11. Ляшко
В.Ф. Ємельянов
О.К.Боярчук
МЯЕМАШЧНИЙ
анми
У двох частинах
частина і
Затверджено Міністерством
освіти України
як підручник для математичних
спеціальностей університетів
Київ
«Вища школа»
19У2
11. Ляшко
В.Ф. Ємельянов
О.К.Боярчук
МЯЕМАШЧНИЙ
анми
У двох частинах
частина і
Затверджено Міністерством
освіти України
як підручник для математичних
спеціальностей університетів
Київ
«Вища школа»
19У2
ББК 22.161я73
Л99
УДК 517(075.8)
Рецензент д-р фіз.-мат. наук, проф. М. /. Нагнибіда (Чернівець-
кий державний університет)
Редакція літератури з математики, фізики, інформатики
Редактор Л. П. Оніщенко
Ляшко І. І, та ін.
Л99 Математичний аналіз: Підручник: У 2 ч./І. І. Ляшко,
В. Ф. Ємельянов, О. К. Боярчук.— К. : Вища шк., 1992.—
Ч. 1.-495 с.: іл.
I8ВN 5-І 1-003757-4 (ч.І)
І8ВИ 5-11-003756-6
Викладено класичний математичний аналіз з основами теорії функцій
дійсної та комплексної змінних, а також елементи функціонального аналі-
зу. Розглянуто топологічне і метричне поняття границі послідовності. Пов-
ністю висвітлено теорію дійсного числа за Вейєрштрассом. Диференціальне
числення побудовано на ідеях Ферма — Лагранжа для функцій дійсної та
комплексної змінних. В інтегральному численні розглядається інтеграл
Ньютона — Лейбніца. Досить повно викладено теорію інтегралів Рімана
й Стілтьєса. Значну увагу приділено практичним застосуванням похідної
й інтеграла.
Для студентів математичних спеціальностей університетів.
п 1602070000—029..
Л --------------44—02
211—92
І8ВК 5-11-003757-4 (ч. І)
Ї8ВN 5-11-003756-6
ББК 22.161я73
© 1. І. Ляшко, В. Ф. Ємельянов,
О. К. Боярчук, 1992
ІШІШШМГВЙ^Х ПЕРЕДМОВА
••••••••••
Інтенсивна математизація різних галузей знань, а також потре-
би практики та бурхливий розвиток обчислювальної техніки вима-
гають постійного вдосконалення математичних методів досліджень,
розробки питань математичного забезпечення. Тому й виникла
потреба вивчати в провідних університетах країни курс сучасного
математичного аналізу, в розвитку якого нині значну роль віді-
грають нові відкриття в алгебрі, геометрії, топології. Це, в свою
чергу, ставить перед науковцями завдання створення таких підруч-
ників з математичного аналізу, які б повніше відображали сучас-
ний стан предмета та задовольняли як внутрішні потреби самої
математики, так і зростаючі потреби практики, а також сприяли
розвитку математичної ерудиції студентів.
На сучасному етапі розвитку математики різко зростає її абст-
рактність. Математика оперує дуже складними абстрактними по-
няттями (багатовимірні простори, функціонали, структури тощо).
Вони також відображають дійсність, хоч і небезпосередньо. Деякі
з них мають вже й прямі застосування, наприклад, у теорії віднос-
ності широко використовується чотиривимірний простір, а важливі
питання теорії груп знаходять застосування в ядерній фізиці. Го-
ловна особливість математичних абстракцій полягає у тому, що в
них віддзеркалюються лише кількісні відношення й просторові
форми матеріального світу, їм байдуже до природи предметів і
реальних процесів.
У відповідності з сучасними поглядами на будову математики
нам уявляється математичний аналіз як високоорганізована систе-
ма структур, різних ступенів абстракції, тісно пов’язаних між
собою.
Математичний аналіз — це теорія дійсних і комплексних чисел,,
теорія границь, теорія функцій, диференціальне та інтегральне чис-
лення і вивчення об’єктів, які є результатом застосування необ-
меженої кількості арифметичних операцій до елементів різних
просторів (ряди, нескінченні добутки).
Математичний аналіз як наука грунтується на теорії границь,
а поняття границі змінної величини і методи її відшукання є голов-
ним інструментом для визначення таких категорій, як сума ряду,
нескінченний добуток, дійсне число, похідна, інтеграл тощо.
Сучасний математичний аналіз, на думку авторів, є аналізом
функцій у скінченновимірному просторі. Така точка зору усуває
з
розрив між математичним і функціональним аналізом, який існував
в навчальній літературі у недалекому минулому.
Пропонований підручник складається з двох частин, а його
зміст відповідає навчальним програмам як для математиків, так і
для математиків-прикладників університетів.
У підручнику викладено основні питання теорії функцій дійсної
та комплексної змінних, узагальнених функцій і функціонального
аналізу. Найбільш повно розглянуто ті розділи математичного ана-
лізу, які доповнюють класичний і мають найбільші застосування.
Усі означення в підручнику впроваджено з сучасних позицій. У ба-
гатьох випадках вони нестандартні, але при цьому доведення теорем
спрощуються, стають стислішими. Ми прагнули уникнути неозна-
чуваних понять. Не означаємо лише множини й натуральні числа.
Розглянуто також і нові поняття (наприклад, одностайна дифе-
ренційовність та інтегровність функціональної сім’ї, інтегровність
функції багатьох змінних у розумінні Ньютона — Лейбніца, еле-
ментарна форма тощо). З їх допомогою вдалося у деяких випадках
сформулювати й довести критерії замість необхідних або тільки дос-
татніх умов, відомих раніше.
Складною проблемою є виклад теорії дійсного числа, без якої
неможливо побудувати навіть початки математичного аналізу. По-
треба в ній з’являється лише тоді, коли читачеві стануть відомими
багато методів математичного аналізу і виникне необхідність їх об-
грунтування. Не випадково, що основний період розвитку матема-
тичного аналізу в XVII—XIX ст. не супроводжувався будь-якою
формальною теорією дійсного числа, і перші такі теорії були запро-
поновані Р. Дедекіндом, Г. Кантором та К. Вейєрштрассом у кінці
XIX ст., коли вже завершився розвиток основних методів класич-
ного аналізу і настав період сучасного математичного аналізу.
Враховуючи цю обставину, автори спочатку викладають теорію
границі послідовності й меж множин в упорядкованих (і навіть в
частково упорядкованих) просторах без використання теорії дійсно-
го числа. Теореми, які належать до порядкових властивостей грани-
ці, до верхньої й нижньої часткових границь, до меж множин, до
зв’язку між границею й межами послідовності, а також класичні
теореми Вейєрштрасса, Больцано — Вейєрштрасса доведено з мак-
симальною простотою. Після викладення абстрактної (аксіоматич-
ної) теорії дійсного числа впроваджується поняття ізоморфізму,
показана його безперечна користь при розв’язуванні задач і лише
потім йдеться про визначене однозначно, з точністю до ізоморфізму,
поле дійсних чисел.
Поєднуючи ідеї, покладені в основу конструктивних теорій Кан-
тора і Вейєрштрасса, автори виклали теорію дійсного числа у пов-
ному обсязі.
Наголошено на важливості використання операцій додавання й
множення, а також впроваджено поняття суми й добутку для довіль-
ної числової сім’ї. Показано, що найбільші застосування мають тео-
реми Фубіні — Тонеллі і про заміну індексу підсумовування. Це
дало змогу по-новому означити числовий ряд та нескінченний добу-
4
ток, угледіти подібність у теоремах, які раніше здавалися різними.
Наприклад, елементарне правило винесення о-малого за знак суми
виявилося рівносильним досить витонченій теоремі Штольца, яка
належить до теорії границь послідовностей, а поняття послідовності
з обмеженою зміною еквівалентне загальновідомому поняттю абсо-
лютної збіжності ряду. Розглянуто обернення ознак Діріхле та
Абеля в теорії числових рядів.
Поняття похідної грунтується на означенні, запропонованому
П. Ферма для многочленів, узагальненому потім Ж. Лагранжем
для аналітичних функцій і по-іншому сформульоване Дж. Пеано
для загального випадку. Інтегрування розглядається у розумінні
Ньютона — Лейбніца, Коші, Рімана, Дарбу, Стілтьєса, Лебега. Усі
вказані інтеграли порівнюються між собою. Впровадження інтегра-
ла Ньютона — Лейбніца дало змогу встановити зв’язок між класич-
ними теоремами диференціального й інтегрального числень, які
традиційно вивчалися окремо. Тут подібні теореми виступають у
різних формах (диференціальній та інтегральній) одного й того са-
мого твердження. Саме тому вдалося знайти просте доведення прави-
ла Лопіталя — розкриття невизначеностей виду
Похідна й інтеграл розглядаються у взаємозв’язку. Цим автори
порушили усталену традицію роздільного викладу диференціально-
го й інтегрального числень, вважаючи такий поділ неприродним з
точки зору паралельного дослідження й використання прямих та
обернених операцій.
Істотну увагу приділено практичному застосуванню похідної та
інтеграла до розв’язування задач.
Виклад інтеграла Лебега — важлива методична проблема, ос-
кільки вона традиційно складна для засвоєння студентами молод-
ших курсів. Спроби замінити ним інтеграл Рімана не приносили
успіху.
У другій частині підручника дано нову, доступну для широкого
кола читачів схему побудови інтеграла Лебега, основану на ідеї
Е. Бореля, висловленій ним ще в 1898 р. Викладено класичну тео-
рію рядів Фур’є, повторного й сингулярного інтегралів Фур’є, а
також Р-теорію ортогональних рядів, А- та Р-теорії перетворення
Фур’є, доведено теорему Планшереля. Паралельно з одновимірними
розглянуто й багатовимірні випадки.
Викладено також теорію зовнішніх диференціальних форм та
абстрактну теорему Стокса.
Усі міркування проведено на достатньому рівні строгості, бо по-
милковим, за словами великого німецького математика Д. Гільберта,
є упевненість в тому, що строгість у доведенні є ворогом простоти.
Автори прагнули не тільки до ясної і доступної форми викладу ма-
теріалу, але й до закінчених результатів, придатних для практич-
них застосувань.
5
а
розділ:
МЕЖІ МНОЖИН
ТА ГРАНИЦЯ
ПОСЛІДОВНОСТІ
§ 1. Елементи теорії МНОЖИН
і відображень
1.1. Логічні символи. У сучасній математиці прийнято вжива-
ти логічні символи, якими замінюють деякі словесні вирази, іцо
часто повторюються в тексті. Так замість виразів «для всіх», «для
кожного», «для будь-якого» вживають знак V, а замість слів «іс-
нує», «знайдеться» — знак 3. Вони називаються відповідно кван-
тором загальності і квантором існування. Словосполучення «для
всіх...» та «існує...» часто супроводжуються деякими обмеження-
ми, які записують у круглих дужках. Замість слів «такий, що» бу-
демо вживати дві крапки.
Кожна теорема складається з деякої властивості А (умови) та
властивості В (висновку), що записують у вигляді А => В і чита-
ють «якщо Л, то В» (=> — символ імплікації). Також кажуть, що
В є необхідною умовою А і, в свою чергу, А — достатньою умо-
вою В. Якщо справедливе й обернене твердження, що записується у
вигляді В => А, то властивості А та В еквівалентні, і тоді записують
А <=> В (<=> — символ еквівалентності) і читають «для того щоб А,
необхідно і достатньо, щоб В», або «А тоді й тільки тоді, коли В».
Якщо деякий об’єкт має властивість А або властивість В, то за-
писують А V В, а також «Л або В» (V —символ диз'юнкції). За-
пис А \/ В означає, що виконується хоча б одна з властивостей А
або В.
Якщо обидві властивості Л та В виконуються одночасно, то це
записують у вигляді Л Д В, або «Л і В» (Д — символ кон'юнкції).
Запис А означає «не Л», «неправильно, що Л» (”"] —символ
заперечення).
Замість виразу «існує єдиний» будемо вживати знак ЗІ, а за-
•	•	де і
мість виразу «дорівнює за означенням» — знак =.
Математичне твердження можна записати за допомогою логіч-
них символів. У цьому випадку заперечення твердження, яке міс-
тить деяку кількість кванторів V, 3 та властивість В, дістаємо
шляхом заміни кожного квантора V на 3 і 3 на V, а властивість
Р — на її заперечення.
Домовимося про «порядок дій» і встановимо такий пріоритет
щодо символів:
1, А. V. =>. »
б
При такій домовленості співвідношення (А V В) => С запису-
ється у вигляді А V В => С.
Чимало теорем будемо доводити методом від супротивного. При
цьому також використовуватимемо принцип виключення третього,
внаслідок якого вислів А \/ ^4 (А або не 4) вважається істинним
незалежно від конкретного змісту вислову А. Одночасно вважати-
мемо, що *"] (^4) <=> тобто повторне заперечення рівносильне
початковому вислову.
1.2. Позначення, якими користуються в теорії множин. Понят-
тя множини в сучасній математиці є основним. Розроблено аксіо-
матичну теорію, в якій описуються властивості множини \ Ця те-
орія цікава, але досить складна, і ми не будемо висвітлювати її.
Поняття множини вважатимемо первісним, і тому обмежимося
лише зазначенням термінології та необхідними позначеннями.
Самим істотним у понятті множини є акт об’єднання різних пред-
метів в одне ціле. На цьому наголошував основоположник теорії
множин німецький математик Г. Кантор (1845—1918), стверджую-
чи, що множина є багато дечого, мислимого нами як єдине.
Об’єднання різних елементів в одну множину, як правило, здій-
снюється шляхом формулювання деякої характеристичної власти-
вості, якою вони володіють. Множину позначають якою-небудь лі-
терою, наприклад М., Запис а £ М читається такі «а є елементом
множини Л4» або «а з множини М». Запис М 9 х читається так?
«множина М містить елемент х». Якщо елемент х не належить мно-
жині Л4, то записуємо х £ М або М $ х. Запис М = (а, Ь, с, ...} чи-
тається так: «М є множиною, яка складається з елементів а, с і
Рис. 1
т. д.»
Множина може мати лише один елемент, наприклад Л4 = (а).
Якщо Р — властивість, яку мають чи не мають елементи множини
44, то запис Мг = {а £ М | а має властивість Р} читається так- «Л4Х
є множиною всіх тих елементів множини 44, які
мають властивість Р». Символи З називають
знаками належності.
Задаючи множину за допомогою деякої вла-
стивості, можна не знати, чи існують взагалі
елементи, які нею володіють. Тому доцільно
ввести до розгляду множину, яка не має жодно-
го елемента. Її називають порожньою і позна-
чають знаком 0.
Нехай Мі та М — множини. Якщо кожний елемент множини
належить множині 44, то Мг називається підмножиною мно-
жини М (рис. 1). У цьому випадку записують 44 г с: М або М гз Мг
і відповідно читають «множина Мг міститься в множині 44», «мно-
жина М містить множину 44 рх Символи с:, тз називаються знака-
ми включення,.
Множини, які містять одні й ті самі елементи, вважаються рів-
ними. Очевидно, що 44г = М2 о М1 с: М2 /\ М2 а Мг. Якщо в
1 Див.: Бурбаки Н. Теория множеств.— М., 1965.
7
МНОЖИНІ Му € елементи, ЯКІ не ВХОДЯТЬ ДО МНОЖИНИ Л42, ТО Му не
міститься в множині М2, що записується Му ф М2 або М2 ф Му,
Порожня множина є підмножиною будь-якої множини М. Дійсно,
якби було не так, то в порожню множину входив хоча б один еле-
мент х (£М. Але порожня множина не має жодного елемента. Оче-
видно, що завжди М =) Л4, якою б не була множина М.
Надалі будемо користуватися позначеннями:
0 — порожня множина.
ехр М — множина усіх підмножин множини ЛГ,
И — множина усіх натуральних чисел;
— множина усіх невід’ємних цілих чисел;
£ — множина усіх цілих чисел;
(ф — множина усіх раціональних чисел;
0? — множина усіх дійсних чисел;
(Б — множина усіх комплексних чисел.
1.3.	Натуральні числа. Метод математичної індукції. У мате-
матичному аналізі важливу роль відіграє множина — множина
усіх натуральних чисел. У ній визначена операція додавання і ви-
конуються властивості: 1) якщо п £ И, то (п + 1) £	2) якщо дея-
ка множина М містить 1 і з п £ М завжди випливає, що (п + 1) £
£ М, то множина М містить кожне натуральне число. Властивість
2) називається «аксіомою індукції», Б лез Паскаль (1623—1662) впер-
ше запропонував метод доведення, оснований на аксіомі індукції і
відомий як «метод математичної індукції». Суть його полягає ось
у чому. Нехай дано твердження Ль Л2, Л3, ... і доведено дві леми
Паскаля.
Лема 1. Твердження А у істинне.
Лема 2, Для будь-якого п Є И із істинності твердження Ап ви-
пливав істинність твердження Лл-н.
Тоді усі твердження Лг, Л2, ... істинні.
Метод математичної індукції зводиться до аксіоми індукції. Дій-
сно, нехай М = И | Ап виконується). Згідно з лемою 1, 1 £ М.
За лемою 2 п £ М => (п + 1) £ М, Згідно з аксіомою індукції, п £
£ М при всіх п Е Й, тобто усі твердження Ль Л2, ... істинні.
Доведемо, наприклад, V п £ виконання рівності
Р + 22 4- ... + п2 =
п (п + І) (2п + 1)
6
Безпосередньою перевіркою встановлюємо виконання леми 1.
Припускаючи справедливість рівності для маємо
І2 + 22 + ... + л2 + (« + О2 = п (”+ 1)(^2—+ 0 + (« + І)2 =
(п 4- 1) (2п2 4- 7п + 6)	(«4- 1) (я 4- 2) (2я 4- 3)
6	~	6
8
Рис. 4	Рис. 5
Отже, лема 2 також виконується. Методом математичної індукції
формулу (1) доведено.
1.4.	Найпростіші операції над множинами. Нехай та М2—
частини множини Л4.
Означення 1. Перетином множин М.х та М2 називаєть-
ся множина Мх П М2 = {а | а Е Мг /\ а Е М.2}.
У перетин множин Л4і та М2 входять ті і тільки ті елементи, які
належать множинам М2 одночасно (рис. 2). Якщо таких еле-
ментів немає, то кажуть, що множини МА та М2 не перетинаються,
і записують М± ГІ М2 = 0 (рис. 3).
Означення 2. О 6і єднанням множин та М2 назива-
ється множина Мг М2 = {а | а Е V а Є Л42}.
В об’єднання множин Мг та М2 входять ті і тільки ті елементи,
які належать хоча б одній з множин Мх, М2 (рис. 4).
Означення 3. Різницею множин та М2 називається
множина \ М2 = {а | а Е Мх Д а £
У різницю множин Лїл та ТИ2 входять ті і тільки ті елементи мно-
жини Мь які не входять в множину М2 (рис. 5).
Якщо о М2, то різниця \ М2 називається також допов-
ненням М2 в Мг і позначається символом См.М2 (або СМ2, якщо це
не приведе до непорозуміння).
Нехай А — деяка множина індексів і V а Е А задано множину
Ма- Тоді перетин і об’єднання множин Л4а, а Е А, визначаються,
згідно з означеннями 1 та 2, співвідношеннями
сієї
л Ма = {аІУаЕА =^Л4а}а},
а^Д
де!
0 Ма — {а | За0 £А : Л4ао З а}.
а£Л
Нехай £ ехр М, М2 Є ехр М. Тоді виконуються рівності
ССЛ^Л^, СМ = 0, С 0 = Л4,	(1)
С(Л41 0 М2) = СМХ п см2, С(Мг п	и СЛ12. (2)
9
Дійсно, якщо х £ ССЛ4Ь то х 0 СЛ4Х, а тому х £ Мг. Навпаки,
якщо х £ М19 то х ^СМ19 внаслідок чого х £ ССЛ4Х. Таким чином,
ССМі = МР Рівності СМ = 0, С0 =М очевидні.
Доведемо першу з різностей (2) (друга доводиться аналогічно).
Якщо х ( С (Л42 II Л42), то х Ліі А М2, а тому х Мг і х £ М2.
Тоді х £ СЛ4х і х Є СЛ12, внаслідок чого х £ СЖї П СТИ2. Таким чи-
ном, С(Мг А М2) а СЛ4і П СМ2. Нехай у £ СМі П СЛї2. Тоді
у ( С/Иі і у £ СЛЇ2, а тому у £ М± і у М2, у£ Мі А М2. Отже, у 6
€ С (ТИх А Л42). Звідси випливає включення СЛ/Ц А ОИ2 с:
сз С (Л4Г А М2). Таким чином, з одержаних включень маємо пер-
шу рівність в (2).
Властивості, записані рівностями (2), називаються принципом
двоїстості. Цей принцип без труднощів переноситься на довільну
кількість підмножин множини Мі
о о ма — п с /Иа, с а ліа — а с Ма.
а	а	а	а
(3)
З формул (3) бачимо, що символ доповнення С можна міняти
місцями із знаками 0 та А , причому ці знаки переходять один в
одного.
Існує аналогія (схожість) операцій об’єднання та перетину під-
множин однієї й тієї самої множини з операціями додавання і мно-
ження чисел:
для чисел
І)	а + /? = & + а\
Г) аЬ = Ьа\
2)	(а + Ь) + с = а + {Ь + с);
2') (аЬ) с = а (Ьс);
3)	(а + Ь) с = ас + Ьс\
для множин
1)	Ліі II М2 = м2 а Мі;
1') М, А М2 = М2 А Мі;
2)	(Мі а м2) а м3 = м, а
и (М2 и М3);
2') (М. а м2) А М3 = Мі А
А (М2 А М3);
3)	(М2 А М2) А М3 = (М, А
А М3) А (М2 А М3);
4)	0 А Мі = Мі,
5)	М А Мі = Мг
Ця аналогія неповна. Наприклад, а + а = 2а — для чисел,
Мі А Мі = Мі — для множин.
Пропонуємо читачам самостійно довести виконання вказаних
властивостей операцій над множинами.
1.5.	Упорядкована пара та декартів добуток множин. Важли-
вим для математики є поняття упорядкованої пари (х, у), складеної
з елементів однієї й тієї самої множини, або з елементів різних мно-
жин X та У. Основна властивість упорядкованої пари полягає ось
у чому: дві упорядковані пари (хх, Уг) і (х2, у2) вважаються рівними
тоді і тільки тоді, коли Хі = х2та уг = у2. Елементх називається пер-
шою компонентою (координатою) пари (х, у), а елемент у — дру-
гою компонентою (координатою) тієї самої пари. Поняття упоряд-
кованої пари, так само як і поняття множини, можна вважати пер-
вісним, тобто таким, що не потребує спеціального означення, але
його можна звести до поняття множини, покладаючи (х, у) = {х,
10
{х, у}}. Множина {х, {х, у}} складається з двох елементів: «х» та
«{х, у}». При цьому елемент х має властивість х Є {х, у} і його мож-
на назвати першою компонентою пари (х, у).
За допомогою поняття упорядкованої пари вводиться ще одна
операція над множинами — операція прямого або декартового мно-
ження.
Означення. Декартовим добутком множин X та
У називається множина
х X У = {(х, у)\х£Х, у£¥}.
Декартовий добуток двох різних прямих, що перетинаються,
можна ототожнити з площиною, яка проходить через ці прямі, за
правилом «М = (х, у)» (рис. 6). Ця властивість лежить в основі ме-
тоду координат, запропонованого знаменитим французьким мате-
матиком Рене Декартом (1596—1650) для розв’язування геомет-
ричних задач, і пояснює назву множення.
За допомогою методу математичної індукції визначається упоряд-
кований набір п + 1 елементів
Х2, ... , Х/і-|_і) = ((«Х1, Х2, ... , Хп),	п 2,
та декартів добуток множин
X Х2 X ... X = (X} X %2 X ... X Хп) X ХдЦ-і.
1.6.	Бінарне відношення. Проекції та перерізи бінарного від-
ношення. Обернене бінарне відношення.
Означення. Множина Г називається бінарн им відно-
шенням між елементами множин X та У, якщо Г с X X У.
Над бінарними відношеннями можна проробляти не тільки зви-
чайні для множин операції (перетину і об’єднання), але й спеціаль-
ні — проектування та обернення. Першою проекцією бінарного від-
ношення Г сі X X У називається множина
Г\ = прі Г = {х £ X | існує таке у £ У > що (х, у) £ Г}.
Перша проекція бінарного відношення Г складається з усіх
перших координат упорядкованих пар, які належать множині Г
(рис. 7).
Множина Г\ (х) = {у £ У [ (х, у) £ Г} називається першим пе-
рерізом Г за допомогою х (див. рис. 7). Вона складається з других
координат усіх тих точок з Г, в яких перша координата дорівнює
х. Перший переріз є порожньою множиною V х І\.
Другою проекцією бінарного відношення Г сі X X У називаєть-
ся множина
Г2 = пр2 Г = {у С У І існує таке х £ X, що (х, у) £ Г}.
Друга проекція Г — це множина усіх других координат тих
упорядкованих пар, які належать множині Г (рис. 8).
Множина Г2 (у) = {х Є X | (х, у) £ Г} називається другим пере-
різом Г за допомогою у (див. рис. 8). Вона складається з перших ко-
ординат усіх тих точок з Г, в яких друга координата дорівнює у.
Друга проекція є порожньою множиною V у £ Г2.
11
Кожному бінарному відношенню Г можна поставити у відповід-
ність обернене бінарне відношення Г~ за правилом
Г ' = {(</. х) | (х, у) С Г}
(рис. 9). Іноді операцію обернення відношення Г називають опера-
цією транспонування відношення Г.
1.7.	Функціональне бінарне відношення. Функція та найпрос-
тіші поняття, пов’язані з нею. Бінарне відношення Г називається
функціональним, якщо воно не містить різних упорядкованих пар
з однаковими першими координатами. Бінарне відношення Г, зоб-
ражене на рис. 9, не є функціональним, бо до нього входять різні
упорядковані пари з однаковими першими координатами.
Сформулюємо основне означення відображення з множини X в
множину У
Означення 1. Упорядкована трійка множин (X, У, Г) назива-
ється відображенням з множини X в множину У, якщо
Г є функціональним бінарним відношенням між елементами мно-
жин X та У.
Множина X називається областю відправлення відображення,
множина У — областю прибуття відображення, а множина Г —
графіком відображення.
У більшості випадків прийнято позначати відображення якою-
небудь малою латинською літерою, наприклад/. При цьому,замість
/ = (X, У, Г) записують /: X -> У. Якщо відомо множини X та У,
то, згідно з означенням, задання
відображення / рівносильне задан-
ню графіка Г. Ця властивість скла-
дає основу графічного способу за-
дання відображень. Перша проек-
Рис. 7
Рис. 6
Рис. 8
Рис. 9
12
ція графіка відображення / називається областю (множиною) виз-
начення відображення / і позначається або О (/). Друга проекція
графіка відображення / називається областю (множиною) значень
відображення / і позначається Е/ або Е (/). Якщо х £ О; і пара (х, у)
належить графіку відображення /, то елемент у називається значен-
ням відображення / на елементі х і позначається / (х).
Якщо відомо область визначення О/ і значення / (х) V х Є £)^,
то графік Г (/) відображення / будується за правилом
Г (/) = {(*, /(х)) | х СО/}
Ця властивість становить основу найбільш поширеного способу за-
дання відображень: щоб задати відображення /, досить вказати об-
ласті відправлення і прибуття та правило обчислення / (х) V х £
Є
Іноді відображення / будемо записувати у вигляді
Х^/(х), Х^Др
Розглянемо деякі приклади відображень.
Приклад 1. Нехай множини X, У фіксовані і а £ У.
Покладаємо Р/ = X, ( (х) = а V х £ X. Таке відображення називається
сталим. Його графік Г (/) — це множина Г (/) = {(х, а) | х £ X) (рис. 10).
Приклад 2» Нехай задано множину X.
Покладаємо О} = X, / (х) = х V х £ X. Це відображення називається то-
тожним або одиничним і позначається 1Х. Його графік Г (1Х) = {(х, х) | х £ X}
називається діагоналлю декартового квадрата XX X = X3 (рис. 11).
. Ми задали дійсні функції / та §
£ (х) = 8ІП X V X £
Часто область прибуття визначається назвою відображення.
Так, наприклад, виділяють дійсні функції (відображення), комп-
лексні і т. д. Якщо мова
йде про дійсну функцію /,
то областю прибуття є К.
Область відправлення фун-
кції зазначають окремо.
Для задання / досить вказа-
ти область визначення О/
та правило обчислення / (х)
V х £ Наприклад, не-
хай / (х) = зіп х V х С Ж і
я
Г’
дійсного аргументу (відображення з К в К), причому /
Якщо П/ = X, то відображення : Х-> У називається відобра-
женням множини X в множину У і позначається
Якщо!)/ = X, Е} = У, то відображення / : X -> У називається
відображенням множини X на множину У і позначається
на
13
Функція/і — (X, У. Г\) називається звуженням функції / (X, У,
Г), якщо Гг сс Г. У цьому випадку функція ^називається продов-
женням функції /] з множини = пріГ^ на множину О] = пріГ.
Якщо А — множина і А с пріГ, то існує таке звуження Д функ-
ції яке має властивість А = Функція називається зву-
женням функції / на множину А і позначається / |л. Існування зву-
ження функції / на множину А випливає з того, що
Г (А) = {(X, у) | х є А Д (х, у) £ Г}.<
Розглянемо приклади.
Приклад 3. Нехай / (х) — зіп х, —я	х я, А = [0, я].
Тоді і |л (х) = зіп х, х Є А (рис. 12).
Приклад 4. Нехай / (х) ~ х2, х 6 0?, А = [—сю, 0] 0
Тоді і |л (х) = ха, х € А (рис. 13).
Приклад 5. Нехай сі: К К — функція Діріхле, де
(1, якщо х С
(0, якщо х 6 К\Р.
Тоді сі |ф (х) = 1, сі (х) = 0 — звуження функції Діріхле на мно-
жини усіх раціональних та ірраціональних чисел.
Означення 2. Нехай / і X -> У. Для будь-якої підмножини А с:
сі £)/ підмножина множини Е^, що визначається властивістю «іс-
нує такий елемент х £ А, що у = / (х)», називається образом
множини А при відображенні ї і позначається символом ? (Л).
Для будь-якої підмножини А' сі Е) підмножина множини О і,
що визначається властивістю / (х) 6 Л', називається прообра-
зом Л' при відображенні { і позначається символом /-І (Л').
Нехай / : X -> У, 4 с В сО/ і Л' о В' с: Е^. Тоді викону-
ються відношення:
АсіВ=>ЦА)^[(В\	(1)
/(Л п В)С/(Л) п /(В),	(2)
нл и в) = /(Л) и / (В),	(з>
Л'сВ'^Г1 (Л')сГ1 (£').	(4)
14
г' (А’ П в') = г1 (А') л Г’ (В'),	(5)
г‘ (А' о в') = г1 (А') л ґ (В'),	(6)
Г' (В’\А'У = г' (В’)\Г' (А').	(7)
Доведемо, наприклад, рівності (3) та (7). Усі інші відношення
пропонуємо читачам довести самостійно.
Нехай <4 с б с Тоді маємо
У ЄНА 0 В) => 3 х £ А Л В : / (х) = і/ => х £ Д V х£В=>
=>УЄ/(А) \/Ж(В)=>у€/(А) Л /(В)=^/(Д Л В)с/(А) Л /(В).
Навпаки, якщо у 6 / (А) Л / (В), то
УЄ/(А) \/у€/(В)=>ЗхЄД Л В:^ = /(х)=>
=>УЄ/(А Л В)^Ї(А) Л /(В)с/(А Л В).
З останніх двох включень дістаємо рівність (3).
Якщо 4' с б' с Е( і хЕ Г1 (В' \ А'), то
І (х) Є В'\Д' => / (х) 6 В' А / (х) Є А' => х 6 Г1 (В') Д х і Г' (А')
^хеґ (В')\Г’ (А')^Г' (В'\А') сТ1 (В')\Г’ (А').
Нехай х Є Ґ (В') \ Г' (А'). Тоді
х € Г‘ (В') А х Г‘ (А') => / (х) € В’ А /(х) Є А' =>
=> / (х) Є В'\А' => х бГ’ (В'\А') =>
=> Г1 (В')\Г’ (А') С Г{ (В'\А').
Зіставляючи одержані включення, маємо рівність (7).
Наведемо приклад таких двох підмножин Д с В с О/ і функ-
ції / : X -> У, що / (В \ Д) (В) \ / (Д).
Нехай/(х) =х2, О/ - [-1, 11, Д =(о,В =[-4-,4 -
1.8.	Обернена функція. Композиція відображень. Відображен-
ня / = (X, У, Г) називається оборотним, якщо бінарне відношен-
ня Г”1 є функціональним відношенням між елементами множин У
і X. У цьому випадку відображення (У, X, Г”1) називається обер-
неним і позначається /-1. Оборотне відображення / множини X на
множину У називається взаємно однозначним або бієктивним і по-
значаеться
Важливим у математиці є поняття композиції відображень. Не-
хай дано відображення / : X У таср;Т-->Х. Композицію ві-
дображень ф і / записують у вигляді / о ер. Її область визначення
складається з усіх тих значень і £ для яких ф (/) £ Значен-
ня композиції обчислюється за формулою (/ о ф) (?) = / (ф (і)) V і 6
6 О/оф.
15
Розглянемо приклади.
З	' 5
Приклад 1. Дано функцію / (х) ~ х, я < х < -г- я. Знайти функцію,
обернену даній.
Зважаючи на властивості тангенса, відомі з шкільного курсу математики,
функція / строго зростає та приймає усі дійсні значення. Тому обернена функція
4	Г“1 існує і визначена на множині 0?. Виразимо її
1	5	через відомі елементарні функції. Нехай
1	/ Я Я \
------------І Х= (	(//). Оскільки (X-г 2я) 6 І — “9’ “о
____________________________________-2я (і ) і (х — 2я) = х = І (х) = у, го за означен-
7	ням арктангенса х — 2л = агсі£ у. Таким чи-
2	П	ном, (у) = 2я + агсі£ у V у С К (рис. 14).
------------„	Приклад 2. Нехай } : х зіп х, Р; = К,
0-------------------------У ф:	Рф = р6(РІ/>0}.
Рис* 14	Тоді визначена композиція о ф) (/) =
= 8ІП 1£ / V і е Р^вф = рф.
Приклад 3. Нехай / (х) = 1§ х, =» {х С К | х > 0}, Ф (/) — (/ — І) X
X (і — 2)2 0 — З)3, Рф = К. Область визначення композиції / о <р складається
з тих значень / 6 К, для яких ф (/) > 0. Оскільки ф (/) > 0 V 16 Т, де Т =
= (—оо, 1) 0 (3, +оо), то РГоф == Т,
1.9. Параметричне та неявне відображення. Якщо задано відоб-
раження
Т—+У,
то існує відображення X о<^—* У. Його називають заданим пара-
метрично за допомогою відображень <р та ф. При цьому змінна
і С Т називається параметром.
Нехай X У, Ь £ У — деякий елемент множини У, і потрібно
вказати множину усіх тих елементів х £ X, які задовольняють умо-
ву / (*) = Ь, тобто відшукати прообраз Г1 (6). Іншими словами,
потрібно розв’язати рівняння / (х) = Ь.
Розглянемо відображення X х У О, а також рівняння
Р (х, у) = с,
(1)
де с Є О — деяка точка. Може трапитися, що для кожного х £ X
існує єдиний елемент у = [ (х) 6 У такий, що Р (х9 } (х)) = с. Тоді
рівняння (І) визначає на множині X X У функцію X У. При
цьому / називається неявною функцією, заданою рівнянням (1).
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Визначити функцію х у (х), задану параметрично відображен-
нями
х агсі£ І, у — агссі£ /, £>=£>= К -
ЗС	с/
З властивостей арктангенса та арккотангенса маємо
л	л
2 <С х <С 2 ’ 9 <С у
Л	ЗІ
Оскільки І = X, то у (х) = агссі£ (І£ х) =	----X,-----Т- < X
16
Приклад 2. Нехай X = У = К, Р = К2 -► 0? де Р (х, у) = у2 — х2 — у 4-
-І- х. Тоді рівняння Р (х, у) = 0 визначає на множині Е = {х £ К | -у х <С
< 4-оо) неявну функцію у — х.
Вправи
1.	Довести, ЩО (/ О ф) О Ф = І о (ф о ф).
2.	Нехай / : X -+ У. Довести, що / о 1Л = /, 1у о / = /.
3.	Навести приклад таких відображень / та ф, щоб / о ф =/= ф © Д
4.	Нехай X У. Довести, що / о = 1у та о ( = 1Х.
5.	Бієкція М <-► М називається симетрією, якщо = /. Довести, що
будь-яку бієкцію множини на себе можна зобразити як композицію двох симетрій.
6.	Побудувати графік функції у = у (х), якщо х — а соз /, у = Ь зіп /, 0
і л.
7.	Довести, що існує неперервна функція х н*- у (х),	= (—оо, +оо), яка
задовольняє рівняння Кеплера у — е зіп у = х (0 е < 1).
1.10. Рівнопотужні множини. Скінченні та нескінченні множи-
ни. Зчисленні множини. Нехай потрібно встановити, чи однакова
кількість стільців і студентів у лекційній аудиторії. Це можна зро-
бити двома способами. По-перше, можна перелічити окремо сту-
дентів та стільці, а потім порівняти між собою одержані результати.
Цей спосіб використовується на практиці при складанні розкладу
занять. Однак ним неможливо скористатися при перевірці, чи одна-
кова кількість елементів у множинах натуральних та раціональ-
них чисел.
Інший спосіб полягає у тому, що студентам пропонують зайняти
місця в аудиторії і перевіряють, чи є вільні стільці або студенти,
яким не вистачило стільців. Якщо випадково виявиться, що усі сту-
денти сидять і на кожному стільці сидить лише один студент, а віль-
них стільців немає, то кількість студентів та стільців однакова. Роз-
глянемо цю ситуацію з математичної точки зору. Нехай X — множи-
на стільців в аудиторії, ¥ — множина студентів. Визначимо відоб-
раження / : X -> У, узявши за область визначення множину тих
стільців, на яких сидять студенти, і за значення відображення / (х)
при х 6 £>/ того студента, який сидить на стільці х. Описаній вище
ситуації відповідає випадок оборотного відображення / множини
X на множину ¥. Таким чином, дістали універсальний метод пере-
вірки гіпотези «кількість елементів у множинах X та ¥ однакова».
Г. Кантор запропонував назвати множини з однаковою кількістю
елементів рівнопотужними.
Означення 1. Множини X та ¥ називаються рівнопотуж-
ними, якщо існує оборотне відображення множини X на мно-
жину ¥.
Теоретично можливі два випадки: 1) множина Хг не рівнопотуж-
на множині X усякий раз, як тільки сі X і X; 2) існує
така множина Х19 рівнопотужна множині X, що Хг с= X і Хг =#= X.
У випадку 1) множина X називається скінченною, у випадку 2) —
нескінченною. Цілі невід’ємні числа можна було б визначити як
42  .	* V. 17
«потужності» скінченних множин. Але на цьому зупинятися не бу-
демо.
Найпростішим і в той самий час класичним прикладом нескін-
ченної множини є множина — множина усіх натуральних
чисел.
Теорема 1. Множина И нескінченна.
4 Позначимо через 2^ множину всіх парних натуральних чисел.
Покладемо О; = ^| і / (л) = 2л V п 6 ^]. Оскільки відображення /
оборотне та = 2^» то множини і 2^ рівнопотужні. Крім того,
2^ с N і 2^ Ф И- ►
Означення 2. Множина X називається зчисленною, як-
що вона рівнопо тужна множині
Означення 3. Множина X не більш н і ж з ч и с л е н н а,
якщо вона скінченна (у тому числі й порожня) або зчисленна.
Означення 4. Відображення И X називається послідов-
ністю точок множини X. Якщо хп — [ (п) V п то по-
слідовність позначають символом (хп),ахп називають її п-членом.
Таким чином, множина X є не більш ніж зчисленною, якщо іс-
нує така послідовність (хп), що V х £ X Зл Е хп = х.
Нехай (Хп) — послідовність множин. Позначимо їх об’єднання
через 0 Хп.
п=1
Теорема 2 (Кантора). Нехай X = ЦІ Хп. Якщо кожна множина
п—ї
Хп не більш ніж зчисленна, то множина X також не більш ніж
зчисленна.
◄ Нехай при кожному п Е И серед членів послідовності хі,п, х^п, •••
зустрічаються усі елементи множини Хп. Побудуємо нову послі-
довність хід, хі,2, х2,і, хі.з» х2.2, хз.і, • •• • Її перший член має су-
му індексів, яка дорівнює 2, далі йдуть два члени з сумою індексів,
що дорівнює 3, потім ідуть члени з сумою індексів, що дорівнює
4, І Т. Д. Зрозуміло, ЩО кожен член Хт.п, який має суму індексів
т + и, зустрічається в цій послідовності. Тому в послідовності зу-
стрічається кожний елемент множини X, внаслідок чого ця множи-
на не більш ніж зчисленна. ►
Вправи
1.	Довести, що множини 2? і ї? зчисленні.
2.	Число х називається алгебраїчним, якщо існують такі п £ N і цілі числа
а0, а19 .... ап, що + а1хп~ї + ... + ап = 0. Довести, що множина алгебраїч-
них чисел зчисленна.
3.	Точка (х, у) площини О?2 називається раціональною, якщо х 6 © А У €
Довести, що множина раціональних точок площини зчисленна.
4.	Довести, що множина всіх послідовностей, складених з чисел 0 і 1, незчис-
ленна.
5.	Нехай X — множина, ехр X — множина усіх підмножин множини X. До-
вести, що множина ехр X не рівнопотужна множині X (теорема Кантора).
6.	Нехай X та У — множини. Якщо існують множина Хх с: X, рівнопотуж-
на множині У, і множина Ух ст У, рівнопотужна множині X, то множини X і У
рівнопотужні. Довести це (теорема Кантора — Бернштейна).
18
1,11. Відношення еквівалентності. Нехай Е— множина, Всі
сі В2 — бінарне відношення.
Означення. Бінарне відношення В називається відношен-
ням еквівалентності в множині Е, якщо воно рефлек-
сивне, симетричне та транзитивне:
\/ (а£Е, Ь^Е, с£Е)
1) (а, а) 6 В; 2) (а, Ь) £ В => (&, а) £ В;
3) (а, Ь)£В /\(Ь, с)£В^(а, с)£В.
Для позначення властивості (а, і>) Є В користуються знаком ек-
вівалентності ~ і записують а ~ Ь. Тоді характеристичні властиво-
сті 1) — 3) запишуться так:
1) а ~ а (рефлексивність)*, 2) а ~ Ь=> Ь~ а (симетричність);
3) а ~ Ь Д Ь ~ с => а ~ с (транзитивність).
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Відношення В - ЕХ Е є повним відношенням еквівалентності
на Е.
Приклад 2. Відношення рівності або діагональ В — {(аь 6^), (а2,	•••» (ап>
ап), ...} на довільній множині Е є відношенням еквівалентності.
Приклад 3. Нехай Е — множина усіх прямих на площині.
Тоді В = {(а, Ь) | а 6 Е, Ь £ Е /\ (а = Ь, або а П 6 — 0} (відношення па-
ралельності) є відношенням еквівалентності.
1.12. Класи еквівалентності. Фундаментальна й важлива влас-
тивість відношення еквівалентності в Е полягає в тому, що вона
дає змогу встановити розбиття * 1 множини Е на частини, які нази-
ваються класами еквівалентності.
Означення. Нехай Е — множина, на якій визначено відношення
еквівалентності. Класом еквівалентності назива-
ється будь-яка підмножина А сі Е, складена з елементів, еквіва-
лентних деякому заданому елементу а.
Якщо а £ А, (і Є А, то а ~ р за властивістю транзитивності.
Нехай Ь С Е \ А і В — множина усіх елементів з Е, еквівалент-
них Ь. Тоді множини А та В не перетинаються. Дійсно, якби існу-
вав такий елемент с £ Е, що с £ А П В, то мали б, що а ~ с Д Ь ~
~ с і а ~ Ь всупереч припущенню Ь £ А. Перебираючи в такий спо-
сіб' усі елементи з Е, дістаємо розбиття Е на класи еквівалентності.
Клас еквівалентності визначається за допомогою будь-якого
елемента з цього класу. Наприклад, між раціональними числами
1 Систему 5 непорожніх підмножин даної множини Л4 називають її розбиттям,
якщо кожний елемент з М належить одній і тільки одній підмножині з 5, тобто
якщо:
1) X Е 5 => X с М (кожний елемент з 5 е підмножиною множини М);
2) X £ 8 => X 0 (кожний елемент з 5 — непорожня множина);
З^ХСЕДУбЕДХ^У^ХЛ У — 0 (елементи з 5 не перетина-
ються);
4) М = Ц X/ Д Х( £ 5 (об’єднання всіх елементів з 5 дорівнює множині Л4,
і
тобто кожний елемент з М належить одній з підмножин розбиття 5).
19
встановимо відношення еквівалентності таким чином: — ~ як-
я я
що рд' = др'. Відповідний клас еквівалентності називається раціо-
нальним числом.
§ 2.	Відношення порядку. Поняття
частково упорядкованого простору
Нехай дано множину М. Бінарне відношення а аі М х Лї на-
зивається відношенням часткового порядку на множині М, якщо ви-
конуються такі умови:
1)	V а 6 М (а, а) Є о (умова рефлексивності відношення о);
2)	((а, Ь) £ а Д (&, а) а) => (а = Ь) (умова антисиметричності
_____________ _______ відношення о); 3) (а, Ь)£ о /\ (Ь, с) £
х у М £	(а, с) Є а (умова транзитивності
Рис. 15	відношення а).
Якщо а є бінарним відношенням част-
кового порядку на множині М, то будемо записувати а Ь, або
Ь а, замість (а, Ь) £ о. Тоді умови 1) — 3) можна записати більш
звично:
1') Уа£М а^.а\	2') а^Ь /\ Ь^.а=>а = Ь\
З') а^Ь Д Ь^с=>а^с.
Упорядкована пара £2 = (Л4, а), яка складається з множини М
та відношення о часткового порядку на множині Л4, називається
частково упорядкованим простором. Елементи множини М у
називаються точками частково упорядкованого простору
£2. Кожна підмножина множини М називається множиною
у просторі £2. Точки хг £ М і х2£ М називаються порів-
нянними, якщо х2 або х2 у протилежному ви-
падку вони називаються непорівнянними. Частково упо- І
рядкований простір £2 = (М, о) називається упорядкованим	І
простором, якщо в ньому відсутні непорівнянні точки.	(
У цьому випадку бінарне відношення а називається від- |
ношенням порядку.	Рис. 16
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Нехай М — <5 — множина усіх раціональних чисел. Відношен-
ня о визначимо так: (гь г2) 6 о г2 —	0. Пара (ф, о) є упорядкованим прос-
тором раціональних чисел, а точка цього простору є раціональним числом.
Приклад 2. Нехай М — множина, ехр М — множина усіх підмножин мно-
жини М. Визначимо відношення о за правилом (х, у) £ а <=> х с: у. Відношення а
є відношенням часткового порядку, а пара (ехр М, а) — частково упорядкованим
простором. Точка цього простору є підмножиною множини М. Покажемо, що не всі
точки цього простору порівнювані між собою. Нехай множина М містить два різ-
них елементи а та Ь. Розглянемо множини х == {а}, у = {6}. Вони є точками прос-
тору Й, причому непорівнюваними між собою. Таким чином, простір О не є упо-
рядкованим.
Приклад 3. Нехай множина М — горизонтальна пряма на площині. Визна-
чимо відношення а за правилом (х, у) Е о <=> (точка х міститься не правіше точки
у) (рис. 15). Відношення о є відношенням порядку, а пара (ЛІ, а) — упорядко-
ваним простором (він називається горизонтальною прямою, упорядкованою зліва
направо). Точкою цього простору є точка горизонтальної прямої.
20
Приклад 4. Нехай М — вертикальна пряма на площині. Визначимо відно-
шення о за правилом (х, у) 6 о <=> (точка х міститься не вище точки у) (рис. 16).
Відношення а е відношенням порядку, а пара (М, о) — упорядкованим простои
ром, який називається прямою, упорядкованою знизу вверх. Точкою цього прос-
тору є точка вертикальної прямої.
Якщо й = (Л4, а) — частково упорядкований простір, то можна
впевнитися в тому, що обернене відношення о-1 є також відношен-
ням часткового порядку. Тоді пара (Л4, а-1) є частково упорядкова-
ним простором. Він називається протилежним по відношенню до
Й і позначається й~*.
§ 3.	Верхня та нижня межі множини
в частково упорядкованому просторі
3.1.	Визначення меж множини. Нехай й = (Л4, а) — частково
упорядкований простір, який будемо називати простором, а X —
деяка множина у цьому просторі, тобто X сг Л4. Елемент х Є X на-
зивається найбільшим елементом множини X, якщо V х 6 X х х.
Елемент х £ X називається найменшим елементом множини X, як-
що V х £ X х х.
Якщо Й — упорядкований простір, то будь-яка непорожня скін-
ченна множина має як найбільший, так і найменший елементи.
У нескінченних множин найбільший та найменший елементи існу-
ють зрідка. Тому виникає необхідність їх узагальнення.
Нехай X — непорожня множина в частково упорядкованому
просторі Й = (М, о). Елемент х £ М називається мажорантою
множини X, якщо V х £ X х х. Якщо множина X має мажоран-
ту, то вона називається обмеженою зверху. Найменша мажоранта
множини X, якщо вона існує, називається верхньою межею множи-
ни X і позначається зир X.
Введемо поняття міноранти непорожньої множини X с М.
Елемент х £ М називається мінорантою множини X, якщо
V х С X х х. Якщо множина X має міноранту, то вона назива-
ється обмеженою знизу. Найбільша міноранта множини X, якщо
вона існує, називається її нижньою межею і позначається іпї X.
Таким чином, мінорантою непорожньої множини X в частково упо-
рядкованому просторі й є будь-яка її мажоранта в просторі й~>
а іпї X у просторі Й збігається з зир X у просторі й~.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Нехай Й — горизонтальна пряма, упорядкована зліва направо.
Множина X точок прямої, розташованих між точками А і В (Л < В), де А £ X,
В $ X, не має найбільшого елемента, але має верхню межу зир X = В. Ця множи-
на має найменший елемент, що дорівнює Л, і одночасно має іпї X = А (рис. 17).
Приклад 2. Множину X з прикладу І розглянемо як самостійний упорядко-
ваний простір. У ньому множина X не має верхньої межі (оскільки точка В не на-
лежить простору X) і одночасно не має найбільшого елемента.
Приклад 3. Нехай М — множина і Й = (ехр Лї, с). Точка х вказаного упо-
рядкованого простору є частиною множини ЛГ Нехай X — множина точок прос-
тору Й. Вона є сукупністю деяких частин множини М, Знайдемо зир X. Нехай х —
21
Л В
Рис. 17
мажоранта множини X. Тоді V х С X х х.
Нерівність х х означає включення х сг х. Та-
ким чином, будь-яка мажоранта множини X по-
винна містити усі точки з множин, які входять
в X. Якщо множина х не містить ніяких інших елементів, крім вказаних, то вона
є найменшою мажорантою, тобто х — зир X. Отже,
зир X = {а £ М | ^х 6 X : а £ х}.
Ця множина позначається символом 0 х (читається: «об’єднання усіх множин х,
х£Х
що належать X», або «об’єднання множин х 6 X»). Таким чином, зир Х = Ц х.
х£Х
Знайдемо нижню межу множини X. Нехай х — міноранта множини X. Тоді
V х £ X х х, що на мові множин означає включення х сз х. Кожна точка мі-
нор анти множини X обов’язково міститься в будь-якій множині X е х. Якщо вклю-
чити в х усі вказані точки, то знову дістанемо міноранту, причому найбільшу і,
отже, рівну іпї X. Таким чином, маємо
іпГ X = {а 6 М | а £ х Ух£Х}«
Цю множину інакше називають перетином усіх множин х £ X і позначають Г) х.
х£Х
Отже, іпі X = П х.
хЄХ
Існування верхньої межі довільної непорожньої множини в просторі (ехр М,
с:) е важливою властивістю, яку надалі називатимемо повнотою простору. Нею
користуються в теорії множин.
3.2.	Основні властивості меж множин. Нехай Я = (Л4,	—
упорядкований простір і X сі М.
Теорема 1 (про зв’язок між найбільшим елементом та верхньою
межею множини). Нехай х — найбільший елемент множини X.
Тоді ця множина має верхню межу і х ~ зир X.
4 Оскільки х — найбільший елемент, то V х £ X х х. Згідно
з означенням, елемент х є мажорантою множини X. Нехай х* —
довільна мажоранта множини X. Тоді V х С X х х*.
З того, що х Є X, випливає нерівність х х*. Отже, х —
А1
X
найменша мажоранта множини X і за означенням х =
= зир X. ►
Доведена теорема свідчить про те, що верхня межа
множини узагальнює поняття найбільшого елемента. Якщо
множина має верхню межу, то вона не обов’язково має най-
більший елемент. Візьмемо, наприклад, вертикальну пря-
Рис. 18 му, упорядковану знизу вверх (рис. 18). Зафіксуємо на
ній точку А і розглянемо множину X, в яку входять усі
точки прямої, розміщені нижче точки А. Ця множина не має най-
більшого елемента і разом з тим зир X = А.
Пояснимо зміст теореми 1 з точки зору відображень. Точку зир X
можна розглядати як значення відображення «зир» на множині X.
Теорема 1 вказує, що це відображення продовжує відображення,
задане на множинах з найбільшим елементом, яке ставить їм у від-
повідність цей елемент.
Теорема 2 (про перехід до верхньої межі в нерівностях). Нехай
V х С X х Ь. Якщо множина X має верхню межу, то зир X
22
◄ 3 умови теореми випливає, що точка Ь є мажорантою множи-
ни X, Оскільки зир X — найменша мажоранта, то зир X Ь. >
Ця теорема встановлює той факт, що коли оцінка зверху вико-
нується для будь-якої точки множини X, то вона виконується і для
її верхньої межі.
Теорема 3 (про перехід до нижньої межі в нерівностях). Не-
хай V х £ X х а. Якщо множина X має нижню межу, то іпї X
а.
Доведення випливає з теореми 2 при застосуванні її до множини
X у просторі Й“.
Теорема 4 (про монотонність верхньої межі). Нехай Хс:¥ а
сі М. Якщо множини X і У мають верхні межі, то зир X зир V.
◄ Нехай Ь = зир У. Тоді V у £ У у ^.Ь. Оскільки X с: У, то
V х £ X х Ь. Згідно з теоремою 2, зир X ►
Дамо пояснення походження назви останньої теореми. У част-
ково упорядкованому просторі (ехр Л4, сі) умова X с¥ означає,
що множина X менша або дорівнює У. Теорема 4 стверджує, що
зир X зир У, коли множини X та У узято з області визначення
відображення «зир». Це означає, що відображення «зир» є неопад-
ним (більшому аргументу відповідає більше значення функції).
Зауважимо, що з метою спрощення термінології свідомо допуска-
ється неточність, яка полягає в тому, що не можна говорити про мо-
нотонність відображення з множини в множину, але можна гово-
рити про монотонність відображення з частково упорядкованого
простору йх — (Лір ^ї) в частково упорядкований простір Й2 =
= (М2, <^2)> розуміючи під таким відображенням упорядковану
трійку (Йь й2, Г), де Г с Мх х М2 (Г — функціональне відно-
шення), і зберігаючи поняття області існування та значення відоб-
раження (Л4Х, Л42, Г). При цьому характер монотонності зміниться,
якщо Йх (або й2) замінити на (або ЙГ)« Ця обставина використо-
вується у випадках, коли з теорем про неспадні відображення діс-
таємо теореми про незростаючі відображення. Коли мова йде про
монотонність відображення (Л4Х, Лї2, Г), то розуміють під цим мо-
нотонність відповідного відображення (йх, й2, Г).
Теорема 5 (про монотонність нижньої межі). Нехай X с= У сг
с: Л4. Якщо множини X та У мають нижню межу, то іпї X
> іпї У.
Доведення випливає з теореми 4 при застосуванні її до множин
X і У у просторі ►
Вправи
1. Візьмемо аркуш паперу. Нехай це буде множина Л4. Роглянемо частково
упорядкований простір (ехр М, с:). Його точками будуть довільні множини, зо-
бражені на аркуші. Намалювавши якІ-небудь дві точки (тобто якісь дві фігури) на
аркуші, дістанемо множину X. Знайти її верхню та нижню межі.
2. Знайти
а) $ир {х 6 0? | 0 х 1); б) зир {х Е К | 0 х < 1};
в) зир X, X = (0, 1) 0 (0, 2).
23
§ 4.	Топологія упорядкованого простору
4.1	< Спеціальні множини в упорядкованому просторі. Нехай
дано упорядкований простір й = (Л4, а). Розглянемо в ньому деякі
спеціальні множини.
1.	Сегмент [а, Ь], а Ь. Так називають множину {х £ М |
х Ь}. При цьому запис а х Ь означає, що (а, х) £ а Д
Л (*, 6) є а.
2.	Інтервал (а, Ь) = {х £ М | а < х < Ь}. Його можна дістати
з сегмента [а, 6] шляхом вилучення точок а та Ь.
3.	Напівінтервали [а, Ь) = {х £ М | а х < &}, (а, Ь\ = {х£
£ М | а < х &}.
4.	Промені {х Е М | х < а), {х Є М | х < а}, {х £ М | х > а),
{х £ М | х > а). Перші два промені називаються лівими, інші
два — правими. Точка а називається початком променя. Якщо про-
мінь містить свій початок, то він називається замкненим, в іншому
випадку — відкритим.
Усі вказані вище множини називаються проміжками простору
й. Наприклад, проміжками в упорядкованих просторах й =
О та й = (^, є множини
{хб№1*>2}, {хСИ|х>2}, {хЕИ 11 <х<5},
{хЄгі —7<х<3], {хШ-4<х<8}, {х€^|х< 10},
{х€£ Іх< 10), {хС^Іх^ —5), {хЄ^|х< —5).
4.2	Поняття околу точки упорядкованого простору. Відкрита
та замкнена множини, топологія. Введемо до розгляду поняття око-
пу точки х0.
Означення 1. Нехай х0 — найбільша
точка простору й. Множина ОХо назива-
ється околом точки х0, якщо існує
така точка а£ М, що а < х0 Д (а, х0] с
с: ОХо (рис. 19).
Означення 2. Нехай х0 — найменша
точка простору й. Множина Ох. назива-
ється околом точки х0, якщо існує
така точка Ь £ М, що х0 <6 Д |х0, Ь) с
с= ОХо (рис. 20).
Розглянемо тепер випадок, коли х0 не
є ні найбільшою, ні найменшою точкою простору Й.
Означення 3. Множина 0Хо називається околом точки
х0, якщо існують такі точки а та Ь з М, що а < х0 <6 Д (а, Ь) с
с Ох. (рис. 21).
Означення 4. Множина О називається відкритою в про-
сторі й, якщо вона або порожня, або є околом кожної своєї точки.
Сукупність усіх відкритих множин називається тополо-
гією простору й (порядковою топологією).
Означення 5. Множина Р називається замкненою, якщо
її доповнення, тобто множина О = М \ Р, відкрите.
Нехай дано множину X у просторі Й і точку х0 £ М.
24
Означення 6. Точка лг0 називається внутрішньою пг о ч -
кою множини X, якщо остання єоколом цієї точки. Точка х$
називається точкою дотикання множини X, якщо
в будь-якому її околі знайдеться точка з множини X.
Вправи
1.	Упевнитися в тому, що: а) хо£ОЖодля будь-якого околу ОХо точки х0;
б) перетин будь-яких двох околів точки х0 е околом цієї точки; в) ЯКЩО V => ОХо
і — окіл точки х0, то множина І/ також е околом цієї точки.
2.	Нехай т (Й) е топологією (порядковою топологією) простору Й. Довести,
що т (й-*) = т (Й).
3.	Довести, що перетин двох відкритих множин є відкритою множиною.
4.	Довести, що об’єднання будь-якої множини відкритих множин є відкритою
множиною.
5.	Навести приклад множини відкритих множин, перетин яких не е відкри-
тою множиною.
6.	Які проміжки являються: а) відкритими; б) замкненими?
7.	Вказати точки дотикання множини X, якщо: а) X = (а, Ь)\ б) X = (а, 6);
в) Х = [а, Ь] Ц {с}, с $ [а, &].
8.	Вказати усі внутрішні точки множини X з прикладу 7.
9.	Довести, що множина 6 відкрита тоді і тільки тоді, коли усі її точки внут-
рішні.
10.	Довести, що множина Г замкнена тоді і тільки тоді, коли вона містить
усі свої точки дотикання.
11.	Довести, що множина усіх точок дотикання даної множини X, яка нази-
вається замиканням множини X, є замкненою множиною.
12.	Довести, що перетин будь-якої множини замкнених множин є замкненою
множиною.
13.	Довести, що об’єднання двох замкнених множин є замкненою множиною.
14.	Побудувати приклад множини замкнених множин, об’єднання яких не е
замкненою множиною.
§ 5.	Топологічна властивість меж
множини. Повні простори
5.1.	Топологічна властивість меж множини. Найбільший еле-
мент множини, якщо він існує, має дві властивості: належить мно-
жині та є його мажорантою. Щось подібне можна сказати і про
верхню межу множини.
Теорема (про топологічну властивість верхньої межі). Точка
х0 є верхньою межею непорожньої множини X тоді і тільки тоді,
коли вона одночасно є її мажорантою і точкою дотикання.
◄ Необхідність. Нехай х0 = зир X. За означенням точка х0 є ма-
жорантою множини X. Доведемо, що вона також є і точкою доти-
кання. Візьмемо довільний окіл О- точки х0 і, згідно з означення-
ми 1—3, п. 4.2, розглянемо три випадки.
І.	Точка х0 — найбільша у просторі Й. У цьому випадку знай-
деться така точка а £ М, що а < х0 Д (#> с: О- (рис. 22). За
означенням верхньої межі точка а не є мажорантою множини X.
Тому існує таке ха Є X, що ка > а. Внаслідок цього ха 6 (а, х0] с:
25
с: О- , тобто ха £ 0- . За означенням х0 е точкою дотикання мно
жини X.
II.	Точка х0 — найменша у просторі £2. Оскільки за означенням
мажоранти V х Є X х х0, то цей випадок можливий лише тоді,
коли X = {х0} (рис. 23). У цьому випадку х0 £ X і тому є точкою
дотикання множини X.
III.	Точка х0 не є ні найбільшою, ні найменшою точкою просто-
ру £2. У цьому випадку існує такий інтервал (а, Ь), що х0 £ (а, Ь) Д
Д (а, Ь) с: (рис. 24). Оскільки а < х0, то знайдеться така точ-
ка ха, що а < ха х0. Отже,
Рис. 22 Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25
ха € (а, М с О- і за означенням
х0 — точка дотикання множини X.
Достатність. Нехай х0 — ма-
жоранта і точка дотикання мно-
жини X. Розглянемо множину X
усіх мажорант множини X. До-
ведемо, що х0 — найменший еле-
мент множини X. Припустимо, що
насправді це не так. Тоді існує
таке хг £ X, ЩО *і < *0, а правий
відкритий промінь з початком у
точці хг є околом точки х0.
Тому існує така точка х Є X, що х >
> хг За означенням мажоранти V х в X х хг Дістали проти-
річчя. Отже, х0 — найменша серед усіх точок множини X і за
означенням х0 = зир X. ►
Наслідок. Точка х0 є нижньою межею непорожньої мно-
жини X тоді і тільки тоді, коли вона е одночасно її мінорантою та
точкою дотикання.
◄ Доведення випливає з теореми, якщо множину X розглянути в
протилежно упорядкованому просторі £Г~. ►
5.2.	Повнота упорядкованого простору.
Означення. Упорядкований простір £2 (а також частково упо-
рядкований простір £2) називається повним, якщо в ньому кож-
на непорожня й обмежена зверху множина X має верхню межу.
Теорема /. У повному упорядкованому просторі £2 кожна непо-
рожня, замкнена й обмежена зверху множина X має найбільший
елемент.
< Оскільки простір £2 повний, то існує зир X = х. За теоремою
п. 5.1 х є точкою дотикання множини X, а внаслідок її замкненос-
ті х^Х. Згідно з означенням, х— найбільший елемент множини
Теорема 2. У повному упорядкованому просторі £2 кожна непо-
рожня й обмежена знизу множина X має нижню межу.
4 Нехай X — множина усіх мінорант множини X (рис. 25). Вона
непорожня й обмежена зверху. Внаслідок повноти простору £2 іс-
26
нує х0 = зир X. Доведемо, що х0 = іпГ X. Оскільки V (х 6 X, х £ X)
х х, тох0 = зир X <1 хдля всіх х £ X. Ця нерівність показує, що
точка х0 є мінорантою множини X. Нехай хг — міноранта множи-
ни X. Тоді Хі £ X і хх зир X == х0. Отже, х0 є найбільшою
точкою множини X, і тому х0 = ІПІ^Х. ►
Наслідок 1. Якщо простір й повний, то й простір й~ та-
кож повний.
Наслідок 2. У повному упорядкованому просторі кожна
непорожня, замкнена й обмежена знизу множина мав найменший
елемент.
Зауважимо, що найбільш важливим з доведених тверджень є
наслідок 1, який надалі використовуватимемо при доведенні тео-
рем шляхом переходу з повного упорядкованого простору й в та-
кий самий простір й“
Вправи
1.	Довести, що множина усіх мажорант даної множини е замкненою.
2.	Довести, що множина усіх мінорант даної множини замкнена.
3.	Множина £> називається множиною Дедекінда (верхньою множиною Де-
декінда), якщо х £ О кожного разу, як тільки можна знайти такеХї 6 О, що хг х.
Довести, що простір Й є повним тоді і тільки тоді, коли кожна обмежена знизу мно-
жина Дедекінда є променем.
4.	Чи буде повним упорядкований простір, якщо в ньому кожна замкнена
обмежена зверху непорожня множина має найбільший елемент?
5.	Нехай Й — упорядкований простір. Довести, що його можна поповнити,
тобто до наявних точок простору й можна додати нові точки, визначити нерівність
на одержаній множині точок так, щоб відповідний простір Й виявився повним.
При цьому смисл нерівності в просторах Й, й повинен бути одним і тим самим у
випадку, коли хх та х2 є точками простору Й.
§ 6. Послідовність, її границя
та порядкові властивості границі
6.1. Означення границі послідовності. Нагадаємо (див. озна-
чення 4, п. ЇЛО), що послідовністю (хл) елементів множини X нази-
вається відображення X, де хп = / (п) V п £ И є я-м членом
послідовності. Іноді послідовність позначають (хп)пєи абохг, х2, ... .
Означення 1. Точка х0 називається границею послі-
довності (хл) точок упорядкованого простору й, якщо для
будь-якого околу ОХо цієї точки можна вказати такий номер п0 Є
Є Щ° V п Пц хп С ОХа- При цьому записують х0 = Ііт хп.
Упевнимося, наприклад, у тому, що в упорядкованому просторі
раціональних чисел 0 = Ііт —. Візьмемо довільний окіл нуля О0.
П-ЮО П
Знайдеться такий інтервал (гх, г2), що 0 Є (гь г2) сг О0. За означен-
ням строго додатного раціонального числа знайдуться такі нату-
27
ральні числа р та 7, що г2 = —. Нехай п0 = д 4- 1 і п ;> п0. Тоді
Отже, 0 = Іігп —.
п
Іноді використовують інше, еквівалентне даному, формулюван-
ня означення границі послідовності (хп):
(х0 = Неп хп) о (V 0Ха множина {п £ І хп $ ОХо} скінченна),
що читається так: поза будь-яким околом точки х0 є лише скінчен-
на кількість членів послідовності (хп).
6.2. Порядкові властивості границі послідовності. Зазначимо
деякі властивості границі послідовності в будь-якому упорядкова-
ному просторі.
Теорема 2. Нехай х0 = Ііт хп. Якщо Хц < Ь, то існує такий
номер п0 £ И, ЩО V п п0 хп < Ь.
◄ Лівий відкритий промінь з початком у точці Ь е околом точки
*о- ►
Теорема 2. Нехай х0 = Ііт хп. Якщо а < х0, то існує такий
номер Пц £ Ц, що V п гіц а <. хп.
Ч Правий відкритий промінь з початком у точці а є околом точки
х0. ►
Теорема 3. Нехай х0 = Ііт хп, у0 = Ііт уп. Якщо х0 < Уь> то
існує такий номер п0 Е що\ п0 хп < уп-
◄ Розглянемо інтервал (х0, у0). Якщо він порожній (рис. 26), то
за теоремою 1 при Ь = у^ знайдеться такий номер щ £ що V п
п± хп< Уоіхп^.х0. Аналогічно за теоремою 2 знайдеться такий
номер п2 Е И, V п п2 х0 < і Уо^ Уп- Позначаючи через
більший з номерів щ та п2і дістаємо, що	*п^ Хо<Уо^
< уп, тобто V и > п0 хл < Уп-
Нехай інтервал (х0, у0) непорожній і а Е (х0> Уо) (рио. 27). Ос-
кільки х0 < а, то за теоремою 1 знайдеться такий номер щ Е [^, що
V п щ хп <а. Аналогічно за теоремою 2 знайдеться такий но-
мер п2 Е [^, що V п п2 а< уп. Позначаючи через п0 більший з но-
мерів п2, дістаємо \/п >и0 нерівності хп <. а<Суп, тобто хп <
< Уп- ►
Наслідок 1 (єдиність границі). Якщо послідовність (хп)
має границю, то вона єдина.
4 Нехай х0 = Ііт хл, #0 = Нт хд. Згідно з теоремою 3, нерівність
х0 < Ув неможлива. Внаслідок рівноправності х0 та у0, нерівність
Уь < х0 також неможлива. Отже, х0 =» у0. >
•	  -О	о—
^0	Уо
Рис. 26
а
-О ' о
х0
Рис. 27
28
Наслідок 2 (перехід до границі в нерівностях). Нехай
Уп для нескінченної множини значень п. Якщо х0 == Ііт хЛ,
Уь = Ііт уп, то х0 < у^.
◄ Припустимо, що х0 > у0. За теоремою 3 існує такий номер п0 Є
С що Уп > п0 хп> уп. Тому нерівність хп^.уп може викону-
ватись лише при п < п0. Таких значень п — скінченна множина.
Дістали протиріччя. Отже, х0 у0. ►
6.3.	Порядкова ознака існування границі.
Теорема (про порядкову ознаку існування границі). У будь-
якому упорядкованому просторі Й справедливі твердження:
І)	нехай х0 — найбільша точка простору О і 1ітгп = х0. Якщо
існує такий номер щ що V п пг хп гл, то Нт хп = х0;
П—* оо
2)	нехай х0 — найменша точка простору Й і Ііт уп = х0. Як-
П-+<х>
що існує такий номер п^^що V п^ щ хп уп, пго Ііт хп =• х0;
п -*• оо
3)	якщо існує такий номер пг £ Ц, що \/ п щ Уп^ ?п
і Ііт уп — Ііт гп, то існує Ііт хп = Ііт уп.
◄ Доведемо твердження 1). Візьмемо довільний окіл ОХо точки х0.
За означенням околу знайдеться така точка а < х0, що (а, х0] с:
0Хо. Згідно з теоремою 3, п. 6.2, знайдеться такий номер и2 Є И,
що V п п2 а <гп. Якщо По — більший з номерів пи п2, то V п
и0 виконуються нерівності а < гп ^хп, тобто а<хп і хп € ОХо.
Отже, Ііт хп — х0.
Для доведення твердження 2) досить скористуватися тверджен-
ням 1) у просторі Доведемо твердження 3).
Нехай х0 = Ііт уп = Ііт гп. Згідно з твердженнями 1) та 2),
П-*оо	П -юо
для доведення твердження 3) досить розглянути лише випадок, ко-
ли х0 не є ні найбільшою, ні найменшою точкою простору £2. Нехай
0Х(І — окіл точки х0. За означенням околу знайдеться такий інтер-
вал (а, Ь), що а < х0 < Ь і (а, Ь) с: 0Хп. Оскільки х0 < 6 та х0 ==
= Ііт гп, то знайдеться такий номер що У/і > п2 гл < Ь,
Приймаючи також до уваги, що а < х0 і х0 == Ііт уПі робимо вис-
новок про існування такого п36 М, що Уп>п3 а <уп- Позна-
чивши через По найбільший з номерів пи п2, п3, дістанемо, що V п
По виконуються нерівності а < уп хп ?п < Ь, тобто хп £
£ (а, 6)с= 0Хо. Згідно з означенням, Ііт хп == х0. ►
П-»оо
Вп рави
1.	Нехай со — найбільша точка простору со — його найменша точка. До-
ведіть такі твердження:
а)	Ііт кп = со V а 3 па : V п па хп> а\
П-^оо
29
б)	1 ігп хп = (о О V а 3 па : V п > па <а\
П-+ОО	~
в)	якщо х0 #= о) Д х0 =/= (о, то Ііт хп = х0 <£> V (а, Ь) аСХп^Ь^ЗпцЄ
П-ЇОО
6 N : V п По а < хп <. Ь.
2.	Нехай 9 = 0 0 {—оо, 4-оо}, причому V г £ (ф —оо < г < -|-оо. Сфор-
мулюйте (з використанням лише нерівностей) означення границь
Неп х =—оо, Ііт х — 4- оо,
п	’	. _ и *	*
Ііт х = х0 Д х0 =/= ± оо.
П-*0О П
3.	Виконати вправу 2, замінивши © на К = К П {—оо, -Ьоо}.
4.	Чи існує такий упорядкований простір Й = (М, ^), що(Р с М і — ¥> 0?
§ 7. Зв’язок між межами множин
та границею послідовності.
Теорема Вейєрштрасса
7.1. Зв’язок між межами множин і границею послідовності. Не-
хай дано послідовність (хп) точок упорядкованого простору Й. Мно-
жина {хп|л£^)} називається множиною членів послідовності. її
межі, якщо вони існують, називаються верхньою та нижньою ме-
жами послідовності (хп) і позначаються зир хп, іпї хп. Дослідимо
зв’язок між межами і границею послідовності.
Теорема (про зв’язок між верхньою межею послідовності та її
границею). Нехай х0 = Ііт хп. Тоді послідовність (хп) має верхню
П-* оо
межу і х0 зир хПі причому рівність виконується тоді і тільки то-
ді, коли V п Е И ^о-
◄ Нехай існує таке п0 £ що хПо > х0. Тоді знайдеться такий но-
мер пг 6 що V п пг хп < хПо. Позначаючи через х найбільшу
точку з множини {%!, хя„ хПо}, дістаємо, що х— найбільший
член послідовності (хп), внаслідок чого виконуються нерівності
х = зир хп > хПо > х0.
Нехай тепер \/ п £ хп х0. Тодіх0є мажорантою множини
членів послідовності. Оскільки х0 = Ііт хп, то х0 — точка дотикан-
ні -»• ОО
ня цієї множини. Згідно з топологічною властивістю верхньої ме-
жі, маємо х0 = зир хп. Якщо х0 = зир хп, то нерівність хп 'С х0 ви-
конується для усіх п Е № ►
Наслідок 1 (зв’язок між нижньою межею послідовності
і її границею). Нехай х0 = Ііт хп. Тоді послідовність (хп) має нижню
межу і х0 іпї Хп, причому рівність виконується тоді і тільки то-
ді, коли V п £ И х0 хл
4 Доведення випливає з теореми після застосування її до послі-
довності (хп) у просторі ►
Наслідок 2 (обмеженість збіжної послідовності). Якщо
послідовність (хп) має границю, то вона обмежена, тобто існують
такі точки а та Ь, що а хп Ь.
4 Згідно з теоремою та наслідком 1, послідовність (хд) має мажо-
ранту і міноранту. ►
зо
7,2.	Монотонні послідовності.
Означення. Послідовність (хЛ) називається неопадною
(зростаюча ю), якщо V п £ И хп хп+і (хп <С Хп+і).
Послідовність (хп) називається незростаючою (с п ад-
Н О Ю), ЯКЩО V П £ Хп+і Хп (Хп-рі < хп).
Усі типи послідовностей, які задовольняють це означення, на-
зиваються монотонними. Зростаючі та спадні послідовності нази-
ваються строго монотонними.
Для випадку неспадної послідовності теорему з п. 7.1 можна по-
силити.
Теорема (про верхню межу і границю неспадної послідовності).
Нехай послідовність (хп) неспадна і існує х0 = зир хп. Тоді існує
Ііт хп = х0.
п-*оо
◄ Розглянемо окіл 0Хо точки х0. Точка х0 може виявитися наймен-
шою в упорядкованому просторі й (рис. 28). У цьому випадку з не-
рівності хп х0, яка виконується для усіх п £ И, випливає, що V п Є
€ И хп = х0, внаслідок чого Ііт хп = х0. В інших випадках (рис. 29
і ЗО) з означення околу випливає існування такої точки а < х0, що
(а, х0] с: ОХо. Оскільки а < х0 = зир хл, то існує такий номер п0 £
£ ^|, що а < хПп. Послідовність (хп) неспадна, тому V п п0 вико-
нуються нерівності а < хПо хп х0. Отже, л0 хп£ 0Хо,
а це означає, що Ііт хп — х0. ►
Л-*оо
Наслідок (зв’язок між нижньою межею і границею незрос-
таючої послідовності). Якщо послідовність (хп) незростаюча і має
нижню межу, то існує Ііт хп = іпї хп.
л-юо
Ч Доведення є наслідком теореми, якщо простір й замінити на
простір й”. ►
7.3.	Теорема Вейєрштрасса про монотонну послідовність. Із
теореми з п. 7.2 та наслідку з неї дістаємо важливу теорему.
Теорема (Вейєрштрасса). У повному упорядкованому просторі
й кожна монотонна обмежена послідовність (хп) має границю.
◄ Внаслідок повноти простору Йта обмеженості послідовності (хп)
остання має нижню і верхню межі. Оскільки послідовність (хл) ще
й монотонна, то за теоремою з п. 7.2 вона має границю. ►
Вправо
1.	Нехай N хп = шах х2»	де через тах {•} позначено
найбільший елемент множини. Довести, що:
а) послідовність (хп} має верхню межу тоді і тільки тоді, коли ЇЇ має послі-
довність (хп), причому зир хп = зир
31
' б) послідовність (хп) має верхню межу тоді і тільки тоді, коли послідовність
(хп) має границю, причому зир хц = Ііт хп.
2.	Нехай хп — найменший елемент множини {хп ...» хл). Сформулювати й
довести для послідовності (хл) твердження, аналогічні твердженням а) та б) з
вправи 1.
3.	Простір □ назвемо зчисленно-повним, якщо в ньому кожна монотонна й об-
межена послідовність має границю. Чи існує зчисленно-повний і неповний упоряд-
кований простір?
4.	Простір О називається сепарабельним, якщо в ньому існує гака зчисленна
множина А, що будь-яка точка простору □ є точкою дотикання множини А (така
множина називається скрізь щільною). Довести, що зчисленно-повний сепарабель-
ний простір є повним.
5.	Простір й назвемо зчисленно-повним у вузькому розумінні, якщо в ньому
кожна неспадна й обмежена зверху послідовність має верхню межу. Чи існує про-
стір □ зчисленно-повний у вузькому розумінні і неповний?
§ 8. Підпослідовність.
Часткова границя послідовності.
Верхня й нижня границі
8.1.	Поняття підпослідовності. Нехай множина м = м и
0 {+ оо} упорядкована за правилом	п < + оо /\\/ (п,
т) £ № п т & т —	2о- У цьому просторі має зміст запис
я* -> 4- оо.
Означення. Нехай (хп) — деяка послідовність, (пк) — зростаю-
ча послідовність натуральних чисел. Послідовність (ук) = (х^) на-
зивається підпослідовністю послідовності (ха).
Наприклад, послідовність є підпослідовністю послідовнос-
\ гС /
ті (—V У цьому випадку V £ Є И пк = /?2.
Загальний спосіб побудови підпослідовності полягає ось у чо-
му. Випишемо члени послідовності (хп) в рядок: х19 х2, ...» хп, ... .
Викреслимо з цього рядка довільно деякі члени та занумеруємо
решту натуральними числами. Дістанемо послідовність, яка є під-
послідовністю послідовності (хл). Наприклад, якщо з послідовності
О, 1, 0, 1, 0, 1, ... викреслимо усі члени з непарними номерами,
а решту знову занумеруємо, то дістанемо послідовність 1, 1,..., 1, ...
..., яка є підпослідовністю початкової послідовності. Послідовність
О, 0, ..., О, ... також є підпослідовністю початкової послідовності.
Взагалі, будь-яка послідовність, складена з одиниць та нулів, є
підпослідовністю послідовності 0, 1, 0, 1, ... .
8.2.	Границя підпослідовності збіжної послідовності. Поняття
часткової границі.
Теорема. Нехай послідовність (хп) збігається і х0 = Ііт хд. То-
ді будь-яка її підпослідовність (хЛ/?) також збіжна і Ііт хл* = х0.
◄ Нехай (ук) — підпослідовність послідовності (хд). За означенням
знайдеться така послідовність (п^), що V А 6 ук == хПь і Ііт пк =
32
— -І- оо. Нехай 0х„ — окіл точки хл. Оскільки Ііт хп = х0, то існує
таке «6 6 Що Уп > п0 хп £ Ох<,- 3 умови пл -> + оо випливає іс-
нування такого &0 6 И, що V к к0 пк~^ п0. Тому V к к0 ук =
“ Хл. 6 Оха, тобто Ііт ук = х0. ►
/?-*оо
Означення. Точка а називається частковою границею
послідовності (хп), якщо з неї можна вилучити підпослі-
довність (Хпк), границя якої дорівнює а.
З доведеної теореми та означення часткової границі випливає
наслідок.
Наслідок. Нехай послідовність (хп) мав границю і точка
а — її часткова границя. Тоді Ііт хп =* а.
8.3.	Верхня та нижня границі. Нехай послідовність (хп) точок
повного упорядкованого простору О обмежена, тобто множина
{хп \ п 6 Ш має одночасно мажоранту й міноранту. Тоді V п £
множина {хп, Хп-ьь •••} має мажоранту і внаслідок повноти прос-
тору й існує хп = зир хк ^зир {хп, хп+і, ♦ Згідно з властивіс-
к^п
тю монотонності верхньої межі, послідовність (хп) є монотонною.
Крім того, вона обмежена, тому за теоремою Вейєрштрасса має
границю, яка називається верхньою границею послідовності (хп) і
позначається Ііт хп:
П-*оо
___ беї
Ііт хп = Ііт зир хк.	(1)
п-*оо	П-*(Х> к^п
Аналогічно визначається нижня границя Ііт хп послідовності
беі
Ііт хп = Ііт іпї хк.	(2)
п-¥оо к^п
Зауважимо, що при визначенні нижньої границі послідовності
(хп) можна скористатися переходом з простору Й в простір Й“ .
Доведемо важливе для подальших міркувань твердження.
Теорема, Для будь-якої обмеженої песлідовності (хп) в повному
упорядкованому просторі й виконується нерівність
Ііт хп<ПНГхп.	(3)
П->оо	П-*оо
Рівність в (3) можлива тоді і тільки тоді, коли існує Ііт хп. При
цьому Ііт хп = Ііт хп = Ііт хп. Таким чином, обмежена послідов-
п-ч-оо	П->оо
ність (хп) має границю тоді і тільки тоді, коли
*іт хп = Ііт хп.	(4)
и->оо	«-*00
2 1-2914
33
◄ Очевидно, що V п Е И іпї хь зир хк. Граничний перехід у цій
к^п	к^п
нерівності приводить до нерівності (3). Нехай Ііт хп= Ііт х„. Ос-
П-*оо	П-+ОС
кільки V п Е И іпї хк хп зир хкі то, згідно з порядковою
к^п	к^п
ознакою існування границі (див. теорему, п. 6.3), справджуються
рівності
Ііт хп = Ііт хп == Ііт хп.
г*	і&
Нехай існує Ііт хп = а і а не є найбільшою або найменшою точ-
кою простору й. Тоді для будь-якого околу Оа точки а знайдеться
такий інтервал (а, &), що а Е (а, Ь) сі Оа. Інтервал (а, Ь) також е
околом точки а, тому за означенням границі послідовності зна-
йдеться такий номер и0, що V л > л0 а < хп < Ь. Оскільки V п
п0 виконуються нерівності а іпї хк Ь, а а зир хк Ь,
к^п	к^п
то, згідно з означенням границі, маємо
Ііт іпї хк = а і Ііт зир хк = а. ►
п-*оо к^п	п->оо к^п
Вправи
1.	Довести, що послідовність 0, 1, 0, 1, ... не має границі ні в якому прос-
торі
2.	Довести, що коли монотонна послідовність має часткову границю, то у неї
є границя.
3.	Знайти границі заданих числових послідовностей, вважаючи, що вони іс-
нують і відомо теореми про границю суми, добутку та частки цих послідовностей:
п —	п /•—	/	\	/ і \
а)(м),а>0; б) (/п); в) І —- Ь	с)	•
\ лі /	\ > п 1 /
4.	Нескінченний десятковий дріб а0, аха2... ал00... називається десятково-ра*
ціональним. Довести, що різні десятково-раціональні дроби можна записати у ви-
гляді послідовності. Знайти усі її часткові границі у просторі Й = (К, ^).
5.	Довести, що коли точка а є частковою границею послідовності (хп) і Оа —
окіл точки а, то хп 6 Оа для нескінченної кількості значень п £ N.
6.	Довести, що послідовність (п) не має жодної часткової границі у просторі
£ = (0?, <).
7.	Довести, що множина усіх часткових границь однієї і тієї самої послідов-
ності (хп) замкнена у просторі (ІР, ^).
§ 9. Існування монотонної
підпослідовності.
Теореми Больцано—Вейерштрасса
та Кантора
9Л. Теорема про монотонну послідовність. Наступна теорема
пояснює значення монотонних послідовностей в загальній теорії
та є основним джерелом класичної теореми Больцано — Вейєршт-
расса про існування часткової границі.
34
Теорема. З будь-якої послідовності (хп) можна виділити моно-
тонну підпослідовність.
◄ Нехай дано послідовність (хЛ). Якщо для усіх п Є И серед членів
ПОСЛІДОВНОСТІ Хп> Хп-4-1, Хп+2, ••• € НЗЙбІЛЬШИЙ (х^, ГПп п), ТО
ПОСЛІДОВНІСТЬ (Хтп) Є ШуКЗНОЮ. ДІЙСНО, ПОСЛІДОВНІСТЬ (Хтп) НЄЗрОС-
таюча і є підпослідовністю послідовності (хл), оскільки тп —> оо при
п —► оо.
Якщо ж існує такий номер /г0 б шо серед членів
^гг0,	(1)
немає найбільшого, то в цьому випадку визначимо шукану послі-
довність, вибираючи її члени в такий спосіб: за хП1 візьмемо член
послідовності (1), який задовольняє нерівність хп, >> хПо і має най-
менший номер: нехай члени хП1, хп?) ..., хп* побудовано так, що хПі <
< хПг <... < хП/? і пг < п2 < ... <пк\ за хП£+І візьмемо той член
ПОСЛІДОВНОСТІ Хпк, Хп^-|-1, який більший ВІД Хпк і має серед таких
членів найменший номер. Зростаючу послідовність (х^) побудовано
за допомогою методу математичної індукції. ►
9.2 Теореми Больцано — Вейєрштрасса та Кантора.
Теорема 1 (Больцано — Вейєрштрасса). У повному упорядко-
ваному просторі £2 з будь-якої обмеженої послідовності (хп) можна
виділити збіжну підпослідовність (хп^).
◄ Доведення випливає з теореми п. 9.1 та теореми Вейєрштрасса
про монотонну обмежену послідовність. >
З теореми Больцано — Вейєрштрасса та теореми про обмеже-
ність збіжної послідовності (див. п. 7.1, наслідок 2) маємо, що част-
кова границя послідовності в повному упорядкованому просторі
існує годі і тільки тоді, коли вона містить обмежену підпослідов-
ність. Інший важливий наслідок міститься в формулюванні теоре-
ми Кантора.
Теорема 2 (Кантора). У повному упорядкованому просторі £2
кожна спадна послідовність обмежених замкнених та непорожніх
множин Рх Р2 має непорожній перетин.
4 Виберемо в кожній множині Рк (к Е № точку хк і розглянемо
послідовність (хй). Ця послідовність обмежена, бо V к Е хк £ Р1У
а множина Рг обмежена. За теоремою Больцано — Вейєрштрасса
існує збіжна підпослідовність (х^.). Нехай х0 = Ііт х*.. Оскільки
1	/ -► ОО 1
V т Е М можна вказати такий номер /0 Е И, що V / > /0 виконуєть-
ся нерівність к; т та, крім того, х^ Е Ап» то х0 є точкою дотикан-
ня множини Рт. Множина Рт замкнена, тому х0 Е Рт і *о € П Рт
т=І
внаслідок довільності т 6 № ►
2*
Розділ:	ДІЙСНІ ТА
комплексні числа
§ 1. Аксіоматична теорія дійсного числа
г
1.1. Аксіоми упорядкованого поля. До цього часу, вивчаючи
основні поняття математичного аналізу, ми користувалися лише
нерівностями і не розглядали важливі в математиці операції до-
давання та множення. Означимо упорядковане поле й розглянемо
приклади.
Нехай М — множина, в яку входить не менш ніж два елементи,
о — відношення порядку на М і а Ь <=> (а, Ь) £ о. Якщо для будь-
яких а £ М, Ь С М визначено суму а + Ь та добуток аЬ так, що:
1) V с £ М а Ь => а + с Ь + с\ 2) а + (Ь + с) = (а + Ь) + с
гзакон сполучення або асоціативності); 3) а + Ь = Ь + а (закон пе-
реставний або комутативності); 4) існує такий елемент 0 £ М, який
називається нейтральним елементом операції додавання або ну-
лем, що V а 6 М а + 0 = а; 5) V а£ М існує такий елемент — а,
який називається протилежним елементу а, що а + (—а) = 0;
5) V с £ М а Ь [\с й => ас^Ьс\ 7) Ь ) с = ас + Ьс (закон
розподільчий або дистрибутивності); 8) (аЬ) с = а (Ьс) (закон спо-
лучення або асоціативності); 9) аЬ = Ьа (закон переставний або ко-
мутативності); 10) існує такий елемент 1 £ М, який називається
нейтральним елементом операції множення або одиницею, що
\/ а£ М а • 1 = а\ 11) V а £ М. Д а Ф 0 існує такий елемент я~' £
£ М, який називається оберненим до елемента а, що аа~~' = 1, то чет-
вірка, складена з множини М, відношення порядку о, операцій до-
давання та множення, називається упорядкованим полем і позна-
чається якоюшебудь однією літерою, наприклад Р. Елементи мно-
жини М називаються точками упорядкованого поля Р.
Зазначені властивості 1) — 11) є основними і разом в аксіома-
ми відношення порядку називаються аксіомами упорядкованого по-
ля Р. З них можна логічно вивести усі властивості чисел, відомі з
шкільного курсу математики. Це можна знайти в курсі алгебри,
а ми обмежимося прикладами упорядкованих полів.
Так, раціональні числа, відомі з шкільного курсу математики,
разом з операціями додавання, множення і відношенням порядку
утворюють упорядковане поле.
Дійсні числа разом ч операціями додавання, множення і відно-
шенням порядку утворюють інше упорядковане поле.
36
0	а &	а+Ь
Рис. 31
Ще один приклад упорядкова-
ного поля дістанемо так. Зафік-
суємо яку-небудь пряму і вибере-
мо на ній точку 0 (рис. 31). Для
визначення суми а + Ь зробимо паралельне перенесення точок пря-
мої, при якому точка О перейде в точку а. Образ точки Ь при цьому
перенесенні назвемо сумою а + Ь. Візьмемо довільну точку пря-
мої, відмінну від точки 0, і позначимо її через 1. Покладемо 0 • Ь =
= 0 для будь-якої точки Ь прямої. Для визначення добутку аЬ точок
при а =/= 0 повернемо пряму навколо точки 0 на кута = (або на
будь-який інший кут, відмінний від &т, к 6 2)- Позначимо через
аа образ точки а після цього повороту. Проведемо через точку Ь пря-
му, паралельну прямій, що проходить через точки 1 та аа, і позна-
чимо через са точку перетину
її з повернутою прямою. Про-
образ точки са назвемо добутком
аЬ (рис. 32).
Будемо вважати а <Ь, якщо
після паралельного перенесення
точок, при якому точка а пере-
ходить в точку 0, образ точки Ь
лежить на промені, який прохо-
дить через 1, з початком у точці
0, тобто за додатний приймемо
напрям від 0 до 1. Можна переконатися у тому, що всі аксіоми
1) — 11) виконано. Отже, дістали упорядковане поле.
Багато інших прикладів упорядкованих полів можна побудува-
ти в такий спосіб. Нехай Р' — упорядковане поле і М' — множи-
на усіх його точок. Нехай також дано множину М та бієкцію
М М'. Визначимо на множині М відношення порядку, операції
додавання та множення за правилами!
1)	а < Ь <р (а)< ф (&);
2)	с = а + Ь » ф (с) = ф (а) + ф (6);
3)	с = аЬ « ф (с) = ф (а) ф (&).
Ясно, що всі аксіоми 1) — 11) виконуються і одержано нове поле
Р. Кожний факт, справедливий для точок поля Р' і пов’язаний лише
з нерівностями, операціями додавання та множення, може бути
встановлений за допомогою відображення ф для точок поля Р. Зво-
ротне твердження також виконується внаслідок оборотності відо-
браження ф. У цьому розумінні упорядковані поля Р' і Р ідентич-
ні, або, як прийнято говорити, ізоморфні, і їх не варто розрізняти.
1.2. Ізоморфізм.
Означення 1. Якщо (а £ Л4, Ь £ М) ф (а + Ь) = ф (а) +
+ Ф (&), то відображення ф називається адитивним. Якщо
V (я 6 Л4, Ь Є М) ф (аЬ) = ф (а) ф (Ь), то відображення ф нази-
вається му льтиплікативним.
Означення 2. Неспадне, адитивне, мультиплікативне і оборот-
не відображення ф точок упорядкованого поля Р' на множину точок
37
упорядкованого поля Р називається ізоморфізмом упоряд-
кованих полів Р' і Р. Упорядковані поля Р' та Р назива-
ються ізоморфними, якщо існує їх ізоморфізм.
Не будемо розрізняти ізоморфні поля. Це пояснюється тим, що
нас цікавлять не спеціальні властивості точок упорядкованого по-
ля, а лише ті факти, які випливають з властивостей відношення по-
рядку, операцій додавання та множення.
Поняття ізоморфізму використовується при розв’язуванні кон-
кретних задач, у тому числі й прикладних. Нехай потрібно пере-
вірити аксіоми 1) — 11) для операцій додавання і множення точок
прямої. Для цього прийшлося б розв’язати низку нетривіальних
геометричних задач. Якщо ж ми помітимо ізоморфізм множини то-
чок з упорядкованим полем дійсних чисел, то зведемо розв’язуван-
ня цих геометричних задач до відомих властивостей чисел. На-
глядність точок прямої дасть змогу надалі використовувати геомет-
ричну інтуїцію в абстрактних та формальних фактах, пов’язаних
з дійсними числами.
1.3. Раціональні та дійсні числа. Візьмемо довільне упорядко-
ване поле Р У ньому існує спеціальна точка 1 — нейтральний еле-
мент операції множення, і визначено операцію додавання точок.
Тому в полі є натуральні точки 1 + 1, (1 + 1) + 1, ... . Позначимо
їх знаками 2, 3, ... . Множину усіх натуральних точок позначимо
через (або, у разі необхідності, через (Р)). У полі Р є спеціаль-
на точка 0 — нейтральний елемент операції додавання, і в кожної
точки є протилежна їй точка. Це дає змогу визначити множину 2 —
множину усіх цілих точок поля Р (яку іноді позначатимемо через
2 О:
^ = {х|х = 0, або	або —
У полі Р набуває чинності операція множення і у кожної від-
мінної від нуля точки є своя обернена точка. Це дає змогу визна-
чити множину © — множину усіх раціональних точок поля Р, яке
іноді будемо позначати через (З (Р):
(Ф = {%| існують такі	що^0іх = Р^}-
Якщо в полі Р немає інших точок, то воно називається раціональ-
ним полем. Усі упорядковані раціональні поля ізоморфні між со-
бою. Цей важливий для розуміння раціонального числа факт буде
доведено в п. 1.5. Він дає змогу однозначно, з точністю до ізомор-
фізму, визначити упорядковане поле раціональних чисел як до-
вільне упорядковане раціональне поле. Кожне конкретне раціо-
нальне поле називається зображенням упорядкованого поля ра-
ціональних чисел. Будь-яка його точка називається зображенням
раціонального числа.
Нехай Р — довільне упорядковане поле (раціональне або ні).
Вище ми бачили, що серед його точок є усі раціональні точки, тобто
представники усіх раціональних чисел. Звернемо тепер увагу на те,
що сума та добуток раціональних точок поля Р, обчислені за пра-
вилами, встановленими в полі Р, знову є раціональними точками
38
поля Р. Дійсно,
Р І Рі = РЯі + ЯРі Р_ Рі _ РРі
Я Яі ЯЯ1 ' Я Яі ЯЯ1
Це дає можливість ввести на множині раціональних точок поля опе-
рації додавання, множення і дістати нове поле, яке називається під*
полем у відношенні до поля Р.
Отже, виявляється, що кожне упорядковане поле Р має упо-
рядковане раціональне підполе. У цьому розумінні кажуть, що упо-
рядковане поле раціональних точок є найменшим упорядкованим
полем. Упорядковане раціональне підполе прямої дає геометричне
зображення упорядкованого поля раціональних чисел, а кожна ра-
ціональна точка цієї прямої дає геометричне зображення раціо-
нального числа.
Нехай знову Р є довільним упорядкованим полем, М — множи-
на усіх його точок, о — відношення порядку на М. Якщо упоряд-
кований простір (М, о) є повним, то упорядковане поле Р назива-
ється повним, точніше — порядково повним, або повним у розумін-
ні порядку. Виявляється, що всі повні упорядковані поля також ізо-
морфні між собою. Це твердження буде доведено в п. 1.5. Воно дає
можливість вести мову про повне упорядковане поле дійсних чисел»
позначених символом визначених однозначно з точністю до ізо-
морфізму.
Кожне конкретне повне упорядковане поле Р називається зоб-
раженням упорядкованого поля дійсних чисел, а кожна точка поля
Р називається зображенням дійсного числа. Нескінченний десятковий
дріб, який не має цифри 9 у періоді, дає зображення дійсного числа.
1.4. Необмеженість множини натуральних чисел у просторі дій-
сних чисел. Щільність множини раціональних чисел. Уже Архімед
(близько 287—212 до н. е.) звернув увагу на важливість такої влас-
тивості довжин відрізків- якими б не були два відрізки, один з них
можна повторити доданком стільки разів, щоб дістати відрізок,
довжина якого буде більшою за довжину другого відрізка. В екві-
валентній формі цю властивість встановлює теорема, що наводить-
ся нижче. Тут і надалі розглядатимемо множини в упорядкованому
просторі дійсних чисел.
Теорема 1. Множина не обмежена зверху.
◄ Застосуємо метод доведення від супротивного. Нехай множина
обмежена зверху. Тоді внаслідок повноти упорядкованого прос-
тору дійсних чисел існує зир И = о, св С Оскільки со — 1 < со,
то за означенням верхньої межі існує таке п 6 И, Що со — 1 < п,
тобто (о < п + 1. Ця нерівність суперечить властивості п 4- 1 Є
Наслідок 1. Послідовність у просторі дійсних чисел
мав границю 9 шр дорівнює нулю.
◄ Нехай О0 — окіл нуля. За означенням околу існує такий ін-
тервал (а, &), що 0 6 (а, Ь) сі О0- 3 доведеної теореми випливає
існування такого числа п0 Е що п0 > -і-.
39
Якщо п то п > 4-. Оскільки Ь > 0, то — <С Ь, а з того,
1	Ь	п
що а < 0, випливає включення — £ (а, Ь) сі О0, справедливе для
усіх п^п0. За означенням границі маємо Ііт —= 0. >
П-*оо П
Наслідок 2. Множина % не має ні міноранти, ні мажо-
ранти.
Теорема 2 (про щільність множини раціональних чисел). Не-
хай
О* =* {г 6($ІГ <х}, ($х = {гЄ($\г>х} УхСО?. (1)
Тоді
X = зир Ф, == іпї (фх.
(2)
◄ Досить довести першу рівність в (2), бо друга буде випливати з
першої, записаної для — х. Фіксуємо значення п Є И- Згідно з на-
слідком 2, існує таке тх £ що справджуються нерівності
(3)
Оскільки ~ Е О» < число -от* + - є мажорантою множини то
т	т 1
-^<зирфя<	.
З нерівностей (3) та (4) маємо оцінку
| зир — х | <-і-
< і»
(4)
(5)
Але ^"->0 при п->оо, тому властивість (5) рівносильна першій
рівності в (2).
1.5. Ізоморфізм раціональних та повних упорядкованих полів.
Доведемо теореми про ізоморфізм, про які згадувалось у п. 1.3.
Теорема 1 (про ізоморфізм раціональних полів). Нехай Р =
==(714,	+, • ) лгаР'=(7І4',	+', •') — упорядковані поля, ©(Р)
та ^(Р‘) — їхні раціональні підполя. Тоді (&(Р) і © (Р') ізоморф-
ні між собою.
◄ Для спрощення записів будемо користуватися одними й тими
самими позначеннями операцій над точками полів Рта Р'. При цьо-
му
Г — Г, = Г + (— гх) і у- = ГГ-' (гх 0).
г 1
Спочатку визначимо відображення ер: ©(Р) -> © (Р'), а потім
доведемо, що воно є ізоморфізмом.
Покладемо ф (1) = 1'. Якщо ер (п) = п', то за означенням вва-
жатимемо, що <р (л + І) = п' + 1'. Цим встановлено відповід-
ність між натуральними точками полів Р та Рх. Продовжимо відоб-
40
раження <р на множину цілих точок поля Р за допомогою рівнос-
тей ф (0) = 0', ф (—п) — —ф (п) для будь-якої натуральної точки
п з поля Р.
Якщо г ==	(Р), п 6	(Р), то вважаємо ф (г) =	*
Таким чином, відображення ф визначене на усій множині © (Р)
Доведемо, що відображення ф є ізоморфізмом © (Р) і © (Р')
Індукцією по її доводимо, що будь-яка натуральна точка поля Р
є образом деякої натуральної точки поля Р, а індукцією по и2 6
£ И (Р) встановлюємо, що V 6 И (рУ п2 € № (Р))
Ф + п2) = ф (пх) + ф (и2), ф (п^,) « ф (пг) ф (п2)	(1)
Відповідні викладки опускаємо, рекомендуючи читачеві проробити
їх як вправу на застосування методу математичної індукції.
Оскільки ф (—п) = —ф (п), то рівності (1) виконуються для
всіх Пі 6 2 (Л, Є 2 (Р) і Ф (2 (РУ) — £ (Р'У Переконаємося в
тому, що відображення ф адитивне, мультиплікативне, монотонне і
бієктивне.
Маємо для всіх т1 ££ (Р), т2 Є 71 (Р),	6 И (Р), п2 6 № (Р)і
П гп	/Ї2.1.	4- ^2	\ —	гп	_	Ф + т2Пі)	_
_	Ф (^і”2) + Ф	(т2пі) =	Ф (ті) Ф (”2) + Ф (^а) Ф (”і)	в
Ф М ф ("а)	Ф (п_) ф (п2)
___	ф (т^	ф (/п2)	= / тх, \	/ т2 \
ф (*1)	Ф (^2)	Ф \ «1 /	^ \ П2 / ’
що означає властивість адитивності відображення ф;
2) <р
т,	та	\	_ /	/»!«, \ _	<р (тіта) _	<р (т,) <р	(т2)	_
пі	пг	/	Л	піпг /	Ф («і»2)	ф («і) ф	(п2)	=
_	Ф(л»і)	Ф(та)	_	( ті \ ф	/	от2 \
Ф («ї)	Ф («г)	\ «і / Ч	\	«г /
і властивість мультиплікативності відображення ф доведено.
Нехай	тії % (Р), пцїЯ (П «і б М (?), п2 6 N (Р).
Беручи до уваги, що «! >0, п2 > 0, дістаємо нерівність —
—	> 0. Оскільки ф (т^Пх —	(Р')> то 0 < Ф (яг2пі —
— тгп2) = ф (/п2) ф (Пі) — ф (тх) ф (п2). Отже, ф (т2) ф (пг) >
> Ф (^і) ф (л2)« Обидві частини цієї нерівності можна поділити на
ф (пг) ф (п2), бо ф (П]) 6 И (^'), Ф (л2П и (Р'У Дістанемо нерів-
Ф (/7їо) _ ф (т-і)	\	/ т-і \	.
ність 2\- > — , А , тобто ф|—— 2> Ф — , а ця нерівність озна-
ф(и2)	ф(«1)	\П2 )	\ пі І
чає, що відображення ф зростаюче.
Строга монотонність відображення ф забезпечує його взаємну
однозначність. Залишилося довести, що ® (Р)	<0 (Р'). Нехай
ня
г' =^-, /л' 6 2 (Р'У п' Є И (Р'У Візьмемо такі т 6 77 (Р) та п £
€ И (Р), Що ф (/п) = /п7, ф (п) = Тоді дістанемо рівності
41
(т\	ф (ги) т' , тт
—1 =	= — = г . Цим доведено, що множина усіх значень
відображення ф є © (Р').
Збережемо позначення та спрощення записів, прийняті в теоре-
мі 1.
Теорема 2 (про ізоморфізм повних упорядкованих полів). Пов-
ні упорядковані поля Р і Р' ізоморфні між собою.
◄ Нехай М та М' — множини точок полів Р та Р'. Введемо до
розгляду множини раціональних точок
©а = {гЄ©(Р)|г<х}, ®ж = {г6О(Р)к>х} УхбМ,
(&' = {г' 6 © (Р') | г' < х'}, ®х. - {ґ 6 © (Р') | г' > х'} Ух' 6 М'.
Продовжимо ізоморфізм фі © (Р) -> © (Р') на всю множину М
точок поля Р, покладаючи V х Є М
Ф (х) = зир ф (©х).	(2)
Верхня межа в (2) існує внаслідок повноти упорядкованого поля
Р'. Упевнимося в зростанні функції ф. Маємо V (х1 £ М, х2(: М)
< х2 => ©^ с= ©х? => ф (©Л1) с: ф (©х2) => зир ф (©*<) <
< зир ф (©Жг) => ф (хх) < ф (х2).
Рівність ф (хг) = ф (х2) неможлива, бо з неї випливало б, що відоб-
раження ф стале на інтервалі (хи х2), всупереч властивості бієк-
тивності ф на множині © (Р). Тут використано властивість щіль-
ності множини раціональних точок у повному упорядкованому по-
лі (див. п. 1.4). Цим доведено зростання відображення ф : М -> М' і,
тим самим, його оборотність! існує відображення
<р-і :М'-+М.
Нехай ф(х) = х'. Упевнимося у виконанні рівності ф(©х)~
= ©х*. Маємо
'’'€ф(фх)=>^' = ф(И А 'Є(&=>'’' = фМ А г<х=>
=>г'<ф(х)=>г'6^)=>г'6(§;/,
тобто ф (©*)<=©;,.
Навпаки,
г'€©^=^г'Єфф(х)=><'<ф(х) => іг :г' = ф(г) А г<х^
= ф(г) а ㈩х=^г/€ф(Ш
тобто с ф (©х).
Отже, ф ((£)*) = Аналогічно доводиться рівність Ф (©х) ==
= ©х'.
Згідно з теоремою 2, п. 1. 4, виконуються рівності
х' = іпї ©х' = іпї ф (©х) = ф (х) = $ир ф (©х).	(3)
42
Оскільки ф (— х) зир ф (©-х) = зир ф (— ©*) = зир (— ф (($*)) —
— — іпї ф ((фх) = — ф(х), то відображення ф непарне на всій мно-
жині точок М.
Доведемо адитивність відображення ф. Нехай гх 6 г2 € Ос2-
Тоді гх < х19 г2 < х2 і /*і + г2 < хг + х2і внаслідок чого ф (Гх) +
+ Ф <г2) = ф (Гх + г2) < ф (%і + Х2), ф (Гі) < ф (Хх + х2) — ф (г2).
Остання нерівність виконується для будь-якого Г\ £ Оч» тому різ-
ниця ф (%х + х2) — ф (г2) є мажорантою множини ф (<5Х1). Беручи
до уваги означення верхньої межі множини, дістаємо нерівність
зир ф (®Л) < ф (Хх + х2) — ф (г2), тобто ф (г2) < Ф (Хх + х2) —
— Ф (*і) V г2 С Отже, за означенням верхньої межі виконуєть-
ся нерівність ф (х2) = зир ф ((фХ2) ф (хх + х2) — ф (Хх), яку за-
пишемо у вигляді
Ф (*і + *2) > Ф (*1) + Ф (*2) V (Хх е м, х2 є М).	(4)
Властивість (4) називається напівадитивністю знизу відображення
ф. Для доведення його адитивності замінимо в нерівності (4) хх на
—Хі та х2 на —х2. При цьому дістанемо нерівність —ф (хх) — ф (х2)
— ф (Х1 + х2), тобто
ф(Хх) + ф (х2) >ф(Хі + х2) У(Х1ЄЛ4, Х26М).	(5)
З нерівностей (4), (5) маємо рівність ф (хх + х2) = ф (хх) + ф (х2),
яка означає адитивність відображення ф.
Доведемо мультиплікативність відображення ф. Беручи до ува-
ги властивість ф (—х) = —ф (х) V х £ М, досить довести рівність
Ф (хтх2) = ф (хх) ф (х2) за умови, що хх > 0 та х2 > 0.
Нехай 0 <; Гх < Хх, 0 < г2 < х2. Тоді і\г2 < ХхХ2, ф (гхг2) <;
< Ф (ххХ2), тобто ф (гО ф (г2) < ф (ххх2). Оскільки ф (г2) > 0, то ді-
стаємо, що ф (Гх) <	. Ця нерівність виконується V Гх С
ф V 2/	—
Отже,
ф (хх) = зир ф (Ф*,)	>	(6)
звідки випливає оцінка
ф <'•») <		<7>
яка виконується V г2 Є ($Хі. Тому маємо
ф (х2) = зир ф ((§„,) <	,	(8)
звідки V (Хх > 0, х2 > 0) виконується нерівність
ф(ХхИ)(х2Хф(ХіХа).	(9)
Візьмемо п 6 Ог,. г'2 6 Ск- Тоді г\г2 > ф (г'|Г2) = ф (гі) х
X ф (гз) > ф (ХіХ2). Оскільки ф (гг) > 0, то з останньої нерівності
43
випливає, що V п £ (0Л ер (п) >	\. За означенням нижньої
<Р('2)
межі маємо
Ф(хо = іпї<р(^,)>уг2б©х8.
Отже,
ф (х2) = іпї ф (фх,) > фф(***а) ,
тобто
ф (хг) ф (х2) > ф (Х!Х2).	(10)
Порівнюючи між собою нерівності (9) та (10), дістаємо рівність
ф (х,Х2) = ф (хх) ф (х2).
Залишилося довести, що М*. З цією метою візьмемо х' 6
На
£ М' та розглянемо множину О*,. Покладемо
х = зир ф-1 (©;,).	(11)
Ця верхня межа існує внаслідок повноти упорядкованого простору
(Л4, <і). Доведемо, що ф (х) — х'. Для цього перевіримо виконання
рівності ф (О* ) = Маємо
г'6 Ф (©*)=> Зт бОх-г' = ф(г)=>г<х Д г' =ф(г).
З нерівності г < х та рівності (11) випливає існування такого гї £
Є ф*"1 (®х,), Що г < г, < х. Тому ф (гг) < х' і ф (г) <х', внаслідок
ЧОГО Ф (г) б тобто
фШ^©;,	(12)
Навпаки, нехай г' £ (^х>. Тоді з рівності (11) маємо
Ф*-1 (г') = г х.	(13)
Рівність в (13) неможлива, тому що множина (&» не має найбіль-
шого елемента, а ф строго монотонне відображення, внаслідок чо-
го й множина ф-1 ((&') також не має найбільшого елемента. А ос-
кільки г < х, то г Є О* і г' = ф (г) Є ф (ОД Таким чином, дістали
включення
^Сф(®х).	(14)
З включень (12) та (14) випливає рівність
®;=ффх).	(15)
Згідно з рівністю (2) з п. 1.4, маємо х' = зир О^, а з означення ві-
дображення ф за формулою (2) дістаємо, що ф (х) = зир ф (ОД
Отже, ф (х) = х'.
Метод запропонованого доведення використовує ідею перерізів
Дедекінда, за допомогою яких він будував дійсні числа, вважаючи
відомою множину (3. Пара (©х, (фЛ) є перерізом Дедекінда, який ви-
значає число х.
44
1.6. Основні характеристики дійсного числа. Будемо для прос-
тоти позначати через Щ одночасно множину усіх дійсних чисел, упо-
рядкований простір дійсних чисел та упорядковане поле дійсних
чисел, розрізняючи зміст позначення за текстом викладу. Наприк-
лад, якщо записано х Є К, то тут К — множина дійсних чисел.
Якщо сказано, що х у в К, то під розуміємо упорядкований
простір. Нарешті, якщо записано х + //<г в то К означає упо-
рядковане поле дійсних чисел. У випадку, коли за текстом викла-
ду незрозумілий зміст позначення, будемо користуватися більш
складними позначеннями.
Для дійсного числа х введемо такі характеристики: | х | —
модуль х, 8£п х — знакх, х+ — додатна частина х, х" — від'ємна
частина х. Вони вводяться за правилами:
х, якщо х^>0,
— х, якщо х <0;
якщо х>0,
якщо х = 0,
якщо х < 0;
|х, якщо х>0,
х = {
(0, якщо х^О;
0, якщо х2>0,
х, якщо х<0.
Очевидні такі співвідношення між цими характеристиками
Ух Є П<:
X == І X І 8§П X, І X І = X 8£П X, X = х+ — Х“,
1	(О
_ « ,	„ 1*1 +*	_ | *| ~ *
— л -г Л , л —	2 ,л	2
При розв’язуванні задач часто застосовують нерівності
— |х|^—х~Сх^х+С|х|, |х |	0, х+^0, х“2>0. (2)
Разом з вказаними характеристиками корисно також розгляну-
ти функції з в К: х | х |, х 8§п х, х х+, х х~, графі-
ки яких зображено на рис. 33—36. Перша та друга функції є муль-
45
Рис. 37
типлікативними відображеннями, бо з їх
визначення маємо рівності V (х 6 К, у 6 К)
\ху\ = |х||у|, 5£П(Х#) = (5£ПХ)(5ЄПУ).
Кожна з усіх вказаних вище функцій,
за винятком «з£п», має властивість! мно-
жина точок, розміщених вище її графіка,
є опуклою, тобто якщо дві точки на пло-
щині розміщено вище графіка функції, то
й усі точки відрізка, який сполучає їх,
також розміщено вище. Такі функції називаються опуклими. Якщо
функція і визначена на числовій прямій П< і є опуклою, то V (х, С
£ К, х2 € К) виконується нерівність
"Н х2 / (Х1)	/ (хг)	(3)
Ця нерівність очевидна: її ліва частина є ординатою точки графіка
з абсцисою -	, а права частина — ординатою точки відрізка з
тією самою абсцисою, розміщеного вище графіка (рис. 37). Опуклі
функції буде детально розглянуто в § 5, розд. 7.
Застосувавши нерівність (3) до опуклих функцій х н> | х |, х
х+, х х~, дістанемо важливі оцінки
к + і/|<| Х| + І0І, (X + У)+ < х+ + у+, (х + у)~с г 4- у-,
(4)
•які виконуються V (X 6 К, у (Е Ю-
З усіх перерахованих характеристик дійсного числа найбільш
важливою є його модуль. Під основними властивостями модуля чи-
сла розуміють такі:
1)	V х £ К | х | = 0 => х = 0;
2)	УШ хбЮ ІМ = ІЧ*|;
3)	V (х е 1К, У Є К) | X + у К І х І + І у |.
Остання оцінка називається нерівністю трикутника, оскільки
вона має геометричний зміст у випадку, коли х£ ([}, у £ (£ (див. § 4).
Вправи
1.	Скільки існує ізоморфізмів упорядкованих полів Р та Р'?
2.	Скільки існує ізоморфізмів двох даних упорядкованих раціональних по-
лів; двох даних, повних у розумінні порядку упорядкованих полів?
3.	Чи існує упорядковане поле Р, яке не є повним і не є підполем ніякого пов-
ного упорядкованого поля, тобто чи всяке упорядковане поле можна поповнити?
1.7. Біном Ньютона. Нехай а Є Ь б К, /і € Користуючись
«методом математичної індукції, доведемо формулу бінома Ньютона:
•т
п
п\
ті (п — т)\
(а +Ь)п='£ С™ап~тЬт,
т=0
(ЙІ = 1 .	01 = 1).
(1)
46
◄ При п = 1 маємо
£ СТа'-'Ь- - $г +	= а + Ь = {а +
171=0
тобто лему 1 Паскаля доведено. Доведемо лему 2 Паскаля (див.
п. 1.3, розд. 1). Припустимо, що формула (1) правильна для п Є ^|,
і покажемо, що в цього припущення випливає її правильність для
п 4- 1, тобто
(а + &)"+’ = V С%+іап+'~тЬт.
т=0
(2)
Дійсно,
(а 4- &)"+’ = (а 4- Ь) (а 4- Ь)п = (а 4- Ь) £ С?ап~тЬт =
т==0
а	п	п
т=1
”~'ап+'~тЬт = а"+‘
Беручи до уваги рівності
с>т і	____ । ________{і!_______
п *г п /и! (п — /п)! ' (пг—1)! (п + 1—т)!
_______(п 4“ і)।_ _ рО /^л+1 ___________ і
~ т\(т+ї— т)\ “	Ьл+і — Ь„+і — 1,
дістаємо формулу (2).
§ 2. Числова послідовність
та її границя
2.1. Метричне означення границі. Символи Ландау. Наступна
теорема дає змогу сформулювати нове означення границі числової
послідовності (хЛ), еквівалентне наведеному раніше.
Теорема 7. Ііт хл=х«\/є>»03пе^^|і V п п8
П-+ОО
| хп — х | < е, тобто число х в границею числової послідовності (хп)
тоді і тільки тоді, коли V е >» 0 знайдеться такий номер пг £
що нерівність \хп — х|<е виконується кожного разу, як тільки
п > пг.
◄ Необхідність. Нехай Ііт хп = х і е> 0. Оскільки інтервал (х —
П-юо
— 8, х + є) є околом точки х, то за означенням границі існує такий
номер пе € що V О хдЕ (х — е, х + є). Тому V п^пе х —
— е <	< х + 8, звідки —8 < хп — х < 8, тобто V п пе викону-
ється нерівність І Хп — X І < 8.
47
Достатність. Припустимо, що V е > 0 3 иє 6 И ♦ V п п9
| хп — х | < е. Нехай Ох — окіл точки х. За означенням околу існує
такий інтервал (а, &), що х £ (а, Ь) Д (а, Ь) а Ох. Покладемо е —
= тіп {х — а, Ь — х}, розуміючи під тіп {•} найменше число з
усіх, які входять у дану множину. Оскільки а < х <С 6, то х —
— а> 0, Ь — х > 0 і е > 0. За умовою існує такий номер п8, що
V п Пе І Хд — X | < 8, тобто —8 < хп — X < 8.
З нерівностей е^х — а та 8 Ь — х випливають оцінки х —
— 8 а, х + в Ь. Отже, V п ие виконуються нерівності а
О — « < хп< х + е і, тобто хп 6 (а, Ь) с: Ох. За означенням
границі послідовною ’ Ііт хп = х.
П ->оо
З аналізу цієї теореми випливають такі міркування щодо чис-
лової послідовності (Хд), яка має границею число х. Нехай за допо-
могою 8 > 0 задано точність обчислень. Тоді в межах указаної точ-
ності при и пе усі члени послідовності (хп) можна вважати рів-
ними числу х. Послідовність, усі члени якої однакові, називається
стаціонарною. Якщо існує номер п0, починаючи з якого усі члени
послідовності (Хд) однакові, то називатимемо ЇЇ майже стаціонар-
ною. Тоді якщо Ііт Хд — х і задано точність обчислень є> 0, то в
п->оо
межах цієї точності послідовність (Хд) можна вважати майже стаціо-
нарною.
При розв’язуванні прикладів, пов’язаних з послідовностями,
використовують символи Ландау о (1) та О (1).
Означення. Якщо Ііт хп == 0, то послідовність (хп) називається
П-+-ОО
нескінченно малою
При цьому записують хп = о (1). Якщо послідовність (хп) обме-
жена, то записують хп=О(1).
Теорема 2. Ііт хп = х <=> хп — х = о (1).
п ->оо
З теореми 2 випливає, що кожна збіжна числова послідовність
дорівнює сумі стаціонарної і нескінченно малої числових послі-
довностей. Цей факт надає актуальності задачі вивчення операцій
над нескінченно малими числовими послідовностями.
Доведемо дві прості, але важливі для теорії послідовностей тео-
реми.
Теорема 3. Якщо існують такі числа п0, х0, г, що V п п0
І хп — х0 | < г, то хп = О (1).
◄ Якщо числа и0, *о» г 3 вказаними властивостями існують, то не-
рівність | X;—х01 т може не задовольняти лише множина чи-
сел {хг| і = 1, п0 — 1}. Введемо позначення ц = | хі — х01 (і =
= 1, п0 — 1), с = тах {г,	г2, ..., Гд0_і}, розуміючи під тах {•}
найбільше число з цієї множини. Тоді V я (Е № виконуються нерів-
ності х0 — с Хд х0 + с, які свідчать про те, що послідовність
(Хд) має міноранту та мажоранту, тобто є обмеженою.
Геометричний зміст доведеної теореми полягає в тому, що коли
існує скінченний інтервал, якому належать усі члени послідов-
ності, починаючи з деякого, то вона обмежена.
48
Теорема 4. Якщо хп = О (1), то | хп | = О (1).
◄ Нехай хп = О (1). Тоді існують такі дійсні числа а та &, що
V п 6 И справджуються нерівності а хп Ь. Позначимо А —
= тах {| а , | Ь |} Тоді V п Е И 0	| хп | Д, тобто послідов-
ність (| хп | обмежена.
Наслідок хп = О (1) « дЛ4 £ К •'V л € М І *п І М.
Цей наслідок приймаємо за нове означення обмеженої числової
послідовності, яким користуватимемося надалі
2.2.	Операції над символами Ландау. Арифметичні властивості
границі послідовності.
Означення. Сумою, різницею, добутком та
часткою числових послідовностей (хя) і (уп) називаються відпо-
відно послідовності (хп + уп), (хп — уп), (хпуп), — (у випадку частки
Уп
У	п^ 0).
Теорема 1. Сума двох обмежених числових послідовностей є об-
меженою послідовністю, тобто О(1)+О(1) = О(1). Сума двох
нескінченно малих числових послідовностей є нескінченно малою по-
слідовністю, тобто о(1)4-о(1) = о(1).
◄	Нехай (гп) = (хп + уп) та хп = О (1), уп = О (1) За наслідком з
теореми 4, п. 2.1, існують такі числа Сг, С2, що V п 6 № справджу-
ються нерівності | хп| С\, | уп \ С2. З властивості 3) модуля
числа (див. п. 1.6) маємо V п £	| гп | | хп | + | уп І Сі +
+ С2 = С, тобто гп = О (1).
Якщо хп = о (1), уп = о (1), то V в >» 0 існують такі номери щ £
€ И, пг Є И, що Уи > щ |^п|<у і\/п>п2	|г/п|<±. То-
ді	= тах {пь п2} | гп\ < 8, тобто гп = о (1).
Теорема 2, Добуток двох обмежених числових послідовностей є
обмеженою послідовністю, тобто О(1)О(1) = О(1). Добуток не-
скінченно малої та обмеженої числових послідовностей є нескінченно
малою послідовністю, тобто о (1) О (1) = о (1). Зокрема, о (1) X
х 0(1) = 0(1).
◄	Нехай (гп) = (хпуп) і хп — 0 (1), уп = 0 (1). Тоді існують такі
числа С\, С2, що V п 6	| хп | < Сь уп | < С2 Беручи до ува-
ги властивість модуля, дістаємо V п Є И оцінку | гп| = | хЛ|| £/п |
СгС2 = С, тобто гп = 0 (1).
Нехай хп = о (1), уп = 0 (1) і е > 0. Тоді існують такі С > 0 і
пР Є. Що V п 6 И | уп | < С і V п > пе | хп | <~ч-. Оцінюючи
гп. дістаємо	нерівність | гп\ = | хп||#п| С = є, яка
свідчить про те, що гп = о (1).
З теорем 1 та 2 маємо співвідношення 0(1) — 0(1) = 0(1),
о(І) -о(1) = о(1).
Теорема 3. Якщо Ііт хп = х, Ііт уп = у, то Ііт (хп + уп) =
П-ЬСХі	П-*оо	п-^со
= X + у, Ііт (хп — уп) = X — у.
П -*оо
◄	Згідно з теоремою 2, п. 2.1, маємо хп = х + о (1), уп = у +
+ о (1), —уп = —у — о (1). Застосувавши теореми 1 та 2, дістане-
49
мо
Хп + Уп = х+ у + о(1) + 0(1) = х + Ї/Ч- 0(1),
Хп — Уп = X — у + 0(1) — 0(1) = X — у + 0(1).
Отже, за теоремою 2, п. 2.1, маємо
Нт (хп + уп) = х + у, Ііт (хп — уп) =- х — у
П-юо	П-»оо
Теорема 4. Якщо Ііт хп = х, Ііт уп — у, то Ііт хпуп = ху.
П-+оа	П-+<Х>	4-+оо
4 Оскільки хп = х + о(1), уп = у о(\), то за теоремою 2 ді-
стаємо хпуп = ху + хо (1) + уо(1) + о(1) о(1) = ху + я(1)- Отже,
Ііт хпуп = ху. >
П-*-оо
Теорема 5. Нехай Ііт хп = х. Якщо х=/=0 і УпбИ хп=^09
П-*оо
то Ііт хТ1 = х"1.
П-*оо
4 Беручи до уваги, що хп = х + о(1), дістаємо
Хп
—2- = о(1)
XX	' 7 X X
п	п
Оскільки Ііт
справджується
розд. 1). Тому
X
то існує таке що V п
X2
Таким чином,
Ііт хГ1 = х~
Хп
о . Х%
'п^ — %	~2~ ♦
нерівність ХПХ > -у (див. теорему 2, п. 6.2,
1	2
виконуються нерівності 0<--------< — .
X _ X	X
п
-2—= 0(1). Отже, хТ1 — Х~1 = о(1)0(1) =о(1) і
ХпХ
"о
П-+ОО
Наслідок. Нехай Ііт хп == х, Ііт уп = у. Якщо х =/= О і
П-*00	Н-+-ОО
V	п 6 И хА Ф 0, то Ііт
П^оо Хп
◄	Дійсно, -^2- = УпХп4, Ііт -^2- = Ііт упх~' = Ііт уп Ііт х7* =
Хп	П-*оо Хп	п^оо	п^оо п->оо
= ух~Х- ►	_
2.3.	Розширена множина дійсних чисел. Позначимо через К
множину, складену з усіх дійсних чисел та символів — оо, 4- оо.
Продовжимо на неї відношення порядку з множини ІК, вважаю-
чи, щоУх£П< — оо<хДх<4-оо.
Означення 1. Упорядкований простір (П{, називається роз-
ширеною числовою прямою.
Зазначимо переваги розширеної числової прямої у порівнянні
з упорядкованим простором дійсних чисел.
1.	Будь-яка непорожня множина X сг П< на розширеній число-
вій прямій обмежена, бо— оо є мінорантою множини X, а + оо—.
її мажорантою.
2.	Кожна непорожня множина X с К має в просторі (П<
верхню й нижню межі.
50
Дійсно, якщо множина X с: Щ обмежена у просторі (Я О, то
існує зир X 6 с: К- Якщо ж множина X с К не обмежена в про-
сторі (К, О, то зир X = + оо £ Я Існування нижньої межі
непорожньої множини X с К випливає з теореми 2, п. 5.2, розд. 1,
оскільки внаслідок сказаного вище простір (Я є_ повним.
3.	Будь-яка замкнена непорожня множина X сг К. має на роз-
ширеній числовій прямій найбільший та найменший елементи.
Це твердження є окремим випадком теореми 1, п. 5.2, розд. 1.
У відповідності з означеннями околів найбільшої та найменшої
точок упорядкованого простору (див. п. 4.2, розд. 1) маємо
= 0+оо о 3	: (а, + оо] сг (/,	(1)
V =	ае к : [— ОО, а) с= і/.	(2)
З топологічного означення границі послідовності (хп) точок упо-
рядкованого простору випливає, що
Ііт хп = + оо \/е > 0 3 пе £ И : \/п пе > є, (3)
П->оо
Ііт хп = — оо Ує>0 3 я8 € : \//г> пє хп< —е. (4)
П-*ОО
Із теореми п. 7.2, розд. 1, та означень верхньої і нижньої гра-
ниці послідовності (хп) точок упорядкованого простору (див. п. 8.3,
розд. 1) дістаємо формули
Ііт хп == іпі зир хк,	(5)
П-+СО	п
Ііт хп ~ зир іпї хкі	(6)
П-юо	к^п
внаслідок яких на розширеній числовій прямій кожна послідов-
ність має верхню та нижню границі. Крім того, на цій прямій будь-яка
монотонна послідовність має границю (див. п. 7.3, розд. 1). Таким
чином, розширену числову пряму доцільно розглядати у випадках,
коли потрібно обчислити верхню та нижню границі послідовності
дійсних чисел або границю монотонної послідовності.
З метою спрощення обчислень границь послідовностей дійсних
чисел введемо на розширеній числовій прямій операції додавання
та множення. Необхідно зазначити, що вказані операції не можна
визначити так, щоб набір (Я +, •) виявився упорядкованим
полем, оскільки в будь-якому повному упорядкованому полі мно-
жина не обмежена зверху (див. п. 1.4). Однак вказані операції
можна ввести для частини точок з із збереженням арифметичних
властивостей границі послідовності (див. п. 2.2):
1)	якщо х £ Я У Є Я то х + у, х — у, ху, (у Ф 0) мають в
К той самий зміст, що й в Я;
2)	V х Е К — оо + х = — оо, оо + х = + оо;
3)	V х 6 ІК — оо — х = — оо, + оо — х==+оо;
4)х(+ оо) = (+о°’ я«шох>0,
(— оо, якщо х <0;
51
5)
, ч (— ОО, якщо х>0,
х(- ОО) =
( + оо, якщо х <<0;
6)
ЯКЩО X > 0,
якщо х <С 0;
— оо _ ( — оо, якщо х> 0,
*	1+ оо, якщо х<0;
8)^ = ^г = °
Для розв’язування прикладів корисно ввести поняття нескін-
ченно великої послідовності.
Означення 2. Числова послідовність (хп) називається нескін-
ченно великою, якщо Ііт | хп | = + оо.
П-*оо
Зазначимо, що послідовність (хп) є нескінченно великою тоді і
тільки тоді, коли — = о (1) (хп^ 0).
ХП	__	__
Будемо надалі позначати через Щ одночасно множину і упо-
рядкований простір (К розрізняючи зміст позначення за текс-
том викладу.
Вправи
1.	Нехай V п £ N 2п ~ хп “Ь Уп- Що можна сказати про збіжність чи роз-
біжність послідовності (зп), якщо:
а)	обидві послідовності (хп), (уп) розбігаються;
б)	послідовність (хп) збігається, а послідовність (уп) розбігається? Наведіть
приклади.
2.	Виконати вправу 1 у випадку, коли гп = Хпуп,
3.	Чи може добуток двох необмежених послідовностей бути нескінченно ма-
лою послідовністю?
4.	Чи може добуток нескінченно малої та нескінченно великої послідовностей
бути:
а) нескінченно малою послідовністю; б) нескінченно великою?
5.	Довести, що монотонна послідовність (хп) збіжна, якщо збігається деяка
її підпослідовність.
X . .
6.	Якщо Ііт хп = 0, то що можна сказати про границю Ііт —— ?
пчоо	п-*оо хп
- гт	•	• / х І і і п	ПЛ \	,	. .
7.	Для послідовності (хп) — І '	। С05 І зна®ти 1П’зир хп,
Ііт хп, Ііт хп.
8.	Довести нерівності
Ііт х	+ Ііт у	< Ііт (х	+ у )< Ііт х	+ Іїт	уп.
п-ь-оо	П-*оо	Н-*оо	п-*оо	П-»оо
2.4.	Фундаментальні числові послідовності. Критерій Коші.
Означення. Послідовність (хп) називається фундамен-
тальною, якщо V є > 0 існує такий номер пе £ що
\/(п>ле, рСИ) |хп+р—хп|<е.
52
Це означення належить О. Коші (1789—1857). Йому ж належить
наступна теорема, яка встановлює критерій збіжності числової по-
слідовності.
Теорема (критерій Коші). Послідовність (хп) дійсних чисел збі-
гається тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна,
◄ Необхідність. Нехай існує Ііт хп = х. Тоді \/е>0 існує такий
П-юо
номер Пе 6 И, ЩО V п ПБ І Хп — X І < у . Отже, V (и > пе, р 6
Є маємо
І хп+р — хп І = І (хп+р — X) + (х — хп) І С І — л: і 4- / X — Хп |< Є,
тобто послідовність (хп) фундаментальна.
Достатність. Нехай послідовність (хп) фундаментальна. Згід-
но з теоремою 3, п. 2.1, вона обмежена. За теоремою Больцано —
Вейєрштрасса існує збіжна підпослідовність (хпД Із означення фун-
даментальної послідовності дістаємо, що хк—хП/і = о (1), звідки
хА=хПл + о(1). За теоремою про границю суми послідовностей
існує границя послідовності (хй). >.
Вправи
1.	Користуючись критерієм Коші, довести збіжність послідовностей (хп), де:
а) *п = Оо + а# + ... + апф1, | 7 І < 1, | а* | < М V 20;
- і х 1 х х_ 1 ♦
б) Хп 1 4“ 22 “т* ••• **" п2 ’
_ С05 І І □ соз 2! , СО5 п\
В) хп рту -і- 2 3 -+• ... -і- л(п ц.
2. Послідовність (хп) має обмежену варіацію, якщо існує таке число О 0,
що V п 2 справджуються нерівності
Довести, що послідовність обмеженої варіації збігається.
Побудувати приклад збіжної послідовності необмеженої варіації.
3. Користуючись критерієм Коші, довести розбіжність послідовності (хп), де
2.5.	Правило винесення о-малого за знак суми. Теореми Коші
та Штольца.
Означення. Нехай (ап), (Ьп) — числові послідовності, Якщо
\/е > 0 3 пв £ : \/п пе | ап | є&п, то будемо записувати
Надалі для позначення суми елементів поля вживатимемо
п
знак 2, наприклад, ак = аг + а2 + ... + ап,
к=\
Виконується таке твердження.
п.
Теорема, Нехай	V Ьк-> + оо при п->оо і
&=]
П	П
«П = °(Ьп). Тоді £ ак = о (2 ьк) •
53
4 3 умови ап = о (Ьп) випливає, що Уе > 0 3 пг £ И : \/п пе
|ап|^еЬп. При усіх п^пе виконується оцінка
п	п	п
к—пг	к=пг
п
Із співвідношення Ііт V Ьк = + оо випливає існування такого
п~*°° к=\
номера п'е, що \/п га'
"е
£=1
п	п
Якщо и^>тах{пе, п'}, то |у айІ^2в у Ьк, тобто
б=і	б=і
п	п
Хаь=0(ИЬк)’
к=\	6=1
Наслідок. Нехай Уп£И Ьп>0 і
а	—
що існує Ііт -г^ = /, І £ К, то існує
П->сю °п
п.
Ііт V Ьк = + оо. Як
П
к=1
◄ Нехай /£1Р. Оскільки
п	п

