)f, f G Sj", в точке g = е, и следовательно, вос-
восстановить ее как аналитическую функцию в виде ряда
сходящегося в некоторой окрестности нуля в пространстве па-
параметров {t1} e Шп. Поскольку Sju плотно в $у, то представле-
представление, заданное формулой B.6), продолжается по непрерывности
до представления Т группы G во всем пространстве Д.
§ 2. Представления групп Ли. Общие свойства 229
s Заметим, что во всех предыдущих рассуждениях мы счи-
считали представление Т группы G существующим. Пусть теперь
задано представление Т° алгебры Ли q на некотором плотном
подпространстве Sj° С $). Возникает естественный вопрос: су-
существует ли представление Т группы Ли G в пространстве ft,
такое что построенное по нему представление алгебры Ли g
совпадает с Т° на подпространстве 5э°?
В случае унитарных представлений ответ на этот вопрос
дает следующая теорема, доказанная Э. Нельсоном в 1959 году
(см., например, [5]):
Теорема 2. Для того чтобы представление Т° алгебры
Ли g односвязной группы Ли G, заданное на плотном линей-
линейном подпространстве SH гилъбертового пространства S), по-
порождало унитарное представление группы G, необходимо и до-
достаточно, чтобы операторы
п
iT°(X1),...,iT°(Xn) и Д = ?[Т°(Х,)]2,
1=1
где Xi,Xi,...,Хп — базис в д, допускали самосопряженные
замыкания.
2.3. Представления комплексных групп и алгебр
Ли и их вещественных форм. Если g — вещественная
алгебра Ли, то ее комплексификация дс состоит из элемен-
элементов X + iY, X,Y G g. Каждая вещественная форма может
рассматриваться как подалгебра комплексной алгебры Ли. Ис-
Исходя из этого осуществляется связь между представлениями
комплексной алгебры Ли и ее вещественных форм.
Пусть Т — представление вещественной алгебры Ли 0.
Положив Т(Х + iY) - Т(Х) + iT(Y), X,Y G 0, получим пред-
представление алгебры 0С. Наоборот, если задано представление
комплексной алгебры Ли 0С, такое что Т(Х + iY) = Т(Х) +
4- iT(Y) (такое представление называется комплексным), то
сужая его на вещественные формы 0 этой алгебры Ли, полу-
получим представления алгебры 0. Тем самым установлено вза-
взаимно однозначное соответствие между комплексными пред-
представлениями комплексной алгебры Ли и представлениями
ее вещественных форм. При этом имеем также взаимно од-
230 Глава 3
нозначное соответствие между представлениями разных ве-
вещественных форм комплексной алгебры Ли. При этих соответ-
соответствиях неприводимым представлениям отвечают неприводи-
неприводимые представления, прямым суммам — прямые суммы, экви-
эквивалентным представлениям — эквивалентные представления
и т.д.
Связь между представлениями алгебр Ли и соответству-
соответствующих им групп Ли позволяет установить связь между го-
голоморфными1 (то есть комплексно-аналитическими) пред-
представлениями комплексных связных групп Ли и вещественно-
аналитическими представлениями их вещественных форм.
В случае конечномерных представлений такая связь взаимно
однозначна, то есть каждое вещественно-аналитическое пред-
представление вещественной группы Ли допускает аналитическое
продолжение в комплексную область значений параметров
до голоморфного представления соответствующей комплекс-
комплексной группы Ли. Это соответствие сохраняет неприводимость
представлений, их разложение в прямую сумму, эквивалент-
эквивалентность и т. п. Бесконечномерные представления вещественных
групп Ли (за исключением нильпотентных групп Ли), как пра-
правило, не допускают аналитического продолжения до представ-
представлений комплексной группы Ли. При аналитическом продолже-
продолжении в этом случае получаем особенности операторной функ-
функции.
Если комплексную группу или алгебру Ли рассматри-
рассматривать как вещественную с удвоенным числом параметров, то
она может иметь вещественно-аналитические представления,
не являющиеся голоморфными. В этом случае элементы X
и iX алгебры Ли линейно независимы и им отвечают опера-
операторы Т(Х) и T(iX), такие что, вообще говоря, Т(\Х) ф ?Г(Х).
2.4. Представления универсальной обертывающей
алгебры. Каждому представлению Т алгебры Ли g соответ-
соответствует представление Т ее универсальной обертывающей ал-
алгебры il(g). А именно, если элемент A G Щв) выражается в ви-
виде некоммутативного многочлена Р(Хг,... ,-Х"„) от базисных
1 Напомним, что под голоморфным представлением комплексной груп-
группы Ли понимают такое представление, в котором операторы голоморфно
зависят от комплексных параметров группы.
§ 2. Представления групп Ли. Общие свойства 231
элементов алгебры Ли g (см. теорему Пуанкаре-Биркгофа-
Вита в п. 1.6 главы 1), то положим
Результирующий оператор не зависит от представления эле-
элемента А в виде многочлена.
Элементы алгебры ll(g), перестановочные со всеми эле-
элементами из il(g), образуют центр 3 в il(g). Для конечномер-
конечномерных алгебр Ли q элементы центра являются многочленами от
конечного числа независимых элементов Ci,C2,..- ,С„ цент-
центра 3- Если Т — представление алгебр g и il(g), то операто-
операторы T(Ci),T(C2),... ,Т(С„) называют операторами Казимира
этого представления.
Поскольку T(Ci),... ,Т(С„) перестановочны со всеми
операторами Т(А), A G И(б), то в неприводимых представ-
представлениях эти операторы кратны единичным операторам. Для
конечномерных неприводимых представлений полупростых
групп и алгебр Ли собственные значения Ai,A2,---,An та-
таких операторов однозначно (с точностью до эквивалентности)
определяют эти представления. Другими словами, различным
(неэквивалентным) неприводимым представлениям этих ал-
алгебр Ли соответствуют разные наборы собственных значений.
Теорема 3. Пусть Т и Q — неприводимые конечно-
конечномерные представления группы G. Тогда тензорное произведе-
произведение Т <S)Q имеет ненулевой инвариант в пространстве пред-
представления (одномерное тривиальное подпредставление) тогда
и только тогда, когда представления Т uQ контраградиент-
ны, то есть когда Q = Т. Этот инвариант определяется од-
однозначно (с точностью до константы).
Доказательство. Выбрав ортонормированные базисы
в пространствах Sji и #2 представлений Т и Q, запишем
элементы этих пространств в виде координатных столбцов,
а представления Т и Q — в матричной форме. Тогда дейст-
действие T(g) на столбец х записывается в виде T(g)x и это дей-
действие понимается как умножение матриц (квадратной и пря-
прямоугольной). Путем транспозиции получаем действие в ви-
де x*T*(g).
232 Глава 3
Элементы х® у G f)i ® йэ можно записать как гохп-мат-
рицы z = ху*, где т = dimiji, п = Штйэ- При этом все ли-
линейное пространство #i ® #2 отождествляется с пространст-
пространством всех т х n-матриц, а действие операторов (Т ® Q)(#) за~
дается формулой
где справа стоит произведение трех матриц.
Условие инвариантности mxn-матрицы z (элемента про-
пространства Й1 ®Й2) относительно представления Т®Q имеет
вид T(g)zQt(g) = z. Его можно записать в виде T(g)z = zQ(g),
где Q(g) = Qt{g~1) — представление, контраградиентное
к представлению Q. Согласно лемме Шура оно выполняется
тогда и только тогда, когда или z = 0, или представле-
представления Т и Q эквивалентны иг — квадратная матрица,
осуществляющая эквивалентность. Такая матрица определя-
определяется однозначно с точностью до константы. Теорема доказана.
Если- перейти от матриц х, у* к элементам пространств Sjj.
и fa, не реализованных координатными столбцами, то полу-
чим, что инвариантом является вектор 53ej®fi, где n=dimT,
t=i
a ei,e2,... ,е„ и fi,f2,... ,fn — ортонормированные базисы
пространств #1 и Й2, в которых представления Т иТ задают-
задаются матрицами (tmn(g)) и («„„(Г1))'-
Если х — вектор, инвариантный относительно представ-
представления Т группы Ли G, то есть T(g)x = х для всех g G G,
то операторами Т(Х), X G q, вектор х превращается в нуль.
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 3 является основой для построения центральных
элементов универсальной обертывающей алгебры. Пусть д —
алгебра Ли, a it(g) — ее универсальная обертывающая алгеб-
алгебра. Расширим присоединенное представление ad алгебры q до
представления во всем пространстве
(ad X)A = [X, А] = ХА~ АХ, А € il(g).
Это представление приводимо: оно имеет инвариантное под-
подпространство д. Можно показать, что некоммутативные
§ 3. Представления компактных групп 233
-многочлены P(Xi,X2,... ,Xn) от базисных элементов Хх,
Хз» • • • »-^п алгебры д, степень которых не превышает фикси-
фиксированного числа, также образуют инвариантное подпростран-
подпространство. Для полупростых алгебр Ли доказано, что представ-
представление алгебры g в ii(g) разлагается в прямую сумму конеч-
конечномерных неприводимых представлений. Эти представления
являются также представлениями группы Ли G с алгеб-
алгеброй Ли 0. Поэтому для построения инвариантов алгебры 0
(и группы G) в ii(g) необходимо применить утверждения тео-
теоремы 3. Например, если присоединенное представление ал-
алгебры g самоконтраградиентно (то есть контраградиентно по
отношению к самому себе), то при соответствующем выборе
базиса Xi,... ,Xn получаем квадратичный центральный эле-
элемент
в 11@). Если представление Т группы Ли G реализовано в про-
пространстве функций, то операторы T(Xi),... ,Т(Хп), как пра-
правило, дифференциальны. В этом случае оператор
Т(С2)=Т(Х1J+...+Т(ХпJ
называют оператором Лапласа. Существуют и другие опре-
определения операторов Лапласа.
§ 3. Представления компактных групп
Среди групп непрерывных симметрии компактные груп-
группы выделяют особо. Как правило, в приложениях имеют дело
с компактными группами Ли: это, в первую очередь, груп-
группа вращений 50C) и ее универсальная накрывающая SUB),
группы унитарных симметрии SU(n), п = 3,4,5,..., и сим-
плектические группы Sp(n).
Отличительной особенностью компактных групп, по срав-
сравнению с общими топологическими группами, является на-
наличие двусторонне инвариантной меры Хаара, относительно
которой группа имеет конечный объем. Это обстоятельство
позволяет развить для них теорию представлений, во мно-
многом схожую на теорию представлений конечных групп. Как
234 Глава 3
и в случае конечных групп, каждое представление компакт-
компактной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно уни-
унитарному (см. утверждение 3 в п. 1.3), а каждое конечномерное
представление вполне приводимо и все неприводимые пред-
представления конечномерны.
3.1. Ортогональность матричных элементов и ха-
характеров неприводимых представлений. Пусть G —
компактная группа, a dg — инвариантная нормированная ме-
мера на G. Множество всех ее неприводимых конечномерных
представлений разобьем на классы эквивалентных представ-
представлений и выберем в каждом классе по одному представителю.
В силу утверждения 3 п. 1.3 такими представителями могут
быть взяты унитарные представления. Индекс а пробегает не-
некоторое (в общем случае бесконечное) множество значений.
Полученное множество унитарных представлений обозначим
через {Та | а € I}. Это множество называют полной системой
попарно неэквивалентных неприводимых конечномерных уни-
унитарных представлений группы G. Полнота понимается в том
смысле, что каждое неприводимое конечномерное представ-
представление группы G эквивалентно одному из представлений этого
множества.
В конце следующего пункта будет доказано, что каждое
неприводимое представление компактной группы G конечно-
конечномерно. Поэтому множество {Та \ а 6 /} совпадает с множест-
множеством G всех неэквивалентных неприводимых унитарных пред-
представлений группы G.
Пусть Та — неприводимое представление из полной
системы {TQ}, a Sja — гильбертово пространство, в кото-
котором оно действует. Выберем ортонормированный базис е„,
п = 1,2,... ,dim TQ, в пространстве SjQ и построим матрич-
матричные элементы
Для функций t"m(g) справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Матричные элементы неприводимых уни-
унитарных представлений компактной группы G из систе-
системы {Та \а € /}, взятые относительно ортонормированного
§ 3. Представления компактных групп 235
базиса, удовлетворяют соотношениям ортогональности
/'
C.1)
Доказательство. Пусть ТаиТр — неприводимые пред-
представления из системы {Та\а € I}, действующие в простран-
пространствах Sja и Sjp соответственно. Зафиксируем в каждом из этих
пространств ортонормированный базис. Пусть X — произ-
произвольный оператор из #/з в #«• Тогда оператор
A = jTQ(g)XTp(g-1)dg
G
сплетает представления Та и Тр. Действительно,
ATp(gi) = I Ta(g)XTp(g~lgi) dg ~
G
= / TQ(glg)XT0(g-1) dg = Ta(gl)A.
G
Поскольку TQ и Тр неприводимы, то из леммы Шура следует,
что оператор А или нулевой, если q/j9, или кратен единич-
единичному (А = с(А)Е), если а = /3. Эту альтернативу запишем
в виде равенства
1)dg=c(X)E6Qp. C.2)
Поскольку в пространствах S}Q и Sjp зафиксированы ба-
базисы, то оператору X соответствует матрица (Xjt), j — 1,
2,... ,dim.f)a, I = 1,2,..., dimij^. Выберем оператор X так,
чтобы его матрица (X,j) совпадала с матрицей Epq, имеющей
на пересечении р-го столбца и q-Vi строки единицу, а осталь-
остальные матричные элементы равны нулю. Переписывая соотно-
236 Глава 3
шения C.2) для этого оператора в матричной форме, имеем
Y, It%(g)(Epq)intlm{g-1) dg =
3,nG
/ te) = C^' Я)Ьт8а0. C-3)
Чтобы вычислить с(р, q), возьмем след правой, а затем левой
части равенства C.2) при а = /3 и X = Epq. Получаем выра-
выражения
j Тг (Ta(g)EpqTa(g-1)) dg =Tr Epq = Spq,
G
Тг (c(p, q)jE) = c(p, g) dimTa.
Приравнивая их, получаем c(p, q) = (dimTo)^,. Подставляя
это выражение для с(р, q) в C.3) и учитывая, что в ортонор-
мированном базисе имеем t%p(g~l) = tpq{g), получаем соотно-
соотношение C.1). Теорема доказана.
Пусть \а — характер неприводимого представления Та.
Тогда согласно определения имеем
dim Го
Из соотношений ортогональности для матричных элементов
следует соотношение ортогональности для характеров:
C.4)
3.2. Регулярное представление. Теорема Петера-
Вейля. Пусть, как и раньше, L2(G,dg) = L2(G) — гильбер-
гильбертово пространство квадратично интегрируемых относительно
инвариантной меры функций на компактной группе G. В этом
пространстве действует правое и левое регулярные представ-
представления TR и TL группы G, заданные формулами
TR{g)f(go) = /tea), TL(go)f{g) =
§ 3. Представления компактных групп 237
Эти представления унитарны, поскольку для них выполня-
ются равенства /fi(gga)Mggb)dg = /fx{golg)h(g^lg)dg =
= J h(g)h(g)dg. Разложение этих представлений на непри-
неприводимые составляющие основывается на теореме, доказанной
Ф. Петером и Г. Вейлем в 1927 г.
Теорема 2. Пусть {Та\а ? 1} — полная система попар-
попарно неэквивалентных неприводимых унитарных конечномерных
представлений компактной группы G. Тогда функции
(dimTa)*??„(#), a el, l^m,n^dimTQ C.5)
образуют полную ортонормированную систему функций в гиль-
гильбертовом пространстве L2(G).
Доказательство. Пусть ft — замкнутое линейное под-
подпространство в Хг(С), натянутое на функции C.5), a TR —
правое регулярное представление группы G. Поскольку
(g) = С» tea) = *«то*С*EК„Ы, (з.б)
то $) — инвариантное подпространство представления TR.
Вследствие унитарности, ортогональное дополнение Sj1- также
инвариантно относительно TR (см. доказательство утвержде-
утверждения 2 в§1).
Пусть утверждение теоремы не выполняется. Тогда ^х не
пусто, то есть существует ненулевая функция h(g) ? L2(G),
для которой
h(g)tmn(g)dg=° Для всех а,т,п.
G
Положим
4g) = J {TR(g)h) (gi)Hg7)dgl.
J
G
Функция u(g) непрерывна (в силу непрерывности представле-
представления TR) и принадлежит пространству ,$эх. Действительно,
238 Глава 3
Кроме того, имеем ц(е) = ||/i||2 > 0. Легко показать, что функ-
функция u*(g) := u(g~1) также принадлежит пространству ^х.
Положим w(g) = u(g)+u*{g) и рассмотрим интегральный опе-
оператор А в L2{G) с ядром Kfag1) =
W)(g) =
G G
Отметим два важных свойства оператора А.
1. Оператор А коммутирует со всеми операторами TR(g),
g€ G. Действительно,
(TR(gl)Af) (g) = J w(gg1g'-l)f(g') dg1 =
G
= j «>(gg'-1)f(g'gi) dg1 = (ATR(gl)f) (g).
G
2. Оператор А является самосопряженным оператором
Гильберта-Шмидта. Действительно, симметричность опера-
оператора А следует из симметричности его ядра K(g,gl):
ЩпГ = u(gg'-1) + u(g'g-1) =
Поскольку / \К^,^)^ dgdg1 < сю, то А — оператор Гильбер-
G
та-Шмидта. Он определен и ограничен во всем пространст-
пространстве L2(G). Как всякий оператор Гильберта-Шмидта, оператор
А вполне непрерывен, а симметричность влечет его самосо-
самосопряженность.
Согласно теореме Гильберта-Шмидта [4], если ядро К не
равно тождественно нулю, то оператор А имеет хотя бы одно
отличное от нуля собственное значение А и соответствующее
собственное подпространство L\ конечномерно. Пусть /л
Тогда, принимая во внимание C.7), имеем
G G
= I J(Afx){g)t°Jg)dg =
f
§ 3. Представления компактных групп 239
Поэтому Д € йх и L\ С ^г1-. Поскольку оператор А коммути-
коммутирует с операторами TR(g), то собственное подпространство L\
инвариантно относительно представления TR. Обозначим че-
через Тд4 его сужение на L\. Представление TR конечномерно
и вполне приводимо. Поэтому L* = фЬд, где 1?х — подпро-
7
странство неприводимого подпредставления. Пусть {е7,} —
ортонормированный базис в L\. Тогда
(TR(gl)el)(g) =
Поскольку ядро K(g,^) оператора А является непрерывной
функцией на G x G, то собственные функции этого оператора
также непрерывны. Поэтому, полагая в C.8) g = e, имеем
(е), в! € G.
Это равенство означает, что el(g) ? ф, а это противоречит
включению Lx С 5эх- Поэтому йх пусто ий = L2(G). Теоре-
Теорема доказана.
Из теоремы Петера-Вейля следует, что каждую функ-
функцию / 6 L2(G) можно разложить в ряд по матричным эле-
элементам неприводимых представлений:
dimTQ
? Е ««(и, (з-9)
т,п=1
где коэффициенты разложения вычисляются по формуле
Сп = (dimTa) I f{g)V*Jg)dg C.10)
G
и ряд C.9) сходится по норме пространства L2(G). При этом
выполняется равенство Парсеваля
/
dim То
Y, 1<?»12- С3-11)
m,n=l
240 Глава 3
В качестве следствия из теоремы Петера-Вейля можно
получить утверждение о равномерной аппроксимации непре-
непрерывных функций на группе G конечными линейными ком-
комбинациями матричных элементов неприводимых представле-
представлений [23].
Теорема Петера-Вейля дает ответ на вопрос о разложе-
разложении регулярного представления на неприводимые. Рассмотрим
в L2(G) конечномерное подпространство L^, состоящее из ли-
линейных комбинаций функций C.5) с фиксированными а и т.
Согласно формуле C.6) это подпространство неприводи-
мо относительно TR и сужение представления TR на L?,
унитарно-эквивалентно неприводимому представлению Та.
Поскольку согласно теореме Петера-Вейля
dim То
т=1
то справедлива следующая теорема
Теорема 3. Правое регулярное представление компакт-
компактной группы G в пространстве L2(G) разлагается в пря-
прямую сумму всех неприводимых унитарных представлений Та,
а? I, группы G, при этом каждое неприводимое представле-
представление входит в разложение столько раз, какова его размерность.
Теперь мы можем доказать следующую теорему.
Теорема 4. Всякое неприводимое представление ком-
компактной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно
подпредставлению правого регулярного представления.
Доказательство. Пусть Т — произвольное неприводи-
неприводимое представление компактной группы G в гильбертовом про-
пространстве $j. Зафиксируем в Sj ненулевой (например базис-
базисный) вектор е„ и каждому вектору f € Sj сопоставим функ-
функцию
fn(g) = (en,T(g)f) C.12)
на группе G. Эта функция непрерывна и в силу компакт-
компактности G принадлежит L2(G). Вектору T(gi)f соответству-
соответствует функция fn(ggi)-i которая получается из C.12) дейст-
действием оператора TR(gi) правого регулярного представления.
§ 3. Представления компактных групп 241
Пусть Ln С L2(G) — линейное подпространство функций ви-
вида C.12). Оно инвариантно относительно TR, поскольку про-
пространство й инвариантно относительно Т. Если для некоторо-
некоторого f0 ? S) имеем (en,T(g-)f0) = 0, то это свойство справедливо
и для всех векторов T(gi)fo, gi 6 G. Замыкание линейной
оболочки векторов T(gi)f0 инвариантно относительно Т и от-
отлично от ft, поскольку каждый BeKTopT(gi)f0 ортогонален е„.
Но это противоречит неприводимости представления Т. По-
Поэтому fo = 0. Таким образом, C.12) устанавливает взаимно
однозначное соответствие между векторами пространства Sj
и функциями подпространства LncL2(G), а также эквива-
эквивалентность представления Т сужению правого регулярного
представления на подпространство Ln. Это доказывает тео-
теорему.
Следствие 6. Всякое неприводимое представление ком-
компактной группы в гильбертовом пространстве конечномерно.
ЗАМЕЧАНИЕ. Заметим, что требование унитарности в теоре-
теореме 4 не является необходимым. Утверждение теоремы остается
справедливым для любого пространственно неприводимого пред-
представления компактной группы в локально-выпуклом векторном
пространстве F). Для построения отображения C.12) в этом слу-
случае необходимо иметь хотя бы один ненулевой линейный непре-
непрерывный функционал F. Тогда вектору f € F) сопоставляется функ-
функция fF{g) = F(T(g-)f).
3.3. Разложение по характерам неприводимых
представлений. Функцию / на компактной группе G на-
называют центральной, если для произвольного go ? G име-
ем flgbggo1) = /(я)- Центральные функции постоянны на
классах сопряженных элементов. Примерами центральных
функций являются характеры конечномерных представлений
группы.
Функции из L2(G) разлагаются в ряды C.9) по матрич-
матричным элементам неприводимых представлений. Выясним, как
выглядит этот ряд для центральных функций / на G. Для это-
этого заменим в C.9) g на gbggo- Получим
dim
^mn
m,n=l
dim TQ
? Ckteb)«?.(e)tSrteb)
fe,r=l
242 Глава S
Проинтегрируем правую и левую части по go. Посколь-
Поскольку / d& = 1> то вследствие соотношения ортогональности C.1)
G
для матричных элементов получаем, что с?,„ = 0 при тпфпи
А\гаТа
а€1 к=\
где са — 5^ с^то. Поскольку последняя сумма является харак-
m
тером Ха представления Та, то
Xate). C-13)
Из C.4) и C.11) вытекает, что
Са= Г f(g)xAgJdg, I \f(g)\2 dg=Y, K\2.
G G «e/
Следовательно, характеры Ха, о. & I, неприводимых представ-
представлений компактной группы образуют ортонормированный базис
в гильбертовом пространстве Lq(G) квадратично интегриру-
интегрируемых центральных функций. Отсюда и из формулы C.4) вы-
вытекает такое утверждение.
Теорема 5. Неэквивалентные неприводимые представ-
представления компактной группы G имеют различные характеры, то
есть неприводимые представления однозначно с точностью до
эквивалентности определяются своими характерами. Конеч-
Конечномерные представления группы G однозначно с точностью до
эквивалентности разлагаются в прямую сумму неприводимых
представлений. .
Если х — характер конечномерного представления Т ком-
компактной группы G, то
a€I
Число тпа показывает, сколько раз неприводимое представ-
представление Та входит в разложение представления Т на неприво-
неприводимые. Оно называется кратностью представления Та в Т
§ 3. Представления компактных групп 243
и обозначается (Г: Та). Пишут
Кратность гпа определяется формулой
C.14)
Если для тензорного произведения неприводимых пред-
представлений Та и Тр компактной группы G разложение на не-
неприводимые компоненты имеет вид
7€J
TO
m7 = (TQ®Tp:Ty)= I Xa(g)Xp(g)Xi
G
Из этой формулы следует, что
(Ta ® Tp: T7) = (Tg- ® T7: Щ = (Г7 ® Tp TQ), C.15)
где Tq — представление, контраградиентное к Та.
3.4. Сферические функции. Подгруппа Н группы G
называется массивной, если в пространстве каждого непри-
неприводимого представления Та группы G подпространство инва-
инвариантных относительно операторов Ta(h), h G Н, векторов
имеет размерность, не превышающую 1. Если такое подпро-
подпространство одномерно, то о соответствующем представлении
говорят, что оно имеет класс 1 относительно подгруппы Н.
Пусть Та — неприводимое представление компактной
группы G, имеющее класс 1 относительно массивной подгруп-
подгруппы H,aSja — пространство этого представления. Ортонорми-
рованный базис {е^-} в $ja выберем так, чтобы ei был векто-
вектором, инвариантным относительно операторов Ta(h), h G h.
Матричные элементы
C.16)
244 Глава 3
называют зональными сферическими функциями представле-
представления Та, а функции
?, = <en,TQte)ei> C.17)
— присоединенными сферическими функциями этого представ-
представления.
Поскольку, как видно из C.17), t°x(gh) = *?i(g) для каж-
каждого h € Н, то присоединенные сферические функции посто-
постоянны на левых смежных классах группы G по подгруппе Н.
Зональные сферические функции инвариантны относительно
как левых, так и правых сдвигов на элементы из Н.
Пространство функций из L2{G), постоянных на смеж-
смежных классах gH, g G G, обозначим через L2H(G). Подпро-
Подпространство функций / из L2H{G), для которых f(hg) = f{g)
для всех h G Н, обозначим L2HH(G). Предлагаем читателю
доказать, что разложение C.9) для функций / 6 l%j{G) имеет
вид
dim Го
a€h n=l
а для функций / е L?HH{G) — вид
Kg) = Е c«*ute)> C.19)
где Ix выделяет в {Та \ а 6 /} подмножество неприводимых
представлений, имеющих класс 1 относительно Н.
Заметим, что как матричные элементы t°x(g), так
и функции / ? I/ff(G) можно рассматривать как функции
на однородном пространстве М = G/H. При этом из теоре-
теоремы Петера—Вейля и разложения C.18) вытекает, что функции
a eh, l<n<dimTQ, C.20)
образуют полную ортонормированную систему функций гиль-
гильбертова пространства L2(M) (относительно инвариантной
меры на М).
§ 3. Представления компактных групп 245
3.5. Групповая алгебра. Пусть L1 (G) — пространство
функций на компактной группе G, для которых J \f(g)\ dg<oo.
формула G
\\f\\ = f\f(g)\dg
G
вводит норму в X1(G), превращающую это пространство в ба-
банахово. Для функций /i и /г из X1(G) вводится свертка
(/i*/2)te) =
G
Предлагаем читателю доказать, что Д * /2 6 LX(G). Свертка
удовлетворяет условию ассоциативности
(Л * /г) * /з = Л * (/2 * /з)-
Поэтому она превращает L (G) в ассоциативную алгебру, на-
называемую групповой алгеброй.
Если ip — центральная функция из L1(G), то для каждой
функции / б LX{G) имеем
f*ip = tp*f. C.22)
Действительно, поскольку для центральных функций <p(ggi) —
— figig) и Для инвариантной меры на G имеем J f(g~1)dg =
G
= Sf(g)dg,io
G
(V*f)(g) = I vi.ggi^Kgijdgi = I 4>(.gilg)f(gi)dg\ -
G G
/f
<p(gi )f(ggi)dgi = / f(ggx )<p(gi)dg! = (f*<p)(g).
J
G G
Из формулы C.22) вытекает, что подпространство Lq{G) цен-
центральных функций из L}{G) принадлежит центру этой груп-
групповой алгебры. В действительности оно совпадает с центром.
246 Глаеа 3
Каждой функции / б ^(G) и каждому неприводимому
представлению Та группы G поставим в соответствие опера-
оператор
ГО(Л = (dimTQ) I f(g)TjJ) dg. C.23)
Используя формулу C.21) и инвариантность меры dg, легко
проверить, что
Из этого равенства видно, что при каждом а ? I соответ-
соответствие / -> Ta(f) является представлением групповой алгеб-
алгебры I?(G).
Покажем, что описанные выше неприводимые представле-
представления групповой алгебры ?1(G) разделяют элементы из Ll[G),
то есть для каждых Д, /2 6 Lr(G), fi Ф /2, существует не-
неприводимое представление Та группы G, такое что Та(Д) ф
Ф Та(/2). Предположим, что неприводимые представления не
разделяют элементы групповой алгебры. Тогда существует
почти всюду не равная нулю функция / 6 LX{G), для ко-
которой Ta(f) = 0 для всех а ? I. Записывая формулу C.23)
в матричной форме, получим равенство C.10). Соответству-
Соответствующее равенство C.9) можно записать в виде
а€1
Отсюда вытекает, что если Ta(f) = 0 при всех а 6 J, то f(g) = 0.
Полученное противоречие показывает, что представления Та,
а? I, разделяют функции из ?1(G).
Пусть Н — массивная подгруппа в G. По аналогии
с L2HH(G) введем пространство L^H(G). Тогда из результа-
результатов п. 3.4 вытекает, что матрица (TQ(/)) = (с?) имеет только
один отличный от нуля элемент, а именно элемент са = cj^.
Поэтому, если Д,/г 6 L\IH(G), то для всякого а Е I имеем
т«(Л * /2) = та(Д)та(Уа) = Ta(f2)TQ(fi) = та(/2 * А).
Это означает, что Д * /г = /2 * Д, то есть L\jH(G) — комму-
коммутативная подалгебра в групповой алгебре 1
§4. Представления конечных групп 247
Если разложения C.19) для функций /i и /г из ^Н
записать в виде Д = ? cat?1(g),f2 = ? <4tJi,TO для/i*/2
a€Ji a€Ji
получим
a€Ji
§4. Представления конечных групп
4.1. Основные положения. Основная задача теории
представлений конечных групп (как и любых других групп)
состоит, во-первых, в нахождении всех неприводимых пред-
представлений, во-вторых, — в разложении произвольного конечно-
конечномерного представления на неприводимые составляющие. Каж-
Каждая конечная группа компактна, поэтому все утверждения
предыдущего параграфа остаются верными для таких групп.
В частности, каждое представление конечной группы G в гиль-
гильбертовом пространстве эквивалентно унитарному представ-
представлению, а каждое неприводимое унитарное представление груп-
группы G конечномерно.
При переходе к конечным группам во всех формулах
предыдущего параграфа, где используется интегрирование по
группе, его следует заменить суммой по всем элементам груп-
группы, деленной на порядок ordG группы G. В частности, соот-
соотношение ортогональности для матричных элементов неприво-
неприводимых представлений принимает вид
Пусть N — ordG — порядок группы G. Произвольная
функция / G L?(G) на конечной группе G — это последова-
последовательность N комплексных чисел
и ее можно рассматривать как вектор пространства <CN.
В этом пространстве определено скалярное произведение
N
t=l
248 Глава 3
Функции t^n{g) при различных а, т и п ортогональны
относительно этого скалярного произведения и поэтому неза-
независимы в пространстве L2(G) ~ <CN. Теорема Петера-Вейля
утверждает, что они образуют базис пространства L2(G). От-
Отсюда вытекают такие следствия этой теоремы.
Следствие 1. Количество попарно неэквивалентных не-
неприводимых представлений конечной группы не превосходит
порядка этой группы.
Следствие 2. Все неприводимые представления конеч-
конечной группы конечномерны и их размерности не превосходят
порядка группы.
4.2. Характеры представлений конечных групп.
Характер представления — это функция на группе, постоян-
постоянная на классах сопряженных элементов (см. п. 1.7). Множест-
Множество таких функций обозначаем через Linv(G). Имеем Linv(G) С
С L2(G) ~ С^. Кроме того, dim?inv(G) = k, где к — коли-
количество классов сопряженных элементов группы.
dim TQ
Пусть xa(g) = S ^пЛё) — характер неприводимого
п=1
представления Та. Из формулы D.1) следует соотношение ор-
ортогональности
? Xa(g)xHg) = (ord G)Saf}. D.3)
g€G
Из результатов п. 3.3 вытекает следующее
Утверждение 1. Множество характеров неприводимых
представлений конечной группы G образует базис в простран-
пространстве Linv(G).
Непосредственным следствием этого утверждения явля-
является
Следствие 3. Количество неприводимых неэквивалент-
неэквивалентных представлений конечной группы G равно количеству клас-
классов сопряженных элементов в G: \G\ = k.
§4. Представления конечных групп 249
Пусть x(g) — характер конечномерного (вообще говоря,
приводимого) представления Т. Тогда
Используя соотношение ортогональности D.3), выводим, что
Среди неприводимых представлений Та, а = 1,2,... , к,
обязательно содержится тривиальное представление. Будем
считать, что оно совпадает с Т\. Характер \х тривиального
представления равен единице на всей группе. Тогда из соот-
соотношений ортогональности D.3) следует очевидное равенство
Qte)=0' D-5)
справедливое для всех неприводимых характеров, кроме три-
тривиального.
Пусть г — произвольный элемент в G, а Ог — класс
сопряженных элементов, содержащий г. Выберем функцию
/r G Llnv(G), равную единице на Ог и нулю на остальных эле-
элементах группы, и разложим ее по характерам неприводимых
представлений:
к
/г = ?ааХ«, D.6)
a=l
где
gee
и рг — число элементов в классе Ог. Подставляя D.7) в D.6),
получаем
а=1
250 Глава 3
или
? X°(g)xa(r) = p;4ordG) V, D.8)
а=1
где Sgr равняется 1, если g и г принадлежат одному сопряжен-
сопряженному классу, и 0 в противном случае.
Утверждение 2. Характеры представлений конечных
групп, кроме общих свойств, перечисленных в п. 1.7, обладают
свойствами
2) Ыё)\ ^ Х(е),
3) x(g) = ei + ^2 + ¦-- + ?т, где т - х(е) и eit i = 1,
2,... , т, — корни степени d из единицы, причем d —
порядок элемента g: g* = e.
Доказательство. Первое свойство является непосредст-
непосредственным следствием того, что в классе эквивалентных пред-
представлений конечной группы всегда имеется унитарное пред-
представление, а для унитарных представлений tnnfe) = tnn(g)-
Свойство 3), также является следствием унитарности.
Пусть T(g) — унитарный оператор представления. Тогда его
можно диагонализировать:
T(g) -? UT^U'1 = diag(ei,e2,• • • ,em), m = dimT = X(e).
По определению, x(g) — ?i + ?2 + ¦ • • + ?m- Но поскольку груп-
группа конечна, то существует такое натуральное d, что g4 = е.
Тогда (T(g))d = Е, где Е — единичный оператор. Отсюда сле-
следует, что ef = 1, i — 1,2,..., m. Свойство 3) доказано.
Из свойства 3) легко получить свойство 2):
Мё)\ ^ Ы + Ы + .-.+ \?т\ = т = х(е).
Утверждение доказано.
§4. Представления конечных групп 251
Утверждение 3 (Критерий неприводимости). Пред-
Представление конечной группы G неприводимо тогда и только
тогда, когда
g&G
Доказательство. Если представление Т неприводимо, то
требуемое равенство следует из D.3).
Пусть хТ(g)— характер произвольного представления Г
группы G, удовлетворяющего условию ? |хТ(я)|2 = ordG.
Такое представление конечномерно, поскольку хТ(е) =
= dim Г < ordG. Пусть хТ — ?таХ° — разложение ха-
а
рактера хТ в сумму неприводимых характеров. Тогда
1аТПр ^
g€G а,0
Поскольку XHx^g1)!2 — ordG, то 5^ma = 1- Последнее воз-
g a
можно только тогда, когда Т — неприводимое представление.
Утверждение доказано.
4.3. Регулярное представление. Рассмотрим правое
регулярное представление конечной группы G в пространст-
пространстве L2(G), состоящем из функций
D-9)
Операторы представления TR(gj) действуют по формуле
TR(gj)f = {/(ft), f(gigj), -.., f(gNgj)}. D.10)
Вектор D.10), представляющий функцию TR(gj)f, отличает-
отличается от вектора D.9) перестановкой компонент. При этом, ес-
если gj ф е, то ни одна компонента функции / не остается на
месте. Это означает, что оператор TR(gj), gj ф е, в ортонор-
ортонормированием базисе ej, t = 1,2,... ,7V, таком что ei(gj) = Sij,
имеет нулевые диагональные элементы, то есть след этого опе-
оператора равен 0. Поскольку xR(e) = dimL2(G) = N, то
XR =
),.~ ,XR(gN)} = {N,0,... ,0}.
252 Глаеа S
Согласно критерию неприводимости, регулярное представле-
представление приводимо, поскольку
g€G
Кратности неприводимых компонент вычислим по форму-
формуле D.4):
Х°(е) = dimTQ. D.11)
gee
Полученный результат сформулируем как
Утверждение 4. В разложение регулярного представле-
представления группы G на неприводимые компоненты входят все не-
неприводимые представления, причем их кратности равны их
размерностям.
Это утверждение следует также из теоремы 3 в § 3.
Поскольку
где ff — подпространства неприводимых представлений,
а та — их кратности, то
N = orAG = п\ + г% + ... + п\, D.12)
где числа па, а = 1,2,... ,к обозначают размерности непри-
неприводимых представлений, а к — число классов сопряженных
элементов.
4.4. Примеры неприводимых представлений.
В этом пункте, опираясь на общие утверждения предыду-
предыдущих пунктов и на эвристические соображения, опишем непри-
неприводимые представления конечных подгрупп группы 50C).
Эти группы и их представления, являясь симметриями много-
многоатомных молекул, кристаллических твердых тел и других фи-
физических объектов, играют важную роль в квантовой химии,
молекулярной спектроскопии, теории твердого тела и других
областях.
§ 4. Представления конечных групп 253
Пример 1. Циклическая группа С„. Эта группа комму-
коммутативна и состоит из степеней порождающего элемента г: Сп =
= {г, г2,... , г" = е}. Из следствия 2 леммы Шура вытекает, что все
неприводимые представления этой группы одномерны. В простран-
пространстве Sj = С операторы представления — это операторы умножения
на комплексные числа по модулю равные единице. Легко прове-
проверить, что при каждом фиксированном т (т = 0,1,2, ..., п — 1) опе-
операторы
2»ri
Гга(г>е"Ш, « = 0,1,2,....п-1, D.13)
задают неприводимые представления Сп. Число т нумерует эти
представления. Число т = 0 соответствует тривиальному пред-
представлению. Поскольку количество классов сопряженных элемен-
элементов коммутативной группы равно порядку группы, то множество
представлений D.13) исчерпывает все неприводимые представле-
представления группы Сп-
Пример 2. Группа диэдра ?>„. Эта группа имеет порядок In
и порождается двумя элементами г и ег:
Вп = (г, а | г" = <т2 = е, га = err).
Пусть Sj — пространство конечномерного представления группы
диэдра Dn, а Т(г) и T(tr) — операторы, представляющие элементы
гия соответственно. По определению представления,
[Г(г)]" = [Т(<т)]2 - Е, Пг)П<т) = Т{а)Т-\т). D.14)
Пусть е — собственный вектор оператора Т{г) с собственным зна-
значением е:
Г(г)е = ?е.
. —171
Из условий D.14) следует, что е = е . Поэтому е и ? обознача-
обозначаем соответственно через ет н ?(т). Очевидно, что вектор ет соб-
собственный и для операторов T(rk). Вектор Т(сг)ет также является
собственным для оператора Т(г) с собственным значением е~1(тп).
Действительно,
Г(г)(Г(<т)ет) = Г(<т)Г-1(г)ет = ?-1(т)(Г(<г)ет).
Поскольку Г(<г2)ет = ет, то подпространство, натянутое на век-
векторы ет и Т(<г)ет, инвариантно относительно всех операторов
представления Т. Если е(тп) ф ±1, то собственные числа е(т)
254 Глава 3
и ?~1(m) = e(—m) различны и соответствующие собственные
векторы независимы. Из приведенных рассуждений следует, что
в этом случае пространство Sjm = Cem фСе_т, где е_т = Г(<г)ет,
инвариантно. Представление в нем обозначим через Тт. Операто-
Операторы Тт(г) и Тт(гт) в пространстве Sjm представляются матрицами
(
171 1
е О I /0 1\
« ' T-w=(; о)
"У
О ""У
Легко проверить, что представления Гт и Гп-т эквивалентны:
неэквивалентные представления получаются при m = 1,2,... ,к,
где fc — целая часть числа (п — 1)/2. Случаю m = 0 отвечает
гомоморфизм, ядром которого является подгруппа С„. Посколь-
Поскольку Dn/Cn — Сг = {е, <т}, то по теореме о гомоморфизмах соответ-
соответствующие одномерные представления группы Dn — это точные
представления группы Съ = {е, <т}.
Рассмотрим отдельно случаи четного и нечетного п.
Пусть п = 2к + 1. В группе D2k+i содержится к + 2 классов
сопряженных элементов:
Ок+1 = {гк,гк+1}, Ок+2 = {а,ат,... ^г2*},
которым соответствует такое же количество неэквивалентных
неприводимых представлений. Все неприводимые представления
группы D2k+i исчерпываются двумя одномерными и к двумерными
представлениями. Соотношение D.12) для группы D2k+i приобре-
приобретает вид
2xl+fcx4 = 2-Bfc + l)
В случае четного п группа Г>2* содержит к + 3 класса сопря-
сопряженных элементов:
Ог = {е}, О2 = {г.г2*-1},... , Ок+1 - {г*},
Ок+2 = {<т,<тг2,... ,от2*-2}, Ок+з = {<тг,<тг3,... ^г2*-1}.
Двумерные представления описываются точно так же, как и в пре-
предыдущем случае. Однако теперь при т = к представление приво-
приводимо. Формулы D.15) задают явный вид операторов неприводимых
§ 4. Представления конечных групп 255
неэквивалентных представлений при m = 1,2,... ,k-l. Кроме них
имеются еще четыре одномерных представления:
1) То(г) = То(гт) — 1 (тривиальное представление);
2)Го_(г) = 1, То-(<т) = -1;
3) Тк+(г) = -1, Тк+(<т) = 1;
4) Т4_(г) = -1, Т*_(<т) = -1.
Указанные представления исчерпывают все неприводимые неэкви-
неэквивалентные представления группы Dik, их количество (к — 1) + 4
совпадает с количеством классов сопряженных элементов.
Замечание. Появление четырех одномерных представле-
представлений группы Dn=2k обусловлено тем, что в этой группе, кро-
кроме подгруппы Сгл, содержится еще одна инвариантная подгруп-
подгруппа Dfe = {e,z2,... ,z2fe~2; <x,<xz2,... ,<xz2fe~2}. Эта подгруппа
является ядром гомоморфизма для представлений Т*+; посколь-
поскольку D2k/Dk ~ Сг, то представление одномерно. Все четыре одно-
одномерных представления являются неприводимыми неэквивалент-
неэквивалентными представлениями коммутативной группы D? ~ Аг/ь/Сь,
Cfc = {e,z2,...,z2*-2}.
Пример 3. Одно специальное представление симметри-
симметрической группы 5„. Пусть 55" — n-мерное комплексное векторное
пространство и ei,e2,... ,е„ — базис в нем. В этом пространстве
естественно определяется представление Т группы Sn, операторы
которого действуют по формуле
Т(р)ъ = ep(i), PeSn. D.16)
Представление Г приводимо, поскольку одномерное подпростран-
п
ство Sj , натянутое на вектор е= $3ем очевидно инвариантно отно-
8 = 1
сительно D.16). Сужение представления Т на подпространство 9I
соответствует тривиальному представлению 2\. Ортогональное до-
дополнение к пространству Sj1 обозначим через Sj"*1. Это подпро-
подпространство состоит из векторов х = Y^atei, для которых Y^ai = 0.
Очевидно, что векторы ei — ег, ег — ез, ••¦ ,е„_1 — е„ составля-
составляют базис пространства $j"~l. Любой из них цикличен в Sj"*1 при
действии операторов D.16). (Чтобы убедиться в этом достаточ-
достаточно подействовать на вектор е, — ei+i степенями оператора Т(р„),
где р„ — полный цикл.) Это доказывает отсутствие инвариант-
инвариантных подпространств, а значит, неприводимость сужения представ-
представления Т на подпространство Sj"*1. Полученное неприводимое пред-
представление обозначим через Tn_i.
256 Глава 3
Задача 1. Докажите, что ограничение представления Tn_i на под-
подгруппу Ап С Sn остается неприводимым представлением.
Пример 4. Группа симметрии тетраэдра Г. Для постро-
построения представлений группы симметрии тетраэдра воспользуемся
изоморфизмом Т ~ Аа. Группа Ai содержит четыре класса сопря-
сопряженных элементов:
Ог = {е}, О2 = {A,2)C,4), A,3)B,4), B,3)A,4)},
Oz = {A,2,3), A,2,4), A,3,4), B,3,4)},
Oi = {A,3,2), A,4,2), A,4,3), B,4,3)}.
Элементы из класса О* отличаются от элементов из класса 03
на транспозицию. Поскольку транспозиция не принадлежит груп-
группе Аа, то эти классы нельзя перевести друг в друга сопряжением.
Согласно примеру 3 и задаче 1 группа А$ имеет представле-
представление Гз размерности 3. Для группы симметрии тетраэдра — это
самопредставление, соответствующее ее реализации как подгруп-
подгруппы в SO(S). Представление вещественно, и в декартовом базисе вх,
еу, е2 операторы представления, соответствующие порождающим
элементам, имеют вид
A 0 0 \ /-1 0 0\
0-1 0 , Тз(A,3),B,4))= 0 -10,
0 0-1/ \ 0 0 1/
/0 1 0\
Г3A,2,3)= 0 0 1 .
V о °/
Остальные неприводимые представления одномерны. Ядром со-
соответствующих гомоморфизмов является инвариантная подгруп-
подгруппа Di С At
D2 с* {е,A,2)C,4),A,3)B,4),B,3)A,4)} D.17)
Поскольку фактор-группа AaJHi изоморфна циклической груп-
группе Сз = {е, A,2,3), A,3,2)} С At, то три одномерных представле-
представления группы Ai, о которых идет речь, соответствуют трем непри-
неприводимым представлениям группы Сз:
2<гг
3
Tm((l,2,3)) = e 3 , m = 0,1,2.
Среди них представление То тривиально.
§ 4. Представления конечных групп 257
Пример 5. Группа симметрии куба (октаэдра) К. Как
и в предыдущем случае, для построения неприводимых представ-
представлений воспользуемся изоморфизмом К ~ 54 (см. гл. 1, п. 3.76).
Группа 54 имеет пять классов сопряженных элементов, представи-
представителями которых являются элементы
е, A,2), A,2)C,4), A,2,3),A,2,3,4).
Поскольку S4 = Ai+ аА4, где а = A,2), н подгруппа А4 инвари-
инвариантна, то имеется два одномерных представления, для которых яд-
ядро гомоморфизма совпадает с А4. Одно из них Т\ тривиально, а для
другого (обозначим его через T-i) имеем T_i(tr) = —1. Представ-
Представление Г_1 называют антисимметричным.
Инвариантной является также описанная выше подгруппа Г>2.
Неприводимые представления фактор-группы S^jDi ~ 5з ~ Оз
описаны в примере 2. Среди них два одномерных представления,
после поднятия до представлений группы 54, совпадут с представ-
представлениями Ti и T_i, описанными выше. Третье представление Тг —
двумерно. Следуя примеру 3, построим неприводимое представле-
представление Гз группы 54 размерности три. Таким образом, имеем четыре
неприводимых представления. До полного набора не хватает одно-
одного представления. Поскольку ord 54 = 4! = 24, то воспользовавшись
формулой D.12) находим, что размерность недостающего пред-
представления равна трем. Определим новое неприводимое представ-
представление Уз» положив
где Г_1 — одномерное антисимметричное представление. Пред-
Представления Гз и Гз не являются эквивалентными. В этом убежда-
убеждаемся, вычисляя детерминанты матриц Гз(<т) и Гз(сг), ег = A,2).
Имеем detrs(tr) = —1 и detr^er) = 1. Это доказывает неэквива-
неэквивалентность представлений Гз и Гз-
Замечание. Представление Гз является самопредставлением
группы К как подгруппы в 5ОC), а представление Гз реализует
полную группу симметрии тетраэдра.
Пример 6. Группа симметрии икосаэдра (додекаэдра) У.
В главе 1, п. 3.76 был установлен изоморфизм Y ~ Аъ- Группа Аъ
содержит пять классов сопряженных элементов, представителями
которых являются перестановки
е, A,2)C,4), A,2,3), A,2,3,4,5), B,1,3,4,5).
Пять неприводимых представлений обозначим символами Гд, Ггг,
7>2, Tg, Th- Такая символика принята в физических работах, где
258 Глава 3
группа As используется как группа симметрии фуллерена — моле-
молекулы Ceo- Представление Та -— это тождественное представление,
а через Те обозначено представление размерности 4 из задачи 1.
Изоморфизм As ~ Y С SO(S) определяет трехмерное представле-
представление Tfi • Другое трехмерное представление определим формулой
где а = A,2). Поскольку элемент а не принадлежит группе А5, то
представления Тр, и 2>2 не эквивалентны. Покажем это, сравни-
сравнивая характеры представлений. Действительно, характер представ-
представления Tpj можно вычислить по формуле xFl(C») = 2 cos а; + 1,
где а, — угол поворота, соответствующий вращению из класса Oi
(п. 3.7 гл. 1). Поэтому
X =
1
-U 10
-p-l,U,
Легко проверить, что эти характеры ортогональны между собой
и удовлетворяют критерию неприводимости представлений. Это
означает, что соответствующие представления неэквивалентны.
Характер представления Tg следует из явного вида операторов,
определенных в примере 3 при п = 5:
XG = {4,0,1,-1,-1}.
Воспользовавшись формулой D.12), находим, что
(dimTHJ = 60 - З2 - З2 - 42 - 1 = 52,
откуда dim Тн = 5. В п. 6.3 будет показано, что пятимерное пред-
представление Тн можно реализовать в пространстве четных функций
на множестве вершин икосаэдра с нулевой суммой значений.
4.5. Таблица характеров. Пусть Oi,O2,-- ,Ok —
все классы сопряженных элементов конечной группы G,
a x1i'X2i--- iXk — характеры ее неприводимых представле-
представлений. Будем полагать, что О\ = {е} их1 — характер тривиаль-
тривиального представления. Матрицу X = {x%(Pj))i *>i = 1>2)--- ,к,
§ 4. Представления конечных групп 259
составленную из значений неприводимых характеров на клас-
классах Oj, называют таблицей характеров. Бе записывают в виде
x1
x2
xk
Ox
x4Oi)
хЧОг)
X*«?i)
X
X
x
o2 ...
402) ...
402) ...
ok
x4Ok
x4Ok
xk(o,
)
)
.)
Как будет показано ниже, таблица характеров содержит об-
обширную информацию о самой группе и ее представлениях.
Пусть Та — неприводимое представление конечной груп-
группы G, а х° — соответствующий характер. Положим
Тогда для произвольного g\ € G имеем
Щ
Поскольку представление Та неприводимо, то согласно следст-
следствия 2 леммы Шура имеем Clf — b(a,j)E, где Е — единичный
оператор. Постоянная b(a, j) вычисляется, исходя их формулы
Тг Щ = Ъ(а,з) dimTa = Тг ]Г Ta(g) = р^(О3), D.18)
j — количество элементов в классе Oj. Из формулы умно-
умножения классов сопряженных элементов (см. формулу B) в § 1
главы 1) следует, что
к
1=1
Но П" = ЬЕ, где Ь определяется формулой D.18), поэтому
PiX°(Oi) PjxHOj) _ ^ и PiXa{Oi)
dimTa ' dimTa ~?(ijl dimTa *
Полученное соотношение необходимо для доказательства сле-
следующей теоремы о структуре характеров конечной группы.
260 Глава 3
Теорема 1. Пусть О\,Оъ,... ,Ок — классы сопряжен-
сопряженных элементов конечной группы G,pi,p2,--- ,Pk — числа, ука-
указывающие количество элементов в соответствующем клас-
классе, a hiji — коэффициенты, определяющие умножение классов
сопряженных элементов. Пусть yi,y2,... ,Ук — произвольные
переменные и А = (a,-j) — квадратная матрица порядка к
с матричными элементами
Тогда центральная функция Q на G является характером не-
неприводимого представления тогда и только тогда, когда
1) функция
является корнем алгебраического уравнения det(.4 — XE)= 0;
3) C(Oi) > 0.
Доказательство. Пусть С = Ха — характер неприводи-
неприводимого представления. Тогда выполняется соотношение D.19).
Умножая обе его части на yi и суммируя по i, получаем
где a,ji и AQ определены согласно формул D.20) и D.21) соот-
соответственно. Формула D.22) показывает, что вектор-столбец,
состоящий из чисел pjXa(Oj)/xa(Oi), j — 1,2,... ,fc, являет-
является собственным вектором матрицы А с собственным значени-
значением Аа. Это означает, что Аа — корень характеристического
уравнения det(^4 — ХЕ) = 0. Условие 1) доказано. Остальные
условия теоремы очевидны.
Докажем обратное утверждение. Для этого заметим, что
по доказанному выше для каждого неприводимого характе-
§4. Представления конечных групп 261
ра х° линейная функция
переменных s/i,#2,... ,Ук является корнем алгебраического
уравнения det(.4 - ХЕ) — 0. Легко видеть, что AQ ф Хр, ес-
если а ф /3. Это означает, что выражения D.23) при а = 1,
2,... , к, исчерпывают все корни уравнения det(.4 — ХЕ) = 0.
Если С — центральная функция на G, удовлетворяющая усло-
условиям теоремы, то из условия 1 вытекает, что при некотором а
имеем
) к
Из этого равенства следует, что (,=qxa, где q — С,(Р\Iха(О\).
Из условий 2) и 3) вытекает, что q = 1. Таким образом, С = ха-
Теорема доказана.
Утверждение 5. Коэффициенты hiji, задающие правило
умножения классов сопряженных элементов, полностью опре-
определяют таблицу характеров конечной группы G.
Доказательство. Пусть А — матрица, элементы кото-
которой определены формулой D.20). Составим характеристичес-
характеристическое уравнение det(.4 — ХЕ) = 0. Как показано в доказательстве
теоремы 1, оно имеет к корней вида
где b*J=PiX°(Oj)/Xa(O1).
t=i
Поэтому
Матрица А (а следовательно, и корни AQ характеристическо-
характеристического уравнения det(A — ХЕ) = 0) определяются коэффициента-
коэффициентами hiji. Корни Аа определяют числа baj, входящие в D.24).
Числа pj также определяются коэффициентами hiji. Действи-
Действительно, поскольку О\ — {е}, то /г,-д ф 0 только для классов Ог
262 Глава 3
и Oj, состоящих из взаимно обратных элементов, то есть т&-
ких, что если d = {ggig'11 g € С}, то Oj = {gg^g'11 g € G}.
Для таких классов hiji — р^
Покажем, что числа x°(&i) определяются коэффициента-
коэффициентами hiji. Подставляя выражение D.24) в соотношение ортого-
ортогональности D.3), выводим, что
где к — количество классов сопряженных элементов. Поэтому
1
х«@) = (Щй) 2
D.25)
Утверждение доказано.
Пример 7. Рассчитаем таблицу характеров группы диэдра
Ds = {а, Ь | о5 = 1, b2 ~ I, ab = Ъа~г). Эта группа имеет 4 класса
сопряженных элементов:
Ох = {е}, О2 = {о^-1}, О3 = {о2,о}, Oi = {Ъ,Ьа,Ьа\Ьа3,Ьа*}.
Их умножение задается формулами
OiOi = Oi, i = 1,2,3,4; 02е>2 = 2Oi + 0з,
0203 = 02 + 0з, 0204 = 204,
0303=201+02, 0304=204, 0404=501+502+503-
Уравнение det(A — XE) — 0 имеет вид
\ - A J/2 J/3 ^4
2j/2 г/i + г/г - А г/г + г/з 2t/4
2г/з г/г + г/з г/i + г/г - a 2t/4
2t/4 5t/4 5г/4 г/i + 2г/г + 2t/3 - а
= о.
Отсюда находим, что
Ai = г/i + 2t/2 + 2t/3 + 5г/4, А2 = г/i + 2г/г + 2t/3 - 5j/4,
. 1 + V5 1-V5 . 1-\/5 1 +
Аз = г/i 5—2/2 Ъ—У3' А4 = г/i 5—2/2 9
§ 4. Представления конечных групп 263
Следовательно, числа by известны и из формул D.24) и D.25) вы-
вычисляем таблицу характеров:
x1
x2
x3
x4
Ox
1
1
2
2
Oi
1
1
— i + y/E
2
— i — y/E
2
Оз
1
1
— 1 — \fx
2
-l + Vx
2
О»
1
-1
- 0
- 0
Утверждение 6. Таблица характеров конечной группы
определяет
1) размерности неприводимых представлений;
2) порядок группы;
3) порядок централизатора произвольного элемента g e G;
4) количество элементов в классах сопряженных элемен-
элементов;
5) количество центральных элементов группы;
6) коэффициенты Ьщ.
Доказательство. Размерность неприводимого представ-
представления Та равна значению его характера на единичном элемен-
элементе: dimTa = Xa(Ci)- Согласно формуле D.12) имеем ordG =
= Е lxa(Oi)?.
Q=l
Пусть Hg — централизатор элемента g (E G. Тогда из
рассуждений п. 1.6 главы 1 следует, что ordG = pg(ovdHg),
где pg — количество элементов в классе сопряженных элемен-
элементов, содержащем g. Поэтому согласно формуле D.8) имеем
„-Vs4*-
SI
Q=l
264 Глава 3
Центр Z группы G состоит из тех и только тех элементов
группы G, каждый из которых является классом сопряжен-
сопряженных элементов. Поэтому ordZ вычисляется по предыдущей
формуле.
Для вычисления коэффициентов hiji умножим обе части
равенства D.19) на (dimTa)xa(Oi) и просуммируем по а = 1,
2,... , к. В результате получим
. ordg _ ч^ Xa(Oj)xa(Oj)xa(Oi)
Утверждение доказано.
4.6. Представления в групповой алгебре. Пусть
G — конечная группа. Через А обозначим множество всех
формальных сумм а = 5Z а«5> гДе ag ^ С. Формулы
g€G
С, а + b =
g
IX«"-A"W D.26)
определяют структуру ассоциативной алгебры в А с умноже-
умножением на комплексные числа. Из D.6) видно, что алгебра А изо-
изоморфна групповой алгебре функций a(g) = ag на G (см. п. 3.5).
Поэтому А также называют групповой алгеброй.
В А определена инволюция (автоморфизм, квадрат кото-
которого является тождественным преобразованием)
()
g \ g I g
Задача 2. Покажите, что для любого а? А элемент а' ~ ? gag~x
принадлежит центру алгебры А, то есть коммутирует со всеми элемен-
элементами из А.
Формула
(a,b) = (ordGf)-1E°A
определяет скалярное произведение в А.
§4. Представления конечных групп 265
Важную роль в А играют элементы, называемые идемпо-
тентами. Элемент е € А является идемпотентом, если е2 = е.
Идемпотент называют примитивным, если его невозможно
представить в виде суммы ненулевых идемпотентов.
Если е— идемпотент в А, то множество Ае = {ае \ а е А}
является левым идеалом в А. Можно показать, что если е —
примитивный идемпотент, то Ае — минимальный идеал, то
есть такой, что не содержит в себе других нетривиальных
идеалов алгебры А. Доказывается (см., например, [37]), что
каждый левый идеал имеет вид Ае, причем для минимальных
идеалов е — примитивный идемпотент.
Если Т — конечномерное представление группы G, то
при а = 5Z agg e ^ операторы
g
задают представление алгебры А, которое также обозначаем
через Т. Определение представления группы G по представле-
представлению алгебры А очевидно. Таким образом, существует взаимно
однозначное соответствие между представлениями группы G
и ее групповой алгебры А. Очевидно, что соответствующие
друг другу представления группы G и алгебры А одновре-
одновременно приводимы или неприводимы, эквивалентны или неэк-
неэквивалентны.
Задача 3. Покажите, что представление Т группы G унитарно
тогда и только тогда, когда соответствующее представление алгебры А
симметрично, то есть такое, что Т(а*) = Т(а)*, a G А.
Формула
I J2 1 ]? ]? ^-i^, a e A,
T(go)a = T(g0) I J2 agg 1 = ]? aggog =
V g / g
задает представление группы G в пространстве алгебры А,
эквивалентное левому регулярному представлению в про-
пространстве функций на G. Ему соответствует представле-
представление Т(ао)а = аоа алгебры А. Ясно, что инвариантными под-
подпространствами в А являются левые идеалы, а неприводимы-
266 Глава 3
ми инвариантными подпространствами — минимальные ле-
левые идеалы. Разложению
А = h + h + ... + /„ D.27)
групповой алгебры А в прямую сумму ее минимальных иде-
идеалов соответствует разложение
регулярного представления группы G (и алгебры А) в прямую
сумму неприводимых представлений. Для разложения D.27)
нужно найти разложение единицы алгебры А (ею является
единица группы G) в сумму примитивных идемпотентов.
Таким образом, задача построения неприводимых пред-
представлений конечной группы сводится к нахождению прими-
примитивных идемпотентов групповой алгебры А. Все примитивные
идемпотенты построены для групповой алгебры симметрич-
симметричной группы Sn. Они рассматриваются в следующем пункте.
В общем случае построение примитивных идемпотентов —
сложная задача.
Примитивный идемпотент е определяет соответствующее
неприводимое представление Те группы G. Поэтому е опре-
определяет характер хе представления Те. Если е = ^2e(g)g, то
в
характер хе задается формулой
в
Доказательство этой формулы см. в [37].
4.7. Представления симметричной группы. Опус-
Опуская детали, опишем неприводимые представления симметрич-
симметричной группы Sm. Доказательство утверждений, приводимых
без доказательств, можно найти в [42].
Классы сопряженных элементов группы Sm нумеруются
разбиением числа т в сумму целых положительных чисел (см.
п. 3.3 главы 1). Поэтому согласно следствию утверждения 1
неприводимые представления группы Sm можно задавать эти-
этими разбиениями. Каждому такому разбиению
т = т,\ + ТП2 + ... + rrik, пц ^ fJi2 ^ ... ^ тк ^ 0, D.29)
§ 4. Представления конечных групп
поставим в соответствие схему
267
содержащую к строк, причем первые клетки в строках рас-
расположены друг над другом и в j-й строке расположено mj
клеток (j = 1,2,... ,к). Построенную схему называют схе-
схемой Юнга, соответствующей разбиению D.29). Обозначим за-
записанную схему Юнга и разбиение D.29) через а.
