3. ФЛЮГГЕ
Задачи
по квантовой
механике
том 2
Перевод с английского
кандидата физ.-мат. наук, доцента
Б. А. ЛЫСОВА
Под редакцией
доктора физ.-мат. наук, профессора
А. А. СОКОЛОВА
Издательство «Мир»
МОСКВА 1974

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN
in Einzeldarstellungen
mit besonderer Beriicksichtigung
der Anwendungsgebiete
Band 178
Practical
Quantum Mechanics II
by
SIEGFRIED FLUGGE
Physikalisches lnstitut
der Universitat Freiburg
SPRINGER-VERLAG
BERL1N-HE1DELBERG-NEW YORK
1971

УДК 530.145@75)
Книга Флюгге представляет собой своеобразное изложение
квантовой механики на базе анализа задач и примеров. Она охва-
охватывает почти все разделы квантовой механики, нашедшие боль-
большое практическое применение. Внимательно читая книгу Флюгге,
можно не только изучить основы квантовой механики, но и на-
научиться применять ее к конкретным задачам.
Книга разделена на два тома. Второй том состоит из пяти
глав (III—VII). Гл. III посвящена движению как одной (часть А),
так и нескольких (часть Б) нерелятивистских частиц со спином Va-
Глава IV по существу представляет собой дальнейшее разви
тие гл. III. В ней исследуется движение очень большого числа
частиц (электронный газ в металле, модель атома Томаса —Ферми
и т. д.). В гл. V вошли нестационарные задачи, в гл. VI —
задачи и примеры, связанные с релятивистским уравнением
Дирака, а в последнюю, гл. VII—элементы теории вторичного
квантования, включая квантовую теорию излучения. Книга снаб-
снабжена математическим приложением, которое посвящено специаль-
специальным функциям и некоторым интегралам, часто встречающимся в
квантовой механике.
Книга полезна студентам и преподавателям, а также широ-
широкому кругу физиков-экспериментаторов, не обладающих доста-
достаточным опытом выполнения конкретных квантовомеханических
расчетов.
Редакция литературы по физике
20402	069
Ф . .„	_. 69—74 © Перевод на русский язык, «Мир», 1974

Содержание
111. Частицы со спином
А. Одночастичные задачи		9
129.	Явный вид матриц Паули		9
130.	Собственные векторы матриц Паули		11
131.	Алгебра спиновых матриц		14
132.	Трансформационные свойства спиноров		16
133.	Электрон со спином в центральном поле		18
134.	Квадрупольный момент при наличии спина		22
135.	Среднее значение магнитного момента		24
136.	Тонкая структура		27
137.	Плоские волны для частиц со спином 1/2		29
138.	Спиновый резонанс для свободного электрона		32
Б. Двух- и трехчастичные задачи		34
139.	Спиновые функции двух частиц		34
140.	Центральное взаимодействие между нуклонами, зависящее от
спина	'		36
141.	Степени спиновых операторов		38
142.	Собственные функции оператора полного момента двух частиц,
обладающих спином		39
143.	Тензорные силы		41
144.	Дейтрон с тензорным взаимодействием		44
145.	Электрический квадрупольный и магнитный дипольный момен-
моменты дейтрона		47
146.	Спиновые функции трех частиц		50
147.	Рассеяние нейтронов молекулярным водородом		53
IV. Многочастичные задачи
А. Малое число частиц		57
148.	Две отталкивающиеся частицы на окружности		57
149.	Трехатомная линейная молекула		61
150.	Движение центра масс		66
151.	Теорема вириала		69
152.	Определитель Слэтера		70
153.	Определитель Слэтера и обменное взаимодействие		72
154.	Два атомных электрона в основном состоянии		74
155.	Возбужденные состояния атома гелия		77
156.	Возбужденные S-состояния атома гелия		81
157.	Основное состояние атома лития		85

Содержание
158.	Обменные поправки к основному состоянию атома лития ...	88
159.	Электрическая восприимчивость		91
160.	Диамагнитная восприимчивость неона		94
161.	Силы Ван-дер-Ваальса		95
162.	Обменное вырождение при наличии возбуждения		97
163.	Нейтральная молекула водорода		101
164.	Рассеяние одинаковых частиц		106
165.	Аномальное рассеяние протонов на протонах		ПО
166.	Неупругое рассеяние		ИЗ
Б. Очень большое число частиц. Квантовая статистика . .	119
167.	Электронный газ в металле		119
168.	Парамагнитная восприимчивость металла		122
169.	Холодная эмиссия без учета сил электростатического изобра-
изображения . . .		125
170.	Холодная эмиссия с учетом сил электростатического изобра-
изображения 		128
171.	Белый карлик	:		133
172.	Приближение Томаса — Ферми		138
173.	Поправка Амальди для нейтрального атома		143
174.	Энергия атома в модели Томаса —Ферми		144
175.	Теорема вириала для модели атома Томаса — Ферми		149
176.	Приближение Тайтца для модели атома Томаса —Ферми ...	150
177.	Вариационный метод для модели атома Томаса — Ферми . . .	152
178.	Влияние экранировки на /С-электроны		153
V. Нестационарные задачи
179.	Двухуровневая система под действием не зависящего от времени
возмущения		158
180.	Действие периодического возмущения на двухуровневую систему	160
181.	Теория возмущений Дирака		164
182.	Периодическое возмущение и резонанс		166
183.	Золотое правило для рассеяния		168
184.	Борновское рассеяние в импульсном представлении		171
185.	Кулоновское возбуждение атома		173
186.	Фотоэффект		177
187.	Дисперсия света. Силы осцилляторов		180
188.	Спин-флип в магнитной резонансной системе		184
VI. Релятивистское уравнение Дирака
189.	Квадрирование уравнения Дирака		188
190.	Плоские волны Дирака с положительной энергией		190
191 Трансформационные свойства дираковских спиноров		194
192.	Лоренцевы коварианты		195
193.	Пространственная инверсия		199
194.	Зарядовое сопряжение		201
195.	Состояния со смешанной спиральностью		203
196.	Среднее значение спина		205
197.	Алгебраические свойства волнового спинора Дирака		206
198.	Плотность тока в алгебраической формулировке		209

Содержание
199.	Ток проводимости и ток поляризации		211
200.	Уравнение Дирака в двухкомпонентной записи		214
201.	Центральные силы в теории Дирака		217
202.	Проблема Кеплера в теории Дирака		221
203.	Тонкая структура энергетических уровней атома водорода . .	225
204.	Проблема Кеплера. Радиальные функции при положительных
энергиях		230
205.	Разложение дираковской плоской волны по состояниям с опре-
определенным моментом		234
208.	Рассеяние в поле центральных сил		237
207. Гладкая потенциальная ступенька		240
203. Наклонное падение плоской волны на прямоугольную потен-
потенциальную ступеньку		247
209.	Отражение от прямоугольной потенциальной ступеньки при
наклонном падении 		251
VII. Теория излучения
210.	Квантование шредингеровского волнового поля		254
211.	Рассеяние в борновском приближении		256
212.	Квантование классического поля излучения		258
213.	Вероятность переходов с излучением одного фотона		261
214.	Угловое распределение излучения		264
215.	Полная вероятность перехода		267
216.	Правила отбора для дипольного излучения		268
217.	Интенсивности линий лаймановской серии		271
218.	Эффект Комптона		273
219.	Тормозное излучение		278
Математическое приложение
Криволинейные координаты		285
Г-функция 		286
Функции Бесселя		288
Функции Лежандра		292
Сферические гармоники		296
Гипергеометрическая функция		301
Вырожденная гипергеометрическая функция		303
Некоторые функции, определяемые интегралами		305
Предметный указатель к 1-му и 2-му томам		308

Ш. Частицы со спином
А. Одночастичные задачи
Задача 129. Явный вид матриц Паули
Частица со спином V2 обладает тремя фундаментальными
особенностями.
1.	Ей присущи внутренние векторные свойства, не зависящие
от пространственных координат.
2.	Соответствующий вектор представляет собой момент коли-
количества движения (спин), который должен быть добавлен к обыч-
обычному орбитальному моменту частицы.
3.	Измеряя какую-либо компоненту спина, можно получить
только одно из двух значений: +1/Jl или —1lji.
Перечисленные особенности можно описать с помощью двух-
компонентных волновых функций. Соответствующие им спиновые
операторы изображаются двухрядными матрицами, явный вид
которых будет найден ниже.
Решение. Пусть
— оператор вектора спина, тогда для его компонент в силу
п. 2 должны иметь место перестановочные соотношения
SxSy—SySx = %lSz и т. д.	A29.1а)
Они справедливы для операторов момента количества движения.
Для безразмерных операторов а, эти соотношения принимают вид
axay—ayax = 2iaz и т. д.	A29.16)
Согласно п. 3, собственные значения каждого из операто-
операторов ot равны +1 и —1, поэтому операторы а,- должны допус-
допускать представление в виде двухрядных матриц в двумерном гиль-
гильбертовом пространстве. Из-за некоммутативности рассматриваемых
матриц все они не могут быть диагональными в одной и той же
гильбертовой системе координат. Мы выберем последнюю таким
образом, чтобы матрица

10	///. Частицы со спином. А. Одночастичные задачи
была диагональной, тогда единичные координатные векторы можно
записать в виде
а=(о) и p =
так что
<тга = а, а,р=—р.	A29.4)
Если частица находится в состоянии, описываемом гильбертовым
вектором а(Р), то в этом состоянии ее спин направлен вдоль
положительного (отрицательного) направления оси г.
Матрицы ох и Оу запишем теперь в общем виде:
Чтобы найти матричные элементы, мы сначала воспользуемся
двумя перестановочными соотношениями A29.16), линейными
относительно матриц ах и оу:
0 -2а12\	fbn blt
J\
или
/О -
О l=~zl\b21 Ь,
csvaz—°zay=' +2"^.,
или
О — 2&,Л	/а„ а,
22
Таким образом, имеем
и нам остается определить лишь два матричных элемента аи
и а21. Третье перестановочное соотношение
или
а12аа	0 \_ /1 О
дает еще одно равенство:
а а = 1	(\2Я 7\

	130. Собственные векторы матриц Паули	И
Равенства A29.6) и A29.7) все еще оставляют один комплексный
параметр, скажем а1г, неопределенным. Мы зафиксируем этот
параметр, произвольно положив
аи=1,	A29.8)
так что окончательно матрицы Паули примут вид
О 1\	/О —Л	/1 0
6)> °«={i 0 )> °.={о -
Равенства A29.9) можно заменить эквивалентной системой
равенств
если воспользоваться собственными векторами A29.3) оператора о,.
Задача 130. Собственные векторы матриц Паули
Найти собственные векторы операторов ох и оу и показать
необходимость условия |а12|2=1. Выяснить свойства „лестнич-
„лестничных" операторов
o+ = ox-\-ioy и о_=ох—iciy	A30.1)
и оператора квадрата вектора спина
а* = о2 + а»+о|.	A30.2)
Решение. Полагая в результатах предыдущей задачи а1г = а,
получаем
0 а\	/0 — ia>
и, следовательно,
 2а\	/ 0 0\
A30.4)
Пусть далее if есть двухкомпонентная волновая функция
'0^
тогда
A30.6)

12	///. Частицы со спином. А. Одночастичные задачи
Собственные векторы оператора ах удовлетворяют уравнению
охМр = ХМр,
где к—собственное значение; это уравнение можно записать
через компоненты в виде
av — Xu и — = fa).
Последние уравнения совместны только в том случае, если
А,= ±1. Таким образом, для собственных векторов получаем
7P) ПРИ Я=1>
A30.7)
* !
Вероятности ориентации спина вверх (в положительном направ-
направлении оси г) и вниз пропорциональны квадратам модулей коэф-
коэффициентов при гильбертовых векторах а и |3, а именно: 1 и
1/| я Is. Так как ни одна из ориентации не является предпоч-
предпочтительной, то отсюда следует
|а|»=1.	A30.8)
Приведенные рассуждения полностью применимый к оператору ау.
Здесь и всюду в дальнейшем мы для определенности будем
полагать, что а=1. Таким образом, собственные значения каж-
каждой из матриц а,- равны +1 и —1. а их собственные векторы
имеют вид
о
/0 —А	/1\	/ 1 \
[	J	2vy	2-^j A30.96)
A30-9в)
Все три матрицы Паули эрмитовы, oj = ah а их собственные
значения действительны. Напротив, операторы
0 2\	/0 0\
oj и *- = B0)	A30.10)
не являются эрмитовыми:
at,. = a_ и at = a+.

130. Собственные векторы матриц Паули	13
Для них задача на собственные значения оказывается неразре-
неразрешимой, так как эти операторы нельзя привести к диагональному
виду. В этом можно убедиться следующим образом.
В наиболее общем случае двухрядную унитарную матрицу
можно записать, если отвлечься от несущественного -фазового
множителя, в виде
/cos ¦&	sin $er°
= \ sin fl^i cos W <E+T»
где ft, ?, т]—действительные параметры. Производя над опера-
оператором а+ унитарное преобразование, получаем
/ — sin ft cos ft cos2 Ье'г \
\—Sin2 №*-'* Sin ft COS ft/
но последнюю матрицу нельзя сделать диагональной ни при
каком выборе действительных параметров, поскольку функции
sin ft и cos ft ни при каком значении аргумента ft не обращаются
в нуль одновременно.
Если операторами о+ и <т_ подействовать на гильбертовы век-
векторы аир, то, согласно равенствам A30.6), получим
Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям
о+ог—ого+ = —2о+, а_ог — ога_ = +2о_. A30.12)
Если от операторов а+ и о_ перейти к нормированным опера-
операторам
5+ = |а+ и S_ = -|o_,	A30.13)
то они, так же как и операторы L+ и L_ (см. задачу 56), будут
сдвигать собственное значение г-компоненты спина на единицу
(в единицах ft):
Состояние р с проекцией спина — llji под действием оператора 5+
переходит в состояние а с проекцией спина +1/2^i оператор
S_ действует аналогично, но в другую сторону. Выражения S+a
и S_p по необходимости должны обращаться в нуль, так как,
согласно приведенному правилу сдвига, в результате должны
были бы получиться состояния с проекциями спина +3/2Д и —3/2Я,
но таких состояний в рассматриваемом гильбертовом простран-
пространстве не существует.

14	///. Частицы со спином. А. Одночасттные задачи
В заключение рассмотрим оператор квадрата вектора спина
+) + ol.	A30.14)
Нетрудно видеть, что все три матрицы of являются единичными
матрицами, поэтому матрица о2 диагональна:
0N
а ее значение равно 3, какой бы вектор гильбертова простран-
пространства мы ни брали. В справедливости этого результата можно
убедиться и с помощью второго из выражений A30.14), восполь-
воспользовавшись для произведений о+о_ и а_а+соотношениями A30.11).
Из равенства A30.14) следует
Если ввести спиновое квантовое число 5, то правую часть по-
последнего равенства можно записать в виде
где S = 1/2- Именно это имеют в виду, когда говорят, что состоя-
состояние имеет „спин 1/i".
Задача 131. Алгебра спиновых матриц
Показать, что три матрицы Паули вместе с единичной матри-
матрицей образуют полный набор линейной алгебры.
Решение. Если 1, ох, оу, ог образуют полный базис, то это
означает, что в результате сложения или умножения элементов
вида
N = a0 + a1ax + aioy + a3az,	A31.1)
где а{ — произвольные комплексные числа, нельзя получить эле-
элементов, не принадлежащих рассматриваемой алгебре. Для сло-
сложения это очевидно, что же касается умножения пары элементов,
то в справедливости сделанного утверждения еще предстоит
убедиться. С этой целью мы составим для матриц Паули таблицу
умножения.
Пусть i, k, I — произвольная циклическая перестановка трех
индексов х, у, z, тогда матрицы о, должны удовлетворять пере-
перестановочным соотношениям
оЛ-аЛ = 2/а(	A31.2)

131. Алгебра спиновых матриц
15
и нормировочным соотношениям
а?=1.	A31.3)
Кроме того, как нетрудно проверить, матрицы Паули антиком-
мутативны:
г. = 0, 1фк.	A31.4)
Таким образом, складывая и вычитая равенства A31.2) и A31.4),
получаем
oiok = ial, okoi — —iol.	A31.5)
Следовательно, произведение любой пары базисных элементов,
если отвлечься от комплексного числового коэффициента, снова
является базисным элементом:
Первый сомножитель
1
°х
Су
°z
Второй сомножитель
1
1
°х
Оу
az
ах
Ох
1
-1ож
iOy
°У
Оу
iaz
1
-iax
az
°z
-iOy
1
Следует обратить внимание, что произведение всех трех мат-
матриц Паули имеет очень простой вид
axayat = i.	A31.6)
Заметим также, что, согласно приведенной таблице, не имеющие
собственных значений операторы <т+ и а_ должны удовлетворять
равенствам вида
ai = (ая ± ш„)« = al—ol ± I (охоу + оуох) = 0.
Этот интересный результат означает, что в алгебре матриц Паули
квадрат ненулевого элемента может быть равен нулю. В этой
связи следует заметить, что в рассматриваемой алгебре не суще-
существует элементов, обратных элементам а+ и о_.
Ненулевой элемент алгебры, N, удовлетворяющий соотношению
N = N\	A31.7)
называется идемпотентным элементом. В нашей алгебре такие
элементы имеют вид
-я" A -Н*У/)
= x,y,z.
A31.8)

16	///. Частицы со спином. А. Одночастичные задачи
В матричном представлении, например, получаем
,)-Q, о).
Действие операторов Р+ и Р_ на базисные векторы гильбертова
пространства аир дает
Таким образом, эти операторы, действуя на состояния со сме-
смешанной спиновой ориентацией, подавляют либо а-, либо р-ком-
поненту смеси
так что в результате получается вектор, совпадающий по направ-
направлению с одним из базисных векторов гильбертова пространства.
По этой причине указанные операторы называются проекцион-
проекционными операторами.
Замечание. Алгебра матриц Паули по существу совпадает с алгеброй
кватернионов, в которой вместо величин а^ в качестве базисных элементов
используются величины ia^.
Задача 132. Трансформационные свойства спиноров
Как можно показать, что спин одночастичного состояния,
,	A32.1)
представляет собой вектор? Учесть, что матрицы а( не преобра-
преобразуются при повороте пространственных координат и что транс-
трансформационные свойства спина s полностью обусловлены транс-
трансформационными свойствами волновой функции.
Решение- Так как пространственные вращения образуют
группу, то достаточно рассмотреть бесконечно малые преобразо-
преобразования
*( = *' + '%' 8'Л' гм = — е'*'	A32.2)
где
е12 = а3, е3з = а,, е31 = аг	A32.3)
— бесконечно малые углы поворотов относительно координатных
осей. Если спин S является вектором, то он должен преобразо-

	132. Трансформационные свойства спиноров	17
вываться по тем же правилам:
S'	A32.4)
k
выполнение последних должно обеспечиваться за счет преобра-
преобразования только самой волновой функции:
1|>' = A-ИI|>, t't = ^(l+^),	A32.5)
где |—инфинитезимальный оператор. Ниже будет найден явный
вид указанного преобразования.
Мы начнем с замечания, что произведение я|?+ -ф является
скаляром, и поэтому должно выполняться равенство
или
?+=-?.	A32.6)
Подставляя далее выражения A32.6) и A32.5) в формулу A32.1),
получаем
s't = _ i|>t A -I) а,- A +1) yd?x == st + S ? (оЦ—lei) ij) dH.
Сравнивая это выражение с выражением A32.4), приходим
к уравнениям
*Д-?*/ = 2Ч**л, i, k=l, 2, 3,	A32.7)
из которых можно определить оператор I. Нетрудно проверить,
что решение имеет вид
5 = 4 (8l2°3 + 8«CTl + 83i СТ2> ¦	A32.8)
Действительно, подставляя приведенное выражение в левую
часть A32.7) и используя коммутационные правила, например,
для случая i— 1, находим
что в точности совпадает с выражением, стоящим в правой части
A32.7). Аналогичные результаты получаются и в том случае,
когда i = 2 или i = 3.
Оператору A32.8) можно придать более простой вид, восполь-
воспользовавшись для углов поворота обозначениями, принятыми в фор-
формулах A32.3):
s=4Z°*or*-	A32-9)

18	///. Частицы со спином. А. Одночастичные задачи
Если рассматриваемое преобразование применить к произвольной
двухкомпонентной волновой функции
A32.10)
то в результате получится преобразованная функция
Ч>' = ( ,) = u'a+v'$,	A32.10а)
где
ы' = A +^-аа ) ы +4" (a, —ia2)u,
)	,' , N	A32Л1)
а' = т (аг + ta2) «+1 —т а3 и.
Двухкомпонентная функция, обладающая такими трансформа-
трансформационными свойствами, называется спинором.
Задача 133. Электрон со спином в центральном поле
Найти волновые функции электрона со спином в поле не
зависящих от спина центральных сил. Учесть, что волновые
функции должны быть собственными функциями двух операторов
J* = (L + SY и J2 = L2 + S,,	A33.1)
где L и 5—соответственно орбитальный и спиновый моменты
электрона.
Решение. Начнем с 2-компоненты момента количества движе-
движения. Учитывая, что
, П д с %	/1 0
можно написать
fi± + l	0
ду2 .а , .	A33.2)
U	'	)
U	' 5Ф - 2
Собственные функции этого оператора имеют вид

	133. Электрон со спином в центральном поле	19
где Cj и С2—пока еще произвольные функции переменных гид.
В этом нетрудно убедиться, подействовав оператором Jг на функ-
функцию if. В результате получим
,	A33.4)
if т.- — \ ю	i ( т .+ — \ у
поэтому величина %т^ есть собственное значение оператора про-
проекции полного момента J на ось г. Смысл волновой функции
A33.3) станет более очевидным, если переписать ее в виде
р.	A33.3а)
Мы видим, что первый член описывает зависимость функции ф
от координат, если спин направлен вверх, а второй член опи-
описывает ту же зависимость, если спин направлен вниз. Этой
координатной зависимостью определяется значение Кт1 проекции
орбитального момента L на ось г, и оно должно быть таким,
чтобы ml — 0, ±1, ±2, ..., т. е. было целым числом. В случае
спина, направленного вверх, мы получаем
\
а в случае спина, направленного вниз, имеем
1
mj — ml—2-.
Таким образом, т,- является полуцелым числом. Этот результат
представляет собой хорошо известное из векторной модели пра-
правило сложения моментов. Характерная особенность волновой
функции A33.3) или A33.3а) состоит в том, что mf представляет
собой „хорошее квантовое число", а число т1 таковым не является,
поскольку вектор ty есть смесь двух состояний, характеризую-
характеризующихся различными значениями квантового числа mv
Перейдем теперь к оператору Р. Используя явный вид матриц
Паули, входящих в оператор S=(fl/2)a, можно написать
Таким образом, мы должны решить следующую задачу на соб-
собственные значения:
и. i,4>J
A33.5)
причем выше по аналогии со случаем орбитального момента L2

20
///. Частицы со спином. А. Одночастичные задачи
мы произвольно обозначили искомое собственное значение по-
посредством %2j(\-\-\). Чтобы сделать функцию if общей собствен-
собственной функцией операторов Jг и J2, мы должны придать ей форму
выражения A33.3) и, кроме того, должным образом определить
зависимость функций С\ и С2 от переменной ¦&. Этого можно
добиться, полагая, что
A33.6)
Сферические гармоники в. выражении A33.6) зависят от ф как
раз таким образом, как это требуется согласно равенству A33.3).
При расчете выражения Pty в соответствии с соотношениями
A33.5) и A33.6) мы воспользуемся общими формулами (см.
задачу 56):
)Yl,m+1, A33.7а)
YUm_1, A33.76)
A33.7b)
UYUm = hl(l + \)YUm.	A33.7г)
Окончательный результат имеет вид
-g(r)
-fir)
Поэтому задача на собственные значения A33.5) сводится к двум
линейным алгебраическим уравнениям относительно функций
/(I и g{r):
<133-8>
[/(/+1)+| + (m—l)-/(/ +1)]
п	г^

133. Электрон со спином в центральном поле	21
Тот факт, что нам удалось исключить сферические гармоники,
показывает, что выбор функции ф в виде A33.6) действительно
позволяет решить поставленную задачу. Таким образом, и при
наличии спина число / все еще является „хорошим" квантовым
числом.
Уравнения A33.8) совместны только в том случае, когда
функции / {г) и g(r) отличаются друг от друга лишь постоян-
постоянным множителем. Поэтому мы положим
f(r) = AF(r), g(r) = BF(r),	A33.9)
а отношение В/А можно будет найти из уравнений A33.8). Так
как система линейных уравнений A33.8) однородна, ее опреде-
определитель должен быть равен нулю:
[(+4J-"*?]=0. A33.10)
Последнее соотношение, как очевидно, не зависит от квантового
числа trij. Это является одним из простейших следствий весьма
общей теоремы Вигнера—Эккарта. Имеется два различных зна-
значения числа /, удовлетворяющих условию A33.10).
Решение I
Решение И
033.12)
Оба решения нормированы. Так как во всех компонентах вол-
волновой функции в качестве множителей фигурируют сферические
гармоники одного и того же порядка /, а потенциал предпола-

22
///. Частицы со спином. А. Одночастичные задачи
гается не зависящим от спина, функцию Ft можно определить
из радиального уравнения Шредингера
где
A33.13)
A33.14)
Замечание редактора перевода. Формула A33.11) остается справедливой
и в случае 1 = 0, так как при этом коэффициент, стоящий перед не имеющей
смысла сферической гармоникой Yo ,,, тождественно равен нулю. Таким
образом, в этом случае имеем
Что же касается второго решения, г]?ц, то при 1 = 0 оно не существует, так
как квантовое число j по определению положительно.
Задача 134. Квадрупольный момент при наличии спина
Вычислить квадрупольный момент одноэлектронного состоя-
состояния в сферически симметричном потенциальном поле, приняв во
внимание наличие спина.
Решение. Квадрат модуля собственной функции [см. равен-
равенства A33.11) и A33.12)] выражается формулой
A34.1а)
если / = / + 1/2, и формулой
1 F, (г) |
2/ + 1
+ ( l + Y
'• тГТ
¦}¦
A34.16)
если / = / —1/2. Напомним, что l/n^l^/ и что при 1 = 0 решение,
соответствующее функции -фи, отсутствует.
Так как выражения A34.1а) и A34.16) не зависят от угла <р,
то здесь остаются в силе аргументы, приведенные в задаче 61,

	134. Квадрупольный момент при наличии спина	23
поэтому средние значения недиагональных элементов тензора
квадрупольного момента обращаются в нуль, а средние значения
его диагональных элементов связаны соотношением
<Qxx> = <Qyy> = -Y<Qzz>-	A34.2)
Таким образом, мы опять должны вычислить лишь одну вели-
величину <Q2Z>, определяемую формулой
<Qzz> = \ IУ Г г2 Ccos2 ft — I) d3x.	A34.3)
Подставляя сюда выражения A34.1а) и A34.16) и учитывая
доказанное в задаче 61 соотношение
§ C cos2 ft- 1) | У,, m |2 du = %^\^ , A34.4)
получаем
Здесь верхний знак относится к случаю / = / + 1/2. а нижний —
к случаю / = / — V« и /^1, и, кроме того, введено обозначение
4|^(r)|2dr = <r2>.	A34.5)
После элементарной перегруппировки членов в фигурных скоб-
скобках полученное выражение приводится к виду
удобному для сравнения с выражением F1.8).
Последнюю формулу можно записать в более компактном
виде, если заменить квантовое число I числом /:
Эта формула имеет место при любом выборе знака в выражении
1 = 1 ± Va- В нижеследующей таблице приведены числовые резуль-
результаты для нескольких первых значений квантового числа /.

24
///. Частицы со спином. А. Одночастичные задачи
Состояния
SV,> РЧ,
Р7,> °Ч,
i
V,
Зи
ъи
7/2
<Чгг>«'ш> Для
«,-±4-
0
+ 16/35
+10/ai
3
тГ ± т
-2/5
+4/Я5
+ «/2,
тГ ± Т
-",¦»
-2/21
-"/21
Из таблицы видно, что при / = 1/2 сферической симметрией
обладают как S-, так и Р-состояния. Вообще можно установить,
что по мере увеличения значений |/пу-| вытянутая форма элек-
электронного распределения заменяется на сплющенную.
Сумма чисел "CQzz>/<r2>, стоящих в нашей таблице на одной
строке, как нетрудно видеть, равна нулю. Это объясняется тем,
что такое суммирование приводит к конфигурации замкнутой
оболочки. В этом можно убедиться и в общем случае, если при-
принять во внимание, что
jL* "Ч з
С учетом этих соотношений имеем
Задача 135. Среднее значение магнитного момента
Для электрона со спином в центральном поле вычислить
средние значения всех трех проекций векторов S, L и J, а также
вектора магнитного момента.
Решение. Пусть
«=
Л'Л

135. Среднее значение магнитного момента	25
	собственный спинор, тогда
tf SXU = y(«
"+V=27("i-"X).	A35.1)
и+5и (u\ *)
Согласно результатам задачи 133 для собственных спиноров
и J, имеем
' г
Л V	1
Ll 1-тгт'
где
2 '
И
A i =
Таким образом, в выражениях A35.1), которые используются
для вычисления средних значений 5,. и Sy, отдельные члены
будут содержать произведения различных сферических функций,
поэтому
С другой стороны, для среднего значения Sz и нормировочного
интеграла мы соответственно имеем
A35.4)
=l. A35.5)
Отсюда следует

26	///. Частицы со спином. А. Одночастичные задачи
В состояниях с / = / + V2 имеем
Ь	= %т1-~,	A35.7а)
Средние значения проекций орбитального момента можно по-
получить аналогичным образом, рассматривая выражение
ы+ Lu = u*Lul
Так как операторы Lx ± iLy изменяют второй индекс сфериче-
сферической функции на ±1, то средние значения Lx и Ly снова обра-
обращаются в нуль (см. задачу 58), а для среднего значения Lz имеем
\ I
-— )иЛсРх
V { и[их-{-и'ги2) сРх
или
<Lz> = fl- —
Если воспользоваться формулой A35.6), то последнему резуль-
результату можно придать более простой вид:
<Lg> = %mJ—<Sz->.	A35.8)
Эту формулу мы могли бы получить сразу, если бы учли, что и
есть собственный спинор оператора Jz = LzJrSz, принадлежащий
собственному значению %тг
Средние значения Jx и Jy также равны нулю, поскольку
равны нулю средние значения соответствующих проекций векто-
векторов L и S.
Оператор магнитного момента имеет вид
M^-~(L+2S),	A35.9)
где —е—электрический заряд электрона. Средние значения проек-
проекций магнитного момента на оси х и у обращаются в нуль, однако
S,>},	A35.10)

	136. Тонкая структура	27
что с учетом формулы A35.8) можно записать в виде
Отсюда, принимая во внимание соотношения A35.7а) и A35.76),
находим, что в состояниях с / = / + 72
а в состояниях с j — l—'/2
)*Ш A35Л1б)
Замечание. Приведенные формулы показывают, что в замкнутой подобо-
лочке (я, /) результирующий магнитный момент равен нулю как в случае
/ = / + 1/а, так и в случае j — t — 1/^.
Множитель, стоящий в формулах A35.11а) и A35.116) при
величине —(eh/2mc) ntj, называется g-фактором Ландё рассматри-
рассматриваемого состояния. Он позволяет записать величину <Мг> в виде
Отсюда видно, что g-фактор Ландё описывает отклонение от
классического соотношения Максвелла между магнитным и меха-
механическим моментами частицы, обусловленное наличием у частицы
спина.
Задача 136. Тонкая структура
Взаимодействие собственного магнитного момента электрона,
V = -g^S,	A36.1)
с его орбитальным моментом L описывается членом в гамильто-
гамильтониане вида
Определить обусловленное этим взаимодействием расщепление
энергетических уровней.
Замечание. Так называемый g-фактор электрона очень близок к единице.
Как было установлено, его точное значение равно 1,001145. Так как полную
теорию тонкой структуры нельзя построить, оставаясь в рамках нерелятивист-
нерелятивистской квантовой механики, то к введенному выше g-фактору не следует отно-
относиться слишком серьезно. Это же замечание в полной мере относится и к мно-

28	///. Частицы со спином. А. Одночаетичные задачи
жителю 2 в знаменателе выражения A36.2) (так называемая поправка Томаса '>),
его появление невозможно объяснить в рамках нерелятивистской теории.
Решение. Волновая функция электрона в центральном поле
есть одновременно собственная функция операторов Р и Jz; ее
угловая зависимость была установлена в одной из предыдущих
задач, поэтому фигурирующий в гамильтониане A36.2) оператор
(SL) можно исключить, имея в виду, что для состояния i|) = |/, />
справедливо соотношение
P\j, /> = {La +
или
Таким образом, наличие в гамильтониане член*-A36.2) в конеч-
конечном счете добавляет к потенциальной энергии V (г) энергию воз-
возмущения вида
^^^{	Ц A36.3)
Эта энергия зависит от квантовых чисел / и I, и поэтому при
одном и том же значении / она будет различной для разных
значений / = / ± 7г-
В первом порядке теории возмущений поправка к уровню
энергии определяется формулой 2)
E'u = <i,l\V'\l,l\	A36.4)
Пользуясь теми же обозначениями, что и в выражениях A33.11)
и A33.12) и принимая во внимание условие нормировки,
J	A36.5)
получаем
Й{|}^|-^г. A36.6)
Таким образом, расщепление уровней с одним и тем же значе-
значением /, но различными значениями / оказывается пропорцио-
пропорциональным разности
11 Обычно ее называют поправкой Томаса — Френкеля.— Прим.'ред.
2> Матрица энергии возмущения A36.3) диагональна по квантовому числу т,,
поэтому можно обойтись формулами теории возмущения без вырождения.—
Прим. ред.

137. Плоские волны для частиц со спином 1/2	29
поэтому
00
^^y^rdr.	A36.7)
Заметим, что подуровень с меньшим значением / располагается
снизу (нормальный дублет).
Некоторое представление о величине интеграла A36.7) можно
получить, взяв в качестве потенциала выражение
Так как вблизи ядра всякого атома потенциал ведет себя ука-
указанным образом и так как в этой области
то подынтегральное выражение в A36.7) пропорционально г2'
и, следовательно, интеграл конечен при 1=1, 2, 3, ... и лога-
логарифмически расходится для 5-состояний, когда / = 0. Поскольку
S-состояния не расщепляются, а лишь сдвигаются, последний
результат не имеет особого значения при анализе спектрокопи-
ческих данных. В аккуратной релятивистской теории трудность
вообще не возникает (см. задачу 203).
И без детальных вычислений интегралов типа A36.7) можно
с уверенностью сказать, что результат имеет величину порядка
Ze'2/as, где а — величина такого же порядка, что и радиус атома.
Так как атомные термы имеют порядок Ze2/a, то, грубо говоря,
Д? Я*
где X = 1ilmc—комптоновская длина волны. Она представляет
собой малую величину, поэтому обсуждаемый эффект действи-
действительно носит характер тонкой структуры, и для его рассмот-
рассмотрения можно ограничиться, как это и было сделано, первым
порядком теории возмущений.
Задача 137. Плоские волны для частиц со спином V,
Разложить плоскую волну, описывающую свободную частицу
со спином V2 в ряд по сферическим гармоникам. Рассмотреть слу-
случаи положительной и отрицательной спиральности. Считать, что
волна распространяется в положительном направлении оси г.
Решение. Плоским волнам, распространяющимся в положи-
положительном направлении оси г, отвечают два спинора

30	///. Частицы со спином. А. Одночастичные задачи
В состоянии i|)+ спин частицы направлен по движению, и мы
говорим о положительной спиральности, h=-\-\. В состоянии i|)_
спин направлен против движения, и h=—1. Если разложить
рассматриваемые спиноры по собственным функциям полного
момента количества движения, то в обоих случаях /лг = 0, а
/п/=+1/2 Для состояния i|)+ и т,] — —1/2 для состояния ijj_.
В задаче 133 было показано, что при данном значении орби-
орбитального квантового числа / имеется два рода общих собственных
спиноров операторов Jz и Р, а именно
, A37.2a)
если / = /—l/». причем функция Ft (r) удовлетворяет радиальному
уравнению Шредингера. Для свободной частицы оно имеет вид
', = 0,	A37.3)
и для регулярного в нуле решения (нормировка произвольная)
мы имеем выражение
Fi = j-rjt(kr).	A37.4)
Теперь разложение плоской волны по решениям A37.2а) и A37.26)
можно записать в следующем виде:
Ч> = 2 U,« I m, + В,"/,1»,).	A37.5)
Мы начнем со случая положительной спиральности Л=+1,
когда m/ = +l/2. Равенство A37.5) в этом случае принимает вид
A37-6)

137. Плоские волны для частиц со спином 1/2	31
Чтобы вторая компонента спинора обратилась в нуль, как это
требуется согласно равенству A37.1), мы должны положить
VrhAi-	A37-7)
Таким образом, получаем
A37-8>
Из сравнения последнего выражения с обычным разложением
плоской волны [см. формулу (81.13)],
i'/l (kr) Yu „	A37.9)
г=о
следует
,	A37.10)
поэтому окончательное выражение принимает вид
»' A/7+Т и,1..,, + 1/Ты!,1,,,). A37.11)
г=о
В противоположном случае, когда h = — 1 и /«/ = —72> равен-
равенство A37.5) записывается в виде
Теперь, согласно равенству A37.1), должна обратиться в нуль
первая компонента спинора, следовательно,
lriAt.	A37.13)
Далее из сравнения с разложением A37.9) вытекает
Лг = — 1/4я(Л-1)*',	A37.14)
поэтому окончательно мы приходим к разложению вида
[ и/. _./, — К"/ "'.'-•/.)• A37.15)

32	///. Частицы со спином. А. Одночастшные задачи
Задача 138. Спиновый резонанс для свободного электрона
Свободный электрон помещен в полость, где имеется два маг-
магнитных поля: одно поле постоянное и однородное, %0, направ-
направленное по оси г, другое поле, Ж', вращающееся в плоскости ху:
Жх = 0,	Жу = 0,	Жг = Жй, ,,,п |,
#?; = #'cos со*, Ж'у = Ж'ътШ, Ж'г = 0. 1 '
В момент времени ^=0 спин электрона	направлен по оси г;
в этот же момент включается поле Ж'¦	Найти вероятность Р
обнаружения электрона, спин которого	ориентирован против
оси г, как функцию времени t.
Решение. Для нашей задачи гамильтониан имеет вид
Н = \i (агЖ0 + ахЖ'х
где —ца—оператор собственного магнитного момента электрона,
а (а, = ehlBtnc) (теоретико-полевые поправки не учитываются).
Заметим, что
где
о± = ох± iay,
поэтому уравнение Шредингера принимает вид
\у. A38.2)
Решение этого уравнения можно выразить через собственные
функции оператора oz:
$(t) = u(t)a + v{t)?>.	A38.3)
Подставляя выражение A38.3) в уравнение A38.2) и пользуясь
соотношениями [см. формулы A29.10)]
получаем
% ¦
— — (ыа + t>P) = цЖ0 (иа—ур) + ц„%" {e~imva
Собирая теперь коэффициенты при а и р и вводя обозначения
= со',	A38.4)

138. Спиновый резонанс для свободного электрона	33
приходим к системе уравнений
iv = —aQv -f- и 'ёыи.
Решение этой системы имеет вид
и = Ле-'(а+>/,ш)«) р = Бе-'(а-1/,<вх.	A38.6)
Непосредственный подсчет показывает, что возможны два случая:
Q1==-fQ и Q2 = —Q,
где
0= |/(«о-у«J + «'а.	A38.7)
Соответствующие этим случаям амплитуды обозначаются ниже
посредством А1г Вг и А2, Б2. Окончательный результат записы-
записывается в виде
Ш	to
a+ {Вге~1ш+Вге1ш)еТ р, A38.8)
причем
±Q —(<в0—д-)
'A38.9)
\.
Потребуем теперь, чтобы решение A38.8) удовлетворяло началь-
начальному условию г|)@)=а, или
Л, + Л,= 1, Б!+5а = 0.	A38.10)
Это требование с учетом соотношений A38.9) дает
«о—о<в	I -?< „,	^<
p. A38.11)
Отсюда для вероятности обнаружения электрона с противопо-
противоположным направлением спина в момент времени t получаем фор-
формулу
(^y	A38.12)
A38.13)
которая после усреднения по времени дает
P
(о0 — -J
П72

34	///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичные задачи
Если производить медленное изменение однородного поля Жо,
а тем самым, согласно A38.4), и ларморовой частоты ш0, то для
значения
о>0 = |со, т. е. #. = §J,	A38.14)
средняя вероятность обнаружения электрона с противоположным
направлением спина (спин-флипа) станет максимальной. Мы на-
назовем такое поле резонансным и обозначим его посредством Жрез,
тогда
р ' 	Ш1		A38.15)
2 (Ж»-Ж^?+Ж"
При резонансе Р = 1/2 независимо от напряженности вращающе-
вращающегося поля Ж', однако ширина резонансной области, разумеется,
определяется величиной Ж'.
Замечание. Этот метод можно применять либо для определения величины (л
по напряженности резонансного поля, либо, если величина \х достаточно хо-
хорошо известна, для определения разности между внешним полем и полем,
действующим на электрон внутри молекулы. Для распознавания молекулярных
структур похожим образом можно использовать и протонный резонанс.
Б. Двух- и трехчастичные задачи
Задача 139. Спиновые функции двух частиц
Имеется система из двух частиц со спином 1/2 (например,
нейтрон и протон). Найти спиновые функции системы, диагона-
лизующие одновременно z-компоненту и квадрат оператора сум-
суммарного спина
S=^(an + op).	A39.1)
Решение. Пусть ал, EИ — гильбертовы базисные векторы ней-
нейтрона, а ар, $р—базисные векторы протона. Тогда спиновая
функция % двухчастичной системы должна иметь вид
%=Aanap + Ban$p + Cfinap + DMp.	A39.2)
Из определения спиновых операторов (см. задачу 129) следует
р-О№р.	A39.3)
Таким образом, каждый отдельный член в выражении A39.2)
является собственной функцией оператора Sz:

139. Спиновые функции двух частиц
35
Собственные функции
ап<хр
Ь%"
РлР>
Собственные значения
оператора
Xs'
+1
0
—2
Собственные значения
оператора
+ъ
0
0
-%
Значения проекции спина +1, О —1 (в единицах ^согласуются
с полуклассической векторной моделью. Нулевое собственное зна-
значение является вырожденным: ему принадлежат две собственные
функции, ап$р и $пар, а следовательно, и любая их линейная
комбинация.
Рассмотрим теперь оператор
о»
2 (а„ • ар) = 6 + 2
Мы имеем
+ Danap,
и, следовательно,
2\a
2\2
.па, = 8апа,,	A39.4a)
n$p + C$nap) = 4 E + C) (an?p + $nap), A39.46)
2 \2
v-1 S РлРр = °НлР/>-	A39.4b)
Мы видим, что функции алар и р„рр принадлежат собственному
значению 2ft2 оператора S2. Вводя обычные обозначения
S2x = ^25E + l)x,	A39.5)
можно сказать, что эти функции характеризуются квантовым
числом 5=1. На языке полуклассической векторной модели это
означает, что суммарный спин 5=1 (в единицах ft), а его проек-
проекция Sz равна либо +1, либо — 1.
Основываясь на равенстве A39.46), мы можем сконструиро-
сконструировать еще две собственные функции оператора S2, принадлежащие
собственному значению 5г = 0. Пусть i—пока не известное соб-
собственное значение оператора S2/&2. Тогда можно написать
(В + С) (ап$р + р„а,) = X (Ваа$р + ср„о,).

36
///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичные задачи
Это дает два линейных уравнения для определения В и С:
В + С = КВ, В + С = ЪС.
Детерминант этой системы должен обратиться в нуль:
1-Х 1
1
1—Л,
= 0,
или
1 —Я=±1.
Таким образом, для двух собственных функций оператора S2,
принадлежащих собственному значению Sz = 0, получаем
для Х = 2 В = С, Х = «пР, + Р»«,. 5=1; A39.6а)
для ^ = 0 В = — С, % = ап$р—Р>Р, S = 0. A39.66)
Окончательные результаты собраны в приводимой ниже таб-
таблице, причем собственные функции нормированы с учетом ус-
условий
<о|о> = 1, <р|Р>=1, <а|р> = 0.
Триплет, 5=1 (симмет-
(симметричная спиновая функ-
функция)
/2
Синглет, S = 0 (антисим-
(антисимметричная спиновая
функция)
Замечание. Из равенства
(Оп + Ор)"' = 6 + 2 (ап-ор)
следует, что триплетные и синглетная спиновые функции, %t и Х*> приведен-
приведенные в таблице, являются также собственными функциями оператора (ап-ар),
причем
(On ¦ Op) %s = —Зх,.
Эти результаты будут полезны в следующей задаче.
Задача 140. Центральное взаимодействие между нуклонами,
зависящее от спина
С разумной степенью точности взаимодействие нейтрона и
протона в 5-состоянии можно описать с помощью центральных
сил, имеющих различную величину для симметричного и анти-
антисимметричного спиновых состояний. Выразить указанное взаимо-

140. Центральное взаимодействие между нуклонами	37
действие через зависящий от спина потенциал, используя для
этого
а)	обменный спиновый оператор 2л/>,
б)	операторы спина <т„ и ар нейтрона и протона.
Решение. Центральное взаимодействие означает, что энергия
взаимодействия зависит только от расстояния г между двумя
частицами. Эта энергия должна быть различной в состояниях
с разной спиновой симметрией, например Vt (r) в триплетном
состоянии, когда спины параллельны, и Vs(r) в синглетном со-
состоянии, когда спины антипараллельны.
а. Пусть %(sn, sp)— двухчастичная функция. Определим об-
обменный спиновый оператор с помощью равенства
2„ДE„, sp) = X(sp. sn).	A40.1)
Для симметричного триплетного состояния
Xt(sn» sp) = %t(sp, sn),
поэтому
2„Д, = Х«-	A40.2а)
С другой стороны, для антисимметричного синглетного состояния
и, следовательно,
ЪпрЪ^-Ъ-	A40.26)
Таким образом, оба типа функций являются собственными функ-
функциями обменного оператора и принадлежат соответственно соб-
собственным значениям +1 и —1. Так как три триплетные и одна
синглетная функции образуют полный набор, то равенства A40.2а)
и A40.26) определяют обменный оператор полностью и притом
единственным образом.
Если теперь определить энергию взаимодействия выражением
вида
то, согласно A40.2а) и A40.26), должны выполняться равенства
Vxt^fYt+V^xt и
поэтому, выражения
будут описывать энергию взаимодействия соответственно в три-
триплетном и синглетном состояниях. Отсюда следует
(V+V) + ±(Vt-V,Jnp.	A40.3)

38	///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичные задачи
б. В конце предыдущей задачи мы показали, что спиновые
функции Xt и %s являются собственными функциями оператора
(ап-ар), причем
(<V*,)fc = Xt. (*»•*,) X, = -3fc-	A40-4)
Отсюда следует, что оператор 2nJP линейным образом выражается
через оператор (ап-ар). В самом деле, положив
2п/, = 1A+(<т„-а,)),	(H0.5)
мы убеждаемся, что такой выбор обеспечивает выполнение ра-
равенств A40.2а) и A40.26). Поскольку, далее, не существует дру-
других спиновых функций двухнуклонной системы, то оба оператора
полностью определяются равенствами A40.2а), A40.26) и A40.4),
поэтому соотношение A40.5) обладает всей возможной степенью
общности.
Исключая с помощью A40.5) оператор 2Л/, из равенства A40.3),
окончательно получаем
±	+±<yt-V.)(aa.ap).	A40.6)
Задача 141. Степени спиновых операторов
Показать, что оператор («vaj", где ах и <т2—спиновые опе-
операторы частицы 1 и частицы 2, выражается линейно через опе-
оператор (<va2).
Решение. Оператор («х^а,) полностью описывается равенствами
(<V<*2)X« = Xt. (*г<Ч)Х* = — 3Ь>	A41.1)
демонстрирующими его действие на три триплетные и одну син-
глетную функции, поскольку они образуют полный ортонорми-
рованный набор функций. Таким образом, нам достаточно рас-
рассмотреть действие оператора (о1-а2)" на функции указанного пол-
полного набора. Повторное применение оператора (о1-вг) к обеим
частям равенств A41.1) немедленно дает
Отсюда следует, что оператор (al-ai)" линейно выражается через
оператор (а1-вг):
1-aJ.	A41.3)
Подставляя выражение A41.3) в равенства A41.2) и. учитывая
A41.1), находим

142. Собственные функции оператора полного момента двух частиц 39
Отсюда следует
=1, А — ЗВ = (—3)",
или
Л=4[3 + (-3)л], В-|[1_(_3)»].	A41.4)
Таким образом, мы, например, имеем
(а, •<!,)• = 3-2 (ov<r2),
Замечание. Представление энергии взаимодействия, зависящего от спина,
в виде A40.6) в предыдущей задаче действительно является единственным, так
как замена выражения A40.6) рядом по степеням (апар) не может изменить
окончательного результата. Решение задачи выглядело бы еще проще, если бы
мы рассматривали ряд по степеням обменного оператора S12.
Задача 142. Собственные функции оператора полного момента
двух частиц, обладающих спином
Найти собственные функции операторов Jz и У2, описываю-
описывающие триплетные состояния системы двух частиц, обладающих
спином 1/г. Используйте %=\ как единицу момента количества
движения.
Решение. Любую функцию триплетного состояния, разумеется,
можно записать в виде
Ч> = i{fi{r)Y^-Лиг + ёМУltmll^ + hl(r)Y 1<т+Ли.1\. A42.1)
г=о
В этом выражении каждая из трех возможных спиновых функ-
функций умножается на функцию пространственных координат, фор-
формально записанную в виде разложения по сферическим гармо-
гармоникам. Вторые индексы сферических гармоник Y выбраны таким
образом, чтобы имело место равенство
./гг|5 = /т|\	A42.2)
т. е. чтобы функция г|э была собственной функцией оператора Jz.
Рассмотрим теперь действие оператора
на функцию A42.1). С этой целью удобно ввести операторы
a+ = ax + ioy и a. = ox—iay,	A42.3)
аналогичные (см. задачу 56) операторам
и L_ = Lx-iLy.	A42.4)

40	///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичные задачи
Тогда оператор Р можно записать в виде
Jt=Lt+±(L+o_+L_o+) + L,a, + j + ±(oi-ot), A42.5)
где
Действие этих операторов на триплетные спиновые функции дает
A42.6)
Хьо \	/Хы \ / Хы \
Хьо =2 0 .
\0 /	\Xi.-i/ \-Xi.-i/
Теперь, непосредственно вычисляя, получаем
tl,_lf A42.7)
Используя эти формулы, а также хорошо известные соотноше-
соотношения (см. задачу 56)
XZ-m+ljy,,.^,	A42.8)
нетрудно показать, что
2
A42.9)
Чтобы функция ij) была собственной функцией оператора У2,
последнее выражение должно равняться j(j+ l)ty. Отсюда для
функций ft, gj, ht получается три независимых линейных урав-
уравнения. Это говорит о том, что три радиальные функции должны
иметь одинаковый вид и различаться лишь амплитудами:
h = AtF,(r), gl^BlF,{r), ht-Cftir). A42.10)

143. Тензорные силы
41
Постоянные амплитуды At, Bt, Ct можно найт» из следующей
системы линейных уравнений:
[)	j(j)]l	)l
-/2 (/ +m) (/-/я + 1) Л,+ [/(/ +1)+ 2—/(/ + !)] Д|—
l) — 2m—/(/+l)]C, = 0.
A42.11)
Определитель этой системы должен обращаться в нуль. Отсюда
после элементарных преобразований получается уравнение для
определения /, не содержащее квантового числа т,
Оно имеет три (положительных) корня:
/ = / + 1, / = /, / = / — 1;	A42.12)
для каждого из этих корней амплитуды Alt Bt, Ct теперь нахо-
находятся с точностью до общего постоянного множителя из урав-
уравнений A42.11). Ниже в таблице приводятся окончательные ре-
результаты, полученные при произвольном предположении, что
условие нормировки имеет вид
=1.	A42.13)
1
1
1 1
V 2
ai
+m+\)(l+m)
(/+1)B/+1)
—m-\-\)(l-\-m)
2l(l+\)
—m+\)(l—m)
2lBl + \)
/(l+m+l)(l
m
vm+
, / (l + m)(
V 1B1-]
—m+1)
ll+l)
1)
' — m)
-1)
V i
\f~{
i/(H
V
cl
i — m+\)(l—m)
»(/+l)BZ-m)
l+m+\)(l— rri
2/(/+l)
-m+l)(/ +m)
21B1 + 1)
Задача 143. Тензорные силы
Так называемые тензорные силы, действующие между части-
частицами 1 и 2, обладающими спином Va, определяются оператором
энергии взаимодействия вида
V = W(r)Tlt,
где
,2= -—-л	т(а! "J-	A43.1)

42	///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичные задачи
Рассмотреть действие этого оператора на спиновые собственные
функции двухчастичной системы.
Решение. Оператор Тп инвариантен относительно операции
обмена спинами. Следовательно, при действии этого оператора
симметрия спиновых функций не изменяется. Так как имеется
только одна антисимметричная спиновая функция, %о,о> то °на
должна быть собственной функцией оператора Г12. Однако этот
оператор, вообще говоря, может смешивать состояния, описы-
описываемые тремя симметричными спиновыми функциями. Далее,
оператор 7\а инвариантен по отношению к обмену пространст-
пространственными координатами частиц, другими словами, по отношению
к пространственной инверсии, поэтому при действии этого опе-
оператора сохраняется четность состояния. Это означает, что выра-
выражение Т12% содержит сферические гармоники только четного по-
порядка. Более того, можно ожидать, что вклад будут давать лишь
состояния, для которых орбитальный момент /.не превышает двух.
Чтобы разобраться в деталях расчета, рассмотрим прежде
всего действие одночастичного оператора (о-г) на одночастичные
спиновые функции:
Отсюда непосредственно следует
«i«i\ / [(* + iy) P, + zaj [(x + iy) р2 + za2] >
~iy)a1-zpi] [(x-ly)at-zfit]
Принимая во внимание равенства
(x ± iyJ = r2 sin2 fte*2'*,	x2 +1/2 = r2 sin2 ¦&,
(x ± iy) z = r2 sin ¦& cos ¦&e± 4 z2 = r2 cos2 ¦&,
можно, теперь написать
fcos* #аха2 + sin # cos fte'v (atp2 + p^,) + sin2
sin ¦flicos*e-"Pa1aa—cos2 ftaiPj+sin2 ¦&^1a2 — sin
sin ¦flicos*e-'4'a1a2+sin2 daxp2—cos2 dp^—sin d cos
а,—sin #cos #е-'ф (a^j + f^a,) + cos2 dp

143. Тензорные силы	43
Для дальнейшего удобно ввести обозначение %St m , а именно
для триплетных функций
«Л = Хь 1»
^	4) = X,.o.	A43.3)
и для синглетной функции
В этих обозначениях для симметричных триплетных функций
имеем
/Хм \
(Pl-r)|Pf'r) хг,. =
\Xi. -i/
'cos2 ft/i tl + l/2 sin ¦6'cosde4Xi, 0
а для антисимметричной синглетной функции получаем
(-^^-Ч,9 = -Хо.о.	A43.6)
Второе слагаемое в операторе 7\2 уже рассматривалось
в задаче 140. Согласно полученным там результатам,
Комбинируя теперь равенства A43.6) и A43.7), мы сразу же
находим
7\»Х... = 0.	A43.8)
Таким образом, тензорные силы не дают динамического вклада
в синглетное спиновое состояние.
Теперь нам остается обсудить вопрос о триплетных состоя-
состояниях. Вводя нормированные сферические функции в соответст-
соответствии с определениями, приведенными в задаче 67, с помощью

44	///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичные задачи
равенств A43.5) и A43.7) можно получить
-^V.. Ли -.
A43.9)
Эти формулы показывают, что при действии оператора Г12 наряду
с четностью и обменной спиновой симметрией сохраняется и
г-компонента полного момента. Однако орбитальный момент,
так же-как и его г-компонента, не являются хорошими кван-
квантовыми числами в двухчастичной системе с тензорным взаимо-
взаимодействием.
Задача 144. Дейтрон с тензорным взаимодействием
Предположим, что взаимодействие между протоном и нейтро-
нейтроном обусловлено центральными и тензорными силами, т. е.
V = Vc(r) + Vt(r)Tpn,	A44.1)
тогда основное состояние дейтрона должно быть смесью S- и
?>-состояний. Найти общее выражение волновой функции основ-
основного состояния дейтрона и получить для радиальных функций
5- и ?)-состояний систему двух дифференциальных уравнений.
Считать, что спин дейтрона направлен по оси г.
Решение. Спин дейтрона и его проекция на ось г равны
единице (в единицах Ц, поэтому наиболее общая суперпозиция
S- и D-состояний должна иметь вид
..oXi.. + ^«.,Xi.o + ^.tX..-i}, A44.2)
причем постоянные 1 и (i выбираются таким образом, чтобы
выполнялось равенство
/атр = 2тр,	A44.3)
где /—оператор полного момента количества движения (спин
дейтрона). Согласно результатам предыдущей задачи, имеем
i'4> = \1и г №

144.. Дейтрон с тензорным взаимодействием	45
и, следовательно,
/Ч> = Хы [2/Vo. » + («-2 К*) ?У*, о] +
Последнее равенство переходит в равенство A44,3), если поло-
положить
А, = КЗ, ц = Кб,	A44.4)
поэтому интересующая нас собственная функция полного момента
принимает вид
,, lXlf 0
A44.5)
Выражение, стоящее в фигурных скобках в равенстве A44.5),
в точности совпадает с одной из комбинаций сферических гар-
гармоник и спиновых функций, полученных нами в предыдущей
задаче [см. первую из формул A43.9)], поэтому мы можем
записать нашу волновую функцию в более компактном виде:
i.i-	(Н4.6)
Займемся теперь условием нормировки. Из равенства A44.5)
непосредственно следует
о
Для дальнейшего удобно перейти к новым радиальным функ-
функциям, положив
o, g (r) = y=^D(r) sin a,	A44.7)
при этом имеем
00	00
Jit>lr«dr=l, ^ цЬг*dr = I	A44.8)
о
и
i.i. A44.9)
Функция A44.9) должна удовлетворять уравнению Шредин-
гера для относительного движения (мы полагаем Ь,= i,mp — т„-^ 1,
приведенная масса равна 1/2. см. задачу 150):

46	III. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчаетшные задачи
Таким образом, получаем
[	V-E) х
X sin om|>d+ Vt cos
Оператор Т\п, если он действует на триплетную спиновую функ-
функцию %t, можно линейным образом выразить через оператор Трп:
В этом нетрудно убедиться, воспользовавшись справедливым для одно-
частичных спиновых состояний тождеством
/cos*	sinte^
Отсюда следует, что S2 = 1, н поэтому
Кроме того, мы уже знаем, что (ар¦ а„) %t = х< (см. стр. 36), следовательно,
в полном согласии с A44.11) имеем
1 у	2	1 10 2 (т ,\\
Теперь уравнение A44.10) можно записать в следующем виде:
cosco (- V2 + Vc-E)ifo +
рЛь1 = 0. A44.12)
Оператор Гя„, стоящий здесь после второй фигурной скобки и
действующий на функцию Xi, i> порождает только члены с 1 = 2,
ортогональные членам с / = 0, собранным в первой скобке, что
позволяет разбить уравнение A44.12) на два отдельных ради-
радиальных уравнения:
cosco [Vs+tVs +(E—Ve)ys]—sin<o-2JflvtfD = 0 A44.13)
sin (о
A44.14)
Это и есть искомая система дифференциальных уравнений.