•і — / = о(1), то, згідно з теоремою, права частина рівності
“к
(1) прямує до нуля.
ь
Якщо / = + оо, то Ііт — = 0, звідки випливає, що ап =Д 0,
П-+ОО ап
починаючи з деякого номера, і а,п>Ьп при усіх досить
54
п,
великих Тому Ііт V ак = -|- оо і існує
п-о;’ *=
п	п
2 ».	V
Ііт — = 0, тобто Ііт — = + оо.
П-УОО	П-*ОО
1 ак	£ Ьк
к=1	&=1
Випадок І = — оо зводиться до розглянутого, якщо покласти
аЛ = ак' ►	_
Теорема Коші. Якщо існує Ііт ап = /, /£К, то існує
п-^оо
Ііт
П-»-оо
П
Л=1
п
4 Для доведення покладемо в наслідку Ьк= 1	>
Теорема Штольца. Якщо послідовність (уп) монотонно пря-
мує до + оо та існує Ііт п+- — — = /, /£К, то існує
П-+ОО Уп+і — Уп
Ііт = /.
п -*ОО Ул
4 Для доведення покладемо в наслідку ал+і = хл_|_і—хпі ах =
= хи Ьп+1 = уп+і — уп, Ьг = уг. Тоді
п	п
Хп = 2 а*' Уп^^Ьк V/! 6 N. ►
6=1	/г=1
Вправи
1. Користуючись теоремою Коші, довести, що коли послідовність (хп) додат-
них чисел має границю х, то середнє гармонічне та середнє геометричне її членів
мають іу саму границю:
п
Ііт
Ііт хгх2 ... хп ~ х.
*2
п
п
2. Довести,
що Ііт
П->ОО
^хп = ?т
якщо
існує Ііт
П-*-ОО
З» Довести*
що Ііт
р € N — фік-
—і х
л
хп—1
п
соване.
4. Довести, що послідовності (х ), (у ), визначені формулами = ау
ТІ» 71»
У1 = ь, Х„+1 = У^7П, Уп+і = п - Уп , мають спільну границю р (а, Ь) =
= Ііт х = Ііт у .
55
2.6. Число Є. Розглянемо ПОСЛІДОВНІСТЬ (хп), де Хп==(1 4
Покажемо, що вона зростаюча і обмежена зверху. Застосовуючи
формулу бінома Ньютона (див. п. 1.7), дістаємо
1 , м 1 ,	п (п — 1)	1	,	п(п —1)(п	—2)	1	,	,
= 1 + П п +	---2!--+	--------3!------7? +	+
. п (п—1) ... (п — /г + 1) 1	п (п—!)...(« — (п — 1)) 1  
4	к\	+ •••4	щ	“
Якщо в цій рівності замінити
ках збільшаться та, крім того,
п на п 4- 1, то вирази в дуж-
, 1
з явиться доданок	—п-г-г- х
(л+1)1
Отже, Хп<Хп+1, тобто послі-
довність (хп) зростаюча. З нерівностей 11 — — І <с 1, які справд-
жуються \/к = 1, п— 1, маємо оцінку
ХП<2+ 2! + ••• + п! ~~Уп-
(2)
Оскільки	, то Уп>2
2
Таким чином, хп< 3 і за теоремою Вейєрштрасса про монотон-
ну обмежену послідовність (див. п. 7.3, розд. 1) існує границя по-
слідовності (хп), яку позначають літерою е>
Ііт (1 + — = е.
П-+ОО \	П /
Послідовність (уп) також збігається до числа е. Дійсно, якщо к £
С фіксоване і к <2 п, то з рівності (1) дістаємо нерівність
хп>2+4-П —+.. + 4-А -	--^-4.	(3)
71	1 21 \ п) *	‘ й! \ п)	\ п /
Здійснивши граничний перехід в нерівності (3) при оо, мати-
мемо оцінку
2 4-	+ ... 4- — == укі	(4)
яка виконується € И- Беручи до уваги, що уп < хп<уп> Ді-
стаємо нерівності
(5)
56
Застосовуючи теорему про порядкову ознаку існування границі
(див. п. 6.3, розд. 1), маємо
Ііт уп = е.	(6)
ГІ-* оо
Послідовність (уп) зручна для наближеного обчислення числа
Є. Для ОЦІНКИ Є — уп розі ЛЯНЄМО різницю Уп+т — Уп> № п £ т £
С № Маємо
1 , 1 1
Уп^-т Уп'— (и + 1)! І 1 + л Ц-2 (л + 2) (л + 3)
4-	1	\	1	/1 4- —1	4-	4-	1	\ =
’ (п 4- 2) (п + т) ) (л + 1)1 \ л 4- 2 т (Л _|_ 2)ш“1 /
__	1	п + 2	/1 _	1	\	п + 2	1
(л + 1)!	л+~г	~~ (д 4- 2)т	/	4« + 1)1 (« +	і) «ь” ’
Зафіксувавши п б та здійснивши перехід до границі при т -> оо*
дістанемо нерівності
Вводячи позначення 0П = е~1 Уп , знаходимо зручну формулу для
п\п
обчислення числа е\
п
О<еп<1.
Похибка, якої припускаємося, покладаючи е«уп, не перевищує
0	о
. Наприклад, при 10 е — у^^	<3 - КР7. При цьому
2,718281.
Теорема. Число е ірраціональне.
4 Якщо зробити припущення, що е — раціональне число, то е —
= —, де т С п С И- Тоді, згідно з формулою (7), матимемо
звідки знайдемо
—- — т(п — 1)! — (2 + 4г + ••• + ~т)п|-
л 4	’	\	' 2!	1 л! /
Ця рівність позбавлена змісту, бо справа в ній ціле число, а зліва
дріб. Таким чином, припущення, що е раціональне число — невір-
не. >
і 3 шкільного курсу математики відомо, що число Ь £ К назива-
ється логарифмом числа х > 0 за основою а (а> 0 Д а 1), як-
що аь = х. При цьому використовують позначення Ь = 1о§а х. Як-
що а = е, то 1о§е х називається натуральним логарифмом і позна-
чається 1п х. Використовуючи відому залежність між логарифмами
57
чисел за різними основами, знаходимо, що зв’язок між десят-
ковими та натуральними логарифмами виражається формулою
X =	е Іп х = М 1п х,	(8)
де М — І§ е — 0,434294...— так званий модуль переходу.
Розглянемо приклади.
/ і ун-і
Приклад 1. Довести, що послідовність (г ), де г = 1 +	, спад-
на І збігається до числа є,
І 1 А /	1 \п
З рівності гп = П+~І(І+“І » граничних співвідношень
І 1 \	(	1 \п
Ііт (1	4~	— 1=1,	Ііт 11	+	— І = е	та	теореми	про границю	добутку	двох
Л->оо \ П ]	П~+оо \	П /
послідовностей	дістаємо, що	Ііт г	—	е.	Доведемо,	що	послідовність	(г	)
71
спадна. Для цього розглянемо частку
гп
1
З нерівності
оцінки
1 Г
П2 — 1
п
1
п2 — 1)
п.
> яка виконується Ул>1, дістаємо
гп п+ і__________і __ П3 * * + Л2 ~ П — 1 і 7	7
гп^} п	п	п3 — п + п2	Л п”1*
1 + д? _ 1
Приклад 2. Довести	нерівності
1 / 1 \ 1
ії+і<ІП(1+— )<~ ‘	<9>
З прикладу 1 випливає, що гп, Логарифмуючи нерівності
/	1 \п /	1 \*+1
О + т) <*<(' + ^) •
дістаємо оцінки (9).
Приклад 3. Довести, що послідовність (х ), дех = 1 + “у + +т-----
— Іп п, має скінченну границю.
Користуючись оцінками (9), дістаємо нерівності
/ 1 \ 1
*п—*„+! = |п(! + т)-;гп >0*
з яких випливає, що послідовність (ха) спадна і обмежена знизу. Тому вона має
границю, яку називають сталою Ейлера і позначають через С, Отже, 1 + і +-
+	ІП л = С 4- о (1).
58
Приклад 4. Довести, що ІІт =1 (а > 0).
«-► оо
Якщо а = 1, то рівність очевидна. Нехай а > 1. Тоді > 1 і а =
+	—1))п. Застосовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо нерівності
а = 1 Ц- п (уґа — 1) +	а — 1)п > п (у/~а— 1),
а
є
виконуватиметься оцінка-
Нехай в > 0. Тоді V п по, де по =
о	о
п	і	п Г —	п
0</а— 1 < в, яка означає, що Ііт уа=1. Якщо0<п<'1, то по-
«-►ОО
1
кладемо Ь = — . Тоді Ь > 1 і
П/—	1	«/—	і
V а = -^73 > Ьтп / а = ——— = = 1.
у Ь п-*оо	Ііт у Ь
п-*оо
Приклад 5. Довести, що Ііт -П ? ® 0.
«-►оо
Якщо Ь > 1, то Ііт — = 0. Дійсно, оскільки Ьп = (1 4- (Ь — 1))п = 1 -Ь
«—►оо ЬП
+ п (Ь — 1) + п (П ~ [) (Ь — І)2 + ... + (Ь — 1)” > " У (6 — І)2 і
£ &
П	2	1	I П \	ті »	. А
— < Т7------гпг------г-, то послідовність — нескінченно мала. Нехай є > 0.
У1 (Ь __ 1)2 п _ і	\ У2 /
1	П
Покладемо Ь = е8. Тоді Ь >1 і---<-----< 1 або 1 < л < для досить вели-
е8л	ееп
ких значень п. Логарифмуючи останню нерівність, дістаємо для вказаних п нерів-
. л 1п п _	.	.	- л .. 1ппл
ності 0 <-----< е. Внаслідок довільного вибору е >» 0 маємо Ііт ------с= 0..
/1->оо
ІП Л
Твердження. Яким, би не було е >» 0, завжди ііт ——- = 0.
«-►оо пв
п	е Т . 1п«	1 Іп ап п
Для доведення твердження покладемо гг = ап. Тоді —----------- . Якщо
Оскільки 1 4- -/
підпослідовністю
Р«
. / 1п п .
послідовності ------], то ііт
І ш гИ і
0 при п	оо, а послідовність І —-п— І е?
\ р« /
ЇІІ-о.
гг
59*
§ 3. Теорія дійсного числа
за Вейєрштрассом
Проблема існування множини усіх натуральних чисел вия-
вилася складною для математиків Вона відноситься до сучасної
математичної логіки та до теорії множин. В алгебрі використову-
ється існування множини і конструктивно побудовано поле ра-
ціональних чисел. Уявляється цілком природним у курсі матема-
тичного аналізу довести існування дійсних, а потім і комплексних
чисел, спираючись на вже відоме поле © усіх раціональних чисел.
Існує кілька конструктивних теорій дійсного числа, найбільш
відомими серед яких є теорії Кантора, Дедекінда та Вейєрштрасса,
побудовані ще в минулому столітті При викладанні курсу мате-
матичного аналізу перевага надається теорії дійсного числа за Вей-
єрштрассом, основи якої подаються в шкільних підручниках з ма-
тематики. Справа в тому, що вона більше, ніж інші теорії, пов’язана
з задачами вимірювання площ та об’ємів, тобто з задачами практи-
ки. Однак оригінальна теорія Вейєрштрасса складна як доведен-
ням класичної теореми про існування верхньої межі, так і обгрун-
туванням властивостей арифметичних операцій. У теорії Кантора,
яку тут не розглядатимемо, досить просто, шляхом граничного пе-
реходу, обгрунтовуються властивості суми та добутку чисел, але
складним для розуміння є саме поняття числа.
Нижче пропонується поєднання теорій Вейєрштрасса та Канто-
ра: у розумінні числа ми наслідуємо Вейєрштрасса, а для доведен-
ня основних теорем використовуємо ідею граничного переходу, якою
користувався Кантор. Крім того, користуємося операціями мно-
ження та ділення десяткових дробів на 10, які легко визначити.
Матеріал цього параграфа можна розглядати як логічне за-
вершення тих знань про числа, які одержані в середній школі.
3.1. Зображення числа нескінченним десятковим дробом. Не-
скінченним десятковим дробом називається упорядкована пара
(д0, а), складена з цілого числа д0 і послідовності а = (ап) таких
цілих чисел, що V п С И 0	ап 9. Позначається він х
= а0, аха2а^... Назва пояснюється тим, що ап можуть приймати зна-
чення 0, 1, 2, ..., 9, пов’язані з загальноприйнятою десятковою си-
стемою числення. Крім того, назва пов’язана з правилом множен-
ня на 10, яке виконується за формулою ІОх = (1Оао + Лі), а2а3....
Завжди здійснюється обернена операція, яка називається діленням
на 10. За допомогою методу математичної індукції визначаються
операції множення та ділення на 10” V п б
Приклад 1. Нехай х = 12,5132... . Виконати операції множення та ділення
на 10п, п = 1, 2, 3.
Маємо Юх = 125,132 ... , ІО** = 1251,32 ... , 103х = 12513,2 ... ,	=
= 1,25132 ... ,	= 0,125132... ,	= 0,0125132... .
Приклад 2. Нехай х = (— 1), 2513 ... •
60
Тоді Юх =(— 1-Ю+ 2), 513 ... = (—8), 513 ... , 10«ж=(—8-10 + 5),ІЗ ... =
= (- 75).13 ... , ІСРх = (- 749),3 ... . -^ = (- 1),92513 ... ,	=
= (- 1),992513 ... ,	= (— 1), 9992513 ....
Приклад 3. Нехай х = (— 12), 5132 ... .
Тоді Юх = (— 120 +• 5),132 ... » (— 115),132... , ІО^х = ( — 1149),32 ...
... , І03х = (— 11 487), 2	2), 85132 ... ,	= (— 1),885132 ...
, -]0з~ =(- 1),9885132... .
Нескінченний десятковий дрібх = а09 '\а2... має 9 в періоді, якщо
існує таке п0 М, що V п п0 ап = 9. З метою спрощення фор-
мулювань, пов’язаних з означенням рівностей та нерівностей між
числами, а також з означенням цілої частини числа, з десяткових
дробів відкидають ті, які мають дев’ятку в періоді. Крім того, дро-
би з дев’яткою в періоді відкидають з метою, щоб раціональні чис-
ла зображались однозначно за допомогою нескінченних десятко-
вих дробів. Інтуїтивно ясно, що нескінченні десяткові дроби 1,00...
та 0,99... повинні зображати одне й те саме число 1 £ Вилуча-
ючи з розгляду дріб 0,99..., залишаємо для 1 єдине зображення
1,00... .
Усі нескінченні десяткові дроби, які залишаються після відки-
дання десяткових дробів з дев’яткою в періоді, називаються дій-
сними числами за Вейєрштрассом. їх множину позначимо через
ІК1, зберігаючи позначення К для абстрактного повного упорядко-
ваного поля.
Нехай х = а^а^..,,	К1. Число а0 називається цілою час-
тиною х і позначається через [хі. Раціональне число а(ііа1...ап =
= а0 + -гт +...+ ототожнюється здійсним числом а,...а 00...
и 10	10”
і називається п-наближенням числа хз недостачею. Таке наближен-
ня позначимо через хІпі. Раціональне число хГл| 4—називається
п-наближенням числа х з надлишком і позначається через
Приклад 4. Нехай х = 12,513 ... •
Тоді	= [х] = 12,	= 12,5, Хф = 12,51, що можна зобразити так:
12 = 12,00 ... , 12,5 = 12,500	, 12,51 = 12,51000 ... .
Приклад 5. Нехай х = (— 1), 2513 ... .
2	8
Тоді = Iх] = — 1» Х[Г| ~ (— 1)»2 =	1 + ”їо~ ~ ю“ ♦ х[2] =
75	8	75
=* (	1)> 25 в |О0 »1) =	і)» 00	, — |0 = (“— 1),20 ... ,	100
= — 1),2500 ... .
Приклад 6. Нехай х = (— 12),513	,
.	Н5
Тоді — 1*1 —	12, х^ = — (12),5 = — 10 * ^[2) —	2),51 ==
1149
т ~ 100 •
61
Два числа х = а0, х Є Ж1, та у = Ьо, ЬгЬ2..., у Е Ж1, нази-
ваються рівними, якщо V п 6 2о ап = Ьп. Це означення узгоджу-
ється з рівністю упорядкованих пар (а0, а) = (Ьо, Ь). Числах і у по-
рівнюються в такий спосіб. Якщо а0 < 60, то х < у. Якщо а0 = Ьо,
то х < у « 3 гід 6 И 5 аПо < ЬПи Д V п < До ап = Ьп.
Простір (Ж1, е упорядкованим.
Розглянемо приклади.
Приклад 7. Порівняти числа х = 12,513... та у = 13,513... .
Тут а0 = 12, Ьо = 13. Оскільки а0 < ЬОі то х < у.
Приклад 8. Порівняти числа х == (—12),513... та у == (—13),513... ,
Тут а0 > Ьо, бо Оо = — 12, Ьо = —13. Отже, х > у.
Приклад 9. Порівняти числа	12,513... та у = 12,514... .
Тут а0 = Ь{} == 12, а1 = Ьх = 5, а2 "	= 1, ай = З, Ь3 = 4. Оскільки а3 <
<3 Ь3, то х < у.
Приклад 10. Порівняти числа х ~ (—12),513... та у = (—12),514... .
Маємо аі = Ь( (і = 0, 1, 2), а3 = З, Ь3 = 4, а3 < Ь3, тому х < у.
Оскільки простір (Ж1, ^) є упорядкованим, то можна користува-
тися усіма теоремами, доведеними в розд. 1. Користуватися теоре-
мами з попереднього параграфа можна лише тоді, коли буде визна-
чено операції додавання та множення чисел в Щ1, а також переві-
рено виконання аксіом повного упорядкованого поля. Зазначимо
деякі факти, характерні для простору Ж1-
З означення нерівностей випливає, що
*<//<=> V Л 6^	П)
Отже, виконуються такі твердження.
Лема 1. V х С Ж1 існує Ііт Х[П] = Ііт Х[пу = х.
П-+оо	П-Юо
Лема 2. Якщо V п € 2?о € 2? ї V п £ N виконуються нерівнос-
ті 0 аЛ— 10ап_]	9, то послідовності /.21? "Ь1Л збіга-
\ 10" / \ 10п /
ються у просторі (Ж1, ^), причому Нт-^= Ііт -а”-.
П-*<х> 10* П^оо Ю
◄ Якщо існує таке п0 £ И, що Уп > п0 виконується рівність ап —
4- 1 ос [ ]
— 10аЛ^і = 9, то — =	= Т ДЛЯ У6*Х П
же, Ііт = Ііт —— - = г.
П-*-оо 10^ П^-ос
Якщо ап— 10ап_| <9 для нескінченної множини значень п,
то нескінченний десятковий дріб х = ао,аг де а0 = а0, ап =
= ап— 10ап_| V п 6 є дійсним числом. При цьому V л £ №
маємо
•Чи] а®)	••• сі'п 4“ їо
«і — Юа0
10
- Юап^і _ ап
10"	10п *
62
Застосувавши лему 1, дістанемо висловлене твердження.
Для перевірки виконання умов леми 2 корисною буде нерівність
0 < | 10х| — 10 їх) <9,	(2)
яка виконується Ух^О?1.
4 Нехай х — а^а^а* ..., Тоді маємо
(х| =	|10х| = 1()я0 + аг, (Юх] — 10 [х] = а1У
і нерівності (2) рівносильні очевидній властивості 0^аг^9. ►
Лема 3. Нехай х^О?1, гп€(ф>	Якщо
гп^х^г'п і Иш(Гп — гп) = 0, то 1ітгЛ = Ііт г’п = х.
◄ Застосуємо метод доведення від супротивного. Нехай тверджен-
ня невірне. Тоді існує такий інтервал (а, 0) з раціональними кін-
О — О  . О о  о	о—ю-
гп а г х //} г' Р
О—О—і-О—   о ', <> " ю-  - —о-
а г г„ к г'  р п
Рис. 38
цями а та 0, що х 6 (а, 0) і разом з тим гп (а, 0) або гп £ (а, 0)
для нескінченної множини значень п. Візьмемо такі раціональні
числа г, г', щоб виконувались нерівності а<г<х<г/<:0. Як-
що гп £ (а, 0) або гп £ (а, 0), то гп, — гп > г — а, або г'п — гп > 0 —
— г' (рис. 38). Внаслідок умови гп— гп-* 0 при п -> оо ці нерівно-
сті не можуть виконуватися для нескінченної множини значень п £
£ Одержана суперечність доводить висловлене твердження.
Лема 4, V х £ К1 Ііт —= 0.
П-*оо 10"
◄ Твердження випливає з означення операції ділення нескінчен-
ного десяткового дробу на 10” та означення границі за допомогою
околів нуля
3.2. Існування верхньої межі. Наступна теорема найбільш важ-
лива в теорії дійсного числа за Вейєрштрассом. Вона встановлює
повноту упорядкованого простору (Щ1, ^).
Теорема (Вейєрштрасса). Будь-яка непорожня обмежена звер-
ху множина X с К1 л/об верхню межу.
◄ Доведення теореми базується на простому, але важливому фак-
ті: кожна непорожня обмежена зверху множина цілих чисел має
найбільший елемент. Внаслідок цього V п £	3-^п Е X V х £ X
110”х]< |Ю”хп| =ап.
(1)
Згідно з лемою 2, п. 3.1, для доведення існування й рівності одна
(а \	/ ос + 1 \
То^-) ’ \——) досить переві-
рити нерівності 0^ап— ІОап_і ^9. За умовою (1) маємо
ап = іЮ"*п]> а«-і —	[10п~*х„]Сссп-ь
63
Користуючись оцінкою (2) в п. 3.1, дістаємо ланцюжок нерівностей
0<и0"х„_і)—ІОЦО^Ч-ііСа,.- 10а,
^110пхп]— Ю[10п~‘хп]<9.
За лемою 2, п. 3.1, існує
Ііт—= Ііт
1-ос 10" П—<х
а -|- 1
п 1
10"
= *0-
Застосовуючи нерівність (1), дістаємо оцінки
які виконуються V (х£Х,
Перейдемо в (2) до границі при п->оо. Дістанемо
х^хе V х£Х, Ііт хп = х0.
(2)
(3)
п-юо
Нерівність в (3) означає, що х0 — мажоранта множини X, а з гра-
ничного співвідношення в (3) випливає, що х0 є точкою дотикання
множини X. Отже, х0 = зир X.
Гз Доведення теореми має просте геометричне тлумачення. Розгля-
[Юпх]
немо графік функції х >-> -	, х 6 Ж1 (рис. 39). При зростанні
значень п він наближається до графіка тотожного відображення, і
тому —• -> х0.
10"
3.3. Існування та єдиність суми. У шкільному курсі математи-
ки сума дійсних чисел х та у визначена як число г, яке задовольняє
нерівності
+	4-Мп]'	(1)
однак не доведено, що таке число 2 існує і єдине. Крім того, не здій-
снена перевірка аксіом, які відносяться до операції додавання.
Теорема (про існування і єди-
ність суми). Для усіх X £ К1, у 6
6 К1 сума х + у, визначена нерів-
ностями (1), існує, єдина та за-
довольняє рівності
X 4- у = Ііт (х[п1 4- г/ІП]) =
ГІ-^ОО
= Ііт(х[П]/ 4- ум,).	(2)
П-^ОО
◄ Послідовність (Х[Л] + У\п\) не-
спадна, обмежена зверху і, згід-
но з теоремою Вейєрштрасса про
границю монотонної послі до в-
64
ності в повному упорядкованому просторі, має границю, яка об-
числюється за формулою
Ііт (х1л1 4- уіП1) = 8ир{х1п) 4- Уіп]} = а-	(3)
П-ЇОО	п
Оскільки V (/І 6 т 6 хІП1 + У п] < х[шГ + то Ут 6
Є И а хітг + У\т]'- 3 останньої нерівності та співвідношення
(3) випливає, що за г в (1) можна узяти а. Тому сума х + у існує»
Нехай г задовольняє умову (1)., Згідно з лемою 3 з п. 3.1, знаходи-
мо співвідношення
* = х + у == Ііт (х[л! + у(п1) = Ііт (х[пГ + ущу)-
П-юо
п-*оо
З єдиності границі випливає єдиність суми х + у. Крім тоїоУ'др^е-
дено рівності (2). >	“
3.4. Властивості суми. Перевірка аксіом.
Теорема 1 (правило додавання нерівностей). Нехай хь х2, уи
у2 — числа з К1 Якщо хг уи х2 у*, то х1 + х2 У\ + У^ тоб-
то нерівності можна додавати,	1
◄ Оскільки V п 6 хцп] У\\п\’, *2іп] С У2\п}' і нерівності для
раціональних чисел можна додавати, то V п Є хцП| + *2і«і^
Уііпр + У2іп]'. Здійснивши в цій нерівності граничний перехід
при п, -> оо та взявши до уваги рівність (2) з п. 3.3, дістанемо пот-
рібну нерівність. >
Теорема 2 (про існування нуля і про властивості комутатив-
ності та асоціативності суми). Нехай х, у, г належать множині П<1
і 0 = 0,00... . Тоді х + 0 = х, х + у — у + х,(х + у) + г = х +
+ (У + *)•
◄ Перші дві рівності випливають з формули (2), п. 3.3. Доведемд
властивість асоціативності суми. Очевидно, що V п 6 И справджу-
ються нерівності
х Х[П]', У\п\ У У\пУі ?[л1	2	(1)
Додаючи ці нерівносгі, дістаємо для усіх п £
(*іп] + і/іні) + г(п1 < (х + у) + г < (х[пГ + у[пу) + г(пу, (2)
Чп ] + (У\пу + г[л)) < х 4- (у + г)< х1п? + (//иг + гиг). (3)
Взявши до уваги лему 3 з п. 3.1, а також властивість асоціатив^
ності суми раціональних чисел, дістанемо потрібне твердження.
Теорема 3 (про існування протилежного числа). Якщо х £ Щ1,
то існує таке (—х) £ ІК1, що х + (—х) = 0.
◄ Очевидно, що V (п С И, т £ |^) виконується нерівність

(4)
Послідовність (—Х[П]') неспадна й обмежена. За теоремою Вейєрш-
трасса про границю монотонної послідовності в повному упорядкова^
йому просторі вона має границю. Позначимо її через а. Маємо
 і
Ііт (— Х[Пр) = $ир (— Х|„г) = а.	(5)
П-ЇСО	П
з 1-2914
6$
При фіксованому значенні т ( і п. -> оо з нерівності (4) випливає,
ЩО V/л 6 виконується нерівність	—Х[т]. Взявши до уваги
співвідношення (5), матимемо нерівності
(— Хіту) < а С (— х(т]).	(6)
Додаючи ці нерівності до Нерівностей х^п] х Х[ту, дістаємо
V т £ оцінки
1(Г
10т ’
в яких випливав рівність х + а = 0 Отже, замість —х можна взяти
число а. >
. Теорема 3 дає можливість ввести різницю двох чисел х £ у 6
СІК1 за правилом
г == х — у 2 = х + (— у)-
Оскільки в ік1 визначено операції додавання та віднімання, до-
ведено їх основні властивості і може бути збережене поняття моду-
ля, то цілком закономірно користуватися усіма результатами § 2
про границі послідовностей, за винятком тих, які пов’язані з опе-
раціями множення, обернення та ділення.
3.5.	Добуток невід’ємних чисел у множині К1, його існування
та єдиність. У шкільному курсі математики добуток дійсних чисел
х 0 і у 0 визначено як число г 0, яке V п 6 И задовольняє
нерівності	.
Х\гі\'У\п}'С	(1)
Доведемо його існування та єдиність.
Теорема. Для будь-яких невід'ємних дійсних чисел х і у існує
єдине число г 6 Ш1, яке задовольняє нерівності (1) Воно називається
добутком х та у і позначається через ху. При цьому
Ііт х।пуу[п। — Ііт Х\пуу\гіу — ху-
П.-+ОО	Г?->0О
(2)
4 Послідовність (хіп]#[п]) не спадає і обмежена зверху, наприклад
числом	3а теоремою Вейєрштрасса про границю монотон-
ної послідовності в повному упорядкованому просторі (ік1, іс-
нує
Ііт хїп]у[п] = а = зир хіп]у[п1.	(3)
П-*оо	П
Оскільки V (л Є (^, т 6 виконується нерівність Х[Пуу^
Х[гп\'У{пі ', то після переходу до границі при п -> оо і фіксовано-
му /и С И матимемо нерівність
а Х{т}'У\_!П\‘,	(4)
яка виконується V т 6
Взявши до уваги співвідношення (3) та нерівність (4), V т £
маємо
хІт]Уіт] Хіт]'Уі/п]‘‘
(5)
66
Таким чином, доведено існування добутку ху, за який можна взяти
число а, Доведемо його єдиність. Нехай виконуються нерівності
(1). Оскільки
ХгпІ "Г У\п\ . і ____X 4- у ,	1 /Лі
о С Х\.пуупу — Х\П\У[П\ = -	0„----*- +	< —у^г 4-	(6)
і права частина цієї нерівності прямує до нуля при п -> оо, то, згід-
но з лемою 2, п. 3.1, виконуються рівності (2). >>
3.6.	Властивості добутку невід'ємних чисел.
Теорема 1 (про множення нерівностей). Якщо 0 х щ 0
и V, то хи уо.
◄	Згідно з властивістю (1), п. 3.1, та правилом множення нерів-
ностей для раціональних чисел, V п £ И маємо
Перейдемо до границі в цій нерівності при п оо. Дістанемо не-
рівність хи уо.
Теорема 2 (властивість комутативності). Якщо х 0, у 0,
/по ху = ух.
◄	За теоремою з п. 3.5 маємо
ху = Ііт Х[п}У[П = 1ітг/[П1Х[ПІ = ух. ►
П-*оо	гі-юо
Теорема 3 (властивість дистрибутивності). Якщо х 0, у 04
2	0, то х {у 4- г) == ху + хг, Якщо крім цього, ще й у г, то
х (у — г) = ху — хг.
◄	Для всіх п 6 И маємо
Х[п]У[п1 +	= Х|П| О/[Л] + 2ІП1)	*|п| (у + 3)[н]
х|л|' (Уіп}' + 21лГ) == Х\п]Щ[п\' + Х[пу^[п]'-
Після граничного переходу в цих нерівностях при п -> оо (див.
співвідношення (2) з п. 2.5) дістанемо нерівності
ху + хг х (у + г) ху + хг,
в яких випливає потрібна рівність. Аналогічно якщо г у, то
Х[п]У[п] Х[п)'2[П]* Х[П] (У[п1	г1п1')	(У 2)[л]
Х[п] (У[п1'	— Х[п]У[п]' Х[п]2[гГі Х[п]'У[п]'	Х[П]^[п]*
Для завершення доведення теореми залишається здійснити гранич-
ний перехід в одержаних нерівностях при п-> оо.
Теорема 4 (властивість асоціативності). Якщо х 0, у 0.
г 0, то х (уг) = (ху) г,
◄ Маємо
^[Л] (у^)[л] Х[п] (У[п1'2[п1') — (ХїпіУіп)) 2[п]
Х[л]^1п1 +х|пАл] , Х[л]	, ху + хг , X
--------іо”--------+ їо^	-----г •
з*
67
Після граничного переходу в цих нерівностях при п оо дістане-
мо нерівність х (уг) (ху) г. Аналогічно доводиться нерівність
(ху) г х (ух) Отже, х (уг) = (ху) г.
3.7.	Операція множення та правило знаків. Визначимо добу-
ток будь-яких чисел з К1 шляхом застосування відомого правила
знаків, щоб зберегти звичні закони операцій додавання та мно-
ження.	4
Протилежне число —х визначається по х однозначно. Дійсно,
якщо а = —х, Ь = ~^х, то
(а 4- х) + 6 = 0 + 6 == & == а 4- (х -\-Ь) = а + 0 = а.
Для встановлення властивості дистрибутивності множення слід
вважати, що V х 0 виконується рівність (—1) х = —х. Дійсно,
х + (— 1) х,= 1 • х + (— 1) х = 0 • х — 0.
‘Нехай у < 0, х > 0. Для збереження властивості асоціативнос-
ті множення слід вважати, що ух = (—1 • | у |) х = (—1) [у | х =
— —- | М х. Аналогічно вважатимемо, що ху = | х || у | у випадку,
коли х <С 0, у < 0.
Означення. Нехай х 6 К1, У € К1 їх д о б ут к ом називаєть-
ся число ху = | х || у | 8§п х 8£п у.
Це означення називається правилом знаків при множенні. Зазна-
чимо, що завжди —(х + у) = —х + (—у), —(х — у) = ~^х + У-
Теорема. Нехай х £ К1, у Є г € К1- Тоді (ху) г = х (г/г), 1 X
X х = х, л (у + г) = ху + хг. Якщо х Ф 0, то існує таке х~1 6
С К1, Щ° хх~~] = х—1х — 1.
4 Перші три твердження випливають з властивостей множення не-
від’ємних чисел та правила знаків. Доведемо четверте твердження.
За допомогою правила знаків воно зводиться до доведення рівності
І X 11 (І У І + І г І) = І х II у + І X II 2 І, якщо 8§П у = 8§П 2, або до
встановлення рівності х | (| у | — | г |) = | х || у | — | х || 2 |, як-
що 8§п у = —8§п г Не обмежуючи загальності міркувань, у дру-
гому випадку можна вважати, що | у |	| г |. Доведення цих рів-
ностей подано в попередньому пункті.
Отже, доведено, що К1 € повним упорядкованим полем і його мо-
жна розглядати як одне з можливих зображень абстрактного прос-
тору К. Зокрема, для послідовностей з К1 виконуються усі теоре-
ми з § 2.
3.8.	Незчисленність множини дійсних чисел. Зображення прос-
тору ІК за допомогою нескінченних десяткових дробів дає змогу до-
вести таке нетривіальне твердження, яке належить Кантору.
Теорема (про незчисленність множини точок сегмента [0, 1]).
Сегмент [0, 1] не є зчисленною множиною.
◄ Припустимо, що насправді це не так. Тоді усі числа сегмента
[0, 1] можна записати у вигляді послідовності
хх == 0, араз0 ..., х2 = 0, а(і2)42)...,..., хп = 0, а\п)а2П} ..., ... .
(1)
Побудуємо дійсне число
0, 67^2	•••
(2)
за правилом
1°’
|8,
якщо а(п} 5,
якщо а{п} < 5.
Нескінченний десятковий дріб (2) зображає дійсне число х 6
£ [0, II і не зустрічається в послідовності (1). Дістали суперечність,
джерело якої в припущенні, що сегмент [0, 11 є зчисленною множи-
ною. ►
Означення. Множина X, еквівалентна множині точок сегмента
[0, 1 ], називається множиною потужності конти-
нуума.
Наприклад, довільний сегмент [а, 61 с: К має потужність кон-
тинуума, бо існує бієктивне відображення
/
[0, 1] +> \а, Ь\, де /(%) == а + (6— а)х.
§ 4. Комплексні числа
у В елементарному курсі алгебри виникнення поняття комплекс-
ного числа здебільшого пов’язують з рівнянням х2 + 1 =0. Перш
за все виявляється, що не існує дійсних чисел, які б задовольняли
це рівняння. Тоді вводиться до розгляду нове «уявне» число і =
= К—1, і вказане рівняння вже має корені ± і. Потім розгляда-
ються «комплексні числа» х 4- іу як суми дій-
сних чисел х та «уявних» чисел іу. Правила
дій з цими новими числами дають можливість
проводити над ними операції, як над дійсними
числами, замінюючи в кінцевих результатах і2
на —1 Після введення нових чисел виявля-
ється, що всі квадратні рівняння виду х2 4-
+ рх + д = 0 і, взагалі, всі рівняння ви-
ду хп 4- ргхп-} + ..+ рп^\Х 4- ра = 0 з до-
вільними коефіцієнтами мають розв’язки.
Описаний спосіб введення комплексних
чисел не може нас задо-
вольнити, бо породжує погляд на них як на об’єкти, не існуючі ре-
ально, в буквальному розумінні слова «уявні».
Ми підемо іншим шляхом, а саме, надаючи схемі введення комп-
лексних чисел геометричного відтінку.
4.1. Визначення комплексного числа. Розглянемо площину ЕК2
і кожну її точку г =• (х, у), де х £ К, у € К, будемо вважати вектором.
У відповідності з цим визначимо модуль г та операцію додавання
= (Хі, Ух) і ?а = (х2, у^ за відомими правилами для векторів
(рис. 40):
|г| —Ухг + уг, г = г1 + г2Ф?х = х1 + ха Ду = і/1+у2.	(1)
Згідно з теорією векторів на площині, г можна розкласти за век-
торами 1 = (1, 0) та і = (0, 1) (рис. 41):
г = х-1 + уі.	(2)
Виникає запитання: чи можна, зберігаючи властивості (1) та (2), що
визначають операції над векторами, ввести операцію множення то-
чок площини П<а, перетворивши їх в числа, які називатимуться
комплексними? Вимога збереження властивостей (1) та (2) є істот-
ною. Без них ми могли б узяти оборотне відображення К на ІК2 і
прийняти його за ізоморфізм упорядкованих полів, перетворивши
площину К2 в незручне для застосувань зображення упорядкова-
ного поля дійсних чисел.
Вважатимемо вектор 1 одиницею операції множення. Тоді, бе-
ручи до уваги рівність (2), для позитивної відповіді на поставлене
вище запитання виникає потреба правильно визначити добуток іі =
= і2 Оскільки 1 • і = /, тобто точку (0, 1) дістаємо з точки (1, 0)
поворотом площини К2 проти напряму руху годинникової стрілки
на кут , то покладають
і2=-1.	(3)
Користуючись рівностями (2) та (3), запишемо для г = (х, у)
співвідношення
г-і == (х* 1 + уі) і = — у* 1 + хі = (— у, х).	(4)
Точку (—у, х) дістаємо з точки (х, у) шляхом повороту площини
П<2 проти напряму руху годинникової стрілки на прямий кут
(рис. 42), Поворот на інший кут можна буде дістати за допомогою
множення не на і, а на інше комплексне число. Удаючись до комп-
лексних чисел, можна вивчати найважливіші перетворення пло-
щини: зсув, поворот, гомотетію. Сказане підтверджує важливість
для математики комплексних чисел.
Тепер запишемо правило множення точок площини ІК2- Маємо
(хо ух)(хг, уг) = (хг 1 4-	1 + у2і) =
= (х,х2 — улуг) 1 4- (х^2 4- х2«/,) і.
(5)
(хп уг) (х2> у2) = (ХхХ2 — у1уі, Х1У2 4- х^,).
70
Означення. Числова площина К2 називається комплексною
площиною (0, якщо для її точок визначено модулі, операції до-
давання та множення за формулами (1), (5). Точки комплексної пло-
щини називаються комплексними числами
Множина дійсних чисел визначається однозначно лише з точ-
ністю до ізоморфізму. Тому комплексні числа х • 1, де х 6 ІК> дають
інше зображення числової прямої і цілком можуть бути прийняті
за дійсні числа. Таким чином, комплексні числа містять в собі усі
дійсні, тобто Кс(С Зазначимо, що комплексні числа так само, як і
дійсні, визначені однозначно лише з точністю до ізоморфізму.
Спрощуючи запис, замість х • 1 записуватимемо х. З тією са-
мою метою записуватимемо іу, замість уі. Тоді комплексне число
2 — (х, у) набуває вигляду г = х 4- іу, х £
£ К, у С Числа х та у за традицією на-
зиваються відповідно дійсною та уявною
частинами комплексного числа г і по-
значаються символами х = Ре 2, у = Іт г.
Таким чином, комплексне число г = (х у)
являє собою упорядковану пару, комплекс,
складений з дійсних чисел х та у («ком-
плексне» — складене).
Число х — іу називається спряженим з числом г == х + іу і по-
значається через 2 (ІНОДІ через 2*) ОчЄВИДНО, ЩО 22 = і 22 |.
Потрібно перевірити, чи утворюють комплексні числа поле. Оче-
видно, що операція додавання задовольняє відповідні аксіоми, бо
аналогічна операції додавання векторів Читач може перевірити
виконання аксіом додавання, не удаючись до векторів, а виходячи
з означення суми з використанням умов (1), п. 4.1. Безпосередня пе-
ревірка виконання аксіом множення та аксіом, які поєднують до-
давання з множенням, приведене до громіздких викладок. Цього
можна уникнути, якщо ввести до розгляду інші характеристики
комплексного числа.
4.2. Аргумент комплексного числа. Тригонометрична форма
його запису. Множення та ділення комплексних чисел.
Означення. Нехай 2 £ (£ та г 0 Кут <р між радіусом-вектором
точки г і ортом дійсної осі називається аргументом чис-
ла г (рис. 43).
Аргумент числа 2 6 (0 визначений неоднозначно, а з точністю до
кратного 2л. Множина усіх значень аргументу 2 позначається че-
рез Аг£ г 1 Якщо ф 6 Аг§ 2, то Аг§ г = {ер + 2пл | п С 2 }• 3а
Аг§ 0 приймаємо множину усіх дійсних чисел. Іноді Аг§ 0 не ви-
значають.
Беручи до уваги зв’язок між декартовими та полярними коор-
динатами точки (х, у) площини К2, маємо
X = Г СО5 ф, у = Г 8ІП ф,
(1)
1 Виділяють також головне значення аргументу числа 2 умовою аг§ г Є
Є (—я, л].
71
де х = Не г, у = Іт г, г = ] г |, ф £ Аг§ г. З рівностей (1) дістаємо
тригонометричну форму запису комплексного числа
г — г (соз ф і зіп ф), <р С Аг§ г, г = | г |,	(2)
яка виявляється дуже зручною при множенні та діленні комплекс-
них чисел.
Нехай г, = (г, соз <рх, і\ зіп фх)ч г2 = (г2 соз ф2, г2 зіп ф2). Тоді,
згідно з формулою (5), п. 4.1, маємо
21*2 = (Г1Г2 соз (ф1 4- ф2), ггг2 зіп (фх 4- ф2)).	(3)
Аналогічно, вважаючи, що г2 Ф 0, дістаємо
-і/і	1 .	\
г2 = — СОЗ ф2, — — ЗІП ф2 , 2^2 =
\	Г2	/
= соз(ф, — <р2), -і зіп(ф! — ф2Й .	(4)
Таким чином, при множенні комплексних ч сел їх модулі пере-
множаються і аргументи додаються, а при діленні модулі діляться
і аргументи віднімаються.
Корисною буде також формула Муавра, яка є наслідком форму-
ли (3), або може бути встановлена за допомогою методу математичної
індукції: якщо г = (г соз ф, г зіп ф), то V п £ И
гп = (г соз ф, г зіп ф)л = (гп соз лф, глзіп пф).	(5)
Формула Муавра дає можливість добувати корені довільного ці-
лого степеня з комплексного числа. Нехай г = (г соз ф, г зіп ф)
і потрібно знайти таке комплексне число гг = (Гі соз фь г± зіп ф]),
щоб г? = 2. Тоді, згідно з формулою (5),
(г! СОЗ Ифр Г\ зіп Пфг) = (г СОЗ ф, Г ЗІП ф).	(6)
Порівнюючи між собою модулі та аргументи, дістаємо
Г] —г, пфх = ф 4- 2/йт, й Є	(7)
Отже, гг фх =	При к = 0, п — 1 матимемо п різ-
них значень:
п[п/— ср 4-2/гл пг— . ф2Лл \
У г = Іу г соз ------ , У г зіп ------1 .	(о)
Вони ділять коло радіуса у г на п дуг однакової довжини.
Зазначимо, що модуль комплексного числа | ? | = Кх2 + у2 за-
довольняє усі вимоги, які були названі основними в п. 1.6. При цьо-
му нерівність трикутника має простий геометричний зміст (рис. 44).
Поняття обмеженої та нескінченно малої послідовностей, а також
їх символи О '(1), о (1), виражені через модуль числа, залишаються
без змін для комплексних чисел. Зберігаються також теореми про
арифметичні операції над границями. До них можна додати ще й
таке твердження.
72
Теорема, 2* -> 2 « Ке 2П Кег Д Іт гп Іт г при п -> оо.
◄ Необхідність. Нехай гп -> г. Тоді | гп — г | -> 0 і з нерівностей
| Ке гп — Кег | І гп — 2 |, | Іт гп — Іт г | | гп — г\ виплива-
ють властивості Кегп -> Ке г, Іт гп -> Іт г.
Достатність. Нехай Ке гп -> Ке 2, Іт гп Іт г. Тоді | гп —
— 2 |2 = (Ке гп — Ке г)2 + (Іт гп —- Іт г)2 -> Опри п ~>оо, тобто
2п ->г. ►
Розглянуті нами множини натуральних, цілих, раціональних,
дійсних і комплексних чисел, незважаючи на їх істотні відміннос-
ті, мають багато не менш істотних спільних ознак, таких як ко-
мутативність та асоціативність операцій додавання і множення,
дистрибутивність множення відносно до-
давання, існування одиничного елемен-
та відносно операції множення. Виникає
запитання: чи можна досягти нових ре-
зультатів, розширюючи поняття про число,
щоб згадані спільні ознаки збереглися?
Відповідь на поставлене запитання
дає теорема Ф. Фробеніуса (1849—1917),
з якої випливає, що поле (£ комплексних
чисел є максимальним числовим полем	Рис. 44
і подальше розширення поняття про
число неможливе Ч
Приклад 1. Обчислити
Потрібно обчислити г30,
со8Ф=±1£
Сіп т	ІН12	1/3
51П (Г = - - - — г
Т	ІгІ 2
я
"З
я
з
я
3
г80 = 230 (сов 10л 4- і 8Іп 10 я) = 230,
4<-
Приклад 2. Обчислити у 1.
Позначимо г = 1, тоді | г | = 1, Аг& г = {2кп \к Покладаючи в фор-
мулі (8) Ф = 0, дістанемо (рис. 45)
V- /	2£л 2кп \	---
V 1 = СО8 — , 8ІП —— , к = 0, 3.
Приклад 3. Розв’язати рівняння г® + 1 = 0.
Розв’язок має вигляд г = / —1. Позначимо І = — 1. Тоді | £ | = 1, Аг§ £ =
= (л 4- 2&л | к £ X]. Покладемо в формулі (8) ф = л. Матимемо шість коренів
я + 2кп	л + 2Лл ____________
гк = соз----------4- і 8іп-----£--- , 6 == 0, 5,
які ділять коло радіуса 1 на шість дуг однакової довжини (рис. 46).
Вправи
1.	Довести, що:
а) ?! — г2 = ?! — г2; б) Р (?) = Р (?), де Р (г) — алгебраїчний многочлен
з дійсними коефіцієнтами.
1 Див. К у ж е л ь О. В. Основи арифметики.— К.» 1965
73
2. Виконати вказані операції:
2 4- 4г х Ч- іу	л /2 4- іь V
а)^3+57;б) 7=4 (^ + ^¥=0); в)
3.	Знайти усі значення коренів:
\ Згт 3/—;—і—:	. 6/—— е/"ал
а) у і; б) у - І + і\ в) у —64; г) у 64.
4.	Розв’язати рівняння г2 4- (5 — 2і) г 4~ 5 (1 — ї) = 0.
4.3.	Нескінченність і стереографічна проекція. Для потреб
теорії аналітичних функцій комплексну площину (0 доповнюють не-
скінченно віддаленою точкою, відповідною умовному комплексному
числу оо. Запис Ііт гп = оо означає, що V е > 0	6 № V п
П-+0О
пг | гп | > є. Таким чином, співвідношення Ііт гп = оо еквіва-
лентне умові Ііт | гп | = +оо.
Множину (С 0 {оо} називають розширеною комплексною площи-
ною. Щоб одержати геометричне зображення умовного комплексно-
Р
го числа оо (для якого понят-
тя дійсної та уявної частин не
вводяться), удаються до зобра-
ження комплексних чисел точ-
ками сфери.
Уявімо собі сферу раді-
1
уса -й-, яка лежить на площи-
ні (С, дотикаючись до неї в
початку координат. Позначи-
Рис 47	мо початок координат через
О, а діаметрально протилеж-
ну точку сфери через Р. Кожній точці г Є (С поставимо у відповід-
ність точку А (г) сфери, одержану в результаті перетину сфери з
прямою, яка сполучає точки г і Р (рис. 47). При цьому кожна
точка сфери, крім точки Р, знаходиться у взаємно однозначній від-
повідності з точками площини (£. Коли | г | -> 4-оо, точка А (г) пря-
мує до точкг’ Р. Тому природно вважати, що точка Р сфери відпо-
відач нескінченно віддаленій точці розширеної площини.
74
:	: сума та добуток
числової сім'ї.
:К	числовий ряд
Розділ	І НЕСКІНЧЕННИЙ
добуток
Операції додавання і множення чисел — основні в математи-
ці. Вони означені в § 2,3, розд. 2, для двох чисел і можуть бути роз-
повсюджені методом математичної індукції на випадок, коли їх
скінченна кількість. При цьому зберігаються основні властивості
суми та добутку, розглянуті в розд. 2.
Наша головна мета — запровадити поняття суми та добутку
чисел у загальному випадку, в тому числі й тоді, коли множини до-
данків і співмножників, що входять в них, нескінченні. Для цього
спочатку дослідимо об’єкт (числову сім’ю), якому потім поставимо
у відповідність числа — суму та добуток цієї сім’ї. Надалі займе-
мося дослідженням їх властивостей, а потім розв’яжемо одну з го-
ловних проблем математики, пов’язану з операціями додавання і
множення.
§ 1.	Сума сім’ї чисел та її властивості
Разом з сумою чисел будемо розглядати множину, складену з її
доданків. Якщо усі доданки різні, то їх сума є однією з можливих
характеристик множини. У цьому випадку вказана множина і є тим
об’єктом, якому потрібно поставити у відповідність число — суму
усіх елементів.
Якщо серед доданків зустрічаються рівні, наприклад 1 + 1 +
+ 1+2 + 2 або 2 + 2 + 2 + 1 + 1, то їх суми різні, а множина
доданків {1,2} одна й та сама. Отже, той об’єкт, якому вимага-
ється поставити у відповідність суму, є більш загальним, ніж мно-
жина.
Вихід з вказаного становища полягає ось у чому. Виберемо яку-
небудь множину Л, яка має стільки елементів, скільки є доданків,
і занумеруємо доданки елементами цієї множини. У результаті ді-
станемо об’єкт, який називається сім'єю елементів. Йому й будемо
ставити у відповідність число — суму цієї сім’ї.
1.1.	Поняття числової сім’ї.
Означення. Нехай зафіксовано множини А і М. Відображення
А М називається с і м' є ю елементів множини М
і позначається через (ха)а^ о,бо, коротше, через (ха), де ха — / (а),
75
а £ А. Елементи множини А називаються індексами, а еле-
мент хо £ М вважається занумерованим індексом а.
Слід розрізняти сім’ю (ха)аоз елементів множини М від підмно-
жини множини Лї, складеної з елементів цієї сім’ї, бо ця підмно-
жина є образом множини А при відображенні а к* і може мати
лише один елемент. Таким чином, різні сім’ї можуть мати одну й
ту саму множину елементів.
Розглянемо приклади.
Приклад І. Доданки суми 1 + 1 + 1 + 2 + 2 утворюють сім’ю (ха)а^А
якщо за А узяти множину {1, 2, 3, 4, 5}, покладаючи потім ха = 1, коли а до-
рівнює 1, 2, 3, та ха = 2, коли а дорівнює 4, 5. Ті самі доданки можна перетво-
рити в іншу сім’ю, беручи А = {1, Кз, 2, К&} і покладаючи ха — 1 при а,
що дорівнює 1,	1/3» *а=2 при а, що дорівнює 2, К5.
Приклад 2. Упорядкований набір (хь х2, х3) елементів множини М можна
вважати сім’єю елементів з множиною індексів А = {1, 2, 3}.
Приклад 3. Послідовність (хп) є сім’єю елементів з множиною індексів А =*
= N. Її п-й член занумеровано індексом п 6 N.
Приклад 4. Функція у = 8ІП X, І X І < л, є сім’єю чисел з множиною індек-
л.	л
сів А = (—л, я). Число 8Іп1 занумеровано індексом .
Приклад 5. Сім’я ($£п містить нескінченну множину чисел 1, зану-
мерованих індексами х > 0, нескінченну множину чисел —1, занумерованих
індексами х < 0, і число 0, занумероване індексом х = 0.
Сім’я (ха}аеА називається числовою, якщо V а £ А ха £ (£•
1.2.	Поняття суми сім’ї невід’ємних чисел. Інтуїтивно зрозу-
міло, що сума невід’ємних чисел повинна бути невід’ємною, можли-
во дорівнювати + оо і не меншою за суму будь-якої скінченної кіль-
кості доданків з цієї сім’ї. Ця властивість дає змогу запровадити по-
няття суми числової сім’ї. Точки х £ К будемо називати числами.
Означення. Нехай 0 х + оо, 0 ха ^ + оо Уа £ А. Чис-
ло х називається сумою числової с і м' ї (ха)аєд, якщо
х = зир | ха| Д(1) сз А і множина Л(1) скінченна^
аЄЛИ)
і позначається символом у । ха або, коротше,
Розглядаючи суми, будемо користуватися
а
часто вживаними
оо
позначеннями,
наприклад, замість ха записуватимемо хп,
аЄЛ	п=1
п
якщо А = И, або £ха, якщо Л-{1,2, ...,п}, і т. д.
а=1
Сума будь-якої непорожньої сім’ї невід’ємних чисел завжди іс-
нує внаслідок теореми про існування верхньої межі в 1К- Суму по-
рожньої числової сім’ї вважатимемо рівною нулю. Таким чином,
будь-яка сім’я невід’ємних чисел має суму. Надалі користуватиме-
76
мося скороченим записом
зир V ха = зир/ У ха| Л(1> сг А і множина /4(1) скінченна
Л(П аСД(1)	А
заздалегідь вказуючи в тексті властивість множини Л(1\
Приклад 1. Обчислити 2іі.
Сума довільної скінченної кількості одиниць є натуральне число. Оскільки
зир N = + оо, то, згідно з означенням, 2 і = +оо.
Приклад 2. Обчислити У —-
Сума довільної скінченної кількості доданків має вигляд
2Пт
(1)
де ..., пт— попарно різні натуральні числа. При заданому значенні т най-
більше значення (1) має сума
± + Л, * =1__Ь
2	22 ч ••• г
Згідно з означенням суми числової сім’ї, маємо
2 7Г=*ир(«-7г)“>-
1.3.	Найпростіші властивості суми сім’ї невід’ємних чисел. Упев-
нимося в тому, що сума числової сім’ї невід’ємних чисел має ос-
новні властивості суми скінченної кількості невід’ємних доданків.
Теорема 1 (про адитивність суми). Якщо V а £ А ха>0 і
Уа 0, то
£ (*а + Уа) = £ Ха + Уа.	(1)
а£А	аЄИ
4 Нехай Д(1) — скінченна підмножина множини А і
Х=£ха, У=£уа-
а£Л	а£Л
Тоді виконуються співвідношення
2 (Ха + ^ = 2 Ха+ Е Уа^Х+У’
а^лН)	аЄЛ(В	аЄЛ^)
Внаслідок довільності множини Л(І) дістанемо
2 (Х« + ?«)< Х + У'
а£А
(2)
Якщо ліва частина нерівності (2) дорівнює 4-оо, то вона перетворю-
ється в потрібну рівність (1). Нехай ліва частина нерівності (2) скін-
77
ченна. Тоді Ха < +оо і у^. < +<ю для усіх значень а 6 А. Крім під-
множини ЛП1 візьмемо ще одну довільну скінченну множину
Л(2) сі А. Згідно з властивістю сум скінченної кількості невід’єм-
них доданків, виконуються нерівності
£*«+ £ *« + £ =
- X	ЇХ +у^
а£<(0^д(2)	(х&А
тобто
£ £Цх +Уа)~ £ Уа-	(3)
Фіксуючи множину Л(2), перейдемо в нерівності (3) до верхньої ме-
жі по усіх скінченних множинах Л(П с: Л. Дістанемо оцінку
ЇХ+ //„)- £ уа,
а^А	аєД<2>
тобто
X Уа <£ («а +Уа) — Х-	(4)
а£А
Згідно з означенням верхньої межі множини, маємо
і/ = 5ир V	V (ха + уа)—х,
4 а€-4(2)	“Є-4
ЗВІДКИ
X + У < У (Ха + уа).	(5)
З нерівностей (2) та (5) випливає рівність (1). >
Теорема 2 (про адитивність суми відносно індексів підсумову-
вання). Нехай V а 6 А 0 ха + °о і Ао с: А. Тоді
£ Ха = у ха + у ха.	(6)
< Рівність очевидна, якщо серед ха є таке, що дорівнює +оо. Не-
хай V а £ А ха<+оо. Покладемо
Х(О) =к якщ0 а Є А0'	(7)
“	10, якщо а^Л\40.
З рівності
(0) _ (о, якщо а Є до.
Ха Ха — <
(ха, якщо а£Л\Л0,
та теореми (1) дістаємо
X - X - 4"’» -	+ £ і».- хї>). «з;
аСА	а£Д	а£Д
78
Внаслідок рівності (7) числові сім’ї (х<х)аел та (х*,0))аЄЛ мають
одні й ті самі ненульові члени, і ому їх суми рівні між собою.
Те саме можна твердити й про сім’ї (ха)„,Лч . та (ха— х£0,)„с..
1	1	X /І0	'	Сс
Тому рівності (6) і (8) рівносильні. ►
Доведена теорема дає змог}' при обчисленні суми довільної сім’ї
невід’ємних чисел спочатку скласти будь-які доданки, а потім усі
інші і взяти суму здобутих результатів.
Теорема 3 (про монотонність суми). Якщо V а £ А 0 ха
Уа 4~ сю, МО
£ Ха < £ Уа.	(9)
а£А а£А
<4 Можна вважати, що \/а^А виконуються нерівності 0^ха^
<С + оо Згідно з теоремою 1, маємо
X У а = £ (Уа — Х. + *а) =	(У а ~ *а) + V Х„ > £ Хо. ►
а^А а$А	а£А	а£А аЄА
Доведена теорема дає змогу додавати будь-яку кількість нерів-
ностей між невід’ємними числами, у тому числі й нескінченну.
Теорема 4 (про монотонність суми відносно індексів підсумову-
вання). Якщо V а £ Л 0 ха +оо і Ло сі А, то
аЄДл а^А
(10)
4 Твердження випливає з рівності (6). >
Теорема 5 (про додатну однорідність суми). Якщо і
V а Є А 0 Ха +оо, то
а£А	а^А
(11)
деі
Тут і далі вважатимемо, що 0 • (4-оо) = 0.
<4 При X = 0 рівність (11) очевидна. Нехай 0 і Л(1) — скін
ченна підмножина множини А. Тоді матимемо
Ха
а$А
Оскільки множина Л(11 довільна, то
^ЬГа^А^Ха.	(12)
а$А	а$А
Замінимо в нерівності (12) X на та ха на Хха. Дістанемо
1> = £ тт їКХа'
а£А а^А
79
тобто
X Ха
(13)
З нерівностей (12), (13) випливає рівність (11). >
! Таким чином, правило винесення сталого множника за знак суми
зберігається і в загальному випадку, що узагальнює закон дистри-
бутивності множення відносно операції додавання.
1.4.	Заміна індексу підсумовування. Упевнимося в тому, що
сума невід’ємних доданків не залежить від способу їх нумерації.
. Теорема (про заміну індексу підсумовування). Нехай ер — бієк-
ція множини А на множину В, Якщо V а £ А О^ха^+оо,
V 0 £ В 0 У$ +°о і у^іщ = ха, то виконується рівність
У<Ха “ X ^0-
а^А
(1)
<4 Оскільки <р — бієктивне відображення множини А на множину
В і	уф(а) = ха, то множини сум скінченної кількості до-
данків сімей (ха)аЄА та (у^ев збігаються, внаслідок чого викону-
ється рівність (1). ►
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Застосувати теорему про заміну індексу підсумовування до
т-}-1
суми У ап, 0< ап < + оо (п = 2, т + 1).
п=2
Розглянемо відображення множини А = {2, 3, т 4- 1} на множину В ==
= (1,2, .... т) за допомогою бієкції А в, де ф (п) = п — 1 V п £ А. Згідно
з теоремою, дістаємо
т-}-1	т
п=ї к=\
Приклад 2. Застосувати теорему про заміну індексу підсумовування, якщо
5 =	^4"Т~ і » де Д = {/и І = *]//г , к 6
'П *|* І
А
Покладемо ф (т) = т2 V т £ А. Відображення ф є бієкцією множини А
на множину N. Маємо
5=X +1 •
1.5. Подвійні та повторні суми. Теорема Фубіні—Тонеллі для
невід'ємних чисел. У математиці досить часто виникає потреба
перемножати суми. Це призводить до необхідності запровадження
поняття подвійної суми.
Означення. Нехай А та В — множини і Г А х В. Тоді сума
XX Х(а’^	о)
?ег (а,0)ЄГ
<80
називається подвійною, а суми
\ [ У, %(а,3) )	х(а»3)]
с^Г, Регаа)	Є6Г. аЄГ2(Р)
(2)
називаються повторними.
Тут Гь Г2 — перша й друга проекції множини Г, Гх (а), Г2 (Р) —
перший та другий перерізи множини Г за допомогою елементів а
та р (див. п. 1.6, розд. 1). У повторних сумах (2) розрізняють внут-
рішнє й зовнішнє підсумовування, причому перше з них проводить-
ся по перерізу множини Г, а друге — по відповідній проекції.
У подвійній сумі (1) операція додавання проводиться одночасно
по двох індексах і в цьому її відмінність від повторних сум.
Теорема (Фубіні — Тонеллі). Якщо (а, Р) 6 Г 0
Т-оо, то виконуються рівності подвійної та повторної сум, тоб-
то
Я(а.р) =	х(а,Р)) =	•	(3)
(а,0)^Г	а£Г, вЄГЦа)	аЄГ,(Є)
Ч Доведемо першу рівність. Друга доводиться аналогічно. Нехай
Г* — скінченна підмножина множини Г, Г7 — перша проекція
Г*, Г* (а) — перший переріз Г* за допомогою а. Згідно з власти-
вістю суми скінченної кількості доданків, яка випливає з асоціа-
тивності операції додавання, маємо
Х«х,(3) —	Хі ( X
(а,Р)ЄГ*	а€Г* 3бГ*(а)	аег* (ЗСГДа)
л ( £ Х(“-Р)) •
аег, ВбГ, (а)
(4)
Внаслідок довільності вибору множини Г* виконується нерівність
У, ^(а,р) Х( £ *(а.0))
(а,3)€Г	аЄГі ВєГИа)
(5)
Нехай Г*— довільно вибрана скінченна підмножина множини Гг.
Для кожного Г* виберемо довільну підмножину Г*(а) множи-
ни ГДа) і утворимо множину Г* = {(а, р)£ Г| а £Г* Д рЄ Г*(а)}.
Зазначимо, що Г]' є першою проекцією множини Г*, а Г*(а) — її
перший переріз за допомогою а. Отже,
х(а,3)) == V Х(а,|3)^	х(а,Р)-	(6)
аЄГ* |ЗєГ*(а)	(а,3)ЄГ*	(а.З)ЄГ
Фіксуючи множину Г* та користуючись тим, що переріз Г* (а) ви-
брано довільно, перейдемо в нерівності (6) до верхньої межі по всіх
81
множинах Гї (а). Дістанемо нерівність
Е( 2	*(а,0).	(7)
гх^Г* к€І\(а)	(а,6)ЄГ
У нерівності (7) перейдемо до верхньої межі по Г* і результат по-
рівняємо з нерівністю (5). При цьому переконаємося у виконанні
рівностей (3). ►
Надалі рівності (3) називатимемо формулами Фубіні.
Наслідок (правило множення сум невід’ємних чисел). Не-
хай V (а £ Л, 0 £ В) 0 ха +оо, 0 у$ Н-оо. Тоді вико-
нується рівність
(2Ха)(Х^)= X	(8>
а£А .	(а,£)ЄЛхВ
◄ Покладемо Г = А х В Тоді Гх = А, І\ (а) = В V а £ А.
Згідно з формулою (3), маємо
У Ха#р = У (X	(9)
(а,3)ЄДхВ	а^А 0£В
За теоремою 5, п. 1.3, дістаємо
У (X Ха^р) =	У	(%а У	(X	(2 Ха)	‘	^0)
а^А ВЄВ	а^А ьЬ	В£В	а£а
З рівностей (9) і (10) випливає рівність (8).
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Поміняти порядок підсумовування, якщо V (т, п) £ №
оо	2П—1
$ = У ( У Х(т,п)) » Х(т,п)
Тут Г2 = м, г2 (я) = {т с N | 2п~1 < т < 2П), Г = {(/я, п) 6 № | 2П“1
^яі<2п), Г\ = М, Гт (т) = {я С N | 2Л—1	< 2П} = {[Іо^3щ + 1]}. Змінив-
ши порядок підсумовування, дістанемо
оо
5 = V х(т,„т). де пт = [Іо§,т+ 11-
т=\
Окремий випадок цієї формули:
оо 2^—1	оо
ї( Е	<>»
п=1 т=2п~1
буде використано в теорії числових рядів,
оо оо
Приклад 2. Нехай V (яі, п) € №	5 =	( У х(т,п)) > х{тіп) ^мі"
нити порядок підсумовування,
82
Маємо
Г2 = М, Га (п) = {п, п + І, Г = {(т, п) 6 №| гп >п},
Гі == N, Гт (пі) = {п 6 N І л т} V т 6 № -
Шукана формула набуває вигляду
оо т
5== X (Е ^«)) •	(12)
т=І п=1
Зазначимо, що властивість адитивності суми невід’ємних чисел
(див. теорему 1, п. 1.3) можна вважати наслідком теореми Фубіні —
Тонеллі. Для доведення цього твердження покладемо V а С А ха =
= *(1,<ХЬ Уа = Х(2,а. ТОДІ формула
2	2
У Х(*.а)) = £ (У *(*,«))	(13)
/г=1	/г—1 а£А
є одночасно окремим випадком формули (3) при Г2 = Л, Г2 (а) =
= (1, 2} і іншою формою запису властивості адитивності суми. Фор-
мулу (3) можна також розглядати як узагальнення властивості спо-
лучності суми скінченної кількості доданків. Це видно з такого
прикладу.
Приклад 3. Нехай послідовність (тп) натуральних чисел зростає і Ііт тп =
==•' -{-оо. Тоді виконується рівність
оо	оо
£ ( Е *т) = £ *т’	<14>
п=1 т=тп___।	т=1
де т0 = 1 і V т 6 N > 0.
Маємо V (т, п) 6 №
х(т,п) = лт’ г2 = М, Г2 (я) « {тб N І тп_х ^т< тп],
Г = {(т, п) 6 № | П1п_\ ^т< тп}у Г\ = М,
Г\ (т) = {п 6 N І тп_х ^т<тп} = {пт}>
де п таке єдине число, залежне від т £ 1^, що т„ ,^пг<т
т	пт 1	пщ
Застосувавши формулу (3) до рівності (14), дістанемо
ОО	1	оо	оо
п=1 т--=. тп_________]	гп=1	т=1
Зазначимо, що рівність (11) є окремим випадком формули (14) при тп = 2П,
п £ N. Формула (14) є узагальненням закону сполучності у випадку, коли невід’-
ємні доданки утворюють числову послідовність (хт).
1.6. Сумовні сім’ї дійсних чисел і властивості сум. Сума скін-
ченної сім’ї дійсних чисел має важливі для застосувань властивості
асоціативності, комутативності, дистрибутивності. Дамо таке оз-
начення суми ДОВІЛЬНОЇ СІм7 (Ха)а^л ДІЙСНИХ ЧИСЄЛ, Щ0бВ0Н0НЄСу-
перечило означенню суми скінченної кількості доданків і щоб для
83
нього зберігалися вказані важливі властивості. Для обчислення
(1>

зробимо так: спочатку знайдемо суму всіх додатних доданків
Ха, ПОТІМ суму МОДуЛІВ уСІХ ВІД’ЄМНИХ доданків Ха і, на-
а^А	а£А
решті, різницю £ Ха —Ха, ДЄ Ха, Ха—ВІДПОВІДНО ДОДИТНа Й
«Є А аЄА
від’ємна частини числа ха (див. п. 1.6., розд. 2).
Різниця
(2)
позбавлена змісту, ЯКЩО 2 х~а = +°° І 2*а = + оо. Тому при ви-
а£у4	а$А
значенні суми (1) припускаємо, що хоча б одна із сум, які входять
у вираз (2), скінченна.
Означення. Сумою (1) с і м' ї дійсних чисел (ха)асл
називається різниця (2) за умови, що вона має зміст. Сім'я (ха)аед
називається су мовною, якщо її сума скінченна.
Клас усіх сумовних сімей дійсних чисел з множиною індексів
А позначимо через І (Л).
Теорема 1 (критерій сумовності). Сім'я (ха)аєд сумовна тоді і
тільки тоді, коли
£ І | < + ОО.
аЄА
(3)
<4 Різниця (2) має зміст і відмінна від ±оо тоді і тільки тоді, коли
£ Ха < + ОО,
аСД
+ оо.
(4)

Оскільки \/ха$Л І Ха| ==	4-, то нерівність (3) рівносильна
нерівностям (4). ►
Упевнимося в тому, що для сімей дійсних чисел з класу І (Л) ви-
конуються твердження, аналогічні теоремам, доведеним в пп. 1.3—
1.5. Спочатку доведемо лему.
Лема, Нехай сім'ї невід'ємних чисел (иа)аСА, (^а)аЄЛ сумовні,
Якщо Х/а^А ха~На — оа, то (ха) І(Л) і виконується рівність
У^ Ха — У Уа»	(5)
аЄД а€Д а£Д
< Сумовність сім’ї (Ха)„сЛ випливає 3 ТОГО, ЩО
2 | Ха | = У | «а — Уа |	£ («а + Уа) = £ «а + £ Уа < + ОО.
аСД	аєД	а£А	а£А аЄЛ
84
Оскільки \/а £А — ха — иа — уа, Ха + иа = иа + х7, то
внаслідок властивості суми сім’ї невід’ємних чисел (див. теорему
1, п. 1.3) дістаємо
V	= У «а + £ ХЙ.	(6)
а£Л а£Л а€Л а£Л
Суми, які входять у рівність (6), скінченні, тому вона рівносиль-
на рівності
У х£ — у хй = у иа — у оа,	(7)
а (і А а£А а£Л а£Л
Користуючись означенням суми сім’ї дійсних чисел, остаточно
маємо
Теорема 2 (про адитивність суми). Якщо (ха)£/(Л), (#а)6
Є/(Л), то (ха + у€ І (А) і виконується рівність
У	+	уа) =	У Ха + У Уа.	(8)
а£А	аЄЛ	аЄЛ
4 Згідно з теоремою 1, п. 1.3, виконуються рівності
£ (*£	+	у& =	£	£	Уі>
аЄЛ	аСЛ	а£Л
Віднімаючи ці рівності та застосовуючи лему, дістаємо рівність
(8). ►
Теорема 3 (про адитивність суми відносно індексів підсумову-
вання). Якщо сім'я дійсних чисел (га)а^л су мовна і Ло с: Л, то сім'ї
(хсс)аел0, (ха)аел\л0 також сумовні і виконується рівність
4 Згідно з теоремою 2, п. 1.3, маємо
аЄЛ а£Л(» аЄЛ\Л0
О)
(Ю)
(П,
Усі суми, які входять в рівності (10), (11), скінченні, внаслідок чо-
го сім’ї (ха)аєл, (ха)аелхА, сумовні. Віднімаючи від лівої та пра-
вої частин рівності (10) відповідні частини рівності (11) та беручи
до уваги означення суми дійсних чисел, дістаємо рівність (9). ►
85
Таким чином, обчислюючи суму довільної сумовної сім’ї дійс-
них чисел, можемо скласти будь-які доданки, а потім усі інші і
взяти суму здобутих результатів.
Теорема 4 (про монотонність суми). Нехай (ха) € / (Л), (Уа) €
£ І (Л). Якщо V а £ А ха Уа, то
а£.А а£Д
(12)
4 Згідно з теоремою 2, маємо
У Уа~ V (Уа — Ха + ха)= £ (уа — Ха) + £ Ха > £ Ха ►
аЄЛ а£Л	а£Л	а£А аЄЛ
Отже, при виконанні умов теореми можна додавати будь-яку
кількість нерівностей між дійсними числами.
Теорема 5 (про однорідність суми). Якщо (ха) £ І (А), X £ ІК,
то (Хха) £ І (Л) і виконується рівність
Хха = X ха-	(ІЗ)
а£Л
Нехай Х^О. Використовуючи теорему 5, п. 1.3, дістаємо
£ (Хха)+ = £ КхІ = 1 £ ХІ,	(14)
аЄЛ	а$А	аСЛ
У (Хха)“ = У ІХа = X У Ха-	(15)
а£А	а^А	а£А
З рівностей (14), (15) випливає рівність (13). Щоб переконатися
в цьому, досить узяти їх різницю.
Якщо X < 0, то
У (%Ха)+ = У (-%) Ха = (—X) у Ха,	(16)
аЄЛ	аЄЛ	аЄЛ
У (иа)" = у (-Ь)х+ = (-Х) У х+.	(17)
а£.А	а£_А	а€Л
Якщо від рівностей (16) віднімемо відповідні частини рівностей (17),
то знову дістанемо формулу (13). ►
Таким чином, для сумовних сімей дійсних чисел виконується за-
кон дистрибутивності множення відносно операції додавання.
1.7. Заміна індексу підсумовування. Упевнимося в тому, що
властивість сумовності сім’ї дійсних чисел та її сума не залежать
від вибору множини індексів.
Теорема (про заміну індексу підсумовування). Нехай А, В —
множини, <р — бієкція А на В. Якщо (х«) 6 і (Л) і V а £ А у^а) =
= то сім'я (уц)^в має ту саму суму, тобто виконується рів-
ність
XХа X	(і)
а£А
86
Згідно з теоремою п. 14, виконуються рівності
У У * * * * Х“ = £
(2)
— У ^а(Р)»
(3)
де а (0) = ф“’ (0). Віднімаючи від лівої та правої частин рівності
(2) відповідні частини рівності (3), дістаємо рівність (1). >
1.8. Рівність між подвійною та повторною сумами дійсних чисел.
Формула Фубіні з п. 1.5 залишається справедливою для будь-якої
сумовної сім’ї (х(а,|5))(а,в€Г ДІЙСНИХ ЧИСЄЛ.
Теорема (Фубіні). Нехай А, В — множини, Г с 4 х В, Гх,
Г2 — перша й друга проекції множини Г, а Г\ (а), Г2 (0) — її пер-
ший пга другий перерізи за допомогою а і 0. Якщо (хкх.в) Е І (Г), то
виконуються рівності
х(а,В) =	( У (	= У ( У,	(1)
(а.В)бГ	аЄГ, ВСГДа)	ВЄГ, аєГД0)
які називатимемо формулою Фубіні,
4 Згідно з формулою Фубіні (3), п. 1.5, рівності (1) виконуються
ДЛЯ сімей (%+,|3))(а,(3)€г» (Х(а,|3))(а,0)€Г‘
У ^(а,В) — У У, ^(а,М)) — У ( У )»	(2)
(а.0)ЄГ	а€Г, ВЄГДа)	ВЄГ, аег..(0)
У *(а,0) —	( У Х(а>|})) — \ ( У ЛГ(а,|3)к
(а,В)€Г	а£Г, вЄГДа)	ВЄГ, а€ГДВ)
(3)
Якщо від лівої, середньої та правої частин рівностей (2) відняти
відповідні частини рівностей (3), то дістанемо рівності (1). >
Наслідок (правило перемножування сум). Нехай (ха) £
€ І (Л), (уй) € І (5). Тоді (хау^ € І И х В) і
а£Л	(а.Є)ЄЛхН
(4)
< Позначимо Г = А х В. Тоді Г, = А, Гг (а) — В V а 6 А. Ко-
ристуючись формулою (1), дістаємо
(а.В)ЄІГ	а€Л ВЄВ
(5)
Згідно з теоремою 5, п. 1.6, виконуються рівності
У, (X Ха&&)1Е (*аX (X Ха)* (6)
аел вев	аЄА	ВєВ а^А
З рівностей (5), (6) випливає формула (4). ►
1.9. Оцінки сум дійсних чисел. У п. 1.6, розд. 2, вказано оцінки
дійсного числа х через його характеристики	| х |. Викорис-
87
товуючи їх, дістаємо корисні в застосуваннях оцінки суми сім’ї
(ха) Є І (4).
Теорема. Якщо (ха) £ЦА)> то виконуються нерівності
зокрема
І *а І-
ЕХа
а£А
а£А
(2)
4 Згідно з оцінками, наведеними в п. 1.6, розд. 2, маємо
— |ха|С —х-<ха<х+^|ха|.	(3)
Ц*	ЧА»
За теоремою 4, п. 1.6, нерівності (3) можна підсумувати за всіма
а£А. При цьому дістанемо нерівності (1). >
ЇЛО. Сумовні сім’ї комплексних чисел та властивості їх сум.
Поширимо тепер поняття суми на сім’ю комплексних чисел.
Означення. Сім'я комплексних чисел (га = ха + іу^ел нази-
вається су мовною, ЯКЩО (ха) 6 І (Л) Д (#а) 6 І (Л).
При цьому
У 2а= У Ха + 1 £ Уа-
а£.А а£А
Клас усіх сумовних сімей комплексних чисел (га)аєд позначати-
мемо через І (Л). У випадку, коли треба буде розрізняти сумовні
сім’ї дійсних та комплексних чисел за позначеннями, будемо корис-
туватися уточненнями /|д (Л) та /с (Л).
Основні властивості суми сім’ї комплексних чисел характери-
зуються наступними твердженнями.
Теорема 1 (критерій сумовності).
(^а) € І (^4/	| | оо.
аЄЛ
4 Нехай Уа^Л га = ха 4- іуа. Враховуючи означення сумовної
сім’ї комплексних чисел та теорему 1, п. 1.6, маємо
(га) Є / (Л) <=> (Ха) е І (Л) А (Уа) € І (Л) « £ І ха І < + ОО А
а£Д
А X І £аІ<+°°-
а£А
Оскільки Уа 6 Л | ха | І га І. | Уа КІ га І і І га К | ха | + І Уа |> то
умова V | ?а | <+оо рівносильна умовам
а Є. А
У І*а|< + 00 А V І </аІ<+	►
а£А	а£4
88
Теорема 2 (про лінійність суми). Нехай (2Л) 61 (Л), (ауа) £ І (Л),
А.£(С. Тоді (2а 4- Хдаа)€^(Л) і
У (га 4* ^і>а) — У га 4* А У 1£>а.	(2)
а€Л	а£Л	а£А
< Нехай Уа 6 Л га = ха 4* іуа, = «а 4- їоа, А = £ 4- /г]. Тоді
га + Алуа = (ха 4-£«а — тр«) 4-і((/а 4-т]иа 4-£іУ). За означенням
суми маємо
£ (га 4- Аша) = у (Ха + Е,«а ~ П^а) 4" І £ ІУп + П«а 4* |»а) =
а$А	у-СА	а£Л
= £ 4- £ £ «а — Т) £ Ці 4-	£ уа) =
а£А	а^А	а^А	а£Л	а$А	а$А
= (£ Ха 4- і £ уа) 4-(6 4- й])(£ «а 4- І 2 1>а) =
а£Л а£А	аЄЛ	а£А
= У га 4- А V ц>а. >
п^А а£Л
Теорема 3 (про адитивність відносно індексів підсумовування).
Нехай (га) 6 І И)* Якщо Ло сі А, то (га) 6 І Ио), (2а) € І (А \ Ло)
і
= У 2а 4” У | 2а.	(3)
осСЛ сс^Лп аЄЛХ^Лр
4 Якщо V а £ Л га = Ха 4* іуа, то, згідно з означенням суми
сім’ї комплексних чисел та теоремою 3, п. 1.6, дістаємо
У га = у ха 4- і: у уа = у ха 4- У ха 4- і у уа +
а£А а£А	а^А а€Ла а^Л\Лп	<х£Л0
+ і Е = (£Ха +1 £ +( £ Ха-Н £ ^) =
а€Л\Ло аЄЛ0 а£Л0	а£Л\Л0	а£Л\Л0
= £ г“ + X г“' ►
а£Л0 аСЛ\Лп
/ Теорема 4 (про заміну індексу підсумовування). Нехай А, В —
множини, <р — бієкція А на В і ^ф(а) = га V а С А. Якщо (га) С
6 / (Л), то (оуіз) 6 І (В) і
у га = у	(4)
а£Л (3£В
◄ Нехай V (а £ Л, р £ В) га = ха + іуа, оув = «н + іи$. Згідно з
означенням суми сім’ї комплексних чисел та теоремою п. 1.7, ма-
ємо
у 2а = у Ха 4- І У У* = У ив + і у Ор = у Гср. >
а£Л аЄЛ	а£Л РЄВ	06В
85
Теорема 5 (Фубіні). Нехай А, В — множини, Г сг А х В.
Якщо (г«х,(5») € І (Г), то
X 2(а,0) — X ( X 2(а»^) — X ( X 2(а',5))’	(5)
(а,3)€Г	а€Гх ВєГДа)	Й€ГЯ а€Г.(В)
<4 Нехай V (а, 0)£ Г == ^(а.В) + ІУ(а 3а означенням суми
сім’ї комплексних чисел і за теоремою Фубіні з п. 1.8 дістаємо
X ^(а.З) — V Х(а^) + І \	#(а,В)
(а,В)€Г	(а,&)ЄГ	(а.В)ЄГ
= X ( X Х(а’Р)) +
а£Гі
+ 1 £ ( Хі “ Хі (	~
а€Гі РЄГі(а)
аЄГ, В€Г,(а)
— X ( X 2(а,Р))’
аЄГ, ІЧГ,(а)
Аналогічно доводиться друга рівність в (5). ►
Теорема 6 (про оцінку модуля суми). Якщо (га) £ І (А), то
а£А
а&А
(6)
4 Нехай V г7 =
а£А
га (соз<р +
і 5ІП ф), ф е А. р у га
аЄ.’
Тоді

« (СО8 ф — І 8ІП ф) > га = У , (СО8 ф — І 8ІП ф) 2а =®

V Ке ((СО8 ф — і 8іп ф) га)
а£А
II
а£А
Ке ((соз ф — і вігі ф) га) І
V | га |. ►
а£А
§ 2. Обчислення сум за допомогою
границі
Теорема 1 (про зчисленність сумовної сім’ї). Якщо (га) € І (Л),
то множина Ао = {а £ А | га У= 0} не більш ніж зчисленна
<4 Нехай
5 = У |га| < 4-оо і	Ап = (аЄА||га|>^-) .
а£А
Оскільки Ло = и Ап і в множині Ля не більше ніж п елементів, то,
згідно з теоремою 2, п. 1.10, розд. 1, множина Ао не більш ніж зчис-
ленна. ►
Нульові члени сумовної сім’ї не впливають на величину суми
і ними можна знехтувати. Члени, які залишаються, можна зану-
90
мерувати натуральними числами. Найбільш цікавий випадок ста-
новить послідовність (гп). Сума її членів збігається з сумою почат-
кової сім’ї. Наступна теорема показує, що суми членів послідов-
ності можна обчислити за допомогою операції граничного переходу.
Теорема 2. Граничне співвідношення
п
У 2П = Ііт у гй	(1)
я"
виконується кожного разу чк тільки його ліва частина мав зміст.
◄ Нехай V к £ И > 0. Позначимо V п 6 И
п
5п = У хк.	(2)
к=\
Послідовність (5Л) монотонна і за теоремою Вейєрштрасса має гра-
ницю в К (див. п. 7.3, розд. 1). Нехай — скінченна множина на-
туральних чисел і пА — найбільше число, яке входить в неї. Тоді
V п пг виконуються нерівності
п	п
У хк < У хк, У хк < Ііт у хк.	(3>
““	П—>0О
Внаслідок довільності вибору множини Иі маємо
л
у хп < Ііт У хк.	(4>
Л«*оо
л£^	•
Очевидно, що	виконується нерівність
т
£ Хк < У Хп.	(5)
к=у лє^
Переходячи в (5) до границі при т->оо, дістаємо нерівність
т
(6>
З нерівностей (4) та (6) випливає рівність (1).
Нехай хп £ К і виконується умова
«ЄН
л€М
(7>
Тоді виконуються граничні співвідношення
У Хп = у х+ — у Хп = Ііт у хі — Ііт у х? =
ПСМ	п->оо	л-*оо
(8>
91
Якщо \/п хп = Ке гп, уп = Тгпгп, то
п 7-1 п
- / , .7 71
П->ОО
нЄМ
п	п
П-*оо
6=1
6=1
Нехай, наприклад, д£(0, 1) і дано послідовність (дп). Згідно з
доведеною теоремою,
маємо
п	п лп^
У дп — Ііт У дк — Ііт д 
тобто (^П)£/(М).
/2=1
я__
\~Я *

п
п
п
§ 3.	Ознаки сумовності послідовності
комплексних чисел
Зазначимо деякі способи перевірки нерівності
^І2пІ< + °°«
рівносильної властивості сумовності послідовності (гп) (див. тео-
рему 1, п. 1.6).
3.1.	Ознаки мажорації та порівняння.
Означення. Нехай (гп), (ап) — послідовності комплексних чисел.
Будемо вважати гп = О (ап), якщо існує така послідовність (ап), що
ап = О (1) і \/ п £ И гп = апап.
З означення випливає, щогЛ = О (ап) о 3 (п0, с> 0)- V и > п0
І | с | ап |. При цьому послідовність (ап) називається мажо-
рантною для послідовності (гп).
Теорема 1 (ознака мажорації). Якщо (ап) £ / (^) і гп = О (ап),
то (гп) 6 І (И).
◄ 3 умови теореми дістаємо
ПСИ	псм
Теорема 2 (ознака порівняння). Якщо (ап) С І (^) та існує та-
кий номер п0, що п^ п0 виконуються нерівності
2га-р
г
71
ап-{-
а
п
(1)
то (гп)Є/(№).
4 Запишемо нерівності (1) у вигляді
2
а
п^п*
а
п
(2)
92
Тоді	виконується оцінка
г
а
(3)
тобто —2—= 0(1), гп=О(ап). Згіцно з теоремою 1, (?п)€/(№. ►
ап
Основний недолік теорем 1 і 2 полягає в тому, що в них не вказа-
но способу вибору послідовності (ап) відносно послідовності (гп).
Ознаки Коші й Д’Аламбера, які наведено нижче, частково компен-
сують цей недолік, вказуючи на випадки, коли за (ап) можна взяти
послідовність (дп).
3.2.	Ознаки Коші та Д’Аламбера сумовності послідовності
комплексних чисел.
Теорема 1 (радикальна ознака Коші). Якщо
ЇІіп ^|гп|<1,	(1)
П->оо
то (гп) £/(№).
•< Нехай число <?£((), 1) вибране так, що
Ііт ]/\ гп | = Ііт зир г <<?.
П-+-ОО	П-юо к,^П
Тоді існує такий номер п0, що
зир / ІХ| < д,
тобто	справджується нерівність | гк | < дк.
Оскільки гк = О(дк) і (дк)£І(№), то, згідно з теоремою 1,
п.3.1, (гп)Є/(М). ►
Теорема 2 (ознака Д’Аламбера). Якщо
Ііт
П->оо
(2)
то (гп) €/(№)•
4 Нехай число д£(0, 1) вибране так, що
гп-^і
г
п
Тоді існує такий номер п0,
Ііт
зир
гк+
гк
= Ііт зир
що
Ч,
гк
гн-
гк
Ч-
Цк
Згідно з теоремою 2. п.3.1, (2а)Е/(№) ►
3.3.	Спосіб Коші побудови еталонних сумовних послідов-
ностей. Теорема Абеля. Ознаки мажорації та порівняння, розгля-
нуті в п. 3.1, ефективні лише в тих випадках, коли маємо доста-
тню кількість послідовностей (ап), сумовність яких відома. їх
називають еталонними. Наступним твердженням користуються при
93
побудові нетривіальних сумовних послідовностей, які можна брати
за еталонні.
Теорема І (Коші). Нехай послідовність (ап) невід'ємних чисел
спадає. Вона сумовна тоді і тільки тоді, коли сумовна послідовність
(2па2П).
◄ Якщо 2П“1 т 2", то а^п ат С Додаючи між со-
бою останні нерівності, дістаємо V п £ И оцінки
2п-‘а2П< £ ат <	(1)
т—2п—1
Підсумовуючи нерівності (1) за всіма п £ И, маємо
£ 2п~1аіП < £ ( £ ат) <	2п-‘а2п-ь	(2)
У прикладі 1 з п. 1.5 показано, що
Е ( X М = £ ап‘
пЄМ ГП==,2П-*1
Записуючи нерівності (2) у вигляді
Л. V <£ «,<«,+- £ 2Ч„
дістаємо
V ап < + оо <=* £ 2”а2„ < + оо. ►
Наслідок. Нехай дано послідовність (пг^У, Х£0?. Тоді
(п**х)£І(И), якщо Х>1, і / (И), якщо
і
4 Розглянемо ПОСЛІДОВНІСТЬ (уп) = (2 2*~А’П), де у =	• Якщо
А,2> 1, то 1 і£ уп < + оо. Якщо ж 1, то у 1 і ^Г?п==
= 4- о°. ►
Покажемо, як можна будувати еталонні послідовності, користу-
ючись теоремою Коші. Покладемо
2 а2П =	»	(3)
звідки
а2п = 2<і-|-е)л ’	(4)
Вважаючи рівність (4) правильною не лише для а також
\/п	0, покладемо € И п = 1о§2й. Тоді 2п « к і ак
« —ггт- . Оскільки послідовність (ак) спадна, то ва теоремою Ко-
94
ші вона сумовна. При е = 0 послідовність (2па2Л = 1) не сумовна
й тому , — = +оо. Якщо взяти
(5)
і вважати цю рівність справедливою V к > 0, то при к = 1о§2 п ді-
станемо
=	.«юя,1»,'*' ,’>0)-	,6)
Оскільки послідовність (ап) спадна, то за теоремою Коші вона су-
мовна. Цей процес можна продовжувати необмежено. При цьому
дістанемо сумовну послідовність (ап), де •
ап ------------------------------!---------•	(7)
п (1о§2 її) (І0£, І0& п) ... (1о§2 І0&...	п)1'1’
т разів
При е = О послідовність (ап) не сумовна. Ознака мажорації, в якій
ап визначено формулою (7), дає змогу дістати досить тонку ознаку
сумовності числової послідовності
Теорема 2 (логарифмічна ознака сумовності). Якщо існують
такі т £ И і є > О, що
їїтп (1о§2 п)(1о§2 Іо§2 п) ,..(1о§2 Іо§2 ... Іо§2 п)'+8|гге|<+оо, (8)
П оо	 —'
т разів
то послідовність (гп) сумовна,
◄ Доведення твердження випливає з ознаки мажорації та сумов-
ності послідовності (ап), члени якої визначено формулою (7). >
Із зростанням т логарифмічна ознака ускладнюється, але разом
з тим дає змогу дослідити на сумовність більш широкий клас по-
слідовностей. У зв’язку з цим виникає запитання: чи існує послі-
довність (ап), за допомогою якої можна сформулювати універсальну
ознаку порівняння? Негативна відповідь на це запитання випливає з
твердження, доведеного Абелем.
Теорема 3 (Абеля). 1) Нехай (ап) — довільна не сумовна послі-
довність. Тоді існує така нескінченно мала послідовність що
(апеп) £ І (№).
2) Нехай (ап) — довільна сумовна послідовність. Тоді існує така
послідовність (Ьп), що Ьп -> +оо і (апЬп) £ І (И).
п
◄ 1) Нехай 5П = 2 І а* І- Оскільки 5П +°°, то 1Л$Я -> 4-оо.
л=і
Покладемо
95
Маємо
= Ііт V (У5Й —	= Ііт 1/5П ~ + оо,
П->оо	п-*оо
к= 1
тобто (ап8п) £/(№).
2) Якщо	ап = 0, то твердження очевидне. Не обмежую
чи загальності міркувань, вважаємо, щоІ^^О. Покладемо
п
бп = £ І ап І = £ І ап І — £ І ап І-
к>п	к=]
Оскільки (ал)С/(И), го
1/бп->0. Візьмемо Ьп —
п-+оо Дістанемо
бп->0 при п -> оо, внаслідок чого і
__1
+у^
Тоді /?л->+оо при
2'“"=±2^^
пЄМ	к=\ у Ь~ у
?>
л—і
п
= Ііт У (Уб*_і — Убй) = Ііт(Уб0 — Убп) = Уб0< + оо.
П-+-00	П-» оо
Іг=]
Отже, (ап&„)6/(М)- ►
§ 4.	Добуток сім’ї комплексних чисел
Операцію множення двох комплексних чисел, розглянуту в
п. 4.3, розд. 2, можна поширити за допомогою методу математичної
індукції на довільну скінченну кількість співмножників. При цьо-
му зберігається правило перемножування модулів співмножників
і додавання їх аргументів.
Нехай (га)аеА — сім’я комплексних чисел. Якщо при визна-
ченні її добутку керуватися вказаним вище правилом, то вимага-
тиметься ввести поняття добутку сім’ї додатних чисел та суми ар-
гументів співмножників. Перше зробити важче. Справа в тому, що
додатні числа в операції множення відіграють ту саму роль, що й
дійсні числа в операції додавання. Справді, при множенні чисел,
кожне з яких більше 1, їх добуток збільшується. Те саме відбува-
ється при додаванні будь-яких додатних чисел. При множенні додат-
них чисел, кожне з яких менше 1, їх добуток зменшується, як і при
додаванні від’ємних чисел. Отже, числа, більші 1, в операції мно-
ження відіграють роль усіх додатних чисел в операції додавання, а
числа між 0 та 1 — роль від’ємних чисел в тій самій операції.
96
Розглянемо нові характеристики додатного числа хї
х, якщо
1, якщо
1, ЯКЩО X 1,
| — , якщо 0 < X < 1.
І X ’
Оскільки V х > 0 х = х,+ (х1 ) 1, то характеристики х1-1", х1 ві-
діграють ту саму роль у множенні, що й х+, х~ в операції дода-
вання.
При побудові теорії добутку сім’ї комплексних чисел будемо до-
тримуватися схеми, аналогічної тій, яку викладено в § 1.
4.1.	Добуток сім’ї чисел, більших 1. Позначимо через П хадо-
буток скінченної сім’ї (Ха)а€Л(1).
Означення. Нехай А — довільна множина і V а £ А Ха 1.
Число х£[1, +оо] називається добутком с і м' ї (ха)асЛ>
якщо
х = $ир { П Ха | Л(1) с А і А(1) — скінченна множина} .
аєЛ(1)
Для добутку сім’ї (Ха)асд ПрИЙМЄМО ПОЗНаЧЄННЯ X = П Ха. ВІН
аєл
завжди існує, оскільки в Щ будь-яка непорожня множина має
верхню межу. Добуток порожньої сім’ї чисел покладемо рівним 1.
4.2.	Добуток сім’ї додатних чисел.
Означення. Нехай А — довільна множина і V а С А ха > 0.
Сім’я (ха)асл називається перемножуваною, якщо
П < + °° Л П
а£Д	а€Л
(1)
а її добутком називається число х = [] ха, яке обчислюється за
а£А
формулою
X = ( П *а+) ( П Х'г~У"1’
а£А а^А
(2)
Наявність умов (1) показує, що не всяка сім’я додатних чисел
має добуток. Перемножувана сім’я має скінченний добуток.
4.3.	Добуток сім’ї комплексних чисел. Нехай А — довільна
множина, За = ра (СОЗ фа + І $ІП фа), ра >0, фа Є (—Я, л) V а £
Означення. Сім'я (га)аєл називається перемножува-
ною, якщо (фа) Є І (Л), а сім'я (ра)ає4 перемножувана.
Добутком перемножуваної сім’ї (га)ае4 називається число г =
= р (соз ф + і зіп ф), що визначається рівностями
Р = П ра> Ф = £ Фа-	(1)
аєД	<х£А
4 1—2914
97
Позначимо вказаний добуток через г — Пга. Зазначимо, що для
а£Л
обчислення добутку перемножуваної сім’ї (?а)аєд зберігається пра-
вило множення модулів і додавання аргументів. Добуток сім’ї чи-
сел, в яку входить нуль, залишається рівним нулю, однак вона не
вважається перемножуваною.
Операція множення є важливою в математиці і використовуєть-
ся в практичних застосуваннях. Властивості добутку можна дістати
з властивостей сум, застосовуючи операцію логарифмування, відо-
му з шкільного курсу математики. З цієї причини обмежимося ли-
ше означеннями. Читач може самостійно встановити властивості
добутку сім’ї комплексних чисел без застосування логарифмів, роз-
в’язавши вправи 1—10.
Вправи
1.	Нехай V а Є Л 1 Уа’ Довести, що П П У&
а€Л а€Л
2,	Нехай	1 та Довести, що П (П
аєЛ	а€Л
(П ^а) *
аЄЛ
З,	Нехай Ло с А І V а £ А > 1. Довести, що П хп = ( П х„ | X
Са/	А *	І А А (Л, /
а£Л а€Л0
X П і П П ха*
а£Л\Л0 аЄЛ аєЛ0
4.	Нехай А та В — множини, Г с Л X В, І\, Г2 — проекції Г, а І\ (а) і
Г2 (Р) — перерізи Г за допомогою а і р. Довести теорему Фубіні — Тонеллі: якщо
V (а, Р) € Г х(а43)>1, то
П х(а,3) = П ( П Х(а,3))=П ( П *(а,3))*
(а.РКГ	а£Г, ВЄГ4(а)	0ЄГ, аЄҐ2(0)
5.	Сформулювати та довести твердження, аналогічні твердженню вправи 2
для сім’ї додатних чисел та сім’ї комплексних чисел.
6.	Довести, що сім’я додатних чисел (ха)а<=А перемножувана тоді і тільки
тоді, коли П	<4-оо.
аЄЛ
7.	Сформулювати й довести теорему Фубіні — Тонеллі (див. вправу 4) для
сім’ї комплексних чисел.
8.	Нехай сім’я комплексних чисел (га)аЄ^ перемножувана. Довести, що
множина (а £ Л | га #= 1) не більш ніж зчисленна.
9.	Нехай послідовність комплексних чисел (з ) перемножувана. Довести,
ЇХ
т
ш° П 2П= Ніл П2П-
10.	Довести, що коли послідовність комплексних чисел (гд) перемножувана,
то гп -> 1, тобто 2п = 1 4- ад, де ап = о (1),
98
§ 5. Числові ряди
Числовий ряд можна інтуїтивно розуміти як послідовність
утворених за певним законом комплексних чисел г2,...» гЛ,..., які
додаються. У відповідності з цим числовий ряд записують у вигля-
ді
оо
Зі + г2 4- ... 4* гп 4- ... або £ гп,	(1)
п— 1
де гп називають загальним членом ряду, а число
п
5п = 2гЛ	(2)
6=1
його частковою сумою. Границя послідовності часткових сум ряду,
якщо вона існує, називається сумою ряду і позначається тим самим
оо
СИМВОЛОМ 2 гп, ЩО й ряд (І). Позначення ряду і його суми розріз-
няють за змістом тексту, в якому вони згадуються. В окремому ви-
падку, коли члени ряду дійсні числа, його сумою можуть бути сим-
воли Ч-оо та —оо. Однак ряд називається збіжним, якщо в нього є
сума і вона скінченна, тобто є дійсним чи комплексним числом.
У решті випадків, коли сума ряду не існує або є нескінченною, ряд
називається розбіжним.
У сучасній математиці, на відміну від математики до другої по-
ловини XIX ст., не прийнято керуватися інтуїтивними поняттями.
Тому в деяких книжках з математичного аналізу 1 з’явилося фор-
мальне визначення числового ряду як пари послідовностей (?п) та
(*$п)2
°° 4еі	Л
2п = ((2 Зп)пем>
Л=1
але для ряду і його суми зберігається одне і те саме позначення. Ви-
значення ряду рівністю (3) не уявляється єдино можливим.
У цій книзі числовий ряд позначатимемо спеціальним символом
2гЛ і будемо його визначати не як пару послідовностей, а як послі-
довність чисел виду (2):
сіє/ п
Е2п = (Е
6=)
Для суми ряду, коли вона існує, збережемо попереднє позначення
сіє!	п
(5)
1 Див., наприклад: П и з о ПІ., Заманений М. Курс математики.— М.,
1974.— С. 520;
З о р и ч В, А, Математический анализ: В 2 ч.— М,, 1981,— Ч, ШС, 104
(див. зноску).
4*	99
оо
Таким чином, символи Бгп, 2	2	мають різний зміст. Пер-
п—\
ший з них позначає ряд, другий — суму ряду, коли вона існує, тре-
тій — суму сім’ї чисел (?п)п€к У випадку, коли вона сумовна, або
усі гп невід’ємні.
Запропонована точка зору на ряд, як на послідовність, відкри-
ває можливість побачити більш тісний зв’язок між теоріями рядів
і послідовностей, вбачати можливість формулювання теорем на мо-
ві кожної з них, а також на мішаній мові, знайти нові і більш прості
доведення класичних теорем. Цьому сприятиме словник термінів,
поданий в кінці § 6, який можна продовжити.
Теорія рядів фактично означає вивчення послідовності (5П) за
допомогою послідовності (г„). Це важливо, бо внаслідок формул
гп = 5п-5п^	5о = О,	(6)
послідовність (гп) характеризує швидкість зміни членів послідов-
ності (5П) і відіграє роль похідної функції. Поєднання в єдине ціле
теорій рядів і послідовностей аналогічне диференціальному та ін-
тегральному численням для функцій, важливість яких відома вже в
середній школі.
Якщо послідовність (гп) сумовна, або гп 0 V п € И то, згід-
но з теоремою 2, § 2, виконується рівність
У == гп-	(7)
П=)
Т-Г	•	...11
Приклад послідовності 1, —1, ..., —,----, ... показує, що права
частина рівності (7) може існувати, а ліва — ні. Тому сума ряду е
одним з можливих узагальнень поняття суми числової сім’ї. У § 6
буде доведено, що ця сума не комутативна.
5.1 Термінологія. Необхідна ознака збіжності ряду. Критерій
Коші. Операції над рядами. Абсолютна збіжність ряду. Сформулю-
ємо у вигляді означень поняття, про які йшла мова на початку па-
раграфа.
Означення 1. Нехай задано послідовність комплексних чисел (гп).
Числовим рядом Егп називається послідовність комплекс-
(п \
У гй|.
/
п
Числа та 5Л = у гй називаються відповідно п-членом та
•п-частковою сумою ряду.
Границя послідовності часткових сум ряду, якщо вона існує,
оо
називається сумою ряду і позначається символом 2 гп. Рядізскін-
*=і
ченною сумою називається збіжним. Не збіжний ряд називається
розбіжним.
д оо
З означення 1 випливає, що довільна послідовність комплекс-
них чисел (8П) може розглядатися як ряд з членами 8П — 8П—і
V/: 6 И, 50 = 0.
Теорема 1 (необхідна ознака збіжності ряду). Якщо ряд збі-
гається, то послідовність його членів прямує до нуля.
Ч Нехай ряд збігається, 5 — його сума, (8П) — послідовність
його часткових сум. Тоді гп = 8п — 8п_і -> 8 — 8 = 0.
Наведемо приклад розбіжного ряду з членами, що прямують до
нуля. Нехай числа 1,у, у, у, у, ... утворюють послідовність
членів ряду. Вона прямує до нуля із зростанням л, але сума ряду
дорівнює + оо і ряд розбігається. Отже, з прямування до нуля чле-
нів ряду не можна робити висновок про його збіжність.
Теорема 2 (критерій Коші). Ряд ^2п збігається тоді і тільки
тоді, коли
V 8 > 0 3 пе £ : V (п > ле, р £ И)
п+р
£=п-|-1
(1)
< В.
Умова теореми означає, що
ряду фундаментальна, бо
послідовність (5П) часткових сум
гЛ == 5,,+р — 5П. Тому твердження
випливає з критерію Коші для
Наслідок. Ряд гп = (
числової послідовності. ►
п
збігається чи розбіга-
к^І
ється разом з рядом (	г*)	.
називається п-залшиком ряду гп. Якщо ряд
 оо	оо
2 2п збіжний і £	= 5, то 5 = 5П + гп, де гп = £ гк.
Н=1
При цьому гп->0 при и->оо. Отже, сума л-залишку збіжного
ряду збігається до нуля при п->оо.
Оскільки послідовність комплексних чисел можна розглядати
як ряд, то обидва вони є різними назвами для одного й того самого
об’єкта — відображення множини в (£. Тому над рядами можна
проробляти ті самі операції, що й над послідовностями. Зокрема,
якщо V п 6 И гп 6 (С, и>п € Є і € (С, то
У ?п + £ шп = 2 (гп + йУп),	(2)
* £ гп - £ Кгп.	(3)
101
Теорема 3. Нехай ряди 2гп та 2о/п збігаються ік£ (£. Тоді ряд
2 (гп + збігається і для його суми справедлива формула
00	оо	оо
(гп + Хдап) = £ гп + К о»п-	(4)
П=1	п=1	п=>1
4 Згідно а означенням суми ряду, маємо
оо	п	П
П	оо	оо
Збіжність ряду 2 (гп +	випливає з того, що його сума скін-
ченна. ►
Означення 2. Ряд 2гп називається абсолютно збіж-
ним, якщо збігається ряд 2 | гп |.
З критерію сумовності послідовності (гп) (див. теорему 1,
п. 1.10) та означення 2 випливає, що ряд 2гп абсолютно збігається
тоді і тільки тоді, коли послідовність його членів сумовна. Внаслі-
док цього ознаки сумовності послідовності (2П), встановлені в
пп. 3.1—3.3, є одночасно й ознаками абсолютної збіжності ряду
2гп. Згідно з теоремою 2, § 2, кожний абсолютно збіжний ряд збі-
гається. Тому ознаки сумовності послідовності членів ряду можна
використовувати для встановлення факту його збіжності.
п\

Оскільки
Приклад 1. Дослідити на абсолютну збіжність ряд 2
П-юо (Л 1)! \ ПІ / п-*оо Л -|- 1
= 0,
п \	п
—- Е І (№) V гЕ©. Отже, ряд 2—_
и /	л!
то за ознакою Д’Аламбера І—
\ я
лютно збігається,
Приклад 2. Дослідити на абсолютну збіжність ряд 2гл.
Застосуємо ознаку Коші сумовності числової послідовності. Оскільки
абсо-
Ііт р^|г|п = |г|,
П->оо
то при | г | < 1 (/*) Е І (М) і ряд 2г" абсолютно збіжний у крузі А = {г Е
Е © | І г | < 1). Якщо | г | > 1, то V л Е N | 2 |л > ІД 2п 0. Тоді внаслідок
необхідної ознаки ряд розбігається і тим самим не може бути абсолютно збіжним.
5.2. Ознаки Куммера, Раабе і Гаусса збіжності рядів. Встано-
вимо кілька ознак збіжності числових рядів з додатними членами.
Теорема 1 (ознака Куммера). Якщо для ряду 1>апз додатними
членами існує така послідовність (Ьп) додатних чисел, що:
1) ряд V розбіжний;
/ а	\
2) ііт І —і- Ьп — Ьп+Л =
п-*оо \ ига-Н	'
102
то при ряд у] ап збігається, а при 9<0 він розбігається.
4 Якщо 9>0, то існує такий номер	що \/к^к^
Ьк — Ьк+і >	, тобто ак+і <~ (акЬк — аА+ідй+і), 3 остан-
“&-Н	г	я
ньої нерівності дістаємо оцінку
~ (Як^к* СІп+\Ьп+\) <
ч	ч
оскільки послідовність (апЬп) спадна. Таким чином, послідовність
часткових сум ( ан-н й0-залишку ряду Хап зростаюча і обмеже-
\ к=к^ /
на зверху, внаслідок чого має границю. Тому разом з цим залиш-
ком збігається й ряд 2ап (див. наслідок з теореми 2, п. 5.1).
Якщо 9<0, то існує такий номер що V
< ап-\-\Ьп+\. Послідовність (апЬл)п>По зростає, тому
_	«	оо
<2л-Н > —Г-2—— . Оскільки ряд 7, -т— розбіжний, ТО \ -Т— ==
°п	°п
оо
= 4- оо і внаслідок останньої оцінки ап =• + оо. >>
п= 1
Т еорема 2 (ознака Раабе). Якщо для ряду £апз додатними чле-
нами виконується умова
а	\	—
їїт п І —---------1)	= г,	г (= К,
П~>ео \ ап+1	'
(1)
то при г > 1 цей ряд збігається, а при г <* 1 — розбігається.
<4 Для доведення теореми застосуємо ознаку Куммера, покладаю-
" і
чи Ьп = п. Оскільки У -т- = С+1п/г-Но(1),деС — стала Ейле-
к=\ *
ра (див. приклад 3, п. 2.6, розд. 2), то
+ оо.
Тоді
/ а
Нш І-----— Ьп
П-*ОО \ ип4-1
Якщо г> 1, то за ознакою Куммера ряд 2ап збігається, якщо ж
г < 1, то він розбігається. ►
Теорема 3 (ознака Гаусса). Якщо для ряду ^ап з додатними
членами виконується умова = а + — 4------------де ад В, е —
ап-н	п л,-г
сталі числа, і є > 0, а послідовність (уп) обмежена, то при а >»
103
> 1 або а = 1, 0 >> 1 цей ряд збігається, а при а < 1 або а = 1,
0^1 — розбігається.
◄ Оскільки ——-------► а при п -* оо, то за ознакою Д’Аламбера
“п+1
(див. п. 3.2) ряд 2ап збігається при а >• 1 і розбігається при а •<
< 1.
Нехай а = 1. Тоді Ііт пі——-------1 ] = 0, і за ознакою Рааберяд
П-.ОО \ “п+І	/
2ап збігається при 0 > 1 і розбігається при 0 < 1.
Залишилося розглянути випадок, коли а = 0 = 1. Тоді має-
мо - = 1 + ~ Ч—Застосуємо ознаку Куммера, докла-
даючи Ьп = п 1п п, оскільки ряд 2 -і- розбігається. Дійсно, засто-
совуючи теорему 1, п. 3.3, дістаємо
V 9П 1	—	1 V
2а Ь п 1п2 п *
а
1 1
тобто ряд у -у- розбігається, бо ряд у — розбіжний. Таким
“ п
ЧИНОМ,
а	/ і	V \
—Л-Ьп — Ьп+, = (1 + -і- 4- п Іп п — (п + 1)1п(п+ 1) =
= (п + 1) ІП П Ч---^-Тп Іпп — (п + 1)1п(л + 1) =
п
За наслідком з прикладу 5, п. 2.6, розд. 2,
Ііт Л2 = 0-
п-юо П
Послідовність (уп) обмежена, тому ііт уп п” = 0. З оцінок
П-ьсо ТІ
1<(п + 1)1п/1 +-Ц< 1 + —
' ' ' І 'пі ' п
(див. приклад 2, п. 2.6, розд. 2) випливає, що Ііт (п + 1) х
П->00
(1 \	а
1 -і---1 =« 1. Отже, Ііт —— Ьп — Ьп+г = — 1, і за озна-
П /	п->оо ап+1
кою Куммера ряд ап розбігається, коли а = р = 1. ►
Приклад, Дослідити на збіжність ряд де
а
п
___________Уп\
(2+1/1) (2+ 1/2)
<«< (2 + "|/ті)
104
Спрощуючи відношення
ап = Уії(2 + УТ) (2+ У2~) ...(2+]/мП) = ! + 2	'
а„+1 У(п + 1)1 (2 + У1) (2 + }/2 )... (2 + Уп) Уп + 1 ’
знаходимо
Ііш п
П-*оа
оо.
За ознакою Раабе ряд збігається.
5.3. Перетворення Абеля та ознаки збіжності рядів. У поперед*
ніх двох пунктах розглянуто достатні ознаки абсолютної збіжності
числових рядів: Коші, Д’Аламбера, Куммера, Раабе, Гаусса. Те-
пер встановимо деякі достатні ознаки збіжності числових рядів.
Тотожність
п	п—1
&к (&к	—1) =	“““	~ Вк, (1)
6=1
яка виконується V (п 6 ак £ (£, Вк £ (£), к = 1, п, було встанов-
лено норвезьким математиком Н. Абелем (1802—1829). Цю тотож-
ність також називають формулою підсумовування частинами. Упев-
нимося в тому, що рівність (1) виконується. Маємо
у ак (Вк — Вк-1) = «і (Вг — Во) ч- а2 (В2 — Вг) + ... +
Л=1
+ ап (Вп — Вп^) = —	+ (ах — аг) Вг + ...
П*1
... + (ап-і ап) Вп—\ -р апВп = апВп — а^В^ —
й=»1
Розглянемо ряди
2 ап (Вп - Вп^	(2)
£(ап+і — ап)Вп,	(3)
часткові суми яких входять в тотожність Абеля.
Теорема 1 (про рівнозбіжність рядів, пов’язаних тотожністю
Абеля). Якщо послідовність комплексних чисел (апВп) збігається, то
ряди (2) та (3) збігаються або розбігаються одночасно.
◄ Нехай ряд (3) збігається. Це означає, що послідовність його част-
кових сум має границю а Є (0- Тоді з тотожності Абеля випливає,
що існує
Ііт V ак(Вк — Вк-\) = Р, 0€(С,
П^°° /г=1
тобто ряд (2) збігається. Аналогічно доводиться, що збіжність ря-
ду (2) викликає збіжність ряду (3). ►
Означення. Послідовність комплексних чисел (гп) має обмежену
варіацію, якщо (гп+і — 2П) £ / (^).
105
/'Л^ножину всіх послідовностей комплексних чисел обмеженої ва-
ріації позначимо через V ([^).
Теорема 2. Нехай (гп) Е V ([^). Тоді існує Ііт гп = г, г Е (£.
<	4 Послідовність (гп) запишемо у формі ряду £ (гп — гп-і), г0 =
= 0, який збігається внаслідок теореми 2 з § 2. >
З теорем 1, 2 дістаємо твердження, яке узагальнює класичні оз-
наки збіжності числових рядів Абеля та Діріхле.
Теорема 3 (Абеля — Діріхле). Нехай ап Е (0, 6П Є (С і V я Е №
п
Вп = 2 ^>к- Якщо(ап) € V (И), Вп = О (1), то послідовність (апВп)
/г=1
збіжна і ряд 2>апЬп збігається.
◄	Оскільки (ап+і — ап) € І (И) і Вп = О (1), то ряд 2 (д„+! —
—’ап) Вп збігається (див. теорему 1, п. 3.1). За теоремою 2 послі-
довність (ап) збіжна, внаслідок чого збіжна й послідовність (апВп).
Згідно * з "теоремою 1, ряд ИапЬп = 2ал(Вп—Вп-і) збігається.
Теорема 4 (ознака Абеля). Нехай V п Е И ап Е (С, Ьп Е (0 і ряд
ЯЬп збігається. Якщо (ап) Е V (И), то ряд ^апЬп збігається.
Ч Оскільки ряд збігається, то послідовність його часткових
п
сум Вп = 2 &к обмежена. Таким чином, виконано всі умови попе-
лі
редньої теореми. ►
Теорема 5 (ознака Діріхле). Нехай V п Е И ап Е (£, Ьп Е (С>
Вп = 2 і Вп = О (1). Якщоап = о (1) і (ап) 6 V (№, то ряд 2апЬп
А’=1
збігається.
◄	3 умов ап = о (1), Вп = 0(1) випливає, що апВп = о (1) і, згід-
но з теоремою 3, ряд 2апЬп збігається. ►
Теорема 6 (ознака Лейбніца). Нехай V пЕ № #пЕ (С- Якщо ап =
= о (1) і (ап) є V (И), то ряд 2 (—1)" ап збігається.
Покладемо V п Е И Ьп = (—1)п. Тоді Вп = 2 (—І)* =0(1) і
£=і
виконано всі умови теореми 5. ►
Розглянутий ряд називається знакопереміжним, якщо ап Е
ап> 0 (ап< 0). Доведемо твердження, яке має застосування при
вивченні рядів з дійсними членами.
Теорема 7. Нехай V п Е М ап Е К- Якщо послідовність (ап) мо-
нотонна й обмежена, то (ап) Е V (^]).
<4 За теоремою Вейєрштрасса послідовність (ап) збігаєься. Її
можна записати у формі ряду 2 (ап — ап-]), а0 = 0. Оскільки всі
члени ряду одного знака, то його збіжність рівносильна, тому, що
(Оп) Є V (М). ►
З теорем 4—7 маємо класичні теореми Абеля, Діріхле та Лейб-
ніца для рядів з дійсними членами.
Теорема 8 (ознака Абеля). Нехай V п Е И ап Е К, Ьп Е К ї ряд
^Ьп збігається. Якщо послідовність (ап) монотоннай обмежена, то
ряд ^апЬп збігається.
106
Теорема 9 (ознака Діріхле). Нехай V п £ ап Є К, Ьп 6 К,-
П'
Вп ^=2 і>ьі Вп — 0 (1). Якщо послідовність (ап) монотонно спадна і
ап = о (1), то ряд 2>апЬп збіжний.
Теорема 10 (ознака Лейбніца). Нехай \/ п £ И ап > 0. Якщо
послідовність (ап) монотонно спадна і ап = о (1), то ряд 2 (—1)л ап
збігається.
Теорема 11 (про рівнозбіжність згрупованого ряду). Нехай по-
слідовність комплексних чисел (гп) збігається до нуля. Якщо Пт+\ —
— пт = О (1), то ряд
£*п	(4)
збігається або розбігається одночасно з рядом
(5)
<4 Використовуючи теорему 1 і покладаючи в ній Во = 0, Вп —
— Вп_і = (—1)л, ап = (— 1)л гп УпбИ, матимемо
= —1, Вїт = 0. Оскільки V Ш 6 И — «2^-1 = 22т +
+ г2т-і і апВп = о (1), то, згідно з теоремою 1, ряд (4) збігається
тоді і тільки тоді,гколи збігається ряд (5), в якому кожна сума в дуж-
ках містить по два доданки. Якщо скористатися доведеною влас-
тивістю р разів, то дістанемо, що збіжність ряду (4) рівносильна
збіжності ряду (5), в якому кожна сума в дужках містить по 2Р до-
данків. Якщо р настільки велике, що в ряді (5) щ 2Р, Пт+] —
— пт 2Р V т £ И, то, не змінюючи ряду (5), можемо до кож-
ної суми в дужках дописати доданками стільки нулів, щоб дістати
рівно 2Р доданків. Внаслідок доведеного, збіжність одержаного ря-
ду (5) рівносильна збіжності ряду (4). Дужки в ряді (5) можна опу-
стити, оскільки одержаний при цьому ряд відрізнятиметься від ря-
ду (4) лише нульовими членами. >
Розглянемо знакопереміжний ряд 2(—1)л“’ ап, в якому ап >
> 0, послідовність (ап) монотонно спадна і ап = о (1). За теоремою
оо
10 цей ряд збіжний. Нехай у (—1)л~ ап = 5. Оцінимо похибку,
п.= \
якої припускаємося, беручи замість 5 часткову суму 8п. Для цього
°° £__[
потрібно оцінити суму п-залишку ряду у (—1) ак. Залишок ря-
ду збігається разом з ним, і за теоремою 11 шляхом групування в
дужках скінченної кількості членів залишку можемо дістати рів-
нозбіжний йому ряд. Таким чином, маємо
= |(аЛ4-і — Яп-нО + (йп-р — ап^) + •••!== (Дп-і-1 — йп-^2) +
107
+ (ап±з — Яп+а) 4- ... =	— (ап±2 — Лп-^-з) —
— (#/г-|-4 — Яп-{-5) — •••	Яп-}-1»
Абсолютна похибка Д = | 5 — 5п | не перевищує абсолютної ве-
личини першого з відкинутих членів ряду. Зокрема,
0<5<аг
VI (	1)^
Наприклад, для суми 5 збіжного ряду / , -—------------- виконується
двостороння оцінка 0<5<1.
Приклад 1. Нехай ап £ ІК V п £ ап = о (1) і (ап) Є V (М). Довести, що
V х Є Щ ряд Хап 8Іп пх збігається,
Якщо х = тп, то збіжність ряду очевидна, Нехай V хф
п
Фтп. Покладемо УпСМ 6п = 8іппх і оцінимо суму Вп =	Ь^. Маємо
За ознакою Діріхле ряд збігається,
Приклад 2. Нехай 0<х<1іУл€К С К* Довести, що ряд ^Ьпхп збі-
гається, якщо збігається ряд ^Ьп.
Якщо 0 < х < 1, то послідовність (/*) монотонно прямує до нуля, Отже, за
ознакою Абеля ряд '%Ьпх? збігається.
Вправи
1,	Дослідити на збіжність ряди:
«>2»-ТтаПГ. ">№
VI 8ІП П + — І
В) 1_____V_____І2_, п>2.
Іп Іп п
ь
2. Якщо ряд 2ал збігається і Ііт —И. = 1, то чи можна твердити, що
П-ьоо СІ
ТІ
ряд 26л також збігається?
5.4. Обернення ознак Діріхле та Абеля для рядів з комплексни-
ми членами. Ознаки Діріхле й Абеля допускають обернення.
Теорема 1 (обернення ознаки Діріхле). Нехай V п Є ап 6 (С*
Якщо для будь-якої послідовності комплексних чисел (Ьп) з умови
108
п
Вп = 2	~ О (1) випливає збіжність ряду ^апЬп, то ап = о(1)і
к—}
(ап) € V (И).
4 Ряд 2 (—1)л0п збігається, бо в умові теореми можна покласти
Ьп == (—1)п. Отже, (—1)ла„ = о (1) згідно з теоремою 1, п. 5.1, а то-
му й ап = о (1).
Покладемо в умовах теореми V п £ И Вп ==	= со$ —
— і 8ІП фп,	€ Агб (Лл+1 — ап), ф0 = 0. Маємо Ьп = Вп —
— Вп-\ = £„ — ?п-ь Ьк = Вп — 1 = О (1). За умовою теоре-
мі
ми ряд %ап (£л — £п-і) збігається. Оскільки апВп = о (1), то, згід-
но з теоремою 1, п. 5.3, ряд 2 (ап+і — ап) £л = 2 | ап+\ — ап |
збігається, внаслідок чого (ал) Е V (^|). ►
Теорема 2 (обернення ознаки Абеля). Нехай V п Е И ап Е С-
Якщо із збіжності ряду Т,Ьп завжди випливає збіжність ряду І>апЬп,
то (ап) Е V (И).
<4 Застосуємо метод доведення від супротивного. Припустимо, що
(ап) £ V (№)• Тоді (Яп+і — ап) І (И) і за теоремою Абеля (див. тео-
рему 3, п. 3.3) існує така послідовність = о (1), що (еп (ап+і —
— а„)) £ І (И). Нехай Уга 6 N Фп€	е„ (ап+і — а^, е0 = <р0 =
= 0. Позначимо £п == соз фл — 1 зіп <р„. Тоді У п, 6 И І еп (ал+і —
— а„) | = £лє„ (ап+і — а„), і тому ряд
У (°п + 1 ап)єп£п	(1)
розбігається. Ряд £ (е„$п—єп_і£п—і) збігається (його сума до-
рівнює нулю), тому за умовою теореми збігається й ряд
®п—1Сп—1)-
(2)
Оскільки ряд (1) розбігається, а ряд (2) збігається і вони пов’язані
між собою перетворенням Абеля, то не виконано умову теореми 1,
п. 5.3, про рівнозбіжність рядів, внаслідок чого послідовність (апея£п)
розбігається. З умови е„ = о (1) випливає, що ап=£ О (1). Тому
знайдуться такі натуральні числа пг < п2 пкщо V к £
€ М | апк і > 2а. Покладемо
Ь
п
якщо п = пк,
якщо п=^=пк.
Оскільки ряд 2ЬП збігається, то за умовою теореми збігається й ряд
20п&п. Тому апЬп = о (1). А це суперечить тому, що V к £
ап(гі’лй> і- Джерело суперечності — в припущенні, що (пл) (^).
Отже, (Лп) Е V (Ш ►
Ю9
§ 6.	Теорема Рімана про перестановку
членів ряду.
Нескінченні добутки
6.1.	Теорема Рімана. У § 1 суму послідовності (ха) не було ви-
значено для випадку, коли
£ хі = + оо А У х~ = + о°.	(1)
"ЄМ	«ЄН
Спробуємо визначити цю суму за допомогою збіжного числового
ряду
2	(2)
Для цього потрібно буде дослідити властивості суми ряду (2), чле-
ни якого задовольняють необхідну умову збіжності хп = о (1) та
співвідношення (1).
Означення. Якщо відображення <р є бієкцією множини И на се-
бе, то ряд
Е хф<«)	(3)
називається перестановкою ряду (2).
Теорема (Рімана). Нехай хп = о (1) і виконано умови (1)- Тоді
V а £ П{ існує така перестановка (3) ряду (2), сума якої дорівнює а.
Л	П
◄ Позначимо V п 6 И = 2	» #л = 2 (—х^' Оскільки
Ііт Ап = +оо, то існує таке п0 £ що АПо > а, Нехай Во = О,
/п0 = 0. Методом математичної індукції доведемо існування таких
зростаючих послідовностей натуральних чисел (пй), (/пй), що V к £
6 И > п0 і
А^	4 +5^>а,	(4)
але
। 4"	а, Ап^і 4“ а,	(5)
З цією метою зазначимо, що Ап, > а і Ііт Вп = —оо. Тому існує
таке тг Є що АПй + ВОТ1 < а і разом з тим Ап. 4- Вт{_\ > а.
Не виключена можливість, що /4По 4- Вх а. Тоді АПо 4- Во —
= ЛПо > а. Оскільки АПо + Вті а і Ііт Ап = + оо, то можна
Л->оо
вибрати таке	6 Що > по і Ап, 4“ Вт, > а, але разом з тим
АПі—і 4- Влії Отже, можна так вибрати щ Є та гщ £
умови (4), (5) виконуватимуться при к — 1. Нехай натуральні чис-
ла пг < п2 <...< пр і /Пі < т2 пір вибрано так, що умови
(4), (5) виконуються \/к = 1, р. Вкажемо спосіб вибору чисел
пР+\ > Пр та /пР4-і > тр. З умов Ап + Вт > а та Ііт Вп =
Р	Р	п-*оо
= — оо випливає існування такого числа тР+\ > тр, що АПр +
+	а, але АПр 4- Втр^_^і > а. Вибравши число тР+\ £
110
Є й, визначимо пР+\ Є Оскільки Ла 4- Втр+1 <1 а і Ііт =
= + оо, то існує таке число пр+і > що ЛПр+) + Втр_^} > а
і разом з тим'Лп +|_і + Втр_^} О- Таким чином, вказано пра-
вило вибору чисел пР+} і /Пр+ь Згідно з методом математичної
індукції, доведено існування послідовностей (пД (лгй), про які
згадувалося вище. Покладемо V к £ И
У] — АП()І ^26+1 — ^пк Апк—\> УїЬ Вт-к ^тк^У . (®)
Очевидно, ЩО
//1=4 + ••• + 4> У* = <-	+ - + (- 4Л
І/24+1 = Ч_1+. + - + Ч-	(7)
Розглянемо ряд
2 Уп,	<8)
часткові суми якого дорівнюють або Апк_} + або Апк_{ +
+ Втк, 3 умов (4), (5) випливає, що	виконуються нерів-
ності
І А^к-}
+ 5^-! - « | < х+к_і
І	а І < Хті
(9)
З умови хп = о (1) дістаємо, що сума ряду (8) існує і дорівнює чис-
лу а. З рівностей (7) випливає, що ряд (8) одержано з деякої пере-
становки (3) шляхом додавання нулів та групування членів. Нульо-
ві доданки з’являються у зв’язку з тим, що в суми (7) входять чис-
ла х/ та х]~, одне з яких обов’язково дорівнює нулю. Оскільки згру-
повані члени (7) ряду (8) мають однакові знаки, то часткові суми
перестановки (3) містяться між частковими сумами ряду (8). Тому
вказана перестановка має ту саму суму, що й ряд (8), тобто число
а. ►
Теорема Рімана показує, що у випадках, коли ряд збігається
і виконано умови (1), його сума не буде функцією доданків, а зале-
жатиме лише від порядку їх слідування. Це неприродно з точки
зору операції додавання.
6.2. Безумовно та умовно збіжні ряди. Запровадимо до розгля
ду нові терміни теорії рядів.
Означення 1. Ряд 2гл називається безумовно збіжним,
якщо він збігається за будь-якої перестановки його членів.
Теорема 1. Ряд %2п безумовно збігається тоді і тільки тоді,
коли (гп) Є І (И).
Ч Очевидно, що можна обмежитися доведенням теореми для ви-
падку ряду
(1)
Необхідність. Нехай ряд (1) безумовно збігається. Тоді хп =
= о (1) і внаслідок теореми Рімана збігається один з рядів 2х^ або
2x7» Оскільки 2хп — 2х^ — 2x7, то збігається і другий з вка-
111
заних рядів, тобто 2	< + оо і 2 *"* < + °°» Щ° означає сумов-
ність послідовності (хЛ).
Достатність, Якщо (хп) £	— бієкція множини на се-
бе, то (Хф<п)) 6 / (№) (див. теорему п. 1.4), внаслідок чого ряд
збігається. Згідно з означенням, ряд (1) безумовно збігається. >
Означення 2. Ряд ^2п називається умовно збіжним,
якщо він збігається, але не безумовно.
Теорема 2 (Рімана про умовно збіжні ряди). Якщо ряд (1) збіга-
ється умовно, то V а £ К існує перестановка ^х^п), збіжна до а.
< Згідно з необхідною ознакою збіжності ряду, хп = о (1). Якщо
тіп (2	2 Хп}< + оо, то існує сума 2 хп. Оскільки ряд (1) збі-
гається, то ця сума повинна бути скінченною, що неможливо внаслі-
док означення 2 і теореми 1. Отже, виконано всі умови теореми Рі-
мана з п. 6.1. >
Теорему Рімана можна використати для побудови нетриві-
альних прикладів.
Приклад. Чи існує такий збіжний ряд 2хп, що ряд 2х^ розбігається?
Відповідь на поставлене запитання позитивна. Для доведення розглянемо та-
ку послідовність чисел (ап), що Уп £ N а2п—І = ~з—* а2п = — — • Оскільки ап =
п
= о (1), 2	== + о° і 2	= "^°°» то за теор6*1010 Рімана існує така бієкція
Ф
N М, що ряд 2а^п) збігається. Покладемо Уп Є N хп = аф(п). Тоді ряд 2хя
збігається. Взявши до уваги, що 2 (*п)+ = 2 ~п" ~ ~^ °°’ 2	=
= 2 “Тз < + оо, дістанемо, що 2	= + оо і ряд 2х3 розбігається.
пЄМ п	пЄМ
6.3.	Словник найважливіших термінів теорій рядів і послідовно-
стей. Читач, мабуть, звернув увагу на те, що багато тверджень можна
формулювати як в термінах теорії рядів, так і на мові послідов-
ностей. Як приклад можна навести критерій Коші. За інший при-
клад може правити теорема Вейєрштрасса, яка стверджує, що кожна
монотонна послідовність дійсних чисел має в границю. Ця ж тео-
рема в термінах теорії рядів формулюється так- будь-який знако-
сталий ряд має в Ж суму.
Однак є твердження, які природніше формулювати лише в тер-
мінах однієї мови, наприклад теорема про границю добутку двох
послідовностей. На мові теорії рядів її формулювання буде склад-
ним. Теорема Рімана про перестановку членів умовно збіжного ря-
ду не формулюється на мові послідовностей. Подібних прикладів
багато.
Є теореми, що формулюються на мішаній мові з використанням
термінології теорій рядів і послідовностей, наприклад ознаки Абе-
112
ля, Діріхле та їх обернення. Вільний перехід з однієї мови на ін-
шу, повністю або частково, може спростити розв’язування тієї чи
іншої задачі. Наприклад, нехай треба вияснити, чи можна в довіль-
ному ряді 2хл, хл С К, згрупувати доданки так, щоб одержаний ряд
(пт	\
т	\
2 мав суму в К; був би знакосталим. Сформулюємо ці
к=пт~\ /
запитання на мові послідовностей: чи можна з довільної послідовно-
сті (5Л), 5Л € К, виділити підпослідовність, яка б мала границю в В<;
була монотонною? Позитивні відповіді дано в § 9, розд. 1. Наве-
демо таблицю, в якій відповідні терміни мають однакові номери:
№	Терміни теорії рядів	№	Терміни теорії послідовностей
1	Ряд	1	Послідовність
2	Член ряду	2	Різниця між членами послідовності
3	Часткова сума ряду	3	Член послідовності
4	Сума ряду	4	Границя послідовності
5	Збіжний ряд	5	Збіжна послідовність
6	Знакосталий ряд	6	Монотонна послідовність
7	Ряд з невід’ємними (недодат- німи) членами	7	Неспадна (незростаюча) послідовність
8	Абсолютно збіжний ряд	8	Послідовність з обмеженою варіацією
9	Умовно збіжний ряд	9	Збіжна послідовність, яка не має обмеженої варіації
10	Згрупований ряд	10	Підпослідовність
11	Сума згрупованого ряду	11	Часткова границя послідовності
12	Ряд з умовою Коші	12	Фундаментальна послідовність
ІЗ	Ряд з обмеженими частко- вими сумами	ІЗ	Обмежена послідовність
6.4.	Нескінченні добутки. Використання теорії числових рядів
при вивченні послідовностей можна вважати одним з найважливі-
ших застосувань операції додавання. Те саме можна сказати й про
операцію множення.
п
Нехай (рп) — послідовність додатних чисел, Рп = П рк п £
&=!
Означення 1. Послідовність (Рп) називається н в с к інчен-
ним добутком.
113
Нескінченний добуток позначимо символом Числа Рп на-
зиваються частковими добутками, а числа рп — множниками.
Означення 2. Значенням нескінченного д о б у т-
к у Прп називається границя послідовності (Рп), якщо вона існує.
оо
Значення нескінченного добутку позначимо через П рПі що від-
п—1
рівняється від позначення Пр„ та від добутку сім’ї чисел П рп, роз-
глянутого в § 4.
Означення 3. Нескінченний добуток Прп називається збіж-
ним, якщо він має значення, відмінне від нуля та від + оо.
У цьому означенні нуль виключається, бо нескінченний добу-
ток додатних чисел розглядається в П<+ = {х Е Щ | х > 0} і 0 £
Є 1К+
Якщо ф — бієкція множини И на себе, то нескінченний добу-
ток Прф(Л) називається перестановкою нескінченного добутку Прп.
Означення 4. Нескінченний добуток називається безумов-
но збіжним, якщо збігається будь-яка його перестановка. Як-
що Прл збігається, але не безумовно, то нескінченний добуток на-
зивається умовно збіжним.
Сформулюємо основні твердження, які читач зможе довести са-
мостійно.
Теорема 1 (необхідна ознака збіжності). Для збіжності не-
скінченного добутку Х\рп необхідно, щоб Ііт рп = 1.
П-ЮО
У зв’язку з цим замість рп часто вживають 1 + ап і нескінчен-
ний добуток записують у формі П (1 + ап). Тоді необхідна умова
збіжності набуває вигляду ап = о (1).
Теорема 2 (критерій безумовної збіжності). Нескінченний до-
буток Прп збігається безумовно тоді і тільки тоді, коли сім'я (рп)
перемножувана.
Означення 5. Нескінченний добутокїі (1 + ап) називається аб-
солютно збіжним, якщо збігається П (1 + | ап |).
Очевидно, що нескінченний добуток абсолютно збігається тоді
і тільки тоді, коли він збігається безумовно.
Для умовно збіжних нескінченних добутків справджується ана-
лог теореми Рімана про умовно збіжні ряди.
Теорема 3 (Рімана). Нехай Прп збігається умовно. Тоді
Є (0, + оо) існує перестановка, збіжна до а.
оо
добуток
Приклад 1. Довести,
Записуючи частковий
п	п
(п — 2) п (п — 1) (п 1)
(п — 1)2
/І?
114
помічаємо, що
р _ 1 П + 1
71	2 п
Приклад 2. Обчислити П Н + п ’уд)) •
Маємо
п
'п = п
к=>]
(к^1)(к + ї) п + \
к (£ + 2)	п + 2
П І1 + п(п + 2)
л=1 х
Ііт Р = 2.
П
Вправи
1. Чи випливає із збіжності добутків Прп і збіжність добутку:
а)11 (рп+9Л);б) пр«?
2. Дослідити на збіжність такі нескінченні добутки:

••••••••••
ПОСЛІДОВНОСТІ ФУНКЦІЙ
ТА ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ.
СТЕПЕНЕВІ РЯДИ
І ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ
Застосуємо методи досліджень числових послідовностей і рядів
до послідовностей функцій та функціональних рядів. Новими для
читача виявляться поняття рівномірної норми та рівномірної збіж-
ності. Важливе місце серед усіх функціональних рядів належить
степеневим рядам, які мають численні застосування. Зокрема, за
допомогою степеневих рядів продовжимо елементарні функції (по-
казникову, тригонометричні та ін.) в комплексну площину (£.
У комплексній площині можна виявити помічений ще Ейлером ди-
вовижний зв’язок між показниковою та тригонометричними функ-
ціями, оцінити належним чином важливість у математиці числа е
і функції г ег. Вказаний зв’язок дає змогу одержати як відомі,
так і нові формули тригонометрії. При вивченні степеневих рядів
значну роль відіграють числові суми, розглянуті в розд. 3. Засто-
сування степеневих рядів до числових рядів, збіжних і розбіжних,
приводить до нового розуміння суми числового ряду, запропонова-
ного ще Ейлером, яким користуються в застосуваннях, особливо
при розгляді добутку числових рядів.
§ 1.	Послідовність функцій і
функціональний ряд.
Поточкова збіжність
1.1.	Послідовність функцій і поточкова границя.
Означення 1. Відображення Ф множини в множину всіх функ-
цій називається функціональною послідовністю.
Значення відображення Ф (п) = /п називається її п-членом.
Для послідовності функцій приймемо позначення (/п).
Означення 2. Нехай / : (0	(0, /п : (С (0 * V и Є £>/п =
= £>/ = £. Послідовність (/п) називається поточково збіж-
ною до функції І, якщо V г Є 2 ї — Ііт /п (г).
П -► оо
Якщо послідовність (/л) поточково збігається до функції /, то
записуємо /п -> /. У випадку, коли важливий сам факт поточкової
збіжності і не відіграє ролі функція /, будемо записувати
1.2.	Функціональний ряд і його поточкова збіжність.
Означення 1. Послідовність функцій (5П) називається функ-
ціональним рядом, якщо існує така послідовність функ-
116
цій (/п), що V п Є М	/ V (л 6 М. г Є 2)
5» (2) = £ /А (2).
к=\
(1)
Функціональний ряд позначимо символом 2/п. Функція 5П на-
зивається п-частковою сумою ряду 2/п, а /п — його п-членом.
Означення 2. Поточковою сумою ряду на множині 2 сг £ на-
зивається поточкова границя його часткових сум, якщо вона існує.
Ряд називається поточково збіжним, якщо його поточ-
кова сума існує і в скінченною.
00
Поточкова сума ряду /п позначається символом ЇП- Та-
П=1
ким чином»
де! п
(г) = ііт у їк (г)
їг£2.
Нехай V п Є И &зп = Тоді послідовність функцій (Зл) мож-
на розглядати як ряд 2 (5Л — 5п-і), 50 (?) = О V г Є 2. Таким
чином, функціональні ряди, подібно до числових, становлять особ-
ливу форму вивчення послідовності функцій.
§ 2.	Рівномірна норма функції.
Рівномірна збіжність послідовності
функцій і функціонального ряду
Введемо до розгляду рівномірну норму функції, яка узагальнює
модуль числа і збігається з ним, коли функція стала. Це нове по-
няття використаємо при побудові теорії рівномірної границі послі-
довності функцій.
2.	1. Рівномірна норма функції та її властивості.
Означення. Число
8иР І/(2)1,
(1)
скінченне чи нескінченне, називається рівно мі р ною нор-
мою функції } і позначається або, коротше,
Зазначимо основні властивості рівномірної норми функції.
Теорема 1. Для будь-яких функцій (С, £ : (Б -* (0 і
V * £ (О виконуються твердження:
1) (II /II = 0) =>(/= 0); 2) ||%ЛІ = ІМІІ/ІІ;
3) II / + § |К II / II + II § І, ЯКЩО й, СІ О8 Ф я.
◄ 1) (|/ц=0=>8ир |/(г) =0=> УгбР/ |/(г)| = 0 => V
/(г) = 0=>/ = 0.
2)	IIVII = 5Цр І*/(2)І = зир |1| |/(г)| = |Х| зир |/(г)| = |1|||/||.
117
3)	Нехай 2^0, ПОЯ#:0. Тоді |/(г) + §(г)|<|/(г)| + |§(г)|<
зир |/(/)| + зир § (т)| = II/|І 4- ||§||. Згідно з означенням ВерХ-
^О/	тєог
ньої межі, зир | / (г) + § (г)| < ||/1| + || § ||, тобто || / + § |К Ц /1| +
г€о/+г
+ || £ ||. ►
Теорема 2. Функція	обмежена тоді і тільки тоді,
коли II / Ц < + оо.
4 Дійсно,
(II / II = зир 1/(г)|< + оо)^(3Л4ЄК: УгбО/ 1ї (г)| М) &
« (/ — обмежена). ►
Для модулів чисел гС(С, виконується рівність |гдо| =
= | г | | іи |. Для рівномірних норм такої рівності в загальному
випадку не існує. Наприклад, нехай/(г) = 1,якіцо г| < 1, /(г) =
= 0, якщо |г|> 1, а § = 1 —/. Тоді /§ = 0, ||/§| = 0, ||/|| = 1,
ІІ&ІІ = 1, тобто ||/§||=/= Ц/Ц ||§||.
Однак, справедливе таке твердження. _____
Теорема 3. Нехай /• £->(£, £ і (Б-> (£. Якщо О? П £>е=#0,
то
П/яІІ^ІІ/ІІ ІІіІЬ
(2)
4 Нехай гЕО/П^- Тоді |/(г)§(г)| = |/(г)| |§(г)|<||/|| ||§ ||.
З означення верхньої межі випливає нерівність
зир |/(г)§(г)|<||/Ц ||§||, тобто ||/§||<||/|| ||§||. ►
Наступну властивість рівномірної норми часто застосовують при
розв’язуванні задач.
Теорема 4. Нехай О^о& =/= 0. Тоді виконується рівність
ІІЖ-ІЮ	(3)
де — звуження функції / на множину 2 = Е& П В і-
◄ Нехай г 6 і § (г) € Оі- Тоді |/ (§ (г)) | = |/ (ш) |, де ш = § (г) £
£ 2. Отже,
8иР І(/°£)(г)| = зир |/(ау)|, тобто ||/о§ Ц = Ц/| Ц. >
Рівність (3) назвемо правилом заміни змінної для обчислення
рівномірної норми композиції функцій (складної функції).
2.2.	Рівномірна збіжність послідовності функцій.
Означення. Нехай	= 0/ = -2» Послідовність функ-
цій (/„) називається рівномірно збіжною до функції
І на множині 2, якщо || /п — /||	0 при п оо.
При цьому функцію / називаємо рівномірною границею послі-
довності (іп) і записуємо /п => /, або /п / на 2.
Теорема 1. Якщо Л то [п-+-
118
•< Нехай V п £ № 0>п =	= 2 і г £ 2. Тоді V г £ 2 маємо при
п —» ОО
|/п(г)-/(г)ІС||/п-/||->0,
а це означає, що	►
Наслідок, ^що послідовність функцій (/п) збігається рів-
номірно, то її рівномірна границя єдина.
Теорема 2 (про лінійність рівномірної границі). Якщо
Оіп = £>6п = Е>і = £>е = З, то	/п +
+ ^ / +
4 При /2~>оо маємо
ік/п + ^п)-(/+^)іі<іі/п-/іі + ^іип-§іі->о.
тобто /п+ Х.£п =?/ + %£. ►
Не всі теореми про границі збіжних числових і рівномірно збіж-
них функціональних послідовностей аналогічні одна одній. Це по-
яснюється тим, що рівномірна норма, на відміну від модуля числа,
може набувати значення + <х>.
Наведемо приклад двох рівномірно збіжних послідовностей
функцій, добуток яких збігається нерівномірно.
г
п
Приклад. Нехай V (п € М, г 6 ©)	= (з) = з, / (з) = з, £п (з) = — Тоді
п
Іп Л 0»
Дійсно, V (п Є N, ге©) (їпвп) (г) = —, II їпЄп—0 II = II Їп5п II = зир
І«	гЄС
оо, тобто збіжність нерівномірна.
Якщо обмежимося функціями із скінченними рівномірними нор-
мами, тобто обмеженими функціями (див. теорему 2, п. 2.1), то вка-
зана вище відмінність зникне.
Теорема 3 (про рівномірну границю добутку). Нехай V п £ №
= 2 і|| /„ II < + оо, кп||< + оо. Якщо[п
&г =£ 8> т° /п£п =£ /§•
•< Маємо (див. теореми 1 та 3, п. 2.1)
||/п£п —М = І1(/Л — /)8п + /(£п — £)||<II/п — /II ІІ£п II +
+ 11/11 ІІ£п-П
Оскільки (| /п — / Ц = о (1) і | §п — § Ц = о (1), то залишається
довести, що /1| < + оо і Ц §п | = 0 (1). Зважаючи на те, що V п £
11/11= /~/п +/п||<|і/-/п|| + ||/п|| І 
II /п II < + оо. приходимо до висновку, що || / ||
оо. Беручи до уваги оцінку ||	| =
+ оо. Анало-
гічно Ц §
та співвідношення || §п — § || = о (1), маємо || §п | = 0 (1). ►
2.3.	Рівномірна фундаментальність послідовності функцій. Кри-
терій Коші. У п. 2.4, розд. 2, розглянуто поняття фундаментальної
послідовності (хп) і доведено, що збіжними являються лише такі
послідовності. Для послідовності функцій (/п) виникає потреба в
аналогічному понятті.
119
Означення. Нехай	= Послідовність
(/п) називається рівномірно фундаментальною, яя-
що V є > 0 3 пе 6	• V (п п&9 р € И) II /п+р — іп II < в.
Числову послідовність можна розглядати як поодинокий випа-
док послідовності сталих функцій, при цьому поняття фундамен-
тальності і рівномірної фундаментальності збігаються.
Теорема (критерій Коші). Послідовність функцій (/п) збігаєть-
ся рівномірно тоді і тільки тоді, коли вона рівномірно фундамен-
тальна.
◄ Необхідність. Нехай /п / і є > 0. Користуючись поняттям
рівномірної збіжності, знайдемо такий номер € И, що V п п9
ип—ї\\< Тоді V (я > яе, р е И) також || /п+р — /1| < -у-
Отже, V (п > яе, р € И) II }п+р — /„ ЦС || Іп+Р — / II + Ц / — /4 <
< е, що означає рівномірну фундаментальність послідовності (/п).
Достатність. Нехай послідовність (/п) рівномірно фундамен-
тальна і г £ 2. Тоді з оцінки
І їп+р (?) - /п (г)| < II [п+р - /п II,	(1)
яка виконується V (я € И, Р б И)> випливає фундаментальність по-
слідовності (/п (г)). Згідно з критерієм Коші для послідовності ком-
плексних чисел, існує Ііт /„ (г). Позначимо цю границю через / (г).
П-+ Осі
Нехай є >0. Оскільки послідовність (/„) рівномірно фундаменталь-
на, то існує таке яе 6 що V (я > яе, р € И) II /л+р — /п || < 8.
Внаслідок нерівності (1) V (я я8, р € г £ 2) маємо
\Іп+Р (г) —/п (г)|<8.
Перейдемо до границі в цій нерівності при р -> оо. Дістанемо
V (я я8, г £ 7) нерівність
1/(2) —/п (2)1 < 8.
Згідно з означенням верхньої межі, для усіх п п8 виконується
нерівність Ц / — /п Ц в, звідки випливає, що [п і на 2. ►
2.4.	Рівномірна збіжність функціонального ряду.
Означення 1. Нехай іп : -+ (С і V п Є И О?п = 2. Ряд 2/п
називається рівномірно збіжним, якщо послідовність
його часткових сум (5П) збігається рівномірно.
Суму рівномірно збіжного ряду назвемо рівномірною сумою.
Означення 2. Нехай їп і £ -> £ / V л С М О/Л — 2. Ряд ^„за-
довольняє рівномірну умову Коші, якщо послідовність його частко-
вих сум рівномірно фундаментальна.
Критерій Коші, доведений для фундаментальної послідовності
в п. 2.3, сформулюємо в термінах теорії функціональних рядів.
Теорема (критерій Коші для функціонального ряду). Нехай
/л * (С (С * V я £	= 2. Ряд 'Яїп збігається рівномірно тоді
і тільки тоді, коли він задовольняє рівномірну умову Коші.
2.5.	Нормальна збіжність функціонального ряду. Ознака Вейєр-
штрасса рівномірної збіжності. Введемо до розгляду поняття нор-
мальної збіжності функціонального ряду.
120
Означення. Нехай /в і (£->(£/ V л Є О/ == 7. Ряд на-
зивається нормально збіжним, якщо послідовність рів-
номірних норм його членів сумовна, тобто (||	||) б І (№•
З критерію сумовності числової послідовності випливає, що ряд
2/л нормально збігається тоді і тільки тоді, коли
X П/п II < + 00
Якщо усі члени ряду сталі, то його нормальна збіжність рів-
носильна абсолютній збіжності числового ряду.
Теорема. Нехай /п ! (Л (С 1 V п € И О/ = 2. Якщо ряд Е/п
збігається нормально, то він рівномірно збіжний.
◄ Якщо (Ц /„ Ц) 6 І (№> то числовий ряд 2 || /п || задовольняє кри-
терій Кошії
Ує>0 ЗлебИ: У(п>п„	£ ШІ<е.
Й=п-|-1
З нерівності
І £ /*||< $ ші
к=п-{-\	1
та теореми з п. 2.4 випливає рівномірна збіжність ряду 2/л. ►
Наслідок (ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності
функціонального ряду). Нехай і (0	/ V п £	= 2. Як-
що існує така послідовність (ая) 6 І (И)> що II Лі II в О (ап)» то ряд
2/я збігається рівномірно,
◄ За ознакою мажорації (|| /л ||) 6 І (И), тобто ряд 2/л збігається
нормально. Згідно з теоремою, він рівномірно збіжний. ►
>	2.6. Ознаки рівномірної збіжності функціональних рядів. Тео-
реми Абеля та Діріхле. Тотожність Абеля (див. п. 5.2, розд. 3),
записану для функцій, використовують при встановленні ознак
рівномірної збіжності функціональних рядів. У теоремах з цього
пункту розглядаються функції / і (С -> (0, О/ = 2.
Теорема 1 (про рівномірну рівнозбіжність функціональних
рядів, пов’язаних перетворенням Абеля). Нехай послідовність функ-
цій збігається рівномірно на множині 7. Тоді функціональні
ряди
£ /п (§п —	§0 = 0.	( І )
£^п(Л+1-/п)	(2)
збігаються рівномірно або нерівномірно одночасно.
◄ Нехай ряд (2) збігається рівномірно на множині 2. Згідно з тео-
ремою про лінійність рівномірної границі та з тотожністю Абеля
п
У /й (8к — £*-і) = /п£п — У (Л=+1 — їк)> (3)
к=\
121
ряд (1) збігається рівномірно на множині 2. Аналогічно ряд (2) рів-
номірно збігається, якщо ряд (1) рівномірно збіжний. ►
Означення. Послідовність комплексних чисел (гп називається б і*
монотонною, якщо V (п 6 И, р С И)
«+р
/г=п4-1
(4)

Зміст терміна «бімонотонність» пояснює наступне твердження.
Лема. Нехай\/ п € И гп = хп + фп- Якщо послідовності (хп),
(уп) монотонні, то послідовність (г„) бімонотонна.
◄ Маємо V (п 6 Р С И)
п-Ьр	п+р	п-Ьр
У І %к І У І ЯЛ-Н Хк І 4“ у1, І Ук-±\ Ук \ ~
£=п-|-1	£=п-]-1	й=»4-1
п+р
£ (Х*+1 — хк)
Теорема 2. Якщо
(їп(г)) бімонотонна і
Vг£2 послідовність комплексних чисел
(зир Ц ||) (зир || їк — Д, ||) = о(1),
(5)
то ряд ^£п(/„+1—/п) збігається рівномірно.
4 Нехай г£2. Тоді
п4-р
X
6=м-1
§к (*) (Л+і (г) — ?к (2)) < £ | дк (г)| |	(г) — їк (г)|
к~п
< зир II II *2
к^п
п+р
£ (Л+, (2) - Л (2))
к=*п
< 2 зир || £к || | /п+р+1 (2) —
— Іп (*)І < 2 зир Ц гк Ц зир ||	||.
&>п	к^п
(6)
З оцінки (6) та критерію Коші для функціонального ряду випливає
справедливість теореми. ►
Теорема 3 (Абеля). Нехай	послідовність комплексних
чисел (/п (г)) бімонотонна. Якщо ряд Есря збігається рівномірно і
II їп II = О), т° ряд ^/пФп рівномірно збіжний.	.
оо	П
◄ Нехай Ф = 2 Фп- Покладемо V п 6 И £п = 2 Ф* — Ф. За умо-
гг=І	к—\
вою теореми II £„ II = о (1). Оскільки зир || §к || зир ||	|| =
к^п	к^п
— о (1) О (1) = о (І) і V п 2 фп = &п— £п-і, то виконуються
всі умови теореми 2. Тому ряд 2§„ (/„+і — /п) збігається рівномір-
122
но. З оцінки II їп£п II < II Іп II II вп II = О (1) о (1) = о (1) та теоре-
ми 1 випливає, що ряд 2/п<рп рівномірно збіжний. ►
Теорема 4 (Діріхле). Нехай V 2, послідовність комплексних
чисел (г)) бімонотонна. Якщо
п
ЇФЛ
&«=1
= 0(1) А ШІ =0(1),
(7)
то ряд у /пфп рівномірно збіжний,
п
4 Покладемо V п £ И £п = У Фь- Оскільки зир ||	|| зир || —
к^п	к^п
—/пІІ = О(1)о(1) = о(1) і У/г>2 Фп = £п — §п^і, то, згідно з
теоремою 2, ряд	—Іп) збігається рівномірно. Крім то-
г0> II Лг£п II < II/п II ІІЯпІІ = о(1)О(1) = о(1). За теоремою 1 ряд
У /пфп збігається рівномірно. ►
Із теорем 3 та 4 дістанемо як наслідки класичні теореми Абеля
й Діріхле про рівномірну збіжність функціональних рядів спеці-
ального вигляду, членами яких є відображення з П< в Щ.
Теорема 5 (Абеля). Нехай V п 6 И Іп ' К	ІК,
Л, = пфл - х с ж і Ух е х послідовність чисел (Іп (х)) монотон-
на. Якщо ряд 2фп збігається рівномірно і 11 /п || = О (1), то ряд
^Іп^п збігається рівномірно.
Теорема 6 (Діріхле). Нехай V п £ Іп ! К -> К, фл і К ІД,
Піп — 0$п == X сгІК і V х £ X послідовність чисел (/п (х)) монотон-
но спадна. Якщо
п
Е фл
к=Л
= 0(1) АII МІ = 0(1),
то ряд V /пфп збігається рівномірно.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Дослідити на рівномірну збіжність послідовність функцій (/п)
ЯКЩО (х) = ------------,	= К,
п ’п
При кожному значенні х £ 0? .-п пх. = о (1). Тому -> 0. Оскільки || )п —
п
і)   лип I 81П /ІХ	___ 1	л __ г л
0 || — 81ір І —  »	——	0, ТО / л —> 0,
хЄІК І п п
Приклад 2. Дослідити на рівномірну збіжність послідовність (/п), якщо
/„(*) = А Ог = {г € <0 11 г \ < 1).
’п
Якщо 2 6 © І І 2 | < 1, ТО = 0 (1). Отже, Іп 0. Оскільки II Іп — 0 (І «
~ II Іп II =	І І = 1 Ф 0 (1), то їп-*0 нерівномірно.
ІЗКІ
Приклад 2. Дослідити на рівномірну збіжність ряд 2/п, якщо іп (х) =
Оскільки Ц іп Ц = зир —2—- = А. і /АА є і (М), то ряд Х/п збігається
хсік п п \ п ]
нормально і тим самим рівномірно,
123
Приклад 4. Дослідити на рівномірну збіжність ряд
ЯКЩО 1|)п (х) =
== (- і)”
х 4- п
°^п = <°’	°°)ф
Використаємо ознаку Діріхле, вводячи позначення (х) = —!—, &п (х) ==
х + п
в (—1)п. Послідовність (/п (х)) монотонно спадна Ух Е і || /п | = — = о (1),
'п	п
п
У, 8к
/г=1
а
= О (1). Таким чином, виконано всі умови теореми 6,
§ 3.	Степеневі ряди
Нехай Уп£2о і Ряд
2ап(г — г0)п, г£7с:0, /гЄ20,
називається степеневим. Часткові суми цього ряду —* алгебраїч-
ні многочлени, і тому його суму можна розглядати як подальше
узагальнення поняття многочлена.
3.1.	Радіус збіжності степеневого ряду. Нормальна збіжність.
Кожний степеневий ряд
(г — г0)п	(1)
має особливу властивість: з ним зв’язане число 0	+оо, що
називається його радіусом збіжності, знаючи яке, можна відпові-
сти на питання про поточкову, рівномірну та нормальну збіжність
ряду, вказати властивості його членів (обмеженість, сумовність,
прямування до нуля). Найпростішою задачею є дослідження ряду
(1) на обмеженість. її розв’язок лежить в основі означення радіуса
збіжності степеневого ряду.
Означення. Радіусом збіжності степеневого
ряду (1) називається число
Р = зир {г > 01 апгп =0(1)}.	(2)
Оскільки {г 0 | апгп .== О (1)} =/* 0, то верхня межа цієї мно-
жини в К існує.
Теорема. Нехай /? >> 0 / 0 < г < /?. Тоді ряд (1) збігається нор-
мально в крузі Кг ~ {2 € (С 11 г — г01 < г}.
◄ Згідно з означенням верхньої межі, існує таке число і\ > 0, що
г < гх < Р, і при цьому апгпі = 0(1). Нехай V (з £ Кг, л 6 И)
іп (*) =а„ (2 — г0)'1. Тоді
II А» II = І ап | гп = | апг11 (-у-)" = 0 (("7г)П) ’
Оскільки 0	1, то	' 8а ознакою мажорації
(див. п. 3.1, розд. 3) (||/п II) €/(№), тобто ряд 2/п збігається нор-
мально (див. означення в п. 2.5) в крузі КГ. ►
Наслідок 1. Нехай Р > 0. Тоді ряд (1) поточково збіга-
ється в крузі Якщо Р < + оо, то ряд (1) розбігається поточ-
124
ково зовні круга К#, тобто в тих точках г £ (£, для яких | г —
— г0 | > /?•
Наслідок 2. Нехай /? >• 0 і | г — г01 < /?. Тоді ап (г —
— г0)" = 0 (1). Якщо Я < 4- оо 11 2 — г01 > Я, то ап(г — г0)п =#
=#0(1).
Наслідок 3.	Нехай Я > 0 і | г — г0	| < Я-	Тоді Оп(г	—
— г9)п = о (1). Якщо	Я <. +оо і | г — г01 >	Я, то	ап (г — 2п)п	=/=
¥=о(1).
Наслідок 4.	Нехай Я > 0 і | г — г01 < Я-	Тоді (ап (г	—
— 20)") € І (И). Якщо	Я < 4-оо і | 2 — г0 | > Я, то (ап (г — г0)п)	£
£ ((И).
Н а с л і д о к 5і Якщо Я>ОіО<.г<1Я, то ряд (1) збіга-
ється рівномірно в крузі Яг.
Теорема та наслідки з неї не містять ніякої інформації про влас-
тивості степеневого ряду на колі уд = {г Є І) 11 г — г01 = Я}.
Внаслідок формул Ейлера, зазначених в § 4, ряд (1) на колі у# пе-
ретворюється на тригонометричний ряд, який буде розглянуто в
ч. II.
3.2.	Теореми Абеля та Коші — Адамара.
Теорема 1 (Абеля). Нехай числовий ряд
ЗаЛ^-го)"	(1)
вбігається і 21=/=2в. Тоді степеневий ряд
Хап (г - 20)п	(2)
збігається в крузі Я — {г € (Л 11 г — гй | < | 2Х — г0 |}.
◄ Оскільки ряд (1) збігається, то, згідно з наслідком І, п. 3.1,
| 21 — г01< />. Отже, /( с Кд, де Яр = {г Є (£ 11 г — г01 < £} —
круг збіжності ряду (2). ►
Теорема 2 (Коші — Адамара). Нехай Я— радіус збіжності ря-
ду (2) і І = Ііт йп |. Тоді Я = 4-, причому Я = 4- оо, якщо І =
П-*оо	*
= 0 і Я = 0 при І = 4-оо.
◄ Очевидно, що
НгтГ V4! ап (2 — 2в)п | = 11 2 — 20 |.	(3)
П-*оо
Якщо І = 0, то за радикальною ознакою Коші (див. п. 3.2,
розд. 3) V г Є (С (йп — г0)п) Є І (И)- Згідно 8 наслідком 4 з тео-
реми п. 3.1, Я = 4-оо.
Якщо І = 4*оо, то V 2 г0 ая (г — г0)" О (1). Згідно 8 на-
слідком 2, п. 3.1, Я =* 0.
Нехай (У< / <14-оо. За радикальною ознакою Коші з рівності (3)
випливає, що V г 6 К । (а„ (г — гп)п) Є / (№)• Отже, Я ! с: Як і
Т	Т
4- Я. Якщо | 2 — 2й | > 4-, то з рівності (3) дістанемо, що ап (г —
125
п	•	1
— г0) =4= о (1). Згідно з наслідком 3, п. 3.1,	Таким чином,
3.3	Правило множення степеневих рядів. У курсі алгебри до*
дупгком многочленів
п	т
Р(г) = акгк, 3(г) = £ Ьрі
й==0	/=0
називається многочлен
гП-\-П	V
/?(?)==	Су>2\ де	V = 0, п + т. (І)
У=0	/=0
Це означення узгоджується з правилом множення скінченних «ум у
тому розумінні, ЩО Р (2)	(з) = Р (з) V 2 £ (С.
Сформулюємо правило множення степеневих рядів, використо-
вуючи правило множення двох многочленів.
Означення. Добу т ко м степеневих рядів
^ + ^ап{г — 2^п,	+	—	(2)
називається степеневий ряд
4“	(2 2о) *	(3)
п
де сп = £ а^Ьп^р
/=о
Покладаючи в рядах (2) і (3) г — г0 = 1, дістаємо правило Ко-
ші множення числових рядів.
3.4.	Правило Коші множення числових рядів.
Означення. Добутком у розумінні Коші числових
рядів
4“ 2ай, 4*	(0
називається числовий ряд
Со + ЇСп,	(2)
п
/=0
Наведені означення добутків степеневих і числових рядів узго-
джуються з правилами множення сум числових сімей з класу І (И).
Упевнимося в цьому.
Теорема. Нехай (ап)€/(£0)> (0п)€/(£о)-	?п =
п
= £ то (уп) ЄІ (£0) і
/=о
2	р,	«з»
лЄ2л) &Є2о /^2о
126
◄ Оцінимо суму у |уп|. Маємо
У ІЇПІ = У Уа/Рп_/ С У (£ |а;|ІРп—/І) .	(4)
п€2о	/=°	"ЄХо /=0
Застосувавши теореми а пп. 1.4 та 1.5, розд. З, дістанемо оцінки
нЄХо	/€Х„ п^І	/ЄХо	Ь£2о
(5)
які означають, що (7п)6^(^о)- Згідно з теоремами 4 і 5, п. 1.10,
розд. З, знаходимо
п,
~ X + х _ (х +(х м  ►
/ЄХо ^ЄХо	/€2л ^ЄХо
Наслідок. Нехай Кр2та Кр2 — відповідно круги збіжності
степеневих рядів ал 4- (г — г0)п і Ьо 4- 2ЬП (г — г0)п, а сп 4-
4- 2сп (г — г0)п — їх добуток з радіусом збіжності Тоді Я
> тіп {Я,, /?2} і V 2 6 Кр, П Кр,
У сп (2 — г0)п = ( У ап (г — г0)п^ ( £ Ьп {г — г0)п) .
гаЄХо	яЄХо
3.5.	Метод Ейлера — Абеля підсумовування числових рядів. Пра-
вило Коші множення числових рядів використовується для нового
розуміння суми числового ряду, зв’язаного 8 степеневими рядами.
По суті, його встановив ще Ейлер у той час, коли між математика-
ми йшла суперечка про те, чому дорівнює сума 1 — 1+1 —1 + ...
...— нулю чи одиниці. Числа 0 і 1 одержували в результаті таких
групувань доданків: (1 — 1) + (1 — 1) +...= 0, 1 + (—1 + 1) +
+ (—1 + 1) +...= 1. Несподівано для усіх Ейлер запропонував,
що 1 — 1+1 — 1 + ...= 4-, керуючись тим, що коли | 2 | < 1,
то 1 — г + г2 — г3 +...== - * . Права частина рівності має смисл
при 2 — 1 і дорівнює	Цим і пояснюється пропозиція Ейлера.
Якщо міркування Ейлера застосувати до будь-якого числового
ряду, то дістанемо те нове розуміння його суми, про яке згадува-
лося вище.
Означення. Нехай > 1 — радіус збіжності ряду %ап2п. Якщо
Ііт V апхп =
х-* і
0<*<1”€2о
127
то число 8 називається сумою Ейлера — Абеля ряду ^ап
і позначається символом ^^кап. Якщо £е—д£о € (Б, /ио ряд %ап
називається су мовним методом Ейлера — Абеля.
Суму Ейлера — Абеля в літературі називають абельовою, а’ та-
кож сумою Пуассона — Абеля. Впровадження в математику першої
назви грунтується на такому твердженні.
Теорема 1 (Абеля). Нехай ряд 2ап збігається і а0 + ап ~ 5.
Тоді ряд підсумовується методом Ейлера — Абеля і 2Е_Аап — &•
Ч Розглянемо ряд 2а„хп, де х £ (0, 1). Він збігається рівномірно.
Дійсно, ряд 2ап збігається рівномірно, бо його члени сталі на інтерва-
лі (0, 1), а V х £ (0, 1) послідовність (хп) монотонна і V п £	||х" || ^
1, тобто виконуються всі умови ознаки Абеля рівномірної збіж-
ності функціонального ряду. Нехай (хт) — довільна послідовність
чисел, яка задовольняє умови
Іітхт=1ДУт£^ хт£(0, 1).
т-*со
Оскільки ряд 2апх” збігається рівномірно на інтервалі (0, 1) і ае4-
оо
+ £ ап = 5, то Уе > 0 Зле € №
П=1
З умов
Ііт
оо
пе
п=0
"в
5] йпХт а*1*™
пЄ2о	п«о
8
2
випливає
рівність
п€20
існування такого	то \/т^те виконується не-
«в
£
•< -5- (див. теорему 2, п. 6.1, розд. І). Отже,
£
\/т^гт>
< 8, ТОбТО 2е—А^та = 5. ►
Теорема 2 (про добуток рядів у розумінні Коші). Нехай ряди
2ап, 2рп су мовні методом Ейлера — Абеля і ряд є їхнім добут-
ком у розумінні Коші. Тоді він сумовний методом Ейлера — Абеля
і при цьому
2е-А Тп = 2ІЕ-Аап 2е-а Рп.
4 Згідно з наслідком з теореми п. 3.4, для | г | <
рівність
X їп2" в (£ ап2")( Е мл) •
и£2о	лЄ2в
виконується
(1)
128
Нехай (хт) = довільна послідовність чисел, яка задовольняє умови
Ііт хт = 1 Д У/п £№ «тЄ(0, 1).
гП-ЬОО
З означення суми Ейлера — Абеля, рівності (1) (в якій V т € М
2 == *т) Та теореми про границю добутку числових послідовностей
дістаємо потрібне твердження. ►
Наслідок. Добуток у розумінні Коші збіжних числових ря-
дів су мовний методом Ейлера — Абеля,
Наведемо приклад збіжних числових рядів, добуток яких у ро-
зумінні Коші розбігається.