Схему Юнга с расположенными в клетках (по одному
в каждой клетке) числами 1,2,...,т называют диаграм-
диаграммой Юнга. Диаграммы Юнга, отвечающие разбиению а, будем
обозначать SQ. Диаграмму Юнга, в которой числа возраста-
возрастают (в каждой строке слева направо и в каждом столбце сверху
вниз), называют стандартной.
Вычисление количества 1а стандартных диаграмм Юн-
Юнга, соответствующих фиксированному разбиению а, является
чисто комбинаторной задачей. Число 1а задается формулой
I =
D.30)
где щ — mi + (к — г), а ггц
удовлетворяют условию
числа из разбиения D.29). Они
= m!, где суммирование ведется
а
по всем разбиениям типа D.29).
На диаграммы Юнга действуют перестановки из Sm,
переставляя соответствующим образом числа. Для заданной
диаграммы Юнга ?а через Ра обозначим подгруппу в Sm,
элементы которой переставляют числа только в строках диа-
диаграммы SQ. Перестановки из Ра будем обозначать буквой р.
Подгруппу перестановок из Sm, переставляющих числа толь-
только в столбцах диаграммы Еа, обозначим через Qa, а элементы
из Qa — через q. Очевидно, что при переходе от SQ к gEa,
268 Глава 3
g € 5ТО, подгруппы Ра и Qa переходят в сопряженные к ним
ПОДГРУППЫ gPag И gQag'1-
Пусть А — групповая алгебра группы Sm. Для диаграммы
Юнга ?а введем элементы
/а =
алгебры А, где <тд = 1 для четной и <тд = — 1 для нечетной
перестановок. Непосредственно проверяется справедливость
формул
Pfa = faP * fa, Oqq<fa = <pa(Tqq, D.31)
fa = (ovdPa)fa, <& = (oTdQa)<pa. D.31')
Теперь образуем элемент
e (Sa) = faVa = ^ GqPq D.32)
групповой алгебры А. Его называют симметризатором Юнга,
соответствующим диаграмме Юнга Еа.
Утверждение 7. Симметризаторы Юнга D.32) кратны
минимальным идемпотентам алгебры А:
e(SQJ=7e(SQ), 7 т*0. D.33)
Доказательство. Вследствие D.31) и D.32) для любо-
любого s € 5m
pse (EQ) q = o-gse (EQ), p € PQ, g g QQ.
Наоборот, пусть a — такой элемент из А, что для всех р € Ра,
9 6 Qa имеем paq = <rga. Покажем, что тогда a = 7e(EQ),
где 7бС. Для этого положим a = ^ agg, g g 5TO. Тогда
е
а =
§ 4. Представления конечных групп 269
Следовательно,
ag = crqapgq для всех р Е Ра, q € Qa- D-34)
Положив g = е, где е — тождественная перестановка, при
всех р G Ра и g e QQ получаем
сгяард = ае.
Таким образом, мы получим, что а = 7е(Еа), если покажем,
что а/, = 0 при h€PaQa. Если h e Sm не представляется в ви-
виде pq, то должны существовать числа г и s, расположенные
в одной строке в EQ и в одном столбце в /iEQ. Если go —
перестановка г и s, to go E Ра и go € Qha- Тогда при некото-
некотором q g Qa имеем go = hqh~x, ag0 = aq — — 1 и согласно D.34)
получаем
Oh = Pqagohq-1 — <fqah = ~O>h-
Следовательно, a^ = 0 и a = 7e(EQ), где 7 e С.
Согласно D.31) имеем
ре (SQJ 9 = <7ee (SaJ .
Поэтому по доказанному выше e(SQJ = 7e(Sa).
Для полного доказательства утверждения нужно пока-
показать, что идеал 1а = Ае (EQ) минимальней. Для этого пока-
покажем, что e(EQ)JQ С Ce(SQ)- Действительно, если b e e(SQ)/a,
то b = e(SQ)oe(SQ), a e А, и
pbq = ре (SQ) oe (SQ) 9 = ^е (EQ) ае (SQ) = <?дЬ.
Поэтому, согласно доказанному выше, b = je (EQ) и е (EQ) Ia С
С Ce(EQ). Пусть Ia содержит в себе левый идеал J. Тог-
Тогда e(?Q)J = {0} или e(EQ)J = Ce(?Q)- В первом случае
Р = II С 1а1 = Ае (EQ) / = {0}. Но тогда / = {0}. Дейст-
Действительно, если a 6 /, то а*а 6 J2 = {0}, где а* — элемент,
сопряженный к а (см. п. 4.6). Из вида элементов алгебры А
и определения сопряженности вытекает, что а*а = 0 тогда
и только тогда, когда a = 0. Следовательно, условие Р = {0}
влечет J = {0}. В другом случае, Ia = Ae(EQ) = A<Ce(?Q) =
= Ае (EQ) / С /, то есть 1а = I.
270 Глава 3
Покажем, что 7^0в D.33). Поскольку элементы под-
подгрупп Ра и Qa перестановочны, то е(Еа)* = e(EQ). Поэтому
e(EQJ=e(EQ)e(EQ)V0.
Утверждение доказано.
Можно показать, что 7 = рг-
la-
Пусть а и /3 — два разных разбиения числа т:
т = mi + ... + rrik, т = П\ + ... + пг-
Покажем, что тогда
0 D.35)
для всех диаграмм Юнга EQ и Е^. Для этого заметим, что
должны существовать числа s и t, находящиеся в одной строке
диаграммы Е^ и в одном столбце диаграммы EQ (иначе, как
можно показать, fc = г, mi = m,m2 = п2,-..). Пусть g- —
перестановка элементов sat. Тогда ag = — \,g Е -Р/з^ € Qq
и вследствие D.31) имеем
е(Ев)е(Е„) = e(EQ)g-g-e(E0) = -e(EQ)e(E0). D.36)
Это доказывает равенство D.35).
Как отмечалось в п. 4.6, при фиксированном разбиении а
числа m преобразования Та(Ь)а = Ьа задают представление ал-
алгебры А и группы Sm в левом идеале Ia = Ae(EQ). Поскольку
эти идеалы минимальны, то представления Та неприводимы.
Утверждение 8. Для разных разбиений а и /3 представ-
представления Та и Тр неэквивалентны.
Доказательство. Заметим, что /а<Рв = 0 при а ф /3 (до-
(доказательство такое же, как и в случае равенства D.36)). Поэ-
Поэтому /QAe(E^) = faAfptpp С faA<fip = {0}. Следовательно,
= {0}, афр. D.37)
При а = /3 имеем
/а/а ф {0}, D.38)
поскольку /Qe(EQ) = e(EQ) ^ 0 (см. формулу D.31)).
§5. Представления группы SVB) 271
Предположим, что представления Та и Тр эквивалент-
эквивалентны. Тогда существует взаимно однозначное отображе-
отображение U: 1а -> 1р, такое что Та(а) = U~1Tp(a)U для всех а € А.
Например, Ta(fa) = U~lTp{fa)U. Но это невозможно, по-
поскольку вследствие D.37) и D.38)
Ta(fa)Ia = fala Ф {0},
U^TpifaWIa = U^TpUcdh = U^falp = {0}.
Утверждение доказано.
Таким образом, для каждого разбиения а числа m мы по-
построили неприводимое представление Та группы Sm. Посколь-
Поскольку эти представления неэквивалентны и разбиения нумеруют
классы сопряженных элементов в Sm, то это полная система
неприводимых неэквивалентных представлений группы Sm.
Можно показать, что для А справедливо разложение
е{Ла). D.39)
Поэтому неприводимое представление Та встречается в разло-
разложении регулярного представления столько раз, сколько слага-
слагаемых Ае(Т,а) с заданным а встречается в разложении D.39).
Это число 1а задается формулой D.30). Поэтому dimTQ = la.
§ 5. Представления группы SUB)
В этом параграфе на примере группы SUB) иллюстриру-
иллюстрируются общие утверждения теории представлений компактных
групп, изложенные в предыдущих параграфах. Несмотря на
казалось бы частность выбранного примера, теория представ-
представлений этой группы довольно содержательна и имеет множес-
множество приложений. Являясь универсальной накрывающей груп-
группы вращений трехмерного пространства, группа SUB) играет
важную роль в исследовании квантовых систем, обладающих
вращательной симметрией. Теория матричных элементов не-
неприводимых представлений группы SUB) демонстрирует воз-
возможности групповых методов в теории специальных функций.
Замечательным объектом математической физики и комби-
комбинаторики являются коэффициенты Клебша- Гордона и Рака,
272 Глава 3
возникающие при разложении на неприводимые составляю-
составляющие тензорных произведений неприводимых представлений.
5.1. Неприводимые представления группы SU{2).
Комплексификацией группы SUB) является группа SLB, С).
Согласно п. 2.3 каждое неприводимое голоморфное представ-
представление комплексной группы остается неприводимым при суже-
сужении на вещественную форму. В этом пункте будут построены
неприводимые голоморфные представления группы SLB,€)
в пространствах многочленов от одной комплексной перемен-
переменной z — локальной координаты проективного пространст-
пространства СР1. Сужая эти представления на вещественную подгруп-
подгруппы SUB), получаем все неприводимые представления послед-
последней.
Матрицы g = ( " Ч J С GLB,C) действуют в пространст-
пространстве С? как линейные преобразования
g- (zi,z2) -»¦ (zi,z2) I s I = (azi +7Z2,/3zi + Sz2).
Используем это действие для построения неприводимых пред-
представлений группы GLB, С).
Пусть I — целое или полуцелое неотрицательное число.
Обозначим через S)i линейное пространство однородных мно-
многочленов двух комплексных переменных
P(zuz2)= Х>„гГп4+П
n=-i
степени однородности 21: p(A^i, Az2) = X^pfajZ^. Определим
в 5)i операторы Ti(g), g€ GLB,C), положив
T(g)p(z1,z2) = p ((Zl, z2) (* fj\= p(aZl + yz^pz! + Sz2).
E.1)
Операторы Tt(g) оставляют пространство 5)i инвариантным
и задают в нем представление группы GLB,C). (Условие го-
гомоморфизма Ti(gig2) = Ti(gi)Ti(g2) проверяется непосредст-
непосредственно.)
§5. Представления группы SUB) 273
Определенное формулой E.1) представление Т/ допускает
другую реализацию. Действительно, каждый многочлен pGfii
однозначно определяется своими значениями
i
(p(zi) = p(zi,l) = 2_] Pnz[~n E.2)
n=-l
в точках (zi,l). Многочлен p(zi,z2) однозначно восстанавли-
восстанавливается по многочлену <p(zi):
P(zi,z2) = z2u<p(z1/z2). E.3)
Обозначим через 35/ пространство многочленов <р степени 21
от одного переменного z. Формулы E.2) и E.3) устанавли-
устанавливают взаимно однозначное соответствие между элементами
пространств Sji и 35j. Согласно формуле E.3) имеем
p(az± + /yz2,@Zi + 6z2) = {fiz\ + 6z2J <p
Отсюда следует, что операторы E.1) переходят в операторы,
действующие в пространствах 3D/ по формуле
= ifiz + 6)»<p ( ^4 ) - E.4)
Одночлены 1, z, z2,... , z21 составляют базис пространства 3D/,
поэтому представление Tj имеет размерность 21 + 1.
Рассматривая операторы T%{g) только для матриц
g?SUB) получим представление группы SUB). Как показа-
показано в п. 5.5 главы 1, группа SUB) дважды накрывает груп-
группу SO(S); при этом элементы {±е} G SUB) составляют ядро
гомоморфизма накрытия. Поскольку
Щ-е)ф) = (-1J1ф),
то представления Т/ с целым I определяют однозначные пред-
представления группы SO(S). Представления 7} с полуцелым I —
это двузначные (спинорные) представления группы SOC).
274 Глава S
5.2. Инфинитезимальные операторы представле-
представлений. Алгебра Ли группы SUB) (обозначаемая далее че-
через suB)) состоит из антиэрмитовых 2x2 матриц с нулевым
следом. Матрицы
_,/о А . _ 1 [о -i\ 4 _ 1А о\
1 ~ 2 \1 0J ' 2 ~ 2 \1 О/ ' 3 ~ 2 VO -lj '
E.5)
касательные к однопараметрическим подгруппам
cos|
I . „,v, ^^o • I I gm i. cog i.
e^ 0
_.T I 5
0 e
составляют базис алгебры Ли suB). Базисные элементы Ai,
г = 1,2,3, удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Аг, А2] = А3, [А2,А3] = Аг, [А3,Аг] = А2. E.6)
Вычислим инфинитезимальные операторы Ti(Ai) = Ai пред-
представления Ti в пространстве 3D/. Согласно определения
т=0
Однопараметрической подгруппе gi(r) соответствует семей-
семейство операторов Ti(gi(r)):
Дифференцируя правую и левую части этого равенства по т
и полагая т = 0, получаем
А1=иг+±A-г*)?. E.7)
§ 5. Представления группы SUB) 275
Аналогично находятся остальные инфинитезимальные опера-
операторы:
± ? (f} E.8)
Легко проверить выполнение коммутационных соотноше-
соотношений E.6) для операторов Ai.
5.3. Инвариантное скалярное произведение. По-
Поскольку группа SUB) компактна, то в пространстве 2)j ее
конечномерного представления Т/ существует инвариантное
скалярное произведение. Для пары многочленов /ь/г G 2)/
определим его формулой
/
h(z)h(z)
(f f f
Uuh) - 27Г J A + |z|2JI+2
где dzdz — —2idxdy — ориентированная квазиинвариантная
мера на СР1. Проверку инвариантности скалярного произве-
произведения E.9) относительно представления E.4) предоставляем
читателю.
Вычислим норму базисных элементов zl+m, т — — I,
—I + 1,... ,1, относительно скалярного произведения E.9):
N2t+2m
2тг
2ГB/ -t
Интегрируя по угловой переменной <р от 0 до 27г и производя
замену г2 = у, сводим интеграл E.10) к интегральному пред-
представлению для В-функции Эйлера. В результате имеем
||zJ+m||2 = гB/ + 2)в(/ + m + 1, / _ m + 1) = (/ + m)l (/ _ m)l
E.11)
Одночлены zl+m, zl+n при т ф п ортогональны между собой
(следствие ортогональности функций etmv> и егп<р на окружнос-
окружности). С учетом этого замечания результат приведенных вычис-
вычислений представим в виде
l+n) = (l + m)l(l-m)l 6mn. E.12)
276 Глава S
Одночлены
Vm(z) = -7=1^ , т =-1,-1+1,...,I, E.13)
/(l + m)\(l - m)\
образуют ортонормированный базис пространства S/.
Определив вместо А\, А2,А3 операторы
Н+ = \Аг -А2 = -?, Я_ = \Аг +А2 = -2lz + z2?,
H3=iA3=l- z-f, E.14)
удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[Яз,Я+] = Я+, [Я3,Я_] = -Я_, [Я+,Я_] = 2Я3, E.15)
получаем
Н+<рт = s/{l-m){l + m + 1)<рт+1, E.16)
/ -i, E.17)
Н3<рт = т<рт. E.18)
Таким образом, операторы Яз и А3 диагональны в базисе <рт,
т = —I, —1 + 1,... ,1. Операторы Т/(?з@)) = Ti(exp6A3) тоже
диагональны в этом базисе:
Ti{g3{0))vm = e~imVm. E.19)
5.4. Неприводимость и полнота. Представление Т/
группы SUB) неприводимо, если в пространстве Э/ нет соб-
собственных (то есть отличных от {0} и от ?>/) подпространств,
инвариантных относительно операторов А\,А2,А3 или опера-
операторов Я+, Я_, Яз.
Предположим, что в Э/ существует ненулевое подпрост-
подпространство "S, инвариантное относительно операторов Я+, Я_, Я3.
у? — отличный от нуля многочлен из "$, а т — его
степень. Действуя т раз на tp оператором Н+ — —-4-, по-
получим отличную от нуля постоянную с, принадлежащую Э/.
§ 5. Представления группы SUB) 277
Теперь действуя на с операторами Я_, Я2,... ,ЯЕ', прихо-
приходим к выводу, что подпространству 5 принадлежат одночле-
одночлены l,z,z2,... ,z2'. Следовательно, 5 = Sj и представления Tj
неприводимы.
Если / ф V, то dimT/ ^ dimT/-. Представления, имею-
имеющие различные размерности, не могут быть эквивалентными.
Поэтому представления Ti, I — 0, ^, 1, |, • • •, попарно неэкви-
неэквивалентны.
Покажем, что набор неприводимых представлений Ti,
I = 0, |, 1, |,..., группы SUB) полный, то есть что всякое не-
неприводимое конечномерное представление SUB) эквивалент-
эквивалентно одному из представлений Tj. Неприводимое конечномерное
представление группы SUB) однозначно определяет неприво-
неприводимое конечномерное представление алгебры Ли suB) и на-
наоборот. Поэтому достаточно показать, что всякий набор опе-
операторов Н+,Н-,Нз, удовлетворяющий соотношениям E.15)
и не имеющий инвариантных подпространств, эквивалентен
набору операторов E.16)-E.18).
Пусть Н+, Д_, Нз — набор операторов в линейном про-
пространстве .fj, удовлетворяющих соотношениям E.15), и пусть
в Sj отсутствуют собственные инвариантные подпростран-
подпространства. Тогда в $) существует собственный вектор а операто-
оператора Н3: Н3я = ka. Из соотношений
[#з,Я+] = Я+, [Я3,Я_] = -Я_
вытекает, что
Я3(Я+а) = Я+Я3а + Я+а = (к + 1)(Я+а),
Я3(Я_а) = Я_Я3а - Я_а = (к - 1)(Я_а).
Следовательно, векторы Я+а и Я_а тоже собственные и от-
отвечают собственным значениям к +1 и к — 1 соответственно.
Действуем на вектор а операторами Н+,Я^.,Я+,... По-
Полученные ненулевые векторы соответствуют собственным
значениям к +1, к + 2,... и потому линейно независимы. Это
значит, что на некотором шаге получим нулевой вектор. Сле-
Следовательно, в Sj существует ненулевой вектор Ь, для которо-
которого Я3Ь = Лэ и Я+Ь = 0, где I — число. Действуем на вектор b
278 Глава S
операторами Я*, к = 1,2,..., до тех пор, пока не получим
нулевой вектор. В результате получаем некоторое число (ска-
(скажем, т + 1) линейно независимых векторов
b = b0, b2 *#_Ь, bz = Н2_Ъ,... ,bffl = Н™Ъ, E.20)
таких что Н3ЬЙ = (I — s)bs. Покажем, что
!. E.21)
При j = 0 эта формула верна. Предположим, что она верна
при j = i — 1 и покажем, что она справедлива при j = г. Имеем
H+bi = H+tf_bi_i = Я-Я+Ь,-! 4- 2ЯзЬ,_! =
= [Щг - 1) - (г - 1)(г - 2)]bi_! + 2A - i
то есть формула E.21) справедлива.
Следовательно, в Sj существуют линейно независимые
векторы bo,bi,... ,bm, на которые операторы действуют по
формулам
ЯзЬ,-= (/-.?>,-, Я_Ь,=Ья-1, E.22)
!. E.23)
Поэтому подпространство $j', натянутое на эти векторы, ин-
инвариантно относительно операторов Я+, Н-,Н3. Следователь-
Следовательно, Sj' = ?.
Вследствие последней из формул E.15) Н+Н- — Н-Н+ =
— 2Я3. Поэтому для следов операторов получаем
ТгЛ+Л- - ТгН-Л+ = 2 ТтН3.
Поскольку Тг Я+Я_ =Тг Я_Я+, то ТгЯ3 = 0. Отсюда
и из E.22) вытекает, что
ТгЯз = J^(Z - j) = l(m + 1) - Щ(т 4-1) = 0.
§ 5. Представления группы SUB) 279
Поэтому т = 21. Таким образом, число векторов в E.20) рав-
равно 21 + 1, а I — целое или полуцелое число.
Обозначим векторы hj в E.22) и E.23) через yj-j, а потом
перейдем от у„ к векторам
п-1 1
В результате формулы E.22) и E.23) перейдут в форму-
формулы E.16)-E.18). Следовательно, полнота набора неприводи-
неприводимых представлений Tj, I — 0, i, I, |,..., доказана.
5.5. Матричные элементы представлений. Для
вычисления матричных элементов
tlmn(g) = (<Pm,T,(g)<pn)
операторов Tj(g), g G SU{2), в базисе E.13) запишем их в виде
ti ( ) =
и учтем формулы
Tt{g)J-» = (az
[6pt]{zl-k,z'-r) = (l- k)l (I + k)l бы
В результате получим
al-m7m-n6l+n
Л
Л V(fTn)(fn).q + n.)i(f + n)! /^y
где M = max@,n — m) к N = min(I — m,l + n).
280 Глава 3
Матрицы g G SUB) представляются через углы Эйлера^,
в, ф в виде
где g3(<p) и giF) — матрицы из п. 5.2. Операторы Ti(g3(ip))
диагональны в базисе <рп, п = — I, —1 + 1,... , I (см. форму-
формулу E.19)). Поэтому
, E.25)
где согласно формуле E.24)
)!(f-n)!l
)!(Z + n)!j g
+п
С помощью формулы
fc>0
матричные элементы E.24) и E.26) можно выразить через
гипергеометрическую функцию. При т^ п имеем
х f cos 11 2-Fi (I + m + 1, -I + m; m - n + 1; sin2 | J .
E.27)
При m < n в правой части этой формулы тип следует заме-
заменить соответственно на —го и —п.
§5. Представления группы SUB) 281
Поскольку 1 — т — целое положительное число, то гипер-
гипергеометрический ряд в E.27) обрывается и может быть выра-
выражен через многочлен Якоби Рп \z). Используя формулу
при m ^ n имеем
Как и в E.27), при m < п в правой части этой формулы сле-
следует заменить тип соответственно на —m и —п.
Используя соотношения для гипергеометрических функ-
функций и многочленов Якоби, выводим другие выражения для
матричных элементов
Заметим, что
- <-"'"" (g-.$'+.)¦)'х sin"" ? cos'+" ?¦ <5-28)
Заменив базис E.13) базисом
/„(z) = i"Wz), w = -I,-I + l,..-,I, E.29)
получим матричные элементы d?mn(gi@)) операторов Ti(giF)),
связанные с матричными элементами tlmn(giF)) формулой
В отличие от tlmn(giF)) функции d?mn(giF)) вещественны. Их
называют функциями Вигнера. Полный матричный элемент
282 Глава 3
в базисе E.29) имеет вид
E.30)
Матричный элемент E.30) инвариантен относительно
правых сдвигов на элементы однопараметрической подгруп-
подгруппы (яз(а)} тогда и только тогда, когда I — целое число
и п — 0: dlm0(gg3{a)) = dlmo(g)- Этот матричный элемент
не зависит от ф (а потому является функцией на сфере
52 ~ SOB)/SOB)) и имеет вид
Эти матричные элементы обозначают через Yim(<p, в) и назы-
называют сферическими функциями на S2. Набор всех сферических
функций Yim,I = 0,1,2,...; т = —I, —1 + 1,... ,1,образует пол-
полную систему в пространстве L2(S2) квадратично интегрируе-
интегрируемых относительно инвариантной меры функций на сфере S2.
5.6. Регулярное представление группы SUB).
Пусть L2(SUB)) — гильбертово пространство квадратично
интегрируемых относительно инвариантной меры
dg = A6тг2) -1 sin в dd dip dip
функций на группе SUB). (Инвариантная мера подобрана так,
чтобы мера всей группы равнялась 1.) Операторы R(u)f{g) =
= f(gu) задают правое регулярное представление группы SUB)
в L2(SUB)). Найдем выражения для инфинитезимальных опе-
операторов А\, Ai, A3 регулярного представления, соответству-
соответствующих однопараметрическим подгруппам gi(t), g2(t), g3(t) (см.
п. 5.2).
Углы Эйлера элемента g обозначим через <р, в, ф, а эле-
элемента ggi(t) через (p{t),6{t),4p{t). Тогда
t=0
dt
§ 5. Представления группы SUB) 283
Выразив матрицу g через углы Эйлера (р,в,ф и умножив ее
на матрицу gi(t), находим
cos 6(t) = cos в cos t — sin в sin t cos ^»,
•> 9 1
e = e cos Чг^ I x
cos I cos |e*^ - sin \ sin |e
Дифференцируя обе части этих равенств по t при t = 0 и учи-
учитывая, что ^j(O) = <р, в@) = в, ф@) — ф, имеем
ip'@) = -^|, 0'(О) = cos ф, ф'@) = - ctg в sin ф.
Подставив эти значения в E.31), получаем
*1>%,- E-32)
Подобным образом выводим, что
Лз = ^. E.34)
Инфинитезимальные операторы Ai, Л2, А3 совпадают с век-
векторными полями на группе SUB).
5.7. Операторы Лапласа. Используя соотноше-
соотношения E.6), легко проверить, что элемент Казимира
С = А\ + А\ + А\
универсальной обертывающей алгебры il(suB)) перестаново-
перестановочен с матрицами А\, Лг, Аз, а потому и со всеми элементами
284 Глава 3
алгебры Ли suB). Следовательно, во всяком представлении Т
группы 51/B) соответствующий оператор Казимира
перестановочен с инфинитезимальными операторами -4i,^2,
A3. А поскольку однопараметрические подгруппы gi(t), g2(t),
gi{t), касательные матрицы к которым совпадают с Аг, А2,
Аз, порождают всю группу SUB), то оператор С перестано-
перестановочен со всеми операторами T(g), g e SUB).
Оператор С для регулярного представления группы SUB)
называют оператором Лапласа на SUB) и обозначают че-
через А. Используя выражения E.32)-E.34) для операторов Аг,
Аъ, Аз в регулярном представлении, находим, что
дв2 ° дв sin2 0 ydif2 дц>дф дф2)
E.35)
Рассматривая подпространство функций из L2(SUB)), не
зависящих от угла ф, получим пространство функций f{4>,ff)
из ?2E2). Оператор E.35) превращается на них в опера-
оператор Лапласа Ао на сфере 52:
92 ¦~*"^ + -АтА- E-36)
Используя связь E.14) между операторами Ai, A2, А3
и Н+, Н-, Я3, выводим, что
С = Н+Н— Н—Н+ йд .
Теперь с помощью формул E.16)-E.18) вычисляем, что в не-
неприводимом представлении 7/ оператор Казимира кратен еди-
единичному:
= Л
E.37)
Матричные элементы tlmn(g) неприводимых представле-
представлений Т/ группы SUB) образуют базис пространства L2(SUB)),
§ 5. Представления группы 5GB) 285
причем на элементы tlmn(g) при фиксированных !ит натя-
натягивается инвариантное подпространство, на котором операто-
операторы R(u), и G SUB), правого регулярного представления ре-
реализуют неприводимое представление, эквивалентное Т/. От-
Отсюда и из E.37) получаем, что
Д4»(*) = -*(*+1L»(*)- E-38)
Кроме того, матричные элементы tlmn(g) являются собст-
собственными функциями операторов -|- и -|г соответствен-
соответственен? игр
но с собственными значениями тип. Разложение функ-
функций / е L2(SUB)) в ряд по матричным элементам tlmn(g)
(см. п. 3.2) является разложением по собственным функци-
функциям операторов Д, -?-, -?-г. Аналогично, разложение функ-
и<р игр
ций / 6 Z2(S2) в ряд по сферическим функциям Yim является
разложением по собственным функциям операторов До и -@-.
5.8. Характеры. Вычислим характеры xt представ-
представлений Т/ группы SUB). Характеры х имеют свойство
Xigiggi1) — X(g), To есть они являются функциями от g, по-
постоянными на классах сопряженных элементов. Каждый класс
сопряженных элементов в SUB) содержит диагональную мат-
матрицу. Поэтому характер Xi(g) можно рассматривать как функ-
функцию на диагональных матрицах. Диагональные матрицы
i- -i- -i- i-
g3(t) = diag(el2,e '2), g3(-t) = diag(e '2,e2)
и только они определяют один и тот же класс сопряженных
элементов.
Пусть g = gigs Wgi- Тогда согласно формуле E.19)
xdg) = xi(gs(g)) = E *L(aW) =
k=~l
= E e"lfct = eit ; = v. t ¦ E-39)
fe=-/ e -l sm|
286 Глава 3
5.9. Тензорное произведение представлений.
Тензорное произведение Т/2 ® Т/2 представлений груп-
группы SUB) — унитарное представление. Поэтому оно разлага-
разлагается в ортогональную сумму неприводимых представлений.
Чтобы найти, какие представления входят в это разложение,
нужно характер представления Т/х ® Tf2 разложить в сум-
сумму характеров неприводимых представлений. Характер пред-
представления Tjj ® Ti2 равен произведению характеров представ-
представлений Ttl и Th.
Согласно формуле E.39),
U
m=-li
Поэтому при lx ^ 1г имеем
i(/l
Е eit_1
171=—/2
_
7П= —1-2 ТЛ~—1-2
Следовательно,
21,0 21,= ф Г,, E.41)
1=1ь-ы
где суммирование ведется только по целым или только по по-
полуцелым значениям I, в зависимости от значения h+h-
5.10. Коэффициенты Клебша-Гордана. Пусть Sjf,
i — 1,2, — линейные пространства (не обязательно совпадаю-
совпадающие с пространствами п. 5.1), в которых заданы неприводи-
неприводимые представления Т/; группы 51/B). Согласно формуле E.41)
пространство i5i®#2 разлагается в ортогональную сумму под-
подпространств Sji, в которых реализуются представления Т/:
h+h
Я|- E.42)
§5. Представления группы SUB) 287
Выбираем в пространстве E.42) два ортонормированных ба-
базиса. Первый базис состоит из элементов
«j ® е*, з = -li,-h + 1,... ,/i;
fc = -fe,-fe + l,...,fe, E-43)
где е,-, з = -fi,--- Ji, и ек, к = -h,--- ,h, — ортонормиро-
ванные базисы соответственно в пространствах $}± и #2, в кото-
которых операторы Н+,Н-,Нз задаются формуламиE.16)-E.18).
Другой базис состоит из элементов
elm, \li-h\^l^li+h, m=-l,-l+l,...,l, E.44)
где elm, т = —/,...,/, — базис подпространства fti из E.42),
в котором операторы Я+,Я_,Яз задаются формула-
формулами E.16)-E.18).
Базисы E.43) и E.44) связаны унитарной матрицей С:
f2,f; 3,k,m)ej ® e^, E.45)
ej ® е'к = Y,C(h,h,l; j,k,m)e'm. E.46)
Ясно, что
C(h,l2,l; j,k,m) = (е;®е'к,е'т),
где справа стоит скалярное произведение пространства i5i® йг-
Числа C(li,l2,l; j,k,m) называют коэффициентами Клебша-
Гордана тензорного произведения Tix ®T/2.
Поскольку #3 = Щ и (Ttl ® ГЬ)(Я3) = ^(Яз) ® -Б +
+ Е ® Г/2(Я3M то согласно формуле E.18) имеем
(Я3е'т, ej ® ei) = /71F^,6^- ® е^> = (е'т,Я8(е,- ® е?)) =
= <ej». №е,-) ® е^ + е,- ® (H3e'k)) = (j + k)(elm, ej ® е'к).
Следовательно, при j + к Ф т имеем
C(h,l2,l; j,k,m)=0.
Поэтому в E.46) m = j + к и суммирование по m фактически
не проводится. В E.45) суммирование ведется по тем значе-
значениям индексов j и к, для которых j + к = т.
288 Глава 3
Коэффициенты Клебша-Гордана являются элементами
унитарной матрицы. Поэтому выполняются соотношения ор-
ортогональности
m) = Sw, E.47)
]Г C(h,12,1; j,m - j,m)C{h,h,l; j',m-j',m) = 8jr.
E.48)
Из того, что базисы E.43) и E.44) связаны матрицей С,
вытекает, что операторы представлений в этих базисах связа-
связаны формулой
Th(g) ® Tl2(g) = С* (ф T,{g) J С. E.49)
Взяв матричные элементы от левой и правой частей этой фор-
формулы, получим равенство
t%,(gL-fe) = ЕС{1г,12,1;3,к,з+к) х
х C{h,h,l,; j',k',j' + k')tlj+kd,+k,(g). E.50)
Здесь суммирование ведется по тем значениям I, для которых
, -Kj + k,f + k'^l.
Из леммы Шура вытекает, что свойство E.49) операто-
оператора С не изменяется, если С умножить на унитарный опера-
оператор, кратный единичному оператору на каждом подпростран-
подпространстве Sji разложения E.42). Это означает, что коэффициенты
Клебша-Гордана СAг,12,1; j,k,m) определяются с точностью
до постоянной аA), не зависящей от j и к. Как видно из фор-
формулы E.45), умножение C(li,h,l; j,k,m) на аA) приводит
к замене базисных элементов E.44) на аA)е1щ. В последнем
базисе операторы Ti(g), g? SUB), задаются теми же форму-
формулами, что и в базисе E.44).
§ 5. Представления группы SU{2) 289
Умножая левую и правую части равенства E.50)
на tlj+k,j'+k'(g)i интегрируя его по группе SUB) и учитывая
соотношения ортогональности для матричных элементов, по-
получаем
^ E.51)
Подобным образом выводится формула
k')tlj+kJ,+k,(g) =
,Ь,*; з,к,з + к).
5.11. Вычисление и свойства коэффициентов Клеб-
ша-Гордана. Положим в E.51) j = j' = h, к = к' = -12,
подставим выражения E.25) и E.28) для матричных элемен-
элементов и учтем выражения для t^^g^O)) из п. 5.5. Полученный
интеграл вычисляется с помощью формулы
T{d)
2F1(-n,a; с; *)« (l~0 -1dt =
' о
= 3F2(-n,a,b; c,d; 1), E.52)
где Refc > 0, Re(rf - fc) > 0 и
Г(й + к)Г(е + к) kl'
В результате имеем
Bi + l)Bi!)!Bk)!
fi+i2-0!(ii+'2 + i+l)!"
290 Глава 3
Как указывалось в конце п. 5.10, коэффициенты Клебша-Гор-
дана определяются с точностью до постоянной. Подберем ее так,
чтобы выполнялось неравенство C(li,l2,l; /^, —^2»'i5 —'2) > 0.
Тогда
E.53)
Теперь положим в E.51) j = h, к = —12 и учтем выраже-
выражение E.53) для C{h,h,h lii—h,h,—h)- Аналогично, с помо-
помощью формулы E.52) выводим, что
V, -h-h+m,l2-h+m+l; 1),
E.54)
где m = j + к.
Для гипергеометрической функции з-РН--- ; 1) выполня-
выполняется соотношение (см. [86], глава 8)
3F2{-n,a,b; c,d; 1) =
E.55)
Применяя его к правой части в E.11), получим другие извест-
известные выражения для коэффициентов Клебша-Гордана.
Существует много других соотношений для функций з-Р-г
(см. [86], глава 8). Они эквивалентны соотношениям симмет-
симметрии для коэффициентов Клебша-Гордана. Группа симметрии
§ 5. Представления группы 5GB) 291
-для этих коэффициентов имеет 72 элемента. Она порождается
;/следующими четырьмя соотношениями:
[6pt] =
2 „(l + h-k
h-l-k \
J' 2 h * ~ I' E-
l + h+k . h-l + k
Соотношения последнего типа называют симметриями Редже.
Первые из соотношений E.56) известны практически с того
времени, когда были выведены первые формулы для коэффи-
коэффициентов Клебша-Гордана. Симметрии Редже открыты только
в 1958 г., тогда как соотношения симметрии для з^М ; 1)
известны с конца прошлого века. Однако физикам, иссле-
исследовавшим коэффициенты Клебша-Гордана, эти результаты
о з^2(• • • ; 1) не были известны.
Трехчленные рекурентные соотношения для з-РМ--- ; 1)
приводят к рекуррентным соотношениям для коэффициентов
Клебша - Гордана.
Полагая в формуле E.51) j' = h, к' = — 1г и учитывая вы-
выражения для матричных элементов и коэффициента Клебша-
Гордана C(h,h,l; h,—h->h —h), получаем равенство
1
= JS(h,h,h j,k,cos6L+Ml_/2(gi@))d(cos0), E.57)
-1
292 Глава S
где m = j + к и
S(h,h,l; j,k; cos*) = C)<1J
Aii + *2 - Q! (*i -П2 -Н + 1)! B1 + 1)\
V Ci-i)!ai+i)!(b-*)!№ + *)! J
i.
2
X
3~k
x sin/l+/2 i
Положив в последнем равенстве п. 5.10 j = l± и к' = — ^> по-
получим обратное соотношение
3,
j+k=m
E.58)
Таким образом, S^i,^'; j,k; cos6) — ядро, связывающее
коэффициенты Клебша-Гор дана с матричными элементами
представлений.
5.12. Коэффициенты Рака. Рассмотрим тензорное
произведение трех неприводимых представлений Ttl, T/2, Т/3
группы SUB). Поскольку тензорное произведение ассоциа-
ассоциативно, то
(Th в Г,а) ® Г,, = Ttl в (Г,а в Г,,). E.59)
Для соответствующих пространств представлений имеем
(i3i ® i32) ® Из = fii ® (Йг ® Из)- E.60)
Пусть
=фГ,„, E.61)
/12
=фГ/23. E.62)
/23
§ 5. Представления группы SUB) 293
Тогда вследствие формулы E.59)
0(Г,„ О Г,,) = 0(Th ® T,2S), E.63)
'l2 <23
где суммы такие, как в E.61) и E.62).
Базисные элементы пространств 61,62,63» в которых
операторы Н+, Н-, Нз задаются соответственно формула-
формулами E.16)-E.18), обозначим через е*, fj-, Ък. Тогда для раз-
разложений E.61) и E.62) имеем2
а =
^^, n = j + k, E.65)
где ajj,2 и bj23 — базисные элементы подпространств, в ко-
которых реализуются представления Tj12 и Tj23. Считаем, что
в этих базисах операторы Н+, Д_, Н3 задаются формула-
формулами E.16)-E.18).
Пусть
1
и Ср1 2^'12^'3' — базисные элементы3 подпространства, в кото-
котором реализуется представление Tj. Тогда
т,к
EE4 E.66)
Пусть
2Ради удобства коэффициенты Клебша-Гордана C(li,h,l; j,k,m)
обозначаем через С\ 2 .
3В обозначении базисных элементов с помощью индексов указано, как
эти элементы получены: тензорным умножением Tjt на Tj2, а потом тен-
тензорным умножением Tj12 на 7}3-
294 Глава 3
и Ср1''2 "С*"'' — базисные элементы подпространства, в кото-
котором реализуется представление Tj». Тогда
). E.67)
Поскольку наборы векторов ^'»Aи)Л1 и сЬ,Ыз(Ьз),/ пред.
ставляют собой два ортонормированных базиса пространст-
пространства E.60), в которых операторы Tt(g) задаются одними и теми
же матрицами, то вследствие леммы Шура они связаны уни-
унитарной матрицей:
?>1. E.68)
ы
Числа R(hhhih2h3il) называют коэффициентами Рака (или
коэффициентами пересвязывания). Они не зависят от индек-
индексов i,j,k,... ,рбазисных элементов. Обратное к E.68) соотно-
соотношение имеет вид
E.69)
Поскольку коэффициенты Рака образуют унитарную
матрицу, то верны соотношения ортогональности
128,1) = 4Iia,la, E.70)
^2R(lll2h,h2l23,l)R(hhh,h2l'23,l) = «,„,;,. E.71)
Векторы (е,- ® fj) ® hk и е,- ® (fj- ® hfc) совпадают. Вы-
Выразим с помощью формулы E.67) вектор е* ® (fj ® h^) че-
через с^''2'3з)>' и подставим это выражение для (е* ® fj) ® Ьк
в E.66). Сравнивая полученную формулу с формулой E.68)
и полагая, что коэффициенты Клебша-Гордана вещественны,
получаем
E-72)
§ 5. Представления группы SUB)
295
Коэффициент Клебша-Гордана Cjj{.2' равен нулю, если трой-
тройка чисел (/i,/2>0 не удовлетворяет условию треугольни-
треугольника \h — /г| ^ ^ ^i + h- Поэтому коэффициент Рака E.72) ра-
равен нулю, если хотя бы одна из троек (Ii,l2,li2), (/121/3? О»
(h,hJ23), (h,h3,l) не удовлетворяет этому условию. За-
Заметим, что выполнение условия треугольника для трой-
тройки (?i,biO не зависит от порядка чисел.
Коэффициенты Рака вычисляются с помощью выражений
для коэффициентов Клебша-Гордана (детали см., например,
в [86], глава 8). Приведем одно из этих, выражений:
) fa> zia)A(/ia, l3, l)A(h, k h3)A(l2,l3,l23)
( ' -h - h - L -1 11,
\ —2Ь, / — /2 — /12 ~ Ьз> —h — /12 — / — /23 — 1 /
E.73)
где
А(а,Ь,с)= ¦
(a + b - c)! (a - b + c)! (b - a + c)!l 2
(a + b + c + 1)!
Все другие выражения для коэффициентов Рака выводятся
из E.73) с помощью соотношения
\ и, v, w )
_ (v - z + п - 1)! (v - 1)! (и - 1)! (ы - z + п - 1)!
(v-z-l)\(v + n-l)\(u + n- 1)!(u-z- 1)!
в котором
w-x, w-y, z, -п
+ Z-I1, l-M + Z-
— п + 1.
Л
у'
296 Глава 3
Свойства симметрии проще описываются не для коэффи-
коэффициентов Рака, а для связанных с ними 6j символов Вигнера
h hl Ьз }
х R(hl2l3,l12l2Z,l).
Группа симметрии 6j символов Вигнера имеет 144 элемента.
Они являются следствием соотношений симметрии для функ-
функций 4-FH- • • ; 1) (см. [86], глава 8). Символ { |* ',2 j** | не изме-
изменяет своего значения при перестановке столбцов, а также при
одновременной перестановке 1\ с /з и 12 с I. Также выполняется
соотношение
fix h h,\ih Sl-h
si-
где Si = (/2 + /12 + I + ^2з)/2- Эти симметрии порождают всю
группу симметрии. В отличие от перестановочных симмет-
симметрии, которых существует 24, симметрии типа E.74) называют
симметриями Редже.
5.13. Предельные переходы. Предельным перехо-
переходом из коэффициентов Рака получаются коэффициенты Клеб-
ша-Гор дана, а из последних — d-функции Вигнера. Эти пре-
предельные переходы являются следствием формулы
lim j,+iFQ+i(ai,... ,ap,Rx; h,... ,bq,Ry; 1) =
R—>oo
= pFq(ai,... ,ap; bi,... ,bg; y),
которую несложно доказать, исходя из определения гипергео-
гипергеометрической функции. Имеем
lim (-
i п \ =
\ d + R e + R f+R j
= C(a, 6, c; f-e,d-f,d- e),
lim C(l - n,I2,l; m - fc,k,m) = 42n(gi@)),
|,7П—>OO
где второй предел таков, что lim m [ I + i J = cos f.
1,т-юо \ i/ I
§5. Представления группы SUB) 297
Заметим также, что если а,Ь,с -* оо, причем предел бе-
берется так, что
,. а{а + 1) + Ъ(Ъ + 1) + с(с+1)
hm — = cos a,
2/а(а + 1)Ъ(Ъ + 1)
то
i+b+c+d+m
{a be) (_i\a
} = \ '
Ь + т а + п I J ^Ba +
l)B6+l)
5.14. Тождество Рака. Переход от представления
Bi ® Г2) ®Г3 к представлению Ti ® (Г2 ® Т3), осуществля-
осуществляемому с помощью коэффициентов Рака, можно выполнить со-
согласно цепочке
I
Тг ® (Т2 ® Г3) <- Ti ® (Г3 ® Т2) <- (Ti ® Т3) ® Г2
Эта цепочка содержит перестановку множителей в скобках
и замену скобок. Замена скобок осуществляется с помощью
коэффициентов Рака. Перестановка множителей, как это вид-
видно из третьей части формулы E.56), сводится к возможной
замене знаков. Проводя детальный анализ, получаем соотно-
соотношение
, l)R(hhh, кзкз, I) =
1зЛ2|23)|). E.75)
После учета соотношения симметрии его можно записать
для 6j символов Вигнера в виде
Эти соотношения называют тождествами Рака.
298 Глава 3
5.15. Формула Биденгарна—Еллиотта. Тензорное
произведение четырех унитарных неприводимых представле-
представлений группы SUB) можно различными способами разложить
на неприводимые представления:
(I)
(II)
(III) Th®[(Th®Th)®Tu],
(IV)
(V)
Переход от разложения (I) к разложению (IV) можно осущест-
осуществить по цепочке
(I) -+ (II) -+ (III) -+ (IV)
или по цепочке
использовав на каждом шаге коэффициенты Рака. Поскольку
конечные формулы связывают одни и те же представления (I)
и (IV), то матричные элементы результирующих преобразо-
преобразований в двух случаях одинаковы и мы приходим к равенству
, ^234)=
'23
,0, E-77)
открытому независимо Л. Биденгарном и Дж. Эллиоттом. Ис-
Используя соотношения симметрии, для 6j символов Вигнера его
можно записать в виде
l a'\!b
7 b ||c,
l b'\!c l c'\-
a c 11 a,p a| -
E78)
§6. Индуцированные представления 299
§ 6. Индуцированные представления
Индуцированные представления являются наиболее рас-
распространенным классом представлений групп. Особенно важ-
важны они в приложениях: в квантовой механике, теории поля,
теории динамических систем и т.д. Реализация простран-
пространственных симметрии на волновых функциях квантовой сис-
системы — типичный пример индуцированного представления.
Законы преобразования векторных, тензорных или спинор-
ных полей при пространственно-временных преобразованиях
из группы Пуанкаре также определяются формулами индуци-
индуцированных представлений.
Начало теории индуцированных представлений положи-
положили работы Фробениуса 1898-1901 гг. В них он дал кон-
конструкцию индуцированных представлений для случая конеч-
конечных групп, развил теорию индуцированных характеров, до-
доказал теорему взаимности [37]. Методы Фробениуса были
распространены на непрерывные группы сорок лет спустя.
В классической работе Э. Вигнера 1939 года (см. [5]) уни-
унитарные неприводимые представления группы Пуанкаре были
построены по схеме индуцированных представлений. Затем
этот метод Баргман применил для получения неприводи-
неприводимых представлений группы SXB,K) и одновременно Гель-
фанд и Наймарк — для изучения представлений группы Ло-
Лоренца A947 г.). Вскоре Гельфанд и Наймарк A950 г.) распро-
распространили конструкцию индуцированных представлений на
комплексные классические группы Ли и в рамках этой кон-
конструкции описали «почти все» их неприводимые унитарные
представления.
Систематическое исследование индуцированных пред-
представлений общих локально-компактных топологических групп
предпринял Макки в 50-х годах. Он обобщил на этот случай
почти все результаты Фробениуса, установил важный крите-
критерий индуцированности и построил теорию индуцированных
представлений расширений групп.
Фундаментальный цикл работ по общей теории представ-
представлений вещественных полупростых групп Ли выполнил Ха-
риш-Чандра. Итогом этого более чем 25-летнего творческо-
творческого процесса, участниками которого, помимо Хариш-Чандры,
300 Глава 3
были многие выдающиеся математики, явилось завершение
(в идейном смысле) классификации неприводимых унитарных
представлений полупростых групп Ли, описание характеров
представлений так называемых дискретных серий, построение
меры Планшереля и гармонического анализа на полупростых
группах Ли [77].
Топологические аспекты теории индуцированных пред-
представлений выявлены в фундаментальной работе Бореля и Вей-
ля, выполненной в середине 50-х годов. Важное утверждение
теории Бореля—Вейля состоит в том, что реализуя конечно-
конечномерное неприводимое представление комплексной группы Ли
как индуцированное представление мы по-сути строим линей-
линейное голоморфное расслоение над однородным флаговым мно-
многообразием группы; пространством представления в этом слу-
случае является пространство сечений расслоения. Обобщая эту
теорию, Ботт показал A957 г.), что конечномерные пред-
представления можно реализовать также в пространствах выс-
высших когомологий флаговых многообразий. Это утверждение
послужило основой для известной гипотезы Ленглендса о ре-
реализациях неголоморфных дискретных серий полупростых
групп Ли в пространствах интегрируемых когомологий. Связь
теории представлений с топологией — перспективное направ-
направление теории симметрии. Среди его возможных приложе-
приложений — геометрическое квантование, описание инстантонных
конфигураций калибровочных полей, топологические теории
поля.
Некоторые примеры индуцированных представлений, при-
приведенные ниже, являются лишь простейшими фрагментами
и одновременно истоками большой теории, изложение кото-
которой может быть темой отдельной книги.
6.1. Определение индуцированных представлений.
Наиболее простым и вместе с тем универсальным примером
индуцированного представления является регулярное пред-
представление (правое или левое). Пространство правого регуляр-
регулярного представления состоит из функций на группе, а действие
операторов задается формулой
FД)
§6. Индуцированные представления 301
Если М — однородное пространство топологической
группы G с правым действием групповых элементов: x-g = xg,
х € М, то на функциях f(x) € С(М) определено представле-
представление операторами сдвига:
T(g)/(«) = f(xg). F.2)
Фиксируем точку жо € М. Пусть Н — стационарная подгруп-
подгруппа этой точки. Тогда М можно отождествить с пространством
левых смежных классов группы G по подгруппе Н: М ~ H\G.
Каждой функции /(ж) € С{М) поставим в соответствие функ-
функцию F на группе G: F(g) = f(xog), постоянную на левых
смежных классах. Тогда формуле F.2) будет соответствовать
формула
T(gi)F(g) = F(ggl). F.3)
Представление Т, определенное формулой F.3), является под-
представлением регулярного представления. Его называют
квазирегулярным представлением группы G на однородном
пространстве М.
Конструкция индуцированного представления возника-
возникает как обобщение квазирегулярного представления. Пусть
h -+ tt(/i) — представление подгруппы Н в пространстве ff
и пусть Cff(G,Sy) — пространство непрерывных функций
на G со значением в Sj", удовлетворяющих условию
F(hg) = n(h)F(g), heH. F.4)
В пространстве Ch(G,Sj") определим операторы T(g) фор-
формулой F.3). Непосредственно проверяется, что соответст-
соответствие g —> T(g) является представлением. Его называют пред-
представлением группы G, индуцированным представлением тг
подгруппы Н и обозначают через Ind^(Tr). Если в качестве ин-
индуцирующего представления тг взять тривиальное представле-
представление, то Ind^(Tr) совпадет с квазирегулярным представлением.
Если, кроме того, Н = {е}, то соответствующее индуцирован-
индуцированное представление совпадает с регулярным представлением.
Реализация индуцированного представления в простран-
пространстве функций на группе не всегда удобна. Иногда желательно
302 Глава 3
иметь дело непосредственно с вектор-фуикциями на однород-
однородном пространстве М ~ H\G. Изложим схему построения ин-
индуцированных представлений в пространстве С(М, ff) непре-
непрерывных функций на однородном пространстве М со значени-
значениями в ff. Для этого определим операторы представления T(g)
формулой
T(g)f(x) = rfx; g)f{xg), f(x)eC(M,Sf), F-5)
где ц(х; g) — операторнозначная функция на М х G, под-
подлежащая определению, и xg = xg — преобразованная элемен-
элементом g € G точка на многообразии М. Формула F.5) опре-
определяет представление группы G, если T(gig2) = T(gi)T(gs).
Поскольку xglg2 = {xgl)g2, то отсюда следует уравнение на
операторнозначную функцию ц(х; g):
v(x; gig2) = Ф; gi)»{xgl; й). F.6)
Это уравнение означает, что ц(х; g) является 1-коциклом на
группе G со значениями в пространстве непрерывных опера-
операторных функций на М (см. [6]). Из F.6) следует, что в точ-
точке х = хо соответствие h -> p,(xo,h), h € Н, определяет пред-
представление 7r(/i) = h(xq; h) подгруппы Н в пространстве Sf.
Кроме того,
р(ж0; hg) = ц{х0; /i)//(x0; g), geG. F.7)
Обозначим через s(x) G G представителя класса смежнос-
смежности из H\G, сопоставленного точке х G М. Если элемент g?G
переводит точку жо в х, то есть жо# = xqs(x) = x, то
g = h(g)s(x), h(g)eH.
Положим в формуле F.6) g\ = s(x) и g2 = g. Тогда имеем
H(xo;s(x)g) = n(xo;s{x))p(x;g), или n{x;g) = ц'1 {х0; s(x)) x
xn(xo;s(x)g). Представив элемент s(x)g& G в виде
s{x)g = h{s{x)g)s(xg), h(s{x)g) € Я
и воспользовавшись соотношением F.7), окончательно полу-
получаем
H(x;g) = /j.-1{xo;s{x))ir{h{s{x)g))M(xo;s{x)g). F.8)
§6. Индуцированные представления 303
Задача 1. Докажите, что коцикл ц(х,$) когомологичен коцик-
коциклу р(жо; h(a(x)g)).
Для получения удобных формул для индуцированно-
индуцированного представления F.5) осуществим с помощью операторной
функции fj,(xo;s(x)) обратимое отображение: f(x) -? f'{x) —
— fi(xo;s(x))f(x) и определим в пространстве C{M,ff) пред-
представление g -*¦ T'(g), положив
T'{g)f(x) = »(xo;s(x))T(g)n-Hxo;s(x))f(x).
Простые вычисления с использованием формул F.5) и F.8)
дают
T'(g)f(x) = A4s(x)g))f(xg). F.9)
В дальнейшем штрих при операторах T'(g) будем опус-
опускать и формулу F.9) будем считать основной при определе-
определении индуцированного представления в пространстве вектор-
функций на однородном многообразии М.
Приведем несколько простых свойств индуцированных
представлений, доказательство которых предоставляем чита-
читателю:
1) Если TTi ~ 7Г2, то Ind^(TTi) ~ Ind^Gr2).
2) ЕСЛИ 7Г = 7Г1 ф 7Г2, ТО ^
3) Необходимым условием неприводимости представле-
представления Ind^(Tr) является неприводимость представления тг
(обратное неверно).
Пусть К — подгруппа в подгруппе Я с С и пусть
^() — индуцированное представление подгруппы Н.
Представление Ind^Eri) можно использовать в качестве ин-
индуцирующего при построении представлений группы G.
Утверждение 1. Если К и Н — подгруппы группы G
такие, что К С Н, то
F.10)
304 Глава 3
Доказательство. Реализуем индуцированное представ-
представление Indjf(Tri) в пространстве вектор-функций на G. Пусть
f(g) € CK(G,Sj^). Тогда f(kg) = Tri(k)f(g), к € К. Рассмот-
Рассмотрим отображение
f(g)^F(h,g) = f(hg). F.11)
Тогда F(h,g) = f(hg) как функции на группе G обладают
свойством левой Я-ковариантности. Действительно,
F(h,hlg) = f(hhlg) = F(hhug) = TInd"(/n)F(/i,g-).
Они принимают значения в пространстве Ск{Н,$]П1), по-
поскольку как функции на группе Н обладают свойством ле-
левой iif-ковариантности:
F(kh,g) = f(khg) = ^{k)f{hg) = ^(k)F(h,g).
Эти соображения показывают, что формула F.11) зада-
задает отображение из пространства Ck(G->W*) b простран-
пространство Ch(G,Ck(H,SjVi)), в котором действует представле-
представление Ind^(Ind^GTi)). Это отображение является изоморфиз-
изоморфизмом, поскольку оно обратимо и коммутирует с операторами
правого сдвига. Утверждение доказано.
Индуцирование согласно правой части формулы F.10) на-
называют индуцированием по стадиям.
6.2. Индуцированные представления конечных
групп. В случае конечных групп конструкция индуциро-
индуцированных представлений становится особенно прозрачной. Ос-
Основные утверждения этого пункта получены Г. Фробениусом
в последнем десятилетии прошлого века.
Пусть G — конечная группа порядка N, Н — ее подгруп-
подгруппа индекса v = , а я — конечномерное представление Н
отаН
в пространстве Sjn.
Утверждение 2. Размерность представления Ind^Gr)
равна произведению размерности пространства $)* на ин-
индекс v подгруппы Н.
§6. Индуцированные представления 305
Доказательство. Пусть xi = е и ж,-, i — 2,3,... , v, —
представители левых смежных классов относительно подгруп-
подгруппы Н. Рассмотрим линейное отображение р из пространст-
пространства Lh(G,$jv) функций на G со значениями вб"в прямую
сумму v экземпляров пространства ff:
F.12)
Это отображение обратимо, поскольку для каждого gi ? G
найдется такое х,, что gi = hx,; тогда значение функции /
в точке gi вычисляется по формуле
f(gi) = <h)f(xi).
Поскольку LH{G,??) ~ ф ?f, то d\mLH{G,Sf) = (dimfj*)^
i=l
и утверждение доказано.
Соответствие F.12) проясняет строение операторов ин-
индуцированного представления конечной группы. Если Xi
и Xj — два представителя смежных классов, связанные
соотношением
-1
)xj, h(xig)=xigxj ,
то
Tmdg(.){g)f{Xi) _ T™ig)f{xi) = п(Цхге))ПхЛ, F.13)
где/ = {f(x1),f(x2),... ,f{xv)} E ©ЙГ- Формула F.13) озна-
г
чает, что оператор TJnd(g) в пространстве ф#" имеет блоч-
t
ную структуру
Tlnd(g) = (^igxj1)). F.14)
При этом полагаем, что nfaigxj1) = 0, если XigxJ1 ? Н.
Из формулы F.14) следует формула для характера инду-
индуцированного представления Ind^(Tr) конечной группы:
Xlnd(g) =Y,x4xjgxJ1), F.15)
Xj
306 Глава 3
где х* — характер представления тг подгруппы Н, продолжен-
продолженный нулями на всю группу G.
Бели положить г = hxi, h € Н, то формулу F.15) можно
переписать в виде
) F.16)
Приведем еще одно выражение для характеров индуци-
индуцированных представлений. Пусть, как и раньше, О%,
Oi,...,Ok — классы сопряженных элементов группы G,
a pj — количество элементов в классе Oj. Поскольку Oj —
однородное пространство, то Oj = G/Hj, где Hj — стаби-
стабилизатор фиксированного элемента из Oj. Если hj = ordHj,
то ord6? — pjhj. Тогда значение индуцированного характера
на классе Oj представляется формулой
? *'{z)- FЛ7)
zeOj-пя
Эта формула легко следует из F.16). Действительно, когда г
пробегает всю группу G, то элемент rgjr~1,gj € Oj, пробегает
класс Oj и принимает каждое свое значение hj раз. Поэтому
r€G zeOj
Но поскольку x*iz) отличаются от нуля лишь для z G Н,
то область изменения элемента z следует ограничить облас-
областью Oj П Н. Формула F.17) доказана.
Теорема 1 (Теорема взаимности Фробениуса).
Пусть Т? и 7г — неприводимые представления конечной груп-
группы G и ее подгруппы Н соответственно. Тогда кратность
вхождения представления Та в представление Ind§Gr) равна
кратности, с которой представление тгА содержится в суже-
сужении на подгруппу Н представления Ts:
§6. Индуцированные представления 307
Доказательство. Пусть хЫй — характер индуцирован-
индуцированного представления Ind^(Tr). В общем случае оно приводимо.
Пусть xInd = Z)roa/K°> гДе "*а — кратности неприводимых
составляющих. Воспользовавшись формулой F.17), имеем
Умножая обе части этого равенства на х0(®з) и суммируя
по j, находим
hi
F.18)
Приняв во внимание, что hj = oidG/pj и воспользовавшись
соотношением ортогональности для характеров, вычислим ле-
левую часть соотношения F.18):
тр. F.19)
Пусть х^\н обозначает сужение характера х^ на подгруппу Н.
Если сужение Та\н приводимо, то хр\н = Х)^Хн, где хЪ —
неприводимые характеры подгруппы И, а п@ — соответству-
соответствующие кратности. Тогда для правой части равенства F.18)
имеем
Х'(*) =
ordff
v лея
Таким образом, установлено равенство тпр = п%, где тпр =
= (Ind^GrA): Т0), п% = (ТР\Н: п). Теорема доказана.
6.3. Примеры индуцированных представлений ко-
конечных групп. Реализуем некоторые изученные ранее
представления конечных групп как индуцированные пред-
представления.
308
Глава 3
Пример 1. Пусть С? ~ At. Выберем в качестве индуцирующей
подгруппу D2 = {е, A,2)C,4), A,3)B,4), A,4)B,3)}. Все ее непри-
неприводимые представления тт., t = 1,2,3,4, одномерны и совпадают со
своими характерами:
X*1
X*2
X"8
x
e (
1
1
1
1
1,2)C,4)
1
1
-1
-1
A,3) B,4
1
-1
1
-1
) A,4)B,3)
1
-1
-1
1
Подгруппа ?>2 инвариантна. Поэтому индуцированные ею пред-
представления реализуются в пространстве функций на фактор-груп
пе A4/D2 ~ Сз = {е, A,2,3)A,3,2)}. Согласно утверждению 2 име-
имеем dim^nd^^TTi)) = 3.
Пусть Oi, i = 1,2,3,4, — классы сопряженных элементов груп-
группы At (см. пример 4 в §4). Класс Oi совпадает с множеством нетри-
нетривиальных элементов подгруппы ?>2- Поэтому Q?T\D?=O?., Oini?2={e},
Oi П ?>2 = 0, » = 3,4. Индуцированные характеры легко вычисляются по
формуле F.17):
Ох
XInd(fi) 3 3 0 0
3-100
Поскольку XInd(Ti) = XInd(T2), то Ind^(,r,) ~ Ind^*(T2). « = 3,4.
Сужение характера xInd(?r2) на подгруппу Н ~ ?>2 имеет вид xInd(?r2) =
= C, —1, —1, —1) = х + X"s + X"*i поэтому согласно теореме о взаим-
взаимности, представление Indc*(?r2) неприводимо.
Представление Indj^^i) приводимо и является прямой суммой
трех одномерных представлений: Indc*(?ri) = То ®Ti ® Тг.
Пример 2. Пусть G ~ Y ~ As — группа симметрии икосаэд-
икосаэдра. Построим индуцированные представления группы As, выбрав
в качестве индуцирующей подгруппу D& С As:
Db = {e,z = A,2,3,4,5), z2, z3, z\ a = A,2)C,5), za, z*<t, z3<t, z*<t},
а в качестве индуцирующего представления — ее тривиальное
представление tti. Геометрическая интерпретация преобразований
из подгруппы D$ следующая: элементу z соответствует вращение
на угол 2тг/5 вокруг вертикальной оси (см. рис. 5 гл. 1), (соответ-
(соответствующая циклическая подгруппа С$ оставляет на месте вершину
икосаэдра), а элементу а соответствует вращение на угол тг вокруг
§6. Индуцированные представления 309
одной из горизонтальных осей второго порядка. Пространство ин-
индуцированного представления Ind^(Tri) шестимерно и состоит из
четных функций на множестве вершин икосаэдра (или на множес-
множестве граней додекаэдра). Операторы представления действуют как
операторы перестановок пар диаметрально противоположных вер-
вершин.
Пусть О,, i = 1,2,3,4,5, — множество классов сопряженных
элементов группы As. Тогда
Oi П Db = {е}, Ог П Ds = О2, 05 П А> = 0,
и по формуле F.15) легко вычислить характер индуцированного
представления Indp|Gri):
XInd(*i) = {6,2,0,1,1}. F.20)
Воспользовавшись критерием неприводимости (утверждение 3, § 4)
убеждаемся, что представление IndrNGri) приводимо. Как следу-
следует из теоремы взаимности Фробениуса, оно содержит тривиальное
подпредставление, которое реализуется в одномерном подпростран-
подпространстве функций постоянных на множестве вершин икосаэдра. Харак-
Характер представления в ортогональном дополнении легко вычисляется.