145. Электрический квадрупольный и магн. дипольный моменты дейтрона 47
Задача 145. Электрический квадрупольный и магнитный
дипольный моменты дейтрона
Считая заданной волновую функцию дейтрона, определенную
в предыдущей задаче,
а)	вычислить электрический квадрупольный момент дейтрона
и выразить его через интегралы
00
^Ьг'йг,	A45.1)
б)	найти среднее значение магнитного дипольного момента
дейтрона.
Решение
а. Тензор квадрупольного момента (см. задачу 61) в данном
случае имеет вид
В первоначальное определение этого тензора множитель 1/4 не
входил. Появление его здесь объясняется следующим. Так как
нейтрон не несет электрического заряда, то вклад в квадру-
квадрупольный момент дейтрона дает лишь один протон, радиус-вектор
которого относительно центра масс равен V2r. У дейтрона в со-
состоянии с Мг= 1 распределение заряда аксиально симметрично
относительно оси z, поэтому усреднение компонент тензора квад-
квадрупольного момента по углу ф приводит к соотношениям
Q*v=QB, = Q« = o, Q« = Qw = -yQ«- A45-2)
Следовательно, нам необходимо вычислить лишь среднее значе-
значение оператора Qzz, которое определяется формулой
Подставляя сюда волновую функцию дейтрона, найденную в пре-
предыдущей задаче,
(г) Ko.oXi, ! +

48	///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичньл задачи
и учитывая ортонормированность спиновых функций, получаем
- 41cos ^sYo, о + sin со -jJ%Y2,0
В этом выражении член, содержащий ifs, исчезает благодаря
ортогональности сферических функций. С произведением
связан тривиальный интеграл
Несколько труднее вычислить три оставшихся интеграла, свя-
связанных с \|з?). Мы приводим лишь окончательные результаты:
A45.5)
Собирая вместе все эти соотношения, приходим к следующей
простой формуле:
«2«> = g-p~ A cos со sin со— i б sin2 0)-	A45.6)
Если в процентном отношении примесь D-состояния к 5-со-
стоянию мала, то малым будет и параметр со. В таком случае
второй отрицательный член в формуле A45.6) будет играть роль
малой поправки по отношению к положительному первому члену
и величина <(?гг> окажется положительной. Это означает, что
дейтрон обладает вытянутой формой вдоль оси z. Последний
вывод подтверждается экспериментом.
б. Магнитный дипольный момент складывается из спиновой
части, [ipapz-\-цпапг, и из орбитальной части, вклад в которую,
разумеется, дает только один протон. Компонента орбитального
момента Lz для рассматриваемой двухчастичной системы дается
выражением
% д л д
+
оба слагаемых этой компоненты вносят одинаковый вклад в ор-

145. Электрический квадрупольный и магн. дипольный моменты дейтрона 49
битальный момент относительно центра масс. В магнитный же
момент вклад дает только первое слагаемое, поэтому в выраже-
выражение для магнитного момента оператор Lz войдет с множителем 1/.1:
И'орб — 2тс ' 2 L'-
Среднее значение z-компоненты магнитного момента определяется
формулой
\	(Н5.7)
средние же значения двух других компонент равны нулю.
Применяя операторы арг и апг к триплетным спиновым функ-
функциям, получаем соотношения
o = Xo,o.	ctmXi.o = —Xo.o.	A45.8)
GpzXi, —I = Xi, -I' ^пгХг, -l = Xi, -l"
Поэтому, кратко записав дейтронную волновую функцию в виде
получаем
= J (u*xt. i+f*x? e+a^xT. -MVp («Xi. i +vXo, o—«a,, -i) +
+ Hv, ("Xi, i—По, о—Щ.1. -i) + V-ov6 («Xi. i +^Xi, о +oalf -i)} dx.
С учетом ортонормированности спиновых функций последнее
выражение принимает вид
= 5 {и* (\iр
Далее [см. формулу A44.5)] имеем
поэтому
Lzu = 0, Lzv=%v, Lzw =
и, следовательно,
"Ш (y*
dx
Заменяя в этом выражении функции fug нормированными
функциями if^ и i|;D, согласно A44.7), и беря в качестве едн-

60	///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичные задачи
ницы ядерный магнетон, eh/Bmc), приходим к формуле
Таким образом, поправка к магнитному моменту, обусловленная
примесью D-состояния, оказывается второго порядка малости.
Задача 146. Спиновые функции трех частиц
Получить собственные функции операторов Sz и 5* для си-
системы трех частиц, обладающих спином 1/t.
Решение. В данном случае оператор суммарного спина можно
записать в виде
5 = |(о1 + о2 + о3).	A46.1)
Его 2-компонента, очевидно, имеет следующие собственные функ-
функции:
X (-VJ = Д'ЬРЛ + В'Рлрз + С'о1р2р„
X(-V,) = P,P,P..
В качестве аргумента функции % мы указываем соответствующее
собственное значение оператора Sz в единицах %. Собственные
значения ]/2 и —V2 трехкратно вырождены. Чтобы устранить
указанное вырождение, перейдем к рассмотрению оператора
+ 2(ог-аз) + 2(а3-а1)}. A46.3)
В задаче 140 мы показали, что
(at ¦ о4) ахаг = «.а,,	(а, • о2) ахр2 = 2рга2—о^,,
(ах • о,) рха2 = 2а1рг—р\а2) (а, • a,) ptp2 = Рхр2>
или, более компактно, что оператор
212 = y(l+(Va2)	A46.4)
просто взаимно заменяет спиновые состояния	частиц 1 и 2:
2ИХA, 2) = хB, 1).	A46.5а)
Другими словами, мы имеем
и	т. д.	A46.56)

	146. Спиновые функции трех частиц	5J
По этой причине оператор A46.4) называют обменным спиновым
оператором для частиц 1 и 2.
Теперь мы можем выразить оператор A46.3) через такие
обменные операторы:
)}•	A46.6)
Действие этого оператора на первую и четвертую спиновые
функции сразу же дает
15х(—3/г). A46.7)
Таким образом, эти две функции уже сами по себе являются,
собственными функциями оператора S2 и принадлежат невырож-
невырожденному собственному значению S(S-(-1) = 15/4, или S =*/,..
В векторной модели они соответствуют параллельной ориента-
ориентации всех трех спинов по или против оси z.
Не так просто обстоит дело с функциями, принадлежащими
вырожденным собственным значениям 1/2 и —1/2. Действуя опе-
оператором A46.6) на функцию x(Va)> получаем
+ 4 [Ло^р, + flPjGt.a, + Са$2а3] +
+ 4 [Аа$2а3 + Ва^р, + Ср.о.о,] +
С другой стороны,
52Х (Va) = foS (S + 1) {Ла,а2рз + ВаДа, + Ср.о.о,},
и мы приходим к системе трех линейных однородных уравнений:
)Л,
)В,	A46.8)
Условие обращения в нуль определителя этой системы дает нам
кубическое уравнение для собственного значения S(S-\-1). Решая
это уравнение, находим
S(S + l)—?, -|, |, или S = 4,i-,1. A46.9)
Тот же результат получился бы у нас и при действии оператора
S2 на функцию х (—д/»). только вместо буквы а всюду была бы
буква Р.

52	///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичные задачи
Для первого из собственных значений A46.9) решение сис-
системы A46.8) однозначно принимает вид А = В = С. Используя
при записи спиновых функций более подробную символику
%(S, Sz), мы получаем следующий квартет четырех полностью
симметричных функций:
3 3
A46.10)
Это решение соответствует в векторной модели четырем возмож-
возможным ориентациям спина 8/2- После подстановки двухкратного
корня 5 = 72 в систему A46.8) все три ее уравнения приводят
к одному и тому же соотношению:
что позволяет нам написать С = — (А-\-В), но не дает никакой
информации относительно А и В. Таким образом, имеем
2а3-(Л + В) piOfolf
A46.11)
PH4'
Эти формулы все еще описывают смесь двух различных дубле-
дублетов, для каждого из которых S = 1/s.
Чтобы разделить указанные дублеты и снять оставшееся вы-
вырождение, обычно предполагают1', что
либо 4 = fl = --L-, либо Л = — В = —.~. A46.12)
В первом случае мы получаем дублет
^У	2	*	A46.13)
11 Наличие вырождения связано с тем, что для трехчастичнои системы опе-
операторы S2 и Sz не образуют полного набора наблюдаемых. ЧтЛбы иметь
такой набор, надо присоединить к этим операторам один из обменных спино-
спиновых операторов 2,-д. Волновые функции, приведенные в тексте, получаются
в том случае, когда выбирается обменный оператор 223.— Прим. ред.

	147. Рассеяние нейтронов молекулярным водородом	53
симметричный по отношению к перестановке спинов частиц 2 и 3
символически 1,23), а во втором случае—дублет
1 1
1
антисимметричный по отношению к перестановке спинов частиц
2 и 3 (символически 1,23). Требуя, чтобы именно для спинов
частиц 2 и 3 имела место простая симметрия, мы, разумеется, посту-
поступаем совершенно произвольно. Другой выбор постоянных А и В,
например В = — 1/iA, привел бы к спиновой функции с симмет-
симметрией 12,3. Только дополнительные условия, налагаемые на реше-
решение в той или иной конкретной задаче, могут снять это специ-
специфическое вырождение.
Задача 147. Рассеяние нейтронов молекулярным водородом
Пусть частицы 1 и 2 предыдущей задачи — это протоны, вхо-
входящие в состав молекулы водорода, а частица 3 — медленный
нейтрон с длиной волны де Бройля, значительно превышающей
размеры молекулы. Определить сечение рассеяния нейтронов
молекулами пара- и ортоводорода, считая, что «^-взаимодействие
имеет центральный характер (см. задачу 140):
V = ^CVi + Vt) + ^(Vt-Vt)(an-ap).	A47.1)
Чтобы связать длины рассеяния с потенциалами, в качестве гру-
грубого приближения предположите, что длина рассеяния пропор-
пропорциональна глубине потенциальной ямы.
Решение. Характер движения нейтрона определяется его
взаимодействием с двумя протонами. Если длина волны нейтрона
велика, то практически оба протона расположены в одном месте
и для описания движения достаточно одной относительной коор-
координаты г. Будем обозначать нейтрон индексом п (вместо ин-
индекса 3), тогда взаимодействие нейтрона с молекулой водорода,
согласно A47.1), можно записать в виде
, A47.2)
где
Vt = Vt(r) и Vs = Vs(r).
Ортоводород и параводород характеризуются соответственно
симметричной и антисимметричной спиновыми функциями, по-

54	///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичные задачи
этому в нашей трехчастичной проблеме, согласно результатам
предыдущей задачи, имеются следующие восемь спиновых функ-
функций:
ХD
О.	l\- 1
V 2 '	2 ) |/-з
3
Хо I ~2~
Квартет, спин
3/о, ортоводо-
ортоводород, 12п
A47.3)
х„ —2а,а2р„), j Дублет, спин
1/2, ортоводо-
ортоводород, 12, п
A47.4)
Дублет, спин
Va. ^араводо- A47.5)
род, 12,л
Все эти восемь функций суть собственные функции оператора
5	2
принадлежащие собственным значениям 15 и 3 соответственно
для квартетных и дублетных состояний. Так как
!(а„-(а,+<»,)),	A47.6)
причем каждый из первых трех членов равен трем, а для чет-
четвертого имеем
+ 1, ортоводород,
—3, параводород,
то окончательно получаем
A47.7)
орТОВОДОрОД
квартет,
рДрД <
3 = 9 + 2 + 2(а„-(а1 + о,)) )	\ дублет
и 3 = 9 — 6 + 2 (а„ •(<!,+а8)), параводород, дублет. Таким обра-
образом, имеем
(°я•
2, ортоводород, квартет,
4, ортоводород, дублет,	A47.8)
О, параводород, дублет.

	147. Рассеяние нейтронов молекулярным водородом	55
Отсюда в силу формулы A47.2) мы приходим к следующим трем
типам взаимодействия между нейтроном и молекулой водорода:
| ±<yt-V.)
\ -<yt-Vt)
2Vt, квартет, ортоводород,
1 „ .3,, __.*___ 0рТ0В0д0р0Д) A47.9)
¦jVt + Yv*> ДУблет> параводород.
Возвратимся к вопросу о рассеянии нейтронов и рассмотрим
предельный случай нулевой энергии. В этом пределе длина рас-
рассеяния а линейным образом связана с глубиной потенциальной
ямы, если последняя „мала". Следует, однако, подчеркнуть, что
для реального «^-взаимодействия это довольно грубое прибли-
приближение. С учетом указанного приближения мы для упругого
рассеяния нейтронов получаем
у Bа,J + у (у я + §
3 ,1
fl+
или,
as)* + 2(at-asy},	A47.10)
Замечание. Лучшие значения для длин рассеяния at и а, в двухнуклон-
ной задаче равны соответственно +5,39 ферми и —23,7 ферми. Подставляя
эти значения в формулы A47.10), мы получаем <тОрТО = 55 барн и апара =
= 1,77 барн1'. Характерной особенностью этого до некоторой степени грубого
результата является удивительно малое значение сечения рассеяния на пара-
водороде. Тем не менее этот результат полностью подтверждается эксперимен-
экспериментами по рассеянию тепловых нейтронов. Если бы выполнялось равенство
as = —За,, то сечение рассеяния на параводороде было бы в точности равно
нулю. Как бы то ни было, но его малость показывает, что величина as должна
быть большой и ее знак должен быть противоположен знаку величины щ.
С другой стороны, для существования связанного ^-состояния дейтрона трип-
летная длина рассеяния должна быть положительной. Следовательно, as < 0,
и поэтому существование связанного ^-состояния невозможно. Необходимо
отметить, что этот знак можно определить только в интерференционных опы-
опытах описанного типа, но не в экспериментах по рассеянию нейтронов на изо-
изолированных протонах, где приходится иметь дело с некогерентными волнами.
Наши результаты непосредственно относятся к предельному случаю нуле-
нулевой энергии, в то время как в эксперименте нейтроны могут иметь энергию
порядка нескольких сотых электронвольта. Следовательно, их длина волны не
» 1 ферми = 10-13 см, 1 барн =10-а4 ом2.

66	///. Частицы со спином. Б. Двух- и трехчастичные задачи
так уж велика по сравнению с размером молекулы. Это вызывает появление
неупругих переходов с изменением четности между вращательными состоя-
состояниями ортоводорода с У=1 и состояниями параводорода с J=0. Указанные
переходы появляются благодаря тому, что гп1^гп2. Если ввести обозначение
то для части взаимодействия, зависящей от спинов, можно написать
U (гв1) (а. • fft) + U (г.,) (а„ • а2) = 1 (U (rnl) + U (/¦„,)) (а„ • (а, + а,)) +
+у (^ (rn\) — U (гпг)) (ап(а1-а2)).
Из-за последнего члена в правой части этого равенства спиновые функции
A47.3) — A47.5) больше не являются собственными функциями оператора энер-
энергии взаимодействия; именно этот член в энергии взаимодействия и вызывает
орто—пара-пер еходы.

IV. Многочастичные задачи
А. Малое число частиц
Задача 148. Две отталкивающиеся частицы на окружности
Две одинаковые точечные частицы находятся на гладкой
окружности радиуса г и взаимодействуют по закону
У(Ф,. Ф2) = У0соз(Ф1-ф2),	A48.1)
это может, например, служить моделью кулоновского отталки-
отталкивания электронов в основном состоянии атома гелия. Вывести
закон сохранения момента количества движения и рассмотреть
относительное движение частиц.
Решение. Уравнение Шредингера
(^-^)U = E.U A48.2)
допускает разделение переменных, если перейти к новым ко-
координатам
« = <Pi—Ф.. Р = у(ф1 + ф2),	A48.3)
описывающим относительное и „абсолютное" движение частиц.
Действительно, подставляя выражения
дц>! ~ да + 2 ^ ' д<р2~ да + 2 dp
в уравнение A48.2), приходим к уравнению
%*- (д2и , 1 д
[+
решение которого можно искать в виде
U (а, Р) = и(о)о(Р).	A48.4)
Теперь мы имеем
= Ea.u	A48.5)

58	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
причем
A48.7)
Абсолютное движение частиц определяется уравнением A48.6).
Учитывая, что оператор проекции суммарного орбитального мо-
момента нашей двухчастичной системы на ось z дается выражением
мы можем переписать уравнение A48.6) в виде
±Lfr = E9-o,	A48.6а)
где в = 2/пг2—суммарный момент инерции обеих частиц. Послед-
Последнее уравнение позволяет определить собственны* значения опе-
оператора.вращательной энергии. Так как решение уравнения A48.6)
имеет вид
и==ешз1 м = 0, ±1, ±2, ...,	A48.8)
то допустимые значения вращательной энергии будут равны
*з=^.	A48.9)
Гораздо сложнее вопрос об относительном движении частиц,
так как оно определяется дифференциальным уравнением Матье
A48.5). Чтобы упростить последующие рассуждения, преобразуем
уравнение A48.5) к стандартной форме, положив
а = 2Ф, 4^?« = А,, 4^1/0 = 2<7.	A48.10)
Таким образом, получим
™+(A,-2?cos2q>)» = 0. A48.11)
Мы будем интересоваться периодическими решениями1' с перио-
периодом 2я по переменной а или, что то же самое, с периодом я по
переменной ф. Так как в уравнении A48.11) коэффициент при
функции v четным образом зависит от угла ф, то решения этого
уравнения будут либо четными, либо нечетными функциями ф.
1) Здесь искомые решения принципиально отличаются от решений уравне-
уравнения Шредингера с периодическим потенциалом в теории кристаллической ре-
решетки. Там решения, не будучи периодическими, при переходе от одной ячейки
решетки к другой умножаются на фазовый множитель (см. задачи 28, 29).
В теории кристаллической решетки энергетический спектр имеет зонную струк-
структуру, в нашем же случае спектр собственных значений X дискретен.

148. Две отталкивающиеся частицы на окружности
59
Периодичность решений позволяет разложить их в ряды Фурье,
поэтому мы имеем
учет = ^0 + Л2 cos 2ф -j- At cos 4ф -(-...;
^нечет = В2 Sin 2ф + В4 Sin 4ф + . . . .
Обычно принято обозначать собственные значения К посредством
а„, а2, а4, ... в случае четных решений и посредством Ьг, b4, bs, . ..
в случае нечетных решений11. В
теории уравнения Матье показы-
показывается, что собственные значения
можно расположить в следующем
порядке:
ao<bt<at<bt<a4 ... A48.12)
На фиг. 61 приведена зависи-
зависимость собственных значений от
переменной q. Благодаря неравен-
неравенствам A48.12) кривые на фиг. 61 -го
не пересекаются. В случае ^--0
имеем	0
**о w > г\ ) аг\ ) * 1	Фиг. 61. Зависимость собственных
bi @) = а4 @) = 42 И Т.д. A48.13) значений к от глубины потенциаль-
потенциальной ямы q.
В СЛУЧае Же ОчеНЬ бОЛЬШИХ а	Величины Я и <? даны в безразмерных
J	ч	единицах в соответствии с определе-
СПравеДЛИВЫ аСИМПТОТИЧеСКИе СО-	ниями (Н8.Ю). Прямыми линиями от-
птиширниа	мечены положения минимума и макси-
ишишспии	мума ПОТенциальной энергии.
A48.14)
Смысл соотношений A48.13) и A48.14) можно понять с помощью
следующих элементарных рассуждений.
Если <7 = 0, то уравнение A48.11) приобретает вид
11 Насколько это возможно, мы придерживаемся обозначений, принятых
в справочнике Абрамовича и Стегуна (Abramowitz M., Stegun I. E., Handbook
of Mathematical Functions, Dover Publ., New York, 1965, Ch. 20).
Кривые, приведенные на фиг. 61, также построены согласно данным ука-
указанного справочника.

60
IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
и оба его периодических решения
vHe4e? = Birsm2ry
принадлежат одному и тому же собственному значению Х = BгJ.
Это полностью согласуется с соотношением A48.13).
Если, с другой стороны, значение q очень велико, то вблизи
точки а = л мы будем иметь очень глубокую потенциальную яму,
что практически почти полностью зафиксирует наши частицы на
противоположных концах диаметра. В этом случае вместо пере-
переменной ф удобно ввести новую переменную
Ч = " (<Pi—Фа—я) = Ф — у •
A48.15)
Из соотношений
sin2rq> = (—1) sin 2n\
следует, что функции учет и онечет будут соответственно четными
и нечетными функциями и по отношению к переменной т). Если
потенциальная яма очень глубока, то в уравнении A48.11) можно
написать
cos 2ф = — cos 2т) « — 1 + 2тJ,
и оно приближенно перейдет в дифференциальное уравнение для
гармонического осциллятора:
f	v = 0.	A48.16)
+[(l + 2q)
Как хорошо известно (см. задачу 30), собственные значения для
этого уравнения равны
kn + 2q = 2Vq~Bn + \), n = 0, 1,2, ..., A48.17)
а собственные функции, относящиеся к четным (нечетным) п,
четны (нечетны) по переменной г\. Соотношение A48.17) почти
полностью совпадает с соотношением A48.14), если отождествить
решения при малых rj с решениями при больших q по схеме:
1
1
2
1
3
2
4
2
5
3
6
3
Четные (а2г)
Нечетные (Ь2Г)
Дополнительные постоянные, фигурирующие в формулах A48.14),
можно получить, удержав в разложении cos2t] еще один член,

149. Трехатомная линейная молекула	61
а затем воспользоваться теорией возмущений. В результате
получим
Л,в + 2<7 = 2КТBл + О—|-?<п|т,*|п>.	A48.18)
Как оказывается, этот дополнительный член обеспечивает пол-
полное согласие между формулами A48.18) и A48.14).
Замечание 1. На фиг. 61 мы изобразили диагонали двух координатных углов:
нижняя диагональ отмечает положение минимума потенциальной энергии ( — 2q),
верхняя —положение ее максимума (~{-2q). Собственные значения, разумеется,
всегда располагаются выше линии минимума потенциальной энергии. Если они
лежат ниже верхней диагонали, то соответствующие им состояния являются
колебательными состояниями внутри потенциальной ямы. Так, например, при
<7 = 10 имеются четыре таких колебательных состояния, пятое же собственное
значение (а4) соответствует состоянию либрационного типа. При либрации
движение частиц захватывает всю окружность, так что временами положения
обеих частиц совпадают. Первые четыре состояния можно было бы назвать
ангармоническими колебаниями. Начиная же с пятого состояния по мере роста
энергии движение все более и более приближается к движению невзаимодейст-
невзаимодействующих независимых частиц.
Замечание 2. Относительное движение двух частиц происходит в потенци-
потенциальном поле того же вида (Vo cos а), что и в случае математического маятника.
В классической механике эта задача сводится к эллиптическим интегралам,
квантовая же задача требует для своего решения, как мы видели, функций
Матье. Это снова показывает (см также задачу 40), насколько сложнее в ма-
математическом отношении ситуация в задачах квантовой механики по сравне-
сравнению с аналогичными задачами классической механики.
Задача 149. Трехатомная линейная молекула
В положении равновесия молекула двуокиси углерода имеет
форму линейной цепочки О = С = О. Пусть независимо от того,
одинаковые или разные изотопы кислорода, равновесное состоя-
состояние между атомами в комплексе С = О равно а, а соответствую-
соответствующая упругая постоянная валентных сил равна /. Пренебрегая
поперечными колебаниями, рассмотреть в гармоническом прибли-
приближении одномерную модель молекулы СО2 и определить частоты
ее колебаний.
Решение. Обозначим через х,, х2, х3 положения атомов на
оси х, а посредством т1, т2, пг3 — их массы, тогда для линейной
модели в гармоническом приближении уравнение Шредингера
будет иметь вид
A49.1)

62	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Чтобы отделить движение центра масс от относительного движе-
движения, мы перейдем к новым переменным:
v = xs—x2—a,	A49.2)
х = ~м~ (т
Старые производные связаны с новыми производными соотноше-
соотношениями:
д 	т1 д д
д тг д . д д
д 	 т3 д . д
Повторное применение этих соотношений дает
V _LJ!_ = _LJ!_4-(-L+-U-*L4-
?-* m,- дх\ М дХ* ~ \ т1 •" m2 J ди* ^
т3 ] dv2 m2 dudv '
Таким образом, движение центра масс действительно отделяется,
и мы приходим к уравнению Шредингера, содержащему только
две независимые переменные и и v,
!3 т3 j dv* тг dudv] '
г = 0.	A49.3)
При этом выше мы переопределили энергию Е, и она теперь
в отличие от A49.1) означает одну лишь энергию относительного
движения. Наличие в операторе кинетической энергии смешан-
смешанной производной д2/диди делает дальнейшую факторизацию не-
невозможной. Однако если мы введем „повернутую" систему ко-
координат
A49.4)
v= — и sin a -f- v cos a,	v '
то надлежащим выбором угла а член со смешанной производной
d2/du'dv' можно будет обратить в нуль. Что же касается потен-

	149. Трехатомная линейная молекула	63
циальной энергии, то при таком преобразовании она не меняется:
Уравнение Шредингера в новых переменных принимает вид
_^_ (-L-I	) C0S2a " _2 cos a sin a ^^7 +sin2 a ^ -f
2 \_\ т, т2 ) \	ди2	ди dv '	dv 2 J '
+ (— +— )( sin2 a ^4i+ 2 cos a sin а д-^ +cos2 а д4т
v'*)—E}W = O. A49.5)
Члены со смешанной производной исчезнут, если положить
	sin 2а = — cos 2а,
\Щ тх)	т2
или
tg 2а == т 2^хт2т ¦	A49.6)
Введя массовые константы А и В, определяемые соотношениями
1 / 1 , I \ ,	2	.	( 1 , 1 \ . ,
—г=	cos2 а	cos а sin а -4-	sin3 а,
А \ тх ' m2 j	m2	T\"i, mj
1 t 1 . 1 \_. „ . 2 ... .. . / 1 . 1 \ „	(КУ./)
—-==_!_-j	sin2aH	cos a sin a -f	1	)cos2a,
В \ mj m2 J	m,	\ m? ms j	'
мы можем придать уравнению Шредингера значительно более
простой вид:
Теперь переменные разделяются:
W(u', 1»') = *(«')ФИ.
Е = ЕА+ЕВ,
и мы получаем
А2 <Л|; . 1 , ,„. „ ,
(И910)

64	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Энергетические уровни этих двух гармонических осцилляторов
мы можем написать сразу (см. задачу 30):
A49.11)
Равенства A49.6) и A49.7), позволяющие найти константы А и В
по известным массам, совместно с равенствами A49.11), опре-
определяющими энергии и частоты колебаний, полностью решают
поставленную задачу.
Теперь мы более подробно проанализируем нормальный слу-
случай, когда т^ = гпя (в состав молекулы входят одинаковые изо-
изотопы кислорода). В этом случае, как следует из формулы A49.6),
а = я/4 и для констант А и В мы, согласно (Н9.7), получаем
_L —_L 1 _ 1 2
A mj ' В пц тг
и, следовательно,
УЛ	/^-сол.	A49.12)
Так как частота а>А не зависит от тг, то отсюда можно сде-
сделать вывод, что при колебаниях с такой частотой атом углерода
остается в покое. Поскольку, кроме того, центр масс молекулы
0	С	0
•-»> • -с-* а
О	С	О
Фиг. 62. Два нормальных колебания молекулы СО2.
Поперечные колебания в этой задаче не рассматриваются.
предполагается неподвижным, то колебание рассматриваемого
типа должно быть симметричным, что схематически изображено
на фиг. 62, а. С другой стороны, колебания с частотой сой, в ко-
которых принимает участие и атом углерода, как можно показать,
являются антисимметричными (см. фиг. 62,6). Чтобы выяснить,
что соответствует этой классической картине нормальных коле-
колебаний в квантовой механике, рассмотрим свойства волновых
функций A49.9). Волновая функция основного состояния (нор-
(нормировка произвольная) имеет вид
-^y'2), A49.13)

	149. Трехатомная линейная молекула	65
где
u' = ~j(xB-Xl-2a), v' = -~(Xl + xs-2x2). A49.14)
Оба сомножителя в A49.13) имеют резкий максимум соответст-
соответственно при м' = 0 и у' = 0. Таким образом, нулевые колебания
совершаются вблизи положения x1-\-xa = 2xi (при этом атом
углерода находится точно посередине между атомами кислорода)
и вблизи положения х3—х1 — 2а (т. е. расстояние между ато-
атомами кислорода равно 2а). Мы видим, что наиболее вероятное
положение атомов в основном состоянии молекулы как раз со-
совпадает с их классическим равновесным положением.
Рассмотрим теперь первое возбужденное состояние колеба-
колебательной моды А. В этом случае к волновой функции Yo доба-
добавится лишний множитель и'. Так как функция
i|> (и') = и'е" %и",
где
. А<ал
имеет два экстремума противоположных знаков в точках
и' = ±\-*'*, то теперь наиболее вероятные положения атомов
определяются условиями
r	2х1 = 0. A49.16)
Классическим аналогом наиболее вероятного положения осцил-
осциллирующей частицы являются точки поворота, вблизи которых
частица проводит наибольшую часть времени. Таким образом,
два значения и' в A49.15), отвечающие экстремумам волновой
функции, соответствуют чему-то вроде амплитуд классических
колебаний. Условие v' = 0 показывает, что атом углерода, веро-
вероятнее всего, располагается как раз посередине между атомами
кислорода, расстояние же между самими атомами кислорода
попеременно то увеличивается, то уменьшается, как это схема-
схематически показано на фиг. 62, а.
Если же возбуждена колебательная мода В, то положение
экстремумов волновой функции определяется соотношениями
~ , ц = ^|?. A49.16)
Мы видим, что наиболее вероятное расстояние между атомами
кислорода (х3—хг) остается, как и при равновесии, равным 2а,
причем сами они сдвигаются то влево, то вправо по отношению
к атому углерода, что схематически показано на фиг. 62, б.
3 № 1172

66	[V. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Задача 150. Движение центра масс
В классической задаче многих тел движение центра масс
отделяется от относительного движения, если в системе действуют
только одни внутренние силы. Показать, что такое отделение
возможно и в квантовой механике. Специально рассмотреть
случай двух частиц.
Решение. Мы начнем с гамильтониана системы из N частиц,
на которые не действуют внешние силы:
N	N N
1=1 '	t=\ k=\
и заменим 3N координат xh yit z,- координатами центра масс
X, Y, Z и координатами \х, Цк, ?х> определяющими положение
частицы К (Х= 1, 2, ..., N — 1) относительно частицы N. Мы имеем
N	Л'
h=xk-xN (X=l, 2, .... N -I)
и соответствующие формулы для Y, Z, т)х, ?*.. Использование
этих координат, разумеется, нарушает естественную симметрию
гамильтониана A50.1), так как частица N искусственно выде-
выделяется из числа других частиц.
Из формул A50.2) легко получаются следующие операторные
соотношения:
j_=a±±+j- v==i 2 n-\
dxv M дХ ' dgv '	.,•••>	>
д m\j д
dxN M дХ
N	N-l	/9
ы\ щ dxi ~~)?i m^ \m ЬХ% ~® дХдк
% д2
1 / т% д
~Т~тА М* ИХ2
mN\ Af2 дХ*	M Zm ол(% ' Z-iX-i
~ М дХ* ^ \ La mk at* ^ mv La La dl ,д\
где суммирование по греческому индексу проводится от 1 до
N—1. Мы видим, что все смешанные производные 32/дХд^
взаимно сократились и не вошли в окончательный результат.

150. Движение центра масс	67
Это позволяет разбить гамильтониан на две части:
Н = Н0 + Н„	A50.3)
где первая часть
описывает движение центра масс, а вторая
— относительное движение частиц. Входящая сюда потенциальная
энергия
A50.6)
разумеется, также не зависит от координат центра масс. Теперь
уравнение Шредингера
(H0 + Hr)U = E-U	A50.7)
допускает разделение переменных. Полагая
6/ = Ф(Х, У, Z)u(h, Пх, Ък);	A50.8)
получаем
Нги = Еги,	A50.10)
?„ + ?, = ?.	A50.11)
Решение уравнения A50.9) имеет вид плоской волны:
ф = е«-*, ?0 = ^,	A50.12)
где /?—вектор с координатами X, Y, Z. Полученный результат
находится в полном соответствии с классическим законом дви-
движения центра масс: центр масс движется как материальная
точка с массой М и постоянным импульсом %К. Характер отно-
относительного движения частиц определяется уравнением A50.10)
и совершенно не зависит от движения центра масс.
Наличие в выражении A50.5) третьего члена препятствует
дальнейшей факторизации функции ы(|ь тц, ?*,) Только в двух-
двухчастичной задаче, когда N = 2 и Я, = jj. = 1, часть гамильтониана,
связанная с относительным движением, упрощается и принимает

68	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
ВИД
!{^ ^}	^' Ъ, W- A50.13)
Вводя сюда приведенную массу т*, определенную, как и в клас-
классической механике, соотношением
— + — = Л,	A50.14)
я, ' т2 т* '	v	'
и опуская индексы в обозначениях относительных координат и
потенциальной энергии V12, мы приходим к уравнению
-^Ги + УA, г,, ?)и = ?,и,	A50.15)
представляющему собой уравнение Шредингера для эквивалент-
эквивалентной одночастичной задачи.
Замечание. В задаче 67 мы рассматривали атом водорода в рамках одно-
частичного подхода и считали, что ядро атома покоится. Согласно уравнению
A50.15), правильнее было бы вместо массы электрона т ввести приведенную
массу ядра и электрона т*. Кроме этого, никаких других изменений, учиты-
учитывающих участие ядра в относительном движении около центра масс, вносить
не требуется. Так как масса ядра М значительно больше т, то вместо равен-
равенства A50.14) можно пользоваться приближенным соотношением
• I л т
т* =пг 1	тг
\ м
Сравнивая для примера частоту красной линии На (п = 3-»-«' = 2) в спектре
атома водорода
5 tn'fje*
с частотой соответствующей линии в спектре атома дейтерия
m 5
и учитывая при этом, что Мд к 2МН, мы для разности частот получаем
Указанное различие не очень трудно обнаружить. При длине волны 6563 А
оно составляет 4,12 см-1. Тяжелый водород был открыт Юри, Брикведде и
Мэрфи в 1931 г., наблюдавшими у линии На в спектре естественного водорода
слабый сателлит Da [Urey, Brickwedde, Murphy, Phys. Rev., 40, 1 A932)].

151. Теорема вириала	69
Задача 151. Теорема вириала
Доказать, что для любой квантовомеханической системы частиц,
удерживаемых вместе кулоновскими силами, справедлива теорема
вириала:
IF 4- F — О
^^кин | '¦'потен "•
Доказательство провести с помощью масштабного преобразования
координат, сохраняющего нормировку волновой функции рас-
рассматриваемой системы.
Решение. Волновая функция системы N частиц с массами т1
и электрическими зарядами et удовлетворяет уравнению Шре-
дингера
(С ф k)
и условию нормировки
5^т2... J^PWr^l.	A51.2)
Средние значения кинетической и потенциальной энергий системы
в состоянии W определяются формулами
Y*v?Wt№ A51.3а)
- <=i
N N
Л^2--- \V±4dTN. A51.36)
J	J	J	'lk
Масштабное преобразование
r;=Ar,.,	A51.4)
оставляющее в силе условие A51.2), означает, что волновая
функция
T(rlt г„ .... г^)
заменяется функцией
Yx=X»w/»T(Xr1> Xr2, .... lrN).	A51.5)
Подставляя выражение A51.5) в формулы A51.3а) и A51.36)
и переходя к новым переменным интегрирования A51.4), а также
учитывая, что

70	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
мы вместо истинного значения энергии
Р 	 р	! Р
^ — ^кин Г ^ потен
получаем выражение
? (Л) =*,•?„.+ Л?ПО1ен,	A51.6)
которое, очевидно, должно иметь минимум в том случае, когда
из семейства функций A51.5) выбирается функция, являющаяся
решением уравнения Шредингера, т. е. при условии к=1. Сле-
Следовательно, при Х=\ выражение
(к)
должно обращаться в нуль, и поэтому
2?киП+?потен = 0,	A51.7)
что и требовалось доказать.
Замечание. Для приближенных решений справедливость теоремы вириала
не обязательна, тем более интересно, что ее можно доказать для статисти-
статистической модели атома Томаса — Ферми (см. задачу 175).
Задача 152. Определитель Слэтера
Пусть волновая функция системы из N одинаковых частиц
представлена в виде произведения одночастичных волновых
функций и антисимметризована в соответствии с принципом
Паули. Выразить среднее значение оператора, описывающего
действие внешних сил, через одночастичные интегралы.
Решение. Обозначим через u,-(v) одночастичную волновую
функцию v-й частицы в состоянии i (v означает совокупность
пространственных и спиновой координат рассматриваемой час-
частицы). Тогда полностью антисимметричную волновую функцию
системы из N одинаковых частиц можно записать в виде опре-
определителя Слэтера:
Ml) M2)
Ml) М2) ... u2(N)
uN(\) uNB) ... Ujv(N)
раскрывая который, получаем
,1,	Г'У/ \\Р Р In 11	и \	Л КО О\
т — ^ ?* V— *) * \^i> ^2» • • • f ^N/'	' O/.Z^
р
Здесь Р означает произвольную перестановку функций ы4- отно-

152. Определитель Слэтера	71
сительно их аргументов v, взятых в стандартном порядке
1, 2, ..., N. Если Р — четная перестановка, то соответствующее
слагаемое в сумме берется со знаком плюс, в противном слу-
случае—со знаком минус.
Внешние силы, описываемые оператором Q, будут действовать
на все частицы одинаковым образом. Это означает, что
N
Q= 2 Qv,	A52.3)
v=l
и его среднее значение будет равно
2 ()
р. р-
)	A52.4)
.. uN)).
Выделим из суммы A52.4) одно слагаемое, в котором опера-
оператор Qv действует только на функцию координат и спина v-й
частицы, например, на функцию u,-(v). Координаты и спин любой
другой, скажем (х-й частицы, фигурируют в этом слагаемом в
качестве аргумента какой-нибудь другой функции и; в обеих
перестановках Р и Р' одновременно, так как в противном слу-
случае рассматриваемый член исчез бы в силу ортогональности
одночастичных волновых функций:
<и,\ик> = Ь,к.	A52.5)
Это означает, что перестановки Р и Р' в отличных от нуля
членах идентичны и, следовательно, знаковый множитель в A52.4)
всегда равен -f-1, а вклад рассматриваемого слагаемого имеет
вид одночастичного интеграла:
<Р' |QV | Р> = 6Рр, <ы, (v) | Qv| и, (v)>.	A52.6)
Для дальнейшего подсчета суммы A52.4) заметим, что в волно-
волновую функцию ij) множитель «,(v) (t и v фиксированы) входит
в сочетании с определителем N—1-го порядка. За вычетом функ-
функции U/ и аргумента v у нас еще остается Л^—1 функция и /V — 1
аргумент, так что из всех ЛМ возможных перестановок в нашем
распоряжении имеется (N — 1)! перестановок /V — 1 функции
относительно N—1 аргумента. Таким образом, получаем
N
<г|) | Qv | г|» = | С HN- 1)! Д <U/ (v) | Qv| и, (v)>. A52.7)
Этот результат, разумеется, остается в силе, какой бы оператор
Qv из суммы A52.3) мы ни брали, поэтому среднее значение
<i|)|Q|i|)> будет содержать N одинаковых слагаемых A52.7).

72	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Следовательно, мы имеем
<гИЙ|г|» = |С2|ЛП 2<u,(v)|Qv|",(v)>.	052.8)
Нам осталось найти нормировочную постоянную С из условия
<Ч>|Ч>>=1.	A52-9)
означающего, что в пространстве достоверно имеется N частиц.
Формально это можно сделать, положив в равенстве A52.3)
Qv= 1/N. Так как при этом Q= 1, то равенство A52.8) с учетом
условия нормировки одночастичных функций A52.5) дает
Отсюда с помощью равенства A52.9) получаем
С = ЛП-!/*.	A52.10)
Теперь правую часть равенства A52.8) мы можем окончательно
записать в виде простой суммы средних значений по одночастич-
ным состояниям:
N
<г|) | Q | г|)> = 2 <«/(v)|Qv|u/(v)>.	A52.11)
i
Замечание. Пренебрегая симметризацией и заменив волновую функцию
A52.1) простым произведением
§ = u1(\)u,i{2) ... uN(N),	A52.12)
мы получили бы
N
<§\ Q | ij)> = 2 ^"v| ^v| uv>	A52.13)
v=i
и
<4>|i?> = l,	A52.14)
т.е. по существу те же самые результаты A52.11) и A52.9), которые были
найдены с помощью антисимметризованной волновой функции. Ни для взаимо-
взаимодействия между частицами, которое не удовлетворяет равенству A52.3), ни
для неортогональных одночастичных функций, для которых нарушается усло-
условие A52.5), такое совпадение результатов не имеет места.
Задача 153. Определитель Слэтера и обменное взаимодействие
Система описывается антисимметризованной волновой функцией
предыдущей задачи. Определить среднее значение оператора
^ = yH'^nv,	A53.1)
Ц. V
отвечающего парному взаимодействию частиц.

153. Определитель Слэтера и обменное взаимодействие	73
Решение. Пользуясь теми же обозначениями и нормировкой,
что и в предыдущей задаче, можно записать среднее значение
одного члена суммы A53.1) в виде
-m jLu, \—ч \'P'("i. •••. "Ar)lQnv|?4"i, -.., ";v)>- A53.2)
p, P'
Все функции ы„, аргументы которых отличаются от \i и v, должны
входить в перестановки Р и Р' одинаковым образом, чтобы
соответствующее слагаемое в сумме A53.2) не обратилось в нуль.
Так как в нашем распоряжении имеются N — 2 такие функции
и столько же аргументов, то мы можем переставлять их (N—2)!
различными способами. Если все эти частичные перестановки
одинаковым образом входят в полные перестановки Р и Р', то
на долю аргументов ц и v в каждом неисчезающем члене суммы
A53.2) остается только одна пара функций, например, utUj.
Таким образом, имеем
<U, (ц) U, (v) | Quv | U/ (|i) U, (v)> —
-¦ t, i
—	<u{ (ц) щ (v) | Quv | щ (ц) и, (v)>}. A53.3)
В первом классическом члене из фигурных скобок перестановки
Р и Р' одинаковы даже по отношению к аргументам \х и v,
поэтому здесь эти перестановки совпадают полностью. Во втором
обменном члене перестановки Р и Р' отличаются на одну транс-
транспозицию (ij—>/t), что как раз приводит к появлению знака
минус.
Рассмотрим теперь сумму A53.1) таких операторов Quv. Мы
имеем
п. v i, /
—	<uf (\i) U; (v) | Qp,v | ttf (ц) uf (v)>}. A53.4)
В этой формуле индексы \i и v являются немыми переменными,
поэтому сумма 2' состоит из N (N — 1) одинаковых слагаемых
(члены |х, v и v, A считаются здесь различными). Следовательно,
искомое среднее значение оказывается равным
1 V"*'
I. i
— <и, A) щ B) | Й„ | и, A) и, B)>}.	A53.5)
Здесь символы 1 и 2, конечно, совершенно произвольны.

74	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Следует снова подчеркнуть, что как в этой задаче, так и в
предыдущей, каждая одночастична я волновая функция и{ зависит
и от пространственных координат и от спинового состояния.
Задача 154. Два атомных электрона в основном состоянии
/С-оболочка атома образована двумя электронами в ls-состоя-
нии. Оценить их энергию, воспользовавшись экранированными
водородными волновыми функциями в поле бесконечно тяжелого
ядра с зарядом Ze.
Решение. Гамильтониан данной задачи, записанный в атомных
единицах (е = % = т=1), выглядит следующим образом:
-i-,	A54.1)
а приближенная волновая функция, согласно задаче 67, имеет
вид
U = u(r1)u(ri) = -^-e-a^ + r*\	A54.2)
здесь
a = Z—о,	A54.3)
где а—экранировочная постоянная. Следует ожидать, что
О < а < 1, поскольку действие ядерного заряда на каждый
электрон лишь частично экранируется другим электроном. Отдель-
Отдельные сомножители из выражения A54.2) удовлетворяют волновым
уравнениям
- т v> -77)" Ы = - т а*и ('Л-
— у VI —^-J и (г2) = — ~ а*и (гг),
так что
а выражение для среднего значения энергии принимает вид
Подставляя сюда явное выражение A54.2) для функции U и
учитывая нормировку каждого сомножителя и, получаем
- га Ci + 'i)
fu ^dT2.	A54.5)

154. Два атомных электрона в основном состоянии	75
Первый интеграл в формуле A54.5) вычисляется элементарно:
jrie-^.dr1 = i.	A54.6)
о
Чтобы вычислить двойной интеграл
Ие-2<Х </-, + »•,)
	-	Л,*,,
разложим дробь l/rl2 по полиномам Лежандра:
где 0 — угол между векторами г1 и г2. Вклад в интеграл J дает
только первый член разложения (п = 0), поэтому имеем
J = С Л.гюМл ( — С /¦12e-2ar'dr1 + \ гхе~шг^й
j	\ /-2 J	J
Так как
dx2 = 4лг1 dr2 и 0 ^ г2 < оо,
то все интегралы вычисляются элементарно, и мы получаем
После подстановки значений интегралов A54.6) и A54.7) среднее
значение энергии A54.5) принимает вид
Е = — a2 — 2(Z—а)а + |-а.	A54.8)
До сих пор мы не налагали на значения а никаких ограни-
ограничений. Теперь же мы потребуем, чтобы значение а было опти-
оптимальным в смысле вариационного исчисления, для этого положим
ж = °-	<154-Э)
Отсюда получаем
a = Z—A	A54.10)
?=-(z-4J-	A54Л1)

76
IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Отметим, что при таком значении а функция A54.2) становится точной
собственной функцией гамильтониана
A54.12)
допускающего разделение переменных. Сравнивая выражения A54.12) и
A54.1), находим
Если рассматривать теперь Н' как энергию возмущения, а экранировочную
постоянную а выбрать в соответствии с равенством A54.10), то в первом по-
порядке теории возмущений сдвиг рассматриваемого уровня
окажется равным нулю.
В заключение рассмотрим несколько числовых примеров. Раз-
Развитая теория описывает атомы, у которых удалены все электро-
электроны, за исключением двух электронов, находящихся на К-обо-
лочке. Мы располагаем экспериментальными данными для
Z=2 3 4 6 8
Не Li+ B++ С4+ О6+.
Во всех этих случаях измеряется не сама энергия Е, а энергия
ионизации /, необходимая для отрыва от иона только одного
из двух /С-электронов. Остающийся ион обладает всего одним
электроном, поэтому его энергия равна
а для энергии ионизации получаем
16
A54.13)
Из приводимой ниже таблицы ясно видно, что согласие экспе-
экспериментальных данных с формулой A54.13) непрерывно улучшается
по мере роста Z.
Z
2
3
4
6
8
теория
23,2
74,1
152,2
390
737
/. эВ
эксперимент
24,5
75,6
153,6
393
738

155. Возбужденные состояния атома гелия	77
Эта закономерность вполне разумна, так как член 1/г1а, ответ-
ответственный за взаимодействие электронов между собой, играет все
меньшую роль по мере того, как с ростом Z увеличивается
связь каждого электрона с ядром.
Задача 155. Возбужденные состояния атома гелия
У нейтрального атома гелия один электрон находится в ос-
основном ls-состоянии, а другой — в возбужденном состоянии
с квантовыми числами пи / (я ^2, 1^1). Определить энергию
ионизации, связанную с отрывом (п, /)-электрона, для орто- и
парагелия. При расчете использовать водородоподобные волновые
функции, считая, что ls-электрон полностью экранирует одну
единицу заряда ядра. В частном случае 2/?-состояния (п = 2,
1=1) произвести числовые расчеты.
Решение. Если ls-электрон подвержен действию полного
ядерного заряда 2е, а на (п, /)-электрон действует только экра-
экранированный заряд е, то одноэлектронные состояния описываются
решениями дифференциальных уравнений
2	г I	1 * V 2	ft	it til* \ * /
а именно
u = \ >- у — e ,	1-— ,	A55.2)
vnl = \n> — KnlV) l,m\ i ф/i л	2r? '
где Rnl — нормированные радиальные водородные функции (см.
задачу 67).
Приближенное решение уравнения Шредингера для нашей
двухэлектронной задачи
1	г»	л	i \
i = ?i|)	A55.3)
должно иметь вид симметризованного произведения волновых
функций:
1|) = ыA)р„B) + ео„A)ыB) = | ln> + e|nl>, A55.4)
где е = +1 в случае парагелия (спины антипараллельны) и е = —1
в случае ортогелия (спины параллельны). Условие нормировки
для функции ij) имеет вид <ij) | i|j> = 2.
Чтобы функция A55.4) как можно лучше удовлетворяла урав-
уравнению A55.3), мы должны надлежащим образом определить
энергию Е. С этой целью умножим уравнение A55.3) почленно

78	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
на совектор <1п|:
<ln|—i- V32-| Vi~—т-+7-|Ч» = ?<1л|1|». A55.5)
Так как
<1|1>=1, <п|п>=1, <1|п> = 0
(если /=И=0), то некоторые из входящих в A55.5) интегралов
разбиваются на более простые, а некоторые обращаются в нуль.
Так, например, мы имеем
<ln\ — j VI ——\ \п> = Еп-<п\у\п> и т. д.
Для всех одноэлектронных состояний теорема вириала (см. за-
задачу 151) приводит к соотношению
~F —IF
'-потен ы-ч
поэтому получаем
Таким образом, окончательно мы приходим к следующему вы-
выражению для энергии:
? = — 2-^ + ? + е<?,	A55.6)
где
« = <1л| —|1п>	A55.7)
означает классическую, а
<§ = <\п\~\п\>	A55.8)
Г12
— обменную энергии взаимодействия электронов между собой.
Остается лишь вычислить эти два интеграла.
В обоих случаях мы разложим дробь 1/г12 по полиномам
Лежандра:

155. Возбужденные состояния атома гелия	79
где д12 — угол между радиус-векторами электронов г1 и г2.
Мы начнем с интегрирования по углам, в связи с чем нам при-
придется вычислить интегралы
/dQ1	A55.10)
dQ1. A55.11)
В выражении #угл внутренний интеграл равен 4ябх, 0, поэтому
из всех членов разложения A55.9) у нас останется вклад лишь
от члена с Х = 0. Таким образом, классическая часть электрон-
электронного взаимодействия будет равна
= 4л Г d/vl I « С,) I2 ( т- \ Л
A55.12)
Чтобы вычислить внутренний интеграл в выражении A55.11),
воспользуемся теоремой сложения сферических гармоник:
л	+Х
Ук, n(l)V4, дB).	A55.13)
я=-%
Тогда мы имеем
]Т16'.^	A55.14)
Следовательно, из всех членов разложения A55.9) в обменную
энергию взаимодействия дает вклад лишь член с Х = /, поэтому
получаем
A55.15)
Чем больше квантовые числа пи/, тем лучше наше при-
приближение, так как по мере роста пи/ уменьшается область
перекрытия двух одноэлектронных волновых функций. Оставляя

80
IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
в стороне 5-состояния, мы должны ожидать от нашего метода
наихудших результатов в том случае, когда п = 2 и 1—1. Однако
если и в этом частном случае он приводит к разумным резуль-
результатам, то на него тем более можно положиться в случае более
высоких возбужденных состояний. Рассчитаем теперь энергию
указанного возбужденного состояния атома гелия и сравним
полученные результаты с экспериментальными данными.
В интересующем нас случае нормированная радиальная функ-
функция Rn[ имеет вид
^-T.	A55.16)
Подставляя в интегралы A55.12) и A55.15) выражения A55.16)
для Ritl и A55.2) для и, мы после простых, хота и несколько
утомительных, вычислений находим для них следующие значения:
1 Л 13 ^=0,24896
4-) =0,00382.
Это дает для энергии (в атомных единицах) значение
? = —2,12604 + 8-0,00382.
Энергия ионизации равна разности энергии иона Не+ в основ-
основном состоянии Е+ = —2 (в этом случае один электрон находится
в ls-состоянии, а другой удален) и энергии Е. Таким образом,
мы имеем
или
= ?+ — ? = 0,12604—8-0,00382,
C,429 — 8-0,104) эВ.
Помещенная ниже таблица позволяет сравнить эти результаты
с данными эксперимента.
Парагелий, е = + 1
Ортогелий, е =—1
Разность
Энергия ионизации, эВ
теория
3,325
3 ,533
0,208
эксперимент
3,368
3,623
0,255

156. Возбужденные S-состояния атома гелия	81
Мы видим, что согласие вполне удовлетворительное. Даже
для сдвига между пара- и ортоуровнями оно не так плохо, как
можно было бы ожидать, если иметь в виду, что указанный
сдвиг довольно чувствителен к перекрытию и взаимной поляри-
поляризации одноэлектронных состояний. Следует отметить, что уровень
парагелия с его симметричной пространственной волновой функ-
функцией лежит выше уровня ортогелия, обладающего антисиммет-
антисимметричной пространственной волновой функцией. Эта ситуация,
таким образом, противоположна той, с которой мы встретимся
в случае молекулы Н2 (см. задачу 163). Порядок следования
уровней легко понять, если учесть, что только вклад, связанный
с обменной энергией взаимодействия A55.8), зависит от знака е;
сам же обменный интеграл, обязанный своим происхождением
взаимному отта'лкиванию пары электронов, положителен, и, сле-
следовательно, случаю 8=1 отвечает более высокий уровень.
Задача 156. Возбужденные 5-состояния атома гелия
Метод предыдущей задачи распространить на электронную
конфигурацию Is, ns. Для этого по-прежнему считать, что
ls-электрон описывается невозмущенной водородной функцией,
относительно же волновой функции ns-электрона не делать ни-
никаких специальных предположений. Рассматривая далее обменный
интеграл и интеграл перекрытия как малые поправки, показать,
что можно построить эффективное потенциальное поле, в котором
движется ns-электрон.
Решение. Мы запишем волновую функцию в виде симметри-
зованного произведения волновых функций одноэлектронных
состояний:
ф==иA)»иBL-во„A)иB) = |1п> + в|п1>, A56.1)
где е = ±1. Для волновой функции ls-электрона (в атомных еди-
единицах) имеем
Д У	A56.2)
Относительно же волновой функции ns-электрона мы знаем лишь,,
что она не зависит от углов и удовлетворяет условию нормировки:
> = 1.	A56.3)
Никаких иных требований к функции |п> не предъявляется.
Волновая функция г|з является приближенным решением урав-
уравнения Шредингера
(Я — ?)i|j = 0,	A56.4)

82	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
в котором гамильтониан имеет вид
tf = -yV?-yVi-f—f + ±.	A56.5)
г	г	гх гг л12
Таковы основные уравнения нашей задачи. Прежде всего
умножим уравнение A56.4) почленно на совектор <1п|:
<1п\Н — Е\1п> + г<1п\Н — ?|nl> = 0,	A56.6)
затем найдем интегралы, содержащие оператор Я, опреде-
определяемый A56.5). До сих пор наши формулы очень похожи на
формулы предыдущей задачи, хотя одно существенное отличие
можно усмотреть немедленно. Оно обусловлено тем, что функции
|1> и | га> в данном случае неортогональны, поскольку обе они
принадлежат одному и тому же значению / = 0, но относятся
к разным потенциальным полям. В этой связи мы введем инте-
интеграл перекрытия
S = <l|n> = <rt| 1>	A56.7)
и воспользуемся обозначениями
<1л|-Ц1п> = #, <ln\±\nl> = ?.	A56.8)
Л12	Л12
Теперь нам остается рассмотреть следующие интегралы:
<1л|—у VI —|-|1л>=<1|—-g-Vi—?|1> = —2,
i<n|—4-V1--?-|п>=/С„, A56.9)
Здесь при получении последнего равенства мы использовали
тождество
С учетом этих соотношений уравнение A56.6) можно записать
в виде
или
^+g+e(#~2S2)	056.10)
Так как Е+ = —2 есть энергия основного состояния иона Не+,
то энергия ионизации / = Е+ — Е теперь равна
A56.11)

156. Возбужденные S-состояния атома гелия	83
Чтобы определить величину Е или величину /, мы можем вы-
вычислить интегралы S, К„, %>, $, пользуясь каким-нибудь доста-
достаточно удобным набором функций |п>, зависящих от некоторого
числа параметров Ритца, а затем подходящим выбором этих
параметров добиться экстремальности величины Е или вели-
величины /.
Если интеграл перекрытия 5 и обменный интеграл ? доста-
достаточно малы, то соотношения A56.10) и A56.11) упрощаются и
принимают вид
? =-2+ *„ + ?, / = -(*„ + ?)•	A55.12)
К соотношениям точно такого же вида мы пришли бы и в том
случае, если бы сразу пренебрегли симметризацией, положив
е = 0; именно в этом смысле можно говорить, что иногда волно-
волновые функции многочастичных задач не требуют симметризации.
Возвращаясь к определениям A56.8) и A56.9) для интегра-
интегралов Кп и %, можно записать первое из равенств A56.12) в виде
? = — 2 + </г|0|/г>,	A56.13)
где оператор Q определяется формулой
Чтобы найти нормированную функцию |/г>, минимизирующую
энергию Е, мы должны рассмотреть вариацию:
где А.—множитель Лагранжа. Так как
8</г|О|/г> = 2<8/г|О|/г> и 8<
то получаем
и ввиду произвольности вариации |бп> волновая функция |/г>
должна удовлетворять уравнению
Переписав теперь равенство A56.13) в виде
<n\Q — E—2|/г> = 0,
легко усмотреть, что Х = — Е—2, и, следовательно, функция |я>
обязана удовлетворять одноэлектронному уравнению Шредингера
—y Т21 л> + ^эфф (г) \п> = (Е + 2)\п>	A56.15)

84	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
с эффективным потенциалом
+ §dx'	A56Л6)
Потенциал точно такого же вида мы могли бы получить, решая
уравнение Пуассона
где р—плотность заряда, представляющего собой сумму отрица-
отрицательного пространственного заряда ls-электрона —ы2 и точечного
ядерного заряда +2. Подставляя в формулу A56.16) явное вы-
выражение A56.2) для функции ы, немедленно получаем
Найдя с помощью уравнения A56.15) функцию \пу, мы можем
затем вычислить приближенные значения всех интегралов, вхо-
входящих в выражение для энергии A56.10). До тех пор пока вели-
величины 5 и <§ удовлетворяют неравенствам 5<^ 1, S^.'S и, следо-
следовательно, являются лишь малыми поправками, это приближение
можно считать достаточным.
Приложение. Числовые расчеты по обрисованной выше общей
схеме могут оказаться довольно трудоемкими, и поэтому мы
приведем для 25-состояния результаты, полученные с помощью
более простой вариационной процедуры. Мы будем минимизи-
минимизировать выражение A56.12), используя пробные функции вида
/•'),	A56.18)
где р—вариационный параметр Ритца и <2|2>=1. Эти функции
конечны при г —0 и каждая из них имеет один нуль, что необ-
необходимо для 25-состояния, кроме того, они обладают правильной
асимптотикой, которая определяется вторым слагаемым. Первый
член в выражении A56.18) описывает отклонения поведения
наших функций от поведения водородоподобнои волновой функции
на малых расстояниях от ядра, где экранировка ядерного заряда
становится все менее существенной. Так как волновая функция
ls-состояния ведет себя как е~гг, то этот член должен вести
себя примерно таким же образом.
Пробные функции A56.18) приводят к следующим результатам:
,2f 5 512-6359 74688 Л
Я V32 125-28561 ^ + 125"^ J '

157. Основное состояние атома лития
85
Энергия ?, определяемая выражением A56.12), будет иметь
минимум при подходящем выборе параметра р: он должен
удовлетворять квадратному уравнению, у которого имеется один
положительный корень /? = 0,1105. Если не учитывать симмет-
симметризацию, то отсюда для энергии ионизации получаем
/ = — (/(, + #) = 0,145 ат. ед., или / = 3,94 эВ.
Если же при том же значении параметра р использовать для
энергии ионизации полное выражение A56.11), то будем иметь
0,145 — 0,С21е
ЗТ еД
1+0,0225е
Полученные с помощью этой формулы результаты вместе с экс-
экспериментальными данными приводятся в нижеследующей таблице.
Парагелий, е= -)- 1
Ортогелий, е = — 1
Разность
Энергия ионизации для гв-электрона, эВ
теория
3,30
4,62
1,32
эксперимент
3,97
4,76
0,79
Мы видим, что теоретические значения термов, как это всегда
бывает при вариационных расчетах, несколько превышают их
истинные значения. Довольно значительный сдвиг между орто-
и парауровнями даже в этой очень простой приближенной теории
получается с 35°/0-ной точностью.
Задача 157. Основное состояние атома лития
Вычислить энергию основного состояния атома лития (Z = 3).
Считать, что два ls-электрона лития описываются водородопо-
добными экранированными функциями, найденными в задаче 154.
Обменные эффекты не учитывать.
Решение. В данной задаче гамильтониан имеет вид
A57Л)

86	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Здесь первая фигурная скобка соответствует двухэлектронной
задаче для иона Li+, во второй фигурной скобке стоит гамиль-
гамильтониан одноэлектронной задачи, приводящий к волновой функ-
функции 2я-состояния третьего электрона в поле экранированного
ядра с результирующим зарядом +1; наконец, в третьей скобке
собраны остальные члены энергии взаимодействия. Такой подход
к движению третьего электрона был бы вполне оправдан, если
бы радиус /С-оболочки был гораздо меньше радиуса орбиты
2з-электрона. Так как в действительности дело обстоит иначе,
то использование для описания третьего электрона водородо-
подобной функции с Z = 1 следует рассматривать в качестве
более или менее грубого приближения.
Мы запишем волновую функцию в виде произведения
U{\, 2, 3) = иA)иB)оC),	A57.2)
s котором и (г) означает функцию ls-состояния:
и(г) = ^в-<",	A57.3)
а эффективный заряд ядра, обусловленный взаимной экраниров-
экранировкой двух ls-электронов иона Li + , определяется формулой (см.
задачу 15.4)
a = Z—jg = 2,6875.	A57.4)
Кроме того, как следует из результатов задачи 154, энергия
A$J-состояния
)uB)dx1dx,	A57.5)
теперь определяется формулой
?+ = —а2.	A57.6)
Волновую функцию третьего электрона мы возьмем из таб-
таблицы, приведенной в задаче 67 (проблема Кеплера).	Для низ-
низшего 25-состояния этого электрона она имеет вид
~1/ir	A57J)
и удовлетворяет дифференциальному уравнению
1 _„
A57-8)

	157. Основное состояние атома лития	87
Если функции A57.3) и A57.7) подставить в формулу для
энергии
Е = J J J и A) и B) v C) Ни A) иB) vC)dxxdr2dx3, A57.9)
где Н—гамильтониан A57.1), то в силу равенства A57.5) вклад
от первой фигурной скобки выражения A57.1) будет равен Е+,
а вклад от второй фигурной скобки, согласно уравнению A57.8),
будет равен —78- Таким образом, имеем
xxdx^dxb,	A57.10)
и дело сводится к вычислению последнего интеграла, который
по;ле очевидных упрощений принимает вид
Используя далее равенство [см. в задаче 44 формулу D4.19)]
получаем
Подставляя сюда вместо функции v ее выражение A57.7), мы
после элементарного, но довольно громоздкого интегрирования
окончательно находим
i	A57.12)
Отсюда для энергии основного состояния атома лития получается
выражение
j у+3а+16а=>
6 •	A57.13)
а энергия однократной ионизации будет равна
i-+3a+16a3
/==?*-?~Т- A+2,). •
Взяв теперь для величины а значение A57.4), получаем
/ = 0,1553=4,23 эВ.