Приклад. Розглянемо збіжні числові ряди 2ад, 2РП, в яких
ап = Р = -1—7 ., та їхній добуток у розумінні Коші 2уп, де
т уп + 1
п
=(- •)" 2
6=0
________1_________
У(й 4- 1) — Ь 4- 1)
V «Є^о-
Оскільки V (п € /г = 0, п) Д/ (к + 1) (п — & 4- 0
к+1+п—
2
п -|- 2
2
то
п
IV |> V _?_________І(п_+1)	,
і Ї П І п . 2 п 4* 2
ьо	'	‘
і ряд розбіжний.
§ 4. Елементарні функції
4.1. Показникова функція. Наведемо нестрогі міркування, за
допомогою яких можна визначити показникову функцію Е і (£ ->
Е(г)	Уг€(£.
З курсу математики середньої школи відомо, що V (п 6 И, х Є
Є Ю (хпУ = Тому
(1)'==0	(—) =1	(—) =—	= хП-^— 
9	\ 11 /	’	\ 2! /	1! ’ —1 \ п! / (п — 1)1
і є підстава вважати, що функція Е: (0 -> (0, визначена V г Є С форму-
лою
Е(г)=1 + у 4
пі
(1)
має властивості Е (0) = 1 і V г £ (р Е' (г) = Е (г), які буде об-
грунтовано в розд. 6. Існування правої частини формули (1) випли-
/ 2П \
вае з прикладу 1,п. 5.1, розд. З, де доведено, що Уг£ (С
5 1-2914
129
6 І (№ Розглянемо елементарні властивості показникової функції
Теорема Нехай г2£(Б. Тоді
і Е (0) = 1.
Е (гг) Е (гг) = Е(г^+ г2)
(2)
◄ Доведемо рівність (2), оскільки властивість Е (0) = 1 очевидна.
Користуючись правилом Коші множення . числових рядів (див.
п. 3.4), дістаємо
Е(г1)Е(г2)
„п—к
г2
(п — 6)1
Згідно в формулою бінома Ньютона, маємо
V	<гі + г2>П
2-і к\ (п — к)\	п\
&=о
Тому
Е (гг) Е (гг) = V <гі + г^п = Е (г, 4- г2). >
П'
2о
Наслідок 1. Нехай г 6 (£, Тоді Е (г) Е (—г) = 1.
◄	Маємо Е (г) Е (—г) = Е (г + (—з)) = Е (0) = 1. ►
Наслідок 2. Нехай г € (£, /п € И- Тоді (Е (г))т = Е (тг).
◄	Застосуємо метод математичної індукції. Для пг = 1 рівність
очевидна. Нехай вона виконується для т £ Тоді
(Е (г))т+1 = (Е (г))т £ (?) = Е (тг) Е(г) — Е (тг + г) = Е ({т + 1) г). ►
і
Наслідок 3. Нехай г$(С, т £ Тоді Е (—— ( = (Е (г)) т .
4 Згідно з наслідком 2, ІЕ— & уп—= £(г). ►
Теорема 2. Нехай	0 < | г | < п. Т оді
= І гр________| г |______ |г|п+'
пі	/	|г| \ пі (« + 1 — |г
^‘Ц'-гт+т)
випливає нерівність (3). ►
(3)
130
У п. 2.6, розд. 2, показано, що
п
е.
Згідно з теоремою 2, § 2, розд. З, маємо
V 4 = Ііт V 4-е.
(4)
ПЄЖа
Таким чином, Е (1) = е. Цю рівність можна вважати визначенням
числа е. Нагадаємо (див. п. 2.6, розд. 2), що число е ірраціональне.
Теорема 3. Для будь-якого г £ © виконується рівність Е (г) =
◄ Згідно з наслідком 2 з теореми 1, V /и € М Е	Засто-
совуючи наслідок 3 з тієї самої теореми, дістаємо V (т 6 п € И)
т
рівність Е ) = е п . Якщо г < 0 і г 6 (й, то застосуємо наслідок
1, ЗГІДНО З ЯКИМ Е (г) == тгг—г =» —Ц- » ег. ►
Г) е—г
Беручи до уваги теорему 3, можемо замість Е (2) писати е2.
З одержаної при доведенні теореми 2 оцінки
н	Ь	М_1_1

(5)
де 0<| г| <п,
Теорема 4.
випливає важливе твердження.
Існує таке число 0(п, г), що 'іг^К
П !>	„.	.
|0(п, г)|
ПІ п	і \	/ і
(6)
/г=«0
де Кх = {г £ € 11 г |	1} — замкнені круг радіуса 1.
«4 Нехай г=/=0. Покладемо
(7)
І застосуємо оцінку (5). Дістанемо
п! п| г	п
4,2, Тригонометричні функції. Покладаючи
де!
81П 2=-----
— е іг
доведемо виконання деяких формул тригонометрії.
Теоремо. 1. Нехай г£(С. Справджуються формулі»
1) соз0 = 1, 5Іп 0 = 0; 2) соз (—г) = созг;
деі рі2 (
СО8 2 = -------
Б*
13|
0(л» *) = —Тії.

3) зіп (— г) = — зіп г. 4) зіп2 г + соз2 г = 1;
5) зіп (?! + г2) == зіп соз г2 4- соз зіп г2;
6) соз (г1 4- г2) = соз гт соз г2 — зіп гг зіп г2.
«4 Рівності 1) — 3) очевидні. Доведемо рівність 4). Маємо
(еіг - е-іг
Для доведення рівності 5) підставимо в її праву частину зіп ?/ та
соз (/ = 1, 2), визначені формулами (1). Дістанемо
зіп г1 соз г2 + соз 2г зіп г2 =---------------у-------Ь
_	_|_ ^(2,—>?і)	^(Зі—«22)	£~ Ц2і+2«)) = §ІП (2^-|“22).
Аналогічно перевіряється рівність (6). ►
Теорема 2. У комплексній площині (£ справджуються формули
 •»2(п—1)	»-<	। .	~2п—*1
СО8 2 = £ (— 1)	(2 (	, 8ІП 2 = £ (— 1)	(2п — 1)1 ’
(2)
4 Маємо
созг =	= — У + А у 1 =
С	2 с -г ? е 2	(п-~ 1Н ф 2 (п — 1)!
«ЄМК ' «ЄН '
__ V (Іг)2(п~1} _ У ( Пп-1
(2 (п — !))! ~ 2-і (	(2 (л — 1))! *
Аналогічно доводиться справедливість другої формули. ►
Як і в елементарній тригонометрії, покладемо
зіп г
СОЗ 2 ’
СІ§2 =
СОЗ 2
ЗІП 2
Поняття функції комплексної змінної вперше запровадив знаме-
нитий академік Петербурзької Академії наук Л. Ейлер (1707—
1783). Він знайшов зв’язок між тригонометричними і показнико-
вою функціями, здобув формули (1). Тригонометрію Л. Ейлер ви-
клав у такому вигляді, в якому ми її знаємо тепер.
З формул (1) знаходимо ще одну формулу Ейлера
еІ7 = соз г + і зіп з.	(3)
Покладаючи г = х, маємо
еіх = соз х + і зіп х.	(4)
Таким чином, комплексне число г = г (соз <р + і зіп <р), де г = | г |,
<р £ Аг§ 2, можна записати також у показниковій формі
г = ге1(р.	(5)
Формулу (4) встановимо іншим способом у розд. 5,
132
4.3. Гіперболічні функції.
Означення 1. Множина 2 с: називається симетричною
відносно точки 0, якщо V г 6 7 —г С 2,
Означення 2. Функція визначена на множині 2, симетричній
відносно нульової точки, називається парною (непарною),
якщо ! (—г) = ї (г) (/ (—г) = —/ (?)).
Теорема 1. Кожна функція визначена на симетричній множи-
ні 2, може бути одержана у вигляді і =	+ ^п, де /н — непарна
функція, — парна,
◄ Покладемо V г 6 2
/в (г) = { (г) г) , /п = / (г) V (~ ~.4*	(1)
Функції /н та визначаються за функцією } однозначно. Вони на-
зиваються непарною та парною складовими функції Такі скла-
дові для функції г ег називаються синусом і косинусом гіпербо-
лічними. їх значення в точці г позначають символами зИ г та сЬ г.
Теорема 2, Нехай г 6 (£. Виконуються рівності
Л __р~2	р2 д_ г
1) зЬ г =------й----; 2) сЬ г = —І----------;
ш	£	*
3)	зіі іг = — і зіп г; 4) сЬ іг « соз г;
5) зЬ г «= 2] у2п — 1)! ’ 5 6)еЬ 2 в	(2 (п — 1))! •
П€К 1	7	ПСИ	"
Рівності 1) та 2) випливають а формул (1), а рівності 3) та 4) —
е формул (1), п. 4.2. Рівності 5) і 6) випливають з означень функцій
г е2, г г, г сЬ г. ►
Крім зЬ г та сЬ г розглядають функції
іЬг —
$Ь 2
СИ 2 *
сіЬг ==
сЬ г
зЬ 2
Вправи
1.	Вказати на зв'язок між тригонометричними і гіперболічними функціями»
2.	Чи обмежені функції г «-*> зіп г, соз 2 в комплексній площині <0?
3.	Чи е періодичною функція г »-► ег, з Є С?
4.	Розв'язати рівняння: зіп г ® 0( созг = 0, 5Ь г= 0, сЬ 2 = 0,
б. Обчислити | вг |»
Розділ
ГРАНИЦЯ
Й НЕПЕРЕРВНІСТЬ
ФУНКЦІЇ
Найважливіші поняття, які характеризують локальні власти*
вості функції — її границю та неперервність у точці,— лежать в ос-
нові дальшої побудови всієї теорії.
Перше коректне означення неперервної функції дав Больцано
в 1817 р., а потім — Коші в 1821 р. Теореми про обмеженість непе-
рервної на сегменті функції і про досягання нею своєї верхньої та
нижньої меж були доведені Вейєрштрассом в 1860 р.
Розрізняють означення границі й неперервності функції в точ-
ці, запропоновані Гейне (на мові послідовностей) і Коші (на мові
«е — 6»). Вони еквівалентні, що буде доведено в п. 2.2.
Як і раніше, в основному розглядатимемо функції / :	(£,
вважаючи функції з Щ в Щ їх окремим випадком. У разі потреби
читач може обмежитися випадком відображення / : К К- Усі
доведення теорем не зміняться.
§ 1. Границя й неперервність функції
за Гейне
1.1. Гранична точка множини й часткова границя функції в точці.
Означення 1. Нехай г0 £ (С / е > 0. Множина Ог (г0) = {г £
СС г — го І < 8} називається е - о к о л о м точки г0.
Згідно з означенням, 8-околом точки £0 6 (С,є відкритий круг ра-
діуса е з центром у цій точці. На числовій прямій ії< е-околом точ-
ки Хо 6 К є інтервал (х0 — 8, х0 + е).
Означення 2. Нехай 2 с= (£, г0 £ (£. Якщо г0 — точка дотикан-
ня множини 2 \ {г0}, то вона називається граничною точ-
кою для 2. Точка дотикання, яка не є граничною, називається
ізольованою.
З означення випливає, що в будь-якому е-околі граничної точ-
ки г0 для множини 2 знайдеться принаймні одна точка г Є 2, від-
мінна від г0. Більш того, вірне таке твердження.
Теорема. Якщо г0 € (С — гранична точка множини 2 то
V « > 0 множина О& (г0) П 2 нескінченна.
◄ Якщо ця множина скінченна, то
^8 (2о) П — {^1>	•••> %п}*
134
Тоді V к = 1, п гк = \ — г01 > 0. Якщо візьмемо гп <
< гпіп {гг,	гп}, то 0Го (г0) П % = 0, всупереч припущенню, що
г0 — гранична точка множини 2. Тому множина Ое (г0) П 2 нескін-
ченна. ►
Нехай г0 — гранична точка множини 2 с (£, 8„ = о (1) і V п 6
€ И еп > 0- РоЗГЛЯНЄМО СІМ Ю МНОЖИН (0^ (20) П 2)^^ =
і виберемо послідовність (гп) різних точок сім’ї (2п)п€ІМ тобто таких,
щоб V п Є И 2М-І гп. Такий вибір можливий, оскільки в кож-
ну множину 2П входить довільне число точок множини 2. З нерів-
ностей | гп — г01 < ео і умови еп = о (1) випливає, що Ііт гп =
П-*оо
= г0. Отже, якщо г0 С (0 — гранична точка множини 2 с: (С, то в
цієї множини можна виділити послідовність різних точок, збіжну
ДО 20.
Навпаки, якщо з множини 2 с (£ можна виділити послідовність
(гп) різних точок, збіжну до г0 6 (0» то г0 є граничною точкою множи-
ни 2, оскільки будь-який 8-ОКІЛ точки г0 містить у собі всі члени
цієї послідовності, починаючи з деякого номера.
Таким чином, можемо сформулювати нове означення граничної
точки множини, еквівалентне означенню 2.
Означення 3. Точка г0 С (С називається граничною для мно-
жини 2 с (0, якщо з неї можна виділити послідовність (гп) різних
точок, збіжну до
Усе сказане вище про граничну точку множини вірне і для ви-
падку X а 6 Я
Із означень випливає, що гранична точка множини може нале-
жати їй, а може й не належати.
Означення 4. Нехай / і (£ -> (£ І г0 — гранична точка множини
О}. Число а називається частковою границею функції
І у точці г0, якщо існує така послідовність (гп) точок множини О?,
що
(?п-4-г0) А (Уп€И гп#=20) Д (1іт/=(гп) = а).	(1)
П-*>ОО
Множину всіх часткових границь функції у точці г0 позначи*
мо через Еі (г0). Розглянемо, наприклад, функцію / і К -> ІК, де
1
/ (лс) — зіп —, О/ = К \ {0}. Точка х = 0 гранична для множини
X
О), а послідовність (х„), де хп =	а 6 К Д а =/= —2пл,
збігається до неї при п. -+ со. Оскільки / (хп) = зіп а -> зіп а при
п —*• оо, тобто границя послідовності (/ (х„)) може бути будь-яким
числом, що належить сегменту [—1, 11, то Е) (0) = [—1, 1].
У випадку функції / і (0 -> Ж покладемо
“ЇЇгп/(?) = зирЕДг0), Нт/(г) = іпі 5»(г9).	(2)
г“*2о
1.2» Границя і неперервність функції у точці за Гейне.
Означення 1. Нехай	(або / і (С -> К) і г0 — гранич-
на точка множини Якщо множина Е; (г0) складається з одного
135
числа а, то воно називається границеюфункц її} у точці г0
і позначається символом Ііт / (2).
2 •►2 о
Із означення випливає, що для будь-якої послідовності (гп) то-
чок гп 6 О і \ {г0}> збіжної до точки 20, послідовність (/ (гп)) збіга-
ється до а. У наведеному вище прикладі функція / (х) =* зіп -у,
О/ = К \ {0}, не має границі в точці х = 0.
Означення 2. Функція І називається неперервною в точ-
ці г0 € якщо Ііт / (гл) = і (г0) кожен раз, як тільки послідовність
П-+ОО
(гл) точок множини збігається до г0.
Якщо 20 6 О/ і є граничною точкою множини О/, то функція /
неперервна у точці г0 тоді і тільки тоді, коли Ііт / (2) = / (г0). В ізо-
г-*-20
льованій точці г0 £ кожна функція / неперервна. Функція /, яка
не є неперервною в точці г0 Є називається розривною в ній.
Нехай 20 £ О; — гранична точка множини Рр Вона називаєть-
ся точкою усувного розриву функції /, якщо існує Ііш / (г) Є (В і ОД
2 о
границя відмінна від числа / (г0). У цьому випадку функція /*, ви-
значена формулою
якщ0 гЄ£>'\{гоЬ	/1\
' і Ііт/(2), якщо 2 = г0,
І г-*20
неперервна в точці г0.
Таким чином, вивчення властивостей функції, яка має границю
в точці, можна замінити на більш просте завдання —дослідження
неперервної функції. Цим іноді користуватимемося надалі.
Часто кажуть! «функція / називається неперервною в точці г0 б
£ якщо її приріст у цій точці нескінченно малий кожного разу,
як тільки нескінченно малий приріст аргументу». У цьому форму-
люванні нескінченно малий приріст аргументу розуміють як не-
скінченно малу послідовність
(Дгп) = (гп — г0),	(2)
де г0£Р/ і	гп$О;, а приріст функції розуміють як по-
слідовність
(Д/(г0, Дгп)) = (/(г0 + Дгп) —/(г0)) = (/ (гп)—/ (г0)).
1.3.	Арифметичні операції над границями і неперервними функ-
ціями.
Теорема 1. Нехай функції І та § неперервні в точці г0 і О} =
Тоді неперервні в цій точці і функції / +	Якщо, крім
і
того, § (20) Ф 0, то функція неперервна в точці г0.
◄ Нехай 2П -> г0 при п оо і V п £ гп 6 О/ = О£. Тоді / (гл) ->
-> / (*о), £ (гл) § (г0) і» згідно з теоремами про границі послідов-
136
ностей,
/ (гп) + § (гп) -> / (г0) + § (г0), Цгп) — § (г„) -► / (г0) — § (г0),
/ (гп) Є (гп) -> і го) £(*<>).	•
За означенням 2, п. 1.2, функції / + £, /— £» /&, неперервні в
точці г0. ►
Теорема 2, Нехай г0 — гранична точка множини 0 Ог. Як-
що Ііт / (г) = а, Ііт § (г) = |3, то
2“^2о	2“>Хо
Ііт (/ + £) (г) = а + 0, Ііт (/ — §) (г) = а — 0, Ііт (]§) (г) = а0.
2->г0	г-*20	г-*20
Якщо 0 =/= 0, то
Ііт 2-(г) = -^- .
г->20 »	“
◄ Нехай (гп) — така послідовність чисел, що Уп гп € П
П \ {г0} і гл -> г0 при п -> оо. Тоді, згідно з теоремами про гра-
ниці послідовностей, маємо при п оо
/(гп) + г(гп)-*а + 0, /(*„) — е(гп)-+ а — 0, /(гп)£(гп)-> а0,
/ (гп)	а
Є (гп) Т
За означенням 1, п. 1.2, ці властивості рівносильні висловленому
твердженню. ►
Інше доведення цієї теореми дістанемо, якщо розглянемо непе-
рервні в точці г0 функції /* і £* (див. формулу (1), п. 1.2) і застосує-
мо теорему 1. Аналогічно теорему 1 можна дістати як наслідок з
теореми 2, коли окремо розглянути випадки ізольованої та гра-
ничної точок і застосувати властивість: якщо г0 — гранична точка
множини Оі і г0 € то
(/ неперервна в точці г0) (Ііт /(г) = /(г0)).
г-*20
1.4.	Границя і неперервність композиції функцій.
Теорема 1 (про неперервність композиції функцій). Нехай
функція ( неперервна в точці г0 6 О/, а функція ф неперервна в точ-
ці Со С Яц)- Якщо ф (£0) = г0, то композиція / о ф неперервна в точ-
ці бо-
◄ Нехай -> £0 при п -> оо і V л Є € £>/оф. Тоді гп =
<Р (£п) <Р (£о) = г0 і V п Є №	6 Тому / (гя) -> / (г0) при
п-ф-оо. Отже, (/ о ф) (£„) = / (г„) -> / (г0) = (/° ф) О За
означенням Гейне функція / о ф неперервна в точці £0. ►
Чи вірне аналогічне твердження для композиції функцій ф та
/, які мають границі в точках £0 і г0? Приклад, який наводимо, дає
негативну відповідь на поставлене запитання. Теореми про гра-
ницю композиції, які будуть доведені, вимагають додаткових об-
межень, що накладаються на функції ф та /.
137
Приклад. Нехай /:©->©, Ф : ©—> ©, де
{1, якщо г = 0,
0, якщо г Є ©\{0};
/ 1 1
— , якщо С= —
ф (?) = і	/1
10, якщо ££ І— л €
V л£М,
МІ .
Тоді Ііт/(г) = 0, ііт ф£) = 0. Разом з тим
2-^0
11
0, якщо £ = — V п Є М,
9*>
(1 І	>
1,	якщо ? £ ] — п Є N І .
І • С» І	І
і £/оф (0) = (0, 1}, тобто Ііт (/о<р) (£) не існує.
1 V	£-+0
Теорема 2 (про границю композиції функцій). Нехай £0 — гра-
нична точка множини Якщо Ііт / (г) = а, Ііт ер (5) == г0
2**3о
і існує такий окіл точки що
Щ € (С*и П £>і<.ф)\{£.} ф (О ¥= гв, то Ііт (/ * <р) (?) = а.
◄ Нехай (£„) — така послідовність, що V п. 6 ?п 6 О/.ф \
\ {£»} і Іп -> и Тоді г0 = <р (?п) -> г„ і г„ 6 О> \ {г0}. Тому / (г„) =
= (/ © <р) (£„) -> а при п -> оо. Згідно з означенням границі функ-
ції, Ііт (/ о ф) (£) = а. ►
^0
Із теореми 1 випливає правило, яке часто застосовується при роз-
в’язуванні прикладів на обчислення границь.
Теорема 3. Нехай £0 — гранична точка множини Як-
що Ііт <р (£) = г0 і функція / і (С -> (В неперервна в точці г0, то
Ііт / (ф (?)) - / (г0).
С-Е.
◄ Покладемо
ф* (□ = ( ф якщо 6
І гв, якщо с =со.
Функція ф* неперервна в точці £0. Згідно з теоремою 1, функція
І © ф* неперервна в цій точці. Тому маємо
Ііт (/ с ф) (С) = Ііт (/ о ф*) (£) = (/ о ф*) (£0) = / (г0). >
М.	£-*£о
1.5.	Односторонні границі функції / і Ж -> ІК у точці. Одно-
стороння неперервність функції._
Означення 1. Нехай ? і Щ -> К і х0 — гранична точка множини
ОІ П {* € К | * < *0}. Покладемо
/(х0-0)^1іт/(х),	ш
Х<хо
якщо ця границя існує.
138
Нехай х0 — гранична точка множини О і П {х Є К | х > х0}. По-
кладемо
/ (х0 + 0) = Ііт /(х),	(2)
х>х0
якщо ця границя існує.
Числа / (х0 — 0), / (х0 + 0) називаються відповідно лівою та
правою границями (граничними значення-
ми) функції [ у точці х0. Якщо [ (х0 — 0) = ± оо або / (х0 + 0) =
= ±оо, то відповідна границя називається нескінченною.
Встановимо необхідну й достатню умови існування скінченної
границі функції в точці.
Теорема (критерій існування границі функції в точці). Функ-
ція / : К К має границю в точці х0, граничній для множини
тоді і тільки тоді, коли існують і рівні між собою односторонні
границі [ (х0 — 0) і [ (х0 + 0).
◄ Необхідність. Якщо існує Ііт Дг(х)}= а, то для будь-якої послі-
довності (хп) ТОЧОК Хп £ збіжної до х0, члени якої відмінні від
хс, послідовність (/ (хл)) збігається до а. Нехай (Хп)9 (хп) — будь-
які послідовності точок множини збіжні до х0, усі члени яких
задовольняють нерівності х'п < х0, хл > х0. Маючи на увазі, що по-
слідовність (хл) та (х'п) можна взяти замість послідовності (хл), діс-
таємо
а = Ііт /(%;) = /(х0 —0)= Ііт /(%;) = /(х0 + 0)
П-+-0О	П-¥ОО
Достатність. Нехай / (х0 — 0) = / (х0 + 0) — а і (х„) — будь-
яка збіжна до точки х0 послідовність точок множини відмінних
ВІД ТОЧКИ Хо. Розглянемо ПІДПОСЛІДОВНОСТІ (Хк ), (Хіт) послідовності
(хп), усі члени яких задовольняють нерівності Хк < х0 і х, > х0.
Оскільки Ііт Хк = Ііт х/ — х0 і / (х0 — 0) = т (х0 -+- 0) = а, то
і-, ,	ІЇІ
тчоо	т->оо
V	е > 0 існують такі номери т^ £	т,} 6 1^, що V т п$ і
V	т т(є2) відповідно виконуватимуться нерівності
|/(х*т) — а|<в, |/(х/т) —а|<в.	(3)
Якщо п > т0 = тах (т^, т^}, то
І/(*п) —а|<е,	(4)
тобто Ііт / (х„) = а. Внаслідок, того, що (х„) — довільна послі-
Л-+-00
довність, маємо 1іт/(х) = а, тобто функція має границю в точ-
х-*х0
ЦІ Хо. ►
Пропонуємо читачам самостійно розглянути випадок існування
нескінченної границі функції в точці.
Зауважимо, що у випадках х0 = —оо та х0 = 4-оо мова може
йти лише про односторонні границі, які відповідно позначатимемо
Ііт / (х) і Ііт / (х).
—оо	Х-*-|-оо
139
Розглянемо приклад.
І 1 \*
Приклад* Довести, шо 11т [ 1 + — ( » е.
/	1 V
Спочатку доведемо, що Ііт	 = в» Нехай (х ) — довільна не-
Х-> І ОО \	* /	Л
скінченно велика послідовність, усі члени якої додатні, тобто хп->+оо при
оо. Позначимо а = [ж 1. Тоді
п 1 п1
_	।	। /і і	1	।	1	\*п
а < х< а + 1, 1 + —Т“Г"	< 1 + “7—
П П 71'	\ СС т 1 /	\ X І
\ п 1	/	\ п /
/	1	\®п
Послідовності (и) і (о ), де а =1 1 4> -----  т 1 ,
\ п , '
е підпослідовностями послідовностей (ип) і (о„), де
Оскільки Ііт ип = Ііт о' = е (див. я. 2. 6, розд. 2), то
П-+ОО	П->оо
Ііт Л + -2-Г" = е.
гь>оо\ X /
\	*і» 9
Внаслідок того що послідовність (хп) довільна, маємо
1
“	= е.
1т
Х-> |-оо
Випадок х—>- — оо зведемо до попереднього, покладаючи х = — у (#> 1).
/	1 \* І 1	/	1 \
|1+~1 =* 11 +	__і'" І 11 4~”--------ГІ—при х——оо, оскільки
\	* /	\ і/ і /
цьому //-> + оо. Таким чином,
Тоді
при
У~ 1
. І	1 V
ііт 1 + —	= е.
Х->оо \	Х /
Це так звана друга важлива границя. Її записують також у вигляді
і
= Є.
Означення 2. Функція [ і Щ -> називається неперерв-
ною зліва (справа) у точці х0 6 граничній для мно-
жини якщо $ (%0 — 0) = / (*о) (/ (*о + 0) = / (хо))-
З означення неперервної функції та доведеної теореми випливає,
що функція / неперервна в точці х0 тоді і тільки тоді, коли вона не-
перервна в цій точці зліва і справа, тобто якщо виконується умова
/ (х0 - 0) = Дхо + 0) = / (х0).
140
Означення 3. Функція [а, 61 — -* К називається н е п е р е р в -
н о їо на сегменті Іа, Ь], якщо вона неперервна в кожній точ-
ці інтервалу (а, Ь) і, крім того, неперервна відповідно справа і зліва
в точках а та Ь.
Клас усіх функцій, неперервних на сегменті [а, 6], позначаєть-
ся символом С [а, 6]. Запис / £ С (X) означає, що / належить класу
функцій, неперервних на множині X.
Рас. 48	Рис. 49
1.6. Класифікація точок розриву функції / • К Особливі
точки для функції. Функція / : П< К називається розривною
в точці х0 6 Р/, якщо не виконується умова Ііт / (х) = / (х0). Роз-
ривною функція може бути лише в граничній точці множини Р/,
оскільки в ізольованій точці будь-яка функція неперервна.
Розривних функцій надзвичайно багато,
бути різноманітними. Прийнято виділяти
розриву, в основу класифікації яких по-
кладено принцип поділу їх на усувні, пер-
шого та другого роду, в залежності від
того, існує чи не існує границя функції в
цих точках.
Означення 1. Якщо існує Ііт / (х) = а,
а 44 (х0), а £ К, то точка х0 £ Р/ нази-
вається точкою усувного роз-
риву функції (як і у випадку функ-
ції / : (С (С) (рис. 48).
Означення 2. Якщо існують односто-
ронні границі / (х0 — 0) Є / (*о + 0) Є
але ? (хц — 0) Ф ? (х0 4-0), то х0 назива-
ється точкою розриву першо
а їх розриви можуть
лише три типи точок
г о роду функції /
(рис. 49). Число
П = |/(*о 4-0) —/(х0 —0)|
(1)
називається стрибком функції } у точці х0.
Наприклад, функція х і-> [хі, х £ К, при х = 2 має розрив пер-
шого роду, бо / (2 — 0) = 1, / (2 4~ 0) = 2, причому л = 1.
Означення 3. Точки розриву функції які не входять до озна-
чень 1 та 2, називаються точками розриву другого роду.
141

Очевидно, що точки розриву другого роду відрізняються від ін-
ших тим, що в них хоча б одна з односторонніх границь функції не
існує або нескінченна (рис. 50).
Ще один приклад точки розриву другого роду дістанемо, розгля-
нувши функцію / і К, де
І(Х) = і зіп “Г- ’ якщ0 х€к\(°}>
2, якщо х = 0.
У п. 1.1 показано, що звуження цієї функції на множину К \ {0}
не має границі в точці х = 0. Тому за означенням 3 х = 0 є точкою
розриву другого роду функції /.
Означення 4. Нехай / ; К К, *о — гранична точка множини
Д>. Якщо х0 £ то точка х0 називається особливою для
функції ф
Якщо існує скінченна границя функції / у точці х0, то назвемо
її усувною особливою точкою. Якщо ж вказана границя не існує, то
назвемо х0 істотно особливою точкою для функції /.
Якщо х0 — усувна особлива точка функції Д то, як і у випадку
усувної точки розриву, завжди існує неперервна в точці х0 функція
звуження якої на множину Д^ збігається з функцією /. Для по-
будови функції § покладемо
/(х), якщо х£ДЛ
Ііт / (х), якщо х = х0.
Х-*Х0
Означення 5. Функція [а, &І — -* К називається кусково-не-
перервною, якщо вона неперервна в усіх внутрішніх точках
сегмента Іа, Ь], за винятком скінченної множини точок, в кожній з
яких має скінченні лівосторонню та правосторонню границі, і, крім
того, має скінченні границі ї (а + 0), / (& — 0).
Отже, кусково-неперервна функція [а,	— - К може мати на ін-
тервалі (а, Ь) лише розриви першого роду та усувні розриви.
1.7. Монотонні функції. Роглянемо окремо монотонні функції,
які виділяються серел інших багатьма особливостями Зокрема,
усі монотонні функції мають односторонні границі.
Означення. Функція / : К К називається н е с п ад н о юЛ
(зростаючою), якщо
Уіх^О,,	х1<хі=>Цх1)^Нхі) (/(*і) </(*,)).
Функція І називається незростаючою (спадною),
якщо
У (хг 6 О/,	6 О/) хг < X., => /(Х2)< / (*1) (/ (Х2) < / (-4)).
Усі розглянуті в цьому означенні функції називаються моно-
тонними. Зростаючі та спадні функції називаються строго моно-
тонними. Неспадні та зростаючі функції об’єднуються в клас мо-
нотонно зростаючих функцій, а незростаючі та спадні функції —
в клас монотонно спадних функцій.
142
Теорема. Кожна монотонна функція має односторонню грани-
цю в будь-якій граничній точці множини О}.
◄ Нехай 7 — монотонно зростаюча функція, х0 — гранична точка
множини £)/ і Хо — ОП {х £ К | х < х0)	0. Позначимо
а = зир /(х).	1)
«ЄХ0
Множина 7 (Хо) непорожня, тому існує а £ Ж Якщо а Є П< то V х 6
Є Хо / (х) < а і V в > 0 Зх* £ Хо : / (х*) > а — г. Для будь-
якої послідовності (хл) точок множини Хо, збіжної до точки х0, іс-
нує такий номер пе, що V и виконуються нерівності х* < хп <
< х0. Враховуючи характер монотонності функції, дістаємо нерів-
ності
а — 8</(х*Х/(хп)^а,	(2)
з яких випливає, що Уп > л, | / (х„) — а | < е, тобто існує
Ііт / (хп) = / (х0 — 0) = а. Якщо х0 — внутрішня точка множини
П->оо
то існування границі / (х0 + 0) доводиться аналогічно.
Нехай а = +оо. У цьому випадку х0 не може бути внутрішньою
точкою множини 1)^ і V X х < х0. Доведення твердження для
цього випадку проводиться за попередньою ехемою, в якій замість
нерівності / (х*) > а — є розглядається нерівність / (х*) > в. ►
Випадок монотонно спадної функції / і К -► К можна звести до
розглянутого, покладаючи (р = —
Наслідок 1. Монотонна функція може мати в області іс-
нування лише точки розриву першого роду.
Наслідок 2. Монотонна функція (а, Ь) К неперервна
скрізь, за винятком не більш ніж зчисленної множини точок.
◄ Припустимо, що функція 7 несладна і а < Ху < х2 < Ь. Нехай
£ Є (Ху, х2). Взявши до уваги характер монотонності функції /, ді-
станемо нерівності
7 (Ху) < 7 (^ + 0) < 7 (^) < 7 (х2 - 0) < 7 (х2)	(3)
Нехай Ху — точка розриву функції 7. Тоді / (х2 — 0) < / (Ху + 0).
Позначимо через гХі раціональне число, яке задовольняє нерівності
7 (Ху — 0) <	<7 (ху + 0). Різним точкам Ху розриву відповіда-
ють різні раціональні числа гХі, оскільки хг < х2 =>	/ (ху +
+ 0)	7 (х2 — 0) < гХі. Отже, функція 7 має точок розриву не
більше, ніж є раціональних чисел, тобто множина цих точок не
більш ніж зчисленна. ►
1.8.	Неперервність суми нормально збіжного ряду.
Теорема. Якщо ряд п збігається нормально на множині 2 сг
с (С і всі його члени неперервні в точці г0 £ 2, то сума ряду неперерв-
на в цій точці.
Ч Нехай е > 0. Згідно з означенням нормально збіжного ряду,
існує такий номер Є И, що
оо
І Іімк-г-
Нехай / — сума ряду, 5„е — його часткова сума, гт г9 і V т 6
€ И 2т € 2. Внаслідок неперервності часткової суми ряду 5Пї зна-
йдеться таке /п8 € И» Щ° V т тЕ виконується нерівність
І 5пе (гт) — (го) І ** ~ •
(2)
Тоді	з нерівностей (1) та (2) дістанемо оцінку
|/(2т) —/(2о)І =
ОО	оо
^пе(2т)	8Пе (г0) + у /ь(2)	У	/ь(го)|^
Л=апе-|-ї	£=пв-Н
оо

в якої випливає, що Ііт /(?)==/ (г0), тобто функція / неперервна в
точці г0. ►
Цю теорему часто застосовують при дослідженні функціональ-
них рядів та функцій, заданих за допомогою рядів.
1.9.	Неперервність алгебраїчного многочлена та суми степене-
вого ряду.
Означення. Функція / і (£ -> (С називається неперервною,
якщо V г £ вона неперервна.
Теорема 1. Кожний алгебраїчний многочлене неперервною функ-
цією.
◄ Очевидно, що стале і тотожне відображення / і £	(£ є неперерв-
ними функціями. Тому твердження про неперервність алгебраїч-
ного многочлена випливає з теореми 1, п. 1.3. ►
Теорема 2. Нехай К — радіус збіжності степеневого ряду
%ап (з — г0)п. Якщо К > 0, то його сума неперервна у кожній точ-
ці круга збіжності К% = {г € (С 11 г — г01 < 7?}.
◄ Члени ряду неперервні в кожній точці комплексної площини
(£. Якщо г £ Кіь то існує таке г < /?, що г 6 Лг. Згідно з теоремою
п. 3.1, розд. 4, степеневий ряд збігається нормально в крузі Кг.
За теоремою п. 1.8 сума ряду неперервна в точці г. ►
1.10.	Неперервність елементарних функцій. Важливі границі.
Означення. Нехай ап 6 (С> Ьт Є (£ (п = 1, р; т = 1, ф). Функція
К І (С -> (С, де
а 4- а г + ... 4-	/т\
Я & = А , ГГТ •	= {2 € СІ + м +... + ь,2^0},
6о + *іг+- +V
(1)
називається раціональною.
Теорема 1. Кожна раціональна функція неперервна.
4 Оскільки алгебраїчний многочлен є неперервною функцією, то
твердження випливає з теореми 1, п. 1.3. ►
Теорема 2. Функція г | г | неперервна.
144
◄ Нехай г € (Б і г„ -> г при п оо. Тоді || гп | — | г ||	| гп —
— г | = о (1), тобто Ііт | гп | = | г | і функція г ь* | г | неперерв-
Г2-ЮО
на. ►
Теорема 3. Функції х »-► х+, х х~ неперервні V х С К
< Оскільки х+ = —	, х~ =  І* х Ух£ГС, то твердження
випливає з теореми 1, п. 1.3, та теореми 2. ►
Теорема 4. Функції г »-► зіп г, г »-► со$ г, г §й г, г *-►
к* сй г неперервні.
◄ Кожна вказана функція е сумою степеневого ряду з радіусом
збіжності 7? = +оо. Згідно з теоремою 2, п. 1.9, ці функції непе-
рервні. ►
Теорема 5. Функції 2 з, г сі£ г, г »-► (й г, г і-> сій г не-
перервні.
◄ Неперервність вказаних функцій випливає з теореми 1, п. 1.3,
та попередньої теореми. ►
Рівність
Нт = 1	(2)
г->0 г
називається першою важливою границею. Вона випливає з формули
(див. п.4.2, розд. 4)
И=1
Другу важливу границю записують також у вигляді
р2_______________________________і
Ііт-*——і = 1,	(3)
г-0	2
користуючись формулою (див. п. 4.1, розд. 4)
2	1	°°	_П
п«=1
Інші форми запису другої важливої границі подамо після ви-
вчення властивостей логарифмічної функції.
Зауважимо, що важливі границі використовуються для скла-
дання таблиці похідних елементарних функцій. У нашому викладі
вони не відіграють істотної ролі, оскільки використовується більш
потужний апарат дослідження — степеневі ряди.
І ЛІ. Компакт і його неперервний образ.
Означення 1. Нехай	Множина 2 називається ком-
пактною в собі або ком пактом, якщо з будь-якої по-
слідовності (гп) точок гп £ 2 можна виділити підпослідовність (гП/г),
збіжну до деякої точки г0 6 2.
Теорема 7 (про обмеженість компакта). Кожний компакт 2 сз
с (С є обмеженою множиною.
145
◄ Застосуємо метод доведення від супротивного. Нехай компакт
2 не обмежений Тоді існує така послідовність (гп), що V и Е И *п €
Е 1 І | 2п | > п. З послідовності (гп) не можна виділити обмежену під-
послідовність і тим більше збіжну. Дістали суперечність. ►
Зауважимо, що не кожна обмежена множина є компактом. На-
приклад, круг {г Е (С Ц * | < 1} — обмежена множина, але
не компактна в собі, бо будь-яка підпослідовність послідовності
Ігп = —тгг) й°го точок збігається до 1 £ Аналогічно якщо мно-
жина 7 має граничну точку г0 2, то вона не компактна в собі, що
буде доведено в теоремі 2.
Означення 2. Множина 2 с називається замкненою,
якщо вона містить усі свої граничні точки.
Означення 3. Множина 2 с ([ називається відкритою,
якщо її доповнення (£ \ 2 є замкненою множиною.
Означення 4. Множина О2о сі (С називається околом точ-
ки ?о € (С» якщо існує така відкрита множина Н сі (0, що г0 Е І/ сі О2о.
Сукупність усіх відкритих множин називається топологією т
комплексної площини, а упорядкована пара (([}, т) — топологічним
простором.
Теорема 2 (критерій компактності в собі). Множина 2 сі (0 в
компактом тоді і тільки тоді, коли вона одночасно замкнена й об-
межена.
◄ Необхідність. Нехай 2 — компакт. Згідно з теоремою 1, мно-
жина 2 обмежена. Припустимо, що вона не замкнена. Тоді існують
така точка г0 £ 2та послідовність (2П), що Vп £ И гп£ 2 і Іітгп =
П-*-оо
== г0. Будь-яка підпослідовність (гПк) збігається до г0 £ 2, що супе-
речить означенню компакта Джерело протиріччя — в припущен-
ні, що множина 2 не замкнена. Отже, 2— замкнена множина.
Достатність. Нехай множина 2 а (£ замкнена й обмежена.
Розглянемобудь-яку послідовність (гл) точок цієї множини. Оскіль-
ки послідовність (гп) обмежена, то, згідно з теоремою Больцано —
Вейєрштрасса, існує підпослідовність (гПл), збіжна до деякої точки
Е С- Замкнена множина 2 містить усі свої граничні точки, тому
г0 Е % За означенням 1 множина 2 компактна в собі. ►
Теорема 3 (про неперервний образ компакта). Нехай
(£ — неперервна функція і О; — компакт. Тоді множина Е^
компактна в собі, тобто неперервний образ компакта є компактом.
◄ Розглянемо довільну послідовність з області значень Е^
функції /. Існує така послідовність (гл), що V л Е И гл Е О/ і =
= / (гл). Згідно з означенням компакта, існують точка г0 Е О} і під-
послідовність (гПк) такі, що -> г0 при к оо. За означенням непе-
рервної функції / маємо / (гл*) -> / (г0) = ау0 € Що озна-
чає компактність в собі множини Е[. ►
1.12. Екстремальні властивості компакта. Теореми Вейєрштрасса.
Теорема 1 (про екстремальні властивості компакта). Нехай
X сі К Якщо X — компакт, то в ньому в найбільший і найменший
елементи.
146
◄ За теоремою 2, п. 1.11, множина X замкнена й обмежена. Згід-
но з теоремою 1 та наслідком 2 з теореми 2, п. 5.2, розд. 1, множина
X має найбільший і найменший елементи. ►
Теорема 2 (Вейєрштрасса). Нехай / : (С К — неперервна на
компакті функція. Тоді вона мав найбільше і найменше значення.
◄ Згідно з теоремою 3, п. 1.11, множина Е^ є компактом. За по-
передньою теоремою Е> має найбільший і найменший елементи. ►
Теорема 3 (Вейєрштрасса). Кожна неперервна на сегменті [а, 6]
функція / • К К має найбільше і найменше значення.
◄ Правильність твердження випливає з теореми 2, оскільки сег-
мент [а, &| є компактом. ►
1.13.	Неперервність оберненої функції.
Теорема (про неперервність оберненої функції). Нехай / : (£ ->
/ О, — компакт. Якщо функція ї неперервна і оборотна, то
— неперервна функція.
◄ Нехай (доЛ) — послідовність точок множини Ер збіжна до точки
а>0 £ Ер і а — часткова границя послідовності (/“' (о>п)). Оскільки
— компакт, то а С О/. З неперервності функції / випливає, що
/ (а) є частковою границею послідовності (о>п), внаслідок чого
/ (а) = і а =	(до0). Таким чином, усі часткові границі пос-
лідовності (/“] (ауп)) дорівнюють /-1 (до0), тобто Ііт Г~] (шп) =
== Л’1 (и>о), Щ° означає неперервність функції у точці о>0. Оскіль-
ки — довільна точка множини Ер то Л”1 — неперервна функ-
ція ►
Наслідок. Якщо функція $ К -> 1К строго монотонна і
неперервна на компакті то обернена їй функція неперервна
і монотонна на компакті Е$.
◄ Для доведення твердження досить встановити існування і мо-
нотонність оберненої функції Нехай / — зростаюча на множи-
ні О] функція. Внаслідок строгої монотонності функції / V у £
6 Еі 9 ! х £ і / (х) = у. Покладемо
Функція / 1 зростає на множині Ер Припустимо, що насправді це
не так. Тоді існують такі числа уг£ Е^ у2£ Е^ що ух < у2 і
Г~' (Уі) (&)• Введемо позначення Хі = Г~' (Уі), х3 =	(г/2).
Дістанемо, що з нерівності х, > х2 випливає нерівність / (х3)
/ (х2), тобто нерівність Уі у2, всупереч тому, ЩО Уі < у2. ►
Якщо відмовитися від умови строгої монотонності функції, то
твердження в загальному випадку невірне. Нехай, наприклад,
ї : П< -> Щ, де
(X, якщо 0^х< 1,
1, якщо 1	2,
х — 1, якщо 2<х^3.
147
Функція ї неспадна і неперервна. На множині = [0, 21 існує зро-
стаюча функція /**\ де
ІУ) = <
у, якщо 0 у	1,
1 + у, якщо 1 < у < 2.
Оскільки /“*’(! + 0) == 2, /""^І —0) = /^(І) = 1, то функція /~1
розривна у точці //= 1.
1.14. Локальність властивості неперервності функції в точці.
Властивість неперервності функції в точці носить локальний харак-
тер, про що свідчать наступні два твердження.
Теорема 1 (про неперервність звуження функції). Нехай функ-
ція } неперервна у точці ге, гп £ 2 і 2 с: О}. Тоді / |/ — неперервна
в точці г0 функція.
◄ Нехай V п £ И гп 6 7 і 2п-> г0 при п -> оо. Тоді
І \г (гп) = І (гп) -> / (г0) = /12 (г0),
що означає неперервність функції / \2 у точці г0. ►
Означення. Нехай 2 сі: і г0 £ 2. О к о л о м 02і точки г0
в 2 називається перетин множини 2 з околом точки г0 в (£.
Теорема 2. Нехай існує такий окіл Ого що звуження [ |о2о
неперервне в точці г0. Тоді функція { також неперервна в цій точці,
◄ Нехай V п 6 И гп Е 72 і гп г0 при п —оо. Існує такий номер
Ло € що V п > /гл гп С Огп Оскільки
ї(2п,,+п) = ?\о. (гп,+п) -> / |о (гв) = / <20),
«і
то / (гп) -> / (г0) при п -► оо. За означенням функція / неперервна в
точці г0. ►
Смисл доведених тверджень полягає в тому, що властивість не-
перервності функції в точці залежить лише від значень, яких вона
набуває в деякому її околі. Такі властивості називаються локаль-
ними.
§ 2.	Напівнеперервні функції. Границя
й неперервність функції в розумінні Коші
Перевірку виконання строгих нерівностей виду / (г0) > а або
/ (г0) < Ь, які виникають в обчислювальній практиці, можна здій-
снити лише у випадку, коли вони справджуються в деякому околі
точки г0, бо в застосуваннях точні значення г0 відомі лише теоретич-
но. У зв’язку з цим сформулюємо властивість стійкості нерівностей
для значень функції.
2.1.	Стійкі нерівності та напівнеперервні функції.
Означення 1. Нехай / і (0 П< Нерівність { (г0) < Ь (/ (г0) >
>> а) називається стійкою, якщо існує такий окіл Ого в
що V г Е / (г) <Ь (І (?) > а).
Теорема. Нехай функція /:(£-> К неперервна в точці г0 Е О і,
граничній для множини Ор Тоді V а Е ІК. (V Ь Е Ю такого, що
ї (г0) > а (г0) < Ь), ця нерівність стійка.
148
з £ (£ 11 з — з0 | < —І існує така точка гп 6 Р/, що
◄ Припустимо, що нерівність [ (г0) > а нестійка. Тоді в будь-яко-
му крузі /<_> =
п
І	Перейдемо до границі в цій нерівності при п -► оо, беру-
чи до уваги, що зл ->з0 і / (зп) -> / (з0). Дістанемо нерівність / (з0)
а всупереч умові / (з0) > а. Тому вказана нерівність стійка, ►
Означення 2. Функція / і (С К називається напівне пе-
рервною зверху (знизу) у точці з0, якщо нерівність
ї (з0) < Ь (з0) > а) стійка \/ Ь £ ІК (V а € К), для якого ця не-
рівність виконується.
2.2.	Неперервність функції у розумінні Коші. Еквівалентність
понять неперервності за Гейне і Коші.
Означення. Функція / і (С (С називається неперервною
в точці г0 £ Р/ у розумінні Коші, якщо
Уе>0 Зб>0:УзбР/ (І г — з0| <б) =>( [/=(г) —/(з0) | <в).
Теорема. Нехай [ і (С -> П{, з0 £ Наступні властивості по-
парно рівносильні: 1) функція } неперервна в точці з0 у розумінні Гей-
не; 2) функція } напівнеперервна в точці з0 зверху і знизу; 3) функція
І неперервна в точці з0 у розумінні Коші.
◄ Доведення теореми проведемо за схемою 1) => 2) =ф- 3) ==> 1). Ім-
плікація 1) => 2) справедлива внаслідок теореми п. 2.1.
Доведемо, що 2) => 3). Нехай є > 0. Нерівність | / (з) — / (з0) | <
< е рівносильна нерівностям / (з0) — е < / (з) < / (з0) 4- е. Вна-
слідок напівнеперервності функції / у точці	з0 зверху	і знизу	існу-
ють такі околи 02о та Ого, що	V з Є 02о ГІ	Р^ / (з0)	— 8 <	/ (з) і
V з 6 Озо П / (з) < / (*о) +	Виберемо	таке б >	0, щоб	Кь =
=	€ С 11 г — з01 < 6} с: 02о	П 02о. Тоді	V з 6 Кь П О/	вико-
нуватиметься нерівність | / (з) — / (з0) | < в, яка означає, що функ-
ція / неперервна в точці з0 у розумінні Коші.
Перевіримо імплікацію 3) => 1). Нехай функція / неперервна в
точці з0 у розумінні Коші. Тоді V 8 > 0 3 б > 0;
Уз 60/ (12 —з01 < 6)=ф-( |/(з) —/(з0)| <е).
Якщо (зп) — будь-яка послідовність точок множини Р/, збіж-
на до точки г0, то для вказаного 6 > 0 існує такий номер не € И, що
V п виконуються нерівності | гп — з01 < б. Але тоді V п > П&
виконується оцінка | / (зЛ) — / (з0) | < в, з якої випливає, що
Ііт / (гп) = / (з0), тобто що функція / неперервна в точці г0 у розу-
Пчоо
мінні Гейне. ►
Робимо висновок, що поняття неперервності функції в розу-
мінні Гейне і Коші еквівалентні.
2.3.	Границя функції в точці у розумінні Коші. Критерій існу-
вання границі функції в точці.
Означення 1. Нехай	з0 — гранична точка множини
О} і а 6 (С- Число а називається границею функції [ у
точці з0 в розумінні Коші, якщо
Ув>0 Зб>О:Уг££>/ (0 < | з — з0| <б)=^( |/(з)— а|<8).
149
Покладаючи
р(г)= Г(г)’ ЯКЩ0 гЄЛ'^2<>Ь
|а, якщог —г0,
і враховуючи рівносильність означень неперервності функції в точ-
ці за Коші і за Гейне, переконуємося в рівносильності відповідних
означень для границі функції.
Означення 2. Нехай /:(£->(£, г0 — гранична точка множини
О[. Функція ї задовольняє в точці г0 умову Коші, якщо V к > 0 • 3 6 >»
> 0:
У(гіб£>/, г2€£М (0 < |г1 — г0| <6, 0<|г2 — го|<6)=>
=>(|/(21)-/(г2)|<«).	(1)
Теорема (критерій існування границі функції в точці). Функ-
ція / : (£ (С має границю в точці г0 тоді і тільки тоді, коли вона
задовольняє в ній умову Коші.
◄ Необхідність, Нехай існує Ііт / (г) = а, аЄф. Згідно з озна-
2-*2о
ченням і, \/е>036>*0:\/(г16 г2 Є Р^)
(0<|21 — 20| < 6, 0<|г2 — г0|<6)=> (|/(гх) —а|<^- ,
|/(г2)-а|<4) .
м /
Тоді для вказаних значень і г2 матимемо нерівність
|/(21) — /(22)КИ(21) — а| + |а — /(г2)|<8.
За означенням функція / задовольняє в точці г0 умову Коші.
Достатність. Нехай е > 0 і функція / задовольняє в точці г0
умову Коші. Фіксуємо 6>0в означенні 2. Якщо (гп) —будь-яка
збіжна до г0 послідовність точок множини відмінних від г0, то
існує такий номер п& £ що V (п Пб, р 6 И) виконуватимуться
нерівності
0 < 12п — 2о | < 6, 0 < | гп+р — га І < 6.	(2)
Внаслідок виконання умови Коші У(/г^/іб, рЄИ) матимемо
|/(гп+р)-/(гп)|<е,	(3)
тобто послідовність (/ (гп)) фундаментальна. Таким чином, існує
Ііт / (гп) = а, а Є Е; (г0)‘ Залишається довести, що множина
П-*ОО
Еі (г0) має єдиний елемент. Припустимо, що існує р 6	(*о) 1 Р У=
а. Це означає, що для деякої послідовності (гп) точок з множини
Р/ \ {г0}, збіжної до точки г0, / (г„) р. Розглянемо мішану по-
слідовність г19 г\, г2,	..., гПі гп, ... . Вона збігається до точки г0.
За доведеним послідовність (г^, / (гі), / (г2), / (г2), ... фундамен-
тальна і має границю, яку позначимо через у. Оскільки послідов-
ності (гп), (2п} є підпослідовностями мішаної послідовності, то а =
= V і Р — Т, тобто а = р, всупереч припущенню, що а =/= р. Таким
150
чином, множина (г0) має єдиний елемент. За означенням існує
Ііт / (г).
«-►г0
Обчислимо деякі важливі границі функцій / і ІК -> ІК, користу-
ючись означенням Коші, без використання асимптотичних формул,
які наводяться в п. 4.4. Це сприятиме більш глибокому засвоєнню
методики досліджень функцій на неперервність на мові «е — 6».
Крім того, визначимо експоненціальну функцію г »-► е2 за допомо-
гою операції граничного переходу.
Приклад 1. Довести, шо Ііт а* == аХп (а> 0; х0€^)-
Х-*Х0
1 ________________________________1_
Досить розглянути випадок а> 1. Оскільки а п -> 1, а п 1 при п->
оо (див. приклад 4, п. 2.6, розд. 2), то Уе> 0 3 п8 Є М:
Візьмемо 6 (е) = —— і нехай 0 < | х — х0 | < 6. Тоді виконуватимуться нерів-
не
ності
і	і
з яких випливає оцінка | ах — ах° І < в. За означенням Коші ІІт ах — ах°,
х->х0
тобто функція х->аЛ, х£ІК, неперервна.
Якщо а = е, и :	іК, х0 6 О — гранична точка множини О і Ііт и (х) =
и	и Х->Х0
= н0, то
Ііт и(х)
Ііт Єи(Х'= Є***"	= Єи°
(див. теорему 3, п. 1.4).
Приклад 2. Довести, що Ух 6 (0» + 00)	ііт Іп х = Іп х0.
З нерівності
доведеної в п. 2,6, розд. 2, маємо
Таким чином, Уп > 1 виконуються нерівності
в яких випливає, що Ііт Іп 1 — — =□ Ііт Іп 11 + — = 0. Тому Уе > 0
П-+оо \	П І П->оо \ П /
З лв 6 №
151
Покладемо б (8, х0) = — . Тоді при виконанні умови 0 < | х — х0 [ < 6 вико-
ве
куватимуться мері вності
тобто | Іп х — Іп х0 |< 8. Функція х іп х, х > 0, неперервна.
Якщо и : 0? ІР, х0 6 £>и — гранична точка множини Ои> Ііт и (х) = «0,
Х-*-Хо
ц0 > 0, и (х) > 0, то Ііт Іп и (х) = Іп ц, (згідно з теоремою 3, п. 1.4).
Приклад 3. Нехай функції й та V визначені в деякому околі точки х0, за ви-
нятком, можливо, самої точки х0, причому Ух £ Ои и (х) > 0 і V е > О 3б >
> 0 : (0 < | х — х0 11 < б) => (0 < | и (х) — а | < е, 0 < | V (х) — Ь | < е), а €
6 ІР, Ь £ К і а > 0. Довести, що
. .	.11т с(х) .
Ііт и (х)^х) = ( Ііт и (х)1*-*Хо	= сг ,
х->х0	\х->х0	/
Запишемо и(х)^х) у вигляді ,ТІ і застосуємо теорему 2, п. 1.4, а
також використаємо приклади 1 1 2. Оскільки Ііт V (х) Іп и (х) = Ь Іп а, то
х->хв
Нт о(х) Іп и(х)
Ііт а (х)и(ж> = є***''	= еьа= а* .
х->х0
Якщо Іітц (х) я® 1, Ііт V (х) = оо, то кажуть, що при х-> хв вираз и (х)о(х)
Х->Ха	х-»хй
має невизначеність виду 1°°. Оскільки и9 = (1 + (и — 1)) Ив1 і
і
Ііт (1 + (и (х) — 1))	= е (див. п. 1.5), то
х->х0
Ііт о(х)(и(х)—1)
Ііт и (х)о(х> = є***®	,
х-*х0
якщо Ііт ц (х) (и (х) — 1) існує.
х->х0
Цим простим прийомом часто
Приклад 4. Довести, що Ііт
користуються на практиці.
зіп х ® зіп х0, Ііт соз х = соз х0.
Оцінимо | зіп х — зіп х0 | = 2
зіп х° соз
. Оскільки V/С (0,
п \	...
І виконується оцінка | зіп 11 < /, а соз
— х0 . Нехай є
— *о < <“
Аналогічно Ііт соз х = соз х0.
х->х0
„	„ гг	8ІП X
Приклад 5. Довести, що Ііт----
х->0 х
л
Якщо 0 < х , то виконуються нерівності зіп х < х < х, які легко вста-
новити за допомогою геометричних міркувань. Ці нерівності еквівалентні таким:
1, то | зіп X — зіп Хо І < І X —
; > 0. Візьмемо б = 8. Тоді | зіп х — зіп х0 | < є, як тільки | х —
б. Отже, функція х зіп х, х 6 К, неперервна і Ііт зіп х = зіп (Ііт х).
X	1
зіп X СОЗ X
зіп х	зіп X
соз х <--------<1, 0 < 1 — —----------< 1 — СОЗ X,
X	X
152
і її \	х
Оскільки ¥х£ 10, -£-) виконуютьвя нерівності 1 —со^ х — 2 8ІП2 — <
X2 X2	зіп X
< 2—2“ < х, то 0 < І——~—<х для вказаних значень х. Нехай
е>0. Покладемо 6 = 8. Тоді з умови 0<х<б випливає нерівність 0<1 —
зіп х	зіп х	я
—--------< е, яка означає, що Ііт—-------= 1. Нехай—-у- < х < 0. Тоді
х	х->о х	і
х>0
зіп х зіп (— х) ,	Л д Л
—— =-------------------> 1, коли х->0 Л х < 0. Таким чином,
V	— ¥	*	9 \	>
,,	зіп X	„	ЗІП	X
Ііт —— = Ііт —— = і
л»0	*	х->0	*
х<0	х>0
тобто Ііт —-—= 1.
х->0 Х
X
Приклад 6. Довести, що ііт —-—= 1.
х->0 х
І£Х зіпх 1
Оскільки —-------------— 7^7 , х #= 0, і
(див. приклад 4), то Іітп
Х->0
Приклад 7. Довести,
І£Х	ЗІПХ
——= ііт —-— Ііт
х х-*0 Л х->0
агсі§х
що Ііт------— = 1.
х->о х
Х-0 С05*
1 _
СОЗ X
1
Ііт соз х
х-*0
З очевидних співвідношень агсі£ х = і < і = (агсі& х) = х,
агсіе (—х) ~ —агсі£ х випливає, що агсі^ х -> 0 при х -► 0. Оскільки Ііт =
X
са 1, ТО
„ агсібх „ агсі§х
!Й “г- -йіїі^ігт)- - 5
Приклад 8. Нехай г = х + іу, х £ Ц^, у 6 К* Знайти
Ііт
П-4-ОО
Введемо позначення =з 1 + — . Тоді І І = *1/ і + — + —_Ь-21
п п	п г п п2
~ । І” (СО8 ЛФ + / зіи л<р), де ф в агсі£
Т~ . Оскільки
/ 2х / 1 \\ 9 т
Ііт| |п = Ііт 11 ++ 0 Д-))2 = вп-*~
П->оо	П->оо \	\ ^ //
(див, приклад 3, п, 23),
у
Ііт лф = Пт л агсі§ - ~у
П-*оо П->оо	Л “Г *
п + *	і, .У	І У
------------------------- Ііт агсіе ТЦГТ = УІбо "7X7 -> °>
У	П+оо Л -р X	п "Т" х
Л + X
153
агсі£
У
п 4~ X
-----------> 1 при п-> оо),
У
п 4- х
Ііт соз пф = соз (ііт пф) — соз у, Ііт зіп пф = зіп (Ііт лф) = зіп у
П-+оо	П->оо	Н->оо	Н-*оо
(див. приклад 4), то
Ііт = е* (соз у + і зіп у).
«-►оо
Отже, Уг 6 С можна покласти
деї /	г \п
ег = ііт ( 1 4- — І = ех (соз у + і зіп у).
«->оо \	п І
При х = 0 дістанемо формулу Ейлера
еіу = соз у 4- і зіп у»
Після заміни в ній у на —у матимемо
= соз у — / зіп у»
Таким чином,	дістаємо рівності
які також називаються формулами Ейлера. Тепер стає зрозумілим, що формули
(1), п. 4.2, розд. 4, визначають продовження косинуса і синуса зКв площину С.
2.4.	Коливання функції на множині та в точці. Критерій Бера
неперервності функції в точці.
Означення 1. Нехай	К, 2 с О/, М = §ир / (г), т =
г^.2.
== іпї / (г). Коливанням функції / на множині 2 нази-
2^2
вається різниця <о (/, 2} =* М — т. Якщо <о (/, 2) = +оо, то функ-
ція І мав нескінченне коливання на множині 2.
Теорема 1. Якщо існує таке число С 6 К, ар V (г, 6 2, г2 6 2)
виконується нерівність
І/(г1)-/(г2)|<С,	(1)
то функція І має скінченне коливання на множині 2 І при цьому
ю(/,2)= вир {1/(2,) — /(г2) |}.	(2)
гієг,28€2
4 Запишемо нерівність (1) у вигляді
+	(3)
зафіксуємо г2, а г, нехай приймає усі значення в множини 2. Функ-
ція / обмежена на множині 2, внаслідок чого існують
Л4 = 8ир/(г), т == іпї /(?),	/и£0?.	...
гЄ2	г€2	(4)
Нехай (єп) — нескінченно мала числова послідовність, усі члени
якої додатні. З властивостей верхньої і нижньої меж випливає, що
154
V п Є існують такі гп та £п з множини 2, що
Л4 —еп</(гпХМ,	(5)
т < / (?п) < т + «п-	(6)
Враховуючи нерівності (1), (5) та (6), дістаємо двосторонню
оцінку
М _ т _ 2Єп < / (гп) - / (£п) < С,	(7)
з якої випливає, що
о)(/, 7)-2еп<С.	(8)
В останній нерівності перейдемо до границі при п->-оо. Дістане-
мо оцінку
о)(Л2)СС,	(9)
яка виконується для будь-якої сталої С, що задовольняє нерів-
ність (1). Кожна така стала є мажорантою числової множини
Й = {|/(гі)-/(гя)|; г2ЄИ}.	(10)
З нерівностей
т</(г2)СМ,
які справджуються для всіх гх £2, г2 £ 2, маємо нерівність
(її)
яка свідчить про те, що число ш (/, 2) є мажорантою множини £2.
Але з нерівності (9) випливає, що ш (Д 2) — найменша мажоранта
множини £2, тобто со (Д 2) = зир £2. ►
Теорема 2 (критерій Бера неперервності функції в точці). Функ-
ція / : (С -► Щ неперервна в точці г0 6 граничній для множини
[)}, тоді і тільки тоді, коли V е >» 0 існує таке 6 > 0, що на мно-
жині 2б = О, П {г € (£ | г — г0 | < 6} <о (Д 2в) < е.
◄ Необхідність. Нехай функція / неперервна в точці г0 і е > 0.
Тоді існує таке б > 0, що V г £ Й/, яке задовольняє умову | г —
— г0 | < б, виконується нерівність | / (г) — / (г0) | < -4- Візьме-
мо будь-яку пару точок гх £ 2&, гя £ 2б. Вони задовольняють
умови | гх — г0 | < б, | г2 — г0 | < 6, внаслідок чого | / (г,) —
— / (г0) І < і І / (г2) — / (г0) | < Тоді матимемо
І/(2і) — /(г2)|<4 , <о(Д 2б) = зир {|/(гх) — /(г2)|)
Достатність, Нехай Уе>0 3б > 0 : ш (Д 2в)<е. Тоді
виконується нерівність
І/(г) — /(г0)|< зир {|/(гх) — /(г0)|}.
155
Але
зир {І/(2і) — /(гп)|}< зир {І/СгО — /(г2)|) = ®(/, гв).
Оскільки <о(/, 2б)О, то Уг£7б виконується нерівність |/(г) —
— /(го)І<8- За означенням функція / неперервна в точці г0. ►
Означення 2. Нехай / » (С -> П<, 2о — гранична точка множини
О}, 2о£Оі і = £/ П {* € (0 11 г — г01 < б}. Коливан-
ням функції / у точці г0 називається границя
(о (Д г0) = Ііт ш (Д 2а).
бм-0
Як наслідок з теореми 2 дістаємо твердження.
Теорема 3. Для того щоб функція / і (£ -> К була неперервною
в точці г0 6 &і> граничній для множини необхідно і достатньо,
щоб виконувалась умова со (Д г0) == 0
§ 3. Рівномірна неперервність функції.
Теорема Кантора
Означення. Функція [ ! (£ -► (£ називається рівномірно
неперервною, якщо
Уе>03б>0: УСЗіСР,, г2Є£>/) (І гх — г21 < б)=>
=^(|/(2і)~/(г2)|<е).
Існують неперервні функції, але не рівномірно неперервні. Не-
хай, наприклад, / (?) = г2,	= (£. Функція / неперервна як окре-
мий випадок многочлена, неперервність якого доведено в п. 1.9.
Припустимо, що / рівномірно неперервна. Тоді для є = 1 існує та-
ке 6 > 0, що
гаеС) (|21-га|<6)=>( И(21)-/(га)|< 1).
Візьмемо такі гг і г2, щоб виконувалися рівності
б .	2
^2	2 1	“Ь ^2	6 *
Умова |	— г21 < б виконується, але | / (гх) — і (г2) | = 1, що
суперечить вимозі | / (гг) — / (г2) | < 1. Отже, функція / не рівно-
мірно неперервна.
Запишемо властивість неперервності функції в формі, близь-
кій до означення рівномірної неперервності!
(/— неперервна)«=>(Угх функція / неперервна в точці гх) о
і Уе>0 Зб>0:Уг2£О/ (1— г2|<б)=^
=>(І/(г1)-/(г2)|<е)).
Порівнюючи її з властивістю рівномірної неперервності бачимо, що
відміна полягає в способі вибору б > 01 у випадку неперервності
воно вибирається після того, як будуть відомі значення є, гг £
і може залежати від них, а у випадку рівномірної неперервності
156
6 > 0 вказується після того, коли е > 0 буде відомо, але значення
гА Є невідомо і, таким чином, воно залежить тільки від е
Теорема (Кантора). Нехай / ; (Б (Б — неперервна функція.
Якщо О} — компакт, то і — рівномірно неперервна функція.
◄ Застосуємо метод доведення від супротивного. Припустимо, що
функція / не рівномірно неперервна. Тоді існує таке е0 > 0, що
Уб>0 3(4 Є Я» ^бО/):Нгл-г'Л|<6) Л(ІМ^)-Нг;)|>є0).
(1)
Нехай (6П) — нескінченно мала послідовність додатних чисел.
Згідно з припущенням,	маємо
ІЧ,— гв„І<бп Л І/ г'бп) — (/вя)|>ео. (2)
За означенням компакта існують точка	і підпослідовність
(Ч, ) такі, що г«„->-г0 при &-► оо. Оскільки ч, =4. +о(1), то
Ііт гбп » г0. Внаслідок неперервності функції у точці г9
Л-*со *
маємо
ііт |/(гі ) — [(ге, )| = | Ііт / (ге ) — ііт/(гТ)І » 0,
Ь-ЇОО	Я	Я	Й-*ОО	я	*
що суперечить умовам (2). ►
§ 4. Обернені елементарні функції.
Способи розв’язування задач
4.1. Логарифмічна функція. Розглянемо функцію Е2л і г
»-> е2, г = х + іу, х Е ІК» І У І < я, яка є звуженням показникової
функції на горизонта-
льну смугу 12л =
= {г£ (Б 11 Іт г | < л}
(рис. 51) шириною 2л.
Упевнимося в тому,
що вона оборотна. Не-
хай
і У= га. Тоді Є2'
=/= е2*. Дійсно, якщо
Рег, Ф	Кег2, то	Рис> 51
точки е21 і е2\ мають
різні модулі, а у випадку, коли Іт =/= Іт г2, точки е2 і є21 роз-
міщені на різних променях.
Знайдемо область значень функції Е2п. При фіксованому Іт г ==
= у значення е2 заповнюють увесь промінь, який виходить з по-
чатку координат під кутом до осі абсцис, що дорівнює у. Із зміною
у від —л до л промінь, обертаючись, заповнить усю площину (Б,
за винятком променя —оо < Ке г 0. Отже, область значень функ-
ції Е2п — уся площина (Б з викинутим променем —оо < Ке г 0,
яка називається площиною з розрізом по цьому променю (див.
рис. 51). Позначимо її через (Б.
157
Означення. Функція до Іп до, до Е (Б, обернена до функції Е2п>
називається логарифмічною.
Зауважимо, що показникова функція г і-*- е2, г Е (Б> є 2ш-періо-
дичною і тому необоротна. Цим пояснюється вибір звуження Е2п
для визначення логарифмічної функції. Якщо розглянути іншу го-
ризонтальну смугу шириною 2л, звуження на яку показникової
функції оборотне, то обернену їй функцію знову можна назвати
логарифмічною. Однак у|неї будуть інші область визначення і фор-
мула для обчислення значень. Побудовані за вказаними правилами
функції іноді називають однозначними вішками многозначної лога-
рифмічної функції до Ьп до.
Значення логарифмічної функції до і-> Іп до, до Е (Б> обчислюєть-
ся за формулою
Іпдо = Іп|до| + іф, фЕАг§до, де іфіСл,	(1)
яка безпосередньо випливає з показникової форми запису комплекс-
ного числа до = | до | Формула (1) допускає геометричне тлума-
чення (див. рис. 51, на якому Іп до зображено у вигляді точки г)
Теорема (про неперервність логарифмічної функції). Логариф-
мічна функція неперервна.
◄ Справедливість твердження випливає з теореми 2, п. 1.14, та
теореми з п. 1.13. ►
Приклад. Обчислити Іп і, Іп (—0, Іп (1 4" 0.
Маємо
, л	, л	. л
і = е 2 . (— /) = е 2 , (1 + 0 = Т/2е 4
тому
ІП І =8 і -у, Іп (—/) = — /	, Іп (1 4- і) = Іп ~]/2 4- і .
4.2.	Загальна показникова функція. Нехай а Е (Б- Покладемо
деі ,
г г Іп а	/1 \
а = е	(і)
Означення. Функція г »-► а2* г Е (Б (аЕ (Б) називається з аваль-
но ю показниковою функцією, або показнико-
вою функцією з основою, що дорівнює а.
Теорема. Загальна показникова функція неперервна.
Справедливість твердження випливає з неперервності показ-
никової та логарифмічної функцій, а також з теореми про неперерв-
ність композиції неперервних відображень (див. п. 1.4). ►
4.3.	Інші форми запису другої важливої границі. У п. 1.10
друга важлива границя була записана у формі
Ііт = 1.	(І)
158
Покладаючи е2—1 = ®, де [ и> | < 1, дістаємо, що г = Іп(1 4- ®)
і ци -> 0 при г->0, внаслідок чого
З рівності (2) маємо
Ііт т—н—;—г в 1 •
а>-.о 1п П + “»>
Ііт	= 1.
С (0
(2)
(3)
Користуючись формулою (3) та властивістю неперервності показ-
никової функції, дістаємо
І Ііт іп(14-«у)
Ііт (1 4-^) ^ = е“">п т = е.	(4)
Рівності (2), п. 1.10, та (1) — (4) називають важливими границями.
4.4.	Асимптотичні формули. Для обчислення границь функцій
будемо застосовувати степеневі ряди. При цьому в багатьох випад-
ках досить обмежитися лише кількома першими їх членами. Одер-
жані формули назвемо асимптотичними. Досить знати ці формули
у нульовій точці, бо всі інші можна знайти шляхом заміни змінної.
Будемо позначати через о (1) довільну неперервну в нульовій точці
функцію ф і £ -► (С А Ф (0) = 0. Крім того, покладемо о (?)) =
= /(г)о(1).
З означень показникової, тригонометричних та гіперболічних
функцій випливають асимптотичні формули:
Є2 = 14-0(1), ег = 1 ч- 2 4- о(г), е2 = 1 +2 +-£ +о(гг), ...;
(1)
£|3
зіпг = о(1), зіп г = г + о(г2), 8іпг = г—«г + о(г4), ... ; (2)
ОІ
соз г = 1 -|- о (г), соз г = 1-----------------яг 4- о (г8),
£1
СО82 = 1 —"2Г + "її- + о(г5),... ;
зЬг=о(1), зЬг = г 4-о(гг), зЬ г = г 4- -хт- 4- о(г*), ... , (4)
ОІ
сИ 2=1 4-о(1), сЬг=14--у-}-о (г3),
сЬг = 1 4--5- + ^ + о(гл),... ;	(5)
а2 = 1 4- о (1). а2 = 1 4- г 1п а 4- о (г).
а2 = 1 4- г 1п а 4- г* *"* 0 4- о(г8)..................... (6)
£1
159
З формули (3), п. 4. З, дістаємо асимптотичні рівності
іп(1 4- г) = о(1), Іп(1 4- г) — г 4- о(г),
іп(1 4-г) = г —	4-о(г2)....
(7)
Перші дві рівності в формулах (7) є наслідком формули (3), п. 4.3,
Для одержання останньої рівності потрібно в праву частину тотож-
ності е1п == (1 4- г) підставити значення е~2 == 1 — г +
22	72
4- у,—Ь о (г2). Дістанемо е1п <І+2>—2 = 1---—)- о (г2\. Логариф-
муючи обидві частини останньої тотожності та приймаючи до
/	г2
уваги, що Іп 1---------х—Ь о (з2)
=-------5—і- о (г2) (згідно з другою
£
формулою в (7)), дістаємо рівність, яку доводимо.
Оскільки вважаємо кожну функцію <р (г) = о (1) неперервною
в нульовій точці, то можна користуватися теоремою про неперерв-
ність композиції і вважати, що (<р о ф) (?) = о (1), якщо ф (?) =
= о (1) і <р (г) = о (1). Взявши це до уваги, дістанемо асимптотич-
ну формулу для функції г »-► (1 + г)а, а 6 (С- Подаючи її у вигляді
(1 + г)а = еа1п(І+2) і користуючись (}юрмулами (1) та (7), маємо
Звідси дістаємо асимптотичні рівності
(1 +г)а= 1 +о(1), (1 + г)а = 1 +аг + о(г)> (1 4- г)а =
= 1 4- аг 4- ” (а2Г 0 г2 4- о (г2)........... (8)
МІ
Виведемо ще одну асимптотичну формулу
1§г = г 4-о(г2).	(9)
Дістаємо її таким чином:
х	51112	г + о(г?)	2 о (1)	, 2ч
ь г — г ---------г = -гттттт— г == г	= о (г2).
*	СОЗ 2	і 4“ О (г	1 + О (2)	' '
4.5.	Застосування асимптотичних формул до розв'язування за-
дач на обчислення границь функцій. У деяких випадках при об-
численні
Ііш ® Ііт
2^2о б (?)	£ (*о 4- 0
(1)
діємо таким чином. Якщо Ііш § (г0 4- 0	0, то обчислення грани-
Но
ці (1) зводимо до застосування теореми про границю частки. Якщо
Ііт і (г0 + ?) = Ит § (г0 + £) = 0, то, користуючись асимптотич-
но	н°
ними формулами, якщо це можливо, дістаємо рівність
/(г0 + С) _ д (г0) £а 4-о (£а)
Є (г# 4-0 Ь (г0) & 4- о (?р) *
а(го)^О, д(го)^=О.
(2)
160
Якшо а = Р, то границя (1) дорівнює . Якщо а>Р, то
Ііт -Ц^-= 0. При а<р границя (1) не існує (у випадку /:(С->
г-*го_ & \г)	_
->К, £:(С->0? границя (1) дорівнює оо).
Означення. Нехай / і (£ -> (£, £ і (£ -> (£, £>, = О8 = 2, г0 (Е 2—
гранична точка множини 2. Якщо
Ііт / (2) = Ііт (г) = 0 і Ііт = 1,
то функції і та § називаються еквівалентними при г ->
-> г0. При цьому записують і ~ г -* г0.
Якщо Ііт / (г) = 0 і / (г) = а (г0) (г — г0)“ + о «г — г0)в),
г-.2Л
а (2о)	0, то функція ф і г >-► а (г0) (г — г0)“ називається головною
частиною функції } при г -> г0. Очевидно, що / ~ ф, г -> г0. При
обчислені границь функцій часто заміняють нескінченно малу
функцію в даній точці її головною частиною. Наприклад, зіпг ~ г,
2а	2а 2^
2 -* 0, 8ІП 2 — 2 ~	2 -> 0, СОЗ 2 — 1 + -% ~ І Т. Д.
Приклад 1. Обмислити границі
а)	Ііт 1 ~ £°!Л, ; б) 11т ІТ003^	(а>0).
Х->0	А*’	Х«
а) Застосуємо асимптотичну формулу (3), п. 4.4. Дістанемо
СОЯ X
ііт 1 ~ со22/. - Піп
Xі	х-*0
**	2 •
б)	Послідовно застосуємо (|юрмули (3) та (8), п. 4.4. Маємо
/ л Vх	а*2
V + <> (*2)	—р-
--	= Ііт----
х2--------------------------х->0
а
х%
Ііт
х-^0
Приклад 2, Знайти
лб М),
Згідно з формулою (8), п. 4.4, дістаємо
(а
0; т £ N
х
гп
п
п
т 1 п
Отже,
т
ііт —
хч-0
п
X
т ’ п '
*	\ т ' п * З
= Ііт
х->0
З
Приклад 3, Знайти Ііт
З , -
6 1-2914
161
Після введення заміни х — 1 = І і застосування останьої з формул (8), п. 4.4,
знаходимо
Приклад 4. Знайти Ііт
------
X — у СОЗ X
ЗІП2 X
Користуючись формулами (3) та (8), п. 4.4, маємо
_______	/ х2
"|/с05 X = І 1 — -£- + о
\ о	х2
(*3)] =1-т+о(х*),
1
З/-------- І. X2	\ з	X2
у СОЗ X а= II — — -|- О (х8) ) = 1 —	+ о (х9), ЗІП2 X = X2 + 0 (х3),
.. Т/соз X — і/СОЗ X 6	4 +°(0	1	1	1
Ііт Л-----------!-------= ііт —------------------ = -б- — -т = — “То- •
зіп2 х	к->о 1 + о (1)	6	4	12
2
(/7^ І	\ 2
------ п ' ---- I
з /
(а, Ь, с — з (0). Згідно з дру-
гою формулою (6), п. 4.4, дістаємо
Лг і иг < л	г
°  +»-|-± = 1 + -у 1п (аЬс) + о (г),
тому
.. / а2 + Ь2 + с2 \ г
Ііт |	~ ——----------
2->0 \	3	/
Ііт — 1п(1+ 4“1п(лМ+о(2)')
_ -г->0 2	3
о
1
1п(аМ 3	3/—“
= е = у адСі
Ііт (Іп(абс) 3 -|-о( 1))
г-*-0
= Є
„	, ІпсЬх
Приклад 6. Знайти Ііт у—----- .
^о1пс05А:
Скористаємося формулами (3), (5) та (7), п. 4.4. Матимемо
х2	х2
162
1 +	*і" ° ^х^) = Т + 0
Іп соз х = Іп 1 —
х2
“2“ Н- о (х3)
Таким чином,
= - “5~ + о №)•
цт їй е'в х
х™ Іп соз х = “
§ 5. Одностайна неперервність
5.1. Поняття одностайної неперервності. Неперервність за сукуп-
ністю змінних і за кожною окремо. З рівномірною неперервністю
функції / пов’яжемо нове поняття — одностайну неперервність
сім’ї, яке виникає в результаті наступних міркувань.
Функцію / ! (0 ->(С можна одночасно розглядати і як функцію
/ і К2 -> (£, якщо вважати г = х + іу = (х, у). Нехай 7 =
72 — перша та друга проекції множини 2, а (х), 22 (у) — її
перерізи за допомогою х і у. Поставимо у відповідність функції / дві
сім’ї функцій з в (£і
(Ї2,у)у$7^
де
»1\,х —	00 > ^/2, у = ^2	? 1,Л (у)	V У	00*
Ь,у (х) = / (х, у) Чх£г2(у).	(1)
Звичайно кажуть, що функцію одержано з /, фіксуючи змін-
ну х, а функцію /2,у — фіксуючи змінну у. З означень випливає, що
коли функція / І (С ->(С рівномірно неперервна, то усі функції сімей
(/і.х)хєх0	рівномірно неперервні. Цю властивість про-
стіше формулювати такі рівномірна неперервність функції за су-
купністю змінних тягне за собою рівномірну неперервність за
кожною а них окремо. Більш сильне твердження буде доведено
в теоремі І. Однак Існують розривні за сукупністю змінних функ-
ції, рівномірно неперервні за кожною з них окремо.
Розглянемо приклади.
Прнклнд І. Нехай
{хг/
• якщ0 Іу\< і.
0, якщо х2 -Ь у2 — 0,
Тоді 2 = [- 1, 1 р, = 22 = 2, (х) =	(у) = [- 1, 1] V (х Є [- 1, 1],
у С [— Ь 1]). Якщо х=/=0, то функція х є раціональною на сегменті [—1, 1].
За теоремою Кантора вона рівномірно неперервна. Цією ж властивістю володіє
й функція	V у £ [—1, 1] \ (0), Якщо х « 0 або у = 0, то функції Д 0 та /2 0
дорівнюють нулю і є рівномірно неперервними. Таким чином, функція / рівномір-
но неперервна за кожною змінною окремо. За сукупністю змінних функція / : С ->
0*	163
<0 розривна в нульовій точці. Дійсно,
1 1	2 1
п п 1	п п
Ит —------ = ^, Ііт —-------—
П->оо 11^ п+со 4 і
'ЛГ+'^
тобто множина Е( (0, 0) часткових границь в нульовій точці складається більш
ніж з одного числа і Ііт / (г) не існує.
г->о
Приклад 2. Розглянемо довільну функцію /, задану на одиничному колі у =
= {гЄ©І|г|= 1).	______ ________ _____________________
Тоді Ті = Та = 1—1, Н, Ті (х) = {— /1 — х2, /1 — х2}. Та (у) “ {—К1 — У2
К1 — у2}. Множина Уі (х) при кожному значенні хб її містить не більше двох
точок. Цю саму властивість має множина у2 (у) V у 6 у2. Тому сім’ї функцій (/] х)
1 (/2 і) складаються з рівномірно неперервних функцій. Оскільки функція / до-
вільна, то вона може бути розривною в кожній точці кола у.
Пошуки умов, які накладаються на сім’ї (/іл)хє2х і (І2іу)у^
для забезпечення рівномірної неперервності функції / за сукупніс-
тю змінних, приводять до поняття одностайної неперервності.
Означення. Нехай 9Л — множина функцій / і (С -> (£• Вона на-
зивається одностайно неперервною, якщо
Ув>0 36 >0:	гЄО/, г' Є О/) (|* — г' | <6)=ї>
=>(И(г)-/(г')І<е).
Якщо А — множина, то сім’я функцій (/а)ає4 вважається од-
ностайно неперервною у випадку, коли множина функцій 9Л =
= {/а | а € А} одностайно неперервна. Зокрема, можна вести мову
про одностайну неперервність послідовності функцій (/п), /п і (0
-> (0. Термін «одностайна неперервність» пов’язаний з тим, що 6
в означенні вибирається лише за значенням є і може бути викорис-
тане для обгрунтування властивості, яка вимагається в означенні
рівномірної неперервності будь-якої функції / 6 9Л.
Теорема 1 (про одностайну неперервність функції за окремою
змінною). Нехай / і (£ -> (£, Л^ = 2. Якщо функція / рівномірно не-
перервна, то сім'ї функцій (/\,х)х^	одностайно непе-
рервні.
◄ За означенням рівномірної неперервності функції маємо
Уе>0 36>0: У(*62,/£7) (|г — г' |<6)=>(|/(г) —
-/(*') І <4
Нехай х Є 21( ух С (х), у2 Є 7Х (х) і | ух — у2 | < 6. Покладемо гг =
= х 4- іуг, г2 = х 4- іу2. Оскільки гх £ І)(> г2 £ та | гх —
— г2| = |і/і —то	—А,х(^,)| = |/(г1) —/(г2)|<в.
Таким чином, сім’я	одностайно неперервна. Аналогічно
доводиться, що сім’я (/КД/єг, також одностайно неперервна. ►
Теорема 2 (про рівномірну неперервність функції, одностайно
неперервної за кожною змінною). Нехай ХсзК, КсК, 2 = Хх
хУ = ЛЛ Якщо сім'ї	(Ь»у)уеУ одностайно неперервні, то
функція І рівномірно неперервна.
164
4 Нехай 8>0 і 6>О вибране так, що
У(хбЛ, у^У, у'Є¥) (|у-/|<6)^(|/і,Ду)-/і.х(у')|<є),
(2)
У(у'еУ, х$Х, х'£Х) (|х-х'|<6)^(|/2.Их)-/2.И*')І<є).
(3)
Покладемо г = х + іу, г' = х' + іу* і припустимо, що | г — г' | <
< 6. Тоді | х — х' | < 6 та | у — у' | < 6. Якщо г £ 7, г' £ 2, то
х € X, х' £ X, у Є У, у' £У. Внаслідок умов (1), (2) маємо
І/г.у- (х) —	(х')| = | /(?') — / (х + іу')\ < е,
І/і.*(«/) — А.Д/)І = |/(г) — /(х + іу')\ <е.
Тому | / (г) — / (г') | < 2в. Таким чином, функція / рівномірно не-
перервна. ►
З доведених теорем випливає, що у випадку, коли / і (0 -> (0,
= X X К, рівномірна неперервність функції / рівносильна од-
ностайній неперервності сімей (/|,х)л€Х, (?2,у)у£У-
5.2.	Рівномірна неперервність поточкової границі одностайно
неперервної послідовності функцій. Поняття одностайної неперерв-
ності послідовності функцій застосовується для вирішення проб-
леми рівномірної неперервності поточкової границі.
Теорема. Нехай 1 (0 ->(С, &іп = 2 V п 6 № Якщо /п -> / і
послідовність (/п) одностайно неперервна, то функція / рівномірно
неперервна.
◄ Згідно з означенням одностайної неперервності послідовності
(/п), маємо
Ув>0 36>0: У(пЄ№, г£2, г'€2) (| г-ї |<6)=>(|/п(г)-
-/п(г')|<є).
Граничний перехід в нерівності при п -> оо тягне за собою власти-
вість
Уе>0 36>0: У(г€2,г'Є2) (|г — г'|<6)=>
=>(1/(2) —/(?')| <8),
яке означає, що функція рівномірно неперервна. ►
5.3.	Одностайна неперервність послідовності функцій і її по-
рівняння з рівномірною збіжністю. Наступне твердження показує,
що вимога рівномірної збіжності для послідовності (/п) рівномірно
неперервних функцій сильніша, ніж вимога одностайної неперерв-
ності.
Теорема 1. Якщо послідовність рівномірно неперервних функ-
цій (/п)» де їп і (С -> (С> Ві = 2 V п Є рівномірно збігається, то
вона одностайно неперервна.
◄ Згідно з критерієм Коші рівномірної збіжності послідовності
функцій, V е > 0 3 пе Є і V (п > пе, р 6 № II Їп+р — К || < е.
За означенням рівномірної неперервності функцій /ь їп&
165
існує таке 6 >> 0, що
У(гб2,г'Є2) (|г -г'|<6)=>(|/й(2)-/Л(И| <е V 6 = 1 Ле).
Оскільки
V (р € №, г £ 2, г' £ 7) (| г — г' | < 6) =► (| [Пб+і) (г) — /Пк+о (г') | <
< (І /пе+р (г) — /пе (*) І + І и (г) — /ПЕ (*') 1 + І /Ве (*') — }Пе+р (г') |) <
<3е),
то послідовність (/Л) одностайно неперервна. ►
Теорема 2. Нехай : (0 -> (0,	= К V п £ і К — ком-
пакт. Якщо іп -> / * послідовність (}п) одностайно неперервна, то
◄ Припустимо, що [І/п—///=Н=о(1). Без обмеження загального
характеру міркувань можна вважати, що V п С И виконується умова
II/п — / 13> я > 0, Скористаємося властивістю рівномірної норми
і виберемо такі значення гЛ £ /(, що V л Є | /Л (гп) — / (гп) | > а.
Згідно з означенням компакта, існує така підпослідовність \гп ), що
ге
гПк -> ?0, г0 £ Л. Покладемо є = -|- > 0 і у відповідності з означен-
ням одностайної неперервності виберемо таке 6 > 0, що
(|2-г'|<б)^(|/п(2)-/п(г')|<є).
(1)
Згідно з теоремою з п. 5. 2, функція / рівномірно неперервна.
Взявши це до уваги, а також умову	виберемо таке
значення щоб І гп/г —20|<6 і
І / <2»ЬО) — і (2о) І < 8> І (*<>) — /(20) І < Є.	(2)
З нерівностей в умовах (1) при п = пк^ г = гпЛ,, г' = г0 і оцінок
(2) дістаємо нерівність |/л/г (гп{і ) — /\гп/г )| <3е = а, яка супере-
чить властивості |/п(гп)— /(2п)|>а	►
Вимога компактності в собі множини К істотна. Наприклад,
послідовність функцій (/д), де /п = О[п = (С, одностайно непе-
рервна, поточково збігається до нуля, і разом з тим вона збігаєть-
ся нерівномірно (див. приклад з п. 2.2, розд. 4). Вимогу поточко-
вої збіжності послідовності функцій (/п) можна послабити.
Означення. Нехай 20 сг 2 і кожний елемент е точкою до-
тикання множини 20. Тоді 20 називається скрізь щільною
в множині 2.
Теорема 3. Нехай Лі ! (С (С і V п £ О[п — 2. Якщо по-
слідовність (/п) одностайно неперервна і збігається на скрізь щільній
множині точок сг 2, то існує така функція що -> Д
◄ Нехай V г £ 20 Ііт /Л (г) = / (г). За означенням одностайної
неперервності У8>03б>0;\/(/гЄ^|їгб2, г'£2) (|г — г' | <
< 6)	(| /л (г) — /п (г') | < є). Нехай г 2. Виберемо таке зна-
166
чення г0 £ 20, щоб | г — г0 | <6. Із збіжності послідовності (/п /г0))
випливає, що вона фундаментальна, внаслідок чого існує таке пе С
£ що V (п пк, р £ виконуються нерівності | /п (г0) —
— їп&> С?о) І < 8 Оскільки V (п > не> р € М) маємо
І/п(2) — /л+р(г)К(|/п(г) — /Л(г0)| + |/п(г») — /м-д(20)| +
+ | /п-Ьр (20)	/п-]_/? (2) |) <С 38,
то послідовність (/п (г)) фундаментальна і тому збіжна. ►
Зазначимо, що найчастіше розглядають послідовності (/п) непе-
рервних функцій, визначених на компакті /(, зокрема на сегменті
|а, Ь\ сг К Теорема 1 показує, що в цьому випадку вимога одно-
стайної неперервності слабкіша за вимогу рівномірної збіжності.
Якщо одностайну неперервність послідовності (/Л) встановлено, то
теореми 2 і 3 показують, що для доведення рівномірної збіжності
гюслідовносгі (/п) досить встановити збіжність послідовності чисел
(/п(г))для усіх г з деякої множини 20, скрізь щільної в множині 2.
5.4.	Теорема Арцела про рівномірно збіжну підпослідовність
функцій. Поняті я одностайної неперервності дає змогу узагаль-
нити класичну теорему Больцано — Вейєрштрасса.
Теорема 1 (Арцела). Нехай і (С (С,	= К V п£^і К —
компакт, Якщо \\?п || ® О (1Н послідовність функцій (/п) одностай-
но неперервна, то існує рівномірно збіжна підпослідовність
◄ Ме’іод доведення класичний І називається діагональним проце-
сом Кантора, Виберемо в К зчисленну скрізь щільну множину {гт}.
Послідовність чисел (/п (^і)) обмежена і за теоремою Больцано —
Вейєрштрасса містить збіжну підпослідовність, яку позначимо че-
ре і (/|іП (2|)). Послідовність (Л.л (22)) також обмежена. Аналогічним
способом вибираємо збіжну підпослідовність (/2,п (г2)). Продовжу-
ючи цей процес необмежено, дістаємо таблицю
А.ь /1,2, /і,з, ... ,
/2,1, /2,2, /2,3,	,
в якій кожний паступіній рядок утворює підпослідовність поперед-
нього, причому V т (• И значення в точці гт функцій з /п-рядка
у і воріокп і, збіжну числову послідовність. Діагональний процес Кан-
іорл полягає у виборі послідовності функцій (/п>л), записаних по
діагоналі іаблиці Починаючи з номера т, усі члени послідовності
є членами т-рядка і тому послідовність (/пл (гт)) збігається при
п -> оо для усіх значень т $ Згідно з теоремами 2 і 3, п. 5.3, по-
слідовність (Ді,п) збігається рівномірно. ►
Наступне твердження пояснює зміст умов у теоремі 1.
Теорема 2 (Арцела). Нехай ЗД — множина обмежених і рів-
ні мірно неперервних функцій / : (£	= % V [ Є Якщо з
оудь- якої послідовності функцій (?п), ?п £ 9Л Уп £ можна виділи-
ти рівномірно збіжну підпослідовність, то множина 9Л одностайно
167
неперервна і існує таке число МС ІК,	виконується нерів-
ність Ц / Ц М.
◄ Нехай множина дл не одностайно неперервна. Це означає, що
існує таке е0 > 0, для якого виконуються умови
Уб>0 3(/вЄЯП, гб£7, гбб2):(|гб-г;|<6)Д(|/в(гв)-
- Л (га) | > 80).	(1)
Покладемо V п £ И 6П = -і-. З послідовності (/бп) можна виділи-
ти рівномірно збіжну ПІДПОСЛІДОВНІСТЬ (/бП/г) (ва умовою теореми).
За теоремою 1, п. 5.3, сім’я	одностайно неперервна, що
суперечить властивості (1). Аналогічно, якщо
£ К 3 (Дм Є Ж, Зді £ 2): | /м (%м) | М,
то, вважаючи М £ виберемо рівномірно збіжну підпослідовність
(?мп)- Згідно в критерієм Коші, існує такий номер що
> по II їмп — їмПо І) < 1. Тому V п > п0 виконується оцінка || ?мп\\ <
II Ц + 1, яка суперечить припущенню | /м (гм) | М V М £
бо ||/м”0||< + оо. ►
Позначимо через С (К) множину всіх неперервних на компакті
К функцій.
Означення. Нехай ОТ с С (К) і К — компакт. Множина функ-
цій 9Л називається компактною або відносно ком-
пактною в просторі С (К), якщо з будь-якої послідовності функ-
цій ІЇп)> де V п € можна виділити підпослідовність І/Пк),
рівномірно збіжну на К (не обов’язково до функції з 9Л).
Теорема 3 (критерій компактності Арцела). Нехай К — ком-
пакт. Множина 9Л відносно компактна в просторі С (К) тоді і тіль-
ки тоді, коли вона рівномірно обмежена і одностайно неперервна.
•< Необхідність твердження випливає з теореми 2, достатність —-
з теореми 1. ►
Вправи
1.	Нехай /?:©-►© — раціональна функція із знаменником 5 і () (г0) = 0*
Коли існує таке число а £ С, що функція /?а, визначена формулою
(г), якщо є £
“а — і
^а, якщо г = 20,
неперервна в точці г0?
2.	Нехай функція / неперервна в точці 20 £ Чи може функція /а, де
(/(з), ЯКЩО 2=/х20 І
»а
(а, якщо з = г0,
бути неперервною в точці г0 при а =/= / (г0)?
3.	Нехай г0 6 О) і послідовність (/ (гп)) збігається до скінченного числа кож-
ного разу, як тільки гп -> г0 і V п £ N гп £ Р/, Чи можна твердити, що функція/
неперервна в точці г0?
168
4.	Нехай г0 С Р/ і послідовність (/ (гЛ)) збігається до скінченного числа кож-
ного разу, як тільки гп -> г0 і V п £ N гЛ Є 0/ \ (г0). Чи можна твердити,
що функція І неперервна в точці г0?
5.	Чи існує скрізь розривна функція / і такі множини і Ра, що звуження
/ |£>і та / |рг неперервні і Г)і = Оі 0 О2?
6.	Чи може функція / виявитися розривною хоча б в одній точці, якщо £>/ =
= II Ра і множини Рх, Ра замкнені, а функції / |Оі, / неперервні?
Гд	----
7.	Нехай функції К —► К неперевні V Іг — 1, п і —оо < а3 <	... <
< і < +оо. Покладемо
7і (х), якщо х=С ах,
/а (х), якщо «і < х С аа,
Іп (х), якщо х > ап_г
Довести, що функція / неперервна тоді і тільки тоді, коли їк(ак) = (ак)
Ук = 1, п— 1.
8.	Вказати необхідну й достатню умови, які накладаються на множину X,
щоб існувала неперервна, але необмежена функція / з Р/ = X.
9.	Вказати необхідну й достатню умови, які накладаються на множину X, щоб
існувала неперервна, але не рівномірно неперервна функція / з ~ X.
10.	Нехай V х £ К \ {0} / (х) = х і / (0) = у0. При яких значеннях у0 функ-
ція /: а) неперервна при х = 0; б) напівнеперервна зверху при х = 0; в) напів-
неперервна знизу при х = 0?
11.	Нехай V х £ К \ {0) / (х) = І£І і І (0) « у0. При яких значеннях у9
функція /: а) напівнеперервна зверху при х = 0; б) напівнеперервна знизу при
х = 0?
12.	Нехай V х £ К \ {0} ( (х) = — і / (0) = у& Довести, що V £ К
X
функція / не буде напівнеперервною зверху при X = 0.
13.	Дослідити на рівномірну збіжність і одностайну неперервність послідов
ність (/„), якщо:
я) М (*) = Л = [0, 1] УлЄ И;
’ п
б) М (*) = хп, і\ = [о, 4
V п Є М;
В) /п (х) = *" - ж2”, ОІп = [0, 1] V п е М;
г) (ч (хп) = ** - /*+1, Р/п = [0. 1] V п Є N.
д) /л (х) “ х агсі£ /їх, Оі = (0, + оо) V /і 6 N.
14. Нехай [ : © С, О[ — обмежена множина. Довести, що функцію /
можна неперервно продовжити на множину всіх точок дотикання тоді і тільки
тоді, коли і рівномірно неперервна.
16. Функція
б ш (б, /) = зир {|/ (гі) — / (г2) І : є г2 є А І — г21<б).
скінченна або нескінченна, називається модулем неперервності функції /. Довести»
що функція / рівномірно неперервна тоді і тільки тоді, коли щ (о, /) -> 0 при б
0.
Функція (о називається модулем неперервності, якщо існує така рівномірно
неперервна функція/, щоУб>0 о (б) = со (б, /). Які функції можуть бути
модулями неперервності?
16. Довести, що множина ЯЛ одностайно неперервна тоді і тільки тоді, коли
існує такий модуль неперервності <о і стала С > 0, що V (б > 0, / 6 ЗЛ)
<Ь & /) Ссо (б).
169
5.5. Покриття множини. Теорема про скінченне покриття ком-
пакта К сі 1К.
Означення. Нехай М — довільна множина. Покриттям
множини Е а М називається така сім'я (В%)^ підмножин
множини М, що Е сг 0 В'.
Теорема (Бореля — Лебега). Якщо замкнена обмежена мно-
жина К сг К покрита нескінченною сім'єю інтервалів (7х)аєд чис-
лової прямої К, пго з неї можна виділити скінченну сім'ю (З^ел
(Ло — скінченна множина), яка також покриває множину К.
◄ Доведемо теорему методом від супротивного. Припустимо, що з
сім’ї (7х)хсл не можна виділити ніякої скінченної сім’ї інтервалів,
яка б покривала множину К (звідси, між іншим, випливає, що
множина К нескінченна).
Оскільки множина К обмежена, то «існує такий сегмент [а, Ь\ сі
с: К, що А с [а, Ь]. Покладемо с = —5—•
Не може трапитися так, щоб кожна з множин К А Іа, с] і К А
А Іс, 6] покривалася скінченною сім’єю інтервалів сім’ї (7х)хєл, бо
в цьому випадку й уся множина К покривалася б скінченною сім’єю
цих інтервалів. Оіже, хоча б один із сегментів [а, сі і [с, Ь\ містить
частину множини /<, яка не покривається скінченною сім’єю вказа-
них інтервалів. Позначимо через [аь 6^ той з цих сегментів, який
містить таку частину К. При цьому якщо обидва сегменти [а, сі і
[с, містять частини Л, які не покриваються скінченною сім’єю
інтервалів 7^, то через [аь Ь]1 позначаємо лише один з них, який —
не має значення. Ясно, що множина К А (Ді, Ьіі нескінченна.
Покладемо тепер ~ "--1 і позначимо через [а2, 62] той із
сегментів [аь ст] і [сх, &х], який містить частину множини К, що не
покривається скінченною сім’єю інтервалів 7^. У тому, що хоч
один із сегментів [Яі, Сі] і [сп Ьіі має таку властивість, ми упевни-
мося так само, як і раніше (якщо вони обидва мають цю власти-
вість, то через [^2, Ь2] позначимо лише один з них).
Продовжуючи цей процес, побудуємо послідовність ([ап, Ьп])
вкладених сегментів
[а, Ь] о [яі, Ь±] о [а2, Ь2] ю ... ю [ап, Ьп] => ... ,
які мають ту властивість, що жодна з множин К А [ап, 6П] не по-
кривається скінченною сім’єю інтервалів 7х (і, отже, кожна з цих
множин нескінченна).
Оскільки довжина сегмента [ап, Ьп], яка дорівнює
із зро-
станням п прямує до нуля, то, згідно з теоремою 2, п. 9.2, розд. 1,
існує точка х0, спільна для усіх сегментів, причому
Ііт ап = Ііт Ьп == х0.
І &	* V	V
н->оо	п-+оо
Покажемо, що точка х0 належить множині /(. З цією метою ви-
беремо в множині К А ІЯп ^і] точку хь потім в нескінченній мно-
170
ЖИНІ К П [а2, &2І виберемо точку х2, відмінну від х19 потім у множи-
ні К п іа3, Ь3] виберемо точку х3, відмінну від х± і від х2, і т. д.
У результаті дістанемо послідовність (хп) різних точок множи-
ни /(, причому ап хп Ьп. Тоді х0 = Ііт хПі тобто х0 — гранична
П-ЮО
точка множини К. Оскільки К — компакт, то х0 С К. Сім’я (7%)^
покриває множину X, тому існує такий інтервал 7х0, що х0 Є 7^0.
Якщо И досить велике, то [ап, Ьп] <= й поготів К А \ап,
Ьп] <= тобто множина К А [ап, Ьп] покривається одним інтер-
валом, а це суперечить самому означенню сегмента [ап, 6П], що й до-
водить теорему. ►
Зауважимо, що теорема перестає бути вірною, якщо відкинути
умову обмеженості або умову замкненості множини /<.
Дійсно, розглянемо, наприклад, множину Вона замкнена, ос-
кільки множина її граничних точок порожня. Розглянемо сім’ю
інтервалів (7п)п€М, Де = (и--------п + -у І, яка
покриває мно-
жину Оскільки кожний з цих інтервалів містить лише одну точ-
ку множини И, то зрозуміло, що ніяка скінченна система цих ін-
тервалів неспроможна покрити множину |^. Отже, умова обмежено-
сті множини істотна.
Наведемо приклад обмеженої незамкненої множини, для якої
теорема Бореля — Лебега не виконується.
(11	і ї
“5"» 3".......—	к Ця множина обмежена, алене
еамкнена. Побудуємо біля кожної точки хп = -у інтервал 7П, який
містить цю точку, але настільки малий, що не містить ніякої іншої
точки множини Е. Сім’я (7п)л^ покриває множину Е, але ті самі
міркування, що й у попередньому прикладі, показують, що Е не
покривається ніякою скінченною сім’єю цих інтервалів. Отже, умо-
ва замкненості множини також істотна.
Теорема Бореля — Лебега має багато застосувань. З її допомогою
досить просто доводяться класичні теореми Коші, Вейєрштрасса,
Кантора про неперервні на сегменті функції. Для прикладу роз-
глянемо теорему Коші.
Теорема (Коші). Якщо } £ С\а, Ь] і І (а) } (Ь) < 0, то існує. та-
ка точка 5 6 що І (£) = б.
◄ І Іехай / (а) > 0, тоді / (6) < 0. Припустимо, що точки 5 з вка-
заною властивістю не існує, тобто V х£ (О) / (х)	0. З влас-
тивості стійкості нерівностей для неперервної функції (див, п. 2.1,
розд. 5) випливає, що V х Є (а, Ь) існує інтервал Зв{х) (для точок
а та Ь — півінтервали 7б(а), 7б(&))> в якому функція / зберігає
знак числа / (х). Сім’я інтервалів (^б(х))хє[аЛ] покриває сегмент
|п, /Л — компактну в собі множину. За теоремою Бореля — Лебега
існує скінченна сім’я інтервалів (7б(х.>)/єл0, яка покриває сег-
мент [а, Ь1. Для кожних двох сусідніх інтервалів 3&{хр та
виконується умова 7в(х/) А #= 0, внаслідок якої зна-
чення функції / на кожному з цих інтервалів будуть одного й того
171
самого знака. Але тоді з припущення, що V х 6 (а, Ь) ( (х) =/= 0,
випливає, що І (а) і І (Ь) — числа одного знака, що суперечить умо-
ві / (а) / (Ь) < 0. Отже, вроблене припущення невірне і знайдеть-
ся принаймні одна точка £ £ (а, Ь), в якій / (|) = 0. ►
Наслідок. Якщо [	[а, &], то функція І набуває усіх
проміжних значень між числами І (а) і І (&).
◄ Застосуємо теорему , Коші до функції х а — / (х) на сегмен-
ті [а, &], де а — будь-яке число між числами / (а) та / (Ь). ►
Розділ
••••••••••
ПОХІДНА
ТА ІНТЕГРАЛ
Поняття похідної та інтеграла складають основу класичного й
сучасного математичного аналізу. Важливі ідеї аналізу зустріча
лися вже в античній науці, зокрема, в працях Архімеда. Основи ди-
ференціального та інтегрального числень було закладено в епоху
Відродження в трудах видатних вчених: Г. Галілея (1564—1642),
Й. Кеплера (1571—1630), П. Ферма (1601—1665), І. Барроу (1630^
1677), І. Ньютона (1643—1727), Г. Лейбніца (1646—1716).
«Поворотним пунктом у математиці,— писав Ф. Енгельс,— бу-
ла Декартова змінна величина. Завдяки цьому в математику вві-
йшли рух і тим самим діалектика і завдяки цьому ж стало негайно
необхідним диференціальне і інтегральне числення, яке одразу й
виникає і яке було загалом і в цілому завершене, а не винайдене,
Ньютоном і Лейбніцом» х.
Для викладу диференціального і інтегрального числень вико-
ристовуються ідеї, які виникли під впливом написаних у різний час
(XVII—XIX ст.) робіт Ферма, Ньютона, Лейбніца, Лагранжа,
Ейлера, Пеано. Основний принцип, який запозичено з робіт Ейле-
ра І взято за основу при написанні цієї книги,— одночасне до-
слідження і застосування прямих та обернених операцій.
§ 1. Похідна
Диференціальне числення, зокрема поняття похідної, виникло
як результат пошуків загальних методів розв’язування конкретних
і актуальних задач: про екстремуми (Кеплер, Ферма, Лейбніц), про
обчислення швидкості нерівномірного прямолінійного руху (Галі-
лей, Барроу, Ньютон), про побудову дотичної до кривої (Торрічел-
лі, Лейбніц та ін.).
1.1. Теорема Ферма. Означення похідної. У 1629 р. П. Ферма
відкрив метод розв’язування задач, про який повідомив у листах
до Ж. РоберваляйР. Декарта (1638 р.). Максимуми й мінімуми, а
також дотичні визначали в окремих випадках ще стародавні мате-
матики, але це завжди здійснювалося за допомогою геометричних
1 Енгельс Ф. Діалектика природи // К, Маркс і Ф, Енгельс. Твори.—
К., 1965.—Т, 20.—С. 531.
173
методів. Ферма перший запровадив алгебраїчний метод, пов’язаний
з диференціальним численням. Наведемо уривок з листа Роберва-
лю, в якому Ферма викладає свій метод.
Припустимо, писав Ферма, що А є яка-небудь (невідома) дослі-
джувана величина — поверхня, або тіло, або ж довжина у відповід-
ності з умовами задачі,— і виразимо максимум або мінімум через
члени, які містять А в тих або інших степенях. Потім візьмемо за
попередню величину значення А + Е і знову виразимо максимум
або мінімум через члени, які містять А і Е в тих або інших степенях.
Далі обидві сукупності, які виражають найбільше або найменше
значення, покладемо, як каже Діофант, наближено рівними одна
одній і відкинемо з обох боків однакові члени. Тоді у кожному чле-
ні справа і зліва буде стояти або Е, або який-небудь його степінь.
Потім поділимо усі члени на Е або ж на вищий степінь його так,
щоб (в крайньому разі) один з членів з якого-небудь боку не міс-
тив множника Е. Потім з обох боків відкинемо члени, які містять
Е або його степені, а те, що залишиться, покладемо рівним одне
одному або ж, якщо з одного боку нічого не залишиться, то, що зво-
диться до того самого, прирівняємо від’ємні члени до додатних.
Розв’язок останнього рівняння дає значення Л, коли ж останнє ві-
домо, то максимум або мінімум дістанемо на основі попереднього
розв’язування.
Розглянемо приклади, які пояснюють правило, вказане Ферма,
вважаючи А = х і Е = И.
Приклад 1. Нехай / (х) = ах2 + Ьх + с, а =/= 0, х 6 К. При яких значеннях
х функція / має максимум або мінімум.
Дотримуючись правила, вказаного Ферма, маємо
а (х + 6)? + Ь (х + к) + с « ах2 + Ьх + с, 2ахк + Ьк + ак2 ж 0,
2ах + Ь + ак « 0.
Покладаючи к = 0, дістаємо рівняння Ферма
2ах + 6 = 0,
,	Ь
розв язок якого X ~------—
Це і є те значення х, при якому функція [має макси-
мум або мінімум.
Приклад 2. Нехай / (х) = х3 — х, £)/ == (а, Ь) с К.
Користуючись правилом Ферма, маємо
(х + А)3 — (х + к) « х3 — х, х3 + Зх2к + Зхк2 + А3 — х — к « х3 — х,
Зх2к + Зхк2 + б3 — к 0, Зх2 + Зхк + к2 — І « 0,
Покладаючи к = 0, дістаємо рівняння Ферма
Зх2 — 1 = 0.	(2)
Якщо функція / має максимум або мінімум у точці х £ (а, 6), то, згідно з тверджен-
ням Ферма, цією точкою обов’язково є корінь рівняння (2).
У позначеннях, запропонованих Лагранжем, рівняння Ферма
записується у вигляді/' (х) = 0, зокрема (ах2 + Ьх + с)' — 2ах +
+ Ь, (х3 — х)' = Зх2 — 1 (див. приклади 1, 2).
Д’Аламбер першим визнав Ферма основоположником диферен-
ціального числення, зазначивши це в своїй «Енциклопедії». Думку
174
Д’Аламбера поділяли Лагранж і Лаплас. Сказане дає змогу вважа-
ти Ферма автором першого коректного означення похідної алгебра-
їчного многочлена. Показникова, логарифмічна та тригонометрич-
ні функції увійшли у вжиток пізніше, у другій половині XVII ст.,
і труднощі, пов’язані з розповсюдженням на них ідей Ферма, зму-
сили Лейбніца винайти нове числення, викладене ним в роботі «Но-
вий метод для максимумів і мінімумів, а також для дотичних, для
якого не являються перепоною дробові та ірраціональні кількості,
і особлива форма числення для цього», опублікованій в 1684 р. Про-
блеми, на які наштовхнувся Лейбніц, були на наш погляд, пов’язані
з відсутністю досить загального означення функції, запропоновано-
го лише в другій половині XIX ст. Лобачевським і Діріхле. По-
дальший розвиток диференціального числення йшов шляхом
обгрунтування ідей Лейбніца і привів до означення похідної як гра-
ниці різницевого відношення, відомого читачеві з курсу математи-
ки середньої школи. Однак, володіючи сучасним поняттям функції,
легко надати необхідну загальність первісним ідеям Ферма, про
які йшла мова вище. У XVIII ст. Лагранж розповсюдив ідею Фер-
ма означення похідної на клас функцій, які були сумами степеневих
рядів. Його спроба не знайшла визнання, оскільки цей клас функ-
цій був занадто вузьким для розв’язування значної кількості задач
того часу, які вимагали застосування диференціального числення.
У XIX ст. аналогічну спробу здійснив італійський математик Пеа-
но, який узагальнив класичне диференціальне числення. Похідні
Пеано називаються узагальненими і знаходять застосування в су-
часній математиці. У навчальну літературу їх не включають через
складність теорії.
Виходячи з ідей Ферма — Лагранжа — Пеано, будемо будувати
класичне диференціальне числення, надаючи читачеві можливість
порівняти цю побудову з традиційною.
С(|юрмулюемо метод Ферма в сучасних позначеннях і обгрунту-
ємо його.
Теорема І (Ферма). Нехай І • К. і х0 — внутрішня точка
множини О;. Якщо функція} набуває в точці х0 найбільшого або най-
меншого значення і існує така неперервна в цій точці функція ер, що
- О1 Д }(х) — }(х0) = (х — х0)<р(х) V	(3)
то <р (х0) «з 0.
Припустимо, ЩО ф (х0) =/= 0. Згідно з властивістю стійкості не-
рівності (див. п. 2.1, розд. 5), існує такий окіл ОХо, в якому функ-
ція ф зберігає знак. Оскільки функція / набуває в точці х0 найбіль-
шого або найменшого значення, то V х Е Р/ \ {х0) знак лівої час-
тини рівності (3) не змінюється. Однак права частина рівності (3)
набуває в околі 0Хо як додатних, так і від’ємних значень, що не-
можливо. ►
Сформулюємо означення диференційовності довільної функції
/ : (0	(С> відповідне теоремі Ферма.
Означення. Нехай} ;	(0,	£ Рр Функція} називається д и-
ференційовною в точці якщо існує така неперервна
175
в точці г0 функція <р : (£ -> (£, Оф = 0(, щоМ г£ О/ виконується
рівність
—	—	(4)
Якщо г0 — гранична точка множини Ор то число <р (*0) назива-
ється похідною функції / у точці г0 і позначається символом /' (г0),
тобто
Г (20) = Ф (*.).	(5)
Теорема 2. Нехай / і (£ -► г0 С і *о — гранична точка мно-
жини Т>і. Якшр функція [ диференційовна в точці г0, то існує
Ііт /	~ ї <г°> = р
г-»г0 г «о
(6)
Згідно з формулою (4), маємо
Ііт —2(г<>) = 1іт Ф (2) = Ф (2о) = /' (2о)- ►
г-*г0 г	г-*г0
Наслідок. Якщо функція { диференційовна в точці г0 і г0 —
гранична точка множини Е)^ то її похідна (г0) визначена одно-
значно.
Розглянемо приклади.
Приклад 3. Обчислити похідну функції / (а) ==
Обчислимо /• (г0), г0 £ Маємо
Р4-5-, гєС\ {-/, <}.
1 4- 2Л
г_____ г0 _ г + ггр — з9 — г% _	_ г 1 — гг0
Ьг2 1+г* (і + ?„) (і + г8)	’ (1 + $ (1 + гз)’
„ м _-----~	---- т _ 1 — «0	1—2?	«, с П
ф (г) - (1 + ^) (1 + 2») ’ <Р(2#)- (1+г2)8. Г (г) = 71 +"??)« Угб£)Г
Приклад 4. Обчислити похідну р (х), якщо / (х) =	* > 0.
Оегіль» VI-У«- -	.»»<«) -У2+У5  ФМ -
-тй  °“е' гм  тй '">0-
Приклад 5. Нехай / (а) » е2, з Є ©• Обчислити /' (0).
Маємо
°О п	оо
/(г)-/(0) = ^-1 = 5^ = 2Х^.
П=1	п=]
<?<«)=£ ^!~’<Р(°)=1- Г(0)=1.
И=1
Функція (р неперервна у точці г = 0, оскільки радіус збіжності степеневого ряду
дорівнює +оо, а сума неперервна в крузі збіжності.
Приклад 6. Обчислити г (0)» якщо / (а) = зіп а, г Є ©.
Оскільки
00
зіп г =	(- !)<»+» п- € С.
п=1
176
°°	22(п- 1)
$іп г = г У] (— 1)п+1 (2я _	,
П=1
00	2(п~ 1)
Ф (г) - 2 (- 1)"+' (2я 2- !)[ . Ф (0) = 1- І' (0) = 1.
П=1
Приклад 7. Нехай / (з) = 2П, ?€©. Обчислити Г (г).
Маємо
гп - г? = (г - г..) (г"»1 + гог""2 + ... +
Ф (г) — г""* + г02Пв“2 + ... + г£~’, ф (г0) = лгд’-1,
/'(г) = лг"*"1 Уг€С.
Приклад 8. Знайти /' (г), якщо / (г) = Іп г, г Є ©,
Оскільки
2	/	2 — 2л\ г — 2Л
Іп г — Іп 2о = Іп — = Іп (1 + —— І = ——2 + (г — г0) о (1) =
г0	\	г0 / г0
= (г —20)(4- + о(1)],
\ г0	/
то
ф(г) =-^•4-о(1). ф(г0) =-^ . (г) = у УгСС,
бо о (1) — неперервна функція, яка дорівнює нулю в точці г0.
Приклад 9. Знайти /' (1), /' (2), /' (3), якщо / (х) = (х — 1) (х — 2)? (х — З)3
УхЄІК.
Маємо / (х) == (х — 1) ф (х), де ф (х) = (х — 2)3 (х — З)8, ф (1) = — 8,
/' (1) = — 8, Аналогічно /' (2) = /' (3) = 0.
Приклад 10. Нехай / (з) =	, г£(С\{0}. Знайти [' (г),
2 — 2о	1	1	~
Оскільки	то ф(г) = ——, ф(г0)= —-2". Отже,
г г0	Яв*
Сформулюємо теорему 1 в термінах похідної.
Теорема 3 (Ферма). Нехай } : П{ -> Щ і х0 — внутрішня точка
множини Якщо функція і набуває в точці х0 найбільшого або най-
меншого значення і диферен'ційовна в ній, то (х0) = 0.
1.2. Правила диференціювання.
Теорема 1 (про похідну композиції). Нехай функція / : (Б -> (0
диференційовна в точці г0, а функція § і (Б -> (С диференційовна в
точці £0. Якщо = § (£0) і £0 — гранична точка множини
то композиція ? о § диференційовна в точці £0 і справджується рів-
ність
° Я)'(?о) = Г (г0) (?о).	(1)
◄ Згідно з означенням диференційовності функції / у точці г0, іс-
нує така неперервна у цій точці функція <р і (0 -> (С>	Щ°
177
V г С Т)( / (г) — / (*о) = (г — г0) <р (г). Нехай £ £ ОІоЄ. Тоді
8 (Є) 6 О< '
/ (8 (0) - / (8 (?о)) = (§ (0 - § О Ф (£ (□)•	(2)
Оскільки функція § диференційовна в точці £0, то існує така непе-
рервна в цій точці функція ф і С -> (0, Оу = £)е, що V £ £ вико-
нується рівність § (£) — я (£о) = (С — Со) Ф (£)• Отже, рівність (2)
набуває вигляду
(/ - 8) (0 -(/»§) (Со) = (Б - £о) Ф (?) (ф 0 8) (С).	(3)
З рівності (3) випливає диференційовність КОМПОЗИЦІЇ / О § у точ-
ці £0, причому
(/ о 8Ї (£о) = Ф (Со) (Ф ’ 8) (?о) = 8' (Со) Ф (*о) = 8' (Со) ґ (2о). ►
Теорема 2 (про лінійність операції диференціювання). Нехай
функції /	і 8 і € -*• (С диференційовні в точці г0, граничній
для множини О) П Е)е. Тоді V (X £ (£, р С (Б) функція 4- р£ ди-
ференційовна в точці г0 і виконується рівність
(V + |Х£)' (*о) = V' (*о) +	(*о).	(4)
◄ Згідно з означенням диференційовності функцій / та £, зна-
йдуться такі неперервні в точці г0 функції ер та ф, що V 2 £ П Дб
виконуються рівності
/ (г) — ї (г0) = (г — г0) ф (г),	— £ (г0) = (г — г0) ф (г).
Отже,
(и + Н£) (2) — (ЇЇ +	(*о) = (2 — 20) (Хф + рф) (г).
За означенням функція X/ + диференційовна в точці г0 і при
цьому
(V + Н£)' (2о) == (М> + И4) (*о) = V' (г0) + НҐ (*о)- ►
Теорема 3 (про неперервність диференційовної функції). Якщо
функція / » (С (С диференційовна в точці г0> то вона неперервна в
цій точці.
◄ 3 означення диференційовності функції І у точці г0 випливає
рівність
7(г) = /(20) + (2 — г0)ф(г),
де ф — неперервна в точці г0 функція. За теоремою про неперерв-
ність у точці г0 суми та добутку неперервних функцій / неперервна
при г = г0. ►
Теорема 4 (про диференційовність добутку нескінченно малої
диференційовної та неперервної функцій). Нехай функція / ; (С
0 диференційовна в точці г0 і ? (г0) = 0. Якщо функція і (С (0
неперервна в точці г0, граничній для множини П то функ-
ція диференційовна в цій точці і виконується рівність
ІЇ8Ї (2о) = Ґ (г0) 8 (г0)-	(5)
◄ Згідно з означенням диференційовності функції /, існує така
неперервна в точці г0 функція ф, щоРф = О/ і V г £ О; виконуєть-
178
ся рівність / (а) = (г — г0) <р (?) (беручи до уваги, що / (г0) = 0). От-
же, (/£) (?) — (/£) (г0) = (г — г0) <р (г) § (г), що означає диферен-
ційовність функції /£ у точці г0. При цьому
(/&)' (*0) = <Р (*о) § (*о) = /' С?о) § (20). ►
Наслідок (правило диференціювання добутку функцій).
Якщо функції / і (С -> (С, £ :(С (С диференційовні в точці г0, гра-
ничній для множини Л то функція диференційовна в цій
точці і виконується рівність
(№)' (*о) = Л (*о) В (*о) +	(*о) / (*о)‘	(6)
◄ Доведення випливає з тотожності
/ (2) § (г) = (/ (2) — / (г0)) £(£) + / (г0) £(г) Уг $ П П§
та теорем 2, 4. ►
Теорема 5 (про похідну частки). Нехай	(С -> (С —
диференційовні функції в точці г0, граничній для множини Л
і
Якщо § (?0) #= 0, то функція диференційовна в точці г0 і викону-
ється рівність
(7)
\ _ ?' (2р)^(г0)—(г0)/(г0)
\	1	~	£2 (*о)
◄ Скористаємося правилом диференціювання добутку двох функ-
цій та теоремою про похідну композиції функцій. Дістанемо
_ І' (?р) . £ , X / — £ (*р) \ _ /' (г0) § (*р) — £' (20) І (20)
"" § (*о) к °' в2 (20) )	(г0)	• Г
Теорема 6. Нехай функція / : £ ->(£ оборотна, г0£ £>/ і в гра-
ничною точкою множини О/, ау0 = / (г0). Якщо існує (г0)	0 і
обернена функція неперервна в точці то вона диференційов-
на в цій точці. Якщо, крім того, — гранична точка множини
Е; = О і—і, то
<Г')'<^) = 7г^>-	(8)
◄ За означенням диференційовності функції / у точці г0 існує така
неперервна в цій точці функція <р, що V г £ О/ виконується рів-
ність
/(•г) —/(г0) = (г —г0)<р(г).	(9)
Оскільки з рівності (9) і взаємної однозначності функції / випли-
ває, що <р (г) #= 0 при г =/= г0 і ф (г0) = /' (г0)	0, то, покладаючи
щ / (г), маємо
Г1 (^) - Ґ (^0) =	•	(Ю)
Функція ф о / 1 неперервна в точці и»0, внаслідок чого за означен-
ням функція /“1 диференційовна в точці а>0. Якщо — гранична
179
точка множини Еч = то, згідно з означенням похідної, ді-
стаємо
(/ ) (“'о) =	(Шо))	<р(г0) “ /' (г0У • ►
Зауважимо, що у випадку, коли множина О) компактна в собі,
а функція / неперервна, то неперервність оберненої функції 1 ви-
пливає з теореми, доведеної в п. 1.13, розд. 5.
Наслідок. Нехай / і К ІК. — неперервна, строго моно-
тонна на компакті О( функція, яка має похідну в точці х0£ О [, гра-
ничній для множини О{. Якщо (х0) =/= 0, то обернена функція /~‘
має похідну в точці уа = / (х0) £ Е(, яка обчислюється за формулою
(11)
1.3. Таблиця похідних. Враховуючи правила диференціюван-
ня, приклади 1—10 та зв’язок між елементарними функціями, скла-
демо таблицю похіднихі
1) (?")' = пг"-1 V (г Є (С, п Є №; 2)	= -± Уге С\(0);
3)	(£)'- =^ = —£г *г(ЕС\{0);
4)	(егЬ=г0 = (ег,ег“г»);=2о = е2° (ег^)^г, = є2* Уг0 е €;
5)	(1п г)' = 4- Уг € (Б;
6)	(аг)' = (е2Іпа) = ейпа (гіп а)’ = а* 1п а V (а Е С, г £ (0);
7)	(г“)' = (еа1пг)' = еа 1п г (а 1п г)' = а — = аг"-1 V (г € С, а 6 <С);
8)(сЬ2)' = (^±^У = ^ЦС1_5Ь2 УгеІС;
9)	(зЬг)' = ( е2~^е"г) =	= сЬг Уг £ С;
10)	(зіп г)’= ^—-г—=сЬіг = созг Уг£(С;
11)	(соз г)' = (сЬ ігУ = і зіі іг = — зіп г Уг Е
‘2) («1 гУ -	V. 6 С : Л 2 0;
13)	(^'-(-ят) - і1'';і,7:''1г іік
14)	(ІЄ г}' = /ЇМ =	+	_	1 уг і 0. с05 2	0;
15)	(сіє г)' =	~зіп2г ~ с° - -------Л- Уг Є С: зіп г^=0;
;	^$іпг/	8іп2г	зіп2г
180
Доповнимо цю таблицю похідними деяких функцій з к в п<:
і _ і _	।
10)	( V X) —	,п_,	—	2п_2 —	2п-1Л—---- >
(у )	(2п—1)у	(2п—1)	У?"’2
2п—Ь—	2п—1
де у = V х, х = у ;
17)	(аГСЗІПХ) — (51пі,у СОЗ у ~ У1 — 8ІП2 у ~ VI — X2 ’
| х ] < 1, де у = агсзіпх, х = зіп у,
18)	(агссоз х)' «= ——-г = —т—  ----------====- =
’ ’	' (со&уУ —зіпу VI— СОЗ2у
-------у_____, І х І <С 1, де у — агссоз х, х = соз у\
V і — *2	1 1
19)	(агсі§ х)' =	= соз2 у =-ґ_ре2у =	Ух € К»
де у = агсі§х, * =
20)	(агссіе х)'	.1	= — зіп2 у = — . ,-Д- а =
х ь ’ (сів у)'	а 1 + сіє» у
= —г-гт»	де 4/ = агссЇ£х, х = <Л$у.
1.4. Односторонні похідні функції.
Означення. Нехай / і К К. Якщо х0 — гранична точка мно-
жина О{ П (х € К | х < х0}, то
(і)
Х-*Х9 Л Л°
х<х0
Якщо х0 — гранична точка множини О; П {х £ К | х > х0),
то	/;(х.)£ііт»«>-'(^ .	(2)
ж*х0	х — хп
х>х.
Числа /д(х0) та /'(х0), якщо вони існують, називаються відпо-
відно лівою і правою похідними функції / у точці х0.
Може трапитися, що функція / і К -> К неперервна і не дифе-
ренційовна в точці х0 С О{, граничній для множини О;, але існує
Нх) — ( (х0)	гр
нескінченна границя відношення	при х -> х0. Тоді вва-
X — х0
жають, що функція / має нескінченну похідну в точці х0, і запису-
ють /' (х0) =4-оо або /' (х0) = —оо. Аналогічно може йти мова про
нескінченні односторонні похідні.
Теорема (критерій диференційовності функції / і ІК -> К). Для
того щоб неперервна функція / : К -> 1К була диференційовною в точ-
ці х0 £ Д/, граничній для множини необхідно й достатньо, щоб
вона мала в цій точці скінченні ліву й праву похідні і при цьому
ІЛ (^о) = /п (•£())•
181
◄ Згідно з теоремою з п. 1.5, розд. 5, функція £ і К -> К, де
має скінченну границю в точці х0тоді і тільки тоді, коли виконуєть-
ся умова § (хе — 0) = £ (х0 + 0). Але § (х0 — 0) = /' (х0), § (х0 +
“Ь 0) = /п (ХО). ►
Наприклад, функція / (х) = | зіп х = К, не диференці-
йовна в кожній точці хк = &л, к £ оскільки
х<*к
| 8ІП (х — Хк) |
X — X.
п
/' (хк) = Ііт
х^хк
х>хк
ї'„ (*м М= Г„ (хк).
1.5. Приріст функції в точці. Лінійне відображення. Диферен-
ціал функції і наближені обчислення. Нехай / : (Б (Б> г0 £ О/,
г (:	— довільні точки. Різницю / (г)— / (г0) називають прирос-
том функції / у точці г0, відповідним приросту незалежної змінної
Аг = г — г0, і позначають через А/ (г0, Аг). Якщо функція / дифе-
ренційовна в точці г0 £ О^, граничній для множини то формула
(4), п. 1.1, може бути подана у вигляді
А/(г0, Аг) = Агф(г),	(1)
де ер — неперервна в точці г0 функція,	і ф (г0) = /' (г0).
Оскільки Ііт ф (г) = ф (г0), то ф (г) = ф (г0) + о (1), де о (1) — не-
г-*-г0
перервна функція, значення якої в точці г0 дорівнює нулю. Тоді
рівність (1) набуває вигляду
Д/ (г0) Дг) = Дг/' (г0) + о (Дг).	(2)
Перш ніж аналізувати формулу (2), розглянемо лінійне відоб-
ь
раження (Б (Б-
ь
Означення 1. Функція (Б -> (Б називається лінійною, якщо
V (гт 6 (Б, г2 € (Б* Є (Б) виконуються умови:
1)	Ь (гг + г2) = Ь (гТ) + Ь (г2) (властивість адитивності);
2)	Ь (Хгі) = ХЛ (2і) (властивість однорідності);
З умов 1) та 2) випливає, що Л (0) = 0 і V г Є (£
Л(г) = яг, а = Ь (1) = сопзі.
ь
Аналогічно визначається лінійне відображення П< ->
Теорема. Нехай / : (С -> (С, г0 6	— гранична точка множини
і..
[)> Якщо існує така лінійна функція (Б -> (£, Л (г) = аг, що\/ г 6
182
£ виконується рівність
Д/(г0, Аг) = аДг + о(Дг),	(3)
то функція / диференційовна в точці г() і /' (г0) = а.
0 При виконанні умови (3) існує
Нт А/ (г^г)	= г (2о)
Беручи до уваги умову (2) та доведену теорему, бачимо, що умо-
ва (3) може бути означенням диференційовної функції в точці г0.
Означення 2. Якщо функція / і (С -> (С диференційовна в точці
ь
г0 £ О/, граничній для множини О;, то лінійна функція (£ -> (0, яка
задовольняє умову (3), називається диференціалом функ-
ції /у точці ?0 і позначається символом б// (г0). Для будь-якого И £
С (С вона набуває значення
£(Л) = ^(г0)(/і) = Г(г0)Л.	(4)
Таким чином, приріст функції /: (С (£, диференційовної в точ-
ці г0 6 О/, граничній для множини складається^ суми двох до-
данків, перший з яких є значенням диференціала (Ц (?0) при Н =
а другий є функцією виду а (г) = Аго (1), Е>а = £)/, де о (1) —
неперервна функція, значення якої в точці г0 дорівнює нулю.
Нехай V 2 Є (С £ (г) = з. Тоді V Н 6 (0 маємо
(2) (Л) = & (Л) = г'Л == Л,	(5)
тобто диференціали функції г г у будь-якій точці комплексної
площини ([) рівні між собою і позначаються через Аг.
Користуючись правилом множення функції на число, дістаємо
формулу
(г0) = Г (г0) <іг.	(6)
Дійсно, нехай й Є (£. Тоді маємо
(г0) (Л) = /' (г0) Н, Аг (Н) = Н.
Отже, гі/ (г0) (Н) = /' (г0) сіг (Н) = (/' (г0) сіг) (й).
Беручи до уваги, що похідну функції / : (С -> (С можна розгля-
дати як частку диференціалів функції та незалежної змінної, за-
писують
Ґ (*о) =	.	(7)
Г/	(ІІ
а похідну [ позначають символом —- .
Для наближеного обчислення значень диференційовної функції
з деякого 6-околу точки г0 С О/ при досить малому 6 > 0 користу-
ються наближеною формулою
Д/(г0) Дг)«^(г0)(Аг),	(8)
тобто
+ /'(г0) Дг, Дг = г —г0.	(9)
183
Усе сказане вище автоматично переноситься на функції / і К -*
Обчислимо наближено агсі§ 1,05. Тут х0 = 1, Дх = 0,05,
а агсі§ х |х=Жо = -^ = 0,025, агсі§ хв = £ « 0,7854,
Дх=0,05	2	4
агсі£ 1,05 « 0,7854 + 0,025 = 0,8104.
§ 2.	Фізичний і геометричний зміст
похідної. Теореми Ролля, Дарбу,
Лагранжа
2.1.	Фізичний зміст похідної функції з К в Щ. Нехай функція
/ : К К диференційовна в точці х0. Якщо х — час, то рівність
#	/ (х) можна розглядати як закон прямолінійного руху точки
по осі ординат. Оскільки / диференційовна в точці х0, то існує така
неперервна в ній функція <р : К -> ІК Оф = що / (х) — / (х0) =
= (х — х0) ф (х), тобто ф (х) =	х ф х0. Значення ф (х)
X — х0
можна розуміти як середню швидкість руху точки на проміжку ча-
су від х0 до х. Момент часу х0 можна уявити собі як вироджений про-
міжок [х0, х0], тобто як мить. Тому похідна ф (х0) =	(х0) назива-
ється миттєвою швидкістю або швидкістю рухомої точки в момент
часу х0.
У 1602 р. Галілей відкрив закон падіння важкого тіла на Зем-
лю. Це був перший в історії науки закон нерівномірного прямолі-
нійного руху. Математично його можна записати формулою 5 =
= -у-, де £ — стала величина, яка називається прискоренням віль-
ного падіннятхла, і — час, 5 — пройдений шлях. Обчислення швид-
8 яі	. .«
кості як частки — = “у для вказаного закону прямолінійного ру-
ху приводило до невірного результату, що примусило Барроу і
Ньютона відкрити нові правила обчислення швидкостей або флюк-
сій (за термінологією Ньютона), рівносильні правилам диференці-
ювання. Швидкість V вільно падаючого тіла обчислюється за допо-
могою похідної: V = 5 = Ч Це вказу на важливість диферен-
ціального числення для дослідження реальних процесів з нерівно-
мірно змінними величинами.
2.2.	Фізичний зміст похідної функції з Щ в (£. Нехай / : К —
(С — диференційовна в точці х0 функція. Якщо х — час, то рів-
ність г = / (х) можна розглядати як закон руху точки в комплекс-
ній площині. Множина у = {/(*)€ (0 І * Є називається тра-
єкторією руху або годографом вектора [. Швидкість руху точки є
векторною величиною (рис. 52), яку можна розкласти на складові,
паралельні координатним осям. Складова, паралельна дійсній осі,
характеризує в точці х0 швидкість зміни Ке / (х) — функції з К
1 Позначення похідної 5 використовується в механіці,
184
в (К. Згідно з попереднім пунктом, ця швидкість дорівнює
(Ке / (Х))х=х„ = Ке /' (х0).
Аналогічно друга складова вектора швидкості дорівнює
(і Іт / (х))х=х<> == і Іт /' (х0). Таким чином, швидкість рухомої
точки в момент часу х0 дорівнює Ке (' (х0) 4- і Іт /' (х0).
2.3.	Геометричний зміст похідної функції зіКв^тазІКв К.
Нехай / і К —*• (С — диференційовна в точці х0 функція. Якщо
х — час, то рівність г = ї (х) можна розглядати як закон руху точ-
ки в комплексній площині по траєкторії у з швидкістю в момент х0,
що дорівнює V = /' (х0) (див. п. 2.2). Якщо уявити собі, що в момент
часу х0 усі діючі сили зникли, то, згідно
з першим законом Ньютона, точка буде Ч .
рухатися рівномірно и прямолінійно з	’0/
ШВИДКІСТЮ V. Траєкторією уявного руху	1
є пряма, яка називається дотичною до	*
у у точці г0 = / (х0). Рівняння дотичної /
до траєкторії у має вигляд	/
г — г, = іГ (х0), і € 0?,
(1)