Если хА характер тривиального представления, то
Х1паЫ) - ХА = {5,1, -1,0,0}. F.21)
Полученный характер удовлетворяет критерию неприводимости
и соответствует неприводимому представлению Тн, (ИтТн = 5,
группы Y ~ Л5, реализованному в пространстве четных функций
на множестве вершин икосаэдра с нулевой суммой значений.
Объединяя формулу F.21) с результатом из примера 6 п. 4.4
в виде таблицы неприводимых характеров группы У ~ As
xA
X
F2
X
x"
xG
Oi
l
3
3
4
5
1
-1
-1
0
1
o3
1
0
о
1
-1
Oi
1
i + V&
2
1 — л/5
2
-1
0
Оь
1
1 — л/5
2
1 + л/5
2
-1
0
31D Глава 3
6.4. Индуцированные представления групп Ли.
Пусть G — группа Ли, а Н — ее замкнутая подгруппа. Про-
Пространство М = H\G в этом случае является гладким многооб-
многообразием. Индуцированные представления Ind^(?r) естественно
задавать в пространстве C°°{M,fs*) бесконечно дифференци-
дифференцируемых функций на М со значениями в SJ*. Формулы F.5) для
операторов представления обычно записывают в локальных
координатах на многообразии М. При этом возникает необхо-
необходимость «локализовать» функции из пространства Сса(М,5У),
то есть задать их в каждой локальной карте как функции мно-
многих переменных. Эта процедура ведет к отождествлению про-
пространства C°°{M,ff) с пространством гладких сечений век-
векторного расслоения над многообразием М со слоем ff. Рас-
Рассмотрим эту конструкцию подробней.
Пусть {Ua | о. € 9Я} — система окрестностей, покры-
покрывающая многообразие М. Разложение произвольного элемен-
элемента g € G в произведение
g=ha(g)sa{x) F.22)
и выбор элемента sa(x) в качестве представителя левого
смежного класса, отвечающего точке а; € Ua С М, то есть та-
такого, что xog = Eosa(a:) = а;означает построение отображений
sa:Ua->G, а € 9Я,
— локальных сечений главного расслоения над многообрази-
многообразием М.
На пересечении Ua П Up определено отображение а; —*
-? sQ(x)(s/3(x))~1, принимающее значения в подгруппе Н.
Обозначим его через зар. Если тг — конечномерное пред-
представление подгруппы Н в пространстве SJ*, то покры-
покрытие {Ua | <* € 9Я} вместе с набором операторнозначных функ-
функций а; -> n(sap(x)) определяет векторное расслоение над М,
которое обозначаем через ?„. Тотальное пространство этого
расслоения можно описать двумя способами. Во-первых, ?„
можно получить путем «склейки» тривиальных расслоений
Ua х &ж, а € 9Я, объединив их в расслоение ? = Ua(Ua x Д*)
и факторизовав по соотношению эквивалентности
{za,va}~{xp,vp}, если xa=X0€UanU0, и va=ir(sap{xp))vp.
§6. Индуцированные представления 311
Другой способ построения расслоения ?„ — факторизация
прямого произведения G х Sf по соотношению эквивалент-
эквивалентности
{g,v} ~ {h^gMh)v}.
Эквивалентность двух определений легко доказать, если вос-
воспользоваться отображением Ua х Д -+ G х <о*, заданным фор-
формулой {х, v) -»¦ {sa(x),v}.
Пусть F € Cff(G,Sjn). Каждой такой функции сопоста-
сопоставим функцию fa(x) = F(sa(x)) из пространства C^iUcfi*).
Если х eUan Up, то элемент g представим в виде произведе-
произведения F.22) двумя способами:
g=hasQ(x) =hpsp(x),
чему соответствует равенство
F(hQsQ(x)) = ir{ha)fQ(x) = *{hp)fp{x) = F(hpsp(x)).
Отсюда следует условие «склейки» функций на пересечении
карт
fQ(x) = n(sQ(x)s^(x))fp(x). F.23)
Набор функций fQ С С°° (С/а, Д"), а € 9Я, и правило «склей-
«склейки» F.23) определяет глобальное сечение расслоения ?„.
Согласно изложенному выше, пространство гладких сече-
сечений расслоения ?w совпадает с пространством CJj>(G>.fi'r) ~
~ C°°(M,ff). Функции fa, a € ЯК, будем называть локаль-
локальными компонентами глобального сечения или его «локализа-
«локализациями». Операторы индуцированного представления Ind^(Tr)
действуют на локальные компоненты fa по формуле
T™(g)fa(x) = n{8a(x)g8Z1{Xg))fe.{xe)- F-24)
При этом предполагается, что xg G Ua- Очевидно, форму-
формула F.24) — это по сути записанная в локальных координатах
формула F.9).
312 Глава 3
6.5. Индуцированные представления группы
SLB,С). Группа SLB,€) определена в п. 5.7 гл. 1 как уни-
универсальная накрывающая группы Лоренца 5ОA,3):
Согласно утверждению 1 п. 5.7 гл. 1 произвольный эле-
элемент g € SLB, Q однозначно представим в виде произведе-
произведения: g= пак (разложение Ивасавы), где
'1
0\ ( и
F.25)
Отсюда следует, что группа SLB, С) как топологическое про-
пространство гомеоморфна декартовому произведению СхМ+х
xSUB), где С — аддитивная группа комплексных чисел,
а Е+ — мультипликативная группа положительных чисел.
Перейдем к построению индуцированных представлений
группы SLB, С) согласно схеме, изложенной в предыдущем
пункте. В качестве индуцирующей подгруппы возьмем под-
подгруппу Р верхних треугольных матриц:
} F.26)
Из разложения F.25) следует разложение Р — 7^Л?/A) для
подгруппы Р, где N — подгруппа верхних треугольных мат-
матриц с единицами на диагонали, А ~ К+ — подгруппа вещест-
вещественных диагональных матриц с положительными диагональ-
диагональными элементами, а ?7A) — подгруппа матриц diag(e~'w, е*ш),
О ^ w < 2тг, в SUB), коммутирующих с А. Однородное про-
пространство М ~ P\SLB,C) ~ UA)\SUB) диффеоморфносфе-
диффеоморфносфере S2. Отождествляя точки на сфере с представителями ле-
левых смежных классов группы SUB) относительно подгруп-
подгруппы ?/A), мы определяем вложение сферы S2 в группу SU{2).
Полный атлас многообразия М ~ S2 состоит из двух
карт: (J7i, тпсрх) и (?7г, nvpi). Выбор окрестностей Uv и отобра-
отображений тп<р„: 52 -? Ш2, v = \, 2, зависит от вложения S2CSUB)
и будет произведен ниже.
\ §6. Индуцированные представления 313
Пусть матричный элемент 6 в g G 51/B, С) отличен от
нуля. Тогда имеет место разложение
/3 'Y
где d = 6, с = ^, z = -?• Применив к элементу si(z) =
о о
= (zi)> z € С, разложение Ивасавы, получим отображение
С —^-> 52 С SUB), задаваемое формулой
Отображение гтрх определено в окрестности f/i = {к € S2 \ к ф
^ A ~ъ ) } и ег0 естественно взять в качестве координатно-
координатного отображения. Таким образом, комплексная переменная z
локально параметризует сферу в окрестности U\ С S2, а ото-
отображение гтр\ дает теоретико-групповое определение стерео-
стереографической проекции (см. п. 5.5 гл. 1).
Разложение F.27) определяет локальное сечение S\: U\ -»
->¦ SLB, С) и элемент /ii (,§•) € Р:
Действие группы 51/B, С) на локальную координату z опре-
определяется формулой
F8)
Если матричный элемент 7 B Я € 51/B, С) отличен от
нуля, то справедливо разложение
314 Глава 3
где d' = ~y, d = Ц, ? — ~. Применив к элементу
разложение Ивасавы, получим отображение
S2 С 517B), задаваемое формулой
I -1
Отображение ту?2 определено в окрестности [/2 = {Л € S2 \ к ф
Ф (о ?)} и является координатным отображением. Комплекс-
Комплексная переменная ? локально параметризует сферу в окрестнос-
окрестности Е/г С 52. Действие группы SLB, С) на переменную ? опре-
определяется формулой
F-30)
Разложение F.29) определяет локальное сечение S2: t/2
-* 351,B, Q и элемент h2(g-) € Р:
Очевидно, на пересечении карт U\ и Е/г имеем ^ = 1 и
F.31)
Индуцирующая подгруппа Р является полупрямым про-
произведением: Р ~ Л^ х A-U(l). Согласно результатам 7 этой гла-
главы каждое ее конечномерное неприводимое представление тг
тривиально на подгруппе N и сводится к представлению абе-
левой подгруппы А • 17A) ~ Ш+ • U(l). Поэтому
F.32)
где А — произвольное комплексное число, am — целое число.
§6. Индуцированные представления 315
Представление F.32) определяет правило склейки функ-
функций /i и /2, принадлежащих пространствам C°°(Ui) и C°°(U2)
соответственно. Согласно F.23) и F.32) имеем
F.33)
Соотношение F.33) накладывает существенные ограничения
на поведение функций /1 (/2) на бесконечности. Действитель-
Действительно, из F.33) следует, что
A+m А—т
Mz,z) -> z~z~M0). F.34)
|z|-»oo
Обозначим через C~m(Q пространство бесконечно диф-
дифференцируемых функций в комплексной плоскости (не обяза-
обязательно голоморфных), удовлетворяющих асимптотическому
условию F.34). В пространстве С~т(С) С C°°(UA)) опреде-
определим операторы liA'ml(g) формулой
6l\\zp + S\)
= \z0 + ё\х I ^± 1 f(zg,ze). F.35)
Аналогично определяются операторы r'[A'ml(g-) в пространст-
пространстве С°°A72):
)
Условие склейки F.33) отождествляет операторы 7iA>m](g-)
и T'lA'TO](g) на пересечении карт Ui и Vi.
Поскольку C^m(Q С Coo(mv?i(f/1)), то в формуле F.35)
предполагается, что my>i(%) С U\. Это условие выполняется
не для всех g € 51/B, С). В частности, оператор T^x>m^(w),
где «'=(?"i,1) не определяется формулой F.35). Однако
асимптотическое условие F.34) позволяет доопределить его
путем предельного перехода. Таким образом, формула F.35)
и асимптотическое условие F.34) определяет индуцирован-
индуцированное представление Indp?B'Q (тг) = Г^'' группы 5?B,С)
316 Глава 3
в пространстве Сл,т(С). Множество {T'A>ml|A G C,m G Z}
называют основной неунитарной серией представлений груп-
группы SLB,Q.
В пространстве C?°m(C) определены инфинитезимальные
операторы представления г'Аг™], задающие представление ал-
алгебры Ли slB,C). Поскольку slB,C) = «"B) © VCITsuB), то
базис в этой алгебре состоит из элементов Aj, j — 1,2,3, опре-
определенных формулой E.5), и элементов
Z?i = -iAi, B2 = -iA2, B3 = -iA3,
касательных к однопараметрическим подгруппам
При этом, кроме соотношений E.6), выполняются коммута-
коммутационные соотношения
= eijkBk, [Bt, Bj] = -eijkAk, i,j,k = 1,2,3,
где Sijk — полностью антисимметричный тензор, такой
ЧТО ?123— 1.
Дифференцируя операторы r^)T™l(gi(T)) по параметру т
и полагая т = 0, найдем инфинитезимальные операторы Bi
представления Т\х<т^:
где v\ = —^— и t/2 = —5—. Несложно также найти явный
§6. Индуцированные представления 317
вид операторов Ai, i = 1,2,3, в представлении Т'А>1"':
Как и раньше, вместо операторов Ai будем иметь дело
с операторами
Н+ — iA\ - А2, Я_ = iAi + А2, Щ = 1А3,
а вместо Bi определим операторы
F+ = Шх - В2, F- = {Вг + В2, F3 = iB3-
Для новых базисных элементов алгебры sfB,C), кроме соот-
соотношений E.15), выполняются также коммутационные соотно-
соотношения
[Я±, FS]==F F±, [Я3, F±]=± F±, [Я+, F_]=- [Я_, F+]
= ±Я±, [F+, F_] = -2Я3.
6.5a. Компактная картина представлений основ-
основной неунитарной серии. Представления Indp (тг) груп-
группы SXB, С) можно реализовать также в пространстве функ-
функций на максимальной компактной подгруппе SUB), облада-
обладающих свойством левой 1/A)-ковариантности. Обозначим это
пространство через C%(SUB). Если F(k) G C%(SUB)), то
F{k'k) = eimuF(k), к' = diag(e-ia>, eiu>) G J7(l). F.36)
Следуя общей теории индуцированных представлений, опре-
определим операторы П1А>т'(#), g€ SLB, С), формулой
= (r(k,g))x F(ke), F.37)
318 Глава 3
где r(k,g) = (\ -va + Hf\2 + \ —v@ + ШJI'2 (обозначения
см. в F.25)), a kg вычисляется из разложения kg = h(kg)kgi
к, kg G 517B), h(kg) G P. При произвольных комплексных А
и при m G Z формула F.37) определяет представление груп-
группы SLB, Q. Это так называемая компактная картина пред-
представлений основной неунитарной серии.
Задача 2. Воспользовавшись отображением
/-\т f - \
f(z,z) -> F(k(u,v)) = \u\x ( gl / (-!•-*) •
докажите эквивалентность представлений т1А>т1 и П'А'т1.
Удобство компактной картины в том, что в ней лег-
легко осуществить сужение индуцированного представления
на подгруппу 517B). Действительно, матричные элемен-
элементы ?рд(Л) с фиксированным первым индексом р = Щ- удов-
удовлетворяют условию F.36) и составляют базис простран-
пространства С~ E17B)). (Замыкание линейного пространства всех
N I |m|
конечных сумм Yl S с'д*т №» 'о = -«-» в счетно-нормиро-
1=1о в=-1 У9
ванной топологии пространства С~E17B)) совпадает с этим
пространством.) Из этого и из теоремы Петера-Вейля следу-
следует, что представление ntA>ml при сужении на подгруппу 517B)
разлагается в прямую сумму неприводимых представлений Г;,
I ^ 10 = \Щ-\, и каждое представление входит в разложение од-
однократно. Поскольку представления г[А'т' и П[А>ГП1 эквива-
эквивалентны, то то же самое можно сказать о сужении на под-
подгруппу 517B) представления T^x'mh Множество неприводи-
неприводимых представлений подгруппы 517B) в представлении т1л>"*1
(или в П'А>"*1) называют его 517B) -спектром.
В каждом 5Е/B)-неприводимом подпространстве Sjlm С
С С~E17B)), совпадающем с span {tlm \ — I ^ q ^ I], выберем
базисную функцию
\
Ш „'
т
§6. Индуцированные представления 319
Отображая пространство C^(SUB)) в пространство Сд°т(С2)
ро формуле
л
F(k(u,v)) -» f(z, z) = A + \z\2J F(fc(z,:z)) F.38)
в качестве образа функции tlm , получим функцию
У'
1
/m/ = <W~ 2 A + И2)А/2 - /. F.39)
Обозначим через -$Эдт образ подпространства Sjlm при
отображении F.38). Очевидно, функции flmq, —l^q^l, со-
составляют канонический базис в пространстве &1Хт- Операто-
Операторы Н±, Н3 действуют на элементы этого базиса согласно фор-
формул E.16)-E.18):
H3flmg = qflmg. F.40)
Применяя оператор F+ к функции F.39), находим
lJ-(fJ
Действие операторов F3 и F_ на функции flm можно найти,
У9
используя коммутационные соотношения
[H-,F+] = -2F3, [H,F3] = F_.
Рассмотрим функцию tl m (k(u,v)) и ее образ /im,
при отображении пространства C^m(SUB)) в пространст-
Jlml = (-D^—j^L^H^d + wr f
320 Глава 3
Применяя оператор F+ к функции /i.m/, находим
i\
B1 + l)Bl + 2)
. F.42)
Из формул F.40)-F.42) следует
Утверждение 3. Если А / \т\ + 2п, п = 0,1,2,..., то
функция /^ , 10 = Ц-^, циклична в пространстве С?°т(С)
относительно представления Tl*'mK Если А ф —\т\ — 4 - 2п,
п = 0,1,2,..., то функция j °m циклична в пространст-
пространстве С^_4 _т(С) относительно представления j"[-A-4>-">].
Напомним, что вектор f € Sj называется цикличным относи-
относительно представления Т, если замыкание линейной оболочки век-
векторов T(g)f, g 6 G, совпадает с пространством 9).
Пространства С™т{С) и С^°Л_4 _т(С) образуют дуальную
пару в том смысле, что на их прямом произведении определен
инвариантный непрерывный билинейный функционал
B{fi,/2) = J / fi{z,z)f2(z,z)dzdz, F.43)
где fx ? С^т{С), f2 € Cf°A_4j_m(C). Ограниченность (а следо-
следовательно, непрерывность) функционала F.43) обеспечивается
асимптотическими свойствами (см. F.34)) функций Д и /2,
а его инвариантность
B{T^m\g)h,T^-A>-m\g)h) = B(fuf2)
проверяется непосредственными вычислениями. Из инвари-
инвариантности следует, в частности, что представления Т^х'т^
и ji-A-4,-rn] взаимн0 контраградиентны.
Теорема 2. Если А ф \т\ + 2п и А ф —\т\ — 4 — 2п,
п = 0,1,2,..., то представления г1Л>т1 основной неунитарной
серии группы 51/B, С) неприводимы. ¦
§6. Индуцированные представления 321
Доказательство (набросок). Представления rtA'ml
и Tl~x~4'~ml имеют одинаковые 5Е/B)-спектры, а функ-
функции /^,о и Т-т10 имеют одинаковые 5Г7B)-типы (то есть при-
принадлежат подпространствам одного и того же неприводимого
представления подгруппы SUB)). Если функция /^,о циклич-
на в С~т(С), то либо представление Т^'7™' неприводимо, ли-
либо в С^т{С) существует инвариантное подпространство Sj',
но у*,о принадлежит линейному дополнению. В С°?х_А_т рас-
рассмотрим подпространство^" функций, задающих нулевые ли-
линейные функционалы на Sj': B(f",Sj') = O, f" € Sj". Очевидно,
подпространство Sj" инвариантно относительно г[-*-4>-™1.
Поскольку функция /L°m/o имеет тот же 5{/B)-тип, что
и f!Hmlo, то она принадлежит #". Но /!_°т,0 — цикличес-
циклическая функция, поэтому Sj" совпадает со всем пространст-
пространством С™х_4_т. Поскольку билинейный функционал F.43) не-
невырожден, то отсюда следует, что Sj' = {0}. Это доказывает
неприводимость представления Т^х'тК
6.56. Представления основной унитарной серии.
Если А = -2 + ip, р € Е, а т — целое число, то для функ-
функций / € Сд?п(С) существует интеграл
oo.
Учитывая преобразования меры интегрирования
dzgdze = (z/3 + 6)-2(zP + 6)~2 dz dz,
легко проверить, что скалярное произведение
(/i,/2) = ! fldz^)f2(z,z) dz dz F.44)
в пространстве C^,(C), A = — 2 + ip определено и инвариантно
относительно операторов T^~2+%p'm\g).
Пополним пространство C^,(C2) по норме ||/|| = л/ifTf)
до пространства Z,2(C) ~ L2(M2) и продолжим операто-
операторы TXm(g) по непрерывности до унитарных операторов
в Z/2(C). Совокупность полученных таким образом представ-
представлений Г[А'т1, А = -2 + ip, р ? R, m € Z, называют основной
унитарной серией представлений группы 51,B, С).
322 Глава S
Утверждение 4. Все представления основной унитар-
унитарной серии неприводимы.
Утверждение следует из теоремы 2.
6.5в. Конечномерные представления. Переписав
формулу F.35) в виде
\+т А—т
T^'m\g)f(z,z) = (zp + 6)~*~ (zp + 6)^ f(zg,ze), F.45)
легко заметить, что если пг = +т € Z и п2 = ~т € Ъ,
то в пространстве Сд°т(С) существует инвариантное подпро-
подпространство 3)П1,п25 состоящее из многочленов степени, меньшей
или равной п\ относительно переменной z, и степени, меньшей
или равной П2 относительно переменной z. Сужение представ-
представления F.45) на подпространство 3)П1>П2 обозначим через Sjltj2,
где ni — 2ji, n2 = 2j2. Легко видеть, что dimiSjj j2=Bj1+l) x
xBj2 + 1).
Методами, аналогичными тем, которые использованы
в п. 5.4 при доказательстве неприводимости и полноты пред-
представлений группы SUB), можно доказать, что:
1) представления Sjltj2, 31,32 = 0, i, 1,... попарно неэк-
неэквивалентны;
2) набор неприводимых представлений {Sj1j2\ji,
З2 G \i>+ U {0}} полон в том смысле, что всякое неприводимое
конечномерное представление группы SXB,C) эквивалентно
одному из представлений Sjtj2.
Доказательство см. в [43].
Легко видеть, что представления Sjlto остаются неприво-
неприводимыми при сужении на подгруппу SUB) и совпадают с пред-
представлениями Tjj, описанными в п. 5.1. Пространство 3Jл,о
можно интерпретировать как пространство локальных сече-
сечений голоморфного расслоения над многообразием S2 ~ СР1 =
= P\SLB,C). Действительно, условие склейки F.23) позво-
позволяет сопоставить каждому многочлену из пространства 3Jji,o
глобальную голоморфную функцию на многообразии 52~СРХ.
Аналогичные утверждения можно сделать относительно
представления Sqj2: оно неприводимо при сужении на SU{2)
§6. Индуцированные представления 323
и совпадает с представлением Tj2 ~ 2J. Пространство 2>o,2j2
можно отождествить с пространством локальных сечений ли-
линейного антиголоморфного расслоения над 52 с^ СР1.
Представление Sj, ja эквивалентно тензорному произведе-
произведению 5,-, о ® Soja > что соответствует утверждению теоремы 5
в §1.
Соответствие между конечномерными неприводимыми
представлениями группы 5ХB,С) и голоморфными (анти-
(антиголоморфными) линейными расслоениями над многообрази-
многообразием М ~ P\SLB,C) обобщается на случай произвольной по-
полупростой комплексной группы Ли. Это обобщение составляет
содержание известной теоремы Бореля—Вейля [62, 91].
6.5г. Сплетающие операторы и эквивалентность
представлений. Положим для удобства —il™ = ^
и ~то = v2- Следуя [15], определим в пространстве С^т(С)
интегральный оператор
{Af)(z,z) = фы*) J(z' - z)-"-2(i^Ti)-*-2/(*',*') dzdz'.
F.46)
Интеграл в F.46) сходится, если Re A < 0; при Re A ^ 0 его
следует понимать в смысле аналитического продолжения по
параметру А. Доопределенный таким образом оператор А име-
имеет смысл при всех значениях А и т, кроме тех, когда v\\\v2 —
целые положительные числа. Будем предполагать, что v\ и v2
не являются целыми числами одного знака. Тогда, принимая
во внимание асимптотику функций из пространства Сд°т(С),
убеждаемся, что Af G Cf^_4 _m(C) и
ATx'm(g) = Ti-x-*>-mXg)A. F.47)
Поскольку при оговоренных значениях параметров vi к v2
представления т'А>ш1 и j1[-A-4,-m] неприводимы, то отобра-
отображение А: Сд°т(С) -» Cf^_4_m(C) взаимно однозначно и со-
соответствующие представления эквивалентны.
Пусть теперь v\ — п\, v2 = п2 — целые числа одного зна-
знака и пусть п\ + П2 ф —2. Для доопределения оператора А при
324 Глава 3
этих значениях параметров щ и п2 воспользуемся постоян-
постоянной с(п1,пг) в F.46). Рассмотрим два случая.
1. Пусть щ, П2 — целые неотрицательные числа. Поло-
Положим
c(ni,n2) = —
(т +1)^+1)!' J = ^(П1 + П2 + 2 Н
ратор А, определенный при целых значениях параметров щ
и п2 методом аналитического продолжения, совпадает с опе-
оператором (ni +П2 + 2)-кратного дифференцирования:
ЯП1+П2+2 f /, -?\
Легко видеть, что ядро оператора Л, действующего по
формуле F.48), совпадает с подпространством T>m,n2i а его
образ — инвариантное подпространство 3-П1_2,-П2-2, состоя-
состоящее из функций / пространства СГ^+П2„1_П2(С), для которых
равны нулю моменты
Ьрд = 1 f f(z, г)г*г? dzdz =
при р = 0,1,... , ni, q = 0,1,... , пъ- Ограничения представле-
представления у[-А-4,-т1 на инвариантное подпространство д-т-2,-п2-2
#ri[A,»n]
эквивалентно фактор-представлению ^ , где А = щ + П2,
т = щ - п2, л = у, [ф'2 = у.
2. Пусть ni, Щ. — целые отрицательные числа
и ui+n2^ —2. В этом случае оператор F.46) хорошо опре-
определен в пространстве С^+„2)П1_„2(С). Его образ состоит из
многочленов степени — п\ —2 относительно переменной z и сте-
степени —П2 — 2 относительно переменной z, а его ядро #П1,п2 —
из функций / G С"~+„2)П1_П2(С), Для которых моменты Ьт
равны нулю при р = 0,1,..., — п\— 2, q = 0,1,... , — пг — 2. Эти
§6. Индуцированные представления 325
утверждения легко получить, раскладывая по формуле бино-
бинома Ньютона выражения (z' — z)~ni~2 и (z' — z)~n"~2 в фор-
формуле F.46). В фактор-прострастве ???+„„,„,_П2(СЮ0)/$„1,Па
реализуется представление, эквивалентное конечномерному
представлению Sjltj2,1j\ = -(ni + 2), 2j2 = -(n2 + 2).
Кроме эквивалентностей, связанных с оператором А, в це-
целых точках существуют еще дополнительные эквивалентнос-
эквивалентности, которые можно найти в [15].
6.5д. Дополнительная серия представлений. Рас-
Рассмотрим представления Т'А'0' и j'[-A-4.o] при —4 < А < 0.
Эти представления образуют дуальную пару в том смыс-
смысле, что на паре пространств C?°0(C) и С^х_40 существует
инвариантный билинейный функционал F.43). Но посколь-
поскольку А: С~0(С) -» С2^_4О, то в пространстве С^0(С) можно
определить инвариантное скалярное произведение:
</i,/»)a = с J'\z - z'\-X-47Jz7f)f2{z',z')dzdzdz'dz'. F.49)
Интеграл F.49) существует в смысле главного значения лишь
для значений —4 < А < 0. Представления Т'А'°1 при этих зна-
значениях параметра А унитарны и неприводимы. Они составля-
составляют так называемую дополнительную серию представлений.
6.6. Представления группы SLB, М). В этом пунк-
пункте мы кратко изложим классические результаты о неприводи-
неприводимых представлениях группы SLB, Ш) — спинорной накрыва-
накрывающей группы псевдоортогональных преобразований трехмер-
трехмерного пространства Минковского или так называемой «малой
группы Лоренца» (см. § 1, гл. 1). Начиная с работы Баргма-
на 1947 года, о бесконечномерных представлениях этой груп-
группы написано много. Эти исследования послужили отправной
точкой для развития общей теории представлений веществен-
вещественных полупростых групп Ли, гармонического анализа на груп-
группах и однородных пространствах, установления связей теории
представлений с автоморфными функциями и формами. В фи-
физических приложениях группа SLB,W) возникает как инду-
индуцирующая подгруппа при описании унитарных представлений
группы Пуанкаре, о чем пойдет речь в следующем пункте.
326 Глава 3
Важную роль она играет в двумерных конформных теориях
поля, в ядерной физике и во многих других областях.
Индуцированные представления группы 51/B, Е) стро-
строятся по той же схеме, что и представление ее комплекси-
фикации 5LB,С), но по сравнению с последней структура
представлений более сложная. Имеются новые серии пред-
представлений — так называемые дискретные серии, реализуемые
в пространствах голоморфных (в верхней или нижней полу-
полуплоскости) функций и играющие важную роль в приложени-
приложениях.
Как и в случае группы SLB, С) изложение начнем с раз-
разложения Ивасавы. Напомним (см. утверждение 3 в § 3, гл. 1),
что произвольный элемент g 6 SLB, Е) однозначно предста-
представим в виде
_Л» Ь\_A „
" \е d) ' {о l
0
где г = у/с2 + сР, у = (ac~bd)r~2, cos Ц = dr, —2тг ^ а < 2тг.
Если в качестве индуцирующей подгруппы взять под-
подгруппу верхних треугольных матриц
=={h=\0 V' 9 =
то однородное пространство М = P\SLB,W) ~ С2\К, где
К ~SOB) — максимальная компактная подгруппа в 5Z/B, E),
а С2 = {е, —е} — циклическая подгруппа порядка 2, диффео-
морфно окружности 51 С 50B);
5г = < k(a) = I . I 0 < a < 2тг }.
Если d ф 0, то для g 6 51/B, M) имеет место разложение
(a b\ (\
[ ) {
где q = d,n= ^,x— %. Вещественная переменная а; локаль-
локально параметризует окружность 51 в окрестности U\ = {k(a) G
§6. Индуцированные представления 327
1
S11 \а\ < п}. При этом cosa = A + ж2) 2, sina = хA +
2Г2\
Если с ф О, то справедливо разложение
(Л @ -1
A
а Ь\ _ A п'\ /д'
где g' = с,ж' = 5'п' = с" Вещественная переменная х' пара-
параметризует окружность 51 в окрестности f/г = {к(а) G 5110 <
< a < 2тг}. При этом cosa = — A + х2) 2. На пересече-
пересечении U\ C\U2 параметры х и х' связаны соотношением х' = х~1.
Все конечномерные представления индуцирующей под-
подгруппы Р одномерны и задаются формулой
7' F-52)
где А — произвольное комплексное число, а е = 0, 1 и фик-
фиксирует неприводимые представления циклической подгруп-
подгруппы С2.
Представление F.52) определяет условие склейки функ-
функций из пространств C°°(Ui) и C°°(U2) на пересечении карт.
Это условие эквивалентно асимптотическому условию
f{x) ~ c|ar|Asigne(a0. F.53)
|а:|^оо
В пространстве Сд°еAК) бесконечно дифференцируемых
функций вещественного переменного, удовлетворяющих
асимптотическому условию F.53), определим операто-
операторы Т'А'е'(я) индуцированного представления Indp iR\ir):
х) = \Ьх + d|A signe(fa + d) f (gr^j) • F.54)
Утверждение 5. Если А не является целым числом той
же четности, что и е, то представление т(А'е1 неприводимо.
Доказательство этого утверждения проводится по той же
схеме, что и доказательство теоремы 2 п. 6.5а. Следуя [15],
328 Глава 3
целочисленные значения параметра А той же четности, что
и ?, будем называть целыми точками.
Если А = — 1 + ip, p G М, то в пространстве С^°е(М) опре-
определено инвариантное скалярное произведение
R
Тогда представление J1[~1+1')'el продолжается до унитарного
представления в гильбертовом пространстве Ь2(Ш). Множес-
Множество представлений Т^х^, р е Ш, р ф О, е = ±1, действующих
в пространстве Ь2(М) по формуле F.54), составляет основную
унитарную серию представлений группы SXB, Ж). Как следу-
следует из предыдущего утверждения, все представления основной
унитарной серии неприводимы.
Пусть ReA < —1. Определим отображение А: С™е(Ш) -»
—» Cf^_2 e, осуществляемое интегральным оператором
(Af)(x) = щ^ J \xi - *ГА-2 sign^an - x)f(Xl) dXl.
F.55)
При ReA ^ —1 оператор F.55) определяется методом анали-
аналитического продолжения по параметру А. Несложно проверить
сплетающее соотношение
F.56)
Утверждение 6. Если А не является целым числом той
же четности, что и е (не является целой точкой), то опе-
оператор А осуществляет изоморфизм пространств С^е(Ш) ~
~С^д_2е(Щ и эквивалентность представлений т'А>е'~
^т[-Л-2,е] .
Доказательство см. в [15].
Как в случае группы SLB,€), наличие оператора А
позволяет определить инвариантное скалярное произведение
при е = 0, -2 < А < О
(Л,Л)а = Г(-а-1) /lxi ~ Х*ГХ~27ЫНХ*)dxi dX2
F.57)
§6. Индуцированные представления 329
(при —1 < А < 0 интеграл F.57) надо понимать в смысле
главного значения). Пополняя пространство С^0(Е) относи-
относительно нормы Ц/11 = y/(f, /), получим гильбертово простран-
пространство и унитарное представление Т^А'°1 в нем. Это представле-
представление дополнительной серии группы SLB, Ж). Если ограничить
область допустимых значений параметра А открытым интер-
интервалом А е] —1,0[, то представления дополнительной серии не-
приводимы и попарно неэквивалентны.
6.6а. Конечномерные представления, дискретные
серии и их границы. Рассмотрим представления TtA>?l
в целых точках. Если А — целое число той же четности, что
и е, то формулу F.54) можно записать в виде
где А = 0, ±2, ±4,..., при е = 0 и А = ±1, ±3,..., при е = 1.
Пусть А — неотрицательное целое число. Тогда справед-
справедливо такое равенство обобщенных функций:
Используя соотношения
4-{xi -x±io)k = -fcfo -x±io)*-\
ах
определим при А = 0,1,2,... два новых сплетающих операто-
оператора
'-n^-hlb
Утверждение 7. Ядро оператора А+ составляют функ-
функции, граничные к голоморфным в нижней полуплоскости функ-
функциям комплексного переменного z = x+iy. Ядро оператора А-
330 Глава 3
составляют функции, граничные к голоморфным в верхней по-
полуплоскости функциям комплексного переменного. Многочле-
Многочлены степени ^ Л аннулируются операторами А±.
Утверждение 7 легко получить из явного вида операто-
операторов А+ и А
Из этого утверждения следует, что в пространстве Сд°е(К)
при целых неотрицательных значениях параметра Л той же
четности, что и е, существует три инвариантных подпро-
подпространства
Зд = ker A+, $Х = ker Л_, 2>А = ker A+ П ker A—
Записывая сплетающие операторы в виде
(Afc/)(a;) = ±-^ lim / f , . чч dx
легко видеть, что образ оператора Л+ — это функции из
пространства Cf^_2e(K) граничные к функциям голоморф-
голоморфным в верхней полуплоскости; образ оператора А- составляют
функции из Cf°A_2 е(М) граничные к функциям голоморфным
в нижней полуплоскости.
Представления в подпространствах 1тЛ± С Cf^_2e не-
приводимы и называются представлениями дискретных се-
серий. Обозначим их через D±, п = 0,1,2,... Очевидно, что
в фактор-пространствах 5+а/®а и 3~а/2)а пРи целых по-
положительных А реализуются представления, эквивалентные
представлениям ?>" и D" соответственно.
В пространстве CTOX]1AR) имеется два инвариантных под-
подпространства функций, граничных к функциям голоморфным
в верхней и нижней полуплоскостях соответственно. Пред-
Представления D+1 и D+1 в этих пространствах называются гра-
границами дискретных серий.
6.66. Реализация представлений дискретных се-
серий в пространствах голоморфных функций. Верх-
Верхнюю полуплоскость, параметризованную переменной z =
= х + iy, вместе с римановой метрикой
2_dx2+dy2
- V
§6. Индуцированные представления 331
будем'отождествлять с гиперболической плоскостью и обо-
обозначать Щ.. Как показано в п. 5.8 гл. 1, многообразие Н\
однородно относительно дробно-линейных изометрий
Z^Ze~ bz + d'
и диффеоморфно фактор-пространству SOB)\SLB, Ш). Инва-
Инвариантная мера на Н\ равна
" У2
Положим dfin(x,y) = yndxdy, n = 0,1,2,...,п и определим
пространство Lj^JEf+jd/i,,) голоморфных функций на Н+,
квадратично интегрируемых по мере dfin. Зададим
в Ь^о1(Я^,^„) скалярное произведение
(Л,/a)» = ij?&jf2(z)(lmz)ndzdz. F.58)
Можно показать, что если последовательность голоморф-
голоморфных функций {Д} сходится в топологии пространства L2 на
открытом подмножестве комплексной плоскости, то она рав-
равномерно сходится к голоморфной функции на любом его ком-
компактном подмножестве [38]. Из этого утверждения следует
полнота пространства L^^H^jdun).
Определим в Ь^о1(Я^., d^n) представление группы SLB, Ш):
= (bz + d)-"-2/ (ffjj) • F-59)
Аналогично определяется представление Т" в пространст-
пространстве L2(H^.,dfin) функций, голоморфных в нижней полуплос-
полуплоскости.
Утверждение 8. Представления Т± в пространст-
пространстве Z/Jol(JEf^.,d^n) унитарны, неприводимы и эквивалентны
представлениям ?>± дискретных серий.
Схема доказательства. Непосредственными вычисле-
вычислениями убеждаемся в инвариантности скалярного произведе-
произведения F.58) при действии операторов F.59). Это доказыва-
доказывает унитарность. Доказательство неприводимости легче всего
332 Глава S
провести, обращаясь к представлениям алгебры SLB,R). Эк-
Эквивалентность представлений Т± представлениям DJ следует
из формулы аналитического продолжения:
Замечание. Схема построения представлений основной не-
неунитарной серии, изложенная на примерах rpynn5LB, C)nSLB, R),
сохраняется в основных чертах для произвольной связной полу-
полупростой группы Ли G. Для каждой такой группы имеет место
разложение Ивасавы G = NAK, где К — максимальная ком-
компактная подгруппа в G, и определена минимальная параболическая
подгруппа Р = NAM, где М — централизатор А в К. Представле-
Представления Indp(Tr), где тг — конечномерные неприводимые представления
подгруппы Р, образуют основную неунитарную серию представ-
представления группы G [33]. Фундаментальная теорема Хариш-Чандры
о подфакторах утверждает, что каждое неприводимое квазипростое
представление группы G е банаховом пространстве эквивалентно
одному из неприводимых подфакторов основной неунитарной серии.
Условие квазнпростоты означает, что сужение представлений груп-
группы G на максимально компактную подгруппу К содержит непри-
неприводимые представления этой подгруппы с конечной кратностью.
6.7. Неприводимые унитарные представления
группы Пуанкаре. В этом пункте опишем все неприво-
неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре, которую
также называют неоднородной группы Лоренца. В работе Ви-
гнера 1939 года эти представления получены как индуциро-
индуцированные представления. Утверждение о полноте представлений
также принадлежат Вигнеру, хотя в современных изложениях
при доказательстве этого факта обычно ссылаются на общую
теорию индуцированных представлений полупрямых произ-
произведений, разработанную Макки [5].
Напомним, что группой Пуанкаре РA,3) называют груп-
группу неоднородных преобразований пространства Минковско-
го Mi,3 вида
х -+ Лх + а,
где Л = (Л?) — матрица преобразования из подгруппы Ло-
Лоренца, а а = (а*1) — вектор трансляций пространства
§6. Индуцированные представления 333
(Здесь и далее индексы ц и и принимают значения, 0,1,2,3.)
Элементами группы РA,3) являются пары (а, Л), а групповое
умножение осуществляется по правилу
(аь Ai)(a2, Л2) = (в! + Лха2, AiA2). F.60)
Отсюда следует, что группа РA,3) является полупрямым
произведением группы четырехмерных трансляций (инвари-
(инвариантная подгруппа, которую обозначаем через ЛГ) и груп-
группы Лоренца ОA,3): РA,3) = JV х 0A,3). Четыре связных
компоненты группы РA,3) соответствуют структуре груп-
группы 0A,3). Ограничимся рассмотрением одной из них, а имен-
именно подгруппой Р++A,3) = ЛГ х SO+A,3), где SO+A,S) —
ортохронная группа Лоренца, для которой det Л = 1 и Л$ ^ 1.
Пусть Т — унитарное представление группы Р++A,3)
в гильбертовом пространстве $). Сужение этого представления
на коммутативную подгруппу ЛГ приводимо и раскладывается
в непрерывную прямую сумму (интеграл) представлений, крат-
кратных неприводимым. Пространство $) в этом случае отождест-
отождествляется с прямым интегралом гильбертовых пространств Sjp,
peiv, F.61)
N
в каждом из которых реализуется унитарное представле-
представление Тр подгруппы ЛГ, кратное неприводимому (одномерному)
представлению. Множество N является дуальным к группе ЛГ
пространством ее неприводимых унитарных представлений.
Если a G ЛГ, то
Тр(а) = е«р'а>, (р,а)=р/, р е N.
(Как обычно, во второй формуле подразумевается суммиро-
суммирование по повторяющимся индексам.) Элементами пространст-
пространства F.61) являются вектор-функции на ЛГ со значениями в $jp,
такие что
где ||/||р — норма в пространстве 9)р. Представление про-
пространства $) в виде прямого интеграла F.61) означает спек-
334 Глава 3
тральное разложение для операторов Т(а), а € ЛГ:
Т(а)= /*е«
, F.62)
N
где <Ш(р) — спектральная мера, определяемая семейством
проекторов {Е(?1)}, заданных на борелевских подмножест-
подмножествах U С N (см. [4]).
Множество N неприводимых унитарных представлений
абелевой группы ЛГ обладает структурой группы, изоморф-
изоморфной группе ЛГ [48], то есть ЛГ — гладкое многообразие
и ЛГ ~ Mi,3. Соотношения гомоморфизма и групповая опе-
операция F.60) определяет действие группы Лоренца на много-
многообразии ЛГ. Действительно,
Т(Л)Т(а)Т(Л-1) = fV(p'Aa) dE(p) = fei(p-a)
N N
F.63)
где (рЛ),, = Рд(Л-1)^. С другой стороны, непосредственно
вычисляя правую часть в F.63), получим
Т(Л)Т(а)Т(Л~1) = f е*р'а) d(T(A)E(p)T(A-1)). F.64)
Сравнивая формулы F.63) и F.64), находим
T(A)E{Sl)T(A-1) = EiUA). F.65)
Очевидно, действие группы ЛГ на множестве ЛГ тривиально.
Из формулы F.65) следует, в частности, что спектраль-
спектральная мера сосредоточена на инвариантном относительно груп-
группы SO+ A,3) подмножестве в ЛГ. Носитель меры дискре-
дискретен лишь тогда, когда он сосредоточен в точке р = 0. От-
Отсюда следует, что неприводимые унитарные конечномерные
представления группы Пуанкаре тривиальны на подгруппе
трансляций.
§6. Индуцированные представления 335
Действие группы 50+A,3) на множестве ЛГ расслаива-
расслаивает его на орбиты. Поскольку JV ~ Mi,3, то все орбиты в N
фактически описаны в п. 5.7 гл. 1:
— верхняя и нижняя полости двухполостных гиперболо-
гиперболоидов
Н±т = {р е N\pl -р\ ~р\ -р1 = т2, ±ро ^ 0} ~
— верхний и нижний конус
К± = {р G N | pi - р\ - р\ - р\ = 0, ±р0 > 0} ~ EB)\SOA,3);
— однополостные гиперболоиды
Гк = {р G N\pl -р\ -р\ -р\ = -к2} ~ SO{1,2)\SOA,3);
— изолированная точка р = {0}.
Реализуем неприводимые унитарные представления груп-
группы Пуанкаре Р++A,3) как индуцированные представления
в пространствах вектор-функций на перечисленных выше ор-
орбитах.
Случай 1: представления, связанные с орбитами Н±т.
Эти представления индуцируются подгруппой ЛГ х SO(S) ~
~ ЛГ0 ® E(S), где E(S) ~ ISO(S) — группа евклидовых дви-
движений трехмерного пространства, ЛГ0 — подгруппа одномер-
одномерных трансляций вдоль оси х°. Все неприводимые унитарные
конечномерные представления группы ISOC>) тривиальны на
подгруппе трансляций и сводятся к представлениям подгруп-
подгруппы SOC) (см. пример 9 в § 1). Поэтому если (а, г) е N»SOC),
a G N, г е 5ОC), то неприводимые унитарные представления
группы ЛГ х SO(S) имеют вид
7rfm'sl(a,r)=eima°ri((r), F.66)
где Т„ — неприводимое унитарное представление груп-
группы SO(S) в пространстве Sjs (s — целое или полуцелое неот-
неотрицательное число), am — произвольное вещественное число,
определяющее представление подгруппы ЛГ0.
336 Глава 3
Перейдем к построению представления Ind
Для этого элемент Л € SO+ A,3) представим в виде произве-
произведения
Л = гЛь(и), F.67)
где г ? SO(S), а Ль(и) — чисто лоренцево преобразование
(«буст»), параметризованное компонентами четырех-вектора
скорости
щ = ——==, г = 1,2,3, v2=v\ + v%+v%.
(В этом определении мы полагаем скорость света с равной 1).
При такой параметризации элементы матрицы Аь(и) имеют
вид
(Ль(и))° = «„, {Ab{u))ij = 6tj + uiUj{vo + I), i,j = 1,2,3.
Очевидно, что и$ — ы^ — ы| — ы| = 1, а вектор mn = р =
= (Ро,Р1,Р2,Рз), который мы понимаем как вектор-строку,
лежит на гиперболоиде Н+т. Матрица Ль(и) является пред-
представителем класса смежности в группе 5О+A,3) по подгруп-
подгруппе 50C).
Пусть (а,Л) G Р++A,3). Применяя разложение F.67)
к произведению элементов @, Ль(и)) и (а, Л), получаем
(О,Ль(и))(а,Л) = (Ль(и)а,Ль(и)Л)) =
= (Ль(и)а,г(г,Л))(О,Ль(иЛ)),
где
r(u, Л) = Ль^ЛЛ-^иЛ) G SOC). F.68)
Преобразование г(и,Л) называется вигнеровским вращением.
Пусть L2{H+i,Sjs) обозначает пространство квадратично
интегрируемых функций на гиперболоиде Н+1, принимающих
значения в пространстве Sj8. Если ф ? L2(H+i,Sje), то
§6. Индуцированные представления 337
где (;-)s — скалярное произведение в пространстве #«,
a dti{v) — инвариантная мера на Н+1. Операторы представле-
представления Indjy^^wgxOrf'*!) в пространстве L2(H+i,Sjs) обозначаем
через т1т'*1+1'(а,Л). Тогда
Т[»».«.+Ч(а,ЛДО(и) = eim(A'(u»>"Ts(r(u,A))V(uA), F.69)
где т > 0. Если учесть, что (Ль(и))° = ым, то т(Ль(и))° а*1 =
= Pfid11, где ро ^ ?тг > 0. Тогда вместо формулы F.69) можно
записать формулу действия операторов представления T^m's^
в гильбертовом пространстве L2(H±m,$)s):
Г[т,^](в) Л)^(р) = е'(Р'а)Т8(Ль(р)ЛЛ-1(РЛ))^(рЛ), F.70)
где запись рЛ означает действие матрицы Л на вектор-
строку {рм} справа. Очевидно, что при е = 1 формула F.70)
эквивалентна F.69). (Параметр е = ±1 указывает, на какой
из двух орбит Н±т определено представление F.70).)
В физических приложениях пространство L2(H+m,Sjt)(B
(BL2(H-m,$ja) интерпретируется как пространство состояний
«элементарной» физической системы (элементарной частицы).
В таком пространстве действует неприводимое представление
полной группы Пуанкаре; при этом оператор временного отра-
отражения реализован антиунитарным оператором, параметр т
характеризует массу частицы, as — ее спин [60].
Случай 2: представления, связанные с орбитами К±.
Эти представления индуцируются подгруппой ЕB) — стацио-
стационарной подгруппой точки A,0,0,1) ? К+, а также точки (—1,
0, 0, —1) G K-. В этом легко убедиться, переходя от груп-
группы Лоренца к ее спинорной накрывающей SXB,C). При этом
преобразованиям хм -> К^х" соответствуют преобразования
эрмитовой матрицы
о + хш хг+йЛ Гхо + хш х1+гх3\ a
- гх2 х0 -x3j \Х! - гх2 х0 - х3)
Неприводимые унитарные представления группы ЕB) опи-
описаны в [11]. Они бывают двух типов: бесконечномерные
представления, параметризуемые положительным числом р,
338 Глава 3
и дискретное семейство представлений, тривиальных на под-
подгруппе двумерных трансляций. Очевидно, во втором случае
представления группы ЕB) сводятся к представлениям ее
подгруппы SOB), которые одномерны и задаются форму-
формулой е**5 —> е*"*5, п б Z. В соответствии с этим, имеем че-
четыре класса неприводимых унитарных представлений груп-
группы Р++A,3), которые обозначим T^'f-^ и г!01"-*1! соответ-
соответственно.
Представления т[°>р>±11, по-видимому, не имеют содер-
содержательных приложений. Представления J1!0»"'*1] действуют
в пространстве состояний элементарных частиц нулевой мас-
массы. Параметр п в этом случае имеет смысл спиралъности без-
безмассовой частицы.
Случай 3: представления, связанные с гиперболоидом Гк.
Эти представления индуцируются подгруппой ЛГ х 5О+A,2).
Спинорная накрывающая группы SO+ A,2) изоморфна груп-
группе SXB, Ж) и ее неприводимые унитарные представления
описаны в п. 6.6. Среди них — представления основной уни-
унитарной и дополнительной серий, а также представления дис-
дискретных серий. Все эти представления бесконечномерны. Со-
Соответствующие классы индуцированных ими представлений
группы Пуанкаре не нашли пока прямых физических прило-
приложений, хотя делаются попытки использовать их для описания
нестабильных частиц и тахионов.
Случай 4: представления, связанные с точкой р = 0.
В этом случае представления группы Пуанкаре сводятся
к представлениям группы Лоренца. Неприводимые представ-
представления ее спинорной накрывающей описаны в п. 6.5.
§ 7. Разрешимые и нильпотентные группы
7.1. Полупростые и нильпотентные преобразова-
преобразования. Пусть L(Sj) — линейное пространство всех линейных
преобразований конечномерного комплексного пространст-
пространства Sj размерности п. Выбирая базис в #, преобразова-
преобразования А € L(Sj) представляем квадратными матрицами. Преоб-
Преобразование А называют полупростым, если каждое инвариант-
инвариантное относительно А подпространство в $э имеет инвариантное
§ 7. Разрешимые и нилъпотентные группы
339
дополнение. Из линейной алгебры известно, что каждое пре-
преобразование из L($j) имеет собственный вектор. Поэтому А
имеет одномерное инвариантное подпространство Cei. Тог-
Тогда ? = Cei®i5i, где ?i — инвариантное подпространство
для А. Продолжая такое разложение далее, приходим к выво-
выводу, что если А — полупростое преобразование, то в ij сущест-
существует такой базис, в котором А представляется диагональной
матрицей, причем часть диагональных элементов может рав-
равняться нулю.
Из линейной алгебры также известно, что произвольное
преобразование В € L(Sj) в некотором базисе ei, ..., е„ зада-
задается блочной матрицей
,_(Вг 0\
G.1)
где
— диагональная матрица, а Въ имеет блочную форму
fJ3(Ai) 0 ... О О
ф
О
О О
О
О ... О В(Хк),
G.2)
О О
О Ai;
(звездочка обозначает наличие ненулевых элементов). Счита-
Считаем, что матрицу B(\j) невозможно привести к виду G.1). Тог-
Тогда путем замены базиса она приводится к матрице
G.3)
называемой жордановой формой матрицы B(Xj).
Если подматрица В\ в G.1) имеет вид diag^,... ,цг),
то щ,... , /хг являются собственными значениеми матрицы В:
Ве„=ц*е*, s = l, 2,..., г. G.4)
А,-
0
0
0
1
А,
0
0
0
1
0
0
... 0
... 0
... А,-
... 0
0
0
1
А,
340 Глава 3
Числа А,- из G.2) также называют собственными значениями
матрицы В. Уравнения на эти собственные значения записы-
записываются не в виде G.4), а в виде
(В - \1)ре = 0, ре Z+, G.5)
где I — единичная матрица.
Преобразование N G ?(#) называют нильпотентным, ес-
если при некотором / ? Z+ имеем N1 — 0. Сведем нильпотент-
ное преобразование к матричному виду G.1). Ясно, что если
при этом хотя бы одно собственное значение было б отлично
от нуля, то мы не смогли бы достичь равенства N1 = 0. На-
Наоборот, если преобразование ЛГ приводится к виду G.1), при-
причем все собственные значения нулевые, то оно нильпотентно.
Следовательно, преобразование N ? L(Sj) нильпотентно тог-
тогда и только тогда, когда оно в некотором базисе приводится
к матрице с нулями на главной диагонали и ниже ее.
Утверждение 1. Каждое преобразование А ? L(Sj) до-
допускает однозначное разложение А = S + N, где S — полу-
полупростое, а N — иильпотентное преобразования.
Доказательство. Выбираем базис, в котором А имеет
вид G.1). Тогда А = S + N, где S — диагональная матрица
со всеми собственными значениями матрицы А на диагонали,
а ЛГ = А — S. Из матричной формы G.1) видно, что такое
представление единственно. Утверждение доказано.
Множество преобразований DR из ?(#) называют полу
простым, если каждое инвариантное инвариантное относитель-
относительно 9Л подпространство имеет в Sj инвариантное дополнение.
Для такого множества существует разложение .f) = fti+-. .+#«
пространства Sj в прямую сумму инвариантных неприводи-
неприводимых подпространств. Несложно показать, что если ОТ — ком-
коммутативное полупростое множество преобразований, то не-
неприводимые инвариантные подпространства одномерны.
Следовательно, в $) существует базис, в котором все
преобразования из коммутативного полупростого множества
диагонализируются. Коммутативное множество преобразова-
преобразований полупростое тогда и только тогда, когда каждое из этих
преобразований полупростое.
§ 7. Разрешимые и нилъпотентные группы 341
7.2. Разрешимые группы и алгебры Ли и их ко-
конечномерные представления. Пусть g — алгебра Ли.
Подпространство в д, натянутое на все элементы вида [X, У],
где X, Y G 0, называют производной алгебры д. Эту производ-
производную будем обозначать 2)д. Ясно, что 5)д — идеал алгебры д.
Беря производную от производной, производную от получен-
полученной производной и т. д., получаем подалгебру 2)ng, п= 1,2,...
Все они являются идеалами в д. Уели Х>пд = {0} при некото-
некотором п ^ 0, то алгебру g называют разрешимой. Группу Ли G
называют разрешимой, если ее алгебра Ли разрешима.
Пример 1. Коммутативная группа (или алгебра) Ли раз-
разрешима.
Пример 2. Алгебра (или группа) Ли верхних треугольных
матриц разрешима.
Задача 1. Покажите, что подалгебра разрешимой алгебры Ли раз-
разрешима. Фактор-алгебра разрешимой алгебры Ли является разрешимой
алгеброй Ли. Если идеал b и фактор-алгебра fl/b разрешимы, то алгеб-
алгебра Ли 0 разрешима.
Утверждение 2. Если алгебра Ли q разрешима, то для
любого ее идеала Ъ размерности п существует идеал Ь1 в Ь
размерности п - 1.
Доказательство. Пусть Ь = д. Согласно определения
разрешимой алгебры Эд ф д. Значит, в g существует подпро-
подпространство Ь, содержащее ?)д и имеющее размерность dimg —1.
Поскольку S)g С b, то [g, Ь] С Ь и Ь — идеал в д. Произвольный
идеал Ь в g является разрешимой алгеброй. Поэтому для него
эти соображения можно повторить. Утверждение доказано.
Теорема 1 (Теорема Ли). Пусть д — разрешимая ал-
алгебра Ли, аТ — ее конечномерное представление в простран-
пространстве Sj. Тогда eSj существует вектор х ф 0, собственный для
всех операторов Т(Х), X ? д.
Доказательство. Если dimg = 1, то теорема справедли-
справедлива. Предположим теперь, что она справедлива для всех раз-
разрешимых алгебр Ли размерностей меньше dimg. Пусть b —
идеал в д, такой что д = Ь + СХ, где X — элемент из д.
342 Глава 3
Существование такого идеала вытекает из утверждения 2. Со-
Согласно предположениям в # существует вектор ео, такой что
для всех У 6 Ь имеем
T(Y)e0 = А(Г)е0, G.6)
где X(Y) — линейная форма на Ь. Положим
ер=Т(Х)"е0, р = 0,1,2,...
Линейное пространство !оо, натянутое на эти векторы, инва-
инвариантно относительно Т(Х). Покажем, что для всех Y € Ь
и всех р имеем
T(Y)ep = А(Г)е„ + С(еь... ,ер^), G.7)
где через C(ei,... ,ep_i) обозначен элемент из линейной
оболочки векторов ei,...,ep_i- Формула G.7) справедлива
для р = 0. Пусть она справедлива для некоторого фиксиро-
фиксированного р. Поскольку [Y, X] С Ь, то
Г(Г)ер+1 = T(Y)T(X)ep = T([Y,X])ep + T(X)T(Y)ep =
= A([Y, X])ep + X(Y)ep+1 + С(еъ... , ep).
Следовательно, формула G.7) справедлива для всех р. Отсюда
вытекает, что подпространство #0 инвариантно относительно
всей алгебры g и что для ограничения То представления Т
на #о выполняется формула Тг T0(Y) = A(F)(dim#o)- Но
T0([Y,X]) = To(Y)To(X) - T0(X)T0(Y).
Поскольку след Тг имеет свойство Тг АВ = Тг В А, то при Y ? b
ТгТо([Г,*]) = X([Y,X])(dimSj0) = 0.
Поэтому AflY, X]) = 0. Согласно определению векторов ер
имеем
Т0(Г)ер+1 = T0([Y, X])ep + T(X)T(Y)ep.
Используя равенство G.7), отсюда методом индукции по р вы-
выводим, что
T0(Y)ep = X(Y)ep, Y G Ь, р^О.
То есть T0(Y) = \{Y)I, где I — единичный оператор на #о-
Поскольку Т0(Х) имеет собственный вектор х^Ов $j0, то х
имеет свойства, указанные в формулировке теоремы. Теорема
доказана.
Из теоремы Ли легко получить такие утверждения.
§ 7. Разрешимые и нильпотентные группы 343
Следствие 1. Неприводимые конечномерные представ-
представления разрешимой алгебры Ли одномерны.
Следствие 2. Неприводимые конечномерные представ-
представления связной разрешимой группы Ли одномерны.
Справедливо также такое
Следствие 3. Если Т — конечномерное представление
разрешимой алгебры Ли Q, то в некотором базисе все опера-
операторы Т(Х), X ? д, являются верхними треугольными мат-
матрицами.
Доказательство. Если х — вектор из формулировки те-
теоремы Ли, то можно выбрать такой базис ei = х, ег,... ,е„
в Sj, в котором все операторы Т(Х), X € д, имеют вид
Л о
где знаком «*» обозначена (возможно ненулевая) матрица-
строка, а 71 — представление алгебры Ли д, размерность
которого на единицу меньше, чем у Т. Такие же рассужде-
рассуждения применяем к Т\. После конечного числа шагов получаем
утверждение следствия.
Очевидным образом следствие 3 формулируется для связ-
связных разрешимых групп Ли.
Пример 3. Пусть G — разрешимая группа Ли из примера 2,
причем элементы матриц принадлежат R (или С). Обозначим че-
через Ai,... , An диагональные элементы матрицы g € G. Тогда
где Хи--- »Х" — характеры (одномерные представления) мульти-
мультипликативной группы R\ {0} (или <С\ {0}), является неприводимым
представлением G.
7.3. Нильпотентные группы и алгебры Ли и их ко-
конечномерное представление. Напомним, что присоеди-
присоединенное представление алгебры Ли д действует в пространстве
самой алгебры д по формуле (adX)Y = [А", У]. Алгебру Ли д
называют нильтютентпной, если все операторы adX, X ? Sj,
нильпотентны. Группу Ли G называют нильпотентной, если
ее алгебра Ли нильпотентна.
344 Глава 3
Утверждение 3. Линейная алгебра Ли д, состоящая из
нилыготентных преобразований, нилъпотентна.
Доказательство. Пусть дс L(fj), где^з—конечномерное
линейное пространство. Для Z ? L($j) пусть Rz и Lz — опе-
операторы, действующие в L(Sj) согласно формулам RzX = XZ,
LZX = ZX. Тогда для Z ? д получаем ad Z = Lz — Rz и
*
X?g.
Поскольку Z — нильпотентное преобразование, то есть Zk=0
при некотором к ^ 0, то ad Z — нильпотентный оператор в #-
Утверждение доказано.
Теорема 2 (Теорема Энгеля). Пусть д — нильпо-
тентная линейная алгебра Ли, элементы которой действуют
в конечномерном комплексном пространстве Sj. Тогда в Sj су-
существует вектор х ф О, такой что Z~x. = 0 для всех Z ? д.
Существует базис пространства Sj, в котором все элементы
Z ? д представляются верхними треугольными матрицами
с нулями на главной диагонали.
Доказательство. Методом индукции докажем первую
часть теоремы. Для dimg = 1 она справедлива. Допустим,
что она справедлива для всех нильпотентных линейных ал-
алгебр Ли размерности меньше dimg. Пусть b — собственная
подалгебра в д, имеющая максимальную размерность. Тог-
Тогда для всех Y ? b преобразование ad Y нильпотентно в g
и (ad Y)b С b. Поэтому пространство g можно представить
в виде прямой суммы g = b + Sj, относительно которой все
операторы ad Y, У ? Ь, представляются в виде
adF - (Tl(F)
где Т\ — представление ad подалгебры b в Ь, а Тг — допол-
дополняющее представление в пространстве д. Операторы T2(F),
Y ? b, образуют нильпотентную алгебру Ли, размерность ко-
которой меньше dimg. Поэтому согласно предположению в #
существует элемент Z (он не принадлежит Ь) такой, что
(adY)Z = [Y,Z] = 0 для всех Y ? Ь. Это означает, что
§7. Разрешимые и нилыготентные группы 345
на b и Z натягивается подалгебра, которая вследствие мак-
максимальности b должна совпадать с д. Следовательно, b —
идеал в g и g = b +CZ. Пусть теперь Sj0 — подпространст-
подпространство в Sj, состоящее из всех векторов е, для которых Ye = О
для всех Y ? Ь. Согласно предположению #о Ф {0}. Для век-
векторов ебйо и всех Y ? b имеем YZe = [Y, Z]e + ZYe = 0,
поскольку [F, Z] € b прн Y ? Ь.гСледовательно, Z$)o С #о-
Ограничение преобразования Z на #о является нильпотент-
ным преобразованием. Поэтому существует вектор х ? #о5
имеющий свойства, указанные в формулировке теоремы. Вто-
Вторая часть теоремы доказывается как следствие 3 теоремы 1.
Сформулируем следствия доказанной теоремы, оставляя
их доказательство читателю.
Следствие 1. Неприводимые конечномерные представ-
представления нильпотентной алгебры Ли g одномерны и тривиаль-
тривиальны: Т(Х) = 0 для всех X ? д.
Следствие 2. Неприводимые конечномерные представ-
представления нильпотентной связной группы Ли G одномерны и три-
тривиальны: T(g) = 1 для всех g? G.
Следствие 3. Линейная нильпотентная связная группа
Ли изоморфна подгруппе группы верхних треугольных матриц
фиксированной размерности с единицами на главной диагона-
диагонали.
Следствие 4. Нильпотентная алгебра Ли (нильпотент-
(нильпотентная группа Ли) имеет нетривиальный центр.
Следствие 5. Если g — линейная нильпотентная ал-
алгебра Ли, то существует положительное целое число п,
для которого XiX2-..Xn — 0 при произвольных элемен-
элементах Хг,Х2, • • • ,Хп из д.
Следствие 6. Нильпотентная алгебра (группа) Ли раз-
разрешима.