88	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Найденное значение энергии ионизации следует сравнить с экспе-
экспериментальным значением 5,37 эВ. Мы видим, что наша прибли-
приближенная теория' не слишком хороша. Причину такого различия
нельзя отнести ни за счет предположения о полном экранирующем
действии /С-оболочки на третий электрон, ни за счет того, что
мы пренебрегли небольшим различием в значениях величины а
для иона и нейтрального атома. Оба указанных эффекта слиш-
слишком малы, чтобы с их помощью можно было объяснить расхож-
расхождение более чем в 1 эВ. У использованной нами волновой функ-
функции имеется еще две особенности, которые могли вызвать такое
расхождение между теорией и экспериментом: во-первых, она
имеет вид произведения, а во-вторых, она не обладает должной
симметрией, и, следовательно, наша теория не учитывает обмен-
обменную энергию.
Задача 158. Обменные поправки к основному состоянию
атома лития
Исправить найденное в предыдущей задаче значение энергии
основного состояния атома лития, приняв во внимание симмет-
симметрию волновой функции.
Решение. Состояния двух ls-электронов и одного 25-электрона
мы будем описывать соответственно теми же одноэлектронными
функциями и (г) и v(r), которые были использованы в преды-
предыдущей задаче. Чтобы построить волновую функцию с надлежа-
надлежащей симметрией, мы должны принять во внимание спины элек-
электронов. Полностью антисимметричная функция записывается
в виде определителя Слэтера (см. задачу 152):
иA)аA) и B) а B) «(З)а(З)
иA)рA) иB)рB) иC)рC)
оA)аA) у B) а B) у C) а C)
A58.1)
где спиновые функции аир соответствуют состояниям с противо-
противоположными направлениями спинов. Определитель A58.1) пред-
представляет собой приближенное решение уравнения Шредингера
(Я—?)|ф> = 0	A58.2)
с гамильтонианом Я, определенным в предыдущей задаче. Рас-
Рассмотрим далее равенство
где скалярное произведение гильбертовых векторов включает
в себя наряду с интегрированием суммирование по спиновым
переменным. Выполнив в этом равенстве суммирование по спи-

	158. Обменные поправки к основному состоянию атома лития	89
новым переменным, приходим к соотношению
X u(l)uB)vC)dx1dxtdrt = 0.	A58.3)
Если теперь ввести обозначения
^ = Ш u(l)uB)vC)Hu(l)uB)vC,)dx1dxidxa,	A58.4)
? = J J J v A) и B) и C) Яи A) и B) v C) dtx dTadT8,	A58.5)
(l)H(l)dTlt	A58.6)
то исправленную формулу для энергии можно будет записать
в виде
?=?Е#.	A58.7)
Здесь посредством Ё обозначено нескорректированное значение
энергии, определенное равенством A57.13) предыдущей задачи,
где
1
+3a+16a«
величина $ описывает обменную энергию, а величина 5 пред-
представляет собой интеграл перекрытия функций и и v, которые,
как мы знаем, неортогональны. Таким образом, наша задача
в основном сводится к вычислению обменной энергии A58.5).
Если мы запишем гамильтониан в виде
то действие трех его первых членов на произведение и A) и B) v C)
сведется просто к умножению соответственно на —l/2a2, —72a\—Ve
и мы получим
rP«(l>P(l).«C)P<??d	ГГ^
JJ	''lS	JJ
)

90	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Вводя сокращенные обозначения
§dr,	A58.10)
можно записать обменную энергию в виде
2 + ±^_ E—a)SV — C—аM2?/ + 25У + Х. A58.13)
Отсюда для энергии A58.7) получается выражение
1 	О
Теперь мы приступим к вычислению интегралов S w U, V, X, У,
определенных соответственно равенствами A58.6) и A58.10) —
A58.12); для этого возьмем функции и и v в виде
и(г)^~е, у(,)
Некоторые трудности возникают лишь при вычислении двухчас-
двухчастичных интегралов X и У. Входящую в них дробь \j\r — г' \
мы можем разложить в ряд по полиномам Лежандра от cos (г, г').
Так как функции и и у не зависят от углов, то вклад будет
давать только один член ряда, содержащий полином Лежандра Ро,
и, следовательно, внутренние части интегралов X и У будут
иметь вид
Все дальнейшие вычисления тривиальны, поэтому мы приведем
лишь окончательные результаты:
с _2 уТа'/«(а-1)
V =

159. Электрическая восприимчивость	91
X =	:	;	г-
94	1
66а6 + 26а6 — 25а4 — 16а3 — ^ а2 —~ а
Полагая здесь а = 2,6875, получаем
5=0,203,
J = —0,030,
U = 2,6875,
V = 0,419,
Х = 0,0558,
У = 0,303,
[У + C—a)t/]52= +0,0334,
[E—а) V—27] 5= +0,0735.
Сумма положительных членов в числителе дроби A58.14), как
мы видим, превосходит отрицательный член —X, поэтому обмен-
обменная поправка несколько увеличивает энергию основного состоя-
состояния атома лития. Этот неудачный результат объясняется выбо-
выбором функции v(r), которая слишком мала в зоне перекрытия;
в результате мы совершенно пренебрегаем увеличением эффек-
эффективного заряда, действующего на 25-электрон при его про-
проникновении внутрь ls-оболочки. Пренебрежение этим эффектом
вызывает лишь небольшую ошибку при вычислении нескоррек-
нескорректированного значения энергии, определявшегося в предыдущей
задаче, но может оказать большое влияние на обменную поправку.
Действительно, интегралы V и Y зависят от произведения uv
линейно, а интеграл X зависит от него квадратично. Таким
образом, при лучшем выборе функции v (r) третий (отрицатель-
(отрицательный) член в числителе дроби A58.14) мог бы стать значительно
больше, в то время как второй (положительный) член возрос
бы не очень существенно, так что все выражение в целом вполне
могло бы изменить свой знак.
Задача 159. Электрическая восприимчивость
Пусть стационарные состояния атома описываются решени-
решениями уравнения Шредингера
и пусть основному состоянию соответствует вектор |0>. Вычис-

92	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
лить электрическую поляризуемость атома а (или электрическую
восприимчивость % вещества, содержащего N атомов в 1 см8).
Какие общие соображения можно высказать о поляризуемости
атомов щелочных металлов?
Решение. На атом, помещенный в электрическое поле $,
направленное вдоль оси z, действует возмущение
W = e?'%Z}u.	A59.1)
Здесь —е—заряд электрона, а индекс Я нумерует атомные
электроны. В первом порядке теории возмущений уравнение
A59.2)
имеет своим решением вектор состояния
или
A59.3)
Среднее значение проекции дипольного момента атома на на-
направление поля определяется формулой
Рг = — e<tl2z^|i|5>.	A59.4)
С точностью до членов первого порядка малости включительно
имеем
Первый член в этом выражении характеризует дипольный мо-
момент (если таковой имеется) невозмущенного атома. Второй член
описывает дипольный момент, индуцированный полем. Обозначая
последний посредством ринд, определим поляризуемость атома а
равенством
Р„„д = а<?.	A59.5)
Таким образом, находим
?'l<"ISlo>l'	A59.6)

159. Электрическая восприимчивость	93
Здесь Ео означает энергию основного состояния, поэтому зна-
знаменатель выражения A59.6) положителен и, следовательно, по-
поляризуемость а также положительна.
Электрическая восприимчивость % представляет собой коэффи-
коэффициент пропорциональности между напряженностью поля и поля-
поляризацией вещества Р = Л^ИНД:
Р = %?,	A59.7)
так что
?'^1^	(.59.8,
и, следовательно, % > 0.
Атомы щелочных металлов состоят из атомного остова и одного
внешнего электрона. Возбуждение электронов атомного остова
требует значительной энергии, что приводит к появлению боль-
больших знаменателей в формуле A59.8). По этой причине при гру-
грубых оценках достаточно учесть возбужденные состояния одного
внешнего электрона, движущегося в поле невозмущенного атом-
атомного остова. Соответствующие волновые функции можно записать
|0> = и(г), \n> = va(r)Yt,m({>,<f),
причем выше мы учли, что основное состояние |0> является s-co-
стоянием и не зависит от углов. Так как
то для матричного элемента <rt|z|0> имеет место формула
00
<п | г 10> = J dr r*vn (г) и (г) § Ylm cos Ып,
о
и он не обращается в нуль только при /=1 и т = 0. В этом
последнем случае получаем
00
Z | 0> = |/^ [ rsVn (Г) U (Г) dr.
о
При дальнейших вычислениях необходимо детально знать ради-
радиальную часть волновой функции.
Если бы мы не пользовались безразмерными единицами, то не-
нетрудно было бы увидеть, что поляризуемость а имеет размерность
объема, поэтому по порядку величины она, грубо говоря, должна
равняться ф2/тё2K.

94	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Замечание. С таким же успехом можно было бы рассмотреть эффект
Штарка второго порядка, приводящий к сдвигу уровня
л f У'1<0|ЦН">12
Этот сдвиг должен равняться —1/2°&«?2. отсюда для а получается то же самое
выражение, которое было найдено выше.
Задача 160. Диамагнитная восприимчивость неона
Вычислить диамагнитную восприимчивость неона (Z = 10),
воспользовавшись водородоподобными функциями с различными
экранировочными постоянными опЛ. При числовых расчетах можно
положить
oltffl = 0,23, alf0 = 3,26, o2ll = 4,U.
Решение. Диамагнитная восприимчивость на 1 моль вещества
определяется формулой [см. равенство A28.14)]
Здесь N— число Авогадро (Л^ = 6,02-1023), а суммирование рас-
распространяется на see электроны данного атома (или молекулы).
Средние значения г2 в состояниях с волновыми функциями
определяются интегралами
<»
<''> = $'¦ I Х».« Is Ж"-	A60.2)
о
Радиальные части водородоподобных функций можно взять из
таблицы, приведенной в задаче 67, заменив в них величину Z
величиной Z—о. Как нетрудно проверить, для интегралов A60.2)
получаются следующие значения [в единицах ф2/те2)*]1):
(п, I) = A,0), B, 0), B, 1),
(Z)	3,	42,	30.
11 Эти результаты получаются как частные случаи общего соотношения
вывод которого весьма громоздок и не представляет особого интереса. По по-
поводу деталей см., например, Bethe H. A., Salpeter E. Е. в книге: Encyclopedia
of Physics, vol. 35, Springer, Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1957, p. 103.
(Имеется перевод: Бете Г., Солпитер Э., Квантовая механика атомов с одним
и двумя электронами, Физматгиз, 1960, стр. 33.— Прим. перев.)

161. Силы Ван-дер-Ваальса	95
Число электронов, находящихся в этих трех (п, /)-состояниях,
соответственно равно 2, 2, 6. Порядок величины диамагнитной
восприимчивости будет определяться множителем
A60.3)
Таким образом, для диамагнитной восприимчивости неона по-
получаем
2-3	2-42	6-30
= — 5,6Ы0-6 см3/моль.	A60.4)
Этот результат надо сравнить с экспериментальным значением
%Ne =—6,7 • 10~6 СМ3/МОЛЬ.
Отметим, что вклад отдельных подоболочек в диамагнитную
восприимчивость неона [т. е. вклад от трех членов из A60.4)]
соответственно составляет
x(l,s) = —0,05, х Bs) = —1,46, хBр) = —4,10-10-в см3/моль.
Как мы видим, самая внешняя подоболочка вносит наибольший
вклад. К сожалению, для электронов этой подоболочки эффект
экранировки, будучи очень большим по величине, недостаточно
хорошо известен экспериментально.
Задача 161. Силы Ван-дер-Ваальса
Два атома водорода, находящиеся в основном состоянии, рас-
расположены на расстоянии R друг от друга. Считая ядра атомов
покоящимися, показать, что в первом порядке теории возмуще-
возмущений энергия взаимодействия атомов равна нулю и что учет вто-
второго порядка теории возмущений приводит к силам притяжения
Ван-дер-Ваальса. В той части гамильтониана, которая ответст-
ответственна за взаимодействие, оставить только главные члены, про-
пропорциональные наинизшей отрицательной степени R.
Решение. Пусть положение электрона 1 относительно ядра а
характеризуется радиус-вектором гг с компонентами хх, ylt zx,
а положение электрона 2 относительно ядра b — радиус-вектором
г, с компонентами хг, уг, z2, и пусть ось z направлена по пря-
прямой, соединяющей ядра атомов (фиг. 63). При покоящихся ядрах
(приближение Борна—Оппенгеймера) гамильтониан рассматривае-
рассматриваемой системы имеет вид
A61.1)

96	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
где оператор
описывает два независимых атома, а оператор
описывает их взаимодействие. Мы будем рассматривать опера-
оператор Н' в качестве энергии возмущения. Если оператор Н' раз-
Фиг. 63. Относительное расположение электронов и ядер.
Взаимодействия, показанные пунктирными линиями, включены в энергию возмущения.
ложить в ряд по отрицательным степеням R, предполагая, что
rl^.R и r2<^.R, то основной член разложения будет соответст-
соответствовать взаимодействию двух диполей а\ и 62 с моментами рг =
= —егх и р2 = —егг. Оставляя один этот член, получаем
A61.4)
В координатной записи эта формула принимает вид
е2
2zx22).	A61.5)
Она будет использоваться в последующих вычислениях.
Пусть теперь ы0 (г) означает волновую функцию атома в ос-
основном состоянии, тогда волновую функцию всей системы в ну-
нулевом приближении теории возмущений можно записать в виде
произведения
t/(l, 2) = MrJMr,)	A61.6)
Мы пренебрегаем симметризацией, так как обменные эффекты
экспоненциально убывают с ростом расстояния R.
В нулевом приближении энергия системы равна сумме энер-
энергий двух невзаимодействующих атомов. В первом порядке тео-
теории возмущений мы должны к ней добавить величину
E'=*<U\H'\U> = 0.
Нетрудно проверить, что эта поправка действительно равна нулю.

162. Обменное вырождение при наличии возбуждения	97
Так, например, взяв первый член выражения A61.5), имеем
? <U | х,х21 U> = |i <«01 х | иоу = ^ [J и* (г) х dx]a.
Фигурирующий здесь интеграл описывает среднее значение ком-
компоненты дипольного момента невозмущенного атома, которое для
сферически симметричного состояния равно нулю11.
Во втором порядке теории возмущений поправка к энергии
имеет вид
| <01 Я' | п> |2
= ?'
A61.7)
где суммирование ведется по всем возбужденным состояниям, а
индекс 0 относится к основному состоянию. Так как ?¦„>?„, то
все знаменатели в этой сумме отрицательные величины, поэтому
Е" < 0, и между атомами возникает притяжение. Матричные эле-
элементы зависят от величины R~s, т. е. только от постоянного
множителя, как это видно из формулы A61.5). Таким образом,
энергия Е" имеет вид
где С — положительная постоянная. Но, как хорошо известно,
именно такой зависимостью энергии от расстояния характери-
характеризуются силы притяжения Ван-дер-Ваальса.
Литература
Schiff L. /., Quantum Mechanics, New York, 1949, p. 174—178. (Имеется
перевод: Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1959, стр. 205—208.)
Задача 162. Обменное вырождение при наличии возбуждения
Два атома водорода покоятся на расстоянии R друг от друга
и находятся в различных квантовых состояниях: один—в основ-
основном s-состоянии, а другой — в возбужденном р-состоянии. Как
было показано в предыдущей задаче, между атомами имеет место
11 Если оба атома находятся в одном и том же состоянии, то такие ин-
интегралы всегда обращаются в нуль, и S-состояние не является в этом смысле
исключением (см. также следующую задачу). Даже в случае двух возбужден-
возбужденных состояний функция | и0 |2 зависит от углов как квадрат сферической гар-
гармоники, который можно разложить на сумму сферических гармоник одних
четных порядков. Но в подынтегральном выражении имеются еще координаты
х, у или г, пропорциональные сферическим гармоникам первого порядка, т. е.
нечетного порядка, поэтому рассматриваемые интегралы будут равны нулю
в силу ортогональности сферических гармоник четных и нечетных порядков.
4 Кя 1172

98	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
диполь-дипольное взаимодействие. Убедиться, что теперь даже
на больших расстояниях, где по-прежнему можно не учитывать
перекрытие волновых функций, первый порядок теории возму-
возмущений дает ненулевой вклад в энергию системы, и вычислить
соответствующую поправку к невозмущенной энергии.
Решение. Пусть \1,тУ означает волновую функцию отдель-
отдельного атома в состоянии с квантовыми числами / и т, тогда ос-
основное состояние будет описываться волновой функцией 100>, а
три возможных ^-состояния—волновыми функциями | 1/л>, где
/71=1, 0, —1. Волновые функции всей системы в нулевом при-
приближении будут иметь вид произведений, и мы их обозначим
через
100, \т> и \\т, 00>,	A62.1)
причем первая пара квантовых чисел здесь относится к первому
атому, а вторая пара—ко второму.
Оператор A61.5) мы по-прежнему будем рассматривать в ка-
качестве энергии возмущения. Вводя обозначения
t = x + iy, & = x—iy,	A62.2)
его можно записать в виде
Н' = ^3 (Ш + SU,-4zlZl).	A62.3)
Оператор A62.3) линейно зависит от координат каждого элект-
электрона, и, следовательно, его матричные элементы, вычисленные с
помощью функций типа A62.1), будут отличны от нуля только
в тех случаях, когда в них комбинируются s- и р-состояния для
обоих электронов одновременно1}. Эти матричные элементы имеют
вид
<lm1> 00|Я'|00, 1т2> и <00, lmt\H' 11т,, 00>.
В силу билинейной структуры оператора Я', определяемого
A62.3), их можно представить в виде суммы произведений мат-
матричных элементов отдельных атомов:
<\ти 00|Я'|00, lm2> = i$,Klm1|
Е+100><00|Б| Im2> —4<lm1|z|00><00|z| lm2». A62.4)
J» Можно было бы рассмотреть любые состояния с четным и нечетным
/' = /±1, например р- и d-состояния. Это, однако, приводит к изменению вол-
волновых функций A62.1).

162. Обменное вырождение при наличии возбуждения
99
Обозначая через /, (г) радиальную часть волновой функции от-
отдельного атома и полагая для простоты
ro=<\r3fo(r)f1(r)dr,
A62.5)
получаем следующий результат для матричных элементов, фигу-
фигурирующих в правой части формулы A62.4):
A62.6)
1 00>	у j
<10|г|00>= ]/|
<00|г|10>
При всех других комбинациях квантовых чисел эти матричные
элементы обращаются в нуль. Таким образом, имеем
<1/п„ 001 //' 100, 1т2> =
л*	,2л	х	4 я я \ ПК9 7\
. Q	Q	_|__ 	 О_1 mO_i m	Oil ffl "ft ffl I»	\L\J&, 1 /
3 .1 >i з . ' ' J
Мы видим, что матричный элемент A62.7) отличен от нуля только
при условии т1 = т2.
Все шесть волновых функций нулевого приближения A62.1)
принадлежат одному и тому же собственному значению, и чтобы
найти поправку к энергии в первом порядке теории возмущений,
мы должны решить секулярное уравнение. Если Е' — искомая
поправка, а функции нулевого приближения расположены в ниже-
нижеследующем порядке:
100, 11>, |11, 00>, | 00, 10>, | 10, 00>, 100, 1 —1>, |1 —1, 00>,
то наше секулярное уравнение будет иметь вид
= 0, A62.8)
где
-Е'
73е
0
0
0
0
V,8
—Е'
0
0
0
0
0
0
—Е'
-73е
0
0
0
0
-%е
—Е'
0
0
e*rl
0
0
0
0
—Е'
2/3е
0
0
0
0
*/,8
—Е'
2R3 '
A62.9)
Этот определитель можно разложить на три определителя вто-
второго порядка, что существенно упрощает его вычисление. Резуль-
Результаты расчетов приведены в нижеследующей таблице.

100
IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Состояние
пи
2
ng
п„
л
1
1
0
0
—1
	1
100,
100,
100,
| 00,
| 00,
100,
Волновая функция
(без нормировки)
П>
П>
ю>
10>
1 —
1 —
+ | 11, 00>
-I и, оо>
+ | 10, 00>
— | 10 00>
1>+| 1 — 1, 00>
1> —| 1 — 1, 00>
Е'
+ 2/з«
— 2/3е
— 4/з8
+ 4/з8
+ 2/88
-¦/*
Здесь Л означает сумму квантовых чисел т для обоих атомов и,
следовательно, характеризует проекцию полного орбитального
момента электронов на ось молекулы, а для классификации
состояний использованы обозначения, принятые в молекулярной
спектроскопии. Символы 2 и П относятся соответственно к состоя-
состояниям с Л = 0 и ±1, а индексы g и и — к четным и нечетным
волновым функциям. Два П^-состояния обладают одинаковой
энергией, и поэтому все еще вырождены. Это же замечание отно-
относится и к двум Пи-состояниям. Последний столбец в таблице
дает энергию взаимодействия Е' в единицах е.
Если пользоваться атомными единицами, то водородоподобные
волновые функции /0 и f1 (см. задачу 67) будут иметь вид
f 	 г,„-г	f 	 У" -„-1/. г
и интеграл A62.5) нетрудно вычислить:
_i/"F 128
Тогда для е на основании формулы A62.9) получим
16 384 е2а2
е =
19 683
A62.10)
A62.11)
где а0—радиус боровской орбиты. Мы видим, что so всех состоя-
состояниях энергия взаимодействия Е' пропорциональна R~3. Таким
образом, на больших расстояниях она убывает медленнее энергии
взаимодействия, которая соответствует силам Ван-дер-Ваальса
и пропорциональна R~e. Знак рассматриваемого взаимодействия
зависит от состояния системы: в состояниях 2Ц и П^ атомы
отталкиваются, а в состояниях 2g и Пц притягиваются.
Литература
Herzberg G., Spectra of diatomic molecules, 1946. (Имеется перевод:
Герцберг Г., Спектры и строение двухатомных молекул, ИЛ, 1949.)

163. Нейтральная молекула водорода	101
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, Физматгиз, 1963,
стр 329.
Margenau Н., Rev. Mod. Phys., II, 1 A939).
King G. W., Van Vleck J. H., Phys. Rev., 55, 1165 A939).
Задача 163. Нейтральная молекула водорода
Найти энергию основного состояния и равновесный размер
нейтральной молекулы водорода. Для решения воспользоваться
методом, аналогичным методу, примененному в задаче 44 к иону Н^.
Решение. В приближении Борна—Оппенгеймера, когда поло-
положения ядер зафиксированы, рассматриваемая задача представляет
собой проблему двух тел. Снабдив ядра (протоны) индексами
а и Ь, а электроны — индексами 1 и 2, мы можем записать га-
гамильтониан (в атомных единицах) в виде
+ + +
где R — расстояние между ядрами. В предельном случае очень
больших расстояний R волновая функция системы должна при-
принимать вид произведения волновых функций отдельных атомов.
Если электрон 1 находится вблизи ядра а, а электрон 2—вблизи
ядра Ь, то мы имеем произведение / (ral)f (rb2), если же поменять
электроны местами, то имеем произведение f (rbl)f (rai). При ко-
конечных расстояниях R разумным приближением будет линейная
комбинация двух таких произведений. Из соображений симметрии
следует, что волновую функцию основного состояния мы должны
выбрать в виде симметричной комбинации:
U A,2) = а [/ (гв1) / (гЬг) + / (rbl) f (ra2)}.	A63.2)
Заметим, что при этом спины электронов в соответствии с прин-
принципом Паули будут антипараллельны. Антисимметричную комби-
комбинацию, которая также является решением, но не приводит к при-
притяжению между атомами и к образованию молекулы, мы рас-
рассматривать не будем.
После подстановки функции A63.2) в уравнение Шредингера
E-U	A63.3)
с гамильтонианом A63.1) получаем
x
= 0, A63.4)

102	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
где для простоты введено обозначение:
±K-±)f(ral).	A63.5)
Подействуем теперь на левую часть уравнения A63.4) оператором
l<h, J dxaf(ral) f(rb2)...
(функция / предполагается нормированной) и введем обозначения:
для интеграла перекрытия
*(rel)/(rbl)dTi;	A63.6)
для кулоновских интегралов
ral)|Mx1	A63.7)
I / с-х) I21 / c»J I3 <м*.; A63-8)
для обменных интегралов
al)/(rbl)dTx	A63.9)
,?'= ff-L f* (ral) f (rbl) f (ra2) f* (rb2) dx.dxi, A63.10)
для двух оставшихся интегралов
A63.11)
A63.12)
С учетом указанных обозначений получаем
2(A + A'S) — 2Ce+gS)+ (%' + ?')= (е — -^)A +S2), A63.13)
или
Применяя тот же метод, который был использован в задаче 44
при рассмотрении иона Щ, мы теперь положим
e~v-	A63.15)

	163. Нейтральная молекула водорода	103
Случаю у=] соответствует волновая функция основного состоя-
состояния атома водорода. Мы будем считать величину у вариационным
параметром Ритца и попытаемся получить несколько лучшее приб-
приближение. Используя явный вид функции A63.15), мы в соответ-
соответствии с равенством A63.5) находим
так что теперь интегралы A63.11) и A63.12) будут равны
4	l), A' = -±y*S + (y-l)?. A63.16)
Далее можно показать, что интеграл перекрытия S зависит только
от комбинации переменных
p = Y#.	A63.17)
которую мы можем использовать наряду с величиной у в ка-
качестве второго параметра Ритца. Все остальные интегралы #, %',
?, <§' пропорциональны у, поэтому мы можем написать
). <?' = Y<?'(P)- A63.18)
В этих обозначениях энергия A63.14) принимает вид
A63.19)
где величины
<а" ' °'*~	A63.20)
A63.21)
зависят только от параметра р. Энергия будет минимальна, если
выполняется условие
дЕ
или
Тогда искомое минимальное значение энергии будет равно
? = -g.	A63.23)

104	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Нам осталось вычислить пять интегралов A63.6)—A63.10).
Три из них были найдены в задаче 44 для Щ:
Несколько сложнее интеграл %', но и его можно вычислить
элементарными методами. С этой целью при выполнении первого
интегрирования по координатам второго электрона надо ввести
сферическую систему координат с началом в ядре Ь и полярной
осью, направленной по радиус-вектору гЬ1, тогда нетрудно по-
показать, что
-С—<
Я J Гц
Последующее интегрирование по координатам первого электрона
приводит к уже вычисленным интегралам, только некоторые из
них содержат в экспоненте лишний множитель 2. Окончатель-
Окончательный результат имеет вид
Действительные трудности связаны с вычислением обменного
интеграла <?', который нельзя свести к элементарным функциям.
Результат интегрирования, впервые полученный Сагиурои, можно
записать в виде
где
Ф (р) = S» (р) Aпр + 0—S* (-р) Ех Dр) + 2S (p)S (-р) Е, Bр),
а через Ех (г) обозначена интегральная экспонента
Нетрудно убедиться, что при больших г интеграл $' ведет себя
как е-гр и что в предельном случае р = 0 он равен ~$' @) = 5/8
в полном согласии с теорией основного состояния атома гелия,
для которого расстояние между протонами равно нулю (см. за-
задачу 154).
Результаты числовых расчетов собраны в приводимой ниже
таблице.

163. Нейтральная молекула водорода
105
р
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
V
1,145
1,152
1,160
1,164
1,166
1,164
1,161
1,156
-Е
1,120
1,127
1,131
1,137
1,139
1,137
1,134
1,129
R
1,133
1,214
1,293
1,374
1,458
1,546
1,635
1,730
D = 2Е0— (Е + 4- &») = 0,139 — 4- Й®.
Энергия связи молекулы достигает максимума вблизи точки
i? = 1,46 ат. ед., что соответствует равновесному расстоянию
i?0 = 0,77A (экспериментальное значение раино 0,742 А). Энергию
молекулы Е — —1,139 следует сравнить с суммарной энергией
двух невзаимодействующих атомов водорода, находящихся в основ-
основном состоянии, 2Е„ ——1. Если обозначить энергию нулевых
колебаний молекулы через 1/2Лы, то энергию диссоциации можно
будет записать в виде
J_
2
Чтобы найти энергию нулевых колебаний, можно воспользоваться
той же процедурой, что и в случае иона Щ (задача 44), правда,
теперь наша таблица определяет аппроксимирующую энергети-
энергетическую параболу значительно менее точно. Таким образом мы
получаем с точностью до ±5% значение 0,010 ат. ед., или 0,27 эВ,
которое полностью согласуется с экспериментальным значением
&й) = 0,54 эВ. Отсюда для энергии диссоциации находим
D = 0,138 ат. ед. = 3,75 эВ,
в то время как по экспериментальным данным D = 4,45 эВ.
Согласие между теорией и экспериментом не следует считать слиш-
слишком плохим по причинам, которые мы разъяснили в задаче 44,
где аналогичная ситуация рассматривалась для иона Щ.
Замечание. Следует отметить, что параметр у с ростом величины R (или р)
стремится к единице, а функция / — к волновой функции основного состояния.
В первоначальном методе Гайтлера —Лондона это значение использовалось на
протяжении всего расчета, так что там не было второго вариационного пара-
параметра у. В этом грубом приближении для энергии диссоциации и равновесного
расстояния между ядрами получались соответственно значения 2,90 эВ и 0,88 А.
Все возрастающие значения параметра "у, определяемые согласно нашей таблице
при адиабатическом сближении двух атомов, описывают стягивание электрон-
электронных волновых функций в процессе образования молекулы.

106	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Литература
Heitler W., London F., Zs. Phys., 44, 455 A927).
Вычисление интеграла $':
Sugiura Y., Zs. Phys., 45 484 A927).
Вариационный параметр у:
Wang S. С, Phys. Rev., 31, 579 A928);
Rosen N.. Phys. Rev., 38, 2099 A931).
Улучшенные вариационные расчеты:
James H. M., Coolidge A. S., Journ. Chem. Phys., 1, 825 A933); 3, 129 A935).
Задача 164. Рассеяние одинаковых частиц
Пучок частиц с зарядом е сталкивается с покоящейся мишенью,
состоящей из частиц того же сорта. Как сравнить угловое рас-
распределение сталкивающихся частиц, ожидаемое в классической
физике, с угловым распределением, полученным с номощью кван-
квантовой механики, если при выводе последнего учитывалась сим-
симметрия волновой функции? Рассмотреть этот вопрос для столкно-
столкновения неполяризованных частиц со спином 0, 1 и у,.
Решение. Амплитуда резерфордовского рассеяния в системе
центра масс сталкивающихся частиц была получена в задаче ПО.
Она имеет следующий вид:
e " I ' ' Чо=ГA+/х*). A64.1)
Величины х* и k* относятся к системе центра масс, причем
е2	m*v	%Ч**
A64.2)
где т* — приведенная масса двух одинаковых частиц, т* = у1^т.
Относительная скорость v не зависит от выбора системы отсчета,
поэтому для величин х, k и Е, относящихся к лабораторной
системе, можно написать
х* = к, ** = у*. ?* = у?-	A64.3)
Отсюда следует
-Ы In s!n! —¦
?	_1, тH = ГA+гх). A64.4)
Угол рассеяния в лабораторной системе в связан с углом рас-
рассеяния д в системе центра масс соотношением	•
в = уд.	A64.5)

	164. Рассеяние одинаковых частиц	107
Следовательно, для элемента телесного угла можно написать
с?(о = 2л slndd# = 2n-4cosesin ede = 4cos9dQ. A64.6)
С учетом этих замечаний дифференциальное сечение резерфордов-
ского рассеяния принимает в лабораторной системе вид
A64.7)
где
у, _ e* _e*
k ~ mv*~2E "
Даже с точки зрения классической механики эта формула
нуждается в существенных исправлениях. Действительно, если
обе сталкивающиеся частицы одинаковы, то рассеиваемую частицу
нельзя отличить от частицы, выбитой из мишени: обе они дают
равноценный вклад в сечение рассеяния. Так как, согласно соот-
соотношению A64.5), сталкивающиеся частицы разлетаются под пря-
прямым углом, то частица, выбитая из мишени, летит под углом
л/2—в к направлению падающего пучка, а вместо формулы
A64.7) мы должны написать
A64.8)
Именно это классическое выражение следует сравнивать с кванто-
вомеханическими результатами, которые будут получены ниже.
Согласно законам квантовой механики, мы должны склады-
складывать не интенсивности (т. е. эффективные сечения), а амплитуды.
Пусть и (г)— несимметризованная волновая функция в системе
центра масс, а г — радиус-вектор относительного положения час-
частиц. Асимптотика волновой функции, если отвлечься от логариф-
логарифмического искажения фазы, имеет вид
Фигурирующую в этом выражении плоскую волну можно запи-
записать в виде
grt* B,-г,).
Последнее выражение описывает две частицы, движущиеся вдоль
оси г: одна движется со скоростью 1/гу, а другая—со скоростью
—112р. Если ввести сюда множитель, описывающий движение
центра масс
eCk* (г,+г,I
то у нас получится плоская волна

108	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
описывающая движение частицы 1 (налетающая частица), при
этом частица 2 (частица-мишень) будет находиться в состоянии
покоя. Приведенные рассуждения относились к несимметризован-
ной волновой функции двухчастичной системы. Чтобы произвести
симметризацию, мы должны заменить и (г) на
и(г) + еи(—г),
где
в = ±1.
Для сферической волны в асимптотическом выражении волновой
функции это означает замену / (д) на
Отметим, что величина г при переходе к симметризованному
выражению остается неизменной. Таким образбм, используя
выражение A64.4), имеем
— tain sin2—	-tain cos'—-Л
f (Ь) + e/ (л — d)== — —2e2"i» J	5-^- + e -	^ I, A64.9)
sin2 у	cos2 y
и следовательно, формула A64.8) для классического сечения рас-
рассеяния заменяется теперь формулой
„-iy. In sin8 в	„-ta In cos* i
do
= 4 cos в
sin2 в '	cos2 в
которая после элементарных преобразований принимает вид
A64.10)
A64.11)
Мы видим, что от классического выражения полученная формула
отличается наличием интерференционного числа. Чтобы сравнить
классическую и квантовую формулы для дифференциального сече-
сечения рассеяния, удобно рассмотреть отношение
2tg2Ocos f^-ln tga
В заключение мы должны решить, какая часть первично не-
поляризованного пучка описывается симметричной амплитудой,
а какая—антисимметричной. Если обе сталкивающиеся частицы
являются фермионами со спином У2 каждая (два протона или
два электрона), то их полная волновая функция должна быть
антисимметричной, и поэтому симметричное по спину и антисим-

164. Рассеяние одинаковых частиц
109
метричное по пространству триплетное состояние будет участво-
участвовать в рассеянии с весом 3/4, а обладающее противоположной
симметрией синглетное состояние—с весом У4. Таким образом,
имеем
где индексы ± соответствуют двум возможным значениям вели-
величины е в формуле A64.11). Следовательно, в экспериментах с не-
поляризованными пучками
еэфф= ~4~ "* Т ~ 2
tg2 в cos ( -|- In tg2 в
da ,	\%v
da
0,5
N
\
k
/
/
/
0" 15" 30"
60° 75 90'
A64.13)
График этой функции для случая рассеяния протонов на прото-
протонах при энергии ?=100кэВ показан на фиг. 64. Практи-
Практически 100 кэВ — это то наибольшее значение энергии, при кото-
котором в рассеянии еще не появля-
появляются сколько-нибудь заметным
образом аномалии, возникающие
благодаря короткодействующим
ядерным силам притяжения меж-
между протонами (см. следующую
задачу). В рассматриваемом нами
случае и = 0,50. Кроме того, вы-
выражение A64.13) не меняется при
замене в—>-я/2 — в, поэтому при
вычислениях достаточно ограни-
ограничиться интервалом	углов
0 < в ^ 45°. Если перейти к су-
существенно более низким энергиям,
величина х может стать настоль-
настолько большой, что в рассматри-
рассматриваемом интервале у функции cos (х In tg3 в) появится несколько
осцилляции. Для очень больших значений величины к эти осцил-
осцилляции будут настолько быстрыми, что их нельзя будет разрешить
экспериментальным путем, и сечение рассеяния будет описываться
классической формулой.
Если сталкивающиеся частицы являются бозонами и спин
каждой из них равен нулю (например, две а-частицы или два
л-мезона), то возможно только пространственно симметричное
состояние с е=+1. Разумеется, для а-частиц е2 необходимо
Фиг. 64. Рассеяние двух одина-
одинаковых фермионов.
Показана угловая зависимость отноше-
отношения квантового к классическому сече-
иию. В окрестностях 0° н 90° имеется
бесконечное число убывающих по амп-
амплитуде осцилляции

110	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
заменить на 4е2. Если же обе частицы являются бозонами и
спин каждой из них равен 1 (например, два дейтрона), то воз-
возможны спиновые состояния с суммарным спином 2 (вес 6/9).
1 (вес 3/9) и 0 (вес 1/t), причем в первом и в последнем случаях
волновая функция должна быть пространственно симметричной.
Таким образом, имеем
g -г g у 9 Г 3
tg^Ocos D~
da , , 2	\?ю
1+
Замечание. Симметризованное классическое выражение A64.8) впервые
было использовано в работе Дарвина [Darwin С. G., Proc-Roy. Soc, 120A,
631 A928)]. Вывод квантовомеханической формулы принадлежит Мотту
\Mott N. F., Ргос. Roy. Soc, 126, 259 A930)]. Экспериментальная проверка
этой формулы применительно к рассеянию а-частиц была осуществлена Чэд-
виком [Chadwick J., Ргос. Roy. Soc., 128A, 114 A930)], а также Блэкеттом и
Чэмпиеном [Blackett P.M.S., Champion F.C., Ргос Roy. Soc, 130, 380 A931)],
а для протонов это сделал Гертзен [Gerthsen С, Ann. Phys., 9, 769 A931)].
Задача 165. Аномальное рассеяние протонов на протонах
При энергиях, превышающих 100 кэВ, в рассеянии протонов
на протонах начинают появляться аномалии, обусловленные на-
наличием короткодействующих ядерных сил притяжения. Описать
это аномальное рассеяние с помощью дополнительного сдвига
фазы б0 парциальной волны с / = 0.
Решение. Без учета симметризации вопрос об аномальном рас-
рассеянии заряженных частиц рассматривался нами в задаче 112.
Согласно полученным там результатам [формула A12.5)], ампли-
амплитуда рассеяния в системе центра масс сталкивающихся частиц
имеет вид
/<*) =	^s-e-^^^ + ^e^-l). A65.1)
2fe*sin2-|-	1Ш
Для дальнейшего удобно ввести обозначения
/W = /*(*)+/«.	A65.2)
где первый член описывает резерфордовское рассеяние, вызван-
вызванное кулоновским взаимодействием, а второй член

	165. Аномальное рассеяние протонов на протонах	Ш
представляет собой амплитуду аномального рассеяния. Учитывая
далее, что
k* = Tk> y* = 0	A65-4)
и что, согласно результатам предыдущей задачи, симметризация
приводит к соотношению
(л-д)|*] , A65.5)
мы получаем
+ TI Ы*>) + Ыл-*) + 2/а|2] •	A65.6)
Так как амплитуда аномального рассеяния не зависит от угла Ф, то из
первого члена формулы A65.5) она выпадает. Замечательно, что даже при
более высоких энергиях, когда в амплитуду аномального рассеяния fa дают
вклад состояния с высшими значениями момента и когда
ни одно из состояний с четным / не дает вклада в триплетный член и ни одно
из состояний с нечетным I не дает вклада в синглетный член. Этот результат
является прямым следствием соотношения
Pt (cos (л — %)) =(— 1)' Pi (cos d).
Таким образом, в сечение рассеяния дают вклад лишь те члены, которые
соответствуют состояниям
1S, 3P, 1D, 3F, lG
Этот результат находится в полном согласии с принципом Паули, если его
применять по отдельности к каждой из парциальных волн (состояния 3S, 1Р,...
запрещены)
Выражение A65.6) нетрудно привести к виду
R	^[farR(n-^)] -H/e|»}.	A65.7)
В первой строке здесь собраны члены, обусловленные кулонов-
ским рассеянием; они подробно рассматривались нами в преды-
предыдущей задаче. Во второй строке имеются два члена, связанные
с интерференцией кулоновского и аномального рассеяния, и член,
обусловленный собственно аномальным рассеянием. Если вспом-
вспомнить явный вид амплитуд fR и fa, то эти три последние члена

112
IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
нетрудно вычислить:
Re [fJ'R (я
= - S Srs cos F0 + x In cos2 6),
Обычно вводится отношение сечений рассеяния
A65.8)
где doc означает сечение кулоновского рассеяния, выведенное
в предыдущей задаче [члены, стоящие в пер вой строке формулы
A65.7)]. Мы имеем
__2_ . [cosF0H-xlnsinae) r cos F0 + xlncos2 6)] , 4
R=l+ *Sm °
1	1 cos (x In tg2 в)
slnre+cos4e~ sin2 в cos2 в
A65.9)
1
^°)
-го" -ю° о° Ю" го° so"
Фиг. 65. Зависимость от-
отношения фактического к
чисто кулоновскому сече-
сечению рассеяния при в = 45°
от сдвига фазы б0.
Положительным (отрицатель-
(отрицательным) значениям б0 соответ-
соответствуют- короткодействующие
силы притяжения (отталки-
(отталкивания)
величина х = 0,316, т,
Этой формулой можно пользоваться до
тех пор, пока не играет роли ^-рассея-
ние, т. е. до тех пор, пока энергия про-
протонов не превышает несколько МэВ.
Из формулы A65.9) следует, что для
углов в = 0° и в = 90° отношение R = l;
для этих углов конечный вклад аномаль-
аномального рассеяния подавляется сингуляр-
сингулярностью, имеющейся в кулоновском рас-
рассеянии.
Более важен анализ выражения для
величины R при 6 = 45°. В этом случае
имеем
1=1	sin 60cos F0 — In 2)
A65.10)
Прежде всего рассмотрим приведенное
выражение для достаточно малой энергии
протонов, скажем для 250 кэВ. Тогда
е. еще довольно велика, и дополнитель-
дополнительный сдвиг фазы рассеяния б0 будет очень мал, поэтому второй
член в выражении A65.10) значительно превосходит третий член,

166. Неупругое рассеяние	113
и, наблюдая рассеяние под углом 45°, мы легко можем решить
вопрос о знаке дополнительных сил. Если мы имеем дело с
силами притяжения, то б0 > 0 и JRD5°)< 1, если же мы име-
имеем дело с силами отталкивания, то б0 < 0 и R D5°) > 1.
Эксперимент показывает, что ядерные силы являются силами
притяжения.
Перейдем теперь к более высоким энергиям. Пусть, например,
?=1 МэВ (х = 0,158). Вычисленная по формуле A65.10) зависи-
зависимость отношения JRD5C) от сдвига фазы б0 показана на фиг. 65.
Так как мы уже решили, что б0 > 0 (притяжение), то эта кри-
кривая однозначно определяет сдвиг фазы б0, если /?D5°)>1,
Именно так и обстоит дело в случае ?=1МэВ. По данным
эксперимента R D5°) = 4,6 и, следовательно, бо = 32°. Действуя
таким образом, мы однозначно находим зависимость дополни-
дополнительного сдвига фазы рассеяния б0 от энергии.
С помощью формулы A65.9) и найденных значений б0 мы
можем теперь вычислить отношение R для других углов рассея-
рассеяния и полученные таким путем угловые распределения для каж-
каждого значения энергии сравнить с данными эксперимента. Тем
самым теория подвергается более тщательной проверке. Как ока-
оказалось, теория и эксперимент прекрасно согласуются друг
с другом.
Литература
Blatt J. M., Jackson J. D., Rev. Mod. Phys., 22, 77 A950).
Fliigge S., Ergeben. exakt. Naturwiss., 26, 165 A952).
Задача 166. Неупругое рассеяние
Пучок протонов сталкивается с мишенью, состоящей из атомов
щелочного металла. Рассматривая взаимодействие между прото-
протоном и атомом в качестве возмущения, найти сечение неупругого
рассеяния, сопровождающееся возбуждением оптического элек-
электрона. Считать, что оптический электрон первоначально нахо-
находился в своем основном состоянии. Отдачу атомного остова не
учитывать (бесконечно тяжелое ядро).
Решение. Мы будем пользоваться атомными единицами (Д= 1,
e=l, m=l) и обозначим посредством г, и г.г радиус-векторы
соответственно протона и электрона. Тогда гамильтониан можно
представить в виде суммы трех слагаемых:
Н = Нг+Н, + Н12,	A66.1)
где первое слагаемое,

114	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
описывает свободное движение протона массы М; второе сла-
слагаемое,
ff, = —yVj + y(/-f),	A66.3)
описывает движение оптического электрона в поле атомного остова
и третье слагаемое,
Hlt = -V(ri)-±,	A66.4)
описывает взаимодействие протона с атомным остовом и подвер-
подвергающимся возбуждению оптическим электроном. Это последнее
слагаемое гамильтониана следует рассматривать в качестве воз-
возмущения. Такой подход к задаче правомерен лишь до тех пор,
пока энергия протона не слишком велика и он не может возбу-
возбудить ни одного электрона атомного остова.
Обозначим через uv собственную функцию оператора Я2, при-
принадлежащую собственному значению Wv (здесь индекс v стоит
вместо совокупности квантовых чисел п, I, т, причем значение
v = 0 относится к основному состоянию). Мы имеем
Нгщ(гг) = 1№у,ич{гг).	A66.5)
Пусть далее %k есть импульс налетающего протона, тогда в ну-
нулевом порядке теории возмущений, т. е. в пренебрежении опера-
оператором Я12, решение уравнения Шредингера будет иметь вид
?/в(г1,г1) = е»"чи0(г,).	A66.6)
Волновую функцию первого приближения можно разложить по
полной системе ортонормированных функций {uv}:
U(rx, r1) = e'*"-«ue(r,)+2'M'\)Mr,).	A66.7)
Здесь знак суммы следует понимать как суммирование по состоя-
состояниям дискретного спектра и интегрирование по состояниям непре-
непрерывного спектра, а штрих означает, что суммирование не рас-
распространяется на состояние с |д. = 0.
Подставляя выражение A66.7) в уравнение Шредингера, по-
получаем
2' №¦* + №~2М (Ги - Wo)] F» - 2MHnFll} Ufl (г,) =
= 2MHltel*-'4i0(rl).
В первом порядке теории возмущений мы можем пренебречь в ле-
левой части этого уравнения членом с Я12. Вводя обозначение
kl = k'~2M(Wil — W,),	A66.8)

166. Неупругое рассеяние	115
мы, таким образом, получаем
2' WIF» (гг) + k* F» (г,)} и» (г,) = 2МЛ„е'*".ив (г2). A66.9)
м
Умножая последнее уравнение на функцию «*(гг) и интегри-
интегрируя по переменной гг, приходим к совокупности независимых
дифференциальных уравнений для функций Fv:
vj/?v + *;/?v = Ov(r1),	(тело)
где
Фу (гг) = 2Л!е"". S ы; (гг) Я12«0 (rt) d%.	A66.11)
Каждое из уравнений A66.10) представляет собой неоднородное
дифференциальное уравнение и его можно решить с помощью
функции Грина, т. е. мы имеем
tkv \rx-r-
|г,-г'| ^(OdV.	A66.12)
Чтобы получить формулу для сечения рассеяния, мы должны
теперь исследовать асимптотическое поведение решения A66.12)
при /-J—>• с». Интеграл в выражении A66.11) для функции
Фу (rt) при больших значениях гг убывает как \/г\, так как опе-
оператор Я12 представляет собой энергию взаимодействия протона
с нейтральным атомом и, согласно равенству A66.4), стремится
к —{t"x-r2)lr9i при гл^>г2. Таким образом, наличие множителя
Фу (г') в подынтегральном выражении A66.12) практически огра-
ограничивает размеры области интегрирования размерами атома. По-
Поэтому при г,—> с» можно предположить, что г^^г' и, следо-
следовательно,
4^('*v''C0Slr*'r')<J>v(r')dV. A66.13)
Последнее выражение представляет собой расходящуюся сфери-
сферическую волну, которую можно записать в виде
1^-,	A66.14)
где амплитуда рассеяния
/ (OJ = — ^ j" e-'*v ''«« с. '•> фу (г') d*r'	A66.15)
является функцией угла, на который рассеивается протон. Отсюда
следует, что дифференциальное сечение неупругого рассеяния
протона, сопровождающееся переходом оптического электрона

116	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
в щелочном металле в состояние v, будет равно
^Q1.	A66.16)
Множитель kv I k появляется здесь из-за того, что скорость рас-
рассеянного протона, а следовательно, и связанная с ним плотность
тока вероятности меньше соответствующих величин, относящихся
к налетающему протону. Этот вывод сразу же следует из фор-
формулы A66.8), если ее интерпретировать как закон сохранения
энергии.
Остановимся теперь несколько подробнее на вопросе об угло-
угловом распределении неупруго рассеянных протонов. Прежде всего
введем в экспоненту A66.15) вектор kv , направление которого
совпадает с направлением вектора rt, положив
kvr'cos(rlt r') — kv ¦ г'.
Используя соотношения A66.11) и A66.4), получаем
f @J = - -^ J dV V<*-*v >"' х
- V (/•') — lr,!r
Очевидно, что член с V (г') не даст вклада в неупругое рассея-
рассеяние (v=^=0). Формально это следует из ортогональности функ-
функций uv, а физически обусловлено тем, что взаимодействие про-
протона с атомным остовом не может привести к возбуждению
электрона, который не является частью этого остова. Вводя
далее переданный импульс Кv = k — kv , получаем
м Г	Г pckv ¦г'
f (Ог) = ^ j cPrtu-4 (г,) «0 (Г,) j YF=7T\ d*r>- <166Л7)
Под знаком внутреннего интеграла стоит выражение, состоя-
состоящее из двух сомножителей, каждый из которых можно разло-
разложить в ряд по сферическим гармоникам, зависящим от углов
¦&' и d.j соответственно между векторами Kv и г' и векторами гг
и г':
( = 0
= y
4я
2л+1 ^"^n. о (^2I
где
|r-r- , = 0
г
2 \ '?
/?„ = { ;;;/	nee.iei

166. Неупругое рассеяние	117
Выбирая направление вектора Kv в качестве направления по-
полярной оси сферической системы координат, мы можем приме-
применять к функции ^„„(¦dj) теорему сложения сферических гар-
гармоник:
где О', ф' и д2, фа соответственно сферические углы векторов г'
и г2. Теперь во внутреннем интеграле в формуле A66.17) можно
произвести интегрирование по углам. Мы имеем
Воспользовавшись обозначением
CD
2/ТТ '' \r'2 U(KVP Rldr>	A66.19)
вместо A66.17) получим
/(О,) = 2М J«; (г,) ыо(г.) S ft (г2) Г,, 0 (d2) dVt. A66.20)
Интеграл A66.19) вычисляется точно. Взяв в качестве пере-
переменной интегрирования величину y = Kvr' и положив x = Kvr2,
с учетом соотношений A66.18) находим
Последние интегралы хорошо известны из теории бесселевых
функций:
так что выражение, стоящее в фигурных скобках, оказывается
равным

118	IV. Многочастичные задачи. А. Малое число частиц
Следовательно,
gl{ri) = VinBl+l)il'-^f^.	A66.21)
В расчете амплитуды рассеяния A66.20) можно сделать еще
один шаг. Мы знаем, что состояния «v содержат в качестве
множителя сферическую гармонику. Так как основное состоя-
состояние и0 не зависит от углов, то под знаком интеграла в A66.20)
стоят произведения различных пар сферических гармоник. В силу
ортогональности последних от суммы, фигурирующей в A66.20),
после интегрирования останется только один член. Учитывая
далее, что
«v = т- х». i С,) У и т (*,. Ф.)	A66.22а)
(ось квантования направлена по вектору К\) и что
«о = ^Хо(г2),	A66.226)
получаем
се
К	['^х^МШ^,. A66.23)
Состояния с различными значениями квантового числа т вы-
вырождены. При неупругом рассеянии оптический электрон может
перейти только в такое возбужденное состояние, которое является
линейной комбинацией этих вырожденных состояний и в котором
проекция момента количества движения на направление пере-
переданного импульса К\ равна нулю. Что касается квантового
числа /, то здесь никакого правила отбора не существует. В за-
заключение следует отметить, что амплитуда A66.23) действительно
зависит от угла рассеяния О,, так как от этого угла зависит
величина Kv-
Kl = kt + kl — 2kkvcosHl.	A66.24)
Входящую сюда величину kv можно определить из закона сохра-
сохранения энергии A66.8); от угла dj она, разумеется, не зависит.
Замечание. Эти же результаты можно получить, применив к рассмотрен-
рассмотренному процессу золотое правило Ферми (см. задачу 183).