де і — параметр, фізичним змістом якого —-------------------
є час руху з сталою швидкістю.	0
Окремий випадок / і Щ ІК можна	Рис’ 52
ввести до розглянутого, якщо вважати
графік функції в площині хОу траєкторією руху точки за законом
2 = х + і} (х). Тоді 0=1+ іГ (х0) і Г (х0) € тангенсом кута на-
хилу дотичної до осі абсцис.
2.4.	Дотичні вектори й дотичний простір. Нехай 2 — множина
точок комплексної площини і г0 — гранична точка цієї множини.
Означення 1. Вектор ре*ф б (Л називається дотичним до
множини 2 у точці г0, якщо р 0 і існує така послідовність (гп) то-
чок множини 2, що
Ііш г* -=
(1)
и-*оо | гп— г01
Множина {р^ф | р^0} усіх дотичних векторів називається до-
тичним напрямом, <р — кутом між дотичним напря-
мом і віссю абсцис.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Нехай 20 — внутрішня точка множини 2. Довести, що будь-яке
комплексне число г £ © е дотичним вектором до множини 2 у точці г0.
Дійсно, запишемо число г у формі 2= реі(р, де р>0. Покладемо Ул £ ЇМ
гп езг0+ рд^ф. Якщо Рп->0, то гп £ 2, починаючи з деякого номера, і
Приклад 2. Нехай 2 = (а, Ь) сз 0?, х0 £ 2. Довести, що будь-яке число а £
£ К є дотичним вектором до множини (а, Ь) у точці х0.
185
Запишемо число а Е К У формі а = реа, де р >= 0 І
(	1, якщо а — х0 > 0,
еа = 1
(— 1, якщо а — х0 < 0.
Покладемо Уп £ N х = х0 + Рпеа‘ ^кш-° Рп^0» то» починаючи з деяко-
го номера, х 6 2 і
Л
Ііт-----2----— = Ііт еа = еа.
П->оо| Хц— Хо | П-*оо
Згідно з означенням, а — дотичний вектор.
Приклад 3. Нехай (а, Ь) 0? — диференційовна в точці х0 С (а, Ь) функ-
ція. Позначимо через 2 її графік, зображений на площині <0. Покладемо г0 = х0 4-
+ і/ (х0). Знайти усі дотичні вектори до множини 2 у точці г0.
Тоді
Нехай г =	+ 8 +//(х0 + 8 ), де є >0 Уп € N і е=о(1).
її	Г€	її»	И
г —г0=8 + і (і (х0 + 8 ) — / (*□)) і при п-> оо матимемо
71	71	71
гп~го
|гп-г0І
8п
Вектори і (1 + і}' (х0)) € © У / £> 0 є дотичними до множини 2 у точці г0. Інші
дотичні вектори дістанемо, якщо замінимо гп на — еп. Таким чином, усі дотичні
вектори утворюють множину Т2в2 = {/ (1 + ЇЇ' (х0)) І ї € К), що е прямою, яка
проходить через початок координат площини © паралельно дотичній прямій до
графіка функції / у точці (х0, / (х0)) — х0 4- і! (х0). Множина_Тго2 називається до-
тичним простором до множини 2 у точці г0.
Означення 2. Нехай 2 с: і г0 — гранична точка множини 2.
Множина усіх дотичних векторів до 2 у точці г0 називається д о •
шинним простором і позначається через Т,02.
2.5.	Геометричний зміст похідної функції з (С в (0. Нехай функ-
ція / і (0 (С диференційовна в точці г0 6Р/, граничній для множи-
ни Рр
Теорема. Нехай	гп^Р/г1\{г0} і гп — г0 = о(1). Якщо
2— г0
/' (го)у=О і існує Ііт -т-2-то існує
п-*оо І 2П— І
(1)
4 Беручи до уваги формулу (6), п.
Ііт /(гп)— / (*о)	..
°° І/(гп) — / (г„) І
1.1, знаходимо
гп ~ г° . І' (г0)
І г- г01 І Г (г0) |
<•»
Нехай виконано всі умови теореми. Тоді вектор е1\ дотичний до
множини Е} у точці = / (г0), називається відповідним дотичному
вектору еГф до множини Р/ у точці г0 при відображенні /, а дотичний
186
напрям {до С (С |	Л г 0} — відповідним дотичному на-
пряму { г 6 (0 | 2 = ре‘* Д р > 0}.
Формула (1) має такий геометричний змісті для того щоб дістати
вектор досить повернути вектор еіц навколо нуля на кут а £
С Аг^/' (г0). Отже, диференційовне у точці г0 відображення /’([}->
(С з Л (г0) ¥=0 зберігає кути між дотичними векторами. Такі ві-
дображення називаються конформними в точці г0.
2.6.	Теореми Ролля і Дарбу про перетворення похідної в нуль.
Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно. Якщо її почат-
кове й кінцеве положення збігаються або напрями руху в початко-
вий і кінцевий моменти часу протилежні, то вона повинна мати в
якийсь момент часу швидкість, що дорівнює нулю, тобто повинна
зупинитися. У математиці ці прості фізичні явища описуються кла-
сичними теоремами Ролля і Дарбу.
Теорема 1 (Ролля). Нехай функція / і К ІК неперервна на
сегменті [а, Ь1 і диференційовна у кожній точці інтервалу (а, Ь) Як-
що ( (а) = ( (Ь), то існує така точка £ Є (а, Ь), що (' (5) = 0.
◄ Якщо функція / стала, то твердження очевидне і за 5 можна взя-
ти будь-яку точку з інтервалу (а, Ь), Якщо функція / не стала, то
її найбільше і найменше значення (які існують за теоремою Вейєр-
штрасса) різні. Оскільки { (а) = / (&), то хоча б одного з цих зна-
чень функція / набуває в деякій точці £ 6 (я, Ь). За теоремою Ферма
(див. теорему 3, п. 1.1)/' (£) = 0. ►
Теорема 2 (Дарбу). Якщо функція / і К диференційовна
в кожній точці сегмента [а, &] і /п (а) 4 (Ь) < 0, то існує така точ-
ка І 6 (а, 6), що (|) = 0.
◄ За теоремою Вейєрштрасса функція / набуває на сегменті Іа, ЬІ
найбільшого і найменшого значень. Якщо хоча б одне з них дося*
галося в точці £ £ (а, 6), то за теоремою Ферма /' (£) = 0. Перекона-
ємося у тому, що інші випадки неможливі. Дійсно, якщо / (а) =
= іпї / (х), / (Ь) = зир / (х), то
Ііш	= р (а) > 0. Ііт	= /' (Ь)	0
х и	х~*Ь	л ц
хуа	х<Ь
і умова /„ (а)/', (Ь) < 0 не виконується. Замінюючи /на —/, дістає-
мо, що випадок /(а) = зир /(х), /(д) — іпї /(х) також немож-
ЛПВИЙ. ►
Теореми Ролля й Дарбу мають такий геометричний змісті на
графіку функції / є точка, в якій дотична до нього паралельна осі
абсцис.
З теореми Дарбу дістаємо два наслідки.
Наслідок І. Якщо функція	диференційовна на
сегменті [а, Ь\, то її похідна набуває усіх проміжних значень між
/п (а) і ?'л (Ь).
<4 Нехай а — будь-яке дійсне число, яке міститься між /'(а) і
(Ь). Розглянемо функцію ф : К К, де ф (х) = /(х) — ах, =
187
= Тоді ф'п (а) фд (&) < 0 згідно з теоремою Дарбу, існує
така точка £ £ (а, Ь)9 що ф' (£) = /'(£) — а=я 0, тобто /'(£) = а. >
Наслідок 2. Якщо функція / і П< -> К диференційовна на
сегменті [а, Ь] і \/х Є Іа, Ь] Г (х) то?* зберігав цілком певний
знак на [а, 61.
◄ Якби існували такі дві точки хА та х2 на сегменті [а, Ь], що
Ґ (хі) > 0 і / (х2) <1 0, то між ними знайшлася б така точка в
якій /' (£) = 0, а це суперечить умові /' (х) #= 0 Ух 6 Іа, Ь]. ►
2.7.	Формула Лагранжа для скінченних приростів. Однією з
найбільш важливих теорем диференціального числення є тверджен-
ня, яке належить Лагранжу. Воно пов’язує між собою поняття мит-
тєвої та середньої швидкостей зміни функції.
Теорема (Лагранжа). Нехай функція / » Н< -> К неперервна на
сегменті іа, Ь1 і диференційовна в кожній точці інтервалу (а, Ь). То-
ді існує така точка | Є (а, Ь), що
—%~їа)	(ї)
-4 Покладемо X = —	. Твердження теореми зводиться до
рівності X = /' (£), або (/ (х) — Хх)х=8| = 0. Перевіримо, що для
функції х н* / (х) — Хх, х £ [а, &], виконуються умови теореми Рол-
ля. Дійсно, вона неперервна та диференційовна в кожній точці ін-
тервалу (а, Ь) і (Ь) — КЬ) — (/ (а) — Ха) = / (Ь) — [ (а) — X (Ь —
— а) = 0, тобто набуває однакових значень у точках а та Ь, За тео-
ремою Ролля існує таке | Є (а, &), що /' (В) — X = 0. ►
Геометричний зміст теореми Лагранжа полягає у тому, що на
графіку функції / існує точка, в якій дотична паралельна хорді,
що сполучає його кінці. З фізичної точки зору ця теорема ствер-
джує, що при прямолінійному русі матеріальної точки її середня
швидкість збігається з миттєвою швидкістю в деякий момент часу.
Формулу (1) можна записати в іншій формі, враховуючи, що
0 < ^2?- < 1♦ Покладемо 0 =	. Тоді формула (1) набуває
вигляду
/(&) - /(а) = (Ь - а) Г (а + 6 (Ь - а)), 0 < 0 < 1.	(2)
Якщо звуження функції / і П< -> К на сегмент [х0, хі с: £>/ за-
довольняє умови теореми Лагранжа, то, згідно з формулою (2), ви-
конується рівність
/(х) — /(х0) = (х — х0)/' (х, 4- 0(х — х0)), 0<Є<1,	(3)
яку називають формулою Лагранжа для скінченних приростів.
2.8, Наслідок з теореми Лагранжа і його узагальнення. Якщо
функція /і задовольняє на сегменті [а, Ь] усі умови теореми
Лагранжа і т == іпї /' (х), М = зир /' (х), то з формули (1), п. 2.7,
хЄ(а.Ь)	хС(а,Ь)
дістаємо двосторонню оцінку
Ь — а	4 7
188
Узагальнимо цей результат, значно послаблюючи вимоги, які
накладаються на функцію / у теоремі Лагранжа.
Теорема. Нехай функція / і -> К неперервна на сегменті
[а, ЬІ і має похідну /п У кожній точці півінтервалу [а, Ь), за винятком
деякої його зчисленної частини X, Якщо Чх £ Іа, Ь) \ X М 0,
то І (Ь) >/ (а).
◄ Нехай (хп) — зростаюча числова послідовність, одержана в ре-
вультаті упорядкування точок зчисленної множини X. Зафіксує-
мо в >* 0 і позначимо через У = {у} множину таких точок сегмента
[а, 6], що для будь-якого х, яке задовольняє умову а х у9
виконується нерівність.
^(х)-/(а)>-е(х-а)-є £2“",	(2)
де сума в правій частині розповсюджена на множину тих індексів
п, для яких хп < х. Множина У непорожня, бо а £ У. Покажемо,
що в множину У входять числа, більші ніж а.
Якщо /'(я) існує і	т0 знайдеться таке у>а, що
Ух£[а, у] виконується нерівність /(х)— /(я)^0. Але тоді й по-
готів /(х)—	— 8 (х — а)—є 2^л для усіх х£[а, у].
хп<іх
Якщо а X, то внаслідок неперервності функції/ у точці а спра-
ва існує таке у > а, що Ух £ Іа, у] маємо
І(х) — /(«)>—— е (х — а) — е 2~п.	(3)
Отже, множині У належать і внутрішні точки сегмента [а, 6].
Оскільки множина У обмежена зверху числом х = Ь, то існує
зир У = с ^.Ь. Доведемо спочатку, що с $ У. З означення верх-
ньої межі випливає, що Ух < с існує таке у’ Є У, яке задовольняє
нерівності х < у' с, тобто для кожного х<св множині У знай-
деться число, більше ніж х. А тоді для кожного такого х нерівність
(2) виконується згідно з означенням множини У. Якщо при цьому
в правій частині нерівності (2) замість х узяти с, то нерівність лише
ПОСИЛИТЬСЯ!
/(х)— На)^ — 8(с— а)—8 У 2*п, х<с.
«п<»
(4)
Скористаємося неперервністю функції / і перейдемо до границі в
нерівності (4) при х -> с. Дістанемо оцінку
/(с)~/(а)> —е(с — а) — е £ 2~”\	(5)
*п<с
в якої випливає, ЩО С 6 У. Доведемо, що с ® Ь. Припустимо су-
противне, що с<Ь і нехай с£Х. Тоді існує /п і знайдеться
таке у, що с < у Ь9 а для кожного х 6 у\ виконуватиметься
189
нерівність
/4%) —/(с)> —е(х —с).	(6)
Додаючи нерівності (5) та (6), дістаємо оцінки
((х) — І (а) ==> — е (х — а) — 8 У 2"*"	— в (х — а) —
*п<°
£.2Л	(7)
з яких випливає, що існує таке у £ У, яке задовольняє нерівність
у > с, А це суперечить тому, що с — зир У.
Нехай с = хк для деякого к 6 Оскільки функція / неперервна
в точці хк, то існує таке у. що с < у Ь і Ух 6 у\ виконується
нерівність
(8)
4м
Додаючи нерівності (5) і (8), дістаємо оцінки
ї(х)— /(а)^>— є(с — а) — 8 V 2~п~^— г(х— а) — в У 2“п,
хп<х	хп<*
(9)
з яких також випливає, що існує у Є У, яке задовольняє нерівність
у > с, а це суперечить тому, що с = зир У. Таким чином, припу-
щення, що с < Ь, невірне і тому с = Ь, У = [а, 61. Отже, викону-
ються нерівності
/(6) — /(а)^> — е (Ь — а) — е 2^п	— в (Ь — а) — е. (10)
хп<ь
Внаслідок довільності вибору е>Оз оцінки (10) випливає, що
/ (Ь) > І (а). ►
Наслідок 1. Нехай функція } і ІЦ -> К неперервна на сег-
менті [а, Ь\ і має скінченну похідну /п У кожній точці півінтервалу
їй, Ь), за винятком деякої його зчисленної частини X. Тоді викону-
ються нерівності
(1І)
Ь — а	9	х 7
де т= іпі Л^х), М— 5иР №•
х£[а,Ь)\Х	хЄ[аіЬ)\Х
4 Утворимо функції [а, Ь] —- К, їй, ЬІ — -> К, де ер (х) — Мх —»
— / 00, Ф (*) = / (*) — Вони задовольняють усі вимоги теоре-
ми, внаслідок чого
<р(&)>Ф(й), ф(&)>ф(й).	(12)
Оцінка ер (Ь) ер (а) рівносильна правій частині нерівності (11),
а оцінка ф(6)^^(а) рівносильна її лівій частині. ►
190
Наслідок 2. Якщо функція / : К -> К неперервна на сег-
менті [д, Ь] і існує /п = 0 в усіх точках півінтереалу [а, 6), за ви-
нятком деякої його зчисленної частини X, то ї (х) = / (а) — { (Ь)
для усіх а х Ь.
◄ Твердження випливає з наслідку 1, оскільки т = М = 0. ►
Наслідок 3. Якщо функції / з К -> ІК, £ і К К непе-
рервні на сегменті [а, і існують скінченні похідні /п, §п в усіх точ-
ках півінтервалу [а, Ь), за винятком деякої його зчисленної частини
X, і в точках існування = £п> 7720 функції ї та § відрізняються в
кожній точці сегмента [а, Ь] на одне й те саме стале число.
◄	Застосовуючи наслідок 2 до різниці }— дістаємо, що Ух $
£ \а, Ь\ виконується рівність / (х) — § (х) = с — ? (а) — § (а). ►
Наслідок 4. Якщо при виконанні усіх умов теореми хоча б
в одній точці х С їщ Ь) виконується нерівність /п (х) > то} (Ь) >
> І (а).
◄	Якщо х= й, то твердження очевидне. Нехай /п (х) > 0, х 6 (щ &),
Розглянемо сегмент [а, х]. Звуження функції / на цей сегмент також
задовольняє усі умови теореми, тому / (х)	/ (а). Крім того, з умо-
ви (х) > 0 випливає, що існує таке у 6 (х, &), що / (у) — / (х) > 0,
тобто / (у) > / (х). Застосувавши теорему для звуження функції
/ на сегмент |7/, Ь], дістанемо нерівність /(&):>/ (у). У результаті
маємо нерівності / (Ь)	/ (у) > / (х)	/ (а), /(£)>*/ (а). ►
Наслідок 5. Нехай функція { неперервна на сегменті [а, Ь],
мав похідну /и в усіх точках півінтервалу [а, Ь), за винятком деякої
його зчисленної частини X. Для того щоб функція і не спадала на
сегменті [а, 6], необхідно й достатньо, щоб нерівність /п (х)	0
виконувалась у кожній точці півінтервалу [а, Ь), не належній мно-
жині X Для того щоб функція і зростала на сегменті [а, ЬІ, необ-
хідно й достатньо, щоб виконувалась попередня умова і щоб множи-
на тих точок, в яких /п (х) > 0, була, скрізь щільною на сегменті
Я
◄ Необхідність. Нехай функція / неспадна на сегменті [а, і
х X — довільна точка інтервалу (а, Я Із існування /п (х) ви-
пливає, що
/' (х) = І Іт ^(у) -1 (х) > 0, бо Ж.~1 (х) > 0.
п у^х и~х	у~х
//>Х
Якщо припустити, що / зростає на сегменті [а, 61 і множина тих то-
чок х, в яких /п (х) > 0 не є скрізь щільною на Іа, 6), то знайдеться
така пара точок хг £ [а, 6), х2 £[а, Я х^ <С х2, що в усіх точках х
інтервалу (хь х2), які не належать множині X, виконуватиметься
рівність /п (х) = 0. А це означатиме, що /(х2) = / (хх) всупереч при-
пущенню про зростання функції Д
Достатність. Нехай Ух X /п (х)	0 і множина тих точок
х, в яких /п (х) > 0, скрізь щільна на сегменті [а, Ь\. Тоді між будь-
якою парою точок хх £ [а, Ь], х2 £ [а, Я хх < х2, знайдеться така
191
точка х, що £ (х) > 0. Застосувавши наслідок 4 до звуження
/|[ЛЬХ2], дістанемо нерівність / (х2) > / (хх). Якщо ж у кожній точ-
ці х існування похідної /п на будь-якому сегменті [х£, х2] с: Іа, 6)
виконується нерівність /п (х) > 0, то / (х2)	/ (хх), тобто функція
( неспадна на сегменті [а, 6]. ►
Зауважимо, що в умовах теореми замість півінтервалу [а, Ь) мо-
жна взяти півінтервал (а, 6], а замість правої похідної — ліву
похідну /л- Твердження та наслідки з нього залишаться правиль-
ними і у випадку, коли функція / диференційовна в кожній точці
сегмента [а, 6], за винятком деякої його зчисленної частини X,
бо в цьому випадку
Ух€(а,&)\Х	(х) =(х) =/'(*)•
Для ілюстрації застосування наслідку 5 проведемо досліджен-
ня функції на монотонність. Нехай ( (х) = х + | зіп х |, Р/ ==
Функція / диференційовна Ух £ 1К \ X, де X = {хй £ К | хй =
= к Є і при цьому (х) = 1 4~ 5§п (зіп х) соз х. Оскільки
в точках існування виконується умова /' (х)	0, причому мно-
жина тих точок х, в яких (х) >» 0 скрізь щільна на то функція
/ зростає на будь-якому сегменті числової прямої
2.9.	Узагальнена формула для скінченних приростів.
Теорема (Коші). Нехай функції / : К ІК, § і К -> Щ, непе-
рервні на сегменті [а, Ь] і диференційовні на інтервалі (а, Ь). Тоді
існує така точка І € (а, Ь), що
(/(&)-/ (а)) ®	(&) - § (а)) Г (|).	(1)
◄	Розглянемо функцію Р ! К -> де
Г(х) = (/(&)—/(а)) ^(х) —(£(&) — £ (а))/(х).
Функція Р диференційовна на інтервалі (а, Ь) і, крім того, вона не-
перервна на сегменті [а, Ь], причому Р (а) = Р (Ь).
Застосувавши теорему Ролля, дістанемо формулу (1). ►
Наслідок 1. Якщо крім сформульованих у теоремі Коші
умов виконуються ще й умови (&' (х))2 + (/' (х))2	0 Ух Є (а, і),
£ (а) #= £ (&), формулу (1) можна записати у вигляді
Г (£)
(£)’
&Є(а, Ь).
(2)
◄	Якщо Г (5) #= 0, то з умови £ (а) #= £ (&) випливає, що права
частина в формулі (1) відмінна від нуля, внаслідок чого й ліва її
частина відмінна від нуля, тобто (|) =И= 0, і формулу (1) можна за-
писати у вигляді (2).
Якщо ж Г (£) = 0, то §' (£) #= 0 (внаслідок умови (£' (5))2 +
+ (Г (£))2 ф 0), і оскільки £ (а)	§ (6), то з формули (1) випливає
рівність (2). ►
Наприклад, для функцій / (х) = х2, £ (х) = х3, Р^ = Ре = І—1,
II, умова (£' (х))2 + (/' (х))2 =И= 0 порушується в точці х = 0. Для
цього випадку формула (2) не справджується, в чому легко пере-
конатися.
192
Наслідок 2. Якщо при виконанні умов теореми Коші ви-
конується ще й умова (х) =/= 0 \/х £ (а> Ь)9 то справджується фор-
мула (2).
◄ Якщо Ух 6 (а, Ь) (х) =/= 0, то, згідно з теоремою Дарбу,
зберігає цілком певний знак на інтервалі (а, Ь). Тоді за наслідком
5 в теореми п. 2.8 функція § строго монотонна на сегменті [а, &],
тобто § (а) =£ § (6), і формула (2) має смисл. ►
І
2.10.	Точки розриву похідної. Розглянемо функцію Ш—►!!<» де
Нх) =
х2 зіп — , якщо х £ О?\{0},
0, якщо х = 0.
Вона неперервна і диференційовна в кожній точці числової прямої
К. Дійсно,
К (0) = Іігп = Ііт х зіп — = 0,
х-*0 х	*
К (х) = 2х зіп —-------соз —,
X	X
якщо х£[Р\{0}. Оскільки Ііт2хзіп— = 0, а Іітсоз— не існує,
х	х-+0 х
то функція /' не має границі в точці х = 0 і має розрив другого
роду в цій точці. Таким чином, якщо функція / диференційовна
в точці х0, то з існування похідної /'(х0) не випливає, що
Ііт /' (х) — К (*•)• Наша мета — встановити характер точок розри-
ву похідної диферент* йовної функції. Наступне твердження дає
змогу досягти цієї мети.
Теорема 1. Нехай функція / : Щ -> Ш неперервна в деякому око-
лі Об (х0) « (Хл — 6, х0 + 6), диференційовна в кожній точці х £
Є Ол (х0) \ {х0} і існує Ііт Г » а, а £ К. Тоді функція [ дифе-
ренційовна в точці х0 і К (х0) = а.
Візьмемо будь-яке х С Об (х0) \ {х0} і застосуємо теорему Лаг-
рапжа до функції / на сегменті [х0, х] (якщо х0<х), або на сегменті
їх, х0] (якщо х < х0). У кожному з цих випадків маємо
д./7х, + 0(х-хо)). О<0<1.
За умовою теореми існує ііт ~	= а = /* (хв). >>
Х->Х0 Х Х'і
Теорема 2 (про характер точок розриву похідної диференційов-
ної функції). Якщо функція / : К К диференційовна на інтервалі
(а, 6), то її похідна не може мати на (а, Ь) усувних розривів, а
також розривів першого роду.
◄ Нехай функція / диференційовна на інтервалі Ь), а її похідна
К розривна в точці х0 £ (а, Ь). Припустимо, що х0— точка усувного
розриву функції Д Тоді, згідно з означенням точки усувного роз-
риву, існує Ііт К (х) = а, а 6 Ж, причому а =/= Г (х0). За теоремою
Х-^Х0
1 маємо У (х0) = а, що суперечить припущенню.
7 1—2914
193
Якщо припустити, що похідна/' має розрив першого роду в точці
х0, то дістанемо, що /' (хв—0) £ К, /' (х0+°) € К і /' (х0—0)=/=/' (хо+О).
А це означає, що }'л (х0) =/= (х0), оскільки, згідно з теоремою 1,
/'(хЛ — 0) =(х0), Г(хо + 0) = /'(х0). Дістали суперечність з
припущенням, що функція / диференційовна в точці х0 (див. тео-
рему п. 1.4). ►
Таким чином, якщо функція / диференційовна на інтервалі (а, й),
то її похідна може мати на (а, Ь) лише розриви другого роду.
Корисно запам’ятати, що
(існує Ііт /' (X))2(існує /' (х0)).
2.11.	Нерівність Лагранжа. Чи справджуються теореми Ролля,
Дарбу і Лагранжа для функцій виду / і П< (С? Фізичне тлумачен-
ня похідної як швидкості руху матеріальної точки в площині дає
змогу відповісти на поставлене запитання. Рухаючись на площи-
ні, матеріальна точка може повернутися у початкове положення
без зупинки в якийсь момент часу, і в цьому полягає одна з прин-
ципових відмінностей рухів на площині і на прямій. Нехай мате-
ріальна точка обертається навколо нерухомої осі. Цей фізичний
процес описується функцією / : К (С, де / (х) = еіх, = [0, 2лІ.
Маємо / (0) *= / (2л), однак Ух £ Ю, 2л]	(х) = іеіх Ф 0. Тому
існують такі функції / : К -> (0, для яких твердження теорем Рол-
ля й Лагранжа невірні.
Теорема Дарбу базується на тому факті, що при прямолінійно-
му русі матеріальної точки для зміни його напряму на протилеж-
ний вимагається, щоб швидкість в якийсь момент часу стала рів-
ною нулю. Якщо ж матеріальна точка рухається на площині, то во-
на може змінити напрям руху на протилежний, маючи в кожний
момент часу ненульову швидкість Наприклад, рух точки по пів-
колу описується функцією / : К С, де / (х) = іе1\ = [0, л].
Вектори швидкості Г (0) та /' (л) протилежно напрямлені, однак
вектор Г (х) ненульовий в будь-якій ТОЧЦІ X £ [0, л]. Отже, твер-
дження теореми Дарбу для функцій з К в (С невірне.
Фізичне тлумачення похідної вказує правильний аналог тео-
реми Лагранжа для функцій / ї ІК -> (£• Якщо / (а) — початкове по-
ложення матеріальної точки і її швидкість за модулем не переви-
щує числа V = Ц /' Ц, то за час і = Ь — а вона не може потрапити
поза межі кола у =	6 (0 11 ш / (а) | = (Ь — а)}, що відпо-
відає важливій нерівності Лагранжа
\НЬ)-На)\^[\Г\\(Ь-а).	(1)
Теорема (Лагранжа). Нехай функція 1а, Ь] неперервна і ди-
ференційовна в кожній точці інтервалу (а, й), || /' || = зир | /' (х) |.
хЄ(а.Ь)
Тоді виконується нерівність (1).
Нехай фЄАг£(ИЬ) — /(а))- Тоді
І / <Ь) - {(а) | = є-'” (/ (6) - / (а)) = {е-^ї) (&) - (е-^/) (а).	(2)
194
Покладемо V* £ [а, Ь1 е~‘9[ (х) = и (х) + іу(х). Маємо
| / (Ь) — / (а) | = (и (Ь) + іу (Ь)) — (и (а) + іу (а)) «
= и(Ь) — и(а) + і (у (Ь) — у (а)).
Початок ланцюжка рівностей показує, що його кінець є дійсним
числом. Тому у (Ь) — у (а) = 0. За теоремою Лагранжа для функції
и існує така точка 5 € (а, Ь), що
|/(6)-/(а)|-и'а)(Ь-а)<ІГа)|(6-а)<||ГЦ(&-а). ►
Вправи
І.	Відомо, що коли сила струму і в провіднику стала* то / = -2., де 0 — кіль*
кість електрики, що пройшла через провідник за час Дати означення сили стру*
му в загальному випадку, коли 0 е функцією часу
2.	Відомо, що коли питома теплоємність речовини д стала, то д = —, де ф —
кількість теплоти, необхідна для підвищення температури одиниці маси речовини
на І одиниць температури. Дати означення питомої теплоємності речовини у ви-
падку, коли вона залежить тільки від температури.
3.	Якщо точка рухається прямолінійно з сталим прискоренням, що дорівнює
V —
а, то а  —і , де о — швидкість в момент часу <* р0 — швидкість в момент часу
і  0. Дати означення прискорення, якщо ВІДОМО ШВИДКІСТЬ V як функцію від
чоу и
4.	) Вважаючи, що (у " вгай х) <=> (де — зЬ у) V х Є К, знайти (аг$Ь х)\
А. і Іохмй функція К К мав неперервну похідну І V (х £ К, /і Є К) справд-
жує і ьси готожність І (х 4- А) — ( (х) аз Ьг (х). Довести, що / (х) = ах + Ь, де а
та Ь — сталі.
0. Донести нерівності:
а)	І піп х — віп у | < | х — у | V (х € 0?, Є О?);
б)	І агсіп о — згсіс Н < | а — 6 | V (а £ К, Ь £ К),
7.	Нехай функція / : Ік 0? має неперервну похідну в кожній точці інтер*
вялу (а» Ь). Чи можна V & Є (а, Ь) вказати такі дві інші точки х^ та ха з цього ін*
тервалу, що
їм-їм
*1
8.	Довести, що коли функція (а, б] —►|К неперервна й диференційовна в кож-
ній точці інтервалу (а, Ь), але не е лінійною, то існує така точка £ Є (а, Ь), що
ІР (?) І >
/ (») - Г (о)
Ь —а
2.	12. Похідна функції, заданої параметрично. Нехай функція
і К -* К задана параметрично)
*==ф(0» У = Ф(О. а<і<Ь,
Припустимо, що V/ € (а, Ь) існують похідні ф' (ї) та ф' (/), при-
чому ф' (0 Ф 0. Тоді функція ф строго монотонна на інтервалі (а Ь)
і існує обернена функція сф----► (а, 6), яка має похідну і' (х) —
= А,. . Композиція / = феф*"1 має похідну У і < (а, Ь), яка обчи-
ф ц)
слюється за формулою *
Г (х>= (1|/ о ф-1) (х) (ф-1)' (X) =	, X = ф (0.
, Обчислимо, наприклад, похідну функції / : 1К ІК, задану па-
раметрично рівняннями
х = а (і — зіп і), у = а (1 — соз і), 0 < / < 2л,. а £ К, а #= 0.
Застосовуючи'одержану формулу, знайдемо
г/ / ч у (і) а зіп і	. і	,,	. ..
І ~ «По ~ а (І— соз 0 ~ Т ’ х — а(і — зіп 0,
0 < / < 2л.
і	і .
§ 3.	Інтеграл Ньютона—Лейбніца
Інтеграл —одне з центральних понять математичного аналізу
й усієї математики.
В одному з своїх ранніх творів «Про квадратуру параболи» Архі-
мед розробив метод обчислення площі параболічного сегмента,
який через два тисячоліття послужив основою першого в історії ма-
тематики коректного означення інтеграла від неперервної функції,
запропонованого Коші в 1823 р. Подальші узагальнення інтеграла,
вказані Ріманом в 1853 р. і Дарбу в 1879 р., також грунтувалися на
ідеях Архімеда, розвиток яких було завершено Жорданом в 1892 р.
Нова ідея виміру площ та об’ємів була висловлена Борелем в
1898 р. і використана Лебегом для побудови сучасної теорії інте-
грала.
Протягом значного проміжку часу, від Ньютона і Лейбніца до
Коші, операція диференціювання була основною в математичному
аналізі, а інтегруванню відводили, як правило, другорядну роль —
оберненої операції. Ідеї Архімеда правили лише за основу для впев-
неності в існуванні похідної, а питанню існування первісної в той
час математики не надавали особливого значення.
Інтеграл Ньютона — Лейбніца, який запроваджується до роз-
гляду, заміняє собою невизначений інтеграл, теорія якого подаєть-
ся в усіх сучасних підручниках з математичного аналізу. Тради-
ційно невизначений інтеграл вивчають лише з точки зору правил
та техніки його обчислення, не займаючись застосуваннями.
У цій книзі основна увага приділяється застосуванням інте-
грала Ньютона — Лейбніца до розв’язування задач диференціаль-
ного числення. Дістати ті самі результати шляхом застосування ін-
теграла Рімана або Лебега не можна.
Необхідні й достатні умови існування інтеграла Ньютона —
Лейбніца одержав Лебег х. Ми обмежимося лише доведенням інте-
гровності неперервної функції. У ч. II буде проведено порівняння
усіх згаданих інтегралів.
1 Л ебег А, Интегрирование и отшскание примитивньїх функций.— М, ;
Л., 1934,
196
3.1.	Первісна.
Означення 1, Нехай і (Б І множина О} не мав ізольованих
точок. Функція Р : (Б ->(0 називається первісною функції
якщо Ор = £)/ і \/г 6 О/ Р' (г) = / (г).
Нехай Р — первісна функції /. Оскільки У(з 6 Р/, С Є (0) ви-
конується рівність (Р + СУ (г) = Р‘ (г), то Р + С також є первіс-
ною функції /. Тому первісна визначена неоднозначно і спеціаль-
ного позначення не має.
Лейбніц вважав конче потрібним створення універсальної мови
символів (позначень), в якій усяка назва або знак правлять за ключ
від усіх властивостей позначуваного поняття. Вирази йу і сіх він
називав диференціалами у та х (не даючи їм точного означення), а
сій	.	.....
частку — похідною у як функції від х.
Якщо Р — довільна первісна функції то за означенням 1 ма-
ємо Р' == /. Отже, в позначеннях Лейбніца = і (х), ЛР = / (х) гіх.
Він запропонував позначати через £ / (х) сіх довільну первісну функ-
ції /, розглядаючи символи сі і £ як позначення взаємно обернених
операцій, тобто сі ( С / (х) сіх} == / (х) сіх.
На відміну від лейбиіпа, Ньютон не приділяв особливої уваги
позначенням І розглядав Інтегрування не як операцію, а як задачу
•находження флюенти, знаючи флюксію (тобто розв’язування рів-
няння х [ (/)). Тому в нього відсутні позначення і назва для ін-
теграла. Може Ньютон вважав неприпустимим давати назву й при-
своювати символ тому, що визначається неоднозначно.
Згодом інтеграл Лейбніца ^[(х)сІх назвали невизначеним на від-
міну від Інтегралів Рімана, Дарбу, Лебега й інших, які називають-
ся визначеними.
У сучасних підручниках з математичного аналізу невизначений
інтеграл розуміють по-різному: як довільну первісну або як мно-
жину усіх первісних підінтегральної функції. Перша точка зору
не витримує критики через неоднозначність визначення первісної.
У другому випадку позначення стає коректним, але операції над
невизначеними Інтегралами ускладнюються: вони стають операці-
ями над множинами. Нарешті, часто в процесі міркувань з неви-
значеним Інтегралом поводяться як з довільною первісною, хоч фор-
мально розуміють його як множину усіх первісних.
Дослідимо характер неоднозначності первісної.
Означення 2. Нехай <р і К -> (Б, РФ в І а, Ь]. Множина нази-
вається гладким шляхом (або гладкою траєкто-
рією), якщо функція <р неперервна і V і £ (а, Ь) існує ф' (і). Якщо
«»і = ф (а), ^2 - Ф (Ь), то кажуть, що гладкий шлях сполучав точ-
ки і а>8. Функція фназивається параметричним зоб-
раженням гладкої траєкторії (або шляху).
Означення 3. Нехай Ф : П< (С,	== (я, Н Множина нази-
вається кусково-гладким шляхом (або кусково-
197
гладкою траєкторією), якщо функція ф неперервна і
ф' (/) існує скрізь, крім, можливо, скінченної множини точок.
Функція ф називається параметричним зображенням кусково-
гладкого шляху. Якщо Еч с 2, то кажуть, що гладкий (кусково-
гладкий) шлях лежить в множині 2 або міститься в ній.
Означення 4. Множина 2 (Сназивається лінійно-зв'яз-
н о ю, якщо для будь-яких точок £ 2, г2 £ 2 існує кусково-гладкий
шлях, який сполучає їх і лежить в множині 2.
Наприклад, будь-який проміжок числової прямої К (інтервал,
сегмент, півінтервал) є лінійно-зв’язною множиною.
Теорема 1. Нехай /:(£->(£ і Вї — лінійно-зв'язна множина,
яка містить більш ніж одну точку. Якщо V г £0^	(?) = 0, то
функція ( стала.
<4 Нехай £ Д>, ?2 £ Д^. За означенням лінійно-зв’язної множини
існує кусково-гладкий шлях, який сполучає точки г2 і лежить в
множині Д>. Отже, знайдеться така неперервна функція [а, Ь} — -»Д^,
що ф (а) = г19 ф (Ь) = г2 і ф' (і) існує скрізь, крім, можливо,
скінченної множини точок. Якщо такі точки є, то занумеруємо їх
в порядку зростання /0 = а < 4 <...< іп = Ь. Згідно з нерівніс-
тю Лагранжа (див. п. 2.11), маємо
І ° ф) ('ь) - (/ • ф) І < II Гф' II & - ^->) = 0 (* = М).
Таким чином, (/ о Ф) (/0) = / (21) = (/ о ф) (/п) = / (г2). >
Теорема 2. Нехай Рг і Рг — первісні функції { ! визна-
ченої на лінійно-зв'язній множині, яка містить більш як одну точ-
ку. Тоді існує така стала С Є (0, «р V г Є Д/ виконується рівність
Р2 (г) = Рг (г) + С.
<4 Розглянемо функцію Р = Р2 — Р1Г Оскільки V г Є Д^ Р' (г) =
= Р2 (г) — Р\ (?) = 0, то, згідно з теоремою 1, функція Р стала. >
3.2.	Таблиця первісних. Складемо таблицю первісних, користу-
ючись формулами для похідних з § 1 (у ній вказано значення функ-
цій, областями визначення яких Д| можуть бути довільні лінійно-
зв’язні множини, які містять більш ніж одну точку):
Значення функції в ТОЧЦІ 2 Є © або х € О?	Значення пере існої	Значення функції в точці 2 Є © або х € [Р	Значення первісної
/Ж -Ц-г- п + 1	8ІП 2	— СОЗ 2
, О' Ф ©	ІП 2 £ *	СОЗ 2	ЗІП 2
є*	#	і .2	— сіб « ЗІП 2
а\а^1,а^	1па‘	2 СО8 2
198
Зйачення функції
в точці г € С
або к € ІК
Значення
первісної
Значення функції
в точці г € С
або г € ІЙ
Значення
первісної
СЬ 2
агсІ£ х,
—агссіе *
2
І
8Ь1 2 з 2
1
СЬ? 2
111 2
3.3. Інтеграл Ньютона—Лейбніца.
Означення. Нехай / < (0 -> (С і О і — лінійно-зв'язна множина,
яка містить більш ніж одну точку. Функція [ називається і н т е-
гровною в розумінні Ньютона—Лейбніца,
якщо вона мав первісну. При цьому V а £ О?
і пе|
ріг)-р(О^)~(Л(а)-0А Р' (г) = / (?)). (1)
а
Функція Р в (1) називається інтегралом Ньютона — Лейбніца
з фіксованою нижньою межею інтегрування а і змінною верхньою
межею. Її значення Р(Ь) називається визначеним інтегралом
ь
Ньютона —Лейбніца і позначається /(£) де С — змінна інше-
а
грування, від вибору якої величина інтеграла не залежить, тобто
ь	ь	>
^ /(£)(%, — (/і (и)<іи = Г / (ш) (іо) = ....
а	а	а
х
Запис ^(х)йх не має смислу, оскільки літера х використана
для позначення верхньої межі інтегрування. Літера, яка викорис-
тана для позначення змінної інтегрування, не вважається зайня-
ь
тою. Наприклад, в інтегралі £ / (х) сіх літера х не вважається за-
а
йнятою в позначеннях і ми можемо вибрати її змінною інтегрування
в інших інтегралах)
0	Ь
§ ф (X) (ІХ, ( ф (X) (їх і т. д.
а	а
199
Позначення р(х)4х запропонував Ж. Фур’є (1768— 1830) замість
а
позначення р(х)йх|£і2, яке вживав Ейлер.
Теорема 1 (формула Ньютона — Лейбніца). Нехай / і (С -* (С,
О} — лінійно-зв'язна множина, яка містить більш, ніж одну точку.
Якщо функція ї інтегровна у розумінні Ньютона — Лейбніца і Ф —
ь
її первісна, то V (а і, Ь інтеграл ( [ (?) існує, визнане-
а
ний однозначно і виконується рівність
ь
- Ф (а) = Ф (?) |£=6,
(2)
а
яка називається формулою Ньютона — Лейбніца.
◄ Покладемо V г £ Д/ Р (?) = Ф (г) — Ф (а). Тоді Р (а) — 0 і
V г £ й) виконуються рівності Р' (г) = Ф' (г) = І (з). Згідно з
означенням, маємо
0
р (?) гі? = ЛЬ) = ф (&) - ф (а).
а
Переконаємося в тому, що інтеграл визначений однозначно. Нехай
р(?)4?-Ф(Ь), Т(а) = 0 і	Ч'(г) =
а
За теоремою 2, п. 3.1, існує така стала С £ (£, що Уг £ Т (?) =
= Р (г) + С. Покладаючи г = а, дістаємо, що С == 0. Отже,
Т (Ь) = Р (Ь), тобто інтеграл визначений однозначно. ►
Теорема 2. Нехай /:(£->(£ і — лінійно-зв'язна множина,
яка містить більш ніж одну точку, Якщо функція / інтегровна в
розумінні Ньютона — Лейбніца, то виконуються рівності
р (г) йг = — р (г) дг V	(3)
а	Ь
Ь	о	Ь
р(2)йг — ^(г)йг + р(г)йг V (а£Нь с^іїї), (4)
а	а	Ь
г
(р(?)</?)'=/(*) У(а€Ду, г€ДД	(5)
а
Ь
(р(?)^?)'=-/(г) У(гЄО/, *€£/)•	(6)
2
200
Ч Нехай Ф — первісна функції /. Згідно з формулою Ньютона —
Лейбніца (2), маємо
Ь	а
(І(з)Лг = Ф(Ь) — Ф(а) = —(Ф(а)— Ф(6)) — — (Цг)сІг,
а	Ь
Ь
О(г)аг — Ф (Ь) — Ф (а) = Ф (Ь) — Ф (с) + Ф (с) — Ф (а) =
а
Ь	с
= у /(г)гіг + С /(з) <іг,
с	а
(у / (О <£)' = (Ф (з) - Ф (а))' = Ф' (з) = / (з),
а
(У / (О &)' = (ф (Ь) - Ф (з))' = - Ф' (з) = - Цг). ►
г
Рівність (3) виражає правило перестановки меж інтегрування,
рівність (4) — адитивність інтеграла відносно меж інтегрування,
формули (5), (6) є правилами диференціювання інтеграла по верх-
ній і нижній межах інтегрування.
3.4.	Лінійність інтеграла. Заміна змінної і формула інтегру-
вання частинами.
Теорема 1 (про лінійність Інтеграла). Нехай 7. — лінійно-зв’яз-
на множина, яка містить більш ніж одну точку. Якщо функції
/ : (Б -► (Б> 8 : (Б -+• (Б,	— 7, інтегровні в розумінні Нью-
тона — Лейбніца 4 % Є (Б, н’Є (Б» то функція X? 4- у-8 також інтег-
ровна і виконується рівність
ь	ь	ь
У (М 4- НЯ)Лг = X ^(г)йг 4- р ^8(г)дг,	(1)
а	а	а
якими б не були а £ О/, Ь £
Нехай Р і 0 — первісні функцій / та 8- Тоді
(ХР + рО)' (з) — ХР' (з) + рО' (з) = Х}(г) + ря(г).
Отже, функція Х[ -|- м має первісну і за означенням Інтегровна в
розумінні Ньютона — Лейбніца. Нехай
2	2
Г(з)=у/(0С О(з) = у £(£)<.
а	а
Тоді (ХР + цО)(а) = 0 і за означенням інтеграла дістаємо
ь

+ Р£) (?)	+ рС) (Ь) = ХР (Ь) 4- рО (&) =
а
201
Теорема 2 (про заміну змінної). Нехай! • (С (С> Ф * (0 С/
2 = £Роф —лінійно-зв'язна множина, яка містить більш ніж одну
точку. Якщо функція <р диференційовна в кожній точці г £2, а
функція ! |Ф(г) інтегровна в розумінні Ньютона — Лейбніца, то
функція <р7 також інтегровна і \/(а^2, Ь£2) виконуєть-
ся рівність
Ь	Ф(д)
р(ф(2))ф'(2)^ =	(2)
а	Ф(а)
<4 Нехай Р—первісна функції /|ф(2), а Є 2, &£2 і Г(ф(а)) = 0.
Оскільки \/г£2 виконуються рівності
(Г о <р)' (г) = Р' (ф (2)) ф' (2) = / (Ф (г)) ф' (г) «((/ о ф) ф') (2),
то функція (/ р ф) ф' інтегровна в розумінні Ньютона — Лейбніца
і за означенням інтеграла виконується рівність
ь	Ф(Ь)
р(ф(г))ф'(*Мг = Лф(Ь))= р(ОС ►
а	Ф(а)
Теорема 3 (про інтегрування частинами). Нехай / і (С
§ і (0	(Б, О/ =	= 2 — лінійно-зв'язна множина, яка містить
більш ніж одну точку. Якщо функції { і § диференційовні в кож-
ній точці множини 2 і функція інтегровна в розумінні Ньюто-
на — Лейбніца, то функція також інтегровна і \/ (а £ 2,	2)
виконується рівність
ь	ь
ї (г) §' (г) д.2 = / (2) § (г)	~ р (г) Є (г) <іг, (3)
а	а
яка називається формулою інтегрування части-
◄ Оскільки V 2 є 2 (/£)' (г) = /' (г) § (г) 4- / (г)	(г), то =
= (!§)' — За означенням функція (?§)' інтегровна в розумінні
Ньютона — Лейбніца. Згідно з властивістю лінійності інтеграла,
функція також інтегровна за Ньютоном — Лейбніцем і
Ь	Ь	й
(г)сіг =
а	а	а
= ї (Ь) § (Ь) — Ка) § (а) — р' (2) § (г) йг. ►
а
Розглянемо приклади.
\ (І§У (г) Лг— р' (г) § (г) йг =
Приклад 1. Обчислити / = І х (1 — х)91 сіх.
202
Покладемо в інтегралі х = 1 — і. Тоді 4х = — Л, і = 1 — х і
0	і	і
/ = у (1 — і) (— і) си = С	/88^ =
1	о	о
і	по 1=}	1	Г=1	1	І і
“ 98	1 /==0	99	,=0 -	98	99	“ 9702	’
я8
Приклад 2. Обчислити 1 = х зіп хсіх.
о
Замінимо змінну, покладаючи Кх = /, і застосуємо формулу інтегрування
частинами. Тоді х = /2, дх = 2141 і
я	я
І = 2 /8 зіп 141 = 2 С ґ3 (— соз іу сіі =
0	о
я	л
= 2 (— соз 0	+ 3 р8 с08 М) = 2я# + 6 р8 (зіп ()' 4і =
о	о
Я
= 2л8 + 6 зіп І |;Хо — 2 У / зіп І4і) =
о
я	я
мв 2л® — 12 І (— соз іу 41 = 2л8 — 12 (— і соз і) |£” +	соз 141) =
= 2л8 — 12л — 12 зіп І |£о = 2л (** “ 6).
і
Приклад 3. Обчислити І = (г — і) е~г4г.
о
Підінтегральна функція визначена на площині ©, яка е лінійно-зв'язною мно-
жиною. Застосувавши формулу інтегрування частинами, дістанемо
і
І = (2 — 0 Є“2 І2”® 4- У Є~24ї = — І + е“2 \2^ =>
о
 — /4-1 —С"1  — /4“ 1 — (СОЗ 1 — І ЗІП 1) == І — СОЗ і 4“ І (зіп 1 — 1).
§ 4. Диференціювання та інтегрування
границі послідовності функцій
і суми функціонального ряду
У багатьох випадках функції задають у вигляді границі функ-
ціональної послідовності або суми функціонального ряду, у зв’яз-
ку з чим виникає потреба вміти їх диференціювати й інтегрувати.
4.1. Одностайна неперервність та одностайна диференційов-
ність функціональної послідовності в точці.
Означення 1. Множина функцій 9Л = {/}, / : (С (0, О/ = 7,
називається одностайно неперервною в точці г0 £ 2,
203
якщо
Ув>0 96>0:У(/ЄЯП, г£2) (|г — г0|<б)=>
=* (І / (г) — / (г0)| < е)
Сім'я функцій (/а)а€Л називається одностайно непере-
рвною у точці г0 £ 2, якщо множина 9Л = {/а | а £ А} одностай-
но неперервна в точці г$.
Зокрема, має смисл поняття одностайної неперервності в точці
г0 послідовності функцій.
Означення 2. Нехай кожна функція і £ 9Л диференційовна в точ-
ці г0 £ 2. Поставимо їй у відповідність таку неперервну в цій точці
функцію ц>, що \/ г £ 2 виконується рівність
/ (г) — / (г0) = (г — г0) <р (2).	(1)
Якщо множина функцій 9^ = {<р} одностайно неперервна в точці
г0, то множина функцій 9Л називається одностайно д и-
ференційовною в цій точці.
Теорема 1. Нехай іп =£ /, Р^ =2 V л Є N і г0 Є 2. Якщо
V п Є № функції неперервні в точці г0, то послідовність (/п) одно-
стайно неперервна в цій точці.
4 Згідно з критерієм Коші рівномірної збіжності послідовності
(/п), \/е>0	\/л>ле Ц — /пе Ц < е. Оскільки функції
/2> неперервні в точці г0, то 36>0:\/гЄ2 (|г—г0|<6)=>
=>(ІМ*) — /д(^о)І<е V* = 1,ле). При л>иеі \г — гв|<6 ви-
конуються нерівності
І /п (2) — їп (20) ІСІ /п (2) — /пе (*) Ж /пе (г) —	(*о) 1 +
+ ІМЖп (2в)К2||/п — їпг\\ +8<3е.
Отже, У(гЄ2, лей) (|г —г0|<6)=>(|/п(г) —/п(г0)|<Зє), що
означає одностайну неперервність послідовності функцій (/п) у
точці г0. ►
Теорема 2 (про неперервність у точці границі послідовності
функцій). Якщо -► Р^ = 2 V п Є г0 € 2 г послідовність
функцій (іп) одностайно неперервна в точці г0, то функція і
неперервна в цій точці.
4 3 одностайної неперервності послідовності (/п) у точці г0 ви-
пливає, що
\/е>0 36>О: У(л£М, г£2) (|г — г0|<6)=>
=> (І /п (2) - Іп (2о) І < 8).	(2)
Нехай г £ 7 і | г — г01 <6. Перейдемо в (2) до границі при п -* оо.
Дістанемо оцінку | / (г) — / (г0) |	8, з якої випливає неперерв-
ність функції і у точці г0. >
Переконаємося у тому, що збіжність числової послідовності
(/п (г0)) можна не перевіряти. Вона є наслідком решти умов теоре-
ми 2.
204
Теорема 3. Якщо \/ г С 2\ {г0} 3 Ііт (г) = ? (г) і послідов-
ність (/п) одностайно неперервна в точці г0 £ 2, граничній для мно-
жини 2, то існує Ііт/п (?0) =/ (г0) і функція? неперервна в точці г0.
п-+оо
◄ Беручи до уваги теорему 2, досить переконатися в тому, що по-
слідовність (/п (г0)) фундаментальна. За означенням одностайної не-
перервності послідовності функцій (/п) у точці г0
Уе>0 Зб>0: У(пЄЙ, гб2) (|г-г0|<6)=>
=► (І /п (2) — /п (г0) | < Є).
Оскільки г0 — гранична точка множини 2, то існує така точка гг Є
£2, що |	— г01 < 6. Послідовність (/л (Зі)) збіжна, тому, згід-
но з критерієм Коші збіжності послідовності, існує такий номер
ле £ и, що V (п > п8, р € И) І /п+р (гг) —	(2Х) І < е. Нехай
п Пе. Тоді маємо
І /„+Р (20) — /п <го) І = І /„+р (20) — /„+Р (2г) І + І /п+„ (2і) — /п (2г) | +
+ І /п (2і) — Іп (20) І < Зе.
тобто послідовність (/„ (г0)У фундаментальна. ►
З доведених тверджень випливають класичні теореми про рів-
ність одна одній повторних границі та про граничний перехід під
знаком суми ряду.
Теорема 4 (про рівність одна одній повторних границь). Нехай
їп : (С -> (С,	= 2	Якщо з0 — гранична точка множи-
ни 2,	існує Ііт/П(г) = ап і на множині 7\{г0},
г-*20
то послідовність (ап) збігається і Ііт ап = Ііт / (г).
п->оо	г->20
4 Функції /*, де
« (Іп (г), якщо г Є 2\{г0),
Іп (2) =
ап, якщо г = г0>
неперервні в точці г0 для усіх значень За теоремою 1 по-
слідовність функцій (/*) одностайно неперервна в точці г0. Внас-
лідок теореми 3 існує 1іш/^(г0) = Ііта„ = а і функція Г, де
П->оо	Н->ОО
/(г), якщо г£2\{г0},
а, якщо г = г0,
неперервна в точці г0, тобто 1іт/*(г) = 1ітап = Ііт/(г). ►
г->20	гг->оо	г->г0
Доведену рівність можна записати у вигляді
Ііт Ііт /п (?) = Ііт Ііт /п (а),
п->оо <->гп	г->2„ н->оо
чим і пояснюється назва теореми.
Теорема 5 (про граничний перехід під знаком суми ряду). Не-
хай фп :'(С^(С,	= 7 УпЄМ г0 — гранична точка множи-
ни 2. Якщо ряд 2ф„ збігається рівномірно на множині 2\{г0}
205
і Уп С И існує Ііт <рп (г) = ап, то ряд 2ап збігається І
г-»г»
00	оо
у ап = Ііт 2 Фп (з).	(3)
п=*1	25*^’2О Пваї
П	оо
П = У ак Уп е И, / = У <рп. Внаслі-
^1=1
п
4 Покладемо /п = <рь, а
/г=і
док виконання всіх умов теореми 4, маємо
оо	оо
У ав = Ііт ап = 1іт/(г) = Ііт у фп (г). ►.
"і п^'	г-*2»	г->г»п=1
Доведену рівність можна записати у вигляді
оо	оо
Ііт у /п (г) = у ііт /п (г),
чим і пояснюється назва теореми.
4.2. Диференціювання та інтегрування границі функціональної
послідовності. Проведемо дослідження на диференційовність гра-
ниці функціональної послідовності.
Теорема /. Нехай їп-+ї, Оп=2 Уп^И *	— гранична
точка множини 2. Якщо послідовність функцій ({п) одностайно
диференційовна в точці г0, то функція ї диференційовна в цій
точці і Ііт/'(г0) = Г (г0).
П->ОО
4 За означ’енням одностайної диференційовності послідовності
функцій (Іп) у точці г0 для будь-якої точки г £2 виконується рів-
ність
/„ (г) — їп (г«) = (г — г9) фп (г),	(1)
де (фп) — одностайно неперервна в точці г0 послідовність функцій.
З рівності (1) випливає, що Уг £ 2\ {г0} існує Ііт фп (г). Згідно
з теоремою 3, п. 4.1, існує така неперервна в точці г0 функція ф, що
Фп-*- ф. Перейдемо в рівності (1) до границі при п -* сю. Дістанемо
V г £ 2 рівність
^(2) —/(20) = (2 — 20)ф(2).	(2)
Отже, функція / диференційовна в точці г0 і
Ііт і'п (гв) = Ііт фп (г0) = ф (гв) = Г (г0). ►
П«>оо	п-ьос
Умови цієї теореми можна послабити, відмовившись від вимо-
ги збіжності послідовності (/п (г0)). Доведення пропонуємо проро-
бити читачам.
Покажемо, що з теореми 1 випливає класична теорема про ди-
ференціювання границі функціональної послідовності в точці.
Теорема 2. Нехай /п • К (0,	= ІЩ 6] Уп € М- Якщо:
1) V (п £ х £ [а, 6]) 3/л М/ 2) їп 3) існує така точка х0 Є
206
С (а, &], що послідовність (?п (х0)) збігається, то існує така функція
Л що ї і ї диференційовна в кожній точці сегмента [а, Ь], при-
чому V х Є [а, Ь] виконується співвідношення (х) = Ііт (п (х).
◄ Покладемо V (х £ [а, Ь], п £ И)
/п М — [п (Хо) = (X — Х„) ф„ (х), фп (Хо) = Г„ (Хо).
Переконаємося в тому, що послідовність (<рп) рівномірно фунда-
ментальна (див. п. 2.3, розд. 4). Оскільки то V 8 > 0 Зп* С №
V (п > ле, /з є №) ||/п+р — їп II < 8. Якщо х£[а, 61 і х=/= х0,
то, використовуючи нерівність Лагранжа (див. п. 2.11), дістаємо
оцінку
ІФ . (х)-<р п(х)| =	-/п (х) т =
(Іп+Р (X) - /п (х)) - (їп+р (х0) - /п (х0)) |	(| г, * „	.
—	І	IIІ п+р — ‘п II	8-
Якщо х = х„ то | ф„+р (х0) — ф„ (х0) | = | /;+р (Хо) — Гп (*о) І < ІіЛ+р—
— Л II < е- Отже, У (п пе, р£ И) виконуетьєя оцінка || фп , р —
— Фл ||	8, тобто послідовність (фп) рівномірно фундаментальна.
Згідно з критерієм Коші, існує така функція ф, що фп ф. За те-
оремою 1, п. 4.1, послідовність (ф„) одностайно неперервна в точці
х0, внаслідок чого послідовність функцій (/п) одностайно диферен-
ційовна в ній. Із рівності в (3) випливає існування такої функції /,
що /п /. Таким чином, виконано всі умови теореми 1 в точці х0 £
€ \а, &]. Оскільки то замість х0 можна взяти будь-яку точку
х Є [а, Ь]. ►
Теорема 3. Нехай фп і ІК -* (Б, Рф = )а, М V п £ Якщо
Фп ф і у п С И функції фп інтегровні в розумінні Ньютона —
Лейбніца, то функція ф інтегровна в тому самому розумінні і при
цьому
ь	ь
С Ф(х)гіх = Ііт С фп(х)йх.	(4)
V	ГЬ>ОО Л
а	а
<4 Нехай /п — первісна функції фп і	/п(а) = 0. Оскільки
УлЄМ Гп “ Фпі т0 виконуються всі умови теореми 2 при х0=а.
Тому існує така функція /, що /„”*/ ' У*Єіа, Ь| Г (х) =
 Ііт Гп (х)в Ит Фп (х) = ф(х). Значить, /— первісна функції ф.
п->00	П->оо
Крім того, / (а) — 0. Отже,
ь	ь
/(Ь) = С ф(х)гіх = Ііш їп(Ь) — Ііт С Фп (х)гіх. ►
З	Н->оо	П->ОО V
а	а
Теорему 2 можна дістати як наслідок з теореми 3. Для цього до-
сить скористатися рівністю
/п (X) =/п(а) + р;(0Л Ух ЄЮ)
207
і застосувати теорему 3. Таким чином, теореми 2 і 3 рівносильні між
собою. Це не випадково, оскільки операції диференціювання та ін-
тегрування в розумінні Ньютона — Лейбніца взаємно обернені.
Як і у випадку рядів, виникають дві форми тверджень — диферен-
ціальна й інтегральна, що буде систематично використовуватися на-
далі.
4.3. Диференціювання та інтегрування суми функціонального
ряду. Сформулюємо теорему 3, п. 4.1, та теореми 1—3, п. 4.2, в
термінах теорії функціональних рядів.
Означення. Функціональний ряд ^п, О?п = 2 Уп^> нази-
вається одностайно неперервним (відповідно од-
ностайно диференційовна м) у точці г0 £ 7, якщо
послідовність (5П) його часткових сум одностайно неперервна (від-
повідно одностайно диференційовна) в цій точці.
Теорема 1. Нехай ряд 0^=2	одностайно не-
перервний в точці г0£7. Якщо 7г^7\{г0} числовий ряд £/п (?)
збігається, то існує така функція 5, що\/г£2 5(г) =
ОО	'	'
= у /„(з) і 8 неперервна в точці г0. •
п= 1	,		’
4 Твердження випливає з теореми 3, п. 4.Г.
Теорема 2. Нехай числовий ряд (г) збігається V г £2. Якщо
функціональний ряд одностайно диференційовний у точці г0 £ 2,
граничній для множини 2, то сума ряду диференційовна в точці г0 і
ОО	оо
(^Аі)(2°)=	(О
4 Твердження випливає з теореми 1, п. 4.2. ►
Теорема 3. Нехай : К -> (0, Ь!п = Іаг Ь\ V /г £ Якщо:
1) V (и Є И, х £ [а, д]) З/п (х); 2) ряд збігається рівномірно;
3) існує така точка х0 £ [а, &], що ряд 2/п (х0) збігається, то ряд
збігається рівномірно, його сума диференційовна в кожній точці
сегмента [а, Ь\ і х £ [а, &] виконується рівність
(£/п)'(*)= £/;(*)•	(2)
П=1	П=1
4 Доведення випливає з теореми 2, п. 4.2.
Теорема 4. Нехай (0*	= Ія, Ь) Vп Якщо ряд
2/п збігається рівномірно і усі його члени інтегровні в розумінні
Ньютона — Лейбніца,, то його сума інтегровна в тому самому ро-
зумінні і виконується рівність
Ь оо	оо Ь
£ (У /п (*)) (іх = у рп (х) (їх.	(3)
а п=1	п=1 а
4 Твердження випливає з теореми 3, п. 4.2. ►
208
§ 5.	Існування первісної.
Інтеграли Коші та Рімана
5.1.	Ламана. Геометричний зміст інтеграла. Нехай £ (£,
г2 € (С- Множина {г £ (О | г = ігх + (1 — /) г2, і £ (0, 11} назива-
ється відрізком наплощині (£, що сполучає точки та з2, і познача-
ється [г19 г2]. Точки г19 г2 називаються його кінцями. Функція і »-►
»-* г (/), де г (і) = І2г + (1 — і) г2 V і £ [0, 1], називається пара-
метричним зображенням відрізка [г1? г2]. Неперервна функція
[а, й] — -*ІК називається ламаною (кусково-лінійною), якщо її графік
на площині К2, ототожненій з площиною (£, складається із скінчен-
ної кількості відрізків. Нехай /	0. Множина {(х, у) £ П<2 | х £
С [а, Л 0 У < / (*)} називається підграфіком функції /. За-
фіксуємо х £ [а, д] і розглянемо звуження / |[вЛ]. Воно також є ла-
маною, а його підграфік складається із скінченної кількості тра-
пецій (рис. 53) і тому має площу. Позначимо її через Р (х). Функція
[а, д] —К називається змінною площею.
Одним з найбільш важливих відкриттів XVII ст. є наступне твер-
дження.
Теорема 1. Невід'ємна ламана [а, Ь\ П< інтегровна в розу-
мінні Ньютона — Лейбніца і змінна площа Р є її первісною. При
цьому
Р(х) =	Ух£|а,&].	(1)
о
◄ Зафіксуємо х0 С (а, Ь\ і розглянемо таке х, що на сегменті з кін-
цями х0, х функція / лінійна (див. п. 1.5). Тоді підграфіком зву-
ження /|[х„хі є трапеція. Якщо х > х0, то В (х) — Р (х0) — площа
цієї трапеції і тому (див. рис. 53)
Р (х) - Р (х.) =	(Х _ Хо).	(2)
Рівність (2) залишається вірною, якщо х<х0, але досить близь-
ке до х0. Функція х	неперервна в точці х0, тому
/ (х ) І / (х )
функція Р диференційовна в точці х0 і Р’ (х0) = - • Т ~ ' (хо)-
Оскільки х0 — довільна точка сегмента [а, Ь] і Р(а) = 0, то вико-
нується рівність (1). ►
Доведена теорема встановлює геометричний зміст інтеграла
її
№(х)сіх у випадку, коли функція / є невід’ємною ламаною: він
а
дорівнює площі їг підграфіка.
Теорема 2. Нехай І а, 6] — -* Щ — ламана. Тоді вона інтегровна
в розумінні Ньютона — Лейбніца.
Твердження випливає з теореми 1 і формули / =	де
Н-	ІИ+/	.
•	2 ’ ' ~	2	’ Г
209
З формули / =	— /“ і лінійності інтеграла випливає рів-
ність
ь	ь
У /(х) йх = у ^(х)дх
а	а
ь
— ^Г(х)йх,
а
(3)
яка дає змогу дати геометричне тлумачення інтеграла від ламаної:
він дорівнює різниці площ підграфіків функцій та .
5.2.	Наближення неперервної функції ламаними. Існування пер-
вісної.
Теорема 1, Нехай [а, К, неперервна функція. Тоді іс-
нує така послідовність ламаних, що
4 Поділимо сегмент [а, Ь] на п рівних за довжиною частин точ-
ками а = х0 < хх < ... < хп = Ь. Сполучимо відрі зками точки
(х*_і,/(хА_і)), (хЛ, /(х*)) (й==ї7л) графіка функції /. Дістанемо
графік нової функції, яку назвемо ламаною і позначимо через /п
(рис. 54). Доведемо, що Згідно з теоремою Вейєрштрасса
про найбільше значення неперервної функції на компакті, існує
таке £пЄ[щЬ], що ||/ —/п|| = |/(Бп) —/п(£п)І- Нехай |пЄ[хЛп_і,
(*=1,и). Тоді 5п = ^Лп^і+(1— і)хьп і/л(&Л) = ^(хЛп-і) +
+ (1 — 0/(хйл). Тому
І / (Іп) ~ /п (Іп) І < * І / (Іп) - / (ХЛп-1) І + (1 - 0 І / (Іп) - / (**„) |. (4)
За теоремою Кантора функція / рівномірно неперервна і за озна-
ченням рівномірної неперервності
Ув > 0 36 > 0: V (х £ [а, Ь], х' £ [а, Ь]) (| х — х' 1 < 6)
(|/(х)-/(х')|<є).
Нехай ^-^-<6. Тоді |/(£п) — /(Х4п_і)|<в і | / (І п)— /(**„ )|<е.
З оцінки (4) випливає, що|/(£п)— /п (£п) І <. & + (1—і)е = &. Та-
ким чином, ||/ —/п II = о(1) ’ /П=£Л ►
Теорема 2. Якщо функція [а, Ь] —> Ж неперервна, то вона інте-
гровна в розумінні Ньютона — Лейбніца.
<4 Згідно з теоремою 1, існує така послідовність ламаних (/п), що
/„ =£ /. За теоремою 2, п. 5.1, кожна функція /п інтегровна в розу*
Рис. 53
210
мінні Ньютона — Лейбніца. Внаслідок теореми 3, п. 4.2, функція
/ інтегровна. ►
Ідея застосування ламаних для розв’язування диференціальних
рівнянь, зокрема для доведення існування інтеграла Ньютона —
Лейбніца, належить Ейлеру.
5.3.	Інтеграли Коші й Рімана. Найперше означення інтеграла,
як границі інтегральних сум, належить Коші. Він розглянув для
неперервної функції [а, Ь\ П< суми
зп(п=	*)	(о
що називаються сумами Коші, довів їх фундаментальність і ви-
значив інтеграл, покладаючи
ь
Г / (х) <1х = ІІт 5П (/).	(2)
д	П-^ОО
а
Нижче буде доведено (див. теореми 2, 3), що інтеграл Коші існує
й збігається з інтегралом Ньютона — Лейбніца. Це дає змогу ви-
користовувати для них одне і те саме позначення.
Подальше узагальнення інтеграла, запропонованого Коші, на-
лежить Ріману, який замість сум (1) розглянув більш загальні су-
ми, які називаються рімановими.
Означення 1. Нехай [а, 6] К. Сума
п—її
У /(Бк)(**+1— Хк),
6=0
(3)
в якій п С а = хй	... £п хп = Ь, називається
інтегральною сумою Рімана.
Множина точок Р = Р\а,ь\ — {хА| & = 0, п] в означенні 1 назива-
ється розбиттям сегмента [а, 6], а множина |р = {|й|£ = 1, п) —
сукупністю проміжних точок. Сегменти [хл, х*+і] (к = 0, п — 1)
назвемо сегментами розбиття Р і позначимо тах (х*+і — хА) =
—1
= || Р ||. Для інтегральної вуми Рімана (3) приймемо позначення
5» (/, Ь>).
Означення 2. Число / £ Щ називається інтегралом Рі-
мана функції [а, 6] — - К, якщо
Ує>0 36 > 0: V (Р = Р >	(||Р||<6)=>(|/-$р(ШІ<8).
Функція, для якої існує інтеграл Рімана, називається інтегров-
ною за Ріманом.
Теорема 1 (про інтегральні суми для інтеграла Ньютона —
Лейбніца). Нехай функція [а, 6] —* К інтегровна в розумінні Нью-
тона— Лейбніца. Тоді V Р = Р[а,л] існує така сукупність про-
211
міжних точок £р, що
ь
У(х)ах = 8р(ЇЛРУ
(4)
4 Нехай Р = {хк | & = О,
з властивістю адитивності
виконується рівність
п}, а = х0 < Хі <•••< хп = Ь. Згідно
інтеграла відносно меж інтегрування,
ь
§ І (х) сіх =
а
п—1 Х4"І
£	[ Кх)(іх.
6=0 Хк
(5)
За формулою Лагранжа для скінченних приростів V к = 0, п — 1
існує таке Ік 6 (*ь ЩО
«л-Н
у / (х) ах = / (£й) (хк+і — хк).	(6)
*к
З рівностей (5) і (6) випливає формула (4). ►
Теорема 2 (про рівність інтегралів Рімана й Ньютона — Лейб-
ніца). Якщо інтеграли Рімана й Ньютона — Лейбніца функції
[а, д] — -* Щ існують одночасно, то вони рівні один одному.
4 Нехай / — інтеграл Рімана функції / і е > 0. Згідно з означен-
ням 2 та теоремою 1, виконується оцінка
ь
| / — / (х) сіх < є.
а
Ь
Отже, / =	►
а
Доведена теорема дає змогу використовувати для інтеграла Рі-
мана те саме позначення, що й для інтеграла Ньютона — Лейбніца,
ь
тобто У / (х) дх.
Теорема 3 (про інтегровність за Ріманом неперервної функції).
Якщо функція Іа, &І —неперервна, то вона інтегровна за Ріма-
ном.
<4 Нехай 1 — інтеграл Ньютона — Лейбніца функції /. Згідно з
теоремою 1, V Р = Р\а,ь] Зір : І = 8Р |р). Для будь-якої
множини проміжних точок |р маємо
11 - 5р (Г, |Р) | = | 8Р а, Ір) - 5р (Г, |*р) І =
п—1
2(/(^)-/(5;))(хл+1-хй)|.
к=в
(7)
212
За теоремою Кантора функція / рівномірно неперервна на сегмен-
ті іа, Ь]. Тому
Уе>0 аб>0: У(хЄ|а, &|,х'6[а,6]) (|х — х' |<б)=>
=>(|/(х)-/(х')|<8).
Нехай Ц Р Ц < б. Тоді з рівності (7) випливає оцінка
п—> 1
І / —	(/, 1*р) | < £ є(хй+і — хк) = е.(Ь — а).
6=0
За означенням функція / інтегровна в розумінні Рімана. >
Наслідок. Неперервна функція [а, Ь1 —П< інтегровна в
розумінні Коїиі,
Інтегральним сумам можна надати геометричного змісту.
Рис. 56
Нехай функція [а, Ь1 К невід’ємна, Р — довільне розбиття
сегмента [а. Ь]. Тоді число / (£Л) (х*+і — х*), де Є ІхЛ, х^Н,
дорівнює площі прямокутника, основою якого є сегмент [хь х*+і ],
а висота дорівнює / (ВА). Тому сума Рімана Зр £р) є площею фі-
гури, складеної з прямокутників (рис. 55). Якщо функція / непе-
рервна і в проміжних точках її звуження / |[хй.х^+1] набуває
найменшого значення к = 0, п — 1, то відповідна фігура, скла-
дена з прямокутників, цілком розміщена в підграфіку функції /.
Отже, якщо можна вести мову про площу підграфіка, то вона по-
винна бути не меншою від вказаної інтегральної суми. Аналогіч-
но вибираючи проміжні точки |*, в яких звуження /
набуває найбільшого значення V к = 0, п — 1, дістаємо інтеграль-
ну суму, яка є площею фігури, складеної з прямокутників, в якій
міститься підграфік функції /. З цих фактів випливає, що коли мож-
на визначити площу підграфіка неперервної невід’ємної функції
ь
а, Ь\	то вона повинна дорівнювати . / (х) дх.
213
Означення 3. Якщо функція [а, неперервна й невід’вм-
ь
на, то інтеграл ^}(х)с1х називається площею її під гра}*
а
ф і к а.
Якщо функція |а, 6] —* К неперервна, то з властивості ліній-
ності інтеграла випливає рівність
ь	ь
ї(х)СІХ = у (X) СІХ — у (х) дх,
а	а
(8)
тобто інтеграл дорівнює різниці площ підграфіків функцій і
(рис. 56).
§ 6. Обчислення інтегралів і первісних
6.1. Квадратурні формули Гаусса. Формула Сімпсона. Для на-
ближеного обчислення інтегралів використовуються так звані квад-
ратурні формули. Широке практичне застосування мають квадра-
турні формули Сімпсона й Гаусса, одержані відповідно в 1743 і
1814 роках при розв’язуванні практичних задач. Використання цих
формул в наш час зросло в зв’язку з інтенсивним застосуванням
ЕОМ в науці й народному господарстві.
Означення 1. Нехай п Є И, хк С [а, рк £ ІК V к = 1, п. Відобра-
ження Ь з множини функцій, заданих на сегменті [а, Ь], в множину
ІК, визначене правилом: якщо [а, Ь] Щ, то
п
і-'п (Л ^1> ^2’ • Р 1> Р%> * » Рп) = (/) = Рк? (^м)>	( 0
називається квадратурною формулою.
Точки х* назвемо вузлами, а числа рк — вагами. Квадратурна
формула (1) називається точною для функції /, інтегровної в ро-
зумінні Ньютона — Лейбніца або Рімана, якщо
ь
(х) Ох.	(2)
а
З теореми 1, п. 5.3, випливає, що для будь-якої функції [а,
&] —ІК, інтегровної в розумінні Ньютона — Лейбніца, V п £
існує точна квадратурна формула (1) з вузлами й вагами, залежними
від /. У зв’язку з поставленою конкретною задачею для наближе-
ного обчислення інтегралів фіксують певний клас функцій і ви-
бирають цілком певну квадратурну формулу. Найбільш часто в
застосуваннях зустрічаються формули Гаусса, за якими складено
стандартні програми для обчислення інтегралів на ЕОМ.
Означення 2. Квадратурна формула(ї) з п вузлами називається
формулою Гаусса, якщо вона є точною для усіх алгебра-
214
їчних многочленів виду
2л—1
Р2п-і(х)= £акхк, аь6К УА =0,2л— 1.	(3)
%=0
Зазначимо, що коли формула (1) точна для функцій х 1, х
>-► х, х х2п~1, то вона є точною для будь-якого многочлена
(3), що випливає з властивостей лінійності інтеграла й відображен-
ня £. Тому вузли й ваги формули Гаусса можна знайти, якщо роз-
в’язати систему рівнянь
П	М	А	А2п л2п Л
ь — а = ^рк,	—-2— = £ркхк.................2п~ = £ ркх2кп-1. (4)
*==1	6=1
Якщо п зростає, то зростають технічні труднощі, пов’язані з роз-
в’язанням системи (4). Вкажемо засіб, який полегшує побудову
формул Гаусса. Заміною змінної х = і + -ф Ь інтеграл в правій
частині рівності (2) приводиться до вигляду
о
/(ф)= у<р(ол.
(5)
—* а	/л\ і / а । л 4— & \
де с = —у- , <р(О-ЦГ + —І
гаку особливість:
V/ СІ— с. с]. Цей інтеграл має
0, якщо <р — непарна інтегровна функція,
і (ГГ> \ _
~ 2 \ф(і)<Й, якщо ф — парна інтегровна функція,
о
Після заміни змінної ліву частину рівності (2) можна записа-
ти у вигляді
2(Л-лф(5_л) + Ляф(5и)).	(6)
»—і
Якщо кількість вузлів у формулі (1) непарна, то будемо вважа-
ти, що і _і =	= 0» а інші вузли попарно різні. У випадку, коли
кількість вузлів у цій формулі парна, вважаємо, що всі вузли
.... Ід попарно різні. Крім того, припускаємо, що |_* = —|й,	=
— Нк V к — 1, п. Тоді вираз (6) дорівнює нулю для кожної непар-
т
нбі функції і дорівнює 2 У /іЛф (|Л) для будь-якої парної функції.
Таким чином, рівність
с	т
нк (ф (-	+ ф (ік))	(7)
215
виконується для кожної інтегровної непарної функції, а для будь-
якої парної інтегровної функції вона рівносильна умові
с	т
С Ф (0 Л = £	(|й).	(8)
0	6=1
Застосуємо висловлені міркування для побудови квадратурних
формул Гаусса з одним, двома та трьома вузлами.
Якщо вузол один, то |_і =	= 0. Для визначення значення
йі запишемо рівність (8) для функції ф = 1. Дістанемо йх = с, тоб-
то формула Гаусса матиме вигляд
У Ф (і) йі « 2сф (0),	(9)
—с
Вона називається також формулою прямокутників у зв’язку з гео-
метричним змістом її правої частини.
Аналогічно міркуючи, дістаємо формулу Гаусса з двома вузла-
ми. Запишемо рівність (8) для т = 1 і функцій ф = 1, ф : х х2.
Дістанемо с = йг, Л- = йі5і, 5і = -у=-, тобто формула Гаусса з дво-
о	уз
ма вузлами матиме вигляд
о
$ ф (і) д.1» с (ф	-^=-) + ф •	(10)
Знайдемо формулу Гаусса з трьома вузлами. З цією метою в
формулі (8) покладемо т = 2, ф = 1, ф : х х2, ф : х >-► х4. Діста-
немо	= 0, с = Йх + й2, -у- = й2£2, у- = й2^, звідки |2 =
= сУ, йг = у с, й2 = -|-с. Квадратурна формула Гаусса з
трьома вузлами набуває вигляду
£ ф	(5ф(— с 1/0,6) + 8ф{0) + 5ф(с"|/0, 6)).	(11)
—с
Іноді при розв’язуванні практичних задач значення функцій,
інтеграли від яких вимагається обчислити, відомі в заздалегідь
заданих точках, серед яких вибирають вузли. Для побудови квад-
ратурної формули в цьому випадку потрібно підібрати лише її
ваги.
Нехай, наприклад, £_2 = —с, 5-і = £і= 0, 5а = с- Підберемо ва-
ги йі, й2 у формулі (7) при т = 2 так, щоб вона виявилась точною
для функцій ф = 1 та ф : х х2. Маємо с = йх + й2, у —
2	с
звідки йх = у с, йз = у. Формула (7) набуває вигляду
У ф (0 « у (Ф (-с) + 4ф (0) + ф (с)).	(12)
216
Вона є точною для всіх многочленів, степінь яких не вище трьох,
і називається формулою Сімпсона.
Для підвищення точності обчислення інтеграла скористаємося
його властивістю адитивності, подамо у вигляді
Ь	п.—1	.	___
Г/:(х)гіх=^ С ї(х)<іх, хк = а-\----к — 0,п,	(13)
а	£=0 х&
і до кожного доданка під знаком суми застосуємо одну й ту саму
квадратурну формулу. Дістанемо нову формулу, яка називається
ускладненою або загальною. Наприклад, ускладнена формула пря-
мокутників має вигляд
Ь	п—-1
р(х)йх«2ук, ^=/(«+-Ц-1 (^+4))’
а	Л—0	'	'
6 = 0,П — 1.	(14)
Ускладнена формула Сімпсона записується у вигляді
У /(х)гіх« —(у0 + 4^ + у3+ ... + у2п_і)4- 2(ї/а + Уі + ...
а
••• + ^2л—2^ + Уїп)»	(15)
Де Ук = /	+ Ь~^па >г\, к — 0,2п.
Оскільки квадратурні формули (наприклад, (14)) дають мож-
X
ливість обчислити інтеграл	6] з будь-якою точ-
а
ністю, то вони розв’язують проблему обчислення первісної непе-
рервної функції.
6.2. Геометричне інтегрування. Побудова первісної за графіком
функції. Іноді функції іа, ЬІ В< задають за допомогою графіка
Г (/). Вкажемо на геометричний спосіб обчислення інтеграла від
такої функції за формулою прямокутників:
Ь	Д-А
у/(х)гіх«Н-2-±—кЬ —а).	(1)
Розглянемо трикутники АВС і А'В'С' (рис. 57). Вони подібні
з коефіцієнтом подібності Ь — а. Тому ордината точки В* дорів-
нює правій частині наближеної рівності (1) і е наближеним зна-
ченням інтеграла. Для більш точного обчислення його значення ско-
ристаємося ускладненою формулою прямокутників і всі потрібні
в ній операції проведемо шляхом геометричних побудов. Якщо вка-
х
зані побудови застосувати до інтеграла § / (і) сії при х = х0 <
а
217
Рис. 57
< Хх <..*< X = Ь і сполучити
відрізками одержані точки, то
дістанемо графік первісної. Про-
мисловість випускає спеціальний
прилад (інтегратор), який вико-
ж нує усі вказані побудови, які
* дають змогу за графіком функції
зобразити графік її первісної.
6.3. Обчислення інтегралів за
допомогою рядів. У 1676 р. Нью-
тон повідомив Лейбніца про те, що вміє розв’язувати усі диференці-
альні рівняння, зокрема знаходити первісні. Метод, який мав на
увазі Ньютон, базується на застосуванні степеневих рядів. Лейб-
ніц у листі-відповіді Ньютону наполягав на необхідності відшуко-
вувати первісні в скінченному вигляді, тобто шляхом комбінацій
елементарних функцій, кожен раз, коли це можливо. Історія роз-
витку математики показує, що ньютонівська ідея застосування функ-
ціональних рядів для обчислень (не тільки інтегралів) виявилася
плодотворнішою, ніж ідея обчислення первісних в елементарних
функціях. Деякі засоби обчислення первісних в елементарних функ-
ціях розглянемо в наступному пункті.
Застосуємо теорему про інтегрування функціональних рядів для
обчислення інтеграла
1т(Х)~ У ! + ’
0
т>0, х Є (0, 1].
(1)
За формулою суми членів геометричної прогресії маємо
7^=2 (-1)ПГ)П. |/|<1.
‘-Г* «єь
Нехай х £ [0, 1) і | і | х. Тоді ряд 2 (—1Г (ҐТ збігається рівно-
мірно і за теоремою 4, п. 4.3, маємо
/т(*) = £	(2)
Ряд 2(—1)п-----п вбігається за ознакою Лейбніца, внаслідок
чого він підсумовується методом Ейлера — Абеля (див. теорему 1,
п. 3.5, розд. 4). Отже,
оо
'пО-^'.м-і + ї^йт- <3>
п=1
Права частина рівності (2) має смисл і для комплексних значень х,
що дає змогу продовжити первісну в комплексну площину за фор-
мулою
/,»(*)-*+£	1‘К1-	0)
п€И
218
Обчислення первісних та інтегралів не є самоціллю, а править за
джерело одержання формул, корисних для застосувань. Зокрема,
якщо т = 1 або т = 2, то з таблиці первісних знаходимо
Іг(х) = 1п(1 4- х), /я(х) = агсі§х (0<х<1).	(5)
За допомогою формули (4) дістаємо продовження логарифма й арк-
тангенса в комплексну площинуї
Іп(1+*) = ? + £	|г|<1,	(6)
П=1
Д, _ ^4-1
агсі8г-г + £(-1)Я-^ТГ, |г|<1.	(7)
Н=1
Беручи до уваги формули (3) та (5), маємо
<8>
П=я1
н—1
Іншим методом формула (9) була одержана Лейбніцем в 1673 р. і
опублікована в роботі «Арифметична квадратура круга». Відкрит-
тя Лейбніца визвало захоплення Гюйгенса й Ньютона — видат-
них його сучасників. Формули (8), (9) дають принципову можли-
вість обчислити Іп 2 і п з будь-якою точністю. Оскільки ряди
2^ 	збігаються поволі, то обчислення за фор-
мулами (8), (9) стають громіздкими.
Обчислимо інтеграли /я (1), /а (1) за формулою прямокутників.
Дістанемо
Порівнюючи ці результати з формулами (5) при х = 1, маємо
І 0	2	16
Іп 2 «	, я «	.
О	о
Якщо обчислити інтеграл /2 (1) за ускладненою квадратурною
(Іюрмулою прямокутників при п = 2, то дістанемо 3,1.
Обчислюючи інтеграл /2 (1) за ускладненою квадратурною фор-
мулою прямокутників для п > 2, можна дістати значення я з будь-
якою точністю.
Можна довести, що функція
х
х^С-^Л, *ЄК,	(10)
0
219
не елементарна. Не зупиняючись на доведенні вказаного факту, що
зробити непросто, зазначимо, що функція (10) використовується в
математиці поряд з елементарними. Вона називається інтеграль-
ним синусом і позначається х $і х. Для неї складено таблиці
значень. Розвиваючи функцію зі в степеневий ряд, маємо
0	0	м=1
«4-1
г-і—+ с У(а61К,	(2)
-«-1-ї?-1)" №+оХ + І)
Права частина формули (11) має смисл V ? Є (£, що дає можливість
продовжити інтегральний синус в комплексну площину за Форму-
лою
~	_2п4-1
зі г = г4- ^ (— 1) (2п + 1)1 (2п + УгєС. (12)
П=1
Крім інтегрального синуса широко застосовуються в математиці й
інші функції, задані інтегралами із змінними верхніми межами, зо-
крема інтегральний косинус х сі х, інтегральний логарифм х
1і х і т. д.
6.4. Прийоми обчислення первісних в елементарних функціях.
Алгебраїчні многочлени виду
Р(х) = а9 + #1* + ... + апхл	(0
утворюють клас функцій, первісні яких можуть бути знайдені за-
стосуванням таблиці первісних з використанням властивості лі-
нійності інтеграла:
X	п X	п
а	£=0 а	6—0
З формули (2) видно, що первісна многочлена також є многочленом.
Стала С зв’язана з вибором нижньої межі інтегрування і залежить
від неї. При відшуканні первісних ця стала не цікавить нас,
оскільки, відкидаючи її, знову матимемо первісну.
Наступний важливий клас функцій, замкнений відносно опе-
рацій диференціювання та інтегрування, утворюють цілі функції
/ і які зображаються у вигляді суми степеневого ряду з не-
скінченним радіусом збіжності. До них відносяться основні еле-
ментарні функції (показникова, синус, косинус, гіперболічні си-
нус та косинус).
Важливий в математиці клас раціональних функцій вказаною
властивістю не володіє. Можна довести, що первісні функцій х
। + х , х !-► не є раціональними. Таким чином, коли б еле-
ментарними вважали лише раціональні функції, то первісні для
220
деяких з них не виражалися б через елементарні функції. Цікавим
виявився той факт, що, включаючи до раціональних функцій лога-
рифмічну й арктангенс, в одержаному новому класі елементарних
функцій можна знайти первісну будь-якої раціональної функції.
Вкажемо способи обчислення первісних раціональних функцій.
Найпростішою раціональною функцією, первісну якої знайдемо,
застосовуючи правило заміни змінної й таблицю первісних, є / і х
, О/ — лінійно-зв’язна множина, П, сг К \ {а}. Первіс-
ною функції / є Р і ІК ІК, Ор = де Р (х) = Іп | х — а |:
X


Вкажемо правило обчислення первісної функції
г / \	4” N г-ч	.и п .
де г(х) =	~।— , /А— лініино-зв язна множина, на якій ха +
** ' ' '	+ Рх + <7 Т
«2
Н-рх +д=7^0. Якщо ----------^>0, то для обчислення первісної
функції / скористаємося тотожністю
Мх+ N _ А . В
рх + д х — х3 х — х2 9
де х^ хй — нулі квадратного тричлена С1(х) = х2 4- рх + д,
д = Мхі +	_ Мхь.+ N
й результатом інтегрування дробу —. Дістанемо
X (І
X
= А 1п Іх ~ хі І + в 1пІх — хи І + с =
а
= ІП (І X — хг |л І X — Х2 |В) + С.
(3)
(4)
(5)
Нехай, наприклад, /(* *)= ух_2) (х —3) '	3г‘ДН0 3 Фор-
мулами (3) — (5), маємо
X
(/_2)^_-3) "ІпСІх-гГ'їх-ЗВ+е У(аЄ(0,1),х6(0,1)).
а
Якщо -------<7<0, то скористаємося тотожністю
Мх + N______М 2х р । 2М —	_____1_____
х2 Ц- рх + я 2 ха + рх 4- я 2 х^ 4“ рх + Я
Ух б К. (6)
(р \2
X + -75-	4-
* /
221
+ (<?----£-)	то первісна Р визначається ва формулою
Мі	М , . 2 । і \ <	2Л/ — Мр
<+*+« “= - т іп“‘+»'+а -	х
(7>
Розглянемо ще функцію / і ІК -► П<» визначену на лінійно*зв’яз>
ній множині яка не містить точку а, формулою
ї(х) = ----У/пЄМ.
(х — а)т^
Очевидно, що її первісна визначається за формулою
С-----^-тгг  -----І----—- + с V (хв Є О„ х£ й,).	(8)
З (/_а)">+‘	т (Х_а)т	' 0	"	11	' '
Хп
Первісну функції	де
^Х) = -7ТГ-^Г У(х€К, т>1, /и€М),
(ха + аї)т
обчислимо за допомогою так званого рекурентного процесу. По-
значимо
х
'М- ( А»' VЄ«Ю-
М И - "Г
хо
Беручи до уваги тотожність
1	_	02 — /2 ________і_____________<2
(/2 + а2)'” — аз (V 4- азут ~ а* (/2 4- а2)'”-’ а2 ЦЛ 4- а*)т
та інтегруючи її, дістаємо /т(х) у вигляді
Іт (х) ~ аз Іт-1 (X) а2	а2)П( .	(9)
,	х0
Застосовуючи формулу інтегрування частинами, знайдемо
X	X
____1_ Г	_ і Сі(і{ 1	=
а2 (/а 4- а2)от	2а2 (« — 1)	((/2 4. азут—І
«о	Х„
_______1	/ і <="х _ Г 01	\ _	1
~ 2а2 (т — 1) 1^/2 41 <,2^-1	р азуп-і 2а2 (т — 1) Х
222
Х (Х2 + в2)т-і 2а» (т - 1) Іт~' М + Ст’ де Ст ~
__________________________«в_________
2а* (т — І) (4 + а2)'"-4
Підставляючи це в формулу (9), дістаємо
’т (Х) = 2аа (т — І) (х* + а*)'”"’ + 2а» (т - 1) Іт~'(х) + С™’ (10)
Таким чином, обчислення /т(х) звелося до обчислення
Якщо т—12> 1, то, згідно з формулою (10), /т_і (х) виразимо
через Іт_2(х). Продовжуючи цей процес, який називається реку-
рентним, дістаємо інтеграл С -~а =? агсі§+ Сх з деяким
*0	____
сталим множником. Нехтуючи сталими С/ (/ = 1, т) в процесі обчис-
лень, знайдемо одну з первісних функції /.
Якщо розглянути функцію / ї К -> К» де
ї(х) = /Т 1 а;т V (х€п< \ {а}, т>\, тЄМ),
(ха — а2)"
то за допомогою формули (10) знайдемо V (х0 € О/, х С
1т (X) = Г--------- =------------------------}- —
3 (/» — а«)т 2а» (т — 1) (х» — а»)"*-1
Хо
2а2 (т — 1)	(И)
Описаний вище процес приведе до обчислення інтеграла
з деяким сталим множником. Формули (10) і (11) називаються реку-
рентними.
Покажемо, що обчислення первісної функції / і К К, де
ЇМ = іТл. А хт ’ т> 11
(х2 + рх + д)т
зводиться до деякого рекурентного процесу.
Нехай ------д < 0. Введемо позначення А2 = д —і в ін-
тегралі
223
вробимо заміну змінної, покладаючи у = —3. Дістанемо
(*) — д2т~і
<іу____
і і\т
Залишається
Іт—1(^), •••> '2
інтеграла
(х+-Ям
застосувати послідовно формулу (10) до Іт(х),
(ж). Рекурентний процес приводить до обчислення
= агсіб у
з деяким сталим множником.
= агсі§
р_
2
І+-В-
Якщо Ді -------<7>0, то підстановка у =»—— в інтегралі
/т(х) приводить його до вигляду
/ (Х)=—*—	С	Лу
}	Л2т-1	]	•
Для обчислення останнього застосуємо т — 1 раз рекурентну фор-
мулу (11). Врешті дістанемо інтеграл
з деяким сталим множником.
Обчислення первісної функції / : Щ К, де
£ /	\	г- Г\»
- (,.+Д
зводиться до випадку, розглянутого вище. Дійсно,
йу
2
X	X
Г +	= 21 Ґ й + рі +Я) І /дг мр
] (/» + />/+<7)'п	2 ] ЦР-+рі+я)т "Ц 2
Хд	Хд
224
х Г <іі = _ м___________________________І + (М — X
З (*’+ Р* + <7Г	2(т—1) (Х2 4. рх 4- ^уп-1 "Ц 2 )
у ґ_______________і г>	с — м___________________!______
З	(і*+рі+яГ * т'	т~	2(«-1)	(*? + Р*о + ?)т-‘	’
х0
Нагадаємо, що функція /?: К-де
Я (х) =	4~-р /. о« = {х € К | &в 4- М + ...
&о4-М4-... 4-ЬдХ’
... 4- д,х’ =/= 0},
називається раціональною. Дріб /? називається неправильним, як-
що р д. У випадку, коли р < цей дріб називається правиль-
ним. Якщо дріб /? = — неправильний, то, розділивши чисельник
на знаменник, дістанемо тотожність
де Рг — многочлен, — правильний дріб. Інтегрування много-
члена не викликає труднощів, тому при відшуканні первісної раці-
ональної функції /? постає проблема обчислення інтеграла Нью-
тона — Лейбніца від правильного дробу. Для її успішного подо-
лання розглянемо питання про зображення правильного раціо-
нального дробу у вигляді суми простих дробів.
Розглянемо многочлен степеня п
<2(*) = а^хп + арґ1-' + ... +ап-.|Х + а;ЄП< і = 0?п,
з цілими степенями х. Число х0 Є П< називається нулем многочлена
С} (х), якщо ф (х0) = 0. Нехай х0 — нуль многочлена (х). Він має
кратність а 6 И, якщо ($ (х) = (х — х0)а Т (х), де Т (х) — много-
член степеня п — а	і такий, що Т (х0) #= 0.
Якщо г = а + ІЬ,	а Є К, Ь 6	К,— комплексний	нуль	многочлена
(2 (х), тобто () (г) = 0, то комплексно-спряжене число г = а — іЬ
також є нулем цього многочлена. Тоді (х — г) (х — г) — х2 — (г 4-
+ г) х + | г І2 = х2 + рх + <?,	де р = —2а, д =	а2 4-	Ь2.
Якщо а0 = 1 (що	надалі й	припускаємо), то	многочлен	(х)
можна записати у вигляді
(х) = (х — Хі)1*1... (х — хт)“т (X2 4- Р1Х 4- їх)111...
- (*2 4- Рцх +
де х X/, / == 1, т, —дійсні нулі цього многочл_ена, кожний з квад-
ратних тричленів х2 + Р(Х 4- дь І = 1, к, не має дійсних нулів, а
8 1—2914
225.
. І .
а/ 6 И, Р/ € И — кратності нулів, причому
т	к
£ а> + 2 2 = "
/=1	£=1
р
Запишемо правильний дріб -& у вигляді
Р(х) = Р(х)
в (X)	(Х _ Х1)«< (Х) ’
де (х) — многочлен степеня п. — ах і (хг) =£ 0. Підберемо та-
ке число 4і 614, щоб виконувалася рівність
Р(х) ліІ>  Р1 (х)
0 (*) (х — Х1)а' (X —	—'<21 (х) ’
(12)
в якій Рг(х)—деякий многочлен. Аналізуючи тотожність
Р(Х)
<2 (х)
4Р> Р (х) - Л*1^ (х)
(х — Хі)а' (х — х,)а' (2] (х)

робимо висновок, що рівність (12) можлива лише тоді, коли хх
€ нулем многочлена Р(х) —	(*)» тобто КОЛИ Р(хг) —
— ЛІ^Оі (*і) в 0, Таким чином,
демо число таке, що
4(1) __ Р(хі)
А1 ~ М
. Аналогічно
знай
Р1(Х)	4°	,	Р2(Х)
(X — Хі)"’-^! (х) (х — Хі)а'-’	(х — х1)аі'~2()і (х)
р (х)
Продовжуючи цей процес, дістаємо зображення дробу -п: ' у ви
Ч (X)
гляді
Р (х) VI ^/1)	Ра. (х)
— Xі_________І______ Д- 001 7	(1 4
0 (*) Ь (Х-Х1)а,-/+1	0х(х) *
/=1
де 0і (х) — (х х2) 202 (х), 0г 0»
Вказані дії приведуть до того, що всі лінійні співмножники
(х — Х;)а/ (/= 1,/п) будуть вичерпані, а зображення дробу -тг-гу
Ч (X)
набуде вигляду
_Р_(х)_ _ уч ул ________________.______________(*)___________________
Йй (х-хі^1"І+'	& + Р1х +	... (х2 + ркх +	
(15)
Зауважимо, що деякі сталі Л/° можуть дорівнювати нулю.
Запишемо многочлен у знаменнику правильного дробу в (15) у
вигляді
(№ + рхх + <71)Р’ (Xа -ь р2х +	... (Xа + ркх 4- ?й)Рй =
= (х2 + ргх +	(х),
226
де (х) — многочлен, нулі якого комплексні і не збігаються з ну-
лями та квадратного тричлена х2 4- ргх +
Підберемо такі сталі Л1Р та Л/Р, щоб виконувалася тотож-
ність
_________Рр,(х)	М<"х + ^	Р£> (х)
(х2 + рхх + д1)0ІСР] (х) (ха 4- рхх + «і)0,	(х2 + РіХ 4- Уі)01”1	(х) *
(16)
де Р$ (х) — деякий многочлен.
Записуючи ліву частину тотожності (16) у вигляді
\ (х)	= И'>х + ЛГр РР: (х) - (Л1}1>х+ ІУ*,1») <3&,(Х)
(Xа 4- рхх 4- <?і)01Ор,(х)	(х2 4- РХХ 4- «і)0’	(х2 4- ріХ 4- </1)0,СРі (х)
(17)
бачимо, що потрібні нам числа Л4ІІ) і ЛГг’ існують лише тоді,
коли многочлен Р(х) = Рр,(х) — (Мі'** 4- ^іІ))Ср, (х) ділиться на
квадратний тричлен Xі 4- рхх 4- <?) без остачі. Але для цього нулі
г7 та гх цього квадратного тричлена повинні бути також нулями
многочлена Р(х). Нехай гх = ах 4- іЬг, Ьу^О. Для визначення
констант та Л^і1) дістанемо рівняння Р(г1) = 0, еквівалентне
рівнянню
+ <18>
яке має смисл внаслідок умови (гх) #= о. Підставляючи в (18)
•і * «і + тн виділяючи в обох частинах одержаних виразів
дійсні та уявні частини, дістаємо рівняння виду
М|,,а14- Л/{1) 4-ШІ’Ч = <* + Ф,	(19)
еквівалентне системі рівнянь
= 0.
Оскільки =И= 0, то система (20) має єдиний розв’язок.
Елементарні підрахунки показують, що
= Ке Йтїт - ггйт •
(2і)	(аі) “і ^3, (2і)
1 Іродовжимо цей проце® виділення елементарних дробів до пов-
•	•	/	2	।	і
НОГО вичерпання усіх СПІВМНОЖНИКІВ виду (х + РіХ + Яі)
(І ТТЛ). У результаті дістанемо зображення правильного дробу
н*
227
Р(х)
<1 (х)
у вигляді
Р(х)
Ч(х)
а, аі
к
/•=1 /'=1
М/>х + ЛГ/>
(х2 + р(х + <7<)Рг-/+1
(21)
Таким чином, інтегрування правильного раціонального дробу
зводиться до інтегрування чотирьох типів елементарних дробів!
А
х— а '
Мx + N .
х* + рх + д ’
а> 1, «€№
Р>1’Р€И.
Обчислення первісних цих функцій проводилося вище.
У загальному випадку первісна раціональної функції на ліній-
но-зв’язній множині є сумою раціональних функцій, логарифмів і
арктангенсів. Видатний український математик М. В. Остроград-
ський (1801 —1862) запропонував метод відшукання суми раціо-
нальних доданків, яка називається раціональною частиною пер-
вісної. Цей метод не потребує обчислення нулів знаменника раціо-
нальної функції. Останнє має велике значення, бо відшукання ну-
лів многочлена є складним завданням і в наш час.
Нагадаємо правило Евкліда відшукання найбільшого спільно-
го дільника двох алгебраїчних многочленів Рг та Р2. Нехай степінь
многочлена Рх не нижчий за степінь многочлена Р2. Тоді ділимо Рг
на Р2. Якщо ділення відбувається без залишку, то Р2 є найбільшим
спільним дільником многочленів Р} і Р2. Якщо в залишку дістають
многочлен Р3і то його степінь менший за степінь многочлена Р2 і
процес ділення повторюється для многочленів Р2 й Р3. Після скін-
ченної кількості таких операцій дістають многочлен Рп, який і е
найбільшим спільним дільником Рг і Р2.
Приклад 1. Знайти найбільший спільний дільник многочленів
Рх (х) = х4 — 2х3 + 2х — 1, Р.. (х) = 2х3 — Зх2 + 1.
Скористаємося алгоритмом Евкліда. Маємо
х4 — 2х3 + 2х — 1 |2х3 — Зх2 + 1
2х3 — Зх2 + 1 |х? — 2х + 1
2х+ 1
2х3 — 4х2 + 2х
х2 — 2х + 1
х2 — 2х + 1
0
Найбільшим спільним дільником Ру і Р2 є многочлен (І (х) = х2 — 2х + 1, який
відрізняється від Р8 лише сталим множником —
228
р
Нехай / ““о"—раціональна функція і О?—лінійно-зв’язна
множина, на якій () (х) =/= 0. Позначимо через & найбільший спіль-
ний дільник многочленів (), (}' і нехай 0 = фіф2- Можна вважати,
що степінь многочлена Р менший за степінь многочлена ф. Позна-
чимо через Рх і Р2 многочлени з невизначеними коефіцієнтами, кож-
ний з яких має формальний степінь на одиницю менший, ніж відпо-
відно степені многочленів, (?!, ф2- М. В. Остроградський запропо-
нував метод відшукання коефіцієнтів многочленів Рг і Р2і який при-
водить до тотожності
(22)
її права частина може
бути записана у вигляді
- Р&'і
р:<з2 — р1
р2 12	1 <11	21
^2
<2.С,
Доведемо, що функція п е многочленом. З цією метою запи-
И1ЄМО ТОТОЖНІСТЬ (ФіФ,)' — (? “ <2|Са + з якої випливає ПО-
ДІЛЬНІСТЬ МНОГОЧЛіМ	на многочлен Сі Після
ЦЬОГО, ИОрІВІІЮЮ'ІИ коефіцієнти многочленів Р І Р|ф2—о~- +
•|- /’,СА, дістаємо систему рівнянь для відшукання невизначених
коефіцієнтів многочленів /1 І Ра. Тотожність (22) зводить пошук
первісної функції -д- до аналогічної, але більш простої задачі
ДЛИ функції ті** Якщо пулі многочлена не вдається знайти,
То функцію ф Інтегрують за допомогою квадратурних формул або
попередньо розвивають її в степеневий ряд. У випадку, коли нулі
многочлені С2і відомі, його можна записати у вигляді (?3 (х) = (х —
— Лі) . (X — Хщ) (Xа + РуХ + Ці) ... (х4 -н р„х + <7Й), а правильний
дріб — у ВИГЛЯДІ суми простих дробів і проінтегрувати ко-
ЖОТ лодвном окремо.
Приклад У. Знайти первісну функції х »-► о	х > 2.
х* — 2х8 4- 2х — 1
Скористаємося методом Остроградського. Маємо
Ц(х)-х* —2х84-2х—1, О7 (х) = 4ха — 6x2 + 2 Ух>2,
Згідно з прикладом 1, найбільшим спільним дільником й ф' є многочлен Сі (х) =
« Xі — 2х + 1. Діленням СІ на (}] визначаємо многочлен (х) = х2 — 1. Оскіль-
ки нулі многочлена <2а (х) очевидні, то, користуючись методом Остроградського,
дістаємо рівність
_________х________	/ дх + 6	\' с (І
& — 2х3 4- 2х — 1 ^ха — 2х4~1 ) х — 1 х 4- 1 ’
229
Для визначення коефіцієнтів а, Ь, с, й перетворимо її праву частину:
(0 (Х _ 1) _ 2 (ах + Ь)) (х + 1) + с (х — 1)2 (х + 1) + (і (х — 1)»
(х-1)3(х+1)
Далі, запишемо тотожність
х = (— ах — а — 2Ь) (х + 1) + (х — І)2 ((с + 4) х + с — сі). (23)
Порівнюючи коефіцієнти при х3 та покладаючи в (23) х = 0, х = 1, х = —1, діста-
ємо с + (і = 0, —а — 2Ь 4- с — сі — 0, (—2а — 2Ь) 2 = 1, 4 (—2гі) = —1. З цієї
системи рівнянь знаходимо а = — -А-* Ь = 0, с = — -А-, — _1_. Таким чином,
ми
і* — 2^3 + 2/ — 1
х	1
= — 4(х? — 2х+ 1) *§
х+ 1
X — 1
У(х0>2, х>2).
Розглянемо важливі класи функцій: тригонометричні, много-
п
члени виду Тп (х) == (ак соз кх+ Ьк зіп кх) V (а £ Ь 6 В<, /?€И),
&=о
функції хь>еахсоз&х, х 6а* зїп Ьх та їх лінійні комбінацій
Вони інтегруються без труднощів. Наприклад:
л	п
С Та (і) йі = айх + -у (ак зіп кх — Ьк соз кх) 4- С,
Й=1
У (еа1 соз Ьі + іеаі зіп Ьі) йі = у е(а+ІЬ)ііїі =
Х(,	Хо
О
а -|- іЬ
і=х
І=Хц
еах (соз Ьх 4- і зіп Ьх) (а — ІЬ)
С^Сг + іС* (С^К, С2ЄК).
Порівнюючи між собою дійсні й уявні частини, дістаємо
У еаі соз ЬШІ = д2 (а соз Ьх + Ь зіп Ьх) + СІ9 (24)
х0
І*	еах
У еа1 зіп Ьійі = (а зіп Ьх — Ь соз Ьх) + С2.
Хо
(25)
Формули (24), (25) залишаються вірними, якщох 6 (С, С (0, Ь 6 (С>
а2 + Ь2 #= 0.
Відшукання первісних для деяких класів елементарних функ-
цій можна звести до аналогічної задачі для раціональних функцій
за допомогою заміни змінної. Розглянемо кілька вказаних класів
функцій.
1. Композиція відображення х^ (зіп х, соз х), х 6 К, і раціональ-
ної функції (и, у)н^/?(и,с/) V (и, у) £ Иц сг П<2 назвемо функцією,
230
раціонально залежною від синуса й косинуса. Тї значення в точці
х позначимо через Я (зіп х, соз х). Заміна змінної = нази-
вається універсальною підстановкою. Оскільки віп І = }	8 ,
1 _ п2	2
соз і == ,"т' у , і = 2 агс у, і =	-2 , то універсальна підста-
новка приводить до інтегрування раціональної функції. Взявши
до уваги, що -у| =------------—т— , вказаною підстановкою можна
'	'2 СО5а -у
користуватися лише на лінійно-зв’язних множинах, які не міс-
тять нулів функції Хі->СО8-^-.
II. Аналогічного змісту надамо функції, яка раціонально зале-
жить від х та ах2 + Ьх + с, значення якої в точці х позначимо
через /? (я, Ках2 + Ьх + с). Ейлер вказав підстановки, які зво-
дять інтегрування вказаної функції до відшукання первісної раці-
ональної функції:
1)	1Лй2 + Ьі + с ® ± Уаі 4- у, якщо а>0;
2)	Уаі2 + Ьі 4- с = ± Ус 4- іу, якщо с>0;
3)	Каі2 Ьі-+ с = у(і — Х(), де хг — дійсний корінь рівняння
ах2 4- Ьх 4- с = 0.
III, Видатний російський математик П. Л. Чебишев дослідив
випадки, коли первісна відображення х хг (а + Ьх?)р виража-
ється через елементарні функції. Обмежимося вказівкою підста-
новок, які приводять до інтегрування раціональних функцій!
1)	і = у\ якщо р£%, Ги4’ ’Т’’
2)	а 4- Ьі" = у1, якщо	р= -&• ,	Рі£%‘,
3)	аГ9 + Ь=*уу, якщо /4- р) €2, Р = V" -
В Інших випадках раціоналізація неможлива..
Існує багато різних штучних прийомів, які дають змогу виража-
ти ПврвІОМІ черев елементарні функції. Однак надмірне захоплення
подібними вадячими уявляється нам недоцільним.
С VI
Приклад 3. Обчислити Цх) — І ------я—— Л, <>0.
І (і 4- 3/02
1
Замінимо імініім, покладаючи / = Тоді = 6и§, «г=лс6 при / = х і
и «» 0 при і  0» Дістаємо
1	і
х~	X6
С и8	Сі	4и2 4- 3 \
/ (х)  6 \	и8)8	= 6	— 2иа 4- 3 — ц у сій =
231
Л
А С и*
З (і+«г)2 аи
о
1
6 О	і	1	2_ Хл	!
«ух6 — 4х2 4-18х6 — 18агсІ£х6 + 3 ц (~+ и?) ^и'
о
X ®
1.Г.ГР.Л (, Ю - у »(тт^)' •	інтегрування
0
частинами:
і
и=х 6
и=0
— агсі§ и
Остаточно дістанемо
5	1
І (х) = —х^ — 4х 2
5
і
+ 18х6 +
1
— 21агсІ£ х 6 .
Покажемо, як розв’язується цей приклад за допомогою розвинення підінте-
гральної функції в ряд. За формулою суми членів геометричної прогресії маємо
6=0
Диференціюванням дістаємо рівність, корисну при розв’язуванні різних задач:
оо
~Г4. х}2 = £ (-	| X І < 1.	(26)
1
Якщо | х І < 1, то
Ь=1
Одержана відповідь дає можливість продовжити первісну в перетин С з одиничним
кругом Кі = {з С С | | г | < 1}. Надаємо читачу можливість провести відповідні
міркування.
232
Застосовуючи розвинення функції в ряд, можна знайти первісну І при х > 1,
Для цього досить записати тотожність
і
скористатися формулою (26) при х = и і обчислити інтеграл
Відповідь, що дістанемо, дає можливість продовжити первісну в перетин ©із
зовнішністю одиничного круга
Вправи
І.	Нехай х <р (х), х ф (х),	= О^= X і функції ф, ф диференційовні
V х Є X, Знайти у' (х), якщо:
а)	У (ж) = Vф2 (*) + Ф2 (*);
б)	у (х) = агсі§	(ф (х)	0);
в)	У (х) = Ф< V Ф(*) (Ф (*) ¥= 0, ф (х) > 0)}
г)	у (х) = І0£ф(х)ф (х) (<р (х) > 0, ф (х) > 0).
2.	Довести, що похідна /' функції 0? К, де
{1
х2 соз х + 5х3, якщо х Є К\ {0},
0, якщо х = 0(
розривна у точці х = 0.
3.	Знайти /' (а), якщо / (х) = (х — а) ф (х),	= К, де ф — неперервна в
точці а функція.
4. Довести, що функція К -> К, де / (х) функція, ф (а)	0), не має похідної в точці а. 5. Обчислити: X	X а) § і3еЗІ(іі} б) С еаі зіп8 Ьійі\ в) 0	0	0 я 2я	~2 Г> У Ц-8СО8Х	д) І 0	0 1 п 2	Уз е)	хе~х<1х', є) У хагсі£хгіх; ж) І)	0 „ (,+, _ і);+ 1 2	= | х — а | ф (х) (ф — неперервна к *	аі	 | 2зіп і — соз /4-5 ’ (ІХ а2 зіп2 х 4- д2 соз2 х	^0)’ і Г 1 4-Х2 ] 1 + х* йх' —1
233
§ 7. Первісна (у широкому розумінні У
функції /: ІК ІК‘
Теорія інтеграла Рімана
Геометричні задачі, які в сучасних позначеннях записуються
Ь	'Ь
через інтеграл § хсіх або § х2гіх, розглядав ще за давніх-давен Архі-
мед. Творчість Коші являє собою повернення до здорових традицій
античного періоду й початку XVII ст., але спирається на засоби,
ще недостатні у технічному відношенні. Визначений інтеграл, який
залишався надто довго на другому плані, стає першорядним понят-
ь
тям, для якого Коші остаточно ввів позначення / (х) сіх, запро-
а
поноване Фур’є (див. п. 3.3). Після запровадження інтеграла Коші
можна вже було ставити питання про існування інтеграла для
функцій того або іншого класу. Коші запропонував доведення існу-
вання інтеграла для неперервної функції. Однак через відсутність
поняття рівномірної неперервності доведення Коші не було корект-
ним. Перше коректне доведення існування інтеграла від неперерв-
ної функції було запропоноване Дарбу в 1875 р. Необхідні й до-
статні умови інтегровності розривної функції було вказано в різ-
них формах послідовно Ріманом, Дюбуа-Реймоном, Лебегом про-
тягом XIX ст.
Поставимо собі за мету поширити формулу Ньютона — Лейб-
ніца на клас розривних функцій, інтегровних за Ріманом. Для
цього спочатку узагальнимо поняття первісної, а потім виділимо
класи інтегровних у розумінні Рімана функцій і розповсюдимо
на них формулу Ньютона — Лейбніца.
7.1. Первісна (у широкому розумінні) функції / і Щ -> К
У п. 5.2 доведено існування первісної неперервної функції [а, — -* К.
Така функція набуває усіх проміжних значень між числами у (а)
і / (Ь) (див. наслідок з теореми Коші, п. 5.5, розд. 5). Якщо [а, &]
—Щ є первісною функції [а, Ь] —•* К, то за означенням V х £
6 [л, Р' (х) = / (х) і за теоремою Дарбу (див. п. 2.6) функція /
набуває усіх проміжних значень між числами / (а) і / (6), хоч і може
бути розривною (нагадаємо, що похідна диференційовної функції
може бути розривною і мати лише точки розриву другого роду).
Таким чином, навіть найпростіші кусково-неперервні функції
можуть не мати первісних. Наприклад, функція / (х) = з£п х,
= [а, &], аЬ < 0, не має первісної на сегменті [а, 61, бо набуває
на ньому лише значень —1, 0, 1 і тому не може збігатися з похід-
ною деякої диференційовної функції [а, 6] —яка, згідно з тео-
ремою Дарбу, повинна набувати усіх проміжних значень між
числами —1 та 1.
Узагальнимо тепер поняття первісної на більш широкий клас
функцій.
234
Означення» Нехай X сг К — лінійно-зв'язна множина (тобто*
проміжок числової прямої Ц). Функція X —Щ називається пер-
вісною (у широкому розумінні) функції
якщо Р неперервна і має похідну Р', яка дорівнює / в усіх точках,
доповнення (відносно X) деякої не більш ніж зчисленної частини X.
Згідно з цим означенням, функція / (х) = з£п х, Оі = [а, &],
аЬ < 0, має первісну Р (х) = | х |, Ор = [а, 6], бо функція Р
неперервна і має похідну Р' (х) = 8§п х V х £ [а, 6] \ {0}.
Побудуємо первісну функції, яка розривна на зчисленній мно-
жині точок.
Нехай /(х) = [х], О/= {хЄІК|х>0}. Для звужень /|[п_Ьп] і
/І[„,„+1] маємо ГІ[п-1,п](Х) = (П— О^ + Сп. Р І[п,„+1] (X) = ПХ 4-
+ Сп+ь 3 умови неперервності функції Р у точках х = п, п £ И,
маємо
Р (л 0) = (п 1) п + Сп, Р |[П п+і] (л + 0) = па 4- Сп+1>
= Сп п,
звідки С2 = С1—1, С3 = С1—З, СІ = С1 — 6,... ,С„+1 =Сг —
— п (п + 1) , п _ до Покладемо Сі = сопзі = 0. Тоді функція
&
Р(х) = ІХ] х---М	, Ор = Оу, є первісною функції Л Во-
на неперервна \/х£йр і Р' (х) = /(х) = [х] Ух^О/\И. Якщо
утворювати нові функції шляхом зміни значень функції / на не
більш ніж зчисленній множині ТОЧОК X Є О/, то для кожної з них
функція Р залишається первісною в широкому розумінні.
Теорема. Нехай Рх та Р2 — первісні функції [а, Ь1 Тоді
існує така стала С С К, що V х £ [а, Ь] Р2 (х) = Рг (х) + С.
◄ Функції ри Р2 неперервні і диференційовні кожна в усіх точ-
ках доповнення (відносно сегмента [а, 6]) деякої не більш ніж
зчисленної його частини, причому в точках диференційовності
Л’/ (х) = / (х) (/ = 1, 2). Розглянемо функцію Ф = Р2 — Р19 Оф =
— І а, &]. Вона неперервна, а її похідна Ф' (х) = 0 у кожній точці
сегмента [а, &] за винятком не більш ніж зчисленної множини його
точок. За наслідком 2 з теореми п. 2.8 V х £ [а, Ь] Ф (х) == С,
де С С ІК — стала. Таким чином, Р2 (х) = Рг (х) + С V х Є [а,
Початкові відомості про інтеграл Рімана наведено в п. 5.3.
Розглянемо ще одне означення цього інтеграла, яке належить Дар-
Пу.
7.2. Суми Дарбу і їх властивості. Верхній та нижній інтеграли
РІМйіій Критерій інтегровності функції за Ріманом. Згідно з озна-
ченням (див. п. 5.3), розбиттям сегмента [а, Ь] с: К називається
мпожпші точок Р = РМІ = {хк | к = 0, п}, де а = х0 < хг <
< ... < хл = Ь. Сегменти [хк, х^_рі] (й = 0, п — 1) називаються
сегментами розбиття, а число тах (х^і — хй) = || Р || нази-
0^к^.п—1
ішється діаметром розбиття Р.
235
Нехай [а, &]—— обмежена функція, Р — Р[а,ьі — роз-
биття сегмента [а, 6],
Мк = зир Дх), /ил= іпї /(X).
*€ Іхк, хЛ-МІ	**+11
Означення 1. Верхньою та нижньою і н т егр аль •
ними сумами Дарбу, відповідними розбиттю Р, називаються
відповідно суми
_	п—Л	п—1
5Р(/) = МкДхк, 8р (/) = ткДхк,	(1)
£=0	й=о
де Дха = ха+і—хк.
Означення 2. Розбиття Р* сегмента 1а, Ь\ називається про-
довженням розбиття Р цього самого сегмента, якщо
Р* => Р, тобто коли кожна точка розбиття Р входить в розбиття
Р*. Розбиття Р є спільним для розбиттів Рх і Р2, якщо Р = Рх Ц
п р2.
Наступні дві леми встановлюють властивості сум Дарбу.
Лема 1. Якщо Р* — продовження розбиття Р, то
8Р (/) < 5Р. (/), 5р. (/) < 8р (/).
(2)
4 Припустимо, що розбиття Р* має рівно на одну точку х*к 6
6(хь, х*+і) більше, ніж розбиття Р. Нехай
= іпї /(х), т(2*> =	іпї	/(х).
Оскільки	(і = 1,2), де тк=	іпї / (х), то
хє[хк, хА+11
5р. (/) — 5р (/) = т\к> (х; — хк) + тр (х4+І — хк) — тк (хк+~хк) >

тобто 8 р. (/) > 8р (/)•
Якщо розбиття Р* має на к точок більше, ніж розбиття Р>
то міркування аналогічні. Нерівність 5р» (/)	(/) пропонуємо
довести самостійно. >
Лема 2. Для будь-яких розбиттів Рг та Р2 сегмента [а, Ь]
виконується нерівність	_
$р,(Л<5р,(/Х	(3)
<< Позначимо Р = Рі II Р2- Розбиття Р є спільним для розбиттів
Рг та Р2 і продовженням кожного з них. Застосовуючи лему 1,
маємо
0 < Зр (/) С 5р (/) < 8Р1 (/). >
236
Нагадаємо, що ми розглядаємо лише обмежені функції [а, &]
—К. Тому множина усіх нижніх сум Дарбу має верхню межу,
а множина усіх верхніх сум Дарбу має нижню межу.
Означення 3. Числа
№* = зир 5р (/),
ДД = іпї 8р (/)
(4)
називаються відповідно нижнім та верхнім інтегра-
лами функції і на сегменті їа, 6].
Лема 3. Для будь-якої обмеженої функції [а, 6] —П< викону-
ється нерівність
І [дх.
(5)
◄ Нехай Р± та Р2 — довільні розбиття сегмента [а, 61. Згідно з ле
мою 2, маємо
(/> < 5 р, </)•
Фіксуючи розбиття Р2 і обчислюючи верхню межу множини
{Зр, (/)} за всіма можливими розбиттями дістаємо нерівність
С [сіх = зир 8Р (/) с 8Р (/).
2 р, '
Обчислюючи в останній нерівності нижню межу множини (5р, (/)}
за всіма можливими розбиттями Р2, дістаємо нерівність
С [сіх = іпї 5Р ,(/) > С [<іх ►
•» р, *	1
Тепер дамо нове означення інтеграла Рімана, про яке згадувало-
ся вище.
Означення 4. Функція [а, 61 — *	називається і н т е гр о в -
н о ю за Ріманом на сегменті Іа, &], якщо
С }сіх = С /с£х.	(6)
V	V
а спільне значення нижнього й верхнього інтегралів цієї функції
називається її і н т е г р а л о м Рімана і позначається сим-
ь
волом У / (х) (їх.
а
Множину всіх інтегровних за Ріманом на сегменті [а, Ь] функцій
позначимо через 7? [а, Ь].
Теорема (критерій інтегровності функції). Для того щоб об-
межена функція їа, Ь]--*її{була інтегровною на сегменті [а, Ь\,
необхідно й достатньо, щоб V є > 0 існувало таке розбиття Р =
— Р\и,ІЦі ЩО
0^5р(/)-5р(/)<є.	(7)
237
<4 Необхідність. Нехай Ь] і е>0. Тоді у/йх = у/йх =±
ь	(	~
= у / (х) сіх і внаслідок властивостей нижньої й верхньої меж
а
ЧИСЛОВИХ МНОЖИН Існують такі розбиття Р} = Р[а,б], р% = Рса^],
що
_ ь	ь
$р, (/) - р (х) Ох <	, р (х) <Іх - 5Рг (/) < -у •
а	а
Нехай Р[а,йі = Р[а,ь] ІТСб]. Застосовуючи лему 2, дістаємо не-
рівності
_	_	ь
8Р (/) < 5Рі (/) < р (х) ах + -% < 5р> (/) + в < Зр (/) + 8,
а
тобто 0 < 5р (/) — 5р (/) < 8.
Достатність. Нехай Уе>0 існує таке розбиття Р =
що 0 8р (|) — 8р (/) < 8. Тоді з нерівностей
5р (/) < рйх < у [ах < 8р (/)
випливає нерівність 0 у [сіх — у [сіх < в, яка означає, що [ £
€#|а, Ь]. >
7.3. Еквівалентність двох означень інтеграла Рімана. У п. 5.3
визначено інтеграл Рімана функції [а, &І К на сегменті [а, й]
як границю інтегральних сум, тобто
л
р(х)гіх=1ші 8р(/,5р),	(1)
«І	ІІРІКО
а
де %р — множина проміжних точок, а права частина цієї рівності
має такий зміст:
(/= Ііт 5р(Д|р))Ф>
ііріі-о
& (Уе > 0 36 > 0: V (Р = Рад, (Ц Р Ц < 6Н15р(МР)-/ |<е).
Теорема 1. Дкщо при ||Р||-»-0 існує Ііт 8р (/, £р) =/, то
ь
[^Д[а,Ь] і {[(х)ах = І.
а
◄ При виконанні умов теореми V е > 0 існує таке 6 > 0, що для
будь-якого розбиття Р = Р\а.ь\, яке задовольняє умову || Р || <
< 6, і для будь-якої множини проміжних точок виконується не-
рівність
|5р(/ЛР)-/|.<у ,
238
еквівалентна нерівностям
/--|-<5р(ЛВр)<7 + у •	(2)
Фіксуємо таке розбиття Р[а,ь]. Нехай
Мй= зир /(х), тк — іпі [(х).
хе.1хк,хк+і]	хЄ.Іхк,хк+\]
Тоді У£йЄ[хЛ, *Л+11	і Ув>0 існує таке 6 [хй. хй+1],
Щ° /(£*) > Мк---. Таким чином, У£р 8Р (/, 1Р) < 5Р (0 і
Ує > 0 38р (/, І'р): 8р (/, Ір) > 5р (/) — 8, тобто при фіксованому
розбитті Р = Р[а,Ь] верхня сума 8р 0 є верхньою межею множи-
ни інтегральних сум 8Р ф %р):
8Р (/) = зир 5 (А 1Р).
Аналогічно 8Р (/) = іпї 5 (/, %р). З нерівностей (2) маємо оцінки
(3)
Дістали, що Уе > 0 ЗР = Р[а,ь)'
5р(/)-5р(/)<48<8.
Згідно з теоремою з п. 7.2, / £ Р {а, д]. З рівностей
_ ь
У (йх = ( рІх = у / (х) сіх
“*	а
та нерівностей
у^х<уМх<5Р(/)^/ + у
ь
випливає, що у/(х)йх=/. ►
а
Теорема 2. Якщо [£Р[а, &], то
ь
І — (Нх)сіх= Ііт 5р (/, 5р).	(4)
ЦРІІн-0
а
4 Спочатку доведемо, що Ііт 5р (/) = Ііт 8Р (/) « І. Тоді з не-
||РІІ-»0_	ЦРІНО-
рішіостей 8р (/)^5р (/, £р)^£р (/) дістанемо граничне співвід-
иоиіеіиіня (4).
Оскільки 1 = 'ті8рф, то Ув>0 3/\ = Р^.аі- 8р,(/)</ +
р
-|- 4- • 1 Ірипускаючи, що інтервал (а, Ь) містить т точок розбит-
239
тя Ри покладемо 6 =	, де со/ — коливання функції [а, Ь] 0?
на сегменті | а, &], і розглянемо довільне розбиття Р = Р[алі> ял я
якого Ц Р Ц <
мо розбиття
6. Оцінимо різницю 5р (/) — /. Для цього розгляне-
Р2 = Ру 0 Р. Згідно з лемою 2, маємо 8Рг (/)
< 5р, (/), а
Оскільки
з нерівності (/) < / +4 випливає, що 8р2(/) <
розбиття Р2 є продовженням розбиттів Ру та Р, а ін-
тервал (а, Ь) містить рівно т точок розбиття Рь то виконується
оцінка 5р (/) — 5р? (/) < гисо/6 = 4- Отже, 8р (/)</ + є. Взяв-
ши до уваги нерівність 5р (/)	/, дістанемо нерівності 0 8Р (/) —
— І < е. Оскільки Р = Р\а,Ь) — довільне розбиття, для якого
|| Р Ц < 6, то, згідно з означенням, існує Ііт 8р (/) = І.
II Р ІНО
Для доведення граничного співвідношення ііт 8р (/) = /
І|Р|Н-<! ~
розглянемо функцію <р = —/і використаємо одержаний резуль-
тат.
З нерівностей 8р (/) 8р (/, £р) 8р (/), які виконуються
при будь-якому розбитті Р = Р[а,ь] і будь-якому виборі множини
проміжних точок £р, дістанемо граничне співвідношення (4).
Теореми 1 та 2 встановлюють еквівалентність двох означень
інтеграла Рімана обмеженої функції [а, К.
а
Дамо означення інтеграла £ / (х) сіх, якщо а < Ь.
ь
Означення І. Розбиттям Р' сегмента [а, у напрямі
від точки Ь до точки а назвемо множину точок Р' = {#0 =* Ь, ух,...,
Уп = а}> де Ук > Уь+і, /? = 0, п — 1.
Нехай [а, Ь] —К, — обмежена функція, Р' — розбиття сег-
мента [а, Ь] у напрямі від точки Ь до точки а. На кожному сегменті
Ук+\\ виберемо довільну ТОЧКу І уТВОрИМО Суму
п—1
8Р> (І, ір') = X / &) (^+1 - ук).	(5)
к=0
Означення 2. Якщо існує ііт 8р' (/, V*) = то функція ї
||Р'ІІ->0
називається і н т е г р о єною на с е г м е н т і [а, Ь] у напрямі
від точки Ь до точки а і ця границя позначається символом
V = у / (х) йх.
ь
240
Теорема З.Якщо / €	[а, Й, то функція } інтегровна у напрямі
від точки Ь до точки а і при цьому
а	Ь
Ї[(х)с1.х =—^(х)<іх.	(6)
/)	а
<4 В інтегральній сумі (5) покладемо = £>п~-к, Ук = хп^к< Тоді
вона набуває вигляду
(А ІР') ~	(5п—Л) (Х/і—і —	=
6=0
— —	/ (5«—к) (Хп~к ~ Хп—к—д в	Зр (/9 £р),
й=0
де Р — {хк | к = 0, п}, а = х0<.х1<....<.хп = Ь. Оскільки
£/?[а, 6] і ||Р||-»-0, коли Ц Р' ||->-0, то існує
а	Ь
Ііт 8р. (1,1р-) = С } (х) Ох = — Ііт 8Р (/, |Р) = — С Ї(х)с1х. ►
І|Р'І|-.О	З	І|Р||*0	З
О	а
Наша найголовніша мета — виділити усі класи функцій [а, 6]	П{,
інтегровних за Ріманом. Оскільки
П-*ч1	П—1
5р (/) — 8Р (!) = 2 (Мй — тк) ДхЛ =
4=0	4=0
де соА — коливання функції / на сегменті [х4, х*_|_і], то будемо
користуватися критерієм інтегровності функції за Ріманом у формі
п—1
(КЯ[а, &])^(Уе>0 9Р = Р[а>6]:2 ®ьЛхк<в). (7)
А?=0
Для доведення теореми Лебега про необхідну й достатню умови
Інтегровності функції за Ріманом розглянемо деякі нові поняття і
доведемо допоміжні теореми.
7.4. Міра 0 Лебега й міра 0 Жордана.
Означення 1. Мірою р7 сегмента 7 — [а, Й, а також
мірою р7 інтервалу 3 = (а, Ь) називають їх довжину,
тобто число Ь — а.
У наступному означенні використовується поняття покриття
множини (див. п. 5.5, розд. 5).
Означення 2. Множина X а Щ має лебегову міру 0,
нкіцо V е >> 0 існує таке зчисленне покриття (7/)/єм Цієї множини
оо
сім*вю Інтервалів 7/, міри яких р7/ = р/, що^ р/ < е.
З означення 2 випливає, що коли множина X с ІІ{ має лебегову
міру 0 і Е с: X, то множина Е також має міру 0. Оскільки порожня
множина є підмножиною кожної множини, то приймаємо, що вона
має міру 0.
241
Розглянемо приклади множин лебегової міри 0.
І) Якщо множина точок X с К скінченна, то вона має лебегову
міру 0.
2) Якщо множина X с К ачисленна, то вона має лебегову мі-
ру 0, оскільки Ує>0 та для кожної точки х^Х можна вибра-
ти такий інтервал 7; з мірою що х^7> і при цьому V і 6 М
Тоді
1=1
Наступні теореми використовуються при доведенні теореми
Лебега.
оо
Теорема 1. Якщо Х = І) Х7-,	\//€И * кожна мно-
/=і
жина має лебегову міру 0, то множина X також є множи-
ною лебегової міри 0.
4 Нехай е>0. Оскільки Х^—множина лебегової міри 0, то
існує таке її зчисленне покриття	інтервалами 7^, міри
оо
яких
Щ°
І=1
Сім’я усіх таких покриттів
покриває усю множину X. Згідно з теоремою 2,
п. 1.10, розд. 1, ця сім’я зчисленна, тому інтервали, які в неї вхо-
дять, можна занумерувати в послідовність (7Д Тоді послідовність
мір цих інтервалів сумовна і при цьому
6ЄИ 7=1 (=1	/=1
Множина X покривається зчисленною сім’єю інтервалів (7й)^м,
спільна сума довжин яких менша довільного е>0, тому X — мно-
жина лебегової міри 0. ►
Означення 3. Множина X с К має ж о р д а н о в у міру
0, якщо V є >> 0 існує таке скінченне покриття цієї множини сім'єю
(7/)/с40 (множина Ао — скінченна) інтервалів 7/, міри яких рі/, що
2 Н/ < е-
З означення 3 випливає, що будь-яка множина X с К жорда-
нової міри 0 є одночасно множиною лебегової міри 0, але не на-
впаки.
Теорема 2. Компакт К К лебегової міри 0 є множиною
жорданової міри 0.
◄ Оскільки множина К має лебегову міру 0, то Ув>0 існує
таке його зчисленне покриття (7;)/ем інтервалами 7/, міри яких
оо
р,, що	За теоремою Бореля—Лебега (див. п. 5.5,
г /=1
розд. 5) з цієї сім’ї інтервалів можна виділити скінченну сім’ю
242
(У{)і$л,(А0— скінченна множина) інтервалів, міри яких р.}( і таку,
Нагадаємо означення коливання функції в точці (див. п. 2.4,
розд. 5).: коливанням функції / :	У точці х0 £ граничній
для множини £>/, називається границя
® (/, *о) = Ііт 0) (/, Хе),
0->>0
(1)
де Хе = £>, п {х€К||х — х0|<6}, <о:/, Хе)= зир {І7(*і) —
£ Хф * ^2 Є ^6
— Л*а)І}-
Теорема 3. Нехай X сг ІК —замкнена множина. Тоді для будь-
якої обмеженої функції X — + К і V є > 0 множина Е = {х £
£ X | (о (Д х) є} замкнена.
Ч Покажемо, що множина Щ \ Е відкрита. Якщо х £ К \ Е,
то можливі два випадки: 1) х £ X; 2) х £ X (у цьому випадку оче-
видно, що со (Д х) < е).
У випадку 1) множина К \ X відкрита (бо множина X замкне-
на) і тому існує такий інтервал 7, що х£7, причому 7 с: К \
\ X с К \ £, тобто х — внутрішня точка множини Щ \ Е.
У випадку 2) з умови со (Д х) < е випливає існування такого
б > 0, що со (Д Уй) < 2е, де = X П {У € К | | у — х | < 6}.
Нехай 7Х — інтервал, який містить точку х і такий, що | у — х | <.
< 6 для усіх у Є 7Х. Візьмемо будь-яку точку у С Ях і покажемо,
що існує таке бі > 0, для якого | г — у | < 6Х => | г — х | < б.
Дійсно, якщо 0<61<6 — \у — х |, то|2 — х|^|г — #| +
‘(- | у — х | < бх + | у — х | < б. Таким чином, со (Д 2^) < 2є, де
Хв, = X П {? Є К | | 2 — у | < бх). Отже, (о (Д у) < є. Оскільки
У Є Ух — довільна точка, то 7Х с= К \ Е, звідки випливає, що
ІК \ Е — відкрита множина. Тому Е — замкнена множина.
Теорема 4. Нехай [а, Ь] К — обмежена функція, в якої
(о (Д х) < є для кожного х £ [а, Ь] і деякого & > 0. Тоді існує таке
розбиття Р = Р^ьу, що
8Р (}) — Ер (!) < 2е (б — а).
◄ Для кожного х £ [а, Ь] існує такий інтервал 7Х, що со (Д 7Х) < 2е.
Оскільки сегмент [а, Ь] — компактна в собі множина, то існує
скінченна сім’я інтервалів 7х, які покривають його. Позначимо
ці інтервали через 7/ (і = 1, п).
Нехай Р = Р [а,б] — таке розбиття, що кожний сегмент 7^ =
* І*л я/ч-і І міститься у деякому інтервалі 7Тоді ю(/, 77)<2є
для кожного сегмента, кінці якого входять в розбиття Р. Вна-
слідок цього маємо
5Р (/) — 8Р (/) =	— а). ►
243
ТеоремаЛебега. Нехайїа, 6] —К — обмежена функція і Е с:
сг І а, Ь\ — множина її точок розриву. Функція [ інтегровна за
Ріманом тоді і тільки тоді, коли Е — множина лебегової міри 0.
◄ Необхідність. Нехай / £	[а, 6]. Введемо позначення Е । =
множина Е і має лебегову міру 0.
п
п
Е і . Покажемо, що кожна
п
Згідно з теоремою 3, множина Е і замкнена, а тому компакт-
п
на в собі (бо вона ще й обмежена). Оскільки ?£К[а,Ь], то
\/(є>0, існує таке розбиття Рп сегмента [а, &] на сегмен-
ти 7/п), що
0 < 8Рп (/) - 8Р (/)<£.	(2)
Нехай РпУ — множина усіх тих сегментів 7/ , які перети-
наються з множиною Е і. Вони покривають множину Е і , причо-
н	п
му для кожного сегмента 7/п) £Рп} виконується умова
=о) 7. ?Г) > 4- •	<3>
Нерівності (2) запишемо у вигляді
ос 2	<4>
де р<.п) — міра сегмента 7/п). З оцінок (3) та (4) дістаємо ланцюг
нерівностей
Отже, У |ЛІЛ> < є, тобто множина Е\ має жорданову міру
0, а отже, і лебегову міру 0. Згідно з теоремою 1, множина Е як
об’єднання зчисленної сім’ї множин міри 0, є множиною лебегової
міри 0.
Достатність. Нехай множина Е має лебегову міру 0. Для до-
вільного є > 0 позначимо через Еє множину тих точок сегмента
[а, &], в кожній з яких ю (/, х) є. Тоді Ее сг Е і множина Е&
має лебегову міру 0 як підмножина множини лебегової міри 0.
Оскільки за теоремою 3 множина Ег компактна в собі, то вона є
множиною жорданової міри 0. Тому існує скінченна сім’я
інтервалів які покривають множину £8, і при цьому 2
ІЄ/1
244
де ц* —міри інтервалів 7*. Нехай Р = Р[а.ь-\ — довільне розбиття,
в яке входять кінці інтервалів 7*. З обмеженості функції / випливає
існування такого сталого числа М > 0, що V х 6 [а,	| / (х) |
М. Тоді коливання О/ функції / на кожному сегменті [х/, х/+і1,
КІНЦІ ЯКОГО ВХОДЯТЬ в розбиття Р, задовольняють нерівність <0/
2М, внаслідок чого виконуються нерівності
2	< 2м н; < 2Мє.	(в)
_	ІЄ!і	КЦ _
мкщо 7/ такий сегмент розбиття Р, що 7/ П Ее = 0, то 7x6
€7/ (о (/, х) < в, отже, згідно з теоремою 4, існує таке розбиття
цього сегмента на сегменти 7/д, що
7; = У
2 ®анл <2е 2= 2є^>
к	к
(7)
де со/л — коливання функції / на сегменті 7/*, ц,* — міра сегмента
7/*, р/ — міра сегмента 7/.
Розглянемо розбиття Рг = в яке входять кінці інтер-
валів 7і та кінці сегментів 7/*. Позначаючи через т індекс під-
сумовування, дістаємо
2 “тНт = 2	®ЛІ*Л < 2МС + 2 Є(Х> <
т	іец	і к	І
< 2/Й8 + 2 (Ь — а) в = 2 (Л4 + Ь — а) є.	(8)
Оскільки М та Ь — а — фіксовані числа, а є > 0—довільне,
то з нерівності (8) випливає, що / £	[а, Ь\. ►
Теорема Лебега — центральна в теорії інтеграла Рімана. З цієї
теореми випливає, що класу /? [а, Ь] належать усі обмежені функ-
ції, множина точок розриву яких не більш ніж зчисленна або має
жорданову міру 0. Зокрема, монотонна функція [а, б] —К ін-
тегровна за Ріманом, бо множина її точок розриву може бути не
більш ніж зчисленною (див. п. 1.7, розд. 5). Інтегровність неперерв-
ної на сегменті [а, 61 функції / також є наслідком з теореми Лебега,
бо множина точок розриву такої функції порожня, яка вважається
множиною міри 0.
Як приклад розглянемо функцію Рімана [0, 1]—де