Исходя из свойств разрешимой и нильпотентной алгебр
Ли, несложно доказать такое утверждение: алгебра Ли g
разрешима тогда и только тогда, когда производная алгеб-
алгебра д' = [д, д] нильпотентна.
Глава 4
Полупростые и аффинные алгебры Ли
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли
1.1. Билинейная форма Киллинга. Пусть g — ал-
алгебра Ли (комплексная или вещественная). Билинейную форму
В(Х, Y) = Tr(adX ad Y), X, Y G g,
на g, где ad — присоединенное представление алгебры д, назы-
называют формой Киллинга. Форма В(Х, Y) симметрична, то есть
B(X,Y) = B(Y,X).
Из того, что ad[X, Y] = adX adF — adF adX, легко выво-
выводится, что для всех X, Y, Z ? д имеем
В(Х, [Y, Z]) = B(Y, [Z, X]) = B{Z, [X, Y}). A.1)
Пусть а — автоморфизм алгебры д. Тогда (adcrX)Y =
= cr(adX)a~1Y для любых X,Y ? д. Поэтому
Tr(ado-X ad crY) = Тг(о- ¦ adX adF - о-) = Tr(adX ad Г),
то есть форма Киллинга инвариантна относительно а:
В(стХ, o-Y) = B{X, Y), a e Aut д. A.2)
Если G — группа Ли с алгеброй Ли д, то элементы g?G
определяют внутренние автоморфизмы Adff в д. Поэтому
из A.2) получаем
B(X,Y) = B(AdgX,AdgY), X,Y € д. A.3)
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли 347
Если G — линейная (матричная) группа Ли, то из свойств
следов вытекает, что билинейные формы
г> / V" Т/Л \ Т\, W I ¦ ЛТ\. V\(T\, Т/Л V Т/" г- ~. /1 А\
г>Л^(л,У) = А 1глУ + /Lt(±г.ЛД 1гУ), Л,г ?0, A-4)
где А и /it — числа, инвариантные относительно Adff, g ? G.
Можно показать, что всякая инвариантная относительно
группы G билинейная форма на д имеет вид A.4).
Линейная связная группа Ли G связана со своей алгеброй
Ли g экспоненциальным отображением: G = екрд. Поэтому,
если все матрицы из д имеют нулевой след, то след матриц
из G равен единице. Из A.3) и A.4) вытекает, что для таких
алгебр Ли форма Киллинга имеет вид
ТУ/ V Т/Л \ Т"у Y'T/' /1 tC\
где А — фиксированное число.
Как каждая билинейная форма, форма Киллинга задает-
задается матрицей в некотором базисе. Пусть Х\,... ,Хп — базис
алгебры Ли д, а с^- — ее структурные константы:
Легко проверить, что для элементов матрицы (bij), задающих
форму Киллинга, имеем
Ьц = B(xit Xj) = ? Е 4»ф- A-е)
fc=l m=l
Пример 1. Пусть gl(n, С) и g((n,R) — алгебры Ли, состоя-
состоящие соответственно из всех комплексных и вещественных матриц
размерности п. Матрицы
с матричными элементами {E,j)st = S,sSjt образуют базис в д((п,С)
и в g[(n,R). Подставляя в A.6) структурные константы для этого
базиса, проверяем, что форма Киллинга этих алгебр Ли задается
формулой
B(X,Y) = 2пТгЛ:У - 2(ТгЛ:)(ТгУ).
348 Глава 4
Пусть sl(n, С) и sl{n, R) — подалгебры Ли соответственно в fll(n, С)
и g((n,R), состоящие из матриц с нулевым следом. Форма Киллинга
на них имеет вид
B(X,Y) = 2nTr XY.
Форма Киллинга во многом определяет структуру алгеб-
алгебры Ли д и наоборот. Покажем это на нескольких примерах.
Пусть 0х — множество всех элементов из 0, ортогональ-
ортогональных ко всем элементам X ? д относительно формы Киллин-
Киллинга. Тогда 0х — линейное подпространство в д. Если Y ? 0х,
а X, Z ? д, то согласно A.1)
B{[X,Y],Z) = B{Y,[Z,X]) = O.
Таким образом, [X,Y] ? дх, а потому 0х — идеал в д.
Пусть j — идеал в д. Тогда [д, j] с j. Отсюда легко следует,
что форма Киллинга на j совпадает с ограничением на j формы
Киллинга на д. (Докажите это самостоятельно.)
Пусть до — вещественная алгебра Ли, а 0 — ее комп-
лексификация. Рассматривая g как вещественную алгебру Ли
удвоенной размерности, получаем вещественную алгебру Ли,
которую обозначим через 0д. Формы Киллинга на 0, 0о и 0д
обозначим соответственно В, Во и Br. Предлагаем читателю
доказать такое утверждение.
Утверждение 1. Форма Bq является сужением на до
формы В:
B0(X,Y) = B(X,Y), X,Y?g0.
Форма Br связана с формой В формулой
BR(X, Y) = 2ReB(X, Y), X, Y ? gR.
Теорема 1. Алгебра Ли д разрешима тогда и только
тогда, когда В{Х,Х) = 0 для всех X ? д.
Доказательство этой теоремы можно найти, например,
в [63].
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли 349
1.2. Полупростые и простые группы и алгебры Ли.
Алгебру Ли g называют полупростой, если форма Киллинга
иевырождена на ней, то есть если из В(Х, X) = 0 вытека-
вытекает X = 0. Последнее означает, что определитель матрицы, за-
задающей форму В(; •), отличен от нуля. Следовательно, алгеб-
алгебра Ли g со структурными константами с^-, i,j, к = 1,2,... , п,
полупроста тогда и только тогда, когда
где bij — числа, связанные со структурными константами
формулой A.6). Отсюда и из того, что форма Киллинга на ве-
вещественной алгебре Ли является ограничением на нее формы
Киллинга ее комплексификации, вытекает, что комплексная
алгебра Ли и ее вещественные формы одновременно полупрос-
полупростые или не полупростые. Из утверждения 1 также вытекает,
что комплексная алгебра Ли g и эта же алгебра, рассматрива-
рассматриваемая как вещественная удвоенной размерности, также одно-
одновременно полупростые или не полупростые.
Из определения полупростой алгебры Ли вытекает, что
коммутативная алгебра Ли не может быть полупростой.
Утверждение 2. Пусть g — полупростая алгебра Ли,
а') — идеал в д. Пусть jx — ортогональное дополнение к j в g
относительно формы В(-,-). Тогда jx — идеал в g, j u jx —
полупростые подалгебры Ли и g = j + j1- (прямая сумма).
Доказательство. То, что j-1- — идеал в д, вытекает
из формулы A.1). Невырожденность формы В(-, •) означает,
что dimj + dimj-1- = dimg. Пусть X, Y G j П jx. Тогда для
всякого Z ? g имеем
B(Z,[X,Y]) = B([Z,X],Y)=0,
то есть [X, Y] = 0. Значит, )П)Х — коммутативный идеал в д.
Пусть b — подпространство алгебры д, дополнительное к jflj-1-.
Если Z G b и X G j П jx, то ad X ad Z отображает j П jx в {0},
a b — в j П )х. Это значит, что Tr(adX adZ) = 0. Посколь-
Поскольку д — полупростая алгебра Ли, то jflj-1- = {0} и д = )+)±, где
сумма прямая. Полупростота j и )х вытекает из определения
полупростых алгебр Ли. Утверждение доказано.
350 Глава 4
Из утверждения 2 вытекает, что полупростая алгебра Ли
имеет нулевой центр.
Пример 2. Алгебра Ли g[(n, С) имеет центр, состоящий из всех
матриц из 0l(n, С), кратных единичной матрице. Поэтому g((n,C)
не является простой алгеброй Ли. Аналогично, fj((n, R) не является
простой алгеброй Ли.
Полупростую алгебру Ли называют простой, если она не
имеет отличных от {0} и д идеалов.
Пусть g — линейная (матричная) некоммутативная ал-
алгебра Ли, ад' — ее подалгебра, состоящая из матриц X ? 0,
для которых ТгХ = 0. Легко проверить, что д' — идеал в д.
Поскольку Тг (XY — YX) = 0, то вследствие некоммутатив-
некоммутативности д идеал д' непустой. Отсюда делаем вывод, что если ли-
линейная алгебра Ли д проста, то ее матрицы имеют нулевой
след.
Теорема 2. Полупростая алгебра Ли g однозначно
записывается в виде прямой суммы своих простых идеа-
идеалов: g — 0i + ... + 0fc. Каждый идеал ) в g является прямой
суммой некоторых простых идеалов дТ.
Доказательство. Согласно утверждению 2 0 можно так
записать в виде прямой суммы простых идеалов, что идеал j
будет прямой суммой некоторых из них. Бели а — простой
идеал, не встречающийся в разложении 0 = 0i + ... + 0*, то1
[0«,а]С0»Па={О}, « = 1,2,...,*,
поскольку в противном случае двПа было бы простым идеалом
в 0, что противоречит простоте 0„.
Следствие 7. Для полупростой алгебры Ли д име-
имеем [0,0]= 0.
Доказательство. Пусть 0 — простая алгебра Ли. Тог-
Да [fl>fl] — идеал в 0. Поэтому [0,0] = 0. Полупростая алгеб-
алгебра Ли д представляется в виде прямой суммы простых идеа-
идеалов 0 = 0i + ... + 0, и [0i,0j] = 0 для i ф j. Поэтому [g,0] =
1Если а С в и Ь С В, то через [о, Ь] обозначают линейную оболочку
элементов [X,Y], где X G о, Y е Ь.
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли 351
Обратное утверждение к теореме 2 также справедливо, то
есть если алгебра Ли д представляется в виде прямой суммы
своих простых идеалов, то она полупроста. Действительно,
как показано выше, формы Киллинга на идеалах являются су-
сужениями на них формы Киллинга на д. Поскольку [X, Y] = О,
если X и Y принадлежат разным идеалам, то определитель
матрицы формы Киллинга на д равен произведению определи-
определителей матриц, задающих форму Киллинга на идеалах. Отсюда
и вытекает наше утверждение.
В дальнейшем полезным будет понятие дифференцирова-
дифференцирования алгебры Ли. Линейный оператор D в алгебре Ли называют
дифференцированием этой алгебры, если для всех X, Y ? g
D[X, Y] = [DX, Y] + [X, DY). A.7)
Легко проверить, что для двух дифференцирований ?>i и Di
их коммутатор D — [Di,D2] — дифференцирование. Сле-
Следовательно, множество д(д) всех дифференцирований алгеб-
алгебры g — алгебра Ли. Примером дифференцирования является
оператор ad Z присоединенного представления. В этом случае
равенство A.7) представляет собой тождество Якоби для ком-
коммутатора. Дифференцирование ad Z, Z ? g, называют внут-
внутренним. Множество внутренних дифференцирований алгебры
Ли g обозначают ad(g).
Теорема 3. Каждое дифференцирование полупростой ал-
алгебры Ли является внутренним, то есть d(g) — ad(g).
Доказательство. При присоединенном представлении
равенство adX = 0 выполняется только для элементов X,
принадлежащих центру алгебры. Поскольку полупростая ал-
алгебра Ли имеет нулевой центр, то отображение X -* adX
является точным и алгебра ad(g) операторов adX, X ? д,
полу простая. Если D ? д(д), то легко проверить, что для
всех X ? д имеем ad(DX) = [D, adX] = DsudX - (adX)D.
Следовательно, ad(g) — идеал в д(д). Ортогональное допол-
дополнение ad(g)x также является идеалом в д(д). Поскольку
ad(g) — идеал *в д(д), то ограничение формы Киллинга ал-
алгебры д(д) на ad(g) совпадает с формой Киллинга для ad(g)
(см. п. 1.1). Отсюда следует, что пересечение ad(g)x П ad(g)
352 Глава 4
ортогонально к ad(g) относительно формы Киллинга в ad(g).
Поэтому ad(g)x П ad(g) = {0}. Следовательно, для D ? ad^)-1
имеем [D,adX] G ad(g)-Lnad(g) = {0}. Это означает, что
ad(DX) = 0 для всех X ? д. Вследствие точности отображе-
отображения X -» adX имеем D = 0, то есть ad(g)x = {0} и ad(g) =
= д(д). Теорема доказана.
Если g — полупростая алгебра Ли и g = gx +... + gk — ее
разложение из теоремы 2, то ее присоединенное представле-
представление ad разлагается в прямую сумму неприводимых представ-
представлений, какими являются сужения представления ad на идеа-
идеалы g,, i = 1,2,... , к.
Алгебру Ли д называют редуктивной, если ее присоеди-
присоединенное представление вполне приводимо. Полная приводи-
приводимость представления ad означает, что g представляется в ви-
виде g = qi + ... + gr, где gi — неприводимые инвариантные
подпространства относительно всех операторов adX, X ? g.
Другими словами, если Y ? &, то (adX)F = [X, Y] ? дг- для
всех X ? д. Это означает, что в разложении д = gi + - - - + дг
все gj являются идеалами, не содержащими нетривиальных
идеалов алгебры д. То, что д*, к = 1,2,... ,г, — идеалы, озна-
означает, что [Xi,Xj] = 0 для Xi ? gu Xj ? g^, i Ф j. Если gk —
коммутативный идеал, то для произвольных Х'к ? дк и X =
= Хг + ... + Хг, Х{ ? fl,-, имеем [Х,Х'к] = [Хк,Х'к] = 0. Дру-
Другими словами, дк принадлежит центру j алгебры д. Отсюда
вытекает
Утверждение 3. Редуктивная алгебра Ли g является
прямой суммой идеала д' и центра j. Идеал д' является прямой
суммой gi+.. .+дг некоммутативных идеалов gj алгебры Ли д,
не содержащих других нетривиальных идеалов этой алгебры.
Поскольку некоммутативные идеалы gj из утверждения 3
не содержат нетривиальных идеалов, то [gj,gj] = gj.
Теорема 4. Полупростая алгебра Ли не имеет центра.
Редуктивная алгебра Ли g с нулевым центром полупроста.
Доказательство. Пусть алгебра Ли g полупроста. Тогда
из утверждения 3 вытекает, что g разлагается в прямую сум-
сумму неприводимых идеалов. Если Z — элемент центра алгеб-
алгебры д, то, очевидно, B{Z, Z) = 0. Поэтому g не имеет центра.
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли 353
Наоборот, пусть g — редуктивная алгебра Ли без цент-
центра. Поскольку д' = [д, д] и д1 — идеалы в д, то если д не
имеет нетривиальных идеалов, то д = [g, g] и д1 = О, а зна-
значит, д — полупростая алгебра Ли. Если же д имеет нетриви-
нетривиальные идеалы, то всякий ее идеал j является прямой суммой
редуктивных идеалов, не имеющих нетривиальных идеалов,
то есть [j,j] = j. Такие идеалы не могут быть разрешимы. Ал-
Алгебра д имеет идеал дх. На нем форма Киллинга превраща-
превращается в нуль. Поэтому дх — разрешимый идеал. Следователь-
Следовательно, дх = {0}. А это означает, что форма Киллинга невырож-
невырождена на д, то есть д полупроста.
Полученные в этом пункте результаты позволяют дать
другие определения простых и полупростых алгебр Ли, не за-
зависящие от формы Киллинга. Алгебра Ли д называется прос-
простой, если dimg > 1 и она не имеет нетривиальных идеалов.
Алгебра Ли д называется полупростой, если она является пря-
прямой суммой простых идеалов.
Любая редуктивная алгебра Ли д является прямой сум-
суммой полупростой подалгебры Ли и своего центра. Это утверж-
утверждение можно записать формулой д = [д, д] + j, где j — центр.
Полупростая алгебра Ли не имеет разрешимых идеалов. На-
Наоборот, если алгебра Ли не имеет нетривиальных разрешимых
идеалов, то она полупроста. Для разрешимых алгебр Ли g
имеем [g, g] Ф д. Поэтому определение полупростой алгебры
может быть и таким. Алгебра Ли д полупростая тогда и толь-
только тогда, когда [д, д] — д.
Пример 3. Пусть sl(n, С) и sl(n,M) — алгебры Ли, состоя-
состоящие соответственно из всех комплексных и вещественных мат-
матриц размерности п с нулевым следом. Покажем, что эти алгебры
Ли полупростые. Комплексная размерность комплексной алгебры
Ли sl(n,C) и размерность вещественной алгебры Ли sl(n,M) равня-
равняются п2 — 1. Матрицы
Eij, i ф j, Ец - Ei+x,i+u i = 1,2,... , n - 1, A.8)
образуют базисы в этих алгебрах. Чтобы показать полупросто-
полупростоту этих алгебр Ли, покажем, что для них выполняется соотноше-
соотношение [д, q] = g. Для этого достаточно показать, что каждый базис-
базисный элемент получается путем коммутации элементов алгебры.
354 Глава 4
Справедливость последнего вытекает из соотношений
[Eiti+i, Ei+u] = Ea — -Ej+i,i+i, i = 1,2,... , n — 1.
В действительности можно показать, что sl(n, С) и sl(n, R) — прос-
простые алгебры Ли.
Группу Ли называют простой, если она не содержит замк-
замкнутых связных инвариантных подгрупп, и полупростой, если
она не содержит замкнутых связных разрешимых инвариант-
инвариантных подгрупп.
Каждая конечномерная алгебра Ли сводится к полупрос-
полупростым и разрешимым алгебрам Ли. А именно, имеет место тео-
теорема Леви-Мальцева:
Теорема 5. В любой конечномерной алгебре Ли д одно-
однозначно определяется максимальный разрешимый идеал г. Ал-
Алгебра q является полупрямой суммой идеала г и максимальной
полупростой подалгебры Ли s. Подалгебра s определяется од-
однозначно с точностью до автоморфизма алгебры д.
Глобальный аналог этой теоремы формулируется таким
образом.
Теорема 6. В связной односвязной группе Ли G однознач-
однозначно определяется максимальная разрешимая инвариантная
подгруппа R. Группа G является полупрямым произведением
инвариантной подгруппы R и максимальной полупростой под-
подгруппы Ли S. Подгруппа S определяется однозначно с точнос-
точностью до автоморфизма группы G.
Доказательство теорем 5 и 6 можно найти, например,
в [48].
1.3. Подалгебра Картана. Корни и корневые под-
подпространства. Пусть g — полупростая алгебра Ли. Макси-
Максимальную коммутативную подалгебру t) алгебры g называют
ее подалгеброй Картана, если для любого Н G t) оператор ad H,
действующий в д, полупростой (см. п. 7.1 гл. 1).
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли 355
Теорема 7. Каждая полупростая алгебра Ли имеет под-
подалгебру Картана. Если l)i и 1J — две подалгебры Картана
комплексной полупростой алгебры Ли д, то существует внут-
внутренний автоморфизм а алгебры д, такой что crf)i = 1J.
Доказательство этой теоремы можно найти, например,
в [63].
Подалгебры Картана имеют важное значение для изуче-
изучения структуры полупростых алгебр Ли и их конечномерных
представлений. В частности, они используются при выводе
классификации полупростых алгебр Ли. Такая классифика-
классификация приведена ниже. Мы покажем, какие размышления приво-
приводят к этой классификации, опуская детальные доказательства
(за полными доказательствами отсылаем читателя к моногра-
фии [17]).
Ниже в этом параграфе д обозначает комплексную полу-
полупростую алгебру Ли. Пусть t) — ее подалгебра Картана. Комп-
Комплексную размерность подалгебры Р) называют рангом алгебры
Ли д. Все операторы &dH,H G t), являются полупростыми
и коммутирующими. Поэтому из результатов п. 7.1 гл. 3 вы-
вытекает, что эти операторы имеют полный набор общих собст-
собственных векторов. Другими словами, в алгебре д существует
базис Xi,X2,-.. ,Х„, такой что для всякого Н G t) имеем
(ad H)Xt = [H, Xt\ = /3,-(Я)Х,-, г = 1,2,..., п.
Собственные значения ($i(H) являются линейными формами
(функциями) на подалгебре Картана. Действительно, с одной
стороны,
(ad(aiH! + а2Н2))Хг — Pi(axHx + а2Н2)Хг, oi, a2 € C,
а с другой —
= ai[Hi,Xi] + O2[H2,Xj] = ai(&dHi)Xi
Поэтому Pi(a\H\ + a2H2) = axPi(H{) + a2Pi(H2).
356 Глава 4
Поскольку элементы Н е I) коммутируют друг с дру-
другом и i) — максимальная коммутативная подалгебра в д, то
базис -Xi,X2,... ,Х„ алгебры д содержит в себе базис подал-
подалгебры t) и только для базисных элементов Xi e \j выполняются
тождества #(Я) = О, Я е f)- Из этих фактов выводим, что g
представляется в виде прямой суммы собственных подпро-
подпространств операторов ad Я, Я е t):
fl = &
где а — ненулевые линейные формы на t), а да — соответству-
соответствующие собственные подпространства. Ясно, что \) — собствен-
собственное подпространство, принадлежащее нулевому собственному
значению.
Линейные формы а на подалгебре Картана t) из форму-
формулы A.9) называют корнями алгебры Ли g относительно t). Под-
Подпространства ga называют корневыми.
Пример 4. Рассмотрим полупростую (простую) комплекс-
комплексную алгебру Ли sl(n,C). Множество t) всех диагональных мат-
матриц из s((n,C) является подалгеброй Картана этой алгебры. Дей-
ствительно, операторы ad#,H = X) а{Ец е sl(n,C), полупростые.
Они диагонализуются в базисе A.8). С другой стороны, I) — мак-
максимальная коммутативная подалгебра. Для произвольного элемен-
элемента Н = 2 сцЕц имеем
i
(ad H)Eij = [Н, Eij] = (щ - aj)Eih i ф j.
Следовательно, одномерные подпространства СЕц,« / j, являются
корневыми. Им отвечают корни
ay (Я) = ац I 2_^агЕгг \-ai- о3.
Разложение A.9) для sl(n,C) имеет вид sl(n,C) = t) +
Eaij = Eij. Ясно, что при i ф j и к / s имеем
u - SuEkj.
Корни ciij и числа Sjh, S,i из этого соотношения определяют струк-
структурные константы алгебры Ли s((n,C).
§1. Полупростые группы и алгебры Ли 357
Корни и корневые подпространства полупростой алгеб-
алгебры Ли д имеют важные свойства:
а) если а -— корень, то —а — тоже корень, то есть ес-
если даф0, то д_а ф 0. Если а — корень, то са, с е С, не
может быть корнем при с ф ±1;
б) если Еа и Ер — элементы корневых подпространств да
и др, причем а ф 0, то [Еа, Ер] G Qa+p, если а + 0 — ко-
корень алгебры Ли д, то есть если да+рф{0}, и [Еа,Ер] =
= 0, если а + 0 не является корнем. Если а = —/3,
то [Еа,Ер]еЪ;
в) все корневые подпространства да одномерны;
г) если а + /3 ф 0, то корневые подпространства да и др
ортогональны относительно формы Киллинга ??(-, •);
д) ограничение формы Киллинга В(-,-) на подалгебру Кар-
тана t) невырождено, то есть если В(Н0,Н) = 0 для
всех Н Е i), то Но = 0. Для каждого корня а существует
единственный элемент На е t), такой что В(На,Н) =
= а(Н) для любого Н е f). Если t)* — подалгебра в i),
состоящая из вещественных линейных комбинаций эле-
элементов На:
ajtO
то форма Киллинга вещественна и положительно опре-
определена на Р)*;
е) элементы Еа и ?L.a подпространств да и д_а можно вы-
выбрать так, что В(Еа,Е-а) = 1 и [Ео,Е-а] = На.
Эти свойства легко выводятся, исходя из результатов
примера 4, для алгебры Ли sl(n,C). Чтобы показать, как они
выводятся в общем случае, докажем некоторые из них. Для до-
доказательства свойства б) используется тождество Якоби (см.
п. 6.4 гл. 1). Получаем
[Я, [Еа, Ер}] = [[Ер, Я], Еа] + [[Н, Еа], Ер] =
= -[[Н,Ер],Ео] + [[Н,Ео],Ер] = (а(Н)+0(Н))[Еа,Ер].
358 Глава 4
Это означает, что при а Ф —/3 имеем [Еа,Ер] е да+р
или [Еа,Ер] = 0, и [Еа,Е-а] е I).
Чтобы доказать свойство г), выберем ЕаЕ да и ЕрЕдр. Тог-
да adEa ad Ер отображает д7 в да+р+у. Поскольку а + Р ф О,
то ба+^-нуЛ 0-у=О. Поэтому, если записать оператор adjBaad^3
в базисе, состоящем из базисов корневых подпространств, то
станет очевидным, что
Tr(adEQadEp) = В(Еа,Ер) = 0.
Доказательство других свойств можно найти, например,
в [63].
Корневые подпространства одномерны. Выберем в каж-
каждом из них элемент Еа так, чтобы выполнялось усло-
условие В(Еа,Е-а) = 1. Выберем также базис Hi,Яг,-.. ,Щ
в подалгебре Картана t) (I — ранг алгебры д), для которого
числа а(Щ) вещественны для всех корней а. Тогда элементы
Н1,...,Н,,Ер1,...,ЕРк, A.10)
где Pi,... ,Рк — все корни алгебры д относительно i), обра-
образуют базис в 0. Исходя из сформулированных выше свойств
корней и корневых подпространств, коммутационные соотно-
соотношения для этого базиса записываются в виде
[Hi,Hj} = 0, i,j = 1,2,... J, A.11)
[Щ,EPi] = 0j{Ui)E&i, i = l,2,...,l;j = l,2,...,k, A.12)
E-Pi] = HPi, i = l,2,...,k, A.13)
Базис A-10) комплексной полупростой алгебры Ли д с такими
коммутационными соотношениями называют базисом Карта-
Картана-Вейля.
Ясно, что условие В(Еа, Е-а) — 1 не фиксирует однознач-
однозначно элементы Еа и Е-а. Допустимая произвольность в выбо-
выборе Еа и Е-а приводит к произвольности в выборе чисел Npitp}
в A.14). Одна из возможностей такая. Пусть вместе с кор-
корнем /3j корнями алгебры Ли д являются
Рз ~ Pfii, Pj-(P- l)ft, • • • , Pi + (9 ~ 1)&. Pi
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли 359
г^цери q — целые неотрицательные числа, причем /3j—(
и Pj + (9 + 1)$ не являются корнями (можно показать, что
тогда /3j - s/3i, s > р + 1, /3j + tfy, t > q + 1, также не могут
быть корнями). Если требовать, чтобы числа Np.^ из A.14)
удовлетворяли условию JVjQj^ = —N^p^p^ то они будут опре-
определяться однозначно с точностью до знака и
дгг _ 9(P + l)mf7 „ ,
Можно показать, что здесь В^Нр^Н^) ^ 0. Если же требо-
требовать, чтобы Npitpj были целыми числами, то Npijpj = ±{р+1).
Доказательство этих утверждений можно найти, например,
в [17].
Числа Npi>pj имеют другие интересные свойства. Напри-
Например, если а + 0 + 7 = 0, то Nap = Np^ = N^a. Если а + 0 +
+ 7 + 8 = 0, то NapNryS + Np^NaS + N-yQNpS = 0. Используя
эти и другие свойства этих чисел, выводится, что комплекс-
комплексная полупростая алгебра Ли 0 определяется (с точностью до
изоморфизма) своими корнями. А именно, с помощью корней
восстанавливается форма Киллинга ??(•, •). Корни определяют
также подалгебру Картана \). Корни и форма В-, ¦) задают эле-
элементы HQ € t) и числа Nap. Все это определяет коммутацион-
коммутационные соотношения A.11)—A.14). Далее увидим, что множество
корней алгебры g определяется частью корней, а именно, так
называемыми простыми корнями, к определению которых мы
переходим.
1.4. Симметрии в множестве корней. Простые
корни. Как отмечалось выше, вместе с корнем а комплекс-
комплексная полупростая алгебра Ли д имеет корень —а. Это позволяет
разделить корни на положительные и отрицательные. Для это-
этого фиксируется базис Hi,H2,...,Я/ (I — ранг алгебры Ли д)
подалгебры Картана t). Тогда корни а однозначно определя-
определяются i-мерными векторами:
а -> (а^),а(Н2),...,а(Щ)). A.15)
Корень а считаем положительным (отрицательным), если
первое отличное от нуля число в A.15) положительное (от-
(отрицательное). Ясно, что набор положительных корней опре-
определяет набор отрицательных корней, а потому и набор всех
360
Глава 4
корней алгебры. Из построения ясно, что разделение корней
на положительные и отрицательные зависит от выбора базиса
в ft.
Совокупность корней алгебры Ли д имеет свойства сим-
симметрии. Сначала объясним их на примере алгебры slC,C).
Пример 5. Корни алгебры sl(n, С) найдены в примере 4. Ал-
Алгебра s(C, С) имеет шесть корней
С*12, О23, «13, —«12, —«23, —«13,
где — oiij = Oji. Первые три корня положительны, остальные — от-
отрицательные. Алгебра Ли slC, С) имеет ранг 2. Значит, корни ха-
характеризуются двумерными векторами (а(-Ец— -Е22), а(Е22~-
Однако нам удобнее характеризовать их векторами
в трехмерном пространстве, для которых ei + вг + «з = 0. По-
Последнее условие определяет необходимое двумерное пространство.
Положительные корни Q12 Q23, сцз определяются векторами
«12 •-»¦ A,-1,0), Q23 ¦-> @,1, -1), «is н-> A,0, -1).
Корни izaij изображают графически на плоскости ei 4- яг + вз = 0
трехмерного пространства (рис. 9). К каждому корню проведем
перпендикулярную ему прямую, проходящую через начальную
точку (на рнс. 9 эти прямые показаны штриховыми линиями). Зер-
Зеркальные отражения относительно этих прямых порождают груп-
группу отображений плоскости в себя. Эту группу называют группой
Вейля алгебры Ли slC, С). Она
имеет шесть элементов. Пря-
Прямые, перпендикулярные кор-
корням, делят плоскость на шесть
частей (камер Вейля). Элемен-
Элементы группы Вейля транзитивно
переставляют эти части меж-
между собой.
Как видно из рис. 9, эле-
элементы группы Вейля отража-
отражают корни в корни, то есть
группа Вейля — это группа
симметрии системы корней.
-а
ос„
Рис. 9.
§1. Полупростые группы и алгебры Ли 361
^Заметим, что зеркальное отражение точки -у = (в1,в2,«з), 01+02 +
,.+ о3 = 0, относительно прямой, перпендикулярной к корню a,j,
аналитически задается формулой
7-7-^Ц, A-16)
где (-, •) — скалярное произведение двух векторов.
Аналогичная ситуация имеет место для произвольной
комплексной полупростой алгебры Ли д, с той разницей, что
мы не можем весь процесс изобразить графически в плоскос-
плоскости. Сформулируем соответствующие утверждения.
Пусть алгебра Ли д имеет ранг /, a t) — ее подалгебра
Картана. Роль плоскости на рис. 9 для алгебры д играет ве-
вещественное линейное пространство \)'R, натягиваемое на кор-
корни алгебры д. Таким образом, \)'R состоит из линейных форм
(функций) на Р). Если -у € Ц'ю то формула у(Н) = В(Н,Щ),
Н G f), определяет соответствие элементов из t)'R и fj*. Это со-
соответствие позволяет ввести билинейную форму (скалярное
произведение)
(Ъ7') = В(Щ,НУ), 7,7 еЪ'ю
на i)'R. Из сформулированных выше свойств корней и корне-
корневых подпространств вытекает, что G>7)^0 Для любых 7Ei)'R,
причем G,7) = 0 только тогда, когда 7 = 0. Веществен-
Вещественная размерность i)'R равняется комплексной размерности про-
пространства t), то есть dim t)'R = I. Если а — корень алгебры 0,
то формула
I4 -reb'n, A-17)
7+7y4a, rebn,
(а, а)
определяет «зеркальное отражение» SQ пространства \)'R отно-
относительно гиперплоскости, ортогональной к корню а.
Группу, порожденную всеми «зеркальными отражения-
отражениями» пространства t)'R относительно гиперплоскостей, ортого-
ортогональных к корням алгебры Ли д, называют группой Вейля
алгебры д относительно подалгебры Картана t). Доказывает-
Доказывается [17], что группа Вейля конечна. Она является группой
метрий системы корней алгебры д.
362 Глава 4
Гиперплоскости, перпендикулярные к корням, делят про-
пространство t)'R на части, называемые камерами Вейля. Группа
Вейля переставляет камеры Вейля между собой.
Поскольку корни имеют свойства симметрии, то в сово-
совокупности корней алгебры Ли д существует минимальная сис-
система корней, с помощью которых, исходя из свойств симмет-
симметрии, определяются все корни. Такой минимальной системой
является совокупность так называемых простых корней. По-
Положительный корень называется простым, если его нельзя
представить в виде суммы положительных корней. Из это-
этого определения вытекает, что каждый положительный корень
является суммой простых корней с целыми неотрицательны-
неотрицательными коэффициентами. Таким образом, каждый отрицательный
корень является суммой простых корней с целыми неположи-
неположительными коэффициентами. Линейная комбинация простых
корней с положительными и отрицательными коэффициента-
коэффициентами одновременно не может быть корнем алгебры.
Пример 6. В алгебре slC, С) корни ai2 и агз простые. Для по-
положительного корня Qi3 имеем ai3 = 012+023- Из рис. 9 видно, что
группа Вейля алгебры slC, С) порождается двумя отражениями пу-
путем их умножения, а именно отражениями относительно прямых,
перпендикулярных к простым корням.
Оказывается, что факт, сформулированный в примере 6
для алгебры Ли slC, С), имеет место для произвольных комп-
комплексных полудростых алгебр Ли д. А именно, группа Вейля
такой алгебры порождается отражениями A.17) относительно
гиперплоскостей, ортогональных к простым корням (см. [17]).
Действуя элементами группы Вейля на простые корни,
получим все корни алгебры Ли д. С другой стороны, груп-
группа Вейля порождается отражениями SQ относительно прос-
простых корней. Таким образом, простые корни определяют (че-
(через группу Вейля) все корни алгебры д. Значит, простые корни
однозначно (с точностью до изоморфизма) определяют алгеб-
алгебру Ли.
Для простых корней справедливы такие утверждения
(см. [17]):
а) число простых корней комплексной полупростой алгеб-
алгебры Ли совпадает с рангом алгебры (то есть с комплекс-
комплексной размерностью подалгебры Картана);
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли 363
б) простые корни линейно независимы;
в) если множество ai,a2,...,aj простых корней алгеб-
алгебры д распадается на два ортогональные относительно
билинейной формы (а,/?) = В(На,Нр) подмножест-
подмножества а<15... ,а<„ и аЛ1,... ,aJn, т + п = I, то алгеб-
алгебра Ли д разлагается в прямую сумму двух полупрос-
полупростых подалгебр Ли gi и Вг, являющихся идеалами в g,
при этом а<15... ,ajm — простые корни подалгебры щ,
а а,-,,. -. , а,„ — подалгебры fl2;
г) при умножении всех простых корней алгебры Ли д на
одно и то же вещественное число получим систему прос-
простых корней алгебры Ли, изоморфной д.
Замечание. Пусть д — комплексная полупростая алгебра Ли,
а G — группа внутренних автоморфизмов алгебры д. В G сущест-
существует подгруппа W, оставляющая на месте подалгебру Картана Ij,
переставляя ее элементы. Путем отображений a —> На корни мож-
можно вложить в fj. Действуя в Ij, группа W действует на На так, как
группа Вейля. Поэтому W также называют группой Вейля алгеб-
алгебры д. Другими словами, группу Вейля можно вложить в группу
автоморфизмов алгебры Ли д.
1.5. Структура комплексных полупростых алгебр
Ли и их универсальных обертывающих алгебр. Ис-
Исходя из разложения A.9), в полупростой комплексной алгебре
Ли д введем подпространства
о>0 о>0
где суммирование ведется по всем положительным корням.
Поскольку [Еа,Ер]с Ео+р, то Ео+р?п+, если Еа € п+
и Ер е п+. Следовательно, п+ и п_ — подалгебры алгебры
Ли д. Из того факта, что существует конечное число кор-
корней, и из вложения [бсмВ/з] С 0а+р легко вывести, что элемен-
элементы adX, где X G гц. или I € п_, нильпотентны. Отсюда,
исходя из определения нильпотентных алгебр Ли, легко по-
получить, что подалгебры п+ и п_ являются нильпотентными
алгебрами Ли. Можно доказать такую теорему (см., напри-
например, [63]).
364 Глава 4
Теорема 8. Подалгебры п+ и п_ являются максималь-
максимальными нильпотентными подалгебрами в Q. Всякая максималь-
максимальная нильпотентная подалгебра eg с помощью внутреннего ав-
автоморфизма может быть отображена в п+ (а также в п_).
Подалгебры t) + п+ и 1) + п_ являются максимальными разре-
разрешимыми подалгебрами в д. Всякая максимальная разрешимая
подалгебра в g путем внутреннего автоморфизма может быть
отображена в I) + п+ (а также в t) + п_).
Ясно, что алгебра Ли g является прямой суммой своих
подалгебр п+, I) и п_:
g = n+ + f)+n_. A.18)
Элементы Еа, а > 0, образуют базис в п+, а элементы Е-а,
а > 0, — в п_. Выбрав какое-то упорядочение /?i > /32 > • • • > /?*
положительных корней, получим упорядоченные базисы в п+
и в п_. Элементы
A.19)
образуют базис в универсальной обертывающей алгебре 9t+
алгебры Ли п+ (см. п. 6.7 гл. 1). Аналогичные элементы обра-
образуют базис универсальной обертывающей алгебры 9t_ алгеб-
алгебры Ли п Пусть Sj — универсальная обертывающая алгебра
подалгебры Картана t). Исходя из результатов п. 6.7 гл. 1 легко
показать, что универсальная обертывающая алгебра <5 = U(g)
алгебры Ли g является произведением универсальных оберты-
обертывающих алгебр ее подалгебр п+, п_ и I):
. <5 = m-№+ = W+m- A-20)
Пусть ai,a2,...,aj — простые корни алгебры Ли д,
а Еа1,ЕО2,..., Eai — соответствующие им элементы в д.
С помощью последовательного коммутирования [-, •] из этих
элементов получаем корневые элементы Еа, соответствую-
соответствующие положительным корням а алгебры Ли д. Можно показать,
что так получаются все корневые элементы Еа алгебры п+-
Другими словами, корневые элементы Еа1,Еаз,... ,EQl, со-
соответствующие простым корням, порождают алгебру Ли п+-
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли 365
Аналогично, корневые элементы J5_ai,?LQ2,... ,E-ai порож-
порождают алгебру Ли п+. Как вытекает из A.13),
[Eai,E-ai] = HQi, t = l,2,...,J. A.21)
Элементы Hai дуальны (относительно формы Киллинга)
к простым корням. Поскольку простые корни образуют ба-
базис в t)'R, то Hai, г = 1,2,... ,/ образуют базис в подалгеб-
подалгебре Картана t). Следовательно, комплексная полупростая ал-
алгебра Лиg порождается корневыми элементамиЕа1,...,Eai,
E-ai,..., E-ai, соответствующими простым корням ai,..., aj.
Для простых корней а.\,... , aj образуем числа
aij = 2(ai,ai)/(ai,ai), i,j = 1,2,...,I.
Матрицу (aij), составленную из этих чисел, называют мат-
матрицей Картана. Доказывается [17], что числа a,j целые
и при г ф j неположительные (нули или отрицательные). Мат-
Матрица Картана вместе с порождающими элементами полностью
(с точностью до изоморфизма) определяет алгебру Ли д. Дей-
Действительно, имеет место такая теорема.
Теорема 9. Пусть Ei = Eai, Fi = E-Oi, i = 1,2,..., I, —
корневые элементы комплексной полупростой алгебры Ли д,
соответствующие простым корням ai,a2,... ,aj (I — ранг
алгебры д), Щ = HQi, i = 1,2,... ,I, — элементы A.21)
подалгебры Картана, а (оу) — матрица Картана алгебры д.
Тогда
0, [Ek,F$ = Hi, [Ei,Fj]=0, гфз, A.22)
[Я*, Ej) = atjEj, [Huj ] = -aijFj, A.23)
=0, A.24)
O. A.25)
Элементы Ei, Fi, Щ, i= 1,2,... , l, вместе с определяющими
соотношениями A.22)-A.25) определяют универсальную обер-
обертывающую алгебру U(g) = <5, а следовательно, и алгебру Ли д,
однозначно (с точностью до изоморфизма).
За доказательством теоремы отсылаем читателя к шестой
главе книги [53].
366 Глава 4
Заметим, что в формуле A.14) числа Np^ зависят
от нормировки корневых элементов. Соотношения A.24)
и A.25) не зависят от нормировки. Они только утверждают,
что ocj + кос,, к = 0,1,... , — aij — положительные корни ал-
алгебры Ли в, а линейная форма ocj + (—atJ- + l)a,- не является
корнем.
§ 2. Классификация полупростых алгебр Ли
2.1. Схемы Дынкина. Классификация комплекс-
комплексных полупростых алгебр Ли. Классификация комплекс-
комплексных полупростых алгебр Ли сводится к классификации комп-
комплексных простых алгебр Ли: полупростая алгебра Ли явля-
является прямой суммой простых подалгебр Ли (являющихся ее
идеалами). Выше классификация неизоморфных простых ал-
алгебр Ли свелась к перечислению их простых корней и матриц
Картана. Последние, как видно из формулы A.17), определя-
определяют группу Вейля соответствующей алгебры Ли. Следователь-
Следовательно, классификация комплексных простых алгебр Ли сведена
к чисто геометрической задаче. Она решается таким образом.
Для двух простых корней сц и оц рассмотрим чис-
число qij, задаваемое формулой q,j = — 2(рц, ал)/(ал-, аД Посколь-
Поскольку (aj,ocj) > 0, a (ociiOCj) ^ 0 (об этом свидетельствует мат-
матрица Картана), то q^ ^ 0. Кроме того, q,j — целые числа.
Проведем через а, и o.j плоскость и рассмотрим выражение
Из аналитической геометрии известно, что это выражение
равняется 4cos20, где в — угол между корнями сц и aj.
Поскольку (а<,ал)^0, то 0^90°. Ясно, что 4cos20<4
(при 4 cos2 0 = 4 имели бы cos0 = ±1, что означало бы, что сц
и Qj лежат на одной прямой, а это невозможно). Поскольку qij
и qjt — целые числа, то 4 cos2 в равняется одному из чисел 0,1,
2,3. Поэтому в является одним из углов 90°, 120°, 135° и 150°.
Каждый простой корень условимся обозначать кружоч-
кружочком. Каждую пару корней не соединяем или соединяем одной,
§2. Классификация полупростых алгебр Ли 367
двумя, тремя линиями в зависимости от того, равняется ли
угол между корнями 90°, 120°, 135° или 150° соответственно:
о о 90°. —о 120°, <=> 135°, =150°.
Этот способ обозначения предложен Б. Д. Дынкиным
и принят в математической литературе. Дынкин доказал (см.,
например, [17]), что возможны такие связные системы прос-
простых корней:
Серия А, (/=1,2,3,...)
Серия В, (/=2,3,4,...)
Серия С, (/=3,4,...)
Серия D, (/=4,5,...)
Числа над простыми корнями (кружочками) равны квад-
квадратам длин соответствующих корней (они выбраны с точнос-
точностью до общего множителя). Другие связные системы простых
корней невозможны. Приведенные схемы простых корней на-
называют схемами Дынкина. Для каждой из этих схем постро-
построена соответствующая ей простая алгебра Ли. Комплексные
простые алгебры Ли, соответствующие разным схемам Дын-
Дынкина, неизоморфны.
Таким образом, неизоморфные простые комплексные ал-
алгебры Ли исчерпываются четырьмя-бесконечными сериями
(классические алгебры Ли) и пятью особыми алгебрами Ли.
Их обозначают теми же индексами, что и соответствующие
схемы Дынкина:
А{, I = 1,2,3,...; Bh l = 2,3,4,...; С,, 1 = 3,4,5,...;
X?i, 1 = 4,5,6,...; Е6, Е7, Е8, F4, G2.
368 Глава 4
2.2. Алгебра Ли Aj. Покажем, что алгеброй Ли А\ яв-
является алгебра sl(n,C) при п = I + 1. Как мы видели, форма
Киллинга этой алгебры задается формулой
B(X,Y) = Tr(adX ad Г) = 2A + l)TrXF.
Подалгебра Картана натягивается на матрицы Ец — ?7,-+i,i+i,
i = 1,2,... ,1. Следовательно, ранг этой алгебры равен 1 = п—1.
Корни a.ij алгебры sl(n, С) определяются формулой
a»i(ai^ii + • • • + апЕпп) = at - ал-, аг G С.
Корни ctij,i<j, положительны. Корни а^агз,.-. ,а„_1уП
простые.
С помощью формулы
находим, что корню ау в подалгебре Картана соответствует
элемент
Я = (?;?;)
Учитывая, что угол между корнями аир определяется по
формуле
2д (а,/3H9, а)
cos2 0 = -
(а,аH9,/3)
и что (а,^) = В(На,Нр), легко найти, что между простыми
корнями oiiti+i и cti+ij+2 (г = 1,2,... , п — 2) угол равен 120°,
а между остальными парами простых корней — 90°. Сравни-
Сравнивая этот результат со схемой Дынкина алгебры Ли Ai, выво-
выводим, что sl(l + 1,С) является алгеброй Ли А\.
Хотя подалгебра Картана алгебры $1A + 1,<С) имеет раз-
размерность I, однако корни этой алгебры удобно вложить
в (/+1)-мерное векторное пространство. А именно, корню об-
обставим в соответствие вектор
),... ,aij(Enn)).
§2. Классификация полупростых алгебр Ли 369
Ясно, что при таком вложении корни располагаются в /-мер-
/-мерной гиперплоскости а^ + аъ + ... + сц+1 = 0. Единичные ор-
орты @,... , 0,1,0,..., 0) в К/+1 обозначим через е», где i указы-
указывает, что единица стоит на г-м месте. Тогда корни ау можно
представить в виде векторов
ощ = е* - е^.
Группа Вейля W алгебры Ли sl(/ + 1,Q действует в вещест-
вещественном пространстве
fj* = {aiei + ... + aJ+ieJ+i j ai + ... + щ+1 = 0},
натянутом на корни. С помощью формулы A.17) легко нахо-
находим, что корню а = a,j отвечает отражение 5О, которое, дей-
действуя на векторы {а±, аг,. • - , Щ+i) 6 Ь*, переставляет коорди-
координаты а,- и a,j. (Докажите этот факт самостоятельно.) Следова-
Следовательно, группа Вейля W алгебры At = sl{l + 1,С) совпадает
с симметрической группой
2.3. Алгебра Ли В*. Пусть g — линейное пространст-
пространство комплексных матриц А размерности 21 + 1, для которых
выполняется условие
As = -sAT, B.1)
где Т -— транспонирование и
Здесь lj — квадратная единичная матрица размерности I.
Представим матрицы А € g в таком же виде, как матрицу s:
fan V!
А = | wi an a12
где «i и и2 — столбцы высоты I, Vi и V2 — строки длины I,
an — число, а a+j — квадратные матрицы размерности I.
370 Глава 4
Тогда условие B.1) означает, что
ац =0, «! = -V2, «2 = -v[
«22 = -«Гц а[2 — ~а12) «21 = ~а21-
Исходя из этого, находим, что множество матриц
Щ = Ei+lji+1 — Ei+i+lti+i+1, i = 1,2,... ,1, B.2)
E3' * = Ej+lti+1 - Ei+i+ljj+i+1, ъфз, B.3)
Е~{~3' = Ei+l+1J+1 - ?i+,+M+1, i < j, B.4)
E*3 = Ej+i,i+i+i - Ei+1j+i+i, i < j, B.5)
E' = ^i+i,i — Ei^+i+1, E~~* = ?a,i+i — Ei+i+i4i, 1 ^ i ^ I,
B.6)
является базисом пространства д. Подпространство
совпадает с множеством всех диагональных матриц из д. Мат-
Матрицы из I) коммутируют между собой. Если Н = а^Нх 4- - -. +
+ сцЩ G t), то
[Я, E±l'±j] = (±ai ± а,)Е±{'±3, B.7)
[H,E±i]=:±aiE±i, B.8)
где в B.7) возможны все четыре комбинации знаков, причем
знак при г (при j) совпадает со знаком при ai (при clj). Легко
проверить, что при коммутировании матриц B.3)-B.6) меж-
между собой получаем те же матрицы или матрицы Я G I). Дру-
Другими словами, g — комплексная алгебра Ли. Непосредствен-
Непосредственно проверяется (например, с помощью базисных матриц), что
форма Киллинга на 0 задается формулой
B(X,Y) = B1 - 1) TvXY. B.9)
С помощью этой формулы показывается, что форма Киллинга
невырождена на д, то есть д — полупростая алгебра Ли. Под-
Подалгебра I) образует подалгебру Картана в д. Из B.7) и B.8)
§2. Классификация полупростых алгебр Ли 371
видим, что матрицы B.3)-B.6) являются корневыми элемен-
элементами алгебры д, а матрицы B.2)-B.6) образуют базис Карта-
на-Вейля в д. Линейные формы на t)
aj-i{H) = a.j - аи i ф j,
сч(Н) = at, a-i(H) = -a,, l^i^l,
образуют систему корней алгебры д. Выбирая матрицы B.2)
как упорядоченый базис в I), находим, что корни
ocj,-i, j < Ц ctij, i < j; сц, l^i^l,
положительны, а / корней
ai,_2, а2,-з, ••• , сц-1,-и at
образуют систему простых корней.
С помощью соотношения В(На,Н) = а(Н) вкладываем
корни алгебры Ли Q в I). Используя формулу B.9), находим,
что это вложение имеет вид
Это сопоставление помогает установить скалярное произ-
произведение (а,/?) = В(На,Нр) в t)'R. Используя это скалярное
произведение, устанавливаем, что между корнями a,-,_i_i
и ai+ii_i_2 угол равняется 120°, между корнями aj-^-j
и сц — 135°, а остальные простые корни попарно ортогональ-
ортогональны. Учитывая длины простых корней, видим, что наша алгеб-
алгебра имеет схему Дынкина Bi, то есть является простой алгеб-
алгеброй Ли Bt.
Каждый корень а алгебры д сопоставляем с вектором
/-мерного векторного пространства. Теперь корни записыва-
записываются в виде
= ±щ ± ej, a±i =
372 Глава 4
Группа Вейля алгебры В\ действует в вещественном
2-мерном векторном пространстве f)*, состоящем из векто-
векторов (а,1,а.2т-- ,щ). Непосредственно проверяется, что дейст-
действие Sa отражений относительно гиперплоскостей, перпенди-
перпендикулярных к корням а, сводится к перестановке координат а<
и aj в (a,i,a,2,... ,ai), если а = ел- — ej, перестановке сц и а,-
и изменению их знаков, если а = е, + е,, и изменению знака
в а<, если а = е<. Таким образом, группа Вейля W алгеб-
алгебры Ли Bi является группой перестановок координат векто-
векторов (ai,a2,... ,aj) € I)* с изменением знаков произвольного
числа этих координат.
2.4. Алгебра Ли Си Пусть g будет линейным про-
пространством всех комплексных матриц А размерности 21, для
которых
Aq = -qAT, B.10)
где q = (_°1( ц1 j. Представим матрицы А в виде ("^ ^).
Тогда условие B.10) означает, что
aiT. — —«11» ai2 = ai2> a21 = a2i.
Исходя из этого, находим, что набор матриц
Щ = Ец - El+i,l+i, i=l,2,...,l, B.11)
Е*'-> = Ец - Ej+l,i+l, гфз, B.12)
Ef> = ?^- + Si, i + 1, i< j, B.13)
?-«¦-* = Ei+U + Ej+,,i, i < j, B.14)
E2i = Eiti+i, E-2i = Ei+lti, l^i^l, B.15)
составляет базис в д. Образуем подпространство I) матриц Н =
= a,iHi+.. .+a(Hi, aj G С. Они исчерпывают все диагональные
матрицы в 0. Получаем
[Я, Е±{'^) = (±<ц ± а5)Е±{^, B.16)
[Я, E±2i] = ±2aiE±2i, B.17)
где согласованность знаков такая, как в B.7) и B.8). С помо-
помощью этих соотношений и коммутационных соотношений для
§ 2. Классификация полупростых алгебр Ли 373
матриц B.12)-B.15) находим, что 0 является полупростой ал-
алгеброй Ли с формой Киллинга
В(Х, Y) = B/ + 2) Тг XY. B.18)
Корнями этой алгебры являются линейные формы
а,-,_,-(Я) =а{- aj, i ф j,
aij(H) ~ ai + aj, ot-it-j(H) = -a, - aj, i < j,
a2i(H) = 2a{, а_2,(Я) = -2сц, 1 < i < /.
Выбрав матрицы B.11) в качестве упорядоченного базиса под-
подалгебры Картана f), находим, что корни
«t,-j, i < Г, atij, i < j; a2i, 1 < i < /,
положительны, а корни
,-2, ,-3,-•• ,Otl-l,-l, CL%i
образуют систему простых корней. Вычислив углы между
корнями и их длины, находим, что алгебра д является про-
простой алгеброй Ли С/.
Каждому корню а поставим в соответствие вектор
в /-мерном пространстве i)*. Проведя такие же рассуждения,
как в предыдущем пункте, приходим к выводу, что группа
Вейля алгебры С/ совпадает с группой Вейля алгебры Bt.
2.5. Алгебра Ли ?>j. Пусть д — линейное пространст-
пространство комплексных матриц А размерности 21, для которых
Aq = ~qAT, B.19)
где q = (_°1( р1 J. Представив матрицы А в виде (°'| "'*), на-
находим, что условие B.19) эквивалентно таким равенствам
«22 = —«115 «12 — —«125 «21 = ~°21-
374 Глава 4
Отсюда находим, что матрицы
Щ = Ец-Еш*к, г = 1,2,...,/, B.20)
&-'= Ец -Ej+i&4> Mi. B-21)
= EjMI - Eitj+l, i < j, B.22)
- Ем, i<j, B.23)
составляют базис в д. Образуем линейное подпространство f)
матриц Н — aiHi +... + сцЩ, a.j € С Эти матрицы исчерпы-
исчерпывают все диагональные матрицы в д. Имеем
[Я, В****] = (±а,- ± а ¦)?!*** , B.24)
где согласование знаков такое, как в B.7). С помощью этих
соотношений и коммутационных соотношений для элемен-
элементов B.21)-B.23) находим, что д является полупростой алгеб-
алгеброй Ли с формой Киллинга
В(Х, Y) = B1 - 2) Тг XY B.25)
и с подалгеброй Картана f). Корнями этой алгебры Ли являют-
являются линейные формы
ai,-j(H) -щ- aj, г ф j,
ctij{H) = at + aj, a-it-j(H) = -a{ - Oj, i < j.
Положительными являются корни a*,-,-, a^-, г < j. Кор-
Корни ai,_2, аг,-з,... ,a/-i,-/,a/_i,/ образуют систему простых
корней. Вычислив длины этих простых корней и углы между
ними, находим, что д является комплексной алгеброй Ли Dt.
Каждому корню а ставим в соответствие вектор
/-мерного пространства f)*. Так же как в п. 2.3 находим, что
группа Вейля алгебры D| является группой всех перестановок
координат в векторах @1,02,... ,a/) € ()* вместе с изменени-
изменением знаков у четного числа координат.
Заметим, что мы реализовали алгебры Ли JBj и Di так,
что подалгебры Картана представляются диагональными мат-
матрицами. Понятно, что возможны другие реализации этих ал-
алгебр. В частности, возможна реализация, вообще не имеющая
диагональных матриц.
§2. Классификация полупростых алгебр Ли 375
2.6. Классификация комплексных простых
групп Ли. Как указано в гл. 2, каждой алгебре Ли соответ-
соответствует хотя бы одна связная группа Ли. Простой (полупрос-
(полупростой) алгебре Ли отвечает простая (полупростая) группа Ли.
Алгебрам Ли Аи Bt, Ci, Dt сопоставляются соответствен-
соответственно комплексные группы SL(l + 1,С), 50B/ + 1,С), Sp(l,C)
и 50B/, С), определенные в 5 гл. 2. (Предлагаем читателю
доказать этот факт.)
Как известно, алгебре Ли отвечает класс локально изо-
изоморфных связных групп Ли. Они получаются из универсаль-
универсальной накрывающей факторизацией по дискретным централь-
центральным инвариантным подгруппам. В комплексных полупростых
группах Ли центр не только дискретный, но и конечный.
Группы SL(l + 1,C) и Sp(l,C) односвязны. Следователь-
Следовательно, они являются универсальными накрывающими. Легко ви-
видеть, что центр группы SL(l + 1,С) — циклическая груп-
группа (/ + 1)-го порядка. Он состоит из матриц al, где / — еди-
единичная матрица, а а пробегает решения уравнения xl+1 = 1.
Центр группы Sp(l,<?) состоит из двух элементов.
Группы 50B/ + 1,С) и 50B/, Q неодносвязны. Их
универсальные накрывающие называют спинорными груп-
группами и обозначают соответственно через SpinB/ + 1,С)
и SpinB/,C). Они не имеют матричной реализации. Груп-
Группа Spin(ra,C) дважды накрывает группу 50(n,Q, то есть груп-
группа 50(га,С) двухсвязна. Центр группы SpinB/ + 1,С) состоит
из двух элементов. Это означает, что группа 5ОB/ + 1,С) не
имеет центра. Центр группы SpinB/, С) является циклической
группой четвертого порядка, если / нечетно, и произведением
двух циклических групп второго порядка, если / четно. Та-
Таким образом, центр группы 50B/, С) имеет два элемента —
±/, где / — единичная матрица. (Более детально о спинорных
группах см. в [10] и [49].)
Алгебрам Ли Ее и Е7 отвечают универсальные накрыва-
накрывающие группы с центром, имеющим соответственно три и два
элемента. Поэтому классы локально изоморфных групп в этих
случаях содержат по две группы. Алгебрам Ли Е8, F4, G2 от-
отвечают универсальные накрывающие, в которых отсутствует
центр.
376 Глава 4
§ 3. Вещественные формы
3.1. Компактные вещественные формы. Полупрос-
Полупростую алгебру Ли д называют компактной, если форма Киллин-
га отрицательно определена на ней, то есть если В{Х, X) < О
для каждого X € 0, X ф 0.
Теорема 1. Каждая комплексная полупростая алгеб-
алгебра Ли имеет компактную вещественную форму.
Доказательство. Пусть g — комплексная полупрос-
полупростая алгебра Ли, а Д+ — множество ее ненулевых поло-
положительных корней относительно подалгебры Картана f). Ес-
Если ai,a2,... ,Q/ — система простых корней из Д+, то соот-
соответствующие им элементы Hai,Ha2,...,На, образуют базис
в \]. Для корней а и —а выберем корневые векторы Еа и Е-а,
для которых В(Еа,Е-а) = 1. Тогда [Еа,Е-а] = На € I)*.
Элементы
Еа, Е_а, а е А+, Hai,... , На, C.1)
образуют базис Картана-Вейля в д. Построим элементы
Еа - Е_а, i(Ea + ?La), a € Д+; Ша1,... , Ша, C.2)
и натянем на них вещественное линейное пространство
Используя сформулированные в § 1 свойства корней и корне-
корневых подпространств, убеждаемся, что коммутаторы элемен-
элементов C.2) выражаются через эти же элементы с вещественны-
вещественными коэффициентами. Поскольку количества элементов в C.1)
и C.2) совпадают, то д* — вещественная форма комплексной
алгебры Ли д. Кроме того,
В(Еа — Е-а, Еа — Е-а) — —2,
В{ЦЕа + Е-а), i(Ea + Е-а)) = -2,
В{Еа - Е-а, \{Еа + Е-а)) = 0,
B(iHaj,iHaj) = -aji
§3. Вещественные формы 377
Поскольку В(Е±а, Е±/з) — О при ±а ± /3 / 0 (рассматрива-
(рассматриваются четыре комбинации знаков), то форма В отрицательно
определена на дк. Поэтому дк — компактная вещественная
форма алгебры Ли д. Теорема доказана.
Выбор подалгебры Картана \] в комплексной полупростой
алгебре Ли д неоднозначен. Разные подалгебры Картана связа-
связаны внутренним автоморфизмом алгебры д (см. теорему 7 в 1).
Внутренний автоморфизм связывает базисы Картана-Вейля,
построенные относительно соответствующих подалгебр Кар-
Картана, а следовательно, и соответствующие компактные ве-
вещественные формы. Справедлива такая
Теорема 2. Если дк и д'к — две компактные вещест-
вещественные формы комплексной полупростой алгебры Ли д, то су-
существует внутренний автоморфизм д, переводящий дк в д'к.
Доказательство этой теоремы приведено, например, в [63].
Согласно этой теореме комплексная полупростая алгебра Ли
с точностью до внутреннего автоморфизма имеет одну ком-
компактную вещественную форму.
Пример 1. Матрицы
Eij, i ф j, Ец — Et+1,,+1, i = 1,2,... , п — 1,
образуют базис Картана - Вейля простой алгебры Ли sf(rc,C). Зна-
Значит, матрицы
Ец - Ец, yf=l{Eij + Ец), i ф j,
образуют базис ее компактной вещественной формы. Все эти мат-
матрицы косоэрмитовы и имеют нулевой след. Более того, всякую
косоэрмитову матрицу размерности п с нулевым следом можно
представить как вещественную линейную комбинацию этих мат-
матриц. Таким образом, компактная вещественная форма алгебры
Ли sl(n, С) состоит из всех косоэрмитовых матриц размерности п
с нулевым следом, то есть является алгеброй Ли su(ra).
Справедливо также такое утверждение: компактная ве-
вещественная форма дк комплексной полупростой алгебры Ли д
является ее максимальной компактной подалгеброй. Справед-
Справедливо и обратное утверждение.
378
Глава 4
Пусть теперь G — комплексная связная полупростая
группа Ли с алгеброй Ли д, а К — ее максимальная компакт-
компактная подгруппа. Пусть д/. — подалгебра в д, соответствующая
подгруппе К. Поскольку компактной подалгебре Ли отвеча-
отвечает компактная подгруппа, и наоборот, то д* — максималь-
максимальная компактная подалгебра в д. Поэтому дк — компактная
вещественная форма алгебры д, а К — компактная веществен-
вещественная форма группы G. Максимальные компактные подгруппы
группы G связаны между собой внутренним автоморфизмом
(доказательство см. в [63]).
Таблица 2
Алгебра
Лид
At
в,
С,
D,
Комплексная
группа Ли G
SL(l + l,Q
50B/+ 1, С)
SP(l,C)
50B/, С)
Максимальная компактная
подгруппа в G
SU(l +1)
50B/ +1)
Sp(l)
50B/)
В таблице 2 для каждой из классических комплексных
простых групп Ли приведены их максимальные компактные
подгруппы.
3.2. Разложение Картана вещественных полупрос-
полупростых алгебр Ли. Пусть д0 — полупростая некомпакт-
некомпактная вещественная алгебра Ли, ад — ее комплексификация.
Пусть 6 — максимальная компактная подалгебра в до- Разло-
Разложение до = 6 + р алгебры до в прямую сумму подалгебры 6
и векторного подпространства р называют разложением Кар-
Картана, если gk = 6 + ip, i — л/—Т, является компактной вещест-
вещественной формой комплексной алгебры Ли д. Ясно, что д*Лдо = t
и igk Л д0 = р.