	167. Электронный газ в металле	И9
Б. Очень большое число частиц.
Квантовая статистика
Задача 167. Электронный газ в металле
В грубом приближении можно считать, что электроны про-
проводимости в металле свободно движутся внутри потенциального
ящика, стенки которого совпадают с поверхностью, ограничи-
ограничивающей рассматриваемый кусок металла, и препятствуют выходу
электронов проводимости из него. Для куска серебра (плот-
(плотность р=10,5 г/см3, атомный вес 108, один электрон проводи-
проводимости на один ион атома серебра), имеющего форму куба,
найти
а)	максимальную энергию ? электрона, когда рассматривае-
рассматриваемый электронный газ находится в основном состоянии,
б)	среднюю энергию электронов,
в)	давление электронного газа.
Тепловым возбуждением пренебречь.
Решение. Допустимые значения энергии электронов в куске
серебра, имеющем форму куба, объем которого равен L3, со-
согласно задаче 18, определяются формулой
Ш	'	A67.1)
где nJt п2, п3 — положительные целые числа A, 2, 3, ...). В силу
принципа Паули в каждом состоянии, описываемом тройкой
квантовых чисел (п^ п2, п3), имеется два электрона с противо-
противоположной ориентацией спинов. Так как в рассматриваемом
куске металла мы должны распределить очень большое число
электронов, то в дальнейшем нам придется иметь дело в основ-
основном с очень большими значениями квантовых чисел.
Рассмотрим пространство с координатами п1, /га, п3. Каж-
Каждой точке с целочисленными координатами, расположенной
в первом октанте этого пространства, соответствует некоторое
состояние с энергией A67.1). Обозначим через п расстояние от
начала координат до рассматриваемой точки нашего простран-
пространства, тогда
= п\	A67.2)
и можно написать, что число точек первого октанта с целочис-
целочисленными координатами, заключенных между сферами радиуса п
и n-\-dn, равно

120	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
„Помещая" в каждую из этих точек по два электрона с проти-
противоположной ориентацией спинов, получаем, что между п и
n-\-dn имеются nn2dn электронов. Учитывая, далее, что энер-
энергия A67.1) зависит только от п:
JS	^	A67.3)
для числа электронов, энергии которых заключены между зна-
значениями Е и E-\-dE, находим формулу
dN — nr^dn —
или
dN = Vbh^VEdE.	A67.4)
Л2Л3
а. Максимальная энергия ? электрона, когда рассматривае-
рассматриваемый электронный газ находится в основном состоянии, опреде-
определяется полным числом электронов проводимости УУ. Для данного
куска металла число N—фиксированная постоянная. Таким
образом, имеем
^WE.	A67.5)
Если ввести в рассмотрение плотность
A67.6)
то тогда получаются формулы, в которые не входит объем рас-
рассматриваемого куска металла:
ИЛИ
A67.76)
Поскольку оДГ = р/М, где М — масса одного атома серебра
GИ = 1,80-10~22 г), то в нашем случае
оАГ = 5,85-1022 см'3
и формула A67.76) дает для максимальной энергии значение
? = 8,80-Ю-12 эрг = 5,55 эВ.

167. Электронный газ в металле	121
Эта энергия значительно больше энергии теплового движения
(kT = 0,026 эВ при 300 К), поэтому тепловое возбуждение может
лишь очень незначительно изменить распределение электронов
по энергиям. Этот эффект, называемый вырождением электрон-
электронного газа (ферми-газ), физически обусловлен малостью массы
электрона, входящей в знаменатель выражения A67.76).
В общем случае максимальную энергию ? называют энергией
Ферми электронного газа.
б. Средняя энергия электронов определяется формулой
_ \ EdN
?=4—•	A67-8)
\dN
отсюда с учетом A67.4) получаем
J VEEdE
	=4 ?.	A67.9)
в. Давление электронного газа всегда можно определить, не
прибегая к термодинамике. Для этого достаточно рассмотреть
работу, которая производится при уменьшении объема газа V
на величину dV:
dW = pdV.
Вся эта работа идет на увеличение суммарной энергии газа U
на величину dil, поэтому можно написать11
С другой стороны, суммарную энергию частиц газа (при Т = 0)
можно записать в виде
U = N"E=^Nt.	A67.10)
Согласно формуле A67.76), энергия Ферми ? зависит от
отношения oJ\r = ./V/V и, следовательно, от объема V:
v~v--nt f—14-
11 Выше предполагается, что сжатие газа производится адиабатически.—
Прим. ред.

122	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
Отсюда для даЕления получаем
dU 2 U 2 .„г	лк7 ...
0=	-7ТГ = -5" 17~ = " W ?•	(lb/.ll)
(XV	о V	О
Подставляя в эту формулу значения о1\Г и ?, определенные выше,
находим
р = 2,06-10" дин/см2,
что составляет примерно 200 000 атм. Это чудовищное давление
уравновешивается кулоновскими силами притяжения между
электронами проводимости и ионами, находящимися в узлах
кристаллической решетки.
Задача 168. Парамагнитная восприимчивость металла
Для нулевой температуры определить парамагнитную воспри-
восприимчивость металла, рассматривая электроны проводимости как
ферми-газ. Поляризуемость ионов кристаллической решетки
не учитывать.
Решение. Согласно результатам предыдущей задачи, элект-
электроны проводимости образуют ферми-газ, причем предельная энер-
энергия электронов (энергия Ферми) определяется выражением
? = ~ (Зя2о!\Г)Ч	A68.1)
где о1\Г — число электронов проводимости в единице объема. Раз-
Разность энергий АЕ двух соседних электронных уровней находится
из соотношения
4яр2Др = 4я \/Г2тЕ тАЕ = ^-у-^- .	A68.2)
Отсюда для уровней, расположенных вблизи энергии Ферми,
получаем
Действительно, можно написать
а вместо ?3/* подставить выражение A68.1). При нулевой темпе-
температуре все уровни, для которых Е < ?, заняты парами электро-
электронов с противоположно ориентированными спинами, а все уровни,
для которых Е > ?, свободны.

168. Парамагнитная восприимчивость металла
123
Если теперь поместить металл в магнитное поле, то можно
добиться выигрыша в энергии, разделяя электронные пары и
ориентируя спины каждой пары электронов параллельно маг-
магнитному полю Ж- Если разделены v таких электронных пар,
то выигрыш в энергии, очевидно, составит
2v-\x,,9?, где \х =
2тс'
A68.4)
Без поля
С полем
Разделение электронной пары, разумеется, возможно только
в том случае, если хотя бы один из принадлежащих ей электро-
электронов переводится на незанятый уро-
уровень, лежащий выше уровня ? = ?.
Но это означает, что выигрыш в энер-
энергии A68.4) тратится на увеличение
кинетической энергии электронов.
Обратившись к фиг. 66, видим, что
на разделение первой пары, т. е. на
перевод одного электрона с самого
верхнего занятого уровня на самый
нижний незанятый уровень, требуется
энергия &Е0, на разделение второй
пары—энергия ЗД?0, на разделение
третьей пары — энергия 5А?0 и т. д.
В общем случае на разделение v пар требуется затратить
энергию
Состояние равновесия достигается при условии, что полное
изменение энергии W, вызванное магнитным полем,
W = — 2\\уЖ + vaA?8,	A68.6)
имеет минимум, т. е.
dx
Фиг. 66. Спин-флип вблизи
поверхности Ферми, вызван-
вызванный магнитным полем.
Таким образом, при равновесии
АЕ0
причем
w
W МИН"
A68.7)
A68.8)
Если производится разделение большего числа пар, то полная
энергия электронного газа вновь возрастает. При равновесии

124	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
суммарный магнитный момент куска металла будет равен
и, вспоминая определение парамагнитной восприимчивости,
можно написать
Учитывая теперь соотношения A68.3) и A68.1), находим
Х- 4лтс* { п
Для получения числовых значений плотность электронов
проводимости следует выразить через плотность металла р, массу
одного его атома тнА(А — атомный вес) и его валентность г.
Мы, очевидно, имеем
и, следовательно,
'TY''.	A68.11)
При сравнении этого результата с экспериментальными данными
из последних необходимо вычесть диамагнитную восприимчи-
восприимчивость ионов кристаллической решетки.
Замечание. В задаче 160 была вычислена диамагнитная восприимчивость
неона, практически она должна совпадать с диамагнитной восприимчивостью
ионов Na + . Как было найдено,
Хдиа = —5,61-Ю-6 см3/моль.
Учитывая, что плотность металлического натрия составляет примерно
1 г/см3= 1/23 моль/см3, в принятых нами единицах получаем
Хдиа =-0,25-Ю-».
С другой стороны, согласно A68.11), вклад электронов проводимости в этом
случае равен
Мы видим, что обе величины имеют один и тот же порядок, поэтому некото-
некоторые металлы (например, цезий) могут оказаться даже диамагнетиками.
Литература
Френкель Я. И., 2s. Phys., 49,31 A928). [См. также Френкель Я- Я., Введе-
Введение в теорию металлов, Физматгиз, М., 1958, стр. 106 и далее.—Ярил», ред.]

169. Холодная эмиссия без учета сил электростатического изображения 123
Задача 169. Холодная эмиссия без учета сил электростатического
изображения
Определить плотность тока электронов, эмиттируемых метал-
металлической поверхностью под действием сильного электрического
поля 4>. Температуру считать ничкой, структуру кристалличе-
кристаллической решетки, а также силы электростатического изображения
не учитывать.
Решение. Пусть эмиттирующая поверхность совпадает с пло-
плоскостью z = 0. Внутри металла (г < 0) электроны проводимости
имеют постоянную потенциальную энергию V = 0, вне металла
(г > 0) их потенциальная энергия в отсутствие электрического
Фиг. 67. Холодная эмиссия.
Слева: электронные уровни внутри металла заполнены вплоть до энергии Фермн ?;
справа: ход потенциала вне металла.
поля равна Vo. Внутри металла электроны проводимости в со-
совокупности образуют ферми-газ в основном состоянии и зани-
занимают все энергетические уровни вплоть до уровня, соответствую-
соответствующего энергии Ферми ?. При наличии электрического поля
потенциальная энергия электронов вне металла описывается
выражением
V(z) = V0-egz.	A69.1)
Обращаясь к фиг. 67, мы видим, что при наличии поля вне
металла образуется потенциальный барьер. Пусть Ег означает
ту часть энергии электрона, которая соответствует г-компоненте
его скорости, тогда для коэффициента прохождения Т, рассчитан-
рассчитанного в приближении ВКБ, можно написать
A69.2)
V	О
где V (z) определяется формулой A69.1), а
2 2 z'
Выражение A69.2) быстро убывает при убывании Ег, а фигури-

126	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
рующий в нем интеграл легко вычисляется и мы получаем
A69.4)
Плотность тока электронов можно определить по формуле
A69.5)
где dn—число электронов проводимости в элементе импульсного
пространства dpxdpydpz, отнесенное к 1см3. Для ферми-газа
внутри ферми-сферы, т. е. при условии
Pl + Pl + P\<2mb	A69.6)
получаем
вне ферми-сферы имеем
Если в импульсном пространстве ввести цилиндрические коор-
координаты р, ф, рг и принять во внимание, что
то интеграл A69.5) можно записать в виде
причем выше интегрирование распространяется на все электроны,
для которых ьг > 0. С помощью введения новой переменной
е = ?—Ег	A69.7)
последний интеграл упрощается, и мы получаем
с
P$*T{B)de,	A69.8)
о
где
{±Щ	\	A69.9)
Для оценки интеграла A69.8) воспользуемся тем обстоятель-
обстоятельством, что коэффициент прохождения Т (е) имеет максимальное
значение при е = 0 (это соответствует максимуму энергии эле-
электронов ?г = ?), а затем по мере роста е быстро убывает. По

169. Холодная эмиссия бее учета сил электростатического изображения 127
этой причине основной вклад в интеграл A69.8) дают электроны
с малыми значениями е, и мы можем воспользоваться разложением
Вводя теперь обозначение
2^~-(VQ —?)•'• = (?,	A69.10)
находим
	2_
Т — е 3 ехр
2
4л em ——
Здесь снова подынтегральное выражение быстро убывает с ро-
ростом е, поэтому, не внося заметной ошибки, интегрирование
можно распространить до бесконечности, так что окончательно
Числовой пример. Согласно формулам A69.10) и A69.11),
плотность тока электронов быстро падает с ростом работы вы-
выхода Vo—С и с уменьшением напряженности электрического
поля <§. Если напряженность поля измерять в вольтах на сан-
сантиметр, работу выхода — в электронвольтах, а плотность тока—
в амперах на квадратный сантиметр, то формулы A69.10) и
A69.11) примут вид
(V ч» --%	A6912)
/=1,59-10» ( °Тд е * ч .
Если величина q имеет порядок 1, то для плотности тока сле-
следует ожидать значение порядка 1010А/смг. Это значит, что почти
каждый электрон, ударяющийся о поверхность, покидает металл.
Разумеется, в этом случае ни сама модель, ни приближенный
метод расчета совершенно непригодны. С увеличением значений ц
плотность тока быстро падает, поэтому разумно спросить, для
каких значений напряженности поля при разных значениях ра-
работы выхода мы можем ожидать плотность тока 1 Klzu1"} При-

128	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
веденная ниже таблица дает ответ на поставленный вопрос:
= 106 В/см
10'
108
Vo—? = 0,083 эВ
0,43
2,19
Так как для металлов работа выхода Vo—Z, всегда имеет порядок
нескольких электронвольт, то для полей, напряженность которых
меньше 108В/см, холодная эмиссия должна отсутствовать. Экспе-
Эксперименты же показывают, что пороговое значение напряженности
поля имеет порядок 10е В/см. Такое сильное расхождение, ра-
разумеется, нельзя объяснить тепловыми возбуждениями ферми-газа:
учет их позволяет понизить работу выхода на величину порядка
1/10—1/Ю0эВ (&Т~1/30эВ при обычных температурах). Как
показано в следующей задаче, полученное противоречие
удается устранить, приняв во внимание силы электростатического
изображения.
Задача 170. Холодная эмиссия с учетом сил
электростатического изображения
Высота потенциального барьера, препятствующего холодной
эмиссии, значительно понижается из-за сил электростатического
изображения. Выяснить, как влияют эти силы на величину плот-
плотности тока холодной эмиссии.
Решение. Силы электростатического изображения возникают
вследствие искажения поверхностного заряда, вызванного при-
присутствием электрона в области г > 0. Если величина г значи-
значительно больше постоянной кристаллической решетки, то мы
можем не принимать во внимание детали внутренней структуры
металла и рассматривать его как непрерывную среду. В этом
случае силы электростатического изображения рассчитываются
методами классической электростатики и мы можем написать
Для малых значений z это выражение непригодно: при г = 0оно
просто расходится и, следовательно, теряет физический смысл.
Однако в дальнейшем мы будем пользоваться приведенным вы-
выражением во всей области изменения г, допускаемая при этом
ошибка не скажется на наших результатах, так как плотность
тока холодной эмиссии зависит исключительно от ширины и
высоты потенциального барьера в той области значений энергии,
где высота больше энергии электрона.

170. Холодная эмиссия с учетом сил электростатического изображения 129
С учетом сказанного потенциальная энергия электрона, когда
он находится вне металла, имеет вид
V(z) = V0—-?—egz.	A70.2)
(Используются обозначения предыдущей задачи, см. также фиг.68.)
Выражение A70.2) интересует нас лишь в области между zx
*- г
Фиг. 68. Холодная эмиссия с учетом сил электростатического изображения.
и г2, где Zj и z2 —корни квадратного уравнения V (z) = Ег. Мы,
очевидно, имеем
Zi. 2 =
A70.3)
Оба корня будут действительными, если
Заметим, что это условие выполняется даже для полей, напря-
напряженность которых имеет порядок 109 В/см. Для больших значений
напряженности высота барьера будет ниже энергии Ферми элек-
электронного газа в металле. В экспериментах иепользуются поля,
напряженность которых не превосходит 107 В/см, поэтому можно
считать, что
/I/	т- \ «
A70.4)
и вместо радикала A70.3) взять соответствующее разложение.
Таким образом, имеем
z, =
и z2 = z0—
где
A70.5)
A70.6)
причем 2!<^г2- Благодаря силам электростатического изображе-
изображения вершина потенциального барьера, согласно формуле A70.2),
сдвигается теперь из точки г = 0 в точку г = }/Ле/4<$>, а его вы-
5 J* 1172

130	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
сота равна теперь не Vo, a
Согласно условию A70.4), это приводит не столько к пониже-
понижению потенциального барьера, сколько делает его вершину более
пологой, и мы можем ожидать, что при прочих равных условиях
коэффициент прохождения будет иметь теперь значительно боль-
большую величину. Повторяя рассуждения предыдущей задачи, можно
убедиться, что основной вклад в плотность тока холодной эмис-
эмиссии будут давать те электроны, энергия которых близка к зна-
значению Ег = 1,. Для таких энергий величина z1 = e?/[4 <У0—?)] во
всяком случае не меньше постоянной кристаллической решетки,
поэтому наличие расходимости при 2 = 0 в потенциале сил
электростатического изображения для дальнейшего не имеет
никакого значения.
Снова используя приближение ВКБ, можно написать для
коэффициента прохождения выражение вида
Учитывая далее, что
получаем
inT-J
A70.7)
Этот интеграл относится к интегралам эллиптического типа,
и его можно выразить через табличные интегралы. Введем
вместо г новую переменную x — (z—zx)/(z2 — zj, в результате
наш интеграл преобразуется к виду
1
о
где
Положим далее
A70.8)

ПО. Холодная эмиссия с учетом сил электростатического изображения 131
_(l-fe')sln»q>
х ~ l
тогда вместо интеграла, стоящего в правой части равенства A70.7),
можно написать
Я/2
_™=Z>U С sin» ф cos'q, d	A709)
В свою очередь этот последний интеграл можно представить
в виде линейной комбинации двух полных эллиптических инте-
интегралов E(k) и K{k):
Я/2
В справедливости равенства. A70.10) можно убедиться следующим
образом. Если ввести обозначение
то полные эллиптические интегралы запишутся в виде
Я/2	Я/2
Далее путем дифференцирования нетрудно проверить справед-
справедливость тождества
о. 2 sin2 ф cos2 ф _ 2—fe2 .	2_
Д* ~Й2Aй2) ^Д'
Если теперь проинтегрировать это тождество почленно по <р,
то в результате получим соотношение
Я/2
(* sin2 ф cos2 ф ,	2-й2 г^,.ч 2 ., ,,.
/
)
из которого сразу следует равенство A70.10).
Суммируя наши результаты, можно записать формулы A70.7)
и A70.10) в виде
A	|3/	. A70.11)

132	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
Эта формула допускает дальнейшие упрощения. Действительно,
z1<^zt, следовательно, k2 л* 1 и параметр k2 можно заменить
параметром
?'2=l_?2 = ii-<gl,	A70.12)
а затем разложить правую часть формулы A70.11) в быстро
сходящийся ряд по степеням этого нового параметра. Мы имеем1'
причем выше Л = 1пD/?')- Подставляя эти ряды в правую часть
A70.11), находим
Если бы k' = 0, то у нас получилось бы для коэффициента про-
прохождения Т прежнее значение A69.9), найденное без учета сил
электростатического изображения. Обозначим это значение че-
через То, тогда
7 = 701-\	A70.13)
где
Нам осталось, используя новое значение коэффициента про-
прохождения Т, оценить интеграл, фигурирующий в формуле для
плотности тока A69.8). Как и в предыдущей задаче, основной
вклад в плотность тока холодной эмиссии дают электроны, для
которых значения Ег лежат вблизи точки ?г = ?, по этой при-
причине мы можем разложить величину % в ряд в окрестности
точки ?г = ?, т. е. в окрестности точки 8 = 0, и ограничиться
в дальнейшем членом, линейно зависящим от е. Практически
это означает, что мы полагаем
а интегрирование выполняем так же, как и в задаче 169. В ре-
1> См. справочник: Jahnke E., Emde F., 2 ed., 1933, p. 145. (Имеется пе-
перевод: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции, иад-во „Наука",
М., 1968, стр. 114. —Прим. перев.)

171. Белый карлик	133
зультате вместо выражения A69.11), которое мы обозначим через /„,
у нас получится выражение вида
/-/,«' ,	A70.16)
где h<^.\. При более точном расчете в формуле A70.16) появился
бы дополнительный множитель
Разумеется, основную роль в формуле A70.16) играет экспо-
экспонента.
Наш анализ закончим разбором числового примера. Если,
как и в предыдущей задаче, напряженность поля ? измеряется
в вольтах на сантиметр, а работа выхода Vo — ? — в электрон-
вольтах, то наряду с соотношениями A69.12) мы имеем теперь
соотношение
Предположим, что работа выхода Vo—? = ЗэВ, а напряженность
поля <?= 107 В/см, тогда
<7 = 54,5, б'2 = 0,0397, Я, = 0,208,
е I"*"* = 1860,	/0 = 0,9.10-» А/см1, /= 1,7- 10"&A/cm2.
Задача 171. Белый карлик
Предположим, что температура белого карлика достаточно
высока и поэтому все атомы практически полностью ионизованы.
Кроме того, будем считать, что эта температура все еще настолько
мала, что можно пренебречь давлением газа и давлением излу-
излучения по сравнению с давлением вырожденного электронного
газа при абсолютном нуле температур (это второе предположе-
предположение не является вполне удовлетворительным). Считая, что дав-
давление, соответствующее абсолютному нулю температур, уравно-
уравновешивается силами гравитационного притяжения, найти распре-
распределение плотности вещества по объему звезды. Масса звезды
предполагается заданной.
Решение. В сферически симметричной массе газа градиент
давления в направлении радиуса должен равняться плотности
гравитационных сил (барометрическая формула):
¦&=-^р.	071.1)

134	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
Здесь G—гравитационная постоянная, Мг—масса вещества,
заключенная внутри сферы радиуса г, т. е.
'2р (/-')<//-',	A71.2)
и, наконец, р (г) — плотность вещества, т. е. масса всех ионов
и всех свободных электронов, находящихся в 1 см3 звездного
вещества. При полной ионизации в 1 см8 наряду с оЛГ электро-
электронами содержится JV/Z ионов (ядер), поэтому
где тнА — масса нейтрального атома. Если вещество звезды со-
содержит различные элементы, то фигурирующие здесь А и Z надо
понимать как некие средние значения. В этой связи необходимо
отметить, что отношение
¦|- = 2о	A71.3)
почти не зависит от химического состава: величина а меняется
от 1,0 до 1,3 при переходе от легких элементов к тяжелым, и
лишь водород, для которого а = 72. представляете этом отноше-
отношении исключение. Таким образом, плотность вещества
A71.4)
практически зависит лишь от плотности электронов.
Согласно результатам задачи 167, давление электронного газа
при абсолютном нуле определяется формулой
Р. = Т^^@п%<*П*'*.	A71.5)
Что касается давления газа ионов, ph то при абсолютном нуле
оно (будучи пропорциональным о/Г//» /т,) значительно меньше
давления ре:
Р//<аАРЛ'/а т —z-ч. т
Ре V оДР / Щ	тнА *
Даже в случае водорода (Z=l, Л=1) мы имеем р{1ре— 1/1838;
для других элементов отношение р;/ре еще меньше. По этой при-
причине мы пренебрежем величиной pt и отождествим давление
электронного газа ре, фигурирующее в формуле A71.5) с пол-
полным давлением р.
Обойтись без рассмотрения температурных эффектов далеко не так просто.
Газ можно считать сильно вырожденным только в том случае, когда Z, ^> кТ.

171. Белый карлик.	135
При этом условии давление газа практически не отличается от давления при
абсолютном нуле. Для электронов энергия Ферми определяется формулой
н
Вычисленные с помощью этой формулы значения ? надо сравнить со значени-
значениями тепловой энергии. При температуре 10е К мы имеем kT м 100 эВ, и даже
для плотности р = 103 обе величины оказываются одного порядка. При этом
газ ионов вообще будет невырожденным, а его вклад в полное давление будет
сравним с вкладом электронного газа. Что же касается радиационного давле-
давления, то для него справедлива формула
р^ = 2,52 10-1вГ4 дин/см2.
С другой стороны, согласно A71.6) и A71.4), имеем
-?-у/8 дин/см2.
При Г =10' К радиационное давление по порядку величины равно 10е дин/см2,
и для плотностей вещества, с которыми мы сталкиваемся в белых карликах,
его действительно можно не учитывать.
Комбинируя формулы A71.5) и A71.4), получаем уравнение
состояния
p = /pV.,	A71.6)
где
f = Ш (тг)'/
У''' = 3,17- lOi'a-Vs r-V, см* с~«.
Когда функциональная связь между давлением и плотностью
имеет вид
1+
то говорят, что мы имеем политропу с показателем п. Таким
образом, можно сказать, что состояние вещества в белом карлике
описывается политропой с показателем п = '/«.
Подставляя выражение A71.6) в условие равновесия A71.1),
получаем
Отсюда путем дифференцирования находим
$*('¦?"'•?) —4«Л>.	A71.7)
Вместо плотности р удобно ввести безразмерную функцию

136	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
где р0—некоторая постоянная, а вместо радиуса г—безразмерную
переменную
*=--?••	A71.9)
где величина гх используется в качестве единицы длины и опре-
определяется соотношением
^°~V'-	071-10)
В результате этих преобразований уравнение A71.7) приводится
к виду, не зависящему ни от каких физических постоянных:
Если мы отождествим постоянную р0 с плотностью вещества
в центре звезды, то к уравнению A71.11) надо присоединить на-
начальные условия
Ф@)=1, Ф'@) = 0.	A71.12)
Единственное решение нелинейного дифференциального урав-
уравнения A71.11), удовлетворяющее начальным условиям A71.12),
находится путем численного интегрирования. Это решение моно-
монотонно убывает и в точке
х = Х = 3,6537	A71.13а)
обращается в нуль (ф(Х) = 0). В этой же точке
A71.136)
Согласно соотношению A71.8), нуль функции ф определяет ра-
радиус звезды R. Зная радиус звезды, можно записать ее полную
массу:
М = 4л \ /-2р (г) dr = 4яр0г? \ xY'°dx.
о	о
Последний интеграл можно вычислить, не зная всех числовых
значений функции ф (х). Действительно, в силу уравнения A71.11)
имеем
т	dx
поэтому
Л 4Л:2?> = 34,5рол?.	A71.14)

171. Белый карлик	137
Когда масса звезды известна из опыта, между величинами р0 и rt
в силу A71.10) и A71.14) имеется два соотношения:
p'.'vi-a,	A71.15а)
где
^ 9,46- 10lsa-'/. г1/, см,
и
рог\ = Ь,	A71.156)
где
6 = 0.0290М.
Отсюда
^-ой-v., Ро = &аа-3,	A71.16)
так что радиус звезды R можно записать теперь в виде
R = riX = 3,6537^.	A71.17)
Для средней плотности звездного вещества имеем
Р = ХРо = °'169Ро.	A71.18)
следовательно, она составляет примерно 1/в плотности вещества
в центре звезды.
Числовой пример. Наблюдения за движением Сириуса пока-
показывают, что Сириус В, входящий в состав этой двойной звезды,
имеет массу, примерно равную массе Солнца, а именно
М = 1,94-1033 г. Таким образом, в данном случае
r1 = 2,47-108a-VsCM,
Я = 8,98-108а-5/зсм,
ро = 3,73-10ва6г-см-3,
р == 6,15- 105а5г-см.
Известно также, что радиус Сириуса В составляет примерно V20
радиуса Солнца (#0 = 6,95-1010 см); этому в нашей Модели соот-
соответствует значение a = 0,445. Найденное значение довольно близко
к значению a = 0,5 для водородной звезды, хотя и располагается
с неправильной стороны. Надо, однако, иметь в виду, что в на-
нашей модели для радиуса звезды получается заниженное значение,
так как при вычислениях мы не учитывали температурные эф-
эффекты и, следовательно, отбросили существенную часть давления.
Фактически звезда должна' раздуться до заметно больших размеров.

138	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
Задача 172. Приближение Томаса — Ферми
Рассчитать плотность электронов в атоме (или положительном
ионе). Чтобы получить приемлемое приближение, предположите,
что во всякой области, где электростатический потенциал можно
считать практически постоянным, имеется достаточно большое
число электронов, так что их допустимо рассматривать статисти-
статистически.
Решение. В основу этой модели атома положено две идеи:
одна заимствована из электростатики, другая — из квантовой
статистики. Мы начнем с электростатической части нашей задачи.
Если на расстоянии г от атомного ядра в единице объема со-
содержится п (г) электронов, то электростатический потенциал,
создаваемый в пространстве совместным действием электронов и
атомного ядра, удовлетворяет уравнению Пуассона. Таким обра-
образом, первое основное уравнение нашей задачи гласит:
УаФ = 4яе-п(/-),	A72.1)
гдер(г) =— еп(г) — плотность заряда электронного облака. На
решение этого уравнения необходимо наложить два граничных
условия: в непосредственной близости от ядра с зарядом Ze
Ф = у при г—>О,	A72.2)
и, кроме того, если R — радиус положительного иона с зарядом ze,
то
Ф = у- при /->#.	A72.3)
Фактическое значение радиуса положительного иона нам пред-
предстоит определить в дальнейшем.
На границе иона, т. е. в точках r = R, не должно быть ни-
никаких сингулярностей, поэтому здесь непрерывен не только по-
потенциал, но и напряженность поля. В связи с этим граничное
условие A72.3) можно переписать по-иному:
Ф<«>=7 ¦ (?)„"*•	072.4,
Перейдем теперь к квантовостатистической части нашей задачи.
Рассматривая любой элементарный объем внутри атома (или иона),
мы видим, что импульс р всякого находящегося в нем электрона
связан с его энергией соотношением

172. Приближение Томаса—Ферми	139
Чтобы электрон был в связанном состоянии, эта энергия во
внутренних областях атома, очевидно, не должна превышать по-
потенциальную энергию—e<b(R) на его границе. Отсюда следует,
что импульс электрона, находящегося на расстоянии г от ядра,
не может быть больше рмакс, где
2
*	A72.5)
Согласно же квантовой статистике, величина рмакс связана с плот-
плотностью электронов п (г) (см. задачу 167) соотношением
Сравнение соотношений A72.5) и A72.6) приводит к другому
основному уравнению нашей задачи:
^.	A72.7)
Уравнения A72.1) и A72.7) в принципе позволяют опреде-
определить обе неизвестные функции п (г) и Ф (г). Исключая функцию п (г)
и пользуясь сферической симметрией задачи, получаем
Вводя вместо Ф (г) безразмерную функцию
<р (/¦) = ^-[Ф (г)—Ф (/?)],	A72.8)
а вместо независимой переменной г безразмерную переменную
* = ¦?,	A72.9)
где
а =
приходим к универсальному дифференциальному уравнению
Граничные условия A72.2) и A72.4) теперь принимают вид
<р@)=1	A72.11)

140	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
= — -§-.	A72.12)
причем выше мы положили X = R/a.
Необходимо подчеркнуть, что при таких граничных условиях все 2—г
электронов действительно заключены внутри сферы радиуса R. В этом можно
убедиться следующим образом. Из уравнения A72.7) и соотношения A72.9)
следует
R	X
J	J
О	О
С помощью уравнения A72.10) функцию ф^1, фигурирующую в последнем ин-
интеграле, можно выразить через производную ф", так что этот интеграл будет
равен
х
Z jj хц," dx= Z [*ф' -ф]0* =2 {ф @) + Хф' (X)}.
и
С учетом же граничных условий A72.11) и A72.12) последнее выражение по-
попросту равно
р
Таким образом, число электронов, заключенных внутри сферы радиуса R, дей-
действительно равно Z — 2.
Мы свели нашу задачу к интегрированию унизерсального
уравнения A72.10) при граничных условиях A72.11) и A72.12).
Чтобы получить общее представление о разнообразии решений
этого дифференциального уравнения,
целесообразно проинтегрировать его
при одном и том же начальном усло-
условии ф@)=1 и различном наклоне ка-
касательных в начальной точке (ф' @)< 0).
Четыре таких решения показаны на
^х фиг. 69. Кривым / и 2 соответствуют
конечные радиусы X, и Хг, так как в
Фиг. 69. Решения уравне- обоих случаях ф' (X) < 0. Оба указан-
ния Томаса —Ферми A72.10), ных решения, согласно условию
сательной в начальной точке. A72.12), описывают положительные
ионы. Для нейтрального атома из
A72.12) следует, что у'(Х) — 0. Это условие не удовлетворяется
ни при каком конечном значении X. На фиг. 69 такому случаю
соответствует кривая 3 (радиус атома бесконечен). Что касается
кривой 4, то для свободных атомов или ионов она не имеет не-
непосредственного физического смысла, однако с ее помощью можно

172. Приближение Томаса—Ферми	141
описывать атомы, связанные внутри кристаллической решетки
(разумеется, граничные условия в этом случае будут совсем иными).
Ниже нас главным образом будет интересовать кривая 3,
соответствующая нейтральному атому. Мы назовем полученное
решение стандартным и будем обозначать его через (ро(х). Чис-
Числовые значения функции ф0 (х) приведены в нижеследующей
таблице. Наклон касательной в начальной точке в рассматривае-
рассматриваемом случае характеризуется значением фд@) =—1,58 807, а
асимптотическое поведение имеет вид (ро(х)—> 144/х8 [заметим,
кстати, что указанная асимптотика является точным решением
дифференциального уравнения A72.10), однако при х = 0 это ре-
решение имеет сингулярность]. Для практических целей приведен-
приведенное асимптотическое выражение малопригодно, так как даже при
х = 100 оно отличается от точного решения ф0 (х) примерно на 40%.
Надо, однако, иметь в виду, что истинный потенциал нейтраль-
нейтрального атома ф0 должен убывать по мере роста х значительно бы-
быстрее, во всяком случае убывание должно быть экспоненциаль-
экспоненциальным. Ошибка, свойственная модели Томаса — Ферми, как и любой
другой статистической модели, быстро возрастаете уменьшением
числа частиц. На больших расстояниях число частиц становится
сколь угодно малым, поэтому нельзя ожидать, что там наше при-
приближение, каким бы хорошим оно ни было во внутренних об-
областях атома, будет оставаться пригодным.
Чтобы получить решения, близкие к стандартному, можно
положить
ф(*) = Фо(*) + *Л.(*),	A72.13)
так что для малых отклонений kr]0 из A72.10) получается лине-
линеаризованное уравнение
2&
П72 1
Кроме того, чтобы удовлетворить граничному условию A72.11),
необходимо положить т|0@) = 0. В целях стандартизации можно
также потребовать, чтобы выполнялось равенство т]„ @) = 1, а
граничному условию A72.12) удовлетворить путем подходящего
выбора параметра k. Таким образом, имеем
*	—?$'	<172Л5а>
A72Л5б)
*	= Ф'@)-ф;@).	A72.15в)
Соотношение A72.15а) устанавливает простую связь между па-
параметром k и радиусом положительного иона X. Значения функ-
функции т]0 (х) и ее производной ц'о (х) приведены в таблице.

X
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
Фо (*>
1,0000
0,9720
0,9470
0,9238
0,9022
0,8817
0,7931
0,7206
0,6595
0,6070
0,5612
0,5208
0,4849
0,4529
0,4240
0,3742
0,3329
0,2981
0,2685
0,2430
0,2210
0,2017
0,1848
0,1699
0,1566
0,1448
0,1343
0,1247
0,1162
0,1084
0,0919
0,0788
0,0682
0,0594
0,0522
0,0461
0,0410
0,0366
0,0328
0,0296
0,0268
0,0243
-Фо <*>
1,5881
1,3093
1,1991
1,1177
1,0516
0,9954
0,7942
0,6618
0,5646
0,4894
0,4292
0,3798
0,3386
0,3038
0,2740
0,2259
0,1890
0,1601
0,1370
0,1182
0,1028
0,0900
0,0793
0,0702
0,0625
0,0558
0,0501
0,0451
0,0408
0,0369
0,0293
0,0236
0,0192
0,0159
0,0132
0,0111
0,0095
0,0081
0,0070
0,0060
0,0053
0,0046
По (*)
0,0000
0,0200
0,0401
0,0604
0,0807
0,1012
0,2069
0,3186
0,4378
0,5654
0,7023
0,8494
1,0075
1,1773
1,3597
1,7650
2,2296
2,7593
3,3605
4,0396
4,8032
5,6582
6,6116
7,6708
8,8434
10,137
11,561
13,122
14,829
16,693
22,09
28,68
36,62
46,08
57,27
70,39
85,64
103,27
123,52
146,66
172,94
202,67
1,0000
1,0028
1,0079
1,0144
1,0220
1,0306
1,0846
1,1528
1,2321
1,3210
1,4187
1,5246
1,6384
1,7599
1,8890
2,1696
2,4805
2,8222
3,1954
3,6012
4,0406
4,5149
5,0253
5,5730
6,1594
6,7858
7,4538
8,1646
8,9198
9,7208
11,93
14,47
17,34
20,59
24,23
28,30
32,81
37,80
43,29
49,32
55,92
63,11

	173. Поправка Амальди для нейтрального атома	143
Задача 173. Поправка Амальди для нейтрального атома
В правую часть уравнения Пуассона, лежащего в основе мо-
модели Томаса — Ферми, правильнее было бы подставить не плотность
заряда всех Z электронов, а плотность заряда, создаваемую Z—1
электроном. Это связано с тем, что с помощью указанного урав-
уравнения определяется эффективный потенциал, в поле которого
движется один отдельно взятый электрон. Выяснить, к каким
изменениям приводит указанная поправка к модели Томаса —
Ферми в случае нейтрального атома.
Решение. Вместо уравнения A72.1) теперь имеем
У2Ф = 4яе-^«(/-),	A73.1)
где Ф означает потенциал, создаваемый ядром и Z—1 электро-
электроном и действующий на не включенный в правую часть уравне-
уравнения A73.1) электрон номер Z. При таком упрощенном подходе
безразлично, какой именно электрон мы рассматриваем в каче-
качестве пробного заряда, что, впрочем, вполне соответствует точ-
точности, свойственной статистической картине. Граничное условие
при г—>-0 определяется зарядом ядра и, следовательно, остается
прежним:
Ф(г) = у при г-+0,	A73.2)
на границе же нейтрального атома теперь должно быть
так как один положительный ядерный заряд е в данном случае
остается незаэкранированным Z—1 электроном и продолжает
действовать на электрон, рассматриваемый нами в качестве
пробного.
Другое основное уравнение, следующее из квантовой стати-
статистики, имеет прежний вид, так что снова можно написать
^.	A73.4)
Исключая из уравнений A73.1) и A73.4) функцию п(г) и вновь
вводя безразмерную функцию
A73.5)

144	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
получаем прежнее универсальное дифференциальное уравнение
^ = 2^,	A73.6)
в котором безразмерная независимая переменная определяется
теперь соотношением х = г/а, причем
',	A73.7)
и а—характерная длина, значение которой дается равен-
равенством A72.9).
Так как а > а, то на первый взгляд рассматриваемая поправка
увеличивает размеры атома, хотя из физических соображений
ясно, что эта поправка должна уменьшить отталкивание элек-
электронов, в результате они сильнее будут притягиваться ядром
и размеры атома должны уменьшиться. На самом деле здесь нет
никакого противоречия, поскольку теперь мы имеем дело с из-
измененными граничными условиями. Для функции ф (х) условия
A73.3) записываются в виде
<р(Х) = 0 и Х<р'(Х) = —4"-	A73.8)
Эти условия могут удовлетворяться лишь при конечных значениях
радиуса атома, что с лихвой компенсирует эффект расплывания
атома, связанный с величиной а.
Задача 174. Энергия атома в модели Томаса — Ферми
Пользуясь моделью Томаса — Ферми, вычислить полную энер-
энергию нейтрального атома. Кроме того, с помощью вариационной
процедуры, минимизирующей полную энергию атома, вывести
дифференциальное уравнение для плотности электронов п{г), или
соответствующее уравнение для электростатического потен-
потенциала Ф (г).
Решение. Полную энергию атома можно представить как
сумму кинетической энергии электронов, потенциальной энергии
взаимодействия электронов с ядром ?п1Отев и> наконец, потенциаль-
потенциальной энергии взаимодействия электронов между собой Мотен-
Выражение для кинетической энергии можно написать, вспом-
вспомнив, основные результаты задачи 167. Если п{г) — плотность
электронов, то средняя кинетическая энергия электрона, нахо-

	174. Энергия атома в модели Томаса—Ферми	145
дящегося на расстоянии г от ядра, определяется выражением
? = ¦?-?= хя'/,,	A74.1)
где
ЗЛ2 ,,-, „чч/
Отсюда для суммарной кинетической энергии всех электронов
находим
Е (г) dx,
или
F — м\ n"lsriT	Л 74. 9^
Выражения для ^потен и ?потен получаются непосредственно из
соответствующих формул электростатики:
Wt	A74-3)
Таким образом, для полной энергии, т. е. для суммы выраже-
выражений A74.2) — A74.4) можно написать
?^_dT'}sJ^dT. A74.5)
Теперь с помощью подходящего выбора функции п{г) мы должны
минимизировать полную энергию, учитывая при этом уравнение
связи
\n{r)dx=Z,	A74.6)
означающее, что полное число электронов равно Z. Для решения
поставленной вариационной проблемы необходимо рассмотреть
уравнение
$	<*г = 0,	A74.7)
где к — неопределенный множитель Лагранжа. После подстановки
выражения A74.5) в уравнение A74.7) находим
(г) {4 ?ш8/, -T- + g3f \r-r'\ dx>
Выше при написании последнего члена мы учли, что варьирова-
варьирование функций п{г) и п(г') в двойном интеграле дважды приводит

146	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
к одному и тому же результату. Энергия Е будет экстремальна,
если выражение, стоящее в фигурных скобках в A74.8), обра-
обращается в нуль.
Учитывая далее, что плотность электронов п (г) зависит только
от г и не зависит от угловых переменных, третий член в фигур-
фигурных скобках с помощью разложения подынтегрального выраже-
выражения по сферическим гармоникам можно представить в виде
Г	оо
^грТ dx> = Т J г'*п <г')dr> + 4я J г'п <г') dr'-
Т J
О
Таким образом, в силу A74.8) имеем
j Г'2П (r') dr>
О
Чтобы исключить X, продифференцируем полученное уравне-
уравнение по г:
т
10 ,, an . Ze2 4ле2 f ,, , ,, , , А
Тш~ hTr + W	РГ J г гП (г ) dr =0.
о
(Вклады от дифференцирования интегралов по переменным пре-
пределам взаимно уничтожаются.) Умножая последнее уравнение
на г2 и снова дифференцируя по г, мы избавляемся от интег-
интегрального члена и получаем дифференциальное уравнение вида
Для дальнейшего удобно перейти от плотности электронов п (г)
к электростатическому потенциалу Ф (г); согласно задаче 172,
они связаны соотношением1'
Учитывая теперь, что потенциал Ф удовлетворяет уравнению
Пуассона
и вводя для краткости обозначение
C = 34fV2^,	A74.11)
находим уравнение
A74.12)
11 Для нейтрального атома /J = oo, а Ф(Я) = 0.—Прим. ред.

174. Энергия атома в модели Томаса—Ферми	147
которое, если принять во внимание равенство
совпадает с уравнением, выведенным в задаче 172 другим спо-
способом.
Соотношения A74.10) и A74.11) позволяют избавиться от
дробных степеней функции п в формулах A74.2) — A74.4), где
в зависимости от обстоятельств следует положить
либо « = ^-V2O, либо я = -4^-Ф"/2-	A74.13)
Таким образом, имеем
$	A74.14а)
т,	A74.146)
Эти интегралы можно значительно упростить, приняв во внима-
внимание сферическую симметрию и вводя вместо Ф (г) функцию
Ф(г) = ^Ф(г)	A74.15)
Так как
то из формулы A74.14а) теперь следует
00	t	Ю	\
tp'*dr\. A74.16a)
о	\	о	)
Аналогично с помощью A74.146) получаем
ЕLoU = - -^ J -§• Ф" dx = ZWy' @).	A74.166)
Чтобы вычислить интеграл, входящий в формулу A74.14в), прежде
всего заметим, что
г	»
0
г	со
	 ^? [ „ „*// I „ \ J_ I *7„ I „" /_ \ J*.	^^

И8	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
Таким образом, вместо A74.14в) теперь имеем
со
= ~ J / (г) V2Odx = 1 Ze J гЧ (r) ^dr =
о
о
[	\гЛ. A74.16b)
о	'
Вместо переменной г удобно использовать безразмерную пе-
переменную х, определив ее соотношениями
Г	( 9Я2	%
а
A74.17)
(см. задачу 172). Так как при малых г, или, что то же самое,
при малых х имеет место разложение
то в формулах A74.16а) — A74.16в) можно положить
Отсюда окончательно получаем
а
A74.18)
3 Z^e^
	 ___ , (\\ __
„„Л 	 ^^ —— 1 1Д^ __ ^
н о а '
где
со
У = 1EJ^х-	A74.19)
о
Выше и производная ц и интеграл У не зависят от Z, поскольку
они определяются исключительно универсальной функцией ф (х).
Таблица значений функции ф (х) приведена в задаче 172. С по-
помощью этой таблицы находим
|х = — ф'@)= 1,588,	У = 0,454.	A74.20)
Отсюда для полной энергии атома, т. е. для суммы трех выра-
выражений A74.18), получаем
E = — — (lii-Jrl.j)== — O,b8Q — .	A74.21)
Так как а ~ Z~1/a, то полная энергия пропорциональна Z'/»:
Г'« ридберг = — 20,93Z'/a ЭВ. A74.22)

	175. Теорема вириала для модели атома Томаса —Ферми	149
Задача 175. Теорема вириала для модели атома Томаса—Ферми
С помощью метода, развитого в задаче 151, доказать теорему
вириала для модели атома Томаса — Ферми. В качестве след-
следствия этой теоремы получить связь между величинами \у и J,
определенными в предыдущей задаче [см. A74.20)], и выяснить,
каков относительный вклад составных частей энергии атома
в его полную энергию.
Решение. Пользуясь масштабным преобразованием, заменим
функцию п (г) набором функций
пк(г) = к*п(кг),
каждая из которых удовлетворяет условию нормировки
В результате отдельные части энергии электронов [выражения
A74.2) — A74.4)] преобразуются к виду:
) m _ а
отен УР") — ЛА^ потен.
Таким образом, получаем
Так же как и в задаче 151, мы должны потребовать, чтобы
дЕ(к)/дК — 0 при Х=1. Из этого требования сразу же следует
теорема вириала
2?к„„ + Е потен = 0.	A75.1)
Подставляя в последнее равенство выражения A74.18), по-
получаем
ri = ^t/	A75.2)
в полном согласии с числовыми значениями A74.20). Различные
части энергии электрона A74.18) теперь можно выразить через
величину J. Мы имеем
	 т i pd) 	 ___ 11 р^) 	—-[ 1	A7^ Ч\
кин ~2~	-Употел ¦ о" »	потен 2	\i i о .О)
где
A75.4)

150	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
Отсюда для полной энергии атома получаем
E = -^U,	A75.5)
что опять-таки находится в согласии с числовым результатом,
найденным в конце предыдущей задачи. Как и должно быть,
сравнение выражений A75.5) и A75.3) вновь приводит к теореме
вириала.
Задача 176. Приближение Тайтца для модели атома
Томаса — Ферми
В случае нейтрального атома вместо универсальной функции
Томаса — Ферми <ро(х) можно воспользоваться очень хорошим
приближенным выражением
*	A76Л>
выбрав фигурирующий в нем параметр а надлежащим образом.
Предполагая, что функция <р удовлетворяет точному условию
нормировки и что а не зависит от Z, найти числовое значение
этого параметра, а также сравнить числовые значения функций
ф и ф0.
Решение. В задаче 172 было показано, что плотность элек-
электронов п(г) и потенциал атома (в атомных единицах)
V(г) = ——<Ро(г)	A76.2)
связаны соотношением
A76.3)
Отсюда следует, что условие нормировки
со
4л J г2л (г) dr = Z	A76.4)
о
J
о
можно записать в виде
00
3^ BZ)V. J г-/2фо8/г (х) dr = Z.	A76.5)
о
Это равенство является для функции ср0 {х) точным, если
* = -?. и a = 0,88534Z-V..	A76.6)

176. Приближение Тайтца для модели атома Томаса — Ферми 151
Теперь мы заменим функцию ф0 приближенной функцией ф, опре-
определяемой выражением A76.1), но будем считать, что условие
нормировки по-прежнему остается в силе. После замены пере-
переменных у = ах=(а/а)г получаем
Зя
v I a \'/i
а
= 1.
A76.7)
Последний интеграл можно вычислить с помощью подстановки
и = у2. Действительно, нетрудно проверить, что
Г
J
VJdy
Фай
1 Ги(И«-1)
Подстановка пределов интегрирования у = 0 и у — оо дает зна-
значение я/8, и в силу A76.7) получаем
а.	A76.8)
A76.9)
Отсюда с учетом соотношения A76.6) находим
а = 0,53625.
Используя полученное значение параметра а, можно сравнить
числовые значения функций % и ср. Соответствующие данные
приведены в нижеследующей таблице.
ж
0
0,1
0,2
0,5
1,0
2,0
5,0
10,0
Ф
1
0,9008
0,8156
0,6219
0,4237
0,2328
0,0738
0,0247
Фо
1
0,8817
0,7931
0,6070
0,4240
0,2430
0,0788
0,0243
Ф-Фо
0
+0,0191
+0,0225
+0,0149
—0,0003
—0,0102
—0,0050
+0,0004
Замечание. В оригинальных работах Тайтца [Tietz Т., Journ. Chem. Phys.,
25, 787 A956); Zs. Naturforsch., 23a, 191 A968)] вместо нашего нормировоч-
нормировочного множителя 0,60570 [равенство A76.8)] использован множитель 0,64309.
Таким образом, приближение Тайтца не удовлетворяет точному условию нор-
нормировки. Однако в его приближении разности ф — ср0 в наиболее существенной
области 0 < х < 0,5 несколько меньше наших, хотя при х > 1 наше прибли-
приближение лучше.

152	/V. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
Задача 177. Вариационный метод для модели атома
Томаса — Ферми
В вариационной задаче, эквивалентной дифференциальному
уравнению Томаса — Ферми, использовать в качестве пробных
функций функции Тайтца
считая а параметром Ритца.
Решение. Дифференциальное уравнение
ф" = х-'/.ф»/,	A77.2)
эквивалентно вариационной задаче об экстремуме- интеграла
х	A77.3)
при фиксированные граничных условиях ф@) = 1 и ф(оо) = 0.
Подставляя удовлетворяющую граничным условиям пробную
функцию A77.1) в интеграл A77.3), получаем
Для вычисления этого интеграла положим во втором слагаемом
осх = /2 и воспользуемся формулой
С dt _ 1 / t	7
J {l + Pf.~ 8 j(l+/2L+ 6
35
справедливость которой нетрудно проверить. В результате на-
находим
J^Т
Таким образом, условие экстремума dj/da = 0 дает
a = (SV/s = 0,570.	A77.5)
Это значение а лишь слегка отличается от значения а = 0,536,
которое, как было показано в предыдущей задаче, удовлетворяет

178. Влияние экранировки на К-электроны	153
точному условию нормировки
ч1х = 1.	A77.6)
В нашем же случае значение интеграла равно
,, я 32
т. е. приближенная функция, минимизирующая значение интег-
интеграла J, соответствует наличию в атоме 32labZ электронов.
Задача 178. Влияние экранировки на /('-электроны
Найти поправку к энергии связи /("-электрона, обусловленную
экранировкой. При расчетах использовать приближение Тайтца
для модели атома Томаса — Ферми.
Решение. Предположим, что из атома с зарядом ядра Z уда-
удалены единичный ядерный заряд и один из двух /("-электронов.
В результате такой операции у нас получился бы нейтральный
атом с зарядом ядра Z—1. Если теперь вернуть ядру удаленный
ранее положительный заряд, но пренебречь его влиянием на
движение оставшихся Z— 1 электронов, то полученная таким
образом система зарядов будет создавать в пространстве электро-
электростатический потенциал, описываемый формулой (ниже исполь-
используются атомные единицы)
Ф(/-) = у + ^Ф(*),	A78.1)
где (f(x)—функция Томаса — Ферми от переменной
* = ¦?-, а = 0,88534 (Z—1)-1/..	A78.2)
Если теперь добавить к этой системе ранее удаленный /("-элек-
/("-электрон (заряд —1), то его потенциальная энергия будет равна
У(г) = _ф(г).	A78.3)
Для дальнейших расчетов воспользуемся теорией возмуще-
возмущений. Без учета экранировки выражение для потенциальной энер-
энергии /(-электрона имело бы вид

154	IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
Таким образом, с учетом экранировки имеем
V{r) = -\-^-<t{x) = Vu{r)+Z-^[\-4(x)). A78.4)
В пренебрежении экранировкой энергия Ео и соответствующая
ей волновая функция и0 (г) /С-электрона определяются выраже-
выражениями
±	^L-*'.	A78.5)
Благодаря экранировке энергетический уровень в первом порядке
теории возмущений сдвигается на величину
Последнее выражение после подстановки в него функции и„
принимает вид
да
$«-«*'[l—q>(je)]dr.	A78.6)
Теперь уже можно воспользоваться приближением Тайтца (см.
вадачу 176):
'	а = 0,53625.	A78.7)
Чтобы вычислить интеграл A78.6), перейдем к новой переменной
*-РA+ах),	A78.8)
где
p = 2Z-j- = 3,302Z(Z—1)-''..	A78.9)
В результате получаем
fe-«(/— p—^--\-^)dt. A78.10)
3
Фигурирующий здесь интеграл
представляет собой хорошо известную функцию, асимптотическое
поведение которой при больших значениях |3 описывается, рядом
+ J±

	178. Влияние экранировки на К-электроны	155
Что же касается интеграла от последнего члена в формуле
A78.10), то он также выражается через Е1 (р):
со
?.(Р) = ?е-*? = -^	?i(P).	A78.13)
Таким образом, находим
A78.14)
Отсюда при р^>1 с учетом разложения A78.12) окончательно
получаем
24 150	\
± ) A78.15)
Переходя к числовым оценкам величины сдвига энергетиче-
энергетического уровня A?f, прежде всего заметим, что параметр р, опре-
определяемый формулой A78.9), действительно велик (см. также
приведенную ниже таблицу), поэтому приближение A78.15)
является вполне разумным. В третьем столбце таблицы даны
значения выражения, стоящего в круглых скобках в формуле
A78.15) (начальные члены этого ряда быстро убывают). При
изменении Z от 20 до 80 сдвиг энергетического уровня A?f
составляет 26—12% от величины |?„|. Следовательно, он дейст-
действительно представляет собой всего лишь поправку, хотя и не
настолько малую, чтобы учет второго порядка теории возмуще-
возмущений не мог изменить ее на несколько процентов. Надо, однако,
иметь в виду, что уже сама по себе используемая модель
Томаса — Ферми слишком груба, поэтому учет второго порядка
теории возмущений физически нецелесообразен.
В рентгеноспектроскопии обычно принято характеризовать
сдвиг энергетического уровня с помощью экранировочной посто-
постоянной s, определяемой равенством
|	J.	A78.16)
Из этого определения следует
/Izii)	A78Л7)
Значения экранировочной постоянной, рассчитанные по этой
формуле, также приведены в нашей таблице. Так как

156
IV. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц
то для грубой оценки квадратный корень можно заменить сте-
степенным разложением, и мы получаем
s^Z^- = ^
^""/ 0 1/71	7 *
Таким образом, экранировочная постоянная примерно пропор-
пропорциональна Z'/s. Если для оценок воспользоваться грубой фор-
формулой вида
то с ее помощью нетрудно получить следующие пары значений:
Z = 20	50 80
а =1,03 1,12 1,15.
Однако определять коэффициент пропорциональности а с такой
большой точностью не имеет смысла. Сравнение эксперимен-
экспериментальных значений экранировочной постоянной s с ее теоретиче-
теоретическими значениями показывает, что вплоть до Z = 50 согласие
между теорией и экспериментом довольно хорошее, но по мере
дальнейшего роста Z согласие между ними нарушается. Вместо
предсказываемого теорией медленного увеличения s фактические
значения экранировочной постоянной, достигнув максимума 3,7,
начинают сначала медленно, а после Z = 70 быстро убывать.
Вполне очевидно, что отмеченное противоречие между теорией
и экспериментом при больших значениях Z следует приписать
релятивистским эффектам. Такое заключение качественно под-
подтверждается данными, приведенными в двух последних столбцах
нашей таблицы.
Z
20
30
40
50
60
70
80
3
24,75
32,25
38,96
45,12
50,90
56,35
61,56
A- ..¦)
0,847
0,880
0,897
0,910
0,921
0,927
0,932
52,2
95,2
144,3
198,0
257,3
318,6
384,0
|Е„|
200
450
800
1250
1800
2450
3200
i
2,81
3,36
3,79
4,13
4,42
4,71
4,96
Д?г
—17,1
—41,7
—86,3
—160
—273
S'
3,35
3,26
2,94
2,34
1,62
Согласно релятивистской квантовой механике (см. задачу 203),
невозмущенная энергия /("-электрона понижается на величину

	178. Влияние экранировки на К-электроны	157
Этот сдвиг уровня надо добавить к сдвигу AES, обусловленному
экранировкой, и лишь затем вычислять экранировочную постоян-
постоянную. Результаты таких расчетов приведены в последнем столбце
нашей таблицы. Так как суммарный сдвиг
по мере роста Z делается все меньше и меньше по сравнению
с первоначальным сдвигом AES, то исправленное значение экра-
нировочной постоянной s, характеризующее отклонение эффек-
эффективного поля от неэкранированного поля ядра, также убывает
все быстрее с ростом Z, что согласуется с данными экспери-
эксперимента. Строго говоря, релятивистские эффекты следовало бы
учесть не только при вычислении энергии Ео, но и при вычис-
вычислении сдвига AES. В этой связи наши результаты нужно рас-
рассматривать как сравнительно грубое приближение, однако до-
допускаемая нами ошибка вряд ли выходит за рамки точности
модели Томаса — Ферми, не учитывающей эффектов, обуслов-
обусловленных оболочечной структурой атома.

V. Нестационарные задачи
Задача 179. Двухуровневая система под действием не зависящего
от времени возмущения
Система обладает только двумя стационарными состояниями
|1> и | 2> с энергиями %аг и %а2Aш1<1шг). В момент времени
/ = О, когда система находилась в основном состоянии, было
включено не зависящее от времени возмущение W. Вычислить
вероятность обнаружения системы в том или ином из ее воз-
возможных состояний в момент времени /.
Решение. Пусть Н означает гамильтониан невозмущенной
системы, так что два ее возможных стационарных состояния
описываются уравнениями
&	A79.1)
Тогда решение уравнения Шредингера при наличии возмущения
можно выразить через стационарные состояния:
Ж0> = С!(Ое-«><< 11> + сг(*)е-*м12>.	A79.3)
Эта возможность обусловлена тем, что состояния |1> и |2>
образуют полный ортонормированный набор состояний и соот-
соотношение A79.3) представляет собой просто-напросто разложение
состояния | г|5> по указанному полному набору, причем коэффи-
коэффициенты разложения являются функциями времени и должны
определяться из начальных условий
Сг(О)=1, са@) = 0.	A79.4)
Если выражение A79.3) подставить в уравнение A79.2) и
умножить1» это уравнение почленно на <11 или на <2|, то в
результате для определения коэффициентов мы найдем два диф-
*> Здесь имеется в виду скалярное умножение совектора на вектор в гиль-
гильбертовом пространстве состояний.