1	т
— , якщо X =-----
п	п
0, якщо х ірраціональне,
т та п (п 1) — взаємно прості цілі числа.
Доведемо, що функція / розривна в кожній раціональній точці
сегмента <0,	1] і неперервна в кожній ірраціональній його точці.
Нехай х0 — раціональне число. Тоді /(х0) = — . Послі-
*7	я
довність	раціональних чисел збігається до числа — =
245
= х0. Оскільки Ііт / (= ііт — = 0, то функція ї розрив-
П-ЇСО \	/ П-+оо ПЧ
на в кожній раціональній точці — .
Я
/ р \
Нехай а £ (0, 1; — ірраціональне число, а (хп —	— довіль-
на послідовність раціональних чисел, збіжна до а. Тоді 1іт<7п =
п-*оо
— 4" °° і
1іт/(хп = Ііт/(-^2-) = Ііт -±- = 0 = /(а),
Н-юо	П-ЮО ' Чп ’	П-+<х>	' ц
тобто функція / неперервна в кожній ірраціональній точці сегмента
10, П.
Таким чином, множина точок розриву обмеженої функції /
зчисленна і за теоремою Лебега / £ /? [0, 1]. Оскільки для будь-
якого розбиття Р = і] КОЖНИЙ сегмент [хл, Х^ц-11 містить
ірраціональні точки, то У [сіх = зир 8р (/) = 0, внаслідок чого
— Р —
і
У / (х) сіх = 0. Після встановлення формули Ньютона — Лейб-
о
ніца для обчислення інтеграла Рімана від будь-якої функції
/ £ Р [а, Ь] її буде застосовано до інтеграла від функції Рімана.
Очевидно, що необмежена на сегменті функція не може бути
інтегровною за Ріманом, бо множина її інтегральних сум не буде
обмеженою. Зрозуміло також, що не кожна обмежена функція ін-
тегровна за Ріманом. Наприклад, функція Діріхле [а, Ьі —К,
де
-	(0, якщо х ірраціональне,
/ (х) — ,
1, якщо х раціональне,
не інтегровна на сегменті [а, Ь]. Дійсно, нехай Р = ^[а.ь] — до-
вільне розбиття. Вибираючи ірраціональне	Дістаємо
п—1
Зр (/, &) = у / (Вл) Дхл = 0, Ііт 5Р (/, Ір) = 0.
Якщо — раціональне, то
п—4
8Р (?, Ір) = V \хк = Ь — а, Ііт 5Р (/, Ь) = Ь — а.
Результат залежить від вибору точок тому функція / не інтегров-
на за Ріманом.
Цікаво, що функція [0, 1] — * К, де Р (х) = С V х £ Ю, П,
С — довільна стала, є первісною в широкому розумінні для функ-
ції Рімана і для функції Діріхле при а = 0, Ь = І. Однак функція
Рімана інтегровна, а функція Діріхле — ні. Таким чином, з іс-
нування первісної в широкому розумінні для функції [а, Щ
246
не випливає її інтегровність за Ріманом, в той час як інтегровність
у розумінні Ньютона — Лейбніца залежить від існування первіс-
ної функції (яку можна було б назвати точною первісною). Цей
факт вартий уваги.
7.5. Інтеграл від функції, заданої на довільній обмеженій мно-
жині. Вимірні за Жорданом множини, їх властивості. Введемо
поняття характеристичної функції множини, за допомогою якої
поняття інтеграла розповсюджується на функції, визначені на до-
вільних обмежених множинах.
Означення 1. Нехай Е с: X <“ К. Функція X— Ш, де
0, якщо х£Х\Е,
1, якщо х£Е,
називається характеристичною функцією (ін-
дикатором) множини Е.
Означення 2. Нехай Е сг [а, сі К, Іа9 ді — -> П< — обмежена
функція. Якщо € Р [я, Ь]> то покладемо
.	де* *
С / (х) йх = у (/хБ) (х) сіх.	(1)
Е	а
ХБ (X) =
Використовуючи означення 2, введемо поняття інтеграла Рі-
мана від функції Е — * К, Е сг [а, Ь] с К.
Означення 3. Нехай Е сг [а, Ь] с Щ, Е— —обмежена функ-
ція. Продовжимо функцію ? на сегмент [а, &], утворивши функцію
[а,	де
ф(х) =
/(х), якщо х£Е,
0, якщо хЄ[а, Ь]\Е.
Якщо <р С /? І а, то покладемо
ЙЄІ Л
\Нх) СІХ = Г ф (х) сіх.
Е	а
(2)
Розглянемо звуження обмеженої функції [а, 6] — •* К на множи-
ну Е = {а} і утворимо функцію [а, Ь] — * К, де
Ф (X) = /Хв (х) =
І (а), якщо х = а,
0, якщо х 6 (а, &].
І)
Функція ф інтегровна за Ріманом на сегменті [а, Ь] і \ ф (х) сіх —
а
с=0, оскільки при /(а)^=0 вона розривна лише в одній точці, а
для будь-якого розбиття Р = Р[аи>) маємо 8р (/) = 0, усіх ==
О	а
= С ф (х) сіх = 0. Покладемо / (х) сіх = /(х) сіх. Згідно з озна-
а	Е	а
247
ченням 2, маємо
а	Ь	Ь
П (х) йх = § (}хБ) (х) йх = С <р (х) йх = 0.	(3)
а	а	а
Введемо до розгляду поняття множини, вимірної за Жорданом.
Це поняття пов’язане безпосередньо з питанням про інтегровність
за Ріманом характеристичної функції цієї множини. Спочатку дамо
означення межі множини.
Означення 4. Нехай £ с В — множина. Її межею дЕ на-
зивається множина усіх точок, кожна з яких в точкою дотикання
як до множини Е, так і до її доповнення СЕ = Ж \ Е.
Наприклад, межею множини Е == {(х, у) £ И<2| х2 + У2 < 2} є
множина дЕ = {(х, у) 6 К2 | х;2 + у2 = 2}. Якщо Е = (а, Ь\,
то дЕ = {а, Ь}.
Межа множини може належати їй або не належати.
Теорема 7. Нехай Е сі [а, д] а: К. Функція [а, К. ін-
тегровна на сегменті [а, &] тоді і тільки тоді, коли межа множини
Е має лебегову міру 0.
Ч Згідно з означенням 2, маємо
ь
( %Е(х)йх = $ йх = Г	(х)йх,
Е	Е	а
якщо інтеграл у правій частині цієї рівності існує.
Нехай х £ Е — внутрішня точка. Тоді існує такий 6-окіл цієї
точки Об (х) = (х — 6, х + 6), що V у £ Об (х) Хд (у) = 1, тобто
•функція Х£ неперервна в кожній внутрішній точці множини Е.
Якщо х £ [а, Ь] — зовнішня по відношенню до множини Е точка
(тобто вона внутрішня для множини К \ Е), то існує такий окіл
Об1 (х) с: К \ £, що V у £ Об, (х) П [а, &] Х£ (у) = 0, тобто
функція Х£ неперервна в точці х. Якщо х £ дЕ, то для будь-якого
околу Об (х) існують такі точки хх та х2, що хх Є Об (х) П £*, х2 £
Є Об (х) ГІ К \ £, і при цьому Хд (хх) = 1, Хд (х2) = 0. Тому
функція Х£ розривна у точці х. Отже, множина точок розриву
функції Хд збігається з межею множини Е. Згідно з теоремою
ь
Лебега, інтеграл %£ (х) існує тоді і тільки тоді, коли множина
а
дЕ має лебегову міру 0 (отже, й жорданову міру 0, бо множина усіх
точок межі множини Е замкнена). ►
Означення 5. Обмежена множина Е с= П<, межа якої має ле-
бегову міру 0, називається вимірною за Жорданом
або ж о р д ан о в о ю,а інтеграл | йх називається ж о р д а н о-
Е
в о ю мірою множини Е або її довжиною і позначається
рЕ.
Зазначимо, що не кожна обмежена множина Е с: К вимірна
за Жорданом, наприклад множина раціональних точок сегмента
їй, 6), бо її межа — весь цей сегмент, міра якого Ь — а^= 0.
248
Теорема 2. Нехай Е, с К, Е, с: К — жорданові множини.
Тоді:
1)	перетин Ег Л Ег є жордановою множиною;
2)	об'єднання Е} І) Еа в жордановою множиною, і якщо Ег та Е,
не перетинаються, то
р. (Е, у Еа) = цЕі 4- цЕа;	(4)
3)	доповнення Е, \ Е, множини Е, до множини Ех о Еа є
жордановою множиною і
ц(Еі\Еа) =	—цЕа.	(5)
◄ 1) Межа множини Е, П Еа міститься в об’єднанні меж множин
Ен Еа, кожна з яких має лебегову міру 0. Отже, межа множини
Е1 Л Еа має міру 0 і ця множина вимірна за Жорданом.
2) Оскільки межа множини Ег 0 Еа також міститься в об’єд-
нанні меж множин Еи Е, нульової міри, то У Еа — жорданова
множина.
Нехай £і П Е8 = 0 і [а, 6] с К — довільний сегмент, який
містить множину Е = Ег У Еа. Тоді
(х) = 1 > якщо х£Е,	Н, якщо х£Е1г
Е |0, якщо х$[а, Ь]\Е; Ег |0, якщо х£[а, Ь]\Е^
1, якщо х£Ел,
0, якщо х£[а, Ь]\Е,.
Отже, Ух £ [а,	(х) «	(х) +	(*)» внаслідок чого маємо
ь	ь
цЕ « |л(Ех у Е,) - у %в(х)0х - у (%Еі (х) + хЕ>(х)).гіх = .
п	а
Ь	ії
" ( X/?, гх) йх 4- у	(х)біх = у сіх 4- У дх = ц.Е1 4- |іЕг
’«	а	Ег	Еі
(ДИВ. П. 8.1).
3) Межа множини Е1 \ Е2 має лебегову міру 0, бо належить
об’єднанню меж множин Е19 Е2, внаслідок чого сама множина ви-
мірна за Жорданом. Згідно з властивістю 2) маємо
звідки випливає рівність (5). >
Таким чином, жорданова міра множини Е, визначена інтегра-
лом У сіх, адитивна.
І
У наступному пункті доведемо теорему про інтегровнівть ком-
позиції функцій. Вона буде використана при доведенні деяких
теорем про інтегровні функції.
7.6. Інтегровність композиції функцій.
Теорема. Нехай [а, &І — - К» / € Іа» 61, с: ІД, В] і ІД>
51 К і|> € С [Я, В], [а, Ь] К. Тоді § 6 Я Іа, ЬІ.
ХЖ. (*>" І
249
◄ 3 умови / £ /? [а, Ь] випливає, що функція / задовольняє крите-
рій Лебега інтегровності за Ріманом.
Композиція § = ф о / неперервна в кожній точці неперерв-
ності функції /, тому також задовольняє критерій Лебега. Отже,
§€Р (а, Я >
Якщо в умовах теореми умову неперервності функції замінити
умовою ф £ Р [Л, В], то твердження в загальному випадку стане
невірним. Нехай, наприклад, [0, 11 —*ІК, (0, 11— де
•Ф(^) =
0, якщо у = 0,
1, якщо //=#0;
' 0, якщо х ірраціональне,
1	т
— , якщо X = — ,
п '	п '
де т та п (п 1) — взаємно прості числа. Очевидно, що ф Є
€ Р Ю, 1], / £ 7? [0, 1]. Разом з тим функція 10, 1] -	- К, де
(фо/) (X) =
0, якщо х ірраціональне,
1, якщо х раціональне,
не інтегровна на сегменті [0, 1] (див. п. 7.4).
§ 8.	Властивості інтегровних
за Ріманом функцій
8.1.	Властивості, виражені рівностями.
Теорема 1. Якщо [ £ Р [а, 6], а £ П<, то а/ £ /? [а, &], причому
ь	ь
Г а/(х) сіх = а р (х) 4х.	(1)
а	а
4 При довільному розбитті Р — Р\_а,Ь] і будь-якому виборі точок
|АЄ[хл, х*ч-і] інтегральна сума 5р (а/, ?р) має вигляд
м—1	п—І
8Р (а/, 5р) = а/ (^) Дхй = а / (£й) Дхь = а5р (/, |Р).
4=0	4=0
Тоді існує
»
Ііт 5р (а/, |р) = а Ііт 8Р (/, |р) = а Г/(х) (їх.
црц-0	при-о	і
Таким чином, а^Р[а,Ь\ і виконується рівність (1). ►
Теорема 2. Якщо?! € Р Іа, ЬІ, € Р (а, &), то ±	£ Р [а, Ь]
і при цьому
б	ь	ь
§ (/і ± /г) (*)ах — рі (х) гіх ± р2 <х)ах- (2)
а	а	а
250
◄ Для довільного розбиття Р = Р\ам і будь-якого вибору точок
В* € І**, -*>+»] маємо
5р (Л ± /2, Ь) = 5р (Д, Ь) ± 5р (/2, £Р).
Перейдемо до границі в одержаній рівності при || Р || -> 0. Її
права частина має границю, яка дорівнює правій частині рів-
ності (2). Тому й ліва частина має границю, внаслідок чого (Д ±
± /2) € Я ІА Ь] і виконується рівність (2). ►
Теорема 3. Якщо / £ /? [а, У, /по | / | £ /? Іа, Ь].
◄ Оскільки / задовольняє умови теореми Лебега, то цю саму
властивість має й функція | / |, бо вона не може мати більше точок
розриву, ніж функція Д *►
Обернене твердження невірне: з інтегровності І ? | не випливає
інтегровність Д наприклад, функція [а,	- К, де
_ і 1, якщо х раціональне,
І—	1, якщо х ірраціональне,
не інтегровна за Ріманом на [а, 6], хоч функція | / | = 1 інтегровна
на цьому сегменті.
Теорема 4. Якщо / £ /? Іа, У, ф £ Р [а, &), то Др Є Р [а, 6].
<4 Якщо функції / і ф мають точки розриву, то множини цих’точок
мають лебегову міру 0 кожна, а множина точок розриву функції /ф
лежить в об’єднанні згаданих множин і, отже, має лебегову міру 0.
Тому Д р Є Іа, 6]. >
Теорема 5. Якщо } £ Р[а, Ь\ і Іа', Ь'] с: [а, &], то / |[а«,
€ Р ІУ, УІ.
◄ Оскільки функція / задовольняє умови теореми Лебега, то її
звуження ь'і задовольняє ці умови на сегменті [а\ Ь'] й по-
готів. >
г
Теорема 6. Нехай [а, 6]->К, с£(а, Ь) і /|[о>(;]	[а, сі, /|[с>6)Є
СЯ|с, />|. Тоді	і при цьому виконується рівність
Ь	с	Ь
У /(х)йх — ( }(х)йх + С /(х)йх,	(3)
а	а	с
у правій частині якої з метою спрощення функцію і її звужен-
ня позначено одним символом,
◄ Згідно з означенням 2, п. 7.5, маємо
с	г,	Ь	с
У / (х) йх = £ (/хІОгС1) (X) йх,	у ? (х)йх= у (/х[в>6]) (х) йх.
<і	а	с	а
За теоремою 2 (/х[а>й . +(а, &], причому
ь	ь
У (/Х[а.с) + /Х[е>й]І(*) Лх = у (/Х[а>с])(х)4/Х +
а	а
Ь	о	Ь
+ (/Х[С,Й1) («•) ^х = у Ї(Х) йх + у / (х) йх.	(4}
а	а	о
251
Оскільки Ух£[а,Ь) (7х[а>с] +	= К*). то рівність (4)
рівносильна рівності (3). ►
Теорему доведено для випадку, коли с Є (а, Ь). Якщо с>ЬІ
то [а, Ь] с: [а, с), якщо ж с<а, то [а, ЬІ сг [а, Ь]. У кожному з
цих випадків / £	(а, Ь] згідно з теоремою 5.
Доведемо формулу (3) для випадку, наприклад, коли с > Ь.
Тоді за доведеним маємо
Ь	с
С / (х) сіх 4- С / (х) сіх ~
І І
І (х) сіх,
звідки
Ь	с
/(х) СІХ = С /(х) сіх —
а	а
о	с	Ь
?(х) сіх = С ?(х) сіх 4- У/(х)йх,
а	а
бо
Ь	о
У ?(х)СІХ = — у І (х) сіх.
с	Ь
8.2.	Властивості інтегровних за Ріманом функцій, виражені
нерівностями.
Теорема 1. Якщо [ £ В їа, Ь], д £ В [а, Ь] і V х £ [а, Ь) [ (х)
< д (х), то
а
а
(1)
< Для будь-якого розбиття Р = Р\а,ь-] при довільному виборі
точок Ц £ [хь х*+і1 виконується нерівність 8р (/, ір) 8Р (£,
Перейдемо до границі в цій нерівності при || Р ||	0. Дістане-
мо нерівність (1). >
Наслідок 1. Якщо ї С Я Іа, ЬІ і V х £ [а, Ь] / (х) > 0,
то
ь
§ {(х) сіх 0.
а
Наслідок 2. Якщо ? £ Р [а, Ь], / (х)	0 V х £ [а, 6],
/ ф 0 і хоча б в одній точці х0 (а, Ь) неперервності функції вико-
нується умова } (х0) =/= 0, то існує таке число с> 0, що
Нх)>с.
< За умовою теореми ? (х0) >> 0. З властивості стійкості нерів-
ностей для значень неперервної функції випливає існування такого
околу ОХл = (х0 — б, х0 + 6), що V х £ ОХо виконується нерів-
252
ність / (х) >	. З теореми 6, п. 8.1, та наслідку 1 дістаємо
С/(х)с!х = С /(х)йх + С /(х)4х4- С /(х)гіх^
а	а	-Гв*»0	х44?д
*о-Н	*о+б

Теорема 2. Якщо [£#[а,Ь] і \/х£[а, д] т/(х)	М, то
виконуються нерівності
ь
пг(Ь — а) С / (х) сіх М (Ь — а).	(2)
а
4 Доведення теореми випливає з очевидних рівностей
ь	ь
у тйх = т(Ь — а), у Мйх = М(Ь — а)
а	а
та теореми 1. >
Теорема 3. Якщо [ £ /? [а, Ь]г то
ь
У І (х) (ІХ
ь
У \Цх)\сІх
а
(3)
Оскільки /? [а, Ь], то | / | £ /? [а, Ь] (див. теорему 3, п. 8.1).
Застосовуючи теорему 1 до нерівностей
— ІЛ*)К/(*ХІ/(*)І.
дістаємо нерівності
Л	ь	о
— § І/(*)І(ІХС /(х)сіхС І/(х)Ійх,
а	а	а
які можна записати як одну нерівність
Ь	й
§ Цх)сіх	Г |/(х)|йх. ►
а	а
§ 9. Найважливіші теореми й формули
інтегрального числення
До найважливіших теорем і формул інтегрального числення
відносять теореми про середнє, основну теорему інтегрального
числення, формулу Ньютона — Лейбніца та формули заміни змін-
ної й інтегрування частинами. Вивченню згаданих теорем і формул
варто приділити якомога більше часу. Лише за умови доскональ-
ного володіння предметом можна успішно застосувати інтегральне
числення до розв’язування прикладних задач.
253
9.1. Перша теорема про середнє. За допомогою цієї теореми
можна оцінювати інтеграли, не обчислюючи їх.
Теорема. Якщо / £ /? [а,	[а, Ь] і V х £ [а, 6] § (х)
0 (§ (х) < 0), то виконується рівність
ь	ь
(х) § (х) ах = р С § (X) (ІХ,	(1)
а	а
де /п^р^М, т — іпі /(х), М — $ир !,(х).
хЄ[а,Ь]	х£|іа,6]
< Згідно з теоремою 4, п. 8.1, /££ /? [а, &]. Нехай, наприклад,
§ (х) .> 0 V х £ [а, Ь]. Помножимо обидві частини подвійної
нерівності т / (х) М на £ (х) 2>0, а потім застосуємо теорему
1, п. 8.2. При цьому дістанемо нерівності
ь	ь	ь
т^ § (х) дх (х) £ (х) Ох М С §(х)йх. (2)
а	а	а
Ь
З умови § (х)	0 випливає, що А =® £ § (х) сіх 0 (див. наслідок
а
1 з теореми 1, п. 8.2). Якщо А = 0, то твердження очевидне, а р
в формулі (1) може бути будь-яким числом з сегмента Іт, М].
Якщо А =£ 0, то А > 0 і, поділивши кожну а частин нерівностей
(2) на А, дістанемо нерівності
1 г
т -? 11 (х) § (х) йх	М,	(3)
/1 •/
а
1 Л
Введемо позначення \ р(х)£ (х)сіх = [і. Дістанемо формулу (!)♦
а
Якщо § (х)	0, то, покладаючи ф = —§, дістаємо рівнієть
ь	ь
С / (X) ф (х) ЙХ = Р у ф (X) йх.
а	а
рівносильну рівності (1). >
Наслідок І. Якщо умову [ £ Я [а, &] замінити умовою
[	[а, 6], то формула (1) набував вигляду
^(х)§(х)ах = 1(1)^§(х)ііх,	(4)
а	а
де [а, Ь] — деяка точка.
< Неперервна на сегменті [а, &] функція / набуває усіх проміж-
них значень між числами / (а) і / (Ь) (див. наслідок з теореми Коші,
п. 5.5, розд. 5). Оскільки за теоремою Вейєрштрасса існують такі
точки Хі С Іа, М, х2 $ [а, &], що т == / (х^, М = / (х2), то V ц £
£ [т, МІ існує така точка яка міститься між точками хх та х2
і в якій / (|) = [х. Таким чином, формула (1) набуває вигляду (4). >
254
Наслідок 2. Якщо / £ С [а, 61, то Існує така точка | £
Є [а, 6], що виконується рівність
ь
$ ї(х)Лх = /(£) (6 — а).	(5)
а
< Покладемо в формулі (4) £ (х) == 1. >
9.2. Інтеграл Рімана як функція верхньої межі інтегрування.
Нехай / £ /? [а, 6] і х £ [а, ь] — довільна точка. Тоді, згідно з те-
оремою 5, п. 8.1, можна твердити, що / £[а, х]. Розглянемо
функцію [а, &]—-К, де
ф(х) = С $ (і) Аі.
а
Теорема 1. Якщо [ £ К [а, 6], то Ф С С [а, ЬІ.
<4 Оскільки / £ 7? [а, 6], то існує така стала М > 0, що \/х £
£ [а, 6] виконується оцінка | / (х) | М. Оцінимо різницю Ф (х) —
— Ф(х0), де х0 £ (а, Ь) — довільна точка. Застосуємо теореми 6,
п. 8.1, і 3, п. 8.2. Дістанемо
X	X
|Ф(Х)~ Ф(Х,)| = | У / (/; 4Й | < 5§П (X — х„) У І / (/) І с
*в	X,
< М (X — Хо) 8£П (X — Хо) =» М І X — х0|.
Нехай е > 0. Виберемо б>0 в умови б • Тоді з нерів-
ності | х — х01 < 6 випливає оцінка | Ф (х) — Ф (х0) | < є. За
означенням Коші функція Ф неперервна в кожній внутрішній
точці сегмента [а, о]. Аналогічно можна довести, що функція Ф
неперервна н точці а справа і в точці Ь зліва. к
Пропонуймо читачам самостійно довести це.
Теорема 2 (основна теорема інтегрального числення). Нехай
( £ /? (а, б]. Функція [а, 61 — •* (К, де
X
Ф(х) = р(і)ді,
а
диференційовна в кожній точці х £ Іа, Ь], в якій функція [ неперерв-
на, і при цьому Ф' (х) = / (х).
•4 Нехай функція / неперервна в точці х0 £ (а, Ь). Тоді V е> 0
існує таке б > 0, що V х £ (х0 — б, х0 + б) виконується нерів-
ність І / (х) — / (х0) І < е.
Оцінимо
X — Х„	І V О/
при виконанні умови | х —
— х0 | < б. Оскільки
Ф (X) - Ф (Хо)
х — Хц
1 р
= Т=Т~ (
Хб
255
то
Ф (х) - Ф (х0)
X — х0
— Ьх0) =
1 ?
т-Ц- С (/(П-/ (ХО))ОІ
С|/(0-/( х0) І < 8 (*-	-^, ~ *°> =8,
ІX — х„ | 3 " ' '	' ' #/1	І х — х„ |	’
«о
бо | / (0 — / (х0) | < в для усіх і б (х0 — 6, х0 + б). З одержаної
нерівності випливає, що Ф' (х0) існує, причому Ф' (х0) = / (х0). >
З теорем 1 та 2 дістаємо два важливих наслідки.
Наслідок 1. Якщо ї £С[а,Ь], то функція / має на сегменті
(а, б] первісну Ф, де
ф(х) = С
а
(6)
Наслідок 2. Якщо / £ 7? [а, ЬІ і множина точок розри-
ву функції І не більш ніж зчисленна, то функція [а, Ь] — -> П{, де
х
Ф(х)=р(/)Л,	(7)
а
е первісною (у широкому розумінні) функції ! на сегменті [а, Ь].
4 Згідно з теоремою 1, функція Ф неперервна на сегменті [а,
Ь], а за теоремою 2 вона має похідну в кожній точці х£ [а, Ь],
в якій функція / неперервна, і в кожній такій точці Ф' (х) = / (х).
За означенням (див. п. 7.1) функція Ф є первісною (у широкому
розумінні) функції / на [а, Ь]. >
Теорема 3 (основна формула інтегрального числення). Якщо
/ £ /? [а, ЬІ і множина точок розриву функції ? не більш ніж зчислен-
на, а Р — будь-яка первісна (у широкому розумінні) функції ї на
сегменті [а, Ь], то виконується рівність
= Л(х)|*=» = Л(б)—Л(а),	(8)
а
яка називається формулою Ньютона — Лейбніца.
<4 Нехай [а, ЬІ — ** К — довільна первісна (у широкому розумінні)
функції / на сегменті [а, Ь]. Функція [а, Ь] —К, деФ(х) =
X
= У / (0 йі, також є первісною функції / у тому самому розумінні
а
(тобто Ф £ С Іа, Ь] і Ф' (х) = / (х) в кожній точці сегмента 1а, Ь],
за винятком деякої не більш ніж зчисленної множини його точок).
Згідно з теоремою п. 7.1, існує така стала С £ К, що V х £ Іа9
ЬІ Р (х) — Ф (х) = С. Оскільки Ф (а) = 0, то С = Р (а). Покладе-
мо х = Ь. Дістанемо рівність Ф (Ь) = Р (Ь) — Р (а), рівносильну
формулі (8). >
256
У п. 7.4 показано, що V С£ К функція Р = С е первісною
(у широкому розумінні) функції Рімана [0, 1] — -»ІК,Де
1	т
- , ЯКЩО X = —,
Д якщо х ірраціональне,
т та п (п 1) — взаємно прості цілі числа. За формулою (8) маємо
і
= с = с—с = о.
0
Цей результат було одержано в п. 7.4, але іншим способом.
Для функції / (х) = [х], О і = {х £ К | х 0), побудовано пер-
вісну (у широкому розумінні), а саме функцію
Г(х) = (х]х- ІіИИ+Д ,	=
(див. п. 7.1).
Розглянемо звуження Ф == / |[а,д], де а = 1,- Ь = 541,2, За-
стосовуючи формулу (8), знайдемо
541,2
Ф(х)гіх- Г(54І,2) —Г(1) = 146178,2.
Таким чином, формула Ньютона — Лейбніца розповсюджена
на неї функції / £ /? Іа, 61, множини точок розриву яких не більш
ніж зчисленні.
9.3. Друга теорема про середнє. Наступне твердження є аналогом
перетворення Абеля для сум (див. п. 5.3, розд. 3). Цю теорему за-
стосовують на практиці поряд з формулою інтегрування частинами,
але при цьому дістають більш сильні результати.
Теорема. Нехай [а, Ь] —— монотонна функція, [а, Ь] ->
~ * ІІ{ — інтегровна за Ріманом функція. Тоді існує таке % £ [а,
61, для якого виконується рівність
й	§	Ь
§ ї(х)§(х)(іх = /(а) у ^(х)йх + /(6) у £(х)гіх. (1)
а	а	5
◄ Нехай рівність (1) виконується для випадку, коли / (а) = 0,
І (6) = 1. Якщо / — монотонна функція і /(а) у= / (6), то функція
[а, Ь] —- К, де ф (х) =	також монотонна і ф (а) = 0,
/ (о) — / (а)
Ф (6) = 1. Тоді, записуючи для неї формулу (1), дістаємо
ь	Ь .
( Ф (*) § (*) Лх == С §(х)сіх.	(2)
а	Б
З формули (2) після тотожних перетворень дістаємо формулу (1).
Якщо / (а) = / (6), то Ух £ [а, Ь] [ (х) = [ (Д і формула (1)
257
9 1-2914
Рис. 58
зир
с»
справедлива для будь-якого І £
Є [а, Ь]. Беручи до уваги теорему
Коші про проміжні значення не-
перервної на сегменті функції (див.
наслідок з теореми Коші, п. 5.5,
розд. 5), для доведення формули (2)
досить встановити виконання нерів-
ностей
ь
т = іпї С п (х) йх С
Ь
У Ф (х) 8 (х) йх
а
ь
у § (х) ах = м.	(3)
і
Розіб’ємо сегмент [0, 1] осі Оу на п рівних частин і візьмемо
„такі точки х^, для яких <р(хА) = (рис. 58). Тоді внаслідок мо-
нотонності функції ф ^х6[хА, виконуються нерівності
— Ф (X)	 . Маємо
п \ т \ / \ п
Ь	1 *£+1
У <р(х)§(х)ах = £ у <р(х)§(х)ах.	(4)
а	6=0 х&
Оскільки § (х) = §+ (х) —	(х), де §+ =  1 *е- ,	, і
Х*4-1	**+і
§ Ф(х)^(х)гіх= § ф(х)^+(х)гіх— у Ф (х)	(х) йх
хк	хк
ь	п-л	ь
^(х)£(х)йх = ^ 4 С §(х)ах +	§+ (х)ах =
а	х/г	а
п—4	Ь
^=0 х^
ь
7 ^Я+(Л^ =
а
§{х) ах] +
258
п Ь	Ь	п
У £(х)гіх+ір+(х)^<1£ ЛІ 4-
6=1 х&	а	4«=»1
। Ь	Ь
+ —У £+(хМх = лі 4-- у §+(х)4х.
а	а
В одержаній нерівності перейдемо до границі при я -> оо. Дістанемо
оцінку
ь
[ Ч>(х)§(х)<іх^М.
а
Аналогічно доводиться нерівність
Ь	<
Г <р (х) § (х) сіх^т. ►
а
100
Р
Оцінимо інтеграл / = І —, ІПП ах, застосовуючи формулу
1 X 1" 1 чЛл
(І), » які* М-ТГТЯГ , £(х)  в***. Дістанемо
І	ПНІ
/ « 0,011 •"'г/х 4- 0,005 С е~хйх -» 0,01 (1 — е~') 4-
-|- 0,005 (е“* — е“100), 0 < 5 < 100.
Оскільки Е" 1000, 0<0<1, то інтеграл / набуває вигляду
/ - 0,01 — 0,005 (є-1000 4- є-100) == 0,01 — О,ОО50Х,
де 0, _ е“ІшЮ 4- е~'°“, 0 < 0г < 1.
9.4, Інтеграл Рімана як складна функція верхньої межі. Нехай
І«, 61-І-* ІК, / Є С [а, 61, [а, 0] —- К, Еф а: О(, а0 — ф (х0) і функ-
ція ф диференційовна в кожній точці сегмента [а, 0]. Розглянемо
функцію [а, 6] — * К, де
Р (0 = У / (У)
ап
Вона має похідну Р' (і) = [ (і) V і £ [а, 61. Оскільки Еф с О/,
то визначено композицію Іа, 01 — - К, де
Ф(х)
(Ееф)(х)= у ї(у)<іу.
ф(*»)
Користуючись правилом диференціювання складної функції, ді-
стаємо V х £ Іа, 0] рівність
(Е»ф)' (х) = Р' (ф (х)) ф' (х) = Дф (х)) ф' (х).	(1)
259
— ҐС
йх \ \
Аналогічно, якщо функція [а, 01 —- К диференційовна, Е$ с:
с: О(, Ьг = ф (хг), то функція [а, 01	П{. де
»,	ф(*і)
Ф(0=р(</)^. (Фоф)(х)= у ї(у)Лу,
*	Ш)
має похідну V х £ [а, 0], яка обчислюється за формулою
(Фоф)'(х) = — Ф'(ф(х))ф'и) = —7(Ф(-’С))Ф'(Д	(2)
Знак «—» з’явився внаслідок того, що
Ф(*ї)	Ш)
У Ну)йу = — § ї(у)4у.
Ф(*)	Ш1-)
З формул (1) та (2) дістаємо ще одну формулу
Ну) <іу) =/(ф(х))ф'(х) — /(ф(х))ф' ’х),
Ш)
якщо функції /, ф та ф задовольняють усі вимоги, накладені на
них вище.
Можна послабити вимоги; які накладалися на функції ф та ф,
вважаючи, що вони неперервні на сегменті [а, 0] і диференційовні
на ньому в кожній точці, за винятком не більш ніж зчисленної
множини точок цього сегмента. Тоді формули (1) — (3) справедливі
лише для точок диференційовності функцій ф і ф.
9.	5. Заміна змінної в інтегралі Рімана.
Теорема. Нехай: 1) [а, Ь] / С С [а, Ь1\ 2) [а, р] — Щ,
Ф — диференційовна функція, ер' £ /? [а, 0], с: £>/, ф (а) = а,
Ф (Р) = Ь. Тоді виконується рівність
Ь	Є
У / (х) йх = у ((/ о ф) ф') (0 (ІЇ9
а	а
яку називають формулою заміни змінної в інтегралі Рімана.
◄ Якщо Р— первісна функції / на сегменті [а, &Е то функція
ф = р о ф —- первісна функції і ((/о ф) ф') (і) на сегменті
[а, 0], оскільки V і £ [а, 0]
4 (е » ф) (о=р' (ф (о ф' (о=/ (ф (о ф' (о-
Внаслідок цього маємо
(і
У ((/ о ф) ф') (0 Л = Ф (0) - Ф (а) = (Г о ф) (0) - (Р о ф) (а) =
а
ь
= Г (Ь) — Г [а, = $ Цх) ах. >
а
260
9.	6. Формула інтегрування частинами*
Теорема. Нехай [а9 ЬІ —+ К, Іа, 61 — ** К — диференційовні
функції і £ % [а9 Ь]. Тоді £ /? [а9 Ь] і виконується рівність
Ь	"	ь
$ Нх)§‘ (Х)аХ^=Нх)§(,Х)\Хх2а— § §(Х)Г (х)Лх, (1)
а	а
яку називають формулою інтегрування части-
нами.
◄ Оскільки функції / і § диференційовні, то існує похідна ([§)' =
— Ч" /£' 3 умов теореми випливає, що функція /£' = (/£)' —
— £/' інтегровна на сегменті [а9 Ь]. Взявши до уваги, що
ь
У №)' (X) СІХ = 1 (X) £ (X) ]хх=ьа,
а
дістанемо формулу (1).	-
Вправи
1* Обчислити за допомогою інтегральних сум інтеграли:
4
а) У (1 + х) сіх;
—і
л
зіп хсіх;
л
в) Іп (1 — 2а соз х 4- а2) сіх при | а | < 1 та | а [ > 1.
о
?	ф
2.	Довести, що коли обмежені функції |а, К, (а, д] -► 0? збігаються
скрізь на [а, Ь], за винятком множини X с [а, Ь] жорданової міри 0, то або вони
обидві інтегровні на [а, Ь] і
ь	ь
§ } (х) СІХ = У Ср (х) сіх,
а	а
або вони не інтегровні на [а, д].
ь
3.	Нехай /€ /? [а, &]. Довести, що рівність р (х) сіх =» 0 виконується то-
а
дІ і тільки тоді, коли І (х) = 0 в усіх точках неперервності функції, які належать
сегменту [а, Ь].
4.	Довести інтегровність функцій:
а)
в) х	а4-1 9
0<х^1; б) х »-► [х] х00*^1, 1 х^ 10,5; а> О|
с) [Xа], 2< х<: 12,
5. Обчислити за допомогою формули
Ньютона — Лейбніца:
37л
С	СІХ
а) \	і—і----------» 0 <; е < 1;
7	1 4- є соз х 1	•
—з,1л
і
ан І
261
В) X 8£П (С08 X) (ІХ\
Я
"* 4
2
г) у |е*] Ох-,
о
20л
Д) У 8£П (ЗІП X) СІХ,
Діл
0
2л
7. В інтегралі £ / (х) соз хсіх провести заміну змінної, покладаючи зіп х = і
о
2л
8.	Обчислити (2"^
о
9.	Оцінити інтеграли
2л
г
3 1 + 0,5 соз х *
о
10.	Довести, що ІІп
&Х___________
соз X) (3 + соз х) *
за допомогою теорем
200л
р ЗІП X
б} ]
100л
я
С 8ІППХ^Х = .0.
> у
про середнє:
200
В) 8ІП ЛХ2(ІХ,
100
11. Обчислити інтеграли
о
(агсзіп х)4 сіх;
6)
е х зіп лхйх;
2л
Г а + соз х
в) ] 1 + 2а созх + а2“
о
л
1	2
г) (-	д) У “тХ со82"+‘хйх;
0	л
** "2”
Розділ ;
ЗАСТОСУВАННЯ
ПОХІДНОЇ
ТА ІНТЕГРАЛА
У фізиці, особливо в механіці, крім швидкості широко вико-
ристовується поняття прискорення, без якого неможливо сформу-
лювати закони Ньютона, на які спирається класична механіка.
У зв’язку з цим у математиці розглядається поняття другої по-
хідної як еквівалента прискорення в механіці, а також похідної
довільного порядку, яка узагальнює одночасно поняття швидкості
й прискорення. Ідея одночасного вивчення прямої й оберненої
операцій вимагає наявності інтеграла Ньютона — Лейбніца довіль-
ного порядку Невизначені інтеграли будь-якого порядку роз-
глядалися Лейбніцем. Ними користувалися в своїх дослідженнях
Лагранж і Ейлер. При цьому Ейлер вважав диференціювання опера-
цією складання диференціального рівняння, а інтегрування —
оберненою операцією — розв’язуванням рівняння. У підручниках
з математичного аналізу інтеграли довільного порядку не вивча-
ються через відсутність поняття інтеграла Ньютона — Лейбніца.
Впровадження до розгляду інтеграла Ньютона — Лейбніца до-
вільного порядку надає можливість побачити нетривіальний зв’я-
зок між формулами Ньютона — Лейбніца і Тейлора, застосувати
техніку дослідження інтегралів до вивчення формули Тейлора й до
проблеми розвинення функції в степеневий ряд. Зазначимо, що
в сучасній теорії узагальнених функцій розглядаються невизначені
інтеграли довільного порядку Ч
Крім заторкнутих питань розглянемо й дослідимо невласні
інтеграли, вкажемо застосування похідної й інтеграла до теорії
границь та дослідження функцій на монотонність і опуклість, до
розв’язування задач геометрії й фізики.
§ 1. Застосування похідної й інтеграла
для дослідження функцій
1.1. Невласні інтеграли. Необхідність впровадження невлас-
ного інтеграла Рімана пояснюється тим, що будь-яка функція,
задана на необмеженій множині, а також кожна необмежена функ-
ція не інтегровні за Ріманом. Потреба розширення меж застосувань
1 Владамиров В, С, Обобщенньїе функции в математической физике,—
М„ 1976.
263
інтеграла Ньютона — Лейбніца також приводить до необхідності
подальших його узагальнень.
Означення І. Нехай функція [а, Ь)$ інтегровна за Ріманом
(відповідно за Ньютоном — Лейбніцем) на сегменті [а, хі
£ [а, Ь). Якщо існує
Ііт (7(/)<й = /(/), /(/)(=(£,
а
то функція називається інтегровною на сегменті [а, Ь] в
невласному розумінні за Ріманом (відповідно за Нью-
тоном — Лейбніцем), а число І (/) — її інтегралом.
Інтеграл у розумінні означення 1 запишемо у вигляді
У /(х)гіх.
а
Означення 2. Нехай функція (а, Ь) (Ц інтегровна в розумінні
означення 1 на сегменті [х, Ь] V х £ (а, Ь). Якщо існує
Ііт 7 / (і) йі = 1 (/), І (?) Є (С,
х+а
х
то функція ї називається інтегровною в невласному
розумінні за Ріманом (відповідно за Ньютоном — Лейбні-
цем) на сегменті [а, Ь], а число І (/) — її інтегралом.
ь-~
Інтеграл у розумінні означення 2 запишемо у вигляді ( / (х) сіх.
Будемо надалі вважати функцію [а, &] —0 первісною функції
(а, Ь) 5}, якщо Р неперервна і V х £ (а, Ь) Р' (х) = / (х). На
відміну від попереднього означення первісної вимагаємо лише не-
перервності функції Р на кінцях сегмента [а, Ь]. Похідні Р' (а),
Р' (Ь) і значення ? (а), / (Ь) можуть не існувати. Зауважимо, що
попереднє означення первісної відносилося до більш загального
випадку функцій із £ в (£.
Якщо функція [а, 6] — * (£ є первісною функції (а, &) —0,
то
У /^(х)дх == Р (Ь) — Р (а),
а+
і тому для інтеграла Ньютона — Лейбніца у розумінні означення 2
ь
вбережемо попереднє позначення У / (х) йх.
а
Означення 3. Нехай функція (а, Ь) (О інтегровна на кожному
сегменті [х0, хг], [хь х2],	[х^-і, хп] (х0 = а, хп = Ь) у розумінні
означення 2. Вона називається інтегровною в невласному розумінні
за Ріманом (за Ньютоном—Лейбніцем) 'на сегменті [а, д]. ґ
264
При цьому її інтегралом / (/) називається число
хк
Й=1 Хк—І
Невласні інтеграли в розумінні означень 1—3 позначатимемо
ь
символом (н)	/ (х) с?х.
а
1.2. Теорема Лагранжа про середнє для інтеграла Ньютона —
Лейбніца. Формула Коші скінченних приростів. Середні величи-
ни відіграють значну роль в математиці, особливо в теорії ймовір-
ностей. ІЗ скінченною МНОЖИНОЮ чисел уІ9 у2, Уп пов’язано
поняття їх середнього арифметичного у = -1	+ У*. Якщо
кожне ук(к = 1, п) розглядати як випадкове значення деякої
величини і вважати, що усі значення рівноймовірні, то число у
називається математичним сподіванням випадкової величини. У ви-
падку, коли кожне значення ук (к = 1, гі) має свою ймовірність
появи рк (к = 1, п\ Рі + р2 + ... + рп = 1), математичне споді-
п
вання випадкової величини обчислюється за формулою у = У укрк.
п
Якщо відомо додатні числа щ, ц2, •••• Нп такі, що Т ф І, то за
________________________________________	/г=І
ними легко побудувати числа рк (к = 1, и), сума яких дорівнює 1.
Для цього досить вважати рк ==	— (к = 1, п). Тому матема-
2 н*
—	/г=1
тичне сподівання у можна записати у вигляді
п
£ У^к
У = —п—,	(1)
де рь > 0 (к == 1, гі).
Права частина рівності (1) називається середньозваженим
значенням для чисел ук з вагами рА (к = 1, гі).
За аналогією можна розглядати середнє й середньозважене
значення функції (а, Ь) —* К.
б	и
Означення 1. Якщо функції (а, і (а9Ь)->^ інтегровні
(за Ріманом або за Ньютоном — Лейбніцем) і ( § (х)бх^кОі то
а
265
число
ь
(х) йх
Н = ~~~ї>----—	(2)
\ Є (х)
а
називається середньозваженим значенням функ-
ції (, а функція § називається ваговою.
Розглянемо інтегральні форми теорем про середнє, доведених
в пп. 2.6, 2.7, 2.9, розд. 6.
Теорема 1 (Ролля). Якщофункція (а, Ь) К інтегровна в ро-
ь
зумінні Ньютона — Лейбніца на сегменті [а, 6] і § [ (х) йх = 0,
а
то існує така точка В € (а, Ь), в якій і (В) = 0.
4 Функція (а, ЬІ —* (К, визначена формулою
X
р (х) = р (і) <и,
а
задовольняє умови теореми Ролля (див. п. 2.6, розд. 6), і тому
існує точка £ £ (а, Ь), в якій Р' (|) = /(£) = 0. (►
Теорема 2 (Лагранжа про середнє). Нехай функції (а, /?)--* К
та (а, Ь) П< інтегровні в розумінні Ньютона —Лейбніца на сег-
менті [а, Ь]. Якщо V х £ (а, Ь) § (х) =/= 0, то існує така точка
І £ (а, 6), що
ь	ь
(X) йх = / (£) £ § (х) йх.	(3)
а	а
Ь
◄ Згідно з теоремою 1, С § (х) йх =/= 0. Покладемо
а
Ь
§ І (х) й (х) <*х
—Ь-----------= Ь-	(4)
\ Є (х)ах
а
Ь
Тоді у (/ (х) — X) § (х) йх = 0. За теоремою 1 існує така точка
В є (а, Ь), в якій (/ (В) — А.) £ (В) = о. Оскільки § (В) ¥= 0, то / (В) =
= Х. ►
Зміст теореми Лагранжа полягає у тому, що існує точка, в
якій функція / набуває середньозваженого значення з ненульовою
вагою.
266
Наслідок 1. Якщо функція (а, Ь) К інтегровна в ро~
ь
зумінні Ньютона — Лейбніца і [ (х)	0, то £ / (х) сіх > 0.
9
Наслідок 2. Якщо функції (а, Ь) К, (а, Ь) — К інтег-
ровні у розумінні Ньютона — Лейбніца на сегменті [а, і?] і V х £
£ (а, Ь) / (х)	§ (х), то виконується нерівність
ь	ь
[ їх) сіх §{х)сіх.	(5)
а	а
◄ Твердження випливає з властивості лінійності інтеграла, не-
рівності § (х) — / (х) > 0 V х £ (а, Ь) та наслідку 1.
Теорема 3 (про умову монотонності функції). Якщо функція
[а, &] — •* П< неперервна і V х £ (а, Ь) існує Е' (х)	0, то Е — не-
спадна.
<4 Нехай 0 х± ха &. Тоді
/Чха) — Г(*і) = \ Е' (х)гіх^О. >
Теорема 4 (про рівність нулю інтеграла Ньютона — Лейбніца).
Нехай функція (а9 Ь) К інтегровна в розумінні Ньютона — Лейб-
ь
ніца на сегменті [а, Ь]. Якщо V х £ (а, Ь) / (х)	0 / / (х) сіх = 0,
то І (х) = 0 V х £ (а, Ь).
X
◄ Нехай Е (х) — § І (і) сіі V х £ [а, &]. Тоді Е' (х) = / (х)
а
0 V х £ (а, Ь). Згідно з теоремою 3, маємо в кожній точці х £
€ (а, Ь)
ь
0 = Е (а) Е (х) Е (Ь) = £ / (х) сіх = 0.
Отже, V х £ (а, Ь) Е' (х) == / (х) = 0. >
Теорема 5 (про умову строгої монотонності функції). Нехай
функція [а, &] — К неперервна і\/ х £ (а, Ь) існує Е' (х) > 0.
Якщо існує скрізь щільна на (а, Ь) множина X така, що \/ х £
С X Е' (х) > 0, то функція Е зростаюча.
◄ Згідно з теоремою 3, функція Е неспадна. Якщо а Хі < х2 Ь
‘ Р (*і) = Р то
Р — Р (хі) = У Р' М сіх = 0.
За теоремою 4 V х £ (хь х2) Р' (х) = 0, що неможливо, бо множина
X скрізь щільна на інтервалі (а, Ь) ►
Теоремав (Лагранжа). Нехай функції (а, Ь) — - К та (а, Ь) К
інтегровні в розумінні Ньютона — Лейбніца на сегменті [а, Ь].
267
Якщо V х Є (а, Ь) § (х) =/=(), то існує така точка £ £ (а, Ь), що
ь
С / (х) сіх
1__________= ±®_.	(б)
*	в (і)	' 2
І § (х) <іх
а
4 Згідно з теоремою 2, існує така точка 5 € (а, Ь), що
і>	Ь	Ь
^(х)йх= ^^-§(х)сіх =	^§(х)сіх. ►
а	а	а
Теорема 7 (формула Коші
функції [а, Ь] —Щ, Іа, Ь] К
йовні в кожній точці інтервалу
то
скінченних приростів). Нехай
неперервні. Якщо вони диференці-
(а, Ь) і V х £ (а, Ь) 6' (х) Ф 0,
(6) - (д) _ Р' (І)
6(Ь)-6(а)	О'(5) ’
(7)
Б€(а, Ь).
Ч Згідно з теоремою 6, існує така точка | £ (а, Ь), що
ь
С Р' (х) СІХ
Р(Ь)-Р (а) __	= Р’ (В)	.
О(Ь)-О(а) ь	О'(І) ’ Г
І 6' (х) сіх
а
Очевидно, що теореми 6 та 7 є інтегральною й диференціальною
формами одного й того самого твердження. Теорема 7 має такий
геометричний зміст. Розглянемо на комплексній площині ([} (або
на К2) рух матеріальної точки за законом іО (і) 4- іР (/). Век-
тор швидкості в момент часу £ дорівнює О' (|) + іР' (£), а вектор,
який сполучає початкову і кінцеву точки траєкторії, має вигляд
(О (&) — С (а)) + і (Р (Ь) — Р (а)). Теорема Коші встановлює факт
колінеарності цих векторів. Таким чином, на траєкторії існує
точка, в якій дотична паралельна відрізку, що сполучає початкову
й кінцеву точки траєкторії. Теореми 2 і 6 мають той самий геомет-
ричний зміст. їм можна надати і ймовірнісного тлумачення. Так,
у теоремі 6 твердиться, що середнє зважене значення функції у-
з вагою £ досягається в деякій точці. Ймовірнісний зміст теореми 7
Р (Ь) - Р (а)	Р'
такий: відношення ------------є середньозваженим значенням з
О (О) — 6 («) г	6
ваговою функцією О' і воно досягається в деякій точці | £ (а, Ь).
1.3.	Оцінка модуля інтеграла.
Теорема 1. Нехай функція (а, Ь) 0 інтегровна в розумінні
Ньютона — Лейбніца на сегменті [а, &]. Якщо функція (а, Ь) ІК
інтегровна в розумінні Ньютона — Лейбніца на [а, ЬІ і V х £ (а,
268
У І (х) СІХ
Ь) | / (х) |< £ (х), то
ь	ь
^§(х)ах.	(і)
а	а
Ь
◄ Нехай І = у / (х) сіх і ф(;Аг£/. Тоді
а
ь	ь
У [ (х) сіх = е~^1 = у е^1^ї(х) сіх.	(2)
а	а
Покладемо Ух £ (а, Ь) ї (х) е~і<9 = и (х) 4- іу (х). Маємо
ь	ь	ь	ь
/ (х) сіх = § и (х) сіх = ^ £ (х) сіх + С (и (х) — £ (х)) сіх.
а	а	а	а
Оскільки а (х) — § (х)	| [ (х) | — § (х)	0 V х £ (а, 6), то не-
рівність (1) виконується згідно з наслідком 1 з теореми 2, п. 1.2. >
Нерівність Лагранжа, яку доведено в п. 2.11, розд. 6, містить
оцінку приросту комплекснозначної функції у випадку, коли відомо
рівномірну оцінку модуля похідної, тобто | / (Ь) — І (а) |
а (Ь—а), якщо | /' (х) | V (а, Ь) і функція / неперервна
в точках а та Ь. Застосування теореми 1 дає змогу точніше оцінити
приріст функції у випадку, коли відомо оцінку типу | /' (х) |	£(х)
V х £ (а, 6), функція § інтегровна в розумінні Ньютона — Лейбніца,
а функція / неперервна в точках а та Ь. Відповідна оцінка має вигляд
ь
|/(6) —/(а)| С У §(х)сіх	(3)
а
Наступне твердження дає змогу застосувати нерівність (3) у
більш загальному випадку.
Теорема 2. Нехай неперервна функція Іа, 61 —♦ (£ має похідну
в кожній точці інтервалу (а, Ь). Якщо | /' (х) |	£ (х) Ух £
£ (а, 6) і функція § інтегровна в невласному розумінні за Ньютоном —
Лейбніцем, то
ь
1/(6) — /(а)К(н) у £(х)гіх.
<7
(4)
Зокрема, якщо функція | /' | інтегровна у вказаному розумінні,
то виконується оцінка
о
|/(Ь) —/(а)|< (н) у І г (х)| сіх.
а
(5)
< Нехай функція § інтегровна в розумінні Ньютона — Лейб-
ніца на кожному сегменті [х*_і, х^і (£ = 1, п), х0 = а, хп = 6.
269
Тоді
п
\ЇФ)-/(а)\^ £ |Нхй)-Ж-і)І =
й=і
п
*к
( Г (х) <іх
хк^1
«X
п хк	Ь
£(Х)(ІХ *=(н) ( £(Х)(ІХ. ►
к=1	а
Нерівність Лагранжа є наслідком оцінки (4), якщо в ній за-
мість функції § взяти сталу, яка дорівнює || /' ||. Тому, застосову-
ючи інтеграл Ньютона — Лейбніца в тих самих дослідженнях, в
яких використовувалась нерівність Лагранжа, можна дістати
більш точний результат, тобто інтегральні методи плодотворніш!,
ніж диференціальні.
Теорему 2 можна посилити без істотних змін в доведенні на
випадок, коли функція / не має похідної на скінченній множині
точок.
Теореми І і 2 мають такий фізичний зміст. Якщо г = / (х),
х £ [а, д], розглядати як закон руху точки на площині (£ з швид-
кістю /' (х), то 11 (Ь) — / (а) | є відстанню між початковим і кін-
цевим положеннями матеріальної точки. Указана відстань буде
найбільшою, якщо точка рухається прямолінійно з швидкістю,
не меншою ніж |	(х) |. Ця властивість і виражена нерівністю (4).
1.4.	О-співвідношення для інтегралів. Правила Лопіталя. Для
інтегралів також виконуються о-співвідношення, розглянуті в
п. 2.5, розд. 2.
Означення. Нехай (а, Ь) (£, (а, Ь) —(£, (а, Ь) с: ІК. Якщо V е >
> 0 З Оь : V х £ Оь Г) (а, Ь) | / (х) | е | § (х) |, то будемо
записувати «І (х) = о (х)) у точці Ь».
Зауважимо, що коли V х £ (а, &), § (х) У= 0, то властивість
(х) = 0 (б (*)) У точці Ь» рівносильна рівності
Ііт
Х-+Ь
/(X)
В (х)
= 0.
Теорема 1 (про о-співвідношення для інтегралів). Нехай V х £
£ [а, Ь) функції [а, Ь) (0 і [а, Ь) — -> К інтегровні в розумінні
Ньютона — Лейбніца на сегменті [а, х]. Якщо І (х) = о (х))
у точці Ь> § (х)	0 V х £ (а, Ь) і
X
Ііт С § (Г) сії — + оо, то
х-*Ь 4
а
х	х
а	а
4 Нехай є > 0. Оскільки / (х) — о (§ (х)) у точці то існує таке
Ьі € (а, Ь), що V і Є Фі, Ь) | / (0 | <	(/). Нехай х £ фх, Ь). Тоді
У / (/) Є § § (/) (11 Є ( § (І) СІІ.
Ьі	Ь,	а
270
\ х
Оскільки Ііш Г “ + оо, то існує таке Ь2 €(Ьц 6), що Ух£
х->& V
Є(62, Ь) виконується оцінка
Ьх	X
С І (І) (И Є у
а	а
Отже, Ух£(Ь2,Ь) виконується нерівність
X
Й1
X
28 у 8 (і) а,
а
в якої випливає висловлене твердження. ►
Теорема 2 (правило Лопіталя для невизначеностей виду “У
Нехай функції [а, Ь) (£ і [а, Ь) —- К диференційовні в кожній
точці, §' (х) =Л 0 V х £ (а, Ь) і Ііт § (х) = оо. Якщо існує
х-*Ь
1-	р (х)	.	|.	І (х)
Ііт ~гт4 = ос, то існує Ііт \ = а.
§ (х)	Х-*Ь & 'х'
<4 Якщо а = 0, то, згідно з теоремою 1, виконується співвідно-
шення
X
X
а	а
тобто / (х) = / (а) + о (І) (й (х) — § (а)), звідки випливає, що
ІішЖ. = Ііт/Ж. + о(1) (1	= О-
& (*) «Д? (*) т ' ’ \ Є (*)})
Загальний випадок зводиться до розглянутого. Дійсно, оскільки
ГМ _Д _ п _ і;~ (Н*)-вб (*))' >
Ііт
Ііт
х-*Ь
0
виду
0\
невизначеностей виду .
то, як було показано,
Ііт	= 0, тобто Ііт = сс. ►
х+ь	х+Ь Є(х)
Доведену теорему називають правилом Лопіталя для розкриття
невизначеностей видуу зв’язку з тим, що ним можна користу-
ватися у випадках, коли границі чисельника й знаменника .при
х —Ь нескінченні (якщо [а, Ь) П{). Аналогічне правило справед-
ливе для розкриття невизначеностей
Теорема 3 (правило Лопіталя для
/	в
Нехай функції [а,	[а. д)->К
точці й §' (х) Ф 0 Ух£(а,&). Якщо Ііт /(х) = Ііт ^(х) = 0 та
х-Мн	х-^Ь
! І- /' (X)	І- > (х)
існує Ііт = а, то існує Ііт —7^ »= а.
® \х)	х^ь & і*;
диференційовні в кожній
271
◄ Нехай хп -> Ь і V п £ хп £ [а, Ь). Покладемо /(/>) = £ (Ь) =
0. Згідно з формулою Коші скінченних приростів (див. теорему 7,
п. 1.2), існують такі точки І.п £ (хп, &), що /
Ихп) = ї(хп)-ї(Ь) = Г(Іп)
8 (хп) 2(х > —е (Ь)	8'(Іп) ’
ґ (Н )
Оскільки £П->Ь і	£п у= Ь, то Ііт -, Дп = а
гг->оо £
і- ^Хп) □	п «	і- / (х)
Ііт "Т"" = а. За означенням Геине Ііт  ; ' = а. ►
«+ОО £ (хп>	х->6 £ М
§ 2. Похідні й інтеграли Ньютона—
Лейбніца будь-яких порядків
2.1. Означення/г-похідної й п-інтеграла. Нехай область визна-
чення функції / : (С -> (С не має ізольованих точок. Назвемо її
1-диференційовною, якщо V г £ О/ вона має похідну /' (?) Функ-
ція г >-►/'(?) називається 1-похідною функції / і позначається
/(1). За індукцією визначимо похідну функції / довільного порядку.
Означення 1. Нехай п Якщо функція Рп} диференційовна,
то її похідна називається (п + \)-похідною функції [ і по-
значається через /*п+1). При цьому функція} називається (п + 1)-
диференційовною.
Для спрощення запису вважаємо /(0) = /. Наведемо приклади.
Приклад 1. Нехай / (г) = е2, Р^ = ©.
Тоді ї' (г) = е2, /(2) (?) = ег, ... , Г(п} (г) = ег V (г Є ©, л Є М).
Приклад 2. Нехай / (г) = зіп г, Ру = ©.
Тоді Л(г) = хозг = зіп (г +	, /(2)(г)= —зіп г=зіп (г+л), ... , /(П)(г)=
= зіп ^2 + п “2”^ V (г Є ©, п 6 №)•
Приклад 3. Нехай / (г) = соз г,
Тоді /' (г) = — зіп г = соз	. /(2) (2) = — соз г = соз (г 4- я), ...
... , /(П) (г) = соз 4- п	V (г Є ©, п 6 М).
Приклад 4. / (г) = Іп г,	= ©.
Тоді (' (г)	, /<2> (г) = — -4- , /(3) (г) = -4- , /(4> (г) = — -4- ,...
... , /<п>(г) = (-1)п“| -(П 7	*(?€©, пбМ)-
2	'—
Нехай область визначення функції / є лінійно-зв’язна мно-
жина, яка містить більш ніж одну точку, і а £ Р;. Назвемо функцію
2
І 1-інтегровною, якщо V г С існує / (і) йі. Відображення
272
2	\
2 У / (О б/Г називається 1 -інтегралом функції з нижньою межею
а
інтегрування а £ За індукцією визначимо інтеграл довільного
порядку функції / з нижньою межею інтегрування а £ Ор
Означення 2. Якщо функція { інтегровна, п 2, то покладаємо
2	,	Нр( 2	/
У {п = у (у ”	УгЄОр
а	а а
Розглянемо приклади.
2
Приклад 5. Обчислити §	У(а6©, г С С, «€№)•
а
Послідовно інтегруючи, дістаємо
Приклад 6. Обчислити
Маємо
2
С <л>е'Л
а
У(г€С, лЄИ).
2	2	2
(1}е1аі = ег — 1, у (2)е'Л = у (е' — 1)Л = ег — 1 — г,
0	о
2	2
І — V (е1 — 1 — Ґ) сі! = ег — 1 — г — ~9і— , ... ,
в І	в/
о	о
У — е2 — 1 — г —
о
г2	гд-і
21 — —— (л—1)!
2
(»(4)
Приклад 7. Обчислити \ зіпйй V г €©.
о
Послідовно інтегруючи чотири рази, дістаємо
2	2	г
зіп ійі = — сс§ г + 1,	у(2) зіп Ш = у (— соз і + 1) (Іі = — зіп 24-2,
0	0	0
273
Розглянемо також питання про обчислення похідних вищих по-
рядків функції / : К -> к, чаданої параметрично:
х=Ф(0, у = ф(0, і£(а,Ь).
Припустимо, що V і £ (а, Ь) існують похідні <р(п’ (0 та
ф(п) (і) (п С И) і ф' (0	0. У п. 2.12, розд. 6, показано, що
Г(х) = ^-, * = <Р(0, іЄ(а,Ь).
Похідна /' (х) обчислювалася за правилом диференціювання склад-
ної функції £ = у (і) £ , де у (І) ~ Ф (0, ~	. Діючи
за тим самим правилом, дістаємо
Н2> (г 4 _ 4 / <0 1А _ ^(2> (0 Ф' (0 - <Р(2) ® (0 V _ т ц\
1 ' ’ ~ аі \ <р' (і) І ах ~	(ф' (о)*	» Л — V
нз>	_ А (Ф(2) <0 ф' (0 - <р(2) (0 4і' (О 'І А_ _
'	аі \	(ф' (О)3	/ ах ~
_ (ф(3) (0 Ф' (0 - <р(3> (0 Г (0) Ф' (0 - Зф(2) (0 (ф(2) (0 Ф' (0 - Ф<2) (0Ф' (0)
х = ф (0,
/<П)(Х)=	* = Ф(0.
Нехай, наприклад, х = е соз/, //= е'зіп/, Тоді
2.2. Формула Ньютона — Лейбніца. Похідні по межах інтегру-
вання.
Теорема І (формула Ньютона — Лейбніца для п-інтеграла).
Нехай /:(£-►(£, О/ — лінійно-зв’язна множина, яка містить
більш ніж одну точку, а £ О; і п Якщо існує така функція
274
: (Б (Б> що V г £ О, Р(п} — [ (г), то існує
а	/г=0
(1)
◄ Застосуємо метод математичної індукції. Для п = 1 тверджен-
ня доведено в п. 3.3, розд 6. Припустимо,_що формула (1) справедли-
ва після заміни в ній п на п — 1. Оскільки	= р(п) =
то за припущенням
2	п^-2
р" =	(Р’)ік)(а) {г~кїа) .
а	к—0
Згідно з означенням 2 з п. 2.1, маємо
п—2
/г=0
а
а
а а
. п~~2
Х ~ма) ) * = Р (2) “ р - У рік+1) лГ+пі ’
«VI	/	і І
Л=0
тобто виконується рівність (1). >
Теорема 2 (про похідну п-інтеграла по межах інтегрування).
Нехай /:(£->(£,	— лінійно-зв’язна множина, яка має більш
ніж одну точку. Якщо функція [ інтегровна, то справджуються
рівності
2	2
(у /(0^)' = Сп~1)Ці)си Уа^,
а	а
Ь	,	Ь
(р(*И) =-Нг)[ аі УЬЄО,.
2	7
(2)
(3)
4 Рівність (2) очевидна. Доведемо формулу (3). Нехай Р : (Б -> (Б
і V г £ О/ Р(п) (г) = [ (г). Тоді, згідно з формулою (1), дістанемо
(г)
Ь	п—1
г	/г=0
(г)
(Ь — г)п-’
(п - 1)!
= —Цг)	►
V
г
2.3.	Формула Діріхле. Теореми про середнє.
Теорема 1 (Діріхле). Нехай / : (С С» О/ — лінійно-зв'язна
множина, яка містить більш ніж одну точку, і а £ О/, Ь £• Р/.
275
Якщо функція / інтегровна, то
(1)
а	а
<4 Згідно з формулою (1) і теоремою 2, п. 2.2, маємо
ь
а
(Ь — і)п~'
(п - 1)1
= <Л7(П
а
а. ►
Розглянемо функції, які мають вигляд (а, Ь) Ц. Оскільки
для інтегралів від таких функцій виконується теорема Лагранжа
про середнє, то аналогічні теореми можна дістати й для інтеграла
Ньютона — Лейбніца довільного порядку.
Теорема 2 (Лагранжа про середнє для л-інтеграла). Нехай
функції (а, Ь) та (а, Ь) К інтегровні й § (х) =/= 0 V х С
£ (а, Ь). Тоді існує така точка £ (а, Ь), що
$<П>?(х) £ (*)Лх = / (Вп) У<Л>^ (*)ах-
а	а
(2)
4 Згідно з формулою (1) та теоремою Лагранжа про середнє для
1-інтеграла (див. теорему 2, п. 1.2), існує таке £ (а, Ь), для якого
ь	ь	гг_і
Г‘"7(*)§<х)ах = Сї(х)§(х)—ах =
а	а
Ь	]	Ь
= 7 (Вп) ]*е (х) ^7^1 р ах = / (£п)	(х) ах. >
а	а
Теорема 3. Нехай функція (а, Ь) ^інтегровна на сегменті
[а, Ь\ у розумінні Ньютона — Лейбніца. Тоді V я £ існу-
ють такі точки Іп Є (а, Ь), & 6 (а, Ь), В„2) £ (а, 6), що
ь
р/(х)гіх = /(£п) ^~,а)П ,	(3)
а
Г(л7 (х) ах = ї (^1))	(& - °).	(4)
уп і; і
а
^(п)Нх)ах = щ(п2)) (	, Р>о. (5)
а
Рівності (3), (4), (5) називаються відповідно формулами Лаг-
ранжа, Коші, Шлемільха — Роша.
276
•4 Запишемо формулу Діріхле
"	Ь	п-1
у "7 (*) = р и) ((П7_х)і)і •ах
а	а
і до інтеграла в правій її частині застосуємо теорему Лагранжа
про середнє (див. п. 1.2), узявши функцію х »-► (Ь — х)р~\ х Є
£ (а, Ь), як вагову. Тоді дістанемо формулу (5). Рівності (3) та (4) є її
окремими випадками при р = 1 і р ~ п. ►
2.4.	Формула Тейлора. Нехай виконано всі умови теореми 1,
п. 2.2. Тоді з формули (1) того самого пункту випливає рівність
п—1
V (а £ Ор, г £ йр),
(1)
а
яка називається формулою Тейлора для функції Р із залишко-
вим членом, записаним за допомогою п-інтеграла. Функція
п—1	к
Р{к,} (а)	називається многочленом Тейлора.
/г=0
Окремі випадки формули (1) зустрічаються в елементарній
фізиці. Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно по осі
Оу із сталою швидкістю V = Р' (а). Якщо відоме її початкове поло-
ження Р (а), то положення Р (х) в момент часу х можна знайти за
формулою
Р\х} = р(а) + у(х — а) = Р(а) + Р'(а) ~,
яка є окремим випадком рівності (1) при п = 2, а також при
п = 1. Нехай знову матеріальна точка рухається прямолінійно
по осі Оу із змінною швидкістю, алез сталим прискоренням Р{2) (я),
тобто рівноприскорено або рівноуповільнено. Якщо відомо її по-
чаткове положення Р (а) й початкову швидкість = Р' (а), то
положення точки Р (х) в момент часу х можна визначити за форму-
лою
Р(Х) = Р (а) + у0(х — а) + Р(2> (а) (х ~ а)а =
= Р (а) 4- Р' (а)	+ Л(2) (а) (х ~ а)‘ ,
яка є окремим випадком рівності (1) при п = 3, а також при
при п = 2 Таким чином, рівність (1) є подальшим узагальненням
цих важливих формул елементарної фізики.
З формули (1) випливає, що функція Р є многочленом тоді і тіл ькп
тоді, коли її п-похідна скрізь дорівнює нулю при деякому значенні
п С Формула бінома Ньютона, доведена в п. 1.3, розд. 1, є ок-
ремим випадком формули Тейлора.
277
Застосувавши до п-інтеграла в рівності (1) формулу Діріхле
(див. п. 2.3), дістанемо формулу Тейлора із залишковим членом в
інтегральній формі:
і	2
Р (г) = £ Рік> («) -(2 ~ а) + | Р(п} (0 (-^2) |),	(2)
/?=0	а
Застосовуючи теорему 3, п. 2.3, до п-інтеграла з рівності (1),
дістаємо формули Тейлора для функції (а, Ь) ІК із залишковими
членами відповідно в формах Лагранжа, Коші та Шлемільха — Ро-
ша:
П—1	.
Р (X) = У р(к' (х0) -(х ~,*а) + Рм (&’>) (-х- ~*а) ,	(3)
К*	Пі
Ь=0
р(X) = У р{к) (ХО) {—~х°)к 4- Р(п) (&2>)	~7)|П (х“ *а)’ (4)
6=1)
де х, х0 — довільні точки з інтервалу (а, &); (І = 1, 2, 3) —
деякі точки, розміщені строго між х та х0.
2.5.	Оцінка похибки квадратурної формули прямокутників. Не-
хай ЗД — множина функцій, інтегровних на сегменті [а, Ь] у розу-
мінні Ньютона — Лейбніца (або Рімана). Нехай Ь — квадратурна
формула. Під точною оцінкою похибки цієї формули на класі функ-
цій 9Л розуміємо величину
6 (ОТ, Ь) = зир
ь
$ [(х)ах—
а
б(ЯП, £)ЄК.
(1)
Позначимо через ІГм клас усіх функцій, які мають на інтервалі
(а, Ь) п-похідну і допускають оцінку
|/(п)(х)|^М Ух Є Іа, 6].
Теорема. Нехай Ь — квадратурна формула
Тоді справджується формула
8(№</}>, А) =
прямокутників.
24
якщо п = 2,
(2)
о°,
якщо п>2,
◄ Нехай п > 2. Розглянемо алгебраїчний многочлен (х) =
= 2іх2 V (А, £ К, х С К). Очевидно, що Р%} (х) = 0, і тому V (Л£
278
Є К, М > 0) Рх Є иИи. Оскільки V X € К виконується оцінка
ь
бЬ)> Ц	(х) йх - Ь (Рк) | ==
а
-	у(4_0) _|М-<Ц_!!>\
О	\	^	/	і
то
б (ЇГІи’, £) = + оо.	(3)
, .	X
Нехай п = 2. Покладемо с = —у— , Р (х) = С / (/) йі V х Є [а,
с
Ь\. Запишемо значення функції Е за формулою Тейлора:
Р (х) = Р (с) + Р' (с) (х — с) + Р(2) (с) с)і + С(3)Р<3) (і) йі =
с
= / (с) (х - с) + Г (с) (х--с)г + у (37<2) (і)	(4)
с
Згідно з формулою Ньютона — Лейбніца, маємо
ь	ь
У(х)йх= Р(Ь)-Р(а) = ?(с)(Ь-а)+ у(3)/(2) (1)йі —
а	с
а
— у(3)/(2) (0<й.	(5)
с
Застосувавши теорему 2, п. 2.3, дістанемо оцінку
о
С/(х)</х —/(с)(& —а)
а
М (Ь — аУ*
24
(Ь - с) *
З!
Де £і» І2 — деякі точки, розміщені строго між точками с та Ь, а та с»
Таким чином,
б(И2>,£)<^4=^-.	(7)
6*1
Беручи до уваги належність многочлена Рм (х) = -у- х2 до
2
класу та умову (3), знаходимо оцінку знизу
б(^>, М {Ь--а)і .	(8)
А
279
З нерівностей (7) та (8) випливає рівність
6	і) _ «<>~	. І
Наслідок. Якщо ї £ ^м\ то
Ь	п—1
а
◄ Скористаємося властивістю адитивності інтеграла та доведеною
теоремою. Дістанемо
Ь	га—1
р(Х)4/х_	+	(2£ + 1)} |
а	/>=0
а+6-^(*+1)
Нх)(1х- ї—±ї(а + ±2^-(2Іі+ 1)) <
М (Ь — а)3
24
§ 3. Похідна Ферма—Лагранжа,
Формула Тейлора—Пеано.
Достатні умови екстремуму
3.1. Похідна Ферма — Лагранжа. Похідна, означена в п. 1.1,
розд. 6, допускає таке узагальнення за допомогою методу матема-
тичної індукції.
Означення. Нехай /:(£->(£, г0 € п Є Функція [ нази-
вається п-диференційовноюв точці г0 у розумінні Ферма —
Лагранжа, якщо існує така (п — \)-диференційовна у розумінні
Ферма — Лагранжа в точці г0 функція у, що V г £ О/ виконується
рівність
?(г)—ї (г0) = (г — г0) <р (г).
Якщо, крім того, г0 — гранична точка множини то число
п<р(п“п (г0) називається п-похідноюФерма — Л а г р а н ж а
функції [ у точці г0 і позначається [іп} (г0).
Як і раніше, вважаємо функцію / О-диференційовною у ро-
зумінні Ферма — Лагранжа в точці г0, якщо вона неперервна в
цій точці. При цьому /<0) (г0) = / (г0).
Нижче буде доведено (див. п. 3.4), що з класичної /г-диферен-
ційовності функції в точці г0 випливає її п-диференційовність у ро-
зумінні Ферма — Лагранжа в цій точці та рівність між собою від-
повідних п-похідних. Це дає змогу однаково позначити вказані
л-похідні та пояснює вибір множника п в означенні и-похідної
Ферма — Лагранжа: /(п) (г0) = пф(п“ь (г0).
280
Приклад 1. Нехай п £ N І (п : 0? -► ІР, де
1„ 1
х зіп —— , якщо х С К\{0),
О, ЯКЩО X == 0.
Довести, що функція /л (п — 1)-диференційовна в розумінні Ферма — Лагран-
жа в точці 0 при всіх т Є N.
Скористаємося методом математичної індукції. Якщо п = 1, то Ііт (х) =
х-*0
= Ііт х зіп — = 0 =	(0), тобто функція /і О-диференційовна у розумінні Фер-
х-0
ма — Лагранжа в точці х = 0 V т Є N. Припустимо, що функція }п (п — 1)-
диференційовна в розумінні Ферма — Лагранжа у точці х = 0 V т £ N. Згідно
з припущенням, маємо V х Є К
/„4-І (*) — /п+1 (0) = ХІп (X).
За означенням функція Іп^.\ п-диференційовна у розумінні Ферма — Лагранжа
в точці х == 0 V ги £ N.
Приклад 2. Користуючись умовою прикладу 1, вказати значення т 6 N. для
якого функція /л не має 2-похідної в точці х = 0 у класичному розумінні.
Якщо х 0, то
(' (х) = пхп'*1 зіп —— пгхп^т^ соз .
Покладаючи т = п — 1, дістаємо, що функція розривна в точці х = 0, внаслі-
док чого /п не п-диференційовна в класичному розумінні при п 2.
З прикладів 1 та 2 видно, що V л > 2 існують функції, які
п-диференційовні у розумінні Ферма — Лагранжа в фіксованій
точці і не мають в ній другої класичної похідної.
Теорема 1 (формула Тейлора — Пеано). Нехай[ : (Б (С, г0 —
гранична точка множини О} і г0 £ Якщо функція { п-диферен-
ційовна у розумінні Ферма — Лагранжа в точці г09 то VгЄИ}
виконується рівність
/ (г) = V (г.) -Цг2- + еп (г) (г - г0)п,	(1)
де єл — неперервна в точці г0 функція і є (г0) = 0.
Рівність (1) називається формулою Тейлора — Пеано.
<4 Застосуємо метод математичної індукції. Якщо п = 0, то
твердження очевидне при е0 (г) = / (г) — / (г0). Припустимо, що
твердження справедливе після заміни п на п — 1 і що функція / гг-
диференційовна у розумінні Ферма — Лагранжа в точці г0. Згідно
з означенням, існує така (п — 1)-диференційовна у розумінні Фер-
ма — Лагранжа в точці г0 функція <р, що V г £ £>/ виконується рів-
н і сть
/ (г) — / (г0) = (г — г0) <р (г).	(2)
За припущенням
п—і	й
Ф (г) =	+ Єп”1 ~ гоУ~'>
*=0
281
деє„_і — неперервна в точці г0 функція і е„_і (г0) — 0. З рівностей
(2) та (3) маємо
п—1
/(?) = /(г0) + (г — г0) <рМ) (г0) -	+ єп_і (г)(г — г0)п“Ч =
/г=0
/г—0
що рівносильно формулі (1) при еп = 8п_ь >
Наступне твердження е оберненням теореми 1 і пояснює важ-
ливість поняття л-похідної Ферма — Лагранжа.
Теорема 2 (про обернення формули Тейлора — Пеано). Нехай
ї : (0	(С, 2о — гранична точка множини і г0 £ О/. Якщо
П	к
/(г) = V ак -(г~^ + е„ (г) (г - г»?,	(4)
/г=0
де ак 6 (С V к = 0, л, еп (г0) = 0 і еп — неперервна функція
в точці г0, то функція { п-диференційовна в розумінні Ферма —
Лагранжа у точці г0 і\/ к = 0, п ак = /(/г) (г0).
◄ Застосуємо метод математичної індукції. Якщо п = 0, то рів-
ність (4) набуває вигляду / (г) =	+ еп (г) V г £ £> >, і тому
функція / неперервна в точці г0 (тобто 0-диференційовна у розумінні
Ферма — Лагранжа в цій точці) і /(0) (г0) = / (г0) = л0. Нехай теорема
справедлива при заміні п на п — 1 і виконується рівність (4).
Оскільки / (г0) = л0, то
/ (г) — / (г0) = (г — г0) ак (г ----------Ь вп (г) (г — гв)п 1 \.
к=*\
Покладемо
Ф (?) = V 4-	(г) (г - г0Г
/?=1
Внаслідок припущення, функція <р (л—1)-диференційовна за
Ферма — Лагранжем у точці г0 і -у- ==	(г0) V# = 1, л.
За означенням функція / л-диференційовна в розумінні Ферма —
Лагранжа в точці г0 і (г0) = ^ф^*0 (?0) == ак V к^ 1, л. >
Доведену теорему можна застосовувати для обчислення похід-
них Ферма — Лагранжа.
/
Приклад. Нехай К -> К, де
якщо х€К\{0},
якщо х = 0,
282
Обчислити (0) V л Е М-
Знайдемо
і
шй «от»
е х*	іп
Ііт —пт— = Ііт —= 0
Х->0	*	/^4-00 Є
(застосовуємо л разів правило Лопіталя). Покладемо
0.
®п (*) =
якщо х £ ГС\{0},
якщо х = 0.
Функція е неперервна в точці х = 0 для всіх п Е N. Оскільки / (х) = х2"е (х),
то, згідно з теоремою 2, /<Л) (0) =0 ¥/?=!, 2л. Внаслідок довільності п
(0) =0 ¥6 Є N.
3.3.	Дослідження функції на локальний екстремум.
Означення 1. Нехай /:(£-> Щ. Функція ? має в точці г0 £ Р^
локальний максимум (мінімум), якщо в множині Р/
існує такий окіл 02о, що } (г0) є найбільшим (найменшим) значен-
ням звуження (|ого<
Локальні максимуми й мінімуми функції називають її локаль-
ними екстремумами.
Теорема 7 (Ферма). Нехай [ : К -► ЕК і х0 — внутрішня точка
множини й>. Якщо функція і п-диференційовна в точці х0 у розу-
мінні Ферма — Лагранжа і (х0) =0 V к = 1, п — 1, /(п) (х0) Ф
Ф 0, то при парному п функція ї має локальний екстремум (мак-
симум, якщо }{п} (х0) < 0, мінімум, якщо /(п) (х0) > 0), а при
непарному п екстремуму немає.
◄ Згідно з теоремою 1, п. 3.2, існує така неперервна в точці х0,
функція єп, що 8П (х0) = 0 і
/ (X) — / (хп) = (х — х0)п (
+ еп (х)І = (X — х0)п<рп (X).
/(п) (х )
Якщо фп(х0) = -—<0, то за властивістю напівнеперервнос-
ті функції <рп зверху знайдеться такий окіл 0Хо, що УхЄОх#к
Фп(х)<0. Якщо п — парне число, то у вказаному околі /(х)—
— /(хо)^О і функція / має локальний максимум у точці х0.
Якщо п — непарне, то в будь-якому околі 0Хо точки х0 різниця
/(х) —-/(х0) приймає значення протилежних знаків (оскільки в 0х*
справджується ланцюг рівностей з£п (/ (х) — / (х0)) = $£п (х —
— Хо)п Фл (х) = —(х — х0)), внаслідок чого функція / не має
локального екстремуму в точці х0. Аналогічно розглядається ви-
падок, коли /(п’ (х0) > 0. Крім того, його можна звести до поперед-
нього шляхом заміни / на —>
Теорема Ферма, доведена в п. 1.1, розд. 6, є окремим випад-
ком розглянутої при п = 1. Дійсно, якщо /' (х0) #= 0, то функція $
283
не має екстремуму в точці х0. Отже, для того щоб значення / (х0)
було екстремальним, необхідно, щоб (х0) = 0 Корені рівняння
/' (х) = 0 називаються стаціонарними точками для функції /.
Зазначимо, що екстремальними можуть бути і точки, в яких
похідна /' не існує. Наприклад, функція 1^-1, 1] — Ж, де / (х) =
= | х |, має локальний мінімум у точці х = 0, в якій похідна /'
не існує.
Означення 2. Функція (а, Ь) Ж змінює знак при переході
через точку х0 6 (я, &), якщо існує такий 8-окіл цієї точки ОХ(і ==
= (х0 — 6, х0 + б) с: (а, Ь), що на кожному з інтервалів (х0 — б,
х0), (х0, х0 + б) функція І набуває значень протилежних знаків.
Теорема 2. Нехай (а, Ь) Ж— неперервна функція, яка мав
похідну в кожній точці деякого околу ОХ(І з інтервалу (а, Ь), за ви-
нятком лише точки х0. Якщо при переході через точку х0 похід-
на Г змінює знак, то в цій точці функція ? мав локальний екст-
ремум.
< Нехай, наприклад, /' при переході через точку х0 змінює знак
з «+» на «—», тобто існує таке б > 0, що V х £ (х0 — б, х0) /' (х) >
> 0 і V х £ (х0, х0 + б) /' (х) < 0. Згідно з формулою для скін-
ченнйх приростів, існують такі точки £ (х0 — б, х0) та £2 £
€ (х0, х0 + б), що V х 6 (х0 — б, х0) / (х) — / (х0) = (х — х0) х
X Г (11) <о, а УхЄ(х0, х0 4- 6) /(х) — /(хп) = (х — х0) Л (В2) <
< 0, тобто V х £ (х0 — б, х0 + б) \ {х0} виконується нерівність
/ (х) — / (х0) < 0. Таким чином, функція / має локальний макси-
мум у точці х0. Якщо при переході через точку х0 похідна /' змінює
знак з «—» на «+», то функція / має локальний мінімум у точці х0. ►
Означення 3. Абсолютним, або глобальним мак-
симумом (глобальним мінімумом) функції
[а, ЬІ Ж, / € С* Ь\, називається її найбільше (найменше)
значення на сегменті [а, &].
Згідно з теоремою Вейєрштрасса, неперервна на сегменті функ-
ція набуває найбільшого й найменшого значень, тобто існують
принаймні дві такі точки хг Є [а, 6], х2 £ ІД, 6], що / (хг) = $ир / (х),
/ (х2) = іпї / (х). Ясно, що ними можуть бути як екстремальні
точки, так і точки а та Ь.
Наприклад, функція [—10, 10] — - Ж, де / (х) == |х2 — Зх + 2
неперервна і має похідну (х) = (2х — 3) 8§п (х2 — Зх + 2) V х £
З
£ О/\ {1, 2}. Точками можливого екстремуму е — -х-, бо
І’ (хх) = 0, і х2 = 1, х3 = 2, в яких похідна /' не існує. Для відшу-
кання абсолютних екстремумів функції І розглядуємо множину
{/(х1),/(х2),/(х3),/(-10),/(10)} =
-т-, 0, 0, 132, 72 і вибираємо
в ній найбільший та найменший елементи
шах /(х)=132, тіп /(х)==0.
*€[—10,10] '	*Є[—10,10]
284
3.4.	Рекурентна формула для п-похідної Ферма — Лагранжа.
Ознгічення. Нехай / : К -> х0 — внутрішня точка множини
О і. Функція / називається рекурентно п-диференці-
й о єною в точці хв (або в класичному розумінні), якщо існує
такий окіл 0Хо, в якому визначена (п — 1)-похідна і існує
^п^\,у Яка називається п- класичною (або р е к у р е н т-
н о ю) п о х і д н о ю в точці х0.
Теорема. Якщо функція { п-диференційовна рекурентно в
точці х0, то вона такожп-диференційовна за Ферма — Лагранжем
у цій точці і відповідні п-похідні рівні між собою.
◄ Застосовуючи п — 1 раз правило Лопіталя, дістаємо
н—і
Ііт -------—---------------------= Ііт
(х — *о)	Х+Хо
ї(п~" (х)-^п-'Цха)
п\ (х — х0)
= 4-(/<п-І’),(х0)>
« •» 1
(1)
де (/<л“1))' (х0) — класична п-похідна в точці х0. З рівності (1) ви-
шиває існування такої неперервної в точці х0 функції 8, яка дорів-
нює нулю в точці х0, що
1 £
Нх) = У (х0)(-~+ (Г"*’)' (*о) X
/г==0
X - ^*о)- + 8 (х) (X - Х0Р .	(2)
Згідно з теоремою 2, п. 3.2, функція / п-диференційовна за
Ферма — Лагранжем і число (/(л-1))' (х0) є її п-похідною Ферма —
Лагранжа в точці х0. >
3.5.	Правила обчислення п-похідної.
Теорема 1 (про лінійність п-похідної). Нехай функції
-	> (С та § : (0 -> (С п-диференційовні в точці г0 за Ферма — Лаг-
ранжем або рекурентно, О} = і г0 Є Е>і — гранична точка
множини Оі. Якщо 1 6 (С> Ц 6 (С> то функція	п-диферен-
ційовна в точці г0 і при цьому
(V + №)'п> (2о) = V"” (г0) + |Л£(П) (г0).	(1)
◄	Формулу (1) дістанемо з відповідних означень, застосовуючи
метод математичної індукції. ►
Теорема 2. Нехай функція / і (0	(0 (р — к)-диференці-
йовна у розумінні Ферма — Лагранжа (п к	в точці г0 £
Є О/, граничній для множини Он Тоді функція	(г — г^)к [ (г)
п-диференційовна в цій точці і виконується рівність
«г - г.)7 (г»“. - -5^- Г~“ (г.>.	(2)
285
◄ Скористаємося формулою Тейлора — Пеано. Дістанемо Уг£ О/
рівність
/ (г) =	/<п (г.) (г + а (г) (г - г0)п~\
/=0
де 8 — неперервна в точці г0 функція і в (г0) = 0. Оскільки V г £ О /
справджується рівність
(г - г0)7(г) - V /(/> (г0)	-----+ е (г) (г - г0)п,
\І І КР	І*
і-о
то, згідно з оберненням теореми Тейлора — Пеано, функція г »-*
<-► (г — гоу } (г) п-диференційовна в точці г0 у розумінні Ферма —
Лагранжа і справедлива формула (2). ►
Теорема 3 (правило Лейбніца). Нехай функції / і (С -* С,
§ і (Б -* (С.	= В і, п-диференційовні за Ферма — Лагранжем
у точці г0 £ О>, граничній для множини О>. Тоді їх добуток п-ди-
ференційовний у тому самому розумінні в точці га і справджується
формула Лейбніца
п
(їв)™ (*.) - У;	/*"-•> (г.) ?'•’ (г.).	(3)
А; =10
<	4 Згідно з теоремою Тейлора, маємо
п	к
8 (г) = V §(к) (г0)	+ «п (г) (г - г0)п,	(4)
Аг=О
де єп — неперервна в точці г0 функція і ел (г0) = 0. До правої
частини рівності
п (п)
/ (г) £ (г) = У 41	((2 — 20)*/ (2)) + еп (2) ((2 — 20)7 (2))
А«=0
застосуємо теореми 1 та 2. Дістанемо
(/ (2) 8 (г))<1’го = £	((2 - г0)кІ (2))(_72в +
£==0
П (к)
к=0
п
+ Є (20)/ (20) ’оГ =	*| (п — й)!	’ (2о) 8{ ’ (20)- ►
Теорема 4 (правило Лейбніца для класичної и-похідної). Якщо
функції / і (£ -> (С, £ і (С с, О/. == О6, п-диференційовні у кла-
286
сипному розумінні в точці г0 Е Ві, граничній для множини О?,
то їх добуток, п-диференційовний у тому самому розумінні в
точці г0 і справджується формула Лейбніца (3).
◄ Згідно з теоремою з п. 3.4, досить довести, що існує класична
похідна (/§)(п) (г0). Якщо п = 0, то висловлене твердження випли-
ває з теореми про неперервність добутку неперервних функцій.
Нехай п 6 і теорема справедлива після заміни в ній п на п — 1.
Тоді існує окіл Ого, в якому виконується рівність
п—1
(/£)<п-,) (*) = У -^-(п(2?2)п!	(г)	(г) Уг £ Ог„.
*=0
Права частина останньої рівності має похідну в точці г0, внаслідок
чого існує (/§)'ПІ (г0). к
§ 4. Ряд Тейлора
У розд. 4—6 було вказано застосування степеневих рядів до
розв’язування різних задач. Вкажемо формули для обчислення кое-
фіцієнтів розвинення функції в степеневий ряд та дослідимо умо-
ви, за яких сума ряду дорівнює значенням функції в деякому околі
фіксованої точки.
Теорема 1 (про формули для коефіцієнтів степеневого ряду).
Нехай / : (С(0, г0— гранична точка множини О} і
Якщо в О} існує такий окіл Ог^ що
оо
/(г) = ао + У ап^=-^- УгЕО^	(1)
п=І
то функція $ п-диференційовна за Ферма — Лагранжем у точці
гпіУчЩ	(*«)•
◄І Застосуємо метод математичної індукції. Для п =» 0 тверд-
ження випливає з неперервності суми степеневого ряду. Нехай
теорема справедлива при заміні п на п — 1. Оскільки
И=І
то, за припущенням, сума ряду в рівності (2) п — 1 раз диферен-
ційовна в точці г0. При цьому /*п) (г0) = п •	= ап- ►
Теорема2 (про оцінку похідних суми степеневого ряду). Нехай
> 0 — радіус збіжності степеневого ряду і
оо
/(?) = ай + £ ап	Уг^Кн,
де Кц = {? € С 11 г — г01 < Я). Тоді:
287
1)	V (п С 2 6 Кіі) функція } п-диференційовна в класичному
розумінні;
2)	Г’ (г) = V ак (г~іо) П Уг €
к—п
3)	V г 6 (О, Я) існує таке Мг £ К, що V г Є Кг виконується
оцінка
◄ Для доведення тверджень 1) та 2) досить розглянути випадок
п = 1 і скористатися методом математичної індукції. Нехай $
£ Тоді V г £ Кг маємо
/(2) - / (21) = £ ап --~гс)П^(гі~г°)П =
П=1
оо	Н—І
= (г - гг) £	£ (г - г/-'"' (г, - г9)>.	(3)
п=І	/=0
Доведемо, що сума ряду в рівності (3) неперервна у точці гР
Для цього досить встановити, що ряд збігається нормально у кру-
зі /<г. Маємо
п=1	/=0	п—\	і—0
оо
П=1
< +
Н=1
оскільки
нює /? і
нуеться рівність
радіус збіжності степеневого ряду Хап
0<г<К. З рівності (3) випливає, що
дорів-
вико-
оо
П=1
Доведемо твердження З).' Маємо ^г^Кг
оо	__
к=:п
(г-гп)'-’
(л - 1)1
У2Х б Кг
оо
к—п
І г — г, |/г~п
(к — л)!
гк—п.
(£ — п)!
(4)
288
Виберемо число /р яке задовольняє нерівності г < гх < /?.
Взявши до уваги формулу Коші — Адамара для радіуса збіжності
степеневого ряду, дістанемо
= Ііт зир
п->оо
Внаслідок порядкової властивості границі числової послідовності
л	1^1	1
існує таке що 5иР 1/ —Л— < —, тому У&^п,-, ви-
к^п. V	й|	ГІ
к\
конується оцінка —. Нехай п^пРі. Тоді виконується
г]
оцінка
(п)V —	— 1 V ® І г
(*-п)і г« 2^	'і У
к=п	к—п
(5)
Обчислимо суму в правій частині нерівності (5). З цією метою
продиференціюемо п разів тотожність
Дістанемо
ос
п—0
\г\< 1.
___	_Л-»п
________Vі м г___________
(1 _ 2)"+'	21 (к - п)! •
к=п
Таким чином, з оцінки (5) та рівності (7) маємо
(6)
(7)
(8)
(9)
У замиканні круга Кг функції (к = 1, пГі) неперервні і за
теоремою Вейєрштрасса обмежені в сукупності. Беручи до уваги
оцінку (9), дістаємо твердження 3). >
Означення 1. Нехай / : С (Б і	— гранична точка
множини О}. Функція / називається аналітичною в точці г0,
(г — г }п
якщо існують степеневий ряд 2>ап ——— і круг Кг = {* € (01 | 2 —
— г0 | <С г} такі, що
ос
і{г) = а0 + V ап	Уг 6О, П Кг.
і ІЛ
П = 1
(10)
10 1—2914
289
Сума в правій частині рівності (10) називається аналітичним
продовженням функції / в круг Дг. Згідно з теоремою 1, вказане
продовження єдине.
Означення 2. Степеневий ряд а0 + ап	називаєть-
ся рядом Тейлора функції якщо Чп££ц ап = /(п) (г0).
Теорема 3 (критерій аналітичності в точці). Нехай функція
(а, Ь) П< має похідні будь-якого порядку V х Є (а, Ь). Для того
щоб функція $ була аналітичною в точці х0 £ (а, &), необхідно й
достатньо, щоб існували окіл 0Хо і число М такі, що\/ х £ ОХо
◄ Необхідність випливає з теореми 2.
Достатність, Згідно з формулою Тейлора, для функції / (див.
п. 2.4) V х Є (а, Ь) виконується рівність
6=0	х9
(12)
Взявши до уваги нерівність (11) і теорему про оцінку модуля ін-
теграла (див. п. 1.3), маємо Уп 6 И оцінку
С(/)	. аі ^мп.пі = (міх- х01 )га. (із)
Хс
Виберемо такий окіл 0Хо, щоб Ух£0Хо виконувалася нерівність
М | х — хе | < 1. Тоді дістанемо
п—1
Пт (/ (х) - £	(х0)	) =0 Ух Є 0Хо,
тобто
оо
/ (х) = / (х0) + £ Г’ (*»)	Ух ЄОХ,. ►
п=1
Якщо	існує /(гг) (г0), то функція / називається нескін-
ченно диференційовною в точці г0. Теорема 3 установлює аналітич-
ність нескінченно диференційовної функції (а, Ь) —“►!!<» усі похідні
якої задовольняють нерівність (11). Однак існують неаналітичні
нескінченно диференційовні на інтервалі функції, у яких ряд
Тейлора збігається скрізь (див. приклад з п. 3.2). Можна також
побудувати нескінченно диференційовні функції, у яких ряд Тей-
лора має нульовий радіус збіжності.
Після запровадження криволінійного інтеграла буде доведено
теорему про розвинення функції / і (Б С в степеневий ряд
290
у випадку, коли множина О/ містить круг /<, з центром у точні г0,
а функція / неперервно диференційовна в крузі Кг. Ця теорема
показує важливість задачі продовження функції / • ІК К в
комплексну площину.
§ 5. Опуклі функції
Рис. 59
У розд. 1 було запроваджено топологію упорядкованого просто-
ру і побудовано теорію границь, які грунтувалися на понятті не-
рівності, що призвело до сильних методів диференціального й ін-
тегрального числень. У процесі мір-
кувань часто застосовувалися різні
оцінки, виражені нерівностями.
Опуклі функції, до викладення
теорії яких приступимо, послужили
джерелом багатьох класичних нерів-
ностей, корисних для розв’язування
практичних задач. Початкові відомос-
ті про опуклі функції наведено в
п. 1.6, розд. 2.
5.1 Означення опуклої функції.
Лема про три точки. Не будемо роз-
різняти множини (С і Ш2, а також па-
ру (х, у) £ К2 та число г = (х + іу) Є
Є 0. Нагадаємо, що відрізком [гь г2]
(& 6 (0, Зо 6 (С) називається множина
{гЄ(С|з = /г3 + (1^/)г2;
1} (див. п. 5.1, розд. 6).
Означення І. Множина точок 2 с (С називається опуклою,
якщо V (гд 6/, з2 6 £) 1зх, г2] с: 2.
Означення 2. Нехай /  Ц К- Точка (х + іу) £ (£ (або
(х, у) £ К2) розміщена вище (нижче) графіка функції якщо
х 6 О/ і у>ї (х) (у < / (х)).
Означення 3. Функція (а, Ь) К називається опуклою,
якщо множина точок площини (С, розміщена вище її графіка,
є опуклою.
Багато інших, але еквівалентних означень опуклої функції
можна дістати з наступного елементарного твердження. Нагадає-
мо, що число к = ——— називається кутовим коефіцієнтом
х2
прямої, яка проходить через точки Мг (хь г/х) і М2 (х2, у2), і позна-
чається через к (Мь М2).
Лема (протри точки площини). Нехай на площині К2 дано три
точки Мі (хг, у^, М2 (х2, у2), М3 (х3, у3), причому х3 < х2 < х3.
Наступні умови попарно рівносильні (рис. 59): 1) точка М2 лежить
нижче прямої МіМ3; 2) к (ЛЦ, М2) к (Ми М3); 3) к (Ми М2)
< к (М2, М3); 4) к(Мі, М3) < к (М2, М3).
10*
291
◄ Розглянемо точки Мі (х}, г/і), М\ (х2, уі), М'з (х3, уз). Оче-
видно,
/ \
Мй)^к(М2,М3)). >
5.2. Теореми Ферма й Лагранжа для односторонніх похідних.
Теорема 1 (Ферма для лівої похідної). Нехай функція (а, Ь] ІД
набував найбільшого (найменшого) значення в точці х0 £(а, Ь].
Якщо існує /л (х0), то /л (х0) > 0 (/л (х0) < 0).
◄ Нехай функція / набуває найбільшого (найменшого) значення
в точці хоі х<хь, б}. Тоді
((х) — / (х0) > 0	// (х) — і (х0) < 0\
X — Х(}	( х — хс	/
внаслідок чого /' (хо)^О (/' (хо)^0). >
»л	л
і
Наслідок Нехай функція [а, Ь) -> К набував найбільшого
{найменшого) значення в точці х0£[а, Ь). Якщо існує /^(х0), 1710
№<0 (/;І(х0)>0).
Теорема 2 (Лагранжа для лівої похідної). Нехай функція [а,
Ь\ —- ІК неперервна і має ліву похідну У х £ (а, Ь\. Тоді існують
такі точки і £2 з півінтервалу (а, 6], що
(1)
4 Покладемо	= X і розглянемо функцію визначе-
ну рівністю (х) = /(х) — Хх \/х6 [а, і>\. Функція неперервна
на сегменті [а, Ь] і за теоремою Вейєрштрасса набуває найменшо-
го й найбільшого значень в деяких точках £х та Оскільки
їк(а) = /, (&), то можна вважати, що £хЄ(а, 61 і £2Є(а, &Т Згідно
в теоремою 1, (Д); (^) < 0, (/л); (£2) > 0. Оскільки (/х); (х) =
==Л(Х)-Х, то	тобто
5.3. Диференціальні властивості опуклих функцій. Кожна опук-
ла функція (а, Ь) !—> К має важливі диференціальні властивості’
вона неперервна (тобто О-диференційовна), має ліву й праву похід-
ні в кожній точці х£ {а, Ь), які є монотонними функціями, і ди-
292
ференційовна скрізь, за винятком не більш ніж зчисленної множини
точок. Доведення цих фундаментальних фактів спирається на вста-
новлені в розд. 5 властивості монотонних функцій, а саме: монотон-
на функція (а, Ь) ІК має в кожній точці х0 $ (а, Ь) односторонні
границі / (х0 — 0) = /л (х0) та / (х0 + 0) = /п (х0) і неперервна
скрізь, за винятком не більш ніж зчисленної множини точок.
Нагадаємо, що порожню множину також вважаємо не більш ніж
зчисленною.
Теорема 1. Нехай функція (а, Ь) — -* ІК опукла. Тоді в кожній
точці х £ (а, Ь) існують односторонні похідні (х) та /п (*)•
Крім того, функції /л і /п є неопадними.
◄ Нехай а <С хг < х2 < х3 < Ь. Розглянемо на площині К2 (або
(0) три точки: Мі (хТ, ї (хх)), М2 (х2, / (х2)), Л43 (х3, / (х3)). Згідно
з означенням опуклої функції, точка М2 розміщена нижче прямої
А41М3. За лемою про три точки (див. п. 5.1) маємо
/ (х3) — / (*1)
Х3 —X]
/ (х3) — / (хй)
х.з — х2
(1)
З нерівностей (1) видно, що функції
і (х3) — / (х) г , V	/ (х) — І (Хі) г ,	, х
У1— - ~Хз—х ’	ХІ~*> Х-Х1 ’
неспадні. Тому існують
Ііт	= Гл (Хз)і Ііт /,(*) - /(хх) = р (Хі)>
Х-*ХЬ	З *	Х^Ху *
х<х*	х>х,
Оскільки х1 і х8 — довільні точки, то Ух£(я, 6) існують /'(х) та
/д(х). Доведемо, що /' та — неспадні функції. З цією метою
перейдемо до границі при х2 -> х1 Д х2 > хг в нерівності
/ (х2) — / (хг) / (х3) — / (х2)
Беручи до уваги нерівності (1), дістаємо
/п
Х3 — Хі
І (х3) — / (Хі)
Х3 — х2
(2)
Оскільки
Ііт / (*з) — / (х2)
Х3->Х2 Х3 Х2
= ГП м,
то V (хх 6(а> Ь), х3 6(а, Ь)) (х, < х2) => }'п (хх) < [‘п (ха). Аналогічно
доводиться, що /' також неспадна функція. ►
Наслідок 1. Кожна опукла функція (а, Ь) —► К неперервна.
Наслідок 2. Якщо функція (а, Ь) ІК опукла, то існує
така не більш ніж зчисленна множина точок Е с (а, й), що вона
293
0	х х2 х
Рис. 60
Достатність. Нехай
диференційовна V х Є (а, Ь} \ Е, а функ-
ція (а, Ь) \ Е ІК неперервна.
5.4.	Критерій опуклості функції.
Теорема 1. Для того щоб функція
(а, Ь) ІК була опуклою, необхідно й до-
статньо, щоб V х £ (а, Ь) існувала похід-
г
ї
на і функція (а, Ь)--> Кбула неопад-
ною.
Ч Необхідність твердження випливає з
теореми 1, п. 5.3.
точки Л4] (хь г/х) та М2 (х2, у2) розмі-
щені вище графіка функції / (рис. 60), а точка М (х, у) належить
відрізку Доведемо, що у } (х). Для цього скористаємося
теоремою Лагранжа для лівої похідної (див. п. 5.2), згідно з якою
існує таке (х, х2), що (£х)	• Аналогічно внаслі-
док тієї самої теореми існує таке §2 £ (хг, х), іцо	—- — 
X х^
С /л (£з)- Оскільки £2 < І, і функція /л неспадна, то 	С
Згідно з лемою про три точки площини, у [ (х). ►
Наслідок 1. Нехай функція (а, Ь) К диференційовна
Ух £ (а, Ь), Вона опукла тоді і тільки тоді, коли її похідна ф
е неопадною функцією.
◄ Справедливість твердження випливає з того, що V х £ (а, Ь)
/'(х)=/л(х). >
Наслідок 2. Нехай функція (а, Ь) К має другу похідну
в кожній точці х £ (а, Ь). Для того щоб вона була опуклою, необхід-
но й достатньо, щоб V х £ (а, Ь) виконувалася нерівність /(2) (х)	0.
◄ Справедливість твердження випливає з умови монотонності
функції (/')' (х)	0 та наслідку 1. ►
Теорема 2, Для того щоб функція (а, Ь) ії{була опуклою, не-
обхідно й достатньо, щоб Ух £ (а, Ь) існувала похідна /п і функція
/
/
(а, Ь) — -» 1К була неопадною.
◄ Нехай	(х) = / (—х) \/ х £ (—д, — а). Очевидно, що фун-
кції / і ф або опуклі, або ні одночасно. Крім того, ф (х) —
=— (/і)л (—х) V х £ (а, Ь), внаслідок чого Фи є неспадною тоді
і тільки тоді, коли (/і)л — неспадна функція. Тому доведення тверд-
ження випливає з теореми 1. >
Зазначимо, що теорему 2 можна довести за допомогою теореми
Лагранжа для правої похідної, а теорему 1 дістати як її наслідок.
5.5.	Нерівності, зв'язані з опуклими функціями.
Теорема 1 (Ієнсена). Нехай функція (а, Ь) — -* ^опукла. Тоді
V (/г	2, хк С Ь), р* > 0, 6=1, п) виконується нерівність
294
Ієнсена
2
к=\
п
п
(1)
6=1
4 Застосуємо метод математичної індукції. Нехай п == 2. Покладе-
мо X = —. Тоді 1 — X = —. Оскільки функція /
опукла, то точки = хг + і} (хг), г2 = х2 + ї/ (х2) її графіка на
'площині (Р вважаються розміщеними вище нього, згідно з прий-
нятою термінологією (див. означення 2 та 3, п. 5.1), а точка
Н1*1 + Н‘2*2 і і Ні/ (*1) + На/ (*а)
Ні “Ь На	Ні Нг
= М*1 + ІЇ(Х')) +
+ (і — х) и2 + 7(х2))
належить відрізку [г19 г2]. За означенням опуклої функції вико-
нується нерівність
Ні/ (*1) + На/ > £ / Н1*1 + Н‘2*2 \
Ні + На	' \ Ні + На / ’
Нехай твердження справедливе при заміні п на п — 1. Введемо
позначення
гг-^1
&=]
м—1
їх
^=1
Очевидно, що х 6 (а, &). Застосувавши нерівність (1) для
п = 2, дістанемо, внаслідок зробленого припущення,
295
Нерівність Ієнсена має такий фі-
зичний зміст. Нехай гк = хк + і[ (хк) —
матеріальні точки з масами (й =
= 1, и). Тоді величина
п
£ ^гк
гс = ^—
6=1
Рис 6]	називається центром мас указаної си-
стеми точок. Нерівність Ієнсена озна-
чає, що центр мас цієї системи розміщено вище графіка опуклої
функції / (рис. 61).
Покладемо в нерівності (1) к, = 1, 2, хг = х, х2 = у, рі = X,
р,2 = 1 — X, X Ю, 1]. Дістанемо нерівність
/ (Хх + (1 - X) у) < и М + (1 - X) / {у),	(2)
Нерівність (2) виконується для будь-якої опуклої на інтервалі
(а, Ь) функції /. Покажемо, що будь-яка функція (а, Ь) К, яка
задовольняє нерівність (2), є опуклою.
Нехай а < хх < х2 < х3 <Ь. Тоді V X £ [0, 1] виконується
нерівність
/ (Ххх + (1 - X) х3) < X/ (х.) + (1 - X) / (х3).	(3)
Покладемо X = ——— . Тоді 1 — X = ——— , х2 = Хх2 + (1 —•
х3 — Хі
— Х)х3 і нерівність (3) набуває вигляду
/(х2Х	<4>
л3 лі	л3 Лі
Після нескладних перетворень дістанемо нерівність
( (х2) — / (Хг) < / (х9) —/= (Х1)	,
х2 — Х1	х3 — Хі ’	' '
з якої випливає, що функція / опукла.
Означення 1. Функція (ау Ь) К. називається опуклою,
якщо \/ (%! 6 (а, Ь), х2 £ (а, Ь), X £ [0, 11) виконується нерівність
/(Хх! +(1 ^Х)х2)^Х/(х1) + (1 -Х)/(х2).	(6)
Означення 2. Функція {ау Ь) К називається строго опук-
лою, якщо V (Хі (а, 6), х2 (а, &), X £ [0, 1]) виконується не-
рівність
і (Хх5 + ' 1 - X) х2) < X/ (хх) + (1 - X) / (х2).
(7)
Означення 3» Функція (а, Ь) Щ називається угнутою
(строго угнутою), якщо функція опукла (строго
опукла).
296
Теорема 2. Нехай функції (а, Ь) К (/ = 1, п) опуклі, а су —
п
довільні додатні числа. Тоді функція [ = 2 сіїі опукла. Якщо при
цьому хоч одна функція ц строго опукла, то / строго опукла.
◄ Згідно з нерівністю (6), для кожної функції /у (/ = 1, п)
та V (хх £ (а, Ь), х2 £ (а, Ь), X £ [0, 1]) виконується нерівність
(Ххг + (1	-^г)	7 С*і) 4“ О	їі (-^а))*
Підсумовуючи нерівності (8) за всіма / = 1, л, дістаємо нерівність
ПЦ + (1	-К)/ х2),	(9)
з якої випливає опуклість функції /. Якщо хоч одна функція //
строго опукла, то після підсумовування за всіма / == 1, п нерів-
ностей (8), серед яких принаймні одна строга, дістанемо строгу
нерівність
/(Хх1 + (1-?с)х2)<Х/(х1) + (1 ~Х)/(х2). ►
Теорема 3. Нехай (/п) — послідовність опуклих на інтервалі
(а, Ь) функцій, поточково збіжна до функції (а, Ь) К. Тоді функ-
ція / опукла.
◄ 3 умови Ііт /п (х) = / (х) V х С (я, Ь) та з нерівностей
ГС-+ОО
їп (Ахх + (1 - X) х2)< А/п (*і) + (1 - М/п (*2),
які виконуються V (п 6 хх Є (а, Ь), х2 6 (а, Ь), А £ [0, 1]),
дістаємо
/(Ахх + (1 — А)х2) = Ііт /л(Ахх + (1 — А)х2)^АІіт /п(хх) +
Н->ос
Пчоо
+ (1 - А) Ііт /л (х2) = А/ (хх) + (1 - А) /(х2).
П->оо
Отже, функція / опукла. ►
Теорема 4 (В. Юнг).
п
Нехай
№>о, Рй>0 V к = 1, п.
= 1, то
п
п
Л=1
УРк
4=1 Рк
(10)
4 Запишемо нерівність Ієнсена для показникової функції, по-
кладаючи = —І— , хк = рк 1п ук V к = 1, п. Дістанемо
Рь
Й=1
297
1
Окремий випадок нерівності (10) при рк = п, ук = х”, хк >
> 0 (к = 1, п) відомо з курсу середньої школи під назвою «не-
рівність між середнім геометричним і середнім арифметичним до-
датних чисел». Зазначимо також окремий випадок нерівності (10)
при п = 2’
Додатні числа рг та р2> які задовольняють указану умову, назива-
ються спряженими у розумінні Юнг.
Теорема 5 (Гельдера). Нехай р > 1, — + — = 1. Тоді V (п £
р я
ак€^> &ь€®)> к^І^п, виконується нерівність
п	п	1 п	1
Ілйіу(£ ІМ7)^.	(12)
к=У	к=]	/г=1
4 Розглянемо нерівність (1) для опуклої функції X хр, х> 0,
покладаючи = | р, хА = - (к = 1, п). Дістаємо
ІЬлҐ
Отже, дістали оцінку
п	п	1 п	1
к=°]	к=]	/?==)
(13)
Нерівність (12) є наслідком оцінки (13). ►
Покладемо в нерівності (12) р = д = 2. Дістанемо нерівність
Коші — Буняковського
п	ПІНІ
«л |<(І МЧІ Мг
й=1	/г=]	к=1
(14)
Наслідок!, Якщо (| ап |р) 6 І (И), (І Ьп |’) £ І (^
+ -у = 1, то (апЬп) Є І (М) і виконується нерівність
Р Я

пек
(15)
Наслідок2 (нерівність Мінковського). Нехай р> 1,
Є ^1, я* Є (С> Є (0 (^ = 1, п). Тоді виконується нерівність Мін-
298
ковського
п	1 п	1 п	1
(£ І«л + ьк Г)р'^(2 КІР)Р + (£ІМР)Р- (іб)
к=1	к=\	к=1
◄ Очевидно, ЩО
п	п
У, І ак + ^к |Р = І ак + &к Ґ І ак + Ьк І
к=1	к~1
п	п
+	11 ак | + І аь + Ьк 11 Ьк |.	(17)
к=1	к=]
До кожної суми в правій частині нерівності (17) застосуємо нерів-
ність Гельдера. Дістанемо
п.	піп	1
2 іай +	і«ир)^(£ і^+м(р_,)7> (18)
к=1	к^І	к=1
п	піп	1
2 І ак + ^Г11М < (2 І ьк гу (2 | ак + Ьк ,	(19)
к=1	к=1	6=1
де	= 1. Оскільки (р — 1)р — р, 1--, то нерів-
ність (16) випливає з оцінок (17) — (19). ►
Назвемо упорядкований набір а = (ап а2, ап) комплекс-
них чисел вектором простору $пр, визначаючи операції додавання,
множення на комплексне число X та р-модуль (довжину) вектора за
допомогою формул
62 4“ Ь — (б?! 4“	#2 4”	••• »	4"
п	£
Ка = (Ха1( Ха2.......Хап), І а | = (£ | ак |р)р .
6=1
Можна упевнитися в тому, що для р-модуля виконуються основні
властивості модуля вектора:
1) | а | = 0 => а == 0; 2) | Ха | = | X | | а |; 3) | а + Ь |	| а | +
+ | Ь\.
Властивість 3) збігається з нерівністю Мінковського.
5.6. Застосування опуклих функцій до розв’язування рівнянь.
Чимало практичних задач приводять до рівнянь, які мають вигляд
/ (х) = 0, де / : К К — деяка функція. Найпростіший спосіб
його розв’язування —метод вилки — оснований на такому тверд-
женні.
Теорема (Дарбу). >7кщо функція [а, Ь] — -* К інтегровна в ро-
зумінні Ньютона — Лейбніца (зокрема, неперервна) і ? (а) } (Ь) <
< 0, то існує така точка £ (а, &), що { (5) = 0.
Для випадку, коли функція / інтегровна в розумінні Ньюто-
на — Лейбніца, теорему доведено в диференціальній формі в
299
п. 2.6, розд. 6. Якщо / £ С [а, &], то виконано всі умови теореми
Коші (див. п. 5.5, розд. 5). >
Метод вилки основано на тому, що за наближене значення кореня
рівняння / (х) — 0 приймають середину інтервалу (а, Ь), тобто
покладають £	Для більш точного обчислення значення
кореня серед сегментів [а, £1 і [£, 6] вибирають той, на кінцях
якого функція / набуває значення протилежних знаків, і за на-
ступне наближення беруть його середину.
Нехай функція / опукла і / (а) < 0, / (Ь) > 0. Тоді для відшу-
кання наближеного розв’язку вказаного рівняння користуються
Рис, 62
методом хорд, який полягає ось у чому. Сполучимо кінці графіка
функції [а, Ь] —К хордою (відрізком) і позначимо через Хі точку
перетину її з віссю Ох. Покладемо £ « хь де £— корінь рівняння
/ (х) = 0. Очевидно (рис. 62), що
Х1 = а ~	/’(&)—/(а) ’
З леми про три точки площини випливає, що х± £ і / (Хі) 0.
Якщо / (хх) == 0, то корінь рівняння знайдено. У випадку, коли
/ (*і) <: 0> повторюємо вказаний процес для звуження / |[х„&],
а знайдене наближене значення кореня позначимо через х2. Не-
обмежене застосування вказаного процесу приводить до послідов-
ності (х„), де
%п ==	/ (•^«—•і) у р > Л'О =	(2)
Послідовність (хп) неспадна, обмежена зверху числом £ і за те-
оремою Вейєрштрасса має границю при п оо, яку позначимо
через х. Оскільки опукла функція / неперервна, то за допомогою
переходу до границі в рівності (2) переконаємося у тому, що х =
Розглянемо метод Ньютона розв’язування вказаного рівняння.
Проведемо дотичну до графіка функції / у точці (&, / (6)). По-
значимо через Хі точку перетину вказаної дотичної з віссю Ох,
Покладемо £ « хі, де § — корінь рівняння / (х) = 0. Очевидно
(рис. 63), що
.	(3)
Ґп (Ь)
300
З властивостей опуклих функцій випливають нерівності Хі^>£»
/(хі)2>0. Якщо /(хі) = 0, то хі = Е. Якщо /(хі)>0, то повто-
рюють вказаний процес для звуження
Продовжуючи