Доказывается (см., например, [63]), что каждая полупрос-
полупростая некомпактная вещественная алгебра Ли д0 имеет разло-
разложение Картана. Кроме того, если до = 6i + pi и до = 62 + Рг —
два разложения Картана алгебры Ли до, то существует внут-
§3. Вещественные формы 379
ренний автоморфизм (р алгебры до, такой что
Наоборот, если во = t + р — разложение Картана алгебры 0о,
а ¦ф — ее внутренний автоморфизм, то до = Ф($) + *Р(р) —
также разложение Картана.
Пример 2. Пусть д0 = sf(n,lR). Тогда g = sl(n,C). Алгеб-
Алгебра Ли su(n) является компактной вещественной формой алгебры
JIns((n, С). Пересечение
t = Во П su(n) = sl(n, R) П su(n)
натягивается на матрицы E,j—Eji, i < j, то есть является алгеброй
Ли so(n) группы Ли SO{n). Пересечение
р = go П \^Тби(п)
состоит из вещественных линейных комбинаций матриц
Eij + Eji, i < j, En - Ei+i,i+i, « = 1,2,... , n - 1.
Следовательно, р состоит из всех симметрических вещественных
матриц с нулевым следом. Очевидно, что
su(n) Пр = {0}, dimso(n) + dimp = dimsf(n,R) = dimsu(n).
Поэтому su(n) = so(n) + V—Tp и sl(n,R) = so(n) +p — разложение
Картана алгебры Ли sf(n,R).
Имеет место глобальный аналог разложения Картана.
А именно, справедлива такая
Теорема 3. Пусть G — связная полупростая неком-
некомпактная группа Ли с конечным центром, ago — ее алгебра Ли.
Пусть К — максимальная компактная подгруппа в G, at —
соответствующая ей подалгебра в Qq . Если 0о = t + Р ~~ Раз-
Разложение Картана алгебры Qo и & — образ линейного подпро-
подпространства р при экспоненциальном отображении g —> expg,
то G — К&, где черта обозначает замыкание.
Пример 3. Продолжим рассмотрение примера 2. В этом слу-
случае G — SJD(n,R), К — SO(n), а & = ехрр совпадает с множеством
380 Глава 4
вещественных эрмитовых матриц с единичным определителем.
Следовательно, глобальное разложение Картана группы SI/(n,R)
является разложением произвольной вещественной матрицы с еди-
единичным определителем в произведение ее ортогональной и эрми-
эрмитовой частей.
Пусть до, д и Qk — такие, как выше. Тогда
0 = 0о + iflo = вк + Щк, i = л/11!,
где суммы прямые. Эти разложения определяют сопряжения
алгебры 0 относительно 0о и 0*:
а(Х + iY) = X - iY, Х,Г€0О,
т(Х + iY) = X - iY, X,Yegk.
Отображения а и г являются антилинейными автоморфизма-
автоморфизмами, то есть они отличаются от обычных автоморфизмов толь-
только тем, что вместо линейности автоморфизмов имеем анти-
антилинейность
а(аХ + bY) = аа(Х) + ba(Y),
т{аХ + bY) = ат(Х) + br(Y),
где a, b € С, X, Y € 0. Кроме того, а2 = т2 = 1 и от = та.
Отображение в — от является автоморфизмом алгеб-
алгебры Ли 0, называемым инволютпивным автоморфизмом Карта-
Картана2. Он играет важную роль в теории полупростых алгебр
Ли и симметричных римановых пространств. Автоморфизм в
оставляет на месте подалгебры 0О и дк. Поэтому он является
также автоморфизмом в 0О и в 0*. Легко видеть, что, действуя
на 0о = 6 + р и д'к — Е + ip, он оставляет на месте элементы
из Е и умножает элементы из р и ip на — 1.
Наоборот, пусть в — инволютивный автоморфизм
компактной алгебры Ли 0*. Тогда в имеет два собственных
значения — ±1. Если ? и q' — соответствующие собствен-
собственные подпространства, то 0* = ?' + q', V + iq' — веществен-
вещественная некомпактная форма комплексной алгебры Ли 0 и Р + р,
где р = iq' — ее разложение Картана.
2Автоморфизм tp называют инволютивным, если tp2 = 1.
§3. Вещественные формы 381
Таким образом, существует соответствие между вещест-
вещественными некомпактными формами комплексной полупростой
алгебры Ли g и инволютивными автоморфизмами ее компакт-
компактной вещественной формы. Такое соответствие и было исполь-
использовано для классификации вещественных форм комплексных
полупростых алгебр Ли (см. [17]). Эту классификацию мы
сформулируем далее, используя понятие ограниченных кор-
корней вещественных полупростых алгебр Ли.
3.3. Ограниченные корни и корневые подпро-
подпространства Пусть g, go» 0 — такие, как выше, a B(-,-) —
форма Киллинга на до-
Утверждение 1. Прямое разложение до = 6+р является
разложением Картана алгебры Ли до тогда и только тогда,
когда отображение X + Y —> X — Y, X ? Ъ, Y ? р, является
автоморфизмом алгебры до, В(Х,Х) < 0 для X € ?, X ф О,
и B(Y,Y) > 0 для Y € р, Y ф 0.
Доказательство этого утверждения см. в [63], гл. 3.
Введем в д0 билинейную форму
(X,Y) =-B(X,6Y), X,Yego, C.3)
где в — инволютивный автоморфизм Картана. Посколь-
Поскольку вХ = X при X G t и 6Y — —Y при Y € р, то из утвержде-
утверждения 1 вытекает, что (•, •) — положительно определенное ска-
скалярное произведение на до-
Задача 1. Используя то, что вХ = X при X е t и 0Y = —Y
при Y € р, покажите, что
[t,t]Ct, fcpjcp, [MCI. C.4)
Пример 4. Пусть дя — комплексная полупростая алгеб-
алгебра Ли в, рассматриваемая как вещественная алгебра Ли удвоен-
удвоенной размерности, agt — компактная вещественная форма алгеб-
алгебры Ли д. Из утверждения 1 вытекает, что дл = д* + ig* является
разложением Картана для дл-
Пусть а — максимальная коммутативная подалгебра в р.
Доказывается (см. [63]), что все максимальные коммутатив-
коммутативные подалгебры в р имеют одинаковую размерность (они свя-
связаны между собой внутренним автоморфизмом алгебры 0о)-
382 Глава 4
Размерность подалгебры а называют вещественным рангом
алгебры Ли go-
Утверждение 2. Операторы adH, H G а, симметричны
относительно скалярного произведения C-3) в д0.
Доказательство. Из формулы A.1) вытекает, что
B((adX)Y,Z) = -B(Y, (ad X)Z).
Поэтому при Y € 0о и Z € t имеем
((ad H)Y,Z) = -B((adH)Y,6Z) = -B((adH)Y,Z) =
= B(Y,(adH)Z).
Поскольку Н € p и Z € 6, то (adH)Z € p (см. формулу C.4)).
Поэтому
<(ad H)Y,Z) = -B(Y,e[H,Z]) =
Пусть теперь F € go и Z e p. Тогда
{(adH)Y,Z) = -^((adffJF,^) =
Но согласно C.4) имеем [Я, Z] € t. Поэтому 0[Я, Z] = [H,Z]n
{(adH)Y,Z) = -
Утверждение доказано.
Поскольку операторы adH, H G а, коммутируют друг
с другом и симметричны, то они допускают одновременную
диагонализацию. Следовательно, до разлагается в прямую
сумму собственных подпространств операторов ad Н, Н ? а:
flo=flS + ?0o\ C.5)
А
где д" — собственное подпространство с нулевым собствен-
собственным значением для всех операторов ad Н, Н € а (в частнос-
частности, а С д2), a gjj — собственные подпространства с собствен-
собственными значениями \(Н), Н € а. Ясно, что А — линейные фор-
формы на а. Элементы из разных собственных подпространств
ортогональны относительно скалярного произведения C.3).
§3. Вещественные формы 383
Линейные формы Л из формулы C.5) называют ограни-
ограниченными корнями алгебры до относительно а или ограничен-
ограниченными корнями пары (до, а). Подпространства gjj называют
корневыми подпространствами.
Свойства ограниченных корней и соответствующих кор-
корневых подпространств во многом похожи на свойства кор-
корней и корневых подпространств комплексных полупростых
алгебр Ли. Например, [g^Bo] *- 0о+/*> если А 4- ц — корень;
[Во:0оА] С gg и [д^д^] = {0}, если Х + ц^ОиХ + цне
являются корнями. Вместе с корнем А обязательно сущест-
существует корень —А. Ограниченные корни разделяются на. поло-
положительные и отрицательные. Для этого необходимо выбрать
базис Hi,H2,... ,Щ в а (/ — вещественный ранг алгебры до).
Корень А положителен (отрицателен), если первое отличное
от нуля число в наборе A(Hi),A(H2),.-- ,Х(Щ) положительно
(отрицательно).
Однако существуют свойства ограниченных корней, от-
отличные от свойств корней комплексных полупростых ал-
алгебр Ли. Например, корневые подпространства gjj не обяза-
обязательно одномерны. Размерность подпространства д§ называют
кратностью ограниченного корня А. В отличие от комплексно-
комплексного случая, могут существовать кратные корни, отличные от А
и —А. Доказывается, что кратными ограниченными корнями
могут быть 2А, А, —А, —2А (или, что то же самое, А, А/2,
—А/2, —А). Однако для некоторых вещественных полупрос-
полупростых алгебр Ли корень 2А может не существовать.
Как и в комплексном случае, система ограниченных кор-
корней допускает симметрии. Эти симметрии описываются груп-
группой Вейля пары (до, а). Она описывается так же, как в комп-
комплексном случае. А именно, каждому ограниченному корню А
соответствует «зеркальное отражение» S\ в пространстве а*,
состоящем из вещественных линейных форм на о:
Скалярное произведение (ц, А) в а* определяется с помо-
помощью формулы (ц, А) = В(НД, Н\), где Нц б а задается ра-
равенством В{Н„,Н) - ц(Н), Н Еа. Поскольку В(Н,Н) > 0
384 Глава 4
для Н б а, Н ф О, то билинейная форма (ц, А) на а* является
скалярным произведением.
Группу, порожденную отражениями S\ относительно
всех корней А пары (до, а), называют группой Вейля па-
пары (до, а) и обозначают VF(a). Группа W(a) является группой
симметрии системы ограниченных корней, включая их крат-
кратности. А именно, если А — корень пары (до, а) и w e W(a),
то w\ — также корень пары (до,а)? имеющий ту же крат-
кратность, что и А.
Если / — вещественный ранг алгебры Ли до, то I поло-
положительных корней Ai,A2,...,A/ называют простыми, если
каждый ограниченный корень является линейной комбина-
комбинацией корней Ai,A2,... ,A/ с целыми неотрицательными (для
положительных корней) или целыми неположительными (для
отрицательных корней) коэффициентами.
Действуя на простые корни элементами группы Вейля
и беря, если необходимо, удвоенные корни, получим систему
всех ограниченных корней пары (g, a). Чтобы учесть кратнос-
кратности, необходимо для каждого простого корня А,- указать крат-
кратности корней Aj и 2Aj.
Систему ограниченных корней пары (go, a) можно полу-
получить из системы корней комплексификации д алгебры до- Для
этого расширим о до подалгебры Картана I) = ас + 1)о (сум-
(сумма прямая, а ос — комплексификация алгебры а) комплекс-
комплексной алгебры д. Пусть Д — множество всех корней алгебры g
относительно подалгебры Картана \). Выберем в \) базис так,
чтобы он содержал в себе базисные элементы подалгебры о
и чтобы они стояли первыми в этом базисе. Пусть Р —
множество положительных корней из Д относительно этого
базиса. Разобьем Р на две части: Р+ и Р_, причем в Р_
включаем те корни из Р, которые превращаются в нуль при
ограничении на о. Теперь рассмотрим корни из Р+ как ли-
линейные формы на подпространстве о. При этом некоторые
корни а 6 Р+ будут совпадать на а. Полученные линейные
формы на а и являются системой ограниченных корней па-
пары (go, a) с учетом кратностей. Кратность ограниченного кор-
корня А (или 2А) равняется количеству корней алгебры д, которые
при ограничении на а переходят в А (или в 2А). Из алгебры g
можно получить подпространства д„ и д^, входящие в разло-
§3. Вещественные формы 385
жение C.5). А именно, подпространство gg совпадает с
где 0Q — корневые подпространства комплексной алгебры д,
принадлежащие корню а. Подпространство gj, совпадает с пе-
пересечением с до суммы тех корневых подпространств до ал-
алгебры Ли д, для которых ограничения а на а совпадают с А.
Пример 5. В примере 2 мы нашли разложение Картана алгеб-
алгебры Ли sI(n,R). В роли а выбираем множество всех диагональных
матриц из р. Комплексификацией алгебры sl(n,R) является si(n, С).
При этой комплексификации подалгебра а переходит в подалгебру
Картана fj алгебры sl(n, С). Поэтому в а и fj можно выбрать об-
общий базис. Чтобы получить ограниченные корни пары (si(n, R),a),
необходимо сузить на а корни комплексной алгебры si(n, С).
Ясно, что при этом разные корни алгебры sl(n, С) перейдут в раз-
разные ограниченные корни пары (sl(n, R),a). Следовательно, корне-
корневая система пары (sf(n,R), a) совпадает с корневой системой комп-
комплексной алгебры si(n, С). Легко видеть, что и корневые подпро-
подпространства в sI(n,R) и в sl(n,C) имеют те же самые базисные
элементы Eij,i / j.
Пример 6. Пусть qr — комплексная полупростая алгебра
Ли g, рассматриваемая как вещественная удвоенной размернос-
размерности. Форма Киллинга положительно определена на подалгебре fj*
(см. п. 1.3). Поэтому fj* С р и эту подалгебру можно взять за под-
подалгебру а. Пусть
— базис Картана-Вейля комплексной алгебры g, причем Hj € ()*.
Тогда
Hj, \Hj = Hj, l^j^l; E01, \E0j = Efij, l^j^m
— базис вещественной алгебры Ли qr. Ясно, что
[Hj, EPk] = MHj)EPk, [Hj, ЁРк] = E
Поскольку Нк и Ни коммутируют, то отсюда делаем вывод,
что корневая система пары (яд, ()*) совпадает с корневой систе-
системой комплексной алгебры Ли д, но кратности всех корней равны
386 Глава 4
двум. Корневые подпространства натягиваются на базисные эле-
элементы Ерк и Ерк.
Задача 2. Выше мы ввели сопряжение <т комплексной алгебры Ли g
относительно др. Для корня а алгебры д определим корень а." по форму-
формуле а"(Н) = а(а(Н)). Необходимо показать, что при ограничении на о
корни q и а" переходят в один и тот же ограниченный корень па-
пары (во, а).
3.4. Вещественные формы комплексных простых
алгебр Ли. Как показано выше, комплексная простая ал-
алгебра Ли имеет с точностью до внутреннего автоморфизма
одну компактную вещественную форму. Некомпактные ве-
вещественные формы до простых комплексных алгебр Ли д мож-
можно классифицировать, задав простые корни алгебры д и прос-
простые корни А,- пары (до, о) и указав кратности т(А,) и mBAj)
корней Xi и 2Aj. Эта классификация для простых классичес-
классических алгебр Ли приведена в табл. 3, в которой также указаны
соответствующие вещественные простые группы Ли. Прос-
Простые корни алгебры д обозначены черным кружком, если они
принадлежат Р_, и белым — если Р+. Простые корни а
и а" алгебры g соединены двусторонней стрелкой (они пере-
переходят в один и тот же ограниченный корень). Простые огра-
ограниченные корни соединены одной, двумя или тремя линиями
в зависимости от угла между ними A20°, 135° или 150° соот-
соответственно). Между несоединенными корнями угол равняет-
равняется 90°. Длины .корней в табл. 3 не указаны. Они определяются
следующими правилами. Корни, соединенные одной линией,
имеют одинаковую длину. Если корни соединены двумя (тре-
(тремя) линиями, то квадрат длины одного из них в два (три)
раза больше квадрата длины другого. Чтобы определить, ка-
какой из корней короче, линии, соединяющие корни разной дли-
длины, снабжены стрелками. Стрелка направлена в сторону мень-
меньшего корня. В табл. 3 / — ранг комплексной алгебры Ли д,
а 1+ — вещественный ранг вещественной алгебры Ли д0. Если
ранг алгебры д равняется вещественному рангу алгебры до,
то вместо /+ пишем I.
Видно, что система простых корней (без учета кратнос-
тей) каждой из вещественных форм до совпадает с систе-
системой простых корней некоторой комплексной простой алгеб-
алгебры Ли. В таких случаях имеем совпадение соответствующих
§3. Вещественные формы 387
Fpynn Вейля. Приведенные в табл. 3 данные позволяют (с по-
помощью группы Вейля) восстановить всю систему ограничен-
ограниченных корней с кратностями.
3.5. Классификация вещественных простых групп
и алгебр Ли. Классификация вещественных простых ал-
алгебр Ли задается такой теоремой:
Теорема 4. Вещественные простые алгебры Ли исчер-
исчерпываются с точностью до изоморфизма такими классами ал-
алгебр Ли:
(а) компактные вещественные формы простых комплекс-
комплексных алгебр Ли;
(б) некомпактные вещественные формы простых комплекс-
комплексных алгебр Лщ
(в) простые комплексные алгебры Ли, рассматриваемые как
вещественные алгебры Ли удвоенной размерности.
Доказательство этой теоремы приведено в [17].
Классификация вещественных простых алгебр Ли клас-
классов «а» и «в», а также классификация вещественных форм
простых классических комплексных алгебр Ли приведена вы-
выше. С вещественными формами простых комплексных ал-
алгебр Ли Е6, E7,Es,F4,G2 можно ознакомиться в [17].
Чтобы получить классификацию вещественных простых
групп Ли (с точностью до локального изоморфизма), доста-
достаточно для каждой из вещественных простых алгебр Ли най-
найти одну соответствующую ей связную группу Ли. Как по
простой группе Ли найти класс локально изоморфных к ней
групп Ли, описано в гл. 3. Простые группы Ли, соответствую-
соответствующие вещественным формам классических комплексных прос-
простых алгебр Ли, приведены в табл. 3.
3.6. Разложение Ивасавы. Разложение Ивасавы ве-
вещественной некомпактной полупростой алгебры Ли играет
важную роль в теории представлений. С помощью этого разло-
разложения строятся индуцированные представления этой группы.
Пусть до — вещественная некомпактная полупростая ал-
алгебра Ли, go = t + р — ее разложение Картана, а о — макси-
максимальная коммутативная подалгебра в р. Пусть Д — система
Таблица 2
to
оо
Тип
Алгебры Ли
Простой корень комплексной
Алгебры Ли в
Простой ограниченный корень
пары (во, а)
т(А<)
гоBА()
Соответствующая
группа Ли
AI
АН
АШ
AIV
BI
ВП
CI
СП
DI
DI
DII
Dili
а,а2
A3
(г:т>
а,а2
a,a.2 a.
«1«2 «I,
«1«2
ata2
У>
«1
Я, ^
Я,
1 ^^ /+
(/=2/^.-1 ,/+>2)
Я,
о—о- •¦• —а=>о
о—о- -•- —о=>о
\
(/=2/, , /+>2
(/=2/ +1, / >2)
5{/*BJ++2)
2 при i < I-).,
2A - 2J+ + 1)
при г — 1+
2 при i < i
1 при г = 1
2(i -1)
1 при s < l+,
при г = 1+
21-1
1
SOo(J+,2J-J+
5O0(l,2J)
4 при
4A-
при «
4 при
3 при
1 при
2A-
при г
1 при i
2 при i
21+)
= '+
;<i+,
« = '+
i < i+,
-'+)
<l-h
= 1-1
0
3
0
0
0
0
0
0
21-1
4 при г < /+,
1 при i = I+
4 при t < '+,
4 при t = !+
50o(l- 1,
SOoBJ-l,l)
5O*DJ++2)
о
Таблица 2
to
оо
Тип
Алгебры Ли
Простой корень комплексной
Алгебры Ли в
Простой ограниченный корень
пары (во, о)
т(\{)
гоBА()
Соответствующая
группа Ли
AI
АН
АШ
AIV
BI
ВП
CI
СП
DI
DI
DII
Dili
A3
a,a2
«1«2 «1,
«1 «(,1 «I.
«1«2 «I.
a, «2
¦¦-<
•¦¦-о
«/1
Я,
Л| Л^
о—о- --¦
1 ^^ /+
A=21-1 ,/+>2)
о—о- -¦- —а=х>
(/=2/, , /+>2
5{/*BJ++2)
(/=2/ +1, / >2)
2 при t < (+,
2A - 21+ + 1)
при i — 1+
2 при i < !+,
1 при г = 1+
2(i - 1)
1 при s < l+,
при г = 1+
2J-1
1
4 при i < J+,
4A - 21+)
при « = 1+
4 при i < I+,
3 при t = 1+
1 при i < i+
2A-1+)
при i = I+
1 при i < I — 1,
2 при « = I - 1
21-1
4 при г < /+,
1 при i = I+
4 при t < '+,
4 при t = !+
5O0(l+,2J-J+
SOo(l,2J)
50o(l- 1,
50oBl-l,l)
SO* D1+)
SO*DJ++2)
О
390 Глава 4
всех ограниченных корней пары (до>а)> а Д+ — положитель-
положительные корни из Д. Образуем суммы
S
* = Y, во» n"= J2 воА-
А€Д+ А€Д+
Поскольку [gA,flo] с 0о+М' то п и п~ — нильпотентные под-
подалгебры Ли в до- Можно показать, что они являются макси-
максимальными нильпотентными подалгебрами в до-
Теорема 5. Имеет место разложение до = 6 + о + п, где
сумма прямая.
Доказательство этой теоремы приведено в [63]. Разложе-
Разложение go = t+ а+п называют разложением Ивасавы алгебры до-
Пусть теперь G — связная группа Ли с конечным цент-
центром, имеющая алгебру Ли go, a К — максимальная компакт-
компактная подгруппа в G с алгеброй Ли t. Пусть, далее, N = ехрп
и А = ехр а — аналитические подгруппы в G с алгебрами Ли п
и а соответственно.
Теорема 6. Каждый элемент g б G однозначно разлага-
разлагается в произведение g = hnk, где h 6 А, п 6 N, к ? К. Кроме
того, отображение (h,n,k) >-> hnk ? G является аналити-
аналитическим диффеоморфизмом многообразия AxN хК (декартово
произведение) на G. Подгруппы А и N связны и односвязны.
Доказательство теоремы можно найти в [63]. Разложение
элементов группы G в произведение элементов подгрупп А, N
и К называют разложением Ивасавы. Оно является глобаль-
глобальным аналогом разложения Ивасавы для алгебры Ли до-
Пример 7. В примере 5 мы нашли корни и корневые подпро-
подпространства алгебры Ли sI(n,R). При этом в качестве подалгебры а
выбрана подалгебра всех диагональных матриц из sI(n,R). Ясно,
что при определенном выборе положительных корней подалгебра п
совпадет с множеством верхних треугольных матриц с нулями на
главной диагонали. Поскольку t = so(n), то разложение Ивасавы
алгебры Ли si(n,R) является разложением матриц в сумму косо-
симметричной, диагональной и верхней треугольной (с нулями на
главной диагонали) матриц. Подгруппа N = ехр п группы SL(n, R)
состоит из верхних треугольных матриц с единицами на глав-
главной диагонали, А = expo состоит из всех диагональных матриц
§3. Вещественные формы 391
из SL(n,R). Разложение Ивасавы для группы SL(n,M) является
разложением вещественных матриц с единичным определителем
в произведение ортогональной, диагональной и верхней треуголь-
треугольной матриц.
Пример 8. Приняв обозначения примера 6, разложение Ива-
Ивасавы алгебры дд можно записать в виде qr = t + t)" + п, где n —
максимальная ^ильпотентная подалгебра, натянутая на базисные
элементы Еа,Еа с положительными корнями а. Разложение Ива-
Ивасавы группы Ли SX(n,C) является разложением матриц в произ-
произведение унитарной, диагональной (с положительными элементами)
и верхней треугольной (с единицами на главной диагонали) мат-
матриц.
Разложение Ивасавы группы G записывают также в ви-
виде G = ANK. Подгруппа AN разрешима. Она является по-
полупрямым произведением своих подгрупп А и N. Поэто-
Поэтому AN = NA. Это означает, что разложение Ивасавы можно
записывать, также в виде G = NAK. Поскольку
G = G~X = (ANK)-1 = K~1N-1A-1 = KNA,
то разложение Ивасавы также записывают как G = KNA
или G = К AN.
Пусть G = К AN — разложение Ивасавы группы G, a g0 =
= 6 + р — разложение Картана ее алгебры Ли, где t — алгебра
Ли подгруппы К. Разложению до = t + p, как мы видели, со-
соответствует глобальное разложение G = -ЙГ58, где & — ехрр.
Теорема 7. Пусть в — инволютшный автоморфизм
Картана алгебры Ли д, связанный с разложением g = t + р,
а в — соответствующий ему автоморфизм группы G. Для
каждого s 6 AN определим отображение
ip: s i-> Q^s-1.
Тогда 0(s)s~1 6 & и, кроме того, ф является диффеоморфиз-
диффеоморфизмом группы AN на 9.
Доказательство этой теоремы можно найти в [63].
В заключение этого пункта заметим, что разложения
Ивасавы полупростых групп Ли применяют для изучения
связности этих групп. Действительно, выше упоминалось,
392 Глава 4
что подгруппы А и N связны и односвязны, а отображе-
отображение (Л, п, к) i-> hnk 6 С? является аналитическим диффеомор-
диффеоморфизмом многообразия Ах N х К на G = AN К. Это означает,
что связность группы G определяется связностью подгруп-
подгруппы К. Если подгруппа К односвязна (n-связна), то такой же
является и группа G. Это дает удобный способ для опреде-
определения связности группы G и для нахождения универсальной
накрывающей для G.
Для того чтобы определить связность подгруппы К учи-
учитываем связность групп SU(n), SO(n) и Sp(n). Связность по-
последних совпадает со связностью комплексных групп SL(n, С),
SO(n, С) и Sp(n, С) соответственно. Они определены в п. 2.6.
Группа U(l) ~ SOB) бесконечносвязна, то есть она име-
имеет универсальную накрывающую, которая накрывает ее бес-
бесконечное число раз. Из этого замечания видно, что груп-
группы SU(p,q), SOo(p,2), Sp(n,R), S0*Bn) имеют универсаль-
универсальные накрывающие, которые накрывают их бесконечное число
раз.
§ 4. Аффинные алгебры Ли
и алгебра Вирасоро
4.1. Нетвисторные аффинные алгебры Ли. Пусть
0 — комплексная простая алгебра Ли, I) — ее подалгебра Кар-
тана, Д — множество всех корней алгебры g относительно!),а
0 = Ь +
— разложение алгебры g в сумму корневых подпространств.
С помощью алгебры д построим бесконечномерную алгеб-
алгебру Ли. Для этого используем алгебру С[?, t~*] многочленов Ло-
Лорана. Элементами алгебры C[t, t~1] являются функции
m>0
где только конечное число коэффициентов отлично от нуля.
Функции D.2) являются многочленами от t и t~l. Алгебраи-
Алгебраическими операциями в алгебре С^,*"] служат обычные ум-
умножение и сложение функций.
§ 4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 393
Образуем так называемую алгебру Ли петель
коммутационные соотношения в которой задаются формула-
формулами
[P®X,Q®Y]0=PQ®[X,Y], P.QeQM-1], Х,?<Ев.
D.3)
Если Xi,X2,.- ¦ ,Хп — базис алгебры д, то элементы
l®Xt, tk®Xi, Гк®Хи » = l,2,...,n; fc = l,2,...,
D.4)
образуют базис алгебры петель L(g).
Выполним центральное расширение алгебры Ли L(g). Для
этого введем в С[?, Г] линейный функционал Ф, действую-
действующий на элементы D.2) согласно формуле Ф(Р) = bi. С его
помощью определяем билинейную форму В на C[t, t^1]:
(^) D.5)
Легко проверить, что
), D.6)
, R) + ®{QR, P) + ®{RP, Q) = 0. D.7)
Форма Киллинга В на алгебре Ли g имеет свойства сим-
симметричности и инвариантности:
B(X,Y) = B(Y,X), B([Z,X],Y) = -B(X,[Z,Y]) D.8)
(см. п. 1.1). С помощью форм З&иВ соответственно на <C[t, t~l]
и g строим билинейную форму В на L(g). На элемен-
элементах Р ® X ? L(g) определяем ее формулой
B{P®X,Q® Y) = Б(Х,Г)Ф { V±-
394 Глава 4
и распространяем на всю алгебру L(g) согласно линейности.
В частности,
B(tm ® X, tn ® У) = тп6т-пВ(Х, Y). D.9)
Из формул D.6)-D.8) вытекают свойства коцикличности
формы В:
В(а,Ь) = -В(Ь,а), а,Ь е Цд), D.10)
В{[а,Ь]0,с) + В([Ь,с]0,а) + В([с,а]0,Ь) = 0, а,Ь,сеЦд),
D.11)
что дает возможность сделать расширение алгебры Ли
с помощью центрального элемента с. Мы получаем новую ал-
алгебру Ли Цд) = L(g) ©Cc, коммутационные соотношения [•, •]
в которой задаются формулой
[а + ас,Ь + /Зс] = [а,Ь]о + В(а,Ь)с, а,ЬЕ Цд), а,/ЗеС,
D.12)
где [а, Ь]о — коммутатор в L(g), а В — введенная выше били-
билинейная форма на L(g). В частности,
[tm ® X + ас, tn ® Y + 0с] = tm+n ® [X, Y] + т6т^пВ(Х, Y)c.
(Предлагаем читателю с помощью формул D.10) и D.11) про-
проверить, что коммутатор D.12) антисимметричен и удовлетво-
удовлетворяет тождеству Якоби, то есть что Цд) действительно явля-
является алгеброй Ли.)
Для построения аффинной алгебры Ли д, соответствую-
соответствующей простой алгебре Ли д, проведем дальнейшее расширение
алгебры Цд). Присоединим к L(g) элемент d — t-fj-, задавая
коммутатор для d с с и элементами из Цд) формулами
[d, Р ® X] = ~[Р ®X,d] = t^j- ® X,
§ 4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 395
Таким образом, аффинная алгебра Ли в — это бесконечномер-
бесконечномерное линейное пространство
В = Цд) © Сс © Cd,
в котором коммутатор задается формулой
[(tm ® X) + ac+fid, (tn ® Y) +
= [{tm ® X) + ас, (tn ® F)
= tm+n ® [X, F] + »n{tn ® Y) -
- /г'тпЦ О X) + т6т-пВ(Х, Y)c. D.13)
Аффинные алгебры Ли в> соответствующие простым
комплексным алгебрам Ли At, Bi, Ci, Di, E6, E7, E8, F4, G2,
обозначают соответственно через
Их называют нетвисторными. (Для них используется так-
также название нескрученные аффинные алгебры Ли.) Твисторные
аффинные алгебры Ли построены ниже.
4.2. Корни и корневые подпространства нетвис-
торных аффинных алгебр Ли. Пусть \) — подалгебра
Картана комплексной простой алгебры Ли д. Тогда
Г) = Г) + Сс + Cd
— максимальная коммутативная подалгебра соответствую-
соответствующей аффинной алгебры Ли д. В п. 1.4 мы ввели простран-
пространство t)'R линейных форм на I). Расширим формы А из \)'R на
все пространство Ц, положив А(с) •= A(d) = 0. Введем также
линейную форму S на fy, считая, что
S(d) = l, 6(c)=0, 6(Н)=0 при Hei)-
Получаем пространство \)'R — t)'R + Ш6 линейных форм на \).
Как и в случае полупростых комплексных алгебр Ли, аф-
аффинные алгебры Ли можно разложить в пряму^о сумму в =
= \) + ?}За корневых подпространств, где A G \)'R. В отличие
396 Глава 4
от комплексных полупростых алгебр Ли у аффинных алгебр
корневые подпространства дд многомерны, а число этих под-
подпространств бесконечно. Таким разложением является
-у€Д
где система корней Д совпадает с
Д = {т6\ та eZ,m^0}U {тб + а | та Е Z, а Е Д}, D.15)
а корневые подпространства задаются формулами
D.16)
причем Z ¦— множество всех целых чисел, Д — множество
всех корней алгебры Ли д, да — корневые подпространства
этой алгебры. Действительно, непосредственная проверка по-
показывает, что для всех a Е g^ и ft € \) имеем [ft, а] = ^(h)a. To,
что сумма в правой части разложения D.14) прямая, вытекает
из сравнения корневых подпространств D.16) с базисом D.4).
Из D.16) видно, что
dimgm5 = I, dimgm5+o = 1, D.17)
где I — ранг (размерность подалгебры Картана) алгебры Ли д.
Корни те + а, а Е Д, называют вещественными, а кор-
корни те — мнимыми.
Легко проверить, что подалгебра
Ж = Y, втпб + <СС
алгебры g изоморфна бесконечномерной алгебре Гейзенберга.
4.3. Простые корни и схемы Дынкина. В системе
корней Д можно выделить систему П простых корней, то есть
таких, что каждый корень 7€ Д представляется в виде сум-
суммы корней из П только с положительными или только с отри-
отрицательными целыми коэффициентами. В первом случае корни
называют положительными, а во втором — отрицательными.
§4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 397
Чтобы задать простые корни алгебры д, заметим, что сре-
среди положительных корней простой алгебры Ли g есть такой
корень в, что все остальные корни из Д получаются путем
вычитания от в простых корней. Из результатов 1ш. 2.2-2.5
легко выводится, что если корни записаны с помощью введен-
введенных в этих пунктах векторов е*, то для классических простых
алгебр Ли Ai,Bi,Ci,Di корень в имеет вид
для алгебры Ai : в = е1— ej+i,
для алгебры Bt : в = ех + е2,
для алгебры Ci : в = 2е%,
для алгебры Di : в = ei + ег-
Легко проверить, что система простых корней П аффин-
аффинной алгебры Ли g состоит из корней
ао = ё — в, cti, a2,--- ,оц,
где а.\, а2, ¦ ¦ ¦ ,сц — простые корни простой алгебры Ли д. За-
Заметим, что
ao(d) = l, ai(d)=0, i = l,2,...,l. D.18)
Построим для д систему порождающих элементов, анало-
аналогичных порождающим элементам простой алгебры Ли д, при-
приведенным в теореме 9 1. Для этого в корневых подпростран-
подпространствах де и д_е алгебры д выберем элементы Eg и 25_р, такие
что В(Ее,Е—е) = 2/(в,в), и положим
[Ед, Е-.д] = Нд.
Введем элементы
е0 = t ® Е-в, /о = t~x ® Ев.
Тогда в алгебре (j имеет место соотношение
398
Глава 4
Теперь пусть Щ,Е^ Ft, i=1,2,... , /, —- элементы простой
алгебры Ли из теоремы 9 § 1. Рассмотрим в д элементы
D.19)
(в, в)
с -
, е0 = t ® Е_в, /0 = Г
D.20)
Матрицу
А = («ij)',i=o = (aj(hi))li,j=
называют матрицей Картана аффинной алгебры $j. Элемен-
Элементы D.19) и D.20) порождают алгебру д, причем для них вы-
выполняются коммутационные соотношения
, hj] = 0, [еи fj] = бфг,
, ej] = aij-ej, [hi, fj] = -a
de;I-"^ - 0,
= 0,
D.21)
Более того, эти соотношения (при заданной матрице Картана)
определяют аффинную алгебру (j с точностью до изоморфизма
однозначно.
Пример 1. Простыми корнями аффинной алгебры А\,1 > 1,
являются
сио = S — (e*i + е*2 + ... + оц), t»i, е*2,... , оц.
Корни
к(а0 + ... + а;-!) + (к ± 1)(а4 + ... + aj-i) + к(а, + ... + а,),
к = 1,2,3,..., (Ki^j^J,
положительны. Матрица Картана алгебры А} имеет вид
/2-1 0 ... О 0 -1 \
-1 2 -1 ... О О О
О 0 0 ... -1 2-1
-1 0 0 ... 0-1 2 )
§4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 399
Пример 2. Аффинная алгебра Ли А\ имеет простые кор-
корни ао = 8 — e*i иаь Положительные корни исчерпываются кор-
корнями
[к - 1)* + e*i = [к - \)а0 + ксц,
kS — <*i = косо + (к — l)e*i,
кб = кад + ка\.
Матрица Картана имеет вид
Как и в случае комплексных полупростых алгебр Ли, аф-
аффинные алгебры g можно характеризовать схемами Дынкина,
которые состоят из простых корней алгебры Ли д. Простые
корни изображаем кружочками. Корни сц и аг- соединяем \а^\
линиями, где a{j — соответствующий элемент матрицы Кар-
Картана. Если \a.ij\ > 1, то корни сц и ctj соединяем стрелкой, на-
направленной в сторону корня а,-. Разместив корни а\, а.ъ, ¦¦• ,ац
так, как в случае полупростой алгебры Ли д, а корень ао —
слева, получаем .такие схемы Дынкина:
в11], i > з
,A), I > 2
•41)
*2
2 1
400
1 2 3 4 5 6 4 2
Числа ao,ai,... ,(ц возле соответствующих простых корней
схемы Дынкина определяют линейную форму 6:
S = аоа0 + aiai + ... + ajaj,
а следовательно, и корень в простой алгебры Ли д:
в = 8 — а>о — u\ol\ + • ¦ ¦ + ЩЩ
(мы учли, что на всех диаграммах а0 = 1).
4.4. Алгебра Вирасоро. В п. 4.1 мы ввели алгеб-
d
icibyei uuepaiup и = щ> — ь
Введем в L(q) также операторы
РУ L{q)=L(q)(BCc, в которой действует оператор А = do = t .
at
ds=t*+1it' d«(c)=0, e = 0,±l,±2,...
Очевидно, что эти операторы являются дифференцирования-
дифференцированиями алгебры Ли -L(g), то есть что
ds[a,Ь]о = [d,(а),Ь}0 + [a,ds{b)]0, а,Ь Е L(g).
Покажем, что ds является дифференцированием алгебры
Ли L(q). Поскольку с — элемент центра, то достаточно по-
показать, что
ds([a + \с,Ь + Мс]) = [d.{a),Ь] + [a,ds{b)}, а,Ь Е Цд). D.22)
Вследствие определения коммутатора [•, •] в L(q) получаем
d.{[a + \с,Ь + fj,c]) = d,([a,b]o) = [ds{a),b]0 + [a,ds{b)]0.
D.23)
Чтобы доказать равенство D.22), достаточно показать, что
правые части в D.22) и D.23) равны друг другу, то есть что
выполняется тождество
§4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 401
Справедливость этого тождества показывается непосредст-
непосредственной проверкой. Следовательно, операторы ds,s = 0, ±1,
±2,... являются дифференцированиями алгебры Ли L(g).
Образуем линейное пространство
оо
СИ- D-24)
и введем в нем операцию коммутирования
[di,dj]0 = didj -djdi.
Используя вид операторов ds, находим
[*, «У о = U - i)di+j, i,з = 0, ±1, ±2,... D.25)
Эта операция коммутирования превращает V в бесконечно-
бесконечномерную алгебру Ли.
Построим центральное расширение Vir алгебры Ли V, до-
добавив к ней центральный элемент с:
Vir = V Ш Сс.
Коммутатор в Vir вводим формулой
[di,dj] = [4,d,-]o + ±(f - j)Si,-iC =
= U - i)di+j + ±(f - зNг,чс D.26)
Прямые вычисления показывают, что билинейная форма
B(di,dj) = АС?3 — j)Si,-j удовлетворяет условиям коциклич-
ности D.6) и D.7), то есть, что формула D.26) в действитель-
действительности является коммутатором (удовлетворяет условию анти-
антисимметричности и тождеству Якоби). Построенную алгебру
Ли Vir называют алгеброй Вирасоро. Она играет важную роль
в современной теоретической физике.
Алгебру Ли D.24) можно трактовать как комплексифи-
кацию алгебры Ли VectS1 вещественных векторных полей
на окружности S1. Элементами алгебры VectS1 являются
402 Глава 4
формы fF)-*k, где / — гладкие функции с вещественны-
аи
ми значениями, причем в — параметр на окружности S1
и /(в + 2тг) = fF). Коммутатор для таких векторных полей
задается формулой
где штрих обозначает производную. Векторные поля
j-r (созпв)-^, (sinn0)^, n = 1,2,3,..., D.28)
образуют базис алгебры VectS1. Переходя от этого базиса
к элементам
dn = i(exp тв) -§, = -zn+1 -f, z = exp W,
at) az
D.29)
получим базис комплексификации алгебры Vect S1, то есть ба-
базис алгебры V.
Алгебру VectS1 можно рассматривать как алгебру Ли
бесконечномерной группы G = DiSSx, элементами которой
являются диффеоморфизмы окружности S1, сохраняющие
ориентацию. Групповой операцией в G является последо-
последовательное выполнение (умножение) диффеоморфизмов. Ес-
Если / — элемент векторного пространства C°°(S1) гладких
комплексных функций на S1, то 7 ? G действует на C°°{S1)
по формуле
тG)/(*) = /G-1*)- D-30)
Чтобы показать, что Vect 51 действительно является ал-
алгеброй Ли для G, допустим, что 7 — элемент из G, близкий
к единице. Тогда
D.31)
§ 4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 403
где осуществлено разложение Лорана функции e(z). Тогда
f; enzn+\ D.32)
п=—оо
Поэтому
где d,, определяются формулой D.4). Это показывает, что ал-
алгеброй Ли группы DiffS1 является Vect5x.
Заметим, что группой Ли нетвисторной алгебры Ли в,
отвечающей простой алгебре Ли д, является так называемая
группа токов, состоящая из гладких комплексных функций со
значениями на группе Ли G, имеющей g своей алгеброй Ли.
4.5. Твисторные аффинные алгебры Ли. Такие ал-
алгебры Ли являются подалгебрами нетвисторных аффинных
алгебр д. Они выделяются с помощью автоморфизмов а со-
соответствующей простой алгебры Ли д, таких что ат — 1,
т е Z+. Если а — такой автоморфизм алгебры Ли д, то д
раскладывается в прямую сумму его собственных подпрост-
ранств, принадлежащих собственным значениям е^=ехр
m-l
0=фв;- D-34)
При этом
[flfcrflr] С я„ D.35)
где s = (k + r)(modm). В частности, во — подалгебра Ли в д.
Пусть L(g) = C[t,t-1] ® g — алгебра Ли, построенная
оо
в п. 4.1. Ее можно представить в виде L(g) = ^ (f ® д).
Вследствие формулы D.35) подпространство з=—°°
j=-oo
404 Глава 4
имеет свойство
[L(g,tr),L(g,tr)]0 С
и потому является подалгеброй в L(g). Соответствующая
твисторная аффинная алгебра Ли совпадает с алгеброй
Твисторные аффинные алгебры Ли строятся с помощью
так называемых схемных автоморфизмов алгебры Ли д. Такие
автоморфизмы отвечают симметриям соответствующих схем
Дынкина. Из перечисленных в п. 2.1 схем Дынкина простых
алгебр Ли вытекает, что симметрии допускают схемы Дын-
Дынкина алгебр Ли Ai (перенумерация простых корней в обрат-
обратном порядке), Di,E6,D4,F4, (?2, причем симметрии для алгебр
Ли Ai,Di,Eg, F4, Gi имеют порядок 2, а для алгебры ?>4 — по-
порядок 3. Соответствующие автоморфизмы алгебр Ли обозна-
обозначаем через ц. Пусть Е\ = E'Oi, F/ = E'_Oi, Щ, i = 1,2,... , I, —
порождающие элементы алгебры Ли д из теоремы 9 в § 1. Ав-
Автоморфизм fi определяется формулами
i) = Я.м(а4), i = 1, 2, ...,/.
Для автоморфизмов порядков 2 и 3 имеем соответственно раз-
разложения
0 = 0o + 0i, 0 = 00 + 01+02- D.36)
Построим подалгебру до отдельно для каждой из алгебр
Ли А-а, А-я-х, Dt-i, ?>4- Для этого достаточно задать порож-
порождающие элементы этой подалгебры.
Алгебра А-ц. В этом случае p,{a.i) — ct2i-i+i- Базисные
элементы подалгебры до имеют вид
= V2(E't
§4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 405
Алгебра Аы-х. Здесь /x(c*i) = аи-,. Для базисных эле-
элементов подалгебры д0 имеем
Алгебра ?>j+i- Теперь ц{сч) = a,-, i = 1,2,... ,J — 1,
) = aj+1, (j,(oti+i) = aj. Поэтому для базисных элементов
в go имеем
= Н[ + -Hj'+i, Ei — E[ + E'[+1, Ft = F{ + F{+1.
Алгебра D^. Имеем /x(ai) = е*4, /х(аг) = a-i, м(с*з) = «i,
fj,(ot4) = аз (корень аг соединен с каждым из корней ai, аз, а^).
Базисные элементы подалгебры до имеют вид
Нх = Н[ + Н'ъ + Н'4, Ei = Е[+ Е'3+ Е'4,
Fi = F{+ Fg + F'A, Hi = Щ, Ei—E'^ F2 = F^.
В каждом рассмотренном случае подалгебра go проста.
Подпространство f)o — ^2CHi является подалгеброй Картана
i
в до- Простые корни алгебры до относительно этой подалгеб-
подалгебры, отвечающие корневым элементам Ei,F{, будем обозначать
через Pi.
Из формулы D.35) вытекает, что
[flO)flo]Cgo, [g<hfli]Cgi, [go,g2]Cg2-
Поэтому ограничения присоединенного представления ad ал-
алгебры Ли g на подалгебру до приводимо. Обозначим соответ-
соответствующие представления алгебры до в gi и дг через То и Т\.
Справедливо такое
Утверждение 1. Представление То неприводимо. Оно
эквивалентно представлению Т\ {если оно существует). Под-
Подпространство gi разлагается в сумму корневых подпрост-
подпространств относительно подалгебры Картана fo подалгеб-
406
Глава 4
ры во: 01 = 0° + S 0А (А — ненулевые линейные формы на fH).
А
Подпространства 0д одномерны. Среди форм А существует
точно одна форма во = Y1 аФ* (г&е а« — целые неотрицателъ-
i
ные числа), такая что любая другая форма А получается из в0
вычитанием простых корней fa. Для подпространства д2 раз-
разложение в сумму корневых подпространств и форма во имеют
такой же вид, как для 0i- Система простых корней /% и со-
соответствующие числа at задаются таблицей 4.
Предлагаем читателю доказать это утверждение для каж-
каждой из перечисленных алгебр Ли 0.
Алгебра
A2i i^\
A2i—1? I
Di+1,l
E6
Щ
Лид
?2
^3
^2
Таблица
Алгебра Ли
в,
Q
в,
F4
G2
4
00
Корневая система
и числа а;
2
О—
1
О—
1
о—
2
—о—
2
—0
1
—О
1
о
2
0
2 3
—а=х>—
1 2
2
-О—
-О—
-о—
2
-О
2
—а=
2
-с*
1
—О=
2
1
1
Разложения пространств 0i и 02 в сумму собственных
подпространств операторов ad H,H e fH, из формулировки
утверждения 1 запишем в виде
Легко видеть, что вместе с формой 7 множество
форму —7 и
содержит
§ 4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 407
Поскольку представления То и Ti эквивалентны, то dimg^o =
= dim02,o- Справедливо равенство
diml) = dim^o + dimglj0 + dim 02,0
(последнее слагаемое присутствует только для алгебры D4,
когда автоморфизм (J, имеет порядок 3). Поэтому если
N — diml) = rank0, I = dimfjo = rank0o,
то
dimfll>0=iV-Z, D.38)
если fJ, имеет порядок 2, и
dim0ljO = dim02,o = \(N - I), D.39)
если fj, имеет порядок З.
Введем инвариантную билинейную форму
(;-) = сВ(;-), С> 0,
на 0 так, чтобы для элемента На, соответствующего длинно-
длинному корню а алгебры 0, имели (На,На) = 2к, где к — поря-
порядок автоморфизма р, (к = 2 или к = 3). Ограничим форму (•, •)
на 1)о и образуем такое отображение v из 1)о в пространство fH
линейных форм на f)o, что
ИЯ))(Я') = (Я,Я'), Я, Я1 €1,0-
Это отображение устанавливает взаимно однозначное соответ-
соответствие между элементами из 1)о и I)q-
Выберем в %\#а и 01,-во такие элементы Ее и Fe (е = I для
алгебры 0 = А-а и е = 0 для других алгебр), что (?Je,FE) = 1.
Положим
(можно показать, что НЕ — —v~1{6o))- Теперь можем по-
построить порождающие элементы твисторной алгебры Ли ??(//),
408 Глава 4
где д — одна из рассмотренных выше алгебр Ли (то
есть g = Л21, A21+1, ?>i+i, D4). Положим
q(ji) = L{g, fj) ® Сс Ф (И, где Цд, ц) =
J=-OO
(fe — порядок автоморфизма р). Пусть f) = f)o ® Сс ® Cd. Тог-
Тогда f) — максимальная коммутативная подалгебра вд(/х). Опре-
Определяем линейную форму 6 на f), положив 6(d) = 1 и 8(Н) = О
для Н е f)o ф Сс.
Рассмотрим элементы
/е = Г1 ® Яе, D.40)
/i = l®Fi5 D.41)
где е = / для g = A21 и е = 0 для других алгебр, а г пробегает
значения 0,1,2,... ,1 без значения е. Справедливы коммута-
коммутационные соотношения
[d, fi] = Я4, [ее, Д] = с - ^(во). D.42)
Элементы
ej. /j. Я,-, j =0,1 /, D.42')
где Не = с — ь*"^), порождают аффинную алгебру
Корневое разложение алгебры в(/х) имеет вид
D.43)
где корневая система Д совпадает с
e Z,je Дг, D.44)
где s = r(mod Л), г = 0,1,... , к — 1},
причем Дг совпадает с корневой системой До алгебры go,
если г = 0, и корневой системой Ai из формулы D.37), ес-
если г ф 0. Корневые подпространства в(//)а из D.43) имеют
§ 4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 409
вид
= t" ® 0s(mod*),O, D-45)
D.45')
где дг,у,г = 1,2, определяются формулой D.37), а до,-у — кор-
корневые подпространства в до и до,о = Ьо-
Корни
являются простыми, то есть такими, что каждый корень из Д
представляется в виде линейной комбинации корней D.46)
с целыми неотрицательными (для положительных корней) или
целыми неположительными (для отрицательных корней) ко-
коэффициентами. Как н в случае нетвисторных аффинных ал-
алгебр Ли, корни делят на мнимые и вещественные.
Если Но,Hi,... ,Hi — элементы из формулы D.42'), то
матрицу
А = (ati)'i)i=0 = (аДНО)'j=e D-47)
называют матрицей Картана аффинной алгебры д{ц).
Построенные аффинные алгебры Ли д~(ц), где д = A2i,
А21+1, Di+i, Ee, ?>45 обозначают так же, как и алгебру д, на-
наделяя ее индексом 2 или 3 в зависимости от порядка автомор-
автоморфизма A, то есть соответственно символами A^t , .A^H-i' -"i+i»
Eq , D\ . Этим аффинным алгебрам соответствуют схемы
Дынкина, состоящие из простых корней. Они имеют вид
Л12) 2 1
D?
410 Глава 4
где соединения кружков имеют такой же смысл, как и в слу-
случае схем Дынкина нетвисторных аффинных алгебр Ли.
4.6. Аффинная алгебра A% • Алгебра Л2 строится,
исходя из простой алгебры Ли Аъ = 5lC, Q и используя ав-
автоморфизм ц порядка 2 (см. п. 4.5). Используя приведенные
в п. 4.5 генераторы подалгебры д0, элементы которой остают-
остаются на месте под действием ц, убеждаемся, что до состоит из
кососимметрических матриц из slC, С), то есть до — soC,C).
Ясно, что dim до = 3. Поскольку dim.A2 = 8, то разложе-
разложение 51C, С) в сумму собственных подпространств автомор-
автоморфизма ц имеет вид
51C, С) = soC, С)+ди dim si = 5.
При этом [go, go] С д0, [0<h0i] С 0i и [si,0i] С go-
Выбираем подалгебру Картана fH в soC, С) и корни ±ах
алгебры Ли soC,Q относительно 1)о, где ai — положитель-
положительный корень. Рассматривая присоединенное представление ad
алгебры slC, С), легко находим, что неприводимое представ-
представление То подалгебры д0 в gi имеет корни 2ai, аи О, — а\, —2ai,
причем каждый из них имеет кратность 1. (Предлагаем чи-
читателю построить соответствующие корневые подпростран-
подпространства.) Корень #о имеет вид во = 2ао- Следовательно, имеем
разложение
01 = 01,0 + 01,ai + 01,2a! + 01,-2аг + 01,-ai
пространства gi в прямую сумму одномерных подпространств.
В алгебре L(slC,C)) = C[t,t-1]®s[C,C) выделяем подал-
подалгебру
® gi(mod2)),
где до и вх — такие же, как выше. Аффинная алгебра А2
совпадает с алгеброй
42) = L(slC, Q, ц) © Сс © (И.
§4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 411
Распространяем действие линейной формы ct\ на \) =
= l)o ® Cd, полагая oti(d) = 0, и вводим линейную форму 6,
полагая 6(Н) — О при Н Е 1)о и 6(d) = 1. Тогда корневая сис-
система Д аффинной алгебры Ли А% совпадает с Д = {s6 +
+ kcti\ s G Z, к = 0,±1 для четного s и к — 0, ±1,±2 для не-
нечетного s, (s, к) ф @,0)}. Все корни имеют единичную крат-
кратность.
-2у-у
!<%*-«¦
•у2у
а,
Рис. 10
Корни ао = й — 2е*1 и ai простые, а корни
Bj - 1N - 2аг = Bj - l)a0 + Dj - 4)al5
j5 = ja0 + 2jau
(J - 1N + a! = {j- l)«o + Bj - l)ab
ax = Bj - l)a0
положительны. Корневая система алгебры А2 показана на
рис. 10. Положительные корни выделены пунктирной линией.
Непосредственные подсчеты показывают, что матрица Карта-
на алгебры А^ имеет вид
а0
_( 2 -1 \
\ -4 2 )¦
412 Глава 4
4.7. Универсальная обертывающая алгебра. Пусть
а€Д+
— разложение (твисторной или нетвисторной) аффинной ал-
алгебры Ли g в сумму корневых подпространств, где Д+ — по-
положительные корни. Введем подпространства
а, п_ =
а€Д+
Поскольку для положительных корней акр имеем [f)a, f)p] с
С Ъа+р, если а + Р — корень, [f)a, f)p] = {0}, если а + 0
не является корнем, и сумма положительных корней не мо-
может быть отрицательным корнем, то п+ и п_ — подалгебры
В0.
Пусть <J5,(n+,9?_,.fj — универсальные обертывающие ал-
алгебры соответственно для алгебр Ли g,n+,n_,l). Тогда, как
и в случае полупростых комплексных алгебр Ли (см. п. 1.5),
имеем
& = т-
Чтобы задать базис в 9Т_, выбираем упорядочение /?i >
> 02 > •• ¦ корней из Д+ и в каждом из корневых подпро-
подпространств 0-/3( задаем упорядоченный базис е_/з;1,... ,е_^;(.;.
Разместив эти базисы в соответствии с упорядочением кор-
корней, получим упорядоченный базис Е^\Е^2\... подалгеб-
подалгебры п_, где Е^ совпадают с соответствующими е_д,г. Про-
Произведения
. . . Hi , <1 ^ <2 ^ • • •
У —
образуют базис в 9?_. Подобным образом вводятся базисы
в 91+ и $). Элементы, являющиеся упорядоченными произве-
произведениями базисных элементов для 9?_, Sj к 0Т+, образуют базис
универсальной обертывающей алгебры 0.
§4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро 413
л Можно задать присоединенное действие подалгебры fj
в *П А именно, каждому элементу Н е f) ставим в со-
соответствие оператор аАН, действующий в 91_ по форму-
формуле (adН)п = [Н,п] = Нп—пН. Непосредственно проверяется,
что
..nk = ЦасШ}П1)п2...п*
Поэтому произведение корневых элементов из п_ (то есть эле-
элементов из корневых подпространств) является собственным
вектором операторов эАН, Н Е f). В частности, построен-
построенный выше базис алгебры *Л_ состоит из собственных векторов
этих операторов. Поэтому алгебра 9t_ разлагается в прямую
сумму собственных подпространств:
*а, D-48)
А
где
(ПЛ = {n? 91_| (гЛН)п — Х(Н)п для всех Н G f)}.
Очевидно, что все линейные формы А являются линейными
комбинациями простых корней ao,ai,... ,qj с целыми непо-
неположительными коэффициентами.
Размерность dim 91 д подпространства 9Т\ равняется коли-
количеству базисных элементов в 9Я_, принадлежащих собствен-
собственным значениям Х(Н) операторов ad H. Ясно, что число таких
базисных элементов равно К(—А), где К{—\) — число раз-
разбиений формы —А в сумму положительных корней аффинной
алгебры в, причем каждый корень учитывается столько раз,
какова его кратность, и К@) = 1. Величину К(ц) называют
функцией разбиения Костанта. Следовательно,
dim^A = K(-X). D.49)
4.8. Группа Вейлн. Обозначим через t)n подпростран-
подпространство в подалгебре fj аффинной алгебры в или д(ц), состоя-
состоящее из вещественных линейных комбинаций элементов Но,
414 Глава 4
Hi,... ,Щ. Корни аффинной алгебры можно рассматривать
как линейные формы на t)R. Каждому простому корню сц,
i = 0,1,... ,/, поставим в соответствие отражение Si, дейст-
действующее в t)R по формуле
Si\ = А - \(Нг)сц = Х- ^Л'а*|а«. D.50)
С помощью этих отражений порождаем группу преобразова-
преобразований пространства (jr, называемую группой Вейля рассматри-
рассматриваемой аффинной алгебры и обозначаемую через W. Посколь-
Поскольку для формы S имеем б(Щ) = 0, t = 0,1,...,/, то
wS = S для всех w € W. D-51)
Пример 3. Простыми корнями аффинной алгебры Ли А^ яв-
являются ао = 6 — ai и ai, а матрица Картана совпадает с матри-
матрицей ( _| ~|). Порождающие элементы So и Si группы Вейля W этой
алгебры действуют на простые корни по формуле
= m + 2а0, 1
\ D-52)
= -on. J
где ay — элементы матрицы Картана. Следовательно,
Sooco = —ао,
Sioco = «о + 2ai,
Кроме того, So6 = Si6 = 6. Из D.52) вытекает, что
= — ао — 2ai — ао — 26,
SoSiao = ao + 26,
(SiSo)ai = 5i(ai + 2a0) = 2a0 + 3ai = ai + 26,
^ = SoSiai = ai - 2Й.
Следовательно, Ei5o)J не изменяет мнимых корней тй, сдвигает
корень ао на —BjN, а корень ai — на BjN.
Обозначим через И'о подгруппу rpynnbijV", состоящую из эле-
элементов (SiSo)k, к = 0, ±1, ±2,... Ясно, что Wo является коммута-
коммутативной группой, изоморфной группе целых чисел. Из формул D.52)
и равенств^5ой = Si6 — 6 вытекает, что Wo — инвариантная под-
подгруппа в W и
W = W0U SoWo = W0U SiWo..
§5. Представления полупростых алгебр Ли 415
Фактор-группа W/Wo изоморфна группе Вейля алгебры Ли Ai, по
которой строится аффинная алгебра А^.
Результаты примера 3 распространяются на все аффин-
аффинные алгебры Ли, а именно, группы Вейля W аффинных алгебр
бесконечны. Группа W содержит подгруппу W, изоморфную
группе Вейля, соответствующей простой алгебры Ли, и под-
подгруппу Т, изоморфную аддитивной группе трансляций. Под-
Подгруппа Т инвариантна в W. Кроме того, W является полупря-
полупрямым произведением подгрупп W к Т:
W = W XI Т. D.53)
Детальное описание групп Вейля аффинных алгебр Ли можно
найти в монографии [31].
§ 5. Представления полупростых алгебр Ли
В этом и следующем параграфах приводим краткий обзор
основных результатов о конечномерных представлениях полу-
полупростых групп и алгебр Ли и об интегрируемых представле-
представлениях аффинных алгебр Ли. За доказательством приводимых
теорем и утверждений отсылаем читателя к соответствующей
литературе.
5.1. Конечномерные представления групп и ал-
алгебр Ли. Как мы видели в п. 2.3 гл. 3, существует взаимно
однозначное соответствие между конечномерными представ-
представлениями связной односвязной группы Ли и ее алгебры Ли.
Такое же соответствие существует между конечномерными
представлениями вещественной алгебры Ли до и так назы-
называемыми комплексными конечномерными представлениями
комплексификации g алгебры Ли до- Действительно, элемен-
элементы алгебры д исчерпываются комбинациями X + iY,i— V^T,
элементов X, Y алгебры д0- Если Т — представление алгеб-
алгебры до, то операторы Т(Х + iY) — Т(Х) + iT(Y) задают пред-
представление алгебры д. Представление Т комплексной алгебры
Ли д, для которого элементам Z и \Z из д соответствуют опе-
операторы T(Z) и iT(Z), называют комплексным. Очевидно, что
416 Глава 4
сужение комплексного представления Т комплексной алгеб-
алгебры Ли на ее вещественную форму приводит к представлению
этой вещественной формы.
Пусть Т — конечномерное представление группы Ли G
и пусть в G введены (локально или глобально) аналитичес-
аналитические координаты Ж1,ж2,... ,х„. Если операторы T(g) аналити-
аналитически зависят от х\, х2, •. ¦ ,ж„, то представление Т называют
комплексно-аналитическим, если параметры комплексны (то
есть группа комплексная), и вещественно-аналитическим,
если параметры вещественны (то есть группа веществен-
вещественна). Комплексно-аналитическим представлениям комплексной
группы Ли отвечают комплексные представления ее алгебры
Ли и наоборот.
Между конечномерными комплексно-аналитическими
представлениями комплексных связных групп Ли и конечно-
конечномерными вещественно-аналитическими представлениями их
вещественных форм также существует взаимно однозначное
соответствие. Чтобы получить представление вещественной
формы, достаточно рассмотреть представление комплексной
группы Ли только на элементах вещественной формы. Что-
Чтобы по представлению вещественной формы найти соответ-
соответствующее представление комплексной группы (являющейся
комплексификацией рассматриваемой вещественной группы),
необходимо вещественные параметры вещественной группы
аналитически продолжить в комплексную область и соответ-
соответственно этому операторы представления вещественной груп-
группы как аналитические функции вещественных параметров
продолжить в комплексную область до представлений комп-
комплексной группы. Если параметризация вещественной груп-
группы задана локально, то достаточно продолжить в комплекс-
комплексную область представление окрестности единицы группы.
В результате получим комплексно-аналитическое представле-
представление окрестности единицы комплексной группы Ли. Связная
группа Ли порождается (путем умножения элементов) каж-
каждой окрестностью единицы. Таким образом, представление
окрестности единицы однозначно приводит к представлению
всей связной группы.
Согласно изложенному выше, если рассматривать толь-
только комплексно-аналитические представления комплексных
§5. Представления полупростых алгебр Ли 417
групп Ли и комплексные представления комплексных ал-
алгебр Ли, то классификация конечномерных неприводимых
представлений одного из соответствующих друг другу объек-
объектов — связная комплексная группа Ли, ее вещественная фор-
форма, комплексная алгебра Ли, ее вещественная форма — при-
приводит к классификации конечномерных неприводимых пред-
представлений остальных объектов.