	179. Двухуровневая система под действием возмущения	159
ференциальных уравнения первого порядка:
% ¦
—	Jcie 'ffll' = <l|^|l>c1e '^+<l\W\2yc2e '«.«, A?g 5)
—	^ с2е~ '<*»< = <21 W 11 > c^-^M + <21 W 12> с„е~1^.
t
Пусть для краткости
тогда в силу эрмитовости оператора W диагональные матричные
элементы Wn и W22 будут действительными, а недиагональные
матричные элементы будут связаны соотношением
Пользуясь обозначением
со0 = соа—сог	A79.6)
(о0 есть, очевидно, разность энергий двух рассматриваемых
состояний), уравнения A79.5) можно переписать следующим
образом:
A79.7)
W^e'^c. + W,^.
Решение этой системы ищем в виде
сх = Ае-ш, сл = Ве-{10-в>л*.	A79.8)
После подстановки выражений A79.8) в систему уравнений A79.7)
получаем
(Wu—iUo)
%
Определитель этой системы линейных алгебраических уравнений
обращается в нуль при двух значениях частоты со:
«Li^-^ + yYitf.	A79.9)
где
Далее имеем

НЮV. Нестационарные задачи
и, следовательно,
Постоянные Ах и Ап можно исключить, воспользовавшись на-
начальными условиями A79.4). Несложные вычисления приводят
к следующему результату:
с, (t) = ехр [-1 ^±i + ± v) *J (cos at + i^sin at") , A79.12a)
ina^	A79.126)
Отсюда для вероятности обнаружить систему в возбужден-
возбужденном состоянии получаем
Последнее выражение с учетом A79.10) принимает вид
*IE«i!	sin2a;.	A79.13)
Вероятность обнаружить систему в исходном основном состоянии
определяется' выражением
\ c^tW = cos* at+(?j sin* at,
или
|с1@11 = 1	HZitlf	sin2 at.	A79.14)
lW	(UYJ + 4|lF|s	v	;
Заметим, что сумма выражений A79.13) и A79.14) равна единице.
Таким образом, рассматриваемая система осциллирует между
двумя стационарными состояниями с периодом л/о.
Задача 180. Действие периодического возмущения
на двухуровневую систему
Имеется та же самая двухуровневая система, что и в пре-
предыдущей задаче. В момент времени / = 0 включается периодиче-
периодическое возмущение Wcoswt (например, световая волна), частота
которого почти совпадает с частотой со0 = (о2—a>lt соответствую-
соответствующей разности энергий двух рассматриваемых уровней. Опреде-
Определить вероятность обнаружения системы в том или ином из ее
возможных состояний в момент времени t после включения
периодического возмущения.

	180. Действие периодического возмущения на двухуровневую систему 161
Решение. Решение уравнения Шредингера
-т!^>==[# + ^созсй/]|г|»	A80.1)
ищем в виде
\q(t)> = c1(t)e-i<»'!\b+ci(t)e-«»>l\2>,	A80.2)
где коэффициенты разложения должны определяться из началь-
начального условия
Ц>@)> = |1>, или М0)=1, с,@) = 0.	A80.3)
Выше 11> и |2> —решения уравнения Шредингера для стацио-
стационарных состояний:
Я|1> = Йсох|1>, Я|2> = й(о2|2>,	A80.4)
причем указанные стационарные решения можно считать орто-
нормированными. Подставляя выражение A80.2) в уравнение
A80.1) и умножая затем это уравнение на <1| или <2|, полу-
получаем два дифференциальных уравнения для определения величин
с,@ и c%(t):
A80.5)
It/
. С-о
Введем
!-ttD'' = COS@/
!- '«!< — Cos G)<
обозначение
KM
{<2|
W| l>c,e-iM<
co0 = co2—
<(+<l|
l(+<2|
@,
W
|2>
|2>
и, кроме того, положим
со—соо = Ла>.	A80.6)
Ниже будем считать, что
|Д©Кш0.	A80.7)
Система уравнений A80.5) теперь принимает вид
1	в')с, +<11 W 1
2>
При такой записи отчетливо выявляется наличие членов двух
типов: высокочастотных —с частотами порядка со и 2со и низко-
низкочастотных—с частотой Дсо. Усреднение по временному интер-
интервалу 2я/со позволяет избавиться от высокочастотных членов,
6 №1172

162	V. Нестационарные вадачи
поэтому, заменив коэффициенты сх и сг усредненными величинами
t + x
*(t) = ± J
1-Х
где
получим для этих усредненных величин значительно более
простую систему уравнений, если при усреднении будем считать
медленно меняющиеся множители exp (± iAco/) постоянными:
4-<l|
,	A80.8)
<2\W\liltC
Система дифференциальных уравнений A80.8) Допускает точ-
точное решение. Действительно, дифференцируя почленно одно из
них и исключая с помощью другого уравнения одну из иско-
искомых функций, получаем
С, — {Ао)С,+-|-?2аС, = 0,
. ,	A80.9)
^Q2
где
Q2=-i-<l|r|2><2|W|l>=J-|<2|r |1>|2. A80.10)
Если теперь ввести обозначение
# = 1/"й2 + (АсоJ,	A80.11)
то решение последней системы, удовлетворяющее начальным
условиям A80.3), можно записать в виде
080.12)
Фигурирующие здесь постоянные интегрирования А и В можно
вычислить, подставив выражения A80.12) в систему уравнений
первого порядка A80.8). Указанная подстановка дает
Л—/А», В = -1Щ^>.	A80.13)

180.. Действие периодического возмущения на двухуровневую систему 163
Для вероятности обнаружить систему в возбужденном состоя-
состоянии в момент времени t получаем
lcl'sinl
Вероятность же обнаружить систему по-прежнему в основном
состоянии имеет вид
31?'	A80Л5)
Согласно формуле A80.14), переход системы в возбужденное со-
состояние представляет собой типичный резонансный процесс:
вероятность возбуждения быстро падает по мере роста величины
|Дсо|. Необходимо подчеркнуть, что наше рассмотрение право-
правомерно лишь до тех пор, пока выполняется условие A80.7). Про-
Процесс возбуждения системы периодически повторяется с частотой R,
определяемой выражением A80.11), которое в основном зависит
от величины матричного элемента. Спустя время
'« = lf. «=!. 2« 3- ••••	A80.16)
система вновь будет обнаружена в основном состоянии. Таким
образом, если периодическое возмущение, например световая
волна, включается в момент времени / = 0, а затем выключается
в момент времени t — tn, то в результате мы не обнаружим ни-
никаких изменений в состоянии системы.
Приложение. Пусть гамильтониан Н описывает взаимодействие s-электрона
с магнитным полем ЗС0, направленным вдоль оси г. В этом случае величина
% (ш2—a>i) равна расстоянию между уровнями, отвечающими противоположным
ориентациям спина. Если состояние | 2> соответствует верхнему уровню, а со-
состояние | 1> — нижнему, то ш0 = 2ц,^0/д. Пусть теперь возмущением служит
переменное магнитное поле, 9C'cosu)^, так что
Если поле Ж параллельно полю 9€0, то матричный элемент <1 | W | 2> обра-
обращается в нуль. В этом случае каждое из состояний | 1> и | 2> независимо
подвергается действию возмущения, но переходы между ними отсутствуют.
Если же поле ft' перпендикулярно полю ЗС0 (можно, например, считать, что
оно направлено вдоль оси х), то диагональные матричные элементы оператора W
обращаются в нуль и мы приходим в точности к той самой задаче, которая
была разобрана нами выше, причем в данном случае
Согласно полученным ранее результатам, если <в я <в0, такая система будет
вести себя резонансным образом, попеременно переходя из одного магнитного
состояния в другое. Рассмотренный пример представляет собой простейший
случай парамагнитного резонанса.
6*

164	V. Нестационарные задачи
Задача 181. Теория возмущений Дирака
Пусть у атомной системы имеются невырожденные стацио-
стационарные состояния |ita>. В момент времени / = 0 система нахо-
находится в основном состоянии |ifo>! c этого момента на нее начинает
действовать возмущение (зависящее или не зависящее от времени),
которое вызывает переходы в другие состояния \^{>. В момент
времени t возмущение выключается. Считая возмущение малым,
найти вероятность обнаружения системы в состоянии |i|)j>.
Решение. Пусть состояния невозмущенной системы удовлет-
удовлетворяют уравнению Шредингера
—|||^> = Я|^>,	A81.1)
где
и пусть, кроме того,
<l\k> = 8kl.	A81.2)
После включения возмущения W состояние системы будет опи-
описываться уравнением
f|	A81.3)
Состояние |ij)> можно разложить в ряд
1*> = ]|1а*@|**>.	A81.4)
В силу соотношений A81.2) из формулы A81.4) следует1'
A81.5)
Величина | ак |2 представляет собой вероятность обнаружить си-
систему в состоянии |i|)ft> в момент времени /.
Подставляя сумму A81.4) в дифференциальное уравне-
уравнение A81.3), получаем
—7 X ^ь- 1>а)*а*I ^> = X $и* + W) а, | ^>.
Умножая последнее равенство почленно на </1 и учитывая затем
1} Если наряду с дискретным имеется непрерывный спектр, то последний
путем введения куба периодичности формально можно преобразовать в дис-
дискретный спектр и включить его, таким образом, без дальнейших осложнений
в суммы A81.4) и A81.5).

181. Теория возмущений Дирака	165
соотношения A81.2), находим
W | Л> ал.	A81.6)
До сих пор мы не прибегали ни к каким приближениям, и по-
последнее уравнение является точным. Оно отражает тот факт, что
скорость перехода в состояние | /> зависит от всех состояний
системы, которые при действии данного возмущения комбинируют
с состоянием |/>. Разумеется, этот же вывод следует и из соот-
соотношения A81.5). Действительно, если один из коэффициентов,
скажем at, изменился, то должны измениться и другие коэффи-
коэффициенты, так чтобы сумма A81.5) оставалась постоянной. (См. также
задачу 179, где рассмотрен случай системы с двумя возможными
состояниями.)
Если возмущение мало, то для получения первого прибли-
приближения мы можем подставить в правую часть уравнения A81.6)
начальные значения
A81.7)
а*@) б,0.
В случае 1фО вместо A81.6) получаем
а, = — ±е-'<юо-«х><</|
A81.8)
Заметим, что по сравнению с задачей 179 наше рассмотрение
имеет теперь значительно менее общий характер, так как мы
пренебрегаем обратными переходами из состояния | /> в состоя-
состояние |0>. Интегрирование уравнения A81.8) дает
4- f</|lP|O>e-'<«»-ei>''d*\	A81.9)
Величина этого интеграла в значительной мере определяется тем,
как именно возмущение W, а следовательно, и его матричные
элементы зависят от времени.
Наше приближение правомерно лишь до тех пор, пока
так что все коэффициенты а1 (/) все время остаются малыми.
Надо заметить, что в силу неравенства A81.10)
(«"*-«».)<< к, I у ю>|-
Так как стоящая в числителе энергия возбуждения обычно зна-
значительно больше матричного элемента, стоящего в знаменателе,

166	V. Нестационарные задачи
то показатель экспоненциальной функции, фигурирующей в фор-
формулах A81.8) или A81.9), может оказаться довольно большой
величиной, поэтому коэффициент at (t) будет в этом случае ос-
осциллирующей функцией времени, что не вполне согласуется
с основной идеей, лежащей в основе используемой нами теории
возмущений. В нижеследующей задаче показано, каким образом
можно избавиться от этой трудности.
Задача 182. Периодическое возмущение и резонанс
Пусть атомная система, рассмотренная в предыдущей задаче,
подвергается действию периодического возмущения
A82.1)
Обсудить вопрос о резонансном поглощении и выяснить, каким
образом влияет на вероятность переходов конечная ширина спект-
спектральной линии возмущающего поля.
Решение. Подставив выражение A82.1) в общую формулу
первого порядка теории возмущений A81.9) и выполнив интег-
интегрирование, получим
е((Ш(-(Оо-И) t _ I
Энергия возбуждения, ?В0Эб = ^ (шг — шо)> является положительной
величиной, поэтому при резонансе, когда %(л = Евоз6, первый
член в выражении A82.2) значительно больше второго члена.
Таким образом, если выполнено условие частот Бора
со = сог —со0,	A82.3)
то система забирает энергию от приложенного к ней перемен-
переменного поля и мы имеем
A82.4)
Эта формула остается справедливой и в том случае, когда
спектральная линия возмущающего поля имеет конечную ши-
ширину. Если интенсивность возмущающего поля в интервале частот
между со и co + dco характеризуется выражением p(co)da>, то
можно написать
Г sin2-к-(ш, — <в0— ш)/
I а, (/) |2 = р (со) • 4 |</1Т | 0>|« —i-f	— dco. A82.5)
^	Л2 (О) <0О)J
-к-
(О); — <0О—О)J

182. Периодическое возмущение и резонанс
167
Вводя сюда новую переменную интегрирования
получаем
= —[со — (со,—о)о)]/,
-2Л
Фиг. 70. Функция sin2*/*2, описывающая естественную форму спектральной
линии.
Фигурирующий здесь множитель sin2*/*2 имеет резкий максимум
при х = 0 (фиг. 70), поэтому основной вклад в интеграл
sin2*
происходит от области |#|<я. Внутри этого интервала мы,
очевидно, имеем | 2x11 \ < 2n/t. Так как в рассматриваемом слу-
случае должно выполняться условие A81.10), согласно которому
и так как матричный элемент обычно мал по сравнению с энер-
энергией возбуждения, то аргумент функции р можно заменить раз-
разностью сог—со0. Аналогичными соображениями можно восполь-
воспользоваться и при рассмотрении матричного элемента, который
можно, таким образом, считать не зависящим от переменной
интегрирования х. В результате получаем выражение
0
A82.6)
из которого видно, что вероятность обнаружить систему в со-
состоянии |/> растет пропорционально времени t. Это позволяет
ввести не зависящую от времени вероятность перехода, опреде-

168	V. Нестационарные задачи
лив ее соотношением
pl==l.\al(t)Y.	A82.7)
В силу A82.6) вероятность перехода имеет вид
г 0\|2рК-со0). A82.8)
Замечание. Последнее выражение по форме очень напоминает золотое
правило, которое рассматривается в задаче 183. Следует, однако, иметь в виду,
что золотое правило получается в результате суммирования по близко лежа-
лежащим конечным состояниям, в то время как выражение A82.8) получено путем
интегрирования по непрерывному спектру частот внешнего возбуждающего
поля. При этом мы приняли без доказательства, что суммировать необходимо
не амплитуды [выражение A82.2)], а вероятности [выражение A82.5)].
Задача 183. Золотое правило для рассеяния
Пучок частиц с начальным импульсом /?,= А*,- упруго рас-
рассеивается на потенциале W (г) внутрь телесного угла dQj, причем
в конечном состоянии pj = 1vkf. Пользуясь нестационарной тео-
теорией возмущений Дирака, получить дифференциальное сечение
рассеяния da/dQf.
Решение. Согласно A81.9), в первом порядке нестационарной
теории возмущений Дирака
t
af(t) = — 1J </1 W\ t> e-' <«"-»r>*' dt'.	A83.1)
Если матричный элемент не зависит от времени, то этот интег-
интеграл легко вычислить, и в результате получаем следующую ос-
основную формулу:
И начальное и конечное состояния принадлежат непрерывному
спектру. Вводя нормировочный объем, соответствующие волновые
функции можно записать в виде
\i> = V-li*ef*rr, <f\ = V-1t*e-№fr.	A83.3)
При конечном объеме V в окрестности состояния </| имеется
очень большое число близких к нему состояний, причем в, пре-
пределе V —> оо даже в бесконечно малой окрестности их число
оказывается бесконечным. По этой причине вопрос о вероятности
перехода в одно отдельно взятое конечное состояние < /| с вполне

	183. Золотое правило для рассеяния	169
определенным значением импульса tkf становится бессмысленным,
и мы можем спрашивать лишь о вероятности обнаружить рас-
рассеянные частицы в некотором интервале конечных состояний.
Пусть pf (Ef) dEt означает число состояний внутри интервала
dEf конечных энергий Ef и пусть эти состояния характеризуются
импульсами, лежащими внутри телесного угла duf, тогда веро-
вероятность перехода в единицу времени в указанный интервал те-
телесных углов будет определяться выражением
A83.4)
Такое определение является разумным лишь в силу того, что
приведенное выражение не зависит от времени, а интегрирование
фактически распространяется на очень узкий интервал энергий.
Перейдем к новой переменной интегрирования
и положим, кроме того,
тогда
Ef =
Отсюда, согласно формулам A83.2) и A83.4), получаем
При вычислении последнего интеграла мы вправе воспользоваться
соображениями, изложенными в предыдущей задаче. Вклад в ин-
интеграл по очень большому интервалу переменной х с центром
в точке х = 0 дают лишь состояния из очень узкого интервала
энергий с центром в точке Ef = E{, поэтому
^W\i>\\	A83.5)
Для вероятности перехода целесообразно сохранить обозначение
в виде дифференциала dT, так как в величине pf пока еще со-
содержится бесконечно малый интервал телесных углов dQf (воз-
(возможно, что в связи с этим саму величину pf было бы лучше
обозначать посредством dpf). Равенство A83.5) называют золотым
правилом.
Полученная вероятность перехода очевидным образом зависит
от нормировочного объема V и от начальной скорости va = %kilm
сталкивающихся с мишенью частиц. Вместо вероятности пере-

170	V. Нестационарные задачи
хода целесообразно ввести величину do, не зависящую от нор-
нормировочного объема V, определив ее равенством
dT = ^-da.	A83.6)
Эта величина имеет размерность см2 и представляет собой диф-
дифференциальное сечение рассеяния, причем, согласно золотому
правилу A83.5),
do = ^-p,(E)^\<f\W\i>\:	A83.7)
Таким образом, нам остается вычислить плотность конечных
состояний pf и получить выражение для матричного элемента.
Плотность конечных состояний можно вычислить, приняв во
внимание, что на одно состояние бесспиновой частицы в им-
импульсном пространстве приходится объем, равный Bnhy/V.
Поэтому в произвольном элементе объема импульсного пространст-
пространства d3p содержится
состояний. Учитывая, что
d3p = р* dp dQ = mp dE dQ,
получаем
и, следовательно,
da
В случае упругого рассеяния множитель kflki=\ и его в даль-
дальнейшем можно опустить.
Для сферически симметричного потенциала W (г) матричный
элемент между состояниями, описываемыми плоскими волнами
A83.3), имеет вид
</1 W 11> = i, J e-K-'W (r) d3x,	A83.10)
где K = kt—kj—так называемый переданный импульс (в едини-
единицах ft). Интегрирование по угловым переменным дает
A83.11)

184. Борновское рассеяние в импульсном представлении	171
поэтому окончательно получаем
ее
da
diif
fa .	W Kr
A83.12)
Результат A83.12), как и следовало ожидать, совпадает с фор-
формулой первого борновского приближения (см. задачу 105). Дейст-
Действительно, наша исходная формула A83.1) уже предполагает, что
рассеивающий потенциал W (г) рассматривается в качестве воз-
возмущения; именно по этой причине для описания начального и
конечного состояний были использованы плоские волны.
Задача 184. Борновское рассеяние в импульсном представлении
Пользуясь импульсным представлением и ограничиваясь пер-
первым порядком нестационарной теории возмущений, получить
выражение для дифференциального сечения рассеяния. Считать,
что возмущение включается в момент времени / = 0, а затем
остается постоянным.
Решение. Как было показано в задаче 14, при переходе
к импульсному представлению нестационарное уравнение Шре-
дингера
$ ^^ + v(r)q	A84.1)
заменяется интегро-дифференциальным уравнением вида
\	?	t)#k\ A84.2)
где / (k, t) и W (k) соответственно фурье-образы if (r, t) a V (г)
(нормировка та же, что и в задаче 14). Уравнение A84.2) можно
несколько упростить, введя вместо / новую функцию:
/(*, t) = v(k, 1)е-ш, w = ^^2-	A84-3)
Мы имеем
dv(k' f) = —У fe'<«-«»TWr(*—k')v(k', t)d3k'. A84.4)
dt	П J
При решении уравнения A84.4) в первом порядке теории
возмущений функцию v в подынтегральном выражении следует
заменить невозмущенной волновой функцией
vo{k, 0 = CBji)'/. 8(k—k0),	A84.5)
которая представляет собой фурье-образ плоской волны:
A84.6)

172	V. Нестационарные задачи
В результате уравнение A84.4) приобретает вид
n)V. w (к — *0
до (к, 0 = < CBn)V. w (к — *)e< «¦>-<¦><>>
= _ CBn)V
dt	%
Решением этого уравнения служит функция
v(k, t) = — ±rBny/'W{k — ko)~	-. A84.7)
> — <n0
Следовательно, вероятность обнаружить частицу с импульсом k
внутри интервала d3k в момент времени t (см. задачу 15) дается
выражением
|v {к, 0 |2 d3k = 'С ?^п? | W (k—k0) |2
где для краткости мы положили
х — 2 (ш -
Так как
Г si
2т ,
= -г- dx
At
sin2* ,
ах = я.
то вероятность перехода, определенная равенством
*\v(k, t)\*dk,	A84.8)
после интегрирования по dk принимает вид
dT= lcl2(^L/wfe \W(k — k9)\*dQ,	A84.9)
причем выше (см. задачу 183) |Л| = |Л0|. Дифференциальное сече-
сечение связано по определению с вероятностью перехода соотно-
соотношением
l*^do,	A84.10)
поэтому
do=№j^\W(k — ku)\*d?i.	A84.11)
В случае центрального взаимодействия эту общую формулу
можно несколько упростить, так как при вычислении фурье-

185. Кулоновское возбуждение атома	173
образа потенциала V (г) удается провести интегрирование по
угловым переменным. Мы имеем
со
^f^^r) A84.12)
где K = k—k0 — переданный импульс (в единицах %), причем К и
угол рассеяния ¦& связаны соотношением
/С = 2*0 sin ¦§••	A84.13)
Подставляя теперь выражение A84.12) в формулу A84.11), полу-
получаем хорошо известный результат для сечения рассеяния в пер-
первом борновском приближении:
Замечание. Переход от волновой функции /, описывающей состояние частицы
в импульсном представлении, к функции v соответствует в общем случае пере-
переходу от картины Шредингера к картине Дирака (представление взаимодейст-
взаимодействия). В отсутствие взаимодействия W (k) функция v не зависела бы от вре-
времени /. Формула для сечения рассеяния A84.14) была нами выведена ранее
в задаче 105. Заметим также, что фурье-образ W (k—k0) с точностью до нор-
нормировочного множителя есть матричный элемент потенциала V (г) в обычном
пространстве:
{2nfW(k — fto) = \
С учетом последнего замечания формуле для сечения рассеяния A84.11) можно
придать вид
т <к | V | fto> 2 dO.	A84.15)
Задача 185. Кулоновское возбуждение атома
Пусть на расстоянии b (прицельное расстояние) от' атома
щелочного металла пролетает электрон. Скорость электрона v
предполагается большой по сравнению со скоростью валентного
электрона в атоме. В результате кулоновского взаимодействия
атом может перейти в возбужденное состояние. С помощью неста-
нестационарной теории возмущений рассчитать эффективное сечение
такого процесса.
Решение. Будем описывать положение валентного электрона
относительно атомного остова (фиг. 71) радиус-вектором г(х, у, г).
Если налетающий электрон находится в точке Р, то энергию его

174
V. Нестационарные задачи
взаимодействия с валентным электроном можно записать в виде
A85.1)
где
A85.2)
*- и
Ниже будем пренебрегать эффектами, связанными с замедлением
или отклонением налетающего электрона. Кроме того, рассмат-
рассматривая налетающий электрон как клас-
классическую частицу, мы, конечно, не
учитываем и все обменные эффекты.
Если длина волны налетающего электро-
электрона мала по сравнению с прицельным
расстоянием & и с линейными размера-
размерами атома, то такое приближение вполне
разумно. Для простоты будем также
считать, что прицельное расстояние Ъ в
свою очередь велико по сравнению с ли-
линейными размерами атома, и, следова-
следовательно, можно воспользоваться разложением
¦>• х
Фиг. 71. Схема столкно-
столкновения электрона с атомом.
R
1
A85.2a)
В этом приближении матричный элемент перехода из основного
состояния (индекс 0) в возбужденное (индекс к) записывается
в виде
| V (/) 10> =
[ИJ+&2]3/
A85.3)
поскольку первый (статический) член из выражения A85.2а) дает
вклад только в диагональный матричный элемент <0|V|0>, отве-
отвечающий упругому рассеянию.
Если невозмущенное состояние | k> удовлетворяет уравнению
Шредингера
A85.4)
то возмущенное состояние записывается в виде
|^> = е-шо{ 10> _|_2' ak @e~to*' | k
k
где (см. задачу 181)
A85.5)

185. Кулоновское возбуждение атома	175
Отсюда вероятность обнаружить атом в возбужденном состоянии
\k> после того, как процесс столкновения закончится, равна
Р„ = \ал{оо)\*,	A85.6)
а эффективное сечение возбуждения состояния | k> получается
из нее интегрированием по прицельному расстоянию:
да
ok=--2n\\ah{<x>)\4:db.	A85.7)
о
Таким образом, задача в основном сводится к вычислению ампли-
амплитуды ak(oo). После подстановки выражения для матричного эле-
элемента A85.3) получаем
Вводя обозначения
последнее выражение можно переписать в виде
A85.9)
Оба фигурирующие здесь интеграла нетрудно вычислить, восполь-
воспользовавшись интегральным представлением модифицированной функ-
функции Ханкеля:
СО
j^*-	A85Л0)
j
о
Последний интеграл можно представить в	ином виде:
— \ —:—rr ds -4— 	J7- ds = — —'-—ту- ds,
2 J A+s2) /'	. J A-f sV'	2	J (l + sa)v>
О	П	-сю
поэтому
A85Л1)

176	V. Нестационарные задачи
Дифференцируя равенство A85.11) по р, получаем
cJPs	г
). A85.12)
Таким образом, имеем
ak (оо) = - ~ ¦ 4 • {<k | x | 0> (- р/С„ (P)) + i <k | г 10> p/C, (P)}.
A85.13)
Если атом не поляризован, то усреднение по поляризации дает
<А|х|0> = </г|г|0> = 0, 1<* I х\ 0> |2 = |<й| г| 0>|2, A85.14)
поэтому	-
аЛ (оо) |» = (?•)*•-1-.|<A|*|O>|»P4^.(P)+^(P)]- A85-15)
С учетом соотношений A85.7) и A85.8) для эффективного сече-
сечения возбуждения состояния |й> получаем
- A85.16)
Если бы в последнем интеграле нижний предел был отличен от
нуля, то мы могли бы написать
<*Р' = Р*о(Р)*,(Р)-	A85.17)
При малых значениях Р справедливы предельные соотношения
р/С,(Р)-* 1, /С.(Р)— С + 1пу,	A85.18)
где С = 0,5772...— постоянная Эйлера. Таким образом, рассмат-
рассматриваемый интеграл расходится при малых значениях Р, т. е.,
согласно A85.8), при малых значениях прицельного расстояния Ь.
Эта расходимость связана с использованием разложения A85.2а)
для энергии взаимодействия, которое имеет смысл лишь в том
случае, если расстояние г между валентным электроном и атом-
атомным остовом мало по сравнению с прицельным расстоянием Ь.
Возникшую расходимость можно устранить, полагая Ьмт = г0,
где гв — эффективный радиус атома. Согласно соотношению A85.8),
имеем
мин —	•	A6Э.1У)

186. Фотоэффект	17?
Так как скорость v должна быть велика по сравнению со ско-
скоростью валентного электрона, то Рмин^! и мы можем пользо-
пользоваться соотношениями A85.18). В результате для эффективного
сечения возбуждения атома получаем
A85.20)
Точное значение обрезающего радиуса г0 несущественно, так как
он стоит под знаком логарифма, а логарифмическая функция
сравнительно медленно меняется при изменении ее аргумента.
Примечание. Метод, использованный при решении этой задачи, заимствован
нами из теории кулоновского возбуждения атомных ядер: см., например,
Alder К. Winther W., Dan. Mat.-Fys. Medd.. 29, 19A955).
Задача 186. Фотоэффект
На атом водорода, находящийся в основном состоянии, падает
линейно поляризованная световая волна (^"Цх, Ж\\у), распро-
распространяющаяся в положительном направлении оси г. Найти угловое
распределение фотоэлектронов и вычислить дифференциальное
сечение фотоэффекта. Считать, что электроны в конечном состоя-
состоянии приближенно можно описывать плоскими волнами. Эффекты
запаздывания не учитывать.
Решение. Световую волну можно описать, задав вектор-потен-
вектор-потенциал А в виде
Лж = -?-«?„cos
[со (?--гг) + й], Ау = 0, Лг = 0, A86.1)
при этом отличные от нуля компоненты напряженностеи электри-
электрического и магнитного полей будут равны
Усредненный вектор Умова — Пойнтинга направлен вдоль оси г
и имеет величину
Отсюда для числа фотонов, падающих в 1 с на 1 см2, получаем

178	V. Нестационарные задачи
Энергия взаимодействия между световой волной и атомным
электроном, согласно задаче 125, имеет вид
W = —~ i (А ¦ V) = We-' + WV"»«,	A86.3)
где
Выше множитель exp(icoz/c), учитывающий запаздывание, мы
положили равным 1.
Теперь можно применить метод, развитый в задаче 182. Резо-
Резонансный знаменатель coy—со,- — со, обеспечивающий выполнение
закона сохранения энергии, имеется лишь в члене W. Полагая
получаем
Отсюда для вероятности перехода Pf из начального состояния 11>
в конечное состояние |/> находим выражение
P,= ^Pf\<f\Vf\i>\\	A86.5)
в котором pf означает плотность электронов в конечном состоя-
состоянии. Согласно соотношению A83.8), имеем
k	A86'6)
Здесь V — нормировочный объем, а hkf— величина импульса фо-
фотоэлектрона. Дифференциальное сечение фотоэмиссии в телесный
угол dUt определяется как отношение Pj/n, поэтому с учетом
соотношений A86.2) и A86.4) — A86.6) можно написать
(l86J)
Мы имеем дело с центральным взаимодействием, так что вол-
волновая функция основного состояния | iy не зависит от угловых
переменных и, следовательно, производная
^|t> = ^sin§coscp	A86.8)
пропорциональна сферической гармонике первого порядка1, по-
поэтому матричный элемент не исчезает только в том случае, если
состояние фотоэлектрона является р-состоянием.

186. Фотоэффект	179
Пусть конечное состояние фотоэлектрона приближенно описы-
описывается плоской волной, тогда
|/> = F-V^V-0SV = ^X B/+1)**/, (V) Р, (cosy), A86.9)
/=о
где у означает угол между векторами kf и г. Как уже говори-
лхь, из этой суммы вклад в матричный элемент дает лишь один
член (/^-состояние) с /=1:
/с д \ 3» Г h (kr) d I i> , , у»	. „	,„
(/ — i) = —^=- iiA— • —J— r2dr m cos у sin ¦& cos wdQ.
дх ' Y'V ) kr dr	J
о
Учитывая далее, что
cos у = cos хУ cos 0 + sin хУ sin 0 (cos ф cos Ф + sin ф sin Ф),
где 0, Ф и хУ, ф—сферические углы соответственно векторов kf
и г, нетрудно выполнить интегрирование по dQ:
sin 0 cos Ф ф sin2 хУ cos2 tpdQ = —^- sin 0 cos Ф.
Таким образом,
так что в силу A86.7) имеем
sin2© cos2 Ф. A86.10)
Для получения хороших количественных результатов фигурирую-
фигурирующую в последнем выражении радиальную функцию \t следует
заменить более точным выражением (напомним, что радиальная
функция j1 появляется у нас в результате использования при-
приближения плоских волн1'). Однако угловое распределение фото-
фотоэлектронов полученная формула описывает правильно. Такое
распределение согласуется и с классическими представлениями,
поскольку функция sin2 в cos2 Ф достигает максимума, когда фо-
фотоэлектроны вылетают параллельно оси х, вдоль которой направ-
направлен вектор электрической напряженности.
1( Приближение плоских волн приводит к правильным количественным
результатам, если наряду с первым учесть второе борновское приближение.
См., например, Лысое Б. А., Изв. вузов, Физика, 1, 71 A961).— Прим. ред.

180	V. Нестационарные задачи
Замечание. Для /(-электрона
(по поводу экранировочной постоянной s см. задачу 178), поэтому интеграл
из формулы A86.10) можно записать в виде
„	dr	k)a2 У~па ,) V х	J
о	о
где x — kf. Интеграл вычисляется элементарными методами, и мы получаем
О	2 2
Эта формула справедлива при условии kja^> 1, поскольку в противном случае
приближение плоских волн становится несостоятельным. Таким образом, имеем
У па
и
da 32е2 1 . „_ „Л
	=	— sin2 в cos2 Ф.
dQj тсаь чЩ
Учитывая далее равенство
2т	/'
окончательно получаем
da	e2 m%10 1
-г^г- » 8 (Z —sN sin2 в cos2 Ф —	г	.
""/	Тьс пР tixufkf
Более точные расчеты подтверждают в общих чертах вытекающие из этой фор-
формулы выводы: быстрое увеличение сечения с ростом величины Z—s, быстрое
убывание сечения, примерно как ш~3>5, с ростом энергии кванта fko, правиль-
правильное угловое распределение электронов и, наконец, правильный порядок вели-
величины сечения фотоэффекта.
Литература
Stobbe M., Ann. Phys., 7, 661 A930).
Учет запаздывания для водорода:
Sommerfeld A., Schur G., Ann. Phys., 4, 409A930).
Релятивистская теория:
Sauter F., Ann. Phys., 11, 454A931).
Задача 187. Дисперсия света. Силы осцилляторов
Световая волна, рассмотренная в предыдущей задаче, но
с 8 = 0, взаимодействует с атомом. Считая, что во взаимодействии
участвует только один электрон, найти индуцированную поляри-
поляризацию и получить из нее выражение для сил осцилляторов.

187. Дисперсия света. Силы осцилляторов	181
Пренебрегая запаздыванием, выразить все встречающиеся в за-
задаче матричные элементы через' матричные элементы электри-
электрического дипольного момента.
Решение. В обозначениях задачи 181 состояние атома, нахо-
находящегося под действием световой волны, записывается в виде
1 ч» = 2 а, @1/>*"*"*.
где | />—состояние невозмущенного атома. Используя выражение
A82.2) для коэффициентов a, (t) и опуская в нем члены, связан-
связанные с процедурой включения световой волны, получаем
| >
;	<O(	C00 —CO
t (гаг-0 )
</1 wt 10>-	} I l> e~ ""''
Выше |0> означает основное состояние атома, а [/> — любое
его возбужденное состояние, так что со,—соо > 0, и только член,
стоящий в сумме первым, имеет резонансный характер. Пренебре-
Пренебрегая нерезонансным членом, можно записать состояние атома в виде
-«»,<. A87.1)
Мы знаем, что оптические свойства определяются в основном
индуцированным дипольным моментом рИПп, который определяется
соотношением
—<O|r|O>J .	A87.2)
Подставляя сюда выражение A87.1) и пренебрегая поправками
второго порядка, получаем
е у <0\r \l> <l\W \0> е~ ш + <.l\r\0> <l\W \0>*еш
Ашд = -?-.?«|	Г; 7л 7^	'
П> ^^	С0( — (Во — (В
Это выражение можно значительно упростить, заменив матричные
элементы < /1W | 0> энергии взаимодействия
^^i	A87.4)
матричными элементами электрического дипольного момента атома
р в направлении электрического поля световой волны:
<J|p,|O> = —<?</|*|0>.	A87.5)

182
V. Нестационарные задачи
Такую замену можно сделать, воспользовавшись соотношением
A87.6)
оно справедливо для любой пары состояний |/> и
Соотношение A87.6) можно вывести, например, следующим образом. Из
уравнений Шредингера
после почленного умножения на <1\х и х | k> соответственно и последующего
вычитания одного уравнения из другого получаем
' -\х V2|fe> — <k\x V2 W>*}=&(Wft — щ)<1\х\ k>. A87.6a)
2m
Так как
v-jt- j d3x,
\ (vx) у2к d?x = — \ v (vx)' VK d3x -- — \ ( )
J	J	J V
то выражение, стоящее в фигурных скобках в A37.6а), можно записать в виде
Подставляя это выражение в формулу A87.6а), легко получаем соотношение
A87.6).
С помощью соотношения A87.6) выражение для индуцирован-
индуцированного дипольного момента A87.3) преобразуется к виду
I Ь<1\ Рх\0>е-ш-<1 \р

1 рх 1 0>* е

* еш
Если атомы статистически независимы, то их дипольные мо-
моменты р с равной вероятностью могут иметь любое направление,
поэтому при усреднении г/-компоиента и z-компонента вектора
ршл обратятся в нуль и останется лишь компонента индуциро-
индуцированного дипольного момента в направлении оси х, т. е. в направ-
направлении приложенного к атому электрического поля. Для даль-
дальнейшего заметим, что в силу эрмитовости оператора р
тогда

	187. Дисперсия света. Силы осцилляторов	183
причем в правой части последнего соотношения нет необходимо-
необходимости в усреднении, так как там стоит выражение, не зависящее
от ориентации атома. Таким образом, получаем
п (?оу1<Л/>Ю>12,.п..,
р-* - sir 2- «о,-».-»ТЛп •
Поскольку выражение
<g0 sin со/ = <?
представляет собой мгновенное значение напряженности электри-
электрического поля, можно определить поляризуемость атома а, пола-
полагая, как обычно,
Ринд = ««?•
Отсюда имеем
4'<;|/"°>Р	A87.8)
-й)„ —Си)
В классической оптике для показателя преломления п спра-
справедлива формула
л2 —1 4л .,
где N — число атомов в единице объема. Что же касается клас-
классической поляризуемости, то она представляет собой сумму вкла-
вкладов от всех электронов атома и ее можно записать в виде
Здесь со*.—частота собственных механических колебаний элект-
электрона номер к, а так называемая сила осциллятора f\ указывает,
какое число электронов в атоме имеет частоту собственных ко-
колебаний, равную (л%. Первые сомнения в правомерности класси-
классической картины явления были вызваны тем, что силы осцилля-
осцилляторов, как оказалось, не являются целыми числами.
Формально квантовое выражение A87.8) приводит к очень
похожему результату. Действительно, мы можем написать
> I <г I/? I о> I2	2о>.
3 La ^[(u)<_(BoJ_(o2|
Далее иа формулы A87.9) следует
/га — 1 _ 4л д. е% ^	/г
/

184	V, Нестационарные задачи
где силы осцилляторов теперь определены соотношением
A87Л2)
Формальное совпадение квантового результата A87.11) с клас-
классической формулой A87.10) оказывается, однако, обманчивым.
В выражении A87.11) суммирование происходит не по электро-
электронам, а по возбужденным состояниям атома, поэтому суммирова-
суммирование по множеству термов оказывается необходимым даже в нашей
одноэлектронной задаче. Вместо частот собственных колебаний щ
в квантовой формуле фигурируют разности сог—соо. И наконец,
силы осцилляторов ft—это уже не числа электронов, а скорее
некие постоянные, характеризующие интенсивность дипольных
переходов, значения которых определяются, согласно A87.12),
матричными элементами электрического дипольного момента. Та-
Таким образом, не удивительно, что эти постоянные, вообще говоря,
не являются целыми числами.
Задача 188. Спин-флип в магнитной резонансной системе
Частица со спином 1/2^ и магнитным моментом ц движется
в направлении оси у в постоянном и однородном магнитном поле ж0,
которое параллельно оси z. В таком поле спин частицы ориен-
ориентируется либо в положительном, либо в отрицательном направ-
направлении оси z. Для определенности будем считать, что он направ-
направлен в положительную сторону. Когда частица в момент времени
? = 0 проходит точку г/ = 0, она попадает в область, где дейст-
действует еще одно однородное поле, эс', параллельное оси х. В мо-
момент времени t — t0, когда частица проходит точку у = 1, она по-
покидает область действия поля эс'. Какова вероятность, что за
указанный промежуток времени ориентация спина частицы изме-
изменится на противоположную?
Решение. В уравнении Шредингера
—Т*	Й-V** —(j*-9C)ip	A88.1)
последний член в правой части обусловлен энергией взаимодей-
взаимодействия магнитного момента частицы \i с магнитным полем эс.
Оператор магнитного момента определяется равенством
ц = |ш,	A88.2)
где а—вектор, компонентами которого являются матрицы Паули
(см. задачу 129).

188. Спин-флип в магнитной резонансной системе	185
При t < 0 на частицу действует только поле 9€01| г, поэтому
решение уравнения A88.1) записывается в виде
A88.3)
а энергия частицы равна
¦hi иъ
A88.4)
Если теперь в момент времени t = 0 включается поле 3€'||х, то
состояние частицы начинает меняться и его следует описывать
волновой функцией вида
, A88.5)
причем выше мы положили
%ио = Щ?-.	A83.6)
Если можно не учитывать искривление траектории частицы,
вызванное действием силы Лоренца, которая перпендикулярна
оси у, то можно считать, что в направлении оси у импульс ча-
частицы fik все время остается постоянным.
При подстановке выражения A88.5) в уравнение A88.1) нужно
соблюдать известную осторожность, когда дело касается члена,
ответственного за магнитное взаимодействие. Мы имеем
(ц. <л) = ц. ($t0oz + 5%'gx) — ц. ( ~,, ~f
и, следовательно,
Расписывая далее уравнение Шредингера по компонентам, полу-
получаем
A88.7)
—JLb = -ii(^'a—WJb).
Чтобы найти решение этой системы уравнений, положим
a(t) = Aeia>'1, b{t) = Beb>'\
в результате вместо A88.7) у нас получится система линейных

186 	V. Нестационарные задачи
алгебраических уравнений
0	) р
'А —(цЖ0+ %«>') В = 0.
Определитель этой системы обращается в нуль при условии, что
-	A88.8)
Таким образом, решение системы уравнений A88.7) можно запи-
записать в виде
где
\, п ~	ш> :— Л1, и
Ж'
Постоянные интегрирования Л, и Аи определяются из началь-
начальных условий:
а@)=1, 6@) = 0.	A88.9)
Нетрудно проверить, что
С учетом этих результатов после очевидных преобразований най-
найдем
а (Л = cos a't +1 ¦%>0 - sin со7,
^2 + ^'2
@ = / , м sin со7.
VSKl+SK"
Легко убедиться, что
Вероятность спин-флипа, т. е. вероятность обнаружить, что
спин частицы ориентирован в отрицательном направлении оси z
после того, как в момент времени t = t0 = l/v она покинула об-
область, где действует поле эс', согласно формулам A88.10) и

	188. Спин-флип в магнитной резонансной системе	187
A88.8), определяется выражением
4°)- A88Л1)
Выражение A88.11) показывает, что рассматриваемое эксперимен-
экспериментальное устройство можно использовать для определения магнит-
магнитного момента атома со спином xljl (например, атома щелочного
металла в основном состоянии). Пучок атомов фокусируется, если
спин-флипа не происходит, и дефокусируется, если спин-флип
происходит. Меняя в процессе эксперимента напряженности маг-
магнитных полей, можно довести интенсивность пучка до минимума:
\2
|мин
Минимум достигается при условии, что
Т = Т-	<188Л2>
Такой способ определения магнитного момента, конечно, возмо-
возможен только в том случае, если приняты специальные меры, обес-
обеспечивающие селекцию скорости, и величина v хорошо известна.
Изложенная нами теория, разумеется, является весьма упрощен-
упрощенной, так как она не учитывает целый ряд деталей: отклонение
от первоначальной траектории из-за силы Лоренца, неоднород-
неоднородность поля, используемого для фокусировки, поля рассеяния и,
самое главное, динамические изменения магнитного момента за
счет эффекта Зеемана. Наш подход скорее относится к случаю,
когда имеет место эффект Пашена — Бака, т. е. когда связь между
орбитальным и спиновым моментами разорвана, но тогда может
возникнуть вопрос, законно ли мы пренебрегаем изменением им-
импульса, поскольку такое пренебрежение, очевидно, предполагает,
что напряженность магнитного поля мала.
Замечание. Строго говоря, частицу, находящуюся в момент времени ? = 0
в точке у = 0, следовало бы описывать волновым пакетом (см. задачу 17).
Однако в нашем случае это не приносит особой пользы и вводить в рассмот-
рассмотрение волновой пакет нецелесообразно.

VI. Релятивистское уравнение Дирака
Замечание. В этой главе мы используем четвертую координату х4 = Ш и
евклидову метрику. Греческие индексы (например, ц) принимают значения 1,
2,3,4, а латинские индексы (например, k) — только значения 1, 2,3.
Задача 189. Квадрирование уравнения Дирака
С помощью релятивистского закона дисперсии .для дираков-
ских плоских волн вывести перестановочные соотношения, кото-
которым удовлетворяют операторы у, а также получить неприводимое
матричное представление этих операторов, где матрица yt диаго-
нальна.
Решение. Если решением уравнения Дирака для свободной
частицы
2 У|ЛФ + кф = 0	A89.1)
д
является плоская волна
ф = (#<*•'-•">,	A89.2)
то величины у должны удовлетворять алгебраическому соотно-
соотношению
г?*Л + * = 0, *, = ?.	A89.3)
Кроме того, они не должны зависеть от конкретного выбора ве-
величин &ц. Последние можно исключить из соотношения A89.3)
лишь с помощью релятивистского закона дисперсии:
^й»_? = _х«;	A89.4)
его можно получить, квадрируя соотношение A89.3). Мы имеем
A89.5)
и v

189. Квадрирование уравнения Дирака	189
Последнее соотношение будет идентично соотношению A89.4)
в том и только в том случае, если в двойной сумме отличны от
нуля лишь одни должным образом нормированные диагональные
члены, а именно если
n = 2611v	A89.6)
Применяя аналогичную процедуру непосредственно к уравнению
Дирака A89.1) и не используя плоских волн, получаем соотно-
соотношение вида
= ( 2 Y А Уф = 2 2
(
последнее с учетом значений антикоммутаторов A89.6) переходит
в уравнение Клейна—Фока:
0.	A89.7)
Для величин Yn можно построить неприводимые представле-
представления в виде четырехрядных матриц. Если у^—одно из таких
представлений, то всякое унитарное преобразование ?/+ y^U по-
порождает некоторое другое неприводимое представление. По этой
причине одну из матриц, скажем yt, всегда можно предполагать
диагональной. Так как y*=\t то собственные значения этой мат-
матрицы должны быть равны +1 и —1. Таким образом, конструи-
конструируя набор матриц у^, можно написать
Ah ВЛ	П
)	*123	Ч
где все полужирные буквы означают двухрядные матрицы. Да-
Далее с помощью соотношений A89.6) находим
+ BkC,	0 \
о сл+саГ2*'» A89'9а)
2Ak	О \
J 0	A89'9б)
Для первых трех матриц уц из соотношения A89.96) получаем
Ak = 0, Dk = 0,
а из соотношения A89.9а) следует
BkCk=\\ BiCt + CbB^O.	A89.10)
Перестановочные соотношения, полученные для рассматриваемых
двухрядных матриц, позволяют выразить их через матрицы Па-
Паули ak (см. задачу 129). Если аиЬ—обычные числа, то соотно-

190	VI. Релятивистское уравнение Дирака
шениям A89.10) будут удовлетворять матрицы вида
Bk = aok, Ck = bak, ab=l.	A89.11)
Таким образом, всякое представление типа
/ О Ь~1оЛ	(I 0\
»-(*. о)- "Ло -,) <|8912>
обязано удовлетворять перестановочным соотношениям A89.6).
Стандартное представление, часто используемое в дальнейших
задачах, получается отсюда при b = i и имеет вид
0
0
0
i
0
0
i
0
0
0
i
0
0
0
0
¦ i
0
- i
0
0
*
-I
0
0
0
-i
0
0
0
0
i
0
0
0
0
0
— 1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
—1
0
—1
0
0
0
D
0
0
—1
A89.13)
Замечание. Если положить й = а=1, то вместо трех матриц ук мы полу-
получим матрицы
(? 1к)	A89.14)
они вместе с матрицей V4 = Р удовлетворяют тем же самым перестановочным
соотношениям. Два указанных набора матриц связаны между собой соотно-
соотношениями
Y* = —«РаА;- у4 = р.	A89.15)
Матрицы а используются в дираковском гамильтониане (см. задачу 200).
Задача 190. Плоские волны Дирака с положительной энергией
Для случая положительной энергии найти в стандартном
представлении спинорные амплитуды дираковских плоских волн,
отвечающие как положительной, так и отрицательной спираль-
ности.
Решение. Полагая
aj5 = Ce'<ftr-(S')	(J90.1)
и пользуясь стандартным представлением A89.13), для опреде-
определения четырех компонент амплитуды С получаем систему урав-

190. Плоские волны Дирака с положительной энергией	191
нений
(kx-ikv) С, + кгС3 + ( -¦т- +х) С, = 0,
- (kx + »*v) С, + fe,C2 + (-?¦ + х) С4 = 0.
С помощью соотношений
Лт) = т—х, . 7f=f+и
введем далее параметр т], через который удобно выражаются
важнейшие физические величины, характеризующие движение
частицы. Например, импульс частицы, ее кинетическая энергия
и ее скорость соответственно имеют вид
p=ftk^mcT^,	A90.4а)
A90.46)
<190-4в>
Кроме того, полезно ввести сферические углы $ и ф, характе-
характеризующие направление вектора k:
kx ± iky = k sin *e±'«> , k2 = kcos^.	A90.5)
В новых обозначениях система уравнений A90.2) запишется
в виде
sin for '<С -f cos §C3—i|C, = 0,
sin йе^С,—cos ftC, — vC, = 0,
.	A90.6)
s\n^e-ifC cos^C + jC 0
, + cosOC2 + — C4 = 0.
Таким образом, для определения четырех величин Сд мы имеем
систему четырех линейных однородных уравнений. Как нетрудно
убедиться, определитель этой системы обращается в нуль, однако
при этом он распадается на два сомножителя, каждый из ко-
которых по отдельности равен нулю. Отсюда следует, что все
четыре величины Сц невозможно выразить через какую-нибудь
одну из них—две любые величины Сд могут быть выбраны про-
произвольным образом. Чтобы сделать этот выбор однозначным, мы
воспользуемся следующим методом.

192 	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Прежде всего найдем собственные функции оператора спи-
спиральности
ИЛ;	A90-7>
он представляет собой оператор „проекции спина на направле-
направление вектора ft'. Так как в стандартном представлении спиновые
матрицы выражаются через одноименные двухрядные матрицы
Паули S/ в виде
то в силу определения A90.7) получаем
cos § sin -de'*®	0
(
Sta**	-COS*	0	v	J
0	0	COS'd	einA/>-im I *	/
0	0	sin
Обозначим собственное значение оператора спиральности через h,
тогда уравнение для собственных значений
разобьется на пару уравнений, связывающих величины Сх и Сг:
d— Ca cos fl = /iCa,
и такую же пару уравнений, связывающих величины С3 и Q.
Определитель системы A90.9) обращается в нуль при условии
А=±1, поэтому мы имеем два решения.
1)	Л= +1 (спин параллелен вектору k):
C,= tg-|e'»Cl, C4 = tgy^C3	A90.10)
и
2)	/i = —1 (спин антипараллелен вектору k):
С, = —ctgye'-PC,, C4 = —ctg-ув'ФС,. A90.11)
Что касается величин С, и С3, то их выбор все еще произволен.
Подставим найденные результаты в систему уравнений A90.6).
С учетом элементарных тождеств
sinft tgy + cosa= 1,	sinftctg-y—cosA= 1, •
—cos # tg -j = tg |-, sin ft + cos #ctg -| = ctg -|
sin

190. Плоские волны Дирака с положительной энергией
193
из A90.6) получаем
С3 = цСх при Л=+1	A90.12)
и
С3 = — цС1 при Л = —1.	A90.13)
Если теперь воспользоваться условием нормировки11
1,	A90.14)
то спинорные амплитуды примут вид
i
С А. =
cos у
?
cos y
isin-TT-e'
при Л=+ 1,	A90.15)
С =
I
Ticosye:
при h = — 1.
A90.16)
Замечание. Как следует из соотношения A90.4в), нерелятивистский случай
получается при г) <^ 1. Если выполнено указанное неравенство, то компонен-
компонентами \р3 и i|L спинора можно пренебречь и вернуться тем самым к двухком-
понентной теории спина Паули.
11 Следует подчеркнуть, что условие	нормировки лоренц-инвариантно,
поскольку фигурирующий в нем интеграл	пропорционален полному электри-
электрическому заряду, заключенному в объеме	V. Часто используется и другая
лоренц-инвариантная нормировка: 1|л)>= 1.
7 № П72

194	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Задача 191. Трансформационные свойства дираковских спиноров
Выяснить, как преобразуется спинор гр при бесконечно ма-
малых преобразованиях Лоренца.
Решение. Бесконечно малое преобразование Лоренца за-
записывается в виде
¦Хд = *и + 2ецРл:р, EW = — epjl, |е№|<С1, A91.1)
р
причем компоненты бА(—действительные величины, а компоненты
Б*4 — чисто мнимые. Уравнение Дирака
0	A91.2)
в результате этого преобразования принимает вид
Syh^W + x^O.	A91.2а)
причем коэффициенты ^ и к остаются неизменными. Операто-
Операторы D^ являются компонентами 4-вектора и преобразуются по
тому же самому закону A91.1), что и координаты:
йц = ^ц + 2бцрДр.	A91.3)
Закон преобразования волновой функции -ф можно записать
в виде
Ч>' = О+?)Ф,	A91.4)
где бесконечно малая величина \ линейна по бйР и представ-
представляет собой некоторое клиффордово число.
Рассмотрим уравнение A91.2а) и подставим туда вместо DM
и о|/ соответственно выражения A91.3) и A91.4):
Если умножить полученное уравнение почленно слева на вели-
величину A—?), то последнее слагаемое станет равным щ, т. е.
перейдет в последнее слагаемое уравнения A91.2). Следовательно,
оператор \ мы должны выбрать таким образом, чтобы выполня-
выполнялось равенство
Vl>. A91.5)
Пренебрегая всеми величинами второго порядка малости, находим
=0.

192. Лоренцевы коварианты	195
Меняя далее в двойной сумме немые индексы ,и и р друг на
друга и обозначая затем индекс р через v, получаем
ц? —1Ти)— 2 BnvYl
Так как предполагается, что это соотношение должно иметь
место при произвольном о|>, то в нуль должен обращаться каж-
каждый член суммы по ц в отдельности:'
A91.6)
Единственное клиффордово число, линейное относительно
величин eMV и удовлетворяющее всем этим четырем соотноше-
соотношениям, имеет вид
g	A91.7)
4 р а
В этом нетрудно убедиться путем непосредственного вычисления
перестановочных соотношений A91.6). Мы имеем
Учитывая
YpYcO
Yni — &Yu
далее, что
?д = Yp (— 1
и что, следовательно
получаем
YmYp Уо
-(?
=|22в
4 р а
Wo 4- 2бцст)
— YpYaYt*^
Р сг
р
pa(Yt*1
= 2(Va
^ (Ya
\ <WYp
^Ya—YpY^Yh)-
Yp — 26цР) Vo -+
^f*,o Yp Оцо)>
'«„,-Трвдс)-
У v 8fiVVVl
-2Yp
т. е. справедливость формулы A91.7) доказана.
Таким образом, дираковский спинор о|> преобразуется по закону
.	A91.8)
Задача 192. Лоренцевы коварианты
Пусть Г — один из 16 базисных элементов клиффордовой
алгебры. Выяснить, какие можно построить лоренцевы кова-
коварианты вида
G = грГчр, ф = ч|}+74-	A92.1)

196	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Решение. 16 базисных элементов рассматриваемой алгебры
можно разбить на пять групп:
1. 1;
2-	Yi. Yi. У», Y4;
3.	YiY2. YiYe. YiY4. Y2Y3. Y2Y4- YaY.;	A92.2)
4-	Y2Y3Y4. Y3Y4Y1. Y4YiY2. Y1Y2Y3;
5
Ниже для каждой из этих групп в отдельности мы будем кон-
конструировать билинейные формы вида A92.1).
Прежде чем приступить к выполнению намеченной программы,
исследуем трансформационные свойства какой-нибудь одной из
величин A92.1) относительно бесконечно малого преобразования
Лоренца
% = ¦*:„+2 ew>*p.	A92.3)
В предыдущей задаче было показано, что закон преобразования
волновой функции г|> имеет вид
г|>' = A + 1I|5,	A92.4а)
где
Величина G преобразуется по закону
G' = 4
поэтому формально можно написать
g).	A92.5)
Последнее выражение допускает дальнейшие упрощения, однако
для этого надо более детально познакомиться со свойствами
эрмитово сопряженного оператора |+. Согласно соотношению
A92.46), этот оператор должен удовлетворять перестановочному
соотношению вида
так как Yv==Yv- Далее, углы поворота eik — чисто мнимые ве-
величины, поэтому б^ = — Е4Л. и, следовательно,

	192. Лоренцевы коварианты	197
Таким образом, имеем
2	2	A92.6)
Кроме того, из соотношения A92.46) при e« = eftj (действитель-
(действительные вращения в 3-мерном пространстве) вытекает
к I	k
и, следовательно, эрмитово сопряженный оператор ?+ можно
записать в виде
6+ - ~ ТЕ S e«?*Yi +T Е e*«Y*Y4-	A92.76)
Из двух последних соотношений получаем
2	A92-8)
2
ft
Подставляя теперь выражение A92.8) в формулу A92.6), находим
V4?+Y*--S-	A92.9)
Последний результат позволяет записать „преобразованный опе-
оператор" Г', определенный равенством A92.5), в виде
—IT).	A92.10)
Теперь нетрудно применить это простое соотношение к вы-
выводу трансформационных свойств каждой из пяти групп вели-
величин A92.2).
1.	Для Г=1 из соотношения A92.10) сразу же получаем,
что Г' = 1, поэтому
G = ^oj,_*G'=^; G' = G	A92.11)
и, следовательно, величина G в данном случае ведет себя как
скаляр.
2.	Для Г = уц соотношения A92.10) и A92.46) дают
Г' = Y
поэтому закон преобразования теперь имеет вид
A92.12)
и, следовательно, величины Сц преобразуются как компоненты
вектора.