ана-
логічні міркування, дістаємо послідовність (х„), де
Хп = Хп—-1 — -т—,   , Хо = &, Л С №	(4)
Послідовність (х„) не зростає, обмежена знизу числом В і за теоре-
мою Вейєрштрасса має границю при п оо, яку позначимо
через х'. Оскільки похідна /л не спадає, а / — неперервна функція,
то в рівності (4) можна перейти до границі при п -> оо. При цьому
дістанемо, що / (х') = 0, тобто х' = £>.
Розглянутий спосіб розв’язування рівняння / (х) = 0 також на-
зивається методом дотичних (через його геометричний зміст).
Найчастіше користуються комбінованим способом, коли набли-
жені значення £• по черзі знаходять методами хорд та дотичних.
Перевага комбінованого методу пов’язана з оцінкою похибки роз-
в’язку рівняння, яка не перевищує різниці хп — хп. У залеж-
ності від заданої точності обчислень легко визначається кількість
вказаних операцій.
Для наближеного обчислення кореня рівняння / (х) = 0 засто-
совують також метод Канпюровича, який відрізняється від методу
дотичних тим, що у формулі (4) замість (х^_і) беруть (&).
У зв’язку з висловленими вище міркуваннями відносно оцінки
похибки розв’язку рівняння метод Канторовича корисно комбі-
нувати з методом хорд.
5.7. Точки перегину графіка функції.
Означення. Якщо графік Г (/) функції (а, Ь) К має дотичну
в точці Л40 (х0, / (х0)), х0 £ (а, /?), а при переході через точку х0 функ-
ція / змінює опуклість на угнутість (або угнутість на опуклість),
то точка Мо називається точкою перегину графіка Г (/)
(рис. 64).
Теорема 1 (необхідна умова точки перегину). Нехай функ-
ція (а, Ь) К диференційовна на інтервалі (а, Ь) і в точці х0 £
£ (а, Ь) існує /(2) (х0). Якщо Л40 (х0, / (х0)) — точка перегину гра-
фіка Г (/), то /(2) (х0) = 0.
< 3 означення точки перегину графіка Г (/) і критерію опуклості
випливає існування такого 6 > 0, що на інтервалах (х0 — 6, х0)
та (х0, х0 + 6) похідна /' монотонна, причому характер монотоннос-
ті різний: якщо, наприклад, звуження функції / на інтервалі (х0 —-
— 6, х0) є опуклою функцією, а на інтервалі (х0, х0 + 6) — угну-
тою, то V х £ (х0 — 6, х0) /' (х)	0, а V х £ (х0, х0 + 6) /' (х)	0.
Таким чином, у точці х0 функція (а, Ь) П< має екстремум. Тому
Г2)(хо) = О. >
ЗОЇ
Отже, для відшукання можливих точок перегину графіка функ-
ції / потрібно розв’язати рівняння /12’ (х) = 0, х £ И}.
Зазначимо, що до можливих точок перегину графіка функції /
слід віднести й такі, в яких дотична до графіка Г (/) паралельна
осі Оу. Якщо Л40 (х0, / (х0)) — така точка, то (х0) не існує. На-
звемо її критичною точкою для похідної (рис. 65). Якщо при пе-
реході через критичну точку х0 функція /(2) змінює знак, то Мо (х0,
/ (*о)) — точка перегину графіка Г (/).
Теорема 2 (достатня умова точки перегину). Нехай функція
(а, Ь) К п-диференційовна в розумінні Ферма — Лагранжа у
точці х0 £ (а, Ь) і /(/г) (х0) = 0 V к = 2, п —- 1, /(а) (х0) #= 0.
Якщо п — непарне, то Мо (х0, } (х0)) е точкою перегину графіка
Г (/), а якщо п — парне, то Л40 не е точкою перегину цього графіка.
< Згідно з теоремою 1, п. 3.2, існує така неперервна в точці х0
функція єп, що &п (х0) = 0 і
+ еп О)) = 0 — х№)п~2<(>п (%).
/(л) (х )
Якщо фп(х0) = --'-д _ 2)| <0, то, згідно а властивістю напівнепе-
рервності зверху, знайдеться такий окіл 0Хо, що V х £ ОХо
Фп (*) < 0. Якщо п — непарне, то при переході через точку
х0 функція змінює знак з «+» на «—», внаслідок чого Л40 (х0,
ї (х0)) є точкою перегину графіка Г (/), бо функція / змінює опук-
лість на угнутість. Якщо при непарному п виконується нерівність
Фп (*о) > 0, то при переході через точку х0 функція / змінює угну-
тість на опуклість.
Якщо п — парне, то при переході через точку х0 друга похідна
функції / не змінює знак, внаслідок чого Мо (х0, / (х0)) не є точкою
перегину графіка Г (/). ►
Теорема 1 є'окремим випадком теореми 2. Дійсно, якщоп = 2,
то Л40 (х0, / (х0)) не є точкою перегину графіка Г (/). Отже, для того
щоб вона була точкою перегину, необхідно, щоб /<2) (х0) = 0.
302
§ 6. Асимптоти графіка функції
6.1. Асимптоти графіка функції, заданої параметрично. Нехай
функція / : Ц< -> Щ задана параметрично рівняннями х ~ ер (ґ),
у — ф (0, Оф =	= Т, де Т — проміжок числової прямої,
скінченний чи нескінченний. Тоді графік функції / е множиною
точок
Г(/) = {(х,г/)Є/?2|х = <р(0, </ = ф(0, ^Т}.
Якщо пряма на площині хОу задана рівнянням Ах + Ву + С = 0,
то відстанню точки (<р (ґ), ф (ґ)) € Г (/) від цієї прямої назива-
ється величина
а(і} _ І А<Р (0 + £ф (0 + С І
Ул2+в2
Означення. Пряма, задана рівнянням Ах + Ву + С = 0, на-
зивається асимптотою г р аф і к а Г (/) при і -> ґ0 одно-
сторонньо (тобто зліва або справа, причому може бути 4-оо або
—оо), якщо виконуються співвідношення
та ф2(/) + ф2(/)-> 4-°о при
6.2. Критерії існування асимптот графіка функції. Нехай пряма
задана рівнянням Ах + Ву + С = 0, (ер (0, ф (0) Є Г (/) і ф2 (/) +
+ ф2 (0 -> при 1^- ^0.
Можливі три випадки: 1) 1ішф(0в^, а 6ІК, 1ігпф(/)==оо;
/-►/0
2) 1ігпф(/)=оо, Ііт ф (/) = &, &СК; 3) 1ітср(/)=оо, 1ітф(/)= оо.
Згідно з означенням асимптоти, маємо
(Ііт (1 (і) = 0) & (Ііт (Л<р (0 + Вф (0 + С) = 0).	(1)
м<>
У випадку 1) дістаємо
(1іт(Л<р(0 + Ві|>(/) + С) = 0)^(в = 0, а = -4).	(2)
і рівняння асимптоти графіка Г (/) має вигляд х = а. Це пряма,
паралельна осі Оу, яка проходить через точку (а, 0) (вертикальна
асимптота).
У випадку 2) маємо
(1іт(Л<р(0 + Вф(0+С) = 0)<^(л = 0. & = - 44	(3)
і рівняння асимптоти графіка Г (/) записується у вигляді у = Ь.
Це пряма, паралельна осі Ох, яка проходить через точку (0, Ь)
(горизонтальна асимптота).
У випадку 3) дістаємо
(Ііш (Лф (/) + Вг|9(0 + С) = 0)« (ііт ф (/)/4 + ^#) = - 4)
і-И0	\/-^0	\ ° Ф (О /	° /
ф?(1іт4и7Г ==— А =к Ііт 0НО —М0) = — -у = &) • (4)
303
Рівняння асимптоти графіка Г (/) набуває вигляду у = кх + Ь.
Таку асимптоту називають похилою.
6.3.	Випадок явного задання функції. Якщо 7 — К, де 7 —
проміжок числової прямої, то покладемо ф (і) = і = х, ф (і) =
= / (х), Т = 7 і, таким чином, зведемо цей випадок до розглянуто-
го. При цьому у випадках 2) та 3) проміжок повинен бути нескін-
ченним. Сформулюємо критерії існування асимптот графіка Г (/):
1)	пряма, задана рівнянням х == х0, є вертикальною асимптотою
графіка Г (/) при х -> х0 зліва (справа) тоді і тільки тоді, коли
/ (х0 — 0) = оо (/ (х0 + 0) = оо);
2)	пряма, задана рівнянням у = Л, є горизонтальною асимпто-
тою графіка Г (/) при х->+оо (х->—оо) тоді і тільки тоді,
коли Ііт / (х) = & ( Ііт / (х) = &);
Х-+4-ОО	—00
3)	пряма, задана рівнянням у = кх + Ь, є похилою асимпто-
тою графіка Г (/) при х->+оо (х->—оо) тоді і тільки тоді,
коли
Ііт = к Д Ііт (/ (х) — кх) = Ь
Ііт = к Д Ііт (/ (х) — кх) =
—оо Х	X-»-—оо	/
Приклад. Знайти асимптоти графіка функції, заданої неявно рівнянням
х3 + у9 — Заху == О, а > 0.
Графік цієї функції називають листком Декарта. Введемо параметр /, покла-
даючи у — їх. Дістанемо параметричні рівняння функції / : КК у вигляді
За/	За/2
* ~ і _|_ /з > У = ।	С К\{—!}•
Оскільки х (0 -> оо та у (і) оо при і -> —1, а при усіх інших значеннях /функ-
ції х і у набувають скінченних значень, то листок Декарта не має вертикальних
та горизонтальних асимптот.
З граничних співвідношень
і-	у ®	і А™ х(і) --1- За/ (1+0 = Ііт	,-д - =	..	( Заі2	Заі \ 4'-і \1+’ *+(3) ~ Заі = ^1 р — І + 1 =~а'
випливає, що рівняння похилої асимптоти листка Декарта має вигляд у = —х —
— а.
6.4.	Асимптотичні многочлени.
Означення. Нехай функція / : К ІК визначена на нескінчен
ному проміжку. Многочлен
Рп (х) = аохп + а1хп ' +	+ ап-іх + ап, а, 6 К, І = 0, п,
називається асимптотичним для графіка Г (/) при х
+оо, якщо
Цх) — Рп(х) + а(х) V х£О},
де а (х) -> 0 при х +оо.
304
Теорема. Для того щоб многочлен Рп був асимптотичним для
графіка Г (/) при х -> + оо, необхідно й достатньо, щоб викону-
валися умови
Ііт
/ (х) — аохп
1
А
,.	( (х) — («0*" + йіХп ’ + ...+ а 2х2)
11т -----------------------------------------= ап-і,
Х-*Ц-оо
Ііт (/(х) — (аохп + а1х',_| + ... + ап_іх)) = ап.
х-*-}-00
◄ Необхідність. Якщо многочлен Рп асимптотичний для графіка
Г (/) при х + оо, то / (х) = Рп (х) + а (х) V х £ О/, де а (х)	0
при х -> +оо. Тоді існують границі
Ііт = с0,
Х->4-оо х
і™ '
Х-ї4-<х> X
,.	/ (*) — (а/ + аххп ' +	+ ап_2х2)
Ііт ------------------------------------ =ап_ь
«->4-00	Л
Ііт (/(х) — (аохп + а1хп~' + ... + ап-іх)) = ап.
Достатність. Якщо існують указані п + 1 граничні значення,
то многочлен Рп існує і при цьому
/(х) — (аохл + а1хп'‘1 + ... 4- ап_\х) = ап + а (х),
де а (х) -> 0 при х -> +оо, тобто / (х) = Рп (х) + а (х) V х £
Є О/. ►
§ 7.	Побудова графіків функцій
7.1.	Побудова графіка функції / : Ж ІК, заданої явно. Дослі-
дження функції / та побудову графіка Г (/) доцільно проводити за
схемою:
1)	вияснити питання про періодичність, парність чи непар-
ність функції, якщо вона визначена на симетричному інтервалі,
знайти точки перетину графіка Г (/) з осями координат та інтер-
вали знакосталості функції /, знайти її точки розриву та інтервали,
на яких функція неперервна;
2)	вияснити питання про існування асимптот і знайти їх, якщо
вони є;
305
3)	знайти інтервали монотонності функції та дослідити її на
екстремуми;
і 4) указати інтервали збереження опуклості (угнутості) графіка
Г (/) та провести дослідження на існування точок перегину;
5) побудувати графік Г (/).
Приклад. Побудувати графік функції / : К К, де
/ (х) = х + х2 । »	В{ — К\{— 1> І}*
Графіком функції / є множина
Г (/) = {(*, у)ї№\х£Ог г/ = / (х)}.
При х = 0 маємо / (0) = 0, тобто (0, 0) £ Г (/). Оскільки / (1 + 0) = / (—1 + 0) =
= +оо і / (1 — 0) = ( (—1 — 0) “ —оо, Ііт = 1, Ііт (/ (х) — х) ~ 0, то
хчоо X	Х-4-ОО
графік Г (/) має дві вертикальні асимптоти, задані рівняннями х— 1, х = —1,
та похилу асимптоту, рівняння якої у — х. Диференціюючи двічі функцію /, маємо
УхЕЯ/
2 (ха + 1) рГ2і 4 (х3 + Зх)
Г (*) — 1 —	(Х2 _ 1)2 •	/	(X) —	_ ^3	.
Знайдемо стаціонарні точки функцій / та/'. Для цього розв’яжемо рівняння /' (х) ==
= 0 і /2) (х) — 0. Маємо дві стаціонарні точки хх = — И2 + 4^5 « —2,06, х2 =
= Уг + /5 « 2,06 і одну точку х = 0, при переході через яку функція /(2) змі-
нює1 знак з «+» на «—». Графік Г (/) має точку перегину Лїо (0, 0). Оскільки
/(2) (Х1) < 0 і /<2> (хг) > 0, то /тах = ( (хг) « -3,33, /тіп = / (х2) « 3,33 (локаль-
ні екстремуми функції /). На інтервалах (—оо, —1) і (0, 1) функція /2> від’ємна,
а на інтервалах (—1, 0) та (1, +оо) вона додатна, внаслідок, чого в межах перших
двох інтервалів графік Г (/) угнутий, а в межах останніх двох інтервалів він опук-
лий. Залишилося побудувати графік Г (/), взявши до уваги, що на інтервалах
(—оо, хх), (х2, +оо) функція / зростаюча, а на інтервалах (хь —1), (—1, 1), (1, х2)
вона спадна (рис. 66).
7.2. Побудова графіка функції / : И< К, заданої параметрично.
Нехай функція / : Щ -> К задана параметрично рівняннями х =
= <Р (0, У = Ф (0»	(я, Ь). Інтервал (а, Ь) може бути нескінчен-
Рис. 66
ним.
У цьому випадку дослідження функції
/ та побудова графіка Г (/) проводяться
аналогічно проробленому в п. 7.1.
Спочатку будуємо графіки функцій (а,
Ь) —К і (а, Ь) —К відповідно в систе-
мах координат Юх та Юу. Враховуючи
графічне зображення функцій ер та ф, до-
сліджуємо функцію £ф —П< де / = ф о
о ер-1, за описаною в п. 7.1 схемою. За-
значимо деякі особливості графіка Г (/):
він симетричний відносно осі Оу, якщо при
заміні / на — і не змінюється значення у,
а х переходить в —х; графік Г (/) симе-
306
тричний відносно осі Ох, якщо при заміні і на —і не зміню-
ється значення х, а у переходить в —у\ період функції / ви-
значається за періодами функцій <р та ф; для відшукання точок
перетину графіка Г (/) з віссю Оу потрібно знайти ті значення і,
при яких х = 0 (розв’язати рівняння <р (/) = 0) та відповідне зна-
чення у — ф (/); для відшукання точок перетину графіка Г (/)
з віссю Ох потрібно знайти ті значення і, при яких у = 0 (розв’я-
зати рівняння ф (/) = 0) та відповідне значення х = ер (і)\ іноді
доцільно визначити точки перетину графіка Г (/) з бісектрисами
координатних кутів, для чого розв’язують відповідно рівняння
ф (/) = ер (/) і ф (/) = —ф (/), а значення функції х = ф (і), у =
= ф (/) при знайдених ґ і дадуть координати шуканих точок.
Приклад. Побудувати графік функції / : 0? К, заданої параметрично рів-
няннями X = ф (/) = іе1, у = Ф (0 =
Для відшукання області визначення функції / потрібно вказати множину
Оскільки ф' (/) = (/4- 1) е* = 0 при і = —1 і ф(2) (—1) = є”1 > 0, то фтіп =
= Ф (—1) = — е~}. Таким чином, Р/ = Еф = [—е~1, +оо). На інтервалі (—оо,
—1) функція ф спадає, а на інтервалі (—1, +оо) вона зростає. Оскільки функція
ф^ при переході через точку І — —2 змінює знак і ф<2) (—2) = 0, то (—2,
—2е-2) — точка перегину графіка Г (ф).
Диференціюючи функцію ф двічі, дістаємо ф' (І) =	(1 — /), ф(2) (/) =
= —е~~1 (2 — 0- Оскільки ф' (1) = 0, ф(2) (1) = —< 0, то фтах = е~1.
З граничних співвідношень Ііт ф (/) = 0, Ііт ф (/) = —оо випливає, що Е^ =
== £/ = (—оо, є""1]. Функція ф зростає на інтервалі (—1, 1) і спадає на інтервалі
(1, 4~оо), бо V / Є (—оо, Ц ф' (/) > 0, а V / 6 (1>4~°°) Ф' (0 < 0« При переході
через точку і — 2 функція ф(2) змінює знак, внаслідок чого (2, 2е“2) — точка пере-
гину графіка Г (ф).
Оскільки при і —оо х = ф (/) -> 0, у = ф (/) -> —оо, а при і +оо
X — ф (/)	4~оо, у = ф (/) -> 0, то осі координат є асимптотами графіка Г (/).
Похилих асимптот графік Г (/) не має. Він симетричний відносно прямої, заданої
рівнянням х 4" У — 0» і містить початок координат.
Графіки Г (ф), Г (ф) та Г (/) зображено на рис. 67, а, б, в.
7.3. Побудова графіка функції / > К -> К, заданої в полярній
системі координат. Задамо в площині ІД2 промінь ОЬ (полярну
вісь), який виходить з точки О — полюса полярної системи коор-
динат. Довільна точка М площини ІК2 визначається парою чисел
307
(р, <р) — її полярними координатами, де р — відстань між точками
О і М, а ф — виражений у радіанах кут між векторами ОЬ та ОМ
(рис. 68). Точка О особлива. Вона визначається парою (0, ер), де ер —
довільне число. Кут <р відраховується у напрямі проти руху го-
динникової стрілки. Графік Г (/) функції / : Щ К, де / (ф) = р,
є множиною
Г(Л-{(р, ф)6К1 2|р = /(ф), ФЄО/, р>0}.
Якщо на площині П<2 задано полярну систему координат, то
цим визначено й деяку прямокутну систему координат: за масштаб
і початок координат у цій прямокутній системі беремо масштаб і
полюс полярної системи. Полярна піввісь стає додатною піввіссю
абсцис. Таким чином визначено вісь абсцис разом з її напрямом.
Оскільки в означення полярної системи входять і напрям додатно-
го обертання площини, то можемо визначити
/у вісь ординат як таку, в яку перейде вісь
абсцис при повороті її на кут у додатному
1	" > напрямі.
0	Навпаки, якщо задано яку-небудь прямо-
Рис. 68	кутну систему координат, то однозначно ви-
значаємо полярну систему, зберігаючи в ній
масштаб і початок даної прямокутної системи та вимагаючи, щоб
полярна піввісь збігалася з додатною піввіссю абсцис, а додатний
напрям обертання був тим, який переводить вісь абсцис у вісь
ординат поворотом на кут Очевидно, що коли для одержаної
таким чином полярної системи координат побудуємо визначену нею
прямокутну, то повернемося до початкової прямокутної системи.
Отже, кожній полярній системі координат відповідає цілком
пезна прямокутна система і навпаки.
Якщо х, у та р, ф — координати точки М £ К2 відповідно в
прямокутній та полярній системах координат, то
Х = рСОЗф, у = р ЗІП ф.	(1)
За допомогою формули (1) можна перейти від полярних координат
точки до прямокутних. Разом з тим вони дають змогу здійснити
й обернений перехід за формулами
р2 = х2 + г/2, соз ф = — = ==. _ , зіп ф = — = —==- . (2)
к	Р Ух2 + г/2 у р д/Х2 + / к 7
З останніх двох рівностей випливає, що
ІЄФ=^--	(3 * * *)
Але за формулою (3) можна визначити кут ф лише з точністю до
доданків вигляду £лс, & £
При побудові графіка Г (/) відкладають значення р = / (ф),
Ф £ на променях, які виходять з полюса О. При цьому слід
пам’ятати, що р 0. Якщо функція задана рівнянням р = / (ф)
308
і множина О/ невідома, то у випадку, коли ? (ф0) < 0, відповідне
значення р = | / (ф0) І відкладають на продовженні променя.
Зауважимо, що коли функція / задана в полярній системі ко-
ординат, то, вибираючи ф як параметр, дістаємо параметричні рів-
няння функції у вигляді
X = р (ф) СО 8 ф, у = р(ф)8ІПф.	(4)
Приклад. Побудувати графік функції / : ЕР -> (Р, заданої в полярній системі
координат рівнянням р = а соз Зф, а > 0.
Очевидно, що р > 0, якщо — <Р б"’ у	Ф
п
— -у. Графік Г (/) « ((р, Ф) Є К2 | р = / (Ф) = а соз Зф, ф 6 Г)/}, який на-
зивають трипелюстковою трояндою», зображено на рис. 69.
Зауважимо, що у випадку
неявного задання функції
/ : К -> К для побудови її
графіка вибирають деякий
параметр ґ, дістають парамет-
ричні рівняння функції і до-
сліджують її за схемою, вка-
заною в п. 7.2.
Нехай, наприклад, функ-
ція / задана неявно рівнян-
ням у3 = 6х2 — х3. Покладе-
мо у — іх. Дістанемо пара-
метричне задання функції /
у вигляді
6
6/
Оскільки Ііт == — 1, Ііт (у (і) + х{/)) = 2, то графік Г(/)
/-+—1 х \Ч
має похилу асимптоту, рівняння якої х + у = 2. Похідна у'(/) =
=	 дорівнює нулю В ТОЧЦІ І = 3^-- .
рез цю точку похідна у' змінює знак з «4-» на
. Функція / має локальний
= У “з
При переході че-
«—», тому
максимум
Утах—
/ тах —
4 / 1 \
= /(4) =:	, бо х (ДТІГ / ^Ункц^ х та
кальну асимптоту, рівняння якої і ~ —1. Похідна х' (і) = —
недодатна V /Є0?\{— 1}, тому функція х кусково-монотонна (вона
спадна на інтервалах (—оо, — 1), (— 1, 4-оо)). Оскільки у' (7)^0
V і С (— °о, "з
у мають
верти-
18/2
\{— 1}, то у зростає на інтервалах (— оо,
0 і у спадає на
309
Рис. 70
цьому інтервалі. Залишилося побудувати графіки функцій х, у
та Ех-+№, де Ех = К (рис 70, а, б, в).
Вправи
1.	Побудувати графік функції / : ЕР 0?» де:
а)	/ (*) = (ТТ^>	= К \ {-!};
б)	/ (*) = (х-НУ- О/=К\{1);
І
В)	/ М =Л]^2, Р/ = К \ {-1, 1}.
2.	Побудувати графіки функцій, заданих параметрично рівняннями:
а)	х = 2/ — ґ2, у = Зі — /8;
б)	х — і +	у = 21 + е*"2/> в) х = і Іп /, у =
3.	Побудувати графіки функцій заданих у полярній системі координат (р, <р)|
а) р = а + Ь соз ф (0 < а Ь); б) р = _-Д —  (а > 0);
у СОЗ Зф
4.	Побудувати графіки функцій, заданих неявно рівняннями:
а) х2 + у2 ~ хї + У4’, б) х2у2 = х3 — у3;
в) (х2 4- у2)2 = а2 (х2 — у2).
§ 8.	Деякі застосовування інтеграла
Рімана
У п. 5.3, розд. 6, інтеграл у розумінні Ньютона — Лейбніца або
Рімана від неперервної невід’ємної функції [а, Ь] а саме
ь
а
310
було названо площею підграфіка функції Надалі підграфік такої
функції називатимемо криволінійною трапецією.
Використання інтеграла Рімана в застосуваннях найчастіше від-
бувається за однією й тією самою схемою, до якої приводять мір-
кування геометричного або фізичного характеру, притаманні на-
шій інтуїції.
8.1.	Адитивна функція проміжку й інтеграл Рімана. У п. 8.1,
розд. 6, було доведено властивість адитивності інтеграла Рімана:
якщо / С [а, Ьі і с £ (а, Ь), то
Ь	с	о
У/(х)гіх = | ?(х)сіх 4- у [(х)сіх.
а	а	с
Надамо поняттю адитивності більш загального характеру.
Означення 1. Якщо кожному сегменту [а, р], який міститься
в фіксованому сегменті [а, Ь] сс П<, ставиться у відповідність зна-
чення деякої геометричної або фізичної величини Р, то кажуть,
що на сегменті [а, Ь] задано функцію проміжку [а, р] Р ([а, р]).
Наприклад, якщо / £ С [а, Ь] і /	0, то з кожним сегментом
[а, р] сі [а, пов’язуємо величину 5 ([а, р]) площі підграфіка
звуження / |[а,/3], або об’єм V ([а, р]) тіла, утвореного обертанням
цього підграфіка навколо сегмента [а, р]. Якщо Е) — гладкий або
кусково-гладкий шлях (див. п. 3.1, розд. 6), то з кожним сегментом
[а, р] сі [а, &] пов’язуємо величину / ([а, р]) довжини шляху Е/|(а^.
Якщо на сегменті [а, Ь] неперервно розподілено масу т ([а, &]),
то її кількість т ([а, р]) є функцією проміжку [а, р].
Подібні приклади можна було б продовжити в разі потреби.
Означення 2. Функція проміжку [а, р] Р ([а, р]), [а, р] сі
сі [а, 61, називається адитивною, якщо V у £ (а, Р) викону-
ється рівність
^([а, РП == ^([а, у]) + Е([у, р|).	(1)
Усі наведені вище функції проміжків є адитивними, бо за на-
шими уявленнями про площу, об’єм, довжину шляху та масу ре-
човини V у £ (а, р) повинні виконуватися співвідношення:
1)	5 ([а, р]) = 5 ([а, у]) + 5 ([у, р]);
2)	V ([а, РП = V ([а, у]) + V ([у, р]);
3)	І ([а, р]) = І ([а, у]) + І ([у, р]);
4)	т ([а, р]) = т ([а, у]) + т ([у, р]).
Наступне твердження встановлює зв’язок між функціями про-
міжку та точки і береться за основу практичних застосувань ін-
теграла Рімана.
Теорема. Якщо для адитивної функції проміжку [а, р] Р ([а,
рі), [а, р] сі [а, 6], існує така інтегровна за Ріманом функція
[а, /?] — -> П{, що V (а £ [а, 6], Р £ Іа, &], а < р) виконуються спів-
відношення
іпі /(х)(р — а)^Е([а, р])^ зир/(х)(р — а),
*Є[а»0]	*Є[а,0]
311
то
ь
Г([а, &]) = С ?(х)сіх.
а
(2)
Нехай Р = Р[а,д] — довільне розбиття сегмента [а, Ь] точками
а = х0<,хг < ... <хп = Ь} тк = іпГ /(х), Мк~ зир /(х).
(*/<!» **+1]
За умовою теореми маємо
тк (хк+і — хк)^Р ([Хь, хй+і|) < Мк (хй+і — хк) V к = 0, я — 1 (3)
Підсумовуючи за всіма к нерівності (3), дістаємо, беручи до уваги
адитивність функції [а, 0] *-► Р ([«, РП,
8р(ЇХР([а, Ь])^8РЩ
(4)
де 8р (/), 8р (/) — відповідно нижня й верхня суми Дарбу функції
/, відповідні розбиттю Р. Оскільки
_ ь
Ііт 5р(/)~ Ііт 8р(/)= С /(х)гіх,
І|Р|І-*О-	ІІРІІ-О	о
то виконується рівність (2). >
Покажемо, як ця теорема застосо-
вується на практиці.
8.2. Площа криволінійної трапе-
ції. Формулу для обчислення площі
криволінійної трапеції, одержану в
п. 5.3, розд. 6, можна вивести за до-
помогою теореми з п. 8.1.
Нехай / £ С [а, Ь] і V х £ [а, Ь]
Рис. 71	/ (х)	0. Розглянемо криволінійну
трапецію аАВЬ (рис. 71) і нехай [а,
0] сг [а, 6]. Позначимо через 5 ([а, 0]) площу відповідної про-
міжку [а, 0] криволінійної трапеції а/ (а) / (0) 0. Нехай а <
< V < 0-
Згідно з нашими уявленнями про площу плоскої фігури, крім
співвідношення (1) з п. 8.1 повинні виконуватися також і спів-
відношення (див. рис. 71)
іпї /(х)(0 — а)<5(1а, 0])< зир /(х)(0 —а),
хЄ[а,Р]	*Є[а,Р]
геометричний зміст яких полягає в тому, що площа плоскої фігури
завжди міститься між площами вписаної в неї та описаної навколо
неї плоских фігур.
Згідно з теоремою п. 8.1, маємо
5 = 5 ([а, Ь]) = у / (х) йх.
а
(1)
Якщо плоска фігура обмежена знизу графіком неперервної функ-
ції [а, &] — -► К, зверху — графіком неперервної функції [а, &] —П{,
312
з боків — відрізками прямих, рівняння яких х — а та х = Ь, то
площа такої фігури може бути обчислена за формулою
ь
8 =	(2)
а
Приклад. Знайти площу кругового сектора, обмеженого дугою кола радіуса г
я
І променями Ф = <Рі, Ф = ф2, о < Фі < ф2 < (рис. 72).
Скористаємося формулою (2). Очевидно, що
А1	ХЛ
5 = у (х <р2 — х Ф,) сіх + С (Vг? — Xа — X фі) ах =
0	х1
1	5?
= ~2~	Я>2 — *2 Фі) + \ Уг2— х^Ох,
*<
де Хі = Г СОЗ ф2, Х2 = Г СОЗ фх.
Параметричні рівняння дуги АВ кола мають вигляд
X = г СОЗ ф, у = Г ЗІП ф, Ф1 ф Фй»
причому х зменшується із зростанням ф, тому дістаємо
ф2	„
і у Т* — X* (їх = І ЗІП2 фб/ф =	((ф2 — Ф1)— 8ІП ф2 СОЗ ф2 + ЗІП Фх СОЗ Фх),
X]	Ф,
У результаті маємо
г2
5 == (зіп ф2 соз ф2 — зіп фх соз фх) +
г" //	.	,	г2
+ — ((ф2 — Ф1) — 81П ф2 СОЗ ф2 + 81П фх СОЗ Фі) = — (ф2 — Фх),
8.3.	Площа криволінійного сектора.
Означення. Криволінійним сектором називається
плоска фігура, обмежена двома променями, які виходять з полюса О
полярної системи координат і утворюють з полярною віссю кути
Фх та ф2, і неперервною кривою (шляхом)
£; = {(р, ф)€К21р = /(ф), Фі<ф<ф2}.
Наші уявлення про площу 3 ([фь ф2]) криволінійного сектора
такі:
1)	вона адитивна, тобто якщо [а, р] с: [фь Ф2] і а < у < р, то
(рис. 73)
5 ([а, рі) = 5 ([а, у]) + 5 ([у, РІ);
Рис. 72	Рис. 73
313
2)	4-(Р—а)С5([а, Р]<-ф-(Р —а), де г = іпї /(ф), /? =
2	1	ф£[а»Р]
= зир /(ф).
ф€[а,0]
За теоремою п. 8.1 маємо
деі
5 (іфі, ф2і)=4- у /2 (ф) = -§ £р2Ар-
Фі	Ф1
Приклад. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої кривою (шляхом)
де /(ф) = а соз 3(р (а
5л '
“1Г *
Є/ = {(р, <Р) є к21Р = І (<Р)> ф> Є £>у},
5л я 1
>0), О* =	6 ’	~2~	~
л
г *
я я
6“ * “6
Графік функції / було побудовано в п, 7,3 (див. рис, 69), Застосовуючи одер-
жану формулу, знаходимо
л	л
"б*	6
5 а2 с	а2 с
"б" ==^2“ 1 соз? Зфгіср = —£— \ (1 + соз 6ф) гіф =
о	о
а? / зіп 6ф \ Ф 6 яа?
---“(Ф+ 6 )ф=0-----------24"'
яа? ла2
Таким чином, 5 = 6»	= —4— •
8.4.	Об’єм тіла обертання. Нехай {	[а, Ь] і V х £ [а, 6]
/ (х)	0. Необхідно знайти об’єм тіла, утвореного обертанням
криволінійної трапеції аАВЬ (див. рис. 71) навколо відрізка [а, Ь].
Позначимо через V ([а, 01) об’єм тіла, одержаного обертанням
криволінійної трапеції а/(а) / (0) 0 (див. рис. 71), відповідної
відрізку [а, 0] а: [а, Ь].
За нашими уявленнями про об’єм тіла, крім умови 2), п. 8.1,
повинні виконуватися ще й співвідношення
л( іпї /(х))2(0 —а)^І/([а, 0])<л( зир /=(х))2ф —а),
хЄ[а,Р]	х€І.а.01
які е оцінками об’єму V ([а, 0]) знизу й зверху, тобто об’ємами
вписаного й описаного циліндрів.
Згідно з теоремою п. 8.1, дістаємо
де(	л
V = V ([а, &]) = я С /2 (х) іх.
а
Приклад. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням круга
^ = {(х, У\ Є № | х? + (у ~	а2}	(0<а<Ь)
навколо осі Ох,
314
Пряма, задана рівнянням у = Ь, ділить круг Ка на дві рівні частини, а точки
кривих Гн = ((л, */) € ^2 І І * І а, — /а2’- х2) та Гв= {(л, у) 6
€ К2 Ц х | а, у = Ь + 4/Га2 — х2} симетричні відносно указаної прямої (рис. 74)»
Формула для обчислення об’єму тіла обертання має вигляд V = И, — У2, де
а	а
= л у (Ь + Vа2 — х2)? Лс, И2 = л У (Ь — а2 — х2)2 сіх.
—а	^-а
Маємо
а	а
V = 4пЬ § "[/а2 — х2 сіх = Влб § і/а2 — х2 сіх = 2л2а2Ь
—а	0
X \
в інтегралі проведено заміну змінної агсзіп — = і І .
8.5.	Довжина шляху. Нехай <р: И< -> 0, Рф = [а, Ь]. Нагадаємо
(див. п. 3.1, розд. 6), що множина Е^ називається гладким шляхом,
якщо ф £ С [а, Ь] і V і £ (а, Ь) існує <р' (і).
Якщо == ф (а), а>2 = ф (&), то кажуть,
що шлях сполучає точки та и>2. Функція
Ф називається параметричним зображен-
ням шляху Еф. Множина називається
кусково-гладким шляхом, якщо ф £ С [а, Ь]
і ф' існує скрізь, за винятком скінченної
множини точок.
Не будемо розрізняти площини (0 та
К2. Тоді г = х + іу = (х, у). Вважаючи
точку г вектором, приписуємо значенню
Ф (і) = фх (/) + нр2 (/) зміст вектора ф (/) =	Рис. 74
= (Ф1 (0. Ч>2 (0) 6 Тоді ф' (/) = ері (/) +
/	г	/
+ *<Р2 (і) = (фі (0, ф2 (0), а модуль вектора швидкості V (/) ма
теріальної точки, яка пробігає шлях Еф, в момент і £ (а, Ь)
дорівнює | ф' (і) | = К(фі (/))2 + (ф2 (/))2. Наші уявлення про дов-
жину шляху І ([а, рі), де [а, р] сі [а, Ь], крім виконання умови 3),
п. 8.1, вимагають також виконання співвідношень
іпї | у (01 (р —а)^/([а, РіХ зир р(/)|(р —а).
'Є[а,(3]	^Є[а,|3]
Якщо	Ь] (і = 1, 2), то за теоремою з п. 8.1 маємо
а є і
і = і (іа, *і)= у У(ф; (О)2 + (ф; (О)2 л.	(і)
а
У випадку, коли ф (/) = (/, / (/)), тобто функція задана явно,
формула (1) набуває вигляду
б
/ = у 1/1 +(/'Ю)2 <а.
а
(2)
315
Випадок задання функції в полярній системі координат зво-
диться до розглянутого, бо на цей раз маємо
Ф (0) = (р (0) соз 0> р (6) зіп 0),
0і=^0<02.
Оскільки ф' (0) = (р' (0) соз 0 — р (0) зіп 0, р' (0) зіп 0 + р (0) X
X соз 0), то | ф' (0) | = Р^р2 (0) + (р' (0))2 і формула (1) набуває
вигляду
Розглянемо
/= С Ур2(0) + (р'(0))2 ^0-
01
приклади.
(3)
Приклад І. Обчислити довжину шляху £/ = их, у) £ Ка | 0 х Ь, у =
>
х І
= а сЬ —який сполучає точку А (0, а) з точкою В (Ь, ІЇ),
IX І
Застосуємо формулу (2). Маємо
X	XX
Г (X) = (/' (X) = 8Й — , І + (Г (х))2 = 1 + $Ь2 — = СЬ8 — ,
їх	їх	м»
6
5Х	X
сЬ — (їх = а зЬ —
а	а
о
Ь , Г и
= а 8Іі — — а 1/ ск? — — 1 =
х—0 а V а
= а 1/ — — 1 = Ук* — а2.
г а?
Приклад 2. Обчислити довжину шляху £/ = {(х, у) 6 К2 | х = а (і — зіп /)>
у = а (1 — соз /), 0 < І 2л}.
Скористаємося формулою (1), Знаходимо
(х' (0)2 + (у' (/))2 = 2а2(1 — соз і) = 4а2 зіп2 ,
ґ=2л
2л
с і	і
1= 2а \ зіп — ЛІ = — 4а соз —
о
Приклад 3. Обчислити довжину шляху £/ = {(р, ф) £ К2 | 0 р 5, ф =»
= /р).	1
У формулі (4) р залежить від ф. Беручи до уваги, що р' (ф) =
гіф = ф' (р) гір, дістаємо
5
/ =
0
5
з
2
Р=5	19
З"
р=0
о
Зазначимо, що у випадку кусково-гладкого шляху його
довжина також обчислюється за формулою (1) внаслідок адитивності
функції [а, р] І ([а, 0]), Іа, 0] с= [а, Ь],
8.6.	Довжина шляху як параметр. Нехай функції Іа, 6] — -* П<,
[а, ді —П< неперервно диференційовні на сегменті [а, Ь\. Вони
316
визначають параметричне зображення гладкого шляху £*ф, [а.
Ь] — (С, який сполучає точку = ер (а) з точкою о.2 = ф (&).
і __________________
Функція і І ([а, /]) = у У (фї (т))2 4- (фг (т))2 гіт, а і й, ди-
а
ференційовна і має похідну
/' (к л) = У(ф; (о2 +їф; ю)2 .	(і)
Якщо V і £ (а, Ь) (фі (/))2 + (фг (О)2 > 0» то функція І зро-
стає, внаслідок чого існує обернена функція [0, /] -- [а, &], яка та-
кож зростаюча і диференційовна. Таким чином, у розглянутому
випадку фг та ф2 є функціями від довжини шляху І. Зокрема, якщо
в формулі (1) покласти і = І, то дістанемо рівність
(фї(/))2 + (ф2(/))2 = 1.	(2)
Точки, в яких (фі (/))2 + (ф2 (О)2 == 0, називаються особливими
точками. Параметричне зображення з параметром-дугою, як ба-
чимо, можливе на ділянках шляху, які не містять особливих то-
чок.
Якщо за параметр узято довжину шляху, то його називають на-
тур альним параметром.
8.7.	Обчислення статичних моментів та центра ваги кривої.
Нехай {Мр, і = 1, п} — система матеріальних точок з масами ту,
Уі — відстані зі знаком від точок до фіксованої прямої у, яка ле-
жить в одній площині з ними. Вираз «відстані зі знаком» означає,
що відстані у; точок, які лежать по різні боки від прямої у, беруть-
ся з протилежними знаками.
Означення. Статичним моментом та момен-
том інерції системи точок М} відносно прямої у назива-
ються відповідно величини
п	п
гпіУі, /? = £	'
/=і	/=і
Якщо маси не зосереджені в окремих точках, а розміщені су-
цільно, заповнюючи криву (шлях) або плоску фігуру, то для від-
шукання статичного моменту й моменту інерції користуються ін-
тегралом.
Нехай £, = {(х, у) £ К2 | х = х (/), у = у (/), 0 < І < Ь} —
гладка крива, І — натуральний параметр. Вважаємо криву од-
норідною. Тоді її лінійна густина, тобто маса, яка припадає на
одиницю довжини, буде сталою, яку для простоти покладемо рів-
ною одиниці. За цих припущень маса будь-якої частини кривої
вимірюється її довжиною.
Виділимо якийсь елемент йі довжини кривої. Приймаючи на-
ближено цей елемент за матеріальну точку, яка знаходиться на
відстані у від осі Ох, для його статичного моменту дістанемо вираз
Шх = у(ІІ.	(1)
317
Підсумовуючи ці елементарні моменти, маємо після переходу до
границі при д,1	0
ь
Мх = у (І) сії,	(2)
о
Аналогічно знаходимо статичний момент відносно осі Оу:
ь
Му = у х (/) ЛІ.
о
(3)
Знаючи статичні моменти Мх і Му кривої можемо знайти
координати її центра ваги С (хс, ус)> Точка С має ту властивість,
що коли в ній зосередити всю масу Ь кривої, то момент цієї маси
відносно кожної осі збігається з моментом кривої відносно цієї осі,
тобто
= Му, ЬУо = Мх.	(4)
Таким чином,
Хо = -^- =	х(1)йІ,
0
Л4 і “
=	=	(5)
Якщо параметричне зображен
= (х, ї (х)), де [а, /?]--> К — неп»
то
д
У X У1 4- (/'“(*))2
а
Хв------Ь	' У в —
5 Уі 4-(Л(*))2 а*
а
Для моментів інерції Іх та Іу
Іх - / у2 (0 = С Г
0	а
Б	Ь
іи= С х2(/)Л= с
0	а
ія кривої £/ має вигляд <р (х) =
рервно диференційовна функція,
ь
У у У\ + (г м)2
—ь------------------, У = / (х).
5 У і 4- (/' (х))2 ах
а
(6)
аналогічно дістаємо формули
(х) У1 + (/' (х))2 (їх,
х2 У1 + (/' (х))2 (їх.	(7)
Приклад. Обчислити статичний момент кривої £/=((%, у) £ О?2 | 0 х
"2“, у = У 2рх} відносно прямої у, заданої рівнянням х = (рис. 75).
Відстань від точки на кривій з абсцисою х до указаної прямої дорівнює
-£- — х. Оскільки [' (х) = у' = У , 1 + (/' (х))2 = 1 н- -Б- , то
2	г 2х	2х
р
318
р	_
] 2	____________ УҐр
2~ У (р — (У2х)2) 1/р 4- (-у2хУ а С[/2х) =-у У (р — і2) Ур + і2 Л =
о
*Ур + (»	— (р + <2)) + -А-р21п (і + Ур + /2)
о	\ і	І 1о
і=уГр
1=0
Г)4	_
(У2 4-5 1п(1 4- 1/2)).
8,8. Обчислення статичних моментів і координат центра ваги
криволінійної трапеції. Розглянемо криволінійну трапецію
аАВЬ — підграфік неперервної невід’ємної функції [а, й] —ІК
(рис. 76). Вважаємо, що поверхнева густина рівномірно розпо-
діленої маси по поверхні трапеції стала і дорівнює одиниці. Тоді
Рис. 76
маса будь-якої частини трапеції вимірюється її площею. Виділимо
елемент трапеції — вертикальну смугу шириною Дх. Вважаючи
її прямокутником, бачимо, що її маса наближено дорівнює / (х) Дх.
Для обчислення відповідних елементарних моментів СІМХ, (ІМу
припустимо, що маса усієї смуги зосереджена в її центрі ваги. Ця
матеріальна точка має координати х + та 4- = (рис. 75).
Дістанемо
<1МХ = Дх, сІМу = у&х (х +	= ху&х 4- о (Дх).
Підсумовуючи ці елементарні моменти і здійснюючи граничний пе-
рехід, маємо
1 Г	Р
Мх = — у Р(х) сіх, Му = у х[(х) сіх.	(1)
а	а
Координати центра ваги трапеції С (хс, ус) обчислюються
за формулами
і р	1 р
хс= -$ У хїах> Ус^-з- У р м	<2)
а	а
де 5 — площа трапеції.
319
Пропонуємо читачам самостій-
но вивести формули для обчис-
лення моментів інерції трапеції
відносно осей Ох та Оу:
ІХ = — р3 (*) (ІХ,
а
Ь
Іу = х2[ (х)(іх.	(3)
Приклад. Знайти статичний момент та момент Інерції однорідної трикутної
пластинки з основою Ь та висотою Н.
Відрізок, кінці якого лежать на бічних сторонах трикутника, паралельний
основі й знаходиться на відстані х (0 < х < Н) від неї, має довжину й = Ь —
— 2Ц (рис. 77). Розглянемо горизонтальну смугу шириною Дх, паралельну ос-
А /
нові трикутника, і будемо вважати її прямокутником з вимірами сі та Дх. Площа
такої смуги дорівнює Ь 11--—] Дх, а її статичний момент та момент інерції від-
\ Л І
носно основи трикутника дорівнюють відповідно
сім = Ьх Н —	] &х, й/ = Ьх2 (1 —	) Дх.
Підсумовування цих елементарних моментів та граничний перехід приводять до
інтегралів
г / х \ Ь№	СІ х \ Ь№
М — Ь у х І 1 —	1 сіх =	, І = Ь \ х2 11 — І йх =	*
о х '	о '	'
8.9. Механічна робота. Нехай матеріальна точка переміщається
з точки а осі Ох в точку Ь цієї осі під дією сили Р, паралельної осі
Ох. Вважаємо силу Р функцією, визначеною на сегменті [а, Ь].
Нехай Р = Р\а,ь] — розбиття сегмента [а, Ь] точками а = х0 <
< Хі < ... < хп = Ь. Вибираючи довільно точки £ [хЛ,
будемо вважати наближеним значенням роботи А змінної сили Р
п—1
на сегменті [а, &] вираз Р (£Л) (х^.і — хЛ), де Р — величина
&=о
сили. Тоді
ь
= У Р (х) &Х.
а
(1)
У загальному випадку напрям сили й переміщення можуть бути
неколеніарними. Тоді
(2)
де Рт — проекція вектора сили Р на напрям переміщення.
320
Приклад 1, Електричні заряди відштовхуються один від одного з силою Р =
, де Єі та е2 — величини зарядів, аг — відстань між ними. Визначити робо
= ^2
г2
ту, необхідну для того, щоб наблизити заряд е2 = 1 до заряду з нескінченності
на відстань, яка дорівнює
Елементарна робота сіА дорівнює добутку сили на елементарне переміщення
і на косинус кута між напрямом сили і напрямом переміщення: бМ = Р^сіг соз а
(рис. 78). У даному випадку маємо (іА = Р2(1г соз я == —Р^іг — — сіг, ос-
еі
кільки Р2 = Згідно з формулою (2), знаходимо
де
Означення невласного інтеграла дано в п. 1.1.
Приклад 2. Визначити силу тиску води на вертикальну перегородку в кана-
лі, який має форму півкруга радіуса а, діаметр якого знаходиться на поверхні
води.
Позначимо через І (х) довжину горизонтальної прямої, проведеної на відстані
хвід АВ (рис. 79). Приймемо смугу, яка міститься між горизонтальними прямими,
Рис. 78
Рис. 79
що знаходяться від АВ на відстанях х і х 4“ Ах, за прямокутник з вимірами / (х)
та Ах. Тоді можемо обчислити тиск Р ([х, х + Ах]), якого зазнає цей прямокут-
ник, застосувавши правило гідростатики, згідно з яким тиск води на нього дорів-
нює площі прямокутника, помноженій на глибину занурення:
Р ([*, х + Ах]) = х/ (х) Ах = 2х Vа2 — х2 &х>
За розглянутою схемою знаходимо
а
З
— X2) 2
х=о 2
= “о“ а3*
х=я ”
Вправи
1.	Знайти площі плоских фігур, обмежених кривими, заданими параметрич-
но рівняннями:
а)	х = Ь (соз І + і зіп /), у~Ь (зіп і — І соз /), 0 і 2л, та відрізком
ї = {(*, у) € О?2 | х = Ь, у < 0);
а зіп2/
б)	х = а соз /, у = 9і,іп-д
в)	х = а (2 соз і — соз 2/), у = а (2 зіп І — зіп 2/),
11 1-2914
321
2.	Знайти площі плоских фігур, обмежених кривими, заданими в полярній
системі координат рівняннями:
а) р2 ® а2 соз 2ф; б) р = 3 + 2 соз ф;
в) р2 + ф2 = 1: г) ф = зіп яр, 0 р < 1.
3.	Знайти довжини шляхів:
( */а 1
а)	Еі == 1(х, у) 6	— -у 1п у, 1 < у е
/	л)
б)	Е. = | (х, у) 6 О?21 х = соз4 1, у = зіп4 /, 0 < і < -х- > ;
в)	Е1 = |(р, <р) 6 К2 І і < Р< З, <р — (р + -£-} .
4.	Довести, що об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу криволіній-
ної трапеції
Т = {(х, у) 6 О?2 | х^ Ь, 0<і/^/(х)}, [£С[а,Ь],
обчислюється за формулою
V = 2л С х/ (х) сіх,
&	л]
а
5.	Довести, що об’єм тіла, утвореного обертанням навколо полярної осі плос-
кої фігури
Ф= ?(Р. ф)€К2|0^р</:(Ф). 0<а^ф<р<л),	/€С[а, 0],
обчислюється за формулою
2л ГР
И ~ —3— \ /3 (ф) зіп фгіф,
а
6.	Знайти статичний момент і момент інерції дуги півкола радіуса а відносно
діаметра, який проходить через кінці цієї дуги.
7.	Знайти статичний момент і момент інерції однорідного кругового конуса
з радіусом основи г і висотою Н відносно площини основи цього конуса. Вважати
густину рівною одиниці.
8.	Визначити координати центра ваги кругової дуги
Е {(х»50 € К2 І х = а соз ф, у = а зіп ф, | ф |	я}.
9.	Визначити координати центра ваги плоскої однорідної фігури
і	х2 у2
ф = І(*. У) € К2 І	1. о<х<а,
10.	Яку роботу потрібно виконати, щоб тіло масою т підняти з поверхні Зем-
лі, радіус якої /?, на висоту /г?
11.	Визначити силу тиску води на вертикальну стінку, яка має форму трапе-
ції, нижня основа якої а = 10 м, верхня Ь = 6 м, висота Н = 5м, якщо рівень за-
нурення нижньої основи с = 20 м.
§ 9. Невласні інтеграли
У п. 1.1 зазначалося, що обмежена функція, визначена на
нескінченному проміжку, а також необмежена функція, визначена
на скінченному проміжку, не інтегровні за Ріманом на них Проте
потреби практики вимагають узагальнення поняття інтеграла Рі-
мана для цих випадків. Початкові відомості про таке узагальнення
наведено в п. 1.1.
322
У навчальній літературі прийнято розрізняти невласні інтег-
рали першого й другого роду.
9.1.	Невласний інтеграл першого роду. Нехай Іа, 4-оо) —ІК
і V х > а І £ /? [а, х]. Тоді визначено функцію [а, + оо) — •*
К, де
х
= (1)
а
Означення 1. Якщо існує Ііт І (х) = І, І £ К, то функція /
Х->4~оо
називається і нтегровною за Ріманом на проміжку
[а, +оо), а число І — її невласним інтегралом
першого роду.
Інтеграл у розумінні означення 1 позначають символом
4-00
У / (х) дх і при цьому називають його збіжним. У всіх ІНШИХ випад-
ні
ках вважається, що він не існує, і його називають при цьому роз-
біжним.
Нехай (—оо, Ь] і V х < Ь І |[Хіб] £ Я їх, Ь]. Якщо існує
ь
Ііт С/(0^ = /, /6К.	(2)
00 V
X
ТО
ь
у /(х)гіх.	(3)
-—оо
Нехай (— ОО, +оо)Дк і У(хЄО?, //ЄІН» х<у)
€ Я їх, у]. Якщо існує
У
Ііт С/(0^ = Л	(4)
00 V
^^4-00 х
ТО
/ = (*	(5)
Приклад 1. Дослідити на збіжність невласний інтеграл І Xасіх, о>0,
а
а Є К.
Оскільки
х ( У*-Н — лМ-і
р	----------:-----, якщо а ф — І,
І (X) = \ іа<іі = а 4- 1
а	Іп х — Іп а, якщо а = —1,
то інтеграл збігається, якщо а < —1, і розбігається, якщо а —1,
11*
323
Ф00 ах
Наслідок. Невласний інтеграл \	, а > 0, а € 0?, збігається, як-
З х
а
Що а > 1, і розбігається, якщо 1.
4~ОО
Приклад. 2. Невласний інтеграл соз хсіх розбіжний, бо функція
о
/
(0, + оо) де
X
/ (х) = У СОЗ ІСІІ = ЗІП X,
о
де має границі при х -> Н-сю.
9.2.	Критерій Коші та еквівалентні умови збіжності.
Теорема Нехай {а, + оо)^> 0? і \/х>а ї\[а,х'і£#[а,х], І(х)=
X
С /(£) сії. Наступні чотири умови еквівалентні*.
1)	існують такі числа І £ К і х0 >» а, що V е >> 0 та V х х0
виконується нерівність | І — / (х) | < е;
2)	V е > 0 існує таке х0 > а, що V (хг х0, х2 х0) викону-
ється умова
Хч.
11 (хх) — І (х2) І = | у / (х) Ох | < е
Хі
(критерій Коші);
3)	для довільної послідовності (хп) такої, що V я € й хп > а
і хп +оо, послідовність (І (хп)) має скінченну границю;
4)	для довільної послідовності (хп) такої, що V п £ И хп > а
і хп-> +оо, числовий ряд
хп-|-1
І (*і) + и(Хп+1) — 1 (х„)) = £ у	п£%ОІ хй = а,
хп
збігається.
4 Умова 1) означає, що існує Ііт І (х) == Ц тобто збігається не-
Х->4*оо
власний інтеграл у / (х) Ах, внаслідок чого для функції х ►+• / (х)
а
виконується критерій Коші існування скінченної границі при х->
-> 4- оо, тобто умова 2). При виконанні умови 2) функція х»-^/(х)
має скінченну границю при х -> 4-оо у розумінні Гейне, тобто
виконується умова 3). Нехай виконується умова 3). Оскільки за-
гальний член послідовності (7 (хп)) можна записати як часткову
суму ряду з умови 4), то 3) => 4). Якщо збігається ряд в умові 4),
то для його часткової суми маємо рівність 5П =	/ (х) сіх, в якої
а
324
випливає, що інтеграл / (х) сіх існує, внаслідок чого функція
а
х І (х) має скінченну границю при х +-оо. >
Зауважимо, що істотним в умові 3) є те, що послідовність (хп)
довільна. Якщо відомо, що для деякої послідовності (хп) послідов-
ність (/ (хп)) має скінченну границю, то це ще не означає, що не-
4-оо	2пл
власний інтеграл [ / (х)гіхзбігається. Наприклад, Ііт С созхгіх =
а	г1->о° О
4-°°
== 0, а інтеграл \ соз хсіх розбігається (див. приклад 2, п. 9,1).
а
9.3.	Невласний інтеграл першого роду від невід'ємної функції.
Нехай [а, +оо)і-> К — невід’ємна обмежена функція, неперервна
в кожній точці х £ [а, +°°), за винятком множини дебетової міри
х
0. Функція Іа, +оо) —ІК, де І (х) = {(і) сії,е первісною (у ши-
а
рокому розумінні) функції /. Вона є неспадною функцією, бо функ-
ція / невід’ємна. Якщо функція х 1 (х) необмежена, то
4-00
Ііт І (х) = Н-оо і невласний інтеграл Г / (х) сіх розбігається до
а
Ч-оо. Якщо функція х І (х) обмежена на півінтервалі [а, + °°),
4-00
то Ііт І (х) = зир / (х) і інтеграл С / (х) сіх збігається.
х->4~°°	яЄІя.Ч-оо)	*
Розглянемо ознаку порівняння невласних інтегралів першого
роду з невід’ємними підінтегральними функціями.
Ознака порівняння. Нехай Іа, 4-оо) —-	[а, 4-°°) ——
невід'ємні обмежені функції, неперервні в кожній точці х £ [а,
4“°о), за винятком множини точок лебегової міри 0. Якщо існують
такі х0 .> а і с С К, що V х х0 виконується нерівність (х)
<^/2 (*), т° і3 збіжності інтеграла від випливає збіжність ін-
теграла від а з розбіжності інтеграла від випливає розбіж-
ність інтеграла від
◄ Введемо позначення
X	X
К (*) = у л (0 а, /а (х) = у /2 (/) аі.
а	а
Функції /х та /2 є первісними (у широкому розумінні) функцій /і
і /2 на півінтервалі [а, 4“°°). З умов теореми маємо 9х>х0 не-
рівність
х
х
/1(х)-/1(хв) =	/2(/)^ = с(/2(х)-/2(х0)). (1)
х,	х„
Якщо інтеграл від функції /2 існує, тобто Ііт /а (х) » /2, /2 £ К,
Х-+4-00
325
то внаслідок нерівності (І) існує Ііт Ц (х) і ця границя скінчен-
на. Якщо інтеграл від функції не існує, то Ііт І± (х) = + сю
і внаслідок тієї самої нерівності Ііт /2(х) = + оо. >
У теоремі 3, п 9.2, встановлено зв’язок між невласними ін-
4~00
тегралами першого роду й числовими рядами: інтеграл § ї (х) сіх
а
збігається або розбігається разом з числовим рядом
хп4~і
2 У /(х)гіх, лЄ^о, хо—а,
хп
(2)
де (хп) — довільна послідовність* хп>а і Ііт хп = -|-оо.
П-ЮО
4“ 00
Якщо функція / невід’ємна, то для існування інтеграла С /(х)гіх
а
досить збіжності ряду (2) при виборі однієї такої послідовності,
X
оскільки монотонно вростаюча функція /(/) <іі буде обмеже-
ні
на зверху сумою цього ряду.
9.4. Абсолютна та неабсолютна збіжність невласного інтеграла.
Нехай функція Іа, +<») К обмежена і неперервна в кожній точці
х Є О7, за винятком множини точок лебегової міри 0. Тоді для будь-
якого сегмента [хь ха] с: [а, +оо) маємо
І І[хо х21 Є $ і^і, Х2], | |[х1,хй] Е Я [яр х2]
і при цьому виконується нерівність
хг
§ І (х) СІХ
Х1
І І / (я) І іїх.
(1)
4"00
Теорема Якщо збігається інтеграл С |/(х)|йх, той інтег-
а
-{-оо
рал § ї(х) йх також збігається,
а
◄ Справедливість твердження випливає з нерівності (1) та кри-
терію збіжності невласного інтеграла (див. п. 9.2). >
-{-оо	4-00
Означення. Якщо існує § |/(х)|с!х, то інтеграл § [(х) йх
а	а
називається абсолютно збіжним.
Невласний інтеграл може збігатися, але не абсолютно. Тоді
його називають умовно збіжним.
326
Якщо [ — невід’ємна функція, то збіжність інтеграла / (х) сіх
а
рівносильна його абсолютній збіжності.
Варто зазначити істотну відміну між звичайним та невласним
інтегралами Ріманаї якщо / £	[а, &], то | / | £ Я [а, &], у той час
4-00
як з існування інтеграла § } (х) д,х не випливає існування інтеграла
а
-{-оо
С І / (х) | СІХ.
а
Нехай, наприклад, /(х) = (—І)1*’1, О; = [0, 4- оо). Доведемо,
4“ОО
що інтеграл у / (х) сіх збігається. Розглянемо функцію х»-> /(х), де
о
х
/ (х) = § (—1//21 сй, 0 < х < 4-оо. Яким би не було х>0, зав-
0	_	______
жди знайдеться таке що 1/п^х<Уп4-1« Тоді маємо
-1 лАНгі	х
і (х) = у (—1)['2] сії 4- у (—1)[/2] си
й=о У*	У[п
/	1\П
Оскільки лейбніців ряд У .	= --7=- збігається і
г ^1 Уп + 1 4-1А
X
V п
1/м 4- 1 — Уп = ~т=!—-7=- > то існує скінченна границя
у п 4-1 4- у п
Ііш І (х), тобто інтеграл збігається. Однак
м І ах =
' 9.5. Інтегрування частинами та шляхом підстановки в невлас-
ному інтегралі.
Теорема 1. Нехай функції [а, 4-°°) —Ж, [а, 4~<») — •* К ди-
ференційовні V х Є [а, 4-оо), а їх похідні	і £ неперервні, за ви-
нятком множини точок лебегової міри 0 і, крім того, існує
Ііт / (х) £ (х) = Л, А 6 К. За цих умов із збіжності одного з ін-
х->4~°°
тегралів
4“°°	4-00
У / (*) (х) ах, $ § (х)і' (х) ах	(і)
а	а
327
випливає збіжність іншого і при цьому виконується рівність
4“°°	4~°°
У ї (х) §'(х) йх => А —	§(х)ї'(х)йх, (2)
а	а
яку називають формулою інтегрування части-
нами для невласного інтеграла першого роду.
Ч Якщо [а, х] с: [а, + °°), то можемо застосувати формулу ін-
тегрування частинами для інтеграла Рімана:
X	X
у / (0 (0 йі = / (0 § (0|'“* - у 8 (0 Г (і) йі. (3)
а	а
-І-оо	4-°о
Якщо Існує Інтеграл у £(х)/' (х) йх, ТО Існує у ?(х)8'(х)йх і
а	а
виконується рівність (2), для одержання якої потрібно перейти до
границі в рівності (3) при х-> + °°. >
Теорема 2. Нехай } £С\а, + оо), функція [а, + оо) -^>0? дифе-
ренційовна, зростаюча, а її похідна §' неперервна в кожній
точці, за винятком множини точок лебегової міри 0, і Е§ =
4~оо
= [а, 4- оо), £(а) = а. Якщо інтеграл § [(х) сіх збігається, то
а
4-оо
існує також інтеграл § (/ °§) (і)	(0 і при цьому виконуєть-
ся
ся рівність
«4"ОО	4“ оо
У /(X) йх = у (/о8)(0£ (0Оі,	(4)
а	а
яку називають формулоюзаміни змінної в невласному
інтегралі першого роду.
◄ Розглянемо сегмент Іа, хі сг [а, 4~оо). Йому відповідає деякий
сегмент [а, у\, причому Е8^ау] = [а, х], £ (у) = х, бо £ — зро-
стаюча функція. Застосувавши формулу заміни змінної в інтегралі
Рімана, дістанемо
х	у
^ї(и}(1и= у (/ о §) (і)	(0 (ІЇ.
а	а
(5)
Внаслідок зростання функції	х—>4-°о при у-+ 4-оо і навпа-
X
ки, у ->4-оо прих~>4-°°- Оскільки існує Ііт	=
х->4”°°
сс
У
16К, то існує Ііт С (/ о §)(і) (і)йі = І і виконується рівність
»-Ч-оо£
(4). ►
328
9.6.	Алгебраїчні властивості невласних інтегралів першого ро-
ду. Нехай [а, +оо)-^>К і Ух>а / |[а,.*І € К [я, х]. Тоді функція
а/, де аЕК, має ті самі властивості, що й функція Д Отже, як*
х	х
що існує Ііт И(^)Й = /, то існує Іігп С а/(/)бЙ»а7,
Х->4-оо V	Х->-}тОО 0
‘ а	а
-{-оо	4*°°
тобто § а/ (х) (їх = а § ?(х) (їх.
а	а
Нехай [а, + оо)В?» [а, + оо) П< і \/х>а /|[а>х] £/? [а, х],
§ Ііа.х]Є Я [а, х]. Тоді (/ + £)|[а,*] ЄЯ [а, X] і виконується рівність
(х) б/х, Ь > а, який буде також збіж-
X	XX
$(? + §)(№= р(0 + у
а	а	а
т|“ОО	-р-ОО
Як що існують інтеграли у / (х) гіх, у § (х) йх, то існує
а	а
X	-{-оо	—{—оо	-{-оо
Ііт С(/ + £)(0<#= ( (/+ 2)(х)йх = С/(х)гіх + С §(х)йх.
£-♦-1-00 V	V	V	С
а	а	а	а
-{-оо
Зауважимо, що разом із збіжним інтегралом у /(х) йх мож-
а
—{-оо
на розглядати й інтеграл
ь
ним. При цьому маємо
фоо	&	4-оо
У /(х) йх = у [(х) йх + у /(х) йх.
а	а	Ь
4-°°
Якщо інтеграл у [(х)йх розбіжний, то V Ь>а інтеграл
а
4- о°
/(х)йх також розбігається.
ь
9.7.	Практична ознака збіжності невласного інтеграла першого
роду. Розглянемо інтеграл
•|-00
/х= (4.	а>0,	(1)
а
і вкажемо ті значення %, для яких Якщо х>а, то
і / \ С йі
її (X) — ) р — •
а
ЯКЩО ^ =/= 1,
2і= 1.
329
Очевидно, що при А,> 1 інтеграл (1) збігається і /х = у^ГГ » а
при 1 він розбігається.
Нагадаємо, що для функції
Ііт / (г) зир Е^г^ Ііт /(г)^іпї Е^г^,
2“>2о	г->20
де Е} (г0)— множина усіх часткових, границь функції / у точці
г0 (див. п. 1.1, розд. 5).
Беручи до уваги наведений вище приклад і позначаючи через
(+оо) множину усіх часткових границь функції / при х +оо,
сформулюємо практичну ознаку збіжності та розбіжності невлас-
ного інтеграла першого роду.
Теорема. Нехай [а, + оо)~ІК» а > 0, і х> а / |[ал) €
£ /? [а, х]. Якщо існують такі сталі сг > 0 та X >> 1, що
Ііт х% І / (х) | = сх,	(2)
Х-* + оо
4-00
то інтеграл ?(х)сІх збігається.
а
Якщо існують такі сталі с2>0 та що
Ііт хх | / (х) | = с„	(3)
Ь°°
-{-ОО
то інтеграл § $(х) сіх розбігається.
а
◄ Справедливість тверджень випливає з властивостей верхньої
й нижньої меж числових множин, ознаки порівняння (див. п. 9.3)
та дослідження інтеграла /х, розглянутого на початку пункту.
Приклад 1. Дослідити на збіжність інтеграл
С ха агсі& х ,
І = \ ———о---------ах,
0.
і
л
Оскільки Нш агсі& х = -у , то існує таке
ються нерівності

л
л
2*0-“ •
За ознакою порівняння інтеграл збігається, якщо 0 — а >1, і розбігається, якщо
Приклад 2. Обчислити інтеграл
сіх
п Є N.
330
Очевидно, що інтеграл збігається. Зображаючи підінтегральну функцію як
суму простих дробів, дістаємо
1	_ у 4 А = (-о* _ (-Сп .
х(*+ 1) ... (х + л)	х + к * к 6!(л — £)! пі
6=0
Нехай х > 1. Тоді матимемо
7П & = У <(<+!) ... (/ + «) = “(	1)Л С" 1п <* + *> +
1	6=0
п
+ £ (-і)*+1 фп (*+!)) =
6=0
і п	ь & п
(1п П (х + ІЇ"» Сп + 2 (- 1)й+' Скп 1п (к + 1)
'	6=0	6=1
Оскільки сума біноміальних коефіцієнтів, що знаходяться на непарних місцях,
дорівнює сумі біноміальних коефіцієнтів, що знаходяться на парних місцях, то
п	ь
Пі і	і
(х + «)	= 1 і
л=о
внаслідок чого
п	ь к
Ііт їй [~| (л + к)(^ Сп = 0,
#->4-оо
6=0
7п = Л+« 7» (Х) =
п
У (_ 1)»+' ск 1п (к + 1).
6=1
9.8.	Ознаки Абеля й Діріхлезбіжності невласних інтегралів пер-
шого роду.
/	8
Теорема 1 (ознака Абеля). Нехай [а, 4- оо)-*!?, [а, + оо)-*И?,
«4-00
інтеграл £ / (х) йх збігається, а функція § монотонна й обме-
а
4-ос
жена. Тоді інтеграл 1 / (х) § (х) йх збігається.
а
«4 Розглянемо інтеграл І (хр х2) = Г ?(х) §.(х) йх, де хг >а, х2>
Хі
і застосуємо другу теорему про середнє для інтеграла Рі-
мана, всі умови якої тут виконано. Маємо
£	Х9
/(х1( х2) = §(х1)р(х)йх4-§(ха)р(х)гіх, Х!<^<Хг. (1)
Х1	£
З обмеженості функції § та виконання критерію Коші збіжності
невласного інтеграла від функції / випливає, що вираз у правій
частині рівності (1) прямує до нуля при необмеженому зростанні хх
і х2. Таким чином, для функції виконується критерій Коші існу-
вання невласного .інтеграла. >
331
Теорема2 (ознака Діріхле). Нехай [а, +оо) —ІК, [а, 4-°°) -£-»
і функція [ мав обмежену первісну [а, +<») —П<, де Р (х) =
X
= ^ / (/) йі, а функція § монотонно прямує до нуля при х +<ю.
а
-{-оо
Тоді інтеграл С ї (х) § (х) йх збігається.
а
◄ Для доведення теореми скористаємося рівністю (1). Вираз в
правій її частині, внаслідок умов теореми, прямує до нуля при
Хх->+оо, х2+оо. ►
Зазначимо, що інтеграли С §(х)зіпкхйх, Г § (х) соз кхйх, к О,
а	а
де£ — монотонно-спадна функція, що прямує до нуля при х-> +оо,
збігаються за ознакою Діріхле, бо первісні функцій х зіп кх,
х >-► соз кх обмежені кожна числом -т-.
к
Варто також зауважити, що з існування інтеграла [ (х) сіх
а
не випливає, що обов’язково (х)	0 при х +©о. Наприклад,
функція х х зіп х4, 1 х < +оо, не обмежена, однак інтеграл
4*00
х зіп х*сІх існує, бо за допомогою заміни змінної х4 = і зводиться
до інтеграла —	<іі, збіжного за ознакою Діріхле.
4* ОО
Якщо збіжний інтеграл С / (х) йх зобразити у вигляді ряду
а
«А4-1
2 У / (х) сіх, к £ ^0, х0 = а, то загальний член ряду ак =
хк
х*4-1
»	/ (х) сіх прямує до нуля із зростанням хк та х^і, згідно з крите-
хк
рієм Коші. Але при цьому не обов’язково / (х) -> 0 при X	+ оо.
9.9. Головне значення розбіжного невласного інтеграла першого
4*оо
роду. Нехай К — + К і інтеграл С / (х) йх розбіжний. Якщо функ-
ція / інтегровна за Ріманом на будь-якому сегменті числової пря-
X
мої ІК і якщо існує ііт С [ (і) йі — І, / Е ІК, то цю границю на-
зивають головним значенням у розумінні Коші розбіжного інтеграла
332
”Ь°°
і позначають V. р. / (х) йх. Таким чином,
—оо
4-оо	х
4^оо
Нехай, наприклад, /(х) = зіпх, Р, = К. Інтеграл С зіпхг/х не
«оо
X
існує, однак Ііт С зіп іді = Ііт (соз (— х) — соз х) = о, тобто
Х-+4-ОО	*/	Х->4-оо
4-00
V. р. у зіпхйх = 0. Взагалі головне значення у розумінні Коші роз-
біжного інтеграла від непарної функції завжди дорівнює нулю. Якщо
функція парна, то головне значення у розумінні Коші ін-
теграла від такої функції існує тоді і тільки тоді, коли інтеграл
4-00	X	X
У Цх)сІх збігається, бо § }(і) сії = 2 {(і) йі. Зазначимо, що
о	—х	о
головне значення збіжного інтеграла дорівнює самому інтегралу.
9,10. Невласний інтеграл другого роду. Узагальнимо поняття
інтеграла Рімана для випадку необмежених функцій. Нехай
[а, Ь) П<. Точка Ь особлива для функції /, бо вона гранична для
множини О/ і не належить їй. Вважаємо, що функція / не обмежена
на множині О/, але є обмеженою на будь-якому сегменті [а, х] с:
[а, Ь) і / |[аЛ] € Я Ія, х]. Позначимо
х
І (х) = (	а^х<Ь.
а
(1)
Означення 1. Якьир існує Ііт І (х) = /, І £ Я то функція І
х-*Ь
називається інше зроєною за Ріманом на проміжку
Іа, Ь), а число І — її невласним інтегралом д р у г о -
г о роду.
ь—
Інтеграл у розумінні означення 1 позначають символом £ / (х) сіх
а
і при цьому називають його збіжним. У всіх інших випадках
вважається, що він не існує» і його називають при цьому розбіж-
ним.
ї
Нехай (а, Ь] і \/х>а ЄР [х, Ь]. Якщо існує
ь
1ітС/(/)Л = Л /ЄЯ
х-*а Л
х
(2)
333
то
ь
/ = у їм<іх.
(3)
ь—
Теорема 1 (критерій Коші). Інтеграл £ / (х) йх існує тоді і
а
тільки тоді, коли V в >4) існує таке 6 > 0, що V М £ [а, Ь),
х2 €	Ь)) і таких, що 0 < Ь — Хі < 6, 0 < й — х2 < 6, викону-
ється нерівність
І (х) йх
< е.
(4)
◄	Функція х »-> І (х) має скінченну границю в точці Ь тоді і тільки
тоді, коли вона задовольняє в ній умови Коші, >
ь**
Означення 2. Інтеграл £ / (х) йх називається абсолютно збіж-
а
ь~
ним, якщо збігається інтеграл | |/(х)|йх.
а
Ь~
Теорема 2. Якщо інтеграл § / (х) йх збігається абсолютно, то
а
він збіжний.
◄	Справедливість твердження випливає з нерівності
<^2
С/(х)<Іх|^С | / (х) | <ЇХ, Х1<Х2,
Хі
та критерію Коші. >
Розглянемо інтеграл
,	йх г р йі
Ік = І -------г = Ьш І -------Г- ==
Л (Ь — Х)х о (Ь — 0х
а	а
І(Ь — А '-Ь
- Л ' І— ,	, якщо Л ф 1,
А — 1 і=а
1п (Ь — і) , якщо X = 1.
4^— Д>
(Ь — а)1 х	.
Очевидно, що ця границя існує і дорівнює	\— при л< 1 і вона
1 1 /V
нескінченна при К 1. Отже, інтеграл 1% існує при X < 1 і не іс-
нує при X 1.
Теорема 3 (практична ознака збіжності та розбіжності невлас-
ного інтеграла другого роду). Нехай [а, Ь) —і V х £ (а, Ь)
334
І |[а,хі € Я Іа, х]. Якщо існують такі сталі сх > 0 та X < 1, що
Ііт (Ь — х/ І / (х) | = ср	(5)
х-*Ь
Ь~
то інтеграл § Цх)сІх збігається
а
Якщо існують такі сталі с2>0 та що
1іт(д— х)х | / (х) | = сг,	(6)
х-*Ь
то інтеграл £ / (х) йх не існує,
а
◄ Справедливість тверджень випливає з властивостей верхньої й
нижньої меж числових множин, ознаки порівняння, аналогічної на-
веденій в п. 9.3, та дослідження інтеграла Л. ►
Зазначимо, що невласний інтеграл другого роду можна звести до
інтеграла першого роду за допомогою підстановки Ь — х =
Тому не будемо докладно розвивати теорію невласних інтегралів
другого роду, а лише запровадимо поняття такого інтеграла на
випадок внутрішньої особливої точки для функції та поняття го-
ловного значення в розумінні Коші.
Означення 3. Нехай [а, с: К, с Є (а, д), [а, Ь] \ {с} — - К
і функція І інтегровна на будь-якому сегменті [а, 0] с [а, Ь] \
\ {с}. Тоді
/ = р(х)4х={ /(х)с(х+ С /(хМх, /6ІК,
а	а
тобто V (е > 0, р > 0) виконується співвідношення
Ііту /(х)йх + у /(х)б/х)=/, /(ЕК-
цХо а
(7)
(Г*	Ь
Якщо хоч один з інтегралів £ /(х)гіх, § /(х)йх не існує, то
а	с+
Ь
вважається, що інтеграл § Цх)йх не існує.
а
Наприклад, інтеграл І -=— не існує, бо з нерівності Іп х =
-І 1 П X	'	'
0,5
= Іп (1 (х—1))<х—1, яка виконується Ух£(1, 2)
2
1^1	.	...	(ІХ
мо оцінку — >--------р , внаслідок якої інтеграл І
має-
гається.
335
ь
Якщо інтеграл £ / (х) йх розбігається, але існує
а
Ь
то число / називається головним значенням цього інтеграла у розу-
ь
мінні Коші і позначається символом V. р. £ / (х) сіх.
а
Якщо (а, +<ю) — * К і функція [ не обмежена в будь-якому
околі точки а, то
У / (х) сіх = у / (х) йх + у / (х) гіх,	(9)
а+	а+	ь
якщо обидва невласних інтеграли в правій частині (9) існують
УЬ > а.
4-00
Наприклад, інтеграл Г (а) = у ха^е~х(1х збігається \/а>0 і
оФ
розбігається при а^О. Дійсно, візьмемо будь-яке додатне число,
наприклад 1, і запишемо Г(а) у вигляді Г(а) = І\(а)4-
+ Г2 (а), де
1	4-00
Гг(а)= у ха~1е~х сіх, Г2(сс) = у ха^1е^хсІх.
о+	1
З ОЦІНОК — -"-д , які виконуются на проміжку
АС	АС
та ознаки порівняння випливає, що інтеграл 1\(а)
збіжний при 1—а<1, тобто при а>0, і розбіжний при а 4^0.
Оскільки	Ііт хкха~хе^х = 0, то ха^е“х =: о Мг-І ПРИ
ХН-4-ОО	\	/
х->4-оо і інтеграл Г2(а) існує УаЄЩ. Отже, обидва інтеграли
одночасно збігаються лише при а > 0. Інтеграл Г (а) нази-
вається інтегралом Ейлера другого роду або гама-функціею
Ейлера, і буде досконально розглянутий у другій частині курсу.
Вправи
1, Обчислити інтеграли:
(ас —	0);
(х^ + х+ 1)2 >
336
1п зіп хйх\
1п соз хйх.
2. Дослідити на збіжність інтеграли:
3. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграли)
І Зіп X
х ах‘
о+
--ОО
X2 СОЗ (Є*) СІХ}
<іх.
В)
І/
о
Обчислити:
V. р
д.х
Г2 ах
б> ’• Р- ) ТІЇЇЇЇ
0.5
6+
§ 10. Функції обмеженої варіації
Клас функцій, який розглянемо, тісно пов’язаний з монотонними
функціями й відіграє важливу роль в теорії інтеграла Рімана —
Стілтьєса, а також у деяких застосуваннях.
10.1. Означення функції обмеженої варіації. Повна варіація
функції. Нехай іа, Ь] К, Р = Р[а,ь] = {хк | к = 0, п} — роз-
биття сегмента [а, Ь], Д/й = [ (%а+і) — / (хк).
Означення 1. Варіацією функції відповідною роз-
биттю Р, називається число
п—1
1/Р (/; а, Ь) = V |	|.	(1)
А=о
Означення 2. Якщо існує така стала М > 0, що для будь-
якого розбиття виконується нерівність Vр а, Ь) М, то }
називається функцією обмеженої варіації на
сегменті [а, &].
337
Означення 3. П о в н о ю варіацією Уо (]) функції
/ на сегменті [а, Ь] називається верхня межа множини усіх можли-
вих варіацій Ур а, Ь)\
У а (/) = зир Ур (ї‘, а, Ь).	(2)
р
Якщо Уа (/) = + оо, то / називається функцією необмеженої
варіації на [а, 6]. У випадку, коли / і К К, О/ = К, будемо
називати / функцією обмеженої варіації, якщо повні варіації Уь0 (/)
обмежені в сукупності. При цьому
Ііт Уьа(1).	(3)
6-^Ц-оо
10,2. Деякі класи функцій обмеженої варіації. Нехай [а, Ь\ — -* Ж.
Теорема /. Якщо [ — монотонна функція, то вона є функцією
обмеженої варіації на сегменті [а, 6].
◄ Досить довести твердження для неспадної функції. У цьому
випадку для будь-якого розбиття Р|а,ьі маємо
п—1
УрІЇ а,Ь)=^ Ь?к = /(Ь)-/(а).>
Означення. Функція І задовольняє на сегменті [а, &] умову Літ
шиця, якщо існує така стала К Є К, що V (х € [а, Ь], у £ Іа, &])
виконується нерівність
|/(*) — Ну}\^К\х — у\,	(1)
Теорема2. Якщо функція І задовольняє на сегменті [а, Ь] умову
Ліпилиця, то вона є функцією обмеженої варіації.
◄ Нехай Р1а,ь| — довільне розбиття. З умови (1) випливає оцінка
п—1	п—1
І/(/; а, Ь) = £ | Д/й|< £ К(хЛ+і — хк) = К(Ь — а). >
А—О
Неперервна функція може мати необмежену варіацію. Нехай
[О, 1] -ї— П<, де
х соз , якщо хЄ(О, 1],
О, якщо х = 0.
Якщо точками розбиття Р[0, і] є такі:
тоУР(/;О, 1)=1 + ‘+... +-1 , у‘(^ = 4-00.
10.3.	Основні властивості функції обмеженої варіації.
Теорема 1. Кожна функція обмеженої варіації обмежена.
338
◄ Нехай [а, 61 — ІК — функція обмеженої варіації, х £ (а, Ь) —
довільна точка, Р^м = {а, х, Ь}. Тоді
Ур Ф а. Ь) = | / (х) - ї (а) | + | / (6) - ?(х) |< Уа (Д
Отже, 11 (х) — / (а) К Уьа (?). Оскільки |/(х)| — |/(а)|<|/(х) —
— /(а) |, то Ух £ [а, 6] виконується нерівність |/(х) |<И/(а) І+
+ ^(Д >
Теорема 2. Сума, різниця та добуток двох функцій обмеженої
варіації є функціями обмеженої варіації.
і	й
◄ Нехай [а, 6]	[а, 6]ІК — функції обмеженої варіації на
сегменті [а, 6], $ = / + £, а = / — Р(а,ьі — довільне розбиття.
Якщо хк та х^4-і — точки розбиття Р, то
| 5 (хж) — 8 (Хк) КІ / (Хй+1) — / (хь) І + І £ (**+1) — £ (хк) І. (1)
|а(хй+і) —а(хА)|<|/(хк+і) —/<хк)| + І£(хй+і) — £(хй)|. (2)
Підсумовуючи нерівності (1) та (2) по усіх Іг, дістаємо оцінки
Ур ($; а, Ь) < УР (/, а, Ь) + УР (§, а, Ь) < У* (/) + Уьа (£),
УР (а; а, Ь) < Уьа (/) + У* (§),
з яких випливає, що $ та а є функціями обмеженої варіації.
Нехай р==/£, А = зир |/(х)|, 5= зир |£(х)|. Згідно з
теоремою 1, ЛСІК, в СІК. З тотожності &рк = ДД +
4-/(хь)Д£ь випливають оцінки
\Ьрк\^В\Щк\+Д\Ь£к\ (Л = 0,и-1).	(3)
Підсумовуючи обидві частини нерівностей (3) за всіма к, дістаємо
оцінку
Ур (Р-, а, Ь) < ВУР У; а, Ь) + АУР {§, а, Ь) < ВУьа (/) + АУьа (§),
яка означає, що р належить класу функцій обмеженої варіації. >
Теорема 3. Якщо [а, Ь] -*	[о, Ь] Щ — функції обмеженої
варіації і, крім цього, V х С 1^, 6] | & (х) | а > 0, то частка —
е функцією обмеженої варіації на [а, 6].
<4 Нехай Р[а,ь] — довільне розбиття, хк та х^і — точки, які вхо-
дять до нього, А = зир |/(х)|, В = зир І£(х)|. З тотожності
*6[а,Ь]	х^[а,Ь]
І (хк+і)	І (хк) _ е(хк) ^|к—|(xк)^ек
Є (*Й+1)	Є (Хк) ~ Є (хА+1) е (Хк)
та умови | § (х) | о > 0 дістаємо оцінки
І (хк+1)	((хк)
& (**+1)	& (хк)
А-(В|Д/а|+Л|Д§а|)(Л = 0,п-1).
339
Підсумовуючи ці нерівності за всіма к, дістаємо нерівності
16>	; а, ь)^~^(ВУР (/; а, Ь) + АУР (§-, а, Ь)) <
< 4-	&»•
Згідно з означенням 2, п. 10.1, £- є функцією обмеженої варіа-
ції на сегменті [а, Ь]. >
10.4.	Основні властивості повної варіації функції.
1.	Нехай Іа, Ь] -> ії{ — функція обмеженої варіації, Якщо а — ста-
ле число, то
Уї (а/) = | а | Уї ІЇ).	(1)
◄ Справедливість твердження випливає з означення повної ва-
ріації функції. ►
/	а
2.	Якщо [а, Ь] Щ, [а, &] Щ — функції обмеженої варіа-
ції, то
^(7+Є)<^(/) + ^(Я).	(2)
◄ Для кожного розбиття Р[0,&] маємо
Ур(/ + £ї й> Ь)^Ур(/, а, Ь) + Ур(& а, Ь),	(3)
ЗВІДКИ
Уьа (/+£)< Ур а, Ь) + УР (§-, а, Ь) < У* (/) 4- Уьа (§). >
3.	Нехай [а, Ь] Якщо У с£ (а, Ь) функції /|[а,<|, ї\[с,ь]
мають кожна обмежену варіацію на сегментах [а, с] та [а, Ь], то ї
є функцією обмеженої варіації на сегменті [а, Ь] і при цьому
Уа(/) = Уа(/) + ^(/)	(4)
(тут з метою спрощення позначень функцію [ і її звуження на сег-
менти [а, а], [а, Ь] позначено однаково),
<4 Нехай а<с<6, Р[аіь\ — розбиття, в яке входить точка с.
Тоді маємо
Ур» (І; а, Ь) = Ур, (/; а, с) + Ур. ц- Сг Ь) < Уса (/) + У$ (/)• (5)
[а.с]	[с,о]
Візьмемо тепер довільне розбиття, в яке точка с не входить. Якщо
до наявних точок множини Р[а,Ь] додамо точку с, то дістанемо роз-
биття Р[а,Ь1 Р[а^ Оскільки
УР.(/; а, Ь)^Ур'ІЇ а, Ь)^Уса(Г) + ^(/),	(6)
то функція / має обмежену варіацію на сегменті [а, Ь] і виконується
нерівність
Уьа(І) = шрУРІЇ, а, Ь)^УСа^ + Усф.	(7)
р
340
Нехай 8 > 0. За властивістю верхньої межі числової множини
знайдуться такі розбиття Р$(СІ і що
а, с)>Усаф-^
(8)
УРт & с, Ь) >УЬЛ)-^.
(9)
Якщо об’єднати обидва розбиття, то дістанемо розбиття ^[а^] для
якого
Урф а, Ь) = Урії)ІЇ а, С) + Ур(2)(/; с, Ь)>^(/)+^(/)-в.
(Ю)
Внаслідок довільності е > 0 з нерівності (10) маємо оцінку
Уа (!) > У^а (/) + Уї (/)•	(П)
Зіставляючи нерівності (7) та (11), дістаємо рівність (4). >>
Наслідок 1. Якщо [а, &] К — функція обмеженої
варіації на сегменті [а, д], то V с Є (а, Ь) функції [
мають обмежену варіацію на сегментах [а, с] та [с, Ь] і при цьому
виконується рівність (4).
Наслідок 2. Якщо сегмент [а, 6] можна зобразити у вигляді
об’єднання проміжків, на кожному з яких звуження функції [а,
Ь] К є монотонною функцією, то [ — функція обмеженої варіа-
ції на [а, &]. *
4.	Нехай [а, Ь] -> Щ — функція обмеженої варіації на сегменті
[а, 6]. Тоді функція [а, Ь] -+ Щ, де V (х) = Уха (/), неспадна.
◄ Якщо а < хг <х2 Ь, то V (х2) — V (хх) = Ухх^ (/) > 0. >
5.	Якщо функція обмеженої варіації Іа, Ь] -> К неперервна
у точці х0 6 (а, Ь} зліва, то й функція V неперервна у цій точці зліва,
◄ Нехай е > 0. Тоді існує таке б > 0, що
(Ух є (а, Ь]) (0<х0-х<б)=>(|/(х)-/(хо)|<-уї (12)
Оскільки Уа° (!)= зир Ур(!; а, х0), то існує таке розбиття Р =
р[а. *р]
= Ла.х.] ~ {хк \к = 0. П}> Щ°
Уа’(Л-2 І/(ХЖ)-7(^)І<-Г-	<13>
й=0
Можна вважати, що 0 < х0 — хп_^і < б (бо якщо х0 — хп^\ б,
то додамо до розбиття ще одну точку х*, яка задовольняє умови
х* > хл_і і 0 < х0 — х* < б, від чого різниця в лівій частині
нерівності (13) може лише зменшитися і вона справджуватиметься).
341
Беручи до уваги це зауваження та умову (12), дістаємо оцінку
п—2
УХа°(ї)~£ |/(ХА+1)-/(ХЛ)|<8.	(14)
6=0
Оскільки
п—2
(/),
&==0
то
V? (/) ~ К?-1 (/) < 8,	(15)
тобто виконується нерівність
ц(хо)— У(хп_і)<8.	(16)
Згідно з властивістю 4, функція V неспадна, внаслідок чого Ух £
Є [хп-і, х0] справджується нерівність
а(х0) — п(х)<8,	(17)
яка означає, що функція V неперервна у точці х0 зліва. >
Якщо функція / неперервна у точці х0 С їй, Ь) справа, то й функ-
ція V має ту саму властивість. При доведенні цього твердження
міркування аналогічні наведеним вище. Таким чином, якщо функ-
ція / неперервна у точці х0 £ (а, Ь), то й функція V неперервна в цій
точці.
Наслідок. Якщо / £ С [а, &], то V Є С [а, Ь].
10.5.	Зв’язок між функціями обмеженої варіації й монотон-
ними функціями.
Теорема 1. Для того щоб функція [а, Ь] Щ мала обмежену
варіацію на сегменті [а, Ь], необхідно й достатньо, щоб вона
зображалася різницею двох неопадних на сегменті [а, Ь] функцій.
4 Необхідність. Нехай / — функція обмеженої варіації на сег-
менті [а, 6] і [а, Ь] К, де V (х) = Уа (І). Розглянемо різницю
Ф«0 —А	(1)
Функція ф неспадна на сегменті [а, Ь]. Дійсно, нехай хг < х2.
Тоді
ф (х2) — ф (хг) = (V (х2) — V (хх)) — (/ (х2) — / (хг)).	(2)
Згідно в властивістю 3, п. 10.4, маємо
^(х2) — о(хі) = Ухх2(І).	(3)
Оскільки | / (х2) — / (хх) | < УхХі то ф (х2) — ф (хх) > 0,
тобто функція ф неспадна і / (х) = V (х) — ф (х) V х £ Іа, Ь].
Достатність. Якщо / = /х— /2, де /х, /2 — неспадні на сегменті
[а, &] функції, то, згідно з теоремою 1, п. 10.2, кожна з них є функ-
цією обмеженої варіації. За теоремою 2, п. 10.3, різниця/х— /а
є функцією обмеженої варіації, '
342
Наслідок. Множина точок розриву функції обмеженої
варіації [а, Ь] П< не більш ніж зчисленна. У кожній точці роз-
риву х0 С (я, Ь) існують обидві границі
їл (*о) = / (*0 — °) = Нт / (х),	(4)
х+х0
Х<хп
Іп (*о) = І (*о + °) = Ііт І (х).	(5)
х->х0
Х>хо
◄ Вказані властивості має кожна монотонна на сегменті функ-
ція, а значить і різниця двох таких функцій (див. п. 1.7, розд. 5). >
З властивості 5, п. 10.4, та теореми 1 маємо таке твердження.
Теорема 2. Усяка неперервна функція Іа, 6] -> Ц обмеженої
варіації на сегменті [а, Ь] є різницею двох неперервних неопадних
функцій.
10.6.	Функція стрибків неопадної функції. Нехай [а, П< —
неопадна функція, Р = Р[а,д] = {хЛ | к = 0, п} — довільне роз-
биття, де, як звичайно, а = х0 <	< ... < хп = Ь.
Означення 1. Число (хк) — (хй) називається стрибком
функції § у точці хк £ (а, Ь), а числа (а) — § (а) та § (Ь) —
— Вл Ф) відповідно її с т р и б к а м и справа в точці а і
зліва у точці Ь.
Це означення узгоджується з поняттям стрибка функції в точ-
ці, даним в розд. 5.
Якщо функція § неперервна в точці хк £ (а, Ь), то її стрибок
у цій точці дорівнює нулю.
Лема. Виконується нерівність
п-*1
(8П (а) — 8 (а))+ 2	(**) — 8Л (х*)) + (Є (Ь) — §л (&)) <£ (&) — § (а).
◄ У кожному інтервалі (хЛ, х*+і) (& = 0, п — 1) виберемо до-
вільну точку ук. Тоді внаслідок характеру монотонності функції §
ви конуються нер івності
8П(*л) — 8Л(хй)С§(Ук)~§(Ук-і) (* = 1> п—1),	(2)
£„(а)~ £(а)<£(//0) — 8 (а),	(3)
8 (6) — 8Л (Ь) <£(&)—£	)•	(4)
Додаючи нерівності (2) — (4), дістаємо оцінку (1). >>
Нехай {хй | к 1} — множина точок розриву функції £. На-
гадаємо, що вона не більш ніж зчисленна.
Означення 2. Відображення [а, Ь] П<, де
5(х) =
у (8п (хк) — 8Л (хй)) + £ (X) — §я (х),
кіхь<х
І	0,
якщо х£(а, Ь],
якщо х = а, (5)
називається функцією стрибків відображення
343
Теорема. Різниця ф = § — з е неопадною неперервною функцією.
◄ Нехай а х < у Ь. Згідно з лемою, маємо
в (у) — 8(х)^§(у) — д(х),	(6)
тобто ф (у) = § (у) — (у)	§ (х) — 5 (х) = ф (х). Отже, функція
Ф неопадна.
Якщо в нерівності (6) перейдемо до границі при у х, то діста-
немо оцінку
8П(Х) —8(Х)<£П(Х) —£(Х).	(7)
З означення функції 8 випливає, що
8 (у) — 8 (X) =	(§П (Хй) — £л (хь)) +
+ § (у) — §л (у) +	(X) — § (X).	(8)
Усі доданки, які входять в праву частину нерівності (8), невід’єм-
ні, тому
5(«/) —8(*)>£п<Х) —£(*)•	(9)
В останній нерівності перейдемо до границі при у -> х. Дістанемо
нерівність
®п (*) — 5 (*) >	(X) — § (X).	(10)
Зіставимо нерівності (7) та (10). Маємо
5П(Х) — 8(Х) = §П(Х) — В(Х),	(11)
тобто срп (х) = ф (х). Отже, функція ф неперервна у точці х справа.
Міркуючи аналогічно, упевнимося у її неперервності в точці х
зліва. Таким чином, функція ф неперервна УхЄк Ь]. ►
Нехай [а, Ь] К. — функція обмеженої варіації на сегменті
[а, д]. Тоді / = — /2, деА та /2 — неспадні функції. Згідно з дове-
деною теоремою, функції Фі = А — «і, ф2 = /2 — 52, Де 5іта 5а — функ-
ції стрибків відображень і /2, неспадні й неперервні.
Н а с л і д о к. Кожну функцію обмеженої варіації можна
зобразити у вигляді суми її функції стрибків та неперервної функ-
ції обмеженої варіації.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Нехай / : К-> 0?, 0/ = [а, Ь]\( неперервно диференційовна на
[а, д]. Довести, що
(У* (/))'= І Г (*)І	Ь].
Нехай Р =	— довільне розбиття сегмента [а4 х] (х^Ь). Тоді
и—1
Ур & «. *) = У І / (хк+1 ) - і (хь)| = £ | Г (5Л)| (х6+І - хй)
6=0	6=0
(за теоремою Лагранжа), Дістанемо інтегральну суму Рімана для інтерровної
344
невід’ємної функції 1 Г Тому 7* (/) = ^ |	(£)| (11, а^.х^Ь. Оскільки
а
| /' | — неперервна функція, то (7* (/))' = | /' (х)| V х Є [а, &].
Приклад 2. Нехай / (х) = Зх2 — 2Х8, Е/ = [—2, 2]. Знайти 7^_2 (/) V х С
6 [-2, 2].
Згідно з прикладом 1, маємо
V* 2 (/) = У І Г (ПІ Л =
X
НИ = Ч(х) + 28,
Х.2
— 2 х < 0,
о	х
-С Г(0Л+р'(0 <* = /(*)+ 28,
І2	0
0^х<Ь
о	їх
Г (ґ)Л + П' (0Л — \ і' (0 <н = зо — /(х),	і<х<2,
—2	0	1
Приклад 3. Зобразити функцію і (х) = зіп х, О? = [0, 2л], у вигляді різ-
ниці двох неопадних функцій.
Звуження синуса на будь-який сегмент є функцією обмеженої варіації, тому
І (х) = А (х) — /2 (х), де /і (х) = Ух0 (/), /2 (х) =	(0 — І (х). Взявши до уваги
приклад 2, маємо
/1(*) =	(0
Я
зіп х, 0^х < ~2“ *
X
С	я	З
І | соз і | сії = { 2 — зіп х, “2" х < ~ я»
0	З
4+зіпх, “2"Я^х^2я;
я
01 0 х 2 »
М*) =Уо (/) — /(*)= { 2~ 28ІПХ> _у^х<“|_л’
з
4,	-о- я^ х^ 2я.
Таким чином, / (х) =	(х) — /2 (х) V х С [0, 2я] і функції /2 неспанні (побу-
дуйте їх графіки).
Приклад 4. Нехай [а, |3] —К — функція обмеженої варіації на сегменті
Р
[а, р], а функція [а, Ь] —► 0? задовольняє умову Ліпшиця на сегменті [а, &] і
йр .=) Е/. Довести, що композиція Р е / є функцією обмеженої варіації на сегмен-
ТІ Іа, Р1-
345
Нагадаємо, що функція Р задовольняє умову Ліпшиця на сегменті [а, &], як-
що існує таке К > 0, що
V Є [а, Ь]> х2 Є [а, Ь]) І Р (х,) — Р (х2)| К | — х2 [.
Нехай Р	— довільне розбиття. Тоді
п—і
Ур (Р о Л а, 0) = £ І Р (<4+1)) - Р (Г
6=0
п—1
< * £ І / аА+І) - / (У = КУр (н а, 0),
к—0
З умови прикладу та одержаної нерівності випливає, що композиція Р о / є функ-
цією обмеженої варіації на сегменті [а, р].
Вправи
1.	Довести, що коли [а, 6] К — функція обмеженої варіації, то існують
такі неспадні функції [а, &] К, [а, д] К, що р (а) =» </ (а) = 0 і V х £ [а, 6]
виконуються рівності / (х) — / (а) = р (х) — д (х), V* (/) = р (х) + д (х).
Відображення р та д називаються відповідно функціями додатної й від'ємної
варіації функції /,
2.	Нехай [а, Ь] 0?, Р [а, 6],
І*
/ (х) = У § (0	&+ (і) = тах {§ (0, 0},	(і) = тіп {£ (0, 0}.
а
Довести, що / — функція обмеженої варіації на сегменті [а, 6] І
XXX
у*(/) =	|Л» Р= у я+ (/)л, ?00 = у8а(І) аі.
а	а	а
І	~
3.	Нехай [а, 6] —► 0? — функція обмеженої варіації, р та д — її функції до-
датної й від’ємної варіації, [а, Ь\ К, [а, Ь] К — зростаючі функції і / ®
= Рі — Рі. Довести, що
Уьа (?) С V» (дг).
4.	Зобразити у вигляді різниці двох неопадних функцій відображення /, якщо:
а) / (х) == зіп8 х, £)/ = [0, 2л]; б) / (х) = [х] — х, = [0, 2];
в) І (х) = соз х — х зіп х, £)/ = [0, 4л].
§ 11. Інтеграл Стілтьєса
У 1894 р. голландський математик Т. Стілтьес (1856—1894)
впровадив нове поняття інтеграла у зв’язку з деякими спеціаль-
ними задачами. У XX ст. це поняття почали широко застосовувати
і в загальних питаннях. Інтеграл Стілтьєса являє собою узагаль-
нення інтеграла Рімана.
11.1. Верхня й нижня інтегральні суми Стілтьєса, їх властивості.
Нехай [а, Ь] ІД — обмежена функція, [а, М К — монотонно
зростаюча функція, Р = Р[а^ = {^1^=0, п] — довільне роз-
346
биття сегмента [а, 61, в якому а » г0 < х^ < ... <	== 6,
п— І	П— 1
<$/> (/, а) = £ Л1ьДал, 5Р (/, а) = £ тйДай, (1)
к=0	6=0
ДЄ
Мк = зир / (х), тк = іпї / (х),
АаА = а (х^+1) — а (хк) (к - 0, я — 1).
Означення. Числа 8р (Д а) і 8р (Д а) називаються верхньою
й нижньою інтегральними сумами С т ілтье •
с а, відповідними розбиттю Р\а,ьу-
Очевидно, що	Зр (Л а)<5р (/, а).
Нагадаємо (див. п. 7.2, розд. 6), що розбиття Р* = Р{а,ь} на-
зивається продовженням розбиття Р = Р[а,Ь} , ЯКЩО Р* О Р,
Лема. Якщо Р[а,Ь] — продовження розбиття Р^а.ьу, то
§_р (Їі а) Зр* (/, а),
(2)
Зр*(/, а)^5р(/, а).
(3)
4 Доведення аналогічне наведеному в п. 7.2, розд. 6, в якому
замість Дхй береться ДаЛ.
Н а с л і д о к. Якщо Р$ь\ та Р[а\ь} — довільні розбиття, то
виконується нерівність
Зр(і)(/, а)<5р(2)(/, а).	(4)
◄ Доведення нічим не відрізняється від наведеного в п. 7.2,
розд. 6. ►
11.2. Верхній і нижній інтеграли Стілтьєса. Означення інтегра-
ла Стілтьеса. Критерій інтегровності за Стілтьесом,
Означення 1. Числа
_ (іеі __	деі
Г Д/а = іпї 8Р (/, а), Г Д/а = зир 8Р а),	(1)
л р	2 р _
де межі беруться за всіма можливими розбиттями сегмента [а, 61,
називаються відповідно верхнім і нижнім інтегра-
лами Стілтьеса.
Теорема 1. Виконується нерівність
/ї/а у /гіа.	(2)
◄ Доведення повністю збігається з наведеним у п. 7.2, розд. 6. >
Означення 2. Якщо /	/ /Йа, то спільне значення верхнього
й нижнього інтегралів назвемо інтегралом Стілтьеса
347
функції ї відносно функції а на сегменті [а, Ь] і позначимо його
ь
У / (х) сіа (х).
а
Множину всіх функцій, інтегровних за Стілтьєсом відносно
функції а на сегменті [а, &], позначимо символом 5 (а) [а, Ь].
З даного означення випливає, що при а (х) == х V х £ [а, />]
інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана функції ї на
сегменті [а, 6]. Отже, інтеграл Рімана — окремий випадок ін-
теграла Стілтьєса.
Зауважимо, що в загальному випадку функція а може бути
розривною на сегменті [а, Ь].
Функція а називається інтегруючою функцією. У подальшому
клас інтегруючих функцій не буде обмежуватися лише монотонно
зростаючими функціями. Дещо пізніше впровадимо поняття ін-
теграла Стілтьєса відносно функції обмеженої варіації, а поки що
припускаємо, що інтегруюча функція а зростаюча або неспадна на
сегменті [а, Ь].
Теорема2 (критерій інтегровності за Стілтьєсом). Для того
щоб обмежена функція [а, Ь] К була інтегровною за Стілтьєсом
на сегменті [а, Ь} відносно монотонно зростаючої функції [а, Ь]
необхідно й достатньо* щоб V є > 0 існувало таке розбиття
Р[а,Ь}» Щ°
а) — 8р (/, а) <8.	(3)
◄ Доведення повторює усі міркування, які проводилися при до-
веденні критерію інтегровності функції за Ріманом у п. 7.2,
розд. 6.
Умову (3) корисно записувати у вигляді
п—-1
У, ®йДай < 8,	(4)
*==0
де (ок = Мк — тк — коливання функції / на сегменті [хй, г^+іі.
11.3.	Інтеграл Стілтьєса як границя інтегральної суми. Деякі
класи функцій, інтегровні за Стілтьєсом. Нехай /— обмежена, а —
монотонно зростаюча на сегменті [а, Ь] функції, Р = Р[а,Ь] =
= {хк І & == 0, п} — довільне розбиття, ІР = {%ь | к = 0, п —1} —
множина проміжних точок, де п Є а = х0 С хі •••
—1	Хп
||Р|| тах (х^-і — хД Дай = а(х*+і) —а(хА).
Означення 1. Сума
8Р(/, а, = 2 /(^)Даь	(1)
А=0
348
називається інтегральною сумою Стілтьєса функ-
ції [ на сегменті [а, Ь].
Означення 2. Покладемо
<іеі
І = Ііш 5р (А а, Ір),	(2)
І|Р||->0
якщо V е >• 0 З б >» Оі
V (Р = Р[а,п, ЇР) (II РII < 6) =*> (|5р (/, а, £р) -І1 < е).	(3)
Теорема 1. Якшр існує Ііт 5р (/, а, |Р) = І, то / £ 5 (а) [а,
&] і виконується рівність
ь
(І (х) сіа (х) = 1.	(4)
а
◄ Нехай е > 0. Тоді існує таке б > 0, що V (Р = Р[а(ь]» ір)
при виконанні умови || Р || < б справджуються нерівності
/----|-<5р(А аДр)</ + |.	(5)
Фіксуємо таке розбиття Р\а,ь\- Оскільки
зир 5Р (/, а, Ір) = 8Р (/, а), іпї 8Р (ї, а, £р) = 8Р ([, а),
ір	5р
то виконуються нерівності
/----Г<5р(Д а)<5р(/,	+	(6)
Таким чином, 0 5р (/, а) — 5р (/, а) е. Згідно з теоремою
2, п. 11.2, / £ 5 (а) [а, Ь]. З нерівностей
ь	_
/---1- <8Р ([, а)< ^(х)сіа (х)5Р (/, а)1 +
а
маємо
ь
| у /(х)с(а(х) — /| < е,
а
і внаслідок довільності г > 0 виконується рівність (4). >
Теорема 2. Якщо? Е С 1а, 6], то 3 (а) [а, Ь]. Більш того*
V е > 0 існує таке 6 > 0, що для будь-якого розбиття Р]а,ьь
для якого Ц Р |) < 6, виконується оцінка
ь
|5р(Л а, £Р) — р(х)йа(х)|<е.	(7)
а
4 Нехай в>0, а Т)>0 таке, що
(а (Ь) — а(а))г] <8.	(8)
Оскільки функція / рівномірно неперервна на сегменті [а, />], то
349
існує таке 6 > 0, що
У(х6К Ь], у^[а, б]) (|х-ї/|<6)=^(|;(х)-/(у)|<п).	(9)
Виберемо таке розбиття Р = Р[а,Ь1, щоб || Р || < Тоді з умов (9)
випливає, що <&к = Мк — тк <_х\ (к — 0, п — 1). Отже,
(А а) —	(/, а) = £ шйДай < т] £ ДаЛ = т](а(6) — а (а)) < в.
16=0	6=0
Для функції / виконується критерій інтегровності за Стілтьєсом.
Оцінка (7) випливає з нерівностей
5Р (/, а) <	(/, а, |р) < 5Р (А а),	(10)
ь	_
Зр (А а) С р (х) (іа (х) < 5Р (/, а)	(11)
а
та умови 8р (/, а) — 5р (А а) •< є.
Теорема 3. Якшр [а, Ь] К — монотонна функція, а а €
£ С [а, 6], то } £ 8 (а) [а, 61.
◄ Нехай, наприклад, функція / монотонно зростає. З неперерв-
ності та монотонного зростання функції а випливає, що V в > 0
36 >0:
Ч(Р-Рі..п> (||Я||<6)^(Аа><-№)Іа(<,>).	(12)
Фіксуючи таке розбиття Р[а,ь] та приймаючи до уваги рівності
зир /(х) =П*н-і). іпї /(х)=/(хй),
хЄ(Жб,Хб+іі
дістаємо оцінку
Зр (А а) —5Р(А а)= £ (/(хй+1) — Кхк)) Дай <
б=о
п—1
< / (6) — /= (а) Е V (Хк+^ ~ ї= ®*
£=4)
Функція / задовольняє критерій інтегровності за Стілтьєсом, >
Теорема 4.	[а, Ь], а функція а задовольняє на сегменті
Іа, Ь] умову Ліпшіщяі то [ £ 8 (а) [а9 6].
◄ Нехай функція а задовольняє на [а, Ь] умову Ліпшиця з ста-
лою (див. п. 10.2). З умови інтегровності функції І за Ріманом на
сегменті [а9 Ь] випливає, що
1
Ув>0 ЗР = Р|о,ч:2«>й(хй+1-хй)<-|-.	(13)
*--=0
Для цього розбиття Р[аіь] дістаємо
(/. а) —	(/> «) = 2	V ®А (хА+, — хй) <е,
/г«=»0	/г=0
350
тобто для функції / виконується критерій інтегровності за Стілтьє-
сом. >
Розглянемо два випадки, коли існує Ііт 8р а, £р) =
||Р||->0
= § {(х)сіа(х).
а
Теорема 5. Якщо: 1) / — неперервна функ,ція\ 2) / £ 5 (а) [а, і
а^С\а, 6], то існує
ь
Ііт 5Р(/, а, І ) = С/(х)гіа(х).	(14)
||Р|І-*0	л
◄ 1) Справедливість твердження випливає з нерівності (7).
2)	Нехай / £ 5 (а) Іа, д], а £ С [а, Ь] і е > 0. Оскільки
ь	_	_
'	Г Цх}сІа (х) = Г /4а = іпї 8р (/, а),
<)	л	р
а
то існує таке розбиття Р* = що
__	ь
5р« (/, а) < С/(х) сіа (х) +	.	(15)
Покладемо М = $ир |/(х)|.
х£[а, д]
перервна на [а, Ь|, то існує
Оскільки функція а рівномірно
таке > 0, що
не-
У(Р = />М]}
(Ц Р Ц < б,) => (Аай < , .з--") ,
мі н і/	я 4/Ип і »
де п — кількість сегментів [х&, х^+1] розбиття Р*. Зафіксуємо
таке розбиття Р[а.ь} і розглянемо суму 8р а). Нехай Р' =
= Р* 0 Р, Взявши до уваги властивість 8р ([, а)^5р*(/, а) та
нерівність (15), маємо
_	ь
8р'(/, «) < р	•	(16)
а
Оскільки Р[а,ь] є продовженням як Р[а,б] і так і Р[а,ь], та зважа-
ючи на ге, що розбиттю Р* відповідає п сегментів [хк, х^ ], ді-
стаємо оцінки
“	8	Є
5Р(/, а) — 8р. (/, а)<птаx^акМ<^п-ц^- М = — . (17)
Отже, для кожного розбиття яке задовольняє умову || Р || <
< дь виконується нерівність
_	ь
5р (А а) < р (х) 4а (х) +	.
а
(18)
351
Аналогічно доводиться існування такого 62>>0, що
V (Р = Рм) (Ц Р Ц < б2)=> (5/= (/, а) > С/(х)с(а(х)-----.
а
Вибираючи 6 = тіп{б1, 62}, маємо V (Р = Р(а,ь] )(|| Р || < 6):
ь	_	ь
П (х) гіа (х)--1- < 5р (Д а) 8Р а) < С / (х) сіа (х) +	• (19)
а	а
Оскільки V (Р\а,ь], £р) виконуються нерівності
5р(/, а)<5р(Л а, У<$р(/, а),
то з умов (19) дістаємо
V (Р = Ріа,Ь], Ір) (IIРII < 6) => (|5р (/, а, Ір) - 5 / (х) йа (х) |< в),
а
(20)
тобто
д
Ііт 5Р (/, а, £ ) = С/(х)гіа(х). >
ЦРІІ-Ю	З
Умовою а Є С [а, Я в 2) не можна знехтувати: якщо а — роз-
ривна функція, то можливий випадок, що / £ 5 (а) [а, Ь], однак
Ііт Зр а, £Р) не існує.
ІИ-о
Нехай, наприклад,
ЇМ =
якщо — 1 х 0,
якщо 0 << х^ 1;
а(х) —
0,
1,
якщо — 1 х < 0,
якщо 0 х^ 1.
Оскільки {5Р (/, а)} == {0, 1}, {5Р (/, а)} = {0}, то
С Д/а = іпї 8Р (І, а) = 0, С /йа = зир 8Р ({, а) = 0
Зр	3_	р -
і
і /6 5 (а) [—1, 1], причому ^/(х)йа(х) = 0.
—і
Розглянемо розбиття Р[—1, 1], в яке не входить точка X = 0.
Нехай 0£(хь, Хй+і). Тоді У^€[хй, х*+і] 5Р (/, а, = /(£й),
бо Да^ = 0, якщо і=/=/г, Даь = 1. Якщо £А<0, то
Ж) = 0, 5р(Л а, &р) = 0, Ііт 5Р (/, а, |р) = 0.
Якщо > 0, то
/(^)= І, 8р({, аД )= 1, Ііт 5Р (/, а, £р) = 1.
при >о
Результат залежить від способу розбиття сегмента [—1, 1] та
вибору точок І*, тому Ііт 8р (/9 а, %Р) не існує.
ІІ^НО
352
Теорема 1 та розглянутий приклад переконують у тому, що
(існує ііт 5Р(/, а, ?р)) 5(76 5 (а)|а, Ь]).
Останнє означає, що означення інтеграла Стілтьеса як границі
інтегральних сум і дане в п. 11.2 не еквівалентні: клас функцій,
інтегровних у розумінні означення 2, п. 11.2, є більш широким.
У теорії інтеграла Рімана аналогічної ситуації немає, оскільки
умова а £ С [а, 6], де а (х) = х, у теоремі 5 автоматично викону-
ється .
11	.4. Основні властивості інтеграла Стілтьеса.
Теорема 1. Якщо: 1) / £ 5 (а) [а, &], £ € 5 (а) [а, й], с Є К
то £ 5 (а) [а, 6], с[ £ 8 (а) [а, д] і при цьому
ь	ь	ь
№ + &)(*)(*) = р(*)(*) + | 8(*)(х>>
а	а	а
Ь	Ь
с?(х)(іа(х) = с ?(х) сіа (х);
а	а
2)	/Є5(а)[а, Ьі, §£8(а)\а, &] і /(х)<£(х) Ух£[а, &], то
ь	ь
С [ (х) (іа (х) С £ (х) сіа (х);
а	а
3)	/£5(а)[а, &] і а<с<Ь, то
/І(а,с]Є5(а|[а,с])[а, с], / |к,г>] € 5 (а |(с,6)) [с, Ь\
і при цьому
с	Ь	Ь
,х)(іа(х) + С/(х)с(а(х) = р(х)гіа(х);
а	о	а
4)	/£5(а)[а, 4>| і |/(х)| <Л1 Ух 6 [а, Ь], то
ь
| р (х) сіа (х) М (а (Ь) — а (а));
а
5)/ЄЗСаЛа, Ь\ та /£5(а2)[а, д], то /6 5 (04 4-а2) [а, 6] і
ь	ь	ь
(«1 + а2) (X) = р (х) ааг (х) 4- р (х) е/а2 (х);
а	а	а
6) /€^(а)1а» ^1, О 0, то /£5(са)[а, Ь\ і
ь	ь
Г / (х) сі (са) (х) — с	(х) йа (х).
V
а	а
◄ 1) Якщо <р = / + §, Р = Р[а,ьу — довільне розбиття, то вико-
нуються оцінки
8р (І, а) 4- 8р (§, а) Зр (<р, а) < 5/> (<р, а) < 3Р (/, а) 4- 5Р (§, а).
(1)
12 1-2914
353
З умов /£5(а)[а, Ь] і (а)[а, Ь] випливає, що ’Ує>0 існу-
ють розбиття Р(1) = Р[аД] та Р(2) = ^[1^], для яких виконують-
ся нерівності
5Р(1)(Л а)-5р(1)(А а)<4- >	(2)
5р(2)(£, а) — 5р(2)(г, а)<4г-	(3)
Нехай Р* = Р(1) 0 Р(2) . Згідно з лемою п. 11.1, маємо
5р(і)(Л а)С5р*(Л а), $р*(/, а)<5р(1)(/, а).	(4)
З нерівностей (2) та (4) випливає оцінка
5Р* (/, а) — 5р* (/, а) <	.	(5)
Аналогічно можна упевнитися в тому, що
5р* (£, а) — 5Р* (§, а) < 4“ •	(6)
“**	4л
Оскільки для розбиття Р* = Р[а,ь] виконуються нерівності (1), то
з умов (5) та (6) дістаємо
5р*(ф, а) — 5р*(ф, а)<5р*(Д а)4-5Р*(§, а) —
— (5р*(Л а)Н-5Р*(£, а)) <8.
Функція (р = / + § задовольняє критерій інтегровності за Стілтьє-
сом на сегменті [а, 6].
Оскільки
ь
8р*(/, а) зир 5р* (/, а)= С Д/а = С / (х) 4/а (х),
—	р* —	»)_	л
а
то з нерівності (5) дістаємо оцінку
_	ь
Зр* (Л а) < р (х) сіа (х) 4- -у 	(7)
а
Аналогічно з нерівності (6) випливає оцінка
_	ь
Зр* (£,	(х) (іа (х) 4-	.	(8)
а
Беручи до уваги нерівності (1), які справджуються для будь-
якого розбиття Р = Р[а,Ь]> дістаємо
ь	ь	ь
С <р (х)гіа(х)	8р« (ер, а) < р(г)гіа(х) 4-| ^(х)біа(х) 4-е. (9)
а	а	а
354
Внаслідок довільності є > 0 маємо
й	Ь	Ь
£ <р(х)4/а(г)^ С /(х)гіа(х) 4- С £(х)йа(х).
сі	а	а
(10)
Якщо замість функцій / і § візьмемо функції — / та —то діста-
немо нерівність
ь	ь	ь
У ер (х) сіа (х) у / (х) сіа (х) + у § (х) сіа (х).	(11)
а	а	а
З нерівностей (10) і (11) випливає рівність
ь	ь	ь
^ (/ + §) (х) сіа (х) = ^(х)Оа(х) 4- ^§(х)сіа(х).	(12)
а	а	а
Нехай / £ 5 (а) [а, Ь] і с > 0. Тоді Ух £ [а, Ь\
(с/)(х) = с/(х), 8Р(с}, а) — 8р(с{, а) = с(8Р^і а) —8Р(/, а)),
яким би не було розбиття Р = Р[а,ь]- 3 умови / Є 8 (а) [а; Ь\ та
з останньої рівності випливає, що с/£ 8 (а) [а, Ь]. Оскільки
ь	-	_	ь
С (с/) (х) сіа (х) == іпї 8Р (с/, а) = с іпї 8р (/, а) = с С / (х) сіа (х)^
о	р	р	<1
а	а
то в розглянутому випадку другу частину твердження 1) доведе-
но. Випадок с<0 зводиться до розглянутого, якщо покласти
|3 = — с. Випадок с = 0 тривіальний.
2) Якщо ^5(а)[а, Ь], £Є$(а)|а, і Ух6[а,	/(х)<£(х),
то для будь-яких розбиттів Р(1) =	Р<2) = РІЇьЬ) маємо
5р<і)(Л аХ5р(2)(^, а).	(ІЗ)
Фіксуючи розбиття , дістаємо
С/(х)4а(х) = зир 5р()) (/, а)<5р(2)(^ а).	(14)
Нерівність (14) виконується ДЛЯ будь-якого	Обчислюючи
нижню межу множини (8р(2) (§, а)} за всіма можливими розбит-
тями , дістаємо нерівність
ь	_	ь
{§(х)аа(х) = іпГ5р(2)(£, а)> С/(х)гіа(х).
Л	р(2)	о
а	а
3) Якщо / £ 5 (а) [ау Ь\, то Уе > 0 існує розбиття Р =	,
для якого
5р(/, а) — 8Р(/, а) < в.	(15)
12*
355
Якщо точка с Є (а, Ь) не входить в розбиття Р, то розглянемо роз-
биття Р* = Р[а,Ь] І) (с). ОСКІЛЬКИ
Зр ІЇ, а) < 5р.> (І, а), 5р. (/, а) < 8Р (/, а),
то	_
3Р*(/, а) — 8Р*(/, а)<5р(/, а) — 5р (/, а)<е.	(16)
Для розбиття /’іа.ь] маємо Р[а,ь] = ^[а.с] II Р[с,ц, внаслідок чого
виконуються рівності
5р. (/, а) = 5р.(0 е] (А	а)	+	5р.[Сіі] (А	а),	(17)
3Р*(/, а) = 5р»[а <;](А	а)	+	5р*(сді (А	“)•	(18)
Беручи до уваги нерівності (16), дістаємо оцінки
с]	<С Є,	(19)
5Р*[е,й](/.	а)<е'	(20)
с	Ь
з яких випливає, що інтеграли у / (х) сіа (х) і ^/(х)гіа(г) існують.
Тому Ув>0 існують такі розбиття Р(1) = та Р(2) =Р[2)г>],
що виконуються нерівності
5р(і) (/, «)—У/(х)йа(х)<,	(21)
а
Зр(2> (А «) - [ / (х) сіа (х) <	.	(22)
с
Розглянемо розбиття Р[а,ь] = Р[а,с] II Р&Ь). ТОДІ
5р(А а) = 5р(і)(А а) + 5р(2)(А а)<
< у /(х)йа(х) + у Цх)сіа(х) + е,	(23)
а	с
ЗВІДКИ
Ь	с	Ь
С/(х)^а(х) ^5р (А а)^ у/(х)йа(х) 4-у/(х)гіа(х).	(24)
а	ас
Використовуючи нижні інтегральні суми, маємо нерівність
Ь	с	Ь
У / (х) б/а (х) у / (х) йа (х) + у / (х) йа (х).
а	а	а
(25)
З оцінок (24) і (25) випливає рівність
с	ь	ь
( / (х) сіа (х) + С / (х) сіа (х) —	(х) сіа (х).
а	о	а
(26)
356
4)	Нехай / £ 5 (а) [а, Ь] і V х 6 Іа, 6] | / (х) | М. Оскільки
—М / (х) ЛІ і М Є 5 (а) 1а, Ь], причому
ь
§ Мйа (х) = М (а (Ь) — а (а)),
а
то, застосувавши властивість 2), дістанемо нерівності
ь
— М (а (Ь) — а (а))	/ (х) сіа (х) М (а (Ь) — а (а)),
а
які можна записати як одну нерівність
ь
С ї (х) (іа (х)
М (а (6) — а (а)).
а
5)	Якщо5 (04) [а, Ь] і /^3(а2)[а, Ь], то Ує>0 існують
Такі рОЗбИТТЯ Р(1) = та ^<2) = Щ°
£р(і) (А аі) ^р(і)(/> аі) < ~ >	(27)
5р(2)(Л а2)-5р(2)(А а2)<^.	(28)
Для розбиття Р[а>ь] = Ла.б] II Р[а%] нерівності (27) та (28) вико-
нуються. Оскільки
5р (А «і + а2) = §р (А 04) + Зр (А а2>
5р (А аі + а2) = $р (А аі) + 5р (А а2),	(29)
то внаслідок нерівностей (27), (28) маємо
5р (А аі + а2) — ^р (А 4- а2) < в.	(ЗО)
Отже, / Є 5 (04 + а2) [а, Ь].
Оскільки
ь	ь
С / (х) йах (х) = зир Зр (А ах), С / (х) б/а2 (х) = зир 5Р (А а2),
л	р -	л	Р —
а	а
ТО Існують такі розбиття Р' = Р(а,Ь], Р" = Р[а,Ь] , ЩО
ь
(/. «і) > р (X) ^ах (х) —,	(31)
а
Ь
Зр- (/, а2) > р (х) б(а2 (х)-1- .	(32)
а
Для розбиття Р* = Р*[а,ь] = Р[а,ь] Н Р[а,ь] нерівності (31) та (32)
виконуються внаслідок леми п, 11.1. З умов (29) та властивостей
верхньої межі дістаємо:
357
ь	ь
а)ЧР = Р[а,ь) 8р(ї, 04 + а2) < С / (х)	(х) + С / (х) гіа2 (х);
а
а
б)	існує таке розбиття Р* — Р^а>Ь], для якого
ь	ь
8р*(І, «1 + а2)> С 7(х)гіах(х) + С/(х)гіа2(х) —е.
а	а
Отже,
ь
(ї(х)(і (04 + а2) (х) = зир 8р (/, 04 + а2) =
а	?
Ь	Ь
= (7 (х) іісс1 (х) + С / (х) гіа2 (х).
а	а
6) Якщо / Е 5 (а) [а, Ь] і с> 0, то функція са монотонно зро-
стає (тобто разом з функцією а вона неспадна або зростаюча).
Оскільки V Р = Р[а>5] виконується рівність
8р (ї, са) — 8р (І, са) = с (8Р а) — 8Р (], а)),
то доведення звелося до розглянутої вище другої частини твер-
дження 1). >
Теорема 2. Нехай / £ 5 (а) [а, &], т / (х) М V х £ [я» Ь]
і <р Є С [т, Л41, й = <р о /. Тоді Н £ 5 (а) [а, 6].
◄ Нехай 8 >» 0. Оскільки функція ф рівномірно неперервна на
сегменті Іт, М], то існує таке 6 > 0, що б < є і, крім цього,
V (/£ [гп, М], у£[т, М\) (| ^ — г/ ] < б)=>(| <р(0 — Ф(У)І <є)- (33)
З умови $ £ 8 (а) [а, 6] та критерію інтегровності за Стілтьєсом
випливає існування такого розбиття Р = Р{а.ь] = \хк | к = 0, п),
що
5Р (/=, а) - 5Р (Л а) < б2.	(34)
Нехай
Л4Й= зир /(х), тЛ= іп! /(х),
х£[хк,хк±ц	х&хк
Мк = зир Л(х), тк — іпї	Л(х).
Розіб’ємо множину	= п} на дві підмножини А та В
за такою ознакою: к^А, якщо а>к = Мк — тк<і§> і к^ В, якщо
(дк = Мк — тк'^8. Для к£А, внаслідок вибору 6, маємо со* =
= М\ — т\<іг. Якщо к^В, то со* =	де К =
= зир | ф (/) |. Взявши до уваги нерівність (34) та умову со^ 6
V к £ В, дістанемо нерівності
б £ Л°4 С £	< б2,	(35)
к^В	к£В
358
внаслідок яких маємо
£	< 6.	(36)
Отже,
5р (/і, а) — 5р (Л, а) = со^ДаА + (о^Аа^ < є (а (Ь) — а (а)) +
к£А	к£В
4* 20 <є(а(&) — а (а) + 2К)
(внаслідок вибору 6 < є). Оскільки е >> 0 — довільне, то Н £
С 5 (а) [а, Ь], >
Теорема3. Якщо / 6 5 (а) \щ Ь} і £ £ 8 (а) [а, &], то:
1)	& € 5 (а) [а, Ь];
ь	ь
2)	|ЛС5(а)[а, Ь] і ^{(х)сіа(х)	/(х)|йа(х).
а	а
◄ І)	Функція <р	•> (В. -> В{,	де	<р (ґ) = І2, неперервна	V / € Оф	=
= [«•	Якщо [ $ 5	(а) Іа, ЬІ	і £	Є 5 (а) [а, Ь],	то (/ + §) 6 5 (а)	[а,
Ь], (/	— £) Є 5 (а)	[а, Ь]. За	теоремою 2 (<р °	(/ + §)€	5 (а) [а,	Ь]
і (ф 0	(7 — &)) Є $	(а) Га> Ь]. 3	тотожності
(&) (х) = 4 Щ + Є)2 (X) — (/ — §)2 (х))
та властивості 1) з теореми 1 випливає, що [&Є8 (а) [а, Ь]
2) Покладаючи ф (/) = | /1 та застосовуючи теорему 2, упев-
нимося в тому, що | / | Є 8 (а) [а, 6]. Виберемо с = ± 1 так, щоб
виконувалася умова
ь
с / (х) (іа (х)	0.	(37)
а
Тоді маємо
ь	ь	ь	ь
§ Цх) сіа (х)	=	с § }(х)(іа (х) =	С с/(х)<іа(х)С |/(х)|сіа(х),
а	а	а	а
бо с/ (х)	/ (х) | V х С [а, Ь], >
11.5. Інтеграл Стілтьєса відносно функції обмеженої варіації.
Нехай [а, Ь\ ІК — обмежена функція, [а, Ь] К — функція
обмеженої варіації на сегменті [а, й]. Згідно з теоремою 1, п. 10.5,
функція Н зображається на [а, &] у вигляді И = а — Р, де а та р —
неспадні на сегменті [а, 6] функції.
Якщо / 6 8 (а) [а, Ь] і / £ 8 ((3) [а, Ь], то покладемо
ь	ь	ь
^/(х)<ї/і(х)= Дх)гіа(х)— С/(х)ф(х)	(1)
а	а	а
і при цьому запишемо / £ 8 (Н) [а, Ь].
Оскільки зображення функції обмеженої варіації у вигляді
різниці двох неспадних функцій не єдине, то може здаватися, що
359
дане означення некоректне. Насправді це не так. Якщо И =
— аг — рь де а,!, Рі — неопадні на сегменті [а, Ь\ функції, і крім
умов / £ 5	(а)	[а, &], / £ <$ (Р) Іа,	Ь]	виконуються також	умови	/	£
Є 5 (ат) [а,	Ь],	} Є	8 (Р^ Іа, Ь],	то	з рівності а + Рі	= 04	+	Р
та властивості 5) з теореми 1, п. 11.4, маємо
ь	ь	ь	ь
С / (х)	(Іа (х) +	С / (х) б/рх (х) = С	/ (х) сіа! (х) + С / (х) ф (х).
Таким чином,
/ (х) (іа (х) — у / (х) йр (х) = у / (х) (1аг (х) — £ / (х) 4\ (х)
тобто інтеграл Стілтьеса, визначений формулою (1), не залежить
від вибору зображення функції Н.
Формула (1) дає змогу значно розширити клас функцій, відносно
яких проводиться інтегрування. Нехай, наприклад, функція [а,
Ь] К задовольняє на сегменті [а, умову Ліпшиця (див. п. 10.2).
За теоремою 2 того самого пункту § є функцією обмеженої варіації
на сегменті [а, 6]. Легко упевнитися в тому, що § =	де
(х) == Кх, (х) = Лх — £ (х) V х £ Іа, &], де К — стала Ліп-
шиця з означення п. 10.2. Функція зростаюча, а функція —
неспадна. Згідно з формулою (1), маємо для будь-якої функції
[а, Ь]-+ КЇЄ. 5 (§,) [а, Ь], [ £ 8 (£2) [а, Ь\
'ї(х)	(х) = и (х)	(х) — С / (х)	(х).
11.6. Обчислення інтеграла Стілтьеса.
Теорема 1. Якщо { £ Я [а, &], ф £ 7? [а, д], § (х) = уй +
4- і <р (і) <11, а х уй = сопзі, то [ £ 8 (§) [а, 6] і при цьому
} (х) сід (х) = І / (х) ф (х) йх.
(1)
4 Оскільки ф £ 7? [а, Ь], то існує М > 0: V х 6 [«, Ь] | ф (х) | М.
Тоді V (Хі С (а, Ь], ха 6 Іа, ЬІ)
— £(х2)| = Ф(0^
М | Хі — х21.	(2)
X,
З умов } Я їа, Ь], Ф Є 7? [а, і>] випливає, що Лр € 7? Іа, Ь1,
внаслідок чого існує
ь
Іітп 5?(/фДр)= С/(х)ф(х)гіх.
ІІРЦ-.0	}
(3)
360
Утворимо ДЛЯ ДОВІЛЬНОГО розбиття Р = інтегральну суму
Стілтьєса функції / відносно функції §. Вона має вигляд
♦
п—1
(/, §, ІР) = £ / Щ (х4+і - хй),	(4)
6=0
ДЄ
тк < Нк < мк, ”4 = іпї ф (х), Мк = зир ф (х),
хЄІх^х^]	х$[хк,хь+ії
— множина проміжних точок (див. п. 11.3). Дійсно, оскільки
V х £ [х*, ха+і] виконуються нерівності пц ф (х) Мкі то
*б-р
тк (хк+і — хк) С ( ф(х)йх<Ма(ха+і — хк\
Хк
*й+1
На =-------!---- С ф (х) йх.
х*+і~ха 4
Суму 5р(Д §, £р) запишемо у вигляді
п—1
(Л §, Ір) = £ / (5а) ф (5а) (•»*+« — хА) + уп = 8р (Др, 5р) + уп,
6=0
(5)
де Зр (/ф, 5р) — інтегральна сума Рімана для функції Др,
П—Л
Тп = 2 (На — Ф (Ва)) / (іа) (ха+і — Хк).
Оцінимо уп. З умови / Є Р їа, Ь] випливає, що | / (х) | V х С
£ [а. 6], де Мі > 0 — деяка стала. Оскільки |	— ф (£й) | со^,
де со* — коливання функції ф на сегменті [хь Хй+і], то вико-
нується оцінка
л—1
І Тп К у ®А (ХА+1 — хк).	(6)
6=0
З умови ф £ /? [а, Ь] випливає, що -> 0 при || Р || -> 0. Взявши
до уваги співвідношення (3) та Ііш уп = 0, дістанемо, що границя
црц-0
ь
правої частини рівності (5) існує і дорівнює С / (х) ф (х) (їх. За тео-
а
ремою 1, п. 11.3, / Є 8 (§) [а, Ь] і при цьому
ь	ь
У ї (х) (і§ (х) = у ? (х) ф (X) СІХ. ►
а	а
361
Наслідок. Якщо функція [а, Ь] ІК має обмежену похідну
і [ Р [а, 6], §' € Я Іа, 6], тої £ 8 (§) (а, &] і
ь	ь
У Нх)д§(х) = у /(*)§' (х)дх.	(7)
а	а
◄ Функцію § можна зобразити у вигляді
§ (X) = § (а) + у £ (і) ді, а < х < Ь. >
а
Теорема 2. Якщо функція [а, 6] К неперервна в точці
6 [а, Ь], а функція [а, Ь] П{ мав вигляд
|ал (с), якщо х<с,
а (с), якщо х = с,
ап(с), якщо х>с,
ал (с)< а (с)< ап (с),
то ї£8 (а) [а, Ь] і при цьому
ь
У / (х) гіа (х) = / (с) (ап (с) — ал (б?)).	(8)
а
4 Нехай Р = Р\а,Ь] — довільне розбиття, — множина проміжних
ТОЧОК. Якщо сЄ(Хкі Ха+і), то
5р (/, а Лр) = І (^) (осп (с) - ал (с)).	(9)
Якщо хь = то інтегральна сума Стілтьєса має вигляд
8р (І, а, = ї (ІА-і) (а ОО — ал (а)) + / (|к) (ап (с) — а (с)). (10)
З неперервності функції / у точці с випливає, що V є > 0 3 6 2> 0»
Ух6[а, Ь] (|х—с|<б)=>(|/(х) —/(с)|<е).	(11)
Покладемо І = / (с) (<хп (с) — ал (с)) і оцінимо | 8р ({, а, £Р) — 11
для будь-якого розбиття Р = Р[а.ь], яке задовольняє умову || Р || < б.
У випадку, коли інтегральна сума має вигляд (9), маємо
15Р (І, а, Ь) — /1 = 11 (іь) — ї(с) | (ап (с) — ал (с))<е (ап (с) — ал (с)).
(12)
Якщо 8р ([, а, %р) має вигляд (10), то також виконується оцінка
(12), оскільки
5Р (/, а Др) - 11 = [ (/ (^_0 - / (а)) (а (а) - ал (а)) + (/	-1 (а)) х
X (ап (а) - ая(с)) | <| / Д*_і) - І(с) | (а (а) - ал (с))+ | /	(с) | х
X (ап (с) — а (с)) < е (ап (с) — ал (с)).
Таким чином, існує
Ііт 8р(І, а, 5р) = 1.
ЦРІН0
За теоремою 1, п. 11.3, / £ 3 (а) Іа, д] і виконується рівність (8). >>
362
Наслідок. Нехай ? £ С [а, &], а = сг < с2 < • • * <
< ст — Ь і функція Іа, Ь] —П< є сталою на кожному інтервалі
(сі, с/+і) (/ = 1> т — !)• /С 5 (а) ІД» Ь] і виконується рів-
ність
Ь	т
У і (х) йа (X) = 2 / (с}) (ап (с>) — ал (с>)),	(13)
а	/=1
де ал(а) = а(а), ап(&) = а(Ь).
◄ Оскільки а має обмежену варіацію, то, застосувавши теорему 1,
п. 10.5, та теорему 5, п. 11.3, робимо висновок, що / £ 5 (а) [а, /?].
Нехай Р[а>£] — довільне розбиття. До кожного сегмента [хй, 1
(к = 0, п — 1) застосуємо теорему 2 і властивість 3), п. 11.4. Ді-
станемо формулу (13). ►
Теорема 3. Нехай } £С[а, Ь], функція [а, Ь] —К кусково-
неперервна, с0 = а <і с1 < • • • < ст = Ь — її точки розриву, а'
існує скрізь, за винятком скінченної множини точок, і а' £ К їй,
Ь]. Тоді / £ 5 (а) [а, &] і виконується рівність
Ь	Ь	т
У / (х) гіа(х) = у / (х) а' (х) йх + £ / (с>) (ап (с>) — ал (с,)), (14)
а	а	/=1
де ал (Сі) = а (а), ап (ст) = а (Ь).
◄ Визначимо функцію [а, Ь] К, покладаючи
’ а (х) + (а (с}) — ал (с7)), якщо с/_| < х <