Комплексно-аналитические конечномерные неприводимые
представления комплексной группы Ли G не исчерпывают все
ее конечномерные неприводимые представления. Например,
представление, полученное из комплексно-аналитического ко-
конечномерного представления комплексным сопряжением (ес-
(если представления заданы в матричной форме, то комплекс-
комплексное сопряжение приводит к комплексному сопряжению мат-
матричных элементов), также является неприводимым. Такие
представления называют комплексно-антианалитическими.
Доказывается (см. [23] или [44]), что конечномерное вещест-
вещественно-аналитическое неприводимое представление комплекс-
комплексной полупростой группы Ли является тензорным произведени-
произведением неприводимых комплексно-аналитического и комплексно-
антианалитического представлений.
5.2. Классификация конечномерных неприводи-
неприводимых представлений. Пусть g — комплексная полупростая
алгебра Ли, а Т — ее конечномерное комплексное неприводи-
неприводимое представление. Если fj — подалгебра Картана алгебры д,
то все операторы Т(Н), Н € 1), можно одновременно диагона-
лизировать. Действительно, рассмотрим представление Т на
компактной вещественной форме д* алгебры Ли д. Алгебра
Ли дк имеет базис C.2). Поскольку конечномерное представ-
представление компактной группы можно сделать унитарным, то опе-
операторы exp tT(iHj), j = 1,2,... ,1, унитарны, то есть операто-
операторы Т(Н{),... ,Т(Щ) эрмитовы. Поскольку они коммутируют
друг с другом, то они одновременно диагонализируются.
Пусть ei,e2,...,en (n — размерность представле-
представления Т) — линейно независимые собственные векторы опера-
операторов Т(Н), Н €f). Тогда
Г(Я)е,- = Л,-(Я)е,, Я € &,
418 Глава 4
где Л,- — линейные формы на fj. Эти линейные формы назы-
называют весами представления Т, а собственные векторы ej —
весовыми векторами.
Если х — весовой вектор веса Л', а Еа — корневой эле-
элемент алгебры д, отвечающий корню а, то Т(Еа)х — весовой
вектор, принадлежащий весу Л' + а. Действительно, посколь-
поскольку [Н, Еа] = а(Н)Еа, то
Т(Я)(Т(Е?о)х) = [Т(Еа)Т(Щ + а(Н)Т(Еа)]х =
= [Л'(Я) + а{Н)]Т(Еа)х.
В неприводимом представлении каждый ненулевой век-
вектор х является циклическим, то есть действуя на х операто-
операторами представления, получаем множество векторов, на кото-
которое натягивается все пространство представления. Посколь-
Поскольку представление Т неприводимо, то его веса Л; получаются
друг из друга прибавлением корней (положительных или от-
отрицательных).
Будем действовать на весовой вектор х оператора-
операторами Т(Еа), где а — положительные корни. Поскольку пред-
представление Т конечномерно, а векторы, принадлежащие раз-
разным весам, линейно независимы, то после конечного числа
действий такими операторами придем к весовому вектору у,
у ф 0, такому что Т(Еа)у = О для всех положительных кор-
корней а. Пусть Л — вес вектора у. Вектор у называют старшим
вектором, или вектором старшего веса, а вес Л — старшим
весом представления Т.
Доказывается (см., например, [23]), что в пространстве
неприводимого представления Т с точностью до константы
существует один вектор старшего веса и представление Т
с точностью до эквивалентности однозначно определяется
старшим весом. Таким образом, не существует неэквивалент-
неэквивалентных представлений полупростой алгебры Ли g с одним и тем
же старшим весом. Более того, доказывается, что старший
вес Л неприводимого конечномерного представления алгеб-
алгебры g удовлетворяет такому условию: для положительных кор-
корней а алгебры q числа
2(А,а)
§ 5. Представления полупростых алгебр Ли 419
целые и неотрицательные. Веса, удовлетворяющие этому
условию, называют доминантными (неотрицательность чи-
чисел Ла) и целочисленными. Приведенные утверждения явля-
являются частью следующей теоремы.
Теорема 1. Существует взаимно однозначное соот-
соответствие между попарно неэквивалентными неприводимыми
конечномерными представлениями комплексной полупростой
алгебры Ли g и целочисленными доминантными линейными
формами на подалгебре Картана i) алгебры д. Эти линей-
линейные формы являются старшими весами соответствующих им
представлений. В пространстве неприводимого конечномерно-
конечномерного представления алгебры Ли g существует базис, состоящий
из весовых векторов. Если Л — старший вес неприводимого
представления, то любой другой вес этого представления име-
i
ет вид Л — 53 fe*o:,-, где fc,- — целые неотрицательные числа,
i=i
a Qj — простые корни алгебры д. Кратность старшего ве-
веса неприводимого представления (то есть размерность собст-
собственного подпространства, принадлежащего этому весу) равна
единице.
Полное доказательство этой теоремы см., например,
в [53].
Веса Л' конечномерных представлений алгебры Ли g (как
и корни этой алгебры) часто записывают в виде векторов
Л = (Ai, A2,• •. , А/), А; =
где I — ранг алгебры д, а сц, i = 1,2,... ,1 — простые корни.
Важными примерами конечномерных неприводимых
представлений полупростой алгебры Ли ранга I являются I
представлений со старшими весами A,0,..., 0), @,1,0,..., 0),
@,0,1,0,..., 0),..., @,... ,0,1). Их называют фундаменталь-
фундаментальными. Из тензорных произведений этих представлений мож-
можно получить каждое неприводимое конечномерное представле-
представление.
420 Глава 4
Бели V — пространство неприводимого конечномерного
представления Тд со старшим весом Л, то
v, E.1)
Л'
где суммирование ведется по всем весам представления,
а Уд' — собственные подпространства операторов Т&(Н),
Н ? fj, принадлежащие весам Л'.
Размерность подпространства Va» называют кратностью
веса Л'. Множество всех весов представления Т\ (с учетом
их кратностей) называют весовой диаграммой. Поскольку ве-
веса являются линейными формами на подалгебре Картана, то
определено действие на них элементов группы Вейля алгебры
Ли е (см. п. 1.4).
Теорема 2. Весовая диаграмма неприводимого представ-
представления комплексной полупростой алгебры Ли инвариантна от-
относительно ее группы Вейля.
Доказательство этой теоремы можно найти в [23].
Согласно этой теореме, если Л' — вес неприводимого ко-
конечномерного представления алгебры Ли g, a W — ее группа
Вейля, то для всякого элемента w ? W форма и;Л' также яв-
является весом этого представления. Более того, веса Л и wb!
имеют одинаковые кратности.
5.3. Характеры представлений. Весовые диаграм-
диаграммы конечномерных неприводимых представлений тесно свя-
связаны с характерами представлений связной односвязной по-
полупростой группы Ли. Действительно, рассмотрим связную
односвязную полупростую компактную группу Ли Gfe. Диа-
Диагональная подгруппа в ней совпадает с подгруппой expfjjt,
где {)* — коммутативная подалгебра в алгебре Ли д* груп-
группы Gk, натянутая на базисные элементы LfiTi, 1H2,... ,iHi
(для простоты будем считать, что группа Gk линейна). По-
Поскольку в компактной линейной группе каждая матрица со-
сопряжена к диагональной матрице, а характеры представле-
представлений являются функциями на классах сопряженных элементов
(см. п. 1.7 гл. 3), то характеры конечномерных представле-
представлений группы Gk однозначно определяются своими значения-
значениями на подгруппе expfjfe. Так как операторы неприводимого
§ 5. Представления полупростых алгебр Ли 421
конечномерного представления, соответствующие элементам
подгруппы expfy/;, диагональны в весовом базисе с числа-
числами expAj-(iHr), Шг G fj*, на диагонали, то характер х(ехР 1Щ,
iff € fjfe, имеет вид
п
Х(ехр Ш) = Y, ехр(А,-AЯ)), E.2)
i=i
где суммирование ведется по всем весам представления, при-
причем для каждого веса соответствующее слагаемое встречается
столько раз, какой является кратность веса.
В формуле E.2) характер допускает аналитическое про-
продолжение на множество всех элементов из подалгебры Карта-
на fj комплексификации g алгебры Ли д*. Полученное анали-
аналитическим продолжением выражение является характером со-
соответствующего неприводимого представления комплексной
группы Ли G, являющейся комплексификацией компактной
группы Gfc.
Доказывается (см. [10] и [23]), что для характеров E.2)
неприводимых представлений Т\ со старшим весом Л верна
такая формула:
XA(expiH)=
(detW) exp{wp,iH)
E.3)
где суммирование ведется по всем элементам группы Вей-
ля W алгебры Ли д, определитель det w элемента w € W ра-
равен +1 или —1 в зависимости от того, произведением четного
или нечетного числа отображений Sa он является, скалярное
произведение (•, •) определено в п. 1.4 и р равняется половине
суммы всех положительных корней алгебры д. Заметим, что
поскольку группа Вейля W конечна, то суммы в числителе
и знаменателе правой части формулы E.3) конечны. Отметим
также, что А(Ш) из формулы E.3) можно записать в виде
Д(Ш) = ехр(р, Ш) П [ехр(а, Ш) - 1], E.4)
а>0
422 Глава 4
где произведение взято по всем положительным корням ал-
алгебры д.
5.4. Неприводимые представления унитарной
группы U(n). Сформулированная выше теорема 1 класси-
классифицирует конечномерные неприводимые представления. Час-
Часто возникает потребность иметь эти представления в яв-
явном виде. Построим неприводимые представления алгебры
Ли u(n) унитарной группы U(n) (или, что то же самое, ал-
алгебры Ли g[(n,C) группы GL(n,C)). Напомним, что алгебра
Ли gl(n,C) имеет базис Е^, I ^ i,j ^ га, где Е^ — матрицы
из примера 1 в п. 1.1. Представление Т алгебры Ли д[(га,С)
однозначно определяется операторами Т(?'у), 1 ^ i,j ^ га.
Неприводимые представления группы U(n) задаются га
целыми числами min, тп2П, ¦¦¦ , mnn, удовлетворяющими усло-
условию доминантности
min > m-in > • • • > т„„.
Обозначаем их mn. Соответствующее пространство представ-
представления будем обозначать V(mn). Неприводимое представление
группы U(ri) со старшим весом mn является произведени-
произведением одномерного представления подгруппы 17A) (определитель
матриц), задаваемого числом mln + m2n + . -. + тпп, и пред-
представления группы SU(n) со старшим весом (min — m2n,wi2n ~
- m3n,... , mn_i,n - т„п).
Группу U(n — 1) можно рассматривать как подгруппу
группы U(n), вкладывая ее в U(n) следующим образом:
Доказывается (см., например, [23]), что при сужении неприво-
неприводимого представления группы U(n) со старшим весом т„ на
подгруппу U(n — 1) получаем приводимое представление этой
подгруппы, разлагающееся в прямую сумму тех и только тех
неприводимых представлений этой подгруппы, которые име-
имеют старшие веса (rrii,n_i, ra2,n_i,... , "in_ijn_i), удовлетворя-
удовлетворяющие условию промежуточности
т2п > rn2,n-i ^ • • • ^ rnn-\,n^i
E.5)
§ 5. Представления полупростых алгебр Ли 423
Более того, эти неприводимые представления подгруппы
U(n — 1) входят в разложение с единичной кратностью. Ис-
Используем этот факт для построения базиса пространства пред-
представления У(т„).
Для этого рассмотрим последовательность подгрупп
Щп) DU{n-l)DU{n-l)D...D 1/A).
Пространство неприводимого представления V(mn) группы
U(n) разлагается в прямую сумму подпространств V(tnn-i),
mn_i = (miin_!,... ,mn_1)n_i), указанных выше неприво-
неприводимых представлений подгруппы U(n — 1). Каждое из под-
подпространств V{nin-\) таким же образом разлагается в пря-
прямую сумму подпространств F(mn_2), mn_2 = (mln_2, ...,
гпп-2,п-ъ), неприводимых представлений подгруппы U(n — 2).
Продолжаем такие разложения представлений до подгруп-
подгруппы U(l). Поскольку U(l) — коммутативная подгруппа, то ее
неприводимые представления одномерны. Поэтому каждое од-
одномерное подпространство описывается схемой
т1п m2n ... mn_i,n т„„
а =
т12 т22
E-6)
где первая строка фиксирована и задает старший вес заданно-
заданного неприводимого представления группы U(n), а в остальных
строках стоят целые числа, удовлетворяющие условию проме-
промежуточности
niij ^ mitj-i ^ mi+1)i. E.7)
Выбрав в каждом из полученных одномерных подпространств
по нормированному вектору и отождествив их с соответ-
соответствующими схемами E.6), получим ортонормированный ба-
базис {а} пространства V(mn). Ясно, что все допустимые
формулой E.7) схемы E.6) нумеруют элементы этого орто-
нормированного базиса. Найденный базис называют базисом
Гелъфанда - Цетплина.
424 Глава 4
Через агк_1 обозначим схему, полученную из схемы E.6)
заменой числа rrii^-i числом rrii,k-i 4-1, а через Щ._\ — схе-
схему, полученную из E.6) заменой m,)fc_i на m,-ifc_i — 1. В этих
обозначениях действие операторов Tmn(Ek-i,k), Tmn{Ekik^.i),
Тт„(Екк) неприводимого представления Tm?j алгебры Ли
$jl(n, С) задается формулами
E-8)
j=i j=i
где коэффициенты Л^_1(а) определяются выражением
П (mfc_2— rrii fc_i— j+i — 1)
П ("ij>fc_i-mj,fc_i- j-NKmj,*-!-mj)fc_i-j-И-
2
и под квадратным корнем понимается его положительное зна-
значение.
Заметим, что построенные базисные элементы а явля-
являются весовыми относительно коммутативной подалгебры, на-
натянутой на элементы Екк, к = 1,2,... ,п. Элементы ?*_i,fc
являются корневыми, соответствующими простым корням.
Элементы Екгк~\ — также корневые. Они соответствуют
простым корням со знаком минус.
Матрицы Ek-itk,Ek,k-uEkk порождают алгебру
Ли gi(n,С), то есть они играют роль элементов Ei, F,, Hi
из теоремы 9 § 1. Определяющие соотношения A.22)-A.25) для
§ 6. Представления аффинных алгебр Ли 425
них имеют вид
[Екк,Ец] — О, [Ekk,Ektk-i] = Ekyk-i, [Ekk,Ek,k+i] = Ек,к+1,
[Екк,Ек+1>к] = —Ek+itk, [Ekk,Ek~i,k] = -Ek-itk,
[?*ft,-Bi,,--i] = [Ekk,Ei-lti] = О при к > i или к <i- 1,
,fe-i 4-Ek+i,kEkk_1 = 0,
+i,k + Ek,k-iEk+lk = 0,
_1>k = 0,
kk+l = 0.
Простая (но громоздкая) проверка показывает, что операто-
операторы, задаваемые формулами E.8)-E.10), удовлетворяют этим
определяющим соотношениям, то есть задают представление
алгебры Ли gl(n,?).
Заметим, что подобным образом строятся представления
алгебр Ли so(n,C) групп SO(n, С) (см., например, [23]).
§ 6. Представления аффинных алгебр Ли
6.1. Определение интегрируемых представлений.
Аффинные алгебры Ли бесконечномерны. Однако в них
есть класс неприводимых представлений, имеющих много
свойств конечномерных представлений полупростых (конеч-
(конечномерных) алгебр Ли. Это так называемые интегрируемые
представления, к определению которых мы приступаем.
Пусть V — комплексное линейное пространство, в кото-
котором действует представление Т аффинной (твисторной или
нетвисторной) алгебры Ли ?). Пусть операторы Т(Н), Н ? I),
одновременно приводятся к диагональному виду. Это означа-
означает, что
А, F-1)
А
где V\ — собственные подпространства операторов Т(Н),
Я€Ь:
Vx = {х G V | Т(Н)х = А(Н)х для всех Н G \)}.
426 Глава 4
Если dim V\ ф 0, то линейную форму А на f) называют весом
представления Т, a V\ — весовым подпространством. Чис-
Число гад = dim Уд называют кратностью веса Л в представле-
представлении Т. Представления Т алгебры g, чьи пространства разла-
разлагаются в прямую сумму весовых подпространств, называют
весовыми. Ниже рассмотрим только такие весовые представ-
представления аффинных алгебр, в которых кратности весов конечны.
Пусть g — аффинная алгебра, порожденная элемента-
элементами a, ft, h{, i = 0,1,2,...,/, удовлетворяющими соотноше-
соотношениям D.21) или соответствующим соотношениям для твис-
торной аффинной алгебры. Для каждого г, 0 ^ г ^ I, образуем
подалгебру gi = Се,- + Cfi + С/г,-. Она изоморфна простой ал-
алгебре Ли slB, С). Пусть Т — весовое представление аффинной
алгебры @. Если сужение Т на каждую подалгебру gj, 0 ^ i ^ I,
разлагается в прямую сумму конечномерных неприводимых
представлений gj, то его называют интегрируемым. В этом
случае каждое такое сужение интегрируется (путем взятия
экспоненты) до представления группы Ли expgj ~ SLB, С).
Весовая диаграмма неприводимого конечномерного пред-
представления алгебры Ли slB,C) инвариантна относительно не-
нетождественного отражения из группы Вейля алгебры slB, С)
(см. § 5 гл. 3). Поэтому весовая диаграмма интегрируемого
представления Т аффинной алгебры 0 инвариантна относи-
относительно отображений
А -> SiX = X - а{1ц)аг, г = 0,1,2,... ,1,
а это означает, что она инвариантна относительно дейст-
действия всей группы Вейля W алгебры д. В частности, для крат-
ностей весов гад имеем тд = mw\ для всех w G W.
6.2. Модули Верма. Неприводимые интегрируемые
представления аффинной алгебры g можно построить с по-
помощью так называемых модулей Верма. Модули Верма явля-
являются фактически представлениями со старшим весом, опре-
определяемыми следующим образом. Пусть (S — универсальная
обертывающаядшгебра аффинной алгебры g. Для <б имеем раз-
разложение <S = *R-Siffl+ в произведение универсальных обер-
обертывающих алгебр для подалгебр n_, f), n+ соответственно
(см. п. 4.7). Весовое представление Т алгебры g называют
§ 6. Представления аффинных алгебр Ли 427
представлением со старшим весом, если в пространстве V
этого представления существует одномерное весовое подпро-
подпространство Va с базисным вектором ед веса Л, такое что
Т{п)еА = 0 для всех п в <Я+, п ф 1, F.2)
Т(в)еА = V, F.3)
где Т((б)ел — множество всех векторов Т(а)ел, а Е<б.
Из свойства F.2) вытекает, чтоТ(*П+)ел = Сед (посколь-
(поскольку *П+ содержит С), а свойство F.3) означает, что ед — цик-
циклический вектор для представления Т. Из F.2) и F.3) и из
того, что ед — весовой вектор, выводим
V = Т(ё)ел = Т(т-)Т(Ъ)Т(т+)еА = Т(9г_)ТEэ)ел =
= Г(Й_
Отсюда и из разложения D.48) получаем
F.4)
А
Если п е *Пл, Н G f), то Нп = пН + (ad H)n = пН + Х(Н)п.
Поэтому
Т(Н)(Т(п)еА) = А(Я)(Т(п)ел) + Т(п)Т(Я)ел =
А(Я)](Т(п)еА).
Таким образом, F.4) является весовым разложением про-
пространства представлений Т, причем
Т(ЙЛ)еЛ = Va+x. F.5)
Поскольку разложение в F.4) ведется по формам А и эти
формы являются суммами простых корней с отрицательны-
отрицательными коэффициентами, то учитывая F.5), приходим к такому
выводу: веса представления Тд со старшим весом Л имеют
вид Л — J^ dial, где а,- — простые корни алгебры % а а,- —
i=0
целые неотрицательные числа.
428 Глава 4
Из формулы D.49) ясно, что сИтУд+А ^ К(—А), где К —
функция разбиения Костанта. Представление Л/д со старшим
весом Л называют модулем Верма3, если для всех Л выпол-
выполняются равенства dimV/v+A = К(—Х). Это означает, что ес-
если п и п' — линейно независимые элементы из (К_, то век-
векторы Мд(п)ед и Мд(п')ед также линейно независимы. Го-
Говорят, что модуль Верма — это представление со старшим
весом, свободно порожденное универсальной обертывающей
алгеброй *П_.
Модуль Верма Мд со старшим весом Л можно реализо-
реализовать в пространстве алгебры *П_. Вектором старшего веса ед
в этом случае является единица алгебры *П_, а операторы
представления задаются формулами
неь,
i = 0,1,2,..., I,
p(fi)Fx=fiFx, FX?41X, i = 0,l,2,...,I,
p(ei)Fx = eiFx -1, Fx?<nx, t = 0,l,2,...,i.
Правая часть последнего соотношения требует объяснения.
Элемент е^д принадлежит (S = 91_^*П+. Представим его в ви-
виде суммы произведений n-hn+, где n_, h, n+ — элементы
соответственно из 91_, Sj, 91+, являющиеся произведениями
базисных элементов подалгебр n_, fj, n+. Тогда каждому из
слагаемых соответствует элемент пространства представле-
представления *П_, а именно
n_/m+ -1 = 0, если n+ ^ С,
n'_ti ¦ 1 = \(ti)n'_ ¦ 1 = A(ti)n'_ ? <П_.
Это и определяет элемент eiFx • 1.
3Если быть точным, то модулем Верма следует называть линейное
пространство, в котором действует представление М\. Называя Мд мо-
модулем Верма, мы отождествляем пространство с представлением, дейст-
действующем в нем.
§ 6. Представления аффинных алгебр Ли 429
Линейные формы А € f)', для которых X(hi), г = 0,1,
2,... , /, — целые числа, называют целочисленными. Множес-
Множество всех целочисленных линейных форм на t) обозначим че-
через Р. Линейную целочисленную форму А называют доми-
доминантной, если все числа A(ftj), t = 0,1,2,... , I, неотрицатель-
неотрицательны. Множество таких форм обозначаем через Р+.
Пусть Л — такая форма из Р, что A(hi) ^ 0 при некото-
некотором г, а Мл — модуль Верма со старшим весом Л. Пусть ед —
вектор старшего веса для этого модуля Верма. Использовав
соотношение [е*, /»] — h, к повторив рассуждения п. 5.4 гл. 3,
находим
ejt lhi)+1eA = 0, ei/*(/liW0. F.6)
Поскольку [ej, /,] = 0 при i ф j, то
(+1ел=0, зфг. F.7)
Вектор ел< = /, ел — весовой с весом Л' = Л —
+ 1)а*. Вследствие формул F.6) и F.7) имеем
то есть на ед» натягивается инвариантное подпространст-
подпространство, в котором реализуется представление со старшим ве-
весом Л' = Л — (A(ftj) + l)e*j. Легко видеть, что это представ-
представление является модулем Верма Мд<. Следовательно, мы пока-
показали, что если модуль Верма Мл имеет старший вес Л G Р
такой, что A(ftj) ^ 0, то он содержит подпредставление со
старшим весом А', являющееся модулем Верма Ма>- При
этом K'(hi) < 0.
6.3. Неприводимые интегрируемые представле-
представления. Пусть Мд — модуль Верма аффинной алгебры g со
старшим весом Л G Р+- Тогда для каждого »', 0 ^ i ^ I,
Мл содержит подпредставление Мл(, Aj = Л — (Л(Ы) + 1)ац.
Пусть М — максимальное нетривиальное подпредставление
модуля Верма Мл, то есть такое, что любое его подпредстав-
подпредставление содержится в М. Тогда фактор-представление М\/М
430 Глава 4
является представлением алгебры д, обозначаемым через L\.
Справедливы такие утверждения:
1. Представление L\ является неприводимым интегриру-
интегрируемым представлением аффинной алгебры g со старшим
весом Л.
2. Каждое интегрируемое неприводимое представление ал-
алгебры $ эквивалентно одному из представлений ?д-
3. Если Л' — вес представления L\, то для каждого эле-
элемента w группы Вейля W алгебры g форма wh1 также
является весом этого представления. Более того, крат-
кратности всех весов wA', w G W, одинаковы.
Доказательство этих утверждений можно найти в [31].
Свойства интегрируемых неприводимых представлений
аффинной алгебры g, перечисленные в утверждениях 1-3, сов-
совпадают с соответствующими свойствами неприводимых ко-
конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. Однако
интегрируемые представления аффинных алгебр бесконечно-
бесконечномерны.
6.4. Характеры интегрируемых представлений.
Если А и /л — линейные формы из Р, то пишем А ^ /л, ес-
если А — /* G Р+. Вводим формальные экспоненты е(А), A G Р,
и образуем суммы
F.8)
А6Р
где с\ G С, причем для каждой суммы существует та-
такой вес Л, что с\ может быть отличным от нуля тогда
и только тогда, когда А ^ Л. Определяем операцию умноже-
умножения е(\)е(ц) = е(А + ju) и по линейности продолжаем ее на
суммы вида F.8). Произведение элементов вида F.8) снова
является элементом такого типа. Следовательно, множество
элементов F.8) образует коммутативную ассоциативную ал-
алгебру, которую обозначим через ?. Экспоненты е(А), A G Р,
являются линейно независимыми элементами этой алгебры.
§ 6. Представления аффинных алгебр Ли 431
Пусть Тд — представление аффинной алгебры (j со стар-
старшим весом Л, Л G Р+, а V = ф V\ — разложение простран-
А<Л
ства этого представления в сумму весовых подпространств.
Элемент
ch ТЛ = Y, (dim Vx)e(A) = ? тле(А) F.8')
алгебры 8 называют характером представления Тд. Резуль-
Результаты п. 6.2 показывают, что характером модуля Верма Мд
является
(-A)e(A), F.9)
где К(/л) — функция разбиения Костанта. Из определения
функции К()л) вытекает, что
ch МЛ = е(А) JJ A + е(-а) + в(-2а) + - - - )т(а), F.10)
где Д+ — множество положительных корней алгебры ~q,
а т(а) — кратность корня а.
Поскольку формально
A - е(-а))-1 = 1 + е(-а) + е(-2а) +... ,
то формулу F.10) можно записать в виде
сЬМЛ=е(Л) Д A-е(-а))т(а>. F.11)
Выражение в правой части этой формулы при е(Л) обозначим
через R:
R= П A-е(-а))т(°).
абА+
432 Глава 4
Теорема 1. Характер неприводимого интегрируемого
представления La аффинной алгебры g задается формулой
(A + р) - р)
Ц A - е(-а))т(«)
сЬ?л = — , F.12)
означающей, что
e{p)RchLA = Y^ e(w)e(w(A + p)). F.13)
wEW
Здесь p — линейная форма на I), такая что p(hi) = 1, i = О,
1,... ,1, и e(w) — знак определителя преобразования w G W.
За доказательством этой теоремы отсылаем читателя
к [31].
Представление Ьд с Л = 0 является тривиальным пред-
представлением: LA(a) = 0 для всех a G $j. Поэтому chLo = е@).
Этот элемент является единичным элементом алгебры 8. По-
Полагая Л = 0 в F.12), получаем равенство
Ц A _ е(-а)Г(«> = ? e(w)e(wp - p), F.14)
а6Д+ w€.W
называемое формулой знаменателя. С его помощью форму-
формула F.12) для характера chL/v представляется в виде
? e(w)e(w(A + р))
chZ/л = . F.15)
wEW
Формулам F.11)-F.15) можно придать строгий смысл
функциональных равенств. Для этого заменим формальные
экспоненты е(А) экспоненциальными функциями еА на f), по-
полагая ех(Н) = ех*-н\ Н € \). Используя характер F.8') пред-
представления, образуем ряд
^(dimVx)eA(K), H е% F.16)
А<Л
§ 6. Представления аффинных алгебр Ли 433
Справедливы такие утверждения.
1. Ряд F.16) сходится на подмножестве
^ ; 0, * = 0,1,2,... ,/}
и является голоморфной функцией на внутренности
Int Y этой области.
2. Ряд F.16) как функция на IntF аналитически продол-
продолжается до мероморфной функции на области
Хс = {Щ + Ш2 | Щ G X, Н2 G
где t)R = ^2 Rhi, a X — конус Титса, определяемый
»=о
формулой
Х= \JwC, С={НеЬн\а{(Н)^0, i = 0,1,2,...,I}.
3. Ряд ^ e(w)ew(A+p) абсолютно сходится на Int Xc до ме-
роморфной функции и абсолютно расходится на \) \Int Xc.
Доказательство этих утверждений можно найти в [31].
Эти утверждения позволяют записать характер представ-
представления La как функцию на Y. Мы имеем
FЛ7)
w"
e(w)e
Формулу знаменателя можно записать в виде равенства
функций:
Ц A - e-Qp<Q> = Y, еИе""-'. F.18)
434 Глава 4
Эта формула служит основой для получения различных тож-
тождеств. Например, для аффинной алгебры А\ она принимает
вид
~~ - е(-а0)пе(-а1)п][1 - е(-ао)п-1е(-а1)"] х
e(_ao)(n+l)Bn+l)e(_ai)nBn+l)
Положив здесь е(—е*о) = и, е(—ai) = w, a потом заменив
на q2 и u/v на ?2, получим тождество Якоби
дающее различные выражения для одной из классических
тета-функций Якоби.
Глава 5
Квантовые группы и алгебры
§ 1. Алгебры Хопфа
1.1. Введение. При изучении нелинейных дифферен-
дифференциальных уравнений и развитии квантового метода обратной
задачи теории рассеяния возникли новые типы алгебр. Напри-
Например, в работах [98, 104] возникла ассоциативная алгебра f/h
с порождающими элементами Н, Е+, Е- и коммутационны-
коммутационными соотношениями
[Н,Е±] =
J Sh/l ' V^'
где h — фиксированное комплексное число, играющее роль
постоянной Планка. В работе [116], посвященной квантовой
модели Лиувилля на решетке, возникла алгебра Ад, порожда-
порождаемая элементами а, Ь, с, d и соотношениями
ab = qba, ас = qca, be = cb, bd = qdb, cd = qdc, A.2)
ad-da={q- q'^bc, A.3)
где q — отличное от нуля комплексное число.
При h -> 0 соотношения A.1) переходят в коммутаци-
коммутационные соотношения для генераторов (базисных элементов)
алгебры Ли sIB,C). Поэтому алгебру J7/, можно рассматри-
рассматривать как деформацию (квантование) универсальной оберты-
обертывающей алгебры для алгебры Ли si B, С). Соотношения A.2)
и A.3) при q -> 1 переходят в соотношения для элементов мат-
матрицы g — ( "'(I Jf\ ) группы 5ХB,С). Поэтому алгебру Ад
можно понимать как деформацию SLqB,C) группы SXB,C).
Однако элементы матрицы
/_ i\
A.4)
436 Глава 5
этой деформации становятся некоммутирующими. Более то-
того, теперь отсутствует зависимость а, Ь, с, d от парамет-
параметров. У матрицы A.4) осталось мультипликативное свойство.
А именно, если элементы матриц ( ",' *!) и ( ?',' *" ) удовлетво-
удовлетворяют условиям A.2) и A.3), то элементы матрицы
(а1 Ь'\ (а" Ь"\ _ (о!а" + Ь'с" а'Ъ" + b'd"\
\с' d'J \c" d") ~ \с'а" + d'c" с'Ь" + dfd")
также удовлетворяют им, если каждое из а', 6', с', d' комму-
коммутирует с каждым из а", Ь", с", d".
Осмысление приведенных примеров привело к новым ма-
математическим понятиям, являющимся основой теории кван-
квантовых групп. Основными объектами этой теории являются
квантованные универсальные обертывающие алгебры и кван-
квантованные алгебры функций на группах. Первые называются
квантовыми алгебрами, а вторые — алгебрами функций на
квантовых группах. Как квантовые алгебры, так и алгебры
функций на квантовых группах являются алгебрами Хопфа.
Алгебра Хопфа — достаточно абстрактное понятие. Чтобы бы-
было понятно, откуда берутся конструкции в определении ал-
алгебр Хопфа, мы предварительно рассматриваем алгебру функ-
функций иа обычной группе. Она является коммутативной алгеб-
алгеброй Хопфа (и кокоммутативной, если группа G коммутатив-
коммутативна).
1.2. Алгебра функций на группе. Пусть G — не-
некоторая группа. В ней определены операция умножения
(ёьёг) -* gigz-i то есть отображение G x G -> G, операция взя-
взятия обратного элемента g —> g~1, то есть отображение G —> G,
и единичный элемент. Пусть si = FunG — некоторая ассоциа-
ассоциативная алгебра функций на G с единичным элементом. Счита-
Считаем, что умножение (Д, /2) -> Д/2и единица / в si определены
формулами
Умножение является отображением si x si -> si. Алгебра si
коммутативна.
§ 1. Алгебры Хопфа 437
Групповые операции в G позволяют ввести в si другие
операции, а именно
а) коумножение Д: si = Fun G -»• Fun (G x G);
б) коединицу e: si —» C;
в) антипод S: si —ъ si.
Они определяются формулами
ай). а,аес, A.5)
= /(е), A-6)
, A.7)
где е — единица группы С Легко проверить, что отображе-
отображения Д, е и S — гомоморфизмы из^в соответствующие ал-
алгебры.
Умножение и коумножение в si определяются также с по-
помощью тензорного произведения. А именно, если G — конеч-
конечная группа или группа Ли, то пусть FunG — алгебра много-
многочленов на G: Fun G = Pol G. Тогда
Pol(G x G) ~ PolG ® PolG = si ® si.
Элементы из алгебры si ® si представляют собой конечные
линейные комбинации J3 Л®Л > /<> /»' G si, причем умножение
t
определяется формулой
(Л
а единицей служит элемент /®/. В этом случае умножение m
в si можно понимать как гомоморфизм из si ® si в si:
(ш ? л ® л) te) = Е ШШе), A-8)
а коумножение Д как отображение из^в«/®«/. Подобным
образом определяются гаиДв случае, когда
Fun (GxG) = FunG ® FunG
438 Глава 5
и под FunG®Fun(? понимается пополнение тензорного произ-
произведения (как, например, в случае L2(G x G) = L2(G)®L2(G)).
Групповые свойства приводят к тому, что гомоморфиз-
гомоморфизмы Д,еи5 имеют дополнительные свойства. А именно, ассо-
ассоциативность (gigt)g3 = gi(g2g3) групповой операции приводит
к равенству
/((&©)©) = f(gi(g2g3)), f €si.
С помощью коумножения левую часть этого равенства можно
представить в виде
f((gig2)gs) = {[(Д ®id) о A]f}(gl,g2,g3) G si® si® si,
а правую — в виде
/(gifegs)) = {[(id® Д) о Д]/}(gi,g2,g3) G si® si® si,
где id — тождественное отображение si на si. Поэтому коум-
ножение A.5) удовлетворяет равенству
(Д ® id) о Д = (id ® Д) о Д, A.9)
которое записывают в виде коммутативной диаграммы
Д
Поскольку для каждого g G G имеем eg= ge = g, то
/(eg) = f(ge) = f(g)i f G si.
Отсюда вытекает такое свойство коединицы:
(е ® id) о Д = (id ® е) о Д = id, A-11)
записываемое в виде коммутативной диаграммы
§ 1. Алгебры Хопфа 439
Поскольку g~xg = gg~x = e, то
/(*-Хв) = /(вГ1) = /(e). A.18)
Отсюда и из того, что (A/)(gi,g2) = /(gigfc)» вытекает, что
id)
А поскольку для умножения т: si® si -»• р/ имеем (ynF)(g:) =
/, to
{[т о E ® id) о Д]/}(?) = {[E ® id) о A]f}(g,g) = f(g-lg).
A.14)
Подобным образом выводим, что
{[то (id ® 5) о A]f}(g) = Hgg-1).
A.15)
Поскольку /(е) = s(f)I(g), то из A.13)-A.15) вытекают соот-
соотношения
[т о E ® id) о Д](/) = [щ о (id ® S) о Д](/) = е(/)/, A.16)
которое можно записать в виде коммутативной диаграммы
id®S
Если G — коммутативная группа, то /(gigs) = f{g2gi),
J E si. Определим линейное отображение а на si®si, действу-
действующее как о-(/х ® /2) = h ® Л, /ь /2 e ?/. Из /(grigj) = f(g2gi)
вытекает свойство кокоммутативности коумножения:
а о А = А.
Бели группа G не является коммутативной, то коумножение
не является кокоммутативным.
440 Глава 5
1.3. Коалгебры и биалгебры. В теории алгебр Хоп-
фа ассоциативной алгеброй называют (комплексное) век-
векторное пространство si, наделенное линейным отображени-
отображением т: si® si -> si', называемым умножением, и линейным
отображением е: С -> si, называемым единицей, такими что
на si ® si ® si выполняется соотношение
mo (т® id) = то (id® т), A-17)
auasi = si®<C = €.®si — соотношение
m о (е ® id) = m о (id ® e) = id. A-18)
Свойство A.17) называют ассоциативностью.
Пусть Ас — линейное пространство. Назовем Ас коал-
геброй, если Ас наделено линейным отображением А: Ас ->
—> Ас® Ас (называемым коумножением) и линейным отобра-
отображением е: Ас —> С (называемым коединицей), такими что
на Ас выполняются соотношения
(A®id)oA = (id®Д)оД, (e®id)oA = (id®e)oA = id. A.19)
Первое из этих свойств называют коассоциативностъю. Коал-
гебру Ас называют некоммутативной, если его Д = Д, где а —
линейное отображение Ас® Ас в Ас® Ас, такое что <т(а® Ь) —
= Ь®а для всех а,Ь G Ас.
Если Д(а) записать в виде
5Z ttli'tt2i
i
то коассоциативность значит, что
i »" i »
Свойство A-19) коединицы означает, что
§1. Алгебры Хопфа 441
Пусть Д.иВс — коалгебры с коумножениями Ал и Дв
и коединицами ед и ев соответственно. Тогда линейное ото-
отображение (р: Ас -» Вс называют гомоморфизмом этих коал-
гебр, если
Аво(р=((ро<р)о АА, ел = ев ° ч>-
Тензорное произведение АС®ВС также наделяется структурой
коалгебры с коумножением Аа®в ¦= (id ® <т ® id) о (АА ® Дв)
и коединицей ?а®в ¦= ?а®?в, где, как и выше, а(а®Ь) = Ь®а.
Линейное подпространство В коалгебры Ас является под-
коалгеброй, если А(-В) С В ® В. Линейное подпространство J
коалгебры Ас называют (двухсторонним) коидеалом, если
A(J)CA®J + J®A, e(J) =
Если J — коидеал в Ас, то фактор-пространство Ac/J явля-
является коалгеброй с коумножением и коединицей, индуцирован-
индуцированными с Ас.
Пусть А'с — линейное пространство линейных функци-
функционалов на коалгебре Ас (его также называют дуальным про-
пространством к Ас). Если А(а) = X} о,ц ® a2i, то формула
(fg) (a) ¦= ^2f(aii)g(a2i), a?Ac, f,ge A'c,
определяет умножение в А'с, преобразующее А'с в ассоциатив-
ассоциативную алгебру.
Пусть теперь В' — дуальное пространство к алгебре В.
Можно было бы ждать, что формула
определяет коумножение на В', преобразуя В' в коалгебру. Но
это не всегда так. Причина состоит в том, что В' ® В' являет-
является, вообще говоря, собственным подпространством в (В®В)',
если алгебра В бесконечномерна. Чтобы устранить эту ситуа-
ситуацию, заменяют В' на подходящее подпространство или расши-
расширяют тензорное произведение (например, пополняя его в неко-
некоторой топологии). Дуальное пространство В' конечномерной
алгебры В всегда является коалгеброй.
442 Глава 5
Ассоциативную алгебру А называют биалгеброй, если в А
введена структура коалгебры (то есть определены коумноже-
ние А и коединица е), причем коумножение и коединица яв-
являются алгебраическими гомоморфизмами соответственно А
и ЛвС, то есть
А(аЪ) = Д(а)Д(Ь), е(аЬ) = е(а)е(Ь),
Рекомендуем читателю доказать, что тогда умножение
т: А ® А -» А и единичное отображение е: С -> А являют-
являются гомоморфизмами соответствующих коалгебр.
Пусть А и В — биалгебры. Линейное отображение у?: А ->
—> В называют биалгебраическим гомоморфизмом А в В, ес-
если оно является гомоморфизмом алгебр и коалгебр. Векторное
пространство А ® В, наделенное структурой алгебры и коал-
коалгебры, как описано выше, становится биалгеброй.
Линейное подпространство J биалгебры А называют би-
идеалом, если оно является двухсторонним идеалом алгебры А
и коидеалом коалгебры А. Фактор-пространство A/J биалгеб-
биалгебры А по биидеалу J становится биалгеброй с биалгебраичес-
кой структурой индуцированной из А.
В биалгебре А выделяют два типа элементов. Ненулевой
элемент a ? А называют группово-подобным, если Д(а) =
= а® а. Произведение группово-подобных элементов являет-
является группово-подобным элементом. Элемент х ? А называют
примитивным, если А(ж) =ж®1-|-1®а;. Для примитивного
элемента х имеем е(х) = 0. Действительно, согласно A.19)
(id ® е)А(х) = хеA) + е(хI = х, еA) = 1.
Поэтому х + е(х) = х и, следовательно, е(х) = 0.
Если хну — примитивные элементы, то [х,у] := ху — ух
также примитивен. Действительно,
А(ху) = (ж®1ч-1®ж)(у®Ц-1®у) = жу®1+а;®у-|-у®а;+1®а;у,
А(уж) =уж®1 + 2/®а;-|-а;®у + 1® ух.
Поэтому А([х,у]) = А(ху) - А(ух) = [х,у] ® 1 + 1 ® [х,у].
§ 1. Алгебры Хопфа 443
1.4. Определение алгебр Хопфа. Биалгебру А назы-
называют алгеброй Хопфа, если в А введено линейное отображе-
отображение S: А —> А (называемое антиподом) и выполняются равен-
равенства
[moE®id)oA](o) = [mo(id®5)oA](o) = e(a)I, aGA. A.20)
Если Д(а) = 5^оц®О2<, то соотношение A.20) принимает вид
Вообще говоря, S2 = SoS ф id и S{ab) ф S(a)S(b). Можно
показать, что антипод S имеет свойства
S(ab) = S{b)S(a), S(I) = I, e°S = e, A.21)
о- о (S ® 5) о Д = Д о S. A.22)
Таким образом, S является антигомоморфизмом алгебры А
и антигомоморфизмом коалгебры А.
Легко показать, что если А — коммутативная или коком-
мутативная алгебра Хопфа, то S2 = id.
Пусть А и В — алгебры Хопфа с антиподами Sa и Sb
соответственно. Линейное отображение (р: А —> В называется
гомоморфизмом алгебр Хопфа, если <р является гомоморфиз-
гомоморфизмом биалгебр и (р о Sa — Sb ° V- Можно показать, что каждый
биалгебраический гомоморфизм между алгебрами Хопфа яв-
является гомоморфизмом алгебр Хопфа, то есть условие (роБл =
= Sb о V5 выполняется автоматически.
Биидеал J алгебры Хопфа А называют идеалом Хопфа,
если S(J) С J. В этом случае A/J — алгебра Хопфа с хопфов-
ской структурой индуцированной из А.
Ассоциативную алгебру А с единицей I называют *-ал-
геброй, если в А введена *-операция, имеющая свойства
(аа + fib)* = аа* + /36* (антилинейность), A-23)
(а*)* = а (инволютивность), A-24)
(ab)* = Ь*а* (антимультипликативность), A.25)
I* =1.
444 Глава 5
Алгебру Хопфа А называют *-алгеброй Хопфа, если в алгеб-
алгебре А введена ^-операция, имеющая перечисленные свойства
и такая что
S({S{a*))*) = а, о?Л, тоесть 5o*oSo* = id, A.26)
и А и е — *-гомоморфизмы, то есть
е(а*) = е(а), а ? А, A.27)
A-28)
если Д(а) = X) 6,- ® с.- Свойство A.28) можно записать в виде
«
Д о * = (* ® *) о Д. A.29)
Заметим, что операции S и * необязательно коммутируют.
Из приведенных в п. 1.4 соображений вытекает, что вве-
введенная там алгебра si = PolG является коммутативной ал-
алгеброй Хопфа. Если группа G некоммутативна, то si — неко-
коммутативная алгебра Хопфа. Примерами некоммутативных
и некокоммутативных алгебр Хопфа являются квантовые ал-
алгебры и алгебры функций на квантовых группах.
Пример 1. Рассмотрим алгебру Хопфа si = Pol G,G=SLB, С).
Функции TTii, 7Г12, 7Г21, тг22 на матрицах g = (%l\ fg) e SLB,C),
определяемые формулами
^ )««' *.i = 1.2, A-30)
принадлежат si. Их называют координатными функциями
на SLB, С). Поскольку каждый элемент из si можно представить
как многочлен от gu, gi2, gn, #22, то тгц, tti2, 7r2i, тг22 порождают
алгебру si. Другими словами, элементы алгебры si являются мно-
многочленами своих элементов тгц, тгхг, 7Г21, тггг, то есть если / € si,
то
Это значит, что
f{g) = f{gll,gl2,g21,g22) =P(Tll(g-),Tl2(g-),7r2l(g-),7r22(g-)). A.31)
§ 1. Алгебры Хопфа 445
Отсюда и из A.30) вытекает, что фактически р = /. Вычислим
действие коумножения Д на координатные функции тгц, jti2, 7Г21,
7Г22- Из определения Д вытекает, что для
(с d)€5LB'C)' (с' J
получаем
faa'+bc' ab' + bd'\
= *" U' + <*с' сЬ1 + dd')
d)
\ /о' Ь'\ fa Ъ\ fa' Ъ'\
)nil{c' <г)+7Г12{с d)*21{c' d>) =
то есть
Д(тц) = !ГЦ ® JTII + 7Г12 ® ЗГ21.
С помощью таких же рассуждений находим, что
Д(Т12) = 111 ® 7Г12 + 5Г12 ® 7Г22,
= Т21 ® Til + Т22 ® Т21,
= Т21 ® Т12 + Т22 ® 7Г22-
Другими словами,
Д(Ту) = Til ® Tlj + Ti2 ® 7T2J. A.32)
ПОСКОЛЬКУ Д ГОМОМОрфИЗМ И 7Гц, 7Г12, 7Г21, 7Г22 ПОрО?КДЭЮТ ВСЮ
алгебру А, то формула A.32) определяет действие Д на ьсей алгеб-
алгебре А.
Эти соображения можно обобщить. Пусть Г — конечномер-
конечномерное неприводимое представление некоторой группы О матрица-
матрицами (tij(g))"j-i, a Uj(g) — многочлены на G. Тогда Uj(g)^A=PolG.
Найдем, как гомоморфизмы Д, е и S действуют на Uj. Посколь-
Поскольку T(gig2) = T{gl)T(g2), то Ujigigi) = T,tik{gi)tkj(g2). Поэтому
согласно формуле A.5) имеем
A-33)
446 Глава 5
Поскольку Т(е) = I, то ty(e) = 6ц и
е{и5) = 6ц. A.34)
Поскольку T(g~l)T{g) = T(g)T(g~1) = Г(е), то
Поэтому
SijI. A.35)
1.5. Представления и копредставления алгебр Хоп-
Хопфа. Под представлением алгебры Хопфа понимают ее пред-
представление как ассоциативной алгебры. Коумножение Д про-
проявляется при рассмотрении тензорных произведений пред-
представлений. Детально об этом можно прочитать в п. 2.3
ниже. Для *-алгебр как правило рассматривают ¦-представле-
¦-представления. Под ^представлением понимают такое представление Т,
для которого Т{а*) — Т{а)* для всех элементов а рассматри-
рассматриваемой *-алгебры Хопфа.
Наряду с представлениями рассматривают копредставле-
копредставления алгебр Хопфа. Пусть е и Д — коединица и коумножение
алгебры Хопфа А, а V — линейное пространство. Линейное
отображение Т: V —> V 0 А, для которого
(Toid)oT=(id®A)or, (id®e)oT = id, A.36)
то есть диаграммы
V®A
коммутативны, называют правым непредставлением алгебры
Хопфа А в пространстве V. Пространство V называют правым
§ 1. Алгебры Хопфа
447
А-комодулем. В A.37) мы отождествляем пространство
с V, полагая w ® /3 = Cv, v 6 V, /3 е С.
Линейное отображение Т: V —> А ® V линейного про-
пространства V в А ® V, для которого
c®v
V®A®A
A.38)
id®T
называют левьш копредставлением алгебры Хопфа А в линей-
линейном пространстве V. Пространство V называют левым А-ко-
А-комодулем.
Если Т — правое непредставление алгебры Хопфа А в ли-
линейном пространстве V, то для v ? V имеем
T(v) =
aj, Vj e V, ajG A.
A.39)
Вследствие коммутативности диаграмм A.37) можем запи-
записать
Аналогичные соотношения выполняются для левых копред-
копредставлений.
Пусть Т: V —> V ® Л — правое копредставление алгебры
Хопфа А. Если W — подпространство в V, такое что T(W) С
С W®A, то W называют правым А-подкомодулем, а отображе-
отображение Т: W —> W 0 А правым подкопредставлением копредстав-
ления Т: V -+ V ® А. Также просто даются определения пря-
прямой (ортогональной) суммы правых (левых) копредставлений,
неприводимости и полной неприводимости копредставлений.
448 Глава 5
Пусть Т: V -» V 0 А и Q: W -» W ® А — два правых
копредставления алгебры Хопфа А. Если существует линейное
обратимое отображение jF из V на W, для которого диаграмма
V W
т\ \Q
V®A F®td • W®A
коммутативна, то есть такое, что для всех v ? V имеем
то копредставления Т и Q называют эквивалентными. Анало-
Аналогично определяются эквивалентности левых копредставлений.
Выберем в правом А-комодуле V, в котором реализуется
копредставление Т, базис е\, е2,... , е„. Тогда
® *>••> где *И€А- (!-42)
Элементы tj, алгебры Хопфа А называют матричными эле-
элементами копредставления Т. Учитывая соотношения A-41),
получаем
Y,Т(е-) ®tji = Yl в,- ® Д(tji). A.43)
j з
А вследствие A.42) имеем
Из A.43) и A.44) вытекает, что
Если задана n x n-матрица (tij) с элементами из алгебры
Хопфа А, то ее называют матричным непредставлением этой
алгебры, если выполняются соотношения A-45) и е(%) = #у.
Формулы A.42)-A.45) показывают, что, выбрав в правом (ле-
(левом) .А-комодуле V базис, получим матричное копредставле-
копредставление алгебры Хопфа А.
§2. Квантовая алгебра Ug(sii) 449
Пример 2. Пусть А = PolG — алгебра Хопфа из п. 1.2, а Г —
конечномерное представление группы G, задаваемое в некотором
базисе пространства представления матрицей (Uj). Если Uj — мно-
многочлены на G, то (tij) — матричное копредставление алгебры Хоп-
Хопфа А.
§2. Квантовая алгебра Uq(s{i)
2.1. Квантовая алгебра Uq(s\2) и ее вещественные
формы. Алгебра Ли slB, С) группы SLB,€) натягивается
на базисные элементы Е+, Е-, Я, удовлетворяющие комму-
коммутационным соотношениям
[Я, Е+] = 2Е+, [Я, ?L] = -2?L, [?+,?¦_] = Я. B.1)
Элементы Е+, Е-, Н порождают универсальную обертываю-
обертывающую алгебру C/(slB,Q) алгебры Ли slB,C).
Зафиксируем отличное от ±1 комплексное число q = ехрт
и деформируем соотношения B.1) в соотношения
[Н,Е+] = 2Е+, [Н,Е-] = -2Е-, B.2)
[Е+,Е.] = ^ХЖ = qH-q~" B.3)
shr q-q
где под sh тЯ понимается формальный бесконечный ряд
sh тЯ = тН + —ЛтНK + ЫтН)ь + ... ,
3! 5!
которое приобретает конкретное содержание при рассмотре-
рассмотрении представлений соотношений B.2) и B.3). Ассоциатив-
Ассоциативную алгебру с единицей, порожденную элементами Е+, Е-,
Я, удовлетворяющими соотношениям B.2) и B.3), называют
деформацией (или q-деформацией) универсальной обертываю-
обертывающей алгебры t/(slB,C)). Она состоит из элементов, которые
являются конечными рядами от Е+, Е- и конечными и бес-
бесконечными рядами от Я.
Чтобы иметь дело только с конечными рядами от порож-
порождающих элементов, вместо Е+, Е-, Я рассматривают порож-
порождающие элементы
Е+, Е-, к = q"!2 ее ехр (ЛЯ/2), AT1 = q~Hl2.
450 Глава 5
Для них коммутационные соотношения B.2) и B.3) заменя-
заменяются соотношениями
кЕ+к~г =qE+, кЕ-к'1 = q~xE-, ккГх =кГхк = \,
B.4)
^ B.4')
Q-Q
Ассоциативную алгебру (с единицей) с порождающими эле-
элементами Е+, Е-, к, к~х, удовлетворяющими соотношени-
соотношениям B.4) и B.4'), обозначают через [/^(sk)-
Базис алгебры [/^(sk) состоит из одночленов
E+rkmE-n, meZ, r,n? Z+
Одночлены
E_rkmE+n, mez, r,nez+
также составляют базис этой алгебры.
Введем в [/^(sb) структуру алгебры Хопфа. Для этого ум-
умножение (а, 6) -? ab в t/g(sl2) линейно распространяем до ал-
алгебраического гомоморфизма
ТП: Ug{5l2)
и вводим коумножение
антипод S: [/g(s[2) -*¦ Ug(sl2) и коединицу е: t/g(sl2) -> С со-
согласно формулам
+ q-H'2 ® Е±, Д(к) = ft ® fc, B.5)
S(E±) =-^Е*, S(k)=k-\ B.6)
e(Et)=0, e(fc) = l, B.7)
где берутся только верхние или только нижние знаки. Опера-
Операции Д, She распространяются на все элементы из
§2. Квантовая алгебра Г/ЧE1г) 451
исходя из того, что Д и е являются гомоморфизмами для со-
соответствующих алгебр, а 5 — антигомоморфизм. Чтобы по-
показать, что операция Д может быть продолжена до гомомор-
гомоморфизма алгебры t/g(sl2) в алгебру Ugfek) ® t/g(sb) достаточно
проверить выполнение соотношений
А{к)А(Е±)А(к-1) = д±Д(?;±),
)A(fc) = 1,
А(к2) - А(к~2)
Предлагаем читателю произвести эту проверку. Алгебру
t^g(sb) c введенной в нее структурой алгебры Хопфа назы-
называют квантовой алгеброй t/g(s[2).
Непосредственно проверяется, что элемент
С ЕЕ +
С" Е~Е+ + (а - Q-1J
из ?/g(sl2) коммутирует с J5+, ?_, к, к~г и, следовательно, со
всеми элементами из Uqish)- Его называют элементом Кази-
Казимира этой алгебры. Сравнительно сложными рассуждениями
(см., например, [76], теорема 45') доказывается, что если q не
является корнем с единицы, то центр алгебры t/g(sl2) порож-
порождается элементом Cq.
Пусть теперь q — корень из единицы, то есть qp = 1,
р е Z+, причем дп ф 1 для 1 ^ п < р. Считаем, что р нечетно.
Ясно, что для (/-числа \р] = \p]Q — (qp - q~p)/(q — q~x) имеем
We - о.
Элементы Е^, Е^, кр, к~р принадлежат центру З? алгеб-
алгебры Ug(sl2). Действительно, k±xEl = q™Ep_k±l = Etk*1. Ме-
Методом математической индукции показывается, что
]пт _ и—2_т—1
[Е+,Е-т] = Е+Е? - ЕГЕ+ = НЕ--1^ 5—^ .
q-q
Поскольку [р] = 0, то Е+Е^ = ЕР.Е+. Таким образом,
EZ. 6 2f. Подобным образом показывается, что Е*_, кр и к~р
452 Глава 5
принадлежат 2f. Доказывается (см., например, [69]), что
центр 2f в этом случае порождается элементами Сд, Е+, ??,
к", к-'.
С помощью введения в [/^(sfe) ^-операции определяются
¦-алгебры Хопфа, которые (по аналогии с классическим случа-
случаем) называют вещественными формами алгебры Uq{s\2). Фор-
Формулы
к* = к, {к'1)* = к'1, Е*+ = Е-, Е*_ = Е+ B.9)
при q 6 IK определяют структуру *-алгебры Хопфа в Ug(sl2),
выделяющую ее «компактную» вещественную форму, обозна-
обозначаемую через ?/g(su2). Формулы
к* = к, (к-1)* = *г\ El = -Е-, Е*_ = -Е+ B.10)
при q e Ш определяют структуру *-алгебры Хопфа в t/q(sl2),
выделяющую ее «некомпактную» вещественную форму
t/g(sui,i). Формулы
к* = к, (к'1)* = ft, Е*+ = -Е+, Е*_ = -Е- B.11)
при \q\ = 1 определяют «некомпактную» вещественную фор-
форму Ug(sl2jR).
Заметим, что формулы B.9) и B.10) при q ? Ш и форму-
формулы B.11) при \q\ ф 1 не определяют структуры *-алгебр Хопфа
на Ug(sl2).
Известно, что преобразование Кэли осуществляет изомор-
изоморфизм классических алгебр Ли su(l, 1) и stB, IK). В квантовом
случае мы не можем говорить об изоморфизме *-алгебр Хоп-
Хопфа Uq(suj_tj_) и ?/g(sl2,jt), поскольку они определены при раз-
различных значениях параметра д.
2.2. Универсальная А-матрица и уравнение Янга-
Бакстера. Коммутационные соотношения B.2) и B.3) не
зависят от перехода от q к q~x. Однако это свойство не со-
сохраняется для операций B.5)-B.7). Другими словами, алгеб-
алгебры Хопфа Ug(sl2) и ?/g-i(sl2) не совпадают. Пусть сг — ли-
линейная операция в ид(в12) ® Ug(sl2), действующая на элемен-
элементы а ® Ь 6 Ug(s\2) ® I7e(sl2) перестановкой: а{а ®Ь) = Ь® а.
§2. Квантовая алгебра Uq{ela) 453
Легко проверить, что если вместо Д и 5 ввести соответствен-
соответственно операции
Д' = а о Д, S' = S-1,
то Д', S' и е будут определять структуру алгебры Хопфа на
ассоциативной алгебре Ug(sl2). Из B.5)-B.7) видно, что полу-
полученная алгебра Хопфа совпадает с Ug-i(sl2).
Простая (но громоздкая) проверка показывает, что опе-
операции Д н Д' связаны соотношением
Д'(о) = ДД(а)Д-1, а е Ug(sl2),
где элемент R из расширения Ug(sl2)®Uq(sl2) алгебры
Ug(sl2) ® Uq(sl2) (подробное описание этого расширения см.,
например, в [76]), содержащего бесконечные суммы элемен-
элементов a <g> Ь € Ug(sl2) <8> С/д(з1г), определяется формулой
R = ехр (|Я ® я! х
oo
X
B.12)
а элемент Л" связан с R соотношением
В B.12) через [а], а е С, обозначено q-число, определяемое
формулой
М = ^^?, B-13)
и при целом положительном т д-факториал [т]\ определяется
аналогично обычному факториалу:
[m]! = [l][2]...[m]. B.14)
Элемент B.12) называется универсальной R-матрицей.
Легко проверить, что в
Ug(sl2K = Ug(sl2)®Uq(sl2)®Ug(sl2)
454 Глава 5
выполняются соотношения
(Д <g> id)R = R13R23, B-15)
R13Ri2, B.16)
где индексы i и j при R показывают, что соответствующее R
берется в i-м и j-м множителях. Из формул B.15) и B.16)
вытекает соотношение
¦^12^13^23 = ^23^13^12) B-17)
называемое квантовым уравнением Янга-Бакстера. Оно иг-
играет важную роль в теории квантования.
2.3. Конечномерные представления алгебры Ujp\$:
д не корень из единицы. В п. 2.3-5 считаем, что q не яв-
является корнем из единицы.
Под конечномерным представлением Т алгебры [/^(sfe)
(рассматриваемой как алгебра Хопфа или ассоциативная ал-
алгебра) понимается гомоморфизм ассоциативной алгебры l/^sb)
в алгебру линейных операторов в конечномерном линейном
пространстве F). Чтобы задать представление Т, достаточно
задать операторы Т(Е+), Т(Е_), T(k) = T(qH/2) и Т(к~1) =
= Т(к)~х, удовлетворяющие соотношениям
T(qH'2)T(E±)T(q-H'2) = 9±Г(?;±), B.18)
[Т(Е+),Т(Е.)] = 1(Я ' _\9 ;, B.19)
q-q
где под коммутатором понимается выражение [А, В]~АВ—ВА.
Важным результатом теории представлений алгебры
Uq(sl2) является- следующая теорема, являющаяся аналогом
соответствующей теоремы для представлений алгебры Ли sl?>.
Теорема 1. Если q не является корнем из единицы, то
каждое конечномерное представление алгебры l/g(sb) вполне
приводимо.
Доказательство этой теоремы см., например, в [76], гл. 3.
Каждому неотрицательному целому или полуцелому чис-
числу I поставим в соответствие комплексное линейное простран-
пространство Sji с базисом ет, т = — I, —1+1,... , I, и операторы Ti(E+),
§2. Квантовая алгебра Ug(sh) 455
Ti(E-), Ti(H), действующие в Sji согласно формулам
Ti(E+)em = [I - mjem+i, ЩЕ-)ет = [I + ттг]ет_1, B.20)
T,(qH/2)em = gmem, B.21)
где g-числа [n] задаются формулой B.13). Непосредственно
проверяется, что операторы B.20) и B.21) удовлетворяют со-
соотношениям B.18) и B.19) и поэтому задают представления
алгебры t/g(sl2), обозначаемые через Г/. Точно так же, как
в классическом случае (см. п. 5.4 гл. 3), показывается, что
представления Т/ неприводимы.
Представления Т/, I — 0, |,1, |,..., алгебры UqipVi) по-
попарно неэквивалентны, поскольку имеют различные размер-
размерности.
Если q — положительное число, то операторы Ti{E±)
и T(q±Hl2) удобно записывать в ином виде. Для этого от
базиса ет, т = —1,-1 + 1,... ,1, переходим к базису е^,
т =-1,-1 + 1,... ,1, где
Тогда
T,(E+)e'm = y/[l-m][l + m+Y]e'm+1, B.22)
/тШ-m + lle^-i, B-23)
Ti{qH/2)e'm = qme'm. B.24)
До начала п. 2.6 считаем, что q — положительное чис-
число. Введя в S)i скалярное произведение, в котором базис е'т,
т = —I,-1 + 1,... ,1, ортонормирован, имеем
Т,(Е±Г = Т{Е^), ТМ"'2)* = Tiq"'2).
Сопоставляя эти формулы с формулами B.9), убеждаемся, что
представления 7} являются ^-представлениями вещественной
формы Ug(su2) алгебры Ug(sl2).
Оператор Казимира Т(Сд) для представления Г/ кратен
единичному оператору:
456 Глава 5
Представления 7} алгебры Uq(sli) можно реализовать
в пространствах Sji однородных многочленов степени 11 от
двух переменных sat. Введя оператор д-производной
n ft \
q-q x
положим
T{{E+) = sDt, Tl(E-) = tD., Tl(H)=sds-tdt B.25)
и введем положительно определенное скалярное произведение
(f,F) = f{Ds,Dt)F(s,t)\s,t=0
в й/. Поскольку Dxxn = [nja;", то одночлены
„l+mjim
em(s,t)= =, т =-1,-1 + 1,... ,1,
у/Ц + т]1[1 - т]1
где под корнем стоят д-факториалы, образуют ортонормиро-
ванный базис пространства f)i, который является д-аналогом
базиса E.13) гл. 3. Операторы B.25) действуют на эти базис-
базисные элементы по формулам B.22)-B.24), то есть эти операто-
операторы действительно задают представление алгебры Uq(sl2), эк-
эквивалентное представлению Г/.