198	VI. Релятивистское уравнение Дирака
3. При рассмотрении третьей группы величин удобно сна-
сначала разбить каждое произведение YuYv на симметричную и анти-
антисимметричную части:
VnYv = f (YnYv + YvYn) + у (Ym?v — YvYn)-
Первая часть последнего выражения сводится к дельта-функции
Кронекера 8MV, т. е. представляет собой скаляр A92.11), умно-
умноженный на единичный тензор. Новые трансформационные свой-
свойства могут оказаться лишь у второй антисимметричной части,
поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением выражения
(Y Y)	A92.13)
Согласно соотношению A92.46), имеем
Л—2 ew>Yp ) Yv = Ym. (yvl~2 evPYp ) — 2
p	/	V	p	J p
или
YnYvi —iYnYv = 2 («SvpYmYp + 8hpYpYv),
p
поэтому закон преобразования теперь гласит:
GMp), A92.14)
т. е. величины GMV ведут себя при бесконечно малых враще-
вращениях как компоненты тензора второго ранга.
4. Произведения трех величин у можно записать в более
удобном виде, если ввести клиффордово число у5, определив
его равенством
Y5 = Y1Y2Y3Y*-	A92.15)
Мы имеем
Y2Y3Y4 = YiYs.	Yi Y1Y2 = Y3 Ys.
Так как величина y5 антикоммутирует со всеми четырьмя вели-
величинами Ym
Т^5 + Тб7д = 0,	A92.16)
то она должна коммутировать с величиной ?, поэтому, приме-
применяя соотношение A92.10) к выражению Т = уцуь, получаем
Г' = УаУь + (УиУь1 — ^YkY:,) = [Y11 + (У Л —
Таким образом, мы вновь возвращаемся к случаю 2, так что

193. Пространственная инверсия	199
и теперь величины G^ преобразуются как компоненты вектора:
Gn = ^ТиТ»^ —•¦ °й = G и + 2 fVvGv •	A92.17)
V
Точнее говоря, рассматриваемая величина представляет собой не
вектор (полярный), а псевдовектор. Смотрите в этой связи сле-
следующую задачу.
5. В этом случае из соотношений A92.15) и A92.16) следует
G = ajJY6a|3—>G' = G,	A92.18)
и мы заключаем, что величина G преобразуется как скаляр.
В следующей задаче будет показано, что величину G точнее
было бы назвать псевдоскаляром.
Задача 193. Пространственная инверсия
Выяснить, как ведут себя лоренц-ковариантные величины,
рассмотренные в предыдущей задаче, при инверсии простран-
пространственных координат (преобразование четности).
Решение. Прежде всего выясним, как ведет себя при про-
пространственной инверсии спинор о|>. По определению при про-
пространственной инверсии,
** = —**, < = *«.	A93.1)
уравнение Дирака
2	0	A93.2)
переходит в уравнение
2^уцОц^р' -\- хо|з' = 0.	A93.2а)
Операторы дц так же преобразуются по закону A93.1). Более
подробный анализ требуется в случае, когда имеется электро-
электромагнитное поле. Компоненты напряженности электрического
поля Sk связаны с компонентами 4-вектора потенциала А^ соот-
соотношениями
С к	*	V 4 ft	k *>¦
Так как напряженность электрического поля представляет собой
полярный 3-вектор, то она при рассматриваемом преобразовании
координат xk меняет свой знак. Отсюда следует
А'к = -Ак, А: = А,.	A93.3)
Таким образом, величины Ли преобразуются так же, как опе-
операторы др.. По этой причине по тому же самому закону преоб-

200	VI. Релятивистское уравнение Дирака
разуются и операторы DM. Следовательно, уравнение A93.2а)
можно переписать в виде
- 2 Y*Art>'+y«W+W=о.
Если теперь положить
i|>'=Y4^>	A93.4)
то легко видеть, что последнее уравнение переходит в уравне-
уравнение A93.2), поэтому равенство A93.4) представляет собой иско-
искомый закон преобразования спинора о|> при пространственной
инверсии.
Что касается любой из величин
то их закон преобразования гласит:
G' =-
и, следовательно, можно написать
^	С' = ^ГЧ|5, Y'=ytTyt.	A93.5)
Применим полученные результаты к каждой из пяти лоренц-
ковариантных величин, введенных в предыдущей задаче. Мы
имеем
1. G = W, Г=1, Г' = 1, G' = G,	A93.6)
5. G = ^, Г = 7В, Г' = Т4?Л = -75, G' = -G. A93.7)
Обе рассматриваемые величины одинаковым образом ведут себя
при пространственных вращениях, но при пространственной
инверсии их поведение различно. В этой связи величину 1 на-
называют скаляром, а величину 5 — псевдоскаляром. Далее мы имеем
2.	Gu ^y^,	Ym
r* = Y4Y*Y4 = -Y*-	{193 8)
G'k = — Gk,
Г/l = Y4YAY6Y4 = + Y*Y6, G'k=+Gk,	A93 9)
r4 = Y6Y4 = -Y4Y5. G; = -G4.
Эти две величины также ведут себя при пространственных вра-
вращениях совершенно одинаково, но при пространственной инвер-
инверсии их поведение различно, по этой причине величину 2 назы-

194. Зарядовое сопряжение	201
вают (полярным) вектором, а величину 4— аксиальным вектором,
или псевдовектором.
3.	G^v J| r
Г« = Г»„ G'kl = Gkl,	A93.10)
Г*4 = — Г**. G'kl = —GA4.
Так как в рассматриваемой теории имеется всего один тензор,
то необходимость в дальнейшей классификации отпадает.
Задача 194. Зарядовое сопряжение
Зная спинор г|>, являющийся решением уравнения Дирака
для частицы с зарядом е, построить зарядово сопряженный спи-
спинор г|)с, описывающий поведение частицы с зарядом противопо-
противоположного знака —е.
Решение. В этой задаче ради краткости мы будем пользо-
пользоваться обозначением
где Лц — компоненты 4-потенциала электромагнитного поля. В этих
обозначениях уравнение Дирака для частицы с зарядом е имеет
вид
2ти(дц —"*д)Ч> + Х1|> = 0.	A94.1)
д
Спинор г|)с, описывающий поведение частицы с зарядом противо-
противоположного знака, должен удовлетворять уравнению
2ти(дц + Ц»)Фс + >*Ф<: = 0-	A94.2)
Наша задача — установить связь между решением tyc уравнения
A94.2) и решением -ф уравнения A94.1).
Прежде всего заметим, что оператор дц + шц, фигурирую-
фигурирующий в уравнении A94.2), появляется также и в уравнении
2(дд + д)Ш—»«F=0, ^ = o|)+Y4.	A94.3)
которое представляет собой уравнение, сопряженное исходному
уравнению A94.1). Производя в этом уравнении операцию тран-
транспонирования, находим
2 Ун (дд + шц)-1р — Щ* = 0»
д

202	VI. Релятивистское уравнение Дирака
где
^	A94.4)
Умножим последнее уравнение на некоторое клиффордово
число С:
2 Су» @Й + 1ОЙ) Y>* - *Cytf* = 0.
Полученное таким образом уравнение будет тождественно урав-
уравнению A94.2), если клиффордово число С одновременно удовле-
удовлетворяет двум соотношениям
-CYmY«** = Y^. Cyrf*=yc.	A94.5)
Чтобы найти величину С, исключим из этих соотношений спи-
спинор фс:
Так как далее спинор у$* следует считать произвольным, то
должны выполняться соотношения
yllC = —C~yil;	A94.6)
из них и определяется величина С.
Поскольку мы имеем дело с однородными уравнениями, то
в спиноре \рс всегда содержится произвольный постоянный мно-
множитель. Разумно зафиксировать этот множитель, постулируя,
что зарядовое сопряжение не приводит к изменению норми-
нормировки:
1|»+е*е = *Ч = (*Ч)*-	A94.7)
Теперь в силу соотношений A94.5) имеем
и, следовательно,
Последнее соотношение идентично соотношению A94.7), если
или (поскольку yI = Y4, Y4 = Y4) соотношению
С+С=1.	A94.8)
Таким образом, С — унитарный оператор.

195. Состояния со смешанной спиральностью	203
Заметим, что в стандартном представлении
Yi = — Yi. Y« = Y».	A94.9)
Y3 = — Y8. Y4 = Y4.
поэтому из соотношений A94.6) следует, что С коммутирует с у1
и 73 и антикоммутирует с у, и yt. Такими свойствами обладает
клиффордово число
A94.10)
которое и является единственным элементом из всех 16 базис-
базисных элементов клиффордовой алгебры, удовлетворяющим четырем
соотношениям A94.6). Как следует из A94.10)
С^ = —С, С2 = —1,	A94.11)
поэтому, согласно A94.5), зарядово сопряженная волновая функ-
функция в стандартном представлении имеет вид
A94.12)
Задача 195. Состояния со смешанной спиральностью
Дана дираковская плоская волна, распространяющаяся вдоль
оси г. Показать, что спинорную амплитуду невозможно выбрать
таким образом, чтобы волновая функция \р была одновременно
собственной функцией оператора ах.
Решение
а. Как следует из уравнения Дирака, в случае плоской
волны
^ = Cenkz-wt)y	A95.1)
должно выполняться алгебраическое соотношение
= 0,	A95.2)
где С—спинорная амплитуда. Оператор Q, определенный соот-
соотношением A95.2), не коммутирует с оператором
°* = -'Y*Y,,	A95.3)
так как
oxQ = ky2 + i ^ Y2Y3Y4 — 'XY*Ys.
но
Qax = — ky2 + i ^ 72Y3y4

204	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Следовательно, функция \р не может быть общей собственной
функцией обоих указанных операторов1'.
б. В стандартном представлении соотношение A95.2), если
его расписать по компонентам, дает
CO
с
A95.2а)
Отсюда, вводя обозначения
получаем
С другой стороны, задача на собственные значения
ахС = К-С,	A95.5)
где К—собственное значение, если перейти к компонентной записи
'О 1 0 0\ /С\
1 О О 0WC
ахС = \ - " " " «I W2
^0 0 10/ \С4
дает
Сг = ХСи Сх = ХСг	A95.6а)
и
4 = Л.С3, С3 = ЛС4.	AУО.60)
Обе пары уравнении удовлетворяются только в том случае, если
Я=±1- Пользуясь далее уравнениями A95.6), можно исключить
компоненты С2 и С4 из уравнений A95.4). В результате получаем
два соотношения
'> В общем случае такой вывод неправомерен, так как соответствующая
теорема утверждает лишь, что у некоммутирующих операторов нет общей си-
системы собственных функций, хотя отдельные общие собственные функции
вполне могут быть.— Прим. ред.

	196. Среднее значение спина	 205
которые противоречат одно другому. Следовательно, спинор С,
удовлетворяющий уравнениям A95.4), не может одновременно
удовлетворять уравнениям A95.6).
Замечание. В нерелятивистском пределе (т)—s-О) компоненты С3 и С4,
а вместе с ними и вторая пара уравнений A95.6) выпадают из рассмотрения,
и противоречие устраняется.
Задача 196. Среднее значение спина
Вычислить среднее значение оператора ах в состоянии, которое
описывается суперпозицией двух плоских волн, распространяю-
распространяющихся в направлении оси г и имеющих противоположные спи-
ральности.
Решение. С помощью спинорных амплитуд [см. выражения
A90.15) и A90.16), в которых в данном случае необходимо по-
положить Ф = 0]
и Г. = J	( -Л A96.1)
отвечающих соответственно положительной и отрицательной спи-
ральностям, мы сконструируем амплитуду смешанного состояния
C = C+cosae<P + C_ sinae-,	A96.2)
удовлетворяющую прежнему условию нормировки
\&Cd*x=\.	A96.3)
Выше а и р—произвольные действительные постоянные.
Среднее значение оператора ох определяется по формуле
laxCd3x,	A96.4)
Учитывая, что
получаем

206	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Отсюда имеем
<ах> = — cos а sin а (eg<& + e~'<p) ТД ,
или
A96.5)
Таким образом, абсолютная величина среднего значения опера-
оператора ах оказывается всегда меньше 1. В ультрарелятивистском
случае, когда параметр г) приближается к единице, среднее зна-
значение <аЛ> стремится к нулю, так что волна оказывается почти
полностью поляризованной параллельно или антипараллельно
направлению распространения и. С другой стороны, в нереляти-
нерелятивистском случае, когда параметр ц очень мал, становится воз-
возможной и поляризация в направлении, перпендикулярном направ-
направлению распространения волны. Действительно, для значений
f} = 0 и a = =F зт/4 в этом предельном случае получаем <сгл:> = ±1.
Задача 197. Алгебраические свойства волнового спинора Дирака
Дираковская частица помещена в поле с потенциалом V(г).
Волновой спинор, описывающий состояние частицы, в котором
ее спин направлен либо параллельно, либо антипараллельно оси z,
можно считать не зависящим от координат хну (одномерная
задача). Рассмотреть движение частицы, пользуясь, насколько
это возможно, клиффордовой алгеброй, не обращаясь к конкретным
матричным представлениям. Показать, что задача сводится к на-
нахождению четырех функций переменной г, удовлетворяющих не-
некоторой системе дифференциальных уравнений. Выяснить, каким
образом упомянутые функции связаны с компонентами волновой
функции в стандартном представлении.
Решение. Волновой спинор можно записать в виде
\p(z, t) = e-iEt^u(z),	A97.1)
где спинор и (z) удовлетворяет одномерному уравнению Дирака
?.	A97.2)
Конструкция выражения, стоящего в левой части этого уравнения,
такова, что оно целиком содержится в подтеле, базисными эле-
элементами которого являются клиффордовы числа 1, 7з> Y4
Y4>
1( Более подробный анализ спиновых свойств электрона см., например, в
книге: Соколов А. А., Тернов И. М., Релятивистский электрон, изд-во „Наука",
М., 1974, стр. 192—198.—Ярил. ред.

197. Алгебраические свойства волнового спинора Дирака	207
поэтому решением уравнения должен быть спинор вида
v(z) = A (z) + B(z) Тз + С (г) y4 + D(z) 7з74.	A97.3)
Разумеется, если v—решение уравнения Дирака A97.2), то ре-
решением будет и любой спинор
и = иГ,	A97.4)
где Г—произвольное, не зависящее от г клиффордово число,
в частности любой элемент клиффордовой алгебры, образованный
с помощью базисных элементов Yi и Уч- Далее, очевидно, что
спинор v коммутирует со спиновым оператором
«у*	»YiY«,	A97.5)
хотя и не является собственным спинором этого оператора.
Обобщенное выражение A97.4) позволяет сделать решение урав-
уравнения Дирака собственным спинором оператора аг. Мы имеем
аги — ozvY — vosY.
Поэтому, если Г есть некоторый собственный спинор оператора az,
агГ = ±Г,	A97.6)
то мы получаем
azu=±u.	A97.7)
Собственные значения +1 и —1 называются спиральностыо
(см. задачу 190). Далее нетрудно убедиться, что
r+ = l-i7i72=l + (T,	A97.8а)
Г_ = 1+«Т172 = 1-аг	A97.86)
представляют собой собственные спиноры оператора az, принад-
принадлежащие соответственно собственным значениям +1 и —1.
Действительно,
<у*Г± = or, A ± or,) = о, ± 1 = ± A ± а,) = ± Г±.
Таким образом, имеем
()(№	A97.9)
где спинор v(z) еще необходимо определить путем подстановки
выражения A97.3) в уравнение Дирака A97.2). Несложные вы-
вычисления дают
(B' + QC + KA) + y3(A'-QD + KB) + yi(D' + QA + KC) +
+ y3yAC'-QB + KD) = 0,	A97.10)
причем выше штрих означает дифференцирование по переменной г.
Выражение, фигурирующее в левой части равенства A97.10),
обращается в нуль в том и только в том случае, когда обраща-
обращаются в нуль все четыре выражения, стоящие в круглых скобках.

208	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Отсюда следует, что четыре функции А, В, С, D удовлетворяют
системе дифференциальных уравнений:
QD + xB 0,
Комбинируя эти уравнения, можно преобразовать систему к более
простому виду:
Мы видим, что первая пара уравнений полученной системы со-
содержит лишь две неизвестные функции,
ш1 = 1(В-Д), Шз = 1(Л-С).	A97.13а)
Во второй паре уравнений содержатся также только две неиз-
неизвестные функции
ш2 = 1(Л + С), ш4 = 1(В + О).	A97.136)
Подставляя полученные результаты в выражение A97.3), окон-
окончательно находим
v B) = (wt+wty,) A + у.) + К +wly,)(l—yt). A97.14)
Если функции Шц удовлетворяют уравнениям A97.12а) и A97.126),
то оба члена, фигурирующие в правой части выражения A97.14),
порознь удовлетворяют уравнению Дирака A97.2). Умножая
каждый из этих членов справа на Г+ или на Г_ [см. выражения
A97.8а) и A97.86)], получаем решения уравнения Дирака, которые
одновременно являются собственными спинорами оператора az.
В заключение остается показать, каким образом функции шд
связаны с компонентами «м волновой функции в стандартном
представлении. Пользуясь стандартным представлением, уравне-
уравнение Дирака A97.2) можно расписать по компонентам:
_ 2 = o	A97.15)
Сравнивая эту систему уравнений с системой уравнений A97.12а) —

198. Плотность тока в алгебраической формулировке	209
A97.126), находим
и1 = ш1, u3 = iw3, u2 = iw2, «4 = ш4.	A97.16)
или
А = — 1(иг + ия), B = u4 + ult	9?
C = —i{u2 — u3), ?> = и4 —«j.
В случае «2 = и4 = 0 спиральность равна +1, если же u1 — u3 = Qt
то спиральность равна —1.
Задача 198. Плотность тока в алгебраической формулировке
Получить выражения для компонент вектора плотности элек-
электрического тока в случае состояния, описываемого собственным
спинором
yi)(l-iy1y.i),	A98.1)
найденным в предыдущей задаче.
Решение. Компоненты 4-вектора плотности электрического
тока определяются выражениями
sli=iecuyiXu, а = и+74.	A98.2)
В нашем случае
«t = A _ jYlYl) A _vj (W* + Wly3),	A98.3)
так как клиффордовы числа i'YiY2, yt, У3 представляют собой
эрмитовы операторы. Таким образом, имеем
sM = iec {1 — iYxY.) A — YJ (^з* + «TY») X
Х7ЛК+ЗД) (l-Y.)d-tYiY,)-	A98.4)
Рассматривая компоненты sx и s2, удобно переместить клиф-
фордово число 7ц на два места вправо, а клиффордово число yi —
на одно место влево:
sx,2 = iec A — iYiYa) (Y4— 1) К — w*y3) X
X (ш3—wxy3) A + y«) Yi.i A — «YiYi)-
Олератор 1 — П>,72 коммутирует как с оператором у3, так и с опе-
оператором y4, поэтому
Sx.a = iec (Y4— 1) {( | Щ Y + I ^1 I2) — (W*W3 +Ю>,) Y3} A + YJ X
Для компоненты с \i = 1 произведение трех последних множите-
множителей записывается в виде
A —' YiY2) (Yi —' Ya) = Yx + iЪ — hi — Yi = ° •

210	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Аналогично для компоненты с \i = 2 имеем
О — »YiY.) (Y. + »Yi) = Yi —'Yi + 'Yi —Y» = 0-
Таким образом, как и следовало ожидать, компоненты плотности
тока, перпендикулярные оси г, оказываются равными нулю.
Выполняя такие же преобразования для компоненты s3, по-
получаем
s3 = iec (у4— 1) (wl —w\y3) (w3ys + wt) A — yt) A — i'YiY»)*-
Так как
A — «YiY»)9 = 2A— f 7lT,),	A98.5)
то выражение для s3 принимает вид
s3 = 2iec (v,-l){W»ii-i»i4) + (I шз|2 — | a»i I2) T3[ A —Y4) A — t'YiY.)-
Перемещая здесь первый множитель (у4—1) на одно место вправо,
получаем
s3 = 2iec {(wtws—wtiw1) A —y.) + (| ^ |2 —| ш312) Y8 (r+Y#)} X
В силу соотношений
(l-Y4) = 0, A-Y*)' = 2A-Y*) A98.6)
второй член из фигурных скобок не дает вклада в рассматривае-
рассматриваемую компоненту, поэтому окончательно
s3 = Нес(w;wt-wiWl)(l—yt) (I-i'YiY*)-	A98.7)
В случае компоненты s4 совершенно аналогичные выкладки
дают
s4 = iec A — iYiYa) A — YJ (Pi + <ТзЖ + a^iYs) A — Y4)(J — 'Y1Y2) =
Y4){(H2+Kp)+(^>3+^1)Y3} A-y«) (l-«YiY.) =
>1|» + |a>,|*)(l-Y4)(l-iYiY.)-	A98.8)
Выражения для компонент s3 и s4 представляют собой клиф-
фордовы числа одинаковой структуры. Чтобы выяснить их фи-
физический смысл, мы должны сравнить найденные выражения
с нормой спинора
пи = A — I'YiYi) A — Y«) K'+wlY,) Yd (Щ + Wjy,) A — y«) A —«YiYs).
которую с помощью тех же преобразований можно записать в виде
йи = 4 (| оух |* — | м»а Iя) A —Y«) < 1 — iY,V«>-	A98.9)
Собирая вместе полученные результаты, видим, что компонента
s3 плотности тока в направлении оси z, плотность заряда p(s4 = icp)

199. Ток проводимости и ток поляризации	211
и, наконец, норма, если отвлечься от общего множителя
Г = 4A — у«)A— t'YiY»).
определяются очень простыми с-числовыми выражениями:
s3 = iec (wlwa—wlwx) Г,	A98.10)
р = е(|ш1|2 + |ш3|2)Г	A98.11)
и
йи=(|иI|« — К|»)Г-.	A98.12)
Как было показано в предыдущей задаче, в стандартном пред-
представлении u1 = w1 и us = iw3, поэтому найденные выражения
можно записать по-иному:
ss = ее («Х + H3*"i) Г.
р = е(|и1|а + |«з|а)г.	A98.13)
Заметим, что в стандартном представлении оператор Г имеет
очень простой вид. Мы имеем
. /0	0	0	0\	/2	0	0	On
/0	0	0	0\	, . , /0	0	0	0\
!—Т4= о	0	2	0 -	! —«YiT.= l+». = l о	0	2	0 -
\0	0	0	2/	\0	0	0	0У
и, следовательно,
/0 0 0 0\
Г-1б(8 S ? 8).	(««-И)
\о о о о/
т. е. Г представляет собой диагональную матрицу с единствен-
единственным отличным от нуля элементом.
Задача 199. Ток проводимости и ток поляризации
а)	Показать, что плотность тока частицы с зарядом е,
sv = iectyyv\p; 5Л = jk; s4 = icp,	A99.1)
удовлетворяет уравнению непрерывности
S&r=0 или div^+gf" = 0-	A99.2)
б)	Показать, что вектор sv можно разбить на две части:
A99.3)

212	VI. Релятивистское уравнение Дирака
причем пространственные компоненты тока проводимости Sv сов-
совпадают по форме с компонентами плотности тока jk в нереля-
нерелятивистской теории. Вторая часть плотности тока s? известна
под названием тока поляризации.
Решение
а. Чтобы убедиться в справедливости уравнения A99.2), мы
должны в дополнение к уравнению Дирака
2 Тм (дц — Шц) ^ + м]з = О,
где
рассмотреть аналогичное дифференциальное уравнение для функ-
функции i|) = i|'tY4- Так как величины xk и ak—действительные, а
величины Хц и а4 — чисто мнимые, то операторы, комплексно
сопряженные операторам
Dk = dk — iak, A, = ^4 — iat,
имеют вид
Щ = dk + iak, Dl = — (dt + ta«) •
Запишем уравнение, сопряженное уравнению A99.4а):
м-
После подстановки tjj = \J;+ у4 оно принимает вид
- S ?>*%* + ^4%4 + ™р = О,
так что окончательно имеем
2(^+1%)^ — и^ = 0.	A99.46)
Исключая из уравнений A99.4а) и A99.46) массовые члены,
получаем
2	¦ *} = 0.
Члены, содержащие 4-вектор потенциала а^, взаимно сокра-
сокращаются, и мы имеем
что полностью согласуется с уравнением непрерывности A99.2).

	199. Ток проводимости и ток поляризации	213
б. Как было показано в задаче 126, нерелятивистская плот-
плотность тока определяется выражением
/* = || №*P-Vdtf + 2iakr^)	A99.5)
и, следовательно, содержит билинейные комбинации волновых
функций и их пространственных производных. Чтобы придать
плотности тока sv> определенной выражением A99.1), аналогич-
аналогичную форму, мы должны либо выразить с помощью уравне-
уравнения A99.4а) функцию -ф через ее первые производные, либо с
помощью уравнения A99.46) сделать то же самое для функ-
функции ijj. Поступая указанным образом, получаем
Беря полусумму приведенных выражений и учитывая, что
ее __ е%
х т '
запишем плотность тока в более симметричном виде:
-A99.6)
Пользуясь далее для преобразования второго и третьего членов
перестановочным соотношением
получаем
2ф щ
= ?f wL \Ш^ У» Yv
Если в последнем выражении выделить диагональный член
суммы, то оно запишется в виде
I	(^Yv^)- A99.7)
В этом окончательном результате первый член по форме в точ-
точности совпадает с нерелятивистским выражением A99.5) и в со-
согласии с нашим определением его можно отождествить с током
проводимости s?. Второй же член представляет собой так назы-
называемый ток поляризации

214	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Замечание. Это разложение плотности тока впервые было исследовано в
работе Гордона [Gordon W., Zs. Phys., 50, 630 A928)]. Пространственную
часть плотности тока поляризации s^ можно записать в виде
где
— компоненты вектора спина, записанные с помощью приводимых четырех-
четырехрядных матриц, а а/г — матрицы, определенные в конце задачи 189. В случае
плоской волны ток поляризации обращается в нуль.
Задача 200. Уравнение Дирака в двухкомпонентной записи
Записать уравнение Дирака в гамильтоновой* форме и, поль-
пользуясь стандартным представлением, расщепить четырехкомпонент-
ное уравнение на пару двухкомпонентных уравнений, содержа-
содержащих матрицы Паули. Показать, что частица с "равной нулю
массой покоя (например, нейтрино) допускает описание в рам-
рамках двухкомпонентной теории.
Решение. Если в уравнении Дирака
0, DVL=dVL-l~Ail,
te	B00.1)
явным образом выделить производную по времени, то его можно
записать в виде
з
Умножая это уравнение слева на cftyt, получаем
2 mnDny — it dt\p + VMp + mc*y^ = 0,
ИЛИ
где оператор
з
Я ^? (Ч| ^	гсЪ	B00.2)
можно рассматривать в качестве гамильтониана.

200. Уравнение Дирака в двухкомпонентной записи	215
В стандартном представлении
О' —isn\	(Y О'
B00.3)
Здесь sn — матрицы Паули, а Г и 0'—единичная и нулевая
двухрядные матрицы соответственно. Далее имеем
о") -	B00-4)
поэтому гамильтониан B00.2) можно записать в расщепленной
форме
/ -f- тс2	—Kci 2 snDn\
ft 'У	V "	Г	B00.5)
Если ввести двухкомпонентные функции г|;0 и tyb, связанные
с четырехкомпонентным дираковским спинором соотношением
то уравнение Дирака расщепится на пару двухкомпонентных
уравнений:
B00.6)
В частности, в случае стационарных состояний с положитель-
положительной энергией Е получаем
, г.% , • с — v -+¦ тс , л
(s-D)\pa — i	^	1]зй = 0.
Теория нейтрино. Если т = 0, то вышеприведенные уравне-
уравнения совпадают между собой, поэтому
г|56 = >4>0 и Х=±1,	B00.8)
а два линейно независимых решения i|ja должны определяться
из уравнения
ie = 0.	B00.9)

216	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Так как эти две системы никак не связаны, то в случае частиц
с равной нулю массой покоя имеются две независимые двух-
компонентные теории. Нетрудно показать, что в отсутствие
внешних сил параметр X совпадает с квантовым числом,
используемым для характеристики спиральности. Чтобы в этом
убедиться, рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся
вдоль оси г:
где С—постоянный двухкомпонентный спинор. В этом случае
первый член в левой части уравнения B00.9) приобретает вид
в то время как второй член будет равен
—М^~г|зв = —ikhlpa,
и, следовательно,
s3C = XC.	B00.10)
Таким образом, X есть собственное значение компоненты опера-
оператора спина (в единицах А/2) в направлении распространения
волны („спиральность"). Так как матрица Паули s3 диагональна,
S'~\0 -1
то при Я=1 решением уравнения B00.10) является спинор
Г
поэтому
ikz.	B00.11a)
В случае же отрицательной спиральности X — —1 решением упо-
упомянутого уравнения является спинор
и поэтому
С'\
__с)е'кг.	B00.116)
Замечание. Как показали эксперименты, спиральность нейтрино всегда
отрицательна, т. е. h = —1, поэтому только второй вариант развитой выше
теории правильно описывает фактически происходящие явления природы.
Рассмотрим в этой связи оператор

	201. Центральные силы в теории Дирака	217
который в стандартном представлении имеет вид
О' —Г
-1' О'
Далее имеем
Г —Г\	.	/Г Г
Если подействовать этими операторами на любое решение уравнения B00.9)
с X. = —|— 1, т. е. на решение вида
¦¦=(!'
то получим
=0,	A—Т*)*+ = 2ф+-	B00.12а)
Действие же этих операторов на решения уравнения B00.9) с Я =— 1, т. е.
на решения вида
дает
A + 76И-=2г1>_,	A-Ye)t-=O.	B00.126)
В силу полученных результатов мы не можем решить, реализуются ли в при-
природе по каким-то неизвестным причинам только одни состояния г|)_ или же
оператор взаимодействия, ответственный за рождение нейтрино, содержит
множитель A + 7б)> так что рождение нейтрино с Я=1 становится невозмож-
невозможным. В заключение надо отметить, что оператор A + Ve) не коммутирует с
оператором пространственной инверсии, и в таких взаимодействиях простран-
пространственная четность не сохраняется.
Задача 201. Центральные силы в теории Дирака
Дираковская частица помещена в сферически симметричное
поле V(r). Воспользовавшись тем, что в стандартном представ-
представлении уравнение Дирака расщепляется на пару двухкомпонент-
ных уравнений (задача 200), найти собственные спиноры дира-
ковского гамильтониана, которые одновременно являются общими
собственными спинорами операторов J1 и Jz. При расчетах
можно ограничиться случаем т/ = +1/2-
Решение. Согласно B00.7), уравнение Дирака, записанное
в расщепленной форме, имеет вид
з
я i .E — V (г)—тсг . г,
"='	B01.1)
n=i

218	VI. Релятивистское уравнение Дирака
где sn (п=\, 2, 3)—матрицы Паули, а двухкомпонентные спи-
спиноры \ра и \рь связаны с дираковским спинором соотношением
¦-(*)•	B0Г2)
В стандартном представлении операторы компонент полного
момента, определенного соотношением
действуя на дираковский спинор, не смешивают две его первые
компоненты tya с двумя другими его компонентами %. Это свя-
связано с тем, что в стандартном представлении спиновые четы-
четырехрядные матрицы, записанные через матрицы Наули, имеют
диагональную форму
Таким образом, если двухкомпонентные спиноры г|зо и \J>6 явля-
являются собственными спинорами операторов Р и Jz, то этим же
свойством будет обладать и 4-спинор \р, определенный соотно-
соотношением B01.2).
Ранее, в задаче 133, нами были найдены двухкомпонентные
собственные спиноры и^ г операторов Р и Jг, принадлежащие
собственным значениям /==/±V2 и Ш/ —
"' = «/, /-•/. = '
B01.3а)
f2j
Попытаемся найти решение нашей задачи, комбинируя спиноры
двух указанных типов:
и1

201. Центральные силы в теории Дирака
219
B01.46)
Вопрос о нормировке радиальных функций f(г) и g{r), которая
может быть различной для решений B01.4а) и B01.46), пока
оставим открытым.
Чтобы выполнить намеченную программу, необходимо, со-
согласно B02.1), рассмотреть выражение
I, н =
д
г
Пользуясь известными формулами
I, ml =
иь». B01.5)
x(F'-yFjYl + Um±l-
x
X
X
B01.6a)
B/ + 1
Х
X
B01.66)
после несколько утомительных, но вполне элементарных преоб-
преобразований выражений
5а1 = ¦
(dx + idv)(ftYh0)-
|. о)
в случае
1/г получаем
¦2/+з
yl+lil
, ,, /+ /2 r/+1/-°). B01.7a)

220	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Если же / = /—V2. то результат имеет вид
Попытаемся сначала удовлетворить системе уравнений B01.1),
подставляя туда выражение B01.4а):
„ , .Е-У + пи» „ п	<201"8>
Sa1 — г	т-1-—и" = 0.
Взяв далее для и1 и и11 выражения B01.3а) и B01.36), а для
Sul и S«" выражения B01.7а) и B01.76) и подставив в левые
части уравнений B01.8), получаем (для просторы опускаем
индексы у радиальных функций fug)
„ о
Оба выражения обращаются в нуль, если радиальные функции
/</) и ё (г) удовлетворяют системе дифференциальных уравне-
уравнений
Г 1-Ч*Г ,-Е-УИ+пи*	B01.9а)
Для решений второго типа B01.46) аналогичным путем полу-
получаются уравнения, которые совпадают по форме с уравнениями
B01.8), однако в них на месте спинора и1 стоит спинор ип и
наоборот, а также в каждом изменен знак перед членом тс% на
обратный. Таким образом, с помощью тех же выкладок, что и
раньше, вместо системы дифференциальных уравнений B01.9а)

202. Проблема Кеплера в теории Дирака	221
получаем систему
Е V(r)
Решая по отдельности системы уравнений B01.9а) и B01.96),
мы для любого заданного потенциала V (г) находим полное реше-
решение сформулированной выше задачи. Так как функции / и g
определенным образом связаны между собой, то, следовательно,
связаны между собой и их относительные нормировки.
Необходимо подчеркнуть, что в отличие от нерелятивистской
теории спина компоненты дираковского 4-спинора характери-
характеризуются различными значениями /, поэтому в релятивистской
теории квантовое число / больше не является хорошим кванто-
квантовым числом, хотя квантовые числа / и т;- и теперь, разумеется,
хорошие квантовые числа.
Задача 202. Проблема Кеплера в теории Дирака
Результаты предыдущей задачи применить в частном случае
сферически симметричного потенциала
V[r) = — ^j-	B02.1)
и найти допустимые значения энергии частицы.
Решение. Как было показано в предыдущей задаче, опре-
определение допустимых значений энергии дираковской частицы
в общем случае центральных сил сводится к решению систем
дифференциальных уравнений B01.9а) и B01.96), которым обя-
обязаны удовлетворять радиальные части волновых функций. Мы
начнем с системы B01.9а). Вводя обозначения
P = f = 4	B02.2)
(величина р, как правило, мала) и
или
систему дифференциальных уравнений B01.9а) в частном случае

222	VI. Релятивистское уравнение Дирака
потенциала B02.1) можно записать в виде
Решением этой системы мы и займемся.
Прежде всего выясним, как ведут себя функции / и g при очень больших
и очень малых значениях г. В пределе г —»- оо система уравнений B02.4)
принимает вид
g' + ?/ = 0,	Г-±1=0.
Нормируемые решения этой системы уравнений имеют форму
g = Ce-r/a,	l = -C-Le-r'a.
Что же касается решений, пропорциональных е+г1а, то рассматривать их нет
необходимости. С другой стороны, в предельном случае г -*=¦». 0 регулярные
решения, как можно ожидать, имеют вид
g=Ars-1,	f=Br*-1.
Подставляя приведенные выражения в B02.4), получаем
Требуя обращения в нуль определителя последней системы уравнений, находим
-Р2-	B02-5)
Комбинируя теперь эти результаты, целесообразно положить
g = Crs-le-r'aG(r),
f = -±Cr*-ie-r'aF(r)	B02-6)
Подстановка последних выражений в B02.4) приводит к сле-
следующей системе дифференциальных уравнений:
Складывая и вычитая эти уравнения и полагая затем
= v(r), G—F = w{r),	B02.8)

	202. Проблема Кеплера в теории Дирака	223
получаем
v'+°-±Rv = _{k + q)E,
(*f
причем выше мы ввели обозначения
Р-ЮНг)' ?=4(> + ]г)' * = / + !•. B02.10)
Согласно первому из уравнений B02.9), имеем
B02.11)
Подставляя эти выражения во второе уравнение системы B02.9),
приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению вто-
второго порядка для функции v:
rv"+ \Bs+l) — —r]v'— -(s + /j)t» = O. B02.12)
L	a \	a
Уравнение B02.12) — это уравнение Куммера, а его регулярное
в нуле, но произвольно нормированное решение представляет
собой вырожденную гипергеометрическую функцию
¦р, 2s+l; 2-j).	B02.13)
Пользуясь далее общей формулой
г, с; z) = a lFl(a-\~l, с; z),
из соотношений B02.11) получаем
B02.14)
Подставляя эти выражения в формулы B02.8), находим функ-
функции G и F, а затем с помощью формул B02.6) и радиальные
функции g и /:
' 2s+1; 2i)~
, 2s+l; 2^-U,
B02.15)
, 2s + l; 2-^)

224	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Обе фигурирующие здесь вырожденные гипергеометрические
функции асимптотически пропорциональны е+гг/а, и, следова-
следовательно, полученные решения будут ненормируемыми до тех пор,
пока первые аргументы вырожденных гипергеометрических функ-
функций не равны нулю или же целому отрицательному числу:
s + p = ~nr, пг = 0, 1, 2, 3		B02.16)
Когда s-\-p = 0, первый аргумент второй вырожденной гипер-
гипергеометрической функции s + p-\-l равен +1, однако при этой
функции имеется множитель s-\-p, так что в рассматриваемом
частном случае асимптотически расходящиеся члены из выра-
выражений B02.15) попросту выпадут. Таким образом, искомые соб-
собственные значения полностью определяются условием B02.16).
Подставляя в это условие вместо р и ц соответственно выраже-
выражения B02.10) и B02.3), получаем для определения допустимых
значений энергии Е уравнение
Отсюда для уровней энергии водородоподобного атома находим
формулу
? = — *"?	B02.17)
До сих пор мы еще не рассматривали вторую систему уравне-
уравнений B01.96) для определения радиальных волновых функций.
Нетрудно убедиться, что в этом случае вместо системы B02.4)
у нас получилась бы система уравнений, отличающаяся от B02.4)
заменой jj. на — 1/jn.. В результате величины q и р, фигуриро-
фигурировавшие выше, заменились бы соответственно на — q и — р, а
условие для определения собственных значений B02.16) приняло
бы вид
s—р~ — л,.
Все эти изменения, однако, ничего не меняют в формуле для
энергетических уровней, поэтому каждый уровень оказывается
двукратно вырожденным.
Если Р > 1 (Z > 137), то определенный соотношением B02.5) показатель s
в случае основного состояния оказывается чисто мнимой величиной и наше
решение перестает удовлетворять граничному условию при /-=0. Для очень
больших значений Z потенциальная яма становится настолько глубокой, что
энергия основного состояния Е оказывается меньше —тс2. В силу соотноше-
соотношения B02.3) величина а при этом становится чисто мнимой и функции g и /
[см. B02.6)] не будут больше экспоненциально убывать на больших расстоя-

203. Тонкая структура энергетических уровней атома водорода 225
ниях г, что физически обусловлено проникновением электронной волны в об-
область отрицательных энергий (парадокс Клейна). Более подробно мы обсудим
это явление для случая потенциальной ступеньки в задаче 207 (случай вI*.
Задача 203. Тонкая структура энергетических уровней атома
водорода
Для атома водорода фигурировавший в предыдущей задаче
параметр {} совпадает с зоммерфельдовской постоянной тонкой
структуры
Этот параметр достаточно мал, и для анализа полученных выше
результатов можно пользоваться степенными разложениями.
С помощью указанных разложений подтвердить нерелятивистскую
теорию и найти первые релятивистские поправки к ней.
Решение. Раскладывая по степеням а показатель s, опреде-
определяемый соотношением B02.5), получаем
)-	B03Л>
Подставляя это разложение в формулу для энергетических уров-
уровней B02.17) и вводя главное квантовое число
я = «, + /"+4,	B03.2)
2
находим
или
Е--
Так как
то формула для уровней энергии водорода с учетом первой ре-
релятивистской поправки приобретает вид
*)] B03-4)
1( Согласно квантовой электродинамике, при Z > 137 точечный заряд
спонтанно рождает позитроны. Более подробно с этим кругом вопросов можно
ознакомиться в обзорной статье: Зельдович fl. Б., Попов В. С, УФН, 105,
404 A971).— Прим. ред.
8 № 1172

226	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Здесь первый член представляет собой энергию покоя, второй
совпадает с нерелятивистской бальмеровской энергией (см. за-
задачу 67) и, наконец, последний член дает первую релятивист-
релятивистскую поправку, пропорциональную а2 = 0,532х 10~4, т. е. состав-
составляющую примерно 1/too% энергии связи. Так как эта поправка
зависит от обоих квантовых чисел п и /, то каждый нереляти-
нерелятивистский уровень энергии расщепляется на несколько близко
расположенных подуровней, о совокупности которых говорят
как о тонкой структуре уровней атома водорода.
Рассмотрим теперь степенное разложение параметра а, кото-
который определяется соотношением B02.3) и имеет размерность длины.
Это разложение записывается в виде
Если в выражении, заключенном в квадратные скобки, пренеб-
пренебречь релятивистской поправкой, то в результате получится бо-
ровский радиус ге-й электронной орбиты атома водорода. Так как
отношение 2г/а входит в качестве аргумента в вырожденные ги-
гипергеометрические функции и так как в выражения B02.15) для
радиальных волновых функций входит множитель е~г/а, то раз-
размеры атома водорода определяются величиной параметра а точно
таким же образом, как и в нерелятивистской теории.
Чтобы от релятивистских волновых функций B02.15) перейти
к волновым функциям нерелятивистской теории Шредингера,
необходимо рассмотреть степенные разложения параметров ц и q,
определенных соответственно соотношениями B02.3) и B02.10).
Мы имеем
В нерелятивистском приближении множитель, стоящий при вто-
второй гипергеометрической функции в формулах B02.15), прини-
принимает вид
i±? =	?с—_ =	п'ш {	B03.8)
и, следовательно, по порядку величины равен единице (исклю-
(исключением является случай rer = 0, когда указанный множитель
также равен нулю). Так как параметр |х в рассматриваемом при-
приближении в силу B03.6) по порядку величины равен а, то функ-
функция / примерно в 100 раз больше функции g. Поэтому в нере-
нерелятивистском приближении радиальные волновые функции (нор-

	203. Тонкая структура энергетических уровней атома водорода 227
мировка произвольная) определяются соотношениями
Если теперь в выражении для функции / положить i = l-\-1U,
то оно действительно перейдет в выражение для шредингеров-
ской волновой функции [см. соотношение F7.12)]
2т/-),	B03.9а)
где 7=1/а. В этом можно убедиться следующим образом. С уче-
учетом равенства j = lJr1/2 из определения главного квантового
числа B03.2) следует, что п — пг-\-1-\-1, поэтому пг = п—/—1 и
_n, 2Z+3; 2уг) —
-1, 2/ + 3; 2Тг)}.
Воспользуемся теперь общей формулой
a^ia+l, с+1; г) = (а—с) ^(а, с+1; z) + c ^(a, с; г)
и, учтя равенства а = 1+\ — п, с = 21 + 2, z = 2yr, преобразуем
с помощью этой формулы выражение, стоящее в фигурных скобках:
Л (а. с + 1; *)+^Л(а+1. C + I; z)'
к виду
=БхЛ(а, с; г)=^±^ ^(Z + 1-д, 2/+ 2; 2Vr).
Таким образом, выражение B03.9) действительно переходит в вы-
выражение B03.9а).
Чтобы получить нерелятивистское приближение для решений
второго типа, требуется специальное рассмотрение. В результате
замены величины ц величиной —1 /jn. функция /становится малой,
а функция g—большой, поэтому в нерелятивистском приближе-
приближении (нормировка опять произвольная) мы должны положить
/ = 0
g==r,'-4te-yr{iFA_nry 2/+2; 2yr)-1F1(l-nr, 2/+2;2Тг)}.B03Л0)
Так как в рассматриваемом случае / = /—у4, то теперь имеем
g = rl-*e-v{lFl(-nr, 2/+1; 27^-^A-^, 2/ + 1; 2уг)\.
8*

228	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Чтобы убедиться, что последнее выражение совпадает с B03.9а),
воспользуемся общими формулами
a^F^a + l, с—1; z) — ,F1(a, c—l; г)} =z?lFl(a, с—1; г)
(с—1)^хЛ(а, с —I; z) = alFl(a+l,c; z).
С их помощью нетрудно показать, что с точностью до постоян-
постоянного множителя 2у/B/+1) для функции g получается выражение
g = rle-v1F1(l—nr, 2/+ 2; 2уг).
Так как, согласно B03.2),
1—«, = / + 8/g—«
и, кроме того,
/ = /—V.,
то первый аргумент вырожденной гипергеометрической функции
опять оказывается равным / + 1—п и, следовательно, получен-
полученное выше выражение совпадает с B03.9а).
До сих пор мы рассматривали величину / просто в качестве
удобного параметра, не интересуясь его физическим смыслом.
Чтобы восполнить этот пробел, вычислим для обоих типов ре-
решений среднее значение оператора L*. Пользуясь соотношением
нетрудно показать, что в обоих случаях интересующее нас сред-
среднее значение описывается формулой
. B03.il)
Для решений первого типа функция |g|2 в а~2 раз меньше функ-
функции | /12 и ее можно не учитывать, следовательно, в этом случае
<I2> = (/-V2)(/ + 1/2)&2	B03.12a)
и мы имеем /—1/ts=l. Для решений второго типа можно пре-
пренебречь | f |2 по сравнению с \g\2 и получить
<L*> = (/ + 72) (/ + 3/2) %\	B,03.126)
и, следовательно, в этом случае j-\-1/i = l. Именно такими под-
подстановками мы и пользовались в приведенных выше расчетах.

203. Тонкая структура энергетических уровней атома водорода 229
Другими словами, в нерелятивистском приближении, когда функ-
функции fag больше не входят одновременно в один и тот же спи-
спинор, / снова становится хорошим квантовым числом.
Дополнение. Как мы показали, собственные спиноры связаны с двухком-
понентными функциями
/+V1.1
и могут быть двух типов:
или
причем g<^/ для решений г|>а и
таким образом, имеем
для решений \j)j. Приближенно мы,
¦•
(о)
Рассматриваемое приближение соответствует нерелятивистской двухкомпонент-
ной теории спина, в которой / = /-(- Va Д™ волновых функций if>a и ] = 1 — 1/3
для волновых функций ij)j, т. е. при заданном значении квантового числа /
волновые функции не содержат сферических гармоник с различными значе-
значениями /.
Кроме того, мы показали, что радиальная часть „больших" компонент
спинора г|>а определяется формулой
1; 2уг),
где / = /+1/а. а радиальная часть „больших" компонент спинора ifo опреде-
определяется формулой
в-/-'+1'««-г/яЛ(/+•/•-«, 2/ + 3; 2уг),
где / == / — г/а- Эти решения нормируемы только в том случае, когда первые
аргументы вырожденных гипергеометрических функций равны нулю или целому
отрицательному числу. Возможные состояния атома водорода, отвечающие низ-
низшим значениям полного момента, приведены в следующей таблице:
1
Решение
;>!
Спектроскопические обозначения для
решений
«.
"Р./.

230
VI. Релятивистское уравнение Дирака
Соответствующие этим состояниям радиальные волновые функции (либо /,
либо g) совпадают с радиальными волновыми функциями нерелятивистской
теории, которые подробно рассмотрены в задаче 67. Угловые же части волно-
волновых функций являются двухкомпонентными в полном согласии с нереляти-
нерелятивистской теорией спина, разобранной в задаче 133.
Если отбросить энергию покоя, то, согласно соотношению B03.4), уровни
энергии описываются формулой
?„,, = -?ОП-Д?П,,,
где
1
2и2
(выше мы пользуемся атомными единицами, для перехода к обычным единицам
приведенное выражение следует умножить на me4/ft2 = 27,2 эВ) — это нереляти-
нерелятивистская бальмеровская энергия связи, а
АЕ -— (—— - —
— релятивистская поправка к ней. Энергии первых трех уровней и реляти-
релятивистские поправки к ним указаны в приводимой ниже таблице.
п
1
2
3
ч,
V»
B/а!
1=4.
у
Чи
1 = 4 г
Чи
Чш
цля
1=4,
—
Чаи
! =
6
2
0
V,
68
08
74
1О'хд?«./
1=4,
0,42
0,25
цля
/=
0
4,
08
Приведенные данные показывают, что чем ниже уровень, тем сильнее он рас-
расщепляется. Именно по этой причине красная линия На (переход п —
= 3-(-п = 2) при грубом разрешении представляется дублетом, компоненты
которого расположены на расстоянии
B,08—О,42)Х1О-6Х27,2 эВ,
или 0,365 см-1.
Задача 204. Проблема Кеплера. Радиальные функции при
положительных энергиях
Электрон, помещенный в кулоновское поле, обладает пЬложи-
тельной энергией, так что Е — тс2 > 0. Найти радиальные волно-
волновые функции и выяснить их асимптотическое поведение.

204. Проблема Кеплера. Радиальные функции при положительных энергиях 231
Решение. Так как в рассматриваемом случае тс* — Е < О,
то соотношения B02.3) удобно заменить теперь соотношениями
цк*=Е~™*, А==?+тс2>	B04.1а)
в которых величина k имеет смысл волнового числа на бесконеч-
бесконечности. Этим соотношениям можно придать иную форму:
¦п= л/Е~ тс8~
Е+тс*'		B04.16)
Ъ - У(Е~тс*)(Е + тс*)	'
%с
Наша задача сводится к решению системы дифференциальных
уравнений
По аналогии с задачей 202 будем искать решение в виде
g = \(w + v)rs-leikr,
,	B04.3)
где
V2J-P3.	B04.4)
Вводя обозначения
и новую переменную
z = — 2ikr,	B04.6)
после несложных вычислений получаем
z%%+[Bs + l)-z]%-(s-iQ)w = 0	B04.7)
B04-8)
Произвольно нормированное решение дифференциального урав-
уравнения B04.7), регулярное в начале координат, записывается
в 'виде
w = C 1F1 (s — iQ, 2s + 1; г).	B04.9)

232	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Пользуясь далее общей формулой
с помощью B04.8) получаем
¦^{l+s-iQ, 2s+l; z). B04.10)
Так как величина г действительная и положительная, то,
согласно соотношению B04.6), переменная г является чисто мни-
мнимой и argz = 3n/2, поэтому мы можем сразу воспользоваться
асимптотической формулой
Jx (а, с; г)—е-'* гЪ=Ъг~а + Ще' га~°- B04Л1>
Таким образом, имеем
_*? ( JiEL+fQlni/kr	-
W~* Bkr)s	{ r(l+s+tQ) +
И
„	CTBs+\)e % s-iQ
v~*	BkrY	•i + i	*
2kr^ T(\+s-iQ)
Второй член в фигурных скобках в выражении для функции w
и первый член в фигурных скобках в выражении для функции v
в kr раз меньше других членов, фигурирующих в этих выра-
выражениях, поэтому их можно отбросить. В результате с учетом
соотношений B04.3) получаем
га	^ Q g( (kr+ Q In ikr)" I Q g-t (kr+Q In 2kr)
Yjj-f	>.Q gt (kr+Q Inikr)	Q ?-i (kr+Q In 2*^)^
где постоянные комплексные амплитуды определяются выраже-
выражениями
nQ	fas
r CVBs+l)e 2	e *
2B*).	Vd + s + iQ)
nQ	ins	v	'
Г — CTBs+l)e » _ s—iQ
2	o_;/i	о г
Разумеется, постоянные Ct и С2 могут отличаться лишь фазовым
множителем, так как сходящаяся и расходящаяся парциальные

204. Проблема Кеплера. Радиальные функции при положительных энергиях 233
волны должны иметь одинаковые амплитуды. Действительно, не-
нетрудно показать, что
а, следовательно, оба множителя, которыми отличаются друг от
друга постоянные С, и Сгу на самом деле являются фазовыми
множителями. Для второго из них это очевидно. Что же касается
первого множителя, то мы имеем
s—iQ |г _ s*-\-Q2 _.
поскольку
Таким образом, окончательно получаем
g=\C1\ei&2i^, f = \C1\e!&2~^,	B04.15)
где
I = kr + Q\n2kr —j—? — б.	B04.16)
Замечание. Этот результат можно сравнить с результатом нерелятивист-
нерелятивистской теории, рассмотрев предельный случай т]^1. В этом случае /^>g и
B04.17)
Фигурирующую здесь величину Q с помощью соотношений B04.5) и B04.16)
можно выразить через энергию Е, а затем через скорость электрона v на
бесконечности. С учетом известной формулы
получаем
%
и, следовательно, величина Q совпадает с параметром х, введенным в за-
задаче 110. На основании соотношения B04.16), кроме того, заключаем, что
величина %k есть импульс электрона на бесконечности. Таким образом, два
первых члена в аргументе синуса в формуле B04.17) полностью согласуются
с полученным в нерелятивистской теории выражением. В том же приближе-
приближении постоянный сдвиг фазы вычисляется с помощью соотношений
Мы имеем

234	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Если учесть теперь, что знак волновой функции не играет никакой роли и
что, следовательно, можно отбросить постоянный сдвиг фазы, равный п, то
интересующее нас асимптотическое выражение окончательно запишется в виде
f~ у sinlkr + K\n2kr — у — argr(/+l-f in) \.
Полученный результат полностью согласуется с результатом задачи 111, если
принять во внимание, что здесь мы имели дело с кулоновским притяжением.
Задача 205. Разложение дираковской плоской волны по
состояниям с определенным моментом
Полученные в задаче 201 общие собственные спиноры опера-
операторов J2 и Jz использовать для разложения плоской дираковской
волны
B05.1)
которая обладает положительной спиральностью (/i=-fl) и рас-
распространяется в направлении оси г.
Решение. Прежде всего решим системы уравнений B01.9а)
и B01.96) в случае свободного движения. Согласно задаче 190,
где рассматривались плоские волны, параметр ц связан с энер-
энергией и импульсом соотношениями
Е—тсг ,
С учетом этих соотношений система дифференциальных уравне-
уравнений B01.9а) записывается в виде
1	O,	B05.3а)
0.	B05.36)
Из уравнения B05.36) получаем соотношение
i-e^f'-^f,	B05.4)
дифференцируя которое, находим

205. Разложение дираковской плоской волны
235
Подставляя последнее выражение в B05.3а), получаем для опре-
определения функции / обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка
= 0.	B05.5)
Регулярное в нуле решение этого уравнения (нормировка произ-
произвольна») имеет вид
1 ! "' "	B05.6)
Подставляя теперь выражение B05.6) в соотношение B05.4), на-
находим
. k _ 1 / .,	; -f у2 .
причем штрих означает дифференцирование по переменной kr.
С помощью известной формулы
окончательно получаем
B05.7)
Таким образом, нормировка функции g фиксирована относительно
нормировки функции /. Если квантовое число / задано и
/Иу= + 1/2) то формулы B05.6) и B05.7) позволяют записать
4-спинор B01.4а) в явном виде:
B05.8)
Рассмотренные в задаче 201 решения второго типа находятся
из уравнений B05.3а) и B05.36), если в них произвести замену
f\7=±\lf\. При этом функция / по-прежнему будет определяться
выражением B05.6). Что же касается функции g, то выражение
для нее получается из B05.7), если там множитель т] перевести
из числителя в знаменатель. С учетом этих замечаний 4-спин;)р

236
VI. Релятивистское уравнение Дирака
B01.46) запишется теперь в виде
I-1/,. о
B05.9)
Из полученных выше 4-спиноров можно построить волновую
функцию, подобную функции B05.1), если положить
B05.10)
В этом разложении мы можем, разумеется, распорядиться не-
немым индексом /' по своему усмотрению. Для дальнейшего удобно
ввести орбитальное квантовое число / и во всех суммах, содер-
содержащих функции
il-4,(kr)Yi-*/,.m
(т = 0 или 1), положить / = / + 1/s- В суммах же, содержащих
функции
положить / = / — 7г- Учитывая далее соотношения B05.8) и
B05.9), находим
П (kr)
1 = 0
21+1 kr
М/->/, VT+Bl+t/t К/ЯЛ) уи „
. B05.11)
Нетрудно проверить, что сумма B05.11) сводится к выражению
B05.1), если
B05.12)

	206. Рассеяние в поле центральных сил	2Э7
Задача 206. Рассеяние в поле центральных сил
Частица, описываемая дираковской плоской волной с поло-
положительной спиральностью, рассеивается на сферически симмет-
симметричном потенциале. Получить формулу для асимптотики рас-
рассеянной волны, считая, что фазы рассеяния можно взять из
решений радиальных волновых уравнений.
Решение. Как было показано в задаче 201, имеется два типа
радиальных уравнений.
Тип I
r) f, = 0,
где
Легко видеть, что для потенциалов U (г), убывающих быст-
быстрее 1/г, решения "этой системы уравнений асимптотически ведут
себя в соответствии с формулами
?,(/-)—-iS-sin а,, /,(/")—у cos а,	B06.2а)
- + а.,	B06.3а)
Относительный сдвиг фаз функций gj и ft равен я/2, а их
амплитуды при данной произвольной нормировке связаны между
собой таким образом, что в нерелятивистском пределе, когда
т]—>-0, функции fj и gj становятся радиальными частями соот-
соответственно большой и малой компонент волнового спинора. Если
функция fj выбрана действительной, то функция gj будет чисто
мнимой. Фазы рассеяния а, определяются путем интегрирования
системы уравнений B06.1а) при граничных условиях gj @) = 0
и /;.@) = 0. В нерелятивистском пределе / = / + Va. поэтому для
больших расстояний г можно написать
Тип II
B06.16)

238
VI. Релятивистское уравнение Дирака
Асимптотическое поведение решений этой системы определяется
формулами
I
0,—)-	S1HT,,
г	1
/,•—>- —
COST
J
B06.26)
B06.36)
где фаза рассеяния Р;-, вообще говоря, отличается от фазы рас-
рассеяния ау-. Так как система уравнений B06.16) получается из
системы уравнений B06.1а) путем замены параметра т] парамет-
параметром 1/т], то в нерелятивистском пределе функция. g;- становится
радиальной частью большой компоненты волнового спинора,
а функция fj—радиальной частью его малой компоненты. Таким
образом, в нерелятивистском пределе имеем /=/—'/г и> следо-.
вательно,
Как мы видели в задаче 201, при каждом значении кванто-
квантового числа / имеется два волновых спинора г|з} и г|з)!, описываю-
описывающих состояния, в которых проекция полного момента на ось г
достоверно равна 1/i (в единицах %). Их асимптотика имеет вид
B06.4)

206. Рассеяние в поле центральных сил
239
Общее решение всегда можно записать в форме суперпозиции
рассмотренных выше частных решений:
¦ф = 21(Л/Ф/ + ?/Ф/1)-	B06.5)
Здесь индекс суммирования / можно заменить на / ± V2 таким
образом, чтобы во всех суммах фигурировали лишь сферические
гармоники /-го порядка. В результате асимптотику выражения
B06.5) можно записать в виде
X
_V2j Ylt 0
\—VI Л/+./2 cos 0/+Vl + ^ Vl + 1 5j-v, sin x,_I/2J Г,, х
i-ч, sin CT(_v2 + V l + l В1+1/г cos ti+iJ У
Л 0
B06.6)
По своей структуре последнее выражение очень напоминает
плоскую волну B05.11), в которую оно переходит, если а;=0
и ру = 0 для всех значений /. В этой связи плоскую волну це-
целесообразно записать в виде
'),	B06.7)
где
B05.8)
Как известно, граничное условие для задач рассеяния состоит
в том, что при г—> оо разность
^^^—^о	B06.9)
содержит лишь расходящиеся сферические волны и не содержит
пропорциональные e~ikrikr сходящиеся сферические волны. Только
в этом случае функцию tys можно отождествить с рассеянной
волной. С учетом формулы B06.6) указанное граничное условие
приводит к следующим четырем уравнениям для определения