а(сД	якщо х = Су,
, а (х) — (ап (с7) — а (с>)), якщо с3 < х •
Функція § неперервна і = а' в точках існування а'. Таким чи-
ном, а = § 4- ф, де
Ф(х) =
— (а(с;) —ал(^)), якщо
0,	якщо
с/_] <С. х <С С/,
X = С],
Су X
. «п (о) — а (с>)> якщо
Згідно з наслідками з теорем 1 та 2 і властивістю 5) з теореми 1,
п. 11.4, / £ 5 (£ + ф) [а, &] і при цьому
ь	ь	ь	ь
У і (х) йа. (х) = ( [ (х) <1% (х) + у / (х) ^ф (х) — [Нх) <х' (я)
а	а	а	а
т
4“	/ (^?) (ап (в]) ал (С}))- ►
/=1
За аналогією з впровадженим раніше поняттям стрибка функ-
ції будемо називати різниці ап (с/) — ал (с/) стрибками функції а
в точках с/.
Розгля немо пр и кл ади.
363
Приклад І. Довести, що
о
де [х] — ціла частина х.
Інтегруюча функція £ (х) — [х] — х, £>£ = [0, 3], є різницею неспадної функ-
ції х [х] та зростаючої хь+ х. Згідно з означенням інтеграла Стілтьєса відносно
функції обмеженої варіації (див. п. 11.5), маємо
з	зз
У хд. ([х] — х) = у хсі [х] — У Х(ІХ,
V	0	0
Функція х (-► [х] кусково-неперервна, а її стрибки в точках хг = 1, х2 = 2, х8 = З
дорівнюють 1. Згідно з формулою (ІЗ), маємо
з
С
Оскільки І хіїх = “2"
0
0
х=3
я=0
9
—- , то
о
2
Приклад 2. Обчислити хсіа (х), де
—2
а (х) =
якщо — 1 < х < 0,
якщо 0 х 2.
Застосувавши формулу (14), дістанемо
2	—12
17
6
—2	—2	0
Приклад 3. Нехай на сегменті [а, Ь] осі Ох знаходиться дискретно й неперерв-
но розподілена речовина. Знайти статичний момент усієї маси, яка знаходиться
на сегменті [а, Ь] відносно початку координат.
Нехай т (х) — маса, яка знаходиться на сегменті [а, х] сі [а, 6], причому
т (а) = 0. Тоді [а, Ь] К — неспадна функція. Розглянемо сегмент [х&,
довільного розбиття Р = Р[аьу На нього припадає маса т (х^) — т (х^) =
= Д/п&. Вважаючи її зосередженою у точці € [х&, хй_|_|], Дістаємо для статично-
моменту М наближене значення
го
п—1
де
V» ьр) —
/ (х) = х V х Є [а, д]. Оскільки функція / неперервна, то, згідно з властивістю
з теореми 5, п. 11.3, /6 5 (т) [а, 6] і виконується граничне співвідношення
ь	Ь
а
а
364
Таким чином,
ь
М = у х(іт (х)9
а
тобто статичний момент М задається інтегралом Стілтьєса.
Нехай р (х) — лінійна густина рівномірно розподіленої маси, а в точках
сі (] = 1, к) зосереджено маси т/. Функція т диференційовна в кожній точці х,
відмінній від с/, причому ггі (х) = р (х). У точках с/ стрибок функції т дорівнює
ті- Застосовуючи формулу (14), дістаємо
Ь	к
М = у Хр (х) (ІХ + у1, Ху/Пр
а	/=1
Перший доданок у правій частині рівності є статичним моментом неперервно
розподілених мас, а другий доданок — статичним моментом зосереджених мас. Ін-
теграл Стілтьєса дає змогу об’єднати в одній формулі різнорідні випадки неперерв-
но розподілених та зосереджених мас.
11.7. Теорема про середнє та оцінка інтеграла Стілтьєса.
Теорема 1 (про середнє). Нехай [ау Ь] К, т / (х)
М V х £ [а, Ь], [а, Ь] — -*	— монотонно зростаюча функція і
/ С 5 (ос) [а, Ь]. Тоді виконується рівність
ь
$ ^(х)сіа(х) = р(а(д)~ а (а)),	(1)
а
де /п р М.
◄ Згідно з властивістю 2) з теореми 1, п. 12.4, маємо
ь
т (а (&) — а (а))	/ (х) сіа (х) М (а (&) — а (а)).
а
Вважаючи, що а (х) =/= сопзі на [а, 6], покладемо
1 г
Ц = —7Н------ГТ \ / (X)	(*)•
а (о) — а (а) 3 ' ' '	' '
а
Тоді т р М і виконується рівність (1). >
Наслідок. Якщо в умовах теореми ї £ С [а, 6], то
ь
У / (х) 4а (х) = / (?) (а (&) - а (а)), 16 [а, &].	(2)
а
Теорема 2 (оцінка інтеграла Стілтьєса). Якщо [ £ С [а, Ь] і
[а, К — функція обмеженої варіації, то виконується оцінка
р(х)^(х)|<||/||Таь(^),	(3)
а
де Ц / Ц = тах | /(х) | — рівномірна норма функції
хС[а,£]
повна варіація функції § на [а, 6].
365
◄ Нехай Р = Р( а.Ь] — довільне розбиття. Тоді справджуються
оцінки
п—1	п—1
і5р(/,^Лр)і = |у	у	і/(^)іід^іс
6=0	6=0
«—1
< II / II У І § (ХН-1) - § (Хк) І < || ЛІ Уа (§)•
6=0
Згідно з властивістю 1) з теореми 5, п. 11.3, ї Є 5 (&) Іа, Ь] та існує
ь
Ііт 5Р(/, §, Ь) = [Цх)сі§(х).
ЦРІН0	0
Перейдемо до границі в нерівності | 8р ([, §, &>) |
II / II (&) ПРИ II ? II 0. Дістанемо оцінку (3). ►
11.8. Формула інтегрування частинами.
Теорема. Нехай Іа, Ь] К, Іа, Щ — функції обмеженої
варіації і ї С С [а, д]. Тоді [ £ 8 (§) [а, Ь], § £ 8 (/) [а, Ь] і викону-
ється рівність
ь	ь
\}(х)а§(х) = /(&) §(&) — /(а) §(а) — \§(х)ф(х),
а	І
яку називають формулою інтегрування части-
нами.
◄ За теоремою 3 та властивістю 2) з теореми 5, п. 11.3, / £ 5 (£) [а,
Ь] і при цьому
ь
С / (х)	(х) = Ііт 5р (/, Ір).
цріЬО
(2)
Нехай Р = Р\а,Ь] = {х^ | к = 0, п} — довільне розбиття, =
= {£й | к ® 1, п} — множина проміжних точок і а = х0
Хі	хл = Ь. Покладемо = а, £п+і = Ь і розгля-
немо розбиття Р = {£0,	..., £п+1}, для якого точки розбиття
Р[а>^ є проміжними. Позначимо множину проміжних точок роз-
биття Р через Х-р.
Розглянемо інтегральну суму Стілтьеса
п
8р(ї, §, £р) = У /(Вй)(^(хй)-^(хА->)).	(3)
к=\
Застосуємо перетворення Абеля, яким користуються в теорії ря-
дів (див. п. 5.2, розд. 3). Дістанемо
(/, Є, Бр) = / (Ь) § (Ь) - / (а) § (а) - у § (хл) (/ (5Й) - /=
= / (&) § (£) — /(«)£ («) —	(§, хр).	(4)
366
З нерівностей	2 || Р || (к = 1, и + 1) випливає,
що || Р || -> 0, якщо || Р || -> 0. Тому існує
ь
Ит 5а(§-, /, х-р) = \§(х) 4?(х).
ііріно	£
(5)
Беручи до уваги граничні співвідношення (2) і (5), після гра
ничного переходу в (4) при || Р || -> 0 дістаємо формулу (1). >
Вправи
Нехай / (х) = зіп х,
Ф (х) = х? — Зх + 5, 0 х .
Обчислити
я
2
У Цх)^(х).
я
2.	Нехай / (х) = х8, 0< х< 1, ф (х) = £, при —	?_<х^— і ер (0)=0,
п	п
1
к = 1, п. Обчислити у / (х) гіф (х).
о
5
3.	Нехай / (х) = х, (р (х) ® [х2], 0^ х 5. Обчислити § } (х) гіф (х).
о
4.	Нехай / (х) = ха, О^х^І, ф (х) = 0, якщо х£ 0,
[ 1 \	р1
а ф І-дГ І = і» Обчислити І / (х) гіф (х).
5.	Нехай / (х) = х2, 0 х
1
0. Обчислити У / (х) г/ф (х),
о
І, Ф М == 1, якщо х є (0, 1) і ф (0) = ф (1) =
6. Обчислити
з
Хб/ф (х), де
ф (х) =
0, ЯКЩО X = — 1,
1, якщо — 1 < х < 2,
ь — 1, якщо 2^х^3.
7, Обчислити
Хб/ф (х),
Х2б/ф (х),
2
У (х3 + 1) гіф (х), де
—2
якщо
ф(х) =
2, якщо — 1 < х < 0,
З, якщо 0 х 2,
367
8. Нехай / — функція обмеженої варіації на сегменті [0, 2л] і / (2л) = / (0),
Довести, що кожний з інтегралів
2л	2л
/ (х) соз пхсіх, § І (х) зіп пхйх
о	о
не перевищує за абсолютною величиною числа —	(/).
1
9. Обчислити І хс?ф (х), де ер (х) = х2 з§п (зіп 4лх).
о .....	ВЕКТОРНІ ТА
МЕТРИЧНІ ПРОСТОРИ.
: V, !: функції векторного
• V: АРГУМЕНТУ. ДЕЯКІ
Розділ :	: ПИТАННЯ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ
комплексної змінної
Простір, в якому ми живемо, є чотиривимірним. Четверта ко-
ордината характеризує час. Чи не можна, розуміючи його точки
як вектори, навчитися їх перемножати і перетворювати в нові
числа, так звані кватерніони? У. Р. Гамільтон (1805—1865) при-
святив останні 22 роки свого життя розв’язанню цієї проблеми.
Як і у випадку комплексних чисел, природно розглянути чо-
тири вектори
1=(1,0, 0, 0), і = (0, 1,0,0), 7 = (0, 0,1,0), Л = (0,0, 0,1)
(1)
і відшукати справедливі формули для обчислення всіляких їх
добутків. Ці формули мають вигляд: і2 = /2 = к2 = —1, і] =
— —/і = к, ]к = —к] = і, кі = —ік = /. їх можна замінити
такими: і2 = ]2 — к2 = —1, і;к = —1. Труднощі, пов’язані з
відшуканням вказаних формул, полягають у відсутності власти-
вості комутативності добутку. Таким чином, простір К4 можна
вважати схожим на простір чисел, але з множенням точок без
властивості комутативності. Аналогічну процедуру, але вже з втра-
тою і властивості асоціативності множення, можна проробити
з простором К8. Інші простори (/п =/= 1, 2, 4, 8) зробити схо-
жими на простір чисел неможливо. Тому доводиться розглядати
простори ПС та (С™ з більш загальної точки зору векторних (лі-
нійних) просторів, на якій зосереджуємо увагу читача.
§ 1. Векторний простір над полем (К.
Нормований простір.
Скалярний добуток та нерівність Шварца
1.1. Аксіоми векторного простору. Нехай К = К. або К = (Б
Векторним (лінійним) простором над полем (К називається упоряд-
кована трійка (£, +, •), яка складається з множини £, елементи
якої називаються векторами, операції додавання та операції мно-
ження на елементи (числа) поля Ж.
Вказані операції повинні мати такі властивості, які назива-
ються аксіомами векторного простору:
У(х£Е, у^Е, г£Е, Х^(К, р^ІК)
369
1) X + У = У + х; 2) (х + у) + 2 = X + {у + г);
3)30^£:х + 0 = х; 4) 3 (—х) £ Е : х + (—х) — 0;
5) X (х 4~ У) = Хх + Хг/, (X + ц) х = Хх + цх;
6) (Хц) х = X (цх); 7) 1 • х = х.
Маючи на меті спрощення записів, замість трійки (Е, +, •)
користуються векторним простором Е, вважаючи його дійсним,
якщо Ж = П< і комплексним, ЯКЩО Ж = (£.
У довільному векторному просторі Е виконуються такі власти-
вості: V (х £ Е, X £ Ж)
1)	X • 0 = 0; 2) 0 • х = 0; 3) (— 1) х = —х.
Дійсно, з аксіоми 5) при р = 0 маємо Хх = Хх + 0 • х, звідки
0 • х = 0. З тієї самої аксіоми при р = —X дістаємо
(X + (— X))х = Хх + (— X) х => 0*х = Хх + (— X) х => Хх + (—Хх) =
= 0 — Хх = (— X) х.
Покладемо в останній рівності X = 1. Дістанемо властивість 3).
У першій рівності аксіоми 5) покладемо у = —х, де —х —
протилежний елемент для х. Дістанемо
X (х + (— х)) = Хх + X (— х).
Застосуємо аксіоми 3) та 6). Маємо X • 0 = Хх — Хх, тобто X • 0 =
= 0.
Очевидно, що поле к є векторним простором над цим полем.
Іншим важливим прикладом є векторний простір Е = Ц™, дєііС —
множина будь-яких упорядкованих систем пг дійсних чисел хр
х2, •••» хт> кожне з яких може приймати довільне значення (див.
п. 1.5, розд. 1).
Поклздемо V (х £ у Є К™, X £ Ж)
Хх — Х(Хр х2, ..., хт) — (Хх1? Хх2, ..., Ххт).
(1)
(2)
Для впровзджених рівностями (1), (2) операцій додавання та
множення на елементи поля Ж виконуються аксіоми векторного
простору 1) — 7). Нульовим елементом простору є вектор 0 =
= (0, 0, ..., 0), а протилежним до вектора х = (хь х2, ..., хп1) є
вектор —х = (—х1т —х2, ..., —хт). Домовимося надалі вектори
х £ ІК™ називати також точками простору К™.
Багато класів послідовностей разом з операціями додавання
й множення на числа стають векторними просторами. Найбільш
важливі з них будемо позначати так:
1)в — простір усіх послідовностей;
2)	с — простір збіжних послідовностей;
3)	с0 — простір нескінченно малих послідовностей:
4)	т — простір обмежених послідовностей;
5)	І (И) — простір сумовних послідовностей;
370
6)	V— простір послідовностей з обмеженою зміною;
7)	Ір ([^) — простір таких послідовностей (хЛ), що У | хп Ір <
< + ОО, р > 1.
Кожен з указаних просторів можна вважати як дійсним, так і
комплексним. У випадку потреби їх можна позначати, додаючи
символи К. або (£, наприклад 5|К,
Для основних просторів функцій вигляду X —К або X (£
вживатимемо позначення:
1)	М — простір обмежених функцій;
2)	С — простір неперервних функцій;
3)	Сп — простір функцій з неперервною п-похідною;
4)	С°° — простір нескінченно диференційовних функцій;
5)	О — простір нескінченно диференційовних функцій, які
набувають нульових значень поза деяким компактом
в X (свого для кожної функції).
1.2. Нормований простір.
Означення 1. Нехай (£*,+, •) — векторний простір над полем
(ІК — К або К = (0). Відображення | • || : Е -> П< називається
нормою (довжиною) у просторі (Е, +, •), якщо V (х С Е,
у £ Е, X £ (К) виконуються такі умови (аксіоми):
1) х Ц = 0 => х = 0; 2) |1 Хх || = | Л | Ц х ||;
3)	х + У II II * II + || У || (нерівність трикутника).
Значення норми на векторі х £ Е називається нормою цього
вектора.
Означення 2. Упорядкований набір (Е, +, ••, || • ||) називається
нормованим простором.
З метою скорочення запису звичайно вживають Е замість набору
(£, +, •, (І • |).
З аксіом 2), 3) випливає, що || 0 || == 0, || х |(	0 х^Е.
Дійсно, першу властивість дістанемо з аксіоми 2) при % = 0, дру-
гу — з аксіоми 3) при у = —х.
Означення 3. Вектор х називається границею послі-
довності векторів (хп), якщо Ц хп — х || = о (1).
Якщо х — границя послідовності векторів (хп), то будемо за-
писувати Ііт хп = х.
Теорема 1 (про неперервність норми). Якщо послідовність (хп)
векторів нормованого простору Е збігається до вектора х, то
II хп II -> II X ||.
◄ Справедливість твердження випливає з нерівностей
— II хп — х II II хп || — || х ІК II хп — х II \/п Є и,
які є наслідком нерівності трикутника. ►
У векторному просторі ПС кожне з відображень || • || :	К
Де	______
/~ т
|| х Ц = |/ V х2. (евклідова норма),	(1)
/=і
371
т
І! *|| = ^ |*7І (октаедрична норма),	(2)
Ц х || = тах | х;| (кубічна норма),	(3)
задовольняє аксіоми норми.
Дійсно, умови || х || = 0 => х = 0 та || Хх|| = |Х| || х|| виконують-
ся У(х£Кт. А.^0<), де К =: Ж або К = Перевіримо виконання
аксіом трикутника. Нехай х^К™,	— довільні вектори.
Якщо Ц х || =
І/^т0 оцінка
/=і
Г т	Г т	Г т
у 5 <*> +]/ 2х/ +1/ 5 у}
]=\	7=1	/=1
еквівалентна нерівності Коші — Буняковського
т	Г т / т
£*/]/ 54
7=1	/=]	/=1
доведеній в п. 5.5, розд. 7.
т	т	т	т
Якщо ||х||=£|хЛ то +	£ |Х,| + £ ІМ бо
;=1	/=1	/=1	,=|
1*7 + У] К І Х} | + | У і |.
Якщо Ц х || = шах |х;|, то оцінка шах | х, + у} | гпах |х7 | +
1^7^/п	1^/^дп
+ тах 1| випливає з нерівності 1*7 + І*?І + І#7І^
1^/^т
тах | х,- | 4- тах |	| та властивості верхньої межі.
1^/^/п
Означення 4. Нехай Е — векторний простір над полем (К (К =
= П< або К = (С) і в & двома способами впроваджено норми
II • Ці» II * |І2- Вони називаються еквівалентними, якщо
існують такі числа сг > 0, с2 > 0, що V х Є Е виконуються не-
рівності
З нерівностей
^1 II * 111 II * 1І2 ^2 II * Ні-
(4)
тах |хД
«/і
/=1
т
(5)
випливає, що норми, впроваджені рівностями (1) — (3), еквіва-
лентні. Тому збіжність в просторі послідовності точок за будь-
якою з цих норм тягне за собою збіжність за двома іншими нормами.
Нехай (хп) послідовність точок простору Кт, де хп = (хи,
*2п, ...» Хтп), X = (Хь Х2, Хт) 6 ПГ. ДЛЯ буДЬ-ЯКОЇ 3 НОрМ (1) —
372
(3) виконуються нерівності
тах |хіп — х,|СЦ хп — х||<т тах | хіп — х}|,
З ЯКИХ випливає, ЩО Хп -> X ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ Х/м X/ (/ =
== 1, т), тобто збіжність у просторі еквівалентна покоординат-
ній збіжності.
1.3. Скалярний добуток. Нерівність Шварца. Скалярний добуток
векторів на площині відомий читачам з шкільного курсу математи-
ки. У загальному випадку він визначається вказівкою його ос-
новних властивостей.
Означення. Функція ) 2 Е2 -> К, де (Е, +, •) —векторний
простір над полем (К (К = К або (К == (С), називається ска-
лярним добутком, якщо V (х Е Е, у Е Е, г Е Е, К Е К)
виконуються такі умови (аксіоми):
1) (х, х) 0 Д (х, х) = 0 => х = 0;
2) (х, у) = (у, х); 3) (Кх, у) = X (х, У)',
4)	(х + у, г) = (х, г) + (у, г).
Властивість (х, х) 0 дає змогу визначити норму (довжину)
вектора у просторі з скалярним добутком за відомою формулою
обчислення довжин векторів на площині
Ц X || = У(х, х).	(1)
Іноді замість || х || записують | х |, підкреслюючи тим самим ана-
логію між поняттями норми абстрактного вектора й модуля числа
(довжини вектора на площині £ або К2).
Для доведення основних властивостей норми вектора (1) ко-
рисною є нерівність Шварца, яка узагальнює нерівність Коші —
Буняковського.
Теорема 1 (Шварца). Нехай х Е Е, у Е Е. Тоді виконується
нерівність Шварца
І(*,//)І<ІИІІІ//І|.	(2)
◄ Нехай II XII = 1, II у II = 1, <Р € Аґ£ (х, у). Тоді
І (х, у) | = є-'4’ (х, у) = є-1* (х, у) = е1* (у, х).
Оскільки Ц х — еІЧ>у У® = (х — еі9у, х — еІ9у} — 1 — | (х, у) | — | (х,
У) І + 1 >0, то |(х, у)|< 1.
Якщо х = 0 або у = 0, то нерівність (2) перетворюється в рів-
ність. Нехай х Ф 0 і у 0. Тоді виконується оцінка
К*, //>1 = ІИІII//II
41*11 ’ ІІИ'
СІИІШ- ►
Теорема 2. У довільному векторному просторі (Е, +, •) з ска-
лярним добутком виконуються умови:
1) х || = 0 => х = 0; 2) Ц Хх Ц = | X 11| х ||;
3) х + у Ц Ц х Ц 4- Ц у Ц (нерівність трикутника).
◄ Твердження 1) та 2) очевидні. Доведемо твердження 3). Оскіль-
ки II X + у II2 = (х + у, X + у) = <х, х) + (х, у) + (у, х) +
у) + {х, у} + II у II2 = || XII2 + 2Ке (х,
373
у} + II У II2 І х II2 + 2 | (х, у) | + || у І2, то, згідно з нерівністю
Шварца, (І х + у ||2	(|| х || + || у |)2.
Таким чином, векторний простір Е з скалярним добутком є нор-
мованим з нормою, визначеною рівністю 1).
Теорема З (про неперервність скалярного добутку). Нехай
Е — нормований простір з скалярним добутком. Якщо хп х,
Уп У,	(хп, уп) -> (х, у).
◄ Внаслідок нерівності Шварца і теореми 1, п. 1.2, маємо
I */) Уп) I = I Хп> у) У Уп) I II Х Хп || X
х \\у II + ШпIIII*/ — УпII = о(і),
що рівносильно твердженню теореми. >
1.4.	Критерії повноти нормованого простору. Нехай Е — нор-
мований простір. Впровадимо поняття, розглянуті раніше для
числових і функціональних послідовностей.
Означення 1. Послідовність (хп) векторів простору Е назива-
ється фундаментальною, якщо
Уе > 0 Зпе Є И : V (п > пе, р 6 И) II хп±р — хп || < є.
Означення 2. Ряд 2хп, де хп£Е ¥п£ називається з б і ж -
п
ним, якщо існує Ііш V хк.
Означення 3. Ряд £хп, де хп£Е	називається абсо-
лютно {нормально) збіжним, якщо || хп || < 4- 00 •
Означення 4. Послідовність (хп) векторів простору Е має об-
межену зміну, якщо
£ ||хп — Хп-і||<+ оо (хо = О).
"ЄК
Означення 5. Вектор х С Е називається частковою гра-
ницею послідовності (хп) векторів простору Е, якщо
існує послідовність (хп*), збіжна до х, тобто існує така числова
послідовність (пй) що
пк / + оо і Ііш хПк = х.
Означення 6. Простір Е називається повним, якщо кожна
фундаментальна послідовність його векторів має границю в Е.
Усякий повний нормований простір називається банаховим,
або простором Б а н а х а.
Теорема 1. Кожна збіжна послідовність (хп) векторів довіль-
ного нормованого простору Е є фундаментальною.
◄	Нехай є > 0, хп -+ х. Виберемо таке пе Е М, щоб V п^ пв
II хп — х Ц < Тоді V (п > пе, р £ И) маємо
Хп-\-р X п
374
Теорема 2 (критерії повноти нормованого простору). У будь-
якому нормованому просторі Е такі властивості попарно рівно-
сильні: 1) кожна фундаментальна послідовність векторів має
границю; 2) кожний нормально (абсолютно) збіжний ряд векторів
збігається; 3) будь-яка послідовність векторів з обмеженою змі-
ною має границю; 4) кожна фундаментальна послідовність має
часткову границю.
◄	Проведемо доведення за схемою 1) => 2) => 3) => 4) => 1). Не-
хай виконується властивість 1) і
5п = £хА УпбМ-	(1)
А*=1
Для всіх і РбМ маємо
II 5п Ц = хк || II ||.	(2)
/г=п4-1
З нерівності (2) і критерію Коші для числового ряду випливає
фундаментальність послідовності векторів (5П). Згідно з власти-
вістю 1), вона збігається, тобто виконується'властивість 2). Нехай
виконується властивість 2) і послідовність векторів (хп) має об-
межену зміну. Тоді
2 II Хп — Хп—1 II < + оо (Хо = 0),
«ЄН
Згідно з властивістю 2), збігається ряд 2 (хп — %п-і), що рівно-
сильно збіжності послідовності (хп), тобто виконується властивість
3). Нехай виконується властивість 3) і послідовність векторів (хл)
фундаментальна. Виберемо таку послідовність номерів (пД щоб
V к £ виконувалися нерівності
Тоді
&
Пй-І-І > пк.
і послідовність (хПк) має обмежену зміну. Внаслідок умови 3) вона
має границю, тобто виконується властивість 4). Нехай виконано
властивість 4) і послідовність векторів (хп) фундаментальна. За
властивістю 4) вона має часткову границю, яку позначимо через х.
Нехай є > 0, пк + оо і хПк -> х. З означення фундаментальної
послідовності маємо, що хк — х 0. Тому хк = (хк — хПк) 4
4- хПь х, тобто виконується властивість 1). >
1.5. Повнота простору
Теорема. Для того щоб послідовність (хп) елементів нормованого
простору П<т була фундаментальною, необхідно й достатньо, щоб
375
кожна з відповідних послідовностей координат (х}п), і = 1, т, була
фундаментальною.
◄ Необхідність. Нехай послідовність (хп) фундаментальна, 3 не-
рівностей
| хіп+р — х)п КII хп+р — хп її (і = 1, т)
випливає, що послідовності (х/п), / = 1, т, фундаментальні.
Достатність. Нехай кожна послідовність (Х;П), /= 1,т, фун-
даментальна. Тоді V (е > 0, / = 1, т) 3 Пе} 6 №
V (п > п^\ р 6 М) І %/п+р —	|
Якщо = тах{п^, п^т)}, дЄИ, то
II Хп4-р Хп Ц <	| Х/П_|_р Х;п | < Є,
тобто послідовність (хп) фундаментальна. ►
Наслідок. Нормований простір повний.
◄ Якщо (хп) — фундаментальна послідовність, то послідовності
координат (х/п), ] = 1, т, також фундаментальні. За критерієм
Коші для числових послідовностей вони збіжні. Нехай Ііт Х}П =
= х/о> / = 1» пг. Введемо позначення х0 = (х10, х20, ...» хто)- Ос-
кільки збіжність послідовності точок простору К™ еквівалентна
покоординатній збіжності (див. п. 1.2), то хп х0. Отже, будь-
яка фундаментальна послідовність точок простору К™ збіжна,
тобто він банахів. ►
1.6. Векторний простір матриць. Нехай 9Л = {Л, В, С, ...} —
множина, елементами якої є матриці розміру т X п, тобто таблиці,
складені з т рядків і п стовпців, які мають вигляд
а12 ... а1п \
а21	«22 • • • «2П | =
®ті ®т2 • • • ^тп /
де аі; — дійсні числа.
Множину 9Я матриць А = (а^) розміру т X п можна ототож-
нити з простором векторів х = (ап, ..., аіп, ...» аті, атп)
над полем (К за допомогою взаємно однозначної відповідності*
** (^115 •••»	^ті» •••> ^тп)'
Тому простір 0И ізоморфний простору ПГ" відносно операцій
додавання елементів з 9Л і множення на скаляри поля К. Тоді
якщо А = (аі}\ В = (Ьі}), 1 6 К, то
Л + В =	ХЛ =	(1)
376
Отже, трійка (9Л, + , •) е векторним простором над полем [£.
Цей простір стає нормованим, якщо норму в ньому впровадити будь*
якою з рівностей:
Г т п
м-у^,	<2>
і=\ /=1
|| А || = тах
т
(=1
(3)
І| А II = тах У |ао|.	(4)
Усі ці норми еквівалентні (див. п. 1.2), а нормований простір
(9ЇЇ, -І-, •, | • ||) є повним.
Означення. Добутком матрицьА— (аі/) розміру
т х п і В = (Ьц) розміру п X р називається матриця С, елементи
якої сіз визначаються різностями
п
сіз = У аиьі» (і = 1. з = 1, р).	(5)
/=1
Добуток матриць визначений лише для випадку, коли кіль-
кість стовпців множеного дорівнює кількості рядків множника.
Отже, згідно з означенням, маємо
п	п
а1$11 ••• 2
/=1	/=1
п	п
у1, атп$іі Ят^ІР
/=1	/=1
Матриці розміру п X п називаються квадратними матрицями.
Якщо в множину ЗД входять лише квадратні матриці одного розмі*
ру, то добуток визначений для будь-яких двох елементів множи-
ни 9Л.
Зауважимо, що добуток матриць не комутативний. Однак до-
буток квадратних матриць має властивість асоціативності: для
будь-яких квадратних матриць Д, В та С одного розміру викону-
ється рівність
(ЛВ)С« А(ВС).	(6)
Крім того, добуток квадратних матриць дистрибутивний від-
носно операції додавання:
(А +В)С = АС + ВС.	(7)
С(А 4-В) = СД + СВ-	(8)
Як і у нормованому просторі К™, у просторі (9Л, +, •, || ♦ ||)
розглядають послідовності матриць (Дп), де Ап = (а$). Матриця
377
А — (аі/) називається границею послідовності матриць (Лп), якщо
Ц Ап — А Ц = о (1). Очевидно, що Ап -> А тоді і тільки тоді,
колиа(// -> аі]. Якщо елементи матриці — числові функції, то таку
матрицю назвемо функціональною. Пропонуємо читачам самостійно
дати означення неперервної та рівномірно неперервної функціональ-
них матриць.
§ 2.	Метричні простори
Метричні простори, які утворюють одну з різновидностей то-
пологічних просторів, уперше були виділені в 1906 р. М. Фреше
(1878—1973) у зв’язку з вивченням функціональних просторів.
 Однією з фундаментальних характеристик взаємного розміщен-
ня точок множини є відстань між ними. Впровадження метрики
(відстані) дає змогу виражати у простій і доступній формі, на мові
геометрії, результати математичного аналізу. Істотним у теорії мет-
ричних просторів є те, що відстань, яка визначає метричний прос-
тір, відіграє допоміжну роль, і, не порушуючи явищ, які вивча-
ються, її можна заміняти «еквівалентними відстанями». Найбільш
важливими поняттями в теорії метричних просторів є повнота,
компактність та зв'язність.
2.1.	Аксіоми метрики. Границя послідовності точок метричного
простору.
Означення 1. Нехай X— довільна множина. Відображення
X2 — - П< називається метрикою, якщо V (х £ X, у £ X, г £ X)
виконуються такі умови (аксіоми):
1)	Р (*, У) = 0 => х = у\
2)	р (х, у) = р (у, х) (аксіома симетрії);
3)	р (х, у) р (х, г) + р (г, у) (нерівність трикутника).
Упорядкована пара (X, р) називається метричним простором.
Елементи множини X називатимемо точками метричного прос-
тору.
Кожний нормований векторний простір Е перетворюється в мет-
ричний, якщо в ньому V (х £ Е, у £ Е) метрика визначається
рівністю
р(х, У) = II х — //||.	(1)
Перевірка аксіом метрики 1) — 3) не викликає труднощів.
Дійсно, з властивостей норми V (х £ £, у £ £, г £ Е) випливає:
1)	Р (*. У) = II * — У II >	причому р (х, у) = 0 => х = у;
2)	р (х, у) = Ц х — у Ц = Ц (— 1) {у — х) Ц = | — 1 | Ц у — х || =
= II у — X || = р (у, х);
3)	Р (х,	у) = || х — у Ц = Ц х — г + г — у ||< || х — г|| +
+ II 2 — у II = р (х, г) + р (2, у).
Оскільки векторні простори з скалярним добутком є нормовани-
ми, то їх можна вважати метричними з метрикою, визначуваною
формулою (1).
378
З умови 3) за індукцією випливає, що V (х, Е І ~ 1»
п > 2) виконується нерівність
р(Хр хп)< р (хх, х2) + р (х2, х3) 4-... + р(х„-і, хп). (2)
Якщо р— відстань в X, то V (х 6 X, у £ X, г £ X) викону-
ється оцінка
|р(х, г) — р(у, г)|<р(х, у).	(3)
Дійсно, з 2) та 3) маємо р (х, г) р (у, г) 4- р (х, у) і р {у, г)
С Р (У, х) 4- р (х, г) = р (х, у) 4- Р (х, г), звідки
— Р (х, у) < р (х, г) — р (у, г) С р (х, у).
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Функція р (х, у) = | х— у | V (х € К, </€^) є відстанню
в множині К, а метричний простір (0?, р) називається дійсною прямою.
Приклад 2. У нормованому векторному просторі' функція ІК2'п_£ї.»ІК,
де р (х, у) = Ц х— у || V (х£ Кт, у£ (Рпг), задовольняє аксіоми метрики, а
простір (К'п, р) є метричним.
Приклад 3. Нехай А — довільна множина, £ — множина обмежених відо-
бражень Л -> К. Тоді V (/ £ Е, £ Є Е) (/ — £) Е Е і визначено число р (/, £) =
= зир | [ (х) — § (х) |. Відображення (/, §) -> р (/, £) є відстанню в Е. Вико-
х£А
нання аксіом 1) — 3) очевидне.
Приклад 4. Нехай Е — довільна множина. Покладемо V (х 6 Е, у £ Е)
(1, якщо х^ у,
Р (*» У) = { Л
(0, якщо х = у.
Аксіоми 1), 2) виконуються. Аксіома 3) очевидна, якщо два з трьох елементів х £
Є Е, у б Е, 2 £ Е рівні між собою. Якщо це не так, то р (х, г) = 1, р (х, у) + р (//,
г) = 2, тобто аксіома 3) виконується. Метричний простір (Е, р) називається дис-
кретним.
Означення 2. Нехай (X, р) — метричний простір, х £ X, хп £
С X V п 6 М- Точка х називається границею послідов-
ності (хп), якщо р (хп, х) = о (1). У цьому випадку записуємо
х — Ііт хп.
Послідовність точок метричного простору, яка має границю,
називається збіжною.
Означення 3. Послідовність (хп) точок метричного простору
(X, р) називається фундаментальною, якщо
V е > 0 Зпе 6 И : V (п > гге, р 6 И) Р (хп+р> хп) < 8.	(4)
Теорема. Якщо послідовність (хп) точок метричного простору
(X, р) збігається, то вона фундаментальна.
◄ Нехай х = Ііт хп, х £ X. Тоді
п->оо
V 8 >0 3 пе £ И: V п> пе р (хп, х) < у.
Отже, V (га /іе, р С (Ю виконується нерівність р (хп+Р, х) <
379
і з нерівності трикутника 3) та аксіоми 2) дістаємо оцінку
р(х„+р, хп) С р (хп+р, X) + р (х, хп) = р (хп+р, х) + р (хп, х) < в. >
Означення 4. Метричний простір (X, р) називається пов-
ним, якщо кожна фундаментальна послідовність його точок збі-
гається в ньому.
Дійсна пряма (див. приклад 1) є повним метричним простором.
Нехай V (х £ (Ф, у 6 ©) р (х, у) = | х — у |. Метричний простір
((З, р) неповний, бо фундаментальна послідовність раціональних
О І 1 І	і 1 ЛГ	•	•
чисел хп — 2 +	— збігається до ірраціонального
числа е
2.2. Ізометрія. Нехай (X, р%) та (X', рх<) — метричні простори.
Означення. Бієктивне відображення X X' називається ізо-
метрією, якщо V (х $ X, у £ X) виконується рівність
Рх, (/(*),	= Рх	0)
Метричні простори (X, рх) та (X', рх>) ізометричні, якщо існує
ізометрія X на X'.
З означення ізометрії випливає, що обернене відображення
є ізометрією простору (X', рх') на (X, рх). Будь-яка теорема,
доведена в просторі (X, рх), в якій фігурують лише відстані між
точками з множини X, породжує відповідну теорему в кожному
ізометричному просторі (X', рхО відносно відстаней між образами
при відображенні X — -* X'.
Нехай (X, рх) — метричний простір, / — бієктивне відобра-
ження множини X на множину X', в якій не визначено метрику.
Визначаючи в множині X' метрику формулою (1), дістаємо ізо-
метрію X - X' і говоримо, що відстань рх' перенесена з X на X'
відображенням /.
2.3. Кулі, сфери, діаметр множини. У теорії метричних просто-
рів використовується мова класичної геометрії. Нехай (X, р) —
метричний простір, х0С X, б > 0.
Означення 1. Множина 0$ (х0) = {х £ X | р (х0, х) < 6} на-
зивається відкритою кулею радіуса б з центром у точці
х0 £ X, а також д-околом точки х0.
Означення 2. Множина Об (х0) = {х £ X | р (х0, х) 6} на-
зивається замкненою кулею радіуса б з центром у точці
х0 $ X.
Означення 3. Множина 5 (х0, б) = {х £ X | р (х0, х) — 5} на-
зивається сферою радіуса б з центром у точці х0 £ X.
У нормованому векторному просторі Е, метризованому за до-
помогою формули (1), п. 2.1, відкрита куля радіуса б з центром у точ-
ці х0 £ Е — це множина
Ое (х0) = {х££ 11| х — х01|<6}.	(1)
На дійсній прямій відкрита (відповідно замкнена) куля радіуса
б з центром у точці х0 € ік Є інтервалом (х0 — б, х0 + б) (відповідно
580
сегментом [х0 — б, х0 4- 61), а сфера того самого радіуса з центром
у точці х0 складається з двох точок: х0 — б, х0 + 6.
У дискретному просторі (X, р) (див. приклад 4, п. 2.1) множини
Ол (х0) та Об (х0) при б < 1 є точковими, а відповідна сфера порож-
ня. Якщо б > 1, то Оь (х0) = Об (х0) = а 5 (х0, б) = 0 при
б > 1 і 5 (х0, б) = X \ {хп} при 6=1.
Означення 4. Нехай (X, р) — метричний простір, А та В —
дві непорожні підмножина множини X. Додатне число
р(А,В)= іпї р(х, у)	(2)
х$А, у£В
називається відстанню від А до В.
Якщо множина А одноточкова, то замість р (Д, В) записують
р (х, В). Рівність (2) можна записати також у вигляді
рИ, В) = іпї р(х, В).	(3)
х$А
Якщо А П В #= 0, то р (Д, В) = 0, а з цієї рівності у загально-
му випадку не випливає, що А П В =Д 0. Нехай, наприклад,
А = й, В={хпЄ©|хп = п-----------/гЄ№\ {!}}. Тоді
ЛПВ = 0, р (Л, В) = іпї 1 = 0.
п п
Означення 5. Нехай (X, р) — метричний простір, А с: X —
непорожня множина. Діаметром множини А називається
число
й(А)= зир р(х,і/).	(4)
и£А
З означення випливає, що діаметр непорожньої множини може
бути додатним дійсним числом або 4-оо. Якщо А сз В, то (Я)
(і (В). Рівність сі (Д) = 0 виконується тоді і тільки тоді, коли
А — одноточкова множина.
Означення 6. Нехай (X, р) — метричний простір, А аХ —
непорожня множина. Якщо діаметр множини А скінченний, то
вона називається обмеженою.
Теорема 1. Об’єднання двох обмежених множин А та В є обме-
женою множиною,
◄ Якщо а £ А, Ь £ В і х, у — будь-які точки множини А 0 В,
то або х С Д Д У € А і тоді р (х, у) сі (Д), або х £ В, у £ В і тоді
Р (*, У) (В), або, наприклад, х £ Д, У £ В і тоді внаслідок не-
рівності трикутника дістанемо нерівність р (х, у) р (х, а) +
+ р (а, Ь) + р (Ь, у), тому
сі(А І) В)<р(а, Ь) + сІ(А) + <і(В).
Оскільки а та & — довільні точки, то р (а, Ь) р (Д, В) і
<ЦА и В)<р(Д,В) + гі(Д)+гі(В). ►
Наслідок. Якщо множина А обмежена, то V х0 £ X мно-
жина А міститься у замкненій кулі з центром у точці х0 і радіусом
Г = р (х0, А) ч- й (Д).
381
Теорема 2, Нехай (X, р) — метричний простір, /І с X —
непорожня множина і х X, у £ X. Тоді
|р(х, А) — р(у, А) Кр(х, у).	(5)
◄ Для кожної точки г 6 А та V (х £ X, у £ X) маємо р (х, г)
< Р (х, у) + р (у, г), тому
р (х, Л) = іпї р (х, г) < іпї (р (х, у) + р (у, г)) =
г£Л
= р(х,4/)+ іпї р (у, г) = р (X, у) 4- р (у, А).
г$А
Аналогічно дістаємо нерівність р (у, А) р (х, у) + р (х, Л). к
2.4.	Відкриті множини.
Означення 1. Відкритою множиною в метричному
просторі (X, р) називається підмножина 0 сі X, яка має власти-
вість: V х £ 0 існує таке б > 0, що Ое (х) сз О.
З означення випливає, що порожня множина відкрита. Уся
множина X також відкрита.
Теорема 1. Будь-яка відкрита куля в відкритою множиною.
4 Нехай (X, р) — метричний простір. Якщо х £ (х0) сс X,
то р (х0, х) < 6 і бг = 6 — р (х0, х) > 0. Тоді р (х, у) < бь якщо
У Є Об, (х). Оцінимо відстань р (х0, у). Згідно з нерівністю три-
кутника, маємо
Р (-Хо, {/)<Р (*о> х) + р (х, у) < р(х0, х) +	= 6.
Отже, виконується включення 0^ (х) сг Об (х0), тобто точка х
ВХОДИТЬ В множину Об (х0) з деяким околом. )►
Теорема 2. Об'єднання будь-якої сім'ї (Оц)ц^д відкритих
множин є відкритою множиною.
4 Якщо х £ О\ для деякого X £ А, то існує таке б > 0, що Об (х) с:
с & с 0 О(Х.
На дійсній прямій будь-який інтервал (а, 4-оо) відкритий як
об’єднання відкритих множин (а, х) для всіх х > а.
Теорема 3. Перетин скінченної сім'ї відкритих множин в
відкр итою м ножиною.
Ч Досить розглянути випадок двох відкритих множин О± та 62,
а потім провести індукцію.
Якщо х £ 6І П 62, то існують такі бх > 0 і б2 > 0, що Об, (х) с:
с= ох, Об, (х) СІ О2 і Об (х) сі Ох П О2, де б = ҐПІП {бп б2}. ►
Перетин нескінченної сім’ї відкритих множин, взагалі кажу-
чи, не є відкритою множиною. Наприклад, перетин інтервалів
(---V п £ И на дійсній прямій є одноточковою множиною
{0}, яка вважається замкненою.
У дискретному метричному просторі будь-яка множина відкри-
та. Твердження випливає з того, що одноточкову множину {х} — X
можна зобразити у вигляді {х} = О\ (х) і застосувати теорему 2.
"Т
Нехай (X, р) — метричний простір, А сс X — непорожня мно-
жина.
382
Означення 2. Відкритим околом множини А
називається будь-яка відкрита множина, яка містить А, а око-
лом множини А — будь-яка множина, яка містить відкритий
окіл А.
У випадку, коли А = {х}, ведуть мову про околи точки х (а не
множини {х}).
Теорема 4. Для будь-якої непорожньої множини А с: X і будь-
якого г > 0 множина У г (4) = {х £ X | р (х, А) <г} є відкритим
околом А.
◄ Якщо р (х, 4) < г і р (х, у) < г — р (х, 4), то, згідно з нерів-
ністю 5, п. 2.3, дістаємо, що р (г/, А) < р (х, А) + г — р (х, 4) =
= г, тобто СМ (х) с: (4), де 6 = г — р (х, 4). Тому множина
Уг (4) відкрита і, очевидно, містить 4. У випадку, коли 4 = {а},
множина Уг (4) є відкритою кулею 0г (а), ►
Означення 3. Сім'я	околів множини А сг X, назива-
ється її фундаментальною системою, якщо будь-
який окіл А містить хоча б одну з множин Е^.
Для довільного 4 с X множини Уг (4) (г > 0), взагалі
кажучи, не утворюють фундаментальну систему околів множини
4. Сім’я відкритих куль (О і (х0))пем утворює фундаментальну
п
систему околів точки х0.
Теорема 5. Перетин скінченної сім'ї околів множини А с= X
є її околом.
Ч Досить обмежитися випадком скінченної сім’ї відкритих око-
лів множини 4. Нехай (6*)*=? — скінченна сім’я відкритих околів
п	п
А. Згідно з теоремою 3, множина П 6к відкрита і 4 с П 0^. ►
Ь!
Теорема 6. Для того щоб множина 4 с X була околом кожної
своєї точки, необхідно й достатньо, щоб А була відкритою.
◄ Необхідність. Якщо 4 — окіл кожної своєї точки, то V х £ 4
існує відкрита множина 6Х а 4, яка містить х. Оскільки х £
С 6Х 4, то 4=0 {х)с [] 6хс4. Тому за теоремою 2
х£А	х£А
А = II Сх — відкрита множина.
х£ А
Достатність. Якщо 4 — відкрита множина, то за означенням 2
вона є околом кожної своєї точки. ►
2.5.	Внутрішність множини. Нехай (X, р) є метричним прос-
тором
Означення 1. Точка х £ X називається внутрішньою
точкою множини А сі X, якщо А є її околом.
Множина усіх внутрішніх точок множини А називається її
внутрішністю і позначається символом іпі 4 г.
Внутрішність будь-якого проміжку з початком а і кінцем Ь
(а < Ь) на дійсній прямій є інтервалом (а, Ь), бо а та Ь не можуть
бути внутрішніми точками проміжків [а, &], [а, Ь), (а, 6].
1 Від французького слова іпіегіеиг — внутрішній.
383
Теорема 1. Для будь-якої множини А сг X внутрішністю іпі А
є найбільша відкрита множина, яка міститься в А.
◄	Якщо х£ іпі А, то існує відкрита множина 0х а А, яка міс-
тить точку х. Для будь-якої точки у £бх множина А за означенням
2, п. 2.4, є її околом, тому у £ іпі А. Отже, 6Х с= іпі А і за теоре-
мою 6, п. 2.4, множина іпі А відкрита. Якщо В с 4 — відкрита
множина, то з означення 1 випливає, щоВ с іпі Я. Таким чином,
відкриті множини характеризуються умовою А = іпі А. ►
Наслідок. Якщо А сі В, то іпі А сі іпі В.
Теорема 2. Для будь-якої пари множин А та В маємо іпі (А 0
А В) = іпі А А іпі В.
◄	Включення іпі (4 А В) с іпі А А іпі В дістаємо з наслідку.
За теоремою 3, п. 2.4, перетин іпі А А іпі В є відкритою множиною
і міститься в перетині 4 А В. Згідно з теоремою 1, виконується
включення іпі А А іпі В сі іпі (Л А В), 3 одержаних включень
випливає рівність, яка вказана в умові теореми. ►
Внутрішність непорожньої множини може бути порожньою,
наприклад, для одноточкової множини {х} на дійсній прямій
іпі (х} = 0.
Означення 2. Внутрішня точка множини X \ А називається
зовнішньою точкою для А, а внутрішність множини X \ А—
множиною зовнішніх точок множини А.
Теорема 3. Для того щоб точка X була зовнішньою для А,
необхідно й достатньо, щоб виконувалася умова р (х, Л) > 0.
◄	Необхідність. Якщо х£Х — зовнішня точка для Л, то існує
куля Од (х) сі X \ А (6 > 0). Для будь-якої точки у £ А маємо
Р (х, у) > 6, отже, р (х, Л) = іпї р (х, у) 6 > 0.
Достатність. Нехай х £ X. Позначимо = р (х, Л). З умови
§! >• 0 випливає включення 0^ (х) с: X \ Л, внаслідок якого х
є внутрішньою точкою множини X \ А. ►
2.6.	Замкнені множини, точки дотикання, замикання множи-
ни. Нехай (X, р) — метричний простір.
Означення 1» Множина Е о X називається замкненою,
якщо її доповнення СЕ є відкритою множиною.
Порожня множина, а також множина X замкнені. Проміжки
Іа, 4-оо), (—оо, а] та множина — замкнені множини на дійсній
прямій. Проміжки [а, Ь) і (а, не є ні відкритими, ні замкненими
множинами.
Теорема 1. Замкнена куля Оь (х0) с: X і сфера 8 (х0, 6) сс X
є замкненими множинами.
◄	Якщо х Оь (х0), то р (х, Од (*0)) Р (хо> х) — 6 > 0, внаслідок
чого відкрита куля з центром у точці х і радіусом бі = р (х0,
х) — 6 міститься в доповненні кулі Од (х0). Отже, це доповнення —
відкрита множина. Доповнення сфери 5 (х0, 6) є об’єднанням від-
критої кулі Од (х0) і доповнення кулі Од (х0). За теоремою 2, п. 2.4,
це об’єднання є відкритою множиною. ►
Теорема 2. Перетин будь-якої сім'ї (Ра)^А замкнених множин
384
є замкненою множиною. Об'єднання, скінченної сім'ї замкнених
множин є замкненою множиною.
◄	Якщо V» £ А множини Ра замкнені, то множини СРа відкриті.
Згідно з формулами (3), п. 1.5, розд. 1, маємо
За теоремою 2, п. 2.4, множина 0 С/*1* відкрита, внаслідок чо-
а£А
го й множина Є П Ра відкрита. Тоді за означенням множина
а£Л
п Ра замкнена.
Доведемо другу частину теореми. Нехай Р{ (і — 1, п) — замк-
нені множини. Розглянемо їх доповнення1 СР{ і застосуємо формули
(2), п. 1.5, розд. 1. Дістанемо
п	п
с и Рі = п ері-	(2)
і=і
Оскільки множини СР, відкриті, то, згідно з теоремою 3, п. 2.4,
п
множина П СГі відкрита, а разом з нею відкрита й множина
0 Рі. Отже, множина II Л замкнена. ►
Зокрема, одноточкова множина {х} а: X замкнена.
Означення 2. Точка х0 Є X називається точкою д о т и кан-
н я множини А с: X, якщо будь-який окіл Об (х0) має з А непорож-
ній перетин.
Множина уоіх точок дотикання множини А називається її за-
миканням і позначається символом А.
Якщо х £ X не є точкою дотикання множини А сз X, то х —
внутрішня точка доповнення СД. Тому замикання множини А є
доповненням множини її зовнішніх точок: А = С іпі Д. Напри-
клад, замикання відкритої кулі Об (х0) міститься в замкненій кулі
Об (х0), але може не збігатися з нею.
Оскільки іпі СД є найбільшою відкритою множиною, яка міс-
титься в СД, то Д є найменшою замкненою множиною, яка містить
Д. Зокрема, якщо множина А замкнена, то Д = А.
Теорема 3. Для того щоб точка х0 £ X була точкою дотикання
множини А о X, необхідно й достатньо, щоб р (х0, А) == 0.
Ч Необхідність. Нехай х0 £ X — точка дотикання множини А с:
с: X. Тоді х0 іпі СД і, згідно з теоремою 3, п. 2.5, р (х0, Д) = 0.
Достатність. Якщо р (х0, Д) = 0, то будь-який окіл Об (х0)
має з множиною А непорожній перетин. ►
13 1-2914
385
Теорему 3 можна сформулювати так: замикання множини /4 сг X
є перетином її відкритих околів V, (А).
Теорема 4. Якщо х0 £ X — точка дотикання множини А с: X
і х0 $ А, то V б > 0 множина 0$ (х0) П А нескінченна.
◄	Припустимо, що насправді це не так і Об (х0) П А — {уІУ у2, ...
..., Уп}- 3а припущенням г* = р (х0, ук) > 0 (к = 1, гі). Виберемо
г > 0 так, щоб 0г (х0) сз Об (х0) і г < тіп {Гі, г2, .... гп}. Тоді
Ог (х0) 0 = 0 всупереч припущенню, що х0 є точкою дотикання
множини А. ►
Означення 3. Точка х0 £ X називається граничною точ-
кою множини А сз X, якщо вона в точкою дотикання множини
А \ {х0}.
З теореми 4 випливає, що будь-який б-окіл граничної точки
множини А містить нескінченну множину різних точок з А. Візь-
мемо послідовність околів (Оьп (х0)), де бп = о (1). Дістанемо,
що з множини А можна виділити послідовність (хп) різних точок,
збіжну до х0 за метрикою простору (X, р). Навпаки, якщо відомо,
що з множини А с= X можна виділити послідовність різних точок,
збіжних до точки х0 Є X, то х0 — гранична точка множини А, бо
будь-який окіл Од (х0) містить нескінченну множину точок з А.
Можемо тепер сформулювати ще одне означення граничної точки
множини 4 с X, еквівалентне означенню 3.
Означення 4. Точка х0 Е X називається граничною точ-
кою множини А с: X, якщо з неї можна виділити послідовність
різних точок (хл), збіжних до х0 за метрикою простору (X, р).
Гранична точка множини А сі X може належати їй або не нале-
жати,
Означення 5. Точка х0 £ X називається межовою точ-
кою множини А с= X, якщо вона є точкою дотикання як А, так і
СА. Множина дА усіх межових точок множини А називається
її м е ж е ю.
З означення випливає, що дА = А П СА = д (СА). Внаслідок
теореми 2 множина дА замкнена і може бути порожньою.
Межова точка х Є дА характеризується властивістю: у будь-
якому її околі Об (х) міститься принаймні одна точка множини А
і принаймні одна точка множини СА. Уся множина X є об’єднан-
ням внутрішності множини А, множини її зовнішніх точок і її
межі, оскільки у випадку Об (х) <£ А і Об (х) ф СА множина Об (х)
повинна містити точки множин А іСА. Кожні дві множини з трьох,
указаних вище, не мають спільних точок, Наприклад, межею
будь-якого проміжку з початком а і кінцем Ь в К є множина {а, Ь}.
а межею множини <9 в Щ є сама множина К.
Означення 6. Точка х0 £ А називається ізольованою
точкою множини А сі X, якщо існує таке б > О, що Об (х0) А
А А \ {х0} = 0.
Таким чином, ізольована точка х0 £ А — це точка дотикання
множини А, яка не є її граничною точкою.
386
Вправи
1.	Нехай А — відкрита множина в метричному просторі (X, р). Довести, що
у В сз X виконується включення Я А В с 4 П Й.
2.	Навести приклади таких відкритих множин Д та В на дійсній прямій К,
щоб усі чотири множини 4 А В, ВАЛ, 4ПВІЛПВ були різними.
3.	Навести приклад двох проміжків А с- К, Вс К, для яких А П В <2
Є ЛІГВ.
4.	Нехай (X, р) — метричний простір. Довести, що V А с: X виконується
включення дА сі дА і д (іпі Д) с: дА. Навести приклад, коли ці три множини на
дійсній прямій різні.
5.	Нехай	р — відстань в множині X, що задовольняє нерівність	р (х,	г)
С тах {р (х,	у), р	(у, г)}, де х 6 X, у £ X, г £ X. Довести, що коли	р (х,	у)	#=
у= р (у, г), то	р (х,	г) = тах {р (х, у), р (у, г)}.
2.7.	Щільні	підмножини. Сепарабельні простори. Нехай	(X,
р) — метричний простір.
Означення 1. Множина А є X називається щільною в
множині В с: X, якщо кожна точка х £ В в точкою дотикання
множини А, тобто якщо В а А.
Якщо множина А щільна в X, то вона називається скрізь
щільною.
Якщо множина А скрізь щільна в X, то, очевидно, А = X.
Теорема 1. Якщо множина А щільна в В, а множина В щільна в
С, то А щільна в С.
◄ Оскільки В с А і замикання будь-якої множини є найменшою
замкненою множиною, яка містить цю множину, то виконується
включення В сі А. Оскільки С сі В, то С с: А, тобто множина А
щільна в С. ►
Означення 2. Множина А сс X називається ніде не щіль-
ною в X, якщо іпі А — 0, або, що рівносильно, якщо множина
X \ А скрізь щільна.
Ніде не щільна множина А сп X характеризується тим, що
будь-яка відкрита множина 0 сс X містить іншу відкриту множину,
цілком вільну від точок множини А.
Означення 3. Метричний простір (X, р) називається сепа-
рабельним, якщо в X існує зчисленна скрізь щільна множина.
Метричний простір (К"1, р), де т > 1, р (х, у) = || х — //||
V (х 6 К™, у € Кт), є сепарабельним. Зчисленною скрізь щільною
множиною в С є множина точок, у яких усі координати — ра-
ціональні числа.
У векторному просторі т обмежених послідовностей (див. п. 1.1)
впровадимо відстань формулою р (х, у) = $ир | хп — уп | V (х =
п
— (хп) £ т, у — (уп) £ т). Аксіоми метричного простору вико-
нуються. Тому пара (т, р) е метричним простором. Він не сепара-
бельний. Дійсно, розглянемо в просторі т елементи а = (а1, а2, ...
..., аі,...), де аі дорівнює нулю або одиниці. Множина А усіх таких
елементів незчисленна (див. теорему п. 3.8, розд. 2). Якщо а та
Ь — два таких різних елементи, то р (а, Ь) = зир | а, — Ь, | = 1.
І
13*
387
Припустимо, що в т існує скрізь щільна множина т0 = {хь х2, ...
...>хп, ...}. Тоді V хСш існує таке хп 6 тп0, що р (х, хп) < -у, тобто
уся множина пі міститься в кулях Оі (хп) V п Є Оскільки
Т
таких куль зчисленна множина, а множина т незчисленна, то при-
наймні в одній з цих куль повинно бути два різних елементи: а £ Д,
Ь £ Л. Нехай х0£ т — центр такої кулі. Тоді маємо 1 = р (а,
1	1	2
Ь) р (а, х0) + р (х0, Ь) < -у + — = -у» ЩО неможливо. Джерело
протиріччя — в припущенні, що метричний простір (т, р) сепара-
бельний.
2.8. Аксіома вибору. База відкритих множин. Критерій се пар а-
бельності метричного простору. У 1904 р. німецький математик
Е. Цермело (1871 —1953) виділив у теорії множин аксіому вільного
вибору, названу його ім’ям, і за допомогою її довів, що будь-яка
множина може бути цілком упорядкованою.
Аксіома вибору (Цермело). Нехай X і У — множини, ^кщо
X	ехр ¥ — таке відображення, що V х £ X Р (х) 0, то
існує таке відображення X У, що V х Є X / (х) £ Р (х).
Варто нагадати, що ехр У — це множина усіх підмножин мно-
жини У. Тому Р (х) в аксіомі є множиною V х £ X.
Означення. Сім'я	непорожніх відкритих множин на-
зивається базою відкритих множин метричного про-
стору (X, р), якщо кожна непорожня відкрита множина точок
цього простору є об’єднанням деякої підсім'ї з
Теорема 1. Для того щоб сім'я відкритих множин (Ок)к^а була
базою, необхідно й достатньо, щоб для кожної точки х £ X і кож-
ного її околу V існував такий індекс К, що х Сі сг V.
◄ Необхідність. Нехай (Ск\^д — база, х £ X, І/ — окіл точки х,
Ц7 сг V — її відкритий окіл (див. означення 2, п. 2.4). За означен-
ням бази множина Ц7 є об’єднанням деякої підсім’ї з сім’ї (6Цхел.
Тому існує принаймні один такий індекс |і, що х Є 6ц.
Достатність. Нехай виконується умова теореми і V X —
довільна відкрита множина. За аксіомою Цермело для кожної точки
х £ V існує такий індекс ц (х), що х Є 6щХ) сг V. Отже, V с:
С= II Сц(х) <= V, тобто V = 0 ОИ(Ж). >
Теорема 2 (критерій сепарабельності метричного простору).
Для того щоб метричний простір (X, р) був сепарабельним, не-
обхідно й достатньо, щоб існувала зчисленна база його відкритих
множин.
◄ Необхідність. Нехай (X, р) — сепарабельний метричний прос-
тір, (ап) — послідовність, множина значень якої {ап\ п 6 И} скрізь
щільна в X. Тоді зчисленна сім’я відкритих куль (0 і (ап)), т £
т
є базою відкритих множин простору (X, р). Дійсно, для кожної
точки х £ X і кожного г > 0 існує такий індекс т, що — <
388
і такий індекс п, що ап 6 О і (х). Звідси випливає, що х Є О і (ап).
т	т
Крім того, якщо у£Ох (ап), то р (х, у) < р (х, ап) + р (ап, у) <
т
2
— < г, тому О_і_ (ап) с: Ог (х). Для завершення доведення не-
~т
обхідності залишається завтовувати теорему 1, покладаючи в ній
С? = О і (ап), V = Ог (х).
т
Достатність. Якщо (Оп)п€м — зчисленна база відкритих мно-
жин у просторі (X, р) і ап Є 6П9 то кожна непорожня відкрита
множина точок цього простору є об’єднанням деяких Оп і тому її
перетин із зчисленною множиною точок ап буде непорожньою мно-
жиною. Отже, у просторі (X, р) існує зчисленна скрізь щільна мно-
жина.
2.9. Принцип вкладених куль. Теорема Бера. Поповнення мет-
ричного простору. Доведемо твердження, яке є аналогом теореми
про вкладені сегменти.
Теорема 1 (принцип вкладених куль). Для того щоб простір
(X, р) був повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому кожна по-
слідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких
прямують до нуля, мала непорожній перетин.
◄ Необхідність. Нехай метричний простір (X, р) повний і
(ОГп (хп)) — послідовність вкладених одна в одну замкнених куль
з центрами хп і радіусами гп = о (1). Послідовність (хп) фунда-
ментальна, бо р (хп, хт) < гп при т > п. Оскільки простір (X, р)
повний, то існує Ііт хп = х, причому х £ Г) 0г (хп). Дійсно, за
_	П-+са	пЄМ П
умовою Ог, (*1) 20 Ог. (х2) :2> ... 20 О'п (хп) ..., тому для будь-
якої кулі 0гп (хп) (п — фіксоване ЧИСЛО) ТОЧКИ Хп, Хп+Ь ..., Хп+р, ...
належать їй. Внаслідок замкненості кулі ОҐ (хп) і х = Ііт хп+Р
п	р-* + ©о
належить їй. Оскільки п £ И — довільне число, то х належить
усім кулям Огп (хп).
Достатність. Нехай у метричному просторі (X, р) кожна по-
слідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких
прямують до нуля, має непорожній перетин і (хп) — фундаменталь-
на послідовність точок цього простору. Виділимо з послідовності
(хп) підпослідовність (хП/г), члени якої задовольняють умову р (хп,
Хл&) < — V п > пк, і розглянемо послідовність замкнених куль
(О_і_ (Хдл)), вкладених одна в одну. За припущенням ця послідов-
ність має спільну точку х, причому х = Ііт хя.. З нерівності
£->оо	*
р С*п> *) С Р (*л, *пй) + Р х) випливає граничне співвід-
ношення Ііт хп =* х, хб X. Таким чином, кожна фундаментальна
П-+<х>
389
послідовність точок метричного простору (X, р) збігається в ньому.
За означенням він є повним ►
Теорема 2 (Бера). Повний метричний простір (X, р) не може бу-
ти зображеним у вигляді об’єднання зчисленної сім’ї ніде не щіль-
них множин.
◄ Припустимо, всупереч твердженню, що X = 11 Еп, де кожна
з множин Еп ніде не щільна. Оскільки Ег ніде не щільна, то зна-
йдеться така замкнена куля Ое, (л^) с: X, що ОЄ1 (л^) П Ег = 0.
Множина Е2 ніде не щільна, тому знайдеться така куля О 81 (х2) с:
__ _ ~
сг 0Є1 (Хі), що ОЄ1 (х2) Г) Е2 = 0. Продовжуючи ці міркування,
дістаємо послідовність (ОЄ1 (хп)) вкладених одна в одну замкнених
Ти
куль, які мають властивість Упб И ОЄ1 (хп) А Еп = 0. Ос-
І"
кільки 0 при п -> оо, то’за теоремою 1 перетин П ОЄ1 (хп)
містить деяку точку х 6 X. Вона не належить жодній множині Еп>
внаслідок чого х і) Еп, тобто X =# І) ЕПІ що суперечить при-
пни
пущенню. ►
Процес поповнення довільного неповного метричного простору
аналогічний процесу поповнення множини © раціональних чисел
множиною усіх ірраціональних чисел. Маємо на увазі теорію
Г. Кантора, в якій дійсні числа визначаються за допомогою фун-
даментальних послідовностей раціональних чисел Ч
Означення. Метричний простір (X, рх) називається попов-
ненням простору (Хо, рх0), якщо виконуються такі умови:
1) простір (X, рх) повний;
2) існує така скрізь щільна в множині X підмножина X' сі X,
що метричний простір (X', рх) ізометричний простору (Хо,
рх0).
Теорема 3 (Хаусдорфа). У кожного метричного простору в
поповнення.
Ч Якщо метричний простір повний, то він, очевидно, збігається
з своїм поповненням.
Нехай (Хо, рх0) — неповний метричний простір, тобто у ньому
є принаймні одна фундаментальна послідовність точок, збіжна до
точки х £ Хо. Якщо в множині Хо впроваджено відношення екві-
валентності, то вона розбивається на частини, які не перетинаються
і називаються класами еквівалентності (див. п. 1.11, 1.12, розд. 1).
Розглянемо множину всіх фундаментальних послідовностей то-
чок метричного простору (Хо, рх0) і назвемо дві такі послідовності
(хп), (уп) конфінальними, якщо рх0 (хя, уп) 0 із зростанням п.
1 Див., наприклад: Немьіцкий В., Слудская М., Ч ер касо в А»
Курс математического анализа : В 2 т.— М. ; Л., 1957.— Т. 1,
390
При цьому записуємо (хп) ~ (Уп)> Легко упевнитися в тому, що
відношення конфінальності є відношенням еквівалентності в мно-
жині Хо. Віднесемо до одного класу еквівалентності усі конфі-
нальні між собою фундаментальні послідовності. Якщо дві фунда-
ментальні послідовності конфінальні третій, то вони конфінальні
між собою, внаслідок чого одна і та сама послідовність не може
належати двом різним класам. Тому указані класи еквівалентності
попарно не перетинаються. Позначимо через X множину усіх
таких класів. Оскільки V х 6 Хо стаціонарна послідовність (х) є
фундаментальною, то виконується включення Хо с: X.
Введемо в множині X метрику за правилом: якщо х* с: X,
у* <= X, (х„) Є х*, (уп) Є У*, ТО
деі
&х(х*,у*) = Ііт рх(хп,уп).	(1)
Доведемо існування границі числової послідовності (рХо (хп, уп)).
Взявши до уваги нерівність (3), п, 1.1, дістанемо оцінку
І Рх0	Уп)	Рхв Ут) І 23 І (РХ# Уп) *“ Р%0	Уп)) "Ь
4" (Рхо	Уп) ~* Р (%т> Ут)) І	Р%0 (*п> %т) 4“ Рх0 (Уп» Ут)і
яка виконується V (т £ И, п 6 №). Оскільки послідовності (хп), (уп)
фундаментальні, то рХо (хп, уп) — рХо (хт, у„) -> 0 при п оо, т
-> оо, тобто числова послідовність (рХо (хп, уп)) фундаментальна.
Відстань між елементами множини X визначено однозначно.
ДІЙСНО, ЯКЩО (Хп) ~ (хп), (уп) ~ 0/п)>ТО, здійснивши граничний пе-
рехід в нерівності
І Рх6 Уп) Рх0 Уп) І Рхе (Хп» "Ь РХ< (Уп» Уд)>
яка також є наслідком нерівності (3), п. 1.1, дістанемо
Ііт Рх0 Уп) = 1іт Рх0 Уп) = Рх (х*> У*)-
П->00	0	П->оо 0
Перевіримо, чи задовольняє відстань рх (х*, у*) аксіоми метрики.
Нехай х* €Х,у*Є X, г*6 X. Якщорх (х*, у*) = Ііт рх„ (хп, уп) = 0,
то (хп) ~ (уп), тобто класи х* та у* збігаються. Таким чином, рх (х*,
у*) = 0 =>- х* = у*.
Виконання умови рх (х*, у*) = рх (у*, х*) очевидне, а нерів-
ність трикутника рх (х*, у*) ЙС рх (х*. г*) 4- рх (з*, у*) дістанемо
після граничного переходу в нерівності
РX, (Хп> Уп)	Рх0 &п> ^п) “Ь Рх. (%П> Уп)г
де (Хп) 6 X*, (уп) 6 у*, (гп) € г*.
Упорядкована пара (X, рх) є метричним простором. Доведемо,
що він — поповнення метричного простору (Хо, рх„).
Зауважимо, що V х 6 Хо стаціонарна послідовність (х) відносить-
ся до деякого класу — елемента множини X. Якщо V (х £ Хо, у €
€ Хо), (х) 6 X*, (у) є у*, то, очевидно, рх. (х, у) = рх (х*, у*), вна-
слідок чого множина Xі с X усіх класів х*, які містять стаціонарні
391
послідовності, ізометрична множині Хо. Доведемо, що X' скрізь
щільна в множині X, тобто кожний елемент х* £ X є точкою доти-
кання множини Xі.
Нехай х* £Х — клас, який містить фундаментальну послідов-
ність (хп), і е>0. Тоді існує таке	що У(п>ле,
виконується нерівність рх (хп, Хп+р) < 8. Зафіксуємо п = пг і
позначимо через х* Є X9 клас, який містить стаціонарну послідов-
ність (хПє). Тоді, згідно з формулою (1), рх (х*, X*) = Ііш (хПє>
р->оо
хП£_|_р)	8, Остання нерівність означає, що множина X' скрізь
щільна в X. Для завершення доведення теореми залишилося
встановити повноту метричного простору (X, рх).
Нехай (х*) — довільна фундаментальна послідовність точок
простору (X, рх). Оскільки множина X' скрізь щільна в X, то
існує такий елемент £*£Х', для якого рх (х^, £*) < — .
Послідовність (|^) фундаментальна, бо при п->оо, /и-> оо маємо
Рх ^)<Рх(М) + Рх(<>
Рх О + Рх О + Рх О - 0.
Нехай хп С Хо — елемент, відповідний класу 6 X'. Послі-
довність (хп) фундаментальна в просторі (Хо, рх0), бо, згідно з фор-
мулою (1), маємо
Рх	Рх0 хт)-	(2)
Фундаментальна послідовність (хп) визначає деякий клас £ X.
Нехай е > 0. Тоді існує таке Пе 6 И» що V (п пє, р £ вико-
нується нерівність рх0 (хп, Хп+р) < 8. Застосовуючи формулу (І),
дістаємо
Рх(^Л‘) = Ііт рх (хп> Хп+р) ^є.
Р->00
Отже, Ііт = £*. Взявши до уваги нерівності
гг->оо
(3)
Рх «• В*) < Рх + Рх В) < Рх Г) + І-,
дістанемо граничне співвідношення Ііт х* = В*, £* £ X. Таким чи-
П-уоо
ном, кожна фундаментальна послідовність точок метричного прос-
тору (X, рх) збігається в ньому. За означенням він є повним. ►
2.10. Принцип нерухомої точки. У 1880 р французький мате-
матик Ш. Е. Пікар (1856—1941) розробив метод доведення теорем
існування і єдиності для інтегральних рівнянь, який грунтується
на доведенні збіжності послідовних наближень. Незалежно один
від одного італійський математик Р. Каччіополлі (1904—1959) і
польський математик С. Банах (1892—1945) довели теорему про іс-
нування нерухомої точки при стискуючому відображенні, яка міс-
392
тить у загальному вигляді різні окремі випадки теорем про збіж-
ність методу послідовних наближень Пікара.
Означення 1. Нехай (X, р) — метричний простір. Функція X
-> X називається відображенням стискання, якщо
У(х£Х, у£Х) За 6(0, 1): р(/(х), / (у)) < ар (х, у).	(1)
Означення 2. Точка х Є X називається нерухомою точ-
ко ю відображення X X, якщо І (х) = х.
Теорема (принцип нерухомої точки). Якщо (X, р) — повний
метричний простір, то відображення стискання X X має (і при-
тому єдину) нерухому точку.
◄ Нехай х0 6 X — довільна точка. Розглянемо послідовність
(хп) = (/ (Хп-0). Оскільки X — •* X, то V п 6 М хп £ X. Покаже-
мо, що послідовність (хп) фундаментальна. Згідно з умовою (1),
V п 1 маємо
р (хп, хп+і) = р (/ (Хп-і), /(хп))	ар (Хп—і, хЛ) <
а2р (Хп-2, Хп-1Х
<апр(х0, хх).
(2)
Користуючись цим результатом та нерівністю (2), п. 2.1, дістаємо
V (п 6 Р € И) нерівності
Р (Хп>	Р (*^п>	+ Р (Хд^-і, Хн-|~2) “Ь Ч” Р (Хл4-р—Ь Хн-}-р)
< (ап + ал+1 + ... + ап+г ') р (х0, х,) < р (х0, кх). (3)
Нехай є > 0. Оскільки 0 < а < 1 і р (х0, х,) — сопзі, то при всіх
досить великих п С М І V р Е И виконуватиметься нерівність
І Р (Хо, Хх) < 8,	(4)
звідки випливає, що послідовність (хп) фундаментальна. Внаслі-
док повноти метричного простору (X, р) послідовність (хп) збіга-
ється до деякої точки х£Х: р(хп, х)->0 при п-><х>. З умови
(1) дістаємо, що Ііт /(хп) = /(х). Оскільки хп+і = /(хп) і х^+і ->
П^оо
-> X, то ї (х) = х, тобто х є нерухомою точкою відображен-
ня /.І Доведемо, що вона єдина. Припустимо, що існують дві нерухомі
точки відображення і і х = / (х), у = / (у), х #= у. Тоді р (х, у) >
> 0. Згідно з умовою (1), р (х, у) = р (/ (х), / (у)) <?ар (х, у), де
0<а<1. Скорочуючи обидві частини останньої нерівності на
Р (*, У) > 0» Дістаємо суперечливу нерівність а 1. Джерело одер-
жаного протиріччя — в припущенні, що відображення / має дві
нерухомі точки. ►
Приклад. Розглянемо задачу Коші для звичайного диференціального рів-
няння: знайти таку диференційовну функцію / : К К, яка б задовольняла рів-
няння у' — і (х, у) і при х = х0 набувала заданого значення у (х0) = г/0, де —
деяке число, / — неперервна на множині [а, Ь] X К функція, що задовольняє
умову Ліпшиця по у з константою К:
!/(•»>	—	уі)\^К\у1— І/2| Ух є 1а, 6].	(5)
393
Нехай х0 £ (а, Ь). Розв’язок задачі Коші еквівалентний розв’язку інтеграль-
ного рівняння
х
у(*) = уй + і (і, у (<)) <и.	(6)
*0
X
Відображення <р :	,^/о	(0)	6, належить класу С [а, 6].
Розглянемо метричний простір (С [а, 6], р), де р (а, 0) = шах | а (х) — (3 (х) І
а^х^ь
V (а Є С [а, д), Р Е С [а, Ь]). Задача звелася до відшукування нерухомої точки
відображення <р, тобто такої функції у, що ф (у) = у, 3 умови (5) дістаємо оцінку
І І Уі) — ( (х, у2) | К | Уі — у* | С &Р (Уі> Уг)>	(7)
внаслідок якої маємо
х
Р (ф (у), ф (2)) < тах | Кр (у, г)Оі^К(Ь — а)р (у, г).	(8>
«о
Якщо К (Ь — а) = а < 1, то відображення ф стискуюче і має єдину нерухому точ-
ку — розв’язок задачі Коші.
2,11. Підпростори метричного простору. Нехай (X, р)— мет-
ричний простір, Е — непорожня підмножина множини X.
Означення. Звуження р 1^2 називається відстанню, індукова-
ною в Е відстанню X2 —Ж. Метричний простір (£, р), визначений
цією індукованою відстанню, називається підпросто р ом
метричного простору (X, р).
Теорема 1. Для того щоб множина В аЕ була відкритою в
підпросторі (Е, р), необхідно й достатньо, щоб існувала така мно-
жина А, відкрита в (X, р), що В = А П £.
Ч Необхідність, Якщо множина В відкрита в (£, р), то \/х£В
існує таке число г (х) >0, що Е П ОГ(Х) (х) с: В, Тоді В =
= II (Е П Ог(х> (х)) = Е (] А, де А = О Оп« (х).
*ЄВ	*ЄВ
Достатність. Якщо а б Е, то перетин Е (] Ог (а) є відкритою
кулею з центром а і радіусом г у підпросторі (Е, р). Якщо А — від-
крита множина в (X, р) і х б А П Е, то існує таке г > 0, що Ог (х) с:
с А. Отже, х б Е П Ог (х) с: А П Е і тому множина А П Е від-
крита в (Е, р). ►
Теорема 2. Будь-який підпростір (Е, р) сепарабельного мет-
ричного простору (X, р) сепарабельний.
◄ Нехай (Оп)пєм — зчисленна база відкритих множин простору
(X, р). За теоремою 1 множини Вп — 6п П Е V п б А відкриті у
просторі (Е, р). Згідно з означенням бази відкритих множин мет-
ричного простору (X, р) (див. п. 2.8), кожна множина Оя є об’єднан-
ням деякої ПІДСІм’ї З (Оп)п€Д. Якщо 0п = II Ох. то Вп = (II Ох) ГІ
X	X
П Е = 0 6\ п Е = 0 Вх, тобто сім’я (Вп)пел відкритих множин
X	X
у просторі (Е, р) є його зчисленною базою. За теоремою 3, п. 2.8,
метричний простір (Е, р) сепарабельний. >
394
Вправи
1.	Довести, що об’єднання відкритої множини і множини її зовнішніх точок
в метричному просторі (X, р) скрізь щільне.
2.	Довести, що множина всіх ізольованих точок сепарабельного метричного
простору не більш ніж зчисленна.
3.	Довести, що будь-яка сім’я	непорожніх відкритих множин сепа-
рабельного метричного простору (X, р), які мають властивість 0^ П 0^ = 0 при
2с =/= ц, не більш ніж зчисленна.
4.	Нехай (X, р) — сепарабельний метричний простір. Точка х С X назива-
ється точкою конденсації множини Еа X, якщо в будь-якому околі точки х міс-
титься незчисленна множина точок з Е. Довести такі твердження:
а)	якщо множина Е не має точок конденсації, то вона зчисленна;
б)	якщо А — множина точок конденсації множини Е, то кожна точка х 6 А
є точкою конденсації множини Д, а множина Е П СА не більш ніж зчисленна.
І
5.	Які умови повинна задовольняти неперервна функція К —► К, щоб на чис-
ловій прямій можна було впровадити V (х € К, у 6 К) метрику за допомогою рів-
ності р (х, у) = І / (х) — / (у) І?
6.	Які умови повинна задовольняти неперервна функція / : К ->К, щоб мет-
ричний простір (К, р), де р (х, у) = І / (х) — Ні') І V (х е К, у € К), був
повним?
7.	Побудувати поповнення метричних просторів (К, р), якщо:
а)	Р (*, у) = | агсі§ х — агсі£ у | V (х 6 К, у € К);
б)	Р (х, у) = І — є? | V (х Є К, у Є К).
2.12.	Компактні множини.
Означення 1. Множина К с: X називається компактною
в метричному просторі (X, р), якщо будь-яка послідовність (хп) еле-
ментів з К містить збіжну підпослідовність. Якщо їх границі на-
лежать множині К, то вона називається компактною в со-
б і, або компактом.
Означення 2. Нехай М — довільна множина. Покриттям
множини Е с. М називається така сім'я (В^)^а підмножин мно-
жини М, що Е с: 0
Означення 3. Нехай (X, р) — метричний простір і 0. Мно-
жина Хі сі X називається ^-сіткою множини Х2 сі X, якщо
V х £ Х2 існує такий елемент хе £ Хр що р (х, х8) < е.
Зокрема множина Х2 може збігатися з множиною X.
Означення 4. Множина Е сі X називається цілком обме-
женою в метричному просторі (X, р), якщо V е > 0 для неї іс-
нує скінченна г-сітка.
Остання умова еквівалентна такій: V є > 0 існує така скінчен-
на множина Е сі X, що V х С Е р (х, Л < е.
З обмеженості множини точок метричного простору не випливає,
що вона є цілком обмеженою. Наприклад, в метричному просторі
(т, р), де р (х, у) = зир | %п — т]п V (х =	...»	...), у =
= (Пі> •••» Пп, ...)), обмежену множину {хл}п?м, х„ = (0, 0, .... 0,
п—1
1,	0, ..., 0, ...), не можна покрити скінченною сім’єю множин діа-
метра, меншого , бо відстань між будь-якою парою елементів цієї
£
множини дорівнює 1.
395
Зв’язок між компактністю і властивістю цілком обмеженості мно-
жини точок метричного простору встановлює така теорема.
Теорема 1 (Хаусдорфа). Усяка компактна множина К сі X
цілком обмежена в метричному просторі (X, р).
< Припустимо, що множина К компактна, але для деякого є0 > 0
вона не має скінченної е0-сітки. Візьмемо довільне хх 6 К За при-
пущенням множина {хх} не утворює скінченної е0-сітки для множи-
ни X, тобто р (хх, К) е0. Виберемо довільну точку х2 6 К9 яка за-
довольняє умову р (хь х2)	е0. Оскільки множина {хх, х2} не є є0-
сіткою для множини К, то знайдеться така точка х3 6 К9 що р (хІ9
х3) ео 0* = 1» 2). Нехай вибрано точки хх, х2, ..., ха, які задоволь-
няють умову р (хІ9 х/) е0 (і І Д /, / 4$ и). Знайдемо таке
хл+і Є X, що р (х/, хп+і) > е0 (і = І, гі). Індукцією по п £ по-
будовано послідовність (хп) точок множини X, члени якої задоволь-
няють умову р (хі9 X/) е0 (і Ф /), 3 послідовності (хЛ) не можна
виділити збіжну підпослідовність, що суперечить припущенню
про компактність множини X. Джерело протиріччя — в припу-
щенні, що К не є цілком обмеженою. >
Теорема 2 (Фреше). Якщо метричний простір (X, р) пов-
ний, то кожна цілком обмежена в ньому множина Е а X ком-
пактна .
< Якщо множина Е с: X цілком обмежена, то V є > 0 в просторі
(X, р) існує скінченна е-сітка для Е. Нехай (хп) — довільна послі-
довність елементів з Е, Оскільки існує скінченне покриття множи-
ни Е відкритими кулями з радіусами, меншими 8, то принаймні од-
на така куля містить нескінченну підпослідовність послідовності
(хл). Таким чином, V е > 0 з будь-якої послідовності елементів
множини Е можна виділити підпослідовність, відстані між еле-
ментами ЯКОЇ менші 8.
Нехай V п £ М ел = -і-. Виділимо з послідовності (хл) підпо-
слідовність (х<°) з відстанями між елементами, меншими 1. З цієї
підпослідовності виділимо нову підпослідовність (х<2>) з відстаня-
ми, меншими-^-. Нехай вибрано підпослідовності (^). Виділимо
З ПІДПОСЛІДОВНОСТІ (х^) ПІДПОСЛІДОВНІСТЬ (Хп+ / з відстанями між
елементами, меншими . , . . Дістанемо послідовність підпослідов-
к —1
ностей (Хп). Утворимо нову послідовність (х("’), складену з діаго-
нальних членів указаних підпослідовностей. Члени цієї послідов-
ності, починаючи з номера £ С належать 6-й підпослідовності,
внаслідок чого | ХпП) — х^' 1 < -т- V (п > к, т > к). Отже, послі-
довність (ХлП)) фундаментальна. Оскільки простір (X, р) повний, то
Ііт ХпП = х, х Є X. За означенням множина Е компактна в прос-
П.-+О0
торі (X, р). ►
З теорем 1 і 2 дістаємо таке твердження.
Теорема 3. Для того щоб множина Е с: X була компактною у
396
просторі (X, р), необхідно, а якщо (X, р) — повний простір, то й
достатньо, щоб Е була цілком обмеженою в ньому.
Наслідок. Для того щоб множина Е сі X була компакт-
ною в повному метричному просторі (X, р), достатньо, щоб V 8 >
> 0 існувала компактна в (X, р) множина Аа (може бути, нескін-
ченна), яка була б &-сіткою для Е.
◄ Нехай е > 0. Оскільки множина Де компактна, то для неї
існує скінченна ^--сітка Рг . За умовою Мх^Е існує таке
2
Уе Є А, ЩО р (х, у8) < -| , а для вказаного уе існує таке ге 6 Р е ,
т
що Р 0/є,2е) < ~2 ’ Застосуємо нерівність трикутника і оцінимо
відстань між х та ге. Дістанемо
Р (*, г®) Р (*, уг) + р (угі ге) < 8.
Множина Р є скінченною є-сіткою для множини Е. ►
2
Теорема 4. Для того щоб компактна множина К X була
компактом у повному метричному просторі (X, р), необхідно й до-
статньо, щоб вона була замкненою в (X, р).
◄ Необхідність. Нехай К — компакт. Тоді будь-яка послідов-
ність (хЛ) точок множини К містить підпослідовність (хп*), збіжну
за метрикою простору (X, р) до деякої точки х £ К. Таким чином,
множина К містить усі свої точки дотикання, тобто є замкненою.
Достатність. Якщо множина К сі X компактна і замкнена у
повному метричному просторі (X, р), то метричний підпростір
(X, р) є повним і будь-яка послідовність (хп) точок цього підпрос
тору містить збіжну в ньому підпослідовність (хПі7). Тому К — ком-
пакт. ►
З теорем 3 та 4 дістанемо як наслідок таке твердження.
Теорема 5. Множина К с: X є компактом в повному метрич-
ному просторі (X, р) тоді і тільки тоді, коли вона замкнена в ньому
і V є > 0 в множині X існує скінченна ь-сітка для К.
Наступне твердження дає змогу впровадити нове означення ком-
пактної в собі множини, еквівалентне означенню 1.
Теорема 6. Нехай Р с: X — замкнена множина в метричному
просторі (X, р). Для того щоб Р була компактною в собі, необхід-
но й достатньо, щоб з будь-якого покриття цієї множини можна
було виділити скінченне покриття.
◄ Необхідність. Нехай Р сі X — компакт, (6а)аел — сім’я від-
критих множин, яка покриває Р> (еЛ) — нескінченно мала послі-
довність додатних чисел, хі1}, х^, ...»	— ерсітка для множи-
ни Р. Тоді Р = и Рі9 де Рі = ОЄ1 (х<?) П Р. Множини Рі — компакт-
ні
ні в собі, причому д (Рі) 2еп де д (Р^ — діаметр множини Рі
(див. п. 2.3). Припустимо, що не існує скінченного покриття мно-
жини Р. Тоді цю властивість має принаймні одна з множин РІ9 яку
397
позначимо Рі,. Міркуючи аналогічно, виділимо з Рі, компактну в
собі частину Рі}1 діаметра сі (Рі^) <1 2ей, яку не можна покрити
НІЯКОЮ скінченною сім’єю, виділеною З'Сім’ї (Оа)аел- ПрОДОВЖуЮ-
чи цей процес виділення компактних в собі частин, дістаємо послі-
довність вкладених одна в одну замкнених множин Рц и> Р^,, із
И) ... О Рі,і2...іп п> ...» діаметри яких прямують до нуля (бо
д	< 2еп і гп = о (1)).
За теоремою 2, п. 9.2, розд. 1, існує точка х0 6 Р, яка належить
усім цим множинам. Оскільки сім’я (Оа)аєл покриває множину
Р, то існує така множина Оао (а0 б Л), що х0 Є Оао Оскільки Оао —
відкрита множина, то існує 8-окіл 0е (х0) сі Сао. Виберемо п С И з
умови СІ (РііІ2..лп) < 8. Тоді виконується включення Ріііі..Лп <=
сі 0є (х0), яке суперечить припущенню про те, що ніяка скінченна
сім’я з (Оа)аєл не покриває множину Р^.лп- Джерело протиріч-
чя — в припущенні, що не існує скінченного покриття множини Р.
Достатність Припустимо, що з кожного покриття множини Р
можна виділити скінченне покриття. Нехай М а Р — підмножина,
яка не має граничних точок. Тоді для х £ Р існує окіл 0&х (х), який
не містить точок множини М, крім, можливо, точки х. Ці околи по-
кривають множину Р. Виділимо 3 сім’ї ОКОЛІВ (Оех (х))хег СКІН.
ченне покриття {О8і (Хі), 0е5 (х2), ОЄп (хл)}. Оскільки М с
п
СІ 0 08. (X/) і в кожному околі Ое (х*) може міститися не більш ніж
£==1 1 1
одна точка з М, то множина М скінченна. Отже, кожна нескінчен-
на підмножина М с: Р повинна мати граничні точки, тобто множи-
на Р компактна. >
Означення 5. Метричний простір (X, р) називається к о м пак-
т н и м, якщо для кожного покриття множини X відкри-
тими множинами існує скінченна сім'я (От)^ап (Ло сі А — скін-
ченна множина), яка є покриттям X.
З теореми 6 дістаємо як наслідок корисне твердження.
Теорема 7. Для того щоб метричний простір (X, р) був ком-
пактним, необхідно й достатньо, щоб з будь-якої множини замкне-
них частин X, перетин яких порожній, можна було виділити
скінченну множину частин з порожнім перетином.
< Нехай (Ра)аєд ~ сім’я замкнених частин X і П Ра = 0. Тоді
аЄЛ
множини 0а = Х\ Ра відкриті в (X, р). Переходячи до доповнень
за формулами (3), п. 1.5, розд. 1, маємо
С р| /?а = С0=Х = СРа = 0 Са.
аСЛ	аЄЛ
Сім’я (Оа)аєл покриває множину X. Застосовуючи теорему 6, ді-
стаємо умову, еквівалентну сформульованому твердженню. >
2.13.	Зв’язні простори та зв’язні множини.
Означення 1. Метричний простір (X, р) називається зв'яз-
ним, якщо не існує двох таких відкритих непорожніх підмножин
А сі X і В а X, що А 0 В = X і А р| В = 0.
398
Іншими словами, метричний простір (X, р) з в* я з н и й, як-
що з усіх підмножин множини X тільки порожня множина і сама
множина X одночасно відкриті й замкнені.
Означення 2. Множина Е сі X в метричному просторі (X, р)
з в' я з н а, якщо зв'язний підпростір (Е, р).
Означення 3. Метричний простір (X, р) називається лок а л ь -
но з в' я з н и м, якщо у кожної точки х £ X є фундаментальна
система зв'язних околів.
Теорема. Частина Е розширеної дійсної прямої К зв'язна тоді і
тільки тоді, коли вона є проміжком (обмеженим або ні).
◄ Необхідність. Нехай Е сі ІК і Е — зв’язна множина, а х та у —
будь-які різні точки множини Е. Доведемо, що виконується включен-
ня [х, у] сі Е. Якби це було не так, то існувала б така точка г £ (х, у),
що г £ Е. У цьому випадку відкриті в К множини (—оо, г) і (2, +оо),
перетинаючись з Е, розділяли б £ на дві відкриті множини, які б
не перетиналися, а отже, Е не була б зв’язною множиною. Отже,
[х, у] сі Е. Покладемо а = іпї Е, Ь = зир Е. Тоді, як тільки що
упевнилися, множина Е збігається з однією з чотирьох множин:
[а, Ь], [а, &), (а, Ь], (а, Ь).
Достатність. Нехай Е — проміжок з початком а і кінцем Ь (мо-
жливості а — — оо, а ф Е і Ь = +оо, Ь £ Е не виключені). Припу-
стимо, що Е = В 0 С, де В та С — непорожні відкриті множини
в Е і В П С = 0. Нехай, наприклад, х £ В, у £ С і х < у. Нехай
г = зир (В П [х, //]). Якщо г £ В, то ? < у, і за припущенням іс-
нує проміжок [2, 2 + Л], який міститься в [х, у] і в множині В, що
суперечить означенню г. Якщо 2 £ С, то х < г і так само існує про-
міжок (2 — Л, г] сі С П Ьк, у], що суперечить означенню 2. Таким
чином, 2 не може належати ні В, ні С, що суперечить включенню
[х, у] сп Е. Отже, Е — зв’язна множина. >
Означення 4. Відкрита зв'язна множина називається о б -
л а с т ю.
Означення 5. Область разом з своєю межею називається замк-
неною областю.
Розглянемо тепер питання границі й неперервності відображень
з одного метричного простору в інший. Розглянуті в розд. 5 ці по-
няття для відображень	окремими випад-
ками загальної теорії.
2.14.	Границя й неперервність відображення. Нехай (X, р%)
і (У, ру) — метричні простори, / : X У, х0 £ X — гранична точ-
ка множини О[.
Означення 1. Точка а £ У називається частковою гра-
ницею відображення / у точці х0, якщо існує така по-
слідовність (хя) точок множини що
(хп->-х0) Д (У/і€№ Хп^=хо) л (Ііт /(хп) = а).	(1)
П->оо
Умови (1) можна записати у вигляді
(РХ(ХО> *п) = 0(1)) А (V" Рх (Х0> Хп) > °) Л(ру(«» /(хп))=о(1))-
399
Множину усіх часткових границь відображення / у точці х0 по-
значимо знаком (х0).
Означення 2. Якщо множина (х0) складається з однієї точки
то вона називається границею відображення / у
точці х0 і позначається символом 1 і т / (х)
х-+х0
Означення 3 (Гейне). Відображення ї називається неперерв-
на м у точці х0 £ Р^, якщо Ііт / (хл) = / (х0) кожен раз, як тільки
хп х0 і V п Є N хп £ О{.
Якщо відображення / неперервне V х £ то будемо називати
його неперервним.
Якщо х0 £ Р^ і є граничною точкою множини Р/, то відобра-
ження / неперервне у точці х0 тоді і тільки тоді, коли Ііш / (х) =
Х-^Х0
= / (х0). В ізольованій точці кожне відображення неперервне.
Відображення, яке не є неперервним у точці х0 £ Рг, називаєть-
ся розривним у ній.
Нехай х0 — гранична точка множини Р^ і х0 £ Р^. Вона нази-
вається точкою усувного розриву відображення /, якщо існує
Ііт / (х) £ У. У цьому випадку відображення /*, визначене фор-
х->х„
мулою
І /(х), якщо хЄРу\{х0},
/*(х)= ..	.	(2)
|1іт/(х), якщо х = х0,
ІХ->Х0
•е неперервним у ТОЧЦІ х0.
Теорема (про неперервний образ компакта). Нехай / : X -> Е —
неперервне відображення і О; — компакт. Тоді множина ком-
пактна в собі, тобто неперервний образ компакта є компактом.
Розглянемо довільну ПОСЛІДОВНІСТЬ ТОЧОК (Уп) з множини Е; ==
= / (Р/)« Тоді існує така послідовність (хл), що Уп хл £ Р/ і
уп = /(хл). Згідно з означенням компакта, існують точка х0 £ Р^ і
підпослідовність (хЛ/г) такі, що хПк ->х0 при к -> оо. За означенням
неперервного відображення маємо уПк = / (хПк) } (х0) = у0, у0 £
що означає компактність в собі множини Е}. >
2.15.	Неперервність композиції відображень. Нехай (X, рх),
(У, ру), (7, рх) — метричні простори, / : Х-> У, § : У -> 7, Е|С
Теорема 1 (про неперервність композиції відображень). Не-
хай відображення ) неперервне у точці х0 £ Рр а відображення § не-
перервне у точці у о .= / (х0) £ Рб. Тоді композиція § © / неперервна
у точці х0.
Нехай хп -> х0 при п -> оо і V п С И Р<»/- Тоді V п £ И
Уп = / (х„) € ов І Уп^ї (х0) при п -> оо. Тому £ (уп) (*»))•
Отже, (§ о /) (х„) = § (у„) -+§(/ (х0)) = (?о /) (х0). ►
Теорема 2. Нехай х0 — гранична точка множини О^. Якщо
ііт / (х) = Уо і відображення § : У -> 2 неперервне у точці уто
х->х0
Ііт § (/ (х)) = § (у9).
х->х0
400
◄ Покладемо
/* м =
/(я), якщо х€£)/\{г0},
#0, ЯКЩО X = х0.
Відображення /* неперервне у точці х0. За теоремою 1 композиція
£ о/* неперервна у цій точці. Тому
Ііт о /) (х) = Ит (§ » /*) (х) = (§ о /*) (х0) = § (уй). >
х->х0	х->х0
2.16.	Неперервність оберненого відображення.
Теорема (про неперервність оберненого відображення). Нехай
{X, рх), (У, ру) — метричні простори, [ : X -> У і — компакт.
Якщо відображення [ неперервне й оборотне, то /*’1 неперервне.
Нехай (уп) — послідовність точок множини Еі, збіжна до у0 С
£ і а — часткова границя послідовності (/“"1 (уя)). Оскільки
В} — компакт, то а £ £),. З неперервності відображення / випли-
ває, що / (а) є частковою границею послідовності (уп), внаслідок
чого / (а) = у0 і а =	(у0). Таким чином, усі часткові границі
послідовності (/“’1 (уп)) дорівнюють (у0), тобто Ііт (уп) =
П-юо
= Г*1 (Уо), Щ° означає неперервність відображення у точці у0.
Оскільки Уо — довільна точка множини Ег, то /'”1 — неперервне
відображення. >
2.17.	Границя й неперервність відображення у розумінні Коші.
Деякі властивості неперервних відображень. Нехай (X, рх), (У,
ру) — метричні простори, ! : X -> У.
Означення 1. Нехай х0 — гранична точка множини а £ У.
Точка а називається границею відображення [у точ-
ці х0 у розумінні Коші, якщо
\/е>0 96>0: Ух££>/ (0<рх(х0, х)<б)=^(ру(а,/(х))<е). (1)
Теорема 1. Означення границі відображення у точці за Гейне
і за Коші еквівалентні.
< Нехай Ііт / (х) = а у розумінні Коші, хп х0 і V п £ хп Ф
Х-*Х0
=/= х0. Тоді для вказаного в умовах (1) 6 > 0 існує таке пе € Щ°
Vп Пб 0 < рх (х0, хп) < 6. Згідно з означенням 1,
ру (а, / (х„)) < є, тобто Ііт / (хп) = а. Дістали, що точка а є гра-
«-►оо
ницею відображення / у точці х0 у розумінні Гейне.
Нехай а = Ііт / (х) у розумінні Гейне, і покажемо, що а є гра-
х-+х0
ницею відображення / у точці х0 у розумінні Коші.
Припустимо, що це не так, тобто для деякого е0 > 0 не можна
вказати відповідного 8 > 0 з умов (1): V б >> 0 існує таке х £
що 0 < рх (х0, х) < б, однак ру (а, / (х)) 5^ є0. Візьмемо нескін-
ченно малу послідовність (6П) додатних чисел. За припущенням
V п £ існує така точка хп £ £)>, що хп =/= х0, 0 < рх (х0, хп) < бп,
однак ру (а, / (хп))	е0. Оскільки бп = о (1), то Ііт хп = х0, звідки
«-►оо
401
повинно випливати граничне співвідношення Ііт ру (а, [ (хп)) =
= 0, яке суперечить умові ру (а, / (ха)) є0 У Джерело
протиріччя — в припущенні, що а не є границею відображення /
у точці х0 у розумінні Коші. >
Означення 2. Відображення / : X -> У називається н еперерв-
ним у точці х0 £ Р^ у розумінні Коші, якщо
Ує > 0 36 > 0 : Ух Є йі (Рх (х0, х) < 6) => (ру (/ (х0), / (х)) < е). (2)
Очевидно, що означення неперервності відображення у точці
за Гейне і за Коші рівносильні між собою.
Нагадаємо, що множина V сг X називається околом точки х0 £
Є X (див. п. 2.4), якщо існує така відкрита множина 6 с X, що
х0 £ 6 сг V. Якщо х0 £ А а: X, то перетин А П V називається око-
лом точки х0 в А (вірніше — в метричному підпросторі (Л, рх)).
Поняття неперервності відображення у точці носить локальний
характер. Про це свідчать наступні два твердження.
Теорема 2 (про неперервність звуження відображення). Не-
хай відображення / неперервне у точці х0 £ Р/, Л с: Р/ і х0 £ А. То-
ді / |д — неперервне у точці х0 відображення.
< Нехай хп х0 і V п £ хп £ А. Тоді
/ід (*„) = /(хп)-*/(х0) = !\а (%о),
що означає неперервність відображення / |д у точці х0. >
Теорема 3. Нехай існує такий окіл № точки х0 в що відоб-
раження ї неперервне у точці х0. Тоді відображення / : X -> У
неперервне у точці х0.
4 Нехай хп-> х0 і Ул £ хп £ Р/. Існує такий номер и0 £ що
Уп > п0 хп £ №. Оскільки
/ (хпв4.п) = Ля?	Лц/ (Хо) = / (Х0),
то / (хп) (х0) при п -> оо. За означенням відображення / непе-
рервне у точці Хо. ►
Зміст теорем 2 і 3 полягає втому, що властивість неперервності
відображення у точці залежить лише від тих значень, яких воно
набуває в деякому її околі.
Сформулюємо поняття неперервного відображення на мові
околів.
Означення 3. Нехай (X, рх), (У, ру) — метричні простори. Ві-
дображення X V називається неперервним у точці х0 £
Є X, якщо для кожного околу V' точки / (х0) в (У, ру) існує такий
окіл V точки х0 в (X, рх), що / (V)	У'. Відображення ї називається
неперервним, якщо воно неперервне У х £ X.
Оскільки множини Ое (/ (х0)) сз У, Об (х0) с X є околами точок
/ (х0) І х0, то поняття неперервності відображення у точці можна
І
сформулювати на мові є- та 6-околів: відображення X У назива-
ється неперервним у точці х0 £ X, якщо для кожного око-
402
лу (х0)) с: ¥ існує такий окіл Оь (х0) сі X, що ї (Оя (х0)) с=
с Оа (/ (х0)).
Теорема 4. Для того щоб відображення X ¥ було неперерв-
ним у точці х0 £ X, необхідно й достатньо, щоб прообраз (І/')
кожного околу V' точки / (х0) в (У, ру) був околом точки х0 в (X, рх).
<4 Необхідність. Якщо відображення / неперервне у точці х0, то з
означення 3 випливає, що х0 £ V с: (V'), отже, прообраз Д"1 (V')
є околом точки х0 в (X, рх).
Достатність. Якщо ІГ =	(V') — окіл точки х0 в (X, рх), то
існує така відкрита множина О, що х0 £ О сз ІГ, внаслідок чого
Vі о/(С), ►
Теорема 5. Нехай X -> ¥ і х0 £ X — точка дотикання мно-
жини А сі X. Якщо відображення ] неперервне у точці х0, то
/ (х0) — точка дотикання множини / (Л).
< Якщо V' — окіл точки / (х0) в (У, ру), то за теоремою 4	(V') —
окіл точки х0 в (X, рх). Оскільки х0 — точка дотикання
множини Л, то Л П Г1 (V') #= 0- Отже, існує точка х£Л П
П (V'), внаслідок чого / (х) £ / (Л) р Vі, тобто множина / (Л) ГІ
П У' непорожня. Оскільки ¥’ — окіл точки / (х0), то вона є точ-
кою дотикання множини / (Л). >>
Наступне твердження носить глобальний характер.
Теорема 6. Нехай X У. Наступні умови еквівалентні:
1)	/ — неперервне відображення;
2)	прообраз (0) кожної множини О, відкритої в (У, ру), від-
критий в (X, рх);
3)	прообраз (Р) кожної множини Р> замкненої в (У, ру), зам-
кнений в (X, рх);
4)	для кожної множини А с= X виконується включення ? (Л) сз
О Ж).
<4 Доведемо, що 1) => 4) => 3) => 2) => 1).
Нехай відображення / неперервне і Л с X — довільна мно-
жина, А — Ті замикання, складене за означенням з усіх точок до-
тикання множини Л. Якщо х Є X — точка дотикання множини Л,
то за теоремою 5 / (х) — точка дотикання множини / (Л). Тому
/(Л)с=Ж) і І)=>4).
Якщо виконано умову 4) і Р сг ¥ — замкнена множина в (У, ру),
А =	(Г), то / (Л) сі Р = Р. Отже, А сі /-1 (Р) = А і оскільки
Л с Л, то Л — замкнена множина. Таким чином, 4) => 3).
:Нехай виконано умову 3). Згідно з рівністю 7), п. 1.7, розд. і,
маємо
Г‘ (іпі Р) = г* (Р\дР) = Г1 (ЛХГ1 (дР) = іпі г1 (Р).
Отже, 3) => 2).
Залишилося довести, що 2) => 1). Нехай виконується умова 2).
Якщо V' — окіл точки / (х) в (У, ру), то існує відкритий окіл ІГ' с:
403
с: V' цієї самої точки. Прообраз Г“] (^л) є відкритою в (X, рх) мно-
жиною, яка містить точку х і сама міститься в (V"). За теоремою
4 відображення / неперервне у точці х £ X. Оскільки х — довільна
точка, то / — неперервне відображення. >
Зауважимо, що образ відкритої (відповідно замкненої) множини
при неперервному відображенні, взагалі кажучи, не буде відкритою
(відповідно замкненою) множиною. Наприклад, відображення х
»-► х4, х £ К, неперервне в к, однак образ [0, 1) відкритої множини
(—1, 1) не є відкритою множиною.
Теорема 7. Нехай (X, рх), (У, ру), (7, рх) — метричні прос-
тори, X -> У, У 7. Якщо відображення ? неперервне у точці х0
і § неперервне у точці Уь~ ї (х0), то композиція 1і~ § о / неперерв-
на у точці х0. Якщо відображення / і § неперервні, то їх компози-
ція її також неперервна.
◄( Друге твердження випливає з першого. Нехай V" — окіл точки
Н (х0) = £ (/ (х0)) в (7, рД Тоді з теореми 4 і умов теореми випли-
ває, що я-1 (V") — окіл точки у0 = [ (х0) в (¥, ру) і Г' (8~] (V")) —
окіл точки х0 в (X, рх). Оскільки	(V")) = Н~' (V")), то звід-
си випливає, що прообраз /і- (V") кожного околу V" в (2, рг) є око-
лом точки х0 в (X, рх). Згідно з теоремою 4, відображення Н непе-
рервне в точці х0. >
2.18. Рівномірно неперервні відображення. Нехай (X, рх),
(У, ру) — метричні простори і X У.
Означення. Відображення ? називається рівномірно не-
перервним, якщо V е > 0 3 6 > 0:
УСчЄХ.ХзЄХ) (Рх(х1,х2)<б)=^(рг(/(х1),/(х2))<е). (1)
Очевидно, що рівномірно неперервне відображення є неперерв-
ним. Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Наприклад,
функція хь>х2, хек, не рівномірно неперервна, бо для даного
Н > 0 різниця (х + А)2 — х2 = Н (2х + Н) може набувати будь-
яких великих значень.
Теорема 1. Для будь-якої непорожньої множини А сі X відо-
браження X р (х, Л) рівномірно неперервне.
< Справедливість твердження випливає з означення рівномірно
неперервного відображення і нерівності
І Рх	Рх І Рх (^1’ ^2),
яка виконується V (хх £ X, х2 € X) (див. п. 2.3). >
Теорема 2. Нехай (X, рх), (У, ру), (2, рг) — метричні просто-
ри, X У, У-> 7. Якщо } і § — рівномірно неперервні відображен-
ня, то відображення X 7 рівномірно неперервне.
Нехай е > 0. Тоді існує таке ц > 0, що
У2ЄЛ (Ру(0і.^)<П)^(РД£(44).£(У2))<8) <2)
(внаслідок рівномірної неперервності відображення £). Оскільки
404
відображення ] рівномірно неперервне, то для указаного т] >* 0 іс-
нує таке 6 > 0, що
X, ха£Х) (рх (х1,х2)<6)=>(ру(/(х1),/(х2))<їі). (3)
З (2) та (3) дістаємо, що V є > 0 існує таке 6 > 0, що
(-^1 С X, ^2 £ ^0 (Рх (^1> ^2)	(р£ С^1)> (^2)) <'^
тобто відображення Н рівномірно неперервне. >>
Теорема 3 (Кантора). Нехай (X, рх) і (У, ру) — метричні про-
стори. Якщо (X, рх) — компактний простір, то кожне неперервне
І
відображення X -+ ¥ рівномірно неперервне.
4 Припустимо, що І — неперервне відображення, але не рівно-
мірно неперервне. Тоді існують таке ео>0 і дві послідовності
(•**)>(*«) точок простору (X, Рх), що рх(х^,	однак
Ру (/(х„)> / и«)) єо- Знайдеться підпослідовність (•*£), збіжна
до деякої точки х0(ЕХ (внаслідок компактності простору (Х,рх)).
Оскільки рх (х’Пк> ^Х-^- і Рх (*о> хПк) < Рх (х0> х'Пк) + рх (х’Пк,
х" ), то х^к~^х0 при й->оо. З неперервності відображення / у
точці х0 випливає існування такого 6 > 0, що Ух^Х (рх (х0,
х) <6)=> /ру (/ (х0), / (х))< -уИ . Візьмемо номер йСМі для якого
Рх (Х»> Хп^ < 6 ' Рх (Х0’ Хпь) < б- Тоді
ру (/ (< ). / (< )) < РУ (/ (х' ), / (х0)) + рг (/ (х0), / (X- )) < є0,
що суперечить визначенню послідовностей (хп) та (х'п). ►
2.19. Гомеоморфізми. Еквівалентні відстані. Нехай (X, рх),
(У, ру) — метричні простори.
Означення 1. Біективне відображення X «-» V називається го-
меоморфізмом, якщо $ і /^”1 неперервні.
Такі відображення називаються взаємно неперервними. У цьо-
му випадку обернене відображення є гомеоморфізмом У на X.
Теорема 1. Нехай (X, рх), (У, ру), (2, рг) — метричні просто-
І в
ри, X <-> У, У <-> 2 — гомеоморфізми. Тоді композиція Н = § © / є
гомеоморфізмом X на 2.
н
За теоремою 7, п. 2.17, біективне відображення X X неперерв-
не. Нехай х0 € X. Згідно з теоремою 4, п. 2.17, прообраз /і- (У")
кожного околу V точки й (х0) =	° /) (х0) в (2, рх) є околом точки
л-1
х0 в (X, рх). Внаслідок цього й бієкція 2 «->
Н (х0). Оскільки х0 — довільна точка, то Н
неперервна у точці
— неперервне від-
ображення.
405
Гомеоморфізм може не бути рівномірно неперервним, наприклад
Ж ІК, де / (х) = х3.
Означення 2. Метричні простори (X, рх) і (X, ру) називаються
і
гомеоморфними, якщо існує гомеоморфізм X <-> У.
Теорема 2. Два метричні простори, гомеоморфні третьому,
гомеоморфні між собою.
4 Якщо простори (X, рх) і (У, ру) гомеоморфні простору (7, рД
І е
то існують гомеоморфні відображення X 2 і V 2. Відображен-
1
ня 2++У гомеоморфне. За теоремою 1 композиція о / є гоме-
оморфізмом X на У.
З означення ізометрії (див. п. 2.2) випливає, що вона є гомео-
морфізмом.
Нехай (X, рг) і (X, р2) — метричні простори. Якщо тотожне ві-
дображення х х гомеоморфне, то Рх і р2 називаються еквівалент-
ними або топологічно еквівалентними відстанями в X. З теореми 6,
п. 2.17, випливає, що в цьому випадку в (X, рі) та (X, р2) збігають-
ся сім’ї відкритих множин. Топологією метричного простору (X, рх)
називають сім’ю відкритих множин у ньому. Еквівалентні відстані
породжують одну й ту саму топологію. Околи, замкнені множини,
точки дотикання, замикання, внутрішність множини, множини зов-
нішніх точок, щільні множини, межі, неперервні функції є тополо-
гічними поняттями. Топологічні властивості метричного простору
інваріантні при гомеоморфізмах. Поняття куль, сфер, діаметра,
обмеженої множини, рівномірно неперервної функції не є тополо-
гічними.
Нехай (X, рх) і (X, р2) — метричні простори. Якщо тотожне ві-
дображення х х неперервне за метрикою р2 і розривне за метри-
кою рх, то у цьому випадку топологія простору (X, рх) називається
сильнішою від топології простору (X, р2). Наприклад, якщо X = К,
рх — дискретна метрика (див. п. 2.1), р2 = | х — у | V (х £ Щ, у Є
£В{), то топологія простору (К, Рі) сильніша, ніж топологія просто-
РУ (К, Ра)-
Вправи
1.	Нехай (X, рх) та (У, ру) — метричні простори, X — •* У. Довести, що на-
ступні умови еквівалентні:
а)	/ — неперервне відображення;
б)	для кожної множини Вс У Г”1 (іпі В) с: іпі У-"1 (В));
в)	для кожної множини В с У Г"1 (В) с 1 (В).
2.	Нехай (X, р) — метричний простір, 4 с X і г > 0, Уг (Д) = (х Е X |
р (х, Д) г). Довести, що V (Д <= X, г > 0) множина У'г (А) замкнена.
Вказівка. Застосувати теорему 1, п. 1.18.
3.	Нехай (X, р) — метричний простір, Д сс X І В сс X — непорожні мно-
жини, для яких ДПВ=ДГ|В=0. Довести, що існують такі відкриті в (X,
р) множини бі А і 62 В, що п 62 = 0.
406
Вказівка. Розглянути відображення х і-> р (х, 4) — р (х, В).
3. Нехай (X, рх) і (У, ру) — метричні простори, X У — неперервне від-
ображення,	— покриття множини У відкритими множинами. Довести,
що коли V X £ А звуження є гомеоморфізмом на 6^ с К, то / — гомео-
морфізм X на У.
2.20. Добуток двох метричних просторів. Нехай (Хь рх,), (Х2,
Рх,) — метричні простори, X = X, X Х2, х = (х1( х2) € X і у =
= (уг, Уі) X — довільні точки. Покладемо
Рх (х> у) = тах {Рх, <Х1’ У1)> Рх,	У і)}-	1 '
Відстань рх задовольняє усі аксіоми метрики. Дійсно,
Рх (х> У) = 0=> рх< (хр уг) = 0 Л рх, (х2, у2) = 0 =►
=> Хг = ух /\ х2 = у2 => X = у.
Умова рх (х, у) = рЛ (у, х) виконується, оскільки
Рх4 (^1» ^1) =	(^1» ^1)’ Рх* ^2) = Рх2 (^2’
Перевіримо виконання нерівності трикутника. Нехай г = (ги
г2)СХ. Оскільки РХ1 (хп УїХ Рх, (•*!» 2і) + Рх. <2і>	Рх,(х2>
Рх, (х2> 2а) “і* Рх, (22> Уі)’ то
р (х, у) = тах {рХі (хр у^, рх, (х2, у2)} С тах {рХі (х„ гг) +
+ Рх, (2і> Уі)> Рх, <х2. г2) + рХі (г2, у*)} < тах {рХі (хх, гх),
Рх, (хг<2г)} + тах (рХі (гр ух), рх> (г2, у2)} = рх (х, а) + рх (г, у).
Означення. Метричний простір (X, рх) називається добут-
ком просторів (Хь рх.) і (Х2, рх,).
Неважко перевірити, що відстані в множині X, визначені фор-
мулами
(х, У) = Рх, (хі> У і) + Рх, (х2. Уі)>	(2)
Р^2) (х, у) = 1/(рХі (хх> уг))2 + (рХ; (х2, г/а))2,	(3)
також задовольняють аксіоми метрики. Виконується ланцюжок не-
рівностей
Рх (*’ у) < р£’ <х> у) < р5с° <х’ У) < 2Рх <х> У)’	(4>
у зв’язку з чим відстані і р^ називаються рівномірно еквівалент-
ними відстані рх. Це означає, що в усіх питаннях, які відносяться
до топологічних властивостей, а також до фундаментальних послі-
довностей і рівномірно неперервних функцій, не має значення, яку
з відстаней (1) — (3) брати в X.
Теорема 1. Для будь-якої точки а = (аь а2) £ X і будь-якого
г > 0 мовмо
ОТ (а) = Ог (Ді) х Ог (а2),	(5)
407
де Ог (а), Ог («і), Ог (а2) — відповідно відкриті кулі в метричних
просторах (X, рх), (Хь рх,), (Х2, рх2).
< Маємо
Ог (^1) = {^1 Є 1 Рх1 (Л1’ ^і)
Ог (^2) ~ {^2 € % 2 1 Рх ^2» ^2) <^'
ОТ (^і) X Ог (й2) = {(^і> -^2) € х X 21 тах {р^ (#і> ^і)>
Рх2(а2^2)}<''} = {*ЄХ ІРХ (а, *)<<} = Ог(а). ►
Наслідок. Якщо Ог (а), Ог (ах), Ог (а2) — замкнені кулі
відповідно в просторах (X, рх), (Хь рхг), (Х2, рх2), то
Ог (а) = Ог (аг) х Ог (а2).	(6)
Теорема 2. Нехай 2	/ (?) = (А (г), А (*)) — відображення мет-
ричного простору (2. рх) в добуток метричних просторів (Хх, рхх)
та (Х2, рхй). Для того щоб / було неперервним у точці г0 £ 2, необ-
хідно й достатньо, щоб відображення 2 Х± і 2 Х2 були непе-
рервними в цій точці.
< Необхідність. Нехай / — неперервне відображення, / (г0) ==
= Хо = (А (г0), А (*о)) Є Хх х Х2, Ог (х0) — ОКІЛ точки х0 у просто-
рі (X, рх). За теоремою 4, п. 2.17, його прообраз (Ог (х0)) є око-
лом точки г0 у просторі (2, рх). Згідно з теоремою 1, маємо
Ог (*0) = ог (А (г0)) х Ог (А (г0)).	(7)
Упевнимося в тому, що
Г* (О, (ХО)) = ГГ1 (Ог (/1 (*»))) П /Г1 (Ог (ЇЛ (г0))).	(8)
Для зручності вважатимемо Ог (х0) = V, о, (К (г0)) = Гь
Ог (/2 (г0)) = Г2.
Якщо г £ / 1 (V), то
=> г € /Г* (^,) П /Г1 (ІГ2) =► Г* (Ю с /Г’ (^,) П А-' (^2).
Якщо ге/Г’СГ,) П /Г’(^2), то
г € № (ПА) Л г Є (№2) П (г)	(г) €	[ (г) Є х
х ІГ2 / (г) Є V => г 6 Г1 (Ю => /Г* (^,) П А”1 №2) с Г* (Ю-
З одержаних включень випливає рівність (8). Оскільки (Ог (х0)) —
окіл точки г0 в просторі (2, рД то множини /Г (О, (/і (г0))),
/Г (Ог (г0))) також є околами цієї точки, внаслідок чого відоб-
раження А та А неперервні при г = 20.
Достатність. Якщо відображення А і А неперервні у точці г0,
то множини /і"1 (О, (її (^о)))» А”1 (О, (А (?<}))) є околами точки г0 у
просторі (2, рх). За теоремою 5, п. 2.4, їх перетин — множина
(Ог (х0)) — є околом точки г0. ►
408
Теорема 3. Нехай г / (г) — (Д (г), Д (?)) — відображення
метричного простору (2, р2) в добуток, метричних просторів (Х^
Р*ї) * (^2» Рх2)* Для того щоб [ було рівномірно неперервним, необ-
хідно й достатньо, щоб відображення 2 Хг і 2 Х2 були рів-
номірно неперервними.
Твердження випливає з означень рівномірно неперервного ві-
дображення та добутку двох метричних просторів.
§ 3.	Лінійна залежність елементів
векторного простору. Лінійні
оператори і функціонали
3.1.	Лінійна залежність. Базис. Нехай (£, +, •) — векторний
простір над полем К (Ж = К або Ж = (£). Якщо х, £ £, X* £ Ж (/ =
= 1, ти), то вектор
т
(0
/=1
називається лінійною комбінацією векторів X/ (/ == І, ги), а числа
А/ (/ = 1, т) — її коефіцієнтами.
Означення 1. Скінченна система векторів (Х/)^^ (т £ ^)
називається лінійно незалежною, якщо її лінійна ком-
бінація перетворюється в нуль тоді і тільки тоді, коли усі її кое-
фіцієнти дорівнюють нулю, тобто
— 0 ФФ Х^ — 0, / = 1, т.	(2}
7=1
Зчисленна система векторів (х/)/еи називається лінійно
незалежною, якщо будь-яка її скінченна підсистема лінійно
незалежна.
Властивість лінійної залежності чи незалежності системи векто-
рів зберігається, якщо її елементи переставити будь-яким способом.
Кожна підсистема лінійно незалежної системи векторів також лі-
нійно незалежна Жодний вектор лінійно незалежної системи не
може бути нульовим і хг=/= X/ при і Якщо х £ £ і х=/= 0, то
система {х}, складена з одного елемента х, лінійно незалежна.
Припустимо, що у векторному просторі Е існує лінійно неза-
лежна система векторів е2, ..., еп і немає ніякої лінійно незалеж-
ної системи, яка б складалася з більшої за п кількості векторів.
Тоді говоримо, що £ є п-вимірним векторним простором, а число
п називається його числом вимірів або розмірністю і при цьому за-
писуємо <ііт £ = п. Якщо ж векторний простір £ містить нескін-
ченну систему лінійно незалежних елементів (х^)^/, то простір £
називається нескінченновимірним.
Означення 2. Нехай Е — п-вимірний векторний простір над по-
лем Ж- Кожна лінійно незалежна система, яка містить п векторів
з Е, називається базисом цього простору.
409
Теорема. Якщо еГі е2, еп — базис простору Е, то кожний
вектор х £ Е однозначно зображається у вигляді лінійної комбі-
нації
п
X = £ хіеі-	(О
;=1 ____________
Однозначно визначені коефіцієнти Хі (і = 1, п) називаються ко-
ординатами вектора х відносно базиса ег, е2> ..., еп.
< Оскільки в Е не існує лінійно незалежної системи, складеної
в п + 1 векторів, то система х, е2, еплінійно залежна, тоді як
п
система ег, е2, ...,еп лінійно незалежна. Тому х = Якби Існу-
і=і
п	п
вало ще одне зображення х = 2 Уіеь т0 Дістали б, що 2	У і) х
і=і	і=і
X Є} = 0, звідки внаслідок лінійної незалежності системи е19 е2, ...
..., еп випливає, що У і = 1, п хі = уГ >
3.2.	Еквівалентні норми в нормованих векторних просторах.
Нагадаємо (див. п.1.2, означення 4), що дві норми || • Ці, || • ||2 в
нормованому просторі Е називаються еквівалентними, якщо існу-
ють такі числа > 0, с2 > 0, що V х £ Е виконуються нерівності
Сі IIXII
II X ||2 <
|| X ||].
Було доведено, що впроваджені в просторі три норми еквіва-
лентні. Доведемо більш загальне твердження.
Теорема. У скінченновимірному просторі Е над полем ЕК (К =
= Ц або^ = (£) будь-які дві норми еквівалентні.
4 Виберемо в Е базис е^ е*,...,еп. Тоді Мх^Е маємо х~
п
=	х^. Позначимо через || х || задану норму в Е і покладемо
/=і
II ^Ці= тах |Хі|. Тоді
п
і—]
(1)
п
Покладемо £=^||еЛ. Дістанемо нерівність
І=І
ІИК* 11*111.	(2)
Оцінимо II х (І знизу. Розглянемо тотожне відображення X х век-
торного простору (Е, +, •, || • ||х) на векторний простір (Е, +, •,
Ц • ||). Воно неперервне V а £ Е, бо Уе>0 існує 6 = — > 0:
с
(||х —а||£ <6)=>(||х —а||<с||х —аЦ^сб = е).	(3)
410
Згідно з теоремою 6, п. 2.17, прообраз кожної замкненої множи-
ни в Е замкнений, тобто будь-яка частина Р о: Е, замкнена в
метриці р, породженій нормою ||-1|, замкнена і в метриці р,, по-
родженій нормою Ц • 11і- Зокрема, куля Ог (0) = {х£ Е || х ||	г),
замкнена в метриці р, е замкненою і в метриці р,. Розглянемо
одиничну сферу 5, (0) = {х £ Е11| х ||, = 1], яка є деякою замкне-
ною і обмеженою за метрикою р, частиною Е, тобто компактом.
Нехай Рг — перетин 5, (0) з кулею Ог (0), замкнений за метрикою
р,. Це — деяка замкнена частина компакта 5,(0). Розглянемо
сім’ю всіх замкнених за метрикою р куль (ОГа (0))аЄд, радіуси
яких задовольняють нерівність га^г. Очевидно, що П О (0) =
= {0}, а перетин Га = бГа(0) П 5,(0)— замкнена за метрикою р,
множина Уа^Д. Оскільки сфера 5,(0) не містить початку коор-
динат/ то Л Ра= Л (ОГа(0) Л 5,(0)) = ( Л Ога(0)) П 5,(0) =
а€Д а£Д а	аЄД
= 0. Згідно в теоремою 7, п. 2.12, існує така скінченна сім’я
сЛ (До— скінченна множина), що П Лх = 0- Звідси
випливає існування такого г0>0, що ОГо(0) П 5,(0) = 0. Тоді а
умови || х || г0 випливає нерівність ||х||1< 1. Дійсно, коли б
було не так, то знайшлася б точка хо^Ог„ (0), яка б задовольняла
умову || х011,^1. Візьмемо X = .г- -. Дістанемо, що || %х0|| С
^Хг0^г0 і ||%х0]|,= 1, а це суперечить умові ОгДО) Л 5,(0) =
= 0. Нехай х£Е — довільне. Виберемо таке р>0, щоб викону-
валася нерівність < гу. Тоді  <1 і || х ||3 < р =	,
якщо ц =	. Таким чином, взявши до уваги нерівність (2),
дістанемо двосторонню оцінку
ГоIIх 111 <11 яII <с||X||„
(4)
з якої випливає, що норми || • || та || • ||, еквівалентні. Оскільки
відношення еквівалентності норм транзитивне, то з доведеного ви-
пливає, що всі норми у векторному просторі Е еквівалентні. >
Доведена властивість не переноситься на нескінченновимірні
простори.
3.3.	Лінійні оператори і функціонали. Нехай Е і Р — векторні
простори над полем(К (ІК = К або (К = С).
Означення. Відображення Е Р. називається лінійним
відображенням або лінійним оператором, як-
що V (х £ £, у б б К)
V (х + У) = У (х) + У (у) (властивість адитивності), (1)
і/ (А,х) = ХЕ/ (х) (властивість однорідності).	(2)
411
Зокрема, коли Р = (К, відображення V називається лінійною
формою або лінійним функціоналом на Е.
Розглядають також лінійні відображення А Р9 де А сг Е —
вектор н ий п і дпр ост і р.
З умови (2) дістаємо, що І] (0) = 0.
Позначимо через (Е, Р) множину усіх лінійних відображень
простору Е в простір Р. Вона перетворюється у векторний простір
над полем (К, якщо V ((У Е ££ (Е, Е), V £ £ (Е, Е), 1Е Ю покла-
демо
(V + V) (х) = и (х) + V (х) V Є Е,	(3)
(МУ)(х) = Ш(х) Ух£Е.	(4)
В окремому випадку, коли Р = (£, замість (Е, (£) записують
Е* і називають простір Е* алгебраїчно спряженим з Е.
Лінійне відображення Е Р називається лінійним ізоморфіз-
мом Е на Е, а самі простори Е та Е називаються лінійно ізоморф-
ними.
Якщо V — лінійне відображення, то будемо записувати Их за-
мість У (х) (за аналогією з записом лінійної функції з К в К).
Нехай В ї=1,/л} — базис векторного простору 0?т над
полем К, — лінійна форма, х^К™—довільна точка. Тоді
т
х = Хіві (див. п. 3.1), де Хі — координати х в базисі В.
£=1
З властивостей (1), (2) дістаємо
т	т	т	т
ш ~ и (X ХіЄі)= X ~ и Х| = X а‘Хі< (5^
£==1	Ь=1
де й/ = ІЇЄі — коефіцієнти лінійної форми £7. Значення лінійної
форми К™ — •* Щ має вигляд (5).
3.4.	Обмежені лінійні оператори. Норма лінійного оператора.
Зв'язок між неперервністю і обмеженістю лінійного оператора. Не-
хай Е і Е — нормовані векторні простори, Е —•* Е — лінійний
оператор.
Означення 1. Лінійний оператор V називається о б м еж е •
ним, якщо існує така стала С £ К, що V х Е Е
||і/х||СС||х||.	(1)
Оскільки ІІх Е Е і х Е Е1, то норми |) 1)х || і || х || беруться у
відповідних просторах.
Означення 2. Нехай І) — обмежений лінійний оператор. Най-
менша із сталих С, які задовольняють умову (1), називається нор-
мою оператора І/ і позначається | і) ||.
З означення норми лінійного оператора І/ випливає, що || І] ||
має такі властивості:
1) Ц (Ух || Ц І) Ц Ц х Ц \/х Е Е;
2) V є > 0 3 Е Е : || (Ух. || > (1|(У | - є) || хе ||.
412
Теорема 7. Для будь-якого обмеженого лінійного оператора І)
виконуються співвідношення
||^||= зир ||(/х||= зир Ж	(2)
11*11^1	«=#0 II х II
◄	Якщо || х ||	1, то з умови 1) дістанемо оцінку | 11х | ^ | £/ ||,
внаслідок якої
зир Ц і/х Ц СІ| V її	(3)
іиі^і
Нехай є>0. Згідно з умовою 2), існує таке Хг£Е, що ||7/хе||>
хе
>	(II с/II — є)|| Хе ІЬ Покладемо ув= "її* || * Тоді ІІ^Н = 1 1 ви'
конується нерівність
зир || Ух Ц > Ц У у ||.	(4)
11X11^1
Оскільки оператор V лінійний, то
11^11 = пПГІІ^ІІ>ІІ^ЇГ(II^11 -8)IIII = ІІ^ІІ-8- (5>
Взявши до уваги нерівності (4), (5), а також довільність вибору є >
> 0, упевнимося в тому, що виконується оцінка
зир Ц 77х Ц || І) ||.	(6)
ІИІ^І
Зіставляючи нерівності (3) та (6), дістаємо співвідношення (2). >
Теорема 2. Лінійний оператор 11 неперервний 1 тоді і тільки
тоді, коли він обмежений.
◄	Необхідність. Нехай І! — неперервний лінійний оператор. При-
пустимо, що він необмежений. Тоді знайдеться така послідовність
(хп) елементів з Е, що
ІІ^пІІ>"І|хп||.	(7)
Покладаючи уп =	 дістанемо, що || уп [| =	-> 0 при п ->
оо. Внаслідок неперервності оператора і/ повинно виконувати-
ся граничне співвідношення Ііт 11уп == 7/ (0) = 0, яке суперечить
нерівності Ц 11уп || > 1, що випливає з (7). Джерело протиріччя—
л-юо
в припущенні, що оператор 11 необмежений.
Достатність. Якщо оператор 11 обмежений, то існує така стала
С £ К, що V х £ Е виконується нерівність
|| і/х|| ^.С ||х||.	(8)
Нехай хп -> х. Це означає, що || хп — х || -> 0 при п -> оо (див.
п. 1.2). Тоді Ц 11 хп — 11х Ц = Ц 11 (хп — х) Ц < С Ц — х Ц -> 0
при п -> оо, тобто 11хп -> 11х і оператор 11 неперервний у кожній
точці х С Е. >
Якщо Е — скінченновимірний нормований простір, то кожний
лінійний оператор 11 £	(Е, Е) рівномірно неперервний. Дійсно,
1 Див. пп. 2.14 і 2,17,
413
оскільки в скінченновимірному просторі усі норми еквівалентні,
то для доведення твердження введемо в Е деякий базис еІ9 е2> .еп
і визначимо V х £ Е норму рівністю || х || == тах | х{ |, де хг (і =
= 1, п) — координати точки х у вибраному базисі. Тоді V (х £
у £ Е) дістанемо
п
II Іїх — У у II = IIУ (х — у) II = Ц и (2 (х{ — У і) Єї || =
Г=1
п
п
п
= С||х —1/||, С= £11(^11.
Нехай е > 0. Тоді існує б = -І- : V (х £ Е, у £ Е) (|| х — у Ц <
< 6) => (Ц (7х — ІУу Ц < е), тобто оператор ІУ рівномірно непе-
рервний.
Якщо простір Е нескінченновимірний, то висловлене тверджен-
ня втрачає чинність: у цьому випадку існують лінійні розривні
відображення.
3.5.	Ядро й образ неперервного лінійного відображення. Нехай
Е і Е — векторні простори над полем [К (К = К або (К == (С)» 77 6
Є (£,
Означення. Ядром відображення ІУ називається прообраз
нуля простору Е, тобто множина усіх таких х £ Е, що ІУх = 0.
Ядро відображення II Є (Е, Е) позначається символом кег 77.
Таким чином, кег ІУ = ІУ~] ({0}).
Нехай х 6 кег 77, у £ кег 77, X £ К. Оскільки ііх = 0, ІУу = 0,
то внаслідок адитивності й однорідності відображення 77 маємо
(У (х + у) = ііх + ІУу = 0 => (х 4- у) £ кег 77,
77Хх = Х77х = 0 => Хх £ кег 77.
Отже, ядро лінійного відображення 77 є векторним підпростором
простору Е.
Образ відображення ІУ £	(£, Е) також є деяким підпросто-
ром векторного простору Е. Розмірність цього підпростору нази-
вається рангом відображення ІУ. Якщо простори Е та Е скінченно-
вимірні і якщо в цих просторах вибрано базиси, то лінійному опе-
ратору ІУ відповідає деяка матриця. Ранг відображення ІУ дорів-
нює рангу цієї матриці.
Якщо простори Е та Е нормовані, а відображення ІУ £ £ (Е, Е)
неперервне, то множина кег ІУ замкнена як прообраз одноточкової
множини {0} с: Е, яка є замкненою.
3.6.	Полілінійні форми у векторних просторах. Нехай Е —век-
торний простір над полем К (К = К або К = (£), Еп = Е х Е х...
...х Е.
414
Означення. Відображення Еп (К називається п - лі н ій н о ю
формою (п-лінійним відображенням в поле ска-
лярів, тензором), якщо воно лінійне відносно кожної змінної.
Лінійність відображення Т відносно першої змінної означає,
що V (хх Е Е, Е Е. х2 Е Е, хп Е Е, Х.х Е (К, Ні 6 К)
Аналогічний зміст має властивість лінійності відносно інших змін-
них. Зокрема, лінійність відносно останньої, п-ї змінної хп озна-
чає, що
V (%і Е Е,... . %п—і € Е, хп Е Е, х'п Е Е, Хп Е К, Рп Е К)
7* (Хр ... , Хп—1»	Нп^п) =	••• » %п) ~Ь
+ Ип^(х1, ... , Хп-1, <).	(2)
Якщо значення п не відіграє ролі або воно фіксоване і з тексту
ясно, про що йде мова, то замість п-лінійної форми ведуть мову
про полілінійну форму. Іноді вживають термін «и-форма», маючи на
увазі п-лінійну форму Еп —0<. Множину всіх п-форм позначимо
символом (Е). Позначення зв’язане з тією обставиною, що часто
л-лінійну форму Еп —- [£ називають коваріантним тензором по-
рядку п у просторі Е.
У випадку, якщо п = 2, форма Е2 —- (К називається біліній-
ноіо.
Розглянемо приклади.
>
Приклад 1. Нехай Е = К = К. Тоді 1-форма Т е звичайною лінійною функ-
цією однієї дійсної змінної, яка визначається за правилом Т (х) = Хх V х £ К
(X £ ІР). Зокрема, функції х н> 2х, х н» у, х У^х, х і-> х е 1 «формами. Вони з
множини (К).
Приклад 2. Нехай Е = ОС = К, п = 2. Тоді 2-форми Т — це функції виду
Т (*і, *з) = Хх?х3 V (*і Е К, х2 6 0?) (X Е ІР). Зокрема, 2ххх2, 5ххх2, — ххх2 як
функції від хх і х2 є 2-формами, які найчастіше називають білінійними формами.
Усі вони з множини (ІР).
Приклад 3. Нехай Е = ІР2, К = К, п — 1. Відображення ІР2 0?, як 1-
форма, є звичайною лінійною функцією двох змінних. Вона має вигляд Т (хь х2) =
= Хххх + Хзх2 V (хх £ ІР, х2 £ К), де Хх і Х2 — фіксовані дійсні числа (див. фор-
мулу (5), п. 3.3). Жодна з них, за винятком очевидного випадку X! = Х2 == 0, не є
2-формою (білінійною формою). Дійсно, Т (2хх, х2) — 2Х,хх + Х2х2 =/=27' (хх, х2) =
= ЇЛрСі + 2Х2х2 при х2 Ф 0, якщо Х2 =/= 0. Аналогічно якщо Хх 0, то Т (хх,
2х2) =/= 27' (хх, х2) при хх Ф 0. Указані відображення з множини У*х (К2).
т
Приклад 4. Нехай Е = К, К = К, л == 3. Відображення Ка —► 0? є 3-фор-
мою (трилінійною формою), якщо вона має вигляд Т (хх, х2, х3) == Хх]^^
V (х, Е К, х2 £ ІР, х3 Е К), де X — фіксоване дійсне число. Інших відображень в
множині У'з (О?) немає. Дійсно, якщо Т £	(ІР), то
7"1 (хх, х2, х3) =	(1, х%, х3) = ххх2Т (1, 1, х3) = ххх2ХзТ? (1, 1, 1),
Отже, можна взяти X = Т (1, 1, 1).
3.7.	Операції над формами. Перетворимо множину (Е) у
векторний простір над полем К, визначивши операції додавання
415
форм та множення їх на скаляр за правилами, прийнятими для-
функцій, тобто якщо 7\ €	(£)» Т’г Є (£), то
(^1	••• %п>) ~	С*'!» •••» %п) ”Ь
+ ті(х1,...,хп) V(хх£Е, ...,хп£Е),	(1)
беі
(ХТХХр ... ,хп) = ХТ(хх,..., хп) \/(хгЄЕ, ...,хп£Е, Х,£К).	(2>
Пропонуємо читачам упевнитися в тому, що коли (Тг + Т2) £
£	(£) і (%Т) £ (Е).то^п (Е)буде векторним простором.
Для полілінійних форм, як і взагалі для функцій багатьох змін-
них, корисна операція прямого множення.
Означення. Нехай Т£^п(Е),8	(£). Прямим добут-
ком Т х 5 п-форми Т і ш-форми 5 називається (п + т)-фор-
ма, визначена за правилом:
Ч(х^Е, х\£Е,...,хп^Е, х'п£Е)
(Т х 5) (хх, ..., хп, х\.х'т) = Т(хх, .... хп) 5 (х;, ..., х^). (3)
Пропонуємо читачам самостійно упевнитися в тому, що (Т х 5) €
£ ^п+т (£), а також у виконанні правил
(Ті + Т2) х 5 = (Т, х 5) + (Т2 X 5),	(4)
Т х (5Х + 52) = (Т х 50 + (Т х 52),	(5)
(Т х 5) х Р = Т х (5 х Р).	(6)
Поняття прямого добутку форм розповсюджується за індук-
цією на будь-яку їх кількість. При цьому, враховуючи властивість
асоціативності прямого добутку, записуватимемо х х-
...х Тп замість (7\ х...х 7\-і)х Тп,
3.8.	Система лінійних форм, біортогонально спряжена з базисом
скінченновимірного векторного простору, її існування і єдиність.
Нехай вектори ..., ер утворюють базис векторного простору £.
Означення. Система \-форм (лінійних форм) е[, ..., назива-
ється біортогонально спряженою з системою век-
торів ех, ер, якщо

1, якщо к = ],
0, якщо
(1)
Зазначимо, що довільна система векторів еи ..., ер> яка має бі-
ортогонально спряжену систему, повинна бути лінійно незалеж-
но	___
ною. Дійсно, якщо 2	= 0, то V / == 1, р маємо
£=1
е; (2	= е: (0) - о = 2 М’ (ей) =
Л=1
тобто У/ = 1,р Х; = 0. Біортогонально спряжена система е*р...
416
р
... ,е* завжди лінійно незалежна. Дійсно, якщо V = 0, то
'=і
р	р	___
(2 м;) (*/) = 0 = £	(Є,) = V/ = 1, р.
к=\	6=1
Теорема. Будь-який базис еь ..., ер векторного простору Е мав
єдину біортогонально спряжену систему І-форм є', ..., ер.
◄ Будь-який вектор х £ Е можна зобразити однозначно у вигляді
*=£М*)бг	(2)
£=]
Покладемо У/==1,& е*(х) = ХДх). Упевнимося в тому, що У/=
______	р
= 1, р є*.і	(£)• Якщо х' = у	то
6=1
р
ІМ + У-2*' = 2 (нЛ (х) 4- ц2Хй (х')) ек.	(3)
б=і
Отже, V/ = 1, р маємо
е • (ІМ + ^х’) = щХ, (х) +	(х') = ще: (х) + На6’- (х'),	(4)
тобто	(і = 1,р). Оскільки V/= 1,р виконується рів-
ність
Єі = 1	0-ек,	(5)
к=£}
то е*(е7)= 1, ву(еЛ) = О при &=?£=/. Таким чином, система 1-форм
е*, ... ,е* біортогонально спряжена з системою векторів ...,ер.
Доведемо единість біортогонально спряженої системи базису ех,...
... ,ер простору Е. Нехай система 1-форм а*,..., а* також біорто-
гонально спряжена з системою е13... ,ер. Тоді У/ = 1,р маємо
Ух £ Е
р
(е} — ар (х) - е^ (х) — а' (х) = к} (х) — а} (£	(х) ек] =
к=1
= (х) — £ К (х) а} (еь) = 0,
А=1
тобто е* = а* (/ == 1, р)- ►
3.9.	Канонічне зображення полілінійної форми в скінченнови-
мірному просторі. Нехай є*, ...» е*р — система 1-форм, біортого-
нально спряжена з базисом е19 ..., ер векторного простору Е.
14 1—2914
417
Теорема. Якщо Т Є 3~п (Е), то полілінійна форма Т зобража-
ється у вигляді
(/р • • • »/н )
де символ £ е скороченою формою запису суми, яка має
вигляд
р р	р
? - - £ •
11 1 12 1	1
4 Нехай х2^Е, ... ,хп^Е. Тоді
р	р
р	р	р
р р р
~ У,	е4 (Х1)еіа еіп (Хп) ?	’ Є)^ =
/х=' /,=і М=і
== У	(сур ...,	х ... х е^) (х^, ..., хл),
(?!»♦•*»/н)
що рівносильно рівності (І). ►
Наслідок 1. Система п-форм е* хе* х ... X е' (К =
____	____ _____________ '1	7 2	'*
= 1, р, /2 = 1, р,..., /п = 1, р) утворює базис векторного прос-
тору
<4 Вимагається довести лише єдиність зображення п-форми Т за
системою (е* хе* х ... х е* ). Нехай
‘І	>2	*п
Т =	X а</і......Х "• Х е’іп
Тоді
(^зр ••• » Є3П) V,	(бві) •••^/л(б8П)
У($і = 1, р, ... .5П= 1,р),
а це означає, що зображення (1) і (2) збігаються. >
Наслідок 2. Якщо Е має розмірність р, то п(Е) має
розмірність пр.	_____ _______________
4 Система (е* X е* х ... X е*) (/^ = 1, р, ... , /п = 1, р) скла-
ді 72	ІП
дається в пр функцій. ►
418
Нехай Е ==ЇРт, X = К, 0?2т->0? — білінійна форма. Тоді \/(х£
маємо (х,у)£К2т. Якщо ер еа,... ,ет—базис вектор-
ного простору Кт, то, згідно з формулою (1), дістанемо загаль-
ний вигляд білінійної форми Т у векторному просторі ^~2(Кт):
т	т
Т (х, */) = Т (£ е,Іі(х)еІІ, £	0/)ел)= £ Т(ем еіг) (е’к х
7і=1	О'і >/2)
X е]) (х, у) = 2 а/.АЄ7, <Х) е/*	=
т т
= 2	= 22
(Іпї-)	/і = 1 /:>=1
де а/і/й = ТМатриця А = (а/1Л) (/^ /’2 == 1, т) називається
матрицею білінійної форми Т. Ця форма називається симет-
ричною, якщо а/17? = а/2/1, тобто якщо Т (х, у) — Т (у, х).
Симетрична білінійна форма ї<т — * К, де со (х) = Т (х, х), нази-
вається квадратичною формою. Вона ма^ вигляд
о) (х) = Т (х, х) = £ апх,хл аи = ап.	(4)
3.10. Обернений оператор, оборотність оператора. Нехай А —
оператор, діючий з В в С, і І)а — його область визначення, Еа —
область значень цього оператора.
Означення. Оператор А називається оборотним, якщо
V у £ Еа рівняння Ах = у має єдиний розв’язок,
Якщо оператор А оборотний, то кожному у £ Еа можна поста-
вити у відповідність єдиний елемент X £ О А, який є розв’язком рів-
няння Ах = у. Оператор, який здійснює цю відповідність, назива-
ється оберненим до А і позначається Л”1.
Теорема. Оператор Л"”\ обернений до лінійного оператора А*
також лінійний.
◄ Досить перевірити виконання рівності
А~' (ЯіУі + а2г/2) = а3 А~'ух + а2А“'г/2	(1)
для будь-яких Уі(:Еа, Уі^Еа, «і Є К, а2ЄК.
Покладемо Лхі = уг і Лх2 = г/2- Внаслідок лінійності А маємо
А (агХі + а2х2) = а1г/1 + а2#2.	2)
Згідно з означенням оберненого оператора,
Л У} в х^, А у2 ==і х2,
звідки, домножуючи ці рівності відповідно на а2 та а2 і додаючи їх,
дістаємо
+ а2Л^ }у2 =	+ а2х2.
14*
419
Крім того, з рівності (2) та з означення оберненого оператора ви-
пливає, що
+ а2х2 = А~' (а^, + а2</2),
а з цього, враховуючи попередню рівність, дістаємо рівність (1). ►
3.11. Матричний запис лінійних операторів. Нехай X і ¥ від-
повідно п-вимірний і т-вимірний векторні простори над полем ІК
(К = К або 0< = О, X У — лінійний оператор, {ер, ] == 1, /?},
£ = 1, /я} — базиси у просторах X та У.
Вектор ег переводиться оператором в деякий вектор Уех прос-
тору У, який зображається у вигляді
Я21/2 + ... + атіїт'
Аналогічно оператор С/ діє на інші базисні вектори:
1 "Ь 2 “4“	"Ь ^пгу/т (І = 2, П).
Ці формули можна записати коротше:
т	___
Лб; = (І = Г«).	(1)
Ь=1
Коефіцієнти ац (к = 1, т; ] = 1, п) визначають матрицю
яка називається матрицею оператора І/ в базисах {ер / = 1, п] і
{//г; £ = 1, т). Стовпцями цієї матриці є координати векторів 1}еи
17е^ 1!еп відносно базиса {ї^к = 1, т).
п	т
Нехай х =	— довільний вектор і у = 1/х =
/=І
З’ясуємо, як виражаються координати т]А вектора у через коорди-
нати вектора х. Маємо
т	п	п
у = 2	= = и £ а) = 2	=
4=і	,-=і	/=і
п	т	пг п
=	\	= 5  ( V їк*
/=]	£=І	/г=) /=1
Прирівнюючи коефіцієнти при векторі /ь, знаходимо
(2)
420
Отже, знаючи матрицю оператора 1} в базисі (є/, / = 1, и}, мо-
жна визначити результат застосування цього оператора до будь-
п
якого вектора х ~ 2 простору X: координати вектора у = Их
/=1
лінійно виражаються через координати вектора х за формулами (2).
п
Нехай {ак]) — довільна (т х п)-матриця. Якщо х =	110
/=і
т
можемо побудувати вектор у =	за формулами (2).
&=і
Неважко перевірити, що оператор £/, який задає цей перехід
від вектора х до вектора у. є лінійним оператором. Побудуємо мат-
рицю оператора І) в базисі {ер, / = 1, п}. Очевидно, що вектор ег
має координати = 1, £2 = Вз =...=	= 0. Згідно з формулами
(2), координатами вектора = 1/е1 є числа а11У а21, ..., ап\. так що
/1	“Ь ^21^2 ”Ь ”• “Ь
Аналогічно
Л =	+ а2Іе2 + ... + ап)еп (і = 27т).
Отже, матриця оператора збігається з початковою матрицею
Таким чином, кожна (т х и)-матриця є матрицею деякого лі-
нійного оператора і/, діючого з п-вимірного векторного простору
X в т-вимірний векторний простір ¥ з фіксованими базисами {ер,
/ = 1, п} у просторі X і {/*; к = 1, т\ у просторі ¥. Матриця
(1	0	0 ... 0
0	1	0... 0
0	0	0 ... 1
називається одиничною. Якщо А є (п х п)-матрицею і існує така
(п х п)-матриця Л““!, що АА~* = А~1А = /, то матриця А нази-
вається оборотною, а матриця А~~1 — оберненою до неї.
§ 4.	Границя й неперервність функції
векторного аргументу
У п. 2.1 показано, що простір Е стає метричним, якщо в ньому
V (х £ Е, у 6 Е) визначити метрику рівністю р (х, у) = || х — у ||.
Тому результати з § 2 автоматично переносяться на будь-який мет-
ризований нормований простір Е. Сказане відноситься й до нор-
мованого простору Ік , причому за норму в ньому можна брати будь-
яку з трьох норм, запроваджених в п. 1.2, оскільки вони еквіва-
лентні.
421
Якщо у векторному просторі над полем 0? введемо \/(х£
т
€ Кт, у £ Кт) скалярний добуток формулою (х, у} = ХіУі, го
г=і
цей простір стає нормованим з евклідовою нормою векторів ||х)| =
—	х^. Він називається евклідовим простором. Таким чи-
ном, евклідів простір Кт є одночасно і метричним з метрикою
р(х, у) = Ік —//II = У{х — у, х — у)= у £(Хі — Уі)2 .
і= 1
4.1.	Множини точок у просторі П<т. Нехай — нормований
простір. Розглянемо метричний простір (Щт, р), де р (х, у) = || X —
— //II V (х 6 Кт, у 6 Кт). Згідно з означенням 1, п. 2.3, множина
Об (х0) - (х Є	| ||х —хф [| < 6}	(1)
називається відкритою кулею радіуса 6 з центром у точці х0 6 К™ або
6-околом точки х0.
Множина
Од(х0) = {х Є | || х— х0|К 6}	(2)
називається замкненою кулею радіуса 6 з центром у точці х0 Є
Множина
5(х0,6) = {х€К"г| ||х-х0|| = 6}	(3)
називається сферою радіуса 6 з центром у точці х0 6
Означення 1. Множина X сз називається відкрито ю*
якщо в кожної точки х £ X є такий 6-окіл О& (х), що Об (х) сі X. Су-
купність усіх відкритих множин простору (К™, р) називається його
топологією.
Означення 2. Точка х £ К™ називається границею по-
слідовності (хп) точок метричного простору (ПС, р), якщо
Р (хп, х) = І хп — XII = о (1).
Якщо х — границя послідовності (хл), то записуємо х = Ііт хп
П-*оо
або хп -> х. Дане означення збігається з означенням границі послі-
довності точок довільного нормованого простору (див. п. 1.2).
У п. 1.2 доведено, що збіжність у метричному просторі (Кт, р) ек-
вівалентна покоординатній збіжності, а в п. 1.5 показано, що цей
простір є повним (банаховим).
Згідно з означенням 5, п. 2.3, діаметром непорожньої множини
X сг С називається число
й(Х)= зир	|| х — у\\.
х£Х, у£Х
(4)
422
Непорожня множина X <=. Л{т називається обмеженою, якщо її ді-
аметр (1 (X) скінченний, тобто сі (X) С ІК*
Якщо непорожня множина X сг К™ обмежена, то, згідно з на-
слідком з теореми 1, п. 2.3, V х0 £ X множина X міститься в зам-
кненій кулі з центром у точці х0 і радіусом г = р (х0, X) +
+ (X), де р (х0, X) = іпї Ц х — х0||.
х£Х
Означення 3. Послідовність (хп) точок метричного простору
(Кт, р) називається обмеженою, якщо обмежена множина,
яка складається з її членів.
Означення 4. Точка х0 £ К™ називається граничною точ-
кою множини X <= К™, якщо з неї можна виділити послідовність
різних точок (хп), збіжних до х0.
Гранична точка множини X с !Кт може належати їй, або не
належати.
Теорема (Больцано — Вейєрштрасса). З кожної обмеженої по-
слідовності (хп) точок метричного простору (Кт, р) можна виділи-
ти збіжну підпослідовність.
◄ Доведення проведемо для випадку, коли т = 2. У загальному
випадку поступаємо аналогічно.
Якщо послідовність (хп) точок метричного простору (К2, р) об-
межена, то існує таке М > 0, що V п £	| хп || М. Тоді й по-
слідовності координат точок хп — (хіп, Х2П) будуть обмеженими,
ОСКІЛЬКИ V п Е N І *ІП І II Хп ||, І Х^г |	|| хп ||. За теоремою
Больцано — Вейєрштрасса для числових послідовностей з послі-
довності (хіп) можна виділити збіжну підпослідовність (хі^). Від-
повідна їй підпослідовність (х2па) також обмежена, тому з неї мож-
на ВИДІЛИТИ збіжну ПІДПОСЛІДОВНІСТЬ (Х2пь )• Відповідна їй під-
послідовність (хі„. ) також збігається, бо є підпослідовністю збіжної
кт
ПОСЛІДОВНОСТІ (Хіп ). Оскільки збіжність у метричному просторі
ге
(Кт, р) еквівалентна покоординатній збіжності (див. п. 1.2),
ТО ПОСЛІДОВНІСТЬ (Хпь ) збігається. >
кт
Означення 5. Множина X точок метричного простору (Кт, р)
називається опуклою, якщо
У(х€Кт, ^ЄКтЛб(0, 1)) (%х + (1 -К)у)£Х.	(5>
Наприклад, куля 0$ (х0) е опуклою множиною, бо \/(х£Оа(х0)>
*/Є<%(х0), Х£(0, 1)) маємо
||Хх + (1 — X) г/— х01| = || Х(х — х0) + (1 — Х)(г/ — х0) Ц <
^Х||х-х0|| + (1-Х)|(£/-х0||<Х6 + (1-Х)Є = б.
Метричний простір (Кт, р) є повним (див. п. 1.5), тому будь-
яка замкнена в ньому множина X с: ІК™ компактна в собі (див. те-
орему 4, п. 2.12).
Якщо /( с С — компакт, (Оі)%ел — нескінченна сім’я від-
критих множин, яка покриває А, то з неї можна виділити скінченне
покриття (див. теорему 6, п. 2.12).
4.2.	Границя відображення / і К™ К у точці. Нехай / :
П<, х0 — гранична точка множини Р^.
Означення 1. Число а £ К називається границею функ-
ції ! у точці х0 у розумінні Г е й н е, якщо для будь-якої
послідовності точок (хп) з множини О/ \ {х0}, збіжної до х0, по-
слідовність (ф (хп)) збігається до а. При цьому записуємо Ііт / (х) =
Х^Х0
= а.
Означення 2. Число а £ К називається границею функ-
ції і у точці х0 у розумінні Коші, якщо V е > 0 3 б >
>0:
УхЄПу (0 < Ц х — х, Ц < 6)=^-( |/(х)—а| < є).	(4)
Згідно з теоремою 1, п. 2.16, означення 1 і 2 еквівалентні.
Означення 3. Скінченний упорядкований набір відображень
/* : К™ К (к = 1, р), Р/ = Р V к = 1, р, називається в і д о-
враженням / = (/і> •••» /р) : К™ ІКР з областю визначення
Р/ = Р. Якщо т = 1, то ? називається в е ктор - ф у н к ц і є ю.
Нехай / : К™ ІКР’ Р/ = Р, х0 — гранична точка множини Р,
Р>1-	.і
Означення 4. Точка а £ Кр називається границею відо-
браження і у точці х0 у розумінні Гейне, якщо
для будь-якої послідовності точок (хп) з множини О \ {х0}, збіж-
ної до х0, послідовність (ф (хп)) збігається до точки а. При цьому за-
писуємо Ііш / (х) — а.
У цьому означенні не виключений випадок, коли т == 1, тому
аргумент функції позначається як звичайна точка, а не як вектор.
Означення 5. Точка а С 1КР називається границею відоб-
раження ї у точці х0 у розумінні Коші, якщо V є >
> 0 3 б > 0:
УхбР (0< ||х —х0|] <б)=>(||/(х)-аЦ <є).	(2)
Тут норми беруться у просторах К™ та Кр. Якщо т = 1, то
II X — х0 II = | х — х01.
За теоремою 1, п. 2.16, озі^ачення 4 і 5 еквівалентні.
4.3.	Різні означення неперервності відображення / :	-> ІК.
Поняття неперервності відображення з одного метричного простору
в інший легко розповсюджується на випадок функції / : П<т -> К
Означення 1. Відображення / : ЕС К називається непе-
рервним у точці х0 £ Р/ у розумінні Гейне, якщо
ї (*п) -*• / (*о) кожного разу, як тільки
хп^О/ є й і Ііт хп = х0.
424
Означення 2. Відображення / : К™ -> ІК називається непе-
р е р в н и м у точці х0 Е £>/ у розумінні Коші, якщо
V 8 > 0 3 б > 0:
УхеО/ (І|х-хо||<б)=>(|/(х)-Н^о)І<4	(1)
Означення 1 і 2 еквівалентні. Сформулюємо означення 2 на мо-
ві 6-околів.
Означення 3. Функція / : ПС -> К називається неперерв-
ною у точці ХцЄ О} у розумінні Коші, якщо V є > 0
З б > 0:
Ух Е П Оа (х0) І / (*) - / (*о) І < є.	(2)
Впровадимо поняття довільного околу точки х0 £ Кт.
Означення 4. Множина И сі називається околом О(х0)
точки х0Е^т, якщо існує таке б>0, що 0<$(х0)сі V.
Враховуючи теорему 6, п. 2.17, вкажемо топологічне означен-
ня неперервності відображення / : П<ш -> К у точці х0 Е З цією
метою назвемо множину О/ П О (х0) околом точки х0 в множині
а множину (х С | / (х) Е У}, ДО У К,— прообразом множини
У при відображенні /. Цей прообраз позначимо через /”1 (У).
Означення 5. Відображення [ : Кт К називається непе-
рервним у точці х0 Е якщо прообраз будь-якого околу точки
у0 = / (х0) є околом точки х0 у множині
Усі наведені вище означення рівносильні.
Нехай / = (/ь ..., /р) : К"1 -> ІКР, т > 1, р > 1, х0 Е £>/•
Означення 6. Відображення / називається неперервним
у точці х0, якщо V е > 0 3 б > 0:
УхЄР/ (І|х —х0||<6)^»(||/(х) —/(х0)||<є).	(3)
Теорема. Відображення [ неперервне у точці х0 тоді і тільки
тоді, коли функції [к (к = 1, р) неперервні в ній.
◄ Справедливість твердження випливає з нерівностей
р
І/Н*) —М*«)І<ІІ7(*) —Ж)ІІ«С І/А(х)—А(х0)|. ►
к=1
Якщо відображення неперервне в кожній точці з області ви-
значення, то називатимемо його неперервним.
Неперервність відображення / :	т 1, р > 1, у точ-
ці х0 Е О/ У розумінні Гейне пропонуємо читачам розглянути само-
стійно.
4.4.	Відображення, неперервні на компакті. Нехай / :	П<
і О। — компакт.
Теорема 1. Якщо функція [ неперервна, то вона обмежена на
компакті О; і досягає на ньому нижньої й верхньої меж.
◄ За теоремою з п. 2.14 множина Е} є компактом на дійсній пря-
мій К. Це обмежена замкнена множина. Оскільки метричний прос-
425
тір (К, р), де р (х, у) = | х — у | V (х С К, у € К), повний, то в
ньому кожна непорожня, замкнена й обмежена множина має най-
менший і найбільший елементи (див. теорему 1 і наслідок з теореми
2, п. 5.2, розд. 1). >
Теорема 2. Неперервне на компакті О і відображення / : К™ ->
-> Кр, т 1, р > 1, обмежене.
◄ Згідно з теоремою з п. 2.14 множина Е^ компактна в собі, тоб-
то є замкненою й обмеженою множиною в метричному просторі
(Г. р). ►
4.5.	Рівномірно неперервні відображення. Використаємо по-
няття рівномірно неперервного відображення одного метричного
простору в інший, яке впроваджене в п. 2.18.
Означення 1. Відображення $: ВС К називається рівно-
мірно неперервним, якщо V є > 0 3 6 > 0:
(ІІХі —х2||<6)=^(|/(х1) —/(х2)|<є).	(1)
Теорема 1 (Кантора). Нехай { :	К — неперервна функ-
ція. Якщо Оі — компакт, то $ — рівномірно неперервна.
◄ Це твердження є окремим випадком теореми 3, п. 2.18. ►
Означення 2. Відображення / : К™ т 1, р> 1, нази-
вається рівномірно неперервним, якщо V є > 0 3 6 >
>0:
*2Є£>/) (|| — х2 || <6)=^( ||/(хг) —Л(х2) || <є).	(2)
Теорема 2 (Кантора). Нехай / :	-> 1КР, т 1, р > 1,—
неперервне відображення. Якщо — компакт, то } — рівномірно
неперервне.
◄ Це твердження також є окремим випадком теореми З,
п. 2.18. >
4.6.	Неперервність та рівномірна неперервність композиції ві-
дображень. Нехай / :	-> 1КР, £ і КР -*• Е/ а / (х0} —
— Уо € О&-
Теорема. Якщо відображення / неперервне у точці х0, а відоб-
раження £ неперервне у точці у0, то композиція £ ° [ неперервна
у точці х0. Якщо відображення ? і £ рівномірно неперервні, то ком-
позиція £ о / рівномірно неперервна.
Ч Це твердження випливає з теореми 7, п. 2.17, та теореми 2,
п. 2.18. >
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Дослідити на неперервність та рівномірну неперервність функ-
цію і : К2 К, де
І (х, у) = 8ІП —^2 ,	= {(*> У) € К2 ] X2 + г/2 < 1}.
Функція і неперервна як композиція двох неперервних функцій. Доведемо,
що вона не рівномірно неперервна.
426
Нехай (2Йп), (М*)—дві послідовності точок з множини де
Тоді ||Л1п-К|| = р(Мп,
М [О; |/ 1——м'ІО; 1/ 1-ггй- .
п\ * г п/ п \ V 1 + 2я/
0 при п-+ оо, а І (Мп) — ї(М'п) І « 1
Для «6(0, 1) не існує 6>0 із означення рівномірної неперервності.
Приклад 2. Дослідити на рівномірну неперервність функцію К2 —К, де
/ (х, у) = 2х — Зу + 5.
Нехай (х'; /), М2 (х*; у") — довільні точки. Тоді
І /= (ТИі) — Л (Л12) І = |2(х'-х")-3(/-^|С2|х'-х'|+3|0'-^
Покладемо Ц Мг — М2 || = тах {| х' — х" |, | у' — у" | }. Нехай є > 0. Візьмемо
б = Тоді з нерівності И Мг — М21| < б випливає нерівність | / (Л4Г) —
— І (Л12) і < 8. Функція І рівномірно неперервна.
§ 5.	Елементарна теорія інтеграла,
залежного від параметра.
Частинні похідні функції.
К2-диференційовність
Якщо швидкість рухомої матеріальної точки залежить від пара-
метра, то закон її руху е функцією, значення якої виражаються
через інтеграл, який містить цей параметр. Теорія таких інтегра-
лів править за джерело нових обчислювальних методів. Спочатку
розглянемо елементарну теорію інтеграла, що залежить від пара-
метра. Її узагальнення з застосуванням теорії інтеграла Лебега бу-
дуть розглянуті в другій частині підручника.
Означення. Нехай Я с (а, Ь) X А (£ і V а € А існує
ь
§ {(х, а) сіх = Р (а).
а
Тоді функція Р : К С> Не = А, називається інтегралом, що за-
лежить від параметра а.
Нехай / — елементарна функція від х і а. Тоді функція Р може
не бути елементарною, наприклад
і
Р (а) = \ —-— йх V а £ К.
о
З обчислювальної точки зору цей факт неістотний, бо, застосував-
ши одну з відомих квадратурних формул, можемо обчислити з по-
грібною точністю/7 (а) для конкретних значень а. Головна мета —
дослідити диференціальні властивості функції Р в залежності від
аналогічних властивостей відображення /.
5.1.	Неперервність інтеграла, що залежить від параметра. Не-
хай А с: К, (а, Ь) х А -* £. Нагадаємо (див. п. 5.1, розд. 5), що
427
через /і.х V х Є (а, Ь) позначається функція, задана формулою
Л х (а) = / (X, а) УаеД-	(1)
1
Аналогічно функція /2,а V а £ А визначається за формулою
А>,а(х) ==/(х’а У*€(а,&).	(2)
Теорема. Нехай А сз К, (а, Ь) х А -4-(0. Якщо Ча^А функ-
^2,а /р
ція (а,Ь)--->(С інтегровна у розумінні Ньютона — Лейбніца, а
сім'я функцій (/і х)хс(а,д) одностайно неперервна у точці а0£А,
Р ’
то функція А -> (С, де
ь
р (а) = У /2,а <х> ах Vа Є А	(3)
а
неперервна у точці а0.
•< Нехай е > 0. За означенням одностайної неперервності сім’ї
функцій (/1,х)хЄ(а,*) У точці а0 (див. п. 4.1, розд. 6) в множині А
існує такий окіл Оаа, що V (х 6 (а, і>), а £ ОИо)
| / (х, а) — / (х, а0) | < в.	(4)
Застосувавши теорему про оцінку модуля інтеграла, дістанемо не-
рівність
ь
|Г(а)— Г(а0)| = | р/2>а(х) — /2>ао(х))гіх|<е(&—а) УаЄОа„. (5)
За означенням функція Р неперервна у точці а0. ►
5.2.	Похідна інтеграла по параметру. Формула Лейбніца.
/
Теорема. Нехай А с: П<, (а, Ь) х А (£. Якщо У а £ А функ-
ція (а, Ь) інтегровна у розумінні Ньютона — Лейбніца (або
Рімана) і сім'я функцій (?\,х)х<=(а,Ь) одностайно диференційовна у
точці а0 Є А, то функція А -> (С (див. формулу (3), п. 5.1) диферен-
ційовна при а = а0.
◄ Згідно з означенням одностайної диференційовності сім’ї функ-
цій (/іл)хє(аЛ) У точці а0 (див. п. 4.1, розд. 6), маємо У (а £ А, х£
Є (а, Ь))
Л,х(“) —Л,х<ао) = Ф1,х(аИа —ао).	(1)
де сім’я функцій (<р. м одностайно неперервна у точці а0.
З рівності (1) Уа^А дістаємо
К а (*>~ N а, = % а (х)(а ~ ао) Ух£(а, &).	(2)
Оскільки ліва частина останньої рівності інтегровна по змінній х
на сегменті [а, й], то її права частина також інтегровна і виконуєть-
ся рівність
Р (а) — Р (а0) = Ф (а) (а — а0) Уа^А,	(3)
428
ь
де Ф(а)= ф2 а(х)б/г, а £ А, —неперервна функція за теоремою
а
в п. 5.1. За означенням функція Р диференційовна у точці а0. ►
Якщо а0 — гранична точка множини А, то за означенням похід-
ної Р' (а0) = Ф (а0), тобто
ь
/?/(а0) = С ф (х, а0) йх.	(4)
Рівність (4) називається формулою Лейбніца.
Нехай виконується рівність (1) і функція <р\.х неперервна у точ-
ці а0 £ А, граничній для множини А. Число <р (х, а0) називається
частинною похідною функції / по другій змінній у точці (х, а0) і
позначається символом —	> запропонованим Лейбніцем. Бе-
ручи до уваги це зауваження, формула Лейбніца записується у ви-
гляді
ь
а
1 да
ао а
(5)
5.3.	Частинні похідні і Щ2-диференційовність функції. Необ-
хідність впровадження частинних похідних функції / : К2 -> (£ або
ї ’ (0 (С пояснюється зазначеним у попередньому пункті. Ведучи
мову про частинні похідні функції будемо вважати, без застере-
ження, що точка (х0, у0) є граничною для множин
о 1 П {(*, */о) € К21 * € Ж} І О/ П {(Хо, У) € К21У Є п<}-
Означення 1. Похідна (/2,.</0)'(*•)> якщо вона існує, називаєть-
ся частинною похідною функції і по першій змінній у точці
(х0, У*) і позначається символом	, запропонованим Лейб-
ніцем.
Аналогічно похідна (у^, якщо вона існує, називається
частинною похідною функції і по другій змінній у точці (х0, у^-
ді (х0> У о)
і позначається символом -	™ .
ду
Іноді позначення Лейбніца виявляються незручними і ми буде-
мо користуватися більш сучасними:
У*) і	У о) аб° /<Є,)(* * хо> Уо\ (х9, у0).
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Нехай / : К2—> К, де / (х, у) = ху + — , у 0. Знайти
а/(1,3) дї (0,2)	У
дх 1 ду *
Маємо
х	,	\
/2,3 М = Зх + Ухб К, /2.3 М = 3(^)=°,
1,0 (У) = 0 V г/ =# 0.
429*
дЦі,з) 10 ано, 2)
°™Є1 —= — , ——
результати записуються у вигляді
= 0.
сучасних позначеннях одержані
У
^/(1,3)=—, 02/(О, 2)=0.
Приклад 2. Нехай [: К2-> К, де /(х, У) = агсіо-^- ,
х
х Ф 0.
Знайти
д}(х, у)
дх
дї (х, у)
ду
V (х, у) Є
Маємо
/2,0 (*) = агс4§ "Г V X 6 К\{0},	(х) = —	♦
/1.Х <У) = агс18 х У У е К> /1.x	= х* +у* ’
Таким чином,
дї (х, у) _ у	д[ (х, у)_________х
дх----------х* + у2 ’ ду ~ х2 + у2 т (х’ у> е Г
у сучасних позначеннях ці результати запишемо у вигляді
^1/ (*> У) = “ £2	^2 »	(*> У) = х2 у2 (*» у) £
З -
Приклад 3. Нехай / :	0?» де / (х, у) = ху V (х, у) Є О?2. Знайти
(0, 0)	(1, 1)
дх 9 ду '
Маємо У(х£К> убК)
/2,0 (*) = °» /2,0 (*) = °» /і, і (у) = V
З 3/75 5
У сучасних позначеннях одержані результати записуються у вигляді
^/(0,0) = 0, ®2/(1,1) = у.
Приклад 4. Нехай	де / (г) = | г |* V г 6 С. Знайти
дх
дЦг)
ду
Маємо
/г.» (*) = хі + Vі у * € К. /2,0 <*) = 2*»
Ї\,Х (У) = *2 + У2 V у 6 В, (у) = 2у.
Тому
дНг)	дЦг)
~іїГ=2х' ~ді~^2у Уг^°ь ^ = х+іу,
або / (г) = 2х, ^2/ (г) = 2у V г Є ©> г = х + іу.
Означення 2. Нехай / і (С -► (С (обо / і К2 -> (0/ Функція } нази-
вається 1К2-д иференційовною у точці г0 = х0 + іу0 —
430
= (*о> якщо існують неперервні у цій точці такі функції 94 і ф2,
що V г £ О}
Кг — Нг0) = ЧЦ(2)(х — х0) + <і>2(2)(у — у0).	(І)
Теорема 1. Нехай функція /: (Б -> С (або /: Ж2 -> С) Щ2-дифе-
ренційовна у точці г0 = х0 4- іу0 = (х0, у0). Тоді існують частинні
похідні функції / у точці г0 і виконуються рівності
Д/ %) = Фі (2о)> $2/ (г0) = <Р2 (го)-	(2)
4 Покладемо в рівності (1) у = у0. Дістанемо
/ (х + іг/0) — / (х0 + ЇУо) = /2,», (х) — /2.^ (Хо) = ф, (х + іу0) (х — х0).
Оскільки функція X Фі - х + ІУь) неперервна у точці х0, то, згідно
З означенням диференціЙОВНОЇ функції ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ, Існує/* у (х0) =
= Ф1 (*9 + іу9) = Ф1 (20), тобто —^о) = Д/ (г0) = фх (г0). Покла-
даючи в рівності (1) х = х0 і проводячи аналогічні міркування,
дістаємо, що існує - <г<>)- = Д/(г.) = <р2 (г0). >
Обернене твердження невірне. З існування частинних похідних
функції / у точці г0 не випливає її диференційовність у цій точці.
Приклад 5. Дослідити функцію / : О?2 -> К на існування частинних похід-
з
них і К2-диференційовність у точці (0, 0), де І (х, у) = уху,
У прикладі 3 доведено, що існує (0, 0) = 0. Таким чином, функція / має
обидві частинні похідні у точці (0, 0). Дослідимо функцію / на К2-диференційов«
ність у цій точці. Припустимо, що функція / О?2-диференційовна у точці (0, 0).
Тоді виконується рівність (1), яка набуває вигляду
уху = ер, (х, у) х 4- ф2 (х, у) у,	(3)
де Фт І ф2 — неперервні у ТОЧЦІ (0, 0) функції. Згідно 3 теоремою 1, Фі (0, 0) =
= ф2 (0, 0) = 0. Покладемо в рівності (3) хп == —, уп = Дістанемо
/І
/_і_ і \	/_£ м _____
ФЦ п ’ п2 ) + ф2 п ’ п2 п ~ *»
І 1	1 \	.	/1	1
що суперечить припущенню Ф1 І—,	ф2|—,
Отже, функція ( не К2-диференційовна в точці (0, 0).
Теорема 2. Якщо функція / з (£ -> (0 (або /: К2-> (С) її^-диферен-
ційовна у точці г0, то вона в цій точці неперервна,
4 Справедливість твердження випливає з рівності (1), бо її права
частина є неперервною функцією у точці г0. ►
Для вивчення теорії функцій багатьох змінних і, зокрема, для
побудови прикладів корисним є поняття прямого добутку функцій.
Означення 3. Нехай / : К -> (0, £ і (£. Функція [ х § : К2 ->
-> (С називається прямим добутком функцій ( і якщо
^/хй = £>/ х і
(1 х §)(х,у)^і(х)§(у) У(х, у)£О(хЄ.	(4)
431
Наведемо приклад, який показує, що з існування частинних по-
хідних функції / у точці г0 не випливає її неперервність при 2 = г0.
Приклад 6. Нехай
/(*)=£ (*)
Ґ1, якщо х£ К\{0},
(0, якщо х = 0.
Дослідити функцію / X £ на неперервність у точці (0, 0), існування частинних
похідних і П?2-диференційовність у цій точці.
Маємо
(/ X (х, У) = ї (х) £ (у) =
1, якщо х=#0 і У =/= 0»
0, якщо х = 0 або у = 0.
Оскільки (/ X £) (—, —І =1, (/X	(0, 0) = 0, то функція і X розривна у
1 /ї Л і
точці (0, 0). З рівності (/ X £)2 • = ОД яка виконується V х Є випливає, що
(/ X £) (0, 0) = 0. Аналогічно (/ X (0, 0) = 0. Таким чином, функція
IX § має частинні похідні у точці (0, 0). Разом з тим, згідно з теоремою 2, вона
не О?2-диференційовна у цій точці.
5.4.	Умова Ейлера — Д’Аламбера — Коші — Рімана. Умови-
мося диференційов ну функцію	у розумінні означення
п. 1.1, розд. 6, називати (С-диференційовною на відміну від П<2-ди-
ференційовності. Як і на початку п. 5.3 вважаємо, не застерігаючи
спеціально, що точка г0 = х0 + іуо = (хо» Уо) е граничною для мно-
жин
О/ А {(* + іУо) € І * € К}, О} А {(*о + іу) Є ІУ €
Теорема. Для того щоб функція / ; (С —(С була ^-диференційов-
ною у точці г0, необхідно й достатньо, щоб вона була ^-диферен-
ційовною у цій точці і виконувалася рівність Ейлера — Д'Аламбе-
ра — Коиіі — Рімана:
$2? (Зо) = ї’Д/ (2.).	(1)
У позначеннях Лейбніца ця рівність має вигляд
д/ Оо) _ • д/(г0)
ду	дх
Необхідність. Нехай функція / (£-диференційовна у точці г0.
Тоді за означенням існує така неперервна у точці г0 функція <р, що
УгЄ Д
/(2) —/(гв) = (г —г0)ф(г) = (х —х0)ф(г) +	—#,)ф(г).	(2)
За означенням 2, п. 5.3, існують частинні похідні ^г/(г0) =>
= ф(г0), ®2^(г0) = гФ(2о)» тобто виконується рівність (1).
Достатність. Нехай функція / П<г-диференційовна у точці г0
і виконується рівність (1).
Згідно з означенням (2), п. 5.3, існують такі неперервні у точці
г0 функції ф, і ф2, що
/(г) —/(20) = Фі(г)(х —х0) + фг (г) {у — уй).	(3)
Покладемо Уг £ £)/ ф2 (г) = їф, (г) + є (г). Внаслідок рівності
(1) е (г0) = 0. Крім того, е — неперервна у точці г0 функція. Під-
432
ставляючи іф] (г) + в (г) в рівність (3) замість ф2 (г), дістаємо
ї (г) — І (г0) =	(г) (г — г0) + є (г) (у — у0).	(4)
Покладемо
, ч ,	, . У — Уо
фх (г) + е (г) ——— , якщо г =А г0>
* *о
Фх (г0), якщо г = г0.
Оскільки функція ф неперервна у точці г0 /це випливає з оцінки
|е(г)	<|е(г) А і /(г) —/(г0) = (г —г0)ф г„ то функція /
С-диференційовна у точці г0. ►
Вкажемо іншу форму запису умови Ейлера — Д’Аламбера —
Коші — Рімана, яка зустрічається в математичній літературі.
Нехай / (?) = и (х, у) + іу (х, //), г = х + іу, г0 = х0 + іу0. Тоді
\ ди(*о> У о)	І ; <М*о> Уо)
1Г (г0) =	-----+ і
г/„ \ ди(хо> Уо) і до(х0. Уо)
(2о)--------------- + 1------ТУ----
і рівність (1) рівносильна системі рівностей Ейлера — Д’Аламбе-
ра — Коші — Рімана
ди (х0, у о) __ ду (х0, у0) ди (х0> #0) __ _ ду (х0, г/0)	_
дх	ду * ду	дх '	' '
5.5.	Похідна складної функції. Нехай / і (С -> (С (або ( ! К2 ->
-> (£)і / П{2-диференційовна в точці х0 + іу0 = (х0, у0), граничній
для множин
А {(х + іУо) € ® Іх Є К}, А {(хо + ^У) Є ІУ € К},
а функція ф і К -> (Б — диференційовна в точці /0 £ граничній
для множиниР/о-ф і ?0 =ф(^о)- Тоді справедливе таке твердження.
Теорема. Композиція / о ф має похідну в точці і виконуєть-
ся рівність
(/ ° Фт = ф; (V+ф; (^о). о>
де (/) = Ке ф (і), ф2 (і) = Іт ф (/) V / 6 Е>у-
◄ Згідно з означенням 2, п. 5.3, існують такі неперервні у точці
г0 функції фх і ф2, що
/(?) — / (г0) = фх (г) (х— х.) + ф2 (г) (у — у0).	(2)
Підставивши в цю рівність г = ф (/), г0 = ф (і0), дістанемо
(г ° ф) (о-(/ ь ф) (/.)=Фі (ф а» (Фх (о-Фі(^))+ф2 (ф (0) (ф2 (о-Ф2ао)).
(3}
15 1-2914
433
Оскільки функція ф диференційовна у точці іа, то існує неперервна
у точці /0 функція т] = тії + така, що
Ф (0 - Ф (<0) = Фі(П - Фі (*•) + і (Ф3 (0 - Ф2 (<о)) = (і - <о) П (0 =
= (і - /о) Пі (0 + і (І - і0) Па (0-	(4)
Тому
Ф1 (0 - Фі (*о) = (< - *о) Пі (0. Фз (0 - Фз (*о) = (і - 4) Т)з (0- (5)
Із співвідношень (3) та (5) випливає рівність
(/ о Ф) (П - (/ о Ф) (І.) =(і- Іо) (Фі (Ф (0) Пі (0 + Фз (Ф (0) Пг (0). (6)
Згідно з означенням, композиція / ° ф диференційовна в точці і0 і
(/ ° Ф)' (/о) = Ф1 (2о) Ні «,) 4- Фз (2о) Пз (/о) = Фі (Іо) +
|	(2о) /у \
5.6.	Дотичний вектор. Похідна по дотичному вектору. Дотич-
ний вектор і дотична площина. У п. 2.4, розд. 6, впроваджено по-
няття дотичного вектора до множини на площині (£ (або в ії<2). Йо-
го легко розповсюдити на випадок довільного простору (р 1),
зокрема на (СР, бо його можна розглядати як ІІ<2р.
Означення 1. Вектор т = (тх, т2, ..., тр) £ називається д о-
т и ч н и м до множини X с= у точці х0 = (%і0), %20)» ...
Хр\ якщо існують такі послідовності (хп) і (Нп), що Уп Є И ви-
конуються умови
*П = (4Ч	•> Чп))€х>
Нп>0 і Ііт -------т------=
П-*-оо	ц'п
(к = (,р).
(1)
Нуль-вектор завжди вважаємо дотичним.
Означення 2. Нехай т — одиничний дотичний вектор до мно-
жини у точці х0 = (хі0), Х2 ) і виконуються умови (1). Похід-
ною функції [ по дотичному вектору т
у точці х0 називається границя
ііт
П-*оо
х<°))
(2)
якщо вона існує.
Нехай вектор (Ті, т2, т3) дотичний до графіка Г (/) функції / у
ТОЧЦІ Хо. Тоді, очевидно, вектор Т = (ть Т2) ДОТИЧНИЙ ДО МНОЖИНИ ОІ
у точці х0. Якщо, крім того, він одиничний, то т3 =	♦ Навпа-
(х0)	/ д( (х0)\	«	. .
ки, якщо існує -Ч—то вектор |ть т2, -Ч 0 дотичнии до графіка
ОТ	і	от /
Г (/) у точці (Х1О), Х®, / (х0)).
434
Теорема. Якщо функція / • К2 К ^-диференційовна у точ-
ці х0 = (х(і°\ *20)) і т — одиничний дотичний вектор до множини
Г>1 у точці х0, то існує
дї (х0) _ ді (х0)
дх дхг
ді (х0) .
-V  8іп а,
дх2
(3)
де т = (соз а, зіп а).
◄ Нехай / К2-диференційовна у точці х0. Тоді виконується рів-
ність
/(х1( х2) — /(Х<°>, Х<°>) = ф^Хр Х2) [Хі — х<°>) 4- ф2 (Хр х2) (х2 — х<°>),
(4)
де Фі і ф2 — неперервні у точці х0 функції. Якщо виконуються умо-
ви (1), то
ді (х„) _ .. І (х(іп). 4п)) - І (*1О>. 40>)
* “ пі™	Лп
= Фі (х0) н + <Р2 (х0) т2 =
д} (х0)	,	(х0) .
= ' к  соз а 4—4 0/- зш а, ►
дх}	1 дх2
, ' ” називається г р а-
дх2	г
дхг
д! (х0)
- є ортогональною
ви-
має фізичний зміст швидкості
£гад і (х0)
Означення 3. Нехай функція /:К2->К №-диференційовна у
точці х0 = (х<°>, х<°)). Вектор
д і єн то м функції [ у точці х0 і позначається символом §гаіі /(х0).
З формули (3) випливає, що похідна
проекцією вектор-градієнта на дотичний напрям у точці х0,
значений вектором т. Похідна
вростання / у напрямі т=	•
З формули (3) випливає, що коли сума дотичних векторів до мно-
жини О і у точці х0 = (%|0), Х20)) і їх добуток на число X £ П< є дотич-
ними векторами до тієї самої множини у тій самій точці, то анало-
гічну властивість мають і дотичні вектори до графіка Г (/) у точці
(хі°‘, Х20), ? (х0)). їх сукупність називається дотичним простором
у вказаній точці. Якщо дотичний простір є площиною, яка прохо-
дить через початок координат, то паралельна їй площина, яка про-
ходить через точку (%і0), Х2°\ / (х0)), називається дотичною. Її рів-
няння має вигляд (рис. 80)
« - «0 = (Хі - х<<») +	(х2 - х<»)),
(5)
де и0 = /(х0).
5.7.	Інтегрування по параметру. Нехай 9Л — множина функцій
[а, Ь](0, інтегровних у розумінні Ньютона—Лейбніца. Кож-
г
ній функції / £ 9ЇЇ поставимо у відповідність функцію [а,	(С,
15*
435
покладаючи
Рис. 80
Г(х) =?//)<&.	(1)
а
Множину {/♦’І/ЄОТ} позначимо через ОТ_ь
Означення 1. Множина функцій ОТ на-
зиваєшся одностайно інтегро-
вною у розумінні Ньютона —
Л ейбн і ц а, якщо множина функцій
ОТ_। одностайно диференційовна в кожній
точці х0 £ І#, Ь] (див. п. 4.1, розд. 6).
Сім’я функцій (/а)а€Л вважається од-
ностайно інтегровною у розумінні Ньюто-
на — Лейбніца на сегменті [а, &], якщо
вказаною властивістю володіє множина
ОТ = {/а | а 6 А}. Зокрема, має смисл і поняття одностайної ін-
тегровності у розумінні Ньютона — Лейбніца послідовності функ-
ЦІЙ (/п)-
Вимога одностайної інтегровності у розумінні Ньютона — Лейб-
ніца множини функцій ОТ слабша, ніж вимога її одностайної непе-
рервності.
Теорема 7. Якщо множина функцій ОТ одностайно неперервна
в кожній точці сегмента Іа, Ь\ (а £ К, Ь Є К), то вона одностайно
інтегровна у розумінні Ньютона — Лейбніца на сегменті [а, &].
◄ Оскільки множина функцій ОТ одностайно неперервна у точці
х0 Є 1я> &]» то V 8 > 0 3 6 (х0) > 0:
V (/ 6 9И, х 6 [<2, д]) (|х —х0|<6)=>(|/(х) —/(х0)|<е).	(2)
Покладемо
Фж„/ (X) =
' 1
X — хп
х
( якщо х£\а, &]\{х0},
Хо
ї(х0), ЯКЩО X = х0.
(3)
Нехай / $ 9Л, х [а, Ь], | х — х01 •< 6 (х0). Застосувавши теорему
про оцінку модуля інтеграла, дістанемо нерівність
І Ф»о,/(*) ~ Ф*,./(*в) І *=
—Ц- С/(/)^-/(х0)
X - *о </
Хо
= Т-ПГ ( V & - ї <*<>))Аі < е-	(4)
х — х0 V
Хо
Оскільки V х £ [а, Ь\ Р (х) — Р (х0) = (х — х0) Фл-0^ (х) і сім’я
функцій (фх0,/)^зл одностайно неперервна у точці х0, то, згідно
з означенням 2, п. 4.1, розд. 6, множина ОТ_| одностайно диферен-
ційовна у точці х0 6	61» Отже, множина ОТ одностайно інтегров-
на у розумінні Ньютона — Лейбніца. ►
436
Поняття одностайної інтегровності множини функцій корисне
для розв’язання питання про рівність повторних інтегралів
(і Ь	Ь (і
І! = С йу С/(х, у)(ІХ, 12 = Г йх (Ц(х, у)йу. (5)
с а	ас
Припустимо, що функція (а, Ь) - > (С інтегровна на сегменті
[а, 6] для всіх у £ (с, й). Якщо функція (с, ф ——> (С, де
ь
§(у)= { Ь,У (*) (іх Уу € (С, й),
а
а
інтегровна на сегменті [с, й], то ^ = \ §(у)йу. Аналогічно /2 =
0
і)	(І
= У <р (х) йх, де <р (х) = С /|(Ж (у) йу.
а	с
Необхідність вивчення повторних інтегралів виникає при роз-
в’язуванні багатьох прикладних задач. Нехай, наприклад, Р =
= Іа, 61 X [е, сі] — обмежений прямокутник на площині К2,
Р К — неперервна функція, яка набуває невід’ємних значень
V (х, у) € Р- Її графік у просторі К3 е поверхнею, розміщеною над
прямокутником Р. Між цією поверхнею і прямокутником Р роз-
міщено циліндричне тіло Т, яке називається підграфіком функ-
ції Обчислимо його об’єм. З цією метою розіб’ємо сегмент (а, Ь]
точками а = х0 <	хп = Ь на частини і через точки поді-
лу проведемо площини, перпендикулярні до осі Ох Тіло Т буде при
цьому поділене на частини Т/ (/ == 1, п), розміщені між цими пло-
щинами. Кожну з указаних частин тіла можна наближено вважа-
ти ЦИЛІНДРОМ 3 ПЛОЩеЮ ОСНОВИ 5 (X/) І ТОВЩИНОЮ X/ — X/—і. Тоді
об’єм «циліндра» Т} наближено дорівнює 5 (%/) (х/ — х/_і), а
об’єм Ут тіла Т дорівнює сумі об’ємів частин 7/. Таким чином
п
Ут « £ 5(х7)(ху — х/„і).	(6)
<=і
Права частина рівності (6) є інтегральною сумою для інтеграла
ь
( 8(х)йх. Тому покладемо
а
аеі %
Ут в \ 5 (х)йх.	(7)
а
При фіксованому х£ (а, Ь) значення 5 (х) є площею фігури, одер-
жаної в результаті перетину тіла Т з площиною, яка проходить че-
рез точку х перпендикулярно до осі Ох. Аналогічні міркування
437
показують, що
а
5(х) = ^і.х(у)сіу.
Таким чином,
СІЄЇ р	р
Ут = І <іх V Цх, у)Лу.
а с
(8)
(9)
Якщо в міркуваннях поміняти ролями х і у, то замість правої час-
тини рівності (9) дістанемо повторний інтеграл
а ь
(ау (Кх, у) ах.
о а
Тому означення (9) коректне лише в тому випадку, коли повторні
інтеграли функції / дорівнюють один одному. Багато прикладних
задач пов’язано з проблемою рівності між собою повторних інте-
гралів.
Теорема 2, Нехай Р = (а, Ь] х [а, й], Р X (£ і сім'я функцій
(/2	одностайно інтегровна на сегменті [а, Ь]. Якщо \/х£
(І X
Є [а, Ь] існує повторний інтеграл йу § [(і, у)йІ, то існує інший
с а
повторний інтеграл і виконується рівність
х а	ах
у)(іу = ^<іу^(1, у)аі Ух€[а,Ь].	(10)
а	с а
◄ Згідно з теоремою з п. 5.2, маємо
ах	а х	а
~3х ЇУ’ у) аі) = І “57 (р(ґ>	= р(х’ у)ау
с а	с	а	о
Ух£[а,Ь].	(11)
х а
Отже, існує у йі § ((і, у)йу і виконується рівність (10). ►
а г
Наслідок. Нехай Р = [а, Ь] х [с, й\ і функція Р непе-
рервна. Тоді
й а	а Ь
(ах Кх, у)ау = $ау $ Нх, у)Лх.
ас	с а
(12)
◄ Повторні інтеграли існують згідно з теоремою з п. 5.1, а їх рів-
ність випливає з доведеної теореми. >
Означення 2. Нехай Р = 1а, Ь] X Іс, й], Р-+ (£. Функція ї назива-
ється інтегровною за Ньютоном — Лейбніцем
438
у прямокутнику Р, якщо виконується рівність
ді а,	Ьі
$ ах р, (х, у) ау = у ау р (х, у) ах V кщ, сх) с Рі (ь1г аг) е ру. (із)
а1 С1	01 Я1
Для інтегровної за Ньютоном — Лейбніцем функції / її пов-
торний інтеграл називається подвійним інтегралом по прямокут-
нику Р і позначається
г л	СІе( с с
Гр(х, у)ахау = у (/(х, у)ахау = ах \ ї(х, у)ау. (14)
Р	ас	а в
За наслідком з теореми 2 кожна неперервна функція інтегров-
на у розумінні Ньютона — Лейбніца.
Вкажемо застосування поняття інтегровності функції за Нью-
тоном — Лейбніцем у прямокутнику Р до розв’язування питання
про диференціювання інтеграла по параметру.
Теорема 3. Нехай Р = [а, Ь] X [с, й], Р (£. Якщо функція
(а, &] — •* (С інтегровна у розумінні Ньютона — Лейбніца \/ у £ [с, сі]
та існує частинна похідна і (х, у), інтегровна за Ньютоном —
Лейбніцем у прямокутнику Р» то
ь	ь
Ї(Х, у)ах]'= &МХ, у)дх Уу£[с,а]-	(15)
а	а
◄ Внаслідок інтегровності у розумінні Ньютона — Лейбніца час-
тинної похідної / в Р маємо V у 6 Іс, д]
рЦ $^(х, і) дх = рх у 2>Лх, і)йі = у (/(х, у) —/(х, с))ах.
с а	ас	а
Оскільки функція [а, Ь] (£ інтегровна на сегменті [а, Ь], то з
властивості лінійності інтеграла випливає рівність
у ь	Ь	ь
§аіуД/(х,і)ах = у/(х,у)ах—у/(х,с)ах Ууєдс,а],
о а	а	а
Диференціюючи цю тотожність по у, дістаємо рівність (15).
; Теорема 4. Нехай Р = [а, &] X [с, а], функція [а, &] —* (£ ін-
тегровна у розумінні Ньютона — Лейбніца і V (х, у)£ Р існує
ФЛ (х, у). Якщо V (аі 6 Іа, 6], Ьі 6 [с, а], у Е (с, гі])
Ьі	Ьі
(У /(х, у) ах^ = у дн*. у) Ах,	(іб)
а,	а,
то функція Фзї інтегровна у розумінні Ньютона — Лейбніца в пря-
мокутнику Р.
439
◄ Нехай £ [с, еЛ, Лі Є к, й]. Тоді, взявши до уваги рівність (16)
і формулу Ньютона — Лейбніца, дістанемо
аІ. Ьі	Ьі	/?!
У (у у) (ІХ^СІу — [§/(х,	= У Цх, СІ^ах —
Сі «і	Оі	а*
Ьі
— ?(Х> С1) ^Х*
аї
Оскільки
Ьі	Ьі	&«
. С	С Д/(х, у) (іу = С /(х, у) № Ох = \ ([(х, сії) — Кх, сх)) (іх,
-І	*)	»/	&	**1	а)
СІ}	с	Я]	О,
ТО
4, Ьі	Ьі 4і
Г (іу\ ФгКх, у)сіх= $<іх$ ФгКх, У) йу,
Оі Сі	Оі Сі
тобто функція $2/ інтегровна у прямокутнику Р у розумінні Нью-
тона— Лейбніца. >
Приведемо приклад, коли існують
/(х, у) йх]',
Ьі
§ «^2/ {х*
однак
/ Ьі
/ (х, у) йх}‘	(х, у) йх.
Оі
О1
О1
Приклад» Нехай Р = {(х, у) £ К21 х>0 і #6К}, Р -> К, де
7 (*♦ У)
з
Я- е х , якщо х > 0 і у 6 К,
О, якщо х = 0| у^ К,
Довести, що:
1) V (х, у) € Р існує (х, у);
2) V (а > О, Ь > 0, у € К) існує
ь
§ ^чї (*, у) ах*
а
8) V (а > О, Ь > 0, у є К) існує
І (хі у) ах:
ь
а
4) V (д>0, Ь>0, уСК) існує
О
О
Доведення проведемо, користуючись означенням частинних похідних та ін-
тегралом Ньютона — Лейбніца від функції двох змінних,
440
1) Я кпіо х Ф 0, то
//2	•” 1 "
(*. У) = А- (Зх — 2{/2) е * .
х3
Крім того, V у € 0?	(0, у) = 0. Тому V (х, у) £ Р існує (х, у),
2) Нехай (а, у) Є Р, (Ь, у) € Р- Тоді
У2	І 2«2 \ — -т-
(Зх - 2у*) <іх =	«	+
. V3
— 1) е а , якщо 0 < а < Ь,
У Є 0?;
(х, у) йх = Н — —) ,е. ь , якщо і> > 0, у #= 0,
а
___У2 _____У^_
ь	у(е ь—е а ), якщо 0 <а <6, #ЄК,
3) С / (х, у) сіх = - _
а	уе ь , якщо 0 » а <Ь> у £ К\{0},
0, якщо а > 0, д > 0, у == 0.
4) Твердження очевидне.
5) Маємо
і
У (х, 0) &*-
о
Легко побудувати приклад, коли права частина формули Лейб-
иіца має смисл, а функція не інтегровна ні при яких значеннях
у С К- Для цього досить вважати, що / (х, у) = ер (х), де ф — не-
інтегровна функція. Існують і такі приклади, коли ліва частина
формули Лейбніца має смисл, а функція не існує V у £ к, ^1-
У цьому випадку досить розглянути функцію / = ф X ф, де (р має
інтеграл, який дорівнює нулю, а ф — ніде не диференційовна
функція.
У решті випадків теореми 3 і 4 показують, що інтегровність
функції $2/ в прямокутнику Р є необхідною й достатньою умовою
виконання формули Лейбніца. Зазначимо, що теорема з п. 5.2 до-
повнює теореми 3 і 4, оскільки в ній вказано умову, що наклада-
ється на функцію, а не на частинну похідну «02/, яка забезпечує
виконання формули Лейбніца. Достатньою умовою виконання фор-
мули Лейбніца є неперервність в прямокутнику Р функції ( разом
з частинною похідною $2Л Цей результат є наслідком як теореми
п 5.2, так і теореми 3.
441
§ 6.	Формула Тейлора. Екстремум
функції векторного аргументу
6.1.	Частинні похідні довільного порядку. Теорема про мішані
похідні. Нехай / і К™Ж, х0— гранична точка множин П
П {(-Ч. 40)...х<°’) 6 Кт | X, € К}, .... £), п {(хГ,.... х^ь хт) 6
е ПГ | хт Є п<}.
Означення. Похідна функції X/ •-* / (хі°, ..., */— 1, X/, Х/+1, ...
..., *т) У точці Х/0), якщо вона існує, називається частинною
похідною функції [ по рй змінній у точці х0 і позначається чв-
Крім символа д—^ (запропонованого Лейбніцем), для позна-
чення вказаної частинної похідної користуються також знаками
0// (х0) або (х0).
Визначимо функцію ; Жт Ж, покладаючи її значення рів-
ними частинній похідній (х) в усіх тих точках х Є в яких
вони існують. Методом математичної індукції визначимо частинну
похідну довільного порядку за допомогою формули
...<’)
На відміну від позначення, запропонованого Лейбніцем, вказані
частинні похідні позначають також символами
хт) = д /У/ (хх............хт> |
дхіР+ідхіР-дхіі дх!р+і \ Ч -'
Якщо хоча б для однієї пари індексів виконується умова ]к ф
то частинна похідна 0^...../рф називається мішаною.
Нехай, наприклад, /(хр х2) == х*% хх>0, х1=^19 х2(ЕЖ- Тоді
згідно з означенням» маємо
0ї/(х) = х2х? 0(1,1)/(х) = х2(х2 — 1)х? 2,
0(1,2)/ (х) = х?“' 4- х2х?~' іп х1т 02/ (х) = Х*г ІП Х„
0 (2,2)/ (х) = Хіг ІП2 Х„ 0(2,1)/(X) = Х**~ X, ІП X! +	=
= Х2Х^—1 ІП хг + Х^-1.
Дістали, що 0(і,2)/(х) = 0(2,о/(х). Ця рівність не випадкова Як
правило, мішані похідні 02(і,2)/ і рівні між собою
/
Теорема 1. Нехай Р = [а, 6] х |с, гі],	? = Р Якщо
функція Р— ’  •» Ж інтегровна у розумінні Ньютона — Лейбні-
442
ца. то \Цх,у)£Р існує Я'&.іуііх, у) і при цьому
0(2. !)/(*> У) = 0(1.2)/(Х, У).	(3)
◄ Оскільки функція 0(і,2)/ інтегровна еа Ньютоном — Лейбніцем,
то виконуються рівності
ух	X у	X
с а	ас	а
— 0'/(т, с))с?т = /(х, у) —/(а, у) —/(х, с) + /(а, с) (4)
(у процесі обчислень двічі застосували формулу Ньютона — Лейб-
ніца). Дістали інтегральне зображення функції } у вигляді
/(х, У) У) + /(*. С) — /(а, С)+ у 0(1,2)/(1> і}йх. (5)
а а
З рівності (5) знаходимо
0(2.1)/(Х, У) = 0(1.2)/(*> У) У(х,у)ЄР. к
І
Наслідок. Якщо функція має в кожній точці пря-
мокутника Р частинні похідні першого порядку і мішана по-
хідна 55(1,2)/ неперервна в Р, то У(х,у)£Р існує	у) і
при цьому 0?2,1)/(Х, у) = 0(1,2)/(х, У).
◄ 3 неперервності функції ^3(і,2)/ випливає її інтегровність у
розумінні Ньютона — Лейбніца. >
Теорема 2. Нехай Р = [а, 6] X [с, й], Р — «* К. Якщо в кожній
точці (х, у) £ Р виконується рівність
(X, у) = 0(2.і)/(«» у},	>6)
то функція ^0.2)/ інтегровна за Ньютоном — Лейбніцем у пря-
мокутнику Р.
◄ Нехай (аь £ Р, (&ь ^і) € Р- Застосувавши двічі формулу Нью-
тона — Лейбніца, дістанемо
у1 <іх У 0(1,2)/ (х, у)(іу = у (^х/(х, <ІХ) — 0г/(Х, Су)) (ІХ =
= /(Ьі, йх)—/(Ьх, сх) — /(Яр аг) +/(Яр сх).
Скористаємося рівністю (6) і проведемо аналогічні обчислення. Ма-
ємо
у (іу у 0(1,2)/(Х, у)(ІХ = У (іу У 0(2.1)/(х, у)(ІХ = / (6р аг) —
С( а-і	с-, а^
—7(^1» У —/(«!, Йх) + /(<2р сх) = у (ІХ У 0(1,2)/ (х, у)(іу.
а, Оі
443
Згідно з означенням, функція «25<і,2) ї інтегровна у прямокутнику
Р у розумінні Ньютона — Лейбніца. ►
Дамо пояснення, чому в теоремі 1 крім умови інтегровності
функції у розумінні Ньютона — Лейбніца в прямокутнику Р
додатково вимагається існування &2[(х,у)	\/(х9у)£Р. Це пов’я-
зано з тим, що мішана похідна 0(1,2)/ не зміниться, якщо до функ-
ції / додати будь-яку функцію, яка залежить лише від другої змін-
ної. Однак у цьому випадку може не існувати навіть перша
частинна похідна по другій змінній. Наприклад, якщо функція /
задовольняє усі умови теореми 1 і функція [с, сі] — -* Ж ніде не дифе-
ренційовна, ТО функція Ф2\,2) (/ + ф) = 0Ц,2)/ інтегровна у розу-
мінні Ньютона — Лейбніца в прямокутнику Р, а мішана похідна
(] + ф) не існує в жодній точці (х, у) С Р- Теореми 1 і 2 по-
казують, що інтегровність у розумінні Ньютона — Лейбніца мі-
шаних похідних є необхідною й достатньою умовою їх рівності од-
на одній.
Зробимо зауваження відносно позначень частинних похідних
вищого порядку, які вживаються в математичній літературі.
Якщо функція /  Ж™ Ж має в точці х0 £ О/ частинну похідну
П-ГО порядку ПО ЗМІННІЙ X/, тобто $(/„..,/) / (х0) (1 іт)9 то
дп} С*о)
п позначають символом —
дх^
Якщо мішана похідна 5)?/1,...,/т)/(х0) функції /: 0?гп->К не зале-
жить від того, в якій послідовності проводиться диференціювання, то
її позначають символом
(*о)
дх^дх?2дх%т і
1	* т
т
де 0 а/ я і а, = /і.
/=х1
6.2.	Диференційовність функції і її диференціал.
Означення. Функція / і Ж^ -> Ж називається диференці-
йовною (точніше, Кт-5 иференційовною) у точці х0 С
Є О;, якщо існують такі неперервні у цій точці функції фл (к —
= 1, т), що V х £ О( виконується рівність
т
Кх) — / (х0) = 2 фл (X) (хй — х£»).	(1)
6=)
Вважаємо х0 внутрішньою точкою множини Ор Ця умова є
більш жорсткою, ніж прийняте в п. 6.1 припущення, що точка х0
е граничною для множин
Р,П{(Х1(^0)....Є О?"* І X, 6 К}...
£>/ п {(ху>),..., х<^„ хт), € о?т І Хт 6 К}.
444
Її можна було б зберегти і дістати деяке посилення фактів. Однак
для спрощення приймаємо більш жорсткі обмеження, вказані
вище.
Якщо виконується рівність (1), то числа <рй (х0) (А = 1,/п) є,
очевидно, частинними похідними функції / у точці х0, тобто
(х0) =(х0) (А = 1,/п). За допомогою чисел <рЛ (х0)
СУ А»
(к — 1, т) визначимо нову функцію (х0): Кт К-, покладаючи
УН 6 ИГ
т
ЇЇ (*о) (й) = £ <Ра (*о) Ьк-	(2)
6=]
Вказана функція називається диференціалом функції / у точці х0.
Розглянемо функцію х ь* хк V х Е Її диференціали в будь-
якій точці простору К™ рівні між собою і позначаються через йхк.
Користуючись операціями додавання та множення функцій на
число, дістаємо формулу
т
т
(іхк =	$к} (х0) д.хк,
6=1
(3)
справедливість якої встановлюється так. Нехай /і £ Тоді маємо
її и0) М
Ьк, (іхк (й) = Нк
(к = 1, т).
Отже,
т
ЇЇ (*о) (Л) = £
6=1
дї (Хо)
дх.
А
д? (х0)
0Х.
к
(Іхк (й)
Уй€ПГ. (4)
Таким чином, диференціал диференційовної в точці х0 Є £>/функ-
ції / і ІГ -> В є лінійною формою з Кт в
т
Ь^її(х0) (й) = £ Д/(х0) йй Vй = (йі.....йт) Є (5)
6=1
6.3.	Диференціал другого порядку. Нехай існує такий окіл
О (х0), що функція /  ІК™ -> ІК диференційовна V х Е О (х0). Для
кожного И Е ПС розглянемо функцію	ІК, покладаючи
V х Е О (х0)
4/(х) == гі/(х)(й).	(1)
Означення 1. Функція / і П<т ->- К називається 2-диф ерен-
ційовною в точці х0Е О/, якщо V Н Е К™ функція і ->
Щ визначена в деякому околі О (х0) і диференційовна в точці х0.
445
Означення 2. Нехай функція / і ІК™ -> ІК 2-диференційовна в
точці х0. Її другим диференціалом у точці х0 нази-
вається функція ІК™ -^(Хо)Ж, де
<?І (Хо) (Я) = (М) (х0) V Н Є Ж™.	(2)
Дамо пояснення, який зміст має права частина рівності (2).
Спочатку побудуємо функцію б/й/ • Ж™ -> Ж, визначену у деякому
околі О (х0). Згідно з означенням 1, вона диференційовна у точці
х0. Її диференціал сі (сі^ї) (х0) є функцією, яка відображає Ж™ -> Ж»
значення якої при /г Є Ж™ записане в правій частині рівності (2).
З означення випливає, що й2/ (х0) є квадратичною формою
т
НІ-*	(х0) (/і) = £	.,)/ (х0) НіН],	(3)
б»/=1
ЯКЩО £)?,,/)/(Хо) = ^(/.<)/(Хо)-
Замість б/2/ (х0) (Л) приймемо позначення йй/ (х0).
6.4.	Диференціал довільного порядку. Вказане поняття означа-
ється за індукцією. Оскільки означено диференціал першого поряд-
ку (див. п. 6.2), то досить впровадити означення п-диференційов-
ності та п-диференціала функції / і Ж™ -> ІК У точці х0, вважаючи
відомими поняття (п — 1)-диференціала (п > 1).
Означення 1. Функція / : Ж™ -> Ж називається п-д иф е р е н-
ц і й о в н о ю у точці х0 £ Ор якщо функція дп~[і : Ж™ Ж
визначена в деякому околі О (х0) і диференційовна у точці х0.
Означення 2. Нехай функція ї ! ІК™ ІК п-диференційовна у
точці х0 £ О?. Її п-д иференціалом у цій точці називаєть-
ся функція ІК™ - Ппх°)^ ІК, де дні (х0) =	(х0) Уй Є ІК™.
6.5.	Формула для обчислення и-диференціала.
Означення. Функція / : Ж™ Ж називається р-н еперервно
диференційовною, якщо будь-які її частинні похідні
к
(к, р) неперервні.
З теореми 1, п. 6.1, випливає, що у р-неперервно диференційов-
ної функції в /п-вимірному прямокутнику Рт = [ах, X [а2, &2І X
Х...Х [атУ Ьт] частинні похідні не змінюються за будь-якої пе-
рестановки індексів /і, /2,	/\.
Теорема. Нехай функція ї • ІК™ ІК п-неперервно диференці-
йовна у точці х0 € Тоді виконується рівність
(ХО)
... дх^т
1	(П
йх^ ...СІХ*1*1
(1)