Представления 7}, I = 0,\, 1,§,..., не исчерпывают все
конечномерные неприводимые представления алгебры l/g(sl2).
Пусть и) — одно из чисел —1, i, —i, где i = л/—1. Тогда опера-
операторы
Tiu>(E+)e'm — л/[1 - m][l + га + l]e'm+1,
Т1ы(Е-)е'т = < ~
в пространстве^/ удовлетворяют соотношениям B.18) и B.19),
а поэтому задают представление алгебры Ug(sl2). Эти пред-
представления неприводимы и попарно неэквивалентны. Можно
показать (см. [76], гл. 3), что каждое конечномерное непри-
неприводимое представление алгебры Uq(sli) эквивалентно одному
из представлений 7} или Tiu.
Представления Tiu мало отличаются от представлений 7}.
Поэтому ниже рассматриваем только представления 7}.
§2. Квантовая алгебра Ug(sh) 457
2.4. Тензорное произведение представлений. Пусть
Tix и 7}2 — неприводимые конечномерные представления ал-
алгебры Uq(sl2), действующие соответственно в пространст-
пространствах $ji и $j2- Если Q = l (то есть в классическом случае),
то тензорное произведение I}, <g> 1}2 этих представлений дей-
действует в пространстве #i <g> $j2, причем операторы Е± :=
:= {Th®T^){E±) и Я® := (Th ® 7}2)(Я) задаются форму-
формулами
Я® = Th (Е±) ® /,2 + Ih ® Th (E±), B.26)
Я® = Г,, (Я) ® Ih + /,, ® Г,, (Я), B.27)
где I[t — единичный оператор в fji. Если q ф 1, то, как лег-
легко проверить, операторы B.26) и B.27) не удовлетворяют со-
соотношения B.2) и B.3). Чтобы они удовлетворяли эти соот-
соотношения, операторы Е% и Я® следует задавать формулами,
согласованными с формулой B.5), то есть формулами
Е% = (Г/1®Г/2)(Д(?;±)) = Th{E±) ® qH*/2+q~Hl/2®Th(E±),
fc® =
где q±Hil2 := Т/4(д±н^2). Предлагаем читателю проверить, что
эти операторы удовлетворяют соотношения B.18) и B.19). За-
Заметим, что оператор Т(к) = T(qHl2) конечномерного пред-
представления Т однозначно определяет оператор Т(Н), такой
что T{qHl2) = qT(H)li. Соотношения (fc*1)® = q±Hil*®q±H*l*
эквивалентны такому равенству
Я® = Т1х (Я) ® Ih + Ih ® Th (Я). B.28)
Поскольку оператор B.28) и спектр операторов Г/(Я)
имеют такой же вид, как в случае классической алгебры
Ли slB,Q, то спектр оператора Я® имеет такой же вид, как
для sfB,C). Другими словами, спектр оператора Я в представ-
представлении 7/, <8>?}2 совпадает с объединением спектров этого опера-
оператора в представлениях 7}, I = |/i — /2|, \li — h\ +1, • - - , 'i + h
(см. п. 5.9 гл. 3). Представления 1} однозначно (с точнос-
точностью до эквивалентности) определяются спектром операто-
оператора Я. Поскольку оператор Казимира имеет на перечислен-
перечисленных представлениях разные собственные значения, то пред-
представление Tix <S>I/2 разлагается в прямую сумму неприводимых
458 Глава 5
представлений Ti, I = |Ji — /г|> |'i — h\ + 1> • • • > '1 + h- Подпро-
Подпространства пространства Sji®$Jiв которых реализуются пред-
представления Ti, обозначаем через #/.
Пусть {ел-},{е}.},{е}„} — ортонормированные базисы со-
соответственно в пространствах #i,fl2»Si» B которых операторы
T{E+),T(E-.),T(qHl2) задаются формулами типа B.22)-B.24).
Тогда в соответствии с разложением Sji <8> f}2 — ф -б/ имеем
i
«4 = ?C^i,h,I; j,к,т)в3 ® е'к = ^2<%??е; ® е^.
3,к j,k
Эта формула определяет коэффициенты Клебша-Гордана
Сд(...) тензорного произведения представлений Т^ и Tj2. Для
них справедливо большинство рассуждений п. 5.9 гл. 3. В част-
частности, Cg(li,l2,l; j,k,m) = 0 при j + к Ф т. Выполняются
соотношения ортогональности
2,h j,k,m)Cg(h,l2,l'; j,k,m) = 6W, B.29)
i
B.30)
Вычисление и явный вид коэффициентов Клебша-Гордана ал-
алгебры l/g(sl2) см., например, в [76].
2.5. Тензорное произведение и Я-матрица. Л-мат-
рица, задаваемая формулой B.12), не принадлежит l/g(sl2)<8>
®l/g(s[2). Поскольку операторы Ti{E+) и Ti(E-) представле-
представления Ti нильпотентны, то есть (Ti(E±))u = 0 при определенном
значении целого положительного числа п, то оператор
= (Th ®Th){R)
хорошо определен. Пусть а" — линейный оператор из 9у\ ® й2
на SJ ® Й1, действующий по формуле a'(v\ ® t;2) = v2 <g> v\,
v\ € f)i, V2 € ij2. Введем оператор
§2. Квантовая алгебра Uqish) 459
Поскольку Д'(а) = ДД(а)Д~1, а G Ug(sl2), где Д' = <тД
(см. п. 2.2), то
1 ®Т,я)(Д(а)) =
® Т,я)(ЛД(а)) = ^(li, ® Th){b'{a))(Th ®Т,Я)(Д) =
®Г,2)(Д) = (Т,, ^
то есть Л*1'2 является сплетающим оператором (иначе, опера-
оператором эквивалентности) для представлений I}, ®1}2 и 7}2 ®Tix
алгебры l/g(sl2).
Используя формулы B.22)—B.24), можно вычислить мат-
матричные элементы
Л(П1,П2)(П1+П,П2-П) — \еП!+П G9 ещ-П I Л I en!en2/ ~
?
(П1,П2)(П1+П,П2-П)
— c\eni+n С9ещ-п I е ^+ ^-С/- I eni еп2 /
оператора Д'1'2, где с = gn(n+1)/2(l-g~2)n([n]!)~1. Другие мат-
матричные элементы этого оператора зануляются. Прямое вычис-
вычисление дает
= С1-?)" Afi-»,]![/!+n1-n]!
П1,п2)(п,+П,па-П) [„JJ ^J^ + П1], [^ _ ^ _ ny
АЬ+П2]!р2-П2+п]!\
\[h-n2]l[l2+n2~n]\)
92(щ+п)(п2-п)дп(п+1)/2_
В частности, для R := Л1/2-1/2 и Д := а' о Д1/2'1/2 имеем
Д =
fq 0 0 0
0 1 0 0
0 q-q 1 0
0 0 q)
R =
fq 0 0 0'
JO q - q~x 1 0
0 1 0 0
0 0 q)
. B.31)
2.6. Коэффициенты Рака квантовой алгебры U^X-^.
Коэффициенты Рака алгебры Ug(sl2) определяются так же,
как в случае группы Ли 51/B) (см. п. 5.12 гл. 3). А именно,
рассматриваем тензорное произведение
(Th ® Th) ® Th = Th ® (Г
460 Глава 5
неприводимых представлений квантовой * алгебры l/g(sl2).
В пространствах 5)\, fJ, $)з представлений 7},, 7}2, 7}s вводим
соответственно ортонормированные базисы {еу}, {ffc}, {hm}.
Аналогично формулам E.66) и E.67) гл. 3 вводим базисные
элементы
h
fc,
где CjlJ^ - коэффициенты Клебша-Гордана алгебры Uq(sl2).
Эти базисные элементы связаны унитарной матрицей
'23
Как и в классическом случае, элементы Uq (/i /2/21 '12^23 >0 этой
матрицы не зависят от номеров базисных элементов. Их назы-
называют коэффициентами Рака квантовой алгебры Ug(sl2), или
q-коэффициентами Рака. Унитарность матрицы U означает,
что g-коэффициенты Рака удовлетворяют соотношениям ор-
ортогональности, которые записываются так же как в класси-
классическом случае (см. формулы E.70) и E.71) гл. 3). Для д-коэф-
фициентов Рака существует аналог формулы E.72) гл. 3. Из
нее выводится формула
h h
\ л \ л
t=—Ii j=—h
где суммирование ведется по тем допустимым значениям г
и j, для которых г + j = const. Это соотношение использует-
используется для вычисления g-коэффициентов Рака (см., например, [76,
130, 133]). Часто вместо g-коэффициентов Рака используют-
используются 6./-символы Вигнера
, /12/23,/).
§2. Квантовая алгебра Uq(sh) 461
Явные выражения для б^'-символов Вигнера алгебры Uqiskt)
и их свойства см., например, в [76], гл. 3.
2.7. Представления алгебры С/Ч(я1г): q — корень
из единицы. Пусть др = 1, где р — целое положительное
нечетное число, идп/1 при 1 ^ п < р.
В этом случае справедливо следующее утверждение:
Каждое неприводимое представление алгебры l/g(s[2) конеч-
конечномерно. Действительно, неприводимое представление Т пе-
переводит элементы центра Sf в скалярные операторы. По-
Поскольку элементы кр, к~р, Е+р, Е-р содержатся в центре
(см. п. 2.1), то T(Ug(sl2)) совпадает с линейной оболочкой опе-
операторов T{E+mkrE-.n), 0 ^ m, n ^ р -1, -(р - 1) ^ г ^ р - 1.
Поэтому если v — ненулевой вектор из пространства пред-
представления V, то T(Uq(sl2))v является конечномерным инва-
инвариантным подпространством. Поскольку Т — неприводимое
представление, то T(Uq(sl2))v — V и V — конечномерное про-
пространство.
Теперь наша цель — дать классификацию неприводимых
представлений алгебры Uq(sl2) когда qp = 1. Для этого заме-
заметим, что операторыTi(E+), Ti(E-), Ti(k) и операторыTiu(E+),
Tiu(E-), Tiw(k) из п. 2.3 также определяют представления ал-
алгебры Uq(sl2), когда qv = 1. Но не все эти представления яв-
являются неприводимыми.
Кроме того, введем 3-параметрическую семью представ-
представлений Таьх, где а,Ь и А — комплексные числа, такие что А ф 0.
Пусть V — р-мерное векторное пространство с базисом ei,
i = 0,1,2,... ,р — 1. Непосредственно проверяется, что опера-
операторы
Tabx(E-)ei = ei+1, i<p-l, Т^^Е^е,,^ = Ье0, B.32)
B.33)
ТаЬх{Е+)ео = аер_!, ТаЬх(к)ег = дГ*Аес B.34)
Tabx(E+)ei = (ab+ [г]/9' ' " Х_^ J е;_ь г > 0, B.3
в пространстве V удовлетворяют соотношениям B.18) и B.19),
а следовательно, определяют представлення алгебры [
обозначаемые через Таъ\.—
462 Глава 5
Поскольку E*l и EZ. принадлежат центру алгебры {79(я[2),
то в неприводимых представлениях Г операторы Г(??+)
и Г(??) кратны единичному оператору. Будем различать три
случая:
1) Т(Е%) = Т(Е?) = 0;
2) Т(Е1) /Ои Т{ЕР_) ф 0;
3) Т{Е%) /Ои T(EV_) = 0 или Т(Е\) = 0 и Г(??) ф 0.
Случай 1: Г(Я?) = T(Et) = 0.
Неприводимые представления в этом случае характери-
характеризуются таким утверждением.
Утверждение 1. (i) Представления Ti и 7}ш из п. 2.3
являются неприводимыми тогда и только тогда, когда 11 < р.
Неприводимые представления Ti и Tiu попарно неэквивалент-
неэквивалентны и удовлетворяют условию Т(Е^_) = Т(Е?.) — 0.
(ii) Представления Гооа неприводимы тогда и только тог-
тогда, когда А ф uqn, п = 0,1,... , р—2; w = ±1, ±i. Неприводимые
представления Гооа попарно неэквивалентны.
(ш) Пары р-мерных неприводимых представлений Гооа»
А = uqv~1, lj = — l,±i, и Г(р-1)/2,ь;> а также представле-
представлений Гооа? А = qv~l, и Г(р_1)/2 эквивалентны.
(iv) Любое неприводимое представление Г алгебры [/^(sfe),
такое что Т(Е+) = Т(ЕЧ) = 0, эквивалентно одному из пред-
представлений из (i) или (ii).
Доказательство этого утверждения см. в [76], раздел 3.3.
Случай 2: Т(.Е?)' ^ 0, Т{ЕР_) ф 0.
В этом случае неприводимые представления называют
циклическими. Циклические представления характеризуются
следующим утверждением.
Утверждение 2. (i) Представления Таьх неприводимы
и цикличны тогда и только тогда, когда ни один из коэффи-
коэффициентов a6+[i]g(Ag1""i-A"gi)(Q-Q~1)~1, i = 0,1,... ,p-l,
(в частности, параметры а иЬ) не зануляется.
§2. Квантовая алгебра Ug(sh) 463
(ii) Неприводимые и циклические представления Таь\
о'Ь'А' эквивалентны тогда и только тогда, когда а' =
[i\q(\q1-i-\-1qi-1)(q-q-1)-1,b = V и\' = q2i\ для
некоторого г € {0,1,2,..., р — 1}.
(ш) Каждое неприеодимое и циклическое представление
алгебры Ug(sl2) эквивалентно одному из представлений Таь\.
Доказательство этого утверждения см. в [76], раздел 3.3.
Собственные векторы оператора представления Т(к) на-
называют весовыми. Из утверждения 2(i) и формул B.32)-B.34)
вытекает, что в циклическом представлении с помощью дей-
действия оператора Таь\(Е+) (а также с помощью действия опера-
оператора Таьх (?¦-)) можно перейти от любого весового вектора е^
к всякому другому весовому вектору е,-. Это объясняет по-
почему эти представления называют циклическими. В цикли-
циклическом представлении не существует старших весовых век-
векторов (то есть векторов е^, для которых Tab\(E+)ei = 0)
и младших весовых векторов (то есть векторов е,-, для ко-
которых Tab\{E-)ej = 0). Напомним, что для представлений Г/
(и для представлений Х/ы) существуют как старший, так
и младший весовые векторы.
Случай 3: Т(Е%.) = 0 и Т(??) ф 0 или Т(Е\) ф 0 и T(EZ) = 0.
В этом случае представления называют полуциклически-
ми. Сначала рассмотрим случай, когда Т{Е\) = 0 и Т{Е^_) ф 0.
Примерами таких полуциклических представлений являются
представления Таь\ при а = 0.
Утверждение 3. (i) ХЬьа является неприводимым пред-
представлением, таким что Гоьа(^+) =0 к Тоь\{Е^_) Ф 0, тог-
тогда и только тогда, когда \р = 0, ±1. Два таких представ-
представления ХЬьа и Гоь'А' эквивалентны тогда и только тогда, ког-
даЬ = Ьг и\ = Х.
(ii) Каждое неприеодимое предстаеление Т алгебры UJ^sli),
такое что Т(Е+) =0 к Т(Е^_) ф 0, эквивалентно одному из
представлений Тоьх, Ь Ф 0, А Ф 0.
Доказательство этого утверждения см. в [76], раздел 3.3.
464 Глава 5
Теперь рассмотрим полуциклические представления Г,
такие что Т(Е+) ф 0 и T(E*L) = 0. Для этого вводим ал-
алгебраический автоморфизм в алгебры C/Q (s[2), такой что
6{Е+) = Е-, в(Е-) = Е+, в^*1) = к*1.
Тогда композиция Г' = Г о в является представлением алгеб-
алгебры Uq{s\2), если Т — ее представление. В частности, ГцЬА =
= Гоьа ° Q — представление алгебры С/о (s I2) в выше введенном
векторном пространстве V. Это представление задается фор-
формулами
О,
Го'ЬА(?;_)ео = 0, Т^ьх(Е+)е{ = ei+1, » < р - 1,
Ясно, что T'(?J^)/O и T'(?J?)=O тогда и только тогда, ког-
когда Т{Е\) = 0 и Т(ЕР_) ф 0. Поэтому утверждение 3 оста-
остается справедливым, если Тоьх заменить на ГцЬА и переста-
переставить Е*1 и ?J?. В частности, каждое полуциклическое непри-
неприводимое представление Т, такое что Т(Е+)фО и Т(Е^_) = 0,
эквивалентно одному из представлений Г^ЬЛ.
Из формул B.32)-B.34) вытекает, что е0 — старший весо-
весовой вектор представления Гоьа и представления Гоьа с Ь Ф 0 не
имеют младшего весового вектора. Таким образом, полуцик-
полуциклическое представление Г, такое что Т(Е\) = 0 и Т(ЕЦ_) ф 0,
всегда имеет старший весовой вектор и не имеет младшего
весового вектора. Подобным образом, полуциклическое пред-
представление Г, такое что Т{Е%_) ф 0 и Т(Е^_) = 0, имеет млад-
младший весовой вектор и не имеет старшего весового вектора.
Случаи 1-3 исчерпывают-все возможные случаи для не-
неприводимых представлений алгебры Uq{s{2), когда q — корень
из единицы. Поэтому справедлива такая теорема.
Теорема 2. Каждое неприводимое представление ал-
алгебры Uq(sl2) при qp = 1 является весовым представлением
и его размерность не превышает р. Неприводимые представ-
представления Г с dim Т <р эквивалентны представлениям Ti или Г/ы
§3. q-осцилляторная алгебра и алгебра Uqisk) 465
с 21 <р— 1 из утверждения 1. Каждое неприводимое пред-
представление размерности р эквивалентно одному из представ-
представлений Таьх и Гцьл из утверждений 1-3.
Теперь рассмотрим представления Тоол с Л = wqn, u> =
= ±l,±i, п = О,1,... ,р - 2. Такое представление приводи-
приводимо, и линейная оболочка базисных векторов е,, п < i ^ р — 1,
является нетривиальным инвариантным подпространством.
Ограничение представления Тооа на это подпространство эк-
эквивалентно неприводимому представлению Т/, 21 = р — п — 1,
если и> — 1, и представлению Г/ы, 21 = р — п — 1, ес-
если и> = —l,±i. Детальное рассмотрение операторов Тоол(?+),
Тоо\(Е~) и Тооа(&) показывает, что эти представления Тоол
не являются вполне приводимыми. Таким образом, если q —
корень из единицы, то теорема о полной приводимости конеч-
конечномерных представлений алгебры f/9(sl2) неверна.
§ 3. д-осцилляторная алгебра
и алгебра Ug(sl2)
3.1. Q-осцилляторные алгебры. 9-осЧилляторные ал-
алгебры — это деформации с помощью параметра q алгебры
гармонического осциллятора квантовой механики, q-осцилля-
q-осцилляторная алгебра Aq является комплексной ассоциативной ал-
алгеброй с единицей, порожденной четырьмя генераторами а+,
°"> QNi Q~Ni удовлетворяющими соотношениям
[a,a+]g:=aa+-qa+a = q-N, qNq-N = q~N q" = 1, C.1)
qNo+ = qa+qN, qNa = q-1aqN. C.2)
Эти определяющие соотношения формально эквивалентны та-
таким:
[а, а+]я = q~N, [N, а+] := Na+ - a+N = a+, [N, а] = -а.
C.3)
Используя соотношения C.1) и C.2), легко проверяем, что
элемент
сд := q^m* - «+«) = <?-"[Щд + Q~2N ~ Q~Naa+, C.4)
466 Глава 5
где [N]q := (qN — q~N)/(q — Q), принадлежит центру алгеб-
алгебры Ад. Можно показать, что если q не является корнем из
единицы, то центр 2f алгебры Ад порождается элементом сд.
Пусть теперь q — корень из единицы, то есть qp = 1,
где qn ф1 при 1 ^ п < р. Считаем, что р нечетно. Тогда эле-
элементы (а+)р, ар, (qN)p, (q~N)p принадлежат центру алгеб-
алгебры Ад. Действительно, из C.1) и C.2) вытекает, что
а(а+)п = [n],(fl+)"-1g-JV + q~n(a+)na,
(a+)nq-N = qnq'N(a+)n.
Полагая n = p и учитывая, что qp = 1 и \р]д = 0, видим,
что (а+)р 6 2f. Доказательство для аР и (q±N)p аналогично.
Соотношения C.1) и C.2) не симметричны относительно
замены q на д. Поэтому наряду с алгеброй Aq рассматрива-
рассматривают симметричную q-осцилляторную алгебру Ад, порождаемую
элементами а+, a, qN, q~N, удовлетворяющими соотношени-
соотношениям C.1), C.2) и соотношению
[a, o+]9-i := аа+ - q^a+a = qN. C.5)
Из C.1) и C.5) для алгебры А"д выводим
а+а = [N]g, ee+ = [N + 1],. C.6)
Отсюда вытекает, что
[N]qa+ = а+аа+ = a+[N + 1]„ a[N]g = аа+а = [N + 1}да.
Заметим, что алгебра Ад является фактор-алгеброй алгеб-
алгебры Ад по двухстороннему идеалу J, порожденному элемен-
элементом аа+ — q~1a+a — qN. Поскольку в определении алгебры А"д
соотношение (ЗГ5) может быть заменено на первое соотноше-
соотношение в C.6), то идеал J порождается также центральным эле-
элементом сд. Поэтому элемент сд переходит в нулевой элемент
в алгебре А"д. Это значит, что если q не является корнем с еди-
единицы, то алгебра Ад имеет центр, совпадающий с С • 1.
В Ад и Ад можно ввести *-структуры, превращающие эти
алгебры в *-алгебры. Если q вещественно, то такие ^струк-
^структуры как в Ая, так и в Л* определяются формулами
а'=а+, (qN)' = qN.
§3. q-осцилляторная алгебра и алгебра UqfaW) 467
Бели \q\ = 1, то алгебра Aq является *-алгеброй с *-структу-
рой, определяемой формулами а* = а+, (gN)* = q~N ¦
3.2. Неприводимые представления: q — не корень
из единицы. Если q не является корнем с единицы, то (в от-
отличие от квантовой алгебры f/g(sl2)) алгебры Ад и A"q име-
имеют только бесконечномерные неприводимые представления.
Определение таких представлений может быть разным. Мы
принимаем такое определение. Гомоморфизм Т из Ад в алгеб-
алгебру операторов в векторном пространстве V называют пред-
представлением алгебры Ая, если V имеет базис, состоящий из
собственных векторов оператора T(qN), и выполняются соот-
соотношения
[Г(о),Г(о+)]в = <TT(JV\ T(N)T(a+) = T(a+) (T(N) +1),
C.7)
T(a)T(N) = (T(N) + I)T(a), C.8)
где T(N) — оператор, определенный на собственных векто-
векторах \w) оператора T(qN): T(qN)\w) — qw\w) формулой
T(N)\w) = w\w).
Представления алгебры Ag определяются так же с той
разницей, что к соотношениям C.7) и C.8) добавляется соот-
соотношение
[T{a),T{a+)]g-1=qT^. C.9)
Ясно, что каждое представление алгебры Л* является пред-
представлением алгебры Ая, а представление алгебры Aq является
представлением алгебры Л* только тогда, когда его операто-
операторы Г(а), Т(а+), T(N) удовлетворяют соотношению C.9).
Пусть Т — представление алгебры Aq в векторном про-
пространстве V, a \w) — собственный вектор оператора T(N)
с собственным значением гу. Изучение неприводимых пред-
представлений алгебры Ад базируется на таких утверждениях:
(i) T(a+)\w) = 0 или T(a+)\w) — собственный вектор опе-
оператора T(N) с собственным значением щ + 1.
(ii) T(a)\w) = 0 или T(a)\w) — собственный вектор опера-
оператора T(N) с собственным значением w — 1.
(iii) Если Т — неприводимое представление, то \w) — соб-
собственный вектор для Т(а+)Т(а) и Т{а)Т(а+).
468 Глава 5
. Докажем утверждение (ш). (Другие случаи доказывают-
доказываются аналогично.) Поскольку Т — неприводимое представление,
то Т(сд) — а-I для некоторого а ЕС Следовательно,
T(cg)\w) = в1—МИ - Т(а+)Т(а)И =
= (91—И + g~2w)H - T(q-N)T(a)T(a+)\w) = a\w).
Поэтому |гу) — собственный вектор для Т(а+)Т(а)
и Т(а)Т(а+).
Пусть Т — неприводимое представление алгебры Aq
и |гу) — собственный вектор оператора T(N). Относительно
действия операторов Т(а+) и Т(а) на вектор |го) существуют
три возможности:
1) Существует число п 6 Z+, такое что T(a)n\w) = 0. Тог-
Тогда Т называют представлением с младшим весом.
2) Существует число п 6 Z+, такое что T(a+)n\w) = 0. Тог-
Тогда Т называют представлением со старшим весом.
3) Для всякого neZ+ имеем Т(я)п|и/)/0 и T(a+)n|w/)^0.
Пусть w — комплексное число и пусть V+ — векторное
пространство с базисом \w + га), га = 0,1,2,..., a V_ — век-
векторное пространство с базисом \w — т), т = 0,1,2, Тогда
операторы T+(N), Г+(а+) и Т+(а) на пространстве V+, зада-
задаваемые формулами
T+(N)\w + m) = (w + m)\w + m),
Г+(а+)|гу + m) = |гу + m + 1),
T+(a)\w + m) - q-w[m]q\w + m - 1),
где |гу — 1) := 0, определяют неприводимое представление
алгебры Ая с младшим весом. Подобным образом, операто-
операторы T~(N), T~(a+) и Т~(а) на пространстве F_, задаваемые
формулами
- m) = (w/ — m)\w — m),
T^{a)\w -m) = \w-m-l),
T~(a+)\w -m) = -в—ЧгоЦи; - m + 1),
§3. q-осцилляторная алгебра и алгебра (/„(sfe) 469
где |гу + 1) := 0, определяют неприводимое представление со
старшим весом.
Классификация неприводимых представлений со старшим
или младшим весом алгебры Ад дается следующей теоремой,
доказательство которой можно найти в [76], раздел 5.2.
Теорема 1. (i) Каждое неприводимое представление
с младшим весом эквивалентно одному из представлений Т+.
Представления Т* и Т*, эквивалентны тогда и только тогда,
когда qw = qw'.
(ii) Каждое неприводимое представление со старшим ве-
весом эквивалентно одному из представлений Т~. Представ-
Представления Т~ и Т~, эквивалентны тогда и только тогда, ког-
когда qw = qw>.
Легко проверить, что
^-"М,!, T-(cq)=q'w[w + l]gI. (ЗЛО)
Пусть теперь q,w € С и 0 ^ Rew < 1. Обозначим че-
через V комплексное векторное пространство с базисом \w + m),
те!,. Операторы Taw(N), Taw(a+) и Taw(a) на V, определен-
определенные формулами
Taw(N)\w + m} = (w + m)\w + ...„
Taw(a+)]w + m) = ]w + m + l) '
Taw(a)\w + m) = (aqm + q-w[m])\w + m - 1} C.12)
удовлетворяют соотношениям C.7) и C.8), а следовательно,
определяют представление алгебры Aq. Справедлива формула
Taw(cg) = ^-"(М - аI. C.13)
Теорема 2. Если aqm+q~w[m]^0 для всех meZ, то
представление Taw неприеодимо и не имеет ни старшего, ни
младшего весовых векторов. Два таких представления TQW
и Ta>w' эквивалентны тогда и только тогда, когда а = а'
и qw = qw'. Каждое неприводимое представление алгебры Aq
без старшего и младшего весовых векторов эквивалентно од-
одному из представлений Taw.
470 Глава 5
Доказательство этой теоремы см., например, в [76], раз-
раздел 5.2.
Теоремы 1 и 2 классифицируют неприводимые представ-
представления алгебры Ад. Поскольку алгебра А* является фактор-
алгеброй алгебры Ад по идеалу, порожденному элементом C.4),
то неприводимые представления Aq с точностью до эквива-
эквивалентности находятся во взаимно однозначном соответствии
с теми неприводимыми представлениями Т алгебры Ад, для
которых Т(сд) = 0. Поэтому из формул C.10) и C.13) вы-
выводим классификацию неприводимых представлений алгеб-
алгебры Ад. Она дается следующей теоремой.
Теорема 3. (i) Пусть w+ uw- — фиксированные комп-
комплексные числа, такие что qw+ = — 1 и qw-+1 = —1. Тогда
представления Т$ ', Т++, TZ\ uT~_ являются попарно неэкви-
неэквивалентными неприводимыми представлениями алгебры Ад со
старшим или младшим весом.
(И) Пусть w 6 С такое, что 0 ^ Rew < 1 и [w]qm +
+ q~w[m] ф 0 для всех т 6 Z. Тогда T[w]tW — неприводимое
представление алгебры Aq. Два таких представления T[w]jW
и T[w>],w> эквивалентны тогда и только тогда, когда qw = qw>.
(iii) Каждое неприводимое представление алгебры Ад эк-
эквивалентно одному из представлений из (i) или (ii).
Пусть теперь q > 0 и q ф 1. Тогда на Ая и Aaq существует
¦-структура, превращающая их в *-алгебры. Эта *-структу-
ра определяется формулами а* = а+, [qN)* = gN. Мы хотим
найти все (с точностью до эквивалентности) неприводимые
¦-представления *-алгебр Aq и Aq. Напомним, что *-представ-
лением *-алгебры А называют представление Т на векторном
пространстве V со скалярным произведением (v \ v'), такое
что
{T(x)v\v') = (v\T(x*)v'), ж€ Л, v,v'€V.
Детальный анализ представлений теорем 1-3 приводит к клас-
классификации неприводимых представлений алгебр Aq и Aaq, ко-
которая дается следующей теоремой.
§3. q-осцилляторная алгебра и алгебра Uq(sh) 471
Теорема 4. (i) Г+ и Т~ являются * -представлениями
*-алгебры Aq тогда и только тогда, когда qw > 0 и qw < О
соответственно.
(ii) Если 0 < q < 1, то Taw является ^-представлением
*-алгебры Ад тогда и только тогда, когда qw > 0 и a(q—q~1)+
+ q~w ^ 0. Если q > 1, то Taw является *-представлением
тогда и только тогда, когда qw < О и aqw + (q — g) ^ 0.
(ffi) Неприводимые *-представления *-алгебры А* с точ-
точностью до унитарной эквивалентности исчерпываются пред-
представлениями Tq и Т~_, qw~ < О.
Оператор T{N) можно рассматривать как g-аналог опе-
оператора числа частиц. Поэтому естественно требовать, чтобы
он имел вещественный спектр. Поэтому *-представление Т
*-алгебры Aq или *-алгебры Л* называем физическим, если
оператор T(N), определенный в начале этого пункта, имеет
вещественный спектр. Анализируя *-представления из тео-
теоремы 4, приходим к таким заключениям. Только представ-
представления Taw, 0 < q < 1, и представления Т+ из теоремы 4
являются физическими ^представлениями *-алгебры Aq.
*-Алгебра A"q имеет единственное физическое неприводимое
¦-представление, которым является представление т?. Оно
называется представлением Фока.
3.3. Неприводимые представления: q — корень
с единицы. В этом пункте считаем, что qp = 1, гцер нечет-
нечетно и qn ф 1 для 1 ^ п < р. В этом случае элементы (а+)р, ар,
(qN)p и (q~N)p принадлежат центру 2f алгебры Aq (и алгеб-
алгебры Asq). Поэтому Ад — конечномерное векторное пространст-
пространство над 2f. Из этого вытекает, что каждое неприводимое пред-
представление алгебры Ад конечномерно.
Если Т — неприводимое представление алгебры Ад,
то Т(а+)р и Т(а)р кратны единичному оператору. Неприво-
Неприводимые представления Т, для которых Т(а+)р ф 0 и Т(а)р ф О
называются циклическими. Если Т(а+)р ф 0 и Т(а)р = О
или Т(а+)р = 0 и Т(а)р ф 0, то такие представления назы-
называют полуциклическими.
Пусть /1,{бСи{/0. Обозначим через V комплексное
векторное пространство с базисом \тп), m — 0,1,... ,р — 1.
472 Глава 5
Определяем на V операторы
)М = \т + 1), 0 ^ т ^ р - 2,
ЧР - 1),
и операторы
(a+)|m> = [m + м + Ц\™ +1), 0 ^ то ^ р ~ 2,
Эти оба множества операторов удовлетворяют соотношени-
соотношениям C.1) и C.2) и, следовательно, определяют представления
алгебры Ад, которые будем обозначать через Т^ и Tf^ соот-
соответственно.
При w € С операторы на V, определяемые формулами
Tw(Q±N)\w + m) = q^w+m)\w + m),
Tw(a+)\w + то) - \w + m + 1),
Tw(a)\w + m)= q-w[m]\w + m - 1),
где \w — 1) = \w + p) := 0, также определяют представления
алгебры Aq, обозначаемые через Tw.
Легко проверить, что представления Г^ и Г^, неприво-
димы. Если ц ф 0 и ? ф 0, то представление Т'^ эквивалент-
эквивалентно представлению Т^^^-х. Представления Tw неприводимы.
Классификация неприводимых представлений алгебры Ад да-
дается следующей теоремой.
Теорема 5. (i) Каждое неприводимое представление ал-
алгебры Ад имеет размерность р и эквивалентно одному из пред-
представлений ТцО ц,? € С, ^ ф 0, T^v Z 6 С, ? ф 0, Tw, w 6 С.
Представления Т^, ц ф 0, ? Ф 0, циклические, представле-
представления То,?, ^ ^ 0, полуциклическпе с младшим весовым векто-
вектором, а представления Т^*, ? ф 0, полуциклические со стар-
старшим весовым вектором. Представления Tw имеют старший
и младший весовые векторы.
§3. q-осцилляторная алгебра и алгебра Uq{sh) 473
(ii) Представления Т^ и Тм>р, ц,ц' ф 0, эквивалентны
тогда и только тогда, когда ? = ?' и q" = q"+k для некото-
некоторого к = 0,1,2,..., р - 1. Представления Т0? (а также пред-
представления Тд ?) попарно неэквивалентны. Представления Tw
и Twi эквивалентны тогда и только тогда, когда g** ~ qw>.
Легко видеть, что Т^(сд) = Т^(сд) = 0. Для представле-
представления Tw имеем Tw(cg) = 0 тогда и только тогда, когда q2w — 1,
то есть когда w = 0,р/2. Таким образом, каждое неприводимое
представление алгебры Aeq эквивалентно одному из представ-
представлений Т^, То'?, Го и Тр/2.
3.4. Представление Фока. В этом пункте считаем,
что q > 0 и q Ф 1. *-представление Г := Т? симметричной
«7-осцилляторной алгебры A"q называется представлением Фо-
Фока. Обозначив базисные элементы |m), m = 0,1,2,..., про-
пространства V представления Фока через |т)' соответственно
и положив \т) = ([mlql)*1/2]™,)', для операторов представле-
представления Фока получаем
T(a)\n) = yJ\n[g\n-l), T(a+)\n)
T(N)\n) - п\п). C.14)
Вводим в пространство V скалярное произведение, для
которого векторы \т) ортонормированы. Замыкание про-
пространства V относительно этого скалярного произведения яв-
является гильбертовым пространством, которое будет обозна-
обозначаться через Sj. В пространстве f) имеем Т(а)* = Т(а+).
Представление Фока описывает g-деформированный ос-
осциллятор с гамильтонианом Н — (кш/2)(аа+ + а+а), где h
и w такие, как для обычного квантового гармонического ос-
осциллятора. Базисные векторы \п) являются собственными для
этого гамильтониана с собственными значениями
где q = ev. В пределе q —> 1 эти числа дают собственные значе-
значения гамильтониана квантового гармонического осциллятора.
474 Глава 5
Реализуем представление Фока g-осцилляторной алгеб-
алгебры А^ в гильбертовом пространстве целых голоморфных
функций. Пусть Dq — д-производная функций от комплексной
переменной z:
q-q
Пусть C[z] — пространство многочленов от z. Для f,g? C[z]
определяем
гДе/ = Х)"п2П'если/ = X) anzn. Поскольку Dgzn = [n\qzn~l,
то форма (•, •) является (положительно определенным) скаляр-
скалярным произведением на линейном пространстве C[z], таким
что многочлены
^=, n = 0,1,2,...,
составляют ортонормированный базис. Замыкание простран-
пространства C[z] относительно этого скалярного произведения яв-
является гильбертовым пространством, обозначаемым через #.
Элементами этого гильбертового пространства являются все
сю
голоморфные функции f(z) — $] anzn на комплексной плос-
п=0
оо
кости, для которых Yl \an\2[n]ql < оо. В частности,
п=0
ненциальная функция
п=0
лежит в пространстве gV Для нее справедливо равенство
71=0
Для Eq(z) имеем оценки \Eq(z) ^ Eg(\z\) ^ exp|z|, z ?<C. Для
положительных значений переменной z функция Eq(z) поло-
положительна.
§3. q-осцилляторная алгебра и алгебра Uqfah) 475
Существует изоморфизм гильбертовых пространств $}
и $, отображающий \п) на un(z). При этом изоморфизме опера-
операторы Т(а), Т(а+) и T(N) из C.14) превращаются в операторы
T{a)=Dg, T(a+) = z, T{N) = z? C.15)
на пространстве !?• Эта реализация представления Фока Г ал-
алгебры Asq называется q-реалшацией Баргмана - Фока.
Если z — комплексное число, то вектор \z) € f) единичной
длины называется д-когерентным состоянием, если
T{a)\z) = z\z).
Каждое комплексное число является собственным значением
оператора Т(а) с собственным вектором
\z) = Eq(zz)-W f; ^|^
где Eq{zT{a+)) := f) (zT(a+))n/[n]!. Множитель Ед{гг)-^2
n=0
взят для того, чтобы обеспечить единичную длину векто-
вектора \z). Отметим, что собственные векторы \z), z G С, не яв-
являются взаимно ортогональны. Скалярные произведения для
них даются выражением
(z'\z) = Eq{z^
3.5. g-осцилляторная реализация алгебры t/4(sl2).
Квантовая алгебра f7g(sl2) может быть реализована в терми-
терминах элементов g-осцилляторной алгебры Aq.
Утверждение 1. Для каждого а ЕС существует алгеб-
алгебраический гомоморфизм &а: Ug(sl2) -> А*, такой что
{+) , a()[}q, )
C.16)
Существует алгебраический гомоморфизм 3: Uqz{sh) -> Aq,
такой что
Q+q x q+q
C.17)
476 Глава 5
Доказательство. Чтобы показать, что отображение $а
является алгебраическим гомоморфизмом, достаточно пока-
показать, что элементы C.16) алгебры Л* удовлетворяют со-
соотношениям B.4) и B.4'). Проверим выполнение соотноше-
соотношения B.4'):
= aa+[N - 2а]д - a+[N - 2a]qa =
= aa+[N - 2а]д - a+a[N -2а- 1}д =
[N+ l]q[N - 2a]q - [N]g[N -2a- 1], =
-a) _ g-2(JV-g)
q-q-1 q- q~l
Другие соотношения проверяются подобным образом. Чтобы
доказать, что З' является алгебраическим гомоморфизмом,
используются соотношения
(а+Jа2 = [N]g[N - 1]„ a2(a+f - [N + l]g[N + 2}g.
Утверждение доказано.
Для реализации квантовой алгебры {/^(sb) в терминах
двух коммутирующих g-осцилляторных алгебр нам потребу-
потребуется расширение А?х* алгебры Asq путем присоединения эле-
элементов qN/2 и q~N/2. Алгебра A*xt является ассоциативной
алгеброй с единицей, порожденной элементами а, а+, qN/2
и q~N/2, удовлетворяющими соотношениям
[а,а+]д = q-N := (q^2J, [а,а+]гг = qN := (qN'2J,
g-N/2gN/2 = qN/2g-N/2 = ^ gN/2a+ = ql/2a+gN/2^
q"/2a = q-^aq»/2.
Обозначим через Ag*t>2 тензорное произведение двух ал-
алгебр Ад**. Генераторы алгебры Л*х1'2 обозначаем через ai,a*,
qNl/2, q~Nl/2 и иг, а?, qN"^2, q~N"^2. Каждый элемент с пер-
первого множества коммутирует с любым элементом с второго
множества.
§3. q-осцилляторнал алгебра и алгебра Ug(slt)
477
Утверждение 2. Существует единственный алгебраи-
алгебраический гомоморфизм <р: (/^(sfe) -> Л*х4'2, такой что
<р(Е+)=а+а2,
(ЗЛ8)
Доказательство этого утверждения оставляем читателю.
В [76], раздел 5.3, показано, что гомоморфизм <р в действи-
действительности является изоморфизмом алгебры Uq(sl2) в Л*х*>2.
3.6. Алгебра A*xt<2 и представления f/Q(s!2). Пред-
Представление Фока Т алгебры Asq формулами C.14) приводит к со-
соответствующему представлению алгебры Л*х*'2 в гильберто-
гильбертовом пространстве ?2 := f) ® fl, которое также обозначаем
через Г. Композиция тг := Г о у>, где ip — гомоморфизм из
утверждения 2, определяет бесконечномерное представление
квантовой алгебры Uq(sl2):
тг:
У) .
Базисные элементы \тп, п) — \тп) ® \п) пространства $j2 можно
представить в виде
•v/R! ч/Н1
Из C.18) следует, что
n{E+)\m,n)=T{al)T(a2)
Подобным образом выводим, что
п(Е-)\т,п) =
478 Глава 5
п(к)\т,п) = q(m-nV2\tn,n).
Из этих формул вытекает, что линейное подпространст-
подпространство Vi С Sj2, натянутое на базисные элементы \т, п), тп+п = 21,
инвариантно относительно представления тг алгебры t/g(sl2).
Обозначим числа тп+п, m и п через 21,1 + к и I — к соответ-
соответственно. Тогда Vi натягивается на векторы
е'к :=
Операторы тг(Е+), п(Е-) и тг(к) действуют на эти векторы по
формулам
-)elk = ([I + к]{1 -к + l]I/2eU, 7r(fc)ei - gkelk
Таким образом, сужение представления тг алгебры [^(sfe) на
подпространство Vi эквивалентно неприводимому представле-
представлению Ti этой алгебры из п. 2.3. Таким образом,
Г,-
Повторив рассуждения этого пункта с заменой простран-
пространства fJ на гильбертово пространство 52 = 5 ® 5 из п. 3.4,
приходим к реализации неприводимых представлений Tj кван-
квантовой алгебры Uq(sl2) формулами B.25) в пространствах од-
однородных многочленов степени 21 от двух переменных. Реко-
Рекомендуем читателю провести эти рассуждения.
§4. Алгебра функций
на квантовой группе SLgB)
4.1. Алгебра функций на квантовом матричном
пространстве МдB). Пусть Т^ и Tj2 — неприводи-
неприводимые конечномерные представления квантовой алгебры t/^sfc)
из п. 2.3. Тензорное произведение Г/, ®Tj2 этих представлений
§4. Алгебра функций на квантовой группе SL,B) 479
некоммутативно, то есть Tj, ® Tj2 ф Tj2 ® Tj,. Из результатов
п. 2.5 вытекает, что
D.1)
где Д'1'2 — оператор из тензорного произведения Vi ® F2 пред-
представления Tjj ® Tj2 в тензорное произведение V2 ® Vi-
Положим /i = h = 1/2 и обозначим матричные элемен-
ты *!/2,i/2' *i/2.-i/2' *-i%fi/2> f-i2/2,-i/2 неприводимого пред-
ставления ^/2 через а, 6, с, d соответственно:
Записывая соотношения D.1) в матричном виде, получаем со-
соотношения
ab = gba, ас = дса, 6d = gd6, cd = gdc, be = cb, D.2)
ad - da = (q - ff-^bc D.3)
(другие соотношения следуют из этих).
Пусть &(МдB)) — комплексная ассоциативная алгебра
(с единицей), порожденная генераторами а, Ь, с, d, удовле-
удовлетворяющими соотношениям D.2) и D.3). Вводим в &(МдB))
структуру биалгебры, задавая коумножение Д и коединицу е
формулами
Д(а) = а®а + Ь®с, Д(Ь) ~a®b + b®d, D.4)
Д(с) = c®a + d®c, A(d) = c®b + d®d, D.5)
e(e)=e(«0 = l, e(b)=e(c) = 0, D.6)
которые могут быть записаны в матричной форме
®Ь
л (а Ь\ (а®\ b®l\(l®a 1
\с d)~\c®\ d®l)\l®c l
480 Глава 5
(Рекомендуем читателю показать, что так определенные ко-
умножение и коединица удовлетворяют условиям определе-
определения биалгебры.) Полученную биалгебру называют алгеброй
функций на квантовом матричном пространстве Mq{2) и обо-
обозначают через &(МдB)).
4.2. Алгебра функций на квантовой группе SLqB).
Из формулы D.3) вытекает, что
ad — gbc — da — q~1bc. D-7)
Этот элемент алгебры &(МдB)) обозначается через @д и на-
называется квантовым определителем. Непосредственные вы-
вычисления показывают, что
Д(@„) - % ® %, е(%) = 1, D.8)
%а = а%, %Ъ = Ъ%, %с = с%, %d = d%. D.9)
Соотношения D.9) означают, что @q принадлежит центру 2f
алгебры &(MqB)).
Пусть J — двухсторонний идеал в &(МдB)), порожден-
порожденный элементом @д — 1. Легко проверить, что J — биидеал
в &(МдB)). Поэтому &(MqB))/J — биалгебра.
Биалгебру &{Mq\2))/J можно определить как комплекс-
комплексную ассоциативную алгебру с единицей, порожденную эле-
элементами а, Ь, с, d, удовлетворяющими соотношениям D.2)
и соотношениям
ad - qbc = da- q^bc = 1. D.10)
В этой биалгебре можно ввести антипод S, превращающий
ее в алгебру Хвпфа. Этот антипод однозначно определяется
формулами
S{a)=d, S(b) = -q-1b, S(c) = -qc, S{d) = а. D.11)
(Докажите, что так определенный антипод удовлетворя-
удовлетворяет условиям определения алгебры Хопфа.) Алгебру Хоп-
фа ?P(MqB))/J называют алгеброй функций на квантовой
группе SLqB) и обозначают через &(SLqB)). Для краткости
будем обозначать эту алгебру Хопфа также через &¦
§4. Алгебра функций на квантовой группе SLq{2) 481
Подчеркнем, что в отличие от матричных групп Ли кван-
квантовая группа SLqB) не существует самостоятельно. Она су-
существует только в терминах алгебры Хопфа &(SLqB)) и ее
структур.
Всюду ниже считаем, что д не является корнем из еди-
единицы, то есть что д ф exp2?ri^, где тип — целые числа.
Если д € Е, то в алгебре Хопфа & = &(SLq{2)) можно ввести
¦-структуру, которая определяется формулой
(а Ъ\*=(а* с*\ = (
Л -д~
дс а
и распространяется на всю алгебру &, исходя из того,
что операция * является антилинейным антиавтоморфизмом
(см. п. 1.4). Полученную *-алгебру Хопфа обозначают че-
через &(SUqB)) и называют алгеброй функций на квантовой
группе SUqB). Квантовую группу SU,,B) называют компакт-
компактной вещественной формой квантовой группы SLriB).
4.3. Геометрический подход к SLqB). Матрицы из
группы Ли SLB, С) являются линейными преобразованиями
на комплексной плоскости. Покажем, что определяющие соот-
соотношения D.2) и D.10) алгебры Хопфа &(SLqB)) возникают
естественным образом, если рассматривать квантовую мат-
матрицу (" 5) как преобразование квантовой плоскости С^.
Пусть ^?(С^) — ассоциативная алгебра с генераторами х
и у, удовлетворяющими определяющим соотношениям
ху = qyx. D.13)
Она называется алгеброй функций (или) координатной алгеб-
алгеброй на квантовой плоскости С^.
Пусть (" bd) — матрица, составленная из элементов не-
некоторой алгебры А. Зададим левое и правое преобразования
векторов (у) и (х,у) матрицей (" ^):
(а Ь\ /аЛ _
с d)® \y) ~
Г dj ={x®a + y®c, x®b + y®d)=:(x",y").
482 Глава 5
Утверждение 1. Пары (*, 1 и (х", у") удовлетворяют
соотношениям D.13) тогда и только тогда, когда элемен-
элементы а, Ь, с, d удовлетворяют соотношениям D.2) и D.3).
Доказательство. Пусть х'у1 = qy'x' и х"у" = qy"x".
Тогда первое из этих равенств означает, что
(в ® ж + b ® у)(с ®x + d®y) = q(c ® ж + d ® у)(а ® х + Ь ® у),
то есть
(ас — qca)®x2+{ad—da+q~1bc—qcb)®xy+{bd— qdb))®y2 = 0.
Поскольку элементы ж2, ху и у2 линейно независимы в ^(С2),
получаем
ас = qca, bd = qdb, ad — da — qcb+q~1bc = 0. D.14)
Аналогично из х"у" = qy"x" выводим, что
ab = qba, cd = qdc, ad— da — qbc + q~lcb = 0. D.15)
Последние соотношения в D.14) и D.15) означают, что be = cb.
Поэтому D.14) и D.15) эквивалентны D.2) и D.3). Эти же вы-
вычисления, проведенные в обратном порядке, доказывают об-
обратное утверждение.
Чтобы дать геометрическую интерпретацию квантового
определителя, вводим алгебру внешних форм Л(С^) на кван-
квантовой плоскости. Это — алгебра, порожденная элементами ?
и г] и соотношениями
J ~\с d)
Положив
имеем %'т]' = (ad—qbc)®^т]. В классическом случае определи-
определитель возникает как первый множитель в последнем выраже-
выражении. Поэтому естественно считать @e := ad — qbc квантовым
определителем.
§4. Алгебра функций на квантовой группе SL4B) 483
4.4. Базис алгебры &(SLqB)). Элементы а,Ь,с,
d € &{SLqB)) удовлетворяют соотношениям D.2) и D.10).
Вычисления с этими элементами ведутся с помощью следу-
следующего утверждения.
Утверждение 2. Если элементы z и w удовлетворяют
соотношению zw = qwz, то
I IV) Z = > I Z W , D.1О)
m ^-^ m . v
m=0 L J Я m=0 L J 0
где q-биномиалъные коэффициенты задаются формулой
[n] - (g; g)n _ (g";?)™ , j_.
LmJe (g;g)m(g;g)n-m (g;g)m
u (а; д)„ определяется как
n-l
(a; g)n = JI A - aqi), n G Z+, (a; gH = 1.
j=o
Формула D.16) доказывается методом математической
индукции.
Чтобы найти базис алгебры &(SLgB)), заметим, что эле-
элементы этой алгебры являются конечными линейными комби-
комбинациями произведений
апЪтск(Г, п, т, к, г = 0,1,2,... . D.18)
Однако эти элементы не являются линейно независимыми. На-
Например, элементы amdm и dmam выражаются в виде линейной
комбинации элементов Fс)*, к = 0,1,2,... ,т. Для установ-
установления этой связи используются формулы
id-= ?171 (-DW('
iWl L'Jo
-1)/2,
484 Глава 5
доказываемые методом математической индукции. С помо-
помощью этих формул и соотношения D.10) находим, что ><
I D.19)
fc=o ¦ I 2
Н fcfc2fc D.20)
В силу соотношений D.2) элементы D.18) можно пред-
представить в виде сЬтс*а"сГ или с'апсГ6тс*, где сие' — числа.
Пусть п ^г. Тогда элемент bmcfcandr представляется в ви-
виде bmck(andn)dr~n и вследствие соотношения D.20) он явля-
является линейной комбинацией элементов hpcedr~n, р > 0, е ^ 0.
Аналогично с помощью соотношения D.19) показывается, что
если п Jj г, то элемент D.18) представляется в виде линейной
комбинации элементов an~rbpce, р ^ 0, е ^ 0. Между элемен-
элементами fcPcedr, arfcPce, г > 0, р ^ 0, е > 0, алгебры &{SLgB))
отсутствует линейная зависимость. Таким образом, элемен-
элементы
anbmcr, bmcrd", m,r,s = 0,1,2,..., n - 1,2,... , D.21)
образуют базис алгебры c?(SLqB))
Вычислим действие коумножения А на некоторые эле-
элементы базиса D.21). Если I — целое или полуцелое положи-
положительное число, то с помощью формулы D.16) находим
Д(а2') = (а ® а + Ъ ® сJ' = У Г. * } а1~гЪ1+г ® а1~{с1+\
it^L' + V2
D.22)
Аналогично выводим соотношения
д(с2') = Е fi+J cl~id'+i ® a'
X
г.-2
D.24)
§5. Представления квантовой гриппы SLqB) 485
Суммирования в D.22)-D.24) ведутся по целым (полуцелым)
значениям i и j, если / целое (полуцелое).
4.5. Представления алгебры S?(SUqB)). Здесь под
представлениями алгебры S-(SUqB)) понимаем гомоморфизм
¦-алгебры <?(SUgB)) в алгебру ограниченных операторов
в гильбертовом пространстве. Чтобы задать представле-
представление Т, необходимо задать операторы Т(а), T(b), T(c), T(d),
удовлетворяющие соотношениям D.2), D.10) и соотношени-
соотношениям Т(х') = Т(х)% х = а, Ь, с, d.
Ясно, что соответствие а -)¦ el<p, b -» 0, с -» 0, d ->• е~1?>
при каждом фиксированном у; € [0,2тг) задает одномерное
представление алгебры &(SUgB)).
Для задания бесконечномерных ^-представлений алгеб-
алгебры &(SUqB)) зафиксируем гильбертово пространство S) с ор-
тонормированным базисом em, m = 0,1,2,..., и предполо-
предположим, что 0 < q < 1. Прямые вычисления показывают, что при
фиксированном ip из интервала 0 < ip < 2тг формулы
Tv{d)ek = A - g2k-
задают *-представление алгебры &(SUgB)). Можно показать,
что с точностью до унитарной эквивалентности перечислен-
перечисленные представления исчерпывают все неприводимые ¦-пред-
¦-представления этой алгебры.
§ 5. Представления квантовой группы SLqB)
5.1. Разложение алгебры Хопфа &(SLqB)). Как
и в классическом случае, в квантовых группах можно выде-
выделять квантовые подгруппы. Квантовая подгруппа Н кванто-
квантовой группы SLgB) определяется алгеброй Хопфа &(Н) (то
есть алгеброй функций на Н) и гомоморфизмом <р из алгеб-
алгебры Хопфа &(SLqB)) на &(Н). Введем квантовую подгруп-
подгруппу К квантовой группы SLgB), соответствующую подгруппе
диагональных матриц классической группы Ли SLB,C). Для
486 Глава 5
этого полагаем &{К) = <C[z, z~l], где С[z, z~l] — алгебра мно-
многочленов от z и z~l, и вводим операции Ак, ?к, ^к:
A(^±1)=z±1®z±1, e(z±1) = l, 5(z±l) = *Tl,
превращающие &{К) в алгебру Хопфа. Гомоморфизм
определяем формулами
= Лг(с) = О, Фк(*) = г-1. E.1)
Если g вещественно, то «-операция va-&(SUqB)) перено-
переносится в &(К) и К можно также рассматривать как квантовую
подгруппу в SUqB).
Формулы
LK = (фк ® id) о Д, RK - (id ®фк)оЬ. E.2)
определяют гомоморфизмы
LK: &
где & = &(SLg{2)). Они задают левое и правое копред-
ставления алгебры Хопфа &(К) в &. С помощью отображе-
отображений I//f и Rk вводим подпространства &[т,п], т,п G Z, ал-
алгебры
, n] = {х G ^ | Xjr(*) = zm ® x, Да-(х) = x ® ^"}. E.3)
Мы имеем Lk(о) = z ® a, ii/f(a) = a ® z, то есть о € ^[1,1].
Подобным образом показывается, что
Ь G ^[1,-1], се #[-1,1], <fe#[-l,-l].
Поскольку I//f и Дк — гомоморфизмы, то
Щт,п] • &\р,г] С Щт + р,п + г]. E.4)
Таким образом, для базисных элементов D.21) алгебры
имеем
E.5)
E.6)
§ 5. Представления квантовой группы SZ>,B) 487
Отсюда выводим, что
9 = &(SLq{2)) = ф &[т,п}- E-7)
m,n€Z
Из E.5)-E.7) также вытекает, что ^[0,0] состоит из линей-
линейных комбинаций элементов Ьтсш, т = 0,1,2, Это утверж-
утверждение записывается в виде
^[0,0]= С [С], где С=-яЬс. E.8)
Здесь С [С] — пространство многочленов от С» а множитель — q
взят для удобства.
Формулы
п,
Щ
п,
п,
E.9)
E.10)
E.П)
E.12)
етп = а(ш+п)/2с(п-т)/2^ где т + п^о, т
ет„ = о(»»+»)/»ь(™-»)/», где m + п > 0, m
emn = b{m-nV2S-n-m)'2, где m + n^0, m
emn = c(n-m)/2d(-»-m)/2j где m + „ ^ 0, Ш
определяют элементы emn G ^[т,п]. Из того, что элемен-
элементы D.21) образуют базис алгебры &, вытекает, что ес-
если m = n(mod 2), то
9[т, п] = C[C]emn = emnC[C], E.13)
где С [С] определяется формулой E.8). Если т ф n(mod2),
то Щт, п] = 0.
5.2. Конечномерные непредставления алгебры
Хопфа &. Согласно определения копредставлений алгебр
Хопфа (см. п. 1.5), операция коумножения Д: & -» & ® &
определяет как левое, так и правое копредставления алгеб-
алгебры Хопфа & = &(SLgB)). Их называют соответственно пра-
правым и левым регулярными представлениями квантовой груп-
группы SLgB). Эти копредставления приводимы и, как увидим
ниже, разлагаются в прямую сумму конечномерных непри-
неприводимых копредставлений. Построим эти неприводимые ко-
копредставления. Для этого вводим в 3- подпространства
/f, E.14)
488 Глава 5
где / — целое или полуцелое неотрицательное число и элемен-
элементы е\ и ц задаются формулами
«•*
Из формулы D.24) вытекает, что коумножение Д отобража-
отображает V,lbA® V,l:
Д: V,L-+A®V,L. E.17)
Аналогично,
Д: V,*->V,*®4. E.18)
Таким образом, формулы E.17) и E.18) определяют конечно-
конечномерные левое и правое копредставления TtL и TtR алгебры Хоп-
фа <f = &(SLqB)), которые являются подкопредставлениями
соответствующих регулярных копредставлений. Копредстав-
Копредставления Tf и Т,й называют представлениями квантовой груп-
группы SLqB).
Записываем действие коумножения Д на базисные эле-
элементы е\1' пространства VtL в виде
E.19)
Элементы tj^ G & называют матричными элементами пред-
представления TtL квантовой группы SLqB). Применяя обе части
равенства (Д ® id) о Д = (id ® Д) о Д к е-1', получаем соотно-
соотношение
к=-1
(см. п. 1.5). С помощью соотношения (e<g>id)o Д = id выводим,
что
»<0\ _
*(*!?)= «ii- E-21)
§5. Представления квантовой группы SL4B) 489
Поскольку е^Р € &[-2i, 21], то из формул E.1) и E.3) вы-
вытекает, что
Поэтому
е!'>=ег E-22)
Поскольку а2' = е_{, то из формулы D.22) получаем
Сравнивая это равенство с E.19) и используя E.16), находим
Из последнего равенства и из E.20) выводим, что
Таким образом, копредставления Tf и Т,й соответственно
в базисах E.15) и E.16) задаются одной и той же матрицей.
Соответствующее матричное копредставление обозначаем че-
рез Т, :=($).
Теперь покажем, что tjy € &[—2i, —2j]. Для этого заме-
заметим, что, как вытекает из определения оператора Lk, на каж-
каждом подпространстве Щт, п] выполняется равенство
(Lk ® id) о Д = (id ® Д) о Lk-
Но тогда вследствие разложения E.7) это равенство справед-
справедливо на всей алгебре Хопфа &. С его помощью находим
{LK ® id) о Д(еЮ) = z~2i ® Д(е{0) =
Кроме того, используя равенство E.19), получаем
(LK ® id) с Д(е^)
490 Глава 5
Поэтому
Таким же образом доказывается, что
Следовательно, t\'J € Щ-21, -2j].
5.3. Вычисление матричных элементов. Посколь-
Поскольку базисные элементы е\ пространства VtL копредставле-
ния TtL кратны элементам а!~гс?+1, то матричные элемен-
элементы t\J вычисляются с помощью формулы D.24). Пусть i+j ^0
и i ^ j. Применяя к выражению a'+J~/1d'+-'~'' соотноше-
соотношение D.20), получаем, что множитель при al~*c*+i в форму-
формуле D.20) имеет вид
X
n-2
(с точностью до числового множителя ц) совпадает с t-J).
Переходя от суммирования по к к суммированию по г
= ц + к, мы сводим это выражение к
Пусть /г обозначает сумму по ц в правой части этой форму-
формулы. Перегруппировав члены в ^-биномиальных коэффициен-
коэффициентах, получаем, что
§ 5. Представления квантовой группы SL4B) 491
Записав g-биномиальные коэффициенты согласно форму-
формуле D.17), сводим эту сумму к так называемой базисной гипер-
гипергеометрической функции 2?>i- Базисные гипергеометрические
функции определяются формулой
mVm-1
i,... ,0m; 6i,... ,6m-i; q,x) =
^ (bi; q)n... (bm_i; g)n (q; q)n'
(Их свойства можно найти, например, в [14].) Так как
/ -n n / \ (с/°5 9)п
2<fi(a,q ; с; q,qnc/a) = — г—
(с; g)n
(см., например, [14]), то
г = <-
Теперь для ц) получаем выражение
x
i-2
Переходя к ty , имеем
g2"-4-1); g-2,g-2C), E-24)
где С = ~qbc, i + j 4. 0, i > j.
Поскольку —I — j — отрицательное целое число, то ба-
базисный гипергеометрический ряд в E.24) обрывается. Такие
ряды выражаются через так называемые малые q-многонлены
Якоби, задаваемые формулой
рп(х; a,b\q) = 2fi(q~n,abqn+1; aq; q,qx)
492 Глава 5
(свойства этих многочленов см. в [14]). Поэтому форму-
формулу E.24) можно записать в виде
*!? = A^-a-'-V-WC; q~4i-j\ Q4i+i I <Г2), E-25)
где i -f j $ 0, i ^ j и
Аналогично выводим, что
tJJ = ^о-*-^'-*и+4(С; в-'0,92(i+i) 19)» E-26)
если i + j $ 0, j ^ i,
tJJ = NL^n-iib ,-»«-•),,-»(*+i> I д-*)»-*<Г+*, E.27)
если г + j ^ 0, j > г, и
tj? = М.А_да--(С; в-я(*-д, 9(i+i) I g-2)c'-^^', E.28)
если г + j > 0, г > j.
Из выражений для матричных элементов t^ вытекает,
что ^
lS ^')(C) = *g)(C)e-«,-ai, E-29)
где jF^? и JJ^ лежат в ^[0,0] = С[С]. Отсюда и из разложе-
разложения E.7) выводим, что при фиксированном I матричные
элементы Щ, —l^i,j^l, линейно независимы. Как вид-
видно из формул E.26)-E.29), функции jF^- имеют степе-
степени I — max(|t|, |j|). Поэтому функции
Fff, / = max(|i|,|i|)+n, n = 0,1,2,...,
составляют базис пространства ^[0,0] = С [С]. Отсюда и из
формул E.13) и E.29) вытекает, что
Ct<g. E.30)
J=max(|t|,|j|)
§5. Представления квантовой группы SLqB) 493
А следовательно,
9 = #(SLgB)) = ф Ct{J = ф W,, E.31)
t,i,j '
где Wi = 0 Ct^ — пространство, в котором реализуются как
«.i
правое, так н левое копредставления Т,? и Т,я алгебры Хоп-
фа &(SLq{2)).