VI. Релятивистское уравнение Дирака
коэффициентов:
-]ПГ AU4le
B06.10)
2 "<+»/•
= _t]Yi+1 4?_v,-i/Tb,w 2 •
Эти уравнения удовлетворяются в том и только в том случае,
если
A,= Ajeta/, В, = В)е®1.	B06.11)
С помощью последних соотношений нетрудно показать, что
асимптотическое поведение рассеянной волны описывается фор-
формулой
^ г е'*г
[(+)()
VI {1+1) (е"*1-ч,—«
У~21 +1
Ci-V.— l)]Vlt
1) + (/ + 1) (g2/p^v— 1)] У,.,
B06.12)
Задача 207. Гладкая потенциальная ступенька
На потенциальную ступеньку, описываемую формулой
B07.1)
со стороны отрицательных z падает плоская дираковская волна

207. Гладкая потенциальная ступенька
241
с положительной спиральностью (/i = + l). Определить коэффи-
коэффициент прохождения для различных высот потенциальной сту-
ступеньки:
пеньки:
случай a: Vo < Е—тс2,
случай б: Е—тс* <V0<
случай в: Е + тс* <V0.
тс*
B07.2)
Характерные особенности указанных случаев проиллюстри-
проиллюстрированы на фиг. 72.
Решение. Потенциал, описываемый формулой B07.1), изме-
изменяется от значения V = 0 при z = —оо до значения V — -\-V0 при
г=+оо. Указанное изменение значений потенциала фактически
происходит вблизи точки z = 0 в пределах слоя толщиной /.
Рассматриваемый потенциал представляет частный случай потен-
+mc
Фиг. 72. Потенциальные ступеньки различной высоты.
Области допустимых значений энергии частицы заштрихованы.
циала задачи 197. Для положительной спиральности (h= +1)
компоненты волновой функции «2 и «4 обращаются в нуль
и дело сводится к решению системы двух дифференциальных
уравнений:
B07.3)

242	VI. Релятивистское уравнение Дирака
где
Q* B) — ?	„, тс	/опт л\
= —^-4	,	И=—т—•	(/О/.4)
%С	ПС
Вместо компонент иг и и3 введем их симметричную и антисим-
антисимметричную комбинации:
ф^^ + Ыз, фа = и1 — и3.	B07.5)
Для функций ф^ и фа вместо B07.3) получается более простая
система уравнений вида
из которой нетрудно исключить одну из них, например фа. Имеем
-ха + *'<2')ф* = 0.	B07.7)
Решив это уравнение при соответствующих граничных условиях,
мы затем с помощью второго уравнения B07.6) найдем функ-
функцию фа.
Если вместо г перейти к новой независимой переменной
,	B07.8)
то коэффициенты дифференциального уравнения B07.7) станут
рациональными функциями х. Учитывая соотношения
B07.9)
и вводя безразмерные параметры
El
8	&
(величина 2hc/l играет у нас роль единицы энергии), можно при-
придать уравнению B07.7) следующую форму:
-eS + foo*(l—*)}<р, = 0.	B07.11)
Последнее уравнение после очевидной замены
Ф, = ^A-*Ж*).	B07.12)
где
va = e§-(8 — va)\ n» = e» —e»,	B07.13)
сводится к уравнению для гипергеометрической функции
]f —
.	B07.14)

	207. Гладкая потенциальная ступенька	243
В дальнейшем нам понадобится, как мы сейчас убедимся, только
решение, регулярное в точке х = 0. Такое решение имеет вид
f(x) = tF1(]i + v—iv0, |i + v + fo0+l, 2v+l; x). B07.15)
Рассмотрим граничные условия. Согласно соотношению B07.8),
имеем
х=1 при z = —оо и х = 0 при z=+оо.
Далее, согласно равенствам B07.10) и B07.13),
поэтому величина \х всегда является чисто мнимым параметром,
пропорциональным импульсу падающей частицы p = %k. В ок-
окрестности точки х=1 гипергеометрическую функцию B07.15)
можно преобразовать с помощью формулы
> / и	\ Г (с) Г (с—а—Ь) ,-, , , , ,
(а, Ъ, с; *) = r(c-fl)r(c-ft) *F^a' b' a + b~
a, c-b,c-a-b+U 1-
Таким образом, из B07.8) и B07.15) при х&\ (г-* — сю) имеем
ГBу+1)Г(-2ц)
(v_jX +ш0+1) Г (v-ц -iv0) ^
ГBу+1)ГBИ)
Учитывая далее, что
получаем
<ps-+Aeik* + Be~ik*,	B07.17)
где
Л -	ГBу+1)ГBИ)
Л - Г (v + |i-fo0) Г (v + n + /uo+ 1)
и
В _	ГBу+1)Г(-2>х)
Выражение для амплитуды А отличается от выражения для амп-
амплитуды В лишь знаком перед величиной \х. Как можно было
ожидать исходя из физических соображений, функция ф5 при
¦больших отрицательных значениях z представляет собой супер-
суперпозицию падающей волны с амплитудой А и отраженной волны

244	VI. Релятивистское уравнение Дирака
с амплитудой В. Таким образом, частное решение B07.16) удов-
удовлетворяет граничным условиям при больших отрицательных зна-
значениях z. Функция фа также состоит из суперпозиции двух
типов волн. В этом можно убедиться, подставляя асимптотичес-
асимптотическое решение B07.17) в уравнение B07.6). Указанная подстановка
дает
[?$){УЛ'' <207Л9)
Плотность электрического тока [см. задачу 198; соотношение
A98.13)], если отбросить интерференционные члены, состоит из
двух частей. Действительно,
/, - ее {и\и, + uluj = 1 ее (| <р, |« -1 Фа |«)	B07.20)
и, следовательно,
Ь = /пад-/охр.	B07.21)
где плотности тока падающих и отраженных частиц соответст-
соответственно равны
а энергия и импульс частицы связаны соотношением
B07.23,
Перейдем теперь к обсуждению поведения волновой функции
в правой части потенциальной ступеньки, т. е. вблизи точки
х = 0, или, другими словами, при z-*¦ + «>. Из формул B07.12)
и B07.15) непосредственно следует
q>,-*v = e-Tw,	B07.24)
где, согласно-соотношениям B07.10) и B07.13),
v- — i-k' у-(Е-У*)'-№	/9П7 9^
Теперь мы должны по отдельности разобрать три случая, ука-
указанные в условии задачи. Если Е—V0>mc2 или Vo—Е>тс%
(случаи а и б), то величина д'2 положительная (?'а > Q) и, сле-
следовательно, величина k' действительная. Если же \Е—Vo \ < тс2
(случай б), то величина k' чисто мнимая, а величина v дейст-
действительная. В этом последнем случае при v > 0 вид выражения

207. Гладкая потенциальная ступенька	245
B07.24) говорит о том, что мы имеем дело с полным отраже-
отражением падающей волны, так что коэффициент отражения
/лад
В
Е-ср
B07.26)
должен равняться единице.
В этом нетрудно убедиться, взяв для амплитуд выражения
B07.18а) и B07.186) и воспользовавшись тождеством
Г(г+1) = гГ(г).
Имеем
В_ __ v + \i+iva Г(у + И-'Ч>о)Г(у + И + №о) Г (-2ц)
V
A -v-fx+'V r(v-ji + foe)r(v-ii-foe) ГB|л) '
Так как величина \i всегда чисто мнимая,
И- = — io,
то третий сомножитель в B07.27) не дает никакого вклада в
абсолютную величину отношения |В/Л|. Если величина v дей-
действительная (случай б), то второй сомножитель также является
отношением двух комплексно сопряженных величин и, следова-
следовательно, не дает вклада в абсолютную величину рассматриваемого
отношения. Таким образом, имеем
_ У2+ (У0— aJ 2t>0 (г—а) Е-ср
В
поэтому из B07.26) действительно следует, что #-=1. В случаях
айв (v—мнимая величина) в области далеко справа сущест-
существует бегущая волна, поскольку
Ф^ — eik'z
и, кроме того, согласно уравнению B07.6),
Фа ~
В этих выражениях р'=fik' — импульс прошедших частиц,
а Е' = Е—Уо. Плотность электрического тока прошедших частиц
в силу соотношения B07.20) имеет вид
Отсюда с учетом выражения B07.22) для коэффициента прохож-
прохождения получаем формулу
Т _ _W _J	 ср' (Е'—ср1)	^207 29)
/пад Ml2' cp(E-cp) •

246	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Чтобы теперь вычислить величину | А [2, мы, кроме тождества
Г(г+1) = гГ(г),
воспользуемся общей формулой
\T(±iy)\2= ^ , у—действительное число.
Учитывая, что
(г = —га, v = — га',
с помощью B07.18а) получаем
1	ст ст-(-а'— у0	sh 2ncrsh 2зго'

При подстановке последнего выражения в формулу B07.29) в ней
появляется множитель
ср'(Е'-ср') # а_ _ о + ст' — va __ (?"—ср')
(Е) "'' + 'f	(? )
ср(Е-ср) "o''o + a'-f-tf0 (? —
который, как легко показать, равен единице. Действительно,
заменяя здесь Vo на Е—Е' и учитывая, что
Е'2 — (сру = Е2—(сру = (тс2J,
получаем
= (Е'-ср') (Е'+ср')-(Е'-ср') (Е-ср) .
(?ср)(? + ср)(?ср)(?'ср')
Таким образом, выражение для коэффициента прохождения при-
принимает вид
гр	sh 2зго sh 2ясг'
1
В знаменателе этого выражения удобно выделить характерис-
характеристическую величину v0, пропорциональную произведению высоты
ступеньки на ее ширину и не зависящую от энергии частицы:
Т 	sh 2na sh 23га'		.„» „„
sh2n(a-fa')ch2Ku0 — ch3 л (a + a') sh2 яи0 '	(tvi.o/,)
В случае a мы имеем а-{-а' — v0 > 0 или Ко < с(рАгр'). Этот
случай можно назвать нормальным: он имеет место и в нереля-
нерелятивистской теории. С другой стороны, а-\-о' — у0 < 0 в случаев
и, следовательно, Т < 0. Волна проникает в область отрица-
отрицательных энергий (см. фиг. 72), где положительному импульсу
сопутствует отрицательный электрический ток. В пределе nv0 S>> I
или

208. Наклонное падение плоской волны
247
выражение B07.32) упрощается и принимает вид
п1У0
Отсюда видно, что проницаемость потенциальной ступеньки при
переходах от положительных энергий к отрицательным быстро
падает по мере роста „эффективного размера" ступеньки Vol. Так
как Vo > тс2 в случае в, то экспонента в выражении для коэф-
коэффициента прохождения Т дает вклад, который заведомо меньше
л!шс
где K = fi/mc—комптоновская длина волны.
Литература
Klein О., Zs. Phys., 53, 157 A929).
Sauter F., Zs. Phys., 69, 742; 73, 547 A931).
(См. также Зоммерфельд А., Строение атома и спектры, т. 2, М.,
стр. 270—282. — Лрим. ред.)
Задача 208. Наклонное падение плоской волны
на прямоугольную потенциальную ступеньку
Частица, описываемая дираковскои плоской волной с произ-
произвольной поляризацией, наклонно падает на потенциальную сту-
ступеньку, высота которой меньше кинетической энергии частицы.
Получить законы отражения и преломления, а также вычислить
поляризацию прошедшей волны.
Решение. Обозначим посредством ip, гр' и гр" соответственно
падающую, отраженную и прошедшую волны. Пусть далее k, k'
и k" — волновые векторы этих волн,
направления которых характеризуются
соответственно сферическими углами
Ь, ф, О', ф' и Ь", ф". Мы будем счи-
считать, что преломляющая плоскость сов-
совпадает с плоскостью 2 = 0 и что вол-
волны гр и г|/ распространяются в обла-
области г < 0, а волна ч|>" в области z > 0
(см. фиг. 73).
В плоскости 2 = 0 для всех зна-
значений х и у должно выполняться СО- Фиг. 73. Наклонное паде-
отношение	ние плоск°й волны на по-
потенциальную ступеньку.
-ф -Ь -ф' = -ф",	B08.1)

248
VI. Релятивистское уравнение Дирака
ft' = jt —ft,
sin ft = &" sin ft".
в силу которого все три волновых вектора к имеют равные
проекции на оси хну:
k sin ft cos ф = k sin ft' cos ф' = k" sin ft" cos ф",
k sin ft sin ф = k sin ft' sin ф' = k" sin ft" sin ф".
Мы сможем удовлетворить этим соотношениям, положив
B08.2)
B08.3)
B08.4)
Равенство B08.2) показывает, что все три волновых вектора k
лежат в одной меридиональной плоскости, которую мы можем
выбрать в качестве плоскости xz. При таком выборе «/-компо-
«/-компоненты волновых векторов обращаются в нуль (ф = 0, ф' = 0, ф" = 0).
Равенство B08.3) в этом случае выражает законютражения, а
равенство B08.4)—закон преломления, причем показатель пре-
преломления, очевидно, определяется соотношением n = k"/k. Оба
закона совпадают с соответствующими законами для нереляти-
вистских шредингеровских волн (см. задачу 45).
Дополнительные эффекты в релятивистской теории связаны
с поляризацией волн. Полагая ф = 0 и ft' = jt—ft, запишем три
рассматриваемые волновые функции в стандартном представлении:
ft , г, . ft
eik'
eik"
г
•г
Ьт| )
i4sin-|~
-^ — Б sin у
А	А
r\ ( A sin -j -\- В cos y
siny + Dcos-g-
t|(Csin-?-
1)
2)
y—F s\n~
¦sin?
cos
B08.5)

208. Наклонное падение плоской волны	249
Выше первые части спиноров, пропорциональные постоянным
А, С и Е, характеризуют состояния с положительной спираль-
ностью +1, а вторые части, пропорциональные постоянным В,
D и F, — состояния с отрицательной спиральностью —1.
Граничное условие B08.1) применительно к амплитудам дает
F),
—D = rk(E—qF),	l }
где
B08.7)
Комбинируя равенства B08.6), получаем
—Я) qF],
B08.8а)
B08.85)
Из первой пары уравнений исключим амплитуду С, а из второй
пары — амплитуду D. В результате у нас получатся соотношения,
связывающие амплитуды прошедшей волны Е и F с амплитудами
падающей волны Л и В:
B08.9)
Среднее значение спиральности (или, иначе, продольная поляри-
поляризация) падающей волны определяется выражением

250	VI. Релятивистское уравнение Дирака
Аналогичным выражением определяется и продольная поляриза-
поляризация прошедшей волны:
Из соотношений B08.9) находим
Последнее выражение можно значительно упростить, введя па-
параметр и:
^?±?3lC^	B08.13)
==3tg^.
— pq Т) + Т) 6 2
С учетом B08.13) выражение B08.12) принимает вид
В _ (F/E)-u
A ~\+u(F/E) ¦
Если в этой формуле выразить отношения В/А и F/E через по-
поляризации h и h", определяемые формулами B08.10) и B08.11),
то нетрудно показать, что
?Л-ТТ7?1/Т11й5-	B08Л5>
Когда падающая волна полностью продольно поляризована
(h=± 1), имеем
т. е. потенциальная ступенька частично деполяризует волну;
однако эта деполяризация является эффектом второго порядка
по параметру и. С другой стороны, в случае продольно неполя-
неполяризованного пучка (А = 0) получаем
так что наличие потенциальной сгупеньки приводит по крайней
мере к частичной продольной поляризации пучка, причем этот
эффект линеен по параметру и. На практике параметр и оказы-
оказывается сравнительно малой величиной (и» 0,1), поэтому частич-
частичная поляризация первично неполяризованного пучка представляет
больший интерес, чем частичная деполяризация пучка с вполне
определенной спиральностью. В заключение следует отметить,
что параметр и обращается в нуль в случае нормального паде-
падения, поэтому рассмотренные эффекты проявляются более отчетливо
при скользящем падении первичного пучка.

209. Отражение от прямоугольной потенциальной ступеньки 251
Задача 209. Отражение от прямоугольной потенциальной
ступеньки при наклонном падении
Частица, описываемая плоской волной со смешанной спи-
ральностью, падает наклонно на потенциальную ступеньку.
Вычислить коэффициент отражения и доказать, что плотность
тока непрерывна на поверхности, где потенциал испытывает
скачок.
Решение. Плотность электрического тока
можно следующим образом выразить через компоненты спинора
¦фи в стандартном представлении:
/* =ес W>M>
jy = eci (—
В случае плоской волны экспоненциальные множители, входящие
в \|)* и ypv, взаимно сокращаются. Что же касается постоянных
спинорных амплитуд B08.5), то при нашем выборе системы
координат, благодаря которому ф = 0, их можно, не нарушая
общности, считать действительными. При этом, как и следовало
ожидать, /„ = 0. Для падающей волны две другие компоненты
плотности тока имеют вид
sin у—В cos у) т] (A cos -g—В sin у
Отсюда после очевидных упрощений получаем
Аналогичные формулы справедливы для отраженной волны:
B09.2)

252	VI. Релятивистское уравнение Дирака
и для прошедшей волны1(:
Чтобы вычислить эти плотности токов, мы сначала выразим
амплитуды С, D, E, F через амплитуды А и В падающей волны,
решив для этого систему линейных уравнений B08.6) или экви-
эквивалентную ей систему B08.8а), B08.86). В результате элементар-
элементарных, но довольно трудоемких вычислений получаем
^	^	B09.5)
где
А = (*,+ IJ A -р<7J + (Л-- IJ (p + q)\	B09.6)
рА = (К+ I) (Л-ар)-(Л- 1) р = 4ЦЯ+ 1) A -pq)(l-p*),
оА = (Я- 1) (рД—а) +(*, + 1) Рр = 4Я (Я- 1) (р + <7) A -р3).
Из соотношений B09.4) и B09.5) далее находим
= (р2+
Подставляя выражения B09.6) в соотношения B09.7), после
простых, но довольно длинных преобразований получаем
1—р2J	B09.8)
Д2_(а* + р») = Д4Я, A —р1) A — ?2).	B09.9)
Теперь нетрудно выразить плотности токов отраженных и
прошедших частиц через плотность тока падающих частиц; напри-
например, для г-компонент, перпендикулярных плоскости, на которой
Х) Так как
то интерференционные члены, обусловленные наложением отраженной (I падаю-
падающей волн, для нас несущественны и их можно опустить. Эти члены могут
представлять интерес при изучении локального поведения плотности тока (см.
задачу 23).

209. Отражение от прямоугольной потенциальной ступеньки 253
потенциал испытывает скачок, имеем
h— ^42^52 Iz—	дг Iz	(ZVV.IV)
И
.„_ г\" 1+тJcosy ?2 + f2 . _if 1+TJ cos У р2+стг .
/z I -h^ Л cos* Л2 + Ва ^г ~ т) l+*l cos* 4/-2X2 ^г-
Пользуясь далее обозначениями B08.7), легко показать, что
г\" 1 + тJ cos й" J_ _. 1— д2
г\ 1 + т)"а cos О л2 ""—р2
и, следовательно,
Комбинируя соотношения B09.10) и B09.11) с соотношениями
B09.8) и B09.9), находим
Г, 4ХA-р2) A-^I
/z —	'	д	J Уг>
г_4Х,A-р2)A -<?2) .	B09.12)
1г —	д	/г.
где А определяется по формуле B09.6). Из последних соотноше-
соотношений сразу же следует уравнение непрерывности
/* + /; = ?.	B09.13)
Отсюда же для коэффициента отражения получаем
j?=1_4Ml-P2)d-^)	B09.14)
В случае нормального падения (р = 0, <7 = 0) коэффициент отра-
отражения имеет особенно простой вид:
$-	B09Л5)

VII. Теория излучения
Задача 210. Квантование шредингеровского волнового поля
Записав подходящим образом энергию, импульс и электричес-
электрический заряд шредингеровского волнового поля в свободном простран-
пространстве, обсудить процедуру квантования этого поля в соответствии
со статистикой Бозе и статистикой Ферми.
Решение. Будем рассматривать уравнение Шредингера для
свободной частицы в качестве уравнения для классического вол-
волнового поля ip, которое, таким образом, представляет собой ска-
скалярную функцию пространственных координат и времени. Если
пользоваться обычной нормировкой, то энергия, импульс и
электрический заряд этого поля определяются соответственно
(см. задачи 3 и 5) следующими интегральными выражениями:
^d3x,	B10.1)
B10.2)
*4xfte.	B10.3)
Здесь т и е следует рассматривать как феноменологические
параметры, которые пока еще никак не связаны с физическими
массами и зарядами частиц.
Как мы знаем, шредингеровское поле должно удовлетворять
двум сопряженным волновым уравнениям
i dt	2т v Ч3'
i dt ~ 2m V ^ •
Частные решения этих уравнений имеют вид плоских волн, кото-
которые мы нормируем, вводя куб периодичности произвольного
объема Т3. Тогда общее решение можно записать следующим
образом:
ф(г, 0 = <Гэ-'/с*е"*"-ш<>>	B10.5)

210. Квантование шредингеровского волнового поля	255
причем закон дисперсии, согласно B10.4), имеет вид
&со = -^.	B10.6)
Если теперь общее решение B10.5) подставить в выражения
B10.1)—B10.3) и воспользоваться условием ортонормированности
плоских волн,
1 f t ,k_k,) r ,g ___ с
суз
то нетрудно показать, что
~ '	"	B10.7)
Теперь мы приступаем к квантованию развитой выше клас-
классической теории. Волновую функцию \р заменяем оператором г|),
действующим на гильбертовы векторы состояний % в простран-
пространстве числа частиц. Такой же смысл имеют теперь и коэффици-
коэффициенты Фурье ск, фигурирующие в разложении B10.5). При этом
операторы с* и эрмитово сопряженные с ними операторы с\ необ-
необходимо подобрать таким образом, чтобы собственные значения
произведения с\сь были целыми числами, а именно:
N/,=0, 1, 2, ... в случае статистики Бозе,	.
N/, — 0, 1	в случае статистики Ферми. ^ ' '
При таком подходе все три выражения B10.7) также представ-
представляют собой операторы. Их собственные значения определяются
формулами
?	B10.9а)
рь=%к;	B10.96)
B10.9b)
Этот набор собственных значений описывает состояния системы
невзаимодействующих частиц, из которых Nk находятся в состоя-
состоянии к и соответственно имеют энергию Ek, импульс pk и заряд е.
Чтобы квантование приводило к требуемым собственным значе-
значениям B10.8), операторы с* и с\ должны удовлетворять следую-

256	VII. Теория излучения
щим перестановочным соотношениями:
[с*, 4]-=с*4—cl'C*=6ftft< в случае статистики Бозе , j 2)
[cft, Cft-]+ = еле*' + Сй'Са = б**' в случае статистики Ферми.
Отсюда, как нетрудно проверить, следует, что перестановочные
соотношения для волновых операторов должны иметь вид
B10Л1)
Задача 211. Рассеяние в борновском приближении
Примените развитую выше теорию квантования шредингеров-
ского волнового поля к задаче об упругом рассеянии частиц на
сферически симметричном потенциале V (г).
Решение. Пусть квантованное свободное поле, рассмотренное
в предыдущей задаче, возмущается потенциалом У (г). Это значит,
что к гамильтониану поля W мы должны добавить оператор
энергии возмущения
\.	B11.1)
Если ограничиться первым приближением, то вместо -ф и -ф+ мы
можем подставить в оператор W суперпозицию плоских волн
B10.5). Таким образом имеем
к к-
r)e<<*-*'>'•?'<«'-«><d»*. B11.2)
Интеграл B11.2) хорошо нам знаком по борновской теории рас-
рассеяния (см. задачу 105). Вводя здесь, как обычно, переданный
импульс
k—k'=K,	B11.3)
1> В этой главе мы пользуемся обозначением
[a, b]=ab—ba,
которое отличается множителем ifh от обозначения, принятого в гл. I.
2) В задаче 31 было показано, что в случае статистики Бозе формулы для
собсгвенных значений B10.8) действительно являются следствиями перестано-
перестановочных соотношений B10.10). Метод, использованный в задаче 31, применим
и в случае статистики Ферми.

211. Рассеяние в борновском приближении	237
получаем
00
Ъ
(заметьте, что это выражение имеет размерность эрг-см3) и,
следовательно,
W'^JkY У el,ck<k' \V\ k> «'<»'- •»>'.	B11.5)
Перейдем теперь к описанию процесса рассеяния. Начальное
состояние квантованного поля характеризуется тем, что имеется
лишь одна частица в состоянии k0, а все другие одночастичные
состояния не заняты. Такое состояние поля описывается гиль-
гильбертовым вектором
Х; = |0...Цо...0й/...>.	B11.6а)
Конечное состояние поля характеризуется тем, что имеется одна-
единственная частица в состоянии kt, поэтому
Х,= |0 ... О*. ... 1», ...>.	B11.66)
Чтобы найти вероятность перехода между этими двумя состо-
состояниями, мы должны вычислить матричный элемент
НХ/>.	BП.7)
Пользуясь соотношениями
Cft|0*> = 0,
получаем
Таким образом, когда оператор W, определенный соотношением
B11.5), действует на гильбертов вектор %h от суммы по к ос-
остается единственный член с k = k0, при этом оператор с„0 уни-
уничтожает начальную частицу и превращает исходное состояние
поля %i в вакуумное состояние |0>. Что же касается оставшейся
суммы по с*-, то в нее дают вклад все члени, и с учетом соот-
соотношения
cl 10> = | Ц<>
ее можно записать в виде
9 Л-s 1172

258	VII. Теория излучения
В силу условий ортонормированности
в матричный элемент B11.7) дает вклад также только один член
этой последней суммы, и мы получаем
^5<kf\V\kuyei^'-^t.	B11.8)
Зная матричный элемент, можно с помощью „золотого пра-
правила" вычислить дифференциальное сечение рассеяния:
йа = -?- Р/| <Х/| W | %,¦> |2 — ,	B11.9)
где
О/—	т	=	т~ ила.	(Z11.1U)
BnhfdE 8я3Й3
причем в последнем выражении все величины относятся к ко-
конечному состоянию. Если теперь подставить выражение B11.10)
в B11.9) и воспользоваться для матричного элемента формулой
B11.8), то объем куба периодичности "У3 сократится и мы по-
получим
do /"i\ai,I.iT/i«_lio	f 5* 11 11Л
Этот результат с учетом выражения B11.4) полностью согла-
согласуется с формулой первого борновского приближения (см. задачи
105 и 184).
Задача 212. Квантование классического поля излучения
Пользуясь классическими выражениями для энергии и им-
импульса максвелловского поля в вакууме, произвести квантование
этого поля в соответствии со статистикой Бозе. Считать, что
внутри куба объемом f^ = L3 на поле наложено условие пери-
периодичности.
Решение. Классическое поле излучения описывается вектор-
векторным потенциалом А, удовлетворяющим дифференциальным урав-
уравнениям
= 0 и div4=0,	B12.1)
из которых при обычной калибровке следует поперечность
электромагнитных волн. Чтобы придать физический смысл этим
уравнениям, надо либо ввести соотношения, связывающие век-
векторный потенциал А с напряженностями электрического и маг-

212. Квантование классического поля излучения	259
нитного полей,
о	1
B12.2)
либо рассмотреть выражения для энергии и импульса поля:
W = ±§(?* + x*)d»x = -±§[±-A* + (rotАу]&х B12.3)
Общее решение дифференциальных уравнений B12.1) можно,
как обычно, представить в виде суперпозиции плоских волн
<*-«>), B12.5)
где Uk\—единичный вектор, а индекс Я=1, 2 отвечает двум
состояниям поперечной поляризации. Векторы Uk% должны удо-
удовлетворять трем условиям ортогональности:
(«*i • А) = («*,•*) = («*!• И*,) = 0.	B12.6)
Выбор нормировочного множителя перед знаком суммы в выра-
выражении B12.5) продиктован соображениями удобства. В силу
условия периодичности внутри куба объемом ^/a = Ls значения
волнового вектора к определяются равенством
* = ^я,	B12.7)
где п, = 0, ±1, ±2, ... . Частота волны со связана с абсолют-
абсолютной величиной волнового вектора k законом дисперсии
ю-Ас.	B12.8)
Так как каждое слагаемое в сумме B12.5) состоит из двух
комплексно-сопряженных по отношению друг к другу членов, то
векторный потенциал А представляет собой действительную
функцию переменных г и t, как это и должно быть в класси-
классической теории Максвелла.
Подставляя общее решение B12.5) в выражение для энергии
B12.3), получаем
??И-1г «•*•** - [* ¦ «•*] г* • ««J}х
X {qn-e* <*''-»'') —qlve-1 <*''-»'«} \qkKe «'-«» —qhe~<(*'-»"} d3x.
Если теперь перемножить выражения, стоящие в двух последних
скобках, то после интегрирования по пространству у нас оста-

260	VII. Теория излучения
нутся только те члены с произведениями qq и q*q*, в которых
к'' — — к, и только те члены с произведениями qq* и q*q, в ко-
которых к'—к. В результате выражение, фигурирующее в первой
скобке, если еще учесть соотношения B12.6), примет вид
2	(
_$._(*'.*)« | _2?вим если
0,	если k' = — к,
Таким образом, получаем
B12.9)
С помощью аналогичных выкладок нетрудно показать, что выра-
выражение для импульса B12.4) приводится к виду
2Ы?^	B12.10)
кХ
Теперь можно приступить к квантованию классического поля
излучения, заменив классические амплитуды qt,x и q*kX операто-
операторами qk% и qt\, которые удобно записать в виде
qk% = Ckbkx и qlx^Ckblx,	B12.11)
где Ck — действительные нормировочные множители. Мы имеем
kX	B12 12)
Р = ^кС1{Ькф1%Л-Ь1фкк).
кк
В соответствии со статистикой Бозе подчиним операторы Ьк% и
Ь\ъ перестановочным соотношениям
ЬихЬЪх,—b\.x,bkX = 6ftr6u,,	B12.13)
и будем считать, что все другие комбинации этих операторов
коммутативны. В силу указанных перестановочных соотношений
собственные значения операторов b\xbkx, обозначаемые ниже
через NkX, оказываются целочисленными:
НкХ = 0, 1, 2, 3, ...,	B12.14)
при этом собственные значения операторов Ькф\х будут равны
Л^+1 (см. задачу 31). Если далее положить
С*= |/|_,	B12.15)

	213. Вероятность переходов в излучением одного фотона	861
то выражения для операторов энергии и импульса B12.12) при-
примут вид
**	B12.16)
а их собственные значения будут равны
V2) и Р= 2 **(#**+ V«). B12.17)
Таким образом, мы можем интерпретировать величину Nk\ как
число фотонов в состоянии с квантовыми числами к и \, причем
в указанном состоянии каждый фотон обладает энергией Й-со, а
его импульс направлен вдоль вектора к и равен по величине
tk f
Из B12.1) следует, что вакуум обладает энергией
к\
(энергия нулевых колебаний поля). Несмотря на то что энергия
вакуума бесконечна, ей не следует придавать особого физичес-
физического смысла. Фактически можно ограничиться рассмотрением
разности энергий реального состояния и вакуума
%,	B12.19)
кк
которая всегда конечна. Вклад же нулевых колебаний поля
в импульс равен нулю, так как члены суммы B12.17) с А; и —k
попарно сокращаются.
В результате квантования векторный потенциал А становится
оператором, порождающим и уничтожающим фотоны. С помощью
соотношений B12.5), B12.11) и B12.15) нетрудно показать, что
в квантовой теории выражение для векторного потенциала
имеет вид
А = ? т/2я?* {b^ei (*.,-«,/) + bl%e-i (*.,-«,о}в1М1. B12.20)
Задача 213. Вероятность переходов с излучением одного фотона
Электрон помещен в сферически симметричное поле V (г).
Вычислить вероятность перехода электрона с верхнего уровня на
нижний, если этот переход сопровождается излучением одного
фотона. Эффекты запаздывания не учитывать.

262	VII. Теория излучения
Решение. В классической теории Максвелла взаимодействие
вещества (электрон) с излучением описывается выражением
H'=±UA-j)d»x,	B13.1)
где А—векторный потенциал поля излучения, а /—плотность
электрического тока частиц вещества. В теории квантованных
полей векторный потенциал, согласно результатам задачи 212,
записывается в виде1(
кХ
B13.2)
Выражение для плотности электрического тока можно написать,
воспользовавшись результатами квантования шредингеровского
поля. Имеем
Ф = ?ад,И, -^Гип + Уип = Епип.	B13.3)
п
Отсюда с помощью формулы
(заряд электрона равен —е) получаем
J= ~ Ш Z ? («-B'V«»-«»V«V) cUn-	B13.4)
п п'
Здесь ип (г) и и"п- (г) — одночастичные волновые функции, явный
вид которых можно найти путем решения уравнения B13.3);
индекс п (или п') фактически означает совокупность трех кван-
квантовых чисел. Величины сп и с\,- являются операторами, введен-
введенными в задаче 210, и подчиняются перестановочным соотноше-
соотношениям
СС' С'С O'
С„СП'+СП'СП = О.
Спонтанное излучение фотона происходит в процессе перехода
электрона из начального состояния га,- в конечное состояние nf.
На языке теории квантованного шредингеровского поля это озна-
означает, что электрон, находящийся в начальном состоянии п{,
уничтожается, а вместо него рождается электрон в конечном
11 В выражениях B13.2) и B13.3) мы опустили временные множители,
фигурировавшие в выражениях B12.20) и B10.5). Это соответствует переходу
от картины Шредингера к картине Гейзенберга.

	213. Вероятность переходов с излучением одного фотона	263
состоянии rif. В то же самое время происходит рождение фотона
в состоянии (k, %). Указанный процесс описывается тем членом
в энергии взаимодействия, который содержит произведение опе-
операторов
Если подставить выражения B13.2) и B13.4) в энергию взаи-
взаимодействия B13.1), то легко убедиться, что в ней такой член
действительно имеется и его можно записать в виде
<f\H'\iybikcfnfcn.,	B13.6а)
где
B13.66)
— обычный матричный элемент перехода между начальным и ко-
конечным состояниями. Вероятность интересующего нас перехода
можно записать с помощью золотого правила (см. задачу 183):
|	B13.7)
В энергетической шкале плотность конечных состояний
полностью определяется фотонами:
где dQk — элемент телесного угла, в который вылетает испущен-
испущенный фотон.
Таким образом, остается лишь вычислить интеграл
~Шг (и'П/\ип.—ип.\и*П;) d3x,
фигурирующий в формуле B13.66). Если длина волны излучае-
излучаемого атомом света велика по сравнению с его размерами, то
эффектами запаздывания можно пренебречь, так как в этом слу-
случае множитель е~'*'г в подынтегральном выражении с хорошей
степенью точности можно заменить единицей. Интегрируя далее
второй член по частям, получаем

264	VII. Теория излучения
С помощью уравнений Шредингера для функций ип, и u%f не-
нетрудно вывести тождество (см. задачу 187)
I=rsr-(Ei—Е.) \ и*„ run.d3x.
Если теперь еще учесть закон сохранения энергии
то матричный элемент B13.66) можно записать в виде
где
</1 (цР¦ г) 11> = \ и*„ (и?* ¦ г) un.d?x.	B13.10)
После подстановки выражений B13.8) и B13.9) в формулу B13.7)
окончательно получаем
V-r)\i>f.	B13.11a)
Последнее выражение можно представить в более привычной
форме, введя вместо ш частоту v=»©/2n
? J	¦ r) 11> \\	B13.116)
Фигурирующий здесь матричный элемент удобно записать в виде
произведения
</|DX)-r)|i>-(a^-r,7),	B13.12)
в котором первый сомножитель зависит только от направления
вылета и поляризации излучаемого фотона, а второй полностью
определяется внутренними параметрами излучающего атома.
Задача 214. Угловое распределение излучения
Пользуясь формулами предыдущей задачи, проанализировать
угловое распределение фотонов, испускаемых при переходе элек-
электрона из Я-состояния в S-состояние.
Решение. Обозначим через в и Ф сферические углы век-
вектора k. Определим далее два состояния поляризации, выбрав
вектор и*1* в меридиональной плоскости, а вектор й*г) — перпен-
перпендикулярно к ней. Эти единичные векторы имеют следующие

	214. Угловое распределение излучения	265
компоненты:
ы^'^соэвсоэФ, u{yl) = cos в sin Ф, ы^'=—sine B14.1а)
и
uf = — sin Ф, u{v=cosQ), г42) = 0.	B14.16)
Чтобы получить компоненты вектора rlf, мы прежде всего выра-
выразим компоненты радиус-вектора г через сферические гармоники:
Х = Г УЧWu i + i.-i),
/'^(Yul-Yu.1),	B14.2)
Запишем теперь матричные элементы этих компонент для пере-
перехода между двумя электронными состояниями
|/> = о(г) Ух.. (О, Ф) и |/> = «(г)У0,0(«, ф). B14.3)
Замечая далее, что YOi 0 = Dя)~1/' есть попросту постоянная,
получаем
Д ? (б,. ж—в., _х).	B14.4)
где через Я обозначен радиальный интеграл:
u\.	B14.5)
Согласно формуле B13.11а), вероятность излучения фотона
с поляризацией % в телесный угол dQ* имеет вид
г|(а^-г<')|3-	B146)
С учетом выражений B14.1а) и B14.16) для векторов й*Я) и вы-
выражения B14.4) для вектора г(/скалярное произведение (и^

266
VII. Теория излучения
в случае X = 1 записывается в виде
при т= +1:
при т = 0:
при т = —1:
Если же Х = 2, то мы имеем
при m = -fl:
при т = 0:
при т = — 1:
и, следовательно,
•соз9е-'ф,
—-^LsinO,
R cos 9е1ф.
-?-4,е-
B14.7)
0,
B14.8)
B14.9)
Значения .диаграммы направленности" D*x приводятся в таблице.
Диаграмма направленности D для
m
+ 1
0
—1
х=\
l/a cos2 в
sin2 в
V2 cos2 в
V,
0
V.
В случае X =,2 излучение фотона в любом направлении равно-
равновероятно, но из начального состояния с т = 0 фотоны такой
поляризации не излучаются вообще. Таким образом, распад
Р-состояния ся = 0 происходит только путем излучения фотона
с поляризацией Я,= 1, причем угловое распределение фотонов
характеризуется в этом случае множителем sin2 9, и, следова-
следовательно, для т = 0 они в основном испускаются в экваториальной
плоскости (9 = 90°). Если же %= 1 и ш=±1, то угловой рас-
распределение характеризуется множителем cos2 9 и фотоны в основ-
основном испускаются в направлениях 9 = 0° и 9=180°.

	215. Полная вероятность перехода		267
Задача 215. Полная вероятность перехода
Электрон переходит с верхнего р-уровня на нижний s-ypo-
вень, испуская при этом один фотон. Выяснить, какова вероят-
вероятность указанного перехода безотносительно к направлению
испускания фотона и его поляризации. В качестве примера рас-
рассчитать среднее время жизни атома водорода в возбужденном
2/7-СОСТОЯНИИ.
Решение. В предыдущей задаче была рассчитана дифферен-
дифференциальная вероятность излучения фотона в элемент телесного
угла do* в направлении в, Ф для случаев т = +1, 0, —1 и
обоих состояний поляризации. С помощью этих формул после
суммирования по состояниям поляризации получаем
E^ = ?i3 — dQ*sin*e для m = 0, B15.1a)
^	ЛС3 6л
?/>ml = t^ — <*Q*4-(l+cos«e) для m = ±l. B15.16)
j^	Не3 6я	•*
После интегрирования по направлениям вылета фотонов для
вероятности перехода из р-состояния в s-состояние независимо
от значений квантового числа т получается одно и то же выра-
выражение:
%(? 6л 3 9%с»	'
Выражение для радиального интеграла R было определено
в предыдущей задаче, поэтому теперь можно приступить непо-
непосредственно к рассмотрению примера. Атом водорода, находя-
находящийся в возбужденном 2р-состоянии, может перейти лишь
в основное ls-состояние. В атомных единицах (%2/те2 является
единицей длины) волновые функции этих двух состояний запи-
записываются в виде
iy = ~]/r'6re-r/2Y1<m	B15.3а)
и
|/> = 2e-TOiO.	B15.36)
Таким образом, с учетом выражения B14.5) получаем

268		 VII. Теория излучения
или, если вернуться к обычным единицам,
Частоту излучаемого света со можно определить из формулы
энергетических уровней атома водорода:
3 те*
Подставляя теперь выражения B15.4) и B15.5) для R2 и са
в формулу B15.2), после некоторой перегруппировки множите-
множителей находим
Величина, обратная этой вероятности перехода, имеет смысл
среднего времени жизни т возбужденного 2/7-состояния атома
водорода. Имеем
, . icy p
X-{YJ
Множитель
ttXB
B15.8)
можно рассматривать в качестве удобной единицы времени, коль
скоро дело касается времен жизни возбужденных состояний
атома. Множитель
¦^-137,0373
представляет собой величину, обратную постоянной тонкой струк-
структуры. Таким образом, числовое значение среднего времени жизни
2/7-состояния атома водорода оказывается равным
т=1,5953х10-9 с.
Задача 216. Правила отбора для дипольного излучения
Если длина волны излучаемого света велика по сравнению
с размерами атома, то вероятность перехода между двумя одно-
электронными состояниями, как было показано в задаче 213,
зависит от матричного элемента электрического дипольного мо-
момента. Получить отсюда правила отбора для дипольного1 излу-
излучения и рассмотреть вытекающие из этих правил следствия
в случае нормального эффекта Зеемана.

	216. Правила отбора для дипольного излучения	260
Решение. Согласно B13.116), в дипольном приближении
вероятность излучения фотона с поляризацией X в элемент те-
телесного угла do* в направлении вектора k имеет вид
W-r)|0|*.	B16.1)
Здесь и^ — единичный вектор, характеризующий поляризацию.
Если обозначить сферические углы вектора k через 0 и Ф, то
в соответствии с формулами B14.1а) и B14.16)
41>=cos0cosO, ?4" = cos в sin Ф, u<X) = — sine B16.2a)
и
г42) = —эшФ, цB) ^соэФ, г4г) = 0-	B16.26)
Состояния атома описываются волновыми функциями
1»> = ф/(ОУ|1в(«, ф), </| = Ф/(*№.»'(«, ф).
так что для матричного элемента радиус-вектора г можно написать
<f\x±iy\ i> = J dr r'yf
°.	B16.3)
Интегралы по угловым переменным легко вычисляются, если
принять во внимание соотношения
где
cos ОГ,, и = B/+lt
B16.5)
В, =
В результате имеем
<f\x± iy\i> = Rif(±Ai + u ±m+i6i't i+i&m..
=Fi4jpTmfij'.;_iem.>m:h,)f	B16.6a)
</ I 2 11> = R,f(Bl+u „6,., /+1 + Blt „6,..,_,) 6.,, ., B16.66)
где через Rif обозначен радиальный интеграл
/-.	B16.7)

270
VII. Теория излучения
Все матричные элементы обращаются в нуль, за исключением
случая /' = /±1- Это и есть первое основное правило отбора
для дипольных переходов. Далее мы видим, что матричные эле-
элементы х ± iy отличны от нуля только при т' = т ± 1, а матрич-
матричные элементы z—только при т —т. Другие изменения кванто-
квантовых чисел I и т при дипольных переходах запрещены.
Комбинируя полученные правила отбора с выражения-
выражениями B16.2а) и B16.26), можно рассчитать матричные элементы
•</| («*•/•) |t>,
фигурирующие в формуле B16.1) для обоих состояний поляри-
поляризации 1=1 и к = 2. Результаты таких расчетов приводятся в сле-
следующей таблице:
т'
ОТ+1
т
т-\
X
1
2
1
2
1
2
/'=/ + 1
1/2cosBe-i<I'RifA(+hm+1
-'1ге-1фЯ1гАц.ит+х
— sin eRifBl + lt m
0
— l/s cos e^RifAt+u _m+1
— lhec<DRifAl+li-m + l
-V.cos ee-^Rl/Al^m
ll*-t<bRi,Alt-m
~ sin BRifBi, m
0
l/a cos &el®RitAlt m
4*ei<*Ri,Al,m
Если излучающий атом не имеет определенной ориентации
в пространстве, то на опыте мы наблюдаем излучение, усред-
усредненное по начальной ориентации атома. Если же атом ориентиро-
ориентирован вполне определенным образом, как при эффекте Зеемана, то
можно получить более детальную информацию. В этом случае
направление полярной оси сферической системы координат (9 = 0)
совпадает с направлением магнитного поля. Если мы наблюдаем
испускание света в направлении поля, то матричные элементы
для перехода т' =т равны нулю и наблюдаются лишь спектраль-
спектральные линии, соответствующие переходам, для которых т' = т + 1
и т' = т — 1. С другой стороны, для любого направления, пер-
перпендикулярного полю, cos9 = 0, поэтому при переходах, для
которых т' = т± 1, появляется спектральная линия с поляриза-
поляризацией к = 2, а при переходах, для которых т'=т, —спектраль-
—спектральная линия с поляризацией Я,= 1.

217. Интенсивности линий лаймановской серии
271
В качестве примера разберем зеемановские переходы из D-co-
стояния E компонент) в Я-состояние C компоненты). Если в от-
отсутствие магнитного поля излучается спектральная линия с часто-
частотой соо, то при наличии магнитного поля излучение (фиг. 74)
может происходить на трех частотах:
o)l = co0 + coL при т'=т—1,
(од	при т'=т,
<»_! — соо — coL при т'=т-\-1,
где
со, =
Чтс '
Если наблюдение излучения производится в направлении поля
(9 = 0), то средняя линия (соо) отсутствует и мы имеем дублет
/77=+2
+1
о
-1
-г
1
\
1
Фиг. 74. Зеемановские переходы D-+P.
В соответствии с правилом Дт= + 1, 0, —1 спектральные линии имеют различную
поляризацию.
с частотами coo-fcoL и соо — coL. В направлении же, перпендику-
перпендикулярном магнитному полю, наблюдаются все три составляющие
нормального зеемановского триплета, но его компоненты относятся
к различным состояниям поляризации.
Задача 217. Интенсивности линий лаймановской серии
Сравнить интенсивности двух первых линий серии Лаймана,
Lya и Lyp, в спектре излучения атома водорода.
Решение. Мы должны рассмотреть два перехода:
Lya: 2р—*¦ Is и Ly|3: 3/7 —> Is.

272	VII. Теория излучения
Вероятность излучения, проинтегрированная по всем направле-
направлениям и просуммированная по обоим состояниям поляризации,
имеет вид
i^\i>\2.	B17.1)
Интенсивность спектральной линии (т. е. энергия, излучаемая
в 1 с) пропорциональна произведению со/3, поэтому для рассматри-
рассматриваемых линий
В атомных единицах для энергий соответствующих переходов
имеем
?4	и ?
Таким образом, остается вычислить два матричных элемента.
Согласно результатам задачи 67, волновая функция конечного
состояния записывается в виде
|Ь> = -7^-е-',	B17.4а)
У п
а для волновых функций начальных состояний мы имеем в случае
линии Lya выражение
—i=re-''«'cosd,	B17.46)
а в случае линии Ly|3 выражение
)~'/8ГС05*- B17'4в)
Выше для обоих р-состояний мы произвольно положили т = 0.
Это отнюдь не ограничивает общности рассмотрения, поскольку
мы не собираемся обсуждать эффекты, связанные с ориентацией
атома. Радиус-вектор г имеет компоненты
х ± iy= г sin be±ilf и z = rcosd.
Как непосредственно видно, матричные элементы х ± iy в резуль-
результате интегрирования по углу ф обращаются в нуль. Таким обра-
образом, остается вычислить лишь матричный элемент </ | г |i>. Имеем
<ls|z|2p> = —Х-==? dQcos2^ (Vs-
4пУ 2J	J

218. Эффект Комптона	273
<ls | z I 3p> =	i^ Г dQ cos*'» С л3 (r—-i rAe-4>'dr.
Последние интегралы вычисляются элементарно, и мы получаем
<ls|z|2p> = J=|jj и <ls|z|3p> = ^1g. B17.5)
Собирая вместе соотношения B17.2), B17.3) и B17.5),	оконча-
B17.5),	окончательно находим
/а /27у/25664\2 n;-,nvfi9o	/017 К\
B4S27J =0.о10х6,23,	B17.6)
или
Замечание. Радиальные матричные элементы для других пар состояний-
атома водорода приведены в монографии Бете и Солпитера: см. Beihe H. А.,
Salpeter Е. Е., в книге: Encyclopedia of Physics, Springer, Berlin — Gottingen —
Heidelberg, 1957, Vol. 35, § 63 и особенно табл. 13. (Имеется перевод: Бете-
Г., Солпитер Э., Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами,.
Физматгиз, 1960, стр. 412—415.— Прим. ред.)
Задача 218. Эффект Комптона
Ограничившись нерелятивистской теорией, рассмотреть рас-
рассеяние фотона на свободном покоящемся электроне
Решение. При наличии поля излучения плотность электричес-
электрического тока шредингеровского поля электронов описывается фор-
формулой "
ia	?	B18.1)
а взаимодействие полей г|) и А имеет вид
W".	B18.2)
Подставив в энергию взаимодействия вместо квантованного шре-
11 В ранее рассмотренных нами задачах об излучении последний дополни-
дополнительный член в формуле B18.1) не давал вклада в процесс первого порядка
и по этой причине не учитывался.

274	VII. Теория излучения
дингеровского поля if выражение
"-r-	B183)
я
а вместо квантованного поля излучения выражение
B18.4)
'	"УаЯ 				' '
легко заметить, что энергия W" (она возникает из члена с /')
дает вклад в рассеяние уже в первом порядке теории возмуще-
возмущений, энергия же W (она возникает из члена с /) дает вклад
в рассеяние лишь во втором порядке теории возмущений. По этой
причине мы сосредоточим наше внимание на энергии взаимодей-
взаимодействия
W"= —
Возникновение этого члена в энергии взаимодействия легко объяснимо
и с точки зрения классических представлений. Напряженность электрического
поля световой волны
падающей на электрон, приводит его в движение, так что
е •
тг = — е? = — А
с
и. следовательно,
~~ тс
В результате возникает индуцированная плотность тока
где р — плотность заряда. Согласно же теории Максвелла, взаимодействие тока
и поля излучения имеет вид
т
"=т 1 и" ¦А) *х=-?? I рАЧЗх-
Если сюда подставить выражение
р = — ег|з+ г|з,
то в результате мы придем к формуле B18.5).
При комптоновском рассеянии начальный фотон, находящейся
в состоянии с квантовыми числами k и к, и начальный электрон
с импульсом Kq уничтожаются и заменяются фотоном в состоя-

218. Эффект Комптона	21Ь
нии с квантовыми числами k' и X' и электроном с импульсом %q'.
Такой процесс в первом порядке теории возмущений описывается
тем членом гамильтониана, который содержит комбинацию опе-
операторов
c\-cqb\^bkh.	B18.6)
Матричный элемент интересующего нас члена энергии взаимо-
взаимодействия B18.5) имеет вид
</1 W" 11> =	% Г 2"^_(й^'• up) e< (*+«-*'-«'>•»¦ d3x. B18.7)
Фигурирующий здесь интеграл не обращается в нуль лишь при
условии
k' + q',	B18.8)
т. е. в том случае, если в рассматриваемом процессе выполняется
закон сохранения импульса. С учетом закона сохранения импульса
выражение B18.7) принимает вид
Для определения сечения рассеяния воспользуемся золотым прави-
правилом. Имеем
da(*'Д') = ^^Р/|</| W"\i>\\	B18.10)
где плотность конечных состояний описывается выражением
'	B18.11)
а суммарная энергия фотона и электрона в конечном состоянии
имеет вид
^	[ ±] B18.12)
Перейдем теперь к рассмотрению поляризации. На фиг. 75
импульсы фотона ft и ft' до и после рассеяния расположены
в плоскости фигуры. Оба вектора я*1' и и*'' также лежат в этой
плоскости, а векторы и*2) и и^' (на фигуре они не показаны)
перпендикулярны к ней. Скалярные произведения, стоящие
в выражении B18.9), как следует непосредственно из фиг. 75,

276	VI1. Теория излучения
имеют вид
(иУ>.«^) = со80, (в^.в^) = О,	B18.13а)
D2)-^>) = 0, (иГ-йИ=1.	B18.136)
Поэтому в рассматриваемом процессе возможны лишь те пере-
переходы, при которых векторы, характеризующие поляризацию
соответственно до и после рассеяния, либо оба лежат в плоско-
к
к
Фиг. 76. Эффект Комптона.
Векторы wL и uL, , характеризующие поляризацию в начальном состоянии (At) и конеч-
конечном состоянии (*'), расположены в плоскости векторов А и *'; векторы и^2' и и^?' перпен-
перпендикулярны этой плоскости (иа фигуре они не показаны).
сти векторов ft и k', либо оба перпендикулярны ей. В первом
случае вероятность перехода пропорциональна cos2d, во втором
случае она от угла рассеяния не зависит. Если вначале свет не поля-
поляризован, то необходимо вероятность перехода усреднить по поля-
поляризации % и просуммировать по конечной поляризации АЛ Таким
образом, получаем
^yO+cos'd).	B18.14)
Л/
Ниже будем предполагать, что в начальном состоянии электрон
покоился. Это означает, что
Я = 0,	B18.15)
тогда с учетом формулы B18.12) закон сохранения энергии можно
записать в виде
hc^k' + ~(k'— ftJ] =%ck.	B18.16)
Так как
2 2 — 2kk' cos Ь,
то предыдущее равенство представляет собой квадратное уравне-
уравнение относительно k'. Его решение имеет вид
k' = k cos ¦&—х + )/V + 2x,k A — cos#) — fe2 sinaft. B18.17)

218. Эффект. Комптояа	277
Поскольку, далее, в силу B18.16)
то выражение B18.11) для плотности конечных состояний pf
можно представить в виде
Таким образом, с учетом выражений B18.9), B18.10), B18.14)
и B18.18) окончательно получаем
где величина й' определяется соотношением B18.17).
До сих пор все наши формулы в рамках нерелятивистской
теории были совершенно точными, но, разумеется, ими следует
пользоваться только в том случае, если кинетическая энергия
электронов мала по сравнению с тс2:
k')<^.mcz или k — k'<g.x,
поэтому в формулах B18.17) и B18.19) целесообразно прибег-
прибегнуть к разложению в ряд по степеням отношения k/x. Имеем
— «=	5- A—созгл + ...
(l+cos»d)dQ'. B18.20)
Отсюда после элементарного интегрирования по угловым
переменным получаем выражение для полного сечения рассеяния:
Как хорошо известно из классической электродинамики, в
длинноволновом приближении сечение рассматриваемого про-
процесса описывается формулой Томсона:
х 10~2' см2-	<218-22)
Фигурирующий в выражении B18.21) дополнительный множитель
представляет собой первую квантовую поправку, благодаря кото-

278	VIJ. Теория излучения
рой величина сечения уменьшается с ростом энергии фотона
(&/х = Aco/mc2). Разумеется, мы можем ограничиться только этой
поправкой лишь в том случае, если й/х<^1, т.е. если длина
волны падающего света велика по сравнению с комптоновской
длиной волны 1/х = &/тс (при &ш = тс2 = 0,51 МэВ или k — v.
мы имеем Х = 2л%/тс).
Замечание 1. Если q =0, то вклад от члена W энергии взаимодействия
B18.2) во втором порядке теории возмущений равен нулю. При релятивистском
рассмотрении интересующего нас процесса обычно для плотности тока исполь-
используется выражение A99.1), так что комптоновские переходы оказываются воз-
возможными лишь во втором порядке теории возмущений. Однако и в реляти-
релятивистском случае решению можно придать форму, полностью аналогичную при-
приведенной выше, если разбить выражение для плотности тока на две части, как
это было сделано в задаче 199.
Замечание 2. Если энергия фотонов велика, то для описания электронов
необходимо пользоваться уравнением Дирака. При этом вместо формулы B18.21)
получается формула Клейна—Нишины. Следует, однако, заметить, что наше
приближение оказывается хорошим в довольно широкой области энергий. Так,
например, при &/к = 0,2 из B18.21) получаем ст/о0 = 0,714, а точная формула
Клейна — Нишины дает 0,737. Далее при k/x,= \ соответственно имеем 0,333
и 0,431. Фактическая величина сечения рассеяния уменьшается с ростом энер-
энергии значительно медленнее, чем это следует из нашей приближенной формулы.
Так, например, при &/к=1000 вместо точного значения 0,0215 получаем зна-
значение ст/сто = 0,0050.
Задача 219. Тормозное излучение
В рамках нерелятивистской теории столкновение электрона
с тяжелым ядром, сопровождающееся рождением -у-кванта, можно
рассматривать как процесс второго порядка, в котором ядро
считается бесконечно тяжелым и описывается просто его элек-
электростатическим полем. Пользуясь указанным приближением,
рассчитать спектр тормозного излучения.
Решение. На фиг. 76 показаны две простейшие диаграммы,
соответствующие рассматриваемому процессу. В начальном состо-
состоянии имеются покоящееся ядро и электрон с импульсом %q.
В конечном состоянии мы опять имеем покоящееся ядро, элект-
электрон с некоторым меньшим импульсом %q' и фотон в состоянии
с квантовыми числами k и X. Так как масса ядра предполагается
бесконечной, то в процессе столкновения меняется лишь его
импульс, а энергия остается прежней (М = оо, р — конечная
величина, р2/2М=0, v = 0). Таким образом, начальное и конеч-
конечное состояния всех остальных частиц удовлетворяют закону
сохранения энергии, закон же сохранения импульса для них
не имеет места.
Энергия возмущения состоит из двух членов,
Я' = Я, + Я2,	B19.1)

219. Тормозное излучение
279
причем первое слагаемое
B19.2)
описывает кулоновское взаимодействие ядра (заряд Ze) и элек-
электрона (плотность заряда р=—е^+гр), а второе слагаемое
B19.3)
где
Фиг. 76. Диаграммы Фейнмана низшего порядка для тормозного излучения.
Двойные линии относятся к бесконечно тяжелому ядру, одиночные линии —к электронам,
волнистые линии —к фотонам
представляет собой энергию взаимодействия электрона с полем
излучения. Имеем
к, К
B19.4)
v. B19.5)
Подставляя выражения B19.4) и B19.5) в формулы B19.2) и
B19.3), после интегрирования по всему пространству получаем
4я
B19.6)
MV
е%
^v xft.9v_9(i). B19.7)
Чтобы найти отличные от нуля матричные элементы, соответст-
соответствующие процессу, изображенному на диаграмме фиг. 76, а, нужно

280	VII. Теория излучения
взять из Н1 члены, пропорциональные с\ cq, и из Н2 члены,
пропорциональные cq c*,b^x. Имеем
^^	B19.8а)
Что касается первой вершины, то здесь у нас нет никакого за-
закона сохранения, во второй же вершине должен выполняться
закон сохранения импульса
= qa.	B19.9а)
Отсюда с учетом ортогональности векторов и^ и k получаем
и?к(Ча + <?) = * «> V)-	B19.10а)
В случае процесса, изображенного на диаграмме фиг. 76,6, мы
должны взять из Я2 члены, пропорциональные cqc\b],%, и из Н1 —
члены, пропорциональные с?ьс+„
<д„, ЩН2\д> = -^]/^ар-(д + дь) B19.11а)
<Я' I Нх | qb> = -^ ¦ |g^gb|2.	B19.116)
В этом случае закон сохранения импульса имеет место в первой
вершине
k—q + qb = Q	B19.96)
и, следовательно,
= 2 «>•?).	B19.106)
Энергия начального состояния
Е, = *?	B19.12)
должна равняться энергии конечного состояния
Ef = ^+%ck,	B19.13)
поэтому
х = —.	B19.14)
я

219. Тормозное излучение	281
Для промежуточных состояний, согласно B19.9а) и B19.96),
имеем
B19.16)
Пользуясь введенными обозначениями, матричный элемент
второго порядка можно записать в виде
/flW'l/N <f\H2\a><a\H1\i> , <f\H1\b><b\H2\i>
<Г\" O =	E	p	h—	г;—p	.
Подставляя сюда выражения для матричных элементов B19.8а),
B19.86) и B19.11а), B19.116), а также выражения для импуль-
импульсов qa и qb, находим
{-Еа^ Et-Eb
B19.17)
Для получения сечения тормозного излучения необходимо
воспользоваться золотым правилом и, следовательно, прежде
всего вычислить плотность конечных состояний pf. Здесь имеется
небольшая трудность, так как из-за отсутствия закона сохране-
сохранения импульса направления, в которых вылетают конечные ча-
частицы, являются независимыми. Для одной частицы (относящиеся
к ней величины мы снабдим индексом 1), как мы знаем, имеет
место формула
_ cPPly* _ р\ Г3 И0
Для другой частицы (относящиеся к ней величины мы снабдим
индексом 2) плотность состояний ра определяется аналогичной
формулой, но ширина интервала dE2 и его положение на оси
энергий в силу закона сохранения энергии зависят от ширины
и положения интервала dEx для первой частицы. Таким обра-
образом, необходимо положить
Если считать, что индекс 1 относится к электрону (qr), а индекс
2 — к фотону (k), то в нашем частном случае имеем

282	VII. Теория излучения
dQ д^	B19.18)
Из общей формулы для дифференциального сечения,
после подстановки в нее выражений B19.17) и B19.18) получаем
do =^~ •¦
Здесь dfl'— элемент телесного угла в направлении вылета элек-
электрона, dun — элемент телесного угла в направлении вылета фо-
фотона, a chk и X—его энергия и поляризация соответственно.
Нам осталось получить формулу для энергетического спектра
тормозных фотонов безотносительно к его поляризации и направ-
направлениям вылета обеих частиц. Это означает, что последнее выра-
Фиг. 77. Тормозное излучение.
Показаны направления осей выбранной системы координат.
жение, мы должны просуммировать по А, и проинтегрировать по
всем угловым переменным. В задачах рассматриваемого типа
процедура интегрирования по угловым переменным довольно
утомительна, однако в настоящем случае, как мы убедимся
ниже, все обстоит очень просто.
На фиг. 77 показана система координат, в которой удобнее
всего рассматривать три интересующих нас вектора импульса.
Эти векторы некомпланарны, т.е. если векторы q и k в выбран-
выбранной системе координат располагаются в плоскости хг, то вектор
д' имеет составляющую вдоль оси у. Имеем
Я =q@, 0, 1),
k =?(sin§, 0, cos§),
q' = q' (sind' cos<p', sin§' sin<p', cos§')

219. Тормозное излучение	283
= ( —cos*, 0, cos§), и^ = @, 1, 0).
Из формулы B19.14) следует, что k<^.q и k<^.q', поскольку
величина х велика, поэтому в нижеследующих расчетах мы
воспользуемся типичным для нерелятивистской теории прибли-
приближением и пренебрежем импульсом фотона по сравнению с импуль-
импульсом электрона. Это позволяет упростить энергетические знамена-
знаменатели, фигурирующие в формуле B19.19). Пользуясь соотноше-
соотношениями B19.12), B19.15) и B19.16), получаем
В обоих этих выражениях можно пренебречь двумя последними
членами, а величину 2xk заменить, согласно B19.14), разностью
<72 — q'2. Таким образом, имеем
?,_?„« I^-Y») «-(?,-Еь).	B19.20)
Следовательно, энергетические знаменатели в формуле B19.19)
в этом приближении оказываются равными по величине и про-
противоположными по знаку, так что мы можем просто вычесть
один числитель из другого, полагая либо Х= 1, либо А, = 2:
(и*х) • q') — («ft1' • q) = q'(—cos ft sin *' cos <p' + sin § cos *')—q sin ft,
B19.21)
(*#>• <7')-K2)- q) = q' sin *' sin q>\
Чтобы произвести суммирование по Я,, необходимо возвести эти
выражения в квадрат и сложить.
Наконец, резерфордовский знаменатель в формуле B19.19)
в том же приближении можно записать в виде
os^')\ B19.22)
Собирая рассмотренные множители вместе, легко заметить, что
углы § и ф' фигурируют только в сумме, содержащей квадраты
выражений B19.21). Интеграл по указанным угловым переменным
вычисляется элементарно, и мы находим
Qk J dcp' ? [(«iw • q) -(«?» • q)\2 = '^! tf + q'*-2qq' cos*'),
о	к
B19.23)

284
VII. Теория излучения
Согласно B19.22), точно такое же выражение, но только возве-
возведенное в квадрат, имеется у нас и в знаменателе, поэтому
\%c J А Я k
d(cosfl')
9'г— 2qq' cos
где через da (k) обозначено сечение тормозного излучения фотонов
с энергиями в интервале dk безотносительно к направлению их
вылета и поляризации и безотносительно к направлению вылета
электронов. Последний интеграл вычисляется элементарно,
I
q2+q'2—2qq'x
так что окончательно имеем
da(k)
B19.24)
Из этой формулы с помощью соотношения B19.14) можно
исключить импульсы, выразив величину q' через энергию Е па-
падающего электрона и энергию Ek — %ck тормозного фотона:
1п
m
q-q
=in
=in
Описываемый полученной формулой энергетический спектр тор-
тормозных фотонов показан на фиг. 78. Мы видим, что в области очень
J	I
I	I
о,г 0,4 0,6 as 1,0
Фиг. 78. Распределение интенсивности тормозного излучения.
Учет экранировки кулоновского поля устраняет логарифмическую расходимость при ^? = 0.
малых энергий фотона имеется сингулярность, которую обычно
называют инфракрасной расходимостью.
Замечание. Последовательное релятивистское решение задачи, а также
вопросы, связанные с экранировкой, см. в книге Гайтлера: Heitler W., Quantum
Theory of Radiation, 3rd ed., Oxford, 1954, pp. 242—256. (Имеется перевод:
Гайтлер В., Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956, стр. 275—290.—
Прим. перев.)