◄ Застосуємо метод математичної індукції. Для п = 1 формулу
доведено в п. 6.2. Нехай твердження справедливе після заміни п
446
на п — 1 (п > 1). Для й £ К™ за означенням 2, п. 6.4, маємо
4/ (х0) = 4 (4 7) (х0).
Згідно з припущенням, у деякому околі 0 (х0) виконується рів-
ність
О^а^п
(бо (іХі (/і) = Н{9 і = 1, т). Обчислимо (х0), взявши до уваги рів-
ності (2), (3) та незалежність мішаних похідних від черговості ви-
конання диференціювання по відповідних змінних. Дістанемо
т
лу м = £ £
1=1 0С14"* •
О^а^л— 1
(Я - 1) І___________дпІ (х0)
ар ... аот!	дх?Н-1,,.йх“"> '
*	і	т
V п| апї <*о) /,р<
“	Р11 •••РтІ <^1* ••• 5*тт '
(3,+...+Рот=п т 1	«
0£|)^Л
т
ДІ	(х^
дх?’ ... дх^т
V Н Є ОТ,
... гіхрт (/і)
т }
що рівносильно формулі (1). >>	____
Наслідок. Якщо виконано умови теореми, то V к = 1, т
справджується рівність
(4>
4 Досить розглянути випадок, коли 6=1. Маємо
(п. — 1)1_____________З”-1
(аі — 1)1 аг' ••• ат1 5х“1—’дх®2 ... дх^т

аН-...-1-а^п
О^а^л
х (А) (X.)	... Є = пЛ~' ) . ►
6.6.	Формула многочлена Ньютона. Символічна форма запису
диференціала л-го порядку. Нехай П< (і = 1, т), п С И- Тоді
44?
виконується рівність
1=1
= £
а1-}-.,.+ат=п
О^а^л
_	... аат.
12 гп 1
(1)
т
•яку називають формулою многочлена Ньютона,
Застосуємо метод математичної індукції. Якщо т = 2, п Є Й, то
рівність (1) перетворюється на відому формулу бінома Ньютона
(див. п. 1.7, розд. 2).
Припустимо, що формула (1) справедлива для деякого т^2 та
V п £ [^), і перевіримо, що вона виконується для т + 1 і V п £ И-
лі+1	п т
Запишемо	аі + ат+\^ і обчислимо за допомогою
г=1	Ї=1
формули бінома Ньютона коефіцієнт при члені а^а**...
Він дорівнює
С^+1_^+-+апг)'
п	а,! ... а І
1 т
Одержаний вираз коефіцієнта при члені а?'...ат+Т збігається
з тим виразом, який дістанемо з формули (1), якщо в ній замінити
тнат + 1. Формулу (1) доведено методом математичної індукції.
Беручи до уваги формулу (1), п. 6.5, а також формулу многочле-
на Ньютона, вкажемо символічну форму запису диференціала м-го
порядку. Вона має вигляд
^7и0)= (^1 аТ" +ах2~ІЇГ + -+ахт-^~}П^Х0),	(2)
Xі	2	т /
а користуються нею так» підносять формально до п-го степеня ви-
раз у дужках і потім дописують { (х0) справа до виразу
-Т—)а\.. (іїхт-£—\ат = СІХ*1 ... (Іхат
1 дх± І т дх /	1 т
дп
дх^ ... дхат
1 т
Наприклад,
#4 (х,у)~ (ах +	/ (х, у) =
дх2
бх2
дхду
д*ї (* У)
дхду
б? \ г, .
ду2 ] ( <х, у) —
6.7.	Похідна складної функції.
448
Теорема. Нехай І • К™ -> П< — диференційовна функція у точ-
ці х0, внутрішній для множини Оф • Ж -> К™, ф = (фь ф2, ...»фт).
Якщо х0 = ф (/0) і кожна функція ф/ (/ = 1, т) має похідну в точці
/0 Є то композиція / ° ф має похідну в цій точці і виконується
рівність
т
(і ° фг (і0) = £
/?=]
(1)
◄ Доведення повторює міркування, які проводилися в п. 5.5. За
означенням диференційовної функції / у точці х0 існують такі не-
перервні у цій точці функції <рА (к — 1, т), що V х £ О;
т
Нх) — ї (Хо) = £ <Рь (х) (хк — х<°>).	(2)
1
Оскільки функції фй диференційовні у ТОЧЦІ /0 І ф* (/0) = Хк , то іс-
нують такі неперервні у цій точці функції т]А (к = 1, т), що V і £
€
т
(^ояр)(о-(/оц))(/о) = (^-/о)у;%(^(0)тіио-	(З)
Й=1
За означенням композиція / ° ф диференційовна у точці і ви-
конується рівність (1). >
Наслідок. Нехай функція / : ІК™ -> К п-диференційовна
на опуклій множині X і х £ X, х0 Є X, Іг = х — х0. Якщо Р (і) =
= / (*о + V/ 6 [0, П, то
Р1п) (0 = д!ІЇ (х0 + ііг).	(4)
◄ Застосуємо метод математичної індукції. Якщо п = 1, то твер-
дження випливає з доведеної теореми:
т
"У"0 4 = (ХО + ІЩ.
°хк
(5)

Нехай твердження справедливе при заміні п на п — 1 (п > 1).
Тоді
Ґп> (і) = (Ґп~'>)' (0 = 4 (4“7) (х0 + іИ) = 4/ (х0 + ні). ►
6.8.	Формула Тейлора.
Теорема (Тейлора). Нехай функція / ї П<т -> К п-диферен-
ційовна на опуклій відкритій множині X. Тоді (х X, X) ви-
конується рівність
п—1	1
- у +['"’«(«. + »)<	(1)
0
ДЄ /і = X Х(}9 (ікї (*^о) = І С^о)*
449
Рівність (1) називається формулою Тейлора для функції век-
торного аргументу.
◄ Покладемо V і С Ю, П Р (0 = / (х0 + ІЇі). Згідно з формулою
(4)?_п. 6.7, виконуються рівності Р(к} (/) = сІк (хе + /Л) V (& =
= 1, п, і £ [0, П). Застосувавши формулу Тейлора для функції од-
нієї змінної, дістанемо
п—1	...	1. .
/(к) = ^(1) = £-Ц^4^ Г(п>(0Л =
/г=0	0
п—1 .ь. . г 1
(Хо)	І 4-ЬЛ ^4
= >, —Ті-----1-І	(х0 + #0	►
й=0	0
Залишковий член формули (І) позначимо так:
(2)
о
Згідно з формулою Діріхле (див. п. 2.3, розд. 7), маємо
ЯП (х, ХО, ї) = ^4/ (х0 + іН)	Л.	(3)
0
За теоремою про середнє існує таке 0 6 (0, 1), що
(ха +
/?п(х,х0>/) = -^-Ц^-1.	(4)
Дістали залишковий член формули Тейлора у формі Лагранжа. Як і
у випадку функції однієї змінної, можна дістати й інші форми його
запису (Шлемільха — Роша, Коші).
6.9.	Формула Тейлора — Пеано.
Теорема (Тейлора — Пеано). Нехай функція / і -> К п-ди-
ференційовна у точці Хь^О;, внутрішній для множини О}. Тоді
існують такі неперервні у точці х$ функції	../т)(хо) =
= 0 і виконується рівність
£ '«..........-.«'і'-'*;"
й=о	/іЧ“« • •Ч"/^д:=^
(І)
де Н = х — х0.
Рівність (1) називається формулою Тейлора — Пеано.
◄ Застосуємо метод математичної індукції. При п = 1 формула
(1) випливає з означення диференціала (х0) при Н = х — х0. Не-
хай твердження справедливе після заміни п на п — 1. Впровадимо
450
до розгляду функцію
Н*о+Л)-У	(2)
6=0
Оскільки
дп,. \ ПІ у 07 у п дх. ]
(див. наслідок з теореми з
п. 6.5), то за припущенням індукції маємо
„_1 ,к д/ (х0)
дф (/і) _ д? (х0 + /і) _ уі й дх,
дН.	дх.	/гі
6=0
=	2 'й.........</=1,т).	(3)
ь+* • •4"іт=п—1
Згідно з теоремою Лагранжа для функції однієї змінної (див. п. 2.7,
розд. 6), дістанемо
Ф (й) — Ф (0) = ф (йг, 0.0)	—	ф (0,... , 0)	+ ф (/ір Нг,0,..., 0)	—
ф (Йр 0» ••• , 0) “І”	(Йц —1> ^т) Ф • • • >	—1> 0)
/=1	1=1	+Ст=п-1
= Е е</>...........►
/«+• • +/т=п
Формулу (1) можна, очевидно, записати у вигляді
ЛІ £ /	\
Нx) = Уі^^ + °(Шпї	(4)
6=0
6.10.	Класифікація квадратичних форм. Стійкість властивості
додатної визначеності квадратичної форми. Поняття квадратичної
форми впроваджено в п. 3.9.
Означення. Квадратична форма ІКт— ->	де
<3(х) = £ а^ХіХі, аі} = аи
(,і=}
(1)
X = (Тр Х2,	> ^т) € ІК »
називається додатно визначеною (в і д* є м н о ви-
значеною), якщо V х С П<т \ {0}	(х) < 0). Якщо
існують такі %і Є ПС, х2^ йС, що ($ (хг) ($ (х2) < 0»	квадратична
форма (1) називається невизначеною. Усі інші квадратичні
форми вважаються додатно або в і д’ є м н о н а п і в-
визначеними.
451
У курсі алгебри 1 доведено критерій Сільвестра додатної ви-
значеності квадратичної форми (1): вона додатно визначена тоді
і тільки тоді, коли виконуються умови
	#11	#12		#1т	
V га • • • м	#21	#22	• « •	#2т	> о. (2)
#21	#22	•	• ♦	• 	• • ♦	
#7ПІ #7П2	•••	#7П7И
Теорема (про стійкість властивості додатної визначеності
квадратичної форми). Нехай квадратична форма (1) додатно ви-
значена. Тоді існує таке 0, що будь-яка квадратична форма
Се, де
Ог (х) =	(а^ + 8^) х^ Ух£ Кт,	(3)
Кі=\
є додатно визначеною кожен раз, як тільки | е^/І «< е (/, / = 1, т).
◄ Визначники в умові (2) є неперервними функціями від коефі-
цієнтів квадратичної форми, внаслідок чого існує таке е > 0, що
критерій Сільвестра залишається справедливим для форми (3) ко-
жен раз, як тільки | є^/| < є (г, / == 1, т). >
6.11.	Екстремум функції.
Теорема 1 (Ферма). Якщо функція / : К™ Ж приймає найбіль-
ше (найменше) значення у внутрішній точці х0 6 і має в ній час*
тинні похідні першого порядку, то
^- = 0 (/ = !,«)•	(1)
◄ Покладемо <р/ (0 = І (х0 + іеі), де е/ = (0, 0,	1, 0,	0).
Функція ф/ має екстремум у точці і = 0. За теоремою Ферма
(див. п. 1.1, розд. 6) ф/ (о) = "	= 0.
Означення. Функція / з Ж™ Ж має у точці х0, внутрішній для
множини локальний максимум (мінімум),
якщо існує такий окіл О (х0), що V х£ О (х0) / (х) — / (х0)	0
(/(*)-/ (х0) > 0).
Якщо V х 6 О (х0) \ {х0} / (х) — / (х0) < 0 (/ (х) — / (х0) >
> 0), то локальний максимум (мінімум) називається строгим.
Локальні максимуми й мінімуми функції / назвемо її локальни-
ми екстремумами.
Теорема 2 (достатні умови локального екстремуму). Нехай
функція ї : Ж"1 Ж двічі диференційовна у точці х0, внутрішній
для множини і = 0 (/ = 1, /п). Тоді: 1) якщо д2/ (х0) —
додатно визначена квадратична форма, то функція І має строгий
1 К у рош А. Г. Курс вьісшей алгебрьі.— М.» 1968.— С. 181.
452
локальний мінімум у точці х0; 2) якщо <РЇ (х0) — від'ємно визначе-
на квадратична форма, то функція ї має строгий локальний мак-
симум у точці х0; 3) якщо гі2/ (х0) — невизначена квадратична форма,
то функція [ не має локального екстремуму в точці х0.
◄ Згідно з теоремами з пп. 6.9 і 6.10 існує такий окіл 0 (х0), що
V х 6 О (х0) \ {х0} при И = х — х0 виконується нерівність
/ (X) - / (х0) =	+ Е (х^	> °>	<2>
<♦/=!
тобто функція / має строгий локальний мінімум у точці х0. Якщо за-
стосуємо твердження 1) до функції — /, то дістанемо твердження 2)
для функції
Доведемо твердження 3). Нехай дії (х0) > 0, дії (*о)< 0. Роз-
глянемо функції
фа (0 = / (*0 + Іа), і|>ь (і) = / (х0 + ІЬ), (х0 -На) € о (х0),
(х0 4- іЬ) 6 О (хЛ).
Очевидно, ЩО фо (0) = 0 І фі2) (0) = (£[ (х0) > 0. Тому ІК *фд<--> К —
додатно визначена квадратична форма і, згідно з 1) (при т — 1),
функція фа має строгий локальний мінімум. Отже, функція ї не має
локального максимуму у точці х0. Застосувавши ці міркування до
функції фь, дістанемо, що функція / не має локального мінімуму в
цій точці. Таким чином, функція ї не має локального екстремуму у
точці х0. >
§ 7.	Елементарна теорема про неявну
функцію. Умовний екстремум
7.1.	Елементарна теорема про неявну функцію. Нагадаємо озна-
чення неявної функції, заданої деяким рівнянням (див. п. 1.9,
розд. 1), стосовно до випадку, коли X сз Кт, У сс Щ.
Нехай Е і Кт+1 -> X сі Ц<'я, У с К. Розглянемо рівняння
/?(х,г/) = 0.	(1)
Якщо для кожного х Е X існує єдине число у = ї (X) £ У таке, що
У7 (*» ї (*)) = 0, то рівняння (1) визначає на множині X X У функ-
цію X У. При цьому ї називається неявною функцією, заданою
рівнянням (1).
Теорема (про неявну функцію). Нехай функція Е і -► К
неперервно диференційовна в деякому околі точки (х0, у0) = (х(і0),
Х20), ...» х(т9 Уо). Якщор (х0, //0) = 0 і ^о) У= 0, то існують
такі околи О (х0) і О (у0), що рівняння (1) визначав неперервно ди-
ференційовну неявну функцію О (х0) О (уь) і V (х £ О (х0), А =
= 1, т) виконуються рівності
ді (х) _ __ / дР (х, / (х)) \-1 дР (х, / (х))
дхй	ду ) дхк *	{ }
453
4 Нехай, наприклад, —-^-^->а>0. Оскільки функція Р не-
перервно диференційовна, то існує такий прямокутний окіл V точ-
ки (х0, у0), тобто (т + 1)-вимірний відкритий паралелепіпед V =
= {(х, у) € Щ'"+І | а{ < х, < Ьіг а < у < Ь\ і = ІГт}, що (х0, уй) €
€ V і
дР (х, у)
ду
дР (х, У)
дх,
к
(к=1,т), (х,г/)ЄК (3)
З умов Р (х0, у0) = 0, 	у>> > 0 випливає існування такого чис-
ла Н > 0, що відрізок, який сполучає точку (х0, у$ — Н) з точкою
(х0, Уо + Л), ЦІЛКОМ розміщений В ОКОЛІ V І при цьому Р (х0, Уь —
— /і) <; 0, Р (х0, у0 + /і) > 0 (внаслідок зростання функції у^>
Р (хо, У), а < у < Ь). За властивістю неперервної функції знай-
деться такий окіл О (х0), що V х Є О (х0) Р (х, у0 — Н) < 0, Р (х,
Уо + Л) > о і О (х0) X О О/о) с V, де О (у0) = (у0 —Л, у0 + Н).
Упевнимося в тому, що рівняння (1) визначає неявну функцію
О (%0) 2_> О (Уо). З цією метою візьмемо X Є О (х0) і розглянемо функ-
цію Рі'Х. Вона неперервна на сегменті [у0— Л, у^ + И] і на його
кінцях набуває значень протилежних знаків. Тому існує таке у =
= / (х) Е О (у0), що виконується рівність (1). Оскільки V у 6 О (Уо)
дР (х, у)
ду
= (/\Л'(У)>0,
то таке у єдине.
Доведемо виконання рівності (2) у точці х0. Розглянемо по-
слідовність (^п))пем’ 3біжнУ Д° точки х<0) і таку, що (х^,...
... ,4П).....*£>)	Є О (х0)\{х0). Покладемо	уп = ї(х\0\...
..., х1п),..., х<°>). За формулою Лагранжа (див. п. 2.7, розд. 6)
маємо
Р (х|0),..., г<п>,..., х£), уп) - Р (х0> у0) = 0 =
= Р (х<°>,.... х<кп>,... , х<°>, уп) — Р (х0, уп) + Р (х0, уп) —
Р ) ч	(Х1	•• > ^П’	’ х\п ’ Уп) І (П)	(0)\ І
— Р (х0, Уо) =------------------оі--------------— М — 4 ') +
к
дР (х0, г)_)
+-------- Уо)’
де €п та Лп — точки, розміщені відповідно між х\ 1 х\ та у0 1 уп.
Очевидно, що хі . Доведемо, що уп -> у0. Для цього знайде-
мо різницю Уп — Уо з рівності (4):
/ дР(х0, л„)	дР<х\°< - Лп- •
Уп Уо— \	/	дХк
Внаслідок умов (3) перші два множники в правій частині рівності
454
(5)	обмежені, а х!п) — х* = о (1). Тому уп — Уо = 0 (1). тобто уп -►
-> у0. Оскільки т]п -> у0, то з рівності (5) дістаємо
д( (х0)	_ ц— Уп~уо_______(дЕ (х0,	Ур) Vі	дЕ (х0,	у0)
Ч п-^х<">-х<°>	І ду І Зхй ’
К	IV
що рівносильно формулі (2) при х = х0, у == у0. За точку (х0, у0) мо-
жна ВЗЯТИ будь-яку точку МНОЖИНИ О (х0) X О (Уо), тому теорему
повністю доведено. ►
7.2.	Матриця Якобі та якобіан. Скінченний упорядкований
набір диференційовних у точці х0 функцій • П<т -> К (к = 1, р)
назвемо диференційовним у цій точці відображенням [ =	/2, ...
.... /р) І кт -> При цьому вектор # (х0) = (#А (х0)) (к = 1, р)
називатимемо диференціалом відображення [ у точці х0 Є £>/ = О/,
(к = 1, р). Аналогічний зміст має вектор дх = (дх/) (/ = 1, т) —
диференціал тотожного відображення П<т на себе, обчислений в до-
вільній точці х 6 1Кт. Користуючись правилом обчислення диферен-
ціала функції з ПГ в ІК у точці х0, дістаємо упорядкований набір
диференціалів
•г .	,	г-,	(х0)	.	.
к(^0) ~ дх	(к — І, р),
М 1
(1)
який визначає диференціал д[ (х0). Запишемо систему (1) у матрич-
ній формі
# (х0) = 0/ (х0) дх,	(2)
де
дії (х0) дії (х0)
дхА дх
1	т
дір (х0) д[р (х0)
дх, - дхт
так на честь видатно-
— матриця Якобі відображення / (названа
го німецького математика К. Г. Якобі (1804—1851).
Означення. Матриця Якобі називається похідною відо-
браження $ у точці х0 і позначається через (х0).
Вектор-градієнт §гасІ/(к0)= (,... , А функції /:
у ох^	ох^ і
ІК є окремим випадком матриці Якобі при р = 1 і тому §гад/(х0) =
Якщо р = т, то визначник матриці Якобі називається якобіа-
^(Л—/т) , ч
ном і позначається через ----------^-у (х0).
Теорема (про похідну композиції відображень). Нехай відоб-
раження І	диференційовне в точці х0, внутрішній для
455
множини Р^. Якщо відображення ф і ІК*7 -> ІКт диференційовне у
точці 1$, внутрішній для множини Р^, і х0 = ф (70), то компози-
ція [ о ф диференційовна у точці і виконується рівність
(3)
◄ Формула (3) являє собою матричну форму запису системи рівнос-
тей .
(^177:/-^).	(4)
І	8	7
5= 1
які виконуються згідно з теоремою про похідну складної функції
(див. п. 6.7). ►
Помножимо обидві частини рівностей (4) на і здобуте підсу-
муємо за всіма / = 1, д. Дістанемо
<7 т
Лііі»♦) (« - У (У ^2*.	а, =
Й'Й д'> 1
Форма запису диференціала функції залишається незмінною для
випадків, коли ф8 — незалежні змінні та коли вони є функціями
інших незалежних змінних. Ця властивість називається інварі-
антністю форми диференціала першого порядку. Диференціали ви-
щих порядків цієї властивості не мають, за винятком випадку, ко-
ли ф$ — лінійні функції.
7.3. Теорема про скінченні прирости. Якщо / ї ІК— ди-
ференційовне відображення, то його похідна /' у точці х0 Є
£Р/ = Р/. (/? = 1, р) є матриця-стовпець
*	9С
(*о)
Л(х0)=	.
/р(*о)
Лема. Нехай Iі : [а, Ь] -> ІКР, § - [я, ІК — неперервні відо-
браження, диференційовні на інтервалі 7 = (а, Ь), причому
Тоді виконується нерівність
(1)
4 Нехай є > 0. Покажемо, що при виконанні умов леми V х 6
Е Іа, Ь] виконується нерівність
IIЖ — / (я) ІК £ (*) — £ (я) + е (х — а) + 8.	(2)
456
Припустимо, що нерівність (2) виконується не ДЛЯ ВСІХ X Є [я, Я.
Тоді на деякій множині V с: ІаДЬ] виконується нерівність ер (х) >
> 0, де ф (х) = || [ (х) — ї (а) II — (§ (х) — § (а) + е (х — а) + е).
Покажемо, що V = 0. Спочатку доведемо, що множина V відкри-
та. Дійсно, оскільки ф С С [а, &], то множина V о [а, &], на якій
Ф > 0, відкрита. Припустимо^ що множина І/ непорожня. Тоді іс-
нує іпї V = с. Оскільки ф (а) < 0, то існує таке б > 0, що
Ф (х) < 0 V х 6 (ал а + б), тому с>а. Доведемо, що с £ V. Коли б
с Е V, то з неперервності функції ф у точці с і з того, що V — від-
крита множина і ф (с) > 0, випливало б існування такого бх > 0^
що V х £ Об, (с) с: V * х < с Ф> ф (х) > 0, а це суперечить тому,
що с = іпї V. Таким чином, с £ V. Доведемо також, що с < Ь.
Дійсно, коли б було с = б, то це означало б, що V = {£}, і тому
множина V не була б відкритою. Оскільки а < с < &, то внаслі-
док зроблених припущень маємо
II /' (С) IIС Є' (4	(3)
Оскільки /' (с) = Ііт —~ ^с- , §' (с) = Ііт 6	~	, то для
х-*с х с	х-*с х с
заданого 8 > 0 існує таке б2 > 0, що V х £ 0б2 (с) П У викону-
ються нерівності
II Г (С) II >
?(*)-/ (0
X— с
8 а> м Є (х) —Є (С) . _е
2 > б 14 х_с -І- 2
З цих нерівностей, нерівності (3) І З ТОГО, ЩО X > С, КОЛИ X £ Обг (с) П
0 V, випливає, що
II / (х) — / (с) || < § (х) — § (с) + е (х — с).	(4)
Оскільки с £ V, то повинна виконуватись нерівність
II / (с) — ї (а) II < § (с) — § (а) + е (с — а) + е.	(5)
З нерівностей (4) та (5) дістаємо оцінки
ІИ(х)-/(а)||<Ц/(х)-/(с)||+||/(с)-/(а)||<
<£(*) —£(о)4-8(х —а)4-в,
з яких випливає, що іпі V > с, а це суперечить тому, що с = іпї V.
Таким чином, V = 0 і нерівність (2) виконується V х £ [а, д].
Покладемо в цій нерівності х = Ь і перейдемо до границі в правій
її частині при е-► 0. Дістанемо нерівність (1). >
Теорема (про скінченні прирости). Нехай відображення? і ІКт->
ІК" диференційовне на опуклій відкритій множині X. Тоді V {а
^Х, Ь £ X) виконується нерівність
IIІ(Ь)- Да)Ц < зир ||/'(5)І|||Ь-а|| =
= зир Ц(а Ч-0(6 —а)) І| Ц 6—а ||,	(6)
о<0< 1
де (а, Ь) = {х £	| х = а + і (Ь — а), 0 < / < 1).
457
4 Розглянемо вектор-функцію ф !<!-►/ {а + / (Ь — а)), 0 і
1, де а £ X і 6 б X — довільні точки. Оскільки множина X опук-
ла, то [а, Ь] а: X. Вектор-функція ф диференційовна на інтервалі
(0, 1), а її похідна ф' в довільній точці І б (0, 1) обчислюється за фор-
мулою (3), п. 7.2і
ф' (?) = /' (а 4- і (Ь — а)) (Ь — а).	(7)
Беручи до уваги оцінку
ІІф'ЮІІС зир Ц/'(а + 0 (& — а)) Ц Ц & — а Ц	(8)
О<0 < 1
і покладаючи в умовах леми а = 0, & = 1, / (0 = Ф (0> £ У) =
= М Ц Ь — ар, де
М = зир Ц/'(І) 11= зир \\Г (а + Є(Ь-а))||,
ВЄ(а,Ь)	0<Є<1
дістаємо нерівність
ііф(і)-ф(0)і|<я(і)-£(0),
рівносильну нерівності (6). >
7.4. Аналіз приросту диференційовної функції у точці. Частинні
похідні відображення по векторних аргументах. За означенням
з п. 6.2 функція / і	називається диференційовною у точці
х0 6 О/, якщо існують такі неперервні у цій точці функції (к =
= 1, т), що V х Є О/ виконується рівність
т
Нх) — І (х0) = £ Фь (X) (хк — х(к0)).	(1)
ь=\
Покладемо ак (х, хе) = фл (х) — фл (х0). Тоді ал — неперервна у точ-
ці х0 функція і ак (хв, х0) == 0. Отже, формула (1) набуває вигляду
т	т
Цх) — Ї (х0) = 2 Фл (-«о) (хк — ХІ0)) + 2 ак (X, х0) (хй — ХІ0’).	(2)
6=1	к=>1
Бачимо, що приріст функції / у точці х0, в якій вона диференційов-
на, є сумою двох доданків, один з яких — значення лінійної форми
К”1 ^^1-* на векторі Н = х — х0, а другий може бути зображений у
вигляді
т
£ ак (х, х0) (хк — х*0)) = о Ц х — х0 II),	(3)
6=1
де о (|| х — х01|) = о (1) || х — х0 Ц, о (1) — неперервна у точці х0
функція, значення якої у цій точці дорівнює нулю. Доведемо це.
Нехай 8 > 0. Тоді існує таке б > 0, що V х £ Оь (х0) виконують-
ся нерівності | ак (х, х0) | < — (бо ак (х0, х0) = 0 V к = 1, т).
Отже, якщо х Об (х0), то маємо оцінку
т
£ ак (х, х0) (хк — х(ку)
6=1
<-^-т тах | хк — х^0* |<е ||х— х01|,
з якої випливає співвідношення (3).
458
Навпаки, якщо існує така лінійна форма К" — К, що приріст
функції / у точці х0£ О/ має вигляд
І (х) — / (х9) = V ~ х0) + о(\\ х — х0\\) =
== £ ак(хк — хГ) + о(1)||х — х01|,
&=і
Л	ІІХ — хп |І
то, позначаючи 6 =	, дістаємо
£ । і
6=1
/ (х) — / (Хо) = £ ф* (X) (хк — 40)),
6=)
де <р* (х) = ак + о (1) 0 8§п (хЛ — х!0)), 0 < 0	1. Функції ф^ не-
перервні у точці х0 і ф& (х0) = ак.
З доведеного випливає таке означення диференційовності функ-
ції / : іїГ -> ІК у точці х0 £ еквівалентне даному раніше.
Означення 1. Функція / і ІГС К називається диференці-
й о в н о ю у точці х0 £ О/, якщо існує така лінійна форма
К™ к, щ0 приріст функції / у точці х0 записується у вигляді
Пх) —/(х0) = Щх — х0) + о(Цх — х0||).	(4)
Нехай	р>1, / = (Л,... , /р).
Означення 2. Відображення ?:її{т->її{р називається дифе-
ренційовни м у точці хд^0^ якщо існує таке лінійне ві-
дображення	що V х^О/ виконуються співвідношення
|| / (х) — (х0) — У (х — х0) || = о (|| х — х01|).	(5)
Теорема. Відображення } диференційовне у точці х0 тоді і тіль-
ки тоді, коли кожне відображення (й = 1, р) диференційовне у
цій точці.
◄ Необхідність. Нехай відображення / диференційовне у точці
х0 £ О і і А == (ац), і = 1, р, / = 1, т — матриця оператора І/ (див.
п. 3.11). З нерівностей
/л (х) — /ь (ха) — £ ак і (х, — Xе/0’) | <
/='
ІІ/(х) —/(х0) —Л(х —х0)||, ^=1,р,
випливає, що функції диференційовні у точці Хо і
д?к <хо)
дх.
(£ = 1, р\ і— 1, т.).
Достатність. Якщо кожна функція/* (й — 1, р) диференційов-
на у точці х0 £ О/, то існують такі лінійні форми Ц —* К (й = 1, р),
459
що V х С О/ виконуються співвідношення
/л(*) — /л(*•) — 2ак1{х{ — Х/О))| = 0(IIX — х,||), к = 1,р,
/-і
де
(х0)
дХ]
(/ = 1, т). Покладемо А = (акі). Тоді з очевидної

ОЦІНКИ
|| / (х) — / (х0) — 4 (х — х0) || < 2 І/л (*) —/л (*•) —
&= 1
— £ам(х, —х$0))
/-і
випливає співвідношення
II / (х) — / (х0) — 4 (х — х0) Ц = о (Ц х — х0 Ц),
яке означає, що відображення / диференційовне у точці х0 і А =
= Г(Х°). ►
Нехай Кт, К", ІКР — нормовані простори. Вони е також метрич-
ними. Простір можемо розглядати як добуток метричних
просторів П<т і Щ", а будь-яку точку г £	— як точку з двома
векторними координатами г « (х, у), де х 6 К™, у £
Розглянемо відображення / і П^п+д Кр і дві точки г0 = (х0,
Уо) г = (*, У) 6 Різниці
д«/ (*о) = І (*> Уо) — /(*•> Уо)>	(6)
д(*•) = / (х0, у) — і (ха, у9)	(7)
назвемо частковими приростами відображення І у точці гв.
Означення 3. Відображення ї називається д и ф е р е н ц і йов-
ним по векторному аргументу х у точці г0, якшр
т І!
існує таке лінійне відображення ІК —ІК , що частковий приріст
(^о) зображається у вигляді
(20) =	(•* — х0) + о(Ц х — х0 Ц).	(7)
Лінійному оператору 1)х відповідає матриця
/х (г0) —
(8)
р (^о» Уо) р ^о» Уо)
дХ]	дх^
1	ти
яку назвемо частинною похідною відображення і по векторному ар-
гументу х.
Аналогічно вводиться поняття диференційовності відображення
/ по векторному аргументу у. При цьому частинною похідною [у (20)
460
називається матриця
О)
Якщо І — неперервно диференційовне у точці г0 відображення,
то його приріст А/ (г0) можна записати у вигляді
д/ (*о) = І (2) — / (г0) « /х (г0) (х — х0) + ї'и (г0) (у — у0) +
4- о(|| х — х0 Ц) 4-о(|| // —г/0||).	(10)
Цей майже очевидний факт пропонуємо довести читачам.
7.5.	Загальна теорема про неявну функцію. Нехай задано си-
стему рівнянь
І і (-^і, • ••»	У і* •••»Уп) — о» — і > я,	(і)
яку запишемо у вигляді одного векторного рівняння
/(X, //) = 0.	(2)
Тут X = (Хі> , Хт) €	== (^1 » ••• >	)> У (^1> ••• > Уп) С
€0ь(*/(>)• і/о= 4/і0). ...» Уп}). Позначимо £> = Оа(х0) х 0ь(уй).
Теорема 1 (про існування неявного відображення). Нехай ві-
дображення О К" задовольняє умови: 1) / — неперервне в О відоб-
раження і [ (х0, Уо) = 0» 2) в О існує частинна похідна (див. п. 7.4),
неперервна у точці (х0, у^)\ 3) матриця [у (х0, у0) оборотна. Тоді іс-
нують такі б 6 (0, а), в € (0, Ь), що рівняння (2) визначав єдине ві-
дображення 0$ (х0) Ог (Уо), неперервне в замкненій кулі Об (х0) *
таке, що у (х0) = Уо-
◄ Рівняння (2) еквівалентне рівнянню
У = Ау,
(3)
в якому оператор А визначено тотожністю
А : у н* Р (х, у) = у — {(у (х0, у0))~х } (х, у),
Де (4 (хв, у0)Г' — матриця, обернена до матриці 4 (х0, у9).
Відображення Оа (х0) X Оь (у0) ІК", згідно з умовами 1) — 3)
теореми, неперервне і має частинну похідну
• (х, у)(їу (х0, //о)) к а. у\
де / — одинична матриця (див. п. 3.10), причому у точці (х0, у0) час-
тинна похідна Ру перетворюється на нульову матрицю, тобто таку,
у якої всі елементи нулі.
Оскільки похідна Д, неперервна у точці (х0, у0), то V 0 € (0. 0
існує таке додатне число е < тіп {а, &}, що V (х, у) Е Ое. (х0) X
461
X Оє (у0) виконується оцінка
II Р'и (х, у) II = II / - (/; (х0, у0)Г' їу (х, у) || < 0-	(4)
Далі,^оскільки / (х0, у0) = 0, то існує таке додатне число 8 є, що
V х С Об (х0)
ІІУ0 — Р(х, у0)||<(1 — 0)е.	(5)
Позначимо через Мй множину усіх неперервних відображень
Об (х0) -► Ог (у0) і покладемо V (§ 6 Мб, Н 6 Мб)
р(£,/0 = зир ||£(х) —Л(х)||.	(6)
хЄОб(Хо)
Метричний Простір (Лїб, р) повний, бо збіжність в ньому є рівно-
мірною, а границя послідовності неперервних функцій є неперер-
вною функцією на компакті О& (х0).
Покажемо, що оператор А є стискуючим в (Мб, р) і відображає
множину Мб в себе.
Дійсно, V (у 6 О? (уо), г Є Ое (Уо)) маємо
Ау — Аг = Р (х, у) — Р (х, г), х £ Об (х0).
Застосуємо теорему про скінченні прирости (див. п. 7.3). Діста-
немо
Ц Ау — АгЦ = || Р(х, у)—Р(х, г|| С
< зир Ц 1 — (4(х0, у0)ГЧ'У(х, 5)||||у — г||,
£Є(/Л2)
де г € ое (у9), у Є_Ог (у0), х е Об (х0). Покладемо тут у ! х § (х),
г : х -» Н (х), х 6 Од (х0), і скористаємося оцінкою (4) та означенням
метрики у просторі (Мб, р). Дістанемо оцінку
II (х) — АН (х) Ц С зир ||/—(^(х0, у0))-1/:»(хЛ)|| _зир || § (х) —
— Н (х) II с 0р (Є> й).	(7)
Таким чином, справджується нерівність
р(Д§, ЛЛ) = зир ||Л£(х) —Д/г(х)||<0р(£, й), 0£(О, 1),
тобто оператор А стискуючий.
Покажемо, що Мб — - Мб. Візьмемо довільне відображення Н €
€ Мб. Тоді, очевидно,
Р (Л, Уо) < е.	(8)
Потрібно довести, що АН € М^, тобто що р (АН, у0)	8. Користу-
ючись стискуваністю оператора та нерівністю (5), маємо
Ц у0 — АН (х) Ц ^ || Уо — Ауп Ц 4- || Ау0 — АН (х) || =
= IIУ9 — Р (х, у о) II + II Ауй — АН (х) |К Ц у о — Р (х, у0) II +
462
+ $ир ||Л^0 —ЛЛ(х)||<(1 — 0)є + о(Луо,
(1 — 6) Є + 0р (у0, Н) (1 — 0) 8 + 08 = 8.
Отже, зир || у0 — ДЛ(х)|] = р(у0, АН) ^е, тобто АН^Мь.
хЄО^(х0)
Згідно з теоремою про нерухому точку, операторне рівняння
(3), а значить і рівняння (2), має в метричному просторі (М&9 р) єди-
ний розв’язок Ое (х0) —- Ое (у0) — нерухому точку оператора А.
Оскільки точки метричного простору (Мб, р) є неперервними відоб-
раженнями, то у — неперервне у замкненій кулі Оь (х0) відобра-
ження, яке при х =» х0 має єдиний розв’язок у0, тобто у (х0) = £/0. ►
Доведемо теорему про диференційовність відображення, зада-
ного неявно рівнянням / (х, у) = 0.
Теорема 2. Якщо виконано усі умови теореми 1 і на множині
О існують та неперервні частинні похідні ї'Х9 а матриця 4 (х, у)
оборотна в кожній точці (х, у) Є Л, то відображення
Оь (х0) — •* Ое (у0) диференційовне в кожній точці х£Оь (х0) і при
цьому
у’ (х) = — (х, у (х)УГ'ї'х (х, у (х)).	(9)
◄ Візьмемо такі точки (х, у (х)) і (х + Н, у (х + Л)) в О, що || х —
— х0 Ц 6, || х + Н Ц 6. Оскільки відображення / диференці-
йовне у точці (х, у (х)), то, згідно з формулою (10), п. 7.4, маємо
0 = ї(х + Л, у (х + Л)) — /(х, у(х)) = (х, у (х)) Н +
+ (х, у(х)) Ду + о(|| Н Ц) + о(|| Ду II),	(10)
де Ду = у (х + Л) — у (х).
Подіємо на обидві частини рівності (10) оператором (/у (х, у (х))—1
і оцінимо одержане. Маємо
II (х, у (х))Г* £ (х, у (х)) Л + Ду Ц
< II (/; (х, у (х))Г‘|| (о (Ц Н Ц) + о (Ц Ду |[)).	(11)
З неперервності відображення Оь (х0) Ов (у0) випливає, що
Ц &у | -> 0, коли || Л Ц 0. Маючи це на увазі, візьмемо настіль-
ки мале Ц Л Ц і, отже, мале || Ду ||, щоб виконувалася оцінка
н а; (х, у (х)))-* її (о (н л и)+о (її дУ н)) ± (н й ц+ц д// н).
Тоді дістанемо нерівності
II &УII - II (4 (X, у (X)))-1 IIIIЛ (X, у (X)) IIIIЛII <
< II (4(х, У (х)))-1 л (х, у (х)) Л + Ду ІК -і- IIЛII + Ц- II Ду ||,
звідки маємо оцінку
VII иі С (4 + II (ї’у (X, у (х)))-1 IIIIЛ (X, у (х)) ||) IIЛ ||,
463
тобто Ц \у | с Ц И при деякому с > 0. Підставимо цю оцінку
в нерівність (11). Маємо
II &У — (— у (х))) '/х (х, у (х)) П) ІК
< II (/; <Х, у (х))Г‘ II (о (IIЛII) + О (с II її У)) = о (II Н II),	(12)
а це означає, що функція Об (х0)	(у0) диференційовна і її по-
хідна обчислюється за формулою (9), >
Застосовуючи до обох частин формули (9) оператор /р (х, у (х)),
можемо записати її в еквівалентному вигляді
/у (х, у (х)) у' (х) 4- і'х (х, у (х)) = 0.	(13)
Формула (13) показує, що в умовах теореми для відшукання у1 (х)
можна рівність / (х, у (х)) = 0 диференціювати по х, як складну
функцію від х.
7.6.	Обернене відображення. Нехай задано відображення
X У, деХ с Кп, У с: К" — відкриті множини. Оскільки / — бі-
єкція X на У, то існує обернене відображення У -—► X. Якщо/ і
/“’ — неперервні відображення, то / є гомеоморфізмом X на У.
Якщо відображення / та /-1 ще й неперервно диференційовні, то
відображення / називається СР-дифеоморфізмом.
Теорема. Нехай X X. У — Сг-дифеоморфізм, х0 Є X, у0 = / (х0)
і матриця (х0) оборотна. Тоді існують такі кулі Ое (х0) с: X,
О6 (у0) с. У, що О6 С— Ое (х0), Г' (Уо) = хо і
(Г1)'(У.) = (Г (*<,))“'•	(1)
4 Для доведення досить застосувати теорему 2, п. 7.5, до відоб-
раження (х, у) <р (х, у), де ер (х, у) = / (х) — у, заміняючи в мір-
куваннях х на у, а у на х. Диференціюючи тотожність
/ (Г1 (у)) = у	(2)
еа правилом (13) і враховуючи, що /~1 (у0) = х0, дістаємо
(Т1)'~ Л	(3)
де І — одинична матриця. Оскільки матриця /* (х0) оборотна, то
формулу (3) можна записати у вигляді
(Г1)' Ш = (№))“’. ►
Для якобіанів з формули (3) дістаємо рівність
® (/Г1...С1),, .____________і________	...
0(01,...,0П) (уо)- 0(Іі...../п) , . ’
0 (*1, - , *п)
7.7.	Поняття умовного екстремуму. Метод Лагранжа.
Означення. Нехай функції (/ — ], г) з ІК”" в ІК визначені в де-
якому околі точки х0 і (х0) = 0 V / = 1, г. Число і (хй) назива-
єм
ється умовним максимумом (мінімумом) функ-
ції /, якщо існує такий окіл О (х0), що / (х0) є найбільшим (наймен-
шим ) значенням звуження функції [ на множину,
О(х0) 0 {х€КтІ(-с) = 0; і = Ї77}.
Теорема (Лагранжа). Нехай функції & (] = 1, г) з К™ в П< не-
перервно диференційовні в деякому околі точки а, г т, (а) = 0
V/ = 1, г і ранг матриці Якобі відображення § = (§І9 .-ч£т)уточ-
ці а дорівнює г, Якщо функція [ має умовний екстремум у точці а
(з умовами (а) = 0 V / = 1, г), то існують такі числа —
..., що
(/+ 2 М)'(а) = 0.	(1)
7=1
4 Не обмежуючи загальних міркувань, вважаємо, що якобіан
^ (£]>•••> 5 г) .
& (х., .... X ) не Д0РІВНЮ€ НУЛЮ-
За теоремою про неявну функцію існують такі околи О (аг+і, ...
..., ат) і 0 (а19 ..., аТ), що рівняння § (х) = 0 визначає неявне дифе-
ренційовне відображення 0 (аг+ь ...» ап) — 0 (аи .... аг). Це оз-
начає, що перші г координат х19 х2, ...» хг є диференційовними функ-
ціями незалежних змінних хг+ь ..., хт, тобто
=== Ф> (^*Ч-Ь ••• ♦	(^<+Ь ••• > -^т) 6^ (^г+Ь	» ^тн)*	(^)
З означення умовного екстремуму випливає, що функція Ф, визна-
чена V (Хг-м, ...» хот) £ О (Яг+І, ...» ат) рівністю
Ф ... , Хт) ® / (фі (-Яг-}-!»	» -^т)» •••> Фг (^гЧ-Ь ••• » ^т)» «^гЧ-І»*** » ^т)»
(3)
має локальний екстремум у точці (аг+ь ...» в™). Враховуючи необ-
хідні умови локального екстремуму та інваріантність форми дифе-
ренціала (див. п. 7.2), дістаємо
т
4Ф(аг+і.....ат) =	= 0.
і=і
(4)
Тут диференціали дхи ..., дхг єфункціями, а диференціали сіхг+\9 ...
..., дхт незалежні.
Згідно з теоремою про неявну функцію, V (Хг+ь ...» хт) С
£ 0 (аг+ь ..., ат) маємо г тотожностей
••• ,	(фі (^+Ь ••• » -^т)» ••• » Фг(^г-Н> > ^т)» .
хр_|«і, ... , хт) в» 0,	(5)
диференціюючи які, дістаємо
аЦ;(Хг+1, ...
1=1
(! = 1, Г).
(6)
16 1—2914
465
Розглянемо лінійну комбінацію
Т	Г	т Л І X
.	тгл. Х-І д§і(а)
— ах} = 0,
і
М'Р, (^+і,..., ат) = Ді
/=і
де Хп , Хг— деякі сталі, а також суму
(7)
т
д£і (Д)
дх,
д&т (а> Ь П
_ —і— аХі = 0.
г дх.	/ г
І /
(8)
(9)
Г=1
Підберемо сталі X, (/ = 1, г) так, щоб коефіцієнти при диференці-
алах (ІХц ..., сіхг стали нулями, тобто, щоб виконувалися умови
1	. Її д§г Л
~д^~ +	“^7" + - + ^ ~д^~ =
Система рівнянь (9) відносно к} має розв’язок, бо її визначник
(ві> •••» б )
-^7--------т—(я) за умовою відмінний від нуля. Підставимо ви-
значені системою рівнянь Х^ (/= 1, г) в рівність (8). Дістанемо
рівність
VI / (а)
2^ дх.
дхі
дхі
= 0.
(Ю)
Тут диференціали <іхі (і = т + 1, ги) незалежні, тому умова
виконується лише тоді, коли
+ X, -*1(д) 4- ... 4- Кг = о (і== г + ! т)
дхі 1 дхі	г дх.	7
Таким чином, для відшукання координат точки а і г невідомих пара-
метрів X/ потрібно розв’язати систему рівнянь
(10)
(11)
дх
(•*)
дх,
(12)
(х) = 0 (і =
Покладемо Г = / + V Тоді для відшукання точки а потріб-
но розв’язати систему рівнянь
дР (х, Хі, , X )	дР (х, Хі, «»• * Х_)
------§7------—“• ---------ЗГ-----=--° (‘-1.™
(13)
466
Відображення Е називають функцією Лагранжа, а спосіб від-
шукання точки умовного екстремуму називають методом множни-
ків Лагранжа.
Нехай, наприклад, потрібно знайти найбільше та найменше зна-
чення функції і і К2 -> Ж, де
/(х, у) = х2 + у2 — 12х + 16г/,	= {(х, £/)ЄК2| х2 + */2^25}.
Оскільки частинні похідні і не дорівнюють нулю одно-
часно в жодній внутрішній точці множини то найбільше і най-
менше значення функції /, які існують за теоремою Вейєрштрасса,
досягаються на межі круга і є умовними екстремумами з умовою
§ (х, у) = х2 4- у2 — 25 = 0. Скористаємося методом множників
Лагранжа. Для нього утворимо функцію Р : Ж3 де
Р (х, у. X) = / (х, у) +	(х, у) = х2 + у2 — 12х + 16*/ +
4- X (х2 4- у2 — 25).
Система (13) набуває вигляду
( х(1 4-Х) —6 = 0,
у(\ 4-Х)4-8 = 0,
І х2 + у* _ 25 = 0.
Вона має два розв’язки: (3, —4, 1) та (—3, 4, —3). Оскільки / (З,
—4) = —75, / (—3, 4) = 125, то найбільше значення функції / до-
рівнює 125, а її найменше значення дорівнює —75.
Вправи
1.
а)
б)
в)
г)
2.
Дослідити на локальні екстремуми функцію /, якщо:
І (х, у) = хау3 (6 — х — у), йі = О?8;
Г я
/ (х, у) = ЗІП X 4- соз у 4- соз (х — г/), Ру = 0, —
X
І (х, У» г) = х8 4- у2 4- г2 4- 12ху + 2г, Р/ = К8;
І (*, у, г) = ху2г9 (а — х — 2у — Зг) (а > 0), Р =К8;
Знайти точки умовного екстремуму функцій:
х У
а)	г = — 4-	, якщо х2 4- У2 = 1;
б)	г = соз2 х 4- соз2 у9 якщо х — у =	»
ха у2 г2
в)	и = ха 4~ у2 4“ га, якщо 4-	4~ 7^ = 1 (а > 6 > б? > 0).
3. Довести, що інтеграл
1
р (У) = 5 Ьи (Ж) ах> 13Р = К»
0
від розривної функції / (х, у) == 8£П (х — у)9 Р/= [0, 1) X 0?, е неперервною
функцією. Побудувати графік функції Р.
4. Знайти Р' (а), якщо
1 ________
Р (а) = у еа ^1^х*сІх9 — 1 < а < 1.
о
16*
467
§ 8.	Криволінійні інтеграли. Формули
Коші для функції та її похідних.
Ряд Лорана і теорія лишків
8.1.	Орієнтована гладка крива (траєкторія).
Означення 1. Множина у с ([) (або у сг К2) називається про-
стою гладкою кривою (траєкторією), якщо існує
неперервно диференційовне відображення [а, 6] у з відмінною від
нуля похідною. При цьому відображення <р називається пара-
метричним зображенням кривої у.
Якщо — інше параметричне зображення кривої у,
&ІІ, то, очевидно, відображення Іа, 6] -	[а19 Ь^має відмінну від
нуля похідну. Якщо (ф-1 о ф)' (/) > 0 V і € [о, Ь], то параметрич-
ні зображення ф та ф називаються еквівалентними.
Означення 2. Множина уор усіх еквівалентних зображень прос-
тої гладкої кривої у називається її орієнтацією. Упорядко-
вана пара (у, уОр) називається орієнтованою гладкою
кривою.
Якщо (у, уор) — орієнтована гладка крива, ф Є уор і = [а, Ь]9
то ф (а) називається початковою, а ф (Ь) — кінцевою точками цієї
кривої. Очевидно, що орієнтація простої гладкої кривої однознач-
но визначається зазначенням її початкової точки.
Усі параметричні зображення ф уор еквівалентні між собою,
їх сукупність називається протилежною орієнтацією і познача-
ється у^. Орієнтовану криву Г“"= (у, у^) назвемо протилежно орі-
єнтованою по відношенню до Г = (у, уор).
Враховуючи фізичний зміст похідної відображення з К в ([}, по-
кладемо, що довжина кривої у дорівнює числу
/== рф'(/)|Л.	(1)
а
Серед усіх параметричних зображень ф орієнтованої гладкої
кривої (у, Уор) існує таке, що
<Р€тор. Цр = Ю, і] І |<р'(0І = 1
Це зображення єдине. Воно називається нормальним (або наглу раль-
ним). Нормальне параметричне зображення <р дістаємо у вигляді
композиції відображень фон, де 6 уОр, Оф = Іа, 61, [0, /] —-
-> Іа, Ь] і
Т]-1 (і) = у 11|>'(т)І У/£[а, 6].	(2)
а
8.2.	Інтегрування функцій по орієнтованій гладкій кривій. Не-
перервна функція / І (С ”** (0 може не бути інтегровною за Ньюто-
ном— Лейбніцем на лінійно-зв’язній відкритій множині. Тому
виникає потреба у новому понятті — криволінійному інтегралі.
468
Означення І. Нехай Г = (у, уор) —гладка орієнтована крива,
Ф € ?ор і Оц, == 1а, Ь]. Якщо / • (С і О/ у, /по криволіній-
ним інтегралом функції } по Г називається число
ь
§ І (г) йг = р(<р(О)ф'(О<Я,	(1)
Г	а
якщо воно існує.
З правила заміни змінної в інтегралі випливає незалежність пра-
вої частини формули (1) від вибору параметричного зображення ф 6
€ Тор*
Наведемо приклад обчислення криволінійного інтеграла по орі-
єнтованій гладкій кривій.
Приклад. Обчислити | г | гіг, де Г — верхнє півколо одиничного радіуса з
Г
центром у початку координат і початком у точці (1, 0).
Параметричне зображення орієнтованої кривої Г задамо формулою ф (0 =
= еі1, і С [0, я]. Згідно з формулою (1), маємо
У | 2 | гіг = С | еІІ | іеІІси = еі1	= —• 2.
г	о
Інтеграл в означенні 1 називають криволінійним інтегралом
другого роду, відрізняючи його від такого інтеграла першого роду.
Означення 2. Нехай у — проста гладка крива, функція [а, Ь]
-> у — її параметричне зображення. Якщо / : (0 (С і у с: О[, то
криволінійним інтегралом першого роду від
функції І по кривій у називається число
у/(г)|гіг| = р(<р(О)|ф'(О|Л,	(2)
V	а
якщо воно існує.
З теореми про заміну змінної у визначеному інтегралі випливає,
що права частина формули (2) не залежить від вибору параметрич-
ного зображення ф кривої у. Якщо Г = (у, уор), то за означенням
покладемо
р(г)|4г| = р(г)|йг|.	(3)
Г	V
З оцінки модуля визначеного інтеграла випливає важлива для
подальшого викладу нерівність
уі/(г)|Мг|,	(4)
г	г
справедлива для будь-якої неперервної функції Д
8.3.	Гладкі криві та криволінійні інтеграли у просторі ІК'”. По-
няття кривої й криволінійного інтеграла розповсюджується на ви-
падок простору т 2.
469
Означення 1. Множина у сі К™ називається простою
гладкою кривою (траєкторією) у просторі К™,
якщо існує неперервно диференційовне відображення [а, і>] з від-
мінною від нуль-вектора похідною. При цьому відображення ф нази-
вається параметричним зображенням кривої у.
Якщо і|) — інше параметричне зображення кривої у, Р^ = [а1т &Д
то відображення [а,	має похідну, яка не обертається
в нуль. Якщо Сф”4 о ф)' (<) > 0 V і Е Іа, &], то параметричні зо-
браження ф та ф називаються еквівалентними.
Означення 2. Множина уор усіх еквівалентних зображень про-
стої гладкої кривої у називається її орієнтацією. Упоряд-
кована пара (у, уОр) називається орієнтованою гладкою
кривою.
Якщо (у, уор) — орієнтована гладка крива, ф Є уор і РФ = (я» 6],
то ф (а) називається початковою, а ф (Ь) — кінцевою точками цієї
кривої.
Нехай надалі Г = (у, уор), ф £ уор, Рф = [а, &].
Означення 3. Якщо / і К™ і Р/ у, то
т	Ь т
Уах = У £(х) ах*= У (<р (0) у'* (о <“> о)
Г	г й—]	а 6=1
ДЄ І = (Д, ... , /пг),	= (^1> ••• > ^т)*
Аналогічно якщо /:	К і Р/ о у, то
Ь	/ т
р|гіхі^р(ф(/))|/	(2)
Г	а	6=1
ДЄ ф == (фі» •••> Фт)*
З оцінки модуля визначеного інтеграла та нерівності Коші —
Буняковського випливає, що
Ц	(3)
г г
де 1/1-1/ £ /І. •
6=1
Кожній точці х£у поставимо у відповідність одиничний дотич-
ний вектор т(х) = । У, , х = ф(0- Він не залежить від вибору
параметричного зображення ф€увр- Очевидно, що
/дх = у
г г
/т І дх |,
(4)
т
де /т = /кхк. Формула (4) вказує правило зведення інтеграла
к=1
470
другого роду до інтеграла першого роду, іноді записують
(5)
г г
Інтеграли (І) та (2) мають фізичний зміст. Якщо / розглядати як си-
лу, прикладену до точки х, яка рухається по траєкторії х = ф (/),
то інтеграл (1) є її роботою. Інтеграл (2) є зарядом кривої у або ма-
сою у, якщо функцію / вважати густиною розподілення заряду або
маси на у.
8.4.	Кусково-гладкі орієнтовані криві й криволінійні інтеграли
по цих кривих.
Означення. Упорядкований набір Г == (Гь Г2, ..., Гп) гладких
орієнтованих кривих Гй=(у(Л), у^р) (к = 1, п) називається кус-
ково-гладкою кривою, якщо V к — 1, п — 1 кінцева точ-
ка гладкої орієнтованої кривої Г* збігається з початковою точкою
п
аналогічної кривої Г^і. Множина у = 0 ук називається слідом
л=і
кусково-гладкої кривої Г, або множиною її точок. Якщо
І і К™ ->•	£>/ => У» пго
(і)
Г	6=1
Аналогічно якщо / : П<т	зз у, то
п
(2)
Г	*=1 Гк
Очевидно, що інтеграл від неперервної функції по орієнтова-
ній кусково-гладкій кривій Г існує і виконується оцінка
£ (сіх | < у І /11 сіх |.	(3)
г г
8.5.	Формула Грі на.
Означення 1. Функція [а, д] — -* К називається кусково-глад-
кою, якщо існує таке розбиття Р — {хк | к == 0, п} сегмента
[а, 61, що V к = 1, п звуження ф |[хй—І,лЛ] є неперервно диференці-
йовними функціями.
Означення 2. Множина Тг = {(хь ха) С К2 | а < хх < Ь,
Фі <хі) < ха < фа (*і)} називається криволінійною тра-
пецією першого роду, якщо фі та фа — кусково-гладкі
функції на сегменті [а9 6].
Нехай Г, (/ = 1,4) — гладкі орієнтовані криві з параметрични-
ми зображеннями ф/ (/ = 1, 4), де
ФіЮ == (/, ФіЮ)	Ь]> Фа(0«(М) V *Є[фх(&), фа(6)],
ф8(0 = (*>Ф2(0)	ф4(0 = (а»0 У*€ІФі(а), ф2(я)1
471
Рис. 81
(рис. 81). Упорядкований на-
бір д7\ = (Гп Г2, ГГ, 17) на-
зивається додатно орієнтова-
ною межею трапеції Т±. Ука-
зану межу трапеції називають
орієнтованою проти руху го-
динникової стрілки. Інтеграл
від функції / по межі д7\ тра-
пеції Тх визначаємо у розу-
мінні означення з поперед-
нього пункту, тобто
/гіх = у [йх + у /гіх + у [йх + у [йх.
дТ,	Г,	Г,	г-	г—
З	4
(1)
При цьому маємо
У [сіх — у [2 (х) б/х2, у [йх = — У /2 (^) ^^2»
Г? Г,	г~"	Г<
4
Де / = (/Р /2), х = (Хр х2).
Позначимо через Тг замикання множини Тг на площині (£ (або
ІК2).
Означення 3. Нехай Т П< — неперервна функція. Покладемо
Ь	ф8ІЧ)
У У [ (Яр -^а) ^Яі^ЇХ2 = у йх. у [ (Яр Х2) йх*.	(2)
Ті	а	Фі(*і)
Указаний подвійний інтеграл від неперервної функції [ існує, оскіль-
ки функція [а, Ь] —й<, де
Л(хі)= $ Нх,(хі)ах2 ^хіЕїа,Ь].	(3)
Ф1(*1)
€ НЄПЄрЄрвНОЮ.
Теорема 1 (Гріна, для трапеції першого роду). Нехай функції
_ - дІ1
Ті — •* К і Тг —- К неперервні. Тоді
Гґ д/і (*ь х2)
33	^2
— у /1 (^і> -^2)
дТ<
(4)
◄ Згідно з означенням 3, формулою Ньютона — Лейбніца та рів
ністю (1), маємо
б	Фі(*і)
Ц	Л1<ь, _ у у
Ті	а	Ф1(Х1)
й
У/і (*і> хг) Іх»=Фі(хі) — У х2)^хі* ►
а	’	дТі
472
Формально міняючи ролями та х2 (тобто вважаючи х2 пер-
шою, а другою координатами), означимо поняття криволінійної
трапеції Т2 другого роду, інтеграла від неперервної функції по Т2
і по її межі дТ2. При цьому додатна орієнтація трапеції Т2 буде від-
повідною рухові годинникової стрілки. Додатною орієнтацією ме-
жі довільної області будемо вважати ту, яка протилежна рухові
годинникової стрілки. У зв’язку з цим, записуючи аналог формули
(4), потрібно змінити знак її правої частини:
(5)
2’
в	)
Л	дт,
Означення 4. Множина 6 с К2 називається елементар-
ною, якщо прямими, паралельними координатним осям, її можна
розбити на скінченну кількість трапецій першого та другого роду.
Подвійний інтеграл від неперервної функції по елементарній
множині 0 розуміємо як суму інтегралів по тих трапеціях першого
(другого) роду, на які вона розбивається.
Межею дС елементарної множини 6 є кусково-гладка крива і
ми орієнтуємо її проти руху годинникової стрілки.
Теорема 2 (Гріна, для елементарних множин). Нехай 0 сі К2 —
елементарна множина. Якщо функція [ = (Д, /2) неперервна разом
•д 0/і • 0/г	• 7=»
з частинними похідними і на множині О, то виконується
ОХ% ОХ]
рівність
Я (& “ йхі<іхі “ І +
О	до
яка називається формулою Гріна.
◄ Це випливає з означення 4 та формул (4), (5) після заміни в них
(6)
2 — 1
дО
8.6.	Формула Гріна для функції комплексної змінної. Інтег-
ральна теорема Коші.
Означення 1. Нехай г = хг + іх2 і функція / і (С -> (П має час-
тинні похідні та Покладемо
0/ дег і / 0/	♦ 21Л д/ і / а/ , . 0/
дг 2 І дхі дх2 ) ' дг 2 \	дх2
(1)
Праві частини формул (1) дістаємо з рівностей х} = (г + г),
£
х2 = -$- (г — г) та формального застосування правила диференцію-
вання складної функції:
д! _	дГ	0ХХ (	дЬ	0*2	__ 1 .	і дю	
дг	дх}	дг '	дх2	дг	2 1	0*і	дХі
	У	0^і ।	, а/	дх2	1 і	' ді	
дг	дХі	дг	дх2	дг	~ 2 (	0Хі	। дх2
473
При цьому спрощується форма запису важливої умови Ейлера —
Д’Аламбера — Коші — Рімана (див. п. 5.4), яка набуває вигляду
= 0.
дг
(2)
Означення 2. Нехай О с: — елементарна множина, / = ц +
+ іо. Покладемо
У У /сІХійХг = у у иіхАіх2 + 4 УУ ^іх^х^
о	о	о
(3)
Якщо функція [ неперервна на множині О, то інтеграл (3) існує.
Теорема 1 (Гріна, для функції комплексної змінної). Нехай
функція / : (С -> (С -диференційовна на елементарній множині
О. Тоді виконується формула Гріна
С/(г)гіг = 2і	(4)
дО	6
де 2 == Хі 4- І*2*
◄ Нехай / = и + іа. Тоді
У / (?) іг = у иіхх — оіх2 +4 £	=
дО	дО	дО
=Л —’йг) +‘ П (‘й’—£)ахісіхг=
о	о
= И (*	~ ахіах2 =21 Сіхгах2. ►
о	о
Теорема 2 (Коші). Якщо функція [ (^-неперервно диференці-
йовна на елементарній множині О, то
у/(г)гіг = О.	(5)
дО
◄ Справедливість твердження випливає з виконання умови Ейле-
ра — Д’Аламбера — Коші — Рімана (2) та формули (4). ►
8.7. Інтегральне зображення функ-
0
Рис. 62
ції комплексної змінної.
Теорема (Коші). Нехай функція [
(^-неперервно диференційовна в крузі К,
де К — {г С (С 11 * — г01 < г}. Тоді ви-
конується інтегральна формула Коші
(І)
◄ Нехай г 6 К. Розглянемо круг (?)
з центром у точці г і радіусом р, який
474
міститься в крузі К. Застосуємо до елементарної множини 0р
(рис. 82) теорему 2 з п. 8.6. Дістанемо
дОр	дК	Ар
Оскільки функція / (£-диференційовна у точці г, то існує така не-
перервна у цій точці функція <р, що V С € К ї (С) — / (г) = (£ —
— г) ер (£). Враховуючи це, а також формулу (2), знаходимо
у = у =	у -Л- + [’ <р(С)^ =
Ж	дК0	ОКр
= /(г)Л(р) +/2(р).	(3)
Для обчислення інтеграла Іг (р) покладемо £ = г + реі1, і £ [0, 2л].
Тоді
2л
(р) = Г сН = 2лі Ур>0.
Л 0е
о
З оцінки
ІМр)К [ І<р(ОІІІ^8иРІф(£)|2лр
дКр
дістаємо граничне співвідношення Ііт /2 (р) = 0. У рівності (3)
р-►О
перейдемо до границі при р -> 0. Дістанемо формулу (1). ►
8.8. Критерій аналітичності функції комплексної змінної. Фор-
мула Коші для похідних довільного порядку. Нагадаємо, що функ-
ція / : (С —(С називається аналітичною у точці г0 £ О/, граничній
для множини О/, якщо існують степеневий ряд	п £ ^0,
* € і
і круг Кг — {г € (Б І І г — г01 < г] такі, що
оо
/(г) = а0 + V ап (г~г«)П П К-
г •» І
п—і
Теорема 1. Нехай функція ї ^-неперервно диференційовна в
деякому околі 02о. Тоді вона аналітична у точці г0.
◄ Візьмемо круг К з центром у точці г0, цілком розміщений в околі
О2о. За формулою (1), п. 8.7, маємо
«2>=і	'""*	<»
_ дк
Нехай Кр с: К — круг радіуса р з центром у точці г0, г 6 ^р,
£ 6 дК- Тоді дістанемо
/(О =	/(0	= НР 1	=
= У т=^-(•	(2)
Ь го \ Ь — го /
п=0
475
Оскільки ряд V	(-£——) , п Є %0, збігається
відносно ££дК, то його можна інтегрувати почленно.
уваги
формулу (1), маємо
оо
/(?)=£ ап (г — г0)" Уг £ КР,
п—0
рівномірно
Взявши до
(3)
1
де а„ = -т—г
" п 2лі
і
(С - 20)"+1
, Згідно з означенням, функція
/ аналітична у точці г0. ►
Теорема 2. Нехай функція / і (0 -> (С аналітична в кожній точ-
ці круга К* Тоді V п 6 2£о виконується формула Коші для п-похід-
ної:
/(п) (г\ _ _£ї_ С ______НС)-----
дК
(4)
◄ Нехай г0 6 К. Згідно з правилом обчислення коефіцієнтів ряду
Тейлора функції / та формулою (3), маємо
/(п) (г0)	1 (‘ НЕ) ~ у. , _
йп — п\ “	(£ —г0)п-Н
звідки випливає рівність (4). ►
8.9. Ряд Лорана.
Означення. Рядом Л о р а н а за степенями г — г0 нази-
вається сума рядів
2 сп^ (2 - г0)п-', «ЄМ,	(1)
(г — гп)п
, «€№•
Він вважається збіжним, якщо збігаються ряди (1), (2).
Ряд Лорана
Усп_і(г — гв)п 1 + У т----^гГ >
" (г —г»)
розглядають в кільці
(2)
(3)
(4)
де К — радіус збіжності ряду (1), г — радіус збіжності ряду Ес-пИ/1,
п 6 припускаючи, що у- < /? (при г = 4-оо вважаємо -у- = 0),
Теорема (Лорана). Нехай функція ї (^-неперервно диферен-
ційовна в кільці К	з центром у точці г0. Тоді
/(г) = £ сп(г-г0)п Vге^(4-^	.	<5)
ЛЄ2	К	'
476
с»-тН-^% * У'162’	(6)
Гр
Г„ — коло радіуса р Є М-, Я) з центром у точці г0, орієнтоване про-
ти руху годинникової стрілки.
◄ Нехай ?6 К ^-у-, Розглянемо круг К з центром у точці г, який
міститься в кільці К , /?)• Візьмемо кільце К /?А (гг < г,
\ Г /	\ Г1 /
< /?), яке містить в собі круг /<, і застосуємо до елементарної
множини 0 (рис. 83) теорему 2 з п. 8.6. Дістанемо
' с '®_^=о=^, (,4®-<к+
2ш £ — г	2м	£ — г * 1
2лі
но
<К +
1
2лі
2
(7)
Скористаємося інтегральною формулою Коші з п. 8.7. Маємо
оо
Очевидно, що
п=0
і ряд, відповідний сумі в рівності (9), збігається рівномірно. Тому
оо
Г,	п=0
(Ю)
де
с = _!_ С яг = _Ь ґ нр .
П 2пі 3 (С-г0)"+'	2Л( ]
Г,	г0
РН7-.#). «€^о-
Аналогічно
оо
(г-V ’
(П)
477
Де
З рівностей (8), (10), (11) випли-
ває формула (5). >
8.10. Класифікація особли-
вих точок. Нехай функція / (£-
неперервно диференційовна в
деякому околі 02о, за винятком,
можливо, самої точки г0. Тоді г0 називається особливою точкою
однозначного характеру. Згідно з теоремою Лорана, функція {
може бути зображена у вигляді суми
оо	оо
п=0	п=1
УгбОг,,\{г0}.
(1)
Ряди — г0)" і у1 с~п	називаються відповідно
(г — г0)п
правильною та головною частинами ряду Лорана. Якщо головна час-
тина ряду Лорана тотожно дорівнює нулю, то г0 називається усув-
ною особливою точкою. У цьому випадку, покладаючи / (г0) = с0, ді-
станемо (^-неперервно диференційовну в околі точки 2а функцію.
Якщо головна частина ряду Лорана містить скінченну кількість
членів, то точка г0 називається полюсом. Число т називається по-
рядком полюса, якщо с_т ф 0, а с^.т-г = 0 V р € И-
Теорема. Точка гс є полюсом т-го порядку функції і тоді і тіль-
ки тоді, коли існує така ^-неперервно диференційовна функція ф,
що
ї <2) = 7г е Ог- \	1 ф	* °-	(2)
(г — г0)
◄ Необхідність. Нехай г0 — полюс т-го порядку функції /. Тоді
оо	т
/(г) = ^ сп(г —гв)п + ^
п=0	п=]
(* ~ го)п
Уг € Ог„ \ {г0}.	(3)
Покладемо
оо	т
Ф (г) = £ сп (г - г9)п+т + с-л (г - г,)т~п V* 6 02,.	(4)
п=0
478
Очевидно, що ер (г0) = с_т Ф 0, функція ер неперервно диференційов-
на в О2о і виконується рівність (2).
Достатність. Нехай виконується умова (2) і функція <р (£-не-
перервно диференційовна в околі Згідно з теоремою 1» п. 8.8,
її можна розвинути в степеневий ряд
оо
<р(г) = £ ап (г — г0)п Уг£ Ог, •
п=0
Оскільки <р (г0) = а0 =/= 0 і Уг 6 0^ \ {г0} виконується розвинення
то точка г0 — полюс т-го порядку. ►
В інших випадках, тобто якщо с-п 0 для нескінченної мно-
жини значень п Е И, точка г0 називається істотно особливою.
8.11. Обчислення інтегралів від функції комплексної змінної.
Означення. Нехай г0 — особлива точка однозначного характеру
для функції І, Кг — круг радіуса г> 0 з центром у точці га. Число
тез /(г) = Ііт-і- ( /(г) гіг,	(0
г=г0	г->0
якщо воно існує, називається лишком функції [ у точці
г0 (гез походить від французького слова гезіби — лишок).
Теорема 1. Якщо г0 — полюс т-го порядку функції [ і викону-
ється умова (2), п. 8.10, то існує
(2)
◄ Згідно з означенням лишку і формулою (4), п. 8.8, маємо

й Пг)“
= Пш ' С-фД-^,	.
г-М) 2то (£-г0)т	* (т —1)1
дКг
Теорема 2. Нехай виконується умова (1), п. 8.10. Тоді функція
І має лишок у точці г0 і
гез/(г) = с_ь	(3)
◄ Згідно з означенням лишку та формулою (11), з п. 8.9, дістає-
мо
тез / (г) = Ііт -5^- ( /(С) гі£ = с_,. ►
г=2< дКг'
Лишки застосовуються при обчисленні
інтегралів.
479
Рис. 84
Теорема 3. Нехай 6 — елементарна множина. Якщо функція
? (^-неперервно диференційовна на 6, за винятком, можливо, то-
чок г/ 6 О (І = 1, р)> то
-І" І/©^=2 Iе8 Иг).	(4)
до	г~~гі
<4 Розглянемо круги Кг сг 6 (/ = 1, р), які попарно не перетина-
ються, радіусів г/ і з центрами в точках г>. Застосуємо до елемен-
тарної множини (рис. 84) інтегральну теорему Коші з п. 8.6. Ді-
станемо
дві
2ЙГ р(2М2 + £-Ь- у /(2)гіг,
д0	/=І дК~
гі
(5)
(6)
дО	/=І МГ/
Перейдемо в рівності (6) до границі при тах г/ -> 0. Дістанемо фор-
мулу (4). >
Теорема 4 (про логарифмічний лишок). Нехай функція ї (£-
неперервно диференційовна на елементарній множині 0, за винят-
ком точок а/ € 0 (/ = 1, р}> у кожній з яких вона має полюс порядку
Якщо ї не обертається в нуль на межі множини 0, має в 0 скін-
ченну кількість нулів Ьк^0 (к = 1, д) кратності |3Й, то
я	Р
У ~Т^~ & = 2
да	£=.1	і
480
◄ Нехай а — нуль кратності т 6 або полюс порядку | т | 6
функції [. Тоді існує така (^-неперервно диференційовна в деякому
околі 0а точки а функція <р, що <р (а) =#0 і / (г) = (з— а)т<р(з) V гб
€ Оа \ {а}. Тоді
Г (г) _	1 ф' (г) (г — а) + т<р (г)
і (г) г — а	ф (г)
4>(г)
г — а
(8)
За теоремою з п. 8.10 точка а е полюсом першого порядку функції
у-, а за теоремою 1 з п. 8.11 дістаємо
ГЄ8
г=а
Ґ (V
Цг)
= ф(а) = т.
(9)
Отже, формула (7) є окремим випадком рівності (4). >
Теорема 5. Нехай виконано умови теореми 4. Якщо функція
§ & неперервно диференційовна на множині О, то
я	р
& = £ М (РЛ) - 2 че («/)•	(Ю)
дО	1	/= 1
◄ Нехай, як і в попередній теоремі, а — нуль кратності т С
або полюс порядку | т С функції /. Тоді, згідно з формулою (8),
дістаємо
£(*)
Г(г) _
/(г)
>	8 (г) (Ф' (?) (г — а) + тф (г))
г — а	ф (г)
(11)
р (2)
Тому гез §(г) *]Г7-г- = т§(а) і формула (10) випливає з рівності (4).
8.12.	Застосування лишків до обчислення визначених інтегралів.
Теорія лишків, викладена в попередньому пункті, застосовується
не лише для обчислення криволінійних інтегралів по межах еле-
ментарних множин, а й до обчислення визначених інтегралів. Ука-
жемо найпростіші випадки.
Теорема 1. Нехай РІС} — алгебраїчні многочлени, причому
степінь не менш ніж на дві одиниці перевищує степінь Р. Якщо
<2 (х) =Н= 0 V х 6 К, то
т
V ГЄ5 Р(г)
Я® •
/г=1
(1)
де ак — нулі многочлена ф у верхній півплощині, тобто Іш ак > 0
(к = 1, т).
◄ Нехай Кн — верхній півкруг радіуса /? з центром у початку
координат, Гд — відповідне півколо, орієнтоване проти руху го-
динникової стрілки. Якщо півкруг Кя містить усі нулі многочлена
С, розміщені у верхній півплощині, то за теоремою про лишки
481
дістаємо
йг = 2лі V
4=1
ГЄ5 Р (?)
г=“к (} (і) ’
(2)
Оскільки
РМ
<?(х)
(3)
і виконується оцінка
Р(г)
<?(*)
| <іг | <1 тах
татИ-°(т)-°<|)'<4)
то, здійснивши граничний перехід в рівності (2) при 7? +оо, ді-
станемо формулу (1). >
Аналогічно доводиться таке твердження.
Теорема 2, Нехай виконано умови теореми 1. Тоді виконуєть-
ся рівність
Р (х)	Л	ТА* р (?)
§ <2 (х)	У г=ьк <2 (?) >	(5)
—оо	1
де Ьк — усі нулі многочлена розміщені в нижній півплощині, тоб-
то Ігп Ьк < 0 (к = 1, п).
Таким чином, для обчислення невласного інтеграла від раціо-
нальної функції можна користуватися формулами (1) та (5). Виби-
рають ту з них, яка простіша.
Якщо не виконано умови теореми 1, то невласний інтеграл у зви-
чайному розумінні не існує і тому відпадає потреба його обчислен-
ня. Визначені інтеграли від раціональних функцій у звичайному
розумінні можна зводити до невласних шляхом заміни змінної і
обчислювати, як показано вище. Сказане відноситься і до обчислен-
ня первісних.
Обчислення лишків спрощується, якщо взяти до уваги таке за-
уваження. Припустимо, що 0 (а) = 0, а ф' (а) У= 0. Тоді
гез
г=а
Р(г) _ Р (а)
<2(г)	<2'(а) ’
(6)
Дійсно, (г) — <2 (а) = (г — а) ср (г), де <р — неперервна функція і
<р (а) = (}' (а)	0,
Р(г)______1 Р(г)	Р (г) _ Р (а) Р (а)
~ г —а (г) ’ Гг^о <2 (г) ~ <р (а) — <і' (а)
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Обчислити / =
а2 —
Многочлен ф (г) = г4 + 1
Зл
= е 4 . Згідно з формулами
має у верхній півплощині нулі сц = е
(1) та (6), маємо
сіх
2л
Приклад 2. Обчислити 1 =
о
Запишемо І у вигляді
2Л
/ = 2 С-
Л 8Є
0
е1хсіх
За означенням криволінійного інтеграла (див. п. 8.2) маємо
І-----2І У -2 Д+- , К = {г€С 11 г| < і}.
дК
Згідно з теоремою про лишки, дістаємо
/ = 4л 2 ГЄ8 ,
й:|а*|<!*=«* ЧУ)
де (} (г) = ег2 + 2з -Ь в, а* — нулі многочлена (і, розміщені в одиничному крузі
з центром у початку координат. Многочлен 0 має в крузі К один нуль а —
__] 4- ЬГ[ _ £2
=------------------, тому, застосувавши формулу (6), знайдемо
11	1	г 2л
'=а <2(г) “ о.'(а) =2уг=її» ’ / =	•
8.13.	Теореми Ліу білля і Сохоцького. Основна теорема алгебри
многочленів. Будь-яка (^-неперервно диференційовна функція (0 (С
називається цілою. Вона є безпосереднім аналогом многочлена і
може бути розвинена в степеневий ряд з нескінченним радіусом
збіжності
Нг)=^апгп	(1)
ПЄ 2о
Ліувілль довів таке важливе твердження.
Теорема / (Ліувілля). Якщо ціла функція обмежена, то вона
є сталою.
◄ Скористаємося інтегральною формулою для обчислення коефі-
цієнтів розвинення (1) (див. формулу (3), п. 8.8) та оцінкою модуля
інтеграла по межі круга Кп = {2 € (С М | < /?}. Дістанемо
І^пІ =

Уп £ и,
483
ап -> 0 при /? -^'Ч-оо Отже, V п 6 И = 0 і / (г) = а0 V г £
Є (С- ►
Наслідок (основна теорема алгебри). Кожний алгебраїч-
ний многочлен, відмінний від сталої, має в комплексній площині (С
принаймні один нуль.
◄І Застосуємо метод доведення від супротивного. Якщо алгебра-
їчний многочлен Р, відмінний від сталої, не обертається в нуль,
то функція є цілою і обмеженою. За теоремою Ліувілля вона є
сталою. Дістали протиріччя з припущенням, що многочлен Р від-
мінний від сталої. ►
У п. 8.11 особливі точки класифіковані як усувні, полюси та іс-
тотно особливі. Перші дві характеризуються тим, що функція має
в таких точках скінченну та нескінченну границі Важливу харак-
теристику поведінки функції в околі істотно особливої точки ука-
зав російський математик Ю. В. Сохоцький (1842—1927) у своїй
дисертації.
Теорема 2 (Сохоцького). Нехай а — істотно особлива точка
функції / і (С (С- Для будь-якого околу Оа множина [ (О' (а)), де
0' (а) = 0а \ {а}, скрізь щільна в (£.
◄ Якщо твердження неправильне, то існують така точка Є (С і
такі околи О^о, Оаі що А / (0' (а)) = 0. Функція Р * (£	(0,
де Р (г) =	> обмежена в 0* (а), причому а — її особлива
точка однозначного характеру. Розвинемо функцію Р в ряд Лора-
на і оцінимо коефіцієнти С—п його головної частини. Дістанемо
1 С Р (С)
2л/ ] (£ _ О)-П+1
дКг
і е1 / \ । п—і 2лг
<зир | Р(г)\г
М=г
с-п 0 при г 0. Тому V п 6 И с-п = 0- Покладаючи Е (а) =
= с0 0, дістаємо ^-неперервно диференційовну функцію в око-
лі Оа. Це неможливо, бо
/ (г) = 4-
8.14.	Принцип аналітичного продовження. Доведемо кілька тео-
рем, які відіграють важливу роль в теорії аналітичних функцій.
Теорема 1 (принцип ізольованості нулів). Нехай степеневий
ряд ^ап^ збігається в крузі К, = {з € (СІ | з | < г} і. [ (г) = 2 апЗл.
п=0
Якщо не всі ап рівні нулю, то існує таке <г, що [ (?) =/= 0 для 0 <
< І г | < г,.
< Нехай п0 Є — найменший номер, для якого аПг =£ 0. Тоді мо-
жемо записати
/ (а) = г"0 (ап, + ап.+іг 4- ... 4- ап<,+тгт 4-...),
причому ряд 2аЛо+т2т збігається в крузі Кг. Якщо § (г) = ап„ 4-
4- Оп^і 2 4-...4- ап,+т2т 4-..., то внаслідок неперервності функ-
484
ції § в крузі Кг, а також умовну (0) = аПо =/= 0 існує таке г, > 0,
що для 0 < | г | < гх виконується умова / (г) =/= 0. ►
Теорема 2. Нехай
КГі = {2 Е (С112 — а | < гі}, к,9 = {2 Е с 11 г — Ь | < г2},
00	оо
Кг^Кг.^0, / (г) = £ ап (г - а)п, £(г)=£ Ьп(?-Ь)п.
п=0	п=0
Якщо існує така непорожня множина 2 у перетині	що
V г£2 виконується рівність[ (г) — £ (г), то } (?) = §(2) у кожній
точці 2^КГі П Кг2.
◄ Нехай 2 Е 2 і £ 6 Лгі П КГі — довільна точка. Тоді сегмент [г, £]
міститься в множині Кг. Л оскільки вона опукла. Нехай
А (/) = / (2 + Ц£ - г)) - § (2 + і (£ - г)).
Це аналітична функція змінної і на деякому інтервалі У о [0, 1].
Нехай А сі [0, 11 — замкнена множина, в яку входять усі ті зна-
чення /, для яких й (5) = 0, коли з Є [0, /]. За припущенням існує
відкритий окіл О0 точки і = 0 на сегменті [0, 1], який міститься в
множині А. Тому іо = зир А > 0. Теорему доведемо, якщо вста-
новимо, що іо = 1.
Для кожного і Е [0, іо) виконується рівність й (і) = 0, а внаслі-
док неперервності функції й маємо й (/0) = 0. Оскільки й — ана-
літична функція у точці /0, то існує таке а > 0, що V і Е (іо — а»
іо + а) виконується рівність
Ь (і) = V рп (І - Іо)п.
л=0
Але за припущенням й (і) = 0 за умови 0 і /0. З принципу ізо-
льованості нулів випливає, що й (і) = 0, коли | і — /0 | < а. З при-
пущення, що іо < 1, випливало б існування такого < 1, що
й (^) =# 0, а це суперечить визначенню /0, бо, застосовуючи прин-
цип ізольованості нулів, дійшли б висновку, що й (/0) =/= 0. Отже,
іо = 1, а це означає, що V 2 Е КГі Л Кг, ї (г) = § (з). >
Теорема 3 (принцип аналітичного продовження). Нехай 2 —
відкрита зв'язна множина,	та § : (£	— аналітичні
функції в 2. Якщо існує така непорожня відкрита підмножина А
множини 2, що [ (2) == % (2) в А, то V г £ 2 { (з) = § (з).
◄ Нехай В — внутрішність множини точок 2 Е 2, в яких / (2) =
= § (з). Множина В відкрита і за припущенням непорожня. Дове-
демо, що В замкнена в 2 і, отже, збігається з 2, бо множина 2 зв’яз-
на. Нехай а Е 2 — точка дотикання множини В. Оскільки / та § —
аналітичні функції, то існує такий відкритий круг Кг з центром у
точці а, який міститься в 2, і при цьому / (з) та § (з) дорівнюють су-
мам степеневих рядів за степенями 2 — а, абсолютно сумовних в Кг.
Але за означенням перетин Кг (] В містить відкритий круг, в яко-
му / (з) = # (?). Застосовуючи попередню теорему, в якій /С, =
== Кг2 = робимо висновок, що / (з) = £ (з) в /Сг. Іншими слова-
ми, Кг В і, зокрема, а Е В. Таким чином, множині В належать усі
її точки дотикання, а це означає, що вона замкнена. ►
485
' 8.15. Поверхня Рімана. Ми свідомо не вводимо поняття «много-
значної» функції як такого, що суперечить загальному поняттю ві-
дображення (див. п. 1.8, розд. 1). У полі (С неможна, наприклад, ви-
значити неперервну функцію г *-► 1Лг, яка задовольняла б умову
(іЛг)2 = г: якщо вважати, що для кожного г #= 0 вона має два різ-
них «значення», то запис 2К? = V2 + V 2 втрачає зміст, бо лівій
його частині мусимо приписати два значення, а правій — три.
Подолання вказаних труднощів було запропоноване понад сто
двадцять п’ять років тому великим німецьким математиком Г. Рі-
маном і полягає у відновлюванні єдиності значення К? за допомо-
гою так званого «подвоєння» області змінної г, так що два значення
V 2 замість єдиної точки г відповідають різним точкам. Відкриття
Рімана започаткувало широку теорію ріманових поверхонь та їх
сучасного узагальнення — комплексних многовидів.
До цього часу ми не пов’язували з аналітичними функціями яки-
хось наглядних геометричних уявлень. Це пояснюється тим, що «гра-
фік» комплекснозначної функції комплексної змінної являє собою
двовимірну поверхню в чотиривимірному просторі. Побудова ріма-
нової поверхні полегшує справу вивчення поведінки функції за до-
помогою геометричних уявлень.
Домовимося позначати для зручності комплексну площину (£
знаками	тощо.
Розглянемо, наприклад, функцію
г = до2, =	(1)
і нехай до набуває значень у верхній півплощині площини ®, тобто
у тій її частині, в якій Іт до > 0, внаслідок чого аргумент до змі-
нюється від 0 до л. При піднесенні до до квадрата його модуль | до |
також підноситься до квадрата, а аргумент подвоюється і, отже, зна.
чення г заповнять усю площину @ , причому як додатна, так і від’-
ємна частини дійсної осі площини @ перейдуть на площині (?) в до-
датну частину дійсної осі. Бачимо, що відображення (1) переводить
верхню частину площини ® в усю площину ® з розрізом, проведе-
ним вздовж додатної частини дійсної осі від 0 до 4-оо. Позначимо
площину з таким розрізом через 7\. Ми можемо, навпаки, вважати,
що до є функцією змінної 2 в площині
хм = V?,	(2)
причому повинні узяти те значення радикала, для якого Іт У? >
> 0. Дійсні додатні значення 2 знаходитимуться як у верхній,
так і в нижній частинах розрізу. У верхній частині розрізу зна-
чення функції г "Иг потрібно брати додатним, а у нижній — від’-
ємним.
Повертаючись до наших попередніх міркувань, будемо вважати,
що до змінюється в нижній півплощині площини @ . Підносячи його
486
до квадрата, дістаємо для г ще одну площину 7\, яку позначимо че-
рез Т2 У ній відображення (2) також регулярне, причому радикал
потрібно брати таким, щоб було Іт V 2 < 0 (у навчальній літера-
турі функція ї • (£ -> (£, диференційовна в кожній точці області
називається голоморфною, іноді правильною, регулярною або моно-
генною в цій області).
З попередніх міркувань безпосередньо випливає також, що зна-
чення відображення (2) у верхній частині розрізу в площині 7\ збі-
гаються із його значеннями у нижній
частині розрізу площини 7\ і навпаки.
Накладемо площину 7\ на площину
Т2 і сумістимо у думці верхню і нижню
частини цих площин хрест-навхрест, а
саме: верхню частину розрізу на Т1 спо-
лучимо з нижньою на 7\ і навпаки
(рис. 85). Точка г = 0 на обох площинах
одна і та сама. Побудована дволиста об-
ласть Т одержана з площини (#) за до-
помогою відображення (1), а відобра-
ження (2) є регулярним та однозначним в області Т, крім точ-
ки г = 0. Зазначимо особливу роль цієї точки. Якщо виходячи
з деякої точки г0 описати замкнений контур навколо точки 2 = 0,
то, повернувшись у точку г0, знаходитимемося на іншому листі у по-
рівнянні з тим, з якого вийшли, описуючи контур. При цьому визна-
чені вище значення відображення г Vг на цьому контурі будуть
давати його аналітичне продовження вздовж контуру, причому кін-
цеве значення відображення у точці г0 буде знаком відрізнятися від
початкового. Отже, точка г = 0 має ту властивість, що відображення
г І 2 неперервне й має похідну в околі цієї точки, але при ана-
літичному продовженні вздовж замкненого контуру навколо цієї
точки змінює свої значення. Таку точку називають точкою розгалу-
ження відображення. У розглянутому випадку при повторному обхо-
ді навколо точки 2=0 повернемося до початкових значень відоб-
раження, і така точка розгалуження називається точкою розгалу-
ження першого порядку.
Побудуємо також поверхню Рімана функції до = Еп г, г £ (£, яку
детально досліджено в п. 4.1, розд. 5. Тут (О — комплексна площи-
на (5) з розрізом вздовж променя —оо < Ке 2	0. У цій площині
функція до має такі однозначні й неперервні вітки:
доА = 1п|г| + іаг£? + 2£лї,	(3)
Для побудови ріманової поверхні функції до = Еп 2 знайдемо гра-
ничні значення її віток на лініях розрізу:
1і гп до* = Іп | х | + ітс + 2/щї V х < 0,	(4)
2-+Х
Іт г>0
Ііт доА = іп | х | — /я + 2&ги V х < 0.	(5)
Іт г<0
487
Отже, граничні значення вітки на верхній лінії розрізу збіга-
ються з граничними значеннями ш/г-н на нижній лінії.
Розглянемо нескінченну множину листів площини (?) , кожний
з яких розрізаний вздовж променя (—оо, 0]. Склеємо верхню лінію
розрізу к~го листа з нижньою лінією розрізу (к + 1)-го листа. Діста-
немо нескінченнолисту ріманову поверхню. Для функції ш = Ьп г
точки 0 та оо є точками розгалуження нескінченного порядку.
Пропонуємо читачеві самостійно побудувати ріманову поверхню
відображення г у г.
§ 9. Потенціальне векторне поле
Означення. Нехай Р = [а, &] X к, сі]. Відображення Р К2 на-
зивається векторним полем в прямокутнику Р. Воно на-
зивається потенціальним, якщо існує така ^-неперервно
Е
диференційовна функція Р що сІР = фх, або Р' = /.
З означення випливає, що / — £гас! Р, Функція Р називається
потенціалом векторного поля р Він визначений з точністю до сталого
доданка.
Теорема. Нехай векторне поле Р Щ2 ^-неперервно дифе-
ренційовне. Воно потенціальне тоді і тільки тоді, коли
(*) =	(*) УхеЛ	(1)
дхА дх2	у 7
де ї = (А, /2).
◄ Необхідність. Нехай векторне поле / потенціальне. За означен-
/	дР дР
ням існує така функція Р -> К, що Р' = тобто	= /2.
Оскільки мішані похідні функції Р дорівнюють одна одній в прямо-
кутнику Р, то
д2Р = дН = д2Р
дх2дХі дх2 дхгдх2	дх1
Достатність. Нехай виконується умова (1). Тоді V Р, де
х = (хь х2), дістаємо
с а	с	с
X ЗС
= I	(^і» ^г) $2	(^і> М =
ас	ас
= У /1 (^і> Хя) У /і (^1>	•
а	а
(2)
488
Визначимо функцію Р П{, покладаючи
х2) = у /2 (Яр + У /і (^і* £)	~
с	а
«*	хг
в У /1 (^1» ^2) Н~ У /2	^2) ^2
а	с
(остання рівність є наслідком тотожності (2)). Оскільки
х
дх2
с
а
д
дх-і
2П
а
Наприклад, векторне поле Р -> Щ2, де Р — прямокутник, в який
не входить початок координат, / (хи х2) = г, т =* сопзі, г «« (хн
ха), г = Ихі + Х2> потенціальне, бо
/і СЧ,
і .Л 2
тх.
ї\ 2
дх2
дхі
Зтхкх2
5
Неважко помітити, що потенціал векторного поля / має вигляд
Ч.	ха) =-----у--
Вправи
1.	Розвинути в ряд Лорана функцію г	----— при | г | > 3.
2.	Яку особливість має функція г *—► ——-—- при г = 2ти?
3.	Обчислити за допомогою теорії лишків інтеграли:
4"ОО	-|’°°	4“ оо
Г	зіп хйх	Р	соз хйх	Р соз хйх
а)	]	х(х2+1)Я	: б)	}	1 +	: в>	] (X* + 1) (х2 + 9)	’
0	1	— оо	—— оо
4.	Обчислити лишки таких функцій:
а)
і
б) 2 і-> е 1 2 при г = 1;
1
в) 2 »-►------------ при г = 2/гл/.
і — е
при г = 1 та 2 = 2;
489
ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ*
•	• список
•	РЕКОМЕНДОВАНОЇ
•	ЛІТЕРАТУРИ
1.	Дьедонне Ж» Основи современного анализа.— М. : Мир, 1964.— 430 с.
2.	Ильин В. А., Позняк 5. Г. Основи математического анализа: В 2 ч.— М. : На-
ука, 1971 — 1973.— Ч. 1—2.
3.	Картай А. Дифференциальное нечисленне. Дифференциальние форми.—
М. : Мир, 1971.— 392 с.
4.	Колмоеоров А. Н., Фомин С. В. Злементн теории функций и функционального
анализа.— М. : Наука, 1972.— 496 с.
5.	Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 2т.— М. : Висів, шк.,
1981.—Т. 1—2.
6.	Математический анализ: В 3 ч. / И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай,
А. Ф. Калайда.— К. : Вища шк. Головнеє изд-во, 1983—1985.— Ч. 1.—
495 с.; Ч. 2.— 551 с.
7.	Ляшко И, И., Емельянов В, Ф., Боярчук Л» А. Основи классического и со-
временного математического анализа.— К. : Вища шк. Головнеє изд-во,
1988.— 590 с.
8.	Никольскіш С. Н. Курс математического анализа: В 2 т.— М. : Наука,
1973,— т. 1—2.
9.	Рудин У. Основи математического анализа.— М. : Мир, 1966.— 320 е,
10.	Шеарц Л. Анализ: В 2 т.— М. : Мир, 1972.— Т. 1—2,
490
ІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ *
ПРЕДМЕТНИЙ
ПОКАЖЧИК
Аксіома вибору 388
— індукції 8
Аксіоми векторного простору 369
— упорядкованого поля 36
Аргумент числа 71
Асимптота графіка 303
База відкритих множин 388
Базис простору 409
Біном Ньютона 46
Варіація функції 337, 338
Вектор дотичний 185, 434
Відношення бінарне 11, 12
—	еквівалентності 19
—	порядку 20
Відображення адитивне 37
—	взаємно неперервні 405
—	диференційовне 455, 459, 460
—	з множини в множину 12
—	конформні 187
—	лінійне 411
—	мультиплікативне 37
—	неперервне 400, 402, 425
—	неявне 16
—	обернене 15
—	оборотне 15
—	параметричне 16
— рівномірно неперервне 404, 426
—	розривне 400
—	стискання 393
Властивості меж множин основні 22
—	функції локальні 148
Внутрішність множини 383
Гомеоморфізм 405
Градієнт функції 435
Границя відображення 339, 400, 401,
424
—	нескінченна 139
—	послідовності 27, 33, 118, 371, 374,
Ч7Я Я70 429
—	функції 135, 136, 149, 424
Диференціал відображення 455
—	функції 183, 445
Діаметр розбиття 235
Добуток декартовий 11
—	матриць 377
—	многочленів 126
—	нескінченний 113, 114
—	просторів 407
—	прямий 416, 431
—	сім’ї 97
—	степеневих рядів 126
— числових рядів 126
Дріб нескінченний десятковий 80
Екстремуми локальні 283, 452
е-окіл точки 134
Замикання множини 385
Звуження функції 14
Змінна інтегрування 199
Значення інтеграла головне 332, 336
—	нескінченного добутку 114
—	середньозважене 265, 266
—	функції граничне 139
Зображення відрізка параметричне
209
—	кривої параметричне 468, 470
— кусково-гладкого шляху параме-
тричне 197, 198
—	раціонального числа 38
Ізометрія 380
Ізоморфізм 38, 40
Інваріантність форми диференціала
456
Інтеграл абсолютно збіжний 326
—	визначений 197, 199
—	Ейлера другого роду 336
—	збіжний 333
—	криволінійний 469
—	невизначений 197
— невласний 323, 333
—	Ньютона—Лейбніца 199
—	подвійний 439
—	Рімана 211
—	розбіжний 333
—	умовно збіжний 326
Інтеграли Стілтьеса 347
—	функції 237
Інтегровність композиції функцій 249
Класи еквівалентності 19, 390
Коефіцієнт прямої кутовий 291
Коливання функції 154, 156, 243
Композиція відображень 15
Крива гладка орієнтована 468, 470
—	кусково-гладка 471
Критерій існування границі функції
149
—	Коші 52, 53
—	опуклості функції 294
Куля відкрита 380
—	замкнена 380
Лишок функції 479
Лінійність інтеграла 201
Логарифм натуральний 57
Логічні символи 6
491
Мажоранта 21
Математичне сподівання 265
Матриця білінійної форми 419
—	квадратна 377
—	одинична 421
—	функціональна 378
—	Якобі 455
Межа додатно орієнтована 472
Межі послідовності ЗО
Метод вилки 299
—	дотичних ЗОЇ
—	Канторовича ЗОЇ
—	множників Лагранжа 467
—	Ньютона 300
—	хорд 300
Метрика 378
Міноранта 21
Міра 0 (жорданова, лебегова) 241,
242, 248
Многочлен асимптотичний 304
—	Тейлора 277
Множина вимірна за Жорданом 248
—	відкрита 24, 146, 382, 422
—	елементарна 473
—	замкнена 24, 146, 384
—	зв’язна 399
—	зчисленна 18
—	компактна 145, 168, 395
—	лінійно-зв’язна 198
—	не більш ніж зчисленна 18
—	ніде не щільна 387
—	обмежена 381, 423
—	одностайно інтегровна 436
----неперервна 164, 203
—	опукла 291, 423
—	потужності континуум 69
—	симетрична 133
—	скрізь щільна 166, 387
— функцій одностайно диференційов-
на 204
—	членів послідовності ЗО
—	щільна в множині 387
Множини рівнопотужні 17
Неперервність оберненої функції 147
Норма вектора 371
—	оператора 412
—	функції рівномірна 117
Норми еквівалентні 372, 410
Область визначення відображення 13
—	замкнена 399
—	значень відображення 13
Ознаки збіжності рядів 102, 121
Окіл множини відкритий 383
—	точки 146, 148
Оператор лінійний 411, 412
—	оборотний 419
Операції над множинами 9
Операція транспонування відношення
12
Орієнтація протилежна 468
Параметр натуральний 317
Підполе 39
492
Підпослідовність 32
Підпростір 394
Підстановка універсальна 231
Повнота простору 22, 26
Покриття множини 170, 395
Поле векторне 488
—	повне у розумінні порядку 39
—	раціональне 38
—	упорядковане 36
Поповнення простору 390
Послідовність бімонотонна 122
—	мажорантна 92
—	майже стаціонарна 48
—	нескінченно мала 48
—	обмежена 423
—	поточково збіжна 116
—	рівномірно збіжна 118
—	стаціонарна 48
— фундаментальна 52, 120, 374, 379
—	функціональна 116
Послідовності конфінальні 390
—	монотонні 31
Потенціал векторного поля 488
Похідна відображення 455, 460
—	функції 176, 442
Похідні узагальнені 175
Правила множення степеневих рядів
126
Правило заміни змінної 118-
—	знаків 68
— Коші множення числових рядів 126
—	Лопіталя 271
Принцип двоїстості 10
Приріст функції 182
Прирости відображення часткові 460
Продовження розбиття 236
—	функції 11, 290
Простір банаховий 374
—	векторний 369
—	дотичний 186, 435
—	евклідів 422
—	зчисленно-повний 32
—	метричний 378, 380, 398, 399
—	нормований 371
—	повний 374
—	сепарабельний 32, 387
—	топологічний 146
—	частково упорядкований 20
Простори гомеоморфні 406
—	лінійно ізоморфні 412
Процес Кантора діагональний 167
Радіус збіжності степеневого ряду 124
Ранг відображення 414
Розбиття сегмента 211
Ряд збіжний 99, 100, 102, 111, 112,
117, 120, 121, 374
—	знакопереміжний 106
—	Лорана 476
—	розбіжний 99, 100
—	степеневий 124
— сумовний методом Ейлера — Абеля
128
— Тейлора 290
— функціональний 116, 204
— числовий 100
Символи Ландау 47
Синус інтегральний 220
Система векторів 409
—	лінійних форм 416
Сім’я елементів множини 75
—	перемножувана 97
—	сумовна 84, 88
—	числова 76
— функцій одностайно неперервна 204
Слід кусково-гладкої кривої 471
Стала Ейлера 58
Стрибок функції 141, 343
Сукупність проміжних точок 211
Сума абельова 128
—	Ейлера — Абеля 128
—	подвійна 81
—	Рімана інтегральна 21 ]
—	ряду 99, 100
—	сім’ї дійсних чисел 84
—	Стілтьєса інтегральна 349
—	часткова 99
—	числової сім’ї 76
Суми інтегральні 236, 347
—	Коші 211
—	повторні 81
—	ріманові 211
Тензор коваріантний 415
Топологія простору 24, 406
— т комплексної площини 146
Точка відображення нерухома 393
— гранична 134, 135, 386, 423
— дотикання множини 25, 385
— ізольована 134, 386
— конденсації множини 395
— множини 25, 383, 384, 386
— особлива 142, 478
— перегину ЗОЇ
— розгалуження відображення 487
— розриву 136, 141, 400
Точки особливі 317
— розгалуження нескінченного поряд-
ку 488
—	стаціонарні 284
—	упорядкованого поля 36
Траєкторія гладка 197
—	кусково-гладка 197, 198
—	руху 184
Форма білінійна 415^
— запису комплексного числа триго-
нометрична 71
—	квадратична 419, 451
Формула Гаусса 214
—	Гріна 473
—	Діріхле 275, 276
— Ейлера 154
— заміни змінної 260, 328
— інтегрування частинами 202, 261,
328, 366
—квадратурна 214
—	Коші 276
—	Лагранжа 188, 276
—	Лейбніца 429
—	многочлена Ньютона 448
—	Муавра 72
— Ньютона — Лейбніца 200, 256, 274
—	підсумовування частинами 105
—	прямокутників 216
—	Сімпсона 217
—	Тейлора 277, 281, 450
—	ускладнена (загальна) 217
—	Фубіні 87
—	Шлемільха — Роша 276
Формули асимптотичні 159
—	Ейлера 154
—	рекурентні 223
—	Фубіні 82
Функції гіперболічні 133
—	еквівалентні 161
—	монотонні 142
Функціонал лінійний 412
Функція адитивна 311
—	аналітична 289, 475
—	голоморфна 487
— диференційовна 175, 444, 459
— інтегровна 199, 211, 237, 240, 264,
323, 333, 348, 438
—	інтегруюча 348
—	кусково-гладка 471
—	кусково-неперервна 142
—	Лагранжа 467
—	лінійна 182
—	логарифмічна 158
—	напівнеперервна 149
—	необмеженої варіації 338
— неперервна 136, 141, 144, 149, 428
—	нескінченно диференційовна 290
— неявна 453
— обмеженої варіації 337, 338
— опукла 291, 296
— парна (непарна) 133
— первісна 197, 235
— показникова загальна 158
— раціональна 144, 225
— рекурентно п-диференційовна 288
—	рівномірно неперервна 156
— розривна в точці 136, 141
—	стрибків 343
—	угнута 296
— характеристична (індикатор) 247
Числа дійсні за Вейєрштрассом 61
—	комплексні 71
—	спряжені у розумінні Юнг 298
Число е 56
Числова послідовність нескінченно ве-
лика 52
—	пряма розширена 50
Член ряду загальний 99
— формули Тейлора у формі Лаг-
ранжа залишковий 450
Швидкість миттєва 184
Шлях кусково-гладкий 315
493
ш і іншії ні піші	зміст
••••••••••
Передмова ............................................................	З
Розділ 1. Межі множин та границя послідовності .............,	. . . .	6
§ 1.	Елементи теорії множин і відображень ............................... 6
§ 2.	Відношення порядку. Поняття частково упорядкованого	простору	20
§ 3.	Верхня та нижня межі множини в частково упорядкованому просторі	21
§ 4.	Топологія упорядкованого простору ................................. 24
§ 5.	Топологічна властивість меж множини. Повні простори.......... 25
§ 6.	Послідовність, її границя та порядкові властивості границі	....	27
§ 7.	Зв’язок між межами множин та границею послідовності. Теорема Вей-
ерштрасса............................................................... ЗО
§ 8.	Підпослідовність. Часткова границя послідовності. Верхня й нижня
границі ..............................................................	32
§ 9.	Існування монотонної підпослідовності. Теореми Больцано— Вейєр-
штрасса та Кантора ...........................................  ......	34
Розділ 2. Дійсні та комплексні числа ........................... . ,	36
§ 1.	Аксіоматична теорія дійсного числа ................................ 36
§ 2.	Числова послідовність та її границя	47
§ 3.	Теорія дійсного числа за Вейєрштрассом ............................ 60
§ 4.	Комплексні числа................................................... 69
Розділ 3. Сума та добуток числової сім’ї. Числовий ряд і нескінченний добу-
ток .......................................,............................ 75
§ і.	Сума сім’ї чисел та її властивості ................................ 75
§ 2.	Обчислення сум за допомогою границі .............................	90
§ 3.	Ознаки сумовності послідовності комплексних чисел .......	92
§ 4.	Добуток сім’ї комплексних чисел .................................	96
§ 5.	Числові ряди ...................................................... 99
§ 6.	Теорема Рімана про перестановку членів ряду. Нескінченні добутки ПО
Розділ 4. Послідовності функцій та функціональні ряди. Степеневі ряди і
елементарні функції...................................................	116
§ 1.	Послідовність функцій і функціональний ряд. Пото»/кова збіжність 116
§ 2.	Рівномірна норма функції. Рівномірна збіжність послідовності функ-
цій і функціонального ряду ............................................ 117
§ 3.	Степеневі ряди .............•	.....	124
§ 4.	Елементарні функції .............. . ....... . ................... 129
Розділ 5. Границя й неперервність функції ............................	134
§ 1.	Границя й неперервність функції за Гейне ......................... 134
§ 2.	Напівнеперервні функції. Границя й неперервність функції в розу-
мінні Коші .............................,..........................  .	148
§ 3.	Рівномірна неперервність функції. Теорема Кантора . .............. 156
494
§ 4.	Обернені елементарні функції. Способи розв’язування задач . . . .	157
§ 5.	Одностайна неперервність .....................................    163
Розділ 6. Похідна та інтеграл . ...................................... 173
§ 1.	Похідна ...................................................       173
§ 2.	Фізичний і геометричний зміст похідної. Теореми Ролля, Дарбу, Лаг-
ранжа ............................................................. 184
§ 3.	Інтеграл Ньютона — Лейбніца...................................... 198
§ 4.	Диференціювання та інтегрування границі послідовності функцій і
суми функціонального ряду	....................................	203
§ 5.	Існування первісної. Інтеграли Коші та Рімана .........	209
§ 6.	Обчислення інтегралів і первісних . .........................
§ 7.	Первісна (у широкому розумінні) функції / : 0?	Р?. Теорія інтегра-
ла Рімана 	  234
§ 8.	Властивості інтегровних за Ріманом функцій .....................  250
§ 9.	Найважливіші теореми й формули інтегрального числення ....	253
Розділ 7. Застосування похідної та інтеграла ......................... 263
§ 1.	Застосування похідної й інтеграла для дослідження функцій ....	263
§ 2.	Похідні й інтеграли Ньютона — Лейбніца будь-яких порядків . . .	272
§ 3.	Похідна Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано. Достатні
умови екстремуму.................................................   280
§ 4.	Ряд Тейлора ......................................................287
§ 5.	Опуклі функції ..........................	......................  291
§ 6.	Асимптоти графіка функції ......................................  303
§ 7.	Побудова графіків функцій .....................................   305
§ 8.	Деякі застосування інтеграла Рімана ............................. 310
§ 9.	Невласні інтеграли ...........................................    322
§ 10.	Функції обмеженої варіації ............... ,...................  337
§ 11.	Інтеграл Стілтьєса ............................................. 346
Розділ 8. Векторні та метричні простори. Функції векторного аргументу.
Деякі питання теорії функцій комплексної змінної ..................... 369
§ 1.	Векторний простір над полем ІК. Нормований простір. Скалярний до-
буток на нерівність Шварца ...................................... 369
§ 2.	Метричні простори ............................................... 378
§ 3.	Лінійна залежність елементів векторного простору. Лінійні операто-
ри і функціонали .................................................. 409
§ 4.	Границя й неперервність функції векторного аргументу ............ 421
§ 5.	Елементарна теорія інтеграла, залежного від параметра. Частинні по-
хідні функції. (Р2-диференційовність ...........................  427
§ 6.	Формула Тейлора. Екстремум функції векторного аргументу . . .	442
§ 7.	Елементарна теорема про неявну функцію. Умовний	екстремум . .	463
§ 8.	Криволінійні інтеграли. Формули Коші для функції	та її похідних.
Ряд Лорана і теорія лишків ............................ . . ,	468
§ 9.	Потенціальне векторне поле .....................................»	488
Список рекомендованої літератури ....................................  490
Предметнийпокажчик ............................	. ................  <	491
Навчальне видання
Ляшко Іван Іванович
Ємельянов Владислав Федорович
Боярчук. Олексій Климович
МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
У двох частинах
Частина І
Оправа художника М. Т, Кормило
Художній редактор С. В. Анненков
Технічний редактор 0. В, Козлітіна
Коректор С. Г. Чиркіна
вдано до набору 28.06,91. Підписано до друку 29.04.92, Формат 60х901/1в. Папір друк.
№ 1. Гарнітура літературна. Високий друк. Друк. арк. 31,0. Фарбовідб. 31,0. Обл.-
вид. арк. 33,20. Вид. № 9270. Замовлення № 1—2914.
Видавництво «Вища школа»* 252054* Київ-54, вул. Гоголівська* 7.
Головне підприємство республіканського виробничого об'єднання «Поліграфинига»,
252057* Київ-57* вул. Довженка* З,