5.4. Неприводимость копредставлений 1}. Мат-
Матричные копредставления Т = (*„,„) и R = (гтп) алгебры
Хопфа эквивалентны, если существует обратимая матри-
матрица В, такая что B(tmn) = (rmn)B. Матричное копредставле-
ние Т = (tmn) алгебры Хопфа неприводимо, если не существу-
существует матричного копредставления R этой алгебры вида (^ ^ ),
где А, В, С — матричные блоки с А ф О, С ф 0, эквивалент-
эквивалентного копредставлению Т.
Пусть Tj = (*т„) — рассмотренное выше матричное
копредставление алгебры Хопфа 9- = 9(SLgB)). Ясно, что
если бы существовало другое матричное копредставление
й = (q с) алгебры 9, эквивалентное Т{, то из R — B~xTiB
вытекала бы линейная зависимость матричных элементов t\j,
—I ^ i, j ^ /. Поскольку, как показано выше, эти матричные
элементы линейно независимы, то копредставление Tj = {t\j)
неприводимо. Таким образом, копредставления TtL и T(R кван-
квантовой алгебры 9(SLqB)) неприводимы.
Копредставления TtL и TtR имеют размерность 21 +1,
поскольку их пространства имеют столько базисных эле-
элементов. Неприводимые копредставления различных размер-
размерностей не могут быть эквивалентными. Поэтому копред-
копредставления TtL, I = 0, |, 1,..., (соответственно копредставле-
копредставления TtR, I = 0, g, 1,...) попарно неэквивалентны. Можно пока-
показать (см. [76]), что любое конечномерное левое (правое) копред-
копредставление алгебры Хопфа 9(SLgB)) эквивалентно одному из
этих копредставлений.
494 Глава 5
§ 6. Анализ на квантовой группе SUqB)
6.1. Инвариантный интеграл на SUqB). Пусть
А — алгебра Хопфа, введенная в п. 1.2, которая является ал-
алгеброй функций на группе G. Левоинвариантный интеграл на
группе G является левоинвариантным функционалом <р на А,
таким что
= J.f(g) dg=J f(gog) dg, feA.
G G
Это равенство можно записать с помощью операции коумно-
жения:
(id®V)oA(/) = (p(/).J, F.1)
где / — единичная функция из А.
Аналогично вводятся инвариантные интегралы на алгеб-
алгебре Хопфа 9 = 9(SLgB)). Левоинвариантный (правоинвари-
антный) интеграл на 9' — это линейный функционал h, удов-
удовлетворяющий равенству
((id ® /i) о Д)(а;) = h{x)I, хе9, F.2)
для левоинвариантного и равенству
((/i ® id) о Д)(а;) = h(x)I, x € 9, F.3)
для правоинвар^антного интегралов. Здесь через / обозначен
единичный элемент алгебры 9. Линейный функционал, ко-
который одновременно является левоннвариантным и правоин-
вариантным интегралом, называется инвариантным интегра-
интегралом.
Пусть h — линейный функционал на 9, такой что
h(C) = h{I) = l и h{tf)) = O, />0. F.4)
С помощью формул F.2) и F.3) легко проверить, что этот
функционал является инвариантным интегралом на 9.
Пусть теперь ¦ф — произвольный инвариантный интеграл
на 9, такой что фA) = 1. Тогда с помощью операций Ьц и Rk
(см. п. 5.1) из равенства
((id ® ф) о Д){х) = ф{хI, {(ф ® id) о Д) (х) = ф(хI F.5)
§ 6. Анализ на квантовой группе 517,B) 495
получаем, что при х € Щт, п] справедливы равенства
ф{хI = zm ¦ ф{х), tl>{x)I = tl>(x) • zn.
Таким образом, ip(x) = 0 для всех х € .^[тп,п], (m,n) ф @,0).
Теперь покажем, что
Пусть Р: 9 -Л ^[0,0] — проекция, определенная разложени-
разложением E.7). Тогда с помощью формул D.4), D.5), D.19) и D.20)
находим, что
A(c")= ? И 92'^(С;Л
i+j=n L J <Г2
i+j=n
где (a; q)m определено в п. 4.4. Поэтому первая из формул F.5)
предполагает, что
Это есть равенство многочленов от С = —фс. Приравнивая
коэффициенты при С, получаем рекуррентную формулу
п~2п
Поскольку грA) = 1, то отсюда вытекает равенство F.6).
Из F.6) и из того, что гр(х) — 0 при х ? 9[тп,п],
(т, п) ф @,0), выводим, что инвариантный интеграл единст-
единственен. Таким образом, мы доказали такую теорему.
Теорема 1. На & существует единственный инвари-
инвариантный интеграл h, такой что h(I) = 1. Этот интеграл за-
задается формулой F.4). На одночленах ?"> п — 0,1,2,..., он
принимает значения F.6).
Из формулы D.11) вытекает, что
5: &[т, п] ->• &[-п, -то], 5@ = С-
496 Глава 5
Поэтому для всех х С S- имеем
h(S{x)) = h(x). F.7)
Если q € К, то точно так же из равенств
вытекает, что
h(x*) = h(x). F.8)
В теории алгебр Хопфа (см., например, [68]) доказывает-
доказывается, что если на алгебре Хопфа существует левоинвариантный
(правоинвариантный) интеграл, то каждое ее левое (правое)
конечномерное копредставление вполне приводимо. Таким об-
образом, каждое конечномерное левое (правое) копредставление
алгебры Хопфа 3-(SLqB)) вполне приводимо.
Заметим, что в (/-анализе вводится (/-интеграл, являю-
являющийся обратной операцией к (/-дифференцированию
Dqf(x) =
qx — х
Этот (/-интеграл задается формулой
Я оо оо
/ f(x)dqx = сA - q^trHtfc) = ?>,. - Жг+1)/(хг),
о г=° г=0
где xr = cqr и О < q < 1. Отсюда вытекает, что инвариантный
интеграл h из теоремы 1 можно представить с помощью (/-ин-
(/-интеграла. А именно, если / ? С [С], то
Kf) = / /(С) 4,-»С = С1" «"') Е <r2jf(<r2j), F-9)
о i=°
если (/ > 1, и
о i=°
если 0 < q < 1.
§ 6. Анализ на квантовой группе SVqB) 497
6.2. Скалярное произведение на 3>(SLq{2)). Фор-
Формула
Ь
(а Ь\ _ (q2a
\с d)-\c <Г
определяет автоморфизм алгебры Хопфа 3" = &(SLgB)).
В частности,
т(х) = q{m+n)x, если х ? Щтп,п]. FЛ1)
Пусть h — инвариантный интеграл на § из теоремы 1. Пока-
Покажем, что для всех х, у € 3- имеем
h(xy) = Цт(у)х). F.12)
Для этого определим билинейное отображение F: SP х & -»• С,
задаваемое формулой
F(.r, у) = h(xy) ~ Цт(у)х). F.13)
Непосредственно проверяется, что F удовлетворяет равенству
F(x,yz) = F(.Tt/, z) + F[r(z)x,y). F.14)
Из F.13) и F.14) вытекает, что если равенство F.12) выпол-
выполняется для у — a,b,c,d, то оно выполняется для всех у € &.
Проверим его для у = а. Поскольку а е ^[1,1] и h(x) = О
для х € ^[т,^, (т,п) ф @,0), то достаточно рассмотреть
случай, когда х ? ^[—1,-1]. Пусть х = ?"d, n — 0,1,2,...
Тогда
и равенство F.12) для h(xy) эквивалентно соотношению
МС"A - <Г2О) = g2n+2h(C(i - С))-
Справедливость этого соотношения вытекает из форму-
формулы F.6). Подобным образом равенство F.12) доказывается
для у = Ь, с, d, что завершает его доказательство.
Дальше в этом параграфе рассматриваем алгебру Хоп-
Хопфа &(SUgB)). Инвариантный интеграл h и автоморфизм г
498 Глава 5
являются соответственно инвариантным интегралом и авто-
автоморфизмом этой *-алгебры Хопфа. Введем на ^(SUqB)) эр-
эрмитовы формы
(х, у)н = Кху*), (х, у)ь = Цх'у). F.15)
Очевидно, что
{xz,y)R = {x,yz*)R, (zx,y)L = (x,z*y)L. F.16)
Согласно формуле F.12),
(x,y)L = {r(y),x)R. F.17)
Ясно, что если х 6 &[тп, п], у ? &[r, s] и (тп, п) ф (г, s), то
(х,у)я = {x,y)L =0.
Другими словами, разложение E.7) для алгебры 3-(SLq[2))
(а поэтому и для алгебры &(SUgB))) ортогонально относи-
относительно эрмитовых форм F.15). Пусть
x-h(Qemn, y = /2(C)emn-
Тогда
СП, Фт„(С) = emne*mn. F.18)
Используя формулы D.19), D.20) и E.9)-E.12), нетрудно под-
подсчитать, что
если тп + п ^ 0, m ^ п,
если т + п ^ 0, тп ^ п,
если
§6. Анализ на квантовой группе SU4B) 499
если т + п ^ 0, т ^ п. Отсюда, из выражений F.9) и F.10)
для h(f) и из того, что не существует ненулевого многочле-
на /(С) ^ С [С], такого что /(</*) = 0 для всех неотрицатель-
неотрицательных к, вытекает, что (x,x)r > 0 для всех ж^О. Другими сло-
словами, эрмитовы формы (•,-)д и (;-)ь строго положительно
определены на &(SUgB)). Выбираем их в качестве скалярно-
скалярного произведения на &(SUgB)).
С помощью формулы F.6) находим, что
нас, л.) = .-^(^g-'Mf^pfa^^
; ч z)r+s+i
F.19)
{6.20)
(9 5 9 )r+«+i
где (a; q)n определено в п. 4.4.
6.3. Унитарные представления квантовой группы
SUQ{2). Пусть Ть — левое конечномерное копредставле-
копредставление алгебры Хопфа &(SUgB)) в пространстве V со скаляр-
скалярным произведением (•, •), антилинейным по второму аргумен-
аргументу. Имеем TL:V-> &(SUgB)) ® V. Расширяем (-,•) до фор-
формы {•, }д, отображающей
(&(SUq{2))®V)x(&{SUq{2))®V) в &(SUg{2)),
положив
{х ®Z,y®v}R = ху'{?,v), x,ye &{SUq{2)), e,V € V.
F.21)
Копредставление TL алгебры Хопфа &(SUgB)) называют уни-
унитарным, если для всех ?, т/ € V имеем
я = Мбч). F-22)
где / — единица из &(SUgB)).
Пусть в,, г = 1,2,... , /, — ортонормированный базис про-
пространства V, а Т = {Uj)ij=i — матрица копредставления Ть
в этом базисе, то есть
500 Глава 5
Вычисляя с помощью формулы F.22) выражение
{Tb(fii),Ti,{ej)}R, приходим к заключению, что
F.23)
Таким образом, унитарность левого конечномерного копред-
ставления Ть алгебры Хопфа &(SUqB)) эквивалентна усло-
условию ТТ* = 1, где Т* = ((Т*)^) := («J,-)^. Нетрудно по-
показать, что это условие эквивалентно условию Т*Т = 1. Оно
также эквивалентно условию Ц^ = S(tji).
Аналогично определяется унитарность правого конечно-
конечномерного копредставления Tr алгебры Хопфа &(SUqB)) в про-
пространстве V со скалярным произведением (•, •), антилинейным
по первому аргументу. В этом случае вместо формулы F.21)
форму {•, -}х, определяют формулой
}ь = (?,ф*у, х,уе
F.24)
Условие унитарности заменяется на
{Тк(О,Тк(!7)Ь = Fч)-/. F.25)
Теорема 2. Каждое конечномерное подкопредспгавле-
ние левого (правого) регулярного копредставления алгебры
Хопфа &(SUgB)) унитарно относительно эрмитовой фор-
формы {•,•}r (соответственно относительно эрмитовой фор-
формы {;-}ь)-
Доказательство. Пусть Ть — левое конечномерное ко-
представление алгебры Хопфа &(SUqB)) в подпространст-
подпространстве V С ^E^,B)), а а, г = 1,2,... , I, — базис в V. Пусть
Тогда согласно формуле F.21) имеем
{TL(ei),TL(ej)}R= 5Z М;.(ег,е.}
r,s=l
§6. Анализ на квантовой группе SU4B) 501
Последнее выражение равно (id ® /i)A(et-ep. Согласно опре-
определения инвариантного интеграла h эта величина совпадает
с/-(е«е,-)я, то есть
{TL(et),TL(ej)}R = / • {ei,ej)R.
Подобным образом теорема доказывается для правых копред-
ставлений.
Поскольку каждое неприводимое правое (левое) копред-
копредставление алгебры Хопфа &(SUqB)) эквивалентно копред-
ставлению в подпространстве VtR С &(SUgB)) (в подпро-
подпространстве V,L С &(SUgB))) при некотором I, то каждое такое
копредставление унитаризуется (то есть эквивалентно право-
правому (левому) копредставлению).
6.4. Аналог теоремы Петера—Вейля. При доказа-
доказательстве аналога теоремы Петера-Вейля для квантовой груп-
группы SUqB) используется следующая лемма.
Лемма 1. Пусть Т/ = (tmn) — матрица конечномерно-
конечномерного неприводимого копредставления алгебры Хопфа &(SUqB))
из п. 5.2, а М — постоянная числовая матрица размернос-
размерности B1 + 1) х Bк + 1). Пусть
М = h(T,MT?), M' = h(Tt*MTk),
где h — инвариантный функционал на &(SUg{2)), который
применяется к каждому матричному элементу отдельно. Тог-
Тогда М и М' — нулевые матрицы, если I ф к, и М = с- I,
М' = d • I, где I — единичная матрица и с, с' 6 С, если I = к.
Доказательство. Докажем лемму для матрицы М.
Для М' доказательство аналогично. Покажем, что М сплета-
сплетает представления Tj и Т*, то есть что TjM = MTk- Для этого
матрицу Tt ® / обозначаем через Т^ , а матрицу — / ® Т| че-
через Tj . Из определения инвариантного интеграла h вытекает,
что
= {id® h^T^T
= ((id ® h) о A)(TtMT?) = /i(T,MTfc*) = M,
502 Глава 5
то есть TiM = МТк, поскольку копредставление Тк унитар-
унитарно. Теперь для доказательства леммы достаточно применить
лемму Шура, которая остается верной для конечномерных ко-
представлений алгебр Хопфа. Лемма доказана.
Теорема 3. Матричные элементы *т„ неприводимых
непредставлений алгебры Хопфа &(SUqB)) удовлетворяют
условию ортогональности
& F-26)
SL & ?.. F.27)
Доказательство. Пусть E^ — матрица размернос-
размерности B1 + 1) x Bk + 1) с единицей на пересечении г'-й строки
и j-ro столбца и с нулями на остальных местах. Образуем
матрицу Е^, как указано в формулировке леммы 1- Тогда
(bij)rs - Writsj ) - \lri ^sj IR-
Согласно лемме 1, ((^^д = 0, если I ф к. Пусть / = к. По-
Поскольку 4i4'j* € ^[2s - 2r, 2j - 2г] и h(a) = 0 для а € ^[то, п],
(го,п)^@,0), то D?,<Й})к = 0 для (r,i)?(s,j). Так как
«Й} € Щ-2г, -2s], то r(^*}) = (]-2{r+s)tiV и поэтому
!?)!! F-28)
(см. формулу F.17)). Следовательно, (t{J\ *г?)ь = 0, если Z ^ А;
или если I — к и (*,j) ^ (»",s)-
Пусть теперь Ejj = h(TiEjjTt*). Тогда согласно лемме 1
существует константа а^ € С, такая что (Ejj)u = h{t\j t\j'*) =
= (*«.*!?) л = <*j для всех t и з (-/ ^ »,i ^ 0-
Точно так же, рассматривая ^- = h(T,*EijTi), находим,
что существует константа а(- € С, такая что (t\j,t\j )l = «i
для всех г и j. Согласно F.28) имеем aj = q~2^t+^aj. Поэтому
существует константа a € С, такая что a = д2га\ = q~2^cx.j
для всех i и j. Так как tj _, = е\ , то согласно формулам E.15),
§6. Анализ на квантовой группе SUgB) 503
D.19), D.20) и E.19) получаем, что а_, = д-"A - <Г2)/A -
- q~il~2). Поэтому а = д~21A - 9~2)/A — Я~41~2) и, следова-
следовательно,
Ч = [2/ + l]^, a;- = [2/ + 1]-\-2\
что доказывает теорему.
6.5. Преобразование Фурье на квантовой группе
SUqB). Вследствие формулы E.31) и теоремы 3 матричные
элементы t\J образуют полную ортонормированную систему
в &{SUqB)). Пусть F e &(SUgB)). Образуем числа
h(Ft^)=F^n, / = 0,|,l,|,..., -I^m,n?l. F.29)
Преобразование F —t {Fmn} называют преобразованием Фу-
Фурье алгебры Хопфа ^(SUqB)) (или преобразованием Фурье на
квантовой группе SUgB)). С помощью формулы F.26) легко
показать, что обратное преобразование имеет вид
F.30)
где первое суммирование ведется по всем значениям /. Более
того, справедлива формула Планшереля
{F,F')R = Y,№ + 1], ? <r2iF^F^. F.31)
Формулы F.29)-F.31) можно записать в матричной фор-
форме. Для этого вводим матрицы 7} s (t}j'), Fi = (F^'), q-слец
Ттд для матрицы D = (rfij)' J=-j c элементами из &(SUqB)):
и форму
504 Глава 5
Тогда формулы F.29)-F.31) представляются в виде
§ 7. Переход от SLq{2) к Ug(sl2)
7.1. Дифференциальная форма квантовой группы
SLqB). Конечномерной алгебре Ли д соответствует связная
группа Ли G и, наоборот, каждой связной группе Ли соответ-
соответствует алгебра Ли. Выше мы видели, что по квантовой алгеб-
алгебре [/^(sfe) строится квантовая группа SLgB). Покажем, как
по квантовой группе SLq{2) построить алгебру Uq(sl2).
Пусть &' — дуальное линейное пространство к простран-
пространству 9 = &(SLqB)), то есть пространство линейных функ-
функционалов на алгебре &{SLq{2)). С помощью формулы
(V¦ ф)(х) = fa® гР)А(х), ч>,-фе &', х е &(SLgB)), G.1)
вводим в &' операцию умножения, превращающую &' в алгеб-
алгебру с единицей. Единицей в &' является коединица алгебры 9.
Используя формулу G.1), легко проверить, что {<р ¦ -ф) ¦ т) =
= (р ¦ (ф • т)) для всех (р,"ф,т) 6 &', то есть алгебра &' ассоциа-
ассоциативна.
С помощью формул
* С % - {С А) •
(имеется в виду поэлементное действие fc*1, E+, Е- на а,
Ь, с, d) вводим элементы fc*1, E+, Е- алгебры 9'. Считаем,
что к и fc — гомоморфизмы из &' в С, то есть к±1(ху) =
= к±1(х)к±1(у), а действие Е+ и Е- распространяется на все
элементы из & согласно формулам
Е±(ху) = Е±{х)к(у) + к'1 (х)Е±(у), Е±{1) = 0, G.4)
согласующимся с коумножением в Uq(sl2) (см- п. 2.1).
§7. Переход от SLgB) к Ug(sl2) 505
Построенные элементы к±г, Е+, Е- удовлетворяют соот-
соотношениям
кк'1 = к~гк = 1, кЕ±к-г = q±E±, G.5)
[Е+,Е-] = Е+Е- -Е-Е+= ^ - к~* G.6)
q-q
(см. п. 2.1). Проверим выполнение соотношения G.6). Осталь-
Остальные соотношения проверяются аналогично. Для этого с помо-
помощью равенства G.4) проверяем, что как tp = Е+Е-. — Е-Е+,
так и (р = (fc2 — k~2)/(q — q-1) удовлетворяют соотношению
ip{xy) - (р(х)к2(у) + к~2(х)(р(у), х,у? &.
Поэтому выполнение равенства G.6) достаточно проверить
на элементах а, Ь, с, d алгебры &. Эта проверка производится
с помощью формул G.2) и G.3).
Теперь строим в &' подалгебру с единицей, порожденную
элементами fc*1, E+, E-. Построенная ассоциативная алгеб-
алгебра Uq изоморфна алгебре Uq(sl2) из п. 2.1. Вводим в эту подал-
подалгебру структуру алгебры Хопфа. А именно, коумножение Ац
определяем формулами
Аи(Е±) = Е± ® к + к'1 ® Е±, G.7)
а антипод и коединицу — формулами
G.8)
*) = 1, еи(Е±) = 0. G.9)
При этом для всех tp и ф из построенной алгебры и всех
х,у?& = &(SLqB)) имеем
(<р ¦ ф)(х) = (tp® ф)А(х), 1и(х) = е(х),
Аи((р)(х ®у)= <р(ху),
Su(tp)(x) =
где Д, S, е, I — соответственно коумножение, антипод, ко-
единица и единица в &(SLqB)), a lv — единица в Uq.
Построенная алгебра Хопфа Uq изоморфна алгебре Хоп-
Хопфа J7g(sl2). Поэтому будем обозначать ее также через Uq(sl2)-
506 Глава 5
7.2. Дифференциальная форма копредставлений.
В предыдущем пункте показано, как перейти от квантовой
группы SLqB) к квантовой алгебре J7g(sl2)- Покажем, как пе-
перейти от копредставлений алгебры Хопфа &(SLqB)) к пред-
представлениям квантовой алгебры [/g(sfe)- Пусть L — левое ко-
представление алгебры Хопфа & = &(SLgB)) в пространст-
пространстве V, то есть пусть задано отображение L: V —? 3- <8> V. Тогда
каждому if> ? Ug ~ Uq(sl2) соответствует оператор Ш(^р) в V,
определяемый формулой
Щф)(ё) = ((р® idv)?(e), e e V, G.10)
где idy — единичный оператор на V- С помощью этой
формулы легко показать, что отображение S?: Uq —? Lin V
(где Lin V — пространство линейных отображений из V в V)
линейно и антигомоморфно, то есть Ш(}р • ф) = &.{-фM^.(ф).
Это означает, что Ш определяет правое представление алгеб-
алгебры f/g(sl2), то есть представление, в котором операторы дей-
действуют на векторы справа:
Если задано правое копредставление R:V-*V®& ал-
алгебры Хопфа &(SLqB)), то формула
= {idv® <p)R(e), eeV
определяет левое представление Ь? алгебры Uq
Если V = if, a L и R — соответственно левое и правое
регулярные копредставления алгебры Хопфа & = &(SLqB)),
то для Ш и ?? имеем
, ж € ^, G.11)
, x G #. G.12)
При этом, как легко проверить, для всех ip EUq выполняются
равенства
Д о Щ<р) = (Щ(р) ® id<?) о Д, До <?(<р) = (id-? ® 5?(уз)) о Д.
G.13)
§7. Переход от SLgB) к Ug(sl2) 507
Их называют соответственно правой и левой инвариантнос-
тями.
Ниже рассматриваем только операторы S?(y), ip 6 Uq,
и обозначаем их через <р. Ясно, что
Ё±(ху) = E±(x)k(y) + fc~1(a;)?±B/), Ё±A) = 0. G.14)
Пусть VtL = ф Се^' — подпространство в 9, введенное
в п. 5.2. Тогда
Правое действие элементов <р € Uq на VtL определяется фор-
формулой
Ясно, что матрица (pi оператора <р в подпространстве Vf име-
имеет такой вид: (pi = (<p(t\j'))lij=_l. Выбрав вместо VtL подпро-
подпространство Wfc, натянутое на базисные элементы t\J, г = — I,
—/+ 1,...,/, получим формулу
то есть в VJ? и W/? операторы ^ задаются одинаковыми мат-
матрицами (что является следствием инвариантности G.13)).
С помощью выражений для е\ (см. п. 5.2), формул G.2)
и G.3) и соотношения G.14) непосредственно вычисляется
действие операторов к, к~х, Е+, Е- на векторы е\':
Сравнивая эти формулы с формулами B.22)-B.24), видим,
что представление G.15) алгебры Uq = <7g(sl2) эквивалентно
представлению Tj, построенному в п. 2.3.
508 Глава 5
§ 8. Квантовые сферы
и копредставления на них
8.1. Алгебры функций на квантовых сферах. Как
и в случае квантовых групп, квантовые сферы определяются
алгебрами функций на них. Пусть cud — фиксированные
вещественные числа. Им ставится в соответствие двумерная
квантовая сфера S2 = S2(c,d). Алгебра функций на ней &(S2)
порождается тремя элементами a, z и /3, удовлетворяющими
соотношениям
zo. = q~2az, /3z = q~2z/3, (8-1)
q~xa0= ~{c-z)(d + z), q~xPa = -(c- q~2z){d+ q~2z).
(8.2)
Таким образом, &(S2) состоит из конечных линейных
комбинаций произведений элементов a, z и /3 с комплексными
коэффициентами.
Формулы
а* = -qC, /3* = -д~га, z* - z (8.3)
определяют *-структуру на алгебре &(S2). Действие ¦-опера-
¦-операции на элементы у ? &(Sq) распространяется путем рассмот-
рассмотрения этой операции как антилинейного антигомоморфизма
на алгебре &(S2).
Определим левое квазирегулярное копредставление ал-
алгебры Хопфа &(SUqB)) (то есть левое квазирегулярное пред-
представление квантовой группы SUqB)) на &(S%)). Для этого не-
необходимо определить гомоморфизм
L:
для чего достаточно задать его на элементах a, z и /3.
Вводим элементы
е_х = а, е0 = (l+<T2)-1/2(c-d- A+д~2)г), ег = /3, (8.4)
на которых должно действовать неприводимое матричное ко-
копредставление Тг = Hij) алгебры Хопфа &(SUqB)). Это ко-
§ 8. Квантовые сферы и копредставления на них 509
представление, как вытекает из формул п. 5.3, имеет вид
/ a2 q'ab Ь2 \
Тг = (tg'k^-iAi = Я'ас 1 + (ff + q-^bc q'bd , (8.5)
Vе2 <i'cd *}
где q' := A + gI/2- Квазирегулярное копредставление JD
задается формулой
где с правой стороны стоит матричная запись формул
?е_! = а2 ® е_! + A + q~2I/2ab ® е0 + b2 ® еь (8.6)
Le0 = A + q~2I/2ac ® e_x +
+ {1 + (9 + «Г1)**} ® е0 + A + q~2I/2bd ® els (8.7)
?ei = с2 ® e_i + A + ?-2I/2cd ® е0 + d2 ® ex. (8.8)
Так же как в п. 7.2, на ^E2) можно определить со-
соответствующее действие квантовой алгебры Ug ~ f/g(sl2)-
А именно, элементу х ? t/^sb) ставим в соответствие опе-
оператор ж: ^E2) -+ ^E2), определяемый формулой
х = (ж ® id) о L. (8.9)
С помощью формул (8.6)-(8.8) находим, что
(8.10)
?La = 0, E-Z^ql'2a, Ё-/3 = q^2{c-d-A + q~2)z},
(8.11)
fca = g^a, Ь = г, k0 = qC. (8.12)
Оператор к является автоморфизмом алгебры &(S2). Для опе-
операторов Е+ и Е- имеем
Ё±(ху) =Ё± (х)к(у) + к-\х)Ё±(у), х,у? &(Sl). (8.13)
510 Глава 5
С помощью приведенных формул легко показать, что
если (с, d) = (l,0), то алгебра &(S2) вместе со структу-
структурой копредставления для 3'(SUgB)) изоморфна подалгеб-
оо
ре ф ^[2т,0] алгебры &(SUqB)), состоящей из ин-
т=—оо
вариантных справа относительно квантовой подгруппы К
(см. п. 5.1) функций. В этом понимании квантовую сфе-
сферу 5^A,0) отождествляют с квантовым однородным про-
пространством SUgB)/K.
8.2. Разложение алгебры &(S*). В п. 5.1 мы вве-
ввели гомоморфизм алгебр Хопфа ipj<: S-{SLq{2)) -? 3-(К). С его
помощью по аналогии с формулой E.2) зададим гомомор-
гомоморфизм &(Sg) -» &(К) ® &(Sg), определяемый формулой
Lk = (Фк ® id) о L, (8.14)
где L — определенное выше копредставление алгеб-
алгебры &(SUg{2)). Теперь для каждого четного числа п введем
подпространства
HS2q)[n] = {х € HS2q) \Lx = zn® x], (8.15)
где z — элемент алгебры Хопфа З'(К). Повторяя рассуждения
п. 5.1, получаем
nS2g)[n]cnS2q)[m + n], (8.16)
[2m]. (8.17)
m=—oo
В частности,
Подпространство <^Eд)[0] совпадает с кольцом С [z] мно-
многочленов от одной переменной z ? &(S2). Для
п ? Z, получаем
а"С[г], если n ^ 0,
п<0.
§8. Квантовые сферы и копредставления на них 511
Пусть Wr — подпространство в &(S%), совпадающее с
Wr =
i+j+k^r
Из формул (8.6)-(8.8) вытекает, что Wr инвариантно относи-
относительно копредставления L алгебры &(SUqB)), то есть
L: Wr-*&(SUqB))<8>Wr.
Поскольку пространство Wr конечномерно, а конечномерные
копредставления алгебры Хопфа ^(SUgB)) вполне приводи-
приводимы, то копредставление L\vr этой алгебры разлагается в пря-
прямую сумму неприводимых копредставлений. Чтобы найти,
какие неприводимые копредставления содержатся в Lwr, най-
найдем те элементы х ? Wr, для которых Е+х = 0. Из фор-
формул (8.10) и (8.13) вытекает, что такими элементами в Wr
являются ф1, где с ? С и I = 0,1,2,... ,г. Поэтому Wr =
г
— ф Vi, где Vi — пространства неприводимых копредставле-
ний. Вследствие произвольности г получаем такое разложе-
разложение алгебры ^(Sg) в прямую сумму неприводимых подпро-
подпространств:
H%) = ®Vi. (8.19)
Для Vo имеем Vo = С - /, где / — единица алгебры ^E|).
8.3. Инвариантный интеграл на S\ Линейный
функционал <р: &(Sg) —t С называют инвариантным интег-
интегралом на &(Sq), если для всех у е ^E,) имеем
(id ®р)ВД = /•?>(»). (8.20)
Функционал <р на ^E^), задаваемый формулой
<рA) = 1, <р(х) = 0 при хеЦ, l>0, (8.21)
является инвариантным интегралом.
512 Глава 5
Как и в п. 6.1, доказывается, что всякий инвариант-
инвариантный функционал ip на &(Sg) равен нулю на подпространст-
подпространствах &(Sg)[2m] при т ф 0. Из формулы (8.20) также вытека-
вытекает, что ip(E+y) = 0 для всякого у е &(Sg). Положим у — zna.
Тогда из формул (8.10) и (8.13) выводим, что
<Г1/2A - q~X)E+{zna) = -A - q-2n~A)zn+1 +
+ A - <Г2п~2)(с - d)zn + A - q-^cdz"-1.
Действуя на обе части этого равенства интегралом <р, получа-
получаем рекуррентное соотношение
A - q-2n~4Mzn+1) - (С -
-cd(l-q-1Mz»-1)=0.
Положив <рA) = 1, отсюда находим, что
^") = c + d l-q-Vi' « = 0,1,2,.... (8.22)
Таким образом, мы доказали такую теорему.
Теорема 1. На .^E^) существует единый инвариант-
инвариантный интеграл <р, для которого <рA) = 1. Этот интеграл эа-
нуляется на всех подпространствах &{Sg)[2m], т ф 0. На zn
значение этого интеграла дается формулой {8.22).
Как и в случае инвариантного интеграла на квантовой
группе SLqB), инвариантный интеграл <р из формулиров-
формулировки теоремы 1 можно представить с помощью ^-интеграла.
А именно, если F(z) e C[z], q > 1, то
где при 0 < q < 1 g-интеграл на интервале (—d, с) определяется
формулой
с с — d
J F(z) dqz = J F(z) dqz - J F(z) dqz.
-d 0 0
§ 8. Квантовые сферы и непредставления на них 513
С помощью инвариантного интеграла ip вводится эрмито-
эрмитова форма {•, •) на
(х,у) = v(xy*), х,Уе &(?%). (8.23)
Повторяя рассуждения п. 6.2, выводим такие утверждения:
1. Эрмитова форма {-, •) инвариантна относительно дейст-
действия квантовой группы SUqB), то есть
(Lx,Ly) = (х,у), х,уЕ &(S2). (8.24)
2. Подпространства VJ из формулы (8.19) взаимно ортого-
ортогональны относительно эрмитовой формы {•, •).
3. Если числа cud такие, что cd ^ 0, (c,d) ф @,0), то
эрмитова форма {•, •) строго положительно определена.
При доказательстве третьего утверждения используются
равенства
q-2zlc; q-^i-q^z/d; д~2),. (8.25)
8.4. Сферические функции на S%. В подпростран-
подпространстве Vi алгебры &{S%) существует единый базис ед/, т = —I,
—1+1,... ,/, такой что е, = 01 и
I
Let = } tu ® e,- , i- -1,-1 + 1,... ,1,
где t\j — матричные элементы копредставления Tj ал-
алгебры Хопфа 3;{SUqB)) из п. 5.3. Элементы ef\ i = —I,
—1 + 1,... ,1, называют сферическими функциями на кванто-
квантовой сфере S2 = Sg(c,d). Вычисления показывают, что
при 0 ^ i ^ I имеем
x (-q
514 Глава 5
а при —l^.i^.0
х (-в
где Р„ (х; с,d\q) — так называемые большие q-многочле-
ны Якоби, выражаемые через базисные гипергеометрические
функции:
(п~п
ч >
аа+ь+п+1 па+1х/с
ч > ч •L/L
^ -4a+ld/c
Покажем, что сферические функции е- удовлетворяют
соотношению ортогональности
(8.26)
Для этого рассмотрим матрицу М = (ш^-), где rriij = {е\ , е^-ш ).
Поскольку эрмитова форма (•, •) удовлетворяет условию (8.24),
то матрица М удовлетворяет соотношению Т\М = МТт.
Вследствие неприводимости копредставлений Zj и Тт име-
имеем, что М = 0, если I ф т, и матрица М кратна единич-
единичной матрице, если I = т. Это доказывает соотношение (8.26)
для (I,г) ф (m,j) и показывает независимость (е^ ,е\ ) от г.
Выражение (е:',е\') = (е, ,е\1') = (/3',/3') определяется фор-
формулой (8.25):
'? V2 2q-2z/d; q'2),) =
<T2)i(-q-2zfd; q'2),dqz.
-d
Этот интеграл вычисляется с помощью непосредственных вы-
вычислений, которые приводят к формуле (8.26).
Библиография
Монографии
[1] Адаме Дж. Лекции по группам Ли. М.: Наука, 1979, 144 с.
[2] Александров П. С. Введение в теорию групп. М.: Наука, 1980.
[3] Арнольд В. И. Математические методы классической меха-
механики. М.: Наука, 1974.
[4] Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в
гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.
[5] Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее прило-
приложения: В 2 т. М.: Мир, 1980, т. 1-2.
[6] Браун К. С. Когомологии групп. М.: Наука, 1987.
[7] Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммути-
рующими переменными. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
[8] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Об-
Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987.
[9] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1976.
[10] Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представле-
представления. М.: Изд-во иностр. лит., 1947.
[11] Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представле-
представлений групп. М.: Наука, 1965.
[12] Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгеб-
алгебраическим группам. М.: Наука, 1988.
[13] Вольф Ж. Пространства постоянной кривизны. М.: Наука,
1982.
[14] Гаспер Дж., Рахман М. Базисные гипергеометрические ряды.
М.: Мир, 1993.
[15] Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н.Я. Обобщенные
функции. Вып. 5: Интегральная геометрия и связанные с ней
вопросы теории представлений. М.: Наука, 1962.
[16] Гишарде А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли.
М.: Мир, 1984.
[17] Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир,
1983.
[18] Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.
[19] Диксмье Ж. С* -алгебры и их представления. М.: Наука, 1974.
[20] Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Нау-
Наука, 1974.
516 Библиография
[21] Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная
геометрия. Методы теории гомологии. М.: Наука, 1984.
[22] Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная
геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986.
[23] Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.
М.: Наука, 1970.
[24] Желобенко Д. П. Представления редуктивных алгебр Ли. М.:
Наука, 1994.
[25] Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли. М.:
Наука, 1983.
[26] Карасев М. В., Маслов В. П. Нелинейные скобки Пуассонах гео-
геометрия и квантование. М.: Наука, 1991.
[27] Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные
формы. М.: Мир, 1971.
[28] Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М.: ИЛ,
1960.
[29] Картан Э. Интегральные инварианты. М.: Гостехиздат, 1940.
[30] Картан Э. Теория спиноров. М.: ИЛ, 1947.
[31] Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. М.: Мир, 1993.
[32] Кириллов А. А. Основы теории представлений. М.: Наука,
1972.
[33] Климык А. У. Матричные элементы и коэффициенты Клеб-
ша-Гордана представлений групп. Киев: Наук, думка, 1979.
[34] Кокстер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и
определяющие соотношения дискретных групп. М.: Наука,
1980.
[35] Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.
М.: Наука, 1986.
[36] Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1972.
[37] Кертис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп
и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969.
[38] Ленг С. SXB,R). M.: Мир, 1977.
[39] Лефшиц С. Алгебраическая топология. Ш.: Мир, 1949.
[40] Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложе-
приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963.
[41] Мищенко А. С. Векторные расслоения и их применения. М.:
Наука, 1984.
[42] Мурнаган Ф. Теория представлений групп. М.: ИЛ, 1950.
[43] Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. М.:
Физматгиз, 1958.
[44] Наймарк М. А. Теория представления групп. М.: Наука, 1976.
[45] Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных урав-
уравнений. М.: Наука, 1978.
[46] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравне-
уравнениям. М.: Мир, 1989.
Библиография 517
[47] Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их
приложения. М.: Наука, 1987.
48] Понтрягии Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.
49] Постников М. Н. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982.
50] Постников М. Н. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987.
51] Пресли Э., Сигал Г. Группы петель. М.: Мир, 1990.
[52] Самой лен ко Ю. С. Спектральная теория наборов самосопря-
самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1984.
[53] Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.
[54] Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. М.:
Мир, 1970.
[55] Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.
М.: Мир, 1987.
[56] Федоров Е. С. Симметрия и структура кристаллов. М.: Изд-
во АН СССР, 1949.
[57] Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1988.
[58] Фрид Д., Уленбек К. Инстантоны и четырехмерные многооб-
многообразия- М.: Мир, 1988.
[59] Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: На-
Наука, 1984.
[60] Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой
механики.- М.: Наука, 1990.
[61] Хамермеш М. Теория групп. М.: Мир, 1966, 546 с.
[62] Харт Н. Геометрическое квантование в действии. М.: Мир,
1985.
[63] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические
пространства. М.: Мир, 1964.
[64] Хелгасон С. Группы ы геометрический анализ. М.: Мир, 1987.
[65] Холл М- Теория групп. М.: ИЛ, 1962.
[66] Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. М.:
Наука, 1972.
[67] Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ,
1947.
[68] Abe E. Hopf Algebras. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1980.
[69] Chari V., Pressley A.N. A Guide to Quantum Groups.
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994.
[70] Connes A. Non-Commutative Geometry. New York: Academic
Press, 1994.
[71] Hazewinkel M. Formal Groups and Applications. New York:
Acad. Press, 1978.
[72] Hochshild G. The Structure of Lie Groups. San Francisco:
Holden Day, 1965.
[73] Humphreys J.E. Introduction to Lie Algebras and
Representation Theory. Berlin: Springer, 1972.
518 Библиография
[74] Jantzen J. С. Lectures on Quantum Groups. Providence, RI:
Amer. Math. Soc, 1996.
[75] Kassel С Quantum Groups. Berlin: Springer, 1995.
[76] Klimyk A., Schmiidgen K. Quantum Groups and Their Repre-
Representations. Berlin: Springer, 1997.
[77] Knapp A.W. Representation Theory of Semisimple Groups.
Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1986.
[78] Konopelchenko B. G. Nonlinear Integrable Equations. Berlin:
Springer, 1987.
[79] Lusztig G., Introduction to Quantum Groups. Boston:
Birkhauser, 1993.
[80] Madore J. An Introduction to Noncommutative Differential
Geometry and Its Physical Applications. Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1995.
[81] Manin Yu.I. Quantum Groups and Non-Commutative
Geometry. Montreal: CRM, 1988.
[82] Parshall В., Wang J. Quantum Linear Groups. Memoirs Amer.
Math. Soc. 439. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc, 1991.
[83] Scheunert M. The Theory of Lie Superalgebras. Berlin: Springer,
1979.
[84] Schmiidgen K. Unbounded Operator Algebras and Represen-
Representation Theory. Basel: Birkhauser, 1990.
[85] Sweedler M. E. Hopf algebras. New York: Benjamin, 1969.
[86] Vilenkin N. Ya., Klimyk A. U. Representation of Lie Groups and
Special Functions, vols. 1-3. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1991-1993.
Статьи по квантовым группам и симметриям
интегрируемых систем
[87] Белавин А. А., Дринфельд В. Г. Уравнения треугольника и
простые алгебры Ли. Препринт Ин-та теор. физики АН
СССР № 18, Черноголовка, 1982.
[88] Ваксман Л. Л., Сойбельман Я. С. Алгебра функций на кванто-
квантовой группе SUB) II Функц. анализ и прил. 1988, 22, № 3, с.
1-14.
[89] Голод П. И. Гамильтоновы системы, связанные с анизотроп-
анизотропными деформациями аффинных алгебр Ли и высшие уравне-
уравнения Ландау-Лифшица // Дока- АН УССР, Сер. А, 1984, №3,
с. 5-8.
[90] Голод П. И. Скрытая симметрия уравнений Ландау-Лифши-
Ландау-Лифшица и иерархия высших уравнений // Теорет. и машем, фи-
физика, 1987, 70, № 1, с. 18-29.
Библиография 519
[91] Голод П. И., Скрипник В. М. Явна реал1зашя незвщних зобра-
жень класичних груп Jli у просторах йчних лшШних розша-
рувань // Укр. Мат. Ж., 1998, 50, № 10, с. 8.
[92] Дамаскинский Е. В., Кулиш П. П. Деформираванные осцил-
осцилляторы и их приложения // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1991,
189, с. 37-74.
[93] Дринфельд В. Г. Алгебра Хопфа и квантовое уравнение Янга-
Бакстера // Докл. АН СССР, 1985, 283, № 5, с. 1060-1064.
[94] Дринфельд В. Г. Квантовые группы // Зап. науч. семинаров
ЛОМИ, 1986, 155, с. 18-49.
[95] Дринфельд В. Г. О почти некоммутативных алгебрах Хопфа
// Алгебра и анализ, 1989, 1, № 2, с. 30-47.
[96] Карасев М. В., Маслов В. В. Асимптотическое и геометричес-
геометрическое квантование // Успехи мат. наук, 1984, 39, № 6, с. 115-
173.
[97] Кац Г. И., Палюткин В. Г. Конечные кольцевые группы // Тр.
Моск. Мат. О-ва, 1966, 15, с. 224-261.
[98] Кулиш П. П., Решетихин Н. Ю. Квантовая линейная задача
для уравнения синус-Гордон и высшие представления //
Зап. науч. семинаров ЛОМИ, 1981, 101, с. 101-110.
[99] Любашенко В. В. Алгебры Хопфа и векторсимметрии // Успе-
Успехи мат. наук, 1986, 41, № 5, с. 185-186.
[100] Ольшанецкий М. А., Переломов А. М. Явные решения некото-
некоторых вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Функц.
анализ и прил., 1977, 11, № 1, с. 75-76.
[101] Решетихин Н. Ю. Квазитреугольные алгебры Хопфа, решения
уравнения Янга-Бакстера и инварианты зацеплений // Ал-
Алгебра и анализ, 1989, 1, № 2, с. 169-194.
[102] Склянин Б. К., Фаддеев Л. Д. Квантовомеханический подход
к вполне интегрируемым моделям теории поля // Докл. АН
СССР, 1978, 243, № 6, с. 1430-1433.
[103] Склянин Е. К., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый ме-
метод обратной задачи // Теорет. и мат. физика, 1979, 101,
№ 2, с. 194-220.
[104] Склянин Е. К. О некоторых алгебраических структурах, свя-
связанных с уравнением Янга-Бакстера // Функцией, анализ
и прил., 1982, 16, №4, с. 27-34.
[105] Склянин Е. К.О некоторых алгебраических структурах, свя-
связанных с уравнением Янга—Бакстера. Представления кван-
квантовой алгебры // Функцией, анализ и прил., 1983, 17, N° 4, с.
34-48.
[106] Сойбельман Я, С. Алгебра функций на компактной квантовой
группе и ее представления // Алгебра и анализ, 1990, 2, № 1,
с. 190-212.
520 Библиография
[107] Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной
задачи и XYZ-модель Гейзенберга // Успехи мат. наук, 1979,
34, № 5, с. 13-63.
[108] Фаддеев Л. Д., Тахтаджян Л. А., Решетихин Н. Ю. Квантова-
Квантование групп и алгебр Ли // Алгебра и анализ, 1989, 1, № 1,
с. 178-207.
[109] Яцун В. А. Неавтодуальные инстантоны и квазиконформные
отображения // Докл. АН СССР, 1989, 305, № 5, с. 1090-1093.
[110] Alisauskas S., Smirnov Yu. F. Multiplicity-free ия(п) coupling
coefficients // J. Phys. A: Math. Gen., 1994, 27, P. 5925-5939.
[Ill] Bespalov Yu. N. Crossed modules and quantum groups in
braiding categories // Applied Categorical Structures, 1997, 5,
P. 155-204.
[112] Biedenharn L. C. The quantum group SUB)g and a g-analogue
of the boson operators // J. Phys. A: Math. Gen., 1989, 22,
P. 873-878.
[113] Chaichian M., Kulish P. Quantum Lie superalgebras and
g-oscillators // Phys. Lett. В., 1990, 234, P. 72-80.
[114] Dobrev V. K. Singular vectors of representations of quantum
groups // J. Phys. A: Math. Gen., 1992, 25, P. 149-160.
[115] Faddeev L. D. Integrable models in 1+1 dimensional quantum
field theory // Les Housches Lectures. Berlin: Elsevier Sci. Publ.,
1982, P. 21-157.
[116] Faddeev L. D., Takhtajan L. A. Liouville model on the lattice //
Led. Notes. Phys., 1986, 246, P. 116-179.
[117] Fairlie D.B. Quantum deformation of SUgB) // J. Phys. A:
Math. Gen., 1990, 23, P. 183-187.
[118] Feinsilver Ph. Elements of g-harmonic analysis // J. Math. Anal.
Appl., 1989, 141, P. 509-526.
[119] Gavrilik A.M., Klimyk A.U. g-Deformed orthogonal and
pseudo-orthogonal algebras and their representations // Lett.
Math. Phys., 1991, 21, P. 215-220.
[120] Groza V. A., Kachurik 1.1., Klimyk A. U. On matrix elements
and Clebsch-tjlordan coefficients of the quantum algebra
Ug(su2) I/ J. Math. Phys., 1990, 31, P. 2769-2780.
[121] Havlicek M., Klimyk A. U-, Posta S. Representations of the
cyclically symmetric g-deformed algebra soeC) // J. Math.
Phys., 1999, 40, P. 2135-2161.
[122] Hayashi T. Q-analogue of Cliford and Weyl algebras //
Commun. Math. Phys., 1990, 127, P. 119-144.
[123] Holod P. I., Pakulyak S. Z. On the superextension of the
Kadomtzev-Petwiashvili equation and finite gap solutions of
Korteweg—de Vries superequations // Modern Quantum Field
Theory. Berlin: Spriger, 1989, P. 107-116.
Библиография 521
[124] Isaev A. P. Quantum groups and Yang-Baxter equations //
Phys. Part. Nucl., 1995, 26, P. 501-526.
[125] Isaev A. P., Vladimirov A. A. GAj(n)-Covariant braided
differential bialgebras // Lett. Math. Phys., 1995, 33,
P. 297-303.
[126] Jimbo M. Quantum R matrix related to the generalized Toda
system: an algebraic approach // Led. Notes Pbys., 1986, 246,
P. 335-361.
[127] Jimbo M. A g-difference analogue of U(gl(N+l))) and the Yang-
Baxter equations // Lett. Math. Pbys., 1995, 10, P. 63-69.
[128] Jimbo M. A g-analogue of C/(sljv)> Hecke algebra and the Yang-
Baxter equation // Lett. Math. Pbys., 11, P. 247-252.
[129] Jur" со В., Stovi" сек A. Quantum dressing orbits on compact
quantum groups // Commun. Math. Phys., 1993, 152, P. 97-
126.
[130] Kachurik 1.1., Klimyk A. U. On the Racah coefficients of the
quantum algebra Uq(su2) // J. Phys. A: Math. Gen., 1990, 23,
P. 2717-2730.
[131] Kashiwara M. Crystalizing the g-analogue of universal
enveloping algebras // Commun. Math. Phys., 1990, 133,
P. 249-260.
[132J Kazhdan D., Soibelman Y. Representations of quantum affine
algebras // Selecta Math., 1995, 1, P. 537-595.
[133] Kirillov A. N., Reshetikhin N. Yu. Representations of the algebra
Ug(su2), g-orthogonal polynomials and invariants of links //
Preprint LOMI, E-6-88, 1988.
[134] Klimyk A. U. Infinite dimensional representations of quantum
algebras and their representations // Yadernaya fizika, 1998,
61, P. 1783-1790.
[135] Klimyk A.U., Kachurik LI. Spectra, eigenvalues and overlap
functions for representations operators of g-deformed algebras
// Commun. Math. Phys., 1996, 175, P. 89-111.
[136] Koelink H.T., Koornwinder Т.Н. The Clebsch-Gordan
coefficients for the quantum group 5T/9B) and g-Hahn
polynomials // Proc. Kon. Ned. Acad. van Wetensch, 1989, 92,
P. 443-456.
[137] Koornwinder Т.Н. Representations of the twisted 51/B)
quantum group and some g-hypergeometric polynomials //
Indag. Math., 1989, 51, P. 97-117.
[138] Kulish P.P., Sklyanin E.K. Quantum spectral transform
method. Recent development // Led. Notes Phys., 1984, 151,
P. 61-119.
[139] Lusztig G. Quantum deformations of certain simple modules
over enveloping algebras // Adv. Math., 1988, 70, P. 237-249.
522 Библиография
[140] Macfarlane A. J. On g-analogues of the quantum harmonic
oscillator and the quantum group SUqB) // J. Phys. A: Math.
Gen., 1989, 22, P. 4581-4588.
[141] Majid Sh. Quasitriangular Hopf algebras and Yang Baxter
equations // Int. J. Mod. Phys., 1990, P. 1-91.
[142] Masuda T et al. Representations of quantum group SUqB) and
the little g-Jacobi polynomials // J. Fund. Anal., 1991, 99,
P. 357-386.
[143] Moore G., Seiberg N. Classical and quantum conformal field
theory // Commun. Math. Phys., 1989, 123, P. 177-254.
[144] Noumi M., Mimachi K. Quantum 2-spheres and big g-Jacobi
polynomials // Commun. Math. Phys., 1990, 128, P. 521-531.
[145] Podles P. Quantum spheres // Lett. Math. Phys., 1987, 14,
P. 193-202.
[146] Reshetikhin N. Yu. Quantized universal enveloping algebras,
the Yang-Baxter equation and invariants of links. 1 and II //
Preprints LOMI E-4-87 and E-17-87, 1987.
[147] Rosso M. Finite dimensional representations of quantum
analogy of the enveloping algebra of a complex simple Lie
algebra // Commun. Math. Phys., 1988, 117, P. 581-593.
[148] Rosso M. An analogue of the PBW theorem and the universal
R-matrixfor Uh{sl(N+l)) // Commun. Math. Phys., 1989, 124,
P. 307-318.
[149] SamoilenkoYu.-S., Turowska L. B. Semilinear relations and
¦-representations of deformations of soC) // Quantum Groups
and Quantum Spaces. Banach Center Publications, vol. 40,
Warsaw, 1997, P. 21-40.
[150] Soibelman Ya., Vaksman L. L. On some problems in the theory
of quantum groups // Adv. Soviet Math., 1992, 9, P. 3-55.
[151] Woronowicz S. L. Twisted SUB) group // Publ. RIMS. Kyoto
Univ., 1987, 23, P. 117-181.
[152] Woronowicz S. L. Compact matrix pseudogroups // Commun.
Math. Phys., 1987, 111, P. 613-665.
[153] Woronowicz S, L. Tanaka-Krein duality for compact matrix
pseudogroups. Twisted SU(N) groups // Inven. Math., 1988,
93, P. 35-76.
[154] Yatsun V. A. Integrable model of Yang- Mills theory and quasi-
instantons // Lett. Math. Phys., 1986, 11, P. 153-159.
Предметный указатель
g-многочлены Якоби большие
514
— малые 491
автоморфизм алгебры Ли S9
— группы 18
алгебра 90
— д-осциляторная 465
— Вирасоро 401
— Грассмана 106
— Клиффорда 97
— Паули 98
— Хопфа 443
— ассоциативная 90, 440
— вещественная 90
— внешняя 105, 482
— градуированная 102
— групповая 245
— квантовая 451
— кватернионов 92
— коммутативная 90
— комплексная 90
— полупростая 349
— простая 91, 350
— с делением 92
— с единицей 90
— тензорная 104
— универсальная обертываю-
обертывающая 106
— функций 481
алгебра Ли 99
— аффинная 394
— вещественная 396
— группы Ли 157, 166
— коммутативная 99
— линейная 100
— нильпотентная 343
— петель 393
—- полупростая 353
— простая 353
— разрешимая 341
— редуктивная 352
аналитическая структура 115
антикоммутатор 94
антипод 443
ассоциативность 9
атлас максимальный 115
база накрытия 59
— расслоения 61
базис Гельфанда-Цетлина 423
— Картана - Вейля 358
— Пуанкаре -Биркгофа-Витта
107
— симплектический 144
биалгебра 442
биидеал 442
вектор аналитический 227
— весовой 418, 463
— касательный 119, 121
— направляющий 161
— параллельный 185
— старшего веса 418
— циклический 210
вес 426
— доминантный 41S
— представления 418
— старший 418
— целочисленный 419
внешнее умножение 126
внешняя р-форма 105
генератор 131
геодезическая 186
гладкая структура 115
гомеоморфизм 52
гомоморфизм алгебр 91
— алгебр Хопфа 443
— биалгебраический 442
524
Предметный указатель
— групп 18
— коалгебр 441
градуирование 103
границы дискретных серий 330
группа 9
— Вейля 360, 361, 414
— Мебиуса 78
— Пуанкаре 57, 86, 337
— абелева 10
— аффинная 11
— гладких преобразований 130
— движений 12
— диэдра 14
— знакопеременная 41
— изометрий 11
— когомологий 32
— коммутативная 10
— конформная 86
— локальная 180
— непрерывная 52
— нильпотентная 35
— односвязная 58
— параболическая 332
— первая гомотопическая 56, 57
— полупростая 35
— преобразований 10
подобия 12, 86
— простая 35
— псевдоевклидова 72
— разрешимая 35
— с мультипликаторами 10
— свободная 17
коммутативная 17
— симметрии 10
— симметрическая 37
— симплектическая 144
вещественная линейная
144
— спинорная 375
— токов 403
— топологическая 52
— унимодулярная 197
— унитарная 146
— фундаментальная 56, 57
— циклическая 13
— экспоненциальная 226
группа Вейля 384
группа Ли 139
— локальная 180
— нильпотентная 343
— полупростая 354
— простая 354
— экспоненциальная 171
диаграмма Юнга 267
— — стандартная 267
— весовая 420
диффеоморфизм 118
дифференцирование алгебры
351
— внутреннее 351
единица алгебры 90
— группы 9
— кватернионная S2
замыкание 51
звездное множество 138
идеал 91
— Хопфа 443
— двусторонний S1
— левый S1
— правый 91
идемпотент 265
— примитивный 265
изоморфизм алгебр Ли 99
— групп 18
— топологических групп 54
инвариантность левая 507
— правая 507
индекс группы 21
— сплетения 210
интеграл инвариантный 494, 511
— на алгебре Хопфа 494
камера Вейля 362
квадрика Клейна 88
класс когомологический 137
— смежный левый 20
правый 20
— сопряженных элементов 24
коалгебра 440
— коммутативная 440
коассоциативность 440
Предметный указатель
525
когерентное состояние 475
коединица 440
коидеал 441
кольцо когомологий де Рама 137
коммутатор 99, 124
комодуль левый 447
— правый 447
конус Титса 433
непредставление алгебры Хопфа
левое 447
правое 446
— матричное 448
— унитарное 499
— эквивалентное 448, 493
корень алгебы Ли 356
— мнимый 3S6
— ограниченный 383
— отрицательный 359, 3S6
— положительный 35S, 3S6
— простой 362, 384
коумножение 440
коцикл 32
коэффициенты Клебша - Горда-
на 287
— Рака 294
квантовой алгебры 460
— аффинной связности 184
— пересвязывания 294
кратность веса 420, 426
— накрытия 59
— органиченного корня 383
— представления 242
кривая гладкая 119
— интегральная 129
лемма Пуанкаре 138
— Шура 212
локальная карта 114
— векторного расслоения 63
— гладко согласованная 114
массивная подгруппа 243
матрица Картана 365, 398, 409
— Якоби 118
— унитарная 68
мера Хаара 196
метрика псевдориманова 189
— риманова 189
метрический тензор 160
многообразие диффеоморфное
118
— ориентированное 116
—• псевдориманово 189
— риманово 189
— с границей 116
— топологическое 114
модуль Верма 428
накрытие 58
— универсальное 60
неприводимость операторная
205
— пространственная 205
норма 199
нормализатор 23
нормальный делитель 15
нормальный ряд 35
область Гординга 224
образ гомоморфизма 18
окрестность 50
оператор Казимира 231
— Лапласа 233, 284
— изометрический 212
— инвариантный 210
— инфинитезимальный 131, 225
— порождающий 131
— представления 223
— свертки 128
— сплетающий 210
орбита 22
ориентация 116
орисфера 77
открытое множество 50
отображение аналитическое 117,
118
— голоморфное 116
— дифференцируемое 117, 118
— координатное 114
— кососимметричное 105
— накрывающее 58
— экспоненциальное 170, 187
параллельный перенос 185
перестановка 36
526
Предметный указатель
—¦ циклическая 37
подалгебра 90
— Картана 354
подгруппа 9
— борелевская 82
— инвариантная 15
— однопараметрическая 164
подкоалгебра 441
подкомодуль 447
подкопредставление 447
подпредставление 204
подпространство весовое 426
— корневое 356, 383
подстановка 36
поле векторное 123
Ф-связное 132
левоинвариантное 160, 161
правоинвариеантное 161
— тензорное кривизны 187
кручения 187
порядок группы 10
поток глобальный 131
— локальный 130
— максимальный 130
представление 200
— Фока 471, 473
— алгебры 203, 467
— алгебры Хопфа 446
— антиголоморфное 222
— бесконечномерное 201
— векторное 201
— весовое 426
— вещественно-аналитическое
416
— вполне приводимое 205
— голоморфное 222
— квазирегулярное 301
— квантовой группы 488
— комплексное 415
— конечномерное 201
— контраградиентное 208
— линейное 198, 200
— матричное 204
— неприводимое 204
— неразложимое 205
— получиклическое 463, 471
— приводидмое 204
— присоединенное алгебры Ли
159
группы Ли 156
— со старшим весом 427
— точное 201
— унитарное 206
— фундаментальное 419
— циклическое 471
— эквивалентное 212
преобразование аффинное 185
— конформное 12
— несобственное 65
— нильпотентное 340
— ортогональное 11
— полупростое 338
— симплектическое 144
преобразование Фурье алгебры
Хопфа 503
— на квантовой группе 503
произведение косое 63
— полупрямое 28
— скалярное 199
— тензорное 219-221
производная алгебры 341
— ковариантная 184
производная Ли в пространстве
fc-форм 134
— в пространстве векторных
полей 133
пространство Гординга 224
— банахово 199
— вполне несвязное 55
— гильбертово 199
— дискретное 51
— дуальное 441
— евклидово 11
— касательное 119, 122
— линейно связное 55
— линейное симплектическое
143
—¦ локально евклидово 114
— накрывающее 58
— проективное 24
— псевдоевклидово 72
— с аффинной связностью 183
Предметный указатель
527
— связное 54
— топологическое 50
— унитарное 146
— хаусдорфово 51
— эрмитово 146
псевдориманова структура 189
путь гомотопный 56
— непрерывный 55
— эквивалентный 56
радикал группы 36
разложение Ивасавы 390
— Картана 378
ранг алгебры Ли 355
вещественный 382
расслоение 61
— Стинрода 63
— векторное 62
— главное 310
— касательное 123
— кокасательное 123
— линейное 62
— локально-тривиальное 61
— со структурой группы 63
— тривиальное 62
расширение группы 25
— разложимое 32
— центральное 32
ряд Кемпбела-Хаусдорфа 176
самопредставление 201
связная компонента 55
связность аффинная 183
инвариантная 185
симметричная 189
— линейная 55
— псевдориманова 191
— риманова 191
серия представления дискрет-
дискретная 300, 326, 330
— дополнительная 325, 329
— основная неунитарная 316
унитарная 321, 328
сечение расслоения 124
симметризатор Юнга 268
симметрии Редже 291, 296
сингулярный fe-куб 136
слой над точкой 61
— расслоения 62
согласованность аналитическая
115
— класса С" 115
спиральность 338
стабилизатор 23
структурные константы алгеб-
алгебры 93
— алгебры Ли 99
— группы Ли 151
супералгебра Ли 109
схема Дынкина 367
— Юнга 267
таблица характеров 259
теорема Бернсайда 215
— Кэли 39
— Лагранжа 21
— Ли 341
— Петера-Вейля 237
— Шура 29
— Эйлера 66
— Энгеля 344
— взаимности Фробениуса 306
теорема Эйлера 44
тождество Рака 297
— Якоби 151
траектория 129
транзитивное действие 22
транстпозиция 38
углы Эйлера 65
универсальная Л-матрица 453
унитаризация представления
207
уравнение Янга-Бакстера 454
фактор нормального ряда 35
фактор-алгебра 91
фактор-группа 21, 53
форма Киллинга 159
— вещественная алгебры 452
комплексной алгебры Ли
102
— внешняя 105
— дифференциальная замкну-
замкнутая 137
528
Предметный указатель
линейная 125
точная 137
— жорданова 339
— линейная доминантная 429
целочисленная 429
формула Кемпбелла-Хаусдорфа
173
— знаменателя 432
функция Вигнера 281
— разбиения Костанта 413
— сферическая 282
зональная 244
на квантовой сфере 513
присоединенная 244
— центральная 241
характер представления 218, 431
характеристика Эйлера 44
центр 23
централизатор подгруппы 23
— элемента 24
цикл 37
элемент Казимира 451
— алгебры нечетный 95
нилыготентный 95
четный 95
— группово-подобный 442
— обратный 9
— порождающий 15
— примитивный 442
— сопряженный 19
ядро гомоморфизма 18
якобиан 118
Петр Иванович Голод
Анатолий Ульянович Климык
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ СИММЕТРИИ