Математическое приложение
Криволинейные координаты
Ниже приводятся формулы, связывающие прямоугольные
декартовы координаты х, у, г с наиболее часто встречающимися
криволинейными координатами, а также выражения для расстоя-
расстояния между точкой и началом координат
г = Ух* + г/2 4- г2
и для оператора Лапласа
v ~ <3х3 ^ <3</2 "т" dz2 '
а. Сферические координаты. Если полярная ось сферической
системы координат совпадает с осью г, и угол между радиус-
вектором г и этой осью обозначен через §, а азимутальный
угол — через ф, то (см. фиг. 33 стр. 154, том 1)
х — г sin § cos ф, y = r sin §sin ф, z = rcos§,
д*и 2 ди 1 J 1
<Э / . „ <5u \	I д2и 1
_
V «-
б. Цилиндрические координаты. Пусть ось z является общей
осью коаксиальных цилиндрических поверхностей р = const, a
Ф—снова азимутальный угол, и пусть координаты точки харак-
характеризуются тройкой чисел р, ф, г, тогда
= г, г = |/ра
в. Параболические координаты. Пусть ось г является общей
осью двух систем параболоидов вращения | = const и ц = const,
фокусы которых расположены в начале координат (z = 0), а рас-
раструбы направлены соответственно в положительную и отрицатель-
отрицательную стороны оси г. Азимутальный угол радиус-вектора г снова
обозначим через ф. Чаще всего используются две следующие
системы координат |, х\, ф.

286	Математическое приложение
Первая система
^Kfricostp, y = l/"f^sinq), z = -i(?—rj);
v2?.	4 М^^л a /а
Вторая система
= у(Е2 —if);
= r —г,
I I д fzdu\ t I д { ди\ (\ [Ад*и{
г. Эллипсоидальные координаты. Две точки, лежащие на оси
г(г=±с), выбираются в качестве общих фокусов Еытянутых
эллипсоидов вращения, которые описываются уравнением | = const.
Пусть далее уравнение r\ — const описывает систему двуполостных
гиперболоидов вращения, фокусы которых расположены в тех же
точках. Как известно, эти две системы поверхностей ортогональны
между собой. Обозначим через ф азимутальный угол радиус-
вектора г, а через гх и г2 — расстояния от точки соответственно
до фокусов г = — с и г= + с, тогда
—1)A — r]2)sin<p,
Область изменения переменных:
1<1<°о, —1<т|
¦ , _ 1	I д /рг ]\ди \ д <] ->\ди	S2 — т}3 д2и\
^~и~сЦ?,* — г?)Щ(ь 1> д? + дг\( ^ ^<5т) + A-п2)(^-1) <5ф2/'
Г-функция
Г-функция представляет собой обобщение функции
«1 = 1-2-3 ... п.	A)
Эта функция определена лишь для целых положительных чисел
и удовлетворяет равенству
(л+1)! = (п + 1)п1	B)

Г-функция	287
Функцию п\ можно также определить с помощью интеграла Эйлера
п\ = \е-Нп(И,	C)
о
если условиться, что 0! = 1.
Г-функция позволяет обобщить соотношения B) и C) на случай
произвольного комплексного числа г = х + iy:
= л!	D)
-*t'-*dt,	E)
если Rez>0. Определенная выше функция является мероморф-
ной и имеет полюсы на отрицательной действительной полуоси.
Эти полюсы расположены в точках г = — п {п = 0, 1, 2, ...),
а вычеты в них равны (—\)п1п\.
Частные значения.
Соотношения между Т-функциями от различных аргументов.
Г^)ГA-г) = 51^,	(9)
A0)
Разложения в виде бесконечных рядов или произведений. Для
вычисления комплексного числа
r(* + ty) = ?e"i	(Па)
можно пользоваться разложениями
y-'-	(..6)

288
Математическое приложение
где
(Пг)
— так называемая постоянная Эйлера. В частном случае, когда
х= 1, имеем
Асимптотическое поведение. При |г|^>1 и | arg г | <С л: (тем
самым исключаются точки z, лежащие на действительной отри-
отрицательной полуоси, где расположены полюсы Г-функции) можно
воспользоваться формулой Стирлинга:
или
Г (г):
±± pZ (In 2-1)
Для точных вычислений часто используется формула
г! = Г (г + 1) = гГ (z) * \ГЪ^е*(Хп г" г)
~
A3)
A4)
A5)
Фигурирующий здесь ряд является асимптотическим." О точности
этой формулы позволяет судить приводимая ниже таблица (при
расчетах ряд в скобках был заменен 1).
п
0
1
2
3
4
5
п\
1
1
2
6
24
120
VJ^en{Xnn-l)
0,
0,925
1,920
5,836
23,506
118,01
Функции Бесселя
Решение дифференциального уравнения
A)

Функции Бесселя	289
можно записать либо в виде
u = AJv(z)+BNv(z),	B)
либо в виде
^)	{vt)(z).	C)
Функция Jv называется функцией Бесселя, а функция Nv —
функцией Неймана. Если v не является целым числом, то можно
пользоваться определением
^((z)-J-v(z)).	D)
В противном случае (т. е. при v = n, где п = 0, ±1, ±2, ...)
функции J„ и J__п не являются линейно независимыми и связаны
соотношением
J-a{z) = {-l)aJa(z).	E)
Функцию Nп (г) можно определить и в этом случае, исходя из
ее асимптотического поведения (см. ниже).
Функцию Бесселя Jv можно также определить посредством
ряда
который сходится на всей комплексной плоскости z с разрезом
вдоль действительной отрицательной полуоси (точка z = 0 является
в общем случае точкой ветвления).
Функции #vX) и //у2> называются функциями Ханкеля соот-
соответственно первого и второго рода. Эти функции определяются
соотношениями
H^)(z) = Jv(z) + iN4(z), H{v2)(z) = Jv(z)-i^v(z). G)
Функции, образующие фундаментальную систему решений B),
принимают действительные значения при действительных значе-
значениях г, а их вронскиан равен 2/(яг). Вронскиан фундаменталь-
фундаментальной системы решений C) равен —4//(яг). Если v не есть целое
число, то функции Jv и y_v образуют третью фундаментальную
систему решений с вронскианом, равным — 2 s\nnv/(nz).
Рекуррентные соотношения. Для каждого из четырех типов
функций, определенных равенствами B) и C), имеют место ре-
рекуррентные соотношения:
uv-l+uv+l = ~uv, «v-i — «v+i = 2«'v,	(8a)
10 ». 1172

290Математическое приложение
или
=7"v — «v. «v + i = -^«v — "v-i-
Асимптотическое поведение. Для дальнейшего удобно ввести
обозначение
( i)	(9a)
Если | г | ^> 1 +1 v | и | arg г | < я (т. е. для больших значений | z \
в комплексной плоскости г с разрезом вдоль действительной
отрицательной полуоси), то можно пользоваться асимптотическими
формулами
(96)
Функции вида z~1/2 Я^1'г) (z) при действительных положительных z
описывают соответственно расходящиеся и сходящиеся волны.
Модифицированные функции Бесселя. Функции
A0)
^	(Па)
или (если v не равно целому числу)
принимают действительные значения, когда х действительная и
положительная величина. Функция Kv представляет особый ин-
интерес благодаря ее асимптотическому поведению при больших
значениях х:
Kv(x)—
Большое число формул для функций Ко и А^ имеется в задаче 185.
В задаче 99 было показано, что решением дифференциального уравнения
и"—g*x-"u = 0	A3а)
является функция
и= VTK 1 (j-x-Л,	A36)

Функции Бесселя	291
где
В некоторых дифракционных задачах оптики большую роль
играет функция Эйри
^/] (! )• A4а)
Аналитическое продолжение в область отрицательных значений х
приводит к соотношению
Ai (-х) = 1V^ [У.,, D ^) + У-./, D *3/2)] • A46)
В этой книге функция Эйри использовалась в задаче 40, там же на фиг. 28
приведен ее график. Функцию Эйри можно было бы использовать и в зада-
задаче 117, но мы предпочли вернуться непосредственно к функциям Бесселя Jv
и /v с v=±Vs-
Сферические функции Бесселя. Функция Бесселя с индексом
v = / + 1/2, где / = 0, 1, 2, ..., играют в физике большую роль,
так как они появляются при решении волнового уравнения ме-
методом, разделения переменных в сферических координатах. Обычно
вводят функции четырех стандартных типов*>:
A5)
y_(/+Vi)(z), A6)
hp (z) = /, (z)+int (z), hf B) = /, (z) —in, (z). A7)
Эти функции являются решениями дифференциального уравнения
A8)
1) В литературе наши функции jt и т. д. часто обозначают через ji и т. Д.
и, кроме того, вводят функции
I ^
h h
Преимущество такой системы обозначений состоит в том, что теперь
функции
A}i-i>(ar)=,-U}i..>w
имеют смысл расходящихся и сходящихся сферических волн.
10*

292	Математическое приложение
и обладают очень простым асимптотическим поведением:
/,(z)-»sin(z—у-), Л/(г)— cos B—Щ,
/i<i) _+;-«+V2,	/гJ> (г) —* il+le~iz.
Для справок приведем значения наиболее часто встречающихся
вронскианов:
iin'i—nj'i = 1, hW»' — h\2)h\l)' = —2i.	B0)
При \г\<^.1-\-11г имеют место приближенные формулы
Рекуррентные соотношения. Для каждого из четырех типов
функций, определенных равенствами A5) — A7), справедливы
соотношения
Первое из указанных соотношений можно также использовать
для определения сферических функций Бесселя при отрицатель-
отрицательных значениях I.
Сферические функции Бесселя являются элементарными функ-
функциями. Несколько первых функций приводятся ниже:
/, =sinz,	«0 = — cosz,
sin г cos г
/,=	cosz, •	п, =	sin z,
"г	'	г	'
C \ 3 /3 \ 3
-г-—1 sin г	cos г, /г2 = — -у—1 cosz	sin 2
г 1 z \z j г
cos г, /г2	у1 cosz
z	\z	j	г
Функции Лежандра
Дифференциальное уравнение
A— z2)«" — 2z«' + v(v+l)u=-0	A)
принадлежит к уравнениям гипергеометрического типа с тремя
особыми точками: z = ±l и г = оо. Общее решение уравнения

Функции Лежандра	293
A) можно записать в виде
«v = A^f — v, v+1, 1; -^
B)
где первое и второе слагаемые представляют cofoft, если отвлечься
от нормировочных множителей, так называемые функции Лежандра
первого и второго родов, которые обычно обозначают соответст-
соответственно через Pv(z) и Qv(z).
Если v — целое число (v = /; / = 0, 1, 2, ...). т0 функция
Лежандра первого рода вырождается в полином. Когда г = х, где
х—действительное число и |х|^1 или x = cos\<>, полиномы
Лежандра, будучи связаны со сферическими гармониками YUm
соотношением
имеют простой геометрический смысл.
Свойства полиномов Лежандра. Эти полиномы образуют орто-
ортогональную систему:
D)
Первые пять полиномов имеют вид
' '
Все они либо четные, либо нечетные функции переменной х.
Четность полиномов Лежандра определяется четностью индекса /:
Pl(-x) = {-\)lPl(x).	F)
Полиномы с / ^ 2 можно получить с помощью рекуррентного
соотношения
(/ + 1) Р1 + , (х) + lPt_, (х) = B1 + 1) хР, (х).	G)
Полиномы Лежандра и их производные связаны простым соот-
соотношением
A -х2) Р; = / (Р,_, —xPt) = (/ + 1) (хРг-Рг+1),	(8а)
из которого, в частности, следует
B? + 1)Р, = Р;+1 -Р/_,.	(86)

294		Математическое приложение
При х= ±1 имеем
Pl) (-1)'	(9а)
и
d"Pi(±l) /-T-
2»п1(/-п)Г
Если ввести новую переменную x = cosd, то определение B)
полиномов Лежандра можно представить в иной форме:
= У. (-!)";
Когда /^>1, а модуль | sin ¦0/21 по порядку величины равен 1/1,
последний ряд упрощается и мы получаем
P,(cosd)«y0(B/+l)sin-§-).	A1)
причем ошибка этого приближения имеет порядок I//2. Что же
касается корней полиномов Pt, то и при больших значениях
угла •& они довольно хорошо описываются приближенной фор-
формулой A1). Для случая /=10 полином Лежандра и соответст-
соответствующая ему аппроксимирующая функция Бесселя показаны на
фиг. 55 (том 1, стр. 284).
О соотношениях, связанных с геометрической интерпретацией,
см. раздел, посвященный сферическим гармоникам.
Функции Лежандра первого рода. Когда v не является целым
числом, ряд A0) уже не обрывается на конечном члене, и Pv(x)
становится трансцендентной функцией с особенностями в точках
х=±1. Эту функцию можно разложить в ряд по полиномам Ле-
Лежандра:
n = 0
Ряд A2) — частный случай разложения функции
f(x)=^Bn+l)fnPn(x)	A3а)
с коэффициентами
A36)
^

Функции Лежандра	295
Так как полиномы Лежандра образуют полную ортогональную
систему, то такое разложение возможно для широкого класса
функций.
Приведем примеры часто используемых разложений:
Е B/ + ])''' ^ Я (*) Для | дс |< 1,	A4)
/ШР,(*).	A5)
В физических приложениях обычно y — kr и х = cos О, так что
уУ2(\— х) = 2йг sin -|-.
Ряды A4) и A5) сходятся при всех действительных значениях
переменной у. Другой важный пример:
у\<1.	A6)
Последнее разложение можно также использовать	в качестве
определения полиномов Лежандра.
Функции Лежандра второго рода. Рассмотрим	разложение
A6а)
где г — произвольное комплексное число, не принадлежащее отрезку
действительной оси [+1, —1]. Функция Qn(z), определенная
соотношением
называется функцией Лежандра второго рода. В силу симметрии
разложения A6а) по отношению к переменным г и х эти функ-
функции должны удовлетворять тому же самому дифференциальному
уравнению A), которому удовлетворяют полиномы Лежандра Рп (х).
Функции Лежандра второго рода имеют при z=±l логариф-
логарифмические точки ветвления. Приведем явные выражения для трех

296	 Математическое приложение
первых функций Лежандра второго рода:
Qo(z) = TlnSr«
(z)-l,	A7)
Выражения для функций более высокого порядка можно получить
с помощью рекуррентного соотношения G), которое справедливо
для функций Qn{z), так же как и для полиномов Pn(z). В общем
случае функция Qn (г) имеет вид
QB(z) = PB(z)Q.(z)-WB-1(z)>	A8)
где Wn-r— полином (я — 1)-й степени. Этот полинбм является
четным, если четен индекс п, и нечетным в противном случае.
Сферические гармоники
Если при разделении переменных в волновом уравнении ис-
используются сферические координаты
х = г sin d cos ф, г/ = л sin О sin <p, z = rcosd	A)
(ось z выбрана в качестве полярной оси), то угловая часть реше-
решения должна удовлетворять дифференциальному уравнению
где 1 = 0, 1, 2, ... . Производя дальнейшее разделение перемен-
переменных
и = в (О) е1т<»,	(За)
где т = 0, ±1, ±2, ..., получаем
Последнее уравнение с помощью замены переменной
приводится к виду
(l-^)^^f+[/(/+l)_I^r2]e = 0.	(Зв)
Уравнение (Зв) является обобщением уравнения для полиномов
Лежандра Рь{г) и переходит в него при т = 0. Однако

Сферические гармоники	297
это уравнение принадлежит к общим уравнениям гипергеометри-
гипергеометрического типа. Его единственное произвольно нормированное
регулярное решение можно представить в форме
©г,и = A-^Г/2^#.	(Зг)
где т^О. Как оказывается, функции вЛ _т не являются новыми
функциями и их можно выразить через функции 6Г_ т. Так как
полином Р', имеет отличные от нуля производные лишь в том
случае, если их порядок не превышает /, то при данном значении
/ существует всего 2/+1 регулярных решений, для которых
|т]^/ (напомним, что здесь т — целое число).
Перейдем теперь к вопросу о нормировке. Мы будем придер-
придерживаться наиболее употребительного соглашения, которое лучше
всего отражает геометрический смысл этих решений, всюду
регулярных на поверхности единичной сферы:
У,, т (§, ф) = -у=г <?Т(Ъ) е""ф	D)
^Q=l	E)
или
\.	F)
Таким образом, для нормированных функций (Зг) имеем
l >	df» '	(П
Чтобы включить отрицательные значения т, по определению
положим
Z?rm (#) = (— \Т&Т (*)•	(8)
Явные выражения для сферических гармоник с / = 0, 1, 2, 3
приведены в томе 1 на стр. 183,184. При т.—О имеют место по-
полезные соотношения
Рекуррентные соотношения. Существует целый ряд важных
соотношений, связывающих сферические гармоники с соседними

298	Математическое приложение
значениями индексов / и т:
sin №Yltm = alt mYt+u m+1— а,.,, -я_1^_ь я+1, A0а)
sin de-'«>ylt „ = - аи .mYl+1, я_, + а^и m-xY^lt „_lt A06)
cosWUm^bUmYl+um^-bl.umYl.Um,	A1)
где
г,		A2)
Повторное применение соотношений A0) и A1) позволяет преоб-
преобразовывать выражения, содержащие произведения более высоких
степеней sin§ и cosd и функции YUm\ разумеется, при этом
появляются сферические гармоники с индексами, отличающимися
более чем на ±1 от индексов I и т.
Производные. Действуя на сферическую гармонику операторами
Г з-
dx±l ду)~е *ymvrдг + С05ХУдЪ± sin©
получаем
±'' ду
где aly m ]\ bUm определяются выражениями A2).
В теории момента количества движения большую роль играют
эрмитовы операторы Lx, Ly, Lz, где
-ylx) и
В сферических координатах имеем
4	l)	A6а)
Действуя на сферическую гармонику, операторы L+	и L_ соот-
соответственно повышают и понижают индекс т. на 1:
? у =	j/"/(/_l 1)	m (m + 1) F ,	A7a)
L.y,, m = -Vl{l+\)—m (m — 1) 7,, „_,.	A76)

Сферические гармоники	299
Что же касается оператора L2, то для него Yи т является соб-
собственной функцией, причем
LzYUm = mYUm.	A8)
Сферические гармоники, кроме того, являются собственными
функциями оператора
(LL + LL)+LI	A9)
и удовлетворяют уравнению
L*Yt,a = l(l+l)Yt,m.	B0)
Отметим также полезные соотношения
1) ~m (m +1)] Yt, a,	B1а)
l)~m(m-l)]Yl,m.	B16)
Введенные здесь операторы L,- отличаются от операторов проекций момента
количества движения, использованных в этой книге, множителем %.
Ортогональность и часто встречающиеся разложения. Для
сферических гармоник выполняются условия ортонормированносТи
mm'.	B2)
Так как, далее, сферические гармоники образуют полную систему,
то любую регулярную на единичной сфере функцию / (¦&, ср)
можно представить в виде
/(*, Ф)=2 S f,.»r/llB(*, Ф),	B3а)
( = 0 т=-1
где коэффициенты разложения /Л т определяются формулой
ф)^-	B36)
Ниже приводятся примеры часто встречающихся разложений.
1. Разложения для полинома Лежандра Pt(cosy), где у—угол
между векторами, концы которых лежат на единичной сфере
в точках с координатами д, <р и ¦$', ф':
Z
, Ф).	B4)
Эта формула известна как теорема сложения.
2. Разложение плоской волны. Если плоская волна распро-
распространяется вдоль полярной оси, то в разложении участвуют

300	Математическое приложение
лишь полиномы Лежандра:
еш = e,t, cos & = J_ \^ 1/4яB/+1) i</, (fcr) У,, 0 (О). B5)
1 = 0
Доказательство этой формулы было дано в процессе решения
задачи 81. Обращая формулу B5), получаем полезное интеграль-
интегральное представление сферических функций Бесселя:
B6)
Если плоская волна распространяется в направлении ректора k
со сферическими углами 0 и Ф, то имеет место разложение
общего вида
??	т (в, Ф)^1.»(*. Ф)-	B7)
3. Сферическая волна, используемая в качестве функции Грина
волнового уравнения. Пусть г и г'—два радиус-вектора, направ-
направления которых характеризуются соответственно сферическими
углами О, ф и ft', ф' и пусть у—угол между ними, тогда
7=7Т = 7F ? Y^ir V^(r- r'] Y'- •(cos Y)' B8a)
4п,. . ,
/=о
где
{ jh(kr)h?>(kr') при г<г',
Г, (г, г') = { .	B86)
I j // (kr'WP (Ьг) при а > г'.
В предельном случае k—»0 отсюда получается хорошо известная
формула
1 = 0
B9)
1

Гипергеометрическая функция	301
Гипергеометрическая функция
Дифференциальное уравнение
— z)v" + {{c—2k) — (a + b+l— 2k—2ц)г}и' +
}u=0 A)
имеет три правильные особые точки 2 = 0, 1, . оо. С помощью
подстановки
i)	B)
его можно представить в стандартной форме
2A — z)u"+[c—(a + b + l)z]u'—abu = 0.	C)
, Уравнение C) называется гипергеометрическим дифференциаль-
дифференциальным уравнением Гаусса. Для любых значений параметров а, Ь,
с, кроме с——п, где п = 0, 1, 2, ..., это уравнение имеет
не обращающееся в нуль при 2 = 0 регулярное решение. Ука-
Указанное решение, нормированное в соответствии с условием
и@)=1, называют гипергеометрическим рядом и обозначают
посредством 2F1(a, b, с; г). Решая дифференциальное уравнение
C) с помощью разложения в ряд в окрестности точки 2 = 0,
получаем
/\(а, Ь, с, z) = 1 + ~-jy +
"¦	с(с+1)(с + 2)	"ЗТ~'~ ' * "'
ИЛИ
2F, (а, Ъ, с; 2) = Г ffi ? Г' гТсТпГга7 "'z"-	^
п = 0
Эта функция инвариантна по отношению к замене параметра а
параметром Ь. Если а=—п или Ь=—п, где га = 0, 1, 2, ...,
то гипергеометрический ряд обрывается на конечном члене и
вырождается в полином степени п. Соответствующие полиномы
называют полиномами Якоби и определяют соотношением
Jn(p, q\ z) = tFl(—n, p + n, q; z).
Полиномы Якоби образуют ортогональную систему, причем усло-
условие ортогональности имеет вид
= Q при

302	Математическое приложение
Если с ——п, то гипергеометрический ряд не существует.
В этом случае решение уравнения C) можно получить с помощью
предельного перехода
,. 9F,(a, Ь, с; г) _ Г (а + п+ 1) Г (Ь + п + 1) г"*1
е"_я	Г (с) ~	Г(а)ГF)(/г+1)!	Х
X 4/\(а + /г+1, & + п+1, /г + 2; г). E)
Если ни один из параметров а, Ь, с не является целым отри-
отрицательным числом или нулем, то ряд D6) сходится абсолютно и
равномерно при |г| < 1. Гипергеометрический ряд можно одно-
однозначно продолжить во внешность единичной окружности | г | > 1
с разрезом по лучу [1, оо].
Для аналитического продолжения можно воспользоваться
формулами
(a, b, a + b-c+\; \-z) +
г(ffift)	c-a, c-b, c-a-b+l; T-z) F)
и
tFAa, b, с- г)=Щ^§}(-г)-\Р, (a, a-c+\, a-b + l; i) +
*-«+!. Ь-а+l; i). 'G)
Применяя последнюю формулу, можно записать асимптотику
функции 2Ft при z—+oo:
Общее решение гипергеометрического дифференциального
уравнения при |г|< 1 можно представить в виде
u = CltFAa, Ь, с; z) + C^-\F,(a+l—c, b + l~c, 2-е; z). (9)
Исключение составляет случай с = 0, ±\, ±2, ..., так как
при этом оба частных решения, как непосредственно видно из
соотношения E), совпадают. Второе линейно независимое реше-
решение в этом случае имеет логарифмическую особенность в точке
z = 0.
Ниже приводится сводка формул, наиболее важных с точки
зрения практических приложений гипергеометрической функции
„Л (а, Ъ, с; z) =-^=1^, (а+ \,Ъ,с+\;г) +
$fb	\c^	1; г) +
; z),

Вырожденная гипергеометрическая функция	303
г, Л (а, Ь,с\ z) = ^[2JF,(a-l, b, с-1; z)-
с —а
It 1	1 • \ 1	— P (	1 A • \
. с—b г-. / # i	ч
(а, *, с; г),
'ilv'	'	'	Л	 I
|5f
Формулы для производных:
\ ^ ~"~ *"/ A 2 1 \ > » *^) *^/ 		, o* 1 It*	if t/j Ks) Л I ^^
"T" ti	2 1 \ * ~~~ J ' / "T"	l	2 1 \ > * * / •
Вырожденная гипергеометрическая функция
Если в гипергеометрическом дифференциальном уравнении
Гаусса сделать предельный переход b—* оо, г = х/Ь, то в резуль-
результате получится дифференциальное уравнение Куммера:
х^± + (с-х)^-аи = 0.	A)
При этом особая точка 2=1, имевшаяся в исходном уравнении,
сместится теперь в точку я = оо. Таким образом, на комплексной
плоскости х рассматриваемое уравнение имеет правильную осо-
особую точку х — 0 и существенно особую точку л:=оо, появив-
появившуюся в результате слияния особых точек 2=1 и z = oo.
Общее решение уравнения A) можно записать в виде
и = С11Л(а, с; x)+C2x*-\F1(a-c+l, 2-е; х), B)
где так называемый вырожденный гипергеометрический ряд
tFx по определению равен
F (п с z) = \ -\- ¦— — '	-	I- vu~t~д/ ^ц \~Л) t	l	^Яя^
или

304	Математическое приложение
Этот ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости г.
Определяемую вырожденным гипергеометрическим рядом функ-
функцию можно сделать однозначной, проведя разрез между точками
2 = 0 и 2=оо. В нашей книге в качестве линии разреза выбрана
мнимая положительная полуось.
Если с — —п, где п = 0, 1, 2	то ряд C6) не существует.
В этом случае решение уравнения A) можно получить с по-
помощью предельного перехода
lim ifi(fl' c: ') г
Г (с) ~ Г (о)
(Выше переменная х обозначена через z.)
Асимптотическое поведение вырожденной гипергеометрической
функции при | z | —уоо описывается формулой
(а, с;
^
Эта формула не относится к случаю а = ^п, где л = 0, 1,2
так как, согласно C), вырожденный гипергеометрический ряд в
указанном случае превращается в полином степени п. Среди
таких полиномов наибольший интерес представляют полиномы
Лягерра
(J$Li(-n, m+l; г)	F)
и полиномы Эрмита (см. задачу 30)
В заключение приведем сводку наиболее важных в практи-
практическом отношении формул для вырожденной гипергеометриче-
гипергеометрической функции и ее производной:
,/•", (а, с; z) = — ,/\ (а + 1, с + 1; г) 4- ^—— ,/\ (а, с + 1; г) =
	 д2 /» /'/^ ____ /> /^ • ^_^ -7 ^
zfoiFi(a' c; z) = a[,/:'1(a+l, с; г) — ^ (а, с; г)],

Некоторые функции, определяемые интегралами	305
Некоторые функции, определяемые интегралами
Интеграл ошибок и связанные с ним функции. Интеграл
ошибок определяют равенством
erfc2= \J е~*2 dt.
Z
Часто используется несколько иное определение:
о
Указанные интегралы связаны соотношением
ее
erf с z + erf z = \ е~'г dt = -~ |At.
о
Функцию erf z можно записать в виде ряда
При больших действительных и положительных значениях
имеет место асимптотическое представление
e
Дифференцируя тождество
со
F (г, Р) = \ е~№ dt = p-1/. erfc {Vfz),
г
нетрудно показать, что
Полагая здесь Р=1, получаем

306	Математическое приложение
Аналогичным образом путем повторного дифференцирования все
интегралы вида
можно свести к функции ошибок. В частности, при г = 0 полу-
получается формула
snp — i rtf— I/ тт —;	'
e at- v я 22п (я_1I.
С помощью замены переменной /2 = х ее можно записать через
интеграл Эйлера:
?О	СО
\tzne dt — -^ \ х"- '*е Xdx = -^T Ы+y)-
О	к)	\	/
о	о
Интегральная показательная функция. Эту функцию опреде-
определяют равенством
2
Особый интерес представляет случай 2 = —х, где х—действи-
х—действительное положительное число. В этом случае полагают
Функцию Ej можно записать в виде ряда
где
со
С = ^е-Чпт^ = 0,577 215...
о
— так называемая постоянная Эйлера. При xjg>l имеет место
асимптотическое представление

Некоторые функции, определяемые интегралами	307
Можно ввести обобщенную интегральную показательную
функцию:
Фигурирующий здесь интеграл можно свести к функции Ех (х),
если принять во внимание соотношение
Еп (х) = п_ j [хп е х Еп_1(х)\,
получающееся интегрированием по частям.

Предметный указатель к 1-му и 2-му томам
Цифры указывают номера задач, а не страниц. Задачи 1 —128 составляют
содержание 1-го тома, задачи 129—219 —2-го тома. Буква П относится к ма-
математическому приложению, помещенному в конце 2-го тома.
Аксиальный вектор, см. Псевдовектор
Амальдн поправка к модели атома
Томаса —Ферми 173
Амплитуда волновой функции, ее из-
изменение 26, 27
—	рассеяния вперед 21, 22, см. также
Рассеяние
	 назад 21, 22
Ангармонический осциллятор 35, 69,
70
Аномальное рассеяние 85, 112
—	— протонов на протонах 165
Антикоммутационные свойства матриц
Дирака 189
	Паули 131
Антисимметризованное произведение
152
Атома радиус 173
Атомы щелочных металлов, рассеяние
неупругое на них 166
—	— — электрическая восприимчи-
восприимчивость 159
Барьер потенциальный 19, 21—23
Бегущая волна 16
Белый карлик 171
Бесконечно малые вращения 47
Бесселя функции, основные формулы П
Бете — Пайерлса формула 90
Блоха теорема 28
Бозе статистика 210, 213
Бора магнетон 127
Борна — Оппенгеймера приближение
44, 161, 163
Борна приближение 94, 96—98, 102,
105-107, 183, 184, 211
Борновскнй интеграл, расходимость
105, 108
Брейта — Вигнера формула 114
Бриллюэна зоны 29
Ван-дер-Ваальса силы 161
Вариационный принцип Швингера 95
—	— Шредингера 2
Вектор в теории Дирака 192
Векторная частица 52
Векторный потенциал 125
—	— разложение его по плоским
волнам 212
Вентцеля — Крамерса — Б риллюэна ме-
метод, см. Метод ВКБ
Вершина 219
Вигнера—Эккарта теорема 133
Вириала теорема в случае кулоновских
сил 151, 175
—	— для возбужденных состояний ге-
гелия 155
Виртуальный уровень 26, 27
Вместимость потенциальной ямы 25,
63, 68, 106
Водорода атом 67
	время жизни возбужденных со-
состояний 215
—	— интенсивность спектральных
линий 217
—	— как задача двух тел 150
—	— релятивистская теория 202, 203
—	— собственные функции в импульс-
импульсном представлении 78
—	— таблица собственных функций 67
—	молекула, ион 44

Предметный указатель
309
Водорода молекула нейтральная, ос-
основное состояние 163
	рассеяние медленных нейтронов
на ней 147
Водородная звезда 171
Возмущение, см. Периодическое воз-
возмущение
—	световой волной 186
Волновой пакет 17
Восприимчивость диамагнитная и па-
парамагнитная 128, 160, 168
—	электрическая 159
Вращательные уровни двухатомной мо-
молекулы 69—71
Вращений группа 46, 52
Времени обращение 16
Время жизни возбужденных состояний
215
Вронскиан 24, 28, П
Вуда—Саксона потенциал 64
Вырождение газа электронов 167
—	при наличии возбуждения 162
—	собственных значений 42, 46
Вырожденная гипергеометрическая
функция 30, 42, 65, 70, ПО, 111,
202—204
	— формулы П
Газ атомных электронов, см. Модель
атома Томаса — Ферми
—	электронов в белом карлике 171
—	— проводимости в металле 167, 168
Гайтлера — Лондона приближение 163
Гамильтониан, зависящий от времени 11
—	при наличии спин-орбитального
взаимодействия 136
Гармонические колебания линейной
молекулы 149
Гармонический осциллятор в абстракт-
абстрактном гильбертовом пространстве 31,
33
	 — представлении импульсном 34
	 координатном 30
	приближении ВКБ 118
	таблица собственных функций 30
Гейзенберга картина 10
—	соотношение неопределенности 17,
40
Гелий, возбужденные состояния 155,
156
—	основное состояние 154
Генераторы группы вращений 52
Гильбертово пространство для гармо-
гармонического осциллятора 31
	 оператора момента 65
	 спиновых операторов 129,139
Гильбертово пространство состояний
6, 10, 12, 31, 33, 50
Гипергеометрическая функция 37—39,
46, 64, 68, 207
— — формулы П
Главное квантовое число 67
Грина функция для парциальных волн
94, 96
	 трехмерной задачи 94
Групповая скорость 16, 17
Давление электронного газа 167, 171
Два атомных электрона в основном
состоянии 154
Две частицы на гладкой окружности
148
Двухуровневая система 179, 180
Дейтерий, открытие 150
Дейтрон, модель с взаимодействием
тензорным 144, 145
	центральным 72, 75
	жесткой сердцевиной 91, 92
—	связанное состояние и длина рас-
рассеяния нейтронов на протонах 147
Дельта-функция, представление в виде
интеграла Фурье 14
Деполяризация дираковской плоской
волны 208
Диамагнетизм 128, 160
Диполь-дипольное взаимодействие 161,
162
Диполь магнитный 127
Дипольное излучение 213—215
—	— правила отбора 216
Дипольные переходы 43, 79, 213—216
Дирака гамильтониан !89, 200
—	теория возмущений 181—183
—	уравнение для одномерного случая
197, 207
	 квадрирование 189
	 лоренц-инвариантность 191
	 пространственная инверсия 193
—	— расщепленная форма 200
	 стандартное представление 189
Дисперсии закон для релятивистских
волн материи 189
Дисперсия света 187
Дифференциальное сечение рассеяния
80
Диффузии уравнение 16
Дублетные спиновые функции 146, 147,
194
Жесткая сфера, рассеяние иа ней 84,
109

310
Предметный указатель
Заряда плотность 1
Зарядовое сопряжение 194
Зеемана эффект нормальный 127, 216
Золотое правило 182, 183, 211, 213
Зоммерфельда — Ватсона преобразова-
преобразование 113
Зоммерфельда условие излучения 80
Зонная структура энергетического
спектра 28, 29
Излучение дипольное 213, 214
Излучения квантованное поле 212
Изотопический сдвиг уровней /("-элект-
/("-электронов 73
Изотропный осциллятор
Импульса оператор 3, 7, 8, 10
—	плотность 1
Импульсное представление 14, 15, 34,
76, 77
Импульс полный шредингеровского по-
поля 1, 3, 210
Индуцированный дипольный момент 187
Интегральная показательная функция
Интегральное уравнение для волновых
функций в импульсном представле-
представлении 14, 77
	радиальных 94
Интенсивность отраженной волны 21 —
23, 37, 39, 45, 207, 209
—	спектральных линий 213, 217
Ионизация в звездном веществе 171
Испускание одного фотона 213, 214
Калибровочное преобразование 125»
126
Колоджеро уравнение 97, 100
—	— линеаризованное 98—102
Канонические уравнения 10
Квадрупольного момента тензор 54, 61
Квадрупольный момент 61
—	— дейтрона 145
	электрона со спином в цент-
центральном поле 134
Квазипотенциал 104, 124
Квантование поля излучения 212
—	— шредингеровского 210
Квантовомеханическое среднее 3, 4, 5
Квартетные спиновые функции 146, 147
Кватернионы 131
Кеплера проблема в импульсном пред-
представлении 78
	приближение ВКБ 120
	решение для положительных эне-
энергий в теории нерелятивистской 111
	 релятивистской
204
Кеплера проблема, связанные состоя-
состояния в нерелятивистской теории
67
Кинетической энергии оператор 13, 46,
49
—	— плотность 5
Классическая динамика для квантово-
¦ механических средних 3, 4, 5
—	точка поворота 40, 117—124
Клейна — Нишины формула 218
Клейна парадокс 202, 207
Клейна —Фока уравнение 189
Клиффордова алгебра 192, 194, 197
Клиффордовы числа 191, 192
Колебания двухатомной молекулы 69,
Комптона эффект, нерелятивистское
сечение 218
Константа взаимодействия, разложе-
разложение в ряд по ней 102, 105
Конфигурация замкнутой оболочки 61
Координаты криволинейные П, 13, 46
Кратцера молекулярный потенциал 69
Кристаллическая решетка, см. Перио-
Периодический потенциал
Кулоновское возбуждение 185
—	рассеяние и аномальное рассеяние
112
	на заряде пространственно распре-
распределенном 108, 112
	— — точечном ПО, 111
—	— разложение по парциальным
волнам 111
—	— расчет фаз в приближении
ВКБ 123
Куммера дифференциальное уравнение,
см. Вырожденная гипергеометрйче-
ская функция
К-электрон, учет экранировки 178
—	энергия связи 154
Лаймана серия в спектре излучения
водорода 217
Ланде множитель 135
Лармора частота 138
Лежандра функции и полиномы П
Леннарда—Джонса потенциал !04
Лития атом, основное состояние 157,
158
Логарифмическая производная 20, 22,
23, 82—86, 89, 101
Логарифмическое искажение фазы 69,
110—112
Лоренца бесконечно малое преобразо-
преобразование 192

Предметный указатель
311
Лоренцевы коварианты 192
Лоренц-инвариантность уравнения Ди-
Дирака 191
Лягерра полиномы П
Магнетон Бора 127
Магнитное квантовое число 127
—	поле, спиновой резонанс в нем 138
	уравнение Шредингера 125
Магнитные свойства фермн-газа 168
Магнитный момент дейтрона 145
	дипольный 127
—	— неона 160
	обусловленный орбитальным
движением 127
	спиновых состояний, среднее
значение 135
	 электрона 136, 138
—	резонанс 183
Матричное представление оператора 6,
33
Матье уравнение 148
Мезоатом 74
Металл, парамагнитная восприимчи-
восприимчивость 168
Метод ВКБ, в задаче о коэффициенте
прохождения 169
	граничное условие Лангера 117,
118
	для радиальных волновых функ-
функций 116
	 уровней энергии 118—120
	— фаз рассеяния 121—123
Метрика четырехмерного пространства
189
Модифицированные функции Сесселя,
формулы П
Молекула водорода, см. Водорода мо-
молекула
—	двухатомная 69—71
—	как симметричный волчок 46
—	трехатомная, нормальные колеба-
колебания 149
Молекулярные потенциалы 44, 69, 70
Момент количества движения 4
	в задаче о симметричном волч-
волчке 46
	релятивистской теории 201
¦	для двух частиц на гладкой
окружности 148
	и связанный с ним магнитный
момент 127
	 как переменная на комплекс-
комплексной плоскости 113
	компоненты оператора в сфе-
сферических координатах 48
Момент количества движения, опера-
оператор 42
	операторы компонент, их опре-
определение с помощью бесконечно ма-
малых вращений 47
	перестановочные соотношения
50, 51
	 с компонентами тензора
53, 54
	разложение амплитуды рас-
рассеяния 82
	плоской волны 81, 136
205
	связь с оператором Лапласа 49
Момент силы 4
Морса потенциал 70, 71
Наблюдаемые и повторное измерение 12
Намагниченность 128
Неймана ряд 94, 105
—	функции, основные формулы П
Нейтрино теория 200
Неоднородное дифференциальное урав-
уравнение 94
Неон, диамагнитная восприимчивость
160
Непрерывности уравнение 1, 21
Непрерывный спектр 26, 219
Неприводимое представление группы
матриц 189
Неупругое рассеяние 166
Низкоэнергетическое рассеяние 83, 88,
89
	 и связанное состояние 90, 147
	на потенциале Пешля — Теллера
93
Нормировка 1, 14, 15
Нормировочный объем 183
Нулевые колебания поля излуче-
излучения 212
Обменный интеграл 44
	для возбужденных состояний
гелия 155, 156
	задачи многих частиц 153
—	— — нейтральной молекулы во-
водорода 163
	 основного состояния лития
158
Однородное электрическое поле, дви-
движение электрона в нем 41
Окружность с двумя точечными мас-
массами на ней 148
Оператор магнитного момента 135
Операторы в пространстве числа ча-
частиц 210

312
Предметный указатель
Оптическая теорема 104
Орбитальный момент, см. также Мо-
Момент количества движения
—	— среднее значение в релятивист-
релятивистской теории 203
Ортоводород, спиновые функции 147
Ортогелий 155, 156
Ортогональная система функций 2
Ортогональность сферических гармо-
гармоник 57
Осциллятор ангармонический 35, 69,
70
—	гармонический 30, 31, 33, 34, 118
—	изотропный 65
—	круговой 42
Отражения закон 45, 208
Ошибок функция П
Параболические координаты П
Параводород, спиновые функции 147
Парагелий 155, 156
Парамагнетизм 128, 168
Парамагнитный резонанс 180
Парциальное сечение 84, 87
Парциальные волны 81, 82, 205
—	— разложение по ним амплитуды
рассеяния 82, 83
—	— — — — в случае кулоновского
рассеяния 111
	 плоской волны 81
—	— — — — трехмерной функции
Грина 91
Паули матрицы 52, 129, 130, 189
—	— их алгебра 131
—	принцип 152, 157
Перекрытия интеграл 44, 156, 158, 163
Перестановка частиц 152, 153
Перестановочные соотношения 7, 8
—	— для волновых операторов 210
—	— — компонент оператора спина
129
—	— с гамильтонианом 10
Перехода вероятность 182, 183, 186,
211, 2П
Периодический потенциал 28, 29
Периодическое возмущение двухуров-
двухуровневой системы 180
Периодичности куб 15, 210
Пешля —Теллера потенциалы 38, 39,
93
Плоская волна, наклонное падение 45,
208
—	— описывающая нерелятивистскую
частицу со спином 137
	— релятивистскую частицу со
спином 190
Плоская волна, разложение по парци-
парциальным волнам 81, 136, 205
Плотность вероятности 1, 16, 17, 126
—	импульса 1
—	конечных состояний 183, 186, 211
213
—	массы 1
—	состояний электронов в ферми-газе
167
—	тока вероятности 1, 16, 17, 80, 126
—	электрического тока 1, 213
	в теории Дирака 198, 199,
207, 209
—	энергетических уровней 26
Показатель преломления 187
Поле центральных сил, релятивист-
релятивистский электрон в нем 201
—	и спин электрона 133
Политропа 171
Полное отражение 45
Полный момент количества движения
133, 142, 201
Полупроницаемая перегородка 19—22,
27, 86
Поляризационный ток 199
Поляризация дапольного излучения
214, 216
—	плоской дираковской волны 208
Поляризуемость атома 159
Поперечная волна 212
Последовательные приближения для
решения интегрального уравнения
94, 96, 105
Потенциал, имеющий вид степени дли-
длина рассеяния 99, 100
Потенциальная ступенька 37
—	— в теории Дирака 207
—	энергия, плотность 5
—	яма 25
Правила отбора для дипольного излу-
излучения 216
Преломления закон 45, 208
Приведенная масса 72, 75, 150
Прицельное расстояние 104, 185
Производные операторов по времени
8, 10, 11
Прохождение дираковских частиц че-
через потенциальный барьер 207
Прошедшей волны интенсивность 21,
22, 23, 39, 45, 207, 209
Псевдовектор 192, 193
Псевдоскаляр 102, 193
Пуассона уравнение 156, 172—174
Работа выхода 169
Равновесное межатомное расстояние
в молекуле водорода 163

Предметный указатель
313
Радиальная компонента оператора им-
импульса 59
Радиальные волновые функции в при-
приближении ВКБ 116
Рассеяние в квантовой теории поля 211
—	дираковских электронов в поле
центральных сил 206
—	и золотое правило 183, 211
—	на жесткой сфере 84, 109
—	— сферической полости 86, 88
—	нейтронов на молекулярном водо-
водороде 147
—	неупругое 166
—	одинаковых частиц 164
—	одномерная модель 21—23
—	протонов на протонах 165
Рассеяния амплитуда, разложение по
парциальным волнам 82, 85
—	— сходимость разложения по пар-
парциальным волнам 83, 103
—	длина 84, 92, 95
	для потенциала, имеющего вид
степени 99, 100
	Юкавы 102
—	— — рассеяния нейтронов на про-
протонах 147
—	— — сферически симметричной
прямоугольной ямы 89 101
	 ее знак 88, 147
—	сечение, определение 80
Рассеянная волна, интерференция с
падающей волной 80, 82, 105
Редже полюсы и траектории ИЗ, 114
Резерфорда рассеяние 108, ПО
—	— одинаковых частиц 164
Резонанс при периодическом возму-
возмущении 180, 182
Резонансная напряженность поля 138
Резонансное поглощение 182
—	рассеяние 84, 86
Резонансный знаменатель 182, 186, 187
—	уровень 27
Риккати уравнение 115
Ритца вариационный метод 44, 72, 74,
75
	для дифференциального урав-
уравнения Томаса —Ферми 177
—	— —• — нейтральной молекулы
водорода 163
—	— — — состояний атома гелия
154, 156
Ротатор 43, 79
Сабатера преобразование 124
Самосопряженный оператор, см. Эр-
Эрмитов оператор
Свободное падение в квантовой меха-
механике 40, 119
Связанное состояние и низкоэнерге-
низкоэнергетическое рассеяние 90, 147
Связи энергия 90
Силы осцилляторов 187
—	электростатического изображения,
влияние на холодную эмиссию 170
Симметризация в многочастичных за-
задачах 152
—	двухчастичных спиновых функций
139
—	резерфордовской амплитуды рас-
рассеяния в случае одинаковых частиц
164, 165
—	состояний атома гелия 155, 156
—	трехчастичных спиновых функций
146
Симметричный волчок 46
Синглетная спиновая функция 139
Скаляр 192
Слэтера определитель 152, 153, 158
Смесь S- и D-состояний 143—145
Собственные векторы спиновых опе-
операторов 130
—	значения оператора Гамильтона см.
Энергии уровни
—	спиноры полного момента количе-
количества движения 133, 137, 142, 201
—	функции для атома водорода, таб-
таблица 67
—	гармонического осциллятора,
таблица 30
Собственный магнитный момент элект-
электрона 136, 138
Сохранение вероятности 1
—	заряда 1
—	энергии 5
Спектральная линия, интенсивность
213, 217
—	— форма 182
Спектр энергетический тормозного из-
излучения 219
Спин векторной частицы 52
—	двухэлектронного состояния 139
—	его преобразование при простран-
пространственных поворотах 132
—	трехэлектронного состояния 146
—	электрона, среднее значение ком-
компонент 196
Спиновый обменный оператор 140
—	резонанс 138
Спин-орбитальное	взаимодействие
136
Спинор в нерелятивистской теории 132
—	и одномерное уравнение Дирака
197

314
Предметный указатель
Спинор преобразования Лоренца для
него 191
Спин-флип в магнитном поле 188
Спиральное™ оператор в теории Ди-
Дирака 190
	для одномерных задач 197
Спиральность 137
—	нейтрино 200
—	плоской дираковской волны 190,
, 195, 196
—	среднее значение 196, 208
Стандартное представление матриц.
Дирака 189
Статистика квантовая 167—178
Стационарное состояние 16
Стирлинга формула П
Стоячая волна 18
Ступенька, см. Потенциальная сту-
ступенька
Сферические гармоники второго по-
порядка, тензорные свойства 54
—	— ортогональность 57
	основные формулы П
	 преобразование при поворотах
55
	разложение плоской волны по
иим 81, 136, 205
	 таблица 67
—	координаты П
—	функции Бесселя 62, 63, 81, 83,
87, 108, 109
	— интегральное представление
81
	 формулы П
Сферически симметричная прямоуголь-
прямоугольная яма 63, 89
—	симметричное распределение за-
заряда, рассеяние на нем 108
Тайтца приближение для модели атома
Томаса —Ферми 176—178
Твердое тело в квантовой механике 46
Тензор в теории Дирака 192
— перестановочные соотношения с
компонентами момента количества
движения 53, 54
Тензорные силы 143
Теория возмущений в задаче о вза-
взаимодействии нейтральных атомов
161, 162
i	— применении к вычислению
электрической восприимчивости 159
	Дирака 181 — 183
	для ангармонического осцилля-
осциллятора 35
Теория возмущений, расчет двухуров-
двухуровневой системы 43
	расчет изотопического сдвига
уровней 73
—	—• — магнитной восприимчивости
128
—	уровней энергии мезоатома 74
	эффекта Штарка 43, 79
Ток проводимости в релятивистской
теории 199
Томаса поправка 136
Томаса —Ферми модель атома 172—178
Томсона формула 218
Тонкая структура уровней атома во-
водорода в нерелятивистской теории
136
	релятивистской тео-
теории 203
Трехатомная молекула 149
Триплетные спиновые функции 139
Туннельный эффект 23
	 и холодная эмиссия 169, 170
Угловая зависимость дипольного из-
излучения 214
	сечения фотоэффекта 186
Умножения таблица в алгебре спино-
спиновых матриц 131
Умова — Пойнтинга вектор 5
Унитарное преобразование 10, 50
Унитарные матрицы двухрядные 130
Упругое рассеяние, см. Рассеяние
Уравнение непрерывности 1, 21
Фаза рассеяния 82, 84—87, 93
	в приближении ВКБ 121, 122
—	случае потенциала Юкавы 106
	— — экспоненциального потен-
потенциала 107
—	— вычисление с помощью инте-
интегрального уравнения 94
	определение методом последо-
последовательных приближений 96, 97
Фазовая скорость 16
Ферми газ 167
—	статистика 210, 213
—	энергия 167, 168
Флоке теорема 28
Формфактор 108
Фотон, вероятность излучения 213
Фотоэффект 186
Френеля формула 45
Фурье интеграл 14, 15, 17
—	преобразование 14, 34, 76, 184
—	— потенциала 77
Ханкеля функции 63, 82, 83, 117, 185
	формулы П

Предметный указатель
315
Холодная эмиссия 169, 170
Хорошее квантовое число 133
Хюльтена потенциал 68
Центральные силы, зависящие от спи-
спина 140, 147
	импульсное представление 76,
77, 91
Центр масс, его движение 150
— — трехатомной молекулы 149
Цилиндрические координаты П
Четности преобразование для урав-
уравнения Дирака 193
Четность 18—20, 22, 25, 26, 143
Швиыгера вариационный принцип 95
Шредингера картина 10
—	поле, его квантование 210
Штарка эффект для двухмерного ро-
ротатора 43
—	— — трехмерного ротатора 79
Эйконал 115
Эйлера углы 46, 55
Эйри функция 40, 41, 117, П
Экранированные водородоподобные
функции 154—157, 160
Экранировка /С-электронов в тяжелых
атомах 178
—	ядерного заряда 156
Экранировочные постоянные 154, 157,
160
Экспоненциальный потенциал 75
	 рассеяние на нем 107
Электрическая восприимчивость 159
Электронный спиновый резонанс 138
Электроны проводимости в металле
167, 168
Эллипсоидальные координаты 44, П
Эллиптические интегралы 170
Энергетические зоны 28, 29
—	уровни ангармонического осцилля-
осциллятора 35
—	— атома водорода 67, 203
—	— гармонического осциллятора 30
—	— двухатомной молекулы 69—71
—	— частицы в гравитационном поле
у поверхности земли 40, 119
—	—	случае потенциала Пеш-
ля —Теллера 38, 39
	—	— Хюльтена 68
—	— —	прямоугольной ямы с
полупроницаемой перегородкой 19
Энергии сохранение 5
Энергия вакуума 212
—	ионизации для гелия и гелиеподоб-
ных ионов 154, 155
—	полная в модели атома Томаса —
Ферми 174
Эрмита полиномы 30, 32, П
Эрмитово сопряжение 6, 31
—	сопряженный оператор 6, 7, 59
Эффективное сечение, см. Рассеяние
—	— и вероятность перехода 183
	комптоновского рассеяния 218
—	— тормозного излучения 219
Эффективный радиус взаимодействия
88, 89
Юкавы потенциал 72
Ядро атомное, влияние его размеров
на энергию связи электронов 73
— интегрального уравнения, симмет-
симметризация 94